К. И. Кабанова
Счетная
логарифмическая
ЛИНЕЙКА
6 школе

К. И. КАБАНОВА
СЧЁТНАЯ
ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ
ЛИНЕЙКА
В ШКОЛЕ
ПОСОБИЕ ДЛЯ УЧИТЕЛЕЙ
Под редакцией проф. В. М. Брадиса
ГОСУДАРСТВЕННОЕ
УЧЕБНО-ПЕДАГОГИЧЕСКОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
МИНИСТЕРСТВА ПРОСВЕЩЕНИЯ РСФСР
Москва * 1958

Введение
В настоящее время, когда все отрасли народного хозяйства
нашей страны развиваются на базе самой передовой техники,
когда техника неотделима от роста и совершенствования социа¬
листического производства, особенно повышается роль вычислений
с помощью механизированных счётных приборов. Как расчёты
«на глазок», так и расчёты, требующие длительного времени, не¬
совместимы с высшей техникой производства. Требования к
вычислениям — верно, быстро и с той степенью точности, какая
соответствует условиям вопроса, получать необходимый числен¬
ный результат — в подавляющем большинстве случаев произ¬
водственной практики удовлетворяются с помощью логарифми¬
ческой счётной линейки.
Логарифмическая счётная линейка обладает целым рядом
достоинств. Главные из них: линейка чрезвычайно сокращает вы¬
числительную работу, работа с помощью её не утомительна,
не сложна. При сравнительной компактности линейка позволяет
производить расчёты с тремя, а иногда с четырьмя верными
знаками, что вполне достаточно почти для всех практических
вычислений. По этим причинам логарифмическая линейка при¬
меняется почти для всех технических расчётов, сводя вычисли¬
тельную работу к минимуму. Поэтому считать на счётной линей¬
ке должен каждый инженер, техник и даже рабочий высокой
квалификации. Уметь вычислять с помощью логарифмической
счётной линейки должны люди, ещё только готовящиеся к
участию в производстве, в частности, студенты вузов, особен¬
но технических. Действительно, студенты, не знающие линейки,
при подсчётах результатов лабораторных работ тратят много
времени непроизводительно, так как пользуются только приема¬
ми вычислений, известными им со школьной скамьи. Но при
работе над дипломным проектом студенты совсем не могут обой¬
тись без знания логарифмической счётной линейки, без вычисле¬
ний с помощью её.
Таким образом, логарифмическая счётная линейка является
важнейшим счётным прибором, необходимым для практики.
з

В свете решений XX съезда КПСС о политехническом обу¬
чении и для школы вопрос о счётной логарифмической линейке
приобретает особую роль. Настало время, когда линейка должна
получить в школе полное право как средство для вычислений.
При решении задач на уроках математики, физики, химии в
старших классах должна широко применяться логарифмическая
линейка.
Цель настоящего пособия заключается в том, чтобы оказать
некоторую помощь учителям: 1) в освоении линейки ими сами¬
ми; 2) в организации работы по изучению линейки с учащимися.
В настоящее время имеется много книг по логарифмической
линейке. В различных книгах теория линейки излагается по-раз¬
ному: в одних — с обоснованием приемов вычислений, в других —
догматически. Известно, что сознательное усвоение знаний уча¬
щимися является одним из основных дидактических принципов.
Отсюда ясно, что изучение линейки в школе надо вести так,
чтобы учащиеся не только овладели техникой вычислений, но и
ясно понимали все приёмы работы с линейкой; необходимо тео¬
ретически обосновывать манипуляции на линейке при выполнении
вычислений по тем или иным формулам. Догматизм не должен
иметь места в методике изучения счётной логарифмической ли¬
нейки. Это—главное, о чем должен помнить учитель при орга¬
низации изучения линейки с учащимися.
Bθданном пособии вопросы теории и практики работы с
линейкой изложены на основании понятия функциональной шкалы
и её уравнения. Знание уравнений шкал логарифмической линей¬
ки позволяет сравнительно просто, прочно и сознательно усва¬
ивать приемы работы с линейкой. Для более сознательного
и быстрого усвоения линейки учащимися старших классов сред¬
ней школы весьма желательно проведение предварительной,
подготовительной работы в предыдущих классах (осуществление
пропедевтики). В пособии уделено внимание этому вопросу. По¬
следний параграф пособия отражает некоторые общие методиче¬
ские соображения, относящиеся к изучению счетной логарифми¬
ческой линейки.
§ 1. Двойные шкалы в курсе математики VI—VII классов
Все, или почти все, знакомы с двойной термометрической
шкалой Цельсия и Реомюра, позволяющей очень легко делать
перевод показаний (градусов) температуры по Цельсию в пока¬
зания по Реомюру, и наоборот (черт. 1). Например, если изве¬
стно, что температура воздуха равна 20oC (по Цельсию), то по
шкале определяем показание температуры по Реомюру. Для
этого на левой стороне шкалы отыскиваем штрих с числовой
меткой «20» и смотрим, какую числовую метку имеет противо¬
стоящий штрих на правой стороне шкалы. Видим, что темпера¬
тура по Реомюру равна 16°. Так же просто и быстро делается
4

перевод градусов Реомюра в градусы Цельсия: для этого доста¬
точно сделать переход с правой стороны шкалы на левую.
Устройство этой двойной термометрической
шкалы Цельсия и Реомюра, так же как и дру¬
гих подобных шкал, основано на понятии графи¬
ка функции в прямоугольной системе координат.
Зависимость между показаниями температуры по
Цельсию и Реомюру аналитически может быть
выражена так: у =1,25 х, где х — показания
температуры в градусах по Реомюру, а у — по
Цельсию.
Имеем, таким образом, функцию одного
аргумента.
Изобразим графически функцию y=l,25 х
в прямоугольной системе координат (черт. 2).
Наличие такого декартова графика данной
зависимости y≡=∕(*) позволяет очень просто
указывать значение у по данным значениям х и,
наоборот, значения х по данным значениям у.
Для того чтобы определить значения функции у,
соответствующее определенному значению х,
например х=3, надо, исходя из точки с меткой Черт. 1.
3 на оси абсцисс, проследить взглядом по вер-
Черт. 2.	Черт. 3.
меренный в масштабе построения, даёт значение y=∕(3) (в данном
случае y=8,75).
Теперь спроектируем ряд точек графика на одну из коорди¬
натных осей (черт. 3).
Например, возьмём точки графика, соответствующие значениям
аргумента 1; 2; 3;...; 10 и спроектируем их на ось ОУ. Все эти
5

проекции отметим штрихами и около них поставим цифровые
метки, которые указывают значения аргумента, соответствующие
спроектированным точкам. В результате на оси OY получили так
называемую функциональную шкалу, с помощью которой
можно получать значения функции с таким же успехом, как и
с помощью описанного выше графика: значения функции для
каждого переменного х будут получаться в виде отрезка y=∕(x),
измеренного в масштабе построения и заключающегося между
точкой О (начало шкалы) и той точкой шкалы, которая помечена
соответствующим значением х.
Если по другую сторону полученной шкалы (оси 0Y) против
каждого значения аргумента напишем соответствующее значение
функции у, то получим возможность по заданным значениям х
(аргумента) сразу же читать у, и наоборот. Те же значения х и
у, которые на шкале не отмечены, приходится брать приближённо
на глаз. Такая шкала с метками двух родов называется двой¬
ной или сдвоенной шкалой. Двойная шкала удобнее декар¬
това графика в том отношении, что отсчёты на ней не требуют
проведения (или прослеживания взглядом) прямолинейных отрез¬
ков, которые необходимо проводить при отсчётах по декартову
графику. Кроме того, сдвоенная шкала занимает несравненно
меньше места, чем декартова кривая.
Можно сказать, что двойная шкала представляет собой две функциональ¬
ные шкалы, нанесённые на одной и той же линии (в рассмотренном примере
эта линия —ось шкалы —прямая).
Всякой функции f(x), рассматриваемой в пределах изменения аргумента
х от x0=α Д° χn≈bt где a<b, соответствует некоторая функциональная шка¬
ла с уравнением x≈mf(x)t т — постоянное число, называемое модулем
или масштабом шкалы. Выбор значения т определяется целым рядом усло¬
вий: видом функций /(х), пределами изменения аргумента, размерами чер¬
тежа и т. п.
Символ х в уравнении шкалы означает расстояние от начала шкалы до
того её штриха', у которого стоит метка х (обозначенная цифрами или нет,
безразлично). Если аргумент обозначен какой-нибудь другой буквой (например,
α, b, cf...)t то для обозначения этого расстояния часто пользуются той же
буквой, но с чёрточкой сверху α, b, с,...
Штрихи шкалы соответствуют значениям аргумента x0≈αj χl≈a+h,t
x2= — a+2h∙t x3=α÷3Λj...
Постоянная величина h называется ступенью шкалы или ценой де¬
ления, а расстояние между двумя соседними её штрихами носит название
графического интервала шкалы. Графический интервал имеет посто¬
янное значение в случае, когда ∕(x)-функция линейная: f(x)≈ax+b. Фун¬
кциональная шкала такой функции — равномерная. Примерами таких шкал
могут служить каждая из функциональных шкал двойной термометрической
шкалы Цельсия и Реомюра, обыкновенная миллиметровая линейка й др.
В общем случае графический интервал — величина переменная. Чтобы не делать
его ни слишком большим, ни слишком малым, ступень шкалы (или цену деле¬
ния) берут иногда на разных участках неравномерной шкалы различной, но
чаще всего равной 1, 2, 5 единицам какого-либо разряда.
Следует иметь в виду, что метки x0, χ1, χ2,... являются значениями
аргумента_х, а соответствующие^ значения функции /(х) получаются в виде
отрезковx0=≡zπ∕(xσ)ι x1≈≡m∕(x1)j χ2≈≡∕n∕(x2)j..., измеренных в масштабе построе¬
6

ния и заключающихся между началом шкалы и теми точками шкалы, кото
рые помечены соответствующими значениями х.
Из сказанного нетрудно усмотреть связь, существующую между таблицей
значений функции f(x) для заданных значений х и её функциональной шкалой:
последняя является графической таблицей значений функции.
Из вышесказанного ясно, как получили двойную термометри¬
ческую шкалу Цельсия и Реомюра. Подобным же образом можно
получить двойные шкалы перевода русских мер в десятичные,
термометрическую шкалу Цельсия и Фаренгейта, шкалу связи
длины окружности и её диаметра и т. п.
В самом деле, зависимость между длиной окружности и её
диаметром аналитически выражается формулой y==πx (значение
π можно взять равным 3,14), зависимость между показаниями
температуры по Цельсию и Фаренгейту — формулой у=— х —
— 17 — ; формулы y=0,71 х и y=16,4x выражают зависимости,
которыми связаны соответственно аршины — метры и пуды — ки¬
лограммы. Каждая из перечисленных зависимостей связывает две
переменных и является линейной функцией одного аргумента.
Учащиеся VI—VII классов знакомятся с графиками функций
вида y≈ax и y=μx-]-b в прямоугольной системе координат.
Понятно, что шести- и семиклассников нетрудно познакомить с
принципом устройства двойных шкал для перечисленных функ¬
ций, а также научить пользоваться ими для перевода одних мер
в другие и т. п.
Рассмотрим, к примеру, как можно познакомить учащихся с двойной
шкалой для функции y=3,14 х (длина окружности в зависимости от длины
диаметра). Начать можно с построения графика функции у=3,14 х в прямо¬
угольной системе координат.
По графикам, начерченным учащимися на миллиметровой (или клет¬
чатой тетрадной) бумаге, решают несколько задач следующего характера:
1.	Найти графически длину окружности, если длина ее диаметра равна
1,5; 2; 3 см и т. д.
2.	Найти длину диаметра по длине окружности, равной 3,14; 6,28;
7,85 см и т. д.
При построении графика восставлялись перпендикуляры к оси ОХ в кон¬
цах отрезков, соответствующих 1; 2; 3;... единицам величины х. Эти перпен¬
дикуляры пересекают график. Можно предложить учащимся из точек пере¬
сечения графика с перпендикулярами к оси ОХ опустить перпендикуляры на
ось ОУ и у оснований последних перпендикуляров поставить те числа, которые
стоят у оснований соответствующих перпендикуляров к оси ОХ.
Отмечается, что на оси ОУ получили два ряда меток, обозначенных
числами: числа одного ряда (слева от оси ОУ) обозначают длины окружностей,
второй ряд (справа от оси ОУ) мы перенесли с оси ОХ; числа его обозначают
длину диаметров окружностей. Устанавливается, что теперь для нахождения
длины окружности по заданной длине диаметра нам не нужен декартов гра¬
фик, а достаточно лишь найти в правом ряду числовую метку, соответствую¬
щую длине диаметра, и прочитать противостоящую числовую метку в левом
ряду чисел. Далее можно решить несколько задач на определение длины
окружности по заданной длине диаметра и обратных задач с помощью полу¬
ченной шкалы. Здесь же уместно дать понятие о шкале, если этого не было
сделано ранее, привести примеры шкал (миллиметровая линейка, транспортир,
7

ось ОХ с делениями на ней и др.). Затем можно сообщить, что полученная
ось OY с двумя рядами делений (слева и справа от оси) называется тоже
шкалой и притом двойной, так как прямая OY несёт на себе два ряда меток
(делений): 1) для длины окружности и 2) для длины диаметра.
Нетрудно познакомить учащихся VI—VII классов и с некоторыми други¬
ми двойными шкалами, например, для функций, речь о которых была на
странице?. Важно сообщить учащимся, что на практике двойные шкалы имеют
большое применение, что для техников и инженеров нередко изготовляют
специально такие двойные шкалы на плотной бумаге.
Весьма желательно и для школьников иметь готовые шкалы.
Необходимо, чтобы учащиеся пользовались введёнными двойными шкалами
для соответствующих вычислений на уроках математики, физики и др.
§ 2. Двойные шкалы в VIII—IX классах средней школы
В VIII классе представляется возможным и целесообразным
познакомить учащихся с двойными шкалами квадратов и квад¬
ратных корней, кубов и кубических корней, для нахождения
значений синусов и др. Так как учащиеся в VIII классе уже
Черт. 4.
прочно овладевают построениями графиков в прямоугольной
системе координат, то идея построения двойных шкал для функ¬
ций от одной переменной не вызовет никаких затруднений. Ис¬
ходя из наличия тщательно и в достаточно крупном масштабе
заранее построенного на клетчатой (лучше миллиметровой) бумаге
графика квадратной функции, учащиеся VIII класса в состоянии
проектированием графика построить соответствующую двойную
шкалу и, таким образом, усвоить идею возникновения и построе¬
ния двойных шкал.
На практике функциональные шкалы строят не проектиро¬
ванием декартова графика; существуют другие, более рациональ¬
ные пути построения шкал. Существенным в теории построения
функциональных шкал является понятие уравнения шкалы.
Понятие уравнения шкалы и построение шкалы по её уравнению
восьмиклассникам безусловно доступно.
Понятие уравнения шкалы можно ввести на следующем
примере.
Возьмём обыкновенную миллиметровую линейку (черт. 4). На
ней, вдоль ребра, через каждый миллиметр нанесены штрихи.
8

Цифрами обозначены лишь штрихи, указывающие целые санти¬
метры. Будем говорить вместо «штрихи с цифровым обозначением» —
«цифровые метки», а вместо «штрихи без цифровых обозначений» —
«немые метки». Хотя на миллиметровой линейке обозначены ци¬
фрами не все метки, но прочитать мы можем любую метку и
даже метку любой точки, находящейся между штрихами. Напри¬
мер, метка, расположенная на расстоянии 27 мм от начала шкалы,
есть 2,7, а метка, расположенная на середине отрезка между
метками 7,3 и 7,4, есть 7,35.
По какому же закону нанесены штрихи на миллиметровой
линейке?
Легко видеть, что расстояние каждого штриха от начала
шкалы пропорционально метке этого штриха. В самом деле,
метка 3 находится на расстоянии 30 мм от начала шкалы,
метка 4,5 — на расстоянии 45 мм и т. д. Если обозначим расстояние
какой-либо метки а от начала шкалы через а (а с чёрточкой),
то закон расстановки штрихов на метрической линейке можно
выразить так:	_
α=10α.	(1)
Формулу, выражающую закон расстановки штрихов на шкале,
называют уравнением шкалы.
Так, для метрической шкалы уравнение имеет вид (1), где
а— метка, а — расстояние её от начала шкалы, 10 — коэффициент
пропорциональности. Коэффициент пропорциональности выражают
обыкновенно в миллиметрах и называют его масштабом или
модулем шкалы. Как нетрудно понять, модуль шкалы выра¬
жает длину отрезка от начала шкалы до той её точки, которая
соответствует значению функции, равному единице.
Метрическая шкала — равномерная прямолинейная шкала. Роль
оси её выполняет ребро линейки.
Из сказанного понятно, как построить шкалу, заданную
своим уравнением.
Рассмотрим, каким образом можно построить шкалу (двой¬
ную) для квадратной функции, т. е. шкалу, с помощью кото¬
рой можно возводить числа в квадрат и извлекать квадратный
корень из чисел. Назовём такую шкалу квадратичной.
Взяв полоску миллиметровой бумаги размером 230 мм ×30 мм,
проведём посередине прямолинейный отрезок длиной в 200 мм.
Это будет ось шкалы. Далее, по одну сторону оси (сверху)
нанесём перпендикулярные к ней штрихи по уравнению: a = 2a
(а —метка штриха, а — его расстояние от начала шкалы в милли¬
метрах). Получим равномерную шкалу с метками от 0 до 100
(черт. 5).
По другую сторону оси (снизу) нанесём штрихи по уравнению
b=2b2, где b — метка штриха; b — её расстояние от начала шка¬
лы в миллиметрах. Получим неравномерную шкалу с метками от
9

О цо 10. Построить шкалу нетрудно, если воспользоваться табли¬
цей квадратов. Действительно, беря из таблицы значения квад¬
ратов чисел и умножая их на 2, получим выраженные в милли¬
метрах расстояния соответствующих меток от начала шкалы.
На первой шкале длинные штрихи обозначают метки: 0; 5; 10;
15; 20;...100; короткие штрихи—1; 2; 3; 4; 6; 7; 8; 9; 11; 12;
13; 14; 16; 17 и т. д. Кроме этого на миллиметровой бумаге
получаются метки: 0,5; 1,5; 2,5; 3,5 и т. д.
На второй шкале длинными штрихами обозначены метки: 1;
1,5; 2; 2,5; 3; 3,5; 4; 4,5; 5; 5,5; 6; 6,5; 7; 7,5; 8; 8,5; 9; 9,5;
10; короткими штрихами — 2,1; 2,2; 2,3 и т. д. до 2,9; далее 3,1;
3,2; 3,3; 3,4; 3,6; 3,8; 3,9; 4,1; 4,2; 4,3; 4,4; 4,6; 4,7; 4,8; 4,9*...
Назовём первую шкалу А, а вторую — В; будем обозначать в
общем случае метки первой шкалы а, второй — Ь. Рассматривая
шкалы А и В совместно, замечаем, что против меток b шкалы В
стоят квадраты тех же меток на шкале А. Объясняется это
обстоятельство просто, если исходить из уравнений шкал и учесть
тот факт, что начальные метки их (О) противостоят друг другу.
В самом деле, если метки а и b противостоят друг другу, то их
расстояния от начала шкал равны между собой: a≈b. Но a≈2a∙,
b==2b2, а поэтому 2α=26a, или ft2=α.
Получаем следующие правила для возведения в квадрат и
извлечения корня с помощью этих шкал.
Чтобы возвести в квадрат число Ь, надо найти на шкале В
метку b и прочесть противостоящую метку а шкалы А.
Чтобы извлечь квадратный корень из числа, надо найти
метку а на шкале А и прочесть противостоящую метку b шкалы В,
Положим, требуется найти: 3,2а; 0,51а; |^72.
Вычисления с помощью построенной двойной шкалы дают сле¬
дующие результаты: 10,25; 0,260; 8,48.
Контрольное вычисление с помощью четырёхзначных таблиц даёт:
3,22= 10,24; 0,512=0,2601; ↑^72≈8,485.
Относительная погрешность результата, даваемого двойной
шкалой, не превышает 0,1%. (Такую же точность дают вычисле¬
ния с помощью логарифмической линейки.)
Если полученную двойную шкалу наклеить на картон, то она
довольно продолжительное время может служить учащимся для
вычислений.
Если взять длину шкалы в 1000 мм, то получим демонстра¬
ционную квадратичную линейку с двумя шкалами: а=10а; 6≈10⅛2.
* Лучше взять полоску миллиметровой бумаги размером 230 mm×15 мм и
наклеить на такую же полоску белой, неграфлёной бумаги с расчётом на то,
что неравномерную шкалу удобнее вычерчивать на неграфлёной бумаге. Для
этой же цели можно воспользоваться краем листа миллиметровой бумаги.
10

Квадратичная двойная шкала может быть выполнена и в дру¬
гом варианте, а именно: шкалу для чисел взять равномерной (с
уравнением ⅛=206), а шкалу для квадратов чисел — неравномер¬
ной (с уравнением a = 20]∕ra ). Этот вариант шкалы (черт. 6) в
сущности не имеет преимущества перед первой двойной шкалой.
Однако, как увидим позже, по внешнему виду неравномерная
шкала второго варианта несколько похожа на логарифмическую
шкалу: расстояния между двумя соседними целыми метками
уменьшаются к концу обеих названных шкал. Дело обстоит
наоборот в неравномерной шкале первого варианта.
Подобные же приборы нетрудно изготовить для вычисления
кубов чисел и кубических корней из чисел, а также для получе¬
ния значений синусов и тангенсов углов и для решения обратных
задач.
Действительно, взяв полоску миллиметровой бумаги (размера¬
ми 230 мм × 30 мм), построим посередине, как и раньше, ось
шкалы длиной в 200 мм. По одну сторону оси нанесем равно¬
мерную шкалу по уравнению а=200 а с метками от 0 до 1 (черт. 7).
По другую сторону оси строим шкалу по уравнению s =
= 200sins. Имея под руками таблицу тригонометрических функ¬
ций, строим эту шкалу. В самом деле, беря из таблицы значения
синусов и умножая их на 200, получим выраженные в миллимет¬
рах расстояния от начала шкалы соответствующих меток углов s,
выраженных в градусах.
Переход с метки s шкалы S на противостоящую метку а шка¬
лы А даёт значение sinsj обратный переход даёт значение аргу¬
мента по его синусу, взятому на шкале А. С помощью этой
шкалы можно вычислять также и значения косинусов по формуле
coss0=sin(900 — so).
Точно также легко построить двойную шкалу-линейку для опреде¬
ления значений тангенсов углов (от 0° до 45°) и для решения
обратной задачи, а также для вычисления значений котангенсов.
Кубичную двойную шкалу можно построить по уравнениям
a=0,25a и fΓ=0,25 6®. Если метки b нанесены от 1 до 10, то
длину шкалы получим в 250 мм. Однако такая двойная шкала
неудобна для вычислений: она даёт низкую точность, особенно в
своём начале.
Учащихся девятых классов можно познакомить с двойной
шкалой для перевода градусной меры угла в радианную, и
наоборот. Рассмотрим, каким образом она может быть построена.
Формула перевода градусной меры угла в радианную имеет вид:
πao
arca=

180o β
(2)
Введём обозначения агса=у; αo=x. Тогда формула (2) получает
вид: у=——
a z 180°
х.
Шкалы будем строить по уравнениям
12

χ = mx x'> У—туУ в пределах изменения х от 0° до 90°.
Выберем длины шкал в 157 мм. Тогда получаем значения моду¬
лей шкал: /и =100; m =100.
a -y 314 _
Уравнения шкал:х=—х; y=100y.
Шкалы легко построить, если воспользоваться миллиметровой
бумагой (черт. 8). Двойная шкала позволяет находить радианную
меру угла с точностью до тысячных долей радиана, так как при
аккуратном выполнении чертежа отсчёты по шкале У можно
производить до десятых долей миллиметра, что и будет соответ¬
ствовать тысячным долям радиана. Совсем легко производить
отсчёты до сотых долей радиана. Отсчёты градусов можно легко
производить с точностью до половины градуса. Учащимся IX
класса вполне посильно построение двойной шкалы в таком пла¬
не. При соответствующих вычислениях они всегда будут прибе¬
гать к ней. Понятно, что двойные шкалы фабричного изготовле¬
ния заслуживают значительного предпочтения перед самодельными.
Но так как в настоящее время для школы не изготовляются
никакие номограммы (в том числе и двойные шкалы), приходится
рекомендовать пользоваться самодельными двойными шка¬
лами.
Шкалу Для перевода градусной^ меры угла в радианную и
обратно можно построить несколько иначе, а именно: в качестве
оси шкалы х значений углов в градусах можно взять новую
прямую, наклоненную к оси шкалы У под некоторым углом
(черт. 9). Такое расположение шкал выгоднее в том отношении,
что шкалу X можно выбирать произвольной длины, независимо
от длины шкалы У. Это обстоятельство позволяет выбирать длину
шкалы X (отрезок ОХ') наиболее удобной в каждом конкретном
случае. Так, если взять отрезок ОХ' длиной в 180 мм, то 2 мм
на шкале будут соответствовать 1°. Построение шкалы становится
более лёгким, отсчёты на ней более удобными (не мешают линии
миллиметровой сетки), а получаемые результаты точнее. Разме¬
тить шкалу X в этом случае надо так, чтобы начало её совпало
с началом шкалы У, а метка 90° лежала на перпендикуляре,
восставленном к оси шкалы У в точке с меткой -у. Легко ви¬
деть, что метки х и у шкал X и У (соответственно), расположен¬
ные на одном и том же перпендикуляре к оси шкалы У, связаны
зависимостью у=— х.
180
Действительно, из треугольника Оух имеем:
y=xcosα,	(3)
π
100-

где α = z≤yθX. Hoy=100yj х=2х; cos⅛= =

*	s	>	0χ 2-90
13

Черт.
о

Черт. 10.

Тогда равенство (3) примет вид:
1°0∙-y
100y=2x 	 или у=—— х.
Однако расположение шкал под некоторым углом друг к другу
имеет своё неудобство: для отсчёта по шкалам требуется транс¬
парант в виде прямого угла (транспарантом может служить и
угольник, лучше прозрачный). При отсчётах одна сторона прямого
угла совмещается с осью шкалы У, а вторая — укажет точку
шкалы X, соответствующую заданному значению у, если вершина
угла совмещена с меткой у (черт. 9).
Однако если шкалы разместить на миллиметровой бумаге так,
как показано на чертеже 10, то необходимость применения транс¬
паранта устраняется.
§ 3.	Логарифмическая шкала. Её периодичность
Рассмотрим устройство логарифмической шкалы.
Если штрихи на прямой расставить так, чтобы расстояние
каждого штриха от начала шкалы было пропорционально лога¬
рифму соответственной метки, то получим логарифмическую шка¬
лу. Если по-прежнему обозначать буквой а метку штриха, нахо¬
дящегося на расстоянии в а миллиметров от начала шкалы, то
уравнение последней будет иметь вид:
a=m lgα,
где т — модуль шкалы.
При любом т метка 1 находится в начале логарифмической
шкалы, так как fl=mlgl=0 мм; метка 10 —на расстоянии т мм;
метка 100 —на расстоянии 2т мм; метка 2 —на расстоянии
0,3010т мм от начала шкалы и т. д.
Логарифмическая шкала — неравномерная шкала. Неравномер¬
ность её объясняется неравномерным ростом логарифмической
функции.
Важнейшей особенностью логарифмической шкалы является её
периодичность. ,
Допустим, что мы построили логарифмическую шкалу по
уравнению α=mlgα для меток я от 1 до 10. Поставим перед
собой задачу, построить логарифмическую шкалу по тому же
уравнению α=m lg а, но для меток в 10 раз больших, чем я,
т. е. для меток 10я.
Тогда имеем:
10fl=m lg 10a=m lg lO4∙m ∖ga==mq-m lgfl.
Из последнего выражения видим, что при изменении я от 1
до 10 логарифмическая шкала для меток 10 я будет иметь точно
16

такой же вид, как и для меток а, но она передвинута вправо от
своего начала на величину модуля шкалы (на т миллиметров).
Аналогичным образом можем получить логарифмическую шкалу
и для меток 10оя: для этого достаточно шкалу для меток от
1 до 10 перенести вправо от начала на величину 2 т мм
и т. д.
Можно представить себе, что логарифмическая шкала продол¬
жена нс только вправо для меток, больших 10, но и влево для
меток, меньших 1 (но больших 0). Эта бесконечная логарифми¬
ческая шкала будет состоять из бесконечного ряда последова¬
тельных подшкал с метками от 10 до 100, от 100 до 1000, от
1000 до 10000 и т. д., если смотреть направо, и с метками от 0,1
до 1, от 0,01 до 0,1, от 0,001 до 0,01 и т. д., если смотреть на¬
лево от основной подшкалы с метками от 1 до 10.
Каждая подшкала имеет длину т миллиметров и каждая по¬
лучается из предыдущей (лежащей слева), если все её штрчхи
передвинуть направо на т миллиметров, увеличив в 10 раз их
метки.
Это важное свойство—периодичность логарифмической шка¬
лы— позволяет всю бесконечную логарифмическую шкалу заме¬
нить одним её отрезком, например подшкалой с метками от 1
до 10. При такой замене метка на шкале (на выбранном отрезке
логарифмической шкалы) изображает не одно число, а все числа,
получающиеся из него умножением на любую степень 10. Напри¬
мер, метка с цифровым обозначением 5 на логарифмической шка¬
ле изображает числа 5; 50; 500 и т. д., а также 0,5; 0,05; 0,005
и т. д.; метка 3,2 изображает числа 3,2; 32; 320; 3200 и т. д.,
а такие 0,32; 0,032; 0,0032 и г. д. Цифровой состав всех чисел,
обозначенных одной и той же меткой, одинаков, но положение
знака дробности различно*.
Почему так происходит?
Потому что, по определению логарифмической шкалы, любая
её метка должна быть расположена на шкале так, что расстояние
её от начала шкалы должно быть пропорционально логарифму
соответственной метки. Логарифмы же чисел, имеющих один и
тот же цифровой состав, отличаются только характеристиками,
а мантиссы их одинаковы. Таким образом, можно сказать, что,
заменяя бесконечную логарифмическую шкалу одним её отрезком,
мы просто не обращаем внимания на характеристики логарифмов
чисел, а строим шкалу так, что расстояние каждой метки от на¬
чала шкалы Пропорционально мантиссе логарифмов, соответствен¬
ных данной метке чисел с одним и тем же цифровым составом.
Итак, мы можем двумя способами читать метки логарифмических
шкал. Если сделан определённый выбор значения начальной
♦ Как нетрудно понять, цифровой состав числа — это перечень значащих
цифр числа в том порядке, в каком они должны быть расположены при записи
числа.
2 К. И. Кабанова
17

метки (начальной единицы: 1, или 10, или 100, или 0,1 и т. п.)
шкалы, то каждая метка имеет значение, вполне определённое и
по цифровому составу и по положению знака дробности. Если же
выбор начальной единицы не сделан, то определённым является
только цифровой состав каждой метки; положение же знака
дробности неопределённо. Так на чертеже И, если считать на¬
чальную метку шкалы за 1, то фиксированную метку надо читать
Черт. 11.
как 1,45. Считая начальную метку за 10, фиксированную метку
читаем как 14,5. Считая же начальную метку за 0,1, читаем
фиксированную — как 0,145 и т. д.
Если же выбор начальной метки не сделан, то фиксированную
метку мы обязаны прочесть 1 — 4 — 5 (один — четыре — пять).
Положение знака дробности неизвестно.
§ 4.	Самодельная логарифмическая линейка. Умножение
и деление на ней
Логарифмическую шкалу так же, как и некоторые другие
шкалы, сравнительно легко построить, если есть в наличии мил¬
лиметровая бумага. Действительно, взяв полоску её размерами
230 ммх40 мм, проведём посередине прямолинейный отрезок (ось
шкалы) длиной в 200 мм и нанесём на оси перпендикулярные ей
штрихи с метками от 1 до 10 по уравнению α=2001gα.
Положение на шкале штриха с соответствующей меткой опре¬
деляется очень легко при m=200 мм. В самом деле, штрих с
меткой 3, например, находится на расстоянии 200 lg3 от начала
шкалы. Беря из четырёхзначных таблиц мантиссу lg3, равную
4771, округляем её до трёх значащих цифр (477). Полученный lg 3,
равный 0,477, умножаем на 200:
0,477∙ 100-2 = 47,7-2 = 95,4,
Штрих с меткой 3 находится на расстоянии 95,4 мм от
начала шкалы. На миллиметровой бумаге это расстояние откла¬
дывается без особого труда.
18

Подобным же образом определяются места и других меток на
шкале:
а
lgα
1
а ≈ 200 lg а
а
lgα
а = 200 lg а
а
lga
а = 200 lg а
1
0
0 мм
1,1
0,0414
8,2 мм
4,2
0,6232
124,6 мм
2
0,3010
60,2 мм
1,2
0,0792
15,8 мм
4,4
0,6435
128,8 мм
3
0,4771
95,4 мм
1,3
0,1139
22,8 мм
4,6
0,6628
132,6 мм
4
0,6021
120,4 мм
1,4
0,1461
29,2 мм
4,8
0,6812
136,2 мм
5
6
0,6990
0,7782
139,8 мм
155,6 мм
1,6
1,7
0,2041
0,2304
40,8 мм
46,0 мм
5,2
0,7160
ит. д.
143,2 мм
7
0,8451
169,0 мм
1,8
0,2553
51,0 мм
6,2
0,7924
158,4 мм
8
0,9031
180,6 мм
1,9
0,2788
55,8 мм
6,4
0,8062
161,2 мм
9
0,9542
190,8 мм
2,1
0,3222
64,4 мм
6,6
0,8195
164,0 мм
10
1,0000
200,0 мм
2,2
0,3424
68,5 мм
6,8
0,8325
166,4 мм
1,5
0,1761
35,2 мм
2,3
0,3617
72,1 мм
7,5
0,8751
175,0 мм
2,5
0,3979
79,6 мм
2,4
0,3802
76,0 мм
8,5
0,9294
185,8 мм
3,5
0,5441
1Q8,8 мм
2,6
0,4150
и т. д.
83,0 мм
9,5
0,9777
195,6 мм
Штрихи для меток 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10 надо сделать
длинными (например, по 4 мм вниз и вверх от оси). Для необо-
значенных цифрами меток (немых) 1,5; 2,5; 3,5 тоже можно
сделать длинные штрихи.
Более короткими штрихами отмечаются значения:
1,1; 1,2;	1,3;	1,4;	1,6;	1,7;	1,8;	1,9;
2,1; 2,2;	2,3;	2,4;	2,6;	2,7;	2,8;	2,9;
3,1; 3,2;	3,3;	3,4;	3,6;	3,7;	3,8;	3,9;
4,2; 4,4;	4,6;	4,8;	5,2;	5,4;	5,6;	5,8;
6,2; 6,4;	6,6;	6,8;	7,5;	8,5;	9,5.
Из самого способа построения логарифмической шкалы вид¬
но, что она является фактически таблицей логарифмов чисел,
только графической: числа — аргументы этой «таблицы» записаны
вдоль шкалы, а для получения значений функции—логарифмов
чисел — надо соответствующий отрезок (от начала шкалы до
метки ai) измерить в масштабе построения шкалы. Только этой
графической таблицей не пользуются для нахождения логариф¬
мов чисел путём измерения соответствующих отрезков: это было
бы слишком громоздко. Но логарифмические шкалы очень удоб¬
ны для производства действий над числами.
Построенную логарифмическую шкалу надо разрезать по её
оси. Получим две тождественные логарифмические шкалы
(черт. 12).
Если сдвинем одну из них (А) относительно другой шкалы
гак, чтобы её начало, т. е. штрих с меткой 1, оказалось, напри¬
мер, против метки 3 другой шкалы (В) (черт. 13), то против
каждой метки а верхней шкалы А мы получим на нижней шкале
В метку х=3а. Таким образом, мы выполнили умножение числа
2*
19

а на 3; например, если α≈2 5 (метка 2,5 на верхней шкале Д),
τ0 χ = 7,5 (х— метка нижней шкалы В, противостоящая метке 2,5).
Почему же так получается? Если против метки b нижней
шкалы (любой метки, а не только 3) поместим начало верхней,
то противостоящие метки а верхней шкалы и х—нижней вместе
с меткой b связаны следующей зависимостью:
b∙a==x.
В самом деле, расстояния меток Ь, а и х от начала соответ¬
ствующих шкал, т. е. отрезки 6, а и х соответственно связаны
соотношением х — Ь=а или 6+α = x...(I) (черт. 14). Но 6=200 lg6,
α = 2001gα, x=2001gx.
Подставляя в равенство (I) значения отрезков, получаем
200 lg6-∣-200 lgα=2C0 lgx, или lg6+lgα=lgx, или b∙a=x.
Если же против метки b одной из шкал (для определённости
пусть нижней) поставить метку а другой (верхней) шкалы, то
I»	Ь
против единицы верхней шкалы окажется метка х=— . В самом
а
деле, в этом случае отрезки α, b и х связаны зависимостью
6 — а=х (черт. 15), следовательно, связь между метками а, b и х
выражается зависимостью 200 lg b — 200 lgα = 200 lgx, или b : а=х.
Таким образом, мы выяснили общие принципы умножения и
деления с помощью тождественных логарифмических шкал. Их
можно формулировать следующим образом:
1) чтобы найти произведение двух чисел, надо взять метку
множимого на одной шкале, поставить против неё начало другой
шкалы, затем взять на этой, второй, шкале метку множителя
и читать противостоящую ей метку первой шкалы', 2) чтобы
найти частное, надо взять метку делимого на одной шкале, по¬
ставить против неё метку делителя второй шкалы, затем
против единицы второй шкалы прочесть метку первой шкалы.
Если бы мы обратились к конкретным примерам умножения
двух чисел с помощью логарифмических шкал, то убедились бы
в том, что произведение может оказаться за пределами шкалы
В, именно, правее конца шкалы В.
Так при выполнении умножения 3-4,5 (черт. 13) произведение
оказывается правее метки 10 нижней шкалы В, т. е. расположе¬
но в следующей подшкале шкалы В, которой в действительности
нет (подшкалы для меток от 10 до 100).
Следовательно, при той установке шкал, какая дана на чер¬
теже 13, невозможно найти произведение 3-4,5.
Поступим следующим образом.
Установим против метки 6 = 3 шкалы В не начало, а коней
(метку 10) шкалы А. Тогда против множителя а = 4,5 окажется
на шкале В число 1,35, в 10 раз меньшее искомого произве
дения.
20

CN
СО
Черт. 15.	4ePτ∙ 16∙

Таким образом, если при умножении двух чисел с помощью
двух логарифмических шкал А и В приходится пользоваться
концом шкалы А (а не началом), то получаем результат в 10 раз
меньший действительного. В самом деле, в этом случае шкалы
друг относительно друга располагаются так, как показано на
чертеже 16.
Следовательно, расстояния меток а, х, 6, 10 от начала сооъ
ветствующих шкал связаны соотношением b — х=10— а или,
заменяя а, &, х, 10 их значениями, будем иметь: 200 lg b — 200 lgx=≈
= 2001g 10 —2001gα, или lgft-lgx=lg 10—lgα, откуда b∙a=≈
= 10 х, или x= βθ - , т. е. х представляет собой уменьшенное в
10 раз искомое произведение.
Итак, получаем следующее правило выполнения умножения
с помощью двух тождественных логарифмических шкал.
Чтобы найти произведение x=ab, надо взять метку а на
одной шкале, поставить против неё начало или конец другой
Черт. 17.
шкалы, затем взять на этой, второй, шкале метку b и читать
противостоящую ей метку х первой шкалы. Если против множи¬
мого устанавливали начало шкалы, то получаем сразу искомое
произведение; если же против множимого устанавливали конец
(10) шкалы, то для получения искомого произведения результат,
данный шкалами, надо увеличить в 10 раз.
При выполнении деления с помощью логарифмических шкал
А и В может случиться так, что начало шкалы А окажется ле¬
вее начала шкалы В, вне пределов её (черт. 17). Следовательно,
прочитать частное на шкале В против «повисшего в воздухе»
начала шкалы А невозможно. Это можно было бы сделать, если
бы шкалу В дополнить предшествующей подшкалой (для меток
от 0,1 до 1), в пределах которой мы и нашли бы частное. Однако
легко сообразить, что в пределах шкалы В есть число, в 10 раз
большее искомого частного. Оно находится не против начал а
шкалы А, а против конца её (метки 10). Покажем это. Для это*
го рассмотрим, какой зависимостью в данном случае связан^
метки b (делимое) шкалы В, а (делитель) шкалы А и х — метки
шкалы В, стоящая против конца шкалы А (черт. 17).
Имеем х — b = 10 — а, или 200 lg х — 200 lg b = 2001g 10—200 lgfl∙
Отсюда —= —, или x=10∙-,
10 а	а ’
22

т. е. действительно х представляет собой увеличенное в 10 раз частное.
Таким образом, получаем следующее правило выполнения де¬
ления на логарифмических шкалах.
Чтобы найти частное х=а:Ь, надо взять метку а на одной
шкале, поставить против неё метку b второй шкалы, затем
против начала (1) или конца (10) второй шкалы прочесть мет¬
ку х первой шкалы. Если метка частного прочитана против конца
второй шкалы (на которой установлен делитель), то действи¬
тельное искомое частное равно результату, данному шкалами,
уменьшенному в 10 раз.
Как видим, полученная пара логарифмических шкал представ¬
ляет собой логарифмическую счётную линейку, позволяющую
производить умножение и деление. Если шкалы наклеить на кар¬
тон, то прибор может служить довольно продолжительное время.
Такая самодельная линейка даёт результат с 2—3 значащими
цифрами, и ей вполне можно пользоваться на первых порах изу¬
чения логарифмической счётной линейки. Даже при наличии в
школе достаточного количества фабричных линеек изучение тео¬
рии их удобно начинать на самодельных линейках. В самом деле
принципы устройства линейки и работа с ней становятся ощути¬
мее для учащихся, если они изготовили собственноручно прибор
и работают с ним. Использование самодельной логарифмической
линейки — пары тождественных шкал — в учебной работе особен¬
но необходимо, если в школе нет (или мало) линеек фабрично¬
го изготовления; учащиеся сознательно усвоят принципы устрой¬
ства логарифмической линейки и приёмы вычислений на ней.
§ 5.	Описание счётной логарифмической линейки
Существует много типов счётных логарифмических линеек
фабричного изготовления. Опишем наиболее распространённую
нормальную линейку с длиной шкалы в 250 мм (черт. 18).
Счётная логарифмическая линейка состоит из трёх частей:
корпуса, движка и ползунка (или бегунка). Корпус линейки име¬
ет продольный паз, расположенный на лицевой стороне парал¬
лельно длинным его рёбрам. В этом пазу находится вторая часть
линейки — движок. Плоскости верхних поверхностей корпуса
линейки и движка совпадают. По этой их общей поверхности
свободно перемещается визир (или ползунок), состоящий из пря¬
моугольного кусочка стекла в металлической оправе. На стекле
нанесён тонкий штрих-индекс, располагающийся перпендикулярно
длинным рёбрам линейки. Движок может ходить в пазу корпуса,
выниматься совсем, вставляться в опрокинутом виде (т. е. вста¬
вляться оборотной стороной наружху, а лицевой—внутрь паза)
и концом наперёд (когда конечные метки шкал движка распола¬
гаются левее их начальных меток).
На лицевой стороне корпуса нанесены четыре шкалы. Сверху
находится шкала кубов (К-шкала); это — логарифмическая шкала,
23

IWMIIIIIHIIIIIIIill∣lllll∣U∣lillHIIIIIIIII∣l
!■■■■■■■■■■ ιιιιιιιιιιιιιιιιιιιιι∣i∣ιιιιιιιιιιιιιιιιaMMaB∣ιιιιιι
1
4f
CJ
1∕* 1 2 * * s
2

1.4	13
?,7,
5 л
—	~J	Illlllilllllllllllllllllllillll
■■■■■■■тШП111ШШ11Ш1Ш1111111111НШ11111111^ ιmιιιιιιιιιιιιιιιιιιιιιιιιιι
1Л
13
1Л
1.5
5
1ι8
MHIIIIIIill∣∣
Hllllllllll∣∣∣
IUa∣IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIHIIIII8BIIII
ι∣H∣ιιιιιιιιιιιιιιιιιιι∣f∣ιιιιιιιιιιιιιιιaaιιιι
7
∣∣r∣l∣Πll∣llll∣E
4IIIIIIIIIIIIII1HHIIIIIIIIIIII IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIU1
13	13
L∣πιιlιιιιlιιιιhιιιlιιπlιιιιtιιιιlιπιlιιιιlιιιιlιιιιlιιιιlιιιιlιιιιh
5in
5uT
13
2
250
построенная по уравнению к = — lg к. Метки на шкале идут от
1 до 1000 Нули в обозначении десятков и сотен опущены.
Ниже, с осью на верхнем ребре паза, построена шкала квад¬
ратов (А-шкала) с уравнением α=125 1gα и метками от 1 до
100. Иногда нули в обозначении десятков опущены. Еще ниже,
с осью на нижнем_ребре паза, нанесена основная шкала (Р-шка
ла) с уравнением d=2501gd и метками от 1 до 10. И, наконец,
с осью на нижнем ребре корпуса расположена равномерная шка
ла — шкала логарифмов (^-шкала) с уравнением / = 250/, где /
имеет значения от 0 до 1 (на линейке опущен знак дробности и
нуль перед ним, поэтому вместо 0,1; 0,2... написано 1; 2;...).
На лицевой стороне движка имеются две шкалы (а на линей-
хах выпуска последних лет — три шкалы):
1) Шкала с осью на верхнем ребре движка — шкала квадра
тов (В-шкала), построенная по уравнению ft=1251gfe. Она при¬
мыкает к шкале А и тождественна ей.
2) Шкала с осью на нижнем ребре движка—основная шкали
(шкала С) с уравнением c=2501gc она тождественна шкале D
Третья шкала, если она нанесена, располагается на движке
между шкалами В и С. Называется_она шкалой обратных значе¬
ний (или /?-шкала), её уравнение: г = 250 — 250 lgr, где г приш -
мает зн чения от 10 до 1.
На оборотной стороне движка (выньте движок!) имеются еще
три шиа 1ы: сверху—шкала синусов (3-шкала) с уравнением
s = 250 lg (10sins) и с метками от 5o44' до 90°; снизу— шкала
тангенсов (Т-шкала) с уравнением ∕=250 lg (10 tg∕) и с метками
24

2∣0 ι l , , t , , , ,3∣0 Г4 ι ι ∣ , , , 4∣0 ι 5Д 6.0	7l0	8l0	90	100
∣llll∣∣l∣∣∣∣∣∣∣∣∣i∣∣t∣∣∣∣∣l∣∣∣∣∣∣∣1∣∣MHaBa∣∣a∣lllllllllllllllllllllll∣∣l∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣fl∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣m^m∣
∣H∣ιιιιι∣∣∣∣∣∣∣∣∣∏∣∣H!H∣∣∣∣∣∣H∏UaauyU⅛⅝jUU⅛∣∣∣∣∏yULl∣JLl∣J∣J∣jyL1Ll∣J∣∣∣∣1∣∣∣∣∣a"aa"a∣a∣N"∣H∣Hi∏i∣∣∣∣i∣iu∣iυ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣i∣∣
2l0	30 М	4'0	5l0	6l0	70 В'О 90	100
4>	5	' ' 6 ' ' ’ ⅛>∣∣1 ' ’ ' 7 , , , , ∣ ' '	8 l ‘ r, , , g , , Γ, , l ,1∣0
I

ιιlιιιιhιιιlιιιιlι∣!∣lι∣H∣π°ιlιιιιlιιιιlιιιιlιιιιhιι^ιΓι 11 rl 1111111 m!hiiI ιιιιlιιι‰ιl∣∣∣∣∣∣∣∏∣m∣∣ι∣∣∣i∣∣uf ∣ ∣ ∣ ∣ ∣5∣3⅛ς,,T
hlι∣0∣ιlιιlιιlιιl∣∣l∣∣l∣∣l∣J∣ιl∣∣l∣∣l∣∣l∣∣lι∣l∏l∣∣l∣∣l∣∣l∣∣l∣∣f∣∣l∣∣lιιlιιlιιlιιlιιlιιlιιlιιlfιlι∣l∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣tdιιlιιlι¾l∣lιιlιιlιιlιιlιιlιιlιιlιιlιιΓ Тд
от 5o44, до 45°; между ними — шкала радианной меры малых
дуг (или все равно, что шкала синусов и тангенсов малых дуг,
обозначается она S ⅛ Т) с уравнением α=2E01g (100—----j , где α
принимает значения от 0o34'23" до 5° 44".
На оборотной стороне корпуса линейки помещена таблица
наиболее употребительных в инженерной практике постоянных.
На узких боковых гранях имеются миллиметровые деления.
Линейка фабричного изготовлен :я должна отличаться следую¬
щими качествами. Плоскости лицевой стороны корпуса и движка
должны совпадать, а штрихи на шкалах должны быть нанесены
достаточно ясно. При совмещении начальных меток шкал О и С
(или А и В) должны совпадать и остальные метки шкал С и D и
шкал А и В. Движок должен входить в паз достаточно плотно,
без заметней щели, но двигаться в нём плавно. Также плавно и
легко должен двигаться визир, однако он не должен перемещаться
самопроизвольно. При перемещении движка визир должен оста¬
ваться в покое, а при перемещении визира индекс должен всегда
располагаться перпендикулярно к осям шкал (это проверяется
совмещением индекса с начальными и конечными штрихами шкал,
например К и L). Линейка представляет собой точный прибор и
требует бережного обращения. Ребром счётной линейки нельзя
пользоваться для проведения прямых линий. Линейку нельзя
ронять и царапать. Хранить линейку нельзя ни во влажном, ни в
очень сухом месте. Если движок ходит очень туго, то можно
посыпать поверхность трения тальком. В случае неисправности
визира линейку следует отдать в ремонт в специальную мастер¬
скую. При бережном обращении линейка может служить много лет.
25

§ 6.	Шкалы D и С; А и В. Чтение меток
Обратимся к более подробному рассмотрению основной шкалы
О. Её уравнение d=2501gd (т. е. шкала D — логарифмическая
с модулем 250 мм). В начале шкалы стоит метка 1 (её иногда
называют «начальная единица»), а в конце метка 10 или «конечная
единица». Конечная единица находится от начальной на расстоянии
d = 250∙lg 10 = 250 мм. Далее видим на шкале крупные цифровые
метки 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9, а левее крупной цифровой метки
2 — мелкие цифровые метки 1,1; 1,2; 1,3; 1,4; 1,5; 1,6; 1,7; 1,8; 1,9
(иногда эти метки обозначены соответственно 1; 2; 3;... 9, т. е.
обозначены только десятичные знаки меток).
Кроме перечисленных цифровых меток, шкала D содержит
большой ряд обозначенных штрихами «немых» меток, а именно:
метки, обозначенные длинными штрихами 2,5; 3,5; 4,5; 5,5; 6,5;
7,5; 8,5; 9,5; метки, обозначенные штрихами средней величины
1,05; 1,15; 1,25; 1,35; 1,45; 1,55; 1,65; 1,75; 1,85; 1,95; и, наконец,
метки, обозначенные короткими штрихами 1,01; 1,02; 1,03; 1,04
1,05;... 2,02; 2,04;... 9,85; 9,95.
Любая из меток d находится на расстоянии d = 2501gd от
начала шкалы. Например, метка 2 находится на расстоянии
250∙lg2=250-0,3010= 75,25 мм от начала шкалы, а метка 1,7 — на
расстоянии 250∙lg 1,7 = 250-0,2304=57,6 мм и т. д.
Шкала С устроена точно так, как и шкала D.
Важным условием для успешного освоения вычислений с по¬
мощью линейки является приобретение навыка в точном и быстром
чтении меток на шкалах линейки. Научиться читать метки—пер¬
вая задача в освоении линейки. Главную роль в этом вопросе
играет цена делений. Из сказанного на странице 6 замечаем, что
ценой деления шкалы называют разность между метками двух
соседних штрихов. На равномерной шкале цена деления всюду
одинакова, на логарифмической же шкале она различна на раз¬
ных участках её.
Так, если примем начальную метку шкалы D за 1, цена
делений на шкале D (также на шкале С) получит следующие
значения.
На участке шкалы от метки 1 до метки 2 — 0,01. В самом
деле, отрезку шкалы от метки 1 до метки 2 соответствует 1.
Отрезок этот разделён на 10 более крупных обозначенных циф¬
рами у концов делений, следовательно, каждому такому делении)
(отрезку) соответствует число 0,1. Но каждое из этих более
крупных делений (отрезков) разделено ещё на 10 мелких делений.
Значит, каждому мелкому делению соответствует число 0,01.
Это и есть цена деления шкалы в её начале.
Точно так же устанавливаем, что цена делений на участке
шкалы от метки 2 до метки 4 равна 0,02, от метки 4 до метки
10 (т. е. до конца) — 0,05.
26

Если же выбор начальной единицы шкалы не сделан (1; 10; 100;... или
0,1; 0,01;... и т. п.), то о цене делений на шкалах D и С можно сказать так.
На участке от метки 1 до метки 2 цена делений составляет одну единицу
третьей цифры устанавливаемого на шкале числа; на участке от 2 до 4 — 2
единицы третьей цифры числа и на остальном участке шкалы—5 единиц тре¬
тьей цифры числа. (Вторым цифрам устанавливаемых чисел соответствуют бо¬
лее крупные деления, например, деление от метки 1,1 до метки 1,2; первым
цифрам соответствуют отрезки от метки 1 до 2, от 2 до 3, от 3 до 4 и т. д.)
Познакомившись с ценой делений на шкалах D и С, надо
научиться читать любую метку, отмеченную индексом, а также
устанавливать с помощью индекса любую названную метку.
Так, например, метки, указанные на чертеже 19 (стр. 29),
следует читать (идя слева направо по шкале) 1,80; 1,84; 1,94;
2,10; 2,36; 3,08.
Аналогично, если бы была поставлена задача установить мет¬
ки 1,80; 1,84; 1,94; 2,10; 2,36; 3,08 и т. д., то индексом после¬
довательно отметили бы штрихи, указанные на чертеже 19.
В самом деле, пусть требуется установить метку 1,84. Пер¬
вые две цифры метки обозначают число 1,8. Этому числу соот¬
ветствует штрих с цифровым обозначением 1,8.
Ясно, что метка числа 1,84 должна находиться правее метки
1,8. Чтобы установить метку числа 1,84, надо к концу отрезка
шкалы с меткой 1,8 прибавить отрезок, соответствующий 0,04.
Так как цена деления на рассматриваемом участке шкалы 0,01,
то для установления метки 1,84 индекс надо сдвинуть на 4 ма¬
леньких деления вправо от метки 1,8 (на чертеже вторая метка
слева).
Аналогично поступают и для того, чтобы установить, напри¬
мер, метку 2,36 на шкале D. Первая цифра данного числа даёт
число 2. Ему соответствует штрих с цифровым обозначением 2.
Метка числа 2,36 находится правее метки 2. Сдвигая индекс
вправо на 3 более крупных отрезочка (эти отрезки выделены штри¬
хами средней длины), мы установим число 2,3. Сдвинув индекс
ещё вправо на 3 самых мелких отрезка, установим число 2,36,
так как цена деления здесь 0,02 (на чертеже 19 — предпоследняя
метка).
Для установления метки 3,08 поступают так. Первой цифре
данного числа 3,08 соответствует штрих с цифровым обозначе¬
нием 3. Понятно, что метка числа 3,08 находится правее метки 3.
Данное число 3,08 не содержит десятых долей, а потому метка
3,08 находится правее штриха с обозначением 3 на 4 самых мел¬
ких деления, так как цена деления на этом участке шкалы 0,02.
Научившись читать метку каждого штриха шкалы, легко
прочесть любую метку и необозначенную штрихом, а также
установить метку, которой не соответствует никакой штрих
шкалы.
Например, пусть надо прочитать метку, указанную индексом
на чертеже 20 (отрезок шкалы D изображён в увеличенном виде).
Чтобы прочесть эту метку, поступают следующим образом. Сна¬
27

чала выясняют, какие метки имеют ближайшие штрихи слева
и справа от метки индекса (в нашем случае 4,30 и 4,35). Далее
промежуток между двумя соседними с индексом штрихами на
глаз делят на десятые или пятые (иногда четвёртые, вторые)
доли. Так, в данном случае промежуток между метками 4,30
и 4,35, соответствующий 0,05, делим на глаз на 5 равных частей,
каждая из которых соответствует уже 0,01. Оценивая расстоя-
ние от левого штриха (метка 4,30) до индекса в-4- промежутка,
5
получаем для метки индекса число: 4,30+0,01-4=4,34. То, что
мы делали сейчас для определения метки между двумя штриха¬
ми, называется интерполяцией на глаз*.
Подобно рассмотренному примеру с помощью интерполяции
на глаз легко читаются (и устанавливаются) любые метки, нахо-
дящиеся между двумя соседн! ми штрихами.
Например, метку, изображённую на чертеже 21, следует про¬
читать как 2,51. В самом деле, [ ндекс расположен между штри¬
хами с метками 2,50 (слева) и 2,52 (справа).
Деля соответствующий 0,02 промежуток между этими метка¬
ми на 10 равных частей и оценивая расстояние от левого штриха
до индекса приблизительно в 0,5 всего расстояния, получаем
для метки индекса
2,50⅛0,002-5≈2,5I.
Метку, изображённую на чертеже 22, читаем как 2,145, так
как, оценивая расстояние от штриха с меткой 2,14 до индекса
в -1- всего промежутка между метками 2,14 и 2,16, получаем
2,14+0,02 ∙J-=2,14+0,005=2,145.
Разумеется, что интерполяцию на глаз надо приучаться делать
устно.
Упражнения.
Установить на шкале D индексом метки: 2; 2,7; 2,74; 2,75; 2,07; 1
1,35; 1,355; 1,90; 1,95; 1,905; 1,42; 1,425; 1,423; 2,3; 2,03; 2,03; 3,21;
3,28; 3,29; 6,6; 5,06; 6,02; 1,05; 1,005; 7,ь0; 7,87.
Для успешного освоения лг.нейки в первую очередь необхо¬
димо научиться правильно читать и устанавливать метки, не за¬
ботясь о том, чтобы это выходило быстро.
Научивнпсь достаточно свободно и правильно читать и уста¬
навливать метки основных шкал, можно перейти к освоению
шкал квадратов А и В, Так как эти шкалы тождественны,
то достаточно ознакомиться с одной из них. Итак, обратимся к
шкале А.
* Если до изучения логарифмической линейки учащиеся работали с други¬
ми шкалами, то интерполяцией на глаз они тогда пользовались. При изучении
линейки этот вопрос уже не вызовет трудностей.
28

μ^ψιjψιιl∣ιι∣p∣lιι∣lllι^	∣ιπι∣ππ τιr∣-∣ιιrι∣ιιιι∣ιιιιιιιιι∣ιιι∣-pπ∣]∣ιιι∣ιιιι∣ιιι jτττηιπψπτpπi}
ч
сч
Q

Уравнение шкалы А: α=1251gα. Модуль шкалы 125 мм.
т. е. в 2 раза меньше, чем модуль основных шкал.
В начале шкалы стоит метка 1—«начальная единица», а в
конце — метка 100 (иногда нули опускают) — «конечная единица»
Метка 10 расположена на середине шкалы; её называют «сред
ней единицей». Легко видеть, что шкала А состоит из дву>
тождественных подшкал: первая с метками от 1 до 10, вторая
с метками от 10 до 100. Это значит, что, если все штрихи пер
вой подшкалы сдвинуть вправо на 125 мм, то получим точно
вторую подшкалу, причём метки её в 10 раз больше меток пер¬
вой подшкалы. В самом деле, уравнение α=1251gα даёт для
метки 10а расстояние 10а, равное 125 lg(10α)= 125 lg 104-1-25 lgα=
= 1254-a, т. е. все штрихи второй подшкалы смещены вправо
на 125 мм относительно первой.
На некоторых линейках нули у цифровых меток второй под¬
шкалы опущены, и таким образом получается, что вторая под-
шкала является точным повторением первой.
Цена делений на шкале А (и В) (начальная метка шкалы
принята за 1):
0,02 на участке от метки 1 до метки 2
0,05
»
»
2
»
5
0,1
»
»
5
»
10
0,2
»
»
10
»
20
0,5
»
»
20
»
50
1
»
»
50
»
100
Чтение и установка меток на шкалах А и В делается анало¬
гично тому, как это делается на шкалах С и D.
Например, на чертеже 23 указаны последовательно метки
9,4; 9,75; 10,1; 11,0; 16,3; 22,7; 26,75*.
Как видим, в качестве примеров на установление и чтение
меток мы брали вполне определённые числа на шкалах СиО-
от 1 до 10, а на шкалах А и В — от 1 до 100. Но вследствие
периодичности логарифмических шкал каждая метка на шкале
обозначает не одно определённое число, а все числа, получаю¬
щиеся из него умножением на любую степень 10 с целым пока
зателем. Учитывая это, можно было бы устанавливать числа на
шкалах, не обращая внимания на запятые и на нули в конце
числа. Например, можно было бы поставить задачу, установите
на шкале D метку 0,17; 17,0 или 170 и т. д., а не только 1,7
(все перечисленные метки находятся на одном и том же месте
на шкале, а именно на месте, обозначенном штрихом с метко)!
1,7).
* Метки штрихов, соседних слева и справа от индекса, равны 26,5 и 27/'
соответственно. Индекс интервал между этими метками делит пополам. Следе
вательно, метку индекса читаем как 26,75.
30

Идя по этому пути, мы устанавливали бы (и читали бы) не
само число, а лишь его цифровой состав (например, 1 — 7 — 0).
Упражнения.
1)	Установить индексом на шкале D (или С) следующие метки: 4; 40;
0,4; 57; 0,62; 1,71; 0,171; 2,72; 2,74; 27,4; 1,23; 1,205; 1,235; 0,235;
1,125; 1,02; 3,66; 3,06; 8,92; 6,77; 3,11; 12,84 (1,284); 0,1048; 1,005.
2)	Установить индексом на шкале А (В) следующие метки: 1,64; 16,4; 27,6;
2,76; 2760; 11,2; 30,4; 0,706 (70,6; 7,06); 14,1; 217; 392; 78,8; 2,075; 1,19;
1,01; 1,175; 1,075.
§ 7. Сопоставление шкал А и D
Рассмотрим совместно шкалы D и А. (Движок можно вынуть
из паза и отложить в сторону или привести его в начальное
положение, т. е. совместить шкалы А и В.)
Установив индекс на метку d шкалы D, посмотрим, на какую
метку указывает индекс на шкале А. Обозначим эту метку а
и установим зависимость между метками d и а.
Начальные метки (начальные единицы) шкал А и D противо-
А
О
1	<
1
1
1
1
1	с
i	1
Черт. 24.
стоят друг другу (черт. 24). Расстояние метки d от начала
шкалы D равно 5=250 lgd. Расстояние метки а от начала шка¬
лы А равно α== 125 lgα. Так как метки d и а противостоят друг
Другу, то их расстояния от начала шкал равны, т. е. 5=α или
250 lg d= 125 lgfl,
2 lg d=≈lg а.
Потенцируя, получаем:
d2=a.	(1)
Мы получили правило для возведения в квадрат любого
числа: чтобы возвести в квадрат число d, надо найти на шкале
D метку d и прочесть противостоящую метку шкалы А.
Если возводимое в квадрат число имеет только одну знача¬
щую цифру левее запятой, то его квадрат заключается между
1 и 100 и, следовательно, не выходит за пределы шкалы Д.
Если же данное число меньше 1 или больше 10, то его предва¬
рительно преобразовывают, представляя в виде произведения
числа, заключенного между 1 и 10, и степени 10. Затем возво¬
дят в квадрат каждый сомножитель отдельно (первый — посред¬
ством линейки, а второй — устно). Наконец, результаты перемно-
31

жают. Например, требуется возвести в квадрат число 372. Пред-
ставляем это число в виде 372 = 3,72 ∙ 102. Затем с помощью
линейки узнаём квадрат числа 3,72 : 3,722≈13,84.
Окончательно получаем 3722=3,722∙ 104≈13,84∙ 10000= 138400.
Точное значение 3722 = 138 384j разница составляет меньше
2 единиц разряда IV значащей цифры; ошибка составляет мень¬
ше 0,2%.
Аналогично вычисляем квадрат числа 0,153:	0,1532≈
= (I,53∙ 10~1)2= 1,532∙ 10-2≈2,340-10~2=0,02340. Точно 0,1532=
= 0,023409, т. е. разница составляет около одной единицы раз¬
ряда IV значащей цифры.
Понятно, что промежуточные результаты при вычислении
писать не обязательно, сразу можно записывать окончательный
результат.
Формула (1) для противостоящих меток шкал А и D после
почленного извлечения квадратного корня даёт формулу d==V а,
показывающую правило извлечения квадратного корня. Чтобы
извлечь квадратный корень из числа а, надо найти метку а на
шкале А и прочитать противостоящую метку d шкалы D.
Когда данное число а заключено между 1 и 100, то квадрат¬
ный корень из а имеет одну значащую цифру левее запятой
В этом случае извлечение квадратного корня из числа с помощью
линейки получается сразу. Если же подкоренное число а меньше
или больше 100, то его надо предварительно представить в виде
произведения числа, заключающегося между 1 и 100 и степени
10 с чётным показателем. Затем извлекают корень из каждого
сомножителя отдельно и результаты перемножают. Например, для
отыскания квадратного корня из числа 1862 поступаем так:
V 1862=∕18,62∙ 102=∕ 18,62. ∕102≈4,32 -10=43,2.
Более точное извлечение даёт: 43,1507.
Подобными же образом извлекаем квадратный корень из числя
0,00916
/о,00916 = ∕9ξ6∙Tθ-*=∕9∏6 ∙lz10-4≈9,57 • 10~2=0,0957.
Вычисление с помощью четырёхзначных таблиц даёт результат
0,09571.
Сформулированные выше правила возведения числа в квадрат
и извлечения квадратного корня из числа с помощью линейки
можно коротко, символически выразить следующим образом:
Эти схемы показывают, что: I — надо ин-	д
дексом отметить на шкале D метку d и чи- V
тать противостоящую метку а шкалы А; а —
есть квадрат числа d'f II — надо взять на
шкале А метку а и читать противостоящую j	l∣ ч
метку d шкалы D'. d=Va.	°d	°a≡√Γ
32

Возведение чисел в квадрат и извлечение квадратного корня
из чисел выполняется с помощью линейки очень просто. По су¬
ществу, это — упражнение в чтении и установке чисел на
шкалах. Так как последнее (установка и чтение меток) играет
существенную роль во всей работе с линейкой, то, применяя
линейку для возведения чисел в квадрат и для извлечения квад¬
ратного корня, необходимо добиться приобретения хорошего на¬
выка в чтении и установке меток. Не научившись правильно и
быстро читать и устанавливать метки на шкалах, нет смысла
переходить к другим видам вычислений с помощью линейки.
Из предыдущего видим, что при возведении чисел в квадрат
и при извлечении корня квадратного из чисел метки на шкалах
А и D мы читали как определенные числа и по цифровому со¬
ставу и по положению знака дробности числа.
§ 8. Шкала К. Возведение в куб и извлечение
кубического корня
Рассмотрим теперь шкалу К, или иначе шкалу кубов. Она
расположена на лицевой стороне корпуса линейки, осью её
является верхнее ребро корпуса. Штрихи этой шкалы нанесены
по уравнению к= — lg к, с метками от 1 до 1000.
3
Шкала К состоит из трёх тождественных подшкал: первая
подшкала от метки 1 до метки 10; вторая — от метки 10 до мет-
ки 100 и третья — от метки 100 до метки 1000.
Цена делений на
шкале К:
0,02
на участке
от
1
ДО
2;
0,05
»
от
2
ДО
5;
0,1
»
от
5
ДО
Ю;
0,2
»
от
10
ДО
20;
0,5
»
от
20
ДО
50;
1
»
от
50
ДО
100;
2
»
от
100
ДО
200;
5
»
от
200
ДО
500;
10
»
от
500
ДО
1000.
к концу шкалы цена делений становится слишком большой;
точность отсчётов по шкале, в её конце, становится меньше, чем
в начале, т. е. абсолютная ошибка отсчёта значительно возраста¬
ет по мере передвижения от начала шкалы к её концу. Однако
относительная ошибка отсчёта на логарифмических шкалах с лю¬
бым модулем сохраняет постоянное значение (подробно об этом
см. книгу профессора В. М. Брадиса «Средства и способы
элементарных вычислений», Учпедгиз, 1954, стр. 178—180).
Упражнения.
Установить на шкале К следующие метки: 1,06; 1,62; 2,75; 3,82; 10,7;
16,9; 21,75; 30,6; 92,5; 123; 405.
3 К. И. Кабанова	33

Рассмотрим совместно шкалы К и D. Установим индекс па
какую-либо метку d шкалы D и прочитаем противостоящую ей
метку шкалы К. Пусть это будет метка к (черт. 25). Расстояния
меток d и к от начала соответственных шкал равны между собой,
т. е. d-k. Но d=2501gd, а к=— lgfc.
Отсюда 250 lgd=^lgfc, или 3 lgd=lgfc, или k==d3.
Извлекая кубический корень из обеих частей последнего ра¬
венства, получаем d=Vк.
Отсюда имеем следующие два правила:
1)	Чтобы возвести в куб число d, заключающееся между 1 и 10,
надо найти на шкале D метку d и прочесть противостоящую
метку к шкалы К.
2)	Чтобы извлечь кубический корень из числа к, заключённого
между 1 и 1000, надо найти на шкале К метку к и прочесть
противостоящую метку d шкалы D.
Например, если d=l,63, то с помощью линейки получаем
1,633≈4,33 (вычисление по четырёхзначным таблицам даёт 1,633-
т
1
к
1
I
1 <
1
J
Черт. 25.
=4,331); если d=5,10, то линейка даёт 5,103≈133 (вместо 132,7
по таблицам); если fc=17,4, то по линейке находим, что fz"17,4≈
≈2,59 (вместо 2,5915...); если fc=240, то kz"240≈6,21 (вместо
6,2145).
Если число, возводимое в куб, меньше 1 (но больше 0) или
больше 10, то его предварительно представляют в виде произве¬
дения двух чисел, одно из которых заключено между 1 и 10,
а другое — степень 10. С помощью линейки возводится в куб
только первое число, остальная работа по вычислению произво¬
дится устно. Например,
12,33=(1,23∙ 10)3=l,233∙ 103≈ l,860∙ 103= 1860;
0,813=(8,l ■ 10-1)3 = 8,13 ∙ 10~3 ≈ 530 ∙ 10-3=0,530.
При извлечении кубического корня из числа, меньшего 1 или
большего 1000, это число предварительно представляют в виде
произведения двух чисел, одно из которых должно быть заклю¬
чено между 1 и. 1000, а другое — степень 10 с показателем,
кратным 3.
34

Например: rz^1740= ^l,740∙ 103 = γλ1,740 ∙K103≈ 1 203 ∙ 10 =
= 12,03 (вместо 12,027...);
V174000= fλ174 ∙ kz^Tθ3= 10 vλΓ74 ≈ 10• 5,58=55,8
(вместо 55,827...);
Ко,0387= kz 38,7∙10-3= K38J ∙ 10~1 ≈ 3,38 ∙ 10~1 = 0,338
(вместо 0,33825...);
Kθ,00034 = Кз40-10-«= 10~2 ∙ K340≈10-2 -6,98 = 0,0698
(вместо 0,069795...).
Упражнения.
Возвести в квадрат и в куб, а также извлечь корни квадратный и куби¬
ческий из чисел: 2,07; 6,86; 9,24; 1,128; 5,3; 2,62; 0,81; 19,68; 0,0388;
4510; 98100.
Вычисления сначала выполнить посредством линейки, а затем с помощью
четырёхзначных таблиц и результаты сравнить. Необходимо добиваться, чтобы
результаты вычислений по линейке получались с 3—4 верными значащими
цифрами.
§ 9.	Умножение чисел. Определение положения знака дробности
Как было выяснено выше (§ 4), чтобы найти произведение
ab=c с помощью двух тождественных логарифмических шкал,
надо на одной шкале взять метку а, установить против неё еди¬
ницу (начальную или конечную) второй шкалы, найти на этой
второй шкале метку b и прочесть противостоящую ей метку с
первой шкалы.
Логарифмическая линейка содержит две пары тождественных
шкал, а именно: шкалы D и С и шкалы А и В. Таким образом,
умножение двух чисел на линейке можно выполнять Или с по¬
мощью шкал D и С или А и В.
D
Черт. 26.
Умножение двух чисел d и с на шкалах D и С выполняется
следующим образом: на шкале D берут метку d, устанавливают
против неё единицу (начальную или конечную) шкалы с; не тро¬
гая движка, находят на шкале С метку с и читают противосто¬
ящую ей метку х шкалы D.
Схематически это правило можно иллюстрировать так, как
показано на чертежах 26 и 27.
3*	35

Имеем (черт. 26): x-d-{-c, где х и d — отрезки шкалы D от
метки 1 до меток х и d соответственно, а с — отрезок шкалы С
от метки 1 до метки с.
Согласно_ уравнениям шкал D и С получаем: d=2501g<^
с=250 lg с; х=250 lg х.
Следовательно, 250 lgx = 250 lgd-∣-250 lgcj x=dc. Или имеем
(черт. 27): d—х=10— с.
Следовательно, 250 lg d — 250 lg x=250 lg 10 — 250 lg с, откуда:
d _ _10.	_ cd
х ~ с ’ Х~ 10 ’
При установке множимого перемещают движок, устанавливая
единицу (начальную или конечную) шкалы С против метки d
1
с
10
С
.1
d∣i
X
d
I
10
Черт. 27.
шкалы D. Далее, не трогая движка, перемещают визир, устанав¬
ливая индекс против метки с шкалы С, и читают метку х шкалы D,
отмеченную индексом.
Рассмотрим примеры: пусть надо найти произведение
2,70-3,21.
На шкале D находим метку 2,70 и устанавливаем против неё
единицу (начальную) шкалы С, перемещая движок. Далее уста¬
навливаем индекс на метку 3,21 шкалы С и читаем метку 8,67ι
шкалы D, стоящую против 3,21. Произведение равно приблизи¬
тельно 8,67.
Найдём произведение чисел 3,4 и 4,1 (данные точные)
Устанавливаем против метки 3,4 шкалы D метку 1 шкалы С.
Далее надо взять метку 4,1 на шкале С. Но эта метка вышла
за пределы шкалы D и произведение 3,4-4,1 невозможно найти
при такой установке движка. Следовательно, установим против
метки d=3,4 шкалы D конечную единицу шкалы С (10), т. е.
применим так называемую «перекидку движка», а затем обычным
путём найдём метку 4,1 на шкале Си прочитаем противостоящую
ей метку шкалы D. Получаем 1,394— результат, в 10 раз мень¬
ший действительного, что вполне соответствует сказанному выше-:
если при умножении двух чисел на шкалах D и С приходится
пользоваться конечной единицей, то линейка даёт результат, в
10 раз меньший действительного.
А можно ли умножать на линейке числа, большие 10? Как
например, с помощью шкал D и С линейки найти произведение
26-34?
36

Естественно, возникает такой путь:
26∙34=2,6∙ 10∙3,4∙ 10=2,6∙3,4∙ 102, т. е. с помощью линей¬
ки находят произведение чисел 2,6-3,4, а затем устно увеличи¬
вают результат в 100 раз.
Однако умножение можно выполнить проще.
В силу свойства периодичности логарифмической шкалы каж¬
дая метка последней обозначает не одно определённое число, а
множество некоторых чисел. На основе этого мы можем искать
на шкале не число 26, например, а цифровой состав числа 26,
т. е. 2—6—0 (эта метка 2—6—0 совпадает с меткой 2,60 шкалы D).
Точно так же вместо числа 34 ищем на соответствующей шкале
цифровой состав числа: 3—4—0.
Итак, чтобы найти произведение x=26∙34 с помощью шкал
D и С, поступаем следующим образом. На шкале D ищем метку
с цифровым составом 2—6—0, затем ставим против метки 2—6—0
шкалы D единицу шкалы С, на шкале С находим цифровой состав
числа 34, против метки 3—4—0 шкалы С читаем на шкале D цифро¬
вой состав результата: 8—8—4.
Положение знака дробности в произведении определяется пу¬
тём грубо приближённой его оценки, производимой с округлением
сомножителей до первой значащей цифры. В данном примере
результат равен 884, так как замечаем, что множимое и множи¬
тель близки к 30, следовательно, произведение близко к 900.
Найдём произведение 21,8-29,6.
На шкале D находим цифровой состав множимого 2—1—8,
устанавливаем против этой метки единицу (начальную в данном
случае) шкалы С, затем находим на шкале С цифровой состав
множителя 2—9—6 и против этой метки на шкале D читаем
цифровой состав произведения 6—4—5. Округляя (в уме) сомно¬
жители до первой значащей цифры, получим 20-30, т. е. высшим
разрядом произведения должен быть разряд сотен. Таким образом,
21,8-29,6 ≈ 645.
Точно так же получим произведение 0,340-0,126: с помощью
линейки находим цифровой состав произведения 4—2—8; далее,
округляя сомножители до первой значащей цифры, имеем 0,3-0,1 =
= 0,03, т. е. в произведении цифра сотых должна быть первой зна¬
чащей.
Следовательно, 0,340 • 0,126 ≈ 0,0428.
Рассмотрим ещё один пример, а именно выполним умножение
чисел 0,471 и 7,32 с помощью шкал D и С. Как и ранее, фикси¬
руем индексом на шкале D метку 4—7—1. Установив против
этой метки начальную единицу шкалы С, замечаем, что метка
7—3—2 шкалы С вышла за пределы шкалы D. Для получения
произведения приходится выполнить перекидывание движка, т. е.
движок выдвинуть налево, подведя под индекс вместо начальной
единицы конечную. Теперь на шкале С находим метку 7—3—2
и читаем противостоящую ей метку шкалы D: 3—4—5. Произве¬
дение равно 3,45.
37

Правило умножения двух чисел на шкалах D и С схемати
чески можно изобразить следующим образом:
С ,	∙^ С θ	С в ~∙	С10
или
°®	0χ =aβ	dx =aβ	Оа
Эта схема показывает, что движок (шкала С) должен быть
сдвинут вправо или влево так, чтобы одна из единиц шкалы С
совпала с меткой а шкалы D. Тогда против метки b шкалы С
найдётся значение произведения х на шкале D.
Умножение двух чисел а и & с помощью шкал А и В можно
выполнять следующим образом: берут на шкале А метку а, уста¬
навливают против неё единицу шкалы В, находят на шкале В
метку b и читают противостоящую ей метку шкалы А. Следует
иметь в виду, что в силу периодичности шкал Аи В безразлич-
Черт. 28.
но, какими подшкалами пользоваться при вычислении. Цифровой со¬
став произведения от этого не изменится. Точно так же безразлично,
которую из трёх единиц шкалы В (начальную, среднюю или конеч¬
ную) противопоставлять метке множимого а. Противопоставив мет¬
ке а шкалы А одну из единиц шкалы В_ и взяв на шкале В
метку Ь, мы получим на шкале В отрезок 6=1251gθ, а на шка¬
ле А—сумму отрезков 125 lga-}-125 lgi> = 125 lgx (черт. 28).
Отсюда lg(α⅛) = lgx, или x=ab.	_
Метка х шкалы А у правого конца отрезка — суммы (α-∣-b) и
даёт искомое произведение x=ab.
Вычисление с помощью шкал А и В так же, как и с помощью
шкал D и С, даёт только цифровой состав результата. Положе¬
ние знака дробности определяется на основе грубо приближённой
оценки результата.
Умножение на верхних шкалах (А и В) выполняется с не¬
сколько меньшей точностью, чем на нижних, но зато при умно¬
жении на верхних шкалах не приходится применять перекидыва¬
ния движка, что также несколько снижает точность вычисления
на нижних шкалах.
38

Выполним, к примеру, умножение чисел 26,1 и 0,645 (данные
точные) с помощью шкал А и В.
Устанавливаем индексом метку 2—6—1 на шкале А (для опре¬
делённости пусть на первой подшкале) и подводим под индекс
метку 10, например (среднюю единицу). Далее, не трогая движ¬
ка, индексом устанавливаем метку 6—4—5 на шкале В и читаем
противостоящую ей метку на шкале А. Замечаем, что метку
6—4—5 на шкале В можно взять в двух местах, а именно: на
первой и на второй подшкалах. Цифровой состав произведения
1—6—8. Пользуясь грубо приближённой оценкой результата,
получаем произведение, равным 16,8. Выполнение умножения на
шкалах D и С позволяет получить в произведении уже не 3, а
4 значащих цифры (1—6—8—2).
Правило выполнения умножения двух чисел а и b с помощью
шкал А и В схематично можно записать следующим образом:
Из схемы видно, что против метки а
шкалы А устанавливается единица (началь- Аа	Ах=аЬ
ная, средняя или конечная, безразлично) шка-	11
лы В, а затем на шкале А против метки b
шкалы В читается произведение x = ab.	,
При вычислении по более сложным фор¬
мулам приходится выполнять умножение β,	°b
как на верхних, так и на нижних шкалах,
а потому надо приобрести навык в работе с обеими парами шкал.
На практике часто приходится встречаться с задачами, при
решении которых требуется умножать, одно и то же число на
ряд других чисел, т. е. выполнять се:рийное умножение.
Такое умножение особенно удобно выполняется с помощью ли¬
нейки, так как оно требует лишь одной установки движка, а за¬
тем перемещается индекс и читаются результаты. Например,
требуется вычислить длину окружности, если диаметр её равен
2,32 м; 1,76 м; 3,24 м; 0,80 ж; 5,50 м; 4,6 5λ=0,46 м.
Устанавливаем единицу шкалы С против метки 3,14 шкалы
D и последовательно наводим индекс на метки 2,32; 1,76; 3,24
и т. д. шкалы С. Противостоящие метки шкалы D дадут иско¬
мые значения длин окружностей соответственно: 7,28 м\ 5,53 ле;
10,18 м; 2,51 м; 17,27 ле; 14,44 ле. После получения первых двух
значений здесь пришлось выполнить перекидывание движка, так
как метки 3,24; 0,80; 5,50; 4,60 шкалы С оказались за предела¬
ми шкалы D. Далее поступают обычным образом: находят
цифровой состав соответствующих меток и определяют положе:
ние запятой.
§ 10.	Деление
Как нетрудно понять из ранее сказанного, умножение на ли¬
нейке сводится к сложению отрезков логарифмических шкал.
Деление же чисел с помощью линейки сводится к вычитанию
39

отрезков логарифмических шкал. Чтобы найти частное d: с с по-
мощью нижних шкал D и С, надо взять на шкале D метку d,
установить против неё метку с шкалы С и прочитать метку х
шкалы О, противостоящую начальной или конечной единице
шкалы С.
В справедливости этого нетрудно убедиться. В самом деле,
при выполнении деления (§ 4) с помощью шкал D и С могут
представиться два случая взаимного расположения этих шкал
(черт. 29 и 30). Для каждого из этих случаев будем иметь еле-
дующие зависимости, которыми связаны метки di с и х шкал:
Для первого случая (черт. 29):
x=d— с,
Черт. 29.
но x = 2501gjς d=2501gdj c=2501gc, следовательно, 2501gx=
=250 lgd— 250 lg с, или х=—.
с
Для_второго случая (черт. 30):
х—d=10— с, или 250 lgx — 2501gd=250 lg 10 — 250 lgс, откуда
x=10∙-≤-.
С
Черт. 30.
I
При установке делимого пользуются визиром, устанавливай
индекс на метку d шкалы D, затем перемещают движок, подвод^
метку с шкалы С под индекс (индекс в покое отмечает метку </).
После этого, не трогая движка, читают метку х шкалы D, 01<a1
завшуюся против начальной или конечной единицы шкалы С.
Так же, как и при умножении, линейка даёт только цифрово)
состав числа. Положение же знака дробности определяется на
основе грубо приближённой оценки результата. Например, для
40

вычисления частного x=7,82 : 12,9 с помощью шкал D и С на¬
ходим на шкале D метку с цифровым составом 7—8—2, устанав¬
ливаем против этой метки метку 1—2—9 шкалы С, затем на
шкале D против начальной единицы шкалы С читаем цифровой
состав частного 6—0—6. Далее делаем в уме «прикидку»: 8: 13
и заключаем, что в частном цифра десятых долей должна быть
первой значащей цифрой, следовательно, x≈ 0,606.
Рассмотрим второй пример, а именно выполним деление числа
17,4 на 0,307 на шкалах D и С.
Устанавливаем индексом на шкале D метку с цифровым со¬
ставом 1—7—4, далее подводим под индекс метку 3—0—7 шка¬
лы С и на шкале D против конечной единицы шкалы С читаем
цифровой состав частного 5—6—7. Оценивая результат деления
устно с точностью до первой значащей цифры (20:0,3≈60), за¬
ключаем, что частное х= 17,4:0,307≈56,7, а не 5,67; 0,567
и пр.
Правило выполнения деления с помощью шкал D и С можно
кратко, схематично выразить так:
Из схемы видно, что: 1) работа ведётся Сс fc* c,<,0>
на шкалах С и О; 2) метка d шкалы D
совмещается с меткой с шкалы С, 3) частное
читается на шкале D против начальной или
конечной единицы шкалы С.
Выполнение деления на верхних шкалах 0<∙	0χ = ⅞
А и В в принципе не отличается от вы¬
полнения этого действия с помощью нижних шкал. Следует
только заметить, что делимое берётся на шкале А, а делитель
на шкале В; частное получаем на шкале А против какой-либо
единицы шкалы В,
Пусть, например, надо найти частное 8,66:0,223. Устанавли¬
ваем с помощью индекса на шкале А метку 8—6—6 (на шкале А
эту метку можно установить в двух местах: на первой подшкале
или на второй), подводим под индекс метку 2—2—3 шкалы В (эту
метку тоже можно взять в двух местах шкалы В) и на шкале А
против начальной, средней или конечной единицы шкалы В читаем
цифровой состав частного 3—8—8.
Так, если делимое 8,66 установим на первой подшкале шка¬
лы А, а делитель 0,223 — на второй подшкале шкалы В, то част¬
ное можем читать на шкале А против средней или конечной еди¬
ницы шкалы В. Если же делимое и делитель установим на пер¬
вых подшкалах шкал А и В, то частное можем читать против
начальной и средней единицы шкалы В (на шкале А). Таким
образом, цифровой состав частного с помощью шкал А и В мож¬
но получить несколькими способами. Получив каким-либо спосо¬
бом цифровой состав частного, положение знака дробности нахо¬
дят тоже грубо приближённой оценкой результата. Так в рас¬
сматриваемом примере имеем: 9:0,2=45, откуда заключаем, что
частное 8,66 : 0,223 ≈ 38,8.
41

Правило выполнения деления на шкалах А и В схематик
можно записать так:
Упражнения.
a≡	a*--	. г,
ι	1. Выполнить следующие действия сначала n∣
1	шкалах квадратов, потом — на основных:
184-33,5; 8,92 -50,1;	0,752 • 0,773;
0,340-6,12; 0,201-47,3;	0,209 -40,5;
"	2,175-27,95; 11,85 - 0,03265; 619 • 0,878;
β 		 в	480:72;	8,66 j 2,23;	0,81: 0,067;
в	'	8051:12,36;	37,6:99,8;	0,1594: 0,0729;
0,782:12,9;	7000:4375;	78,22:50,18.
n.Λ ?• ^5?™ одной установкой движка 23,5% от чисел 168; 382; 4928; 17,8Ц
259,6; 0,917.
§ П. Совместное выполнение умножений и делений
^На практике очень часто приходится выполнять целый ряд
действий умножения и деления так, что результат первого дей
ствия является одним из данных для второго, результат второ¬
го— одним из данных для третьего действия и т. д. На линей
ке все эти действия выполняются порознь, но промежуточные
результаты не читаются и не записываются. Кроме того, целесо
образный выбор порядка действий во многих случаях позволяет
уменьшить количество установок движка и тем самым ускорить
вычисление. Так, если приходится вычислять значение выраже¬
ния вида —, то можно сначала найти произведение aby а затем
результат разделить на с. Но выгоднее в другом порядке выпол
нять действия, а именно: сначала надо выполнить деление а на ι
(или b на с), а затем результат умножить на b (на а). Действ и
тельно, при делении а на с (или b на с) устанавливают движок
так, чтобы метки а (6) и с на разных шкалах (например, на Г
и С) противостояли друг другу. Частное получится на шкале L
против одной из единиц шкалы С. Не читая этого частного и не
трогая движка, находим на шкале С метку b{a) и читаем проти
востоящую метку шкалы О. Это и будет значением выражение
ab
—, которое получилось при одной установке движка.
с
Подсчёт же в первом случае требует двух установок движка
В самом деле, при умножении а на b устанавливают движок так
чтобы начальная единица шкалы С (если вычисления ведутся ш
шкалах С и D) противостояла метке а шкалы D, затем индекса
отмечают метку b шкалы С, далее, не трогая визира, перемета
ют движок (вторая установка движка), подводя под индекс метк]
с шкалы С, и читают метку шкалы D, стоящую против одной и-
единиц шкалы С.
Таким образом, подсчёт в этом (первом) случае в сравненн!
со вторым требует лишней установки движка, что снижает точ
ность вычисления и требует большей затраты времени.
42

Вычисление более сложных выражений вида x-abc'"∙ выгод-
тпк...
нее вести тоже так, чтобы сначала выполняли действие деления,
после него — умножение, затем опять деление и т. д., пока воз¬
можно чередование.
Вычислим значение выражения
48,2-160-9,80
~	19,5-30,7
с помощью нижних шкал.
Установив индекс на метку 48,2 шкалы D, подводим под ин¬
декс метку 19,5 шкалы С. Далее, не трогая движка, перемещаем
индекс так, чтобы он совпал с меткой 1,60 шкалы С. Теперь, не
трогая визира, перемещаем движок так, чтобы метка 3,07 шкалы С
совместилась с индексом; опять, не трогая движка, индексом
фиксируем метку 9,80 шкалы С и читаем противостоящую метку
шкалы D, дающую цифровой состав окончательного результата:
1—2—6—2. Грубо приближённая оценка результата показывает,
,r>∕>∩∕	50 200-10 1cn
ЧТо х= 126,2 так как ——-—-≈ 150
\	20-30
При выполнении последнего вычисления с помощью шкал D
и С пришлось делать перекидку движка влево (при умножении
на 9,80). Подобные вычисления на верхних шкалах выполняются
без перекидки движка. В этом заключается преимущество вычис¬
лений на верхних шкалах.
С помощью линейки комбинированное умножение и деление
выполнять легче, чем ряд одних умножений с тем же числом
данных, так как в случае только одних умножений при каждой
отдельной операции требуется новая установка движка. Так, вы¬
числение по формуле х
abcd β,
=		 требует трех установок движка,
тпк
вычисление же по формуле x=abcdmnk — шести установок (одно
и то же число данных)
Найдём произведение 17,3-0,0265 • 1,25-97,3-7,85-0,0512-4,85
с помощью шкал D и С.
На шкале D индексом фиксируем метку 1—7—3, подводим
под индекс начальную единицу шкалы С и на шкале С индексом
фиксируем метку 2—6—5; под индекс подводим начальную еди¬
ницу шкалы С (вторая установка движка) и фиксируем на шкале С
метку 1—2—5; под индекс опять подводим единицу (конечную)
шкалы С (третья установка движка) и на шкале С фиксируем
метку 9—7—3. Далее под индекс подводим единицу (конечную)
шкалы С (четвёртая установка движка) и фиксируем на послед¬
ней метку 7—8—5; подводим под индекс единицу (конечную)
шкалы С (пятая установка движка) и фиксируем индексом
метку 5—1—2 шкалы С, наконец, делаем шестую установку движ¬
ка— подводим под индекс единицу шкалы С и против метки
4—8—5 шкалы С читаем ответ на шкале D'. 1—0—8—5.
43

Округляя данные до первой значащей цифры, получаем
20-0,03-1 • 100-8-0,05-5=120, откуда заключаем, что произведи
ние содержит разряд сотен, и, следовательно, равно 108,5 или
округлив до трёх значащих цифр, получаем окончательно 108
Вычислим теперь значение
χ = 43,5-0,481-12,9-7,46
~	6,17-80,5-2,93
Для вычисления будем пользоваться шкалами О и С, приняв
следующий порядок выполнения действий.
43,5	0,481	12,9	7,46
6,17	80,5	2,93
Итак, совмещаем метку 43,5 шкалы D с меткой 80,5 шкалы С
(первая установка движка) и, не трогая движка, фиксируем ин
дексом метку 0,481 шкалы С; затем, не трогая движка, по:
индекс подводим метку 2,93 шкалы С (вторая установка движка
и отмечаем индексом метку 7,46 шкалы С; далее, не трога:
движка, под индекс подводим метку 6,17 шкалы С (третья уста
новка движка) и, наконец, не трогая движка, против метки 12,9
шкалы С читаем метку — ответ на шкале D'. 1—3—8—6.
Грубо приближённая оценка результата показывает, чг
x≈ 1,386.
Действительно, для вычисления значения х потребовало^
лишь 3 установки движка. Между прочим, если бы выполнять
действия в том порядке, как записаны данные числа, т. е. поря
док действий был бы таким
43,5	0,481	12,9
6,17	80,5	2,93
46
то пришлось бы дважды выполнять перекидывание движка (про
верьте!). Таким образом, удобный выбор порядка действий позво
ляет избежать перекидок движка, к чему нужно стремиться при
выполнении вычислений.
Вычисление с помощью шкал А и В выполняется проще: при
любом выборе порядка действий оно производится без перекидки
движка.
Упражнения.
24,8-1,77.0,732
Вычислить х=—	— разными способами, сначала на шкалах
О, / О • ∣ У Zt
D и С, а потом на шкалах А и В.
44

§ 12. Прямая пропорциональность
Выдвинем движок вправо (или влево) так, чтобы какая-либо
метка с\ шкалы С совместилась с меткой d1 шкалы D (черт. 31).
Не трогая движка, выберем наудачу пару противостоящих
меток с2 и d2 шкал С и D соответственно и посмотрим, какой
зависимостью связаны метки clf d1, c2t d2. Длины отрезков шкалы
С от метки c1 до метки с2 и шкалы D от метки d1 до метки d2
равны между собой, т. е. c1c2 = d1d2. Но длина отрезка c1c2 равна
c2- c1=2501g⅞- 2501gc1=2501g-⅛ а длина отрезка d1d2=d2-
cι
— (ζ=2501gd2 — 250 lgt∕1=250 lg —. Следовательно, 2501g-=
c1
=2501g-, откуда -⅞-=-⅛-, или —=—.
d1	c1 d1 d1 di
Из последнего выражения заключаем о равенстве отно¬
шений каждой метки шкалы С к соответствующей метке шка¬
лы D при любом фиксированном положении движка.
Метки шкалы С можно считать числителями, а метки шкалы D,
находящейся ниже шкалы С, знаменателями дробей, равных
Черт. 31.
между собой при любом постоянном положении движка.
Линию соприкосновения движка и корпуса линейки (нижнее
ребро паза линейки) можно считать дробной чертой, аналогичной
той, которая применяется при записи обыкновенных дробей
и отношений.
Такое же положение имеет место и в отношении шкал А и В.
При любом положении движка метки шкалы А являются числи¬
телями, а противостоящие метки шкалы В — знаменателями бес¬
численного множества равных между собой дробей.
Убедиться в этом нетрудно.
Отмеченное свойство пары тождественных логарифмических
шкал используется в первую очередь для решения пропорций.
Пусть нужно найти значение неизвестного х из пропорции
5,2	2,8 τ-r
—=—. Приведем движок в такое положение, чтобы отношение
6,5 х
любой метки шкалы С к противостоящей метке шкалы D равня¬
лось отношению Для этого отметим индексом метку 6,5
6,5
шкалы D и подведём под индекс метку 5,2 шкалы С. Далее на
шкале С отыскиваем метку 2,8. Противостоящая ей метка 3—5—0
45

на шкале D и даст цифровой состав значения х. Окончателыщ
получаем х=3,50 (так как левая часть пропорции немного меньщ
единицы).
При решении пропорций полученным способом на шкала?< <|
и D приходится иногда, как при умножении, делать псрекидыва
тт	35,6 х
ние движка. Например, для решения пропорции ■ --==	—
устанавливаем против метки 29,7 шкалы D метку 35,6 шкалы О
Далее, отмечая индексом метку 85,4 на шкале О, видим, πτ∣
против неё имеем пустое место: вся шкала С расположил;^
левее метки 85,4 шкалы D. Чтобы получить значение х, поступи
ем следующим образом. Установив индекс на конечную единищ
шкалы С, перемещаем движок направо так, чтобы под индексов
оказалась начальная единица шкалы С, и теперь против Meτκ∣
85,4 шкалы D читаем метку 1—0—2—3. Из того, что лезси
отношение пропорции немного больше единицы, заключаем, πτ∣
х= 102,3.
Решение пропорций с помощью верхних шкал (А и В) избаа
ляет вычислителя от необходимости делать перекидку движк?
15	4 9
Решим, к примеру, пропорцию ’ =— с помощью шкал А и В
Устанавливаем против метки 1—5—0 шкалы А метку 1—9—2
шкалы В. Затем против метки 4—9—0 шкалы .4 читаем метк|
6—2—7 шкалы В. Это — цифровой состав х. Заметив, что ира
дыдущий член правого отношения (4,9) примерно в 3 раза боле
предыдущего члена левого отношения (1,5), заключаем, что ∣
должен быть приблизительно в 3 раза больше 19,2, следователи
но, запятую в числе 627 надо поставить после второй значаще!
цифры, т. е. x=62,7.
В силу периодичности логарифмических шкал безразлично, и
каких подшкалах шкал А и В брать данные члены пропори ни
Рассмотренный способ решения пропорций очень часто прима
няется при решении посредством линейки всевозможных задач ш
прямую пропорциональность.
Задача 1. Посевная площадь подсобного хозяйства рави
30 га. Сколько процентов от всей посевной площади составляя
участок в 4,6 га, засеянный корнеплодами, участок в 6,3 га, зле!
янный овсом, и участок в 14,5 га, засеянный картофелем?
Решение задачи сводится к разысканию неизвестных члене!
в следующем ряду равных отношений.
100  x1 xa  xa
30 “ 4?6—6,3	14?5~'
Установим с помощью индекса против любой единицы шкалы
А метку 3—0—0 шкалы В и далее читаем метки 1—5—3, 2—1—0
4—8—3 на шкале А против меток 4—6—0; 6—3—0 и 1—4—5 coυJ
ветственно шкалы В. Окончательные ответы получаем;
xl= 15,3%; xa = 21,0%ι x3 = 48,3%.
46

Характерно, что целый ряд неизвестных получается только
путём перемещения визира при одной и той же установке движ¬
ка (перекидка движка, к которой иногда приходится прибегать
при работе на нижних шкалах, не принимается в расчёт).
Задача 2. Вычислить длины окружностей, диаметры кото¬
рых 2,5 см; 3,1 см; 3,4 см; 0,89 см; 14,5 см. Обратно, найти
длины диаметров окружностей длиной в 8,48 см; 10,4 см.
Эта задача тоже на прямо пропорциональную зависимость.
При длине диаметра, равном единице, длина окружности равна π.
Следовательно, для решения задачи нужно разыскать неизвестные
члены следующего ряда равных отношений:
1 _2,5_3,1 _3,4__ 0,89 _ 14,5 _ dl _ d2
^π ~ C1~ C2~~ Ci~ Ci ~ Ci ~ 8,48 l'θ7Γ'
Произведём вычисления с помощью нижних шкал. На нижних
шкалах (так же и на верхних) число π отмечено особым штрихом.
Установим единицу шкалы С против метки π шкалы D
и читаем на шкале О метки, противостоящие меткам 2,5; 3,1; 3,4;
0,89; 14,5 шкалы С, а затем — метки шкалы С, противостоящие
меткам 8,48; 10,4 шкалы D.
Получаем: C1=7,85 см; C2=9,75 см; C3=10,7 см; C4=2,80 см;
C6==45,6 см; d1=2,70 см; d2=3,30 см. Для нахождения значений
С3, Сл и d2 пришлось делать перекидку движка.
Эту задачу с помощью линейки можно решить и иначе, имен¬
но, длины окружностей вычислять, выполняя умножение по фор¬
муле C=πd, а длины диаметров, — выполняя деление по формуле
d Ясно, что этот путь вычисления менее удобен: приходится
я
несколько раз делать установку движка (кроме перекидки). Спо¬
соб пропорций более удобен.
Задача 3. Определить, от каких чисел составляют 3% сле¬
дующие числа: 1,5; 1,83; 20,22; 24,42; 30,5; 39,6; 54,3.
Здесь имеем следующий ряд равных отношений.
100	χi __ χ2		 x3 χ,∣	__ х» хд х?
3	l,5~ 1,83	~ 20,22 ~ 24,42	30,5	~ 39,6	~ 54,3	'
Установив против метки 3 шкалы D (или В) единицу шкалы
С(А), читаем на шкале С(А) метки xl, x2, x3, x4, xs, х«. x∙>, про¬
тивостоящие меткам 1,5; 1,83; 20,22; 24,42; 30,5; 39,6; 54,3
шкалы D(B). Учитывая положение знака дробности, получаем
окончательно: x1=50,0j х2=61,0; х3=675; х4=815; х5=1017;
xβ=1320∙, x7=1810.
При работе на шкалах С и D приходится выполнять пере¬
кидку движка. Если работать на шкалах А и В, то удобнее сов¬
мещать метку 3 шкалы В с единицей (любой) шкалы А, а не
наоборот, метку 3 шкалы А совмещать с единицей шкалы В.
Все задачи, приводящиеся к пропорциям, решаются с помощью
шкал С и D или А и В очень просто при одной установке
47

движка, что очень важно, так как каждая новая установка двц
ка ведёт к снижению точности результатов, получаемых ll
линейке.
§ 13.	Обратная пропорциональность
Как уже было сказано выше, на движке между шкалам
В и С нанесена шкала обратных значений или R-шкала. Её ypa∣
некие: r=250-2501gr. (Если шкалы R на линейке нет, то ξ∣
может служить шкала С в перевёрнутом положении, для чец
надо вынуть движок из паза и вставить его другим концом, ∣∣
той же стороной.)
Сопоставление шкал R и D даёт очень удобный способ peml
ния задач на обратную пропорциональность. В самом деле, сощ
Черт. 32.
ставим две какие-либо метки r1 и r2 шкалы R (или переверн]
той С) с какими-либо двумя противостоящими метками d1 и (
шкалы D, т. е. выдвинем движок из паза так, как указано ι
чертеже 32.

Отрезки ~r∖r2 и dxd2 равны между собой. Но отрезок r1r2 ра
вен /Г—71=250—250lgr2-250+250lgr1= 250lg^. Отреза
⅛d2 равен d2-dx=2501g^. Следовательно, 2501g^-=2501g^
откуда: —=—, или r1di=r2d2.
Г 2
Видим, что при заданном положении движка произведет
всех меток шкалы D на противостоящие метки шкалы R рав«
между собой, т. е. противостоящие метки шкал D и R o6p<∣τ
пропорциональны. Чтобы это обстоятельство использовать Д
решения уравнения вида p∙v=p1∙x1=P2,χz=•••> поступают сле^
ющим образом: находят на шкале D метку, соответствуют)
значению р, и противопоставляют ей метку v шкалы R, з^ы
не трогая движка, читают метки шкалы R, противостоящие mβ
кам p1, ρ2,... шкалы D.
Совместим, например, метку 1,8 шкалы D с меткой 0,5 uj
лы R. Против метки 2 шкалы D окажется метка 0,45 шкалы
против метки 3 шкалы D- метка 0,3 шкалы R; против метк1
шкалы D- метка 0,15 шкалы R и т. д. Произведения соотв
ствующих меток равны в данном случае 0,9==l,8∙0,5.
48

Решим следующую задачу. Для приводного ремня на вал на¬
сажен шкив диаметром в 65 см; вал делает 154 оборота в минуту.
Какое число оборотов даёт вал при диаметрах шкива в 34 см;
76 см; 91 см?
Для ответа на вопросы задачи надо решить следующие урав¬
нения:
65∙ 154 = 34∙x1 = 76∙xa=91 ∙x3.
Устанавливаем против метки 65 шкалы D метку 154 шкалы
R. Далее, не трогая движка, наводим индекс последовательно
на метки 34; 76; 91 шкалы D (или R) и читаем противостоящие
им метки шкалы R (или D). Получаем: x1=295; х2=132; x8=110.
Таким образом, шкала R (вместе с D) позволяет находить значе¬
ния обратно пропорциональных величин так же просто и быстро,
как шкалы D и С(А и В) — значения прямо пропорциональных
величин. При одной и той же установке движка мы можем ре¬
шать целый ряд аналогичных задач. Это — очень важное обсто¬
ятельство, и в этом главное значение шкалы R.
Шкалой R можно пользоваться для умножения чисел. В са¬
мом деле, умножение двух чисел а и b можно свести к делению:
ab = a: —.
Ь
Отсюда замечаем, что для умножения чисел а и b с помощью
линейки достаточно выполнить деление одного из множителей а,
взятого на шкале D, на второй множитель Ь, взятый на шкале
R. Для выполнения такого деления фиксируем индексом метку
а на шкале D, подводим под индекс метку b шкалы R и про¬
тив единицы (начальной или конечной) шкалы R читаем ответ х
на шкале D. Обращаясь к уравнениям шкал D и R, нетрудно
убедиться в том, что метки х, а и b в этом случае действитель¬
но связаны зависимостью x≈ab. Умножение удобнее даже про¬
изводить с помощью шкал D и R, нежели D и С.
Надо быть внимательным при чтении меток шкалы R: они
идут в обратном порядке, от метки 10 до метки 1.
§ 14.	Логарифмирование и обратная задача
Сопоставление шкал корпуса линейки D и L (логарифмиче¬
ской) даёт возможность находить логарифм любого числа и ре¬
шать обратную задачу. Действительно, принимая во внимание
уравнения шкал D и L, а именно: J=250 lg dи 1-- 250/, приходим к
соотношению ∕=lg d (черт. 33), так как отрезки d и I равны
между собой: d≈l.
Из соотношения ∕=lg d видно, что переход от метки d шка¬
лы D к противостоящей метке / шкалы L даёт десятичный лога¬
рифм числа d (вернее, мантиссу логарифма, а характеристику
находят обычным приёмом). Обратный переход от метки I шка-
4 К. И. Кабанова	49

лы L к противостоящей метке d шкалы D даёт значение чис¬
ла по значению его десятичного логарифма.
Найдём с помощью линейки логарифмы чисел 2; 65,5; 0,055;
1,17.
Устанавливая с помощью индекса последовательно метки 2;
65,5; 0,055; 1,17 на шкале D, читаем соответственно противо¬
стоящие метки шкалы L. Получаем: lg 2 = 0,301; lg65,5= 1,816;
lg 0,055 = 2,740; lg 1,17=0,068.
Найдём числа, логарифмы которых соответственно равны
0,321; 1,472; 0,917; 0,112; 1,083.
С помощью индекса отмечаем на шкале L последовательно
метки (мантиссы): 321; 472; 917; 112; 083 и читаем противосто-
1 '
1
-1	—

d
1
Черт. 33.
ящие им метки на шкале D∖ 2—0—9—4; 2—9—6—4; 8—2—6;
1—2—9—4; 1—2—1—0. Поставив знак дробности в соответствии
с характеристикой логарифма, получаем: x1=2,094j х2 = 29,64;
х3=8,2б; х4=1,294; x5 = 12,10.
Следует внимательно относиться к чтению меток в начале
шкалы А, а именно, метки, расположенные левее цифровой мет¬
ки 1, содержат нуль десятых долей, а потому читаются как
0,0α6..., где afb цифры, отличные от нуля.
Применение шкалы L к вычислениям позволяет выполнять
возведение чисел в степень с произвольным показателем, а так¬
же извлечение корня любой степени из чисел.
Например, вычислить 2,138δ.
Пусть x=2,138δ. Тогда lgx=5∙lg2,138.
Находим с помощью линейки lg 2,138=0,330 (переход со
шкалы D на шкалу L) и перемножаем 5-0,330=1,650; далее по
lgx= 1,650 находим x=44,7 (переход со шкалы L на шкалу D).
Вычисление с помощью четырёхзначных таблиц даёт χ=44,67.
Вычислим x=1^12∙ lg*=-⅛-⅛ 12-
’	16
С помощью линейки (переход со шкалы D на шкалу L) нахо¬
дим lg 12= 1,079; далее, с помощью линейки же (шкал D и С)
делим: 1,079: 16; получаем lgx=0,0673. По линейке (переход со
шкалы L на О) находим 1,167.
Вычисление с помощью четырёхзначных таблиц даёт x=l,168.
Упражнения.

Вычислить 2,370'513; 0,7921∙23j 3,7“°-74; ^'1,23; 4,572,31i 8,570∙47j
60

§ 15. Понятие о других задачах, решаемых сопоставлением
шкал лицевой стороны линейки
Мы рассмотрели сопоставление шкал А и D,t К и D∖ С и D∖
А и В; D и R; D и Lt т. е. рассмотрели зависимости, которыми
связаны метки соответствующих пар шкал лицевой стороны логариф¬
мической счётной линейки.
Сопоставим некоторые другие пары шкал лицевой стороны
линейки. Возьмём шкалы А и С и посмотрим, какой зависимостью
связаны метки этих шкал при каком-либо фиксированном поло¬
жении движка (qepτ^34)j Отрезки α1α2 и c1c2 равны между со¬
бой, т. е. а2 — α1=c2— c1. Выражая равенство отрезков шкал че"
рез уравнения, получаем 125 lg ¾ — 125 lg a1∙= 250 lg с2 — 250 lgc1,
или 125 lg--=250 lg-, или — = —.
6<√ αι c2l
Черт. 34.
Окончательно имеем равенство — »=—, которое показывает,
С1 С2
что при фиксированном положении движка все дроби, числите¬
лями которых служат метки шкалы А, а знаменателями—ква¬
драты противостоящих меток шкалы С, имеют одну и ту же
величину. Если, например, установить движок так, чтобы метка
1,5 шкалы С оказалась против метки 4 шкалы А, то против ме¬
ток 5; 6,4; 8; 12,2; 16; 28,5 шкалы А окажутся метки 1,680;
1,90; 2,12; 2,62; 3,0; 4,0 шкалы С, и, следовательно, мы имеем
равенства:
4	__ 5	_ 6,40 		8 _ 12,2 _ 16 _ 28,5
1,52 ~l,680a ~ l,902 ~ 2,122 ~ 2,622 ~ 3,02	4,02 *
Из этого равенства видно, что сопоставление шкал А и С
при одной установке движка позволяет получать целые серии
значений функций: y≈ax2t y=t~~x2,f y=aVrχ'f y=α∣∕—.
В самом деле, пусть установка движка выполнена путём со¬
поставления единицы шкалы С и метки а шкалы А. При данной
установке движка противостоящие метки шкал С и А обозначим
соответственно через х и у. Тогда будем иметь равенство
-γ-=~, откуда y=αx2.
4*
51

Из сказанного ясно, как с помощью линейки получать значс-
ния функции y=ax2 при заданных значениях х.
Если же установку движка выполнить путём сопоставления
какой-либо произвольной метки с шкалы С с меткой а шкалы А,
то для меток х и у шкал С и А соответственно получаем равен¬
ство:
a _ у
С2 X2 9
откуда
y=-x2.
с2
Вычисление значений функций y=ax2 и y=-^-x2 есть задача
на вычисление значений, прямо пропорциональных квадратам дан¬
ных значений.
Если же установку движка выполнить путём сопоставления
единицы шкалы А с произвольной меткой с шкалы С, то для ме¬
ток х и у шкал А и С соответственно будем иметь равенство:
1 х
с2 у2 9
откуда y2=c2x, или y==cVrχ.
Аналогично же получаем возможность для вычисления значе¬
ний функции У=с]/ Для θτθro достаточно установить дви¬
жок путём сопоставления меток а и с шкал А и С соответствен¬
но, а затем читать метки шкалы С, противостоящие меткам х
шкалы А.

Вычисление значений функций y=cVrх и y=c^^∕^ — есть
вычисление значений, прямо пропорциональных корням квадрат¬
ным из данных значений х.
Таким образом, с помощью сопоставления шкал А и С полу¬
чаем возможность очень просто и быстро решать задачи на вы¬
числение значений, прямо пропорциональных квадратам или кор¬
ням квадратным из данных.
К таким задачам относится задача на определение площади
круга по его диаметру (или радиусу) и обратная ей задача.
В самом деле, площадь круга S в зависимости от длины диаметра
круга выражается формулой $=
— πd2,
4
которая преобразуется в
пропорцию
π 	 $
^F"^"d≡
52

Для нахождения площадей кругов устанавливают метку π
шкалы А против метки 2 шкалы С и читают метки S шкалы А,
противостоящие меткам d на шкале С.
Пропорцию	можно преобразовать таким образом:
— = —, где c=l∕r—=1,128.
d2 С2	И π
Значение с = 1,128 указывается на шкале С особым штрихом «с».
Следовательно, для вычисления значений площадей кругов по
данным значениям диаметров и для решения обратной задачи
устанавливают движок так, чтобы начальная единица шкалы А
противостояла метке «с» шкалы С, а затем читают метки шкалы
А, противостоящие меткам d шкалы С. При этом надо помнить,
что метки шкалы С рассматриваются как значения диаметра d
от 1 до 10, а метки шкалы А ⅛aκ>τ значения площади круга от
0,785 до 78,5 (значения площади круга от 0,785 до 1 получают¬
ся при значениях диаметра d от 1 до с= 1,128, для которых не¬
обходимо перекидывание движка вправо). Рассмотрим пример.
Пусть надо найти площади кругов, диаметры которых равны
1,4 см; 7 см; 83 см; 1,05 см или надо решить обратную задачу:
найти диаметры кругов с площадью 8 кв.см; 50 кв.см; 216 кв.см
(данные точные).
Устанавливаем метку «с» шкалы С против единицы шкалы А
и, далее, не трогая движка, индексом устанавливаем на шкале С
метку 1,4 и читаем противостоящую ей метку на шкале А; полу¬
чаем 1,54. Следовательно, площадь круга при </=1,4 см равна
1,54 кв.см.
Точно также находим площадь круга с диаметром </=7 см;
S = 38,5 кв. см. Чтобы найти площадь круга с диаметром </=83 еле,
найдём по линейке площадь круга с диаметром </=8,3 см, а за¬
тем увеличим результат в 100 раз (устно). Таким образом, для
rf=83 см получаем S = 54,l • 100=54100 кв. см.
Для нахождения площади круга с диаметром </=1,05 переки¬
дываем движок направо (метку «с» совмещаем с концом шкалы А)
и против метки 1,05 шкалы С читаем метку 86,7. Следовательно,
площадь круга S=0,867 кв. см.
Для нахождения значений диаметров по данным значениям
площадей кругов установка движка не меняется, разница толь¬
ко в том, что теперь осуществляется обратный переход: со шка¬
лы А на шкалу С. Так для S = 8 кв. см получаем </=3,19 см; для
S=50 кв. cM-d = 7,⅛7 см; для S=215 кв. CM-d=lQ,54 см.
В последнем случае с помощью линейки находим диаметр
для круга площадью в 2,15 кв. см (а не 215 кв. см), а затем
результат умножаем на 10. Заметим, что данное значение площа¬
ди круга надо изменить, перенеся в нём запятую на чётное чис¬
ло мест, тогда запятая в найденном значении диаметра перено¬
53

сится на число мест, в 2 раза меньшее, чем перенесли в данном
значении площади.
С помощью рассмотренного сопоставления шкал А и € (или
б и О) легко решаются задачи на вычисление объемов тел ци¬
линдрической формы, а также задач на вычисление их веса.
Возьмём такую задачу. Найти вес круглого дубового столба
диаметром d=21,5 см и высотой й = 3,7 м, считая плотность ду¬
ба равной 0,69.
Для решения задачи надо выполнить вычисление по формуле
Р=-‘ πrf2Ap=-^π ∙ 2,152∙ 37 0,69.
Установив метку с=1,128 шкалы С против начальной едини¬
цы шкалы А, фиксируем индексом Метку 2,15 шкалы С. Про-
Черт. 35.
тивостоящая ей метка на шкале А выражает площадь круга с
диаметром d—2,15 дм, т. е. S = -∏πd2. Далее остаётся произве¬
сти вычисление по формуле P≈S∙Λ∙p, т. е. выполнить последо¬
вательно два умножения при условии, что множитель S установ¬
лен на шкале А. Для этого, не читая метки S на шкале А (про¬
тивостоящей метке 2,15 шкалы С), подводим под индекс едини¬
цу (какую-либо) шкалы В и на шкале В отмечаем метку
й=37 дм. Против неё на шкале А получаем произведение S h.
Не читая его, снова производим умножение на ρ=0,69. Получа¬
ем цифровой состав результата 9—2—6. Положение запятой опре¬
деляем на основе грубо приближённой оценки результата, выра¬
зив предварительно значения данных в дециметрах. Окончательно
получаем P=92,6 кг.
Понятно, что при решении задач на вычисление значений,
пропорциональных квадратам или квадратным корням из данных,
вместо шкал А и С можно пользоваться шкалами В и D.
Если сопоставить шкалы К и С при каком-либо постоянном
положении движка, то придём к соотношению fc1: c3↑ = k2 .,c23.
В самом деле, отрезки k1k2 и clc2 равны (черт. 35), т. е.
fc2- fc1=c, — ci, w∏ι^lgfc2- ^lgfc1=2501gc3- 2501gc1, или
<3	о
з
« fc*> л ∣ Со	Ло ^2	Ac∣ /Сп
lg-^=31g-, откуда	ИЛИ -⅛=-4
^1	cl	$1 с|
54

„ Последнее равенство говорит о том, что все дроби, числителя¬
ми которых служат метки шкалы кубов, а знаменателями — кубы
противостоящих меток шкалы С при заданном фиксированном по¬
ложении движка равны между собой. Это обстоятельство помога¬
ет легко, при одной установке движка, выполнять серийное вы¬
числение по формулам:
з —
у=кх8; у=— х8; y=k V~χ∙, y=∕<i∕ —.
с3	у с
Можно сопоставлять и другие шкалы лицевой стороны ли¬
нейки. На основе уравнений шкал легко выясняется зависимость,
которой связаны метки сопоставляемых шкал, и, следовательно,
становится ясным, по каким формулам можно производить вычи¬
сления с помощью тех или иных шкал.
Можно одновременно пользоваться не только двумя, но и тре¬
мя и большим числом шкал. Так, например, если требуется вы-
12.5a	e
полнить вычисление по формуле х = —■—, то надо работу на
1,7*
линейке вести по схеме:
Как видно из схемы, для вычисления зна-	↑x
чения х приходится одновременно пользовать-	т
ся тремя шкалами: D , С и А. На шкале D c	с*
индексом устанавливаем метку 12,5 и под- ei1∙τ *^ 10
водим под индекс метку 1,7 шкалы С. Против	Т
конца шкалы С на шкале D получаем част-	•
ное отделения 12,5 на 1,7. Отметив его ин- dx12'5
дексом (не читая), переходим взглядом на
шкалу А и читаем метку этой шкалы, указанную индексом. По¬
лучаем x=54,0.
Замечаем, что вычисление выполняется при одной установке
движка.
Для вычисления по формуле
ваться четырьмя шкалами (при
С и L (черт. 36).
1 у а
x=lg—— приходится пользо-
о
одной установке движка): А, D,
Черт. 36
Упражнения.
1.	Силосная яма имеет 3,5 м в диаметре и 5,2 м в высоту. Сколько до-
c°K шириной в 20 см и длиной в 6,2 м пойдёт на обшивку боковых стенок
ямы? Потерю на пристругивание и пригонку досок принять в 5%.
55

Число досок определится по формуле
π -d-H __ 3,14-3,5∙5,2
П "~0,95∙∕∙6	0,95.6,2∙0,2*
2.	Определить вес железной шайбы (уд. вес железа 7,8), внешний диа¬
метр которой 56 деле, а внутренний — 24 мм. Высота шайбы 2,5 мм.
Задача решается по формуле
Р = π (Я2 — r2) >H∙d≈ 3,14 4,0.1,6-0,25• 7,8.
3.	Сплав содержит 4 весовых части меди, 3 части свинца и 2 части
олова. Сколько килограммов каждого металла в куске сплава весом в 96 кг?
4.	Вычислить, сколько сантиметров содержится в 3; 5,5; 7,3; 9,6; 12 и
16 дюймах, если известно, что 1 дюйм равен 2,54 см.
5.	При перегонке нефти получается 30% керосина и 53% мазута, а осталь¬
ное уходит на топливо и потери при обработке. Сколько керосина и мазута
получается из 64,5 т; 83,7 т; 102,4 т нефти?
6.	Участок в 35,5 га, засеянный рожью, составляет 18% всей посевной
площади. Сколько процентов от посевной площади составляет участок в
24,6 га, засеянный льном, и участок в 38,3 га, засеянный овсом?
7.	Велосипедист некоторое расстояние проезжает за 3,2 часа при скоро¬
сти движения 14 км/час. За сколько времени велосипедист преодолеет это
расстояние, если будет двигаться со скоростью 13,5 км/час; 14,2 км/час;
14,5 км/час? С какой скоростью должен он ехать, чтобы все расстояние
преодолеть за 3 часа?
8.	Через трубу диаметром в 73 мм течёт вода со скоростью 1,9 м/сек.
Какова будет скорость течения (при том же расходе жидкости) в трубе диа¬
метром в 85 мм; 65 мм; 57 мм; 45 мм; 30 мм1
9.	Найти площади кругов, диаметры которых равны: 2,5 см; 4,3си; 6,7см;
0,92 см; 12,2 см, а также найти диаметры кругов с площадью: 8 см2;
15,2 см2; 70 си2.
10.	Требуется установить резервуар для воды ёмкостью в 8 м9 на пло¬
щади размером 2,50 м × 1,45 м, служащей для него дном. Найти высоту ре¬
зервуара.
гг__ " -	8	.
S 2,50-1,45
И. Для учёта дров, поступающих в котельную, сделана мерка длиной
в 1,5 м (черт. 37). Поступающие в котельную дрова имеют разную длину:
54 еле, 71 см и 100 см. Определить высоту клад¬
Черт. 37.
ки для каждого размера, если единица измере¬
ния во всех случаях — кубический метр.
12.	25 м медной проволоки весят 100,7 г.
Найти диаметр проволоки. (Удельный вес
меди 8,9.)
13.	Цилиндрическая дымовая труба с диа¬
метром в 65 см имеет высоту в 18 м. Сколько
квадратных метров жести нужно для её изго¬
товления, если на заклепку уходит 10% всего
требующегося количества жести?
S= l,lπd∕= l,b3,14.0,65.18.
14.	Крыша силосной башни имеет форму конуса. Высота крыши h = 2,0 м
Диаметр башни d = 6,0 м. Сколько листов кровельного железа потребова
лось для покрытия крыши, если лист имеет размеры а = 1,4 м; b = 0,7 м и
на швы пошло 10% требующегося железа?
Число листов железа определится из формулы:
л= MjLπ,rf,z, где l =]∕Λ24-r2 .
2∙α∙∂
56

15.	Из 1 кг технического карбида кальция было получено 300 л ацетиле¬
на (условия нормальные). Сколько процентов примесей содержалось в этом
образце технического карбида кальция?
Для получения ответа на вопрос задачи требуется провести вычисление
∏o формуле
_ 300-64 -1∞
Х~ 22,4∙ 1000 ‘
16.	Найти молекулярный вес вещества, зная, что 380 мм3 его паров при
температуре 97° С и давлении 740 мм ртутного столба весят 1,9 г.
Молекулярный вес вещества находим из формулы:
м _ R'τ'm _ 62400-370-1,9
" Р-У ~	740∙380 ’
где
R = —= 62400 = const.
Т.
17.	Указать способы вычислений на линейке (при одной установке движ¬
ка) выражений вида
1) У =	2) y = a^ x'> 3) y = α∣6ca.
(Вычисления выражений 1) и 2) производятся с помощью шкал К и С (или
К и /?), а 3) — с помощью шкал К и В по следующей схеме:
в
18.	Сопоставьте шкалы А и R и покажите, какой зависимостью связаны
метки al, a2, r1 и r2, где a1, а2 — метки шкалы А, а r1 и r2—противостоя¬
щие им соответственно метки шкалы R.
§ 16.	Тригонометрические шкалы
До сих пор мы вели речь о вычислениях, которые выполня¬
ются с помощью шкал лицевой стороны линейки. Обратимся к
шкалам, расположенным на оборотной стороне движка. Как было
сказано ранее, на оборотной стороне движка нанесены 3 шкалы:
5-шкала с уравнением s=250 lg (10sins), Т-шкала с уравнением
1=250 lg (10 tg∕) и шкала радианной меры с уравнением а =
= 250 lg(100arca).
Вложим движок в паз оборотной стороной и совместим на¬
чальные метки шкал S, Т и D. Теперь, сопоставляя шкалы S и
О, получим для двух противостоящих меток s и d этих двух
Шкал зависимость 10sins=d. В самом деле, в_ этом_случае для
mctok s и d будем иметь s=d или, заменяя s и d их значе¬
ниями, получим 2501g(10sins)=2501gd, откуда 10sins=<∕ или
si∏s=0,ld.
Из последнего равенства заключаем, что каждая метка шка¬
лы D, если цифровые метки её читать как десятые, даёт значение
67

синуса угла, градусная мера которого равна противостоящей мет¬
ке шкалы S.
Например, требуется найти sin22o с помощью линейки.
Устанавливаем индекс на метку 22° шкалы S и читаем метку
индекса на шкале D, это 3—7—4, следовательно, sin 22o=0,374.
Точно также sin30o=0,5, так как метке 30° шкалы S противостоит
метка 5 шкалы D.
Переход со шкалы S на шкалу D даёт значения синусов со¬
ответствующих углов, а обратный переход, т. е. со шкалы D на
шкалу 8, даёт значения углов, соответствующих данным значениям
синусов.
Так, если имеем sinx=0,225, то, переходя от метки 2—2—5
шкалы D к противостоящей метке шкалы S, получаем x≈13o.
Так как шкалы D и С тождественные, то шкалу S можно
сопоставить со шкалой С. Чтобы осуществить противопоставле¬
ние меток шкал S и С, находящихся на разных сторонах движ¬
ка, прибегают к вырезу, сделанному на оборотной стороне кор¬
пуса у правого конца. Вырез имеет на своих ребрах два штриха,
находящихся с конечными единицами шкал А и С в одной пло¬
скости. Характерно, что для сопоставления меток шкал S и ос¬
новной не требуется опрокидывания движка, он находится в пазу
в своём обычном положении (шкалы С и В на лицевой стороне
линейки). Чтобы найти значение синуса угла so, поступают так:
повёртывают линейку оборотной стороной и, выдвинув движок
направо настолько, чтобы верхний штрих выреза оказался про¬
тив метки so шкалы S, поворачивают линейку лицевой
стороной и читают метку шкалы С, противостоящую конечной
единице шкалы D. Так, при s=30o видим, что против конечной
единицы шкалы D находится метка 5 шкалы С, следовательно,
sin 30°=0,5.
Так же находим, что sin 16o30'= 0,284; sin 18o15'=0,313.
Чтобы лучше понять это, представим линейку прозрачной.
Тогда наблюдаем, что данная метка s=30o, например, шкалы S
и получающаяся метка с==5 шкалы С, находясь на разных сто¬
ронах «прозрачного» движка, противостоят друг другу при сов¬
падении начал шкал S и С. Для нашей цели это только и необ¬
ходимо.
При решении обратной задачи, т. е. при разыскании угла,
имеющего данный синус, против конечной единицы шкалы D
ставят метку шкалы С, выражающую данный синус, а затем,
перевернув линейку, читают метку шкалы S, оказавшуюся про¬
тив верхнего штриха в правом вырезе.
Например, если sins=0,396, то s=23o20'j если sins=0,124,
то s=707'.
Надо внимательно относиться к чтению меток на шкале S.
С помощью шкал S и С (О) можно вычислять также и зна¬
чения косинусов по формуле coss≡=sin(90o — s).Taκ, cos28o30'≈
=sin 61 o30' = 0,878; cos 45o 30' = sin 44 o30' = 0,668.
58

Перейдём к нахождению тангенса угла t (если 0’<y<450),
выраженного в градусах. Для решения этой задачи пользуются
вырезом у левого конца оборотной стороны линейки: повернув
линейку оборотной стороной, выдвигают движок налево настоль¬
ко, чтобы штрих выреза оказался против метки t шкалы Т.
Значение тангенса угла t даёт противостоящая начальной едини¬
це шкалы D метка шкалы С, если метку с читать как десятые.
Чтобы прочитать цифровой состав метки с, линейку поворачива¬
ют лицевой стороной. При этом одновременно получают и значе¬
ние котангенса угла /: оно находится на шкале D против конеч¬
ной единицы шкалы С. Справедливость этого утверждения по¬
нятна из чертежа 38, где c=10tg∕*.
Действительно, d=250— с или, преобразовывая, получаем:
250 lg (/=250 — 250 lg с; </=10: с; d= 10 : 10tg∕ = 1: tg∕=ctg∕.
Рассмотрим примеры.
Требуется найти tg 19’10'.
Черт. 33.
Поворачиваем линейку оборотной стороной и выдвигаем дви¬
жок налево настолько, чтобы метка 19’10' шкалы Т оказалась
против штриха выреза.
Теперь поворачиваем линейку лицевой стороной и против
начальной единицы шкалы D читаем метку, шкалы С—3,47.
Следовательно, tg 19° 10'=0,347. Сразу же получаем ctg 19o10' =
=2,880; 2,880—метка шкалы D, стоящая против конечной единицы
шкалы С.
Точно так же находим tg 24o15'=0,450 (ctg 24°15'=2,22);
⅛36o45'=0,747 (ctg 36’45'=1,339).
Задача нахождения угла по данному значению его тангенса
требует перехода со шкалы С на шкалу Т (т. е. обратного пере¬
хода). Так, если tg /=0,576, то для нахождения значения /
устанавливаем метку 5—7—6 шкалы С против начальной единицы
шкалы D', затем, перевернув линейку оборотной стороной, читаем
в левом вырезе метку шкалы Т, оказавшуюся против штриха.
Получаем /=30°. Так же находим ∕ = 14o40', если tg∕=0,262.
Подобно тому, как отыскиваются значения синусов углов
с помощью шкал S и D, можно находить значения тангенсов
углов с помощью шкал Г и О: для этого необходимо движок
* В самом деле, метки с цкалы С и t шкалы Т, находящиеся на разных
сторонах движка, противостоят друг другу. Следовательно, с=Т или
250 lg с = 250 lg(10 tg (), откуда с = 10 tg t.
69

вложить в паз обороткой стороной и совместить начальные метки
шкал Т и D. Далее, остаётся только читать соответствующие
противостоящие метки названных шкал. Например, tg20o=0,364j
tg 9°50'=0,173.
Если острый угол t больше 45°, то разыскание его тангенса
сводится к нахождению котангенса дополнительного угла (90o-1).
Метка шкалы D против конечной единицы шкалы С даст значе¬
ние тангенса /*, если против начальной единицы шкалы D устано¬
вить метку c=10tg(90o— /) шкалы С. Действительно, в этом
случае метка d даёт значение ctg(90°-/), равного tg∕. Так,
имея ∕=63o30,, находим tg26o30'=0,498 и сразу xectg26o30'=
=tg 63°30'=2,008.
Для вычисления значений котангенсов пользуются формулой
ctg∕=tg(90o —/).
Замечаем, что метки шкалы D — значения котангенсов уг¬
лов 5°<α<450 и тангенсов 45° < а ≤ 84° — читаются как
определённые числа по цифровому составу и по положению знака
дробности при условии, что начальная метка шкалы D читается
как единица.
Значения синусов и тангенсов углов, меньших 5o44', отыски¬
ваются путём сопоставления шкал$ &Т (радианной меры) и С
(или D), так как синусы и тангенсы малых углов весьма мало
отличаются от их радианной меры ^arcα=^j∙
Рассматривая, какой зависимостью связаны противостоящие
метки шкал S ‰T и С, находим, что arca=0,01c.
Действительно, противостоящие метки с шкалы С и а шкалы
S fr,T находятся на равных расстояниях от начала соответствен¬
ных шкал, т. е. с=а. Выражая сия их значениями, получаем
2501gc=2501g (100arcα), откуда с= 100 аге а или arcα=0,01c.
Для совмещения меток шкал С и S J<T пользуются нижним
штрихом правого выреза. Чтобы найти радианную меру, а следо¬
вательно, синус и тангенс данного угла а, меньшего 5°44,, надо
метку а шкалы S &Т совместить с нижним штрихом правого
выреза и прочесть метку шкалы С, оказавшуюся против конечной
единицы шкалы D (цифровые метки шкалы С читаются, как
сотые). Например, аге 2°30'=0,0437, а потому и sin2°30'=0,0437
и tg 2o30'=0,0437.
Понятно, что значения радианной меры малых углов можно
также находить с помощью шкал D и S‰T, для этого надо
вложить движок в паз оборотной стороной и совместить началь¬
ные метки шкал S ⅛T и D.
Однако шкала Т позволяет находить значения радианной
* Предполагается, что работа на линейке ведётся при обычном положении
движка: шкалы Bt С и /?-- на лицевой стороне.
60

меры углов, не меньших, чем 34'23". Значения радианной меры
(а следовательно, синусов и тангенсов) углов, меньших 34'23",
определяют на линейке с помощью меток p' = 3438 и p"=206265,
помещённых на шкалах D и С. Эти метки показывают соответ¬
ственно число минут и секунд в одном радиане. Для того чтобы
найти радианную меру угла в несколько минут (или секунд),
делят данное число на число р' (или р", если угол выражен
в секундах). Например, радианная мера угла в 20' есть
20: ρ' = 0,00582, а следовательно, и sin 20'=0,00582; tg 20'=0,00582.
§ 17.	Перспективы дальнейшего изучения линейки
Познакомившись со всеми шкалами логарифмической счётной
линейки и с основными приёмами вычислений на ней, заметим, что
мы далеко не исчерпали всех её возможностей. Возможности
линейки таковы,что её полезно применять при решении почти всех
вычислительных задач, встречающихся в технике и математике.
Можно сопоставлять любые две шкалы с любым положением
Черт. 39.
движка, и каждое такое сопоставление приводит к некоторой
зависимости между метками шкал.
Как было замечено выше, можно сопоставлять не только две
шкалы, но и три и большее число шкал.
Знание уравнений шкал позволяет сравнительно легко находить
зависимость, которой связаны метки сопоставляемых шкал. А эта
зависимость показывает, какого вида выражения можно вычислять
С помощью линейки. Например, сопоставим шкалы С, Т и А при
1аком положении движка, когда он (движок) вложен в паз обо¬
ротной стороной (тригонометрические шкалы находятся на лице¬
вой стороне) и какая-либо метка с шкалы С совмещена со штри¬
хом в левом вырезе. Совместим теперь индекс ползунка с ка¬
кой-либо меткой t шкалы 7\ Тогда на шкале D индекс отметит
метку — ∙tg∕ ^или —, а на шкале А —-⅛~
■ Следовательно, сопоставление шкал С, Г и А при указанном
Положении движка позволяет производить вычисления по форму-
че x.SM.
С2
В самом деле, из чертежа 39, на котором изображена описан¬
ная установка движка и индекса, видим, что отрезки х, /, ссвя-
61

заны соотношением х=/ — с. Отсюда на основе уравнений шкал
получаем:
125 lgx=250 lg (10 tg /) — 250 lg с,
102 tg 2i!
откуда х= ≡—. (Множитель 102 на цифровой состав резуль¬
тата не оказывает влияния, а потому для вычислений на линейке
,	tg1t	10®tg21
формулы χ==-≡- и х=	≤— являются одинаковыми.)
Подобным же образом легко отыскиваются зависимости, кото¬
рыми связаны метки и других двух, трёх и большего числа
сопоставляемых шкал. Нет нужды приводить ещё примеры на
отыскание соответствующих зависимостей: их было достаточно
рассмотрено для того, чтобы желающий поставить перед собой
аналогичную задачу мог разрешить её самостоятельно.
Однако представляется необходимым коснуться вопроса о реше¬
нии треугольников с помощью счётной логарифмической линейки.
В § 16 мы рассмотрели, как находить с помощью линейки значе¬
ния тригонометрических функций. В данном случае линейка пред¬
ставляет собой замену трёхзначных таблиц. Но с помощью
линейки можно одной установкой движка решать целый ряд раз¬
нообразных тригонометрических задач, к числу которых относятся
и задачи на решение треугольников. Для этого необходимо сопо¬
ставление шкал S и Г со шкалами лицевой стороны линейки.
Рассмотрим, к примеру, следующую задачу. Даны две стороны
треугольника а и b и угол против одной из них А. Найти с, В, С.
С помощью линейки эту задачу можно решать точно так, как
решали бы сё с помощью таблиц. Разница была бы только в том,
что соответствующие значения тригонометрических функций (или
логарифмы их и чисел) находили бы с помощью линейки, а не
таблиц, т. е. при решении задачи линейка заменяла бы таблицы.
Однако путём сопоставления шкалы S со шкалой D задача
быстро решается при одной установке движка. В самом деле,
вложим движок в паз оборотной стороной и установим его так,
чтобы метка А шкалы S находилась против метки а шкалы D.
где а выражает сторону треугольника, лежащего против угла А.
Теперь против метки b шкалы D читаем метку s шкалы <S,
$ —значение угла В треугольника.
Далее находят третий угол треугольника С по формуле
C=180o-А—-В и против метки С шкалы S читают метку d
шкалы Д; (/ — значение третьей стороны с треугольника. Напри¬
мер, при α=21,0 см; 6=14,0 см; 4=69o0,, установив метку 69t
шкалы S против метки 21 шкалы D, читаем против метки 14
шкалы D метку β=38o30'. Находим C= 180o-(69o-∣-38o30') =
= 72o30' и, при той же установке движка, против метки 72o30
шкалы S читаем на шкале D метку c=21,4 см.
Как известно из тригонометрии, рассматриваемая задача может
иметь одно, два и ни одного решения. Случай, когда задача
62

имеет одно решение, рассмотрен в последнем примере. Если
задача имеет два решения, то, найдя посредством линейки острый
угол В, надо взять также угол β1 = 180o—В, и дальнейшее реше¬
ние вести для обоих этих углов В и B1. Например, при α=26,0cwj
fl=30,9 см-, A=35o0, задача имеет два решения.
Установив движок путём сопоставления меток 26,0 шкалы D
и 35o0' шкалы S, против метки 30,9 шкалы D читаем на шкале S
значение угла B=43°0,. Затем находим B1=180o— 43o= 137°,
откуда C=180o-(35°÷43o) = 102oj C1= 180o-(35°+137o)=8o0'.
Далее определяем c=44,4 см (метка шкалы D, противостоящая
метке 180° —C=180o — 102° = 78o) и c1 = 6,31 см (приходится
выполнить перекидку движка направо).
Не рассматривая всех случаев решения треугольников с помощью
одной установки движка, заметим лишь, что знакомство с ними
имеет важное практическое значение. По этой причине желательно
учащихся десятых классов знакомить с решением треугольников
посредством линейки.
Представляется целесообразным знакомить учащихся с решени¬
ем уравнений (квадратных и систем линейных) посредством ли¬
нейки.
С этими вопросами можно ознакомиться по книгамД. Ю. Панова
«Счётная линейка» (Гостехиздат, 1953) и В. М. Брадиса «Средства
и способы элементарных вычислений» (Учпедгиз, 1954).
§ 18. Некоторые общие методические соображения
и советы учителю
1.	Различные системы по обучению вычислениям на линейке.
Всякий материал, с которым необходимо познакомить учащихся,
учитель может изложить разными способами. От выбранных спо¬
собов, методов изложения изучаемого материала зависит степень
усвояемости его учащимися, прочность знаний и навыков.
Различными же путями можно изучать и приёмы вычислений
на логарифмической линейке.
Анализируя литературу по счётной логарифмической линейке,
можно заметить, что разные авторы предлагают различные пути
изучения линейки. По своей сущности все эти пути можно объеди¬
нить в три различные направления, а именно: 1) догматическое
направление; 2) описательное направление; 3) номографическое
направление.
Догматическое направление заключается в том, что обучаю¬
щимся вычислениям на линейке предлагаются готовые рецепты
работы с линейкой. Приёмы выполнения действий с помощью
линейки излагаются в виде готовых правил, по принципу «делай
так-то», а почему делать так—не объясняется.
Так примерно изложен вопрос в брошюре С. И. Березина
«Счётная логарифмическая линейка» (Машгиз, 1951).
63

Авторы этого направления считают главной задачей изучения
линейки — освоение техники счёта.
Второе направление в методике изучения линейки можно наз¬
вать описательным. Оно заключается в том, что приёмы вычисле¬
ний на линейке обосновываются в виде словесных описаний.
Примером может служить способ изучения линейки, предло¬
женный Г. К. Брусиловским в книге «Курс математики для инду¬
стриальных техникумов», ч. II(ΓTTΠ, 1933).
Перед объяснением действий на линейке Г. К. Брусиловский
рассматривает принципы построения шкал. Отсюда выполнение
действий обосновывается тоже без уравнений шкал, с помощью
словесного объяснения, базирующегося на свойствах логарифмов
вообще.
Третье направление — номографическое — характеризуется тем,
что вводится понятие уравнения шкалы, и приёмы вычислений на
линейке обосновываются на базе уравнений логарифмических шкал,
составляющих сущность линейки. Наиболее чётко это направление
выражено в книгах проф. В. М. Брадиса («Средства и способы
элементарных вычислений», «Теория и практика вычислений»),
В данном пособии вопросы теории и практики работы с линейкой
изложены тоже на основе номографического направления.
Изучение линейки на основе уравнений шкал, т. е. с помощью
языка символов, характерного для математики, имеет преимуще¬
ство перед описательным изложением теории линейки. Действи¬
тельно, сопоставление любых двух или даже трёх и большего
числа шкал на основе их уравнений позволяет сравнительно легко
находить зависимости, которыми связаны метки выбранных
шкал.
Убедиться в справедливости этого мы имели возможность на
ряде примеров, приведённых выше.
Описательное же изложение теории линейки значительно затруд¬
няет раскрытие огромных её возможностей. Описательные рассужде¬
ния делают изложение материала более растянутым, нечётком
и, следовательно, более трудным для понимания. Особенно оно
невыгодно выглядит при обосновании вычислений по более слож¬
ным формулам.
Ясно, что догматический путь изучения счётной логарифмиче¬
ской линейки совершенно неприемлем в нашей общеобразова¬
тельной средней школе. Обучающийся вычислениям на линейке
по руководствам, написанным догматически, приобретает лишь
механические навыки в решении некоторых задач, описанных
в названных руководствах. Других возможностей линейки учащиеся
не узнают. При изучении линейки догматическим способом учащиеся
не получают прочных, осознанных знаний и навыков.
Счётная логарифмическая линейка—это номограмма с подвиж¬
ной частью (движок—подвижная часть). В номографии же широко
используются уравнения шкал, следовательно, изучение линейки
естественно вести тоже на основе уравнений шкал.
64

2.	Как можно было бы вести изучение линейки?
а)	Об устройстве логарифмической шкалы.
Итак, представляется наиболее оправданным с устройством
логарифмической шкалы знакомить на основе её уравнения. Предва¬
рительно следует познакомить учащихся с понятием шкалы и её
уравнения, рассмотреть примеры шкал, поупражняться в отсчётах
по шкалам. В этом отношении весьма важно в порядке пропедев¬
тики, до изучения логарифмической линейки, знакомить учащихся
с другими, нелогарифмическими, шкалами, речь о которых была
в §1,2. После такой работы нетрудно будет ввести и логарифми¬
ческую шкалу с её уравнением *. Желательно показать учащимся
несколько примеров логарифмических шкал (шкалы с различными
модулями). Следует подробно остановиться на расстановке штри¬
хов для логарифмических шкал. Для этого полезно построить
с учащимися хотя бы одну шкалу (удобнее в масштабе 200 мм,
о чём сказано в § 4) или, по крайней мере, разобрать устройство
готовой шкалы, обратив внимание учащихся на вопросы: на каком
расстоянии от начала шкалы должна находиться метка и так ли
эго в действительности (проверить измерением). Ясно, что по¬
строение логарифмической шкалы силами учащихся ценнее, чем
созерцание- готовой шкалы. Кроме этого, построение логарифмиче¬
ской шкалы каждым учащимся будет способствовать усвоению
той связи, существующей между таблицей логарифмов чисел и лога¬
рифмической шкалой, речь о которой была на странице 19. После
такой предварительной подготовки учащихся нетрудно будет
познакомить с устройством логарифмической линейки и её
шкал.
Естественно, что знакомство учащихся с устройством лога¬
рифмической шкалы и линейки возможно после ознакомления их
с таблицами логарифмов.
б)	Чтение меток.
Научить читать метки —самый трудный момент в обучении
вычислениям на линейке. Главную роль в этом вопросе играет
цена делений. Поэтому прежде, чем учить читать и устанавливать
Метки на шкалах, следует дать учащимся понятие о цене делений
и уяснить с ними цену делений на всех участках каждой шкалы
линейки (сначала можно только для шкал С и D, А и В, К).
Существуют, как известно, две системы чтения меток. Одна
рассматривает каждую метку логарифмической шкалы как опреде¬
лённое число, а другая—как бесконечный ряд чисел, имеющих
один и тот же цифровой состав.
Практика показывает, что на первых порах работы с линейкой
лучше оперировать с числом, имеющим определённое поло¬
* Опыт показывает, что и при более неблагоприятных условиях, т. е. без
предварительной работы с другими шкалами, учащиеся сравнительно легко
Усваивают понятие логарифмической шкалы и её уравнения, принцип
Устройства линейки.
К. И. Кабанова
65

жение запятой. Позже, когда будет изучаться производство
умножения (при условии, что возведение в квадрат и куб и извле¬
чение корня квадратного и кубического изучается прежде умноже¬
ния и деления), нужно перейти к цифровому составу числа.
В это же время представляется логичным познакомить учащихся
и с понятием периодичности шкал линейки. Такой порядок в обу¬
чении чтению и установке меток облегчит до некоторой степени
работу и будет способствовать более сознательному усвоению
учащимися основ теории линейки.
Как это можно практически осуществить?
Детальное знакомство с логарифмической линейкой фабричного
изготовления обычно начинают с изучения шкалы D. Познакомив
учащихся с законом расстановки штрихов на шкале D, приступают
к чтению меток на ней. На этой ступени изучения линейки значе¬
ние начальной метки шкалы принимают равным единице (а не
любому из значений 10, 100, 0,1...; здесь учащиеся ещё не имеют
понятия о периодичности логарифмической шкалы). При таком
условии устанавливают цену делений на шкале. Участку шкалы
от цифровой метки 1 до цифровой метки 1,1 соответствует
число 0,1. Но этот участок (отрезок) шкалы разделён на 10 мел¬
ких делений. Значит, каждому мелкому делению, т. е. расстоянию
между двумя соседними штрихами, соответствует число 0,01. Это
и есть цена деления шкалы D в начале её, от метки 1 до метки 2.
Участку шкалы от метки 2 до метки 3 соответствует число 1.
Этот участок разделён на 10 крупных отрезков (штрихами средней
длины), следовательно, каждому такому отрезку соответствует
число 0,1. Но каждый из последних отрезков разделён на 5 мел¬
ких отрезочков (самыми короткими штрихами). Значит, каждому
мелкому отрезку соответствует число 0,02, т. е. цена делений
шкалы на участке от метки 2 до метки 4 равна 0,02.
Аналогично устанавливается цена делений на остальном участке
шкалы D (а также позже цена делений на шкалах квадратов
и кубов). Не следует требовать от учащихся запоминания цены
делений на шкалах. Чтобы учащиеся «усвоили» цену делений,
т. е. научились каждый раз при установке и чтении чисел на
шкалах быстро и верно устанавливать цену деления на нужном
участке шкалы, надо на первых порах при решении задачи про¬
честь на шкале число, указанное индексом, обязательно требовать
от учащихся определения цены деления в соответствующем месте
шкалы, а потом лишь переходить к чтению числа поразрядно,
начиная с высшего разряда. Крупные цифровые метки дают воз¬
можность определить первую (высшего разряда) значащую цифру
установленного индексом числа; по числу следующих затем деле¬
ний (более крупных и самых мелких) определяют вторую, третью
и иногда четвёртую значащие цифры числа (аналогично делают
и установку данного числа на шкале).
Как при тренировочных упражнениях на чтение и установку
чисел на шкалах, так и при сопоставлении пар шкал D и А,
66

Р и К, метки читаются как определённые числа и по цифровому
составу и по положению знака дробности.
Умножение чисел с помощью линейки (например, с помощью
шкал D и С, а именно, случаи, когда приходится пользоваться
конечной единицей шкалы С и когда требуется перемножить два
числа, каждое из которых больше 10) ставит учителя перед необ¬
ходимостью обратиться к вопросу о периодичности логарифмиче¬
ских шкал.
Познакомив учащихся со свойством периодичности логариф¬
мических шкал и вытекающим из этого свойства следствием,
приходят к заключению, что на логарифмических шкалах можно
читать и устанавливать числа, не обращая внимания на положение
знака дробности в них: можно называть только изображающие
число цифры по порядку, одну за одной, начиная с первой
значащей слева. Этим, вторым, способом чтения и установки
чисел на логарифмических шкалах и пользуются при умножении
чисел, а также и при выполнении других вычислений с помощью
логарифмической линейки.
Когда у учащихся уже имеется навык в чтении меток шкал
первым способом (т. е. каждая метка читается как имеющая
вполне определённое значение и по цифровому составу и по
положению знака дробности), то чтение меток вторым способом
обычно уже не вызывает затруднений. Это неоднократно прове¬
рено на практике.
в)	Последовательность в изучении действий на линейке.
После того как учащиеся получили некоторое умение читать
и устанавливать числа на шкалах, следует сразу приступить
к выполнению действий с помощью линейки.
Представляется целесообразным работу по изучению действий
на линейке начинать с возведения чисел в квадрат и куб и извле¬
чения квадратного и кубического корней, а не с умножения
и деления. Такая точка зрения оправдывается следующими
соображениями.
При возведении чисел в квадрат и куб и извлечении квад¬
ратного и кубического корней легче, чем при умножении, про¬
верить результат вычислений с помощью таблиц.
Действительно, выполняя, например, возведение числа а в квад¬
рат с помощью линейки, можно сейчас же найти квадрат этого
числа с помощью четырёхзначной таблицы квадратов. Сравнивая
результаты вычислений по линейке и по таблице, учащийся
получает возможность оценивать свою вычислительную работу,
производимую с помощью линейки, и принимать меры к улучше¬
нию её на первых же порах знакомства с линейкой.
Возведение чисел в квадрат и куб и извлечение квадратного
и кубического корня легче обосновать теоретически, чем умно¬
жение. Прощен манипуляции на линейке при возведении в квад¬
рат и куб и извлечении квадратного и кубического корня, чем
при умножении и делении (не требуется работы с движком).
ь*
67

Кроме того, возведение в квадрат и куб и извлечение квад¬
ратного и кубического корня — это по существу просто упражне¬
ние в чтении и установке чисел на шкалах. Для умножения
и деления в чтении и установке меток должен быть уже некото¬
рый навык, который и будет приобретаться учащимися в резуль¬
тате упражнений по возведению в степень и извлечению корня
с помощью линейки.
Итак, умножение и деление практичнее рассматривать после
возведения в квадрат и куб и извлечения корня квадратного
и кубического. Учитывая это, можно предложить следующий поря¬
док изучения действий на линейке: 1) возведение в квадрат и
извлечение квадратного корня; 2) возведение в куб и извлечение
кубического корня; 3) умножение и затем деление чисел с по¬
мощью шкал D и С; А и В; 4) нахождение логарифмов чисел и
обратная задача; 5) вычисления с помощью тригонометрических
шкал.
г)	Правила о знаках дробности.
Положение запятой в результатах вычислений, выполняемых
с помощью линейки, мы определяли посредством грубо прибли¬
жённой их оценки. Однако при работе на линейке можно пользо¬
ваться особыми правилами, делающими ненужной грубо прибли¬
жённую оценку результата. Правила эти основаны на понятии
порядка десятичного числа.
Порядком десятичного числа, большего 1, называют число его
цифр слева ot запятой. Порядком десятичного числа, меньшего
1 (но большего 0), называют отрицательное число, равное по аб¬
солютной величине числу нулей между запятой и первой знача¬
щей цифрой числа. Например, порядок 1,128 есть 1; порядок
123,5 есть 3; порядок 0,293 есть 0; порядок 0,0017 есть — 2.
При умножении чисел с помощью шкал D и С линейки
оказывается справедливым следующее правило: порядок произ¬
ведения равен сумме порядков сомножителей, если движок
выдвигается влево (используется конечная единица шкалы С) и на
единицу меньше суммы порядков сомножителей, если движок
выдвигается вправо (используется начальная единица).
Таким образом, при умножении чисел с помощью шкал DvιC
положение запятой в результате можно определять или на основе
грубо приближённой его оценки или пользуясь этим правилом,
Например, умножая 3,27 на 0,672 с помощью шкал С и D,
получаем цифровой состав произведения 220. Движок выдвинут
влево: порядок произведения равен lψθ=l, следовательно, ответ
2,20. Грубо приближённая оценка результата даёт 3-0,7= 2,1, т. е
произведение равно тому же: 2,20.
Подобные правила для определения порядков результате!
существуют и для других действий, выполняемых с помощьк
линейки. Мы на них останавливаться не будем. Желающие
познакомиться с ними могут обратиться к книгам Д. Ю. Панове
«Счётная линейка», К. А. Семендяева «Счётная линейка» и др
68

Существует два мнения по вопросу применения правил о по¬
становке знаков дробности в результатах вычислений на линейке.
Одно мнение—«за правила», второе—«против правил». Сторонники
первого мнения для определения положения знака дробности
в результате вычисления предлагают пользоваться особыми пра¬
вилами. Сторонники второго мнения высказываются против приме¬
нения этих правил. Они рекомендуют определять положение
знака дробности в результате вычислений на основе грубо при¬
ближённой его оценки («прикидки»).
Вторая точка зрения заслуживает предпочтения перед первой.
Вычисления с применением грубо приближённой оценки результата
по сравнению с применением правил знаков ускоряют расчёт,
способствуют сознательному отношению учащегося к результатам
расчётов. К тому же правила знаков могут быть неправильно
применены или легко забыты, так как их очень много (к каждому
действию существует не менее двух положений о знаках дроб¬
ности), Поэтому результаты вычислений более надёжны при при¬
менении грубо приближённой оценки их. Отсюда следует, что
запоминание правил о знаках дробности будет только без надоб¬
ности загружать память учащихся. Из практического опыта прихо¬
дится наблюдать отрицательное отношение учащихся к правилам
о знаках дробности. При вычислениях на линейке необходимо
приучать учащихся пользоваться грубо приближённой оценкой
результата. Особые правила о знаках дробности не необходимы.
Как поступают при извлечении корней (квадратного и кубиче¬
ского), подробно указано выше (§ 7,8).
Некоторые учителя высказывают мнение, что тот способ извле¬
чения корней второй (и третьей) степени из чисел, меньших 1
и больших 100(1000), который указан в §7,8, труден. Это —только
кажущаяся трудность.
В самом деле, подкоренное число очень легко представить
в виде произведения двух чисел, одно из которых можно устано¬
вить на шкале квадратов (кубов), а второе представляет собой
соответствующую степень 10 с чётным (кратным 3) показателем.
Пусть надо найти ]/"0,00027. Разбивая данное число на грани,
получаем]/Ь,00'02'7; далее с помощью линейки находим ]/2,7
и результат делим на 102, т. е. на степень 10, показатель которой
равен числу полных граней (если данное подкоренное число
больше 100, то результат, получающийся по линейке, умножают,
а не делят на соответствующую степень 10). Получаем
]∕θ,OOO27≈ 1,643: 102=0,01643.
Как видим, преобразования, которые пришлось произвести для
вычисления значения корня из числа, выполняются исключительно
легко устно, и фактически они те самые, о которых речь шла в § 7,8.
69

д)	Связь умножения и деления с решением пропорций.
Решение пропорций с помощью линейки имеет широкое при¬
менение при решении всевозможных задач практического характера
на пропорциональность.
На это обстоятельство следует обратить внимание учащихся
при изучении указанного вопроса. Кроме этого, надо показать
связь умножения и деления с решением пропорций.
В самом деле, правила умножения и деления получаются как
частные случаи решения пропорций. Так, если имеем x=ab, то х
можно найти из пропорции — =— . Если x--^- , то х опреде-
а х	о
b 1
ляется из пропорции — = — •
Правила решения этих пропорций с помощью шкал D и С можно
символически записать так:	c
1 ь
для —= —
ах
о a 0χ
Св	C∣
0a	Dχ
т. е. пришли к правилам умножения и деления с помощью
шкал D и С.
Последняя схема показывает, что движок должен быть сдвинут
так, чтобы метка b на шкале С совпала с меткой а шкалы D.
Затем индекс ползунка надо совместить с меткой 1 (10) шкалы С.
Противостоящая метке 1 (10) метка шкалы D даёт значение х.
е)	Счётная линейка как замена таблиц.
Счетная логарифмическая линейка может заменить собой
многие математические таблицы. В самом деле, она может заме¬
нять таблицы квадратов, квадратных корней, кубов, кубических
корней, таблицы логарифмов и антилогарифмов (сопоставление
шкал ь и D), натуральных значений тригонометрических функций,
их логарифмов, перевода одних мер в другие, длин окружностей
и площадей круга в зависимости от диаметра и др.
Многие случаи такой замены рассмотрены ранее. Рассмотрим
некоторые другие возможные случаи замены таблиц линейкой.
Вложим движок в паз оборотной стороной и совместим начала
шкал S (Т) и I. Тогда противостоящие метки а .и I соответственно
шкал S и L связаны такой зависимостью: lg (10sinα)=Z, т. е. мет¬
ки I шкалы L, противостоящие меткам а шкалы $, дают значения
70

мантисс lgsinβ, если значение угла а заключено между 5o43' и 90°.
Если же значение а меньше 5o43', то значения мантисс Igsi∏α
находятся путём сопоставления шкал и I, а не S и L.
Определение характеристик логарифмов синусов не вызывает
затруднений: значения характеристик lgsinα, когда а устанавли¬
вается на шкале S, равны (—1), а когда устанавливается на
шкале S⅛T, равны (—2).
Из сказанного ясно, как решается обратная задача.
Логарифм тангенса для углов до 45° находится подобным же
образом. Для углов свыше 45° вычисление производится на
основании формулы tg α = ctg (90° — α)=--θθ1o		 (§ 16). Если
вычисление ведётся при движке, вложенном в паз оборотной
стороной, то, совмещая единицу шкалы D с меткой (90o-а)
шкалы Т, читаем метку шкалы L, противостоящую конечной
метке шкалы Т.
Если вычисление ведётся с помощью левого выреза (для
β>45°), то lgtgα=lgctg(90o-α)=lg1-^J---
даст метка шка¬
лы L, противостоящая конечной единице шкалы С.
Понятно, что шкала L даёт только мантиссу логарифма
для tga. Характеристику определяют без линейки, исходя из
того, что тангенсы углов
с 4'до 35' заключены между 0,001 и 0,01;
с 35'	до	5o43'	заключены	между	0,01 и 0,1;
с 5o43'	до	45°	заключены	между	0,1 и 1;
с 45° до 84° 18' заключены между 1 и 10;
с 84° 18'	до	89o26'	заключены	между	10 и 100;
с 89o26'	до	89057'	заключены	между	100 и 1000;
с 89057'	до	90°	заключены	между	1000 и 10000.
Как видим, значения характеристик логарифмов тангенсов
углов от 35' до 84° 18' легко усматриваются по значениям соот¬
ветствующих этим углам тангенсов. В самом деле, значения для
тангенсов углов от 35' до 5o43' получаются путём чтения цифро¬
вых меток шкалы D(C) как сотых, для углов от 5043' до 45°— как
десятых и для углов от 45° до 84° 18'—как целых единиц
(т. е. начальная метка шкалы D(C) читается как 1).
Для нахождения логарифмов тангенсов углов, больших 84° 18',
следует иметь в виду лишь то, что значения характеристик лога¬
рифмов tgα при 84018'≤α < 89o26' равны 1. При этом lgtg<x
для а от 35' до 5o43' и от 84° 18' до 89026' находят путём сопо¬
ставления шкал Sβς7,, D(C) и L, а не шкал Т, D(C) и L.
Например, lgtg 85o ≈ 1,058 (устанавливаем метку 5° шкалы
S 2χ Т против нижнего штриха в правом вырезе и читаем
метку шкалы L, противостоящую начальной единице шкалы С);
lg tg89o20'= 1,934 и т. п.
71

Так как при решении большинства практических задач не
приходится иметь дело с углами от 0' до 35', то вопроса о нахож¬
дении логарифмов тангенсов таких значений углов можно было
бы и не касаться. Однако углы от 89o26' до 90° иногда встре¬
чаются, а нахождение тангенсов их (а следовательно, и lgtgα)
с помощью линейки производится через углы отО' до 35'. Чтобы
было понятно, как находится lgtgα, когда а > 89°26', рассмотрим
пример. Пусть надо найти lgtg89o42'. Имеем:
lgtg89042'=lg ctg 18'=lg _!_•
tg 18'
tg 18' находим путём деления 18 на р', т. е
lg—!—=lg -L=1g2-.
δ tg 18' ё ι8' b 18'
р'
Таким образом, для нахождения lgtg89°42' достаточно найти
lg~- . Для этого совмещаем метку 1—8—0 шкалы С с меткой р'
18'
шкалы D (если на шкале D нет штриха с обозначением р', то
следует визиром установить эту метку ρ'=3438). Тогда метка
шкалы L, противостоящая начальной единице шкалы С, даёт lg
Р'
18'
(мантиссу): 2-8—1. Следовательно, lgtg89042'≈ 2,281.
Логарифмы косинусов и котангенсов находятся как логарифмы
соответственно синусов и тангенсов дополнительных углов.
Перевод одних мер в другие на линейке производится очень
легко на основе решения пропорций. Действительно, пусть, напри¬
мер, надо перевести градусы Реомюра Г; 5°; 10° и т. д. в гра¬
дусы Цельсия. Для этого можно метку 8 шкалы С сопоставить
с единицей (конечной) шкалы D. Далее достаточно читать на
шкале D метки, противостоящие меткам 1; 5; 10 и т. д. шкалы С.
Подобно этому осуществляется перевод старых русских мер
в метрические и обратно.
Перевод градусной меры дуги в радианную производится на
линейке при одной установке движка следующим образом.
Устанавливают против метки π шкалы D (или Д) метку 1—8—0
шкалы С(В) и, далее, не трогая движка, визиром устанавливают
на шкале С(В) метки и—градусные меры дуг, и читают противо¬
стоящие им метки шкалы D(A). Например,
аге 20° =1≤*≈ 0,349; arc 64o30'≈ 1,126.
180
Из сказанного можно заключить, что трёхзначные таблицы не
нужны, их вполне заменяет линейка с большим выигрышем в от¬
ношении скорости работы.
ж)	Наглядность.
Роль наглядности в обучении ясна. При изучении линейки её
роль нисколько не умаляется.
72

Так, для того чтобы научить группу учащихся быстро и пра¬
вильно читать и устанавливать метки на шкалах, существенную
помощь оказывает демонстрационная линейка (обыкновенно длина
её бывает 1; 1,5; 2 м). В самом деле, в начале работы с линей¬
кой приходится решать такую задачу: указано место на шкале,
прочитать соответствующее число. Понятно, что решение такой за¬
дачи предполагает использование демонстрационной линейки (или
изображения линейки и отдельных шкал её в крупном масштабе,
если демонстрационной линейки в школе нет).
Для записи правил действий на линейке нередко употребляют¬
ся особые схемы. Некоторые виды таких схем довольно наглядно
представляют картину манипуляций при вычислениях на линейке,
.удобны вследствие своей краткости и потому предпочтительнее
длинных словесных правил — описаний. Эти преимущества схем
перед словесными описаниями манипуляций на линейке особенно
ярко проявляются при вычислениях более сложных выражений.
По форме схематические записи могут быть различными.
Выше мы пользовались некоторыми из них. Так, например, на
страницах 35, 40 вывод правил умножения и деления чисел на
линейке иллюстрировался схематическим изображением шкал ли¬
нейки в виде прямоугольников (чертежи 26; 27; 29; 30 и др.).
Там же мы прибегали и к другим схемам, составленным из
стрелок* (стр. 38—39; 41—42; 70 и др.). С помощью таких схем
порядок работы на линейке при решении, например, пропорции
3,2	15
— =— может быть записан так:
4,5 х	c 	 c
Схема показывает, что число 3,2 на шкале 15	32
С устанавливается как раз над 4,5 шкалы D.	u
Тогда, не трогая движка, а передвигая толь¬
ко ползунок, находим, что против 15 шкалы С ,,
находится х=21 на шкале D.	о	d
Или при вычислении выражения x=α∣∕⅛ x	45
порядок работы на линейке может быть представлен в виде следу¬
ющей схемы:
д	Последние схемы достаточно ярко объясняют
порядок работы при вычислениях на линейке: они
указывают, на каких шкалах ведётся вычисление,
,.	и определяют положение движка (указанием сов¬
мещённых меток) по отношению к неподвижной
c, *"c≡ части линейки. Затруднение может быть только
при вычислениях с участием шкал, расположен¬
ных на тыловой, по отношению к вычислителю,
стороне движка**, когда работа ведётся через вы-
ох резы на линейке. Но это обстоятельство отмеча-
* Эти схемы предложены П. С. Радецким в книге «Логарифмическая
счётная линейка», Кубуч, Л., 1926.
** На тыловой стороне могут Сыть S, Ti S ⅛T или Bt Си R, если послед¬
няя нанесена.
73

ется так: если соответствующее деление движка нужно совме¬
щать с чертой в правом вырезе, то ставят знак «+», а если в
ττ	si∏α sin25o30'
левом, то «—». Например, вычисление выражения х=	=

а 4
запишется следующим образом:
c =4 s	Из схемы видно, что 1) работа ведётся
βs25*30'* на шкалах D, С и 5; 2) движок расположен
оборотной стороной к вычислителю, о чём
говорит совпадение меток лих шкал S и О;
3) метка л=4 шкалы С совмещается с чер-
— d x той в левом вырезе, чем вполне опреде¬
лено положение движка относительно кор¬
пуса линейки.
Мы познакомились с двумя видами символических записей
правил действий на линейке:
1)	запись с помощью схематического изображения шкал в
виде прямоугольников;
2)	запись с помощью схем, составленных из стрелок или от¬
резков прямых.
Первым видом символической записи правил действий удобнее
пользоваться на первых порах работы с линейкой, т. е. при вы¬
полнении наиболее простых манипуляций на линейке. Это с одной
стороны. С другой, этот вид символических записей удобен не
только для записи готовых, уже полученных правил работы на
линейке. Применение схематического изображения шкал благода¬
ря своей наглядности способствует и более легкому получению
этих правил, выяснению зависимостей, которыми связаны метки
сопоставляемых шкал.
Схемы второго вида менее удобны для этой, последней цели,
но для записи уже полученных правил работы на линейке, осо¬
бенно при вычислениях по сложным формулам, они весьма удобны.
з)	В каком месте школьного курса алгебры можно изучать
линейку?
Так как устройство счётной логарифмической линейки основа¬
но на свойствах логарифмов, то изучение её может быть осу¬
ществлено только после усвоения учебного материала о логариф¬
мах. Этот материал входит в программу IX класса.
Отсюда вывод, что знакомство с линейкой возможно после
изучения темы «Показательная и логарифмическая функции. Ло¬
гарифмы» в IX классе.
Но из этого вовсе не следует, что до второй половины IX го¬
да обучения учащиеся не должны готовиться к изучению лога¬
рифмической линейки. Наоборот, для того, чтобы девятиклассни¬
ки быстро и сознательно усвоили вопросы теории и практики ра¬
боты с линейкой, желательно проведение предварительной работы
в предыдущих классах. Под этим надо понимать ознакомление
учащихся VI—VIII классов с понятием шкалы и её уравнения, с
устройством некоторых двойных шкал (в том числе и с более
74

сложными номограммами), а также приобретение навыков в при¬
менении их к вычислениям. В самом деле, чем раньше учащиеся
будут знакомы со шкалами и с применением их для вычислений,
тем быстрее при ознакомлении с линейкой они оценят её и при¬
выкнут к вычислениям посредством её, будут чувствовать потреб¬
ность в ней для рационализации работы и экономии времени.
Опыт подтверждает, что линейка легче усваивается, когда
изучению её предшествует знакомство учащихся с некоторыми
другими двойными шкалами*. В самом деле, при работе с други¬
ми шкалами учащиеся получают навык в производстве отсчётов,
что очень важно для работы с линейкой.
В § 1 и 2 настоящего пособия показано, с какими двойными
шкалами можно познакомить учащихся в VI—IX классах до изу¬
чения логарифмической линейки. Верно, там речь идёт о само¬
дельных двойных шкалах. Как известно, самодельные приборы —
шкалы дают пониженную точность результатов вычислений, по¬
этому для школ необходимы двойные шкалы фабричного изготов¬
ления.
В заключение представляется нужным высказать некоторые
соображения по вопросу, что следует дать учащимся средней
школы по линейке.
Представляется, что программная тема о линейке должна
иметь следующее содержание: «Шкала. Логарифмическая шкала.
Уравнение шкалы. Возведение числа в квадрат и в куб. Извле¬
чение квадратного и кубического корня. Умножение и деление.
Выполнение ряда последовательных умножений и делений. Вычис¬
ление значений, прямо и обратно пропорциональных данным. На¬
хождение логарифмов чисел и обратная задача. Тригонометриче¬
ские шкалы».
Изучение материала в указанном объёме можно распределить
по урокам следующим образом.
1-й урок. Шкала. Логарифмическая шкала и её уравнение.
Устройство логарифмической линейки.
2-й урок. Шкалы D и C,t А и В, их уравнения. Цена деле¬
ний на этих шкалах. Чтение меток и установка их индексом.
Интерполяция на глаз.
3-й и 4-й уроки. Возведение числа в квадрат и извлечение
квадратного корня. Шкала К. Возведение числа в куб и извле¬
чение кубического корня. Упражнения в выполнении этих дейст¬
вий с помощью линейки (с проверкой по таблицам).
5-й урок. Умножение чисел с помощью шкал D и С; Ди
В. Цифровой состав числа. Грубо приближённая оценка результата.
б-й урок. Деление чисел с помощью шкал D и С; Д и В.
* Некоторые передовые учителя республики (например, учитель 59-й
средней школы г. Москвы И. В. Морозкин) знакомят учащихся не только с
простейшими номограммами — двойными шкалами, но и с более сложными,
сетчатыми»
75

7-й урок. Упражнения в умножении и делении чисел. Вы¬
полнение ряда последовательных умножений и делений.
8-й урок. Вычисление значений, прямо пропорциональных
данным.
9-й урок. Вычисление значений, обратно пропорциональных
данным.
10-й урок. Ь-шкала.
11-й урок. Тригонометрические шкалы.
12-й урок. Упражнения на все действия.
Следует заметить, что первые два урока будут очень насы¬
щены материалом, особенно, если во время этих уроков (1-й урок}
учитель решит делать самодельную линейку — строить две тожде¬
ственных логарифмических шкалы, что очень желательно. Однакс
если до изучения линейки учащиеся работали с некоторыми дру¬
гими шкалами (в порядке пропедевтики), то упомянутое толькс
что замечание отпадает.
На опыте приходится наблюдать, что вызывают затруднения
6-й и 7-й уроки. Эти затруднения вызываются тем, что учащиеся
путают манипуляции на линейке при выполнении умножения и
деления. Поэтому здесь особенно важно добиться прочного усвоения
умножения с помощью линейки и лишь после этого переходить
к делению. Полезно сопоставить, сравнить манипуляции, произво¬
димые на линейке при выполнении умножения и деления, отме¬
тить разницу и сходство. Остальной материал усваивается уча¬
щимися сравнительно легко.
12 уроков, которые рекомендуется выделить для изучения ло¬
гарифмической линейки, разумеется, можно проводить не подряд
все. Начать изучение линейки целесообразно после того, как
учащиеся познакомятся с логарифмической функцией, свойства¬
ми десятичных логарифмов чисел, логарифмированием и потенци¬
рованием. Знакомя учащихся с четырёхзначными логарифмически¬
ми таблицами для вычислений, нужно поставить, вопрос о вычис¬
лениях с точностью до трёх значащих цифр, т. е. о вычислениях
с помощью трёхзначных таблиц, роль которых может выполнять
логарифмическая счётная линейка. Здесь, при работе с четырёх¬
значными таблицами логарифмов, и следует знакомить с устрой¬
ством логарифмической шкалы линейки и с употреблением её для
нахождения квадратов и кубов чисел, квадратных и кубических
корней чисел, а также для умножения и деления чисел.
Работу с тригонометрическими шкалами можно отнести к тому
времени, когда в курсе тригонометрии будут решаться прямо¬
угольные треугольники и будет осуществляться работа с четырёх¬
значными таблицами тригонометрических функций.
Понятно, что необязательно все 45 минут каждого из 12 уро¬
ков посвящать только работе с линейкой. Конечно, первые
6 уроков придётся целиком посвятить только работе с линейкой.
Остальные 6 часов можно экономно расходовать на последую¬
щих уроках выделением лишь по 15—25 минут на каждом уроке
76

для проверки выполнения вычислений, произведённых учащимися
дома, и для объяснения новых приёмов работы с линейкой. Таким
образом, работа с четырёхзначными таблицами и логарифмиче¬
ской счётной линейкой будет идти параллельно.
Может возникнуть вопрос, почему по новой программе по ма¬
тематике на изучение логарифмической линейки отводится 6 ча¬
сов, а настоящим пособием рекомендуется отводить 12 часов?
Что здесь: несоответствие между программными требованиями
и рекомендациями настоящего пособия? Несоответствия здесь нет.
Обратимся к программе по математике для средних школ. В кур¬
се алгебры IX класса в теме «Показательная и логарифмическая
функции. Логарифмы» записано: «Устройство и употребление ло¬
гарифмической линейки». После темы «Показательная и логариф¬
мическая функции. Логарифмы» идёт новая тема «Практические
занятия по вычислениям с логарифмической линейкой». На эту
только последнюю тему отводится 6 часов. Недостающие для
изучения счётной логарифмической линейки еще 6 часов должны
быть выделены из темы «Показательная и логарифмическая функ¬
ции. Логарйфмы», так как «Устройство и употребление логариф¬
мической линейки» является подтемой этой темы.
Из темы «Показательная и логарифмическая функции. Лога¬
рифмы» на изучение линейки можно выделить и меньше, чем
6 часов, а именно, 4—5 часов, а недостающие 2—1 час взять
из курса тригонометрии.
Чтобы научить учащихся свободно пользоваться логарифми¬
ческой линейкой, нельзя ограничиваться 12 часами, отводимыми
программой. Приобретаемые учащимися навыки в работе с линей¬
кой обязательно должны применяться ими в вычислениях на всех
(или почти на всех) уроках математики, а также на уроках фи¬
зики, химии.
В настоящее время программой по математике предусмотрено
вычисление с помощью четырёхзначных таблиц. Чтобы учащиеся
привыкли к линейке и чувствовали потребность в ней для рацио¬
нализации вычислительной работы, необходимо при решении хо¬
тя бы некоторых задач (по геометрии, тригонометрии и др.) про¬
изводить вычисления с помощью линейки, а не четырёхзначных
таблиц (или с помощью линейки и таблиц, т. е. вычисления при
решении одной и той же задачи выполнять сначала с помощью
линейки, а потом с помощью четырёхзначных таблиц).
Учитель сам должен решать вопрос о том, в каких конкрет¬
ных случаях следует выполнять вычисление с помощью четырёх¬
значных таблиц, а в каких — с помощью логарифмической линейки.
Так же необходимо приучать учащихся понимать, когда не требует¬
ся производить вычисление с помощью четырёхзначных таблиц.
В этих случаях и надо вычислять только с помощью логарифми¬
ческой счётной линейки.
Возьмём, к примеру, задачу № 1208 из «Сборника задач по
тригонометрии» А. Й. Худобина и Н. И. Худобина (Учпедгиз,
77

1955). Требуется решить косоугольный треугольник, зная его
сторону 6=0,307 и углы A=32o40'j B=70o20'.
В X классе эта задача с помощью четырёхзначных таблиц ре¬
шается примерно следующим образом:
1) C=180o-(A4-B)=77o0'j
а Ь „ 6∙sin4
		=	; а —
’ sin А sinδ si∏B ’
Ь _ c . c b-sinC
3) siπB sinC ’ si∏ В ’
4) S=0,5α⅛sinC.
⅛6
1,4871
lg sin А
1,7321
—lg sinB
0,0261
lg sin С
1,9887
lga=lgb+lgsinA — lgsinB
T,2453
lgc=lg64-lgsinC — lgsiπB
1,5019
а
0,1760
с
0,3177
Таким образом, получают:
lg 0,5 И ,6990
lgα
1,2454
lg6
1,4871
lgsinC
1,9887
lgS
2,4202
S
0,02631
а ≈ 0,1760; с ≈ 0,3177; S≈ 0,02631,
т. е. ответы выражаются числами с четырьмя значащими цифрами.
В сборнике задач даны ответы: α≈0,176j c≈0,318; S=0,0263,
что, во-первых, соответствует по точности данным значениям ве¬
личин (три значащих цифры содержат значения данных и полу¬
ченных величин), во-вторых, эти результаты очень быстро (зна¬
чительно быстрее, чем работа с таблицами) даёт линейка.
В самом деле, на основе теоремы синусов устанавливаем про¬
тив метки 3 — 0 — 7 шкалы D метку 70o20, шкалы S (движок
вложен в паз оборотной стороной), а затем против меток
32o40' и 77°0' шкалы S читаем метки 1 — 7 — 6 и 3—1 — 8
шкалы D. Значения длин сторон треугольника можно считать
найденными (осталось поставить знак дробности). Значение пло¬
щади треугольника тоже быстро находится с помощью логариф¬
мической линейки. Видим, что вычисления с помощью линейки
дают очень быстро результат и с той точностью, какая требует¬
ся условиями задачи (с тремя значащими цифрами). Производя
решение этой задачи с помощью четырёхзначных таблиц, мы рас¬
трачиваем зря время и вычисляем с лишними цифрами.
Этот пример ярко говорит о том, что, решая задачи, подобные
№ 1208, с помощью четырёхзначных таблиц, мы приучаем уча¬
щихся к шаблонной работе с таблицами и не учим их сознатель¬
но относиться к вычислениям с приближёнными данными. А задач,
подобных № 1208, очень много (в том числе и в стабильных сбор¬
никах задач по тригонометрии и геометрии). Их и следует решать
78

с помощью логарифмической счетной линейки, а не четырёхзнач¬
ных таблиц. Кстати, в проекте новых программ по математике
для средней школы в курсе тригонометрии IX и X классов
предусмотрено решение треугольников с помощью таблиц и лога¬
рифмической линейки.
В стабильном сборнике задач по алгебре тоже найдутся такие
задачи, решение которых целесообразнее проводить с помощью
логарифмической счётной линейки, а не четырёхзначных таблиц,
например, № 1127 (2, 3); 1128 (3, 4) и др. (П. А. Ларичев, Сбор¬
ник задач по алгебре, ч. II, Учпедгиз, 1955.)
Итак, изучение программного материала по линейке потребует
не менее 12 часов времени, при условии, что приобретаемые уча¬
щимися навыки будут применяться (и тем самым закрепляться) для
вычислений по другим предметам (геометрии, тригонометрии, фит
зике, химии).
Представляется возможным дать в школе понятие и о более
сложных вычислениях на линейке (можно в порядке внеклассной
работы). Учащимся нужно дать почувствовать огромные вычис¬
лительные возможности линейки, указать, что с помощью линейки
можно вычислять почти все выражения, встречающиеся в мате¬
матике и технике, показать возможности сопоставления различ¬
ных шкал линейки и не только двух, а трёх и более. Желатель¬
но рассмотреть ряд примеров, при вычислении которых прихо¬
дится сопоставлять 3 — 4 шкалы (например, вычислить	;
об2 1 ,	\
у=—; y=lgtgα и др.).
са
Особое внимание необходимо обратить на так называемые
массовые вычисления, когда находят целую серию значений
функций, соответствующих ряду значений аргумента. Например,
вычисление ряда значений функций y≈-- при заданных значе-
ba
ниях х выполняется при одной установке движка (см. стр. 51).
В порядке внеклассной работы и индивидуальных заданий
для сильных учащихся можно более подробно заняться вопросом
вычислений сложных выражений с помощью линейки.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение	  3
§ 1.	Двойные шкалы в курсе математики VI—VII классов	4
§ 2.	Двойные шкалы в VIII—IX классах средней школы	8
§ 3.	Логарифмическая шкала. Её	периодичность		16
§ 4.	Самодельная логарифмическая линейка. Умножение и
деление на ней	 18
§ 5.	Описание счётной логарифмической линейки		23
§ 6.	Шкалы D и С; А и В. Чтение меток	 26
§ 7.	Сопоставление шкал А и D	 31
§ 8.	Шкала К. Возведение в куб и извлечение кубическо¬
го корня	 33
§ 9.	Умножение чисел. Определение положения знака
дробности	 35
§ 10.	Деление	 39
§ 11.	Совместное выполнение умножений	и делений ...	42
§ 12.	Прямая пропорциональность	 45
§ 13.	Обратная пропорциональность	 48
§ 14.	Логарифмирование и обратная	задача	 49
§ 15.	Понятие о других задачах, решаемых сопоставле¬
нием шкал лицевой стороны линейки	 51
§ 16.	Тригонометрические шкалы	 57
§ 17.	Перспективы дальнейшего изучения линейки ....	61
§ 18.	Некоторые общие методические соображения и сове¬
ты учителю	 63
Клавдия Ивановна Кабанова
СЧЕТНАЯ ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ЛИНЕЙКА В ШКОЛЕ
Редактор Н. И. Лепёшкина
Художественный редактор А. В. Максаев
Технический редактор Т. А. Щептпева
Корректор Т. А. Кузнецова
Сдано в набор 12/111 1958 г. Подписано к печати 28/1Х 1958 г.
60×921∕lβ. Печ. л. 5∙ Уч.-изд. л. 4,84. Тираж 95 тыс. экз, А-08490.
Учпедгиз. Москва, 3-й проезд Марьиной рощи, 4 1 .
Типография издательства ^Уральский рабочий*, Свердловск,
ул. им. Ленина, 49. Заказ Кв 140.
Цена 1 руб. 30 коп.

Цена 1 р. 30 к.