К.И.ОБРАЗ,Б.С.3 ПП ЕЛЬ
’МИЧЕСКАЯ
ЛИНЕИКА
Г И 3
(ЯпПнПП
> I
н *
/ н >
ней школе'

К. И. ОБРАЗ, Б. С. ЭППЕЛЬ
ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ
ЛИНЕЙКА
В СРЕДНЕЙ ШКОЛЕ
ПОСОБИЕ ДЛЯ УЧИТЕЛЕЙ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ
УЧЕБНО-ПЕДАГОГИЧЕСКОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
МИНИСТЕРСТВА ПРОСВЕЩЕНИЯ РСФСР
Москва — 1962

ПРЕДИСЛОВИЕ
Логарифмическая линейка прочно вошла во все области
практической деятельности. Это не могло не отразиться и
на обучении вычислительной технике в школе, притом не
только на уроках математики.
В восьмилетней школе линейка будет изучаться впер¬
вые, причем все изучение должно проводиться без обосно¬
вания правил действий при помощи теории логарифмов,
что почти не опробовано на практике и мало освещено в
методической литературе. В последующих классах при изу¬
чении логарифмов ставится задача обосновать навыки,
приобретенные в восьмилетней школе, что также является
новым.
Авторы настоящей работы ставят целью помочь учителям
в преодолении возможных трудностей.
Подавляющее большинство материала книги проверя¬
лось авторами на практике. В частности, эксперимент изу¬
чения линейки в восьмилетней школе (без обоснования дей¬
ствий) и в старших классах проведен Б. С. Эппелем в
школе-лаборатории № 1 Академии педагогических наук
РСФСР (школа № 710 г. Москвы), в московской школе
№ 328, а также К. И. Образом в некоторых школах города
Великие Луки и Псковской области. Учителям математики
этих школ авторы признательны за помощь в проведении
эксперимента.
Не говоря о других особенностях нашей книги по срав¬
нению с известными руководствами этого рода, авторы об¬
ращают внимание на использование ими понятия характе¬
ристики логарифма для определения места запятой
вместо распространенного понятия порядка числа. На
наш взгляд, это целесообразно, так как линейка изу¬
чается в старших классах школы наряду с таблицами и
3

свойствами десятичных логарифмов, где характеристика
общепринята. Нам кажется более естественным продол¬
жать использование этого же понятия и для линейки, чем
переучивать учащихся «порядку числа». Разумеется, до
изучения логарифмов учащиеся при вычислениях на счет¬
ной линейке будут пользоваться только прикидкой.
Необходимо подчеркнуть, что чтение книги без лога¬
рифмической линейки в руках и выполнения действия на
ней было бы беспредметным, о чем считаем долгом преду¬
предить читателя.
Главы III и IV посвящены применению линейки на
уроках тригонометрии. Этот вопрос еще мало освещен в
литературе, и мы надеемся, что здесь читатель найдет не¬
которые оригинальные и интересные для себя приемы ре¬
шения треугольников. Мы убеждены, что по сравнению
с таблицами решение треугольников на линейке более эф¬
фективно, экономно и отвечает современной практике рас¬
четов. Возможно, не все приемы, изложенные в книге
необходимо изучать в классе. Некоторые из них (III и осо¬
бенно IV случаи) могут быть использованы для кружковой
работы.
Книга предназначена в первую очередь для учителей и
студентов педагогических институтов, однако она доступ¬
на и может быть полезна учащимся.
Главы I и II написаны К. И. Образом, главы IV и V —
Б. С. Эппелем, III глава написана совместно. Материал
§ 29 главы V написан А. М. Колдашевым и любезно пред¬
ставлен им в распоряжение авторского коллектива. Выра¬
жаем признательность К. С. Муравину за просмотр ру¬
кописи и полезные советы, полученные от него. Мы бу¬
дем благодарны читателям, которые своими замечаниями
смогли бы содействовать дальнейшему совершенствованию
книги.

ГЛАВА I
ВЫЧИСЛЕНИЯ НА ЛИНЕЙКЕ
В ВОСЬМИЛЕТНЕЙ ШКОЛЕ
§ 1. Описание линейки и знакомство
с основными шкалами
Счетная логарифмическая линейка, называемая кратко
счетной линейкой, состоит из трех частей: корпуса, движ¬
ка и бегунка. На лицевой стороне корпуса и на обеих сто¬
ронах движка нанесены шкалы, при помощи которых и
производятся вычисления.
Движок позволяет смещать относительно корпуса на¬
несенные на нем шкалы. Бегунок используется для уста¬
новки чисел на шкалах и для перехода с одной шкалы на
другую. Это делается при помощи так называемого визи¬
ра — тонкой линии на стекле бегунка.
Как будет показано во второй главе, в основе счетной
линейки лежит идея геометрического представления лога¬
рифмов при помощи отрезков прямой и замены действий
с логарифмами действиями над соответствующими отрез¬
ками. Поэтому она и называется логарифмической счетной
линейкой.
Современный вид линейка приняла в середине прошло¬
го столетия и с тех пор получила широкое распростране¬
ние, являясь простым и удобным средством приближенных
вычислений. По мере того как в практику работы входили
методы и приемы приближенных вычислений и признава¬
лась бесполезность для многих расчетов многозначных дан¬
ных и результатов, линейка все более и более вытесняла в
различных инженерных расчетах табличные и другие сред¬
ства вычислений, пока не стала в наше время незамени¬
мым помощником инженера, техника, квалифицированного
рабочего. Разумеется, таблицы и различные счетные при¬
боры и машины сохраняют свое значение там, где точ¬
ность линейки не является достаточной.
На лицевой стороне нормальной линейки нанесено пять
шкал (снизу вверх): равномерная шкала, основная шкала
5

шкала обратных значений, шкала квадратов и шкала
кубов х. Кроме самой нижней, все шкалы неравномерные.
Построение этих шкал описано во II главе, где будут
обоснованы операции на линейке.
Основная шкала и шкала квадратов нанесены дважды—
на корпусе и на движке. Такое построение позволяет при
выполнении действий смещать шкалы движка относитель¬
но корпуса. При помощи шкалы квадратов и основной шка¬
лы можно возводить в квадрат и извлекать квадратные
корни. Аналогичную роль играет шкала кубов при воз¬
ведении в куб и извлечении кубического корня.
Линейки бывают разных размеров. Распространены
25 и 12,5-сантиметровые линейки. Следует предпочесть
первую, как более точную.
Рассмотрим подробно основную шкалу 25-сантиметро-
вой линейки. На шкале по определенному закону (см. вто¬
рую главу, § 1) нанесены деления трех видов: большие,
средние и малые, при помощи которых ставятся на шкалу
и читаются на ней соответственно первая, вторая и третья
значащие цифры числа. В силу самой идеи логарифмиче¬
ской шкалы одной и той же ее метке соответствует бесчис¬
ленное множество десятичных чисел, имеющих одинаковые
значащие цифры и отличающиеся друг от друга лишь поло¬
жением запятой. Так, числам: 4,5; 45; 0,0045; 4500, т. е.
всем числам вида 45 • 10л при целом значении п, будет от¬
вечать на шкале одна и та же метка, отстоящая от начала
шкалы на расстоянии четырех больших и пяти средних
делений. Потому при работе с линейкой целесообразно чи¬
тать числа не обращая внимания на запятую, называя по
порядку первую, вторую и третью значащие цифры. Нап¬
ример, 373; 37,3; 0,0373 и другие следует читать: 3—7—3.
Начальное большое деление имеет метку 1 и называется
начальной единицей. Затем идут большие деления,
занумерованные знаками 2, 3, 4,..., 9, 10. На линейках
некоторых типов вместо метки 10 стоит цифра 1. Послед¬
нее большое деление (10 или 1) называется конечной
единицей. Большие, лучше сказать первые, деления
служат для установки и чтения первой значащей цифры
числа.
Между последовательными большими делениями нане-
1 На некоторых типах линеек отсутствует обратная шкала и даже
шкала кубов.
6

сено по девять штрихов, делящих соответствующий интер¬
вал на десять средних делений. В начале линейки они
снабжены метками 1,1; 1,2; 1,3; ...; 1,9 или на некоторых
линейках проще 1, 2, 3, Далее эти штрихи не нумеро¬
ваны из-за неравномерности шкалы и сгущения меток к ее
концу. Эти вторые (средние) деления служат для уста¬
новки и чтения второй значащей цифры числа. Для удоб¬
ства визирования каждое пятое среднее деление выделено
более длинным штрихом.
1-5'7-5	1-9-3
Черт. 1.
Для третьей значащей цифры числа на каждом среднем
делении желательно было бы иметь десять третьих ма¬
лых делений.
Однако опять-таки из-за неравномерности шкалы и
сгущения к концу ее меток это удается сделать лишь в на¬
чале шкалы между начальной единицей и вторым большим
делением. Здесь каждое среднее деление разделено на де¬
сять частей. На этом участке основной шкалы малое деле¬
ние имеет цену 0,01, что значит: каждому малому делению
соответствует одна единица третьей значащей цифры чис¬
ла. На этом участке шкалы можно установить на глаз и
прочесть приближенно даже четвертый знак числа.
Числа, имеющие первой значащей цифрой единицу,
ставятся на линейку в начале шкалы (первый участок).
На чертеже 1 показаны метки основной шкалы, соот¬
ветствующие числам, имеющим следующие первые знача¬
щие цифры: 1—0—7, 1—2—0, 1—3—5, 1—6—7—5 и 1—
—9—3. Так, чтобы поставить на основную шкалу число
16,75, нужно отложить от начальной единицы шесть сред¬
них делений, семь малых и на глаз еще половину малого
деления (черт. 1).
Приближенная установка и чтение промежуточных ме¬
ток шкал называется интерполированием на
глаз.
На втором участке основной шкалы между 2 и 4 каждое
среднее деление разбито на пять малых делений с ценой
0,02, т. е. каждому малому делению соответствуют две
7

единицы третьей значащей цифры числа, что и нужно
должным образом учитывать при установке и чтении
третьего знака числа. На одну единицу третьей значащей
цифры приходится примерно половина (левая немного
больше правой, так как следует учитывать неравномер¬
ность шкалы) малого деления. На втором участке основной
шкалы числа устанавливаются и читаются так, как это по¬
казано на чертеже 2.
2	з	4
I , ■ .. I .... I	I
1-0-0	2-6-8	3-0-5	3-8-7
Черт. 2.
Например, чтобы поставить на линейку число 0,387,
нужно отложить три первых (больших) деления, восемь вто¬
рых (средних) и три с половиной третьих (малых) деления.
На последнем участке основной шкалы — от 4 до конеч¬
ной единицы — каждое среднее деление разбито только
на две части с ценой малого деления 0,05, и на одну едини¬
цу третьего знака числа будет приходиться (учитывая
неравномерность шкалы) примерно пятая часть соответст¬
вующего малого интервала. Таким образом, при установке
и чтении третьего знака числа на последнем участке основ¬
ной шкалы, при интерполировании на глаз, малое деление
(интервал) следует делить на пять частей. Например, на
чертеже 3 для установки числа 4—3—7 от метки 4 нужно
отложить три средних деления, одно малое (пять единиц
третьего разряда) и еще две пятых малого деления (две
единицы третьего разряда).
Многозначные числа при установке на линейке предва¬
рительно округляются до трех (четырех в начале основной
шкалы) верных знаков.
Чтение меток шкал выполняется в такой последователь¬
ности. Сначала читается число больших делений, предше¬
ствующих метке (первая значащая цифра числа), затем —
число средних (вторая значащая цифра числа). Третья
значащая цифра числа находится по количеству малых де¬
лений, заключенных между последним средним делением
и рассматриваемой меткой. При этом нужно учитывать
цену малого деления и в случае необходимости интерполи¬
ровать на глаз.
й

Например, на втором участке основной шкалы для по¬
лучения третьей цифры числа количество малых делений
следует удвоить, так как цена малого деления 0,02,
т. е. две единицы третьей значащей цифры числа. Если же
метка окажется примерно посредине малого интервала, то
к удвоенному количеству малых делений нужно прибавить
еще одну единицу.
I г! 1Т111рт1111Т1шугтт1Ь1]
4-}-7	5-0 2
Черт. 3.
На чертеже 2 последнюю метку следует прочесть 3—
8—7, так как ей предшествуют три больших, восемь сред¬
них и три с половиной малых деления. Положение запя¬
той устанавливается дополнительно.
Шкалы квадратов и кубов построены по такому же за¬
кону, как и основная шкала. Они также являются логариф¬
мическими шкалами и имеют такую же структуру, как и
основная шкала, только масштаб их в два и три раза мень¬
ше, чем у основной шкалы.
Шкала квадратов состоит из двух (левой и правой), а
шкала кубов из трех (левой, средней и правой) повторяю¬
щихся подшкал. Большие деления шкалы квадратов снаб¬
жены метками 1, 2, 3,..., 9, 10, 20, ..., 90, 100. На некото¬
рых линейках метки правой части шкалы квадратов та¬
кие же, как и на левой, т. е. 1, 2, ..., 9, 1.
Большие деления шкалы кубов снабжены метками 1,
2, 3,..., 9, 1. Остальные деления (штрихи) этих шкал не
обозначены.
Цена малого деления вначале каждой подшкалы квад¬
ратов и кубов равна 0,02, в середине—0,05 и в конце —
0,1. Следовательно, при интерполировании на глаз на одну
единицу третьего знака числа будут приходиться, учиты-
1 1
вая неравномерность шкалы, соответственно —; — и
2	5
1
— часть малого деления.
Аналогично основной шкале на каждой подшкале квад¬
ратов и кубов устанавливается и читается сначала первая,
9

затем вторая и третья значащая цифра числа. Для третьего
знака, если на шкале нет подходящего штриха, следует
учитывать цену малого деления и интерполировать на глаз.
Многозначные числа предварительно округляют до трех
верных знаков.
Упражнения.
1) Поставить на основную шкалу следующие числа:
3; 5; 8; 1; 500; 0,0001; 0,0002; 0,1.
2,4; 240; 0,0024; 1,1; 1,6; 16; 1600 ; 42; 8,1; 0,081.
12,6; 2,36; 2,37; 237; 42,5; 42,8; 42,1; 0,00867; 3,14.
3,02; 3,01; 70,4; 1,04; 1,40; 140; 104.
148,5; 1,203; 1,230; 18248; 25,62; 7,5372.
2)	Поставить эти же числа на шкале квадратов и на
шкале кубов.
3)	Прочесть первые значащие цифры числа по метке под
визиром на основной шкале, на шкале квадратов и на шка¬
ле кубов.
Замечание. В этих предварительных упражнениях
числа можно ставить на любую из подшкал шкалы квадра¬
тов и шкалы кубов, не обращая внимания на положение
запятой. Выбор должной подшкалы этих шкал делается
в зависимости от решаемой задачи, о чем будет сказано
дальше.
Методические замечания и советы. В на¬
стоящее время счетная логарифмическая линейка изуча¬
ется в восьмилетней школе. До этого лишь отдельные
учителя находили время и возможность знакомить уча¬
щихся младших классов средней школы с этим счетным
прибором и добивались значительных успехов.
При изучении линейки в VIII классе возникают пробле¬
мы доступности этого вычислительного средства восприя¬
тию восьмиклассника и обоснования правил действия на
линейке. Доступность не вызывает сомнений.
Попытки некоторых учителей и методистов объяснить
незнакомым с логарифмами восьмиклассникам построе¬
ние основной шкалы линейки и на этой основе показать,
почему линейка «считает», вряд ли достигают цели. Они
приведут лишь к неоправданному расходу времени.
Объяснение построения шкал линейки и обоснование
основных операций возможно лишь в X классе при изуче¬
нии логарифмов.
В восьмилетней школе нужные для вычислений шкалы
описываются с обещанием рассказать и показать в старших
10

классах по какому закону они построены. Правила действий
на линейке устанавливаются эвристически на простейших
примерах, а затем закрепляются достаточным числом уп¬
ражнений постепенно усложняющейся трудности. Выводы
обобщаются учителем. Такой в значительной степени меха¬
нический и догматический подход к изучению рассматри¬
ваемого счетного прибора в VIII классе неизбежен и не
должен смущать учителя.
В жизни мы часто пользуемся приборами и не зная их
устройства и соответствующей теории. Ведь никто не
откажется от услуг арифмометра, электрического счетчи¬
ка, кассового аппарата или радиоприемника только пото¬
му, что не знает их устройства.
Изучение счетной линейки в VIII классе программой
рекомендуется начинать с самого начала учебного года,
чтобы иметь достаточно времени для практического овладе¬
ния техникой вычислений на ней и обеспечить решение
вычислительных задач удобным средством вычислений. Оно
должно начаться с внешнего описания линейки и нужных
в первую очередь шкал — основной, квадратов и кубов.
Для начала можно ограничиться основной шкалой. Объяс¬
нения нужно сопровождать показом на демонстрационной
линейке и чертежах. При отсутствии фабричной демонстра¬
ционной линейки следует изготовить самодельную.
Учащиеся должны научиться уверенно читать метки
шкал и устанавливать на них нужные числа. Без этого
не мыслимы безошибочные вычисления на линейке. За¬
ниматься специально разучиванием меток шкал нецелесо¬
образно. Такие упражнения утомительны и бесцельны.
На первом уроке достаточно дать общий обзор основной
шкалы и показать примеры установки и чтения чисел.
Учиться установкам и чтению чисел на линейке следует
постепенно в процессе вычислений на хорошо продуман¬
ных, постепенно усложняющихся примерах.
Обычно авторы руководств по логарифмической линейке
несколько преувеличивают встречающиеся здесь трудно¬
сти. Опыт показывает, что если учащиеся своевремен¬
но научились (а это нужно заблаговременно предусмот¬
реть) в процессе измерений пользоваться различными рав¬
номерными и неравномерными шкалами (мерной линейкой,
термометром, конической мензуркой и др.), то за¬
труднений в работе со шкалами счетной линейки почти не
будет.
11

Часты ошибки в установках и чтении чисел с нулем в
середине. Их нужно предупредить, приучая учащихся
читать числа вразбивку: 4—0—2; 4—2—0; 8—0—5; 8—5—0;
7—8—1.
Принципиально новым при работе с логарифмическими
шкалами будет то, что одной и той же метке шкалы соот-
ветствует бесчисленное множество чисел, отличающихся
множителем 10'1. Этот факт должен быть сообщен учащимся
VIII класса без обоснования.
Начиная изучать линейку, учитель должен выбрать
одно из двух: либо десятичные числа брать в обычной фор¬
ме, устанавливать и читать на линейке независимо от по¬
ложения запятой, либо сначала приводить их к так
называемой нормальной форме числа, т. е. к виду
произведения числа интервала (1,10) на целую степень
десяти. Затем действия над первыми множителями произ¬
водятся на линейке, а над степенями десяти — в уме.
Примеры чисел, записанных в нормальной форме: 38,5 =
= 3,85-10; 2580 = 2,58-103; 0,004 = 4- 10~3.
Первый путь предпочтительнее, так как он проще в ра¬
боте. В дальнейшем мы будем следовать ему. Второй спо¬
соб освобождает от необходимости объяснять множествен¬
ность значений метки логарифмической шкалы, но требует
дополнительных преобразований к нормальной форме,
что усложняет вычисления и увеличивает записи.
Примерный план первого урока изучения счетной ли¬
нейки в VIII классе может быть таким:
1.	Рассказ о необходимости механизации счета. Различ¬
ные средства механизации вычислений.
2.	Описание линейки.
3.	Основная шкала; ее метки; цена делений на различ¬
ных участках шкалы.
4.	Установка чисел на основной шкале.
5.	Чтение меток на основной шкале.
6.	Задание на дом: повторение (или самостоятельный
разбор) по учебнику сложения и вычитания чисел при по¬
мощи двух равномерных шкал.
Вопросы для закрепления и контроля
1.	Как называются основные части счетной линейки?
2.	Какая шкала линейки называется основной?
3.	Как установить на основной шкале число?
12

4.	Как установить на основной шкале число с двумя
значащими цифрами: 36; 36000; 3,6; 0,036?
5.	Как найти метку основной шкалы, соответствующую
числу с тремя значащими цифрами: 2,38; 0,0238; 14,7;
0,625?
6.	Чем отличается установка на линейке чисел 4,05 и
4,50?
7.	Какова цена малого деления на различных участках
основной шкалы 25-сантиметровой линейки?
8.	Скольким единицам третьей значащей цифры числа
соответствует малое деление основной шкалы между 2 и 4;
между 4 и 10?
9.	Что такое интерполяция на глаз?
10.	Какая часть малого деления основной шкалы при
интерполировании приходится на единицу разряда тре¬
тьей значащей цифры числа в середине шкалы; в конце
шкалы?
11.	Как найти метки основной шкалы, соответствующие
числам: 2,47; 64,2; 0,0642; 857?
12.	Как прочесть первую, вторую и третью значащие
цифры числа по метке на шкале линейки? Привести при¬
меры.
Замечание. Вопросы, связанные с установкой и
чтением чисел на линейке, сначала следует ставить учащим¬
ся конкретно, на примерах. Если учащиеся подготовлены
недостаточно, спешить с интерполированием не следует.
Примеры, требующие интерполирования, дать и разобрать
позже при изучении умножения и деления.
§ 2. Умножение на линейке
Закон, по которому нанесены шкалы линейки (см.
гл. II, § 1), дает возможность находить несколько первых
значащих цифр произведения точных или приближенных
чисел по следующему правилу:
1.	Первый множитель а устанавливается на основной
шкале корпуса линейки.
2.	Выдвигая движок вправо, к полученной метке а ос¬
новной шкалы подводится начальная единица движка.
3.	На основной шкале движка при помощи визира бе¬
гунка ставится второй множитель Ь (черт. 4, I случай).
4.	Если при этом метка Ь движка выйдет за пределы
шкалы корпуса линейки (прочесть произведение будет
13

нельзя!), то движок следует перебросить влево, совместив
конечную единицу (10) движка с меткой а на корпусе
(черт. 4 II случай).
5.	Первые значащие цифры произведения аЬ читаются
под визиром на основной шкале корпуса.
6.	Положение запятой в произведении находится при
помощи прикидки, т. е. умножения в уме округленных
до одной значащей цифры сомножителей.
/ спучай
	П	‘
| !	а од	о|
О случай
? п
] I ад а~	,'о|
Черт. 4.
Примеры. 1) 2-3 = 6; 2) 3- 8 = 24;
3)	21,8-4,25^92,6.
Решение. 3) Не обращая внимания на запятые,
визиром бегунка (или же начальной единицей движ¬
ка) откладываем на основной шкале корпуса линей¬
ки 2—1—8; выдвигая движок вправо, подводим к получен¬
ной метке начальную единицу движка; при помощи визи¬
ра (или непосредственно глазами) отмечаем на основной
шкале движка 4—2—5; читаем под визиром на основной
шкале корпуса 9—2—6; прикидка: 2- 4 = 80; Ответ:
произведение приблизительно равно 92,6. Точное значение
произведения равно 92,65.
Умножать можно и на шкале квадратов, так как она
построена по такому же закону, как и основная шкала.
Точность вычислений на шкале квадратов немного меньше,
чем на основной шкале. Это отчасти компенсируется тем,
что при вычислении на шкале квадратов будет меньше пе¬
ребросок движка.
Чтобы найти на шкале квадратов произведение чисел а
и Ь, нужно:
1.	Установить число а на левой (можно и на правой)
половине шкалы квадратов.
14

2.	Выдвигая движок вправо, совместить с меткой а на¬
чальную единицу движка.
3.	При помощи визира установить на левой половине
шкалы квадратов движка второй множитель Ь.
4.	Прочитать под визиром на шкале квадратов корпуса
первые значащие цифры произведения.
5.	Поставить в ответе запятую при помощи прикидки.
Это правило иллюстрируется на чертеже 5.
р	о Го ав
".	а
Н	”1
Черт. 5.
Замечание. Умножать можно и на правой поло¬
вине шкалы квадратов, но это невыгодно, так как в ряде
случаев потребуется переброска движка.
Перед умножением на линейке многозначные числа
следует округлить до трех верных знаков. Если первая
значащая цифра единица, то в ряде случаев целесообразно
сохранить четвертый знак.
Результат вычислений на линейке получается, вообще
говоря, приближенный, причем линейка «сама» округляет
примерно в пределах трех знаков.
Следует иметь в виду, что в некоторых случаях вычис¬
лителю придется дополнительно округлять по правилам
подсчета цифр результат, полученный на линейке.
Например, при умножении приближенных чисел 1,2 и
24 линейка даст 28,8. Если этот результат окончательный,
то по правилу подсчета цифр его нужно округлить до 29.
Второй пример а ~2,14; Ь ^41. На линейке а-Ь^х
~ 2,14 • 41	87,7. Если этот результат окончательный,
то по правилу подсчета цифр аЬ 88.
Методические замечания и советы. Умноже¬
нию на счетной линейке желательно предпослать сложение
чисел при помощи двух равномерных шкал (см. учебник
«Алгебра» А. Н. Барсукова). Хорошо это сделать раньше,
например, в VI классе при изучении сложения и вычита¬
ния отрезков прямой, а затем перед уроком на умно¬
жение при помощи счетной линейки повторить этот ма¬
териал.
15

Правило умножения на линейке учащиеся должны
получить эвристическим путем, а затем закрепить практи¬
чески на достаточном числе примеров возрастающей труд¬
ности. Приступая к умножению, учащимся предлагается
сделать установку на линейке по аналогии со сложением
чисел на равномерных шкалах для самых простых случаев.
Например, для умножения 2-3 и 3-8. В первом случае
они сразу же найдут («откроют»), что произведение 6 чи¬
тается на основной шкале корпуса под меткой 3 основной
шкалы движка. Второй случай умножения может вызвать у
учащихся затруднение. Обнаружив, что при умножении
3 на 8 метка второго множителя вышла за пределы шкалы
корпуса, учащиеся сами вряд ли догадаются, как же в
этом случае получить при помощи линейки произведение.
Потребуется указание учителя.
После решения нескольких простых примеров, подводя
итоги, можно сформулировать правило умножения на
линейке. Заучивать его не следует. Оно должно быть усвое¬
но на практике в процессе вычислительной работы. Уча¬
щийся должен помнить «эталон» установки множителей на
линейке в виде простейших примеров типа 2-3 и 3-8
Такие примеры помогают быстро вспомнить нужное пра¬
вило.
Как уже было сказано, положение запятой в резуль¬
татах вычислений на линейке придется находить
при помощи прикидки. Приучать учащихся к прикидке
нужно начиная с V класса. Пользоваться прикидкой сле¬
дует систематически, и не только на уроках математики.
Это предупреждает от нелепых ответов и грубых ошибок
в вычислениях.
Следует приучить учащихся умножать на линейке при¬
мерно так: вычисляя, например, произведение 28,7 X
X 0,0795, мысленно опускаем запятые. Единицей движка
(в данном примере конечной) отмечаем на корпусе 2—8—7,
затем при помощи визира бегунка отмечаем на движке 7—
9—5; читаем под визиром на корпусе первые значащие циф¬
ры произведения 2—2—8; прикидка в уме —30 • 0,1 =
= 3. Ответ: произведение приблизительно равно 2,28.
Обучая умножению на линейке, учитель должен пра¬
вильно подобрать примеры, постепенно усложняя их. Это
особенно важно, если чтение меток шкал линейки не было
обстоятельно разобрано и закреплено раньше достаточным
числом упражнений.
16

Сначала следует рассмотреть умножение однозначных
чисел; затем умножение точных чисел с двумя значащими
цифрами, не считая нулей в конце числа; потом чисел
с тремя значащими цифрами, не требующих интерполяции
и требующих интерполяции, и, наконец, произведение
многозначных чисел, требующих предварительного округ¬
ления.
В заключение даются примеры множителей с нулями
в середине и примеры умножения приближенных чисел,
в которых результат умножения на линейке следует
еще дополнительно округлить по правилам подсчета
цифр.
Спешить с умножением на шкале квадратов не следует.
Это целесообразно сделать после ознакомления со шкалой
квадратов и возведением в квадрат на материале геомет¬
рических задач: вычисления площади круга, поверхности
и объема цилиндра и др.
Примерные упражнения.
1)4-2; 0,3-2; 4-8; 0,006-9.
2)	1,8-25; 41-23; 4100-2,3; 6,8-24; 6,8-0,59; 680 - 59;
11-85; 0,031-0,12.
3)25,6-16,4; 4,15-39,2; 0,0865-72,5; 11,1-222.
4)	3,87 • 45,9; 169 - 0,231; 27,7-3,99; 564-174; 0,0812 • 279,
5)	46,79 • 8,421; 157,52 • 7692; 2469 • 5781.
6)	4,05 • 174; 2,76 • 80,2; 104 • 305.
7)	а 23,8; Ь яа 16. На линейке: аЬ 381; округление
по правилу подсчета цифр дает 380; ответ: аЬ 380.
8)	а ~ 5,4; Ь лз 2,38. На линейке: аЬ 12,85; по пра¬
вилу подсчета цифр 13; ответ: аЬ % 13.
При закреплении умножения на линейке желательна
самопроверка повторным умножением с измененным по¬
рядком множителей. Для показа эффективности счетного
прибора некоторые примеры полезно решить письменно и
при помощи линейки. Примеры лучше чередовать с не¬
сложными задачами на умножение.
Примеры задач. 1) Вычислить площадь прямо¬
угольного поля, имеющего размеры 216 м х 43,8 м.
2)	Сколько удобрений можно вывести за 125 рейсов
автомашинами грузоподъемностью 2,7 т?
Решение: 2,7 • 125	337 (/п); по правилу подсче¬
та цифр — 340 т. Ответ; приблизительно 340 т.
3)	Вычислить вес грунта (глины), вынутого трехкубо¬
вым экскаватором за 86 приемов.
2 Заказ 97
17

Решение: на линейке или в уме 3 • 86 — 258; плот¬
ность земли (см. на обороте линейки 1,3—2,5) возьмем
равной 1,7; тогда на линейке 258- 1,7 гь: 438; по правилам
подсчета цифр 440. Ответ: приблизительно 440 т.
Вопросы для закрепления и контроля
1.	Как устанавливаются на линейке множители при
умножении?
2.	Где читаются первые значащие цифры произведения?
3.	Сколько случаев умножения на линейке? Какие слу¬
чаи?
4.	Что нужно сделать, когда множитель установленный
на движке, выйдет за пределы шкалы корпуса линейки?
5.	Каким образом находится положение запятой в ре¬
зультате, найденном при помощи линейки?
6.	В каких случаях результат умножения на линейке,
если он окончательный, нужно еще округлить дополни¬
тельно? По какому правилу это делается?
Привести примеры ко всем поставленным вопросам.
§ 3. Деление на линейке
Как и при умножении, закон, по которому нанесены
шкалы линейки, позволяет находить первые значащие циф¬
ры частного от деления точных или приближенных чисел
по следующему правилу:
1.	При помощи визира делимое а ставится на основной
шкале корпуса линейки.
2.	Выдвигая движок влево или вправо (черт. 6, случаи
I и II), метку делителя Ь на основной шкале движка сов¬
мещают с меткой делимого а на корпусе, т. е. метку Ь движ¬
ка подводят под визир.
3.	Первые значащие цифры частного читаются на ос¬
новной шкале корпуса под той единицей движка (началь¬
ной или конечной), которая окажется в пределах шкалы.
4.	Положение запятой в частном определяется при по¬
мощи прикидки.
Примеры. 1) 6 : 3 = 2;	2) 20 : 5 = 4;
3) 46,5 : 2,66 « 17,5.
Решение: Не обращая внимания на десятичные
запятые, отмечаем визиром на основной шкале корпуса
4—6—5; выдвигая движок (в данном примере вправо),
подводим метку 2—6—6 его основной шкалы под визир, т. е.
18

совмещаем метку 2—6—6 движка с меткой 4—6—5 корпу¬
са; под начальной единицей движка на основной шкале
корпуса читаем первые значащие цифры частного 1—7—5.
Прикидка: 50 : 3	17. Ответ: частное приблизительно
равно 17,5.
Делить с несколько меньшей точностью можно также
и на шкале квадратов.
П случай
Черт. 6.
Методические замечания и с о в е т ы. Ес¬
ли умножение на линейке обстоятельно и хорошо закреп¬
лено, то затруднений при изучении деления на линейке
почти не будет. Прежде всего меньше внимания потребует
сама установка и чтение чисел, так как к этому времени
учащиеся научатся это делать достаточно уверенно.
Правило деления на линейке может быть получено
рассматривая деление как действие, обратное умножению.
По произведению, которое получалось на шкале корпуса,
и множителю на движке нужно найти второй множитель.
Вспомнив правило умножения, делимое а, т. е. бывшее
произведение, нужно отложить на основной шкале корпу¬
са линейки и совместить с ним делитель Ь, т. е. бывший
множитель, взятый на основной шкале движка. Тогда в
соответствии с правилом умножения частное, т. е. другой
множитель, будет находиться под той единицей движка
(начальной или конечной), которая будет лежать в преде¬
лах шкалы корпуса.
Эти рассуждения следует иллюстрировать на схеме-
чертеже и на демонстрационной линейке. Если класс не
подготовлен к рассуждениям в общем виде, то их можно
провести на простейших частных случаях деления, напри¬
мер: 6 : 3 и 20 : 5.
2*
19

Для облегчения вывода правила деления учащимся
можно предложить ряд вопросов:
1)	Где при умножении на линейке читается произведе¬
ние?
2)	Где на линейке ставятся множители? При каком по¬
ложении движка?
3)	Какова связь деления с умножением?
4)	Как нужно поставить на линейке делимое и делитель,
чтобы получить частное?
5)	Где будут читаться первые значащие цифры частного?
Как и при умножении, делая вывод, правило деления
достаточно сформулировать. Заучивать его нет смысла.
Запоминается оно на простейших примерах деления типа
6 : 3 и 15 : 3.
Если в V—VII классах учащиеся систематически поль¬
зовались прикидкой для грубой проверки результатов раз¬
личных вычислений, то при делении на линейке положение
запятой в частном будет определяться прикидкой без
труда.
Замечания, сделанные при разборе умножения, о под¬
боре примеров для упражнений следует распространить и
на деление; можно ограничиться меньшим числом про¬
стых примеров.
Примерные упражнения.
1)	6 : 2; 30 : 6; 0,008 : 4.
2)	26 : 13; 2,7 : 46; 2,7 : 0,046; 0,53 : 0,018.
3)	425 : 18,6; 910 : 0,0212; 6,17 : 3,85; 56,4 : 0,725.
4)	154,5 : 87,2; 5,782 : 0,281; 327 : 4849.
5)	705 : 9,54; 34,7 : 10,8; 180 : 445.
6)	Найти частное приближенных чисел 65,5 и 4,8.
Решение: на линейке 65,5 : 4,8	13,65; округляем
по правилу подсчета цифр — 14. Ответ: частное приблизи¬
тельно равно 14.
7)	Определить емкость бака, если взвешивание полного
бака дало 34,4 кг и плотность жидкости приблизительно
равна 1,3 (весом самого бака пренебречь).
Решение: на линейке 34,4: 1,3=^26,47; так как
данные приближенные, то результат, полученный на ли¬
нейке, следует округлить дополнительно по правилам
подсчета цифр, т. е. сохранить в частном только два знака.
Ответ: емкость бака приблизительно равна 26 л.
Примеры на деление желательно чередовать с решением
простых задач, в частности задач по геометрии. Например,
20

вычислить высоту треугольника по его площади и длине
основания и т. п.
Первое время, да и в последующем, из-за невниматель¬
ности или усталости возможны ошибки. Требуется провер¬
ка, к которой учащихся нужно приучать. Как обычно,
деление проверяется умножением. Проверяя результат
деления на линейке, нужно умножать не частное па дели¬
тель, а делитель на частное, потому что в этом случае
потребуется новая установка на линейке и будет значитель¬
но большая гарантия от ошибки. Ведь умножение частного
на делитель будет выполняться при той же установке, что
и при делении, и возможно повторение одной и той же ошиб¬
ки. Проверка деления умножением на первом этапе обуче¬
ния вычислениям на линейке полезна еще и потому, что при
этом будут закрепляться навыки умножения на линейке.
Делением на шкале квадратов заниматься не следует.
Это преждевременно.
Вопросы для закрепления и контроля
1.	Где устанавливаются делимое и делитель при делении
на линейке?
2.	Где читаются первые значащие цифры частного?
3.	Каким образом можно найти положение десятичной
запятой в частном?
4.	Когда частное от деления на линейке приближенных
чисел нужно еще дополнительно округлять? По какому
правилу производится такое округление?
5.	Как проверить результат деления на линейке?
Привести примеры к поставленным вопросам.
§ 4. Вычисление на линейке прямо и обратно
пропорциональных величин
На логарифмической линейке легко вычисляются зна¬
чения функций у = кх и у = — для различных значений
X
аргумента. Это потребуется при решении многих задач и
построении графиков этих функций по точкам.
Для вычисления значений первой функции, т. е. у =
= /?х, по правилу умножения чисел на линейке коэффи¬
циент пропорциональности к ставится на основной шкале
и к нему подводится начальное или конечное деление движ¬
ка; значения функции читаются на основной шкале против
21

соответствующего значения аргумента, которое удобно
фиксировать при помощи визира.
При такой установке линейка дает таблицу значений
функции у = кх (черт. 7). Для части значений х они полу¬
чаются при движке, выдвинутом вправо, а для остальных
влево. При этом потребуется переброска движка.
В частности, используя метку л основной шкалы кор¬
пуса, можно получить на линейке таблицу приближенных
Г	1;	I ,
I	*	у-**	10
Черт. 7.
значений длины окружности в зависимости от диаметра:
С = лй. Для получения такой таблицы следует начальную
(конечную) единицу движка совместить с меткой л на ос¬
новной шкале корпуса. Значения диаметра откладываются
на движке; тогда первые значащие цифры длины окруж¬
ности будут читаться по противостоящей метке на кор¬
пусе.
Значения функции у = — получаются на линейке де-
X
лением постоянного к на значения аргумента х: к ставится
на основной шкале корпуса и фиксируется при помощи ви¬
зира бегунка; выдвигая движок, под визир подводится нуж¬
ная метка х основной шкалы движка; частное читается под
начальным или конечным делением движка (черт. 8). запя¬
тая ставится, как обычно, прикидкой.
П
Н	« »|

Черт. В
Примеры. Составить таблицы значений и построить
графики функций:
у = 0,217 х; у = — .
X
Замечание. Для вычисления значений функции
у — — выгоднее пользоваться так называемой шкалой
22

обратных значений, нанесенной на многих линейках посре¬
дине движка. За недостатком времени рассматривать эту
шкалу в восьмилетней школе не удастся (см. гл. II, §6).
Методические замечания и советы.
Вычисления на линейке значений функции у = кх и у =
= — следует приурочить к моменту повторения этих функ-
х
ций, известных учащимся из VII класса. Желательно это
сделать вслед за изучением умножения и деления на линей¬
ке, чтобы иметь возможность на этом материале закреп¬
лять навыки умножения и деления на линейке и решать
задачи.
Учащимся предлагается в классе и дома вычислить
таблицы значений рассматриваемых функций и построить
их графики. Здесь учащиеся получат хорошую проверку
правильности установки и чтения чисел на линейке. Если
результаты не «уложатся» на прямой или на гиперболе,
то допущена ошибка, которую нужно исправить. Вычисле¬
ние на линейке длины окружности целесообразно проверять
по таблицам.
Кроме примеров, обязательно нужно решать задачи.
Прежде всего желательны задачи, имеющие практическое
значение и решение которых убеждало бы учащихся в цен¬
ности линейки.
Это могут быть примерно такие задачи.
1)	Подсчитать ожидаемый урожай зерна с пяти участков
земли площадью в 24; 18,3; 4,75; 7,42; 0,93 га при заплани¬
рованной средней урожайности 12,7 ц с га.
Ответы в этой и в последующих задачах удобно офор¬
мить в виде таблицы.
у = 12,7х
2)	Какой будет сбор зерна с каждого участка в первой
задаче, если урожай окажется на 8% выше планового?
3)	Сделать расчет расхода кормов по четырем отделени¬
ям совхоза, имеющим 312, 148, 87 и 425 голов скота при
23

норме выдачи на одну голову 21,7 кг грубых кормов и
0,625 кг концентрата.
4)	Найти примерную длину проволоки, необходимой
для изготовления:
150 штук колец диаметром 15,6 см,
254	»	26,3	см,
48	»	4,75	см,
543	»	8,7 см.
Результаты записать в таблице:
5)	Сколько потребуется поездок для вывоза на поля
250 т органических удобрений (навоза) одним из следую¬
щих видов транспорта:
одноконными санями грузоподъемностью 0,38 т,
парными санями	»	0,725 т,
автомашинами	»	1,5 т,
тракторными санями	»	4,75/п?.
Аналогичные задачи учитель составит сам и найдет
в задачниках.
Вопросы для закрепления и контроля
1.	Как получить на линейке таблицу умножения ряда
чисел на одно и то же число? Как получить при помощи
линейки таблицу значений функции у = кх?
2.	Для чего нанесена на линейке метка л?
3.	Как при помощи линейки найти длину окружности
по ее диаметру; найти диаметр по длине окружности?
4.	Какой установкой на линейке можно найти различ¬
ные значения функции у = — ?
X
Привести примеры к поставленным вопросам.
24

§ 5. Комбинированное умножение и деление.
Решение пропорций. Процентные вычисления
на линейке
1.	Решение пропорций. «Правило зигзаг». При реше¬
нии пропорций и других задач часто приходится вычис¬
лять значение величины по формулам:
При вычислении таких величин на линейке выгоднее чере¬
довать деление с умножением, начиная с деления. При
таком порядке действий будет меньше перебросок
движка, так как при делении начальная (или конечная)
метка движка показывает промежуточное частное и будет
уже установлена для последующего умножения. Правда,
и здесь потребуется переброска движка в тех случаях,
когда метка множителя выйдет за пределы шкалы корпу¬
са линейки.
Примеры. 1) — = —; х =	= 8,75.
7	4	4
Решение. 5 делим на 4 и, не читая промежуточного
результата, умножаем на 7.
о\ 5	2	5*7	.7 г
2)	— = — ; х =	= 17,5.
1	х	1	2
Решение. 5 делим на 2, так как метка 7 движка
вышла за пределы линейки, требуется переброска движка;
после этого умножаем на 7.
Вычисление значения дроби, у которой числитель и
знаменатель есть произведение нескольких сомножителей,
выполняется на линейке в следующем порядке.
Первый множитель числителя делят на первый множи¬
тель знаменателя; не читая промежуточного частного,
умножают его (частное) на второй множитель числителя;
для этого, не меняя положения движка, при помощи визи¬
ра бегунка второй множитель ставится на основной шкале
движка. Если этого сделать нельзя, так как метка множи¬
теля вышла за пределы шкалы корпуса, то для умножения
промежуточного частного на этот множитель нужно снача¬
ла перебросить движок1 , совместив противоположный ко¬
1 Число перебросок движка можно уменьшить, если изменять
порядок сомножителей.
25

нец (конечную единицу) движка с промежуточным част¬
ным. При этом промежуточное частное фиксируют при
помощи визира бегунка и уже после этого подводят под
визир противоположный конец шкалы движка. Затем,
как и в первом случае, при помощи бегунка на основной
шкале движка берется второй множитель числителя. Про¬
межуточное или окончательное произведение может быть
прочитано под визиром на основной шкале корпуса. Если
оно промежуточное, то его не читают и делят на второй
множитель делителя; для этого, не изменяя положения
бегунка (визир фиксирует метку промежуточного произве¬
дения), под визир подводят метку делителя на основной
шкале движка. Частное, если оно окончательное, читается
на основной шкале корпуса под начальным (или конечным)
делением движка. Промежуточное частное не читается.
Действия продолжаются до тех пор, пока не будут исчерпа¬
ны все сомножители.
Запятая в результате ставится прикидкой.
Название «зигзаг» обязано порядку действий, при ко¬
тором очередность действий над компонентами следует не
по прямой, а по зигзагообразной линии:
Пример. Вычислить: х =—————.
1,8-68
Решение: не обращая внимания на десятичные за¬
пятые, делим 27 на 18; не читая промежуточного частного
(под начальной единицей движка на корпусе линейки),
умножаем его на 35, для этого отмечаем визиром на движ¬
ке 3—5—0; не читая получившегося (под визиром на кор¬
пусе) промежуточного произведения, делим его (не сбивая
визира ) на 68 и, не читая промежуточного частного (под
конечной единицей движка), умножаем на 79.
Читаем на корпусе линейки 6—1—0.
Прикидка в уме: х« 30'0,4 *-■ = — 0,2 --8« 0,7.
2 • 70	7
Ответ: х«0,61.
Второй пример, требующий переброски движка:
х = 71 » 53 *85
24.46
26

Решение. 71 делим на 24; так как обе метки 5—3—О
их — 5—0 движка вышли за пределы линейки, делаем
переброску движка; затем умножаем на 53, делим на 46 и
умножаем на 85.
Прикидка: л: да 70'50 * 80 = 280. Ответ: хдз290.
20 • 50
2. Второй способ решения пропорций. Пропорциональ¬
ное деление. Решая, как обычно, пропорцию — = — ,
Ь <1
приходим к формуле а = -у Ь, которой по правилам
умножения и деления соответствуют два случая установки
чисел на линейке (черт. 9).
П в а	«1
|Т"	 '	1	1	| I ■ — —‘ '
[2 о с ю|
Черт. 9.
Замечаем, что в обоих случаях «метка а противостоит
метке Ь так, как метка с противостоит метке й». Это просто,
но неудобно, так как числители равных отношений ока¬
жутся на линейке внизу, а знаменатели — вверху.
Можно получить другую установку пропорции на линей¬
ке, позволяющую решать ее при более удобном и естествен¬
ном расположении членов.
Действительно, из — = — следует, что и — = — .
Ь <1	ас
Тогда, применяя к последней пропорции полученное выше
правило установки на линейке членов пропорции, числите¬
ли Ь и (1 окажутся на основной шкале корпуса (внизу), а
знаменатели а и с противостоят им на основной шкале движ¬
ка (вверху) (черт. 10).
При помощи этой же установки решается и исходная
пропорция — = — , но при более удобном располо-
Ь 4
жении ее членов; числители вверху, знаменатели внизу.
27

При этом прорезь между корпусом и движком служит
как бы дробной чертой.
Таким образом, приходим к следующему правилу, ко¬
торое в дальнейшем кратко будем называть правилом
пропорции: при решении пропорции по линейке
предыдущие члены отмечаются на основной шкале движ¬
ка, последующие члены противостоят им на основной шка¬
ле корпуса (черт. 10).
Или иначе: «а на линейке противостоит Ь так, как с
противостоит Л.
Последняя формулировка напоминает традиционное чте¬
ние пропорции: «а относится к Ь так, как с относится к й»,
и поэтому хорошо запоминается.
Черт. Ю.
Нетрудно сообразить, что одновременно с пропорцией
— = — по линеике могут быть найдены и все остальные
о а
равные им отношения чисел, причем для некоторых отно¬
шений потребуется переброска движка. Противостоящие
метки основной шкалы движка и корпуса при должном
учете порядка соответствующих им чисел будут иметь та¬
кое же отношение, как и а к Ь:
Д 	 &1 	 Дз 	 Оз 	 о& 			 оп
Ь Ьу Ь2 Ьа	Ьп
Сказанное, например, хорошо иллюстрируется установ¬
кой на линейке следующих пропорциональных чисел:
2 ==Д==_6_ — А — зо_
6	9 ~4,5~~45 ~
Выдвинув движок так, чтобы метка числителя любого
„	2
из этих отношений, например —, взятая на движке, сов¬
местилась с меткой соответствующего знаменателя на кор¬
пусе, т. е. чтобы 2 на движке совместилось с меткой зна¬
менателя 3 на корпусе, увидим, что любые противостоя¬
щие метки движка и корпуса будут давать пары пропор¬
28

циональных чисел. Коэффициент пропорциональности бу¬
дет равен величине рассматриваемого отношения, в данном
2
примере —.
Отсюда следует способ отыскания неизвестных членов
пропорции или ряда равных отношений, т. е. решения на
линейке уравнений вида:
х 	 Ь . а 	 Ь . а 	 х ' у 	 е
а с х с Ь с с1 /
1_
к
Для решения таких уравнений устанавливаем на ли¬
нейке по правилу пропорций то отношение, члены которо¬
го известны. Тогда первые значащие цифры неизвестного
находятся против известного члена соответствующего вто¬
рого отношения, при этом иногда может потребоваться
переброска движка; положение запятой в ответе, как
обычно, устанавливается прикидкой.
х 4 2
Примеры. 1) —— =	.
г	0,27	73
Решение: по правилу пропорций, выдвигая дви¬
жок вправо, совмещаем метку 4—2 основной шкалы движ¬
ка с меткой 7—3 основной шкалы корпуса линейки. Метка
7—3 корпуса может быть предварительно зафиксирована
визиром бегунка. Отметив визиром на шкале корпуса
(внизу) 2—7, читаем над этой меткой на шкале движка
(вверху) 1—5—5.
V 4	0 3
Прикидка: —; х^— показывает, что х дол-
г	0,3	80	20
жен быть примерно в двадцать раз меньше 0,3, т. е. около
0,015; ответ: х^0,0155.
Если члены отношения были числами приближенными,
то результат, полученный на линейке, следует дополнитель¬
но округлить по правилам подсчета цифр и ответ будет
такой: х 0,016.
18’3 — 2138
' 6,15 х
Решение: по правилу пропорции устанавливаем на
линейке отношение--; для этого метку 1—8—3 движ-
6,15
ка совмещаем с меткой 6—1—5 на корпусе. Далее по пра¬
29

вилу пропорции на движке (вверху) следует набрать 5—8
и на корпусе (внизу) прочесть значащие цифры неизвест¬
ного. Но метка 5—8 движка вышла за пределы шкалы кор¬
пуса. Прочесть х нельзя. Нужно сделать переброску движ¬
ка: не сбивая движка, визир устанавливаем против на¬
чальной единицы движка, затем под визир подводим конеч¬
ную единицу движка. Первые значащие цифры х читаем
на основной шкале корпуса под меткой 5—8 движка; полу¬
чаем 1—9—5. Прикидка: известное отношение 18,3 : 6,15
приблизительно равно 3; следовательно, х примерно в три
раза меньше 0,6, т. е. около 0,2.
Ответ: х0,195; округляя до двух значащих цифр,
получаем х » 0,20.
х 2.5 _ 0.49 _ 4
* 30 у г 7 ’
Решение: по правилу пропорции устанавливаем от¬
ношение: 4 : 7; над меткой 3—0 читаем 1—7—1—3; под
меткой 2—5 читаем 4—3—8 и под меткой 4—9 читаем пер¬
вые значащие цифры 8—5—7.
Прикидка: так как коэффициент пропорциональности
примерно половина, то х^17 13; «/^4,38; 2 т 0,857. Мо¬
жет потребоваться округление, если данные числа были
приближенные.
4) Требуется распределить 48 т удобрений пропорцио¬
нально площадям пяти участков земли: 0,66 га; 0,75 га;
2,3 га, 3,4 га и 5,2 га.
Решение: в уме или на счетах находим площадь
всей земли 12,31 га; округляем до 12,3. Далее задачу мож¬
но решать двумя способами.
I.	Обозначая площадь через х и количество удобрений
через ^способом приведения к единице, получаем у= • х.
X
0 — на
линейке
у — ок¬
ругленное
0,66
2,58
2,6
0,75
2,92
2,9
2,3
8,98
9,0
3,4
13,3
13,3
5,2
20,3
20,3
12,32
48,08
48,1
12,3
48 т
48 т
Делим на линейке 48 на
12,3 и. не читая промежуточ¬
ного результата, умножаем его
на данные значения х. Вна¬
чале придется умножить на
х — 2 3, а затем после пере¬
броски движка на остальные
значения х (движок не сби¬
вать ).
Данные и результаты удобно
записать в таблицу.
30

Проверка проводится сложением в уме или на сче¬
тах.
II.	Составляем ряд равных отношений = -Ц- =
1^6 9 О	м । ОО
= У* =	= //4 = У±
0,75	2,3	3;4	5,2 ’
По правилу пропорций устанавливаем на линейке от-
48
ношение	, а затем над меткой 2—3 читаем: у$~
12,6
8,98 и после переброски движка над соответствующими
метками знаменателей читаем приближенные значения
остальных неизвестных: у1 2,58; г/2	2,92; г/4	13,3;
уъ«20,3; положение запятой определяется прикидкой.
Округляя до десятых, получаем ответ: у1 2,6 т\ у2
2,9 /и; у3~ 9,0 /и; у4 « 13,3 /и; уъ 20,3 т. Всего
48,1 т.
3. Процентные вычисления на линейке. Так как все
основные задачи на проценты сводятся к умножению и
делению, то и они легко решаются на линейке.
Первая задача нахождения р процентов данного числа а
решается по формуле: Ь *=■ Заменяя десятичной
дробью х, а искомую величину через у, получим бо¬
лее удобную для вычислений на линейке формулу
у = ах.
Например, чтобы вычислить 1,5%; 7%; 12,3%; 24%;
41,7%; 86,5% от 1420 руб., нужно 1420 умножить на соот¬
ветствующую десятичную дробь. Так как при установке
чисел на линейке на запятую не обращают внимания,
то, опустив в данных значок процента (%) и знак
дробности (запятые), умножаем 1—4—2—0 последователь¬
но на 1—5—0; 7—0—0; 1—2—3; 2—4—0 и т. д.
Часть результатов получается при одной и той же уста¬
новке движка (движок не сбивать ), для другой — может
потребоваться переброска движка. В рассматриваемом
примере первые пять результатов находятся при одной
установке на линейке и лишь вычисление 86,5% потребует
переброски движка влево.
Положение запятой в ответах, как обычно, определя¬
ется прикидкой.
31

у — 1420 • х
р %
1.5%
7%
12,3%
24%
41,7%
86,5%
X
0,015
0,07
0,123
0,24
0,417
0,865
У
21,3
99,4
174,8
341
593
1228
Замечание. Эту задачу можно решить по правилу
пропорций, переписав формулу Ь = в виде пропорции
а	Ь	1420	Ь
— = — , т. е. 	= — .
100	р	100	р
Вторая задача на проценты, т. е. задача нахождения
числа по его процентам, также решается на линейке. Как
,	6-100
известно, искомое число вычисляется по формуле а =	.
р
Так как установка числа на линейке не изменяется при
умножении на целую степень десяти, то при нахождении
значащих цифр искомого числа 100 в числителе можно
опустить. Это будет учтено прикидкой при окончательном
получении ответа.
Таким образом, чтобы найти первые значащие цифры
числа а, зная Ь и р, нужно отбросить запятые и знак про¬
цента, а затем разделить на линейке Ь на р.
Пример. 2,7% от а равно 46,5; найти а. Делим на
линейке 4—6—5 на 2—7—0. Получаем 1—7—2. Прикид¬
ка дает: а 1720.
Вторая задача также удобно решается на линейке по
правилу пропорций:
Ь 	 х • 46,5	 х
~р — 100 ’ ^7 ~ 100 ’
Последняя третья задача — нахождение процентного
отношения двух чисел а и Ь — ничем по существу не от¬
личаясь от деления, также решается на линейке: число а
делят на число Ь и частное записывается в форме про¬
центов.
32

Задача. В колхозе 385 га занимают зерновые куль¬
туры, 122 га— пропашные, 24,5 га — овощные, 8,2 га—пло¬
довоягодные и 85 га — луга. Найти процентное распре¬
деление земли под различным^ культурами.
Вид культур
Зерно¬
вые
Про¬
пашные
Овощ¬
ные
11ло-
дово
ягод¬
ные
Луга
Всего
Площадь	под
культурами . .
Процентное отно¬
шение ко всей
земле ....
385
61,60/в
122
19,5%
24,5
3,93%
8,2
1,31%
85
13,6%
624,7 « 625
99,94% «100%
Эта задача легко решается методом пропорций. Если
Ь — площадь всей земли, а — площадь под какой-либо
о	ар	Ь	а	625	а
культурой, • то	— = —	или	— =	—,	то	есть	— =	- -.
?	Ь 100	100	р	100	р
4. Примеры	задач,	решаемые	при	помощи линейки.
Приведем несколько задач из физики и химии, реше¬
ние которых целесообразно выполнить при помощи счетной
линейки.
1)	По проводнику сопротивлением 5,3 ом за 1,2 мин
прошло 49 к электричества. Найти напряжение, приложен¬
ное к концам проводника.
/? = 5,3 ом\
/ — 1,2 мин=^12
сек\
д = 49 к
и
По закону Ома
для участка цепи:
/ = и = 1 ■
Н
<7 = /•/; / = -?-.
I
Я-Х
и = -—
I
Решение в прак¬
тической системе
единиц.
49 к • 5,3 ом
и

72 сек,
^3,6 в.
2)	Медный звонковый изолированный проводник намо¬
тан на катушку. Диаметр медной жилы 0,8 мм. Надо опре¬
делить длину проводника, не разматывая катушки.
При включении катушки в цепь постоянного тока оказа¬
лось, что при напряжении 1,4 в по ней идет ток силой
0,45 а.
3 Заказ 97
33

(I = 0,8 мм;
и = 5,6 в;
/ = 0 45 а:
р = 0,017
м
Сопротивление
проводника: 7? =
1
	к • 0,64 мм2 *5,6 в

4.0,45а.0,017^2^
м
— Р ' 5 •
»370 м.
Р ’	4
По закону Ома:
/ = —; /?= — .
К	1
	 к • с12 • и
4 р • 1
3)	По проводнику сопротивлением 2,5 ом в течение
125 сек прошло 520 к электричества. Сколько теплоты вы¬
делилось в проводнике?
/? — 2,5 ом
I = 125 сек
д = 520 к
По закону Джо¬
уля-Ленца:
<2 = 0,24 /2-7? •/;
<? = /•/'
0 _ 0,24 •
0,24— »5202№-2,5 ом
0 =—а*

125 сек
«2,5 кал
4) Серный колчедан содержит 47% серы. Сколько кол¬
чедана потребуется для получения 590 кг 97-процентной
серной кислоты?
Количество безводной серной кислоты:
р = 590- 0,97 (кг).
Количество серы, нужное для получения 590 • 0,97 (кг)
безводной серной кислоты, находится из пропорции:
р, 590 • 0,97	32 • 590 • 0,97 , ,
—  	-—; р, =	-— (кг).
32	98	1	98	' '
Количество колчедана, необходимое для получения
требуемого количества серы:
Р = 32 • 599 ■ 0.97 . 100 = 19.590.97 зд8~.
98.47	49.47	' '
5) Свинцовые аккумуляторы заполняются 33-процент¬
ной серной кислотой. Сколько грамм-молекул со¬
держат 8,5 л аккумуляторной кислоты, если ее удельны»
вес 1,23?
Вес аккумуляторной кислоты:
р = 8 500 см3 • 1,23 г!см3 = 85 • 123 г.
34

Вес безводной кислоты, содержащейся в растворе:
Р1 = 85- 123- 0,33 (г).
Количество грамм-молекул НгЗСЦ в 8,5 л раствора:
=	123 • 0,33 ^35 2 — 35 (г-мол.)
98
6) Сколько потребуется 23-процентной серной кислоты
для получения 115 л водорода, если при нормальных усло¬
виях грамм-молекула водорода занимает объем 22,4 л?
Количество безводной серной кислоты, необходимое
для получения 115 л водорода, находится из пропорции
р 115	49 -115 , ч
— =	; Р =	 (г).
98	22,4 к 11,2
Количество 23-процентного раствора серной кислоты:
Р _ 49- 45-100^2190 (г) «2,2 (кг).
11,2 .23
Методические замечания и советы. Ум¬
ножение и деление на линейке следует прочно закрепить
решением примеров и задач, требующих только этих дей¬
ствий, а также решением пропорций, задач на пропорцио¬
нальное деление, процентными вычислениями и вычисле-
&
ниями значений функций у = кх и у = — в связи с пост¬
роением их графиков. Полученные навыки работы с линей¬
кой учащиеся должны затем систематически использовать
в практике своей вычислительной работы по всем предме¬
там.
Сначала нужно научить учащихся решать на линейке
пропорции первым способом. Он естествен и подготовит
их к более сложным случаям вычислений на линейке по
«правилу зигзаг».
После краткого повторения умножения и деления ста¬
вится задача решения пропорции. Первые два-три примера
следует взять самые простые, чтобы сосредоточить внима¬
ние учащихся на последовательности операций на линей¬
ке при вычислении неизвестного члена пропорции.
и	х 5	3	8
Например, решить пропорции: у = у у = —.
~	3-5	7.8
Тогда х = -- и х = — .
2	«3
3*
35

На таких примерах учащиеся сами или с помощью учи¬
теля придут к целесообразному порядку действий при вы¬
числении значения х по «правилу зигзаг».
Более трудный второй пример надлежит разобрать
подробнее на демонстрационной линейке, обращаясь к
навыкам учащихся в умножении и делении на линейке.
При этом подчеркивается, что промежуточное частное не
читается, но обязательно отмечается визиром перед пере¬
броской движка. Это учащиеся забывают делать что приво¬
дит, особенно в дальнейшем, к затруднениям и ошибкам.
Затем числовые данные усложняются.
Примеры. 1) Вычислить на линейке:
41 . 0,73	0,0675.52,7
х =	1; х = -	.
3,8	0,142
2) Решить на линейке уравнения:
х ^0,83# X _ 47,5
32,5	2,15 ’ 127	0,0237’
Запятая в ответах ставится прикидкой. Проверка
делается по основному свойству пропорций.
Добившись правильного и быстрого решения пропор¬
ций на линейке, можно ожидать от учащихся меньших за¬
труднений при вычислении на линейке значений дроби с
несколькими множителями в числителе и в знаменателе.
Взяв вначале несложный пример с одно-двузначными мно¬
жителями и делителями, следует подробно разобрать ход
его вычисления, используя демонстрационную линейку
Нужно научить учащихся вычислять значения таких дро¬
бей не механическим заучиванием и применением правила
(оно все равно забудется), ,а сознательно используя навы¬
ки умножения и деления. Учащиеся должны усвоить, чтс
деление и умножение, выгодно чередовать начиная с деле
ния до исчерпывания множителей числителя или знамена¬
теля, так как это уменьшает число перебросок движка
Промежуточные результаты (частные и произведения) не
читают, но их метки обязательно нужно видеть (фиксиро
вать глазами), чтобы осознанно и безошибочно выполнить
очередное действие. На каждом этапе вычислений учащие¬
ся обязаны помнить, над какими числами и какое выпол¬
няется действие. Для этого и нужна метка промежуточной'
результата. Только при таком условии можно ожидать пра-
36

вильной очередной установки на линейке и предотвратить
ошибки.
Как уже говорилось выше, начинающие вычислители
часто забывают фиксировать промежуточное частное при
помощи визира бегунка, когда для последующего умноже¬
ния требуется переброска движка. Этих ошибок будет
меньше, если предыдущее требование будет выполнено.
Следует помнить о целесообразности изменения порядка
сомножителей. Если очередной множитель «выйдет» за пре¬
делы шкалы, то вместо него следует взять другой более
подходящий множитель, не требующий переброски.
Примеры. Вычислить:
3,75 • 0,847 ■ 21,3 .
0,485-91,4
0,154 . 532 .	= 27-76.47,
24,7 .25 '	“145. 31’
64,5 . 0,84 . 1,35
0,317.21,9.0,059’
Задача. Два шкива соединены бесконечным ремнем.
Окружность первого шкива 28,5 см, а второго 47 см. Сколь¬
ко оборотов в минуту сделает второй шкив, если первый
делает 630 оборотов в минуту?
Процентные вычисления на линейке затруднять,учащих¬
ся не будут, если они достаточно хорошо усвоят умножение
и деление. Решение задач на проценты также следует
связать с повторением.
Нужно познакомить учащихся со вторым способом ре¬
шения пропорций на линейке. Он покажется несколько
искусственным, зато достаточно эффектен и хорошо за¬
поминается, так как при этом числа на линейке распола¬
гаются так же, как и в пропорции.
В дальнейшем следует приучать учащихся решать раз¬
личные подходящие задачи способом пропорций, что осво¬
бодит их от ненужных записей и позволит быстро получать
на линейке нужные результаты. Это одновременно подго¬
товит учащихся к рациональным вычислениям в старших
классах, в частности к решению треугольников на линейке.
Следует еще раз подчеркнуть, что на одних только
уроках алгебры полностью добиться закрепления вычис¬
лительных навыков на линейке будет трудно, а главное —
не будет решена основная задача — механизация вычисле¬
ний. Нужно настоятельно рекомендовать использовать
счетную линейку па занятиях в школе, дома и на произ¬
водстве, где приходится решать различные вычислитель¬
ные задачи.
37

Нельзя допускать, чтобы на уроках математики уча¬
щиеся вычисляли рационально, а на других уроках —
самым примитивным способом. Учителя физики, химии,
труда и других предметов должны сами считать на линейке
и требовать этого от своих учеников.
Вопросы для закрепления и контроля
1.	Какой порядок действий выгоден при вычислении на
линейке неизвестного члена пропорции? Почему?
2.	Почему при вычислении дроби с несколькими мно¬
жителями и делителями целесообразно чередовать деление
с умножением?
3.	Что нужно сделать, если при умножении промежуточ¬
ного частного на множитель числителя метка этого множи¬
теля выйдет за пределы корпуса линейки?
4.	Где при желании может быть прочитано промежуточ¬
ное частное, промежуточное произведение?
§ 6. Возведение в квадрат и в куб. Извлечение корней
На лицевой стороне линейки, кроме основной шкалы,
нанесены логарифмические шкалы в масштабе, в два и
три раза меньшем масштаба основной шкалы. На них
легко находятся квадраты и кубы чисел, а также квадрат¬
ные и кубические корни. Поэтому они называются соответ¬
ственно шкалой квадратов и шкалой кубов.
Взяв на основной шкале метку числа а, против нее на
шкале квадратов можно прочесть первые значащие цифры
квадрата этого числа и на шкале кубов — первые знача¬
щие цифры его куба (черт. 11). Это является следствием
Черт. И.
того, что шкалы логарифмические построены в соответст¬
вующих масштабах и удобно расположены одна над дру¬
гой (см. гл. II § 7).
Переход с основной шкалы на шкалу квадратов и шкалу
кубов осуществляется при помощи визира бегунка.
38

Запятая в ответе ставится прикидкой или при по¬
мощи преобразования основания степени к нормаль¬
ному виду произведения множителя из интервала (1,10)
на целую степень десяти и возведения в уме в квадрат или
в куб этой степени десяти.
Таким образом, чтобы получить на линейке квадрат
или куб числа а, при помощи визира нужно отметить его
на основной шкале и прочитать первые значащие цифры
квадрата под визиром на шкале квадратов и куба — на
шкале кубов, а затем, поставить в ответе запятую или до¬
писать нужное число нулей.
Правило подтверждается установкой на линейке про¬
стейших примеров возведения в квадрат и в куб чисел 2, 3,
4, 5 и т. п.
Примеры. 1) а = 23,6; по линейке: а2 5—5—7;
а3 1—3—1; прикидка: а2 202 = 400; а3 ^203 = 8000.
Ответ: а2 ^ 557; а3 13100. По таблицам: а2 557,0;
а3^ 13100.
2) а = 0,0061; по линейке: а2 3—7—2; а3 2—2—7;
прикидка: а » 6 • 1СГ3; а2 36 • 1(Г6; а3 ^216 • 10-9. От¬
вет: а2 37,2 • Ю-6 = 0,0000372; а3 =» 227 • 10-9 =
= 0,000000227.
Обратный переход от шкалы квадратов к основной шка¬
ле и от шкалы кубов к основной шкале позволит по задан¬
ному числу найти несколько первых значащих цифр квад¬
ратного и кубического корня из числа.
Так, если при помощи визира набрать на шкале квад¬
ратов 4 или 25, то под ними на основной шкале читаются
соответственно 2 и 5. Под числом 8 в левой части шкалы
кубов читаем на основной шкале —2; метке 27 средней
части шкалы кубов будет соответствовать на основной шка¬
ле метка 3 и метке 125 правой части шкалы кубов — метка
5 основной шкалы.
Эти примеры подтверждают следующее правило из¬
влечения квадратного и кубического корня из данного
числа.
При помощи визира число набирается на соответствую¬
щей части шкалы квадратов или кубов; первые значащие
цифры корня читаются под визиром на основной шкале.
Запятая в ответе ставится прикидкой или при помощи
дополнительных воображений, о которых будет сказано
дальше.
39

При возведении числа в квадрат или в куб значащие
цифры степени читаются или в левой, или в правой, или
средней подшкале шкал квадратов и кубов это зависит
от первой значащей цифры основания степени. В какой же
части этих шкал нужно ставить подкоренное число при из¬
влечении квадратного и кубического корней?
Так, например, число с первыми значащими цифрами
6—4—5 может быть набрано на каждой подшкале. Где же
нужно взять метку 6—4—5 при вычислении V 645; 0,0645;
1/6450; {/0,645 и в других аналогичных случаях, когда
подкоренные числа отличаются друг от друга лишь положе¬
нием запятой?
Можно поступить по-разному. Первый путь связан с
разбивкой подкоренного числа на грани, как и при вычис¬
лении корней по известному алгоритму. При нахождении
квадратного корня число разбивается от десятичной запя¬
той вправо и влево на грани по две цифры в каждой,
а при извлечении кубического корня — по три цифры в
каждой.
Если при извлечении квадратного корня первая (слева
направо) значащая грань содержит одну значащую цифру,
то число ставится на левой половине шкалы квадратов,
если же две, то на правой.
При извлечении кубического корня первая значащая
грань может быть однозначной, двухзначной и трехзнач¬
ной, не считая нулей слева. В первом случае число наби¬
рается в левой подшкале, во втором — в средней и в треть¬
ем — в правой части шкалы кубов.
Эталоном для запоминания установки чисел на линейке
при извлечении корней могут служить примеры: V4; У25;
/8; /64; ^Т25.
Положение запятой у корня определяется в зависимо¬
сти от получившегося разбиения на грани или прикидкой.
Каждой грани разбиения подкоренного числа соответству¬
ет один разряд. Отсюда легко определяется положение
запятой в ответе. Прикидка поможет избежать возмож¬
ных ошибок при извлечении корней.
Примеры. Иб45=Кбх45 ^25,4;
Кб,0645 = КсЙЖбБ ^0,254;
/6450 = /бГбб^ 80,3;
40

/0,645 = /0',б45 ^0,866;
/0,00645 = >/О',006'45 ^0,186.
Второй путь потребует приведения подкоренного
числа к нормальному для шкал квадратов и кубов виду1 ,
а затем извлекается корень из произведения: из первого
множителя корень извлекается по линейке, а из второго,
т. е. из степени десяти, — в уме. Положение десятичной
запятой получают умножая в уме корень из первого мно¬
жителя на полученную степень десяти.
Примеры. К645 = К6,45 • 102 = К6,45 * 10
^2,54. 10 = 25,4;
/о,0645 = /б,45.10-2 = ^75^ ~ ^7 = °’254;
/6450= /64,5 • 102 = /64,5-10 ^8,05 . 10 = 80,3;
/0Л45 = /64,5-10~3 = /645 ~ ^6 = 0,866.
г	г	10	10
Методические советы и указания.
Возведение в квадрат и в куб — самые простые операции
на линейке, так как они сводятся к простому переходу от
одной шкалы к другой.
Пока линейка изучалась в школе факультативно, не¬
которые учителя начинали изучать действия на линейке
с возведения в квадрат и в куб и извлечения квадратных и
кубических корней. На этом материале лучше всего учить
установкам чисел на шкалы и чтению их меток. Если к
тому же (как это рекомендовалось делать) проверять ре¬
зультаты, полученные на линейке, по таблицам квадратов,
кубов, квадратных и кубических корней, то достигали
экономии времени и прочного безошибочного знакомства
с метками шкал линейки.
Действия на линейке изучали в такой последовательно¬
сти: описание линейки; знакомство с основной шкалой,
1 Нормальным видом числа для шкалы квадратов считается про¬
изведение числа интервала (1,100) на четную степень десяти, а для
шкалы кубов — произведения числа интервала (1,1000) на степень де¬
сяти, кратную трем.
41

шкалой квадратов и шкалой кубов; возведение в квадрат,
в куб и извлечение корней с одновременным подробным
разбором меток шкал и проверкой результатов по табли¬
цам; затем умножение и деление и т. д.
Этот путь будет мало подходящим в условиях обязатель¬
ного изучения линейки в восьмилетней школе, ибо он пот¬
ребует значительной перестановки программного материа¬
ла по алгебре.
Кроме того, рассмотрение умножения и деления на
линейке и решение соответствующих задач задерживается.
Учащиеся длительное время будут лишены возможности
использовать линейку для решения вычислительных задач
по математике, физике, химии и другим предметам; мень¬
ше будет времени для прочного овладения основными опе¬
рациями на линейке — умножением и делением.
Извлечение корней на линейке осуществляется просто.
Затруднения и ошибки возможны лишь в связи с выбором
подшкалы, на которой следует набирать подкоренное чис¬
ло. Несмотря на то, что стабильный учебник «Алгебра»
А. Н. Барсукова акцентирует внимание на представлении
подкоренного числа в виде произведения числа интервала
(1,100) для квадратных корней и интервала (1,1000) для
кубических корней на соответствующую степень десяти и
извлечении корня из произведения (частного) частично
на линейке и частично в уме и менее подробно упоминает
о втором способе — установке чисел при извлечении кор¬
ней в зависимости от разбиения подкоренного числа на
грани, следует отдать предпочтение второму способу —
способу разбиения числа на грани.
Первый способ будет требовать дополнительных преоб¬
разований и записей. Выполнить их в уме восьмиклассни¬
ку будет трудно. Нужна большая тренировка, чтобы безо¬
шибочно преобразовывать в уме подкоренное число, удер¬
живать его в памяти, извлекать в уме корень из степени
десяти и умножать (делить) на это число результат, полу¬
ченный на линейке. Сколько лишних действий! Делать
же записи при вычислении на линейке не стоит: записи
обесценивают линейку.
Несмотря на то, что алгоритм извлечения корня при
помощи разбиения подкоренного числа на грани по новой
программе в восьмилетней школе не изучается, учащихся
лучше учить извлекать корни на линейке этим способом
Ошибок при извлечении корней будет меньше, чем и
42

первом случае. Там они возможны при преобразовании
подкоренного числа, при извлечении корпя из степени де¬
сяти и при переносе запятой в результате, полученном на
линейке.
При рассмотрении возведения в степень и извлечения
корней при помощи линейки следует показать, как просто
решаются на ней геометрические задачи: вычисления пло¬
щади квадрата, объема куба, определения стороны квадра¬
та по его площади и ребра куба по его объему.
Вопросы для закрепления и контроля
1.	Где на линейке ставится число и где читаются первые
значащие цифры его квадрата (куба)?
2.	На какой подшкале шкалы квадратов нужно уста¬
новить 400 при извлечении из него квадратного корня;
число 0,004? Где прочесть первую значащую цифру ответа?
3.	Как определить, на какой части шкалы квадратов
следует ставить подкоренное число при извлечении из него
квадратного корня? Привести примеры.
4.	Каким образом определяется положение запятой
квадрата числа; квадратного корня?
5.	На какой части шкалы кубов нужно установить при
извлечении кубического корня число 8000; число 0,8;
число 0,00008?
6.	Каким образом узнают, на какой подшкале шкалы
кубов нужно установить число при извлечении из него
кубического корня? Привести примеры.
7.	Как правильно определить десятичный разряд пер¬
вой значащей цифры корня?
§ 7. Решение на линейке основных вычислительных
геометрических задач
Вычисление площадей многих плоских фигур, поверх¬
ностей и объемов ряда геометрических тел сводится только
к умножению, делению, возведению в квадрат и в куб, т. е.
к действиям, легко и удобно выполняемым на счетной ли¬
нейке. Формулы площадей и объемов большинства основ¬
ных геометрических фигур содержат лишь действия второй
и третьей ступени.
Вычисления по таким формулам целесообразно прово¬
дить, используя различные вспомогательные средства: таб¬
лицы, счетные приборы и машины. Если не требуется боль¬
43

шая точность результатов или исходные данные прибли
женные и имеют два-три верных знака (как это обычно бы
вает при получении их непосредственными измерениями)
то лучшим вычислительным средством будет счетная лога
рифмическая линейка.
Не разбирая простых вычислений на линейке площадь
квадрата, прямоугольника, треугольника, параллелограм
ма, объема куба, ребра куба по его объему, объема прямой
призмы и других аналогичных по сложности задач, рас
смотрим подробнее решение при помощи линейки некото¬
рых более трудных основных вычислительных геометри¬
ческих задач.
Длина окружности, площадь круга, боковая поверх¬
ность и объем цилиндра и конуса вычисляются по извест
ным формулам. Нужные действия легко выполняются нь
линейке.
Вычисления облегчаются наличием на основной шкале
и на шкале квадратов метки л, а также метки С на основ¬
ной шкале и метки М на шкале квадратов.
Метка т: не требует пояснений. Метка С основной
шкалы нанесена для числа I/"-—- и служит для более
удобного вычисления площади круга:
5 = к7?2 = — = (4?, где С= 1/Т.
4	\ С /	Г я
Метка М шкалы квадратов соответствует числу — и
к
служит для вычисления боковой поверхности цилиндра
при помощи одной установки движка:
Р = 2я = л аН = —, где М = —.
М	X
Замечание. На основной шкале нанесена такж<
метка С1 = у/К0Т0Рая помогает находить площад:
круга. Она используется реже. О метках р, р' и р" бу¬
дет сказано в главе V. Они нужны для перехода от градус
ной меры к радианной и обратно.
Длина окружности вычисляется на основной шкале н
с немного большей погрешностью на шкале квадратов уста-
44

ловкой для умножения л на с1. Эту задачу уместно решить
после разбора умножения на линейке. При одной и той же
установке — единица движка совмещена о меткой л па
корпусе — на линейке получается таблица длин окруж¬
ностей. В случае вычисления длины окружности на основ¬
ной шкале для части значений <1 потребуется переброска
движка.
Диаметр окружности по ее длине находится делением
длины окружности на число л.
Так как произведение и частное можно находить и на
шкале квадратов, а для возведения в квадрат требуется
переход от основной шкалы к шкале квадратов, то для вы¬
числения площади круга, объема цилиндра и объема ко¬
нуса целесообразно использовать обе шкалы одновре¬
менно.
Для нахождения площади круга нужно л умножить
на г2- Это делается при помощи шкалы квадратов следую¬
щим образом. Выдвигая движок, его начальную (или ко¬
нечную, если метка г выйдет за пределы шкалы корпуса
линейки) единицу устанавливают против метки л на шка¬
ле квадратов. Этим сделана подготовка к умножению на
шкале квадратов. Квадрат радиуса находят на шкалах
движка: число г при помощи визира ставят на основной
шкале движка и над ним на шкале квадратов (движка!)
получают метку г2; она не читается. Так как установка для
умножения л на г2 на шкале квадратов уже сделана, то
первые значащие цифры результата читаются под визи¬
ром на шкале квадратов корпуса линейки. Запятая в от¬
вете ставится прикидкой.
Итак, для нахождения площади круга нужно единицу
(начальную или конечную) движка совместить с меткой л
на шкале квадратов, набрать г на основной шкале движка
и прочесть результат, т. е. лг2, на шкале квадратов
корпуса. Схематически вычисление площади круга показа¬
на на чертеже 12.
Черт. 12.
45

Примеры. 1) г = 2,6; 5	21,2 кв. ед.; если г
2,6, то 3 % 21 кв. ед:
2) г = 0,745; 3	1,74 кв. ед.
При помощи метки С площадь круга может быть пай*
дена быстрее. Для этого, как говорилось выше, формулу
площади круга берут в такой форме 5 =	. На основ¬
ной шкале <1 делят на С; не читая частного, но фиксируя
визиром, против него на шкале квадратов корпуса читаю?
первые значащие цифр площади круга. Запятая, как обыч¬
но, ставится прикидкой.
Для вычисления объема цилиндра и объема конуса най¬
денную одним из рассмотренных способов площадь круга,
не читая этого промежуточного результата, следует умно¬
жить на шкале квадратов на высоту, а для конуса получен¬
ное произведение еще разделить на три.
Задача. Вычислить объем конуса, если г = 17 ел
и й = 36 см.
Г>	т7 ТГ.172-36
Решение. V =

3
Выдвигая движок вправо,
начальную единицу движка совмещаем с меткой л шка¬
лы квадратов; набираем визиром на основной шкале
движка метку 1—7—0 (мысленно фиксируем площадь
круга на шкале квадратов корпуса); не сбивая бегунка,
подводим под визир начальную единицу движка, что нуж¬
но для умножения площади круга на высоту, и затем наби¬
раем визиром на шкале квадратов движка метку 3—6—0.
Полученное под визиром на корпусе число нужно еще раз¬
делить на три. Для этого, не сбивая визира, подводим под
него метку 3—0—0 шкалы квадратов движка.
Первые значащие цифры ответа 1—0—9 читаем над на
чальной единицей движка на шкале квадратов корпуса
линейки.
Прикидка: V ‘ 202 ' 40 = 16000; ответ V» 10900 см
или, если данные приближенные, о^11 дм3.
Вычисление боковой поверхности цилиндра и конус<
можно проводить как на шкале квадратов, так и на основ
ной шкале. Во втором случае будет больше перебр)
сок движка. В первом — несколько меньшая точность ре
зультата.
Следует предпочесть первый путь, так как перебрось'
движка сведут на нет преимущества в точности результа I а

Если к тому же пользоваться меткой Л4, то для вычисле
ния боковой поверхности цилиндра и конуса потребуется
только одна установка движка. Для этого формулы пло¬
щадей боковых поверхностей этих тел преобразуют к
следующему виду:
Р„ = г. ап =	= — Рк = кг1 =	= —
ц	1 М к	1 м
и вычисления производят на шкале квадратов по «правилу
зигзаг».
Задача. Вычислить боковую поверхность цилинд¬
рического бака диаметром 1,7 м и высотой 3,5 м.
1	7*3 5
Решение. Р = —11— (кв. м). Делим на шкале
М
квадратов 1,7 на М. Для этого, выдвигая движок влево,
совмещаем его метку М с меткой 1—7—0 на корпусе (на
левой или на правой половине шкалы); не читая проме¬
жуточного результата,умножаем его на 3,5. Для этого,
не сбивая движка, набираем визиром на его шкале квадра¬
тов метку 3—5—0 и над ней на шкале квадратов корпу¬
са читаем первые значащие цифры площади поверхнос¬
ти 1—8—6.
Прикидка- Р ^3* 2- 4 = 24.
Ответ: Р 18,6 м2. Если исходные данные были при¬
ближенными. то результат, полученный на линейке, нуж¬
но дополнительно округлить до двух верных знаков: Р
^19 м2.
Решение на основной шкале будет более длинным: Р =
= л- 1,7- 3,5. Умножаем на основной шкале л на 1,7.
Не читая промежуточного результата, но фиксируя визи¬
ром, умножаем его на 3,5. Для этого подводим начальное
деление движка под визир. Так как метка 3—5—0 движка
выходит за пределы шкалы корпуса, требуется переброска
движка. Это можно было предусмотреть и подводить под
визир не начальную единицу а конечную. Набрав затем
на движке метку 3—5—0, читаем под ней на основной шка¬
ле корпуса 1—8—6—5. Используя прикидку, получаем
Р 18,65 м2. Дальше, как и при первом решении, резуль¬
тат округляем до 19 м2
Первый путь вычисления проще и практически дает
тот же результат, что и второй.
47

Замена и и е. Произведения л • 1,7- 3,5 можно най¬
ти на шкале квадратов последовательным умножением и
без помощи метки М.
Быстро и просто решаются на линейке и такие задачи:
1.	Вычислить вес молока в цистерне диаметром 0,95 м
и длиной 2,7 м. Плотность молока 1,03.
2.	Вычислить вес мотка медной проволоки длиной
125 уи, если диаметр поперечного сечения равен 7 мм, а
плотность меди 8,3.
Методические замечания и советы.
Геометрические задачи на вычисление следует решать при
помощи линейки на протяжении всего года, связывая их
решение с повторением старого, изучением нового геомет¬
рического материала и с закреплением вычислительных
навыков на линейке. Прежде всего линейка должна быть
использована для вычислений при решении основных вы¬
числительных геометрических задач.
Изучив умножение на линейке, можно сразу же исполь¬
зовать полученные навыки для вычисления площадей пря¬
моугольника, параллелограмма, треугольников, правиль¬
ных многоугольников, боковой поверхности прямой призмы
и объема прямоугольного параллелепипеда.
Познакомившись с делением на линейке, учащиеся долж¬
ны пользоваться ею для вычисления одного из измерений
фигуры по ее площади и объему и другим известным изме¬
рениям.
Рассмотрев вычисление на линейке значений функции
у — кх, уместно показать, как вычисляется на линейке
длина окружности и находится диаметр окружности по ее
длине.
Возведение в квадрат и в куб должно быть закреплено
вычислением на линейке площади квадрата и объема куба.
После разбора обратных действий рекомендуется поставить
задачи на определение стороны квадрата по его площади
и ребра куба по его объему.
Вычисление боковых поверхностей цилиндра и конуса
может быть увязано с изучением умножения и деления на
шкале квадратов или на основной шкале.
Специального разбора потребует лишь вычисление на
линейке площади круга и объемов цилиндра и конуса.
Этому нужно предпослать повторение возведения в квад¬
рат и изучения умножения и деления на шкале квадра¬
тов.
48

Знакомство с метками С и М следует отнести на послед¬
нюю очередь при наличии свободного времени или на заня¬
тия математического кружка. Вначале будет достаточно,
если учащиеся научатся уверенно вычислять площадь
круга, объемы и боковые поверхности цилиндра и конуса
и без использования этих специальных меток.
Как и при изучении основных операций на линейке,
заучивать правила решения на линейке основных вычис¬
лительных геометрических задач не следует. Эти и другие
задачи должны осознанно решаться при помощи выполне¬
ния основных действий на линейке.
Нужно особенно настаивать на использовании линейки
при вычислении площадей, поверхностей и объемов по
данным, полученным путем непосредственных измерений.
Другие вычислительные средства — таблицы, арифмо¬
метр, счеты — будут давать лишние знаки, создавая ви¬
димость большей точности результата вычислений. Даже
результаты, полученные при помощи линейки, в ряде
случаев придется дополнительно округлять в соответствии
с правилами подсчета цифр.
ГЛАВА II
ОБОСНОВАНИЕ ДЕЙСТВИЙ НА ЛОГАРИФМИЧЕСКОЙ
ЛИНЕЙКЕ В СТАРШИХ КЛАССАХ СРЕДНЕЙ ШКОЛЫ
§ 8. Логарифмическая шкала
Вычисления с табличными значениями логарифмов
можно заменить выполнением соответствующих операций
на логарифмической линейке, в основе которой лежит гео¬
метрическое представление логарифмов при помощи отрез¬
ков прямой. Идея такого изображения логарифмов и гео¬
метрического выполнения действий над ними возникла
почти одновременно с изобретением логарифмов в самом
начале XVII века. Однако ввиду отсутствия должной кон¬
струкции прибора эта идея распространения не получила.
Лишь значительно позже удалось найти удобное сочетание
и расположение логарифмических шкал.
Существенной частью счетного прибора являются лога¬
рифмические шкалы. Логарифмические шкалы могут быть
нанесены различными способами и в различных масштабах.
4 Заказ 97
49

Используем один из них для построения основной шкалы
нормальной 25-сантиметровой линейки. Для удобства
возьмем миллиметровую бумагу. Нанесем на ней отрезок
длиной в 25 см и примем его за единицу. Так как этот от¬
резок будет нужен для геометрического представления
трехзначных мантисс десятичных логарифмов, то его жела¬
тельно разбить на тысячу равных частей. Практически же
удается разбить его лишь на 500 частей с ценой малого де¬
ления —, или 0,002.
500
Взятый нами единичный отрезок штрихами книзу
разобъем сначала через 2,5 см на десять равных частей и
снабдим эти штрихи метками 0, 1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 1.
3-7-0
1	2	3 I 4
Г	Ч 1 'НШДн/’
0 12 3 9 5 6
М(СдЗТ)
5 6 7 0 9 10
-И	11 1 ■ ।1—м
7	5	9	1
Черт. 13..
(На линейках некоторых систем последний штрих имеет
метку 10.) Далее каждая десятая часть через 2,5 мм раз¬
бивается на десять частей и, наконец, каждая сотая через
0,5 мм — еще на пять частей. Для удобства вторые и тре¬
тьи штрихи наносят короче первых.
Таким образом, отрезок, принятый за единицу, разби¬
вается на 500 равных частей с ценою малого деления =
= 0,002.
Затем, пользуясь трехзначной таблицей логарифмов п
полученной равномерной шкалой, откладываем на ней 01
начального деления мантиссы логарифмов чисел, отмеча>
полученные точки шкалы штрихами кверху. Часть штрихе!
снабжаем числовыми отметками.
Например, 1^2	0,301. Для нанесения на шкалу мет
ки 2 (черт. 13) на равномерной шкале следует отложит!
три больших (десятых), нуль средних (сотых) и половин)
малого деления (0,001 =у • 0,002). Тогда отрезок о
начала шкалы до метки 2 будет геометрическим представлс
нием мантиссы логарифма двух.
50

Чтобы получить все деления основной логарифмиче¬
ской шкалы линейки, вначале наносим большие (первые)
ее деления. Для этого, как и в разобранном примере с 1^2,
на равномерной шкале откладываются мантиссы логариф¬
мов чисел 1, 2, 3,..., 9, 10 и полученные штрихи снабжают¬
ся соответствующими числовыми отметками. Последний
штрих иногда обозначают меткой 1. В обоих случаях эта
метка называется конечной единицей.
Для получения средних (вторых) делений аналогичным
образом откладываются мантиссы логарифмов двузначных
чисел, т. е. чисел 11, 12, 13, 14,...., 99. Так, 1§ 37^ 1,568
и для нанесения соответствующей метки нужно отложить
пять больших, шесть средних и четыре малых деления
равномерной шкалы (цена малого деления равномерной
шкалы равна 0,002!). Отрезок шкалы от ее начала до
метки 3—7—0 будет геометрически изображать мантиссу
логарифма 37 (черт. 13).
Было бы желательно таким же образом отложить отрез¬
ки, равные мантиссам логарифмов трехзначных чисел, и
получить на шкале метки, соответствующие таким числам.
Практически же на 25- сантиметровых шкалах это удается
сделать лишь в начале шкалы между метками 1 и 2. Цена
деления здесь равна 0,01 (от единицы разряда первой зна¬
чащей цифры числа). Между метками 2 и 4 основной шкалы
отложены мантиссы логарифмов трехзначных чисел с ин¬
тервалом в две единицы третьей значащей цифры числа,
т. е. для чисел 202, 204, 206, ..., 396, 398. Каждое среднее
деление оказывается разбитым на пять интервалов с ценой
0,02 (от единицы разряда первой значащей цифры числа).
В конце шкалы, от 4 до 10, малых делений только два с
ценой 0,05. Здесь мантиссы логарифмов трехзначных чи¬
сел отложены через пять единиц третьего разряда, т. е.
для чисел 405, 410, 415, ..., 995.
Остальным точкам шкалы, не отмеченным штрихами,
также ставятся в соответствие числа по тому же закону:
расстояние от начала шкалы до точки равно мантиссе ло¬
гарифма числа. Числа, соответствующие этим точкам,
находятся по нанесенным /штрихам интерполированием
на глаз.
Так как мантиссы десятичных логарифмов не изменяют¬
ся от умножения числа на 10^, где п — целое число, то
каждой метке логарифмической шкалы будет соответст¬
вовать не только то число, для которого она была нанесена,
4*
51

но и бесчисленное множество чисел, отличающихся от
него множителем 10” при целом значении п. Например,
метка неравномерной шкалы 3—7—0 отложит от начала
шкалы отрезок, равный мантиссе логарифмов чисел 3,7;
37; 370; 37000; 0,037 и др.
Замечание. Подобную шкалу можно построить
сначала для интервала (1,10), откладывая логарифмы чисел
между 1 и 2 через 0,01; между 2 и 4 через 0,02 и от 4 до 10
через 0,05, а затем распространить на любые числа.
Полученная таким образом двойная шкала и есть л о -
гарифмическая шкала.
Как видно из построения, любой отрезок логарифмиче¬
ской шкалы от ее начала до какой-нибудь ее точки представ¬
ляет геометрически мантиссу логарифмов бесконечного мно¬
жества чисел, отличающихся друг от друга лишь поло¬
жением запятой, т. е. множителем 10” при целом зна¬
чении п.
Численное значение мантиссы логарифмов чисел нахо¬
дится по равномерной шкале. Первые же значащие цифры
числа, т. е. антилогарифма, читаются по делениям нерав¬
номерной шкалы, прибегая при необходимости к интерпо¬
лированию.
Таким образом, построенная двойная шкала представ¬
ляет собой графическую таблицу логарифмов. Каждой
точке шкалы поставлена в соответствие мантисса его лога¬
рифма. Характеристика логарифма, как обычно, находится
в уме в зависимости от положения запятой.
Для удобства вычислений на логарифмической линейке
равномерная шкала отделена от неравномерной. Равно¬
мерная шкала помещена в самом низу лицевой стороны
корпуса линейки — это шкала мантисс. Неравномерная
(основная) шкала нанесена дважды: на корпусе и на движ¬
ке. Это сделано для того, чтобы было удобно производить
нужные действия над отрезками шкалы, т. е. мантиссами
логарифмов компонентов арифметических действий, вы¬
полняемых на линейке.
Чтобы лучше понять конструкцию логарифмической ли¬
нейки и почему она «считает», нужно иметь в виду, что ло¬
гарифмы, и в частности их мантиссы, являются вспомога¬
тельным средством вычислений. Они используются на ли¬
нейке в виде отрезков. Данными и искомыми являются
сами числа. Они то и читаются по меткам неравномерной
шкалы.
62

Методические замечания и советы.
Действия на линейке начинают изучать уже в VIII классе,
Обоснование же этих операций возможно значительно поз¬
же на основе теории логарифмов.
Обоснование действий на линейке следует вести парал¬
лельно с изучением теории логарифмов. Для сознательной:
и прочного усвоения основных операций на линейке, а
затем и для творческого ее использования при вычислениях
в более сложных случаях, учащиеся должны хорошо по¬
нять геометрическое представление логарифмов чисел при
помощи отрезков логарифмической шкалы. Это может быть
достигнуто непосредственным нанесением хотя бы части
делений шкалы на уроке или дома.
После знакомства с таблицей десятичных логарифмов
перед учащимися может быть поставлена задача получения
компактной графической таблицы логарифмов в виде лога¬
рифмической1 шкалы.
Равномерную шкалу учащиеся могут заранее построить
дома на миллиметровой бумаге или же на обыкновенной
бумаге в клеточку. На развернутом листе такой бумаги
нужно взять отрезок длиной в 50 клеточек, что приблизи¬
тельно равно 25 см.
Для демонстрации в классе логарифмическую шкалу
выгодно строить в масштабе: единице соответствует один
метр. Тогда одному миллиметру будет соответствовать
0,001 и шкала строится быстро. Пользуясь четырехзнач¬
ной таблицей логарифмов, округляя мантиссы в уме до
тысячных, учащиеся должны нанести на шкалу все боль¬
шие деления и часть средних делений в начале, середине и
конце шкалы. Остальные средние деления следует рекомен¬
довать нанести дома. Малые деления наносить не следует,
рассказав учащимся, как это при желании может быть
сделано. Желательно привести отдельные примеры построе¬
ния меток для трехзначных чисел в начале, середине и
конце шкалы. Например, для чисел 106,149, 288, 405, 755,
подтверждая сказанное показом на демонстрационной
линейке.
Урок на эту тему может быть проведен в виде лабора¬
торного занятия.
В заключение занятия, опираясь на основное свой¬
ство десятичных логарифмов, следует указать учащимся
на множество значений любой метки логарифмической шка¬
лы. Учащиеся уже с VIII класса имели <зцыт чтения меток
53

независимо от положения в числе запятой. Теперь этот
факт утверждается основным свойством десятичных лога¬
рифмов, что уже использовалось при изучении таблиц
десятичных логарифмов.
При объяснении построения логарифмической .шкалы
учитель может пойти по другому пути, используя уравне¬
ние шкалы у — где Е — модуль шкалы, а также
может показать, как она получается из графика логарифми¬
ческой функции.
Вопросы для закрепления и контроля
1.	Каким образом наносится на логарифмическую шка¬
лу любая ее метка?
2.	Какова цена малого деления на разных участках ос¬
новной шкалы 25-сантиметровой линейки? Как понимать
цену деления?
3.	Что изображает отрезок логарифмической шкалы от
начала до какой-нибудь ее точки?
4.	Почему одной и той же точке логарифмической шка¬
лы соответствует бесчисленное множество чисел?
5.	Где на двойной шкале и на линейке можно прочесть
первые три знака мантиссы логарифма числа?
6.	Где на линейке расположена равномерная шкала?
Почему она называется шкалой мантисс?
7.	Какова цена деления шкалы мантисс?
8.	Где на линейке расположена основная шкала? Поче¬
му она называется логарифмической? Что читается по мет¬
кам этой шкалы?
§ 9. Графическая таблица логарифмов.
Логарифмирование и потенцирование на линейке
Из построения основной логарифмической шкалы ли¬
нейки следует, что она в сочетании с равномерной шка¬
лой дает трехзначную таблицу десятичных логарифмов,
а значит — ею можно пользоваться для логарифмирования
и потенцирования
Для получения мантиссы логарифма какого-нибудь по¬
ложительного числа это число, не обращая внимания на
запятую как и при работе с таблицами логарифмов,
нужно поставить на основной шкале линейки. Этим
самым будет отложен отрезок, равный искомой ман¬
тиссе. Для получения численного значения мантиссы най¬
54

денный отрезок следует измерить в принятом масштабе.
Для этого его нужно «приложить» к равномерной шкале,
что и делается при помощи визира бегунка.
Для решения обратной задачи, т. е. при потенцирова¬
нии, действия выполняются в обратном порядке. При
помощи визира бегунка мантисса логарифма искомого
числа откладывается на шкале мантисс; первые значащие
цифры числа (антилогарифма) читаются по метке под визи¬
ром на основной шкале. Десятичная запятая в числе ста¬
вится, как и в случае таблиц логарифмов, по характерис¬
тике.
Примеры.
1)	4,3 «0,634; х«0,634; хх 4,3;
16	430 «2,634;	1б%« 2,634; х = 430;
16	0,0043 «3,643; 1б*« 3,643; х« 0,0043.
2)	Вычислить: ^25,7.
Решение. 1б V25,7 = 1е2^’-.
Находим на линейке: 16 25,7 « 1,410. Делим в уме:
1,410 : 4 « 0,370. Значащие цифры искомого числа находим
потенцированием на линейке 2—3—4. Положение запятой
определяется прикидкой. Ответ |/25,7«2,34.
3)	Решить уравнения. 10* = 7,4;
10* = 0,7;
16 х = 1,358.
Методические замечания и советы.
Логарифмирование и потенцирование по линейке будет
хорошим средством закрепления четкого представления о
геометрическом изображении мантисс логарифмов при
помощи отрезков прямой, при этом будут повторяться и
проверяться навыки установки и чтения чисел на основной
шкале линейки. Эти операции на линейке могут пригодить¬
ся для решения ряда задач. Например, для нахождения
корней степени больше трех, при решении показательных
и логарифмических уравнений и др.
Если линейка изучается впервые или основательно за¬
быта, то на материале логарифмирования и потенцирова¬
ния целесообразно и удобно учиться правильно ставить и
читать числа на основной шкале. Первые задачи на лога¬
рифмирование и потенцирование при помощи линейки
55

нужно ставить так: найти на линейке и проверить по таб¬
лицам логарифмов. Такой контроль позволит быстрее
научиться хорошо и безошибочно читать метки логарифми¬
ческой шкалы. Одновременно будут закрепляться навыки
работы с таблицами логарифмов.
Урок на логарифмирование и потенцирование на ли¬
нейке должен следовать за ознакомлением с таблицами
десятичных логарифмов и с логарифмированием и потенци¬
рованием по таблицам. Если учащимся было достаточно
подробно объяснено построение логарифмической шкалы,
то они сами без помощи учебника и учителя легко сообра¬
зят, как выполняется логарифмирование и потенцирова¬
ние на линейке. В случае необходимости их можно к этому
подвести с помощью таких вопросов:
1)	Каким образом строится логарифмическая шкала?
2)	Каким образом была нанесена на основную шкалу
какая-нибудь ее метка?
3)	Какова роль равномерной шкалы при построении ло¬
гарифмической шкалы?
4)	Что изображает отрезок логарифмической шкалы
от ее начала до какой-нибудь метки?
5)	Как, пользуясь шкалами линейки, найти мантиссу
логарифма числа? Привести примеры.
6)	Как, зная логарифм, найти на линейке первые зна¬
чащие цифры числа? Привести примеры.
Вопросы для закрепления и контроля
1.	Как при помощи линейки найти логарифм какого-
нибудь числа, например числа 5?
2.	На какой шкале ставится число при логарифмирова¬
нии? Где читается мантисса его логарифма? Как находится
характеристика логарифма?
3.	Как найти при помощи линейки число по его лога¬
рифму? Как решить на линейке логарифмическое уравне¬
ние = а, например = 1,472?
§ 10. Обоснование умножения на линейке
Как и при вычислении произведения по таблицам лога¬
рифмов, исходной является теорема о логарифме произве¬
дения:
1§ аЬ = а +д.
Б6

Для краткости записей обозначим характеристику ло¬
гарифма числа а символом X (1§ а) и мантиссу — Л4(1§а).
Читается так: характеристика логарифма а и мантисса
логарифма а.
Тогда (аЬ) = а +Ь = [X (1§ а) + М (1§ а)]
+ [X (18 Ь) + М (1ё 6)] = [X (1б а) + X (1§ 6)] 4-
4-[Л1(1§а)+Л1(1ед)].
Характеристики логарифмов сомножителей могут быть
сложены в уме. Этот результат понадобится для определе¬
ния положения запятой в произведении. Для получения
же первых значащих цифр произведения достаточно най¬
ти мантиссу его логарифма.
Возникает задача нахождения при помощи линейки
суммы мантисс логарифмов сомножителей и затем потен¬
цирования, что является целью вычисления, так как вы¬
числителя интересует несколько первых значащих цифр
произведения.
Наличие на линейке одинаковых логарифмических шкал
на корпусе и на движке, а также возможность смещения
шкал движка относительно корпуса позволяют выполнить
сложение мантисс логарифмов сомножителей геометриче¬
ски. Численное значение мантиссы логарифма произ¬
ведения в силу конструкции прибора оказывается
ненужным. Линейка обеспечивает возможность потенциро¬
вания по геометрическому представлению мантиссы лога¬
рифма произведения. Для этого достаточно прочесть метку
логарифмической шкалы в конце отрезка, изображающего
мантиссу логарифма произведения.
При сложении мантисс логарифмов сомножителей встре¬
чаются два случая: сумма может оказаться меньше еди¬
ницы и больше или равна единице:
ЛН1 м = (М0ёа)4-Л1(1§д), если 2И(1еа) + Л1(1е6) < 1;
* й | М. (1§ а)-\-М (1§ Ь)— 1, если М (1§ а)-\-М (1§ &)> 1.
1 случай. Ж(1§а)-|-Л1(12б)< 1 (черт. 14).
Как известно из первой главы, при умножении чисел
нужно один из сомножителей поставить на основной шкале
корпуса линейки; к этой метке подвести начальное деление
движка и на его основной шкале при помощи визира бегун¬
ка отложить второй множитель. Этим геометрически осу¬
ществляется сложение мантисс логарифмов сомножителей.
57

Если метка второго сомножителя не выйдет за пределы
шкалы корпуса, то полученный отрезок будет меньше еди¬
ницы (длина шкалы равна единице!); он и будет геометри¬
ческим изображением мантиссы логарифма произведения.
Первые значащие1 II цифры произведения читаются под визи¬
ром на основной шкале корпуса, что следует из самой
идеи логарифмической шкалы, метки которой есть антило¬
гарифмы.
Н11до) I МЦдб! В	Ю
1 0 н11да)?7ТцдВ)=М(1дав) °6	'р/|
Черт. 14.
В отличие от вычислений при помощи таблиц логариф¬
мов знание численного значения мантиссы произведения,
т. е обращение к шкале мантисс, оказывается ненужным.
В этом и заключается основное преимущество линейки по
сравнению с таблицами логарифмов.
Положение запятой в произведении определяется
методом прикидки или же, как и при вычислениях с
таблицами логарифмов, при помощи характеристик. Ха¬
рактеристика логарифма произведения в рассматриваемом
первом случае, очевидно, равна сумме характеристик лога¬
рифмов сомножителей, т. е.
Х(1§а&) = Х(\§а) +Х(1е&).
См. примеры в первой главе, § 2.
Замечание. Для краткости в дальнейшем будем
вместо характеристики логарифма числа говорить характе¬
ристика числа.
II случай. М(1§а) 4-Л1(1е Ь) > 1 (черт. 15).
^0)| г	М(1дЦ
1°,	°	1аЛй71ппВ)
И Ида} +М(1$б}=1+М(СдаВ}
Черт. 15.
Сумма мантисс логарифмов сомножителей может ока¬
заться больше единицы. Это будет тогда, когда метка Ь
второго множителя, набранная на основной шкале движка,
58

выйдет за пределы шкалы корпуса вправо. Для получе¬
ния мантиссы произведения от полученной суммы нужно
отнять единицу и прибавить ее к сумме характеристик сом¬
ножителей. Мантиссой логарифма произведения будет
остаток: М (1§а&) = Л4(1§а) 4-М(1§0 — 1.
Так как длина основной шкалы равна единице, то на
линейке мантиссой логарифма произведения будет отрезок
основной шкалы движка от конца шкалы корпуса до мет¬
ки 6, т. е. отрезок СО (черт. 16). Чтобы иметь возможность
Черт. 16.
потенцированием найти первые значащие цифры произве¬
дения, его нужно отложить от начала основной шкалы
корпуса. Это осуществляется сдвигом (переброской) движ¬
ка на единицу влево.
В силу равенства отрезков АВ и СЕ при совмещении
конца основной шкалы движка, т. е. точки Е, с меткой а
на корпусе, т. е. с точкой В, отрезок СО, представляющий
геометрически Л4(1§ ЬЬ), отложится от начала основной
шкалы корпуса, что и нужно для потенцирования. Пере¬
броска движка обоснована.
Теперь первые значащие цифры произведения читаются
под меткой Ь на основной шкале корпуса линейки. Запятая
и здесь ставится прикидкой или же по правилу: Х(\&аЬ) =
= Х(1§а) + Х(1§ 6) + 1, так как к сумме характе¬
ристик логарифмов сомножителей прибавляется еще еди¬
ница от суммы мантисс.
Таким образом, если при умножении метка Ь движка
выйдет вправо за пределы шкалы корпуса, нужно конеч¬
ное деление движка совместить с меткой а на основной
шкале корпуса, затем при помощи визира набрать на
основной шкале движка число Ь и под визиром на основной
шкале корпуса прочесть первые значащие цифры произве¬
дения.
59

Примеры. I случай: 2- 4 = 8; 0,00125 - 0,434%
%0,000544.
II случай; 2-8=16; 612 - 0,0288%
%1,75.
Замечание. Случай Л4(1§а) + Л1(1§6) = 1 не пред¬
ставляет интереса, так как произведение равно целой сте¬
пени десяти и находится прикидкой или по характеристи¬
ке произведения: Х(1§а) 4-Х(1§&)	1.
Таким образом, чтобы перемножить два числа при по¬
мощи основной шкалы линейки, нужно, не обращая внима¬
ния на запятые, поставить один множитель на корпу¬
се, подвести к нему начальную или конечную (если
второй множитель выйдет за пределы шкалы корпуса) еди¬
ницу движка и на нем набрать второй множитель. Первые
значащие цифры произведения читаются на шкале корпуса
под множителем движка. Запятая в произведении ставится
прикидкой или при помощи характеристик по правилу:
Х(1во4)-(Х(1в‘,> + Х<1е''>:
(X (1§ а) X (1§ Ь) 1, если движок выдвинут
влево, т. е. при умножении характеристики складывают¬
ся и в случае левого вылета движка к сумме нужно еще
прибавить единицу.
При умножении на шкале квадратов первый случай не
представляет интереса. Второй случай получается тогда,
когда метка Ъ второго множителя на движке окажется в
правой половине шкалы квадратов. Переброски движка
не потребуется. Как легко сообразить, в этом случае ман¬
тиссой логарифма произведения будет отрезок шкалы квад¬
ратов движка от метки 10 на шкале квадратов корпуса до
метки Ь на шкале квадратов движка. Этот отрезок окажет¬
ся отложенным от начала правой половины шкалы квадра¬
тов корпуса, что нужно для потенцирования. Следовательно,
первые значащие цифры произведения читаем над меткой
Ь движка на шкале квадратов корпуса линейки.
Для шкалы квадратов:
У ,. ,. _ (X (1§ а) -|- X (1§ Ь), если аЬ в левой поло-
л ”2 “7 ~ I	вине шкалы квадратов
(Х(1ёа)4-Х(1б&)4-1, если произведение
аЬ, в правой половине
или посредине шкалы квадратов.
О технике умножения на основной шкале и шкале квад¬
60

ратов было достаточно сказано в первой главе, к которой
и отсылаем читателя.
Методические замечания и советы.
Формальные навыки умножения на линейке должны быть
известны учащимся начиная с VIII класса. Это обстоятель¬
ство значительно облегчит задачу обоснования умножения
чисел на линейке. Для учащихся, обучающихся по старому
учебному плану и программе, обоснование действий на
линейке должно непосредственно предшествовать обуче¬
нию технике вычислений на ней.
Обоснование умножения на линейке должно во време¬
ни следовать за вычислением произведения при помощи
таблиц логарифмов. Повторив умножение по таблицам
логарифмов и напомнив учащимся, как на линейке выпол¬
няется логарифмирование и потенцирование, можно рас¬
считывать на обоснование правила умножения при помо¬
щи линейки самими учащимися. Если учащиеся сами за¬
трудняются это сделать, можно помочь им, предложив ряд
вопросов, например, таких:
1)	Как при помощи логарифмов найти произведение
двух чисел?
2)	Каким образом откладываются на линейке отрезки,
равные мантиссам логарифмов чисел?
3)	Как при помощи одинаковых шкал на корпусе и
движке осуществить геометрическое сложение мантисс
логарифмов сомножителей?
4)	На какой шкале при необходимости можно было бы
прочесть мантиссу логарифма произведения? Нужна ли
она? Является ли она искомой величиной?
5)	Что нужно сделать, чтобы по мантиссе произведения
(числа) найти несколько значащих цифр самого произведе¬
ния (числа)?
6)	Нельзя ли сразу на линейке найти несколько первых
значащих цифр произведения?
7)	Как в конечном результате найти положение
запятой?
8)	Какой отрезок будет представлять мантиссу лога¬
рифма произведения, когда метка множителя выйдет за
пределы линейки? Как его отложить от начала шкалы, что¬
бы и в этом случае можно было потенцированием найти
первые значащие цифры произведения?
Последний' вопрос труден. Потребуется помощь учите¬
ля. Сначала следует обстоятельно разобрать первый случай
61

умножения на линейке и только после этого показать уста¬
новку для умножения, требующую переброски движка.
На схемах-чертежах и на демонстрационной линейке
учащиеся должны хорошо уяснить, что происходит на каж¬
дом этапе рассматриваемой операции:
1.	При установке на основной шкале корпуса линейки
числа а на ней откладывается мантисса логарифма этого
числа.
2.	Когда начальное деление движка совмещается с чис¬
лом а и на основной шкале движка откладывается число
Ь, происходит сложение мантисс их логарифмов.
3.	Так как длина основной шкалы равна единице, то,
когда метка Ь шкалы движка не вышла за пределы линейки
(I случай), сумма мантисс сомножителей меньше единицы
и получившийся на корпусе отрезок основной шкалы есть
мантисса произведения. Если же метка Ь вышла за пределы
шкалы корпуса линейки (II случай), то сумма мантисс ока¬
залась больше единицы, и для получения мантиссы про¬
изведения от нее нужно отнять единицу, что и достигается
переброской движка; эта единица должна быть прибавле¬
на к сумме характеристик сомножителей.
4.	Когда на корпусе читаются первые значащие цифры
произведения и ставится десятичная запятая, происходит
потенцирование, т. е. нахождение числа по его мантиссе.
Так каждый шаг работы с линейкой должен быть оправ¬
дан и обоснован тесной связью с логарифмами.
Хотя во многих случаях достаточно одной прикидки,
чтобы правильно определить десятичный разряд первой
значащей цифры произведения, а значит и величину про¬
изведения, все же следует дать учащимся правило для опре¬
деления порядка произведения,’ полученного 'на линейке.
Пользуясь прикидкой, учащиеся делают много ошибок.
Их можно исключить, дав учащимся, помимо прикидки,
дублирующее правило. Одновременное использование при¬
кидки и такого правила будет хорошим приемом проверки
правильности определения порядка результата, получен¬
ного на линейке.
Многие пособия по логарифмической линейке для этой
цели вводят понятие порядка числа, понимая под поряд¬
ком числа: а) число цифр, стоящих до запятой, если само
число больше единицы; б) нуль, если первая значащая
цифра числа имеет разряд десятых; в) отрицательное целое
число, равное числу нулей между запятой и первой знача¬
62

щей цифрой числа, если число правильная дробь, меньшая
одной десятой.
Например: П(34,8)=2; Щ0,75)=0; 11(0,00049)-—3. (За¬
метим, что порядок числа на единицу больше характери¬
стики его логарифма.) Затем выводят или дают без доказа¬
тельства правила для нахождения порядка результата
операций на линейке в зависимости от порядков компонен¬
тов и выполненных действий.
Однако на прочное усвоение этих правил затрачивается
много времени и труда. Кроме того, введение понятия по¬
рядка и связанных с ним правил вычислений на линейке
в школьных условиях лишь вызовет путаницу у уча¬
щихся, и, следовательно, множество ошибок. В самом деле,
пока учащиеся вычисляют при помощи таблиц логарифмов,
они пользуются характеристикой логарифма числа. Пере¬
ходя же к логарифмической линейке, нужно переключать¬
ся на понятие порядка. Это не может не вызывать затруд¬
нений.
В старших классах средней школы для определения по¬
ложения запятой целесообразнее дать правила, основан¬
ные на понятии характеристики логарифма числа
(см. стр 60 ). Эти правила просты и хорошо запоминают¬
ся. Доказательства их естественно примыкают к обоснова
нию операций на линейке при помощи теории логарифмов.
Опыт работы по изучению логарифмической линейки в
старших классах средней школы показывает, что одним
методом прикидки ограничиваться нельзя. В этом случае
учащиеся делают ошибки в определении положения запя¬
той. Их значительно меньше, когда учащиеся располагают
двумя методами: методом прикидки и правилами определе¬
ния положения запятой при помощи характеристик.
Вопросы для закрепления и контроля
1.	Как при умножении устанавливаются на линейке
множители?
2.	На каком свойстве логарифмов основывается уста¬
новка чисел для умножения на линейке?
3.	Каким образом осуществляется на линейке сложение
мантисс логарифмов сомножителей? Сколько и какие при
этом могут быть случаи?
4.	Почему и для чего нужно сделать переброску движ¬
ка, когда метка множителя на движке выйдет за пределы
шкалы корпуса? Какой отрезок в этом случае будет изобра-
63

жать мантиссу логарифма произведения? Где его нужно
отложить для того, чтобы иметь возможность потенциро¬
вать?
5.	Где читаются при умножении на линейке первые зна¬
чащие цифры произведения? Почему эти знаки будут соот¬
ветствовать произведению?
§ 11. Обоснование деления на линейке
Известно, что =1йа—	=	+ М(1ба)]—
ь
-[X (1е Ь) + М (1е 6)] = [X (1б а - X 18 6)] + \М (16 а) -
-Л4(1б6)].
Характеристика логарифа частного может быть получена
в уме. Она понадобится для определения положения запя¬
той в частном.
Для получения на линейке нескольких первых знача¬
щих цифр частного, как и при вычислениях с таблицами
логарифмов, достаточно найти положительную мантиссу
его логарифма.
Возможны два случая: I. М (1§ а) > М (1§ Ь), тогда
М (16 а) - М (16 Ь) > 0;
II. А/(1ба) < Л/(1б6), тогда Л/(1ба) — Л/(1б6)<0.
Вычитание мантисс логарифмов делимого и делителя
на логарифмической линейке выполняется геометрически.
ГТ мПуй V	/о]
	г-	и
’	XI	0	10
	Ц

М(1да1
Черт. 17.
I случай. Как известно из первой главы, при деле¬
нии на линейке делимое а устанавливается на основной
шкале корпуса при помощи визира бегунка; к нему, вы¬
двигая движок, подводится метка делителя Ь, взятая на
основной шкале движка, так, чтобы метки а и Ь совмести¬
лись. Как видно из чертежа 17, этим самым из мантиссы
логарифма делимого геометрически вычитается мантисса
логарифма делителя. Так как М(1ба) >М(1б6), то их раз¬
ность положительна и равна Л/(1§—). Она оказывается от-
ь
64

ложенной от начального деления основной шкалы корпу¬
са, что и нужно для потенцирования. Тогда первые знача¬
щие цифры частного читают на основной шкале корпуса
под начальным делением (единицей) движка, так как по¬
тенцирование по логарифмической шкале сводится к чте¬
нию ее метки с последующим определением положения
запятой. Запятая в частном ставится прикидкой или по
характеристике частного, которая, очевидно, в рассматри¬
ваемом случае равна разности характеристик делимого и
делителя:
Х(1&—) =Х(\&а) — Х(1§&), если движок выдвинут вправо.
ь
В отличие от нахождения частного по таблицам логариф¬
мов численные значения мантисс логарифмов делимого,
делителя и частного не понадобились. Нужные действия
над ними на линейке выполняются геометрически.
II случай. М(1^) <Л4(1§&). Отрезок логарифми¬
ческой шкалы, представляющий мантиссу логарифма де¬
лимого, меньше отрезка логарифмической шкалы, пред¬
ставляющий мантиссу логарифма делителя. Установив
делимое а и делитель Ь так, как и в первом случае, заме¬
чаем, что начальная метка на основной шкале движка
выйдет влево за пределы шкалы корпуса линейки. Так,
например, будет при делении 24 на 4.
Разность отрезков логарифмических шкал корпуса и
движка, т. е. разность Л4(1§а) — Л4(12&), оказывается от¬
рицательной (черт. 18).


~ ' - •   -у—	1 ।	- у ■ -" ■ д	*Д
м(1 да)-нпдв) I ,0 "((-9^	$

ПЦ91)=Н(сда)-М(Сд6)+1
Черт. 18.
Так как потенцировать нельзя, то, как и при вычисле¬
ниях с таблицами логарифмов, чтобы получить положи¬
тельную мантиссу логарифма частного, к получившейся
отрицательной разности мантисс делимого и делителя
нужно прибавить единицу и одновременно отнять единицу
от разности характеристик:
4-[Л1(1еа)-Л1(1б&)+П.
5 Заказ 97

При вычитании на линейке получается отрезок ВА < О
(черт. 18), который будет геометрическим представлением
разности Л4 (1§ а) — М (1§ &); прибавление к нему отрезка АС,
т. е. единицы (длина основной шкалы равна единице!),
даст положительный отрезок ВС, который и будет поло¬
жительной М	. Положительная мантисса лога¬
рифма частного при рассматриваемой установке на ли¬
нейке получается отложенной от начала основной шкалы
корпуса, что и нужно для потенцирования. Следовательно,
первые значащие цифры частного нужно читать на ос¬
новной шкале корпуса против конца (метки 10) шкалы
движка.
Запятая в частном ставится прикидкой или же по ха¬
рактеристике частного Х( 1§— ) = Х(1§а) — X (1§ Ь)— 1,
если движок выдвинут влево.
Таким образом, чтобы разделить одно число на другое
при помощи линейки, нужно, не обращая внимания на
запятые, делимое поставить на основной шкале корпуса,
а делитель — на основной шкале движка и, выдвигая
движок, совместить эти метки. Первые значащие циф¬
ры частного читают на основной шкале корпуса под тем
концевым делением движка, которое находится в пределах
шкалы корпуса. Запятая в частном ставится прикидкой
или же при помощи характеристик по правилу:
хА «К Х(1ёа)-Х(1бд);
\ $ Ь / 1 X (1§ а)— X (1§ Ь) — 1, если движок выдвинут
влево, т. е. при делении характеристики вычитаются и
в случае левого вылета движка от результата нужно
еще отнять единицу.
Замечание. Случай Л4(1§а) = 7И(1§&) не представ¬
ляет интереса. Частное в этом случае будет иметь вид
10л и находится в уме.
Примеры. 8:2 = 4; 27 : 3 = 9; 0,0183 : 0,415 ж
^0,0442.
При комбинированном умножении и делении на линей¬
ке (гл. I, § 5), например при вычислении значения дроби с
несколькими множителями в числителе и в знаменателе,
полезно в дополнение к прикидке помнить следующее пра¬
вило для определения характеристики результата, которое
может быть названо правилом левого вылета
движка:
66

Каждый левый вылет движка при умножении прибавляет
единицу к сумме характеристик сомножителей и при деле¬
нии вычитает единицу от разности характеристик дели¬
мого и делителя.
Методические замечания и советы.
При обосновании деления затруднение может вызвать
лишь второй случай. Если учащиеся умеют находить част¬
ное по таблицам логарифмов (к обоснованию деления
на линейке следует приступить после ознакомления с ре¬
шением этой задачи при помощи таблиц логарифмов), то
они смогут сами при помощи логарифмов объяснить и
обосновать каждый шаг деления на линейке.
В случае необходимости их можно подвести к этому
при помощи таких вопров:
1)	Как с помощью логарифмов найти частное двух чисел?
2)	Как на линейке отложить отрезок, равный мантиссе
логарифма числа?
3)	Где на линейке выгодно отложить Л4(1§а) и
чтобы смещением движка найти их разность? Какой отре¬
зок основной шкалы корпуса будет при этом геометриче¬
ски представлять М
4)	Какое выполняется действие над мантиссами лога¬
рифмов делимого и делителя при совмещении метки дели¬
мого на корпусе с меткой делителя на движке?
5)Где и почему можно прочесть первые значащие циф¬
ры частного?
6)	Как определить положение запятой в частном?
Ответы на вопросы иллюстрируются схемой-чертежом
и на демонстрационной линейке.
Второй более трудный для . объяснения случай деле¬
ния учителю придется разобрать самому. Замечания от¬
носительно целесообразности определения положения
запятой, помимо прикидки, также и при помощи ха¬
рактеристик, сделанное в связи с разбором умноже¬
ния, целиком относится и к определению величины част-
Кого.
Вопросы для закрепления и контроля
1.	Как устанавливаются делимое и делитель при деле¬
нии на линейке?
2.	Что представляют при этом соответствующие отрезки
основной шкалы?
5е	67

3.	Какое действие и над какими величинами оно выпол¬
няется при совмещении метки делимого на корпусе с мет¬
кой делителя на движке?
4.	Где читаются первые значащие цифры частного?
5.	Почему, если начальное деление движка выйдет (вле¬
во) за пределы шкалы корпуса, частное можно прочесть
на основной шкале копуса под конечным делением движка?
6.	Чему равна характеристика логарифма частного?
В каком случае и почему от разности характеристик дели¬
мого и делителя нужно еще отнять единицу?
§ 12. Шкала обратных значений
Посредине движка нанесена шкала обратных значений,
иначе называемая обратной шкалой. Это также лога¬
рифмическая шкала, построенная в масштабе основной
шкалы. Только в отличие от основной шкалы ее деления
нанесены справа налево (черт. 19).
Ю 9 8 7 б	5	4	3	2	1
।—।—к—।—।	1	1	।	1	'			*
М(1дЬ)
Черт. 19.
Отрезок шкалы обратных значений, отложенный от
правого конца до какой-нибудь ее метки х, есть геометри¬
ческое представление мантиссы десятичного логарифма
числа х, т. е. 7И(1§х). На чертеже 19 показана М(1§ 4).
Так как для получения при помощи логарифмов первых
значащих цифр произведения и частного нужны Л4(1^6) и
К0Т0Рые нах°Дятся на линейке сложением и
вычитанием соответствующих отрезков шкал линейки,
представляющих Л4(1йа) и Л4(1§6), то шкала обратных
значений также может быть использована для умножения
и деления, а значит, и для решения задач, требующих
выполнения этих действий.
При умножении мантиссы логарифмов сомножителей
складываются. При помощи обратной шкалы это может
быть сделано так.
Визиром бегунка множимое а устанавливается на ос¬
новной шкале корпуса линейки; выдвигая движок, к этой
метке основной шкалы подводится метка второго множи¬
68

теля Ь, взятая на обратной шкале. Иначе, множитель а
на основной шкале совмещается с множителем Ь на обрат¬
ной шкале (как при делении на основной шкале). При
этом отрезки, изображающие мантиссы логарифмов сомно¬
жителей, складываются (черт. 20). Первые значащие циф-
I случай
ГЦ1да) + М(1дв) =М((.дав)
ГЦ1дсЛ+гцсд в)-1	(1д об)
И случаи
Черт. 20.
ры произведения а • Ь читаются на основной шкале корпу¬
са линейки под тем концом движка, который окажется в
пределах основной шкалы (как при делении на основной
шкале).
Положение знака дробности в ответе определяется, как
обычно, прикидкой. При желании может быть выведено
специальное правило для подсчета характеристики произ¬
ведения, что читатель сделает самостоятельно.
Справедливость умножения при помощи обратной шка¬
лы вытекает из геометрического представления мантисс
логарифмов сомножителей отрезками основной и обрат¬
ной шкалы и их сложения смещением движка (черт. 20).
Здесь также возможны два случая.
I с л у ч а й. М(1^) + Л4(1^&) < 1.
II случай. М(1^) + М> 1.
Единица, полученная при сложении мантисс во втором
случае, прибавляется к сумме характеристик логарифмов
сомножителей, что должно быть учтено при определении
значности произведения.
При делении мантиссы логарифмов компонентов вычи¬
таются. Это может быть выполнено при помощи обратной
шкалы следующим образом.
Делимое а набирается на основной шкале корпуса ли¬
нейки; к нему, выдвигая движок, подводится начальное
(конечное) деление обратной шкалы. Затем при помощи
69

визира бегунка на обратной шкале отмечается второй мно¬
житель Ь. Первые значащие цифры частного— читаются
ь
на основной шкале корпуса линейки под меткой Ь обратной
шкалы (как при умножении на основной шкале) (черт. 21).
При делении возможны два случая:
I случай. Л4(12а) — М(1§6) > 0.
/случай
II случай
Ю 6	~ Т|
* мЪда) о
(цвКО
| ю 6’ ~	Г|
М(1д%)=М(1.да)-Щ1дв)*1
П случай
Черт. 21.
II случай. Л4(1§а) — Л4(1§&) <0.
Для получения положительной мантиссы логарифма
частного во втором случае к разности мантисс логарифмов
делимого и делителя нужно прибавить единицу, что до¬
стигается переброской движка. В этом случае от разности
характеристик а и Ь нужно отнять единицу, что и учиты¬
вается при определении порядка частного.
Правило умножения и деления на обратной шкале сле¬
дует восстанавливать в памяти на простых примерах типа
2-3 и 8 : 2.
Полезно запомнить, что установка и чтение компонен¬
тов при умножении (делении) на обратной шкале такая же,
как и при делении (умножении) на основной шкале, т. е.
при умножении и делении на обратной шкале установка
такая, как при выполнении обратного действия на основной
шкале.
Нужно быть внимательным при отсчетах на обратной
шкале. Деления на ней идут справа налево!
70

Легко заметить, что при нормальном положении движ¬
ка, т. е. при совпадении концевых меток основной шкалы
и шкалы обратных значений, произведение противостоя¬
щих чисел равно единице соответствующего разряда.
В частном случае я* Ь — 1, или и = что оправдывает
название средней шкалы движка, как шкалы обратных
значений.
§ 13. Обоснование возведения в квадрат,
в куб и извлечения квадратных
и кубических корней
Как известно из первой главы, на линейке нанесены
шкалы квадратов и кубов. Это тоже логарифмические
шкалы, нанесенные в масштабах, в два и три раза мень¬
ших масштаба основной шкалы. Будучи логарифмически¬
ми шкалами, шкалы квадратов и кубов могут быть построе¬
ны по таблице логарифмов, как и основная шкала. Едини¬
ца для шкалы квадратов равна половине, а для шкалы
кубов — одной трети длины основной шкалы. Потому
на шкале квадратов две, а на шкале кубов три одинаковые
подшкалы.
Для геометрического представления мантиссы логариф¬
ма произвольного числа можно воспользоваться любой
из двух (трех) одинаковых подшкал шкалы квадратов (ку¬
бов), откладывая ее от начала соответствующей половины
(трети) шкалы квадратов (кубов).
Покажем, как это было известно из первой главы без
доказательства, почему против числа, поставленного на
основной шкале, на шкале квадратов можно прочесть первые
значащие цифры его квадрата, а на шкале кубов— первые
значащие цифры его куба.
По теореме о логарифме степени 1§я2	21§а. Представ¬
ляя логарифм числа а в виде суммы характеристики и ман¬
тиссы, получим:
16 а2 = 2 [X (1§ а) + М (1§ а)] = 2Х (1§ а) + 2М (1§ а).
Для нахождения значащих цифр числа аг нужна ман-
Тисса его логарифма. Возможны два случая:
ЛН1йа2) = /2Л/(1еа)’ если 2М(1ба)<1;
\2М(1§а) — 1. если 2М(1ёа)> 1.
71

Соответственно:
Х(1ба2) =
2Х(1еа);
2Х(1ёа)+1.
При вычислении на линейке, взяв на основной шкале
метку числа а, получаем на ней отрезок АВ, представляю¬
щий Л1(1§а). Переходя при помощи визира на шкалу квад¬
ратов, получаем геометрически равный ему отрезок А'В'.
Возможны два случая: 1) метка В' будет в левой половине
шкалы квадратов; 2) метка В' окажется в правой половине
или посредине шкалы квадратов (черт. 22).
д' РНИда^мЦдо1)
(	-	■	—г

'	^(да/	0	10
/	■	}а
А	В
	2над а)	С в'
,	М(1да)
Г	~	-Д—
А	В
Черт. 22.
Отрезок А'В’ шкалы квадратов измеряется в масштабе,
равном половине масштаба основной шкалы. В силу этого
его длина, т. е. численное значение, оказывается в два ра¬
за больше, чем численное значение отрезка АВ, Таким об¬
разом, длина отрезка А'В' равна 2Л4(1§я).
В первом случае длина отрезка А 'В' <1,т. е. (2Л4(1§а)<1
Тогда 2Л4(1§а) = Л4(1§а2) (см. стр. 71)и, следовательно, от¬
резок А'В' геометрически представляет мантиссу логариф¬
ма числа а2. Он отложен от начала логарифмической
шкалы (шкалы квадратов). Следовательно, потенцируя,
первые значащие цифры квадрата числа а читают на
шкале квадратов по метке точки В'.
Во втором случае (2714(1^) > 1) для получения геомет¬
рического представления мантиссы логарифма а2 от отрез¬
ка А'В' нужно отнять единицу, т. е. отрезок А’С'. Полу¬
чится отрезок С'В’. Он оказывается отложенным от начала
правой половины шкалы, что достаточно для потенцирова¬
ния. Первые значащие цифры а2 читают по метке точки В
Замечание. При 2Л4(1§а) = 1 длина отрезка С'В',
т. е. Л4(]§<22), будет равна нулю и а2 = 10л.
Таким образом, чтобы получить на линейке квадро
72

числа а, нужно при помощи визира бегунка поставить это
число на основной шкале и прочитать первые значащие
цифры его квадрата под визиром на шкале квадратов.
Десятичная запятая ставится прикидкой или же при
помощи характеристик:
2X08 а), если а2 читается в левой половине
шкалы квадратов;
2X08 а) 4-1, если а2 читается в правой по¬
ловине или посредине шкалы квадратов.
При возведении в куб.: 18 а3 = 31§а =
= 3 [X (1§ а) + М (1§ а)] = ЗХ (1§ а) + ЗЛ4 (1$ а).
Однако, утроенная мантисса логарифма основания не
всегда будет давать мантиссу логарифма куба.
Возможны три случая:
ЗМ(18а), если 37И (18а) < 1;
М (1§ а3) = ЗЛ4 (1§ а) — 1, если 1 < 37И (18 а) < 2;
3/14(18 а)— 2, если 2 < ЗЛ4 08 а) < 3.
И соответственно этим случаям:
'ЗХ(18а);
Х(18а3)= ЗХ(18а)+ 1;
[ЗХ(18а) + 2.
При установке на линейке для возведения в куб ос¬
нование степени ставится на основной шкале, а затем с
помощью визира переходят к противостоящей метке шка¬
лы кубов. Противостоящая числу а.метка шкалы кубов
может оказаться в левой, средней или в правой части. По¬
лучившийся на шкале кубов отрезок должен быть измерен
при помощи единицы, принятой для этой шкалы. Длина
его окажется равной 3/И(18а), так как отрезок, принятый
за единицу для шкалы кубов, в три раза меньше отрезка,
принятого за единицу для основной шкалы.
Читатель по аналогии с возведением в квадрат может
самостоятельно убедиться, что во всех трех случаях ман¬
тиссу логарифма а3 будет изображать (геометрически
представлять) отрезок шкалы кубов от начала соответст¬
вующей трети до рассматриваемой ее метки. Он может
равняться нулю (см. замечание, сделанное при возведении
в квадрат). Число по мантиссе его логарифма находится
потенцированием. Поэтому первые значащие цифры а3
читаются по метке шкалы кубов, противостоящей метке а
основной шкалы.
73

Одновременно с обоснованием правила возведения в
квадрат и в куб будет обосновано и решение обратной за¬
дачи — извлечения квадратных и кубических корней. Ес¬
ли переход от основной шкалы к шкале квадратов (кубов)
дает возможность найти квадрат (куб) числа, то обратный
переход от шкалы квадратов (кубов) позволит по заданно¬
му числу найти несколько первых значащих цифр квадрат¬
ного (кубического) корня.
Техника возведения в степень и извлечения корней вто¬
рой и третьей степени была рассмотрена в первой главе.
В дополнение к сказанному в первой главе заметим, что,
так как Х(1§а2) четна, когда квадрат читается в левой поло¬
вине, и нечетна — в правой половине или посредине шка¬
лы квадратов, то при извлечении квадратного корня при
четной характеристике подкоренного числа оно должно
быть поставлено в левой половине, а в случае нечетной
характеристики — в правой или посредине шкалы.
Очевидно, характеристика квадратного корня может
быть найдена по формуле:
Х(1§а) для левой половины шкалы;
Х(18/?).=
-^-[Х(1ёа)—1], для правой половины и
середины шкалы квадратов.
Аналогичные правила можно получить и для кубиче¬
ских корней. Их роль невелика, так как нужная для уста¬
новки подкоренного числа подшкала шкал квадратов и
кубов, а также положение запятой в ответе проще все¬
го находятся при помощи разбиения числа на грани
(гл. I, § 6).
Методические замечания и советы.
Обоснование возведения в квадрат (в куб) может показать¬
ся несколько громоздким. Такое изложение является след¬
ствием принятого в настоящем пособии толкования отрезков
логарифмических шкал, как мантисс логарифмов бесчис¬
ленного множества чисел, отличающихся множителем 10”.
Учитель вправе пойти по другому пути, считая отрезки
логарифмических шкал линейки геометрическим представ¬
лением логарифмов чисел, соответствующих отрезков из¬
менения аргумента этой функции. Для основной шкалы
это отрезок [1,10], для шкалы квадратов отрезок [1,100] и
74

для кубов — [1,1000]. Тогда правила возведения на линей¬
ке в квадрат и в куб чисел, заключенных между 1 и 10,
доказываются проще1. Для остальных же чисел оно оста¬
ется не доказанным. Приходится требовать предваритель¬
ного преобразования числа к так называемому нормальному
виду и возведения в степень произведения. Первый мно¬
житель возводится в степень ня линейке, второй — в уме;
затем результаты перемножаются в уме. Вычисления на
линейке усложняются дополнительными преобразования¬
ми. Это особенно чувствуется при извлечении корней. Для
шкал квадратов и кубов вводятся(явно или замаскирован¬
но) свои нормальные представления чисел в виде произве¬
дения числа интервала (1,100) на четную степень десяти и
числа интервала (1,1000) на степень десяти, кратную^трем.
Затем корень извлекается из произведения: на линейке из
первого множителя и в уме из степени десяти с последую¬
щим перемножением полученных результатов.
Сравним оба пути на одних и тех же примерах.
Первый путь
Второй путь
1) /2'45 за 15,65
1) /245 ~ 15,65
Решение. В уме разби¬
ваем на грани (или по характе¬
ристике) и выбираем нужную
подшкалу шкалы квадратов.
На линейке читаем 1—5—6—5.
Прикидка, разбиение на грани
или характеристика дают воз¬
можность поставить в ответе
запятую.
Вся работа выполняется
в уме.
2) /О',00'02'45 ~0,01565.
Решение. Приводим под-
коренное число к нормальному
для шкалы квадратов виду:
/245 = /2,45 • 102.
Извлекаем корень из произведе-
иия: /2,45 • 102 = /2,45 • 10.
Ставим на шкале квадратов 2,45
и читаем на основной шкале
1,565. Умножаем в уме 1,565
на 10; получаем ответ 15,65.
2) /0,000245 =
1/ 2’45 = /2-45
V ю« = юо
1,565
100
= 0,01565.
1 В. М. Б р а д и с, Счетная логарифмическая линейка, Учпедгиз,
1957, стр. 9—11.
К. И. Кабанова, Счетная логарифмическая линейка в школе,
Учпедгиз, 1958, стр. 31 — 35.
75

Только хорошие ученики смогут идти по второму пути
без записей. Следует предпочесть первый путь нахождения
корней при помощи линейки.
Вопросы для закрепления и контроля
1.	Каким образом могут быть нанесены метки шкалы
квадратов (кубов)?
2.	Какой отрезок принимается за единицу при построе¬
нии шкалы квадратов (кубов)?
3.	Что изображает отрезок шкалы квадратов (кубов)
от начала любой ее подшкалы до какой-нибудь метки?
Привести примеры.
4.	Какими отрезками шкалы квадратов (кубов) можно
геометрически представить мантиссу логарифма числа 350;
35; 0,0035?
5.	Почему по метке шкалы квадратов (кубов), противо¬
стоящей метке а основной шкалы, можно прочесть первые
значащие цифры квадрата (куба) числа а?
6.	Как определить положение десятичной запятой в
квадрате (кубе), найденном при помощи логарифмической
линейки?
7.	Как выбирается подшкала при извлечении квадрат¬
ных (кубических) корней из чисел?
8.	Как определить положение запятой квадратного
(кубического) корня, найденного при помощи линейки?
ГЛАВА III
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ НА ЛИНЕЙКЕ
§ 14. Построение шкал синусов и тангенсов,
нахождение натуральных значений
тригонометрических функций
На обратной стороне движка логарифмической линейки
нанесены три шкалы: шкала синусов (верхняя), шкала тан¬
генсов (нижняя) и общая шкала синусов и тангенсов ма¬
лых углов (средняя).
Отрезок шкалы синусов от начала ее до какой-нибудь
метки на ней является геометрическим представлением
мантиссы логарифма синуса угла промежутка от 5°44' до
90°. При изменении аргумента в этом промежутке синус
76

изменяется от приблизительно 0,1 до 1, а логарифм сину¬
са от — 1 до 0. Желая, как обычно, получить положитель¬
ную мантиссу, логарифм синуса преобразуют, прибавляя
и. отнимая единицу. Тогда характеристика логарифма си¬
нуса углов рассматриваемого промежутка будет равна —1,
а мантисса — положительная. Например, 1§ 81п 35°^ 1,759.
Для геометрического представления мантисс логариф¬
мов синусов за единицу принимают длину основной шка¬
лы, т. е. для нормальной линейки 25 см. Как и при пост¬
роении основной логарифмической шкалы, трехзначные
положительные мантиссы логарифмов синусов промежут¬
ка (5°44'; 90°) откладываются при помощи равномерной
шкалы.	_
Так, 81’п 35°^1,759; Л4(1й 81‘п 35°)^0,759 и для на¬
несения на шкалу метки 35° на равномерной шкале откла¬
дывается 0,759 (черт. 23).
	НЦдзтЗЗ0)	35°
I	1	1	1	! I |	|||||)|Ц|	1	|
0123Ь567891
Черт. 23.
Таким образом, наносятся на шкалу синусов все ее
метки. Отрезок шкалы синусов от ее начала до какой-нибудь
метки геометрически представляет положительную мантис¬
су логарифма синуса соответствующего угла.
Рассмотрение шкалы синусов позволяет заметить, что
в начале шкалы синусов деления нанесены через 5', между
10° и 20° через 10' от 20° до 40° через 20', от 40° до 60° че¬
рез 30' и от 60° до 80° через Г.
Шкала синусов, как и остальные шкалы линейки (кро¬
ме шкалы мантисс,) неравномерная, с резким сгущением
вправо, в силу чего точность ее уменьшается с увеличением
угла: если величины углов, близких к 6°, читаются с точ¬
ностью до минуты, то около 80° возможна ошибка на целый
градус.
Из построения шкалы синусов и расположения шкал
следует установка движка и правило для нахождения
Л1(12 51па), а также решение обратной задачи.
Движок вставляется в корпус обратной стороной так,
чтобы начальные деления шкал лицевой стороны корпуса
линейки и обратной стороны движка совпали; для получе¬
ния Л4(1§з1па) нужно при помощи визира бегунка поста-
77

вить а на шкале синусов и прочесть три первых десятичных
знака на шкале мантисс.
Примеры: 1) 1§$1п 9°25'« 1,214;
2)	1е з1п 20°40' Г,548;
3)	1§81п4Г50/« 1,824.
Если на шкале синусов нет соответствующей метки, то
нужно интерполировать на глаз, учитывая цену малого деле¬
ния и неравномерность шкалы.
Шкала тангенсов строится аналогично шкале синусов.
На ней нанесены углы от 5°43' до 45°. Для этих углов тан¬
генс меняется приблизительно от 0,1 до 1, что й опреде¬
ляет этот интервал значений угла.
Как и на шкале синусов, отрезок шкалы тангенсов от
ее начала до какой-нибудь метки а геометрически представ¬
ляет положительную мантиссу логарифма тангенса а, т. е.
Л1(1§ в масштабе основной шкалы линейки.
Рассмотрение шкалы тангенсов позволяет определить
цену малого деления, которая на различных участках
шкалы различна.
Аналогично отысканию на линейке Л1(1§81па) решается
на ней и задача нахождения Л1(1§1§а),
Примеры: 1§1ё 15°	« 1,428;
1^ 7°35'«Т,124;
1е1е30°15' « 1,766.
* *
*
Тригонометрические шкалы линейки в сочетании с ее
основной шкалой позволяют находить натуральные значе¬
ния тригонометрических функций.
Действительно, сравнивая отрезки основной логариф¬
мической шкалы и шкалы синусов (тангенсов), равные
соответственно Л4(1§г/) и М (!§51пх) (черт. 24) заключаем,
что первые значащие цифры синуса (аналогично и тангенса)
могут быть найдены по противостоящей х метке у основной
шкалы. При этом первый знак читается как десятые, так
как для интервала шкалы синусов (тангенсов) эта функция
меняется от 0,1 до 1.
Таким образом, при совпадении начальных (конечных)
меток основной шкалы и шкалы синусов (тангенсов) меж¬
ду их метками устанавливается соответствие у = з!п х
78

(у — 1§х). Отсюда следует правило нахождения при помо¬
щи линейки натуральных значений синуса и тангенса, то
есть решения на ней уравнений 81п а = х и — х
для 5°44' <а <90° и 5°43' <а <45°: при перевернутом
движке угол ставится на шкале синусов (тангенсов), первые
значащие цифры функции читаются на основной шкале;
первый знак читается как десятые.
Например,
51п120^ 0,208;
1§19°^ 0,344.
М((д51Пх) или М(1д (дх) л
г ■			15 или Т
1	I	Ю
-I	’
Н(1ду]
Черт. 24.
Легко сообразить, что величины косинусов отыскивают¬
ся как синусы дополнительных углов, например,
соз 30° = 51п 60° « 0,866;
соз 71°15' = 51п 18°45' « 0,321.
Также находят и значения котангенсов острых углов,
превышающих 45°: с!§64°20' = 1§25°40'	0,481 и т. д.
Цены делений на тригонометрических шкалах в разных
их местах определяются на глаз в зависимости от того, на
сколько частей делится отрезок, соответствующий одному
1Г>	60' с,
градусу: если на 12, цена деления — = 5 ; на три ча¬
сти — 20' и т. д.
Вопросы для закрепления и контроля
1.	Как нанести на шкалу синусов (тангенсов) какую-
нибудь ее метку, например, метку 35°?
2.	Что изображает отрезок шкалы синусов (тангенсов)
от начала до какой-нибудь ее метки?
3.	Какой отрезок на линейке геометрически изображает
мантиссу логарифма синуса (тангенса) угла 15°?
4.	На какой шкале читаются первые знаки мантиссы ло¬
гарифма синуса (тангенса)?
5.	Чему равна характеристика логарифма синуса (тан¬
генса) углов интервала шкалы синусов (тангенсов)?
79

6.	При каком положении движка и как находят на ло¬
гарифмической линейке натуральное значение синуса (тан¬
генса)?
7.	Где нужно поставить десятичную запятую в значении
синуса (тангенса) угла интервала шкалы синусов (танген¬
сов)? Какой десятичный разряд имеет первая значащая циф¬
ра синуса (тангенса) угла интервала шкалы синусов (тан¬
генсов)?
§ 15. Общая шкала синусов и тангенсов
Общая шкала синусов и тангенсов, расположенная вдоль
оси оборотной стороны движка служит для нахождения ве¬
личин одновременно и синусов и тангенсов углов промежут¬
ка (0°34'; 5°44'). Строится она аналогично шкале синусов
в масштабе основной шкалы. Ее отрезки от начала до ка¬
кой-нибудь метки геометрически представляют общую приб¬
лиженную мантиссу логарифма синуса и тангенса углов
интервала шкалы.
Так как разница между
81п 5°44'^'0,0999
и	5°44'^0,1004,
равная 0,0005, недосягаема для точности линейки и с умень¬
шением угла приближенное равенство $тх становит¬
ся точнее, то для нахождения синусов и тангенсов углов х
(0°34' <х <5° 44') можно построить общую шкалу.
Если следовать по шкалам линейки от 0°34' (начало
общей шкалы синусов и тангенсов) до 5°44', то для нахож¬
дения значения аргументов синусов и тангенсов надо
идти по одной шкале. После 5°44' эта общая шкала как бы
раздваивается: на шкале синусов читаются углы, соответ¬
ствующие синусам, на шкале тангенсов — тангенсам. Си¬
нусы и тангенсы углов, меньших0°34', берут приближенно
равными радианной мере угла.
Так как общая шкала синусов и тангенсов соответству¬
ет величинам синусов и тангенсов меньших 0,1, то при поль¬
зовании ею следует помнить, что первая значащая цифра
синуса и тангенса читается как сотая, то есть после запя¬
той всегда будет нуль. Например, $1п 2°	0,0349, но не
0,349, что соответствует 81п 20°25'.
Итак, линейка в положении движка тригонометриче¬
скими шкалами кверху, служит таблицей величин триго¬
нометрических функций.
80

Примеры для закрепления материала.
1)	16°42'	0,300;
-2) з!п 1°39'3^0,0288;
3)	1°39'^ 0,0288;
4)	соз 58°16' = соз (90° — 31°44') = з!п 31°44'^0,526;
5)	64°47' = с1§(90° — 25° 13') =	25° 13	0,471;
6)	с!§ 89°12' = с<§(90° — 0°48') =	0°48' ^ 0,014.
Можно сообразить как по линейке решается обратная
задача: по величине тригонометрической функции найти
соответствующий ей угол. Напомним, что числам вида 0,23
(значащая цифра следует сразу после запятой) соответ¬
ствуют шкалы синусов или тангенсов; числам вида 0,023
(между запятой и первой значащей цифрой — нуль)—общая
шкала синусов и тангенсов.
Примеры.
1)	81п х = 0,342, х^20°.
2)	51п х 0,0342 и х за 0,0342; на общей шкале си¬
нусов и тангенсов находим х Г57'3".
3)	х 0,673; на шкале тангенсов х 33°56';
4)	соз х =2 0,256.
Решение: на шкале синусов найдем вначале допол¬
нительный угол 90° — х. Так как соз х = з1п (90° — х)«
» 0,256, то 90° — х =14°50'. Поэтому х 90° — 14°50' =
= 75°10'.
5)	с(§ х 0,487; х да 90 — 25°58' = 64°О2'.
Значения тригонометрических функций можно находить
и не перевертывая движок тригонометрическими шкалами
кверху Поставим движок в обычное положение, т. е. число¬
выми шкалами вверх. На обратной стороне линейки нахо¬
дятся вырезы с индексами для шкал синусов, тангенсов и
общей шкалы синусов и тангенсов (черт. 25)
Черт. 25.
Выдвигая движок вправо, отметим индексом на шкале
синусов 30°, тогда на лицевой стороне шкалы движка про¬
тив конечной единицы читаем цифру 5, что значит з!п 30°=
= 0,5. Точно также отметив индексом на шкале тангенсов
6 Заказ 97
81

30°, повернув линейку лицевой стороной, читаем на шкале
движка против начальной метки 1	30° « 0,577 и т. д.
Объяснить это очень легко. Метка 30° шкалы синусов
соответствует метке 5 (т. е. 0,5) как основной шкалы кор¬
пуса, так и основной шкалы движка. Если представить се¬
бе движок прозрачным, то метки 30° и 0,5 стоят на нем стро¬
го одна против другой, только по разные стороны движка.
Поэтому, если против индекса выреза линейки установить
30°, то у этого же конца на противоположной стороне движ¬
ка прочтем 0,5 (и наоборот).
Методические замечания и советы.
При соответствующем темпе работы основной материал уда¬
ется пройти и закрепить за один урок. Общую шкалу си¬
нусов и тангенсов можно рассмотреть позже.
Как и при работе с линейкой в VIII классе, нет необхо¬
димости разучивать и записывать правила действий, а так¬
же запоминать цены делений на разных участках шкал.
Решая примеры, рекомендуем больше обращаться к ко¬
синусам и котангенсам, ибо они в конечном счете сводятся
к синусам и тангенсам.
На дом можно предложить примеры на все виды задач,
рассмотренные в классе. Если показана и общая шкала
синусов и тангенсов, то полезно наряду с отысканием,
например, соз 87°14' найти тут же с(§ 87°14'. В обоих слу¬
чаях на линейке получится 0,0483. Потом при той же уста¬
новке найти соз 6Г07'0,483.
Также можно предложить найти аге (§ 0,0404^
«аге 81110,0404 % 2°19'; но агс1§ 0,404 ^22°.
При помощи таких примеров учащиеся привыкают не
смешивать отсчеты общей шкалы синусов и тангенсов с от¬
счетами других шкал. За правильностью решения можно
следить по таблицам Брадиса.
Вопросы для закрепления и контроля
1.	Какую величину представляет отрезок общей шкалы
синусов и тангенсов от ее начала до какой-нибудь метки,
например до метки 2°45'?
2.	Почему для промежутка (34', 5°44') можно построить
для синусов и тангенсов общую шкалу?
3.	В каких границах изменяется синус и тангенс для
углов шкалы 3 и Т?
4.	Как при помощи линейки найти натуральное значе¬
ние синуса (тангенса) малого угла?
82

5.	Как найти при помощи линейки острый угол по его
синусу; по его тангенсу?
6.	Когда искомый угол следует читать на шкале сину¬
сов (тангенсов), а когда на общей шкале синусов и танген¬
сов?
7.	Как найти на линейке острый угол по его косинусу?
§ 16. Нахождение тангенсов углов, больших 45°,
и котангенсов углов, меньших 45°,
и обратная задача
Пусть надо найти с!§ 32°. Записываем:
Движок устанавливается тригонометрическими шкала¬
ми кверху. Так как для нахождения с!§ 32° нужно единицу
разделить на 32°, то делаем установку для деления: 32°
шкалы тангенсов устанавливаем над начальной либо ко¬
нечной единицей (безразлично какой) основной шкалы (кор¬
пуса); искомую величину котангенса угла 32°, равную 1,6,
читаем на основной шкале под меткой 45° (или под 5°44',
если 32° визировали конечной единицей). Задача решена.
Точно также
16 64° = С16 26° -	2,05.
На чертеже 26 показана установка движка на линейке
для случая визирования величины угла у левого конца ли¬
нейки (начальной единицы), а на чертеже 27 — у правого
конца линейки (конечной единицы).
Приведем примеры нахождения тригонометрических
функций углов промежутка (0,34', 5°44') на шкале синусов
и тангенсов.
1)	с1§3°=—-—«19,08 (котангенс угла 3°, близкого
к нулю, достаточно велик).
Установка для нахождения с1б 3° производится также,
как это делалось на шкале тангенсов. Единицу делим на
3°; движок должен быть установлен тригонометрически¬
ми шкалами наверх; либо у начальной, либо у конечной еди¬
ницы визируем 3° общей шкалы синусов и тангенсов; у
6*
83

конца этой шкалы читаем 1—9—0—8. Запятая в ответе
ставится прикидкой, учитывая, что для общей шкалы си¬
нусов и тангенсов:
0,01
значит,	10 < —< 100.
Черт. 26.
2)	87°32' =	!	« 23,2.
’ Б	18 2°28'
Очень удобно находить тангенсы и котангенсы, пользу¬
ясь обратной шкалой. Пусть надо найти величину с1§32°«
«1,6.
Движок устанавливаем тригонометрическими шкалами
книзу. Визируем 32° через прорез на шкале тангенсов, что
на обратной стороне линейки; на лицевой стороне на ос¬
новной шкале у того же конца над меткой 1 читаем 6—2—5,
т. е. 32° ~ 0,625. А на обратной шкале читаем обратную
величину
1

18 32е
1
0,625
«1,6«с1§32°.
Когда твердо усвоено нахождение тангенсов углов,
больших 45°, и котангенсов, меньших 45°, учащиеся само¬
стоятельно решают обратную задачу: найти угол по вели¬
чине тангенса или котангенса, когда последние больше едп*
ницы.
64

Примеры.
1)	Найти аге 2,66, так как а = 2,66 > 1, то а>45°.
Установки будут те же, что и для нахождения тангенсов
углов, больших 45°, но порядок действия обратный.
Пусть движок установлен тригонометрическими шкала¬
ми наверх, тогда левым (либо правым) концом шкалы тан¬
генсов на основной шкале визируем 2—6—6; у правого
(либо у левого) конца основной шкалы над цифрой 10 (ли¬
бо над 1) на шкале тангенсов читаем 20°36' Это не искомый
угол (ибо 20°36' <	45° = 1), а дополняющий искомый
до 90°, так как выполняется условие:
2,66 «	!	=	20°36'.
(е 2о°зв'
Так как угол отыскивается по величине тангенса, а не
котангенса, то в силу соотношения:
с1§ 20°36' = с!§ (90° — 69°24') =	69°24'.
Итак, аге 2,66 » 69°24'.
2)	Найти аге с1§ 3,058 « аге с1§ 3,06 (округляем, так
как четвертая цифра на линейке не находится).
Движок устанавливаем тригонометрическими шкала¬
ми наверх; левым (правым) концом шкалы тангенсов на
основной шкале визируем 3—0—6; над 10 у правого конца
линейки (или над 1 у левого конца линейки) на шкале тан¬
генсов читаем 18°07'. Это и есть искомый угол, так
как даже грубая прикидка показывает, что.
с!§ 18° =	72° > 45° = 1.
Покажем решение аналогичной задачи на общей шкале
синусов и тангенсов.
3)	Найти аге с(§ 22,9.
Каким-нибудь концом общей шкалы синусов и танген¬
сов на основной шкале визируем 2—2—9. Над 1 (или над
10) на общей шкале синусов и тангенсов читаем 2°30'. Это
искомый угол, так как котангенс его должен быть доста¬
точно велик, что соответствует условию.
4)	Найти аге 35,8.
Повторив установки первого примера для нахождения
аге с!§ т, на общей шкале синусов и тангенсов, читаем Г36'.
Так как этот угол искомым быть не может (его тангенс,
конечно, не 35, 81), то искомый угол будет дополнитель¬
ным найденному до 90°.
Итак: аге 35,8 = 90°—1°36' = 88°24'.
85

Методические замечания и советы.
Нахождение на линейке тангенсов углов, больших 45°, и
котангенсов углов, меньших 45°, для учащихся сложно.
Сложно решается и обратная задача для этих углов. Это
обстоятельство нужно учитывать. Поэтому учителю надо
обратить внимание на эти случаи и закрепить их достаточ¬
ным количеством примеров.
Очень важна запись с!е 32° = —-— или 1с 64° =——.
<8 32°	<8 26°
В ней обязательно должен участвовать тангенс угла,
меньшего 45°, вмещающийся на шкале; дробь
1
*е2б°
служит
одновременно и указателем установки на линейке.
Предостерегаем от преждевременного перехода к обрат¬
ной задаче, т. е. нахождения величин аге т, где щ> 1.
Если ученик твердо усвоит решение прямой задачи, то
обратная не вызовет никаких затруднений и будет слу¬
жить, помимо этого, закреплением навыков решения первой
задачи, ибо решаются они на одинаковых установках
движка.
При получении числовых результатов нужно приучать
учащихся к постоянному контролю путем прикидки, при
этом полезно помнить'границы изменения тригонометри¬
ческих функций для значений аргумента интервалов шкал
линейки.
Например, <д 70\должен быть больше единицы и даже
больше 1д 60° за 3 лЛ,7\ с(д 88° = 1д 2° находится при
помощи общей шкалы тангенсов и синусов, следовательно,
первая значащая цифра должна быть сотой; агсс1§ 2,71
должен быть меньше 45°, а аге 1д 2,71, наоборот, больше
45° и т. д.
Вопросы для закрепления и контроля
1.	Можно ли и как найти на линейке тангенс для значе¬
ний аргумента, больших 45°, но меньших 89°26'? Напри¬
мер, как найти на линейке 65°.
2.	Когда при нахождении тангенса угла, большего 45°,
придется пользоваться шкалой тангенсов, а когда общей
шкалой синусов и тангенсов? Какой разряд будет иметь
первая значащая цифра тангенса в первом и во втором
случаях?
86

ГЛАВА IV
РЕШЕНИЕ ТРЕУГОЛЬНИКОВ
§ 17.	Два пути решения треугольников на линейке
Решение треугольников на логарифмической линейке
едва ли не самое эффектное применение этого остроумного
счетного прибора. Собственно решение, т. е. операция на
линейке (нахождение всех элементов), при достаточных
навыках занимают иногда всего 40—50 секунд!
При решении треугольников учителю предоставляется
выбор одного из двух возможных путей в работе.
Первый — самое обычное решение, с обычной записью
ничем не отличающейся от работы с таблицами. Только рас¬
четы ведутся на линейке, — вот и вся разница.
Например, при решении треугольника1 по стороне и
двум углам Ь = 13,02; А = 11°46'; В = 133°40' (см.
«Сборник задач по тригонометрии» П. В. Стратилатова,
задача № 347,4) нахождение стороны а осуществляется так:
Ь81пД 13,02 81'п 11°46'	о
а =	= —13,67.
51П В	81п46°20'
Причём не следует находить на линейке -
81п 11°46'^ 0,204 и 81П 46°21'^ 0,723.
Рациональнее произвести умножение и деление на ве¬
личину синуса по шкале синусов, перевернув движок три¬
гонометрическими шкалами наверх. . Вычислять, лучше
пользуясь «правилом зигзага».
Такое решение треугольников не будет ново и не вы¬
зовет затруднений у учащихся.
Второй путь значительно более оригинален и прост.
Его мы и имели в виду, говоря об эффективности линейки.
Он основан на решении пропорций (точнее, ряда равных от¬
ношений, стр. 29). Ведь решение самого длинного ряда рав¬
ных отношений осуществляется на линейке при одной ус¬
тановке движка.
Таким же образом при одной установке движка можно
найти все основные элементы (стороны и углы) треуголь¬
ника, если имеются данные для использования теорем С1Ь
1 Имеется в виду нахождение основных элементов треугольни¬
ка: сторон, углов (и площади).
67

нусов или тангенсов, соотношения которых выражены про¬
порциями.
Мы намерены излагать вопрос решения треугольников,
следуя второму пути.
§ 18.	Решение прямоугольных треугольников
Обычно различают четыре случая решения прямоуголь¬
ных треугольников:
I	— по гипотенузе и острому углу;
II	— по катету и острому углу;
III	— по катету и гипотенузе;
IV	— по двум катетам.
Первые три случая решаются на линейке настолько оди¬
наково, что нет надобности демонстрировать их учащим¬
ся все. На уроке достаточно одного примера на какой-либо
из случаев с полной записью, а на дом можно уверенно за¬
давать примеры на все три случая. Разберем один из
первых трех случаев. Рассмотрим сначала решение в об¬
щем виде.
Дано: катет а и острый угол А.
Искомые: катет Ь и гипотенуза с, острый угол В, пло¬
щадь 5.
Находим угол В = 90° — А.
По теореме синусов:
8Ш А 	 51П В _ 81П 90°
а Ь с '
В равных отношениях неизвестны Ь нс, они находятся по
правилу пропорции при одной установке движка и без отыс¬
кания величин 51п А и з1п В. Для этого на основной шка¬
ле корпуса линейки индексом визируем известную вели¬
чину стороны а; под установленное положение индекса
подводим известную величину угла А, отмеченную на
шкале синусов. (Положение движка относительно основ¬
ной шкалы будем называть «установкой движка».)
Перемещая рамку вдоль шкалы синусов, отмечаем ви¬
зиром угол В. Под ним на основной шкале читаем величину
неизвестной нам стороны Ь, точно так же под отметкой уг¬
ла С = 90° окажется другая искомая сторона с.
Итак, весь треугольник решается при одной установке
движка или с одной переброской его.
88

Пример 1 (№ 341—I в)1.
Дано: с = 3,643; А = 50°10'.
Искомые: в, а, Ь и 5.
Находим угол В:
В = 90° — А = 90° — 50°10' = 39°50'.
По теореме синусов, имеем:
81 п 50° 10'  51п 39° 50'   81п 90°
а	Ь 3,64
Выбрав отношение, в котором известны предыдущий и по¬
следующий члены, делаем по нему установку движка на
основной шкале визируем 3,64 и над ним ставим 90° шкалы
синусов (черт. 28). Не сбивая движок, подводим визирную
линию на 50° 10х и на основной шкале под этим значением
шкалы синусов читаем 2—8—0: а = 2,8 Далее таким же
образом под 39°50' найдем Ь = 2,335 Треугольник решен.
Ответы, вычисленные по четырехзначным таблицам и при¬
веденные в задачнике: а = 2,798; Ь = 2,334, т. е. разница
не превышает 0,002.
Место запятой определяется либо прикидкой, либо
при помощи правила левого вылета движка.
В примере 1:
Ъ	 С51П В	3,64 • 81п 39°50'
81П С 81п90°
Практически здесь не возникает надобность обращения
к столь сложному правилу, ибо для изменения значности
в величинах сторон хотя бы на один десятичный знак нужен
заметный перепад в величинах противолежащих углов.
Например, в треугольнике с такими углами как в примере
1, где известна сторона с = 3,64, получив для ^тороны
а цифры 2—8—0 и для Ь 2—3—3, трудно предполагать,
скажем, а = 0,28 или Ь = 0,0233 (сумма двух сторон тре¬
1 При леры изяты из «Сборника задач по тригонометрии»
П. В. С т р а т и л а т о в а, Учпед1из, 1961.
89

угольника больше третьей) или совершенно невероятно
а = 28,0 и Ь = 233 (большей стороне противолежит боль¬
ший угол); но если один из углов, скажем, 3°, а другой ту¬
пой 144°, то различие в числе цифр (месте запятой) у про¬
тиволежащих сторон напрашивается само собой. Короче
говоря, проставляя запятую, нужно ориентироваться на
прикидку и здравый смысл, чем на более сложные фор¬
мальные правила. Это не противоречит идеям политехни¬
ческого обучения, где формальным соображениям отводится
не первое место.
Площадь лучше всего рассчитать по формуле, не зави¬
сящей от величин, вычисленных на линейке.
о са81пД51*пВ 3,642 51П 50°10' 51п 39°50' о ос-
о —	—	^✓О,2оо.
2 81п С	2
Расчеты покажем позже, когда будет 51П С =/= 1.
Рассмотрим теперь четвертый случай решения прямо¬
угольных треугольников (по двум катетам).
Пример 2 (№ 341—4 в).
Дано: а= 12,01; 6=6,92.
Искомые: с, А, В и 5.
Сначала находим меньший угол В:
1§В = — .
а
Для решения на линейке удобнее записать это равенство
в виде пропорции, заметив, что 45° = 1.
<§45° _ 1§В
а 6,92 *
или, подставляя значения а:
<§45° _ <§в
12,01	6,92’
По правилу пропорции находим на линейке В = 29°55'.
Далее А = 90° — В = 90° — 29°55' = 60°05'.
По теореме синусов найдем гипотенузу с:
$1 п 60°05'  81п 29°55' __ 51п 90°
12,01 ~	6,92 с
Одно из отношений, в котором известны и предыдущий
и последующий члены (например, первое), используем для
первоначальной установки движка; третье — для нахожде¬
ния с = 13,88; второе отношение может служить для конт¬
90

роля решения: если при данной установке движка над 6,92
шкалы синусов окажется 29°55', то можно заключить, что
весь треугольник решен правильно. Проверка отнимает
несколько секунд.
Замечание. При решении треугольника по двум
катетам, нужно находить сначала меньший угол, ибо боль¬
ший угол прямоугольного треугольника всегда больше 45°
и на шкале тангенсов не читается.
По мере решения треугольника заполняются пусту¬
ющие клетки.
Правильность нахождения площади проверяется путем
прикидки (как половина произведения катетов).
Хотя на уроке разбирается один какой-нибудь случай
решения прямоугольных треугольников, на дом после пер¬
вого урока можно задать по одному примеру на все три
первых случая. На следующем уроке после закрепления
первых трех случаев рассматривается четвертый и даются
на дом примеры на все четыре случая. После тренировоч¬
ного урока можно дать контрольную работу, в которой
каждый ученик за 20—25 минут должен решить два прямо¬
угольных треугольника: первый пример — на один из трех
первых случаев; второй — на последний случай по двум
катетам. Для полноты проверки лучше меньший катет
назвать Ь. Например, а = 26,3; 6 = 14 Внимательный уче¬
ник должен начать решение с нахождения угла В, но не с Л,
как это делают обычно (см. § 24).
В тех случаях, когда треугольник полностью решается
по теореме синусов и проверка не даст нужного эффекта,
возможна графическая проверка. Треугольник строится
при помощи транспортира и миллиметровой шкалы по дан¬
ным задачи; искомые линейные элементы и углы измеряют¬
ся той же миллиметровой шкалой и транспортиром и сли¬
чаются с найденными. Результаты графической проверки
91

будут тем точнее, чем крупнее чертеж. Поэтому надо
стараться выбирать масштаб так, чтобы треугольник по¬
лучился величиной в целый тетрадный лист (конечно,
без перегиба). Карандаш должен быть тонко отточен, чер¬
теж можно расположить на тексте решения.
§ 19. Решение косоугольных треугольников
В целях соблюдения принципа нарастающей трудности
расположим случаи решения треугольников на линейке
так: первые два случая — наиболее легкие для линейки,
когда треугольник полностью решается по теореме сину¬
сов; остальные два случая располагаются более или менее
случайно.
I случай: по стороне и двум углам. Для краткости мы
его назовем (СУУ — сторона, угол, угол).
II случай: по двум сторонам и углу, противолежащему
одной из них (ССУ — сторона, сторона, угол).
III случай: по трем сторонам (ССС).
IV случай: по двум сторонам и углу между ними (СУС),
который, кроме того, на линейке различается по тупому
углу (СТУС —сторона, тупой угол, сторона)—с более крат¬
ким и простым решением и острому данному углу (СОУС —
сторона, острый угол, сторона) — с более трудоемким ре¬
шением.
§ 20. I случай-решения косоугольных треугольников
по стороне и двум углам (СУУ)
Покажем вначале решение треугольника в общем виде.
Если известны сторона а и углы Л и В, то сразу можно
найти третий угол С = 180° — (Л + В).
По теореме синусов имеем:
51п А _ 51П В   51 П С
а Ь с *
Неизвестные стороны Ь и с находятся опять при одной уста¬
новке движка, соответствующей отношению -1П .
а
Пример 1 (СУУ).
Дано: Ь = 10,3; А = 144°35'; С = 32°.
Искомые: а, с, В и 5.
Угол В = 180° — (Л + С) = 180° — 176°35' = 3°25'.
92

Теперь по теореме синусов составляем пропорции:
81п 35°25' __ 81 и 3°25' _ 81П 32°
а ~~	10,3	— с г
где 81п А = 51п 144°35' = 81п (180° — 35°25') = 51п 35°25'.
При одной установке движка найдем а = 100; с = 91,5.
Как видно из приведенного примера, включение общей
шкалы синусов и тангенсов не вносит в ход решения каких-
либо изменений. Установки и отсчеты производятся в та¬
ком же порядке, лишь более резкая количественная разница
в углах сказывается и на соотношении сторон.
Площадь, исходя из данных (но не вычисленных) ве¬
личин, лучше всего вычислять по формуле
$ Ь2 81 п А 81п С   10,За 8ш 35°25' 81 п 32°
~	2 51п В	ГзШ 3°25'	‘
Действия будем производить по «правилу зигзага»: вна¬
чале вычислим на основной шкале, чередуя умножение
и деление:
(10,3 : 2) • 10,3.
Далее, не читая результатов и не сбивая установку бегун¬
ка, перевертываем движок тригонометрическими шкалами
наверх и продолжаем вычисления, чередуя умножение с
делением, оперируя с метками на шкале синусов, как опе¬
рируют при умножении и делении чисел
[(10,3 : 2)- 10,3] • 81п 35°25' : 81п 3°25' • 81П 32°.
При таком поочередном умножении и делении промежуточ¬
ные результаты не читаются, но зрительно фиксировать
каждый из них необходимо, чтобы не сбиться в установках.
Получаем значащую часть результата 273. Вопрос о
месте запятой решается подсчетом характеристик.
Сделаем предварительный подсчет характеристик, вы¬
писав их для каждого компонента формулы (1) и произве¬
дя с ними те действия, которые нужно выполнить над ло¬
гарифмами (10,32 рассматриваем, как 10,3 • 10,3).
1 + 1 +Т +“Г +0 —2 = 2.
Поправки, которые внесут собой мантиссы, учитываются
с помощью правила левого вылета движка (см. стр. 67).
У нас наблюдался левый вылет движка:
1)	при делении 10,3 : 2 (— 1),
2)	при умножении на з1п 35°25' ( + 1),
93

3)	при делении на 81‘п 3°25' (— 1).
4)	при умножении на 51п 32° ( 4- 1).
Следовательно, поправка на левый вылет движка равна
нулю ( — 1 4-1 — 1 4-1=0). Итак, характеристика ре¬
зультата 2 4-0 = 2. Следовательно, площадь 5 = 273 кв. ед.
Оформим решение в виде таблицы1).
а
ь
с
А
В
С
5
1001)
10,3
91,5
144°35'
3°25'
32°
273
Методические замечания и советы.
Из приведенного примера видно, что решение косоуголь¬
ного треугольника по стороне и двум углам (СУУ) не отли¬
чается от большинства случаев решения прямоугольных
треугольников. Поэтому он не вызывает затруднений у
учащихся Приведенный нами пример показывает, что ис¬
пользование общей шкалы синусов и тангенсов также не
вносит каких-либо изменений в ход решения.
Более внимательно нужно подойти к вычислению пло¬
щади. При умении рассчитывать «зигзагом» выражения вида:
а • Ь • с • <1
е - I • ё
расчет площади также осваивается быстро.
Запись подсчета поправок на левый вылет движка ве¬
дется кратко. После небольшой практики вычисляющий реа¬
гирует на левый вылет движка автоматически. Впрочем,
практически величина площади достаточно точно полу¬
чается из формулы по двум сторонам и углу между ними,
так что приведенный здесь расчет следует рассматривать
более в тренировочном, чем в практическом плане.
Проверка здесь возможна графическая. Для проверки
величины площади из какой-нибудь вершины при помощи
чертежного треугольника опускают перпендикуляр и из¬
меряют его миллиметровой шкалой. Вычисляют (на линей¬
ке) повторно площадь по формуле:
5	= у- аИа .
1 Здесь и в дальнейшем в таблицах искомые элементы выделены
жирным шрифтом.
94

Если расчеты произведены правильно, то величины пло¬
щадей должны быть приблизительно равны.
§ 21. II случай решения косоугольных треугольников
по двум сторонам и противолежащему углу (ССУ)
По тес .-реме синусов решается треугольник по двум сто¬
ронам и углу, противолежащему одной из них (ССУ), это
так называемый «сомнительный случай», где возможно
либо одно, либо два, либо ни одного решения. Приведем
решение в общем виде.
Дано: а, Ь и А.
Искомые: с, В, С и 5.
По теореме синусов имеем
81П А 	 81П В 	 81П С
а Ь с
Установка движка делается по первому отношению, в
котором известны и угол А и сторона а\ пользуясь извест¬
ной величиной Ь, находим угол В; далее без линейки (не
сбивая, однако, имеющуюся установку движка!) находим
угол С = 180° — (А + В), после чего при той же установ¬
ке движка находят сторону с.
Площадь треугольника, как и сам треугольник, не оп¬
ределяется однозначно величинами, известными из усло¬
вия задачи (что хорошо видно, например, из геометрическо¬
го исследования, имеющегося в любом учебнике тригоно¬
метрии), поэтому приходится рассчитывать площадь по
формулам, содержащим наряду с данными также и иско¬
мые величины:
5 = — 81пС или 5 = — 81п А.
2	2
Подробное исследование этого случая решения тре¬
угольников можно найти в каждом учебнике тригоно¬
метрии.
Мы не станем приводить примера с единственным реше¬
нием, так как не встретим в нем ничего нового по сравнению
с рассмотренными ранее. Интереснее будет задача, не имею¬
щая решений.
Пример 2 (№ 349—6).
Дано: а = 19,06; Ь = 88,19; А = 31°17'.
Искомые с, В, С и 3.
95

Первым искомым углом будет В. Так как Ь > а, то
не исключается возможность, что угол В тупой. Значит,
решений будет или два или не будет ни одного1.
По теореме синусов имеем:
51П 31°1 Т   81П В   51П С
19,05 ~ 88,2 с
Стороне Ь = 88,2 (четвертую цифру округляем) никакой
угол на шкале синусов не соответствует. Если перебросить
движок, то В, = 13°55', что невозможно, так как должно
быть В > А — ЗГ17'. Невозможно и Ва = 180°— 13°55',
так как тупой угол может появиться только в качестве вто¬
рого решения и сумма углов треугольника не будет равна
180° Треугольник не существует, решений нет. Ответ
№
а
ь
с
А
В
с
5
349(6)
19,06
88,19
—
31°17'
нет решений
Пример 3. (№ 349—4) (ССУ).
Дано: а = 13,81; с = 8,14; С = 14°36'.
Искомые: В, 4, Ь и 5.
Здесь, как и в примере 2, возможны два или ни одного ре¬
шения.
Имеем: ЛиА =	=
13,81 Ь 8,14
Находим А = 25°20' Это допустимо, ибо выполняется
условие А > С (большей стороне противолежит больший
угол). Значит, будет служить решением и Ла = 180° — Л, =
= 180° — 25°20' = 154°40'. Установку движка не сбивать!
Чтобы не смешать элементы разных треугольников, це¬
лесообразно запись вести в два столбца:
А1 = 25° 20',
В, = 180° — (Л, 4-0 =
= 180° —39° 56'= 150° 04'
Ла = 154° 40',
Ва= 180°-(Ла + С) =
= 180° — 169°16' = 10° 44'
* Если треугольник окажется прямоугольным, то два решения
сольются в одно, ибо В8 = 180® — В1 = 180® — 90° = 90°. Этот слу¬
чай для нас интереса не представляет.
96

При той же установке движка найдем оставшиеся стороны
под меткой 39°56'
^-20,7	|	6а = 6,01.
Ранее говорилось, что не существует формулы для оп¬
ределения площади треугольника по данным задачи (двум
сторонам и противолежащему углу), ибо треугольник эти¬
ми элементами однозначно не определяется Поэтому пло¬
щадь придется вычислять, например, по формуле:
$ = — 81пВ, или 5 = —81*пС.
2	2
Включение искомой величины здесь неизбежно. Предостав¬
ляем проделать вычисления на линейке читателю самостоя¬
тельно.
Запишем полученное решение в таблицу:
а
ь
с
А
В
С
5
13,81
20,7
6.01
8,14
25°20
154°40'
140°04х
10°44'
14°37'
36,1
10,5
Методические замечания и советы.
Рассматривая примеры решения треугольников при так
называемом «сомнительном случае», мы предполагаем, что
учитель должен предпослать вычислительной работе с ли¬
нейкой исследование, адресуя читателя к учебнику триго¬
нометрии. Прежде чем решать треугольники, ученик дол¬
жен уметь свободно исследовать задачу по ее данным на
возможное количество решений.
Очень важно выработать у учащегося привычку постоян¬
но следить за реальностью полученного решения треуголь¬
ника: против большей стороны должен получиться боль¬
шой угол (и наоборот). В противном случае учащемуся труд¬
но проводить исследование на количество решений; ученик
часто не замечает, когда решаемый треугольник не сущест¬
вует (как в примере 2).
Упражнения1.
Исследовать следующие треугольники на количество
решений, давая ответ в форме: «треугольник имеет единст¬
1 Таблица заимствована из «Сборника задач по тригонометрии»
А. И. и Н. И. Худобиных, Учпедгиз, 1955.
7 Заказ 97
97

венное решение» или «треугольник имеет два или не имеет
ни одного решения».
№
п/п
а
ь
с
А
в
с
1
62
48
50°
2
32
48
40°
3
0,34
0,46
42°
4
12,7
28,3
70°30'
5
17,8
18,3
132°
6
99,2
68,5
28°20'
7
0,516
0,808
34°50'
8
1,45
2,11
63°50'
9
256
314
51°30'
10
83,4
67,3
124°38'
11
475
170
21°49'
12
21,8
27,3
49°54'
Ответ. В примерах 1, 2, 5, 7, 10 и 11 треугольник имеет
единственное решение; 3, 4, 6, 8, 9 и 12 — треугольник мо¬
жет иметь два (или ни одного) решения.
§ 22. III случай решения косоугольных треугольников
по трем сторонам (ССС)
Просто и красиво решается треугольник на линейке
по трем сторонам (ССС).
Вначале рассмотрим решение в общем виде.
Зная стороны а, Ь и с, вычислим радиус вписанной ок¬
ружности г — — = 1Л ~ а^р ~ ь^р	,
Р	р
где 5 — площадь треугольника и р — полупериметр.
Два меньших угла можно найти теперь при одной уста¬
новке движка по известным формулам:
Третий же угол С находится из соотношения:
С= 180° — (Л 4- В).
98

Если угол острый, то на той же установке можно
проконтролировать
Площадь 5 находится на той же установке движка
5 = рг.
Пример № 4 (№ 350—3) (ССС).
Дано: а = 172,5	р — а— 30,7 Искомые:
6=113,4	р — Ь= 89,8 Л, В, О и 5,
с = 120,5	р — с= 82,7
Сложив 2р = 406,4 р = 203,2
Вычисляем радиус вписанной окружности:
-| /" (Р — о)(Р — Ь)(р — с)
V р
/30,7-89,8-82,7
203,2
В результате подсчетов получится г = 33,5. Самое ин¬
тересное то, что числовое значение г можно не читать и не
знать. Важно только подсчитать характеристику 1§ г. Еще
важнее не сбивать установку визирной рамки, фик¬
сирующей метку г. По этой установке мы получим все
остальные интересующие нас элементы треугольника.
Подводя к г единицу, умножим обычным путем на р =
203,2, получим площадь треугольника 5 = 6800. Теперь
найдем углы. Имеем:
В = г
2 р — Ь'
Далее можно поступить так: разделив фиксированное зна¬
чение г на (р —Ь), потом на (р — с), наконец на (р — а),
получим тангенсы половинных углов треугольника.
По значениям тангенса легко найти углы, каждый из кото¬
рых надо удвоить.
Ответ.
а
ь
с
А
В
С
3
172,5
113,4
120,5
94°54'
40°56'
44°10'
6800
1*
99

Покажем нахождение всех трех (или по крайней мере
двух, как окажется в нашем треугольнике) углов при од-
ной установке движка. Для этого необходимо предваритель¬
но познакомиться с приемом деления, к которому обычно
не прибегают. Однако здесь он удобен, так как позволяет
не менять установку движка.
Пусть нужно 6 : 2.
На основной шкале корпуса визируем делимое 6. К де¬
лителю 2 на той же шкале подводим 1 движка. Над 6 читаем
частнсе 3. Эти действия соответствуют нахождению неиз¬
вестного из пропорции:
1	х
2	6 ’
решаемой на такой же установке движка.
Вернемся к треугольнику. Движок надо установить
тригонометрическими шкалами наверх, ибо искомые углы
(точнее, их половины) будем читать прямо на шкале тан¬
генсов. Если один из углов треугольника, например угол
Л, тупой, т. е.
то
90° < А < 180°,
45® < А < до®
2
и на шкале тангенсов, вмещающей углы не более 45°, по¬
ловина такого тупого угла треугольника не читается. По¬
этому сначала первыми отыскиваем два меньших угла (про¬
тиволежащих меньшим сторонам) искомого треугольника.
Это очень важно помнить при решении каждого треуголь¬
ника по трем сторонам.
Требуется произвести действия:
В = Г	= 33>5. С	я г «
2 = р — Ь 89,8’	8 2	Я	р — с в	82,7 1
в результате которых получаем углы
С
2 *
Запишем равенство в виде пропорции:
в	с
18 2 = 1^45°.	18 2 = ($45"
33,5	Ь9,8 ’	33,5	82,7
100

Решим их: не сдвигая бегунрк с метки г (33,5), на которой
он окажется после подсчета подкоренного выражения на
шкале квадратов, и перевернув движок тригонометрически¬
ми шкалами вверх, метку 45° установим сначала над 89.8,
потом над 82,7; над г = 33,5 читаем — » 20°28' и — =
2	2
■■ 22°05'; откуда В = 40°56' и С = 44°10'.
Если бы угол А был острым, т. е. -у- < 45°, то его можно
было бы найти на линейке при помощи указанного выше
алгоритма. Тогда бы равенство
А + В + С = 180°
служило для контрольной проверки решения.
Покажем схематически установки движка при нахожде¬
нии углов.
Для получения угла -у = 20°28' (черт. 29).
Для получения угла -у- = 22°05' (черт. 30).
$=20'28'	65'
г =33,5 р-в=89,8
Черт. 29.
$=22°05‘	45° ]
33,5	р-с = 82,7
Черт. 30.
Методические замечания и советы.
Изящество предлагаемого метода решения треугольника
по трем сторонам заключается в введении в него величины
г. Кажущаяся на первый взгляд инородной, именно она
и делает решение столь кратким и прямым. Используя в
дальнейшем лишь установку визирной рамки, отмечающую
г, решаем весь треугольник. Следует обратить вни¬
мание учащихся на это обстоятельство, прививая им тем
самым хороший математический вкус.
101

Решению треугольника по трем сторонам надо предпо¬
слать вывод формул:
5 = рг и	= —— •
2 р — а
Обращаем внимание на запись условия. Когда стороны
записаны в вертикальную колонку, их удобно складывать,
получая периметр 2р, а потом и полупериметр р.
Скажем несколько слов относительно вычисления ве¬
личины
г = р/”	~ а^Р ~	~~ с) .
Подкоренное выражение удобно рассчитывать по шка¬
ле квадратов. Тогда после всех действий на основной шка¬
ле прямо читается велична г корня. Впрочем, вести расче¬
ты на шкале квадратов не обязательно.
Считаем нужным подчеркнуть еще раз, что наибольший
угол треугольника надо отыскивать в последнюю
очередь, так как если он окажется тупым, то найти поло¬
вину его, большую, чем 45°, на шкале тангенсов не удастся.
При упущении этого обстоятельства может получиться не¬
желательный казус на уроке.
Полезно дать на уроке «неразрешимый треугольник».
Например, а = 15,3; Ь = 46; с = 11 (здесь а + с тре¬
угольник не существует). Пусть ученик встанет на мгновение
в тупик, подумает и поймет, что всегда следовать шаблону—
не лучшее решение всех вопросов.
Требуется очень немного времени, чтобы освоить все
операции и технику решения треугольника по трем сто¬
ронам изложенным методом. Такое решение со всеми запи¬
сями отнимает 5—10 минут.
§ 23. IV случай решения косоугольных
треугольников по двум сторонам и углу
между ними (СУС)
Этот случай на линейке решается так же, как по таб¬
лицам, по теореме тангенсов. Полагая общее решение за¬
дачи известным (см. Новоселов С. И. «Тригонометрия»,
102

§ 43), отметим некоторые особенности вычисления ее на
линейке.
Если известны стороны#, Ь и угол С, то по теореме тан¬
генсов можем записать:
д + В Д-В
а 4- Ь а — Ь
д а в	Л В
Если —у— С 45 , то уравнение относительно —-—
решается очень просто: после соответствующей ус¬
тановки на линейке по известному нам правилу пропорций
на шкале тангенсов можно прочитать непосредственно ве-
А — В .
личину угла —-— (минуя вычисления и визирование вели-
,	А + В А — В\
чин тангенсов обоих углов —*— и 	 .
3	2	2/
Для того, чтобы решение оказалось столь простым, необ¬
ходимо, чтобы данный угол С был тупой. Докажем это.
Пусть	= 90°--С < 45°, или - > 45?,
2	2	2
т. е. С ^90°, что и требовалось доказать.
Покажем числовое решение треугольника в этом случае
(данный угол тупой).
Пример 5 (№ 349 — измененный) (СТУС).
Дано; а =13,81; с = 8,14; В = 140°.
Искомые: Ь, А, С и 5.
По теореме тангенсов имеем:
<е20° =	2
21,95	5,67 ’
где а 4-е = 21,95 и а—6=5,67.
= 90° — — = 20°.
2	2
Визируем 21,95 и устанавливаем над ним 20° на шкале тан¬
генсов; над 5,67 по шкале тангенсов читаем 43°15'. Однако
полуразность не может быть больше полусуммы (20°). По¬
103

этому угол приходится брать на общей шкале синусов и
тангенсов: 5°23'.
(Л 4- С = 40°
А-С= 10°46'
откуда сложением и вычитанием находим А = 25°23' и
С = 14°37'.
Сторона Ь находится по теореме синусов
$1п25°23'	81п40°	81 п 14е37'
13,81 “	Ь 8,14
Откуда Ь = 20,7.
81’п 14° 37'
Последнее отношение —, не зависящее от двух
предшествующих в данной установке движка, служит кон¬
тролем решения: если под 14°37' шкалы синусов окажется
8,14, значит, треугольник решен правильно.
Площадь находится по формуле:
о	* о 13,81*8,14	. । . «о ос 1
5 = — 81пВ = —11— 81п 140 ^36,1.
2	2
Разобранный пример интересен тем, что в его решении
участвует общая шкала синусов и тангенсов. Как и в при¬
мере 3, это не вносит каких-либо изменений в установки
движка и ход решения. Надо быть только внимательным,
чтобы правильно решить, на какой шкале отсчитывать угол.
Ответ.
а
Ь
с
А
В
С
8
13,81
20,7
8,14
25°23'
140°
14°37'
36,1
Если данный угол острый, то решение несколько услож¬
няется. Уравнение
(Э0°—
а -|- Ь	а — Ь
уже не удастся решить относительно
Л — в
—-— столь просто, по
правилу пропорции и при одной установке движка, кай
.104

(С \
90°—— 1
будет больше 45°. На шкале тангенсов он не вмещается, чем
и объясняются затруднения. Придется предваритель-
(С \
90е	I, а искомый угол
2 . А —в
определять по величине его тангенса гд —-— .
Рассмотрим на числовом примере.
Пример 6 (№ 348—2) (СОУС).
Дано:	а = 225; Ь = 800; С = 36°40'.
Искомые Л, В, с и 5.
По теореме тангенсов записываем:
С А-В
С‘8Т <б ~г
а 4- Ь
Подставляя данные задачи
а — Ь
18°20'
1025	~
2
575
находим отдельно величину
с(е 18°20' = —		3,02.
18*20'
(18°20' шкалы тангенсов визируем у какого-либо конца ос¬
новной шкалы; под другим концом на основной шкале чи¬
таем результат 3,02. Запятая ставится из соображений
1 <с1§ 18°20' <30.)
Подставляя найденное значение котангенса в пропорцию
1025	575
и, сделав переброску движка, по правилу пропорции, над 575
читаем —	= 1,693 (благодаря тому, что первая цифра 1,
можно отметить и четвертую цифру результата 3 или 4). На
линейке по значению тангенса находим угол
= 90° — 30°32' = 59°28'.
2
105

Имеем систему:
В— А = 118’56',
ВЯ = 143’20'.
Откуда
В =131’08' и А =12’12'.
Разница 02' с ответами в задачнике П. В. Стратилатова
объясняется меньшей точностью линейки по сравнению с
четырехзначными таблицами логарифмов.
Нахождение остальных элементов интереса не представ¬
ляет.
Ответ
№
а
ь
с
Я
В
С
5
348(2)
225
800
636
13Г08'
12°12'
36°40'
53 750
Методические замечания и советы.
Прежде чем знакомить учащихся с вычислением последне¬
го случая решения треугольников на линейке, надо рас¬
смотреть вопрос общего решения по двум сторонам и углу
между ними так, как это делается в любом учебнике три¬
гонометрии.
На этом же уроке можно показать на линей¬
ке более легкий случай, когда данный угол тупой. Для пер¬
вого ознакомления едва ли стоит предлагать пример, где
участвует общая шкала синусов и тангенсов (пример 5).
Учитель без труда подберет другой. Пример 5 следует дать
во время тренировочной работы в классе, примерно через
урок.
На дом для подготовки к следующему уроку желатель¬
но повторить нахождение тангенса и котангенса угла, боль¬
шего 45°, и обратную задачу в виде нескольких примеров
типа: найти с,1§ 18’20', или найти угол А, если извест¬
но А = 1,693. Правильность решений проверять по
таблице Брадиса.
106

§ 24.	Контрольные, лабораторные и самостоятельные
работы на решение треугольников
Теперь, когда изучены все обычные случаи решения тре¬
угольников на логарифмической линейке, выскажем не¬
сколько общих соображений.
В каждом треугольнике, помимо основных элементов,
сторон и углов, мы находили и вычисляли еще и площадь,
не причисляемую к основным элементам (см. например,
С. И. Новоселов «Тригонометрия», § 35). Однако научить
вычислять площади нам кажется желательным потому,
что в геометрических задачах находить ее приходится час¬
то: при отыскивании величин поверхностей, объемов и т. п.
В случае недостатка времени от вычисления площади мож¬
но отказаться, но наш обзор решения треугольников был
бы неполным, если бы мы исключили площади из рассмот¬
рения.
На решение треугольников можно очень разнообразно
проводить контрольные, лабораторные и самостоятельные
работы: на каждый случай отдельно, включая в ту или иную
работу по мере накопления два, три, наконец, все четыре
случая вместе (что, на наш взгляд, менее целесообразно),
можно провести две работы, включив по два случая в каж¬
дую, и т. д.
Хотим предупредить учителя, что в первом и втором
случаях (СУУ и ССУ) треугольники решаются по теореме
синусов очень быстро и более десяти минут на каждый тре¬
угольник давать не следует. Здесь хорошо устраивать «ле¬
тучие» контрольные работы на половину урока.
Хорошо проведенная работа требует от учителя под¬
готовки, которая состоит в следующем: учитель должен
выбрать (из стабильного задачника) несколько треуголь¬
ников и тщательно прорешать их на линейке, чтобы пре¬
дупредить какие-либо нежелательные ходы решения. На¬
пример, если слишком малые углы, может включиться об¬
щая шкала синусов и тангенсов, что нетипично и в контроль¬
ной или самостоятельной работе предлагать не стоит; для
углов, близких к 90°, плохо отыскиваются синусы и т. д.
Треугольников для такого тщательного решения мож¬
но взять два, три. Этого достаточно, чтобы обеспечить класс
необходимым числом вариантов (четыре — шесть). Линей¬
ные величины каждого треугольника можно умножать
делить) (конечно, на линейке) на коэффициенты пропорцио¬
107

нальности (два, три, полтора, десять, сто и т. д.) и полу¬
чать треугольники, столь же надежные, как и исходный.
Площади в таком случае нужно умножать (делить) на квад¬
рат взятого коэффициента подобия. Можно еще переимено¬
вывать стороны и углы в порядке круговой перестановки.
Примерная контрольная работа на решение пря¬
моугольных треугольников.
Вари¬
ант
Зада¬
ча
а
Ъ
с
А
В
С
5
№ 1
№ 1
81,7
57,5
99,9
54°50'
35®10'
90®
2350
№ 2
21,9
22,2
31,2
44°35'
45°25'
90°
243
№ 2
№ 1
24,7
18,3
30,7
53°30'
36°30'
90°
220
№ 2
25,35
39,2
46,7
32°50'
57°
90°
496
№ 3
№ 1
40,9
28,8
50
54°50'
35’10'
90°
587
№ 2
10,9
11,1
15,6
44°35'
45’25'
90°
60,9
№ 4
№ 1
12,33
9,15
15,35
53’30'
36’30'
90е
56,4
№ 2
50,7
78,4
93,4
32’50'
57’
90°
1990
Ниже приводится контрольная работа на первый слу¬
чай решения косоугольных треугольников (по стороне и
двум углам) в шести вариантах, составленная всего из двух
треугольников. Взяты треугольники, стороны которых точ¬
но выражаются не более чем тремя значащими цифрами,
а углы только в градусах без минут — двумя цифрами.
Из каждого треугольника умножением или делением на
2, 10 и 100 (а площади соответственно на 4, 100 и 10000)
получено еще несколько подобных треугольников. Одна
и та же сторона в одном треугольнике именуется а, в дру¬
гом — Ь и т. д. Соответственно переименованы и противо¬
лежащие углы. Каждый вариант состоит из двух задач и
рассчитан не более чем на 30 минут.
Контрольная работа на решение ко с оу гол ьн ы х
треугольников.
108

Вари¬
ант
Зада¬
ча
а
ь
с
А
в
С
5
№ 1
№ 1
195
204
140
66е
73е
41°
13 000
№ 2
67
60
49
75°
60°
45°
1420
№ 2
№ 1
12
9,8
13,4
60°
45°
75°
56,8
№ 2
408
280
390
73°
41»
66е
52 000
№ 3
№ 1
14
19,5
20,4
41е
66°
73°
130
№ 2
4,9
6,7
6
45е
75°
60е
14,2
№ 4
№ 1
134
120
98
75°
60°
45°
5680
№ 2
39
40,8
28
66°
73°
41°
520
№ 5
№ 1
204
140
195
73°
41°
66
13 000
№ 2
0,6
0,49
0,67
60°
45°
75°
0,142
№ 6
№ 1
0,98
1,34
1,2
45°
75°
60
0,568
№ 2
280
390
408
41°
66’
73е
52 000
Такие целочисленные треугольники, из которых состо¬
ит работа, на линейке составляются быстро и легко. По¬
кажем, как это делается. Берем произвольную установку
движка, соответствующую отношению каких-нибудь слу¬
чайных двузначных отсчетов, например 75 и 67:
31П 75е
67
Передвигая визирную рамку вдоль шкалы синусов, заме¬
чаем, что точные целочисленные отсчеты в два-три знака
при данной установке движка получаются еще, например,
для чисел:
31 п 60° е 81 п 54°	81 п 48°
60 ’	56 ’	51,5 ‘
Теперь остается подобрать третье отношение такое, чтобы
сумма трех углов была равна 180° и чтобы отсчеты были
круглыми:
75° + 60° + 45°,
или	75° +54° + 51°,
или	75° + 48° + 57°.
Третьими углами оказались 45°, 51° и 57°.
199

Подошло отношение
81п45
49 ’
получили треугольник с углами 75°, 60° и 45°, который ис¬
пользован нами в контрольной работе. Еще треугольник
с целочисленными элементами: углы 14°, 40°, 126°, сто¬
роны 260, 691, 870.
Мы не рекомендуем пользоваться целочисленными тре¬
угольниками на уроках, они далеки от реальности, но для
контрольной работы, для оценки точности вычислений уче¬
ника они удобны.
Перед контрольными работами полезно практиковать
так называемые «свободные» домашние задания. Они дают¬
ся в виде таблицы, состоящей из двух-трех треугольников,
подобной таблице на странице 108. Ученику предлагается
решить определенное количество задач на треугольники,
но ученик свободен выбирать более подходящие ему слу¬
чаи. Пользуясь этой таблицей, он сам составляет себе за¬
дачи, выбирая из нее данные элементы и вычисляя осталь¬
ные. Такие таблицы назовем «тренировочными».
Тексты контрольной работы под копирку переносятся
на соответствующее количество отдельных листов. Если
нет пишущей машинки, то размножать лучше всего шари¬
ковой ручкой, подложив под бумагу стекло. На стекле сталь¬
ной шарик свободно выдавливает четыре (а на тонкой бу¬
маге и пять) экземпляра. Мы говорим об этом потому, что
знаем, сколько времени тратят учителя на размножение
контрольных работ нерациональными способами! Листоч¬
ки нумеруются подряд по порядку. (Ученику не следует
знать, сколько имеется разных вариантов в классе.)
Проверяются контрольные работы на решение треуголь¬
ников по заготовленным шаблонам очень быстро. Предосте¬
регаем только в том, что: 1) последняя (третья) цифра при
расчетах на линейке у неопытного вычислителя может ко¬
лебаться очень сильно (особенно если первая цифра 8 или
9); 2) иногда треугольник может быть решен целиком не¬
верно из-за одной какой-либо негрубой ошибки вначале,
поэтому, чтобы оценка работы была объективной, нужно
тщательно просматривать весь ход решения и все записи.
Облегчает проверку контрольной работы на решение
треугольников наличие графической проверки. Чертеж поч¬
ти с одного взгляда позволяет судить, верно ли решен тре¬
угольник, а также выявить ошибку.
ПО

ГЛАВА V
ДАЛЬНЕЙШЕЕ ИСПОЛЬЗОВАНИЕ
ЛОГАРИФМИЧЕСКОЙ ЛИНЕЙКИ В X И XI КЛАССАХ
Закрепление навыков вычислений на линейке и решение
на ней новых задач в X классе возможно на протяжении
всего учебного года на уроках алгебры, геометрии, триго¬
нометрии, физики, химии, в процессе производственного
обучения и на занятиях математического кружка. В ре¬
зультате использования линейки для выполнения вычис¬
лительных работ на занятиях по физике, химии, электро¬
технике и другим предметам производственного обучения
учащиеся получат значительную экономию времени и будут
совершенствоваться в вычислениях на линейке.
§ 25.	Использование линейки при изучении
комплексных чисел
Помимо повторения шкал лицевой стороны, действий
второй и третьей ступени, линейку желательно широко
использовать на уроках алгебры при изучении комплекс¬
ных чисел для приближенного нахождения модуля и ар¬
гумента комплексного числа а -}-Ы.
Имеющихся навыков у учащихся достаточно, чтобы вы¬
числить модуль р и аргумент <р по известному значению па¬
раметров а и Ь или решить обратную задачу.
Представляет интерес искусственный прием вычисле¬
ния нелогарифмичного выражения модуля р =ул а2 4- Ь2.
Покажем на примере «египетского треугольника» (со
сторонами 3, 4 и 5):
р = /з» 4- 4« = з/ 1+ (7)2~3^1-г 1,78=3/2?78 ~ 5.
На основной шкале делим 4 на 3 и на шкале квадратов чи¬
таем 1,78; мысленно прибавив единицу, визируем опять
на шкале квадратов 2,78 (на той же первой подшкале);
подводя метку 1, умножаем на 3 на основной шкале, где и
читаем результат 5.
Если выносить за знак корня 4, то получим:
р= /324.42 =41/ 1\2 ~ 4/1 4-01562 =
V \ 4)
= 4/1,562 як 5.
111

Прибавив 1, со второй подшкалы квадратов (отсчет
0,562) надо перейти на первую (метка 1,562). Будьте вни¬
мательны в отношении выбора участка на шкале квадратов!
Более сложный пример:
р = /26,3»+ 50,8» = 26,3	1 4-	~
« 26,3 /1 4- 3,73 = 26,3 /<73 % 57,2.
Если выносить за знак радикала 50,8, то потребуется пе¬
реход с одной подшкалы квадратов на другую (числа 0,268
И 1,268).
Покажем на примерах переход от одной формы комплекс¬
ного числа к другой.
Пример 1. Мнимое число г = 5,8 — 3,4 I записать
в тригонометрической форме.
Решение.
Подсчет модуля:
/3,4\»
14- (5^; «6,72.
Нахождение аргумента:
Ь 3 4
<р = — = —— « 0,587, что соответствует острому
а 5,8
углу <р, дг 30°25', и так как, судя по координатам точ¬
ки, изображающей комплексное число (5,8; — 3,4), она
расположена в первой отрицательной четверти, то аргумент
<р = — 30и25' (можно брать 329°35').
Ответ: 2=5,8—3,4г % 6,72 (соз (—30°25') -Н з1п(— 30°25'))-
Пример 2. Мнимое число
г = 24,3 (соз 147°20' +< зш 147°21')
записать в алгебраической форме.
Решение.
соз 147°20' = — 81п 57°20'	— 0,845,
51п 147°20' = з1п 32°40' «	0,54
для удобства пользования шкалой синусов все функции
мы сводим только к синусам
г « 24,3 ( — 0,845 + 0,54 I) « — 20,5 + 13,1 /.
Ответ: г=24,3 (соз 147°20' + < з1п 147°20') « — 20,5 +
4- 13,1I.
112

Удобна линейка и для вычисления арифметического кор¬
ня при решении двучленного и трехчленного уравнений.
Например, решение уравнений
6х* + 5 = О или 6х® 4-5 = 0
требуют подсчета величин:
= У Ко, 833 ~ Ко,913 ~ 0.955,
Ко,833 ~ Vх 0,913 ~ 0,97,
или
6 Г Е у -
|/	= V )/ 0,333 ~Ко?94 °>97-
§ 26. Использование линейки при решении задач
по геометрии с применением тригонометрии
Логарифмическая линейка с успехом может использо¬
ваться для вычисления выражений, полученных при реше¬
нии геометрических задач с применением тригономет¬
рии.
Характер формул, которые могут получаться при ре¬
шении задач, довольно разнообразен, поэтому трудно го¬
ворить о каком-то общем пути при таких вычислениях на
линейке. В каждом отдельном случае можно выбрать луч¬
ший путь: комбинируя порядок вычислений, шкалы и т. д.
Прежде чем приступить к действиям, нужно все продумать:
обеспечить возможность визирования на шкалах линейки
всех величин, косинусы заменить синусами дополнительных
углов, тангенсы и котангенсы свести к тангенсам углов,
менее 45°, и т. д. Покажем на примере.
Пример 1. Задача № 18961.
Цилиндр вписан в прямоугольный параллелепипед, диа¬
гональ которого равна й и образует с меньшей боковой
гранью угол а. Определить объем цилиндра, если известно,
что диагональ основания параллелепипеда составляет с
большей стороной основания угол р.
1 Задача взята из «Сборника задач по тригонометрии! А. И. и
Н. И. X у д о б и н ы х, Учпедгиз, 1955.
8 Заказ 97
113

Вычислить объем цилиндра при й — 10,75 дм, а=
=» 30°40', р = 19°10'.
Решение задачи в общем виде приводит к следующей
формуле:

У гс43 81П2 3 /СОЗ (а + 3) СО8 (а — Р)
4 СО83 а	’
подсчитать числовое значение которой нужно при указан-
ных частных значениях параметров й, а и р.
Кубы и квадраты необходимо вычислить предваритель¬
но на соответствующих шкалах.
Подкоренное выражение соз (а 4- р) соз (а — р) перем¬
ножим, для чего заменим, как обычно, косинусы синусами
дополнительных углов. Нет надобности читать, а тем более
находить численные значения этих синусов. Они перемно¬
жаются на шкале синусов по отметкам углов так же, как
перемножаются числа на основной шкале.
Подставив все эти предварительно найденные значения
в формулу, вычислим дробь по «правилу зигзага».
Итак, находим:
1)	(Р = 10,753 яа 1240 (по шкале кубов). Далее, пере¬
вернув движок тригонометрическими шкалами наверх
и строго совместив концы шкал, находим:
2)	81п2 19°10'^ 0,108 (визируя з1п 19°10'на шкале си¬
нусов, результат читаем здесь же на шкале квадратов);
3)	соз330°40' = 8Ш859°20' яг 0,635 (точно так же на шка¬
ле кубов);
4)	/соз49°50/соз 11°30' = /з1п40°10'.з1п78о30' «
0,632. Умножение производим, как говорилось выше,
оперируя с отрезками шкалы синусов, соответствующими
мантиссам Ц» з1п 40°10' и 1§ зш 78°30'; результат/0,632
читаем на основной шкале. Извлекать корень пока не нуж¬
но;
5)	подставляем найденные значения в данную формулу,
сокращаем на 4:
,,	1240.Л.0.108,/.	 ЗЮ.п.108,/.

4.0,635	0,632	0,635 ' 0,632.
Теперь подсчитаем величину дроби.
Для числа гс на шкале имеется особая метка. На
/0,632 умножаем в последнюю очередь, после деления на
знаменатель, экономя этим одну установку движка (это
важно для точности). Для умножения на корень достаточ-
114

но визировать подкоренное значение 0,632 на правой поло¬
вине шкалы квадратов и под ним на основной шкале про¬
читать р езультат.
Получается значащая часть 1318. Подсчет характерис¬
тики результата дает 2 + 0 4- ( — 1)+( — 1) —(—1)= 1;
один вылет (переброска движка) влево при умножении
увеличивает характеристику на единицу до 2, что соот¬
ветствует трехзначному числу 131,8 куб. дм (после округ¬
ления 132 куб. м).
Ответ задачника, вычисленный по четырехзначным таб¬
лицам логарифмов, — 131,4. Расхождение в четвертой
цифре объясняется различной точностью таблиц и линейки.
Четвертая (а если первая цифра слева не единица, то третья)
цифра результата, как правило, не может быть вполне на¬
дежной на линейке и практически в наших условиях всегда
колеблется в пределах нескольких единиц.
Упрощение формулы, предшествующее вычислению,
сводится к уменьшению количества величин или действий
с ними. Например, иногда может быть целесообразно такое
преобразование
а а
4 51П3—-СО8а —
4. о а а	2	2	• 9	. а
81П3 — СОЗ—’ =	= 8Ш2а Ле—.
2 2а	ь2
СО8—*
2
Множители	~ могут быть заменены на 0,5;
0,25; 0,125. или УЛ. полезно заменить на 81п60° и
2	3
30°. Степени с одинаковыми показателями могут объеди¬
няться в группы. Например, вычисляя объем призмы в задаче
№ 1901 («Сборник задач по тригонометрии» А. И. и Н. И.
Худобиных) в полученной формуле, являющейся буквен¬
ным ответом к задаче
71 ]/*2 Ь3 81 п3 2а
128 СО83 (а — 45°) *
• лгоГ Ь51п2а I3
удобно выделить кзш45  	—- .
[ 4 СО8 (а — 45°) ]
Пора отказаться от традиционного «приведения к ви¬
ду, удобному для логарифмирования», превращающегося
часто в самоцель. Например, проще найти на линейке
8*	115

(а также и по таблицам натуральных значений тригоно¬
метрических функций) величину 1-|-со8а, чем 2сО52 —
&
или тем более 1-|-51па, чем 2соз2(45°—— । .
\	2 /
„	-	1 4- СО5 а
Другое дело, если речь идет о дроби —4	 или
81П Л
-1 **'8|П" , где замена на 2 соз2 — ведет к упрощению все-
СО8а	2
го выражения.
Наблюдения показывают, что лишь в первое время, как
и в работе с таблицами, ученики затрудняются в таких рас¬
четах. В дальнейшем они довольно скоро полностью осваи¬
вают технику.
§ 27.	Переход от градусной меры к радианной
и обратная задача
Из тригонометрии известно, что переход от градусной ме¬
ры к радианной осуществляется при помощи пропорции
180° == а?_
к а *
где а° — градусная мера и а — радианная мера одного и
того же угла.
Задача лучше всего решается по правилу пропорции.
Постоянная установка движка, соответствующая отноше-
к *80° к "
нию либо —, либо дает возможность находить гра¬
дусную меру угла, когда известна радианная, или решать
обратную задачу — вычислять радианную меру, зная гра¬
дусную. Это зависит от того, какая из двух величин а или
а° известна.
При одной установке движка можно решить сразу
несколько задач (серийно).
«оло	а°	в°	а°
= ^ = -г = -2 = ...=_? = р° = 57,3е.
в	а,	02 а3	ап
116

Величина отношения = р® да 57,3° служит здесь
коэффициентом пропорциональности. Подробнее о ней бу¬
дет сказано позже.
Пример 1. Найти радианную меру угла 15°42'.
Так как на шкалах линейки нанесены деления в деся¬
тичных долях, то 15°42' визируется, как 15,7° (42' = 6' • 7,
полагая 6' = О, Г):
180° _ 15,7°
я а
Откуда по правилу пропорции на линейке находим а —
= 0,274.
Результат можно проверить по таблице Брадиса.
Пример 2. Найти градусную меру угла 1,48 радиа¬
нов. На той же установке движка
180° _ а°
х 1,48’
Читаем а0 = 84,8° = 84°48'.
180°	57 3°
Отношение	= —’■— представляет собой градусную
К	1
меру одного радиана. Из последней пропорции видно, что
по метке р =57,3 = —, визирующейся у правого кон-
Я
ца линейки над конечной единицей 101, движок можно
быстро установить в положение —, при котором ведет¬
ся пересчет градусной меры в радианную.
Если углы выражены в минутах, то над конечной еди¬
ницей 10 таким же образом должна быть другая метка
р' = 180 ’60 да 3438х, представляющая собой величину
К
одного радиана, выраженного в минутах. Эта метка
р' = 3438х, как правило, имеется на шкалах линейки.
Пример 3. Найти радианную меру угла 18'.
Запишем пропорцию:
18' = рх
а 1
1 Можно и над начальной единицей, что будет соответствовать
переброске движка.
117

На линейке находим а = 0,00524 (по таблицам Брадиса,
где указано лишь четыре десятичных знака, читаем 0,0052).
Существует метка р ~~ 206205 для пере-
тс
вода секунд в доли радиана, с которой обращаются точ*
но так же, как и с метками р°, р'.
Пример 4. Пересчитать в радианную меру угол
11“23'41".
Находим отдельно радианные меры угла 11°, потом
0°23' и 0°0'41", затем суммируем их.
11° = 0,1920 радианов
0°23' = 0,00669	»
0°00'41" = 0,000199 »
1 Г23'41" = 0,198889 радианов.
Задача решена.
Можно было бы 1Г23'41" пересчитать на линейке в
секунды (11- 60 - 60" 4- 23 • 60" 4*41 "	41000") и
найти искомую величину а 0,199 радианов из пропорции
41 000"	_₽2_
а	1
Пусть читатель судит, какое из двух решений короче.
§ 28.	Применение линейки при практических работах
на местности
Особенно следует настаивать на использовании лога¬
рифмической линейки при проведении в X классе практи¬
ческих занятий на местности. Определение расстояния от
данной до недоступной точки и между двумя недоступными
точками, а также определение высоты предметов потребует
решения треугольников. Измерение длин и углов при по¬
мощи школьных инструментов может дать исходные дан¬
ные приближенно и к тому же с большой погрешностью.
Четырехзначные таблицы логарифмов в таких условиях
оказываются излишне точными, загромождают вычисле¬
ния, а главное — создают у учащихся ложное представле¬
ние о полученных величинах. Здесь точность, даваемая
линейкой, вполне достаточна. В полевых условиях линей¬
ка, кроме того, удобнее таблиц.
Например, при нахождении расстояния АВ до недоступ¬
ной (черт. 31) точки В нужно выбрать базис длиной Ь и из-
118

мерить инструментом углы А и С. Тогда: —-— =

81П С 51П В
где Ь — известная и с — искомая величина.
Пусть величина измеренная на местности, равна 112 м;
углы А и С, измеренные инструментом, равны А = 39°,
С=П°. Вычислив третий угол В = 64°, искомое расстояние
АВ — с находим из пропорции:
81 п 64°	81П 77°
~П2 с~'
Получим с ~ 121,5 м 122 м.
§ 29.	Использование логарифмической линейки
на уроках физики, химии и в производительном труде
Для решения вычислительных задач на уроках предме¬
тов политехнического цикла, а также задач, возникающих
в производительном труде, учащиеся должны использовать
логарифмическую линейку постоянно. Однако заметим, что
многие задачи в стабильных задачниках по физике и особен¬
но химии построены на слишком круглом целочисленном
материале, специально подобранном для гладкости расче¬
тов, а поэтому далеки от реальных вычислений, и мало по¬
казательны для применения линейки. Это обстоятельство
во многом служит причиной крайне слабого проникнове¬
ния линейки на уроки физики и химии.
119

1. Использование логарифмической линейки на уроках
физики. Большинство физических констант и опытные ре¬
зультаты, полученные при лабораторных исследованиях
(вес, температура и т. п.), содержат не более трех значащих
цифр, поэтому можно во всех случаях применять для вы¬
числений логарифмическую линейку без потери точности
результатов.
Определение значения физической величины по заданной
формуле. Учителя физики в ходе объяснения нового мате¬
риала часто решают простейшие упражнения по определе¬
нию численного значения величины из формул. При этом
данные целесообразно брать с реальной точностью (три-че¬
тыре значащие цифры), что оправдывает применение лога¬
рифмической линейки.
Пример 1. После того как сообщен закон Джоуля —
Ленца (? = 0,24 /2/?/, где — количество выделившейся
теплоты в проводнике в калориях, / — ток в амперах, —
сопротивление проводника в омах, /— время в секундах,
учитель предлагает учащимся при помощи логарифмической
линейки вычислить количество теплоты, выделившейся
при / « 1,15 а, 7?	42,5 ом, I 39,5 мин. Полученный
результат дает возможность учащимся более реально пред¬
ставить -количественную взаимосвязь в рассматриваемом
физическом процессе.
Исследование функции на возрастание и убывание. На
уроках физики учащихся знакомят с разнообразными функ¬
циональными зависимостями между величинами. Здесь
часто приходится решать задачу о том, как изменяется дан¬
ная величина при изменении тех величин, от которых она
зависит. Этот предварительный вывод помогает сделать
вычисления.
П р и м е р 2. Учащиеся устанавливают, что зависимость
между предельным углом падения ?0 и показателем прелом¬
ления п дается следующей формулой зш *[0 = — • Учитель
п
ставит вопрос: как будет изменяться предельный угол па¬
дения 70 при увеличении (уменьшении) показателя прелом¬
ления п? Учитель предлагает вычислить значение ?0 при
п, за 1,33 (вода ) и п2 1,51 (стекло). Выполняя вычис¬
ления при помощи логарифмической линейки, учащиеся
получают, что при п2 > пх будет -ц < -ц , т. е. большему
значению показателя преломления п соответствует меньший
предельный угол ?0.
120

Нередко физическая величина является функцией не¬
скольких переменных, но и в этих случаях путем повтор¬
ных вычислений можно сделать предварительный вывод о
характере ее изменения.
Пример 3. После вывода формулы
с с, с2 сп
(С — общая емкость при последовательном соединении кон¬
денсаторов, С1, С2,..., Сп — емкости составляющих цепь
конденсаторов) ставится вопрос: как изменится общая ем¬
кость С, если одновременно увеличить емкости С,, С2,..., Ся?
Для предварительного заключения учащимся предлагает¬
ся вычислить значение С при С, 2,5 мкф, С2 ^3,7 мкф,
а затем при С\ ^7,4 мкф,	мкф. В ходе вычис¬
лений (используется шкала обратных величин) учащиеся
убеждаются, что при С,' > Ср С/ > С2, будет С' < С.
Результаты, полученные при исследовании функцио¬
нальных зависимостей между физическими величинами,
учащиеся используют при объяснении различных физи¬
ческих явлений.
Решение задач и выполнение лабораторных работ. При
решении физических задач учащимся рекомендуется нахо¬
дить ответ в общем виде, а затем вычислять значение иско¬
мой величины при тех данных, которые указаны в условии
задачи.
Пример 4. При изучении раздела «Электричество»
учащиеся рассматривают решение следующей задачи:
Кислотный аккумулятор, имеющий э. д. с. 2 в и внутрен¬
нее сопротивление 0,04 ом, питает током лампочку. Под¬
водящие ток медные провода имеют длину 4 м и диаметр
0,8 мм. Напряжение на зажимах аккумулятора 1,98 в.
Найти сопротивление лампочки.
Решение задачи приводит к формуле
#	— и(&1 -Ь /?г)
и
где /? — сопротивление лампочки, Е — э. д. с. аккумуля¬
тора , и — перепад напряжения внутри аккумулятора, Рх—
внутреннее сопротивление аккумулятора, Рг — сопротив-
121

ление подводящих проводов, причем Ее = — (р — удель-
71 (I2-
ное сопротивление меди, / — длина провода, с? — диаметр
провода).
Полученную формулу необходимо вычислить при
«2в, и 0,02 в, Я.^0,04 ом, р^0,017-^^, 1^4 м,
м
мм.
Использование счетной линейки экономит время, спо¬
собствует не только сокращению расчетов, но и удерживает
учащихся от записи в результатах лишних, сомнитель¬
ных цифр, которые они обычно оставляют при письменных
вычислениях, забывая применять правила приближенных
вычислений.
Применение линейки для расчетов целесообразно при
выполнении таких лабораторных работ, как «Определение
удельного сопротивления проводника», «Определение э. д. с.
и внутреннего сопротивления источника тока», «Опре¬
деление теплового эквивалента работы тока по закону
Джоуля — Ленца», «Определение электрохимического
эквивалента меди», «Определение показателя прелом¬
ления среды», «Определение фокусного расстояния
линзы».
Линейка удобна при расчетах по формулам:
3. . а/2 с	, 2а
0 г 2	1 г-	гБв
V = Кга5 ; Т = 2к К/С;	+ -у	•
— — (п — 1). (— 4- — ; А = Г5 соз а; Е = !_ соза.
Р	\/?1 Нг)	г*
81П70 = — ; х = Лз!п а>/, 1г —2 кг а.
п
2. Использование логарифмической линейки на уроках
химии. В процессе обучения химии — при изучении теоре¬
тического материала, при решении задач, при выполнении
лабораторных работ — учащиеся выполняют большое ко¬
личество расчетов. Отметим наиболее важные из них: вы¬
числение по формуле молекулярного веса вещества и весо-
122

вого отношения элементов в веществе; вычисление по урав¬
нениям реакций весовых отношений, в которых взаимодей¬
ствуют и образуются вещества; расчет количества раство¬
рителя и растворяемого вещества для приготовления оп¬
ределенного количества раствора заданной процентной кон¬
центрации; расчет количества растворенного вещества,
содержащегося в определенном количестве раствора извест¬
ной концентрации; вычисление по формуле процентного
содержания элементов в химических соединениях; вычис¬
ление по формуле вещества количества продукта, которое
можно получить из определенного количества этого вещест¬
ва; вычисление по уравнениям реакций количества исход¬
ного вещества для получения определенного количества
заданного вещества и, наоборот, определение выхода ве¬
щества в процентах по отношению к теоретическому; опре¬
деление количества вещества, которое будет содержаться
в продуктах реакции, если для реакции одно из исходных
веществ взято в избытке; определение количества вещества,
которое будет получено из исходных веществ, содержащих
определенный процент примеси; определение простейшей
формулы вещества, исходя из процентного содержания в
нем элементов; определение молекулярного веса вещества,
зная его плотность в газообразном состоянии по водороду
или воздуху; определение молекулярной формулы вещест¬
ва при известном процентном содержании в нем элементов
и плотности его в газообразном состоянии; определение
плотности вещества по его химической формуле; опреде¬
ление объема, который будет занимать при нормальных ус¬
ловиях известное весовое количество газа; расчет объема
газа, необходимого для получения определенного количест¬
ва заданного вещества.
Подавляющая часть перечисленных расчетов сводится
к выполнению умножения, деления, возведения в степень,
решению пропорций и, следовательно, легко решаются при
помощи логарифмической линейки. Поясним сказанное на
примерах..
Пример 5. Возьмем простейшую реакцию окисле¬
ния алюминия
4А1 + 3 О2 = 2 А12О3.
108,0 96,0	204,0
Молекулярные веса
123

По этой реакции можно решать следующие задачи:
1)	Сколько надо алюминия, чтобы получить 35,5 г оки¬
си его?
2)	Сколько получится окиси алюминия из 20,5 г его?
Задачи сводятся к решению пропорций:
108 х	108	20,5
204 “ 35,5 ’	204 х '
Значительная часть химических задач (определение мо¬
лекулярного веса газа, молекулярной формулы газа, от¬
носительной плотности газа) сводится к вычислениям при
помощи формулы
где V — объем грамм-молекулы, М — грамм-молекуляр-
ный вес газа, 7 плотность газа.
Примером могут служить задачи № 12—1, 12—99 из
стабильного задачника.
Безусловно, что во всех рассмотренных случаях при¬
менение логарифмической линейки способствует более ра¬
циональному производству вычислений.
3.	Использование логарифмической линейки в произво¬
дительном труде учащихся. Здесь логарифмическая ли¬
нейка используется учащимися, во-первых, непосредствен¬
но в цехе (расчеты, связанные с технологическим процес¬
сом и техникой, которую обслуживают учащиеся), во-вто¬
рых, при изучении различной технической документации
и технической литературы с целью совершенствования своей
квалификации. Особенно это свойственно учащимся вечер¬
них (сменных) школ, обладающим значительным опытом
работы на производстве.
Естественно, что характер применения учащимися ло¬
гарифмической линейки в производительном труде опреде¬
ляется в первую очередь той профессией, которой они ов¬
ладели или овладевают.
Для примера дадим краткую характеристику приме¬
нения логарифмической линейки учащимися, работающими
на химико-технологических предприятиях.
Основные профессии рабочих химико-технологических
предприятий следующие: аппаратчик, лаборант, слесарь
по ремонту контрольно-измерительных приборов и автома¬
тики.
124

Аппаратчики и лаборанты применяют логарифмическую
линейку в первую очередь для расчетов по уравнениям хи¬
мических реакций (умножение, деление, решение пропор¬
ций), для расчетов составов продуктов и полупродуктов
(простейшие задачи на проценты). Лаборанты цеховых и
заводских лабораторий используют логарифмическую
линейку при выполнении химических анализов. Например,
лаборант химической лаборатории резино-асбестового
завода при проведении анализа цинковых белил выполняет
вычисления по следующей формуле:
_ 100&.р-Т-У
А
где к — коэффициент пересчета цинка на окись цинка,
р — величина разбавления, Т — титр, V — объем раство¬
ра, пошедшего на титрование, А — навеска вещества.
Величины, входящие в формулу определяются лабо¬
рантом опытным путем, причем все они содержат, как пра¬
вило, три верные значащие цифры.
Во многих случаях, чтобы обеспечить ритм производ¬
ства, лаборант обязан проводить текущий анализ продук¬
ции систематически, часто в короткий промежуток времени.
Здесь логарифмическая линейка становится незаменимой.
Слесарь по ремонту контрольно-измерительных прибо¬
ров и автоматики использует логарифмическую линейку
для расчетов различных электротехнических цепей, а так¬
же при градуировке приборов.
Отметим, что при совершенствовании своей квалифика¬
ции ученик, а в будущем рабочий, обращается к изучению
специальной литературы. Ему приходится использовать
логарифмическую линейку для решения отдельных задач
теоретической механики, сопротивления материалов, тео¬
рии механизмов и машин, технологии материалов, теории
контрольно-измерительных приборов и автоматики, элект¬
ротехники, радиотехники. В целом все эти задачи, возни¬
кающие в ходе производственно-трудовой деятельности
учащегося-рабочего, требуют от него умения пользоваться
всеми шкалами логарифмической линейки.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие	 3
Глава /. Вычисления на линейке в восьмилетней школе
§ 1.	Описание линейки и	знакомство с основными шкалами	5
§ 2.	Умножение на линейке	 13
§ 3.	Деление на линейке	 18
§ 4.	Вычисление на линейке прямо и обратно пропорциональ¬
ных величин	 21
§ 5.	Комбинированное умножение и деление. Решение
пропорций. Процентные вычисления на линейке ....	25
§ 6.	Возведение в квадрат и в куб. Извлечение корней ...	38
§ 7.	Решение на линейке основных вычислительных геомет¬
рических задач	 43
Глава II. Обоснование действий на логарифмической линейке
в старших классах средней школы
§ 8.	Логарифмическая шкала	 49
§ 9.	Графическая таблица логарифмов. Логарифмирование и
। пот	енцирование на линейке	  54
§ 10.	Обоснование умножения на линейке . . .		 56
§11.	Обоснование деления на линейке	 64
§ 12.	Шкала обратных значений	 68
§ 13.	Обоснование возведения в квадрат, в куб и извлечения
квадратных и кубических корней	 71
Глава 111. Тригонометрические вычисления на линейке
§ 14.	Построение шкал синусов и тангенсов, нахождение на¬
туральных значений тригонометрических функций .	76
§ 15.	Общая шкала синусов и тангенсов	 80
§ 16.	Нахождение тангенсов углов, ббльших 45°, и котанген¬
сов углов, мёньших 45 , и обратная задача		83
Г лава IV. Решение треугольников
§ 17.	Два пути решения треугольников на линейке ....	87
§ 18.	Решение прямоугольных треугольников	 88
§ 19.	Решение косоугольных треугольников	 92
126

§ 20.	I случай решения косоугольных треугольников по сто-
роне и двум углам (СУУ)	 92
§21.	II случай решения косоугольных треугольников по
двум сторонам и противолежащему углу (ССУ) ...	95
§ 22.	III случай решения косоугольных треугольников по
трем сторонам (ССС)	 98
§ 23.	IV случай решения косоугольных треугольников по
двум сторонам и углу между ними (СУС)	 102
§ 24.	Контрольные, лабораторные и самостоятельные работы
на решение треугольников	 107
Глава V. Дальнейшее использование логарифмической
линейки в X и XI классах
§ 25.	Использование линейки при изучении комплексных чи¬
сел 	 111
§ 26.	Использование линейки при решении задач по геомет¬
рии с применением тригонометрии	 ИЗ
§ 27.	Переход от градусной меры к радианной и обратная за¬
дача 	 116
§ 28.	Применение линейки при практических работах на ме¬
стности 	 118
§ 29.	Использование логарифмической линейки на уроках
физики, химии и в производительном труде	 119

Константин Иванович Образ,
Борис Сергеевич Эппель
ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ЛИНЕЙКА В ШКОЛВ
Редактор И. И, Лепешкина
Обложка художника Ю. ^иеова
Художественный редактор Ь. Л Николаев
Технический ледакгор В. И Корнеева
корректор М, В. Голубева
• *
*
Сдано в набор 24/1VI962 г. Подписано
к печати 4/1Х 1962 г. 84хЮн*/и.
Печ л. Ь (6.56) Уч.-изд л. 6,03.
Тираж 130 000 экз. Заказ 97.
Учпедгиз.
Москва» 3-й проезд Марьиной рощи, 41,
Полиграфкомбинат Саратовского совнархоза,
г. Саратов, ул. Чернышевского» 59 .
Цена 16 коп.

Цена 16 коп.