МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
им. М. В. ЛОМОНОСОВА
В. П. МАСЛОВ
ТЕОРИЯ" ВОЗМУЩЕНИЙ
И АСИМПТОТИЧЕСКИЕ
МЕТОДЫ
ИЗДАТЕЛЬСТВО МОСКОВСКОГО УНИВЕРСИТЕТА
1965

ПРЕДИСЛОВИЕ
В основу этой книги положен спецкурс, читанный
автором в течении нескольких лет на физическом факультете
МГУ по исследованиям автора в области теории возмущений,
квазиклассической и коротковолновой асимптотике, а также
теории ударных волн. В курс лекций входила целиком первая
часть книги и некоторые главы второй части.
Книга рассчитана на студентов старших курсов
кафедры математики физического факультета МГУ, а также
студентов и аспирантов механико-математического факультета.
Одновременно она доступна студентам, специализирующимся по
у/
теоретической физике ' .
По замыслу автора книга должна в известной степени
заполнить то недостающее звено, которое связывает
классические уравнения математической физики и уравнения
квантовой механики. Поэтому уравнения квантовой механики и оптики
рассматриваются в книге как частные случаи общих уравнений
с операторными коэффициентами в функциональных
пространствах. Такое обобщение оказывается полезным и в конкретных
физических приложениях, поскольку оно устанавливает
соответствие между асимптотическими формулами,относящимися к
различным областям физики.
х/ При условии, что физики будут обращаться для
справки к /65/ и /38/.
t

Новые, достаточно простые формулы, полученные в
работе, могут быть непосредственно использованы в теории
дифракции и рефракции в электронной оптике /24/ (в
особенности потому, что соответствувдие задачи классической
механики хорошо разработаны (75)),а также в акустике
(см. /9/, /14/), теории ударных волн /82/, /83/ и
квантовой теории молекул х' .
Заметим, что хотя все полученные в книге оценки
являются асимптотическими, но как показывает расчет на
машине конкретных задач, уже при "малом" параметре равном
1/3 два члена асимптотики дают прекрасное приближение
(см. напр. /15/, стр. 300 )#
Все результаты (за исключением результатов § 6, гл.^,
ч. I; п. 3°, § 2, гл. 3, ч. I и § 4, § 5Х гл. 5, ч. 2),
полученные в книге принадлежат автору., Большая часть их
публикуется впервые. В § I, гл. 2, ч. I, написанном С.В.Фоми-
ным;излагаются известные теоремы теории линейных
операторов. В начале гл. 4, ч. I; гл. 5, ч. I*, § 2, гл. 8
приводятся известные теоремы, которые используются в
дальнейшем. § 5, гл. 5, ч. 2 написан В.Дубновым.
х/ В книге нет обзора по этим проблемам в связи с тем,
что по своим основным методам работа мало соприкасается с
этими исследованиями. Обзор читатель найдет в книгах Хедин-
га, Фридлендера, Глазера.
3

В первой части работы рассматривается во-первых,
возмущения самосопряженных операторов с дискретным
спектром, а во-вторых, теория возмущений операторных уравнений.
Эта последняя теория является тем аппаратом, который
попользуется для уточнения оценок асимптотических формул и
установления сходимости в тех или иных функциональных
пространствах.
Применение абстрактных теорем иллюстрируются на
примерах с уравнениями в частных производных.
Во второй части работы исследуется асимптотическое
поведение решений уравнений в частных производных с
осциллирующими и разрывными начальными данными, а также
асимптотика собственных значений самосопряженных дифференциальных
операторов. Постановка задач и формулировки основных теорем
даны в главах 1-4. Далее в главах 5-8. дается
доказательство этих теорем. Из методических соображений топологические
утверждения доказываются в гл. 1 в формулировке
достаточной для приложений, но более ослабленной чем та, которая
дана в главе 2.
В приложении приводятся в качестве иллюстрации
примеры асимптотических формул экпокенциального типа. Эти
результаты, однако, в данной работе не доказываются. Мы
остановимся на них подробнее в следующем выпуске.
Вопрос о втором члене асимптотики собственных
значений решенный в гл. 9 для одномерного случая, в общем случае
также будет исследован в следующем выпуске.
*\

В заключении приношу глубокую благодарность
Н.Н.Боголюбову за денные замечания по аксиоматике
квантовой механики; А.Н.Тихонову за консультации по
некорректным задачам; С.В.Фомину за редактирование 3-й главы теории
возмущений. Я очень признателен Д.Аносову» Ь .Арнольду и
С.Новикову за неоднократные обсуждения топологичееких
вопросов и большую дружескую помощь; Ф.А.Березину»
А.Виноградову и Я.Синаю» читавшим различные части книги и
сделавшим ряд ценных замечаний редакционного характера.
Самоотверженную помощь по подготовке книги к печати мне
оказали аспиранты физического факультета И.А.Гордеева и
В.Дубнов. Выражаю им сердечную благодарность.
1*1419
5

ЧАСТЬ I
ТЕОРИЯ ВОЭИЛЦВДИВ

ВВЕДЕНИЕ
Исходным пунктом того обширного круга вопросов, который
сейчас объединяется общим названием "теория возмущений", слу- i
жит следупцая задача* Пусть нам известны собственные значения
и собственные векторы матрицы А* Требуется найти собственные
векторы и собственные значения матрицы
А(£)~А*еВ >
где S - фиксированная матрица, а £ - малое число. Решение
этой задачи хорошо известно* Оно состоит в том, что собственные i
значения *и (^ матрицы А (£) записываются в виде рядов i
по степеням 6 , где Де - собственное значение "невозмущенной . '
матрицы А =* А (о) , а С1Лу Сл/г - не зависящие от £ коэф- i
фициенты, вычисляемые по легко устанавливаемым формулам. [ft] \
Аналогичное представление имеет место и для собственных
векторов %fe) матрицы А(£)-
В некоторых задачах, также относящихся к теории возмущений, :
приходится искать представление в виде ряда по степеням ё для ,
той или иной функции от А(£) , например для |
(A*sB)"
или для в
Все эти задачи, не вызывающие больших затруднений, когда речь |
идет о матрицах, становятся весьма сложными, если вместо матриг i
рассматриваются линейные операторы, действующие в том или ином
бесконечномерном банаховом пространстве.
В конечномерном случае очевидно следующее. Если i
А(£) -А +&£> ,то при I -*0 имеют место предельные
9

соотношения: ^к (&> ~* ^* > *f* Сг) ~* Y*j
(A + t&)~ """* А 'если А * существует) £ —» £>
и т.д., т.е. собственные значения, собственные векторы,
обратная матрица и т.д., отвечающие невозмущенной матрице, служат,
как здесь обычно говорят, нулевыми приближениями (т.е.
приближениями с точностью до членов, стремящихся к нулю при 6-* о )
соответствующих величин, относящихся к возмущенной матрице
Л-еЗ.
В противоположность этому, для операторов, действующих в
бесконечномерном пространстве, вопрос о нулевом приближении,
т.е. о сходимости ''при €-*0 ) некоторой функции
возмущенного оператора к той же функции оператора невозмущенного
представляет существенные трудности, а иногда соответствующий
предельный переход может оказаться вообще невыполнимым. В качестве
примера, иллюстрирующего ту далеко не простую ситуацию, которая
здесь возникает, можно указать на известную теорему Г.Вейля, из
которой}в частности, следует, что всякий ограниченный
самосопряженный оператор А > действующий в гильбертовом пространстве,! f A
можно представить как предел (по норме) последовательности
операторов (-A*,j , также ограниченных, каждый из которых имеет
чисто точечный спектр.
Если рассматривается оператор вида
где как А , так и £ неограничены, то, в силу
неограниченности возмущающего оператора В , само понятие малости
возмущения ?8 теряет определенный смысл: при произвольных А. и Ь
здесь нет оснований ожидать, что влияние возмущения £& бу-
10

дет в каком-то смысле мало, даже при сколь угодно малых £.
Для получения содержательных результатов здесь обычно
приходится требовать, чтобы возмущающий оператор Ё> был в
некотором смысле "подчинен11 невозмущенному оператору А • В этом
направлении ряд важных результатов получен Реллихом, Б.Ф.
Ск.-Надем, Вейлем, М.Г.Крейном у О.А.Ладыженской и
Л.Д.Фаддеевым ^\Ь°}у^в)>^н5^
Другая возможность (именно ее мы будем рассматривать
ниже) состоит в том, что можно налагать некоторые условия на
само поведение А (&) как функции от £ при £-*От При этом
нет необходимости считать, что зависимость А (£) от
параметра £ определяется именно формулой (0.1); она может иметь и
какой-либо иной характер.
Методы теории возмущений широко применяются в различных
физических задачах, в частности^в квантовой механике. Эти
последние применения основаны на том, что гамильтониан некоторой
квантово-механической системы часто можно рассматривать как
сумму вида
где ёНл - представляет собой малую "поправку" к
невозмущенному гамильтониану Hi $ собственные функции и
собственные значения которого считаются известными .(Такая ситуация
возникает, например, в том случае, когда рассматривается система
частиц, слабо взаимодействующих друг с другом. Тогда Н± - это
гамильтониан системы невзаимодействующих частиц, а СЦХ - их
взаимодействие).
II

Если рассматривается оператор вида А + £ В , где В
ограничен , то известно, что перечисленные задачи теории
возмущений имеют решение при достаточно малом £ . Решение
поставленных задач дается в виде сходящегося ряда по
степеням £ •
Приведем здесь соответствующие формулы (так называемые
формулы теории возмущений):
е ~е S " (iB) (°«)
Пусть А и 3- самосопряженные операторы, \ -
изолированная т -кратная точка спектра оператора А , а сС -
расстояние от \ до остального спектра /j
Проекционный оператор £. у . v на подпростран-
Vjf»Vf
ство собственных функций оператора А » отвечащих точке
\ ; выражается формулой
где контур-кривая в комплексной плоскости ^ , проходящая
на действительной прямой через точки Л0 - j= и Л*|:
х/ Интеграл определяется как предел суммы типа Коши-
Римана 'в смысле сходимости по норме оператора(см.гл.2,§1).
В случае, когда А - оператор в их функций от *?
с простым дискретным спектром (А'?)' 9~ /jET г^* ^ ^.*~0(f)df
1г

При этом,очевидно,
для любого о £ Ц , проекция которого на рассматриваемое
подпространство собственных функций отлична от нуля.
При достаточно малом € размерность проекционного one-
ратора A+g8
равна пг , и
LOG)
где контур берется по окружности с центром в точке ^ и
радиусом d*lz •
Следовательно, собственные функции и собственные значения
оператора А + £ & в d/Z - окрестности точки *о
совпадают с собственными функциями и собственными значениями
оператора
(A+tB) {- ф(А-г)"ё (-'fe''[a(A-?)-J]*d*J
1 J *-° (о*)
который можно рассматривать на подпространстве размерности т
Эта последняя задача сводится к отысканию собственных функ-
13

ций и собственных значений симметрической матрицы tri-го
порядка. Полученные таким образом ряды для собственных функций
и собственных значений оператора Л + £& называются
рядами теории возмущений. В учебниках квантовой механики /^JyBf/
приводятся обычно лишь первые два члена этих рядов.
Мы будем рассматривать в первых двух главах лишь случай,
когда опектр оператора А дискретный, или по крайней мере
имеется одна изолированная точка Л спектра оператора А •
Задача о возмущении унитарных операторов и одноапраметри-
ческих полугрупп операторов рассматривается в главе 4.
Там же изучается более общая задача - поведение при п -* &э
решения уравнения
удовлетворяющего начальному условию
и(о) - и0 £ Н ,
где А ъ(4) - некоторый оператор в банаховом пространстве
д , непрерывно зависящий от параметра t и сходящейся в
некотором смысле при п-*ооу 7(i) - заданная функция Ь
со значениями в а
В главах 3 и 5 изучается и более общая задача. Она
ставится следующим образом.
Пусть семейство с 7$ / операторов 'или
последовательность операторов { Тп \ ) в банаховом пространстве & ,
зависящее от параметра £ , сходится в том или ином смысле к
предельному оператору Т • Прямая задача теории возмущений
заключается в построении аппроксимации оператора / (или
Т ) с помощью известных операторов 7* и J4'1.
14

Так же изучается и обратная задача теории возмущений -
выяснение существования обратного оператора / и аппроксимация
его с помощью семейства / .
В решении некоторых задач теории возмущений мы будем
применять методы регуляризации.
Для указанных выше конкретных задач теории возмущений
выведены определенные алгоритмы регуляризации.и приведены
соответствующие оценки. Эти алгоритмы являться оптимальными в
определенном (асимптотическом) смысле. В некоторых случаях эти
алгоритмы могут быть, возможно, применены и для решения
некорректных задач теории линейных интегральных уравнений.
Приводимый здесь метод регуляризации основан на
физических представлениях о свойствах измерительного прибора (коротко
об этом см. 151 }9) /). И, хотя он применяется и для
абстрактных операторов, необходимость введения именно такого метода
регуляризации покоится на квантовомеханяческом представлении о
том, что нельзя одновременно определить координату и импульс
частицы, т.е. на принципе неопределенности Гайзенберга.
Заметим, что общая постановка дроблены регуляризации
некорректных задач в метрических пространствах и некоторые
конкретные методы регуляризации были даны А.Н.Тихоновым. ffi\f}$]
15

ГЛАВА I. ПРОБЛЕМА РЕГУЛЯРИЗАЦИИ В ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИЙ.
§ I. Постановка задачи регуляризации теория
возмущений.
1°. Пример регуляризации возмущавшего потенциала для
уравнения Шоедингера.
Рассмотрим уравнение Щредингера 4
Пусть Х0 - изолированная точка спектра. Возмущенное
уравнение имеет вид
где V*(&, О ограничена для каждого ^ при в -? о .
В физике часто пользуются формальным разложением
решения в ряд теории возмущений даже в том случае, когда
возмущающий потенциал и (х)^) быстро стремится к бесконечности
при \х\ -**о. В этом случае спектр возмущенного уравнения
может стать как дискретным, так и непрерывным. Часто
оказывается, что несколько первых членов дают хорошее приближение к
нужным величинам, а дальнейшие приближения только ухудшают
результат. Кроме того часто, сами интегралы, выражающие члены
ряда теории возмущений, расходятся, и возникает проблема
устранения расходимости, регуляризации полученных интегралов,
которая обычно проводится на основе некоторых физических
соображений. П'дфф в своем учебнике по квантовой механике допускает,
что ряды теории возмущений сходятся, "хотя фактически вопрос
об их аналитичности исследовался лишь для нескольких простей-
16

ших задач". На самом деле ряда в общем случае A[t)=A +fy
где в£-»0 при 6-*0 txoburbcfi не будут.
Приведем пример на уравнение Щредингера, когда интеграл
(Уъ \&1 > Т^* ) Расходится> однако, как будет видно из
дальнейшего, этот интеграл можно регудяризовать так, что
полученное выражение будет служить первой поправкой к А °
Рассмотрим уравнение
i » л. £**/ , i
с условием со
Jit,
Здесь эсх(£ ~4) - возмущение, о?*- невозмущенный
потенциал*
При £в0 - имеем H^^ii+i /см. /Г/5\7 /, a
собственные функции ^^ - стремятся к нулю медленнее, чем
£~** цри некотором оСУО 9 поэтому интеграл, дающий
первую поправку к Л «, , расходится:
На самом деле, как мы увидим ниже, первой поправкой служит
интеграл: у~г
* зг
-I 31
и ов является величавой порядка 0(1) •
1419
17

Таким образом, Л-АГ'Л. + Осе*).
Регуляризация подобных задач будет доказана в гл.2.
Оказывается, что для задач такого типа оператор В& можно
замевить ограниченным оператором £>£ и "близким" при
малых 6 к Вг » так, что Л -(^Д^£Т^ Служит первой
поправкой к Лъ . Такая замева производится и для всех
остальных членов теории возмущений.
2°. Зависимость способа регуляризации от выбора
представления. Метод регуляризации, который естественно
применять в давной задаче теории возмущений зависит от того, в
каком представлении рассматривается даввая задача. Как уже
указывалось выше из физических соображений нужно найти
невозмущенный оператор.
Рассмотрим, например, уравнение Щредингера
- 4Jr +vc*,a)ib -J*i\
(I.I)
где
Pud
V'(*,<*>)
i-i/Kf
18

(х-й) при эс*а+£ -/ct + %
(см. рис. I)
Пусть <Р(&) - финитная функция. Очевидно, что
1Г(х)а.){Р(х) при достаточно больших &> равно
ХХ<Р(&)- Следовательно, оператор умножения на VCoc^ci)
при ct —9 оо сходится к оператору умножения на ЗГА .
Предположим, что нас интересует следующая задача. Пер-
воначально мы рассматривали систему в потенциальном поле JC
и имели набор собственных значений ("уровней") Лл и
собственных функций Ч^ъ >
-f°"+xi'i'° = <\t?tl
Нас интересует, как повлияло возмущение потенциалом
1Г(х, CL)-ccz на уровни Л ^ и собственные функции
ilr\ • Можно легко показать, что при достаточно большом ее
это возмущение мало скажется на Л *, и 'у п, (при
фиксированном *ъ и а-*оо ). ГСм. гл. 2). Этому факту
можно придать такой физический смысл. Физик А изучает частицу
в потенциальном поде & и исследует влияние на эту частицу
некоторого далекого возмущения. При этом все наши
математические рассуждения имеют совершенно конкретное физическое
содержание.
Допустим теперь» что "соседнюю" потенциальную яму -
(х-а) изучает физик & . Его интересует, как изменились
уровни л„, и собственные функции у^^ уравнения
19

f 0 '"4/
+ (x-a) n/r ~ «
под влиянием возмущения потенциальным полем физика Л , т.е.
X . Все наши рассуждения относительно того, что V-fao)
прж cl-*oq сходится к яг для физика £> теряют смысл.
Для того, чтобы решить задачу, нужную физику & , мы должны
перенести начало координат в точку *• • Товда обозначим
( (f+л)^ при ytl-feTT
При а-*г*> потенциал 1/~Су,а) будет сходиться к у
Теперь постановка задачи удовлетворяет фивика /3 .
Мы совершили перенос системы координат, т.е. сдвиг на а.
Иначе говоря» совершили унитарное преобразование сдвига: по-
действовали оператором 6 "* . Таким образом, мы перешли
к другому представлению того же оператора Щредингера.
Уравнение
есть уравнение (I.I) в новом представлении. С точки зрения
квантовой механики оба цредставления совершенно эквивалентны.
Однако, в пределе при <ь-*оо соответствующие операторы
Щредингера сходятся к разным операторам.
3°. Ангармонический осциллятор. Рассмотрим теперь
случай ангармонического осциллятора
-^'♦/«^«^Г-Л^
(1.3)
20

/ 2. ^ ХК+1
Оператор - 3L + х + £Я дрЖ к*1
ах
х/
не является существенно самосопряженным *' , поэтому,
казалось бы, уравнение (1.3) не имеет смысла. Если К * & ,
то при любом Л <о одно из решений уравнения (1.3) будет
принадлежать Ьх > а это не имеет.физического смысла.
Тем ни менее физики считают первые члены ряда теории
возмущений и получают хорошее согласование с некоторыми
экспериментами, причем подчас начиная с некоторого члена ряда
согласие с экспериментом ухудшается. И возможно, что в каких-
то других экспериментах такую теорию возмущений, вообще,
применять бессмысленно.
Математическая теория возмущений должна дать ответ на
вопрос о том, какие именно величины остаются инвариантными
при малом возмущении и указать с какой точностью можно
получить эти величины с помощью формул теории возмущений.
Однако, как мы видели, от физика требуется следующая
информация. Он должен сообщить, что данное возмущение мало
сказывается на его эксперименте. Задача теории возмущений
заключается в том, чтобы вычислить эти незначительные
изменения и дать соответствующие оценки.
х/ Оператор Щредингера на множестве Z) достаточно
гладких финитных функций определяет симметрический оператор
Я . Говорят, что оператор Шредингера существенно
самосопряжен, если замыкание К является самосопряженным X1S1
£l418
Zl

4°. Устойчивость изолированной системы.
Когда рассматривается потенциал 1£(х) , стремящийся
к во при I xl-*oo , то это само по себе является
идеализацией. На самом деде, если потенциал достаточно велик при
болеших х, , а взаимодействие с окружающими системами мало,
то потенциал можно "экстраполировать" так, чтобн -**>»* f(fc)"*o
Х-?оО
Тем самым допускается, что рассматриваемая система
изолирована. Возможность такого допущения связана с тем» что
наша система локализована в пространстве, т.е. прибор, с
помощью которого мы наблвдаем систему, позволяет нам видеть
ограниченную часть пространства (область видимости)» однако
настолько большую, что частица практически не может уйти из
этой области. Это означает, что уже вблизи границы этой
области вероятность пребывания частици становится практически
равной нулю, т.е. степень точности нашего прибора не
позволяет ее обнаружить.
Предположим теперь, что возмущение, которое мы
совершаем, отлично от нуля вне области видимости прибора, т.е. по
существу производится над системами, взаимодействием с
которыми мы пренебрегли уже при написании невозмущенного
уравнения. Очевидно, что прибор не обнаружит следов этого
возмущения.
Заметим, что в природе на самом деде изолированных
систем нет, поэтому нет и строго дискретного спектра. Однако,
если взаимодействие с окружающими системами очень мало, то
полоску спектра экспериментатор не может отличить от одного
22

уровня и поэтому можем рассматривать идеализированную
задачу - изолированную систему с дискретным спектром* Поэтому,
написав уравнение Шредингера для изолированной системы,
нужно проверить эту систему на устойчивость относительно
далеких возмущений и указать, какие величины при этом остаются
устойчивыми. Именно такие величины и наблвдают физики.
Чтобы понять, какие величины остаются устойчивыми при далеком
изменении потенциала, обратимся к примерам* Для этих
примеров мы сформулируем лишь окончательные результаты,
доказательство которых, впрочем, совершенно элементарно,
а) Рассмотрим уравнение Шредингера
где *У*(х, а) _ потенциал вида (1.2)
'рис. I)
Предположим, что нас интересует следующая задача*
Первоначально мы рассматривали систему в поле с потенциалом
X и имели набор уровней ^к жЛпН и собственных функций
где Нл/эс) - полиномы Эрмита.
Нас интересует, как повлияло возмущение потенциалом
1г(*)а) -Я на уровни Л ^ и собственные функции
'VV • Как уже указывалось, при достаточно большом <%. это
23

возмущение мало скажется на Л и у п. (при фиксирован-
ком t и & -* °° ). в этом случае оказывается, что 'ч
и "if"^ изменятся на величину <£ - 0 [^п Гх<>(&)] ]
где эСо(<ъ)=а + £-/а+%}
-сС**>
При О.-**0 эта величина стремится к нулю, как £ ,
где ос - некоторая константа. Предположим, что величиной Зл
мы можем пренебречь, т.е. точность нашего прибора не
позволяет обнаружить величину такого порядка малости. В таком
случае, мы можем без ущерба для результата "экстраполировать"
потенциал х за точку ^о(л) ^ иначе говоря,
рассматривать вместо потенциал х
В этом примере собственные значения уравнения (1.4) могут
быть отнесены к 2-м различным классам*
I класс собственных значений, близких к собственным зна-
i °
чениям и* = 2п+4 уравнения осциллятора «
и 2-ой класс собственных значений, близких к собственным
значениям уравнения
-г; + (*-*>'г*-к t-
Соответственно, собственные функции делятся на два класса:
1) - класс собственных функций, близких к ^ ; и
2) - класс собственных функций, близких к ^^ .
Это означает, что две системы с потенциалами ocz и
у
(or- а) при достаточно большом а, пренебрежимо
мало взаимодействуют и мы можем отдельно рассматривать
каждую из них.
24

б) Рассмотрим теперь уравнение (1.4), где 1/"(<х,в.)
имеет вид
V(x,a)
Т(х,л) =
х<%
х>%
X при
( (х-а)х при
Оператор умножения на VC&,u>) при а-*оо будет опять
х
сходиться к х . Однако, в отличие от предыдущего случая у
возмущенного уравнения (1.4) будут существовать 2 собственных
' значения, близких к Хк : Ап и Л* • Они будут
отличаться от i^ на величину
ь-о[г:(&].
Собственные функции тХ и "]/^ ,
соответствующие Хъ, и ид, , будут отличаться на интервале
- оо < ее < £ от "у£ / у7.
(с точностью до знака) также на величину <3г •
Поскольку собственные значения "левой" и "правой" ямы
совпадают, можно сказать, что происходит "резонанс". Поэтому
уровень Х^ "расщепляется" на .Л* и Л* , причем соб-
У*п, будут по модулю близки к
ственные функции ^ и

Т'(х-а)/уТ
при jf ^ X < со
Таким образом, поскольку в области j $ х < оо
^ °zz 0 ($>" J , то в данном случае речь может идти о
близости собственных функций возмущенного уравнения (1.4) к
собственным функциям невозмущенного уравнения при #-*<*>
лишь в области - ^° * х * л& . Однако, заметим, что общая
суммарная вероятность пребывания частицы на уровнях Л* и
Л* при а-?с>о отличается от I на величину &к . Если
точность прибора не позволяет обнаруживать величины ^ ,
то мы не сможем отличить уровни Л* и 5Л друг от друга.
Мы будем видеть лишь один "слившийся" уровень.
Плотность вероятности пребывания частицы на этом "уровне"
равна
будет с точностью до
о
«
Щ^\Ща1\^:^
Поэтому и во втором цримере мы можем без ущерба для
физического результата экстраполировать потенциал ^ за точку -£
т.е. ограничиться изучением потенциала Л:
в) Рассмотрим теперь потенциал Vfa*) вида
-2а
Рас 3
-Л
Л
а
Г
Id
26

X при - £ 5 яг * %
у(а;а)= { (*~*a)h при ка-*$х<£+«а.
(х-т*)** при ac>ma-g
(Xtmo.) при o!<-/na^g
В этом случае картина будет такая же, как в предыдущем
примере (случай "резонанса*), только уровней, близких (т.е.
отличавшихся на величину 6аш0[/Ул,%,(£)])ъ Л п. будет
1т: Х^у Ап, Л*> ••
Если степень точности прибора не превосходит ®а , то мы
видим лишь один "слившийся" уровень Л ъ . Суммарная
вероятность пребывания частицы в области -% $х $ % и
отличается от единицы на величину $*-
Собственные функции уравнения (1.4) в области - & $х*£
по модулю мало отличаются от т£
Следовательно, если величиной "а, мы можем пренебречь»
то физическая картина не изменится при замене потенциала
Т(х,а) на хл •
Пусть теперь число *ъ в предыдущем примере равно ©о .
В этом случае спектр будет непрерывным: квадрат собственных
функций (обобщенных) уже не будет интегрируем. Тем не менее в
области -|Ч<Л!>< j собственные функции </^
(непрерывного спектра) будут совпадать с ^^ с точностью до
$t «г О [ <У*^ (%)] » а спектр будет занимать
полоску около Л£ ширины не большей &а~ . Поэтому, если
степень точности прибора меньше ^ , то мы не отличим полоску
27

от одного уровня, поэтому потенциал Vs' faa) можно
заменить на #
г) Рассмотрим, наконец, потенциал следупцего вида
V(*,a) =r J *X «*■ *< j
С 0 при ^ ^ ^
Рос,*
£
В этом случае спектр будет непрерывным, причем будет
заполнять всю полуось и > О .
Однако, собственные функции, соответствующие точкам X ,
лежащим вне 0^ « (? Г^а ('rJ? окрестности точек Л^, в
области ос < -г- будут стремиться к нулю и иметь порядок
малости Go,
о
Собственные же функции, соответствующие точке Д*^*,
и некоторой окрестности этой точки, в области ее <д;
будут отличаться от Са 'У^,<? f asj на величину &L
Поэтому, если точность нашего прибора не позволяет
наблюдать величины б^ , то ширина полоски точек спектра в
окрестности X* , для которых вероятность пребывания частицы
внутри ямы заметно отлична от нуля, не будет вами обнаружена
и мы увидим один "слившийся" уровень J л, • При этих у слови-
28

ях потенциал VCoe,a) можно заменить потенциалом ос -
Из этих примеров ясно, в каком смысле нужно понимать
устойчивость изолированной системы относительно далеких
возмущений. Если дан невозмущенннй потенциал и(эс) и
возмущение V/**) а) , равное нулю в интервале, стремящемся ко всей
прямой при а-г со , то мы можем надеяться, что собственные
функции системы с потенциалом tl^x) будут устойчивы
относительно такого "далекого" возмущения лишь в конечной области
переменной «а& (ин ее назовем областью видимости), которая
зависит от а и в пределе при а-*оо совпадает со всей
прямой. При этом могут появиться новые точки спектра, никак
не связанные с невозмущенным уравнением. Однако, вероятность
пребывания частицы на таких уровнях в области видимости
оказывалась в наших примерах пренебрежимо малой.
5 2. Теория возмущений одномерного уравнения
Щредингера.
1°. QcpoyjH? ЦОЦЮЩ1
Предположим, что в операторе
к-& + «<*>
потенциал 1С (ос) удовлетворяет условиям 11 (± со) = + оо.
Возмущающий потенциал В V*(*>£) пусть стремится к нулю
при 6 —*0 для каждого фиксированного *??.
(Впримере ъ)п.к'§1 6V{a,e)—&*+&*-£)*
при X > Хо (£) и равен нулю при о? £ з?0 (-£) в
примере <Г) £гг(*,£)т-#*+{*-4.)л
при <*> гг и равен нулю при сс< -£- )•
29

Возмущенный оператор имеет ввд:
if--f \ [ufx)+£tf(x, V] Y4
Мы видели на цримерах а) - г) п- ** ** у что область
видимости зависит от параметра £ ж стремится к C-oo^vo)
цри £-*0.
Введем теперь общее определение области видимости.
Пусть 3?£ таково, что из №1 * ЭС& вытекает
11 У*(эс,S) IScC , причем где ее -
некоторая константа, не зависящая от £ .
Мы назовем область I&I * xt областью невидимости.
Константу d мы уточним ниже* Она зависит лишь от
невозмущенного оператора*
Областью видимости назовем область №\ $ -z~ *
а Ъ£=г ^ - радиусом видимости.
Область 2£ $ jx / £ ОГ£ - промежуточная меаду областью
видимости и областью невидимости. В соответствии со сказанным
выше, будем считать, что при iS $ \&\$xf нельвя обнару-
жить частицу в невозмущенном потенциальном поле с помощью
нашего прибора. Это значит, что величинами порядка
(I
г/М*<
doc
мы будем пренебрегать.
Как известно /33 /, если потенциал U(x) растет
30

Лк
как ОС , то при )<К\ -**> Ojxjr иметь место оценки:
где v-/i - некоторые константы.
Отсжща, поскольку ^ f
при ос ->оо 9 следует
lot f о i JLlxt\'
„ -ЛГУ-П J /ПГ-йгхЛ **
s< C£ e о ;
где С±уО - некоторые константы, не зависящие от £.
Бели величиной порядка ^ .
6YO = С ехр {-(J-сГ) JJal-u(*)\'dx}
о
мы можем пренебрегать, то изложенные выше интуитивные
соображения позволяют предполагать, что на нашу систему не
оказывает влияние та часть возмущающего потенциала £ У*(Ъ £) ,
которая лежит в области невидимости.
Разобьем потенциал 1Г(х, £) на сумму 1Г(Ъ €) и
V"(*,S): V(*yt)= &(*,€) +&{*,€),
где 1Л и 1Л имеют вид:
31

О при 1л| > *e (2.1)
Г*,£)- |
цри la: I **£
при \x\ Же
UidecTHOj vto
ps& теории возмущении сходится в том случае, когда возмущение
iV(x,£) по модулю не превосходит некоторой константы
£>0 , зависящей лишь от невозмущенного оператора. Эту
константу мы уточним в следующей лете.
2°. Более точное опрецелеиже рядиу*** уидммппт»
Демма I.I.
Пусть А и & - самосопряженные операторы в
гильбертовом цространстве Н * d, - расстояние от некоторой точкид
до остального спектра оператора А • Пусть II6 И $ з^? »
где б">с? • Тогда
1. В промежутке b={j«-jL ,f*+^}
спектр оператора А * о дискретен, причем размерность под-
пространства отвечающего проекционному оператору Ь л >
равна нулю, если /* принадлежит резольвентному множеству
оператора А , и равна его кратности, если /ч - собственное
значение оператора А •
2. Ряды теории возмущений (см. (0*6), (0.7) ),
определяющие собственные значения промежутка Л и собственные
функции, отвечающие им, для оператора А+£& сходятся цри
t*t .
Таким образом, собственные функции и собственные
значения оператора А +£ б при £*£ могут быть цредставле-
32

-i
вы в виде сходящихся рядов теории возмущений. Доказательство
Возьмем точку JH+&, где Of£<c£. Очевидно, что:
(2.2)
Как известно.
Следовательно,
при £ * i .
Для любого ограниченного оператора Т*
Следовательно, если ЦТЦ < i , то х'
Пусть С таково, что
Тогда оператор
х/ Действительно, если , то полагая
$*A4-f получим £ Ifh §A~'-f I* знач,п
33

по норме не превосходит единицы. Следовательно,
существует и ограничен. Следовательно, точки у^ + с при
принадлежат резольвентному множеству оператора А+ёВ.
Аналогично тому, как это делается в аналитическом
случае / &S I можно проинтегрировать формулу (2.2) вдоль
замкнутого контура, охватывающего точку J4* и принадлежащего
резольвентному множеству оператора А * & * •
Отсвда, аналогично / 6э / можно сделать вывод, что
внутри контура оператор А+ В имеет дискретные точки
спектра, причем размерность подпространства собственных
функций, соответствующих им, совпадает с кратностью точки /<- .
Отсвда следует также, см. / 6S /, что ряды теории
возмущений для собственных значений оператора А >
заключенных в круге с центром в точке ft* радиуса d /Z+V и
собственных функций, соответствующих им, сходятся. Лемма доказана.
Положим константу <* в определении области видимости
равной константе d/2+f: Тогда, поскольку в силу '2.1)
& I V(*, t)\*Z\VC3Ct,&\ * J?p > то рад теории юзмуще-
nft для собственных функций и собственных значений оператора
h +t1A(Xj£) будет сходиться.
3°. Основное утверждение.
Имеют место следующие предложения:
I) Оператор
34

где Г - окружность с центром в точке -4 радиуса **/£, i
имеет одво простое собственное значение ju(t) и
собственную функцию f(x, £) •
2) Пусть решение ^ уравнения
удовлетворяет неравенству
J№ \хых$ Се** , (2.з)
- ос ■*
.где 0^>0. С >й не зависят от £ . X - простое
to l
собственное значение оператора и ближайшее к и (или
любое из двух ближайших к л ).
Тогда будут выполнены соотношения
где rf *ft ) - С «/» Г- (Я -<Л>/ //X'- u(x)\ dx 1
о
Это утверждение является частным случаем теоремы, которая
будет доказана в гл. П. Поэтому мы его не будем специально до-
35

казывать, а лишь поясним его физический смысл.
Во-первых, условие (2.3) на решение *Y*A(x)
обуславливает такую нормировку ^ (х) , чтобы при £-*°о оно
не стремилось бы к со . Во-вторых, оно выделяет некоторый
класс решений, в который, в частности, включаются собственные
функции дискретного и непрерывного спектра существенно
самосопряженного оператора вида L + £ Wc^S) # доы> однако, не
л о
требуем существенной самосопряженности суммы L ^•^2Л{ос/€))
заменяя это условием (2.3). В противном случае даже задача
об ангармоническом осцилляторе не удовлетворяла бы условиям
теоремы.
Соотношения (2.4) и (2.5) означают следующее.
1. Если | А-М(£)\}(Г>0} причем (Г не зависит от £ ,
то вероятность найти частицу в радиусе видимости (т.е. в
области |сс| ^ tt ) столь мала, что не может быть обнаружена
прибором.
2. Если вероятность найти частицу на уровне X в
радиусе видимости больше (Г , не зависящего от 6 (т.е.
J \ty \*dx > d* > О > то со степенью точности прибора X
равно /<(£) , причем собственная функция Гл в радиусе
видимости выражается (с нашей степенью точности) рядом теории
возмущений. Таким образом, если в нашей задаче пренебрегать
величиной &(&) , то мы получим полное решение задачи
методом теории возмущений.
Удобнее сформулировать этот результат, заранее
отождествив все функции, разность между которыми не превосходит в(£)
36

Ведь наш прибор, по предположению, такие величины не различает.
Для этого рассмотрим пространство Ь±(Ь) функций от X ц
£ интегрируемых с квадратом по эс црИ -гг <^<7г и
непрерывных по £ и фактор-пространство в
котором отождествлен*! элементы, разность между которыми
принадлежит области определения оператора умножения на * / ^Ct) .
Равенство в этом фактор-цространстве будет обозначать значком
Is . Например, соотношение (2.5) тогда может быть
записано в виде ^
-ч
Гаким образом, задача об ангармоническом осцилляторе имеет
смысл лишь в фактор-пространстве О .
4°. Случай положительного возмущения.
Мы докажем во второй главе, что если V*(*,£>) >0 ,то
Ф (х) стремится к нулю вне области видимости быстрее, чем
Сехр/- U-wj-ZlA-udOl' dx}
о
Поэтому интегралы в левых частях неравенств (2.4),(2.5) в
этом случае можно брать от -оо go +oo . в этом случае,
очевидно, одной точке /<(€) отвечает не более одного
собственного значения уравнения
удовлетворяющего условиям (2.5).
Действительно, в противном случае мы имели бы
/tet-sitf'*- J fact -wwWt'twk*
IhUie
37

(2.6)
если \ и X два значения удовлетворяющих (2.S) при
одном и том же f*(l)*
Поскольку система функций tj рртонормирована, то
со
Отсвда и из (2.6)
что невозможно.
Неравенства (2.4), (2.5) ничего не говорят о том,
существует ли в интервале \°-&. $ Л £ Л + ъг точка спектра
возцущенного оператора ц + £ V*(x, О такая, что интеграл
по области видимости от квадрата собственной функции,
соответствующей ей, не стремился бы к нуля при £ —* О
Однако, в силу теоремы Реллиха (см. гл. 3 £2 п. 3е ) спект-
пА**в * *
ральные семейства Ь. л ~а* сильно сходятся при £.-90
ж Ьд . Здесь t . - ойектральное семейство
возмущенного оператора A+Zvy Ел - спектральное
семейство невозмущенного оператора А . Отсвда, обозначая
бужем иметь
■38 •

А + св А
(знак -> означает сильную сходимость (см. гл. 2, 5 I) )
Очевидно, что, поскольку в интервале А По условию
имеется точка спектра оператора А , то Ей ^ " г » эде
^° - нормированная собственная функция оператора А ,
отвечающая точке Л ° .
Следовательно, в силу теоремы Редлиха
Поскольку
А+св
l*/*7, 1*1*4 Ш*7, e-9<?
значит
€-90
J
(2.7)
У
\*\*\
Отсвда следует, что собственному значению А отвечает хотя
бы одна собственная функция ^ , такая, что л —* -А
при £ -»0 и
39

jltwl1**
-re '*
it стремится к нулю при £ -*0 • 6 противном случае
било бн:
г \ „А+ев а |А
J |£ f I **-*°
-ч е-*°
что невозможно в силу (2.7)
В результате ми доказали следствие из неравенств (2.4)
и (2.5).
Следствие. Пусть VC*/£) >0 , тогда каздому
собственному значению Л оператора L отвечает одно и
только одно собственное значение Л оператора L такое, что
имеют место соотношения:
. zt ттп
х ° * , ,
\\^г - CAU)iP(*,t)l doc * СеэсР{-аа-<гфГ- it(x)\dt)
Аналогичное следствие будет иметь место и для
многомерного аналога теоремн пункта 3° (см. гл. 2). Это усиливает рем
зультатн Титчмарма для этого случая.^J (С*.т*мн*4 Ut,iQ)
5 3. P^m^ff способность прибора.
Теперь предположим, что самосопряженный оператор
** <£> (ЗЛ)
в LX(R1) воамущается оператором Сё. JjTss£&
40

Если мы перейдем к р - представлению, т.е. совершим
преобразование Фурье, то мы получим
Таким образом мы приходим к уже рассмотренному выше случаю.
Радиус видимости в данном случае будет равен
consi
Вероятность пребывания частицы вблизи границы области видимо-
Р.-
VT (з.з)
• COnji
сти имеет порядок 0 (€ ^^ ) • Следовательно, в силу
сказанного в предыдущем пункте, именно с такой степенью
точности мы можем выразить в виде сходящегося ряда для f4(i)
сдвиг дискретных уравнений невозмущенного оператора А под
влиянием возмущения £ в.
Физическая интерпретация в данном случае заключается в
том, что наш прибор имеет ограниченную область видимости в
импульсном диапазоне, т.е. частицы, обладающие импульсом порядка
О \ Р/Г* ) > он не может обнаружить; ибо вероятность тот
го, что частицы обладают таким импульсом, равна 1/(6 J,
Но отскща немедленно следует, в силу принципа
неопределенности Гайзенберга, что прибор не может точно определить
координату частицы! Именно, если радиус видимости в диапазоне
импульсов имеет порядок tt , то дисперсия по координате
(или разрешающая способность прибора) имеет порядок v
Недействительно, если частица находится в точке <** , то
41

ее состояние имеет вид (Г(х~Хо) . но высокие частоты
(при !р|>1Р€1) разложения <Г(*~то) в интеграл Фурье
не могут быть обнаружены нашим прибором. Следовательно наш
прибор не может определить точно частицу в точке ХхОС0 .
Этот факт для некоторых конкретных экспериментов
можно интерпретировать еще следующим образом. Когда мы
говорим, что производим измерение в точке ос , то это значит,
что прибор мы "нацеливаем* на точку х . Однако, наш прибор,
вообще говоря, не произвел измерения точно в самой точке •£ ,
а возможно, измерял в некоторой близкой точке. На самом деле
прибор производит измерение в заданной точке <£ лишь с
некоторой вероятностью.
Плотность вероятности того, что прибор производит
измерение в точке х' <£ , как правило, симметрична и имеет
максимум в точке f - х .
Задача, связанная с возмущением линейного оператора,
как правило, допускает большой произвол в построении
разрешающей плотности j («*-?> б*) . Однозначно лишь
определяется порядок величины разрешающей способности <57 (см. гл.
5, лета 5.4). В приведенном примере, очевидно,
оо со
У(х-?, i/ч) = JP(rt,p)e'ipXdP Je^scf.r,)^
где РС*г,Р)~ любая гладкая функция равная единице с
х/ Эта трактовка носит несколько условный характер. Точная
физическая трактовка функции <У(х'-ffC) аналогична
трактовке собственной функции оператора координаты в
пространстве Кляйна-Гордона /86 /•
42

точностью до &( *-) при I P I < ^t и равная нулю с
точностью до при I pi > *zt - Полученная функция
<*j (Х- f •> *ht ) - есть "размазанная" <У- функция
ширины порядка */** ".
Предположим, что прибор измеряет некоторую величину {(*■)
Это значит, что мы задаем точку ос , однако, значение
j(x) » которое видает нам прибор, измерено на самом
деле в другой точке. Следовательно, среднее значение 7(*)
величины f(x) есть наилучшая информация, которую можно
получить об этой величине.
В нашем примере
j(X) - COntt J "ьСЦгР Hf) *f -
-C/Z't* ~°° (3.5)
Собственные функции j (x) возмущенного оператора,
цоторне мы измеряем, являются величинами, зависящими от £.
При каддом фиксированном £ мы производим измерение
с "разрешающей плотностью" ^/(x"fi^) "попадания"
в х и берем среднее значение
(3.6)
Регуляризованянй аналогично (3.6) ряд теории возмущений
дает нам с точностью до 0 (в **3) приближение
функции ifCXfl) и приближение тех точек спектра Jk
43

возмущенного оператора, для которых ^6*/£) не
стремится к нулю. Как следует из всего предыдущего, именно
величину f(x>£) и требуется определить физику.
Эти рассуждения непосредственно переносятся на
общий случай. Таким образом, если физик I) описывает
систему, которую он возмущает, т.е. нияет невозмущенное
уравнение (обладающее дискретным спектром),
2) определяет возмущение - т.е. пишет возмущенное
уравнение, 3) утверждает, что на его наблвдения такое возмущение
повлияет мало, то с помощью описанного метода регуляризации
теории возмущений можно количественно расчитать изменения в
результатах измерения физика и указать диапазон видимости и
разрешающую способность (т.е. дисперсию плотности
вероятности определения координаты) его прибора.
§ 4. Постановка задачи для произвольных
самосопряженных операторов
Понятия радиуса видимости и степени точности можно
обобщать на произвольнее самосопряженные операторы*
Рассмотрим в гильбертовом пространстве л
самосопряженный неограниченный, вообще говоря, оператор А
Пусть X - изолированная точка спектра оператора А
конечной кратности т9 oL - расстояние от Х° до
остального спектра.
Рассмотрим возмущенное уравнение вида:
где 5 - самосопряженный оператор, / (£,р) - огра-
44

ничейная функция при каждом фиксированном /* при
О $ 6, & £9 , а точка А расположена ближе к Л ,
чем к остальным точкам спектра оператора А • В этом
случае регуляризация будет заключаться в обрезании высоких
частот по оператору и .
Пусть \ft-\- f*-fe) - максимальная область, для
которой ^(е,/к) $-£— , где °(>0 .
(В частности, если /ft,o>& то fit) = TJ^JJ J *
Назовем ^ * J~^ - радиусом видимости в диапазоне В.
Предположим, что оператор Pi+lf(Z,&) самосопряжен и
^ - его обобщенная собственная функция, такая,что
функционал
существует для любого Я&Н и любого фиксированного
отрезка Д .
Тем самым определен элемент j € Н такой, что
По определению X _ С ^
Пусть у. нормирован но так, чтобы
где С (Л) - константа, не зависящая от £.
Определение. Семейство будем называть слабо
сходящемся к нулю в диапазоне оператора В , если £' <р(е)
сильно сходится к нулю при £ -* о в любом фиксированном
<б

интервале й
Нас будет интересовать случай, когда интервал d сам
зависит от £ &£ - l~^e, T£ J у и кроме того нам нужен
будет не только как сам факт сходимости к нулю выражения
II £ д *?(*-) " "Р15 1~*0 для некоторых функций $fcj
, но и оценка порядка малости этой величины.
Обозначим через f^j^ I &j * т, собственные значения
оператора
где Г - окружность с центром в точке X радиуса ^/|г.
Поскольку I Е й j*(t, &) по построению меньше чем г— ,
где <£ > 0 , то в силу леммы I I приведенные ряды
сходятся, а оператор ft является вполне непрерывным
самосопряженным оператором размерности м> (т.е. имеющий
всего flv собственных функций).
6 связи с изложенными выше результатами и
результатами U. 2 возникает следующая гипотеза. При высказанных
предположениях для какого-либо / (isj<m) справедливо
неравенство вида
где С некоторая константа не зависящая от £ •
<#6

ГЛАВА П. ПОВЕДЕНИЕ СОБСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ НА
БЕСКОНЕЧНОСТИ И ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ ДЛЯ
УРАВНЕНИЙ С ОПЕРАТОРНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ.
§ I. Некоторые сведения из теории операторов.
Мы будем рассматривать линейные операторы, вообще
говоря, неограниченные, действующие из некоторого банахова
пространства bt в другое банахово пространство в^ .
Таким образом, под линейным оператором А понимается функция
определенная на некотором линейном многообразии
со значениями в 8^ и удовлетворяющая условию
А (<* 1/, t/ щ j = * А («Л Vs A ftix)
Область значений оператора А > т.е. совокупность
{Аи; иеЪ(А)}
обозначим RCA). Оператор А называется непрерывным,
если из 11п -* 1С следует, что A #л -* А 1С .
Оператор А ограничен, если
supMnL<oo}
ti€D(A) Hill
величина Sup "Au " называется нормой оператора А
u&dU) "*"
и обозначается цди . Как известно, непрерывность
линейного оператора равносильна его ограниченности. Если опе-
47

ратор А непрерывен, то его можно продолжить по
непрерывности на замкнутое подпространство VCA) ,
рассмотрением которого (вместо всего &х ) можно при этом и
ограничиться. Таким образом, ограниченный линейный оператор
естественно считать определенным на всем пространстве.
Некоторое семейство операторов / А * } *ы будем
называть ограниченным в совокупности, если существует такая
константа .М , что
для 6r£x A ^ из рассматриваемого семейства.
Оператор А называется замкнутым, если из того, что
Хл -> U щ A V*->V следует, что U& Ь(А) и
AV-- V. Всякий ограниченный оператор замкнут, но, вообще
говоря, не наоборот.
Оператор А называется расширением оператора ** j
всли: д(А)с Ь(А)
и Аи=Аи для всех 11*Т>(А)
Ниже мы будем рассматривать, как правило, операторы
или замкнутые, или такие, для которых существуют замкнутые
расширения. Бели оператор А имеет замкнутые расширения,
то среди них существует наименьшее (т.е. имещее наименьшую
область определения), называемое а*ми»дш*Аи оператора А .
Мы обозначим его А .
Если область определения D (А) оператора А
всюду плотва в 84 , то существует однозначно определенный
48

оператор J\ , действующий из Ох в О, (звезда
означает сопряженное пространство) и удовлетворяющий условию
(A*,*)-(%A*t) <wfcsz )
для всех U € V (А)
Нетрудно проверить, что сопряженный оператор всегда
замкнут. Если оператор А таков, что из All=0 следует
4-= О , то на R.CA) определен обратный оператор
А'1 , область значений К С А'') которого есть
Ъ(А) .Из определения замкнутости оператора видно, что
А замкнут в том и только том случае, если замкнут А"' •
Замкнутый оператор Л , такой что 1 ограничен.
Пусть А линейный замкнутый оператор в гильбертовом
пространстве Н с плотной областью определения Ъ(А) •
Тогда существует г .*А т-i
ь*Ы+аа]
и является ограниченным самосопряженным положительным
оператором, причем
II 8 1н
Оператор А В также является ограниченным: |/ /| б I/ * i .
Области определения Ь(А4) и Ъ(А*А) операторов
А и А А плотны в Л . Оператор А
существует и равен А .
Ниже нам придется все время пользоваться понятием
сходящейся последовательности операторов. Можно определять
различные виды сходимости линейных операторов* Для нас будут
существенны следующие: Пусть [ An j - последовательность
19 49

ограниченных операторов. Говорят, что эта
последовательность сходится равномерно к оператору Л , если
\\Ап-А\\->о „р. п-*оо.
Последовательность { Ап J линейных операторов
(вообще говоря неограниченных), имеющих одну и ту хе
область определения D , называется сильно сходящейся на D
к оператору А , если для всякого V. € V
Наконец, последовательность называется сходяцей-
ся к А слабо, если для любой li^D последовательность
I AK U j слабо сходится к A U, . Иначе говоря, это
означает, что (An^JKf/) ~* (AtCj^p) для каждого
'U £ D и каждого (J/ € Е>л • Связь между этими тремя
типами сходимости можно изобразить схемой.
равномерная —* сильная —> слабая.
Лрименительно к линейным преобразованиям конечномерного
пространства все эти три типа сходимости означают одно и то хе.
Б бесконечномерном случае эти понятия различны.
Сформулируем, для удобства дальнейшего изложения,
известные результаты о сходящихся последовательностях линейных
операторов, на которые нам придется опираться ниже.
х) Теорема(Банах-Штейнгауз). Пусть / rin j -
ограниченная последовательность линейных операторов, действующих
из 8, в Вл , т.е. пусть I Ап II - M'Consi для всех гь
и пусть |) Ал *f- A fll^O для всех f , принадлежащих
некоторому всюду плотному в Ъг множеству. Тогда
ll/U-/4/!f-*o
50

длявсех /fe 6, и ММЛ-^
2) Если последовательность /л £ Е>± слабо сходится,
то последовательность / тл } ограничена^тТ//4"^
3) В рефлексивном банаховом пространстве всякая
ограниченная последовательность слабо компактна. C*1J
4) Если в банаховом пространстве /*. слабо сходится ж /,
а I/ /к II сходится tf (/ j- W , то ^ сильно
сходится к j* . &£]
5) Теорема Лебега. Если последовательность измеримых
функций T*(i) сходится почти всюду *■ ^(6) и
ограничена некоторой интегрируемой функцией, то J 'fn(i)d£
сходится U J f(t)di. [S6J
о
Ниже нам неоднократно придется рассматривать
операторы, действующие в пространстве функций со значениями в
некотором банаховом (в частности гильбертовом) пространстве.
Для нас существенны будут три варианта такой конструкции:
а) пусть Ъ± - банахово пространство и С(в<)
совокупность функций tL(t) со значениями в &х ,
определенных на отрезке L^j^J и непрерывных, т.е. таких, что
\иШ - и(±о)\\-*0 при t -* ip. В ССв,) определим
норму, положив
iuct)\\c(di) « sup llu(t)H6i
при этом C(6f) становится банаховым пространством.
Если T(t) (оfits), ограниченная полугруппа операторов в
bt , то ее можно рассматривать как оператор, отображающий
пространство их в пространство ccbj. cm
51

J
б) пусть Л - гильбертово пространство и LA[ff]
- непрерывная прямая сумма пространств изоморфных И • Это
означает, что LA[HJ есть совокупность функций h(& ,
со значениями в Н , измеримых в том смысле, что(A (t),t*0)
есть измеримая числовая функция при любом h0 £ Н и
удовлетворяющих условию:
// Ш) llH cti^oo
Если в LX[H] скалярное произведение элементов h(6) и §(£)
определить как
(Ш),?Ю) * J (h(t), $(*))„**
-00
ТО будет гильбертовым пространством, сепарабельным,
если сепарабельно Н .
Нам понадобится следующий факт: если h(i)y $(i)€ЬЛ£Н]
стремятся к нулю при -6 -**<*>
f то справедливо равенство:
Для доказательства этого равенства реализуем // в виде
пространства последовательностей \i . Тогда каждый элемент
из "lin] будет представлять собой последовательность
7 &м (t) } » где &n(t) - измеримые числовые функции и
£ J\a*(l)dt < со .
52

Скалярное произведение двух элементов а и £ из Ьл [Н]
запишется при этом в виде
П - OQ
Если все &*(£) и °*(i) стремятся к нулю при /zf / -?«>
представляют собой элементы из 1*Х[Н]
, то при каждом п
и следовательно
Z J*:сикм*i—z)**(*> Км**-
Пусть О - банахово пространство, и Lf(8)
совокупность функций и(Ь) со значениями в 6 ,
определенных на отрезке [О, S] и такиХэ ЧТо // 1C(i)ll^
интегрируема по i на [0,5].ъ Ь,(в) оцределим
норму, положив
при этом i*f(o) становится банаховым пространством.
Функции со значениями в 3 принадлежащие Lif(&)
называются функциями интегрируемыми по Бохнеру.
Множество двузначных {фикций фундаментально в L, СВ\
т.е. линейная оболочка этого множества плотна в Lt(6). ffij
£■1410
53

§ 2. Основной метод опенок решения.
Пример, Основную идею метода, с помощью которого
подучены оценки, мм изловим вначале на цростои примере.
Рассмотрим в Lxl H ] оператор
1-А& + ь-А(*,у)*гб(*,у,Ъ),
где линейный оператор 3 (х> У> -$} ) коммутирует с X
А ( *> %) - числовая фикция, \А (*,#) \ **
Предположим вначале, что L~ существует и ограничен:
It'i *м
Пусть U G Lx - решение уравнения
л
Очевидно, что, если Ф(^) кусочно дифференцируемая
функция, причем <р(х) Н*,у)=Оу то L(fu) =
~L(fu)-ip{=[L,<P]ic=A<pL и.
(квадратнее скобки означают коммутаторе
Следовательно:
Полагая
(р(ос) = I &-р* пр« *>?
( О при x*f
где U, любое целое, a s > £ ,
получим
54

f '« (2.1)
При M-l интегралы в правой части неравенства
сходятся. Из неравенстве следует сходимость интеграла, стоящего в
левой части. Предположим по индукции, что интеграл
J (ос- f) dx J к d#
с -ос
сходится» Из неравенства (2.1) будет следовать сходимость
J(oc-f) cfx f «Vy .
Отсюда следует, что, все интегралы в ^2.1) сходятся при
V = п, у где 1Ъ - любое положительное число.
Обозначим _
Тогда из неравенства (2.1) будет следовать
ф г?) *** ттг-г> £(*>
Это неравенство позволяет оценить интеграл
со со
jctx j и*-(х,у)°(</
при больших f .
Поскольку ft сколь угодно велико, то имеем:
55

где ^ -♦ О при п -*сю
Домножим обе части неравенства на т* и цроинтегриро-
вав от f до ос , мы придем к неравенству
Отсюда, учитывая, что $к (оо)вО получим:
9Jf)*e <?Jf0) (2.2)
Приведем цример в случае обыкновенного дифференциального
уравнения, когда оценка (2.2) достигается при с/1=о
Пусть L=£x+d. Тогда \\Ь~Ч<*
Пусть /.#=0 ДРИ ЯГ>Л > тогда при ^>л,
1л*се'х
Следовательно,
что и требовалось. «>
Из (2.2) следует оценка для J -ц d& , поскольку
f
56

Замечание I.
Нетрудно видеть, что от оператора о требуется лишь,
чтобы он коммунировал с *Р(&) . От оператора А
помимо этого требуется ограниченность. Следовательно, и может
быть матрицей, содержащей производные по всем аргументам,эа
исключением х , с любыми коэффициентами, зависящими от всех
переменных. Оператор А может быть матрицей с ограниченны
ми элементами, зависящими от всех переменных. Иначе говоря,
А(х) и 8W суть операторы в некотором
гильбертовом пространстве л , зависящие от # , как от
параметра. Будем обозначать норму f^H через К^"* .
Оператор L = А |зё + вфмы будем рассматривать в гильбертовом
пространстве Ьх [Ю функций от * с интегрируемым
квадратом со значениями в Я .
Если матрицы, то элемент fi^l/^1
будет столбцом hyf ив определение нормы войдет
также сумма по индексу V . Так что оценки (2.1) остаются
справедливыми для систем дифференциальных уравнений в частных
производных первого порядка по ос ,
Аналогичный метод можно применить в банаховых
пространствах.
Замечание 2.
При выводе формул (2.1) мы требовали существование и
7 -'
ограниченность и
57

Однако, если учесть, что $(х)**0 при х<^ , то
станет ясно, что достаточно потребовать существование и
ограниченность оператора Ь^ , где Lj - сужение
оператора Ь ' А А
Lf~L
на множестве функций, обращающихся в нуль при ос < f Cb^cL )
При этом норма обратного оператора будет
зависеть от f , и в неравенствах (2.1? вместо Л/
можно написать 4(f)-
Это замечание особенно будет важно, когда мы перейдем
к операторам вида
например» не имеющим обратного.
Здесь, если &(х)>0 при х>& f причем
В(х) >JV(f) при 3r>f}a> , то на функциях, равных
нулю при х*% , обратный оператор L <- будет
существовать, причем
\\ ц' I * "(f)
§ 3* Дифференциальное уравнение.второго порядка с
операторными коэффициентам*.
Изложенный метод мы применим для получения оценок
собственных функций самосопряженных операторов*
Рассмотрим пространство L^ (Ю функций f(x) со
58

значениями в некотором гильбертовом пространстве И •'
СО А)
Рассмотрим в самосопряженный оператор
вида
** (3.0)
где В (х) коммутирует с оператором умножения на <£
и удовлетворяет условию
J(BMf(*),f(*))&*sf№Cdx (s.i)
f Г /
при у-* *> и ^лг; * V(B(*)) (Я (в)
область определения оператора в J.
Теорема 2.1. [51, №)]
Цусть J - точка дискретного спектра оператора
L \ d< с* - расстояние от точки Л до предельно-
го спектра оператора L , а =<* -Ь . Каждая собствен-
л
ная функция ^(х) оператора L , отвечающая
собственному значению Л , удовлетворяет неравенству
f
(3.2)
где <Г У 0 - любое заданное число, C(f) ш константа,
зависящая от <f , a
и) ъ[о,*{а+(0^6л+О,Ьи) J (з.з)
59

и является точной константой х/ .
Следствие. Пусть ^(х^уё) - собственная
функция уравнения Шредингера - Д ^ * и №$*) т= J У*
и пусть ,
Oaf *f*,y,*J><*
ас-9 оо
Известно С$&1 > что для этого случая
\t(*>w\9''\t(p)\t*cf\t(Q)\''dQt (3.4)
где PQ - расстояние мекду точками Р ш Q ,
Из (3.2) и (3.4) следует
ОС-/ ~*°
где о) вырахаетсл формулой (3.3). Из этой оценки следует
оценка Э.Э.Шяоля / 8$ /, который еще в 1957 г. получил
и>~ fid
Замечание. Пусть Ц - числовая прямая} &(*)sU(x)*
при \х\-*оо. тогда a^a-^d и мы получим из
(3.3) л>* Лх . На самом деле в этом случав
njr (х) ^ б Таким образом, в этом примере зяач*-
х/ См. замечание,
60

вне константы ел) достигается.
Для доказательства теоремы нам нонадобится следую-»
тая леша.
Демма 2.1
^Пусть f(x) & THli) , причем $(*) = б
и Lf(x)~0 при ar*f.
Тогда для любого £ у° найдется ?е , не
зависящее от й и такое, что при f > ^
(d-t)tll(*)f<lLL-A]f(*)l'' (з>5)
Доказательство. Пусть Л — р - кратное
собственное значение, "У^ , i-l-,P - его собственные функция, а
T^j - остальные собственные функции оператора L
Докажем неравенство
\h-XUd-t
.ГJ. i- }\.'\tl'Ki\\
(3.6)
Обозначав i ~[L-b) $> л через R*
резольвенту оператора А в точке Л (на подпространстве
ортогональном ^' ; l = j,2,-,p), получив
6Г

»■*<'«« ^ ^-^х u-ZL;* J
Отсвда следует (3.6).
6 силу условия лемш имеем
f
f
Отсвда и из (3.6) следует неравенство
00
К*<*>■*«!*!*£ jit1 К'** \&-*>$1
Ы f
а.
\X<-\\*d-t
Отсвда при £ > f e
|^х>|% ofa)l^OA(t)}[L-Mit^l[L-}lg\f
Следовательно,
62

Ш
(d-Olfcnfb(*)$l*kl<-\)gi''
Обозначая Он [t) снова через £ , получи* утверждение
леммы 2.1.
Доказательство теорема. Пусть $&) - дважды
дифференцируемая функция, обращавшаяся в вуль цри x<f
Имеем
Очевидны тождества
z(ftf'r)=-([f<p']'r,t)
0'([f'ft,[L-A]t)—Uf1t'r,r')*
+([(5-*)]tf,ft)=
Из (3.8) следует в силу условия (3.1) при достаточно
большом f
-I f f If'- a frv Y,T') - * W У^1 f3-8)'
Иэ (3.5), <3.8)£«)a (3.7) следует
-kallf'tl3' (3-9)
63

Положим теперь *Р(Х)= (x~f) при х >f и
нулю при x<f По индукции из неравенства (3.9)
следует» что
00
существует прж любом п. . Неравенство (3.9) при
достаточно большом п. > п.^ прннжмает вид
Отсюда следует, что TCV удовлетворяет неравенству:
Корни характеристического многочлена, соответствующего
оператору, стоящему в левой части неравенства, имеют вид
J- —
<T ' $ =%«> (J-£i)
Обозначим ?(f) = ф" -f-ф =<p\ 1//Л<р
Тогда из (3.10) следует
V ° (3.II)
Умножив на 7 обе части неравенства (ЗЛХ) и
проинтегрировав с учетом, что 7(°°) -7С^^-О , получим
ви

Отсяща, поскольку ? (f) <0 » имеем
?{f)4 С е''П
т.е.
ф"*1{11ф*Се-гг- ,
<p"(f)>o, Ф(?) >о,
ШСТ]
и в силу того, что
имеет место неравенство
(3.12)
Поскольку
оО
J№!,<*** ФС1-1),
(3.13)
то отсюда получается неравенство
00
1
f
что и требовалось.
§ 4. Оператор первого порядка.
Изложенный метод может быть применен также для оценки
собственных функций самосопряженных операторов первого
порядка по х вида
doc
где |J А | ^ 1 j в частности для собственных функций ста-
dx (АЛ)
-141Q

ционарного уравнения Дирака х/ .
Пусть X - собственное значение, а Л1г - соответ-
ствупцая собственная функция оператора L , ^Y*J 6 £
и равна нулю при х< ^ , тогда
[ д £ + б^*) - л ] ^ </Y«; = А /1
В силу леммы 2.1 для достаточно большого f > f€
Аналогично предыдущему, полагая
$(x) = (x>-f) при * >f и нулю при oc<f
и Ф(?) -\\^^\\ > получим при достаточно большом
Г1>\ Ф" iktd-Zif ф
Аналогично (3.12) получим
Фб) * 4е
Отсада в силу (3.I3)
х/ Бели в уравнении Дирака £(07,{ОД коэффициенты не
зависят от i , то с помощью замены функции вида nJ^-S $
мы придем к стационарному уравнению Дирака для функции <р .
66

f
Нетрудно убедиться на примере обыкновенного
дифференциального оператора» что эта оценка достигается при £,-а
Итак доказана.
Теорема 2.2.
Для собственных функций оператора (4.1) справедлива
теорема 2.2» причем cD=d и является точной константой.
§ 5. Основная рренка для собственных функций-
Рассмотрим самосопряженный оператор вида
L=A(V£ * В(?,*), $A(?)i$i
коэффициенты которого зависят от некоторого параметра ^ .
Напомним, что если Q € hx (H) равно нулю при х<^
и L $ =0 при ос <f , то в силу леммы 2.1 для
заданного £ >0 существует такое ?£ , не зависящее
от Q , что при f Ъ fг выполняется неравенство:
(5.1)
А
Фиксируем £ для данного оператора L •
ъ If ?
Положим Хо =(fc) > где J - любое число»
больнее единицы. Совершим перенос начала координат в точку ^
Рассмотрим в новой системе координат -tj=x-oc00 функцию:
, и , при ***УХ
при у >?
67

Пусть f 5 «£> - ? i -> тогда из х < ft следует
ж*/-? , т.е. (*-a//>f* , значит у1??*
Следовательно, ^ftf,?) равна нулю при ^ < f£ .
Оператор А
L*A(i)£- Bit*)
в новой систеие координат будет иметь вид:
L-A<\)jk-bLbt**>r)
Пусть U()f) £ Н при любом If/I * х> ~ ?е
удовлетворяет уравнению:
Очевидно, что неравенство (5.1) будет справедливо для
Фзгнкции а = (p(yf f)u(y) , поскольку при X< ft
«•ем jf =о и If =0
Таким образом,
Ld-t)x IIfull1'tumuli
Обозначим ^
"f
Нетрудно убедиться, что
Положив -£ - О w , получим:
поскольку Ф >0 н £ £ 0
68

Отсвда, обозначав Q (i) снова через £ , получаем
Ф'ф" * k(d-£)* ФФ'
Проинтегрировав от нуля до £ , получим
жди
Прожнтегрировав ато неравенство от а. > 4 до f ,
получим
in Ш. >,%(d-£)(?■*)
ф(а)
Ф(0»е фса)
Поскольку
J Шу) Й q * itf-^lluw III dy
TO
при f < X, - f t ш получаем:
J HCf» К аУ * f Ф&> » f e ф{а)>
£l4» б9

-i
поскольку f * ^ с °' bJ ^
Переходя к координатам •£ и обозначая & & сн0_
ва через £ , подучим:
J NufrJl **f Сй(6>€)е Jltc(x)l\dx
Г
ПОЛОКИМ f = X0- f£ Т01ДО
J llujlM doc *qte,t)e \ШХЧ dxf
iC4Lt,t)b / \\U(x)\\ dx
4 * -f (5.2)
Константа С^ (в, L) » ч, 6£<£) £ не зависит от ^
Таким образом неравенство (5.2) справедливо цри любом
мы придем к следующему утверждению
JfrMMft х/ ?y2t
Пусть ^ - некоторый параметр, стремящийся к оо
х/ Й8 этой леммы легко устанавливается класс
единственности для уравнения (4.1). Именно, если U(*-)
удовлетворяет (4.1) И Г IUW9* c/X*C(t)e(du*)f > ТО U(X)SL^]
и справедлива оценка теоремы 2.2*
70

Пусть U(x)£ H при любом *
и при х<1 удовлетворяет уравнение
A(l)t£+b(4,x)u=Ju IA(?)h4d
Тогда для любого а >0 и £ >0 найдется такое
С (а, £) , что
lit-* ° (5*3)
Замети, что U(x) , вообще говоря, может я ве
принадлежать
§ 6. 9 гемм, ^етражтяой теории возмущений.
Докажем теперь две нужные для дальнейшего леммы (cjt OflfiSj)
Демма 2.3.
Пусть А - самосопряженный оператор с область»
определения ЪСА) , лежачей в гильбертовом пространстве #
и областью значений, лежащей там же.
Пусть р- - некоторая точка на вещественной црямой,
a d. - расстоянне от этой точки до спектра оператора А .
Тогда для любого $ ^ ® ^v справедливо неравенство
Доказательство
Бели точка /° принадлежит спектру оператора Л >то
<^=0 и неравенство (6.1) очевидно. Пусть точка Л*- не
71

принадлежит спектру оператора А . Тогда неравенство (6.1)
следует непосредственно из известного неравенства:
КА-гУЫ
(си. /6f/ ).
Действительно, обозначив 7я(А~/*)$ » получим
|| ft = | ГА-/* )'V I4 К4 -/;"!• М< £!№£№•№
что и требовалось.
Демм? 2Т4
Пусть До - некоторая изолированная точка
спектра самосопряженного оператора А •
Обозначим через М.д - весь оставшийся спектр
оператора А .
( Гл д - множество, равное
спектру 6^ , из которого выброшена одна точка \=ко ).
Пусть я(^ - расстояние от точи у*- до множества
Обозначим через Ру\0 - проекционный оператор на
подпространство собственных функций» соответствующих точке
V
Тогда для ^ справедливо неравенство
*л.1&-Ъ.)9П* KA-f)fl
12

Доказательство.
Ортогональное доподвенве к подпространству
собственных функций» соответствующих J о , инвариантно относите ль*
но оператора 1. Поэтому неравенство (6.1), написанное дяя
этого ортогонального дополнения, будет иметь вид
где j произвольны! элемевт из Я •
Поэтому, волоянв i * (А- ]*) $ , получим (поскольку Р>0
коммутирует с А )
§ 7. Теория врасту^»* о^пятрра первого порядка.
Пусть 11 - решевже уравнения
л
(7Л
удовлетворяющее условию J \\U IIИ "х * ^ £ ,
где С * С С£) не зависит от ^ , для любого
73

положительного £ » и пусть V(l,x)-0 при \х\<1
6L - расстояние от точи \ до цредедьного спектра
оператора Lo'
да fata.
i) J lull *C<0,i)e
тле a >0-
D^ Наждетсж там» собственное значение At
оператора L„ , что
х) . , C(D е"«'*г
С jii*h*z)
о
2) \\\U-Z[ JYu/Л i ^Jt I ^ * ^/^?
где dL - расстояние от точи /к. до остального
спектра^^ , L*dr-,f>- ортонормировании! базис
собственного подпространства оператора I/* , отвечающего
точке At .
74

Доказательство.
Очевидно, что при \х\ <£
Поэтому в силу оценки (5.3) и условия лемш дли достаточно
больших 1 выполняется неравенство
J$UllH dx *CCu,i)J Wti \lH dx-e
Отсюда и из (7.1) следует утверждение I) леммы 2.5
Возьмем функцию <р(х) > равную единице при \х I < VSL ,
равную нулю при | х \ >£ * а , а в промежутке ?/s .< |х/ * 111 * «
линейную: ip(x)m 4* £ ( t/*-x) •
В силу того, что <р(*)- 1Г(?,Х,)~0> a L U-^U}
Отсвда [£-j] (f(x)U-A(l)<P'(x)u-
Из деммн 2.3 абстрактной теории возмущений следует,
что найдется собственное эваченже /< оператора L0 >
такое, что , Ъ*\ ..г '>*■
,у ' Вертки» * j#o*|/
С (а,е) е с
о "
75

И кроме того из лешш 2.4 абстрактной теории возмущений
получим
II А , ,М| С(а.О -d('-£)l
Поскольку в силу теоремы 2.2
('РСх.) и, уг)- Т(*,ГГ)Н dx *Cd)ed(''l)z >
то отсвда следует утверждение лешш.
Рассмотрим теперь самосопряженный оператор
где ограниченный оператор в П и
непрерывный по Ъ . Пусть ("- - изолированная точка
спектра оператора
1(о)шА(ъ)£ + 3(г) ,
а &м - расстояние от уи- до остального спектра
оператора L (о).
( 0 при г >3ге ,
т.е. _
Тогда оператор L можно представить в виде
76

= 4,
Полагая в предмдущей лемме £ =
^(г/ 1 )s £ Vft,£) , мы выведем в силу лемм об
абстрактной теории возмущений следующую теорему.
Рассмотрим для этого пространство С непрерывных
функций от £, о££*£0 и отождествим те функции,
разность между которыми не превосходит 6"(£) = C>expi-d(S-cr)7z\'y
полученное фактор пространство обозначим через S .
Рассмотрим пространство функций из 1Л [Н ]
со значениями в
о . Равенство а • S
в этом
пространстве будем обозначать значком о.
Предположим» что оператор
= £
L(o) = A(v£ + 3N
самосопряжен в
LJH1 , а
Ъ . Оператор £ If (г, £)
стремится к нулю по норме И
Теорема 2.3
Пусть решение ^ уравнения
коммутирует с
коммутирует с ъ и
при любом фиксированном Ь ,
[
удовлетворяет условию
/
(7.1)
-ос
где сГ - любое, а С (Ю - константа, не зависящая от
£ , а ближайшая к X точка спектра оператора L (о)
есть собственное значение ас этого оператора ковеч-
77

ной кратности пг
Тогда
I) Оператор
r «"
где Г окружность с центром в точке J4- радиуса d/%
имеет -с *т различных собственных значений
f*c ~ fi^ £i94*/ -,£) * а сумма проекционных
операторов PCS) i = d,br~,£ на собственные
подпространства, отвечающие им, имеет размерность т. .
2) Выполняется соотношение
*£, € х
3) Найдется такое О £ l*£ , что будут
выполняться соотношения
-ге
Замечание I. Бели ближайшими к точке Л являются
А.
два собственных значения J4* и /^ оператора L(o)%
т.е. точка } находится посередине между Mi и
78

Замечание 2. Дня действительна! Л только решения,
удовлетворяющие условию (7.1^имеют физический сшсл.
Известно, что собственные функции непрерывного спектра
широкого класса дифференциальных операторов с частными
произведшими удовлетворяют этому условию.
Для дифференциального оператора второго порядка вида
(3.0), удовлетворяющего условиям теорем 2.1>будет
справедлива предыдущая теорема» если положить
&СО = гх<р{-(1-(Г)и)Ъ1} t аде "> определяется
формулой (3.3) .
Это утверждение доказывается аналогично предыдущей
теореме.
Кроме того, аналогично можно рассматривать случай» ковд
4 в формуле (3.1) зависит от I (ср*замечание 2 § 2 )•
Это будет иметь место* напршер» для уравнения Иредингер*
когда потенциал на бесконечности стремится к оо и
спектр чисто дисретный. Впрочем» в атом последнем случае
можно иснользовать оценки, полученные в работе Тозно Хато
"Свойства роста решений приведенного волнового уравнения с
переменным коэффициентом" (1959) (ем*сб»Иатенатнка« 1961,
5, * I, II5-I35).

ГЛАВА 3
СИЛЬНАЯ СХОДИМОСТЬ ОПЕРАТОРНЫХ УРАВНЕНИЙ.
§ I. Слабая сводимость решений. Рассмотрим следующую
задачу: пусть {Ла} - последовательность линейных
операторов, действующих из и1 в В л (где Bs и 3& -
банаховы пространства) и имеющих одну и ту же область
определения
Рассмотрим последовательность уравнений
и предположим, что как последовательность операторов
так и последовательность с ^ / правых частей уравнений
(I.I) сходятся, в том или ином смысле, к оператору Л и
элементу V соответственно. Рассмотрим, наряду с уравнениями
предельное уравнение
A*=V (1.2)
Спрашивается, какие условия должны быть наложены на
последовательность операторных уравнений (I.I) для того, чтобы
последовательность их решений {X* } сходилась (в том или
ином смысле) и решению предельного уравнения (1.2)
Установим сперва условия, при которых имеет место
слабая сходимость решений, а потом перейдем к условиям сильной
сходимости. При рассмотрении слабой сходимости .мы
ограничимся случаем операторов, действующих в гильбертовом
пространстве.
Теорема ЗлДУНПусть (JIJ - последовательность
линейных операторов в гильбертовом пространстве Н , имеющих
80

одну ж ту же область определения D , всвду плотную в И
ж пусть (Лн } сильно сходится ж А , a (in } -
последовательность элементов из Я » слабо сходящаяся к
j' . Еслж для последовательности уравнений
существует ограниченная последовательность 10СЛ } их
решений,то существует тажая последовательность /" J/'n }
решений предельного уравнения
A'-f-
что последовательность i<£/t~^* J слабо сходится ж
нулю.
Доказательство. Так как последовательность ? У-г I
ограничена, то из нее можно выбрать слабо сходящуюся
подпоследовательность I Я** }- Пусть V - предел это!
подпоследовательности* Покажем, что 1Г - решение
предельного уравнения (1.4). Действительно, для любого Q£ D
i
и, в то же время
откуда
(At,v)-(f.n (1.5)
W419
ах

для всех f 6 *D. Поскольку ^ вощу плотно в
Н , то fl.5) означает, что
A*r-f
Обозначим через Н* подцростравство всех решений
однородного уравнения А х=0 , а через #Л - его
ортогональное дополнение, и пусть Р1 и Рх -
проекционные операторы, отвечащие этим подпространствам. Подо-
*.-/J<v-*J (ьб)
КедннВ is элементов уп будет решевжен уравнены
(1.4); де1стмтельво:
А*ул = А* (**+**)= А* (Рл1г+р,хл) =
- л*л ^- л7я,* д; гл- лV-/ ал)
Поэтому для завершения доказательства теоремы остается
показать, что последовательность / ^л J слабо сходится
к нулю. Эта последовательность ограничена, т.к.
13, I* IX*l4ltTl ,
Cz*,x)=o (ь8)
а последовательность t **n j ограничена по условию.
Далее, т.к. дп 6 Нл , то для всех х& Ht э
82

Кроме того, если $ & Ъ э то A f€H , поэтому
(1.9)
для всякого $£ Ъ .Из (1.8) и (1.9) получаем, что
соотношение
( 2Л > U ) —* О при п-*оо (1.10) выполнено
для каждого и В H1 ® H (А).
Но ПСА) всщду плотно в ЯА » т.к. иначе в Яг
нашелся <fe ненулевой элемент у* , ортогональный И(А)
и мы имели бы для каждого X в Ъ.
о-(у., А*)-(А**,*)
откуда A tfo^O , т.е. ^9eh/t э что невозможно.
Итак, соотношение (1.10) выполнено на множестве,
замкнутая линейная оболочка которого есть всё Н . Отсвда
следует, что ограниченная последовательность { &*.}
действительно слабо сходится к нулю. Теорема доказана.
Замечание. Бели оператор А существует (т.е.
ур-ие А х=0 имеет лишь тривиальное решение), то
утверждение теоремы 3.1 можно сформулировать так: всякая
ограниченная последовательность i^ ) решений
уравнений (1.3) сходится к решению предельного уравнения (1.9)
Более того, если А ~ существует, то теорема 3.1
имеет место и для операторов, действующих из одного бана-
83

хова пространства в другое, поскольку единственный пункт
проведенного выше доказательства, использующий гильберто-
вость пространства Н - это возможность представить его
в виде суммы подпространств #* и Нл .
. Следствие I. Предположим, что выполнены условия
теоремы 3.1 и, кроме того, fan^n -ОС*,)-*О Тогда
Действительно,
(У*-**, Ук-ъ)-*(у*,¥н-зь)-сул,г*)-(у;вл)^о
поскольку ^« - V € Н\ ортогонально £«.
Пример. Рассмотрим задачу
ucjr=of «*(*,#) **>o, (1Л1)
Д - оператор Лапласа, Г - гладкий контур, t/€&/,2fS?J
Si область, ограниченная Г .
Докажем, что Ut (х, у) слабо сходится при £ -* о х.
7(х, Ю / и1 (■*•> У) в области Si .
Очевидно, что сопряженный оператор Le сходится
цри £ -> О к оператору умножения на ^ (х, у)
Ддя применения теоремы 3.1 остается доказать ограниченность
84

Умножим (I.II) на (d + Sin * j£ ) и и проинтегрируем
но х, у ё £2. Проинтегрировав по часта!, получив
Si si
=JJ 7ut (i+sinxf) Jxdy*I ?(£+ s,-n**)liivcti(C№m
Si
Следовательно,
Jf Ab-U^dxcty 4 С ЦТII Well ,
значит * Ц-UtlltT t?11'
что и требовалось*
5 2. Условия dflnf^ ^9Дмдоста ранений. Перейдем
теперь к установлению у слови!, при которнх последовательность
решений уравнений вщда (Ы) сходится к решению предельного
уравнения (1*2) не только слабо, но и сильно. Так как
решение уравнения вщда
- ато обращение оператора А , то нам удобнее будет
сформулировать и доказать соответствузднй результат не в терминах
уравнений, а в терминах обратных операторов. Здесь мы
рассмотрим общий случай операторов, действующих из одного бана-
ховского пространства в другое.
1° . Теорема о сиямпй гтпди^ости решений.
Пусть { Л п. } - последовательность линейных
операторов, действующих из банахова пространства Вх в банахово
#■1419
85

пространство Вх и шщп одну и ту жа область
определения Ъ у ж пусть А - оператор, действущжй же Вх в
3А * имеющий ту же область определения Z) ж такой, что
Ау^^^АпЯ для всех деЪ
Операторы ( /ц j мм предположим допускающими заихну-
тне расширения. Заниханже (т.е. наименьшее замкнутое расми-
ранне) оператора А * обозначим А * Справедлива
следующая
Теорема 3.2 ДУ,Д>7
Цусть последовательность I Аш } существует и
ограничена в совокупности:
Тогда
I) Существует обратный оператор А~ >
ограниченный на множестве ПСА) » где R(A) - замыкание
области определения оператора А'*-
2> А'1* j=Um A~n'/}
где /е >ег^;
Доказательство х' . Для доказательства существования
А' достаточно доказать,что уравнение Afc=0 имеет
единственное решение % -О
х/ Ср. гл. 5, § I /Теорема 5.1J.
86

Итак, допустим, что А % -О , где ^ G Т) (А )
Оценим If % Я •
Имеем, в силу условия теоремы
следовательно, |/Д ^ // ^ IIAfolhS^S
при /г > Л£ .
Отсвда и в силу ограниченности { Ап }
II fc // - /M~X fc // * //.О М* ^ //*еС
Так как В - любое, то У f0 l-о и ?0=0.
2) Докажем сначала, что £cm А'п /»уГ'/ для
46 R(A).
to «ее. A"fuV(A)C ЪСА*) (fe*(A)).
Следовательно, ^л ^"'/ определен для всех
^б RCA).
Построим последовательность
K = An(Al-A-')f=J-AnA-'f
В силу того, что Anf~* Aff для f=A~'fGT)(A)
получаем |/ £*, И-*0 при п-*оо
Для любого /ё A4i4J имеем
что и доказывает сходимость Ак ж А на R,(A).
Отсвда по теореме Банаха-Штейнгауза 2d д~'
сходится к j4"' на ПСА) ж jj А'' II * С
87

2°. Примеры.
Пример I.
Рассмотрим краевую задачу.
Н-о Ы Ч*о „ (2.1)
ибо 1l\ 'О , лжбо ]\и\Ых<сс
' —ОС
н будем изучать поведение решения при £ -* о .
(К этому случаю сводится задача об асимптотическом
поведении решения уравнения Клейна-Гордона-Фока при 6 -+ °°
В уравнении (2Л) для этого надо сделать замену ?* Т
и положить ¥(*, Ъ,1)ш Ф Л*, f)
а. Чтобы понять, как макет вестж себя решение уравнения
(2.1) при £~>Q , рассмотрим частный случай:
обыкновенное дифференциальное уравнение:
cUr
и начальные условия
Бел ?(£) мепрернвно ди$феревцаруемая функцта,
то его решеняе Ut (t) может быть представлено в мде
с € t о
= W)- ?(o)cos f-f ?'(Т) cos if-df
88

следовательно, если
сходимость Ut (t) к Mi) при £ ->о будет
сильная £ Lz , если же Ф(о)Фо , то сходимость
будет слабая,
б. Обратимся теперь к общему уравнению (2*1)
Рассмотрим его в пространстве Ьл функций от
х (либо в области, ограниченной Г , если и/п =0 ,
либо, если // и II sf/ul dx <оо во всвм бесконечном
пространстве)
Цусть Lu = ?(*,*)
Умножим (2.1) скалнрно на ~ . Имеем
iuiff /'*/ £ "«" V « "«'-«*«#
Проинтегрировав по Ь , получим, в силу условий
ЧТО ± jr
Проинтегрировав еще раз по £ от нуля до I получим
i 4 ±
89

0
(2.2)
следовательно, *
а значит, i ^ •
существует, если только J v г(х/*)\\ d* существует.
Пусть существует Jim*)*** , т.е. 7
принадлежит банахову пространству W с нормой
0 d f
Тогда, проинтегрировав J dt JC&te/i), lrr)cLt
О о
по частям, получим из (2.1)
J О о Ot
z/fiimoiild£ yj tu и* d£+yfug/fa /E
'„ О ' С it с
Отсюда
90

Следовательно, оператор Le » действулщий жэ W в
гжльбертово пространство Lx функций от ос, Ь
с нормой
lui-ijutf**
о
равномерно ограничен при 8 -*о
Предельный оператор имеет вид
По теореме 3.3 Ut сильно сходится к 2Л , если цравая
часть принадлежит Область
состоит из дважды дифференцируемых по 6} функций, об-
ращаздихся в нуль при £ кО вместе со своими первн-
ми производными. Замыкание ЯСЬ*) в пространстве W
сохраняет одно начальное условие
?(*,о)-0.
Таким образом в общем случае уравнения (2.1) так же
как и в примере а) , если правая часть принадлежит R,(L%
и обращается в нуль при 6=0 , то J\Ше-ЫИ d-6
о
сходится к нулю. Это можно доказать ж в случае, когда
правая часть зависит от £ и сильно сходится ъ W к
некоторой функции % при £ -* О.
91

Предположим теперь, что правая часть 7 fa, £)£W,
но J (x> °) ^ °- Докажем, что в этом случае для любой
функции <р(-6) с интегрируемым на /0,l7 квадратом
j\\tp(b)(Ut-V)dL\l -*0
о .
т.е. осуществляется смешанная сходимость - слабая по с и
сильная по & .
Для доказательства умножим ур-ие (2.1) на дважды
дифференцируемую функцию ф(Ъ) , обращающуюся в нуль вместе со
своей производной на концах отрезка /0,1/ и
проинтегрируем иго по £
i
J <P(i) 9(x96)dt-e/WQ \& dt + L°J<P(t)u*£=
= i $ f(t)ucL6+L °f(p(6)ud£
о ° (2.4)
Поскольку в саду (2.3)
1 г* ; '
tlJf Ь) udt I til iifcvfdi In I ^ s
** о
при t-*o > а оператор (L } существует
и ограничен, как обратный к эллиптическому оператору L
(см. предыдущий пример), то из (2.4) вытекает равенство
J ip(t) ut dt - {L'fjW 7fa6)d£ = -e{L *y*jfb) Xe *&
о о °
Отсвда поскольку
92

meem Hjf(i)[UB-r]dit-*o w, £ -*o
Поскольку множество {\tlt-V^\j ограничены в ' j ,
то это соотношение будет выполнено по замыканию для
всех fW с интегрируемым квадратом, что и требовалось.
3°. Теорема Реллиха (новое доказательство).
Сейчас мы указам одно применение теоремы 3.2 к
спектральной теории самосопряженных операторов, а именно
получим из нее, с помощью элементарных рассуждений,
следующую теорему Реллиха./ЭД$£7,/Х47
Теорема 3.3 (Редлих)» Пусть IAnj -
последовательность самосопряженных операторов, действующих в
гильбертовом пространстве И и сходящихся к
самосопряженному оператору А в том смысле, что А есть замыкание
оператора Jkm, Ал • Если \Fх } и / Е\ 1 -
спектральные семейства, отвечающие Ал и А соот-
Г(п) п
ветственно, то £, сильно сходятся при /?->«> к Е .
х/ 9-fa 6) должно быть достаточно гладким,
чтобы
U(ocft)G Ъ [-Д + С ]
93

в кадкой точке Л , не принадлежащей точечному спектру
оператора А.
Доказательство элементарно в том случае, когда
последовательность операторов (Ап) равномерно
ограничена по норме. Действительно, в этом случае можно, не
ограничивая общности считать, что fl А* II * i
Для любого многочлена P(t).
P(AJ - PC A)
С помощью теорема Вейернтрасса это соотношение переносится
на любые функции, непрернвние на отрезке [~i, ^ 1
Возьмем, в частности функцию
£ при 6>,о
О при £ *0
Соответствующей функцией от оператора А будет
Е0А
Таким образом получаем:
В0 А*-* Ее А
Отсвда следует, что
Действительно, для любого /£# имеем:
*l(A-AJfhlEc?A*f'E.Afl ~>o
№ - J
94

Если вухь ве есть собствеввое звачевже оператора А , то
R (А) всвду плотжо в Я в ва &(А) определен
обратив! оператор А' (вообще говоря, неограниченный).
Для всякого / £ £ (А) в сиу (2.5) имеем:
так как Я (А) всвду плотва в Я , то соотвожевве
наполняется для всех /€•// , т.е. ^ -*^.Есля те-
верь Д - произвольная точка, ве являвшаяся ообственвнм зва-
чеввем оператора Л , то достаточво те же рассуждения
применить к оператору [А-Л) в мы получим, что £ -+ £j .№*
Тажвм образом, идя раввомерво ограниченной
последовательности inKj теорема доказана. Рассмотрим теперь
общий случай. Из условия
следует, что
An±i->Ati (ваТ>)
Операторн ±
1Алн]
существуй* в в раввомерво ограничены (норма каждого из ввх
$1 ). В силу теоремы 3.3
95

Аналогично
И следовательно
A** An-i A?** A* + d
т.к. проекционные операторы £Q и £ftt) , отвечайте
операторам ^4Л и /4 » совпадают с соответствующими
операторами, отвечающими
U
Ахн At + d
то общий случай теоремы Реллиха сводится, с помощью
теоремы § 2 к уже рассмотренному частному случаю ограниченной
последовательности операторов.
4°. Переход от дискретного спектра к непрерывному х'
В этом пункте мы будем рассматривать последовательность
самосопряженных операторов Ак с дискретным спектром с
общей всвду плотной областью определения и в пространстве
Ьд , сходящихся к самосопряженному оператору А с
непрерывным спектром: А есть замыкание оператора
х/ Этот пункт требует специальных знаний в области
спектральной теории операторов и может быть выпущен при
чтении* Достаточно прочесть приведенный здесь пример.
96

-Urn An. » определенного ё Ъ . Обозначения:
"* Q(d)(dsiry порождающий базис для оператора А э
Рх и Е(^ - спектральные функции операторов А и
rot
A ^ ? / " основная функция по Шварцу; f -
проекция на подпространство, порождаемое векторами Fj $ (сС\
Предположим, что оператор А удовлетворяет
условиям теоремы Гельфавда и Костючевко и, следовательно, О&Аи
имеет обобщенные собственные функции - определенные как
функционалы вида
сС(Ел^\^) (2.6)
Теорема 3,4 t5t* ft) J
Предположим, что функционалы (2.6) непрерывно
зависят от j\ , тогда существует бесконечное число
последовательностей /V) собственных значений
операторов А* , сходящихся к данному X , таких, что
соответствующие им последовательности собственных функций,
нормированных определенным образом, будут сходиться как
функционалы на основных функциях к обобщенным собственным функциям
оператора А.
Доказательство теоремы будет состоять из
доказательства двух лею*. Предварительно введем определения
7-1419
97

ОПРЕДЕЛЕНИЕ I. Если » ТО /п
* п. -* ао
сходится к f в среднем с переменной мерой /<п .
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Если для любых f и S найдется
И/г^ такое, что для всех гг>^в,^ переменная мера
/**, множества, на котором //« -//><^ будет меньше £ ,
то 7*- сходится к ^ по переменной мере Ль .
Лемма 3.1 <i Пусть /*, сходится в среднем с
переменной мерой Д * 1: ]{{-£»>} dfn-to, тогда /п.
сходится * / по переменной мере у*«, .
Нам нужно доказать, что для любых f >o и £ >0
найдется •^(/v , такое, что при каждом п>,А/е<г
переменная мера /*к множества, на котором / /л -/ / >, <Р
будет меньше I .
Предположим, что это утверждение неверно, т.е.
предположим, что существуют такие сГ>0 и 6 >о и такая
подпоследовательность / /л к J* » что / т*к ~ f I будет
оставаться больше (Р на некоторой последовательности множеств
оп^ > иерн которых у"** остаются больше £ .
Это приврдит к неравенству
Оно противоречиво» поскольку его левая часть
стремится по условию к нулю при г> .—
Лемма доказана.
Если J*n,(*) -+!*(*) (/*л(*) " ueV* интервала
98

А для всех Л % уи _ мера Лебега» ffe) -
непрерывная функция» то из леммы вытекает, что для всякого <Г<>
существует бесконечное множество последовательностей
точек роста монотонной функции J4* С-°°* *)> i** } , ^п -»«**<>,
для которых Тл(х*>) ~* fi(*o) . в самом деле, пусть
заданы <Г, л и целое число Р . По лемме можно выбрать Л^
таким, что цри * > мА, f число точек роста монотонной
функции />* (-°°>х) у находящихся в интервале /л ~л} *о'а}
и удовлетворяющих условию
будет больше р . Выберем Л таким, чтобы
l/fao-Д)- f б*"©'*) | было бы меньшее ^Л • Тогда в
условии (2.7) можно заменить *f(x*) на /A*j , а <Г
на <2<Г .
Лймр^ з.Т- Пусть обобщенные собственные функции
оператора А, понимаемые в смысле Гельфанда и Костюченко /}2jS) /
dCb*".*"). (i)
непрерывно зависят от Л .
Тогда обобщенные собственные функции операторов Ал
сходятся в среднем по переменной спектральной мере к
обобщенной собственной функции оператора А. .
99

Доказательство:
Рассмотрим внражение
<п\<*) j(+h ч^
U(B>i«,**«) а(£ГГ\Г)
, л*; j ы)
(2.8)
Первне два члена в правой части равенства (2*8)
стремятся соответственно к ЫЫ\ fi4>) и l(il*\fW)
л/с -1
силу того, что **< £* ff ,/—/нецрерывно зависит от Л
по условию, а Е*** с*)-*£ °У^ по теореме Редлиха
Остается доказать, что последний член сходится к (/ ,fj.
Пусть задано t >0 .
По охфеделению 4М и £(*' при ^>^i найдутся
такие йс >0 , что
100

Г'-ZCCF*; ^'<*
Отсвда, поскольку при n >n0
следует, что
Последний член в (2.8) есть квадрат цроехщш /на
подпространство, порождаемое векторами вида £^ tf ^
* при всех J •
Следовательно, .
Теорема доказана.
Отсвда и, из лемж! следует, что, если спектр А^
дискретный и условия теоремы I выполнены, то для каждой
1418
101

обобщенной собственной функции оператора А} отвечающей
данному -Л , найдется бесконечно много
последовательностей (А) собственных значений операторов А^ ,
сходящихся к Л , таким, что соответствующая им
последовательности собственных функций, рассматриваемых как функ-
ционалы на 7 , будет сходиться к этой обобщенной
собственной функции*
Цример.#/,07
Рассмотрим уравнение Щредингера для частицы с одной
степенью свободы и потенциальной энергией и(х)
£&'*(*-*(*)) У*-О м
Каждая из его собственных функций характеризует некоторое
стационарное состоящие частицы, отвечающей даннощу уровню
энергии*
Мы будем рассматривать тот случай, когда и(*)
представляет собой потенциальную яму общего вида, т.е.
предположим, что и(х) непрерывна и имеет конечное число
максимумов и минимумов и ti(-eo)= и(оо) » +оо
Отсюда следует, что для всех Л , за исключением
конечного числа значений, отвечающих экстремумам гс(*)
выражение Л - и(х) имеет четное число простых иудей. Спектр
дифференциального уравнения при указанных ограничениях на
и(эс) является чисто точечным. Положив в уравнении "
AeO s мы получим вместо дифференциального оператора
102

Ail ^ - u(*)
оператор умножения на функцию - и(х) т этот последний
имеет непрерывный спектр, его собственные функции,
соответствующие данному Л , суть * - функции (и их
линейные комбинации), сосредоточеннне в тех точках, где J-XteJ
обращаются в нуль. Число корней уравнения tt(&)-^ =0
есть кратность этого спектра в точке Л
Пусть Л*. - собственное значение уравнения такое,
что функция ti(x)-^it имеет Я* нулей ось...,хлк у
а собственные функции уравнения (2.9) нормированы к
единице о,
-ех?
тогда ЛЛ будет удовлетворять одному из уравнений:
{Щ WK-uC*) dx=TT(*+i) + 0(к)
**Н jmir:.,t (2.I0)
причем собственная функция, соответствующая ЛК ,
удовлетворяющему I -му уравнению (2.10) и
неудовлетворяющему ни одному другому уравнению (2.10) с точностью до
0(h) , будет экспоненциально стремиться к нулю при
к-* О вне отрезка ОСлс -i ~<* sz s л^£ +ct,
103

где <& - сколь угодно малая, не зависящая от ^
величина* Обозначим последовательность таких собственных
значений через < Л* J , а последовательность
соответствующих им собственных функций через { Уи } .
Обозначим подпоследовательность собственных значений
последовательности ( А } » сходящуюся при к-* о к некоторому
фиксированному числу Л % * .\() \ » а соответст-
вующую им последовательность собственных функций через
1 У'*./ J • ^^ Функции Л-tffc) , между которыми
лежит I -ни минимум функции ^ ^ , обозначим через
Xil-l И ХЦ
Предположим» что собственные функции уравнения (2.9)
нормированы к *-Ш . т.е. выбраны так» что
Тогда последовательность собственных функций в пределе
для четных п>К удовлетворяет соотношению
&** J У и V(x) dX т Г==¥==> ~Ju'/x'. ? >
104

а для нечетных Я* удовлетворяет соотномевию:
где ^х) - любая функция, интегрируемая на всей
прямой, с непрерывной первой производной*
Таким образом, получается следующая картина поведения
собственных функций и собственных значений оператора (2.9)
цри к-*о .
Все собственные функции и соответствующие им
собственные значения могут быть классифицированы по отдельным
минимумам ("впадинам") потенциальной энергии tlCx) (так как
каждая собственная функция стремится к нулю вне одной из
этих впадин), а внутри каждой впадины собственные функции
можно разбить на два класса: к одному отвести собственные ж
собственные значения с нечётным *" , приводящие при к-*0
к образованию суммы f - функций, взятых в точках поворота;
к другому - с четным *г , приводящие к образованию
разности f - функций • Такое расщепление собственных функций на
различные классы и объясняет то, каким образом простой
спектр оператора (3) в пределе переходит в кратный спектр
овератора умножения на и>(&) m
Высказанные в этом примере утверждения можно легко
проверить, если воспользоваться асимптотикой собственных
IC&

функций одномерного уравнения Шреджнгера данной в части 2.
Этот пример показывает, что приведенная впив теорема не
может быть улучшена в некотором смысле* Мюнно, нельзя
ожидать, что в общем случае лвбая последовательность
собственных функций» определенным образом нормированная, будет
сходиться в обобщенном смысле и обобщенной собственной
функции предельного оператора. Поэтому можно говорить лишь
о том, что найдутся подпоследовательности сходящиеся в
обобщенном смысле к данной обобщенной собственной функции
предельного оператора*
5°. Регуляризация по Тихонову для некоторых
некорректных задач.
I* Весьма широкий класс задач на решение операторного
уравнения
где 1 отображает топологическую группу ^ ? ™*л не
является корректным, в том смысле что, если Un-* tc B
с^х , то решения ^* уравнений
Tzn = и*
не сходятся в ^ы к 2 •
Введенное А.Н.Тихоновым понятие корректности
позволило М.М.Лаврентьеву разработать ряд методов решения
"корректных* по Тихонову задач, которые изложены в его известной
монографии / 4£ /. А.Н.Тихонов ввел общее понятие регуляри-
зуемости некорректных задач и доказал регуляризуемость для
106

широкого класса задач в том числе и для нелинейных
интегральных уравнений. Специальные методы регуляризации
А.Н.Тихонова оказались, кроме того» весьма эффективным для
решения конкретных задач на вычислительной машине.
Регуляризация в некорректных задачах заключается в
том, что неограниченный обратный оператор Я » Т7"
заменяется последовательностью ограниченных. Мы приведем
в качестве примера доказательство следующего предложения,
относящееся к регуляризации ^нулевого порядка" по
А.Н.Тихонову m&v/.
Теорема 3.5
Пусть ft замкнутое линейное преобразование с
областью определения Ъ(&) плотной в гильбертовом
пространстве • -, .-•'-' < -я ,*. Н .
Тогда задача Ки*? &еН регуляризуема по
Тихонову, а оператор ^_^
(черта означает замнкание) является регулдазируищим. Это
означает, что ддя любого £ >0 наждется <^(^^) такое,
что из неравенства '#- # Ч^^ при сР<сГ(£,*)
будет следовать неравенство // Я^ и - Ъ I < С
Доказательство. Из поставленных условий следует,что
существуют операторы Я и Я , причем R =Я » а
107

область определения R плотна ъ Я , а операторы
всщу определены и ограничены единицей, оператор RR
самосопряжен, положительно оцределен и имеет плотную область
определения (см. § I гл. 2). Поскольку d-кГЯЯ -*d на
, плотной ъ Н , то из теоремы 3.2 следует,
что &<г сильно сходится к I на всех элементах Н
-'Л *
Очевидно, что п/-=е Cj* , поэтому
Теперь перейдем к доказательству высказанного
утверждения.
Пусть I и- и II<r f Нам надо доказать, что
ktu - ? -*0 при сР -*0
Имеем
= R,(u-u)+(er-£)*.
Отовда
•>м < -'/* (2Л1)
поскольку

Теорема доказана.
2. Следствие.
цусть ге ЪСЧ*) , т.е. ve Ъ(Я*Я)>
тогда
Действительно;
Отсща и из (2 .II) вытекает утверждение следствия.
Если R • Т , то ми
имеем
Rt -[*+ гТЧ т'Г'Т'т4 -\(т*ту£ (г*г+г)]*г*~
Полагая, что и £ Ъ (Т ) % ш получим */ для
определения 2> уравнение
х/ 6 противном случае можно взять U & ЪСТ*) и
такое, что I* - % II * *
109

Если оператор R, удовлетворяет условию
1
цри \<Г\~* о по некоторой кривой в комплексной
плоскости сГ , то полагая
Я--Л 7 '
1 //Г K
мы получим все результаты предыдущей теоремы. При этом
если шбЪСК.) , т.е. U6 Ж**) , то
Если К * Т , то
/1ST 1 «Я
Таким образом, ?<г находится из уравнения
Этот последний способ регуляризации есть частный случай
"специальной11 регуляризации А.Н.Ткховова (т.н.
■регуляризация нулевого порядка*).
ПО

S 3. Ради теорий возмущений для обратного оператора.
Докажем теперь теорему относительно разложены в ряд
теоркх возмущений обратного оператора*
Теорема 3.6. Пусть лннейнве операторы А ж 3 не
банахова пространства 6 в банахово пространство 3
удовлетворяют следущт условиям. I) Замыкание A +tE>
существует; 2) область ЪСА+ib) плотна в В
3)
Д = l£m.(A+tb)
Z*o
4) оператор [А+£&]'*
5) существуют элементы
ограничен равномерно при
Л*1,Лг..,л
(3.1)
Тогда справедливо соотношение:
-i - *
Доказательство*
Заметим вначале» что поскольку tv элементов вкда (3.1)
существуют, то ("-4 ) первых элементов принадлежат
Ъ(А) и Ь(В) , а» следовательно» ж
р^/1^8; С ЪСА*£в)
Докажем тождество
(yF5j"V*A"Z HABAV'f *(ATdy'f-eABA"ft
III

Действительно, подействовав ва обе его часта оператором
А + £& (это возможно в силу сделанного выше
замечания)» получим
Поскольку оператор существует и
ограничен, то тем самым тождество доказано.
Имеем
\СА+1ауЧ-А"кс-*)лел1влу*л.
= 1кЦСА + ее>Г-А-1) (e/J'VVI
По предположению
А"СВА")Я*
существует, т.е»
Следовательно в силу теоремы 3.2
Ц1АТаГ**А"}(ВА-Г*1-о
ПРИ £-*0
Отсвда следует утверждение теоремы.
112

ГДАРА4
ВОЗМУЩЕНИЯ ОДНОПАРАМЕТРИЧЕСШ ПОЛУГРУПП
ОПЕРАТОРОВ И ЭВОЛЮЦИОННЫХ
УРАВНЕНИЙ.
§ I. Введение.
I. В этой главе ш будем рассматривать однопараметри-
ческие полугруппы операторов
определенные в некотором банаховом пространстве В и
удовлетворявшие следующим условиям:
1) ограниченность:
" *t I * М дрИ o*6*S
(постоянная * зависит, вообще говоря, от S );
2) сильная непрерывность, т.е.
ПРИ £ ~+0
для всех i , включая iaO,
При этих условиях предел
(здесь X - единичный оператор, а цредел понимается в
смысле сильной сходимости операторов) существует и представляет
собой замкнутый оператор, имепщий всвду плотную в 3 область
-1419
из

определения х' . Он называется производящим оператором
полугруппы 1\ .
Нас будет интересовать связь между сходимостью
производящих операторов и сходимостью отвечающих этим
операторам полугруппы. Для того, чтобы сана постановка такого
вопроса имела определенный смысл нужно предварительно
установить» что полугруппа Т± однозначно восстанавливается по
своему производящему оператору А . Если оператор А
ограничен» то это непосредственно ясно т.к. тогда
Т.-Е
"-* At
*4--е
П.О "• (1Л)
где ряд сходится цри всех т£ . Если же оператор А
неограничен» то ряа (I.I) непосредственного смысла не имеет; тем не
менее» полугруппа ^ ограниченная и сильно непрерывная,
восстанавливается по А однозначно. Существует несколько
явных Формул, выражающих Tt через А $ например,
Tt-^(I-±A)
-X
ИЛИ
%
к
п-*со
'-*СО
еА»<>
коммутируют между собой
i
где А^ ограничены
Жт,Ап*А
П.-90О
х/ CM^Hanp./^/Zf/.
114

Сводка такого рода формул имеется, например, в княге
ЭЛидле и Р.Фклнппса I ЬН / f tlil • Обобщение
эти формул дано в п. 2° § 4.
Полугруппы операторов, действующ! в банаховом
пространстве, тесно свяэанн с дифференциальными уравнениями
с операторными коэффициентами. Если А - производящий
оператор ограниченной сильно непрерывной полугруппы 7].
, то функция
со значениями в В удовлетворяет дифференциальному
уравнению
#-"
в том смысле, что
t
врж I-*о.
Мн расоютри tone odwe ур&эвеше гада
** (1.2)
где неизвестное иСЬ) - элемент комплексного банахова
пространства В , зависящий от действительного параметра 4 »
*чп**тл элемент 3, А(Ь) . заданный, вообще
говоря, неограниченный, зависящий от £ , линейный оператор
в Ъ .
115

Если оператор A(i) не зависит от i , а ?тО ,
то решение уравнения (4.2) формально дается форцулой
С U (о) » где и(о)еЬ . Строгое определение и свойство
такой экспанентн дается в теории полугрупп. В теории
полугрупп найдены необходимые и достаточнее условия, которые
нужно наложить на ивфинитизимальннй оператор А с всюду
плотной областью определения для того, чтобы полугруппа
7^=£ была сильно непрерывна* Нужно, чтобы
существовали вещественные числа и> и М , такие, чтобы все Х>и)
принадлежали бы резольвентному множеству оператора А и
CI.3)
(си. / IS / теорема Хилле - Филлипса-Иосида).
Мы обобщим это условие (как достаточное, но не
необходимое! ) на случай, когда оператор А зависит от I .
В дальнейшем нам понадобится менее общее необходимое
условие: если полугруппа Ть ~£ ограничена единицей, то
при всех положительных £ оператор (J-&A) определен
вешу в В и ограничен единицей*
§ 2. Основная опенка решений эволюционного уравнения*
Введем следующее определение*
Будем говорить, что оператор A(t) в & обладает
свойством Р , если выполнены следующие условия:
I) оператор А замкнут и имеет плотную область
определения Ъ САШ) с 5
116

2) Существует число <*> , такое что все Л >">
принадлежат резольвентному множеству оператора А(£)
3) Функция [AW-A J ''к , где J>">, b-e&>
интегрируема по Бохнеру.
4) Существует положительное число М такое, что для
любого разбиения S * £/ > £t * • •• * ** *0
Лемма 4,1
Пусть Я(£) обладает свойством Я . Пусть и(Ь)~
векоторая нецрерывная функция параметра £ со значениями
в Ъ САШ) с 6 ж такаЯэ что функщш €^L и
Уб£) * з£ ~ AWU интегрируемы по Бохнеру;
Тогда имеет место неравенство
s
Пах 1иш16 4 Me^iluWlt+JlW^dl},
otttS о (2.1)
где Сл>4 >">.
Следствие I. В предположениях леммы решение и (6)
уравнения (1.2) однозначно определяется начальным значением
и(о) ж правой частЫо ?(&)•
В случае 7(£)жО ж M9i эта теорема является
следствием теоремы Т.Като / 3^ i) /. Метод, излагаемый ниже,
отличается от метода Т.Като и примыкает к методам Иосида
/65/ и Эллиота /891/. О теоремах единственности см. также /16/9
ЛМ) /.
£-1419
117

Доказательство I.
Введем следующие обозначения:
Обозначим через С (В) пространство непрерывных
функций, заданных на[о*4*$] со значениями в В.
Норму в этсм пространстве введем еле душим образом:
{ ' o*t*s
biCb) - банахово пространство абсолютно интегрируемых
, (интегрируемых по Бохнеру) функций, со значениями в В.
Норму определим следущим образом:
f(t) & k (В) №1Ш -JWVh dh
Далее» обозначим через ^f ® * банахово пространство
пар функций: {%+}* , тле f£&, fW6bf(B) со сле-
дущей нормой: s
Обозначим через и оператор, которнй переводит элемент is
С О, В) в элемент из L® о (будем обозначать ето действие
следующим образом: Ь е &6>~*Ь, (8)& В) .
Причем, если U(t) * b<L) С C(S)f
то Lu ={ v.(.o), <£* ~А(ь)и }.
Таким образом область определения оператора L равна
пересечению областей определения операторов
II8

sL еС(в)-+ Lt(6) и. A(t)GCCB)-*Lf(e)
cte
Введен следугаие операторы
Оператор - ограничен. Действительно,
атаакак 1[А-АЮУЛЛ<]& , то
Положим раз и вавсагда сГ * j~j" , тогда
lire*)!****
Оператор Of(t) также ограничен, т.к.
_ Хг(Я . Л
" «г *г
Следомяюшю,
Из теорем 3.2 следует, что 1{-(У~** цра <^-*0
«а ТКА(*Жв ,азмте Bf(i)-*AWn Ъ(Ш)С*
Обозаачш, даме, через Lf(i) & С (В) -* Lt® &
оператор, де>ствупвй следушш образом:
ва им с Ъ(£)С ССв)
119

(sL в С (В) -> L<(&))
у at
Докажем, что Lf~*L в смысле нормы Л,® 5 на
b(L)cCCB).
По определению:
L,(I) ud) ш{и(о),4±-3,(6) и }
L (I) 11(6) ' { U(O), S£-A(t)tl} (2.2)
Внчкая одно равенство as другого и беря нормы, получки:
\L, и- Lul -1{о, в,*-Л*}| - ftifo(V-A«M*
Докажем» что этот интеграл стремится к 0 при cF-*0
Выражение, стоящее под интегралом как доказывалось выше
стремится к нулю при сГ->0 . Остается доказать (см.
§ I, гл. 2), что это выражение ограничено интегрируемой
функцией. Но А (Ь) - &*(*) в
-U-I,M]Afrh
Итак как Ц,| s 2M , то (/ ±-Is(h)\\ £ 2M+1
и, следовательно,
IU -1,ш] Аш «wile ((т н)\\ АШ u(t) He
Поскольку иШ 6t>(L)CV(A (i)),
где A(i) & С (в) -» L, (в) , то \АШ u(i)\\B
интегрируема. По теореме Остуда можем утверждать, что
120

ори сГ-+0
Итак Lf-+L в. Lf@B на T)(L) С С(в)
Докажем, что оператора l^ ё /,, ©5 -* ССв)
ограничеим в совокупности, т.е.
s
они * (2'8)
Это и будет означать, что I Ьр И *(*
Для доказательства '2.3) рассмотрим задачу:
42$£-b,LW,(*)-nn (2.4)
■и,(о) - U0 -$
Сделаем замену -^=6 2Л Задача (2.4)
перешшется в виде
Учмтывая, что &r(t)+■£ * f If (t) »<5удем
<%-$1,Ш*-Ше*
(2.5)
Докажем, что решение этого уравнения можно зашсать в
виде ряда:
121

со Ь 6f *~*
rtso о о о
£ * i г 7 г
(2.6)
Нетрудно убедиться, что формальная подстановка (2.6) в
(2.5) действительно обращает уравненме (2.5) в тождество.
Остается доказать, что ряд (2.6) н ряд из производнкх от
его членов по Ь сходятся.
В сажу условия 4)
II Г *' *""
<HW l?CT)l& (2.7)
[1- r«>]V
Аналогично (2.7) ,
Отсюда следует, что ряд (2.6) сходится, причем
1гг

*«о ° ( £ о
* J е ^! У1Л)^•• 7 '-ZV f^j зг«d^i <
0 Г Г
<
-Яе """/mi. fe"('-~>|?«|,л.
Аналогично доказывается сходимость ряда из производных.
Таким образом действительно ряд (2.6) удовлетворяет уравнению
(2.5) Единственность этого решения следует из интегрального
уравнения:
* Т/<Г *
О О
соответствующего (2.5) и доказывается методом сжатых
отображений.
Теперь получим требуемую оценку для ^//£J
Вспоминая, что /U^(t)-e vCl) можем записать:
123

+ Jlftt)t ое-ti e "* /им,* / I9(V)IB at)
(2.8)
Возьмем ty >u>. тогда вря всех достаточно малых <f"
cA > -—-— . Учтивая это, можем записать:
О
Так как выражение, стоящее в правой части последнего
неравенства от ■ не зависит, то эта же оценка будет
справедлива и для Л
Итак, имеем оценку:
т.е. мы получили, что Ц# \\ ( М в '
Таким образом, операторы L р и L удовлетворяют
всем условиям теоремы 3.2 об обратных операторах, на
основании которой мы можем утверждать, что Яьъ L^ = /, *
124

существует ж ограничен той же величиной,
итак» решевже задачи
которая соответствует L и* fa, ^Шх% единственно и
имеет место оценка (2.1). Лемма доказана.
S 3. Теория возмущений эволшжоняого уравнения.
1°. Абстрактная теорема.
Теорема 4.1, Пусть АН) osi*i0 семейство оператора
ив банахова пространства В в В1 с общей плотной в В
областью определения 0 •
Пусть
![£-<№]" l*i (А)
для всех £ ж I <£0 • Рассяотрвм последовательность
таких семейств Ак Li) » удовлетворяющую условию
i
J l[AM-A(i)]f(t)l&-*o
п^°° (3.1)
на некотором плотном в С (В) множестве Ц<
дифференцируемых в Lt(8) функций $(6) .
Тогда ремение ilKCb) уравнения
удовлетворяющее усаовл» tU(o) ж у*.
125

где f
3.2)
сходится ешно в б равномерно по ^ к решения и(6)
задачи
Lult)-9(Q *«>)=?>
если таковое существует, где ^ есть замыкание
оператора d. -А(6) у заданного на множестве 7)t .
ДокЕзугрдьотрр.
Рассмотрим операторы LK и L из С(В) в Lf® 5
Из условия (3.1) следует, что последовательность tLKy
сходится к оператору /,.
Поскольку из леммы 4.1 следует, что / Ln 1^1
то в силу теоремы 3.2 мы получаем утверждение.
2°, Пример из теории диДФерендиалышх уравнений.
Рассмотрим задачу
cx(oc,t) Ц
- непрерывная функция 'Un(o)= о, <Г>0
?K(*,€)eCCl>t).
126

Очевидно» что ддя дважды дифференцируемой по д: и I раз
дифференцируемой по Ь функции Vfat) имеет место
О
ПрИ п —¥ оо
Кроме того,
оператор Ъ t й удовлетворяет условию (Л)
Все условия теоремы 4.1 выполнены следовательно решение
и^(6>эс) сходится в среднем по ^ и равномерно по
i при о * £ * £ к функции
о
?(х,г)т £т 9л(*,г).
где
§ 4. Теория возмущений полугрупп операторов*
1°. Основная лемма.
Пусть А(£) однопараметрическое (о& 6*S)
семейство операторов из бавахова пространства 3 в себя с
общей плотной в 5 областью определения Ъс &•
Пусть A(t) зависит от параметра i непрерывно»т.е.
£ст. AW 9- А(Ъ)?
для всех f вЪ (WI
127

Пусть далее 7М - некоторая интегрируемая по Бохнеру
функция ^ со значениями в & .
Рассмотрим уравнение
fifc - Л ^ * « 9(b)
dt ЛС (4.1)
От решения этого уравнения 1С С 6) потребуем, чтобы это
была непрерыввая функция £ со значениями в банаховом
пространстве о , удовлетворящая нулевому начальному условию
и(о)£в
(4.2)
Иначе говоря мы рассмотрим оператор Ь
из банахова пространства С (В) непрерывных функций
ff(b) со значениями в 3 в банахово пространство
y = Z,,(fej©5 ввда
Классическим решением Utb) мы будем называть функцию
и(£) , принадлежащую пересечению •« (\ Ъ и
удовлетворяющую уравнению (4.1) и начальному условию
(4.2). Решением U(t) уравнения (4.1) будем называть
функцию ui-b) э если существует последовательность
['U^(t) J классических решений уравнений
Сходявдхс» в С (В) к U№) » т.е.
Maz$U(*)-UK(6)lB —О
128

соответствующие правые части которых при этом сходятся
в L1(3) начальные условия сходятся в 3 • ^« (°) """* и(°)
Будем говорить, что оператор A(i) удовлетворяет
условию (Р), если
1) Afa) коммутирует с A(ix) при всех
2) Оператор 4-tA(-t) существует, ограничен единицей,
и определен всюду.
Если А(-Ь) удовлетворяет условию , то будем
обозначать A(t)eP.
Известно, нто при этих условиях, если *#* и
f(b) &Ъ , то классическое решение уравнения (4.1)
существует С34,1)7*
Лемма 4.2. Цусть A*(t), А(*) s СР) ,
Ъ - некоторая область плотная в & , и цусть выполняются
соотношения:
О
S
Sl[i-tAK(t)]'it-[i-€A(*)]'ifl6d* -О (4.5)
при /i -**o д1я всех ^ £ 5 и при любом
фиксированном В0 >S ?o » тогда последовательность решений
9-1419 129

U^Ci) задачи
сходится к решению V. (Ь) задачи
<ЦШ -A(t)u(i)=?(i)
11(о)-f
равномерно по ^ , т.е.
Max W-u^CD-uCDl^o
при ft ~~9 °° •
Доказательство:
Из условия леммы следует, что Тп£ (t) - (i- £ А* (&))
сходится в Li (В) к J£ (4) = (£-£ А(6)J'*
Следовательно, и Впг =Ак T„t =£(4-I*t) сходится к
Ьг * A Tt = £(4- It) на всех элементах L; (В) (т.е.
сильно в Li (В)).
Отсвда, поскольку С (в) С Lf (в) , следует, что
операторы Lt из С (В) в V ™
вида
сходятся к оператору Lt из С(В) в 7 вида
130

на множестве дифференцируемых в Ь^В) функций,
принадлежащих С (в) (т.е. непрерывных функций, производная от
которых принадлежит Ь1 (в)) . это и есть область
определения оператора иг в цространстве С (В) . По
формуле (2.1)
If А/" Л"
Следовательно, на области значений оператора Lt ,
которая совпадает с V имеем в силу теоремы 8.2
ЦРИ П -*сЪ.
Иначе говоря, для <Г>0 найдется п^<р(1) такое,что
при л > Я^ <р{£) для любого элемента (f6 V будет
выполняться неравенство
Кроме того, как уже доказывалось в лемме 4.1
при 6 £ £сГ •
131

Как известно, множество двуэначннх функцв!
фундаментально (т.е. яшейяая оболочка вх плотна) в Ь^(6) /см.гл.
2, § I/
Пусть *-{№?)
Пусть j-Lb) - двузначная фующщя со значениями в D
а
при
Рассмотрим оператор ц (л) $ C(S)-fVw»
LM*Ct)-1tU4,ffS . AK(t)u}i V. овмии
Il?V if, taMWlt. m) -*.-«*
Отсвда следует, что Vm и #* принадлежат
Имеем
* Sne (i) U»t} - / 9 /"4* ^ "Л ^ *^е j =
=1°, [B„t (i)-An(i)] }exP[(J gnl (x)cfx)]#t)dt}*
о Z
132

ПОЭТОМУ , i
lLCK)(unt-и)\\ <J 1е + [В+ю-АМ*(*>№*
о
о
О
поскольку в (2.1) в данном случае полагаем M=4.f ">=0
Следовательно, s
J| L^CUn-ujba*s Jdiji&UV-AnCt)]/wle^«
о О о
J о
о
<sJlllbt<*)-i]AKWf,lBdi +
о
+ sflLl*tW-d]Ajt)6.l*<U
(4.8)
Рассмотрим отдельно
о
где т €■ D .
Имеем
fl£l418 133

0
s s cu
tJt[I„Ci)-i][A*M- Mi)} iU di 'JUt* ш]т\
о
Дервнй член правой яаств неравенства не превосходит
о
я, следовательно, при * > V может бнть сделан
меньше (Г (т.к. Ал(*)-+А(*) ).
Следовательно, при п ж^
y*f+jni.t(Q'i]A(t)fUM
о
Оценим второй член.
Пусть f(t) конечно эвачная функция, такая что
flfM-AwHa*"'
О
я пусть она принимая значанне
при ifi * Ь * t. K4t •
Возьмем 7* £ Ъ такое, чтобн
Положив tfii)*** Щ» -к* *£*£**! , будем
иметь
134

Следовательно,
Инеем
о
1 s
о
S
*f9[Lt(i)~j][Af-?,(t)]dt'
0
(4.9)
+
(4.10)
Заметим, что
Следовательно,
i [IMtv-d] 1,0) hefAbCV ыь)I
Отсвда » ci*y (4Л0)
< 5
y<<r+sijl AWi- 7,(i)№+eJlA*a)7,(e)H6*
135

о
л.
Следовательно, при п >nj и £ £ £^ =
о
flAM^C*)!*
g*k<r+z<rs
Отсвда следует в смлу '4.8)
s
о
Поскольку iLlt J H^l f то при ^>n<r у £s£!r
Max \unt~uK I . tftf* (zTj" / ^<4<-«jj*
S
о
т,е. при К >1f и £ s £^
Следовательно в силу (4.6) и (4.7) при /? >п^ и
л > л^ #•) » г»е ^ - '/run / £^ £j^
136

имеем
О*. US
Поскольку f любое наперед заданное, то отсвда следует,
что
П+оо (4.II)
для любой двузначной функции Я*) со значениями
в Ъ • Поскольку D плотно 8 , то для любой
двузначной функции $(£) со значениями ъ 8 и £>0
найдется двузначная функция fC*) со значениаш в и ,
такая что s
J/№)-#*) l& <e
о
Следовательно, поскольку множество двузначных функций
фундаментальное в LiC&) , то и множество двузначных функций со
137

значениями О фундаментально в
Соотношение (4.II) будет очевидно иметь место на линейном
многообразии натянутом на это множество, т.е. на
некотором плотном в L[&) множестве. Поскольку//(Л у II**
для всех 1 , то по теореме Банаха-Штейнгауза (см. гл.2
§ I) соотношение '4.II) будет выполняться для всех
7(6) 6 L (3)
Пусть, наконец, {$-*.>$*№)} последовательность,
сходящаяся в V к {$, 7[-Ь)}
Шеей
О
Отсвда и из (4.II) следует окончательно
4« Махк1^{Ш!*}-(Гг'{?т}11'<>
Лемма доказана.
2°. Обобщение теоремы Хилде.
Теорема 4.2. Пусть Т(6) - сильно непрерывная
полугруппа, удовлетворяющая условию
(4.12)
138

и А - ее производящий оператор. Пусть, далее (Ап}-
последовательность операторов, сходящихся на общей
плотной области определения Ъ , причем А = &т А*
и тоже удовлетворяпиих условию Р. 2) Тогда (£- daJ: )
m/j\ л
при а~*#> сильно сходится к г(Ь) навеем в .
Доказательство.
Рассмотрим элемент
илш(1-Ь±)~*ъ (п.еЪ)
и составим дифференциальное уравнение, которому
удовлетворяет ил . это будет уравнение в банаховом
пространстве Ь.
вида ilb - f/- 4ij »я ^ =С7 *>Л*; (4.13)
cLt ft
В силу условия Р 2) оператор (У- ^^)
существует на всем 5 и ограничен единицей, поэтому нз
теоремы 3.2 следует, что
Поэтому для Q 6 Ъ
К*- а-°±у'а„г*А<К'-¥)"л-М
+
5
■9 +
при
п-*оо
139

Значит, оператор (l- <Llz) £^-*J{
Поскольку в силу (2.1) //£^*//*i % *о (<*• § I)
|[*-^Г^ *i , а значит
Таким образом, условия леммы 4.2 для задачи (4.13)
выполнены. Отсща следует, что решение Un(6) уравнения
(4.13) сходится к решению uCt) задачи
Z£=Au u(o) = u0 ,
что и требовалось.
Заметим, что в случае, когда операторы А*
ограничены теорема 4.2 была доказана Хилле.
3°. Сходимость производящих операторов и сходимость
полугрупп*
Пусть An, сходятся к А, на плотной области 7),
а последовательность \(1-Е.Ап) j ограничена I,
определена выщу и сходится сильно к (1-1 А) для
любого 10 Ы>0 • Тогда qa^ сходятся
сильно к € м.
Доказательство теоремы непосредственно следует из леммы
4.2,если положить в лемме Ал(Ь) = Ак } А(£) ХА}
7W-o, fr-f.
Из теоремы 4.3 вытекает следующее утверждение.
140

Пусть
ft"} (***,*>") и {%}-
- сиьво вецрермвпе полугруппы линейных операторов в
с производящими операторами An. (п**,*,— ) и А
Если |/ 7\"° I * 1 , а Д - является ешшсавием
оператора
&т Ал(Т>(&п>Ал)-Ъ(Аь)),
то \Т.(,к)} сильно сходится к 7^ при а-+со ъ
равномерно относительно Ь в интервале о * 6 * S
Действительно, (см. гл. I § 2)
нз |Т4"*|«1 <тяшьч»Ш-£Ал1"1<1
Поэтому из теоремн 3.2 следует, что (£-tA*S —*(d-tA)
при всех £ >0 • Условия теоремн 4.3 выполнены.
Утверждение доказано.
Пример. Рассмотрим задачу
Dt 1>зс
, (4.14)
в классе непрерывных функций от £ при О * £ * d
с интегрируемым по ос, у квадратом в области,
ограниченной контуром Г .
Обозначим
W

{
Операторы —.—у- ,г. огранжченн единицей (см. § S
d-AkCt)
п. 2°). Кроне того, как известно, решение задачи
при к-* О сходится к решению вадачи
Значит в сижу теоремы 4.3 решение уравнения (4.14)
сходится равномерно по Ь и сильно в -"а к решению уравнения:
It дх .
ш

ГЛАВА 5. СЛАБАЯ СХОДИМОСТЬ ОПЕРАТОРОВ
§ I. Теорема о сходимости гомоморфизмов в
топологических группах.
В начале напомним некоторые определения теории
топологических групп.
Множество £- элементов называется группой, если в G-
установлена операция, ставящая в соответствие каждой паре
элементов л> * из & некоторый элемент с из & ,
так что выполнены формулированные ниже условия I, 2, 3,
называемые групповыми аксиомами. Операция эта по большей части
называется умножением, и результат ее обозначается через
аё>, С = аь (произведение &6 может зависеть от
порядка сомножителей л ж о г а в , вообще говоря, не равно
U ).
1) Ассоциативность: для всяких трех элементов ^Дс
из & выполнено соотношение (Qo)C **&(оС)
2) в Lr имеется левая единица, общая для всех
элементов группы, т.е. такой элемент в , что ect=ct для
всякого элемента а из G- .
3) Для всякого элемента & из G- существует левый
обратный элемент, т.е. такой элемент #" , что а~'а=е.
Если А и 3 - два подмножества груяйщ G- , то через
^43 обозначим подмножество, составленное из всех элементов
вида <ху , где а:бА} %£ В. Через А
обозначим подмножество, составленное из всех элементов вида &ш1 ,
143

где ocGA. При натуральном пъ подмножество А
определим индуктивно, считая, что А -А и А^'^А^А .
Подмножество А определим, положив А""**(А~Ут.
Пользуясь установленными обозначениями, можно составить
произведение произвольного числа подмножеств, возведенных
в произвольные целые степени. В дальнейшем мы иногда не
будем делать различия между множеством, содержащим один
элемент, и самим этим элементом, поэтому для нас имеет теперь
смысл обозначение A i , где А С & , ё € G- •
Отметим, что если А не пусто, то
A&-ZA-Q
Ае-еА-А
Множество Н элементов некоторой группы ^ называется
подгруппой или делителем группы & , если Н есть группа
а силу того же эакона перемножения, который имеет место в &•.
Отображение $> группы & в группу G- называется
гомоморфным отображением или гомоморфизмом, если оно
сохраняет операцию умножения, т.е. если
для всяких двух элементов х и у из G- . Множество $ (в*)
всех элементов группы G- , отображающихся в единицу в *
группы Ь при гомоморфизме Q , называется даром
гомоморфизма Я .
144

Множество ft элементов какого-либо рода навиваете*
топологическим пространством, если каждому множеству М але-
ментов пространства It поставлено в соответствие
множество М , называемое занижением множества М , так что
выполнены следующие условия:
1) если М. содержит только один элемент & , то МЛМ.
или, что то же, л -л .
2) если М и И/ суть два множества элементов
пространства И ,то Л (/ м*М М/т.е. замыкание суммы равно
сумме замыканий;
3) М ж М , т.е. дважды примененная операция
замывания дает тот же результат, что ж операция замыкания
примененная один раз.
Множество / элементов топологического
пространства /2 называется заикнутш, если F * Р. Множество G-
элементов из ft называется открытым или областью, если
Я \ G- есть замкнутое множество.
Множество & пространства ft навевается вевду
плотным, если £ - £
Система 2 облаете! пространства Ai называется
базисом пространства £ , если всякая непустая область ив
R> может быть получена как суша некоторого множества
областей, входящих в £ . Базис Z пространства К иначе
называется полной системой окрестностей пространства А, ,
и каждая область системы Z - окрестностью всякой точки,
содержащейся в этой области.
10-1418
145

Система U окрестностей точки cl называется
базисом в точке cl иди полной системой окрестностей точки &>,
если для каждой области & , содержащей точку & ,
найдется такая окрестность U £ Z , что U С G- . Зада-
ние полной системы окрестностей в пространстве К дает
возможность однозначно определить операцию замыкания в этом
пространстве•
Отображение j топологического цространства It на
топологическое пространство R- называется гомеоморфным
или топологическим, если оно I) взаимно однозначно и 2)
сохраняет операцию замыкания: для всякого АК #
Легко видеть, что если отображение f гоиеоморфно,
то обратное ему отображение / также гомеоморфно. Два
топологических пространства Я ж ft называются гомеоморф-
ними, если одно из них можно гемеоморфво отобразить на
другое.
Отображение $ топологического пространства £ в
топологическое пространство а называется непрерывным,
если для всякого множества М С И выполнено соотношение
$(М)С (ТВ)
Множество G- называется топологической группой,
если:
1) Ь~ есть группа
2) G- есть топологическое пространство
3) Групповые операции, имеющиеся в 6- , непрерывны
в топологическом пространстве Ь- • Более полно требование
это формулируется так:
146

а) Если cl и 6 суть два элемента множества (?- ,
то для всякой окрестности И/ элемента °-& найдутся
такие окрестности LL и V элементов Я и о , что
UVcW.
в) Если #- есть некоторый элемент множества £ , то
для всякой окрестности V элемента # найдется такая
окрестность ^ элемента Л , что U"cV.
Пусть Ь- - топологическая группа» ZJ - некоторая
полная система окрестностей ее единицы £ и А/ -
некоторое множество, всаду плотное в b . Тогда совокупность JE7
всех множеств вида И*> » где IL &Z у ХбМ есть
полная система окрестностей пространства £ , а система 21*
удовлетворяет следующему условию:
Для всякого множества LL системы Л7 найдется
такое множество V той же системы» что VV" С U.
Отображение у топологической группы Ь~ в
топологическую группу £ называется гомоморфным» если: I) ^
является гомоморфным отображением алгебраической группы G- в
алгебраическую группу G 2) $ является непрерывным
отображением топологического пространства 6~ в
топологическое пространство b . Гомомрфизм 4 называется
мономорфизмом, если он имеет своим ядром единицу.
Определение. Последовательность {$*} гомоморфных
отображений топологической группы ^ч в топологическую
группу ^х называется предельно непрерывной» если для
любой окрестности £ единицы в* группы *чь найдутся
такое число Пь и такая окрестность (f единицы б груп-
147

и Ъ , что при t >/ге > ** 6 ^
В ЧВСПОСП, 6СЛИ &Л -*G , ТО
Jkm. fH *v =e
к
п-*оо
К-*оО
Пусть / <jK } - пределъно-непрернввал последователь-
ность моноиорфннх отображений топологической грушш Э?х
в топологическую группу % •
Обозначим Л - Л Л (#Л Цусть 7) ~ ^>* &"'<&)
существует **
Тогда '«'»* ^n CZ)J существует к определяет гомонорф-
п-*оо
ное отображение q подгрушш Ъ 'С &ч * ™&,
такое, что
1) hm.x'fa+yef-C**) при **££,
2) если акв де<, ее; в V
ж Am ъ ъ~е • то -А* # Г^; ^г*ь> -**
x/ Это оишчает, что существует £cm f^f(zc*) %
ще з: . любой элемент нв Я •
146

Дорэзательсту);
Обозначим через Т оператор, определенный на ft и
такой, что Тх***£т сГ *.0нератор 7"* есть гомоморфизм
П-fCO *
алгебраической группы Ц . Действительно,
= Тх,4Тх*
при ос,*,х* 6 ft в силу непрерывности групповых
операций & д£* . Докосем, что ядро алгебраического
гомоморфизма Т состоит из единицы. Действительно, пусть Тх -g
Значит, &*п $;'(х*Мирж К>К(<Г[П)
**- $<"(**)£<ГГе] и при n >JV(E><T[a)
$п (*«)'€ £ > а> значит, при п >К} ^ $« (*«) £ в>
т.е. х4 -9п(Хл)£ *> » следовательно ос *е* , #.т.д.
Докажем, что при х£ V Mm $п(х) « Т~'(х)
Л-*оО
Действительно, поскольку
Следовательно, прн *
следовательно, &m fn (х) * Т ~'(х) г, т.д.
« -»во
Докажем, что оператор Т~* непрерывен. Пусть
tf V с £.
При n>JVfa,6£b]] fr*6S > если хыЪСе,]
Кроне того, при п > Ц [ £,", Г [б, "], х]Т "(ас) [$„ c*)J"£S'J
Следовательно, при и >М,Л$ T~'(x)[p„(x)]~'gn(x)&£~'gС£.
* If9
10-1419

Значит, при xefifet] имеем: T~f(x)GE % что н
требовалось» Обозначим через f гомоморфизм из Ъ в
oix и совпадалщий с Т иа Z) • Докажем, что
&** $п Ъ -$ 5
/1-9 со
Пусть у € Ъ, X 6 Ъ, X ''у G <Г, поскольку уп (усе-) «
= 9п(%) [?« (*)]'' к ?{/* "]*№)[$&]"-у(</)[Т-Г*)Т'
шеей
Л Ц)[1МУ**9* Ч*-)1« с*)[т-(*)Г' if?*-')]-*
Пусть £,еГ'С1, tx^'CE^
цри ъ>УГ €,, (Г[if 77 <?с f&flmee* fn (ух -<J 6 £, ;
цри п. >Л< Схи Sx) имеем $» (х) [ Т''(х)] ~'6ez,
при сГс<Г1£х] шеей #(¥*")£ U
Следовательно, при п >У£ВЬ сГ(€.,)], Ж(*,1*,)" SfSfaJfltteJ
получаем % (?)[?(?)]''* Ь<Ы*Ш' ce,€f''C £
Таким образом, при i >^U) выполняется включение
$пСУ)[$ (#)]''€€ > #т,д.
Докажем теперь утверждение 2.
Заметим во-первых, что из условия £т &-* ^*g
I *са
следует, что ^^ хс #Ve#»
Действительно > пусть "г <f ссГ. црН п>У(^);
/г, *' > К (*<) имеем ан х* S Л; Я* **/ £ <£. Отсвда
150

(*ьХ*)ш'cl^ xK,*4k<fa.b. при #,K'>tf(fi) x~«x«>cf
а, значит,
£cm x:' xM *e
Пусть Xte5, **e*t « %£.***<яе Имеем
при и>ими<ЪЬ)> ^ТСГЬЪЬ), n>J/(<rce.ib,
имеем fn(a«x£)&b- При л >Л£<Ъе,<;
имеем <fn (xj [$(**)] "'б *л. Отсвда цри л > Л4 Max[J/{f£et]€f)
получаем
^c^)f(xm) & efejtm'exc e,srf с е.
Таким образом, A/> tf и М. не зависят друг от друга
и зависят лишь от £ . Значит,
*&л f*(a«) f(x~) =e* , что и требовалось.
г» -?ро
Теорема доказана.
§ 2. Слабо предельная непрерывность.
1°м Равномерная ограниченность слабо-непрерывной
последовательности операторов.
Пусть S, В1 - банаховы пространства. Рассмотрим мно-
1Ы

жество замкнутых операторов 7 - / Тк } э
отображающих 3 на В .
Будем обозначать знаком :=^ слабую сходимость.
Определение. Множество J называется слабо предельно
непрерывным, если какова бы ни была последовательность
£> ^ ft > ° последовательность 7"^ fK > О
Здесь К* - произвольная последовательность индексов
стремящаяся к со .
Демма ?т1т
Бели J слабо цредельно непрерывно на рефлексивном
пространстве В , то оно равномерно ограничено по норме.
Доказательство.
Доказательство проведем от противного.
Поскольку операторы 7^ заданы на всем 3 , то
кажднй из них ограничен (см. гл. 2 § I). Предположим, что
не найдется такой константы С , что If T** II * С при всех
ft . Значит, из J можно выбрать подпоследовательность
такую, что
1-m.lTi =*>
Поскольку Ц 7^ // - / Тт Ц , имеем также
I'm, 1Тт*1-«>
Введем семейство непрерывных полуаддитивных функционалов на
О следупцим образом:
152

По цредположенив,
Sup Гт(<р) * II Т* I -*оо щт m-,6*
W« (2Л)
Бели бы sup Pm. (<P) vy бал меньше бесконечности при
любом (Р , то ПО известной теореме L**] «а|>Ч«(У/
бнл бн ограничен (для всех ^ ), что противоречит 12.1)
Следовательно» найдется такое *Ро & & , что
щ» /я -#««
Здесь r^f/ - некоторая подпоследовательность
последовательности Ьн . Введм последовательность
где 4т> €-6 я таково, что К $>»' $ я ff '^V *» v
Элемент» обладающий
такими свойствами мы будем обозначать W = (Т^ %) ч
Отсвда l/j-IT^j"^
Щ)Н П% -* &о #
Так как из сильной сходимости последовательности элементов
153

при /7г "^ерс
т
О к некоторому элементу, следует слабая сходимость к
этому же элементу, то
Из слабой предельной непрерывности J следует
ПРИ /г? ''—? с*э
С другой стороны,
"'-'"'it;*!* it:.***
при m —* °°
Полученное противоречие доказывает лемму.
2°. Необходимое и достаточное условие
слабо-предельной непрерывности последовательности операторов.
Лемма 5.2.
Для слабой предельной непрерывности J на
рефлексивном банаховом пространстве Ь необходима и достаточна
компактность J ш { 7\ } на каждом элементе <Р& &' f
Если J слабо предельно непрерывна, то из слабой сходимости
I '* *Р } следует сильная сходимость этой
последовательности.
Доказательство.
I. Необходимость. Пусть -' слабо предельно
непрерывно. Тогда в силу леммы 5.1

при всех а . Значжт множество 'А fy где ifG &' ,
ограничено в 5
Следовательно, (см. § I гл. 2) / оно слабо
компактно. Выберем нз этого множества слабо сходящуюся
подпоследовательность: Тл, </***# • Поскольку//^, ip) I =
множество {(Т*, f)*\ слабо компактно в 6 .
Пусть | (ТА* </>) I - слабо сходящаяся подпоследовательность:
(т; */ ->л-
Из слабой предельной вепрерюности и слабой
сходимости (ТЛ, f) к k следует
О, %[rl'fГ- т„„ я; -*о црИ п.'—о
и по критерию Коми
ЦРИ All >ft"-*r>o.
Перебр^счвая операторы 7^*, 7^v на (^ получаем
Последнюю формулу можно записать в виде
155

при **p >* -">
отнзгда следует
11Г>1-1Т,>«-,0
Л Р (2.2)
при П0 > п -* оо
По известной теореие (си. гл. 2 § I) на 'Л" г *^<f
и (2.2) следует сильная сходимость Тп» ц> * Я щ>н
п. -»£>о.
Необходимость доказана.
П. Достаточность. Достаточность докажем от
противного.
Пусть J компактно на каждом элементе f& * -
Предположим, что J не является слабо предельно
непрерывным. Это значит, что существуют такое <Рсв % *>о эЧТ0
\Ь?у ТНл, fa,)} > ci , где {W} - некоторая
подпоследовательность индексов, a fa некоторая слабо сходяоаяся
последовательность.
Пусть Тп л (f - сильно сходящаяся
подпоследовательность:
* flit" i /7 • / 1
' при «'-*«,, {*'}с{«'}
Тогда
156

Нормы \i*> II ограничены (см. гл. 2 § I) н поэтому
Последовательность ($ #цн)-*0 в оялу слабой сходимо-
стж 7v •
В результате нз (2.3; получаем
при tf-too % что
противоречив I (*Р, Тпк„ 7*») I >оС
Достаточность» доказана.
§ 3. Теорема о сильной сходимости обратных
операторов и ее применение.
Из доказанных лемм непосредственно вытекает следущая
Теорема 5.2
Пусть { Тк у последовательность замкнутых
операторов с общей областью определения D С & и областью
значений И ( TJJ = В | где 5 - рефлексивно.
Пусть последовательность Тп £ для 9 в 7) слабо
сходится к элементу То . Пусть далее 7JJ и Тл~'
существуют и последовательности / Т~'\ я { Т^~'*1
слабо предельно непрерывны.
Тогда оператор Т J существует и ограничен на своей
области определения /Р = Т*Ъ ,и последовательность Т^
сильно сходится к Т на £
157

Доказательство. В силу теоремы 5.1 оператор^ Т ~1
существует я Т\ слабо сходится к Т на £
В силу леммы 5.2 ^поскольку последовательность т Т ^ )
слабо предельно непрерывна» то из слабой сходимости
{ Т ^ } следует сильная сходимость этой
последовательности операторов.
Пример. Рассмотрим уравнение вида:
,5/n4 f сЧ*> у, *) Щ (*> У> *)- ?<*> * г) ©л)
п\гшо с**<*><>> с 6 wl >
где Г - выпуклая поверхность. Рассмотрим пространство
Lx [& ] функций в области 5? , ограниченной ^ .
Очевидно» что оператор и$ слабо сходится к
оператору
определенному на функциях обрацавдихся в вуль на Г .
Покажем» что ив теоремы 5.2 вытекает» это /^£ / сильно
сходится к решению задачи L0 w = ^faj # з) ; W/-> * 0
Заметим» прежде всего» что обратный оператор L^
ограничен. Действительно» умножив (3.1) на t(t и интегрируя
но -*,# * » получим
158

{'[(ytf'C%)'*e#)'}*"b-1"
отсвда, поскольку II uH * С § ^j- Ц (|f p _ норма в
1г(Я) ) (см. ni,t)l), то
следовательно, I« I * £ ' ?* ж //1| f * £ Ш
Покажем, что обратный оператор //' слабо предельно
непрерывен.
Цусть правая часть Д fe # W уравнения
слабо сходится к нулю» Нам надо показать, что ^еп,
слабо сходится к нулю при £ —г О , п -*00 -
Умножим (ЗЛ) на гладкую функцию $(*>#> *) , обрашаю-
щуюся в нуль на Г , и цроинтегрируем по области £}г
ограниченной Г
'tJJJfb «efld&-JJJ<P trfdQ^U!^^
Я *г ъ* sir
-i J/Sc * CosA ft ui*. *# -J/J ?«(*>*> *) <Petsl
Si'r
159

* SSS * л>и<л etQ *£^4* ^ *•* ^ ~*°
Ф £ -»О рпмцм тол, ooemasj #£* orpau-
«n ю тори.
Is охрашпишосп °^-tn » Lt следует:
ВДВ £-*0
равномерно но t .
Отсвда
м -J» SV)
Следовательно,
Сопряженный оператор * оператору .Д**,^, - Я~(ос,У,Ъ)}
заданному на гадав функциях, обращающихся в нуль на ' ,
есть очевидно самосопрякешшй оператор ^gj -О^СХ;УУ2)
задавши в области Si . Он не имеет собственного значения,
равного нулю. Поэтому область значений исходного оператора
160

1
А всцху плотна. Следовательно, сходимость U„e K
нулю осуществляется на вевду плотном множестве. Поскольку
Unt ограничены по норме, отевда следует слабая сходи-
мость Unt к нулю. Мы доказалм, доим образом, что
оператор L] слабо предельно-непрерывен. Из теоремы
следует, что семейство Lt сильно садится к и0 ,
что и требовалось.
§ 4. Регулярнзаджя в теория возмужаний слабо
^тощитси owpfTopQB
В задачах теории возмущений, для которых можно
установить, что решение возмущенного уравнения сходится в
некоторой слабой топологии к решению предельной задачи, может быть
применен метод регуляризации, развитый в главе I (см. в
особенности S3 гл. I части 2).
Рассмотрим пространство Ьх функций от ^ 6 /г и
пространство Wp LJ>X J - банахово пространство функций
f(x)} эс€ R с нормой:
fC*)>± ш непрерывна*
Мы будем рассматривать в 1~*х некоторое семейство
линейных операторов l~t с плотной областью определения, такое,
что L,с существует, его область определения содержит
W LfK2 ш *го сужение, как семейство операторов из
|/У "LP1] » Lx равномерно ограничено.
turn*
161

*> _,.„.. -<c.
Рассмотрим в соответствии с 5 3 м I wen I
илотвость вероятвести положжтедьну*
функцию у » такую» что
Относительно Ч/Су) сдомм емдушие доволптежыше
цродемидо:
D J(£/(y)iyi*<*?<«>
-со
2) VW 6 !¥,"[/*]
D* «УС?)
прж Л-"»*
Если не ^Г*> * сг>п*£ > то усдови 3) ж А) можно овустнть.
Рассмотри в гильбертовом пространств*
оператор L^^A*£ &е « семейство элементов
/ G i [ Я *] , сально сходящееся к / & Lx [R п]
Обозначь (ГС г) =]\it-i \\^ .
Теорему ?т2.
Предположим, что
1) Lt существует;
2) /|"' ^ - непрерывно дифференцируемая функция;
3) оператора А'1 Ъг L^ в Л£ , как
операторе» действуйте вз W"[f*] в LX[R*] ог-
раввчевв» т»е*
162

тогда
to
< С(х)[<Г(е)+е1 >
где «i-(a+J***J i (f /° Ъ
.«которая неврерввная ФцшДО * . " ввмнаша. от е .
Доказательство.
мм. шя ? 6 IV, f/*J
ж учмтивая» что
полуош
'ч
(lLJtil-*"f)*C«rr*>«)l'*w;t/4
йудет следовать к» следуя^ «"
163

Пусть семейство обобщенных функций jt(x) является
семейством функционалов пси И/^ [f*-J и
Р J
где х' f(&) - дважды непрерывно дифференцируемая
функция» тогда для дпобой фиксированной точки я: имеет место
соотношение ^
Доказательство
Сделаем в интеграле ^
замену п « • Мы получим:
V с ос
Представим последний интеграл в виде суяш 3-х интегралов:
-<Х>
г/ Т.е. И£-*11„-«** ,
определяется норма в W~v# ^
поскольку именно так
164

-Ve*
09 „
Имеем //i*
Iflsi ' f
it*
,p
TO ^ = ^£Л.
Анаюлчяое мерамаетво, очевидно, жмет шесто ■ ада
х, ft**;.
обдаем»
л) (4.1)
U-U1»
165

Очевидно, что
(4.2)
Цусть
oo
Шеей
Отсвда и из 4.1 и 4.2 следует
I#о-/>\*ci\c,«о?•«*'** (i3)
Полагая в (4.3) <* =$ + *+£; » получим
166

что и требовалось.
Эта теорема может быть применена к интегро-дифферен-
циадышм уравнениям с параметром, например, таких,
которые встречаются в специальной теории регуляризации
некорректных задач А.Н.Тнхонова. Кроме того, при &е—0 она
может быть использована при решении некорректных задач
если Т' ограничен из
С помощью леммы можно "улучшать* слабую и сильную
сходимость решений, доказанную в этой главе. В частности, если
Ih-ilb^** ~*° при «->оо} а ^(х)вС^>
ТО <*>
9+п.
61 Ч*к -оо (Г^ *+п
167

ЧАСТЬ П
ТЕОРИЯ ХАРАКТЕРИСТИК В БОЛЬНОМ И
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ В ТЕОРИИ
ДИ№РЕВЦИА1ЬННХ УРАВНЕНИЙ С
ОПЕРАТОРНЫЙ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

ГЛАВА I. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ.
§ I. Характеристики уравнений квантовой механики.
Уравнения квантовой механики еще не занимают
подобающего им места в науке об уравнениях с частными производными.
Уравнения квантовой механики описывают волновые
свойства элементарных частиц, так же как обычное волновое
гиперболическое уравнение описывает волновые свойства фотона
(света).
Волновые свойства света были обнаружены значительно
раньше, чем волновые свойства электрона. В математической
литературе давно уже изучается волновое уравнение. Его
свойства были положены в основу определения одного из основных
классов уравнений с частными производными-'Гиперболических
Систем уравнений. Уравнение Щредингера, напротив, вообще не
принадлежит ни к гиперболическим, ни к эллиптическим, ни к
параболическим уравнениям, а является просто корректным по
Петровскому и с этой точки зрения кажется неким особым частным
случаем. А с точки зрения квантовой физики, наоборот, именно
волновое уравнение, как уравнение, описывающее фотон,
является особым предельным случаем, ибо оно описывает поведение
частицы с массой, равной нулю. Именно с такой точки зрения
мы и будем здесь рассматривать волновое уравнение и
уравнение Максвелла.
Для уравнений квантовой механики существенным с
физической точке зрения является функциональное цространство, в
котором ош рассматриваются. Мы введем ниже классификацию урав-
171

нений с учетом сопоставленных им функциональных пространств.
Если этим пространством является пространство непрерывных
функций, то произведенная классификация будет совпадать е
обычной.
Физическому соответствию между волновой оптикой и
геометрической отвечает такое глубокое математическое понятие
как характеристики и бихарактеристики гиперболического
уравнения. Оказывается, однако, что строящиеся формальным
образом бихарактеристики и характеристики квантовых уравнений
не совпадают с траекториями и поверхностями постоянного
действия классической механики. В то же время физики де-факто
считают бихарактеристиками уравнения Щредивгера решения
соответствующих ему уравнений Гамильтона.
Оказывается, специфическая постановка задач квантовой
механики приводит к обобщению обычного понятия
характеристики.
1°. Распространение разрывов решений некоторых яонкоет-
I. Как известно, к понятию характеристик для
гиперболических систем можно придти с помощью следующей задачи о
распространении разрыва. Пусть существует разрывное обобщенное
в каком-либо смысле решение и(х>Ь) гиперболической
системы. Требуется конструктивно определить такую функцию (f(*,t)
(не являющуюся, вообще говоря, решением этого уравнения),что
разность t/ta£>-#*/*) была бы достаточно гладкой.
Функция (/>(*, -Ь) и характеризовала бы поведение разрыва. Р#3
пг

Известно, что при достаточно малом -6 задача
построения функций ^(х, t) может быть редуцирована к
более цростой: нахождение решения уравнения характеристик*
Рассмотрим в качестве примера волновое уравнение
где U(x, t) удовлетворяет разрывным начальным условиям
( / V*; - f(x) при f(x) >o; J+(*)=o
цри f(x) < О )
Все функции: f(x), J(x), с(х*^) цредполагаятся
достаточно гладкими, фойе того^ *РСХ) - финитна и
имеет компактный носитель £? .
Характеристическое уравнение для (*>*) имеет вид
Положим S (х,о) = т(х) • Чтобы ввделить
одну из ветвей решения характеристического уравнения, зададим
Двум ветвям решения характеристического уравнения
-ъ о р
х/ Здесь рассматривается слабый разрыв, т.е. разрыв
производной
173

соответствуют решения р (£) , зс (-6) , у -^ £
двух систем бихарактеристических уравнений:
у 2опретворяющие начальным условиям:
х*(о) = х» />%)-vffo), *i-*"J-j'r"*S2 j
где SZ - область оцределения (носитель) <Р(&) •
Мы обозначим
*%J-Xy& хо) ; р(-ь) -?'(*,*•)
При достаточно малом 'б * £0 кривые Л ( *о х°)
при всевозможных ^бй и при фиксированном ))
образуют а ~ параметрическое семейство, причем
у а^.^|2^^| >0}
поскольку .
У (о, ь)~*.
Поэтому неявное уравнение
имеет не более одного решения х0 (ос, -b) щ>и всех -6 * £0
m

Нетрудно видеть, что решение исходной задачи может
быть представлено в виде полусуммы двух решений и (х, t) »
* Hui ^ ^ *ui(xj £)] волнового уравнения,
удовлетворяющих начальным условиям:
Ък fa0J « -|£ fa 0)ш Cfaojjfiact/frjl ffitj Of**)]
где У ( f J »0 при f < 0} Q(f) » i ДР* ? >0
Каждое из решений U# (*,-£)} l^-f,2 y как мы
сейчас увидим ^отвечает одной из ветвей S> fa-i) решения
характеристического уравнения.
При высказанных дредткшжаншяас имеет место следуйте
предложение
Решение U^ (х, £J i/s^ 2 задачи (± 4)} (l з)
может быть представлено в виде
]/У [±,*о№]
где У fa, t J непрерывно дифференцируемая функция.
Следствие. Поскольку решение задачи (d.l)~(d*±a)
представляется в виде U (*,£)=£ !Ё?Up fa,*) >
то и U (х/ i) непрерывно дифференцируем^* вне суммы двух
областей £2, =Х (i>&) ^-ftZ* Действительно, если
ОС В £2 ' » то л/ £ $2 > следовательно, ffy>%0
175

2. Рассмотрим теперь смеяаннуг здачу. Пусть и (*, у, -6)
удовлетворяет линейному уравнению четвертого дедова
краевнм условиям
">,« " ttW -°
и разрывным начальным условиям
«и °° ■
где $ - финитная функция*
Бели бн коэффициент а(эс,у,4<) не зашеал от </ г
то можно било бы применить метод разделения переменных. 6
этом случае замена
правела бы к уравнению
характеристики которого удовлетворяют уравнение
Если &(Х/У>6) зависит от у , то такой
метод,разумеется, не применим* Тем не менее и в этом случае» как мв
увидим в дальнейшем, распространение разрыва решения
и(х>у>Ь)определяется решением уравнения ( Ь* ), которое
176

мы будем считать характеристическим.
Мы дадим (гд. к ) общую формулу, определяющую
распространение разрыва решений шрокого класса задач, с помощью
которой решение исходной задачи может быть представлено в
виде
1С = £(и4 (x,$(,i) + U_ (х,& t))
где х,*=г/-М); Htfafit^iygte+Sfawpf ,
i>i
X* fao^) > P+(xo>t) - решение системы
Xi*lt ^=~^ *">'-*
Х0 • (х> ^) - решения уравнении Х+ (x*s *J *"х>
- непрерывно дифференцируемая функция.
S. Рассмотрим теперь другой пример, в котором разрыв
распространяется не по характеристикам, понимаемым в обычном
г\ юле.
Пусть U (х9 у, *,£) - решение задачи
х/ Напомним, что обычное уравнение характеристик
определяется лишь членом , содержав?»* четвертую производ-
ьую.

<f(z) - финитная бесконечно дифференцируемая функция.
В этом случае, как мы увяцим далее, решение tl(xJ J^ ^ *J
может быть представлено в виде
V*
и (х, у, г, 6) = <?[x-i- f7 Ф+Ц е
где 9-(х, %Ъ,-1) - непрерывная функция.
Здесь разрыв распространяется вдоль поверхностей,
определяемых уравнением
которое естественно считать в данном случае
характеристическим.
Ч.. Аналогичную задачу мы поставим для более общих
уравнений, несколько видоизменив требование на разность
функций U (х, 6) - <Р (х, ^) • Потребуем, чтобы некоторое
число производных от этой разности принадлежало некоторому
конкретному банахову пространству В , но не обязательно С.
Рассмотрим решение Ufa, {/, £)
уравнения
5тг-« ^«.'" '-'-'V
17 8

удовлетворявшее условиям
U (х, j/> о) = ф(х) <Г(у-у0)
и! (х,у,о)~0 U-5a)
Пусть коэффициенты уравнения достаточно гладки, a <ffv)
финитна и имеет компактный носитель эс . Требуется найти
функции ipCX'i/yt) 9 такие, чтобы разность
принадлежала бы - п -мерное
эвклидово пространство). Мы увидим ниже, что класс функций <f(**>#,t)
может быть построен с помощью решений уравнения
которое мы и назовем в данном случае характеристическим,
(Ниже будет дано общее определение характеристик)
Соответственно имеем систему Гамильтона
p.m., xjm. „,£^
й-1х-ряР]
Ы£
179

Решения sc(t)j р(£)> <$(£) этих уравнений при
достаточно малых: i s to и начальных условиях
х(о)*х0 ; р(0) = о S(o)=o
образуктт однопараметрическое семейство*
Мы обозначим, как и прежде:
x(6)'X(t,^o)} p(l)*P(t,**)} S(6)*$te,Jro)
При достаточно малых t*t0 производная
к решение уравнения Х(^> °Ь) =* ^ единственно:
0Со = ОСо (я, £)- Имеет место следующее предложение:
Решение и (^у,-6) задачи <Y.5J, (<5^)
при -t * ^0 может быть представлено в виде
}/S(*,**) Yct>*>
Г80

где *?(*>y9t) £" LszlR 1 при любом
фиксированном t $ &о.
Следствие,
Сужение решения задачи (f.S) - (*•$*•) на область
#*V?t » где Qt*X(t,&>f-«"«y*J,принадлежит
5. Основное уравнение нерелятивистской квантовой
механики - уравнение Щредингера - имеет вид
здесь k и р - константы ( А, - постоянная Планка,
д - масса частицы).
Предположим, что Ф(х> &) удовлетворяет усло-
вию ty(X, О) * сГ(х- осо) & *)
Если V* (xj &) ограничена и бесконечно
дифференцируема ( Vе0х/ £) ^ с ) , то решение </>(*,£)
в любой момент € >0 является бесконечно
дифференцируемой функцией в каждой точке х • Однако, как само
решение ty(x> £) при фиксированном t , так и его
производные по X , не принадлежат Ьг1& J .
Следовательно,заданию 181

ча о нахождении такой функции ^0 (x>t) , что разность
(/> [х, Ь) - </ь (эс, 6) была бы дифференцируема в //А [& J
нетривиальна.
Мы поставим еще более ограничительные условия на
разность
Забегая вперед, заметим, что нам будет важна зависимость
решения уравнения Щредингера от параметра к, , поэтому мы
будем ^ считать функцией не только or i ^ , но и ^ :
у=у*Сх,-Ь,М 9 Предположим, что решение V Щ>*
каждом фиксированном -£ принадлежит пространству Ьг[Й, 1
функций JrCxjk) с нормой
* *> \'/z
( jdh, }\7(х,Ц\ cLx) (IB)
о
Функция вида
?(х,к) =<p(x)exp{L tfx)) (*V
(где как и раньше <р(х>) & С и финитна, 52 - Ъ [<РМ],
a f(x) €г С J недифференцируема в Ьъ[&п¥')
Решения уравнения (d.6) , удовлетворяйте начальному ус-
при -i>0 также не будет дифференцируемо ъ Ох1Я I
Поэтому можно поставить задачу о построении функций
Ф(зс, t, к) такой, что разность if -Фо диффе-
182

ренфруема в Ьг Щ ] . Уравнением, с помощью
которого оказывается возможным сконструировать *f>0 fat* A)
является уравнение Гамильтона-Якоби
Вго характеристиками служат решения системы Гамильтона
Поставим начальные условия
~Г (о) ш jt9 ; pfo) = ^/fa) у 3(6) - /Л*^
Обозначим, как и ранее»
При i *■ Ь0 решение уравнения ДОЯ
X £ bl^fa)] ~£2 единственно и якобиан
отличен от нуля. у
Имеет место следующее предложение:
Решение задачи (<б), (*9)>(к.н>) может быть представлено в
виде
i\Y[£,*.w]\
i
где Ф(*ЛЦ^ФС*,*.*>) и 2^|4^
принадлежат ^ / £ **у /
Г83

Заметим, что оператор умножения на Чк * kltl
неограничен и в некотором смысле равноправен с операто-
Следствие >
Решения задачи (i.6) (d.40) вне области
Рассмотрим теперь пространство W# 1 непрернв-
ных функций o*k(o*k*d) c интегрируемым
квадратом по ос . Норму f (х* Ь)£ *&[Я ] положим равной
Оказывается, что функция Ф (х^,к) в формуле (4.42)
такова, что ^Л*/£,^Л ^Ф^^Л,) и
принадлежат
2°. Обобщенная задача о "распространении разрыва" для
уравнения с операторным коэффициентом.
I. Пусть функция и(£) со значениями в
гильбертовом пространстве Н удовлетворяет эволщионному уравнению
где А - такой неограниченный оператор в гильбертовом
пространстве, что области определения
плотны в л ( -У - любое целое число)
Предположим, что
П(Ь) в Ъ(АХ)
184 •

1, аналогичная проблеме распространения разрыва решения
гиперболического уравнения, заключается в том, чтобн
построить такой элемент &v (&) , что
U(t) - **(*) €■ Ъ(А ") №
Обобщенным решением уравнения (1-4$) будем
называть функционал (обобщенную функцию) W(t)*A U(t)
на множестве и (А ) * именно
(УГ(Щ)-(«<У>А*Ъ)>
где а £ Ъ(А ) а и(У УЪоьлетбоРяет Ц.1Ъ)
Очевидно, что A #>и (w такие функционал на
Ш*") .Из (*"> следует:
Vftt)-A"u*Wbti
Пусть "»v - обобщенное решение уравнения &.J3J
определенное как функционал на и (Л Jm Задача о
выделении "сингулярной части" WC^J заключается в следующем.
Требуется построить обобщенную функцию Wu(i) такую, чтобы
разность ^ ^ _ . s ix
принадлежала Л .
Очевидно, что не уменьшая общности, мы можем ставить
задачу (I.I4) - (I.I5) и рассматривать лишь классические
решения u(t) £ Ъ(А) уравнения (1ЛЗ)Чтобы перейти к
общей задаче, нзгжно подействовать на обе части равенства
некоторой степенью оператора А. Если - iA - самосопряженный
оператор, £д - его спектральная функция, то очевидно что
io(t)meA -иго) = J e tMdfA u(o)=Je' UFA uco)+
- 186 -

+ JeiHdfA v(o)* jeai<t£Auio)
~>* .
Последний интеграл при любом конечном Л„ принадлежит
Ъ(А ~) , ....
ад -f[t М*ВЛ -e'M*Z ] «л» *T>(A"i
Отсюда следует, что эта задача связана с задачей об
асимптотике с д при Х~*оо #
3°. Классификация уравнений второго порядка.
Общие свойства решений уравнений (d.4),U*4)>(4-6)
могут служить основой для классификации широкого класса
уравнений с операторными коэффициентами в гильбертовом
пространстве. Мы здесь рассмотрим наиболее простой случай,
охватывающий, однако, все уравнения квантовой механики.
Рассмотрим пространство вектор-функций fifa&J*
X*Xir->x*> i/s{hr-ftfi^^QO значениями в гильбертовом
пространстве Я
Пусть Vifa/b), i*j,..y/i и ft(°c>t) ограниченные
бесконечно дифференцируемые матрицы SxS порядка,
зависящие от параметров ^}^\ &к(х*ь)> к^л,*,^,
заданные комплексные бесконечно дифференцируемые функции °с
и Ь ( 4 (Ж/t) - вектор-функция) со значениями на
действительной прямой; А - самосопряженный неограниченный
оператор в гильбертовом пространстве И , не зависящий от
X и i> . Векторное S - мерное пространство мы обозначим
через Я .
186

Рассмотрим уравнение
После подстановки у = в , приравняв нулю
коэффициент при Л , мы подучим уравнение, которое мм назовем
характеристическим .
(его можно получить также, исходя из того, что оператор Л
"равноправен11 с оператором А. )
Если корни характеристического многочлена
действительны при любых р1У...урпуос , то 0удем говорить,
что уравнение (I.I6) волнового типа, если чисто мнимы -
туннельного типа, если в некоторой области действительны^
в оставшейся - чисто мнимы, то смешанного типа. Остальные
типы уравнений мы рассматривать не будем.
4°. Преобразование типа Фурье для абстрактных функций.
I. Определим, что такое, импульсное представление
( о - представление). В случае, если оператор Д
неотрицательно определен, переход к импульсному представлению
совершается при помою унитарного оператора $Р п вида
•А
187

Обратно
Если оператор ~А неотрицательно определен» то
Пусть оператор Л не является з«а^определенным. Разложим
пространство л на сумму
сужение оператора Л на И есть неотрицательно
определенный оператор» который мы обозначаем через А » а сужение
оператора "А на Н~ есть не отрицательно опредеденный
оператор, мы его обозначим через -/± т
Пусть ^ (р) - функция со значениями в Н .
Положим
Тогда по определению^
*,' tfw-*,? fit)*** Ъв (,.щ
Аналогично оцределяется оператор ф
188

&, Введем теперь аналогичный оператор в пространстве
функций от & со значенндаи в банаховом пространстве В
Рассмотрим в банаховом пространстве В оператор А ,
с всвду плотвой областью определения
Пусть ( i + £ А) существует и определен всвду в В ,
причём H(d + £A) |[ $ ± при £ >0 и. 6 ^'исто
мнимом. Рассмотрим оператор Т^^ — б " >1 [^ flte.
заданный на Ъ (А) - Этот оператор обладает0
следующими свойствами Сем. гл. 6 § I):
где т -
означает комплексно сопряженный оператор и имеет вид
Таким образом, оператор / существует как оператор в
действительном банаховом пространстве. Обозначив Т ==!//[*
определю» преобразование типа Фурье формулами'(< 19) —(/.20)
для функций по значениями в В .
Можно та юге рассматривать оператор А} такой, что - А
обладает перечисленными выше свойствам. В этом случае в
качестве преобразования типа Фурье введем формулу (k.2f)
5*. Инвариантность типа уравнения относительно перехода к
f> - представлению *
Тип уравнения (446) инвариантен относительно
перехода к р - представлению с помощью преобразования
ГА
х/ Определение корня необходимо джя придания с
оператору J{ n/t при помощи равенства Д * Т*
Г 89

iAS(p,i)
В самом деле, после подстановки £
в уравнение Н Н) } записанное в р -
представлении (т.е. в уравнение для функции ^ (р, £) )> мы
получим, приравняв коэффициент при А нулю, вновь
уравнение Гамильтона-Якоби:
где г- о У
6. Уравнения волновой механики и оптики.
I. Приведем таблицу специальных значений
коэффициентов уравнения (if6j ,при которых из него получаются
уравнения волновой механики и оптики. Заметим, что
большая часть конкретных применений развиваемой далее теории
относится именно к этим уравнениям. Нетрудно проверить,
что все они принадлежат к волновому типу в смысле
проведенной перед этим классификации.
Г90

Т**Гл. 1.
Сравнение
Скалярное
волновое
Максволла
Дирака

Кля^а-Гордона-Фока
Паули
Шредштгера i
для решения
L . .. _ ._ у ..х
Е
Н
f
*
н>
*
в»

-скорость света з
веществе
с*
1
1
0
0
аг
0
0
2ф
яф
1
1
а,
0
0
4?+*V
Фв*»гс'
Ф
4
0
0
Д*
Am
Ar
Ьт$;
0
0
0
0
0
я
0
0
•&+ift*wi
It
e(^Hj
0
T
<•*
или
* -2-
или
i
к
*
A-
x/ См. конец этого параграфа

Здесь Е ■» Е (*> &) - электрическое поле, Н =H(xjt)
магнитное поле. ФФтФт(<х,& " скалярные потенциал,
А* -А (ХЛ)> /*-%2,з компоненты векторного по-
тенциала^ £-€ (х,-6), /ч= /*Сз^6)
диэлектрическая и магнитная проницаемость среды, с -
скорость света в пустоте, /и. - масса частицы, е - заряд,//*/
к - постоянная Планка, <J - матрицы Паули второго
порядка: <ГЛ -($,,<%><%*)
(^ <?С - матрицы Ширака четвертого порядка [*fO] :
(о Ъ« \
% о)
Ъс О
Z. Кроме того, если а,=ал=0, f=o, 3«~Q, Л=0
то мы имеем уравнение Гельмгольца. И*и Ат">
имеем уравнение тун&льного типа с чисто мнимыми
характеристиками: если сделать замену О —* с S , то мы получим,
действительные решения для S . Характеристическую систему
для уравнения определяющего <$ мы будем называть бихарак-
теристическо: для данного тунельного уравнения.
3. Уравнение (f.4 ) получается из (416) ,
если полонить л ^
а остальные коэффициенты уравнения (£16) полозшть равными
нулю.
1Э2

4. Начальные данные для уравнений 2 и 3 таблицы I
(уравнения Максвелла и Дирака) не являются произвольными,
а удовлетворяют определенным соотношениям. Зги
соотношения обладают свойством инвариантности, т.е. если они
выполнены в начальный момент, то решение уравнений будет
удовлетворять_им в любой момент времени^
Пусть Е(*>0)=1?0 (х), ИМ =Н0 (*)
иачальнне условия решения уравнения Максвелла (п. 2 таблица
I). Указанные соотношения между ними имеют вид:
Пусть решение кр(сс^Ь) уравнений Дирака
удовлетворяют условиям
f (*>°) - & (*) |^ fro) = <!>*(*)
Соотношения, наложенные на эти условия,имеют вид
+-(хо.1) х-(1!)
Поскольку соотношения I и П инвариантны и выполняются в
любой момент времени t , то можно записать уравнения Дирака я
Максвелла, как это обычно принято, в виде системы уравнений
первого порддка. При этом условия 1а можно наложить
непосредственно на решения уравнения 1в.
1Э-1419
193

5. Заметим, что скалярное волновое уравнение и
уравнение Максвелла вообще не зависят от оператора А . Тем не
менее, начальное условие может зависеть от оператора А •
Действительно, в первом примере (И) начальное условие
(12) может быть представлено в виде гс(х,,о) ~<f(x) <f {x)~
Таким образом, здесь и(Ху0) = е -lAiM ^
гТ>г А=С^ , а $ = $ +
Кроме того, может быть поставлено "осциллирующееи начадь-
ное условие: йф^)
(т.е. $ =4, А -<* )
Во всех рассмотренных примерах начальные условия зависят от
А специальным образом. Мы увидим в следущем параграфе,что
специальный вил начальных у0^0^ не случаен. Он продиктован
самой Физической постановкой задачи.
§ 2. Постановка задачи Коши для уравнений
квантовой механики.
Квантовая механика, как известно, основывается на
целом ряде физических принципов. Не будем касаться тех из них,
которые постулируют связь математического аппарата с
экспериментом. Не будем касаться также и цравил, служащих для
написания уравнений.
Весь известный математический аппарат квантовой
механики может быть построен на основе нескольких эволюционных
194

(нестационарных) уравнений в частных производных,
приведенных в таблице I. Поэтому, чтобы аксиоматизировать
математическую теорию квантовой механики, надо еще знать, каким
условиям должны удовлетворять начальные значения решений
этих уравнений. Итак, мы сформулируем лишь те постулаты
квантовой механики, которые могут быть использованы для
определения вида начальных условий. Такими постулатами
являются принцип "тождественности частиц" и принцип "соответствия
квантовой и классической механик". Им удовлетворяв далеко
не все решения уравнений, отвечающие произвольным начальным
данным, принадлежащим Ья
L Сформулируем аксиому, которой может быть заменен
принцип "тождественности".
Пусть уравнение Шредиуера зависит от двух троек
переменных scf, y<, *1 и хж, У*, ?*. так, что при
перестановке индексов уравнение не изменяется. Тогда начальное условие
при перестановке индексов может изменить только знак.
Нетрудно доказать, что решение уравнения будет
обладать этим свойством не только в начальный момент, но и в
любой момент времени i • Это и означает выполнение принципа
"тождественности" в общепринятой формулировкеР*П№?]
* 2. Другое ограничение, сказывающееся на начальных
условиях формулируется следуищш образом в нниге Л.Шиффа
"Квантовая механика" : "Мы всегда будем требовать, чтобы при
соответствующем предельном переходе результаты любых вычислений
совпадали с классическими выражениями. Это требование
выражает принцип соответствия Бора"♦..£***
3. Поясним, что означает термин "предельный переход".
195

Пусть +0) i0} ^ = ftp , Уо постоянные длина,
время» скорость и потенциал, характерные для данной квантовой
системы. Предельный переход квантовомеханических величин в
классические осуществляется при таком изменении этих
параметров, когда безразмерная константа
to*11*
стремится к нулю. Это означает, что т.н. де-Бройлевская
длина волны "у/* *£ мала сравнительно с характерной длиной
системы. Остальные безразмерные параметры
* *К 1/
( с - скорость света, е- заряд, V0 -
характ.потенциал) не зависят от h и с^ .А поскольку А. постоянно
то У может стремиться к нулю лишь за счет увеличения €б
(или если V0 и Ч одновременно стремятся к оо ,
причем в!£~ &0хгп ). Однако;для удобства обычно полагают, что
h-+0 вместо 9--9 о или Ло -*«*>
Таким образом, принцип соответствия может быть применен
лишь к системам, которые содержат малый параметр А- . Этим
он отличается от принципа тождественности.
k Теперь разберемся, о какой задаче классической
механики идет речь.
Всякой конкретной квантовомеханической
задаче,содержащей параметр £ и имеющей физический смысл, соответствует в
классической механике вполне определенная задача. Эта задача
может быть поставлена как обычная вариационная: ищутся
экстремали функционала с закрепленным правым концом, левый конец
196

которого трансверсален к некоторому *г £ п. мерному
многообразию (в частности при Н=0 закреплен).
Рассмотрим, например, уравнение Щредингера.
Уравнениями Эйлера для классической вариационной задачи
соответствующей ему будут являться уравнения Ньютона
Рассмотрим И - мерное многообразие Яо*Л^Л ^«Vr-/**
4£/t , вложенное в # • Обобщение Условия
трансверсальности может быть представлено в виде ££*3J
J J ftM*J"*M J
Удобнее рассматривать в фазовом пространстве р^х, P^f*
гь -мерное неособое дифференцируемое многообразие
f=f(*U P^ffO*)* <**<**,.";<*п. условие <«* d )
можно переписать в виде
т.е. в любой локальной системе координат многообразия
скобки Лагранжа равны нулю. Такое многообразие называется
лагранжевым.
4.1. Квантовый переход системы из состояния ^> (я)
при Ь90 в состояние ^з,(х) при i-?
описывается формулой
Cix С?) = ]$*(*)К(*> Ъ*) Ъ ($) **df &5)
где Л fc5,T) - фундаментальное решение (функции Грина)
1&419
197

уравнения Щредингера (*6)
Вероятность этого перехода равнл \с,ж (?))
Решение задачи Ковш для (1.6) получается \ь
формулы (г.3) , если положить ^ъ(х)~сГ С*-*') , что
соответствует задаче с закрепленный правим концом.
Само фундаментальное решение можно получить и* его!
фор^лы, положив ^t(x)=cf(x-f'), ФжСх)=<Г(х-хф)
Следовательно^ фундаментальное решение описывает квантовый
переход частицы из точки *** Г за время ? в
точку Хжх' , что соответствует вариационной задаче с
закрепленными концами.
Начальное лагранжево многообразие в этом случае
имеет вид зс~ f' и представляет поверхность»
параллельную координатной плоскости ^"-о.
Начальному условию вида
( ft */>«/, --v A'1 " константы) соответствует лагранжево
многообразие />«/& • Условию» не зависящему от ^ »
- многообразие /> =<? ♦
5* с помощью принципа соответствия Бор получи
квантование классической механики» которое, как оказадось^дает
лишь первый член асимптотики при h-*o решения
истинного квантового уравнения Щредингера (46) Квантование
Щредингера заключалось в том» что он поставил в соответствие
классическому импульсу оператор - iA ^ » энергии £
оператор Ik -£- > тем самым сопоставив уравнению 1Ъ-
шльтона - Якобн линейное уравнение в частных производных
198

второго порядка* Квантование, таким образом, тесно связано
с принципом соответствия. Принцип соответствия в
вышеприведенной формулировке Шиффа есть понятие обратное
квантованию. Квантование ставит в соответствие классическому
объекту квантовый объект, зависящий orl, а принцип
соответствия требует, чтобы результаты вычисления имели бы
классический предел цри Л-* 0. Естественно, что принцип
соответствия был призван "помогать квантовать11.
Оказывается, однако, что принцип соответствия вообще
говоря, не выполняется для произвольного решения уравнения
Щредингера.
Например» пусть tyfat) решение уравнения
Щредингера, удовлетворяющее начальному условию ф(я>о)*<рС*)е*Р(с-£)
тогда среднее значение импульса, равное (см. Г??Л)
будет стремиться к бесконечности при 1г->о . Значит, для
того, чтобы удовлетворить принципу соответствия нужно
прежде всего проквантовать начальное условие для уравнений
Ньютона - условие трансверсальности, т.е. каждому лагранкеву
многообразию поставить в соответствие некоторую функцию от х,
и А, - начальное условие для решения уравнения Щредингера
(иначе говоря, цроквантовать скобки Лагранжа (2.Z)). И лишь
после этого доказать принцип соответствия.
6. Итак, задача заключается в том, чтобы найти класс К
функций от ас и ft , удовлетворявший следующим условиям:
I. Асимптотичность. Две функции от х и k, из К
считаются эквивалентными, если их разность стремится к
нулю при А-*о в среднем (т*е. по норме в LM [& ] ).
199

2. Выполнение принципа соответствия» Если в начальный
момент решение принадлежит классу К , то в любой момент
выполняется принцип соответствия, т.е. все квантовомехани-
ческие величины, имеющие физический смысл переходят при
^ -»0 в классические.
3. Инвариантность. Если в начальный момент решение
if/ (х}о) принадлежит классу К , то и в любой
фиксированный момент оно принадлежит этому же классу.
4. Полнота.
Каждому многообразию вида *** в *%> М > хо ~ х* <и'
удовлетворяющему условию (3-*) соответствует функция
f0etf . Квантовомеханические величины^ отвечающие
решению ^(x^i) уравнения (J-6), такому, что $fe°)m $> >
сходятся при k-*0 к классическим величинам,
отвечающим задаче
6.4 Таким образом для наших целей достаточно провести
квантование скобок Лагранжа в квазиклассическом приближении -
приближении старой кванровой механики Бора. Забегая вперед»
заметим, что условия квантования с кобок Лагранжа будут
совпадать с условиями Бора-Зовшерфельда старой квантовой теори» в
случае, когда, лагранжево многообразие является
инвариантным относительно динамической системы (Z4) .
Свойство асимптотичности для класса К мы заменим более
сильным условием, - учитывающим "равноправность" оператора
умножения на 'Д. и операторадифференцирования по я:
200

Мы рассмотрим в пространстве Ь1(ЦП4'1) область D ,
равную пересечению областей определения оператора умножения
на i/A, и оператора дифференцирования по *с . Область D
не замкнута в норме L^lR,**1] • Отождествим между собой
элементы LJ. Я J , разность между которыми
принадлежит D . Полученное таким образом пространство (фактор-
цространство х' ) обозначим через S- Lz I D.
Требование асимптотичности будет выполнено» если класс К
принадлежит $ . В дальнейшем мы будем обозначать знаком^ е-^
равенство в пространстве S , т.е. равенство с точностью до
элемента, принадлежащего V . Так, например, ifs(x, i>)у ^ofafy
7. Задача о построении инвариантного класса функций
Задачи о
одожет быть поставлена и для разрывах скалярного волнового
уравнения. Если рассматривать решение задачи (±.i) при
Ь >io , то якобиан ¥(£,**») может обра-
х/ Пространство и±1К> J является группой
по сложению, D - является его подгруппой. Лусть L* /D
класс смежности в Lz по подгруппе D . Совокупность
классов смежности и является фундаментальным множеством
элементов линейного пространства S .
Фактор-пространство не замкнуто.
201

титься в нуль в некоторой точке t~t . При a = z
для аналитических коэффициентов уравнения (£ *) в
простейшем случае (цростая каустика) было исследовано
поведение разрыва в точке i-^ . Оказалось, С6#ЙаЙ>
что разрыв решения описывается весьма сложным
интегралом.
Вопрос заключается в том, чтобы сконструировать
инвариантный класс разрывов К , т.е. такой класс, что
если f(x>o)&K > то и <\>(*}Ь) ёК в
любой момент времени i . Таким образом, здесь идет речь»
в частности, о решении задачи (*•*) в целом для
любого времени Ь .
8. Рассмотрим пространство функций
от з**,...,«£*, £ £ со значениями в гильбертовом
пространстве Н (см. §1 ъ* L ?*+***'/ )#
Пусть А - самосопряженный оператор вЯ » а область
плотна в П , при любом И/ . Будем
рассматривать в L%[ R, 9 Н J обобщенные функции в
смысле пункта Ы-44) , т.е. функции вида А ^(х)
где Как указывалось в (J- *fi)
не уменьшая общности можно рассматривать
/fc) е Ь(А)
Поэтому, оставаясь в пространстве
мы выделим класс функций, не принадлежащий к пересечению
областей определения оператора А и операторов
— L=4 n и в дальнейшем все результаты будем форму-
202

лировать для функции из пространства
Л//
или ( $~.) > то мы придем к обобщенным функциям.
Все теоремы гл. 2 переносятся очевидным образом на
. поэтому
обобщенные функции, в части примеров, служащих для
иллюстрации теорем, мы будем использовать именно обобщенные
функции. Для выделения "сингулярной части" функции fM 6 Z)
рассмотрим фактор пространство о - L^ [ fi * Jf] / J)
т.е. отождествим между собой элементы пространства
Ь% L & * Н J разность между которыми принадлежит
Для общего уравнения (Liв) задача
также заключается в том, чтобы сконструировать класс Кс S
инвариантный относительно уравнения U.I6) , т.е. такой
класс, что если f(^,0)€:Ji , то и ^ (я> t) SK
для любого времени i, .
203

§ 3. Общее определение характеристик для уравнения
с операторными коэффициентами.
I. Пусть ?С (б) - некоторое банахово пространство
функций от х=(Хц-~>х* ) со значениями в абстрактном
А/ V
банаховом пространстве & (например, С СЗ) ,или Wp (&)).
Рассмотрим пространство И CS) с нормой
Обозначим через £ фактор-пространство
Пусть L линейный ограниченный оператор из банахова
пространства Л* (&i) в банахово пространство ^€г(Зл)
Предположим, что L отображает
пусть 5, = д€, (В<)/эе', (3<), Зг * *х (вг) / <*■; (зг).
Оператор L , пороадает, очевидно, линейный оператор нз
фактор-пространства S* в фактор пространство
Назовем оператор L s порожденный Ь » действующий из
фактор-цространства $± в фактор пространство Sz >
характеристическим оператором. Пусть для некоторой функции
J((Xi) 6 Si , зависящей лишь от одного аргумента oct
уравнение L X(*PC*)J * °
удовлетворяется в том и только в том случае, когда
(р(х) £ С удовлетворяет некоторому уравнению типа Га-
мильтона-Якоби.
204

Тогда будем говорить, что оператор L имеет
характеристики, а уравнение первого порядка длярпределения функции
f(x) у х=х0..., хп назовем характеристическим.
Характеристическое уравнение у оператора L может быть,
вообще говоря, и не одно.
В том случае, когда оператор L является гиперболи-
ческим оператором #- ^о порядка из с; в С}
данное определение характеристик совпадает с общецринятым.
2. Пусть i A - некоторый неограниченный оператор в £ у
порождающий группу.
Если вышеуказанная функция JC (х,) имеет вид
где ^ б 3 , причем характеристическое уравнение не
зависит от ^ , то это уравнение мы будем называть А -
характеристическим, и будем говорить, что оператор L имеет
А - характеристики. Если сверх того характеристическое
уравнение имеет один и тот же вид для всех неогр*ни*ен»г>/х
операторов I А} порождающих 'группу, то будем называть
его сильно-характеристическим и говорить, что оператор Z
имеет сильные характеристики. Легко ввдеть, что классические
характеристические уравнения для гиперболических систем
являются сильно-характеристическими, если полагать, что решение
уравнения есть функция со значениями в некотором банаховом
пространстве о (например, зависит от некоторого параметра)
Для волнового уравнения
205

уравнение
Ш)-'*&(**)* cs/)
является сильно характеристическим, а
уравнение ,
Cx(*)(yV -i (it)
является z4" - характеристическим. Если
начальное условие для уравнения (з. <*) удовлетворяет
уравнению (*2) , то сильные характеристики в данном слу-
чае будут совпадать с -^ - характеристиками. .
ПейеиЪе^ теперь * конструктивно ну опреЪ'*е*+и*> А^^'»/»"'^
з. Пусть ^ /^ pt ^ л; — самосопряженный
(неограниченный, вообще говоря) оператор в гильбертовом
пространстве Ну зависящий от параметров &, р, & и -6, л^зг,,-,^,
и бесконечно-дифференцируемый по всем этим параметрам.
Цусть Л (х> Л £) изолированная равномерно по всем
параметрам точка спектра оператора X 0х/ ft ^> °)
Пусть Л / R. ***; Н J - пространство функций от
зг~згь.„> ос*, и Л. со значениями в Н
Норма ?(*, к) £ 1г [&*"#] равна
l9kc*~i»i m{TdiJ\^M^z
•do
АН
Рассмотрим в Lz [И , Н ] оператор вида
где р =,.-;/, JL а ^ " параметр, причем в операто-
0 Ъг, '
J
206

ре ьС вначале действует р , потом &; , иначе
1J J
говоря,
Рассмотрим в пространстве нецрернвных функций от -Ь со
значениями в LA / к Н] оператор
Для этого оператора одно из СА
характеристических уравнений имеет вид
Оно отвечает собственному значению Л fa ft ^J
Вместо 7^ в этом примере можно взять резольвенту
самосопряженного оператора А , действующего в пространстве
Lx функций от X . При этом норма 9-fa г)е Lx[ Hm,j ffj
должна иметь вид:
-за оо .
cLr f\7fcT)\x<tx
Уравнение (34) будет тогда С А -
характеристическим для оператора (3.3) , где кш(А-ъу1 гел(д)^
(fCA) — резольвентное множество оператора А).
Это определение *А характеристик, как мы покажем
ниже согласуеФся с определением данным выше.
* • В этом пункте мы дадим общее конструктивное
определение характеристик для дифференциальных уравне-
207
i

ннй с операторными коэффициентами; с помощь» атого
определения дадим классификацию уравнений.
Рассмотрим замкнутый операторе вевду плотной область»
определения,лежащей в гильбертовом пространстве И ж
областью значений, лежащей там же, зависящий от &а+3
параметров Л, •••, А, Ро **,•••, х*> ^ ct)
и являющийся полиномом т -ой степени параметра р3 :
/п. .
J (35)
Предположим, что существует сильный предел
Jim, и)* %(Мр, Юр*,*,*,*>)-%°(Р,Р.,*,У=
1*0
где ^-некоторое действительное число .
Пусть точка л (р, p9>oc,h) является равномерно
по всем параметрам а * р * &, <* * зс *j$ , с * рс sd J
О s i $ 7* изолированной точкой спектра 'операторов
XYfiZ>xjt) * [X°fapa, *,*)] кратности гхоо
Пусть А - некоторый неограниченный самосопряженный
оператор в И , коммутирующий с оператором ^ •
Рассмотрим в пространстве бесконечно дифференцируемых
функций от ^ и i со значениями в Н оператор ^С
вида
х/ функцию А ( ру рс) * j ■£) будем называть термом.
20Ь

где операторы об. действуют следующим образом
(Ъ.8)
Уравнение
будем называть характеристическим уравнением (одним из
характеристических, поскольку изолированных точек спектра у
оператора & может быть много) для уравнения
Если уравнение имеет т> действительных
корней относительно р0 , то мы будем говорить, что
уравнение (3»3) имеет характеристику волнового типа. Если все
т корней />о чисто мнимы - то характеристику
туннельного типа.
Мы увидим из дальнейшего, что приведенное
конструктивное определение А - характеристик совпадает с
определением, данным в начале этого параграфа^^-т**/**^ 4М.*чЛ)
Нетрудно убедиться, что определение характеристик,
данное в примерах § I следует из приведенного здесь общего
определения.
14-1419
209

$4. Проблема выбора представления при переходе
из квантовой механики в классическую.
13 предвдущей части мы изучали семейство операторов At ,
сходящихся при t -> О к оператору А 0 , и строим/ теорию
возмущений в каком-либо обобщенном смысле для оператора А0 .
Мы, однако, отмечали с самого начала в гл. i $4*2*
бессмысленность такой постановки в общем случае, если
заранее из каких- либо априорных (например, физических)
соображений не следует, что именно оператор А о является
предельным. В противном случае мы могли бы перейти к
какому-либо другому представлению At оператора А£ с помощью
унитарного преобразования, зависящего от £ , и тогда
пределом At } возможно, был бы некоторый другой оператор
А0 фАь
«2 Рассмотрим, например} стационарное уравнение Щрединге-
ра:
Известно, что при к*-* О квантовая механика должна
переходить в классическую. Нам важно было бы получить в
первом приближении классическую величину, а дальше квантовые
поправки к ней. Оператор Щредингера
сходится при п-*о к оператору умножения на vfc)
210

Выше уже говорилось, что собственные функции этого
оператора можно нормировать так, что при h -* <э ЛЛ -* л
они будут сходиться (как обобщенные функции) к линейным
комбинациям собственных функций оператора умножения на
lf(x) (<Г - функциям)/^ 3, Ц,■**/"'«*<*?О
Перейдем в этом операторе к Фу^ье - представлению
(импульсному представлению), тогда
А
Оператор И в этом представлении будет сходиться к
оператору умножения на Р /х . Собственные функции будут
сходиться к комбинациям <f(p- V&* ) и <f(/>+ *5Т j
Обе эти задачи никакого отношения к исходной не имеют.
Нам нужно получить такое представление оператора И , в
котором квантовые величины переходили бы в классические при
к-* О В частности,оператор полной энергии И
переходил бы в пределе в полную классическую энергию, а не в
потенциальную, как в случае (4 i) или кинетическую в
случае (42)
$ Прежде всего обратимся к классической механике. Пусть
дан уровень энергии £ и потенциальная энергия iff*) ■
Рассмотрим динамическую систему на уровне энергии £
dr dt Эяг
/£ +»fK)~£
211

7 Sjc
•Л/
Отсвда
Очевидно, что расстояние ^Г-3;-% Не будет менятся
при инвариант^сдвиге вдоль траектории. Поэтому возьмем в
качестве инвариантной меры относительно сдвига вдоль
траектории по времени величину d7»
Пусть Ьх — гильбертово пространство функций от Т
с нормой: 9 fl* ш J J *(*)*? > -j
где V7 - полупериод; 7% /^£- / ^
Точки «z; и ^х корни уравнения /" ^ /у*;
(точки "поворота11). Следовательно
Унитарным оператором й^ динамической системы
будет сдвиг по времени: б?^ ^(т) = j(T+i).
Соответствующий ему самосопряженный оператор будет иметь
вид I -4: л
Пусть гл^ - ограничена: \rfx)\ <i , a F >d *
При этом уравнение V*(x)=E корней иметь не будет, и
интегралы в ^ нужно брать от - с*> до / <*>
Введем унитарный оператор S (t) , отображающий Lx
на ht
В качестве такого оператора возьмем оператор умножения на
функцию
(2(£-Н*))) • <>*/> j-L[Jг&св-юуы*- ££]}
212

Цгсть /( (х) и £ frj £ LAf тогда 3 ~'ft) f*{*$
« $"(*)h(*)6 At ,
причем *, m
Ufa4LM*'№Ю <&«&ш]*****44*
Отсвда следует, что действительно оператор S(H унж-
тарно отображает /4 на ^х
Оператор // в новом представлении имеет вид
Таким образом» мы видим, что при Х**#
в первом приближении оператор И в "квазиждаосичео-
ком" представлении переходит в полную энергию Е «
Во втором приближении оператор Н переходит в еша>-
сопряженннй оператор кдассическдй динамической систем*.
Унитарша оператор **" в «ваз»***™,
ком представлении имеет вид
- £ ' ^ ** *** hie-**))'
Отсвда в сод поре» &^ г./
14-141*
213

Таким образом, унитарный оператор Щредингера €
сходится в квазиклассическом представлении к унитарному
оператору динамической системы. Кроме того в квааикдасси-
чесхом представлении решение уравнения
может быть представлено в сяду теоремы $• * в виде
асимптотического ряда по степеням k.
4. Решение уравнения Щредингера
ik 2£^_ А1 лф + »{*) Ф ***,,...,<*+
полученное в /У (с*. ^/*J можно получить с помощью теории
возмущений, если перейти к квазиклассическому
представлению.
Пусть существуем i - параметрическое семейство
решений oc(ati) (ы* (*ir ~, <*»))
уравнений Ньютона
После замены
У - якобиан от <* к & ( У- -г-———— ) .
а $ некоторая функция, игращая в механике роль
действия, уравнение Щредингера приводится к виду
Здесь левая часть есть производная по времени вдоль клас-
где
214

сической траектории. При A,~0 решение уравнения
будет постоянно вдоль классической траектории. В этом
представлении оператор 4xp(<j- И i\ также переходит при к -to
в оператор сдвига вдоль классической траектории. Э**о следует
14$ те&Р(**ы $»** т. 1
Если перейти к переменным. <* и i , то
и уравнение принимает вид
Ш-ф у'**.(**?«*>)> (*'>
где Д* - оператор Лапласа в координатах ^ •
Преобразование, переводящее tyfet'k) в if С**)*)
унитарно, так что ро
Оно осуществляет переход от координатного представления к
квазиклассическому. К уравнению (*9.3) мы можем применить
теорию возмущений.
Такое представление возможно, вообще говоря, лишь в
малом (при достаточно малом i ) и то при условии, что
I ?иг,Эд» I С
Подробно на квазиклассическом представлении в малом мы
остановимся в главе 2-ой этой части.
Из результатов главы 3 будет следовать, что в общем случае
роль унитарного оператора, отображающего пространство ЛА
функций от <£ у заданных на лагранжевом многообразии
Г в пространство LL функций от *г , играет
введенный там канонический оператор. Таким образом, с помощью
канонического оператора получается такое представление, в
котором квантовая механика переходит в классичеокзгю в целом, для

любого времени i •
Ддн общего уравнения (* '£J представление» в
которой мв получаем решение в виде асимптотического ряда по
сгепеним R^ мы вазовем характеристическим.
216
-L

ГЛАВА 2. КАНОНИЧЕСКИЙ ОПЕРАТОР
§ I. Одномерный случай.
Вначале мы изложим существо дела для одномерного случая.
Мы будем действовать по следующему плану*
Класса К
Для построения асимптотических формул, равномерных по ос
на всей оси X , нам придется вначале сконструировать
некоторый оператор, зависящий от параметра А- , отображающий
пространство функций на заданной кривой Г в фазовое плоско*
сти р, $ в пространство функций на прямой ^ . Для
конструкции этого оператора, названного каноническим, вводится
понятие индекса пути на кривой, и кривая покрывается интервалам*,
взаимно однозначно проектируемыми х' на одну из координатных
осей ( р или ^ ). Вначале канонический оператор
определяется локально - для каждого из таких интервалов» а затем с
помощью разбиения единицы строится оператор для всей кривой
Г . Канонический оператор, вообще говоря, зависит от
способа покрытия кривой Г интервалами и от способа разбиения
единицы* Оказывается, однако, что если кривая не замкнута» то эта
зависимость проявляется лишь на величинах первого порядка
малости относительно параметра А • То же справедливо ж для
замкнутой кривой при условии, что площадь кривой удовлетворяет
некоторому соотношению, которое в физической литературе называется
условием квантования Бора. При помощи канонического оператора
х/ под этим понимается, что проекция являются
диффеоморфизмами (гладкие взаимно-однозначные отображения с
невырожденными якобианами)•
21?

мы выразим известную асимптотику собственной функции
стационарного уравнения Щредингера, а также асимптотику решения
задачи Коши для временного уравнения Щредингера. Приводимые в
этом параграфе теоремы является частным случаем более общих
теорем, относящихся к случаю произвольного числа измерений.
Теоремы формулируются в §§ 2-4.
1°. Топологические предложения.
Рассмотрим ограниченную гладкую несамопересекающуюся
кривую Г (не обязательно замкнутую) на фазовой плоскости х',
определяемую уравнениями ^- $(<А, р - рС<^ . Параметр ьи
можно считать, например, длиной дуги, отсчитываемой от
некоторой фиксированной точки. Точку кривой Г с координатами
fMt рМ будем также обозначать сС . Назовем точки
кривой Г , в которых выполняется условие dp /dec Ф о ^
неособыми или, более подробно, неособыжи относительно операции
проектирования кривой Г на координатную ось £
параллельно оси р . Остальные точки назовем особыми.
Предположим вначале, что множество Pi особых точек
конечно и что особые точки таковы, что при переходе через
них производная dty/dp вдоль Г меняет знак.
Сопоставим каждой такой точке оС € М единичный касательный
вектор ёы в направлении возрастания df/dp (т.е. в
сторону положительного значения dp/dp ).
Определим индекс пути £[d'd*] С Г с началом в
неособой точке <А* и концом в неособой точке U1
х/ Точнее, одномерное гладкое подмногообразие
(возможно, открытое).
218

Pi
<**
"W eCcLfcL^Q
Pucfu
Pk
Ы.г
<*t
1"£ №t&]=i PucfS.
PI ^ +**
1пЛ t[di,oL*]=b PllC.fcf
'$
-*■<!>
JkJbcl<*ucLq,lx~2- Яротиб чаеоШ ompe/iftu
o ' А/Л У?.
Рис. Г

следует»* образом: если путь проходит особую точку ot в
направлении вектора ^ , то к нвднксу прибавляется I,
если в противоположном направлении - то вычитается I (рис»£).
Индекс пути t[d\ dx] обозначается символом
Ite определили, таким образом» индекс пути при некоторнх
ограничениях, доложенных на множество М и на точки d * и с/ ,
которые выполняются, когда кривая и путь находятся "в общем
положении" £61], Ш
Определим индекс произвольного пути на произвольной
кривой Г , приведя ее и путь в общее положение малым поворотом
осей по часовой стрелке. Имеет место следующее важно*
предложение, доказательство которого почти очевидно из наглядных
соображений.
Ивдеур зарснутргр пути (дцущ), вводимого в напр^денру
часовой стрелки является инвариантом относительно
диффеоморфизмов*
Рассмотрим систему Гамильтона
* эр ! т>Ф
ада Hffy, Р$ 4) • достаточно гладкая функция
своих аргумеатов. Пусть / у>фЫ\ р*(*) J - несамопересекаль
давен гладкая кривая Г в фазовой плоскости, и
Qfat) - ?(i)% P& t) -p(i) - решение системы
(1.1) с начальными данными рФ№, p*(<*) , лежащшш
на ваше! афивой. Функции Q(<*>*>), Р(<*,£) задают
отображаете Щ кривой Г в некоторую кривую Q: Ut Г * Г±ш
Зсякий дуть /[d\ dzJ переходит при этом в некото-
220

qo qi q^q°*p°t
Рас. ia Jnd qt +Ые=7ndet
P-P'.
прямой путь
p-p"
p--p ,
при мои путь
Р'Р".
пряной путь
Р'РС
Р-Р' .
пряпои путь
qo q~%°*P°t
Рис. db. Undq +7ndC= 7nd6t 0, -i -индексы путей 6, it, gtr.
Рис. L

Спрашивается, как выражается JncL <^ [oi \ Ы ] через
jnxi i[d\dx] ? Для того чтобы ответить на этот
вопрос, напомним некоторые определения, относящиеся к решению
системы (4- 4) .
1) Множество точек Q Ы° 7) при ? , меняю-
щемся от 0 до t , называется траекторией ^^обозначается
2) Точка Qfa'z) на траектории # Q &°ш, 0,£)
называется фокальной, если
3) Пусть оН /др >0 . индексом траектории
Q(<t°'fqt) назовем число фокальных точек на полуинтервале
0<Г*£ (так называемый индекс по Морсу /H5/J&&/ /).
Имеет место следующее соотношение, которое решает
вопрос о том, как изменяется индекс пути при отображении U6:
OncL <£[<**,<**]+J<ut,Q(**J <W- JncL 4t[<*\dL*] +
+ 3nttQ(<ti',0tl) (4.2)
В случае Hs P /4 этот факт имеет простое
геометрическое истолкование. Достаточно рассмотреть малое время ^
и некоторую окрестность особой точки (т.е. точки,
принадлежащей подмногообразию М ). Рассмотрим два случая особых
точек, отвечающих двум направлениям вектора -£<*, (см. рис.
6).
На рис. 6а путь Р*Р* проходит через фокальную
точку. Поэтому индекс пути Q0*>, ?) ~/>°?+fy , О * ?*£
равен I. Как видно из графика, индекс цути ^ на Г^
также равен I.
222

Положим Я *Р*М * V-Cf) , тае гХ?) - дважды
дифференцируемая функция, тогда для достаточно малого ^
имеем: Q(«, I) = Р*Ы) t +f(«), Р&У*/>У<*)-»Г?Гф
Произведем сначала деформацию
Обозначим образ кривой р при этой деформации через Г6 .
Теперь оставляя ^=^у постоянным, произведем деформацию
Р -рс(*) -*'(?*Ы)) ? с*с* t Таким образом, Г^
переходит в Q • Но эта последняя деформация, очевидно, не
меняет соотношения (+2) между индексами*
2°. КаНОНИЧе^у^ ппврятпр.
Рассмотрим пространство Ьх [Г, Н ] функций с
интегрируемым квадратом по мере du на кривой Г* со
значениями в гильбертовом пространстве Н и пространство
L [&' Н] Функций от ^С с интегрируемым квадратом
на прямой - со s *е * о° со значениями в гильбертовом
пространстве Н . Пусть А - неограниченный самосопряженный,
положительно определенный оператор, причем go является
предельной точкой спектра оператора А .
Нас будут интересовать значения функций из
лишь в фактор-пространстве
*-1л[Г,Н]/ЪСА)П V(£)
Мы будем рассматривать линейные операторы, с областью
определения в *5*.
Рассмотрим случай, когда кривая Г
взаимно-однозначно проектируется на ось ^ . Таким образом, из уравнения
Ц-ФС*) находится с/ = °c(#>J -
it &>*c
Обозначим через /с линейный оператор, определенный
А. Г
223

на финитных бесконечно-дифференцируемых функция* if>(u)£ i,Jfy'HJ
следушим образом
где *jC - некоторая константа, не зависящая <я d \ d° -
некоторая точка на кривой Г .
Пусть теперь кривая Г не проектируется
взаимно-однозначно на прямую & , но зато взаимно-однозначно проектируется на
прямую Р . Таким образом, из р*р(а) следует: c(*d(p).
t If d*
В этом случае обозначим через Клп оператор» дейст-
вуюшй на <f(ol) следушим образом
где ^ - некоторая константа, а Ы некоторая точка
на Г , в которой dfy(d-) / dd - С\ Интеграл берется по
отрезку, на котором yew)] отлична от нуля. Если &
лежит вне отрезка d оси СЪ , на который проектируется
носитель <pfa) * то
К<)
(X) - О (1.11)
Теперь рассмотрим произвольную кривую ' вышеописанного
типа. Покроем кривую / конечным числом открытых
интервалов £2 , так, чтобы в каждом интервале £* выполнялось
одно из неравенств: либо dpfoc)/dcC Фо ддд всех ТОчек
интервала, либо dpCcc) /Ыы. *о для всех его точек, а
d^(d) /dd, обращается в нуль в некоторой точке. Области

первого типа назовем неособыми $ области второго типа назовем
особыми. В неособой области зададим в качестве локальных
координат <^(и) . В особой области - р(<*) . Обозначим через
неособую ббласть с введенными в ней
координатами fyM (неособая локальная карта)* а через Ьс±
особую.область -Ьс с введенным в ней координатами ре*)
( *£\ - особая локальная карта). Пусть -?£% , J'Jtj — yJ*j-
- совокупность всех особых карт,
6 > J '</*>••• jjn,.-, - совокупность всех неособых
карт. Одну из точек <*J , принадлежащую особой области
QJ , в которой dp(*) / сС* ~о , назовем центральной
точкой особой карты. Возьмем произвольную точку ос
неособой карты Qo и назовем ее центрально! точкой карты*
Совокупность карт -£?, , Ъсс образует атлас v^ кривой.
Сопоставим действительное число f центральной точке
одной из карт атласа 5г , эту точку назовем начальной и
обозначим <А° .
Пусть носитель R. функции $(<*.) € С °° лежит в
области -Ь? . Определим действие канонического оператора на
функцию Ц>(<*-) формулой (*&) , если - неособая,
и формулой (£*<) , если £dJ - особая, положив в этих
формулах I* f°~i ^nc(- f£c/°ciJJ> гле f° - не зависящее
от j число; <* - центральная точка карты, а
ЯЫ0, dJl _ некоторый путь из о(° в <*у . В общем
случае можно определить канонический оператор с помощью
разложения единицы по локальным картам. Обозначим через & (<*),
С- d,„.,rf , разложение единицы* , отвечающее
покрытию компакта К . Это означает, что 6 С*0
х/ Если их несколько, то можно вэять любую из них.
15-1419
225

удовлетворяет условиям: I ^ ^ и равно нулю
вне &° , 2) 17 4С(*)=* , если <*6#w ,
Для финитной функции $№ имеем: *W = V & С*} ^^
Носитель каждого члена суммы принадлежит лишь одной локальной
карте, поэтому на каждой функции ■& (<*) г^) с = *>->^
канонический оператор определен выше. В силу линейности и при
учете 'Л ^± > Мц получим отсюда общий вид канонического
оператора, действующего на финитную функцию УС*-) •
Приведем его.
Пусть JCX) - совокупность номеров всех тех карт
атласа Ж , которые содержат множество точек, являющееся
пересечением прямой ^ = я: и отрезка Н С Г ф Отрезок
ft с Г покрывается конечным числом карт атласа стг •■£*,...,£2 ,
~ ,0 В общем случае канонический опе-
ратор /v^ * имеет вид
к^7
.-А
/ do»
где t [dc^ d J - некоторые пути из d в оС
Замечание. В случае, если / — неограниченная кривая ^а
А" -~ , заменяя в формуле (^ 5) ffe; на f/ЧЛ) • ^А*У,
где f £4^0 - функция-регуляризатор, равная единице с
226

p
4 -й<зс< ее,
.r..Otf Х,<Х<Х2
JPF) 0,2 X+XtCCi
Q2.3 3& x г ^
3 Х^Х'й
Pacta, flmnac % окружности q=aCos*,p=aSuM.-,QetQ1>g.gQi-h>aprnbi
t,&) ЬШ
Рис. %S. Раз/го#ение еримщ/t/ no anvtacy jMf •
Puc.4.
Z*,i*)=i , г<&е.С<~, &fr)=0 при cceSli
i-0 —

Поженен** к рис. 7.
На рис. 7 кривая /*- окружность: />- *-<V*^
^ = ^it^ ^ -Н57***-^, концевые» значения ^
отождествлены., л УМ s i .
Пусть «*в*-£ , гг-£7 , ££^0^J
дуга» меньшая ^ , взятая в направлении часовой
стрелки от точки -^е, до точки ^ • Возьмем карты &иг ,
изображенные на рис. 5. Центральные точки карт будут
По оцределению
Разложение единицы -£6* fcA <**-/'по этим областям
имеет вид, изображенный на рис. 36.
Канонический оператор примененный к i- в данном случае
равен
.^filf^ccos^-l,,,^^^}}
(1.5)
это выражение совпадает с квазиклассической асимптотикой
осциллятора (случай US) при 1Г(*) = ос1 )
228

точностью до ОСЬ") в любой ограниченно! области ж
достаточно бистро стремящаяся к нулю прн ct-+oo (например,
f (ДО *ехр{-4>-€*/>[- 'А]} ), мн подучим, что рядн в
(<*) сходятся для любой ограниченной функции ¥^(^)*
Нетрудно убедиться, что для определенного тают образом
канонического оператора будут справедливы при некоторых
ограничениях в любой ограниченной области все результаты
сформулированных ниже теорем. Аналогичное утверждение справедливо и в
многомерном случае.
3. Инвариантность канонического оператора*
Пусть кривая Г не замкнута. Тогда канонический оператор
К А - ие зависит от вида атласа и от способа разбиения
единицы, т.е. выражения гс^'г ^^ *** Р&зличвкх атласов
и разбиений единицы отличаются лишь на функции вида
Подразумевается, что точка оСр при новом разбиении
осталась начальной точкой атласа, а значит, осталась
центральной точкой некоторой карты.
Если же точка ai-cl* He остаюсь при новом
разбиении центральной точкой карты, а стала принадлежать карте с
центральной точкой cLt , то в качестве начальной точки
нового атласа долина быть взята какая-либо другая точка,
например, с1й . Тогда прежний канонический оператор при таком
новом разбищении равен С* S) /с/' , где
. Если кривая Г замкнута, то канонический оператор
иута, то каноничес
"*кг не зависит от способа разбиения единицы, но
зависит, вообще говоря, от выбора путей из
начальной точки в центральные точки карт.
15-1418
229

В атом случае для того чтобы канонический оператор
/С не зависел от выбора канонического атласа и
путей , необходимо и достаточно, чтобы точки
спектра оператора А удовлетворяли соотношению
Заметим, что если положить J = */h> , то эта формула
совпадает по форме с известной в физической литературе формулой
квантования Бора.
Замечание относительно начальной точки атласа остается в
силе и для случая замкнутой кривой.
Условие w$) , а, следовательно, и инвариантность
канонического оператора, сохраняется при преобразовании,
сохраняющем площадь (каноническом преобразовании).
4 °. Квазиклассическая асимптотика.
I. Рассмотрим на прямой задачу на собственные значения
уравнения ,
у'+Ш*)у*о, (№*л-тгм) fa,
где Q(£) & <^°°) Q (t ео) = -*> при условии Jу*с/х. *оо
Рассмотрим в фазовой плоскости р , ^
кривую
p4*-Q(9)~0, Известно лто собственные значения V-il
задачи (t J*h(f-?J будут удовлетворять условию 0%6)&&$&
Рассмотрим уравнение Шредингера
-££!-+ Vtx)+ ,JV; Jif>*cf*<*° US)
При цроизвольном Is fa) & С °° у таком, что ffaooj*
-*•«*=> имеет место следующее предложение.
) Пусть Гп s\9*C*),p*(e0j -
последовательность замкнутых кривых, удовлетворяющих уравнениям
J ЯГ гкк ) , aoL ^ ' Л/* J
где Вп С [cttp J 9 ск у О - зависящее от к. множество,
230

определяемое условием
Существует зависящей от L набор ообственных значений Л*Л*,
уравнения (6 В) в пространстве At на прдаой, такой что
I - £к ш0(к%), Ц Чк- kgi И -0(A), гэе %-
-собственные функции, отвечапцие
Выписанная здесь асимптотика сводится к общеизвестной с
помощью формул» приведенных в
Приведенная вами запись первого члена асимптотики
собственной функции в определенном смысле инварианта
относительно перехода к f> - представлению.
2, Относительно решения задачи Коши для уравнения Щре-
дингера (66)гл.1 справедливо следующее предложение:
Пусть функция Vi^it) 6 С* , f(*)*C** •
Решение tf>( *,"b) уравнения ##oUt, удовлетворяющее
начальному условию
имеет вид
где Q(4$y Р(4%4) - решевже задач! Кои для сжстемы
уравнена! Гамильтона
га

At-» О
Мы видим, таким образом, что решение уравнения (1.6)гс4. в
любой момент времени i принадлежит с точностью до Фзгнкций
2 . (х,Ь) одному и тому же классу функций вида
С' *■'•>.
где % и Г переменны* Это означает, что условие
инвариантности в определении класса \i (см* § 2 гл. I) выполнено*
Принцип соответствия также будет выполнен для решений
такого вцда.
3 Следствие* Пусть носитель Л/ функции ф(*Х
достаточно мал: Я - /<*о-£ * << * Ые + £ J и выполнены все условия
предыдущего предложения. Тогда, если образ л: на /^ ,
обозначаемый Л* , состоит из неособых точек, то
$\il>tet;lx*x-*J<ri'C'i)*t«
и стремится к нулю вне этой области*
Бели же Rt целиком принадлежит особой карте, то
и стремится к нулю вне этой области.
Это означает, что интеграл от [tyl** либо в -£ ,
либо в р - представлении ведет себя при Л -* О как клао-
сичебкая вероятность J if* (<+)<** ^ оставаясь в пределе
постоянной вдоль классических траекторий* Аналогично можно
показать, что все хвантовомеханические величины в пределе при
232

\
к-*О переходят в классические, т.е. принцип
соответствия выполняется. Таким образом, все условия, требуемые в
§ % по б гл. I от класса U , выполнены для
Таким образом, мы получаем переход в классическую
механику в любой точке &,'Ь . Значит, предельный переход
существует и в фокальных точках (точках поворота), только в этих
точках (/> - функцию нужно рассматривать в р -
представлении. Заметим, что в физической литературе (например, в
известной книге Л.Ландау и Е.Лифшща "Квантовая механика*
утверждается, что в точках поворота нарушается условие
квазиклассичностии, и при л ~?<э вблизи этих точек нет перехода в
классическую механику. Аналогичные утверждения делаются в
физической литературе относительно перехода из волновой
оптики в геометрическую вблизи фо«уса£/3.7,/З^У.
На самом деле, как мы видим (и увидик {(алее в
многомерном случае) переход в классическую механику (а аналогично
и в геометрическую оптику) совершается в любой точке. Чтобы в
этом убедиться, нужно лишь перейти к соответствующему
представлению ^ - функции.
5"°. Асимптотические ряды.
Поскольку в дальнейшем будет речь всегда итти об
асимптотических jM«ax, то и знак равенства мы условимся понимать в
некотором "асимптотическом" смысле, который мы сейчас определим.
Мы будем говорить, что функция £(*> &) со
значениями в Л эквивалентна нулю, если для любых целых M1f Л£ и
233

ограничена по норме в Н равномерно по
ос £ у?л, ге [4-bj4+tl, £>o.
Мы отождествим между собой функции, разность между которыми
эквивалентна нулю*
Таким образом, функции от л и Ь факторизуются по
подцространству функций, имеющих бесконечное число
ограниченных производных и принадлежащих D (Л °° ) . Мы будем
рассматривать также функции со значениями в банаховом и счетно-
нормированном пространстве. И в этом случае осуществляется
такая же факторизация, т.е. функции, принадлежащие
при любом " и бесконечно дифференцируемые, полагаются
эквивалентными нулю. |
Запомним, что все равенства, которые в дальнейшем будут
написаны для Функций от «& со значениями в банаховом, или в
счетно-нормированном пространстве, справедливы лишь с точностью
до Функций, эквивалентных нулю.
Далее, если мы говорим, что функция ffa &, *v ***
раз дифференцируема, то это значит, что все её Л/ произвол-
ных по Xji ограничены при к-*О . Если ^(*&А<) •>
функция со значениями в банаховом (иди счетно-нормированном)
пространстве, то <Л/ . ратная дифференцируемость функции
означает, что ее -" производных ограничены по норме в этом
пространстве (или соответственно ограничены все нормы счетно-
нормированного пространства) равномерно по си § при п *-*<Э
Рассмотрим функцию от <* & ' и л; €, (ы, Ь)
в окрестности точки k=.Q , принадлежащую С (ы,^)
Иначе говоря,
234-

oo
Слагаемое О [к**) означает, что написанные ряды
асимптотические при Л -*о. Цусть далее €^(^,0)^£ L(«),
i- ij-**.^ t те вЧ*) ' принадлежит к разложению
единицы но атласу <%■ . Заменим теперь в выражении К' <£(*)
функцию € (+) на £ с(<*, Ь) # Получается семейства
операторов, зависящих от в V4A) , Мы будем их обозначать
через
W пл<° Туп*0
ч
:д ' w > ^'А^
ГУ
Таким образом, запись /чм^ ¥^°^
не оцределяет вида £*(<*,Л) при кФО . Заметим,
что два члена указанного семейства равны, вообще говоря, лишь
с точностью до О(Ь).
Аналогичным образом определяется оператор *^А,г,£ь >
где А - положительно определеннийоператор, /?^ - его
резольвента (А ~Ю .В этом случае в формулах
(4*3) надо заменить к. на Rг •
При этом £ (<*/ *V и все их цроизводные по JL
0удут ограниченными операторами в. Н у зависящими от
параметра с?с .
Аналогично, если $(**-) - функция со значениями
в счетно-нормированном цространстве, которое является
пересечением банаховых пространств В/, —,&* -у &U1—O1 ,
а А - оператор, удовлетворяющий в каждом из этих цространств
235

условиям пункта4Т$/ гл. I, то £ (*• **/ , где
$г s (А • 2У " , является непрерывными операторам! в
0 е0 , причем £с(ы'°) - чнсловие функции, являете ся
элементами разложения единицы.
Б*. Квазиклассическая асшштотнка решения задачи Коми»
Пусть Н*,4) £С~, <рСос)вС - ж финитна, а рем»
вне {\)(xi tf уравнения Щредиигера
удовлетворяет начальному условию
Тогда tyfx, i) предстаышо в вмдв
где С-Г, /^=Л P-IJ * у. , ■)
о J
0.1. Примеры. Мы теперь покажем» какой имеет вид в
конкретных случаях выписанная выше асимптотика решения
уравнения Щредиигера.
Предположим» что начальное условие для уравнения
U.14) имеет вид
Щх,о) =<РЩ <L*p [% it*) ], U<6)
где - финитная функция с носителемLr/,4 J*
i-(x) &£*; ft0J-О, начальное условие (**£) есть
условие вида (У./*/ при Г*{?(+) = *> J>*G*)-f*(*)}j
236

dLe[-l-t,i+tl, £>°, <*°~°, ?*sO.
Канонический атлас состоит из одной неособой карты, £ C^f^) --
при -1 s Us J.
Цусть пересечение прямой ^ **х с кривой 't ш
при всех сс Ь (х '-f; ее '+ f)
не содержит особых точек, тогда оно состоит лишь из
конечного числа точек о/ \ • • •, <^ * Пусть $ - индекс
пути Q(^J;ot-t) , т.е. число нулей функции Э4к<*/v
при 0 ^ Г* t; S(& у Ь) - решение уравнения
удовлетворяющее условию . Поскольку
i
$fo)-Jp*9 +J{ Ш-v-[Q(*n*lUr.
то решение можно записать в виде
где ФСх,^,^) ограничена при А -* О в окрестности
точки *Х -зс
Этот результат может быть сформулирован еще двумя различными
способами.
*). Пусть точка (°0 *~) не является фокальной ни для
одной из экстремалей функциона
237

*b(x,t) аЛ*>1) *t(*M
,*х
сх.^х^) у а^Х^) } *i(x)4) находятся ыъ араёнлмит Q(*,i)*X'
Рис. 8.

И
т.е. все решения задачи
'' ?f 0-t9)
удовлетворяют условию <*f(c) /die Фе° .
Тогда задача (4-<9) имеет лишь конечное число решений
где $]> - число фокальных точек на пути ^ (Г) ^ *
при 0< Т * £
2) Предположим, что решение уравнения JH Xя~ът?('
удовлетворяет условиям:
Рассмотрим множество М (х) решений уравнения
X (foj-k) -J?- Если М (х) не содержит фокальных то-
чек, (т.е. точек, в которых у ■* l °» <■ =■ £ ), то оно со-
стоит лишь из конечного числа точек ЗЬ, •• v ^ >
которые являются функциями от ^ и £ •' ^ога<, (*,ч>-",<Ъ ~ Ъ (*,У
(см. рис. # ). Пусть ^ - индекс пути
т.е. число нулей производной 2-s. ^^ *v при оз Т±4?,
$(*,,*) - решение уравнения': ^«?Л# « >"*/& - *cf*\ ±)
при условии S (jCo, Ь) =г7(<г<>) . Тогда
239

J" +«<•> (4.20
Пусть теперь пересечение прямой f=& и кривой
Р *{Q(4tyP6*,i)j есть отрезок p'*Ps P •
Следовательно, для f>e{pL£, р'+£} из pfyi)*p получаем
dL*d(p,-b) . Тогда решение if>(*i£) пред ставимо в
виде А*
I Ysui% у
/'-£
где £7/>J - гладкая функция, равная I при р *р *р
и нулю вне р-Ь*р*р+Ц %* равно числу фокальных точек
на какой-либо траектории
а Ф (^t^(^) равномерно ограничена при к-*0 в
окрестности точки сс*£.
Заметим, что если р~р , а точка <^-*эС -
особая, то интеграл (/•££/ можно легко упростить,
разложив подинтегральное выражение в ряд в окрестности точки
р*р] и ограничившись первыми членами Сем. ftp 9 3)] ).
1°. Асимптотика решения системы уравнений.
I. В общем случае можно считать, что функция </%<*>) на
многообразии Р есть суммируемая по Бохнеру функция со
значениями в банаховом пространстве О # (Впрочем, во всех
конкретных случаях табл. 1 ФY°v есть просто вектор-функция,
т.е. £> - конечномерно).
240

В качестве примера рассмотри уравнение
где Я (*> 6) - ограниченная бесконечно
дифференцируемая 7** матрица, V(x,6) & С
Пусть 0<о
Ч>(*>°) - KJ/k>nk f(«) fa), (*■**>
где <f(<*-) - финитная суммируемая функция, а
€М*{£*Ы)~-4г(*)} вектор функция, \4Ы)\-±.
Тогда ^
$(*,*)-К, УЫ£° fa>> (J-2S)
где выражение £ *
обозначает функцию *f (<*>£) со значениаш в £> ,
удовлетворяющую уравнению:
Htfl/P опредеиемм. i пр&иЪуше*! mtvpeu**, a.
8°. Поведение разрывов решений гиперболического
уравнения.
I. Для того чтобы получить асимптотическое разложение
разрыва решения гиперболического уравнения» нам необходимо
определить канонический оператор ]£ * для случая, когда
равен L £z (см. п. 6° § I, гл. I), т.е.
не является положительно определенным.
16-1419
241

Рассмотрим теперь случай, когда оператор А
отрицательно определен* В этом случае полагаем
Ка,г - K_Atr
Если оператор А йе является полуопределенным, то
разложим пространство И на сумм^ Л*Н +Н таких^ что
сужение оператора А на п есть неотрицательно
определенный оператор А , а сужение оператора"^ на Л -
неотрицательно определенный оператор А .
Пусть (р(*)**р%)*$^те
По определению ползшим . 0 ^.о
Например, когда A-i '%•? - оператор в пространстве
Н~*>л, L~°°, °°1 функций отГ , Г - прямая р&0 9
4>(*)*(Нг)Щто №) = (!}(*) + £С*) , где
(К(Г)= JeiX*ctX > ах/ £(r)*dl*(i)
Поэтому ° ...
и ^ щ) <r(t) =&#*)& е1 £с v)
2. Перейдем теперь к изучению поведения разрыва
решения гиперболического уравнения.
Рассмотрим решение V. ( х, у, Ь) уравнения
lla -c*(x,i)( Щ +t« )s0 6-**)
х/ Сб обобщенных функциях см. [it, «IJ
242

удовлетворяющее условиям
и(х, fro) *(Г( f y.W(*) ti^C*, y,o)? о fai'J
Пусть коэффициенты уравнения достаточно гладки, f^J
финитна и имеет компактный носитель, Положим Ал <■' "*/ty -
Тогда А - характеристическое уравнение имеет вид
Оно распадаетсяна два уравнения
Пусть Q'faU, Pv(*,*), £*&,А), »",*~
решения систем
*1Г
удовлетворяющие условиям
Решение задачи (iZf) - (£Л&) можно представить в виде
где 'ffx, У, -У) - ограниченная функция, а / 0
i/^fjZ ~> есть многообразие р~0у Г± j iS-/,Z
соответственно сдвинутое многообразие Р- О вдоль
траекторий системы (V. X 3) , %"(*)* j~ SX«f Ь) +£/г JW Q[cf; qtj
2^3

Далее, если точка х,£ не является фокадьной ни
для одной из траекторий , то сущест-
вует конечное число решений dj (Xttyy j*l, '-•,#
уравнения
и решение -il (x, tf, i) может быть представлено в виде
+ №, y,t),
где - ограниченная функция*
Таким образом, мы видим, что если число фокальных точек на
траектории Q C^: I Q^J нечетно, то разрыв решения
имеет вид полюса первого порядка, если же число фокальных
точек четно, то разрыв имеет вид о - функции.
§ 2. Многомерный случай*
Многомерный случай мы будем исследовать по тому же плану,
что и одномерный.
1°. Топологические предложения.
I. Мы будем рассматривать гладкую t-мерную
поверхность <}~f(*)> p*p(«), *t*<*i, — ,°t*' в £*.-мерном
фазовом пространстве % р или, точнее, гладкое п.
-мерное подмногообразие (возможно, открытое
Зл -мерного евклидова пространства, для которого выполняется ус-
•гловие (&-&)и.1 в каждой локальной системе координат оС . Такую
2W

поверхность мы будем называть лагранжевнм подмногообразием Г .
Условие (fA)u.4означает, что уР*Р на ' локально не
зависит от пути*
Множество М. многообразия Г , удовлетворяющее условию
Ъ$/Ъс1,~о (как обычно, u<jr/QA обозначает
clU I Dfo / Ъ**/ \\ ) называется особ»,*/
Лагранжево подмногообразие обладает
замечательным свойством; которое позволяет обобщить понятие
канонического оператора на многомерный случай» Это свойство
выражается следующей леммой о локальных координатах.
Лемма Д.1
Для любой точки d на лагранжевом
подмногообразии Г существует поворот осей f~A% P*Ap>
такой,что некоторая окрестность точки Ы°
взаимно-однозначно проектируется на одну из п> -мерных координатных
плоскостей вида # »&*••• -& -Д</ «•••-#,»0
•Заметим, что преобразование вида а, ^А<2> 7?*Ар * {з ■/)
где А - унитарная матрица, является каноническим. Напомним,
что каноническим преобразованием является такое преобразование,
которое оставляет инвариантными
Координаты вида р„..,% ,%4t9 .fc , в которых Ъущ./Ъ*Фо
будем называть фокальными координатами точки d . Например,
в двумерном случае утверждение леиш означает, что
х/ относительно проектирования на плоскость psO ,&1,$]
1^-1419
245

ь
и
Рис 9а.
1,
%
Рис. 96.
Рис. 9.

если ранг II ^fc Р^ы]\\ равен нулю, то cUi " :=^г.^^°'
Если же ранг II ^$v / 3<^ II равен I, и многообразие Г1
находится в общем положении [4,1 , то проекция
подмногообразия особенностей М на плоскость й, может иметь вид кривой
X у изображенный на рис. За и 3 6. .В этом случае
fy ортогонально f , а ^ направлено по касательной
к у . Утверждение леммы в данном случае означает, что
отображение окрестности точки d & М На плоскость рчр*
взаимно однозначно.
2. Эта лемма может быть использована при выборе
локальных координат (локальных карт лагранжева подмногообразия).
Действительно, мы можем в качестве локальной системы, коорди-
ОКрестности точки ые-П вокальные коу£и«яты ^го^гру^си.
натЧзсегда вместо о/*, •.., о/*, братьу Д, • • v PK> fy*-"* >< ^~
Шля произвольного подмногообразия это не имеет местаЧ Всякий
компакт на подмногообразии Г мы сможем покрыть конечным
числом областей, каждая из которых взаимнооднозначно
проектируется на одну из координатных плоскостей вида р,У~ > PK>f~*' > "v ?*
В качестве локальных координат в такой области' примем
р>> "/ Р^> в'^'> •"/ % (локальная карта ScK )• В каждой
локальной карте J£ к. существует точка, в которой
(При # = <? это любая точка карты).
Выбрав произвольно одну из таких точек, назовем ее центром
локальной карты. Система локальных карт такого вида,
покрывающих компакт К , составляют канонический атлас ^
компакта Я . Множество центральных точек обозначим через j£.
Назовем точки, в которых якобиан *7 ( ?"' '> '' ** ] -А о ,
247

неособнми, так же как и карты, у которых ^жО . Остальные
точки и карты назовем особыми.
Введем индекс пути -£ Ы >°* j на лагранжевом
многообразии*
Рассмртрим лагранжево многообразие в общем положении
относительно проектирования вдоль координат р . Оказывается,что
в этом случае подмногообразие особенностей Л имеет
размерность не более Л-i , и ранг матрицы W ^9С (ы) /до// II
прн Ы G-ti меньше Пш1
лишь для размерности, меньшей ** Я-2.
Фиксируем точку d° &М , Произведем канонический
поворот вида Си • *) ив качестве локальных координат будем
рассматривать ее фокальные координаты р>> %г • -, ?"- .
Иначе говоря, мы возьмем каноническую карту с центром в
точке <* . Таким образом, локально % = % (fijfcr"/ ¥»'
на подмногообразии. Проведем в этой точке единичный вектор € ,
касательный к многообразию параллельно pi , в направлении
возрастания Ъф,/др, , т.е. изменения &9, /^Р/ от
отрицательных значений к положительным. Заметим, что в общем
х/ Если ранг матрицы ifofyM f^J " равен л-z 9 то
из / 1 / следует,что cli*» М-п-г f если Г находится в
общем положении. В доказательстве теорем, однако, используется
лишь тот факт, что cU** M<n-im все остальные свойства
подмногообразия в общем положении используются лишь для
иллюстрации.
248

положении 111 производная ^ 9* / ЗЛ будет менять
y/ С> ~/ о
знак А/ вдоль ^, , при переходе через & .
Таким образом получаем нормальное поле на
подмногообразии JJ .
Пусть точки * и <* неособые. В качестве
индекса (одномерного) пути мы будем брать индекс
пересечения этого пути с подмногообразием М . Таким образом,
если путь пересекает подмногообразие -М в направлении
вектора £ , то значение индекса пути увеличивается на
единицу. Если же он пересекает М в противоположном направлении,
то значение индекса пути уменьшается на единицу.
Мы введем сейчас другое определение индекса пути,
которое использует лишь тот факт, что в общем положении размерность
М не превосходит л-i.
Пусть точки d ' и ^ , принадлежащие одной и той же
карте Ьс 1С , являются неособшш. Мы определим индекс пути
£ [ d , d ] как разность индекса инерции матрицы
*-$!<,..-/WU
в точке ы= о*1 и индекса инерции той же матрицы
в точке <*- о^А •
х/ На этот факт и на возможность в связи с этим ввести
простую геометрическую интерпретацию индекса пути мне
указали Аносов Д. и Новиков С.
249

Индекс пути ■cjy*0' J , если ^ - центральная
точка карты -$t^ f Л о// - неособая точка этой карты,
равен индексу инерции матрицы и к. в точке с/ . ^
Теорема <•
не зависит от карты Я, , т.е. если £[*>*',<*"]
принадлежит одновременно Stc^ , ы и*" - не особые, то
Произвольный путь £ С^) ^ J можно покрыть картами. В
каждой карте определен индекс отрезка пути х' . Индекс
< Ы\**"3 определяется в силу аддитивности индекса. Из
теоремыЛ следует, что ЗпЖ £ L ^, * J не зависит от
покрытия и не меняется при непрерывной деформации пути i L^j^ "J
з путь c/V^'j э т#е. JtboL -cl^jct'j является
гомотопическим инвариантом.
Теорема 2.2. Индекс одномерного цикла есть целочисленный
инвариант инфинитизимальных канонических преобразований*;
Пусть fytt), p(^J - решение системы Гамильтона
# = Нр , р = - Но , удовлетворяющее условию: $(о)= ^ ^Л
р( с)- рс(^) где ус(<*)> Р*(*) определяют лагранкево
подмногообразие Г . Обозначим ty(t)*GL«,*), P(t)--P^)
х/ При условии, что подмногообразие особенностей имеет
размерность меньшую, чем К , например, многообразие /
находится в общем положении по отношению к проекции. Этого
достаточно, поскольку общего положения моашс достичь сколь угодно
малым каноническим поворотом.
250

Подмногообразие Pt -/ QC^)7 Pfafi)j » где -У
фиксировано, является лагранжевым подмногообразием фазового
пространства* Всякий путь отобразится на путь
. Определим индекс траектории Qfaj 0,4)-
Предположим вначале, что форма Z "К ft *i */ строго
У-' J m
положительна. Известно» что в этом случае число нулей якобиана
^* ,'L при О < Т s 6 с учетом их кратности ко-
нечно. Это число мы будем называть индексом траектории
(индекс по Морсу).
Мы введем индекс цути и для произвольного гамильтониана Л .
не удовлетворяющего условию ^7 Нр. р. 2<- Ъ: У О
Рассмотрим •& 3,/t+d - мерном пространстве Р,9,£
п* L - мерную пленку К± , являющуюся
объединением семейства ^ -мерных многообразий /^ при Т ,
меняющемся от О до Ь . в каждой точке пленки к, в силу леммы не-
вырождена некоторая матрица типа в*. Поэтому^мы можем
покрыть пленку л*. каноническими картами Я1^
размерности Л+i .Мы опреде.лим индекс одномерного пути,
лежащего в пленке, в том числе и индекс траектории &Ы) Q&J.
Рассмотрим отрезок пути -CL*k\ v*2] , целиком
принадлежащий одной канонической карте S2n с локальными
каноническими координатами ^<ч"£ 7 концы которого являются
неособыми точками. Аналогично тому, как это было сделано для лагранже-
ва многообразие определим индекс пути J^cC -с L*, <* J как
разность индексов инерции матрицы ЬК » взятых
последовательно в точках d и ot . Аналогично предыдущему
определяется центральная точка карты и индекс пути ЛсС £ Г°*к >°* J ,
где dL - неособая точка и^ ^к. - центральная точка,
как индекс инерции матрицы &£ в точке с/
251

Доказательство теорем об инвариантности будет дано в
главе 1. Там же мы определим индекс пути, соединяющего прои1ВОль-
ные две точки с/ и °^ . Для пленки имеет место аналог теоре-
мы117л индекс любого пути в nt определяется в сяду
аддитивности •
Мы докажем , что в случае, когда путь есть траектория
Q(d)0,-6) и условие £; Нр.р. ъj г<- 70 при г* *о
ij'' J '
выполнено, так определенный индекс совпадает с индексом по
Морсу.
2°. Определение канонического оператора.
Пусть на лагранжевом многообразии Г задана финитная
функция (р(ск) Ь С оо значениями в гильбертовом
пространстве, носитель которой есть некоторый компакт Я . Обозначим
снова через <РМ класс, эквивалентный <РЫ) в фактор-
пространстве ^ . Обозначим через <5тг канонический атлас,
отвечающий конечному покрытию I -*r j , L*J>'"' '
компакта R, , а через & L М , 6 = i,.., Л/
разложение единицы, отвечающее покрытию [У? J •
(zlU) Gc^y S есы)-1 при ы е Я, eLM-0
при ы 6 £?' . Напомним, что локальной карте Ьс*.
отвечает Ы=аЧу<) , где ^sJ5n- ^Aj^j-v?* •
Обозначим через ^(W некоторую меру на многообразии / ,а
через производную от нее по мере
dpt . • ^/>* ^^у/ . <й^ . В частности, если на Г можно
ввести глобальные координаты а , то можно положить, например,
<r(*).dot,...£tctn и Ъ<**)/В^=]&а6*еЛ%&
252

Обозначим через *£ центральную точку карты ?}« , а одну из
центральных точек назовем начальной и обозначим ы° .
Обозначим через /Y*> совокупность номеров всех тех карт
атласа 3f , которые содержат точки плоскости <р=х. Пусть А
самосопряженный положительно определенный , неограниченЙЙ'?
гильбертовом пространстве//, «Г - <£актор-.фострьнство Ь^н)/D(*)f
S - фактор пространствоЬЛ(^Н)/ШWVC*) Определим канонический
оператор КАг из о в S . Jtot оператор ао*но рассматривать
также, как оператор из ^^Ч»фосгринство пункций с
интегрируем» квадратом на Г со значениями///) 6 шактоо ifoocij ^гво
О • иными словами, мы .определяем Кл <ffr) <%kieJ,(cAv&* с точности
до дифференцируемых принадлежащих 2>f4).
?&- преобразование типа Фурье по первш К переменный функция
, финитной по этим переменным с носителем & , т.е.
а V" некоторая линейная функция оператора А .
В случае отрицатольно определенного А по определению полагаем
К*<**т «тал. evnpsm. K*f* (2Л)
1&ли оператор /4 не является знакоонределенпым и л
существует, to поступаем согласно пункту I,d° гл. 2 х'.
Tegpena 2t3.
I/I,*
Для того, ч*1 оби канонический оператор *^г не зависел
от выбора канонического атл&са, путей / f <**,<*« J
х/В следуще11 теорем^"йо^но рассматривать вместо гильбертова
пространства Я банахово пространство 5 и оператор А,
обладающий свойствами, 1).2),3) переч-олеиными в § I гл^вы о. а
Если А обладает свойствами 1),2а) Г>), то определяем /(*•
формулой (2.0» если свойствами 1>,3), a 6-B*<&6''.$rcg*. Q_
причем в б* one .затор Л обладает свойствами 1;,2),з;, а в о
свойствамиЛ),2а).'3), то \СТ? определяется согласно
лункту 1,в , гл. 2.
253

н от способа разбиения единицы» необходимо и достаточно,
чтобы для точек спектра S оператора А выполнялись
соотношения х' :
* I (2.5)
где интеграл берется по tc - тому базисному циклу
подмногообразия Г у ^ - индекс этого цикла, к0 -
одномерное число Бетти подмногообразия ^ .
Заметим, что условия (2.5) накладывают ограничения на
значения величин При *o=Z для
существования такого А , чтобы выполнялось (2.5)»
достаточна несоизмеримость Ii и Хх •
Поскольку фм petty и ^ инвариантны относительно
канонических преобразований, то, очевшшо, указанное свойст-
во оператора КА _ также сохраняется при канонических
преобразованиях.
Если начальную точку ot° атласа заменить на точку Ы°
и одновременна величину Y заменить на
f =1f+ A / petf - § Jnd ей***] э то
канонический оператор останется неизменным. „.*
Замечание. Для получения значений выражения "^ г УС**)
в окрестности точки х~х удобно пользоваться
следующим специальным атласом ££(£)*
Пусть пересечение плоскости <2~х ж ' состоит
из конечного числа точек ci (<x)y L=dr*,i0. Выберем атлас
х/ Символ t (™*cl 4) означает любое число вида Р+^п,,
где /г- целое.
<?5*

dT(x) так, чтобы каждая из этих точек была центральной
точкой некоторой карты
Канонический оператор, отвечающий атласу
в окрестности точки *£»«Х будет состоять из суммы С0
членов.
Заметим далее, что при выполнении условий Ы5) ^
Условия (* • S) независимости оператора Кд v
от вида канонического атласа в пространстве о в силу
теоремы ЭЛ и инвариантности Jn сохраняется при сдвиге
вдоль траекторий динамической системы Гамильтона: /-* П, . Мы
будем всегда полагать, что К^, г не зависит от
разбиения на канонические карты в пространстве о , т.е., что
соотношения (?" ^ выполнены.
Пусть теперь <Р(*0 ^ d Ь Г f является бесконечно
дифференцируемой функцией Ы/
со значениями в некотором счетно-нормированном црсстранстве.
Рассмотрим линейные нецрерывкые операторы В f©^0>
Ы€гГ7 Кб (p,i)9 в этом пространстве, зависящие от
параметров J* и ^ , а также от пути и
бесконечно дифференцируемые по ol ш А, при А.**0 » т.е.
предположим, что выполняются соотношения вида (1*43) Пусть
при fi=0 t эти операторы обращаются в финитные числовые
функции: £ (^,0)'в (*) э которые являются
элементами разложения единицы по атласу дт .
Подобно п.5* § I заменим в операторе КА%Г Функ-
255

щи в1 (а) ва операторы вс(<*-,&*) . Мы получим
семейство операторов V*,d* ,}[*>** , V Г***
зависящих от € (*>Kf\
Теорема 2.4
Пубть лагранжеву подмногообразию Г сопоставлен
канонический атлас с начальной точкой d° и
некоторнй оператор ]{ ' Пусть М другой кано-
ннческий атлас подмногообразия Г с начальной
точкой 5*^ Тогда существует едивствевннй оператор
вида У** равннй #/'**
на функциях вида <ДоО-
При этом
256

ГЛАВА 3. АСИМПТОТИКА РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЙ С
ЧАСТНЫМИ nporawflMWL
§ I. Квазиклассическая асимптотика.
1°. Основные теоремы.
Справедливы предложения,аналогичные, *<Myr***#//v futjupr
Теорема 3.1
Пусть Г компактное jarp«l|flrflFft многообразие, инватжантное
относительно динамической системы
L dXL M^ YtxT }
ct>0
Тогда существуют собственнне значения -*у уравнения
17-1419
257

удовлетворявшие соотношениям («2-5) **.
Теорба 3-й
Пусть коэффициент У*Сл,4у уравнения Шредингера
fy.£) гл. d - Jj^J +4 раза дифференцируемая функция, pYo^
дважды дифференцируема.
Дусть решение </>£чО уравнения (*'£) гл. I
удовлетворяет начальному условию
уогда решение y(x,t) имеет
где <9^/*Л ЛЧ^ - реденде уравнении Гам»™™»
x/ Таким образом, при Е-В0*,-Jn. = Vk* удовлетворяются
условия ф pdf^&n(mK'+6k fa)к + 0(Ь*J9 *Ч-Лэ где ^ -
число Бетти многообразия Г , 9 - интеграл по к-тому неза-
висимону циклу, -Сс - его индекс мЛ - любые целые
числа. Эти формулы носят название в физической литературе формул
Бора-Зоммерфельда,или формул квантования старой квантовой
теории. В физической литературе, однако, не были найдены значения
констант ^. Было известно лишь, что <к * 4*&)$)]y$fJm
258-

3* Следствие, Пусть выполнены условия предыдущего
предложения и пусть носитель И функции <?(*) достаточно мал,
настолько, что его образ R* на Q целиком лежит в
одной из карт атласа Эб с локальными координатами
т.е. мы рассматриваем решение Ц>(х,Ь) в Р -
представлении, по переменным crv,..., £i . Тогда
JlfCi>,.../^,^«,,..^<./V...^rfr./...•£. -*> J f *{«)**
и стремится к нулю вне этой области (ср.**. л* * *г* }.
4. Обобщение понятия канонического оператора на случай,
когда оператор л не является положительно определенным и на
случай, когда вместо *pfa) есть вектор-функция со
значениями в гильбертовом или счетно-нормированном пространстве,
проводится совершенно аналогично тому, как это было сделано в
одномерном случае. ( •
5. Рассмотрим уравнение U***) гл. I при. 4,*о,
Q^l, В*Оу A'Yl В частности, при &=(/%,Н)
оно совпадает с уравнением Паули (табл. I п. 5).
Теорема 3-3
Пусть решение ^(ХЛ) (функция со значениями в 3)
уравнения (J-Ш* гл. I при a,=Q Ял* 1, &~°> А*1/^
удовлетворяет начальному условию
(уравнение Паули, см. табл. I }
259

ip(d) 6 C°° н ^нитна, ft*) - единичнн!
бесконечно дифференцируемый вектор. Тогда
где oi° - начальная точка на многообразии / ,
QC^i Ь)> Pfat), $&*)- решение системы Гамильтона
w
rt-{QUV> BC*,b)}} R(a,thie(SA)H(Q,i))
6. Для интеграла от квадрата модуля вектор функции
tyCPir--,?*****'?--'***) ПРИ начальных условиях,
локализованных в окрестности точки &* , справедливо предложение
3. Однако, для интеграла от каждой компоненты вектора ^
предложение 3. выполняться не будет. Для уравнения Паули это
означает, что классической частице соответствует некий вектор
(спиновая ось), который меняется вдоль траектории по закону
iw.t'i"*™1'" *<•»),
2 . Метод стационарной фазы для континуального интегра-
т.е. спиновая поляризация имеет классический предел.
2°. Мето
ла Фейнмана.
260

функция Грива (фундаментальное решенже)
уравнения Щредингера удовлетворяет, очевидно, начальному
условию
if (<*)»!. Вместе с тем, как известно, функция Грина может
быть представлена в виде фейнмановского континуального
интеграла, который формально представляется в
О
Аналогично предыдущему примеру, нетрудно убедиться, что если
уравнение (УУ-О при условии (<х) имеет конечное
число решений ^ ~f (% 4У &, f), rt~d>.',k!o} а вторая
вариация (Г & цри f'f* He имеет нулевого
собственного значения, то . ^
О '
где Т* - число отрицательных собственных значений
второй вариации для экстремали
(р(рс(о))/дх)'* , где ^ToJ - начальный
импульс экстремали ^ с. Эта формула является континуальным
аналогом метода стационарной фазы для интеграла
T^jtifijz'Ztyjdx, &€& у который при некоторых условиях
представляется при к-* О формулой (<ъм- ***• * **'
если число решений X *~ уравнения d?~ о конечно ,и
х/ Как известно^^^с. равно индексу по Морсу
17-1410
261

матрица А формы d*9- не имеет при JC-X ** нулевого
собственного значения. Здесь $"«- - число отрицательных
собственных значений матрицы А ,а D(^O^dtiA с^>17
§ 2. Асимптотика решений релятивистских
уравнений.
I. Рассмотрим уравнение (f-J6) гл. I и цредположим,
что его коэффициенты принимают значения, приведенные в
таблице I с I по 4 строку (уравнения волновое, Максвелла, Дирака,
Клейна-Гордона-Фока)•
В этом случае уравнение (f-S6) гл. I можно
переписать в более простом виде
тже ф(х,-Ь) -вектор-функция: rf (*,£) **&,'..,Ф? >а
коэффициенты принимают одно из следующих 4-х значений:
262

Уравнение
Волновое
Максвелла
Дирака
Клейна-
Гордона-
рока
ф(х,6)
0
CLfct)>0

потенциал
сН*&
О
—*-
oifct)
0
0
векторн
потенц.
—*—
Г
0
0
тС-
Doc*
0
см.табл.
№ I
0 .
0
R(*t)
0
I
0
Таблица 2.
Характеристическое уравнение
для ($*) имеет вид
Двум ветвям решения этого уравнения (относительно ° *' * )
соответствует две (J=l,*) системы бихарактеристических
уравнений:

s'-h'-Ip/h;
Пусть fio) * f '(*), #*)*?'(*), -S "^ =4
p^'^^/'i^H - «грижево мвогообрааке.
Q-4J
Овоашчш
Q(*,*)-fa); №,*)-&), <*№•*&)
#4/
2. имеет место следупцая
Теорема 3.»*
Пусть %'(*) (\lsl,^) - две произвольные единичные
бескотечно дифференцируемые вежтора»фуихцщи}
произвольные финитные функции на Г со значениями х' в " .
Существуют решения, уравнения (•?. <J' , которые могут
**-
быть представлены в виде ^ ^\
1/-Ч* (JMTJ
x/ Можно также брать ^rf06' со значениями в
пространстве обобщенных функций в Н . Если Л* ^ ^ , то $0ф>
может быть равно обобщенной функции Т: ^frj, ££**<), *£%.••

Коэффициенты (матрицы $*$ &cj № ) для ф &У >
зависящие от Ь , как от параметра, могут быть найдены после
подстановки (^ v(^) в уравнение (i. ^ и
приравнивания нулю коэффициентов при степенях л * •
Такая процедура возможна в силу теоремы Ъ.Ч
3. Элементарным образом может быть вавдено решение
уравнения (З-V ^(х,Ь) как линейная комбинация 22 ч* т (*&
указанных решений Ф *(&,&)
чальным условиям вида
К**
и удовлетворяющее на-
<К*'°>-*л.1;ь«*)гМ
1>Ь
(при произвольных ограниченных
или
$<$
матрицах
?ф))
^(що)-0
№
#М-/^ №*)
ЯМ).
произвольных ограниченных <?*£ матрицах «£/'
В пространстве 3 (т.е. в нулевом приближении по **)
в первом случае» например, нужно положить
и взять полусумцу решений ty (х№ > ^*/,& в
265

§ 3 Примеры и следствия.
I. Если Н = Ux, [J, go] пространство функции от «Р,
а Д - оператор умножения на ^ , то поставленная
задача в случае уравнений волнового и Максвелла является задачей
о коротковолновой асимптотике решений этих уравнений. В
частности, когда Ц при Ъ-0 есть плоскость Р~Р° у
параллельная координатной плоскости ^ , то решение
W'tfa/t) соответствует случаю, когда в начальный момент
имеется плоская волна импульса ро . Подробно физический
смысл такой постановки и связь ее с приближением
геометрической оптики изложена в 3-м издании книги Куранта и Гильйерта.
[32] • Там речь идет о постановке и решении задачи в малом,
т.е. при таких Ь * i>o , при которых бихарактеристики
не пересекаются и якобиан не обращается в нуль (ср.
1*§ I гл. I).
Из ф*6) следует переход от волновой оптики в
геометрическую в целом. В частности для ty (xi fy справедливо
утверждение, аналогичное 3 и 6 ,$'»"'*. Получается также,
что поляризация решения уравнения Максвелла имеет
коротковолновый предел, а значит может наблхщаться в геометрооптическом
приближении. Каждому геометро-оптическому лучу нужно поставить
в соответствие вектор в6&) , который меняется вдоль
луча. Для электрического поля Ь Еектор g имеет
вид Йг * {% к , для магнитного Н 9 £н ~г|Г & 9
где И - единичный вектор, удовлетворяющий уравнению
C<f. teafM)
тЭг n*c\ff?
266

Эта формула справедлива для любого времени Ь • Таким одра»
зом, наличие фокальных точек не сказывается на классическое
поляризации: поляризация не меняется при переходе черев
фокальные точки.
2. Аналогичное утверждение справедливо и относительно
поляризации спина уравнения Дирака (см. W^S't^VJ ). дм
решения ty (*,&) ^-^г в уравнении Дирака
соответствуют электрону и позитрону {8l,tj} L&l.
Начальные условия уравнения Дирака удовлетворяют
соотношениям (Д ) • Эти соотношения накладывают ограничения
на векторы Z *(*) )1*№ в форцуле &£)• Именно
оказывается, что вектор £ "(4J является нуль-вектором
характеристической матрицы
где J* - единичная матрица.
Ранг матрицы С равен 2, поэтому существует 2 лине!но
независимых вектора, tL ? L*J.,z , которые она
переводит в нуль.
Система векторов ъ> 9 *"7> >
образует базис в 4-х мерном векторном пространстве, поэтому
любое решение уравнения Дирака удовлетворяющее начальному
условию </> fao) m ^ nL (fOi)
можно представить в виде линейной комбинации выражений (2*6)
если положить в этой формуле *i с ~z* J yjth2J <■**, *
3. Рассмотрим решение ^ Y-*/^J волнового уравнения,
удовлетворяющее начальному условию
il>fao)-1>(x)4 9>A*l&;$ - обобщенная функция г.
Пусть начальное многообразие
267

Пусть плоскость Q*3j пересекается с Г^ только в
неособых точках. Тогда число этих точек конечно.
Иначе говоря, точка && не является фокальной, и
уравнение -х имеет конечное число решений
с< *}.. v Ы **. Поскольку они зависят от ^^ , Оудеи
писать ci l(*it) i ±l stf. B ouy ($.g) реШв_
ние yl(xth) имеет вид
где YJ - индекс по Морсу пути Q Сы J/ О, Ь)
т.е. число нулей
при О* %*Ь
После подстановки выражения (3.4) в волновое
уравнение и цриравнивания ну.лю коэффициентов при степенях &? ,
получим, что fm [ qLj(X) h)} t J удовлетворят уравнениям:
268

где Q i/ - оператор Д'Аламбера в "криволиней-
ных" координатах diftm
«
при Y - печётшом
Совершенно аналогичное утверждение справедливо относительно
Ф fah)* Отсвда получается решение задачи (/.4) -(*&)
1Л. i в целом в случае, когда точка fc-Ь) не
является фокальной.
4. Если точкр (Xf't) фокальная, то асимптотика
решения по теореме 3. 3 представляется в виде интеграла
такой кратности, каков дефект (порядок минус ранг) матрицы
~ , ,. в точке fat) . Рассмотрим здесь
случай, когда многообразие lt находится в общем
положении, и дефект раван I.
Пусть задано волновое уравнение, с коэффициентом, не
зависящим от времени. Предположим, что носитель К/ функции <рМ
столь мал, что его образ ГЦ принадлежит только одной
карте атласа 0^ Пусть tyfao) *f(x) £*f> [£"> ft**)]
и c4x)lfx*4b ftAjf-C****.
Пусть $г2^г,. 2ск - локальные координаты
канонической карты.
269

Обозначим через pff значение импульса Т>' в
центральной точке карты*
Асимптотика при tf> -* *° функции </^ (*• ^) имеет дад
ЦЪСъ^Х,,
7Ы1 ..-3>X»
с%;-
где «^ « о4 ( #, Ха,, ■ ■ •> £,, i) находится из уравнений:
РЗ>С*,Ь), ZfQiM, л>**а ; функция
при 7J > ?' + £ *"$ <У ~Ъ и является достаточно
гладкой, у* - число нулей €Йд£ I liOJ^Lii |
вдоль полуинтервала О < £ * ъ,
6 двумерном случае, например, при наших условиях ранг
матрицы II • X :л— 1 не м0*ет быть меньше I. Поэтому любая
фокальная точка выражается с помощью одномерного интеграла.
Нацример, если проекция многообразия особенностей на плоскость
(каустика) имеет вид неособой гладкой кривой, ОС*ос'
проекция центра карты, то оси от, и £*, направлены
соответственно по касательной и нормали к кривой в точке Л .
интеграл в этом случае можно упростить: разлагая подинтегральное
выражение по степеням 6 , мы придем к сумме функции Эйри и
ее производной (см. В случае, когда
каустика имеет вид изображенный на рис. 9, интеграл также
упрощается после разложения по степеням & , однако к функции
Эйри уже не приводится.
х/ Bnepi
J79.I] бы.
^вые, по-видимому, многомерные формулы работы
1ыли проедены в дипломной работе И.А.Гордеевой.
270

§ 4. Система уравнений теории таяггогж
Рассмотрим систему уравнений теории упругости:
— а* ~
где j»JM >Оу /<-/<{х)>0, х=<ГьЪ,*4,
(коэффициенты Ламэ) /*/('*')-
(плотность среды) -заданные функции л. , принадлежащие С*!
ъ-\^-ЫЦ<Ш-
- тензор деформации.
Характеристический мвогваден имеет 4 действительны!
корня. Им соответствуй сведущие характеристические урп-
Эти уравнения в свою очередь определяют и системы
уравнений бихарактеристик:
271

Пусть * а - некоторое 3-х мерное лагранжево
многообразие в 6 мерном фазовом пространстве
Положим в выписанной системе Гамильтона
(Г or г о (г .
и обозначим, как обычно
образ Лагранжева многообразия \ \ при сдвиге вдоль
решений системы Гамильтона, отвечающей функции о а •
Теорема 3.5
Существуют решения tlt <г-1,& уравнения
упругости, имеющие сдедудиий вид
„г ur> ?/*lX?b*)**rfXfa»]X гГ
где (^ (ot) 6 С °° , <^,Д две произвольные Динит-
ные Функции на Г со значениями в ]f , а
Пусть H^C^t) и V/ (ы&- единичные векто-
272

ры в 3-х-мерном пространстве, ортогональные между собой и
ортогональные вектору Ц (оС,4) Существуют решения урав-
л»
нения удругости> имеющие следующий вид*
па ?£-§j»4/f*.W]-A/№*'-£/*''#)>
- любые Финитные бесконечно дифференцируемые функции на
со значениями в В .
Обычно оператор A**i 4^. > а </>(<*) -
некоторая "разрывная" функция V (напр. Ъ\ <Г(т)9 &{?)>
и т.д.), умноженная на финитную бесконечно
дифференцируемую функцию ос со значениями иж прямой.
Линейная комбинация решений Ui в силу
произвольности функций <fc t**,*<y ^ 4 *
может удовлетворить произвольным начальным условиям вида:
йС*,*)-К*' •(*>$(*)
273

§ 5. Стационарным случаи.
Пусть выполнено условие (3.3 J
Если мы положим A-L cit ' то можно будет записать
волновое уравнение в виде:
сх(л)й^Ах^^о' (5л)
Зто также по нашей классификации волновое уравнение. Если
положить Аж& , то мы придем к уравнению Гальмголь-
ца. Переход от I 2- к оператору умножения на <2
совершается с помощью преобразования Фурье.
Поскольку в физике постановка задачи для уравнения Гельм-
гольца восходит всегда к постановке задачи Коши для волнового
уравнения, естественно говорить о решении уравнения Гельмголь-
ца, индукцирозанном решением данной задачи Коши для волнового
уравнения.
Аналогичная ситуация имеет место для стационарного и
нестационарного уравнений Щредингера.
Таким образом, формально можно определить решение iff#,<*>)
уравнения (5У,) при А*и) индуцированное задачей
(d.i) Q'^J ГАь^ как преобразование Фурье по € '
Со s 6* 0°) от решения 11(*,£) задачи (<^)y(i.2j
ij. d. как от обобщенной функции р , принадлежащей
некоторому пространству обобщенных функций К . Пространство
К при этом определяется поведением функции U(<x)t/ при
^-*о°. Тогда асимптотическое разложение ttfafy по
степеням д\ перейдет в асимптотическое разложение
274

решения ^ (х> ***' как обобщенной функции "Э
пространства Я/ (по степеням v ). He уточняя
пространство К и пространства основных функций, мы можем
сформулировать очевидное следствие из (3*6) :
где такова, что
принадлежит данному пространству обобщенных функций № •
В точках, не являющихся фокальными мы можем
использовать формулу (3. Н) , Однако, при -Ь -* °° число
\i° может вообще говоря, стремиться к о° . Поэтому
для улучшения сходности ряда, добавим под знак суммы член
М - ~7~alj * &* этого первый член асимптотики
не изменяется. Тогда преобразование Фурье по £ первого
члена для функции Грина в нефокальных точках будет иметь вид:
и=о
у|л* || Шр±П \\\tMo№tf
Ч
где QC^i^J решение системы
275

находятся из уравнения Л (<*о , fji^) =Х. Повидимому
эта асимптотика справедлива и в случае, когда £~ С*)ж
=E~V-(jc) ,и мы имеем стационарное уравнение Цредингера
(уравнение смешанного типа). На примерах можно показать, что
полюса функции (5,2) (т.е. точки В-В°^
в которых ряд (S1) расходится) и вычеты в этих точках
определяют (приближенно) не только собственные значения и
собственные функции уравнения Шредингера, как это следовало
бы ожидать, но и так называемые квазистационарные уровни и
резонансные точки (ср.#Х^7).
Эта формула может быть получена другим методом,
который дает более точную оценку. Кроме того, можно написать
также и асимптотику функции Грина в фокальных точках. В
настоящей работе мы, однако, не будем этого делать, поскольку это
требует дополнительных конструкций.
Формула ( 5, Z ) > точнее ее аналог для граничной
задачи первого рода является обобщением известного метода
"отражений", применяемого при построении функций Грина для
прямоугольника.
Задача о коротковолновом асимптотическом разложении
решения уравнения (5* i) у когда О'
эквивалентна задаче о квазиклассической асимптотике решения
задачи на собственные функция оператора Щредивгера
_ Lt ЛФ + Жл)f = Л* «/» *»*»•• •,*"- (5'Ъ)
J
■Чх-1
Г
276

Асимптотика здесь ищется по двум параметрам
одновременно:
к -* О у К -* *° (5.*)
причем так, что нк -*cons6. в случае, когда Trfe)
растет как полином, такая асимптотика совпадает с
асимптотикой по одному параметру: Н—*е*>
Эта задача эквивалентна задаче об асимптотике
решения уравнения ( S± ) при и)-* л>, с~2* Е- У(^)
ату последнюю задачу мы уже ставили в теореме 5. {
Мы сформулируем сейчас более общую теорему относительно
решения задачи (5.3)-
Теорема 3,6
Пусть семейство компактных канонических многообразий
Г(£) непрерывно зависит от параметра £ € £ =j£*€, f+e}
и является инвариантным относительно динамической системы
ft ~ ЭТ^'/*-4 •'-''"'• Ntofi-jfr**1»
где 1К$) при 1р1-+"> стремится х <*? ж
является бесконечно дифференцируемо! функцией. Пусть
собственное значение, а Х(и) -
собственная функция унитарного оператора сдвига динамической
системы (5.5) , отвечающего инвариантной мере 0Y4J ,
те м
Тогда существуют собственные значения X
(^оператора Гамильтона
277

где £ — иехоторий набор иэ 6, зависящий от ^
н такой, что *л удовлетворятся условия
где £р - число Бетти многообразия Г , ^ -
интеграл no Z -тому независимому цщыу, -^ - его индекс.
Пусть ЕЛА - спектральная функция интервала А У ,
тогда
Изложенннй ниже метод позволяет также найти приближения
собственных значений с точностью до ОС* J , тде Af
-любое целое число и сузить в соотношении (&?J интервал Aji
до величины 0( ^ )• Таким образом, если точка Е* -
простая и интервал Е ± 0[^ ") не содержит точек
спектра, то получается асимптотика собственной функции фю
оператора Н .
Рассмотрим уравнение Паули
Пусть удовлетворяет условиям предыдущей теоремы
при
278

Оператор вида ,
самосопряжен в пространстве функции в интегрируемте
квадратом на Г(£) по инвариантной мере &f°0. Предположим, что
,/*(?) - его собственное значение, a JCC^J -
соответствующая ему собственная функция/Заметим, что в случае, ког-
да ^ * L Я£ (например, дли уравнения Щредннгера),то
можно положить, в частности, /*-0,
TeosguLM^*
При внеказанных предположениях выполняется теорема 5,6
если положить в (S.5J H(pj ?) =* (р+ Мф))* - Ф* С$)
и заменить оператор Гамильтона оператором
йл - [-и v +м*)]А- Фс (*)-&(% н(*д.
Мы видим, что для уравнения Паули к обычному оператору
сдвига вдоль динамической системы добавляется
матрица,характеризующая изменение спиновой поляризации вдоль траектории.
Таким образом, спин в классической механике существует, но
не сказывается на классической траектории. Однако, при
наличии спина необходимо изучать спектральные свойства не
оператора сдвига вдоль траектории, а оператора [5>i0) поскольку
собственные функции и собственные значения оператора &
отвечают задаче о классической частице, обладавшей спином.
х/ 0 существовании классического предела у спиновой
поляризации см. /19/; /68/; /58/; /66/. В настоящей
работе дано строгое доказательство этого факта, получена
связь с оператором сдвига динамической системы и
изучено поведение спина как вблизи фокусов, так и вдали от них.
279

ГЛАВА 4. УРАВНЕНИЯ С ОПЕРАТОРАМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ.
£l. Уравнения в счетно-нормированных пространствах н
задача многих тел в квантовой механике.
Мы остановимся на наиболее общей и наиболее актуальной с
точки зрения квантовой физики и химии задаче, когда в
линейном уравнении с частными производными малый параметр стоит
лишь при производных по некоторым выделенным переменным.
Этому случаю отвечает задача, связанная с взаимодействием тяжелых
и легких частиц, которая, например, имеет место в квантовой
теории молекул или в теории столкновений.
Таким образом, ваш дифференциальный оператор будет
зависеть от двух систем иеремешшх. Пусть переменные, при
производных по которым стоит малый параметр (например, описывающая
систему тяжелых частиц), имеет размерность п .
Относительно зависимости оператора от остальных
переменных (число которых в частности может бнть и равно нулю) и
производных по ним, нам понадобятся лишь настолько общие
сведения, что мы можем для простоты записи написать
дифференциальное уравнение от *ь выделенных переменных с операторными
коэффициентами, зависящими от этих переменных как от
параметров*
Например, уравнение
Лт, lac? «*M* ^**
где т, » rn*j , ш представим в виде
280

где Afa) - оператор
зависящий от ОС, как от параметра*
Оператор А 0*0 - неограничен. В случае, н если
V^(cCi}Xx)^Cc°9 мн можем сказать, что он переводит
пространство YJX*- [Я4] функций от Х& в W^ [Я1],
Таким образом, если рассмотреть счетно-нормированное
пространство , то,очевидно, что оператор
/\-(хх) переводит это пространство в себя»
Функция ^64^0 может быть рассмотрена как
функция оь со значениями в пространстве W^ [R J
ФУНКЦИЙ ОТ ОСх'
В общем случае мы не будем конкретизировать счетно-
нормированного пространства, в котором действуют операторные
коэффициенты, но во всех приложениях это пространство есть
пространство векторов, нормы которых принадлежат И/ А [Я ],
где S - некоторое целое число.
Рассмотрим в качестве примера еще одну задачу:
Предположим, что все заданные функции принадлежат С
по всем аргументам, а выражения
281

iW£2 {i£?(4*.,i,L)i''****.) аз)
ограничены при *-/>£>•••
Это означает, что
как функция аргументов «зг, и «£л» , принадлежит
У/щ °° [ Я1] ш непрерывна по Ь и к, . Пространство
функций со счетным числом норм вида (7.3J или вида (i^) '
мы будем обозначать соответственно W£ [ Д,ЬС&]
Мы убедимся, (а*.'м5>) что решение y(x*,*t,i,L)
задачи (_7.Я) удовлетворяет условию
Иначе говоря, найдется такое ^ , что, если
то k+Cb^Vew^Ctbh
причем
Мы здесь не выделяли переменных Ь и &1 , при производи
ных по которым стоит малый параметр /ь . Однако, мы
можем рассматривать пространство И^" £&^ СО
как пространство И/^ £Я, £*. J функций от *«, i, ^
оо значениям! в пространстве УУЛ Г Я J функций от Хх.
282

Так», обреза., ^1^Л^К{^Л O'JJ
Действительно,
Пусть | 6 j - векоторая последовательность банаховых
пространств:
А*0
определяющая счетно-вормироваввое щюстравство Р ♦
В общем случае мы будем рассматривать пространство
фувкций от сс1г.чси,Ъ, k, , принадлежащих И£*7" Я j C*J
со значениями в некотором абстрактном счетно-нормированном
пространстве Ь*° .Это пространство функций, которое
мы обозначим через
со счетным числом ворм вида
Нау (2 ГII £■* ^ -'^^С* Лс)"' *"*>••*
iaaaorrao черев мы обозначим
пространство со счетным числом ворм вида

? <Z7v / L > II
Max Z \h<*«*k)h<
Пусть на многообразии Г задан некоторый набор
базисных векторов X* (Ah ***г,ъ , принадлежащих
некоторому счетно-нормированяоцу пространству В и
бесконечно дифференцируемых по параметру ос , в том
смысле, что производные этих векторов по об вновь
принадлежат #"\
Канонический оператор А,,,. г ,
переводящий функцию вида
со значениями в в в некоторую функцию <■**> • • • / ^Я
со значениями в Sw , определяется обычным образом#
Напомним, что в 1(*> о)=в с(<*) -Г,
где X - единичная матрица в этом подпространстве,
функции \вс(d) J являются разложением единицы по
каноническому атласу дС #
§ 2. Асимптотика решения задачи Кони уравнений с
операторными коэффициентами.
Мы будем изучать асимптотику решения уравнения (зл)
гл.1. Рассмотрим в счетно-нормированном пространстве £"
являющемся пересечением банаховых пространств
В\ 3*,.~,в Tawa> что 3 '*£ В ' } оператор
284
*

зависящий от <йп + 3 параметров и отображающий В
в себя. Мы предположим, что оператор °£ бесконечно
дифференцируем по всем этим параметрам в области р & ^^f> >
&- £ Qx ? с* -Ь * Т и что все его частные
производные отображают Ь*° в себя.
1) Предположим, что В - гильбертово пространство
Мы предположим, что существует собственное значение
Л (Р, Р**, Л*) операторов do « ^/>, />*♦ /, *, ±, о) и
^ * = /*Cfl Л"'**/ ^ °^ » зависяцее от параметров
Р» Р»*/ > */ *• Пусть кратность этого собственного значения
одинакова для do и dc , не зависит от параметров и
либо конечна, либо
Пусть собственные функции операторов зс //?, />>«♦/ >«*"/ £, Су
и d (р, р*+, 0 ос, Ь, о) соответственно
X,(P,P~„*,V, ЛГЛ/Ч*/*Л-; X^^-^-f « X
отвечающие MfrP**,**,t) , принадлежат 6" и
cb*W¥jn*0.
Из последнего неравенства следует, что можно выбрать У>
С=1,^.,ъ таким образом, что {У. it X: ) ~ vcj ,
Обозначим через /v> проекционный оператор на
собственное подпространство оператора do , отвечающее
J (Р> Рм+/ > ас, fc^ > а через £Л - проекционный
оператор на подпространство, натянутое на векторы J^ ;Х* ,->Хг .
Предположим, что оператор
285

существует в В и определен всвду во > а
Положим
*f * (-'^ >-• "^' чк& *Х«»"> **» *» У ' (2.1)
KffO °,А'| °*Иг '
где
f to f <2-2)
2) Мы предположим, что решение задачи
где X и $к , К в о, ..., т. - I, - некоторые
фиксированные числа, а 7- Т(х^К) и Ц*0 =* ЦЪ (*> AJ - произ -
вольные бесконечно дифференцируемые функции х и
непрерывные функции к и t со значениями в В » существует и
единственно в классе таких же функций х'•
х/ Этот класс функций ^Тх, ~Ь, k>) есть
пространство со счетным числом норм вида Мах Ц/^г) T(xtt t) JJ K
286

Наконец, предположим, что характеристический в (смысле § 3,
гл. I) полином Л (р> Ра» ,<х,4>)**0
имеет действительный корень
постоянной кратности и следовательно \о Ф0 *
Пусть QCM), РЫ.-Ь), oslsT - решения уравнений
удометворясидае начальный условиям
принадлежат с. *° и лежат соответственно в областях
Я* и &г.
Заметим, что из этих условий практически в конкретных кванто-
вомеханических задачах нужно проверять лишь условие
постоянной кратности и изолированности точки Л (р, p«+i ,*, V .
Из остальных условий нетривиальными для дифференциальных
операторов являются а) цринадлежность собственных функций
X , X » пространству S"* , в) существование
решения J\ £ 6°° уравнения
где
287

с) Существование и единственность решения уравнения QMJ
Эти условия проверяются ддя уравнений квантовой механики с
помощью энергетических неравенств.
При этих предположения: справедлива следующая
Теорема 4>1.
Пусть - лагранхево
многообразие,. <*° - его начальная точка.
Для каждой финитной бесконечно дифференцируемой по ос
и ограниченной при о s к $ i вместе со всеми
производными вектор-функции
существует решение уравнения
5^-q (л.€)
представимое в виде
* -I/Kilt)** *-,
гДе Гь * { Q^,-b), РЫ,±)}, иь - начальная
точка на многообразии Vt ,
удовлетворяет уравнению
288

x
W *„„=d, P*P&6>> *=X(*,t), (2#9)
и начальному условию
В случае, когда £0 = £0*»^(р,р^уХ^) , в пред -
положении, что expjiltA\ X отображает 5°" в
себя, tf удовлетворяет уравнению
У -ЬРпи dt ЬряН * Lzj; Dp. Щ С -Ьк jkm0 j Г
Напомним, что равенство (2.7) справедливо с точностью
до функций, бесконечно дифференцируемых по ^ и 6 и
вместе со всеми своими производными имеющих порядок 0(Ь °°)
Укажем на следующее важное обобщение теоремы (4.1)
Пусть А - замкнутый оператор с плотной областью
определения V (А ) С & с = £,2г. .
Пусть (У+<5/и существует и определен всюду в &с
l = Jf£r.- , причем
l(j+£Ay*i5i ** Ыя-
при всех 6 >0 и при всех S чисто мнимых, и
пусть А" существует.
Заменим формально в операторе я. параметр
на оператор А .
289

Теорема 4.2
В предположениях теоремы 4.1 существув» ^ решение
уравненжя l(- j- ^-,-L 2.>х> ^Д) + ш а
представимое в виде
ГЛв Т,*1,Ъ,Х*,Р(<*,*),Q(*,*>
определены в предыдущей теореме, а ^ (<*,-£)
удовлетворяет уравнению (2*9) и начальному условию
<ft fyO)- *P]t*) » где (pj(*), *-*,-> г, -
произвольные финитные бесконечно дифференцируемые
функции. Из этой теоремы следуют все предыдущие
результаты относительно асимптотики задачи Коши.
Положим в теореме 4.1 w=^ ^ £у
* A0{p9*,l,k)-£(p,X)l,k). Пусть X0=£(Ptx^o)-
самосопряжен в В .
Мы придем к следствию:
Теорема 4.1а.
5 предположениях теоремы 4.1 решение задачи
х/ Заметим, что в этом случае в (2.3) надо
заменить k на 1/А , а 9 и *1>оУ очевидно, не
зависят от h, и принадлежат пространству функций со
счетным числом норм #f*/f£jVte^/A< "HV •
290

W =К'$<р'мЪ(р'(*),<>'с*),о), (2.иа)
где о
Ъ(*,А)6С~[С*},
может быть представлено в виде
Ч> - #,/Ц,а. %i % МЛ)Х* (РЪЦ Q6*,6U),V.U)
гдв dl,rt,P(^€)tQ(^t)
определены ранее, а
удовлетворяет уравнению:
L=i *=Q (<*,*)
и начальному условию
Из общей теоремы могут быть без труда получены
асимптотические формулы (в целом) для решения
гиперболических систем с осциллирующими или разрывными
начальными данными*
В качестве примера рассмотрим слабо связанные *
гиперболические системы» Теорема ЗЛ и все примеры глЛ
также следуют из теоремы 4*2.
§ 3* Гиперболическая система.
Рассмотрим слабо-связанную гиперболическую по
Петровскому систему вида v^ +^
Lu = £% + Z au*. ■ ,,w (x,l) * «, -о (3.1)

где &М, • *„„ (xj ь> при ь.', *• • + *„+( < S -
матрицы порядке г • Введем следущие обозначения:через
обозначим главную часть оператора L :
kj
Ns
а через
*(&•&•*'>
обозначим матричный оператор вида
В(1 ■&* »£&■"... w^,,fc
(3.3)
Мы предполагаем, что
1) корни Н*Н"(ЪВ*)
многочлена Л (р> И, x,i)=0
относительно Н действительны и различны;
2) Многочлен по р
Л (р.о,*,1)
неотрицателен, причем, если \р\ ><?>0^
то A(p,0,ac,t) ZS >0
3) Коэффициенты уравнения принадлежат С °°.
Характеристическое уравнение для (3.1) имеет вид
292

Корвл
этого уравнения отвечают £ бихарактеристик,
удовлетворяющих уравнения* Гамвльтова вида (i.2,) ^.i щ» j^i,—,^
Теорема 4.3.
Пусть А - произвольный самосопряженный оператор
гильбертова пространства И , <р6*) - произвольная фи-
автвая бесконечно дифференцируемая вектор-функция ва
многообразии Г со значениями в Н * Прн высказанных
предположениях отвосительво гиперболического уравнения (5,1)
существуют такие его решения M(xf~b) - вектор-функции со
значениями в Н » которые могут быть представлены в вщке _,
u(*t)-it'w \ш№Щ*- Ше1*Щ.а
и, -ъь'Ч' tH'U r> '" J J
.fC«) (Ц)
CfoC'd*]
где
ieti4i9
293

c^ - начальная точка атласа
ПУТЬ, СОеДИНЯЮЩИЙ ТОЧКИ ** И °^ а пР&наГдлежащей пленке R.
Этот запас решений достаточно велик, и их линейная
комбинация отвечает решеник рассматриваемого уравнения (3 i)
удовлетворяющему произвольным начальным условиям вида
где Г Р L= *} »,S - произвольные лагран&евые
подмногообразия, Фс(**) - произвольные финитные
бесконечно дифференцируемые вектор-функции на / со
значениями в пространстве Н . Сюда в частности
включаются случаи осциллирующих и разрывных начальных условий,
рассматриваемых в книге Куранта Г 38 у. Это вытекает
из следующего замечания.
Как и ранее, на обе части равенства в теореме 4.5
можно подействовать оператором А . При этом мы получим
в правой и левой частях равенства обобщенные в смысле
пункта 2 i i главы I функции. Функция
будет являться обобщенным решением рассматриваемого
уравнения. Поэтому, если ^-^^г » а Н -
пространство Да, L R J функций от Т , то мы можем положить
$(<*)* Q(T) ft*) » гДе $(v) - обобщенная функция,
равная И/ -ой производной от непрерывной функции, a -f(**)
финитная функция со значениями на прямой.
В случае осциллирующих начальных условий надо
положить /-/ - //д [ А ] - пространству функций от о) на
294

отрезке [ i, e*>j , A = и) - оператору умножения
на со, <f(«)-gito9 f^^A [/?']
Тогда Ag=-1 9 Au(x,-i) есть йгнщия, за-
вмсящая от параметра & , a
^ 4 . Агимтчтдцц гуИг.1ч>внных значений уравне-
Рассмотрим пространство $ , где и
гильбертово*
Рассмотрим оператор: ~ , %
введенный в £ &♦ При этом дополнительно мы полагаем,
что этот оператор не зависит от "£ • Предположим, что этот
оператор самосопряжен в гильбертовом пространстве
L%[b4]*WllKV] Фикций от *,г..,х«, со
значениями в В* и что условия 1) >
наложенные на этот оператор в § £ , выполнены*
Сверх того, мы предположим, что спектр оператора L
же является предельным при J - Е
Предположим, что существует семейство яошюктных замкнутых
лагранжевнх многообразий Г (£' без края при
Ебб ■*(£-£ £**J , где £ >0 такое, что
I) /Т^ недеерывно зависит от Б %
гъ

2) H(f**>> *«))=£ щш derCf) (H(P,9>)~
гамильтониан оператора
В качестве меры &Т<*) на многообразии Г( Е)
мы возьмем меру инвариантную относительно сдвигов вдоль
траекторий гамильтоновой системы* В пространстве функций
с интегрируемым квадратом на Г по этой мере операторл
на многообразии
Г(В)
самосопряжен» Предположим,
что /*(£) - его собственное значение, a f (<*) -
соответствующая ему собственная функция.
Теорема 4.4
Пусть •{£ j С с C-J.r.tJL9 зависящее от ъ множество
из С такое, что на Г(ЕС) удовлетворяется
система уравнений
77 A- J
х/ Напомним, что скалярные произведения здесь
берутся в 3 d .
295

где ф обозначает интеграл по к - тому базисному
циклу многообразия Г(ЕС), 1^ - индекс этого
базисного цикла, к0 - одномерное число Бетти многообразия
Г(Е ). Тогда существует подпоследовательность У
собственных значений оператора L , такая, что
Х-Е1-к/<Ес) + оал}, (4.2)
а спектральная функция РлЛ интервала
оператора L удовлетворяет соотношению
Заметим, что в случае, когда z-i , a jf(x,p)~
действительна, матрица &шОъ задача сводится к
отысканию собственных функций и собственных значений
оператора сдвига вдоль гамильтоновой системы (или оператора
I jb- ) на многообразии Г • Эта задача широко изу-
чена*'. Кроме того, мы можем взять в этом случае f~o,
В качестве примера рассмотрим оператор Гамильтона
вида
где
е - заряд, а Н„ (iz, - fj О —
оператор Гамильтона общего вида
для системы Я электронов в поле двух неподвижных прото
нов (см. напр. [87] )•
х/ В противном случае см, £з)
29?

Оператор Гамильтеаа И отвечает двухатомной
молекул*.
Пусть F С1ъг7а I) - «которое собственное
значение овервтора tt^(lZi-l^) (тек называемый
электронный терм). Мы предшлсннвц что функция
имеет минимум (т.е. терм F( f7,'?i!) - устойчивый (см.
напр. Vf7] ). Для простоты будем полагать,
как это обычно имеет место, что этот минимум единственен.
(Это условие не существенно).
Будем искать асимптотику ообстведанх значений
оператора Н з расположенных вблизи точки Л , лежащей между
минимумом и абсолютным максимумом функции U С I ^ ~7* О
> этом промежутке спектр /7 дискретен (см. / i3 7)ш
Мы предположим, что кратность собственного шипения
остается постоянной в облает
_Q Э /г,-г& /, для которой и, ( / г, - ft.l) * Л ,
т.е. что в этой облети терм В (^,'?/!) не
пересекается ни с каким другим. Пусть эта кратность равна I .
Нетрудно доказать, что при этих ограничениях оператор
И» (('^' ?г •' ; удовлетворяет условиям I), если в
качестве В *~ взять \V^ [ Я J , а оператор И -
у с ловим теоремы 4. М.
Обозначим через л. линейные размеры молекулы.
Перейдем в (ч-М) к безразмерным переменным
Положим уУ - ?i 9 р± -- Хг и разделим (*/- *)
на i; г М<'.ъ^Е( /f.-z-O.
мы получим оператор
29:

где
( т. - пасса электрона). Здесь 5-1 -2_ п---/-,
снова обозначена через Д<г ■
Поскольку для реальных молекул ))~ »0~3 - КГ4, а <*^
и d^^l % можно рассматривать)* как малый параметр и
искать асимптотику уравнения
при i) -^<? . Гамильтониан оператора^ имеет вид
Ему отвечает следующее уравнение Гамильтона-Якоби:
Введем новые переменные
Ъ-Л~А, &= ft +Л
Мы получим, обозначая через \^ и 4- операторы
17 по переменным £ ъ z , соответственно,
J"/^* Sf+ (*f $П ' Г" *• £^-^'
Таким образом, переменные по г и /Р разделяются и,
299

полагая S- S Cz) f получим
Нетрудно убедиться, что условия (4.1) в данном
случае будут иметь вид
Зи> ~ %<7&\р = Цттпъ
где ?? и ?i - нули подкоренного выражения.
Таким образом|
где J * удовлетворяет уравнению
Заметим, что известный метод Борна-Опенгеймера
(адиабатический метод) может быть применен к решению доставленной
:^'ачй лишь при дополнительном условии : ЛЧ/ (см. 1ы1 )
300

ГЛАВА 5
ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ В МАЛОМ ДЛЯ
УРАВНЕНИИ ВОЛНОВОГО ТИПА
Асимпотика в малом» т.е. при достаточно малом £ , для
решения системы уравнений гиперболического типа с разрывными
и быстро осциллирующими начальными условиями была доказана в
математической литературе (см.налр.£2$7Л(6|1)],&6,*), 2)]
fro] Лав] , [so] J2],[5].)
Формально квазиклассическое разлоз^ние в малом для
уравнений квантовой механики, совершенно аналогичное
асимптотическому разложению вышеуказанных задач, было выписано
в физической литературе/^24-], [27](см. также [Q]t[5I, I)jf26j)
Настоящая глава посвящена доказательству этих формул,
которое основывается с одной стороны на теэреме 3.2
теории возмущений, с другой стороны на оценке обратного
оператора в том или ином пространстве х' •
х/ Заманчиво было бы [ см. [29] ]} заменив •£ на l^l
(переход к "пятиоптике" см. /67/ ,/63/ ), свести задачу
о квазиклассической асимптотике к задаче, рассмотренной
Людвигом /50 / об асимптотике гиперболических систем
с осциллирующими начальными данными. Нетрудно убедиться,
однако, что полученная таким способом задача отнюдь не
удовлетворяет условиям теорем Людвига и Лакса.
301

Математическое обоснование этих формул грубо говоря,
может быть проведено следующим образом. I) Доказывается,что
подстановка этих априори взятых асимптотических формул в
уравнение дает выражение порядка 0(-*-,)( т.н."невязкап).
2) Оценивается обратный оператор, Отсвда получится оценка
разности между точным решением и данной асимптотической
формулой* Заметим, что в фокальных точках и сами
асимптотические формулы и невязка обращаются в бесконечность. Для
уравнений туннельного типа такая схема, однако» не годится.Мы
здесь приведем несколько измененную схему доказательства,
которая будет в дальнейшем нами перенесена и на уравнения
туннельного типа. Кроме того, приведенные нами
доказательства дают возможность опираться на теоремы 3.2 и 3.6
абстрактной теории возмущений. Это с одной стороны упрощает
доказательство, с другой стороны снижает требования на
гладкость коэффициентов уравнения.
( продолжение сноски с предыдущей стр-цы).
Более того, задача о квазиклассической асимптотике сводится,
таким образом^для уравнения Шредингера, например, к весьмв
сложной задаче с начальными данными, лежащими на
характеристике. Эта задача не отватывается дане теорией "унклюр-
мизации" JIepef26] . Для релятивистского случая плоскость
i~0 может не быть даже (при некоторых соотношениях
коэффициентом) пространственно подобной. Эти дополнительные
затруднения связаны с тем, что точка } =0 является точкой спектра
для оператора i ^ , в то время как т- ^ #
302

§ I. Асимптотика решения уравнения Щредингера
в малом 1°. Квазиклассическое
представление
Вначале построим характеристическое
(квазиклассическое) представление для уравнения Шредингера
^^'--ТГМ + Щ*)* *'1ъ,- >**) (1Л)
Соответствующая система бихарактеристик (в смысле §2^.1)
имеет вид уравнений Гамильтона
Предварительно докажем лемму. Рассмотрим общую систему
Гамильтона
Предположим, что третьи производные от И непрерывны.
Предположим, что система (1.2) имеет ft - пара -
метрическое не пересекающееся семейство решений:
*(№h P(M> /=(&>-,/>")
Лемма 5.1» Якобиан / -dei\?Lei II
удовлетворяет уравнению непрерывности:
303

Vfc * ciCV У pad S-o
Доказательство. Рассмотрим dY/ci€, ibt.
Очевидно,
41
cU ■ ы
Ul получается из I заменой элементов
I- тфи строки на 1>xXi /& "^f>j9 J**,-"Л
но 7>£bJJJl-2*L
(см. /Я^/) и
^% л/ *f/^ ЭД
От остальных строк определителя Ui линейно не зави-
s
сит только L - тын член суммы, поэтому
\ . rnonr»-DQ»nolTt.UA
т.е. di/dt =Y^ $ > следовательно
cLY'*/** +Y aS-o
Отсюда Э У"' foi + fzcut Y~*$ъасС $+Y~ AS = Op
что и требовалось доказать.
304

Для У Y~' получаем уравнение
Перейдем к выводу характеристического представления для
уравнения (i. i) Подставляя
в (*•'/ и учитывая, что для любой
дифференцируемой фУНКЦ UU Я (*i )
-^ ш €**-€**(-*% +£)&<*),
a S удовлетворяет уравнению Гамильтона-Якоби
мы получим Lh> <ъ£ (У ту в
Я
Отенйа,
^|*Г1% ± [dcv Y"Afuu Ufz^cs9t^ r*]}f+
Сделаем замену
<fC* *) -flf« (М>> У*? с/> bJ
Очевидно, что
-'/* * (4.
20-1419
305

Di U fa V*i ЪЬ T>6 ? r* y '
Из id-6) и (£•$) получаем окончательно
где йл - оператор Лапласа в "криволинейных"
координатах А • Это и есть характеристическое
представление уравнения Щредингера в малом.
Зч Оценка обратного оператора.
Рассмотрим оператор Гамильтона (самосопряженный. )
Ц = - hL л+ Vfob) ос=хь.„7х* (**J
._ U«'l
Обозначим через ^/ L "% J пространство
интегрируемых по Бохнеру функций от £ на отрезке
Os i * -i0 со значениями в Ьхц /? ] . Через V
обозначим прямую сумму Обозначим через
С f i-a] цространство непрерывных функций Ь
О $ Ь * "Ьо
со значениями в Ьг •
Нормы в этих пространствах имеют следующий вид
^lu2I 0 *> для g&Lijibii
tun g £ С£Ьг], то
1,1С1Ч) -И« Vjrj,(V^l*-
306

IWbh-h^ib^i + K
Рассмотрим оператор L с областью определения, лежащей
в С [ЬА] и областью значений, лежащей в V ,
действующий следующим образом:
w 9Cb*)GT>cUcCLbtl
В силу леммы %Л **• к%.£ в частности следует, что
(I L Н *Соп$-6. з случае, когда V*(x,bj Не
зависит от Ь этот факт очевидным образом следует из
самосопряженности оператора И • Действительно, если
то очевидно, что
(Ь, *) - L" { *Ю, ?<W} - вх ^♦ Je* H(lr%№
Отсвда ^0
1 о
307

Рассмотрим теперь пространство
функций от f> Cfi'fiu- •»y3n-)
с нормой
Ему соответствуют пространства
Оператор Г1 :
И { (fib) = У (fi(*M Ч Z 4(?(*№)
унитарно отображает пространство Ь^ на //д, .
Действительно, пусть
тогда
jl $ (*,L)i% ,J / / с/, *;/ft T'dx .J/ Нм№/:
точно также оператор г! отображает v на У >
Ь,Г^*] на L,/^] и c[Lz] на С/7,, J
с сохранением нормы.
308

Оператор L при таком преобразовании переходит в
оператор Lt с областью определения, лежащей в С[L^\
и областью значения, лежащей в V • Очевидно, что норма
IlLTi */| L ' II * i>0 .В силу вышеизложенного оператор L1
действует следующий образом
( Л а - оператор Лапласа в координатах Jb )
3°. Ряд теории возмущений.
Рассмотрим теперь оператор /,
иа С [ Li) . в V вида
и оператор Ц1 из С[ЪЛ ] в V^ вида
HtU(l,fi)mlo, HfU(6,f)}
Имеем
Lf = Lo + ckHi >
причем
/I L" 1*4 , // Z; | * и
Кроме того, если J(J*), ?(fl,t) 2к раз диффе -
ренцируемы по ft ь потенциал V(x,6) 2к раз диффе-
рейдируем по г , то выражение LJ' (Н± L~') \4(рЩщ
109

существует и принадлежит
Следовательно, все условия теоремы £3. гл. 3 частив
выполнены^ и мы имеем для в 6 V
где *htylccZj-*° т к^°-
11 чвсгноети^веди о. {О, r<Yt> , то.
£jH; * »W** « tJi q„• {о, IU%)*J,
Аналогично
+
m о
к
к \(Ц)
Следовательно, решение задачи
имеет вид ^ ^/ д,
ВИД £ V/ д, * / %
t*0
310

где 1\ах\Ъ.(Ър\Ъл-*0
при к ->о , если выражение, стоящее под знаком суммыt
является непрерывной функцией 6 и квадратно
интегрируемой функцией р . Аналогичное утверждение справедливо и
в случае, когда /^7-/^/^является аналитической
функцией k,
Рассмотрш теперь решение задачи
t,M.-£^*a*fy (WD
i/A. S,(x)
Решение задачи (I.II)-(I.I2) при условии, что V(x)GCl
л. * *
if(a:,L)6C , {(х)бС,првцс*авяю в виде
Этот результат, также как и результаты следущего
параграфа, очевидным образом переносится на случай, когда
потенциал зависит от времени.
§ 2. Теорема вложения для дбуррдмчрх функций и
опенки в счетно-нормировааных пространствах.
1°. Теорема вложения.
для дальнейшего нам понадобится следующая
Теорема вложения.
Пусть А - производящий оператор группы в банаховом
пространстве б , такой, что Jf (!+£&) /Мпри £ >0
и £ чисто мнимом. Пусть Ф(х)€Lx[R>n&]
принадлежит области определения операторов С^/Э^-) * *' <>/г./Л и /[&"

Положим ал = ((-j) \ъ)/к
Тогда Yzai sup Ы ** <£ tej//e * const.
Доказательство. ОбЬзнагилс
Значит <Р(Х) - (Ь*)Ш*' ?ю}
где Я* = (£* А)~* .Замети, что Ц Ц* f ч< z,
поскольку А &Л =1 -R*
Обозначим l9falB-l?l, %-^^УРье-образ 9(х)
Тогда
о. ^ . ПК
-"* 7, / л л * Д;" ~, \ ,а'"*М tJP'faOjb*
4 Ur) J I (A R, ) ?(p) }dP =(2п)№(Р> у ''jt»
*(9*) iU**(f) )[(AR,A)sJ M>fy/_l-$iH,
Имеем
Ксли [j]+i четно, то ограниченность правой части
равенства следует из условия теоремы вложения. Вели %ь [^Ъ^
нечетно, то, используя тождество
312

90 CO
= - / j(x) Л i(x.) doc = / / v-fwfdx ,
получим л,
Tir ,%'A/ ,'/*f# ^ i* ^ f/ *^J г №1 !
_J I (-4) f-л j ф^; J аГ* = -J f-4j ф(х)л[(-а)1 *]фф»
-00
Ограниченность последнего интеграла следует из условия
теоремы вложения. Аналогично доказательство проводится
и дляАудовлетворящего условию $(4- 6 А)\\ s 1 при £ >0
и <£ - чисто мнимом. Общий случай получается с помощью
разложения Д = Д*+А~ , где А и А
-неотрицательные операторы.
Замечание I. Бели оператор А положительно
определен, то А существует и ограничен, В этом случае в
теореме вложения вместо £, мы можем брать
2°. Операторы в счегно-ношированных пространствах.
Рассмотрим пространство S^ со счетным числом норм
вида
o<k.L (2.1)
J*l J ' It/ Ъа* It* I
Рассмотрим так*е пространство fc со счетным числом
315

норм ввда
0<k$tt
Лемма 5.2а . Пусть JC^^^e R, «тогда
х*
Ч
Доказательство.
Ф/ ?(*>*,Ць&
к.
Обозначим
Очевидно, что
/>Ъа 2 Г m^J= & 7"*£ А-*8***
Э/> ' l ' ' У >/* ^
Следовательно
-/' rt£kip f KpM)fa-J.l(t&fa?M*£b.
Отсша следует утверждение леммы 5.2а.
314

Очевидно, что S^ вложено в И^
Лемма5.2 Пусть ff{x,6fA,)6 R^ ; тогда х'
Г'^^)^Л (2.2)
Доказательство.
8 силу теоремы вложения
Следовательно, ^ "1г gfa Ь}К) G-S^ClZ^
Лемма доказана*
Рассмотрим следующие пространства:
с нормой
i*e-£ Л/^Н*"*
Ч Со
Ле (х, р) с нормой
«о
Теорема5.2. Если и (ос, к,) Q £^ то К £ #С*к) б S^
х/ Точнее ^(^,^t^) можно изменить на
множестве меры нуль, так чтобы вы полнялось включение (2.Z)
315

Предварительно докажем две леммы.
Лемма5.3 Пусть существуют Ь ограниченных про-
изводных 7f(x) i тогда оператор exffj- Hi)
равномерно ограничен в пространстве \Ve (р) при
о<к, * ко у с* б* 6d
Доказательство. Как было показано в . имеет место
тоадество § Л ^
о.. • (*■»
приводит к неравенству
где
Предположим, что лемма справедлива при -с»/^ . Очевид-
Р у" J = I p у v(jc) J
в силу ограниченности производных V'(oc) будет ог-
раничен в W% . Из iJt-Ч) вытекает, что если
У 6 l^t*" > т0 «ормз1 У Р *"# "ь
ограничена, поскольку по индуктивному предположению О. & W%
Лемма доказана.
Лемма 5.4 Пусть <- производных V'&t) равномерно
ограничены. Тогда оператор £хр (±~ Н i) равномерно ог-
раничен з пространстве blp (xj р) при О <к> * Ас о$с > (л 4
'6L6

Доказательство
Сделаем индуктивное предположение. Предположим, что g * "tr\
и что норма || X т ' р 41а \\ ограничена. Докажем, что # £ /с^
тогда норма \\х™ р е'^ а\\ тоже бУДет ограничена. При
гп=1 индуктивное предположение наполняется в силу лем-
мн 5.3 Первый член правой части тождества
ограничен по норме в ^ » поскольку $6 Me-t , а второй -
в силу нашего индуктивного предположения. Из (2.4) следует,
что норма (| Я**1 р^'тgllfr также будет ограничена. При
1*1 индуктивное предположение очевидно. Лемма доказана.
Докажем теперь, что если ^(x,h)&R^ , то
^(Х^^)^Л)^^(тогда из леммы5.2 будет следовать утверждение
теоремы). Для этого остается доказать, что норма
|п А, 1 \ *а \\ равномерно ограничена цри О < k *k0 y
С я ь * £* » если У £* й л, . Это следует из тождества
Теорема доказана.
Из последнего рассуждения следует также следующая важная для
дальнейшего
Теорема 5.1а
Оператор [^^ + а " J отображает А/^ в "^ •
Аналогичная теорема может быть доказана в случае, когда
потенциал ^Ос) зависит также и от времени. При этом следует
опираться на оценку ( XI) леммы •&/. части.i. ^
Теорема 5.1а справедлива и в случае когда оператор И
есть оператор первого порядка Дирака. Доказательство этого
проводится аналогично доказательству теоремы 4.1а.
Из теоремн 5.1 втекает следувдее предложение:
Теорема 5.2. Решение задачи (d>W, &Ш может
быть представлено в виде (4.0) , где ъ(х, Ь, к) bS^ .
317

Доказательство* Переход к квазиклассическому
представлению совершается с помощью замены
Очевидно, что если U € Sh , то и их обратно*
Доказательство теоремы проводится с помощью
следующей леммы, относящейся, воооще, к абстрактной теории
возмущений
Леша 5-5
Пусть линейные операторы с
областями оцределения и областями значений, лежащими в счет-
но-нормированном пространстве б Оператор С имеет
обратный, коммутирует с А и (J * , определен на всем
Ъ°° у сужение А оператора А имеет обрат-
ныйУа область значений оператора
6 00 1*1
_
Предположим, что существуют решения «аг»,.-> &A>f+/»+4
уравнения А**С * такие, что
принадлежат области оцределения оператора б - <£ Сс Ц-
Тогда существует решение уравнения
(A-ZclUi)#«7 , 7* 6е0,
которое может быть представлено в виде
XI т.е. уравнение Ах-о при х & дСА) может
иметь и нетривиальное решение, а при *£ 6 Ъ(А) имеет лишь
тривиальное решение.
318

ibe j - н<к«то^«й wnent из В f n^n усдевшцго
1?С*А"(ВГ)*? € 7) (В)
Доказательство.
Подействуем оператором А-СВ*** 8*ЕсЦ& »ль-
мент вида **
Поскольку /4У"'5"5 и ^JC.-=0 , те А/*»£Ц&4 *
«е пологое* Ц = 0 „(,« j > ,Д/ .
Очевидно, что
Поэтому
319

где £ & D в силу условия леммы. Таким об-
Ра30М г mi W" ~>
В силу условия леммы существует решение У
уравнения
Очевидно, что
служит решением уравнения
Отсюда следует утверждение леммы*
Положим в лемме 5.5
на функциях обращающихся в ноль при t^o^ &*Hi} C^k,
Условия леммы для оператора
выполнены, поскольку область его значений, как мы доказали,
равна Sk
Решениями уравнения
служат функции, зависящие лишь от л» m-Xot,...;л«*
Отсюда следует, что решение уравнения
может быть представлено в виде
tCxo j** О
320

где fGSb,
Следовательно решение ^ задачи может
быть представлено в виде (d.iO) , где
что и требовалось доказать.
§ S. Релятивистские уравнения
1°. Уравнение Дирака.
Рассмотрим уравнение Дирака*
О "С
где
A(x,U*{JL4yAXyA3 ) и Ф(х,й)~
векторннй и скалярный потенциалн электромагнитного поля,
которые являются здесь заданными функциями X, 6 .
Предположим» что решение уравнения (3d)
удовлетворяет начальному условию вида
Рассмотрим соответствующее уравнению (5 i )
классическое уравнение Якоби-Гамильтона
(a5+e$/_c*M-#i)*-/****-0 (5.5)
Из (3-3) видно, что имеет два значения*
Решения х*№~Х*(**&, р*(*)-Р*&1*), Jtcv-S^xo*)
системы уравнений Гамильтона
id- Ml, iEL-Ж ■ х1\ -хв, f\ - r% (x.)
(3.4)
21-1419
321

соответствующие знакам - , отвечают двум ветвям решения
уравнения Якоби-Гамильтона. Предположим, что Л (х, 6) и
ф(х,Ь) ограничены вместе со своими двумя производными,
и вторые производные от Оо(х) также
ограничены.Тогда (см. гл.9 $ £) при t , меньшем некоторого to ,
семейства решений системы (3.4) , соответствующие
знаку и+" (тайке как и знаку и-и), не пересекаются,якобиан
И !>*оу II ±
отличен от нуля, и решение уравнения X (Хо.6)=Х
единственно: <Х0 = Х0 (Ъ&; .
Пусть S *(х£) - *>t (x°,t) - две ветви решения
уравнения (3. Ъ) , удовлетворяюще условию о " (х, °) - ^о №
Квадрированное уравнение Дирака (cu.l^^J^P^J )имеет вид
[(с111-еф^с''(сЬ.г+§Л)Л->плс*+Ь>/1(*,Уи(-о,
Rfxt) C35)
где П,1*лУ - четырехрядная матрица вида
ft (ос, t) * ее [(6) H) + L(«E)]
£(*>£), Н(*/^) - векторы электромагнитного поля, а
^-№,^1;^} ) - четырехрядные матрицы Паули Г S"6 J
Полагая
-А (*)«*""
XI
= v„ ( XJ С
*»0
322

t=<
zfa+cytcAv-lAl^J&e^0^ (s.e)
мы получим, что У-'^у где ф - решение уравнения
(3-0 » удовлетворяющее условию (?.2; (см. гл. I). Обоз-
начим через Jb(**l) срумщилэ ~ ?£ f^^ д ^<=
о
где f , 1
s задачи
решение задачи
Замена» X' - f'P 'ff^^ftf «W* ^^j ;
уравнение (3-Я приводится к виду ("квазиклассические
представления" уравнения Дирака для электрона („+ ") и
позитрона (" - ■) )
^<#± ik fir f/r-ry Г1 1П}''А
ПК
DoCe T " 0ПеРат°Р Даламбера в "криволинейных"
323

Этот результат следует, аналогичное дополнения (см. §5
"Решение уравнений переноса"). Пусть A fat)> Qfat)> &fe)
- бесконечно дифференцируемы. Пусть т
где j" f^o, л.у _ бесконечно дифференцируемые
функции ^ и ^ . Обозначим ^
Доказательство того, что существуют решения ^ и if*
уравнения Дирака (3-d) , такие, что
где ^ (ос, Ь, к) в Sh и Ъ, (х,Ьук) £ $к >
проводится совершенно аналогично доказательству теоремы 5.2.
При этом надо воспользоваться оценками решения уравнения
(3-5) , аналогичными тем, которые были получены для
уравнения Щредингера. Все рассуадения относительно
уравнения Щредингера, как мы уже говорили в замечаниях к теореме
к.1 переносятся на случай неквадрированного уравнения
Дирака ( 3- i )♦
324

2°. Оценки для решений квадрированного уравнения Дирака
и уравнения Кляйна - Гордона - Фока*
Обозначим через Q^ оператор (5.5)у
определенный на достаточно гладких вектор-функциях
il(x,l) € С (1>х) у удовлетворяющих условию ufcoj* ^
Обозначим далее через *~* +^ замкнутый оператор из
в себя вида
где Htrn определено в (5'-*) , определенный
на достаточно гладких функциях Ufa^) & С '^)>
удовлетворяющих
условию: : К С$> о)-0 •
Теорема S. 3 Операторы h>b^ # ^",м отображают
Эта теорема доказывается аналогично теореме 5. ^*.
Нетрудно убедиться, /см. Л что
Очевидно, что на J) ( Lm) « Ъ(Ь-ъ)
справедливо тождество
Отсюда ч
Отсюда следует
Теорема 5Л Справедлива оценка
о
Обозначим через 1*±м оператор из пространства
C(Z±) в прямую сумиу 2.2. © С (1>л) вида
Х^*(*,*)-{«м°>> и ^У-Д~ «'W
21-1419 325

а черев Q*, - оператор из цространства С [ ЬА
в вряяув сумму ih © LA © С (/^) •
,4
(L u(x,i)*{u(x,oy, iLjfertoy, [(&£ -еФ)'
Справедливо тождество
В нем можно убедиться, подействовав ва обе части равенства
(ЗЛ) оператором Q tb • Действительно» поскольку
Аналогично теореме S\2 можно получить теорему
Теорем gfg. Если у € Sk , то к** £^ {&o} €SK.
Отсвда и из равенства (3.7) следует
Теорема 5.6. Если у,# €$*, , то ^fi^f^ft^U
и далее ^
Tecmsna 5.5а. Если у 6 Rk ,то /^ /y^i £ Rh,
турима ?.ба. если у, у, е /?^ ,то QJy,yf,o}efa
Теорема 5.7. Существуют решения 1^ * и </> -
уравнения (ЗЛ), такие, что
326

ift'-JtZ (x> *■) ШЬ>"*' 3i(i,x, L) j
«да г, и г G SK.
Авалоппшае утверждения шн докажем для решений
уравнения Клянна-Гордона-Фока.
Рассмотрим оператор Клейна-Гордона-Фока
Формальное разложение /\ в ряд по степеням (Ъ flQt
имеет вид
r-a:z ь*№Т ш)
I -/
Последний ряд сходится* Действительно, для оператора /? Л
справедлива оценка (см. Л€ММ ^Л^«0
Поскольку О^-^ССЛ!),^
из предыдущего равенства следует
Отсюда получаем оценку ^ ^.,
327

нз которой следуют сходпюсть ряда в (3.S) и неравенство
II Г ft * ^
Рассмотрим пространство 3^ со счетным числом норм
вида
, где p*~iJbJi-
0<kil Г 'fab
Теорема 5.8.
Если коэффициенты уравнения Кляйва-Гордона-Фока
бесконечно дифференцируемы, то оператор А Д определен
всвду в 5^ , т.е. juwjjOD6oro <j* G S^ справедливо
включение к К" ^ £ Sk>
Доказательство.
Сначала докажем, что £ ,
где Соп&Ь зависит только от I
Доказательство проведем по индукции. При с-о сделанное
утверждение верно. Пусть оно верно при С s JV--L
Оценим ||р* Я I'JL УН,, ^
Учитывал тождество Г Д В"' J » - В £А 6 J 6
получим
IГ и: t h * I * С ?"*> kt ♦ IIIVЛ £ *к*
328

Для первого слагаемого имеет место оценка
* о
Для суммы остальных слагаемых из условий теоремы и
индуктивного предположения следует
1
[Ул] С flr +1 a ^ Ip'X] ^A^JfiM
h ^ о J'o Ь
Таким образом, индукция завершена. Из доказанного утверждения
получаем ± £-
I P^q;>l * ^ J 2 iff if
и так же как при доказательстве [3-Я) делаем вывод, что
угЖЬ
*с
Подставляя эту оценку в $•&' и учитывая (см.
теорему 5.i), что если ^ б 5 ^ f то /l (3 m ^ 6 -^ ,
получаем, что /ък^'^С* £>^
Пусть теперь сР£ Р^ и U=A,f/~'$ Имеем
По доказанному 4 & Sk, По условию хл?& ^а,
Значит XU. £ 5д^ . По индукции получаем, что Х^ UG S^
и значит гС с. R^,r.e. A-Af"6 ^a"*^.Обозначим через /£
329

оператор на пространства С (Ьл) в предо сумцу
LA®LX®C[LJ
вида
Аналогично предыдущей теореме из тождества 3.7
получаем теорему
Теорема 5.8а
Бели У/ £ &ь } fa &Rh, , то
§ 4. Разложение произвольных начальных условий на
компоненты, отвечайте различным воршш
характеристического многочлена
Покажем теперь, что начальное условие вида
ц^« f(« txf>[L fa)] , it; Ц -^ ^/"i. jj ад]
может быть разложено на слагаемые, соответствуйте различным
корням характеристического многочлена.
Рассмотрим для простоты уравнение второго порядка
На общий случай уравнения (4 '£ j гл. I все
рассуждения непосредственно переносятся, однако, получается более
громоздкие выражения* Характеристическое уравнение для (У 4)
имеет вид:
330

Двум ветвям решения этого уравнения
соответствуют две систеш бихарахтерветичесхих уравнений
(it T>pL ctt "fa; ( J
Пусть \ X (^,6), P 0*0,4)} - решениебихарактеристи-
ческой системн (4. S) , удовдетворящее начальным
условиям вида:
Х(Хс,0)=Хо, Pfa0j^fzo^S0(0b),
и пусть уравнение X С***, ^) г=л:
однозначно разрешимо относительно «2о • ^ ^^б*/ v
Введем обозначение:
Введем функцию v-± (*, Ь) с помощью
соотношения vt(^4) =и.(х,-ь)*х/>{~сЗ*-(л,1:)А}. (^€>
Подставив в уравнение (ft-4) U-V** £*f> / * 5 ±£*/ 4J-A J j
получим следующее уравнение для 1/± (*;4) :
331 ,''

Рассмотрим уравнение (4.? ) в представлении, в котором
оператор /[ диагоналей и является оператором умножения и* Л
Решение ь*--(* I,сС ) представим формально 8 виде ряда по
степеням i/u>
Теперь формально выпишем для функций
J
рекуррентные соотношения
соотношения:
-[{SjuutS*) tnS* -tR '*,*)] iy =.•
=-tf D К, + С6, $vuL гу )]
Пусь при i-0 S* - So С*), $* Ф,М-
Положив в соотношении Ь' V J - ° > ^(' ~ ~3 £-0
получим:
IV--г
О
332

Мы будем называть начальные условия вида
~L l •»* '*•» ° '* l<»J '
где %~ ^ *' ^' ~ две произвольные аналитические
функции сх) и бесконечно дифференцируемые функции
со , соответственно положительными и отрицательными*
Они отвечают двум корням характеристического многочлена.
Лемма 5.6
Начальное условие вида
или же вида
wL -о <L =^ (*><*)* (wo
может быть цредставлено с точностью до О С °^ J
в виде суммы положительного и отрицательного начальных
условий:
либо
7>
333

где 'Щгг I . U U'" l-t'o определяются
формулами ty. и) и (ч-гг)
Доказательство
Для доказательства леммы необходимо найти такие функции
т.е.
{j/(x, u>) =<p+ +(p~+0(u)-C""}j
btr lis° л + r )
Разлагая Ф (я, t*>)t lf ~ (*/ L°y в ряда по степеням
*l& и приравнивая коэффициенты при U) в
нулевой степени, получим
(Фа + с \J(vif+<rjti * * 6fe - сл fa&)V4') $'-о
Отсюда
334

Приравнивая коэффициенты при 6^"' , получим
= &;*. + &:*•>
поскольву IK L*j о) - Ь^о (*■)
Огсвда
где b^.-LCBS+BDb
Аналогичным образом могут быть получены и y<. " С**-) при
Подобные формальные разложения начальных условий на
слагаемые, соответствующие различным корням характеристического
многочлена могут быть произведены и для цроизвольного
уравнения с операторными коэффициентами вида (j. S6) гл. ^
Подобные разложения проводились Людвигом для систем
гиперболического типа/^-7
Дополнение:
Решение уравнений переноса для некоторых
уравнений (систем) волнового типа.
Важным инструментом решения уравнений переноса будет
являться следующее вспомогательное
335

Предложение А*
Пусть уравнение J— =? 7С*), х^х1}...} -х„,
имеет семейство интегральных кривых йс ( ^ ^,...,^J
Тогда справедливо равенство
Это предложение легко получается с помощью небольшой
модификации леммы С.Л.Соболева (см. Смирнов т. 4, стр. 448).
Обратимся теперь к рассмотрению конкретных уравнений
волнового типа.
Рассмотрим слабо связанную гиперболическую
систему с различными характеристиками
; Здесь $ = №,-•>%)-
вектор-функция с Л компонентами и матрицы ак ^
при v,+- -ш^, =av^ пропорциональны
единичной матрице. Введем следующие обозначения:
К\•&•*')•£ «<.-<... Г , . 21.
336

Цусть о (х, -6) - решение одной мз ветвей
характеристического по отношению к (&4J уравнения. Подставим в
систему (*•') ^r UC с и приравняем нулю коэффициент при
и> ~m*L Полученное уравнение называется
уравнением переноса для ($• V
Уравнение переноса можно представить в виде
(для случая, когда & пропорциональна единичной матрице
это уравнение выведено в / Л обобщение тривиально).
Здесь Т -параметр; \S^\r^Q > *»+/=&) .
Вместо &i Pi т* нужно подставить соответствующие
функции *СУ вичисленные дцоль бихарактеристик системы (s-i)
т.е. вдоль характеристик характеристического уравнения*
Сделав замену и * ехр /- J 8<*r} V~
перепишем уравнение переноса в виде
d
Г А Н «•■jo, "ЭЛС-Э.Г/
О
Очевидно, что направление вектора 2/' не меняется вдоль
бихарактеристики. Поэтому можно искать V" в виде
22-1419
337

7 ъ&*>
Подучи»
Воспользуемся предложением А. Для того, чтобн использовать
это предиюжение^внпимем уравнение для л(Т)9 -бСЪ)
dx-,
etc
di
dx
Имеем
d
ас
_ г А
. гЛ
£"У=21 -их,-
гЛ
Подставляя в уравнение переноса полученное вкраженне для
сие
получим
Интегрируя это уравнение, получим
Переходя к интегрированию по Ь и учитывая, что
338

результат, жеторни сформулируем в виде
Решение уравнения (5Л) имеет вид
и~и(о))/*А (М-Г^'х
Пример.
Рассмотри! волновое уравнение
Здесь
Уравнение переноса имеет вид
где I ж Т связаны уравнением
ТО
339

Вычисляя произведете от Л и подставляя жх в (S-З)^
ем
^«•/FV%]-j.
Воспользовавшись уравнением /> - * ^ ' Р
приходам к следующему вирашшщгр для IL
2. Рассмотрим уравнение волнового типа
введенное в ч. 1,гл. I, 5 2 и включавдее в качестве частных
случаев различные уравнения квантовой механики.
Потребуем, чтобы выражение
к?о
340

где SC&A) - решение характеристического для ($-ty
уравнения, формально удовлетворяло уравнению (S4)
Уравнение, которому должна при этом удовлетворять функция
l/i ; назовем уравнением переноса для (sty Для
решения уравнения переьоса, соответствующего уравнению (Sty
применим следующий прием. Заменим в уравнении (s- V оператор
с Л на оператор ^ ( # - новая переменная,
которую мы вводим в дополнение к «зг и. t ). Тогда (Sty
превратится в слабо связанную гиперболическую систему
3 ? is.*)
к
Используя решение уравнения переноса для (5 **; ,
данное выше и цодставлянвдоцечном результате £ вместо
получаем следующий результат.
Лемма 5%
Решение уравнения переноса для ($ *t) имеет вид
2^1419
3«

3. Рассмотрим теперь систему уравнений теории упругости
Характеристическое уравнение для (Г- # распадается ва
ветви которве имеют вид:
Уравнение переноса для \&$) определим аналогично тому»
как мн это сделали дли предыдущих уравнений
Решения уравнения переноса для ^ " ^удем
навевать продольными волнами» а для Sz - поперечными
волнами. Харахтеристяческое и бихарактеристическив уравнения
будем называть также уравнением Якоби-Гамильтона и системой
Гамильтона соответственно. Рассмотрим в отдельности случай
продольных и поперечных волн* Приведенное ниже решение
принадлежит В.Кучеренко f *i 7.
Зч2

а) Продольные волны*
Уравнение переноса после подстановки И =<р vS^
где if - скалярная функция, принимает вид
rSMfrS=o.
Здесь № - следующий оператор:
-д [и aS+2. vuk?S)- rJ (и r$) -vS(uvf-)- u(rj»rs)
(мы использовали обозначение: jvu v£j~
Используя уравнение Гамн&ьтова-Якоби можно подучить следующие
тождества (здесь и далее без уменьшения общности
рассматривается волна, соответствующая О } знак ">•" опускается}:
Подставная ф vS в уравнение переноса и используя
предыдущие равенства и уравнение Гашлвтона-Яхоои, получаем:
-(A + a,j*)[f*slrSl''+3r'prSlrSl''t-prS r(v£)*]-
3*3

Напоминаем, что сс»у у—
Для дальнейшего ущющения уравнения воспользуемся леммой
Л.С. Соболева (см. предложение А).
если X удовлетворяет уравнению ^f вЛГ(%«Ф > то
Применительно к траекториям данной системы эта лемма дает
Используя это выражение для ^ ^ » а также вытекающее
из системы Гамильтона равенство
ж тот факт, что #, Д и. ую не зависят явно от
времени, приводим уравнение переноса к виду
cL
л={Е Л—
откуда
а0
фхь
344

Точно такое же решение получается для волны,
соответствующей 2~ •
Полученный результат сформулируем в виде дешы:
Демма 5*9
Вектор-функция
У Ъои
удовлетворяет уравнению переноса для уравнения упругости в
случае продольных волн,
б) Поперечные волны.
Положим и~п»-к+\1 V\> } где 2^ и ^> -
скадярнн* Л и v~~ 2ia. непрерывно дифференцируемых
векторных поля таких, что
Уравнение переноса имеет вид:
Эти уравнения приводятся с использованием тех же тождеств,
что и в случае продольных волн, к виду
*-£+**& ^SfW**&*-
о
ССЬ * (ti 'J Dob, cU
345

Из fb V к О внтехает
Полагав г = V» * С Vy получаем
sly/TV/2*V'/>"
Окончательный результат формулируем в виде
Леммя 5.10
Функция
где 1Г - константа» удовлетворяет уравнению переноса
для уравнения уцругости в случае поперечных волн.
(Если С*4 ?f -О 9 то нужно положить
346

ГЛАВА 6. АСИШТОША В МАЛОМ ОПЕРАТОРОВ
УРАВНЕНИЙ С ЧАСТШМИ ПРОИЗВОДИСЬ
В атой главе исследуется асжмптотжка реяежжй дав»*»
вжй а - ого порока по вретжжей коорджвате о оиереторав-
ии коэффициентами, ваввсвщкма от х-(Хо~> xH ) и
частных производных по ««*•••>«**• Ре чултая trc*
главы мы будем использовать существенно ж для построенжл асжюн
тотнкж в целой решенжй гиперболических уравнений.
Пержне 2 параграфа носят вспомогательный характер.
Онж посвящены асимптотическому разложению интеграла вида
7 7 л сА *м
J ... J в f(x)dX XtSCt^jXn ,
-©о -оо
где $(х) - функция со значениями в банаховом простран-
стве В, Нх) - функция оо значением на прямо!, а сА -
производящий оператор группа в 5 . Задача заключается в
том, чтобы внчислить этот жнтеграл с точностью до функций»
принадлежащих Т)(А ) • На основе получениях в I 2 фор»
мул и деммн£Г{*Д)*еоржж возмущений строжтся асимптотика в
малом решении операторных уравнений с частнвмн производив-
ми. При этом предполагаются существоваае, единственность
и гладкость ренений таких уравнений.
§ I. 9 КОРИ» ВТНИРУРОМ ■» 9Я»РИ9Р§ ft ftlggОЮР
||рострмртут
Рассмотрим неограниченны! оператор А в банаховом
пространстве 3 , обладающий следующими свойствами:
347

1) Оператор А порождает однопараметрическую груп-
пу в у сильнонепрерывную и ограниченную для
всех Ь :
При -во S £ Z оо .
2) Оператор (1 +% А) существует,
определен вскщу в В при любом f>0 и ограничен
единицей ,
3) Оператор А существует.
Все утверждения лет, доказанных ниже,
непосредственно нереносятся и на случай^когда оператор А
удовлетворяет вместо условия 2) услошю
2а) Оператор (i ~f А) существует, определен
всвду и ограничен единицей*
Из условия I) в силу теоремы Хилле-Филлипса-Иосида
/atxUdfyl/ следует;в частности,что
— I ^ М пР«- всех -*о<ос <сх>.
Кроме того, имеем
t-uA+fA Iч< li^"11 f TtrXZ \ЩП, (lb
1*$1А
поскольку в силу (LS/ ****** t*tA, SZ .
3^8

™ бГ=Т^Г ,а,значит,в силу той ие
теоремы Хилле-Филлипса-Иосида
I—^г-1«я
* i-UBy •
lbt будем пользоваться следупцей очевидной формулой
"интегрирования по частям":
Здесь f?(t) — дифференцируемая функция со
значениями в В> , обращающаяся в нуль при i'i-
Эта формула справедлива при условии, что интеграл, стоя -
ций в левой части равенства,существует.
Лемма 6.1
Оператор -if °° л<е,
T-%rAje *
существует как оператор в 8 на области Т)(А)
Доказательство.
Пусть Докажем, что
Разобьем интеграл (4 3) на сумму двух интегралов:
349

CO i f>
о о 1
Очевидно, что
/* = /е^Арьеб : %-ft ll tJfle^Af/fSxsMlW
(it)
Теперь оценм норму
Сделаем замену
Имеем
i 1 vi
Применив формулу интегрирования по частям (4. ty ? получим
if <%*«■***,-*/<-£« е»
Первый член правой части равенства \<$) , очевидно,
не Превосходит £ Ц Ц$ II , а для второго
члена справедлива оценка
350

Таким образом, мн получаем, окончательно, что
Ml *$Щ1*ьт, №
что и требовалось.
Определим оператор Р^ следующим образом
о
где Q, £ Ь} Ы>о — действительное число*
Очевидно, что этот оператор ограничен и определен
на всем О . Действительно,
Лемюб.2
Имеет место ра£е«ст£е:
джя всех ^ € 5 * «* >0 -
1е1сшпельао,
о О
351

•Л
о о
A + CoC *
(см. [ 19 J).
Леша (.3
Для любого ^ 6 д(А)
справедливо равенство :
Доказательство. ОЯозна ним Ты =J\ £ Ъ(У*)* Ъ (Л)
Прежде всего, мы докажем, что
о
при об -?#, ^£ ЪСА^ъ смысле сжльной сходимостж в 5 .
Имеем ,
*1 <££*-«-kU"*^**-
/Г
35^

AS
Очевидно, что предел первого чледе правой части
равенства (4 9) при о/-90 , а затем при Л/-*оо
равен Тй> ♦ Из следующих ниже неравенств следует,
что остальные члены правой части равенства 64 9) цгт
и -* О » а затем цри J\/-+oo стремятся к нулю:
1} че-^е^ \\ к МШ
УаГ " ЛГ
»1!е£ем,*1<^1<ш*№<
Я I
00 а л LAh
^!]ЯР?4
^П\\2\\\\ ^-^1
я w
9Я-141Й
353

о
Таким образом соотношение (V.<fj доказано.
Рассмотрим теперь г и докажем, что
Для ft G Ъ(ЛХ) имеем
Очевидно, г^ АСТЬ-Т^^СТы. -Т)А§-*о при 0i^oj
Аналогично доказанному выше неравенству (1.6) имеем:
Полога» (Ты-Т^-^ , »10ду*«^
1Ъ (тл-т)Л * cjAiz-Щ * ci МъЩ\^го 1Ш)
И поскольку ЛТч ~ТЛ^ ^ D
иво A}* DM) ; а^наги»,Тае1)(А), то
ОкнАа и мг (d.iOa) - (i.JOf) С^дует (dJO)
Очевидно, что
354

Ttf.-hS^e-^fJ'"*-'^.
€>C
-cje
0
Поскольку
0
ш-<
~9 *
н
di Л'
-(А-и
— 1*
+ LOC Л
0
V-
CX/
, то orctoba cjetyT,
то т;$-*а$ np« j6 7>u*) .
Ф
ааким образом}
для # £■ DC-A*9 . По замыканию (это тождество про-
должается на область . Леша доказана.
Обозначим через /£, комплексно сопряженный
к Р^ оператор вида
ос? ,
о
Лемма 6.4
Для любой функции Q & & и ы ро справедливо
равенство:
А/
5
355

где $ &Ъ(А"), л ^< -некоторые хонстсигты.
Доказательство*
о о
где контур Ср состоит из точек (Uo£S
( X яр"* с ^сг * £ -сТ
Z- \ i+£z "/>»- с < (flip
{ X при £*<Л<<г*7Г
Таким образом на полуокружности
>yO црИ d<cT0, o*f*n-
" Отсвда следует^ в силу (f- <) у
когда 1 е Cf.
Кз fy SO €) csetyesn
356

+ f erf"' f i*<#* T^d* ?-
Поскольку имтеграл -~- J^ о*зг (Obijn-
существует и равен некоторой константе 0^ , то можно
записать." */
± (_d± *=у е_и^_<> _
Гы-CAJ" ^ (£А<жш)6«я
Докажем теперь, что (ы-cAj Cr (cAc*>i*o£)£*33j
У+1
d f (j + ten г J
м+i
7Г?иъ&ЪО\")
hf+l
Лемма доказана.
Заметим, что, если А удовлетворяет условию 2а)^
то нужно брать -Т* & *Р $ О •
93^1419
357

6.5
Для любого $ ё DLAJ справедливо равенство
Доказательство.
И"66» « « 4
1 о о
Аналогично тому, как было доказано в Лемме б.З
соотношение (V. 40) у получаем
о О
*~° ' ° 6.3.6.4
Аналогично тому, как это было цроделано в леммах 'получаем
^U'^-^Je-^A^.iJi^.
О О Cf
- A UA- + Л ± \gd*
358

s)
Поскольку
i + lAj£l?
*n
y^raSjH'^"'»'.
Отсвда и из (4.1Я) следует равенство Ы-44)
0 е L> с л л По замыканиючжо остается справедливым для
всех дби(п) Лемма доказана.
Лежа 6.6
Имеет место равенство
Доказательство*
Для J 6 D б Л1) по предыдущей леше
359

TT^A$
С другой сторонк?в силу леммы 6.3
.А
Следовательно,
для f&VCA). Значит для реЪ(Ал)
т.е.
•4 ТЭ-АТд-о
Отсвда в силу условия 3)
Т$ = Т$ бн>Рм1 К9Й+КА0Н
для 4 G VCA1). По зашканию 'это равенство
сохраняется для всех <-}> € Ъ LA) - Лемма доказана.
Отсвда следует, что если А- оператор в
действительном банаховом пространстве в, , то и Т определен как
оператор в В
В дальнейшем оператор 71 мы 0удем обозначать
Т^/А1 , а оператор £> * (А+С*У'Ь
Такие обозначения оправданы доказанными выше леамами.
В случае когда Л "отрицательный", то есть
удовлетворяет условию 2а), под i/JAT ш бУДем понимать
360

§ JL * Метод стационарной фазы для абстрактных
функций.
В этом параграфе будут выведены асимптотические
формулы метода стационарной фазы применительно к интегралам от
абстрактных функций. Метод стационарной фазы для функций со
значениями на прямой обоснован, например, в работах l¥$,Vty%i
Приведем вначале известный формальный способ получения
асимптотических формул метода стационарной фазы. При этом
выводе, как мы увидим, встречаются расходящиеся интегралы,
которые мы совершенно формально регуляризуем. Заметим, что
обоснование метода стационарной фазы, которое здесь будет
дано, ни в какой мере не опирается на приведенный ниже прием.
i\ Формальный прием вычисления членов асимптотического
ряда.
Рассмотрим интеграл:
где f(x), /W6CW; ?'*) -финитна.
Для вычисления членов асимптотики X (К) при А-?о
применяем следующий формальный метод.
Пусть сенсее - единственная стационарная точка,
т.е. точка з которой quad "f(x)-c.
Разложим 4(х) и ф(х) в асимптотические ряды
Тейлора в окрестности точки сс*Хо.
361

Сделаем в интеграле (&-А) замену переменных:
Тогда
.exF{iri?Цл (x.t?) + №£ (to,?)*.-]} (f(*>)* <P,faf№•->>
где к
Поскольку
то имеем
\)-o
362

где Qi (xC) f) - полином ti -той степени
относительно ^ у ti=l, .--,п*. с коэффициентами, являвшимися
линейными функциями производных f(x) до ^ - ого
порядка в стационарной точке я>Л Подставив
, получим:
где
C,b.)-&<* J...Je етч« J Jj Q/^)df
£-90 - OO
При нечетных У функция Qi;('&>, f) нечетна, и
коэффициенты при полуцелых степенях ^ обращаются в
нуль. Следовательно,
где - линейная функция ф(х) и-
ее производных по ос до $\) -ого порядка в точке *Z-Xo'
Обоснование этого разложения мы получим^ошраясь в
основном лишь на формулу интегрирования по частям х' . Как уже
х/ Нетрудно получить и непосредственное обоснование
вышеизложенного метода разложения и регуляризации интегралов
взяв вне носителя функции $(*-) область
интегрирования в комплексном пространстве так, чтобы интегралы в
формуле (A-*f) сходились.
яяя

было указано в предыдущем параграфе^ эта формула для
абстрактных функций $>(*>) со значениями в банаховом
пространстве 6 и оператора А } порождающего группу в этом
пространстве имеет следующий вид:
w*)J Л*) i /ft) (JSJ
при условии, что f(*)~0, $C*)/J'b)eb>
и интеграл?стоящий в левой части равенства.существует.
Эта формула позволяет перенести известные результаты
метода стационарной фазы на абстрактные функции.
Рассмотрим в качестве наиболее простой иллюстрации
следующую очевидную лемму:
Лемма 6*7
Пусть №*) - финитна и & С °° у #*) *• с *° >
пусть Я. - носитель <?(*-) и <£**(> Н*>) ^0
при X & 52 , тогда Т(Ц = £. ZfexP[~x Н*)] №)ЫХ ■
-ОС^") э где У - любое число.
Доказательство.
Очевидно, что
Тогда, интегрируя (ji-6) по частям получим, что
I(L)-0(b).
364

Продолжая этот процесс, получим утверждение лешш.
Для абстрактных функций такая леша может быть
сформулирована следующим образом.
Лешш 6.8
Цусть (f(x) & С -(B), (х*хь...,Хк) и финитна}
£1 -носитель f(*), tWtC** и fn^uoL +(х)*о
при «x^jf2 , С А - оператор порождащий
ограниченную группу, тогда
— со
где Л' - любое целое число.
Доказательство аналогично лешебЛпроводится с помощью
формулы \*'5) интегрирования по частям*
Я0. Одномерный случай* Разложение в
асимптотический ряд.
В этом пункте мы будем рассматривать интеграл вида
где Щ) £ С", л $(*) &Ссо[3] . бесконечно
дифференцируемая функция со значениями в банаховом
пространстве В , А - линейный неограниченный оператор
порождающий группу, обладающий свойствами I) - 3^
перечисленными в предыдущем параграфе.
В частности^ можно рассматривать $(-6) как
злч

непрерывную функцию параметра к: %(t) « $(4>9 ъ)>
такую, что все ее производные по t ограничены при
О s k$l » а оператор А как оператор умножения
на 4/1ъ • В этом случае вся развитая теория будет
совпадать с обычным общеизвестным методом стационарной фазы,
изложенным, например, в книге Зрдейи иАсимптотические
разложения" С ЭО J.
Мы будем опираться здесь на результаты предыдущего
параграфа и на формулу интегрирования по частям (2*5)
Лемма &9
Пусть #^6С~, f(*>)*<>, Г(*)>0,
J '(b) 4 0 при а< 6 *4 ,а #&) -
бесконечно дифференцируемая функция со значениями в 5 ,
обращающаяся в нуль вместе со всеми производными при zf= &
Тогда в случае нечетного т, при всех <*>,о имеет
место соотношение
где $ (л)> rv(aJ> - бесконечно -
дифференцируемые функции л. со значениями в 3 , ^ifC^J - бес-
366

конечно дифференцируемая функция f со значениями в
6 » обращающаяся в нуль со ветка производными в
точке £
и бесконечно
дифференцируема п ° Л •
В случае четного **- щ>и всех dbo имеет место
соотношение л
чт Г £А№)
(A + U) A Je. (i-a) *Ш& =
А
- J. Г * 1 "г' /„,,/ \ i£r*>) -Г 1Д4М
НА+и) J e Mr)*f* X,(*)J% fa
где $(&), Yi(A) - бесконечно дифференцируемое функщци
а со значениями в В , ^ii(S) ~ бесконечно
дифференцируемая функция 9 со значениями в 6, f(K\e)-o
Доказательство.
Очевидно, что % о
367

-co*' (^(> Ie fe h>fwd* ы
поскольку при ту±
о- ft*) a, v i (t) J
Обозначим гт 7
/,№-(£ ^J («-«I/We .
Очевидно, что в случае, если *** четно, то JiC*-)^0)
а в случае нечетного m* Titty имеет нуль
первого порядка в точке ^*л. Предположим, что ***
нечетно. Тогда, интегрируя (Я-УО) один раз по частям,
получим:
**> _*.*/
с с**)* о»-о а
(S-fO
где С(**)- (f»-V ■ ■ , поскольку

Очевидно, что равенство (2.II) кию переписать в виде:
Таким образом, задача сводится к изучение интеграла вида
Т = (^iCA+U)Ht)
4
f(-t)di}
где MZC^lbl, <f(a)¥o, fc**tfj-c, *^.
Имеем ^
где (f-ar= +tt)-H«.),
24*1419
369

Имеем £
Си
a,
n C(A*UU(*) f r. .... 7 C(A*U) (f-a.)*
В cajy свойств ^(f) получаем:
*9 ./i,..,w^ ..J. «*•
_/«^«^* Г C( At U) (}-*>*■
=J« ^^ f J[e(v-i]e J V W/=
¥&*<*)*
/X
-ttU.
a,
Отсвда
370

t ССЫ*)Ш i* c(A*U)±(*)
с(АИ«)На) °°
JLe(f)-j}e <P(o)d<i +
4 i «"'Я* [ few t("e*)(4w-f(*l)'f>
Заиеяш, что дла любого £ & fa имеет место тождество:
ею
с
Таким образом, *
Кроме того, поскольку

а последний интеграл в силу лешш &b. цринадлежит
DC A"),
то следовательно»
/е «""""'««^ ■§$. г «""^.(ф
+ е
Х(*) * ША-).
где > i ^/ - " ^ /1 у и бесконечно
дифференцируема по л* .
Очевидно, что
= f(A<uf'</>'(a) +
*«*<«■) [** ^Jf,
где
От сада
372

где ^ff) - бесконечно дифференцируемая
функция Я со значениями в и и ^ (£() = о X=GAr"J
подставив f„ЦА+Ы)№ , .
в (%-i&) » получим
ye $(«■) + (4-iluj e $(&) +
где #(a), Vi^Oi •Xff) " бесконечно дифференцируемое
функции Л со значениями в В ,
бесконечно дифференцируемая функция ? со
значениями в 6 ,
Пусть теперь >rv четно, тогда
24-1418
373

С е ^^(ь-ьГи ± l *(Л*С*) XJ* *(»&,
где 71 (i) - бесконечно дифференцируемая функции ^
Используя (Я-4Ъ) , получим
где «{(л) r-j 1
rk( f) - бесконечно дифференцируемая функция ?
со значениями в бесконечно
>
диф-
ференцируемеге функция Я- со значениями в 6 ,
Поскольку 4ч(а) - & 1 (^)&\J- , то в случае четно-
ГО пъ.
374

ГА ТГ t я МШ
+ (* + ") i e MVf'Ua), fr«J
где - бесконечно дифференцируемая
функция CL со значениями4в в , ^iff) "
бесконечно дифференцируемая функция f со значениями в 3 ,
обращащаяся в нуль со всеми производными в точке ?=^о
и бесконечно дифференцируемая. Яемма доказана.
Положим теперь в формулах (&/J, (£.9) о~£
и применим эти же формулу к интегралам стоящим в правых
частях равенств (3<f)} (&•$) , но уже при ct= о/, >о
К полученным интегралам вновь применяеи формулы (? <?)> '*'$)
при ol^do ф продолжая этот процесе,мы придем к
асимптотическому разложению интеграла (<S> +J по
степеням оперАтор**
Рассмотрим теперь интеграл
4
где ЪФ{-*)*да) «)-*> JzC<dr">
4'М-с, fW?o} +'(ь)±о при ^й4 €
Разбив этот интеграл на сушу двух •* J - J + J f
-в -6 a. '
мы к каждому из интегралов стоящих в правой части можем
375

применить лещуб.9*, следовательно, и асимптотическое
разложение по степеням (А+£*0 Нетрудно видеть,
что при атом останутся лишь четнне степени этого оператора
и ми получим окончательно
где %»(л)й Ъ(А"") и М+± раз
дифференцируемая функция а- со значениями в р , а
^. (а) — бесконечно дифференцируемая функция а, со
значениями в 3 > причем
W'tljkl We'* fa
В случае, когда оператор л ограничен, можно
положить о4=0-
3 е\ Одномерный случай. Первый член разложения,
В дальнейшем нам понадобится следующая леша.
Леша 6.10
Пусть f№) - ^дифференцируе-
мая [242 + £ раз функция со значениями в банаховом
пространстве б • кроме того, предположим, что $(Ь)
и все ее произвсщные обращаются в нуль в точке 4>=а} $(o)JO
Пусть
*{*■)-l^'^^ttW (S-/9J
Т. е ее **/+1 ирох^Я^**** н**.»*.}•*£***** в-
376

функцжя со значению во врано! } -j- '(о) - ot
Тогда функция ф С *) Щ« *-**>* может бнть
представлена в виде:
Y(- J zlu"(°)\\ ' Lt Iе y ' '* e $(o)(n
тле
Доказательство.
Очевидно, что функция
может бнть представлена в виде
1ДО
w * c.aj"
Проинтегрируем интеграл (j?. iS) по частям
Ш ра3!
Функция
- 377

со значениями в О при четном т, имеет вид:
ф(0 = £Ajf^- Cttbj.fr'l) ■'.' , (*■**)
где $(•£,) непрерывно дифференцируемая функция,
причем ^(о) - *^„ ,и; ? и при чётном »*•
<f>[i) имеет полис первого порядка при i=o ■
При нечётном т. функция ^Y^J может быть
представлена в виде
///7.1- &(*»■) &Ш±
где h(i)*C'*
iD. /„i
причем ^(o)=4W~
Следовательно при нечётном ^
При четном л^ , таким образом,
Were*
И
JL
При нечётном ^ имеем

о
где i<rKlle-^0 прЖ *-*«>.
При чётном м. шеем:
о.
9
где <Ps(*)»i f еЛ*)^^).
Поскольку , то выберем <* >о
столь малым» что
Разобьем -ZY*) на суиму 3-х интегралов
° а
+ № J e &wdt.
Оценим последний интеграл
379

(Ь)
*AR J *fa
.Ae *% Ш) JfSL-t-r^ *"M\m ^ \* *
поскольку '#
_ _&_ Г * ^
Оценим предпоследний интеграл
а]^ти.±1Шм«ъ.0,ь
ы
ГШ ^ '*)
Таким образом, переходя последовательно к пределу при
U —? <*> и ^^ *° , йЬдучим
-«»'«№>"*W,V
-Ф(о) \Г*Г e •¥ar-*m(oL i ЧИП*) Г*Р№Ь
380

Следовательно, .
nee \\ fflcflb ^>o щя *-*<* > что и требовалось.
Замечание I.
Из предыдущих оценок следует, что если выполнены все
условия предыдущей леммы, за исключением у fo)^o »
т.е. если j"(o)~o , то &м \ф(*-)\ # тг' =* «*».
4°. Многомерный случай. "***
Пусть теперь +(сс) =Н**у^) > $(*)*f(*b-'tt*)'m
дифференцируемая [j ]^i раз функция со значениям в
банаховом пространстве & , обращающаяся в нуль на границе
области SZ^ilXt-Xi0 \*сГ, J = d>-»,*}
вместе со всеми производными, сс= <Хо - единственная
стационарная точка функции -f(x) , т.е.
Пусть далее
СКН*)
е $(х) dec.,
о -\\1Ч(х.) С
матрица /С - \\ ^ ^dsCj II i j si невмроидена и гаде-
Лешю 6.ii
При внсказавных врадпоакданвях справедливо равенство
4>C*) = J
381

где (Г - сигнатура квадратичной формы с матрицей Rj ,
3 = dtl R, } //<%Цв ->о при к-*с*
Доказательство*
Очевидно» что
При наша О
Сделаем замену переменных: ft sft(l), ^'4/••■» n->
приводящую квадратичную форму
<w-£*£&•»*•
к каноническому виду
Отсвда следует, что при малых £*
*-/
Поскольку 5^ _ j » то
-«Г -£
382

Пусть Л,,.. , Jp >0 , J/»,,—>J«<0
Положим и.. lA.-l'^f; « обозначим через
^*;--l—- J.../ £ Aft/rfy--^ Jte)
I 2Xi"Z>-xj Vijsn.
Перейден к бшодаршш координата!
#-*4К yj-fOj(/)
Полагая fa(jf)-&(%/>*,#* &>W ~&(*>/&f>)f
получим
383

(Л.ЗА)
аде f, „л 0i
Очеввдно, что ^(ъ/^//) имеет столько же
непрерывных производных по своим аргументам» сколько
j(i) . Имеем (угловые переменные опускаем):
J ?/ J
Окончательно,
Полагая ^=г1[Ь Ы '/Л Ml,
, получим
384

p'l
Utftj ft)
Обозначим через ^(%f) и *Р(ъ/) функции
вида
<Р(ъ/)*/л&Ъ/)
Поскольку
dtx iff ' Ъг ' iff
У щ If off Ъ(Ь,%)
отличен от нуля при малке fi н ^ , то функция
Ж% %) У T>(i,j>) У.
раз* дифференцируемой. Следовательно;
Рассмотрим
0 С
Поскольку fr(f) при frmay u ^ж ££
25-1419
385

обращается в нуль вместе со всеми производными, то,
интегрируя по частям, получим:
(J.39J
где <f s[Pjd J + [п-^~] . функция
жиавт ну» в точив ff *= ?д,~0 не шиш первого
порядка* (вдавим интеграл вида
(a.ssj
Dpi этом вившшш 2 случая! ибо "-у-' четно,
либо п-р-1 нечётно. Пусть п-р-1 четно, тогда
функция
f(U W * £17 ,
386

Следовательно, ££ ь
В силу «ииб.7, 6.10 «"<«*•
О
где U при ? *f „ 6С-
Оценим
с4
в*
X, («, Vj * -£ ИМ - £ Je -Л%! (effMhbfa
387

Следовательно»
Отсцца
°л о, ft
Оценим ^
о »
Имеем Qi 4 £
о о
где интегрирование по ? вдоль луча
Оценим жвтеграл
388

С
Цусть р-1 четно, тогда
где
сч (?) - Ср-л)!! у f(%) ^ с % М- $> (°)
Следовательно, в силу дешшб.Ю
Qi _ or
(Л. 36)
Очевидно! что
о
Из (S.30 и (•*-*# следует, что
„ »-/>-/
Посюльку
»^ <*, г«, /»; - Г(р) * ч~; *<*,{/>) - /Y/; л #
389
25-1418

сигнатура квадратичной формы с матрицей
Отсвда и из того» что
следует:
IF Л* . л.
Р Т° fair)*- L*{(**)
<Cbi llf*llb-*c
при tf —9 со,
Все остальные случаи рассматриваются аналогично. Демма
доказана.
Аналогично^ опираясь на лемму6.9можно получить
асимптотическое разложение интеграла
О?1 0Q
-СО 00
где Jc^ere", $ъ«*Ц(ъ)~с #***#*)=/о
прЦ х*хо7 р{х)ес°°( в)
ж финитна , оператор А удовлетворяет условиям 4)- 3)-
Именно справедлива
390

Ленмаб.Шри высказанных предположениях имеет место
разложение
(Л.39)
^ 9j(x°), J*y~
бесконечно дифференцируемые функции
шва, ^г-ч^зм"";
раз дифференцируема в & , а
м*)=ж*о) (£i2L.
Хо
И
ДА
со
*
значения-
Заметим, что здесь, так же как и в одномерном случае (2-dO,
разложение ведется по целым степеням резольвенты (А + * oCj ~J
Нетрудно убедиться, что члены, содержащие ~—
в полу целых степенях обрацдются в нуль
вследствие интегрирования по угловым координатам в
представлении (4.33) , точно так же, как это имеет место и для
асимптотического разложения по методу стационарной фазы
для обычннх функций /см. С УЗ l),t)J J
Аналогичная формула имеет место и для оператора А^
удовлетворяющего условиям I), 2а), 3) $* . При этом
функции 9}(cCeJ в формуле (&3$) будут
комплексно сопряжены соответствующим функциям получаемым при
асимптотических разложениях интеграла (£>э°) с Чюложи-
тельным" оператором А , удовлетворяпцим условиям I), 2),
391

3) § 1 и вместо А. нужно взять
\h\* т.* (-А)м
Очевидно, что асимптотическое разложение можно получить в
случае, когда А
не удовлетворяет условию 2 или 2а) и 3), "°
можно разложить %Щ на сумму 9Л^ * 9-№):
причем сужение оператора А на. В+ удовлетворяет
условиям 2) и 3), а сужение оператора А на б-
удовлетворяет условиям 2а) и 3). Кроме того разложение можно
применить также в случае, когда $№) есть обобщенная
функция в смысле п-°с § 1 ГА^ • Для этого достаточно
подействовать на обе части равенства (2.39) оператором
A itt t~ ft учесть, что
A£VCAn)~V(Am-€J
Пример.
Пусть 5 ~ L<x [- ол, ж] - гильбертово пространство
функций от Г, -<*>«-г***, A-L^y $L*>V = $o(t)f(*)
(см. ч1,И,-П, ^;6СМ.
Имеем
lA*i}9.(i)f(V '-ЬМ*(г' J{iJ)
Таким образом
392

при п - четном имеем
+ ?(?)>
гае 7C~) - ограничена, й и J
определены выше*
Заметим, наконец» что в многомерном случае имеет место
утверждение аналогичное замечание » лемме 6.10. Это аквнза-
лент следующему утверждению. Цусть ^^^ I (U) < оо
для люоой финитной фнкпии У^^ ; тогда Ыеб $^ф^ I
отличен от нуля в стационарной точке и метод стационарной
фазы применим.
393

§ 3. Асимптотика в малом решений абстрактных
уравнений х'.
1°. Задача Коши для уравнений с операторными
коэффициентами.
1 Пусть дана последовательность вложенных друг в друга
банаховых пространств: 6 £8 } \}=d,3.}. .,
которая определяет линейное пространство 8 *° со счетным
числом норм вида 0 \\ь^ , \/*d,a.r..
Рассмотрим оператор
i-O
зависящий от & «• + % параметров и отображащий счетно-
нормярованное пространство Ь °° в себя. Предположим,что
оператор L бесконечно дифференцируем по всем
параметрам, т.е. все его частные производные отображают &°°
в себя.
х/ Идейная сторона метода более выпукло отражена
автором в послесловии к книге Хединга / Sd , dk) /. Здесь
более подробно проводятся выкладки, и результаты дастся в
более общей форме.
39^

Теперь рассмотрим счетно-нормнрованное пространство >0^
ФУНКЦИЙ sZfj--'j **"**/,/iCO
значениями в в . Пространство RL определяется
счетным множеством норм вида
Max J И П(1к JL ) VVfe-^'^C dx,:.*x.*c~*t
о$л*4; 2*м=м 4*0, mzn+l
Пусть V4 - некоторое счетно-нормированное пространство,
объемлющее в4: ^ 3 ^ •
Обозначим через Rk подпространство /?^ функций, не
зависящих от асЛ1М •
Замечание* В этой главе мы будем проводить
доказательства для случая, когда пространства #' *«/,..,«> гильбертовы,
используя тот факт, справедливый лишь в этом случае, что
р
Ф/а *кс^к • Если же пространства 5' банаховы,
то мы можем утверждать лишь, что А Ф*/4 Kh с к^ .
Это обстоятельство не влияет на ход доказательства, приво -
димых здесь теорем, но сказывается на оценке, которая
понадобится при доказательстве теоремы 4.4.
В пространстве К^ рассмотрят оператор
причем операторы ~гА -2- , • ,-£*> ~£т
ЗЭ5

денствужя первнми, т.е. ^
Пусть сужение Z оператора Ь , определенное на
множестве элементов из к^ > обращающееся в нуль при
ХН41 -о вместе со своими^ м-i производными по
x*+i имеет обратный L ч
Предположим, что выполнены следующие 2 условия.
2) Существует единственное решение уравнения
L+=0 , (3.0)
удовлетворяющее при xfbfl -£0 условиям
j
ПРИ -L0 *f Хп-н й Т , TQ.X09, ЧТО
Очевидно, что если выполнены условия теоремы 4 Л,
то выполнены и условия 1)2). Это следует из леммы 5*2
х/ Здесь $*'"•>** _фГк црИ flse± (см.гА
2 § 2), т.е.
" 2, при А=£ , те.
396

^SCfi*)
2. Пусть
где $(fix )=$(Ро'',р«>**+*,~,Хк+>) £ c°°> Cu
-бесконечно дифференцируемая ограниченная функция при
О $ к * 4, 0± осА+, £ Т
и финитная функция аргументов fa.v /Ч> я**»? • -j CCt^
со значениями в счетно-нормированном пространстве 3 .
Для упрощения форцул обозначим />*♦/ у •-- > P*+i
через f*#i >•• -9 T*+i » & ос*,..., **, * через
£,>••> ?*- » соответственно, д = у* ПРИ *->*•
Теперь мы можем обозначить
$(р,,...,рм.}0Ск*,,...,*«*ь1)- ^(P>*ik)
2. Асимптотическое разложение литейного дифференциального
оператора с частными производными и операторными
коэффициентами.
Леша 6ЛЗ
Имеет место следующее соотношение
^ '" з* (*0
+

К(х>ъс' f'^f>) ~ полин0,ш Al-nre порядка
Доказательство;
Обозначим через
оператор действущий следущвм образом
f(P',x;L)nc/x}ri*/<]
Очевидно, чти ~ <*-/ -у
л -Л
J'-o
, здо 2-£ I- &=Ф*"*Ч<Р*"'>
rf/e"'1, £~j
Рассмотрим пространство
функций от pi,.~>p*-> x<-»r~,X«*i>k> О *k*l
со значениями в В * и пространство
С * [ R "* /3 *° ] Функций тех же аргументов в области
О * fsc/ 6 ^ со значениями в #
обращающихся в нуль вне интервала -с/* £ X,*/ £ а ' ^
пусть f б с *7г; в*/, а ^ б- с^г;^ ^ = f
398

Щ)И О £ ^Лу/ *Л • ПОЛОЖИМ
Очевидно» что
Щ)И О $ Хпи $<Х и фунКЦИЯ h т<Г
может быть представлена интегралом вида „„ *
Обозначал* через интеграл вида
(ЗЛ)
Пусть ЪС - носитель функции <ty (Р> Л, *у
Обозначим
Возьмем финитную функцию , носитель
которой содержит область Ъс0 * il Q»* * У* f
Щ)ичем ф(ц ^ =£ J прж i^ £ S20
399

Рассмотрим интеграл . .*" <-
-ft?
Из определения ^^fj следует, что
^ (x> В ^) отличен от нуля лишь щш £, f £ QPj
т.е. при f + f-***'$(/>',*'), l+-ruuCF> *(/>!*>')
Но если ^ S й0 , то ХЛъ*, % Ь) не
имеет стационарных точек. В силу лешш б.}
где »»♦' *
^ jgicti J i*l (*'$/
I,
ti - любое целое число
Для вычисления Х3 fa fi Q применяем метод
стационарной фазы. Стационарными точками
являются решения састемв:
J J > ix'.' fj J
400

-iS(f>'° x")
С-j,...,/С
Эта система, очевидно, имеет единственное решение
$." l>S(p,x)
J J
»> lS(p,x)
l~d,...,K,
-d
ft = /*
Поскольку определитель
О Щ1
о щц
щ и
то можно непосредственно применить метод стационарной
фазы U TiteM).
Применяя метод стационарной фазн
it 1д (зе, р, h) и учитывая, что
26-1419
401

1(*,р,к.)ш 1>(х,Р>к) -ОСА"),
получим
tL tit ± j t l+f о . о ^
П (#} fffif \) - полином 21 -той
степени относительно f, ?) ac) *i, c£) a*j, €ij, cl^j ,
€ct i -Lit - коэффициента, зависящие от p и & .
Определим их. Пусть Л Г %> Л*А *?> Ч = ft ^с^пль,
тогда, очевидно,
<*£

Из (3. к) следует, что 0С**О. Пусть теперь
В этом случае^очевидно, что Т(х, р, к) можно
представить в виде
1Ь*1)***'(^[яъ*ъШ-Ъ) +
Поскольку || = 1;. ; Щ-^у,
(3-1)
то из t ^ получаем
ал-Ш j=jr.,* (*v
403

& =- Ъ££ j-n-n,.-;"4* С3-6)
А А
j щ
С: =0
Пусть далее
В атом случае j^ g(ptx)
Следовательно,
(з.
no*

4/+ 4 —2^- Фг (з./в)
У ^ ЭД&9 r<r
Подставив. Я»у, Ду is (*-9Нз.ю)ъ (з.1) ,
подучим
Цгсть теперь 2 (b *, Р, ?, Ч = А# * 1 /%
В этом случае
I(x,pM = (ik^ Pe +pt ру)е к #,(**, к) -
Ниш»* ^СЪ^МЯ-С*,,*"* W
следует, что
2&419
403

S ckj d"* & =f»t <?e &<sj
ij*i J J
ЕфОЛОЖШ, 4
Следовательно,
Предположи, что * - It ?*» */V £
L Чп Щ F L П>хп Щ Щ t*~J
(3. it)
Отсща и из \$Л) получаем
Отсвда
406

Из (S/4J в ($-4) меде, что &j -о
Из соотвоаевий (*.sj-£■?), ($Ю~(ъ-п), (з- '$) цр,
О s #п,л ^ Л-. следует равенство
*1^ Wti VSV/ &«., ***? vtfty
.«op p*j ЪЛ—ят ъА_ )ф-

В силу того, что
Ф '*'"^с ътоерамаьт Rk 4 ал ?
мы получаем утверждение леммы.
3* Случай бесконечно-кратных термов.
Рассмотрим оператор L ( pir.., ph+d , «Г^ . • .,
в счетно-нормкрованном
пространстве /?д, ,
Напомним, что /ru
j «***/-5
Л
Л операторы Я» действуют "первыми", т.е.
Мы предположим, что
l(p<,-,P**<,*«-,*«',°) l5i6cL)
является константой в О ; (зависящей, разумеется,
от параметров Л;-"> ^Л^; Р±, --•; Р**1 ) , (т.е.
собственное значение оператора, (3.16а) (терм) является
бе сконечно-кратным Л
408

ОТ НУЛЯ "" ""~' ща %- <»**Ч»а
Здесь LfPir-tP*-,**- •,**«>*>)"ZAkCA,...,рл
Воаврацаяоь к нашвм прежним обозначениям, переобоаначии
L (р„~. Р*>, ,*ir~, *«« ,Ь) черев L(ltx,p? ffk) ,где
1'?*г-4* ***,-***, f-f«f, ,?«.< = />*♦/,••, Р~*
Череа U обозначим L(?,x,p,fto) , равны! (3.1бв)*Л
Таким образом, L*(?,x,p,f) есть многочлен порядка т.
ОТНОСЙТеЛЬНО f**t9P«H ПнЪмлояшн, т/»
1) Полином L (Ъ*>Р,$) шеет действительный корень t зр «
*А(/^-Л>^Л,^П00Т0Я,Ш0* крепости ^следовательно,
2) Оператор /, Mr-. Р*,р*+<> *,,.., хл, 6, к)
вместе со воеми производными по параметрам и оператор
**р1**М/9*}кяф
отображают з~ в 6*° •
3) Выполнятся предположения ««а X, I°f § 3.
При этих предположениях для достаточно малого t
существует, очевидно, решение s(i)*s(x<>,P;6) f
системы
V В обозначениях § I гл. 4 Z#- <% я2?*Х(1>х9щу
хх/ В or*»*»*, от обозначений § X гл.4, где корень p#4J
обозначался черев й (ft*,i)
«09

которое удовлетворяет начальным условиям , отвечащим
локальной карте типа Л* лагранжеве подмногообразия, т.е.
S(0)~S°(pci ,.-, Рол , Х*«*1 >~ -V <&>»> )
Pt (°) "Ра <••*,-,*, Х](°У ж*у У9 *+*>-' *>
Pj(°>m dL *Poj(Poi>">P0ti,Xo„,, ;,***)
C3.I8)
(3.19)
■*/•■•/
п.
Для достаточно малого времени 6 существует также, очевидно,
единственное решение Д ■*poi (ft,..v/>«,*г«у/,.-,ос«,& )
Xoj ж агоу/pft.~, р*, ****,-> j**«, £)
неявной системы уравнений ;
Xj(Po,y.-tpo*,*<««,~,x<»'>*)-*j J-"4-,«-
Сохраняя обозначения леммы 6.13^ положим там
5Ср,х)-?Г*.,Я,*>9
где л ш ъг *,fi V, Р. -Я Г*,А *)
Как невестно, в силу теоремы Гамидьтона-Якоби решения
системы (*Л7)-(ЗЛ9) удовлетворяет также системе
4/0

$*'Цг.(г>*>?>г> j-«<~,»<j,
гае ъ°--%> ь-Ц , i-*>-,"> J**-*'-<'•«
Следовательно, справедливо равенство:
Рассмотрим оператор, стоящий в правой части формулы
в фигурных скобках, на который действует оператор
ф Р'"'?* Обозначим этот оператор чррез £.
Таким образом формула (5.4J перепишется в виде
Сделаем замену
где
411

7= ЪСРъ-.рл.Яны,...,^.,*)
d<£ = -L f4* - J. и d. jl n)
Tona
di ~ /a4 ^&' ~ z '"at
В euy ммш CLOofema I 7i t с^гл5,%5,п.А)
ИН
От сада
яоскодьку в этом случав h ( 1°> ^/P/fjVJ-O .
412

Рассмотрим оператор
Ни ~-LLCAu+kl5it) (з-21)
He A л < g T>41_ , ; 7,1
Обозначим через А сужение оператора Л на
множестве функций, обращапцихся в нуль при ^-0 .
Очевидно, что А существует.
Поскольку Рс С*)^* Р, jij выражаются линейно
через производные от Jj по параметрам /!> х> 'S
а последние по условию отображают £> & себя, то
и Я (*/ Тх. > Л Щ) отображают 5 °° & се""
бя. Очевидно, что, если jfa) ^ #a, и бесконечно
дифференцируемо в R^ , то />• ^ ^у/} $j>)Hx) f кк
и бесконечно дифференцируемы в у?^.
Далееппоскольку еоср-( I '—--- Ls0 ij отображает
Б °° 4 В°* у то решение уравнения
удовлетворяющее при Ь-0 начальному условию
W^- ~-lh & Rk. 9 бесконечно дифференцируемому в
Ц^ , то и iKi) & dk, и бесконечно
дифференцируемо в #^ . То же замечание справедливо и
относительно оператора А4 *
Поэтоцу^действительно (Л"' В) V 2>fiJ £ £^ для любого И/ f и при этом
бесконечно дифференцируемо в ДА,-
Пусть V~C(t) - решения уравнения (З-JW) удов-
413

летворяюцие начальным условиям, бесконечно
дифференцируемым В A /v .
Аналогично тону, как это бнло сделано в лемме &5
можно доказать, что выражение
удовлетворяет уравнению
л.
где Ък& Rix •
Отсвда следует, что
7%+
В СИЛУ ТОГр, 2 70 ОЛСРрТОр Ч> СГОбРамаеГ &^ На Л'^
По условию существует решение W & кд уравнения
Поэтому
Поскольку // сколь угодно велико, то отсвда
следует
414

Теорема. § Л
При высказаюшх предположениях
существует решение уравнения
цредставимое в виде: i or* о ** зг *)
Ч>(*,*)-Ф
^ b(fl>h.-,faaC0*Hy,Xm*) ' дЛ
3.1 °
Здесь У£, ТА! , 1к\ _
функЩШ ЯС ш X(SCI рв/ -b), p*fa (cCc,Pe, 6)}
415

-некоторые бесконечно дифференцируемые функции, финитные
по р и л со значениями в В , 2/6 &к
, причем ч
где ^ - произвольная финитная функция.
4*! Случай конечно-кратных термов.
Теперь мы предположим, что выполнено условие I)
теоремы 4*1 > причем точка
конечнократна .
Мы сохраним обозначения и предположения
и предположение j) ы Н, i 2 •
Основные тождества.
Пусть J-i,..., ]Сг - ортонормированная система
собственных векторов
система собственных векторов оператора (М J .*
при том же значении X - Л («*V*v *^Л/ ^ Рьл"/Ph+*J •
U6

Докажем следующие равенства
Продифференцировав (3.SV по р, , получим
Умножая скалярно это тождество на „А • и учитывая
(3.28)» получим равенство За. Аналогично из
7>XV < ъх* Т>Х* с DJC* '
получаем 36.
Продифференцируем ($•* ' по «Зум- ■ Мы получим
Умножая это равенство скалярно на JC . получим
**) LJJ ' у?*г Л j W^ * < у,/ ^ ^ Ьд>
417
27-1419

и аналогично
a* rUl- lL 7 эХ )=0
Обозначим, как и ранее,через # оператор, стоящий в
правой части равенства (з**) в фигурных скобках, так что
равенство (?•',) переписывается в виде
В этом случае мы представим /6 в виде
ы
где
S; J2fL til- $<? У 2iL. ?AL_ __
7>k I A-o
418

f
Очевидно, что решение уравнения
АХ-о
существует, когда Jf принадлежит подпространству
собственных векторов оператора L* , т.е. S(p,<x.)
удовлетворяет уравнению Гамильтона-Якоби
по условию '
60©
и оператор
SOo
J{ есть сужение оператора А на подпространстве
(i- Pi) В°° ' имеющее обратный.
Для того чтобы можно было применить лемму 5> 5 (Ц/теории
возмущений и найти такое if , чтобы
нам нужно существование ^ членов теории
возмущений.
Так для определения первого члена асиЪсотики в этой
лемме требуется существование
выражения вила
Это означает, что
PlV,X'°
Предположим вначале, что размерность ъ подпростран-
419

ства собственных функций оператора L равна I, т.е.
точка л - простая. Тогда условие (?•$(>) примет вид
Скалярное произведение понимается здесь в объемлющем
пространстве О . Поскольку , где
\\Хо W =i } * fo.iPAP*,...*?*,***^.; X«»J-
скалярная функция, а?с другой стороныfоператор (/i есть
оператор в Яь , включающий дифференцирование по
аргументам /V"/ Р** <Г<"/ "7 *****)
то уравнение (5-Si) , которое, очевидно, мы можем
переписать в виде
есть дифференциальное уравнение для определения функции
фоСри-Л*-***44'-'**")
Совершенно аналогично в случае ъ -кратного
собственного значения Л , если У-а,*.*, Jot"
ортонормированная система собственных векторов, то
уравнение (?• 3 ^ *-' можно переписать в виде системы
дифференцированных уравнений для определения скалярных
коэффициентов r0V**v У°ъ ПРИ ^°1, "'; Хот>
(Напомним снова, что хотя
(fci - faCPb»;/**,**"'-/*'»')
являются функциями параметров /V*v P*-' &*•"/*"' "+*}
420

но являются функциями со значениями на прямой, т.е.
скалярами в пространстве и . Векторы же Jeir-^,Jt>-L,
являются функциями pi,--/ Р*> X**') ••/&«+'
но со значениями в 6£ , причем эти векторы по
норме в В равны единице).
Система уравнений, эквивалентная (3.3/*J имеет вид
т
В силу леммы 5- 5 для вычисления следующего члена нужно,
чтобы элемент
(у, а-1 и, s ^ Xj *£ fy Xjha i $ Xj
принадлежал области определения оператора А , т.е.
P'J I/, f V \i, | *ч rj.tf.jXj > и, t ъ%}*
Таким образом,
J--i J J с jJs/
и мы получаем систему уравнений для определения
Аналогично, очевидно, для ьС -того члена
мы должны потребовать, чтобы
421
27-1419

zua^-t GUI')
1*4
Таким образом,
zcx;,u<yj№j-?, (*»)
где J- зависит лишь от ycj при С< & , и мы
получим уравнение для
Итак, задача сводится к отысканию дифференциального
оператора Ij-iXijUiXj) в пространстве С °°
и доказательству существования решений ^ уравнений
llf'O и 1>*Р = ?
где </>£С<° и 7^Г (*^
Заметим, что оператор [J1 состоит из суммы
вида
где оператор /с, не содержит операторов дифференциро-
вания, а является оператором в О , зависящим от
параметров fry • ; Р* >&*.*>, • •• , сГл^/ •
Поэтому
где Qcfi — известные функции параметров Дгу/ЦЯ*^*/^
422

В силу тождества 3)
где ^ - производная вдоль траекторий системы
Гамильтона» отвечал*! (3.30)
Отсюда следует, что решения уравнений
существуют. Далее, применяя рассуждения (3-*5)> (*•**;*
мы приходим к асимптотике решения уравнения
"т 5.ДЗ
Нам, однако, еще нужно подучить решение уравнения в
"явном виде11, т.е. выписать матрицу ucj& в [3-3*1)
Для этого мы воспользуемся тождествами 3) - 4).
Заметим прежде всего, что
у**, *7у ^9 /
где <f/<rpj> и d*/ (TXj обозначают полные
частные производные по независимш переменным Л,-'"; ^с->
CLK+4j*~j OGfij i $ Т.е.
dk-Uk + y 9&vl+r:vfc'?M.
423

-Vk-TVk £L +T Ък. £L. ]-, .,
Аналогично
^ 2^ ~ <Z>?, &*} ~„ 9f.
"^ fl. 2f.' **/
У
Ml
Подобно тому, как bio было сделано в предыдущем пункте,
положим
£;
1t \
{3
где
(А > • • v Д, Х«<* > • v **, ^ - t«**ie «ictew Гаинльтоиа
i(ohO,a р и х удовлетворяют условии (ЗД8) - (3.19) ).
в силу леммы С.А*Соболева f7U$ удовлетворяет уравнению
424

+fc., V*J *W t"JT*., 10X- tfi*!/
fit
■f
£**■
Подставляя
dx <T ^ dt * J d* J
в выражение для оператора Uf (см. (?■ is) ) и
учитывая тождества 4а), 46) вида
& \(Г г г*. -Ы1 ] *& )МГ [1L -ъг 7 Ук
Ifjtt+I fit ?y j J
и аналогичные им, получим, используя равенства вида
4 ftrVfcry ' Э*
*W
425

в амлогмтаме ш, следуя»* уравнение для вектора 1с=(иь.../иЛ
- матрица вида:
h+X
Оператор У О (vA у > (/, J[^J Я^Т J
соответственно, имеет вид
Отсюда следует
Теорема 6.3..
При высказанных предположениях для любой финитной, %(j>>x,t)
существует решение уравнения
цредставимое в виде
426

Р Рм AS(P*V г * > , a
lit if* (pf x{ ij - некоторые бесконечно дифференщруемые
фунарш, финитные по р ж & со значениям! в О
удовлетворяет уравнению
(Напомни, что функция S (p>oc>i) - действие -
удовлетворяет уравнению (ЗЛО), а производная —,
берется вдоль траектории скстеш Гамидьтона, отвечала!
S(p,*,*)
427

ГЛАВА ?. АСИМПТОТИКА В БОЛЬШОМ РЕШЕНИИ
АБСТРАКТНЫХ УРАВНЕНИЙ.
В этой главе мы докажем теоремы сформулированные в
глава* Э~4.При этом в основном мы повторять эти формулировки не
ОудеМ.^ JleMMd О ЛОКаМ*ы* координат at.
Прежде всего мы докажем лемму о локальных координатах /лемма}^
которая использовалась при конструкции канонического
оператора.
Лемму о локальных координатах мы сформулируем в виде двух
лемм?1а и?,1б.
Лемма7#1а. Пусть в точке <*W° матрица 8 =
JI 22>" II £«* имеет Р**1, г < п • Тогда су-
щест^ует такая ортогональная 1х п, -матрица I/ j9c- . (d °J \\;
что при каноническом преобразовании
j-i
равенство *'
J'M-tN^bM
Ш)
??<г,
выполняется для всех 4 s£~sx> dsj 6 л} где #е«-х,ш
Доказательство» Существует такие ортогональные матрицы
Ci*CiC*°) и Сх*СьЫ*) , что матрица В,~в, ВС^,
диагональна при с/- <А° (см. 120 /), причем её первые
X строк состоят из нулей. Очевидно, что первые *- строк
матрицы йд *- В^ С\ = C°f 8 тоже равны нулю.
Докажем, что Ct - С\(^с) и есть искомая
ортогональная матрица jj /:j (^ °) №. Положив ffa)~ С f&k получим

Отсвда следует, что [Ъ?'г /^^S(/p e0, 0W,...,**
Преобразование (£*) оставляет инвариантными скобки
Лагранжа. Лемма доказана.
Лемма ?У^ Если ранг матрицы II ^р' l/^^* равен т,
то матрица £)* = ^ ^^ /г°^' " lJ 5 At >
где
невырождена.
J Я 60 ПРИ « * *
Доказательство. Умножение матрицы $г
Сх эквивалентно ортогональному преобразованию
^*1)*" > **
ГУ. 2)
справа на
координат
вида с^гЦ ос . Поэтому
Поскольку в матрице ** при cJ=dD отличны
от нуля лишь члены 0 при с у f6 , то
из условия (3.&) is i следует, что *
Докажем, что dei. ц £§: I <: /Va^^' Предположим
противное, тогда в силу [i*>) ранг прямоугльной матрицы
А = IIЩ /7>3, Ц и* при «W* мень-
ше # • Прямоугольная же матрица // "ifr/tcCj ll^-bt* /*<r*/i
равна нулю. Отсвда следует, что ранг прямоугольной матрицы
вида
429

l>3j
ft,
к
Ы = с1°
0
[A
леяьше л, , что невозможно, поскольку
tb -мерное подмногоИразие. Полученное щротиворечие
показывает, что
сСеб
что и требовалось. ^
Координаты точки ^ ° вида ук =Piy-,P*, %**'"' Ф*-
Ы^ п-ъ) будем называть фокальными
координатами точки <^° , а соответствующую плоскость -
фокальной плоскостью.
^*" Доказательство теорем об инвариантности
L Мы докажем теперь инвариантность индексов по
модулю к » поскольку для определения канонического
оператора достаточно знать лишь такие индексы.
Если некоторая область Si С Г взаимно
однозначно проектируется на плоскость
то будем писать 52 С SB* , > а если
одновременно проектируется взаимно однозначно и на плоскость
430

то будем сокращенно писать £? с 52* О Яё^.
Если точка об принадлежит элементу покрытия dt
отвечающему карте Q* , то будем писать ос 6 52^
Точки ос 6 Q* поставлены во взаимно
однозначное соответствие со своими проекциями У* на
плоскость ^f=^=r =^< -/V// = . =рп =0
так, что мс&но писать
и оС *etfjjf*) ■
Последняя функция определена лишь на проекции ZSя
области, отвечающей на
указанную плоскость. Обозначим:
Пусть SM - некоторая функция,
удовлетворяющая уравнению
Обозначим
где ^(<*) - некоторая гладкая
идя с носителем Ь? С £?^
431

Соответствующие величины, отвечающие Sc^ j
Зудем покрывать двумя волнами. Обозначим через ф ^
обратное преобразование фурье: ^
В случае, когда носитель функции ^(fyy/fy*) равен ги ,
интеграл нужно брать по Я .
Доказательству трех сформулированных теорем мы предпошлем
несколько лемм. Заранее условимся, что все равенства в леммах
?.Z - ? 5 и доказательстве теоремы -&.3 мы будем понимать
в фактор-пространстве S (см. гл. 2 § I, 2°)
Лемма?.2. Пусть носитель j* финитной функции P6*j
принадлежит лагранжеву многообразию Г ={$(<*)> Р(и)J и
проектируется взаимно однозначно на координатную плоскость $>
и на плоскость ^ ^х *... - fc * Ду, = ^Д^£>, л ($к -
его проекция на плоскость #> - & = • • • ~ ^* я А*/в —/°л~^ •
Тогда выражение <5> JT ^ равно 2 g - L-£' T«*
при ^ 6 (У„ и равно нулю при ^ в #* .
Доказательство. Для вычисления интеграла §>^ J ($)
применяем метод стационарной фазы* Стационарные точки
л -aS l -y,..v *: определяются из системы
Положим в (2.£;
Поскольку
432

то система (■&•*) удовлетворяется ори fr'tycC*),
i=i,-,ii. Положи в системе (Н> с? = ^f у <J
Подучим, что Щ 9 % £ы(ул)], ( = *,-, *■>
является решениями овстемн (2 2) при произвольных
^е^ • .поскольку %[*(#<)]'%, J--1,-,*
Беля С g jt^ , то стационарные точки ^.° > С= £,-■■, £>
не принадлеявт области, в которой подинтегральная функция
отлична от вумя.
Единственность решения системы (*• 2J в области
Vк. & &*■ следует из того факта, что
d&i
f^«yl 1 >ыЪ^ътЩ,4о
-bf. Dfj
Условия применимости метода стационарной фазы выполнены,
откуда ожедует утверждение леммы
Лемма ?.3 Пусть досите ль функции р(*0
принадлежит пересечению Qk., ^ ^*х э тогда в точках
у« € <^^ , таких, что vL(y*i.) является
неособа!, имеет место равенство^'
28-1416

Ф г 9 IUi - ^ ^ <л-5>
Доказательство. В силу лешш 72 в неособщс точ>
их ^ ~ _
01011118 ^ -tfif
.л*
1о = е*Ф"'1к1 Uv
Поэтому в силу леммы Я 2
се.*;
ято и требовалось.
Дета %4 Пусть носитель <рЫ) принадлежит
Л*/ Л £?./ > тогда имеет место соотношение
где ггъ . некоторое целое число, не зависящее от и^ .
Доказательство. Рассмотрим интеграя
имеющий вид
434

где £ =Z js.j Щ t dU l/{) fl -i, *-*(&,) ш
Для вычисления интеграла 1*-У J применяем метод
стационарной фазн. Стационарнме точки р* у J>.° г *•/;..., л£
у «-/,••-, ** } определяются из системы
Dpj
-b(SC*)-Zpjfja>) £ « *„,
Как известно,^
435

Из (S-13) следует, что
(л./*)
В ouy ft»;, fc.tfj «стену (&*)-(Лм)
можно переписать в виде
Можно убедиться, что система (&№) " С^) имеет решение
где £ ~Х (у а*.) - решение системы
Пусть далее J)^ к* (<Z) - оцределитель матрицы А Ы)
вторых производных фазн интеграла (■*• Ю Из формула
CiJ) следует, что при ^^ таком, что <А.#<*) -
неособая точка,
Следовательно (см. утверждение &Э,гл.6 на стр. 377 ),
Ън *ъ № СУе^))фОЕ метод стационарной фазн применим.
436

Отсвда и из соотношения C&.J)
точках 3
ЪъьЮ
«
следует, что в неособых
(*■<$
Отсзда по непрерывности получаек, чтоето равенство
сохраняется и в особых точках °^ ^ -»с tf, " Ь t. **,«
Значит, Ък^хъСЗ) ^О при 5 6 й*, 0 Ье*ь
С помощью метода стационарной фаэы получаем
где м« ЗпЛ, A (Z) -**•
Из (&-&) следует, что Ъх*,** №)^ не обращается
в нуль на пересечении карт Л*, и j^ .
Следовательно, JW A fa) не меняется при с^ 6
Лемма доказана.
Следствие. Разность %ut - /^ равна г*- для всех
неособых с* & §2м, А О*** » ^ ^
Отсюда, поскольку м, не зависит от ot ь Ям, а и*.
для любых неособых точек °0 и «i , принадлежащих
пересечению
и.
а.
Следовательно,
Г^ы^-Ь^)-?*,^)-?*,^)-^*
3&-1418
437

Мы доказали, что индекс пути из Ыу & oi является
инвариантом, не зависяпош от того, в кавую карту попали точки
d* ж cl*-. Отсюда следует теорема2.1 о гомотопической
инвариантности индекса пути У .
SL. Доказательство теоремы £3. Обозначим через
Hj J I Xtdf, i^ J7 J^J j] канонический «вдратор вида
(3.3J u$% зависящий от покрытия &С * сшивушюсти центров
X $ разбиения единицы (&J } * путей Нетрудно
убедиться, что в силу гомотопической инвариантности в малом
Jpd-f и 3ncL £ [oL'd] выполнение условий (2.5) г~*Л
ВеОбХОДЩИО И ДОСТаТОЧНО ДЛЯ ТОГО, ЧТОбы ($ fAxrop-npocrfvutcrtef)
оператор КЛ однозначным образом определялся даням
атласом 7f центрами 3£ и данным разбиением единицы.
Таким образом, 0
и мы можем оператор ( 3.3 ) и % обозначить через
' Прежде чем переходить к доказательству независимости
канонического оператора от разбиения единицы, докажем демцу.
Лемма 7.5 Цусть области £2 * - £? "(fih * е4-у v
элементы сокрытия с совокупностью центров
И в Ы)-вс' С1*,ft) (элементы разложения единицы)
зависят от некоторого параметра J& £ CQ £j y так что каждая
область -Q L (ft) при всех взаимно одяозяшч-
но проектируется на одну и ту же плоскость p4,*~,P<f fati^^fb-j
дважды дифференцнруе-
ма по fi • Тогда ^ ^
у. но определению, UkcL £[3«щ,5^ 7 « ап., где <£4, %к~
центральные точки карт g%^ f J5
436

г и*'*
Dfi
и? {%с*л ^^>{rcu-rii tw -o•
Доказательство * Достаточно доказать утверждение деты для
точки Р~0. Пусть €к(^. /5) - элемент разложения
единицы, отвечающий некоторой карте £2 и (ft) , и пусть кар-
та 52 ^ (ji) пересекается только с -^ картами
"Я\(Р>), С»Л,..-,£. Рассмотрю!
Докажем* чао
"г
Шеей
[| С*« ^ Н* ■/§ %е' ^ ^ -
Здесь ^ ж JJy отвечают картам -££*.> f/з) . a
В силу лшм Z3 ж 7.4
«• . (212)
у ~d ..., с при, ос с
Поскольку /
^С^*^е4^/>^
439

то Ъ [ в* i\p) * Z 1 '* fe/;J / Э/ =0 в указанных
точках.
Отскща, из £?.*7J и (*-^ следует утверждение леммы.
Цусть ^ и ^ атласы с одной и той же
совокупностью центров *ЗГ_ , т.е. одгой центральной точке с/'
отвечают области Q' & & и S2 &&£. Рассмотрим
атлас <Я* с центрами -X и областями ii?'~jf?' U £2*
Им отвечают разложения единицы jeLW\, {е1 0*)) н (ё'(и)].
Рассмотрим разложение единицы 4&СЫ, ft)}' , где
отвечающее покрытию Я'С/) ,где Я{/)-Яй
при f> G fad] и Я.'{°) = <HL в силу леммы
7.5 получаем, что канонический оператор не меняется ( t г*«го/>-
n/>octff*Hcr€< i ) от замены атласа 5/ на ^
Аналогичное утверждение справедливо, очевидно, и относительно ат»
ласа <ff . Следовательно, замена атласа 5^ на ^
сказывается в каноническом операторе лишь на величинах *г{«&л<нт-
**/х ^д«>. Поэтому мы можем записать К* [<%,<?% {&'}]- М' (Щ
Пусть теперь дан атлас ^ • Возьмем некоторую точку
d & И, <Z € <3£. Изменим покрытие 9г (сохраняя его
центры 3£ ) j«k, чтобы точка <* принадлежала только
одной карте Я?^ нового атласа 59*' с теми же самыми
центрами 3*. По доказанному эта процедура оставляет
д инвариантным. Окружим точку сГ такой об-
ластью, которая пересекается только с Ьс-# и целиком
проектируется на фокальную плоскость, отвечающую оС .
Таким образом, мы построим новую карту с центром в точке об ,
W0

C4>
обозначим ее черев Ъкл , а дополнения! trot картой
атлас <5т и дополненное точно! ы множество «Я:
соответственно обозначим, ЗР* и ^2Г . Цусть ^£/ Л*^ ~
- разбиение единицы по атласу ^ % тогда можно построить
следувдее разбхеяие единиц? ^^ (*)} по атласу
Рассмотрим разность выражений /J ^с/° <рС*с) $ соответ-
ствущнх атласам единиц? -в*
я €. щ соответственно. Очевидно, что
*ак жах ££ ^ - £,J («)*е(л$ж носитель -^ € Й^ ofl*
, то в сезчг лемм £5 и 7.^ разность (2/д;
эквивалентна нулю. Следовательно, к центрам 3£ атласа <"
можно добавить вовне цеятральвне точки и от этого оператор
К ' не будет изменяться . Цусть даны
канонические атласн <ff ъ <п с совокупностями центров
36' и <3? " . Рассмотрим атлас с?г с совокупностью
центров ЗС-&' U £'.
По доказанному, 0 ~^0

следовательно, д [Я J &г I J >
что i требовалось*
Теорема 2.6 доказываете* аналогично, црк учете, что
в леммах *2- ** метод стационарной фазы дает аснмптотнчесжже
ряды по степеням й? .
3. Доказательство теоремы 2.2, Цусть Р0 н /^ - даграв-
жевы многообразия, причем /7 может быть непрерывно
деформировано в Q , так что они включаются в однопараметрн-
ческое семейство Гт , 0*?*i , ще /J - лагранжево
многообразие прн любом ^
Цусть, как обычно, - канонический атлас
начального яагранжева подмногообразия Г0 =ify0W, /**&)}*
Обозначим через il гь Т*, отображение подмногообразия /£
на AJa ; К*? ъ^Гт - П? » через <ffT -
канонический атлас подмногообразия Гт. ^ t
Пусть £2J отвечает карте ъс* С *г<> •
По определению карта Q>JK , область -Я7 взаимно од-
нозначно проектируется на плоскость /V'v/Ч, <f<*t)-, у*
Положим £2 ?0 = Uq To & • Очевидно, что при ?с <€
область J52i, также будет взаимно однозначно проектиро-
ваться на ту же плоскость. Поскольку областей Ь2
конечное число, то найдется такое £ >0 , что при % *£
во всех областях О*т0 можно ввести те же локальные
координаты tyK ,что и в их прообразах £lJ. Таким
образом, в качестве атласа <^г на Гт- можно
взять совокупность локальных карт /ь?^. )к, ~ Uo? 52 *
отвечающих областям -Ьь^ я координатам
^/г.^ ?*,,.-/?* ***» ЧГ0 "*■ ^ ^ ««но по опре-
W2

делению писать ^г = ^о}т0^о .
В силу леммы Бореля конечный интервал [p,i"] мы
можем разбить (точками T^Z*,•--/%*, - -Ь ) на
конечное число интервалов длины Л , обладающих следующим
свойством: на Цгс может быть выбран такой атлас <^Ti. ,
что Ж!? = Ufr 9f <?£?* " атлас при £• еТ-^Г^^
В свою очередь на Гт.^ может быть выбран такой атлас
ffiт > вообще говоря, отличный от атласа &?<£-. -
атлас фи тСн 5Г<^.
Рассмотрим цикл 7г. ва подмногообразии /^. .
Докажем инвариантность JncC f^ относительно
деформации Г?. —* 7г;.„ > т.е. докажем, что при этой деформа-
Поскольку мы доказали инвариантность при
переходе от одного атласа к другому, то тем самым будет доказана
инвариантность шщекса любого цикла относительно деформации
r-*rt.
Вначале допустим, что цикл Jvc можно деформировать
на Гг. таким образом, чтобы он не проходил подряд через
две особые карты атласа <jitl Рассмотрим отрезок
гс' '*£ ^Ы i> Ы J цикла ^г- » лежащий целиком в трех
картах Sl\ <3*,Я*- , где Я->с - особая *-
- неособые карты .
Карты UVl>r &*~ (<r-',&), ttr.tr&* Щя Г,*Г*£,
мы будем обозначать снова через £?^ (^ь^), Я-к
соответственно.
m

Рассмотрим отрезок ^vitTi*i ^Ъ = ^Ti*( ^ О^с*/
Докажем, что jW ^ =• Jnd> ^rc+i •
Тем самым будет доказана инвариантность Ук<£ (f?( ?
поскольку по построению величина индекса может изменяться лишь
при переходе через особые точки. В силу этого замечания,^
уменьшая общности, мы можем предположить, что с/^Ы^б- $£<
т.е. оСв Як Л Я* _ , a </4j2K ЛЯ\
На каждом из пересечений
якобиан D fa I Vtf% по определению карт
не обращается в нуль. По построению он отличен от нуля и в
точках иТт?г <Л (<r*t*j, Tt *T*Tiu .
Следовательно, и равный ему детерминант матрицы
В*~ II tfk /Щч •< отличен от *&** в этих точках.
Поэтому индекс инерции матрицы 8*. не меняется при
переходе or d С /V. к Мъ ?i*jot 6/Z .Следовательно,
3noL iTi = fnd 4vUi » «° и ^бовалось.
Рассмотрим теперь общий случай. Деформируем цикл ^
н цикл ^f-. таким образом, чтобы они проходили через
центральные точки всех карт, которые эти циклы пересекают.
Рассмотрим отрезок цикла TvL- , проходящий из центральной точки
ос#с, ^ карты SI Kj в центральную точку <Ал^
карты Qlk на многообразии Г*?. . Рассмотрим
соответствующий отрезок пути цикла 7r^t из центральной точки
<^; £ ^т.^ _карты £2'* =-- Мгг,Гс*й &«f в
центральную точку 5^ £ /^ карты 52.^ -^, r,w Sl^ .
Докажем, что индексы этих путей совпадают. Отсвда, очевидно,
будет следовать, что индекс цикла ^ равен индексу
цикла Тгщ
444

Напомним, что ни определили индекс нуги из нес собой точ-
ки oli карты _Q* в центральную точку <*\ этой же
карты как индекс инерции матрицы о к. в точке <*"
Пусть стС* ё .£2*, /? -ь?аг2 и является неособой, а <**/
ess pZ ^.
и и*ъ - центральные точки карт Sat-к, и ii^*£
соответственно. Очевидно, что
Таким образом, индекс пути из 5^ в
оСкъ равен разности индексов инерции матриц 5к1 и
Ъ^ * взятых в точке с*"£ 52*; /I Sc*^. По доказанному в
лемме ?.4 эта разность равна индексу инерции матрицы А(ы1).
Заметим, что мы всегда можем считать, что многообразия
*% и Q;-*£ находятся в общем положении. Однако, при
некоторых Т G {V; * Т< Ti4t J многообразие может и не
находиться в общем положении.
Пусть Ы° & Я2 х, ПБск^ъ лежит на ^Г/ , а
4°9 11тi Tt*4?t0 лежит на Tri*i 9 причем точки Ы °
и с/^ неособые. Докажем, что индексы инерции матрицы
А (°9 в точках d° ж о/j* совпадают. Этим и в силу
сказанного выше и будет исчерпано доказательство инвариантности
индекса цикла frc •
Равенство (A f5J , доказанное для случая, когда
многообразие особенностей М имеет размерность не более чем я-1
по непрерывности продолжается на общий случай. Поэтому
ciek A(oi) не обращается в нуль на пересечении карт
-£?у, /1 &ib > а так*е »доль пути %TitT ы
при Т. ^ Г ^ Г^, • Следовательно, вдоль этого пути индекс
инерции матрицы A fa) не изменяется (в противном случае
<з£-£ ^W обратился бы в нуль)* что и требовалось. Отсвда
следует и аналог теоремы %,£ для плёнки.
445

§3. Асимптотика решения в большом .
l.lfci здесь докажем теорему k.i & случае nt=d "A^S
т.2. теорему h.La. в общем случае произвольного пъ
эта теорема /доказывается совершенно аналогично*
Прежде всего покажем, что теорема к Л а
непосредственно следует из утверждений, доказанных в теоееме 6.2 при
условии, что время Ь достаточно мало (т.е. теорема
4.^справедлива в малом). Для этого получим из формулы (3.3?) гл.6
формулу (2. А!) гл. к. Предположим, что носитель вектор-функции
f (а, А,) (см. теорем* 4i^ принадлежит области £Р\
В силу С 2. A3) гл. к носитель вектор-функции f(<**,i,b<) будет
принадлежать $21 • Поэтому выражение (ZA1) в этом
случае в силу определения канонического оператора может быть
записано в форме (5.3 9) гл. 6 при учете равенства
Но форв^ула (3.39) получена в предположении, что
ие обращается в нуль, т.е. при 6 ^£- Поскольку
канонический оператор может быть разложен на конечную сумму выражений
вида ( 3*31) , то мы получаем утверждение теоремы k.ia,
при Ь $ & • Все эти рассуждения, разумеется, могу быть
отнесены к произвольному начальному моменту ~60. Решение
Q(<*,*), Pt*t) задачи (2^) -Us) гл.к задает
отображение 1(оЬ подмногообразия Q на
подмногообразие rt.
Применим к отображению Ио,т построение,
приведенное в начале доказательства теоремы 2.2 (см. п$ §2 ), и
4W6

разобьем отрезок [ О, V J на интервалы i^Oy i^ tx,-> ?[
Мы сохраним введенные там обозначения: &ft ~^± <№°
при l*ti\ Zf^Ut^t &±с при 4£*£*b<f
Пусть при Ь-0 решение уравнения (2. id) гл. к
удовлетворяет условию С? //л) it. к. По доказанному, при £ * if
это решение можно представить в виде (HJ2) г* к , где
Таким образом,
'«tit* \}=i
Заметим, что из условий теоремы кНаследует, что решение
уравнения (2.И) , удовдетворяшее начальному условию,
эквивалентному нулю, эквивалентно нулю.
Для решения уравнения (2- *0 вновь поставим
начальное условие вида
чы). *'&[*:}£**' со
при ъ = ч.
В силу единственности решения (см. условие теоремы Ч..1)
мы получим при г >^'i1 решение $(*,*) задачи
Перевдем в начальном услонга (51) к другому
атласу <nt , тогда мы получим с точностью до функции,
эквивалентной нулю,
где о/' - начальная точка <%?+ , & Y*ь Jrf...\
+X—fJnel PL**0 Ы° 1. ** 6wso 3me^en0* решение уравнения
447

при t >tt от этого не изменится с точностью до
функции, эквивалентной нулю* Поэтому получим
Продолжая этот цроцесс по индукции, придем к утверокдению
теоремы кЛси
^Доказательство теоремы к к. Сохраняя обозначения,
введенные в доказательстве теоремы к. 1 , рассмотрим
№?АК] £№*'*)
цри i < ^ t тле
В силу (blS) гл.6 цри Sv = l, i-o (см. также
замечание в начале этого параграфа ), поскольку JncL <@[ыс, ы1)=о
по построению, имеем
где 2(х, ^ к,) & Lx. (о > t-ij - пространству непрерывных
по -L и ^ и квадратично интегрируемых функций, ос 6 Ц^
со значениями в В . В дальнейшем буквами ^1, 3*, ?3r-j
мы будем обозначать функции из
Очевидно, что : 0
поскольку Ft (EJ) ~ Г(£ s, H"Ь 9 точка °* t
на подмногообразии it^EJ) совпадает с точкой оС° на

подмногообразии Г в обьемлвдем евклидовом пространстве,
и, следовательно, frt ~ - J Hdi =-£J6.
еыуп
Поскольку условия теоремы 2.3 в силу кЛ гл.к выполнены,
мы мохем применить дешу 7 5 и на основании ее получить
Поэтому
Отсвда ч
it -йг] С&с$ №'1-> -А»" Ш)
причём либо В -hju-yt ) является точкой спектра
оператора L , либо
где // I/, - норма в ЬХ[В ] . Поскольку
J ' "*а CL ) где CL - расстояние от точки
£ -k /и. до спектра оператора L , то отсвда
получаем, что di 0 С^х) , что и требовалось.
29-1419
449

Заметим, что соотношение £.3.2) приводит также с
помощью леммы 1М т./ теории возмущения к асимптотике
спектральной функции FA у интервала Л J ~ О (к) оператора L , а
именно г
Теорема доказана.
3. Из теоремы 4.4 непосредственно следуют теоремы
3.1, 3.6 и 3.6а. Из теорем 4.1, 4.1а, 4.2 цри учете теорем
5.2а, 5.3, 5.5а, 5.6а следуют теоремы 3.3 и 3.4 (последняя
теорема для уравнений 3 и 4 таблицы 2).
Очевидно, что для гиперболической системы условие I),
§ 2, гл. 4 выполняется, если в качестве пространства £**
взять конечномерное пространство. Известно, что из условий
теорем 3.4 (для уравнений I и 2 таблицы 2), 3.5 и 4.3,
следует условие 2) § 2 гл. 4 (см. /25/, /49/, /38/, /59,1)2)/ ).
Из леммы 2 дополнения и условий теорем 3.4, 3.5 и 4.3
следует существование цри любом домени t решения задачи Коши
для соответствующих бихарактеристических уравнений. Таким
образом, все требования теоремы 4.2 выполняются цри
осуществлении условий теорем 3.4, 3.5 и 4.3.
450

ШВА 8. КВАЗИКЛАССЙЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ ДЕЯ РЕШЕНИЙ
УРАВНЕНИЙ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ С [$] + 4 В43А
Д1®ФЕРЕВЩ17аШИИК0»ФйЦИЕБТАМИ
Задача квазиклассической асимптотики в целом, т.е. в
случае^ когда траектории пучка пересекаются, является
весьма сложной, и даже в физической литературе не было никаких
подходов к решению этой проблемы. Аналогичная проблема в
оптике была исследована в частных примерах лишь в физической
литературе (о переходе волны через каустику см. напр. в
книге Ландау и Лившица "Теория поля??. По аналогии с оптикой
априори можно было заключить9 что,если траектории пересекаются,
и в одну точку X в момент времени 6 приходят К
траекторий, то этому отвечают £ различных волн, которые
интерферируют в точке «£ • Эта интерференция зависит существенно от
множителя вида ехр-Щ2/ > который стоит при /-
-той волне. Эти соображения цриводятся в С £* /• Там же
указано, что из априорных соображений нельзя угадать величину Iff
В случае оптической задачи в пустоте с отражающими зеркалами
величина X* зависит от числа отражений, которые претерпела
J-ал траектория.
Мы видели, что для асимптотики решений уравнений
квантовой механики роль таких отражающих зеркал играют огибающие
семейства (пучка) траекторий классических частиц.
При этом как указывалось в главе 2 величина #у
оказывается равной так называемому индексу Морса J- той
траектории.
451

Этот индекс был введен М .Морсом при изучении вариационной
задачи для функционала и определен как число отрицательных
собственных значений второй вариации функционала С 5*3 J.
Теория Морса сыграла существенную роль в развитии топологии
дифференцируемых многообразий С S% 7 ж в изучении
задачи о числе геодезических, соединяющих две точки (вариацион-
ное исчисление в целом). Здесь мы видим, что индекс Морса
имеет конкретное физическое содержание* Этот факт является
новым успехом теории Морса.
В предыдущей главе мы уже получили значение (fj ,
однако, еще не доказали, что значение {Ту совпадает с
индексом Морса. Кроме того мы и требовали, чтобы коэффициенты
уравнения были бесконечно дифференцируемы. Большая гладкость
коэффициентов существенна даже для получения первого члена
квазиклассической асимптотики с помощью метода, который был
дан выше. Но вопрос об установлении такой минимальной
гладкости коэффициентов, при которой ff*• равно индексу Морса,
является принципиальным* Легко проверить на конкретных примерах
в одвомерном случае, что для разрывных коэффициентов величина
<Ь отлична от индекса Морса.
Мы даём в этой главе вывод формулы квазиклассической
асимптотики, существенно отличный от вывода, данного в предыдущей
главе. Требование на гладкость коэффициентов уравнения
оказывается при этом новом доказательстве зависящим от степени
гладкости функций в интеграле вида:
М,=/^^^;
452

достаточной для утверждения: "Если уравнение ^ З**8О
имеет единственное решение ЗС^ ЗСо » форма ^ У
при <z>3Te невырождена и имеет индекс инерции $Г ,
то справедливо соотношение
где ^кСу) сильно сходится к нулю в /^д при
А,-* О i a D - дискриминант формы d*& в
точке Хо "•
В методе, который дан в предыдущей главе, требование
на гладкость коэффициентов уравнения, зависит от степени
гладкости функций f(x,} у) и &fay) » которая
достаточна для получения второго члена асимптотики в методе
стационарной фазы.
По-видимому, утверждение;взягое в кавычки и
доказанное в гл. 6, может быть улучшено. Вероятно, можно требовать,
чтобы функции <р(Х/У) и Ж*, у) принадлежали
пространствам W^®1 (вместо C®]*£ )■ W&]*3
(вместо £Lt1*4. ^ соответственно. Это улучшение
теоремы о методе стационарной фазы немедленно повлечет за
собой уточнение теорем, которые будут доказаны в этой главе.
Доказательства теорем могут быть обобщены на случай
волновых уравнений оптики, а также при дополнительном условии
бесконечной дифференцируемости коэффициентов могут быть
легко видоизменены так, чтобы все асимптотические оценки имели
место в ь . мн проведем доказательство для
уравнения (2.1) гл. 3 с коэффициентами, принимающими
значения с I по 4 строку таблицы 2 (т.е. уравнения Княйна-
Гордояа-Фока и Дирака). Будем называть его уравнение
для простоты "уравнением Дирака".
453

§ I. Метод шагов вдоль траектории для получения
асимптотики в целой,
мы будем рассматривать для
определенности асимптотику решения задачи Копш для уравнения фрака.
Как мы видели, это решение может быть представлено в виде:
И(*>4, К) * 2L' {У1, У*, О }. Оператор Q^ к
функции .}ji-]/i(!*,k), yjL^fafXjty
определены в §Ъ ъ*5 Цредположим, что fa (x) = U>(*,Q Ь) *№)**/>Щ
где <р(х) - финитна, +(*), ?(*) £ С *
Рассмотрим систему у/ь - бихарактеристик уравнения
Дирака. Она имеет вид:
+ ♦ Г 1 {*i}
Обозначим через
решение системы (f.4) с начальными усдовидеи
Обозначим через X * (^ 0> Т* ) совокупность
X"(^i) при О £ 'б & 71 (траектория). Пусть
C^Oi-Lf'jr'j &;4ц) - фокусы яа траектории X О** '°>Т*)*
Обозначим через Do- ЪоС**, £<г) такую £ -
окрестность точки Х0 , что вне Р -окрестностей по ¥
точек (ёСо,^)* - -> COCoj^^) для всех зСо& и0 нет
фокусов и в каждую точку вне этих (Г- окрестностей при-
ходит лишь одна траектория. Пусть, далее, Ъф и Я± -
области значении функций X* (Ло,^ и p*(&otty при
сс0 й У0> -Ь е (о,Т J .
х/ Фокусом (фокальной дочкой)называется точка» в
которой лх/»дс0 «о Их конечное число (см. § 2 п. L ).
454

Как известно, (<«" $%**<* глск$*)% существует такое время д£ р >
определяемое максимумами модулей вторых производных
Н (*; Р>£) в области U Vj * Q^ , что траекто-
рии, выпущенные из области U D+ х ^t J c
одним и тем хе импульсом °s6lT , принадлежащим
некоторой окрестности области U "^ не пере-
сежажгся за время Д ^ • . Предположим, что
Обозначим через -Ь'с некоторую точку, лежащую в
промежутке />. -#, ^~ Vi 6'"4 •••'*• Отрезок ^J
разобьем на промежутки точками С} Ь'х > ^ * 4£ ^' "&*-^о •• •
^,^*Tf»T (В случае, если 4А=т>
точка -£- ^** 4г опускается).
Положим теперь Д?г = Д> 6**, ~£)7 £cdr..,6
d) = hUn, {(Г, A-~f J . Обозначим через V^ 2 $?pi
области значений функций «л (x^h Р (^"Ь)
соответственно, при ЗСо & Рос.
По построению при i> s -6^ траектории
!L*(xo\0$ не пересекаются, т.е. уравнение X (Л»/1Ув*С
однозначно разрешимо относительно £*: ^© = ^Сх*ь)-
Обозначим: 5 * Сое, Ь) =г £ (Хо+СъЧ ±)<
Пусть 11* (#1 £> V - решение уравнения £Л ^ 3"
удовлетворяшее "положительным" начальным условиям [&t.§4us]
0с '*tro
455

Пусть носитель функции равен D0* -
Поскольку ОСзСо, Ъ) ие обращается в нуль при
0<T^i/ * то, используя формулы (%6с) и &t<t) ***
получим, что при h-+o U*&,-&/,LJ может быть
представлено в виде:
где
6^ (oCof -Ь,') оцределены формулой (J-6V; гл«5,
| g (*; I,', О Л^ -* О (В дальнейшем функцию f (t, 4, К)>
удовлетворяющую условию: || ffa £, kj \\, —> О } мы
будем обозначать через О С ± ) ) •
Пусть функция В^' (я) ^ С имеет носителем
область 7)^,^-1 « причем &+i(c£)^i при
я: б- 0^/ ^ . Поскольку функция utCztil9^) отлична от
нуля лишь в области У^,* , то имеет место тождество:
Обозначим через ^4 *( Д> V> Q функцию вида:
Лемма ^*i
Если /> ^ Q*fV , то Vtffi <> V - ОД
Доказательство.
Для доказательства леммы мы воспользуемся методом
чье

отационарной фавн. Стационарные точки f =f° в
интеграле ut (p&> Q =
удовлетворяют ш сжстене уравнена!:
_ _=д <<,...,*
и вместе с тем принадлежат области Vtj>*
поскольку ФГЪ'СЯ'Ь')] отлична от нуля лишь при fS Д<;,*.
Область значений функции f%QuC^A & [°^(% $), £<] «
= р+М%Ь'\%] прж ?&Ъъ;,А Равна Я^*.
Следовательно, в силу условия леммы стационарные точки
f* f° функции S+ (х°, 6t )-pfy в области
интегрирования отсутствуют. Из леммы 6 ? следует утверждение
леммы b.i
Из леммы S.d следует, что
где функция 7t,(p)&Cea, Т)1Щ'0>)1- Я^>ы„ ,
прнчем %, (Siti>lt) « ±.
Из (У. 5; и (f, ?j следует; ^ * (К i',> О -
_ ~duf
Проведя те же рассуждения для ~- , получим:

t 0(d).
Поскольку С к И£ь . #Д#* * °(U » то </l — г
Введем обозначения: + °(V (j'^J
(McL) 'J ' fa/Of;
Пзгсть 14.(ос,4?,к) *-** - решение уравнения Дфа-
ка, удовлетворявдее сдедупцим "начальник" условиям
1 1 7^ ^-ь'г>*-1 ъ, fasti)
В силу определения оператора с/* и существования <Jr ^ '
решение tt*fa,4,A) щщ ^<^^4^V монет бвть
поскольку
Внеся От под знак интеграла, подучим
<*58

где U (x,py if', £, * ~, /u) - решение уравнения
Дирака» в момент t-£,*4r p удовлетворяющее л/>* ^^^/
шовиям вида:
Обозначим </> - fy <Ч) ^ ГЛ *! ДЛ $ = А/ Ф 4 (М> ^
Пусть X*tti - ^ ^9 *Л Р*^= ГР±(^)> S*$*?t Г**&-
решение системн (у. 4) при -II <£$Ъ+ %£ ?
удовлетворяющие при ^= т£г' следующим условиям:
В силу б' /♦) и выбора 4 £, т^7 кажднй из
определителей 7-fo *> cut II ъгхЧ*ь*)/'*Хш"
строго положителен при -£ S [-61, -L, + ~- ]щ
В силу внбора_ Лi при -6j £6 4 6,+ ej£
траектории л С***, ty не пересекаются, т.е. каждое
из уравнений Х'Г^Ч £/-# однозначно разрешимо
относительно ось : ос** X/ (х } ■£/ Обозначим: ?*£*>^
-^ (SuQoc,-k)7 Ь) . Представим каждое ив условий
(/.73<У ж (£/J^y в виде сумнн "положительного» и
•отрицательного" условий (см. § к гл. 5 . ), т»е.
Ъ* <?*(*,*>) +<Р~М fa)
Ив ( -/.*5а ), ( r./J* ) и ( -/./5 ) следует, что
09

при ti * £ £ -i, * -jf •>
где 4it (Xj-Ь, к) - решение уравнения Дирака, удов-
летворяпцие при i = 'i1 следующим условиям:
Мы видим, что условия (V. 17-) является частным случаен
начальных условий, рассмотренных в §Ц гл. 5 ^
в данном случае rffx) р°с . В силу выбора л 6
функции ^7" (°Ь>, ~Ь) строго положительны при
•i^ s t $ €4 + ^ , поэтому, используя результаты § 3
гл. 5 , получим, что при А-?о функции 1**fyJfl/6jA:)
могут быть представлены в виде:
£ * (*,/>,*, - т' ^ = */ ^А **" ^'^ "^ >
?; (\r*; ^ + 4£^ есть Л (<Сц -Ь) , в которых X ~&> 4)
заменены на X ~ CXot ^) » соответственно,
Х^ = оСо1 (*; fi/ Ъ 4 ^f) - решения уравнений: ~Х. ""A*, -6J -^
Из Q4*-) > С**6) и (*'^ следует, что решение
tc'Cxj Ъ% + *jj- > к), удовлетворяйте начальным условия!
(/ -//л;, (£Нв)у при X, ~*<? макет быть
представлено в виде:
460

Очевидно, что в силу внбора "начальных" условий Q.iH)
^ о (Х) ^1 * %f , к) являются также функциями р и. ■£,[
Умножим подученную формулу на неотрицательную функцию
*f(M)£С°° ^Р*^ =7™ вне интервала(l, -^} i,-^)}
такую, что J ^(фсС-i^^iL > и проинтегрируем
обе части равенства* (i-io ) по -6^: ■6I -^s i,' - 4~ у- ■
Поскольку U*( л} ^ + 4£, к) не зависит от -6 '} , то мн
получим: я+fa it + Ц}к)~
Из (У- i5) следует
где
1 Т) . ,
Рассмотрим интеграл: " (J^\]
-к - 4-Е
461

Из (i.i9), (1U)-С***), L4.C) сл*у«
Г-frr ^"n J n*i) JfyMj(&fc~&yt%fc',i+ifi
-<КК-ь\)У№)
Лм
дая вычисления -± применяем метод стационарной
фазы. Стационарнне точки fy~f°-> Р=Р% ^/ '- "^
удовлетворяют системе
(f.MJ
-Hi " -Hi
(*.&j
«»62

В силу определения S~ (я, £f * ^) ж J Y# £,'J
имеем:
Из fa-Щ -(4.W следует-
Это равенство противоречит тому, что корни
характеристического уравнения (см. { ^ гл. 5 ) существенно
различны: Н*(Х/Р>£) не совпадает с Jf "C^/P/^J ™ в
одной точке (ptjPi^) , и равенство /V.«3# не имеет
места. Следовательно, стационарные точки ^~^
-t %_ ( хё hi* ~ ) - pfy в области интегрирования
отсутствуют. Из леммы 6.? следует, что
Рассмотрим теперь функцию X ?V, -£/* ^, >С), цредстаг-
вимую в виде: л^
Из («9), (*ал)-(*•*■*), (1-6) следует
■£ - 4i
/463

где (/. Зо)
-«. Г .,-
'**/>It - w> -)1 <%■:*: i^-(T(^ to)''А^щ
■in . "^--^УЮ
Для вычисления -X применяем метод стационарной
фазы. Система уравнений для определения стационарных точек
в интеграле ( /.30) имеет вид:
Пусть # = #* Р*Р° ~~ стационарная точка. Положим
Тогда xl(f, -t' X СХ * '** *iX VJf*0 •
Из определения ■%''Ki^^iX^i) *■ %(^,^*%)
следует:
$uucf s+ №(% t;ui J * p*(*sw,), *f)
Поскольку f>%p+ (Z^i) , то #»*'•'X'(aUj-ti) , л
система И. 31) удовлетворяется тождественно.
Следовательно, X*(*: 6)^Х*(^>1) при ■£■ i I* А" ~~-
Отсюда & (f '-6i)*& (x, 4 * У?)** X* С*, <>, * $J -
решение уравнения ~)[ * (с&} -6, * тг) = J0.
Поэтому ж
464

X4 fat) = T (*o(*, 6<< #J, t) fay
Из равенства (i.3Z) и того, что точка (2^у £, * *£
не является фокусом, следует, что при достаточно малой
области Ъои, стационарная точка %р°
единственна. Иначе две "близкие" траектории приходили бн в точку <£
в момент t = ^ + у * т*е# точка (*%» ^' * у J j,
била бн фокусом. Очевидно, что (см., например, / fl,t),/3
р~р(х, %6't,t,+ Ai) - решение уравнение
Отсвда следует, что
В силу метода стационарной фазы имеем
-'/А , + о(1)
2>-*»(*>Ь**$) (/.3
где С - сигнатура квадратичной формы с матрицей
-Е Ь
465
30-1418

В силу определения ^ (^ €) м ^ (£оу (см. fg u 5j
и равенства (*32) имеем:
t', (i.5€)
Отсвда, используя тождество (£.№ иВ получим:
У cz
I У^ 7
(
В силу выбора сигнатура квадратичной
формы с матрицей С- не зависит от "й/. Из (/^i
и (У. 5-/J следует:
10Й
466

Мы доказем в следупцем параграфе, что (Г равно кратности
нуля якобиана У в фокальной точке l*4>t•
Поставим вновь начальные условия для уравнения Дирака
в точке -L * If + Д* , исходя из формулы (1.38).
Поскольку в промежутке I Ъ* ^£, 6А J фокальные
точки отсутствует, мы можем применить асимптотические формулы
главы 5. Тогда мы получим формулу(l.3§), где •£,-> 4г
заменено на tx
Исходя из полученной асимптотики поставим начальные
условия для уравнения Дирака в точке ix и определим
асимптотику решения в точке ix * ^тг 3 описанным выше
способом* Продолжая этот процесс по индукции, мы придем к
асимптотической формуле для решения в конечной точке -6 - Т
если эта точка не фокальная. Мы получим, очевидно, формулу
(1.38), где ^ + 4L± заменено на Т} а сГ равно
индексу Морса.
Если точка ^оТ - фокус, то вплоть до последнего
шага (точки 4Н ) все рассуждения проводятся по-прежнему.
Последний этап предыдущих рассуждений, как мы видели,
заключался в вычислении интеграла J * ,(где if + й±
заменено на Т , а £, — на i^ ) , по методу
стационарной фазы.
пос*1*Ън<е.
В случае, когда 2*© Т фокус, мы заменим это
рассуждение следующим.
Пусть pi>'sP*> x**i) • ••/ X* - фокальные координаты
фокуса о:*, Т • \]ос«олб«у If = и + о(*) у то
Предположим вначале, что коэффициенты уравнения Дирака бес-
467

конечно дифференцируемы. По доказанному в гл. 7» в этом
случае выражение <р ц имеет асимптотику вида
где 71 и 7Х 6 С °°у 7± - финитна. Эти функции
определены в гл. 7.
Отсвда следует (см. гл. 6, § 2), что детерминант 7
матрицы вторых производных фазы подынтегрального выражения в
интеграле ф * J отличен от нуля и метод стационарной
фазы применим. Исходя из этого нетрудно убедиться» повторяя
рассуждения проведенные в лемме 7*4» что якобиан J
выражается определенным образом через функцию 9'/У«>7~).
Полученное соотношение для якобиана Cf по замыканию
распространяется на случай» ногда функция Гамильтона [%- ] + k
раза дифференцируема. Из этого следует, что якобиан
отличен от нуля и для таких функций Гамильтона. Значит, метод
стационарной фазы применим к интегралу Ф * X* и в СЛУ-
чае» когда коэффициенты уравнения Дирака [£] +% раза
дифференцируемы. Поэтому
где Х1 и Хх - некоторые функции» не зависящие от Л .
Для бесконечно дифференцируемого гамильтониана» очевидно,
Xf = 7i , Хл = Jx . По замыканию эти равенства
распространяются на \£ ] у 4 Ра8а Дифференцируемый гамильтониан.
Отсвда следует» что, если коэффициенты уравнения Дирака
/г } * 4 раза ДО&ФервВДРУ*101» то в фокальной точке
.Го, Т7 решение задачи (3.1 )ыГ;(/Ач#й) представляется в виде
468

т.е. в этом случае первый член асимптотики совпадает с
первым членом, вычисленным в гл. 7.
Отсвда следует в силу обратимости времени в задаче Коши,
что, если задано начальное (при i~ T) условие вида
то асимптотика в момент -t-О имеет вид (/-V$, a
если точка t « - i - фокус с фокальными координатами
%ч = \ , •.., %щ , ^ ^,}.. v \ , то асимптотика такой
задачи имеет вид
Следовательно, первый член асимптотики в теореме 3.4 с
точностью до o(J) Зудет служить асимптотикой решеция
уравнения (2.1) § 2, гл. 3, если коэффициенты уравнения
(2.1) [£ ] + к Раза дифференцируемы.
Отсвда следует, что мы доказали теорему типа х' 3.2 - 3.3
для уравнений Кляйна-Гордона-Фока и Дирака.
Аналогичные рассуждения проводятся и для уравнений Шредин-
гера и Паули.
х/ Разница состоит в том, что для уравнения Кляйна-
Гордона-Фока и Дирака ставятся два начальных условия.
469
30-1418

Заметим, что мы пользовались при этом доказательстве
лишь тем фактом, что решение уравнения Дирака по норме 6 L^
не превосходит нормы правой части деленной на А- •
Очевидно, такая же оценка в силу леммы4.i ъач1 будет иметь место
и в случае произвольного уравнения вида
где A(iJ самосопряженный в ЛЛ оператор
непрерывно зависящий от параметра ~&-
Известно, что любой функция Н(р> ^ ^) можно
поставить в соответствие самосопряженный оператор Н(Р)Х~,~£)
например, по формуле: H(hcCf ^) ^feJ*
Если Л (Р) х, -Ь) достаточно гладкая функция своих
аргументов, то, аналогично лемме 6« /3 и теореме 6»1.
можно получить для задачи
где iff**) - финитна, асимптотику при достаточно
малом -£ с оценкой в //х,
Метод шагов вдоль траектории переносится на этот
случай непосредственно, и при условии достаточной гладкости
У(р)х,Ь) мы получим формулу аналогичную 0<3 #J для
470

произвольного времени Т в вефохадьной точке
Теперь им докажем» что фага (f » которую мы получаем
методом матов вдоль траектории совпадает с индексом по
Морсу, если форма
п.
положительно определена.
В главе ? мы доказали, что сГ равно индексу
траектории, введенному в гл. 2 § 2 для путей в пленке К± .
Поэтому из доказанного будет следовать, что при
условии (i. S 9) этот индекс совпадает (по модулю к ) с
индексом Морса.
471

§ 2. Вспомогательное леммы о решениях уравнений
Гамильтона.
I. В этом параграфе мы будем существенно использовать
следующую теорему Морса:
"Если Ц (р, ft i) - достаточно гладкая функция и
2 Hp,P,2i lj >0 ПРИ г>0 » то ^г^ является ну-
ле4 функции J = ck£ ЦдХ; (<*,*)/ddкратности равной дефекту
матрицы I "b Xi (<£,1)/Щ I при i~ t ° ■».
Отсюда следует, что число фокусов на конечном отрезке
траектории конечно.
Поэтому для любой фиксированной точки Хо, 6 при
достаточно малом £ существует матрица
С(1,1)= рЪ (&.*-£) I I ЪХ;{*»6<е) f'
Мы будем обозначать через \i(£,t) Сж^- >п - ее соб- .
ственные значения*
Введем с помощью матрицы еще одно определение индекса
траектории
Мы докажем в лемме 8.7, что фазовый множитель в формуле
(1.38) равен е*р iff/4 • Затем в лемме 8.8 мы
докажем, что ~^f tt/2, равно индексу Морса.
При этом лемму 8.7 мы докажем в такой форме, которая
была бы пригодна и для бихарактеристик волнового уравнения,
несмотря на то, что для гамильтониана волнового уравнения
условие г1.39) не выполняется. Напомним, что метод шагов
вдоль траектории, развитый в предыдущем параграфе,
автоматически переносится на случай волнового уравнения, при
дополнительном условии конечности числа фокальных точек на траек-
W1Z

тории. Поэтому при этом условии введенное здесь понятие
индекса может быть использовано для вычисления асимптотики
решения волнового уравнения.
Для доказательства лемм 8.7 и 8,8 нам понадобится
оценка решений краевой задачи для гамильтоновой системы и
оценки производных решения уравнения Якоби-Гамильтона.
Этим вопросам посвящены леммы 8.2 и 8.5.
В лемме 8.3 доказывается» что релятивистский
гамильтониан удовлетворяет условию (1.39).
В лемме 8.2 мы будем опираться на следующую
топологическую теорему
"Пусть С <и С два непрерывных отображения
замкнутого шара Т п С R в пространство ft , имеющие на 7*"
лишь конечное число неподвижных точек» которые все лежат в
Т . Пусть кроме того для всех точек принадлежащих
границе шара выполняется неравенство f>( Ср , С р ) £
<с j> (Ср, р ) } где j> ( р, р') - расстояние
между точками р и р1 . Тогда отображения С и С
имеют в Тг одно и то же алгебраическое число неподвижных
точек".
t°. О нехемт*-** -wrte fear {«як .
Лемма 8.2
Пусть Х}(£), fc(t) L=-fy.,n удовлетворяют системе
уравнений:
и краевым условиям с
^W*<; %(Ь)*£'(ХШ), (2.2)
где функции Э\ (х, tf, 4) и £ (х, tf> 6)
'♦73

удовлетворяют условиям
%(х,у,И*С,; Ь(х>№)*ел '(2.3)
при
\xi\slxi*+i\; lyi\*\yt°\ + (<»i)a; £*Т(гл)
где £>о »«,>(?, Т >0 - некоторые константы х'.
Тогда при •£ $ j~ , а — } Т\ число решений ди-
бо нечетное, либо бесконечно (с учетом их кратности) ' ,
причем для этих решений справедливы оценки
M*x\x((t)-*°l *%) Мох lj/£(i)-£0[xVt)]lfhH)CL
(3.5)
х/ Вместо условия (2.4) можно потребовать, чтобы на
решениях Х(€), $(-6) имели место априорные оценки (2.3). Тогда
для любого конечного -6 будет существовать нечетное (с
учетом кратности) или бесконечное число решений задачи (2.1) -
(2.2). Для уравнений Гамильтона при весьма широких
ограничениях (см. дополнение) могут быть получены априорные оценки
для импульсов, а отсюда и для правых частей системы 2.1.
Такая задача отвечает задаче об экстремалях для интеграла от
соответствующей функции Лагранжа с одним закрепленным концом
и другим концом, удовлетворяющим условию трансверсальности
(см. mi ).
Следовательно, в условиях леммы I дополнения число
экстремалей вариационной задачи отвечающей (2.1) - (2.2) нечетно
(с учетом кратности). Аналогичный результат может быть
получен тем же методом для задачи с закрепленными концами
<qp.E«,i>Jf ).
В этом последнем случае теорема о нечетном числе решений
была при некоторых предположениях доказана Бернштейном / У J.
хх/Положив Cf-/'-', d>tTro, 0АшС(ё),аш$Ю()+11 g=i«*
придем к следствию: х
Следствие. Пусть ?. (x.y.t), &(*,&&) непрерывны
где с(у> непрерывно. Тогда число решений задачи («?-0,ОД)
з, либо бесконечно^? л $ любого
либо нечетно, либо бесконечноС^л* любого конегноъ ё/j.
474

Доказательство*'
Задача (&>i) - (*£) приводится с помощью замены
к задаче
Рассмотрим сначала решение задачи Коши для уравнений (J./J
с начальными условиями: 2 (о)=о, и-(о) - W Ci.9)
Кроме того будем считать ( ср\?Щ)} ъю
Ш*ё; \Ui-uU $а- &">)
(отсюда Itt.J * (Щ) л. ).
Из теоремы существования следует для
что задача (&-?)j (2-9) имеет решение^
удовлетворяющее условиям (J-10J и непрерывно зависящее от
Покажем далее, что существует (не обязательно одна) такая
дХ:
х/ Если cinh I У—±з I ^ О » то кратность решения
£/Царевна I. ^
475

-с
точка U » принадлежащая шару / JE7 Ы°) $ пау^
что,если U(o)-Uc } то и(£,) =
&V. ( и у ^i) ~0, Для этого рассмотрим два
отображения шара.
В качестве первого - обозначим его через С -
возьмем отображение шара в нуль.
Второе отображение С зададим функцией
ц°~ U (U* -i4). Обозначим через Р(рь fz) i как
обычно , расстояние между точками pi и Д, Пусть р
принадлежит границе шара. Очевидно, что С (р) -О
и ,о(е(р)>р) =*>*-- Кроме того, в силу (3.10)
J~,4ttpJ>P)
Так как С имеет одну неподвижную точку, то либо
число неподвижных точек С равно &° } либо жх
алгебраическое число равно I, т.е.
существует нечетное (считая кратность точек 11° ) число
точек 11 ° t принадлежащих шару, для которых
й°-и(*; ъ) =£°
Следовательно, ц( гсс} i>i) —О > что и требовалось.
Лемма а о
Пусть HiCx)Pt^~§(x/t)rc^/tj/[p.A(x^^ic^ij
тогда матрица - ? Н~_ |
+1 ч *ц J
476

положительно определена при /п^о и неотрицательна
определена х' при т-о
Доказательство.
Пусть
тогда
<Г7(Н,рМ) 2 J ЪН 7? „ гзн)
ТР! ~~ ТЙЩ + 'Щ'0' (*/J
далее
Подставляя i получим
х/ Т.е. ее d&& равен нулю, а все остальные
диагональные миноры положительны.
477

получим
Отсвда обозначая Р- р-А (^ ^Л
у матрицы
? ? 1 -
1 Г
1 рл
аа .
. RPn
■ р,р^
..р.3-
все строчки линейно зависимы, и, следовательно, ее ранг
равен I. Значит h-i ее собственных значений равны ну-
лю, и характеристический многочлен имеет вид Л - <х и = 0 .
Очевидно, что d- IP I . Следовательно, после вычитания
из II ft/} К матрицы i}pf+ >»*C *(*,■£)} £
мы получаем при hr\4o положительно определенную
матрицу, а при hn-'O неотрицательно определенную. Отсвда
вытекает утверждение леммы.
Лемма Ь-к
Пусть в гамильтониане Н* (х,Р/Ь, **-) т = 0
Ф =0 А-О . Тогда, если S(x, 6J удовлетворяет
уравнению Якоби-Гамильтона
D-6
ж условию
SU-O^P* > TO
478

^l4$fho м
Доказательство*
Для действия S(<X, р, Ь) имеем
при условии £\±*о = Р^ п '
СледовательноР S(xtp,t) =£?/>* <*"** (я,р>Ы
Отсвда п
Но по теореме Гамильтона-Якоби [%3j
3-i|^i -^. , (М)
а значит
Е Р. Ц*- -о
при всех j-ir..!n. Поскольку р¥о * то
(Uh 1^~ Ц=0, что в силу (д./fl дает (&/з;
479

Мы будем теперь рассматривать два случая
A) Гамильтониан btlx^p^t) удовлетворяющий условию (1.39)
B) Гамильтониан вида ± C(x>t) IPI
Все дальнейшие результаты будут относится к случаям А),
В)» если не будет сделано специальных оговорок.
Будем обозначать через S (х, р * 6*, ix) решение
задачи
Ър+Н (*,*?,*)-о
а через $ (хьЬ), X (***)> PC****) решение
задачи • _ ?># А _ ~bH s-H-Y оЯ
х(о)~зс9, р(о)=дтс*>С f(oco), S(o)mf(x.).
Через 0Со = Яо(х, ъ) 0удем обозначать
решение 0Со уравнения
Через Е будем обозначать единичную матрицу.
Лемма 8.5
Цусть \Х;\*сь, (р*\*в (2.15)
тогда цри \bi-tx\ * & имеет место
соотношение **~
' rj (2.I6)
480

где матрица, стремящаяся по норме к
нулю при £ -*0
Если, кроме того, в curiae 5) выполняется условие
pj* -Фо х', тогда цри £,-£* <£ матрица
отрицательно определена, при достаточно малом р>УО
Доказательство;
Из теоремы Гамильтона-Якоби следует, что
Отсвда
где ^С^)} P(t) - решен^ системы Гамильтона
x/ Поскольку одно из ^>° ^ £* = i^.. v ^
не равно нулю, можно полагать не уменьшая общности Р^^ °?
, в противном случае можно Р( и XL%
перенумеровать.
481
31-1418

удовлетворяющие условиям
Краевые условия (3-2±) удовлетворяют оценкам
Отсвда следует в силу леммы *-2 9 что щщ
выполняются неравенства
Обозначим через М^ константу, которой не превосходят
первые, вторые и третьи производные от Н по р и ^
при Г^Т^ lf>l*#+* + l, tylsa*£.
Продифференцируем уравнения (Л>£о) и условия (■?••?# по
/>* .тогда для 7>?«/Ъ/>? и 7>/>к/?/>!
получим систему
(*JS)
С условиями
462

мы получим существование решения задачи (ЗЛ5)- (3£6) при
условиях (S'Sl) в силу лешш
при достаточно малом & •
Проинтегрировав по Т7 уравнение (&.Л5)9 получим
Отсвда в ему (.?-3f), (l.XS)
лем^ьи
Из формуя (3-/9) и (&-3D следует первая часть утверждения
По формуле Лагранжа, учитывая fc$o) , имеем
483

_ Ш— Ж- 1 , (in,
где "б* < t <-bx
Из (а.Я*),(&М), (*-30), (S.3&)
следует
*&\ ={b-h)^4—\ +0(1*) (**V
В оценку 0(.£ ) войдут констант a, °> ^»-
Отсвда вытекает, что знаки диагональных шноров иатржцв
mi
при С=0
совпадают со знаками диагональных миноров матрицы
7>*Н
если £ достаточно мало по сравнению с
Цусть
все диагональные миноры матрицы
ЦЭ*7/
Л Tip с T>pj || строго положительны.
Отсвда и из (Я.ЗЗ) вытекает, что матрица
*. следовательно и матрица - с? а
положительно определена, а следовательно и матрица - 5
484

при достаточно малом /3 - 0(i *) также будет
положительно определена. Пусть теперь Ц^СС^Ь) /£/.
В силу условия леюш
а ^ следовательно^ силу леюш S.3 все диагональные миноры
матрицы ^ ^ Н - \\ за исключением И - ого
порядка (cki I %p I*, jj J больше нуля.
Отсюда в силу (3 33) следогет, что при достаточно малом
£ все диагональные миноры матрицы |/ 3^ / °Pj Ц^^ъ о
за исключением детерминанта этой матрицы строго положительны.
В силу леммы %. к в этом случае
cU.i ЦЪ%/ър° \\x~L,-°
Поэтому
при всех fiJO. Остальные же диагональные миноры
матрицы ""^/3 при достаточно малом уЬ <€>(€. "у
будут иметь тот же знак, что и соответствующие миноры матри-
ни |h?i/3/>;//т,0
т.е. при достаточно малом £ будут положительны, что и
требовалось доказать. л .
Леша $,6
deh
Имеет место равенство
485
31-1419

=-dU
-E
-E
(IM)
i 'bx0j I
Доказательство:
Рассмотрим систему уравнений
при ХшХСяСо^л).
Этой системе удовлетворяют точки
Продифференцируем систему &3S) по <Хо*> с учетом (Я-ЗО
Мы подучим
?Л?в«
Запишем эти равенства в матричной форме
pjji || || -эл-^ч*; II ь*г
486

-bXi fab)
гхс
(3.3V
7*S-
T>VWj h
(&.3S)
_ if
Здесь индекс ,у при матрице означает, что
fcX(^^; f=Xfa*<), р=Р(*ъ**).
Подставив C?.3<PJ в QMfy. получим
У5_
щгр.
Iх S
ъ ч-
-Е
■fs
-i
Tip,
Следовательно.
(3.3 9)
Обозначим
В силу равенства (ало) ы*€ (ЗА -Е)
отличен от нуля.
Рассмотрим следующее преобразования матрицы
487

В -£
-E A
которые не меняют ее детерминанта: умножим ее справа
на матрицу
ГО -Е
[ В 8
в результате чего получим матрицу
(£ -А \
Vo 5A-E J
детерминант которой равен
Следовательно) .
-г
cui* ~% l=dU(BA-E) №
столь ма-
Из I$.Jh) и $.Чо) получаем (2.34)
Рассмотрим промежуток [ ^ъ "£* J >
лнй, что внутри него лежит один фокус <&>, £
траектории JC (X°, t) , и кроме того в этом промежутке
" Ире *bxj \\
Лемма $. 7
Сигнатура матрицы
Щл
(
-Е
&»л)
488

равна ^cni t^ £-*o Мас^У)
Доказательство:
Обозначим сигнатуру матрицы R С^ь "^0 через
Докажем вначале, что ^f(^i, ~^*) ^^C^i >^z)j
если tj < t1 <t <t^ < tsL ( t\ - фокус)
Будем непрерывно менять ~i от 6^0 t^, . Если число
oYt Ьх) изменяется, то следовательно^
должен обратиться в нуль в некоторой точке ^ ^ ь± * *-*
в силу непрерывной зависимости от v .
Но это невозможно, поскольку
cUi HUM- Q.ss)
Первый детерминант правой части равенства (i45) отличен
от нуля в силу выбора промежутка [bit "t^J ? a
не обращается ни в вуль}н*£со f если 6 не является
точкой фокуса.
Аналогично?
если i,<£« <-£,<'6i <&&.
Поэтому нам достаточно доказать утверждение леммы для
промежутка ££*; ^д, J ^ где £/ и ^ сколь угодно
489

близки к ~Ь . Для этого промежутка мы будем обозначать
Возьмем промежуток //£* ^aj столь малым, чтобы все
диагональные миноры матрицы
были бы положительны*
Это сделать можно в силу лешш £5
Обозначим
6=
Wjh > А1ъщ-
> h~~
-£
А
Рассмотрим матрицу
в о
£р =
е;
h\l
в;
а,
Индекс инерции квадратичной формы с данной матрицей iw
совпадает с индексом инерции квадратичной формы с матрицей
d . , поскольку это та же квадратичная форма, но в
другом базисе [ Ц 7. В результате умножения матриц получим
к-
в
7*
А-Ва
Поскольку В а положительно определена, то индекс
инерции
R!
совпадает с индексом инерции матрицы
-I
Ъ (Уп Ь* ) * А - Ър . Таким сказом 9 $Х6Ь Ьк) равно
индексу инерции матрицы 7)(*£, > &&) . Но в силу (2.3$)
490

IdXcfaV)
,-l
(е>А-в)л)
'/Л,
слева и справа на 5^ в сюцг
и л сигнатура полученной матрицы рав-
самосопряженности
на сигнатуре матрицы
Следовательно^число ^(£1, ^^лравно
Styt Byv blUM Ър т.е. разнице между числом
положительных отрицательных собственных значений матрицы
Но ообственнне значения этой матрицы совпадают с
собственными значениями матрицы
/см. Г21 7 .-./.
Окончательно можно сказать, что f&i) £jl) - ?ъ равно
разности между числом положительных и числом отрицательных
собственных значений матрицы
%тлНШ1Щ^ПЩ^иА,
где
^•b-b-Kl'::.!
■A w¥>
491

Матрица J{ в силу равенства (■?• ЪЗ) огрш*-
чева, поскольку точка *£* не является фокусом. Поэтому
матрица 1а Л стремится но норме к нулю при A -?q y it
Детерминант цредедьной матрицы отличен от нуля, а потому
знаки собственных значений матриц
и В а 73(^1, *t<i) при достаточно малой /Ъ
совпадают. Точно также можно доказать, что при достаточно малом а
совпадают сигнатуры матриц /^(^^ij и f^it^t^)
поскольку ck,t И С^i)^x) ^О
Следовательно, сигнатура матрицы
(равная сигнатуре матрицы ai^^^Ju ) ) равна разности
Собственных
между числом положительных и числом отрицательных значений
матрицы СС^А)^
т>ъ гас: LII г*/ /I I ж*;
-у " " dXoj
-I
Обозначив "i/~i£~£; Z-jl~~£ +&
будем иметь в силу леммы 8 5 :
где ТНО ~ некоторая стремящаяся к нулю при £-*0
матрица. Пусть Л <: ( £), б = 4,.. v £- собственные значения
И tyc( £) > L-lr-,K- - нормированные собственные
функции матрицы Ci'ty £) у где
/*92

Отсюда следует 1*шя1№1% что
при
г-
(2.ЧЧ)
собственное значение
где JbbCV-ffitKtO ~
матрицы С С^ь t&) ♦
Пусть Ак.(€) «■ a*feJ +*€*(£) ; тогда
/> /с) & \ " ^^
В силу {*М) (J-+ -frfi) J F?o° >
поскольку МкСС) д
мосопряхеыности
SL у"**
I
действительны в силу са-
т.е
аШ £-*'о
Я* Ы$--4пь MS& .4т №& .5Л*.Иъ&),
1*0 \X*lt)\ l+o \Xdt)\
493

поскольку S/ffib J^U(c) не зависит от £ х'
Таким образом мы пришли к заключению, что ^ft/j^i)
равно У1 £сг>г ^Щ,где ^«-(£) - собственные зна~
чения матрицы C(t,£)> так как это и есть разность
между числом положительных и числом отрицательных М *.(£),
что и требовалось доказать.
Лемма 73
Пусть выполнено условие;
&U- ъ г- уо
WPj l J '
и пусть точка я0УЪ0 - фокальная» тогда дефект матрицы
JpXf (X; to) I равен числу отрицательных членов набора
Доказательство:
Рассмотрим матрицу
в точке Ь-Ьо Существуют матрицы С(-6) и С^Ь),
(CHJCJ ^i такие, что матрица 7{&)~САС± ,
диатональна при ъшТо.
Если фокус T>~to U-того порядка, то матрица в
силу теоремы Морса имеет вид
о о
O-x.ti.-0
о "-я*
Afr)
о
cii=uti(h) »/>«;>«
х/ Т.к. M-tc(Z) не может обращаться в нуль при
£ -?0 в силу того, что
Ч9И

tt+t
Рассмотрю! матрицу Д^ (6) » fay (6) %L . ± ^
и матрицу 5к Ci.) - £т U' К Г' Ак I £).
Имеем \Aktt)\=(l-to)'\&«(U)\+0(£'io)^'(\A[-cAtA)
Докажем, что {&*(£<>) \ *0. Внчитая J -тне столбцы (где
JyK,' матрицн A[i) ^ > умнохеннне иа величины
порядка 0 (t~£o) , из первых К столбцов мы можем добиться
того, что все элементы &ct(£) , где c>*L, J $£
будут иметь порядок
Аналогично, вычитая строки С > * , умноженные на
величины Ofi-t*) 9 из первых к строк, получим второй
порядок малости по i~ to для коэффициентов Otj (6),
Эта процедура не изменит матрицы в« (£о) и не
изменит сСгб АШ* . Поэтому
Поскольку в силу теоремы Морса то
Пусть А и Ъг такие ортогональные матрицы, что матри-
на Ьк.(1в)= Dt В* (to) Ьх диагональна.
Взяв матрицы
~ /А ° \ Z. /D* ° \ ~ ~
мы получим матрицу
Я(*)*сАа)с,
495

ш-
Очевидно, что <чатрада
в вшд« , > _
О XI-Ш*
A (i) может быть представлена
O(t-to)
0Lt-tof\\
а^ не равян нулю
+
где а,
Вычитая линейные комбинации (с постоянными
коэффициентами) первых /^ строк из последних л-#
строк мы можем добиться того, что элементы £(jC£)
lyU} j <tf, полученной матрицы будут иметь порядок
O[(k-ko) ] # Аналогично, вычитая линейные
комбинации (с постоянными коэффициентами) первых Х> столбцов из
последних ft-hi, столбцов можно добиться того, что у
полученной матрицы элементы CLc-ii) L?^, j<&
будут иметь порядок OLLt-bo) J.
В дальнейшем мы условимся обозначать через Vi(t) ~
некоторые неособые матрицы U- того 1о*>яЭ*а-
Мы доказали, что существуют такие невырожденные постоянные
что Si Л ft) S& имеет вид
матрицы S1 и Sjt »
$<A(t)Sx =
УГ*«+(ььЩ(1)
«* MM», K^Vo-iW
+ d*(m-t/
496

Имеем
(i-bW* о
о УГн^-Ьо) 0,7*;
п-х
P+(i-t0)D>)
+ (t-ioftfW{
От сада
(£-Wlr«
о
п-к.
о w'^tt-^v'sb)
Е+ (+-+*) Ъ*ш)-
Собственные значения матрицы
-L
совпадаш с собственными значениями матрицы
S, А(±-0 [AV**e)Y' S'd' = St A te -&) Sx
f5,ACV£jSA]"'=
£^ о
ы используем TOMlecrbOj смра&сЬливог ?л# проил&ол**ьт
митнщ Ан 81 (А*ау*={а+аАм)АУ'=А-'&вА4)'*
при условии,; ira oSt части. тонсЬ^стба сущеег€У"ОГ^
497
32-1419

V*
о
YC*zd%)
где
При
О
Si
НОСТИ &rn .-—~,.,
■ единичная матрица I -того порядка,
число отрицательно членов последователь -
равно & , что и требовалось доказать.
Л-^Л) ^^
Из лемм 8.7 и 8.8 следует в силу теоремы Морса» что фа- t
зовый множитель ^л^о г7й% в формуле (1.38) равен £*р 'Чье
* exp'irrf/s, , где ]Г - индекс Морса траектории Xfc>; 0,T)
496

ГЛАВА 9. РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИЙ ПРИ
ВЫЧИСЛЕНИИ ПОПРАВОК К КВАЗИКЛАССИЧЕСКОЙ ФОРМУЛЕ БОРА.
§ I. Введение
Квазиклассическое представление, как ухе
неоднократно указывалось, позволяет найти не только первый член
асимптотического разложения решения по степеням k- . После того,
как найдено квазиклассическое представление, мы попадаем в
сферу действия методов теории возмущений.
Наиболее сложной оказывается проблема регуляризации
членов ряда теории возмущений при подсчете следующих членов
разложения собственных значений в задачах § 5 гл. 3 и § 4
гл. 4.
В качестве примера приведем вычисление ел едущих
членов квазиклассической асимптотики для собственных значений
одномерного х' уравнения Щредингера £"51 >6), 7)_7«
Рассмотрим уравнение
-£* и" + гг(рс) и = Я и
(I.I)
где £ - малый параметр.
х/ Заметим, что методы вычисления членов
асимптотического ряда для многомерного случая, которые будут
изложены в следующем выпуске, существенно отличаются от метода
приведенного в этой главе и основаны на определении некоторых
инвариантов канонических преобразований и определении
инвариантным образом элементов е*(*,к) в операторе ^д^г,^
Тем ни менее приведенное здесь доказательство полезно,т.к.
весьма няцлядьым образом устанавливает связь между
регуляризацией членов ряда теории возмущений и вычислением поправок
к собственным значениям.
499

Мы будем предполагать, что I) спектр уравнения 6/. i) вблизи
точки \ чисто дискретный, 2) существует область
V(x)-*b <0> односвязная компонента которой ограничена
-речками ^(Х) и Xi(\) , являщииися простыми нуля-*
ми функции
3) функция V*(*) трижды непрерывно дифференцируема.
Известно, что существуют собственные значения ^
такие, что Л«, - )*п, + U(l )>
где ^а определяется из трансцендентного уравнения
(формула Бора).
При некоторых предположениях на Itfoc) доказано
Е?б] у что ф>рмула (у. 2 ) определяет первый член
асимптотики Л~ при n-teo
$2. Второе? ^ем acuuj^T^^^
В своей известной книге L?6j Титчмарш дает
эвристический вывод формулы для второго члена асимптотики по
^ и ставит вопрос о строгом обосновании ее для случая,
когда Vfa) = X . В этом случае такая задача^ как уже
было указано, с помощью простой замены сводится к
квазиклассической асимптотике. Сам Титчмарш решал эту задачу лишь в
случае 1/№-эс и гНл)~Х* весьма сложным
методом.
Автором были получены и доказаны рекуррентные формулы ,
500

определяете все члены асимптотического разложения во }\, .
При этом формулы для второхю и третьего члена рицигаипю
получены в простом замкнутом виде
Эти формулы по вдду хотя и отличаются от
формулы,приведенной у Титчмарша, однако могут быть приведены ж
последней с помощью несложного преобразования.
Мы опишем здесь процедуру, с
помощью которой можно получать рекурентным образом все
члены разложения собствен**/* значена Ь^ по степеням £.
Формула^ полученная в [tybJj «имеет вид
A-A"WArt ****;, &4
тле
W
4V
здесь
-r-ij
Обозначая
33^1418
Ь01

мм придем к следующей формуле
1^ _ Л- ^£ /
где 3^-гл?-*;.
В настоящей заметке мы дадим совершенно элементарное
доказательство формулы ($L*i) правда с более слабой
оценкой чем в 1?1>Ф
Для этого мы прибегнем к помощи равномерной в
точках Я, (л) ж *k fa) асимптотике собственных
функций у^, (см. [ IS J).
Пусть Wh, (&)- собственные функции уравнения
со
J -со
Известно, что /*к*" Я£( п*Х/т
Положим
где tfi*) удовлетворяет уравнению
ш^:-уь>: (25)
и краевым условиям У [XiC^li )~\ ~ rf*~ j
(это возможно в силу Q. Z) )
502

(ffe)- финитная функция» равная нулю вне интервала
Qb(x) -Я. <г х/\)+Я ?) и Р"8" 1 ч*<*.(*)*х*«ъ(*)**
Заметим,прежде всего» что имеет место следующее
предложение.
Пусть Т/fa) не обращается в нуль в точках
ОС» Xi($l) * & = &х. (У2) и пусть существует
ic непрерывных производных функции 7/~(я)^ тохда
у(х) имеет kL непрерывных производных в точках
oc**i('ЛпЛ) ) и cc=Jb(*«.'j.
Докажем вначале» что у ' ограничена в точках
поворота X*3#*(\) и ее* zc^fa*) и что
Имеем
Поскольку
я**, (fiZ -2)(и«*Ю Alfa-у'fa)
X,= 4Ct(>Z)>
то
503

Следовательно
Разлогая У + Ф~=0(*'ЗЪ)
& a/i
в рад no (?f-)/p+)
и ограничиваясь первыми ^- членами будем иметь, обозначая,
через Рк Яс Яс некоторые полиномы степени /^
ОД -A Q- fa) - 0(*- erf, А Го; *,
Поскольку в силу ($-5)
ТО
рл*-^;=я<^-*у.
.-/
Поскольку ФО обратная функция Рк (z)
регулярна в окрестности £ =0 > а значит
у-ф. - Р * /А (*-*) + ОС*-*.)***} -
504

Аналогично доказывается утверждение и для точки <X-oe*j
Нетрудно убедиться, что
удовлетворяет уравнению
Поскольку (f1 и cf" отличные от нуля лишь в подобласти
области Л'п > 1f(x) , из асимптотики функции Вебера сле-
дует» что правая часть равенства имеет порядок £,
Умножу уравнение (J??) на ^jfiM и интегрируя по частям,
получим
Мы всвду опускаем аргумент 4 •£* (<**) м хл (Л*)
Учитывая асимптотику при £-* О функции У**- в
подобласти области Л п > "(JCJ /(Мл fifj д получим
j f Ji«* {£ J pjx+l J **-* d+ ОС У
i_
Т J г ■ ~ j - ~j
адвСЬ / ; ,
Отсвда, поскольку \ЫгХd£ =£ fS 9)
505

Х,ц+<Г ее
f t~ ^+ J nt ld*->0( f) (2,i0Z
J
-00 X,-o"
Аналогичное утверждение имеет место для /Л (J?)
ПОЭТОМУ Xi-lT ^t/ ^ ^ X
£r. % : >0/е)+ of*)-
*'r *' ' (la)
T J *P"~ -<n--— T
w-
Устремляя последовательно £-?о и затем <f—* О
получим
о*,
Jin. **z>L-M f JL~-dc~o (in
p-70 t~ T7 J IP
поскольку это выражение от о не зависит.
<Г н,
Знражая 2 и 2 через У получим
Нетрудно убедиться, что
506

\ър dx "' л «J? J p
Отсюда мы приходим к тождеству
J
?" ^ ± <£_ ( (•»?
а'х=1- -j- —гт / *—— //«
2р /& d\~
которое и завершает доказательство формулы (%.J)№гак
доказана
Теорема 9Л
В предположениях I) - 3) существуют собственные
значения Ли, уравнения U.d) удовлетворяющие
соотношениям
где А„ и ^к определены форцулами (Y. Z) и \2.2).
Следствие I.
Пусть выполнены предположения I) 2), 3), тогда
асимптотическое разложение собственного значения Kv
уравнения (*-W t*f.I ,$i,»»V имеет вид
\] - &*")* __ J^J 4- of-*- )
ОС, f
Дяя вывода формулы \2 1Z) нужно положить в
предыдущей задаче Лк-Л так, чтобы £ стремилось к
507

нулю принимая дискретные значения £~ . Тогда формулы
(%.0>(^Л) будут определять асимптотику этих дискретных
значений при К-+ <*> . Разрешив с точностью до 0(£*~)
уравнение х^
относительно n^ yZ ш П0ЛУЧИМ Формулу (3/3)
Следствие 2.
Асимптотика собственных значений уравнения
при J„ —9 (?о имеет вид
i № iW п (J (л))
ГДе )к я, Л^ определится формула*** (1.2) (2,2)
Замена переменных в уравнении Г2. 44)
вида ^ ~ ^ f \ь= fi сн,
сводит задачу СХ44) к задаче а #4азихмн**%ес*еи ac*tA'*T<>Tu*e
Таким образом задача, поставленная Титчмаршем здесь
решается.
508

Предположим теперь, что сверх условий 4) « Ю Ь 4-
функция Vi&) 6 раз непрерывно дифференцируема.
Тогда в силу доказанного выше цредложения мы получим,что
^; f • имеет в точках Х1 и «*х 6 непрерывных про-
изводных, а 5^- 3 непрерывных производных •
Обозначим
or,
В окрестности точки ос=^с1 имеем
Из вида V/ следует, что оно имеет в точке °^7
3 непрерывных производных.
Заметим далее, что
ч . _i V J <•)(&. + [ *1с/х \ ,
*'&&&• I J к*) J ?p J (3-2J
/а &А <xz
в силу формулы
отсвда, аналогично предыдущему получаем, что ^ имеет,
в точке #-«2Га 3 непрерывных производных. Из
уравнения гг}%*+у"г1 + У1 г + ъ^ъ'^о
определим 9, , с точностью до сс*±£
Обозначим t ,j
Можно убедиться, что R*.(*) удовлетворяет уравнению
509

где
Последние 2 члена правой части равенства (А 4) имеют по-
рядок (у (6 у поскольку ^ и у^' отлично от
нуля лишь в областях, в которых функция Вебера экспонен-
ционально (при £-*0 ) мала. Норма в А^ 1-го
члена правой части равенства имеет порядок 0(^a)j
поскольку // Wn 'IhOf.-j-)
Средний член правой части равенства имеет порядок (j( £ /•
Применяя рассуждения иметь
где
Тождественное преобразование выражения
дает WJ
510

}(г)-С} ^1. 4Ё-(У^d^l\ (M?\\
К tin- ' Л* «*- (Га.-1- '^<£>ь У
+
(14)
Таким образом, имеет место
Теорема &&
В предположения* $1 к f 3 существуют собственные
значения Ил, уравнения /^, ар удовлетворяющие
соотношениям
при /1 i-*c*»*b f
где Ип,/1л "л определены в формулах f^.2^ (S.&) (3&)
Из этой теоремы нетрудно получить (аналогично то*
му как это было сделано в следствиях I и 2) 3-ий член
асимптотического разложения собственных значений задач О*?)
**Л и (3.44).
Ы!

ПРШДВШШ
РАЗРЫВЫ В АСИМПТОТИКЕ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЙ
ТУННЕЛЬНОГО ТИПА
£l. Введение
Метод исследования разрывов решений уравнений
волнового типа может быть применен и к изучению асимптотики
решений уравнений ту^льного и смешанного типа.
На этом мы остановимся менее подробно и рассмотрим
только две задачи, тесно связанные» как мы увидим с
квазиклассической асимптотикой* Мы рассмотрим асимптотику
решений системы уравнений Навье-Стокса при вязкости,
стремящейся к нулю вблизи ударных волн - разрывов решений
системы квазилинейных уравнений первого порядка.
Далее, мы рассмотрим асимптотику в целом при и)-*оо
решения задачи
A U - иРсЧ*) 11 = 0 х= *ь х*-> *з (I j
Г - замкнутая гладкая поверхность.
Асимптотика решения такой задачи била известна [17J
лишь с точностью до 0(&л/) » гае А/ - любое, т.е. в
узкой (порядка 11& ) полоске вблизи границы. Внутри
области, ограниченной Г , было известно лишь, что и=0(-^Ъо)
Мы дадим здесь асимптотику в целом, т.е. найдем функцию
f/# (х, и>) , такую, что U(X, и>) - U. (*, и>) (i + Оф)
Эта асимптотика, как мы увидим, испытывает скачки тоже как
раз там, где располагаются разрывы квазилинейной системы:
512

Она определяется характеристиками в смысле пункта
4, § 3 главы I для уравнения (I.I). Эта задача близка к
задаче об асимптотике решений уравнения Щредингера в
области тени. На этом последнем вопросе, связанном с комок
лексными решениями уравнений характеристик,
мы остановимся лишь вскользь.
Обе рассмотренные задачи являются лишь частными
случаями широкого класса уравнений тун1зльного типа для
которых справедливы аналогичные утверждения.
§ 2. Асимптотика вблизи ударных волн.
1°. Уравнение Навье-Стокса для суспензии.
I. Рассмотрим решение системы уравнений Навье-Стокса
^£-+(11 qtaoL) U +gtcul 1Г(х) = П Ли
ЪЬ * с (2.1,
х= хь х*,xj u={*i(x№, VaC*,*), "*(*&}
удовлетворяющее начальным условиям
1 \t-o « (2.2)
la. Эта постановка задачи необычна» Остановимся на
физической модели, которую она описывает.
Рассмотрим двухфазную смесь либо газа со взвешенными
в нем капельками жидкости, либо суспензию. Для простоты
будем говорить о суспензии. Предположим, что суммарный
объем твердых частиц мал по сравнению с объемом жидкости, и
что плотность твердой фазы много больше плотности жидкости*
513
33-1418

Это значит, что эффективная вязкость 1 Эер. суспензии
мало отличается от вязкости f жидкости. Предположим!что
смесь задана во всем пространстве и находится в поле
медленно меняющихся во времени и в пространстве сил:
потенциал их равен
где Vo характерная энергия, отнесенная к единице
объема, £t i0 - соответственно характерные длина и время» а
Xi,xA)x3 - координаты точки в трехмерном пространстве.
Мы будем считать, что система все время находится в
квазистационарном состоянии фазового равновесия* Таким образом
мы полагаем, что характерное время io больше времени
восстановления давления при фазовом равновесии в такой
системе, так что
Поэтому в классической системе уравнений Навье-Стокса мы
пренебрегаем fiacL p и приходим к уравнению 2.1 для
скорости жидкой фазы суспензии.
Эти предположения приводят к соотношениям:
Я/Vol* «J, /K*~V, ,
где v0 ' t /6* •
Как видим, эти соотношения совпадают с соотношениями
пункта3,(1 гл. I,причем размерность вязкости равна
размерности псстсянной Плаяка h- , отнесенной к единице объема.
44

Совершенно аналогично можно рассматривать пар в
состоянии насыщения со взвешенными в нем капельками
жидкости. Это система состоит из двух компонентов - жидкости
и пара. Мы рассматриваем лишь уравнение движения одной
компоненты - пара, в то время как капля жидкости играет
пассивную роль: они поддерживают постоянное давление
насыщенного пара. Малекулы пара могут "рождаться" -
испаряться из капли, и "уничтожаться" - конденсироваться в
х/
каплях А/ .
Заметим, что уравнение Шредингера можно
интерпретировать, как уравнение, описывающее поведение пучка
невзаимодействующих электронов (как это имеет место, например, в
электронной оптике). Но на самом деле система содержит в
себе также позитроны и фотоны, а электроны могут рождаться
и уничтожаться. 3 той модели, которую описывает уравнение
Шредингера, позитроны и фотоны не участвухгг. Но возможно
они играют пассивную роль капель?
16. Замена функции вида
U fo i)*1 ftCLoL in $ fa-6)
(2.3)
приводит к уравнению
\Ш-^ьу +vt*)<l> <f>(xfihe ? >2.
х/ 0 другой модели, приводящей к этой же задаче <.л.№1*
515

Мы видим, что система уравнения Навье-Стокса в такой
постановке совпадает с уравнением Щредингера, если
вязкость взять чисто мнимой*
Непосредственная связь уравнения Щредингера и
системой уравнений Навье-Стокса в указанном выше аспекте,
насколько мне известно, не была замечена физиками, хотя о
связи уравнений Щредингера с уравнениями типа
Навье-Стокса опубликовано много работ (смотри напр. /П/ ).
2°. Асимптотика решений yppmftwirg Навье-Стокса и
предельный переход при % ~* с ,
2. Бихарактеристическая система в смысле § 3 главы I
для уравнения (2.4) имеет вид
*'-*> Я-"<>*;■ гГ-Г-глГ^ (2.5)
Полагаем
Х(о)»Хо у pto) = Qxcut i(Xc)} S(o) =f>(Xo)
(2.6)
Обозначим
Эта задача, как уже указывалось, сводится к нахождению
экстремума функционала
x,t
$[#*>]- Шы] * Jifr'M)}** (2 }
■Хо
Теорема I.I
Цусть точка (х,6) не является фокальной ни для од-
516

ной из экстремалей функционала ф [f(&] Сер. п. 5°>
§ I гл. 2). Тогда задача (2.7) имеет лишь конечное число
решений
^^^^^w^l/^f^J/
//t
где 0Сь1 =ог0*(х,-Ь) определяется из уравнения
3. Следствие. Пусть Y'Cx) - аналитична$
1/*(х)~и»тл£ + Ofixfi*) , тогда в каждой точке л, t
существует абсолютный минимум 9w,ft (x,£)
функционала Ф , являющийся почти везде
дифференцируемой функцией х и
почти всаду по ^ .
Как известно, <&гп. /и(х,£)*4гасСф .^является раз-
рывным решением квазилинейной системы уравнений
^? +{l(oV)Uo +4iacL V(0C)~O
построенным в образом, разрывы
решения 1t0 могут происходить лишь на поверхностях
517
33-1419

которые мы будем называть поверхностями равнодействия и
будем обозначать П/ * При этом в определении разрыва
Uо Iхi ^) участвуют лишь те Пу , У которых
Г* и fJ (индексы по Морсу) равны нулю.
3°. Ударные волны вероятности для решения
уравнения Щредингера.
4. (Следствие из теоремы 2.6). Рассмотрим случай
Цусть выполнены условия пункта 3.'Тогда интеграл от
квадрата модуля решения уравнения Щредингера, взятый по такой
кривой Y * чт0 П/ Л Т ЩР* всех *'J имеет
меру нуль, удовлетворяет соотношению
Это означает, что при k ~~*0 осуществляется
классическое сложение вероятностей на кривой у # Интеграл от
квадрата модуля решения ^(xf^ уравнения Щредингера, вяя-
тый по отрезку ъсу кривой равнодействия Г}у
такому, что <£j /7 Гипь имеет меру нуль, если либо tt*±c 9
либо m J> J , удовлетворяют соотношению:
J
518

Таким образом, в зависимости от индексов по Морсу
JL и %J , вероятность пребывания электрона на
кривой i£j в квазиклассическом приближении будет в
результате интерференции либо удваиваться (если ^l-fJ
нечетно) по сравнению с классическим результатом, либо
обращаться в нуль (если J -^ четно), при условии, что
начальная вероятность равна I в области влияния* Этот
качественный эффект не был известен в физичесас* литературе*
§ 3. Краевая задача и пограничный сдой.
I. Рассмотрим туннельное уравнение вида
ДИ -с01С*(эс) гс=о эс= xbxt
(3.1)
а/г=Я<о с *(*)>*>о у
где С (х.) у f(s) - аналитические функции
действительных аргументов, а Г аналитическая замкнутая
кривая, £ - параметр на кривой (длина дуги).
Уравнение бихарактеристик в смысле § 3 гл. I имеет вид
XL =~Ц~. <x(o)=xoCs) S&r (3-2)
где ^ - нормаль к кривой / • Полагаем
X ($,£) = *(*У
№§еет место следующее предложение.
Теорема 2
Пусть точка X , принадлежащая области,
ограниченной кривой Г , не является фокусом задачи (3.2). Тогда
519

система уравнений Л ( ^ ' ~ будет иметь
конечное число >4 решений:
и решение задачи (3.1) может быть представлено в виде
«* I я / с' + «) I 'и -«>&*• [XCs'tjJct?
*•/ / д(х„хл) j K& />
где SK = S*(*), I**€*(*>)
Нетрудно убедиться» чтд и в этом случае асимптотика
испытывает скачки на поверхностях /с/ таких, что
2. Для асимптотики решений уравнений важны не только
мнимые иди действительные решения характеристических
уравнений* Асимптотика в области» в которую не проникает
классическая частица (область тени) для стационарного
уравнения Щредингера с аналитическими коэффициентами
определяется комплексными решениями уравнения Ньютона. Иначе
говоря» если не существует действительного решения краевой
задачи, то асимптотжка определяется комплексными решенная
этой задачи* Могут существовать и комплексные фокусы,
причем асимптотжка в них может иметь менее ввсокий порядок
малости» чем в близких точках* Таким образом» комплексный
фокус ш в некотором смысле оказывается ярче чем охружащие
точки.С^
520

Дополнение
О существовании решений уравнений Гамильтона в большом.
Лемма. Пусть функция &(р,У,€) (р,^Лп; rf£^fA
непрерывно дифференцируемая при всех значениях р>У>^ >
удовлетворяет следующим условиям:
при р -» °°
Xi=o(d+ipiV> Xp<C(ipO, v»C(*)-
некотор&^ф^кция, определенная на \р,°°)\ числа z и
S удовлетворяют неравенству ZS £i; все О - оценки
равномерны по у и £ .
Тогда для функций />^Л У№) * удовлетворяющих
системе
( />--^ (I)
и условиям р(о;» /J > У^<^ = /* (2)
имеют место оценки
при Ь Ь О ; &№) и ^^J - некоторые определенные
на С О у оо ) функции.
Доказательство.
Как известно Ж ~ j| tf(p(t), #(t)> t) « <#^ .
Поэтому &=0({+\?е\%х ) , т.е. \&\<А (1+\ЭС\*1) ,
Л - некоторая константа. Пусть $С^) определяется
формулой fO€)m J jsf^x/sz, ' Очевидно,
функция tf не убывает, имеет обратную функцию 4> "* ,
52Г

определенную на всей вещественной пряной>и удовлетворяет
неравенству t
цри р -+оо , что доказявает первую оценку лешш.
Получим оценку для | У.-У(Ь)\ (Функшш С(х) можно
считать неубывающей):
о
Леша доказана. ^
Замечание т Обнчно если Ж(Р/У>*' -
алгебраическая функция р , такая, что &**• d£(p*y,t)**е° , то
условия леммы удовлетворяются.
В условиях леммы решение задачи (I), (2) существует прж
О % 6<ех>.
Действительно, по теореме Яеано черев точку (Р*>#о>о)
можно провести интегральную кривую системн (I), которую
можно продолжить до границы любой замкнутой области
полупространства £ >0 . Выберем в качестве такой области G-
прямое произведение следующих трех областей:
1) fo$t*T}cR> , 7* - любое положительное число;
2) \lpl* а(Т)} с R* f
Из оценок леюш следует, что интегральная вривая системн
(I), проходящая через (Р*> У*>0 ) пересечет границу
Q- в некоторой точке (Pi>¥*> 7"*) , г. т.д.
522

2°. Рассмотрим слабо связанную гиперболическую систему
с различными характеристиками
где U = (itb..4 U%)\ *Сш{х,у:, **)
&К.Ц... кк -матрицы, имеющие х> строк и ъ
столбцов и пропорциональнее единичной матрице при
U + tff+.♦.+** = t*L
Введем обозначение
A(p.,P)^A(pe,p>i,x)^ (2)
Здесь pmfa...p„)
Очевидно, А (ро> р) - однородный полином степени т
от рс и компонент р •
Характеристическим уравнением для (I), как известно»
является уравнение
В силу того, что система (I) гиперболична и имеет
различные характеристики, Д (р0,р) можно представить в
ЪК№А(р.,р;^)-{рв^АР^Ь))-(Р^де'п(Р>х>ь)1х %
(Ой)
Функции Зге (р, х, Ь ) будем наашжть функциями
Гамильтона для полинома
Каждой функции Гамильтона Hi соответствует бихарактери-
стическая для (I) система
523

ль' v сю
Индекс у функции Гамильтона здесь и далее опускаем.
Сделаем следующие 3 предположения
а) Коэффициенты системы (I) непрерывно дифференцируемы
всюду и ограничены вместе с их первыми производными по t •
б) Корни уравнения А(Ро>Р) в О ,
рассматриваемого как уравнение относительно р0 , больше по модул»,
чем некоторая константа а >0 % если / р | =• 1
в) При Jp|- i, / Ш \ >£ >о .
При сделанных предположениях имеет место
Лемма
Система (4) имеет при О $ 6 <&*
решение, удовлетворяющее условиям oc(o) = QC0 у
Р(о) =Ро*0.
Доказательство,
Так как А непрерывно дифференцируемо и р0 предста-
вимо в виде (За- ), то &С непрерывно дифференцируемо,
причем
Ш-ъА /Ы
Dt Ъб ' Dfi. (5)
ър^гр'-ьро (6)
7>Х ' ИХ ' Ър0
524

Функция Л - однородная степени т по р0 и р у
поэтому <Л? - однородная функция первой степени по р :
где р принадлежит единичной сфере и , следовательно,
\двСр, X) | >^>0. Поэтому
\Р\<±1эе(р,*,*)1 (9)
Ddt. / ЪЬ - также однородная первой степени по р
функция; следовательно,
Поскольку \ \\ \ < \i при / р \ - i , где /^ -
некоторая константа (это следует из ограниченности коэффициентов
системы (I) ), то учитывая в) и (5) получаем неравенство
|4 - некоторая константа. Поэтому
\ Di \ iJ'r' (12)
Из (6) и однородности л следует оценка
(13)
Получим теперь априорные оценки решения системы (4),
пользуясь неравенствами (9), (12), (13). Пусть p(i) f x(6)
525

удовлетворяют с*стене (4).
Тогса ct_dt'(p(t),x(t),t) _ Т>Эвш
В втом легко убедиться непосредственной подстановкой.
Будем для краткости писать Э£ вместо cLii .
Из (9) ж (12) получим а"
\*е\<&№1;
откуда следует (для определенности считаем
д^(х.сiPoyO) = ytQ >0)
Теперь с помощью (9) получим оценки
\рСЬ)\<
(14)
(15)
d > (16)
а ив (8)
\р(Щ>**1— >МЖе
i*\=i (17)
М* « соыгЬ
Наконец, is (13) ж первого уравнения системы (4)
получаем
„ dmj.
\х(Ь)-х0\<1МчХ0 е
(18)
526

По теореме Драно через точку (ре, х*> о) можно
провести интегральную кривую системы (4), которую можно
продолжить до границы любой замкнутой подобласти области
/1> -£ } р,х, -6 - пространства. Выберем в
качестве такой подобласти область & , являющуюся
произведением следующих трех областей:
I) области С $ £ S 60 "6 - прямой
2)' области ^ м
р - пространства
3) области /аг-л-ol * i0 Mf д(0 е
Mr
х- пространства.
Из оценок (16) - (18) следует, что интегральная кривая
системы (5), проходящая через (Ро,°с°>о) пересечет
границу Q- в некоторой точке (pf} ^ *t>),
что и доказывает существование решения системы (4)
при 0$ t $ io ( "4 - любое) .

ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА.
1. Абрагам ( JtSrakarrv Ч )
TiCunsvetsa&ty in manifolds of mappings
,butt. Лпич. tncLtk.Soc", 1965, 639*4f4m-4M
2. Адамар ( HaoLamat- J w .0
Rebates on, Cauchg's pxot&m, date Uni-
wetsitu Press, 192,3.
3. Адрианова Л.Я.
О неприводимости систем я линейных дифференциальных
уравнений с квазипериодическими коэффициентами.
"Вестник ЛГУ", сер. матем. и мех.» 1962» вып. 2, стр. 14-24.
\1 4. Александров П.С.
Комбинаторная топология, Гостехтеориздат, Я.-Л., 1947.
5. Алексеев А.С, Гельчинский Б.Я.
Лучевой метод вычисления интенсивности головных волн,
сб. "Вопросы динамич. теории распростр. сейсмич.волн",
Изд-во ЛГУ, 1961.
6. Бабич В.М.
1) Фундаментальное решение гиперболических уравнений с
переменными коэффициентами. "Матем. сб.", I960,
т. 52 (94), 2, ft 2.
2) Аналитический характер поля нестационарной водны в
окрестности каустики. Сб. "Вопросы динамич. теории
распростр* сейсмич. волн", изд-во ЛГУ, 1961, стр.
II5-I45.
3) Аналитическое продолжение решений волнового
уравнения в комплексную область и каустики, там же, стр.
145-153.
528

7. Бернштейн С.Н.
Собрание сочинений, т. 3, изд-во АН СССР, I960.
8. Бирхгофф Г.Д. ( Bizfikoff ty Ъ)
Quantum nbZc/banics and asymptotic
$e%les, Лтег. /lUUh,. Soc, 1933, 39, 68i-lOO
q \ I 9. Блохинцев Д.И.
Акустика неоднородной движущейся жидкости. Гостех-
) теориадат, М.-Л., 1946.
7 10. Боголюбов Н.Н., Ширков Д.В.
Введение в теорию квантованных полей, Гостехтеоривдат,
М., 1957.
О \] П. Бом Д.
0 возможности интерпретации квантовой теории, ст. I,
"Вопросы причинности в квантовой механике", ИЛ, 11.,
1955.
12. Борн M.f Ъохп ПЪ.) т
tyoxtesunaen, иёег ЛботтесАапсс,
13. БорнМ., Вольф ( дога HZ.) ^
PxLttclptes of Optics, „ Peif amon, Pzess, I960.
14. Бреховских Л.М.
V) I) Волны в слоистых средах, изд-во АН СССР, 1956.
2) Фокусировка звуковых волн неоднородными средами.
"Акуст. журн.", 1956, 2, * 2, стр. 124-132.
\) 15. Виленкин Н.Я. и др.
Функциональный анализ, "Наука", 11., 1964.
34-1419
529

16. Вишин М.И.
Задача Коми для уравнений с операторными
коэффициентами, снешаввая краевая задача для систем
дифференциальных уравнений и приближенный метод их решения "Матем.
сб.", 1956, т. 39 (81), * I, стр. 51-148.
П. Вишик М.И. и Люстерник Л.А.
Регулярное вырождение и пограничный слой для линейных
дифференциальных уравнений с малым параметром.
1957, 12 : 5 (77), стр. &-I22.
18. Гавурин М.К.
1) Приближенное разыскание собственных чисел и теория
возмущений. 1957. 12 : I (73), стр.173-175.
2) Об оценках для собственных чисел и векторов
возмущенного оператора. ДАН СССР, 1954, 26, стр. 1093-
1095.
19. Галанин А.Д. ( Vaiancn Л.Ъ )
UnieiSuctitmy сСеъ £cpe*,sftafien des
Elect го пек и not, Mesoaensptns en оСеъ
HUsUScken Maktufif. ,/ of PAys \ J942,
6, sJ-2,35 (USSR,).
20. Гантмахер Ф.Р.
Теория матриц, Гостехиздат, М.-Л., 1953.
21. Гельфанд И.М.
Лекции по линейной алгебре, Гостехиздат, М», 1951.
22. Гельфанд И.М., Шилов Г.Е.
I) Обобщенные функции, вып. I. Обобщенные функции и
действия над ними, Физматгиз, 11., 1959.
530

2) Обобщенные функции, вып. 3. Некоторые вопросы
теории дифференциальных уравнений, Физматгиз,
II., 1958.
\| 23. Глазман и.М.
Прямые методы качественного спектрального анализа
сингулярных дифференциальных операторов* М.,
Физматгиз, 1963.
24. Глезер В.
Основы электронной оптики, Гостехтеориздат, М.,1957.
25. Гординг Л.
Задача Коши для гиперболических уравнений, Ш, М.,1961.
26. Гординг, Катаке, Лере (Уaiding %., natatfe T.;
dCetai/ ^) Untfobmisaicon ... (PxoS^eme
de Caucky), СоМеуе de 9*гап,се, У965.
27. Гроенволд ( ^УхоепесОоЫ Н.%.)
Quasi-c£ci$sica& paik cnieo^tciis.
triath. f£$* medcL tyi. du^sKe vcd. se&xag,'
"l956, 50,JJ9, i-Ъё.
\]28. Данфорд Н., Шварц, Дж. Г.
Линейные операторы (общая теория), ИЛ., М», 1962.
29. Дубровский В «А. и Скурндин Г .А.
Асимптотические разложения в волновой механике. "Журнал
вычислит, матем. и матем. физики", 1964, 4, * 5, стр.
848-870.
30. Зволинский Н.В., Скуридин Г.А.
Об асимптотическом методе решения динамических задач
теории упругости. "Изв-я АН СССР", сер. геофиз., 1956,
№ 2, стр. 134-143.
531

v 31. Звйферт Г. и Трельфалль В.
Вариационное исчисление в целом, ИД, М., 1947*
32. Зоммврфельд А.
V I) Оптика, ИД, И., 1953.
V 2) Строение атома и спектры, Гостехтеориздат, М.,
1956.
\) 33. Канже Э.
Справочник по обыкновенным дифференциальным
уравнениям, «Наука-, П., 1965.
Эа1едгЫсогъ of ike еривбсоъ of еы-о£и£согь
1} in a? Banach, Space.
"Математика", 1958, 2 : 4, стр. II5-I35.
2) Petiut&alcort Ikeozy of stmc-eourtcLeoC
OpeztUozS. „math* Лпп/',/935, 425; 435-44?
\\ 35* Колмогоров А.Н., Фомин СВ.
Элементы функционального анализа. Изд-во MI7, вып. I, '
1954; вып. 2, I960.
36. Крейн М.Г.
О формуле следов в теории возмущений, "Матем. сб.",
1953, 33 (75), стр. 597-626.
37. Кузнецов Н.Н., Рождественский Б.Л.
Решение задачи Коми для одной системы квазилинейных
уравнений со многими независимыми переменными. МЖ.
вычислит* матем. и матем. физики", 1961, I, X! 2.
\i 38. Курант Р.
Уравнение с частными производными, "Мир"* М», 1964.
532

39. Курант Р., Гильберт Д.
Метода математической физики, т. 2, Гбстехтеориадат,
М.-Л., 1951.
40. курант Р., Лаке П. (Соигапб #., %ах PJ
Tke p^opctaattotb of oLcscofbUnccUces, tn
игагге moUon. Pzoc. J\/a6. ЛсасС. осеу
41. Кучеренко В.
Дипломная работа, МГУ, Физфак, 1963.
42. Лаврентьев МЛ.
О некоторых некорректных задачах математической
физики. Новосибирск, над-во Сиб. отд-я АН СССР, 1962.
43. Лаврентьев М.А. и Люстерник Л.А.
Основы вариационного исчисления, т. I, ч.»2, Гостех-
теориздат, М.-Л., 1935.
44. Ладыженская О.А.
1) 0 решении нестационарных операторных уравнений
различных типов. ДАН СССР, 1955, т. 102, * 2, стр.
207-210.
2) 0 построении разрывных решений квазилинейных
гиперболических уравнений, как пределов решений
соответствующих параболических уравнений при стремлении
"коэффициента вязкости" к нулю, ДАН СССР, 1936, т.III,
1 2, стр. 291-294.
43. Ладыженская О.А. и Фаддеев Л.Д.
К теории возмущений непрерывного спектра. ДАН СССР,
1958, т. 120, стр. II87-II90.
ьзз

46. Лаке Р.Д. (З.ах Л. D)
1) Asymptotic soEulcorvs of osctttatosy
initial vaiue proems, Ъике ГП*€к.
$огпа£, 4357, 3L4, л/Ь, 627-646
2) Hypettalcc systems of ConSe%vaiion
-£oi*fS Ж Communs. Pute. ctnoC Jtpp£^
/Паек., J95% W, 537 -5$6.
47. Ландау Л.Д. и Лифииц E.ll.
Квантовая механика. Физматгиз, М.» 1963.
48. Левин М.Л., Рыжов СМ.
О переходе к геометрическому приближению в теора
упругости. «Акуст. жЛ 1956, $, 2, стр. 173.
49. Лере (^Lezau у. )
Xeciutes on kypei4o&c epuattons uftth,
Vd%ia#& coefficient. „ JnsL fox Jtdv: Study?
Princeton,/9 &
50. Ладит Д. (bLudurtQ U)
£>x&ct and asymptotic Solutions of Ike
Coucktf ръо£<£ет. „ Communs. Риге а*ъс6 *Л/>р£.
math." d$60,J3, УЗ, 473SO8.
51* Наедет В «П.
1) Квазнкдассическая асимптотика решений некоторых
задет математической физики I. "JL. вычислит.матем.
и матем. физ.", 1961, Х> вып. I, стр. II3-I28 н П
там же, 1961, Х> вып. 4, стр. 638-663.
2) QuasiciassCtal asymptotic solutions
of Dirccc's system of equations Cn the
icttge. „Oul&nes of the ^oCnt Jov-tet-
Лтеъссап Symposium on Pattiat
T^iffexenbai jbauations. dead, ofSciences
of Ue USSfl, M.y J963.
534

3) Квазиклассическая асимптотика решения уравнения
Дирака, УМН, 1963, |8, 4(112), стр. 220-222.
4^ Задача рассеяния в квазиклассическом приближении,
ДАН СССР, 1963, Д1, * 2, стр. 306-309.
5) Математическое обоснование предельного перехода
из квантовой механики в классическую. "Научн.докл.
высш.школы", физ-матем.науки, 1958, fe I, стр.63-67.
6) Асимптотика собственных значений ддя уравнения Щре-
дингера в одномерном и радиально-сюметрнческом
сдучае. УМН, I960, т. ЯГ, в. 4 (94), стр. 220-221.
7) Метод теории возмущений ддя отыскания спектра
обыкновенных дифференциальных операторов с малым
параметром при старшей производной. ДАН СССР, 1956, т.
III, * 5, стр. 977-980.
8)0 предельном поведении некоторых квантово-механи-
ческих величин. ДАН СССР, 1954, т. 44, Ш 4, стр.
623-626.
9) Теория возмущений многомерного уравнения Щрединге-
ра, УМН, 1961, т. 16,3(99), стр. 217-218.
10) Поведение на бесконечности собственных функций
уравнение Шредингера. УМН, 1964, т.19,КП5),стр.
199-201.
11) Теория возмущений линейвнх операторных уравнений и
проблема малого параметра в дифференциальных
уравнениях, ДАН СССР, 1956, т. III, * 3, стр. 531-534.
12) 0 переходе квантовой механики в классическую в
многомерном случае, УМН, I960, т. 15, I (91), стр.
213-219.
535

13) Теория возмущений при перехода от дискретного
спектра и непрерывному, ДАН СССР, 1956, т. 109,
* 2, стр. 267-270.
14) Метод ВКБ в многомерное случае. Дополнение
к кн. Хединга, Дж "Введение в метод фазового
интеграла", "Мир", М., 1965 (в печати).
V 52. Милнор Дж*
Теория Морса, "Мир", М., 1965.
53. Морс ( Могзе М. )
Tke catcutu% of- trazta&Cons tn ike -tazoe.
„dme*. ntalk. Soc. СоЛоумсипь Ргс4<С. "
'ЮЗ1/, 48> JVeus Уохк.
\j 54. Морс Ф.М. и Феибах Г.
Методы теоретической физики, т. I, ИЛ, М., 1958; т.2,
ИЛ, М., I960.
55. Морет
On ike ciefcruicofb anjcC арр10Хст<ъ6<;оа о/
jFeyrvmart path Cnbfta€. Pliys. Reih, 4954,
Sd} 842-852.
\J 56. Натансон И.П.
Теория функций вещественной переменной, ГИТТЛ, М.,
1950.
57. Олейник О .А.
1) 0 построении обобщенного решения задачи Коши для
квазилинейного уравнения первого порядка, путем
введения "неисчезавдей вязкости". УМН, 1959, т. Х1У,
в. 2 (86), 160-164.
2) Разрнвнне решения нелинейных дифференциальны*
уравнений. УМН, 1959, т. Ш, в. 3 (75),стр.3.73.
536

58. Паули ( Раий Ш)
tend (feometttsAe OpUk. Ее£гл PAys.
Jeia, m%} 5У v5, J?9.
59. Петровский И.Г.
I) Ше% cCaS CauckuscAe Р%о№ет £иъ
SUsi^M, tron pQrtiu-1'ве.'ъ T>iffe%en,6ccL&
9ШскипГп. иШти ^ 2 (49)>ctp<815^70#
\ 2) Лекции об уравнениях с частными пронзводншш, Физ-
матгжз, М., 1961.
* 3) Лекции по теории обыкновенных дифференциальных
уравнений, "Наука", lf#, I964.
60. Петрошень Г .И.
Методика построения решений задач для сложных сред.
"Вопросы динамич. теории распростр. сейемкч. води",
сб. I, Гостехтеорнздат, М.-Л., 1957*
61. Повзнер А.Я., Сухаревский И.В.
0 разрывах функции Грина смешанной задачи для
волнового уравнения, "Матем. сб.", I960, т. 51, (93):1, стр.
3-26.
62. Понтрягжн Л.С.
\] I) Непрерывные группы, изд. 2, Гостехиадат, М.,1954.
\] 2) Гладкие многообразия и их применения в теории го-
MOTofrww "Труды Матем. ин-та им. В.А.Стеклова",
t.XIjV, иад-во АН СССР, М., 1955.
63. Пытьев Ю.П.
0 связи классической механики и волновой.
ДАН СССР, 1963, ца, * 2, стр. 298-301.
537

64. Релдих
SlobUKfS iheozce сСеъ SpecixaiverJefunf 1„Щ
Апп4936,ПЗ,600'-6$Ш1иы ИЗ, 677-685; Ш, там же,
116, 555-570; 1У, там же, 117,^6-382; У, там же,
#43,118, стр. 462-484.
V 65. Рисе Ф.и Секефальви-Надь Б.
Лекции по функциональному анализу, ИЛ, И., 1954.
66. Рубинов, Келлер (Rtiiinout if.} КвЫех }/.)
mptoitc So^cc6cc/b of Ъсгас zauatcon,.
Pkyt. Реи:, i'965, d5i, ^6} 3789-3996.
> v 67. Руммер Ю.Б.
Исследования no пятиоптике, Гостехиздат, M., 1956.
68. Рытов, СМ.
Модулированные колебания и волны. "Труды ФИАН", 1938,
2, № I, стр. I.
69. Саврасов Ю.С.
Вычисление собственных значений для уравнения Щредин-
гера, дошл, раб., МГУ, физфак, I960.
70. Секефальви-Надь (S& - ЛъсСу, 3. Von.)
гпсьбеопеп, oCes nt£%e,b£schen, fcactmes.
„EnoeSrUSSe oLet, t7la,tk.\ г/:5} J. SpiCnge-c,
Bettcn, d94Z.
71. Смирнов В.И.
Курс высшей математики, т. 1У, Гостехтеориздат, М.-Л»,
1951.
My
538

Соболев С.Л*
1) Волновое уравнение для неоднородной среда. "Тр.
Сейсмол. ин-та АН СССР", 1930» к 6.
2) Некоторые применения функционального анализа в
математической физике, жзд-во ЛГУ, Л., 1930*
Соломяк М.З.
О собственных числах и собственных векторах
возмущенного оператора, ДАН СССР, 1953, т. 90, стр. 29-32.
Солуян СИ., Хохлов Р.В.
Распространение акустических волн конечной амплитуды
в диссинативной среде, "Вестник ИГУ11, 1961, № 3, стр.
52-61.
Стэррок П.А.
Статистическая и динамическая электронная оптика.
Теория фокусировки в линзах, отклоняющих устройствах и
ускорителях, ИЛ, М., 1958.
Титчмарш ЭЛ.
Разложение по собственным функциям, связанные с
дифференциальными уравнениями второго порддка, т. 2, ИЛ,М«,
1961.
Тихонов А.Н.
1) 0 решении некорректно поставленных задач и методе
регуляризации, ДАН СССР, 1963, 151, * 3, 501.
2) 0 регуляризации некорректно поставленных задач,
ДАН СССР, 1963, 153, Я! 3, 49.
Тихонов А.Н., Гласно В.Б.
О приближенном решении интегральных уравнений Фред-
гольма I рода, "X. внчисл. матем. и матем. физики",
1964, 4, * 2, стр. 564-570.
539

79. Федорюк М.В.
1) Метод стационарной фазы. Близкие седловые точки в
многомерном случае, Ж. вычисл. мат ем. и матем. физ.,
1964, 4, Ш 4, стр. 671-683.
2) Метод стационарной фазы для многомерных интегралов,
там же, 1962, 2, fe I, стр. 145-150.
0\J 80. Фейнман Р.
Пространственно-временной подход к нерелятивистской
квантовой механики. Сб. "Вопросы причинности в квато-
вой механике", ИЛ, М., 1955.
81. Фок В.А.
I) Обобщение отражательных формул на случаи отражения
произвольной волны от поверхности произвольной формы,
Ж ЭТО, 1950, 20, * II, стр. 966-978.
v 2) Работы по квантовой теории поля. Изд-во ЛГУ, 1957*
3) 0 каноническом преобразовании в классической и
квантовой механике, "Вестник ЛГУ", 1959, И! 16, 67.
4) 0 каноническом преобразовании в классической и
квантовой механике, приложение к книге Дирака "Принципы
квантовой механики", Физматгиз, М», I960.
82. Фриддендер Ф.
Звуковые импульсы, ИЛ, М., 1962.
83. Фридрихе, Келлер (TtucLiL&Is К A fatten ?. в)
xeJ^ction and чл/ы*й*п rf a wtxU
tfiAeniccvt ex субогсЬиссф ztiotA <*£ °^
fdane itbte^face. „$ Jpf>4 Ptup/26,961-966.
540

\] 84. Хллле Э. и Фидлипс Р.С.
Функциональный анализ и полугруппы, ИЛ, М., 1962.
85. Xonfc (Нор/ Е.)
U~t + uux =ju U&x . „ Comrnuru P**** <**"£
, Jlppl mcvtfi. * /950, 3 , л/3, 20/-230.
» 86. Швебер, С.
Введение в релятивистскую квантовую теорию поля,
ИЛ, М., 1963.
V 87. Шифф, Л.
Квантовая механика, ИЛ, М», 1957 •
88. Шноль Э.Э.
О поведении собственных функций уравнения Щрединге-
ра, "Матем. сб.», 1957, т. 42 (84), N» 3.
89. Эллиот (Ыеюи у.)
Вапсы>к spate. ficcuu. J/rrul.. /TlztA &&с.
/96<Р, /03, */3} 470-483.
\] 90. Эрдейи, А.
Асимптотические разложения, Физматгиз, М., 1962.
541

ОГЛАВЛЕНИЕ
ПРЕДИСЛОВИЕ
Часть I
ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ
Введение 9
Глава I
ПРОБЛЕМА РЕГУЛЯРИЗАЦИИ В ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИЙ.
§ I. Постановка задачи регуляризации теории
возмущений «... 16
1°. Пример регуляризации возмущённого
потенциала для уравнения Щредингера (16). 2°.
Зависимость способа регуляризации от
выбора представления (18). 3°. Ангармонический
осциллятор (20 )• 4°. Устойчивость
изолированной системы (22).
§ 2. Теория возмущений одномерного уравнения
Щредингера 29
1°. Основные понятия (29)• 2°. Более точное
определение радиусу видимости. ^32). 3°.
Основное утверждение. (34). 4°. Случай
положительного возмущения. (37).
§ 3. Разрешающая способность прибора 40
§ 4. Постановка задачи для произвольных
самосопряженных операторов 44
Глава 2
ПОВЕДЕНИЕ СОБСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ НА БЕСКОНШНОСТИ И
ТЕОРИЯ ВОЗМУШШЙ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ С ОПЕРАТОРШМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ.
§ I. Некоторые сведения из теории операторов 47
542

§ 2* Основной метод оценок решения 5'*
§ 3* Дифференциальное уравнение второго порядка
о операторными коэффициентами ♦ SS
§ 4. Оператор первого порядка 65
§ 5* Основная оценка для собственных функций.... 67
§ 6. 2 леммы абстрактной теории возмущений 71
§ 7. Теория возмущений оператора первого порядка 73
Глава 3
СИЛЬНАЯ СХОДИМОСТЬ ОПЕРАТОРНЫХ УРАВНЕНИЙ.
S I. Слабая сходимость решений 80
§ 2. Условия сильной сходимости решений 85
1°. Теорема о сильной сходимости решений
('85). 2°. Примеры. (88). 3°. Теорема Рел-
лиха (новое доказательство) (93). 4°. Переход
от дискретного спектра к непрерывному (96).
5°. Регуляризация по Тихонову для некоторых
некорректных задач(iОб).
§ 3. Рады теории возмущений для обратного оператора III
Глава 4
ВОЗМУЩЕНИЯ ОДНОПАРАМЕТРИЧЕСКИХ ПОЛУГРУПП ОПЕРАТОРОВ
И ЭВ0ЛЩИ0НБЫХ УРАВНЕНИЙ.
§ I. Введение ИЗ
§ 2. Основная оценка решений эводхционного
уравнения 116
§ 3. Теория возмущений эволюционного уравнения.... 125
1°. Абстрактная теорема (125). 2°. Пример из
теории дифференциальных уравнений (126).
§ 4. Теория возмущений полугрупп операторов 127
543

1°. Основная леша (127). 2°. Обобщение
теоремы Хидле (138). 3°. Сходимость
производящих операторов и сходимость полугрупп
(140).
Глава 5
СЛАБАЯ СХОДИМОСТЬ ОПЕРАТОРОВ.
§ I. Теорема о сходимости гомомрфизмов в
топологических группах 143
§ 2. Слабо-предельная непрерывность 151
1°. Равномерная ограниченность
слабо-непрерывной последовательности операторов (131).
2°. Необходимое и достаточное условия
слабо-предельной непрерывности
последовательности операторов (154).
§ 3. Теорема о сильной сходимости обратных
операторов и ее применение 15?
§ 4. Регуляризация в теории возмущений слабо
сходящихся операторов 161
Часть П
ТЕОРИЯ ХАРАКТЕРИСТИК В БОЛЬШОМ И АСИМПТОТИЧЕСКИЕ
МЕТОДЫ В ТЕОРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С
ОПЕРАТОРНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ.
Глава I
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ.
§ I. Характеристики уравнений квантовой механики.. 171
544

1°. Распространение разрывов решений
некоторых конкретных задач (172). 2°.
Обобщенная задела о "распространении разрыва*
для уравнения с операторным коэффициентом.
(184). 3°. Классификация уравнений второго
порядка (186). 4°# Преобразование типа
Фурье для абстрактных функций (1871* 5°.Ин-
вариантность типа уравнения относительно
перехода к /'-представлению. {18$).
6°.Уравнения волновой механики и оптики (190)*
§ 2. Постановка задачи Коми для уравнений
квантовой механики 194
§ 3. Общее определение характеристик для
уравнения с операторными коэффициентами 204
§ 4. Проблема выбора представления при переходе
из квантовой механики в классическую 210
Глава 2
КАНОНИЧЕСКИЙ ОПЕРАТОР.
§ I. Одномерный случай 217
1°. Топологические цредлокения (218).
2°.Канонический оператор (223). 3°.Инвариантность
канонического оператора (229). 4°. Кваэиклас-
сическая асимптотика (230). 5°.
Асимптотические ряды (233 у. 6°. Квазиклассическая
асимптотика решения задачи Коми. v236). 7°.
Асимптотика решения системы уравнений (240).
8°.Поведение разрывов решений гиперболического
уравнения (241).
545
35-141Ш

§ 2. Многомерный случай 244
1°. Топологические предложения (244). 2°.
Определение канонического оператора (232).
Глава 3
АСИМПГОТШСА РЕШВНШ УРАВНЕНИЙ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ.
§ I. Квазиклассическая асимптотика 257
1°. Основные теоремы (257) # Метод
стационарной фазы для континуального интеграла
Фейнмана (260).
§ 2. Асимптотика решений релятивистских
уравнений 262
§ 3. Примеры и следствия 266
§ А. Система уравнений теории упругости 271
§ 5. Стационарный случай 274
Глава 4
УРАВНЕНИЯ С ОПЕРАТОРНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ.
§ I. Уравнения в счетно-нормированных
пространствах и задача многих тел в квантовой
механике ♦ 280
§ 2. Асимптотика решения задачи Коши уравнений
с операторными коэффициентами « 284
§ 3. Гиперболическая система 291
§ 4* Асимптотика собственных значений уравнения
с операторными коэффициентами гЪ
546

Глава 5
ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ Б МАЛОМ ДЛЯ
УРАВНЕНИЙ ВОЛНОВОГО ТИПА.
§ I* Асимптотика решения уравнения Щредингера в
малом 303
1°. Квазиклассическое представление (303).
2°. Оценка обратного оператора (Зое). 3°.
Рад теории возмущений (309).
§ 2. Теорема вложения для абстрактных функций и
оценки в счетно-нормированных пространствах 311
1°. Теорема вложения (311). 2°. Операторы
в счетно-нормированных пространствах (313).
§ 3. Релятивистские уравнения 321
1°. Уравнение Дирака (3zl). 2°. Оценки для
решений квадрированного уравнения Дирака и
уравнения Кляйна-Гордона-Фока (323).
§ 4. Разложение произвольных начальных условий
на компоненты, отвечающие различным корням
характеристического многочлена 330
§ 5. Дополнение. Решение уравнений переноса для
некоторых уравнений (систем) волногого типа 335
Глава 6
АСИМПТОТИКА В МАЛОМ ОПЕРАТОРНЫХ УРАВНЕНИЙ С
ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ.
§ I. О корне квадратном из оператора в банаховом
пространстве 347
547

5 2. Метод стационарной фазы для абстрактное
функций ♦. •.. •••••• 361
1°. Формальный прием вычисления членов
асимптотического ряда (361)* 2°. Одно-»
мерный случай. Разложение в
асимптотический ряд (363). 3°. Одномерны!
случай.Первый член разложения (37б)^^огсшервии
случай (381).
§ 3. Асимптотика в малом решений абстрактных
уравнений 394
1°. Задача Коши для уравнений с
операторными коэффициентами (394). 2°.
Асимптотическое разложение линейного
дифференциального оператора с частными производными и
операторными коэффициентами (397). 3°.
Случай бесконечно-кратных термов (403).
4°. Случай конечно-кратных термов (416).
Глава 7
АСШПГОТИКА В БОЛЬШОМ РЕШЕНИИ АБСТРАКТНЫХ УРАВНЕНИЙ.
§ I. Лемма о локальных координатах 428
§ 2. Доказательство теорем об инвариантности... 43С
§ 3. Асимптотика решения в большом 446
Глава 8
КВАЗИКЛАССИЧЕСКИЕ ФОШУЛЫ ДЛЯ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЙ
КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ С [£] "* ^ РАЗА
ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ.
§ I. Метод шагов вдоль траектории для получения
асимптотики в целом 454
548

§ 2. Вспомогатедьнне леммы о решениях уравнений
Гамильтона 472
1°. Предварительные сведения (472) • 2°. О
нечетном числе решений (473). 3°. Оценки
решений (476). 4°. Основные тождества
(486).
Глава 9
РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИЙ ПРИ ВЫЧИСЛЕНИИ
ПОПРАВОК К КВАЗИКЛА0СИЧЕСК0Й ФОРМУЛЕ БОРА.
§ I. Введение 4-99
§ 2. Решение задачи Титчмарша 500
§ 3. Третий член асимптотики собственных
значений 509
Приложение.
РАЗРЬШ В АСИМПТОТИКЕ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЙ ТУННЕЛЬНОГО
ТИПА.
§ I. Введение 51?
§ 2. Асимптотика вблизи ударных волн 513'
1°. Уравнение Навье-Стокса для суспензии
(513). 2°. Асимптотика решений уравнений
Навье-Стокса и предельный переход при га ~> О
(516). 3°. Ударные волны вероятности для
решения уравнения Щредингера (518).
§ 3. Краевая задача и пограничный слой 519
Дополнение.
В.«Бубнов. О существовании решений уравнений
Гамильтона в большом 521
Цитированная литература 528
549

Л 49490 Подписано'к печати 2боУ1«1965 г. Формат 60x90 1Д6
физ.печ.л. 34,5 уч. изд. л. 20,96. Заказ 1419. Тираж 1000 экэ.Цена ЗЗкоп
Отпечатано на ротапринтах в типографии Изд-ва МГУ. Москва, Ленгоры

Примечания
Стр.35. Таким образом, по д§лному Л определяется точка Л°
з.гг~ спектра оператора Л°Ли расстояние d от 4° до бли-
*"• жайшей точки спектра 1° . Затем по d и zXr.o
определяется радиус видимости т£= *± с помощью неравенства
е lv-(x,t)h jfe. (<r>o) п?и х*хс
tt
Стр. 190.Определение характеристик для уравнения в Р -преде
7.и. лении следует из общего определения,данного в §3 т.
Стр.205.Этот случай отвечает разрыву на гиперповерхности ffc)*eora&
Стр.223.Эти рассуждения распространяются на общий случай.
Стр.223,229,250,264. Напомним, что все утверждения будут
доказаны в главах 5-8.
Стр.237.В самом деле,если таких точек бесконечное число, то они
чи. имеют предельную точку. Эта точка, очевидно, будет
фокальной.
Стр.252. Отскща будет следовать соотношение (J.2) в многомерном
9еЛ. случае.
Стр.270. Предположим противное, что гшпЛ^Ц *<?, тогда в силу
леммы 2.1 cki IIHLB'fl Фоч продифференцировав равенство
2fta-g^ (li ш?* , получим при «-Z f/> Щ=0.
Отсюда Рс h_7~0 L*i...n % что невозможно в силу (I).
Стр.281.Т.е. пространство функций от х3 принадлежащих WAR О
в*. при к=1,2,... -
Стр.с'85. Достаточно, 4TCOL матрицы виде 1(Х*, % ¥*Ч, м ft fff0 ,
где Ъ всевозможные производные оператора 'r^.rp.p^,,x,i,k)
по параметрам, имели общее инвариантное конечномерное
подпространство р&змерности^не зависящей от пяррметров/>,*;<
ПРИ f>£Qpy X € S?x f i € [0,Т]. &•*»••" *-*уы крык*.
Стр.288.В формуле U.V) J*(K<*,*\ft«,nt)*Xv(p,?*,,>%*)
при p-Pfyt)} p„,~H(PU,i),Q(o(}V,6X f*Q(«,t)
Стр.290.а)Напомним, что оператор £(-%-£ >-frfz>Zjt>A)
***' определяется следущим^образом: £№*.)=
где 2C(P,i,,A бопера тор • 3** , комму тирующий с а и
разлагающиеся в асимптотически* ряд по степеням резольвенты (A-i)~'»
b) В выражено для Г, приведение* в формуле (2.8),в "
данном случае надо заменить % на / • '
c) В выражении (2.10) Х>,[РЪ*)>в(«,6),£]аХ,,(/>л„,?А)
прм р = Р(^), /u *H(Pf*,*), Q<4*),tЛ
f= Q(*t,4), cl €— чисТо мнимое.

ol) Теорема 4.2 справедлива также и в случае, когда
условие ll(J+**)-'Ив1** (1) выполняется для всех
ь чисто мнимых и отрицательных. Теорема 4.2 будет
справедлива также, если условие (I). выполняется лишь
для е чисто мнимых, а ас =ei+<£> G'"" (см.стр.253).
Стр.296ва)Множество£" не обязательно совпадает с интервалом
*<* (Р°-£, £°+&) . Достаточно, чтобы оно было плотно на
этом интервале.
в)Оператор и<>,ь есть оператор сдвига вдоль траекторий
системы Гамильтона, отвечающей гамильтониану Н(/>,*■)
оператора % (т.е. собственному значению оператора & (&/>,<>))
с)Теорема 4.4 является нетривиальной и в случае, когда
ft*i , a £(xjp,k,) - полином по Р с матричными
коэффициентами, т.е. для системы линейных уравнений
т °— порядка.
Стр.326. Кроме того// &Л^„*}^ * <W {IН»#ILX4H^fcHl]
it*. {const не зависит от k ). л
Аналогичное утверждение следует из приводимых на стр.327-
328 рассуждений для оператора Кляйна-Гордона-Фока,
Стр.329. При * =1 это равенство доказано. Предположим, что оно
Ъс*шм справедливо при /^г, тогда,
где с - константа,зависящая только от с .
Стр.341. В лемме 5.3 множитель (-1) принимает значения ±1,
***. соответствующие двум линейно независимым решениям
уравнения переноса.
Стр.349, а) Из условия I) следует, что А - замкнутый оператор
l с*. (с всюду плотной областью определения), поэтому из
равенства £„ А j fe <**** ^ y^*W*
по определению замкнутого оператора (ч.1,гл.2 §1)
следует Aje a**fdt*f e 'AxUf**
в) Формула (1.5) получается с помощью предельного
перехода к оо по верхнему пределу интегрирования.
Стр.385. До сих пор в доказательстве леммы 6.II мы следовали обще-
1ск. принятому доказательству для функции со значением на
прямой.
Стр.399, т.е. Qe° - область значений функции |~,6:^при х'бЗИ
*ън- it р<Х;
Стр.431. Также как и в формулировке теорем об инвариантности,
«см. мы полагаем, что А-положительно определенный
неограниченный самосопряженный оператор в гильбертовом
пространстве Н, а <РМ-функция со значениями в Н. t>
доказательстве теорамы 2.4 можно рассматривать неограниченный
оператор А в банаховом пространстве В, обладающий
свойствами, изложенными в § I гл.6. Соответственно, rw в
этом случае является функцией со значениями в банаховом
пространстве.
Стр.433. В работе В.А.Фока подробно прослежена аналогия между
ь и . касательными преобразованиями классической мехепики и
унитарнымипреобразованиямнквантовых операторов, имеющих
классический аналог. * 1
Стр.461. Через %.*(х,6,+ ^,Л) мы переобозначили функцию
i и.
Vc*tP>^<T>L)

.hbiiihi.iiiiihiil h
T*
Стр.
стро-1
Напечатано j Следует читать j ^Р-Рад0*"} Напечатано j Следует, читать
310
8 св. Й, fl(f>,b)cii Ht frcfiUdh 415
9 св. j Я & i H<di' j HiCU j^dl'.
0 ° О о
io св. f а* А<ч />?<*/-,- iwlffa%t
12 св. 2VjH,di,J H^b. Z(ct/MAfl4
-J'ditHtfCp .~p6{/lty)
i^j%di. ziikvfbdi,...
j"ditWj» ••■ fdi^fi) 421
I сн
416
417
419
N
420
6 CH- ikiiiunp
LkHi U(i,fi)
426
311 4сн. группы в банаховом сильно непрерыв-
пространстве В ной группы в гиль- 431
бертовом простран-
Т\ ЩИ
стве В, ииещ:
обратный и
313 9сн. то А' существует А* существует и
и ограничен.
этом
318 10 сн.
323 13 сн,
т
ограничен, то в
этом
такие, что такие, чтоуо-^
450
455
466
1сн. а 5(А,,/>«>*«„,• ,*^- $(ьг ,рк,г™>■>***)*
15св) ортонорммрован- нормированная
4сн) ная ^,/ ~
2 св. -ЬХПкач дЪр/бЧ
4 св. -Ъфь-Ч W' Я/
4 св. a<j-(X},Xi) <fy'(X/>K-)
I св. решение уравне- уравнение
ВИЯ
3 св. существует, удовлетворяется,
Л, .*.
2 СВ. J.ot,.~ , Хаъ X )• > Хъ
4 СН. ДЛЯ ДИбой фИНИТ- существует
ной <Р0(р,х,-6)<-у- ^
Зсн. yU)exp{iM-]} **i>U*L ]}?<*)
8 св. А\=\Р-о(к.),&о(к)) а*Ф'-оЩЖ»М}
4 ев VDtX^ Iffy
II св. J ' ——
9 сн) V
5 сн, •*<*,
,x~
•L*(%i)]x 507 4 сн. _ №У
22.1
6cH- I ОТ Л* tRQSflr
i сн. jrejLi ц jzji* цИлкт
352 Усн. J J
358 Зев. ТТ^? T7>«/ty ъи
372 4 сн. e^*^Kf-*^ ££(**&;№•
S02
So?
456
377 формула
1X1
40
(2.20) (*+ (4 + Ъ)
381 7 св. <f(o)-0 4"(о)ФО
388 7сн. Оценим Очевидно \Т$Ш^о , it?
388 5сн. Имеем Н4*
~" .а^-..... iJ!*
393 8 сн. ^-ограничена, ФсгУеЬ&у
411 фоо^ла <£« *ff фЛ *eise
391
14 св. 1.ы-9(*г/Ь(г 2о(*о)--Ы%г~
Усе
5св
Зси.
Ч
М
JPci
в/
0. и)
ГГх).гСх)
i
\ i ств» 4аа/ гтпаи 1 а./—
Поскофжу*(^- ивособая точка, то ■ текотораа в* ожростлооть
Af Як^Дл-акж* нмеобаа . Пусть с,М&*.Я>*айя*шш* «анншо* ш> ов-
И скомые нягг*грвлы от второго члеаа а* амеав? стацмонаряой точв
у -тогомв- ааваьалштиы в i вулпГ Поэтому лемму 7«S достаточво
доказал яле фуахдп €,uj *<*> «ах>свтвл которой пр-аадл»жат
■bs.i
4i2 5 сн. Zf-Ru^e" i^i-ф Ri*Ru.-{fek
<4<
elf
i оказать яле фз
nniffffflMl* 1 ТТа- 481 Утверждена» леммм ,
справедливо при усломш /1Л8/ для матрапы - &р