ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКАЯ БИБЛИОТЕКА ИНЖЕНЕРА
С. Г. МИХЛИН
ПРИЛОЖЕНИЯ
ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
К НЕКОТОРЫМ ПРОБЛЕМАМ МЕХАНИКИ,
МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ И ТЕХНИКИ
огиз
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
ТЕХНИКО-ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА • 1947 • ЛЕНИНГРАД

Очередной выпуск «Физико-математической библиотеки
инженера» (первый выпуск—Карман и Био «Математи-
«Математические методы в инженерном деле») предназначается для
инженеров — сотрудников научно-исследовательских инсти-
институтов, конструкторов, аспирантов технических учебных за-
заведений, физиков и механиков. Книга знаком it с основами
важного раздела современней математики и с его приложе-
приложениями.
[НЕ БОЛЕЕ 1И КНИГИ В \
\ ОДНИ РУКИ И2ХВД8£)
КОЛОХ2А
ОСЖОР^А
Редактор Д. А.Райков. Техн. редакгор с.Н. Ахлатв. подписано к печати ' 11/1
1947 г. 19 печ. л. 16,51 авт. л. 17,11 уч.-изд. л. 37.000 тип. зн. в печ. л. A OS391.
Тираж 8.0Э0 экз. Цена книги 8 р. 50 к. Переплет 1 р. 50 к. Заказ № 1311.
3-я типография «Красный пролетарий» треста «Полиграфкнига» ОГИЗа при
Совете Министров РСФСР. Москва, Краснопролетарская, 16.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 7
ГЛАВА 1
МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
§ I. Уравнения типа Фредгольма 9
1. Классификация интегральных уравнений 9
2. Метод последовательных приближений 14
3. Уравнения типа Вольтерра 21
4. Интегральные уравнения с вырожденным ядром 23
5. Общий случай уравнения Фредгольма . . .' 26
6. Системы интегральных уравнений 37
7. Применение приближённых формул интегрирования .... 38
8. Резольвента Фредгольма 42
9. Теоремы Фредгольма 45
10. Уравнения со слабой особенностью 49
§ 2. Симметричные уравнения (теория Гильберта-Шмидта) .... 51
11. Симметричные ядра. Скалярное произведение. . . . . . . 51
12. Ортонормированные системы и ряды Фурье . •. . ■. ■. . ■. 53
13. Основные теоремы о симметричных уравнениях ...... 59
14. Определение первого характеристического числа по способу
Ритца . 62
15. Определение первого характеристического числа через следы
ядра 67
16. Способ Келлога 73
17. Определение следующих характеристических чисел .... 78
18. Ядра, сводимые к симметричным 82
19.' Решение симметричных интегральных уравнений 82
§ 3. Сингулярные интегральные уравнения 84
20. Главное значение интеграла 84
2J. Ядра Коши и Гильберта . 89

4 ОГЛАВЛЕНИЕ --•«■»ч-~- - -
22. Формулы композиции сингулярных интегралов 92
23. Сингулярные интегральные уравнения с ядром Гильберта 95
24. Сингулярные интегральные уравнения с ядром Коши... 98
25. Случай незамкнутого связного контура 99
23. Случай незамкнутого несвязного контура 104
27. Системы сингулярных интегральных уравнений 106
глава и
ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
§ 1. Задача Дирихле и ее приложения 107
28. Задача Дирихле для односвязиой области 107
29. Пример: конформное, отображение внутренности эллипса
на круг 111
30. Задача Дирихле для многосвязных областей 115
31. Видоизменённая задача Дирихле и задача Неймана .... 120
32. Кручение сплошных и. полых стержней 122
33. Кручение стержня квадратного сечения 124
34. Задача обтекания 127
35., Обтекание двух эллиптических цилиндров 129
§ 2. Бигармоническое уравнение (применение функции Грина) . . 136
36. Проблемы, приводящие к бигармоническому уравнению. . 136
37. Комплексное представление бигармонической функции . . 140
38. Функция Грина и ядро Шварца 145
30. Сведение первой и третьей задачи к интегральному уравнению 152
40. Исследование интегрального уравнения . .. 157
41. Случай односвязной области 160
42. Софокусное эллиптическое кольцо .. 163
43. Внешность двух овалов -163
44. О сходимости ряда последовательных приближений.... 176
§ 3. Обобщённый алгорифм Шварца 184
45. Задача Дирихле для многосвязной области на плоскости:. 1Ь4
46. Случай трёхмерной области 190
47. Обобщённый алгорифм Шварца 192
48. Обтекание крыла аэроплана воздушным потоком вблизи по-
поверхности земли 197
49. Применение к задачам теории упругости 199
50. Эксцентрическое круговое кольцо, равномерно сжатое по
внешней окружности 206

"" ' ОГЛАВЛЕНИЕ - г 5
§ 4, Некоторые применения интегралов, аналогичных потенциалам 209
51. Применение интегралов типа Коши в плоской теории упру-
упругости (уравнения Н. И. Мусхелишвили) 209
52. Упругая плоскость с бесконечным рядом вырезов .... 216
53. Уравнения Лауричелла 222
51. Задача Дирихле для колебательного уравнения 228
55. Тепловые потенциалы и их применение 232
56. Сходимость последовательных приближений 238
§ 5. Применение интегральных уравнений к теории колебаний . . 241
57. Задача о собственных колебаниях струны 241
58. Колебание струны, плотность]? которой меняется по линей-
линейному закону 245
59. Функция влияния (функция Грина) 248
60. Крутильные колебания стержней. Учвт сосредоточенных
масс 254
61. Устойчивость сжатого стержня. (Продольный изгиб стержня) 256
§ б. Некоторые применения теории сингулярных интегральных
уравнений 259
62. Задача Гильберта 259
63. Задача Гильберта для шпуплоскости 262
64. Задача о соприкасании двух упругих полуплоскостей . . . 266
65. Давление ж;сткого штампа на упругую полуплоскость . . 273
66. Случай нескольких штампов 276
67. Смешанная задача теории упругости 278
68. Случай оЗласти, рационально отображаемой на круг. . . 283
69. Задача об обтекании дуги заданной формы 388
Литература 299
Предметный указатель 303

ПРЕДИСЛОВИЕ
За последние два-три десятилетия появилось много ра-
работ, в которых задачи, важные как теоретически, так и
для приложений, решаются методом интегральных урав-
уравнений. ♦
Достаточно, например, отметить работы по статической
теории упругости и по задаче обтекания в гидродинамике.
Известно также, какую важную роль играет метод интег-
интегральных уравнений в теории колебаний, в задачах об
устойчивости сжатых стержней и во многих других
задачах.
Мне кажется, что назрела необходимость в системати-
систематизации обширного материала- по приложениям интегральных
уравнений, который накопился в журнальной литературе
в указанный период. Попыткой такой систематизации и
является настоящая книга.
Книга состоит из двух глаь, не одинаковых по вели-
величине. Первая глава содержит основные факты теории
интегральных уравнений, а также методы приближённого
их решения. Особое место занимает в этой главе теория
сингулярных интегральных уравнений, содержащих глав-
главное значение интеграла. Достаточно хорошо разработан-
разработанная, имеющая многочисленные и весьма плодотворные
приложения, она, тем не менее, до сих пор не нашла
своего места в курсах интегральных уравнений. Я счёл
необходимым дать здесь краткое изложение основ этой
теории.
Значительная часть первой главы содержит вещи, из-
излагаемые обычно в курсах интегральных уравнений. Как
правило, в таких случаях я излагаю только результат,
отсылая читателя за доказательством к соответствующим
курсам.
Везде, где это представлялось возможным, результаты
теории иллюстрируются численными примерами.

8 предисловие
Вторая глава, значительно превосходящая первую ПО
объёму, посвящена приложениям. Перечень задач, решае-
решаемых во второй главе, ясен из оглавления. Здесь отмечу,
что я остановил своё внимание преимущественно на за-
задачах теории упругости и гидродинамики. В этом сказа-
сказались не только личные вкусы автора, но и то, что в этих
двух областях приложения интегральных уравнений наи-
наиболее многочисленны. Далее, я ограничиваюсь преиму-
преимущественно линейными и плоскими задачами. Метод интег-
интегральных уравнений часто упрекают, и не без известных
оснований, в недостаточной эффективности. Этот упрёк
особенно справедлив по отношению к трёхмерным зада-
задачам. Желая ограничиться теми случаями, когда возмож-
возможно получить эффективное решение, я был вынужден от-
отказаться от рассмотрения пространственных задач.
За всякие указания недочётов буду весьма признате-
признателен.
Ленинград
Июль 1944 г. С. Михлин

ГЛАВА I
МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ
УРАВНЕНИЯ
§ I. УРАВНЕНИЯ ТИПА ФРЕДГОЛЬМА
1. Классификация интегральных уравнений. Многочис-
Многочисленные задачи механики, математической физики и тех-
техники приводят к рассмотрению уравнений вида
A)
;r tp (л:) — неизвестная функция. Эти уравнения называ-
называются интегральны ми, так как неизвестная функция содер-
содержится в них под знаком интеграла.
Мы не будем здесь приводить этих задач, так как
большое их число будет разобрано во второй главе,
н приступим непосредственно к изучению самих урав-
уравнений.
Входящие в интегральное уравнение A) известные эле-
элементы носят следующие названия: функция f(x) называ-
называется правой частью, функция К(х, s) — ядром, и числен-
численный множитель X —параметром уравнения. Вводить па-
параметр не обязательно; его можно всегда сделать pain
ным единице, если обозначить произведение \К{х, s) че-
ез Kt (x, s) и рассматривать Кг {х, s) как новое ядро.
"ы увидим, однако, что введение этого параметра ока-
оказывается очень полезным при изучении интегральных
уравнений.
Мы будем считать, что пределы а и Ъ — конечные по-
постоянные.
Заметим, что параметр X и функции <р(лг), АГ(дг, s) и /(*)
могут принимать как действительные, так и комплексные
значения.
й

10 I. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Характер интегрального уравнения в существенном
определяется свойствами его ядра. В приложениях часто
приходится иметь дело с непрерывным ядром, но встре-
встречаются и разрывные ядра. Мы будем рассматривать сле-
следующие три типа интегральных уравнений:
1. Если ядро К(х, s) непрерывно при а<х<Ь и
a<s<& или, по крайней мере, если разрывы ядра таковы,
что двойной интеграл
а «I
имеет конечное значение, то мы будем называть уравне-
уравнение A) уравнением типа Фредгольма,
2. Если ядро имеет вид
Л (ЛГ, S) — ■ . „и1 ,
где Н(х, s) ограничена, а « — постоянная, удовлетворяю-
удовлетворяющая неравенствам
0<<1
то мы будем называть уравнение A) уравнением со сла-
слабой особенностью.
3. К третьему типу интегральных уравнений мы при-
придём, если будем рассматривать ядра вида
К(х ?у Л(х, s)
*\х, s)— x_s ,
где числитель Л (х, s) — дифференцируемая функция от
х п $1). В этом случае интеграл
входящий в уравнение A), расходится. Однако, при весь-
весьма широких предположениях относительно функции <р(лг)
*) Это допущение можно заменить менее сильным,

§ 1. УРАВНЕНИЯ ТИПА ФРЕДГОЛЬМА I 1
существует главное значение этого интеграла, т. е. предел*):
(х — ш Ъ i
\ К(х, s)v(s)ds+ \ K(x, s)y(s)ds I.
а + /
Если теперь в уравнении A) понимать расходящийся ин-
интеграл в смысле его главного значения, то мы приходим
к третьему типу интегральных уравнений, которые мы
будем называть сингулярными.
Приведём несколько примеров.
а) Уравнение
о
— типа Фредгольма, так как его ядро К(х, s) = a:* + s2 не-
непрерывно при 0<лг<1, 0<s«^l. В этом уравнении
б) Уравнение
i
<р (х) - | In|х - s| <р(s) ds=f(x)
— также фредгольмовское, так как, хотя его ядро терпит
разрыв при x—s, ио двойной интеграл
i i
о
конечен.
в) Рассмотрим уравнение
Пусть f(x) определена и, скажем, непрерывна в про-
промежутке 0<лг<а. Тогда наше уравнение имеет смысл
рассматривать в этом промежутке. Оно подходит под
х) Подробнее о понятии главного значения интеграла см. § 3,
пп. 20 и 21.

12 I. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ
общий вид (Г), хотя-это и не так очевидно,'как в первых
двух примерах. Чтобы убедиться в том, что уравнение (*),
действительно, подходит под тип A), положим
*<*• *) = U ш>х.
Теперь уравнение (*) записывается в виде A):
Уравнение (*) — со слабой особенностью; оно будет
одновременно и фредгольмовским, если 0<а<у, так
как тогда двойной интеграл
00
конечен.
г) Уравнение
2«
в котором интеграл понимается в смысле его главного
значения, — сингулярное, так как его ядро можно пред-
представить в виде
а функция
непрерывна и дифференцируема в промежутке 0<л:<2я.
По поводу нашей классификации необходимо заметить
следующее. Прежде всего, она —неполная; можно ука-
указать многие типы интегральных уравнений, не подходя-
подходящие под перечисленные три. Мы, однако, ограничиваемся
только этими тремя, как особо важными для прило-
приложений. Далее, различие между уравнениями типа Фред-

I I. УРАВНЕНИЙ ТИПА ФРЁДГОЛЬМА 13
голъма и уравнениями со слабой особенностью не "очень
существенно. За некоторыми исключениями, важнейшие
результаты теорий совпадают для уравнений обоих типов.
В ряде случаев приходится рассматривать интеграль-
интегральные уравнения, в которых неизвестная функция опреде-
определена не на отрезке оси х, а на некоторой кривой, плоской
или пространственной, или на области, двух- или трёх-
трёхмерной. Первый случай не представляет ничего нового:
достаточно в качестве независимой переменной ввести
длину дуги кривой или иной параметр, определяющий по-
положение точки на кривой, и мы приходим к рассмотрен-
рассмотренному уже типу уравнений.
Если неизвестная функция определена в /г-мерной об-
области й (в случаях, интересных для приложений, я обыч-
обычно равняется двум или трём, вообще же п может быть
любым), то вместо A) мы будем иметь дело с уравнением
<Р (М) - X J К(М, Mt) z (Mk) dMt=f(M), B)
где,Л! и Мх — точки области Q, a dMx —элемент области.
Попрежнему будем называть I параметром, функцию
К(М, /И,) —ядром и /(ЛГ) — правой частью интегрального
уравнения B). Классифицировать уравнения типа B) мы.
будем следующим образом.
Если интеграл
B(М, Mi)\dMdMl
имеет конечное значение, то мы отнесём уравнение B) к
типу Фредгольма. В частности, уравнение B) будет фред-
гольмовским, если ядро непрерывно или хотя бы огра-
ограничено.
Обозначим через г расстояние между точками М и М„
Мы отнесём уравнение B) к типу уравнений со слабой
особенностью, если его ядро имеет вид
где Н(М, М^) — ограниченная функция и of лежит в пре-
пределах 0<а<л.

14 I. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ
Можно дать определение и сингулярного интегрально-?
го уравнения с несколькими независимыми переменными.
Мы этого делать не будем, потому что такие уравнения
менее интересны для приложений.
Интегральное уравнение называется однородным, если
его правая часть тождественно равна нулю. Однородное
уравнение, следовательно, имеет вид
ds=0, C)
а
или, соответственно,
Ч(М)-1$К(М, MJytMJdM^O. D)
я
Если правая часть не равна тождественно нулю, то урав-
уравнение называется неоднородным.
Теория, а также практические методы решения урав-
уравнений Фредгольма и уравнений со слабой особенностью
полностью совпадают для случаев как одной, так и не-
нескольких независимых переменных. Мы будем поэтому
рассматривать в ближ*айших параграфах только уравнения
с одной независимой переменной. Сформулировать полу-
полученные результаты для случая нескольких независимых
переменных не составит никакого труда.
Уравнения вида A) и B) называются интегральными
уравнениями второго рода, в отличие от уравнений первого
рода, которые имеют вид
$K(x,sL(s)ds=f(x), E)
а
или, в случае нескольких переменных,
J" К (Ж, MJ ? (Mt) dMt =f(M). F)
а
Большое значение для приложений имеют сингулярные
уравнения первого рода; уравнения Фредгольма первого
рода в этом плане значительно менее интересны, и мы
ими не будем заниматься.
2. Метод последовательных приближений. Приступим к
решению интегральных уравнений. В пунктах 2—9 этого

§ 1. УРАВНЕНИЯ ТИПА ФРЕДГОЛЬМА 15
параграфа мы будем рассматривать только уравнения тапа
Фредгольма.
Будем искать решение интегрального уравнения
4(x)-lfK(x,s)<t(s)ds=f(x) A)
а
методом последовательных приближений. С этой целью
перепишем уравнение A) в виде
4(x)=:f(x) + \fK(x,sL(s)ds. B)
а
В качестве нулевого приближения возьмём правую
часть уравнения:
<р0 (*)=/(*).
Нулевое приближение подставим в правую часть урав-
уравнения B) и полученный результат примем за первое при-
приближение:
Первое приближение опять подставим в правую часть
уравнения B), и т. д. Вообще, если получено л-е при-
приближение Чп(х), то за (л+1)-е приближение мы примем
результат подстановки уп (л;) в правую часть уравнения B).
Таким образом, последовательные приближения опреде-
определяются рекуррентным соотношением
Vi (*) =/(*) + * J" K{x,s) ?„ (*) ds. C)
a
Если последовательные приближения равномерно стре-
стремятся к некоторому пределу, то этот предел и есть ре-
решение уравнения B); если этот предел не существует, то
применять метод последовательных приближений, очевид-
очевидно, не имеет смысла.
Допустим, что ядро ограничено, т. е. существует такая
постоянная А, что
\K(x,s)\<,A

16 I. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ
при всех значениях х и s. Нетрудно доказать тогда, что
последовательные приближения равномерно сходятся при
всех комплексных значениях X, лежащих внутри круга
комплексной плоскости X, Справедливо, однако, более
сильное предложение:
Теорема. Если однократный интеграл
ограничен некоторой постоянной С1 при всех значениях х:
f\K*(x;s)\ds<Clt E)
а
то последовательные приближения равномерно сходятся при
всех значениях I, лежащих внутри круга
|Х|<1; B* = \i\K>(x,S)\dxds. F)
Предел последовательных приближений есть решение уравне-
уравнения A), и это решение — единственное.
Доказательство этой теоремы мы приведём несколько
ниже.
- Если интеграл E) неограничен, но двойной интеграл
ь ь
$\'\K*(x,s)\dxds
а а
имеет конечное значение, то последовательные приближе-
приближения хотя и могут расходиться в обычном смысле, сходят-
сходятся, однако, в некотором обобщённом смысле (так назы-
называемая сходимость в среднем), и их обобщённый предел
даёт решение, и притом единственное, уравнения (lj.
Рамки- нашей книги не позволяют остановиться на этом
подробнее.

S t. УРАВНЕНИЯ ТИПА ФРЕДГОЛЬМА • 17
Изучим дет алчнее структуру последовательных при-
приближений. Очевидно,
tpj (x)=f(x) + l$K(x, s)f(s) ds.
a
Далее
¥.(■*)=/(■*)■
, s)f(s)
В двойном интеграле изменим порядок интегрирования.
Обозначая для краткости.',
получим:
rfs + Xs J К, (jc, s)/(s)ds.
а
Точно так же найдём:
+ l'SKi(x,s)f(s)ds,
где
и вообще
%(*)=№+ 2 Х«|*Ж(*.*)/(*И*; G)
т=\ а
Кт {х, s) определяется рекуррентным соотношением
K^x.s^Kfas); Km(x,s) = SK(x,t)Km_l(t,s)dt. (8)
■ а
2 С. Г. Л^ихлин

1 8 I. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ
Функция Кт (лг, s) называется т-м итерированным ядром
по отношению к данному ядру. Можно легко доказать,
что итерированные ядра удовлетворяют соотношению бо-
более общему, чем (8):
Кт (*, s) = J" *,(*, 0 **-,(', *) Л. (9)
где г —любое натуральное число, меньшее т.
Допуская, что последовательные приближения сходят-
сходятся, и переходя в G) к пределу, мы получаем решение
интегрального уравнения A) в виде
'?(*)=/(*)+ f VfKm(x,s)ns)ds. A0)
т=Х а
Выясним быстроту сходимости последовательных при-
приближений. Обозначим через Ст верхнюю грань интеграла
\\Km(x,s)?ds
а
и найдём оценку величины Ст. В формуле (9) положим
г=т~ 1; тогда
1
Кт(х,з) = 1ктл{х, t)K{t, s)dt. (8t)
а
Применим к написанному интегралу неравенство Шварца:
IК (х, 8) |» < / | Km.t (х, t) \4t\\ K(t, s) |« dt.
a a
Проинтегрировав это неравенство по s, получим:
Л *«I*, s)\*ds<B* J|**-,-{х, t)\4t<B*Cm_{.
а а
Беря верхнюю грань интеграла слева, найдём:
сп<&ст_%.

$ t. УРАВНЕНИЯ ТИПА ФРЕДГОЛЬМА 19
Из этого рекуррентного неравенства непосредственно
следует искомая оценка:
Ся<вР**С1в A1)
Введём в рассмотрение величину
o-V
A2)
К общему члену ряда A0) применим неравенство Шварца:
fKJx,s)f{s)ds
Отсюда следует, что общий член ряда A0) меньше, чем.
величина
так что ряд A0) сходится быстрее прогрессии со знамена-
знаменателем \1\В. Из сказанного вытекает справедливость сфор-
сформулированной выше теоремы.
Если в ряде A0) ограничиться членами, содержащими
степени X до л-й, то, как легко видеть, ошибка не будет
превосходить величины
Рассмотрим для примера уравнение
Здесь Х=0,1, В——р=г, С1 = -^, и последовательные
приближения сходятся. Далее, очевидно, D = l. Найдём
приближённое решение, ограничиваясь двумя приближе-
приближениями. При этом в ряде A0) остаются три члена, и ошибка
не превосходит
4
2*

20 1. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Имеем: • ■ •,
«Ре (*)=•!.
— ! +зббо ^ 200Х" 6000 24000'
Если мы положим приближённо <р (а:) = <р, (*), то с погреш-
погрешностью, меньшей чем 0,0001, будем иметь:
Y W — ! + 3000 Х 200 * 6000 + 24000'
Изменим в ряде A0) порядок суммирования и интегри-
интегрирования1). Тогда
> Ь со
4(x)=/(x) + Sf(s) 2 \«Km(x,s)ds.
а т= 1
Введём обозначение
Г(х, *;^>= S^*^^,*). О4)
т — \
Функция Г(аг, s; l) называется резольвентой уравнения
A). С её помощью решение записывается в особо компакт-
компактной форме: ■
<Р (*) = Л*) + ^ ff(s) t (x, s; I) ds. A5)
Эта формула позволяет сразу написать решение инте-
интегрального уравнения A), если предварительно вычислена
его резольвента.
Пользуясь формулами (8) и (8Д легко доказать, что
резольвента удовлетворяет двум интегральным уравнениям:
s; l)dt, A6)
■ . ■ а
. a; \) = K(x,s)+\fK(t, s)T(x, t; \)dt. A7)
х) Законность этой перестановки легко доказать.

§ 1. УРАВНЕНИЯ ТИПА ФРЕДГОЛЬМА '21
До сих пор резольвента была определена при |^-1 <-д •
Введём теперь следующее определение:
Будем говорить, что при данном X интегральное урав-
уравнение A) имеет резольвенту Г (at, s; X), если существует
функция Г(х, s; X), удовлетворяющая уравнениям A6) и A7).
Если резольвента существует при некотором X, то при
этом X уравнение A) имеет единственное решение, и это
решение.даётся формулой A5). Доказательство этой тео-
теоремы читатель может найти в курсах интегральных урав-
уравнений, указанных в списке литературы в конце книги.
В п. 8 мы приведём выражение резольвенты, годное
для всех значений X, для которых резольвента существует.
В заключение сделаем следующее.замечание практи-
практического характера. Метод последовательных приближений
приводит к рядам, которые, как правило, не суммируются
в конечном виде. На практике метод последовательных
приближений может дать только приближённое решение
интегрального уравнения; как правило, в тех случаях,
когда ряд A0) удаётся просуммировать в конечном виде,
оказывается возможным с помощью того или иного спе-
специального приёма решить интегральное уравнение, не при-
прибегая к общий теории.
3. Уравнения типа В°льтерра. Некоторые задачи матема-
математической физики приводят к рассмотрению уравнений
Фредгольма частного вида, называемых уравнениями Волъ-
терра. Так мы будем называть уравнения, ядра которых
ограничены и при s>x тождественно равны нулю. В этих
условиях в интеграле
fK(x,s)?(s)d,
а
подинтегральная функция равна нулю при at<s<6, и
указанный интеграл равен
$K(x,sL(s)ds.
а
Таким образом, интегральное уравнение типа Вольтерра
имеет вид:
>t(x)-lfK(x,s)<t(s)ds=f(x). A)

22 '■ Методы решений интегральных уравнений
Важной особенностью этих уравнений является то, что для
них метод последовательных приближений приводит к схо-
сходящемуся ряду, каково бы ни было значение X.
Можно рассматривать уравнения Вольтерра, ядра кото-
которых не ограничены, но имеют слабую особенность. Эти
уравнения имеют вид
B)
Как нетрудно показать, для этих уравнений последователь-
последовательные приближения также сходятся при любом X, хотя и не-
несколько медленнее.
В качестве примера рассмотрим уравнение
f(X). C)
Составим итерированные ядра и резольвенту. Имеем:
X
K.t (х, s) = J" е*-* et-sdt = {x- s) ex~s.
s
Точно так же найдём:
и вообще
Теперь
oo
= I
Эта формула верна при 5<аг; при s^>x, очевидно.
Г(*. s;k)-O.
По формуле A5) п. 2 получаем решение в виде
E)

§ 1, УРАВНЕНИЯ ТИПА ФРЕДГОЛЬМА 23
Ряд последовательных приближений удалось просуммиро-
просуммировать в конечном виде.
Заметим, что интегральное уравнение C) сводится к
очень простому дифференциальному. В самом деле, диф-
дифференцируя C), мы получим:
j-^(s)ds=,f(x). F)
Исключая интеграл из C) и F), получим линейное диффе-
дифференциальное уравнение первого порядка с неизвестной (р (а:):
Интегрируя его при начальном условии (Р@)=/@I), мы
придём к решению E).
Уравнения, сходные с C), но значительно- более слож-
сложные, Вольтерра рассматривал в своих работах по теории
наследственности.
4. Интегральные уравнения с вырожденным ядром.
Существует очень важный класс интегральных уравнений,
которые просто решаются путём сведения к системе алге-
алгебраических уравнений. Будем называть ядро вырожденным,
если оно представляет собой сумму конечного числа сла-
слагаемых, каждое из которых, в свою очередь, есть произ-
произведение двух множителей, причём один из них зависит
только от х, а другой — только от s. Вырожденное ядро
имеет, следовательно, вид
fC(x,s) = ^at(x)bl(s), A)
а интегральное уравнение с вырожденным ядром представ-
представляется в следующей форме:
<К*)-х 2 «,(*)J4-(*)?(*)*=/(*)• B)
г =г 1 а
Функции at{x) можно считать линейно независимыми; в
противном случае число слагаемых в A) можно умень-
уменьшить. Точно так же можно считать независимыми и функ-
функции bt(s).
J) Мы получаем это начальное удловие, положив в C) х = 0,

24 '• МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ
Интегральное уравнение с вырожденным ядром решает-
решается" следующим образом. Обозначим
C)
Величины сг суть постоянные, неизвестные, так как
неизвестна функция <р(*). Из уравнения B) мы получаем
теперь
?(*)=/(*)+* 2'«««(*),. D)
2
и дело сводится к определению постоянных ег. С этой
целью подставим выражение D) в интегральное уравнение
"B). После простых преобразований мы получим:
Так как функции «Д*) линейно независимы, то из послед-
последнего равенства следует:
2 c4a4(*)lde=0; /=1,2,..., л.
Обозначим ещё для краткости
а
Тогда
E)
Для определения постоянных с, мы получили систему
линейных алгебраических уравнений. Решив её, мы тем
самым решим и уравнение B); его решение даётся фор-
формулой D). Наоборот, если система E) неразрешима, то ие
имеет решения и интегральное уравнение.

§ t. УРАВНЕНИЯ ТИПА ФРЁДГОЛЬМА
25
Определитель системы E) равен
1 — Ха„ — Ха,4 .
D(X) =
*1л
~~~ h'-t л
— )лп
F)
Это — полином от X степени не выше я; он не равен
тождественно нулю, так как при Х=.О он обращается в
единицу. Отсюда следует, что существует не более я раз-
различных значений X, при которых О(Х) = 0. При этих зна-
значениях X система E), а с ней и интегральное уравнение B),
либо неразрешима, либо имеет бесчисленное множество
решений. При всех остальных значениях X интегральное
уравнение разрешимо и имеет единственное решение.
Заметим, что систему E) можно написать, не прибегая
к подстановке выражения D) в уравнение. Достаточно
умножить равенство D) на ak(x), k=\, 2,..., л, и проин-
проинтегрировать в пределах от а до Ь. Изменив обозначение
/ на к и наоборот, мы получим систему E).
Пример. Пусть дано уравнение
¥ (
-*J С*
Его ри^^«.
имеет вид
*)¥(*)=/(*).
).
Для определения постоянных ct и с2 мы по указанному
выше методу получаем систему:
~~2)С1~
где

26' I. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Определитель этой системы, равный —j^—^ +" *» обращает-
обращается в нуль прн двух значениях X:
Если X отлично от lt и Ха, то наше уравнение имеет един-
единственное решение:
1 $
При Х=Х4 или l—Xi наше интегральное уравнение; вооб-
вообще говоря, неразрешимо. Читатель легко найдёт условия,
которым следует подчинить функцию/(я), чтобы решение
существовало и при этих исключительных значениях ).,
а также вид общего решения.
Рассмотрим ещё уравнение
2 к
<р (х) — X f sin a: cos s 'f (s) ds =f(x).
Полагая
2,x
J* <f (s) cos sds = c,
0
имеем:
Умножим последнее равенство на cos а: и проинтегри-
проинтегрируем в пределах от 0 до 2ir. Мы получим тогда
с — J f(x)cosx4x
и, следовательно,
f (а:) =/(дг) + X J sin je cos sf(s) ds.
0
5. Общий случай уравнения Фредгольма. Решение урав-
уравнения Фредгольма в общем случае можно свести к реше-
решению уравнения с вырожденным ядром. Это можно выпол-
выполнить многими способами. Пусть, например, ядро К(х, s)

§ 1. УРАВНЕНИЯ ТИПА ФРЕДГОЛЬМА 27
непрерывно. По известной теореме Вейерштрасса, его
можно аппроксимировать с любой степенью точности
некоторым полиномом Р (х, s). Выберем этот полином так,
чтобы
\K(x,s)-P(x,s)\<{ll{bl_ay A)
Обозначим
K(x,s)~P(x,s) = lC(x,s),
так что
К(х,*)=1С(х,8)+Р(х,8); \К'(х,в)\<Сщ~г^. B)
Перепишем теперь интегральное уравнение
В;-виде
S !ds. C)
Выражение в правой части C) будем временно считать
известным. Тогда уравнение C) можно рассматривать как
интегральное уравнение с ядром К' (х, s), параметром X
и правой частью
ь
f(x)+lfP(x,8)<t(s)ds.
Из B) видно, что ядро уравнения C) ограничено и что
имеет место неравенство D) п. 2. В таком случае урав-
уравнение C) можно решить методом последовательных при-
приближений; существует резольвента
.'). Кщ(х, ^ — итерированные ядра, полученные из ядра К'{х, ?)..

28 •• МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ
и решение уравнения B) можно написать по формуле
A5) п. 2:
+X /г (*, t; X) [ f{t) + X JЯ (/, s) f (S) rfsl Л.
Введём обозначения:
/W + ^ГГ'(^, t\l)l{t)dt=F(x), D)
a
P (л:, s) i X JГ (x, t- /.)Я (<, s)dt=K\x, s). E)
Тогда последнее равенство принимает вид
Это — интегральное уравнение с неизвестной '-р (s), эквива-
эквивалентное уравнению C). Докажем, что его ядро K"(x,s) —
вырожденное. В самом деле, Р (х, $) — полином. Располо-
Расположим его по степеням а::
Далее,
Введя теперь обозначение
а
мы можем написать:
и ядро К"(х, s)~ действительно вырожденное. Способом,

? 1. УРАВНЕНИЯ ТИПА ФРЕДГОЛЬМА- 29 *
указанным в п. 4, мы сведём интегральное уравнение F)
к системе линейных алгебраических уравнений.
Если ядро К(х, s) —разрывное, то воспользоваться тео-
теоремой Вейерштрасса невозможно. В этом случае мы мо-
можем поступить следующим образом. Напишем разложение
ядра К(х, s) в двойной ряд Фурье, например, по косину-
косинусам кратных дуг:
If [у с 1 -» г > ■ А СС\ С ———■ Cf\<Z т — . I У I
/,k=i ° " o — a
Мы не предполагаем при этом, что ряд Фурье схо-
сходится. Обозначим теперь
я
K{x,s)-P(x,s)^I<'(x,s). (9)
Опять перепишем данное интегральное уравнение в виде C)
и будем рассматривать правую часть,, как известную. Дот
кажам, что уравнение C) разрешимо по методу последо-
последовательных приближений, если только я достаточно велико.
Ядру K'(x,"s) отвечает следующий'ряд Фурье:,
л оо
A cos tsx cos—*- +
2 l^cos^fos^
оо оо
jU ik b — a b-—a
Введём обозначение
b b

30 >• МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
В силу равенства Парсеваля,
(я ОС СО Л '
V V |И 1«-4- V Vij iij-
+ 22 iA*r}. do)
Ряд A0) есть остаток сходящегося ряда
и при я достаточно большом его сумма может быть сде-
сделана сколь угодно малой. Выберем я так, чтобы выпол-
выполнялось неравенство
. По теореме п. 2 уравнение C) разрешимо методом по-
последовательных приближений. Дальнейшие рассуждения
повторяются без изменений; функции at(x) н bt(s) опре-
определяются формулами:
а
п
Указанные два способа не являются, конечно, един-
единственно возможными; мы сведём общее уравнение Фред-
гольма к уравнению с вырожденным ядром, если каким-
либо способом разобьём ядро на два слагаемых:
' К(Х,-*)=Р(Х,8)+1?(Х,8), (И)
из которых первое имеет характер вырожденного ядра»
а второе удовлетворяет неравенству .: ;
ь ь

§ 1. УРАВНЕНИЯ ТИПА фрЕДГОЛЬМА 31.
На практике изложенный нами приём применяется в
такой упрощённой форме.
Пусть разбиение A1) таково, что
f\!C(x,8)\4s<C,- A2)
а
где С —достаточно малая постоянная. Допуская, что дан-
данное интегральное уравнение имеет решение, мы видим,
что интеграл
также очень мал. Действительно, в силу неравенства
Шварца,
b
ь ь
<C'S\?{S)\ds.
а
Отбросив эту малую величину, мы вместо уравне-
уравнения C) сразу получаем уравнение с вырожденным ядром:
ь
а(х) ХГР(лг s)ф(s)ds=f(x). "' A3)
а
Дело, следовательно, сводится к тому, что мы, не меняя
правой части уравнения, заменяем в нём ядро близким
вырожденным, причём степень близости ядер определяется
величиной С.
При этом возникает вопрос: как влияет на решение
уравнения такая замена ядра? Ответ на этот вопрос даёт
следующая
Теорема. Пусть уравнение
ь
имеет решение, кгкова бы ни былх прлвзя чхстъ f(x). Пусп
Рп(х, s), я = 1, 2,... —последовательность ядер, таких, что

32 !■ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯ
интегралы .
а
стремятся к нулю при п—*<х> равномерно в промежутке
а<х<6. Тогда
а) при п достаточно большом^уравнения
при
разрешимы;
б) функции Чп(х) равномерно стремятся к
п — оо в промежутке а < х < Ъ.
■ ■' Рассмотрим следующий пример. Решение задачи Ди-
Дирихле для конечной плоской области, ограниченной кон-
контуром L, мокет быть све-
у fv дено'к решению интеграль-
интегрального уравнения1)
Черт. 1.
=/@- 04)
Здесь / и т—значения па-
параметра, определяющего по-
положение точки на кривой L;
г—расстояние между точ-
ками, отвечающими этим
значениям параметра; v—
внешняя нормаль к L в точке т; dz—элемент дуги Ц
наконец, \l (t) — неизвестная, /(/) —заданная функция.
В главе II будет доказано,; что уравнение A4)-имеет
решение, какова бы ни была функция f{t), :
Решим приближённо уравнение A4), предполагая, что
контур—эллипс с полуосями а и Ь (черт. 1). Его пара-
параметрические уравнения суть
y = bsmv,
параметр т меняется в пределах от 0 до 2тг. Вычислим
*) См. гл. II, п. 28.

> 1. УРАВНЕНИЯ ТИПА ФРЕДГОЛЬМЛ 33
ядро уравнения. Прежде всего
г* = a* (cos t — cos т)* + b%. (sin t — sin т)* =
=4а»sin*
где s = — эксцентриситет эллипса. Далее,
cos (v, r)da = [cos (v, x) cos (r, x) + cos (v, y) cos (r, y)] dj —
= — [a (cos t—cos i)dy — b (sin t — sin т) dx] =
= — [cos т (cos t — cos t) ■+• sin t (sin t—sin т)] di=
= — sin* —2~" "T-
Теперь
cos(v, r) . b_ rfr
КОЛОХЗА
OCKOP^A
= -i( 1 + e» Cos»-^±1 + 6»cos» '-+- + .. ). A5)
Ограничиваясь в написанной прогрессии конечным числом
членов, мы тем самым заменим ядро .нашего уравнения
вырожденным. После этого решить уравнение уже не-
нетрудно. Мы проведём дальнейшие вычисления, предпо-
предполагая, что эксцентриситет мал> так что можно ограни-
ограничиться членами, содержащими sV
Нам предстоит, таким образом, решить уравнение
* гг.
* W + i ^ (х +8*cos* "Ч) ^ W dx =^W-
о
Заменив cos*—£— через -*[l +cos(^ + t)], получим:
2lt
V- @ + J (« + Р cos t cos t—p sin /sin t) jt (t) dx —f(t). A6)
3 С. Г. Михлан
[HE БОЛЕЕ 1И КНИГИ 8
7 ппии вухи и ух&па^

34 I. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯ
Здесь мы обозначили ■■"■■''
Из A6) следует, что
..jt(/)=/W-cl-cicos/-cista/,-- A7)
где
2ft ■ 2л . . . 2*
Умножив A7) соответственно на а, на {5cost и на— ^sinт
и проинтегрировав в пределах от 0 до 2к, мы получим
следующие уравнения для неизвестных ct, сг, с3:
где
Л =« Г/ (*) Л; /., = р J7 (т) cos f Л; /. = - } J
о о " - ' т о
Отсюда находим: - v .
г; Нетрудно получить, пользуясь тем же приёмом, и бо-
более точное решение. Достаточно в разложении ядра со-
сохранить более высокие степени е. Можно получить.и точное
решение, но в виде бесконечного ряда. Чтобы получить
это решение, поступим следующим образом. Разложим
функцию :■-
: 1 — £* COS2 9
в ряд Фурье. Эта функция —чётная; кроме того, она не
изменяется при замене 6 на 6 + п. Отсюда легко заклю-
заключить, что её ря£ Фурье имеет вид
оо
ft=O

§ 1; УРАВНЕНИЯ ТИПА ФРБДГОЛЬМА 3&
ИЛИ
оо ос
1 _ . Ч^ ак -ПЬй .
*=0 *=0
Отсюда, по известным формулам,
. • .. ■ : ^ •• -.2» ;..;:: . ------ '.
i г db '••■■■ • \
2п J 1 — £2 Cos2 j V 1 — j2
8'"
_ 1 f-
Чтобы вычислить последний интеграл, положим е" = г.
После элементарных преобразований получим:
~о О./ V'
т
где у—окружность |г|==1. Внутри у лежат полюсы под-
иитегральиой функции ~
Вычеты в полюсах г1 и £<, одинаковые и равны
£2*
Отсюда находим:
Искомое разложение имеет вид:
ОС

36 I. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ
Теперь
ЦJf 1 + 2?
2
oo
ifl+2 5 (тггтг) S*(cos kt cos fcT -sin kt sn *TI'
*=I
где с есть половина фокусного расстояния эллипса, и наше
интегральное уравнение принимает вид
2л СО
i
0 ft=l
00 2.
к
2 (Т* s]ti kt f ^(тM!п kzdz=f({). B0)
2 (ТТТТ f
fts=0 О
Обозначим
2*
: = A0, — \ ц(т)со$АтЛ =Ак,
.0 • ... .
" ■ 2«
Тогда, как это следует из B0),
оо
*=1
Умножая B1) соответственно на -^, со^ и Sl" - и
интегрируя, найдём:
F А (« + »>8*П д

§ I. УРАВНЕНИЯ ТИПА ФРЕДГОЛЬМА 37
где через Fo, Fk и F'k обозначены коэффициенты Фурье
функции /(*):
5 и' Ь I B3)
l
В случае окружности с=0, и решение имеет вид
CO'*. .B4)
Проще, однако, получить это последнее решение не-
непосредственно. Действительно, для окружности а = Ь,
£==0, и уравнение A4) превращается в следующее:
/. B5)
о
Отсюда . . •
,- ■ 2п
V- @ «/(О - е, -.; « «-^'J |i (х) Л..
°
Интегрируя последнее равенство в пределах @, 2гс),
найдём:
2»
что и приводит нас к формуле B4).
б. Системы интегральных уравнений. В приложениях
часто встречаются системы интегральных уравнений.
Такая система имеет вид
Теория, а также методы -решения систем интегральных
уравнений—те же, что и для одного, уравнения. лТак>

38 '• МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
последовательные приближения сходятся при малых X,
в частности, если I удовлетворяет неравенству
max 21/ ЛК*(*>*)Р<^Л B)
I <i'«а л к=1 f a a )
и интегралы
ограничены. Если ядра Kih{x, s)—вырожденные, система A)
сводится к системе линейных алгебраических уравнений.
В общем случае система (,1) сводится к системе с вырож-
вырожденными ядрами посредством методов, изложенных в п. 5.
Систему интегральных уравнений можно преобразовать
в одно уравнение следующим образом. Будем рассмат-
рассматривать переменные х и s, изменяющиеся а промежутке
,nb — (/г — \)а), длина которого В и раз превосходит
длину начального промежутка (а, Ь), Определим функций
Ф(х), F{x), K(x,$) в указанном промежутке формулами:
если (i-X)b-(i-2)a<.x<ib-{i-\)a,
если (i-l)*-(i-2)a<*<«»-(/-1)а,
К(х,8)= . , ... ....■-.
)
если
: При таком определении сястема A) принимает вид
одного уравнения . : . ... ..... :.v
Ф (*) - X J' 'к (х, з)Ф (s) ds = F(x). C)
7. Применение приближённых формул интегрирования.
Замена данного ■ ядра ;вы£ожд.ецны.м прзмлле/г *айлж ре*
$Щ -». .виде / фермудн, а;тоднр'4:, во. доем -

§ I. УРАВНЕНИЯ ТИПА ФРЁДГОЛЬМА 39
и лри любом значении параметра ).. Серьёзным
недостатком итого способа является необходимость вы-
вычисления квадратур, иногда довольно сложных и в зна-
значительном чясле4 Этот же недостаток присущ и методу
последовательных приближений. Мы изложим здесь метод
решения интегральных уравнений, ие требующий вы-
вычисления квадратур.
Пусть в уравнении
ядро К(х, s) и правая часть/(*) непрерывны при а
<<&. Тогда у(х) также непрерывна. Интеграл
а
заменим конечной суммой по одной из приближённых
формул механических квадратур, например, по формуле
прямоугольников:
'2K (х, хк) <р (хк),
где
В приближённом равенстве
ft=l
заменим х через хи х,, ..., хп. Мы получим тогда си-
систему линейных алгебраических уравнений с неизвестными
()()
\|/)*=Д*,)> /=1,2,..., я. B)
Решив эту систему, мы найдём приближённые значе-
значения неизвестной <р(*) в точках хи х1% ...,х„. Воспользо-

40 1. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ
.вавшись какой-либо из -формул интерполирования', -ща
получим приближённое выражение у(х) во всём проме-
промежутке. ' "~
Проще всего, впрочем, получить приближённую фор-
формулу из самого интегрального уравнения: заменив в нём
интеграл конечной суммой, получим приближённое зна-
значение
л
<Р (*)«*/(*) + ХЛ 2 * (х, xk) f (xk).
Вместо формулы прямоугольников можно, конечно,
воспользоваться и другими формулами квадратур. Зна-
Значительно более точные результаты получаются при поль-
пользовании формулой Симпсона или, ещё лучше, Гаусса.
Когда п — оо, полученное указанным способом при-
приближённое значение <р (лЛ имеет пределом решение ин-
интегрального уравнения (l), если только это решение су-
существует и единственное. Доказательство этого' можно
найти, например, в курсе Ловитта [5] или Привалова [7].
Решим указанным способом уравнение A4) п. 5 для
эллипса. Чтобы можно было все вычисления провести до
конца, зададим численные значения величин а и Ь. За-
Зададимся также определённым видом функции fit). Пусть,
например,
а = 5, 4=3, /(*)=
Наше уравнение имеет (приближённо) вид
2*
6 1—0,64 cos1 4,-
2
или, если воспользоваться периодичностью функции
=25- 16sin^. C)
-Правая часть принимает одинаковые значения в точках,
симметричных относительно начала координат. Нетрудно

§ 1. УРАВНЕНИЯ ТИПА ФРЕДГОЛЬМА 41
установить, исходя из формул B3) п. 5, что этим же
свойством обладает и jjt(f), т. е. что
яAг-0=и(-')-м(')- D)
Очевидно также, что jx @ имеет период 2ъ. Таким обра-
образом, нам достаточно будет определить ц (t) в промежутке
Возьмём п — \1, так что Л= 4. Обозначим для крат-
краткости
Система B) в нашем случае имеет вид
1,19л + 0,35^ + 0,3 \у3 + 0,1 Ъук = 25,
0,15л+0,31^ + 0,35^ + 1,1 ^, = 9. J
Её решение
у, = 16,04, л = 12,27, л = 4,73, л = 0,95.
Интерполировать в нашем примере лучше всего с по-
помощью ряда Фурье, потому что функция ц (t) — периоди-
периодическая. Так как y.(t) удовлетворяет соотношениям D),
то её ряд Фурье имеет вид
оо
V.(f)— 2a*cos2«.
Зная четыре значения функции n(t), мы можем вычис-
вычислить четыре коэффициента а0, а1г аг, аг Обычным способом
находим
ао = 8,5О, ^ = 0, а, = 7,54, а3 = 0.
Отбрасывая остальные чены ряда, имеем:
V. (*}#»'8,50 + 7,54 cos It. (б)

42 I. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ
Сравним F) с точным решением, полученным э п. 5,
формулы B1) —B3). В нашем случае
так что /^=17, F% — 8; а все остатыше коэффициенты
Фурье равны нулю. По формулам B2) п. 5
Ао = 8,50, Л2 = 7,53.
Остальные коэффициенты Ак и все Вк равны нулю. Таким
образом,
(t) = 8,50 + 7,53 cos 2t.
Приближённое решение F), как мы видим, практи-
практически совпадает с точным; максимальная относительная
погрешность получается при ^=у и составляет около
1%. При t—Q относительная погрешность меньше,
чем 0.07V,. . .:
8. Резольвента Фргдгольма. Если метод, описанный
в предыдущем пункте, применить к интегральному урав-
уравнению резольвенты [см. уравнение A6) п. 2]:
T(x,s;l) = K(x, s) + XJ K(x, t)Г(*', s;l)dt
а
и затем выполнить предельный переход по п —> оо , то по-
получается выражение резольвенты в виде отношения двух
степенных рядов
Щ^. A)
Здесь D(x,s;l) и D(k) — степенные ряды:
оо
D(x,s;\) = 2(-fBn(*^nn> B)
п=0
п-о

I t. Уравнения типа фредгольМа
коэффициенты которых определяются формулами
43
К(х, s) К(х, tt) К(х, t2) .. .К(х, tn)
K(h, s) K(h> tt) K(h, ti).. .K(h, tn)
K{tn, s) K{tn, h) Kifa, t2).. .K(tn, tn)
D)
ь ь
,) K(t2,Q...K(tt,ta)
KVn.h) K(tn,t2)...K(tn,tn)
dt.dti...dtn. E)
Функцию D (X) называют определителем Фредюльма, а
D (x, s;l) — первым минором Фредголь.на ').
Фредгольм, впервые получивший эти ряды, доказал,
что если ядро K(x,s) ограничено, то они сходятся на
Всей бесконечной плоскости X и, следовательно, представ-
представляют целые функции от X. Доказательство Фредгольма
основано на замечательной теореме Адамара об оценке
определителей4). Т. Карлеман доказал, что ряды B) и C)
представляют целые функции от X уже при одном только
предположении, что интеграл
ь d
.f J'!*'(*.*
имеет конечное значение 9).
Легко доказать, что функция- Г(дг, s;X), определяемая
формулами A) —E), удовлетворяет не только уравнению
A6), но и уравнению A7) п. 2.
!) Фредгольм ввёл понятие миноров любого порядка. Это —ряды,
сходнее по структуре с рядами G) и C). Нам они здесь не понадо-
понадобятся, и в этой книге мы их рассматривать не будем.
2) Теорема Адамара и доказательство Фрздгольма обычно приво-
приводятся в курсах интегральных уравнений. См/, например, [2], [5] и [7].
*) Доказательство теоремы Карлемана см. [15а] и [27п]. Сходи-
Сходимость рядов B) и C) можно доказать и в более общих предположениях.

44 >■ МЕТОДЫ РЕШЕНИЙ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ
Формулы A)~-,E) определяют резольвенту на всей
плоскости X, а не только в круге |^|<-о- При этом
Т(х,s;l), как частное двух целых функций, есть функция
мероморфная. Полюсами резольвенты могут быть только
нули D (к\. В курсах интегральных уравнений доказывается
и обратное предложение: нули D(a) суть полюсы резоль-
резольвенты.
В соответствии со сказанным в п. 2 мы можем теперь
утверждать, что для всех значений % не являющихся
полюсами резольвенты, интегральное уравнение
имеет одно и только одно решение, которое представля-
представляется формулой A5) п. 2:
<Р (*)=/(*) +* J" Г (х, s;\)f(s) ds.
Несколько забегая вперёд, заметим, что при Значе-
Значениях I, являющихся* полюсами резольвенты, интегральное
уравнение, вообще говоря, неразрешимо. Относящиеся
к этому результаты будут подробно сформулированы
в следующем пункте.
Вычисление коэффициентов'£л(аг, s) и Сп по формулам
D) и E) практически почти неосуществимо, так как
требует вычисления многократных интегралов от опреде-
определителей высоких порядков. Однако, из этих формул легко
выводятся два рекуррентных соотношения, с помощью
которых вычислять коэффициенты не многим труднее, чем
вычислять последовательные приближения. Эти соотно-
соотношения таковы:
(В)
ь
Вп (x,s) = cnK(x,s)-~n$K (x, t) Btt_t (t, s) dt.
Зная коэффициент B0(x,s) = K(x,s), мы по формулам F)
найдём последовательно с^В^с^В^ и т. д.

§ 1. УРАВНЕНИЯ ТИПА «РВДГОЛЬМА 45
Пример. Найдём резольвенту ядра
Имеем c0=1» B0(x,s)=x + s. Далее,
• > ■
Bt{x, s) =
о
1
Раз 5s(jf, s)^0, то, как это видно из формул F), коэф-
коэффициенты с3, сА>.',.., Вг, В4,..." обращаются в нуль, и мы
получаем:
—xs— 3
—j»~ 1-1
9. Теоремы Фредгольма. Мы уже видели, что инте-
интегральное уравнение, вообще говоря, не решается в зам-
замкнутой форме. Как правило, при решении интегрального
уравнения приходится прибегать к приближённым мето-
.дам. При этом, как было отмечено в пп. 5 и 7, мы
■можем с уверенностью применять приближённые методы
только в том случае, когда разрешимость уравнения
установлена заранее, причём имеется в виду разреш»-
мость при любой правой части. Важное значение приоб-
приобретает поэтому анализ уравнения, предшествующий его

46 I. МЕТШИ ' РВШЙНИЯ '.ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
разрешению. Этот;анализ можно в каждом случае tpo-
вести, пользуясь общими теоремами об интегральных
уравнениях, установленными Фредгольмом. Таких тео-
теорем — четыре. Мы только формулируем их; доказательства
читатель найдёт в курсах интегральных уравнений.
Условимся в следующей терминологии. Значения I,
для которых существует резольвента уравнения Фред-
гольма, будем называть правильными, а значения I, для ко-
торых резольвента не существует, — характеристическими
или фундаментальными *). Обратные величины характери-
характеристических чисел называются собственными числами уравне-
уравнения. Характеристические числа совпадают с полюсами
резольвенты или, что' то же, с нулями определителя
Фредгольма.
Первая теорема Фредгольма нам уже, в сущности,
известна* Она состоит,в следующем:
Теорема 1. Если" значение i — правильное, то инте-
интегральное уравнение
' j
имеет одно и. только одно решение, какова бы ни была пра-
правая часть f(x); это решение даётся формулой
<р (х) =/ (*) + X J" Г (х, s;\)f(s) ds. B)
а
Отметим очевидное следствие из теоремы 1: если X —
правильное, то однородйое уравнение
: C)
а
-имеет только тривиальное решение ¥(*)== О,
, [, х) Если рэссматривать )фавненйя бол^е общие, чем фредгольмовские^
уб Определение йе:колько меняется. Значения *, для которых резоль-
резольвента не су;цествуе¥, называкугся точками спектра; характеристическими
-числами наз .таются те точки спектра, при которых уравнение может
яметь более одного решения. В случае уравнения Фредгольма вд'е
точки огектра—характеристические; в этом, собственно, я состоит
вторая теорема Фредгольма (см. нвдке). :

i i. унадвени* типа лредгодьма 47
-Допустим» что однородно^ лураэн&ние B>) £меет jerpH-
влад&ные решения ^ цо. тецреме 1, эр возможно тольщ
тогда, когда значение, X — характеристическое. Если '-р, (х) —
решение уравнения C), *тго" с <pt (•*)," где о-произвольна^
постоянная, также является решением; если У\(х) и %'(*%'■
суть два таких решения, то .решением является и их
сумма Ч1(х) +ys(x). Таким образом, ёслй--'-р1(*), 4>2 (*)>•••>
¥*(•*) Удовлетворяют однородному уравнению C), то лю-
любая их линейная комбинация
тоже ему удовлетворяет. Таким образом, если однород-
однородное интегральное уравнение имеет хотя бы одно нетри-
шшлддое.. (отличное от тождественного нуля) рейение, то
оно имеет бесчисленное множество их. Нетривиальные
решения однородного интегрального уравнения называются-'
собственными или фундаментальными функциями ядра К(х,$)
(или уравнения), соответствующими данному характери-
характеристическому числу.
T%ppft,i*ba 2. Каркдому характеристическому писцу, соот-
соответствует по крайней мере одна собственная функция. Число~
линейно независимых собственных функций, отвечающих дан-
данному характеристическому числу, конечно.
Прежде чем сформулировать остальные две теоремы
ФредгОльма, в.ведём новое понятие, играющее важную
роль в теории интегральных уравнений. Ядрс/'А'(£'*), по-
полученное из дадарго ядр& К(х, s) перестановкой аргумен-
аргументов н заменой на комплексно-сопряжённое, называется
сопряжённым сданным ядром; уравнение
D)
называется сопряжённым с уравнением (I). Сопряжёиное
уравнение получается из данного заменой ядра ,■ сопря-
сопряжённым и параметра — комплексно-сопряжённым;*' права»
часть, g(x), совершенно произвольна.
Отметим, что сопряжённость ес,ть свойство взаимное,
так что уравнение A)—сопряжённое с D).
Если ядро А^*)—действительное,, то сопряжённое
ядро получается просто перестановкой аргументов.

48 I. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
"Теорема 3. Если \ есть характеристическое тело
ядра K(x,s), то H есть характеристическое число сопря-
сопряжённого ядра К{х, s). Число линейно независимых собствен-
собственных функций уравнения
|л=о Ct)
и сопряжённого с ним уравнения
— *
t(x) — \ J K(s,x)ty(s)ds=O E)
а
— одно и то же. ч
Две функции р(х) н ?(л) называются ортогональными-
в промежутке (а, 6), если ■'••■■:..
Если эти функции — действительные, то условие ор-
ортогональности упрощаемся и принимает вид .
fP.(x)q(x)dX=Q.
а
. , С помощью понятия ортогональности мы можем сфор-
сформулировать" четвёртую теорему Фредгольма.
Теорема 4, Пусть \0 — характеристическое число
ядра К(х, s). Для того чтобы неоднородное уравнение
4(x)-l.iK(x,s)<t(s)ds=f(x) ." F)
а
имело решение, необходимо и достаточно, чтобы его правая
часть/(х) была ортогональна ко всем собственным функ-
функциям сопряжённого однородного уравнения
Если It —характеристическое число и уравнение F)
разрешимо, то оно имеет бесчисленное множество реше-

§ t УРАВНЕНИЯ ТИПА ФРЕДГОЛЬМА 49;
ний. Действительно, пусть %(х) — решение уравнения;{6)i,
Положим ?(х) = %(х) + Ф(х). Подставив это в F), мы
найдём, что Ф(х) удовлетворяет однородному уравнению
. 'Ф (х) -i0 J" К(х, s) Ф (s) ds=0. .
а . .
По теореме 2 последнее уравнение имеет нетривиальные
решения. Пусть <ft (х),..■., %(х) — линейно независимые
собственные функции этого' уравнения. Тогда его общее
решение будет ' '■' и
а общее решение уравнения F) будет
( . G)
Из теорем Фредгольма вытекает так называемая аль-
альтернатива Фредгольйа: 1
Либо неоднородное-уравнение разрешимо, какова бы ни
была его правая часть, либо соответствующее однородное
уравнение имеет • нетривиальные решений* -
Альтернативой Фредгольма чаще всего и пользуются
при исследовании интегральных уравнений.
Замечание о сходимости последователь-"
ных приближений. Метод последовательных при-
приближений даёт решение в виде ряда, расположенного по
степеням "*. Ряд этот, очевидно, сходится внутри некото-
некоторого круга 1Н<#, если в этом круге сходится степенной
ряд, представляющий резольвенту. Но из общих теорем
теории функций комплексной переменной известно, что
этот ряд сходится внутри круга Ul<^|X,|, где lt — наи-
наименьшее по модулю характеристическое число. Отсюда,
следует, что последовательные приближения сходятся в
том же круге. Из сказанного- вытекает такое следствие:
Если в некотором круге |Х|</? нет характеристических
насел, то в этом круге последовательные приближения схо-
сходятся.
0. Уравнения со слабой особенностью. Напомним, что
уравнением со слабой особенностью мы называем сурав--
4 С Г. Мнхлин

50 I. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ИНТЕГРАЛШЫХ УРАВНЕНИЙ
нение, ядро которого имеет вид
гдеО<а<1 и И(х, ^ — ограниченная функция. Теория
этих уравнений почти тождественна с теорией Фредголь-
ма. Теоремы фредгодща, а следовательно, и альтерна-
альтернатива Фдоц'ольма для этих уравнений останутся в силе1).
Йракгщческое решение уравнений со слабой особенностью
основано на том, что все итерированные ядра, начиная с
некоторого, будут ограниченными.
Доказательство этого утверждения основано на сле-
следующей оценке: пусть К{х, s) и L(x,s) — ядра со слабой
особенностью, имеющие оценки, г
Составим ядро
Для этого ядра, справедлива оценка (С — некоторая посто-
постоянная)
С, а + Р<1, B)
4
Вывод этой оценки обычно приводится в курсах инте-
интегральных уравнении. Из неё легко заключить, что й-е
итерированное ядро будет ограниченным, если яа *-
— (я —1)<0, или
^дру геории» уравиений с« славой особенностью см.
В Э» Гурса [2}, H.sM. Гюнтер РЬ В. И. Смирнов [8].

§ 2. симметричные Уравнения $1
Пусть теперь п таково, W) ядро К„(х, $) ограничено,
Уравнение ;
г ь
<Р (х) - л/ К(х, s) <p (s) ds=/(x) D)
о
перепишем в виде
<р (х) * X/ ^ (х,«) ?.ф Л+/(х). (^
Правую часть равенства E) подставим вместо Ч(х) под
интеграл в D), После простых преобразований мы полу-
получим для <р (х) новое интегральное уравнение:
? (д:).= X» J'AT, (х, *) ».(*) « + /(х) + Xf ^ (лг, *)/(*>*„
в в
Под интеграл вместо у(х) опять подставим правую
часть равенства E), и т, д. Проделаэ эту рцерацию я раз,
мы нолучим.для у(х) интегральное уравнение £ Ограни-
Ограниченным ядром: ' ' ,
s, F)
решать которое можно обычными методами. Уравнения
D) и F) могут оказаться неэквивалентными. Однако, is
практически интересных случаях эту трудность удаётся
обойти.
§ 2. СИММЕТРИЧНЫЕ УРАВНЕНИЯ
(ТЕОРИЯ ГИЛЬБЕРТА-ШМИДТА)
II. Симметричные ядра. Скалярное произведение. Симмёт'
ранным называется ядро, совпадающее со своим сопря-
сопряжённым. Такое ядро характеризуется тождеством
К{х,в)=Щ&. A)
4*

$2 I. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ
■ Если - ядро -г действительное» та его. симметричность
определяется равенством < .
K(x,s) = K(s,x). B)
Интегральное уравнение с симметричным ядром назы-
называется симметричным.
Если ядро симметрично, то, как-легко проверить, все
€го итерированные ядра также симметричны.
' Примеры. Ядра x + s, In|* —s|, i(x — s) — симметрич-
симметричные. Ядро i (x + s) — несимметричное, так как в этом случае
Важную роль в дальнейшем играет понятие скалярного'
произведения. Скалярным произведением (<р, ф) двух функ-
функций у(х) и ф(*) называется интеграл
. )h*x- C)
■■. ' - ~а " ■.
Отметим несколько простых свойств скалярного про-
произведения, непосредственно вытекающих из его опредё^
ления.
а) Если <р (х) и ф (х) суть суммы нескольких слагае-
слагаемых, то скалярное умножение совершается по правилу
умножения многочленов; так, например,
r б) При перестановке сомножителей скалярное произ-
произведение заменяется комплексно-сопряженным: ''.■..''..';
(ф,<р) = ("¥7ф). E)
в) Постоянный множитель при первом сомножителе
можно вынести за знак скалярного произведения:
()t<fl .^) = Х(<Р,ф). F)
-"•"* г) Постоянный множитель при : втором сомножителе
-можно вынести за знак скалярного произведения, предва-
предварительно заменив его комплексно-сопряжённым:,
((р,Хф)=1(<р,ф). G)

I 2. симметричные Уравнения 53
д) Скалярное произведение функции на самоё себя
есть величина неотрицательная: ~
&,Ч) = !№Ш<Ь>0-: (8)
оно обращается в нуль тогда и только тогда, когда
WO1)
W)
Величина »/(¥>¥) называется нормой <р(#) и обозначав
ется через ||<р||. . ■' •■■:•■■"
Функция, норма которой равна единице, называется
нормированной.
Ортогональность двух функций означает обращение в
нуль их скалярного произведения.
Основное свойство симметричных ядер, которое, в
сущности, определяет всю теорию симметричных инте-
интегральных уравнений, состоит в легкр доказываемом тож-
тождестве
. (9)
где для краткости мы ввели обозначение2):
f A0)
12. Ортонормираванные системы и ряды Фурье. После-
Последовательность функций
называется ортогональной, если эти функции попарно ор-
ортогональны. Мы будем "называть последовательность ортр-
нормированной системой, если она ортогональная и норма
каждой, функции равна единице^ Если последовательности
A) —ортонормированная, то
1ГЛ
*) Точнее, (?,?)= 0, если в(дг) отлично от нуля только на множе-
множестве меры нуль. Так, например, если у (к) не равна нулю только на
конечном или счётном множестве точек, то (у, ?)=0. Мы не будем от-
отличать таких функций от функций, тождественно равных нулю.
*) Эпт обозначением мы будем пользоваться и в дальнейшем.

54 L МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАЬЙЕНИЙ
ву ортогональную систему легко превратит*, в орто-
рормированную —' достаточно каждую функцию разделить
на её норму.
Исходя из произвольной ортонормированной системы,
можно построить теорию «рядов Фурьеэ, аналогичную
теории тригонометрических рядов. Наметим вкратце эту
теорию.
Для. всякой функции f(x)J) можно поставить задачу:
подобрать коэффициенты а,, з„ ,.,, я„ так, чтобы квадра-
квадратичная погрешность приближённого равенства
была наименьшей. Квадратичная погрешность, по опре-
определению, равна
Обозначим
ЬъЩс1х. D)
Числа ак называются коэффициентами Фурье функции f(x)
относительно ортонормированной системы A). Простые
преобразования дают:
Отсюда видно, что 5п будет наименьшей, если <Jft = aft, t. e.
если в качестве коэффициентов ak взйты коэффициенты
Фурье функции f(x). Наименьшее значение Ьп равно
E)
*) Относительно / (х) мы предполагаем только/ что она ?ама и е'З
квадрат абсолютно интегрируемы.

I 2. СИММЕТРИЧНЫЕ УРАВНЕНИЯ 56
Так как эта величина неотрицательна, то
ft=i
Левая часть последнего неравенства есть отрезок ряда с
положительными числами
2
а
-.IV
и наше неравенство показывает, что отрезки этого ряда
ограничены. Отсюда следует, что указанный ряд сходится,
причём имеет место неравенство
2К1'<Ш*, • F)
называемое неравенством Бесселя.
Заставляя п в приближённом равенстве C) стремиться
к бесконечности, мы приходим к ряду Фурье функции/(дг)
Л «*»•(*). G)
Мы будем говорить, что. функция f(x) излагается а
ряд Фурье по функциям <Pt(-*), <9%(х)г ..., <р„(*),.. ..,
если ряд G), соответствующий этой функции, сходится и
его сумма равна f(x). Если f(x) разлагается в ряд Фурье
G), то, как можно доказать, имеет место равенство
2Kf=«/p, ■■- т
называемое равенством Парсеваля,
Относительно ряда G) возникают два основных вопро-
вопроса: при каких условиях этот ряд сходится, и если он
сходится, то совпадает ли его сумма с /(*)? Первый во-
вопрос представляет в общем случае большие трудности дл£
разрешения, однако в практически важных случаях уда*
ётся получить простые достаточные условия равномерной
сходимости ряда Фурье.

Ш I. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ
Переходим ко второму вопросу. Ортогональную систет
му будем называть неполной, если существует функция,
не равная тождественно нулю и ортогональная ко всем
функциям системы. В противном случае система назы-
называется полной.. Так, например, система
cos х, sin x, cos 2x, sin 2x,...,
ортогональная в промежутке (—тс, я),— неполная, так как
функция <р(л:)==з1 ортогональна ко всем функциям указан-
указанной системы. В теории тригонометрических рядов дока-
доказывается, что система функций ■ ■• /
1, cos*, sin*, cos2x, sin2*;...,
ортогональных в промежутке ■(— тг, ж),— полная.
Если система A) —полная и ряд G) сходится равно-
равномерно, то его сумма равна f(x). Приведём доказательство
этого простого и важного- Предложения. Положим
со
4=1
Функция ю (х) ортогональна ко всем функциям <рл (х).
Действительно, ряд G) сходится равномерно, и потому
его можно интегрировать почленно. Отсюда и следует,
что .скалярные произведения (да, %) равны нулю:
Цо так как система A) — полная, то ю(л:)з==0, и, следо-
следовательно,
- Можно показать, что если система A) —полная, то
для любой функции f{x) неравенство Бесселя переход
дат в равенство Парсеваля. .
й?В приложениях.приходится иметь дело также q рядами
Фурье несколько более общей природы. Пусть г (х) —

§2. СИММЕТРИЧНЫЕ УРАВНЕНИЯ 57
некоторая неотрицательная функция. Будем.говорить» что
функции у(х) и fy(x) ор^гональны, с весом г(х), если
Систему A) будем называть ортонормированной с весом
г(х), если имеют место соотношения
ГО, 1ф-к,
ZJ (Ю)
Совершенно так же, как и выше, мы приходим к по-
понятию ряда Фурье функции f(x) по системе функций,
ортонормированных с некоторым весом. Коэффициенты
Фурье определяются по формуле
(И)
... а ■
неравенство Бесселя и равенство Парсеваля записываются
в виде ■••.■•: ~:
%\k\h()\t()l*dx A2)
k=l a
й, соответственно,
f\^ = Tr(x)\f(x)\*dx. A3)
Понятие полноты и вытекающие из него следствия Пере-
Переносятся без изменений и на этот случай.
Приведём несколько примеров ортогональных систем.
а) Система %(х) — е11гх, где k принимает все целые
значения от — ею до +оо, ортогональна в (—к, к). Она
ненормированная, так как
Очевидно, система функций
-$%?*» *.= ...,-2, -1,0, 1,2,.
— ортонормированная в промежутке (— я, jt).

58 I. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ
0) функция
1, cos*, cos2#,,..
образуют ортогональную систему в промежутке @, к).
6 том же промежутке образуют ортогональную систему
И функции sinA*, k=\, 2,...
В) Полинбмы Лежандра
ортогональны в промежутке (—1, 1). Они удовлетворяют
равенствам
г) Полиномы Чебышева
Г* («H
ортогональны с весом
В промежутке (—1,1). Их можно нормировать, умно-
жив ГА(л:) на величину
д) Пусть Jn (x) означает функцию Бесселя первого рода
декса л, и пуст*ь ahn суть её положительные корни.
Будем считать, что я > — 1. Система функций
— ортогональная с весом г(х)=х в промежутке @, 1).
Этн функции удовлетворяют соотношениям
Системы а) — д) — полные.
Приведённые нами системы играют важную роль во
многих прикладных вопросах. Число примербв таких си-
систем можно значительно увеличить.

I 2. СИММЕТРИЧНЫЕ УРАВНЕНИЯ 59
13. Основные теоремы о еимметричиых уравнениях, *
Теорема 1. Если ядро К (х, s) — симметричное и не
равно тождественно нулю, то оно имеет по крайней #ер*
одно характеристическое число.
Существует несколько доказательств этой важнейшей
теоремы; каждое из них служит основой некоторого спо-
еоба лриближённого вычисления характеристических чиШ^
Эти способы подробно рассматриваются в следующих пунк-
пунктах. Следует отметить, что для несимметричных ядер
теорема 1 неверна?существуют, несимметричные уравнения,
не имеющие характеристических чисел. Таковы, например,
уравнения типа Вольтерра.
: Т е о р е« а 2. Bee характеристические числа симметрии-
наш ядрл — действительные. .
.. Приведём доказательство этой теоремш Пусть %t H
%tx)~ характеристическое число и соответствующая -ему
собственная .функция ядра К (х, $;. По одрелелевлю, о.н«
уавввяетворяют тождеству .,...-.. -:
й» во«а!сгдь.эошься. обозначением, которое ш
ВШ 1],
щт'это тождество н^ <р0 (х) и проинтегрируем во
пределах от.'а до Ь. Мы получим тогда
©ткудё
^ в B) -* положительный1; далее,, но основному
свойству симметричного ядра [формула (9). ir. \i\ ■■--;
Но перестановка множителей в ^.каля^ном

60 I. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ
равносильна его замене комплексно-сопряжённым чиелом:
Таким образом,
Число (Kf0, %), равное своему сопряжённому, — действие
тбльноа, и теперь из B) следует, что значение H —также
действительное.
Теорема 3v Симметричное ядро тогда и только тогдл
имеет конечное число характеристических чисел, когда оно
вырожденное.
^Сформулированные здесь три теоремы имеют простой
механический смысл. К симметричным интегральным урав-
уравнениям: приводятся в ряде случаев задачи о колебаниях
упругих едстем, причём характеристические нисла урЗв-
вения оказываются просто связанными с частотами собст-
собственных колебаний системы. Первые две теоремы утверж-
утверждают существование собственных частот. Третья теорема
позволяет по виду ядра судить, будет ли спектр частот
конечным или бесконечным. /'"'■' ~" '
Т е о р е м а 4. Собственные функции симметричного ядра,
ёоответствующие различным характеристическим ЧисМм,
ортогональны.
В связи с теоремой' 4 сделаем. следущее замечание.
Пусть некоторому характеристическому числу соответст-
соответствуют л лвкейно независимых «собственных функций. Любая
их линейная комбинация также есть собственная функция.
С помощью простого процесса, известного под названием
процесса ортогонализащш1), можно из данных п линейно
независимых функций построить я линейных комбинаций,
которые будут нормированными и попарно ортогональными,
причём данные функции, в свою очередь, суть линейные
комбинации внЪвь построенных. Но в таком случае все
собственные функции симметричного ядра можно сделать
попарно ортогональными. Действительно» если собственные
функции1 соответствуют одному и fбму эйе характеристи-
характеристическому числу, то они будут ортогональны благодаря
м например, Щ

'$ 2. СИММЕТРИЧНЫЕ УРАВНЕНИЯ 6 Г
процессу ортогонализации; если же они соответсТвуку?
разным характеристическим числам, то они ортогональны
в силу теоремы 4. Мы приходим, таким образом, к сле-
следующей теореме:
Теорема 5. Последовательность собственных функций
симметричного ядра можно сделать бртонормированной.
В последующем мы всегда будем считать, что после-
последовательность собственных функций симметричного ядра —
сгртояормироваййай, в соответствии с :теорём6й 5. Усло-
Условимся ещё, выписывая последовательность характеристичен
ских чисел, повторять каждое из них столько раз, сколькд
ему соответствует линейно независимых собственных
функций. Мы можем тогда считать, что каждому харак*1
теристическому числу соответствует только одна собствен-
собственная функция'} при этом среди характеристических чисел
могут Сказаться равные. Условимся также нумеровать1
характеристические числа в порядке возрастания их аб-
абсолютных 1 величин. Таким -образом, если'Хда1и \п — два
характеристических числа и »»0;то |Хда|<|Х„|.
Теорема 6. (Гильберта-Шмидта). Пуьть Х1Г
...,1П>.. .—характеристические числа симметричного ядра
[х,s) и <р, (х), <р4 (л),. ;^» Уп(х)->• • • *^-гСоответствующие фун-
фундаментальные функции. Пусть, далее, к (х) — функция, квад-
квадрат-которой абсолютно интегрируем е промежутке (а, Ь).
огратчен, тр^унщия .; ; . , : .
разлагается в абсолютно и равномерно сходящийся ряд Фурье
%о ортонормированной системе функций ?„*(*):
-Ci-.w ; ;, .■■ «s.-,^.:.: .... . ...;■■_■.■ .. , ....■.:-..■
я=1 " " "
Коэффициенты Фурье /п функции$(х) оказываются связанными

62 1. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
с коэффициентами Фурье hn функции A (x) соотношением
так что
..- Существенно, отметить, что мы здесь ие предполагаем
цн сходимости ряда Фурье функции А (х), ни полноты
гонормиров&Щ40.й системы собственных функций.,
14. Определение первого характеристического числа по
Ритца.
_ Те о рема. Обратная велщит абсолютного- значения
ншменътщ (по абсолютному значению) характеристиче-
характеристического числа симметричного ядра розна максимуму величины
fffidxds A)
щш услош . ■'"■•_...
Доказательство этой теоремы в общем неэлёйентаряф
для непрерывного ядра сравнительно простое доказатель-
доказательство приведено в книге Куранта и Гильберта [4|.
Сформулированная нами теорема позволяет воспользо-
воспользоваться прямыми методами вариационного нечисления для
нахождения наименьшего характеристического чися»;
В частности, можно воспользоваться методом Рнтца. Выбе*
какую-либо последовательность функций
которую будем.считать.полной,, придавая^термину «полная
последовательность» такой смысл: какова бы ни была
функция /(*), всегда можно подрбрать число п и коэф-
коэффициенты а%, яу.,...,*п так, чтобы
?.i* :•-;.■: ,--*=.' -v-;.; •.■-,11 *. — -

S 2. СИММЕТРИЧНЫЕ УРАВНЕНИЯ 63
гд$ е**-; любое «оложательное число. Иване говоря; мы
называем последовательность C) полной, если мшкйр
подобрать коэффициенты ал и число л так, чтобы средняя
квадратичная погрешность приближённого равенства
была сколь угодно малой. В частности, в качестве после-
последовательности C) можно взять любую полную ортонор-
мированную последовательность. Доложим з A)
где alt ug,.,., йп — произвольные коэффициенты,.подчинён-
коэффициенты,.подчинённые условию, что (<р, <р) = 1. Это условие принимает вид
а выражение A) перехбдит в.следующее:
л
2
В силу симметричности ядра, Aik~Akl.
будем искать максимум выражения E) при условии
D). Это — обычная задача на макеимум функции многах
Переменных. Решив еб и вычислив максимум величины (В),
Мы тем самым найдей приближённое значение абёолютнМ
величины наименьщего характеристического числа. Можяо
Доказать, что таким образом мы'получим'приближённое
значение с избытком и Что оно Стремитсй к точному ййа-
чению при л — ор. .
Отметим несколько случаев, когда задача может быть
упрощена.
а) Если ядро К(х, s) —действительное н функции ф,(х)
также выбраны действительными, то можно ограничиться

64 I. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ
: рассмотрением только действительных коэффициентов а>.
-Вместо D) и E) .мы получаем выражения ;. . '...
: -•■ v ' ■ п ■''■ '■-- ■ - -•'■■ : " ;" .- :"
(б,)
|(^,?)|=
я
2
причём
Ь Ь ;
Случай действительного ядра — наиболее важный.для
•интересующих нас приложений. Этим случаем мы здесь
и ограшшимся. а . . .'•> ;
б) Если последовательность C) — ортонормированная,
то равенство D,) принимает,более простой вид
в) Особенно упрощается задача, если известно, что
выражение (Ку, <р) принимает только положительные значе-
значения1). В этом случае нужно решить задачу о максимуме
квадратичной формы , ; *
», *_ i
■ при условии D4).. Формула ,B) п. 13 показывает, что в
.-рассматриваемом случае характеристические числа поло-
,жительны и решение задачи о максимуме формы E,).сразу
!даёт искомое приблйженнре значение характеристического
числа. ; ' . ...,'..'
По методу неопределённых множителей Лагранжа
-максимум формы EJ находится следующим образом. Обо-
значим ,'■'.'.'
' Ь Ф=т-в2«?, F)
i
Ядра, обладающие этим свойством, называются положительными.

f S. СИММЕТРИЧНЫЕ УРАВНЕНИЯ
65
,?де з — неопределённый множитель. Экстремальные зна-
значения переменных а,- определяются из уравнений
или, в раскрытом виде,
—**,=<)» /=1,2,..., я.
G)
Система G) — линейная однородная. Коэффициенты я, не
п
равны одновременно нулю, так как 2fl?=l, поэтому
определитель системы G) должен равняться нулю, и мы
получаем уравнение для неизвестной а:
А,.
Л12
in
А„п-°
= 0.
(8)
А А
fit ППЪ
Умножая G) на аг, суммируя по всем i и пользуясь тем,
л
что 2д/~1> мы найдём, что a = F. При этом под F
следует, очевидно, понимать её экстремальное значение.
Очевидно также, что максимальное значение F равно
наибольшему из корней уравнения (8).
Решение уравнения (8) значительно упрощается, если
воспользоваться методом акад. А. Н. Крылова для раскры-
раскрытия определителя в левой части1).
Вместе с характеристическим числом бывает важно
определить и соответствующую собственную функцию.
Эта задача значительно сложнее, чем задача определения
*) Подробно об этом методе см. статью А. И. Крылова «О чис-
численном решении уравнения, которым определяются частоты малых ко-
колебаний материальной системы». Известия АН СССР. Отдел математи-
математических и естественных наук, 1931, № 4.
5 С. Г. Михлин

66 I. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ
характеристического числа. Она просто решается, однако,
если заранее известно, что найденному нами характери-
характеристическому числу отвечает только одна собственная функ-
функция. В этом случае достаточно найти аи ait ..., ап из
системы G); выражение
Ъ
приближённо равно искомой собственной функции.
Рассмотрим в качестве примера уравнение
где ( \x{x-s), x<s
(9)
( -8{Х —
К этому уравнению мы приходим при решении одной
из задач теории теплопроводности. Можно доказать, что
ядро (9) — положительное. За последовательность C) при-
примем ортонормированную в @, 1) последовательность
<]>л (*) = ]/2sin kax, k~ 1, 2,...
Найдём приближённые зиачения наименьшего характе-
характеристического числа, полагая п = 2, 3, 4. Примем для опре-
определённости х = 2. Для коэффициентов Аш легко получим:
Беря п = 2, мы будем решать задачу о максимуме квад-
квадратичной формы
/Н? (**-«а+ 1-0
при условии al + al—l. Уравнение (8) принимает в нашем
случае вид (т=оп'г)
2-т -1
-1 2-4т
= 0

{ 2. СИММЕТРИЧНЫЕ УРАВНЕНИЯ
67
или 4та— Ют+ 3 = 0. Больший корень этого уравнения
т«2,15. Отсюда
! ^ «'«aw
' 1 2ЛВ — '
Беря я = 3, мы получим для т=эт2 уравнение
2-т -1 1
или
-1 2-4т -1
1
1 2 - 9т
= 0,
наибольший корень которого равен 2,24. Это даёт для
Xj значение ^ « 4,40.
Взяв л = 4, мы придём к уравнению
2-1,-1 1 -1
- 1 2 — 4т — I -1
1 -1 2—9т -1
-1 1-1 2— 16т
= 0,
или
576т1 - 1640т3 + 819т3- 120т + 5=0.
Наибольший его корень равен 2,258, что даёт Xt да 4,377.
Более точное знанение 11г полученное другим способом,
равно 4,117.
15. Определение первого характеристического числа че-
через следы ядра. В формуле Гильберта-Шмидта D) п. 13
положим h(s)—K(s, t). Мы получим тогда
М*. 0=2 нг* <р.(*).
л=1 А«
где «„ (t) суть коэффициенты Фурье ядра К (х, t) относи-
относительно системы его собственных функций <Р,(-хО, ••• > Фл (х),...
Нетрудно вычислить эти коэффициенты. По формулам для
коэффициентов Фурье
5*

68 I. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ
или, так как ядро симметрично,
Но ¥„.(*) удовлетворяет уравнению
b^) = ljK(x,t)<fn(t)dt.
а - ■
Заменив обозначение х на t и наоборот,- мы отсюда найдём:
чЧп\х) х—тпЧп{ч,
и, окончательно, «,,(О = х~(Р(О- Теперь
аэ ;_
ЛГа (*,t) = ^——-^—. A)
Аналогично найдём
оо
л=1
и вообще
п-\
Чтобы получить, например, формулу для К, (х\ J),
можно'применить опять формулу Гильберта-Шмидта, по-
положив в ней A(s) = Af.2(s, t). При этом следует учесть,
что по формуле A) л-ый коэффициент Фурье ядра Къ(х, t)
равен A%
п
Можно доказать, что ряд B) сходится равйомерно1 по
обеим переменным х, t, если «>3 и выполнено условие,
которое мы обычно принимаем:
С= const.

§ 2. СИММЕТРИЧНЫЕ УРАВНЕНИЯ 69
Что касается ряда (i), то он сходится равномерно по
каждой из переменных х и t, когда значение второй пе-
переменной фиксировано. Это вытекает из теоремы Гиль-
Гильберта-Шмидта.
Ряд B) называется билинейным рядом ядра Кт (х, t)').
Введём следующее понятие. Интеграл
а
будем называть m-ым следо^м ядра К(х, s). Если ядро —
симметричное, то его. следы просто связаны с характе-
характеристическими числами, а именно
Аи-2^' т>2' C)
л=1 я
Формулу C) легко получить, положив в B) t = x и
проинтегрировав в пределах от а до Ь, При этом небхо-
димо учесть, что собственные функции нормированы,
так что
Следы с чётными индексами все положительны, так как
оо
A -V-L - . :- D)
а характеристические числа \п — действительные.
Заметим ещё, что
'.' "■''■ A%m=\\\Km{x,t)fdxdt. •■' . E)
2) Можно построить билинейный ряд и для ядра К(х, s). Он
имеет вид ■ .
ОО '__
• у ?я (*) In (О ^
n=i '•-..- .'..',._ ., .
Ряд (♦), вообще товоря, расходится. Можно доказать, однако, что
■он сходится в .средн^м.к К{х, s). Если ряд^*) уходится равномерно
по х и по s, foj его/сумма райна ядоу К(хл $).• - •

70 I. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ
Действительно, по формуле (8) п. 2
K*k(x,s)=fKm(x,t)Km(t,s)dt,
а
или, в силу симметричности ядра,
(*,*) = /*«(*, 0
Отсюда
а
Интегрируя последнее равенство по х, мы и получим фор»
мулу E).
Покажем, как можно найти наименьшее характери-
характеристическое число, зная следы ядра. Пусть числу \ соот-
соответствует р линейно независимых собственных функций,
а числу — Xt, если оно тоже характеристическое, соответ-
соответствует q линейно независимых собственных функций, так
что в ряде D) член, содержащий Х?", входит г=р + д раз.
Перепишем D) в виде
4.«=-л«0 + О» F)
где через гт обозначена величина
TJ •
Пользуясь тем, что IX^^IXjl при «>г, легко можно до-
доказать, что гт—>0 при т-*со. Теперь из F) следует:
12
*ООл2я1+а т-ко
Из F) получаются также приближённые формулы, год-
годные при достаточно большом от;

} 2. СИММЕТРИЧНЫЕ УРАВНЕНИЯ 71
Из C) можно получить формулу, дающую ^ вместе со
знаком:
^""W(8)
и соответствующую приближённую формулу
Пользование формулой (8t) можно рекомендовать только
тогда, когда знак lt другим способом определить не
удаётся.
Из формулы F) следует
1 l!~ *»/*=
Таким образом, вторая из формул Gt) даёт значение |Xt|
с недостатком. Первая формула Gt) даёт значение \\\ с
избытком. Действительно, очевидно, em>em+I, и поэтому
Возьмём в качестве примера рассмотренное в пред-
предшествующем пункте ядро
i*B-s), x<s,
Вычислим его второе итерированное ядро. Это позво-
позволит нам определить следы Л2 и At. Так; как К(х, s) сим-
симметрично, то достаточно найти Кг\х, s) только при <
Имеем
•+1. f tB-t) sB-x)dt +-L$xsB-tydt=

72 I. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ
Значения К2 (х, s) при х < s мы получим, переставив
в последнем выражении аргументы х и s:
*\п I X• О I ■ ' - Тп I ^™* •* I £t ' О J ~Т" Л ( О ' Do ~Т" / «Э 1 I \Л ^^^ " / •
Это вытекает из симметричности ядра /С2 (л:, s).
Вычислим следы Ал и Л4. По формуле E)
Знак абсолютной величины можно опустить, так как ядро
К (х, s) — действительное. Последнюю формулу несколько
преобразуем. Её можно- представить в виде
где а—квадрат 0<.v<l,0<s<l (черт. 2).
Проведя диагональ x = s, разобьём о н&
% два треугольника at и о4, так что
Черт. 2. Л == J J /С2 (дг, s) dx ds + // ^ (х, s) dx ds.
•i »«
Но в силу симметричности К (х, s) интегралы по at и а%
совпадают; поэтому
1 х
К = 2 J J /^2 (дг, 5) dx ds = 2 ГЛс Г AT2 (*, 5) rfs.
И вообще
В нашем примере
Точно так же
*72qq ' ^ ' 32400

§ 2. СИММЕТРИЧНЫЕ УРАВНЕНИЯ
73
Во второй из формул GJ положим т = 2. Тогда1)
п, L
или, так как Xt>0 (см. п. 14),
Это даёт иам приближённое значение \ с недостатком,
очень близкое к точному. Мы видим, что формула Gt)
даёт гораздо более точный результат^ чем способ Ритца.
Хороший результат пблучается также, если воспользовать-
воспользоваться первой из формул GJ. Именно, полагая в ней т=\,
получим значение X с избытком.
^ = 4,186.
16. Способ Келлога. Келлог предложил изящный и
удобный, хотя и не вполне надёжный, способ определения
характеристического числа симметричного ядра. Способ
Келлога состоит в следующем. Возьмём произвольную
функцию ш(лг) и,исходя из неё, построим последовательность
а
Ь
Предел
lim я
п->со/
A)
B)
Можно доказать, что в нашем примере г = \.

74 t. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ
вообще говоря, существует и равен абсолютной величине
одного из характеристических чисел ядра К(х, s). Далее,
существует предельная функция
которая при некоторых условиях представляет собой соб-
собственную функцию ядра К(х, s), соответствующую харак-
характеристическому числу + ц или — ji. Напомним, что нормой
произвольной функции f(x) мы называем величину
Выясним, в каких условиях метод Келлога даёт поло-
положительный результат. Пусть <fl(х), %(х),..., <fn(х),... —
собственные функции ядра К(х, s), и X,, Х2)..., 1п>... — со-
соответствующие им характеристические числа. Может слу-
случиться, что со (л:) ортогональна ко всем функциям <¥j(x).
В этом случае, как показывает формула Гильберта-
Шмидта,
ь
cdj (лг) = J K(x, s) to (s) ds = О,
a
и все члены последовательности A) обращаются в нуль.
В этом случае способ Келлога ничего не даёт. Пусть
теперь ш(лг) ортогональна не ко всем функциям 4{(х).
Обозначим через Чг(х) первую из собственных функций,
к которой со (л:) не ортогональна. Формула Гильберта-
Шмидта даёт теперь
оо
где aft=(w,<pft) — коэффициенты Фурье функции со(лг) отно-
относительно ортонормированной системы ^(лг), Ч*(х),...,
<р„(*),... Повторно применив ту же формулу Гильберта-
Шмидта, получим:

§ 2. СИММЕТРИЧНЫЕ УРАВНЕНИЯ 75
Из D) следует, что
Г 55
E)
Докажем это. Формула D) показывает, что коэффициенты
Фурье функции ш„ (л:) относительно функций <рх (х),...,
<ря(л;),... равны ~. Умножим теперь D)нао>я(лг) и про-
интегрируем. Вспоминая определение нормы, получим:
К!" =|^
Но (чк, юя) = (юя, <fft), а скалярное произведение (о>я, %)
есть А-ый коэффициент Фурье ю„ (х) и равен —. Подста-
вив это в последнее равенство, получим формулу E).
Может случиться, что числу \г соответствует не одна,
а несколько собственных функций. Далее, может оказаться,
что —\г также есть характеристическое число. В таком
случае ряд E) будет содержать несколько членов с зна-
знаменателем Х?я. Пусть это будут члены с индексами г,
г + 1,..., Л Обозначим
Величина А отлична от нуля, так как агФ0. Перепишем
теперь формулу E) в виде
где
со
" A Zi

76 I. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Нетрудно доказать, что «„—>0 при я —•оо-; Извлекая
корень я-ой степени и переходя к пределу, получим:
"iVnl£3V/lK
Составим теперь отношение
Выделив в сумме члены, содержащие 1Г в знаменателе,
получим:
Легко доказать, что при л—»оо вторая сумма стремится к
нулю. Переходя к пределу, получим: ...
H7 =
F)
Допустим теперь, что из двух чисел \ и — \ толькр
одно—характеристическое. Тогда сумма в F) есть линей-
линейная комбинация собственных функций, отвечающих числу
1Г (или — Хг), и, следовательно, са^ма есть собственная функ-
функция, отвечающая тому же числу. При этом указанная
сумма не равна тождественно нулю, потому что функции
Чг(х), Чг+1(х),..., Ч?(х) линейно независимы и агф0.
Если ш (х) не ортогональна к <?, (х), то по способу Кел-
лога определится наименьшее характеристическое число
и соответствующая ему собственная функция.
Если хорошо выбрать исходную функцию о> (л:), то мож-
можно добиться сравнительной простоты вычислений. В этом
большое преимущество метода Келлога. Существенный его
недостаток заключается в том, что нам заранее неиз-
неизвестно, не будет ли w (x) ортогональна к некоторым соб-

I 2. СИММЕТРИЧНЫЕ УРАВНЕНИЯ 77
ственным функциям, и остаётся неизвестным, которое из
характеристических чисел удалось определить.
Заметим, что абсолютную величину характеристиче-
характеристического числа можно определить также по формуле
B,)
л-юо
Если вместо B) и BJ взять соответствующие прибли-
приближённые формулы
и»» и
то формула G) даёт значение ц с избытком. О формуле Gt)
ничего в этом смысле сказать нельзя.
Для иллюстрацчи метода Келлога возьмём то же ядро,
которое мы рассматривали в предыдущих пунктах:
±xB-s) \x<s),
(8)
Было уже указано, что характеристические числа этого
ядра положительны. Далее, можно доказать, что каждому
характеристическому числу отвечает только одна собст?-
венная функция. Метод Келлога даёт возможность эту
функцию определить.
Положим ш(х)—х. Для вычисления шп(х) нам понадо-
понадобятся значения интеграла
(x,s)s"ds.
[K(
Простое вычисление даёт:
(9)

78 '■ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ
Теперь,
\ ±-£i || ш, ||=0,1371;
c4(s)ds = ^-*l+^; ||»,|| =0,2723;
1
(д) = \А: (X, 5) о,, E) Л =
о
£) 1,4 N0,0080083. ,
- В формуле G) положим я = 3. Мы получим тогда
\ii=> 4,998. Так как характеристические числа ядра АГ(х, s)
положительны, то Хх = ц я=^ 4,998. Формула GJ даёт ^ ^
^3,400.
Было указано, что каждому характеристическому числу
ядра (8) отвечает только одна собственная функция. В та-
таком случае мы можем положить, в соответствии с фор-
формулой F),
ЧЛх)**М "t(x) М= —
Величина М определяется из требования, чтобы <Pi (у)
была нормирована. Тогда, очевидно, можно положить М= 1,
и
Ч»х (х) = 2:643х - 1,724х3 + 0,347х3 - 0,025х7. A0)
17. Определение следующих характеристических чисел.
Если характеристические числа lvlt,• • •, К и соответствую-
соответствующие собственные функции ф, (л:), ф4 (х),..., <р„ (х) известны,
то можно определить следующее характеристическое число
Хл+1 и соответствующую ему собственную функцию <р„+1 (х).
Способы определения 1п+1 и ^„^ (x) могут быть основаны
на следующих двух теоремах.
Теорема 1. Абсолютная величина характеристического
числа \пЧ ядра К(х, s) есть величина, обратная максимуму

§ 2. СИММЕТРИЧНЫЕ УРАВНЕНИЯ
79
интеграла
ьъ
0)
при условиях
OP, ?) = 1, (<Р, ¥i) = 0, ('f, %) = 0,..., (<р, <ря) = 0. B)
Теорема 2. Пусть \v \,..., !„,... вся» последователь-
последовательность всех характеристических чисел ядра K{x,s) и ^(х),
¥* (а:), ..., <р„ (л:),... — соответствующие им ортонормарован-
ные собственные функции. Тогда ХЛ+1 есть наименьшее по
абсолютной величине характеристическое число ядра
а Чпц (х) — собственная функция ядра К[п) (х, s), отвечающая
характеристическому числу Хв+1.
На практике пользоваться этими теоремами затрудни-
затруднительно, потому что не всегда удаётся определить собст-
собственные функции с достаточной степенью точности.
Укажем приём, при помощи которого можно опреде-
определять характеристические числа, начиная со второго, без
использования собственных функций. Для определённости
допустим, что нам известно \ и требуется найти 1У Со-
Составим разность
оо
л=2
Допустим для простоты, что характеристические числа
lt и Х2 —простые и что — I; —X, не суть характеристи-
характеристические числа. Тогда при т достаточно большом превали-
превали; остальные
рующим в сумме D) будет слагаемое
■ 2т 2т;
А, А2
слагаемые будут по сравнению с ним исчезающе малы*

80 I. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ
Мы получаем тогда из D) следующее приближённое ра-
равенство:
Asm
и отсюда
Если \ известно точно, то формула F) даёт приближён-
приближённое значение |>.а| с недостатком.
Исходя из формулы D), легко получить также фор-
формулу дающую значение |14| с избытком:
2/И+2
Приближённым формулам F) и G) соответствуют
точные предельные формулы
\К\ = ТТ1 Hm -jjpL-^» lim l/g^-. (8)
l^l VSZ lXll^ S2m+2
Для примера вычислим второе характеристическое
число многократно нами рассмотренного ядра
В этом случае
. Возьмём Х1 = 4,Н5 (см. п. 15). Тогда, полагая в фор-
формуле F) m = 1, получим
Более точное значение Х2 = 22,2...
В качестве второго примера вычислим первые два
корня функции Бесселя нулевого индекса J0(x). "

i 2. СИММЕТРИЧНЫЕ УРАВНЕНИЯ 8l
раты этих корней суть характеристические числа сим-
симметричного ядра
(пределы интегрирования а=0, Ь=\).
Вычислим прежде всего второе итерированное ядро
Lt(x, s). Пусть x^>s. Тогда
\х, s)= $L(x, t)L(t, s)dt+ fL(x, t)L(t, s) dt +
о ■ *
l
+ $L(x,t)L{t,s)dt =
{ S
= \fXS\\
Теперь простые вычисления дают:
*~12238' ■ *~ J2238 '
Полагая приближённо
1
будем иметь:
Х4» 27,117.
Извлекая корень, мы найдём первые два корня функции
Бесселя с недостатком:
о^» 2,4044, а,=5,2702.
Более точные значения этих корней, взятые из таблицы1):
а1 = 2,4048, а,=5,5200.
*) Р. О. Кузьмин. Бесселевы функции. ГТТИ, 1933.
6 С. Г. Михлин

82 I. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ
Формулы, аналогичные (8), можно построить, исходя
из тех же соображений, и для характеристических чисел
с бблыними номерами. Так, например, для Х3 нетрудно
найти приближённую формулу
2т
Эта формула верна при тех же предположениях, что и
формула (8).
18. Ядра, сводимые к симметричным. Если ядро К (х, s)
имеет вид
K(x,s) = r(s)L(x,s), A)
где r(s)>0 и L(x, s) вещественно и симметрично, так что
L(x, s)=L(s,x), то уравнение
<t(x)-\fK(x,s)<t(s)ds=*f(x) B)
а
легко преобразуется в уравнение с симметричным ядром.
Умножим обе части уравнения на \/г(х) и введём новую
неизвестную функцию ф (лг) = |//"(лг) <f (л:). Для этой функ-
функции мы получаем интегральное уравнение
)(х)-\ /УТЩф) L (х, s) ф(s) ds = /r"H/(х), C)
ядро которого уже симметрично.
Ядра типа A) часто встречаются в приложениях.
19. Решение симметричных интегральных уравнений.
Симметричное интегральное уравнение есть частный слу-
случай уравнения Фредгольма, и решение симметричных
уравнений может быть основано на общей теории. Здесь,
однако, вопрос ставится по иному: ставя задачу о реше-
решении симметричного интегрального уравнения, мы будем
предполагать, что нам известны все характеристические
числа и собственные функции ядра. В этих условиях
уравнение решается очень просто.
Рассмотрим уравнение

2. СИММЕТРИЧНЫЕ УРАВНЕНИЯ ■ 83
ядро которого симметрично. Пусть Х„ Х.г>..., Х„, ... —его
характеристические числа, a <pt (х), <ра (л:),..., <р„ (х),... — со-
соответствующие собственные функции. Обозначим через
ап коэффициенты Фурье неизвестной функции <р (л;) по от-
отношению к ортонормнрованной системе Чп(х):
a
По формуле Гильберта-Шмидта (п. 13, теорема 6)
л=1
а л=1 "
Из уравнения A) теперь следует, что
W. C)
и остаётся только определить коэффициенты ап. С этой
целью умножим обе части равенства C) на Чт(х) и про-
проинтегрируем в пределах от а до Ь, Так как последова-
последовательность <?i (х), <fa (л:),..., <р„ (д:),... ортонормированная, то
после интегрирования останется только, один член, индекс
которого п—т. По определению коэффициентов ап полу-
получим:
«m=/m+j^«m; fm=(f,<?J- D)
Если I —не характеристическое число, то из D) мы сразу
находим значение ат:
... . < a^t^' E)
6*

84 I- МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Подставив его в C), мы получим решение в виде
Можно доказать, что ряд в F) сходится абсолютно и
равномерно.
Пусть теперь X —характеристическое число. Тогда оно
встречается в последовательности А,, А9,... ,\п,... и притом,
может быть, несколько раз. Пусть 1 = ',.=^ = ... =у.
Для индексов т, отличных от г, г + 1,..., V, коэффициенты
ат определяются по той же формуле E). Если же т равно
одному из этих чисел, то равенство D). принимает вид
fm=0, m = r, г+\,..., /. Таким образом, при X характе-
характеристическом уравнение разрешимо тогда и только тогда,
когда правая часть ортогональна к соответствующим
этому числу собственным функциям. Если это условие
выполнено, то решение даётся той же формулой F); ко-
коэффициенты, имеющие неопределённую форму -^, можно
здесь заменить произвольными числами.
§ 3. СИНГУЛЯРНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
20. Главное значение интеграла. Обычное определение;
трактующее интеграл как предел интегральных сумм,
пригодно только для функций ограниченных. Если же
подинтегральная функция неограниченна, мы вводим поня-
понятие «несобственного интеграла». Напомним его содержа-
содержание.
Пусть функция f(x), определённая на of резке а<х<6,
не ограничена в окрестности точки с этого отрезка, но ин-
интегрируема на каждом из отрезков а<л:<с — г' и
c + e"<x<6, как бы ни были малы положительные числа
г' и s". Составим сумму
с-»' Ь
J /(*)</*+ ДJ(x)dx. A)
Если эта сумма имеет' предел, когда г' и г" стремятся

I 3. СИНГУЛЯРНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 85
к нулю независимо друг от друга, то указанный предел
и называют несобственным интегралом функции /(*):
ff(x)dx = \lm [Jf(x)dx+ f f(x)dx]. B)
a i'-»0 a c+«"
."-+0
Может случиться, что сумма A) не имеет предела,
когда г' и г" независимо друг от друга стремятся к нулю,
но предел существует, если е' и е" при своём стремлении
к нулю связаны некоторым соотношением. Рассмотрим,
например, функцию f(x) = ^г1, a<^c<^b: Имеем:
C)
X — с* . х — с с — а
а •"
Когда г' и е" стремятся к нулю, величина C) не стре-
стремится к пределу, так как отношение 4г может при этом
меняться как угодно. Однако, если мы свяжем s' и s",
например, соотношением е' = Ае", где k —положительная
постоянная, то сумма C) будет иметь предел, равный ,
In ^^ + In k.
с—,а
В частности, если мы положим s'=s'' = s,/ro получим
Введём теперь следующее определение.
Пусть функция/(х) определена на отрезке
интегрируема на каждом из отрезков а<^<с —s и с +
+ £<*<£>, как бы ии'было мало положительное число е.
Главным значением интеграла от функции /(х) в проме-
промежутке а<д:<6 мы будем называть предел (если он су-
существует)
с—» ь
litn[\f(x)dx+ \f(x)dx]. E)
~° +

86 I. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Понятие главного значения и самый термин введены Коши.
Мы будем часто вместо «главное значение интеграла» го-
говорить «сингулярный интеграл»1).
Мы будем обозначать главное значение интеграла
обычным символом
Употребительны также символы
V.P. J/(*)*c; ff(x)dxi Sf(x)dx;
a
в них, однако, особой необходимости нет.
Заметим, что главное значение интеграла совпадает с
обычным (собственным или несобственным) интегралом,
если этот последний существует.
, Укажем теперь широкий и важный для приложений
класс интегралов, главное значение которых существует.
Прежде всего, из равенства D) следует, что сущест-
существует сингулярный интеграл
Пусть теперь f(x) означает функцию, удовлетворяющую
так называемому условию Липшитца с показателем а.
Это условие состоит в следующем: существуют пострян-
ные К и а, 0<<*<1, такие, что для всякой пары точек
л:', х", лежащих в промежутке #<#<&, выполняется не-
неравенство
\П*)ПГ)\<К\*»Г G)
Класс функций, удовлетворяющих условию Липшитца
с показателем а, мы будем обозначать символом Lip а; то
*) Иногда (например, в работах И. И. Привалова) употребляется
термин «особый ивтеграл».

f 3. СИНГУЛЯРНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
87
обстоятельство, что функция f(x) принадлежит классу
Lip а, мы будем обозначать так:
/(*) € Lip а.
Если f(x) имеет в промежутке д<лг<& ограничен-
ограниченную производную, то f(x) € Lip 1. Это непосредствен-
непосредственно вытекает из формулы Лагранжа о конечных прира-
приращениях.
Теорема 1. Если f(x) £ Lip <х, то сингулярный инте-
интеграл
{
существует для всех х в промежутке а<С_^
Доказательство очень просто. Представим инте-
интеграл (8) в виде
В первом интеграле подинтетральная функция имеет
оценку
t — x
Этот интеграл существует как несобственный при я<
и как собственный при <х = 1. Второй же интеграл суще-
существует в силу формулы F).
Понятие главного значения легко распространяется и
на контурные интегралы. Имея в виду приложения, мы
сформулируем это понятие для интегралов функций ком-
комплексной переменной. Пусть L — гладкая кривая (замкну-
(замкнутая или незамкнутая) с непрерывной кривизной, и с—ком-
с—комплексная координата некоторой точки на L. Вырежем точку
с кружком радиуса s с центром в этой точке. Оставшуюся
часть контура обозначим через £,. Допустим, что функция
f(z) интегрируема по Lt, каково бы нн было положитель-
положительное число s. Главным значением интеграла, или сингуляр-

8$ I. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
ным интегралом, функции f(z) по контуру L мы назовём
йредел (если он существует)
и будем его обозначать символом
Будем говорить, что функция f{z) удовлетворяет на
кривой L условию Липшитца с показателем а, и обозначать
это f(z) £ Lip а, если для любых точек ^,z" кривой L выпол-
выполняется неравенство
\f(z')-f(z")\<K\z>-z'\; (9)
где К и а —некоторые положительные постоянные и
0<а<1. Справедлива теорема, аналогичная теореме 1.
Теорема 2. Если /(г) £ Lip а, то сингулярный интеграл
Существует для всех точек z кривой L, кроме, может быть,
её концов.
При изменении х в промежутках а<^х<^Ь интеграл
(8) будет функцией от л:. Обозначим
. Относительно /, (х) справедлива следующая теорема1).
Теорема 3 (И. И. Привалова). Если/(х) £ Lip а,
а<1, то во всяком замкнутом промежутке в1<лг<&1, где
at^>au Ь1<^Ь,ил1еем:/1 (х) £ Lip a; если же f(x) £ Lip I, то в
том оке промежутке а1<^,х<^Ь1 имеем: f(x) 6 Lip {$, где $—лю-
$—любое положительное число, меньшее единицы.
х) См., например, Привалов И. И., Введение в теорию функций
комплексного переменного, изд. 6. ГТТИ, 1940.

I 3. СИНГУЛЯРНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ $9
Аналогичная теорема верна и для интегралов A0). При
этом, если контур L—замкнутый, то!
ли-j^«
принадлежит классу Lip а' или, соответственно, LipfJ на
всём контуре 'L.
Как следствие вышеприведённых теорем получается
следующая теорема, которую мы, чтобы не повторяться,
.сформулируем только для интеграла (8), хотя она верна
и для интеграла A0).
Теорема 4. Пусть f(x) € Lipa в промежутке а <л: <£■.
Пусть
Сингулярные интегралы ft (х), /.,(дг), ...,/„(х),... существуют
при а<^х<^Ь; в каждом замкнутом промежутке.а1<,х<6(,
где at>a и bl<C_b, имеем: /п (х) € Lip a при a < 1 и fn(x) €
•^ Lip [5, где р—любое число, меньшее единицы, — если «=1^
21. Ядра Коши и Гильберта. Важная роль, которую иг-
играет в ряде прикладных задач понятие' сингулярного ин-
интеграла, основана на следующей теореме теории функций
комплексной переменной.
Теорема. Пусть L —гладкий контур и <р(£) — функция
точки этого контура, удовлетворяющая условию Липшитца
с показателем а, 0 < а < 1. Если точка г стремится изнутри
или, соответственно, извне контура L к точке t этого контура,
то интеграл типа Коши

90 I. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
стремится к пределу
?W + JfS« B)
соответственно
$£§-rft. C)
где интеграл в формулах B) и C)— сингулярный.
По поводу этой теоремы сделаем несколько замечаний.
Прежде всего предполагается, что контур L обходится
в положительном направлении, так что область, им огра-
ограниченная, остаётся слева. Индекс i [формула B)] означает,
что z-*t изнутри области, а индекс е [формула C)] —что
z—*t извне. Далее, говоря о стремлении точки z к t, мы
будем считать, что кривая, описываемая точкой z, не
касается контура L, — в противном случае утверждение
теоремы может оказаться неверным. Наконец, контур L
может состоять из нескольких отдельных кривых.
Мы не приводим^доказательства этой теоремы, так как
его мо'жно найти* в* любом курсе теории
~~ функций комплексной переменной.
Особо следует отметить случай незам-
незамкнутого контура.
Если L представляет собой простую
дугу (черт. 3), то понятия «изнутри
Черт. 3. области» и «извне области» теряют смысл,
тем не менее формулы B) и C) остаются
в силе. Направления / и е определяются следующим образом.
Дополним L дугой £'до замкнутого контура, обходимого
против часовой стрелки, и пусть D — ограниченная им об-
область. Тогда под i и е в формулах B) и C) следует по-
понимать направление изнутри или, соответственно, извне
области D.
Выражение
где С и /—точки контура L, мы будем называть ядром
Кош.

S 3. СИНГУЛЯРНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 91
Важную роль играет и так называемое ядро Гильберта
ctg°-=^a, E)
где s и о—действительные переменные, которые меняются
в промежутке [0, 2и]. Ядро Гильберта также связано с
теорией аналитических функций. Установим эту связь.
Будем исходить из интеграла Пуассона
r, s) =£J и
выражающего значения гармонической функции U(r, s)
внутри круга г<1 через её значения u{a)=U{\, о) на
окружности этого круга. Положим reis=z, еы = $. Тогда,
как легко проверить (у — окружность | о | = 1),
Обозначим через V(r, s) гармоническую функцию, со-
сопряжённую с U(r,s). Функция V(r, s) определяется с точ-
точностью до постоянного слагаемого. Подчиним это слагае-
слагаемое требованию, чтобы V(r,s) равнялась нулю в центре
круга. Тогда
Пусть теперь г—» 1, так что z стремится к точке окруж-
окружности у» оставаясь внутри круга. Пользуясь формулой B),
мы получим после элементарных преобразований
v(s)=-ilu^)dsa-=r-^, F)
о
где v(s) — V(l,s) есть предельное значение гармонической
функции V(r,s) иа окружности у.
Формула F) связывает таким образом предельные зна-
значения сопряжённых функций, гармонических внутри круга,

92 1. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ
причём сопряжённая функция V(r, s) подчинена условию
У(',*I,=о = О. G)
Ядра Гильберта и Коши довольно просто связаны между
собой. Пусть L — простой замкнутый контур, гладкий и
с непрерывной кривизной. Пусть его параметрические
уравнения-будут
x = x(s), y=v(s).
Относительно параметра s допустим, что он меняется в
пределах [0, 2тг]. Обозначим t~=x-\-iy"vi t(s) — x(s) + iy(s).
Уравнение контура L можно написать в виде t=t(s). Пусть
С—точка на L, отвечающая значению а параметра, так
что £ = г(з). Тогда нетрудно доказать формулу
^^,)^, (8)
где Р (s, a) — непрерывная функция своих аргументов, удо-
удовлетворяющая условию Липшитца с некоторым положи-
положительным показателем.
~ : 22. Формулы композиции сингулярных интегралов.
'Пусть
\
(-1)
тде L— замкнутый контур, безразлично*-односвязный или
многосвязный. Найдём, как выражается .^.@ непосред-
непосредственно нерез y(t). Рассмотрим интегралы типа Коши .
L
По формуле B) п. 21

5 3. СИНГУЛЯРНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 93
Отсюда, пользуясь определением <f1(t) и <Р2(*), имеем:
Подставим значение <f i (() из B) в /t B):
Первый интеграл в C) есть интеграл Коши, так как его
плотность1)/-^) есть предельное значение функции/(г),
регулярной внутри L. Указанный интеграл равен, следова-
следовательно, /(#). Второй интеграл в C) равен, очевидно к/С2)-
Таким образом, fl(z) = -^f(z) иЛг(О —-2/<^)- Те°еРь из
B) следует •
Мы получили формулу Пуанкаре-Бертрана композиции
сингулярных интегралов:
0Х^т. .. . D)
Заметим, что в двойном сингулярном интеграле нельзя
менять порядок интегрирования; так, если изменить поря-
порядок интегрирования в D), то мы получим интеграл
L
.который равен дулю.. ,
г) Плотностью интеграла типа Коши ^r. \ J* * ' dX. назьшается функ-
■'•■• ' . ■ . - ■^- . ■■
ция ji (О. " ' ' ,. ~

94
I. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯ
Выведем формулу композиции интегралов с ядром Гиль-
Гильберта. Пусть
о
2ic
E)
Обозначим через U(r,s), Ul(r,s), ^(г^) гармонические
внутри круга r<d 1 функции, значения которых на окруж-
окружности г=\ равны соответственно <p(s), tf1(s), ^(s). Тогда
U1(r,s) есть функция, сопряжённая с U(r,s), a U%(r}s)
будет сопряжённой с Ux(j,s).
Из уравнений Коши-Римана нетрудно усмотреть, что
U% (r, s) = —U (r, s) + С, С = const.
В соответствии со сказанным в п. 21, постоянная С опре-
определяется из условия Ui(rrs)\r=o=0. Отсюда
Но значение гармонической функции в центре круга
равно среднему арифметическому её значений на окруж-
окружности. Отсюда
2л
2 it
о
2ic
Теперь
Положим в этом равенстве г—\. Так как U(l,s) = <f (s),
U3(\, s) — ^(s), то окончательно
<p«(*)^-'p(e)+-sr W(<»)rfj.

I 3. СИНГУЛЯРНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 95
Заменяя <р2 (я), а затем <р, (s) их выражениями в виде
сингулярных интегралов, мы получим формулу Гильберта
2ic
*Мл- F)
Проще обстоит дело с композицией двух интегралов,
из которых один — сингулярный, а другой —обыкновенный.
Пусть //(s, a) —функция, удовлетворяющая условию Лип-
Липшитца. Тогда в двойном интеграле
2* 2*
F(»)= J ctg ^-dQ J ЯF, a) do
о • о
можно менять порядок интегрирования, и F(s) удовле-
удовлетворяет условию Липшитца. Аналогичная теорема верна
и для интегралов с ядром Коши.
23. Сингулярные интегральные уравнения с ядром Гиль-
Гильберта. Мы будем рассматривать уравнения вида
2я 2к
где а и b — постоянные, вообще говоря, комплексные.
Относительно ядра К (s, a) мы примем, что оно удо-
удовлетворяет условию Липшитца. То же самое мы предпо-
предположим и о правой части /(«).
Допустим сперва, что K(s, a)=0, так что мы рассмат-
рассматриваем уравнение
2л
Др = щ (a) + ^ J <р (a) ctg IZli rfe=/(s). B)
о
Решается оно следующим способом.
Положим
2с
e(e)dg-l=irfa, C)

96 «. методы решения интегральных уравнении
где а> (з) — произвольная функция. К обеим частям нашего
уравнения применим оператор C). Мы получим новое
уравнение
которое мы, пользуясь" формулой, Гильберта, легко при-
приведём к виду
2
о
Если аъ + Ь*ф0, то это — уравнение Фредгольма с
очень простым вырожденным ядром. Можно доказать,
что оно эквивалентно уравнению B). Решая уравнение D)
по методу п. 4, мы получим искомое решение
.. /_\ в х / \ " Г ^/ \ _._ и — S
hi ' Vs/ 2к («2 + 62^ u
О
^ E)
о
Если а* + &ч = 0, то, как можно доказать, уравнение B)
в общем случае неразрешимо.
Особо отметим случай а==0. Полагая Ь-=\, что, оче-
очевидно, не ограничивает общности, мы получим уравнение
первого рода
f ). F)
о
Формула E) делается в этом случае непригодной,
однако уравнение F) легко решить непосредственно.
Заменим в нём буквы а -и s соответственно на в и а,
умножим обе части уравнения на
и проинтегрируем .в промежутке @, 2п). Пользуясь фор-
формулой Гильберта, получим
J f dg'-^da. G)

§ S. СИНГУЛЯРНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 97
Это уравнение легко решается. Положим
2«
Тогда
Интегрируя это в пределах @, 2тс), мы придём к равенству'
F(s)ds. ■ - (8)
Нетрудно проверить, что оно выполняется всегда, какова
бы ни была функция f(s). Постоянная С остаётся произ-
произвольной, и мы получаем
2«
^ (9)
Подставив это в F), убеждаемся, что выражение (9)"
удовлетворяет уравнению тогда и только тогда, когда
2а
ds = O. A0)
Условие A0), таким образом, необходимо и достаточно
для того, чтобы уравнение F) имело решение.
В случае более общего уравнения A) мы получаенг,
в результате применения к обеим его частям оператора C),
интегральное уравнение Фредгольма общего вида. К его
решению и сводится дело. Можно доказать, что указан-
указанное уравнение Фредгольма и уравнение A) эквивалентны.
Несколько слов скажем в заключение о сингулярном
уравнении более общего вида

98 I. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯ
с переменными коэффициентами а и Ь. Если a (s) и b (s)
удовлетворяют условию Липшитца, то, применяя к обеим
частям уравнения A1) оператор
2л
Afo> = а (в) » (*) - 2$ J «(в) ctg -1=^- rfe>
о
мы получим интегральное уравнение типа Фредгольма. Оно
может, однако, оказаться неэквивалентным уравнению A1).
24. Сингулярные интегральные уравнения с ядром Коши.
Сингулярное уравнение
A)
где а и b — постоянные и L — замкнутый контур *), также
решается очень просто. К обеим частям уравнения A)
применим оператор
М<о= ско (t) j \ dC, B)
4' iti J с — t х '
i
Пользуясь формулой Пуанкаре-Бертрана, легко найдём:
Если а* — Ь*фО, мы получаем:
i
Подстановка в A) показывает, что функция C) действи-
действительно удовлетворяет нашему уравнению. Случай а=0
на этот раз не представляет исключения.
В случае уравнения более общего вида
*) Односвязный или многосвязный—безразлично.

{ а. СИНГУЛЯРНЫ? ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ . 09
применение тога же оператора --' .-
приводит к уравнению Фредгольма. Если а и Ь — постоян-
постоянные, полученное уравнение Фредгольма эквивалентно
уравнению D). В общем случае этот вопрос требует
дополнительного исследования.
25. Случай незамкнутого связного контура. Если кон-
ТУР £—незамкнутый, то формула Пуанкаре-Бертрана не
йнеет места, и метод' решения сингулярных уравнений,
' изложенный в п. 24, оказывается непригодным. Мы при-
применим здесь другой метод, основанный на сведении
сингулярного уравнения к так называемой задаче Римана *).
Заметим, что этот метод применим также, если контур L —
замкнутый.
Пусть L — простая гладкая дуга с непрерывно меняю-
меняющейся кривизной. Рассмотрим уравнение
Для простоты допустим, что а и Ъ — постоянные и
В качестве новой неизвестной введём интеграл типа
Коши с плотностью "Р(С):
Из формул B) и C) п. 21 следует:
> = F. (t)-Fe(t),
l^M + M | C)
Подставив это в A), мы получим следующее равенство:
D)
J) Этот метод впервые применил Т. Carleman Jl5bj.

I. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ. даТЕ.ГРАЛ^НЫХ УРАВНЕНИИ г
Мы пришли, таким образом, к задаче-Рищна:. найти
функцию F{z) по заданному линейному соотношению
между -её предельными значениями^ изнутри и извне
контура.
Положим
/>(*)=Ф (*)»(*) E)
и выберем а> (z) так, чтобы ;..._.
.(*М«г*}»/D ,. . .F)
Функция .ю(г), следовательно, есть решение однород-
йой задачиг Рймана. ~ ".'::".
Рассмотрим функцию '. ".
где от — некоторая постоянная. Каждая ветвь этой функ-
функции регулярна в плоскости, разрезанной вдоль L. Выберем
какую-либо её ветвь, например, ту, которая обращается
в единицу при г = оо. При обходе против часовой стрелки
вокруг точки а а>(г) приобретает множитель еШт. Таким
образом,
_ a>,(z) = e2lti/na>/(s).
Определим теперь число т из условия •
^ = Йу. : (8)
Тогда функция G) удовлетворяет уравнению F). Урав-
Уравнение (8) определяет число
^■точностью до произвольного целого слагаемого. Выбе-
Выберем это слагаемое так, чтобы действительная часть т
лежала между нулём и единицей. Для этого достаточно
взять "значение arg-^i-^ между нулём и 2п. При таком
выборе числа т обе функции со (г) и -^- абсолютно
интегрируемы-вдоль I. - • • -•.'-■ . - - - *

; л. .сдагуяярньк. интЕпуихьныв уравнения .101
Подставив теперь полученное, значение- © (z) в (б) .
далее в D), мы получим: " " ■■.■---
Эта простейшая задача Римана решается очень легко.
Именно, формулы C) показывают, что за Ф(г) можно
принять интеграл типа'Коши "
"Теперь
Решение интегрального уравнения A) можно найти с
помощью первой' из формул C): - -
• Решение A3)-*не единственное. Чтобы убедиться в
этом, рассмотрим однородное уравнение.
Применяя тот же приём, положим
Заметим, что npw'z*±co F0(z), а, следовательно,1 и.Ф0-(«)
р^ащаются в-н^ль.^Вь|^сто A0) мы приходим теперь к

102 I- МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯ
следующему уравнению: . ::.
A7)
Функция Ф0(г) принимает, таким образом, одинаковые
значения на дуге L с разных её сторон. Отсюда нетрудно
заключить, что Фо(*) регулярна на всей плоскости,
кроме, ^ыть может, точек а и Ь. Наложим требование;
чтобы произведение
р,
чтобы произведение
E
было абсолютно интегрируемо вдоль L. Тогда лещ?.до-
лещ?.доказать, что. {^правильная точка, а а—полюс, первого
порядка или правильная точка функции-Фё С*). Наконец,
Ф4(со)=0. Из всего сказанного следует, что
?Ьг A8)
Теперь
с*
и по первой из формул C) мы находим решение одно-
однородного сингулярного уравнения A4):
A9)
Общее решение уравнения {1) даётся формулой
где с—произвольная постоянная. Выбором этой постоян-
постоянной можно распорядиться так, чтобы «р (t) была ограничена
в том или ином конце дуги L.
Можно вместо A3) получить другое выражение, в
которое аи р входят более симметрично. Положим >

$ 3. СИНГУЛЯРНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Подставив это в D), получим:
Отсюда
ш(Z)- . * Г(С-
Теперь нетрудно найти
-.aI-m (t — P)
B2)
Это—частное решение: общее же решение можно пред-
представить в виде
J С — t
««таг. B3)
Значения постоянной с в B0) и B3) —разные.
Рассмотрим, в частности, уравнение первого рода
| (• в (С)
L
Здесь а=0, * = 1. Далее,
— —1 (— П——
и формула B0) даёт на этот раз

104 Ь МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Полагая а=0 в B3), мы получим, решение в другой
форме:
*tV(t-a)(t-}) J
26. Случай незамкнутого несвязного контура". Пусть
теперь контур L состоит из п простых дуг Lu L% Ln,
не имеющих попарно общих точек. Уравнение
. а «р @ . * Г J«LrfCe/(^ : A)
е; постоянными коэффициентами а. и Ь решается тем
способом, что и в п. 25. Положив ^
мы попрежнему получим . . ;: ~
{a + b)F^t)-{a-b)Fe{t)=f{t). B)
Обозначим через аки $h начало и конец дуги Lk. Положим
т
где показатель т определяется той же формулой (9)
п. 25. Подставив это в B), получим:
откуда следует, что можно принять .

§ 3. СИНГУЛЯРНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 1Q5
я. мы Получаем, частное решение уравнения A):
Рассуждая, как в предыдущем пункте, мы найдём,
что в случае однородного уравнения соответствующая
функция Ф0(г) равна
или, если привести эти дроби к общему знаменателю, —
П <*-«*>
гДе iP^(z)_—произвольный поли ном степени/?•—!, Tenepi.
легко" найти, что решение однородного интегрального
уравнения
равно . ..: *
«Ро @ =
П
где Qn_i@~~ произвольный полином степени л —I. Общее
решение уравнения (I) имеет вид - . .. »-, ^
T

106 1. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Полином Qn.t(t) можно подобрать так, чтобы <р#) была
ограничена в заданных п концах дуг Llt Lif..., La.
27. Системы сингулярных интегральных уравнений.
Система сингулярных уравнений с ядром Гильберта имеет
вид
Я . 2«
/=1
2к
A)
Её легко можно преобразовать в фредгольмовскую.
Достаточно заменить её системой
Mk{Ll,Li,...,La)=Mk(fufi,...,Q, B)
где
я 2*
Нетрудно проверить, что система B) имеет вид
2 {4т«Рт(*) + /^E,а)<Рт(а)^}=М4(А,Л /J, D)
1=1 О
О
где
в ^"т (*» в)—некоторые новые ядра. Будут ли системы A)
в D) эквивалентны — вопрос довольно трудный. Его решение
можно найти в статье Н. И. Мусхелишвили [28е].
Сказанное без всяких изменений переносится на си-
системы сингулярных уравнений с ядрами Коши, если со-
содержащиеся в системе сингулярные интегралы берутся
по замкнутому контуру.

ГЛАВА И
ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
§ 1. ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ И ЕЁ ПРИЛОЖЕНИЯ
По многочисленности и разнообразию приложений за-
задача Дирихле занимает исключительное место в матема-
математике. К ней непосредственно сводится основная задача
в гидродинамике — задача обтекания, далее задачи круче-
кручения и изгиба в теории упругости. С нею же тесно свя-
связаны основные задачи статической теории упругости как
в плоскости, так и в пространстве. С этой же задачей
соприкасаются и вопросы теории колебаний. Перечень
этот нетрудно было бы продолжить.
В этом параграфе мы изложим методы решения задачи
Дирихле, связанные с теорией интегральных уравнений,
н некоторые её приложения. Мы будем здесь заниматься
только плоской задачей, которая представляет для нас
особый интерес как по обилию .
приложений, так и по большей
разработанности и эффективности , f
методов её решения. «'
Напомним, что задача Дирихле
состоит в следующем: найтн функ-
функцию, гармоническую внутри обла- . L
сти, если известны значения этой
функции на границе области.
28. Задача Дирихле для односвяз- черт. 4.
ной области. Рассмотрим сперва
случай конечной области (черт. 4). Обозначим область
буквой D, её контур — буквой L. Контур L будем считать
гладким, с непрерывной кривизной. Искомую гармо-
гармоническую функцию обозначим через U(x,y), её задан-
заданные на L значения — через u(t), где *—комплексная
координата точки контура. Гармоническая в односвязной

108 п. приложения "интегральных уравнений
области. функция U(x,y) может быть рассматриваема, как
действительная часть некоторой аналитической функции
У (г), регулярной в этой области, и мы решим нашу за-
задачу, если найдём функцию <f(z). Будем искать эту по-
последнюю в виде интеграла типа Коши
плотность которого ц (£) будем считать действительной.
Дело сводится к определению jx(C).
Заставим в формуле A) точку z стремиться изнутри
области к некоторой точке t контура. Пользуясь формуг
лой B) п. 21, мы получим: ' . .■ :
'^@=^@+ -^7 ]~fStdf:" B3
Отделим в B) действительные части.. Замечая, ;чтр
Re(<f(^)} =u(t), мы найдём: . .. "
или, так как функция ц(С) —действительная,
Вычислим ядро интеграла. Пусть;? — t=ren. Тогда
где dz — Элемент дуги контура. В силу уравнений Кошиг
Римана
дЪ _ д In г 1_ дг_ ц . ".
да ~ dt ■ ~ г dv ■>' .'.:
*) v—внешняя нормаль к L.

I 1. ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЙ
Выберем направление радиуса-вектора г от С к t. Тогда,
как легко видеть, -^ = — cos (г, v), и окончательно
Если г —* 0, то и cos (v, r) —»О, и без труда можно доказать,
что, в нашем предположении о непрерывной кривизне
кривой L, ядро cos*"' непрерывно. Мы приходим, та-
таким образом, к интегральному уравнению типа Фредгольма
с неизвестной ja(<):
В частном случае, когда контур L представляет собой
эллипс, это уравнение было изучено нами в главе J,
пп. 5 и' 7. Докажем, что уравнение C) разрешимо и имеет
единственное решение, какова бы ни была правая часть
Иначе говоря, докажем, что Х=—не есть характеристи-
характеристическое число ядра cos С* г> л в соответствии с альтерна-
альтернативой Фредгольма (п. 9), достаточно доказать, что соот-
соответствующее однородное уравнение имеет только триви-
тривиальное решение. :
Пусть u(t) =зО. Уравнение C) делается однородным.
Пусть }*о(О~ какое-либо его решение, так что
-^О. .D)
Положим (г —точка внутри О)
Условие и (£) ss 0 показывает, что Re{<f>0 (*)}=(), если t —
точка на L, По теореме единственности задачи Дирихле,
Re {"PoCOl^O в0 ВСей области D. Теперь из уравнений

ПО п. Приложения интегральных уравнений
Коши-Римана вытекает, что <po(z) есть чисто мнимая по-
постоянная, <?0(z) = id. Равенству E) можно придать форму
причём тождество это справедливо для всякой точки г
внутри D. Но тогда, по известной теореме об интегралах
Коши, j^o @ —ia есть предельное значение иа L некоторой
функции ф(г), регулярной вне L и равной нулю на бес-
бесконечности. Мнимая часть этой функции равна иа L по-
постоянной а, но тогда ф (г) = const. Будучи равной нулю
при 2=оо, ф(г)==О. Функция р.0(/) есть значение 1?е{ф(г)}
на контуре, а потому ^(^ = 0. [Наше утверждение до-
доказано.
Раз — не есть характеристическое число уравнения C),
то к этому уравнению применимы приближённые методы
решения, изложенные в пп. 5, 7 и 8.
Решим теперь задач'у Дирихле для области D', внеш-
внешней по отношению к D. На этот раз у (г) нельзя искать
в виде интеграла типа Коши, так как такой интеграл ра-
равен нулю при 2=оо, в то время как <р(г) только огра-
ограничена на бесконечности. Будем поэтому искать <р(г) в
виде суммы интеграла типа Коши и некоторой постоян-
постоянной,—именно, положим
Плотность ц (С) будем попрежнему считать действитель-
действительной. Заставляя z стремиться к точке t контура, мы по-
получим в соответствии с формулой C) п. 21
Повторяя прежние рассуждения, мы придём к инте-
интегральному уравнению

§ 1. ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ Ш
Это уравнение также разрешимо. В этом легко убе-
убедиться с помощью рассуждения, сходного с предшеству-
предшествующими.
29. Пример: конформное отображение внутренности эл-
эллипса на круг. Как известно, задача Дирихле очень просто
решается, если известно конформное отображение области
на круг. Обратно, если для некоторой области известно
решение задачи Дирихле, то можно найтн функцию, кон-
конформно отображающую область на круг. Покажем это.
Пусть да=<в(г)—функция, реализующая конформное
отображение области D на круг |и>|<1. Пусть, далее,
z=a—точка области D, которая переходит в центр круга
да—0. Тогда
ю(*) = (г-а)ф(г), A)
где <]>(г) регулярна и отлична от нуля в D. В таком слу-
случае функция
также регулярна в D. Найдём условия, определяющие
функцию <? (г).
Если г совпадает с точкой t контура, то
Отсюда
Re[<p(<)}=ln|<KQ|=-ta|*-e|. B)
Итак, для определения <р (t) надо решить задачу Дирихле»
при u{f)— — In|/ — а\. Найдя <р@> мы уже легко восста"
новим о>(г).
Для примера найдём функцию, реализующую конформ-
конформное отображение внутренности эллипса
х=a cos 6, _у=^ sin 6
на круг |да|<1.
Эта задача может быть решена с помощью эллипти-
эллиптических функций. Здесь мы дадим другое решение, поль-
пользуясь методом интегральных уравнений.
Потребуем, чтобы центр эллипса перешёл в центр
круга. Для функции <р (<) мы получаем условие на контуре

112 II. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Полагая
мы придём к интегральному уравнению [п. 5. формулы
A4) —A5)]
1 —
Найдём разложение функции 21п|£, в ряд Фурье. Имеем:
2 In 11\ = In (a* cos2 6 + b* sin2 6).
Нетрудно проверить тождество
In (а« cos» 6 + &a sin8 6) = 2 In iji. + 2 Re In (l + ~^ oa),
где а=е'9. Разлагая в ряд логарифм в правой части ра-
равенства и отделяя вещественную часть, мы получим иско-
искомое разложение:
lji (aa cos-
По формулам B2) п. 5 мы найдём коэффициенты Фурье
функции (<)
О / i 1 \k—% л 2ft
Остальные коэффициенты равны нулю. Теперь
E)

§ 1. ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ
■<р(г)=-1п-^- '
k I
причём Z, = a cos Ъ + ib smb. Вычислим интегралы в F):
1 Г cos2ft6rfC 1 с cos2*e( — asine + ^ft cos 6)rf6
г cos 2fe6 rfg 1 r
J Z — z 2it7 J
l
Ы J Z — z 2it7 J асозв — tbsind — z
l
Полагая в19 =о, мы приведём-этот интеграл к виду
Г
\
(а + 6H2 — 2az+(a — b) a 2 ^1
где через /х и /а обозначены интегралы
. _J_ Г а2*-' [(я -f ») °2— (а — ОД rf»
1 — 2я/ J (я + 6)°2 — 2«г + (а — 6) о '
/ — J_ f P2fe~' [(a + b) a2 — (a — ft)] rfo
2 2it/ )s\ (a-\-b) <# — 2sz-L(a—b) a'
I »l=l
* Подинтегральная функция в /х -имеет простые полюсы
в точках
V Z2 — <
Вычеты в этих точках соответственно равны
Докажем, что оба полюса ох и о2 лежат внутри круга
<1
Произведение з^ равно °~& и, следовательно, мень-
меньше единицы. Поэтому необходимо одно из чисел av o4
меньше единицы по модулю. Если бы второе было по
модулю больше единицы, то интеграл /х равнялся бы
8 С, г. михлин

114
U. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯ
одному из вычетов G) и был бы нерегулярным внутри
эллипса, что очевидно, невозможно *). Из доказанного сле-
следует, что
/ _(+ У*2—g
Для вычисления /s положим a=—. Тогда
/ -_L f *2к-Ч<г + Ь-(а-Ь)т] j_
*) Приведём прямое доказательство нашего утверждения. Обозначим
откуда z==-2[X-\ )• Эт° преобразование переводит плоскость z,
разрезанную вдоль отрезка (—с, с), во внутренность или во внешность
окружности |х| = 1, в зависимости от выбора знака перед корнем.
Пусть, например, при выборе знака минус перед корнем мы получим
|<1; Тогда тем более
Рассмотрим теперь окружность |хI = ■•• ; Если выполнить преоб-
С
разование
л
то эта окружность перейдёт в заданный йам эллипс
x==acos9, _у = 6 sin в.
Внутренним точкам эллипса соответствуют при этом точки плоскости
|у|<—~—
для которых
или
. Таким образом, внутри эллипса
<-
П

§ 1. ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ
115
Рассуждая аналогично предыдущему, мы найдём, что оба
полюса подинтегральной функции лежат вне единичного
круга и, следовательно, /2=0. Мы получаем, таким обра-
образом,
J_ Г COS 2*8
ы 3:—»
_ 1 B+ VzZ —
~ 2
Vs)
Числитель в правой части, очевидно, есть полином
степени 2k. Обозначим его для краткости через F{)
Тогда
f
и искомая отображающая функция равна
), (9)
30. Задача Дирихле для многосвязных областей. Пусть
D—конечная (я + 1)-связная область. Её контур L со-
состоит из п +1 замкнутой кривой,
которые мы обозначим через Lo>
I,,..., La, причём индекс нуль
мы припишем кривой, ограничи-
вающей область извне (черт. 5).
Прежде чем приступить к ре-
решению нашей задачи, сделаем
одно замечание. Если функция
^ (х,у) — однозначная и гармони-
ческая в многосвязной области,
то сопряжённая с ней функция
говоря, многозначной. Выясним
Черт. 5.
V(x, у) будет, вообще
р, характер её многознач-
многозначности. Пусть V—направление внешней нормали к L. Обо-
Обозначим
0)
8*

146 II- ПРИЛОЖЕНИЯ ' ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАбНЕНЙЙ
В силу уравнений Коши-Римана -^=-^, и
Но последний интеграл равен приращению V{x, у) при
обходе кривой Lk против часовой стрелки. Таким образом,
если гармоническая функция однозначна в D, ,то сопря-
сопряжённая с ней функция приобретает постоянное прираще-
приращение 2rtAk при обходе вокруг каждой из кривых Lt, L4,..., Ln.
При том же обходе аналитическая функция <р (z) == U{x, у) +
+ iV(x, у) получаем приращение 2ыАк. Такое же прира-
приращение приобретает функция Ak\n(z—zk), где ^ — произ-
произвольная точка внутри D. Отсюда и следует, что 'f (z) можно
представить в виде
B)
где <р* (г) — однозначная функция, регулярная в D.
Задачу Дирихле .можно решать следующим Образом.
Пусть и (t) — заданное на L значение U(x,y). Тогда из-B)
следует
Re{r@)=«(')-J/*ln|'-**|- •' C)
Однозначную функцию у* (z) будем искать в виде инте-
интеграла типа Коши:
H $£?,-* ■• D)
Л действительной плотностью ц (Q. Повторяя рассуждения
.предшествующего пункта, мы придём к интегральному
уравнению ■ . :
т.ЫО-21^а3=2в«-22^Ь1|/-«4|. E)

I 1. ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ 1 1*7
Можно доказать, что — — характеристическое число ядра
c°s у ■ и ему соответствует п линейно независимых соб-
собственных функций; Коэффициенты Ак найдём из условия,
что правая часть в E) ортогональна к собственным фун-
функциям сопряжённого уравнения. После этого уравнение (S)
делается разрешимым. Решив его, мы по формулам D) и B)
-найдём решение задачи Дирихле.
.Изложенный кетод практически мало пригоден, так
как тре,бует вычисления собственных функций сопряжён-
сопряжённого уравнения. Мы дадим поэтому другой метод, сво-
свободный от указанного недостатка.
Обозначим через a(t, £) функцию, равную единице,
если точки / h С принадлежат одной и той же внутренней
кривой Lk, и нулю во всех остальных случаях. Уравне-
Уравнение E) заменим следующим: ■
п
2u{t)-2^Ak\n\.t-zb\. ■ > F)
- k=\
В более подробной записи это уравнение имеет такой
вид: если t лежит на Lk) k=\, 2,..., п, то,
если же t лежит на Lo, то
Можно доказать, что — не есть характеристическое
число уравнения F). По первой теореме Фредгольма, это

п. Приложения интегральных уравнений
уравнение разрешимо и имеет единственное решение.
Решив уравнение F), мы затем подчиним коэффициенты Ак
требованию, чтобы
..,я. (8)
Тогда уравнения F) и E) совпадут, и по формулам D)
и B) мы найдём решение нашей задачи.
Перейдём к случаю бесконечной области. Пусть об-
область D есть внешность п контуров Lv Lit...,Ln (черт, 6).
# Формула B) остаётся в силе, только
шт коэффициенты Ак на этот раз подчи-
• -I ЩЦу нены равенству
... + An = 0. (9)
Если бы равенство (9) не имело места,
Черт. 6. то гармоническая функция Re {<р (г)}
возрастала бы на бесконечности, как
л
п | г | 2 Ak, что противоречит определению гармонической
функции. Как и в п. 28, f*(z) не может быть представ-
представлена интегралом типа Коши, и мы положим
L
Это приведёт нас к уравнению
- Это уравнение имеет п—Л собственную функцию.
Условия ортогональности правой части A1) к собственным
функциям сопряжённого уравнения вместе с равенством (9)
дают систему п. уравнений, из которой определяются
коэффициенты Ак.

§ t. ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ 119
Чтобы освободиться от вычисления собственных функ-
функций сопряжённого ядра, поступим так же, как и в случае
конечной области. Обозначим через Ъ (t, С) функцию, рав-
равную единице, если t и С принадлежат одной и той же
кривой Lkik=\, 2,..., л— 1, и нулю в остальных случаях.
Уравнение A1) заменим следующим:
A2)
к=\
или, более подробно: если t лежит на Lk, к—1, 2,..., я — 1,
то
<4ftln|*-zft|, A3t)
если же t лежит на £„, то
l4ta|*-**|. A32)
Можно доказать, что уравнение A2) разрешимо при
любом значении правой части. Решив его, потребуем,
чтобы
г,...,я-1. A4)
Равенства (9) и A4) образуют систему я линейных
уравнений, из которых мы найдём коэффициенты Ак.
Если удовлетворены условия A4), то уравнения (И) и A2)
совпадают, и функция ц(С), таким образом нами построен-
построенная, приводит нас к решению задачи Дирихле.

12ф II. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ. УРАВНЕНИИ
31. Видоизменённая задача Дирихле н задача Неймана.
Мы будем называть видоизменённой задачей Дирихле сле-
следующую задачу: найти аналитическую функцию, регу-
регулярную и однозначную в многосвязной области, если на
каждой из кривых, составляющих контур,, действительная
часть этой функции задана с точностью до постоянного
слагаемого.
Искомая аналитическая функция <р (г) должна, следо-
следовательно, иа контуре удовлетворять такому условию:
если t лежит на кривой Lk, то
Re {tp (t)) =/•(/) + bk, A)
где./(*) —заданная функция, а 6Й — неопределённые по-
постоянные. Они должны быть определены из условия, что
<p(z) однозначна в области. Заметим, что одну из постоян*
ных bk можно, зафиксировать как угодно.
Результаты предшествующего пункта позволяют просто
решить видоизменённую задачу Дирихле. В случае конеч-
конечной области (черт. 5) напишем интегральное уравнение
B)
В соответствии со сказанным в предыдущем пункте, это
уравнение разрешимо, и притом единственным образом.
Решим его. Обозначим теперь
iS *=4,2,...,в. C)
Тогда, если t лежит на Lk, ■
■ " L
Положим теперь
Левая часть в D) равна 2Re{(p.@) (см. п. 28), и из D)-
следует, чтр однозначная функция tp (z), регулярная в D,

§1. ЗАДАЧ* ДИРИХЛЕ Й ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ • 121
удовлетворяет условик>.A) и представляет собой, следо-
следовательно, решение видоизменённой задачи Дирихле. . '
Если область — бескрнечная,> то решение нашей задачи
получится, если решить интегральное уравнение
L
Здесь мы положим
G).
и тогда интеграл E) даст .решение видоизменённой зада-
задачи Дирихле адля бесконечной области. '
К видоизменённой задаче Дирихле сводится ряд задач:
задача конформного отображения" многосвязных областей,
задача кручения полых стержней, задача обтекания и мно"-*
гие другие. К этой же задаче сводится и так называемая
задача Неймана.
■■ 'Задача Неймана состоит з следующем: найти гармони-
гармоническую в области функцию, если на контуре известны
значения её нормальной производной. . • . .
Для того, чтобы задача Неймана имела решение, необ-
необходимо И достаточно, чтобы
где F(ty — заданное значение нормальной производи ой от
искомой функции. Доказательство этого хорошо извест-
известного предложения приводится в курсах математической
физики.
Пусть U(x,y) — искомая функция, и F(ty — заданное
значение её нормальной производной на контуре. Пусть,
далее, V(x,y) — функция, сопряжённая с £/(*,.у), и-
i() UlV
) +V.
Как было указано в предыдущей пункте,
rikb(k)V(z),'- (8)"

122 П. ПРИЛОЖЕНИЙ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯ
где С* («) — однозначная функция. На этот раз коэффи-
коэффициенты Ак известны:
и дело сводится только к отысканию однозначной функция
Нетрудно найти краевое условие для <?*(*)• Пусть
На контуре L нам известна нормальная производная
функции U*:
На кривой Lk возьмём произвольную точку tk. Тогда на
этой кривой имеем
V*=J"/7*(C)<fc + ftA, A0)
it
где Ьк неопределённая пока постоянная. Функция — /<р* (z)=
= V*—iU* является решением видоизменённой задачи
Дирихле с контурным условием A0). Решив эту задачу,
мы тем самым решим и задачу Неймана.
32. Кручение сплошных и полых стержней. В теории
кручения стержней принимается, что отличны от нуля
только составляющие напряжений txt и tyt%). Они удов-
удовлетворяют уравнению равновесия
TF+3?-0- 0)
Обозначим через их, а„, иг составляющие упругих сме-
смещений по осям х, у, z. Из уравнений закона Гука можно
вывести, что »
ig0. B)
') Мы считаем, что ось г направлена параллельно образующим
стержня.

|-|." ЗАДОК-ДИРИХЛЕ И £в ПРИЛОЖЕНИЯ 125
Здесь 0, «и #—• постоянные,-Величина $ п-ропорциональ»
на закручиванию стержня. Далее, из тех же уравнений
закона Гука мы получаем:
Дифференцируя первое уравнение по у, а второе по '* и
вычитая, получим; . .
.■ - D)
Уравнению A) можно удовлетворить, полагая
Подставив это в D), найдём, что Д<р=О. Функция <р (х, у)
будет, следовательно, гармонической в области D, полу»
чаемой пересечением стержня с плоскостью (#, у).
Найдём краевые условия для функции <р. На боковой
поверхности, а следовательно, и на контуре области D вы-
выполняется равенство
t^cos^jO + t^cos^HO, F)
где v-^-внешняя нормаль к поверхности. Равенство F) вы»
ражает, что боковая поверхность стержня не подвержена
действию внешних сил. Подставив в него выражения E),
мы приведём его к виду -■-....'
Далее,
cos (v, x) = - cos (a,y) = - -^ . cos (v,^) = cos (а, л:) = 0.
Отсюда легко следует, что

124 II. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ.
^Интегрируя по дуге а, получим окончательно: н% ков»
туре I области £> "
<р = -^.6 (х% +у*) + с, c = const. ' G)
Если стержень сплошной, то область D — односвязная.
Постоянную с можно зафиксировать как угодно, и функция
<Р (х,у) определяется как решение задачи Дирихле с крае-
краевым ..условием G). Если же стержень полый, то область
D—многосвязная, и постоянная с может иметь различны.©
значения на различных кривых, составляющих контур.
> Докажем теперь,, что-в случае полого стержня функция
Ф (х>у)> сопряжённая с <р (х,у)> однозначна в D. По уравне-
уравнениям Кодш-Римана: - _ \i.. ; \ _...: ; . . . . ... ;
■ Ох ~ ду ' '~ду ~~' ~~. дх '
Подставив это в- E),, получим: >
Сравнивая это' с формулами C), мы видим, что
^ = ]лиг + А, где А — постоянная. Но uz, как смещение точки
стержня, необходимо однозначно,„ Отсюда следует, что
${х,у) также однозначна. • "
-.._ Теперь: ясно, что: <р (х,у) есть решение видоизменённой
.задачи, Дирихле с краевым.условием-.'.G). _. ; $ _■■
: Заметим, что. де.ск^олько. удобнее определять не. Ч (х,у),
а функцию U(x,y);± ~-f4(x,y% онределяём-ую--контур-
ным условием ,. л ., ч
53. Кручение «тержнд квадратного сечения. Рассмотрим
задачу о кручении стержня, сечейиё'коТорОго плоскостью,
параллельной образующим, есть квадрат. Оси координат рас-
расположим так, как показано иа чертеже 7. Для-простоты
вычислений примем,, что, сторона квадрата равна двум.
Постоянную с' в формуле'^ Ш.Ш положим равной нулю.

§1; ЗАДАЧА .ДИРИХЛЕ.И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ .;. 125
функция .^■J'Xудовлетворяет: контурному. условию*
Полагая, как обычно, и(х,у)=#е {Ф(г)} я
I
мы получим интегральное уравнение
f
A)
где t=x + ty есть точка контура- квадрата.
В угловых - точках" контура" ядро~ Ш(*>-Г1 - делается
бесконечным так, что уравнение A) перестаёт быть фред-
гольмовским. Однако, доказано
(см. [32]), что альтернатива Фред-
гольма здесь имеет место. Со-
Соответствующее .однородное урав-
уравнение имеет только тривиальное
решение. .Отсюда, вытекает, что
уравнение A) разрешимо.
Представим наше "уравнение
в другом виде, более пригодном
для численных расчётов. Именно
(п. 28), ..._;, ... .,
cos (у, г)
B)
где Л —угол мёзйду вектором, направленным от Z к
осью х, и уравнение A) принимает вид •-
Уравнение C) будем решать по методу* п. 7, приме-
применяя к вычислению интеграла формулу прямоугольниксйз*,
; Возьмём на контуре квадрата 16 тЬчек;, отмеченный
на чертеже 7 цифрами 1, 2, 3.' Это—f очки,1" Одна из кобр?-

р. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ
динат, которых равна dzl, а другая равна одному из чисел
О, —» — 1» Заметим, что, в силу симметрии краевых
условий, значения jx(^) в точках, симметричных относи-
относительно осей х,у или относительно биссектрис координат-
координатных углов, равны между собой1). Таким образом, в точках,
отмеченных одинаковыми цифрами, значения n(t) совпа-
совпадают, так что всего будет только три различных значения
H(t), соответствующих значениям ^=1, *j = l+-jf, tt =
= \+i. Обозначим: - .
цA)=1, jx(l+it)=jx?, lfp+0=m,_.. D)
Заменяя интеграл в C) по формуле прямоугольников, по-
получим; ■ v
ie
') Приведем доказательство этого предложения. Функция U(y, x) —
гармоническая и удовлетворяет тому же краевому условию (8) п. 32,
что и функция U(x,y). Но тогда U(y,x) = U(x,y). Далее,
(J(y,x) = Re {Ф (у + lx)\ =Re{Ф (tz)} =Re {Ф (iz)).
Отсюда следует, что Ф(г)^Ф(/г), или
Во втором интеграле заменим С через /f'. В плоскости g мы по-
получим тот же контур L, но обходимый в противоположном направлении.
Меняя, направление обхода и знак интеграла, получим (штрих-у {' от-
отбрасываем):
Но представление аналитической функции в виде интеграла типа Коши
с действительной плотностью — единственное. Отсюда следует, что
ц. (О = !*(#;)» т. е. функция ц@ принимает одинаковые значения в точ-
точках, симметричных относительно биссектрисы первого координатного
угла. Аналогично доказывается симметричность ц(£) и в остальных
случаях. — --.-.-■•-•._ .--• -

§1. ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ 127
Здесь через tk обозначены выбранные нами точки, а через
Д6*@~ угол, образованный отрезками, соединяющими
точки tk и tk+1 с точкой t. Полагая в E) t=tu t^, tt,
мы получим систему трёх уравнений с тремя неизвестными
J4» V-* V*'-
1,243214+ 0,5000 |х3 + 0,2658 jx,= 2,000, )
0,1992 |ij + 1,4273 щ + 0,3734 jx, = 2,500, \ F)
0,1269 )ц + 0,2508 |х, + 1,1239 jx, = 4,000. J
Величины Д6А(^) просто определяются по чертежу; при
составлении уравнений F) учтено, что в точках, обозначен-
обозначенных на чертеже одинаковыми цифрами, jx(^) имеет одина-
одинаковые значения.
Решая систему F), получим:
14 = 0,60, |xs = 0,80, |х, = 3,32. G)
Проинтерполируем функцию jt на каждой из сторон
квадрата. Эта функция симметрична, и её можно интер-
интерполировать полиномом вида axi + bxi + с на сторонах квад-
квадрата, параллельных оси х. На двух других сторонах мы
получим, очевидно, интерполирующий полином ay* + by* + c
с теми же коэффициентами. Вычисляя коэффициенты,
найдём: а=2,56, 6 = 0,16, с=0,60 и, следовательно,
|i(*±Q =2,56^ + 0,16^+0,60,
0,16У+ 0
,60, \-
,60. /
Зная }*(/), нетрудно вычислить Ф(г), а затем и напря-
напряжения 1хг и xyz.
34. Задача обтекания. Плоская задача обтекания состоит
в определении поля скоростей в плоско-параллельном
потоке, встречающем на своём пути одно или несколько
твёрдых тел, неподвижных или движущихся заданным
образом. Скорость потока на бесконечности считается
заданной.
Если мы имеем дело с потенциальным потоком идеаль-
идеальной несжимаемой жидкости, то.задача сводится к опреде-
определению комплексного потенциала

128 Н. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ
где <р — потенциал скоростей, а ф — функция тока, по за-
заданным краевым условиям. Направим ось х параллельно
скорости потока в бесконечности; величину этой скорости
обозначим через U. Тогда краевые условия принимают,
следующий вид:
а) на бесконечности
lira l<?(x,y)-Uy] = C, B)
Z-+O0
б) на границе обтекаемого тела
C)
где Uo и Уо —проекции на оси х и у скорости поступа-
поступательного движения обтекаемого тела, Ф — угловая ско-
скорость его вращения. Величины С и С — постоянные. Если
обтекаемых тел — несколько, то на каждой из границ
постоянная С принимает своё особое значение,..
Функция тока ty(x,y) однозначна, как это видно из
формулы C); что же касается потенциала <$(х, у), то он
будет однозначным, если область, занятая потоком, — одно-
связная, иначе говоря, если поток обтекает только одно
тело. В случае же нескольких обтекаемых тел потендиал
скоростей будет, вообще говоря, многозначным. Величина
y, D)
где их и иу — составляющие скорости потока, называется
циркуляцией по контуру Z-1). Если циркуляции по грани-
границам Lv Za,..., Ln равны Г1; Г2)..., Гл, то ;
где w* (г) — регулярная и однозначная в области потока
') См., например, Н. В. Розе, И. А. Кибель, Н. Ё! Кочин.
Теорётичбскай гидромеханика, ч. И, ОНТИ, 1937, или Л. И. С1ёдов;:
Приложения теории функций комплексного переменного- к некоторым-
задачам плоской гидродинамики, Успехи математических наук, вып.
VI., 1939.

§ 1. ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ И ЕЁ ПРИЛОЖЕНИЯ 129
функция. На границах обтекаемых тел w* (г) удовлетворяет
условию:
F)
k- I
В формулах E) и F) гк означают произвольно фиксиро-;
ванную внутри Lk точку. UOk, VOk, Qk и Ck означают вели-
величины Uo, Vo, U, С, относящиеся к контуру Lk. Теперь можно
функцию у w* (г) найти, как решение видоизменённой за-
задачи Дирихле с граничным условием F). Решив эту зада-
задачу, например, по способу п. 31, мы затем легко уже най-
найдём поле скоростей в потоке.
35. Обтекание двух эллиптических цилиндров. В качестве
примера рассмотрим задачу об обтекании двух одинаковых
эллипсов с полуосями
а и Ь, расположенных
как на черт. 8. Для
простоты вычислений
примем, что поток— —(^ у^ \—^ —~~у~*
бесциркуляционный, и
эллипсы — неподвиж-
неподвижные. Примем также, черт. 8.
что скорость потока
на бесконечности равна U и направлена по оси х. Фор-
Формула E) п. 34 принимает вид
(z). A)
Краевое условие для функции ш (z) = -j w* (г) будет:
на Lk: ^{«(^l^-^-q, A^l,2. B)
Положим
9 С. Г. Михлин

130 Н. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ
В соответствии с п. 31, мы получим для ji(C) следую-
следующее интегральное уравнение:
л@ +т 5 *Ю(~т^ +*С О)*=2Ци, D)
i
причём функцию 6 (/, С) мы определяем так:
где т — параметр, определяющий положение точки эллипса,
если t и С лежат на одном и том же эллипсе, и
— в противном случае1).
Вычислим ядро -os . Введём параметрические урав-
уравнения эллипса Ij:
л: = а -j-a + flcos/, y — bsint,
и эллипса £.,:
л: =—я — а + acost, y=bs'mt.
Если точки / и ^ лежат на одном и том же эллипсе, то,
повторяя вычисления п. 5, мы найдём:
cos(v, г) ^ _ Ь dx o_ «г — Ъ*
±
Если t лежит на Lv а С —на £.2, то
Ь Mo + a) cos т — а sin2 —^-Ч d
2 [(а + аJ + (а + а) (cosf — cost) + «2 sin* Ц^- Л — б2 Cos2 ^^)]
!■) Интегральное уравнение D) и функция Ь (t, Q строятся нами здесь
несколько иначе, чем в пп. 30 и 31. Это сделано с целью упростить
вычисления; существо дела от этого не меняется.

S; ). ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ 131
Наконец, если t лежит на Lit а С—на Llt то .
Ь Г(а 4-«) cos т + а з1п8-
2 [(a + аJ — (а + в) (cos* — cos т) + в2sin2 -^- (l — e2 cos' -^р)]
Обозначим через ^(t) и ji4(^ значения ц(/) на контурах
lt и 14. Уравнение D) можно представить, как систему
с неизвестными цх(Ц и jia(<):
2x
=rj
J
о
f cos т — sin2 -=H) ц2 (t) rfx
:
Y2 + T(cos< — cost) + siu2 iZLT /1 _ 62 C0S2 i+1 \
2,
27
0
0
Cy cos t + sln2 ^) и (т) rft
V 2 J
О
2п 2п
F)
9*

J32 П. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ
Мы здесь обозначили для краткости
у—!±£
Очевидно,
Разлагая ядра в ряды Фурье и сохраняя конечное число
их членов, мы сведем систему F) к вырожденной, кото-
которую решить уже нетрудно.
Мы разберём здесь более подробно случай, когда у
достаточно велико, т. е. расстояние между обтекаемыми
эллипсами велико сравнительно с их размерами. В этом
случае мы можем приближённо положить, сохраняя чле-
члены, содержащие— и —„:
t т
f COST — Sin2—yr-
f2 + Y (cos t — cos t) + sin* ~^1 — e2 cos2
COS T , COS 2: COS (t + t)
S + in2^
?2 + v(.'osf — cost) + sin2—~A —e2cos!——1
cost cos2t , Cos(t-\- t)
Далее, как было установлено в п. 5,
. 1
2 2 (^ть)гк ^cos M cos kx ~sin kt sin

S I. ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ 133
Теперь система F) записывается в виде
K + J
ft=l о
2« 2п
— sin А/ [ jij (т) sin Лт dxj + ^- Ij jjl2 (т) cos xdx +
2л 2rt
2п
о
00 2rt
*=1 О
2: 2c
— sin kt \ ]t, (t) sin ki dx\ — 75— \ v.< (x) cosт Л +
о о
2n . 2rt
4 (t) cos 2t Л -1-5- cos ^ f jix (t) cos t dx +
2<t
f >i1(T)sinTfi?T=26LJsin/.
о
Разложим iij (/) и jij(O в ряды Фурье:
14 @ = 4° + 2 A<jP cos kt + Bil) sin kt,
oo
h @=^J0 + 2 4 } cos & + Bi2) sin «.

134 II. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ
Тогда
со
4° + 2 D1} cos kt + В$ > sin kt) -
CO
-2
OO
A™ + У, C42) cos A* + b£2> sin &/) —
CX5
(8)
ircos^-
Приравнивая коэффициенты Фурье справа и слева в (8),
найдём, что отличны от нуля только коэффициенты fiV* и
B(i2), которые впределяются из уравнений
Отсюда
£A)=ВB)= 8а*(а
и, следовательно,
Теперь

f I. ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ 135
ИЛИ
/ 2lt
* . * / \ * 8aJ (a + 6) уЩ f С sin т (— в sin т + ib cos t) йт .
_ ^2f IZI T*~ ■ ■- < \ * y _l.
I 4 ' 2w 8<i'Y2—Ha4-i) J a + a + ocost -\-ibsint—z
К 0
2к л
Г sin т (— a sin x + Ib cost) dx \
о
Вычислим интегралы в A0). Обозначив в первом интег-
интеграле z—(a+a)=/, а во втором z + a+*=zl, мы придём
к интегралу
2с
г / »ч _1_ Г sin т (— а sin т -f- ib cos t) .
^■~2it/J acosT + ^slnt —г' ЙТ<
о
Положим егг=а. Тогда
= l/J- Г {а+Ъ)*-{а-Ь) rf
2t\2n/ J (a+J)s2 — 2z'e4-a — J 3
J_ Г (а+Ь)& — (a—
2it/ J
2n/ J (a-f-J)o2 — 2г'в + в — J <
Корни знаменателя подинтегральной функции в /t суть
_
1 a + J ' "*— a+b
Выберем то значение корня, которое положительно при
бесконечно больших положительных /. Тогда, повторяя
рассуждения п. 29 (см. сноску на стр. 114), мы найдём, что
внутри круга |а|<1 лежит один корень ая. Теперь не-
нетрудно найти, что
Точно так же найдём
, _ г'— Vz* — &
21 {a — b
и, следовательно,

136 II. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ
Окончательно
(И)
*), A2)
Если в формуле A2) считать величину z'—z — a — a,
фиксированной и устремить а к бесконечности, то полу-
получится известное выражение комплексного потенциала,
соответствующего обтеканию одного эллиптического ци-
цилиндра:
При больших а наличие второго цилиндра меняет скорости
в точках вблизи первого цилиндра на величииы порядка Т*,
§ 2. БИГАРМОНИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ (ПРИМЕНЕНИЕ
ФУНКЦИИ ГРИНА).
36. Проблемы, приводящие к бигармоническому уравнению.
а) Плоская задача теории упругости. Мы
говорим о плоской деформации, если упругие смещения
происходят только в плоскостях, параллельных плоскости
(л:, у), и составляющие смещений ие зависят от z. Обо-
Обозначая через их, иу компоненты смещений, через зх, хху, ау —
компоненты напряжений, мы можем написать систему
дифференциальиых уравнений плоской задачи теории упру-
упругости *):
& $ ^=0, О)
х) Уравнения A) соответствуют случаю, когда тело не подвержено
действию объёмных сил. См. Н. И. Мусхелишвили [28а].

i 2. БИГАРМОНИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ 137
Здесь 1 н ц- коэффициенты Ляме, и
£%- то
Число неизвестных функций в системе A) — B) можно
довести до одной. Именно, уравнениям A) можно удовле-
удовлетворить, полагая
Qx—dyL> хху~~. дхду' Ь~~ дхч * W
Функция W{x,y) называется функцией напряжений или
функцией Эри. Подставив выражения D) в B) и исключив
их и иу, мы найдём, что функция Эри удовлетворяет
бигармоническому уравнению
£»£а E)
Таким образом, решение плоской задачи теории упругости
сводится к интегрированию бигармонического уравнения
при соответствующих краевых условиях.
Выясним, каковы эти условия. Наиболее просто они
формулируются, если на границе упругой области заданы
смещения её точек. В этом случае, обозначая контур упру-
упругой области через L, имеем:
на L ax=g1(t), «,=*,('). F)
где ^ —параметр, определяющий положение точки на L,
a gi@ и g-z(*) — данные функции.
Пусть теперь даны внешние усилия, приложенные к
контуру L. Обозначая их составляющие через Хч и Уч,
мы имеем на основании известных' формул механики
деформируемых сред
вх cos (v, x) + ixy cos (v, y)=X,,\
хху cos (v, x) + зу cos {y,y) =Y,.\ U
Здесь v—внешняя нормаль к контуру L. Заметим, что
где «—длина дуги контура.

138 II. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Подставив в G) выражения напряжений через функ-
функцию Эри, мы получим
ds\dyj ' •" ds\dx
откуда
(8)
Равенства (8) и представляют собой граничные условия
нашей задачи в случае, когда заданы усилия, приложен-
приложенные к контуру. Если контур L—односвязный, то постоян-
постоянные Ct и С2 можно фиксировать как угодно, если же
контур I—многосвязный, то С1 и Са могут иметь раз-
разные значения на разных кривых, составляющих I. В этом
случае они должны быть определены из требования
однозначности смещений. В этом смысле плоская задача
теории упругости аналогична видоизменённой задаче Ди-
Дирихле.
Указанные типы граничных условий—не единственные.
Ниже, в соответствующих местах, мы укажем некото-
некоторые новые типы краевых условий.
Задачи, соответствующие условиям F) и (8), мы будем
называть первой и, соответственно, второй основной би-
гармонической задачей1).
б) Установившееся плоское движение
вязкой несжимаемой жидкости. Уравнения
Навье-Стокса2) в этом случае имеют вид
dvx , dvx » 1 dp
* дх У ду * ~р~дх'
dvv dvv .
(9)
ovx ■ ""У —о
дх + ду~и-
*) В книге Н. И. Мусхелишвили [28а] первой называется краевая
задача теории упругости с условием (8).
2) См. Н. В. Розе, И. А. Кибёль, Н. Е. Кочин. Теоре-
Теоретическая гидромеханика| ч. И, ОНТИ, 1937.;

S 2. БИГАРМОНИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ 139
Здесь vx н ^ — составляющие скорости, р — давление,
р—плотность жидкости, V—коэффициент вязкости. Уравне-
Уравнения (9) написаны в предположении, что объёмные силы
отсутствуют.
Третье из уравнений (9) показывает, что существует
потенциал скоростей Ф:
Подставив это в первые два уравнения и исключив р,
мы найдём уравнение, которому удовлетворяет потенциал
скоростей:
Если в уравнениях (9) пренебречь инерционными
членами, то правая часть в (И) исчезнет и мы найдём,
что Ф удовлетворяет бигармоническому уравнению.
В теории вязкой жидкости принимается, что вязкая
жидкость, соприкасающаяся с твёрдым телом, прилипает
к нему, так что скорости твёрдого тела и соприкаса-
соприкасающихся с ним частиц жидкости совпадают. Отсюда легко
вывести краевые условия в задаче обтекания. Если поток
вязкой жидкости обтекает одно или несколько тел, ко-
которые мы для простоты примем неподвижными, то на
границе этих тел
Если ось х направить параллельно скорости потока в
бесконечности, а величину этой скорости обозначить через
U, то условие на бесконечности имеет вид
lira [Ф(х,у) — Цу] = С, C = const. A3)
Ниже мы увидим, что задача обтекания безграничным
потоком одного твёрдого тела неразрешима, если прене-
пренебречь инерционными членами. В этом состоит так назы-
называемый парадокс Стокса.

140 II. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
37. Комплексное представление бигармоничеекой функ-
функции. Всякая бигармоническая функция W(x, у) (т. е. ин-
интеграл бигармонического уравнения) может быть выражена
через две аналитические функции комплексной перемен-
переменной z=x + iy. Это можно сделать следующим образом.
* Функция P(x,y)=&W— гармоническая, так как ДР =
= Д»1Г=0. Пусть Q(x,y)—сопряжённая с Р(х,у) функция.
Обозначим Р + iQ = 4<{>' (г). Функция
¥ lz)=Р (х, У) + Ч (Х,У)=4
есть аналитическая функция от z. Легко проверить прос-
простым вычислением, что ДAГ—рх—qy) — Q, т. е. что функ-
функция />! (х, у) = W—px—qy гармоническая. Полагая pt (x,y) =
= Re[l(z)} и замечая, что px + qy=Re { z<?(z)}, мы при-
приходим к формуле Гурса, дающей искомое выражение
бягармонической функции через аналитические функции
комплексной переменной y(z) и х(г):
W(x,y)=Re{z4(z) -f i(z)\. A)
Функции <p(z) и ty(z)=i'(z) мы будем называть функциями
Гурса.
По заданной функции W(x,y) функции Гурса определя-
определяются не вполне однозначно. Именно, <p'(z) определяется с
точностью до чисто мнимого постоянного слагаемого, и,
следовательно, <р (г) определяется с точностью до слагаемо-
слагаемого вида i«.z+$, где а—действительная, а р—комплексная
постоянная. Функция ty(z) также определяется не вполне
точно, но это для дальнейшего менее существенно.
Из формулы Гурса легко получаются две важные
формулы, в окончательном виде установленные акад.
Н. И. Мусхелишвили. Первая из них даёт выражение
производных бигармонической функции через функции
Гурса:
где
Ф(*)=*Ч*). C)

{ 2. БИГАРМОНИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ 141
Вторая формула относится к плоской задаче теории
упругости; QHa даёт выражение смещений через функции
Гурса и имеЬт вид
toy) = x'f (г) - z'f (z) - <|» (z). D)
Здесь обозначено
Заметим, что х>1. Формулы B) и Г4) легко получить
из формулы Гурса и уравнений B) и D) п. 36.
Отметим ещё две формулы, связывающие напряжения
с функциями Гурса:
E)
*)]. F)
Формулы B) и D) позволяют свести основные задачи
плоской теории упругости к краевым задачам теории
аналитических функций. Первая задача сводится к по-
построению аналитических функций <f(z) и ф(г), удовлетво-
удовлетворяющих на контуре области равенству
%4{z) — z y'(z) — ф (z) = 2ц (£, + igj. G)
Во второй задаче нужно построить аналитические функции
У (г) и <К«), удовлетворяющие контурному равенству
на Lk <p (z) + z у' (z) + ф (z) =/t + ift + bkl bk = const. (8)
Здесь
s
где Хч и У, суть составляющие внешних сил, приложенных
к контуру, по осям х и у. Постоянные bk должны быть
определены так, чтобы смещения оказались однозначными.
К этой же краевой'задаче, но без произвола в задании
правой части *), сводится задача обтекания в гидродинамике
вязкой жидкости.
') И, следовательно, без дополнительных требований типа одно-
однозначности смещений.

142 tl. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Полезно заметить, что равенство (8) можно рассмат-
рассматривать, как частный случай равенства G) при к — — 1.
Иногда бывает полезно предварительно отобразить кон-
конформно область, заполненную упругой средой или вяз-
вязкой жидкостью, на некоторую другую область. Формулы
G) и (8) тогда несколько меняются. Пусть г=ш (а)—отобра-
(а)—отображающая функция, Обозначим
(Р(*) = (Р(»(а)) = Ф(а); ф (г) = -К» (о)) = Ф (а).
Тогда равенства G) и (8) заменяются следующими:
И
хФ(а) —Щ-ЩГ)- -Ща) =2ji(ft +/ft) (Ю)
ш (с)
^т Ф'(а) +V(a)=f1 + ifl + bk. A1)
Выясним теперь аналитический характер функций Гурса.
Если область, заполненная упругой средой,—конечная
Односвязная и к ней не приложены сосредоточенные силы
или моменты, то <p(z) и ф (z) просто регулярны в области.
Точно так же <Р(г)и ф (z) регулярны в односвязной конечной
области, заполненной вязкой жидкостью, если в области
нет источников или стоков.
Займёмся теперь случаем многосвязной области. Контур
её, как обычно, обозначим через I, составляющие его
внутренние кривые—через Lv Lit..., Ln\ кривую, огра-
ограничивающую область извне (если область — конечная), —
через 10. Самую область обозначим буквой D.
Рассмотрим ограничения, которые необходимо наложить
на поведение функций Гурса в плоской задаче теории
упругости. Из формулы D) п. 36 видно, что P(x,y) = kW =
Напряжения, так же, как и смещения, суть функции
однозначные. Отсюда следует, что Р (дг, у) однозначна.
При этом Q (х, у) будет приобретать постоянное прира-
приращение при обходе каждой из внутренних кривых Lv Lit...,
Lk против часовой стрелки. Обозначим указанное прира-
приращение через ЫАк. Тогда при указанном обходе функция
<Р' (г) приобретает приращение, равное 2niAk. Если zk —

S 2. БИГАРМОНИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ 143
точка внутри кривой Lk, то при том же обходе функция
Ak In (г — 2Д тоже приобретает приращение 2niAk. Отсюда
следует, что
±k(k)f(), A2)
где /(г) — функция, регулярная в D, и /^ — действитель-
действительные постоянные. Нетрудно видеть, что неопределённый
интеграл
также может содержать логарифмические слагаемые, по"
этому, интегрируя равенство A0), мы получим
¥(*) = £ V In (* - zk) + £ Sft Ш (г - г*) + <p»(z). A3)
а=i k=l
В этой формуле <р* (г) — однозначная функция, регуляр-
регулярная в£); Sft — комплексные постоянные, Ak, как мы видели
выше, — действительные постоянные.
Обратимся к функции <!>(*). Формула A2) показывает,
что <р"(г) однозначна. Теперь из F) вытекает, что ф'(г)
также однозначна, а её неопределённый интеграл содер-
содержит логарифмические члены:
где ф*(г) — регулярная в D функция.
При выводе формул A3) и A4) мы воспользовались
только однозначностью напряжений. Выясним, какие огра-
ограничения налагает на коэффициенты AL Bk, Ck требование
однозначности смещений. Формула D) показывает, что
при обходе кривой Lk сумма 2y.(ux-\-iuy) приобретает
приращение
Эта величина равна нулю, так как смещения одно-
однозначны.
Отсюда следует, что
Ah = 0, Ch=-WH, A5)

144 П. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
и мы получаем окончательно следующие выражения для
функций Гурса в плоской задаче теории упругости:
A6)
Коэффициенты Bk имеют простой механический смысл:
где Xft и УА суть составляющие главного вектора внешних
сил, приложенных к кривой Lk. Во второй основной зада-
задаче эти коэффициенты известны в силу краевых условий,
в первой же они остаются неизвестными.
Несколько иной характер имеет многозначность функ-
функций Гурса в гидродинамике вязкой жидкости. Здесь не-
необходимо потребовать однозначность скоростей, т. е.
однозначность производных бигармонической функции.
Формула A3) остаётся в силе. Далее, из формулы D)
видно, что при обходе кривой Lk против часовой стрелки
ф (г) приобретает приращение, равное 2mBk, и, следова-
следовательно,
Ж = 2 Ws-2*) + 4>*(f>> 08)
где Ф*(г) регулярна в D.
Сформулируем, наряду с первой и второй основными
задачами, ещё одну, которую мы будем называть третьей
бигармонической задачей: найти бигармоническую функ-
функцию по заданным на контуре области первым производным,
допуская, что эти её производные, а также первые произ-
производные её функций Гурса однозначны в рассматриваемой
области.
В третьей задаче мы, следовательно, допускаем, что
функции Гурса могут быть представлены в виде A6).
Заметим, что для односвязной области вторая и третья
задачи совпадают.

§ 2. БИГАРМОНИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ 145
Можно доказать, что каждая из трёх сформулирован-
сформулированных нами задач имеет единственное решение1).
Указанный выше парадокс Стокса есть непосредствен-
непосредственное следствие единственности решения третьей задачи.
Действительно, если жидкость обтекает только одно тело,
то заполненная > жидкостью область — односвязная, функ-
функции Гурса однозначны и задача обтекания совпадает
с третьей задачей, которую нужно ставить при следую-
следующих условиях: первые производные искомой функции
равны нулю на границе и ограничены на бесконечности*).
По теореме единственности, искомая бигармоническая
функция равна тождественно постоянной. Но тогда её
производные, т. е. скорости, тождественно равны нулю,
в получается, что вязкая жидкость, обтекающая твёрдое
тело, находится в покое.
Если вязкая жидкость обтекает несколько твёрдых тел,
то можно получить решение, пользуясь произвольностью
коэффициентов Ак. В этом случае задача обтекания имеет
единственное решение только тогда, когда область — двух-
двухсвязная; если же связность области больше двух, то ре-
решений — бесчисленное множество.
38. Функция Грина и ядро Шварца. Пусть D — конечная
область плоскости z=x + iy, односвязная или многосвяз-
многосвязная, и пусть z и C=5-Wij — произвольные точки области
D. Обозначим через г расстояние между этими точками:
г=\г— С|. Как известно, функцией Грина области О назы-
называют функцию G(x, y;£, т)) двух точек этой области, об-
обладающую следующими свойствами:
а) G(x,y; S, r{)=g(x,y; &, ij) — In г, A)
где g(x, у; i, ij) — гармоническая в D функция от S и ij
при фиксированных х и у;
б) если точка £ = ; + iri принадлежит контуру области
D, то
О(*,^;5,ч)=0. B)
1) См. [27:1].
2) Последнее следует из того, что на бесконечности vx = U, vy*B 0.
10 С. Г. Михлин

146 "• ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Функцию g(x,y; S, ij) можно построить, решив задачу
Дирихле при краевом условии: на контуре L области D
g=\nr. ,
Из свойств а) и б) вытекает симметричность функции
Грина:
G(x,y; 5,ч) = ОE, Г, х,у). C)
С помощью функции Грина решается в замкнутой
форме задача Дирихле: если U(х,у) — гармоническая вД
функция, равная и (£) в точке С контура, то
^§ D)
1
где на этот раз v обозначает внутреннюю нормаль к L в
точке С.
Из симметричности функции Грина вытекает, что она
является гармонической функцией не только от £ и t\, но
также от х и .у во всей области D, кроме точки (S, т)).
Введём важное для дальнейшего понятие комплексной
функции Грина. Будем рассматривать G (х, у; Z, -ц) как
функцию комплексных переменных Z и г, и соответствен-
соответственно этому будем обозначать её через G (z\ t). Построим
функцию H(z\ty, сопряжённую с G (z; С) относительно
переменных дг и у. Можно, например, положить
где а — произвольная, но фиксированная точка внутри
области D. Функция Н (z; ^ — действительная многознач-
многозначная функция своих аргументов. Для одной из её ветвей
•имеет место тождество
%0. F)
Комплексной функцией Грина мы называем функцию
/(*;Q. G)
M(z; С) — аналитическая, но нерегулярная в D функция от
г и неаналитическая функция переменной С

§ 2. БИГАРМОНИЧЁСКОЁ УРАВНЕНИЕ 147
Комплексная функция Грина многозначна, так как она
содержит слагаемое — 1п (С— z). Кроме того, если область
D многосвязна, эта функция меняет своё значение при
обходе в плоскости z вокруг любого внутреннего контура
области. Обозначим попрежнему через I, внешний, а
через £,, L,, .... Ln — внутренние контуры области D.
При обходе вокруг Lk против часовой стрелки функция
H(z',C) приобретает некоторое приращение, которое, вооб-
вообще говоря, будет функцией от С Обозначим его через
. />ч If dG , , dG ,
b® \dx + dy
Здесь С=5 + Щ — внутренняя точка области D и z=
=х+ly—точка кривой Lk. Обозначим через п направление
внутренней нормали к!4в точке z и положим \dz\=ds.
Очевидно,
т$ = cos (s, х) = — cos (л, у),
откуда следует, что
При обходе вокруг Ift против часовой стрелки ком-
комплексная функция приобретает приращение, равное 2nibk (С).
То же самое приращение приобретает при таком же об-
обходе функция bk (С) In (z — гЛ), где ^ — произвольная фи-
фиксированная внутри ift точка. Таким образом, комплексная
функция Грина может быть представлена в следующей
форме:
М{г\ Q=M0(z; С)+Д^СIп(г-гЛ)-1п(С-г), (9)
где Мп (z; С) — регулярная в D функция от г. Отметим,
что, как функция от С, Mb{z\t.) однозначна.
10*

148 Н. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ
Докажем, что bk(Z) — гармоническая в D функция
от 2 и т], равная единице на Lk и нулю на L.t /"=
= 0, 1,..., k—l, k-\-\,..., n.
Заменим в (8) £ на z и z на ?. Соответственно этому
заменим л на v и rfs иа dz. Мы получим тогда
Введём в рассмотрение функцию §ft(S) точки С контура
£., полагая
1> если ? лежит на L*> ПО)
0, если С лежит на LjJ^k. K '
Тогда Ък (г) можно представить в виде
Сравнивая это с D), мы убеждаемся в справедливости
нашего предложения.
Пусть теперь в формуле (9) г означает внутреннюю
точку области D, С —точку контура L и v —внутреннюю
нормаль к L в точке С Положим
=М0 A2)
l = r(,;O. A3)
Дифференцируя (9) по v, получим:
^lniz-z^j^j^. A4)
Функцию T{z;Q мы будем называть ядром Шва'рца
области D. Установим его важнейшие свойства.
Ядро Шварца — аналитическая в О функция перемен-
переменной z, 'многозначная, если область D — многосвязная.
При обходе вокруг Lk против часовой стрелки она при-
приобретает приращение, равное 2тлак(£). Далее, T(z\t,)—одни-

t 2. БИГАРМОНИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ 149
значиая и иеаналитическая функция от С Действительная
часть ядра Шварца есть нормальная производная функции
Грина. Одна из ветвей её мнимой части тождественно
равна нулю при z = a:
C)}=0. A5)
Пусть /(С) —непрерывная вещественная функция точки
контура L. Рассмотрим интеграл
Ф (г) — аналитическая функция от г. Из формулы D) видно,
что её действительная часть однозначна в D и на кон-
контуре равна /@- Далее, формула A5) показывает, что
одна из ветвей мнимой части Ф(г) равна нулю при г —а.
Формула A6), таким образом, восстанавливает аналити-
аналитическую функцию по контурным значениям её действи-
действительной части, если только эта действительная часть
однозначна.
Пусть F(z) = u(z) + iv (z) — аналитическая функция, не
имеющая внутри D особых точек. Допустим ещё, что её
действительная часть и(z) однозначна в D и непрерывна
вплоть до контура. Как мы уже видели, интеграл
есть аналитическая функция от z, действительная часть
которой равна u(z). Такая функция может отличаться от
F(.) только на мнимую постоянную. Одна из ветвей мни-
мнимой части последнего интеграла равна нулю при z=*a.
Отсюда легко усмотреть, что
(t,)T{z;t,)dz = F(z)-iv {а). A7)
В этой формуле г? (а) —значение в точке а одной из вет-
ветвей функции v (z).
Если гармоническая в D функция u{z) однозначна, то
сопряжённая с ней функция v{z) будет, вообще говоря,
многозначной. Формула A7) даст возможность по кои-

150 II. ПРИЛОЖЕНИЙ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
турным значениям и (z) вычислить приращение, приобре-
приобретаемое v (г) при обходе кривой L против часовой стрелки.
Это приращение, очевидно, равно
S«(CK(C)<fc. A8)
z
Если однозначна и непрерывна вплоть до контура
мнимая часть v (z), то справедлива формула, аналогичная
формуле A7):
При этом приращение действительной части F(z) при
обходе кривой Lk против часовой стрелки равно интегралу
@ <*». A9)
Если F(z) однозначна, то интегралы A8) и A9) равны
нулю. Отсюда легко получить формулы, справедливые
для любой аналитической функции, регулярной в D и не-
непрерывной вплоть до контура:
d3=0, B0)
$=О.. B1)
i
Для однозначной функции F(z), регулярной в D, верны
одновременно формулы A7) и A7t). Умножая A7t) на I
и затем складывая и вычитая результат из A7), мы по-
получим две важные для всего дальнейшего формулы:
±[ F(Q T(z;Q ds=F{z)-^F{a), B2)
=i% B3)
L
Подчеркнём, что формулы B2) и B3) имеют место
только для функции F(z), регулярной и, следовательно,
однозначной в D.

I 2. БИГАРМОНИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ 151
Отметим частный случай формулы B2), который по-
получается при FB)sl:
JL$-I. B4)
Комплексная функция Грина обладает свойством, ко-
которое мы назовём инвариантностью относительно конформ-
конформного преобразования. Состоит оно в следующем.
Пусть функция t=z(z) отображает область D плоско-
плоскости г на область £>' плоскости t и пусть M'(t;i) — ком-
комплексная функция Грина области D'. Тогда комплексная
функция Грина области D определяется формулой %)
M(z;Q=M'(t(z);6(Q). B5)
Дифференцируя обе части последнего равенства по
нормали, мы найдём соотношение между ядрами Шварца
областей D и £)':
Г(г;0А=Г(|(г);«@)Л|, dj = \dx\. B6)
В заключение сформулируем некоторые теоремы, от-
относящиеся к ядру Шварца и необходимые нам для даль-
дальнейшего.
Теорема 1. Пусть f(Q — функция точки контура I,
непрерывная и имеющая т непрерывных производных по <з
на контуре L, Пусть, кроме того, угол между нормалью v
и осью I также непрерывен и имеет т производных по а.
Тогда функция
непрерывна и т — 1 раз дифференцируема на L.
Теорема 2. . Пусть угол между нормалью v и осью S
непрерывен и имеет т производных по <з на всём контуре L.
Тогда справедлива формула
j ±^ ;Qd,, B7)
*') Доказательство формулы B5) см. в [27d], стр. 20.

152 н- приложения интегральных уравнении
где функция Я (г; С)» ^ш отвлечься от её логарифмических
особенностей, непрерывна вплоть до контура и т— 1 раз
дифференцируема на контуре по z.
Теорема 3. Тождество
*(9, B8)
где С—*точка контура L и функции g(£) a h(£) непрерыв-
непрерывны, эквивалентно системе тождеств
B9)
L I
Доказательство этих теорем читатель найдёт в [27d].
39. Сведение первой и третьей задачи к интегральному
уравнению. В п. 37 было установлено, что первая и третья
бигармонические задачи сводятся к следующей краевой
задаче теории функций комплексной переменной.
Найти аналитические функции <Р {г) и у (■*), удовлетво-
удовлетворяющие следующим условиям:
1) <p(z) и ф(г) не имеют особых точек внутри области D;
2) <р'(г) однозначна в D;
3) на контуре L области D имеет место равенство
где х—постоянная, a g (С) — заданная непрерывная и од-
однозначная функция точки контура. Мы будем считать эту
функцию достаточно гладкой.
В первой задаче
в третьей же надо положить
Область D будем считать конечной.
Приступим к решению сформулированной нами краевой
задачи.

{ 2. БИГАРМОНИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ 153
Часто бывает полезно конформно отобразить область D
на некоторую область D*. Пусть z — a(t) — функция, реа-
реализующая $то отображение. Обозначим
Далее, пусть C=»(t) и G(t)—g(m(t)). Дело сводится
к нахождению Ф@ и Ф(*) по краевому условию
которое должно быть выиолнено на контуре у области D*,
Заметим, что Ф'(*) однозначна в D*. Отсюда следует,
что функция хФ(*) — 4!(t) также однозначна в D*.
Действительно, из однозначности Ф'(*) и G(t) следует,
что хФ@ — Ч? (t) однозначна на контуре. Отсюда следует,
что эта-функция однозначна и внутри области, где Ф(*)
и Ф(*) не имеют особых точек.
По теореме 3 п. 38, равенство AJ эквивалентно сле-
следующим двум:
B)
C)
Здесь у —контур области D*; T(t,i) — ядро Шварца этой
области.
Равенства B) и C) можно упростить. Положим
Ф @ =/» + **, «Р@=Л + ^1.
Гармонические функции х/?—Pi = Re {хФ(*) — *F(<)} и
^+^ = Im { хФ (*)—4х@ } однозначны в D*. К ним

154 И. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ
можно применить формулы A7) и (\7t) п. 38. Так как
то, по указанным формулам,
i \<М + Яд T(t, x)d3 = l [хФ (t) + Ф @1 ~
f
Умножим второе равенство на /., Складывая и вычитая
его из первого, получим:
Так как Ф (^) и Ф (^) определены с точностью до постоян-
постоянного слагаемого, то мы можем положить
Подставляя теперь последние два равенства в B) и C)
и обозначая для краткости
>=-£(/), D)
т т
мы получим
E)
F)

I 2. БИГАРМОНИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ 155
Равенство F) непосредственно определяет Ф(/), если
известна Ф'(т). Обратимся поэтому к уравнению E). Пере-
Перепишем его следующим образом:
= 4*)- Г G)
Функция ■^г~г регулярна в D*, и по формуле B3) п. 38
имеем
t
Подставив это в G) и дифференцируя по /, получим:
Определим постоянную I из уравнения
(8)
И ПОЛОЖИМ
(о. (Ю)
Подставив это в (8), мы получим уравнение для но-
новой неизвестной Q(t):
] *&-*<■*>■
т
Будем считать контур у. достаточно гладким. Тогда
@ и ^гГ"^=^" ^('» тI непрерывны вплоть до кон-
L ш Чт) J . . - :

156 !!■ ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ
тура. Допустим, что t стремится к некоторой точке т0
контура. Переходя в A1) к пределу, мы получим инте-
интегральное уравнение
в котором неизвестной является контурное значение
функции 0(т), регулярной в О*.
Уравнение A2) можно упростить? С этой целью вос-
воспользуемся формулой A4) п. 38, из которой легко
усмотреть, что
где К ((;ч) — регулярная в О* функция от t, и tk — точка
ft (i\
внутри yft, где yft — отображение Lk. Далее, функция -—г
регулярна в О* и, по формуле B1) п. 38,
Теперь для ft(x) получается уравнение
^ = |^(^o)- A3)
Интегральное уравнение A3) —не фредгольмовское,
так как под интеграл входит Ь (т), а не 0(т). Однако его
можно свести к системе двух уравнений типа Фредгольма,
если отделить действительные и мнимые части и принять
р качестве неизвестны* Re{Ht)} Й 1«> {&(*)}• О

t 2. БИГАРМОНИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ 157
следует, что к уравнению A3) применима альтернатива
Фредгольма.
40. Исследование интегрального уравнения. Заметим
прежде всего, что правая часть уравнения A3) п. 39
однозначна в D*. Действительно, в силу формулы A4) п. 38,
*=1
и все три члена справа однозначны и регулярны в D*.
Допустим теперь, что уравнение A3) п. 39 решено и
контурные значения 0(т) определены. То же уравнение
даёт тогда аналитическое продолжение Ь (t) внутрь обла-
области, именно
X 1
Определим теперь постоянную I в формуле (9) п. 39.
Положим в A0) п. 39 t=a и перейдём к сопряжённым,
Мы получим тогда Ф'(а) = Ь(а) + 1 ш (а) . Подставив это
в формулу (9) п. 39, мы получим уравнение для опреде-
определения /:
В первой задаче х^> 1, и / однозначно определяется из
уравнения A). В третьей задаче х= —1, и уравнение A)
переходит в следующее:
<*'(«)
B)
Для того чтобы в третьей задаче постоянная / могла
быть определена, необходимо и достаточно, чтобы веда*.

158 П. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ
чина ?уд была действительной. Если это условие выпол-
выполнено, то
мнимая же часть / остаётся произвольной. Функция Ф' (/)
определяется с точностью до слагаемого вида /аа>'(*),
где а—действительная постоянная.
Найдя Ф'(*)> мы по формулам E) и F) п. 39 найдём
Ф(^) и 4'(t), и легко проверить, что эти функции дают
решение нашей задачи.
Условие, что -1(\ должна быть действительной, экви-
эквивалентно следующему1):
L
Докажем' это. В третьей задаче
и уравнение A2) п. 39 принимает вид
FM * D)
Решим вспомогательную задачу: найти аналитические
ункции /?(*) и S(t), не имеющие особых точек внутри
'*, с однозначной f?(t), удовлетворяющие на у равенству
m+^#F)+mto+pM. E)
ш' (т) ' ш' (а)
Поступая с этим равенством так же, как с равенством
х) В задаче 11 равенство C) означает, что главный момент внешних
сил, приложенных к контуру L, равен нулю. См И. И. Мусхелишвили
PBaJ, ' .

§ 2. БИГАРМОНИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ 159
A) п. 39, мы найдём:
2 <о'(а)
to (а) Ь (а) . ш @ 0 (я)
4 ^Г) 2 ^7E)
Сравнивая (8) и D), мы видим, что уравнению (8)
удовлетворяет f?(t)=b(t). Определив таким образом R'(t),
мы из уравнений F) и G) найдём R(t) и S(t).
Таким образом, решение вспомогательной задачи су-
существует. Обозначим теперь R(t)=r(z), S(t) = s(z), где
z — ш (t). Положим, далее,
Тогда равенство E) принимает вид [см. формулу B) п. 37]
dw* dw* . , ., , 1
Умножим это на dz, проинтегрируем по i и возьмём в
обеих сторонах полученного равенства действительные
части. Мы получим тогда

160 II. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ
Но интеграл слева равен, очевидно, нулю, а второй ин-
интеграл справа—удвоенной площади S области D. Отсюда
co'(a)
и наше утверждение доказано.
Все рассуждения этого пункта основаны на допущении,
что интегральное уравнение A3) п. 39 разрешимо. Дока-
Докажем теперь, что это допущение справедливо, —именно,
что указанное уравнение разрешимо, какова бы ни была
правая часть.
В конце п. 39 было отмечено, что к уравнению A3)
п. 39 применима альтернатива Фредгольма. Нам доста-
достаточно поэтому доказать, что соответствующее однородное
уравнение имеет единственное решение Ь (т) = 0.
Положим g(Q = 0. Тогда A'(t)&=0, и уравнение A3)
п. 39 делается однородным. Пусть Ьо (т0) — какое-либо его
решение.
Отметим, что в третьей задаче (при %= — 1) величина
-,% будет действительной, так как условие C), очевидно,
выполняется При Д + // =0. По известной нам &0(t) мы
найдём соответствующие функции %{z) и %{г), решаю-
решающие первую или третью задачу с нулевыми краевыми
условиями. Пользуясь теоремой единственности, легко уста-
установить, что tfoCz)s=O в первой задаче и 'foB) = C/ (С —
действительная постоянная) в третьей задаче. В обоих
случаях формулы (9) и A0) п. 39 дают $а(г)==0. Разре-
Разрешимость интегрального уравнения A3) п. 39 тем самым
доказана.
Решив третью бигармоническую задачу, мы сможем
решить и вторую задачу, т. е. задачу теории упругости
при заданных внешних силах, действующих на контуре.
Как это сделать, мы покажем ниже на примерах.
Сходным образом решаются задачи теории упругости-
и в случае бесконечной области. В п. 43 мы на примере
покажем, какие изменения претерпевает при этом изло-
изложенный выше метод. Здесь мы заметим только, что
условие C) не необходимо, если область D—бесконечная.
41. Случай одкогвязной области. Выясним, как преоб-
преобразуется интегральное уравнение A3) п. 39 в случае, когда

I 2. ВИГАРМОНИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ 161
область D — односвязная. Пусть функция z*=<o(t) кон?»
формно отображает круг 11 | < 1 на область D. Положим
ещё С=ш(т). Для круга |/| < 1 ядро Шварца, как известно,
есть
) = \±гг A)
Уравнение E) п. 39 принимает следующий вид:
Замечая, что на окружности у ек=-~, мы легко приведём
последнее уравнение к виду
i^ > B)
7
где С и С*—постоянные, равные
Прибавим и отнимем <a(t) в числителе интеграла в левой
части уравнения B). Мы получим тогда
Далее, по формуле B3) п. 38
4e
T
И С. Г. Мяхлин

И. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
и уравнение C) принимает вид ' '"'-' •" ~
Юу()х+С
2-/ J со'(т)(т — t) К ' ш'@) - '-■'
= A{t) + C. D)
На этот- раз мы обозначили
Продифференцируем D) и положим, как в п. 40,
где / определяется равенством
х ш\0
Мы приходим тогда к уравнению
Если в этом равенстве под t понимать точку контура
и под A'(i) контурное значение этой функции, то оно
представляет собой интегральное уравнение для неизвестной
Ь (t). Это уравнение было получено Н. И. Мусхелишвили.
Отметим важную особенность уравнения Н. И. Мус-
Мусхелишвили, Если отображающая функция ш(/}— рациональ-
рациональная, то ядро уравнения C) — вырожденное. Действительно,
пусть со (t) = ^~, где p(t) и q (t) — полиномы. Тогда
ю(т) —м(') _ pjt) q (t) —p \t) q (t)
t — r (i—t)q t q(x) '
Числитель обращается в нуль при x = t и потому делится
нацело на т — t. Частное от этого деления есть полином
от t и т. Мы запишем его в виде
Т — t jhd

§ 2. -БМГЛРМОНИЧРСКОЕ- УРАВНЕНИЕ
163
Теперь ядро уравнения C) имеет вид
1 3 fuV — ш <t\ "| ч& d / t
ш\т) dt
dt
ft (^
F)
и ясно, что это ядро —вырожденное. Теперь, по доказан-
доказанному в п. 4, уравнение C) решается в конечном виде.
■ Мы получаем, таким образом, теорему Н. И. Мусхе-
лишвили: если круг отображается на область D рациональ-
рациональной функцией, "то основные задачи теории упругости для
этой области решаются в конечном виде.
42. Софокусное эллиптиче:ког кольцо. Рассмотрим коль-
_до, огранн-ченное софокусными эллипсами
причём ao->ai (черт. 9). Пусть к контуру кольца прило-
приложены внешние силы, распределение которых нам известно,
Для простоты допустим, что главный вектор внешних сил,
приложенных к каждому
эллипсу .. в отдельности,
равен нулю. В этом слу-
случае функции Гурса <р (z)
«.; ф {z)\ однозначны в.
кольце (п. 37).
Интегрируя составля-
составляющие -внешних сил по
дуге, мы получим значе-
значения производных функ- Черт. 9.
ций напряжений; они
определяются при этом с точностью до постоянных сла-
слагаемых, различных на £0 и Lt. Зафиксируем их как-нибудь
на £(,; на Lt они пока остаются неопределёнными. Обо-
Обозначим через /(?) неличину

164 II. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯ
Тогда функция Гурса удовлетворяют контурному равенству
и £ 0)
Софокусное эллиптическое кольцо очень просто отобра-
отображается на круговое с помощью функции
где ^-^
При этом £0 и £| переходят соответственно в окружности
|1 ^-- О)
Окружности эти обозначим через у0 и у4.
Обозначим теперь
р того, обозначим через 5 величину,, рвщую нулю
на ^t я С на уа. Преобразуя переменные в Щ
Для кругового кольца комплексная функция Грвяз
вестна1), именно
M't т)з= - 1г - ' 1 * ' 1п'т'>|''-' ■ '
00
оо со
Я=1 Ж=1
г) См., например, [4J и [24]. Вьфажение комплексной функции Грина
в [4] содержит ошибку.

§ 2. БИГАРМОНИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ 1Ш
где ос(т) следует определить так, чтобы в некоторой точ*
ке а кругового кольца мнимая часть M(t,i) обратилась в
нуль.
Из E) вытекает следующее выражение ядра Шварца;
со со
2q*n t j: ri q*n 1 дт
Z , _^V л + 2, _£^ & -j; ■ F)
Заметим, что функция
— гармоническая в кольце, равна нулю на внешней окруж-
окружности кольца и единице на внутренней; её нормальная
производная, которую мы, в соответствии с п. 38, обот
значим через ах (т), ортогональна ко всякой функции, регу-
регулярной в кольце. ,
Формулу F) несколько преобразуем. Прежде всего,
Выделим теперь в F) члены, содержащие разность t—x
в знаменателе. Рассмотрим первые слагаемые в третьей
и четвёртой сумме:
\t д '
t
\-qtz д-> ' 1 <L
t-
Л

U. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ
На окружности Yi Xs="%m H> следовательно,
~
x — t т(т —
Точно так же найдём, что на Уо> гДе т = ~^7»
Lt — t x(t — qh)l da '
'■* Введём функцию^ (t, т), полагая
^ м G)
Тогда
';. . . 1 dx ■ (, ,dx_. ,. : ;
Теперь
М 1
л=1
Составим теперь ядро /С(/, т). Имеем

§ 2. БИГАРМОНИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ 167
Отсюда
dt L <■>'(■) J <■>'(") lW
— 1)
jant-Qcmg-i)? 1 J. /llnT_.
^-0 L £ x(i-^) do
_ g*"x do
d
t) fl?3 = 't dt
jLJL[(x-i)(Wlft-i)ri j^
T 4. d/ L <t(poPi<^—1) J
f
4« Л1 H?oPi*2-l) L „=! т<т —
Л=1

168 Н. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Разложим K(t,z) в ряд Лорана по t. Сохраняя в этом
ряде конечное число членов, мы приближённо заменим
ядро K(t, т) вырожденным. Тем самым мы получим при-
приближённое решение нашей задачи.
Недостаток места не позволяет нам более подроб-
подробно остановиться на этом приближённом решении. Заме-
Заметим только следующее. Решая интегральное уравнение,
мы получим Ф'(^) в виде ряда Лорана (конечного,
если ядро (9) заменено вырожденным). Теперь постоян-
постоянную С в формуле A) подберём так, чтобы исчез член
в выражении Ф'@> содержащий у. При таком выбо-
выборе Ф@. а следовательно, и <f(z) будет однознач-
однозначной. Этим будет обеспечена однозначность смещений.
43. Внешность двух
овалов. В настоящем
пункте мы поставим и
решим вторую задачу
теории упругости для
Черт. Ю. области D, получаемой
из бесконечной плоско-
плоскости удалением из неё двух сильно вытянутых овалов
(черт. 10).
Для простоты будем считать, что главный вектор внеш-
внешних сил, приложенных к каждой из кривых Lt и £4, равен
нулю. Нам предстоит тогда найти функции <pB) и ty{z),
регулярные вне вырезов Lx и 1.2 и удовлетворяющие кра-
краевому условию
Относительно формы овалов I, и £2 мы сделаем допу-
допущение., направленное к тому, чтобы упростить решение
нашей задачи.
Плоскость, разрезанная вдоль отрезков (—Ь, — а) и (а, Ь)
действительной оси, отображается на круговое кольцо

§ 2. БИГАРМОНИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ 169
с помощью функции
Здесь положено
— — г
J K<1-*")(!-****)
a
и, наконец, *=т-> *'=V/i—**• За овалы /•! и £а мы
примем кривые, в которые при отображении B) перехо-
_I I
дят окружности 1^1 = ^2 и \t\ = q%, где ^ — число,
большее q и достаточно к нему близкое. Функция B)
отображает область D на круговое кольцо
Решая уравнение B) относительно г, мы получим
где sn — эллиптическая функция Якоби. Полагая в A)
С = о>(£) и пользуясь обычными нашими обозначениями,
мы прядём к такому же краевому условию, как и в пре-
предыдущем пункте:
1?) гь
\F(x) + C m
См., например, [24]. Мы пользуемся здесь обозначением«сри

170 Н. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ
через Yi и у« обозначены окружности \T\=ql2 и |т| =
Обычным способом мы получаем уравнения
D)
1 \ FCO^T) * + | J Г(/,т)Л. E)
Здесь Г обозначает полный контур кругового кольца.
Как и в общем случае, уравнение E) определяет не-
непосредственно Ф@| если Ф'(*) известна, и достаточно
изучить только уравнение D).
Заметим теперь следующее. Так как область D — бес-
бесконечная, то функция z — m{t) обращается внутри кольца
в бесконечность (именно ш(—1) = оо) и, следовательно,
нерегулярна в нём. Если мы выполним над уравнением E)
то же преобразование, которое мы использовали в п. 39,
то придём в конечном счёте к уравнению [см. A1) п. 39]
щ+i \ т
\ / -I Щ
Однако, решив его, мы не решим нашей задачи. Дей-
Действительно, определив из F) контурные значения Ф(т),
мы с помощью того же уравнения F) аналитически про-
продолжим b{t) внутрь кольца. При этом, благодаря наличию
под интегралом слагаемого —w(t), ft(t) окажется, вообще
говоря, нерегулярной в кольце и потому не пригодной
для решения задачи теории упругости.
Мы преобразуем уравнение D) следующим образом.
Положим в нём t=~] и полученный результат вычтем

§ 2. БИГАРМОНИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ 171
из D). Мы получим следующее уравнение:
G)
Ti
В числителе подинтегрального выражения слева вычтем и
прибавим ш@- Отметим, что
(8)
Действительно, функция ш, ,f ■ регулярна в кольце, и по
формуле B3) п. 37
Это тождественно верно при любом t внутри' кольца.
В частности, при i~ ■— 1
Вычитая это из предыдущего равенства, получим равен»
ство (8).
Теперь равенство G) принимет следующий вид:
•» (t)

172 П. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
В этом равенстве ядро интеграла слева регулярно в коль»
це. Дифференцируя по t, получим:
= 5-1 5- F<T> ГС'т> * + S3 J
т»
Ядро Шварца Г(/, т) для кругового кольца определя-
определяется формулой (8) п. 42, в которой нужно только заме-
заменить q через qlt
Так же, как и в случае конечной области, можно
в (9) слева отбросить под интегралом член, содержащий
функцию
М1 , d/l . 1п|т
Оставшуюся часть ядра обозначим через K(t,x). Мы при-
приходим теперь к уравнению с неизвестной Ф (t):
0°)
Tt
ядро которого регулярно, как функция от t, внутри Г.
Обозначим
Второй интеграл справа в A0) вычисляется очень просто.
Действительно, интеграл

$ 3. БИГАРМОНИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ 173
е аналитическая внутри Г функция, вещественная часть
которой равна единице на Y* и нулю на Yi- Этим условиям
удовлетворяет функция
In* 1
1>
щ. пос^дний интеграл может от неё отличаться только
на Чисто мнимую постоянную:
т«
Подставим это в A0). Полагая, что t—»т0, где т0 —точка
на Г, мы получим интегральное уравнение
Так *е, как и в случае конечной области, можно до-
доказать, что уравнение A2) всегда разрешимо. Решив его,
следует выбрать С так, чтобы в ряде Лорана функции
Ф*(*) отсутствовал член, содержащий у. Тогда Ф(*) бу-
будет однозначной в кольце, н наша задача будет решена.
Для того, чтобы практически решить уравнение A2),
можно, разложить K(t,i) в ряд Лорана и удержать в этом
ряду конечное число членов. В статьях [24] и. [25] урав-
уравнение A2) решено для того случая, когда q и qx очень
М8ЛЫ, так что можно пренебречь степенями этих чисел
выше первой. В качестве f£) в указанных статьях
фигурирует функция
A3)
рде А и л «-постоянные. К этому случаю сводится задача
р давлении земли на кровлю двух горных выработок.

f 74 И. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Приведём вкратце это решение. Мы не будем здесь-
проводить вычислений детально, а большей частью будем
давать только их результаты. Прежде всего m(t) разла-.
гается внутри Г в ряд
Г СИ -
_1_Ч !_+! + У( Пи. 9" Urn «Л-
L т=\ ■ ■ ■ -г-.
Далее, полагая в A3) С = о>(т), мы получим
■ Функция ш„(£) регулярна внутри Г, и первые два йн-,
теграла в A5) берутся непосредственно на основании
формул B2) и B3) п. 38. Сложнее вычисление двух дру-:
гих интегралов. Выполнив эти вычисления и сохранйя
только низшие члены, получим выражение правой части
в A2)
-2 [A+«)^ + A-я)^]^+ 3[A+«)?3+A -n)q\\

I 2. БИГАРМОНИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ 175
Сохраняя в ядре K(t, т) только низшие члены, мы заме-
заменим A2) уравнением с вырожденным ядром
гь г tf ФПГ) ,
а
Jb_[qq\ ^
■ 7t ■ • ( Г ,
х)
Через В(т0) мы для краткости обозначили величину A6).
Из уравнения A7). видно, что. ;,
Подставив это в A7) и приравнивая коэффициенты при
одинаковых степенях т„, мы получим систему пятц урав-
уравнений с неизвестными О0, ...,D4. К ним нужно присо-
присоединить шестое уравнение
п ыь
выражающее1 тот факт, что Ф'(') не содержит члена с у.
Решив указанную систему, найдём '
Do = Da = D3 = D4 = 0,.

176 II. ПРИЛдЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНННИЙ
Отсюда приближённое решение уравнения A2) будет:
44. О сходимости ряда последовательных приближений.
Интегральное уравнение A3) п. 39, как мы уже отмеча-
отмечали, равносильно системе двух уравнений типа Фредгольма.
Чтобы построить эту систему, положим
т0,т) + /5(тв,т), \
Отделяя теперь в A3) и. 39 действительную и мнимую
части, мы получим указанную систему:
-/?(т„ т) д(т)} da =
Относительно системы B) мы докажем следующую
теорему *).
Теорема 1. Характеристические числа системы B)
все — действительные и по - абсолютной величине больше
единицы.
Альтернатива Фредголъма позволяет нам заменить пред-
предложение, сформулированное в теореме 1, следующим,
которое мы и будем доказывать.
*) Для случая односвязной области эта теорема доказана Д, И. Шер-
маном [37е], однако его доказательство просто переносится и на
случай многосвязной области.

§ 2. БИГАРМОНИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ 177
Если X — либо комплексное, либо не превосходящее по аб
солютной величине единицы действительное число, то одно
родная система
..*MT)]rfj=0,
C)
т
имеет только тривиальное решение /?(t)s=0, ^(t)s=O.
Рассмотрим сперва случай действительного X. Тогда
|Х|<1. Умножим второе уравнение C) на / и сложим с
первым, рбозначим ещё p(t) -\- iq(i) = b(T). Тогда
Л=О. D)
т
Могут представиться следующие возможности.
а) 0<Х<1. Уравнение B) тогда отвечает первой би-
гармонической задаче при нулевых смещениях на конту-
контуре и при коэффициенте * = у. По доказанному в п. 40,
уравнение D), а с ним и система C) имеет только три-
тривиальное решение.
б) Х= — 1. Уравнение D) отвечает третьей бигармони-
ческой задаче с нулевыми значениями производных иско-
искомой бигармонической функции на контуре, и указанное
уравнение опять имеет только тривиальное решение.
в) Если —1 <Х<0 или Х = 1, положим Х = —а*, Й(т) =
=/й*(т). Уравнение D), по сокращении на /, переходит
в следующее:
= 0. E)
г
Здесь либо 0<Х*<^1, либо Х*= —1. В силу сказан-
сказанного в а) и б) уравнение E) имеет только тривиальное
решение д*(г)=О. Но тогда в(т) = О, p{i)=q(т) = 0.
Пусть теперь число X —комплексное: X = ).t + /Xe и
КФО. Функции р(т) и ^(т), удовлетворяющие системе C),
будут в этом случае также, вообще говоря, комплексны-
комплексными. Положим р (т) =рх (т) + (pt (т), q (т) = 9, (т) + iq, (т), Отде-
12 с, г. михлин

178 II. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
лив в C) действительные и мнимые части, мы придём к
системе четырёх интегральных уравнений: .
A fa) -*i \ №(Ъ, *)/>, (т) + 5(ъ т)^(т)]Л +
[ [/?(т„ т)Л (т) + 5(т„ т) <?, (т)] rfj=0,
т
2 $ [Я fa. х) Pt (т) + 5 (т0> т) Чх (т)] rfj -
т ■ . ■ ■■ ■
,F)
т
fa) - >i 5 f5fa. т) A W - ^?fa, т) 7, (т)] ^J
^ [5(т„ т)А(т)-/?(т„ т)?,(т)] rfj
т
7
■ - ХД [5 (т„ т) А (т) - /? (т0( т) ^ (т)] rfj=0.
т
Третье и четвёртое уравнения этой'системы умножим
на i и сложим соответственно с первым и вторым. Введя
теперь обозначения
мы получим
_ ; ■_ \
^!)^-;, ) ЛГ(т„т)»,(т)«/о=?0.
т • ■ i
Исследуем более подробно систему G). Ядро K(t,i)
регулярно в области О*; отсюда следует, что функции Ь, (т„
и ft«(T,i)i удовлетворяющие системе ^7), аналитически лро-
должимы внутрь D* и в этой области регулярны. Но в
.таком случае они ортогональны к функциям ак(т).

S 2. БИГАРМОНИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ
Вспоминая формулу (п. 39)
мы убедимся, что
У=1, 2.
Подставим это в G) и полученные равенства, пользуясь
аналитическим продолжением, запишем для внутренней
точки t области D*:
т
Обозначим через 6, (t) и 6.2 (^) неопределённые интегралы
от &, (^) и 84(f). Проинтегрируем последние равенства по t.
Выбрав подходящим- образом произвольные постоянные,
с точностью_до которых определены bt(i) и 04(^), мы по-
получим ■ . •
(8)
Последние равенства можно упростить. Действительно,
по формуле B3) п. 38
«
12*

180 tl. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ
Постоянные в правых частях (9) и A0) обозначим
£j и &2. Теперь уравнения (8) можно записать так:
,т)№Й —
Примем, что ш(а)=0.Этим определяется только вы'ор
начала в плоскости t. Определим теперь две новые ана-
аналитические функции 4^@ и Фа@ с помощью формул
Непосредственно можно проверить, что функции
+ 4f1(t) и ЪЛ*) + Ч*А*) однозначны в D*. Далее, из (И) и
A2) следует, что на у выполняются равенства
W=o. j
A3)
В этом можно сразу убедиться, применив к каждому из
равенств A3) теорему 3 п. 38. Мы получим тогда coot-
ношения A1) и A2).
Положим
H.(t) = <l>.(t)+aj0>(t), 7=1,2, A4)
и подберём at и а так, чтобы в A3) исчезли члены, со-
содержащие (o(t). Для этого at и ал должны удовлетворять
системе уравнении
+*, = 0, \
+ ki = Q. f

i 2. 6ИГАРМОННЧЕСК0Е УРАВНЕНИЕ 1$1
Нетрудно ароверить, что при Х.,=£0 эта система разре-*
шима.
Вернёмся к переменной z, полагая <»(f)=z и ш(т) = С
Обозначим
Теперь равенства A3) принимают вид
09 -: Мг @ - *.<й («] + -Ш=о,
Складывая и вычитая последние равенства, получим:
Равенства A6) имеют место на контуре L.
Введём в рассмотрение действительные функции
и\ (Х>У)> ч>\ (Х>У), • • >, vl (x,y), определённые в области D
соотношениями
и\ + lv\ = <р, (z) - (X, + XJ z Ь^ + ф1 (г),
«2 + toa - <Pi (^) - (Xt - Ха) гг <р', (^+ ф, (z),
и\ + iv\ = - ?i (г) + (X, j
и\ +ivl-y% {z)-{\ + X
В этих обозначениях равенства A6) записываются так:
на L u\+iv\ = u\-\-iv\\ U2 + ivl = ul + ivl, A7)
Введём, далее, обозначения
«Pi (*) =РХ + V, Ь (г) =

182 II. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Нетрудно установить справедливость следующих ра-
равенств:
du\ dv] dp1 dv] da] da*
> A8)
du\ dvk dpi dv\ da\ da1
да] dv2, dp"- dv] da2. dq*
du\ dv\ dp** dv2. du2.
Из A7), очевидно, вытекает справедливость следующих
тождеств:
A9)
Л)/>2 2
lm
dp2 2 <3?2 2\ , 1
-& V2~dx U2)dx\-

§ 2. БИГАРМОНИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ ' 183
Интегралы в A9) преобразуем по формуле Грина в
двойные. Введём обозначения:
Пользуясь тождествами A8) и уравнениями Коши-Римана
лля функций р> и qi, получим из A9):
= (\ +\~
-1,) А +A-
Исключая отсюда Ап и Ви, мы получим
Так как числа Лу, В;- — неотрицательные, a l.z ф 0, то
^ = ^ = ^ = 5.^ = 0.
Но в таком случае
дх ох дх дх '
&, следовательно,
Ч>; (г) = *,'(*) ^0.
Переходя опять к переменной t, z=<s>(f), мы найдём, что
или
о; it)+ay (t) =, о, о; (о +«,«' (о=о.

184 II. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ
Определив отсюда числа kt и ka [формулы (9) и A0)]
и; подставив их в A5), найдём a1 = ai=Q и, следовательно,
6j (t) = 6'2 (t) *=s 0. Вспомнив теперь, что
мы убеждаемся, что pl=pi=q1 = q,^=O, и система C) в
случае комплексного * имеет только тривиальное решение.
Теорема 1 доказана полностью.
Теорема 2. Ряд последовательных приближений для
уравнения A3) п. 39 сходится.
Параметр \ в уравнении A3) п. 39 — действительный
и по.абсолютной величине не превосходит единицы. Ука-
Указанное уравнение при действительных "к эквивалентно
системе C), для которой все точки круга | X | < Г не
характеристические. Решение системы A3) п. 39 в этом
круге разлагается в ряд Тэйлора по степеням \. Это
равносильно тому, что ряд последовательных приближе-
приближений для системы C), или, что то же, для уравнения A3)
п. 39, сходится.
Следует отметить, что применение на практике метода
последовательных приближений затрудняется тем, что
при этом необходимо вычислять большое количество
квадратур.
§ 3. ОБОБЩЁННЫЙ АЛГОРИФМ ШВАРЦА
45. Задача Дирихле для миогосвязной области на пло-
плоскости. Пусть D — многосвязная плоская область, которую
мы сперва предположим конечной. Как и выше, мы обо-
обозначим ограничивающие её кривые через Lo, Lv..., Ln,
причём Lo будет у нас обозначать кривую, ограничиваю-
ограничивающую область извне. Обозначим, далее, через £>„ область,
лежащую внутри Lo, и через Dk — область, лежащую вне
Lk, k = 1, 2,..., п. Очевидно, область D является частью
каждой из областей £>„, D,,..., Dn.
Пусть U(x, у) — гармоническая в D функция и V(x, у)—
её сопряжённая. Обозначим U(x,y)-\-iV(x,y) = y(z). В п. 30
было показано, что <р (г) может быть представлена в виде
<р(*) = «Р*(*)+ ^Иф-е»), О)

3: ОБОБЩЁННЫЙ АЛГОРИФМ ШВАРЦА
185
где <р* (г) — регулярная в D функция, Ак — действитель-
действительные коэффициенты и z^ — фиксированные точки внутри^.
Докажем, что 4*{z) можно
представить в виде суммы фун-
функций, каждая из которых ре-
регулярна в Dk. Возьмём в D
произвольную точку z. Прове-
Проведём внутри D кривые L'a,L'u ..., Mj Le
L'n, близкие соответственно к cv
кривым Lt, Llt ..., Ln, так, чтобы
точка z оказалась внутри об-
области,' ограниченной кривыми
К, Ll .... L\ (черт. 11). Сово-
Совокупность этих кривых, обходимых в положительном на-
направлении, обозначим через L'. Теперь, по формуле Коши,
Черт. П.
Функция
£2 $££* <2>
1 = 0, 1,2, ...,«, C)
регулярна внутри £<j(A=O) или вне Ц(А=1, 2,..., и).
Но кривые ilk можно взять как угодно близко к Lk. Отсюда
следует, что yk(z) (Л-—0, 1, 2, ..., я) аналитически про-
должима во всю область Dk. Так как
ГМ-420*М.
наше утверждение доказано. Обозначим
D)
.Тогда из A) и D) следует представление функции, гар-
гармонической вО(в виде
E)

186 II. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ.
где функция £/*(.*:, .у)—гармоническая вО4. Функции Uk (х,у)
в формуле E) не определяются единственным образом;
действительно, к каждой из них можно прибавить постоян-
постоянную ak, если только
Допустим теперь, что мы умеем сравнительно просто
решать задачу Дирихле для каждой из областей Dk. Как
мы покажем, решение задачи Дирихле для области D
можно свести к решению некоторой, также сравнительно
простой, системы интегральных уравнений.
Обозначим через иА(С) значение функции Uk(x,y) на
контуре Lk. Величины ak(t) мы и примем за неизвестные
нашей задачи. Раз решение задачи Дирихле для обла-
областей нам известно, то мы можем считать известными
функции Грина этих областей Gk(z; £). При этом
vk(*,y)=±[«AQdJ^d, F)
Пусть fk (?) — значение искомой функции U(x, у) на
кривой Lk. В формуле E) будем под z = x + iy понимать
L Н й U() f () U ()
р k фру () у y
точку кривой Lm. На этой кривой U(x,y) =fm (z), Um (x,y) =
= um(z), а значения остальных функций Uk{x,y) опре-
определяются формулой F). Теперь формула E) даёт:
на£т
$
кфт 1к
п
=/.0-2^Ф-г*|. G)
*= 1
Равенства G) образуют систему интегральных урав-
уравнений типа Фредгольма с неизвестными uk{^), k — 0, I, ...
...,п. Коэффициенты Ak будем пока считать произволь-
произвольными.
Система G) неразрешима, если правая её часть задана
произвольно. Чтобы убедиться в этом, достаточно дока-
доказать, что соответствующая однородная система:
1т / «й-Ю + 2. £ J Ч @ Щ^~ da = 0 (8)
кфт Lk

§ 3. ОБОБЩЁННЫЙ АЛГОРИФМ ШВАРЦА 187
имеет нетривиальные решения. Отметим тождество .-
\^1 1$)
означающее, что гармоническая функция, равная единице
на контуре, равна единице тождественно. Из (9) непо-
непосредственно вытекает, что однородная система (8) имеет
решение чт{г)=^а.т, где осот —постоянные, сумма которых
равна нулю.
Систему G) нетрудно изменить так, чтобы она стала
разрешимой. Пусть lk (С) — функции, подчинённые условию
а в остальном — произвольные. Заменим систему G) сле-
следующей:
А= 1
Докажем теперь, что система A1) разрешима, какова бы
ни была её_правая часть. В соответствии с альтернативой
Фредгольма" рассмотрим однородную систему: ■ ■••■■-
на
Пусть 0о(г)» ^lfc)» •••» ^л(г)~некоторое решение этой
системы. Обозначим через ат постоянные"
В этих обозначениях система A2) принимает вид
^W^'V A3)
Величину vm(z), которая О1ределяется с помощью
системы A2) на кривой Lm, будем .рассматривать, как

188 II. • ПРИЛОЖИЛИ* ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ
контурное значенмй функции, гармонической в Dm. Эту
функцию будем обозначать символом Vm(z). Очевидно,
что функция, сопряжённая с Vn(z), однозначна в Dm,
так как область Dm — односвязная. Составим функцию
Эта функция — гармоническая в D; сопряжённая с ней
функция однозначна в О. Формула A3) показывает, что
функция V(z) принимает на каждой из кривых Lm постоян-
постоянное значение, равное ат. Докажем, исходя иа этого, что
V(z) = const.
Введём в рассмотрение функции bm(z) и am(z) [см.
п. 38, формулы A0) —A2)]. Положим ещё bo(z)s==\.
Нетрудно видеть, что
V (z) = atb0 (z) + J (ак- в,) Ък (г). A4)
Условия однозначности V(z) состоят в выполнении тождеств
kC)d3=0, А=1,2,'...,я. A5)
Заметим, что тождество A5) верно и при k*=0, так к8к
тогда *0(C)sl и aft(C) = O. Умножим теперь A5) яа л0
при k=0 и на ak—aa при k >0 и полученные равенства
сложим. Пользуясь формулой A4), получим
Но, как доказывается в теории потенциала, если V(z) —
гармоническая в D функция, то (v — внутренняя нормаль)
L D
следит, что

I & вШШЁйМШ АЛГОЛА ШВАРЦА 189
Ш уведнтьсй теперь, что функции Vm(z) также
| самом дел!,
Так как КО?) — воетфвйяая, то все слагаемые справа суть
функции, . ЩшМтёОШ внутри Lm, и, следовательно,
Vm(z) - гармоч^фк^^гри Lmфункция. Но Vm (z)гармо-
(z)гармонична вне 1т х$& &^р0ШШо. Таким образом, оказывается,
что ^m{z) rapMQBg4Sf£ Щ всей плоскости. По теореме
Лиувилля, VOT (г) =*c^it.
Подставим тт§0 Щ (Ш постоянные вместо vk{z).
Пользуясь соотнощеййямй |%) и A0), мы получим сразу
vk(z)m0.
Отсюда следует, что система A1) разрешима.
Покажем теперь, как с помощью этой системы можно
решить задачу Дирихле. Решим систему A1), заменив в
ней правые части сперва на/от(z), затем на \n\z — zk\. Соот-
Соответствующие решения обозначим через Wm(z) и Wkm[t).
Тогда решением системы A1) будет
m{) m{)itkkm{)
Постоянные Ак, которые до сих пор оставались неопре-
неопределёнными, подчиним требованию, чтобы суммы
были одинаковы для всех значений /и=0, 1 я. Это
даст систему я + 1 уравнения с я + 1 неизвестными A, Av
Ait ..., Ап. Найдя эти неизвестные, мы получим решение
задачи Дирихле в виде
Значительно проще решается видоизменённая задача
п . . ..... . ■
Дирихле. В этом случае Ак=0 и U='£uk. Функции UH(z)

190 И. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ
■можно определить из системы:
1т
-k 2
Величины
и дают значения постоянных, которые нужно вычесть
из fm(.z) в соответствии с постановкой задачи.
46. Случай трёхмерной обла;ти. Тот же приём, и притом
в значительно более простом виде, можно применить к
решению задачи Дирихле . в пространстве. Пусть эта
задача поставлена для области О, граница которой состоит
из нескольких отдельных поверхностей St, ..., Sn. Ofio-
.значим через Dm ту из двух областей,. ограниченных
поверхностью Sm, внутри которой содержится область 0.
Функция' и(МУ), гармоническая в D, может быть пред-
представлена в виде суммы функций, гармонических в Dm.
Это сразу следует из формулы Грина, которую мы можем
представить в виде
и очевидно, что функция
гармоническая в D.
Представление и(Ц) в виде
%т() f _ . C)
'> Через Л1 мы обозначим здесь переменную" точку

§ j. ОБОБЩЕННЫЙ АЛГОРИФМ ШВАРЦА 191
— единственное. Чтобы доказать это, допустим, что
существует ещё одно представление
U(M)=£, U'm(M),
т—\
где U'm(M) — функция, гармоническая в Dm. Вычитая это
из C) и'полагая для краткости Um — U',n — Vm, найдём:
2 vm=o.
т=\
Запишем это равенство в виде
*2»
кфт
Левая часть этого равенства гармонична вне Sm, a
правая — внутри Sm. Но в таком случае Vm(M) оказывается
гармонической во всём пространстве, и, следовательно,
равной нулю. Этим единственность представления C)
доказана.
Обозначим через fm{M) заданное на поверхности Sm
значение искомой функции U(M). Допустим, что мы
умеем решать задачу Дирихле для каждой из областей Dm,
и пусть Gm(M, /И,) — функция этой области. Рассуждая
так же, как и в предыдущем пункте, мы легко придём
к следующей системе интегральных уравнений:
кфт S't
=fm{M),- и=1, 2, ...,я. D)
В отличие от случая плоской задачи, система D) всегда
имеет решение. В самом деле, пусть vt(>),..., vn(M)
удовлетворяют однородной системе
+ Е2 Я**{Щ д0*{1'M*dS=0. E)
кфт Sk
Обозначим через Vm(M) гармоническую в Dm функцию,
равную vm (Ж) на Sm.

192 II. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Сравнивая системы E) и D), мы видим, что функция
m=l
— гармоническая в £> и равная нулю на её границе. Но
тогда 1/(ЛГ) = 0, и так как представление C) единственно,
то Vm (Ж) г=0. Таким образом, однородная система E) имеет
только тривиальное решение; в силу альтернативы Фред-
гольма, неоднородная система D) всегда имеет решение,
которое, очевидно, приводит нас к решению задачи Ди-
Дирихле для области D.
47. Обобщённый алгорифм Шварца. Вернёмся к плоской
задаче (п. 45). Для простоты допустим, что область
D —бесконечная, так что контур Lo отсутствует. Примем
за lk(Q функции
l*(Q = d-^%~\2=a,, A)
так что система A7) принимает вид:
на L
.
=/«,(*)>*= 1.2,..., я. B)
Допустим, что кривые Lk достаточно удалены друг от
друга. Тогда, как легко видеть, ядра системы B) будут
малы, и очевидно (см. п. 2), что система B) разрешима
по методу последовательных приближений.
Проанализируем подробнее алгорифм последовательных
приближений для системы B). С этой целью поступим
следующим образом. Введём параметр к в уравнение B).
Мы получим новое уравнение:
"а г
.
=/«,(*), я= 1,2, .... л. C)
Его решение будем искать в виде
«.(*)■? 2 (-0*4* (i). D)

5 3. ОБОБЩЁННЫЙ АЛГОРИФМ ШВАРЦА 193
Подставим это в C). Приравняв коэффициенты при одина-
одинаковых степенях X слева и справа, мы получим следующие
рекуррентные формулы:
Полагая теперь в D) Х = 1, мы найдём решение уравне-
уравнения B).
Формулы E) определяют функцию umr(z) только на
кривой Ljh. Пусть теперь z означает произвольную точку
области Dm. Символом Umr(z) мы будем обозначать гар-
гармоническую в Dm функцию, значения которой на контуре
этой области определяются формулами E). Очевидно, что
внутри Dm
U (г)= 1-{и (С) дОт{?'^ dn
и формулы E) можно представить в таком виде:
Как показывают формулы F), члены ряда D) можно
построить следующим образом.
В качестве нулевого приближения мы строим гармо-
гармонические в Dm функции ^ото(.г), контурные значения ко-
которых совпадают с заданными функциями fm(z).
Если построены функции Um0{z),.. , Um>y^i(z), то
Umr{z) определяется так: из функций Uk>r^i{t), k=f=m, вы-
вычитаются их значения на бесконечности, полученные .раз-
.разности вычисляются на кривой Lm и затем суммируются
по всем k, не равным т. В результате мы получаем зна-
значения функции £/WrB) на контуре 1т й далее с помощью
соответствующей функции Грина мы находим эту функ-
функцию Umr(z) во всей области Dm. Искомая гармоническая
в D функция U(z) равна сумме ряда
оо п
/*=0 /71=1
13 С. Г. Михлин

194 II. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Изложенный нами процесс по идее сходен с знакопере-
знакопеременным алгорифмом Шварца; мы будем называть его
обобщённым алгорифмом Шварца.
Обобщённый алгорифм Шварца делается особенно
простым в том случае, когда область D двухсвязная. Мы
можем считать, что /„ (С) s= 0. Для этого достаточно из
искомой функции U (г) вычесть функцию U' (г), гармони-
гармоническую в D% и равную /, (г) на Lk, Формулы F) дают
теперь:
Из формул (8) следует, что UXr(z) при г нечётном и Uir(z)
при г чётном тождественно равны нулю. Обозначим те-
теперь для краткости -
Ulr(z)=U,(z), U,r(z)=Vr(z).
Тогда
)-Vt{z)+... (9)
Без существенных изменений применяется обобщён-
обобщённый алгорифм Шварца и в случае конечной многосвязной
области. Достаточно функцию /0 (S) заменить нулём. Можно
принять также
где а — произвольная точка внутри D.
В случае трёхмерной области обобщённый алгорифм
Шварца упрощается. В уравнение D) п. 46 введём пара-
параметр X и напишем уравнение в виде:
ПZ A0)
кфт St
Решение его будем искать в виде
2(-i)^««rW (и)
г=0

...J3. ОБОБЩЁННЫЙ АЛГОРИФМ. .ЩБАРЦА. . * 195;
Мы придём .тогда к. рекуррентным формулам: :
=й 2!
Если Af будет теперь означать внутреннюю точку
области Dmt та под итг(м) мы будем понимать гармони-
гармоническую в Dm функцию, значения которой на Sm опреде-
определяются из A2). Но в таком случае
■'--•■ :...-«*. -. . : ■ ■.-...-
и соотношения A2) принимают более простой вид:
Ъ • A3)
■ Как это очевидно следует из формул A3), последа-:
вательные приближения строятся так: нулевым прибли-
приближением служат функции Um0(M), /ra=l,2,..., п, гармо-
гармонические в Dm и равные fm(M) на поверхностях Sm. Если
приближения Um(M), Umt(M),..., Um>r-i{M) построены,
то U^M) определяется как гармоническая в Dm функ-
функция, которая на поверхности Sm равна сумме
. ■ кфт
Обобщённый алгорифм Шварца приводит к сходяще-
сходящемуся ряду, какова бы ни была область D.
Доказательство этой теоремы можно найти в статье
С. Л. Соболева [34]. Мы ограничимся здесь случаем
двухсвязной трёхмерной области, для которого доказа-
доказательство элементарно. .
Как было уже отмечено, наш алгорифм совпадает с алго-
алгорифмом последовательных приближений для системы
интегральных уравнений1):
на St и, (М) + JL
S I
°4)
, )
I
на s2 и2 (м) +1 j fa (Mt) dG>(Мд; "* ds=A(M).
\ >
1) Мы пишем здесь эту систему для интересующего нас случая
двухсвязной области. .......... ■ - - •
13*

196- II. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Рассмотрим однородную систему интегральных урав-
уравнений, содержащих параметр X:
на 5, i
на S» 1
Докажем, что характеристические числа этой системы
по модулю больше единицы. В силу доказанного в п. 5,
отсюда будет следовать сходимость алгорифма последова-
последовательных приближений для системы A4).
Если Ж—внутренняя точка области Dm (отд=1,2), то
под Ux (М), £/2 (М) будем, как и выше, понимать гармони-
гармонические в Dlt Di функции, значения которых на S,, соот-
соответственно 52) определяются из системы A5). Тогда эта
система может быть записана так:
на
= 0, \
=0. J { }
Функции Ul(M) и U^(M) могут быть комплексными, тем
не менее теорема о максимуме модуля остаётся для них
справедливой *).Обозначим через Ак максимум \Uk(M)\ и
х) Пусть на Si | U, (М) | < Л". Тогда внутри
rfS.
Но нормальная производная функции Грина положительна внутри
области. Отсюда
s,
Далее, интеграл
1 CCdG(M, Mt)
есть гармоническая в Dt функция, равная единице на Sj. Эта функция

8 3. ОБОБЩЕННЫЙ АЛГОРИФМ ШВАРЦА
197
через Nk — ту точку поверхности Sk, в которой | Uk \ — Ал.
В первом из уравнений A6) положим /И=л/,, а во вто-
втором M—N%. Теперь из этих уравнений следует
A,
Отсюда
A7)
. Оба множителя справа больше единицы, так как обла-
области £>, и D2 — бесконечные, функции £/, и U.it гармони-
гармонические в этих областях, отличны от тождественных посто-
постоянных, а в таком случае значение гармонической функции
во внутренней точке строго меньше, чем её максимум на
границе. Окончательно, \ 1г \ > 1, что и требовалось доказать.
Наше доказательство сходимости обобщённого алго-
алгорифма Шварца остаётся в силе и тогда, когда область О —
конечная. В этом случае одна из областей, например Dv —
конечная, а другая— бесконечная. Тогда вформ/ле A7) пер-
первый множитель справа не меныле единицы,а второй строго
больше единицы. Попреж-
нему |Х|> 1, и этого доста-
достаточно для сходимости на-
нашего алгорифма.
48. Обтекание крыла аэро-
аэроплана воздушным потоком
вблизи поверхности земли.
Для простоты вычислений
примем, что крыло — круг-
круглого сечения. Оси коорди-
координат выберем, как показано
на чертеже 12. Будем счи- ,
'тать, что крыло движется в направлении оси х с посто-т
янной скоростью О; скорость частиц воздуха на бесконеч-
бесконечности, примем равной нулю. Наконец, примем, что дви-
движение— бесциркуляционное. Функция тока ф(х, у) ре-
Черт. 12.
внутри Di равна единице, если область D — конечная, и меньше еди-
единицы, если эта область —бесконечная. Окончательно
во всей области D\.

198 II. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ
шаёт видоизменённую задачу Дирихле со следующими
условиями на границе*):
на окружности \z — b\ = R, ty = Uy + C, С = const, A)
на оси х . ф = 0. B)
К этой задаче применим обобщённый алгорифм Шварца.
Через Lt обозначим контур сечения крыла, через L% — ось х.
Тогда Dt будет представлять собой плоскость с круговым
вырезом, a D.2 —верхнюю полуплоскость. Мы можем вое*-
пользоваться непосредственно формулой (9) п. 47, так
как <J) = 0 на 1{. • . ;;'
ф (х,у) = Uo (х, у) - Vt (х,у)+ U, (х, у) - V, (х, у) + .,, C)
: Функция Uo (х,у) — гармоническая в Du равная на окруж-
окружности Z.J величине Uy = UR sin 0а). Нетрудно видеть, что
этим условиям удовлетворяет функция
0(x,y)
На бесконечности Uo (х, у) = 0, а на оси х
Теперь Vi(x,y) определяется, как гармоническая в
верхней полуплоскости функция, которая на границе полу-
полуплоскости обращается в — ^nirjs > По известной формуле
V (х v)— V^\
Контурные значения следующего приближения мы полу-
получим, вычтя из Vt(x,y) её величину на бесконечности и вы-
вычислив значение полученной разности на окружности Lx,
Так как на бесконечности Vi\x,y)=0> то контурные зна-
значения U%{x,y) равны просто значениям Vt(x,y) на Lt:
naLt иг{х,у) = -
') См. п. 34.
2) Обозчяченчд чрртгжа 13. Постоянную С мы отбрасываем, как
несушественну.о при рещзнии влдоизменблной .Ч1дачи'Дирихле.' '

S 3. ОБОБЩЁННЫЙ АЛГОРИФМ ШВАЩА 199
Теперь по формуле Пуассона
* 2b + Rsin9
Ч
2в J #J + 4*2 + 4ft# sin в
о
4ft2 [х2 + (у — ftJ
Ограничиваясь полученными приближениями, имеем
x,y) = Uo(*,y) ~ Vi (Х,У) + иЛ*,У) = т{-^-Ь_ьу,
, У+Ь 2Ь\# + (у-УП + №(у-Ь) у
(у
49. Применение к задачам теории упругости. Обобщён"
ный алгорифм Шварца и связанная с ним система инте-
интегральных уравнений.могут быть использованы не только в
задачах, относящихся к уравнению Лапласа, но и каждый
раз, когда решается краевая задача для уравнения эллип-
эллиптического типа в случае многосвязной области. Поясним
это на примере плоской задачи теории упругости. Огра*
ничимся случаем конечной многосвязной области. Случай
бесконечной области рассматривается аналогично.
Итак, пусть ставится задача об определении напряжён-
напряжённого состояния в многосвязной области D, ограниченной
изнутри контурами Lv L,..., Ln и извне — контуром LQ.
Эта задача, как мы знаем (п. 37), сводится к нахожде-
нахождению бигармонической в D функции по данным на контуре
значениям её производных. Именно, обозначим соста-
составляющие по осям х, у внешних сил, приложенных к
контуру Lki через Хкч и Yk4, а искомую бигармоническую
функцию — через W. Тогда
на Lk
=/*(*) + **, * = 0, 1,2,..., я; A)
г — комплексная координата точки контура.
В формуле A) Вк — постоянные. Одна из постоянных
Вк может быть выбрана произвольно, и тогда остальные
определяются из условия однозначности смещений. Мы
будем считать, что главный вектор и главный момент сил,

200 11. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
приложенных к каждой из кривых, равны нулю. Этого
всегда можно добиться.
Обозначим через DQ область, лежащую внутри Lo, и
через Dk — область, лежащую вне Lk, k==\, 2,..., п.
Можно легко доказать, что при выполнении только что
сформулированного условия функцию W можно предста-
представить в виде суммы бигармонических функций
W = W0 + W1+...+Wn, B)
причём каждая функция Wk регулярна в соответствую-
соответствующей области Ok. Допустим теперь, что мы умеем решать
задачу теории упругости для каждой из областей Dk.
Если нам будут известны значения величины
j* (г)
на соответствующей кривой Lk, то, решив указанную за-
задачу в каждой из областей Dk, мы найдём функции Wk,
а следовательно, и W. Тем самым будет решена задача
теории упругости для нашей многосвязной области D.
Дело сводится к построению величин gk (z}.
Сделаем несколько предварительных замечаний.
1. Подробный анализ, которого мы здесь приводить
не будем1), приводит к следующему результату: пусть
D — односвязная область и L — её контур. Пусть, далее,
~U— бигармоническая в D функция, и пусть на контуре L
dU , .dU , -.
Тогда в любой внутренней точке области D
< (з)
где Mt и Afj — функции непрерывные, пока точка (х,у)
остаётся внутри области, а точка С — на её контуре; эти
функции полностью определяются областью D. Для крат-
») См. [37Ь], стр. 5-8.

§ 3. ОБОБЩЁННЫЙ АЛГОРИФМ ШВАРЦА 201
кости будем обозначать интеграл в правой части C) через,
M(z; g), так что
Tx + l-=:M(z; g). C.)
Оператор уИ, соответствующий области Ok) будем обозна-
обозначать через Mk(z; g), так что, в частности,
2. Если g (z) зэ g — const, то из теоремы единственности
решения задачи теории упругости вытекает, что
их^ оу s'
Отсюда следует, что
при g(Q^g = const, M(z; g)ssg. E)
3. Так как функции Wk — бигармонические в одно-
связных областях, то соответствующие им смещения од-
однозначны. Но тогда, в силу формулы B), автоматически
будут однозначны и смещения, соответствующие функ-
функции W. A priori ясно, что функция B) не может удовле-.
творить контурному условию A) при произвольных зна-
значениях постоянных Bk, ибо, как уже было отмечено, при
произвольном их выборе смещения, вообще говоря, много-
многозначны. Мы будем поэтому ставить нашу задачу так:
функцию W мы будем искать в виде B); при этом мы
будем добиваться, чтобы W удовлетворяла контурному
условию
. dW .dw , , ч fC,
с точностью до постоянного слагаемого, которое может
быть различным на различных контурах.
Нетрудно теперь составить систему илтегральчых урав-
уравнений для неизвестных gk(fy. Именно, на кривой Lm
0Х ^ Су

202 и. приложения интегральных уравнении
Далее, если k4=m, то Lm лежит внутри области Dk, и по
формуле D)
на
где г означает точку на Lm. Используя формулы B) и E),
мы получаем интересующую нас систему:
кфт
G)
Как и в случае плоской задачи Дирихле (п. 45), система G)
в общем случае неразрешима. Чтобы в этом убедиться,
рассмотрим однородную систему:
на Lm g<%> (z) + 2 Mk (г, g^) = 0. (8)
кфт
- Как это следует из формулы F), системе (8) удовле-
удовлетворяют £от} (г) —ат — const, если только постоянные ат
подчинены единственному условию а0 + а, + ... +ап = 0.
Таким образом, однородная система (8) имеет нетривиаль-
нетривиальные (отличные от тождественного нуля) решения, и из
альтернативы Фредгольма вытекает неразрешимость систе-
системы G).
. Преобразуем теперь систему G) так, чтобы она стала
разрешимой. Введём в рассмотрение интегралы
где функции лк (£) и РА (С) мы подчиним следующим усло-
условиям:
1) они непрерывны на Lk;
2) ) \
Lk Ik
Систему G) заменим следующей:
на Lm gm(z) + 2 {Мк(z;gk)-Nk(gk)} =
кфт .
=fm(.z); «=o,r,.'..-,я. (П)

§3. ОБОБЩЁННЫЙ АЛГОРИФМ ШВАРЦА 203
Докажем, что система A1) разрешима, каковы бы ни
были функции fm(z). С этой целью рассмотрим соответ-
соответствующую однородную систему
= 0; ' A2)
кфт
/и = 0,1,..., п
и докажем, что она имеет только тривиальное решение
$\г) = 0, т = 0, 1, ...,*. Пусть glo\z),g\O)(z),. ..,d?\z) -
какое-либо решение системы A2). Обозначим
2
кфт
Величины ат, очевидно, постоянные. Теперь из A2) сле-
следует, что ' "
на Lm g(^(z)+ 2lMk(z;gi0))=am. A3)
к
Введём в рассмотрение бигармонические в Dm функ-
функции W(m}(х,у), удовлетворяющие на Lm равенству
дх ^1 ду 8т
По формуле D), внутри Dk имеем:
дх ' ду
Положим теперь
y)= 2w™{x,y). A4)
т = 0
Функция W(°)(x, у) — бигармоническая в многосвязной об-
области D; так как она распадается на сумму функций, би-
гармонических в односвязных областях, то ей отвечают
однозначные в D смещения. Из A3) следует, что
Из формулы A) следует, что

204 II. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Применяя это к равенству A5), где fk(z)=ak = const, на-
находим: Xk4=Yk4=0. Итак, бигармоническая функция №<°>
соответствует напряжённому состоянию в многосвязной
области D, контур которой свободен от действия внешних
сил. По теореме единственности, соответствующие напря-
напряжения тождественно равны нулю. Соответствующая би-
бигармоническая функция W<°> тогда будет линейной [см.
формулы D) п. 36], и
Докажем, что постоянны также и величины
По формуле Гурса A) п. 37
при этом, очевидно,
m=0 m — О
Повторив вывод формулы Гурса для функции №<°>(лг,_у)
и учитывая, что эта функция— линейная, мы легко най-
найдём, что <р(.г) = /'а2 + р, где « — действительная, а {2 — ком-
комплексная постоянная. Точно так же мы найдём, что
l(z) — "tz + ^, гДе Y и 3 — постоянные.
Докажем, что аналогичный вид имеют и функции
Ут(г)> 1т(г)- Первое из равенств A6) продифференцируем
по г и результат представим в виде
Левая часть равенства, Чт(г)г регулярна вне Lm, а правая
часть —внутри Lm. Но тогда у'т (z) регулярна на всей пло-
плоскости. По теореме Лиувилля, ym(z) есть величина посто-
постоянная. Она должна быть чисто мнимой, в противном слу-
случае №т0) имела бы производные, неограниченные на бес-
бесконечности. Обозначив эту постоянную через шт, получим

§ 3. ОБОБЩЁННЫЙ АЛГОРИФМ ШВАРЦА 205
=1ят и 4m(z) = hmz+$m. Аналогично найдём, что
^п- Применяя формулу Н. И. Мусхелишвили
мы найдём, что
Отсюда, очевидно, следует, что ^'(г)^ const.
Итак, решения однородной системы A2) суть постоян-
постоянные. В таком случае, по формуле E), MkB;gP) = {$l). Да-
Далее, из формул (9) — A0) следует также, что Mk(g^'))=g^).
Подставив это в A2), мы найдём, что ^(г)эО, т. е. од-
однородная система A2) имеет только тривиальное решение.
В силу альтернативы Фредгольма, система A1) разрешима.
Решив систему A1), мы тем самым решим и задачу
теории упругости для области D. В самом деле, пусть
gm{z) — решение указанной системы. Обозначим
S
кфт
Тогда
на£„ *„(*)+2 iW*
кфт
Пусть Wm(x,y) будет бигармоническая в Dm функция,
удовлетворяющая на контуре Lm равенству
dWm dwm_ ,
и пусть W=W9 + Wl+...+Wn. Функция W(x,y) есть
сумма бигармонических функций, регулярных каждая в
своей односвязной области, и формула A7) показывает,
что эта функция удовлетворяет условию A). Наша задача
тем самым решена.
В качестве Nk(g) можно, в частности, взять

206
И. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
где а — произвольная точка внутри Lo. Если контуры Lo,
Lv..., Ln достаточно удалены друг от друга, то непосредст-
непосредственно очевидно, что ядра интегралов в системе A1) будут
малы, и эта система будет разрешима по методу последова-
последовательных приближений; Так
же, как и в задаче Дирихле,
мы приходим здесь к обоб-
обобщённому алгорифму Швар-
Шварца1). В следующем пункте
мы покажем его применение
на одной частной задаче.
50. Эксцентрическое кру-
круговое кольцо, равномерно
сжатое по внешней окруж-
окружности *). Начало координат
поместим в центре внешней
окружности; ось х направим
по линии центров в сторону
центра А внутренней окруж-
окружности. Радиусы окружностей
обозначим через г и 7? (см.
черт. 13), расстояние между
Черт. 13.
центрами — через а. Область Do есть круг |.г|<С^?. об-
область £>! — внешность круга | г — а | > г.
Условия на границе области, таковы: на внутренней
dW dW
окружности /-а -;—|-i -т—=/i('2) = 0; на внешней окруж-
окружности, подверженной постоянному нормальному давлению,
которое мы обозначим через —р, ;
Отсюда следует, что на Lt
') В уже цитированной статье С. Л. Соболева [34] доказано, что
ив задачах ..теории упругости обобщенный алгорифм Шварца всегда
приводит к сходящемуся ряду.
•) Эту задачу можно решить и более элементарными средствами.
Мы приводим её здесь, как иллюстрацию метода. Менее элементарный
пример применения нашего алгорифма читатель, найдёт в [27Ь].

§3. ОБОБЩЁННЫЙ АЛГОРИФМ ШВАРЦА 207
Постоянную интегрирования мы. отбрасываем, как несу-
несущественную при использовании обобщённого алгорифма
Шварца.
Решения задачи теории упругости для областей Do и О,
вполне элементарны и хорошо известны. Введя функции
Гурса 'f(z) и ^(z), связанные с W(x, у) формулой
^^, B)
имеем1) для области De:
C)
и для области' D,
1Ч— 1 *— ) D)
В формулах C) и D) /0 (С) и /, (С) обозначают значения
величины {2) соответственно на контурах Lo и Lv
В нашей задаче /,@ = 0, и мы можем, по аналогии с
формулой (9) п. 47, написать решение в виде
x,y)----, E)
где Wik+l суть функции, бигармонические в Ь0) a Wik —
бигармонические в Dv
*■ Введём, в соответствии с формулой B), аналитические
функции Чк(г) и ^k{z) так, что
1) См. Н. И. Мусхелишвили J]28a].. Формулы эти нетрудно полу-
получить, исходя из результа+ов п.-Н-.

208 II. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ
Условимсл ещё через С обозначать точку контура Le
или Z-J.
Первое приближение, №г1(лг,.у), удовлетворяет на £„
контурному условию
Подставив это в C) и произведя вычисления, мы легко
получим, что
дх ду 'Р ' '
внутри Do. Далее, на контуре Ly величина ~jr^ + i-j~
совпадает с -т—1 +i —• ; таким образом,
ох оу
на Ly
Подставив это вместо/@ в формулы D), мы получим
после простых вычислений
сра (z) = 0, ф.г (z) = Р—— — ар
и, следовательно, внутри Dy
О I •" » — * . л« /7\
Контурные значения величины -^ + i -j-s мы найдём,
вычтя из величины G) её значение на бесконечности и
вычислив полученную разность на £а. Мы получим тогда
dW3 .dW$_ pr'~ />/•*?
~дх ^1~5у ~ ~?Z1 R* — ai: '
так как на окружности Lo C=-р • Обращаясь опять к фор-
формулам C), мы найдём:

§ 4. ПРИМЕНЕНИЯ ИНТЕГРАЛОВ. АНАЛОГИЧНЫХ ПОТЕНЦИАЛАМ 20Я
№ отсюда
_ „o
-~pr
R*(R* — az) ^
z zR* aBa — z)
z) л
z)*!'-
Столь же.просто вычисляются и. следующие приближе-
приближения. Нетрудно видеть, что величины
ох ^ ду
быстро убывают. Даже в том случае, когда окружности
касаются (« = /? —г), указанные величины убывают, как
члены прогрессии со знаменателями -~. Если же вели-
величина а мала, так что кольцо близко к концентрическому,
то убывание происходит как в прогрессии со знаменате-
знаменателем^.
§ 4. НЕКОТОРЫЕ ПРИМЕНЕНИЯ ИНТЕГРАЛОВ,
АНАЛОГИЧНЫХ ПОТЕНЦИАЛАМ.
51. Применение интегралов Коши в плоской теории упру-
упругости (уравнения Н. И. Мусхелишвили). Ограничимся для
простоты случаем,1 когда упругая среда заполняет конеч-
конечную односвязную область. Обозначим эту область через D,
её контур — через L. Как мы уже знаем, задача состоит.
в определении аналитических функций <р(г) и $(г), регу-
регулярных в области D и удовлетворяющих на контуре L
условию
где /(С) —известная непрерывная функция точки кон-
контура L. Мы будем считать её достаточно гладкой.
Условие A) нам будет удобнее представить в несколько
иной форме, а именно —мы заменим все входящие в него
величины сопряжёнными:
Для решения нашей задачи поступим следующим обра-
образом. Введём в рассмотрение область D', лежащую вне L
И С. Г. Михлнн

210 И. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬЯЫХ УРАВНЕНИИ
Пусть/—произвольная точка этой области. Умножим обе
части равенства B) на
_L *С
2п X. — Z'
и проинтегрируем по L. Так как у(г), у'(г) и ф(г) регу-
регулярны в D, а точка г' лежит вне D, то, в силу известных
свойств интеграла Кошщ имеют место тождества
Пользуясь тождеством C, с), мы получим
где
Преобразуем уравнение D). В тождестве C, а) заме-
заменим все величины сопряжёнными, тождество C, Ь) умно-
умножим на —F; оба полученные таким образом равенства
сложим с D). Мы придём к уравнению
Последний интеграл можно взять по частям, и мы полу-
получим уравнение, не содержащее <р'(С):
J
F)
О: l
L L
Пусть теперь z'—>t, где t — точка контура L. По фор-
формуле C) п. 21 мы легко получим:

§ 4. ПРИМЕНЕНИЯ ИНТЕГРАЛОВ. АНАЛОГИЧНЫХ ПОТЕНЦИАЛАМ 211
Напомним, что в этих формулах интегралы справа—сингу-
справа—сингулярные.
Что касается третьего члена формулы F), то в нём
можно перейти к пределу под знаком интеграла.
Действительно, положим С — ^ = г'е1д. Тогда
что представляет собой величину, непрерывную при любом
расположении точек г' и С, если только контур L — гладкий.
Но раз подинтегральная функция непрерывна, можно пе-
перейти к пределу под знаком интеграла. Выполнив предель-
предельный переход, мы получим интегральное уравнение:
L L
Полагая С — t=reb, мы приведём это уравнение к виду
^^C)e-^db^A(t). G)
l 'l
Если контур L гладкий, то db будет непрерывной функ-
функцией'точек t и С- Полагая <р (t)=p(t) + iq (t) и отделяя в
G) действительные и мнимые части, мы получим систему
двух интегральных уравнений типа Фредгольма. Отсюда
следует, что для уравнения G) имеет место альтернатива
Фредгольма.
Уравнение G) было получено Н. И. Мусхелишвили
|28Ь,с], рассуждения которого мы здесь воспроизвели.
Займёмся исследованием уравнения G). -Прежде всего
докажем, что любое его решение аналитически продол-
жимо с контура L во всю область D. Проследив за выво-
выводом уравнения G), мы легко убедимся, что его можно
лредставить в виде
■r-t I 2ltO Z-г' arf.l Z-
14*

212 II. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ
При этом во втором интеграле под <р' (г) следует понимать
производную от <р (?), вычисленную вдоль контура L. По-
Положим теперь
(9)
С — *' —~ г
Равенство (8) переходит в следующее:
A0)
Функции Ф(г') и Ф^') регулярны в £>", и равенство A0)
показывает, что они дают решение плоской задачи теории
упругости для области D' в предположении, что контур
области свободен от действия внешних сил. Но тогда, по
теореме о единственности решения плоской задачи1),
где а —действительная, а C — комплексная постоянная. Фор-
Формулы (9) показывают, что Ф (оо) = 4х (оо) = 0. Но тогда
as=p = 0, и
Первое тождество показывает, что функция <р(£), удовле-
удовлетворяющая уравнению G), аналитически продолжима внутрь
во всю область D; из второго тождества следует, что в
ту же область аналитически продолжима и функция
f (С)=- <Р (С) -
Итак, решив уравнение G), мы найдём контурные зна-
значения обеих искомых функций Гурса. Значения их внутри
области можно теперь найти, хотя бы по формуле Коши.
Таким образом, решив уравнение G), мы тем самым ре-
решим и задачу теории упругости.
г) См. Н. И. Мусхелишвили [28а], стр. Ш.

I 4. ПРИМЕНЕНИЯ ИНТЕГРАЛОВ. АНАЛОГИЧНЫХ ПОТЕНЦИАЛАМ 213
Нетрудно, однако, показать, что уравнение G) в общем
случае неразрешимо. В самом деле, если главный момент
внешних сил не равен нулю, иначе говоря, если
то задача теории упругости не имеет решения. Но тогда
не имеет решения и уравнение G). Соответствующее одно-
однородное уравнение
Т S7 O A1)
i l
имеет нетривиальное, решение. Таким решением, и притом
единственным, является функция
%{t) = *t + $ • A2)
(а—действительная, а р — комплексная постоянная), со-
соответствующая плоской задаче теории упругости при от-
отсутствии внешних сил.
Можно указать такое видоизменение уравнения G), при
котором оно делается разрешимым и даёт решение зада*чи
теории упругости, если только главный момент внешних
сил, приложенных к контуру L, равен нулю1).
Поместим начало координат внутри D. К левой части
уравнения G) прибавим выражение
1 J : J
Указанное уравнение заменится следующим:
См. [37d].

214 И. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ
Исследуем уравнение A4). Прежде всего докажем, что
всякое его решение аналитически продолжимо во вою об-
область D. Достаточно положить на этот раз
.) С
L
Рассуждая аналогично предыдущему, мы найдём, что
Первое равенство и показывает, что <?(£) аналитически
продолжима в область D.
Допустим теперь, что главный момент внешних сил,
приложенных к контуру L, равен нулю. В таком случае
[см. п. 40, формула C)]
$ O. 05)
Докажем, что при этом условии любое решение уравне-
уравнения A4) обращает в нуль каждый из интегралов в A3).
Запишем в развёрнутом виде равенство 1Р(.г') = 0:
06)
Разложим левую.часть в A6) в ряд Лорана вокруг бес-
бесконечно удалённой точки и приравняем нулю [ч.силу
тождества A6)] свободный член этого ряда и коэффициент

§ 4. ПРИМЕНЕНИЯ ИНТЕГРАЛОВ, АНАЛОГИЧНЫХ ПОТЕНЦИАЛАМ 215.
при -у. Мы получим тогда
Равенство A7t) показывает, что первый из интегралов
в A3) равен нулю. Обратимся к равенству A7а). Инте-
Интегрируя по частям, имеем \C'-p''(C)dC= —
Подставим это в A7):
Первое слагаемое, очевидно, вещественное; второе, вслед-
вследствие равенства A5), также вещественное, а третье—чисто
мнимое. Но тогда третье слагаемое равно нулю, т. е. ра-
равен нулю второй интеграл в A3):
K^f^ A7.)
Докажем теперь, что уравнение A4) разрешимо, какова
бы ни была его правая часть. В соответствии с альтерна-
альтернативой Фредгольма, достаточно доказать, что однородное
уравнение
4
имеет только тривиальное решение yo(t)ssO.

Н. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯ
Уравнение A8) получается из A4) при /(;)sO. Условие
A5) здесь, очевидно, выполнено, и потому для любого
решения уравнения A8) имеют место равенства A7J и A72)-
Последние два члена в A8) пропадают, и это уравнение
совпадает с A1). Решение его даётся тогда формулой A2),
Подставив теперь выражение A2) в A7Х) и A73) и вспоминая,
что а—действительное число, мы найдём, что а=р = 0 и,
следовательно, tf>0(*)==0. Тем самым разрешимость уравне-
уравнения A4) доказана.
Пусть теперь выполнено условие A5), необходимое для
того, чтобы задача теории упругости имела решение.
Нетрудно показать, что тогда решение уравнения A4) при-
приводит к решению нашей задачи. В самом деле, функция;
¥(*). удовлетворяющая уравнению A4), обращает в нуль
выражение A3). Тогда уравнение A4) переходит в G),
относительно которого доказано, что его решение при-
приводит к решению задачи теории упругости.
Относительно изложенного в этом пункте метода
сделаем следующие замечания:
1. Вид интегральнйх уравнений G) и A4). не меняется
при переходе к многосвязным областям. Однако исследо-
исследование этого уравнения резко усложняется. Подробный
анализ для случая многосвязных областей содержится в
цитированной статье Д. И. Шермана [37d].
2. Если контур L имеет угловые точки, то уравнения
G) и A4) не сводятся к фредгольмовским. Несмотря на
это, теоремы Фредгольма остаются в силе для этих урав-
уравнений. Подробно об этом см. статью Л. Г. Магнарадзе
[26а].
В своих статьях [37f,g] Д. И. Шерман применил метод
интегралов типа Коши также и к случаям неоднородных
и. неизотропных упругих сред.
52. Упругая плоскость с бесконечным рядом вырезэв. При-
Применение интегралов типа Коши позволяет решить следую-
следующую интересную задачу. Пусть упругая среда заполняет
всю плоскость, за исключением бесконечного ряда одина-
одинаковых и периодически расположенных вырезов (черт. 14).
Допустим далее, что все эти вырезы подвержены дей-
действию одинаковых внешних сил. Поставим задачу об
определении напряжений в упругой среде при указанных
условиях.

§ 4. применения Интегралов, аналогичных потенциалам 217
Примем, что главный вектор внешних сил, приложен-
приложенных к каждому вырезу в отдельности, равен нулю. Как
обычно, задача сводится к определению аналитических
У
функций tf>(z) и
•условию
Чёрт. 14.
удовлетворяющих на каждом вырезе
W(Q +HQ=№ + c, (l)
где /(Q—заданная функция. Очевидно, что на всех контурах
вырезов /(?) принимает в соответствующих точках одина-
одинаковые значения. Что касается постоянной С, то, как мы
увидим ниже, она имеет одно и то же значение на всех
контурах.
Напряжения и смещения в нашей задаче суть пери-
периодические функции ют * с периодом а. Выясним, как
изменяются <?(z) и <J)(z) при замене х на х-\-а или, что
то же, при замене г на г + а,
Воспользуемся формулами E), F) и G) п. 37:
-ах + 2/v=
• E,37)
ЩЬ_ F,37)
> ф-(г). G,37)
Первая из написанных формул показывает, Что Re {<?'(£)}
не меняется при замене г на z + a. Отсюда следует, что
4"{z) имеет период а. Действительно, пусть Re {<?'(z)} =
= р{х,у). Тогда р(х + а,у)=р(х,у). Дифференцируя это
-тождество, имеем
др(х-\-а,у)_ др(х,у) др(х + а,у)_др(х,у)
дх ~ дх ' ду ~ ду "*

218 41. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
-Далее
. ■* W-di ldy'
и периодичность <f" (г) непосредственно следует из только
что написанных тождеств.
Интегрируя тождество
.}
получим
где а и р—некоторые постоянные. Постоянная а необходимо
действительная, так как действительная часть у'(г) не
меняется при замене г на г + а,
Обратимся к формуле F) п. 37. При замене г-на г + а
её левая часть не изменяется. Отсюда
G + а) у" (г + а) + ф' (г + а)=~zf (г) + f {г),
и, в силу периодичности функции у" (г),
¥(z + a) = p(z)-ay(z).
Интегрируя последнее равенство, найдём:
ф(*)-а<р'(*) + Т. C)
где у—некоторая постоянная.
Заменим теперь г на г +-. а в формуле G) п. 37 и
подставим вместо (р(г + а), <f'B + a) и <|»B + а)их значения
из B) и C). Используя периодичность смещений, мы легко
найдём, что а = 0 и у= рах. Таким образом, Y (z) имеет
период а, а <р(г) изменяется на постоянную |5. • Изменение
ф(г) даётся формулой C).
Положим
<P.(*) = <P(*)-fr_ D)
= ^(z) + a<f'(z)^}a7.z. E)
Функции у„(г) и tyo(z), очевидно, периодические, с перио-
периодом а, и .формулы D) и E) дают выражение y(z) и ty(z)
через две периодические функции.

i 4. ПРИМЕНЕНИЯ ИНТЕГРАЛОВ. АНАЛОГИЧНЫХ ПОТЕНЦИАЛАМ 219
-•••Нетрудно показать, что члены, содержащие постоян-
постоянную р, определяют равномерное всестороннее растяжение
или сжатие, величина которого равна -^Re(P). Если мы
примем, что при у—»оо напряжения стремятся к нулю, то
необходимо положить Re(P) = O. Мнимую часть р также
можно, считать равной нулю, потому что она не влияет
на напряжения. Окончательно Р = 0, и мы имеем
где, Чл(г} и ^а^)"пеРи°Дические функции с периодом а.
Мы будем считать их ограниченными при у —*dtzoo, тогда
ррИ:Уг-*^°° напряжения будут-стремиться к нулю.
' "Заменяя в A) функции <р (z) и ф (z) по формулам F),
мы получим контурное условие для новых функций ^„(г)
и %{z):
Так как все слагаемые, входящие в последнее равен-
равенство, — периодические, то С имеет одно и то же значение
на всех контурах. Мы можем теперь, пользуясь произ-
произволом в определении С, положить С = 0. Окончательно
задача' сводится к нахождению периодических функций
%(z) H to.C^)» удовлетворяющих контурному условию:
G)
Обычным способом можно доказать, что с точностью до
постоянных слагаемых %(£) и фо(О определяются едил-
ственным образом.
Положим теперь . \ --
Преобразование (8) переводит полосу 0<Re(z)<a в
плоскость t, разрезанную вдоль действительной положи-
положительной полуоси, а вырез, расположенный в указанной
полосе^ — в некоторую конечную область, не содержащую
начала координат (черт. 15). Через А обозначим контур

220 П. ПРИЛРЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫ* УРАВНЕНИИ
этой области. Функция Ф(£) = (роь^1а^ регулярна в раз-
разрезанной ^-плоскости вне контура L. Но, будучи перио-
периодической относительно 'г, эта функция принимает одинако-
одинаковые значения в геометрически совпадающих точках раз-
разреза и, следовательно, непрерывным обра-
образом продолжила через разрез. Но тогда,
как известно1), она аналитически про-
должима через разрез и регулярна во
всей области плоскости t, лежащей вне
L. То же, конечно, относится и к функ-
черт. 15, ции 'РСО — Фо (£ilnt)' Дело сводится,
таким образом, к нахождению, двух функ-
функций Ф@ и T(t), регулярных вне I. Контурное условие
для этих функций мы получим, положив в G) С=^'пт:
(9)
Было отмечено, что <Р„(.г) и фо(^) определяются с точ-
точностью до постоянного слагаемого. Зафиксируем это сла-
слагаемое требованием, чтобы Ф(<)—»0 прч t — <x>.
Для решения нашей задачи применим тот же приём,
что и в предыдущем пункте. В равенстве (9) заменим все
члены сопряжёнными; далее, умножим его на ^-,т_т,,, где
f — точка внутри L, и проинтегрируем по L. Мы получим
тогда:
(Ю)
L
Так как функция Ф(*) регулярна вне L, то
i) См., например, И. И. Привалов, Введение в теорию функций
комплексного переменного.

§ 4. ПРИМЕНЕНИЯ ИНТЕГРАЛОВ. АНАЛОГИЧНЫХ ПОТЕНЦИАЛАМ 221.
Пусть с— фиксированная точка внутри I. Положим в по-
последнем тождестве f = c. Вычитая, получим
Дифференцируя и затем интегрируя по частям, мы.
получим
$
L
В тождестве A1) заменим все члены сопряжёнными,
тождество A2) умножим на —2t'*n\f\ н оба результата
сложим с A0). Интеграл, содержащий Ф'(т)> возьмём по
частям. Наконец, к левой части уравнения прибавим вели-
величину ?pint'r4\—^;Л). Полагая, далее, что t—■>*„, где
1; (т—с) '
т0 — точка контура Lt мы получим интегральное уравнение
ilidT = 4(T,), A3)
эквивалентное системе двух уравнений Фредгольма *).
Мы не станем здесь анализировать уравнение A3), — это
делается почти буквально так же, как в предыдущем
пункте, — и сформулируем только результат:
1. Функция Ф(т0), удовлетворяющая уравнению A3),
аналитически продолжима во всю внешность кривой L;
при этом она на бесконечности ограничена. •
2. Если Ф(т0) удовлетворяет уравнению A3), то функция
аналитически продолжима во всю внешность кривой L и
равна нулю на бесконечности.
г) Мы получим эту систему, если отделим в (t3) действительные и
мнимые части и введём в качестве неизвестных
и Im

222 ■"■ и. приложения интегральных уравнений \
-:.3. Уравнение" A3) разрешимо, какова бы ни- .был»;
функция F(t).
Из сказанного ясно, что функции Ф(*) и Ф(*), опреде-
определяемые уравнениями A3) и A4) и последующим аналити-
аналитическим продолжением, решают поставленную нами задачу.
53. Уравнения Лауричелла. Метод интегральных уравне-
уравнений в плоской задаче' теорий -упругости был • впервые
применён в 1908 г. Лауричелла (G. Lauricella) [23]. Однако,
его уравнения и особенно их вывод были довольно гро-
громоздки и неудобны. Д. И." Шерман [37j] представил
уравнения Лауричелла в комплексной форме и дал новый,
гораздо более простой, их вывод.. В новой форме эти.
уравнения оказались сравнительно простыми — проще урав-
уравнений Н. И. Мусхелишвили (п. 51), чрезвычайно близких
к ним.
• В этом пункте мы воспроизведём вывод Д. И. Шермана,
ограничиваясь случаем односвязной конечной области.
В этом случае задача состоит, как мы уже знаем, в опре-
определении двух функций <р(z) и ty(z), регулярных в области
D, заполненной упругой средой, и удовлетворяющих -на
контуре L этой области условию
гу «moo =/@, о)
где /(£) — заданная непрерывная функция, которую мы
будем считать достаточно гладкой. Напомним, что /(С)
необходимо удовлетворяет условию
O, '. B)
L
выражающему, что главный момент внешних сил, прило-
приложенных к L, равен нулю.
Будем искать <р(г) и ty{z) в виде интегралов типа Коши •
следующего вида:
л* I* л*
где ю (С) — неизвестная функция, которая должна быть
определена на контуре L.

§ 4. ПРИМЕНЕНИЯ ИНТЕГРАЛОВ. АНАЛОГИЧНЫХ ПОТЕНЦИАЛАМ 223
.' Составим из C) и D) выражение <р (z) + z <р' (z) + ty(z)
и устремим z к некоторой точке t контура L. Пользуясь
формулами предельных значений интегралов типа Коши,
мы -сразу получим интегральное уравнение для неизвест-
неизвестной «(О1):
со @ + ± \» @ din |5j - Я J ^ df5l
Это и есть уравнение Лауричелла в комплексной форме.
Можно доказать, что уравнение E) в общем случае
неразрешимо. Чтобы сделать его разрешимым, прибавим
к его левой части величину
(
\t-a 7-я + (F-a)
где а —внутренняя точка области D и
Положим ещё С — t = reib. Уравнение F) заменяется сле-
следующим: . .
1J со (С) й» - \
—a-r^+j^*hRe) ж±щ^=т- (Г)
Исследуем уравнение G). Докажем прежде всего, что
всякое его решение обращает в нуль величину Ъ. С этой
целью вернёмся к функциям i(z) и ф(^).
Проделывая в обратном порядке выкладки, которые
нас привели к уравнению E), мы представим G) в виде
!) Мы опускаем здесь детали преобразований, так как они почти
буквально совпадают с преобразованиями в п. 51.

224 II. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ
Умножим теперь это равенство на dt и проинтегрируем по£.
После несложных преобразований мы получим
Из F) видно, что величина Ъ — чисто мнимая. Тогда, оче-
очевидно, действительная часть слева в последнем равенстве
есть 2шЬ, справа же она равна нулю по условию B). Та-
Таким образом, Ь = 0.
Из доказанного следует, что всякое решение уравнений
G) удовлетворяет, вместе с тем, уравнению E). Подставив
указанное решение в C) и D), мы придём к решению
задачи теории упругости.
Докажем теперь, что уравнение G) разрешимо. В со-
соответствии с альтернативой Фредгольма, достаточно до-
доказать, что однородное уравнение имеет только тривиаль-
тривиальное решение.
Положим /(£)=0. Мы придём тогда к однородному
уравнению
Здесь
По доказанному, Ь0 = 0. Положим теперь, в соответствии
с формулами C) и D),

S 4. ПРИМЕНЕНИЯ ИНТЕГРАЛОВ. АНАЛОГИЧНЫХ ПОТЕНЦИАЛАМ 225
Из уравнения (8) мы получим, учтя, что *0=0:
Последнее равенство показывает, что %(t) и %(t) решают
плоскую задачу теории упругости в предположении, что
контур L свободен от напряжений. По теореме единствен-
единственности, • _
<Р0 (*) = '«+?, фо(*)=-&
где « — действительная, а E — комплексная постоянная.
Нетрудно видеть, что ос=0. Действительно, *0=0. Но
из (9) и A0) следует, что
0 = Ьо = 2Ят {<ро (а)} = 2/а.
Таким образом,
%(*) = Р, Фо(^) =—7-
В выражении A1) второй интеграл возьмём по частям:
2ic/3 (С — zJ 2ic/ J С—г
2кг
L
L
Подставим это в A1):
Имея в виду значения %(z)=$ и фо(г) =—"р, мы получим
из (9) и A1J:
1 Г «>о@-Ьг_п 1
Отсюда видно, что о>0(С)~Р и щ(£) — &в'о(С) +? суть
контурные значения аналитических функций, регулярных
вне I и равных нулю на бесконечности. Обозначим их
через ib(z) и ie(z), так что
()o(gJ(Q p A2)
С Г. Михлин

226 П. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ
Исключим из этих равенств ш0 (£):
Функции Ь(z) и z(z) + 2i$ дают решение однородной (т. е.
при отсутствии внешних сил) задачи теории упругости
для области, лежащей вне L. По теореме единственности,
i(z)=i*'z + p, е(г) + 2$ = — f. Но Ь(z) регулярна вне L и
равна нулю на бесконечности. Отсюда а'=Р'=О, b(z)==Qi
и так как е(оо) = 0, то £=0. Теперь из A2) следует, что'
а>0(£)=г5(£) +Р = 0, что и требовалось доказать.
Несколько слов скажем об уравнении E) Лауричелла.
Мы уже отметили, что в общем случае оно неразрешимо.
Нетрудно, однако, доказать (на чём мы не останавливаемся),
что условие B) необходимо и достаточно для его разре-
разрешимости.
Применим уравнение E) к случаю, когда область D
ограничена эллипсом [371]. Пусть параметрические урав-
уравнения этого эллипса будут
Положим
где з=ре'?, а постоянные р (р> 1) и с определены равен-
равенствами
Преобразование A3) переводит эллипс в окружность |з| =
Эту окружность обозначим буквой у- Положим- ещё
Подставим A3) и A4) в E); обозначим также
Ю@ = о>* (a), /@=/# (t).

4. ПРИМЕНЕНИЯ ^ИНТЕГРАЛОВ. АНАЛОГИЧНЫХ ПОТЕНЦИАЛАМ 227
ём тогда к уравнению
О" !—
<*>
Разложим <о*(т) и /*(*е) в ряды Фурье, "или, что то
же, в ряды по степеням т, и пусть
+00 +00
' «=•—0 ■ й=<—ОО
Подставим это в A5) и приравняем коэффициенты при
одинаковых степенях т. Мы получим тогда систему урав-
уравнений с.неизвестными ak:
Первое уравнение определяет a0. Из двух других исклю-
исключим«ig. Мы получим тогда уравнение с одной неиз-
вестной ak:
Отсюда можно найти ак для всех значений k, кроме
k=l. При k=\ последнее уравнение даёт
"- Первая часть последнего, равенства должна 6ыть_ дей-
действительной. Можно легко проверить, что это последнее
условие совпадает с условием B). Считая его выполнен-
выполненным, мы найдём: •
Мнимую часть ах можно выбрать произвольно.
Зная ак при k^> 1, мы найдём a_k по формуле
15*

228 и. приложения интегральных уравнений
Теперь <в*(а) = о)(С) известна. Займёмся вычислением
y{z). Положим в формуле C)
Так как z лежит внутри L, то, как нетрудно убедиться,
К UI < р. Формула C) даёт тогда
-О
При £<0 подинтегральныё функции регулярны вне у
и обращаются в нуль на бесконечности, как о*. По из-
известной теореме Коши, соответствующие интегралы равны
нулю. При k=0 подинтегральная функция также регу-
регулярна вне Y> но на бесконечности её вычет равен еди-
единице. Соответствующий интеграл равен единице. Наконец,
при k^>0 подинтегральная функция имеет внутри у про-
простые полюсы а—X и и=у с вычетами X* и X * соответ-
соответственно. Это даёт нам
оо
<р(,г) = ао + S fl* (X* + X~ft).
Выражая X через г, мы получим разложение y(z) в ряд
по полиномам:
54. Задача Дирихле для колебательного уравнения. Ко-
Колебательное уравнение
W+k4J=0 A)
(Д —оператор Лапласа) играет большую роль во многих
вопросах математической физики. В частности, оно фи-
фигурирует в задаче о стационарных электромагнитных ко-
колебаниях. Мы рассмотрим здесь задачу Дирихле для

i 4. ПРИМЕНЕНИЯ ИНТЕГРАЛОВ. АНАЛОГИЧНЫХ ПОТЕНЦИАЛАМ 229
уравнения (I), причём ограничимся случаем плоской одно-
связной конечной области. Более общую постановку про-
проблем, относящихся к Колебательному уравнению, читатель
найдёт в работах В. Д. Купрадзе [20] и В. Штернберга [38].
Нетрудно видеть, что при некоторых k задача Дирихле
для уравнения A) неразрешима. Чтобы доказать это, за-
заметим следующее. Пусть /(а) (и —длина дуги) есть зна-
значение функции U(x,y) на контуре L области D, Задача
Дирихле состоит в определении функции U(x,y), удо-
удовлетворяющей данному уравнению A), по значениям/(и).
Пусть G(x,y; С, ij)~ Функция Грина области D. По фор-
формуле Грина
U(x, у) = - 5 J $ДУ(£, ч) G (*, у,
±5
и
или, в силу уравнения A),
D
Равенство B) есть интегральное уравнение т^па Фред-
гольма для неизвестной U(x,y) с параметром ^ и с яд-
ядром G(x,y; 5, •»]). Ядро это симметричное и невырожден-
невырожденное, поэтому существует бесконечное множество харак-
характеристических значений X или, что то же, значений А*,
для которых уравнение B) неразрешимо.' Эти значения
к1 *— ействительные. Докажем, что они положительный
(и, следовательно, значения к — действительные). Пусть
К—%— характеристическое число и Un(x,у) — соответ-
соответствующая собственная функция. По определению, имеет
место тождество
иа(х>у)-ъЦо(х>У>1>'й11п&тд<*<*ч=0- C)
'6
Сравнивая это_с уравнением B), мы видим, что Un(xty)

230 И. ПРИЛОЖЕНИЯ .ИНТЕГРАЛЬНЫХ . УРАВНЕНИИ..
обращается в нуль на контуре.L,а внутри области удо-
.влетворяет уравнению .-' - . . :■_
: MIa+.&Jn = 0.. .
По формуле Грина • '. . . :
Но контурный интеграл равен нулю,-так как U=0 на Ь..
Далее, Ьип=—кЮп. Теперь из последнего .равенства
следует ,
D
\\ul{x,y)dxdy
D
To обстоятельство, что числа кп — действительные,
просто интерпретируется физически: кп есть величина,
пропорциональная частоте собственных колебаний среды,
заполняющей область П.
Мы будем здесь рассматривать задачу Дирихле, пред-
предполагая, что k=j=kn. - . .....-•
-• -Один из способов решения, задачи-Дирихле нами,~в"
сущности/ уже указан., Именао,.. эта. задача .сведена зс
интегральному ' уравнению B), Этим уравнением удобно
пользоваться, если" известны "функция Грина и~ её "* со.б-;
ственные-функции О~(х;у);-ъ ЪтЪм случае уравнение B)
решается по.спрсобу п. 1,9;. Однако, Областей, для кото-
которых - собственные функции' Un{x,у) построены, немного^
и; в общем- случае тюлезно иметь интегральное уравне-
йие с более простым ядром*.' " -•- г- -- ■■
. Такое-^равнение. можно построить с помощью так-
называемого обобщённого потенциала двойного слоя
Щ*> У) = \ Ф) §;[iiяо2)(fir)] <h, . ■ ■ E)
где, Н(о) — функция Ганкеля второго родаi), r —: расстояние
х) См., например, р, О. Кузьадйя, Эесселевы функции. . .

§ 4. ПРИМЕНЕНИЯ ИНТЕГРАЛОВ. АНАЛОГИЧНЫХ ПОТЕНЦИАЛАМ 231
от точки (х,у) до точки и контура и v—внешняя нор-
нормаль к контуру. Обозначим, как обычно, индексами i и е
пределы при стремлении к контуру изнутри или, соот-
соответственно, извне области D. Тогда можно доказать, что
справедливы формулы, известные для логарифмического
потенциала:
F)
у) = V.(s)+ \ Ка) £ [^ HP (kr)] da,
(
\дп)е'
. Здесь через s обозначена точка контура, к которой
стремится точка (х,у), и через п — внешняя нормаль к
контуру в точке s. Далее, как внутри, так и вне L U(x,y)
удовлетворяет уравнению A).
Если мы будем искать решение задачи Дирихле в виде
потенциала E), то формула F) приведёт нас к интеграль-
интегральному уравнению типа Фредгольма относительно ji(s):
=-/(«). G)
Подробное исследование, которого мы здесь не приво-
приводим, показывает, что, помимо значений кп, для которых
задача Дирихле не имеет решения, существуют ещё исклю-
исключительные значения k = k'n, при которых неразрешимо
уравнение G). Решение задачи Дирихле для значений k'n
также может быть получено с помощью потенциалов.
Изложение этих вопросов читатель найдёт в уже цитиро-
цитированных статьях В. Д. Купрадзе. Мы здесь отметим только,
что числа А'—действительные. Отсюда, в частности, сле-
следует, что интегральное уравнение G) разрешимо при всех
комплексных значениях k.
В случае действительного k можно построить инте-
интегральное уравнение, решающее задачу Дирихле для урав-
уравнения A) и имеющее решение при всех k4=kn, т. е. при
всех к, для которых сама задача Дирихле разрешима.
Вывод этих уравнений основан на формуле, дающей об-

232 II. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ
щий вид интеграла уравнения (II). Эта формула при k
действительном имеет следующий вид:
г
U{x, У) = Ч (г) + ЩЛ- J //(*, ~г, X, k) <р (X) dX +
(8)
Здесь z=x-\-iy, z=x—iy, <p(г)—аналитическая функция;
наконец,
Н{г, I X, *) = -^-l^J^k /z(z-i.)); (9)
^ — функция Бесселя первого рода индекса 1.
Мы решим, очевидно, задачу Дирихле, если найдём
функцию f(z), входящую в формулу (8). Будем искать
эту функцию в виде интеграла типа Коши
плотность которого будем считать действительной. Повто-
Повторяя рассуждения п. 28, мы придём к интегральному
уравнению
ji@+J^ftO»»(C)rfC=W). ■ (П)
Здесь £
('«1^ A2)
Далее, t—точка контура L, соответствующая значению
s параметра, r=\t — £\ и v — направление внешней норма-
нормали к L в точке С- Повторяя рассуждения п. 28, мы легко
докажем, что при kj=kn уравнение A1) разрешимо. Най-
Найдя из этого уравнения ii(t), мы с помощью формул A0)
и (9) получим решение нашей задачи.
55. Тепловые потенциалы и их применение. В этом пункте
мы будем заниматься уравнением теплопроводности. Огра-
д) Вывод этой формулы см. в [10]. Мы несколько изменили обо.
значения указанной статьи.

§ 4. ПРИМЕНЕНИЯ ИНТЕГРАЛОВ, АНАЛОГИЧНЫХ ПОТЕНЦИАЛАМ 233
ничиваясь случаем, когда температура зависит, кроме
времени, только от двух координат, мы можем уравнение
теплопроводности записать в виде
<Py,d/4J_i_dU
дх* ду* о2 dt ' '1/
Простейшая краевая задача, связанная с этим уравне-
уравнением, следующая: найти интеграл уравнения A), непрерыв-
непрерывный вместе со своими первыми и вторыми производными
во всех точках (х,у) некоторой области D и во все мо-
моменты времени, следующие за начальным. Искомый ин-
интеграл должен удовлетворять условиям:
а) начальному
при *=0 U=F{x,y)\ B)
б) краевому
на контуре I области D U=f(s, t). C)
Мы будем называть эту задачу задачей Дирихле для
уравнения A).
Данные функции F(x, у) и /(«, i) мы будем считать
достаточно гладкими.
К сформулированной только что задаче сводится, на-
например, исследование движения вязкой жидкости в длин-
длинной трубе постоянного сечения.
Будем считать, что скорости частиц жидкости напра
влены вдоль трубы. Таким образом, если мы направим
ось г параллельно трубе, то отлична от нуля только со-
составляющая скорости по направлению г. Далее, мы примем,
что указанная скорость не зависит от г. Тогда, как из-
известно *), указанная скорость удовлетворяет уравнению A).
Очевидно, что её достаточно определить в одном каком-
либо сечении трубы. Это сечение и будет областью D.
Чтобы определить скорости в любой момент времени,
необходимо задать их распределение в начальный момент.
Обозначив через F{x,y) скорость в точке {х,у) при * = 0,
мы приходим к условию B). Далее, вязкая жидкость при-
прилипает к стенкам трубы. Отсюда следует, что на контуре
*) См» Н. Е. Кочин, И. А. Кибель и Н. В. Розе, Теорети-
Теоретическая гидромеханика, ч. II.

234 "• приложения интегральных уравнении
сечения скорость равна нулю; краевое условие C) в.на-
в.нашем случае принимает вид:
на L U[s, 0 = 0.
Сформулированную нами выше краевую задачу можно
свести к некоторому интегральному уравнению, если вос-
воспользоваться так называемыми тепловыми потенциалами.
Мы перечислим вкратце их определение и основные свой-
свойства; подробное изложение теории тепловых потенциалов
можно найти, например, в [6].
Обозначим через а значение параметра, определяющего
положение точки на L, а также и самую точку; через v
обозначим внешнюю нормаль к L в точке а. Далее, через
г обозначим расстояние от точки а до точки (х,у);отре-
(х,у);отрезок, соединяющий их, будем считать направленнымt от
точки а к точке (х,у). :
Пусть р.(з,t)— функция, определённая, когда ^>0 и
а лежит на L. Мы будем считать, что ja(j, t) — 0 при * = 0
и что она достаточно гладкая. Тепловым потенциалом
двойного слоя мы будем называть интеграл
определённый для точек, лежащих как внутри, так и вне
контура I. Потенциал D) можно также представить в виде
' г»
U(x, У> 0 = 4й? J *J ^e-^Fci^rcosfv, r)d,. E)
О L
Для этого достаточно выполнить дифференцирование под
знаком интеграла.
Функция }i(j, т) называется плотностью потенциала.
Отметим следующие свойства потенциала D).
. 1) Как внутри, так и вне L U(x,y) непрерывна вместе
со своими производными любого порядка и удовлетворяет
дифференциальному уравнению теплопроводности [урав-
[уравнению A)].
2^ При ^=0 потенциал D) равен нулю.
3) Если точка (лг, у) стремится к точке s контура, то
потенциал D) стремится к предельным значениям, которые

$ 4. ПРИМЕНЕНИЯ ИНТЕГРАЛОВ. АНАЛОГИЧНЫХ ПОТЕНЦИАЛАМ 235
определяются формулами
Wt= -ф, t) + JL { ftyL^e-W^Jrcosfrr)*,, F)
6 £
,. G)
4) Нормальная производная потенциала D) непрерывна
при переходе через контур.
Займёмся решением задачи:"Дирихле для теплового
уравнения. Нетрудно найти интеграл этого уравнения,
удовлетворяющий начальному условию B): для этого
достаточно определить F{x, у) на всей плоскости (х,у),
полагая, например, F(x,y) = Q вне L, и тогда указанное
частное решение даётся известной формулой
Ч-со+со (х - О'-Ь (у-■>))'
—со.—оо
или, учитывая, что F(x,y) = 0 вне L,
о
Решение задачи Дирихле будем искать в виде
(9)
Из свойств A) и B) теплового потенциала двойного
слоя следует, что функция (9) удовлетворяет дифферен-
дифференциальному уравнению A) и начальному условию B). Остаь
ётся подобрать плотность ji(a, т) так, чтобы удовлетворит-
краевому условию C).

236 II- ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГВАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ
Пусть точка (х,у) стремится к точке s контура. Ис-
Используя краевое условие C) и формулу F), мы получим
интегральное уравнение с неизвестной }i(a, т):
'')-iM dx J TEl
0 L
0 L
= -g{s,t), A0)
где
g(s,t)=f(s,t)- lim U0(x,y,f).
В следующем пункте мы дадим доказательство разре-
разрешимости полученного нами интегрального уравнения.
Здесь же мы сделаем следующие замечания.
1. С помощью того же теплового потенциала можно
решить задачу Дирихле и в том случае, когда область
расположена вне контура L. Решение попрежнему берётся
в виде (9). Полагая, что (х,у) стремится к точке s, мы
теперь должны воспользоваться формулой G), и это при-
приведёт нас к интегральному уравнению так называемой
внешней задачи Дирихле:
f
=g(S,t). A1)
2. В теории распространения тепла важную роль играет
краевая задача, в которой условие C) заменено следую-
следующим:
на! ^+A(a)tfo=/(a,T),
где h (a) — некоторая непрерывная положительная функция.
К этой задаче сводится исследование температуры в длин-
длинном цилиндре, теряющем (или получающем) тепло в окру-
окружающую среду, причём температура этой среды вблизи
цилиндра известна в любой момент времени. Эта задача
может быть решена с помощью теплового потенциала
простого слоя, который имеет вид
=^ do. A3)

! 4. ПРИМЕНЕНИЯ ИНТЕГРАЛОВ, АНАЛОГИЧНЫХ ПОТЕНЦИАЛАМ 237
Как и в случае потенциала двойного слоя, мы будем
считать плотность р (о, т) достаточно гладкой и равной
нулю при т=0. Потенциал A3) удовлетворяет уравнению
теплопроводности; он равен нулю при t—О и непрерывен
при переходе через контур. Его нормальная производ-
производная терпит скачок при переходе через, контур; именно,
обозначая через я внешнюю нормаль к L в точке s,
имеем:
Решая краевую задачу с условием A2), мы будем
искать U в виде
t^e'~~&fc=*>d9, A6)
о i .
где Uo определяется формулой (8). Используя формулы
A4) и A5), мы получим интегральное уравнение для не-
неизвестной р(а, т):
О L
Знак плюс отвечает случаю внутренней области, знак
минус — случаю внешней области.
3. Интегральные уравнения A0), A1) и A7) сохраняют
свой вид и тогда, когда область D — многосвязная.

238 II. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
4. Положим ■■ .. • г . :.
: COS (Г, v> '
Нетрудно . видеть, что da есть угол, юбразованвдл'й
двумя бесконечно близкими радиусами-ректорами, дрове-»
денными из точки s к концам дуги d? (черт, 16). Уравнен
ние A0) можно записать в виде ...
В таком виде наше интегральное уравнение сохраняет
смысл и тогда, когда контур L неглад-
негладкий. Достаточно предположить только,
что интеграл
имеет конечное значение.
s 5. Тепловые потенциалы для трёх-
Черт. 16. мерного пространства определяются сле-
следующими формулами '):
потенциал простого слоя
' V(x,y)z,t)=[dz\i[
-т> da; B0)
6 s
потенциал двойного слоя
V- (',
B1)
' С помощью этих потенциалов можно основные краевые
задачи свести к интегральным уравнениям так же, как
это было нами сделано в плоской задаче.
. 56. Сходимость последовательных приближений. В мо-
монографии Г. М. Мюнтца [6] доказано, что уравнения A0) я
См. [8].

§ i. ПРИМЕНЕНИЯ ИНТЕГРАЛОВ, АНАЛОГИЧНЫХ ПОТЕНЦИАЛАМ 239
A1) п. 55 можно решать методом последовательных-при-
последовательных-приближений. При этом предполагается, что контур L —глад-
—гладкий и имеет непрерывную кривизну. Мы дадим в настоя-
настоящем пункте доказательство сходимости последовательных
приближений, в предположении, что контур L — выпук-
выпуклый, но не обязательно гладкий. Полученные нами оценки
быстроты сходимости будут хуже, чем у Мюнтца. Мы
приведём, однако, эти худшие оценки, так как неглад-
негладкие контуры, в частности многоугольные, часто встреча-
встречаются на практике.
Уравнение A0) п. 55, а также уравнение, сопряжён-
сопряжённое с уравнением A1) п. 55, суть частные случаи более
общего уравнения
о-та? I * J 5=$ '<w"*Ffc=**d*=gM 0)
при X==hl. Докажем, что последовательные приближе-
приближения для уравнения A) сходятся, если контур /.— выпуклый
и |Х|<1. ..
В соответствии с методом последовательных прибли-
приближений положим
и(«,9=!*Х(*.О. B)
Подставив это в A) и приравняв коэффициенты при одина-
одинаковых степенях X, щи получим рекуррентные соотноше-
соотношения, которые позволяют найти функции ^„(s, t):
Пусть I g (s, f) I = I }i0 (s, t) I < Ao, где A> — некоторая по-
постоянная.. Допустим, далее, что ljvt(s, t)\<A lt An_t—
ташке постоянная, и найдём оценку для [}in(s, '0-1.

240 II. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Имеем, очевидно,
I V-n (s, t) I < 4^=4 [d*[ т-^
Сделав замену
г* /
i 6
4g2(<_T)=:=g»
легко найдём:
t rt
о
и, следовательно,
Далее,
л
L
Здесь через Q(s) мы обозначили угол, под которым
контур виден из точки s. Очевидно, Q(s)=u в точках,
где существует определённая касательная, н (так как
контур выпуклый) Q(s)<k в угловых точках..Во всяком
случае
Положим
г*
?(/„) = max ±\e~**d*. E)
Очевидно, ?(*„)< 1, каково бы ни было ^0, и
|1^(^1<?(^..'«|. F)
Желая рассматривать последовательные приближения
при некотором t, мы зафиксируем какое-либо tt, t9>t.

§ 5. ПРИМЕНЕНИЕ К ТЕОРИИ КОЛЕБАНИЙ 241
Пользуясь \неравенством F), мы найдём:
К(М)К Л?"Со). G)
Из последней дденки следует сходимость последователь-
последовательных приближений, равномерная при ()<*<*„.
Если контур £ — гладкий, с непрерывной кривизной,
то оценка | цп (s, t) [ таковах):
п
Здесъ Г— эйлерова функция, а постоянная р зависит от
вида контура.
§ 5. ПРИМЕНЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
К ТЕОРИИ КОЛЕБАНИЙ
57. Задача о собственных колебаниях струны. Рассмот-
Рассмотрим неоднородную струну длины /, которая в положении
равновесия занимает отрезок @, /) оси абсцисс и нахо-
находится под действием натяжения Т. Концы струны будем
считать закреплёнными. Пусть на струну действует рас-
распределённая сила F(x, t). Под этим мы понимаем, что в
момент времени t к участку струны (лг, лг + ^лг) приложена
сила, равная F(x, t)dx. Будем считать, далее, что эта си-
сила перпендикулярна к струне. Уравнение поперечных
колебаний струны, как известно, имеет вид
*(*)%-т&-пх,<), : со
где р (х) — плотность струны в точке с абсциссой лг.
Кроме уравнения A), отклонение u(x,t) струны от по-
положения равновесия должно удовлетворять ещё условиям:
а) краевым
й@,0 = «(/,0 = 0, B)
выражающим, что концы струны закреплены;
») См. [б].
16 с. Г. Михлии

242 II. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ
Ь) начальным ' ;•-.. Г."
«(*,Q) =/(*), яДдг, 0) = <P(jc), C)
где/(х) и <р(х).суть начальная скорость и начальное от-
отклонение струны в начальный момент,
Чтобы найти собственные колебания струны, решим
сперва вспомогательную задачу. Найдём форму струны,
концы которой закреплены и которая находится в равно-
равновесии под действием распределённой силы f(x). Уравне-
Уравнение A) переходит в этом случае в уравнение равновесия
струны
■£ + \.F(x) = 0. . . D)
Рассмотрим частный случай, когда вся струна, за ис-
исключением одной её точки x=s, свободна от нагрузки,
а в точке s приложена сосредоточенная сила, численно
равная единице. В нашем случае F(x) = 0 при хфв; на
каждом из участков 0<х<$ и s<*</ уравнение. D)
имеет вид
откуда
u = alx + ^i при
u = amx + $t при
Последние уравнения показывают, что на каждом нз
участков @, s) и {s, l) струна имеет прямолинейную форму
(черт. 17).
Так как концы струны закреплены, то имеют место
равенства B). Пользуясь ими,
•найдём, что ^ = 0 и [J4= —<*-J,-
и, следовательно,
Остаётся найти коэффициенты at и а2. Для этого* заме-
заметим прежде всего, что при x=s струна- непрерывна-
и оба выражения для и должны в этой точке совпасть.

S 5. ПРИМЕНЕНИЕ К ТЕОРИЙ КОЛЕБАНИЙ 243
Это даёт нам . " • ■ • ' • : '
Далее сумма вертикальных проекций натяжения обоих
участков струны должна равняться единице — величине
силы, приложенной в точке s:
или, так как углы Yi и Ya малы,
Нр tg yt =ai, tg ya= — a2. Отсюда •
7(^-0 = 1. F)
Определив at и аа из-уравнений E) и F) и подставив их
в D), получим
"■-^- (Q<x<s),
Введём обозначение
Тогда ■ ~\
u=±rG{x,-s). (8)
Для дальнейшего важно отметить симметричность
функции G (x, s):
G (x s) ^ G (s x). (9)
Теперь нетрудно найти форму равновесия струны под
действием произвольной распределённой силы F(x).
В "с^мом деле, если в точке s приложена сила, равная не
единице, а некоторой величине F, то соответствующее
отклонение будет равно
Р „,
16*

244 II- ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ
Пусть теперь в точках sv sa, ..., sn струны будут при-
приложены силы Fv Fit .... Fn. Тогда
Переходя в этом равенстве к пределу, мы найдём, что
в случае распределённой силы
t
±\ds. A0)
Из формулы A0) легко получить уравнение колеба-
колебаний струны. Для этого достаточно, по принципу Далам-
бера, к силе F(s)ds, действующей на участок ds струны,
прибавить «силу инерции» — p(s)ds-^-. Мы получим тогда
и{х, *) = f \ O(x, s)F(s)ds-Sr\?(s)G(x,s)^^ ds A1)
— интегро-дифференциальное уравнение колебаний закре-
закреплённой струны, которое эквивалентно совокупности диф-
дифференциального уравнения A) и краевых условий B).
Сила F может зависеть от времени, — тогда в уравнении
A1) надо писать F(s, t) вместо F(s). Если F(s,t) = 0, то
мы получим интегро-дифференциальное уравнение сво-
свободных колебаний закреплённой струны
и(х, 0= -±\P(s)G(x, s)^^-ds. A2)
6
Будем искать периодические решения этого уравнения,
именно, положим
и (х, t)=v (x) sin (W + е). A3)
Подставив это в A2), мы найдём, что v(x) удовлетворяет
интегральному уравнению
s)v(s)ds = 0. A4)

§ 5. ПРИМЕНЕНИЕ К ТЕОРИИ КОЛЕБАНИИ 245
Если струна — однородная, то р (х) = р = const. В этом
случае v(x) удовлетворяет симметричному интегральному
уравнению
O; |i = ^. A5)
о
В общем случае уравнение A4) —несимметричное. Его,
однако, легко сделать симметричным (см. п. 18), если
умножить его на /рХ*О и положить
v (х) V? (х) = <р (х), G (х, s) V? (х) ? (s) =K(x, s).
Мы получим тогда уравнение
[ O; X=i, A6)
ядро которого симметрично.
Если мы найдём характеристические числа 1п уравне-
уравнения A6), то найдём также и частоты собственных коле-
колебаний струны, равные
Соответствующие собственные функции определяют форму
струны, колеблющейся с частотой ~:
Собственные функции и характеристические числа сим-
симметричного уравнения A6) могут быть определены мето-
методами, изложенными в § 1 главы I.
58. Колебания струны, плотность которой меняется по
линейному закону. Для определённости вычислений будем
считать, что /=1 н плотность р(д:) меняется по закону:
р(*)=р.О+*). 0)
Тогда уравнение A4) п. 57 принимает вид
1
V (X) - Jjl \ A + S) О (X, 8) V (S) dS = 0.

246 II. ЙРИЛОЖЁЙИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ
Умножим это уравнение на уТТ"* и положим
K(x,s) = \/(l+x)(l+s)G(x,s); К /2)
l = fP±t I
Функция 4{х) удовлетворяет интегральному уравнению
(р(дг) — \$К(х, s)<?(s)ds=0. C)
о
Заметим, что в нашем примере
Найдём частоту основного тона. Для этого достаточно
определить первое характеристическое число уравне-
уравнения C). Воспользуемся с этой целью методом п. 15, даю-
дающим выражение lt через следы ядра. По формуле E) п. 15
11
, s)dxds= \\ (\ +х) A +s)G*(x, s)dxds=
, 00
= 2\A+х)(\-х)Чх
00 , 00
1 , *
о о
Во второй приближённой формуле GХ) п. 15
^ . 1
положим т—\. Из флзическоге^смысла величины \ ясно,
что ах^>0. Мы получим тогда ■

5. ПРИМЕНЕНИЕ К ТЕОРИИ КОЛЕБАНИИ 247
и, следовательно,
Чтобы получить более точное значение \, вычислим
второе итерированное ядро
Kt(x,s)=fK(x,t)K(t,s)dt=
о
Вычислим ядро К^(х, s), предполагая, что x"^>s.
При x<^s ядро К3(х, s) определится тогда из условия,
что оно симметрично. Промежуток интегрирования @,1)
разобьём на три: от нуля до s, от s до х и от л: до 1.
Пользуясь определением G (x, s), мы получим:
$(\+t)G(x>t)G(t>s)dt=j(\+t)t*(l-x)(l-s)dt+ ; :
* 1
$(l+t)(l-t?xsdt=.
S
A xs-—- -£8 + ^3—** +^ +^
12 2 6^6 12 ^ 12 ^ 12 '
Отсюда, при
Ki(x> s)= У0
Значение К,(х,&) при x<^s мы получим простой пере-
перестановкой аргументов xhs: при *<s

248 И. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Теперь
11 1 X
Аг = $$к1{х, s)dxds = 2$dx\Kl(x, sWs=0,0006154.
00 0 0
Во второй формуле Gt) п. 15 положим теперь т= 2.
Тогда
Это —значение \ с недостатком. Мы получим значение
с избытком, взяв первую из формул Gt) п. 15, которая
для Xt> 0 имеет вид
гт+2
Положим в этой формуле от = 1. Тогда
=6,398.
Точное значение Xt заключено между числами 6,349
и 6,398. Интересно отметить, что даже сравнительно
грубая формула
дала значение \ с ошибкой, меньшей чем в 2%-
Имея значения А.л и Ал, мы можем вычислить и вто-
второе характеристическое число \, пользуясь для этого
приближённой формулой F) п. 17:
1 2т
V
~Щт' В*т Aw" Aim-
Полагая /и=1 и замечая, что \">0, имеем:
59. Функция влияния (функция Грина). Подробное
изложение вопросов, связанных с понятием функции
влияния, читатель найдёт во многих широко известных
курсах. Укажем, например, книги Куранта и Гильберта [4],

f 5. ПРИМЕНЕНИЕ К ТЕОРИИ КОЛЕБАНИЙ 249
В. И. Смирнова [8], И. И. Привалова [7]. Поэтому мы
здесь ограничимся только определением функции влия-
влияния и её основными свойствами.
Начнём с простейшего случая. Пусть дан обыкновен-
обыкновенный линейный дифференциальный оператор второго порядка
где р(д:)>0. Будем рассматривать функции у(х), которые
на концах заданного интервала (а, Ь) удовлетворяют
условиям
() &/(H (*)»/(*)О, B)
а внутри интервала сами непрерывны и имеют непрерыв-
непрерывную первую производную. Вторую производную у"{х)
подчиним единственному условию, чтобы Ну) имел смысл.
Допустим, что ни одна из этих функций, кроме функ-
функции ;(*)s0, не обращает в нуль оператора L(y). Иначе
говоря, мы допускаем, что единственный интеграл урав-
уравнения
О, C)
удовлетворяющий условиям B) и непрерывный вместе со
своей производной, есть j»sO. Функцией влияния, или
функцией Грина, оператора L(y) при краевых условиях B)
называется функция двух переменных Q(x, s), обладающая
следующими свойствами:
1) О( )
ущ
1) О(х, s) непрерывна при а<,х<,Ь и
2) В <<
) (, ) рр р ,,
2) В каждом из интервалов a<;e<s и s<j:<6 про-
изводные i%4 н i5g^ непрерывны.
3) В точке х=s производная 1*' терпит скачок^
определяемый формулой
s)\ dQ(x,s)\ _ 1 />v
ds | х=а+о ds I x=s-O p(s)' ^ '
4) При s фиксированном G {x, s) удовлетворяет урав-
уравнению C)
(
в каждом из интервалов <*<*<* и

250 II. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ
■5) Как функция от x,G(x,s) удовлетворяет краевым
условиям B).
Функцию Грина можно построить следующим образом.
Построим интегралы и(х) и v(x) уравнения C), удо-
удовлетворяющие условиям Кошн
«(<*) = & «»=-«,
Очевидно, и(х) удовлетворяет также первому, a v(x) —
второму из краевых условий B). Интегралы и(х) и v\x) —
линейно независимые, в противном случае существовал бы
интеграл уравнения C), удовлетворяющий обоим краевым
условиям B), а это противоречит нашему допущению.
Из теории линейных дифференциальных уравнений
известно тождество
p(x)[u(x)v'(x)-u'(x)v(x)]=-c. E)
Постоянная с отлична от нуля, в противном случае и(х)
и v(x) были бы линейно зависимы.
Построив интегралы и(х) и ■»(*), мы можем сразу
написать выражение функции Грина, именно
(a<.x<.s),
Нетрудно проверить, что функция F) обладает свойства-
свойствами 1—5, положенными в определение функции Грина.
Из формулы F) непосредственно следует, что О (*, s)
есть функция симметричная, т. е.
a(x,s)**Q(s,x). G)
Действительно, пусть, например, *<s. Тогда G(x,s) —
=—u(x)v(s). Вычисляя G(s, х), мы должны взять нижнюю
строку в F), так как первый аргумент, s, больше второго.
Но тогда
G (s, х)=■! и (х) v(s) = G (x, s).
Второе существенное для приложений свойство функ-
функции Грина выражается следующей теоремой:

Д ПРИМЕНЕНИЕ Ж. ГСОРИИ. КОЛЕБАНИИ 251
Интеграл неоднородного уравнения . . _. *. .,
удовлетворяющий краевым условиям B), определяется фор-
формулой
. " а ■ . ' . .
Решение (9)—единственное. _ . ■ \ _: _
Доказательство этой теоремы читатель найдёт в цити-
цитированных в начале этого пункта курсах.
Нетрудно убедиться в том, что функция G(x,s), по-
построенная в п. 57, есть функция влияния оператора 1-(у)==у"
при краевых условиях у @) == уA) =Д
Формула (§)Т1озволяет дать простую и полезную интер-
интерпретацию функции влияния. Будем в уравнении (8) трак-
трактовать /(*) как распределённую силу, ъу(х)~~как вызы-;
ваемое этой силой смещение точки х относительно поло-
положения равновесия. В таком случае G(x,s) есть смещение
точки х, вызванное сосредоточенной .силой величины
единица, приложенной в точке s. Действительно,. допу-
допустим, что на участке (s—e, s+s) действует распределён^
ная сила J{x) такая,. что её главный вектор равен еди-
единице: . . : . • . ■ . ...-...-.':
.'.■■ ... sffix)dx=\. ■■,;....■; -.- v 7xio>
Пусть, участки •-(«,-?—■•'*) и {s+v, b) свободна"о?'дейсхййЯ
сил, так что на этих участках f(x)=0. В формуле (9)
интегралы по участкам (a, s—e) H(s + e, Ь) исчезают, и мы
имеем •'•-'■ '• •■■•'■/•• j '- ■ ■
)=То{х,
у(х)= J G(x,t)f(t)dt.
Считая, что /@^>0, мы можем. применить теорему о
среднем значении интеграла: . .. j
f(t)dt=G(x,s'), s-e<:s'<s

252 11. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯ
Беря е—»0, мы придём к сосредоточенной силе, при-
приложенной в точке s и равной единице в силу равенства
A0). При этом У—»s и, так как Q{x,s) непрерывна, то в
пределе
y(x)=G(x,s),
что и требовалось доказать.
В проблемах теории колебаний и теории устойчивости
часто приходится решать следующую задачу. Дано
дифференциальное уравнение
j>=0 (И)
или, более подробно,
где г (л:)—непрерывная положительная функция и X—чи-
X—численный параметр, величина которого заранее не дана.
Требуется найти те значения X, при которых существует
интеграл уравнения A1), непрерывный и имеющий непре-
непрерывную производную, не равный тождественно нулю и
удовлетворяющий краевым условиям B). Зная функцию
Грина, мы можем с помощью формулы (9) свести указан*
ную задачу к отысканию характеристических чисел инте-.
Трального уравнения с симметричным ядром. Для этого
заметим, что уравнение A1) переходит в (8), если поло-
положить f(x)=*lr(x)y(x)* Так как искомый интеграл удовле-
удовлетворяет условиям B), то можно применить формулу (9Х
y(x)**\fr(*)Q(x,s)y(»)ds. A2)
а
Равенство A2) есть однородное интегральное уравнение
с неизвестной у (х) и параметром л; за исключением того
случая, когда r(.*;)=const, оно несимметричное. Чтобы
преобразовать его в симметричное, умножим обе его
части на /г (х) и положим
У г (х) у (х)«<р (*), у г (х) ф) G (x.,^K(xt s).

§ 5. ПРИМЕНЕНИЕ К ТЕОРИИ КОЛЕБАНИИ 253
Мы получим тогда уравнение
0, A3)
ядро которого уже симметрично. Очевидно, что характе-
характеристические числа этого уравнения и суть искомые
значения X.
Полезно заметить, что все характеристические числа
уравнения A3)—простые, т. е. каждому из них соответ-
соответствует только одна собственная функция. Чтобы убедиться
в этом, допустим, что характеристическому числу X' со-
соответствуют линейно независимые собственные функции
fiC*) и ¥*(*)• Составим функции
Эти функции удовлетворяют интегральному уравнению
A2) при \=У. Отсюда следует, что они удовлетворяют
одному и тому же дифференциальному уравнению
и краевым условиям B). Обратим внимание на первое иа
этих условий:
( =• 0, чАа) + Ы (<*) = 0.
Так как числа а и р не равны нулю одновременно» то
Hi (о) у[(а)
Написанный определитель есть значение определителя
Вронского интегралов yt(x) и jv(*) при л: = а. Будучи
равным нулю водной точке, он равен нулю тождественно.
Отсюда следует, что ух {х) и yt(x) линейно зависимы.
Но тогда <р, (л:) и <р2(лг) также линейно зависимы, вопреки
предположению.
Понятие функции влияния распространяется иа уравне-
уравнения более высокого порядка и с большим числом неза-
независимых переменных. Так, например, функция Грина для
уравнеяия_Лапласа определяется, как функция двух точек

"■ ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ
области, MTiMlt имеющая логарифмическую особенность1)
при М=Ми гармоническая при Af=£ Ж, и равная нулю
на контуре области. Эта функция была нами использована
в § 2 этой главы и в п. 54. ' n
60. Крутильные колебания стержней. Учёт сосредоточен-
сосредоточенных масс.-Дифференциальное уравнение-крутильных ^
баний стержня имеет вид . . - -
Здесь в—угол закручивания, 1т—погонный момент инер-
инерции стержня относительно оси жёсткости, О/я—жёсткодть
крыла на .кручение. Будем рассматривать .периодические
колебания стержня, один конец KQT.ogor,Pi x=0,, жёстко
заделан, а другой конец, х=1, свободен. Условия на
концах стержня будут . .—...■-- =. .
6 = 0 при jf=O,
^1_0 поил;-/ ^
Отыскивая периодические решения, положим
Подставив это в A),. найдём,, ч^о &(x) удовлетворяет
обыкновенному дифференциальному уравнению ... . ....
Из B)'вытекают краевые условия, которым удовлетворяет
*() ■
0. D)
Очевидно, интерес представляют только функции $(х),
отличные от" тождественного нуля: если e-(x)s=0, to.и
б (дг, t):s= 0, и колебаний на самом деле нет. Мы приходим,
таким образом, к частному случаю 'задачи, сформулирован-
сформулированной в прошлом пункте: нужно найти значения X, при
которых 9-(х)~удовлетворяющая уравнению C) и условиям
D), отлична от тождественного нуля. Как мы уже знаем,
эта задача сводится к интегральному уравнению.
....x).*lHP?,cc.M.aJJ?H.^a6M ?лу?ай двух незавшцшых_пер.£м$нных.;_,.^,

g 5^ ПРИМЕНЕНИЕ К ТЕОРИИ КОЛЕрАНИИ 255
.Построим соответствующую функцию Грина. Обозначим
её через H(x,s). Она удовлетворяет дифференциальному
уравнению
Это уравнение имеет линейно независимые интегралы
удовлетворяющие условиям а@)=0, г/'(/) = 0. При этом,
в нашем случае р (х) = GIp, и
р(х) [uv'—vu'] — — 1.
Отсюда с=\ [формула E) п. 59] и, следовательно,
х
dx
E)
Г dx
\ GJT («<*</). _ ■ . .
о
Интегральное уравнение для &(х) имеет вид
<й = 0. F)
Умножив его на V 1т (х) и введя соответствующие обозна-
обозначения, мы преобразуем его в уравнение с симметричным
ядром.
Уравнение F) выведено в предположении, что момент
инерции 1т (дг) меняется вдоль стержня непрерывно. Может,
однако, случиться, что стержень несёт на себе сосредо-
сосредоточенные массы. Тогда вид уравнения F) меняется. В
частности, если имеется п сосредоточенных масс с мо-
моментами инерции /и 12,..., /„, расположенные в точках
st> si>---> sn стержня, то вместо F) имеем:
G)

256 »■ ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Можно показать, что теория Гильберта-Шмидта пол-
полностью распространяется на уравнения типа G). В работах
И. В. Ананьева [9] и А. И. Комай [16] даны приложения
уравнений типа G) к задаче колебания крыла с сосредо-
сосредоточенными грузами. Для вычисления частот авторы ис-
используют главным образом метод Келлога.
61. Устойчивость сжатого стержня. (Продольный изгиб
стержня.) Уравнение изогнутой упругой линии стержня,
как известно, имеет вид
где М и I—изгибающий момент и момент инерции в сече-
сечении с абсциссой х, Е—модуль Юнга. Рассмотрим случай,
когда стержень сжимается силами, приложенными к его
концам. Обозначим величину каждой из этих сил через Р.
Тогда М=—Ру, и уравнение изогнутой оси будет
Концы стержня не смещаются в. направлении, перпендику-
перпендикулярном к стержню, поэтому, обозначая длину стержня
через /, имеем
У(О)=УA)=О. ' B)
Разделим уравнение A) на Е и положим -р-=Х. Тогда
Обозначим через G(x, s) функцию Грина оператора
dx L dxl
соответствующую краевым условиям B). Тогда (см. и. 59)
y(x)-\tQ{x,8)y(s)ds = Q. D)
о
Таким образом, прогиб у (х) сжатого стержня удовлетворяет
однородному интегральному уравнению с симметричным
р
ядром. При произвольно взятой силе Я число Х=-^ не бу-
будет характеристическим, и у (х) эО, Иначе говоря, произ-

I 5. ПРИМЕНЕНИЕ К ШОРНИ КОЛЕБАНИЙ
257
■вольно взятая сжимающая сила оставляет стержень прямо-
прямолинейным. Только в том случае, когда Р=\пЕ, где Е—
характеристическое число уравнения D\ у (х) может быть
отушчно от нуля, и стержень искривляется—теряет устой-
устойчивость.
В задаче о продольном нзгнбе важно определить
наименьшую силу Р, прн которой стержень теряет устой-
устойчивость. Эта так называемая критическая сила равна
произведению модуля Юнга на наименьшее характеристи-
характеристическое число уравнения D). Достаточной для практических
целей можно считать приближённую формулу, дающую \
с недостатком: ,
и
= f$O*(x,s)dxds.
Черт. 18,
Найдём для примера '
критическую силу для
стержня, имеющего форму усечённого конуса. Обозначим
радиусы через г0 и гвA +д) (черт. 18). Тогда радиус сече-
сечения с абсциссой х будет г0 Г1 +-уП, а момент инёрДии
этого сечения
F)
где Y — плотность стержня и « = j. Уравнение D) пере-
рнщем в виде
Если О (х, s) есть функция Грина оператора
«[о
17 С. Г. Мнхлнн

258 II. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
•при краевых условиях B),тоу(х) удовлетворяет интеграль-
интегральному уравнению :
у (лг) - р. { О (х, s)y (s) ds = 0. (8)
о
Нам предстоит определить его наименьшее характеристи-
характеристическое число.
Найдём.функцию Грина G(x,s). Уравнение
\
имеет общий интеграл
У=С1+ о+ «>•'•
Условию ^@)=0 удовлетворяет интеграл
и() 1
а условию у (/)—0 — интеграл
. ■ "W= (I + ax)»
Далее,
н мы получаем выражение функции Грина:
7 I1 ~ A + ах)*] [A + *sf ~(ТТ
~ (I-t-as)»J 1A-fa*)* A+а/)Ч ^^^^'Л
Наименьшее характеристическое число jx уравнения (8)
определяется приближённой формулой
i г г х
-1= ^ \' О3 (лг, s) dxds = 2 { dx [ О2 (лг, s) ds.
1 оо bo
Написанный интеграл вычисляется совершенно элементар-
элементарно. Формула, однако, получается довольно громоздкая.
Имея в виду упростить её, мы ограничимся случаем,
когда величина q мала и можно отбросить члены, содер-

§ 6. ПРИЛОЖЕНИЯ .СИНГУЛЯРНЫХ;.ИНТЕГРАЛЬНЫХ: УРАВНЕНИИ 259.
жащие q в „степени, выше первой. Произведя;: вычисления;
в этом упрощающем предположении,.получим:,. . .,._::-
Отсюда легко найдём критическую силу Р. 'Замечал," что
X^/Ofi, где /0 —момент инерции "сечения лг=О, мы найдём
Выражение критический £иль£ в ввде ,: ~ , - - ■.. ч
^-ЩШ A +2?).....1 A0)
;^;Если положить ?=0, то п№!учится стержень постоян-
постоянного сечения. Формула AQ) даёт в этрм случае величину
eftсяяы - ■";■:■•■-■•' •• --{• -•■:,'-;; .■..■..■.■-■•'•.■- — -• •:•.':■-'
... -; :. . :il-:i: 7?>: I if "',:-.■■■: -;-. ■,■:-.■.:.■-.■■ у..:."
нЬЪ ■зяач.елйеГкрйтическбй сида, ка'к известйо,
случае равно ч. ' ~ . ■
9
. Приближённое значение отличается от точного меньше,
чем на 57в. - . - ... . .
Тот же приём сведения, к интегральным уравнениям'
позволяет найти критическую силу и ..в более сложных
случаях. В частности, к интегральным уравнениям можно,
свести задачу об устойчивости - улругой пластинки под
действием сил, направления?.' которых лежат в плоскости
пластинки [18]. .Н. .В. Зволинск"Д д своей статье [14] ре*
шает Т помощью' инт efра'льнйх "ур'авнён^й "задачу "об "устой-"'
чивости ц"линдр"ческой оболочки. В двух последних слу"-'
чаях ядро оказывается несимметричным, но оно принадлежит
к классу так называемых сим'метррзуёмых/'-для которых-
справедлива теорема & существовании действительного
характеристического числа. ^ ..
§ 6. НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ
СИНГУЛЯРНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
- 62. Задача Гильбгрта. Мы будем рассматривать следую-
следующую'задачу. .Найти функцию, гармоляческую в некото-
некоторой' плоской области D, предполагая, чтр.нд.,однид частя^;
17*

260 П. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯ
контура даны значения искомой функция, а на других ~
значения её нормальной производной').
Обозначим через Yi» Yn. • • •» Ym-i ДУГИ контура, на кото-
которых дана искомая гармоническая функция U(x,y), и пусть
на этих дугах
<>=/(«). A)
где «—длина'дуги контура. Далее, через Ya» Y«. —» Т*»мы
обозначим те дуги контура, на которых дана нормальная
производная» и пусть на этих дугах
где я— внешняя' нормаль к контору. Задача' закл^аёт^'.
в отыскания функции U{x, у),гармонической вобласти и"
удовлетворяющей на контуре"равенствам A) и B).
. Обозначим через.«ft и РА начало и конец.дуги у««
очевидно, рА и а^-суть началои конец-ж^ xkH/_
не будем предполагать заранее, что UKx,y) непрерывна
в точках xk н pft. Тогда, как мы увидим, задача Гильберта
допускает бесчисленное множество решений, зависящее
от некоторых параметров. Выбором этих параметров можно
распорядиться так, чтобы V{x,y) была непрерьпаой.
Преобразуем условие B). Обозначим через V(x,y)
функцию, сопряжённую с U{x,y). В силу уравнений Коши-
Римана,
dV Ш
'д.** дп' .
Отсюда мы можем определить значения V(x,y) на ду-
на y« V(x,y)±y
Обозначим
»*
г) Эта задача представлягт собой частный случай о5щей задач i Гиль-
берта, в которой раз;.;скивается гармоническая функция при > словим,
что на контуре известна линейная комбинация самой функции и ев
нормальней производной. -- •- - . ■--• - '■■ -.: -v. .......

S 6. ПРИЛОЖЕНИЯ СИНГУЛЯРНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯ 261
Теперь задача Гильберта может быть сформулирована так:
найти аналитическую в области D функцию, если на од-»
них частях контура даны значения её действительной, а
на других — мнимой части:
IУ (з)
на
на
где Ск — произвольные постоянные.
Положим U+iV=y(z) и пусть Г(г; С)— ядро Шварца
области (см. ш 38), Тогда
: D)
гд"е t -*■ некотбрая тюстояняаян;; L^-^ контур обл'асти б.
Очевидно, функция <р'(*) будет известна, тг наша задача
будет решена, если мы-найдём значения1 и (з) на дугах y *•
Интеграл в D) разобьэм на два: один, растространён-
ный по дугам Yii Ya»-• •> Yw-i> и второй, раслросгранённый
по дугам Y.j»Yi>- • -.Y п« В силу условия A), первый интег-
интеграл еегь величина-известная, он равен
Для краткости о.бозначим этот интеграл через л(г), так чта:
Пусть i-^ точка, нею горой дуги y«. с'оотэетстаующая'
длине дуги s. "В'последнем равелсгвё пёргйдём. к пределу,
полагая z—*t. Чтобы выполнить предельный переход в
интеграле слрава, воспользуемся формулой B7) п. 38:
Теперь

262 , . .»• приложения югтаральнгах уравнении . ■
:. Во втором члене, можно перейти к. пред ел у под знаком
интеграла, так. как функция Р(&\ С) .непрерывна. Первый
длен,.есть интеграл типа Коши, и его предел определяется
по формуле B) п. 21. Таким образом,,имеем: -
Отделим в этом равенстве мнймйе части и воспользу-
воспользуемся условием C). Мы .полудим тргда
: ,7»=»Ti»
. Равекство E) — есть сингулярное интегральное уравне-
уравнение,, неизвестная которого есть значение О(х,у) на дугах
Yam. Решив это уравнение, мы найдём U(x,y) с помощью
формулы D). Способом, изложенным в п. 26, можно урав-'
нение E) свести к уравнению Фредгольма. Однако, иссле-
исследование и решение этого уравнения в общем случае пред-
представляет значительные трудности. Мы ограничимся поэтому
простейшим и в то же время достаточно интересным для.
прг'ложенРй случаем,-когда область D есть'полуплоскость-.
Этому случаю будет посвящен следующей пункт.
63. Задача.Гильберта для полуплоскости. Ядро Шварца
для полуплоскости легко построить. Для "этого восполь-
воспользуемся формулой B6; п. 38. .
' ^Я%с^ Шварца *^для круга хорошо-известно и равно- •
где / — точка внутр.н,круг«; т — точка окружности и И=
— | d- \. Функция, отображающая единичный круг на верх-
верхнюю полуплоскость .у>0, имеет вид • -■

§ 6. ПРИЛОЖЕНИЯ СИНГУЛЯРНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 263
По формуле B6) п. 38 .
Если положим С=; + »7Ь то на границе полуплоскости
)=0 и С=;- Отсюда
или
Формула D) п. 62 принимает следующий вид.*
iC; «©=. о).
—оо —оо :
Второй интеграл есть величина постоянная. Обозначая
той же буквой С величину
—оо
мы представим интеграл Шварца в виде
-foe
Для простоты допустим, что отрезки у* Yi» ••> Y^n^
все конечные, так что на частях границы полуплоскости,
уходящих в бесконечность, задана функция £/(;, 0)=/E).
Пусть / — точка на одном из отрезков у1Л. В формуле
B) положим г—t. Повторяя рассуждения п. 62, мы придём
к сингулярному интегральному уравнению
Смысл обозначений — тот же, что и в п. 62.
Наше уравнение можно упростить. Прежде всего, ве-
величины V, t, d\ — действительные, ноэтому символ Re мож-

264 Я- ПРИЛС5ЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯ
но опустить. Обозначим ещё для краткости
Мы приходим тогда к уравнению
' ' ' 7 1 u®£j=B(t). C)
Это уравнение &юж-но решить по способу, изложенному
в п. 26. Мы используем здесь этот способ, слегка видо-
видоизменив его так, как это сделано в конце п. 25.
Пусть z>— произвольная точк» комплексной плоскости.
Положим
F(')=£i J «©р??.1 ' D)
Пользуясь теоремой о предельных значениях интеграла
типа Кошн, мы получим:
Введём новую неизвестную Ф (г), полагая
F)
Радикал в формуле F) имеет разные знаки по разные сто-
стороны отрезков у,*,. Отсюда легко найти, что Ф(г) удов-
удовлетворяет уравнению
на Ъя- Ф!(/)-Фв»-«@|/П('-Ч)(Ь-<). G)
Одно из решений этого уравнения есть
и, следовательно,

{ 6. ПРИЛОЖЕНИЯ: СИНГУЛЯРНЫХHHTOJWttHWX УРАВНЕНИИ 265
Отсюда мы найдём. «(*), пользуясь формулой
которая в нашем случае даёт:
41
«К II
4=1
на
Общ«е решение мы получим, прибавив к этому;«,.(<) —
решение однородного уравнения
Полагая
4=1
мы получим;
Отсю.-а слё~ует, что Фо(¥) однозначна на всей плоскости.
С помощью рассуж-ёний, аналогичных проведенным в
п. 25, мы легко убедимся, что Фо(^) есть произвольный
полином степени л —1. Обозначая его через yC?*-^*),
имеем:
ОпМЪ
(9)

266 и; приложения интегральных уравнении
Общее решение уравнения ХЗ) имеет вид
на Ьт " @ = 'у,-' =—- X
х
т.-Ь-Н
Qn-i(t)
A0)
Коэффициенты полинома <V-i@ должны быть взяты
действительными, так как функция и (^ — действительная.
Формула A0) содержат 2п произвольных постоянных:
л постоянных С£, содержащихся в £(.;), и л коэффициен-
коэффициентов полинома Qnl-i'(/).-'"Их можно определить, задавая те
или иные дополнительные условия. В частности, можно
их подобрать так, чтобы U(t)
С была непрерывна в точках хк и j}t.
64. Задача о соприкасании
двух упругих полуплоскостей.
^Пусть даны две упругие среды,
из которых одна заполняет верх-
Черт. 19. нюю, а другая — нижнюю полу-:
плоскость (черт. 19). Допустим,
что полуплоскости соприкасаются вдоль полупрямых л: <
< — а и л:>а, причём трение отсутствует. На участке
—<г<лг<а находится бесконечно узкая щель, разделяющая
Обе полуплоскости. К обеим полуплоскостям со стороны
щели приложены одинаковые нормальные растягивающие
усилия интенсивности А, равномерно распределённые
вдоль границы щели. Наконец, будем считать, что на беско-
бесконечности напряжения равны нулю. Требуется найти поле
напряжений^ в обеих полуплоскостях. Обозначим через
Ох, з1у, xijf'напряжения','" через "«i, v\ — смещения в верхней
полуплоскости, через Xt и jxt — её коэффициенты Ламе.

§ 6. ПРИЛОЖЕНИЯ СИНГУЛЯРНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ
Наконец, положим
Те же величины, относящееся к нижней полуплоскости,
будем снабжать индексом 2. Будем- обозначать также че-
через f, (z), <\/t (z), соответственно,. ?. O\ ty.,(z) функции Ту pea
для верхней, соответственно нижней, полуплоскости. Выг
яенчм краевые условия нашей задачи. .
Прежде всего, вдоль всей оси . . .
т1у=т^=0, у^О, ■■■- A)
Действительно, на участках |лг|>а, г~е полуп^лбекостн
соприкасаются, трения нет и касательные напряжения
отсутствуют; на участке же !-*г| <а. приложены только
нормальные ус"лия и касательные напряжения опять-таки
отсутствуют. Далее, на участке \х\ <а, по услбвию,
действуют нормальные растягивающие усилия интен-
интенсивности А. Это даёт нам следующую группу условий: '
<£ = *, а^=А,^ = О, \х\<аг B)
Наконец, на участках соприкасания упругих сред верти-
вертикальные нормальные напряжения и вертикальные смеще-
смещения ~олжны быть одинаковыми "ля обеих сред. Это при-
приводит нас к последней группе условий:
Ь = Ь> У=0, И>а; C)
«; = «', У=0,\х\>а. . D)
Решая нашу задачу, мы заменим краевые условия C) в
D) следующими:
«;=0, 4=0, ^=0, \х\>а. . E)
Условие D) при этом, очевидно, не нарушается. Что же
касается условия C), то, как мы в конечном счёте убе-
убедимся, оно также окажется выполненным.
Введение условий E) вместо C) и D) позволяет нам
рассматривать отдельно верхнюю и. нижнюю полупло<>

Н. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВШ1НИИ .;
кости. Так, для верхней полуплоскости,мы имеем следую-
щие краевые условия:
1^=6, у~0; F)
■ qJ«*,..y*=Q,.|*|>a; ft)
4=0, у=0, \х\>а. <®
Те же условия имеют место и для нижней полуплоскости.
Поэтому мы в дальнейшем будем опускать индексы 1 и 2.
Обратимся к функциям Гурса <p(z) и f D По форму-
формулам (8) и (9) п. 37, на прямой у±0
^ W) + *W) + W)~i\tX, + iY,)ds. (9)
Л© известным формулам
где v —внешняя нормаль к контуру. Мы рассматриваем
верхнюю полуплоскость, поэтому v н^нравлена в сторону
отрицательных у, так что cos(v, л;)=0. cos(v, y)=— U
Учтя теперь условие F), мы получим ЛГ„=О, Kv=— зу.
Далее, ds—dx. Подставив всё это в (9),; мы получим:
flo при .у—0, zt=x=e^, и последнему равенству мы вправе
придать вид
Обозначим
Функция в (z) регулярна в верхней полуплоскости. Из A0)
еледует ■ ■ : ■ ••■•••■.•:,••■■■ г >
J
правая часть последнего равенства —величина действи-
тельлая. Отсюда следует» что и левая часть,й
ыьная,. Х-» е.
Но тогда гармонические функции Iro {? (*)} и Ьп^вХ^)},
будучи jwbwwmh ;В8 границе ио^упл©с«остн, равны повеюду||

i 6. ПРИЛОЖЕНИЯ СИНГУЛЯРНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ '269
и, следовательно, аналитические функции !?(г) и в (z) мо-
могут отличаться на действительную постоянную. Но <р(г)
вообще определяется только с точностью до постоянной,
поэтому мы вправе положить
Подставив это в A2) и дифференцируя по х, получим:
Ив{^«}-Э;в,;. J'-O. A3)
Используя условие G), имеем:
Re{?'(*)} =£, J = 0, |*|<а. A4)
Займёмся условием (8). По формуле D) п. 37,
Положим в этой формуле .у =0. Тогда z*=zt и : .
2ц (ил + Uiy) = Щ (z) - y(z).
Отделяя мнимые части и пользуясь условием (8), мы по-
получим
Im{<P(*)}=Q, ^ = 0, |х|>а.
родифференцировав это равенство по л;, получим:
Im{<f'(*)}=0, ^=0, \х\>а. A5)
Условия A4) и A5) показывают, что функция $'(z) есть
решение задачи Гильберта.
Положим Ф^^у.^Ч*)- Условия A4) и A5) переходят
в следующие:
'"' }=0, у = 0, \х\>а, \
}
В нашем случае есть только отан отрезок Чг(—а,
Далее, e(<)aO, /*(s)=—£- и, следовательно,
—у+ CJ. Величину—-2+С[ обозначим через В. Теперь

27P . 1Ь ПРИЛр-ЖЕНИЯ;:ЯдаЕГ;РАЛЬНЫХ; УРАВНЕНИЙ
по формуле A0). п. 63 мы найдём: '
при у=0, \t\<a .-:■-■
= ■ в С ^-^у A ;
Вычислим интеграл в A7). Мы несколько упростим его,
умножив и разделив на / и' приведя его этим к виду
a
В t ^J2_o?rf; •; ■-.-.; " " "
Выберем ту ветвь корня, которая на бесконечности имеет
разложение : . ,
Рассмотрим интеграл типа Кошй:
2rf)TT
11 с ■■■•::."'■' ■■:'■'■' "'■'"'
Контур С изображён на черт. 19; точка, z лежит вне С.
Прибавим и вычтем С в числителе подинтегральной функ-
функции. Мы получим тогда - - -
J
с с
Второй интеграл равен нулю, так как функция ,_г
регулярна внутри С. Далее, функция I С*—а* —С регу-
регулярна вне С и равна нулю на бесконечности. Первый ин-
интеграл, следовательно, есть интеграл Кошй, а потому
Контур С эквивалентен дважды обходимому отрезку
( — а, а).. Сверху и снизу отрезка корень имеет разные
'знаки, так что •
а

§ 6. ПРИЛОЖЕНИЯ СИНГУЛЯРНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ 271
Отсюда
— в
По теореме о предельных значениях интеграла типа Коши,
Подставив это в A7), получим:
при>=0 и:Щ<а щфм\ = -—*^+^Л--. '-A8)
Докажем, что. 4 = 0.' Положим ^'(г)=р + iq\ тог^а
${z) = q — ip. По формуле (б) п. 37
В нашей задаче, очевидно, ах и з,, один&Швы , в точках,
симметричных относительно оси у. Отсюда следует, что;
Р(Х1У)=Р(—..х>У)ш
т. е. р {х, у) — чётная функция от х. Но тог "а
dq__ __ dp ''.'•-
дс ду "■
— также чётная функция от х, а функция
•*(х,..0)= \ M^-4x+g{Q, 0)>
— либо нечётная, либо отличается от нечётной на постск'
янную. По формуле A8) -
Отсюда
Сумма
может, быть .постоянной только при А—.0. ".. .

272- '" к- приложения интегральных уравнений
т^; A9)
Напомним, что 1?е{Ф(/)|=0 при f/|>c и у=0. Таким
образом, Яе{Ф(/)} известна на веёй действительной оон!.'
По формулам A) и B) п. 63
г "в С—действительная постоянная. Чтобы вычислить ин-г
теграл'в B0), рассмотрим интеграл . • . :■'
где С—контур, изображённый на черт. 19 (стр. 266).
Функция,.—==sg- регулярна вне Си равна епинице, на-т
бйсконечяосги; по известному свойству интеграла Кошя-1
-1.
р(г)
Заменим контур С эквивалентным ему контуром, состоящим
из дважды обходимого отрезка ■( — а, а). Рассужен так
же, как и при вычислении интеграла A7), 1^ы найдём, .что_
_J_ [ W -If « Л
Теперь
Остаётся определить постоянные В и С. По предположен,
нию, напряжения на бесконечности равны нулю. Отсюда'
иС=0, Чтобы найти В, обратимся к условию* A4). На'

i 6. приложения сингулярных интегральных уравнения 273
отрезке ( — а, а) радикал Уг-'.^ei— мшшы& и лотолу
0 при j/=sO; -^<д:<с Re{!p'(ji:)}=t—S,
что ^аёт,-»:<гн^у условия A4), В=— ■г. Окончательно
t Мы получили решение для верхней полуплоскости,
Удовлетворяющее краевым условиям A), B) и E). Решая
нашу задачу для. нижней полуплоскости, мы придам к
тому, же решению B1), так что ¥»(•?) = <?« (г). Остаётся,
проверить, что наше решение удовлетворяет условию CJC
Но это непосредственно следует из формулы A3), в силу
которой .. -
«лНаша задача теперь полностью решена.
$5. Давление жёсткого штампа на упругую полуяло-
скбсть. Представим себе жёсткий штамп произвольной,
формы, вдавленный в упругую полуплоскость (черт. 20).
Поставим задачу об определе- .
нии напряжений, обусловлен-
обусловленных давлением штампа. При-
Примем следующие допущения: ■
а) Участки границы *>а ———*
и лг<—а свободны от напря-
напряжений.
б/ Жтамп вдавлен сила- Черт. 20. •
ми, нормальными к границе/ : :
Отсюда следует, что треиие под штампом отсутствует. '
Указанные допущения позволяют сформулировать крае-
краевые .условия задачи:
, 1) ; T,y-0 прй.у = О, (if
2) ■ , ■ -а, ~ 0 при у .*? 0 и I х \ > с B)
3) Так как форма штампа известна, то можно считать
tfe'gefcfHbffiH вертикальные смещения точек полуплоскости
18 С. Г. Михлин '

274 и. приложения интегральных Уравнений
/
под штампом. Таким образом, . . . ■ •- , . . :
uy=f{x) при з»=0н \х\<а. C)
где/(лг)—данная функция.
Так же, как-и в п. 64, условие A) позволяет устано-
установить следующее 0? (г) и ^ (г)—функции Гурса):
+ H*)-Uz), \ D)
=-^ при у=0, E)
=^{z)-^Jz). F)
В силу D), задача сводится к отысканию только функ-
функции f (г); соотношения E) и F) сводят эту последнюю
задачу к задаче Гильберта.
Обозначим
Условия B) и E) дают:
р = 0 при у = 0 и |лг|>а. G)
Отделяя в F) мнимые части и пользуясь условием C),
получим: ■ ' ''-
4x = ^rxf{x) при ^ = 0и|
Продифференцируем это. равенство по х и примем во
внимание,1 что -Ф-=д. Мы получим, тогда:
*=Г?ТП*) при^ = 0и|л:|<а. „(8)
Мы прищли опять к задаче Гильберта. Её можно ре-
решить, пользуясь методом п. 63. Мы изберём другой метод,
который освободит нас от необходимости вычислять неко-
некоторые постоянные.
Допуская, что ^ (г) ограничена в полуплоскости, мы
можем её представить с помощью интеграла Шварца1)
+0О »
4?H
,1) Ядра Шварца для. зерхней и нижней полуплоскостей различаются
знаками.

i 6. ПРИЛОЖЕНИЯ СИНГУЛЯРНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ 275
Продифференцируем это равенство, а затем проинтегри-
проинтегрируем по частям. Учитывая, что ^1^\'у =р(\,у), мы полу-
получим
Обозначим для краткости p(Z,O) = p(i). Пользуясь усло-
условием G), мы найдём:
Пусть теперь z — t, где/—точка отрезка (—а, а) дейст-
действительной оси. Так как г лежит в нижней полуплоскости, то
Отделим мнимые части. В силу условия (8), имеем:
Это — сингулярное уравнение, решение которого можно
получить по способу п. 25: именно, преобразуя к нашим
обозначениям формулу B6) п. 25, мы получим:
Постоянную Л можно определить, если известен главный
вектор Р усилий, приложенных к штампу. Действительно,
Обозначив для краткости первый член в A1) через
имеем, очевидно,
а :~.
P
18*

276 П. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ
откуда
•~а
Отметим частный случай плоского штампа. В этом случае
f(x)=const и
L^. A3)
Эта формула даёт закон распределения нормальных на-
напряжений под штампом. Далее,
Чтобы вычислить этот интеграл, положим
2«J |/вз_;2(:_г)
С
где С~контур, изображённый н-а чертеже 19. Функция
i.... ■■ регулярна вне С и равна нулю на бесконечности,
УФ— .
поэтому
Ко- —2^
Заменяя контур С дважды проходимым отрезком (—а, а),
иолучим
if a- ^1
гЛ J Уаг — f(S — л) К^ —
и, следовательно,
^'B)= f ... A4)
V ; 2*1/в1 — г1 V У
В формуле A4) корень—отрицательный на отрезке ( — а, а)
снизу.
66. Случай нескольких штампов. В случае, когда на полу-
полуплоскость давит несколько штампов, задача принципиально
решается так же, как и в случае одного штампа; вычис-
вычисления, конечно, делаются более сложными.

i 6. приложения сингулярных интегральных уравнении 277
Обозначим через (а1; pj, («,, %) (а„, ря) участки
границы, с которыми соприкасается штамп; совокупность
этих участков обозначим через L, а совокупность допол-
дополнительных участков границы —через М. Обозначим по-
ирежнему через f(x) вертикальное смещение под штампом
в точке с абсциссой х. Величина f(x) может считаться
данной заранее; её аналитическое выражение будет раз-
различным на различных участках (лк, $к). Пользуясь обозна-
обозначениями предшествующего пункта, мы сведём задачу о
давлении нескольких штампов к следующей задаче Гиль-
Гильберта: ..,.-... ........
Re {<р'(/) | = 0 на М,
причём
' +00
±mLX[4£L B)
—оэ
Вывод этих формул такой же, как в предыдущем пункте.
Полагая в B) z—*t, где t—точка на L, и отделяя мнимые
части, мы придём' к уравнению
Его решение можно написать по формуле (8) п. 63, заме-
заменив в этой формуле B{t) на ~xi/'(O:
на i P(t)= /: х
i/rr -""
/ м
XI Щ-г -dl+. ,_ °"-{f) . D)
5-
Коэффициенты полинома Qn-i @ могут быть определены,

278
И. ПРИЛОЖЕНИЯ. ИНТЕГРАЛЬНЫХ .УРАВНЕНИИ
если5 известны главные векторы сил, приложенных к
каждому штампу в отдельности; эти коэффициенты выра-
выражаются через гиперэллиптические интегралы.
Если штампы — плоские, то f(x)=const (постоянные
могут быть различными на различных участках (ал, j54», и
/'(дг) = О. В этом случае - - -
У Д(t-4)(h-t)
Д
Подставив это в B), мы легко найдём:
E)
F)
k-l
67. См?шачная задача теории упр гости. Рассмотрим
некоторую плоскую область D, заполненную упругой
средой. Мы будем считать область t) односвязной
(черт. 21). Пусть на части её контура, которую мы обо-
обозначим через М, даны смещения точек среды, а на допол-
дополнительной части контура, которую мы обозначим через L,
даны силы, действующие на
упругую ! среду. Задача об
определении напряжений в
упругой среде при этих усло-
условиях и называется смешан-
смешанной задачей теории упругости.
В дальнейшем будем счи-
хать, что контур области D
достаточно-гладкий.
Введём следующие обо-
обозначения. Контур области D
обозначим через С, так что
C=L + M. Далее, L состоит
из нескольких несвязанных между собой дуг, которые мы
обозначим через Yi» Ya»---» Yra? комплексные координаты
точек, отделяющих эти дуги от дуг Af; будем обозначать
$ ? Р С
21.
аи
а*>
щ
ав>
ду ; уд
Составляющие внешних сил,
б
аи $и *> ?*>> в> Рл- Составляющие внешних сил,
приложенных к дугам L, обозначим, как обычно, через
Х\,и У- упругие смещения — через их и иг В силу- формул

i 6. ПРИЛОЖЕНИЯ СИНГУЛЯРНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ 279
D), (8) и (9) п. 37, функции Гурса нашей задачи удовле-
удовлетворяют следующим краевым условиям:
на Ж '*Ч(Ъ-ФМ-Ш=*М«х+1«у), A)
на Y* .¥@ + С7^ + $3='$(*, + Н\)Л + С4. B)
Преобразуем эти условия. Определим функции точки
контура $(;) и /(С), полагая
О паМ,
Х+1 на/.;
*(<)= {,
на1,
D)
на Ж.
Постоянные, с .точностью до которых определяется ин-
интеграл - '
на.'каждой из дуг Y*< можно подобрать так, чтобы /(С)
была непрерывной, например, в точках лк. Наконец, поло-
положим ещё
E
0 на Ms
В этих обозначениях условия A) и B) можно записать так:
Как обычно, существенно определить функцию <р(г);
после этого можно найти ф(.г), вычислив с помощью F)
её контурные значения, по которым ty (z) восстанавливается
через посредство интеграла Коши или Шварца.
Займёмся нахождением <р {z). Умножим обе части ра-
равенства F) на

280 II. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ
где T(z; С) —ядро Шварца области D и проинтегрируем
по контуру С. Повторяя рассуждения п. 39, мы получим
G)
Уравнение G) можно упростить.
Вспомним тождество B3) п. 38
с
верное для всякой функции F(z), регулярной в О. В п. 39
было установлено, что <р'(.г) регулярна в £>, и поэтому
Положим в этом тождестве г=а. Вычитая, получим:
4п
(8)
Тождество (8) умножим на z и вычтем из G). Третий член
слева в G) преобразуется так:
; О-*П*. ОКт}^- (9)
Таким образом, производная /(:) исключена из уравнения
G). Отметим ещё, что ядрэ интеграла (9) непрерывно в
области D, включая контур. Ядро интеграла (9) будем
обозначать через K{z\ С).

i 6. ПРИЛОЖЕНИЯ СИНГУЛЯРНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ 281
Обратимся ко второму члену слева в G). По опреде-
определению и по формуле B7) п. 38
5
L
s4£ijrS; 0*. 0°)
L L
. Переходя к правой части уравнения G), обозначим
A1)
с
Далее, по определению,
С *=1 74 *=|
где мы обозначили
Формулы (9) и A2) позволяют привести уравнение G)
к следующему виду:
2
*=1
Пусть теперь г—*/, где / — точка на L. Пользуясь
теоремой о пре-ельных значениях интегралов типа Коши,
мы получим сингулярное интегральное уравнение
A4)

282 н. приложения интегральных уравнении
Перенесём второй и третий интегралы направо и по-
полученную таким образом правую часть обозначим через
Ф(*). Тогда
(х-1)?@-1+1^«=Ф@. A5)
1
Рассматривая временно Ф(*), как величину известную,
мы можем уравнение A5) решить. По формуле (8) п. 26,
Подчиним это решение требованию.Гчтобы <f(t) была не-
непрерывна в точках aft. Для этого необходимо и достаточно,
чтобы Q*_i(*) = 0, и тог .та
Наметим вкратце дальнейший ход решения. Постоян-
Постоянные Ск, которые до сих пор оставались произвольными,
можно выбрать так, чтобы f(t) была непрерывной также
и в точках jSft. Подставим эти значения в A3) и A6). Да-
Далее, в интеграле —гпГ^г^г ^ заменим ¥($) его выРа~
i
женнем из A6). После этого ядро указанного интеграла
станет абсолютно интегрируемым. Теперь положим в A3)
z—»t, rne t на этот раз означает любую точку контура С.
Можно выполнить предельный переход под знаком всех
интегралов, и это приведёт нас к интегральному уравне-
уравнению вида
(
с с
где Q @ — известная функция. Отделив в этом уравнении
действительные и мнимые части, мы получим систему

§ 6. ПРИЛОЖЕНИЯ СИНГУЛЯРНШ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ 283
лвух интегральных уравнений типа Фредгольма. Можно:
доказать, что эта система, а с ней,и уравнение A7), всегда
разрешима. Решив уравиение~A7), мы найдём контурные
значения <р(*), и- тогда <p(z) можно восстановить по её
контурным значениям через интеграл Коши.
Решение смешанной задачи теории упругости изло-
изложено со всей подробностью в работах Д. И. Шермана
[37h,k]. Следует отметить^ что уравнение A5) решено
в [37h] излишне сложным'методом.
.... 68. Случай области, рационально отображаемой на круп
ё.^итиррваннрй;-выще^ статье' J37bJ. Д. И. Шерман дока-
доказал следующую* теорему:' . • w , ■ •
Если область D конформно отображается на"круг с по-
помощью рациональной, фурШЩи, ttip, Ъщщаншя задача теории
упругости для этой области решается в конечном виде в
квадратурах. ' " ,. , _
Рассуждения Д. И. Шермана во многом совпадают
с рассуждениями, которыми пользуется акад. Н. И. Мус-
хелишвили при доказательстве аналогичной теоремы для
основных задач. Мы здесь воспроизведём рассуждения
Д. И. Щермана с некоторыми несущественными измене-
изменениями. . -
Пусть z=o)(x) — функция, конформно отображающая
область D на круг |т|<1. Контур С при этом отображе-
отображении, переходит в окружность |т| = 1, которую мы. будем
"альте обозначать через Г, а совокупности дуг L и М
перейдут в некоторые совокупности дуг L' и М', причём
L'±M'=Y. Дуги у* перейдут в некоторые -уги у* окруж-
нрсти Г. Концы дуг у* обозначим через а* и р*. Обо-
Обозначим ещё .-._,-. :.,,
С=вф), ?(ш(т))=Ф(т), ф(ш(т)) = 9Чт),
,. /К'))-^?), *№').)=*№> с(ю(з).)=с1(')- .
Теперь в формуле F) п/67 сделаем замену £—ф(з)^'
Указанная формула принимает следующий вид:
4
lu\Of
По предположению, функция" ю(з) — рациональная:

284 И. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
где а(з) и & (о) —полиномы. Отсюда
,, . Ь'з^п1 а) — 1'в^Ь'<а)_а1( а)
где at(<j) и Ь^з) — также полиномы. Далее,
Обозначим через аг(з) и *г(з) полиномы, получаемые из
а{ (j) и ft, (j) заменой всех их коэффициентов на комплексно
сопряжённые. Тогда
5,(a), iT
Но так как |а| = 1, то а.= —, и поэтому
Отсюда видно, что «\^ есть рациональная функция
от з; то же можно сказать и о функцчи =1^-. Будучи ра-
Ш'ональной, эта функция может быть представлена, как
частное двух полиномов:
Заметим, что полином rh) не обращается в нуль на Г —
в-противном' случае т'\з) обращалось бы на F & нуль, и ,
отображение не :было бы ко:форм:-:ым. Однако, внутри Г
г(з) может иметь нулк. Их ч:*сло обозначим, через I'.
Очевидно, /'</,.
Равенство A) умножим на

! б. ПРИЛОЖЕНИЯ СИНГУЛЯРНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ 285
где т — точка внутри Г, и проинтегрируем по Г. Всцоми-
ная определение функций Ъ1(з) и Ct(j)t мы получим сле-
следующее равенство:
I' Г
Изучим лёвуй часть в C). Из известного тождества
s3
следует: если
+ТС
ТО
оо
1 Г А (-) . v
Это замечание позволяет просто вычислить последние два
интеграла в C) слева. Пусть
со со
j-0 S S' . s-1 S
ТогДа ■ - - - - ,
I l—s
>= 2 о- 2
s=—с» *=Э
i= 2 ^2
х) Мы по. агаем, следовательно, Ф@)=0. Этого, как известно,
да потребовать заранее. v ;... . . ... .с.

28§ .II. ПРИД0ЖЕЛИЯ.1ШТВГРАПЬНЫХ
Теперь очевидна, что :.;- ,'i
4=0 ft=0
_ Л*. E).
. »' . «=o *=>
Коэффициенты :в D) и' E) обозначим собтветсувенно
через Ап и В„. Кроме того, введём ещё обозначения
Подставив всё это в C), получим:
v "
Ь=1
Заметим, что правая - часть уравнения F) регулярна
внутри Г. Для краткости обозначим её через N(t):
*=0 '
Пусть теперь t-*o0> где а0 —"произвольная точка щ Г;
Применяя теорему о предельных значениях интеграла
Коши, мы, как и "в предшествующем" пудате? получим
сингулярное уравнение
i. ° ~~ *• _ _ _
Это уравнение в существенном..срвпадает ,с.!уравнеаием;

f 6. ПРИЛОЖЕНИЯ СИНГУЛЯРНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ. УРАВНЕНИИ 287
(Щ- предшествующего пункта, и его решение можно
написать по аналогии с,формулой A6) п. 67: ".■ '" ■'"'
на!'
Формулу (8) преобразуем. По теореме о предельных
значениях интеграла типа Кощи имеем:
Подставив это в (8), получим:
на U ' , г
Функции в обеих частях равенства (9) — аналитиче-
аналитические, регулярные внутри Г, и эти функции равны на со-
совокупности дуг L'. Принцип аналитического продолжения
позволяет утверждать, что указанные функции равны
тождественно внутри Г:
*=i
Правая часть формулы A0) содержит « + /+/t неиз-
вестнцхазостоянных Ck, \is, vs. Если они будут определены,
то формула A0) даст решение нашей задачи. Эти неиз-
неизвестные можно определить из следующих условий:
1) Ф(т) непрерывна в точках %.
w 2) Внутри Г цравая часть в A0) обращается в нуль
"ягт-ех же точках, что н г(т); это необходимо для того,
чтобы Ф(т) была регулярна в Г.
3) Коэффициенты Тэйлора справа и слева равны.

288 п. приложения интегральных уравнении
4) В равенстве (Г) перейдём к сопряжённым, умножим
на о~7~~~" и проинтегрируем по Г. Мы получим тогда
=-^г^з-2й\(\-^7- оо
Подставим в A1) вместо ,Ф(т) её выражение из (S). При-
Приравняв коэффициенты Тэйлорапри одинаковых степеняхт
справа и слева, мы получим последнюю группу условий.
Всё сказанное приводит к системе линейных уравнений,
из которой ъ определятся искомые Постоянные.
69. Задача об обтекании дуги задан-
заданной фзрмы. Рассмотрим . задачу Рб
обтекании достаточно гладкой незамк-
незамкнутой дуги АВ (черт. 22).
Можно решать эту задачу по ме-
методу п. 34, но втот метод приводит,
в случае незамкнутого контура, к
нефредгольмовскому интегральному
уравнению довольно сложной струк-
структуры. Будем поэтому решать нашу
задачу другим' приёмом, а именно,
покажем, что её можно свести к неко-
Черт. 22. торому сингулярному интегральному
уравнению.
В отличие от сказанного в; п. 34, будем считать, ско-
скорость потока на бесконечности направленной как угодно
ло отношению к оси х. Пусть компоненты скорости потока
на бесконечности равны U и V. Тогда комплексный потен-
потенциал скоростей w (г) = у (х, у) + / ф (л:, у) у товлетворяет яа
бесконечности условию
lim [w"(z)-(U—iV)] = 0. (f)
г-к»
Дут*у АВ буем считать неподвижной. Тогда на ней лолж,-
но выполняться равенство [см. C) п. 34]
4>=С B)

§ 6. ПРИЛОЖЕНИЯ СИНГУЛЯРНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯ 289
Наша задача заключается в том, чтобы найти функцию
w(z), аналитическую вне дуги АВ и удовлетворяющую
условиям A) и B). В таком ви^е задача является неопре-
неопределённой и мы присоединим поэтому ещё дополнительное
условие:
Скорость потока в точке на всей луге АВ, кроме,
может быть, точки Л,— конечная1).
Обозначим
-{U-iV) = &{z). C)
Функция <a(z) регулярна вне АВ и равна нулю на беско-
бесконечности. Найдём условие, которому она удовлетворяет
на АВ. Обозначим через t комплексную координату произ-
произвольной точки С дуги АВ и через s—длину дуги АС. Из
B) следует, что на АВ ~Jj = O- Далее
Обозначим через & угол между касательной к АВ в точке
С и осью х. Тогда ^ = е1Ь- Теперь из двух последних ра-
равенств следует
lm {w(/)ei8} = Vcos& — £/sin&. D)
Функцию (»(z) будем искать в виде интеграла типа
Коши следующего вида:
АВ АВ
АВ АВ
г"е dj = |dC| и Ь — угол между касательной к АВ в точке
С и осью х. Функцию Г(£) будем предполагать действи-
действительной. ^Интеграл в E) можно интерпретировать, как
сумму элементарных вихрей, распределённых вдоль АВ
с плотностью Г(£). В соответствии с этим М. А. Лаврентьев
называет функцию Г(С) «вихревой функцией».
1) См. [21J.
С. Г. Михлин

290 П. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Пусть точка z стремится к точке t дуги АВ. По тео
реме о предельных значениях интеграла типа Коши
АВ
Подставив это в D), мы получим сингулярное интеграль-
интегральное уравнение с неизвестной
. - £ t I ч
АВ '
Уравнению F) можно придать несколько иную форму.
Обозначим через в угол, 'который вектор t—X, образует
с осью х, а через г —длину этого вектора. Тогда t — t—
= —re'9, и, следовательно,
ъГ ) ?=^
АВ ' К АВ
_ 1 Г 7(Qcos(& — (>) ,
~~ 2« } г Х
Теперь уравнение F) принимает вид
^\W°*£=*-d,= Vca*b-UM.. (в,)
АВ
Величина * — в есть угол между направлением век-
вектора t — Z,n касательной к АВ в точке С. Введя угол (г, п)
йежду направлением вектора t— С и нормалью в точке С
к дуге АВ, имеем:
Это даёт новую форму уравнения F):
_l_ J Т (Г) sin (r, n) dz = Vcqs s
is
Уравнение F) имеет бесчисленное множество решений»
Все они, будучи подставлены в E), дают m(z) (а, следо-
следовательно, и скорость потока), конечную везде, кроме, быть
может, точек Л и В. По принятому нами условию, скорость
в точке В должна быть конечной. Но тогда <s>(z) в точке
В лолжна быть конечной, а для этого необходимо, чтобы

§ 6. ПРИЛОЖЕНИЯ СИНГУЛЯРНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ 291
в этой точке Т(С) обращалась в нуль. Действительно, обо-
обозначим комплексные координаты точек А и В через аир.
Именно:
•«-я
2it/ J Z—z 2i«' a — z' *iw-
Можно доказать, что интеграл в G) непрерывен при
z—»jJ, если в нём под T(Q понимать любое решение урав-
уравнения (бI). Но в таком случае ш(г) будет ограниченной
при z=jJ тогда и только тогда, когда 7\(jJ)=O, т. е. когда
Г(Р)=О. Этому условию мы и будем подчинять решения
уравнения F).
Уравнение F) в общем случае не решается в конечном
виде; М. А. Лаврентьев в цитированной статье [21] разви-
развивает метод его приближённого решения. Ниже мы даём
точное решение для двух простейших случаев, когда АВ
есть отрезок прямой или дуга круга*).
а) Пусть АВ есть отрезок (— а, а) действительной оси,
В этом случае &=8=0, величины t и * —действительные,
и уравнение F) упрощается;
2* J С —* ч~ <■
— а
Решение уравнения (8) напишем по формуле B6) п. 25:
Интеграл, входящий в эту формулу, был вычислен в п. 64;
*) Доказательство этого можно найти в статье' М. А. Лаврентьева
[21]. Г"
2) В статье [22] М. А. Лаврентьев, Я. И. Секерж-Зенькввичл!
В. М. Шепелев строят систему сингулярных уравнений для задачи об-
обтекания двух дужек и решают еб при помощи, обобщенного алгорифма
Шварца. ' ":
19*

292
Н. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ
и, следовательно,
rW-?!t=£i с—к.
(9)
В точке ^=0 функция T(l) должна обратиться в нуль.
Отсюда мы находим C'=2aV, и
(Ю)
Теперь
•W-5J-
fn-—t dt
a-\-t t — z'
Чтобы вычислить интеграл в A1), положим
где" С—контур чертежа 19.
Имеем:
О
a—
Черт. 23.
При вычислении T(t) мы выбрали
то значение корня, которое на бесконечности имеет раз-
разложение
Подставив это в предшествующее равенство, мы найдём,
что
lim
-■='•
: Функция l/j—j регулярна вне С и равна » на бес-
конечности. Отсюда следует, что

( 6. ПРИЛОЖЕНИЯ СИНГУЛЯРНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ 293
Заменим контур С удвоенным отрезком (—а, а). Учи-
/а — г
тывая, что 1/ - имеет разные знаки по разные сторо-
стороны указанного отрезка, найдём:
а
г \У a + t t-г-у а±г
y^z. A2)
Наконец
«,'(г) = и-У\/Щ. A3)
б) Пусть теперь АВ есть дуга окружности |£| = 1.
Комплексные координаты концов дуги обозначим через
а и j$. Ось х направим параллельно скорости потока в бес-
бесконечности так, что V=0. Из чертежа 23 видно, что
=& + -^ и, следовательно, t=e'^b *' = ielb. Точно
так
же Z — ie'*.
Приведём к простейшему виду интеграл в F).
Прежде всего, е/(9-*>=у. Далее,
S
а
С другой стороны,
Так как на окружности ?=у и С=т» то после простых
вычислений мы получаем:

294 II. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ
Подставив всё это в F), получим уравнение
а
Но
2 sin 0 = j- («» - «~») = - (t +1),
и окончательная форма уравнения будет
Приступим к решению этого уравнения. Рассмотрим
интеграл типа Коши
Очевидно, F(z) регулярна на всей плоскости, разрезанной
вдоль дуги (а, E), причём
Далее, так как ядро
Z — z c Z — z с
отличается от ядра Коши только постоянным множнтелем
и регулярным слагаемым, то; как легко видеть, для инте-
интеграла A5) справедливы такие же теоремы о пределах, что
и для интеграла типа Коши:
з
Подставив это в A4), получим:
D) A7)

§ 6. ПРИЛОЖЕНИЯ СИНГУЛЯРНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 295
Положим
Функция Ф(г) регулярна в разрезанной плоскости, за
исключением бесконечно удалённой точки, где она имеет
полюс первого порядка. Выберем то значение корня, раз-
разложение которого на бесконечности начинается с члена
+ z. Тогда можно написать
где Ф0(г) регулярна при г=оо. Введя в A7) вместо F(z)
её выражение через Ф(г) и учитывая, что по разные сто-
стороны дуги (а, [5) корень имеет разные знаки, мы преобра-
преобразуем уравнение A7) к виду
Но
Ф, @ = At + Фо. (/), ф, (t) = At+ ФОе (t).
Отсюда
*o,W-<M9=-2* (^+т)/('-«)(*-Р). A8)
Частное решение этого уравнения есть
Выражение A9) равно нулю при z — оо. Функция же Ф0(г),
будучи только регулярной на бесконечности, может при
2=оо равняться некоторой постоянной. Общее решение
уравнения A7) получится, если к A9) прибавить произ-
произвольную постоянную:
Чтобы вычислить последний интеграл, рассмотрим ин-
интеграл

296
II. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ
Контур Г изображён на черт. 24; точка z находится вне Г.
В окрестности точки £ = оо радикал разлагается в ряд
Лорана следующего вида:
Интеграл в выражении fl(z) распадается на два. Первый
из них представим в виде
Во втором интеграле подинтегральная функция регулярна
внутри Г, и интеграл равен нулю. Первый же интеграл
есть интеграл Коши. Таким образом
Черт. 24.
1"
Далее,
функция
"*"
8 '
на бесконечности
- ><g—р>
регулярна и имеет вычет — 1. На конечном расстоянии
вне Г оиа имеет полюсы в точках С=ОиС=гс вычетами
—Z2L и -L \/{z — «)(г—j$). Учитывая, что Г обходится
по часовой стрелке, и применяя теорему о вычетах, най-
найдем:

f 8. ПРИЛОЖЕНИЯ СИНГУЛЯРНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ 297
Складывая, получаем:
+ 8 * Г"
Контур Г можно заменить дважды обходимой "дугой (ос, Р).
Это даст нам
Ц_£^Е+1 + 1а.) B0)
в, следовательно,
(l±8i^±,_(Sziu + 1+jS). B1)
Отсюда
/с
8 +]+ г
Теперь из формул A6) следует
4l]. B3)
Постоянная С определится из условия Г(E)=0, а постоян-
постоянная Л —из равенства

298 и. приложения интегральных уравнении
Теперь
Интеграл B4) легко вычислить, исходя из интеграла типа
Коши
где Г — контур черт. 24. Мы не -будем приводить оконча-
окончательного выражения w{z) из-за его громоздкости.

ЛИТЕРАТУРА
А. Курсы по теории интегральных уравнений
1. Г. Виарда. Интегральные уравнения, пер. с нем. ГТТИ, 1933.
2. Э. Гурса. Курс математического анализа, т. III, ч. II, пер.
с франц. ГТТИ, 1934Ь
. 3. Н. М. Гюнтер. Основы математической физики, ч. I. Инте-
Интегральные уравнения. Изд. Кубуч, Л-д, 1931.
4. Р. Курант и Д. Гильберт. Методы математической физики,
т. I, пер. с нем. ГТТИ, 1933; спец. глава III.
5. У. Л о в и т т. Интегральные уравнения. Пер. с англ. ГТТИ, 1933.
6. Г. М. Мюнтц. Интегральнье уравнения. ГТТИ, 1934.
7. И. И. Привалов. Интегральные уравнения, 2-е изд. ГТТИ,
1937.
8. В. И. Смирнов. Курс высшей математики, т. IV. ГТТИ, 1941.
В. Литература по приложениям и по отдельным вопросам
теории интегральных уравнений
9. И. В. Ананьев. Решение задач о собственных колебаниях
крыльев с сосредоточенными массами методом интегральных уравне-
уравнений. Труды ЦАГИ, № 348, 1938.
10. И. Н. Веку а. Комплексное представление общего решения
уравнений стационарной плоской задачи теории упругости. Доклады АН
СССР, т. XVI, № 3, 1937.
П. А. Я. Горгидзе. Метод последовательных приближений в
применении к плоской задаче теории упругости. Доклады АН СССР,
т. IV, № 5—6, 1934.
12. N. Gfl n the г. La theorie du potentiel et ses applications aux
problemes fondamentaux de la physique mathematiques. Paris, Gauthier-
Villars, 1934.
13. F. H. van-den Dungen. Cours de technique des vibrations.
Bruxelles, 1926.
14. H. В. Зволинский. Приложение метода интегральных
уравнений к одной задаче устойчивости цилиндрических оболочек.
Труды ЦАГИ, № 320, 1937.
15. Т. С а г 1 е m а п. a) Zur Theorie der linearen Integralgleichungen.
Math. Zeitschrift, Bd.9, H. 3/4, 1921.
b) Sur la resolution des certaines eguations integrates. Arkiv for
Matematik, Astronomi och Fysik, t. 16, 1922.
16.'А. И. Ко май. Совместные колебания крыла с сосредоточен-
сосредоточенными грузами. Труды ЦАГИ, № 472. 1940.

300 ЛИТЕРАТУРА
17. Н. Е. Ко чин. а) Плоская задача о глиссировании слабо
изогнутого контура по поверхности тяжёлой несжимаемой жидкости.
Труды ЦАГИ, № 356, 1938.
b) О волновом сопротивлении и подъемной силе погруженных в
жидкость пил. Труды конференции по теории волнового сопротивления.
Изд. ЦАГИ, 1937.
18. G. Krall. Sulla configuratione d'equilibrio instabile d'una
piastre elastica sottile. Annali di matematica pure e applicata, s. IV,
t. IV, 1927.
19. M. Г. Крейнта Я. Л. Нудельман. Про м:шмаксимальн!
властивосп вузл1в обертон!в в1оруючого стрижня. Труди Одеського
Держ. Универс., Матем., т. II, 1938.
20. В. Д. Купрадзе. а) Метод интегральных уравнений в тео-
теории диффракции. Матем. сборник, т. 41, № 4, стр. 561—581, 1934.
б) Распространение электромагнитных волн в неоднородной среде.
Труды Тбил. Мат. ин-та, т. I, стр. 115— 123, 1937.
c) К исследованию электромагнитных колебаний в плоском неодно-
неоднородном поле. Доклады АН СССР, т. XVI, № 3, 1937.
d) Zur Frage der Ausbreitung eleclronngnetisciier Wellen in einem
inhomo enen ebenen Mediu.n. Compositio Mathematica, vol. 6, fasc. 2,
pp. 223-234, 1938.
e) Некоторые новые приложения теории резольвенты к граничным
задачам теории потенциала. Доклады АН СССР, т. XXIII, № 1, 1939!.
21. М. А. Лаврентьев. О построении пэтэка, обтекающего
дугу заданной формы. Труды ЦАГИ, № 118, 1932.
22. М. А. Лаврентьев, Я. И. С екерж-Зенькович и
В. М. Шепелев. К теории бипланной коробки крыльев. Труды
ЦАГИ, № 153, 1935.
23. G. Lauricella. Sur ('integration de I'equation relative a
l'equilibre des plaques elastiques encastrees, Acta Math m, t. 32,
pp. 201—256, 190Э.
24. Ц. О. Левина и С. Г. Михлин. К вопросу о расчете
напряжений в междукамерных целиках. Труды Сейсм. ин-та АН
СССР, № 9», 1940.
25. Ц. О. Левин а. Дополнительные исследования напряжений
в междукачерных целиках. Труды Сейсм. ин-та АН СССР, № 1J8,1М1.
26. Л. Г. Магнарадзе. а) Основные заичи плоской теории
упругости для контуров с угловыми точками. Труды Тбил. Матем.
ин-та, т. III, стр. 43—75, 1938.
Ь) Некоторые граничные задачи математической физики для поверх-
поверхностей с угловыми линиями. Труды Тбил. Мат. ин-та, т. VII,
стр. 23-45, 1939.
27. С. Г. Михлин. а> Задача Дирихле для областей с несколькими
замкнутыми границами. Доклады АН СССР, № 7, стр. 2—7. U34.
b) О распределении напряжений в полуплоскости с эллиптическим
вырез )м. Труды Сейсм. ин-та АН СССР, № 29, 1934.
c) Метод последовательных пр 1ближений в применении к Ангар-
Ангармонической проблеме. Труды Сей;м. ин-та АН СССР, № 39, 1934.
d) Плоская задача теории упругости. Труды Сейсм. Ин-та АН
СССР, № 65, 1935.

ЛИТЕРАТУРА 301
e) Плоская задача теории упругости для неоднородной среды.
Труды Сейсм. ин-та АН СССР, № 66, 1935.
f) Плоская деформация в анизотропной среде. Труды Сейсм. нн-та
АН СССР, № 76, 1936.
g) Проблема эквивалентности в теории сингулярных интегральных
уравнений. Матем. сборн., т. 3 D5), № 1, стр. 121—141. 1938.
h) Об одном классе сингулярных интегральных уравнений. До-
Доклады АН СССР, Т. XXIV, № 4, 1939.
i) Некоторые элементарные краевые задачи для волнового уравне-
уравнения. Труды Сейсм. ин-та АН СССР, № 101, 1940.
j) Основные краевые задачи для волнового уравнения. Доклады
АН СССР, т. XXIX, № 4, 1940.
к) Применение преобразования Лапласа к краевым задачам для
волнового уравнения. Доклады АН СССР, т. XXXI, №4, 1941.
1) О напряжениях в породе над угольным пластом. Изв. ОТН АН
СССР, № 7—8, 1942.
тп) Приближенное решение краевых задач для уравнения цилинд-
цилиндрических волн. Изв. ОТН АН СССР, № 11—12, 1942.
п) О сходимости рядов Фредгольма. Доклады АН СССР, т. XLII,
№ 9, 1944.
28. Н. И. Мусхелишвнлн. а) Некоторые задачи теории упру-
упругости; Изд. АН СССР, 1935.
b) Новый общий способ решения основных контурных задач пло-
плоской теории упругости. Доклады АН СССР, т. III, № 1, 1934.
c) Исследование новых интегральных уравнений плоской теории
упругости. Доклады АН СССР, т. III, № 2, 1934.
d) Применения интегралов типа Коши к одному классу сингу-
сингулярных интегральных уравнений. Труды Тбил. Мат. нн-та, т. X,
стр. 1—43, 1941.
e) Системы сингулярных интегральных уравнений с ядрами типа
Коши. Сообщения АН Грузинской ССР, т. III, № 10, стр. 987—994,
1942.
f) Сингулярные интегральные уравнения. Гостехнздат, 1946.
29. Н. И. Мусхелишвнлн и Д. 3. А в а зашвнл и. О реше-
решении основных контурных задач теории логарифмического потенциала.
Труды Тбил. Матем. ин-та, т. VII, стр. 1—23, 1940.
30. Н. И. Мусхелншвилн нД. А. Квеселава. Сингуляр-
Сингулярные интегральные уравнения с ядрами типа Коши на разомкнутых
контурах. Труды Тбил. Мат. нн-та, т. XI, стр. 141—172, .1942.
31. Я. Л. Нудельман. До теорН CTiftKCcri простолннШного
стрижия. Труди Одеського Держ. Универс., Матем., т. II, 1928.
32. I. Radon. Ober die Randwertaufgaben beitn logaritlrnischen
Potential. Sitzungsberichte d. Akad. d. Wiss. Wien; math.-naturwiss.
Klasse, Bd. 128, Abt. Ha, S. 1 23, 1919.
33. Г. Н. Савин. Напряжения в упругой плоскости с бесконеч-
бесконечным рядом вырезов. Доклады АН СССР, т. XXIII, стр. 515—519,
1939.
34. С. Л. Соболев. Алгорифм Шварца в теории упругости.
Доклады АН СССР, т. IV (XIII), № 6, стр. 236—238, 1936.
35. Е. Treftz. Allgemeine Theorie der Knickung des geraden
Stabes. ZAMM, Bd. 3, H. 4, S. 273, 1923.

302 ЛИТЕРАТУРА
36. Е. Schwerin. t)ber die Transversalschwingungen von Staben
veranderlichen Querschnitt. Verh. d. 2. Intern. Kongresses f. techn.
Mechanik, Zurich, 1926, S. 133—145.
37. Д. И. Шерман. а) Определение напряжений в полуплоскости
с эллиптическим вырезэм. Труды Сейсм. Ин-та АН СССР, № 53. 1935.
b) Об одном методе решения статической плоской задачи теории
упругости для многосвязных областей. Труды Сейсм. ин-та АН СССР,
№ 54, 1935.
c) Некоторые случаи статической задачи теории упругости с осевой
симметрией. Труды Сейсм. ин-та АН СССР, № 71, 1935.
d) Статические плоские задачи теории упругости. Труды Тбил.
Матем. ин-та, т. II, стр. 163—225, 1937.
e) О распределении характеристических чисел интегральных урав-
уравнений плоской задачи теории упругости. Труды Сейсм. ин-та АН СССР,
№ 86, 1938.
f) Статическая плоская задача теории упругости для неоднородных
сред. Труды Сейсм. ин-та АН СССР, № 86, 1938.
g) Плоская задача теории упругости для анизотропной среды.
Труды Сейсм. ин-та АН СССР, № 86, 1938.
h) Плоская задача теории упругости со смешанными предельными
условиями. Труды Сейсм. ин-та АН СССР, № 88, 1938.
i) Об одной задаче теории упругости. Доклады АН СССР, т. XXVII,
№ 9, 1940.
j) К решению плоской статической задачи теории упругости при
заданных внешних силах. Доклады АН СССР, т. XXVIII, № 1, 1940.
к) Смешанная задача статической теории упругости для плоских
А*ногоевязных областей. Доклады АН СССР, т. XXVIII, № 1, 1940.
1) О напряжениях в эллиптической пластинке. Доклады АН СССР,
т. XXXI, № 4, 1941.
т) Новое решение плоской задачи теории упругости для анизотроп-
анизотропной среды. Доклады АН СССР, т. XXXII, № 5, 1941.
п) Сб одной смешанной задаче теории упругости. Прикл. Матем.
и Мех., т. VII, № 6, 1943.
о) К вопросу о диффракции упругих волн. Доклады АН СССР,
т. XLVI1I, № 9, 1945.
38. W. Stern berg. Anwendung der Integralgleichungen in der
electromametischen Lichttheorie. Compogitio Mathematfca, vol. 3,
pp. 254—275, 1936.

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
(цифры обозначают страницы)
Алгоритм Шварца обобщённый 194
Альтернатива Фредгольма 49
Бесселя неравенство 55
-функции 58
Бертрана-Пуанкаре формула 93
Бигармоническая задача 138
Билинейный ряд 69
Вихревая функция 289
Влияния функция 249
Вольтерра уравнение 21
Второго рода уравнение 14
Вырожденное ядро 23
Гильберта задача 259
— ядре 90
— -Шмидта теорема 61
Главное значение интеграла 11, 85
Грина функция 145, 150
комплексная 146
Гурса формула, функция 140
Давление жёсткого штампа 273
Двойного слоя тепловой потенциал 234
Дирихле задача 32, Ю7
• видоизменённая 120
■ в пространстве 190
■ для колебательного уравнения 228
■ многосвязной области 115, 184
Задача бигармоническая 138
— Гильберта 259
— Дирихле, см. Дирихле задача
— Неймана 121
— обтекания 127
—Римана 100
— теории упругостнсм. Теория упруго-
упругости
Изгиб стержня продольный 256
Интеграл Пуассона 91
— сингулярный (особый) 86
— Шварца 274
Интегралы, аналогичные потенциа-
потенциалам 219
— Кошн 210
Интегральные уравнения 9, см, также
название уравнения
.системы 37
Итерированное ядро 18
Келлога способ 73
Колебаний теория 241
Колебания крутильных стержней 254
— струны 241
Комплексная функция Грнна 146
Композиция сингулярных интегралов 93
Конформное отображение 111
Коши ядро 90
Коэффициенты Фурье 54
Крутильные колебания стержней 254
Кручение стержней 124
Крыла обтекание 197
' Лежандра полиномы 58
Липшитца условие 86
Лауричелла уравнение 223
Мннор первый Фредгольма 43
Мусхелишвилн теорема 163
— уравнение 162, 209
— формулы 140
Навье-Стокса уравнения 138
Напряжений функция 137
Неймана задача 121
Неравенство Бесселя 55
— Шварца 18
Неоднородное уравнение 14
Неполная ортогональная система 5б
Норма 53
Нормированная функция 53
Обобщённый алгоритм Шварца 194
Обтекание двух цилиндов 129
— дуги заданной формы 288
— крыла аэроплана 197
Обтекания задача 127
Однородное уравнение 14
Определитель Фредгольма 43
Ортогонализацин процесс 60
Ортогональная последовательность (си-
(система) 53
неполная, полная 56
Ортогональные функции 48
Ортонормированная система 53
Особый интеграл 86
Парадокс Стокса 139
Параметр уравнения 9, 13
Парсеваля равенство 55
Первого рода уравнение 14

304
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Полиномы Лежаидра 68
— Чебышева 58
Полная ортогональная система 58
Положительное ядро 64
Последовательных приближений ме-
метод 14
Потенциал тепловой 234
Потенциала плотность 234
Правая чаль уравнения 9, 13
Правильные значения 46
Продольный изгиб 256
Процесс ортогоиализаини 60
Пуанкаре-Ьертрана формула 91
Пуассона интеграл 91
Равенство Парсеваля 55
— Фредгольма 4i
Римана задача 100 .
Рита метод 63
Ряд билинейный 69
Ряды Фурье 54
Скалярное произведение 52
Симметричное ялро 51
Симметричное уравнение 52, 59, 82
Сингулярные уравнения И, 84, 95, 98,
Сингулярный интеграл 86
Слабая особенность 10, 49
След ядра 69
Смешанная задача теории упругости 278
Собственные колебания струны 241
— числа 46
-функции ядра 47
Спектра точки 46
Соприкасание двух полуплоскостей
266
Стержней крутильные колебания 254
— продольный изгиб 257
Стержни полые, сплошные 122
Стокса парадокс 139
—-Навье уравнения 138
-Струны собственные колебания 241
Тепловые потенциалы 234
Теория колебаний 242
— упругости, задачи 136,199, 209, 279
Уравнение, см. название уравнения
Условие Липи.игца 86
Характеристические значения (числа)
4о, ь7, 79
Формула, см. соотв. название
Фредгольма алотериатива 49
— определитель 43
•— первый мннор 43
•—теоремы 45
■—уравнение. 10, 27
Фундаментальные значения 46
— Функции ядра 47
Функция ьесселя 58
— вихревая 289
— влияния 249
-Грина 145, 150
-—комплексная 146
— Гурса 143
— напряжения (Эря) 137
— нормированная 53
Фурье ко .ффициеиты 54
— ряды 54
Чебышева полиномы 58
Числа собственные 46
Циркуляция по контуру 128
Шварца алгоритм обобщенный 194
— интеграл 274
— неравенство 18
— ядро 148
Шмидта - Гильберта теорема 61
Штампа давление 273
Эри функция 137
Ядро 9, 13
— вырожденное 23
— Гильберта 90
— итерированное 18
— Коши 90
— положительное 64
— сводимое к симметрическому S3
— симметрическое 51
— Шаарца 148