/
Автор: Цейтлин Л.А.
Теги: радиотехника электротехника электромагнетизм монография схемотехника
Год: 1950
Текст
'•* - л
ОС
' Л. А. ЦЕЙТЛИН
ИНДУКТИВНОСТИ
ПРОВОДОВ И КОНТУРОВ
Г О С Э Н F. Р Г J I 3 Д т
Л. А. ЦЕЙТЛИН
ИНДУКТИВНОСТИ
ПРОВОДОВ И КОНТУРОВ
ГОСУД M’CTBhHHOL ЭНЕРГЕТИЧЕСКОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
.к..... О МОСКВА
ЭЭ-5-4
Книга представляет собой монографию, специально посвященную вопросам расчета индуктивностей проводов и контуров, и содержит систематическое изложение методов расчета индуктивностей проводов и контуров, а также расчетные формулы для наиболее важных частных случаев.
Книга предназначена для инженеров и научных работников, занимающихся электромагнитными расчетами.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Часть первая
МЕТОДЫ РАСЧЕТА И ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ
Глава первая
Основные определения, формулы н теоремы
§ 1. Общие определения.................................................................
§ 2. Исходные выражения для индуктивностей............................................. 13
§ 3. Сведение расчета индуктивностей сложных контуров к расчету индуктивностей отдельных участков............................. 17
§ 4. Применение принципа наложения......................... 19
§ 5. Теоремы о двух контурах и о трех контурах. 20
§ 6. Теорема о четырех прямоугольниках н основанный на ней метод 22
§ 7. Средние геометрические, арифметические и квадратичные расстояния ...................................................... 27
Глава вторая
Индуктивности прямолинейных и криволинейных проводок
§ 8- Общие замечания.................................................................... 34
§ 9. Взаимная индуктивность двух прямолинейных параллельных нитей тока ... ............................. 35
§ 10. Взаимная индуктивность двух прямолинейных параллельных проводов .................................................... 38
S И- Индуктивность прямолинейного провода ............................................. 40
S 12. Взаимная индуктивность двух непараллельных проводов, лежащих в одной плоскости .................................... 49
§ 13. Взаимная индуктивность двух прямолинейных проводов при произвольном расположении их в пространстве ................. 51
S 14. О расчете взаимных индуктивностей проводов в общем случае 52
§ 15. Индуктивность провода, изогнутого по дуге окружности .... 55
S 16. Индуктивность незамкнутого криволинейного провода ................................ 62
S 17. Индуктивности замкнутого и почти замкнутого проводов .... 69
¥ 18. Расчет собственных индуктивностей методом численного инте-грировапня .................................. .........
> 19. О максвелловом методе средних геометрических расстояний . . 79
Г 3
Глава третьи
С ip.
Индуктивности систем прямолинейных параллельных проводов
§ 20. Общие положения............................................ XI
я 21. Индуктивность коаксиального кабеля........................ к;
R 22. Индуктивность двухпроводной липин......................... Kt,
§ 23. Индуктивность шин.......................................... 93
8 Ч. Взаимная индуктивность двух параллельных двухпроводных ' линий...................................................... 94
§ 25. Индуктивность трехфазной линии............................. 97
§ °6. О расчете индуктивностей сложных систем прямолинейных параллельных проводов............................................ 100
Глава четвертая
Индуктивности круговых колец
§ 27. Общие замечания........................................... 103
§ 28. Взаимная индуктивность двух коаксиальных круговых контуров . —
§ 29. Собственная индуктивность кругового кольца кругового сечения ПО
§ 30. Общая формула для взаимной индуктивности двух круговых кон-.туров........................................................... 116
§ 31. Расчет взаимных индуктивностей круговых контуров методом численного интегрирования ...................................... 121
Глава пятая
Индуктивности некоторых плоских контуров
§ 32. Общие замечания........................................... 125
§ 33. Индуктивность треугольника................................ 127
§ 34. Индуктивность прямоугольника.............................. 128
§ 35. Индуктивности правильных многоугольников.................... —
§ 36. Индуктивность ромба....................................... 131
§ 37. Индуктивность сектора....................................... —
§ 38. Расчет собственных и взаимных индуктивностей плоских контуров со взаимно перпендикулярными сторонами...................... 132
§ 39. Особые методы расчета индуктивностей плоских контуров . . . 136
§ 40. Общая формула для индуктивностей плоских контуров......... 139
§ 41. Значения <р для контуров различной формы................. 14')
§ 42. О применении приближенной формулы......................... 11’
Часть вторая
РАСЧЕТНЫЕ ФОРМУЛЫ И ТАБЛИЦЫ
Указания к пользованию..................................... 115
I. Основные определения, формулы и теоремы
1- Определения............................................... 14(i
2. Основные выражения .....'
3. Метод участков...................... ’ ' ’ .' " ]4--
4. Теорема о двух контурах.................................. 115
5. Теорема о двух участках........................................ Стр.
6. Теорема о трех контурах ...........................
7. Теорема о трех участках................................
8. Теорема о четырех прямоугольниках..................
9. Максвеллов принцип средних геометрических расстояний . 152
II. Собственные и взаимные индуктивности проводов
1, Собственная, индуктивность линейного провода . . ........... 157
2. Определение величин G, А и (?................................ 154
3. Взаимная индуктивность двух прямолинейных проводов ......... 158.
4. Взаимная индуктивность некоторых криволинейных и прямолинейных проводов................................................... 155
5. Взаимная индуктивность линейных проводов в общем случае .... 167
III. Индуктивности систем прямолинейных параллельных проводов
1. Собственная индуктивность системы, состоящей из прямого и обратного проводов................................................... 168
2. Взаимная индуктивность двух систем, состоящих каждая из прямого и обратного проводов........................................... —
3. Индуктивность коаксиального кабеля . . 169
-1. Индуктивность эксаксиального кабеля .
.7. Индуктивность двухпроводной линии со сплошными проводами кругового сечения...............................................
С. Индуктивность двухпроводной липни с трубчатыми проводами 1’1
7. Индуктивность шин прямоугольного сечения ... ~
8. Индуктивность трехфазной линии . . . I'-
ll. Собственные и взаимные индуктивности сложных систем нрямоли-ценных параллельных проводов .... .............................
IV. Индуктивности круговых колец
174
1. Индуктивность кругового кольца кругового сечения .... - -
2. Индуктивность кругового кольца прямоугольного сечения ......
3. Индуктивность кругового кольца с сечением, ограниченным лома пой линией со взаимно перпендикулярными сторонами .
I. Взаимная индуктивность коаксиальных круговых контуров •
.”>. Взаимная индуктивность круговых контуров с параллельными осями
6. Взаимная индуктивность круговых контуров с пересекающимися осями................................ ..............
7. Расчет взаимных индуктивностей круговых контуров методом одно кратного численного интегрирования .................
V. Индуктивности плоских контуров
1. Общие положения
2. Треугольник ... __
3. Прямоугольник _
1. Правильные многоугольники . 189
•• Ромб......................................................... 5
Cip.
6. Сектор..................................................... 1'Ю
7. Контуры со взаимно перпендикулярными сторонами . ... —-
S. Общая формула для индуктивностей плоских контуров 191
9. Значения <? для контуров различной формы..................... 192
10. О применении общей формулы для индуктивностей плоских кон туров........................................................... 194
VI. Средние геометрические, арифметические и квадратичные расстояния
1. Определения . . 195
2. Основные свойства........................ ... 196
3. Средние геометрические расстояния некоторых фигур , 197
4. Средние арифметические расстояния некоторых фигур . 206
5. Средние квадратичные расстояния некоторых фигур . . 208
II р и л о ж е н и я
Некоторые математические формулы................................ 210
Десятичные логарифмы ... 213
Натуральные логарифмы ... 215
Тригонометрические функции............................ ... 219
Цитирован паял п тература. ..................................... 226
ПРЕДИСЛОВИЕ
Собственные и взаимные индуктивности принадлежат к числу основных параметров электрических цепей, и их определение представляет собою одну из важных задач, возникающих при расчете цепей и исследовании происходящих в них физических процессов.
С расчетом индуктивностей инженерам-электрикам приходится встречаться при решении многих основных вопросов, относящихся к различным областям электротехники (передача энергии, электрические печи, электрические измерения, техника связи и т. д.). Однако, несмотря на существенное прикладное значение расчета индуктивностей, соответствующие методы расчета все еще недостаточно хорошо известны широким кругам инженеров и научных работников. Причиной этого является главным образом то обстоятельство, что литература по данному вопросу, состоящая из весьма большого количества статей, опубликованных в различных физических и электротехнических журналах, не систематизирована, и книжная литература по расчету индуктивностей крайне бедна. Книги Орлиха (1909) и Ноттэджа (1916) в значительной мере устарели, а в позднее изданных книгах Хака (1938), Двайта (1945) и Гровера (1946) основное внимание уделено расчет}^ индуктивностей катушек, вопросы же, связанные с расчетом индуктивностей проводов и контуров сложной формы, н этих книгах освещены недостаточно. В частности, в них почти или вовсе не затронуты такие важные вопросы, как расчет индуктивностей сложных систем параллельных проводов, расчет индуктивностей шин сложного профиля при отсутствии и при наличии поверхностного эффекта, учет нелинейности железа, расчет индуктивностей криволинейных проводов и контуров с криволинейными участками, расчет индуктивностей неплоских контуров, численные методы расчета индуктивностей и др. этот существенный недостаток в значительной мере восполнен работами советских авторов, исследования которых, почти не нашедшие отражения в упомянутых книгах, дали в этой области много нового.
Монография Л. А. Цейтлина, специально посвященная расчету индуктивностей проводов и контуров, содержит системагическо и весьма полное изложение этого вопроса. В монографии д
общие положения, служащие основанием расчета индуктивностей, и изложены общие методы расчета, которые затем" применены к выводу выражений для индуктивностей проводов и контуров различной формы. С целью облегчить использование обширного материала книги лицами, нуждающимися лишь в готовых конечных формулах для тех или иных встречающихся в практике случаев, монография, кроме первой, основной части, посвященной методам расчета, содержит еще и вторую часть, имеющую справочный характер, в которой собраны наиболее важные расчетные формулы и даны вспомогательные таблицы и кривые.
При составлении монографии автором ее использована журнальная литература, а также ряд его собственных оригинальных работ, имеющих существенное значение. При этом Л. А. Цейтлину удалось при весьма малом объеме книги с необходимой полнотой осветить рассматриваемый им вопрос, и я надеюсь, что эта книга окажется весьма полезной для инженеров и научных работников и как справочное пособие, и как руководство по изучению методов расчета индуктивностей.
Мое участие в составлении этой монографии заключалось в обсуждении с автором содержания и построения книги и в редактировании ее справочной части.
П. Калантаров Апрель 1949 г.
ОТ АВТОРА
Монография по расчету индуктивностей написана мною по предложению проф. П. Л. Калантарова, который любезно согласился взять на себя редактирование ее справочной части. Замечания П. Л. Калантарова, а также проф. Н. А. Лившица, рецензировавшего книгу, были мною учтены при окончательной подготовке рукописи к печати. При реферировании использованных мною книг и журналов весьма ценную помощь оказала мне Л. С. Цейтлин. Всем упомянутым лицам я выражаю свою искреннюю признательность.
При пользовании книгой следует иметь в виду, что все выражения даны в рациональной форме. Для перехода к нера-нионализованной форме выражения для индуктивностей и их составляющих надлежит умножить на 4 л.
Приведенные в книге выражения пригодны для расчета в любой системе единиц. При пользовании установленной в СССР системой единиц MKSM (метр, килограмм, секунда, магн) числовые значения индуктивностей будут выражены в геири. Для перехода к единицам системы CGSp.n эти значения следует умножить на 10е.
Март 1949 г.
Л. Цейтлин
Часть первая
МЕТОДЫ РАСЧЕТА И ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ
1 лава первая
ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ, ФОРМУЛЫ И ТЕОРЕМЫ § 1. Общие определения
Рассмотрим замкнутый геометрический контур I, располо-женный в мат нитном поле, и какую-нибудь ограниченную этим контуром поверхность 5 (рис. 1). Выберем положительное направление обхода контура I и направление положительной нор-
мали к поверхности так, чтобы они образовали правовинтовую систему. Поток вектора магнитной индукции В сквозь поверхность S в направлении ее положительной нормали определяется равенством:
<I>=J"Bc!S U)
и называется магнитным потоком, пронизывающим эту поверхность, или магнитным потоком, сцепляющимся с контуром . Поток *1» можно разбить на единичные трубки магнитной индукции т. е. на трубки, для каждой из которых^ поток равен единице. Если каждую единичную трубку изобразить магнитно! .нишей, совпадающей с осью этой трубки, то магнитный поток
можно найти, определив, сколько раз магнитные линии пронизывают поверхность 5 в направлении ее положительной нормали.
Следт ет иметь в виду, что поверхность S может иметь сложную форме (рис. 2), и каждая магнитная линия, вообще говоря, может пронизывать поверхность 5, а следовательно, и сцепляться с контуром I, ограничивающим эту поверхность, не один, а несколько раз. В этих случаях величина Ф, определяемая равенством (1), будет отличаться от числа а единичных магнитных трубок, входящих в состав потока, пронизывающего поверхность 5 (на рис. 2 9 6, Ф = 13). В отличие от величины-f, вели-
чина Ф называется полным магнитным потоком или числом потокосцеплений. Вообще говоря, Ф 9 и лишь если каждая магнитная линия сцепляется с контуром только один раз, будем иметь Ф =9. В другом частном случае, когда все магнитные линии сцепляются с контуром одинаковое число w раз, имеем Ф_=и) у.
Приведенные определения имеют смысл, очевидно, лишь в применении к геометрическим контурам, так как только в этом случае можно говорить о поверхности S, ограниченной каким-либо контуром. Для реальных электрических контуров, образованных проводниками конечного сечения, понятие о сцепляющемся с ними потоке вводят следующим образом. Ток i в контуре разбивают на элементарные трубки, (нити) тока бесконечно малого сечения и находят полный поток Ф, сцепляющийся с каждой из трубок (рис. 3). Под полным потоком Ф, сцепляющимся со всем контуром (со всем током i), понимают величину
W = ^r^$di, (2)
где di — ток какой-либо трубки, Ф — сцепляющийся с ней магнитный поток, а интегрирование производится по всему сечению провода, т. е. распространено на все трубки тока.
Если для всех трубок тока Ф имеет одно и то же значение, то в выражении (2) можно вынести Ф из-под знака интеграла, и мы имеем ЧГ=Ф. Это равенство остается приближенно справедливыми в том случае, когда потоки Ф, сцепляющиеся с отдельными нитями тока, мало отличаются друг от друга, как это может иметь место, например, в случае весьма тонкого контура, расположенного во внешнем магнитном поле.
Если плотность тока постоянна по сечению провода, как это меет место при постоянном токе и приближенно при переменном токе достаточно низкой частоты, то di = ^, где ds— эле-апр^^Л°Щади s поперечного сечения провода, соответствующий элементарному току di и выражение (2) принимает вид:
Т=4-|Ф^. (3)
ю
Магнитный поток, сцепляющийся с каким-тибп -копиром, в общем случае обусловлен как током ’<1Ри'1ески« так и токами в других, соседЬих спим контурах ХХ°т<?Ре’ с этим вводят понятие о потоках самоинчукпйи и о ВИИ Ш1ДУКЦНП электрических контуров, а именно, патокой тмоин нунции контура называют полный магнитный поток сцепляю’ пщися с этим контуром и обусловленный током в нем а Хо’ ком взаимной индукции -полный магнитный поток сцеп™ о' щиися с данным контуром и обусловленный токами в дп X контурах. других
Отношение потока самоиндукции контура к току в нем на зывают собственной индуктивностью или коэффициентом сако-иноукции этого контура, а отношение потока взаимной индукции одного из двух контуров к силе обусловливающего его' тока в другом контуре называют взаимной индуктивностью или коэффициентом взаимной индукции этих контуров. Таким образом, для собственной и взаимной индуктивностей контуров по определению имеем соответственно:
4"
L-^-.
(4)
(5)
где Т,—поток самоиндукции контура, i — ток в нем, Т1Л1— поток взаимной индукции первого контура, обусловленный током I. второго контура.
При определении собственных и взаимных индуктивностей контуров за положительные направления обхода контуров мы всегда будем принимать направления протекающих по ним токов. Так как направление магнитных линий потока самоиндукции всегда образует правовинтовую систему с направлением обусловливающего его тока, то собственная индуктивность при указанном условии является величиной существенно положительной. Направление линий потока взаимной индукции, напротив, зависит не только от направления тока, но также от формы и взаимного расположения контуров. Поэтому взаимная индуктивность двух контуров может быть как положительной, так и отрицательной величиной.
В тех случаях, когда это не может привести к недоразумениям, вместо термина „собственная индуктивность" („коэффициент самоиндукции") мы будем применять также более краткий термин „индуктивность". В последующем изложении мы всегда будем предполагать, что магнитная проницаемость среды, в которой замыкаются магнитные линии потоков самоиндукции п взаимной индукции, не зависит от величины напряженности иитпого поля. Очевидно, что при этом условии потоки г, и ,)Г пропорциональны обусловливающим их токам, а индуктивности
L и Л/ не зависят от токов и определяются лишь формой и геометрическими размерами контуров, магнитной проницаемостью проводов и окружающей их среды, а при переменном токе также н характером распределения тока по сечению проводников. Взаимная индуктивность зависит, кроме того, очевидно, и от взаимного расположения контуров.
Если, как это обычно бывает, электрические контуры выполнены из’ немагнитного материала и расположены в воздухе, то магнитные проницаемости проводов и окружающей их среды могут быть приняты одинаковыми. В этом случае, которому в дальнейшем будет уделено основное внимание, собственная и взаимная индуктивности контуров выражаются в виде произведения магнитной проницаемости на величину, зависящую от формы, размеров и взаимного расположения контуров, а также от характера распределения тока по сечениям проводов.
В дальнейшем, за исключением случаев, когда это будет оговорено особо, магнитные проницаемости проводов и окружающей их среды мы будем предполагать не зависящими от напряженности магнитного поля, одинаковыми и равными магнитной
проницаемости пустоты рп.
Из теории поверхностного эффекта известно, чуо характер распределения переменного тока по сечению провода зависит как от магнитной проницаемости и удельной проводимости вещества провода, так и от частоты протекающего по проводу тока. Поэтому собственные и взаимные индуктивности проводов и контуров при переменном токе косвенно зависят от всех упомянутых величин. Особенно важным является то обстоятельство, что индуктивности при неизменности всех прочих условий зависят от частоты и, следовательно, будут, вообще говоря, различны при различных частотах. Учет поверхностного эффекта и эффекта близости, вызывающих неравномерное распределение токов по сечениям, является одной из основных трудностей, с которыми связан расчет индуктивностей. Большею частью полное решение этой задачи невозможно, и приходится ограничиваться рассмотрением двух предельных случаев, которые мы условимся для краткости называть случаями низкой или соответственно весьма высокой частоты. При этом под низкой частотой будем понимать частоту, при которой токи в рассматриваемых проводах можно с достаточной степенью точности считать распределенными по сечениям равномерно. Под весьма высокой частотой будем понимать частоту, при которой распределение тока по сечению настолько неравномерно, что ток можно считать сосредоточенным лишь в весьма тонком слое вблизи поверхности провода.
лучай низкой частоты имеет место, когда длина электромагнитной волны в проводнике значительно больше линейных размеров поперечного сечения провода, случай весьма высокой частоты, наоборот,— когда длина волны значительно меньше размеров поперечного сечения провода.
12
предпо-окружающей их среды, пользуясь формулой (1), какой-нибудь нитью тока.
§ 2. Исходные выражения для индуктивностей
Вычисление индуктивностей может быть произведено двум» отличными друг от друга методами. Р А 1 ° двУМя
Первый метод заключается в непосредственном
ипи формул (4) и (5), служащих определением понятий собственная индуктивность» и „взаимная индуктивность». Расчет по этому методу сводится к следующему. Задавшись токами в рас сматриваемых контурах, разбивают каждый из токов на элементарные нити тока и, пользуясь законом Био-Савара, определяют напряженность магнитного поля Н в произвольно вобранной точке поля. Умножив И на магнитную проницаемость латаемую одинаковой для проводов и получают магнитную индукцию В и, находят поток Ф, сцепляющийся с v...........„ lvlxa
после чего по формуле (2) или (3) вычисляют ’’ полный "магнитный поток, сцепляющийся с рассматриваемым контуром. Подставляя найденное таким путем значение Ф в формулу (4) или (5), получают выражение для собственной или, соответственно, взаимной индуктивности рассматриваемых контуров.
Этот метод с успехом применяется для расчета индуктивностей контуров простой формы. Основным его недостатком является то, что результаты интегрирования, как правило, весьма длительного, полученные для контура одной какой-нибудь формы, не могут быть использованы для расчета индуктивностей контуров иной формы. Для каждого контура новой формы, а при
Рис. 4.
расчете взаимной индуктивности и для каждого нового взаимного расположения контуров, процесс интегрирования необходимо производить заново. По этой причине в случае контуров сложной формы более целесообразным является применение другого метода расчета, в основе которого лежит возможность свести расчет собственных и взаимных индуктивностей сложных контуров к расчету индуктивностей отдельных их участков. Этим методом, изложению которого посвящаются данный и следующий параграфы, мы и будем пользоваться в дальнейшем. .
Рассмотрим два контура 1 и 2 (рис. 4). Подставив (2) в (оЛ представим взаимную индуктивность этих контуров в виде.
nr 1 с
*2 *1*2
где Ф — магнитный поток, обусловленный током I. и сцепляющийся С какой-нибудь нитью тока I' первого контура. Вводя
(6)
в рассмотрение векторный потенциал А магнитною поля тока •' связанный с магнитной индукцией В этого тюля зависимост/'’ В rot А, можно преобразовать поверхностный интеграл (]'? взятый по поверхности S', в линейный интеграл по контуру f ограничивающему эту поверхность, а именно, применяя теорему Стокса, можно написать;
Ф = (В [rot A d&= <£ A di'.
В свою очередь, А определяется по формуле:
А - ±Г 4xJ D ’
V"
где j"—вектор плотности тока в элементе dV" объема V" второго контура, D — расстояние от d V" до рассматриваемой точки поля, р — магнитная проницаемость, предполагаемая одинаковой для проводов и окружающей их среды. Вводя это значение А в предыдущее выражение и подставляя значение Ф в формулу (6), имеем:
Ж„1= * f
4д iti2 J 1 J J D
I' V"
Так как di^dl' = ds'dl' — j'rfV", где j' — вектор плотности тока в элементе dV — ds'dl' объема V первого контура, то для взаимной индуктивности Л/г1, определяющей электромагнитное воздействие второго контура на первый, получаем окончательно
го
V V"
где D — расстояние между элементами объема dV и dV обоих контуров, а интегрирование производится сначала (при фиксированном положении rZV") по объему второго контура, а затем — по объему первого контура.
Определив таким же путем взаимную индуктивность 7И13, определяющую электромагнитное воздействие первого контура на второй, мы получим выражение, отличающееся от (7) только тем, что индексы I и 2 и значки (') и (") поменяются местами. С другой стороны, при такой замене выражение (7), очевидно, не изменится. Отсюда непосредственно вытекает важное равенство:
Л/21. (8)
Имея в виду это равенство, в дальнейшем при рассмотрении Системы из двух контуров мы будем за ненадобностью опускать индексы 1 и 2 у М. 14
ражение, рассматривая два одинаковых контура по котооТ™ протекают одинаковые по величине токи. Представим себе оба контура сближаются до полного их слияния При этом токи взаимной индукции контуров станут равными их поток™ самоиндукции, а взаимная индуктивность -тивности каждого из контуров, и можно сразу
Следуя тем же путем, каким было найдено выражение (7\ можно получить аналогичное выражение и для собственной индуктивности контура. Однако проще всего получить это вы ражение, рассматривая два одинаковых контура по котооХ протекают одинаковые по величине токи. Представим себе что
I no-
— собственной индук-написать:
p f f j’i"dV'dV"
4nz=.)J D V e
его
где а—магнитная проницаемость, попрежнему одинаковой для контура и окружающей тока в контуре, j' и j"—векторы плотности тока в, вообще говоря, различных элементах объема dV и dV" контура, D—расстояние между d\d и dV" (рис. 5), а интегрирование производится оба раза по объему V данного контура.
Основным выражениям (7) и (9) можно придать несколько иную форму, более удобную для расчета. Обозначив поперечное сечение и элемент длины какой-
(9)
предполагаемая среды; i — сила
нибудь элементарной трубки тока соот-
ветственно через ds и dl и принимая во внимание, что в любой точке векторы j, ds и гЛ совпадают по направлению, представим произведение jdV в виде jdsdl.
Тогда вместо (7) и (9) получим соответственно:
= -А-1 [ /И j'j" ds1 ds", (Ю)
s' s'*
L = y ds'ds", (11)
где
= (12)
I1 L"
Рассмотрим два „линейных" контура, т. е. два контура, линейные размеры поперечных сечений которых значительно менып_ расстояний D от элементов одного контура до элементов другого. Для таких контуров величина Л1, входящая в выражение (10j, может быть принята одинаковой для всех положении ментов ds' и ds", так как результат интегрирования по I' и I" можно считать независящим от положения этих 1
Вынося ,И за знак двойного интеграла и принимая во внимание,
что
J jj'f'ds'dt," = ijZ2,
S' s"
найдем:
т. е.
M ~ M,
(13)
где под l' и l'' можно понимать две любых нити тока, принадлежащих соответственно первому и второму контурам.
Это выражение известно, в литературе под названием формулы Неймана и является основным при расчете взаимной индуктивности „линейных” контуров.
Из сказанного следует, что величина М, определяемая формулой (12) и входящая в общие выражения (10) и (11), представляет собою взаимную индуктивность элементарных нитей тока /' и /".
Заметим, что выражение (11) для собственной индуктивности не может быть приведено к виду (13) даже для „линейных” контуров, так как взаимная индуктивность М двух нитей одного и того же контура существенно зависит от положения этих нитей и потому не может быть вынесена за знак двойного интеграла.
При низкой частоте, когда плотность тока можно считать постоянной в пределах поперечного сечения каждого провода (j — формулы (10) и (11) упрощаются, а именно в этом случае мы имеем:
L =4 I \ М dd, (14)
s* J J
/И = -,4 ((лМЛ/s', (15)
s s" J J ’
v' s"
где M попрежнему определяется формулой (12).
Приведенные в настоящем параграфе формулы (7), (9), (10), (11) и (12) послужат нам основой для расчета собственных и взаимных индуктивностей контуров и проводов.
Следует, однако, иметь в виду, что формулы (7), (9) и полученные из них формулы (10) и (11) имеют смысл только при условии, что плотность тока во всех точках каждого контура имеет одну и ту же фазу. В противном случае интегралы, входящие в эти формулы, не будут пропорциональны мгновенным значениям соответствующих токов, и выражения (7), (9), (10) 16
it (11) оказываются зависящими от времени, т. е. по существу теряют смысл.
Таким образом, упомянутые формулы непосредственно применимы лишь при постоянном токе и при переменном токе низкой частоты, когда фаза плотности тока одинакова во всех точках каждого конТура, а также при переменном токе весьма высокой частоты, когда можно считать, что все элементарные нити тока, сосредоточенного в весьма тонком поверхностном слое, несут токи, совпадающие друг с другом по фазе. Поэтому, оперируя с выражениями вида (7), (9), (10) и (11), следует помнить, что возможность их непосредственного применения ограничивается указанными предельными случаями.
§ 3. Сведение расчета индуктивностей сложных контуров к расчету индуктивностей отдельных участков
Рассмотрим контур, состоящий из нескольких участков, число которых обозначим чере! п (рис. 6). Представляя каждый из объемных интегралов, входящих в выражение (9) для собственной индуктивности, в виде суммы интегралов по объемам отдельных участков контура, найдем:
/г=[ где
'->= f
Vk
Mk( = f f dVdV".
r“ 4w2 J J D
Vk Vi
Точно так же, рассматривая два контура, состоящих соответственно из п и т участков, приведем выражение (7) для взаимной индуктивности этих контуров к виду:
п ш
ж = 2 Ъмк , Л=1 z=i к- ’
(19)
где Mki при равенстве токов в контурах определяется прежним выражением (18). Величины Lk и Mki, определяемые формулами (17) и (18), носят название собственных и взаимных индуктивностей отдельных участков или проводов. Хотя понятие об индуктивностях имеет непосредственный физический смысл лишь в применении к замкнутым контурам, однако, рассмотрение индуктивностей отдельных участков весьма целесообразно с расчетной точки зрения, так как позволяет указать общий метод рлсюта индуктивностей контуров сложной формы.
Л. Цейтлин
17
Используя способ, с помощью которого выражения (7) и (9) были приведены к виду (10) и (11), можно придать формулам (17) и (18) для индуктивностей участков следующий более удобный для расчета вид:
= (20J
’A sk
Мп = -jr fj Mj'j"ds'ds", (21)
sk si
где
да
I' I"
есть взаимная индуктивность двух произвольно выбранных нитей тока /' и /" принадлежащих одному и тому же (fe-му) участку для формулы (20) и разным (fe-му и Z-му) участкам для формулы (21).
В случае линейных контуров попрежнему можем написать:
да
I,
При низкой частоте, когда плотность тока .можно считать постоянной в пределах поперечного сечения каждого провода (j=i/s), формулы (20) и (21) упрощаются, а именно в этом случае мы имеем:
Lk = -L j j Mfc'rfs", 4 sk ч
M,{ = -J— f f Mdddd',
11 -Wi J J
sk si
причем M попрежнему определяется формулой (22).
Следует иметь в виду, что в отношении возможного применения формул (17), (18), (20) и (21) справедливы замечания, сделанные в конце предыдущего параграфа относительно формул (/). (9), (10) и (11). F
Формулы (16) и (19J являются основой того общего метода расчета индуктивностей, которым мы будем пользоваться в даль-н ищем. Сущность этого метода заключается в том, что контур или контуры сложной формы разбивают на отдельные участки, иргКДЬ1И И3 КОТОРЬ1Х имеет сравнительно простую форму, после о определение индуктивностей сложных контуров сводится помощью (16) и (19) к определению индуктивностей отделы lx участков. Особенно отчетливо преимущества метода
участков проявляются в случае контуров, состоящих только из прямолинейных участков. В этом случае для определения собственной индуктивности какого-нибудь контура достаточно иметь только общее выражение индуктивности прямолинейного поовола п общее выражение взаимной индуктивности двух таких проводов при произвольном взаимном их расположении в пространстве а для определения взаимной индуктивности двух контуров достаточно только последнего из упомянутых выражений. Оба выражения, как будет ниже показано, могут быть получены, и следовательно, в рассматриваемом случае расчет индуктивностей может быть сведен к шаблонному применению формул (16) и (19)
Что касается контуров, имеющих криволинейные участки, то в этом случае задача значительно сложнее, так как для ее решения необходимо иметь выражения для собственных и взаимных индуктивностей криволинейных проводов различной формы и различно расположенных друг относительно друга, а также для взаимных индуктивностей прямолинейных и криволинейных проводов.
Из изложенного следует, что наша основная задача заключается в получении возможно более общих формул для индуктивностей прямолинейных и криволинейных проводов, а также для взаимных индуктивностей таких проводов при различном взаимном их расположении в пространстве. Однако, прежде чем перейти к решению этой основной задачи, мы рассмотрим в ближайших параграфах некоторые специальные методы и теоремы, применение которых в ряде случаев существенно упрощает расчет индуктивностей.
§ 4. Применение принципа наложения
При расчете индуктивностей контуров сложной формы в ряде случаев целесообразно воспользоваться методом наложения. Этот метод основан на следующем очевидном положении: два контура, по которым протекают токи одинаковой силы, эквивалентны друг другу в электромагнитном отношении, если один из них может быть получен из другого путем добавления к последнему одного или нескольких проводов, по каждому из которых протекают в противоположных направлениях два тока одинаковой силы.
Например, прямоугольный контур рисунка 7,а эквивалентен сложному контуру рисунка 7, Ь, рядом расположенные стороны которого надо представить себе доведенными до полного их слия-
ния.
Из эквивалентности двух контуров, о которых идет речь в приведенном основном положении, следует, в частности, что индуктивности обоих контуров одинаковы. Точно так же Pdl*™ Друг Другу взаимные индуктивности между каждым из этих к туров и каким-либо третьим контуром. Именно эти два оост тельства и позволяют применить принцип наложения к ра у
активностей так как дают возможность свести определение O1HI1X неизвестных, индуктивностей к определению нескольких invriix уже известных, индуктивностей.
Дтя пояснения метода наложения рассмотрим простой пример, заимствованный из работы П. Л. Калантарова и В. И. Воробьева
Рис. 7.
[I1. Пусть требуется определить индуктивность L „линейного" контура abc.tefa, показанного на рис. 8. Дополнив контур двумя проводами bg и gi, можем утверждать, что контур abedefa эквивалентен совокупности прямоугольного контура agefa и прямоугольного контура bedgb. Следовательно,
~ ^agefa + ^bedgb + 2^’
где М — взаимная индуктивность контуров agefa и bedgb. Из соображений симметрии ясно, что поток взаимной индукции, сцепляющийся с контуром bedgb и обусловленный током в контуре agefa, по абсолютной величине составляет одну четверть от потока самоиндукции контура agefa, но имеет обратный знак. Поэтому М - — -L L и, следовательно,
L = —L -4-1
2 agefa г bedgb •
°бразом> определение индуктивности сложного контура abedefa свелось к определению индуктивностей двух простых прямоугольных контуров.
§ 5. Теоремы о двух контурах и о трех контурах Очеиидно*7^111*1 КОНТУР Рис‘ состоящий из двух контуров 1 н 2.
I- is = L 1 L 2 + 2Л412, чягта”2’ индуктивности основного контура и его двух
астеи, а взаимная индуктивность этих частей.
('леюпательно.
Это равенство, которое мы будем в дальнейшем называть теоое мои о двух контурах, позволяет вычислить взаимную индуктив ..ость двух контуров, если известны собственные индуктивности и L., этих контуров и собственная индуктивность контгпя составленного из двух данных. 1 ’
Гис.
Рис. 11.
Рассматривая контур рис. 10, состоящий из трех контуров Л 2, 3 и пользуясь понятными обозначениями, можем написать:
^-128 — + ^2 + + 2AfI? + 24fJS + 2/Иг5.
Кроме того, на основании теоремы о двух контурах,
2-Mj2 —^-18 L2,
2/И,- = L,3 — Lt — Ls.
Решая совместно эти три уравнения относительно Л15, найдем;
М1Я =
9 (^*.28 “К ^2 ^-12 ^2з)*
Это равенство, которое мы будем называть теоремой о трех контурах, позволяет свести вычисление взаимной индуктивности двух не примыкающих друг к другу контуров к вычислению нескольких собственных индуктивностей.
Из способа доказательства приведенных теорем непосредственно вытекает, что они справедливы не только по отношению к контурам, по и но отношению к участкам какого-нибудь провода, в частности, и незамкнутого (рис. 11). В этом случае мн. будем называть доказанные положения соответственно теоремой о двух участках и теоремой о трех участках.
В заключение заметим, что теоремы настоящего параграфа приобретают особую ценность в связи с возможностью применить их совместно с методом наложения и теоремой о четырех пря-моу. озы.иках (см. следующий параграф).
§ 6. Теорема о четырех прямоугольниках и основанный на ней метод
Прп расчете индуктивностей, а также при решении некоторых других задач, весьма полезным оказывается одно общее положение, установленное Хемметером |2| и именуемое в дальнейшем теоремой о че-
тырех прямоугольниках.
Пусть мы имеем на плоскости четыре точки 1, 3, 2, 4, координаты которых суть соответственно X И у, 5 И 7J, X И Th ? И у (рис. 12), и пусть <р —некоторая функция координат, симметричная относительно х и ?, а также относительно у и т„ т. е. функция, удовлетворяющая условию:
? (X У, Ъ) --= ? (?, X, т„ у).
(24)
Если 9 есть какая-нибудь геометрическая или физическая величина, определяемая положением точек 7 и 3, то в силу условия симметрии эта величина будет для точек 2 и 4 иметь то же значение. Так, например, если
? = г = j'(E —л)2 -j- (7)— >)2
есть расстояние между точками 7 и 3, то расстояние между точками 2 и 4 будет таким же. Очевидно также, что этим свойством обладает любая функция от г, например, In г, г2, В дальнейшем мы увидим, что величины, определяющие индуктивности проводов и контуров, во многих случаях являются функциями от расстояния между двумя точками на плоскости или же вообще величинами, симметричными относительно координат этих точек в указанном смысле этого слова. Именно в силу этого обстоя-насЬинте рассмотРение Функций такого вида и представляет для
Пусть (1), (3), (2), (4) — четыре прямоугольника, имеющих богл6 РазмеРы и Расположенных так, что каждая сторона лю-ппг,,Иа НИХ лежит на одной прямой с какой-нибудь стороной Другою прямоугольника (рис. 12).
Рассмотрим четырехкратный интеграл
*2 _у2 £s Т]2
^(1 Х[3) = J J J J <р dx dy d-, dti, (25)
22
распространенный по площадям прямоугольников (1) и ("П теграл ' /«ли ин-
г. Л
F(2 X 4) = J | J J ? dx drt d- dy.
(26)
распространенный по площадям прямоугольников (2)
Так как функция <р симметрична относительно х н так как, кроме того, в силу постоянства пределов порядок интегрирования можно изменить, то из сравнения (25) и (26) видно, что величины, которые мы условно обозначили символами Л(1ХЗ) и Д(2Х4), равны друг другу:
F(lX3) = f(2X4). (27)
Это замечательное равенство и выражает теорему о четырех прямоугольниках.
Так как произведение площадей прямоугольников (1) и (3) равно произведению площадей прямоугольников (2) и (4), то теорема справедлива и для величин вида
и (4). и с
ХгУ2 ’2 Г’2
X 3) = J J J J ? dx dy dt dr, А У1 **»
г2 yi2 г Уя
^(2X4) - ( \\\^dxd^dy.
ти -1 Vj
когда точки
Заметим также, что теорема сохраняет силу и в случае, прямоугольники вырождаются в отрезки прямых или (рис. 13).
Для того чтобы иллюстрировать применение теоремы тырех прямоугольниках, представим себе, что прямо^голып (1) (3) (2) и (4) (рис. 12) являются поперечным.! сечениям
Четырех медных шип, перпендикулярных к плоскости рис«нка и имеющих одинаковую длину I. Как будет пока ,а“ ' • м0_
взаимная индуктивность шип (1) и (3) при посго i а<ет быть найдена из выражения:
о че-
где величина Гы определяется из равенства.
1« Лз== J~ f f Ьп/sp/s,.
причем г—переменное расстояние между какими-нибудь точками рассматриваемых прямоугольников. Как видно из приведенных выражений. lii£)S, а следовательно, и Л113 являются величинами именно того вида, для которого установлена теорема о четырех прямоугольниках. Отсюда следует, что взаимная индуктивность шин (1) и (3) равна взаимной индуктивности шин (2) и (4) — обстоятельство, непосредственно не очевидное.
Ограничившись здесь одним приведенным примером, перейдем к рассмотрению метода, основанного на применении теоремы о четырех прямоугольниках.
Пусть мы имеем два каких-нибудь прямоугольника (k) и (г), лежащих в одной плоскости и имеющих параллельные стороны. Покажем, что вычисление величин
F(k'Xi) — ( j <fdskdsi
(28)
sk si
вида (25) может быть сведено к вычислению величин вида
F(k) — J J ^ds",
(29)
sn sk
где функция з имеет тот же смысл, что и в формуле (28), но интегрирование производится оба раза по площади одного и того же прямоугольника (fe).
Рассмотрим сначала два прямоугольника (1) и (2), имеющих общую сторону (рис. 14). Написав выражение (29) для прямо-
Рис. 14.
Рис. 15.
iTnoencTa “стоящего из прямоугольников (1) в (2). Bi ina-x/Luавив каждый из поверхностных интегралов в этом тпяпям ™ В виде суммы поверхностных интегралов по пло-i и s, отдельных прямоугольников, получим:
/(1,2) =Г(1)+Г(2)+2F(1 Х2),
откуда
+dX2) = ’ |+(1,2)-+(1)_/(2)],
и, следовательно, величина через величины вида (29).
/41X2) действительно выражена
Рассматривая прямоугольник (1, 2, 3, 4), состоящий из четы-рех прямоугольников (1), (2), (3), (4) (рис. 15), точно таким же путем получим:
F(l, 2,3,4) = Г(1) 4- +(2) + +(3) + +(4) + + 2[+(1 Х2) + + (1 X 3) +/ (1 х 4) И(2хЗ) + + +(2Х4)++(ЗХ4)|.
Далее, на основании предыдущего можем написать:
+ (1,2) = +(1) + +(2) +2Г(1 X 2), +(1,3) =+(1) + +(3) + 2+(1 ХЗ), / (2,4) --- + (2) + +(4) + 2+(2 X 4), + (3,4) = F (3) + + (4) + 2+(3 X 4).
(31)
Кроме того, па основании теоремы о четырех прямоугольниках имеем:
+ (1X4) = +(2x3). (32)
Определяя из (30), (31) и (32) значение +(1 X 4), получим:
+ (1 X 4) = +(2 X 3) = [+(1,2,3,4) + +(1) + +(2) +
+ +(3) + / (4) — / (1,2) — +(1,3)-7(2,4)- + (3.4)].
Следовательно, и в этом случае определение величины +(1X4) привелось к вычислению нескольких величин вида (29).
Аналогичным путем можно найти величины F(k X i) двух прямоугольников (k) и (?) с параллельными сторонами и для других случаев их взаимного расположения на плоскости. Соответствующие выражения приведены во 2-й части книги (стр. 150—151). Таким образом, при любом расположении в одной плоскости двух прямоугольников (л) и (/) с параллельными сторонами определение „взаимной" величины +(k X <) ПРИ^?’ дится к определению нескольких „собственных" величин / (к) вида (29).
Это обстоятельство оказывается весьма ценным с расчетной точки зрения. В самом деле, величины / (А х /) в общем случае являются функциями шести параметров — двух сторон одною прямоугольника, двух сторон друюго и двух координат, оире Деляющих взаимное расположение прямоугольников. '^1’J1 числе параметров табулирование значений величин F( х ,
3
становится практически невозможным, а их вычисление но неизбежно сложным формулам требует значительного времени. Напротив, величины F(fe) определяются только двумя параметрами — сторонами прямоугольника — или даже одним —от но-F ‘ шением этих сторон — и потому
могут быть относительно просто вычислены или найдены из таблиц, составление которых при одном или двух параметрах не представляет особых затруднений. В силу сказанного, возможность свести вычисление величин / (k х 0 к вычислению нескольких величин 1 (k) во многих случаях существенно уменьшает время, необходимое для выполнения расчетов.
Рассмотрим теперь какую-нибудь плоскую фигуру (А), ограниченную ломаной линией со взаимно перпендикулярными сто-
ронами (рис. 16). Такая фигура всегда может быть представлена в виде совокупности нескольких прямоугольников | например, прямоугольников (1), (2) и (3) на рис. 16]. Двойной интеграл
——-------1--
I I
2 ; з I 4
। ।
В
Рис. 16.
F(A) = J
(33)
взятый дважды по площади s этой фигуры, может быть представлен в виде суммы
F(A) = ±F(k) +Hr(ky i),
*=i fc=i i=.i
(34)
члены которой или суть величины вида F (k) или же, по доказанному выше, могут быть выражены через величины такого вида. Точно так же, рассматривая две лежащих в одной плоскости фигуры (А) и (В) со взаимно перпендикулярными торонами (рис. 16) и разбивая каждую из них на отдельные Рямоуголышки ‘ ’ и О)’ (2)' - • •• (т)’ можно интеграл
F(А X В) = [ j представить в виде суммы
F(AX В)=. ^^F(kXi),
(35)
(36)
26
'“•₽«< »е™™™
Таким образом, не только для прямоугольников но и пЛИ любда лежащих в одной плоскости фигур со взаимно нерпенди кулярными сторонами вычисление интегралов вила (33) и™ может быть сведено к вычислению величин вида f Ш R и заг ючается метод, основанный на применении теоремы о ч°е’ тырех прямоугольниках. г
Во избежание недоразумений напомним, что во всех сЬоомс лах настоящего параграфа ? означает функцию координат двух точек на плоскости, удовлетворяющую условию симметрии (4)
§ 7. Средние геометрические, арифметические и квадратичные расстояния
В своем „Трактате об электричестве и магнитизме" Максвелл |3, § 691] ввел и впервые использовал понятие о средних геометрических расстояниях, нашедших затем весьма широкое применение при расчете собственных и взаимных индуктивностей, а также 2
при решении некоторых других во- o'! .s
просов теории электричества и маг- / s'
нитизма. Помимо средних геометри- / /
ческих расстояний при расчете индук- Т}</
тивностей встречается необходимость / /
применять и так называемые сред- / / ние арифметические и средние квад- // ратичные расстояния. Всеми этими величинами мы будем неоднократно О
пользоваться в последующем изложении. Рис- 17-
Понятие о средних геометрических
расстояниях (с. г. р.) может быть введено следующим образом. Пусть мы имеем две точки 1 и 2 (рис. 17), удаленные от на расстояния, равные соответственно и т, *огд Р----------
геометрическое расстояние точки О от точек Z и - Оудет g у тлг,г, и логарифм этого расстояния равен In 0n "/a + ln Т°чн0
так же среднее геометрическое расстояние точки О от то 1, 2,..., п, удаленных от О на расстояния ч1я п> Р
п _—
g= У »№......
и соответственно
п
ing=4‘^jinyi*-
(37)
Если мы имеем некоторую линию длиною I, то, разбивая е, на п элементарных отрезков одинаковой длины AZ (рис. 18), ДЛЯ ...
среднего геометрического расстояния точки О от т 1, 2,..., п, являющихся серединами отрезков, приняв во внимание. п — I \ А/, можно согласно формуле написать:
1п £ = Т S1п = 4 1,1
ft=I fc=l
1'1 их что
(38)
путем
Увеличивая беспредельно число отрезков и уменьшая тем самым длину каждого из них, мы получим в пределе среднее геометрическое расстояние точки О от всех точек линии I. Формула (38) переходит при этом в выражение:
In g— 4 [ In vdl,
Аналогичным геометрическом (рис. 19, а):
где г) — переменное расстояние точки О от элементов длины dl линии I.
может быть введено понятие о среднем расстоянии точки О от некоторой площади s
In g = -i- j 1п7)Л>.
а также понятие о среднем геометрическом расстоянии друг от друга двух линий (рис. 19, Ь), двух площадей (рис. 19, с) и линии и площади (рис. 19, d):
lng = Tj- j j In [ j In lids'ds"-,
ll h 51 S2
lng=-l J j Inipfl/s. I s
(39)
Особенно важными являются понятия о средних геометрических расстояниях площади s от самой себя (рис. 19, е) и линии / от самой себя (рис. 19,/). Эти величины определяются выражениями:
In g = -i- J j InVjrfi'i/i", A s
(40)
lng = p [ J In 1 1
(41)
28
где ч—расстояние между какими-либо элементами площади ds' и ds" (или, соответственно, элементами длины di' или rfi"), принадлежащими одной и той же фигуре, причем интегрирование
Рис. 19.
производится один раз при неизменном положении ds' (или di') и изменяющемся положении ds" (di"), а другой раз — при изменяющемся положении ds' (dl').
Средние арифметические расстояния (с. а. р.) а и средние квадратичные расстояния (с. к. р.) q различных фигур друг от друга и самих от себя определяются формулами, аналогичными вышеприведенным, и могут быть получены из них путем замены In g и In 4 соответственно на а и ч в первом случае и на q- и ч’ во втором случае.
В частности, для средних арифметических и квадратичных расстояний площади х от самой себя (рис. 19,е) и площадей Sj и х, друг’от друга (рис. 19, с) имеем соответственно-
а = A J f dd'-, = J2- j j cfds'ds"- (42)
a = A- f j ^s'ds"- q> = [ [ -fddds". (43)
Из приведенных определений следует, что средние геометрические, арифметические и квадратичные расстояния фигур от самих себя и друг от друга представляют собой чисто геометрические величины, определяемые лишь формой, размерами и взаимным расположением фигур.
Средние геометрические, арифметические и квадратичные расстояния фигур, состоящих из нескольких частей, могут быть выражены через соответствующие расстояния этих частей от 29
га. Так. если площадь sA состоит m п основной формулы (40) следует, что
самих себя и друг °т ДР У частей S], х:, • • •> sn> т0 из
s\ In g = S siln gk + 3S S S/A >4 gki, (k Ф i), (44)
A k=i *=* <’=»
где <r — среднее геометрическое расстояние площади sk от самой себя, a g№— среднее геометрическое расстояние площадей sk и X; друг от друга. Точно так же для среднего геометрического расстояния между площадями sA и sB имеем:
п т
sAsB In g = S S In gk:, (45)
i=i
где n — число частей, из которых состоит площадь sA, а т — то же для площади sB. Аналогичный вид имеют и выражения для средних арифметических и квадратичных расстояний.
Формулы (44) и (45) и соответствующие формулы для средних арифметических и квадратичных расстояний можно объединить, придав им общую форму, а именно можно написать:
f(^)=S/7(^) + SS^(^X/),
А=1 Л=1 1=1
(46)
Г(4ХВ)=22фХ0, 1=1
(47)
если под F(А) понимать соответственно
4>пЯл-,
а под F(k X i) — соответственно
^ln gki,
Заметим, что при таких обозначениях формулы (46) и (47) совпадают с формулами (34) и (36) § 6.
___, Следует иметь в виду, что для [* 6 Н фигур, взаимные средние геометрп-
------------1--' ческие, арифметические и квадра-—--------------d -J-тичные расстояния g, а и q которых
р больше их линейных размеров, велн-
11 чины g, а и q относительно мало
к отличаются друг от друга и близки
Р сстоянию между центрами инерции этих фигур. ’ например, для двух отрезков, изображенных на рис. 20
а = d,
30
у=rf i/1 + ~ d f i + 2* \
’ ь к 12 2887'
где а= * . При d=-2b, т. е. при а = -* , мы получаем:
£=:0,98d, a — d, q^\,qQ,d,
и, следовательно, а равно расстоянию между центрами отпезков a g и q отличаются от него лишь на 2 '/9. н
Из сказанного следует, что для фигур, достаточно удаленных друг от друга, взаимные средние геометрические арифметические и квадратичные расстояния могут быть приняты равными расстоянию между их центрами инерции. Р
При выполнении инженерных расчетов существенно также иметь в виду, что составляющие индуктивностей, содержащие средние арифметические и квадратичные расстояния, обычно значительно меньше суммы других составляющих, вследствие чего их можно вычислять с меньшей степенью точности. В большинстве случаев средние арифметические и квадратичные расстояния можно принимать равными среднему геометрическому расстоянию тех же фигур, как это видно, в частности, из приведенного примера.
В качестве второго примера укажем, что среднее квадратичное расстояние q площадей двух одинаковых кругов, расстояние d между центрами которых втрое больше радиусов кругов, равно d ~ l,O5cZ, т. е. отличается от среднего геометрического расстояния g — d только на 5';0. Среднее арифметическое расстояние а, меньшее q и большее g, отличается от g еще меньше.
Из изложенного следует, что практически различие между величинами a, q и g бывает необходимо учитывать лишь в случае фигур, весьма близко расположенных друг к другу, а также при определении средних арифметических и квадратичных расстояний фигур от самих себя (см. также гл. 2, § 19).
Формулы для расчета средних геометрических, арифметических и квадратичных расстояний различных фигур даны во 2-й части книги. Здесь мы продемонстрируем определение этих величин на двух простых примерах, а затем укажем общий метод расчета, применимый к обширному классу фигур со взаимно перпендикулярными сторонами.
Найдем среднее геометрическое расстояние окружности от самой себя. Применяя основную формулу (41) и учитывая, что
rt 2r Isin ’ -1, dl' == rd<f{, dl" = rdf., <? =
* 2 1 31
(рис. 21). имеем.
ШЯ = тХ-гЙ 1,1 М Sin '2 о о
Так как в силу симметрии фигуры результат интегрирования по ft не зависит от значения <?2, то
2я
In g = j In (2r sin df.
0
Рис. 21. Рис. 22.
Так как it ~2 j In sin xdx =----------------------------y In 2,
о
TO
к
2к к ~2
j In 1^2 sin df == 2 | In (2 sin x) lx — 4 [ In (2 sin x) dx = 0, о о 0
и, следовательно, lng-=lnr, т. e. с. г. p. окружности от самой себя равно радиусу этой окружности.
Найдем с. г. р. площади крута от самой себя. По определению имеем (рис. 22):
г 2т.
In g = Д;- J ds' | In vids" ~ Д- J ds' J J In vpdpdf, » i 10 0
причем
*1 ~ V P2 + n2 — 2ap cos f =- p j/1 -p p2 — 2p cos f, где p = . Так как 131, стр. 194] 32
2п
f lit (1 + P“ — 2p cos f) d'f — 9 ?РИ /,2 < 1
о 4я1Пр при рг> 1,
то 2к 21г
/ = I' In 7] d'f = j- f In 7/ dv = 2я !n p при a < P о 2 о * 2k In а при a >. p.
Поэтому
Л = I I? d? = 2~ fine P'Zp + 2- I In p wfo = ! r2 In r— — л. ±1
o’ о „ \ 2 f 2
и, следовательно,
In g J ada j ~ |' /, ada == 1П г— A, ООО
или
__ I
g=re 4 «0,7788 г.
Ограничившись приведенными примерами, укажем в заключение общий метод расчета средних геометрических, арифметических и квадратичных расстояний для фигур, ограниченных ломаными линиями со взаимно перпендикулярными сторонами.
Заметим прежде всего, что всякая фигура рассматриваемого рода может быть представлена в виде совокупности нескольких прямоугольников (рис. 16). При этом с. г. р., с. а. р. и с. к. р. любых фигур этого рода от самих себя и друг от друга могут быть выражены через соответствующие расстояния отдельных прямоугольников от самих себя и друг от друга по формулам (46) и (47), совпадающим, как уже отмечалось, с формулами (34) и (36) § 6. С другой стороны, из основных определений (39) и (43) следует, что для прямоугольников с параллельными сторонами произведения sys; In и которые мы обо-
значили символом F (1г / i), являются величинами именно того вида, для которого была установлена теорема о четырех прямоугольниках. Отсюда следует, что метод, изложенный в § 6 и основанный только на этой теореме и формулах (34) и (36), полностью применим к интересующей нас задаче. Таким образом, применяя этот метод, всегда можно свести определение средних геометрических, арифметических и квадратичных расстояний сложных фигур со взаимно перпендикулярными сторонами к вычислению соответствующих расстояний >'к, a;i или </* нескольких прямоугольников от самих себя, т. е. к вычислению величин, для которых имеются готовые формулы, таблицы и кривые (см. 2-ю часть книги).
.. 33
О Л. А. Цейтлин
Глава вторая
ИНДУКТИВНОСТИ ПРЯМОЛИНЕЙНЫХ И КРИВОЛИНЕЙНЫХ ПРОВОДОВ
§ 8. Общие замечания
Как было показано выше, расчет индуктивностей контуров сложной формы может быть сведен к расчету индуктивностей проводов, являющихся отдельными участками этих контуров. Поэтому в первую очередь необходимо рассмотреть вопрос о вычислении собственных и взаимных индуктивностей проводов различной формы в различных случаях их взаимного расположения. Этот вопрос и составляет содержание данной главы.
Для определения собственной или взаимной индуктивности каких-либо проводов необходимо найти по формуле (22) взаимную индуктивность М двух произвольно выбранных нитей тока этих проводов, после чего, подставив найденное выражение для 7И в формулы (20) или (21) произвести двукратное интегрирование по площади или по площадям поперечных сечений рассматриваемых проводов.
Первая из двух задач, на которые, таким образом, распадается определение индуктивностей проводов, сводится к интегрированию по нитям тока и, как будет видно из дальнейшего, всегда может быть решена или в общем виде, или путем численного интегрирования. Вторая задача, требующая интегрирования по поперечным сечениям проводов, более сложна. Труд-ность этой задачи связана со сложностью выражений для /И, получаемых в результате решения первой задачи. Поэтому при определении индуктивностей проводов, как правило, приходится ограничивать общность решения задачи, вводя некоторые упрощающие предположения.
Одно из основных упрощений заключается в предположении, что провода являются линейными, т. е. что линейные размеры поперечных сечений проводов значительно меньше их длины и взаимных расстояний, а также меньше радиусов кривизны тех кривых, по которым изогнуты оси проводов. В дальнейшем, если не будет оговорено противное, мы всегда будем предпо лагать, что провода являются линейными.
Как уже отмечалось в § 2, для линейных проводов взаимная индуктивность со значительной степенью точности может быть принята равной взаимной индуктивности нитей тока, совпадающих с осями этих проводов, и притом независимо от характера распределения токов по их сечениям. Таким образом, в этом случае необходимость интегрирования по сечениям и все связанные с ним трудности отпадают сами собой. Для определения собственной индуктивности провода при всех условиях необходимо выполнить двойное интегрирование по плот: ди его попе 34
речного сечения. Однако, в случае линейных проводов удается привести выражение для М к виду, более удобному для интегрирования, основываясь на относительной малости разменов поперечного сечения провода и вытекающей отсюда малости расстоянии между нитями тока. При этом обычно применяют разложение в ряд выражения для М или отдельных его членов по степеням малых параметров, входящих в это выражение Подобный метод применяется и для определения взаимных индуктивностей, когда расстояния между осями рассматривае-мых проводов соизмеримы с линейными размерами их поперечных сечений и koi да, следовательно, взаимная индуктивность проводов, вообще говоря, не может быть принята равной взаимной индуктивности их осевых нитей.
Когда сечения проводов имеют сложную форму, учет поверхностного эффекта и эффекта близости при произвольной частоте практически невозможен. Поэтому для проводов с произвольной формой сечения мы будем рассматривать лишь предельные случаи токов низкой и весьма высокой частоты, придавая этим терминам тот смысл, который им был придан в § 1.
Сделанные допущения дают возможность довести расчет индуктивностей при низкой частоте до конца для всех форм поперечных сечений, могущих представить практический интерес.
Однако при весьма высокой частоте даже для линейных проводов трудности расчета все еще настолько значительны, что определение индуктивностей, за исключением сравнительно простых случаев, невозможно без некоторых дополнительных предположений. В этом случае расчет существенно упрощается, если предположить, что ток, сосредоточенный при высокой частоте в тонком поверхностном слое, распределен по периметру сеченця каждого провода равномерно. Хотя это предположение не всегда соответствует действительности, однако ниже на примере криволинейного провода (§ 29) и на примере системы из двух параллельных проводов (§ 22) мы убедимся, что даже при существенно неравномерном распределении тока на поверхности расчет индуктивностей, исходящий из предположения о равномерности распределения, приводит к результатам, достаточно близким к истинным. Поэтому в дальнейшем, за исключением нескольких особо оговоренных случаев, мы всегда будем предполагать, что при весьма высокой частоте ток распределен по поверхности каждого провода равномерно.
§ 9. Взаимная индуктивность двух прямолинейных параллельных нитей тока
Определим взаимную индуктивность двух прямолинейных параллельных нитей тока (рис. 23). Применяя общее выраже-
обозначениями рис. 23, можно панн
вне (23) н ноль п ясь сать: агИ,
/и-Ы/ rfT!’ (lx>
О с
rie х и х-— координаты, отсчитываемые вдоль нитей от об щего перпендикуляра к ним, и
/2 |/(х2 —х^2 + л2 >
причем lii'.iT' = ixi tx, ввиду параллельности соответствующих элементов длины. Интегрируя выражение (48) по х2, имеем:
М =-r- [[in (х: — -Ч + }/(х2 —х02 + л^)] 2 * dxv J Хг—С
О
Интегрируя это выражение по частям, найдем:
М = Те {^2%г 1,1 А + (xi— хг) 1п (%2 — -*1 + Г (Л2 —-*1)г + *2) + . xt=a 1 x2=sc-^-b
+ J/ (x, - xj2 + Л2 ] J r л,-0 f x2-c
Подставляя пределы и производя упрощения, получаем:
М = ЙТ К"-b-с) In (b + с — а + }/(Ь + с-ау +~^) +
+ (/» Ь с) In (Л + с + /(Ь +7)2 +72) - (а — с) In (с — а +
+ |/(с^=а)2 + Л2) — с 1п (с + /с2’Тй2) +
+ \/(а~Ь~су + д2 — ^/(й'+7)Г+7гт ^(Т^сУ+’/Л +
+ /сг + Й2 ]. (49)
В случае, когда нити имеют одинаковую длину и расположены симметрично относительно общего перпендикуляра к ним, проходящего через их середины, а — b — I, с = 0 (рпс. 24) и
М Но' Г. Z I- Vf2Тл» , л “] (50)
2г. L ~7i ' i г i | •
3G
Если длина / нитей больше расстояния h между ними то |'/"4-Л-’ можно разложить в ряд:
- х/ПЦХ 1(1 + ; £ + .
Кроме того, принимая во внимание, что при |л|<1
In (1 + х) = х — —...,
можно написать:
,п,и^ = ,п,+1п(1+(/77у)_
Таким образом, для М получаем:
и„’ г, 21 , , 1> 1 л= 1 Л< л
М — ' 2г~ L П Л 1 + I АР + 32 Т3 •••! (51)
Наконец, если можно пренебречь первой и более высокими степенями -у по сравнению с единицей, то выражение для М приобретает следующий простой вид:
/ о з
44 = g (1п - 1). (52) 1 + + '
В заключение заметим, что взаимную индуктивность двух параллельных нитей в общем случае их взаим-
4 6
Рис. 25.
пого расположения можно выразить
через взаимные индуктивности нескольких пар нитей, расположенных согласно рис. 24. В самом деле, рассматривая рис. 2э, можно написать:
М (I, 2, 3X4, 5, 6) = М (1 Х4) 4- /VI (1 X 5) 4 М(1 У 6) + 4-/И(2X4)4-/14(2X5)4-/И(2X6) р/И(3X4)4-/И(3X5)4-/И(3X6), 1де через М (kyj) обозначена взаимная индуктивность нитей А в I. Точно так же
/14(1, 2X4, 5) = /14(1X4)4-/14(1X5) 4- /14(2X4) 4- -44(2X5), /14(2. 3x5, 6) = Л1 (2X5) 4-/14 (2X6) 4- /И (3X5) 4- М(3X6).
Так как, кроме того,
44 (1X5)- /VI (2X4), /14(2X6) = М (3X5) и М (3,х4) = /14(1 >.6),
то, решая написанную систему уравнений, найдем:
•\И(ЗХ4) = Л1(1. 2. Зл4. 5. 6) —/И(1. 2X4. 5) /И(2, 3X5, 6) +
+ 7И(2У5). (53)
Каждый из членов правой части этого равенства может быть выражен по формуле (50), после чего, проделав некоторые преобразования, придем к общей формуле (49).
§ 10. Взаимная индуктивность двух прямолинейных параллельных проводов
Формулы для взаимной индуктивности двух нитей, приведенные в предыдущем параграфе, могут быть применены и для определения взаимной индуктивности двух параллельных друг другу линейных проводов. В этом случае под Л следует понимать расстояние между любыми нитями тока одного и другого провода, в частности, как это обычно делается, расстояние между осями проводов, т. е. между нитями, проходящими через центры инерции их поперечных сечений.
Если расстояние между осями проводов соизмеримо с линейными размерами поперечных сечений, то необходимо воспользоваться общим выражением (21) и произвести интегрирование по поперечным сечениям, понимая под /И взаимную индуктивность нитей, определяемую формулами предыдущего параграфа.
Рассмотрим сначала два одинаковых провода, расположенных согласно рис. 24 и имеющих произвольные, но постоянные по длине поперечные сечения. Так как нас интересует случай проводов, близко расположенных друг к другу, то расстояние между любыми -нитями тока этих проводов мы должны считать малым по сравнению с их длиной /. Обозначая это переменное расстояние буквой ч и ограничившись в формуле (51) первыми четырьмя членами, имеем:
7И=-^-(1п2/-1-1пг/ + А_|^. (54)
±"амЯЯ ЭТ0 значение М в формулу (21) и принимая во внп-нимы °Т ПОложения нитей, т. ё. от расстояния ч между лучим- ВИСЯТ лишь последних три члена в выражении (54), no-где M--=N-G + A~Q, (55)
Л/=^(1п2/-1), (56)
° J f j'J" In 7) ds' ds", (57)
А " 2& Л 51 л 1
Q== 8к77л ^J'J"^dS'ds".
stst
С58)
659)
В отличие от величины N, зависящей лишь от длины ппо-водов, величины G, А и Q зависят от формы поперечных сечении проводов, их взаимного расположения и от характеоа пас-пределения тока по сечению. н 1
При постоянном токе и, приближенно, при переменном токе низкой частоты, когда ток распределен по сечению каждого провода равномерно, мы имеем:
Поэтому, вынося в выражениях (57), (58) и (59) произведение j'f = за знаки интегралов и сокращая на irL, получим:
G = 1п Л «12- Q = 912- (60)
где Si’, и <712 — соответственно среднее геометрическое, среднее арифметическое и среднее квадратичное расстояния площадей и s2 друг от друга (§ 7).
При весьма высокой частоте, предполагая, что токи в проводах равномерно распределены по весьма тонким поверхностным слоям, можно написать:
jds — di = id~r
где di — ток, соответствующий элементу d'/. периметра X поперечного сечения провода (рис. 26). Подставляя это значение jds в основные выражения (57). (58) и (59), мы вновь приходим к формулам (60), но величины gI2, и <7)г представляют теперь средние геометрическое, арифметическое и квадратичное расстояния не площадей, а периметров поперечных сечений рассматриваемых проводов.
Во второй части книги приведены формулы и указаны методы определения средних геометрических, арифметических и квадратичных расстояний. Здесь мы отметим лишь, что эти величины могут быть
найдены для всех форм поперечных сечений проводов, представляющих интерес с практической точки зрения. Заметим также, что по мере увеличения расстояния между площадями *у и s-
оввница между значениями ч для различных положений элементов </*' и ds" (или соответственно </Х' и пл") будет уменьшаться и значения Г1-, at„ будут все более приближаться к расстоя нню межд ' центрами инерции этих площадей, о чем уже было упомянуто' ранее. Таким образом, при достаточно большом расстояний между проводами мы, как нетрудно убедиться, вновь придем к выражениям для М, данным в предыдущем параграфе.
Если расстояния а^, ql2 малы по сравнению с длиной проводов, то величинами А и Q можно пренебречь по сравнению с суммой первых двух членов в формуле (55). Тогда как при низкой, так и при весьма высокой частоте мы получаем:
<61>
Сравнивая это выражение с формулой (52) для двух одинаковых нитей, мы видим, что в рассматриваемом случае взаимная индуктивность проводов равна взаимной индуктивности нитей расположенных друг от друга на расстоянии, равном среднему геометрическому расстоянию площадей или соответственно периметров поперечных сечений проводов.
Переходя теперь к общему7 случаю двух параллельных проводов (рис. 23), можно воспользоваться формулой (53), которая, как это следует из способа ее получения, применима не только к нитям, но и к проводам конечного сечения. Каждый член в правой части этой формулы представляет собой взаимную индуктивность двух одинаковых параллельных проводов, расположенных согласно рис. 24, и должен быть найден так, как это изложено в настоящем параграфе. Таким образом, задача приводится к уже рассмотренной.
§11. Индуктивность прямолинейного провода
Рассмотрим прямолинейный провод произвольного, но постоянного по длине сечения и определим его индуктивность в предположении, что длина провода значительно больше линейных размеров его поперечного сечения.
При определении индуктивности будем исходить из формулы (20). Так как любое расстояние в пределах поперечного сечения провода мало_по сравнению с его длиною, то для взаимной индуктивности М двух нитей тока можно применить выражение (51). Сохранив в нем члены до *г включительно и обозначая переменное расстояние между нитями, как и раньше, через 7], получим:
40
Подставляя это значение М в tbooMvnv Г9(н « „„
мание, что от положения нитей зависят то™< Р имаи во «нищие можем написать: голько члеиы’ содержа-
где L = /V— G + A—-Q, (62)
(V = '^(1п2/-1), (63)
G-- 2^2 f J J'J" In Z ds'ds", s s (64)
А = 2п P J f jj 'I db • s s (65)
8rJ p J f j'j' tl>,'ds' s s (66)
В отличие от величины N, определяемой лишь длиной I провода, величины G, А и Q определяются формой и размерами поперечного сечения провода и зависят, кроме того, от характера распределения тока по сечению.
Обращаясь к исследованию величин G, А и Q, рассмотрим прежде всего случай низкой частоты, когда ток можно считать распределенным по сечению равномерно; в этом случае / = = j" = —, и выражения для G, А и Q приобретают следующий простой вид:
G = -^-ln£, (67)
А^-^-а, (68)
0 = ^. (69)
где д, а и д — соответственно среднее геометрическое, среднее арифметическое и среднее квадратичное расстояния площади л от самой себя (§ 7).
Эти величины могут быть вычислены для всех форм поперечного сечения, представляющих практический интерес. Таким образом, вычисление индуктивности прямолинейного провода при постоянном токе и при низкой частоте может быть доведено до конца для всех встречающихся на практике случаев.
В общем случае вычисление О, А и Q сопряжено с весьма значительными трудностями, преодоление которых возможно лишь одновременно с решением более общих задач, связанных с явлением поверхностного эффекта. Не ставя своей задач и
41
общее рассмотрение этого вопроса, представляющего специальную проблему, мы остановимся лишь на двух особых случаях.
При весьма высокой частоте ток можно считать сосредоточенным в весьма тонком слое вблизи поверхности проводника.
Предполагая, что ток распределен по этому слою равномерно, имеем:
,. . <г>.
at = i—,
где di — ток, соответствующий элементу периметра к поперечного сечения провода (рис. 26). Подставляя это значение di вместо jds в формулы (64), (65) и (66), мы вновь придем к выражениям (67). (68) и (69), но величины g, а и q будут представлять теперь соответственно среднее геометрическое, среднее арифметическое и среднее квадратичное расстояния не площади, а периметра поперечного сечения провода от самого себя (§ 7).
Найдя значения g, а и q, мы тем самым получим выражение индуктивности прямолинейного провода при весьма высокой частоте и равномерном распределении тока по поверхности провода.
Допущение о том, что ток высокой частоты сосредоточен в поверхностном слое бесконечно малой толщины, равносильно пренебрежению магнитным потоком внутри провода. В действительности толщина этого слоя, а следовательно, и поток внутри провода, хотя и малы, но нулю не равны. Это обстоятельство при желании может быть учтено следующим образом. Как известно из теории электромагнитного поля [4, § 111], при резко выраженном поверхностном эффекте можно пренебречь кривизной поверхности провода и рассматривать электромагнитную волну, проникшую внутрь провода, как плоскую. При этих условиях индуктивное сопротивление, обусловленное магнитным потоком внутри провода, равно активному сопротивлению и выражается формулой:
где у. магнитная проницаемость вещества провода, у—его удельная проводимость, <» — угловая частота переменного тока. I длина провода, X — периметр его поперечного сечения. Отсюда следует, что часть индуктивности провода, обусловленная внутренним магнитным потоком, равна
Таким образом, при желании учесть магнитный поток внутри провода, к выражению индуктивности, найденному для случая весьма высокой частоты указанным ранее способом, следует 42
прибавить величину Lt, определяемую формулой (71). Следует иметь в виду, что формулы (70) и (71) выведены в предположении независимости магнитной проницаемости от напряженности магнитного поля.
Для проводов из ферромагнитного вещества Л. Р. Нейман [4, § 112 и 12, § 30] дал выражение, по форме аналогичное (71), а именно:
Л = 0,841}/^, (72)
причем — магнитная проницаемость, определенная по основной кривой намагничения вещества провода при напряженности магнитного поля, найденной из выражения /7— у, где / — действующее значение тока в проводе.
Рассмотрим теперь наиболее важный для практики случай провода кругового сечения, не делая дополнительных предположений относительно частоты тока. Имея в виду получить выражение индуктивности, пригодное при любой частоте, рассмотрим два предельных случая.
При равномерном распределении тока по сечению, подставляя в выражения (67), (68) и (69) значения In g, а ид для круга радиуса г, а именно:
lng=lnr— -j, a=-^r,g = r, получим:
Л = (73)
При весьма высокой частоте, воспользовавшись значениями g, а и д для окружности радиуса г, а именно:
g=r, « = ? = /2" г,
имеем:
G^^hir, А.=%.'-г, (74)
Разности
G„-G0 = -g--|. =
представляют собой составляющие индуктивности провода, обусловленные при постоянном токе магнитным потоком внутри провода. Если провод, как обычно, расположен в воздухе, но его магнитная проницаемость г- отлична от ty то магнитный поток внутри провода, а следовательно, и соответствующие ему составляющие индуктивности должны быть увеличены в - раз.
‘о *
43
С другой стороны, для проводов, длина и взаимные расстояния которых значительно больше их радиуса, изменение индуктивности. обусловленное неравномерным распределением тока по сечению, с достаточной степенью точности может быть определено так же, как и в случае бесконечно длинного уединенного провода. Поэтому при любой частоте и р ф р(1 можно написать
0’ <75>
ст
где С = — В, а коэффициент ?, изменяющийся от единицы при Го
равномерном распределении тока до нуля при токе весьма высокой частоты, определяется известным выражением:
4 bet kr bcr' kr + bei kr bei' kr kr bcr'2 kr + bei’2 kr
(78)
-—~кг
Рис. 27.
причем k — у — удельная проводимость вещества про-
вода, u> — угловая частота переменного тока, ЬегАг и bei Аг -вещественная и мнимая составляющие бесселевой функции Л к7—J) первого рода нулевого порядка от комплексного
аргумента (kry/—j)t Ьег'Аг и bei'Аг—производные от ЬегАг и bei kr по Аг [5, § 94|.
Кривая зависимости с от Аг приведена на рис. 27 (см. также таблицу 11 2-й части книги).
Значительно более сложным является случай полого (трубчатого) провода (рис. 28). Так как этот случай в курсах электромагнитно!о ноля обычно не рассматривается, то мы остановимся на нем несколько подробнее, причем для упрощения задачи пренебрежем членами /1 и Q. что всегда допустимо при достаточной длине провода (см. замечание в конце этого параграфа).
44
При равномерном распределении тока по сечению, подставляя в формулу (6/) значение In g для кольца (см. 2-ю часть книги? получим; Л
Зд2 — ,2 -1
,2^J. (79)
___?___!п л. 1 (г2—111 <1 н 4
где г и q — наружный и внутренний радиусы сечения провода При высокой частоте, когда ток сосредоточен в весьма тонком слое вблизи наружной поверхности провода, полный провод ничем не отличается от сплошного и, следовательно.
о.= 2-1п/-, (80)
Разность Got — Go = £; представляет собою составляющую индуктивности, обусловленную магнитным потоком внутри провода. Если магнитная проницаемость вещества провода р ф рп, то £, в больше. чем при р = р0, и для низкой частоты имеем:
/=_р£г_,х_ ‘ 2п L('2~?2):
°С=^[1ПГ-(
раз Ро случая
Рис. 28.
(81)
1,1 7
(82)
1 39г —
4 г2 — q
. г 1 3§2 —г (Г2_92)2ln q 4 r2 — q2
При переменном токе любой частоты внутренняя индуктивность Lj может быть вычислена следующим путем.
Напряженность электрического поля Е в цилиндрическом прямолинейном проводе направлена вдоль его оси и, как известно [5, § 93J, удовлетворяет уравнению Бесселя:
д2Е 1 дЕ dlL — r\ р dt
где р— расстояние рассматриваемой точки поля от оси провода, Р и у — магнитная проницаемость и удельная проводимость провода, причем уравнение справедливо как для сплошного, так и для полого провода.
При синусоидальном переменном токе частоты ш, изображая напряженность поля Е комплексом E|/2 е1 , получим уравнение.
+ X -jk2E = O,
dp2 ‘ р dp
где А2 =«>цх, или, введя вместо р комплексную переменную z = Ар /у = ар, уравнение:
d2£. I ХХ£-----Ё = 0,
dz2 ' z dz
45
решение которого имеет вид:
Е Al0(z) + ВК0(г),
где I0(z) и K0(z) — модифицированные функции Бесселя нулевого порядка [14, стр. 46], А и В — постоянные интегрирования. Для определения постоянных А и В воспользуемся вторым уравнением Максвелла:
rotE = -p -sr.
Выберем цилиндрическую систему координат (/, р, <р) и совместим ось I с осью провода.
В рассматриваемом случае Е имеет только составляющую Et=E вдоль оси провода, а Н — только составляющую Н^ —Н по координате <р, причем можно утверждать, что Е и Н зависят только от р и не зависят от <р и I. Поэтому, применив выражение для ротора в цилиндрической системе координат, получим:
и, переходя к комплексам, найдем:
4- = j^H или Н = -J- = J- 4-1(?) + ВК0 (г)].
др J ‘ jwp, dp /юр. dp L °v ' °v
/0 (z) = k y/T[0 (z) и ~f<o(z) = k V7K'O (z),
где /0(z) и K0(z) — производные от f0(z) и К0(г) no z, то
Н=^\А1\^ + ВК^\.
Y J «
С другой стороны, согласно закону полного тока напряженность магнитного поля в точке, находящейся от оси провода на расстоянии р, равна , где /р—-ток, охватываемый окружностью радиуса р. Поэтому, полагая в последнем уравнении р = <7 и р — г и учитывая, что = 0, a Ir= 1, где / — полный ток провода, получим:
А/о (“<?) + ВКв = О,
А1'а(*г) + ВК'и(аГ)==-^-1.
4G
Из этих двух уравнений и определяются постоянные А и В:
при ,ем с = /- (а/.) (а?) _ /- (aq) Кй (аг).
Обозначив через U комплекс напряжения, приложенного к проводу, а через R—его активное сопротивление, имеем:
U = (/? + fa>L) 1 — (R + R‘Lt) I + JuiLj,
где L/ и Le — соответственно „внутренняя" и „внешняя" индуктивности провода.
С другой стороны, на поверхности провода э. д. с., индуктированная внутренним потоком, равна нулю, а падение напряжения равно /А',, и, следовательно,
U = lE,+ju>Lj.
Сравнивая два выражения для U, получаем:
Z = R +/<»£, = -у = -у [^0 W + ВКй (аг)1. (83)
Подставив сюда найденные значения постоянных А и В, приведем это выражение к виду:
„ __ p.i4>Vj Io(ir)~TKote)
2nkr 1'O(V)-TK,O^) ’ где
/o(ag)
Rote) '
Бесселевы функции /0(хр)> ^o(“p) и их производные /q(«p), Л^(“р) могут быть выражены через табулированные функции ЬегЛр, bei/гр, ker/г?, kei£p и их производные по kp: ber'/гр, bei' /гр, ker'/гр, kei' /гр, а именно:
/()(ар) = Ьег /гр 4- / bei /гр, /’(ар) — е 3 4 (bet' kp + j bei' kp),
Ro (яр) = her kp + j kei kp, (ар) — e ’4 (ker' kp + J kei' kp).
В некоторых справочниках вместо таблиц функций kerx и keix и их производных даны таблицы функций herx и heix и их производных. При пользовании такими справочниками следует иметь в виду соотношения:
ker х —-----he i х, kei х = her х.
47
11скомтя ИНА тренпяя индуктивность провода Л, определяется
Лопнуты (83) путем деления на > мнимой составляющей етнчнш ’стоящей в правой части этого выражения.
Определив значение внутренней индуктивности /,, можно найти значение G:
G G
(84)
in/—л,
а стеловатетьно, и индуктивность провода при любой частоте.
Ппя случая высокой частоты, когда аргументы бесселевых функций входящих в формулу (83). велики, Двайт [6, стр. 174], используя асимптотические выражения этих функций, получил следующую формулу:
z = ("Г + Т + lie + + • • • +
+ е 2’'[а/-+ 4 + 1 “ i + W • • • I +
—47? I
+ члены порядка е >,
где / = /-—q — толщина стенки провода.
Отделив вещественную часть этого выражения от мнимой и разделив мнимую часть на /<о, найдем:
/ _ У1 Jv______3________3 .
' 8кх2 I 64х 128x2 ~
+ 2 cos (kt tf2) (7 - 6 -f + . J -
— 2 sin (kt /2 ) +
(85) где л- = .
Г 8
В заключение заметим, что для проводов, длина которых значительно больше линейных размеров их поперечных сечений, в общей формуле (62) почти всегда можно пренебречь величинами 4 и Q по сравнению с суммой Л/—G. Тогда при любой и ™ сечения и ПРИ Р = Ро как для случая низкой частоты, так случая весьма высокой частоты можно написать:
z-=J^(in4~1' (86)
нпг11ияп.?Лг^На пРовода> g~ среднее геометрическое расстояние пповоия гя с°°™?тственно периметра) поперечного сечения провода от самой себя.
48
Соответственно для сплошного провода кругового сечения при любой частоте
M-fln A_1 + 2_Q. (87)
где г—радиус провода, а С —~ может быть определено по
кривой рис. 27, или по таблице 11 2-й части книги.
Для оценки погрешности, вносимой отбрасыванием величин А и Q, заметим, что для массивного медного провода, длина которого всего в 10 раз больше радиуса его сечения, эта погрешность составляет только 3,2°, 0, а при — >30 она меньше 1"/0.
§ 12. Взаимная индуктивность двух непараллельных проводов, лежащих в одной плоскости
При определении взаимной индуктивности двух непараллельных проводов, лежащих в одной плоскости, мы будем рассматривать эти провода как линейные, в соответствии с чем в ка
честве исходного выражения воспользуемся формулой (23). Введем координаты х и у, отсчитываемые вдоль прямых, по которым направлены провода, от точки их пересечения (рис. 29). Направления координатных осей будем считать совпадающими с направлением протекающих по проводникам токов. Угол между осями обозначим че-
рез <р, причем примем, что
Координаты, отвечающие концам проводов, обозначим соответственно через х3 и ух, V,. Так как расстояние D между элементами длины dx и dy равно
D — ]/ х2 + у2 — 2ху cos 'i
и, кроме того, dVdl" — dx ly cos то формула (23) принимает вид:
X, у, Л4 = Ио COS ф
dxdy
V'x2 + у2 — 2xycos о
Интегрируя сначала по х, имеем:
Л. А. ЦеЙ1лин
Г
J I.)
= In (х —у cos <р + D),
49
где для простоты опущена произвольная функция от у, исчезающая после подстановки пределов.
Для вычисления интеграла
J = J 1п (х — у cos <р + D) dy
произведем интегрирование по частям. Тогда получим:
, , , , Г У— xcostp — Ocos<? ,
/=jln(x-y cos? + D) —J D(x_JC0sy + P) ydy.
Умножая числитель и знаменатель дроби под знаком интеграла на (D— х + у cos ?) и произведя упрощения, найдем:
J=j*ln(x — у cost +£>)+ J J dy, откуда, опуская функции только от х или только от у, исчезающие при подстановке пределов, получим:
J — у 1п (х —у cos т + D) + х In (у — х cos <р + D). (88)
Таким образом, выражение для взаимной индуктивности в рассматриваемом случае можно написать в виде:
2 2
м=5 2 (- <80)
p=i 9=i
где Jpq получается из J путем замены х на хр и у на yq.
Если начала обоих проводов находятся в одной точке, то, обозначая длины проводов через а и Ь, а расстояние между концами проводов через с, имеем: х]=у1=0, х2 = а, у2 = Ь, Du = b, £)21 — a, D2i = с, Dlt = 0 и, следовательно,
/н — 0; J22 = a In (b — a cos <р + с) + b In (а — b cos <р + с);
J12 = b\n(b — b cos <р); J2l = a In {а — a cos ?).
Подставляя эти значения Ju, J22, J12 и J21 в (89) и учитывая, что
после некоторых преобразований найдем:
а Л ча^тном случае, когда провода имеют одинаковую длину Z =5’1 = 0, х2==у2 = /) выражение для М после очевидных упрощений принимает вид:
+ (91)
50
§ 13. Взаимная индуктивность двух прямолинейных проводов при произвольном расположении их в пространстве
Переходя к рассмотрению взаимной индуктивности двух прямолинейных проводов в общем случае их взаимного распо ложения в пространстве, мы, как и в предыдущем параграфе будем считать эти провода ли- * •
нейными.
Рядом авторов в разное время были предложены различные формулы, относящиеся к интересующему нас общему случаю [7, 8, 9J. Не останавливаясь на критическом анализе этих формул и свойственных им недостатков, приведем здесь лишь формулу, полученную в одной из работ автора [10J.
Проведем две параллельных плоскости так, чтобы в каждой
Рис. 30.
из них лежал один из рассматриваемых проводов (рис. 30). Расстояние между этими плоскостями обозначим через а, угол между проводами — через <р (0 <р л).
Введем координаты х и у, отсчитываемые от общего перпендикуляра ОуО2 к проводам в направлении протекающих по иим токов. Тогда, применяя формулу (23) и учитывая, что d\'d\" == = dx ly cos о, для взаимной индуктивности рассматриваемых проводов имеем:
х* Ул
м _ H)Cos<p Г Г dxdy 4т. J J D ’ где __________2^_________
D = |/х2 + у2 — 2ху cos <р + а2,
а хь хг и у2 — координаты, соответствующие концам про-
водов.
Интегрирование этого выражения, выполненное в упомянутой работе автора, приводит к следующему результату:
z 2
М = S S (92)
p=l f=l
где
FP4 = ХР1п Си,—ХР cos <р + Dpg) -I- yq In (хр —yqcos + Dpq) +
+ Э- arctg lg 4), (93)
’ sin <p \ a I /
- ^Xp + y2—2xpyt/cos<{> + a2 ,
51
4*
5’глы, брать в
епса, входящею в последний соответствующие положит ель первом квадранте', т. е. в пре-
причем при вычислешш арктанг член выражения для J ' '* вым тангенсам, следует
делах от нуля до -у-, а тангенсам, —в четвертом
углы, соответствующие отрицате Сьным квадранте, т. е. в пределах от нуля
Я до---2" ‘
Приведенная форму та справедлива как при положительных, так и при отрицательных значениях координат хр и уд концов обоих проводов и притом для всех значений угла о в пределах от нуля до Г Совмещая в себе простоту и оощность, она оолее удобна для расчета, чем другие формулы, предлагавшиеся для определения взаимной индуктивности в рассматриваемом случае.
Нетрудно убедиться в том, что данные в предыдущих параграфах выражения для взаимной индуктивности линейных проводов, лежащих в одной плоскости, получаются из общей формулы (92) как частные случаи.
§ 14. О расчете взаимных индуктивностей проводов в общем случае
Взаимная индуктивность двух прямолинейных проводов, как было показано в § 13, может быть определена при любом взаимном их расположении в пространстве. Напротив, если оба провода или один из них являются криволинейными, то взаимная индуктивность может быть выражена через геометрические величины, определяющие форму, размеры и взаимное расположение проводов, лишь в весьма небольшом числе простых случаев (см. стр. 165).
Во всех случаях, когда взаимная индуктивность не выражается в конечном виде через геометрические размеры проводов, для ее определения можно применить один из методов, рассмотренных ниже.
Первый метод состоит в двукратном численном интегрировании общею выражения (23), справедливою для любых линейных проводов. Другой возможный метод расчета заключается в замене каждой из кривых, по которым изогнуты оси проводов, достаточно близкой к ней ломаной линией, после чего опреде-пповс взаими°й индуктивности рассматриваемых криволинейных сведется к определению взаимной индуктивности гствУЮ|Цих ломаных линий, т. е. к задаче, общий метод линий КОТ°Р°Й рассмотрен в § 13. Чисто отрезков ломаных запишиiv ИХ Ф°Р*У следует выбирать, исходя из особенностей пйы,™ . КРИВЫХ и их взаимного расположения, причем отпршгш ожио сираиичиться сравнительно небольшим чистом 52
Приведем примеры расчета по обоим только что указанным методам, причем для возможности сравнения и оценки результатов рассмотрим случай, допускающий решение в конечном виде.
Пусть требуется определить взаимную индуктивность криволинейного провода, изогнутого по полуокружности и. прямолинейного провода, совпада-
ющего с диаметром этой полуокружности Грис. 31).
Точное решение этой задачи может быть получено с помощью формулы (70) 2-й части книги, если положить в ней Р - и }двоить найденный результат, после чего получим:
М = Ро-. 7Г
Заменяя полуокружность четырьмя прямолинейными проводами, изображенными на рис. 31, можно написать:
714 = 7ИГ, + 71413 + 71414 + ТИ15.
Так как 7И13 = ТИ14, а M1S = ТИ15 = 0 в силу взаимной перпендикулярности соответствующих проводов, то 7И .— 27W1S.
Для определения 7И13 применяем формулу (89). В нашем , 1 2 I 5 „
примере tg <р = -у , cos <? — —. -Д ' «, J’i — « . X, — За.
у, — а\/5 и, следовательно,
/11-4у1п-Т + 1п
Л, - [|/5 In (1 + |/2 ) + 31П ~1 ‘ 10 ' а.
= i /5 In (-1 4- V2 ) + In ] а'
Подставляя эти значения Jpv в формулу (89), найдем: м 0,5025 п .. .... 1,005
A1JS = и /М = 27И13 Рой- )
) Расчет произведен на логарифмической линейке.
S3
Сравнивая этот результат с точным значением М — мы видим. что в данном случае значение, найденное приближенным методом, отличается от истинного меньше чем на Г’/.,.
Переходя к рассмотрению метода численного интегрирования, воспользуемся обозначениями рис. 31 и представим общее выражение (23) в виде:
—а О — а
где ________________
D = ]/а2 + х2 — 2cxcos& и
F (х) = J = j f(x, ®) причем
Вычислим значения f(x, 0) для всех значений х от —а до + а через 0,2с и для всех значений & от 0 до - через "g . Сведем результаты вычислений в таблицы, каждая из которых отвечает определенному значению х (см., например, табл. 1,
Таблица 1
Значения / (х, Э) при х = 0,4а
№ по пор. sin Э cos Э 2х cos 5 а В» а» D а 7(х,Э)
0 0 0,000 1,000 0,800 0,360 0,600 0
1 10 0,174 0,985 0,788 0,372 0,610 0,285
2 20 0,342 0,940 0,752 0,408 0,638 0,535
3 30 0,500 0,866 0,694 0,466 0,683 0,733
4 40 0,643 0,766 0.612 0,548 0,740 0,868
5 50 0,766 0,643 0,514 0,646 0,804 0,952
6 60 0,866 0,500 0,400 0,760 0,872 0,992
7 70 0,940 0,342 0,274 0,886 0,943 0,998
8 80 0.985 0,174 0,139 1,020 1,010 0.975
9 90 1,000 0,000 0,000 1,160 1.080 0,928
10 100 0,985 —0,174 —0,139 1.299 1,142 0,863
11 ПО 0,940 —0,342 —0,274 1,434 1,198 0,783
12 120 0,866 —0.500 —0,400 1,560 1,250 0.693
130 0,766 —0,643 —0,514 1,674 1,295 0.592
140 0,643 —0,766 —0,612 1,772 1,332 0,483
150 0,500 —0,866 —0,694 1,854 1,363 0.367
1 17 160 0,342 —0,940 —0,752 1,912 1.3S3 0.247
18 170 0,174 —0,985 —0.788 1,948 1,397 0,125
1 18 180 0,000 —1,000 —0,800 1,960 1,400 0.000
54
для которой Л- -0.4а). Имея таблицу значений f(x лч
найти значение функции F(x) для того значенийх ’ 5я кото° рого эта таблица составлена. При отыскании F(x) можно пол?' зеваться любой из формул механических квалоатуп
первой формулой Симпсона, для х = 0,4а “S ?»”СЬ
= (,).ООО ТС. • —
Определяя таким же путем значения F(x) для других зна ченин х, получим табл. 2. аруi их зна-
f Таблица 2
Значения —— it
№ по пор. X а f(*) № по пор. X а К
0 —1,0 0,650 6 0,2 0,636
1 —0,8 0,638 7 0,4 0,636
2 —0,6 0,636 8 0,6 0,636
3 —0,4 0,636 9 0,8 0,638
4 5 —0,2 0,0 0.636 0.636 10 1,0 0,650
^Рименяя к интегралу от функции F(х) формулу Симпсона, найдем.
Af= 1,003 —,
т. е. значение, весьма близкое к истинному.
Приведенные примеры достаточны для иллюстрации рассматриваемых методов расчета. Следует, однако, отметить, что в случае кривых сложной формы расчет связан с длительными вычислениями.
§ 15. Индуктивность провода, изогнутого по дуге окружности
Применяя метод участков и пользуясь данными выше формулами для собственной и взаимной индуктивностей прямолинейных проводов, можно найти собственные и взаимные индуктивности любых контуров, состоящих из прямолинейных участков. В случае контуров, имеющих криволинейные участки, применение метода участков требует знания формул для индуктивностей криволинейных проводов различной формы.
мы начнем рассмотрение этого вопроса с простейшего случая провода, изогнутого по дуге окружности. При решении задачи примем следующие условия: 1) провод однороден и имеет произвольное, по одинаковое по всей длине поперечное сечение, 2) нити тока суть дуги эквидистантных окружностей.
сП
пяпиусы которых значительно больше линейных Диоров подпечного сечения провода. Как и при выводе выражения для индуктивности прямолинейного провода, определим _с.;:
определим сначала взаимную индуктивность
Рис. 32.
двух произвольно выбранных нитей тока. Рассмотрим две нити тока /, и /2 и третью нить л, равноудаленную от первых двух. Обозначим через z расстояние между плоскостями, в которых расположены нити (рис. 32), а через /?1( и р —радиусы нитей /т, 1г и А, и положим, кроме того, —• р = р — /?2 = х.
Тогда для расстояния D между элементами длины dlt и 7/2 рассматриваемых нитей тока I, и /2 можно написать:
О2 = /?; + _ 2Z?,/?2 cos а + z2 = 4р2 - - 4 (р2 - Х-) cos2 +
+ 22 = (4р2 + 22) _ k2 COS2 JL j ,
где
Ь2_ 4(р3-х2) ------47 + г» ’ 0=
Вводя обозначение:
/и2 _ j _ = + = _ У_
4р2-г2 4,2 + z2’
где ч = И 4х2 + г2 —• кратчайшее расстояние между и Ч» имеем: J
НИТЯМИ /(
ь-’ = (4р2 + ггу [т-г + (1_ т-^ sin2 _S_-j.
Принимая, кроме того, во внимание, что
cos 0 = _ х2) cos
Для взаимной индуктивности М можно написать:
S ^Ир2^/ J _eo±w,
0 " 1/^mJ (I -m=) .in» f
56 '
где 0— центральный угол, соответствующий всей длине провода Нетрудно видеть, что уже первое интегрирование этого выражения приводит к неполным эллиптическим интегралам, и, еле донательно. искомая взаимная индуктивность не может’ быть выражена в конечном виде через элементарные функции. Поэтому будем искать приближенное решение задачи, основанное на принятом условии малости линейных размеров сечения провода по сравнению с радиусом его оси, а именно, мы будем пренебрегать по сравнению с единицей всеми величинами, имеющими тот же порядок малости, что и отношение наибольшего линейного размера поперечного сечения провода к радиусу его оси. В частности, пренебрежем по сравнению с единицей величинами -у-, - - •, “ и т, а также их более высокими степенями. При этом, пользуясь разложением функций в знакопеременные степенные ряды, содержащие различные степени величин, малых по сравнению с единицей, примем во внимание, что для таких рядов ошибка, вносимая при отбрасывании всех членов ряда, начиная с некоторого, не превосходит первого из них.
Учитывая принятые условия, можно написать:
А’~1 ^2 — ^2 = 1Ч 1—т2^1,
после чего выражение для взаимной индуктивности примет вид:
о 6
;/0G Г Г COS 3 dll,
8п J J z <Г"
0 0 1/ tn2 + sin2
(94)
Заметим теперь, что ввиду симметрии последнего выражения относительно и интегрирование по ооласти (OsC'/s^ .
0 "С11? «C(j) может быть сведено к ^интегрированию по незаштрихованной области (0 < I»! С 6, 0 <<»)i) с последующим
удвоением результата (рис. 33). Незаштри-хованную область разобьем, в свою очередь, на три области:
0 <О, <.Oj), 5.; (ф < < в, &! — '?< < й1) и S" (ф ф), показан-
ные на рис. 33, причем угол ф выберем так, чтобы удовлетворялись условия: лг^Ф^1, Для чего можно, например, положить ф2 — т. Заметим, что при та
ком выборе угла ф, оставаясь в пределах принятой степени точности, можно пренебрег 1гь по срав t с единицей вторыми и более высокими степенями величи ?
—. В соответствии с этим, для областей и 52, ГДС Угол 11 ле' жит в пределах от нуля до ф, можно написать:
а» , .. , » _ :>2 :'4 , — 2’
cosft==l---+ 51,1 2 4 48 +•••'' 4 '
= /«2 + -Т = 2 /,<)2 + 4/и! ’
и следовательно, для этих областей подинтегральная функция в’(94) может быть представлена в виде:
cosa ~-_-Л------,. (95)
)/«> + «»>• Г»* + 4™«
В области S'.j, где &^ф, имеем:
cos 8 cos 8 cos a ZC1C)
Подставляя (95) в (94) и интегрируя по 02 в области Slt найдем:
Точно так ь,
J pd=Sf *=- 21" («+И^+W I» -
= 21п (O1+K01 + 4m2) —21п 2т.
же интегрирование по f>2 в области 5” дает:
. фУ^4^==21п (ф+^ф2+4^)-21п 2и«21п-£
Интегрирование по &2 в области S.', дает:
bj—ф
г cos»da2 а а |ф
Л - J —э~ =- —I21ntg- +4cos = О sin Z
= 21ntg J +4cos ^-21ntg4-4cos • .
<4 2
Так как cos^ и In tg ±1П Л , то
Л- 21П tg 4 + 4cos -?*- — 21n 4
4.
58
Таким образом, для всей области S, имеем:
Л = Л + Л' = 2111 tg °} + 4cos 2 + 21n —4.
Весьма существенно, что это выражение, как и следовало ожидать, от величины ф не зависит.
Переходя к интегрированию по для области .S', и области 5’. имеем соответственно:
Л1= J -4г= J -M&j. (97)
О ф
Подставляя сюда значения и ./г и интегрируя, найдем: Уп= 2ф1п (ф + ф2 + 4m2) — 2V ф2 + 4m2 _ 2<pl п 2т +4т~ х 2ф Zln —1) + 4m. е
=2 ( Intg-^-rf»! +8 sin-a-sin4-) + (е— >)f2 In ~ — 4, =
4
— 2 J In tg 4* —2 J In tg 41 df^ 4-8 (sin -®—sin 4-
0 0
+ (6-W(21n i -4).
Так как при имеем:
Intg-J-lnA. то ф
J In tg = Ф (bl — i). 0
Кроме того, sin4-~4‘ • Поэтому e . ф
J„-2 Jlntg^^i+Ssin-y +2fj(ln -„Г-2)-2Ф(1п т-ХГ О
Таким образом, для всей области интегрирования получаем.
'о-= Л1 + Л2 = 2/ Intg j1 rftii-l-Ssin^-+26(ln'i”2)’ О
причем член 4т отброшен, как малый по сравнению с суммо остальных. 59
л: = -р°е -2Л ТО ДЛЯ искомой взаимной индуктив-I ПК как и>
ности находим:
М = ±£[ф(1п 1 -2)+ 4sin 4-4/(98)
I J In tg xdx. (99)
О
Интеграл (99) как неопределенный не берется. Ею значения для углов 6 через 5°, найденные путем численного интегрирования, даны в табл. 10 2-й части книги.
Так как т~ * и так как, кроме того, не выходя за пределы принятой степени точности, можно принять р~/?, где R — радиус окружности, по которой изогнута ось провода, то т~
Подставляя это значение т в формулу (98), мы получим выражение, в котором только член, содержащий In 7], зависит от положения выбранных нитей тока. Поэтому, подставляя найденное выражение /И в выражение (20) для индуктивности провода, получим:
/. = Л —О', (100)
где
= (1п8А —2) + 4sin -J 4-4/j, (101)
a G определяется тем же выражением (64), которое было приведено в § 11. Из последнего обстоятельства следует, что все, сказанное в § 11 относительно определения величины О в различных случаях, применимо и к проводу, изогнутому по дуге окружности. В частности, для провода кругового сечения, как было показано,
0=^(1Нг-С),
Де * в» а 5 определяется по формуле (78) или по кривой рис. 27. Следовательно, для этого случая
L ‘2и | 1п 4- С — 2 f (sin 4- .
(102)
чить, как^'астн! Tfl'r’n ПОЛЬЗ'ЯСЬ выРажением (101). можно полу-. учаи, выражение для индуктивности прямо
линейного провода. Действительно, полагая угол О малым, можно в выражении для I принять tgjc~x, после чего интеграл (99) берется:
11
/ - flnxdx^
О
Подставляя это значение / в (101) и полагая — сразу получаем:
N (ln2Z—1),
что совпадает с найденным ранее выражением (63).
Напомним, что при выводе выражения (100) для индуктивности провода, изогнутого по дуге окружности, мы пренебрегли по сравнению с единицей малыми величинами, представляющими отношения линейных размеров поперечного сечения провода к радиусу его оси. Поэтому окончательное выражение (100) и его частные случаи верны также только с точностью до величин этого порядка малости. Если при выводе сохранить величины указанного порядка малости и пренебречь лишь их высшими степенями, то процесс интегрирования, не изменяясь по существу, весьма заметно усложняется [11]. Поэтому, не приводя здесь всех промежуточных выкладок, дадим лишь окончательные выражения.
При сохранении членов порядка -у- выражение для М принимает вид:
Учитывая условие малости размеров поперечного сечения провода, заменим здесь переменный радиус р постоянным радиусом R оси провода. Для проводов с симметричной формой сечения, представляющих наибольший практический интерес, погрешность от такой замены не превышает величин второго порядка малости по отношению к Действительно, если сечение провода симметрично относительно прямой, перпендикулярной к плоскости его оси, то каждой паре нитей со средним радиусом р' R + Е-i/? — R (1 Е г) соответствует симметричная ей пара нитей со средним радиусом р" = R — AR =а R (1—. =), и нетрудно показать, что среднее значение (ЛГ Е- М") взаимных индуктивностей
61
W и Л?', найденных для каждой из этих пар нитей но формуле (ЮЗ), отличается от величины
0 , In — —2) + 4 sin ~ + 4/ + -----~—r I (104)
' 2л к -< / 2 “ 8/^sin ~
лишь членами порядка у^е2. Так как е2 есть величина не ниже п
второго порядка малости по отношению К у , то отсюда следует, что, действительно, при определении индуктивности провода для величины М с указанной степенью точности может быть принято выражение (104), единственной переменной величиной в котором является tj. Подставляя (104) в (20), получаем:
L = Д' — G + А — Q,
(W5)
где N, G и А определяются соответственно по формулам (101), (64) и (65), а величина
Q-------Г fff'^ddds" (106)
отличается от соответствующей величины Q для прямолинейного провода лишь множителем. Поэтому все сказанное относительно определения величин G, А и Q для прямолинейного провода остается в силе и для рассматриваемого случая.
В заключение необходимо отметить, что приближенное выражение (96), а следовательно, и полученные из него конечные выражения для Л4 и L могут потерять силу при углах 6, близких к 2л, когда sin у близок к нулю. Этот специальный случай, соответствующий почти замкнутому круговому кольцу, будет рассмотрен особо в § 17.
§ 16. Индуктивность незамкнутого криволинейного провода
Приступая к выводу общего выражения для собственной индуктивности криволинейного провода, мы будем следовать методу, данному в одной из работ автора 1131. При выводе римем следующие основные условия:
' пР°вод однороден и имеет постоянное по всей длине поперечное сечение;
2) нити тока суть эквидистантные кривые;
инеппыСЬ пР0В0Да' т- е. нить тока, проходящая через центр ь-п,Л^‘И его попеРечного сечения, изогнута по дуге гладкой кривой, уравнение которой известно;
ичлги Алина провода, радиусы кривизны кривой, по которой изотута его ось, и все хорды этой кривой, за исключением
соответствующих малым дугам, значительно больше линейных размеров поперечного сечения провода.
Для большей наглядности и простоты рассуждений будем пас сматривать случай, когда ось провода изогнута по-- н
вой. Однако, проследив за ходом рассуждений, можно убедиться, что окончательный результат обобщается и на случай кривой, не лежащей в одной плоскости.
Как и при решении задачи об определении индуктивности провода, изогнутого по дуге окружности, найдем прежде всего взаимную индуктивность двух эквидистантных нитей тока рассматриваемого провода. Пусть 4", л и I— криволинейные координаты, отсчитываемые от одного из концов провода вдоль двух рассматриваемых нитей, вдоль третьей нити, равноудаленной от первых двух, и вдоль оси провода (рис. 34), /?', R", р и Л?— радиусы кривизны этих кривых, У — угол между элементами длины dl' и dl", z — расстояние между плоскостями нитей. Тогда кратчайшее расстояние
плоской кри-
Рис. 34.
между нитями равно 7) = V 4х2 + z2, где х — R"— р = р—/?'. Пусть, далее, рт — наименьший из радиусов кривизны кривой X и т = vj: (2?т). Введем малый угол б, удовлетворяющий двойному неравенству: для чего можно, например, по-
ложить: б2 = т.
Наибольшее в пределах поперечного сечения значение т будем считать величиной первого порядка малости. Тогда вели-z х -п , „ / т\г
чины —, —' р ’ г и ) будут не ниже первого порядка малости. В процессе вывода будем всюду пренебрегать по сравнению с единицей величинами этого и более высоких порядков малости. Кроме того, в соответствии с принятым условием малости размеров поперечного сечения провода условимся считать, что за исключением хорд, стягивающих дуги с углом Й, по абсолютной величине меньшим, чем , все хорды замкну-
той кривой, по которой или по части которой изогнута ось провода, больше рш. Таким образом мы исключаем из рассмотрения ряд кри-( вых, как, например, кривую рис. 35,
\ часть хорд которой при > —
' '' меньше наименьшего радиуса кри-
Рис. 35. визны рга. Для контуров, изогнутых по
таким кривым, расстояние между эле-ментами противолежащих частей контура может оказаться недостаточно большим по сравнению с линейными размерами ио-63
прпечного сечения, вследствие чего такого рода контуры уж.-не 6уд\ г удовлетворять предположенному условию линейности.
Рассматривая проекции нитей /' и /" на плоскость кривой X (рис. 36), проведем норма ти к ним А{ А'[ и Л' А", в точках А\ и Л,, соответствующих положению элементов длины dl\ и dl (величины, соответствующие различным точкам кривой X, отмечены здесь и в дальнейшем различными индексами — 1 и 2).
Проведя еще Л2'В||Л5А, АВ1МИ'2< А\С А\В, найдем:
4х2 sin2
+ (^ + V)
0
1________________2-
1 & + г(2 .
4x6 sin у cos
Й2 4-
При |»| < -у хорда 8 не меньше величин порядка 2pm sin , и siny меньше, чем sin — , что видно из рисунка.
При |Й1 > , по условию 8 > рт. Поэтому второй член в квад-
ратных скобках не ниже второго порядка малости, а третий —
Пренебрегая этими членами
не ниже первого порядка малости.
по сравнению с единицей и учитывая, что dl' -- 4— —) d'/,~ , ' 1 \ Pi )
~ dXb d/'a' — довательно.
dX,, будем иметь: Dj,, = о2 4- у2, и, сле-
~~ ~ Г f СО2_8 __ р-о г г cps i>dXidxs 4,1,/
(107)
симметРии последнего выражения
>г интегрирование ио области (0 X, <2 А О можно заменить интегрированием ио'области ’1' 64
относительно Х( Х. <Х) (рис. 37) (О ,Xt ^Х, 0^
<Х.<Х1) с Последующим удвоением результата. Область 5 в свою очередь, разобьем натри области 5,, 5.', S'.., показанные’ на рисунке, причем примем о — фрот-
В областях -5\ и 52, где все хорды 8 меньше а, а величины ъ
i> и — имеют порядок малости не ниже, чем <Ь, имеем: cos ОХ Рт п
U2 - 1 «
=]----I и, кроме того, с принятой степенью точности можем
положить хорду равной дуге, т. е. принять 8~Aj — л2, в этих областях, следовательно, подинтегральная функция выражения для М может быть написана в виде:
f ~____ *______
1 /(Хг-мч-ч2'
В области где хорда 8 не меньше величин порядка с, отношение = 2т имеет порядок малости не ниже, чем р, т2
а отношение р----не ниже, чем V2 = т. ПоэтОхМу в этой области
можно принять и написать подинтегральную функ-
цию в виде:
г- cos У ^= —•
Произведем интегрирование выражения (107) сначала по X,. Интегралы от F1 по Хг в областях <S’i и S2 оудут равны соответственно:
J, = J F.dX, = — |1п (X, — Хг + KCXj —Хг)г + ^)| о‘ =
= In (X, 4- Их2 + т]2) — In 7).
У' = J = In (а + И=2 +7]2) — In У] ~ In 2а — In Л X,—с
Рассматривая интеграл га, О08»
О
как функцию от верхнего предела и параметра Хр можно пред ставить интеграл по X, в области S2 в виде:
F2d^ = V (\, Xj-c).
0 65
° Л. А» ЦеГплии
Тогда для интеграла но X, в области 5", получим:
J2 = I, + J., = V (Хр Xj — а) + In 2а— in G.
Так как результат интегрирования по X. в пределах от нуля до Xj не может зависеть от значения величины в, определяемой выбором величины ф, то сумма
W (Xj) = V (Х>, Xt— а)+ In 2с (109)
должна быть фунцией только от Xj и не должна зависеть от з, в справедливости чего можно убедиться и непосредственно. В самом деле, рассматривая малую дугу з как параметр, от которого зависит функция V (Х1; X,—а) и диференцируя эту функцию по з, имеем:
г Z Z1 - \ rcos 8‘1
Так как при Х2 = Xj — а имеем; cosO~l, о = Х, — Х2 = с, то можем написать:
V(XpXJ-a)=J^l/(X1,X1-a)<fc^-j'^-
= — 1п2а+ UZ (XJ,
где W (XJ от з не зависит, что и требовалось показать.
Таким образом, для J2 имеем
/2 = W (XJ — 1п 7].
При определении IF(X,) по формуле (109) практически удобнее всего выделить из V (Хр —-з) член (—-1п2з), произвести сокращение и положить а 0. Тогда IF (X.) найдем как предел:
IF (Xj)—lim [F (Xj, Xj—a)-|-In2з]. (U0)
a—0
Переходя к интегрированию по X,, для интеграла Ju по всей области 5 можно написать:
Покажем, точности
° * а ).
J JjdXj + J J2d^ = J (Л -v2) JXj + f
0 ’ О о
что интеграл от — J, в пределах принятой степени может быть принят равным нулю. В самом деле,
I JjtfXj = в 1П (о + Кс2 + vj2) _ j/a2 + + ч_о j„ ч -
66
~ 3 (111 2с ------- 1 --- 1и У]) У].
С другой стороны, при хДс можно принять cosl) = 1 Поэтому для области
и b4sXt—Х2.
v е„ У-ЙД —'"О.-М + 1ПХ,
и, следовательно,
l/(Xj, Xj a) —In Xj —Ina, W (XJ = v (X„ Xx— a) 4-In 2a = ln2X1( Л = In 2Xj — ln Tit
Таким образом,
JAA “ a fin 2a— 1 — ln4),
0
и, следовательно, интеграл
J (Л — Л) = т), о
действительно, можно положить равным нулю, если отношение у- достаточно мало. Тогда, принимая во внимание, что M = -^'2J0, найдем:
X
М = J W01) A - -g- In /]. (Ill)
о
С точностью до членов порядка т по сравнению с единицей величины W (XJ, X и dXt можно заменить соответственно на WOi), I и dlx, где — координата, отсчитываемая вдоль оси провода. Иными словами, с принятой степенью точности, интегрирование по кривой X можно заменить интегрированием по оси провода. Тогда в выражении для Л! единственной величиной, зависящей от положения двух рассматриваемых нитей тока, будет т„ и, подставляя (111) в (20), сразу найдем:
L = N—G, где
‘ (112)
л-=4£-1 Wc)^.
6
а величина G определяется той же формулой и вычисляется 1ак же как и для прямолинейного провода (§ 11).
Определение величины Л/ требует интегрирования лишь по оси провода, а определение О —интегрирования лишь но площади его поперечного сечения.
5* ‘
Таким образом, определение индуктивности криволинейно!и провода распадается на две самостоятельных задачи, из которых первая—нахождение Л'—имеет решение, определяемое независг то от формы сечения провода только уравнением его оси, а вторая—нахождение (/— решается одинаково для всех проводов с одной и той же формой сечения. В полученной нами общей формуле индуктивность еще не выражена явно через геометрические размеры провода, что было бы и невозможно, поскольку речь идет о выражении, применимом к проводам любой формы. Поэтому формулу (112) следует рассматривать лишь как основание общего метода расчета.
Эта формула дает индуктивность провода с точностью до величин порядка т = , где под рт и т] следует подразуме-
вать их средние по сечению значения, за которые можно принять соответственно наименьший радиус кривизны Rm оси провода и среднее геометрическое расстояние g площади сечения от самой себя.
Для проводов кругового сечения £<г, и, следовательно, для таких проводов относительная погрешность формулы (112) имеет порядок г/(2/?т).
Если при интегрировании сохранить члены порядка т и пренебрегать по сравнению с единицей лишь членами более высокого порядка малости, то выражение для индуктивности криволинейного провода приобретает вид [13]:
L=-N— G + zl — Q, (113)
где N и С имеют те же значения, что и в формуле (112), А— то же значение (65), что и в формуле (62), а величина
(114)
5 S
отличается от соответствующей величины (66) для прямолинейного провода лишь коэффициентом, причем L) в формуле (114) означает длину хорды, соединяющей начало и конец оси провода.*) Поэтому все сказанное выше относительно определения величин G, /1 и Q для прямолинейного провода можно считать относящимся и к рассматриваемому случаю.
В качестве простого примера, иллюстрирующего формулы (112) и (113), найдем величину N для провода, изогнутого по дуге окружности. Пользуясь обозначениями § 15, имеем:
8 = 2/? sin dl^ Rd»v dl. Rd».,
) Предполагавiся, что Г) не очень мало. Случай, когда I) равно нулю или весьма мало, соответствует замкнутому млн почт замкнутому проводу 68
ii, следовательно, О о Sin — ‘
+ 2 cos 4 — Intg-^----2 cos 4-.
1ля определения величины V(Rl,~0) следует вместо & подставить ф = a/R. Тогда приняв tg ~ , со& А : г> найдеы.
V<A> К - =) = In tg-’ 4- 2 cos А - In А- 2.
а потому
UZ(/i)-= 17(7^—3) + 1п2’!>/?= Intg 4 + 2 cos—+ In 8? —2,
и, следовательно, i
А- = f W (A) dl, - [б fin 8/?—2) +4^ + 4 Sin44 о
Это выражение совпадает с найденным ранее (§ 15).
§ 17. Индуктивности замкнутого и почти замкнутого проводов
Приведенные в предыдущем параграфе выражения для индуктивности незамкнутого криволинейного провода не могут быть без специального исследования применены к замкнутым или почти замкнутым проводам.
В самом деле, при выводе этих выражений предполагалось, что в области S" все хорды S кривой л не меньше величин порядка з, в соответствии с чем для этой области было принято l^?>2 + 7J2 ~ ?>. Между тем, в случае почти замкнутых проводов, т. е. проводов, для которых расстояние между концом и начатом меньше величин порядка з, часть хорд в области $- будет меньше а, и, следовательно, сделанный ранее вывод теряет силу-Это относится, в частности, и к замкнутым проводам, для которых упомянутое расстояние равно нулю. Таким образом, случай замкнутых или почти .замкнутых проводов должен быть исследован особо, чему и посвящается настоящий параграф. Вместе с тем, рассмотрение случая почти замкнутых проводов позволит выяснить одно обстоятельство, до сих пор остававшееся неисследованным. Дело в том, что при изучении магнитного поля контуров с токами и, в частности, при определении их индуктивностей контуры обычно считают замкнутыми, между тем как ооль-шею частью эти контуры присоединены к внешней цепи и поэтому- должны рассматриваться как непо пюстью замкну тые. пли.
Н™н теоминологчп, как почти замкнутые провода. Воппос'о т м/насколько отличаются друг от друга индуктивное™ замкнутого и почти замкнутого проводов, представляет с чтой точки зрения несомненный интерес.
Ппи выводе интересующего нас выражения мы сохраним все стланные раньше предположения о форме и размерах провода и будем пользоваться обозначениями предыдущего параграфа, как и оудем паныче, будем ппенебпегать по
и раньше, будем пренебрегать по сравнению с единицей величинами первого и более высоких порядков малости.
При определении взаимной индуктивности двух произвольно выбранных нитей тока, принадлежащих почти замкнутому проводу, длину нити, равноудаленной от двух данных, обозначим, в отличие от предыдущего, через X—-т, где т ° — длина дуги, дополняющей эту нить до замкнутой кривой, длина которой, следовательно, будет равна X. Тогда вместо (107) будем иметь:
cos Sd'kidkz У&2 4- iq2
Симметрия этого выражения относительно и Х2 позволяет, как и раньше, ограничиться интегрированием по области
SfO^X^X —т,
o<a2<xj,
оставленной на рис. 38 незаштрихованной, с последующим удвоением результата. Область S, в отличие от предыдущего, разобьем на 6 областей, показанных на рис;. 38. Так как в области S2 все хорды & попрежнему больше величин порядка з, то для двойного интеграла по области + <S’3 на основании ранее найденного результата можем сразу написать:
X—а
Л1 + А» = J мт(Xj) rfXj — (х—с) in ч.
о
Интеграл J3 по Х2 в области 5{ равен интегралу J’., в области S“;:
Л ~ Л ~ In 2о — in V).
70
а интеграл // в области 5" можно представить в виде:
•4 = \ °) — V’fXj, Xj + а — X),
где, как и раньше,
V(X],X2)=’j^k. о
В области ,S3 , где все хорды не больше величин порядка □ можно, как и в области принять cos 0^1. Кроме того нетрудно усмотреть, что в этой области можно положить:
8 =» X, — Xj Xj.
Поэтому для интеграла J3" найдем:
__f ^2 _ С у//-; __
3 J ~
= 1п (с+ l/a24--^) — ln(X — X1 + i/(X — Xi)2 + iQ2)^ln23 —
- In (X - X, + l/(X-X1)2 + -/i2).
Суммируя интегралы J'3, J" it 7"' и полагая VfXj.X,— a) + + In 2a = W(Xj), найдем:
Js = J3 + J3 + J3 = W (XJ — In t; — V (Xj, Xj — X + o) +
+ In 2o — In (X — Xj + V(A —XjP + v,2) .
Так как в области S'" имеем cosi)~l и S~X—+ Xs, то
vfXj.x, — х + з) = [ Tjfen.h1 ln°"_,11(X—Xi)’ ‘о
и, следовательно, Js можно представить в виде:
,/s -- U7 (X,) - In т, + In 2 — In |Х — X, +
+ |/(Х —Xj2“+ т(2~] + In (X —X,).
Интегрируя это выражение по X,, получим:
Л» f +
X- -з
— У т’2 + 7j2 + т 1п 0 + JA2 + -/j2) — ' In 2r.
Таким образом, для всей области 5 имеем:
у0 = Jn + + Лзf w (xi) — (х — т) 1’1 /1 + (115)
О
где
е = т — ]/t2 + vJ2 +г1п(-+ |/т2 + 112) —Т1п2'.
Путем разложения в степенные ряды функций, входящих в выражение для г, нетрудно показать, что как при тйк и при величина г имеет порядок малости не ниже,
чем и что, следовательно, ею можно пренебречь по сравнению с суммой двух других членов в формуле (115). Полагая г = 0 и учитывая, что М — 2/0, мы придем к выражению,
отличающемуся от (111) лишь обозначениями (длина нити, обозначавшаяся ранее буквой У, теперь обозначена через X— ^.Отсюда следует, что в пределах принятой степени точности выражения (112), приведенные в предыдущем параграфе, применимы для определения индуктивности не только незамкнутых, но и замкнутых, а также и почти замкнутых проводов.
Из сказанного непосредственно вытекает также, что индуктивности замкнутого и почти замкнутого проводов отличаются друг от друга на величину
Л = \W(l^dR-~Gh l—t
(116)
гДе I—полная длина замкнутой кривой, по которой изогнута ось провода, I—t — длина оси почти замкнутого провода, Gt-— значение величины G, соответствующее длине дуги t.
Рассмотрим в качестве примера почти замкнутое круговое кольцо, т. е. провод, изогнутый по дуге окружности с углом 6, близким к 2к. Так как по условию, угол-у ~ 2^— 6 - t/R меньше °IR = '}> и, следовательно, у2 не ниже первого порядка малости, черезЛИЧИН^ входящую в формулу (112), можно выразить
Действительно, принимая во внимание, что значение /, соот-етствующее углу 0 =. 2к, равно нулю, для величины /, отвечающей произвольному углу 0 = 2к —т, имеем;
’ * - г
4 "4
In tg xdx = J In tgydy .
0
(. - 2
= j in tg Xdx = I in tg xdx -I- f
° o' J
72
Гик как в последнем интеграле Тг> „
г д 4 . ю Щ-У—.У и, следовательно,
4/ = у(1п-1-1).
Кроме того,
sin -у- - sin^r-sin-Lar-^-.
Поэтому для /V получаем:
/V-^r0(ln8/?-2)+/m-|. h 1)|
Полагая у -=- 0, найдем значение N = No для замкнутого кругового кольца:
Ч = Рт/? (1 п 8/? — 2). (1 и)
Таким образом, индуктивности замкнутого и почти замкнутого колец отличаются па величину
д_Л'0~Л' = ^-7/? ln^-3)- iG0, (118) где (i0 — значение <7, соответствующее 2~, т. е. замкнутому кольцу.
Для индуктивности замкнутого кругового кольца, подставляя найденное значение Л'-=Л;, в общую формулу (112) и опуская индекс 0 у Ои, получим:
A=p.0/e(Iri8/? —2) —G. (Н9)
При равномерном распределении тока по сечению провода (7 u,/? Ing, где g—среднее геометрическое расстояние пло-
щади поперечного сечения от самой себя, и мы имеем:
£ = P0/?(ln 8*-2). (120)
Если кольцо имеет круговое поперечное сечение, то G при любой частоте может быть определено по формуле (7а), и, следовательно,
/, = И(/?(1п-^—2 + -|- . (121)
В частности, при ;* — ;>-0 и равномерном распределении тока п0 сечению провода = 1, и мы получаем формулу Кирхгофа.
£=,lo,V(In^-l,75\ О22)
I lanpoTMB, при токе весьма высокой частоты • Он
^-2). (,23)
73
(122) и (123) дают значение Л с точностью до чле-Если даже для отношения (
Сравнение двух последних выражении с более точными вира-«рш’чмп найденными тля этих частных случаев Вином |15]. Ряпеем |’16| п В. А. Фоком |17|. дает представление о степени точности полученных здесь формул. Это сравнение показывает, что формулы ( нов порядка (-р) внительно большое значение
("Тё") принять сра-
— то погрешность фор-Г 1
MJ лы (122) равна 0,05°--,,. Для весьма массивного кольца с > относительная погрешность составляет только 0,23° „. Такая степень точности вполне достаточна для большинства практических
расчетов.
Следует отметить, что при высокой частоте распределение тока по поверхности кольца резко неравномерно и, например, при Д = од плотность тока на внутренней поверхности кольца, как показано в работе В. А. Фока, более чем вдвое превышает плотность тока на его наружной поверхности. То обстоятельство, что, несмотря на это, формула (123) дает результат со столь значительной степенью точности, показывает, что принятое нами предположение о симметрии распределения тока по сечению криволинейного провода можно считать допустимым при определении индуктивностей не только прямолинейных, но и криволинейных проводов.
§ 18. Расчет собственных индуктивностей методом численного интегрирования В
В двух предыдущих параграфах были даны общие формулы для индуктивностей криволинейных проводов. Однако, непосредственное определение индуктивностей по этим формулам еще невозможно, так как входящая в них величина N не выражена в конечном виде через геометрические величины, определяющие форму и размеры оси провода. Для определения величины N необходимо произвести двукратное интегрирование. В подавляющем большинстве случаев выполнить это интегрирование в конечном виде оказывается невозможным. В этих случаях, как и при определении взаимных индуктивностей, с успехом можно использовать метод численного интегрирования.
Покажем применение этого метода на примере провода, изогнутого по дуге параболы второго порядка, предполагая, что один из концов провода находится в вершине параболы.
будем считать, что уравнение параболы, по которой изогнута ось провода, задано в канонической форме, т. е. в виде: J’3 -Рх-пели рф-\, то, введя новые переменные у, ру, -Ч рх. получим уравнение: _yJ2 = 2xl, в котором параметр р равен единице. 1аким образом, не сужая поставленной .задачи, всегда можно 74
считать, что = 1, в соответствии с всходить из уравнения:
У2 = 2х.
чем в дальнейшем будем
Дифференцируя это уравнение, найдем: ydy-.-.dx и счеллвя тельно, для элемента dl дуги параболы и для функций ‘ угла а между этим элементом и осью х имеем: J
dl=y dx2 ]-dy2 = /1 +p~dy,
, dy 1 v ,
“s““7TFp. sin«--_,
откуда для косинуса угла О между двумя элементами длины dl, и </1. получим: 1
cos ft = cos (а, — а2) = — —_
Так как расстояние между элементами длины rflj и di, при У1~~ У г > 0 равно
D = V (Хг — Х2)2 + (j.'j —j2)2 = /(Ti + у,)г +4,
то функция V(lb /2.) введенная в § 16, принимает вид:
^(4,4) = /^^-/-^
V (7, /2) = f cos ____Г__________2(1 + уо'г) dy,
о о + У1 (Ti —J's) V (У1 + J's)3 + 4
Произведя интегрирование, получим:
.... ,. 2 + ->?-!-ЛЛ + Tl + у;, (v, l .r,)’ + 4
V(z„4)=in---------——-----------------------------
- in hi ( + JI; +
JT
+ Я
+ + b)z + 4) + -7=7 111 (л + 4)-
I 1 1-Л
Обозначив разность ординат, соответствующих концам малой дуги о, через у, из последнего выражения, полагая в нем у2 — =У1—у, найдем: ____ __________
2 + 2^-у1Т + 1 l + vif С0'1-1)’+<’_
V(4,4—с) = 1п------------------—
_ln ___^-1п(2Л-7 +
j'i Vi+y'i
+ /(2у, — т)г^Г4) + In (j\ + l/JT+~4).
к 1 + J'i
75
Принимая, что дуга = равна стягивающей ее хорде, имеем: a = ^_Г/(2у7-у)2 + 4.
Подставляя найденные значения —=) и с в выражение:
lF(/i)=lim [V(/i,/i — *) + ln2a].
з->0
найдем: _____.
«/(/,)-1п [8 j',(1 +j?)l/1 4->il —ln(2 + j’i +
2 У» + Vх 1 + J'i yi -I- V4 + я
• (124)
Величина Л', равная
I Уо
n=- j wcijvi + УуУ1, о о
не выражается в конечном виде через ординату у0 конца провода. Поэтому для определения Л/ воспользуемся методом численного интегрирования. Ввиду того, что под знак одного из логарифмов в формуле (124) входит величина У1, обращающая подинтегральную функцию в бесконечность при У1 = 0, представим эту функцию в виде суммы двух слагаемых А и ft. где
/1 = 1/ 1 + J'J [4/(^1)'—In J'i I. A ~ I71 + J'i In J'i-
Первое слагаемое конечно при всех конечных значениях уу и никаких особенностей не представляет. Поэтому, определив значения Д для ряда равноотстоящих друг от друга значений У1, мы можем найти интеграл
/) — f/i4Vi, б
применяя один из методов численного интегрирования. Значения f j для различных значений у^ приведены в табл. 3, а в табл. 4 даны значения Fь найденные при помощи последовательного применения первой формулы Симпсона.
Обращаясь к вычислению интеграла
>0 у„
/=! = J = f VI + у2 In У1<Л'1, о о
заметим, что V 1 + У, при малых значениях г. можно разложить в ряд по степеням У1;
76
Таблица 3
Значения fi и /,
Vi Л Л | Ji Л
0,0 0,692 — 1,1 1,125 +0,143
0.1 0,695 —- 1 1,2 1,210 0,284
0,2 0,700 1,3 1,290 0,429
0,3 0,720 -— 1,4 1,410 0,578
0,4 0,734 —0,985 1,5 1,520 0,729
0,5 0,765 —0,775 1,6 1,630 0,884
0,6 0,806 —0,595 1,7 1,780 1,050
0,7 0,854 —0,435 1.8 1,900 1,212
0,8 0,907 —0,286 1,9 2,040 1.375
0,9 0,970 —0,143 2,0 2,180 1,550
1,0 1,050 0,000
Таблица 4
Значения Р), Р5 и Pj+P,
То А. f,
0,0 0,000 0,000 0,000
0,2 0,139 —0,524 —0,385
0,4 0,283 —0,781 —0,498
0,6 0,436 —0,937 —0,501
0,8 0,607 —1,024 —0,417
1,0 0,802 —1,053 —0,251
1,2 1,027 —1,024 + 0,003
1,4 1,286 —0,938 0,348
1,6 1,589 —0,792 0,797
1,8 1,944 —0.582 1,362
2,0 2,352 —0,306 2,046
после чего этот интеграл вычисляется непосредственно. Огра ничиваясь двумя первыми членами разложения, полу дам.
I \ +т)lп-v,,
о ( L — (j'o + 18/•
(125)
77
С погрешностью. не превышающей Г’/ этой формулой можно пользовался для значений Уо до 0,5. При больших значениях интеграл А7* можно написать в виде.
= ^(0.5) + ]/Л
0,5
(126)
причем последний интеграл никаких особенностей не имеет. Значения функции /2, начиная от у( = 0,4, даны в табл. 3, а в табл. 4 приведены значения Л3, найденные по формуле (125) приуо<0,4 и по формуле (126) при у0>0,4, причем в последнем случае, как и раньше, применялась формула Симпсона.
Суммируя соответствующие значения интегралов Ди Л, найдем интересующие нас значения величины N = (Д + Д), на чем, собственно говоря, расчет и заканчивается, так как величины О, А и Q, входящие в общую формулу (113), от формы оси провода не зависят и могут быть вычислены так, как было указано выше (§ 11 и § 16).
В рассмотренном примере первое интегрирование, т. е. определение функции V(Ju /2), можно было выполнить в конечном виде. Задача существенно усложняется, если первое интегрирование в конечном виде невозможно. Чтобы показать, как следует определять значения функций V (1Л, 12) и ^(С) в подобных случаях, проделаем необходимые для этого вычисления па том же самом примере.
Пусть расчет необходимо произвести с точностью до величин порядка 0,01. Тогда величина ф (см. § 16) должна быть порядка |/0,01 =0,1. Радиус кривизны параболы равен
+У)’/а
и имеет наименьшее значение Rm = 1 в ее вершине, т. е. при -У = 0. Поэтому малая дуга ° = ''^Rm должна иметь порядок 0,1.
Учитывая сказанное, вычислим для примера значение U'(A) при Ji = 1,0. Для этого сначала найдем значения функции
у - __ 2(1 +>!>„)
1+3'1 (У1 —Уг)К (.У1 + J'j)2+4
стоящей под знаком интеграла в выражении для Р(Д 4)> ИРИ ,и приз'г, изменяющемся от нуля до j',—y==(),9 через ’ т м. табл. 5). Применяя формулу Симпсона, для функции
V 1г) = f fdy,
О
78
Значения j
Таблица <5
Л » “ ' / Уг j
0,00 0.05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 0,45 0,632 0,692 0,755 0.830 0,908 1,000 1,102 1,215 1,352 1,510 0,45 0,50 0,55 0,60 0,65 0,70 0,75 0,80 0,85 0,90 1,510 1,695 1,925 2,21 2,57 3,05 3,73 4,73 6,40 9,73
при У г = У t — Y = 0,9 найдем значение 2,018. Так как при yt = 1,0 и т-0,1 дуга ° = ^-К(2>!— у)а 4-4 = 0,138 и 1п2= = —1,277, то Г (/J = V (Zj, Zj — а) + 1П 2з = 0,741.
Умножив U/(ZJ на У 1+yJ = И2, получим число 1,048, которое в пределах точности расчета на логарифмической линейке совпадает с суммой /j + /2 соответствующих чисел, содержащихся в табл. 3. Аналогичным образом можно было бы найти значения W (ZJ и для других значений у„ после чего второе интегрирование может быть выполнено гак, как показано выше.
В заключение заметим, что изложенный здесь метод численного интегрирования является единственным общим методом, которым мы располагаем для расчета собственных индуктивностей криволинейных проводов сложной формы.
§ 19. О максвелловом методе средних геометрических расстояний
Изучая вопрос о расчете индуктивностей круглых катушек прямоугольного сечения, Максвелл впервые применил принцип, который можно сформулировать следующим образом: индуктивность плоского контура из провода постоянного сечения при равномерном распределении тока равна взаимной индуктивности между двумя одинаковыми эквидистантными нитями, имеющими такую же форму и размеры, как ось рассматриваемого контура, и отстоящими одна от другой на расстояние, равное среднему геометрическому расстоянию площади сечения провода от самой себя [3, § 693].
Как будет показано ниже, сформулированный таким образом принцип Максвелла приводит к точному результату для системы.
состоящей из двух бесконечно длинных прямолинейных параллельных проводов произвольного, по постоянного сечения (см. § 20). Применение принципа Максвелла к контурам инои формы приводит к ошибке, величина которой, как было показано в одной из наших работ [18], может быть оценена с помощью формул, приведенных в предыдущих параграфах.
Пусть провод, ось которого изогнута по гладкой плоской кривой, имеет постоянное поперечное сечение, симметричное относительно прямой, перпендикулярной к плоскости оси провода. Если форма и размеры оси провода и его поперечного сечения удовлетворяют условиям, сформулированным в § 16, то его индуктивность согласно формуле (113) равна
L--=N— G + A — Q,
причем составляющая /V определяется лишь формой и размерами оси провода, а составляющие G, А и Q при равномерном распределении тока равны соответственно
О = Л=%а. Q=^.
где /—длина провода, D—хорда, соединяющая начало и конец оси провода, g, а и q — среднее геометрическое, арифметическое и квадратичное расстояния площади поперечного сечения провода от самой себя.
Следовательно, в рассматриваемом случае
027)
Рассмотрим теперь две одинаковых эквидистантных нити, имеющих такую же форму и размеры, как ось провода, и отстоящих друг от друга на расстояние, равное g. Взаимная индуктивность этих нитей, как показано в уже упоминавшейся работе автора [13], может быть найдена по формуле:
М = Л —(ы g - f + 4-g-) , (128)
rne^eM Отн2сительная погрешность этого выражения, как и по-( g y0CTb Ф°РМУЛЫ (127), не превосходит малых величин порядка '2^т/ ’ где наименьший радиус кривизны кривой, по которой изогнута ось провода. Сравнивая (127) и (128), находим:
где L = М +
выражающее а именно । порядка г по сравнению
и размеров даже при относи-значительно меньше М. Так
ГЛХДГкТ'/-, плггг,,-—_ *
---------------------. радиус кото-провода, отношение ~ составляет длины провода это отношение убы-
/~- Д1Я провода, ось которого изокривой, величины А и Q и, соответ-
Из сказанного следует, что равенство / = м г.._ прннцнч Максвелла, справедливо лишь приближенно' ’ в той мере, в какой можно пренебречь величинами "° равнению с единицей и величиной г -с -W. Соотношение между е и М зависит от формы провода и его поперечного сечения. Однако тельно небольшой длине провода, <- „
для прямолинейного провода кругового сечения” рого в 5 раз меньше длины всего 0,7'%. С возрастанием вает несколько быстрее, чем гнута по замкнутой гладкой ж ________ _
ственно, е равны нулю (см.,* например, [Tl ]j.' Таким ’ образом произведенное исследование показывает, что степень точности’ получаемая при применении принципа Максвелла к линейным’ проводам и катушкам, достаточна для большинства практических расчетов.
Этот принцип позволяет легко определить индуктивность провода или катушки, если известна взаимная индуктивность соответствующих эквидистантных нитей, и наоборот.
Глава третья
ИНДУКТИВНОСТИ СИСТЕМ ПРЯМОЛИНЕЙНЫХ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ПРОВОДОВ
§ 20. Общие положения
Изложенный в § 3 метод участков совместно с формулами и методами, данными в предыдущей главе, позволяет определить собственные и взаимные индуктивности линейных проводов и контуров любой формы. Однако, для ряда простейших контуров и систем проводов, наиболее часто встречающихся в практических задачах, желательно иметь готовые формулы, в которых индуктивности были бы выражены в конечном виде через геометрические размеры соответствующих проводов или контуров. Этому' вопросу-1 посвящаются настоящая и следу ющие - • дадим формулы для сооствениых
прямолинейных параллель-для индуктивностей кабелей, воз-гольпых контура А и В оди-- -"к показано на рнс. ЗУ. могут иметь различ-„остоянпые по длине какого п1^^д‘;^^Хные 81
главы. В данной главе мы .
и взаимных индуктивностей систем прямолинейных ных проводов и, в частности, д душных линий и шин.
Рассмотрим два длинных прямоуг паковой длины /, расположенных так, как Провода, из которых составлены контуры, ные, но сечения. Применяя метод участков
Л. Ui-.iT.uin
««активности перпендикулярных дру. к другу участков равны nvw для взаимной индуктивности рассматриваемых контуров
МАВ = 2W1S + Ми + М'^ + Мы + Мы + + Л1(17 + М,'л'
Взаимные индуктивности M1Z, Л114, /И„, Л124 согласно фор-
муле (55) § Ю можно представить в виде: Mki = ± (Nki — GM + Aki Qki),
Рис. 39.
Рис. 40.
причем знак „плюс" (+) перед скобкой соответствует проводам с одинаково направленными токами, а знак „минус" (—) соответствует проводам с противоположно направленными токами, и Л^ = |Р-(1п2/-1).
Учитывая показанные на рис. 40 направления токов, получим:
А4 АВ = (<Лз “Ь Сц G14 - G28) (Л14 -f- A,s Z1S ^484) +
+ (Qis + Q24-Qu---Qss) + ^57 + ^58 + ^67 + Ml 8 ==
= (Gls+G24-G14-G28)+e.
Если длина l проводов 1, 2, 3, 4 значительно больше расстояний между ними, то можно ввести понятие о взаимной индуктивности на единицу длину проводов. Обозначая ее через Мг. имеем:
Ч = = (Я18 + Н24 - Я14 - /728) + 4- ’
где величины Нк. = &! от длины I уже не зависят. При беспредельном возрастании длины I последний член в формуле (129) стремится к нулю, и мы получаем:
мг=н18 + /у!4 _ Н14 - н,„ (W
Пусть контуры А и В одинаковы. Сбли шв их до полного лияния так, чтобы провод 3 совпал с проводом 2, а провод 4
с проводом 1, мы можем утверждать, что собственная индуктивность каждого из контуров равна их взаимной индуктивности. При >том для собственной индуктивности I на единицу длины получим выражение: г *
/г = //,, + Н.л — Ну—Н. 2ЯП — Ну - Н,, (131)
в котором величины Ну = и Н. = В отличие от = Н. должны быть определены не но формуле (57), а по аналогичной ей формуле (64) §11.
Полученные здесь общие выражения (130) и (131) являются основными при расчете собственных и взаимных индуктивностей систем прямолинейных параллельных проводов. Хотя, строго говоря, эти выражения вполне точны лишь при бесконечной длине проводов, они широко используются при расчете длинных линий, кабелей, шин и других систем, длина которых значительно превосходит расстояния между проводами. Следует заметить, что оба выражения не содержат длины I и определяются лишь формой, размерами и взаимным расположением поперечных сечений проводов, а также характером распределения тока по сечениям.
Задача вычисления Мг и £, по формулам (130) и (131) проще всего решается в случае линейных проводов.
Если взаимные расстояния т; между элементами поперечных сечений проводов 1, 2, 3 и 4 значительно превосходят линейные размеры поперечных сечений, то в выражении (57) величину in >] можно вынести за знак двойного интегрирования и мы имеем:
= (132)
где dki — расстояние междуг центрами сечений проводов k и /. В этом случае при любой частоте
7141П 4^1, (133)
' 2п d14d23
причем формула справедлива и для проводов из ферромагнитных материалов, так как при малых сечениях проводов и значительном расстоянии между ними магнитная проницаемость проводов не оказывает существенного влияния на величину потоков взаимной индукции.
Величина Ну., входящая в формулу (131) для в случае линейных проводов также может быть вычислена по форму ле (132). Что касается величин Ну и Н,, то, так как в данном слу чае можно не учитывать эффекта близости, в отношении эти. величин справедливо нее, что сказано о вычислении величин!» при рассмотрении уединенного прямолинейного провода (э /•
Значите н.ио сложнее определение собственных и взаимных «и Активностей нелинейных проводов, так как в этом случае л тя определения Мг и /., необходимо выполнить шшм рисование по площадям поперечных сечений.
* Пои постоянном токе и переменном токе низком когда ток можно считать равномерно распределенным щади каждого из сечений, имеем: jk - -g-, jt = -^- n, тельио.
частоты, но пло-
с ле до на-
2я
(134)
оде gki__среднее геометрическое расстояние площадей sk и s.
друг от друга, a gk— среднее геометрическое расстояние площади s* от самой себя. Таким образом, общие выражения (130) и (131) переходят в следующие:
(135) ' 2л g14tf23
О
(136) ' 2п gig2 v
Пользгясь выражениями и методами расчета средних геометрических расстояний, данными во 2-й части книги и указанными в § 7, можно найти Мг и Lr для любых систем, представляющих практический интерес (см. также § 26).
Если ток нельзя считать распределенным равномерно по сечениям проводов, то определение величин <Jk и Gki, как уже отмечалось раньше, связано со значительными трудностями, преодоление которых возможно лишь в некоторых простейших случаях.
Здесь мы остановимся лишь па предельном случае токов весьма высокой частоты. В § 1 уже было отмечено, что величина индуктивности при переменном токе, вообще говоря, зависит от удельной проводимости вещества провода, так как при изменении проводимости изменяется распределение переменного тока по сечению, а следовательно, и магнитное поле как внутри, так и вне провода. Однако при весьма высокой частоте ток в каждом проводе сосредоточен в столь тонком поверхностном слое, что магнитным потоком внутри проводов можно пренебречь по сравнению с потоками между' проводами. Изменение удельной проводимости проводов, приводящее лишь некоторому изменению толщины этого слоя, практически не изменяет магнитного поля вне проводов и, следовательно, не влияет на величину индуктивности. Из сказанного еле чует, что >ри определении индуктивностей для чоков весьма высокой ча-то1ы провода можно рассматривать как идеальные, г. е. не ооладающие сопротивлением. Хотя в идеальном проводнике 84
электрическое поле отсутствует а в
некотор, ш сон рогивлепием, напряженность элект^ХоХТ’ па ею поверхности и вблизи от нее имеет com^n ’ ля
осн провода, но это обстоятельство при определении ХдуктТ „остей су .цественпон роли не играет, так как упомянутая ваяющая обычно ничтожно мала по сравнению с нормазыюй ского Г я7 4 МТ"* С°СТаВЛЯЮ1цей напряженности элект™
Сделанные предположения, как нетрудно видеть, равносильны пренебрежению магнитными потоками внутри проводов ’пги желании учесть эти потоки, соответствующую поправку можно внести так, как это указано в § 11. ’
Из теории электромагнитного поля известно, что электромагнитные волны вдоль идеальных проводов в идеальном диэлектрике распространяются со скоростью света, т. е. со скоростью у=р==, где р и г — магнитная и диэлектрическая проницаемости среды, окружающей провода. С другой стороны, в теории длинных тиний доказывается [5, § 189], что скорость движения волн вдоль идеальной однородной линии равна т, = ,
где Lr и Сг — соответственно индуктивность и емкость линии на единицу длины. Сопоставляя оба выражения для скорости, мы приходим к важному соотношению:
(137)
связывающему индуктивность идеальной линии с емкостью между ее проводами. Эта зависимость позволяет свести определение индуктивности линии при весьма высокой частоте к определению емкости между ее проводами, т. е. к известной и хорошо изученной задаче электростатики. Примеры использования зависимости (137) будут приведены ниже (§ 21 и § 22). Здесь мы отметим лишь, что точное определение емкости между проводами возможно только в сравнительно небольшом числе простейших случаев. Трудности расчета связаны в основном с неравномерностью распределения заряда по поверхностям проводников и с невозможностью определить закон этого распределения. Поэтому в случаях, когда точное решение невозможно, в электростатике обычно пользуются приближенным методом средних потенциалов. Сущность этого метода, как известно, заключается в том, что при расчете заряды проводов предполагают распределенными по их поверхностям равномерно. Так как при этом потенциалы различных точек одного п тою же проводника оказываются различными, то, определив среднее значение потенциала каждого провода, за "н‘‘’"го
емкости между проводами принимают отношение заряда одно из проводов к разности их средних потенциалов. Ср.вни_
ТА-НН-1Я простота п достаточная точность обеспечили методу средних потенциалов весьма широкое применение, в частности, ппи расчете емкости радиоантенн.
h Если рассчитать емкость Сг между проводами по методу средних потенциалов и найти индуктивность L, из соотношения (137). то определенное таким путем значение Lr, как показано в одной из наших работ [19), будет соответствовать предположению, что ток в каждом проводе равномерно распределен по его периметру. Ниже на примере двухпроводной линии с проводами кругового сечения (§ 22) мы убедимся, что подобное предположение оказывается допустимым даже при существенно неравномерном распределении тока по периметрам поперечных сечений проводов.
При указанном предположении, как было показано в § 10 и § 11, величины Gk и Gkl могут быть определены по формулам
Gk = In gk, Gkl = -g- In gki, (138)
где gk — среднее геометрическое расстояние периметра поперечного сечения провода k от самого себя, a gfti —среднее геометрическое расстояние периметров поперечных сечений проводов k и I друг от дру га.
Следовательно, мы вновь приходим к выражению (136) дтя собственной индуктивности, но под gk и gki теперь следует понимать средние геометрические расстояния периметров, а не площадей поперечных сечений соответствующих проводов.
Определение взаимной индуктивности двух параллельных систем проводов при весьма высокой частоте также может быть сведено к соответствующей электростатической задаче. Однако строгое решение этой задачи для близко расположенных друг к другу проводов связано со столь значительными трудностями, что обычно приходится довольствоваться приближенным решением, основанным на применении метода средних потенциалов. Как и в случае расчета собственных индуктивностей, это равносильно допущению, что ток высокой частоты распределен вдоль периметра поперечного сечения равномерно. При этом, как и раньше, мы получим для величин Hki, входящих в формулу (130), выражения:
Hkt=^gki, (139)
а для 7ИГ прежнее выражение (135), но gu означает тепер1 среднее геометрическое расстояние не площадей, а периметров поперечных сечений Л-го и Z-ro проводов.
тий аканчивая на этом общее рассмотрение вопроса об hh ivk ностях систем прямолинейных параллельных проводов, мы следУЮ1Пих параграфах рассмотрим важнейшие частные слх -
"ЭИ.
§21. Индуктивность коаксиального кабеля
Определим индуктивность коаксиального кабеля состоящей из двух длинных коаксиальных ного с радиусом р и полого с радиусами q будем предполагать, что магнитная проницаемость вещества проводов равна рс.
При равномерном распределении тока по сечениям проводов, применяя формулу (136) и учитывая, что
Ingj = 1пр —
In g2 = In Г —
____L in -L. + (,2__92)21п q 1-
, , г2 In г—с2 In о
1П£И —----------~
1 З?2— г2
92
Л2—?2 ’
1
2 ’
т- е. системы, цилиндров — СП Л ОШ -I г (рис. 41), причем
Рис. 41.
и
4
получим:
<140>
В этой формуле член In учитывает магнитный поток между
проводами. Поэтому в случае, когда магнитная проницаемость р проводов не равна р0, мы получим выражение для Lr, увеличив два других члена в формуле (140) в отношении после чего
будем иметь:
^r{ln р + Ро Г (г2-?2)2111 9 2 г2—fj)*
(141)
Если толщина г — q полого цилиндра настолько мала, что можно пренебречь магнитным потоком внутри этого провода, то, устремляя q к г и раскрывая получающуюся при этом неопределенность, найдем:
4+<-) <142)
В случае токов весьма высокой частоты, применяя формулу (136) и учитывая, что ток равномерно распределен по окру ж ностям радиусов р и q, имеем:
In gi = In р, In g2 = In q, In gl2 = In q,
и, следовательно,
Л,
-,Mn
<1
P ’
(143)
87
причем эта формула справедлива при любом значении ши шпион проницаемости нроводон.
Ести ток распределен но сечениям неравномерно, по его нел1зя считать сосредоточенным в тонких поверхностных слоях, то' точное определение индуктивности хотя и возможно, но соответствующие выражения становятся весьма сложными.
кабеля с малой толщиной стенки обратного провода (полого шм J). -^ли тако,’° кабеля изменение индуктивности при 'ходе от одной частоты к другой обусловлено лишь измене-магнитного потока внутри сплошного цилиндра и может учтено введением в формулу (142) коэффициента С, после
соответствующие выражения становятся весьма сложными. Соавнительно простое решение получается в этом случае лишь
.. .. ...... г,г. т.-i-Ининой стенки обпятипгп noonmn Гпг.чг.г»»
ДЛЯ 1.---
цилиндра) пере: ние.м быть
чего получим:
2к V р Т 4 )’
(144)
причем Z—— а ; может быть найдено по формуле (78) или по кривой рис. 27 (§ 11). При постоянном токе и р= и0 имеем
1, и формула (144) переходит в (142). При весьма высокой частоте ч = 0, и мы вновь получаем формулу (143).
Решение задачи об индуктивности кабеля при любой частоте было дано Рэсселом [20] и в общем случае имеет весьма сложный вид. Мы ограничимся тем, что приведем выражение, пригодное при достаточно высокой частоте:
L = Г1п — -4_______— ______2—
' 2к L Р Pokp\p‘2 8V2k-pz
. р sh/;/r/2—sinAZP2 pvqk V2 ch kt V2 + cos kt V 2
(145)
Здесь k =Кшуй, у удельная проводимость, p магнитная проницаемость проводов, <» угловая частота переменного тока.
Формула справедлива при kt > 5. Первый член в скобках соответствует потоку между проводами, второй потоку внутреннего провода и третий потоку внешнего провода.
В заключение заметим, что формулы настоящего параграфа выведены в предположении, что прямой и обратный провода коаксиальны. Однако, при постоянном токе и при р = рп любое параллельное перенесение внутреннего провода относительно внешнего очевидно не изменяет магнитного потока взаимной нег^К"ИИ п!>оволов- Поэтому при таком перемещении виутрен-
0 пРовода взаимная индуктивность проводов, а следовательно
Активность всего кабеля не изменяются. Это положение up пеРемвниом токе перестает быть справедливым, в чем нетрудно убедиться, рассматривая случай весьма высокой час-ы и применяя установленное в предыдущем параграфе соог-В8
ношение |ч=. Как известно, емкость них один внутри другого цилиндров С параллельными быть найдена по формуле:
находящихся осями может
с; =
_______ 2яе
arch &2~* 2/;<7
где d расстояние между осями цилиндров. Поэтому для индуктивности рассматриваемой системы при весьма высокой частоте имеем:
7, - ±° аг eh A8 + g2-rf" г 2тс 2р<7
(146)
Эта формула позволяет оценить разницу в индуктивностях коаксиального и эксаксиального кабелей. Вместе с тем, из нее при d —О легко получить приведенную выше формулу (143).
§ 22. Индуктивность двухпроводной линии
Определим индуктивность двухпроводной линии, т. е. системы.
состоящей из двух длинных параллельных друг другу проводов кругового сечения (рис. 42). Хотя радиусы проводов линии обычно одинаковы, мы для общности
рассмотрим случай различных радиусов, что приведет лишь к незначительному усложнению формул.
При равномерном распределении тока но сечению, применяя формулу (136) и учитывая, что для площадей кругов InЯ| In i\-----j- - Ing» =
Рис. 42.
= In гг--i- , In g12 = in d, имеем:
_Bo
(147)
и, в частности, при /у — г, — г получаем:
^=4 ('"4+4)-
(148)
При токе весьма высокой частоты можно B0cn01'’a,’aaT^” соотношением (137). Емкость двух расположенных од1»н М другого параллельных цилиндров на единиц) п.
как известно,
с = -------—
<Р-| ar ch-
Поэтому
на основании равенства (137) имеем:
' 2л 2rtr2
(119)
Обычно и d^>r.. Тогда, пренебрегая членом (^ + ^)
по сравнению с и учитывая, что при больших значениях аргумента arc ch ха: 1п (2х), имеем:
= (150)
При г, =г. = г формула (149) дает:
, |»0 , rf2 —2с2 Но . d +
Л = Д7 ar ch = “Г la ----------Тг-----(151)
В частности, при d~^§> г получаем:
Л = ^1п4- (152)
Если принять, что при весьма высокой частоте ток равномерно распределен по тонкому слою вблизи поверхности каждого провода, то для определения индуктивности можно воспользоваться формулой (136), понимая под gt, g. и g12—-средние геометрические расстояния периметров поперечных сечений проводов от самих себя и друг от друга. Так как для окружностей = /'j, g* = r., glz = d, то формула (136) дает:
I . (153)
' 2л i\r3 v 7
Совпадение этого выражения с формулой (150) отН*°^ не случайно. В самом деле, для проводов кругового сечения пред положение о равномерном, т. е. симметричном ра р Д ' тока по периметрам сечений равносильно пренебреженак эффектом близости, т. е. влиянием тока в одном из ро . на характер распределения тока в другом проводе. ДЕ стороны, при значительном расстоянии между проводами эф) близости проявляется весьма слабо. Таким образом, предп жения, принятые при выводе формул (150) и (153), по cyiU эквивалентны друг другу, что и приводит к совпадению у нутых выражений. Для того чтобы оценить погрешность в1’^ , мую вследствие пренебрежения эффектом близости, сра приближенное выражение (152) при г\ — г, — г с точным вы), жением (151), относящимся к этому же случаю. _
Предполагая, что rf>2r, разложим V d2— 4г2 н Ряд 110 пеням после чего выражение (151) нетрудно привести к ноту-
г _ Ро / d 3 г* \
1г-~(1н V- щ )
90
Таким образом, эффект индуктивности на величину
близости приводит к уменьшению
д =
« ri2 ( Т- 2 d2- ...J .
учесть, что обычно п что приведенные сокой частоты.
Отношение Д к значению £„ определенному по приб тижен-ной формуле (152), дано в виде кривой на рис'. 43 Изоассмо трения этой кривой видно, что погрешность от пренебрежения эффектом близости становится меньше Г’/с уже При — = 8. Если это отношение значительно больше восьми расчеты ----------------------
когда
эффект близости проявляется наиболее резко, то из сказанного можно сделать заключение, что в большинстве случаев эффектом близости при расчете индуктивностей можно пренебречь.
Полученные здесь результаты показательны еще и в ином отношении. Несложный расчет показывает, что при высокой частоте плотность тока у, в наиболее близких друг к другу точках проводов относится к плотности тока je в наиболее удаленных друг от друга точках как
относятся к случаю токов весьма вы-
d + 2r
d — 2r’
и, следовательно, при малых расстояниях между проводами, когда это отношение велико, распределение токов по периметрам сечений проводов резко неравномерно. Например, при -7- = 3 отношение М- равно пяти, а при — = 10 равно 1,5 (рис. 43). То обстоятельство, что столь неравномерное распределение тока сравнительно мало сказывается на величин индуктивности, показывает, что при расчете индуктивностей д токов весьма высокой частоты предположение о равном р’ распределения токов по периметрам сечений проводов д -даже в тех случаях, когда это распределение заметно о от равномерного. При этом нет оснований предп
справедливость этого положения должна быть ограничена с iy-чаем проводов кругового сечения.
Индуктивность линии при любой частоте ле1ко определяется, если пренебречь эффек-
том близости, т. е. считать, что ток в каждом проводе распределен симметрично относительно его оси. Тогда, пользуясь обозначениями рис. 44 и учитывая, что f и у" суть функции только от р' или от р", можем на-
Рис. 44.
писать:
= fln^W7" = -’«J'S J J
.Vj "S 2
2- 2k
fj"d№' f J In =
0 0 0 0
r r
= -2-g- f J - 2^p' • 2kP" In d = £ In d. 12 о о
Что касается величин и H.2) то в соответствии со сказан ным в § 11 можно написать:
где Cj и определяются так, как указано в § 11. Подставляя значения Hlr Н, и Hi2 в формулу (131), найдем:
<154>
Учет эффекта близости при произвольной частоте связан со значительными трудностями, и мы здесь отметим лишь, что поправка, которую нужно было бы ввести в формулу' (154), во всяком случае меньше поправки для токов весьма высокой частоты, о которой была речь выше.
При весьма высокой частоте, а также при больших токах требующих применения проводов большого сечения, применение сплошных проводов становится нецелесообразным, так как в результате поверхностного эффекта ток концентрируется вблизи поверхности провода, а остальная часть сечения, по существу, не используется. В подобных случаях применяют полые провода. Индуктивность линии с полыми проводами одинакового сечения 92
(рис. 4а) при равномерном распределении тока по сечению найдем но формуле (136), подставив в нее значения е + НА’,., а именно: Ingj. — InJ и K1
_ 1„ fe _ In г - __ _С +
после чего получим:
[ __Ео.Лп_Ё.-1
' л V Г ‘ (7-2 —92)2 4 — )
(155)
В частности, при q = 0 эта формула переходит в формулу (148), а при q — >r—в формулу (152). При весьма высокой частоте, когда ток сосредоточен в тон-
ком поверхностном слое, полый провод ничем не отличается от сплошного и, следовательно, в этом случае все сказанное о линии со сплошными проводами относится и к линии с полыми проводами. В частности, сохраняют силу и соответствующие формулы для индуктивности. Индуктивность линии с полыми проводами при любой частоте можно найти, если пренебречь чае попрежнему In d,
найдены с помощью формул § 11.
эффектом близости. В этом слу-а //, = и Н. = -у- могут быть
§ 23. Индуктивность шин
Определим индуктивность системы, прямой и обратный провода которой представляют собой шины одинакового прямоугольного сечения. При этом будем предполагать, что провода расположены так, как показано на рис. 46.
Рассматривая случай, когда ток можно считать распределенным по сечениям шин равномерно, применим формулу (136), причем для определения й = g2 и йг воспользуемся формулами, данными во 2-й части книги, а именно:
In й == 1пй = In (^ + ‘Ol
in й= = In k 4- 4 (4 +1 /in (d + с + b) - (4)2 In (.'Z + О +
+ V (4 ~ 0 1,1 + C ~~
93
Тогда получим:
Zv = [(-у- + 1)2 In (d + с + b) — 2 In (<Z + с) +
+ (-у — In (г/ + с — Ь) — 2 In (b + c)J . (156)
Если одна из сторон прямоугольников значительно меньше другой (рис. 47), то величины и g12 можно определить как средние геометрические расстояния прямолинейных отрезков, имеющих длину с или b и совпадающих с соответствующими осями прямоугольников [21].
Рис. 46.
U---d -----
Рис. 47.
При этом F1 = = 0,2231 (Ь + с), а для определения gi:
можно воспользоваться формулами, приведенными во 2-й части книги.
В заключение заметим, что формула (156) удобна только тогда, когда шины расположены близко друг к другу. При больших расстояниях между шинами отдельные члены в квадратных скобках могут значительно превосходить их сумму, и вычисление по формуле (156) станет неудобным. В подобных случаях более целесообразно воспользоваться другими формулами и методами, данными во 2-й части книги.
Вопрос о расчете индуктивностей сложных систем шин прямоугольного сечения при низкой частоте рассмотрен в работе П. Л. Калантарова и Л. А. Цейтлина [22].
§ 24. Взаимная индуктивность двух параллельных двухпроводных линий
ВЬ1Ражение для взаимной индуктивности двух двух-R систем параллельных проводов было дано в § 20.
шт» СТИ’ Г1РИ Равн°мерном распределении токов по сечениям справедлива формула (135). Если провода имеют круговые
поперечные сечения, то /де dk.— расстояния между
центрами сечении А-го и /-го проводов. Таким образом, как в случае сплошных, так и в случае полых проводов кругового сечения
ТИ, = ^1п4ф^. (157)
2r. dltd„ ио//
Если пренебречь эффектом близости, вызывающим нарушение
симметрии распределения тока по сечениям, то последняя фор-
мула применима и при переменном токе любой частоты, в справедливости чего легко убедиться, учитывая, что при наличии симметрии Hki = In как это было показано в § 22.
Учет эффекта близости в системе нескольких проводов является задачей более сложной, чем учет этого эффекта в двухпроводной линии. До настоящего времени эта задача полностью еще не решена. Следует, однако, отметить, что вызываемое эффектом близости изменение характера распределения тока по сечениям сказывается на величине взаимных индуктивностей значительно меньше, чем на величине собственных
индуктивностей, вследствие чего пренеорежение эффектом близости может привести к значительной погрешности лишь для весьма близко расположенных друг к другу линий.
Отметим некоторые частные случаи формулы (157).
1) Линии расположены симметрично друг относительно друга (рис. 48,а), dn = d2i - d12.
Mr = -°-ln4*s . r Я dit
2) Линии одинаковы и расположены симметрично (рис. 48. Ь), </2S — — h, d,t = dis — ]/h2 a-.
95
,/S + d’
h-
3) Линии расположены в одной плоскости (рис. 4Ь,с), dXi = d + dx + dit dIS - - d, d13 = d 4- dlr d3i=d + d...
м _ J^-in + d^ (d +
/w--— 2n ,n rf(rf + rfi + d2) '
Существенно иметь в виду, что при значительном расстоянии между линиями все четыре расстояния dXi, d,3, dxs, d2i близки
Друг к другу, и величина, стоящая под знаком логарифма в формуле (157), близка к единице, вследствие чего расчет по этой формуле становится весьма неудобным.
В рассматриваемом случае целесообразно привести формулу (157) к виду, который был бы лишен отмеченного недостатка. В одной из работ автора [23] такое преобразование было проведено для линий, лежащих в параллельных и взаимно перпендикулярных плоскостях (рис. 49, а и Ь). Полагая
в первом случае мы получили следующее приближенное выражение:
- -^-4?[cos2« + (t(2 + £2)(2cos'2>.- 1)]. (1^)
В частности, для линий, лежащих в одной плоскости (а = 0). получаем:
Мг == ffi (1 + Z2 I- i3). (159)
%
Во втором случае
М = 2,j° cos a sin а Г. 4 (г* cos5 а + sins а) -i
' Т. 1 + Г,2 + ? L "Т* (1 + г,2 + Ё2)2 J •
(160)
Если и с<С< ТО величинами т;2 и Е2 можно пренебречь по сравнению с единицей, и тогда вместо формул (158), (159) п (160) получим соответственно:
., 2и0 be _
М — — cos 2а r it а2
2рр Ьс
it d2 ’
4 =
Мг = -Po- -^- sin 2а. r it d2
Последние формулы при больших расстояниях между линиями дают достаточную для практики степень точности и весьма удобны для расчета.
§ 25. Индуктивность трехфазной линии
В тех случаях, когда система э. д. с., действующих в трехфазной цепи, и система токов, протекающих по этой цепи, симметричны, электромагнитные процессы во всех трех фазах протекают совершенно одинаково, и различие между ними заключается лишь в сдвиге во времени на одну треть периода. Поэтому при изучении и расчете трехфазных цепей при симметричных режимах работы обычно достаточно ограничиться рассмотрением только одной фазы цепи. В соответствии с этим при определении параметров трехфазных линий вводят понятие об индуктивности и емкости одной фазы линии. Под индуктивностью Lpk fe-ой фазы понимают отношение:
I _
Рк ’
где Uk — реактивное падение напряжения в k-ой фазе, — сила тока в ней, ш — угловая частота.
Предполагая, что линия не имеет нейтрального провода, для реактивных падений напряжения в фазах можно написать:
=jv>(L1i1 4- Л4]2/, + Af13/3),
t/2 — jo> (L2it + AT2i/j 4- Л423/3),
Z7S — Jw (LSIS 4- A4S1I1 4- Л432/2),
где A], L2, . 3 — собственные индуктивности проводов, .W12 Иц, •M2S Л432, Л431 = Л413 — их взаимные индуктивности.
7 Л. Л. Цейтлин 9/
Учитывая, что для линии без нейтрального провода Д + /2 -р + /s = 0, имеем:
l)t == /ш/j ^Zj — Afsi + (Afi2 — <>) ~ц~\ ’ откуда
Lpl = Z i — ZWS1 4- (A11S ZWS1) —2-
и аналогично для двух других фаз.
Из последнего выражения видно, что даже при симметрии системы токов, когда отношения
4 = 4- = А = е1 3 = а
4 4 4
одинаковы, индуктивности всех фаз будут, вообще говоря, различны, а именно:
Д +
/ \ ^р2'=^2 ZW12 + (/И23 /И12) а,
/ V ZpS = Z8-M2S + (Msl-M2S)a.
/ \ Лишь для линий с одинаковыми про-
3<f.--- -----\2 водами, симметрично расположенными
“ друг относительно друга (рис. 50), можно
Рис. 50. написать:
Z2 Z2 — Zs — L, /И12 — ТИ23 — ZWjj = M
и соответственно
Zp = Z-M
Подставляя вместо L и M их значения из формул (62) и (55), для индуктивности фазы на единицу длины в этом частном случае имеем:
Lpr ~ ~Г ~ ~Г (^12 "I—' Аз “ Qi + Qis)-
При /—>со последний член стремится к нулю, и мы получаем: -
LPr = Z/12 — Hlt
где ZZ12’=%’ и /7, = ^-.
ин 9Равнивая это выражение с формулой (131), находим, что дуктивность фазы вдвое меньше индуктивности соответствующей двухпроводной линии.
98
Так как трехфазные линии работают при низкой частоте, то обычно можно считать, что ток распределен по сечениям проводов равномерно. В этом случае для проводов из немагнитного материала
Р' 2я п gi
В частности, для случая линии со сплошными проводами круго-
вого сечения
ж Ро (« d 1 \
Lpr ~ 2лV п ~ "47'
Соответственно для круговых проводов из материала с магнитной проницаемостью, отличной от р0,
/ = Но
Р' 2п
(161)
В трехфазных линиях с несимметричным расположением проводов несимметрию обычно устраняют искусственно, применяя транспозицию проводов, т. е. изменяя их расположение через одинаковые расстояния (рис. 51).
Если длина каждого нетранспонированного участка линии равна I, то среднее значение индуктивности фазы на участке длиною 3/ будет, очевидно, одинаково для всех трех фаз и равно
Lp “з* Gpi + ^рг + ips) — 4" 1(^1 —^81) + (^г —Ди) +
+ (Zs-4fM)].
Таким образом, средняя индуктивность одной фазы транспонированной линии равна среднему из значений индуктивностей трех соответствующих линий с симметричным расположением проводов. В частности, для липни с проводами кругового сечения, применяя формулу (161), получим:
т __ Го /. ,3/ rfi^srfsi ,1 I* )
21Д|П Г глг» + 4 роЛ
Обычно ri=rs — г8==г, и тогда мы вновь приходим к формуле (161), в которой теперь под d следует понимать среднее геометрическое из расстояний между проводами.
7* " 99
§ 26. О расчете
индуктивностей сложных систем прямолинейных параллельных проводов
Пои выводе общих формул (130) и (131) для М, и Lr не было сделано никаких ограничений относительно формы и взаимною А расположения сечений проводов. По-
этому в случае, когда каждая система состоит не из двух, а из нескольких параллельных проводов, для определения собственной и взаимной индуктивностей систем можно попрежнему пользоваться формулами (130) и (131), рассматривая в каждой системе совокупность всех проводов с токами оди-
Рис. 52.
накового направления как один провод со сложной формой поперечного сечения. Например, для системы из пяти проводов, показанной на рис. 52, а, совокупность проводов 1, 2, 3 можно рассматривать как один сложный провод, а совокупность проводов 4 и 5— как другой провод. Тогда, применяя для рассматриваемых совокупностей индексы А и В, можем написать:
Из основных свойств определенных интегралов следует, что
г2Ял — 4" 4” 4- 2/1^2//12 4- 2<1/з//13 4-
4” S/g/gZ/jg,
ВНв = i2jHi -|- i3/75 4- ‘^цчВЦ-.,
(162)
МВ
где, как и раньше, Нк =
35»
к sksk
(163)
sksi
А-ом и /-ом проводах, причем /j + /2 + /3 : Ч + же для взаимной индуктивности системы .1. В, проводов Z, 2, 3 (рис. 52,Л), и системы В), со-
ю Ч— токи в
+ 4 = i-
Точно так
состоящей из t______
стоящей из проводов 4, 5, 6, можно написать:
М^Нлв + Ньс~Нлс-Нт.
100
причем, например,
В^С.Нве — +• 4) (>4 + 'td^BC = +
+ + tsk^w,, (164)
где Hki определяется по формуле (163).
Таким образом, расчет собственных и взаимных индуктивностей сложных систем проводов формально приводится к вычислению величин Нк и Hki того же вида, что и в случае простейших систем из двух проводов. Однако, следует иметь в виду, что трудности, связанные с учетом неравномерности распределения токов по сечениям проводов, быстро возрастают при усложнении формы сечений и увеличении числа проводов. Поэтому расчет индуктивностей сложных систем проводов с учетом поверхностного эффекта и эффекта близости принадлежит к числу задач, еще ожидающих своего разрешения.
Учитывая сказанное, остановимся более подробно лишь на случае низкой частоты, когда обоими упомянутыми эффектами можно пренебречь, причем для определенности будем предполагать, что плотность тока не только постоянна в пределах поперечного сечения каждого провода, но и одинакова для всех проводов, входящих в состав каждой рассматриваемой системы, хотя задача решается и при отказе от этого предположения. При указанных условиях для собственных и взаимных индуктивностей систем справедливы формулы (136) и (135), которые мы теперь напишем в виде:
г
Sab
М Но 1п #
2~ SacSbd
(165)
где gAB и т. д. — средние геометрические расстояния
соответствующих площадей поперечных сечений от самих себя
и друг от друга.
Так как величины gA, gn, gAB и т. д. выражаются через средние геометрические расстояния gk и gki сечений отдельных проводов, то задача сводится к определению gk и gki (см. § 7) и, следовательно, может быть доведена до конца для всех форм поперечных сечений, представляющих практический интерес. В частности, таким путем всегда можно
Гис. 53.
рассчитать собственную и взаимную индуктивность любых систем параллельных проводов, сечения которых ограничены ломаными линиями со взаимно перпепдн-
к\лирными сторонами.
101
Оппедечим в качестве простого примера собственную индуктивность системы, состоящей из шести проводов квадратною сечения, расположенных согласно рис. 53.
Будем рассматривать совокупность проводов/ 23, как один ПРЯМОЙ провод (А), а совокупность проводов 4, 5, 6—как один обратный провод (В). На основании свойств средних геометрических расстояний имеем:
(«! + ss + *з)2 In gA = *i111 gi + 111 £2 + 111 gs + In g12 + 2S4*3 111 giz + 2*2*3 In £23»
+ S, + *s) (st + S5 + *б) In gAB = *1*4 In g14 + *t*5 In g15 +
-f- *jSc In gls + *2*4 In gzl + *2*5 In £2 5 + *2*0 1° giS + *3*4 1П gst + + *3*5 I11 £ss + *3*6 In gS6.
Так как сечения всех проводов одинаковы, то gi=g2=gs и In gA = v111
In Sab —g In (g14 gls glfl gzi gt5 g№ gsi gss gse).
Кроме того, при заданном расположении проводов
£15 ~ £бЗ = £зб = £26 = £24 = £14 = £з5, £12 = £гЗ, £16 — £34
и £д = £в- Поэтому
In gA = In £В = In (gf gf2 g2l3), In gAB = 4-!n (g7l5 g2e),
и, следовательно, применяя формулу (165), получаем:
г __ го !„ £16
' ‘9* £?«3‘
Среднее геометрическое расстояние площади квадрата от самой себя равно g1—2ka, где а — сторона квадрата, a k=0,2235. Среднее геометрическое расстояние площадей двух квадратов с большой степенью точности равно расстоянию между их центрами. Следовательно, в рассматриваемом случае gls = 2а, £is — 4а, g12 = 8 a2, g26 = 20 а2. Подставляя эти значения в последнее выражение, получим:
L = In 5 9п 1П 16 А3 •
В заключение заметим, что при достаточном удалении ггро-ВдыкВ сложн!?й системы друг от друга, когда можно пренебречь эффектом близости, изменение собственной индуктивности
102
системы, обусловленное поверхностным эффектом, равно сумме изменений собственных индуктивностей всех проводов, входящих в эту систему, причем для каждого провода в отдельности это изменение может быть учтено так же, как и в случае уединенных проводов (§11).
Отметим также, что для линейных проводов любого сечения и для нелинейных проводов кругового сечения при пренебрежении эффектом близости величины Нч, входящие в выражения вида (162) или (164), при любой частоте равны
Hw=^lndw,
где dki — расстояние между центрами соответствующих сечений, как это было показано в § 20 и § 22.
Глава четвертая
ИНДУКТИВНОСТИ КРУГОВЫХ колец
§ 27. Общие замечания
Собственные и взаимные индуктивности контуров, имеющих форму круговых колец, могут быть рассчитаны с помощью формул и методов, данных во второй главе. В частности, собственная индуктивность кругового кольца может быть найдена по формулам (119) и (121) § 17.
Однако, ввиду значительного практического интереса, который представляет случай круговых контуров, вопрос о расчете индуктивностей таких контуров будет рассмотрен в настоящей главе несколько более подробно.
Все рассматриваемые контуры мы будем предполагать линейными, в соответствии с чем при определении взаимных индуктивностей будем исходить из формулы (13).
Под осями рассматриваемых круговых контуров будем понимать оси, перпендикулярные к их плоскостям.
§ 28. Взаимная индуктивность двух коаксиальных круговых контуров
Определим взаимную индуктивность двух коаксиальных круговых нитей, имеющих радиусы Rj и Р, и отстоящих друг от друга на расстояние, равное h (рис. 54). Применяя обозначения, показанные на рис. 54, имеем:
D2 = R-y + R3, — IRST cos fl + h\
dl, R,dfilf dl, = R2d&,, » =
где D — расстояние между dl, и dl..
103
формулу (13), можно написать
м —Г Г d,'-dl^cosi> —
4к .1 D
2те
r cos 0 gvi _
2n
HO 4т
J a i,2 J — D о о
2г 2“ ,
COS Т» rfO ___
ЧгГ J . о о
D
cos d^
D
— f S°S
2 .1 о
Введя обозначения:
k —8 - 20 И
- - (166)
/,2__________________
~ (/?1 + /?г)а + Л2
после простых преобразований получим:
D = + z?2)2 + /I2 V 1 — k2 sin2 e,
и, следовательно, к Т
*•
Так как
-2^-1 . = i г - 2-<^_2f ,
1/1 — fc2sin26 1_ yi — fe2sin20 -
ТО
м=р0 v//?p?2 [(4 - k) к - 4 £] > (167)
где
К= ( и Е = ( V'V-k^ sin26 dO (167а)
I/1 — fe2 sin2 в J
о о
с мпп^Ыо эллиптические интегралы первого и второго рода чаимеХ ™ k’ определяемым формулой (166). Значения К и I' элпиптичр«-ЛЬКО От МОДУЛЯ k и могут быть взяты 113 таблиц эллиптических интегралов Г24, 25, 26 38].
обшррРпр?п05167^ принадлежащая Максвеллу [3, § 701], дает Р ние рассматриваемой задачи. Следует, однако, отме
тить, что при значениях k, близких к единице, вычисление по этой формуле становится затруднительным, так как табличные значения л, соответствующие соседним значениям k, сильно отличаются друг от друга, и сколько-нибудь точное интерполирование между ними практически невозможно. В подобных случаях более целесообразным является применение других формул, получаемых из (167) путем преобразования Ландена [26, стр. 30].
Заменим переменную интегрирования 6 в формулах (167а) на новую переменную ?, положив
sin (26 — ?) = kY sin ?, (168)
где kt — некоторая постоянная. Из этой формулы легко получить следующие соотношения:
COS (26 - ?) = V 1-Ц sin2?, tg ? = ,
sin 20 Й! + cos 20 (169)
sin ? = 77—-----—— , cos 9 - -7- o .
V 11-й[ + 2й1 cos 20 V l + fej+ 2kt cos 20
Далее, дифференцируя обе части равенства (168), имеем:
2 cos (26 — ?) d6 — cos (26 — ?) d? = cos ?d? или
2 И 1 — fe2 sin2 ? = fei cos ? + cos (26 — ?) =
= kx cos? + cos26 cos a + sin 26 sin ? = _
= КГ+2КсоГ2Т+12 = (1 + fej | 1 — (1^)2 «in26.
Если выбрать постоянную fej так, чтобы было:
21/*! _ „ k = (170)
k — Г+ kx ’ Т‘ е' K1 И к' v
где k' = 1 — А2 = у < т0 из написанных равенств получим:
|/1 + 2ЛХ cos 26 + fe2 - (1 + fe^/n7^2 sin2 6, (171)
k, COS?+ v/ 1 —A2sin2? -(1 +Й1)/ l--A3sin20. (172)
Используя равенство (171), можем написать:
</0 ___ _ 1 + Л-._____.
1/ 1~ //siiPO 2 J ' 1 — sin2 <₽
F 105
от 6 = 0 (? = 0) д<> вдвое
Интегрируя это равенство в пределах
О _ JL — т-) и учитывая, что интеграл с пределами 0 и тс больше соответствующего интеграла с пределами 0 и-|,
чим:
полу-
К — (1 + fej) Ар
(173)
е /г__полный эллиптический интеграл первого рода с моду-
лем fep Нетрудно видеть, что < k, в чем и заключается идея преобразования Ландена.
Покажем, что входящий в формулу (167) интеграл второго рода Е с модулем k также может быть выражен через интегралы с модулем С этой целью продифференцируем выражение (169) для tg?:
dy _ 9 1 + fei cos 20
cos8 ? (fej + cos 26)2
Используя приведенное выше выражение для cos?, связь между k и fej, а также равенство (171), после некоторых тригонометрических преобразований найдем:
1/1-fe2 sin26 d? = ..c + [/1— F sin26 d6.
1 + «1 1/ 1 — ft8 sin8 0
Подставив вместо корня в левой части равенства его значение из (172) и интегрируя в пределах от ? = 0 до ? = к и от 0 = 0 до 6 = —, находим.
1^4^+^
откуда
9
(174)
где Ег полный эллиптический интеграл второго рода с модулем к1( определяемым равенством (170). Подставляя значения Е
получае^°РМ" Л и (174) в основную формулу Максвелла,
V к\
(175)
Эта формула также дана Максвеллом.
м°Дуль kr недостаточно мал, то, повторив еще раз $ аз°вание Ландена, можно перейти от интегралов К1 и £\ к интегралам и Ег с модулем
k2 =
1 -I-
\ Ип + VrJ ~ \ i + Vk') ’
106
(176)
а именно, можно написать:
7<^(1 + М^ ^ = ^-(1-^, после чего, подставив К, и Ег в формулу (175), найдем:
-Ki + M'V.-g.l.
Г2Л.4 К1 +й.
Этот процесс уменьшения модулей можно продолжать и дальше. Однако, уже формула (176) обычно бывает вполне достаточна. Пусть, например, = 0,1. Тогда k = 0,995, = 0,818, *2 = 0,270, и, следовательно, дальнейшие преобразования не
Вычисления по формуле (167) становятся неудобными также и в тех случаях, когда модуль k мал, так как при этом формула содержит разность близких друг к другу величин. В подобных случаях целесообразно выполнить обратное преобразование Ландена и ввести вместо К и Е интегралы и Ео, имеющие модуль
1 + k > R
и связанные с К и Е зависимостями:
/<0 = (l+E)/f, E0 = T2-E-(l_ft)/<.
Выражая К и Е через KQ и EQ и подставляя их в формулу (167), получим:
7И = р0 VR^R^ 4° k Ео =
= [(1+^)г-К-4Е0].
(177)
значения
(178)
Помимо формул (167), (175), (176) и (178) существует значительное количество формул, дающих значения М в виде рядов, расположенных по степеням различных параметров, определяемых размерами и взаимным расположением контуров. Мы
приведем лишь некоторые из них.
Пользуясь разложением полных эллиптических интегралов л и Е в ряды, расположенные по степеням модуля k, а именно (24, 28, 38J:
нетрудно привести выражение (167) к виду:
As[_l_+A2 р...+
+ fe2""2 Л: ТТЛ- +•••]’ f,79>
где
1.3.5... 2»-1 у — \ 2.1.6... 2л )
Это выражение сходится достаточно быстро при № <0,3 и. следовательно, удобно при вычислении взаимной индуктивности кругов, удаленных друг от друга па значительное расстояние.
Аналогичным путем из формулы (176) можно получить ряд, расположенный по степеням модуля = q, а именно:
3
м = Гад [1 + 4 64 ?4+ • • • + А,-7*п+ •• +
+ -Г^ + 4^ + -" + 2^+'1) А/72п+'+...] , (180)
где Ап имеет то же значение, что и в предыдущей формуле. Этот ряд сходится значительно быстрее, чем предыдущий, и применим в более широком диапазоне изменения k, а именно от fe = 0 до k — 0,995. Сходимость ряда (180) мала лишь для значений k, весьма близких к единице, т. е. при весьма малом расстоянии между кругами.
В последнем случае целесообразно разложить эллиптические интегралы К и Е в ряд по степеням дополнительного модуля /г'= те = К1—/г2.
Имеем [24, 28, 38]:
мадададад>-+...]ад
- [ад (ад) +ад+) над- *-]
адададхнадад
108
Подставив эти значения К и Е в формулу (167) и произвели упрощения, получим: 1 л
— v-oVRyRt ГЛ I , т* \ . 4 ~ k L11 +^г+ 64-...)in— -
(п т2 т4 \П
\ 4 + W JJ- (181)
Эта формула удобна для вычислений при яг2<04 т е ппм А3 >0,6. ’ ’ ’ р
В некоторых случаях оказывается целесообразным видоизменить формулу (181) так, чтобы в нее вошли явно величины, определяющие размеры и взаимное расположение контуров.
Обозначим разность радиусов кругов /?г — Rx через х, а расстояние h между их плоскостями через у и положим временно X /г, = " и
Тогда будем иметь:
Ь2 — __(1 + g)__ т2 _ 1 ___ Ь2 & + Ь2___ _ С
(2 + я)2 + А2’ к 4+a2 + b2 + 4a~ 1+Р’
1^ = /?1Г1+р,
где с = (о2+А2) и р = а-\-с. В рассматриваемом случае рас-
стояние между кругами предполагается малым по сравнению с их радиусами. Поэтому величины а, Ь, с, р и т значительно меньше единицы. Считая а, b и р величинами первого порядка малости, найдем выражение для М, сохраняя все малые величины до третьего порядка малости включительно.
Имеем:
vi+P=i+f-^ + 4
^=л-^-р-с{1-р),
1п4 = ^Ь14+41п(1+р) = 1п^+4-4 + 4--
Подставив эти величины в формулу (181) и произведя упрощения, найдем;
л-нЛ|[1+ + +
+ г_2„4+^-»>^+...]|. 0®)
109
Возвращаясь к переменным х и у, получим:
+Н-£.+т^--])-
Эта формула впервые, хотя и иным путем, была получена Максвеллом [3, § 705|. Более точное выражение с сохранением малых величин до 5-го порядка малости включительно дано в работе Коффина |29].
Полагая в последних двух формулах а = 0, х = 0 и А\ — /?. получим выражение для взаимной индуктивности двух одинаковых коаксиальных кругов, а полагая b — 0 и у = 0, найдем выражение для двух кругов, лежащих в одной плоскости.
Ограничившись приведенными формулами, отметим, что более подробный обзор различных выражений для взаимной индуктивности двух коаксиальных круговых контуров можно найти в работе Ф. Гровера [27J, а также в книге JI. В. Залуцкого (30|.
§ 29. Собственная индуктивность кругового кольца кругового сечения
При этом, считая отношение
Рис. 55.
В настоящем параграфе мы дадим вывод формул для собственной индуктивности кругового кольца кругового сечения. ". . ___ ‘ радиуса сечения провода к радиусу
кольца величиной первого порядка малости, мы, в отличие от предыдущего (§ 15), сохраним члены как первого, так и второго порядка малости, пренебрегая лишь членами третьего и более высокого порядка малости. В процессе вывода мы будем следовать работе Релея [16].
Пусть О—-центр кольца, А— провода, ОА = Р— радиус кольца,
центр поперечного сечения
= г —радиус сечения провода (рис. 55). Положение нити тока, проходящей через произвольно выбранную точку Р сечения, определим полярными координатами р = АР и ? = Z РАС. Югда взаимную индуктивность двух нитей тока, проходящих
Т0ЧКИ и (Ргл Ч?), можно найти по формуле
' оо) предыдущего параграфа, положив в ней:
= Р + xt = Л1 + Р1 cos<р1( х-=хг—Xi p2cosp,—pjcospb
У" Уг~У1 — p2sin?2—pjsinp,.
НО
Подставив эти значения /?1Г х, и у в формулу (183) и пренебрегая малыми величинами третьего порядка малости, найдем:
„I Fl > Р* Cos + P»cos<?s Pf + Pj + 2p| sin»¥1+2p|sin»ft
Al — p0 К | L1 2R > “16^5
2pt p, cos (pi — <pa) + 4pt p3 sin cp, sin 9,~] 8R Pj cos <p, + p, cos <p,
-------------16R» JlnT —2 2R-------------------+
, 3 (Pi + p$) — 4 (pf sin» <pt + p* sin» %) + 2 P1 p, cos fa — <p,))
+ 16 «» --------------------J>
где 4 ~=Ух2 + У2 = Ур? + P»2 2p1p2cos(p1 — q>2)—расстояние между точками Pt и P2. Для определения индуктивности кольца при равномерном распределении тока по его сечению следует подставить М в формулу (14) § 2:
= \Mddds" S S
и произвести двукратное интегрирование по площади s попе-речного сечения провода. Произведем сначала интегрирование по ft и ft, а именно найдем величину
+“ 4* _
Л=1 f f л
4т.2 J ] p0R — ТС —и
dfi
Интегрирование членов, не содержащих 1пч, элементарно и сразу дает:
1 . р" + ph in on 2 I Л+* 1 8 R» у In 8Л? 2+i6 R2
Для интегрирования членов, содержащих 1пч, заменим ft на <р1 _у Где <р = <р2 — <fb и будем интегрировать сначала по <р, считая ft постоянным, а затем по ft. Очевидно, что члены, содержащие первые степени Pj и р2, исчезают при интегрировании, так как при замене rfi и <f2 на — <pi и тс—-'f2 как cos ft, та и cos ?г изменяют свой знак, в то время как ч не изменяется.
Для вычисления других членов, содержащих 1пч, воспол зуемся формулами [31, стр. 194J:
V, , 2тс1пр2 при р2>р1(
J 1171 2ТС1ПР! при Р1>рг;
1-П
J cos <р In Ч df
— я
— тс р-2 при Р!>Ра,
--ТС Р’при Ps>Pf>
р2
111
j sin <p In tq d'f = 0
и учтем что sin <p2 = sin cos <p + cos <?! sin <₽, после чего для членов, содержащих In ч, элементарное интегрирование дает:
Г Л . Pi + Р2 \ . Р2 "I .
— Н1 + -8до ) 1пр1 + адг] при р, >р,
И г 2 2 2 1
Г Л , Р? + Р2 \ , , PI 1
— I1 + "8Я^1п Рг+ 8/?] при Р2>Pl-
Таким образом,
I Р1 + р2 \ 8J? Р1 — Р?
F=Ft= 11 +“8£S'Jln — — 2+-jg~ при Р1>Р, (184)
и соответственно
(21 2 \ о гу Л2 2
Pi Ро 1 Р?~ ~ Pi
1 + о 7^ ) In -2 + —у-при р2 > Р1. (185)
О £\ / р*> X и z\
В частности, полагая Р1 = р2 — г, получим в качестве промежуточного результата выражение для индуктивности кольца при весьма высокой частоте, т. е. для случая, когда ток сосредоточен лишь в весьма тонком поверхностном слое, а именно:
A = uo^=Po/?[(l +^>v~2]. (186)
Следует отметить, что при выводе этого выражения мы предполагали ток распределенным по поверхности кольца равномерно, что в действительности не имеет места. Строгое решение задачи для случая весьма высокой частоты дано ниже (стр. 113).
Возвращаясь к случаю низкой частоты, мы должны произвести еще интегрирование выражения для F по Р1 и Рг, а именно:
Г Г г pi Г
L f f Л>1 rfpi р2 d$2 -= J Р1 rfP1( J Fl Р2 ф2 + fF2 р2 ф2).
о о 0 0 Р1
Подставив сюда значения и F2 из (184) и (185) и произведя элементарное интегрирование, найдем:
д_Р,д[1„в?_4г+5&(1л?д+.9] или, иначе,
^- = Ро^[(1 +87?)1п7*— (18/)
112
Это н есть формула Релея, Как уже было отмечено выше она отличается от формулы Кирхгофа (122) лишь членами порядка
В. А. Фок дал строгое и точное решение задачи о расчете индуктивности кругового кольца кругового сечения для случая весьма высокой частоты [17]. Полученная В. А. Фоком формула, которую мы приведем здесь без вывода, имеет вид:
j = j_
L Ro®
(ф° 2^J 2л2—1
где
Z7 (л + 2 * * п е )
7(2) Taj ;
Jn ““In
F(n + f,f,n+ 1, е-2!>) =
= 1 4- 2n+3 A . (2п + 3)(2п + 5) 3-5 -#>
1 ‘ 2л + 2 2 е ‘ (2л + 2)(2л + 4) *2-4
— гипергеометрический ряд, а функции /в(1) и суть конечная сумма:
Л)_ 2л Г 2» 2л — 2 2 «<» (2л —2)(2и—4) 2-4 68 -i
2л + 1|_е +2л —1’1е + (2л —1)(2л —3) ‘ 1-3 + —J
и бесконечный ряд:
/,K-a+2ln2-6„-S„ + |J±-2- |<Г”р + 21п2-i,-6,+1) +
+pH8Sr-r 4i я<’+21,12 -ь-- - w +•••• причем й0 = 1, a bs определяется рекурентной формулой:
• 2s (2s + i) •
В приведенных формулах
а = YR2 — г- и » - In R
где, как и раньше, R — радиус осевой линии кольца, г — радиус Н—-Л. V ЦеГплин 113
₽го поперечного сечения. Если г < R, как это обычно и бывает, то чиста Ф быстро убывают с возрастанием номера и. Ограничившись только членами с Фо и Ф„ мы получим результат, верный до членов порядка включительно. Действительно, пола-гая ft ’==z 0 и и 7=3 !• найдем.
Л = t 2, е *’) = 1 + у с2 +
/о'11- О, Л
(1)_ 2 — Зс2 ’
-» г „ ,
где с=е = Подставив эти значения в формулу для
фл, после пренебрежения членами порядка с4, получим:
Фо =
________1
1П-1 — 2 +_? с2’ с 4
и, следовательно,
1
L
1 Г 1
(Л°а In .1—2 4-Ас-’ с 4
+ ЗсЧ .1
что после отбрасывания членов порядка с4 и некоторых преобразований дает:
Z. = уо а [(1 — Зс2 In у+ 12с2) In ~ — 2 — ~5с21
Так как с принятой степенью точности
fl = J^2=7r~/?(1—2т2),1п-эг In-4-—-m2, с-от, ' с т
глет , то, подставив эти значения в последнюю формулу, после некоторых преобразований найдем:
L = f*o R [fl — - тЧп + J т2) 1п„4— 2 — т -'J
114
или окончательно:
J — M?|(l iGA>2,n г +^7^1п 9— “'"J. (188)
Сравнение этой формулы, верной до членов порядка включительно, с формулой Релея (186), выведенной в предположении равномерного распределения тока по поверхности кольца
показывает, что оба выражения отличаются членами порядка — • Отсюда следует, что сохранение этих членов в формуле (186) приводит лишь к кажущемуся ее уточнению и, следовательно, не имеет смысла. С другой стороны, из сравнения обеих формул видно, что предположение о равномерности распределения тока
по поверхности приводит к погрешности, не превышающей вели-г2 ,
чин порядка ^2, т. е. дает значение L со степенью точности, до-
статочной для большинства практических расчетов.
Проиллюстрируем сказанное на примере кольца с отношением радиусов, равным у = 10. Формула Релея (186) дает в этом случае
значение = 2,3931 v-nR, а формула Фока (188) — значение L, = 2,3683 р0R, и, следовательно, погрешность формулы Релея даже для столь массивного кольца составляет лишь около 1,05%. (8/? \
In —---2 I
дает значение Z,s = 2,3831 р0 R. более близкое к истинному, чем
Следует иметь в виду, что при — — 10 плотность тока на внутрен
ней поверхности кольца превышает плотность тока на его наружной поверхности в 2,27 раза, т. е. больше чем вдвое. То обстоятельство, что даже при таком резко неравномерном распределении тока ио периметру сечения кольца индуктивности % и вычисленные без учета и с учетом этой неравномерности, мало отличаются друг от друга, показывает, что предположение о равномерном распределении тока по периметру вполне допустимо для большинства практических расчетов, о чем уже было упомянуто ранее (§ 17 и § 22).
В заключение заметим, что рассмотренный в настоящем параграфе случай кольца кругового сечения является единственным, для которого найдено точное значение индуктивности при весьма высокой частоте. Для колец с иной формой поперечного сечения соответствующая задача еще ожидает своею разре
шепия. ,
Индуктивность кольца при низкой частоте может оь г значительной степенью точности вычислена для случая пРя^*° угольного сечения, а также для любого сечения. ограниченн ломаной линией со взаимно перпендикулярными сторон -Соответствующие формулы приведены во --и части •
§ 30. Общая формула для взаимной индуктивности двух круговых контуров
Определение взаимной индуктивности двух круговых контуров при произвольном взаимном их расположении в пространстве, представляет весьма сложную задачу. Общее решение этой задачи было дано Сноу [32], а несколько позже и в иной форме -Хаком [33].
Мы изложим здесь метод Сноу, хотя и несколько иначе, чем это сделано в работе самого автора.
Пусть центр одного из двух рассматриваемых кругов находится в точке О, с координатами х1г у,, zx и пусть £2 (х, у, z) — скалярная функция точки, разложимая в ряд Тейлора.
Тогда значение функции Й в точке с координатами х = х, + ;, _>'= >4 + ->j, z=z,-}-'Z можно представить в виде ряда Тейлора:
а (х, у, z) = at + (iDx + ti£)), + cdjq1 +
+^С^+-/3^ + :ог)гй1 + .„, (189)
д гу б г~. д
где , иу~ и LJ, = дг — символы частного дифференци-
рования по х, у, z, а значок „1“ у й указывает, что значения Й и ее производных должны быть взяты в точке (х„ у,, г,). Если вспомнить разложение функции ех в ряд, а именно:
е
п=0
(190)
и ввести символический оператор
Р — ’ Вх + *3 4- Z Dz,
то нетрудно усмотреть, что формулу (189) можно представить в следующем символическом виде:
Q (х, у, z) = epQ (xv j'j, zj = epQ„
где ep выражается через p формально так же, как сА через х в формуле (190).
Если плоскость рассматриваемого круга параллельна плоскости ху, то ддя всех точек этого круга ; = 0 и р = £ Dx + г, [)г.
Поставим теперь своей задачей вычислить интеграл
и = J 2 = J еР йх ds, = f е °х + °у 21 ds,. (191)
116
взятый от функции Q по площади л, рассматриваемого круга Для этого найдем сначала интеграл
v = | е ы, dsb
где fij, а и b — некоторые постоянные.
Применяя полярные координаты р и с началом в точке О. и с полярной осью, направленной вдоль осих, имеем: ? = pcos®, rt = р sin <р, ds1 = р d р d<f и, следовательно,
где
что
а £ + &•»] = р (a cos <р + b sin <р) = р с sin (<р + ф), с = ]/а2 + Л2 и ф = arc tg " . Полагая <р + ф = 6 и учитывая, d-s> = dd, можно написать:
/?5 2п /?! 2ТС СО
f f f J
о о
О 0 л=0
где
! /?! — радиус Так как
круга.
fp”+1dp
о
s,"+!
п + 2’
а интеграл
2 л
при n = 2k — четном и равен нулю при п = 2^+1—нечетном, то
^=71/?“
ZfcR^k <Л
2 ) й!(й+1)!‘
fc=O
С другой стороны известно, что
А=0
’де (Z) — бесселева функция первого рода первого порядка.
Поэтому, полагая t—jcRi, легко приведем выражение для V к виду:
J1,
Н7
Соавнивая интеграл п с написанным в символической форме интервалом и и принимая во внимание, что в формуле (191) Q D и D должны рассматриваться как постоянные, можно сразу написать: ________
и = Л (jrx VDi + =
(R^(D^D^k
\ 2 J k\ (k + 1)! и
*=0
Для дальнейшего интересен случай, когда функция й удовлетворяет уравнению Лапласа:
(Д= + + Dp Й = 0.
В этом случае
(д| + Dp Й = - D* Й; (DI 4- Dpft Й = (-1 )* D/й, и, следовательно,
п ~Rj^ (—1) йц1фТ)!Й1'
Найдем теперь интеграл
w = J Dz й dsx. (192)
Si
Так как операции дифференцирования по z и интегрирования по площади s, независимы, то
»-ОДйЛ,_О,а ,4<,V( П1 \,2(Л а> =
Si h =0
= 2к/?Л (A^DJ Йр
Очевидно, что в том случае, когда плоскость рассматриваемого круга не параллельна плоскости ху, последнее выражение должно быть написано в виде:
^^2r.RlJl(R1Dnl)Qt_ (193)
где D ___
”1 ~ дп, символ дифференцирования ио направлению нормали «j к плоскости круга. o6vcnnTb тепеРь есть скалярный потенциал магнитного поля, Тогпа „ffHH0r0 ТОКОм z2 во втором из рассматриваемых кругов. Д взаимная индуктивность кругов будет:
118
где В—-вектор магнитной индукции, а
дл? = — Р-о^щЙ
— его составляющая вдоль положительной нормали пл к плоскости первого круга. Таким ооразом,
М - - f J Dnl QdSi=- 2^- А (RxDnl) Qlt (194)
и, следовательно, определение взаимной индуктивности свелось к определению скалярного потенциала магнитного поля кругового тока z2.
С другой стороны, скалярный потенциал магнитного поля, обусловленного током Л, с точностью до несущественной аддитивной постоянной равен взятому с обратным знаком и умноженному на телесному углу ш, под которым из рассматриваемой точки поля видна отрицательная сторона контура с током:
В свою очередь, телесный угол ш может быть представлен в виде поверхностного интеграла по площади s„ ограниченной контуром тока г., а именно:
W = J ^ = / n: grad?( J. ) ds, =- J Д (1-) ds, = f Dn, (4г) ds„ S2 S2 sz
где г—радиус-вектор, проведенный из рассматриваемой точки к элементу поверхности ds;, и. — орт положительной нормали к поверхности s„ grad(/—градиент по точке истока, т. е. по точке Q, где расположен элемент ds,r Dn, =-^п-символ дифференцирования по на-
правлению IU (рис. 56).
Как известно, величина 4“ > рассматриваемая как функция координат точки Q, удовлетворяет уравнению Лапласа и может быть разложена в ряд Тейлора при всех значениях г, кроме нуля. Поэтому простое сравнение выражения для <i> с интегралом w, определяемым формулой (192), показывает, что телесный угол ю может быть выражен формулой, аналогичной формуле И 93), а именно:
Гис. 56.
<0 = 2T.R,Л (R,Dn,) 4 ,
119
е г — расстояние рассматриваемой точки поля от центра вто пого кпуга Д’- радиус этого круга. Таким образом, для скалярного потенциала й, в'центре первого круга имеем:
где г —расстояние между центрами обоих кругов. Подставляя это значение '-Д в формулу (194), находим:
7W = Po,t^Wl Л (^?2^пг)
(195)
Это и есть искомая общая формула. Следует, однако,
получения взаимной индуктивности кои-
отметить, что для
Рис. 57.
туров необходимо еще выполнить символически обозначенные в этой формуле операции дифференцирования и произвести суммирование полученных при этом рядов, что представляет также нелегкую задачу. Мы продемонстрируем применение рассматриваемого метода на примере двух круговых контуров, лежащих в параллельных плоскостях.
Пусть первый контур лежит в плоскости yz и его центр Ot находится
в начале координат, а центр Ог второго контура лежит в плоскости ху. Определим положение точки О2 полярными координатами г и о (рис. 57). Тогда Лг- Л = Dx, Dn2 = Dxr и формула (195) принимает вид:
М = ^RtR, J. (RxDx) Л (R2Dx) А.
Но произведение бесселевых функций (t) J, Ш) может быть представлено в виде ряда:
2п
Л(ОЛ(М) = —х
(-1)" F (— п> — п + 1,2,
где F ( п, п + 1, 2, I.2) — гипергеометрический ряд. В нашем случае следует положить: t — RyDx, Х= , после чего получим:
r / R-, \
“ 7'1 — ". — п + 1, 2. —— )
м =—V (—1 у . А_______________ _______7 / \=пд2„ц
S "'(«-1)1 (2 J г
120
Покажем, что
Dx г — D* -^тт Рк (cos 0),
где Pk (cos 6) —полином Лежандра порядка k. Пусть это оавен стно справедливо при некотором k = s. Покажем, что тогда оно будет справедливо и при A = s-|- 1. А и
Дифференцируя (196) по х и принимая во внимание, что
л — jL = и JL & 1 =___ s + 1 д „ _ 1 - Ь2
х дх dr ’ dr r Н-1 fS + 2 > дх Ps — ~ Ps,
где и = cos 0, получим:
О-Л' ф - О,Ф) _ (- 1 D.^P.-- IX [- «Г;.,Уг¥ Р. + (1 _ „t) Р-].
С другой стороны, известно, что (и2 — 1) Р' = (s + 1) (Р __
— uPs). Подставляя это значение («2 —1)PJ в последнюю формулу, находим:
1 V = (- DS+1 Ps + 1 (COS 6),
что и требовалось показать. Так как формула (196) справедлива при k =- 1, в чем легко убедиться непосредственно, то она справедлива и при k = 2, 3..., т. е. при любом k. Поэтому
^"4-=-^!^ («^),
и, следовательно,
М = —
2^0/?2 X?, п„ (2п)!
/?! п!(п— 1)!
п=1
/ \ / D \2я + 1
X 1, 2, Д Pm(cos6)-
(197)
Как показывает специальное исследование [34], эта формула применима при r>/?j + /?2. Формулы для случая, когда r<ZPi +• + /?г, а также для других частных случаев взаимного расположения контуров (контуры с пересекающимися осями, концентрические контуры и др.) приведены во 2-й части книги.
§ 31. Расчет взаимных индуктивностей круговых контуров методом численного интегрирования
Ряды, с помощью которых выражаются взаимные индуктивности круговых контуров, во многих случаях сходятся довольно медленно, вследствие чего процесс вычисления но соответствую
121
шим формулам требует значительной затрагы времени. С другой стоооны таблицы, которые охватывали бы все возможные
, Коутов с пересекающимися осями и неравных кругов с параллельными осями и в то же время имели бы достаточно мятые интервалы изменения аргументов, были бы весьма ipo-моздкими, не говоря уже о том, что даже при наличии таких таблиц остались бы неохваченными другие, более общие случаи взаимного расположения кругов. Поэтому в тех случаях, когда требуется найти лишь числовое значение взаимной индуктивности для определенных размеров контуров и определенного их взаимного расположения, более целесоооразным является применение методов численного интегрирования. При этом в случае крузо-вых контуров, как показал Ф. Гровер (35], задача может быть сведена к использованию табулированных значений взаимной индуктивности коаксиальных кругов с последующим однократным численным интегрированием.
Рис. 58.
Подобный метод решения задачи может’ быть применен при любом взаимном расположении круговых контуров. Для большей определенности мы продемонстрируем его на примере двух контуров, оси которых пересекаются в центре одного из них."'
Расположим один из рассматриваемых кругов в плоскости лт, совместив его ось с осью z (рис. 58). Центр другого круга дол-е оеэтом'™ть на осиг, а ось этого круга составит V™ • Плоскость *z расположим так, чтобы в иен возможно °ИХ КРУð’ ЧТ° В Рассматриваемом случае всегда
Рассмотрим какой-либо элемент dl второго косга тою к>-женный в точке Р, и определим его положений цш.тшшьным У1ЛОМ г, отсчитываемым от радиуса, параллельного осн х. Опустим 122
ii3 точки Р перпендикуляр PQ па ось z и разложим элемент dl с током I. па три составляющих: вдоль оси г, вдоль прямой QP п вдоль прямой, перпендикулярной к QP и к оси z. Легко видеть. что магнитные потоки, обусловленные первыми двумя составляющими и сцепляющиеся с кругом 1, равны нулю, так как первая составляющая перпендикулярна плоскости этого круга, а вторая лежит в плоскости его симметрии.
Отсюда следует, что взаимная индуктивность элемента dl п крута 1 обусловлена только третьей составляющей этого элемента. Эту третью составляющую можно рассматривать как расположенный в точке Р элемент (Г/- кругового контура X с центром в точке Q и с радиусом р = QP. В силу симметрии имеем.
очевидно:
щ М' сП.
у— или dM. = —----------
(198)
где 7И; —взаимная индуктивность круга X и круга 1, dM} — взаимная индуктивность элемента dX fa следовательно, и элемента d/) с кругом 1.
Координаты точки Р суть:
х = /?»cos с? cos 6, j =/?, sin q=, z = a — cos qj sin 6,
откуда следует, что радиус круга X равен
р = + у- = 1^1 — cos2 q> sin2 о
и что расстояние между кругом X и кругом 1 равно h — z — = а — Р2 cos tp sin 6.
Направляющие косинусы элементов dl и d\ равны соответственно:
— sinq> cos0, cos®, sin? sin О,
— — sin ©, cos q> cos 0, 0. p •’ p
Поэтому косинус угла между dl и dX равен -у- cos 6, и мы имеем.
dX = cos 6 dl = — cos 0 dq>. P P
Подставив значение dX в формулу (198), получим:
d/W^^Icosed^i^-cosed,. (199)
где А —1^1 — cos2 qj sin2 6.
Таким образом, г ... cose с Л1К dq> (200)
М = J dM\ — i J А- ’
123
.. стмоватетыю, задача действительно свелась к однократному численному интегрированию, так как значения взаимной индуктивности Л1Х могут быть пли вычислены по формулам § 28, или пзяты из табл. 16 и 17, приведенных во 2-й части книги.
Пои расчете не следует забывать, что радиус круга л равен р, а расстояние между кругами 1 и X равно Л. Поэтому при пользовании формулами § 28 и табл. 16 и 17 следует для каждого значения <₽ вместо R. подставить р = R.A, а вместо h — его значение: h—-a—/?2 cos с? sin 6. Модуль Я, определяющий значение Afx, или соответствующий ему дополнительный модуль k' должны быть найдены по формулам:
4/?1Р_________________4-j.A____.
(^1+р)2+^2 1 + °2 + ;'2 — 2ао cos <Р sin в + ^А ’
„ _ 2 _ 1 + а2 + с2 — 2аЪ cos q> sin 0 — 2x4
" ~ 1 + а2 + 62 — 2зо cos <р sin в + 2x4 ’
(201)
где
(202)
/?*> £ & я = 7еГ ’8 = :7л-
Заметим также, что при пользовании таблицами удобнее представить формулу (200) в несколько ином виде, введя в нее явно величину F, данную в таблицах. Заменив Му через j/Rtf F-= F, получим:
7H = ^rWcos6/-^-.
° «л2’
Процесс расчета по формулам (200) и (202) требует вычисления модулей k или k', соответствующих каждому взятому значению е. В тех случаях, когда не требуется высокой степени точности этого можно избежать, определяя входящие в формулу (200) величины Му по кривым рис. 102 и 103, данным во 2-й части книги.
иллюстрации изложенного метода приведем численный пример. Пусть R1 = 20 cm, /?, = 10 cm, а = 20 cm, 6 = 30°.
Тогда cos6 _ 0,866 и sin 6 = 0,5; а — ,8=1. Интервал изме-
нения ¥ разобьем на 12 участков по 15° каждый. При <р О имеем А = V1 — sin2 6 = cos0 = 0,866 и А^ = 0,806.
ветствуюше₽чФ°РМуЛУр‘201-)' ПрИ ?==0 иайДем k'2 = ”,338. Соот-ствующее значение F, полученное из табл. 16, равно 2,76, и. следовательно, —А— _ 3 43.
АТ
124
°®: ™ яг- ''«"-'р—»
В результате получаем табл. 6. р Таблица 6
Значения k’2, F и —_
й’2 Г F 3 А" k'1 F F 1 A'l
0 0,338 2,76 3,43 105 0,412 2,05 2,08
15 0,337 2,77 3,38 120 0,442 1,81 1,90
30 0,337 2,78 3,24 135 0,471 1,60 1,77
4j 0,339 2,78 3,04 150 0,497 1,44 1,68
60 0,348 2,66 2,79 165 0,515 1,33 1,62
/3 90 0,363 0,385 2,50 2,29 2,53 2,29 180 0,521 1,29 1.61
Пользуясь формулой Симпсона, находим:
М = VR^R. cos 6-2,40 = ИбД)2 -0,866-2,40 = =2,94-10~8 Н =29,4 ед. CGSp0-
Изложенный в настоящем параграфе метод однократного численного интегрирования, как уже было отмечено, применим при любом взаимном расположении контуров. Формулы, необходимые для расчета по этому7 методу7 в различных случаях взаимного расположения контуров, приведены во 2-й части книги (стр. 185).
Глава пятая
индуктивности некоторых плоских контуров
§ 32. Общие замечания
Применяя метод участков (§ 3) и используя формулы и методы расчета индуктивностей отдельных проводов, данные в главе второй, можно найти собственные и взаимные индуктивности плоских и пространственных линейных контуров любой формы. В настоящей главе мы приведем формулы и укажем методы расчета некоторых плоских линейных контуров, представляющих наибольший практический интерес. Имея в виду использовать в дальнейшем метод участков, напомним, что собственная индуктивность каждого участка сложного контура согласно формуле (113) может быть представлена в виде:
1-п - — OR 4- А* — Q„,
125
д it Q/,- в общем случае определяются ((>5) и (114). В § И уже было отме-- " -----------------------
следовательно, в большинстве слу-этим в настоя-индуктивности
причем величины 4„ /'<•
чХ“о велн(чш2' A в Q* Для
чаевЬ“миСь»^ В соответствии с
щен главе мы будем определять собственные проводов по более простои формуле:
(203)
получаемой из (112) после отбрасывания двух последних членов." Здесь мы заметим лишь, что все приводимые ниже выражения, в которых используется формула (203), при желании могут быть уточнены, так как учет членов А,, и Qk никаких принципиальных затруднении не вызывает.
Для дальнейшего существенно, что величина Nk зависит только от формы и размеров оси провода, а величина Gk, пропорциональная длине провода, определяется, по существу, лишь формой и размерами поперечного сечения и характером распределение тока по сечению.
Применяя общую формулу (16) метода участков, для индуктивности контура из п участков можно написать:
£ = 2А +22^ = 24 + 22^-- 2<+. (204)
4=1 4=1 fc=l 4=1 4=1 Г=1 4=1
В дальнейшем мы будем предполагать, что форма и размеры поперечного сечения провода, из которого выполнен контур, одинаковы на всех его участках. При этом условии величины Gk можно представить в виде Gk = 1кН, где Н — величина, не зависящая от 1к и одинаковая для всех участков, откуда следует, что последняя сумма в формуле (204) равна G = 1Н, где I = lt + + 1г + ... + /„—общая длина всех участков. Таким образом,
/ = 2+л+2 2+А—G = N—G, (кфГ). (205) к=1 /г—i i=l
Величина G, зависящая, как и Gk, от формы и размеров поперечного сечения провода и от характера распределения тока по сечению, в различных случаях может быть определена так, как это указано в § 11. Поэтому в дальнейшем, пользуясь формулой (205), мы будем интересоваться лишь суммой 7V первых двух членов, зависящих только от формы и размеров рассматриваемого контура.
Здесь мы напомним лишь, что для проводов кругового сечения
G = ±-^(lnr- ’ ),
<де г - радиус провода, 11 ?, а ; можно найти по формуле (^j) или по табл. 11 2-й части книги.
Взаимная индуктивность Л) двух линейных контуров, как уже указывалось ранее (§ 8), от формы и размеров поперечного' сечения проводов и от характера распределения токов по сечениям не зависит. Поэтому М всегда выражается через величины определяемые только формой, размерами и взаимным расположением контуров.
В дальнейшем мы часто будем говорить о собственных и взаимных индуктивностях различных фигур, понимая под этим индуктивности контуров, имеющих форму этих фигур. Такое сокращение речи является общепринятым и ни к каким недоразумениям не приводит.
§ 33. Индуктивность треугольника
Найдем индуктивность треугольника со сторонами а, Ь, с. Формула (205) предыдущего параграфа принимает вид:
L = Na + Nb + Nc+2(Mab + Mac+Mbc)-G. (206)
Согласно формуле (63) для прямолинейных проводов
№ = ^(1п2/А-1),
причем в рассматриваемом случае вместо lh следует подставить соответственно а, b и с. Кроме того, формула (90) с учетом направления токов дает:
Маь =
\а 1п а 1--г + b In
4- “2аЬ с -|- с —
а + b Ь с
с + b — а _
и аналогично для Мас и МЬс.
Подставив найденные таким путем выражения для Nk и /И,;( в формулу (206) и произведя упрощения, получим:
L = угг In 2а + b In 2b -р с in 2с — 1(1 -р 1п /) -р
+ aln(7— 2o)-pftln(Z — 2^ + cln (7-2с)] — G, где l-=a-\-b + с — длина контура (периметр треугольника). В частности, для равнобедренного треугольника с = b, 1=а\-2Ь и, следовательно,
L = In 2я-р2б Jn 2b — I (1 -р In I) + a In (2b—a) -P 2b In «J — G.
Для равностороннего треугольника (a = b=c = I 3)
127
§ 34. Индуктивность прямоугольника
Применяя формулу (205) к прямоугольнику со и ь и учитывая, что взаимные индуктивности перпендику. р друг к другу сторон равны нулю, имеем:
L^2(Na+Nb + Maa + Mbb), где согласно формуле (63)
No=^(ln2«-1), Nb = (In 2b — 1)
и согласно формуле (50) с учетом направления токов л, !хо° Г1„ а +d d । b ~l
Maa = —~b-------------~ + —J,
M '':‘b Г1 * + d d 1 a
Мьь = — 2)Г|_1П“------r+-rj’
где d—диагональ прямоугольника.
Подставляя значения 'Nk и Mki в (205), найдем:
•- - 4 +2 <d - » - о] - о-
Если вместо произведения ab ввести площадь S прямоугольника и учесть, что а + b = где / — длина контура, то последнее выражение можно привести к следующему удобному для расчета виду:
L = <1п — о) — G, (208)
причем
2 с । a + d . 2/; < b -Ь d 4rf . q
— In—(— +-rln—I----------г + 2-
Нетрудно видеть, что величина у зависит лишь от отношения сторон прямоугольника и с изменением этого отношения изменяется в пределах от 0,0809 при -f- = 1 до нуля при а Ь. 'У •> G
Значения ср для различных значении отношения = а даны в табл. 22 2-й части книги.
§ 35. Индуктивности правильных многоугольников
Рассмотрим контур, имеющий форму правильного л-уголь-ника, и покажем, каким образом может быть определена его индуктивность. Так как все стороны многоугольника одинаковы, то в общей формуле (205)
24 = «4 =- » (In 2а — 1), k - I к
128
где о — сторона многоугольника. Сумма взаимных индуктивностей всех сторон многоугольника в силу симметрии рассматриваемой фигуры в п раз больше суммы взаимных индуктивностей между одной (например, л-ой) стороной и всеми остальными:
п п п—1
11мея в виду последнее индуктивность сторон п мулой (89) § 12.
Обозначим радиус окружности, описанной вокруг многоугольника, через половину центрального угла, соответствующего одной стороне, через я^я = половину центрального угла, соответствующего k сторонам, через 3 (р =Ая .
Из рис. 59 нетрудно найти следующие соотношения:
выражение, определим взаимную и к, для чего воспользуемся фор-
A'i — —
= ОА, = ОБ, = 7?—, 1 1 COS Р
Рис. 59.
= ОЛ3 = ОВг=7?-^-^
Dn = А,В, = 2Z? sin (? — я), D„ = 2R sin (? + я),
Dlt = A,B. = D., = A,B,= 2/? sin p, a — 2R sin a, <f = - — 2p,
J’j — x> cos *? — i cos P> J - — x- cos ® ~ cos & у, — Xj cos <p = D,„ cos (P — я), У1 — cos <? = D,2 cos (P + “)•
Подставляя приведенные здесь значения в формулу (8.) -
тывая направления токов в рассматриваемых проводах, некоторых тригонометрических преобразований наидс м.
Л4 , = 1*.°^ ‘л/г 4 т_
cos 23 cos р sin a
sin (? -Ь “) In
+ sin (3 — я) in
. (209)
9 -Л. Д. Цейтлин
129
Эта формула применима ко всем непараллельным М„рИ
гоугольника. Для параллельных сторон, имеющихся лишь п]ри п четном, применима формула (50) § 9, которая при замене на а, и на и на 2Z? = принимает вид:
. .____Г, 1 + Sin а __ 1_______Sin (? —»Г] _
2 к L sin (3— 7) sin а * sin я J
, п п »„ Г1 к
Так как для параллельных сторон k ~ , то 3 — №• — >
и последнее выражение можно написать в более простом виде:
ял Уо« П 1 + sin . 1
M„k ~ — ’o~ Hl----------------.----ь Ctg а .
лк 2 к L cos 1 sm я J
Из найденных выражений для Mnk видно, что всегда можно представить сумму всех М,.1: в виде произведения на величину, зависящую только от п. Отсюда следует, что искомая индуктивность контура всегда может быть представлена в форме:
A = n^[lna+/(/z)]-G,
где
/00 = ^ 5Ж+1Н2-1
есть функция только от п.
Например, в случае треугольника (п = 3, а = у) формула (209) дает:
Л131 = Мй2 = cos 2’sin 2з In In 3
•и 52 4n cos a sin '/ , a 4n 111 °’
tg у
и, следовательно,
f (n) = ~ «1 + M,z) + In 2 — 1 = In -j- — 1.
Таким образом,
что совпадает с формулой (207) § 33.
Значения f(n) для различных и даны в табл. 20 2-п части книги.
130
§ 36. Индуктивность ромба
Применяя формулу (205) к контуру, имеющему форму ромба (рис. 60) и учитывая симметрию фигуры, можно написать:
/. =
(210)
причем согласно формулам (63) и (1п2а—1),
(91)
, . о 1 1 + sin °
'Wi? = - Vrcos 2x1,1 -7ПГТ-’
,, Vcfl n 1 1 + cos °
cos 2a In—co—
где а—половина угла между сторонами ромба.
Взаимная индуктивность Л413 может быть определена по формуле (49). Полагая в ней Ь=а, с «cos 2т, Л — a sin 2а, после простых тригонометрических преобразований получим:
„ , ’ -' Cos а . , . 1 + •-in а ~1
| COS а + Sin а— COS2 а In ---Sin-а In-------1J .
Подставив выражения Alj,, /W1S, .И14 в формулу (210) изведя упрощения, найдем:
А = 2^(1 па—/(a)] -G,
и про-
(211)
где
, , sin n
f (a) = 2 — In 2 — cos a — sin a — COS- a In j ; -
— sin2 a In
COS a
1 г COS а *
М13
Зависимость f (г) от угла a показана на рис. 107 (стр. 189) для углов а от 5J до 45°. При 45°<.a<C90J справедливо равенство: /(а)- /(90°— а), непосредственно вытекающее из вида функции /(а).
§ 37. Индуктивность сектора
Применяя формулу (205) к контуру, имеющему форму сектора (рис. 61), можно написать:
L Nt Лгг + N3 ф 2 (Л/,. + Л413 + Л1=3) G —
== 2Л', + N2 + 2 (2 И,. + М13) — G, (212)
так как A/j — Л3 и 7И1г — Л!»;,.
131
9
MOI) (91) и формуле (70) 2-й част Согласно формулам (Ьо). (НИЛ (JU I 1 .
книги имеем:
Д', -^(1п2«—1),
Д'= "= [6 (1п 8я — 2) + 4 sin | + 4/ ,
Ж1г — Qsin2 In sin -у + cos2-j In1 4-
+ sin у 1— sin у J ,
M13-—cosOlnfl +
где a — радиус сектора. zoioc ,
Подставив значения Aj, N2, Afi;, /И15 н формулу (2 _) P язве TH упрощения, получим:
L = ^(2 -р 0) in 2« + 21 In 2 — 2 (1 + 0) 4- 4/ 4.
4-21nfl 4-sinyysin-|-j —G. (213)
Этой формуле, найденной автором [36], можно придать более простой вид:
А=-^-(1па —ф) —G, (214)
где I = (2 4- 0) а — длина контура, а величина 4, равная
= 2 + е {1 ~1,1 [2 sin vf1 + sin т)] + 0 ~ 41п 8 — 2/} ’
является функцией только от 0 и потому легко табулируется. Значения О для различных углов 6 даны в табл. 7.
§ 38. Расчет собственных и взаимных индуктивностей плоских контуров со взаимно перпендикулярными сторонами
Хотя расчет индуктивностей контуров сложной формы всегда может быть произведен с помощью метода участков, ио в ряде случаев индуктивности плоских контуров можно определить и не прибегая к этому методу. В частности, для обширною класса плоских контуров со взаимно перпендикулярными сторонами автор предложил метод |37], позволяющий снести онреде ление собственных и взаимных индуктивностей таких контуров к расчету собственных индуктивностей нескольких прямоуголь ников, для которых существует простая расчетная формула (208). 132
Значения Ф для сектора
Таблица 7
||О ф 0° ф Ь° * 0° •1»
3,453 80 0,954 180 0,514 280 0.410
10 2,777 100 0,808 200 0,479 300 0,444
•>о 2 104 120 0,701 220 0,453 320 0.180
40 1,496 140 0,621 240 0,437 340 0,569
60 1,166 160 0,560 260 0,429 350 0.686
80 0,954 180 0.514 280 0.410 355 1 0.830
Всегда можно добавить к рассматриваемым контурам один или несколько проводов так, чтобы в результате образовались только контуры, имеющие форму прямоугольника. На основании принципа наложения можно рассматривать каждый из основных контуров как совокупность составляющих его прямоугольников. Обозначая эти прямоугольники цифрами 1, 2, 3,..., п\ 1, 2, 3..., т, можно написать:
= + (k~i), (215)
Л-!
г? т м = 3 S Mki, k=i i=l
(216)
где Lk — собственная индуктивность /г-го прямоугольника, /И/.; — взаимная индуктивность k-vo и /-го прямоугольников.
Таким образом, собственные и взаимные индуктивности основных контуров всегда выражаются через собственные и взаимные индуктивности их составных частей и связаны с ними точно такими же .зависимостями, какими связаны соответствующие функции / в § 6 (формулы (34) и (36)].
Кроме того, легко убедиться, что взаимные индуктивности двух нар прямоугольных контуров, расположенных в одной плоскости так, как показано на рис. 62,
равны дру1 другу:
Л413 = М.<.
(217)
Справедливость этого равенства вытекает из того, что взаимные индуктивности перпендикулярных друг к другу сторон прямоугольников равны нулю и что каждой паре параллельных сторон (например, а и Ь) прямоугольников 7 и <3 соответствие точно такая же пара сторон (с и </) прямоугольников 2 и вследствие что Л1„ь
Впрочем четрхдпо было бы показать, что взаимные индуктивности .WIS и можно представить в виде:
!>о f f lis^s* М_____lJ0 [ [ фуФи
^,з=-4к\1 J~S“' -4~ 4r. J J ’
ST S, Л! '•
гпе г — пасстояние между Л, и </s3 или соответственно между Л и % и что следовательно, /Ии и М2., являются функциями именно'того вида, который был рассмотрен в § 6, откуда в силу теоремы о четырех прямоугольниках непосредственно вытекает равенство (217).
Из сказанного следует, что изложенный в § 6 метод, основанный на теореме о четырех прямоугольниках, может быть применен к расчету собственных и взаимных индуктивностей контуров со взаимно перпендикулярными сторонами. Применяя формулы § 6 и формулы, данные во 2-й части книги (стр. 150— 151), можно выразить каждую из взаимных индуктивностей в формулах (215) и (216) через собственные индуктивности нескольких прямоугольников, после чего правые части этих формул будут содержать лишь собственные индуктивности прямоугольных контуров, легко определяемые по простой формуле (208):
Lk = Nk—Gk, (218)
где
(219)
Следует заметить, что собственная индуктивность сложного контура содержит член (-—G), зависящий от формы и размеров поперечного сечения провода и пропорциональный периметру контура, а взаимная индуктивность двух линейных контуров, не имеющих общих участков, от сечений проводов не зависит и, следовательно, членов вида С не содержит. Поэтому, выразив собственные или соответственно взаимные индуктивности контуров через индуктивности /,д. прямоугольников и суммируя члены вида Gk, входящие в выражения для этих величин, мы должны получить член (—G) в первом случае и нуль во втором случае. Таким образом, результат сложения членов Gk можно написать заранее, не производя вычислений, и, следовательно, при определении собственных и взаимных индуктивностей кон-уров по рассматриваемому методу практически придется сум-лишь члены вида Nk, что существенно упрощает вычисления. -
Изложенный здесь метод расчета в ряде случаев оказывается Т. ™!„"рОСТЬ,м’ ,,ем метод участков. Для иллюстрации метода приведем два простых примера. 1
11ео^ход,,мо определить взаимную индуктивность двух рис 63 0Л, НЫХ ко,п'-'р0в’ Расположенных так, как показано на 134
Применяя теорему о трех контурах (§ 5), можем написать: 2Л/13 = 2.14(1 ХЗ) = /- (1. 2, 3) + L (2) L (1, 2) - £ (2. 3) л. учитывая, что члены вида бд. взаимно уничтожаются, будем иметь:
2/И (1 ХЗ) = N (1, 2, 3) + /V (2) — N(I, 2) — Л/ (2, 3).
Каждый из членов в правой части этого равенства может быть определен по простой формуле (219), после чего, сложив найденные величины, получим ответ. В качестве второго примера
I 3 ।
/ । г
5 ' 6
Рис. 63.
Рис. 64.
определим собственную индуктивность контура, изображенного на рис. 64. Присоединяя к контуру провода, показанные пунктиром, можем написать:
£(1,2, 5, 6) = ’ (1, 2) ф £ (5, 6) ф 2/И (1, 2X5, 6) и, применяя формулу (26) 2-й части книги:
М(1, 2X5, 6) = 4" И 0,2, 3, 4, 5, 6) + £ (2, 5) ф £ (1) + £ (3) ф + £ (4) ф £(6) — /.(1,2,3)—£(4,5,6) — £(1,4) — — £ (3, 6) — £ (2)—£ (5)],
найдем:
£ (1,2, 5, 6) = £ (1, 2) + £ (5, 6) ф -J- О’ - 3> 4’ 5’ 6) + L <2- 5-> + + £ (1) ф £ (3) ф £ (4) ф £ (6) —£ (1, 2, 3) —£(4.5,6) £(1.4) —
— £(3, 6)-£(2) —£(5)].
В соответствии со сказанным выше следует подставить вместо каждого из членов в правой части этого равенства соответствующую величину Nkr выражаемую по формуле (219), и уменьшить результат сложения па величину G, пропорциональную длине основного контура. Тогда расчет сведется лишь к определению величины G, зависящей от формы и размеров сечения провода и от характера распределения тока по сечению.
Нетрудно убедиться, что в обоих рассмотренных примерах расчет индуктивностей методом участков потребовал бы значительно более длительных вычислений, чем это необходимо но изложенному методх.
§ 39. Особые методы расчета индуктивностей плоских кошурок
Поть.пнсь методом наложения и применяя теоремы о дв\ < и трех контурах (§ 4 и § 5). можно выразить собственные ’ и взаимные индуктивности одних контуров через индуктивности Других контуров. В ряде случаев таким путем удается свести расчет неизвестных индуктивностей к расчету индуктивностей нескольких контуров, для которых уже имеются готовые формулы. Подобный’метод решения задачи в тех случаях, когда он возможен, обычно оказывается более простым, чем метод участков. Мы продемонстрируем этот метод на нескольких примерах.
Пусть, например, .мы имеем два сектора 1 и 3 одной окружности (рис. 65). Рассматривая контур oabcdo как совокупность трех контуров 1, 2 и 3 и применяя теорему о трех контурах:
д'^13 ~ (Д123 ^2 ^12 2з).
мы сводим определение взаимной индуктивности контуров 1 и 3 к вычислению индуктивностей нескольких секторов, каждая из которых определяется по простой формуле (214) § 37.
Зная Afls, можно легко определить собственную индуктивность z.J3 контура oabocdo, состоящего из контуров / и •?:
^-13 — l-i + 73 ф 2/И1я.
пои * нУтем находятся индуктивности любых конт\ -
р Ряссма-^ИХ И3 нескольких Секторов одной окружности.
УГОЛ! ниия ₽Рвая аЬс’ имеющий форму правильного гре-
3 4 имои>п£РИС’.КаК совокупность четырех конт\ рои I. 2.
’ ' 1ИХ такую же форму, можем написать:
1 1234 — 4L, ф 6,И1: -у 6/И14.
Но теореме о двух контурах:
~wi, = I и __ Lt = £и 2/,
п. следовательно.
^12 = -^(/123J + 2A1-3AI1).
(220)
(221)
Таким образом, взаимная индуктивность контуров 1 и 2 выражена через собственные индуктивности ромба с углом в 60° и двух равносторонних треугольников, т. е. через величины, для которых имеются готовые формулы (211) и (207).
Зная 4412, легко определить собственные индуктивности контуров (1, 2), (1, 2, 3) и (1, 2, 4).
Например, для равнобокой трапеции (1, 2, 4) с углом в 60э имеем: Л124 = 3/., + 444и + 2Л412 причем 4т1: и Л414 определяются но формулам (221) и (220).
Рассматривая контур, имеющий форму правильного шестиугольника (рис. 67), как совокупность двух трапеций (1, 2, 3) и (4, 5, 6), на основании теоремы о двух контурах имеем:
41(1, 2, 3X4, 5, 6) = [£ (1.2, 3, 4, 5,6) - 2/ (1, 2, 3)].
С другой стороны,
44(1, 2, 3X4, 5, 6) — 41(1X4) + 41(1X5) + 44 (1 Хб) + 41 (2X4) + + 44(2x5) + 44 (2X6) + 41(3X4) + 41(3X5) + 44(3> 6) = = 341 (1 Х4) 4 444(1 X 3) + 244 (1 х2).
откуда легко выразить 44(1X4) через L (1,2.3, 1,5.6), /(1,2.3). 14(1X3) и 41 (1> 2). Пользуясь еще форму ламп (220) н (221), можно выразить 44(1X4) через собственные индуктивности шестиугольника, цкшецпн, ромба и трехз ельника.
Ограничившись приведенными примерами, рассмотрим ещ<-изящный метод, примененный 11. Л. Калантаровым и В. [1. Воробьевым для расчета собственных индуктивностей некоторых плоских контуров с одним входящим углом (1]. Пусть мы имеем контур, состоящий из части правильного многоугольника и двух прямых, совпадающих с его радиусами или апофемами, например, контур oabcdeo на рис. 68. Дополняя контур до правильного многоугольника, можем написать.
£(1) = £(1,2) ф £(2) + 2/И(1,2Х2), где£(1), £ (2). £ (1, 2) - собственные индуктивности контуров oabcdeo, oafeo, abcdefa, а /И (1, 2X2)- -взаимная индуктивносп контуров abcdefa и oafeo. С другой стороны, из соображений симметрии следу ет, что поток взаимной индукции, обусловленный током в контуре abcdefa и пронизывающий контур oafeo, относится к потоку самоиндукции контура abcdefa, как угол а — /_аое к 2", и имеет обратный знак. Поэтому,
.Д (1,2X2) = - ,7 £(1,2),
и, следовательно,
£(1) = (1--£-)£(!, 2)+ £ (2).
Индуктивность £(1,2) правильного многоугольника известна. Если, кроме того, известна индуктивность £ (2) „вырезанной" из него части, то последняя формула позволяет весьма просто определить неизвестную индуктивность контура 1, что и было выполнено г, упомянутой работе для ряда контуров рассматриваемого типа.
Метод П. Л. Калантарова и В. И. Воробьева, очевидно, применим к контурам, получаемым не только из правильных многоугольников, по и из других симметричных фигур (круг, прямоугольник, ромб). Этот метод можно распространить и на контуры с несколькими входящими углами.
Пусть, например, контур состоит из нескольких одинаковых и симметрично расположенных секторов (/, 2, 3, 4) одной окружности (рис. 69). Удалив один из секторов (например /), получим фИ1 \ р\, состоящую из секторов 2, 3, 4. Так как в силу симметрии М (1, 2. 3, 4Х 1) = — _L L (1, 2, 3, 4), то
£ (2. 3, 4) = £ (I, 2, 3, 4) + £ (1) + 2Л4(1, 2, 3, 4x0 = = * £(1. 2,3,4)+ £(1),
ч’д?'ДОВаТеЛ1'1‘О’ еСЛ" ИНДУКТ|,ННОСТЬ исходного контура (1.2. 3,4) и шестна, то можно легко определить индуктивность кои тура (2, 3, 4).
138
Следу ei иметь в виду, что замечания, сделанные в предыдущем параграфе относительно определения членов вида О зависящих от формы и размеров поперечного сечения провода’ в полной мере применимы к методам, рассмотренным в настоящем параграфе. Поэтому, выразив собственную пли взаимную индуктивность контуров через собственные индуктивности L(k) других контуров, практически нужно суммировать не а лишь их составляющие Л (k), так как' результат сложения составляющих вида О(к), равный (—G) для собственной индуктивности и нулю для взаимной индуктивности контуров, не имеющих общих участков, можно написать заранее.
§ 40. Общая формула для индуктивностей плоских контуров
Все данные выше выражения для собственных индуктивностей плоских контуров могут быть приведены к одному общему для них виду:
?)-G, (222)
где /-—длина контура (его периметр), 5—охватываемая им площадь, О—величина, имеющая тот же смысл, что и в формуле (205), а у— величина, зависящая от формы контура и одинаковая для всех геометрически подобных контуров.
В самом деле, согласно формуле (205) можем написать:
/ = + (k^i)
k=l *=] I—1
или
z - % D" ¥+i % +V s 5-b. - <, -
-^(1п¥+л+в-с)-°-
Положив здесь A + В—С' =—у, получим формулу (222). Остается показать, что величина у зависит лишь от формы, по не от размеров контура, т. е. одинакова для всех геометрически подобных контуров. С этой целью предположим, что все размеры контура увеличены в р раз.
Обращаясь к формуле (112) для N.. и формулам (109) и (108) для U (X) и для И (X/, X»), мы видим, что при таком пропорциональном увеличении всех размеров контура V(X|, X.) не изменится, tVz (zx) увеличится на In/’, а примет значение Л''. — /’Л’д. ф 2° р\пр и, следовательно, .1 возрастет на In/’. Величина В не изменится, а величина С увеличится на hip. Таким образом, сумма 1 /J С - — у не изменится, и. следовательно.
п<Ьр\М,,14'1 М ' 1,10 '? Имес, одинаковое значение для
показать°ЛИ ,Р"ЧеСК11 "° w6ll,’,K контуров, что и требовало-1 ГпоямоугопНИГ Стп 410 Д'В1 Р>'Л:| контуров простой формы ния «А-.И1П1Ш1 г’ t1’ O'1,,fnn'> кр\т п некоторые другие) зпаче-BOTI НО узких mp?°W,liei1 !' <1,о1,мулу (222), заключаются идо-вольно \ зких пределах: от (— о птсп „„ z .
равнобедренного треугольника с m-Zum” кРУга до (+О.. О для Это обстоятельство да^т основ- п. ,У' Л°М "P“ вершине;
женного расчета иидук тавностщГ Д Р
форм гл Н ’ “HOCK II плоских контуров простую
г Pol f. 2S \
L --М111 ~1---<?<>)—О, (223)
в которой для ? принято некоторое среднее значение с0, равное, например, 0,15.
Очевидно, однако, что практическую ценность формула (223) будет иметь только тогда, когда будет показано, что для контуров различной формы можно с достаточным приближением приравнять ? некоторой постоянной величине ?0, например, положив? — 0,15.
Вопрос о значениях ? для контуров различного вида рассмотрен в следующем параграфе.
§ 41. Значения ? для контуров различной формы
Как уже было указано, значения величины ?, входящей в формулу (222), для ряда простых контуров без вводящих углов оказались лежащими в довольно узких предел,. (__0.079)+-(+0,307). Вопрос о значениях -s для контуров с од-
ним’входящим углом был исследован П. Л. Калантаровым и В. 11. Воробьевым (1]. Рассмотренные ими контуры изображены на рис. 70, а соответствующие значения ? даны в табл. 8. а видно из этой таблицы, ни для одного из копту ров рис. / у не выходит за пределы (—0,079)+-( + 0,307).
Применяя метод, изложенный в § 38, автор этих строк наше, значения ? для ряда контуров с двумя и более входящим» углами [37]. Форма контуров показана на рис. /1, а значения ? для них даны в табл. 9, из которой видно, что и для этих контуров ? заключается в указанных пределах.
Нетрудно, однако, показать, что существуют контуры, дл которых ? выходит за эти пределы. Действительно, обращая! ь к таб.1. 24 (стр. 194), дающей форму сектора, мы видим, 1 угла величина ? превосходи тле пределы. При дальнейшем быстро растет и уже при 6 =
Это обстоятельство отнку,......
быть объяснено следующим образом. 110
। значения ? для контура, имеющего что, начиная с некоторого значения /!Р5ВО(:.ХОДИТ 6,307, т. е. выходит за с казан-у1 возрастании угла V величин.! f 355° достигает значения 0,550.
дь не является случайным п можем
Рис. 70.
. „ Таблица А
Значения <? для контуров рис. ,0
№ I ф № контура Z vs
контура vs J ——
1 2 3,54 3,64 -0,079 -0,024 0,007 26 27 28 1:84 5,87 0,1 10 0,223 0,273
3,81 4.00 0,036 29 6,67 0,028
0,081 30 6,94 0,260
6 7 4 08 0,076 31 7,01 0,2;>2
4,15 0,102 32 7,70 0,087
g 4,30 0,120 33 8,01 0,276
9 4,37 0,067 34 8,26 0,018
ib 4,40 0,130 35 8,95 0,285
11 0.139 36 8,99 0,271
12 4,56 0,164 37 9,39 0,014
13 4,58 0,156 38 9,54 0,077
14 4,62 0,140 39 9,80 0,290
15 4,69 0,170 40 10,20 0,276
16 4,71 0,135 41 10,59 0,293
17 4,76 0,208 42 10,84 0,073
18 4,77 0,274 43 11,32 0,010
19 4,80 0,152 44 11,50 0,296
20 4,83 0,182 45 12,00 0,282
21 5,00 0,051 46 12,00 0,298
22 5,09 0,267 47 12,95 0,299
23 5,10 0,232 48 13,07 0,069
24 5,60 0,287 49 14,42 0,006
25 5,67 0.225 50 16,66 0,065
Рис. 71.
142
длина контура и
возможно, параметром р некоторого значения
Если угол 6 близок к 360°, то при его возрастании взаимная индуктивность прямолинейных проводов, образующих входящий угол контура, быстро возрастает по абсолютной величине, будучи отрицательной, прочие же индуктивности изменяются незначительно. Эго приводит к быстрому уменьшению индуктивности всего контура. Так как площадь, охватываемая контуром, и его длина изменяются незначительно, то, как видно из формулы (222), величина ® должна быстро расти.
То обстоятельство, что е> может значительно превзойти 0,307, не является характерной особенностью контуров, имеющих форму сектора.
Действительно, пусть индуктивность контура зависит от некоторого параметра р и
пусть с изменением р в некотором интервале охватываемая им площадь изменяются мало или совсем не изменяются, а взаимная индуктивность двух каких-нибудь участков контура быстро возрастает или быстро убывает при незначительном изменении собственных и взаимных индуктивностей прочих участков. Тогда жении )•"--------- " -----------
выйдет за * пределы (—0,079)-+(+0,307). Так, например, если контур , _ " ’
(рис. 72), то, хотя соответствующие расчеты нами и не производились, можно заранее утверждать, что, уменьшая угол о, мы придем к такому его значению 60, при котором ? будет больше 0,307.
Приведенные здесь общие соображения полностью подтвердились результатами расчета индуктивностей контуров, представляющих комбинацию секторов одной и тон же окружное™ [36], а также и некоторых других контуров.
что при дости-р0 величина ?
состоит из двух треугольников с общей вершиной
§ 42. О применении приближенной формулы
Соображения и примеры, приведенные в предыдущем пара- рафе, приводят к заключению, что формулой (222) с некоторым постоянным (например, равным 0,15) значеньем величины <?
можно безо!«порочно пользоваться для контуров, ш- имеющих \ казанных в этом параграфе особенностей. Лишь в тех случаях, когда контур содержит участки с относительно большой взаимной индуктивностью, принятие для ? среднего значения 0,15 может дать результаты, значительно отличающиеся от истинных. Именно отсутствие или наличие такого рода участков является критерием возможности пользоваться формулой (222) с некоторым одинаковым для всех контуров значением ?. Что касается входящих углов, то число их само по себе роли не играет, как это видно из примеров, приведенных в предыдущем параграфе.
Простая формула
где — некоторое постоянное число, равное, например, 0,15, весьма удобна для определения собственных индуктивностей плоских контуров в случаях, не требующих большой точности расчета. Погрешность этой формулы, обусловленная принятием для □ некоторого постоянного значения, зависит от соотношения между размерами контура и размерами поперечного сечения провода, а именно, она уменьшается при относительном увеличении размеров контура.
Часть вторая
РАС ЧЕТНЫЕ ФОРМУЛЫ И ТАБЛИЦЫ
УКАЗАНИЯ К ПОЛЬЗОВАНИЮ
При пользовании второй частью книги необходимо иметь в виду следующее:
1. Во второй части приняты следующие общие обозначения:
Ро — магнитная проницаемость пустоты;
Р—магнитная проницаемость вещества провода;
1 — удельная проводимость вещества провода;
ш — угловая частота переменного тока;
/, 4— токи в проводах или контурах;
j — плотность тока;
V— объем;
s—площадь поперечного сечения провода;
X — периметр поперечного сечения провода; г—радиус поперечного сечения провода.
2. Принято, что р-=Ро> если не оговорено противное. В случаях, когда р=£р0, предполагается, что р = const, т. е. не зависит от магнитного состояния вещества.
3. Под линейными проводами и контурами понимаются провода и контуры, размеры и взаимные расстояния которых значительно больше линейных размеров их поперечных сечений.
4. Под низкой частотой понимается частота, при которой можно считать, что ток в каждом проводе равномерно распределен по его сечению.
Под весьма высокой частотой понимается частота, при которой можно считать, что ток в каждом проводе сосредоточен лишь в весьма тонком слое вблизи его поверхности. При этом, как правило, предполагается, что ток распределен по этому слою, т. е. по периметру сечения провода, равномерно.
5. Все выражения даны в рациональной форме [39]. При желании перейти к нерациональной форме следует все приведенные в книге выражения для индуктивностей и их составляющих умножить на 4к.
6. При пользовании принятой в СССР системой единиц MKSM ("метр, килограмм, секунда маги) индуктивности, найденные по приведенным в книге формулам, будут выражены в геирп |39|. Для перехода к единицам системы CGSp,, чистовые значения индуктивностей, выраженные в геирп, следует умножить на 10 •
Ю —Л. А. Цейтлин
I. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ, ФОРМУЛЫ И ТЕОРЕМЫ
1. Определения
Собственная индуктивность контура
где / — ток в контуре, — его поток самоиндукции, т. е. полный магнитный поток, сцепляющийся с контуром и обусловленный током z в нем.
Взаимная индуктивность контуров 1 и 2
4112 = м
= =
'h ' Ч ’
где ?т и z2— токи в контурах, Ч’1Л1 и W2Af—их потоки взаимной индукции, обусловленные соответственно токами z’2 и 1г.
2. Основные выражения
1) Собственная индуктивность контура При постоянном токе и низкой частоте
_ _L J J TWrfsWs",
5 А'
при весьма высокой частоте
X X где
(1)
(2)
(3)
взаимная индуктивность двух нитей тока /' и проходящих через элементы ds и ds" площади s поперечного сечения контура или соответственно через элементы di.' и z/k" периметра X попе-ЕешН°п° сечения контура, di' и dl" — элементы длины нитей /' и z , и~ расстояние между dl' и dl".
2)Взаимная индуктивность контуров
При постоянном токе и низкой частоте
О)
при весьма высокой частоте
гче Д1—определяемая по формуле (3) взаимная индуктивность твдх нитей тока /' и I", проходящих через элементы ds' и ds" ii тоща той Sj и поперечных сечений контуров или соответственно через элементы dl' и dk" периметров Л, и >2 поперечных сечений контуров.
Взаимная индуктивность двух л ине й в ы х контуров при любой частоте может быть определена по формуле (3), где I’ и I" ~ осевые нити контуров.
3. Метод участков
Собственная индуктивность контура, состоящего из п участков, и взаимная индуктивность двух контуров, состоящих соответственно из и и т участков, могут быть представлены в виде:
L - 2 Lk + 2 2 (* О, (6)
Л—1 1
п tn
M = (7)
k=l /—1
где Lk—собственная индуктивность k-ro участка, Мы—взаимная индуктивность k-ro и Z-го участков.
Величины Lk и Mki при постоянном токе и низкой частоте могут быть определены по формулам:
\Mkds’ds", (8)
k sk sk
= Mkiddds", (9)
sk S/
а при весьма высокой частоте—по формулам:
Lk = ± f (MkdddK", (10)
лх J у
4 >7 где
<i2>
V I"
взаимная индуктивность двух нитей тока V и проходящих через элементы ds' и ds" площади sA, или соответственно через элементы d'd и dd' периметра поперечного сечения k-ro хчастка, а Мы — то же для нитей, проходящих через элементы площадей S/, и А,- или соответственно периметров н \ попе-
10’ 147
печных сечений k-ю и /го участков, I) рассюяние между Элементами длины <//' ч ‘//п нитей I и I .
Интегрирование ио нитям / и I производится лини, в пределах соответствующих участков.
Взаимная индуктивность двух т и и е и и ы х проводов (двух участков линейных контуров) при любой частоте мож< т быть принята равной взаимной индуктивности Mki осевых нитей 2 и /"
этих проводов:
Г I"
rfl Д1" Г)
(13)
Формулы (6) и (7) сводят определение собственной индуктивности" контура и взаимной индуктивности двух контуров к определению собственных и взаимных индуктивностей отдельных участков, из которых эти контуры составлены.
4. Теорема о двух контурах
ЛГП=—(£1: "£|
(14)
где Ln— индуктивность сложного контура, состоящего из двух контуров, /.j и £2 — индуктивности этих контуров, /И), — их взаимная индуктивность.
5. Теорема о двух участках
(15)
гДе ^12—индуктивность провода, состоящего из двух участков, и L, — индуктивности этих участков, /И),— их взаимная индуктивность.
6. Теорема о трех контурах
=4-^ + /г-£12-/2=>-
гДе Дзз — индуктивность сложного контура, состоящего из трех контуров — /, 2, 3; £1; и £23 — индуктивности контуров, состоящих соответственно из контуров 1, 2 и 2, 3; L, — индуктивность контура 2; М13 — взаимная
индуктивность контуров 1 и 3 (рис. 73).
7. Теорема о трех участках
71413 ~ (£1гз -|- £, £1; — 723),
('7)
?12слеп1и^Уп<Т^ВНОСТЬ Г1Ров°Да> состоящего из трех участков
' У ДРУ1' за другом в порядке их номеров; £1; и £
148
Рас. 7 1.
дольников 1, 2, 3, 4, рас поло
индуктивности проно ion, состоящих соответственно из участков /. 2 и 2, •>; индуктивность участка 2; Л413 —взаимная индуктивность участков 7 и 3.
8. Теорема о четырех прямоугольниках
Если Е. у, ч) —функция координат х, I, у, т„ (рис. 74), симметричная относительно х и Е, а также относительно у и г„ т. е. функция, удовлетворяющая условию:
¥ (х, Е, у, vj) = '
= е (I, х, т„ у), (18) в частности, любая функция расстояния г = ]/(Г-^)2-Н’4—Ж И ,!
Д(1 X 3) = J ( Л'1 $3 7(2 X 4) - [ [ <sds2ds4, $2 Ъ где sn ss, $4 — площади женных согласно рис. 74, то
Г(1ХЗ)=Е(2Х4). (19)
Вычисление величин вида
F(ky i) = J ]' <fdskds,- (20)
Ч ч для двух любых лежащих в одной плоскости прямоугольников k и z с параллельными сторонами может быть сведено к вычислению нескольких величин вида
1 (k) = J [ <fds’^ds’’, (21.)
'll sk
1де —та же функция координат, что и в формуле (20), а интегрирование производится дважды по площади sk А’-го прямоугольника.
Данные ниже формулы относятся ко всем возможным случаям взаимною расположения прямоугольников А’ и i.
Для расположения по рис. 75
Е(1Х2)~ ’ |Е(1, 2)-Е(1) —Г(2)]. (22)
1 19
Для расположения по рис. 76
Л(1х3) = 4-|/--(1,2.3) +^(2)-НЬ2)- /42,3)1- (2^
Для расположения по рис. 77
I (1 X4)=F(2 \3) = ^-[F(l, 2, 3, 4) + F(l) +/42) +/43)-f-+ F(4) —F(l, 2)—F(l, 3) —F(2, 4) —F(3, 4)]. (24)
Рис. 75.
Рис. 76
1 2
2 и 4
Ряс. 77.
Для расположения по рис. 78
7(1 X 6) =Л (3X4) =4~ [F(l, 2, 3, 4, 5, 6) + F(l, 2) + F (2, 3) + 4-Л(2. 5) + F(4, 5)4- F(5. 6) — F(l, 2, 4, 5) — F(2, 3, 5, 6)-
— F(l, 2, 3) — F(4, 5, 6) F(2) — F(5)]. (25)
1 2 1 3 1 П 3 I I
4 i 5 6 4 5 6
Рис. 78. Pnc. 79.
Для расположения по рис. 79
Ffl’ 2 X 5, 6) = F(2, 3 X 4, 5) = -L [/Д1. 2. 3, 4, 5, 6) + F(2, 5) + + /7(I) + /?(3) |- F(4)+ F(6) — Fri,2, 3)—F(4, 5. G)- F(1. 4)-— F(3, 6) —F(2)—F(5)l. (26)
150
'(ля расположения по рис. 80
5(1X9) 5(3' ?)= J [f(l,2,3,4,5,6,7,8,9)+/(l,2,4.5)-L 4 5(2, 3. 5, 6) I- F(4, 5, 7, 8) + Г(5, 6, 8, 9) + F (2, 5, 8) + + 5(4, 5, 6) 5 5(5) —5(1, 2, 3, 4, 5, 6) —Л (4, 5, 6, 7, 8, 9)
Г(\. 2. I, 5, 7, 8) — F(2, 3, 5, 6, 8, 9) — F(2, 5) -F($, 5) —
-5(5, 6)-5(5, 8)]. ’ (27)
’(ля расположения по рис. 81
5(1, 2 X 8. 9) = 5(2, 3 X 7. 8) = J-[5 (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) + + 5(2, 5.8) + 5(4, 5. 6) + 5(1, 4) + 5(3, 6) + 5(4, 7) + 5(6, 9)+ + 5(5) -5(1, 2, 3, 4, 5, 6) —5(4, 5, 6, 7, 8, 9)-5(1, 4, 7)-
-5(3, 6, 9)- 5(2, 5) — 5(5, 8)— 5(4)— 5(6)]. (28)
1 2 - п 3 -1
. « 5 6
г L7— 9
Гис. SO.
1 “ 2 i i “ 3 3 i
4 5 6
7 — 9
Рис. 81.
Всякая тоская фигура, ограниченная ломаной линией со взаимно перпендикулярными сторонами, может быть рассматриваема как совокупность нескольких прямоугольников.
Для любой такой фигуры А, состоящей из п частей,
5(A) /(1,2,3.......») = S/rW + ^V)5(ftX/), (й . 0,(29)
< = 1 Л=1;=1
где 5(/г) и F(kXi) — величины, определяемые формулами (21) и (20), а
5(A)= -ids'ds"
— величина вида 5 (k), относящаяся ко всей рассматриваемой фигуре.
Для двух фигур А п В со взаимно перпендикулярными сторонами
5 (А х В) = 2S 2 F(k X /). ('>())
151
,.ле я —число прямоугольников, из которых состоит фшура А. т — то же для фигуры Л, а
F(A X В) = J f <fJsAdsB
SA SI3
— величина вида F(k X i), относящаяся к фигурам А и /1.
Ветчины F(k'Xi'), входящие в формулы (29) и (30), с помощью формул (22) —(28) выражаются через величины вида /•'(£), и, следовательно, для сложных фигур со взаимно перпендикулярными сторонами вычисление величин F (А) и Г(АУ И) сводится к вычислению нескольких величин вида F (k), в чем и заключается метод, основанный на теореме о четырех прямоугольниках.
9. Максвеллов принцип средних геометрических расстояний
Индуктивность провода постоянного сечения (или контура из такого провода) при равномерном распределении тока по сечению равна взаимной индуктивности двух одинаковых эквидистантных нитей, имеющих такую же форму и размеры, как ось рассматриваемого провода (контура), и отстоящих одна от другой на расстояние, равное среднему геометрическому расстоянию площади поперечного сечения провода от самой себя.
Принцип Максвелла позволяет определить собственную индуктивность провода (контура), если известна взаимная индуктивность соответствующих нитей, и наоборот.
О точности метода см. § 19.
И. СОБСТВЕННЫЕ И ВЗАИМНЫЕ ИНДУКТИВНОСТИ ПРОВОДОВ
1. Собственная индуктивность линейного провода
Собственная индуктивность линейного провода может быть представлена в виде:
L = N— G-f-A — Q, (31)
где Л—величина, зависящая только от формы и размеров оси провода и не зависящая от формы и размеров поперечного сечения провода и от характера распределения тока по сечению; G, А и Q — величины, зависящие от формы и размеров поперечного сечения и от характера распределения тока по сечению. Обычно разность А — Q пренебрежимо мала по сравнению с разностью Л — G, и тогда
Л=Л/—G. (32)
Относительно определения G, А и Q в различных случаях — см. ниже (п. 2).
152
Значения TV для проводов различной формы
1) Прямолинейный провод
N=^(In2(—1), (33)
где /—длина провода.
2) Провод, изогнутый по дуге окружности
ЛГ = -^[б(1п8!? — 2) + 4sin y + 4/J, (34)
7? —радиус окружности, по дуге которой изогнута ось провода, О__центральный угол, соответствующий длине провода,
]__величина, значения которой для различных углов 6 даны
в табл. 10.
Значения (—7) в формуле (34)
Таблица 10
0° — 1 6° 0° — 7 0°
0 0,0000 360 90 0,7529 270
5 0,1052 355 95 0,7715 265
10 0,1803 350 100 0,7887 260
15 0,2439 345 105 0.8047 255
‘20 0,3000 340 110 0,8195 250
25 0,3506 335 115 0,8332 245
30 0,3968 330 120 0,8458 240
35 0,4393 325 125 0,8572 235
10 0,4786 320 130 0.8676 230
45 0,5151 315 135 0,8774 225
50 0,5492 310 140 0,8852 220
55 0,5809 305 145 0,8925 215
60 0,6107 300 150 0,8988 210
65 0,6385 295 155 0.9011 205
76 0,6615 290 160 0.9083 200
75 0,6889 285 165 0,9117 195
ко 0,7117 280 170 0,9141 190
85 0,7330 275 175 0.9155 185
90 0.7529 270 180 0.9160 180 1
153
При угле 0. близком к 2*. т. е. для случая почти замкнутого кругового кольца
Д/-= (]П 8/?-2) + 7 (In -f + 1)], (35)
где у — 2я — 6 1
Для замкнутого кругового кольца (0 2к, у - О)
N = u0Z?(ln 8? —2). (36)
3) Криволинейный провод произвольной формы i
(37)
О
W/,) = lim | V(llr /,—/0 + 111(2/},) I, (38)
A -> 0
/, и /.— криволинейные коорди-.Д-+1 наты, отсчитываемые вдоль оси / провода от одного из его концов
'-\+ (рис. 82),
D у1' f ^-dlz, (39)
/ о
Рис. 82. 1) и D — соответственно угол и
расстояние между элементами длины <//, и dlz, V(11, /,—h) — значение функции И (/,, /,) при К = к — h, Dh — хорда, стягивающая малую дугу h.
Как правило, величина N не выражается в конечном виде через величины, определяющие форму и размеры провода. В подобных случаях N можно определить методом численного интегрирования (см. § 18).
2. Определение величин G, А и Q
1) При Ленин тока низкой частоте (при равномерном по сечению) распреде-
(40)
(41)
(42)
.де р, a, q среднее геометрическое, сроднее арифметическое и среднее квадратичное расстояния площади поперечного сече-154
пня пронода от самой себя, /— длина оси провода, О_______рас-
стояние Mt жду крайними точками оси пронода.
2) При весьма высокой частоте G, А и Q могут быть определены по формулам (40) —(42), где g, a, q - среднее геометрическое, арифметическое, квадратичное расстояния периметра поперечного сечения провода от самого себя (предполагается, что ток сосредоточен в весьма тонком поверхностном слое п распределен по периметру сечения равномерно).
При желании учесть магнитный поток внутри провода, величину G следует уменьшить на L-v где
£,
(43)
причем предполагается, что р = const.
При р, зависящем от магнитного состояния вещества провода,
£ =0,84-г-1/ , (44)
* Л г
причем ре—магнитная проницаемость, определенная по основной кривой намагничения вещества провода при напряженности поля, равной , где / — действующее значение тока в проводе.
3)Для провода кругового сечения:
а) при низкой частоте (ток распределен по сечению равномерно)
. 128 „
“ l1» 90гД Г-
О = -?Я
где I и D—то же, что и в формулах (40) и (42):
Ь) при весьма высокой частоте (ток сосредоточен в поверхностном слое)
^4 — Ро Л
155
с) при любой частоте и р-/-!'•<>
Л = -^(2-|^)г, Hbj
Q = ^(2-’)'-2- (*7)
;=J^E,
P'O
., 4 ber kr ber’ kr -I- bei kr bei' kr
; — 77 ber'2/гг 4-bei'2 Ar ’ °>
й= 1/u.yw. ber kr и bei kr—вещественная и мнимая составляющие бесселевой функции JQ(krV—J) первого рода нулевого порядка, ber' kr и bei'^r—производные от ber kr и bei£/' по kr. Значения ; для kr от 0 до 100 даны в табл. 11.
При kr < 2 можно пользоваться формулой:
а ври Лг> 5 формулой: е 1 3__3_
х 64л3 128 т4
где х =
kr
V8 ’
4) Д л я трубчатого провода:
а) при низкой частоте (ток распределен равномерно по сечению)
G =-^-Г 1п г
44 j г 1 Зу2 —г2Д (г2 — 92)2 П q “Г 4 л2 —у2 J ’
(49)
/ длина провода, q и г—его внутренний и внешний радиусы; Ь) при весьма высокой частоте
с) при
любой частоте
G= g In
(50)
(51)
где £( составляющая индуктивности, обусловленная Мишиным потоком внутри провода и равная деленной на /ш мнимой части выражения:
Z - - i k (аг) — 7'Ко (tr) (5“’)
2п/,г /'„(яг) —7Х'0(тг) ’
156
Таблица 11
Значения 5 для провода кругового сечения
кг е kr е kr
г—~^
0 1,0000 5,2 0,5351 14,0 0,2016
0,5 0,9998 5,4 5157 14,5 1947
0,6 9997 5,6 4976 15,0 1882
0,7 9994 5,8 4809 16,0 1765
0,8 9989 6,0 4652 17,0 1661
0,9 9983 6,2 4506 18,0 1569
1,0 9974 6,4 4368 19,0 1487
1,1 9962 6,6 4239 20,0 1413
1,2 9946 6,8 4117 21,0 1346
1,3 9927 7,0 4002 22,0 1285
1,4 9902 7,2 3893 23.0 1229
1,5 9871 7,4 3790 24,0 1178
1,6 9834 7.6 3692 25,0 1131
1,7 9790 7,8 3599 26,0 1087
1,8 9739 8,0 3511 28,0 1010
1,9 9680 8,2 3426 30,0 0942
2,0 9611 8,4 3346 32,0 0884
2.2 9448 8,6 3269 34,0 0832
2,4 9248 8,8 3196 36,0 0785
2,6 9013 9,0 3126 38,0 0744
2,8 8745 9,2 3058 40,0 0707
3,0 8452 9,4 2994 42,0 0673
3,2 8140 9,6 2932 44,0 0643
3,4 7818 9,8 2873 46,0 0615
3,6 7493 10,0 2816 48,0 0589
3,8 7173 10,5 2682 50,0 0566
4,0 6863 11,0 2562 60,0 0471
4,2 6568 11,5 2452 70,0 0404
4,4 6289 12,0 2350 80,0 0354
4,6 6028 12,5 2257 90,0 0314
4,8 5785 13,0 2170 100,0 0.0283
5,0 0,5560 13,5 2090 СО 0
157
где к lzi“u+, a = 1 == Л//, гиг/ наружный и внутренний
радиусы провода, I — его длина,
/0 (ar) = ber kr + j bei kr, K(, (ar) = ker kr + J kei kr
— модифицированные бесселевы функции первого и второю рода нулевого порядка,
/р (ar) = е 1 4 (ber' kr + J bei' kr),
Ko (ar) == e j 4 (ker' kr + j kei' kr)
— их производные no ar,
T=-Jo^ (53)
Ko O/)'
Значения функций berx, beix, kerx, kei x и их производных должны быть взяты из таблиц бесселевых функций. *)
Если kr и k(г—q) = -kt достаточно велики (больше 5). то внутренняя индуктивность трубчатого провода может быть найдена непосредственно по формуле:
£=^iLJx__3_______з_ ,
' 8пл2 IЛ 64.V 128х2 • • '
+ е ‘"шт ; +3 ?)•••]-
|'2х_|Д + 3(1)...]}. (54)
kr vpe X — —- .
V8
3. Взаимная индуктивность двух прямолинейных проводов
В настоящем пункте провода, за исключением особо оговоренных случаев, предполагаются линейными.
1) П а р а л л е л ьн ы е провода одинаковой длины, расположенные согласно рис. 83
л/ — ~ in+ )
) некоторых справочниках вместо таблиц функций ker v, kei v и их В°ДИЬ1Х даны таблицы функций liei л, hei л и их производных, г' 'ни могут быть выражены через другие по формулам:
кегл = — ” hetx, keix-= * her.v.
158
(токи предполагаются протекающими в одном направлении).
При /^Л
Д)= ----1+—------1 --+ 1 fe- 'i
2п V Л I 4 Р + 32 74 • • ’) •
Если, наоборот, Л I, то
м = П _ J_ + L ? ----------"7—
-Wi L О *2 т *Ю л4 • • • J • '
I ----------i--
Расчет М при любом у можно произве- I
сти по формуле: Рис. 83.
M^^F, (56)
взяв значения F из табл. 12 или 13.
Если расстояние h между осями проводов соизмеримо с линейными размерами их поперечных сечений, то, предполагая, что / h, имеем:
М = N— G 4-Д — Q, (57)
где
Л/'=^(1п2/—1), (58)
а величины G, А и Q определяются по формулам:
О=^ШЙ2, А = ^а1г, (59)
причем при низкой частоте Й2, «12, д1г — среднее геометрическое, среднее арифметическое и среднее квадратичное расстояния площадей поперечных сечений проводов друг от друга, а при весьма высокой частоте й;, а1г, qx,— среднее геометрическое, арифметическое и квадратичное расстояния периметров сечений проводов друг от друга.
Если разностью А— Q можно пренебречь, то
М =Цо/(111 2/ — 1).
2к к ^,2 )
2) Параллельные провода в общем случае (рис. 84)
М = [a In (а + V а2 + Л2 ) — ₽ In (₽ -Е А2 ) -
— 7 1н (т + 4 Л2) 8 1н (8 + 82 + Л2) —
— Ка’Ер?/2 + KF+7E 4- —
где а — Ь + с., р с, у b + е — а, 8 = с — а (токи предполз-1аются протекающими в одном направлении). Определение 159
Таблица Т2
Значения /*' в формуле (об)
h 1 /' у 1 Л I h 1 I
0,050 2,7382 0,20 1,4926 0,50 0,8256
55 2,6479 21 1,4528 52 0,8016
60 2,5657 22 1 1152 54 0,7789
65 2,4905 23 1,3797 56 0,7571
70 2,4212 21 1,3160 58 0,7370
0.075 2,3570 0,25 1.3139 0,60 0,7176
80 2,2973 26 1,2831 62 0,6992
85 2,2415 27 1,2514 64 0,6817
90 2,1891 28 1,2267 66 0,6650
95 2,1398 29 1,2002 68 0,6190
0,100 2,0932 0,30 1,1749 0,70 0,6338
105 2,0492 31 1.1506 72 0,6193
110 2,0074 32 1,1273 74 0,6054
115 1,9677 33 1,1019 76 0,5920
120 1,9298 34 1,0835 78 0,5792
0,125 1,8937 0,35 1,0628 0,80 0,5670
130 1,8592 36 1,0129 82 0,5552
135 1,8262 37 1,02.38 84 0,5439
140 1,7944 38 1,0052 86 0,5330
145 1,7639 39 0.9874 88 0,5225
0,150 1,7346 0,40 0,9702 0,90 0,5124
155 1,7065 11 0,9536 92 0,5027
160 1,6791 42 0,9.375 94 0,4934
165 1,6532 43 0,9219 !6 0,4843
170 1,6279 44 0,9068 98 0,4756
0,175 1,6035 0,45 0,8922 1,00 0,4672
180 1,5799 46 0,8781
185 1,5571 47 0,8644
190 1,5349 48 0,8511
195 1,5134 49 0,8381
0,200 1,4926 0,50 0,8256
160
J* Л Значения f в формуле (56) Таблица 13
I h F
1,00 0,4672 0,50 0,2451
0,93 4588 48 2357
96 4505 46 2262
91 4421 44 2166
92 4336 42 2071
0,90 0,4251 0,40 0,1975
88 4166 38 1858
86 4080 36 1781
84 3993 34 1684
82 3906 32 1587
0,80 0,3819 0,30 0,1489
78 3731 28 1391
76 3643 26 1293
74 3554 24 1194
72 3461 22 1096
0,70 0,3374 0,20 0,0997
68 3281 18 0898
66 3193 16 0798
64 3102 14 0699
62 ЗОН 12 0599
0,60 0,2918 0,10 0,0500
58 2826 08 0400
5G 2733 06 0300
54 2640 04 0200
52 2546 02 0100
0,50 0,2451 0,00 0.0000
взаимной индуктивности параллельных проводов в общем случае (рис. 84) может быть сведено к определению взаимных индуктивностей нескольких пар проводов, расположенных согласно рис. 83, а именно:
2Л1 = Мй+/;+5 + - Мь+„ (60)
где Ma,h,.t Mit Л4а|., Л1Ь^& определяются по формулам предыдущего подпункта при I. равном соответственно Iа b + S|, Pi, l«l-q,'/> + q.
} 1 n » I . • 161
-1 I !,<•»<UflfH
В частности, для расположения по рис. 85, а
2М-М„+р + -Мр-Mq, (61)
для расположения по рис. 85, b и 85, с
2М=Ма + Мь — Ма_„, (62)
2М^-Ма^—Ма — Мь. (63)
Вычисление величин, входящих в правые части формул (60), (61), (62) и (63), можно производить и с помощью формулы (56) и табл. 12 и 13.
3) Прямолинейные провода, сходящиеся в одной точке (рис. 86)
> р ь д
а) ; th
I------1
а b 1------1,
& I\h а
Рис. 85.
Рис. 84.
Ь
ДТ— “о + Ъ2 — с2 Г а + Ь + с , . а + Ь 4 с~| . .
м - 2а6 Lfl 1П с~Г^ + b 1п Р+Ъ^-а J <64>
(токи предполагаются направленными от общей точки).
В частности, при a = b = I
(если заданы а, b и угол <р между проводами, то с определяется из формулы:
с- = а2 4- Ъ2 — 2ab cos <р).
Для вычисления М может служить формула:
(65)
где F при заданном cos® и ~ определяется из табл. 14.
(рис 87^ п а Р а л л е л ь н ы е провода в одной плоскости
(66)
162 " ’ 4 ‘
Значения F в формуле (65)
T'pq — XP 1,1 (Л ~~ XP C°S V + Dp^ + УЧ 1П ^XP ~УЧ C0S f + D,'^‘ Dpq = Их^+Х-2^ЛсоТ?
(токи предполагаются направленными от xt к ха и от j'( к у2).
v г 5) Общий случай двух прямоли-
не йн ых проводов
bs' \с Всегда можно провести две параллель-\ ных плоскости так, чтобы в каждой из них
xCl-i---------лежал один из данных проводов (рис. 88).
п- Если 'f — угол между проводами
Рис. 86. х и у—-координаты, отсчитываемые от об-
щего перпендикуляра OYO2 к проводам
в направлении протекающих по ним токов, x1F х,, ylt у2 —координаты начал и концов проводов, то
2 2
1 4т: -<-j -Si t ' рч'
р=1 9=1
(67)
где
Fpq = хр In Су,—Хр cos ? + Dpq) + yq In (xp — yq cos <? 4- Dpq) +
2fl , / xp — arc tg — sin <p ® \
q -г и pg a
Dpq = УXp + У\ — 2xpyq COS <? + fl2 ,
Pitc. 88.
причем при вычислении арктангенса углы следует брать в пределах от нуля до g или от нуля до — в зависимости от знака выражения в кру глых скобках.
164
4. Взаимная индуктивность некоторых криволинейных и прямолинейных проводов
1) Два провода, изогнутых по дугам одной окружности (рис. 89)
t>i 4- 02 + 03
2
/И =
sin
, • 02
+ sin-— — sm
— sin
71
(токи предполагаются направленными в одну сторону),
В случае проводов, примыкающих друг к другу, в этой формуле следует положить 0, = 0.
Рис. 89.
Рис. 90.
2) Два провода, изогнутых по дугам окруж-
ностей, лежащих во взаимно перпендикулярных
плоскостях так, что центр одной окружности лежит в плоскости, в которой расположена другая окружность (рис. 90)
где при с2 * > а2 + Ь2
М
(68)
(-if+,/ fBq,
Fpq = 2Vc2 — a2—b2 arctg
V с2 — а2 — и а при с2 < а- 4- Ь2
г- 1/", - ,, — . 4 а~ + ьг— с° + D>
F =Va2 + L2 — с2 In -^==-----
' \ a- -\-b2 — ^ — D,
причем
‘л-,Р<Р
2D
РЧ’
Dpq — «2 + fc2 4- с2 |- 2с (с cos ар — ftcosp,;) — 2<zftcosapcosPf.
с расстояние между центрами окружностей, а и b — их радиусы. Токи предполагаются направленными в сторону возрастания углов а и р. Частные случаи:
а) с2 = с2 + й2
1 г<Г~ — 2 V'2 Ft2 г с {a cos b cos р,;) — ао cos cos ;
n>5
bj с_0 (центры окружностей совпадают).
—— \' 'о2 Ь2 4- \ а2 + Ь2 —- 'Zab cos ар cos
Fpq = ’ U + 1° \' ~a- + b2— V a2 + b2 — 2ab cos ap cos [1,;
— 2 Va2 + b2 — ^ab cos 5»cos $q ’
с) c =-- 0, a = b.
Fpq=V2ain
1+V4-cosapcos Pg_ _ 2 y2 a К1-с08арсЖ 1
1 —. V 1 — cos ap cos pg
d) c = 0, a = b, <*! = Pi = 0, «» — Ps — Y-
V о
1 +V2sinX I sin YI — In-—--~
1—V2sin-|
I + |sin-r|
‘"n^YT
+ 2И2 sin-|
3) П p о в о д, изогнутый по дуге окружности, и прямолинейный провод, лежащий в одной плоскости с нормалью, проведенной из центра окружности к ее плоскости (рис. 91)
p=l q=l где
р ___ \ а~ sin2 v + с2 cos2 ср , . . \ ,
-------------------1п I ХР (а cos % SI11“ ? + С C0S“ V) +
+ а (а — с cos а?) sin + Dpq a2 sin2 ® + с2 cos2 <? |—
— ocosa4 sin2 Ф + С cos2 ф „ . п
-------In I+ (a cos a, — с) sin ? 4- Dptl] — D,,p
^pq ~ xp + + c2 — 2c xp sin <s + 2c (xp sin <p — <’) cos
радиус окружности, с—О А. Токи предполагаются направленными в сторону возрастания координат х и а.
166
Частные случаи:
а) с = О (прямолинейный провод проходит через центп окружности). * центр
Fpq =~ а In [Xp sin ? cos ag + а + Ом] — a sin <р cos ag In + a sin <s cos ag + Dpq] — D , = xp + a“ + 2a xp sin ф cos ag;
b) c — 0, о = у (провода в одной = a In (хр cos % + а + Dpq) — — а cos % In (хр + a cos ад +DM) — Dpq, Dp4 = XP + a~ + 2a XP cos *g;
с) с = 0, <P = у > *1=0, x, = a a, = ?•, a. = r. 23
(прямолинейный провод совпадает с радиусом окружности).
плоскости, рис. 92).
М ~ [si°2 ? ln sin Р + cos2 ₽ In (1 + sin р) — sin 3]; (70)
d) с = а (прямолинейный провод пересекает окружность).
Fp<i "sinV 1п ^хр (cos % sir,S ‘P+cos2?) + а (1 — cos ag) sin 4>+Ppg] — cos a„ sin2 о + cos2 a , r , , ,. . , гт т r>
— a----z -fiiH ----In [xp + a (cos %— 1) sin ? + Dpq] — £>pg,
xp + 2a (cos% — I) (x sin <? — a);
e)'P = -y, OB —h -,^0 (прямолинейный провод параллелен плоскости, в которой лежит криволинейный, рис. 93).
Fpq = Vа1 + й2 In (a2 + й2 + 2aур cos ag + Dpq V a- +h2)~ — a cos ag In (y„ + a cos a,, + Dpq) — Dpq, Dp4 ^У2р + a2 + й2 + 2ayp cos a,., где yp = xp — AB.
5. Взаимная индуктивность линейных проводов в общем случае
Если один или оба провода являются криволинейными, то, как правило, взаимная индуктивность проводов не выражается в конечном виде через величины, определяющие их форму, размеры и взаимное расположение.
В подобных случаях можно воспользоваться методом чнслеп-ного интегрирования или же заменить каждый криволинейный 167
провод совокупностью нескольких прямолинейных, образующих ломаную линию, по форме и размерам достаточно близкую к рассматриваемому криволинейному проводу (см. § 14).
III. ИНДУКТИВНОСТИ СИСТЕМ ПРЯМОЛИНЕЙНЫХ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ПРОВОДОВ
Все рассматриваемые в этом разделе системы предполагаются бесконечно длинными. Приводимые ниже формулы относятся к индуктивностям систем на единицу их длины.
1. Собственная индуктивность системы, состоящей из прямого и обратного проводов
L = 2^.- Ну — Н,, (71)
причем величины Ну, Н-, и Н12 связаны с соответствующими величинами G (§ 10, 11) соотношениями:
Н2 = 4, Н1г = Gf (72)
и в различных случаях могут быть определены так, как указано в § 10 и § 11 (см. также п. п. II, 2 и II, 3 2-й части).
При низкой частоте
где g, g,, g,,— средние геометрические расстояния площадей и $2 от самих себя и друг от друга.
При весьма высокой частоте справедлива эта же формула, но g„ g,, gl2 — средние геометрические расстояния периметров и л, поперечных сечений проводов от самих себя и друг от друга. В обоих крайних случаях расчет сводится к определению средних геометрических расстояний.
Формулы (71) и (73) применимы и в случае, когда прямой и обратный провода представляют собой совокупность нескольких проводов с токами одного направления (подробнее об этом см. § 26).
2. Взаимная индуктивность двух систем, состоящих каждая из прямого и обратного проводов (рис. 94)
2" гГ1з?24 ’ '
где при низкой частоте gkl—среднее геометрическое расстояние между площадями поперечных сечений А-го и г*го проводов, кд
а при высокой частоте g;.,— среднее геометрическое расстояние между периметрами поперечных сечений этих проводов.
Формула может быть применена и в случае, когда каждый прямой и обратный провод представляет собой совокупность нескольких проводов с токами одного направления (подробнее об этом см. § 26). Для линейных проводов и для нелинейных проводов кругового с е ч е н и я gki —dki и
(75)
где dki— расстояние между центрами инерции поперечных сечений k-ro и /-го проводов.
3. Индуктивность коаксиального кабеля (рис. 95, а) При низкой частоте
В частности, при весьма малой толщине наружного (трубчатого) провода (г—q<§Zr)
\
Рис. 95.
При высокой частоте
, Но Г. Я , И 7_±____________3________3 \ ,
2л L р ' PofyAv? я\'2к2р- Sksps'"J
. р. sh (kt V"2) — sin (kt V 2 ) (77)
kg ch (kt V 2)1- cos (kt V2 )
t — r—q— толщина наружного провода, Формулой
можно пользоваться при W>5 и kp'pb.
1С9
При весьма
высокой час г о т е
(78)
При любой частоте для кабеля с весьма малой толщи ной наружного (трубчатого) провода (i=r-?<Cr)
'"Ж"1 7+4)-
где С — — причем 5 может быть найдено или по табл. И при аргументе, равном kp.
Решение для общего случая дано в статье
4. Индуктивность эксаксиального кабеля
При весьма высокой частоте
Z. = £-ar ch
2я 2рд
по формуле (48)
Рэссела [20].
(рис. 95. Ь)
5. Индуктивность двухпроводной линии со сплошными проводами кругового сечения (рис. 96)
При низкой частоте
(79)
Рис. 96.
При весьма высокой частоте
L = аг ch
^-(Л2 + /Д) 2/1Г,
В частности, при d'^s>rr и
£ = ^1п
Z.TK. Г\Г2
(80)
(81)
При гх — г„~г более точное выражение имеет вид:
L ^v (in 4
r2___2/4
rf2 2 d* ' '
При любой частоте и для проводов из любого вещества
где .j ~ С. — „ е., a и Е, определяются по формуле (48) или табл. 11 при г, равно! соответственно rt или г..
170
Формула (82) справедлива лишь при достаточно ботынам расстоянии между проводами, когда можно ирепебреш чЛ фекгом близости и искажением магнитного поля вызванным наличием соседнего провода с магнитной проницаемостью от личной от р0. О возможной погрешности см. § 22.
«’• Индуктивность двухпроводной линии с трубчатыми проводами
При низкой частоте
/ — ±1 Г1п — 1 'V 1
к L Г ^(.2-^)2 4 7Г37ф>_!’
где г и q — наружный и внутренний радиусы проводов.
В частности, при весьма малой толщине стенки проводов (г—
L=--^ In ~. к г
При весьма высокой частоте справедливы формулы, данные в предыдущем пункте для случая сплошных проводов (в этих формулах следует положить г, = г. = г).
При любой частоте и для проводов из любого вещества
—in -+2Lit к Г *
где L. — внутренняя индуктивность провода, определяемая, как указано в п. II, 4 (предполагается, что можно пренебречь эффектом близости и искажением магнитного поля, вызванным наличием соседнего провода с магнитной проницаемостью, отличной от р0).
7. Индуктивность шин прямоугольного сечения (рис. 97, а и Ь)
L=[(т + О2 ln (d+с +-2;-г)г ln о + + 4-----In (d + с — b) — 2 In (b .4- (83)
ИЛИ
L- 2т[1пттт+т+1п/’-1пЬ]- <84^ причем In/» и In 8 могут быть найдены по табл. 25—27.
Если одна из сторон прямоугольников значительно меньше другой, то могут быть применены следующие формулы: '1 ля расположения по рис. 98, а
l=* (£'1 ’ 4+111 + 4 ? - 4; =,
л^у+^1п(1+аг)+4агс^“-41 (85>
где k = 0,22313, a = £;
для расположения по рис. 98, b
L~~T [ln +7) +
4-i(?+ l)2ln (« + 0 +
+ |(P-l)2ln (1—a) —4], (86) где <x = b., B= 4. * = 0,22313.
Формулы (83), (85) и (86) при значительном расстоянии между
шинами могут дать большую погрешность. В подобных случаях лучший результат дает формула:
где при
Ь<^с
а при *>с
k~ 0,2231 (более точные значения k можно взять из таол. -5).
В общем случае взаимного расположения шин следует воспользоваться формулой (73), определив gb g^, gii так> как указано в п. VI, 3. й
Все формулы настоящего пункта относятся к случаю низ частоты, т. е. к случаю равномерного распределения тока i сечениям шин.
8. Индуктивность трехфазной линии
Определение: индуктивностью одной фазы трехфазной линии называют величину
г _ pk
k — номер фазы, U,. — реактивное падение напряжения в *-ой фазе, 1к — сила тока в ней.
172
I fu тлктнвность фазы зависит от соотношения При симметрии системы токов, когда
между токами.
. 2к я = е 3 3
имеем:
Lpi —1-1 Msl + (М12 — Л131) а, /рз — L„ — /И12 -р (Л7„3 — Л41г) а, ^7>з — Af:s 4 (MS1 — Л/23) а,
где Ly, L2, Ls — собственные индуктивности проводов, Л4,„ М,
Л131— их взаимные индуктивности. ’
Для линии с одинаковыми проводами, расположенными по вершинам правильного треугольника, индуктивности всех трех фаз одинаковы:
А, = Я12-Л7ь
где Н12 и Ну имеют те же значения, что и в формуле (71). Индуктивность фазы вдвое меньше индуктивности соответствующей двухпроводной линии.
При низкой частоте
L„= ‘>1п л 2rc gy '
гДе Як — среднее геометрическое расстояние между поперечными сечениями проводов, gy—среднее геометрическое расстояние поперечного сечения провода от самого себя.
Для случая проводов кругового сечения
d расстояние между проводами, г—радиус сечения провода. Если машитная проницаемость проводов р отлична от р0, то
!, = #('" 4 +i-S:)-
Для несимметричной транспонированной линии с одинаковыми проводами среднее значение индуктивности фазы на участке, длина которого втрое превышает длину нетранспонированпого участка, одинаково для всех трех фаз и равно
L„ = з [(Л-^з1) +
В частности, для липин с проводами кругового сечения
/ й°. (1 п — 4- i — ,
р 2- V 1 г ' Л.
d ]/rf12rf23V31, /-Г/-РЛ , г„ г.. проводов, dl3.
<7,3, Дм — расстояния между ними.
9 Собственные и взаимные индуктивности сложных систем прямолинейных параллельных проводов
Эти индуктивности могут быть рассчитаны на основе общих формул (73) и (74).
Подробнее об этом см. § 20.
IV. ИНДУКТИВНОСТИ КРУГОВЫХ КОЛЕЦ
1. Индуктивность кругового кольца кругового сечения
При низкой частоте
Z = u0/?[ln8f- \ + 8'Д-(1п8^ +4Ц, (87)
где д>_ радиус кольца (радиус осевой линии провода), г— радиус провода.
Если /? '^> г, то
£ = Po/?(lnv----(88)
Погрешность формулы (88) при /?=5г составляет около 1,04%.
При весьма высокой частоте значение L с любой степенью точности может быть найдено по формуле В. А Фока у- \ 4
(§ 29). С точностью до членов порядка
1 , о 171 3 г2 8R , 5 r2\. 87? „ 33 г2 Ц ,опЧ
L = р0/?fl - — — ]П_ + —1П__2 _.__ J. (89)
Если /? %> г, то ^•—2 . (90)
при R = 10/' составляет около
^При любой частоте с точностью до членов порядка '~R)
L = VoR(\n^ -2 + 4^
L = Po# (hi Погрешность формулы (90)
где 6 определяется по формуле (48) или по табл. 11 Если г , Ро> ТО
Л = Ио/?(1п^ — 2+-J-).
где
174
2. Индуктивность кругового кольца прямоугольного сечения
При низкой частоте
, п Г, 312 •- 4 , а2 -]
+ —^;ln-=_j.1+_-y,j, (91)
где
J'l = Т х 12л2 12 'n О х2") 3 \Х г)ЙГС Х У2’
* = g + 360.V - боЬг Ш (1 + + 4 in (1 + -L)- § х +
+ -^ х arc tg х, (92)
a n b а
причем а = ~, Р==2/?’ Х=Т’ кольца (рис. 99).
Значения ух и у2 для различных значений х и —- даны в табл. 15. При х < 1 удобнее заменить последний член в формуле (91) на-^ ys, гцеу^— х2у'г. Значения j/s могут быть вычислены с помошью формулы (92j
Таблица 15
R—радиус осевой линии
Рнс. 99.
или взяты из табл. 15
Значения у1г у, и у3 для кольца прямоугольного сечения
1 х. -1-X У1 J's 1'3 (для X < 1)
х > 1 х <. 1
0,00 0,5000 0,1250 0.5972
0,05 0,5490 0,1269 239,43 0,5986
0,1 0,5924 0,1325 60,23 0,6023
0,2 0,6652 0,1548 15,378 0,6151
0,3 0,7217 0,1916 7,033 0,6329
0,4 0,7645 0,2423 4,088 0,6510
0,5 0,7960 0,3066 2,709 0,6773
0,6 0,8182 0,3839 1,951 0,7023
0.7 0,8331 0,4739 1,487 0.7287
0,6 0,8422 0,5760 1,182 0.7564
0.9 0,8470 0,6902 0,9698 0.785b
1,0 0,8483 0,8162 0,8162 0,8162
175
При весьма высокой частоте Z-t^0n^-2) =ч0/? [1ПЦ7ТТГ“2]’
где g__среднее геометрическое расстояние периметра сечения
провода от самого себя, k = 0,2236.
3. Индуктивность кругового кольца с сечением, ограниченным ломаной линией со взаимно перпендикулярными сторонами
Эта индуктивность при низкой частоте может быть найдена по формулам п. I, 8, если под F (k) понимать собственную индуктивность кольца, сечением которого является прямоугольник k, а под F (kxi) — взаимную индук-
тивность колец, сечениями которых являются прямоугольники k и I.
Например, собственная индуктивность кольца, изображенного на рис. 100, согласно формуле (29) равна
Рис- 100- Л=А(1)-К(2)+Ч3)+2М(1Х2)+
+ 2М (1X 3) + 2Л4 (2 X 3),
причем величины Л4(1х2), М(2хЗ) и 714(1X3) могут быть выражены по формулам (22) и (24) через собственные индуктивности нескольких колец прямоугольного сечения. Определив каждую из величин вида L (k) по формуле (91) предыдущею пункта, найдем и L рассматриваемого кольца.
4. Взаимная индуктивность коаксиальных круговых контуров (рис. 101)
М = нуад Q4 - k) к- \ е] ,
где
k2 = 4RjR2____________
(«1 + л’г)2 л2 ~
11 Е—полные эллиптические интегралы
(93)
а К
первого и второго рода с модулем k. Значения /< и Е могут быть найдены по таблицам эллиптических интегралов 124, 25J.
При значениях k, близких к единице, удобнее пользоваться формулой:
X N
Н Е>~,К) и|ые эллиптические интегралы первою п второго рода с модулем 176
= ^'2==1-^
пли формулой:
М =- - Жу^!^ [(1 + kJ Кг — Ег}, \'2й7‘у<1 + *2
где К* и — полные эллиптические интегралы первого и второго рода с модулем
*2=^,
1 4-
v" Гг
Л'^'Г+Ч К
(k't2 = l-k2).
(94)
При малых значениях модуля k удобнее пользоваться формулой: ___
М = roVT^ (1 + k) t
где KQ и Eq— полные эллиптические интегралы первого и вто-, 2\/k
рого рода с модулем R0 = -—k.
Вместо формул с эллиптическими интегралами можно пользоваться формулами, дающими М в виде бесконечных рядов.
При малых значениях k (k2 < 0,3) удобна формула:
ДЛ _ Ио71 fcS Г-L I JL £2 1_£4 l ।_д &2л 2_j_ "]
m - 2 K L 8 + 32 1024 + •••+л t 1 n
где
4, = [-ЦЙ<^]’ W
и k определяется по формуле (93).
При всех значениях k от нуля до 0,995 быстро сходится ряд:
Л4 = Л Г1 + <Z4+... + Anqin+...+
VI + q L 04
+ + 1^3 + -" + 517Г+Т) A"q ++ •••]’
где q = /г2 определяется по формуле (94), а Ап— по формуле (95).
При значениях k, близких к единице (k2 >0,6), удобна формула:
«-^f^[(i + ^ + S-+...)i,.4-(2-T+a-)]-
1 де т2 — k’2 — 1 — k2 = 0М
!•> . 1 177
1 Л. А. Цеитлин
Определение взаимной индуктивности коаксиальных круговых контуров можно произвести по формуле;
(96)
взяв значения F или lg F из табл. 16, где эти значения даны в функции от величины
т2 _ (Fi — /?2)2 + fi2 (Ri + /?2)2 I- Л2
При т2 <10,1, т. е. для близко расположенных кругов, удобнее брать значения F из табл. 17, где значения F даны в функции от 1g т2.
В частном случае двух контуров с одинаковыми радиусами (/?1=/?2=/?) удобнее пользоваться табл. 18 и 19, дающими г-д. .. <5 h л 2/?
значения г в функции от отношении о = 7 -или А
fl
При расчетах, не требующих большой точности, определение взаимной индуктивности коаксиальных круговых контуров можно производить с помощью кривых рис. 102 и 103, на которых по оси абсцисс отложено отношение радиусов кругов, а по оси ординат — отношение — . Пометки, сделанные около кривых, дают значения величины
(97)
5. Взаимная индуктивность круговых контуров с параллельными осями (рис. 104)
При / >/?! +/?2
2^ок/?2
П=Л
,, „ /?Ц//?1\2л+1
+ ’ 2' а727 \ 27/ Р2Л (cos 6),
(98)
гДе Дл(созО) полином Лежандра, a F (______п,__п -f-l, 2,
гипергеометрический ряд. '
178
Таблица 16
Значения /•' в формуле (96)
т2 Г 1g/- /Я2 Г Ig F
0.01 21,474 1,33191 51 1,3585 13307
17,315 23842 52 1,3004 11409
3 14,937 17246 53 1,2443 09492
4 13,284 12333 54 1,1900 07553
0,05 12,026 1,08014 0,55 1,1374 0,05591
6 11,017 04207 56 1,0865 03604
7 10,179 00770 57 1,0373 01592
8 9,464 0,97608 58 0,9897 1,99551
9 8,843 94662 59 0,9436 97480
0,10 8,297 0,91890 0,60 0,8990 1,95377
11 7,810 89263 61 8558 93240
12 7,371 86754 62 8141 91066
13 6,974 8'317 63 7736 88853
14 6,611 82026 64 7345 86599
0,15 6,278 0,79780 0,65 0,6966 1,84300
16 5,970 77599 66 6600 81954
17 5,685 75475 67 6246 79556
18 5,420 73401 68 5903 77105
19 5,173 71371 69 5571 74595
0,20 4,941 0,69380 0,70 0,5251 1,72022
21 4,723 67423 71 4941 69382
22 4,518 65497 72 4642 66668
23 1,325 63598 73 4353 63877
24 4,142 61723 74 4074 61001
0,25 3,969 0,59869 0,75 0,3805 1,58033
26 27 3,805 3,649 58034 50915 76 3545 54965
28 29 0,30 31 32 3,500 3,359 3,224 3,095 2,971 54410 52618 0,50835 49062 47295 45535 13778 0,42024 4Q971 77 78 79 0,80 81 3295 3054 2823 0,25998 23859 51788 48192 45065 L41495 37765
33 34 0,35 36 2,853 2,740 2,6317 2,5276 82 83 84 0,85 21806 19840 17959 0,16162 33859 29754 25-128 1,20851
37 38 39 2,4276 2,3315 2,2391 38518 36761 35008 86 87 88 14450 12821 11276 15986 10792 05215
0,40 2,1502 0,33248 89 0,09815 2,99187
41 2,0646 31483 0,90 0,08438 2,92622
42 1,9821 29712 91 7146 85405
43 1,9026 27934 92 5940 77382
44 1,8259 26148 93 4824 68336
i 0,45 1,7519 0,24352 94 3798 57950
46 1,6805 22545 95 0,02866 2,15732
47 1,6116 20726 0,96 2035 3085S
48 1,5451 18894 97 1312 11782
1,4808 17048 98 0,00708 3,85035
0,50 1,4186 0,15186 99 0,00219 3.39551
1,00 0
___I
179
Таблица 17
Значения Г в формуле (96)
lg т» F 1g tn3 / 1g т3 F
— - т—.;
6.0 79,093 5,7 54,500 ЗА 29,984
6,1 77,647 5,8 53,055 3,5 28,554
6,2 76,200 5,9 51,609 3,6 27,128
6.3 74,753 4,0 50,163 3,7 25,707
6,4 73,306 4,1 18,717 3,8 24,291
6,5 71,860 4,2 47,272 3,9 22,881
6,6 70,413 4.3 45,827 2,0 21,478
6.7 68,966 4,4 44,382 2,1 20,084
6,8 67,520 4,5 42,938 2,2 18,700
6,9 66,073 4,6 41,494 2,3 17,329
5,0 64,626 4,7 40.051 2,4 15,972
5,1 63.180 4,8 38,608 2,5 14,632
5,2 61,733 4,9 37,167 2,6 13,311
5'3 60,287 3,0 35,727 2,7 12,013
5,4 58,840 3,1 34,288 2,8 10,742
5,5 57,394 3,2 32,851 2,9 9,502
5,6 55,947 3,3 31,416 1,0 8,297
5,7 54,500 3,4 29.984
Таблица 18
Значения f в формуле (96) для одинаковых контуров
0 F G F 0 F 0 F
0,01 50,16 0,15 16,750 29 9,627 43 6,089
2 41,47 16 16,009 0,30 9,296 44 5,906
3 36,39 17 15,319 31 8,980 0,45 5,730
4 32,80 18 14,676 32 8,679 46 5,560
0,05 30,03 19 14,073 33 8,390 47 5,396
6 27,77 0,20 13,507 34 8,114 48 5,239
7 25,88 21 12,975 0,35 7,850 49 5,087
8 24,24 22 12,473 36 7,597 0,50 4.941
9 22,81 23 12,000 37 7,354 51 4,800
0,10 21,539 24 11,551 38 7,121 52 4,664
и 20,396 0,25 11,126 39 6,898 53 4.532
12 19,361 26 10,723 0,40 6,684 54 4.405
13 18,417 27 10,340 41 6,477 0,55 4,283
14 17.550 28 9.974 42 6,279 56 4,165
180
Продолжение таблицы IH
— /• б Г б F О F
57 58 59 0,60 61 62 63 64 0,65 66 67 4,051 3,940 3,834 3,730 3,631 3,534 3,441 3,351 3,263 3,179 3,097 68 69 0,70 71 72 73 74 0,75 76 77 78 3,018 । 2,941 2,866 2,794 2,725 2,657 2,591 2,528 2,4659 2,4060 2,3479 79 0,80 81 82 83 84 0,85 86 87 88 89 2,2916 2,2369 2,1838 2.1323 2,0823 2,0337 1.9865 1,9407 1,8962 1,8530 1.8109 0,90 91 92 93 94 0,95 96 97 98 99 1,00 1.7701 1,7304 1,6918 1,6512 1,6178 1,5822 1,5177 1,5141 1.4814 1.4496 1,4186
Таблица 19
Значения F в формуле (96) для одинаковых контуров
4 1 Г Д F Д F Д F
1,00 1,4186 0,75 0,7345 0,50 0,25999 0,25 0,03683
0,99 1,3882 74 7110 49 24622 24 3270
98 1,3579 73 6879 48 23287 23 2888
97 1,3279 72 6651 47 21991 22 2535
96 1,2982 71 6427 46 20743 21 2212
0,95 ! 1,2686 0,70 0,6206 0,45 0.19533 0,20 0,019165
94 1,2393 69 5989 44 18365 19 16478
93 1,2103 68 5775 43 17239 18 14049
92 1,1814 67 5565 42 16154 17 11865
91 1,1529 66 5359 41 15109 16 0,009916
0,90 1,1246 0,65 0,5157 0,40 0,14106 0,15 0,008189
89 1,0966 64 4959 39 13143 14 6672
88 1,0688 63 4764 38 12221 13 5353
87 1,0413 62 4573 37 11338 13 4218
1 86 1,0141 61 4387 36 10495 11 3255
0,85 0,9871 0,60 0,4204 0,35 0,09692 0,10 0,002449
84 9605 59 4025 31 8926 09 1788
83 9341 58 3850 33 8200 08 1257
82 9081 57 3680 32 7510 07 0,000843
81 8823 56 3513 31 6858 06 0532
' 0,80 0,8569 0,55 0,3350 0,30 0,06212 0,05 0,000308
79 8318 54 3192 29 5662
78 8070 53 3038 28 5116
77 7825 52 2888 27 4605
76 7583 51 2742 26 1128
0,75 0,7345 0,50 0,2600 0,25 0.03683 1
181
Рис. 102.
Рис. 103.
Если радиусы /?, и R, кругов близки друг к другу, удоонее формула: 1\. 1\ ,
(-1)"
где
П + *
“2 ’ 2 х4$=
« + -2J1 Г + ТЛ
Г (к) Г (я + 2) ‘ I
-1- —«, х) • P2n(cos6),
>2х2
(99)
В частности, если Ri = R% то X 0 и ” + “о"')
Г ( п + |
М=------”2— z I t-1)" Г (и) Г (я + 2)
,2л+1
) P2n(cos0). (100)
При /?2
Г
М = — PoV"
1
3
2"’
.р2л(со36). (101)
«1 /
Рис. 104.
6. Взаимная индуктивность круговых контуров с пересекающимися осями (рис. 105)
где
м=
У рп (cos 6)-р;, (cos О1) • Р'п (cos а.)
п(п + 1)
(102)
!2 = + Г
tg«2=>
184
Pn (cosfi) полипом Лежандра, /у (cos»,) и Лу„ (cos я2)~производные or полиномов Лежандра P„(cosaj) и P„(cosa2) по их аргументам. Углы а,, я. и 0 считаются положительными, причем О 0 п. Частные случаи.
1) Оси контуров пересекаются в центре одного из них:
у2=0» пг ~ Rz, а2 ~ ~2~ •
. УТ ' п ' 2я+2 Г (П + -X- I
м _^___2_,p2n+1(cos6)x
п—О
X ^2„h(COS“1)-
(103)
2) Контуры коаксиальны: cos 6 = 1, гг ~ 0, «2 = R2, я2 = -^-.
/г-, \2я4-2 Г ( п 4—н~/
-\п+-^Р^^. (Ю4)
(^?s fli)-
3) Контуры концентричны: ч=лг=0, ах — Ru a2 = Rt, г.
ai ~ ~ ~2~ •
r2, vv/? \2пГ(п + 4-)r("+ 4".
A-4-+i)---p^(cos6)- (105)
П=1
7. Расчет взаимных индуктивностей круговых контуров методом однократкого численного интегрирования
Приводимые ниже формулы сводят расчет взаимных индуктивностей круговых контуров при любом их взаимном расположении к задаче однократного численного интегрирования. Последняя задача решается при помощи любой из формул механических квадратур, например формулы Симпсона.
В случаях, koi да необходимо иметь не общее выражение взаимной индуктивности, а лишь ее числовое значение для заданных размеров и заданного взаимного расположения контуров, метод численного интегрирования может оказаться более Целесообразным, чем расчет но формулам, приведенным в двух предыдущих пунктах.
1S5
Взаимная индуктивность круговых контуров с параллельными или пересекающимися осями может быть представлена в виде;
1 гМЛ
Af= —(106) 6
где f и Л —указанные ниже определенные функции от а М—взаимная индуктивность коаксиальных круговых контуров с радиусами. /?1 и р — AR2, отстоящих друг от друга на расстояние А, зависящее от <р так, как указано ниже.
Величина Мк может быть вычислена по формулам п. IV, 4 или же определена по кривым рис. 102 и 103.
Если определять по табл. 16 и 17, то удобнее представить М в виде: п
(107)
о
где F—величина, данная в таблицах, причем аргумент т2, зависящий от <р, определяется по формуле:
(l-g/)2 + p2
(1 + аА)2 + ₽» ’
(Ю8)
/?2 о Л
где « =
1) Контуры с параллельными осями (рис. 104)
Л = /1 + (^/-2® cost?>
f = 1 — cos <р, A = rcoso,
где а = г sin <f
2) Контуры с пересекающимися осями (рис. 105) А? = 1 — cos2 <? sin2 6 — 2 cos <р cos 6 + ,
/ == cos6 — coscosш sin 6 — r,cos 6, где c = r2sin0.
В частности, если оси контуров пересекаются в центре круга с радиусом /?2, то гг = 0, а = 0 и
= 1 — cos2 <р sin2 6, /= cos 0, h = — /?, cos <р sin 0.
Если контуры имеют общий центр, то, кроме того, rt 0.
186
3) Общий случал двух круговых контуров.
Совместим центр О, первого круга с началом декартовой системы координат, ось z направим вдоль оси этого круга,
а плоскость л~ проведем через центр О- второго круга (рис. 106). Ось второго круга пересечет любую сферу, проведенную из точки как из центра, в некоторой точке Р, положение которой определим долготой ф, отсчитываемой от плоскости хг по часовой стрелке, и широтой 6, отсчитываемой от прямой О.г', параллельной оси г. Тогда, полагая
Л2 = 1 — cos2 <р sin2 6 +
-Ь 2 77- (sin w sin —
— cos б COS <р cos6) + —,
Рис. 106.
Z^cosO-^
имеем:
(cos Ф cos <p — sini sin <p sin 6), h — d — R. cos <? sin 6,
M-
2n,_, _____ 2r.
Ho [ f _fF
8тД J /1= ‘ ~ 8тД J л>,.
о 0
где попрежнему Л4 — взаимная индуктивность коаксиальных копту ров с радиусами /?, и р = ,4/?,. отстоящих друг от друга на расстояние А, а А — функция, данная в табл. 16 и 17, причем аргумент т- определяется по формуле (108).
Пример расчета по методу численного интегрирования см. §31.
V. индуктивности плоских КОНТУРОВ
1. Общие положения
Собственные и взаимные индуктивности плоских контуров могут быть найдены методом участков (см. I, 3, а также § 3).
Собственная индуктивность линейного контура равна
причем
L = N— G,
(109)
N = i л* + s s Мм' (-k + ъ k =1 k — 1 / —1
187
где п число участков контура, М,„ взаимная иядуктивнш и, А--го и Z-го участков, Л],. —значение величины N, входящей в формулу (32), для А’-го участка, величина (/, пропорциональная длине контура (его периметру), может быть найдена в различных случаях по формулам и методам п. II, 2. В частности, для контура из провода кругового сечения
' — ,а р причем Е определяется по формуле (48) или из табл. 1 j
Формула (109) не учитывает членов вида А и Q, входящих в формулу (31). О возможной погрешности пренебрежения этими членами см. § 11.
Ниже для контуров различной формы даны значения величины N. Собственная индуктивность контура получается из N и G по формуле (109).
2. Треугольник
N = [й In 2а b 1п 25 4" с In 2с — I (1 -р 1п /) -р
-Р a In (/ — 2а) + b In (/ — 25) -р с In (I — 2с)],
а, Ь, с — стороны треугольника, I = а -р b -р с — его периметр. — ча£™”сти’ ДЛЯ равнобедренного треугольника (с = Ь, 1~
N Iй In 2« + 25 In 25 — /(1 -р in I) -р а In (25 — а) + 25 In а].
Для равностороннего треугольника (а = Ь= - с =
W= — 1).
2-гс \ 3 /
3. Прямоугольник
A' + -p2(rf— a — 5)J, (по)
а И п „Т СТОРОНЫ прямоугольника, d — его диагональ.
Для квадрата (а = 5)
4. Правильные многоугольники
где
S ^ + 1112 — 1, (111)
188
и— число сторон многоугольника, а — длина одной стороны ЛЦ —взаимная индуктивность л-ой и А--ой сторон. Величина f(n) зависит только от числа сторон многоугольника. Значения /(ч) для различных п даны в табл. 20.
Таблица 20
Значения /(л) для правильных многоугольников
п з 4 5 6 8
/(«) — 1,40546 — 0,77401 — 0,40914 — 0,15152 + 0,21198
5. Ромб
N=2^[lnG-/(a)],
а — сторона ромба, а — половина угла при его вершине,
/ (а) = 2 — In 2 — cos а — sin а + cos2a In —-г—-(-
i -2i 1 "f- cos я zi । m
+ sin2aln------. (112)
cos a ' '
Значения /(а) для а от 5° до 45’ могут быть взяты из кривой рис. 107. При 45° а 4^ 90J справедливо равенство: /(J) =
/ (90° —a).
189
6. Сектор
;.= М^(2 + 6)1п2я + 201п2 —2(1 + ,J) + 4/ + / . И . И
-J- 2 In fl + Sin 2 J sin 2 J ’
fl —угол, я —радиус сектора, даны в табл. 10.
/—величина, значения которой
7. Контуры со взаимно перпендикулярными сторонами
Дчя определения собственной или взаимной индуктивности ttvdob со взаимно перпендикулярными сторонами добавляют ’ к каждому из контуров
один или несколько прямолинейных проводов так, чтобы в результате образовались только контуры, имеющие форму прямоугольников (рисунок 108). Тогда для величины N, входящей в формулу (109) собственной индуктивности контура А, контуров А и В имеем со-
к- S 4+ s 2 (k±t), (113)
й = I А = 1 / = 1
п т
Мав=Ъ (114)
k = 1 i ~ 1
и для взаимной индуктивности МАВ ответственно:
п п 11
и—число прямоугольников, из которых состоит контур А, т то же для контура В, N,,—-значение величины N для А’-го прямоугольника, Mki — взаимная индуктивность А’-го и /'-го прямоугольников [в формуле (113) эти прямоугольники принадлежат одному и тому же контуру (А), в формуле (111) — разным (.4 и ь)|. Взаимные индуктивности Mki могут быть выражены через величины вида по методу, основанному на теореме о четырех прямоугольниках (п. 1, 8), для чего достаточно в формулы (22) — (28) п. 1, 8 подставить AL. вместо F (k X А) и А, вместо В (/г). v
1аким путем вычисление величины N для любого контура вкшмно перпендикулярными сторонами и вычисление взаимной индуктивности двух таких контуров всегда может быть сведено к вычислению нескольких величин вида Л*. для
190
которых имеем формулу (110)- 1-ще более просто величина Nk вычисляется по формуле:
где 1к — периметр А-го прямоугольника, Slt—его площадь, а величин» <рЛ, зависящая только от отношения сторон прямоугольника, может быть найдена из табл. 22 (стр. 193).
Указанный здесь метод расчета неудобен, когда отдельные прямоугольники удалены друг от друга на расстояния, значительно (в 3 и более раз) превышающие их размеры. В этом случае для определения взаимных индуктивностей Mki лучше пользоваться формулой:
[1 + (5«-~1;++ + (5^-1)Д±Д + (21Л--2) 5<“*+.
Mki
4г4
1 За) + 10 а) а? + За’
+ 1(1 - 14«2 + 21м4)-------к-----
1 ЗЬк + юй b2 + 3bf
+ 4(1 -14ц2 + 21f4) —-------------------
где Sk=^4akbk и Si==4aibi— площади прямоугольников k и Z; 2ak, 2bk, 2ait 2b-L— длины соответствующих сторон, г—расстояние между центрами прямоугольников; M=-cos<f, i>=- sin <?, ? — угол между направлением г и направлением, параллельным сторонам 2ak и 2а;.
8. Общая формула для индуктивностей плоских контуров
Величина N, входящая в формулу (109) для собственной индуктивности плоского контура, всегда может быть представлена в виде:
N-s-'(in¥-+- (115)
гДе периметр контура, S— охватываемая им площадь, а величина ч> зависит лишь от формы контура и одинакова для всех геометрически подобных фигур.
В частности, для контура из провода кругового сечения при любой частоте имеем:
Л = ^0"“т~£+|). <1Ю
— -- а величина 5 может быть найдена по формуле (48) в щ табл. 11. Значения <р для различных фигур дапы-в еле'у. ющем ь.икте.
191
9. Значения <р для контуров различной формы
а) Треугольник
?== 1 hl[/(i-2a)(/-2b) (1-2с)] - -у 1п ]а(/-2а)]
-Л1пР(7— 2Ь)1----Г 1,1 к(<~2с)] —21п2 + 1,
где с, Ь, с —стороны треугольника, / — а -f- b 4- с — его пери-МС Для равнобедренного треугольника (с — Ь)
v=s — 2а) а2] — ~1п[а(1 — 2а)]— 2 у-In ab — 2 In 2 + 1.
Значения <р для равнобедренного треугольника даны в табл.
21 (а — угол при вершине треугольника).
Таблица 21
Значения ® для равнобедренного треугольника
а° ф 3° 9 а° ф а° <?
0 0,3069 40 0,1747 90 0,1818 140 0,2587
5 2788 50 1657 100 1943 150 2750
10 2548 60 1630 НО 2090 160 2897
20 2172 70 1654 120 2249 170 3012
30 0,1912 80 0,1719 130 0,2417 180 0,3069
Ь) Прямоугольник
где а и b стороны прямоугольника, d — его диагональ. » - 2 (а + Ь).
Значения ? для различных значений отношения а = -?- даны
в табл. 22. °
с) Правильные многоугольники
¥ = -ln(2tg^)-/(«).
делена по /ы ^°ГОуГОЛЬНИка’ а/(«) может быть 0ПРе'
ых ппявил?и^\ ИЛИ табл‘ 20- Значения ? для некото-
рых правильных многоугольников даны в табл 23
192
Значения гр для прямоугольника
Таблица 22
•X Ф а ф а ф
1,0 0,0809 6,5 0,0362 20 0,0140
1,2 0,0802 7,0 0,0343 22 0,0129
1,1 0,0785 7,5 0,0325 26 0,0110
1,6 0,0763 8,0 0,0309 30 0,0096
1,8 0,0739 8,5 0,0295 35 0,0084
2,0 0,0714 9,0 0,0281 40 0,0074
9/2 0,0689 9,5 0,0269 45 0,0066
2,4 0,0665 10 0,0258 50 0,0059
2,6 0,0642 11 0,0238 60 0,0050
9,8 0,0619 12 0,0221 70 0,0043
3,0 0,0598 13 0,0206 80 0,0037
3,5 0,0549 14 0,0194 90 0,0033
4,0 0.0507 15 0,0182 100 0,0030
4,5 0,0471 16 0,0172 —-
5,0 0,0138 17 0,0163 —. ——
5,5 0,0410 18 0,0155 —-
6,0 0,0385 19 0,0147 — —
Значения для правильных многоугольников
Таблица 23
п 3 4 5 6 8 СО
ф 0.1629 0,0809 0,0354 0,0077 — 0,0237 — 0,0794
d) Ромб
<? = In (cos a sin *) + f (а),
где а — половина угла при вершине ромба, а /(х) может быть определена по формуле (112). Значения <s для различных значений а даны на рис. 109. При a_>45J следует пользоваться равенством: <р (?.) = <в (90° — а).
е) Сектор
? = тть b -ln [2 sin 4'1 +sin 4)]+
+ 6-|ln8-2Z- 2 + «
где (I—угол сектора, I — величина, значения которой для различных углов fj даны в табл 10.
Значения ® для сектора даны в табл. 24.
Рис. 109.
Таблица 24
Значения <р для сектора
0° ф е° 0° Ч> 0° <Р
0 5 0,307 0,278 80 0,065 180 0,021 280 0,087
10 0,254 100 0,044 200 0,026 300 0,121
20 0,208 । 120 0,031 220 0,034 320 0,174
40 0,144 140 0,023 240 0,047 340 0,279
60 0.098 160 0,020 260 0,064 350 0,403
355 0,550
10. О применении общей формулы для индуктивностей плоских контуров
В тех случаях, когда значение величины а, входящей в формулы (115) и (116), неизвестно, можно пользоваться приближенными формулами:
N = g'(l„?/-0.1s). (117)
-£'(1^0,15 +У),
L =
(118)
рЛот®Рых Д;1Я ? принято некоторое среднее значение, равное и, 1э. Для оценки возможной погрешности этих формул следует иметь в виду, что для всех контуров без входящих углов <в заключается в пределах от —0,079 до +0,307, а для контуров со входящими углами f может выйти за указанные пределы лишь ааличии У контуров некоторых особенностей, указанных в § 42. J
194
VI. СРЕДНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ, АРИФМЕТИЧЕСКИЕ И КВАДРАТИЧНЫЕ РАССТОЯНИЯ
I. Определения
Все рассматриваемые в этом разделе фигуры предполагаются лежащими в одной плоскости. Среднее геометрическое расстояние (в дальнейшем — с. г. р.) точки от линии определяется равенством:
In g = -у J In ydl,
i
к; — расстояние от точки до элемента длины dl, I — длина линии (рис. ПО, а).
С. г. р. от точки до площади определяется равенством:
In g = у J In ^ds,
S
— расстояние от точки до элемента площади ds, s — величина площади (рис. 110, Ь).
Рис. 110.
с. г. p. линий /, и l,, площадей
Рве. 111.
Sj и s2, площади s и линии I Друг от друга определяются равенствами:
In g = — у у In tidl^dl.,-, In g=^ У У ly lz Л’1
In g = -Jj- У У In 7] ds dl,
s I
где >)—расстояние соответственно между элементами dl^ и dlt, dst и dst, ds и dl рассматриваемых фигур (рис. ПО, с, d, е).
С. I. р. линии I от самой себя и площади s от самой себя определяются равенствами:
111 g - iff In 7] dl'dl", In g - - Jr f У In 7] ds'ds",
„ Г тсстояние между элементами длины <1Г и df или со-отве?с^еино между элементами площади ds' и ds рассматр* ваемых фигур (рис 111). арифметических и средних квадратич-
Жтояшй (в Дальнейшем с. а. р. и с.к.р.) аналогичны оире-pt„J е гои могут быть получены из них путем замены Г^и In г соответственно на а и ч или на q' и Например, дл! с а р. и с.к.р. площади s от самой себя имеем:
«=НЬ!‘"Л
2. Основные свойства
а) С г р сложных фигур, состоящих из нескольких частей могут быть выражены через с.г.р. этих частей самих от себя и друг от друга, а именно, для площадей сложных фигур А и В имеем:
Е(Д) = S F(k) + S (k^i), (119)
X.’ — 1 k - 1 i = 1
л m
F{A^B)=^ F(k X 0,
*=ii=i
(120)
где и — число частей, из которых состоит фигура А, т — то же для фигуры В,
F (k) = s~k\n gk, F(k%i) = s^i In gki,
gk—с.г.р. площади sk от самой себя, gki — с.г.р. площадей sk и х. друг от друга.
Если фигуры А и В суть две линии, то формулы (119) и (120) сохраняют силу, но под F(k) и Г (k х I) следует понимать /;. 1ну/; и lkli\ngki, где gk — с.г.р. участка lk от самого себя, gki с.г.р. участков lk и Z, друг от друга.
Если А есть линия, а В — площадь, то в формуле (120) под г(к>' () следует понимать Zftx. In gki.
Формулы (119) и (120) применимы к с.а.р. и к с.к.р., если в выражениях для F(k) и F(k X i) заменить 1пщ и 1п£ч, соответственно на ak и ак. или на q* и
Ь) ^ля ФИГУР< расстояние между которыми в несколько раз гмтВ5)СХОДИТ их линейные размеры, взаимные с.а.р. и с.к.р. мо-..У „Ы~ь ПРИНЯТЫ равными с.г.р. между этими фигурами (о вс>-можнои погрешности см. § 7 и § 19). ? нэп
фнгУР> расстояние между которыми значительно оольше их линейных размеров, взаимные с.г.р., с.а. р. и с.к.р-л’ ПРИ11ЯГ1’1 равными расстоянию между центрами инерции этих фигур (о возможной погрешности см § 7). 196
3. Средние геометрические расстояния некоторых фигур
1. С. г.р- ОТ точки до окружности радиуса г равно гири d^r и'равно d при d~^r (d—расстояние от точки до центра окружности).
2. С.г.р. любой фигуры до окружности радиуса г равно г, если'фигура целиком лежит внутри окружности, и равно с.г.р. от' центра окружности до данной фигуры, если она целиком лежит вне окружности.
В частности, с. г. р. между двумя окружностями, лежащими одна вне другой, равно расстоянию между их центрами.
3. С. г. р. точки от площади кольца с радиусами q и r>'q равно расстоянию d от точки до центра кольца, если точка лежит вне кольца (d~>r). Если точка лежит внутри кольца (d<q),
, № In г — О2 In <7 1
lng=--------------------2
4. С. г. р. любой фигуры, лежащей вне кольца, до площади кольца равно с. г. р. от центра кольца до этой фигуры. В ча-
стности, с. г. р. между площадями двух колец, лежащих одно вне другого, равно расстоянию между центрами.
Если фигура целиком лежит внутри кольца (рис. 112), то с. г. р. определяется формулой (121).
5. С. г. р. от точки до площади круга равно расстоянию d от точки до центра круга (rf>r).
6. С. г. р. любой фигуры до площади круга равно с. г. р. от центра круга до этой фигуры, если фигура лежит целиком вне круга. В част
(121)
ности, с. г. р. между площадями двух кругов, лежащих один вне другого, равно расстоянию между их
центрами.
7. С. г. р. окружности от самой себя равно её радиусу.
8. С. г. р. площади кольца от самой себя определяется формулой:
Ing = In г — ln
r 1 з?3-'2 q + 4 г2 — q~
где q и q — радиусы кольца.
9. С. г. р. площади круга от самой себя
1
g =re 4 ~О,7788 г, 1 де г - радиус круга.
197
10 С. г. р. площади эллипса от самой себя ____________________________i_ а + b 4 ё--^е •
где в и А —полуоси эллипса.
Рис. 113. Рис 114.
11. С. г. р. от точки Р определяется формулой:
до прямолинейного отрезка (рис. 113)
lng= ~ 1п Г, — In Гу + 1.
12. С. г. р. между двумя прямолинейными параллельными отрезками (рис. 114, а) определяется формулой:
be In g = d2 In ---(r- In Л 4- r- In r, —
r3Л4 Z z
— r2 In rs — r2 In r4) — d[(h + c) ?1 + (A + b) <ft — A?s —
(Л + b + c) <p4]-~ be.
Если b — c, h =— b (рис. 114,b), to
lng=^-ln A+inr + 4?_^f
где P = d2 + с2, или
ln£=lnd + ^Lln(l 4-a2) arc tga— A,
где a - a .
198
Для расположения по рис. II4,с:
ing=in d + 4 (₽ + d2 in а + + 4о -1 )2 ’п а - «) - л,
b а d где « = —, ₽ = '*'•
При больших расстояниях между отрезками удобно пользоваться формулой:
lng=lnrf+A, (122)
где для расположения по рис. 114,6:
уу2 п€ q2 f л2 zs4 \
д TF + 168 • •'= ТТ гГ+й"’)’ (123)
а для расположения по рис. 114,с:
(124)
13. С. г. р. между двумя прямолинейными взаимно перпендикулярными отрезками (рис. 115) определяется формулой:
26с In g = 2 (m ф 6) (п + с) In Д +
+ 2/nra In гг — 2 (т + 6) п In rs — 2 (п 4-
+ с) т 1п г4 + (п 4- c)2fi + (m +
+ 6)2<f>:— n2?s — т^ — ЗЬс. (125)
В частности, при т = п = 0 ing^inr.4- 2; + 4-^-4 •
Если, кроме того, b — с, то 4- <f2 — г1=&}/2
и
In g = In 6 + In 1/2 + ----|- = In 6 — 0,368.
14. С. г. p. между двумя прямолинейными непараллельными отрезками, произвольно расположенными на плоскости (рис. 116), определяется формулой:
26с In g = [2 (т + 6) (п + с) sin2 ср — Cf cos <р] In Н +
+ (2тп sin2® — r22 cos <р) In г2 — [2 (т + 6) п sin2? —
— г2 cos <р] In г3 — [2 (и + с) т sin2 ? — г2 cos <?] In г4 + + sin ? | (п. + c)2'Pj + (т 4- 6)2?, — /г2?3 — 36с.
l> от самою себя
16. С. г. р. периметра прямоугольника от самого себя (рис. 117) определяется из выражения:
(Ь + с)2 In g = b2 In b 4- c2 In с 4- 2b с ln<7 +
+ с(& + с)?1 + *(^ + с)?г-----+ с)2-
В частности, для квадрата (Ь с)
In g = In b + In 2 + ~— -|- = In b — 0,5413.
17. С. г. p. от точки P до площади прямоугольника Q определяется той же формулой (125), что и с. г. р. между двумя соответствующими взаимно перпендикулярными отрезками b и с (рис. 118).
18. С. г. р. площади прямоугольника от самой себя определяется формулой:
ing=4-in(^ + c2)-A^ln(i+.£iV
1 «2 1„ Л . ' 2 ft , С . 2 с . Ь 25
in <1 +^;+—TarCtgT+¥y№tgT —J2, где b и с — стороны прямоугольника. Со значительной степенью точности
g = k (b + с), (126)
где k = 0,2236. Для более точного определения g значения коэффициента k в последней формуле можно взять из табл. 25. Если требуется определить не g, a Ing, то удобно пользоваться формулой:
1п£ = 1п(& + с) + 1пА = 1п(й +с) —1,5 + 1п\ (127)
где In 8— поправка, учитывающая отличие In/г от значения—1.5, отвечающего случаю Ь — 0. Значения In 8 также даны в табл. 25. 200
Значения k и In Б в формулах (126) и (127)
Таблица 25
b С -— или -т-с ь Л- 1п Б Ь с — или с b k In 5
0 0,22313 0 0,50 0,22360 0,00211
0,025 33 0,00089 0,55 58 203
0,05 46 146 0,60 197
0,10 60 210 0,65 56 192
0,15 66 239 0,70 го 187
0,20 69 249 0,75 0,22354 0,00184
0,25 0,22369 0,00249 0,80 53 181
0,30 68 244 0,85 53 179
0,35 66 236 0,90 53 178
0,40 64 228 0,95 525 177
0,15 62 219 1,00 0,223525 177
0,50 0,22360 0,00211 1
19. С. г. р. между площадями двух одинаковых прямоугольников, расположенных согласно рис. 119, определяется из фор-
мулы:
lng = In/г + + 1)21п (rf+c+£) +
+4(4 -1 /1п <d+c-v- (4У1п (d+
полученной с помощью формулы (126), в которой коэффициент k принят независящим от отношения сторон прямоугольника. При d+ с>ЗЬ удобнее пользоваться выражением:
lng = ln£(<Z + с) +
.2d х >= л
+ d+c/ 2
_ 'd ~~ b Y
2 \d~+ c)
3
V2
(128)
полученным из предыдущего разложением в ряд. В формуле (128) ь
С. г. р. между площадями прямоугольников, расположенных согласно рис. 119, можно определить по формуле:
Ing = In d + Inp,
(129)
взяв значение Inp из табл. 26 при b~>c или из табл. 27 при b <- с.
Таблица 26
Значения In р в формуле (129)
0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
I 0,05 —0,0002 —0,0002 —0,0002 —0,0002 —0,0002 —0,0002 —0,0001 —0,0001 —0,0001 —0,0000 +0,0000
1 10 0008 0008 0008 0008 0007 0006 0005 0004 0003 0002 0000
15 0019 0019 0018 0017 0016 0014 0012 0010 0006 0003 0000
20 0034 0033 0032 0030 0028 0025 0021 0017 0012 0006 0000
' 0,25 —0,0053 —0,0052 —0,0051 —0,0048 —0,0044 —0,0039 —0,0034 —0,0027 —0,0019 —0,0010 + 0,0000
| 30 0076 0076 0073 0069 0064 0057 0048 0038 0027 0014 0001
35 0105 0104 0100 0095 0087 0078 0066 0052 0036 0018 0002
40 0138 0136 0132 0125 0115 0102 0086 0068 0047 0024 0002
45 0176 0174 0169 0159 0146 0130 ОНО 0086 0059 0029 0003
0,50 —0,0220 —0,0217 —0,0210 —0,0198 —0,0182 —0,0161 —0,0136 —0,0106 —0,0073 —0,0036 + 0,0005
55 0269 0266 0257 0243 0222 0197 0164 0128 0087 0042 0007
60 0325 0321 0310 0292 0267 0235 0196 0152 0103 0048 0010
65 0388 0383 0369 0347 0316 0277 0231 0178 0120 0055 0014
70 0458 0452 0435 0408 0370 0324 0269 0207 0137 0062 0019
0,75 —0,0536 —0,0529 —0,0509 —0,0476 -0,0431 —0,0375 —0,0310 —0,0237 —0,0156 -0,0070 + 0,0023
80 0625 0616 0591 0551 0497 0431 0354 0269 0176 0075 0031
85 0725 0714 0683 0634 0569 0491 0401 0302 0195 0081 0037
90 0839 0825 0786 0726 0648 0555 0451 0337 0216 0087 0016
95 0973 0954 0903 0828 0734 0625 0504 0374 0236 0092 0056
1,00 —0,1137 —0,1106 —0,1037 —0,0942 —0,0828 —0,0700 —0,0561 —0,0413 0258 —0,0098 + 0.0065
ЯК
Значения In р в формуле (129)
Таблица 27
е ~d -- =0 с 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0,1 0,0008 0,0008 0,0008 0,0008 0,0007 0,0006 0,0005 0,0004 0,0003 0,0002 0,0000
2 0033 0033 0032 0030 0028 0025 0021 0017 0012 0007 0000
3 0074 0073 0071 0067 0062 0056 0048 0038 0027 0015 0001
4 0129 01'28 0124 0118 0109 0098 0084 0068 0050 0027 0003
0,5 0,0199 0,0197 0,0191 0182 0169 0,0152 0131 0,0106 0,0077 0,0043 0,0005
6 0281 0278 0271 0258 0240 0216 0185 0152 0111 0064 ООН
у 0374 0371 0361 0344 0320 0290 0251 0206 0155 0090 0019
8 0477 0473 0461 0440 0411 0373 0321 0268 0200 0129 0031
9 0589 0584 0569 0544 0506 0464 0404 0338 0254 0158 0046
1.0 0,0708 0,0702 0685 0,0655 0,0614 0,0560 0492 0,0406 0,0313 0,0199 0,0065
0,9 0847 0841 0821 0787 0738 0675 0596 0501 0382 0250 —
8 1031 1023 0999 0959 0903 0829 0745 0622 0,0485 —
7 1277 1268 1240 1192 1125 1037 0925 0,0788 —
6 1618 1607 1573 1507 1436 1329 0,1194 —
0,5 0,2107 0,2094 0,2053 0,1984 0,1886 0,1754 —
4 2843 2826 2776 2691 0,2567 —
3 4024 4003 3942 0,3831 —
2 ! 6132 0,6105 0,6021 —
0,1 1,0787 1,1075 —.
d
I с J —
Таблица 2Я
Значения In р' в формуле (130)
d с +- 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 0,45 0,50
0 1,5000 —
0,05 1,3542 1,3555 —
0,10 1,2239 1,2248 1,2278 —
0,15 1,1052 1,1060 1,1084 1,1125 —
0,20 0,9962 0,9969 0,9989 1,0024 1,0073 —
0,25 0,8953 0,8959 0,8977 0,9007 0,9049 0,9105 —
0,30 8015 8020 8037 8062 8098 8147 0,8208 —
0,35 7110 7145 7159 7182 7215 7258 7311 0,7375 —
0,40 6321 6325 6337 6358 6387 6125 6172 6530 0,6596 —
045 5550 5554 5565 5581 5610 5645 5687 5738 5797 0,5865 1
0,50 0,1825 0,4828 0,4838 0,4855 0,4879 0,4910 0,1948 0,4994 0,5016 0,5109 0,5178 |
—— — -
В последнем случае при малых значениях пользоваться формулой:
Ing = In Л — lnp'.
d Ь
С~ и ~ удойнее
(130)
может быть принято
— а, Рис. 120.
определяя значения In р' из табл. 28.
20. С. г. р. между площадями двух узких и достаточно уда-ленных друг от друга прямоугольников i------ " J
равным с. г. р. между двумя соответствующими отрезками, совпадающими с продольными осями прямоугольников [211.
В частности, для двух одинаковых узких прямоугольников, расположенных согласно рис. 120, справедлива формула (122), причем А определяется по формуле (123) при с~^§>Ъ а. ^-<1 и по формуле (124) при Ь^>с.
21. С. г. р. между площадями двух прямоугольников с параллельными сторонами при произвольном их расположении на плоскости может быть определено по формулам (22) — (28) (стр. 149), если положить:
^(&) = Vln&, F(k х i)=sfy\ngtf
Тем самым задача сведется к определению с. г. р. площадей нескольких прямоугольников от самих себя, для которых имеется простая формула (126).
22. С. г. р. между площадями двух одинаковых квадратов может быть принято равным расстоянию между их центрами [22].
23. С. г. р. между площадями двух одинаковых прямоугольников, произвольно расположенных друг относительно друга на плоскости, можно определить следующим методом [22J.
Если отношение большей стороны прямоугольников к меньшей есть целое число п, то, разбив каждый прямоугольник на п квадратов (рис. 121, а), будем иметь:
k=.n
lng = 4f In II Гк1, k=-\
где rki—расстояние между центрами k-ro и г-го квадратов, II знак произведения.
205
и равно — 11 • 1 де
а)
Рис. 121. раллельными сторонами.
в частности, если большие стороны прямоу! ельников napa.i лелыш друг ДРУ'У’ 10 i— п ^=:П п О . ,п- 1 J1 1 у' У
Д Г*,- = г\пГ2пГбп • • Гп-\.п Гп.п п.п-1 гЛ п1 л!"
Если отношение сторон прямоугольников не есть целое число ’—целое число и0<а<1, то, определив с. г. р. gi между площадями двух прямоугольников с отношением сторон, равным-^- = n + 1, и с. г. р. g.£ двух прямоугольников с отношением сторон, равным -у- =п(рис. 121,Ь), найдем искомое с. г. р. из формулы:
, . х ь — ьг g = «I + (ёг — •
При этом с. г. р. gi и g2 определяются так, как было указано для случая прямоугольников с отношением сторон, равным целому числу.
24. С. г. р. фигур, ограниченных ломаными линиями со взаимно перпендикулярными участками, с помощью формул (119) и (120) могут быть выражены через с. г. р. прямоугольников от самих себя и взаимные с. г. р. прямоугольников с па-Последние могут быть определены
так, как указано под номерами 19, 20, 21 и 23 настоящего пункта.
4. Средние арифметические расстояния некоторых фигур
1. С. а. р. окружности радиуса г от самой себя
4г а = —.
К
2. С. а. р. площади круга радиуса г от самой себя
3. С. а. р. прямолинейного отрезка длиною b от самою себя
206
4. С. а. р. периметра прямоугольника со сторонами b и с от самого себя определяется из формулы:
о (1,+е у а = Ь2 (с + 4- b) In + с* (ъ + .2. 1п +
+ | bed-----d* + bs + с3.
0 0
В частности, для квадрата (b =-с, d=]/ 2b)t
а = 15 I51п О + > + V2+ 3] = 0,7350 ft.
3 15 fc2c2 "Г
5. С. а. р. площади прямоугольника со сторонами ft и с от самой себя
п _ _L *2 in с + d ! 1 & 1, * + d , d. 1 d6
a~ 6 vln г-
1 fe3 1 c^_
+ 15 c2 + "15 ft2 ’
где d—диагональ прямоугольника.
В частности, для квадрата (Ь = с, <Z = ]/2 ft)
«=-г Lin f1 + vv+42_+4J=°’5214 ь-
6. С. а. р. между двумя прямолинейными отрезками, расположенными согласно рис. 114,ft,
«-=?ln-4r-4/-+^+-f-J> пз!)
где
г = у/ d2 + с2.
7. С. а. р. между двумя прямолинейными отрезками, расположенными согласно рис. 114, с, равно расстоянию между их серединами: a — d.
8. С. а. р. между- двумя взаимно перпендикулярными прямолинейными отрезками ft и с, сходящимися в одной точке (рис. 122),
„ 1 fe2 . с + г 1 ca . ь +
« =-Г —ln -F- + —“Г1П —
з
9. С. а. р. между площадями двух узких и достаточно удаленных друг от друга Прямоугольников может быть принято равным с. а. р. между двумя соответствующими отрезками, совпадающими с продольными осями прямоугольников. В частности, для Двух одинаковых узких прямоугольников, расположенных согласно рис.
। лчп а для прямоугольников, располо-
справедлива формула (1оЩ, а д-1»1 "н г
женных согласно рис. 120Д -формула < —• . гпяпп
10. С. а. р. между площадями двух прямоугольников с параллельными сторонами при произвольном их расположении на плоскости может быть определено по форму лам I-zj (стр. 149), если положить:
F (k) = s^ak, F (k X /) = (132)
Тем самым задача сведется к определению с. а. р. площадей нескольких прямоугольников от самих себя.
11. С. а. р. фигур, ограниченных ломаными линиями со взаимно перпендикулярными участками, могут быть выражены через с. а. р. ак прямоугольников от самих себя и взаимные с. а. р. ак. прямоугольников с параллельными сторонами, для чего достаточно воспользоваться формулами (119) и (120), понимая под F(k) и величины, определяемые формулами (132).
При этом с. а. р. ак и аы могут быть определены так, как указано выше под номерами 5, 9 и 10.
5. Средние квадратичные расстояния некоторых фигур
1. С. к. р. окружности радиуса г от самой себя
q = /У 2.
2. С. к. р. площади круга от самой себя равно радиусу круга.
3. С. к. р. прямолинейного отрезка длиною b от самого себя
4. С. к. р. периметра прямоугольника со сторонами b и с от самого себя определяется из формулы:
(b + c)2q2 = -1- (^ + ci) + ^с2 + A be (IF + с2).
В частности, для квадрата (Ь = с):
42=-з~£2 или q — 0,8165 Ь.
5. С. к. р. площади прямоугольника со сторонами b и с от самой себя определяется из формулы:
-J~(*2+r=).
В частности, для квадрата (Ь = с)
,2 ьг
‘J = -у или <7^0 5774 Ь.
208
‘ К’ МеЖДУ ЛВУМЯ °'™°™ определяется из фор. 92 = «2 + г- -4 /?;
'~Р«ссгоя„»е между „
, ™' р' “'жду "W11»»»»" Двух кругов определяется ич
формулы.
^=d2 + .l+J 2
где 6 и rs —радиусы кругов, d~ расстояние между их центрами.
8. С. к. р. между двумя прямолинейными отрезками расположенными согласно рис. 114/, определяется из формулы:
= & + У- . (133)
9. С. к. р. между двумя прямолинейными отрезками, расположенными согласно рис. 114,с. определяется из формулы:
«> . b2
=а+~ё~- (134)
10. С. к. р. между' двумя взаимно перпендикулярными прямолинейными отрезками b и с, сходящимися в одной точке (рис. 121), равно
11. С. к. р. между площадями двух узких и достаточно удаленных друг от друга прямоугольников может быть принято равным с. к. р. между двумя соответству'ющими отрезками, совпадающими с продольными осями прямоугольников. В частности, для двух одинаковых узких прямоугольников, расположенных согласно рис. 120, справедлива формула (133) при Ь<§^с и формула (134) при b'F$>c.
12. С. к. р. между площадями двух прямоугольников с параллельными сторонами при произвольном их расположении на плоскости может быть определено по формулам (22) (28)
(стр. 149), если положить:
F(/e) = F(k >. i) = e35)
Тем самым задача сведется к определению с. к. р. площадей Нескольких прямоугольников от самих себя.
13. С. к. р. фигур, ограниченных ломаными линиями со • имно перпендикулярными участками, могут быть выражены Рез с. к. р. <;л, прямоугольников от самих себя и взав''1 С‘ к- Р- <7*, прямоугольников с параллельными стор ‘ '
Для чего достаточно воспользоваться формулами I11-/ понимая под А (Хе) и Г (k i) величины, определяемые ФР--лами (135). При этом с. к. р. <//. и Чы могут быть опр 1ак> как укапию выше иод номерами 5, 11 и 12.
' ,~Л Ней! ini'
209
ПРИЛОЖЕНИЯ
НЕКОТОРЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ
1. Разложение в ряд некоторых функций
1) (1 + х)л = 1 + j"
и (п — 1) ,.а , « ('I — 1) (
21
2>х> +
3! Ь
2) v'l + X = 1+ А
Ал3 —
16
5 7
'128 + 256
8
3) —= 1—1 у 1 + х 2
35 4 63
16 " + 128 Х 256
I
3
8
5
4)
_1_
1 + х
№ х^ х^
5) ех - 1 + х + -х-г + + -дТ + • • •
(при любом х).
х3 , X6 х>
3! 1 5! 7 ! Ь ’
X2 X4 Xе
7) cos х = 1 2! + 4! 6! '•••
8) tg х = х -А + ' 3 + -2-х» -15 Х ,.А_^ + А2.. х9 ' 315 Х Н 2835
9) acsinx - х -Ь А х3 + ~ х6 -1- А-х7 -1- •х F ~ 1 3 X2:.
6 40 112 к 2 2’2’
где F— обозначение гипергеометрнческой функции.
1 J _t3
' icigx х з +' 5 7 Г l + xS^V’ b 2 '1г. X2;
где F—обозначение гипергеометрической функции.
id ш (1+х)=х -. < + 4-+4^— • о 4 5 (— 1 < X < 1).
12) In (1 4- Ч f+72) = in 2 Р J х’-Ах4 р 5 xs_... * OZ 1JO (— 1 < X 11
13) 1U (х + V г+^») = X - А X3 + _ f5_ + ... (- 1 < л , п
210
2. Полные эллингнчсские интегралы сражениями.
к= f
J v 1 — Л2 sin2x
первого и второго рода определяются
Л а~
Е ~ sin2 х dx.
о
Параметр /г называется модулем этих интегпя-г™, „ -
пых значений k даны в таблицах [24, 25, 26].Р °В' Значения К и Е для раз-3. Гипергеометрическая функция (гнпергеометрнческий
? X И параметров а. Ь, с определяется формулой: Р ский Ряд> перемен-
/ («. Ь. с, х) = 1 + 4*- х + A(±±J)fe(fc + 1) ’с 1-2с(Г+Т) х +
д(д + 1)(д + 2) 4- l)(fe + 2)
1 • 2-Зс(с4 1)(с -р 2) *3 + - .
4. Полиномы Лежандра (шаровые функции Лежандра первого рода) л-го порядка определяются формулой: н '
1 dn
Рц (х) = 2пд! ~dx" ^х2 (п —целое число).
Для вычисления Рп(х) может служить формула:
рп(х) = F[n »- 1,—л, 1,— j,
где F— обозначение гнпергеометрической функции,
Ро(х) = 1, Pi(x) = х.
А(х)=-^-(Зх2-1),
рЛх) = -у(5х’-3х),
Р* (х) = -L (35л4 — 30л2 + 3),
₽гй = -^-(бЗх6 — 7О.с3 + 15х), О
pe (X) = -L (231 х6 — 315л4 + 105х2 — 5).
Полиномы Лежандра высших порядков могут быть вычислены по реку-Рептной формуле:
(л + 1) Рп+1 (х) — (2л + 1) хР„ (х) + nP„-t (х) = 0.
Частные значения:
Ртл+1(О) = О,
п(~ х)-_ ( -1)’>рл(х). найдена из соотношения:
Производная Р,,'(х) о г Р„ (х) по х может быть найден
(х> _ 1) (х) = лхР„ (X) — лр»-1 (х).
211
14*
Полиномы Лежандра могут быть выражены и ipui ономстрнческой форме. Если положить х = cos 0, то
(х) = Р„ (cos 0) = (—1)" /•' (и 1. - п. 1. cos’ .
где А— обозначение гнпергеометрической функции.
(cos С) = cos в.
l\ (cos Ь) = - (3 COS 20 + 1),
1\ (cos 6)= -i- (5 cos 30 -J- 3 cos Ь).
Pt (cos 0) = (35 cos 40 + 20 cos 20 -I- 9).
Pn (cos 0) ~ 2 ^cos n0 + -p • 2~bj cos (n — 2) 0
+ ^(TO)(^-3)C0S("-“4)'i +
1-3-5 n(n — l)(n — 2) , , “|
+ 1-2-3 (2n —l)(2n —3)(2n —5)COS(" '6) J ! '•J-
При четном n последний член в квадратных скобках не содержит cos (I н дополнительно должен быть разделен на два, при нечетном п последний член содержит cos 0.
Значения полиномов Лежандра могут быть найдены по таблицам [25].
5. Функция гамма определяется выражением:
Г(х) = J tx le ‘dt.
О
Некоторые свойства функции гамма:
г (I) = 1. Г ( у) = \ Г (х + 1) = ХГ (X)
При и—целом
Г (х + п) = (х + п — Г)(х + п--2)... хГ (х),
Г (и) = («-!)!,
Г (п •. 1 \ Г (2л) у я
\ ’ 2 ) 22"-1 Г(п) “ “2й" ,'3'5 (2я ~ О-
Значения функций гамма могут быть найдены по таблицам [25, 38]
Десятичные логарифмы
Числа] 0 1 1 2 1 з IJL : 5 6 7 8 9 2 3| 4 5 6 7 8 9
10 moot 0017 0081 0128 0170 0212 0253 0294 0334 0374 4 8 12 17 21 25 29 33 37
11 Oil- 015; 0491 0531 0569 0607 0645 0682 0719 0755 4 8 11 15 19 23 26 30 34
12 ,0791 0828 0864 0899 0934 0969 1004 1038 1072.1106 3 7 10 14 17 21 24 28 31
13 jl 139 1173 1201 1239 1271 1303 1335 1367 1399 1430 3 6 10 13 16 19 23 26 29
и 1461 1492 1523 1553 1584 1614 1644 1673 1703 1732 3 6 9 12 15 18 21 24 27
15 1761 1790 1818 1847 1875 1903 1931 1959 1987 2014 3 6 8 11 1417 20 22 25
16 [204! 2068 2095 2122 2148 2175 2201 2227 2253 2279 3 5 8 11 1316 18 21 24
17 2304 2330 2355 2380 2405 2430 2455 2480 2504 2529 2 5 7 101215 17 20 22
18 2553 2577 2601 2625 2648 2672 2695 2718 2742 2765 2 5 .7 912 14 1619 21
19 2788 2810 2833 2856 2878 2900 2923 2945 2967 2989 2 4 7 9 11 13 16 18 20
20 ЗОЮ 3032 3054 3075 3096 3118 3139 316О|3181 3201 2 4 6 8 11 13 15 17 19
21 3222 3243 3263 3284 3304 3324 3345 3365'3385 3404 2 4 6 8 1012 141618
22 3424 3444 3464 3483 3502 3522 3541 3560 3579 3598 2 4 6 8 10 12 14 1517
23 B617 3636 3655 3674 3692 3711 3729 3747 3766 3784 2 4 6 7 911 131517
24 3802 3820 3838 3856 3874 3892 3909 3927 3945 3962 2 4 5 7 911 121416
25 3979 3997 4014 4031 4048 4065 4082 4099 4116 4133 2 3 5 7 910 12 14 15
26 1150 4166 1183 1200 4216 4232 4249 4265 4281 4298 2 3 5 7 8 10 11 1315
27 4314 4330 4346 4362 4378 4393 4409 4425 1440 445C ,2 3 5 6 8 9 11 1314
28 4472 4487 4502 4518 4533 1548 4564 4579 4594 4609 2 3 5 6 8 9 11 1214
29 4624 4639 4654 4669 4683 4698 4713 4728 4742 4757 1 3 4 6 7 9 10 12 13
30 4771 47864800 4814 4829 4843 4857 4871 4886 4900 1 3 4 6 7 9 10 11 13
31 4914 4928 4942 4955 4969 4983 4997 5011 5024 5038 1 3 4 6 7 8 10 11 12
32 5051 5065 5079 5092 5105 5119 5132 5145 5159 5172 1 3 4 5 7 8 911 12
33 5185 5198 5211 5224 5237 5250 5263 5276 5289 5302 1 3 4 5 6 8 910 12
34 5315 5328 5340 5353 5366 5378 5391 | I 5403 5416 5428 1 3 4 5 6 8 91011
35 5441 5453 5465 5478 5490 5502 5514 5527 5539 5551 1 2 4 5 6 7 91011
36 5563 5575 5587 5599 5611 5623'5635 5647 5658 5670 1 2 4 5 6 7 81011
37 5682 5694 5705 5717 5729 5740 5752 5763 5775 5786 1 2 3 5 6 7 8 910
38 5798 5809 5821 5832 5843 5855 5866 5877 5888 5899 1 2 3 5 6 7 8 910
39 5911 5922 5933 5944 5955|5966‘5977 5988 5999 6010 11 2 3 4 5 7 8 910
40 6021 6031 6042 6053 6064 6075 6085 6096 6107 6117 11 2 3 4 5 6 8 910
41 6128 6138 6149 6160 6170 6180 6191 6201 6212 6222 1 2 3 4 5 6 7 8 9
42 16232 6243.6253 6263 6274 6284 6291 6304 6314 6325 1 2 3 4 5 6 7 8 9
43 6335 6345 6355 6365 6375 6385 6395 6405 6415 6425 1 2 3 4 5 6 7 8 9
44 ,6435 6444 6454 6464 6474 6484 6493 6503 6513 6522 1 2 3 4 5 6 7 8 9
45 6532 6542 6551 6561 6571 6580 6590 6599 6609 6618 1 2 3 4 5 6 7 8 9
46 6628 6637 6646 6656 6665 6675 6681 6693 6702 6712 1 2 3 4 5 6 7 7 8
47 '6721 6730 6739 6749 6758 6767 6776 6785 6794 6803 1 2 3 4 5 5 6 7 8 6 7 8 6 7 8
48 6812 6821 6830 6839 6848 6857 6866 6875 6884 6893, 1 2 3 4 4 5
49 6902 6911 6920 6928 6937 6946 6955 6964 6972 6981 1 2 3 4 4 5
50 ’.6990 6998 7007 7016 7024 7033 7042 7050 7059 7067 1 2 3 3 4 5 6 7 8
51 ,7071 7084 7093 7101 71107118 7126 7135'7143 7152,1 2 3 3 4 5
52 17166 7168 7177 7185 7193 7202 7210 7218 7226 7235 1 2 2 3 4 5 6 7/ 6 6 7 6 6 7
53 1724: 7251 7259 7267 7275 7284 7292 7300 7308 7316 1 2 3 4 0
54 7324 7332 7340 7348 7356 7364 7372 6 7380.7388 7396, 1 3 4 5
f 0 Г , '1 Гз' 4 5 7 8 1 2 ~3| 4 5 6 7 8 9
213
Числа 55 56 57 IX 7404 12= 7412 7419 x 7427 4 7435 5 7413 =J 7451 7 7459 8 7 166 4 717 1 1 1 2 2 2 4 3 5 4 4 5 7 5 8 6 1 7
7482 7490 7497 7505 7513 7520 7528 7536 7543 7.251 1 2 2 3 4 5 ,> 6 7
7574 7582 7589 7597 7604 7612 7619 76271 1 2 2 3 4 5 5 6 /
SR 7634 7642 7649 7657 7664 7672 7679 7686 7694 7701 1 1 2 3 4 4 э 6 7
59 7709 7716 7723 7731 7738 7745 7752 7760 7767 7774 1 1 2 3 4 4 5 6 7
60 7782 7789 7796 7803 7810 7818 7825 7832 7839 7846 1 1 2 3 4 4 5 6 6
61 7853 7860 7868 7875 7882 7889 7896 7903 7910 7917 1 1 9 3 4 4 <) 6 6
62 7924 7931 7938 7945 7952 7959 7966 7973 7980 7987 1 1 2 3 3 4 5 6 6
63 7993 8000 8007 8014 8021 8028 8035 8041 8048 8055 1 1 2 3 3 4 5 5 6
64 8062 8069 8075 8082 8089 8096 8102 8109 8116,8122 1 1 2 3 3 4 5 5 6
65 8129 8136 8142 8149 8156 8162 8169 8176 8182 8189 1 1 2 3 3 4 5 5 6
66 8195 8202 8209 8215 8222 8228 8235 8241 8248 8254 1 1 2 3 3 4 5 5 6
67 8261 8267 8274 8280 8287 8293 8299 8306 8312 8319 1 1 2 3 3 4 5 5 6
68 8325 8331 8338 8344 8351 8357 8363 8370 8376 8382 1 1 2 3 3 4 4 5 6
69 8388 8395 8401 8407 8414 8420 8426 8432 8439 8445 1 1 2 2 3 4 4 5 6
70 8451 8457 8463 8470 8476 8482 8488 8494 8500 8506 1 1 2 2 3 4 4 5 6
71 8513 8519 8525 8531 8537 8543 8549 8555 8561 8567 1 1 2 2 3 4 4 5 J)
72 8573 8579 8585 8591 8597 8603 8609 8615 8621 8627 1 1 2 2 3 4 4 5 5
73 8633 8639 8645 8651 8657 8663 8669 8675 8681 8686 , i 1 2 2 3 4 4 5 5
74 8692 8698 8704 8710 8716 8722 8727 8733 8739 8745 i 1 2 2 3 4 4 5 5
75 8751 87568762 8768 8774 8779 8785 8791 8797 8802 i 1 2 2 3 3 4 5 3
76 8808 8814 8820,8825 8831 883/ 8842 8848 8854 8859 i 1 2 2 3 3 4 5 з
77 8865 8871 8876 8882 8887 8893 8899 8904 8910 8915 i 1 2 2 3 3 4 4 5
78 8921 8927 8932 8938 8943 8949 8954 8960 8965 8971 i 1 2 2 3 3 4 4 5
79 S976 8982 8987 8993 8998 9004 9009 9015 9020 9025 i 1 2 2 3 3 4 4 5
80 0031 9036 9042 9047 9053 9058 9063 9069 9074 9079 i 1 2 2 3 3 4 1 5
81 9085 9090 9096'9101 9106 9112 9117 9122 9128 9133 i 1 2 2 3 3 4 4 5
82 9138 9143 9149 9154 9159 9165 9170 9175 9180 9186 i 1 2 2 3 3 4 4 5
83 9191 9196,9201 9206 9212 9217 9222 9227 9232 9238 i 1 2 2 3 3 4 4 5
84 9243 9248|9253 9258 9263 9269 9274 9279 9284 9289 i 1 2 2 3 3 4 4 5
' 85 9294 9299,9304,9309 9315'9320,9325 9330 9335,9340 i 1 2 9 3 3 4 4 5
1 86 9345 9350 9355,9360 9365:9370 9375 9380 9385,9390 i 1 2 2 3 3 4 4 5
9395 9400 9405 9410 9415 9420'9425 9430'9435 9440 0 1 1 2 2 3 3 4 4
1 88 9145 9450 9455 9460 9465 9469,9474 9479 94849489 0 1 1 2 3 3 4 1 1
• 89 M94 9499 950419509 9513 9518 9523 9528 9533 9538 0 1 1 2 2 3 3 4 4
| 90 9542 9547 9552,9557 9562 9566,9571 9576 9581 9586 0 1 1 2 2 3 3 4 4
’ 91 |9590 9595;9600.9605 9609,9614 9619 9624 9628 9633 0 1 1 2 2 3 3 4 4
9'2 19638 9643.9647,9652 9689,9694 9699 96579661 9666 9671 9675 9680 0 1 1 2 2 3 3 4 4
93 ,9685 9703 9708 9713 9717 9722 9727 0 1 1 2 2 3 3 4 4
94 |9731 9/36 9/41 9745 9750 9751 . 9759 9763 9768 9773 0 1 1 2 2 3 3 I 1
95 9777 9782 9786 9791 Э795 3800'9805 9809 9814 9818, 0 1 1 9 9 3 1 1
96 |9823 9827 9832 9836 9841 Э845 9850 9854 9859 9863; о 1 1 1 9 9 3 3 1
97 p868 9872 9877 9881 9881’ 9890 9894 9899 9903 9908' 0 1 2 2 3 1 1
98 99 ,9912 9956 9917 9961 9921 9965 9926 9969 9930 9974 9934 9978 9939 9983 9943 9987 9948 9991 9952' 9996 0 0 1 1 1 1 2 2 9 i.‘* 3 3 3 3 4 3 11
4= 1 Ij 2 3 ±J r JL 7 8 9 1 2 I 5 61 7 R 1
214
Натуральные логарифмы
.4пела 0 1 2 3 4 5 6 8 9 |Ра >н.
1.00 0.0000 0.0010 0,0020 0.0030 0,0040 0,0050 0,0060 0,0070 0 0080 00090
1.01 0100 0109 0119 0129 0139 0149 0159 0169 0178 0188 10 Q
1.02 0198 0208, 0218 0227 0237 0247 0257 0266 0276 0286 10 9
1.03 0296 0305 0315 0325 0334 0344 0354 0363 0373 0383 10 9|
1,04 0392 0402 0411 0421 0431 0440 0450 0459 0469 0478 id—э|
1.05 0188 0497 0507 0516 0526 0535 0545 0554 0564 0573 10- 9
1.06 0583 0592 0602 0611. 0620 0630 0639 0649 0667 10—9
1.07 0677 0686 0695 0705 0714 0723 0733 0742 0751 0760 10 -9
1 1,08 0770 0779 0788 0797 0807 0816 0825 0834 0843 0853 10—9
1,09 0862 0871 0880 0889 0898 0908 0917 0926 0935 0944 10—9
1.10 0953 0962 0971 0980 0989 0998 1007 1017 1026 1035 10—9
1,11 1044 1053 1062 1071 1080 1089 1098 1106 1115 1124 9—8
1.12 1133 1142 1151 1160 1169 1178 1187 1196 1204 1213 9—8
1.13 1 1222 1231 1240 1249 1258 1266 1275 1284 1293 1302 9—8
1,11 1 1310 1319 1328 1337 1345 1354 1363 1371 1380 1389 9-8
1,15 1398 1406 1415 1424 1432 1441 1450 1458 1467 1476 9-8
1,16 1484 1493 1501 1510 1519 1527 1536 1544 15.>3 1561 9-8
1.17 । 1570 1579 1587 1596 1604 1613 1621 1630 1638 1647 9—8
1,18 1655 1664 1672 1681 1689 1697 1706 1714 1723 1731 9-8
1,19 1740 1748 1756 1765 1773 1781 1790 1798 1807 1815 9—8
1,20 1823 1832 1840 1848 1856 1865 1873 1881 1890 1898 9—8
1,91 1906 1914 1923 1931 1939 1947 1956 1964 1972 1980 9—8
1 22 1989 1997 2005 2013 2021 2029 2038 2046 2054 2062 9—8
1*23 2070 2078 2086 2095 2103 2111 2119 2127 2135 2143 9—8
1,24 2151 2159 2167 2175 2183 2191 2199 2207 2215 22'23 8
1,25 1.26 | 1.27 j 1,28 1.29 2231 2311 2390 2469 2546 2239 2319 2398 2476 2554 2247 2327 2406 2484 2562 2255 2335 2414 2492 2570 2263 2343 2422 2500 2577 2271 2351 2429 2508 2585 2279 2359 2437 2515 2593 2287 2367 2445 2523 2601 2295 2374 2453 2531 2608 2303 2382 2461 2539 2616 8 8- 7 8—7 8—7 8-7
1.30 1.31 ! 1,32 1 1.33 1.34 2624 2700 2776 2852 2927 2631 2708 2784 2859 2934 2639 2716 2791 2867 2942 2647 2723 2799 2874 2949 2654 2731 2807 2882 2957 2662 2738 2814 2889 2961 2670 2716 9822 2897 2971 2677 2751 28'29 2904 2979 2685 2761 2837 2912 2986 2693 2769 2844 2919 2994 8- < 8—7 8—7| 8—7 8—7'
1.35 1,36 ' 1.37 1,38 ; 1,39 3001 3075 3148 3221 3293 3008 3082 3155 32'28 3300 3016 3090 3163 3235 3307 3023 3097 3170 3243 3315 3031 3104 3177 3250 3322 3038 3112 3185 3257 33'29 3045 3119 3192 3264 3336 3053 3126 3199 3271 3343 3060 3133 3206 3279 3350 3067 3141 3214 3286 3358 ‘nTN ' Ж QO Q0 СО 00 <
1.40 1.41 3365 3436 ! 3372 34 13 3379 3450 3386 3457 3528 3598 3667 3393 3461 3400 3171 354'2 3407 3478 3519 3-115 3185 3556 3422 3492 3563 3129 3500 3570 JS—/ 1 8—7 {
1,42 3507 351 1 3521 3591 3660 3(505 3612 3619 3626 3633 3539 < — 6,
1,43 । 1.44 3577 3646 1 3581 3653 i 3674 3681 3688 3695 3702 3709, 1 1 215
Числа 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 |Рази.
1,45 1,-16 1,47 1,48 1,49 0 3716 0,3723 0,3729 0,3736 0,3743 0,3750 0,3757 0,3764 0,3771 0,3778 7—6
3784 3791 3798 3805 3812 3819 3825 3832 3839 3846 7—6
3853 3859 3866 3873 3880 3887 3893 3900 3907 3914 7-6
3920 3927 3934 3941 3947 3954 3061 3968 3974 3981 7—6
3988 3994 4001 4008 4015 4021 4028 4035 4041 4048 7—6
1,50 1 51 4061 4068 4075 4081 4088 4095 4101 4108 4114 7-6
4121 4128 4134 4141 4148 4154 4161 4167 4174 4181 7-6
1,52 4187 4194 4200 4207 4213 4220 4226 4233 1240 4246 7-6
1 53 4253 4259 4266 4272 4279 4285 4292 4298 4305 4311 7-6
L54 4318 4224 4331 4337 4344 4350 4357 4363 4370 4376 7-6
1,55 4383 4389 4395 4402 4408 4415 4421 4428 4434 4440 7—6
1,56 4447 4453 4460 4466 4472 4479 4485 4492 4498 4504 7—6
1,57 4511 4517 4523 4530 4536 4543 4549 4555 4562 4568 7—6
1,58 4574 4581 4587 4593 4600 4606 4612 4618 4625 4631 7—6
1,59 4637 46-14 4650 4656 4662 4669 4675 4681 4688 4694 7—6
1,60 4700 4706 4713 4719 4725 4731 4737 4744 4750 4756 7—6
1,61 4762 4769 4775 4781 4787 4793 4800 4806 4812 4818 7—6
1,62 4824 4830 4837 4843 4849 4855 4861 4867 4874 4880 7-6
1,63 4886 4892 4898 4904 4910 4916 4923 4929 4935 4941 7—6
1,64 4947 4953 4959 4965 4971 4977 4983 4990 4996 5002 7—6
1,65 5008 5014 5020 5026 5032 5038 5044 5050 5056 5062 6
1,66 5068 5074 5080 5086 5092 5098 5104 5110 5116 5122 6
1,67 5128 5134 5140 5146 5152 5158 5164 5170 5176 5182 6
1,68 5188 5194 5200 5206 5212 5218 5224 5230 5235 5241 6—5
1,69 5247 5253 5259 5265 5271 5277 5283 5289 5295 5300 6—5
1,70 5306 5312 5318 5324 5330 5336 5342 5347 5353 5359 6-5
1,71 5365 5371 5377 5382 5388 5394 5400 5406 5412 5417 6—5
1,72 5423 5429 5435 5441 5446 5452 5458 5464 5470 5475 6—5
1,73 5481 5487 5493 5499 5404 5510 5516 5522 5527 5533 6-5
1,74 5539 5545 5550 5556 5562 5568 5573 5579 5585 5590 6—5
1,75 5596 5602 5608 5613 5619 5625 5630 5636 5642 5647 6—5
1,76 5653 5659 5664 5670 5676 5682 5687 5693 5698 5704 6—5
1,77 5710 5715 5721 5727 5732 5738 5744 5749 5755 5761
1,78 5766 5772 5777 5783 5789 5794 5800 5805 5811 5817 6—5
1,79 5822 5828 5833 5839 5844 5850 5856 5861 5867 5872 6—5
1,80 5878 5883 5889 5895 5900 5906 5911 5917 5922 5928 6—5
1,81 5933 5939 5944 5950 5955 5961 5966 5972 5977 5983 6—5
1,82 1,83 1,84 5988 5994 5999 6005 6010 6016 6021 6027 6032 6038
6043 6049 6054 6060 6065 6070 6076 6081 6087 6092 6—5
6098 6103 6109 6114 6119 6125 6130 6136 6141 6146 6—5
1,85 1,86 1,87 1,88 1,89 6152 6206 6259 6313 6366 6157 6211 6265 6318 6371 6163 6217 6270 6323 6376 6168 6222 6275 6329 6382 6173 6227 6281 6334 6387 6179 6233 6286 6339 6392 6184 6238 6291 6345 6397 6190 6243 6297 6350 6403 6195 6249 6302 6355 6408 6200 6254 6307 6360 6413 О СП СП Ci Сп СЛ 61 6i
1,90 1,91 1.92 1,93 1,94 6419 6471 6523 6575 6627 1 6424 6476 6528 6580 6632 6429 6481 6534 6586 6637 6434 6487 6539 6591 6642 6440 6492 6544 6596 6647 6445 6497 6549 6601 6653 6450 6502 6554 6606 6658 6455 6508 6560 6611 6663 6461 6513 6565 6617 6668 6466 6518 6570 66’22 6673 <7> О 7: 7 7. ! Пш
Числа 1 _ 1»1 . «» 3 4 5 6 1 71 8 9 Рази.
I 1.95 ' 1.96 0.667S 6729 0,6683 6735 0.6689 6740 0,6694 6745 0,6699 6750 0,6704 6755 0,6709 0,6714 6760 6765 0,6719 6770 0,6724 6775 6—5 6- 5
1.97 6780 6785 6790 6796 6801 6806 6811 6816 6821 6826
1.98 6831 6836 6841 6846 6851 6856 6861 6866 6871 6876
1.99 6881 6886 6891 6896 6901 6906 6911 6916 6921 6926 5 ’
2.0 6931 6981 7031 7080 7129 7178 7227 7275 7324 7372 50—48
2.1 7419 7467 7514 7561 7608 7655 7701 7747 7793 7839 18—46
О 7885 7930 7975 8020 8065 8109 8154 8198 8242 8286 45—44
2.3 8329 8372 8416 8459 8502 8514 8587 8629 8671 8713 44—42
2.4 8755 8796 8838 8879 8920 8961 9002 9042 9083 9123 42—40
2,5 9163 9203 9243 9282 9322 i_9361 9400 9439 9478 9517 40—39
2.6 9555 9594 9632 9670 9708 9746 9783 9821 9858 9895 39—37
2,7 9933 9969 1,0006 1,0043 1,0080 1,0116 1,0152 1,0188 1.0225 1,0260 37—35
2,8 1,0296 1,0332 1.0367 1,0403 1,0438 1,0473 1,0508 1,0543 1,0578 1,0613 36—35
2,9 1.0647 1,0682 1,0716 1,0750 1,0784 1,0818 1,0852 1,0886 1,0919 1,0953 35—33
3,0 1,0986 1,1019 1,1053 1,1086 1,1119 1,1151 1,1184 1,1217 1,1249 1,1282 34—32
3,1 1 1314 1,1346 1,1378 1,1410 1,1442 1,1474 1,1506 1,1537 1,1569 1,1600 32—31
3,2 1,1632 1,1663 1,1694 1,1725 1,1756 1,1787 1,1817 1,1848 1,1878 1,1909 ,31—30
3,3 1,1939 1,1969 1,2000 1,2030 1,2060 1,2090 1,2119 1,2149 1,2179 1,2208 31—29
3,4 1,2238 1,2267 1,2296 1,2326 1,2355 1,2384 1,2413 1,2442 1,2470 1,2499 30—28
3,5 1,2528 1,2556 1,2585 1,2613 1,2641 1,2669 1,2698 1,2726 1,2754 1,2782 29—28
3,6 1,2809 1,2837 1,2865 1,2892 1,2920 1,2947 1,2975 1,3002 1,3029 1,3056 28—27
3,7 1,3083 1.3110 1,3137 1,3164 1,3191 1,3218 1,3244 1,3271 1,3297 1,3324 27—26
3,8 1,3350 1,3376 1,3403 1,3429 1,3455 1,3481 1,3507 1,3533 1,3558 1,3584 27—25
3,9 1,3610 1,3635 1,3661 1,3686 1,3712 1,3737 1,3762 1,3788 1,3813 1,3838 2б—“25
4,0 1,3863 1,3888 1,3913 1,3938 1,3962 1,3987 1.4012 1,4036 1,4061 1,4085 25—24
41 1,4110 1,4134 1,4159 1,4183 1,4207 1,4231 1,4255 1,4279 1,4303 1,4327 25—24
4.2 1,4351 1,4375 1,4398 1.4422 1,4446 1,4469 1,4493 1.1516 1,4540 1,4563 24—23
4,3 1,4586 1,4609 1,4633 1,4656 1,4679 1,4702 1,4725 1,4748 1,4770 1,4793 24—22
4,4 1,4816 1.4839 1,4861 1,4884 1,4907 1,4929 1,4951 1,4974 1,4996 1,5019 23—22
4,5 1,5041 1,5063 1,5085 1.5107 1,5129 1,5151 1,5173 1,5195 1,5'217 1,5239 22 22—21 22—21 21—20 21—20
4,6 4,7 4,8 4.9 1,5261 1,5476 1,5686 1 5892 1,5282 1,5497 1,5707 1.5913 1,5304 1,5518 1,5728 1,5933 1.5326 1,5539 1,5748 1,5953 1,5347 1,5560 1,5769 1,5974 1,5369 1,5581 1,5790 1.5994 1,5390 1,5602 1,5810 1,6014 1,5412 1,5623 1,5831 1,6034 1 ,0-4 <53 1,5644 1,5851 1,6054 1,5454 1,5665 1,5872 1,6074
5,0 5,1 5,2 5,3 5,4 1,6094 1,6292 1,6487 1.6677 1,6864 1,6114 1,6312 1,6506 1,6696 1,6882 1,6134 1,6332 1,6525 1,6715 1,6901 1,6154 1,6351 1,6544 1,6734 1,6919 1,6174 1,6371 1,6563 1,6752 1,6938 1,6191 1,6390 1,6582 1,6771 1.6956 1,6214 1,6409 1,6601 1,6790 1,6974 1,6233 1,6429 1,6620 1,6808 1,6993 1.6253 1,6148 1,6639 1,6827 1.7011 1,6273 1,6-167 1,6658 1,6845 1,7029 20—19 20—19 19 19-18 19—18
5,5 i 5,6 1,7047 1,7228 1,7066 1,7246 1,7084 1,7263 1,7102 1,7281 1,7120 1,7299 1,7138 1,7317 1,7156 1,7334 1,7509 1,7681 1,7851 1,8017 1,8181 1,8342 1,8500 1,8656 1,7174 1,7192 1,7352,1,7370 i 7W7 1.7544 1,7210 1,7387 1,7561 19—18 18—17 18—17
5,7 1,7405 1,7422 1,7440 1,7457 1,7475 1,7492 1 7699 1,7716 1,7733 18—17
5,8 !5-9 6,0 1,7579 1,7750 1.7918 1,7596 1,7766 1,7934 1,7613 1,7783 1,7951 1,7630 1,7800 1,7967 1,7647 1,7817 1,7984 1,7664 1,7834 1,8001 1,8165 1,8326 1,7867 1,8034 1,8197 1,8358 1,8516 1,8672 1,7884 1,8050 1,8213 1,7901 1,8066 1,8229 17-16 17—16 17-16
f-.l 1,8083 1,8099 1,8116 1,8132 1,8148 1,8374 1,8390 17—16
6,2 1,8245 1,8262 1,8278 1,8294 1,8310 1.8532 1,8547 16—15
I 6,3 ! M 1,8405 1,8563 1,8421 1,8579 1,8437 1,8594 1,8453 1,8610 1,8469 1,8625 1,8485 1,8641 1,8687 1,8703 16—10 217
Числа 0 I 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Рази 1
1 Я7ЛЗ 1 8749 1 8764 1,8779 1,8795 1,8810 1,8825 1,8840 1 1,8836 16 15
1 8Я86 1,8901 1,8916 1,8931 1,8946 1,8961 1,8976 1,8991 1,9006 15
1,9036 1,9051 1,9066 1,9081 1,9095 1,9110 1.9125 1,9140 1,9155 15—14
1*9169 1,9184 1,9199 1,9213 1,9228 1,9242 1,9257 1,9272 1,9286 1,9301 15-14
6.9 1,9315 1,9330 1,9344 1,9359 1,9373 1,9387 1,9402 1,9416 1,9430 1.9445 15—14
7 0 1,9459 1,9473 1,9488 1,9502 1,9516 1,9530 1,9544 1,9559 1,9573 1.9587 15—141
71 1,9601 1,9615 1,9629 1,9643 1.9657 1 9671 1.9685 1,9699 1,9713 1,9727.14 |
7 2 1,9741 1,9755 1.9769 1,9782 1,9796 1,9810 1,9824 1,9838 1,9851 1,9865 14—131
7,3 1,9879 1,9892 1,9906 1,9920 1,9933 1,9947 1,9961 1,9974 1,9988 2,0001 14—13
7,4 2,0015 2,0028 2,0042 2,0055 1,0069 1,0082 2,0096 2,0109 2,0122 2,0136 14—13
7,5 2,0149 2,0162 2,0176 2,0189 2,0202 2,0215 2.0229 2,0242 2,0255 2,0268 14-13
7,6 2.0281 2,0295 2,0308 2,0321 2,0334 2,0347 2,0360 2,0373 2,0386 2,0399 14—13
7,7 2,0412 2,0425 2,0438 2,0451 2,0464 2,0477 2,0490 2,0503 2,0516 2,0528 13—12
7,8 2,0541 2,0554 2,0567 2,0580 2,0592 2,0605 2,0618 2,0631 2,0643 2,0656 13—12
7,9 2,0669 2,0681 2,0694 2,0707 2,0719 2,0732 2,0744 2,0757 2.0769 2,0782 13—12
8,0 2,0794 2,0807 2,0819 2,0832 2,0844 2,0857 2,0869 2,0882 2,0894 2,0906 13—12
8.1 2,0919 3,0931 2,0943 2,0956 2,0968 2,0980 2,0992 2,100a 2,1017 2,1029 13—12
8,2 2,1041 2,1054 2,1066 2.1078 2,1090 2,1102 2,1114 2,1126 2,1138 2,1150 13—12
8,3 2,1163 2,1175 2,1187 2,1199 2,1211 2,1223 2,1235 2,1247 2,1258 2,1270 12—11
8,4 2,1282 2,1294 2,1306 2,1318 2,1330 2,1342 2,1353 2,1365 2,1377 2,1389112-11
8,5 2,1401 2,1412 2,1424 2,1436 2,1448 2,1459 2,1471 2,1483 2,1494 2,1506 12—11
8,6 2,1518 2,1529 2,1541 2,1552 2,1564 2,1576 2,1587 2,1599 2,1610 2,1622 12—11
8,7 2,1633 2,1645 2,1656 2,1668 2,1679 2,1691 2,1702 2,1713 2,1725 2,1736 12—11
8,8 2,1748 2,1759 2,1770 2,1782 2,1793 2.1804 2,1815 2,1827 2,1838 2,1849 12—11
8,9 2,1861 2,1872 2,1883 2,1894 2,1905 2,1917 2,1928 2,1939 2,1950 2,1961 12—11
9,0 2,1972 2,1983 2,1994 2,2006 2,2017 2.2028 2,2039 2,2050 2,2061 2,2072 12—11
9,1 2,2083 2,2094 2,2105 2,2116 2,2127 2,2138 2,2148 2,2159 2,2170 2,2181 11—10
9,2 2,2192 2,2203 2,2214 2,2225 2,2235 2,2246 2,2257 2,2268 2,2279 2,2289 11—10
9,3 2,2300 2,2311 2,2322 2,2332 2,2343 2,2354 2,2364 2,2375 2,2386 2,2396 11—10
9,4 2,2407 2,2418 2,2428 2,2439 2,2450 2,2460 2,2471 2,2481 2,2492 2,2502 11—10
9,5 2,2513 2,2523 2,2534 2,2544 2,2555 2,2565 2,2576 2,2586 2,2597 2,2607 11—10
9,6 2,2618 2,2628 2,2638 2,2649 2,2659 2,2670 2,2680 2,2690 2,2701 2,2711 11—10
9,7 2,2721 2,2732 2,2742 2,2752 2,2762 2.2773 2,2783 2,2793 2,2803 2,2814 11—10
9,8 2,2824 2,2834 2,2844 2,2854 2,2865 2,2875 2,2885 2,2895 2,2905 2,2915 11—10
9,9 10,0 2,2925 2,3026 2,2935 2,2946 2,2956 2,2966 2,2976 2,2986 2,2996 2,3006 2,3016 11-10
х In X X In X
10 2,3026 0,1 3,6974
100 4,6052 0,01 5.3948 1
1 100 6,9078 0,001 7,0922
10000 9,2103 0,000 1 10,7897
100 000 11,5129 0,000 01 1 2.4871
1000000 13,8155 0,000 001 14.1845
218
Тригонометрические функции
(справа от значения функции дана мантисса ее десятичного логарифма)
i— ' Радианы Г радуем sin tg etg 1 cos —
0,0000 6°00' 0,0000 — 0,0000 — 1,0000 0000 90°0Г' 1,5708
0029 10 0029 4637 0029 4637 343,77 5363 1.0000 0000 50 1 5679
0058 20 0058 7648 0058 7648 171,89 2352 1,0000 0000 40 1,5650
0087 30 0087 9408 0087 9409 114,59 0591 1,0000 0000 30 1 5621
0116 40 0116 0658 0116 0658 85,940 9342 0,9999 0000 20 1,5592
0145 50 0145 1627 0145 1627 68,750 8373 9999 0000 10 1,5563
0175 1°С0' 0175 2419 0175 2419 57,290 7581 9998 9999 89°(10' 1,5533
0204 10 0204 3088 0204 3089 49,104 6911 9998 9999 50 1,5504
0233 20 0233 3668 0233 3669 42,964 6331 9997 9999 40 1,5475
0262 30 0262 4179 0262 4181 38,188 5819 9997 9999 30 1.5446
0291 40 0291 4637 0291 4638 34,368 5362 9996 9998 20 1/5417
0320 50 0320 5050 0320 5053 31,242 4947 9995 9998 10 1,5388
0349 2°00' 0349 5428 0349 5431 28,636 4569 9994 9997 88°0'-' 1,5359
0378 10 0378 5776 0378 5779 26,432 4221 9993 9997 50 1,5330
0407 20 0407 6097 0407 6101 24,542 3899 9992 9996 40 1,5301
0436 30 0436 6397 0437 6401 22,904 3599 9990 9996 30 1,5272
0465 40 0465 6677 0466 6682 21,470 3318 9989 9995 20 1,5243
0495 50 0494 6940 0495 6945 20,206 3055 9988 9995 10 1,5213
0524 3°00' 0523 7188 0524 7194 19,081 2806 9986 9994 87°00' 1,5184
0553 10 0552 7423 0553 7429 18,075 2571 9985 9993 50 1,5155
0582 20 0581 7645 0582 7652 17,169 2348 9983 9993 40 1,5126
0611 30 0610 7857 0612 7865 16,350 2135 9981 9992 30 1,5097
0640 40 0640 8059 0641 8067 15,605 1933 9980 9991 20 1,5068
0669 50 0669 8251 0670 8261 14,924 1739 9978 9990 10 1,5039
0698 4°00' 0698 8436 0699 8446 14,301 1555 9976 9989 86°00' 1,5010
0727 10 0727 8613 0729 8624 13,727 1376 9974 9989 50 1,4981
0756 20 0756 8783 0758 8795 13,197 1205 9971 9988 40 1,4952
0785 30 0785 8946 0787 8960 12.706 1040 9969 9987 30 1,4923
0814 40 0814 9104 0816 9118 12.251 0882 9967 9986 20 ' 1,4893
0844 50 0843 9256 0846 9272 11,826 0728 9964 9985 10 1,4864
0873 5°0Ф 0872 9403 0875 9420 11,430 0580 9962 9983 85°00' 1,4835
0902 10 0901 9545 0904 9563 11,059 0437 9959 9982 50 1,4806
0931 20 0929 9682 0934 9701 10,712 0299 9957 9981 40 1,4/77
0960 30 0958 9816 0963 9836 10,385 0164 9954 9980 30 1,4748 1,4719 1,4690
0989 40 0987 9945 0992 9966 10,078 0034 9951 9979 20
1018 50 1016 0070 1022 0093 9,7882 9907 9948 9977 10
1047 6°ПЭ' 1045 0192 1051 0216 9,5144 9784 9945 9976 84'TC' 1,4661 1,4632 1,4603 1,4573 1 4544
1076 10 1074 0311 1080 0336 9,2553 9664 9942 9975 40
1105 20 1103 0426 1110 0453 9,0098 9547 9939 9973 9972 9971 9969
1134 30 1132 0539 1139 0567 8,7769 9833 9936 9932 9929 20 10
1164 1193 40 50 1161 0648 1190 0755 1169 1198 0678 0786 8,5555 8,3450 9322 9214 1.4515
1222 7с00' 1219 0859 1228 0891 8,1443 9109 9925 9968 83°00' 1.4486
Гра- Ради-
COS etg <4 sin дусы аны
—
Радианы Градусы sin tg ctg COS
0,1222 1251 1280 7°П0’ 1 10 20 0,1219 0859 1248 0961 1276 1060 1305 1157 0,1228 0891 8,1443 9109 0,9925 9968 83 ОТ 1,4486
1257 1287 1317 0995 1096 1194 7,9530 7,7704 7,5958 9005 890-1 8806 ОД99 9918 9914 9966 9964 996/3 50 40 30 1,4157 1,442г 1,4399 ,
1309 1338 1367 1334 1252 1346 1291 7,4287 8709 9911 9961 20 1,4370
50 1363 1345 1376 1385 7,2687 8615 9907 9959 10 1,4341
8°00' 1392 1436 1405 1478 7.1154 8522 9903 9958 82-00' 1,4312 1
loVU 1425 1454 1484 1513 1542 10 1421 1525 1435 1569 6,9682 8431 9899 9956 50 1.4283
20 1449 1612 1465 1658 6,8269 8342 9894 9954 40 1,4254
30 1478 1697 1495 1745 6,6912 8255 9890 9952 30 1,4224!
40 1507 1781 1524 1831 6.5606 8169 9886 9950 20 1,4195 1
50 1536 1863 1554 1915 6.4348 8085 9881 9948 10 1,4166
1571 9°00' 1564 1943 1584 1997 6,3138 8003 9877 9946 81°00' 1,4137
1600 10 1593 2022 1614 2078 6,1970 7922 9872 9944 50 1,4108
1629 20 1622 2100 1644 2158 6,0844 7842 9868 9942 40 1,4079
1658 30 1650 2176 1673 2236 5,9758 7764 9863 9940 30 1,4050
1687 40 1679 2251 1703 2313 5,8708 7687 9858 9938 20 1,4021
1716 50 1708 2324 1733 2389 5,7694 7611 9853 9933 10 1,3992
1745 1б°00' 1736 2397 1763 2463 5,6713 7537 9848 9934 80°00' 1,3963
1774 10 1765 2468 1793 2536 5,5764 7464 9843 9931 50 1,3934
1804 20 1794 2538 1823 2609 5,4845 7391 9838 9929 40 1.3904
1833 30 1822 2606 1853 2680 5,3955 7320 9833 9927 30 1,3875
1862 40 1851 2674 1883 2750 5,3093 7250 9827 9924 20 1,3846
1891 50 1880 2740 1914 2819 5,2257 7181 9822 9922 10 1,3817
1920 11°00' 1908 2806 1944 2887 5,1446 7113 9816 9919 79W 1,3788
1949 10 1937 2870 1974 2953 5,0658 7047 9811 9917 50 1,3759
1978 20 1965 2934 2004 3020 4,9894 6980 9805 9914 40 1,3730
2007 30 1994 2997 2035 3085 4,9152 6915 9799 9912 30 1,3701
2036 40 2022 3058 2065 3149 1,8430 6851 9793 9909 20 1,3672
2065 50 2051 3119 2095 3212 4,7729 6788 9787 9907 10 1,3643
2094 12°(Ю' 2079 3179 2126 3275 4,7046 6725 9781 9004 78°00' 1,3614
2123 10 2108 3238 2156 3336 4,6382 6664 9775 9901 50 1,3584
2153 2182 2211 2240 20 30 40 50 2136 3296 2164 3353 2193 3410 2221 3466 2186 2217 2247 2278 3397 3458 3517 3576 4,5736 4,5107 4,4494 4,3897 6603 6542 6483 6424 9769 9763 9757 9750 9899 9896 9893 9890 40 30 20 10 1,3555 1,3526 1,3497 1,3468
2269 2298 2327 2356 2385 2414 13°00' 10 20 30 40 50 2250 3521 2278 3575 2306 3629 2334 3682 2363 3734 2391 3786 2309 2339 2370 2401 2432 2462 3634 3691 3748 3804 3859 3914 4,3315 6366 4,2747 6309 4,2193 6252 4.1653 6196 4,1126 6141 4,0611 6086 9744 9737 9730 9724 9717 9710 9887 9884 9881 9878 9875 9872 77°00' 50 40 30 20 10 1.3439 1,3410 1,3381 1,3352 1,3323 1,3294
2443 14W 2419 3837 2493 3968 4,0108 6032 9703 9869 76c00' 1,3265
COS ctg >g sin Гра- I дусы 1 Радианы
220
ради-। апы 1 Гра- 1 дусы sin fg ctg cos | 1
0,21 13 14 00' 0,2419 3837 0,2493 3968 4,0108 6032 0,9703 9869 76-0"
2473 10 2417 3887 2524 4021 3,9617 5979 9696 9866 50
• 2502 20 2176 3937 2555 4074 3,9136 5926 9689 9863 40
2531 30 2504 3986 2586 4127 3,8667 5873 9681 9859 30
2560 40 2532 4035 2617 4178 3,8208 5822 9674 9856 20
2589 50 2560 4083 2648 4230 3,7760 5770 9667 9853 10 1.3119
2618 13°00’ 2588 4130 2679 4281 3,7321 5719 9659 9849 75°'0' 1 3000
2647 10 2616 4177 2711 4331 3,6891 5669 9652 9846 50 1 3001
2676 20 2644 4223 2742 4381 3,6470 5619 9644 9843 40 1 3039
2705 30 2672 4269 2773 4430 3,6059 5570 9636 9839 30 1 3003
2734 40 2700 4314 2805 4479 3,5656 5521 9628 9836 20 1,2974
2763 50 2728 4359 2836 4527 3,5261 5473 9621 9832 10 1,2945
2793 16 Ю' 2756 4403 2867 4575 3,4874 5425 9613 9828 74°0Г' 1,2915
2822 10 2784 4447 2899 4622 3,4495 5378 9605 9825 50 1,2886
2851 20 2812 4491 2931 4669 3,4124 5331 9596 9821 40 1.2857
2880 30 2840 4533 2962 4716 3,3759 5284 9588 9817 30 1,2828
2909 40 2868 4576 2994 4762 3,3402 5238 9580 9814 20 1,2799
2938 50 2896 4618 3026 4808 3,3052 5192 9572 9810 10 1,2770
2967 17°00' 2924 4659 3057 4853 3,2709 5147 9563 9806 73'00' 1.2741
2996 10 2952 4700 3089 4898 3,2371 5102 9555 9802 50 1,2712
3025 20 2979 4741 3121 4943 3,2041 5057 9546 9798 40 1,2683
3054 30 3007 4781 3153 4987 3,1716 5013 9537 9794 30 1,2654
3083 40 3035 4821 3185 5031 3,1397 4969 9528 9790 20 1,2625
3113 50 3062 4861 3217 5075 3,1084 4925 9520 9786 10 1,2595
3142 18с00' 3090 4900 3249 5118 3,0777 4882 9511 9782 72°0П- 1,2566
3171 10 3118 4939 3281 5161 3,0475 4839 9502 9778 50 1,2537
3200 20 3145 4977 3314 5203 3,0178 4797 9492 9774 40 1,2508
3229 30 3173 5015 3346 5245 2,9887 4755 9483 9770 30 1,2479
3258 40 3201 5052 3378 5287 2,9600 4713 9474 9765 20 1,2450
3287 50 3228 5090 3411 5329 2,9319 4671 9465 9761 10 1,2421
3316 19°00' 3256 5126 3443 5370 2,9042 4630 9455 9757 71W 1,2392
3345 10 3283 5163 3476 5411 2,8770 4589 9446 9752 50 1,2363
3374 20 3311 5199 3508 5451 2,8502 4549 9436 9748 40 1,2334
3403 30 3338 5235 3541 5491 2,8239 4509 9426 9743 30 1,2305
3432 40 3365 5270 3574 5531 2,7980 4469 9417 9739 20 1,2275
3462 50 3393 5306 3607 5571 2,7725 4429 9407 9734 10 1,2246
3491 20°ео' 3420 5341 3640 5611 2,7475 4389 9397 9730 70°01' 1,2217
3520 10 3448 5375 3673 5650 2,7228 4350 9387 9725 50 1,2188
3549 20 3475 5109 3706 5689 2,6985 4311 9377 9721 40 1,2159
3578 30 3502 5443 3739 5727 2,6746 4273 9367 9716 30 1,2130
3607 40 3529 5477 3772 5766 2,6511 4234 9356 9711 20 1,2101
I 3636 50 3557 5510 3805 5804 2,6279 4196 9346 9706 10 1,2072
। 3665 21 “00' 3584 5543 3839 5812 2,6051 4158 9336 9702 69c00' 1,2043
- - Гра- Ради-
cos ctg tg sin дусы апы
221
Ради- Гра- п •К etg COS
аны дусы
0,3665 21°00' 10 20 30 0,3584 5543 ОА11 ЧК7А 0,3839 3872 5842 5879 2,6051 2,5826 4158 4121 0,9336 9702 9325 9697 69°C0' 50 1,2043 1,2014
3694 4638 5609 3906 5917 2,5605 4083 9315 9692 10 1,1985
3723 4665 5641 3939 5954 2,5386 4046 9304 9687 30 1,1956
3752 3782 3811 3692 5673 3973 5991 2,5172 4009 9293 9682 20 1,1926
50 3719 5704 4006 6028 2,4960 3972 9283 9677 10 1,1897
3840 3869 3898 3097 3746 5736 4040 6064 2,4751 3936 9272 9672 68=00' 1,1868
10 3773 5767 4074 6100 2,4545 3900 9261 9667 50 1,1839
20 3800 5798 4108 6136 2,4342 3864 9250 9661 40 1,1810
30 3827 5828 4142 6172 2,4142 3828 9239 9656 30 1,1781
3956 40 3854 5859 4176 6208 2,3945 3792 9228 9651 20 1,1752
3985 50 3881 5889 4210 6243 2,3750 3757 9216 9646 10 1,1723
4014 23°f0' 3907 5919 4245 6279 2,3559 3721 9205 9640 67°00’ 1,1694
4043 10 3934 5948 4279 6314 2,3369 3686 9194 9635 50 1,1665
4072 20 3961 5978 4314 6348 2,3183 3652 9182 9629 40 1,1636
4102 30 3987 6007 4348 6383 2,2998 3617 9171 9624 30 1,1606
4131 40 4014 6036 4383 6417 2,2817 3583 9159 9618 20 1,1577
4160 50 4041 6065 4417 6452 2,2637 3548 9147 9613 10 1,1548
4189 24°60‘ 4067 6093 4452 6486 2,2460 3514 9135 9607 66°00' 1,1519
4218 10 4094 6121 4487 6520 2,2286 3480 9124 9602 50 1,1490
4247 20 4120 6149 4522 6553 2,2113 3447 9112 9596 40 1,1461
4276 30 4147 6177 4557 6587 2,1943 3413 9100 9590 30 1,1432
4305 40 4173 6205 4592 6620 2,1775 3380 9088 9584 20 1,1403
1334 50 4200 6232 4628 6654 2,1609 3346 9075 9579 10 1,1374
4363 25°0(Р 4226 6259 4663 6687 2,1445 3313 9063 9573 65=00' 1,1345
4392 10 4253 6286 4699 6720 2,1283 3280 9051 9567 50 1,1316
4422 20 4279 6313 4734 6752 2,1123 3248 9038 9561 40 1,1286
4451 30 4305 6340 4770 6785 2,0965 3215 9026 9555 30 1,1257
4480 40 4331 6366 4806 6817 2,0809 3183 9013 9549 20 1,1228
4509 50 4358 6392 4841 6850 2,0655 3150 9001 9543 10 1,1199
4538 26=СО' 4384 6418 4877 6882 2,0503 3118 8988 9537 64°00' 1,1170
4567 10 4410 6444 4913 6914 2,0353 3086 8975 9530 50 1,1141
4596 20 4436 6470 4950 6946 2,0204 3054 8962 9524 40 1.1112
4625 30 4462 6495 4986 6977 2,0057 3023 8949 9518 30 1,1083
4654 40 4488 6521 5022 7009 1,9912 2991 8936 9512 20 1,1054
4683 50 4514 6546 5059 7040 1,9768 2960 8923 9505 10 1,1025
4712 27=00' 4540 6570 5095 7072 1,9626 2928 8910 9499 63=00' 1,09961
4741 10 4566 6595 5132 7103 1,9486 2897 8897 9492 50 1,0966]
4771 20 4592 6620 5169 7134 1,9347 2866 8884 9486 40 1,0937
4800 30 4617 6644 5206 7165 1,9210 2835 8870 9479 30 1,0*108
4829 40 4643 6668 5243 7196 1,9074 2804 8857 9473 20 1,0879 ।
4858 50 4669 6692 5280 7226 1,8940 2774 8843 9466 10 1,0850;
4887 28°00' 4695 6716 5317 7257 1,8807 2743 8829 9459 62°00' 1,0821
COS etg tg sin Градусы Радианы
222
Pd ЛИЛИ ы Градусы sin tg cig COS
0,1887 1916 1915 4974 10 20 30 0,4695 4720 4746 4772 6716 6740 6763 6787 0,5317 5354 5392 5430 7257 7287 7317 7348 1,8807 1,8676 1,8546 1,8418 2743 2713 2683 2652 0,8829 8816 8802 8788 9459 9453 9446 9439 62°00' 50 40 30 1,0821 1,0792 1,0763 1,0734 1,0705 1,0676
5003 40 4797 6810 5467 7378 1,8291 2622 8774 9432
5032 50 4823 6833 5505 7408 1.8165 2592 8760 9425 10
5061 2Э:00' 4848 6856 5543 7438 1,8040 2562 8746 9418 61o00z 1,0647 1,0617
1 5091 10 4874 6878 5581 7467 1,7917 2533 8732 9411 50
5120 20 4899 6901 5619 7497 1,7796 2503 8718 9404 40 I 05RR
5149 30 4924 6923 5658 7526 1,7675 2474 8704 9397 30 1 055Q
5178 40 4950 6946 5696 7556 1,7556 2444 8689 9390 20 1 0530
5207 50 4975 6968 5735 7585 1,7437 2415 8675 9383 10 1.0501
5236' 30°С0' 5000 6990 5774 7614 1,7321 2386 8660 9375 60°00' 1,0472
5265 10 5025 7012 5812 7644 1,7205 2356 8646 9368 50 1,0443
5294 20 5050 7033 5851 7673 1,7090 2327 8631 9361 40 1,0414
5323 30 5075 7055 5890 7701 1,6977 2299 8616 9353 30 1,0385
5352 40 5100 7076 5930 7730 1,6864 2270 8601 9346 20 1,0356
5381 50 5125 7097 5969 7759 1,6753 2241 8587 9338 10 1,0327
5411 31°С0' 5150 7118 6009 7788 1,6643 2212 8572 9331 5S°00' 1,0297
5440 10 5175 7139 6048 7816 1,6534 2184 8557 9323 50 1,0268
5469 20 5200 7160 6088 7845 1,6426 2155 8542 9315 40 1,0239
5498 30 5225 7181 6128 7873 1,6319 2127 8526 9308 30 1,0210
5527 40 5250 7201 6168 7902 1,6212 2098 8511 9300 20 1,0181
5556 50 5275 7222 6208 7930 1.6107 2070 8496 9292 10 1,0152
5585 32°С0' 5299 7242 6249 7958 1,6003 2042 8480 9284 58°00r 1,0123
5614 10 5324 7262 6289 7986 1,5900 2014 8465 9276 50 1,0094
5643 20 5348 7282 6330 8014 1,5798 1986 8450 9268 40 1,0065
5672 30 5373 7302 6371 8042 1,5697 1958 8434 9260 30 1,0036
5701 40 5398 7322 6412 8070 1,5597 1930 8418 9252 20 1,0007
5730 50 5422 7342 6453 8097 1,5497 1903 8403 9244 10 0,9977
5760 33°00’ 5446 7361 6494 8125 1,5399 1875 8387 9236 57о0(У 9948
1 5789 10 5471 7380 6536 8153 1,5301 1847 8371 9228 50 9919
5818 20 5495 7400 6577 8180 1,5204 1820 8355 9219 40 9890
5847 30 5519 7419 6619 8208 1,5108 1792 8339 9211 30 9861
5876 40 5544 7438 6661 8235 1,5013 1765 8323 9203 20 9832
5905 50 5568 7457 6703 8263 1,4919 1737 8307 9194 10 9803
5934 34с00' 5592 7476 6745 8290 1,4826 1710 8290 9186 56°0(У 9774 |
5963 10 5616 749-1 6787 8317 1,4733 1683 8274 9177 50 974э
5992 20 5640 7513 6830 8344 1,4641 1656 8258 9169 40 9716
6021 30 5664 7531 6873 8371 1,4550 1629 8211 9160 30 9687
G050 40 5688 7550 6916 8398 1,4460 1602 8225 9151 20 9657
6080 50 5712 7568 6959 8125 1,4370 1575 8208 9142 10 9628
6109 35°С0' 5736 7586 7002 8452 1,4281 1548 8192 9134 55°00' 9599
—5——_ sin Гра- Ради-
< OS cig tg дусы алы
223
Радианы 0,6109 6138 6167 6196 6225 6254 6283 6312 6341 6370 6400 6429 6458 6487 6516 6545 6574 6603 6632 6661 6690 6720 6749 6778 6807 6836 6865 6894 6923 6952 6981 7010 7039 7069 7098 7127 7156 7185 7214 7243 7272 7301 7330 Градусы J5°00' 10 20 30 40 50 3S°(10' 10 20 30 40 50 37°00' 10 20 30 40 50 38°00' 10 20 30 40 50 39OW 10 20 30 40 50 40°'‘О' 10 20 30 40 50 41°00' 10 20 30 40 50 42°00' sin 0.5736 7586 5760 7604 5783 7622 5807 7640 5831 7657 5854 7675 5878 7692 5901 7710 5925 7727 5948 7744 5972 7761 5995 7778 6018 7795 6011 7811 6065 7828 6088 7844 6111 7861 6134 7877 6157 7893 6180 7910 6202 7926 6225 7941 6248 7957 6271 7973 6293 7989 6316 8004 6338 8020 6361 8035 6383 8050 6406 8066 6428 8081 6450 8096 6472 811 1 6494 8125 6517 8140 6539 8155 6561 8169 6583 8184 6604 8198 6626 8213 6648 8227 6670 8241 6691 8255 | cos 1g 0,7002 8452 7046 8479 7089 8506 7133 8533 7177 8559 7221 8586 7265 8613 7310 8639 7355 8666 7400 8692 7445 8718 7490 8745 7536 8771 7581 8797 7627 8824 7673 8850 7720 8876 7766 8902 7813 8928 7860 8954 7907 8980 7954 9006 8002 9032 8050 9058 8098 9084 8146 9110 8195 9135 8243 9161 8292 9187 8342 9212 8391 9238 8441 9264 8491 9289 8541 9315 8591 9341 8642 9366 8693 9392 8744 9417 8796 9443 8847 9468 8899 9494 8952 9519 9004 9544 cig etg 1.4281 1548 1,4193 1521 1,4106 1494 1,4019 1467 1,3934 1441 1,3848 1414 1,3764 1387 1.3680 1361 1,3597 1334 1,3514 1308 1,3432 1282 1,3351 1255 1,3270 1229 1,3190 1203 1,3111 1176 1.3032 1150 1,2954 1124 1,2876 1098 1,2799 1072 1,2723 1046 1,2647 1020 1,2572 0994 1,2497 0968 1,2423 0942 1,2349 0916 1,2276 0890 1,2203 0865 1,2131 0839 1,2059 0813 1,1988 0788 1,1918 0762 1,1847 0736 1,1778 0711 1,1708 0685 1,1640 0659 1,1571 0634 1,1504 0608 1,1436 0583 1.1369 0557 1,1303 0532 1,1237 0506 1,1171 0481 1.1106 0456 ‘g cos 0,8192 9134 8175 9125 8158 9116 । 8141 9107 8124 9098 8107 9089 8090 9080 8073 9070 8056 9061 8039 9052 8021 9042 8004 9033 7986 9023 7969 9014 7951 9004 7934 8995 7916 8985 7898 89/5 7880 8965 7862 8955 7844 8945 7826 8935 7808 8925 7790 8915 7771 8905 7753 8895 7735 8884 7716 8874 7698 8864 7679 8853 7660 8843 7^42 8832 7623 8821 7604 8810 7585 8800 7566 8789 7547 8778 7528 8767 7509 8756 7490 8745 7470 8733 7451 8722 7431 8711 fin 55°(0' 50 40 30 20 10 54°00' 50 40 30 20 10 53° 00' 50 40 30 20 10 52°J0' 50 40 30 20 10 51°00' 50 40 30 20 10 5G°00' 50 40 30 20 10 49°03' 50 40 30 20 10 48°.'O Гра- I дусы | 0,9599 9570 9541 9512 9483 945-1 9425 9396 9367 9338 9308 9279 9250 9221 9192 9163 9134 9105 9076 9047 9018 8988 8959 8930 8901 8872 8843 8814 8785 8756 8727 8698 8668 8639 8610 8581 8552 8523 8494 8465 8436 8407 8378 Радианы
224
Радианы | Гра’ дусы S 11 ‘g ctg COS
0.7330 7359 7389 7418 7447 7476 7505 7534 7563 7592 7621 7650 7679 7709 7738 7767 7796 7825 7854 12°00' 10 20 30 40 50 43°. 0 10 20 30 40 50 44°Э0' 10 20 30 40 50 45°00' 0.6691 8255 6713 8269 6734 8283 6756 8297 6777 8311 6799 8324 6820 8338 6841 8351 6862 8365 6884 8378 6905 8391 6926 8405 6947 8418 6967 8431 6988 8444 7009 8457 7030 8469 7050 8482 0,7071 8495 0,9004 9544 9057 9570 9110 9595 9163 9621 9217 9646 9271 9671 9325 9697 9380 9722 9435 9747 9490 9772 9545 9798 9601 9823 9657 9848 9713 9874 9770 9899 9827 9924 9884 9949 9942 9975 1,0000 0000 1,1106 0456 1,1041 0430 1,0977 0405 1,0913 0379 1,0850 0354 1,0786 0329 1,0724 0303 1,0661 0278 1,0599 0253 1,0538 0228 1,0477 0202 1,0416 0177 1,0355 0152 1,0295 0126 1,0235 0101 1,0176 0076 1,0117 0051 1,0058 0025 1,0000 0000 0,7431 8711 7412 8699 7392 8688 7373 8676 7353 8665 7333 8653 7314 8641 7294 8629 7274 8618 7254 8606 7234 8594 7214 8582 7193 8569 7173 8557 7153 8545 7133 8532 7112 8520 7092 8507 0,7071 8495 18°00-50 40 30 20 10 T,°Of-50 40 30 20 10 46°00' 50 40 30 20 10 45°07' 0,8378 8348 8319 8290 8261 8232 8203 8174 8145 8116 8087 8058 8029 7999 7970 7941 7912 7883 0,7854 i
COS ctg sin Градусы 1 Ради- 1 аны
15 Л А цеглин
11.
12.
13.
ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА
, п п Кпаитаоов и В. И. Воробьев. Сборник Ленинградского Электро; ехапического Института (ЛЭМИ), № 1 (1932).
2. Н. Hemmeter. Archiv fur Elektrotechnik, 14, № 2 (1925).
з" J. C. Maxwell. A Treatise on Electricity and Magnetism, 2 (1904).
4. Л. P- He ii май и П. Л. Калантаров. Теоретические основы электротехники, ч. III (1948).
5. П. Л. Калантаров. Теория переменных токов (1940).
6. Н. В. Dwight. Electrical Coils and Conductors (1945).
7. F. F. Martens. Annalen der Physik, 29, S. 959 (1909).
8. G. A. Campbell. Physical Review, 5, p. 452 (1915).
9. J. Hak. Archiv fur Elektrotechnik, 32, № 4 (1938).
10. Л. А. Це ii т л и н. Труды Военной Электротехнической Академии Связи, № 4 (1944).
Л- А. Цейтлин. Доклады Академии Наук СССР, 53, № 5 (1946). Труды Ленинградского Политехнического Института, № 2 (1947).
Л. Р. Нейман. Поверхностный эффект в ферромагнитных телах (1949).
Л. А. Ц е й т л и н. Доклады Академии Наук СССР, 54, № 1 (1946). „Электричество", № 7 (1946).
Р. О. Кузь м и н. Бесселевы функции (1935).
М. Wien. Annalen der Physik, 53, S. 928 (1894).
L- R a^y 1 e i g h. Proceedings of the Royal Society, 32, p. 104 (1881); 86, p. 562
В. А. Ф о к. Журнал Русского Физико-Химического общества, часть физическая, 62, № 3 (1930).
18. Л. А. Ц е й т л и н. Доклады Академии Наук СССР, 54, № 2 (1946).
19. Л. А. Ц е й т л и н. Труды Военной Электротехнической Академии Связи № 7 (1944). Журнал Технической Физики, 16, As 1 (1946).
20. A. Russel. Phylosophical Magazine, 17, р. 524 (1909).
21. Г. Н. Петров. „Электричество", № 15 (1935).
22. П. Л. Калантаров и Л. А. Цейтлин. Труды Ленинградского Индустриального Института, № 7 (1936).
Л” № И Н‘ ТРУДИ Военной Электротехнической Академии Связи,
24.
25.
26.
27.
28.
226
14.
15.
16.
17.
19.
стриального Института, № 7 (1936).
№ 6 (1944).
Н. Самойлов а-Я х о н т о в а. Таблицы эллиптических интегралов (1935).
Е. Янке и ф. Э м д е. Таблицы функций (1948).
Ю. С. Сикорски й. Элементы теории эллиптических функций (1936).
F. W. Grover. Bureau of Standards Journal of Research, 1, № 4 (.928).
A. M. Ж у p а в с к и й- Справочник по эллиптическим функциям (19411.
29. J. G. Coffi ii. Physical Review, 2, p. 428 (1913).
30. Л. В. За луцкий. Введение в теорию ампер-весов (1945).
31. И. М. Р ы ж « к- Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений (1918).
32. С Ii. Snow. Bureau of Standards Journal of Research. 1, Vs 4 (1928).
33. J. H a k. Londe dlectrique, 13, № 145 (1934).
34. Ch. Snow. Bureau of Standards Journal of Research, 3, № 2 (192Э).
35. F. W. Grove'. Pioceedings of the Institute of Radio Engineers. 32, Ns 10 (1914). Inductance Calculations (1946).
36 Л. А. Ц e й т л и u. Труды Ленинградского Индустриального Института, № 5 (1937).
37. Л. А. Цейтлин. Труды Ленинградского Индустриального Института, № 14 (1936).
38. Г- Б. Д в а й т. Таблицы интегралов (1948).
39. П. Л. Калантаров. Единицы измерения электрических и магнитных величин (Госэнергоиздат, 1948).
Редактор И. А. Зайцев
Технич. редактор Б. В. Воронецкий
Сдано в производство 26/XI 1949. Подписано к печати 27/11 1950.
Печ. л. 14J/4. Уч.-нзд. л. 18,4. Тираж 3000 экз.
Формат бумаги 60х92'/1в- М-02330.
Зак. № 1414.
2-я тип. Управления Воениздата МВС СССР имени К. Ворошилова
ОПЕЧАТКИ
Стра- ница Строка Напечатано Должно быть
45 12 снизу уравнению Бесселя: уравнению: i f
56 1 снизу 6 J 0
58 5 снизу *2 •$2
64 8 сверху Д]Л2 ЛЛ2
73 13 сверху No-Л' No-N--^GC
Уо 2я Mo'
139 3 снизу 2я
Л. А. Цейтлин, заказ 1414