БИБЛИОТЕКУ! СБОРНИКЛ
МЕХАНИКА
Подводные и подземные ВЗРЫВЫ
БИБЛИОТЕКА СБОРНИКА «МЕХАНИКА»
ПОДВОДНЫЕ И ПОДЗЕМНЫЕ ВЗРЫВЫ
ПЕРЕВОД С АНГЛИЙСКОГО Иод редакцией
В. Н. НИКОЛАЕВСКОГО
ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР»
Москва 1974
УДК 533 + 539
В настоящее время широко изучается эффект сильного взрыва, особенно в связи с перспективами мирного применения взрывов. Включенные в сборник работы американских ученых содержат результаты недавних исследований по численному и приближенному решению различных задач взрыва. Сюда относятся задачи о волнах в земле и в воздухе от подземных взрывов, о защите от взрыва завесами из пузырьков, о подводном взрыве и др.
Книга будет полезна широкому кругу специалистов, работающих в области прикладной математики, механики сплошных сред и физической газодинамики. Она может служить ценным учебным пособием для аспирантов и студентов-дипломников указанных специальностей.
Редакция литературы по математическим наукам
20305—048
' 041 (01)—74
48—74
© Перевод на русский язык, «Мир», 1974
ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА
Исследованием механических эффектов взрывов, в том числе наиболее мощных из них — ядерных, занимается большое число ученых и инженеров. Внимание, уделяемое этой проблеме во многих странах мира, сказывается в интенсивном развитии представлений о характере взрывных движений и постоянном совершенствовании расчетных методов и экспериментальной техники. Более того, исторически нетрудно проследить, как работа квалифицированных исследователей над проблемой механики взрыва приводила и приводит к значительному прогрессу в смежных разделах прикладной математики и механики сплошных сред.
Предлагаемый вниманию читателя сборник включает в себя переводы ряда работ, выполненных зарубежными авторами; некоторые из них ранее были доступны лишь в виде ротапринтных изданий.
В первых двух работах рассматривается механизм образования ударной волны при подводном ядерном взрыве (статья К. А. Кота) и развитие образовавшегося при этом пузыря, заполненного паром (статья Дж. У. Притчетта). На начальном этапе движения в окрестности точки взрыва температура вовлеченной в движение воды зависит только от времени, а не от координат. Затем движение среды рассчитывается методом характеристик в предположении об адиабатичности. Наконец, при расчете пульсаций пузыря окружающая его вода считается несжимаемой, но в расчетах учитывается двумерность движения в поле силы тяжести и наличие свободной поверхности. Результаты числовых расчетов сравниваются с данными о подводном ядерном взрыве «Вигвам».
6
ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА
В статьях Ч. Л. Мейдера и Г. М. Стернберга и У. А. Уолкера рассматриваются в полной постановке задачи о подводных взрывах обычного ВВ сферической формы, причем ведется совместный расчет и детонационного процесса в самом ВВ, и излучаемой ударной волны в воде. Наиболее интересны здесь картины отражения и преломления ударных волн на границе раздела ВВ — вода, а также распределение во времени кинетической и внутренней энергий в воде и в газовой сфере. Весьма любопытной является также статья Ч. Л. Мейдера, в которой сопоставляются расчеты и эксперименты по взрыву на поверхности воды.
Обширная работа Б. Р. Паркина, Ф. Р. Гилмора и Г. Л. Броуда занимает особое место. Выполненная в 1960 г. и распространенная на Западе в ротапринтном издании, она до сих пор не была доступна советскому читателю. В ней авторы дали формулировку теории динамики жидкости с пузырьками газа, которая во многом предвосхитила опубликованные позднее работы. В рамках развитой ими теории был рассмотрен характер мощных ударных волн в такой особой среде, эффекты затухания волн, а также отражения их от дна водоема. Весьма интересен расчет защитных свойств экранов аэрированной воды от ударных волн, возникающих при ядерном взрыве.
Работа Т. Р. Бутковича посвящена интригующей проблеме заметного усиления механического ядерного взрыва при наличии влаги в порах горных пород. Качественно ясно, что этот эффект обусловлен увеличением за счет паров воды массы газов, играющих роль движущего агента на заключительных этапах взрывного движения, но тем не менее адекватной количественной теории пока нет. Буткович приложил одну из возможных моделей процесса — модель водо-подпорного процесса.
Тип и интенсивность возможных разрушений во многом зависит от спектра сейсмических волн, излучаемых при подземном взрыве. Этому аспекту проблемы о механическом действии подземного ядерного взрыва посвящена работа (в двух частях) Р. А. Мюллера и Дж. Р. Мёрфи. В основу расчета здесь положена идея о подборе по опытным данным эффективного упругого
ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА
7
излучателя (радиуса излучающей сферы и граничного условия на ней). Предлагается соответствующий метод масштабного пересчета, причем учитывается не только энергия взрыва, но и глубина заложения заряда. Кроме того, развит способ определения энергии сейсмического сигнала и магнитуды (относительной энергии сигнала) подземного ядерного взрыва. Разработка деталей работы, впрочем, требует тщательного анализа. В статье Дж. Р. Мёрфи в упругой постановке рассмотрена задача о характере основных волн, образующихся при отражении сферически симметричной волны от плоской границы. Полученное решение применено для анализа сейсмических сигналов, регистрируемых на расстоянии 50— 200 км от места проведения ядерного взрыва.
Весьма актуальный вопрос о разрушающем действии мощных подземных взрывов (который зачастую является решающим при промышленном проектировании) рассмотрен в статьях Дж. В. Рида и Ф. Хольцера. В первой из них детально обсуждается сложная проблема возможной фокусировки (из-за неоднородности атмосферы) и тем самым локального усиления воздушных волн, возникающих при подземных взрывах. Вторая представляет собой итоговый обзор работ, выполненных зарубежными исследователями, по оценке сейсмической опасности при подземном взрыве.
В заключение укажем некоторые основные публикации на русском языке по механике мощных подводных и подземных взрывов.
1.	Баум Ф. А., Станюкович К. П., Шехтер Б. И., Физика взрыва, Физматгиз, М., 1959.
2.	Григорян С. С., К решению задачи о подземном взрыве в мягких грунтах, Прикл. матем. и механ., 28, вып. 6 (1964).
3.	Григорян С. С., Некоторые вопросы математической теории деформирования и разрушения твердых горных пород, Прикл. матем. и механ., 31, вып. 4 (1967).
4.	Губкин К. Е., Распространение взрывных волн (обзор). В сб. «Механика в СССР за 50 лет», изд-во «Наука», М., 1970, т. 2, стр. 271—311.
&
предисловие редактора Перевода
5.	Коробейников В. П., Мельникова Н.С., Рязанов Е.В., Теория точечного взрыва, Физматгиз, М., 1961.
6.	Коул Р., Подводные взрывы, ИЛ, М., 1950.
7.	Кузнецов Н. М., Уравнение состояния и теплоемкость воды в широком диапазоне термодинамических параметров, Прикл. матем. и техн, физ., № 1 (1961).
8.	Ляхов Г. М., Полякова Н. И., Волны в плотных средах и нагрузки на сооружения, изд-во «Недра», М., 1967.
9.	Рахматулин X. А., Сагомонян А. Я-, Алексеев Н. А., Вопросы динамики грунтов, Изд-во МГУ, М., 1964.
10.	Родионов В. Н., Адушкин В. В., Костюченко В. Н., Николаевский В. Н., Ромашов А. Н., Цветков В. М., Механический эффект подземного взрыва, изд-во «Недра», М., 1971.
11.	Седов Л. И., Методы подобия и размерности в механике, изд. 4-е, Гостехиздат, М., 1957.
12.	Шуршалов Л. В., Выражения для внутренней энергии и энтропии воды в широком диапазоне термодинамических параметров, Механ. жидк. и газа, № 4 (1967).
13.	Шуршалов Л. В., Расчет мощных подводных взрывов, Механ. жидк. и газа, № 5 (1971).
14.	Яковлев Ю. С., Гидродинамика взрыва, Судпромгиз, Л., 1961.
15.	Подземные ядерные взрывы, Сб. переводов, ИЛ, М., 1962.
16.	Действие ядерного взрыва, Сб. переводов, изд-во «Мир», М., 1971,
В. Н. Николаевский
МОЩНЫЕ ПОДВОДНЫЕ ВЗРЫВЫ
Л. А. Кот
Построена теоретическая модель расчета мощных подводных взрывов. Начальная стадия взрыва рассчитывается по автомодельному решению, в котором принимается, что процесс является гомо-термическим, т. е. температура представляет собой функцию только времени. Последующая стадия взрыва рассчитывается при помощи численной процедуры, основанной на методе характеристик; течение при этом предполагается адиабатическим.
Гомотермическое решение для начальной стадии взрыва получено при произвольном уравнении состояния, которое описывает состояния воды при высоких температурах. Расчеты показывают, что гомотермические автомодельные решения задачи о взрыве возможны также для сред с более .общими уравнениями состояния, чем уравнение для совершенного газа. Расчеты методом характеристик выполнены по численной схеме со счетными слоями при постоянных значениях времени; эта схема была улучшена для того, чтобы иметь возможность вести расчеты с произвольной величиной шага по времени, не ограниченной локальным критерием устойчивости. Уравнение состояния, которое берется либо в табличной форме, либо в аналитической форме, получено для диапазона давлений от 1 до 1010 бар и для диапазона плотностей от 10~4 до 5 г/см3.
Численный метод применен к случаю взрыва на глубине 600 м, причем рассчитана ранняя стадия этого взрыва. Численные расчеты проведены от момента детонации до начальной стадии образования пузыря водяного пара. Как закон движения ударной волны, так и начальный рост границы пузыря в этих расчетах определяются вполне удовлетворительно. Рассчитанные величины давления на ударной волне находятся в хорошем согласии с экспериментальными данными, имеющимися для области низких давлений.
ВВЕДЕНИЕ
Задача о подводных взрывах являлась темой многочисленных исследований. Однако большинство из этих
*) Kot С. A., Intense underwater explosions, ПТ Research Institute, Chicago, Illinois, USA (препринт).
10
К. А. КОТ
работ имело целью изучение взрывов, производимых обычными сильными взрывчатыми веществами [1].
При любом подводном взрыве внезапное выделение энергии порождает ударную волну, которая, двигаясь от источника взрыва, распространяется в воде. За фазой скачка происходит образование газового пузыря, который затем подвергается сложным динамическигл процессам, включая колебания и перемещение вверх. Хотя мощный взрыв качественно подобен взрыву, производимому обычными химическими взрывчатыми веществами, однако он отличается тем, что здесь достигаются гораздо более высокие пиковые значения давления и температуры. В этом случае пиковые значения давления и температуры оцениваются соответственно в 1010 бар и 107 К [2]. В соответствии с этим при взрыве обычных взрывчатых веществ образуется пузырь, который состоит главным образом из несконденсировавшихся газовых продуктов взрыва, тогда как при мощных взрывах из-за исключительно высокого нагревания в ударной волне создается большой пузырь, состоящий из пара.
При исследовании обычных взрывов принято определять распространение ударной волны при помощи какого-либо приближенного метода и упрощать последующий анализ динамики пузыря, рассматривая воду как несжимаемую жидкость, а пузырь как однородный газовый шар [1]. Распространив подход, применяемый при расчетах детонации в воздухе, Холт и Бергер [3, 4] показали, что на ранней стадии подводного взрыва возможно единое рассмотрение всей области, которая заключена внутри ударной волны. Чтобы рассчитать явление взрыва, начиная с момента времени, когда детонационная волна достигает поверхности раздела между взрывчатым веществом и водой, использовался метод характеристик. Отметим, что недавно для решения задачи о подводном взрыве были применены гидродинамические численные схемы, основанные на введении искусственной вязкости [5].
В настоящей работе будет развита модель для расчета ранних стадий мощного подводного взрыва. Поскольку при таком взрыве газовый пузырь образуется главным образом из-за интенсивного нагревания воды
МОЩНЫЕ ПОДВОДНЫЕ ВЗРЫВЫ
11
при прохождении ударной волны, то здесь необходимо единое рассмотрение всей области, охваченной ударной волной. Задача о взрыве представляет собой одномерную неустановившуюся гидродинамическую задачу со сферической симметрией и по своей природе является гиперболической. Основным численным методом, который будет применен для решения этой задачи, будет метод характеристик. Таким образом, данная работа представляет собой распространение подхода Холта [3] на случай задачи о мощном взрыве. Однако здесь нельзя начинать расчеты непосредственно от точки взрыва в момент детонации. Начальные условия должны быть получены в некоторой конечной области. Мы определим эти условия, идеализируя самую раннюю стадию взрыва как автомодельное решение для точечного источника взрыва [6, 7]. Однако обычное допущение об адиабатическом поведении среды будет заменено предположением, что область, охваченная ударной волной, является гомотермической, т. е. температура в ней есть функция только времени [8]. Это предположение означает, что внутри области, охваченной ударной волной, на самой ранней стадии взрыва скорость теплопередачи стремится к бесконечности. Если иметь в виду исключительно высокие температуры в окрестности точки взрыва, вьь званные ударной волной и другими механизмами взрыва, то предположение о нулевом градиенте температуры в радиальном направлении оказывается вполне рациональным.
Полученное гомотермическое решение развивает работу [8] других исследователей, которые нашли такие решения для случая совершенного газа. Однако применение гомотермического решения должно быть ограничено непосредственной окрестностью точки взрыва, поскольку, когда температура в области, охваченной ударной волной, падает, вода становится весьма непроницаемой для теплового излучения и скорости теплопередачи быстро уменьшаются; следовательно, предположение о гомотермической области перестает быть оправданным. Дальше решение можно продолжить при помощи метода характеристик. Для решения задачи о подводном взрыве в качестве численной схемы берется
12
К. А. КОТ
так называемая схема со счетными слоями при постоянных значениях времени, предложенная Хартри и обсуждавшаяся другими авторами [9, 10]. Достоинство этой схемы в том, что в ней результаты выдаются непосредственно на линиях с постоянными значениями времени и вдоль траектории частиц. Это позволяет упорядочить вычислительную процедуру и значительно упрощает переход от автомодельного решения к численному расчету.
ГОМОТЕРМИЧЕСКОЕ АВТОМОДЕЛЬНОЕ РЕШЕНИЕ
Самую раннюю стадию сильного взрыва в воде будем рассчитывать, предполагая, что процесс является гомотермическим, т. е. температура представляет собой функцию только времени. Для взрыва, который происходит достаточно далеко от свободной поверхности или от поверхности дна, уравнение сохранения массы, уравнение сохранения количества движения и импульса и условие гомотермичности имеют соответственно следующую форму:
dt ' dr ' P dr	r ’	\
ди	. ди	,	1	др	~
-57- + и -r- 4---= 0,	(2)
dt dr	1	p	dr	’	' 7
dT dr
Здесь используются обычные обозначения, а именно г — расстояние вдоль радиуса, t — время, р — давление, р — плотность, Т — абсолютная температура ни — скорость частицы; параметр v равен 0, 1 и 2 для плоского, цилиндрического и сферического течений соответственно.
Уравнение состояния имеет вид
Р = Нр, Т).	(4)
В начальный момент времени вода покоится, и тогда граничные условия таковы: (1) условие симметрии в центре взрыва и (2) условия на движущейся ударной волне, образующей внешнюю границу области. Первое из этих условий выражается так:
и(0, 0 = 0.	(5)
МОЩНЫЕ ПОДВОДНЫЕ ВЗРЫВЫ
13
Условия на ударной волне даются соотношениями Рэнкина — Гюгонио:
Ро^ = Ps (U — us),	(6а)
Ро^2 + Ро = Ps(t/ - «s)2 4- Ps,	(66)
-^ + -^ + e0=(^~“s)2 +;г + ез- (6в)
2 рО	2	ps
Здесь индекс 0 относится к невозмущенным условиям, а индексом s обозначается состояние на скачке; U — скорость ударной волны. На самой ранней стадии взрыва давление на ударной волне весьма высоко, поэтому мы сделаем предположение о сильной ударной волне [6], т. е. давление и энергия в невозмущенной среде будут полагаться равными нулю. Таким образом, в уравнениях (66) и (6в) будем пренебрегать членами, содержащими ро и во. Тогда единственными размерными постоянными величинами, которые появляются в задаче о гомотерми-ческом взрыве, будут невозмущенная плотность ро и энергия взрыва Eq,
Задача об одномерном неустановившемся течении при наличии только двух независимых размерных постоянных величин является автомодельной задачей, и в ней количество независимых переменных может быть сведено к одной-единственной безразмерной переменной [6]. Для сферически симметричного случая безразмерная автомодельная переменная обычно выражается так:
где р* — характерная плотность, Е — постоянная, имеющая размерность энергии, и R — радиус ударной волны. Второе равенство в (7) позволяет определить константу пропорциональности а между величинами Е и Eq и показывает также, что Xs — 1.
Чтобы обеспечить автомодельность, должны быть также наложены некоторые условия на форму уравнения состояния. Для гомотермической задачи термическое уравнение состояния можно брать в следующей общей форме [8]:
р= -ф (Г) ф(р/р,),
(8)
14
К. А. КОТ
где (р (р/р*) — произвольная функция приведенной плотности р/р*, а ф(Т)—функция температуры, которая в предположении гомотермичности зависит только от времени. Функция ф(Г) должна иметь размерность давления. Из соображений размерности следует, что функция ф(Г) пропорциональна /“6/5. Ее можно выразить через скорость ударной волны:
ф(Г) = 7<р/Л	(9)
Здесь К — безразмерная постоянная, которая определяется из решения задачи. Используя условие гомотермичности, уравнение состояния и уравнение (9), можно исключить давление из дифференциальных уравнений и граничных условий задачи. Таким образом,
[ч> (Г) ф (р/р.)] =	-
причем штрих означает дифференцирование по аргумен-ту р/р*.
Чтобы исключить из уравнений задачи входящую в них явно постоянную К, можно ввести новую автомодельную переменную [8]:
к*
Поскольку = 1, то получим Zs=llVK. Используя уравнение (10), выражаем частные производные через автомодельную переменную Z:
A =	(in
dt R dZ *
(Ю)
д Zs d
dr ~ R dZ '
Кроме того, все зависимые переменные можно определить как некоторые функции от автомодельной переменной Z:
H = -^-F(Z), p = p,G(Z),
’1’(Л = -£Й1. p = p,t/2//(Z)=-^-T(G). I (I2)
Подставляя (12) в дифференциальные уравнения задачи и используя выражения (11), получаем обыкновенные
МОЩНЫЕ ПОДВОДНЫЕ ВЗРЫВЫ
15
дифференциальные уравнения по автомодельной переменной Z. После преобразования выведем систему уравнений, каждое из которых содержит только одну произ-
водную:	dF __	F	yZ(Z-F)-2<p' (G)	(13a)
	dZ	Z	<p' (G) - (Z - F)2	’	
	1 dG _	F	bo| co N 1 ND NJ 1 3	(136)
	G dZ '	Z	<p' (G) - (Z - F)2 ’	
где	q>'(G) =	dqp dG		 rfqp d (p/p.) ‘	
Аналогичное введение автомодельной переменной в граничные условия приводит к следующим выражениям:
GO = GS(1	(14а)
g0=gs(i +	<146)
F(0) = 0.	(14в)
Таким образом, решение зависит от вида функции ср(G), и, вообще говоря, полученная система уравнений не может быть исследована непосредственно из-за ее неавтономной формы.
Для уравнения состояния достаточно общего вида р = (Т) (apv ± Ь), которое соответствует термодинамическим данным для воды при высокой температуре, можно получить автономную систему уравнений. Здесь ф(Т) по-прежнему является произвольной функцией от температуры. Частную функцию плотности, которая лучше описывает термодинамические свойства воды, возьмем в виде <р(G) = = GY — 1 = (p/p*)Y— 1, и тогда ее производная равна q/(G) = yGP, где Р = у — 1.
Проведем теперь преобразование переменных, а именно
у==т-	=	(15)
16
К. А. кот
Подстановка этих переменных и их производных в уравнения (13) после упрощений даст следующие соотношения:
_ ,у 4(1-Г)-31Г + (1-Г)2
Т ~dz =	г-(1 — У)2	’	(16а)
dZ~	W — (\—Y)2'	•
Эта система уравнений является автономной и путем простого деления первого уравнения на второе может быть сведена к одному обыкновенному дифференциальному уравнению
dY Y	2Y2-7Y + 5-SW	(]7}
dW W 4У2(1+0) - У (8 +0)+ 4(1 - Г) ’
Граничные условия на ударной волне нельзя непосредственно выразить через преобразованные переменные, потому что они содержат параметр ZSi который заранее неизвестен и должен быть определен из решения задачи. Однако для любого выбранного значения Zs можно найти величины Ys и Ws по формулам преобразования. Следовательно, геометрическое место всех возможных состояний на скачке в плоскости У, W легко определяется. Заметим, что при конечных, но ненулевых значениях плотности величина W становится бесконечно большой, когда Z равно нулю. Величина У при Z = О равна dF/dZ, и дальнейшее исследование показывает, что У = 0.
Уравнение (17) имеет особенности там, где знаменатель обращается в нуль, т. е. когда W = 0, или 4У2(1 + р) — У(8 + Р) + 4(1 — W) =0. Из определения W видно, что первое из вышеуказанных условий требует, чтобы либо Z = оо (бесконечно большой радиус), либо величина плотности обращалась в нуль или в бесконечность в зависимости от значения 0. Все эти условия физически неприемлемы. Следовательно, надо рассматривать второе из вышеуказанных условий. Чтобы производная dYldW оставалась конечной, когда знаменатель дифференциального уравнения обращается в нуль, не
МОЩНЫЕ ПОДВОДНЫЕ ВЗРЫВЫ
17
обходимо, чтобы одновременно и числитель проходил через нуль. Это требование приводит к следующим условиям совместности: У = 0, или 2У2 — 7У + 5 —-&W = 0. При этих условиях существуют три особые точки. При частном выборе величины р = —0,05 одна из этих особых точек получается при отрицательном значении W, что соответствует либо отрицательной плотности, либо отрицательной величине Z. Значит, в области, имеющей физический смысл, будут расположены две особые точки, а именно У1 = 0, Wi = 1 и У2 = V4, W2 = 9/i6.
Дифференциальное уравнение (17) имеет вид
dY _ У) dW “ Q (W, У) ’
Из теории таких уравнений [11] известно, что поведение данного уравнения в окрестности изолированной особой точки идентично поведению уравнения, имеющего линеаризованные формы числителя Р и знаменателя Q, полученные при их разложении в ряд Тейлора, т. е.
dY _ a(W -W) + b(Y -У) dW ~ c(W -W) + d(Y - Y)
Здесь через W, Y обозначены координаты особой точки. Поведение интегральных кривых такого дифференциального уравнения в окрестности особенности определяется корнями б характеристического уравнения, которое записывается так:
с — б d а b — б
= б2 - б (& + с) - (ad - be) = 0.
При действительных значениях корней особая точка является узловой, если корни одного знака, и седловой, если знаки у корней различные. Известно также, что через такие особые точки характеристические кривые могут проходить только в двух направлениях. Кривые, представляющие собой решения и имеющие такие характеристические углы наклона, определяются довольно просто [12].
Исследование линеаризованной формы уравнения (17) в фазовой плоскости показывает, что первая особая
18
К. А. КОТ
точка является узловой. Кривые, представляющие собой решения и проходящие через эту точку, являются в окрестности особой точки прямыми линиями и определяются уравнениями
у = 0 и У=-	3	(Г_
О ~Г р
Вторая особая точка представляет собой седловую точку. Два решения, проходящих через эту особую точку, в ее окрестности также являются прямыми линиями и определяются так:
г=4+1 т '/'1+6<6-й1 (г - 4) 
Фазовая плоскость в переменных W, Y для случая |3 = —0,05 (у = 0,95) показана на рис. 1. Здесь схематически изображено поведение решения в окрестности особых точек. Кроме того, показано геометрическое место точек возможных состояний на фронте ударной волны, определяемое равенствами (14) и формулами преобразования (15). Отметим, что характеристические кривые, проходящие через седловую особую точку, каждая из которых называется сепаратрисой, делят фазовую плоскость на четыре отдельные области таким образом, что траектории решения не могут переходить из одной области в другую. Искомое решение должно удовлетворять условию в центре симметрии (Ц7=оо), где скорость равна нулю; кроме того, оно должно пересекать геометрическое место состояний на ударной волне, чтобы удовлетворять граничным условиям на скачке. Единственная траектория решения, которая может проходить между двумя такими крайними точками, должна по необходимости проходить через седловую точку.
Далее, поскольку на кривой, являющейся решением, должно выполняться условие обращения в нуль скорости (У = 0), когда W становится большим, то соответствующая траектория будет приближаться к окрестности узловой точки при W = 1, Y — 0. Поскольку все траектории, приближающиеся к этой точке, должны входить в нее, то и кривая искомого решения будет вести себя таким же образом. Условие обращения в нуль скорости достигается уже при W = 1. Единственная траектория,
МОЩНЫЕ ПОДВОДНЫЕ ВЗРЫВЫ
19
Рис. 1. Фазовая плоскость и интегральная кривая.
Y,W — автомодельные переменные; / — узловая точка; 2—седловая точка; 3 — интегральная кривая; 4—геометрическое место точек ударной волны.
выходящая из этой точки и стремящаяся к точке й?=оо, идет вдоль оси W, на которой всюду Y = 0. Итак, кривая, являющаяся решением, качественно определяется по своим углам наклона, которые точно вычисляются в
20
К. А. КОТ
двух особых точках, через которые эта траектория проходит.
Решение уравнения (17) находилось численным интегрированием при помощи метода Рунге — Кутта, имеющего четвертый порядок точности. Поскольку этот метод не дает возможности вести численное интегрирование с проходом через седловую точку из-за характера траекторий в ее окрестности, интегрирование начиналось в самой седловой точке (У = 74, Wr = 9/i6) и проводилось от нее в обоих направлениях, т. е. в направлении к узловой точке (У — 0, W — 1) и в направлении к геометрическому месту состояний на ударной волне. Если точка пересечения кривой, соответствующей решению, и линии ударной волны найдена, то тем самым будет найдено все решение в плоскости W, У, и все переменные на фронте ударной волны (У5, Ws, Zs, Fs, Gs) будут определены.
Зная величину Zs, можно путем численного интегрирования уравнения (16а) получить значения переменной Z вдоль всей интегральной кривой. Преобразованные переменные F и G находятся просто по определению (15), а функция давления Н получается по определению (12). Профили соответствующих физических переменных в области, охваченной ударной волной, будут подобны для всех моментов времени и могут быть построены в виде отношений u/us p/pSfu p/ps, представленных в зависимости от X. Эти профили изображены на рис. 2. Как видно из графика, область, окружающая центр взрыва до радиуса, приблизительно равного половине радиуса ударной волны, является областью однородного состояния, причем в этой области скорость равна нулю. Интегральная кривая остается гладкой при проходе через седловую особую точку (У = V4, W = = 9/1б). Однако в узловой особой точке (У = 0, W = 1), которая совпадает с границей однородной области, производные для профилей скорости, плотности и давления не являются непрерывными. При приближении к этой точке слева производные равны нулю. Как исследование в фазовой области, так и численное интегрирование показывают, что при приближении к узловой точке справа производные имеют ненулевые значения.
МОЩНЫЕ ПОДВОДНЫЕ ВЗРЫВЫ
21
Распространение ударной волны с течением времени определим обычным способом [6], составляя баланс энергии во всей области, охваченной ударной волной.
Рис. 2. Профили скорости /, давления 2 и плотности 3 для гомо-термического автомодельного решения.
Энергия, заключенная в этой области, состоит из внутренней энергии и кинетической энергии и должна равняться полной энергии, выделившейся при взрыве. Для любого произвольного момента времени можно написать
R	1
Ей = 4л J р4 г2 dr = 4л/?3 J р + е) (18) О	о
22
К. А. КОТ
где Ео —энергия взрыва и R— радиус ударной волны, который является функцией времени.
Изменение плотности р и скорости и в зависимости от Л находится по автомодельному решению. Остается определить профиль внутренней энергии. Если уравнение состояния имеет форму, которая обеспечивает полную автомодельность решения, то из соотношения (18) легко вычислить радиус R, который, как можно показать, зависит от времени по простому степенному закону [6].
Для уравнения состояния более общего вида необходимо применять иной способ расчета. В нашем случае термическое уравнение состояния, которое аппроксимирует свойства воды при высоких температурах, имеет сложную форму и не может быть непосредственно использовано для вычисления внутренней энергии. Калорическое уравнение состояния, связывающее давление, плотность и энергию, имеется только в табличной форме. Значит, для интеграла энергии полной автомодельности не существует. Равенство (18) можно записать через относительные переменные, представляющие профили функций. Обозначая индексом s значения функций на фронте ударной волны и применяя соотношения Рэнкина— Гюгонио (6), получаем после упрощений
[(-Й - Ш >d>- <19> о
Если уравнение состояния задано (пусть даже в табличной форме), то для любого выбранного значения давления на ударной волне можно найти величины ps и es при помощи этого уравнения состояния и энергетического соотношения на ударной волне, которое выражается равенством (6в). Тогда, используя профили плотности и давления из гомотермического решения, а также таблицы, представляющие уравнение состояния, можно путем численного интерполирования найти значение энергии е. Далее, используя известные профили скорости и плотности, можно численным интегрированием вычислить величину интеграла / в уравнении (19). Наконец, для каждого выбранного значения давления на ударной вол-
МОЩНЫЕ ПОДВОДНЫЕ ВЗРЫВЫ
23
не рассчитывается для заданной энергии взрыва Ео соответствующий радиус ударной волны по формуле
(20)
По известным значениям ps, ps и es можно при помощи уравнений (6а) и (66) провести расчет скорости ударной волны U и скорости частиц us. Из формулы (20) видно, что вместо радиуса ударной волны можно рассматривать его масштабированную величину, отнесенную к величине кубического корня из энергии взрыва.
Время прихода ударной волны (т. е. связь между радиусом ударной волны и временем) легко находится численным интегрированием
R
*.= J4r-	(21)
о
Это время также может быть выражено в масштабе энергии взрыва, если воспользоваться простым законом кубического корня.
РЕШЕНИЕ МЕТОДОМ ХАРАКТЕРИСТИК
Когда ударная волна, возникшая при точечном подводном взрыве, распространится далеко от точки взрыва, давление и температура на ударной волне значительно уменьшатся. При этом довольно быстро достигается состояние, при котором становятся несправедливыми как предположение о гомотермичности области, охваченной ударной волной, так и предположение о сильной ударной волне. Здесь более реалистичным будет предположение об адиабатическом расширении области, охваченной ударной волной. В частности, можно принять, что каждая частица, как только по ней прошел ударный фронт, начинает изэнтропически расширяться. Удобная и точная численная схема для решения такой задачи может быть построена на основе метода характеристик.
Для одномерного неустановившегося течения, в котором энтропия принимается постоянной вдоль
24
К. А. КОТ
траектории частицы, закон сохранения энергии и закон сохранения количества движения и импульса по-прежнему выражаются уравнениями (1) и (2) соответственно. Из первого начала термодинамики можно получить уравнение сохранения энергии в следующей форме:
+ <22>
Здесь через DjDt обозначена полная производная, связанная с траекторией частицы. Удобно также ввести скорость звука по определению
<23>
Кроме того, необходимо рассмотреть калорическое уравнение состояния, связывающее давление, плотность и энергию:
Е(р, р, е) = 0.	(24)
Граничными условиями, как и раньше, будут условие симметрии в центре (5) и условия на фронте ударной волны, которые даются уравнениями Рэнкина — Гюго-нио (6). Для полной определенности задачи должны быть заданы начальные условия. Эти начальные условия включают условия в невозмущенной среде, величину энергии взрыва Ео и задание значений всех искомых переменных вдоль некоторой линии, например вдоль линии постоянного значения времени.
Систему уравнений задачи (1), (2) и (22) можно преобразовать при помощи выражения для скорости звука (23) к эквивалентной системе обыкновенных дифференциальных уравнений, называемых характеристическими уравнениями. Эти уравнения выводятся из условия, что при переходе через характеристические линии производные функций могут быть неопределенными. Как только характеристические направления в физической плоскости найдены, можно получить соотношения совместности, связывающие термодинамические и гидро* динамические переменные вдоль характеристических линий. В рассматриваемой задаче имеются три семейства характеристик. Направления характеристик и соотношения совместности вдоль них определяются так:
МОЩНЫЕ ПОДВОДНЫЕ ВЗРЫВЫ
25
первое семейство
= и + -Ldp+du^^-dt = 0-,	(25)
второе семейство
А=«-с, —dp — du + — dt = Q-,	(26)
dt	’ pc r	1 г	’ v '
третье семейство
^ = U, de + pd^ = Q.	(27)
Третье семейство характеристик фактически представляет собой семейство траекторий частиц. Систему этих уравнений снова замыкает уравнение состояния (24). Кроме того, надо знать способ вычисления скорости звука с\ эту величину можно получить из соотношения, которое выводится из уравнения состояния и имеет вид
с — Ц ар )е рЦ де ;pj •
В рассматриваемой задаче как уравнение состояния, так и скорость звука могут быть заданы в табличной форме. Характеристические уравнения вместе с соответствующими граничными и начальными условиями образуют полную систему для задачи с краевыми и начальными значениями, которая должна быть решена численным методом. Приведенные уравнения можно использовать как в размерных, так и безразмерных переменных.
Характеристические уравнения можно непосредственно представить в конечно-разностной форме и интегрировать численно. В результате решения числовые данные будут определены вдоль характеристических линий. Чтобы получить данные на линиях постоянного значения времени или постоянного значения радиуса, потребуется применять интерполирование по двум направлениям. Кроме того, проведение расчетов вдоль характеристик является довольно громоздким делом. Гораздо более удобной оказывается численная схема со
26
К. А. КОТ
счетными слоями при постоянных значениях времени, которая первоначально была разработана Хартри [9]. В этой схеме характеристические уравнения используются для расчета решения, которое продвигается от одной линии постоянного значения времени к следующей такой
At
Рис. 3. Расчет типичных точек методом характеристик по схеме со счетными слоями при постоянных значениях времени.
линии, и, значит, результаты выдаются вдоль линий постоянного значения времени для различных радиусов. Здесь мы применяли модифицированную численную схему, которая введена в работе [10] и в которой используются эйлеровы координаты. Кроме того, эта численная схема была еще изменена таким образом, чтобы иметь возможность вести расчеты при размерах шагов по времени, больших, чем шаги, которые допускает локальный критерий устойчивости. Это последнее нововведение значительно сокращает время расчетов, позволяя вместе с тем получать вполне точное решение по пространственной переменной [13].
МОЩНЫЕ ПОДВОДНЫЕ ВЗРЫВЫ
27
В применяемой численной схеме некоторое заданное количество узловых точек расчетной сетки, представляющих собой частицы, продвигается от одной линии постоянного значения времени к соседней такой линии. Сначала определяется приращение времени Д/ между этими линиями, а затем используются характеристические уравнения для расчета нового положения узловой точки и параметров течения в ней. Следует отметить, что при этом подходе (хотя уравнения и записываются в эйлеровых переменных) по существу рассчитывается перемещение частиц, т. е. здесь принимается лагранжева концепция.
Конечно-разностные уравнения и вычислительную процедуру можно лучше всего проиллюстрировать на примере расчетов, которые требуется выполнить для продвижения одной типичной узловой точки, т. е. одной частицы. На рис. 3, а показана типичная узловая точка /, которую надо продвинуть от момента времени t до момента t + Д/. Предполагается, что все узловые точки и значения всех переменных в этих точках известны в момент времени t. Точка j отвечает положению частицы I в момент времени t + Д/. Точки а и b представляют собой точки пересечения (и + с) -характеристики и (и — с)-характеристики, проходящих через точку /, с линией постоянного значения времени t.
Характеристические уравнения, записанные в конечно-разностной форме с первым порядком точности, имеют вид
О — г/ = йИ \t,	(28а)
— е{ = pi j (77 “	•	(286)
г, — га = (и 4- c)al М,	(29а)
Ш , (Р/ - Р“} + - н“) + v (-Т-) Д/ = 0- <29б> \ рс / а/	\ '/ а]
ri — rb = (« — c)bj М,
(30а)
Шы ~ Р^ - {и‘ ~иь) + ^	Ы = 0.
(306)
28
К. А. КОТ
Величины, отмеченные черточкой, являются средними, например
uU~'2‘(ui + и/)»
А 2	<31)
\рс'а/ (рс)а. ('>а + Р/)(са + с/) '
Величины в точках а и b на линиях постоянного значения времени t получаются интерполированием по известным узловым точкам на этой линии. Здесь в основном применяется квадратичная интерполяция; следовательно, в каждой интерполяции участвуют три узловые точки. Поскольку точки пересечения а и b соответствуют границам области зависимости решения для точки / на линии постоянного значения времени /, то при интерполировании всегда берутся две узловые точки внутри этой области и только одна точка вне этой области. Конечно-разностные уравнения, преобразованные к соответствующей форме, решаются итерациями вместе с уравнениями интерполирования и уравнениями, связывающими функции термодинамического состояния. Итерационная процедура прекращается, когда удовлетворяется критерий сходимости как для скорости, так и для давления. Критерий сходимости для обеих этих переменных обеспечивает сходимость с точностью до 0,00001 значений этих величин в предыдущей итерации.
Для точек, которые расположены вблизи одной из границ, характеристическая линия, проходящая через рассчитываемую точку, может пересекать границу. Такой случай показан на 4>ис. 3,6 для точки р, которая должна быть продвинута до положения точки q. Очевидно, что для расчета точки q нельзя использовать условия в точке Ь', так как она находится за границей всей области. Для определения точки b на границе или на линии разрыва вычислительная процедура видоизменяется.
УРАВНЕНИЕ СОСТОЯНИЯ ДЛЯ ВОДЫ
Расчет мощного подводного взрыва требует соответствующего описания термодинамического состояния воды. Теоретически точечный источник взрыва в момент
МОЩНЫЕ ПОДВОДНЫЕ ВЗРЫВЫ
29
взрыва создает бесконечные давления и температуры. Однако более реально считать, что при мощном взрыве можно ожидать давления свыше 1010 бар и температуру порядка 107 К [2]. Частицы воды, ударно сжатые до таких предельных условий, будут подвергаться процессам диссоциации и ионизации. Вместе с тем при последующем расширении удельный объем может достигать величины свыше 104 см3/г. Поскольку нас интересуют состояния как сжатия, так и разрежения, то калорическое уравнение состояния для воды надо формулировать, охватывая диапазон давлений от 1 до 1010 бар и диапазон плотностей от 10"4 г/см3 до максимальных значений при сжатии на ударной волне. Кроме того, для гомотер-мического решения в высокотемпературной области требуется рассматривать термическое уравнение состояния, которое имеет форму уравнения (8).
Работы, выполненные ранее в этом направлении, вообще говоря, дают описание термодинамического состояния воды в несколько более ограниченном диапазоне. Так, таблицы для пара, опубликованные Американским обществом инженеров-механиков (ASME) [14], позволяют хорошо определять термодинамическое состояние до давлений 103 бар. В работах [15, 16] приводятся данные для более высоких давлений вдоль скачка Гюгонио и в ближайшей его окрестности, а именно до давлений 8,1 • 105 бар. Результаты этих работ и других исследований сведены в полезные таблицы Шарпом [17]. Другие таблицы, опубликованные Ховардом [18], доведены до значений давления 106 бар и температуры 104 К. Для диапазона более высоких значений приходится брать только данные, основанные на различных теоретических моделях и полученные при расчетах на вычислительных машинах, например в работе [19]. Имеются данные для воды в диапазоне давлений от 1 до 104 Мбар (1 мегабар = 106 бар) и для плотностей, больших 1 г/см3; здесь рассматриваются температуры свыше 107 К. Эти результаты получены на основе модели атома Томаса — Ферми. Из-за ограниченности такой модели эти результаты не следует применять для давлений, меньших 10 Мбар. Буткович [20] сообщил некоторые термодинамические данные для воды при температурах до 107 К, давлениях
30
К. А. КОТ
до 103 Мбар и плотностях в диапазоне от 10"5 до 10 г/см3. Эти данные также получены путем применения различных теоретических моделей.
Рис. 4. Термическое уравнение состояния (р, р, Т) для воды при высокой температуре.
/ — скачок Гюгонио.
Имеющиеся данные мы использовали для построения соответствующих термодинамических графиков. Такие графики часто бывают необходимы, чтобы устранить несоответствия между данными из различных таблиц. Кроме того, для некоторых областей требуется провести сглаживание данных. Чтобы получить данные во всей интересующей нас области мы провели их интерполиро-
МОЩНЫЕ ПОДВОДНЫЕ ВЗРЫВЫ
31
ванне и экстраполирование [13]. Результаты этой работы представлены на рис. 4 и 5. На первом из этих рисунков приводится параметрический график температура — давление — плотность для высоких давлений и температур. Эти данные требуются для расчета гомотерми-ческого решения на самой ранней стадии взрыва и представлены в форме, соответствующей уравнению (8) [13].
На рис. 5 изображен график энергия — давление — плотность почти во всем диапазоне, интересном в задаче о точечном взрыве. Этот график построен в плоскости давление — плотность как параметрическое семейство постоянных значений удельной внутренней энергии. Область графика справа ограничена кривой Рэнкина — Гюгонио, а слева она доходит до значения плотности 10"4 г/см3. Скачок Гюгонио изображен для невозмущенных условий, отвечающих давлению 1 атм и температуре 20° С. В случае других невозмущенных условий можно ожидать небольших изменений этой кривой при низких давлениях, однако эти изменения будут несущественны в масштабе рис. 5. Следует отметить, что при сжатии на ударной волне максимальное значение плотности составляет 4,8 г/см3 при давлении на скачке 50 Мбар. При более высоких давлениях плотность уменьшается по сравнению с этим максимальным значением. Это указывает на то, что при таких давлениях нагревание в ударной волне столь велико, что сжатие ограничено. Такое поведение возможно у жидкостей и твердых тел, как это было продемонстрировано теоретически и экспериментально [21]. Оказалось невозможным найти такую форму калорического уравнения состояния, которая была бы пригодна во всем широком диапазоне, представленном на рис. 5. Поэтому в расчетах по методу характеристик соответствующие данные использовались в табличной форме. С этой целью была построена таблица, содержащая значения плотности в функции от давления и внутренней энергии. Для нахождения конкретных значений параметров применялось линейное интерполирование. Скорость звука определялась путем аппроксимации соответствующих производных конечными разностями первого порядка,
р, Мбар
Рис. 5. Калорическое уравнение состояния (р, р, е) для воды. / — линия насыщения; 2— скачок Гюгонио.
МОЩНЫЕ ПОДВОДНЫЕ ВЗРЫВЫ
33
Термодинамические переменные в области существования смеси жидкость — пар нетрудно найти, используя в обычных уравнениях для массовых компонент значения, соответствующие линии насыщения. Если эти уравнения вместе с уравнением энергии представить в конечно-разностной форме, то будем иметь нужное количество уравнений для простого определения плотности и энергии. Скорость звука в смеси получается с высокой степенью точности, если иметь в виду тот факт, что вдоль линий постоянной энтропии в области, где имеется смесь, зависимость удельного объема от обратной величины давления можно хорошо аппроксимировать линейной функцией [13]. Во всех проведенных расчетах было принято также упрощающее допущение о термодинамическом равновесии.
ПРИЛОЖЕНИЕ
Развитый метод был применен к расчету начальной стадии одного конкретного случая подводного взрыва. Предполагается, что взрыв производится на глубине 600 м. Выбор энергии взрыва в этих расчетах является произвольным, поскольку результаты, полученные для одного значения энергии, можно пересчитать на любое другое значение. В настоящей работе все результаты относятся к энергии взрыва в 1 кт тринитротолуола (1012 кал).
Начальная фаза взрыва была определена по гомо-термическому решению, и соответствующие профили переменных даны на рис. 2. Точка перехода к численным расчетам по методу характеристик должна располагаться при достаточно малом времени после начала взрыва с тем, чтобы условия, необходимые для автомодельности решения, все еще удовлетворялись. В настоящих расчетах принималось, что эта точка перехода отвечает давлению на ударной волне, равному 50 Мбар. Такой выбор является несколько произвольным, однако указанное давление соответствует той точке на скачке Гюгонио, при которой имеет место максимальное сжатие (см. рис. 5). При этом давлении температура на скачке приблизительно равна 3-105К. Предположение
2 Зак. 741
34
К. А. КОТ
о гомотермическом поведении решения до этой точки, по-видимому, выполняется с приемлемой степенью приближения. Другие ограничения, которые требуются для справедливости автомодельного поведения, удовлетворяются полностью.
При переходе к расчетам по методу характеристик принятые термодинамические предположения меняются от гомотермических условий, которые используются в автомодельном решении, до условий изэнтропического течения вдоль траектории частицы. Было бы более разумно, чтобы такая смена условий происходила постепенно. Однако из-за отсутствия какой-либо информации, относящейся к параметрам теплопередачи и переноса при рассматриваемых здесь высоких температурах, мы принимали, что такая смена условий происходит сразу.
Предварительные попытки продолжить расчеты методом характеристик указали на образование ударных волн в первоначально однородной области, окружающей точку взрыва. Фактором, который мог сильно повлиять на образование указанных внутренних ударных волн, могла быть резкая смена принятых термодинамических предположений. Однако из расчетов следует, что общее поведение центральной области быстро приближается к состоянию однородности. Тогда можно принять допущение, что первоначально однородная центральная область остается однородной и во время адиабатического расширения. Такое рассмотрение поля течения, охваченного ударной волной, позволяет избежать расчетов многочисленных внутренних скачков, которые могут и не иметь физического смысла. Предположение об однородности центральной области эквивалентно тому, что мы пренебрегаем волновым движением в этой части поля течения, заменяя его однородным адиабатическим расширением, подобным поведению пузыря. Температура, а значит, и скорость звука в этой области являются наиболее высокими и благоприятствуют быстрому выходу градиентов к более однородным условиям.
Для более поздних времен указанная центральная область представляет собой лишь малую часть всего объема, охваченного ударной волной, и поэтому она должна оказывать незначительное влияние на общий
МОЩНЫЕ ПОДВОДНЫЕ ВЗРЫВЫ
35
характер взрывного движения. Таким образом, предположение об однородно расширяющейся центральной области дает разумную аппроксимацию поведения этой части поля течения. Это предположение используется нами при проведении перехода от автомодельного решения к расчетам по методу характеристик. Численные
Рис. 6. Ударная волна и траектории частиц при взрыве с энергией 1 кт.
/ — ударная волна; 2 —граница однородной области; г —расстояние.
результаты, представленные ниже, показывают, что дополнительные внутренние скачки здесь не образуются. Эти численные результаты приводятся для энергии взрыва, эквивалентной 1 кт тринитротолуола (1012 кал), и доведены до времени около 30 мс после возникновения взрыва. Этот период времени охватывает явления от момента взрыва до начальной фазы образования газового пузыря.
На рис. 6 представлен закон распространения фронта ударной волны (в координатах радиус — время). Расчеты доведены до радиуса ударной волны, равного приблизительно 60 м. Здесь изображены также траектории для двух типичных частиц за фронтом ударной волны и временная зависимость для радиуса границы
2е
36
К. А. КОТ
однородной области. Последняя кривая показывает, что скорость расширения однородной области не является монотонной функцией. Эта скорость изменяется непрерывно, будучи связанной с давлением на внешней
Рис. 7. Связь между давлением и расстоянием при взрыве с энергией 1 кт.
/ — ударная волна; 2—граница однородной области.
стороне однородной области. В некоторый момент времени наступает перерасширение, что приводит к фактическому изменению направления потока на обратное. На рис. 7 представлена связь между давлением и радиусом для ударной волны и для границы однородной области. Как и следовало ожидать, последняя кривая является гладкой в противоположность соответствующей кривой, связывающей радиус и время. Давление в однородной области, которая расширяется адиабатически, является однозначной функцией размера или объема этой области.
МОЩНЫЕ ПОДВОДНЫЕ ВЗРЫВЫ
37
Экспериментальных данных по мощным подводным взрывам большого масштаба имеется очень мало, причем доступные данные ограничиваются режимами с низкими давлениями. Сравнение численных результатов для
Рис. 8. Сравнение расчетных (кривая /) и экспериментальных (кривая 2) зависимостей для давления на ударной волне.
R—радиус ударной волны.
давления на ударной волне и экспериментальных данных, приведенных в работе [2], показывает удовлетворительное соответствие в области низких давлений. На рис. 8 представлена стыковка расчетной
38
К. А. КОТ
и экспериментальной зависимостей давления от радиуса ударной волны. Имеющее место хорошее соответствие этих зависимостей давления на ударной волне вместе с тем фактом, что полная энергия в области, охваченной ударной волной, в течение всего расчета колеблется около истинного значения самое большее на несколько процентов, указывают на то, что расчеты методом характеристик дают надежные результаты.
Профили гидродинамических функций в различные рассчитанные моменты времени построены на рис. 9—12. Эти графики представлены в относительных физических координатах, т. е. как расстояние, так и гидродинамические функции отнесены к своим значениям на ударном фронте. Профили скорости (рис. 9) показывают, что при малых временах частицы имеют наибольшую скорость на фронте ударной Рис. 9. Профили скорости. волны. При более поздних временах максимальная скорость достигается внутри поля течения в окрестности границы однородной области. Профили давления (рис. 10) показывают, ч ? минимальное давление необязательно имеет место в однородной области поля течения, заключенного внутри ударной волны. Однако максимальная величина давления при любом времени получается на ударном фронте. Отдельные детали у профилей давления и скорости при поздних временах могут быть обусловлены образованием расширяющейся области
МОЩНЫЕ ПОДВОДНЫЕ ВЗРЫВЫ
39
пара в центральной части поля течения. Вообще говоря, рассмотренные профили подобны профилям, которые получаются для взрывной волны в ранние моменты времени [2].
Типичные профили энергии изображены на рис. 11. Как и следовало ожидать, они показывают, что энергия
имеет наибольшие значения в центральной области, где также должна быть наивысшая температура. Максимальная плотность (рис. 12), очевидно, имеет место на ударном фронте, а ее минимальная величина получается в однородной области. Резкое изменение профилей плотности при больших временах соответствует границе, разделяющей области пара и жидкости в поле течения, охваченном ударной волной. Для давлений, превышающих критическое значение (2,21 -102 бар), невозможно найти точную границу газового пузыря, образующегося внутри области, через которую прошла ударная волна, поскольку состояния пара и жидкости здесь термодинамически неразличимы. Однако границу газового пузыря,
40
К. А. КОТ
по крайней мере приближенно, можно определить по профилям плотности.
На ранней стадии распространения взрывной волны можно ожидать, что большая часть области, охваченной ударной волной, будет целиком или частично испарена во время процесса расширения. В самом начале процесса расширения при величинах давления ниже критического внешняя граница пузыря в каждый момент вре^
МОЩНЫЕ ПОДВОДНЫЕ ВЗРЫВЫ
41
мени была определена по ближайшей к фронту ударной волны частице, которая расширяется в область смеси жидкости и пара. Граница пузыря не является траекторией частицы и фактически строится не как поверхность раздела сред, а просто находится там, где частицы пересекают линию насыщенной жидкости. Таким образом,
Рис. 12. Профили плотности.
внутри пузыря среда, расположенная вблизи центра, представляет собой перегретый пар, в то время как при приближении к границе пузыря встречается среда в виде смеси. Из сравнения рассчитанных радиусов пузыря и ударной волны на ранней стадии взрыва следует, что отношение первой величины к последней меняется в пределах приблизительно от 0,5 до 0,3. Оказывается, что давление на границе пузыря монотонно падает во время фазы расширения пузыря.
Полученные результаты детально описывают поведение мощного подводного взрыва на ранней стадии. Численные расчеты потребовали применения электронной
42
К. А. КОТ
вычислительной машины среднего класса (время расчетов составляло около получаса на машине CDC-6600). Проведенные расчеты можно непосредственно продолжить для того, чтобы получить результаты на более поздней стадии процесса взрыва.
Список литературы
1.	Коул Р., Подводные взрывы, ИЛ, М., 1950.
2.	Glasstone S. (ed.), The effects of nuclear weapons, U. S. Government Printing Office, DOD and AEC, Washington, D. C., 1962.
3.	Holt M., The initial behavior of a spherical explosion, Parts I and II, Proc. Roy. Soc., A234, 89—115 (1956).
4.	Berger S. A., Holt M., Implosive phase of a spherical explosion in sea water, Phys. Fluids, 5, № 4, 426—431 (1962).
5.	Walker W. A., Sternberg H. M., The Chapman — Jouguet isentrope and the underwater shock wave performance of pentolite, Proc, the Fourth Symposium on Detonation, B156—В169, 12—15 October, 1965.
6.	Седов Л. И., Методы подобия и размерности в механике, «Наука», М., 1965.
7.	Taylor G. I., The formation of a blast wave by a very intense explosion, Proc. Roy. Soc., A201, 159—186 (1950).
8.	Коробейников В. П., Мельникова Н. С., Рязанов Е. В., Теория точечного взрыва, Физматгиз, М., 1961.
9.	Хоский Н. Э., Метод характеристик для решения уравнений одномерного неустановившегося течения, в сб. «Вычислительные методы в гидродинамике», «Мир», М., 1967.
10.	Chou Р., Кагрр R. R., Huang S. L., Numerical calculation of blast waves by the method of characteristics, AIAA Journal, 5, № 4, 618—623, April (1967); русский перевод: Ракетная техн, и косм., № 4, 13 (1967).
11.	Hurewicz W., Lectures on ordinary differential equations, John Wiley and Sons, New York, 1958.
12.	Davis H. T., Introduction to nonlinear differential and integral equations, Dover, New York, 1962.
13.	Kot C. A., Point source underwater explosions, Ph. D. Thesis in Mechanical and Aerospace Engineering, Illinois Institute of Technology, December, 1970.
14.	ASME Research Committee on Properties of Steam. Thermodynamic and Transport Properties of Steam, American Society of Mechanical Engineers, New York, 1967.
15	Rice M. H., Walsh J. M., Equation of state of water to 250 kilobars, J. Chem. Phys., 26, 824—830 (1957).
16.	Альтшулер Л. Б., Баканова А. А., Трунин P. Ф., Фазовые превращения при сжатии воды сильными ударными волнами, Докл. АН СССР, 121, № 1 (1958).
17.	Sharp W. Е., The thermodynamic functions for water in the range of —10° to 1000° C and 1 to 250,000 bars, Lawrence Radiation
МОЩНЫЕ ПОДВОДНЫЕ ВЗРЫВЫ
43
Laboratory, University of California, UCRL-7118 (AEC), 23 October, 1902.
18.	Howard J. С., T. crmodynariic data for water, Lawrence Radiation Laboratory Report UCRL-6455T, 18 April, 1961.
19.	.	L.. i aiir; R„ nation of state of water, RAND Corpo-
lai’ori. LM-1192-AEC, 23 May, 1955.
20.	Led jwcii T. R., "the gas equation of state for natural materials, laurence Radiation Laboratory Report UCRL-14792, 24 January, 19Л.
21.	B.usb S. G., Equation of state. Livermore Encyclopedia of Theoretical Physics, 1, UCRL 7437, 12 June, 1964.
РАСЧЕТЫ ЯВЛЕНИЙ ПРИ ПОДВОДНЫХ ВЗРЫВАХ В УСЛОВИЯХ НЕСЖИМАЕМОСТИ1)
Дж. У. Притчетт
Когда мощный взрыв происходит под водой, энергия от точки взрыва сначала посредством радиации передается ближайшей примыкающей массе воды. Затем эта нагретая жидкость расширяется и создает сильную ударную волну, которая распространяется от точки взрыва, неся с собой примерно половину энергии взрыва и оставляя позади себя каверну, заполненную паром с очень высокими температурой и давлением. Если взрыв произошел на достаточной глубине, то эта каверна, или «пузырь», будет расти по своим размерам до максимального диаметра, определяемого энергией и глубиной взрыва (внутреннее давление и температура при этОхМ быстро снижаются), а затем каверна будет спадать до некоторого минимального размера, вновь расширяться и продолжать колебаться с уменьшающейся амплитудой и периодом, как это показано на рис. 1. Обращение движения в момент, когда пузырь имеет минимальный размер, является настолько резким, что оно оказывается разрывным в масштабе времени, соответствующем всему циклу расширения и сжатия. В течение большей части цикла расширения и сжатия внутреннее давление в пузыре будет значительно меньше, чем окружающее гидростатическое давление. За исключением коротких интервалов времени вблизи минимумов пузыря после образования ударной волны, скорость поверхности, ограничивающей пузырь, будет гораздо ниже звуковой скорости; поэтому движение воды можно
9 Pritchett J. W., Incompressible calculations of underwater explosion phenomena, Proc. Second Internal. Conf, on Numerical Methods in Fluid Dynamics, Springer, 1971, p. 422—428.
РАСЧЕТЫ ПОДВОДНОГО ВЗРЫВА ПРИ НЕСЖИМАЕМОСТИ 45
с достаточной достоверностью рассматривать как движение несжимаемой жидкости. Кроме того, это движение определяется инерцией воды вне пузыря, а не инерцией газа внутри его. Вследствие этого экспериментально найденная зависимость радиуса пузыря от времени для одного цикла довольно хорошо представляется зависимостью, полученной при расчете расширения и сжатия пустой сферической каверны в несжимаемой невяз-
Р и с. 1. Пульсация пузыря при взрыве.
кой жидкости при постоянном гидростатическом давлении [1]. Если провести несколько более сложные расчеты, рассматривая равномерно распределенный идеальный газ внутри пузыря, который подвергается адиабатическому расширению и сжатию, то зависимость радиуса пузыря от времени, полученная в этом случае, и экспериментальные измерения будут находиться в соответствии в пределах ошибки эксперимента. Можно показать, что максимальный радиус пузыря и период колебания для первого цикла даются выражениями
/ F	Г— рЧз
\ р ]	р 16
где /?тах — максимальный радиус пузыря для первого цикла, Т—период колебаний для первого цикла, Р — гидростатическое давление в точке взрыва, р — плотность воды, Е— энергия, относящаяся к первому циклу
46
ДЖ. У. ПРИТЧЕТТ
движения пузыря и равная примерно половине полной энергии взрыва.
Таким образом, как максимальный радиус, так и период колебаний пузыря увеличиваются с увеличением мощности взрыва и уменьшаются с увеличением глубины взрыва. Безразмерные коэффициенты J и К, входящие в приведенные формулы, лишь незначительно изменяются при изменении мощности взрыва и свойств газа (т. е. показателя адиабаты у) и, значит, могут рассматриваться как почти постоянные величины. Для подводных взрывов при гидростатических давлениях порядка 1 —100 атм эти величины равны J ж 0,58 и К* 1,12.
В момент минимума пузыря предположения о несжимаемости воды и об адиабатическом поведении газа в пузыре (особенно это последнее предположение) становятся довольно грубыми. Благодаря интенсивному сжатию испускается импульс давления, который уносит несколько процентов энергии пузыря. Более важным фактором, действующим вблизи минимума пузыря, оказывается тэйлоровская неустойчивость граничной поверхности пузыря, которая создает сильную турбулентность около пузыря (энергия которой черпается из энергии пузыря) и является причиной того, что струи воды и брызги проникают в пузырь, охлаждая его и вызывая конденсацию паровой атмосферы. Соответственно экспериментальные результаты показывают, что энергия, относящаяся ко второму циклу колебаний пузыря, составляют лишь малую часть энергии первого цикла.
Влияние силы тяжести (всплывание пузыря) обычно рассматривают, предполагая, что пузырь остается сферическим, но перемещается вверх как одно целое. Количество движения в вертикальном направлении, произведенное за время t (если пренебречь плотностью газа внутри пузыря), выражается в виде
t о где g— ускорение силы тяжести. Следовательно, система наиболее быстро приобретает количество движе
РАСЧЕТЫ ПОДВОДНОГО ВЗРЫВА ПРИ НЕСЖИМАЕМОСТИ 47
ния вблизи максимумов пузыря. Однако при максимумах пузыря количество движения в вертикальном направлении распределено в большом объеме воды, тогда как при минимумах пузыря это количество движения сконцентрировано в относительно малой области; поэтому большая часть количества движения в вертикальном направлении имеет место вблизи минимумов пузыря. Количество движения, приобретенное в течение первого цикла, пропорционально величине pgRma*T, или (в нормализованной форме) величине gT2//?max, т. е. обратной величине числа Фруда. Следовательно, при данной геометрии взрыва (которая определяется как отношение глубины взрыва к первому максимальному значению радиуса пузыря) относительный эффект всплывания пузыря будет для больших взрывов более резко выражен, чем для меньших взрывов.
Давно известно, что если влияние силы тяжести велико, то предположение о сферической форме пузыря является плохим. При таких условиях после первого максимума нижняя часть пузыря будет спадать обратно к точке взрыва более быстро, чем верхняя часть, образуя струю воды, которая ударяется в верхнюю часть поверхности пузыря. Тогда при минимуме пузырь будет иметь скорее тороидальную, чем сферическую, форму. Если влияние силы тяжести достаточно велико, то такой вертикальный центральный столб может продолжать существовать на протяжении всего последующего движения пузыря. Такие явления наблюдались экспериментально в лабораторном масштабе в испытательных камерах, в которых уменьшалось давление воздуха или увеличивалось эффективное ускорение силы тяжести (или применялись оба эти способа), чтобы получить сильное влияние силы тяжести с использованием очень слабых взрывов [4].
Чтобы рассчитать течение воды около пузыря, возникшего при больших взрывах, необходимо, очевидно, провести полные двумерные расчеты. Для этой цели были специально созданы конечно-разностные гидродинамические расчетные схемы, позволяющие решать задачи такого общего характера. Последний вариант схемы, описанный в отчете Притчетта [6], разработан
48
ДЖ. У. ПРИТЧЕТТ
весьма детально и позволяет учитывать температуру, соленость воды, скалярный перенос и диффузию. Плотность жидкости (как функция температуры и солености) при этом может несколько изменяться в соответствии с приближением Буссинеска. Эффекты турбулентности моделируются при помощи отдельно развитой эвристической модели типа «турбулентная энергия — масштаб турбулентности» [2]. В настоящее время такая расчетная схема применяется для исследования переноса продуктов взрыва при очень глубоких подводных взрывах. Расчеты, результаты которых представлены в настоящей работе, были, однако, выполнены при помощи первоначального варианта расчетной схемы, которая позволяет решать только нестационарные осесимметричные уравнения Навье — Стокса при несжимаемости в форме, где искомыми функциями служат давление и скорость (а не функция тока и вихрь). Здесь численный метод представляет собой конечно-разностную схему явного типа по времени. В уравнении количества движения используется по пространственной переменной представление адвективных членов в консервативной форме по девятиточечной конечно-разностной формуле второго порядка точности. В расчетах при высоких числах Рейнольдса (таких, как в рассматриваемых здесь случаях) вводилась искусственная вязкость, которая автоматически вычислялась на каждом шаге по времени так, чтобы быть достаточно большой для обеспечения численной устойчивости. Данная расчетная схема описана в работе Притчетта [5]. В этой схеме возможно применение переменного шага по пространству, а шаг по времени в процессе вычисления может изменяться так, чтобы удовлетворялись требования устойчивости. Условия на свободной поверхности реализуются при помощи метода «маркеров и ячеек» (метод marker-and-cell, сокращенно метод МАС), впервые разработанного Харлоу и др. [3]. В этом методе жидкость представляется в виде большого числа не имеющих массы частиц-маркеров, которые движутся с потоком через эйлерову расчетную сетку и определяют положение свободной поверхности. В расчетной схеме возможно рассмотрение двух свободных поверхностей представляющих собой
РАСЧЕТЫ ПОДВОДНОГО ВЗРЫВА ПРИ НЕСЖИМАЕМОСТИ 49
поверхности раздела между воздухом и водой и между пузырем и водой. Давление воздуха вводится в расчет просто как постоянная величина, а давление внутри пузыря является существенно произвольной функцией
Рис. 2. Последовательность явлений при взрыве «Вигвам».
По оси абсцисс: время после детонации, с; по оси ординат: глубина под невозмущенной поверхностью, м (нижняя шкала); высота над невозмущенной поверхностью воды, м (верхняя шкала).
/ — первичный брызговой купол; 2 — вторичный брызговой купол; 3 — султаны; 4 — основная ударная волна; 5 — первый импульс от пузыря; 6 — второй импульс от пузыря; 7 —третий импульс от пузыря; 8 — газовый пузырь; 9 — верхняя поверхность пузыря; /0 —нижняя поверхность пузыря.
объема пузыря и (или) времени. Чтобы установить предел, до которого такой метод может давать точные результаты при больших подводных взрывах, этот первоначальный вариант расчетной схемы был применен для моделирования течения, имевшего место при испытаниях «Вигвам».
Ядерный взрыв «Вигвам», произведенный 14 мая 1955 г., состоял в детонации 30-килотонного устройства, расположенного на глубине 610 м в водах Тихого океа
50
ДЖ. У. ПРИТЧЕТТ
на. Подводные измерения давления в зависимости от времени проводились в нескольких местоположениях: помимо основной ударной волны регистрировались дру* гие сигналы. Среди них были импульсы, определявшиеся как волны давления, распространяющиеся при повторных сжатиях пузыря. Такие сигналы исходили от пузыря приблизительно через 2,88, 5,5 и 7,3 с после взрыва. Эти импульсы повторного сжатия, непохожие на основной скачок, были слабыми, широкими и расплывчатыми, так что времена их появления были довольно неопределенными; тем не менее приведенные
Рис. 3. Первичный брызговой купол через 2с после взрыва.
выше числа можно рассматривать как точные в пределах ±0,1 с.
Визуальные эффекты на поверхности воды на ранней стадии взрыва можно разделить на три отдельные фазы (рис. 2). Основная ударная волна достигла поверхности воды приблизительно через 0,4 с после детонации. Отражение ударной волны от поверхности моря сообщает воде вертикальную скорость; затем поверхностный слой разбивается в мелкие брызги и капельки, образующие первичный брызговой купол, который продолжает расти (рис. 3). Приблизительно через 3,1 с скачок, произведенный первым сжатием пузыря, достиг поверхности и взаимодействовал с тонким первичным брызговым куполом, ускоряя его движение вверх и формируя вторичный брызговой купол (рис. 4). Других-брызговых куполов не образовывалось, поскольку последующие импульсы давления были относительно ела-
РАСЧЕТЫ ПОДВОДНОГО ВЗРЫВА ПРИ НЕСЖИМАЕМОСТИ 51
быми. Приблизительно на 13-й секунде большая плотная масса воды в виде султанов неправильной формы поднялась над вторичным брызговым куполом (который
Рис. 4. Вторичный брызговой купол через 6с после взрыва.
в это время имел высоту 270 м) и достигла максимальной высоты 440 м на 20-й секунде перед своим обратным падением в направлении к поверхности моря
Рис. 5. Султаны через 14с после взрыва.
(рис. 5). Оказалось, что эти султаны были сильно загрязнены радиоактивными остатками; это позволяет предполагать, что они были связаны с движением массы воды, вызванным вертикальным перемещением пузыря при взрыве.
Поскольку не имелось непосредственной экспериментальной информации, относящейся к движению пузыря
52
ДЖ. У. ПРИТЧЕТТ
при испытаниях «Вигвам» (помимо указанных выше косвенных признаков), была проведена значительная экспериментальная работа как при помощи лабораторных масштабных исследованиях, упоминавшихся ранее, так и при помощи сравнительно небольших полевых испытаний с взрывчатыми веществами. Эта работа привела к развитию полуэмпирических моделей для описания поведения пузыря при подводных взрывах (см., например, [7]). Хотя такие модели не дают информации относительно действительной картины течения, которую надо ожидать, тем не менее они с хорошей степенью точности предсказывают глубины и времена минимумов пузыря, когда пузырь поднимается в направлении к поверхности моря. Следовательно, в этом отношении такие модели можно считать вполне надежными для определения движения пузыря при испытаниях «Вигвам». Сней [7] принимает гипотезу, что газовый пузырь испытывает три пульсации, что затем пузырь полностью сжимается на глубине около 275 м и что после этого количество движения в вертикальном направлении сосредоточивается в поднимающемся кольцевом вихре, который движется к поверхности воды и несколькими секундами позже вызывает эффектный выброс султана.
В численных расчетах использовалась расчетная сетка размером 24 ячейки (по радиусу) на 102 ячейки (по вертикали). Размер ячейки вблизи оси составлял 10 м, однако при величинах радиуса свыше 120 м, а также в областях, расположенных существенно ниже точки взрыва и выше поверхности воды, размеры ячеек быстро увеличивались, так что внешняя граница расчетной сетки находилась на расстоянии 540 м от оси. Общая глубина воды в расчетах составляла 1135 м, глубина взрыва 610 м, а полная протяженность сетки по вертикали 1640 м. В начальный момент времени жидкость покоилась, но одна пустая ячейка (представляющая собой первоначальный пузырь) имела давление 2 • 109 Нт/м2 (т. е. 19 740 атм).
Расширение пузыря предполагалось адиабатическим, т. е. подчиняющимся уравнению PVy = const, где для пара было взято у — 4/3, V — объем пузыря, Р — давление пузыря. Потери энергии при минимумах пузыря
РАСЧЕТЫ ПОДВОДНОГО ВЗРЫВА ПРИ НЕСЖИМАЕМОСТИ 53
учитывались путем изменения вышеуказанной константы так, чтобы внутренняя энергия атмосферы пузыря никогда не могла превосходить некоторую заданную функцию времени. Если последнее условие нарушалось, то константы сразу же уменьшались, обеспечивая соответствующее изменение. Функция, учитывающая потерю энергии, была взята из экспериментальной работы Снея. Давление воздуха было постоянным и равнялось 1 атм (т. е. 1,013-105 Нт/м2). Интегрирование проводилось на протяжении 766 шагов по времени, что требовало в общей сложности 5,5 ч машинного времени при расчетах на вычислительной машине Control Data 6600.
Между фактическими условиями при взрыве «Вигвам» и численным расчетом имеется одно существенное различие, связанное, конечно, с наличием границ. Взрыв «Вигвам» был произведен в открытом океане в воде на очень большой глубине, в то время как численная аналогия осуществлялась в большом цилиндрическом «резервуаре». «Стенки резервуара» рассматривались как границы со «свободным скольжением», но непроницаемые. Этот резервуар был взят достаточно большим сравнительно с «размерами явления» (т. е. с размерами газового пузыря), но при этом все-таки можно было ожидать влияния границы на результаты расчетов. К счастью, накоплены значительные экспериментальные данные по влиянию границ резервуара на поведение пузыря; основное влияние стенок и дна резервуара, оказывается, состоит в увеличении периода колебаний пузыря. Эти данные можно представить эмпирическим уравнением [7]
Tt = Tf(1 + 0,216ц + 0,783ц2) (1 + 0,15g), где —период колебаний первого цикла в резервуаре, Гг —период колебаний первого цикла в свободной воде, ц — отношение максимального радиуса пузыря к радиусу резервуара, g —отношение максимального радиуса пузыря к расстоянию до дна резервуара. Если отношение двух периодов колебаний TtITf взять как поправочный множитель первого порядка для масштаба
Рис. 6. Рассчитанное движение пузыря при взрыве «Вигвам» (время между соседними графиками 0,2244 с)»
РАСЧЕТЫ ПОДВОДНОГО ВЗРЫВА ПРИ НЕСЖИМАЕМОСТИ 55
времени, то найдем, что
^поправ
^расчет
1,1143 *
т. е. время должно быть сокращено на 10%. Все рассчитанные значения времени, которые приводятся здесь, в
Р и с. 7. Рассчитанное перемещение пузыря.
По оси абсццсс: поправленное время, с; по оси ординат: глубина, м. 1— рассчитанный вертикальный размер пузыря; 2 — полуэмпирическая глубина для вершины пузыря (первый минимум); 3 — полуэмпирическая глубина для вершины пузыря (второй минимум); 4—полуэмпирическая глубина для вершины пузыря) (третий минимум): 5—наблюдаемое время первого минимума; 6 — наблюдаемое время второго минимума; 7 —наблюдаемое время третьего минимума; S —глубина взрыва.
дальнейшем будут представлять собой «поправленное время».
Отдельные графики, изображающие положение частиц-маркеров, показаны на рис. 6, Сначала расшире
56
ДЖ. У. ПРИТЧЕТТ
ние пузыря является, по существу, радиальным, но после первого максимума нижняя часть пузыря начинает сплющиваться, а все движение сохраняет кольцевой или сферический вихреобразный характер. После окончательного сплющивания остается энергетический кольцевой вихрь, который быстро перемещается вверх; расчет заканчивался приблизительно через 8,7 с реального времени. Рассчитанные глубины для верхней и нижней поверхностей пузыря как функции времени изображены на рис. 7. Здесь также показаны точки, отвечающие временам минимумов пузыря, взятым из опытных зависимостей давления от времени; при этом глубины, соответствующие вершинам этих минимальных пузырей, определялись по полуэмпирическим соотношениям, которые обсуждались ранее. Отсюда становится ясным, что расхождения между расчетами и наблюдениями находятся в пределах точности эксперимента. Таблица 1 содержит краткую сводку количественных сравнений между наблюдаемыми данными и полуэмпирическими значения-
Таблица 1
Величина	Оценка по полуэмпири-ческой теории	Наблюдения по измерениям давления по времени	Расчет
Радиус пузыря при первом	115	—	ИЗ1)
максимуме, м Глубина первого минимума, м	527	—	525
Время первого минимума, с	—	2,88	2,89
Радиус пузыря при втором	89	—	951)
максимуме, м Глубина второго минимума, м	377	—	375
Время второго минимума, с	—	5,50	5,54
Радиус пузыря при третьем	52	—	581)
максимуме, м Глубина третьего минимума, м	275	—	280
Время третьего минимума, с	—	7,30	7,25
Радиус сферы того же объема, что и пузырь.
РАСЧЕТЫ ПОДВОДНОГО ВЗРЫВА ПРИ НЕСЖИМАЕМОСТИ 57
ми, с одной стороны, и численными результатами — с другой.
Из таблицы следует, что расчет течения воды, вызванного взрывом «Вигвам», был проведен вполне успешно. Степень согласия с экспериментом явилась даже несколько удивительной для автора, если учесть применявшийся относительно примитивный метод расчета. Более сложная расчетная схема (о которой говорилось выше) будет, по-видимому, давать совсем точные результаты. Таким образом, можно заключить, что данный общий метод является целесообразным для исследования эффектов движения масс при больших подводных взрывах.
Список литературы
1.	Коул Р., Подводные взрывы, ИЛ, М., 1950.
2.	Gawain Т. Н., Pritchett J. W., A unified heuristic model of fluid turbulence, /. Comp. Phys., 5, 383 (1970).
3.	Harlow F. H., Shannon J. P., Daly B. J., Welch J. E., The MAC method, Los Alamos Scient. Lab. Rep. № LA 3425, 1966.
4.	Pritchett J. W., Explosion product redistribution mechanisms for scaled migrating underwater explosion bubbles, Naval Radiological Defence Lab. Rep. № USNRDL-TR-1044, 1966.
5.	Pritchett J. W., MACYL-A two-dimersional cylindrical coordinate incompressible hydrodynamic code, Naval Radiological Defence Lab. Rep. № USNRDL-LR-67-97, 1967.
6.	Pritchett J. W., The MACYL6 hydrodynamic code: a numerical method for calculating incompressible axisymmetric time-dependent free-surface fluid flows at high Reynolds number, Inform. Research Associates Rep. № IRA-TR-1-70, 1970.
7.	Snay H. G., Model tests and scaling, Naval Ordnance Lab. Rep, № NOLTR-63-257, 1964,
РАСЧЕТ ПОДВОДНОГО ВЗРЫВА С УЧЕТОМ СЖИМАЕМОСТИ 9
Д. Л. Мейдер^
Выполнен расчет детонации под водой сферического заряда из тетрила при инициировании в центре и гидростатических давлениях в воде, меняющихся от 10 до 4600 бар. Для тетрила используется уравнение состояния Беккера — Кистяковского — Вильсона и рассматривается близкий к реальному процесс расходящейся детонации. Применяется численный метод SIN, развитый в лагранжевых переменных для одномерных течений сжимаемой жидкости. Взаимодействие продуктов детонации и воды изучается и прослеживается до моментов времени не менее периода одного полного колебания для каждого исследуемого гидростатического давления. Численные результаты согласуются с экспериментальными наблюдениями изменений с течением времени положений поверхности раздела, давлений на ударной волне, а также координаты фронта волны.
I.	ВВЕДЕНИЕ
Прогнозный расчет волн в воде, генерированных подводными взрывами мощных зарядов, основан на экстраполяции эмпирических корреляций экспериментальных данных по мелкомасштабным зарядам. Точность таких предсказаний неизвестна, и поэтому появляется необходимость детального описания механизма возникновения волн при подводных взрывах. В качестве первого шага требуется подробно и точно рассчитать распределение энергии между продуктами детонации и водой. Поэтому данное исследование было выполнено для того, чтобы выяснить, будет ли расчет, основанный на таком высокоэффективном методе одномерной гидродинамики в лагранжевых переменных, каким является метод SIN, при использовании нашего лучшего уравнения
’) Mader Ch. L., Compressible numerical calculations of underwater detonations, Los Alamos Scientific Laboratory, LA-4594, March, 1971.
РАСЧЕТ ПОДВОДНОГО ВЗРЫВА С УЧЕТОМ СЖИМАЕМОСТИ 59
состояния для продуктов взрыва, т. е. уравнения Беккера— Кистяковского — Вильсона, и наиболее реалистичного метода описания расходящейся детонационной волны, адекватно воспроизводить процесс подводного взрыва как для малых, так и- для больших времен.
II.	УРАВНЕНИЯ СОСТОЯНИЯ
Уравнение состояния Беккера — Кистяковского — Вильсона (БКВ) было использовано для того, чтобы описать уравнение состояния тетрила в диапазоне давлений от 0,5 до 5-Ю-7 Мбар. Параметрами уравнения состояния были параметры гексогена, определенные в работе [1]. Уравнение состояния, использованное для воды, представляло собой линейное приближение к зависимости между скоростью ударной волны и скоростью частиц среды, найденное на основе экспериментальных данных Райса и Уолша [2] для низких давлений вдоль ударной адиабаты (кривой Гюгонио) для однократного ударного перехода и уравнения состояния Грюнайзена
Таблица I
Постоянные БКВ-уравнения состояния для тетрила
А В С D Е К L Л4 N О Q П ос С S Es Gs Hs Is	-3,63800 +00 -2,45393 +00 +3,10500 -01 —3,05988 —02 +8,47652 -04 -1,61514 +00 +4,45469 -01 +5,81234 -02 +3,69359 -03 +8,90241 -05 +7,55699 +00 :тоянные HOM-ypaet + 1,483	—01 +2,0	+00 +5,69548 +00 -4,17083 -01 —2,95746 +00 — 1,04778 +01	R S T U C'v z Po рчж D T <ения c Is Ys Cxi Vo a	-4,24673	-01 +8,78387	-02 -9,19711	-03 +8,51766	-05 +0,5 +0,1 1,70 г/см3 0,2515 Мбар 0,7629 см/мкс 2917 К остояния для воды —4,77056	+00 + 1,0	+00 + 1,0	+оо + 1,0	+00 + 1,0	-00
60
Ч. Л. МЕЙДЕР
для состояний вне кривой Гюгонио. Температуры вдоль ударной адиабаты были вычислены при помощи методики Уолша и Христиана [3]. В результате получается уравнение состояния, известное теперь как НОМ-уравне-ние состояния и используемое в численном методе SIN [4]. Константы уравнения состояния даны в табл. I, причем обозначения для констант, входящих в НОМ-урав-нение состояния, совпадают с таковыми в работе [4]1).
III.	РАСХОДЯЩИЕСЯ ДЕТОНАЦИОННЫЕ ВОЛНЫ
Как уже отмечалось ранее [5], теоретического решения вопроса о сферически расходящейся детонационной волне не существует. Автомодельное решение Тейлора для расходящейся детонационной волны широко используется ввиду отсутствия лучшего подхода; однако Курант и Фридрихе [6] показали, что это неверно. Согласно автомодельному решению Тейлора, давление в конце зоны реакции не может меняться в процессе расходящегося потока.
Хотя теоретического описания действительно не существует, и мы не можем проводить вычислений с определенной зоной реакции вплоть до значительных расстояний [7], мы можем выполнить одномерные гидродинамические расчеты, используя аррениусовскую кинетику и неопределенную зону реакций. Основные параметры потока не зависят от размера счетной сетки или деталей кинетики. Для пересжатой детонации давление уменьшается до тех пор, пока не станет существенно меньше давление волны Чепмена — Жуге (Ч. — Ж.), а затем медленно растет до величины этого давления. Для недосжатой детонации давление медленно увеличивается до величины давления Ч. — Ж.
Венабл [8] получил PHERMEX-радиографии детонационной волны состава В-3, используя помещенные в вещество заряда танталовые пластиночки для того, чтобы определить скорость частиц и плотность в тейлоров-
4)	Вид уравнения состояния дан в работе [4], которая была недоступна для переводчика и редактора. — Прим, перев*
РАСЧЕТ ПОДВОДНОГО ВЗРЫВА С УЧЕТОМ СЖИМАЕМОСТИ 61
ской волне для случаев плоской и сферической расходящейся волн. Для эксперимента с плоским слоем эффективная плотность при Ч. — Ж.-состоянии составляет
Относительная толщина
Рис. 1. Рассчитанные и PHERMEX экспериментальные данные по плотности для волн Тейлора. Взрывчатое вещество В-3 с плотностью 1,73 г/см3.
/ — плоская волна, распространение на 8,8 см; 2 —сферическая расходящаяся волна, радиус 6,4 см.
-----рассчитанные кривые;--------экспериментальные кривые.
2,4 ± 0,05 г/см3, а экспериментальная максимальная плотность в расходящемся потоке равна 2,2 ± 0,05 г/см3. На основе у-закона или уравнения состояния БКВ было получено отличное совпадение между вычисленным и эк
62
Ч. Л. МЕЙДЕР
спериментальным распределениями плотности в тейлоровской волне, что и показано на рис. 1 для передней четверти волны. Очевидно, что тейлоровское автомо-
1,0	2,0	3,0 Щ 5,0 6,0	7,0	8,0	9,0 10,0
Относительное время
Рис. 2. Вычисленные и экспериментальные значения координаты ударного фронта в воде как функция времени для взрыва в воде 4,5-дюймовой сферы из вещества 9205.
Относительные единицы взяты такими же, как и в работе [9], где относительное время есть +alD)/(a/D), относительное расстояние есть (Я0Ч- а^ах tfj — время от момента выхода волны детонации в воду, а —радиус сферы, D — скорость детонации, a Ro— расстояние фронта ударной волны от поверхности сферы.
----- рассчитанная кривая; Q экспериментальные точки.
дельное решение является неточным и что численное решение для расходящейся волны адекватно воспроизводит действительное течение.
Другая расходящаяся конфигурация, для которой доступны экспериментальные данные, состоит из сферы взрывчатого вещества 9205 с плотностью 1,69 г/см3 при диаметре 4,5 дюйма, детонация которого осуществляется из центра при помощи 0,25-дюймового в диаметре детонатора. Этот заряд окружен слоем воды толщиной 13 см.
РАСЧЕТ ПОДВОДНОГО ВЗРЫВА С УЧЕТОМ СЖИМАЕМОСТИ 63
Данная конфигурация была изучена Хантелем и Дэвисом [9]. Давление Ч. — Ж. по уравнению состояния БКВ для 9205 равно 280 кбар, а вычисленное максимальное давление составило 230 кбар. Рассчитанные и экспериментальные координаты фронта ударной волны как функции времени даны на рис. 2. Они совпадают с точностью ошибки эксперимента.
Теоретического анализа расходящихся детонационных волн нет. Однако мы воспользовались такой числовой моделью, которая, по-видимому, вполне разумна, поскольку она воспроизводит имеющиеся экспериментальные данные по одномерному расходящемуся течению.
IV.	ЧИСЛЕННЫЙ МЕТОД
Метод SIN расчета одномерных течений в лагранжевых переменных был использован при исследовании течения [4], возникающего от детонации сферического заряда радиусом 3,27 см из тетрила в воде при различных начальных давлениях и плотностях среды. Для того чтобы сохранить (машинное) время вычислений в расчетах, использовалось только 1000 ячеек, причем вначале взрывчатое вещество разбивалось через 0,1 см, а первые 10 см воды — через 0,25 см. Для вычислений при низких начальных давлениях ширина водяных ячеек была увеличена для того, чтобы иметь возможность проследить за распространением ударной волны в течение интересующего нас интервала времени. Это разбиение было таковым, чтобы обеспечить независимость основных характеристик течения жидкости от расчетной,сетки и от (искусственной) вязкости.
В этой методике используются более мелкие временные шаги и затрачивается больше машинного времени, чем это было бы необходимо, если бы применялись новые неявные схемы для расчета сжимаемых течений, например такие, как метод ICE [10]. После того как неявные схемы будут получше разработаны и испытаны, дальнейший анализ вопросов рассматриваемого типа следовало бы проводить с использованием таких схем.
64
Ч. Л. МЕЙДЕР
V.	РЕЗУЛЬТАТЫ
Численные расчеты подводных взрывов были выполнены многими исследователями, а работа Стернберга и Уолкера [И] является выдающимся примером 9 прогресса в работе в течение недавних лет. Подробное рассмотрение уравнения состояния продуктов ВВ, исследование расходящейся детонации и схлопывания пузыря для низких гидростатических давлений — в этом состоит главное отличие данного исследования от тех, которые предшествовали ему. Наши результаты отличаются в некоторых деталях (например, начальное давление в ударной волне в воде является более низким), однако главные черты течения остаются такими же, какие были у Стернберга и Уолкера.
Мы выбрали для изучения сферический заряд тетрила весом 0,55 фунт на различных глубинах, потому что эта взрывная система была изучена подробно экспериментально и описана Коулом [12]. Давление Ч.—Ж. по уравнению состояния БКВ для тетрила с плотностью 1,70 г/см3 равно 251 кбар, а вычисленное максимальное давление в детонационной волне равно 200 кбар. Результаты нашего исследования суммированы в табл. II.
Таблица II
Суммирование результатов
№	Гидростатическое давление, бар	Глубина, фут	Период, мкс	Максимальный радиус, см
1	4660	- 156 000	200	6,3
2	462	- 15 500	1 225	12,5
3	74,6	-2 500	5 400	23,5
4	9,91	-300	25 500	46,5
Рассчитанные зависимости давления и радиуса газового пузыря от времени для взрыва в воде сферического заряда радиусом 3,27 см при гидростатических давлениях, равных 4660, 462, 74,6 и 9,91 бар показаны на рис. 3—10. На рис. 10 также дана экспериментальная
1) См. также стр. 121 настоящего сборника. — Прим. ред.
РАСЧЕТ ПОДВОДНОГО ВЗРЫВА С УЧЕТОМ СЖИМАЕМОСТИ 65
кривая изменения радиуса пузыря со временем, опубликованная Коулом [12]. Оказалось, что результаты расчета воспроизводят данные опыта. На рис. 11 представлены расчетные и экспериментальные периоды пузыря как функции от глубины в воде, причем согласие между кривыми является удовлетворительным.
На рис. 12 и 13 даны графики, соответствующие начальной стадии процесса для некоторых из рассмотренных случаев. Интересно отметить, что системы с более высокими гидростатическими давлениями имеют почти совпадающие графики давление—время с аналогичными графиками для систем с более низкими гидростатическими давлениями вплоть до моментов времени, когда давление на границе раздела между продуктами взрыва тетрила и водой падает почти до гидростатического давления. Градиент давления за ударной волной в воде становится менее крутым в случае систем с более высокими гидростатическими давлениями, и по изменению давления можно определить, когда будет схлопываться пузырь. При более низких гидростатических давлениях имеют место многократные отражения в процессе расширения и сжатия пузыря, и зависимости давление — время, давление — расстояние становятся очень сложными.
Как отметили Притчетт [13] и др. [12], согласно простой модели несжимаемой жидкости, можно сделать вывод, что максимум радиуса пузыря обратно пропор-
Таблица 111.
Расчеты	Отношение максимальных радиусов	Отношение величин р*/з	Отношение периодов	Отношение величин р5/б
V,	7,38	7,78	127,5	168,6
4/2	3,72	3,60	20,8	24,6
4/з	1,98	1,96	4,7	5,4
72	1,88	1,84	4,4	4,6
7!	3,73	3,97	27,0	31,3
7,	1,98	2,16	6,1	6,8
з Зак. 741
Рис. 3. Давление на фронте ударной волны в воде (/) и на поверхности раздела тетрил — вода (2) как функция времени для случая сферы из тетрила радиусом 3,27 см при взрыве в воде с давлением 4660 бар.
Р и с. 4. Радиус пузыря как функция времени для сферического заряда из тетрила радиусом 3,27 см при взрыве в воде с давлением 4660 бар,
Рис. 5. Давление на фронте ударной волны в воде (/) и на поверхности раздела тетрил — вода (2) как функция времени для случая сферы из тетрила радиусом 3,27 см при взрыве в воде с давлением 462 бар.
Рис. 6. Радиус пузыря как функция времени для сферического заряда из тетрила радиусом 3,27 см при взрыве в воде с давлением 462 бар.
Рис. 7. Давление на фронте ударной волны в воде (/) и на поверхности раздела тетрил — вода (2) как функция времени для случая сферы из тетрила радиусом 3,27 см при взрыве в воде с давлением 74,6 бар.
Рис. 8. Радиус пузыря как функция времени для сферического заряда из тетрила радиусом 3,27 см при взрыве в воде с давлением 74,6 бар.
Рис. 9. Давление на фронте ударной волны в воде (/) и на поверхности раздела тетрил — вода (2) как функция времени для случая сферы из тетрила радиусом 3,27 см при взрыве в воде с давлением 9,91 бар.
Рис. 10. Радиус пузыря как функция времени для сферического заряда из тетрила радиусом 3,27 см при взрыве в воде с давлением 9,91 бар. Показаны также экспериментальные данные (-----------------------------------)•
Период, мкс
Рис. 11. Вычисленный (+) и экспериментальный (°) периоды как функция глубины воды.
Рис. 12. Давление на фронте ударной волны в воде (/) и на границе раздела тетрил — вода (2) как функция времени для ранних моментов времени.
••• давление 4660 бар;-давление 462 бар; -- давление 9,91 бар.
РАСЧЕТ ПОДВОДНОГО ВЗРЫВА С УЧЕТОМ СЖИМАЕМОСТИ 71
ционален гидростатическому давлению в степени 1/3, а период обратно пропорционален гидростатическому давлению в степени 5/6. Наши численные результаты находятся в хорошем согласии с этими выводами для
Рис. 13. Давление на фронте ударной волны в воде (/) и на границе раздела тетрил — вода (2) как функция времени для ранних моментов времени.
------давление 74,6 бар; -- давление 9,91 бар.
максимума радиуса пузыря, но находятся в плохом согласии с ними для периодов, как показано в табл. III. Периоды, полученные по расчетам, обратно пропорциональны гидростатическим давлениям в степени 0,877.
72
Ч. Л. МЕЙДЕР
VI. ВЫВОДЫ
Согласие между наблюдениями за поведением подводного взрыва в течение длительного времени и подробными расчетами одномерных движений сжимаемой жидкости с использованием нашего лучшего уравнения состояния для продуктов детонации взрывчатого вещества и описания расходящейся детонационной волны дает основание предполагать, что рассчитанное распределение энергии взрыва между продуктами детонации и водой является достаточно точным для того, чтобы его можно было использовать в будущих исследованиях многомерных задач о механизмах образования волн при подводных взрывах.
Хотя такое согласие и является необходимым, оно, конечно, не достаточно для исключения возможности того, что вычисленное распределение энергии является неточным.
В настоящее время усиленно изучается детонация при расходящейся геометрии и с выделением зоны реакции, и это должно обеспечить лучшее понимание теоретических вопросов расходящихся детонационных волн.
Список литературы
1.	Mader Ch. L., Detonation properties of condensed explosives computed using the Becker — Kistiakowsky — Wilson equation of state, Los Alamos Scientific Laboratory Report LA-2900, 1963.
2.	Rice M. H., Walsh J. M., Equation of state of water to 250 kilobars, J. Chem. Phys., 26, 824 (1957).
3.	Walsh J. M., Christian R. H., Equation of state of metals from shock wave measurements, Phys. Rev., 97, 1554 (1955).
4.	Mader Ch. L., Gage W. R., FORTRAN SIN. A one-dimensional hydrodynamic code for problems which include chemical reactions, elastic-plastic flow, spalling, and phase transitions, Los Alamos Scientific Laboratory report LA-3720, 1967.
5	Mader Ch. L., Comment on paper of Lee and Hornig, Twelfth Symposium (International) on Combustion, The Willliams and Wilkins Company, Baltimore, Md., 1968, p. 499.
6	Курант P., Фридрихе К., CBepx3BVKOBoe течение и ударные волны, ИЛ, М., 1950.
7.	Mader Ch. L., One- and two-dimensional flow calculations of the reaction zones of ideal gas, nitromethane and liquid TNT de tona-tions, Twelfth Symposium (International) on Combustion, The Williams and Wilkins Company, Baltimore, Md., 1968, p. 701.
РАСЧЕТ ПОДВОДНОГО ВЗРЫВА С УЧЕТОМ СЖИМАЕМОСТИ 73
8.	Vanable D., частное сообщение, 1968; Rivard W. С., Venable D., Fickett W., Davis W. C., Flash X-ray observations of marked mass points in explosive products, Fifth International Symposium on Detonation, ONR report DR-163, 1970.
9.	Hantel L. W., Davis W. C., Spherical explosions in water, Fifth Symposium (International) on Detonation ONR DR-163, 1970.
10.	Harlow F. H., Amsden A. A., Numerical calculations of almost incompressible flow, /. Comp. Phys., 3, 80 (1968).
11.	Sternberg H. M., Walker W. A., Artificial viscosity method calculation of an underwater detonation, Fifth Symposium (International) on Detonation, ONR Report DR-163, 1970.
12.	Коул P., Подводные взрывы, ЙЛ, M., 1950.
13.	Pritchett J. W., Incompressible calculations of underwater explosion phenomena, Second International Conference on Numerical Methods in Fluid Dynamics, 1970; см. русский перевод на стр. 44 настоящего сборника.
ВЗРЫВЫ ВБЛИЗИ ПОВЕРХНОСТИ ВОДЫ1)
Ч. Л. Мейдер
Описываются результаты экспериментального и теоретического исследования сжимаемого течения, возникающего в результате взрыва сферического заряда взрывчатого вещества 9404, причем взрыв инициируется в центре сферы, а сама сфера частично погружена в воду. Экспериментально такое течение было исследовано при помощи рентгенографической и фотографической техники. Гидродинамические расчеты с учетом сжимаемости были выполнены при помощи эйлерова численного метода для многокомпонентных сред.
1.	ВВЕДЕНИЕ
Теоретическое определение волн в воде, создаваемых взрывами большой мощности, обычно основывается на экстраполяции эмпирических корреляционных зависимостей, построенных по экспериментальным данным для взрывов малой мощности. Точность такого определения остается неизвестной, поэтому имеется необходимость в подробном описании механизма, который создает волны при взрывах. Надо также лучше понять влияние глубины заложения заряда. «Верхняя критическая глубина», т. е. глубина, при которой имеет место пик высоты гребня волны, еще не изучена. Ранее было уделено лишь небольшое внимание теоретическому и экспериментальному исследованию в области верхней критической глубины таких эффектов в ближней зоне взрыва (где течение является существенно сжимаемым), как водяной вал, распространение ударной волны, отрыв ударной волны от пузыря, а также волновой картине вблизи взрыва.
*) Mader Ch. L., Detonations near the water surface, Los Alamos Scientific Laboratory of the University of California, LA-4958, UC-34, Los Alamos, New Mexico, 87544, June 1972.
ВЗРЫВЫ ВБЛИЗИ ПОВЕРХНОСТИ воды
75
В настоящей работе сообщается об исследовании ранней стадии взаимодействия продуктов детонации на их границах раздела с водой и воздухом, а также об изучении профиля возникающей волны вблизи заряда. Начальный этап этого исследования был изложен в работе [1].
Чтобы выяснить целесообразность проведения гидродинамических расчетов с учетом сжимаемости при помощи методов, развитых в течение последних 15 лет для описания явления детонации и уравнения состояния, мы рассчитали раннюю стадию поведения расходящейся волны при детонации и сравнили найденные результаты с экспериментальными данными, полученными рентгенографическим методом. Для ударной волны в воде, которая возникает при расходящейся детонации, результаты расчетов сравнивались также с детальными данными измерений при близких временах и с данными измерений при далеких временах, когда взаимодействие продуктов детонации и воды происходило после по крайней мере одного полного колебания пузыря. Обнаруженное согласие наблюдаемого поведения течения при подводной детонации для близких и далеких времен с результатами детального одномерного гидродинамического расчета с учетом сжимаемости позволяет предполагать, что рассчитанное распределение энергии между продуктами детонации и водой является достаточно точным для того, чтобы его можно было использовать при многомерном анализе механизмов образования волн.
2.	ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ, ПОЛУЧЕННЫЕ НА УСТАНОВКЕ PHERMEX
В Лос-Аламосской лаборатории имеется рентгенографическая установка PHERMEX (импульсная рентгенографическая машина с высокой энергией, испускающая рентгеновские лучи), описание которой дано в работе [2]. Она представляет собой установку, в которой импульс рентгеновских лучей создается за счет удара о вольфрамовую мишень диаметром 0,7 мм электронов с энергией 27 МэВ, образующихся в линейном ускорителе
Рис. 1. Статическая и динамическая рентгенограммы через 15,8 мкс после начала детонации сферического заряда вещества 9404 радиусом 1,27 см, наполовину погруженного в воду. На схеме показаны характерные детали рентгенограммы.
Рис. 2. Статическая и динамическая рентгенограммы через 26,3 мкс после начала детонации сферического заряда взрывчатого вещества 9404 радиусом 1,27 см, наполовину погруженного в воду. На схеме показаны характерные детали рентгенограммы.
ВЗРЫВЫ ВБЛИЗИ ПОВЕРХНОСТИ воды
77
со стоячей волной. В исследуемой экспериментальной системе, расположенной примерно в 3 м от мишени, получается интенсивность радиации 5Р. Рентгеновская пленка помещается в защитный алюминиевый корпус на расстоянии приблизительно 0,75 м позади экспериментальной системы. Это устройство дает рентгенограммы с разрешающими характеристиками ±0,1 мкс и ±0,2 см в режиме покадровой съемки (без размазывания во времени).
Сферический заряд содержал взрывчатое вещество ТЭН (Estex ХТХ 8003; 80% по весу ТЭН, и 20% — силиконовое связующее вещество), которое занимало центральный сферический объем радиусом 0,635 см; снаружи этого объема находился сферический слой толщиной 0,635 см, образованный взрывчатым веществом 9404. Детонация сферического заряда начиналась в его центре. Сферический заряд был на половину диаметра по-
Рис. 3. Статическая и динамическая рентгенограммы через 61,3 мкс после начала детонации сферического заряда взрывчатого вещества 9404 радиусОхМ 1,27 см, на две трети погруженного в воду. На схеме показаны характерные детали рентгенограммы.
гружен в воду, как это
видно на двух рентгенограммах (рис. 1 и 2), снятых соответственно через 15,8 и 26,3 мкс после начала
78
Ч. Л. МЕЙДЕР
детонации. Детонационная волна достигала наружной поверхности взрывчатого вещества через 1,5 мкс. На
Рис. 4. Радиус ударной волны в воде и границы раздела между продуктами детонации и водой, построенные как функция от времени для случая детонации сферического заряда радиусом 1,27 см в воде при давлении 1 бар. Здесь также приведены положения этих границ, определенные при анализе рентгенограмм.
а—радиус ударной волны в воде; ф— данные, полученные на установке PHERMEX; б —радиус пузыря; данные вдоль горизонтальной (верхняя черточка) и вертикальной (нижняя черточка) осей рентгенограмм, полученные на установке PHERMEX.
рентгенограмме (рис. 3), снятой через 61,3 мкс после начала детонации, сферический заряд погружен в воду ка две трети диаметра. По рентгенограммам можно определить положение границы раздела между продуктами детонации и водой, всплесковую волну и ударную
ВЗРЫВЫ ВБЛИЗИ ПОВЕРХНОСТИ воды
79
волну в воде. На рис. 1—3 показаны статические и динамические рентгенограммы и схемы, изображающие характерные детали этих рентгенограмм.
Рис. 5. Давление на ударной волне в воде (кривая /) и на границе раздела между продуктами детонации 9404 и водой (кривая 2) как функция времени для случая взрыва сферического заряда радиуса 1,27 см в воде при давлении 1 бар.
Мы провели также одномерные расчеты по схеме SIN (аналогично тому, как это было описано в работе [1]) для случаев взрыва сферического заряда в воде при давлении 1 атм и в воздухе при атмосферном давлении в Лос-Аламосе. В уравнении состояния для воды были взяты те же значения параметров, которые были использованы в работе [1]. Применявшиеся значения
80
Ч. Л. МЕЙДЕР
Таблица 1
Постоянные параметры в уравнении состояния типа НОМ
Параметр	ТЭН	9404	Воздух при давлении 0,76 бар
А	-3,10639 +00	—2,88303 +00	—2,36733 +00
В	-2,25210 +00	—2,25910 +00	-1,23356 +00
С	4-1,93865 -01	+ 2,09836 -01	+2,15170 -02
D	+ 1,06761 —02	-1,62402 -02	—2,95528 -03
Е	—5,71317 —05	+4,14247 —04	+ 1,22549 -04
К	-1J38S0 4-00	— 1,27244 +00	—5,53376 —01
L	+4,17(30 —01	+4,27159 -01	+2,44880 -03
М	+4,43146 —02	+4,61539 -02	+ 1,80516 -02
N	+2,43302 —03	+2,54544 -03	— 1,21968 -03
О	+5,15057 -05	+5,31474 -05	-2,53726 -05
Q	+8,10009 +00	+8,24707 +00	+9,88588 +00
R	-3,67433 —01	-4,89534 —01	-2,35014 -01
S	+ 1,38196 —03	+6,12169 -02	+3,36987 -02
т	+8,14028 — 03	—3,22067 - 03	-4,21156 -03
и	—7,34294 —04	—5,13495 -06	+ 1,63045 -04
С'о	+0,5	+0,5	+0,5
Z	+0,1	+0,1	+0,1
Ро	+ 1,55 г/см3	+ 1,844	+0,0010757
Т’ЧЖ	+0,231 мбар	0,363	
d	+0,740 см/мкс	0,8880	
Т'чж	+3369 К	2460	
Р max	+0,40	+0,40	+ 1,0	-03
Pmln	+ 1,0	-08	+ 1,0	-08	+ 1,0	-08
Давление	0,40	0,40	5,0	—04
изэнтропы			
параметров в уравнениях состояния типа НОМ для взрывчатых веществ 9404, ТЭН и воздуха даны в табл. Г1)- Радиус ударной волны в воде и радиус пузыря, определенные в этих расчетах, построены на рис. 4 как функции времени. Здесь приведены также соответствующие данные, полученные при анализе рентгенограмм, изображенных на рис. 1—3. Рассчитанное
*) Числовые значения большей части этих параметров представлены здесь в нормализованной десятичной форме: слева дана мантисса числа, а справа — десятичный порядок. Уравнение состояния типа НОМ приводится в работе [4]. — Прим, перев.
ВЗРЫВЫ ВБЛИЗИ ПОВЕРХНОСТИ воды
81
давление на ударной волне в воде и на границе раздела между продуктами детонации вещества 9404 и водой построено на рис. 5. Положения ударной волны в воздухе
Рис. 6. Радиус ударной волны в воздухе (кривая /) и границы раздела между продуктами детонации и воздухом (кривая 2) как функция времени для случая взрыва сферического заряда радиусом 1,27 см в воздухе при атмосферном давлении в Лос-Аламосе.
и границы раздела между продуктами детонации вещества 9404 и воздухом показаны на рис. 6 как функции времени. Рассчитанное давление на ударной волне в воздухе и на границе раздела между продуктами детонации вещества 9404 и воздухом представлены как функции времени на рис. 7. Положение границы раздела между продуктами детонации и водой и положение
82
Ч. Л. МЕЙДЕР
ударной волны в воде, определенные по рентгенограммам вдоль вертикальной оси, находятся в хорошем согласии с результатами одномерных расчетов. Следовательно, результаты одномерных расчетов можно использовать
Рис. 7. Давление на ударной волне (кривая /) в воздухе и на границе раздела между продуктами детонации 9404 и воздухом (кривая 2) как функция времени для случая взрыва сферического заряда радиусом 1,27 см в воздухе при атмосферном давлении в Лос-Аламосе.
для того, чтобы для моментов времени, к которым относятся рентгенограммы, получить оценки для давления в воде и для положений ударной волны в воздухе и границы раздела между продуктами детонации и воздухом, а также для давления в точках на вертикальной оси. По результатам такого анализа построены схемы на рис. 8.
Рис. 8. Схемы, изображающие характерные детали течения при детонации сферического заряда радиусом 1,27 см на поверхности раздела между водой и воздухом.
Эти схемы построены для трех моментов времени, близких к тем, для которых проводилось рентгенографическое исследование. Рассчитанные по одномерной теории величины давления (в барах) и радиусов (в сантиметрах) для ударной волны в воздухе и для границы раздела между продуктами детонации и воздухом указаны соответственно вдоль вертикальной и горизонтальной осей.
84
Ч. Л. МЕПДЕР
3.	ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ДАННЫЕ, ПОЛУЧЕННЫЕ ПРИ ФОТОГРАФИРОВАНИИ
Схема экспериментальной установки, в которой применялись три съемочные камеры, изображена на рис. 9. Однократная вспышка, камера GMX-8 с вращающимся
Рис. 9. Экспериментальная установка для фотографического исследования.
1—защита от взрыва; 2 — камера Dynafax; 3—-однократная вспышка; 4 — диафрагма; 5—18-дюймовая линза Фрезнеля: 6~ источник света; 7 — рассеиватель света; 8— заряд радиусом 1,27 см; сосуд с водой (расстояние между стенками 6 фут); /0 —кинокамера; // — перископ для камеры GMX-8.
зеркалом и оптическое устройство, которое давало параллельный пучок света диаметром 18 дюйм, использо- ’ вались для получения теневого снимка (с высокой сте-	|
пенью разрешимости) газового пузыря через 302 мкс	|
после приложения кольцевого импульса. Для предотвращения наложения снимков служил быстродействующий затвор. Указанное время было выбрано из таких соображений, чтобы остроконечный пик волны на поверхности воды, если он фиксировался на снимке, находился в поле видимости. Этот остроконечный пик был затемнен продуктами детонации, в то время как поверх- ।
i
ВЗРЫВЫ ВБЛИЗИ ПОВЕРХНОСТИ воды
85
ность газового пузыря (т. е. граница раздела между продуктами детонации и водой) получалась на снимке отчетливо. Радиус пузыря составлял 8,03 см.
Время, мкс
Рис. 10. Радиус границы раздела между продуктами детонации и водой, рассчитанный при помощи одномерной модели и определенный экспериментально как функция времени.
У экспериментальных данных верхняя и нижняя черточки отвечают соответственно величинам радиуса в горизонтальном и вертикальном направлениях, проходящих через центр заряда перед началом детонации.
/ — установка PHERMEX (Венейбл, Тейлор, Лондон); 2 — однократная вспышка (Крейг, Тейлор); 3 — камера Dynafax (Тейлор, Крейг); 4 — одномерный расчет по схеме SIN для погруженного сферического заряда.
Вторая камера (GMX-6 Dynafax) служила для покадровой съемки и имела поле зрения размером 36 X 36 дюйм, причем половина этого поля охватывала область
Рис. 1 la. Отдельные кадры, снятые кинокамерой.
Время между двумя соседними кадрами 0,0156 с, время экспозиции для одного кадра 0,002 с. Расстояние между линиями сетки, снятой на кадрах, равняется 4 дюймам.
Рис. 116 (продолжение рис. На)
Рис. 11в (продолжение рис. На).
Рис. 11г (продолжение рис. На).
Рис. 11д (продолжение рис. 11а).
Рис. Не (продолжение рис. На).
ВЗРЫВЫ ВБЛИЗИ ПОВЕРХНОСТИ воды
89
ниже уровня воды. Задняя подсветка в этой камере осуществлялась при помощи электронной ксеноновой вспышки GMX-2 и рассеивающего экрана, сделанного
Р и с. 12. Предварительные результаты, полученные при киносъемке и дающие радиус границы раздела между продуктами детонации 9404 и водой как функцию времени.
ф, кинокамера (Крейг, Тейлор).
из майларовской чертежной бумаги. Эта камера работала со скоростью 2151 оборот в секунду, при этом номинальное время между кадрами составляло 29 мкс; время экспозиции было 1 мкс для одного кадра. Третья камера представляла собой кинокамеру Bolex Н-16 Reflex со скоростью съемки 64 кадра в секунду и временем экспозиции 0,002 с для одного кадра.
90
Ч. Л. МЕЙДЕР
Количественные данные, полученные при помощи первых двух камер, построены на рис. 10. Здесь также приведены результаты одномерного гидродинамического расчета по схеме SIN, определенные для заряда взрывчатого вещества, погруженного в воду при давлении 1 бар. Как видно из графика, после 100 мкс расхождения между экспериментом и расчетом становятся значительными. Очевидно, что для описания течения при более поздних моментах времени необходимо проведение двумерных гидродинамических расчетов.
Результаты, полученные при помощи кинокамеры, представлены на рис. 11а — Не и 12. Поскольку на эти данные влияют эффекты, обусловленные геометрией дна и стенок сосуда, для определения величины этих эффектов требуется провести дополнительные эксперименты в сосуде большего размера.
4.	ДВУМЕРНЫЕ ГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ РАСЧЕТЫ С УЧЕТОМ СЖИМАЕМОСТИ
Для исследования динамики течения при детонации сферического заряда взрывчатого вещества 9404 у поверхности воды мы применяли численную схему EIC (см. [3]), основанную на методе частиц в ячейках (метод PIC). Графики с расположением частиц показаны на рис. 13 и 14. Рассчитанные положения частиц вдоль вертикальной оси находятся в согласии с данными одномерных расчетов по схеме SIN, обсуждавшимися выше. Однако всплесковая волна при этом оказывается не такой большой и высокой, как при наблюдениях, а ударная волна в воздухе не распространяется на столь далекое расстояние, как это получалось в расчетах по схеме SIN. Поскольку в расчетах по методу частиц в ячейках доступная точность решения сильно ограничена, то указанных расхождений можно было ожидать. Двумерные расчеты также показывают, что с ростом времени и глубины воды всплесковая волна становится больше.
Недавно в работе [4] для решения задач о течениях многокомпонентных реагирующих сред в прямоуголь
ВЗРЫВЫ ВБЛИЗИ ПОВЕРХНОСТИ воды
91
ных и цилиндрических областях была развита двумерная численная схема 2DE, в которой используются эйлеровы уравнения движения. Проведенные по этой схеме численные решения задач о сильно искривленных потоках (например, задач о взаимодействии ударных волн с V-образными выемками, цилиндрическими пустотами и алюминиевым стержнем в воде) дали результаты, которые близко воспроизводят данные, наблюдаемые в экспериментах [5]. В этой численной схеме возможно получение высокой точности, что делает ее пригодной для задач с сильно искривленными потоками, например для задачи о взрыве сферического заряда при наличии взаимодействия с поверхностью воды. Данная численная схема дает точное решение для расчетных ячеек, содержащих два компонента среды. Если же в ячейке имеются три компонента или более, то приходится пользоваться приближениями. Так как при расчете всплесковой волны имеются ячейки, содержащие воду, продукты детонации и воздух, то область всплесковой волны определяется менее точно, чем остальная область течения.
Одномерные расчеты по схеме SIN показывают, что численные результаты лишь незначительно изменяются, если сферический заряд, состоящий из взрывчатых веществ ТЭН и 9404, заменить сферическим зарядом, состоящим из одного вещества 9404 и включающим внутреннюю область радиуса 0,4 см, которая детонирует сначала при постоянном объеме. В случае же проведения двумерных расчетов такой «инициатор детонации» должен иметь большую величину, так как здесь из соображений экономии времени при вычислениях применяются ячейки большого размера.
Расчеты по двумерной схеме 2DE проводились с сеткой, имевшей 100 ячеек по горизонтальному направ-лнию Z и 50 или 100 ячеек по вертикальному направлению /?. Мы пробовали брать несколько разных размеров ячеек. Наибольший размер ячейки, при котором полученные результаты не зависели от размера сетки, составлял 0,0635 см; при этом вдоль радиуса сферического заряда размещалось 20 ячеек. Для хорошего определения всплесковой волны потребовался бы меньший
Рис. 13. Результаты расчетов по методу частиц в ячейках (метод PIC) для случая сферического заряда взрывчатого вещества 9404, частично погруженного в воду.
Детонация начинается в центре заряда. В левой части графика крестиками обозначено положение тех ячеек, которые нагреты до температуры, большей» чем температура невозмущенной среды.
а) 2 мкс; б) 4 мкс; в) 6 мкс; г) 10 мкс.
Рис. 14. Результаты расчетов по методу PIC для случая сферического заряда ВВ 9404, полностью погруженного в воду.
а) 2 мкс; б) 4 мкс; в) 6 мкс; г) Ю мкс.


Рис. 15e,
Рис. 15д, е. Результаты расчетов по двумерному эйлеровому методу для случая сферического заряда взрывчатого вещества 9404, имеющего радиус 1,27 см.
Детонация начинается в центре заряда, где имеется инициатор детонации радиусом 0,4 см. Заряд находится под слоем воды толщиной 1,27 см. Построены графики с линиями постоянных значений давления (с интервалом 20 кбар), плотности (с интервалом 0,2 г/см3) и скорости (с интервалом 0,05 см/мкс). Крестиками обозначено положение ячеек, которые могут одновременно содержать несколько веществ (9404 и вода; 9404 и воздух; вода и воздух 9404, вода и воздух).
Графики давления: а) 1 мкс; 6) 2 мкс; в) 3 мкс; г) 4 мкс; д) 5 мкс; е) 7 мкс.

I
Рис. 16а,
4 Зак. 741
Pi-i c. IGef,
Рис. 1GJ,
Рис. 16,ж (продолжение рис. 15).
Графики плотности: а) 1 мкс; б) 2 мкс; в) 3 мкс; г) 4 мкс; д) 5 мкс; е) 6 мкс; ж) 7 мкс.

Рис. 17a, б.
Рис. 17з,
L
Рис. lid, e (продолжение рис. 15).
Графики скорости в направлении R: а) 1 мкс; б) 2 мкс; в) 3 мкс; г) 4 мкс; 0) 5 мкс; е) 6 мкс.
жж
Рис. 18а,
ЖЖ

Рис. 18e,
I /ЙГЙ\
Рис. 18(9,
Рио. 18,ж (продолжение рис. 15).
Графики скорости в направлении Z: а) 1 мкс; б) 2 мкс; в) 3 мкс; г) 4 мкс; д) 5 мкс; е) 6 мкс; ж) 7 мкс.
Рис. 19л,
Рис. 19в,г. Результаты расчетов по двумерному эйлерову методу для случая сферического заряда взрывчатого вещества 9404, имеющего радиус 1,27 см.
Детонация начинается в центре заряда, где имеется инициатор детонация радиусом 0,4 см. Заряд частично погружен в воду до глубины 1,5875 см. Линии постоянных значений построены при таких же интервалах, как на рис. 15—18.
Графики давления: а) 1 мкс; б) 2 мкс; в) 3 мкс; г) 4 мкс.

Рис. 20а,

Р и с. 20в, г (продолжение рис. 1У).
Графики плотности: а) 1 мкс; 6) 2 мкс; в) 3 мкс; г) 4 мкс.
Рис. 21а, б.
I
Рис. 21в, г (продолжение рис. 19).
Графики скорости в направлении а) I мкс; б) 2 мкс; в) 3 мкс; г| 4 мкс.
Рис. 22а, б.
Рис. 22в,г (продолжение рис. 19).
Графики скорости в направлении Z: а) 1 мкс; б) 2 мкс; в) 3 мкс; г) 4 мкс.
116
Ч. Л. МЕЙДЕР
размер ячейки; однако, прежде чем расчет с мелкими ячейками будет целесообразным, следовало бы ввести более точное рассмотрение ячеек, содержащих три компонента среды. Меньший размер ячейки позволил бы
Рис. 23. Положение ударной волны в воде и границы раздела между продуктами детонации 9404 и водой, а также давление на ударной волне в воде, рассчитанные как функции времени при помощи одномерного метода SIN и двумерного метода 2DE.
1 —ударная волна в воде; 2 — граница раздела между продуктами детонации 9404 и водой.
----- расчет по методу SIN (ВВ 9404 — вода); ▲, по методу 2DE (BB 9404 — вода); >, значения на оси Z по методу 2DE (ВВ 9404 —вода— воздух); полное время равно времени в расчетах по методу 2DE плюс 0,45.
также получить более хорошее описание ударной волны в воздухе и границы раздела между продуктами детонации 9404 и воздухом.
Расчеты по двумерной схеме 2DE были проведены для случая сферического заряда взрывчатого вещества
ВЗРЫВЫ ВБЛИЗИ ПОВЕРХНОСТИ воды
117
9404, полностью погруженного в воду под слой 1,27 см. Для рассчитанного течения графики с линиями постоянных значений ряда функций построены на рис. 15—18. Были выполнены также расчеты для другого случая, когда сферический заряд взрывчатого вещества 9404
Рис. 24. Положение ударной волны в воздухе и границы раздела между продуктами детонации 9404 и воздухом, рассчитанные как функции от времени при помощи одномерного метода SIN и двумерного метода 2DE.
/—ударная волна в воздухе; 2—граница раздела между ВВ 9404 и воздухом; ------расчет по методу SIN (ВВ 9404 — воздух); О, значения на оси Z по методу 2DE (ВВ 9404—вода —воздух).
был частично погружен в воду до глубины 1,5875 см. Для соответствующего течения рассчитанные графики с линиями постоянных значений функций изображены на рис. 19—22.
Положения ударной волны в воде и границы раздела между продуктами детонации 9404 и водой, а также давление на ударной волне в воде, рассчитанные по двумерной схеме 2DE как функции времени, сравниваются на рис. 23 с соответствующими результатами, рассчитанными по одномерной схеме SIN. Аналогичное сравнение для ударной волны в воздухе и границы
118
Ч. Л. МЕЙДЕР
раздела между продуктами детонации 9404 и воздухом проводится на рис. 24. В расчетах по двумерной численной схеме 2DE не было определено положение ударной волны в воздухе. Для различных расчетов, если они являются достаточно точными, должно иметь место соответствие полученных течений на ранней стадии. На рис. 23 и 24 результаты, относящиеся к различным расчетам, находятся в замечательном согласии друг с другом, поэтому можно полагать, что результаты расчетов по численной схеме 2DE являются достоверными с точностью до погрешности вычислений.
5.	ОБСУЖДЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ
В своем исследовании задачи о пульсации при подводном взрыве Притчетт [6, 7] продемонстрировал, что теоретические результаты, в которых учитывается эффект сжимаемости воды, стремятся асимптотически к результатам без учета сжимаемости. Расчеты, описан ные в этой работе и в предыдущей [1], показывают, что течение определяется импульсом и результирующим количеством движения, переданным воде за то время, пока ударная волна пройдет в воде расстояние от трех до пяти радиусов начального заряда. Поэтому ясно, что если в расчетах без учета сжимаемости начальный импульс берется достаточно точным, то течение в последующее время должно довольно хорошо описываться в предположении несжимаемости. Отсюда следует, что если мы решили задачу о сжимаемом течении для некоторого достаточного интервала времени, то это даст нам хорошее первое приближение для начальных условий, которые можно использовать для дальнейшего расчета течения уже без учета сжимаемости. Последующее численное решение, вероятно, следует проводить либо при помощи какого-нибудь хорошего метода для несжимаемых течений, в котором достаточно точно определяется граничная поверхность, либо при помощи какого-нибудь метода (например, метода ICE [8]), предназначенного для почти несжимаемых течений.
Как упоминалось в введении, нас интересует область верхней критической глубины. Верхнюю критическую
ВЗРЫВЫ ВБЛИЗИ ПОВЕРХНОСТИ воды
119
глубину обстоятельно рассмотрел Ле-Мео [9]. Что касается явлений в этом случае, то расчеты показывают, что вода в всплесковой волне и вблизи нее обладает большой величиной количества движения. В частности, как видно из рис. 21, скорость по радиальному направлению в воде вблизи всплесковой волны почти в 5 раз больше скорости в остальной части воды, по которой прошла ударная волна. Такая концентрация количества движения вблизи поверхности воды может стать серьезным фактором, влияющим на явления в области верхней критической глубины. Независимо от того, важно это или нет для поведения волны при поздних временах, этот фактор является причиной того, что в случае взрыва вблизи поверхности воды наблюдаемый радиус пузыря в горизонтальном направлении оказывается больше радиуса пузыря в вертикальном направлении (как это видно на рис. 4 и 10).
Высокая скорость, имеющая место в всплесковой волне, является следствием первичной ударной волны в воде, которая быстро ослабевает и допускает возникновение вторичной ударной волны, распространяющейся от продуктов детонации. В дальнейшем, пока продукты детонации еще имеют высокое давление, появляются последующие ударные волны и волны разрежения. Каждая реверберация этих волн увеличивает скорость частиц в всплесковой волне на величину, которая уменьшается по мере того, как в движущихся продуктах детонации понижается давление. Скорость частиц в остальной части воды не может увеличиваться при реверберациях волн на ранней стадии движения при высоком давлении, потому что они не достигают свободной поверхности.
В случае детонации сферического заряда взрывчатого вещества 9404, имеющего радиус 1,27 см и погруженного в воду с давлением 1 бар, теоретические оценки для периода колебания и максимального радиуса пузыря дают соответственно значения 0,1 с и 44,2 см. Как видно из рис. 12, наблюдаемый в эксперименте максимальный радиус пузыря несколько больше теоретического, а период колебания в 4—5 раз больше теоретического. Большое количество движения воды вблизи
120
Ч. Л. МЕЙДЕР
поверхности пузыря соответствует наблюдаемым в опытах данным.
Экспериментальные данные для поздних времен, показанные на рис. На — Не, наводят на мысль, что султаны, образующиеся после схлопывания пузыря, могут быть основным источником больших волн, характерных для верхней критической глубины. Недавно Грейг изучил поведение длинной составляющей султана и волны. Результаты этого анализа могут указать направление, в котором следует сконцентрировать усилия будущих теоретических исследований.
Список литературы
1.	Mader Ch. L., Compressible numerical calculations of underwater detonations, Los Alamos Scient. Lab. Rep. LA-4594, 1971.
2.	Venable D., PHERMEX, Physics Today, 17, 19 (1964).
3.	Mader Ch. L., The two-dimensional hydrodynamic hot spot, Los Alamos Scient. Lab. Rep. LA-3077, March, 1964; LA-3235-Vol. II, Nov. 1964.
4.	Kershner J. D., Mader Ch. L., 2DE: a two-dimensional continuous Eulerian hydrodynamic code for computing multicomponent reactive hydrodynamic problems, Los Alamos Scient. Lab. Rep. LA-4846, 1972.
5.	Mader Ch. L., Kershner J. D., Two-dimensional continuous multicomponent Eulerian calculations of interaction of shocks with V-notches, voids and roads in water, Los Alamos Scient. Lab. Rep. LA-4932, 1972.
6.	Pritchett J. W., Incompressible calculations of underwater explosion phenomena, Proc, of the Second Int. Conf. Numerical Methods in Fluid Dynamics, Lecture Notes in Physics, 8, 422 (1971); русский перевод см. на стр. 44 настоящего сборника.
7.	Pritchett J. W., An evaluation of various theoretical models of underwater explosion bubble pulsation, Information Research Associates Rep. IRA-TR-2-71, 1971.
8.	Harlow F. H., Amsden A. A., A numerical fluid dynamics calculation method for all flow speeds, J. Comput. Phys., 8, 197 (1971).
9.	Le Mehaute B., Theory of explosion-generated water waves, Advan. in Hydrosci., 7, 1 (1971).
РАСЧЕТ ТЕЧЕНИЯ И РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ЭНЕРГИИ ПРИ ПОДВОДНОЙ ДЕТОНАЦИИ ПЕНТОЛИТОВОЙ СФЕРЫ1)
Г. М. Стернберг, В. А. Уолкер
Проводится расчет течения, вызванного детонацией, инициированной в центре пентолитовой сферы в пресной воде на уровне моря, при помощи метода искусственной вязкости вплоть до момента времени, когда основная ударная волна распространилась от центра на расстояние, равное 100 радиусам заряда. Для различных моментов времени в зависимости от расстояния определены давление, скорость частиц и температура; кроме того, найдены пиковые величины давления на ударной волне, постоянные времени и давление в фиксированных точках пространства в зависимости от времени. Показано, что в воде вблизи газового пузыря возможно местное образование пара, который, однако, при рассматриваемых расстояниях не играет значительной роли. Найдено разделение и распределение кинетической и внутренней энергий в воде ц в газовой сфере, а также энергия, диссипированная из-за нагревания в ударной волне. Расчеты показывают, что диссипированная энергия составляет 33% полной энергии, выделившейся при детонации, когда ударный фронт распространился от центра на расстояние 10 радиусов заряда, и 40,5%, когда ударный фронт распространился на расстояние 100 радиусов заряда.
1.	ВВЕДЕНИЕ
В ранее опубликованной работе [1] мы вывели уравнение состояния воды для применения в гидродинамических расчетах с ударными волнами, выбрали уравнение состояния для продуктов детонации пентолита (состоящего из 50% тринитротолуола и 50% пентаэритритолтетранитрата) и показали, что этими уравнениями можно пользоваться при расчетах методом искусственной вязкости течения, вызванного детонацией пентолитового сферического заряда, инициированной в его центре. При этом мы оказались в состоянии довести расчеты лишь до момента, когда основная ударная
*) Sternberg Н. М., Walker W. A., Calculated flow and energy distribution following underwater detonation of a pentolite sphere, Physics of Fluids, 14, № 9, 1869—1878 (1971).
122
Г. М. СТЕРНБЕРГ, В. А. УОЛКЕР
волна в воде прошла от центра расстояние 19 радиусов заряда; мы смогли также в этом интервале получить экспериментально наблюдаемые пиковые давления на ударной волне в зависимости от пройденного ею расстояния. В настоящей работе мы намереваемся дать полное описание ранней стадии явления сферического подводного взрыва, инициированного в центре на уровне моря, вплоть до момента, когда основная ударная волна пройдет от центра расстояние 100 р. з. (р. з. — радиус заряда).
Эта задача рассматривалась спорадически и с различной степенью точности в течение последних 30 лет [3—13]. Однако ни в одном из этих исследований не используются уравнения состояния воды и продуктов детонации, которые являются наилучшими из имеющихся в данное время. Кроме того, в этих работах точное решение для течения с учетом сжимаемости получено только до момента времени, когда основная ударная волна проходит от центра расстояние приблизительно 12 р. з. Наиболее детальные из указанных выше расчетов выполнили Н. Н. Кочина и Н. С. Мельникова [13] и Бергер и Холт [10, 11]. Последние авторы использовали для воды зависимость между давлением и плотностью, взятую из работы Ричардсона и др. [14]. Н. Н. Кочина и Н. С. Мельникова обращают внимание на уравнение состояния воды, построенное Н. М. Кузнецовым [15]; после того как была закончена работа [13], по существу те же самые данные были использованы для получения уравнения состояния воды, которое применяется в настоящей работе.
Здесь обсуждается ряд аспектов рассматриваемой задачи, которые не были доступны во время второй мировой войны, когда была выполнена значительная часть предшествующей работы [3]. Применение улучшенных уравнений состояния для воды и для газообразных продуктов взрыва позволяет рассчитать распределение температуры в воде и изучить возможность местного образования пара, когда давление в сжатой ударной волной воде, расположенной вблизи границы раздела между газом и водой, возвращается к невозмущенному давлению. Применение более новых данных приводит
РАСЧЕТ ТЕЧЕНИЯ И РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ЭНЕРГИИ
123
к тому, что рассчитанное давление в воде, примыкающей к газовому пузырю, получается существенно более высоким и, следовательно, увеличивается величина диссипированной энергии из-за нагревания в ударной волне.
Наш расчет проведен для небольшого сферического заряда сильного взрывчатого вещества, детонирующего на уровне моря. Течение как в газообразных продуктах детонации,так и вводе предполагается невязким и сжимаемым, причем уравнение состояния, связывающее давление, плотность и внутреннюю энергию, берется из работы [1]. Мы пренебрегаем влиянием силы тяжести и соответственно градиентом давления в окружающей среде и всплыванием пузыря. Все эффекты, связанные с инициированием и реактивным течением, не учитываются.
В рассматриваемом случае явления происходят в такой последовательности. Детонация сферического заряда сильного взрывчатого вещества инициируется в его центре, а детонационная волна движется вовне с постоянной скоростью до момента, когда она достигает воды; при этом распределение переменных, описывающих течение, дается автомодельным решением Тейлора [16]4)- При столкновении сферического детонационного фронта с водой имеет место мгновенная стыковка течений на границе раздела; после этого ударная волна переходит в воду, а в детонационную волну распространяется волна разрежения. За волной разрежения следует вторая ударная волна (она первоначально имеет нулевую интенсивность), которая образуется у границы раздела и движется обратно в направлении к центру. Существование второй ударной волны было указано Веккеном [17], а позже вторая ударная волна была весьма детально исследована Берри и Холтом [18] и Бергером и Холтом [11]. Вторая ударная волна отражается в центре. Достигнув границы раздела между газом и водой, эта ударная волна частично переходит в воду, вызывая небольшую пульсацию, которая
!) Аналогичное автомодельное решение в аналитической форме получено Л. И. Седовым в работах «Движение воздуха при сильном взрыве», Докл. АН СССР, 52, № 1 (1946); «Распространение сильных взрывных волн», Прикл. матем. и механ., 9, № 2 (1946). — Прим, перев.
124
Г. М. СТЕРНБЕРГ, В. А. УОЛКЕР
наблюдается при измерениях давления при помощи датчиков, и частично отражается. Процесс внутреннего отражения скачка и частичной передачи его в воду будет многократно повторяться. Таким образом, течение внутри газовой сферы представляет собой последовательность волн разрежения, связанных с расширением, и последовательность вторичных ударных волн, которые накладываются на волны разрежения.
Когда основная ударная волна проходит последовательно расположенные сферические слои воды, в них вносится энергия. Половина этой энергии представляет собой кинетическую энергию, а другая половина — внутреннюю энергию. Энтропия воды при этом увеличивается. После прохождения ударного фронта сферический слой воды, который теперь приходит в движение, расширяется изэнтропически (если не учитывать слабого влияния второй ударной волны), и, когда давление в нем возвратится к величине невозмущенного давления, этот слой будет иметь более высокие удельный объем и температуру, чем до встречи с ударным фронтом. Увеличившаяся в это время внутренняя энергия слоя воды (что проявляется в росте температуры) называется диссипированной энергией или энергией, испускаемой ударной волной.
Сумма этих диссипированных энергий, исчисляемая от границы раздела между газом и водой и продолжаемая до произвольной точки, называется ударноволновой энергией у поверхности заряда. Заметим, что энергия, диссипированная в отдельном сферическом слое, зависит только от условий в невозмущенной среде, интенсивности основной ударной волны в данном месте и уравнения состояния воды. Ударноволновая энергия у поверхности заряда, грубо говоря, составляет половину полной энергии, выделившейся при детонации, и может быть легко вычислена, если из расчетов или из экспериментов известна зависимость пикового давления на ударной волне от расстояния.
Предположим теперь, что ударный фронт уже прошел, и рассмотрим течение воды, которая пришла в движение. К моменту времени, когда основная ударная волна находится от центра на расстоянии 25 р. з., тече
РАСЧЕТ ТЕЧЕНИЯ И РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ЭНЕРГИИ
125
ние в воде является по существу несжимаемым (т. е. скорость частиц падает обратно пропорционально квадрату радиуса) всюду, за исключением области, расположенной непосредственно позади ударного фронта. Движение воды во внешнем направлении является сильно перерасширенным подобно тому, как это имеет место при движении поршня в заполненной газом трубе с закрытыми концами. Кинетическая энергия при этом переходит во внутреннюю энергию. Энергия движущихся сферических слоев воды будет расходоваться таким образом до тех пор, пока слои не достигнут состояния покоя. Затем слои начнут двигаться в направлении к центру, приобретая кинетическую энергию за счет внутренней энергии воды, расположенной вдали от центра.
Эта энергия при движении к центру будет переходить во внутреннюю энергию до тех пор, пока вода опять не достигнет состояния покоя. Пузырь в этот момент будет сжат до минимального радиуса; после этого начнется новый цикл расширения. Энергия, вычисленная как потенциальная энергия вытеснения воды в модели несжимаемого течения [3], будет здесь частью внутренней энергии воды, которая не является энергией, диссипированной при прохождении ударного фронта. Внутренняя энергия распределяется между пузырем и водой в момент минимума пузыря.
Наши расчеты, проводившиеся при помощи метода искусственной вязкости для условий на уровне моря, были окончены, когда основная ударная волна прошла от центра расстояние 100 р. з., причем они охватили лишь небольшую часть полного периода колебаний. В конце расчета радиус пузыря равнялся 8,65 р. з., а масштабированное время (равное t/ROi где t—время, Яо— радиус заряда) составляло 0,64 мс/см. Эти данные надо сопоставлять с максимальным радиусом пузыря, равным приблизительно 32 р. з., и с периодом, т. е. временем до первого минимума пузыря, составлявшим около 59 мс/см.
Трудности расчета методом искусственной вязкости до больших времен связаны с условной численной устойчивостью. Шаг по времени для каждого цикла вычислений должен быть выбран достаточно малым,
126
Г. М. СТЕРНБЕРГ, В. А. УОЛКЕР
чтобы возмущение, распространяющееся с местной скоростью звука, не могло за этот шаг пересечь наименьшую конечно-разностную ячейку (условие Куранта — Фридрихса— Леви [19]). Поэтому, хотя и возможно, но непрактично проводить расчеты полного колебания на уровне моря с уравнением состояния, которое дает точную скорость звука. Для взрывов на больших глубинах период будет значительно короче, и здесь расчеты полного периода методом искусственной вязкости являются вполне осуществимыми. Такие расчеты для нескольких глубин были сделаны одним из авторов [20].
В разд. 2 подробно излагаются некоторые улучшения численного метода расчета, которые были введены уже после того, как была написана работа [1]. Расчеты, проведенные конечно-разностным методом, включают тысячи циклов по времени и охватывают диапазон давлений в воде, меняющихся примерно от 160 кбар до нескольких бар. Специальные приемы, описанные здесь, необходимы для того, чтобы избежать паразитных колебаний, предохранить рассчитываемую основную ударную волну в воде от размазывания и обеспечить сохранение полной энергии в системе.
2.	МЕТОД ИСКУССТВЕННОЙ ВЯЗКОСТИ
Метод искусственной вязкости для расчета неустано-вившихся сжимаемых течений описан в работе [1] во всех деталях, за исключением некоторых модификаций. Здесь мы дадим лишь краткое изложение этого метода. Дифференциальные уравнения, которые используются в методе, можно записать в виде
M(j)= j р(Я, 0 A(R)dR,
Rih, t)
ди — Л1Т>\ д(Р + я)	m
dt —	дМ .	(1)
dR
= + <2>
p = p(E, v).
РАСЧЕТ ТЕЧЕНИЯ И РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ЭНЕРГИИ
127
Здесь У? — расстояние, р — 1/у — плотность, v — удель-ный объем, р — давление, М — масса, и — скорость частиц, Е — внутренняя энергия. Независимыми переменными являются время t и лагранжева пространственная координата /. Узловые точки по пространственной пере-* менной, т. е. границы ячеек, отмечаются целочисленными значениями /. Функция Л (У?) представляет собой площадь поперечного сечения (здесь равную 4лУ?2). В качестве единиц массы, длины и времени (если не будет сделан иной выбор) будут служить грамм, сантиметр и микросекунда. Ячейки представляют собой сферические слои. Поскольку расчеты проводятся в лагранжевых переменных, то масса каждой ячейки фикси-* руется при начальном выборе положения границ ячеек и остается постоянной в продолжение всего расчета.
Уравнения состояния (2) для воды и для продуктов детонации берутся из работы [1]. Уравнение состояния воды имеет форму
р = ^ + ^3 + ^5 + ЛМ	(3)
где f\, fz, fz и ft — полиномиальные функции от внутренней энергии, аппроксимирующие как данные для ударной адиабаты Гюгонио, так и данные для сжимаемости при низких давлениях для пресной воды. Начальное состояние пресной воды, окружающей заряд, было взято таким: ро = 1 атм, То = 20° С, что, согласно уравнению (3), соответствует ро = 1Д>о = 0,99821 и Ео = 0. Уравнение состояния, которое использовалось для продуктов детонации пентолита, имело вид
р = АрЕ + Вр4 + С ехр (- /С/р),	(4)
где А = 0,35, В = 0,002164, С = 2,0755 и К — 6, причем здесь р берется в единицах г/см3, Е — в Мбар-см3/г и р — в Мбар. Энергия, выделяющаяся при взрыве пентолита, принимается равной 0,0536 Мбар-см3/г (т. е. 1280 кал/г),а плотность вещества до детонации ро, равной 1,65 г/см3. Форма уравнения (4) взята из работы [2]. Метод получения констант Л, В, С и /С, объясненный в работе [1], требует определенных значений параметров детонации. Для пентолита эти значения были взяты из
128
Г. М. СТЕРНБЕРГ, В. А. УОЛКЕР
термохимических расчетов такими: pj = 0,2452, cj = = 0,5714, pj = 2,210, D — 0,7655 и Ej = 0,0775. Здесь D — скорость детонации, с — скорость звука, индекс J относится к условиям в точке Чепмена — Жуге.
В качестве начальных условий для расчета методом искусственной вязкости необходимо иметь значения гидродинамических переменных на сферической детонационной волне в момент, когда детонационный фронт достигнет воды. Эти значения были найдены при помощи обычного автомодельного решения Тейлора (см. подробности в работе [1]) с использованием уравнения (4) для продуктов детонации.
В идеальном случае функция q, представляющая собой искусственную вязкость в уравнениях (1), должна обеспечивать получение ударного фронта, размазанного на 4 или 5 узловых точек по пространственной переменной, причем в области, расположенной за фронтом, колебания должны быть минимальными. Наш первоначальный опыт расчетов показал, что линейная вязкость (пропорциональная du/dj) оказывается слишком большой, т. е. ударный фронт, когда он распространяется вовне, размазывается на большее число ячеек; в то же время квадратичная вязкость [пропорциональная (du/dj)2] оказывается слишком малой, вызывая неприемлемые колебания. После некоторого численного экспериментирования была принята искусственная вязкость q, которая использовалась при расчетах как газовой сферы, так и воды и имела смешанную линейную и квадратичную форму:
Гкл (ди \2	„	~ ди 1	1	ди
“^тахАз-^р ДЛЯ ~gj-< 0, г\	ди л
<7 = 0	для > 0.
Здесь = 2,5 как для газа, так и для воды; К2 = 0,3 для газа и К2 — 0,5 для воды; Кз = 1 для газа и К3 = = (Ro/R)'12 для воды; стах — максимальное значение скорости звука по всем ячейкам (газ и вода). Константа Ro представляет собой величину радиуса пентолитовой сферы до детонации. Для уравнения (5) использовалась
РАСЧЕТ ТЕЧЕНИЯ И РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ЭНЕРГИИ
129
следующая конечно-разностная форма:
=2[«,- “Г1*)]х
X (о“+,, + о"й) 1 для иу+л < “7+’4.
q = 0	для
Здесь п — целое число, представляющее собой количество циклов по времени. Конечно-разностные формы уравнений (1) и (2) приведены в работе [1]. Для определения величины шага по времени служили обычные условия устойчивости.
От схемы разбиения на ячейки, применявшейся в работе [1], мы отказались, предпочитая ввести область с мелкими ячейками, которая охватывает основную ударную волну в воде и движется вместе с ней. Каждая ячейка в воде перед тем, как в нее придет ударная волна, разбивается на восемь ячеек. Эта область с мелкими ячейками после того, как ее прошел ударный фронт, перемещается таким образом, чтобы при этом сохранялась полная энергия. В любой момент времени дробятся четыре ячейки, т. е. имеется всего 32 мелкие ячейки, которые охватывают ударный фронт. Разностные формулы Рихтмайера [21, стр. 204], построенные для применения к смежным ячейкам разного размера, используются на задней границе мелких ячеек, а также на границе раздела между газом и водой после того, как ударная волна ушла от нее.
Расчеты по методу искусственной вязкости были проведены с общим количеством крупных ячеек, равным 300 (301 узловая точка по пространственной переменной), причем 50 ячеек было взято в газовой сфере и 250 ячеек — в воде. Масса газа в ячейках определялась разбиением твердой сферы сильного взрывчатого вещества, которое проводилось при помощи ряда равноотстоящих радиусов. В начале расчета по методу искусственной вязкости (когда в газе уже движется тейлоровская ударная волна) каждая из первых четырех ячеек в воде разбивалась на восемь мелких ячеек, чтобы обеспечить более точную сетку в области, охватывающей ударный фронт.
5 Зак. 741
130
Г. М. СТЕРНБЕРГ, В. А. УОЛКЕР
Ширина первой мелкой ячейки в воде выбиралась так, чтобы ее масса равнялась массе соседней ячейки в газе. Соответственно ширина первой крупной ячейки в воде задавалась в 8 раз больше. Начальная ширина остальных 249 ячеек в воде задавалась так, чтобы ширина каждой ячейки в 1,005 раза превосходила ширину предшествующей ячейки.
Стыковка тейлоровской ударной волны в газе с рассчитываемым ударным фронтом в воде проводилась с учетом сохранения энергии. Когда тейлоровская ударная волна находится у границы раздела, в конечно-разностной схеме скорость на границе является скоростью последней полуячейки в газе и первой полуячейки в воде. Тогда, если на границе принимать скорость частиц, отвечающую точке Чепмена — Жуге, полная энергия будет слишком завышена за счет кинетической энергии первой полуячейки в воде.
Мы принимали значение начальной скорости на границе более низкое, чем значение скорости частиц в точке Чепмена — Жуге, и выбирали его таким образом, чтобы сумма кинетической энергии последней полуячейки в газе и первой полуячейки в воде равнялась той величине кинетической энергии последней полуячейки в газе, которая была бы, если бы она двигалась со скоростью частиц, отвечающей точке Чепмена — Жуге. Этот выбор, помимо обеспечения сохранения энергии, имеет то преимущество, что значение искусственной вязкости, рассчитанное для первой ячейки в воде, не будет подавлять величины давления в соседних ячейках. Правильное значение скорости на границе устанавливалось в течение нескольких циклов по времени.
После того как пузырь расширился до размеров, в несколько раз превышающих его начальный радиус, ширины первых крупных ячеек в воде становятся очень небольшими из-за радиального расширения. Эти ширины определяют наибольший шаг по времени, который может быть взят для устойчивых численных расчетов. Чтобы увеличить шаг по времени, в процессе расчета границы нескольких ячеек в воде вблизи границы между газом и водой ликвидировались, но с учетом сохранения массы и энергии.
РАСЧЕТ ТЕЧЕНИЯ И РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ЭНЕРГИИ
131
После того как весь расчет по методу искусственной вязкости был закончен, мы корректировали полученные результаты, имея в виду, что основной ударный фронт в воде искусственно размазывается на несколько счетных узловых точек по пространству из-за применения метода искусственной вязкости. Эта корректировка проводилась следующим образом. Сначала мы определяли положение ударного фронта, помещая его в центре той ячейки, где q имеет максимальное значение; затем через переднюю часть графика, дающего логарифм давления в зависимости от расстояния, проводилась прямая линия до места расположения ударного фронта. Численные результаты для давления в фиксированных точках в зависимости от времени получались аналогичным способом.
3.	РЕЗУЛЬТАТЫ РАСЧЕТОВ ТЕЧЕНИЯ
В результате расчетов по методу искусственной вязкости для близко отстоящих моментов времени определяются данные о положении и скорости частиц для каждой границы ячейки, а также давление (полагается p + q = P), искусственная вязкость, удельный объем и внутренняя энергия. Последние четыре величины относятся к средней точке ячейки. Местоположение ударных волн, которые обнаруживаются автоматически как резкие, но непрерывные переходы, находится по локальным максимумам искусственной вязкости q. Давление в момент, когда детонационный фронт падает на воду, определяется обычным путем: с использованием уравнений состояния (3) и (4) получаются зависимости р от и для возможных состояний на ударной волне в воде (кривая Гюгонио) и для состояний в волне разрежения в газе, а затем требуется непрерывность значений р и и на границе раздела. Из таких расчетов следует, что значение давления при переходе ударной волны в воду равняется 162 кбар, начальная скорость на границе раздела 0,27 см/мкс, соответствующая скорость на ударном фронте 0,60 см/мкс.
На рис. 1 для рассматриваемого течения приводится зависимость между пространственной координатой и
5=
132
Г. М. СТЕРНБЕРГ, В. А. УОЛКЕР
временем, полученная в расчетах по методу искусственной вязкости. Эта зависимость начинается от тейлоровской ударной волны, дающей начальные данные при t = О, R/Ro=\. На рис. 1 указаны также величины давлений (в килобарах) и скоростей (в см/мкс) на ударной волне при различных ее положениях. Отметим, что
Рис. 1. График, связывающий расстояние и время, для сферической подводной детонации, рассчитанной методом искусственной вязкости.
Давление дано в кбар; скорость на ударной волне —в см/мкс.
1 — трактория частицы; 2—граница раздела между газом и водой; 3 —вторичные скачки; 4—вторая ударная волна; 5 — основная ударная волна.
давление на ударной волне падает от 162 до 1,2 кбар, когда скачок достигнет расстояния от центра 10 р.з., и падает до 81 бар, когда скачок достигнет расстояния 100 р.з. Скорость на ударной волне уменьшается от 0,60 до 0,16 см/мкс на расстоянии, равном первым 10 р.з. (скорость звука в невозмущенной воде равняется 0,1483 см/мкс). На рис. 1 показаны также траектории вторичных ударных волн, т. е. второго и последующих скачков, которые возникают у границы раздела между газом и водой. Заметим, что после отражения от центра вторая ударная волна достигает границы раздела, когда радиус пузыря равняется примерно 3 р. з. Вторая
РАСЧЕТ ТЕЧЕНИЯ И РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ЭНЕРГИИ
133
ударная волна, перешедшая в этот момент в воду (ее траектория также изображена на рис. 1), располагается позади основной ударной волны на расстоянии 7—8 р. з. Очевидно, что на графике, связывающем давление и расстояние, вторичная ударная волна должна проявиться
Рис. 2. Давление, рассчитанное в зависимости от расстояния, при различных малых значениях времени, начиная с тейлоровской волны в газовой сфере.
/ — тейлоровская волна; 2 — вторая ударная волна; 3 — граница раздела между газом и водой.
как горб в соответствующей точке. Однако после второго отражения мы не всегда имели возможность обнаружить весьма слабые вторичные скачки в воде.
Графики, связывающие давление и расстояние для ранней стадии течения, представлены на рис. 2 и 3. Положения границы раздела между газом и водой здесь отмечены вертикальными черточками. Вертикальные черточки со стрелками, указывающими направление движения, служат для обозначения положений вторичных скачков.
134
Г. М. СТЕРНБЕРГ. В А УОЛКЕР
Положения вторичных скачков определялись по локальным максимумам искусственной вязкости. Однако из-за неоднородности течения, в котором эти скачки перемещаются, не было возможности провести удовлетворительную корректировку для устранения размазывания скачка, вызванного применением метода искусственной вязкости. Таким образом, после окончания расчета мы
Рис. 3. Давление, рассчитанное в зависимости от расстояния, для моментов времени, соответствующих положениям ударного -фронта на расстояниях 15, 20, 35, 50, 70 и 100 р. з.
не проводили «заостроения» вторичных скачков. На ри: сунках вторичные скачки проявляются в таком виде, в каком они получаются в расчете. Хотя мы не определили точно интенсивность вторичных скачков, общие особенности поведения вторичных ударных волн, детально описанные Бергером и Холтом [И], очевидны. Интенсивность вторичного скачка, будучи сначала нулевой, сразу же растет, как только скачок начинает двигаться, затем она падает, а когда вторичный скачок приближается к центру, быстро увеличивается.
Решение уравнений для невязкого течения, описывающее поведение скачка вблизи центра (см., например, Гудерлей [22]), имеет особенность в центре; давление
РАСЧЕТ ТЕЧЕНИЯ И РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ЭНЕРГИИ
135
здесь становится бесконечным. Это обстоятельство не вызывает трудностей в расчетах по методу искусственной вязкости, поскольку давление здесь определяется в средних точках ячеек, и поэтому давление, рассчитанное в ячейке, смежной с началом координат, будет конечным. Однако, когда скачок находится в центре, величина давления, рассчитанная в этой ячейке, сильно зависит от размера ячейки и формы искусственной вязкости q.
Рассмотрим теперь на рис. 2 и 3 движение волн в пузыре. После отражения от центра вторая ударная волна встречает границу раздела между газом и водой в момент, когда эта граница находится от центра на расстоянии 3 р.з. Основная ударная волна в это время располагается от центра на расстоянии приблизительно 10 р.з. Время прибытия последующих вторичных ударных волн в начало координат и на границу раздела между газом и водой можно получить из рис. 1.
Зависимости давления от расстояния для моментов времени, когда основная ударная волна прошла расстояние 15—100 р.з., изображены на рис. 3. На кривых, соответствующих положениям основной ударной волны на расстоянии 35 и 50 р.з., отмечены как второй, так и третий скачки в воде. Когда фронт основной ударной волны находится на расстоянии 100 р.з., давление в пузыре, хотя оно еще не является равномерно распределенным, очень низко (рис. 3) и меняется от 2,8 бар на границе раздела между газом и водой до 5,4 бар в центре.
Давление, рассчитанное в зависимости от времени в различных фиксированных точках пространства, представлено на рис. 4. На кривой при /?/7?0 = 2 проведена вертикальная черточка, которая указывает время, когда граница раздела между газом и водой приходит в данную точку. Часть кривой правее этой черточки отвечает временам, когда точка /?/Ло = 2 располагается внутри газовой сферы. Различные горбы на кривых вызваны вторичными ударными волнами.
На рис. 5 показана скорость частиц в воде, рассчитанная в зависимости от расстояния, для различных моментов времени. В моменты, соответствующие расстояниям ударного фронта от центра 25, 50 и 100 р.з., скорость частиц пропорциональна величине 1/R2 до
Рис. 4. Давление, рассчитанное в зависимости от времени, для расстояний 2, 7, 15, 30, 50 и 80 р. з.
Рис. 5. Скорость частиц, рассчитанная в зависимости от расстояния, для моментов времени, соответствующих положениям ударного фронта на расстояниях 4, 10, 25, 50 и 100 р. з.
РАСЧЕТ ТЕЧЕНИЯ И РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ЭНЕРГИИ
137
некоторого расстояния за границей раздела между газом и водой.
Рис. 6. Расчетные и экспериментальные величины пиковых давлений на ударном фронте в зависимости от расстояния.
О, 80-фунтовые заряды; Q, 50-фунтовые заряды.
На рис. 6 приведен график рассчитанных пиковых значений давления на ударной волне, построенных в зависимости от положения основного ударного фронта в воде. Эти значения представляют собой величины пиковых давлений, взятые с кривых, связывающих давление
138
Г. М. СТЕРНБЕРГ, В. А. УОЛКЕР
и расстояние при фиксированном времени, после того как эти величины были скорректированы для устранения размазывания скачка из-за использования метода искусственной вязкости. На этом рисунке точками изображены экспериментальные данные, полученные при помощи пьезоэлектрических датчиков при взрывах 50- и 80-фунтовых сферических пентолитовых зарядов. Эти взрывы, проведенные в Вудс-Хоуле в 1945 г., описаны в книге Коула [3]. Приведенные в [3] данные считаются надежными. Отметим, что в интервале расстояний от 20 до
Рис. 7. Расчетные и экспериментальные величины постоянных времени в зависимости от расстояния.
• > 80-фунтовые заряды; О» 50-фунтовые заряды.
100 р.з., где проводились экспериментальные измерения, расчетная кривая в плоскости lg Р, 1g (Р/Ро) имеет незначительную вогнутость вверх.
Рассчитанные значения постоянной времени 0, т. е. времени, в течение которого давление падает от пикового значения Рт до значения Рт1е, построены на рис. 7 в виде зависимости 0/Ро от R/Rq. На этом рисунке показаны также экспериментальные значения постоянной времени, определенные в тех же самых взрывах 50- и 80-фунтовых зарядов, которые использовались при получении данных для пиковых давлений на рис. 6.
Близкие значения для пиковых давлений на ударной волне в воде, возникающих при идущей из центра детонации пентолитовой сферы, были найдены экспериментально Коулберном и Розландом [23], которые по фотографиям ударного фронта определяли зависимость R от it
РАСЧЕТ ТЕЧЕНИЯ И РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ЭНЕРГИИ
139
дифференцировали ее и затем пользовались кривой Гю-гонио для воды из работы Райса и Уолша [24]. Коэффициент К в экспоненте в уравнении состояния (4) для продуктов детонации, которое применялось в настоящих расчетах, был выбран так, чтобы рассчитанные пиковые давления в интервале расстояний от 1,2 до 6 р.з. находились в хорошем соответствии со значениями, определенными Коулберном и Розландом.
На границе раздела между газом и водой рассчитанные и экспериментально найденные результаты различаются между собой. Коулберн и Розланд получили, что на границе раздела при переходе через нее ударной волны давление равно 120 кбар; эту величину они определили, линейно экстраполируя до значения R/Ro— 1 свои данные в плоскости 1g Р, 1g (R/Ro). Наши расчеты, в которых использовалась модель тейлоровской ударной волны в газовой сфере и уравнения (3) и (4), дают на границе раздела величину давления на ударной волне, равную 162 кбар. Рассчитанное давление на ударном фронте, когда он находится на расстоянии 1,1 р.з., падает до 97 кбар (рис. 6). Это резкое падение обусловлено большой крутизной тейлоровской ударной волны вблизи детонационного фронта (рис. 2). Последняя экспериментальная работа Хантела и Дэвиса [25] свидетельствует о том, что не следует проводить линейную экстраполяцию экспериментальных данных до значения R/Rqz= К что модель тейлоровской ударной волны является приемлемой и что на границе раздела величина давления на ударной волне, равная 162 кбар, является правильной.
Удельный объем воды непосредственно позади основной ударной волны можно найти по кривой Гюгонио для воды при 20 °C и 1 атм [1], используя значения пиковых давлений, приведенные на рис. 6. Удельный объем равняется 0,559 см3/г при (R/Ro)s— 1 и возрастает до значения 0,767 см3/г при (R/Rq)s = 2. Индекс s здесь означает, что величина (RIRo) относится к положению основной ударной волны. На границе раздела между газом и водой вплоть до того момента, когда вторая ударная волна достигает этой границы, состояние воды определяется точкой на изэнтропе [1], проведенной из точки
140
Г. м. СТЕРНБЕРГ, В. А. УОЛКЕР
с давлением 162 кбар на кривой Гюгонио для воды. Удельный объем на границе раздела возрастает значительно быстрее, чем на ударном фронте. Когда (R/R0)s= — 1,5, удельный объем равняется 0,697 см3/г на ударном фронте и 0,867 см3/г на границе раздела. Когда (/?//?o)s = 2, удельный объем на границе раздела равняется 0,984 см3/г.
Р и с. 8. Температуры в воде, рассчитанные в зависимости от расстояния, для моментов времени, соответствующих положениям ударного фронта на расстояниях от центра между 1 и 2 р. з. ---------------------------ударный фронт.
Распределения температуры в воде, рассчитанные для нескольких небольших значений времени, изображены на рис. 8. Для этих кривых указаны величины радиуса основной ударной волны в рассматриваемые моменты времени. Температура воды находилась как функция от р и v с использованием уравнения (3) и интегрированием вдоль изэнтропы пары тождеств
/ дЕ \	/ дТ \ т(дР\
' dv	\ ди	\ дЕ /v
(см. работу [1]). Здесь Т — температура, a S — энтропия. На рис. 8 температура на основном ударном фронте показана пунктирной линией. Температура воды, непо
РАСЧЕТ ТЕЧЕНИЯ И РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ЭНЕРГИИ
141
средственно примыкающей к газу, поднимается до 1000 °C в момент, когда детонационный фронт падает на воду. Однако температура около 1000°C достигается лишь в незначительной части воды. Когда ударный фронт находится на расстоянии 1,1 р.з., температура на фронте равняется 565 °C, а температура воды у границы раздела между газом и водой (эта граница располагается в этот момент на расстоянии 1,035 р.з.) падает до 640 °C. Когда ударный фронт находится на расстоянии 2 р.з., температура воды непосредственно за ним равняется 85 °C, а у границы раздела между газом и водой 315 °C.
Изэнтропа, проведенная из точки со значением давления 1 атм (Т = 100 °C) на кривой насыщения, встречается с кривой Гюгонио для воды в точке со значением давления 54 кбар. Из рис. 6 видно, что эта точка соответствует положению ударного фронта на расстоянии 1,3 р.з. Следовательно, вода, которая первоначально находилась от центра на расстояниях, больших 1,3 р.з., после расширения до давления 1 атм будет иметь температуру меньше 100 °C. Прирост температуры воды после нагревания ее ударной волной и расширения до давления 1 атм быстро падает с увеличением расстояния. Рассчитанные изэнтропы показывают, что после расширения до давления 1 атм температура воды, которая первоначально располагалась на расстоянии 2 р.з., поднимается на 15°C, а температура воды, которая первоначально располагалась на расстоянии 4,5 р.з., поднимается на 1 °C.
Изэнтропа, проведенная из точки на кривой Гюгонио для воды, имеющей значение давления 162 кбар и отвечающей условиям на ударной волне, когда последняя находится на границе раздела между газом и водой, встречается с кривой насыщения в плоскости р, v в точке со значением давления 72 бар, при этом граница раздела находится на расстоянии 3,9 р.з. Начиная с этого момента времени и далее, возможно образование влажного пара. Другая возможность здесь связана с тем, что нет достаточного времени для образования пара и вода может перегреваться, по крайней мере при расширении ниже кривой насыщения. В наших
142
Г. М. СТЕРНБЕРГ, В. А. УОЛКЕР
гидродинамических расчетах мы пренебрегаем образованием пара, используя для воды уравнение состояния вида (3), которое годится для точек, расположенных как на кривой насыщения, так и выше ее. Экстраполяция уравнения (3) в область ниже кривой насыщения дает значения р, и, £, очень близкие к тем, которые получили Келл и Вэллей [26] для воды в метастабильном состоянии.
В связи с теориями несжимаемого течения, в которых рассматривается расширение пузыря, полезно оценить количество пара, которое может образоваться, и его максимально возможное влияние на размер пузыря в течение периода времени, охваченного нашими расчетами. После момента времени, когда впервые становится возможным образование пара, вода, в которой может образоваться пар, благодаря геометрическому расширению области течения будет располагаться в тонком слое, примыкающем к границе раздела между газом и водой. К этому моменту времени в этом слое движение воды во внешнем, направлении определяется в основном несжимаемым течением воды позади ударной волны и на него не влияют изменения давления (которое имеет теперь порядок десятков бар) у границы раздела. Поэтому мы можем отправляться от размера пузыря и энергии, полученных в конце нашего гидродинамического расчета с использованием уравнения (3), и дополнительно учесть образование пара. Будем предполагать наличие двух однородных областей — первой области, содержащей только газообразные продукты взрыва и простирающейся от центра до радиуса заряда и второй области, содержащей влажный пар и ограниченной радиусом заряда и радиусом /?3. Если допустить, что в обеих областях давление р одинаково, то тогда можно определить величины р и /?1. Если в области влажного пара пар располагается отдельно от воды и находится в области, простирающейся от до /?2, то максимально возможный размер пузыря в этот момент с учетом образования пара будет определяться величиной R2. Поскольку давление р имеет порядок десятков бар, то можно считать, что газообразные продукты подчиняются закону для совершенного газа с постоянным показателем адиабаты у« Отсюда получим соотношение между р
РАСЧЕТ ТЕЧЕНИЯ И РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ЭНЕРГИИ
143
И
(у- \)Eg = ^-R3,p,	(6)
где Eg — полная внутренняя энергия газообразных продуктов в конце гидродинамического расчета. Здесь берется то же значение у = 1,35, которое применялось для определения постоянной А в уравнении (4). Чтобы получить второе соотношение между р и 7?i, поступим следующим образом. Найдем сначала точку со значением рн, где изэнтропа, проведенная из точки со значением р на кривой насыщения (см. рис. 1 в работе [1]), пересекается с кривой Гюгонио для воды. Частичное образование пара будет возможно, когда основная ударная волна создает в воде давление, равное или большее, чем рн- Начальный (до ударного воздействия) внешний радиус Ri этой воды получается из расчетного графика, дающего пиковые давления в зависимости от расстояния, а ее внешний радиус R3 в конце расчета находится путем прибавления ее объема к рассчитанному объему пузыря. Фиксируем теперь R3 и определим /?1 из размеров области влажного пара при давлении р. Рассмотрим сферический слой воды с начальной толщиной dR и начальным (до ударного воздействия) радиусом R Ri. Энтропию S равновесной паро-водяной смеси в этом слое можно найти по таблицам [27] для точки, в которой изэнтропа, проведенная из точки, отвечающей состоянию на ударной волне, встретится с кривой насыщения. Из этих таблиц [27] получим также значения энтропии S/ и Sg и удельных объемов vf и vg соответственно для воды и для пара после изэнтропического расширения ниже кривой насыщения до давления р. Объем влажного пара в этом слое равен
4л/?2р0 [rpf + (1 — n) vg] dR) где
n = (Sg-S)/(Sg-Sf).
Проведя интегрирование по всей области l^R^Ri, определим полный объем влажного пара и, следовательно, радиус /?1 как функцию от р. Последнее соотно-щение и уравнение (6) решаются совместно и дают
144
Г. М. СТЕРНБЕРГ, В. А. УОЛКЕР
значения /?1 и р. Имея значение давления р, находим радиус пузыря /?2, интегрируя элемент объема воды 4nR2p0rp/d/? по области 1 R < Ri и вычитая полученный объем из объема сферы радиусом R3.
Описанная выше вычислительная процедура была применена в конце нашего гидродинамического расчета, когда граница раздела между газом и водой располагалась на расстоянии 8,65 р.з. Полагая этот радиус границы раздела равным 8,6500, получаем
р = 3,6 бар, Ri/RQ = 1,188,
RJRv = 8,48, R2/RQ = 8,6503, R3/R0 = 8,6533.
Как видно, добавление всего возможного объема пара увеличивает величину радиуса пузыря от 8,6500 до 8,6503 р.з. Добавление пара приводит к тому, что среднее давление в пузыре, рассчитанное по внутренней энергии, возрастает с 3,2 до 3,6 бар.
4.	РАЗДЕЛЕНИЕ И РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ЭНЕРГИИ
Разделение энергии на кинетическую и внутреннюю рассчитывалось в конце каждого вычислительного цикла по формулам
ke-24am,+,,(«’ + “!+i)'	<7>
/
IE = 2 Ш^!2ЕМг.	(8)
/
Здесь AA4j+i/2 — масса, а — внутренняя энергия сферического слоя между узловыми пространственными точками, отмеченными индексами j и /+1. Внутренняя энергия, вычисленная по формуле (8), включает диссипированную энергию, т. е. энергию, которая остается в воде, нагретой ударной волной, после того как давление в воде возвратилось к своему невозмущенному значению.
Энергия диссипируется, когда сферический слой воды после прохождения основной ударной волны переходит от начального невозмущенного скачком состояния (pQ, и0) к состоянию, соответствующему точке (рн, vH) на кривой
РАСЧЕТ ТЕЧЕНИЯ И РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ЭНЕРГИИ
145
Гюгонио с более высокой энтропией. После изэнтропического расширения до давления р0 вода будет нагрета, ее удельный объем ui будет больше, чем и0, а ее внутренняя энергия Е[ будет больше, чем внутренняя энергия Ео окружающей среды до ударного воздействия. Приращение диссипированной энергии &ED(pH) определяется как разность Ei —Eq. Эта величина выражается в виде
Д£о(Ря) = £1 — £о = у(А) + Ря)(Уо— Vn)~ J Pdv, (9)
VH
где интегрирование проводится вдоль изэнтропы отточки (рн, vH). Таким образом, приращение диссипированной энергии представляет собой разность между величиной внутренней энергии, соответствующей состоянию на ударной волне (рн, ин), и работой, произведенной при расширении от состояния (рн, ин) до состояния (ро, th). Эта трактовка отличается от трактовки Аронса и Иэни[6], где рассматривается приращение диссипированной энтальпии (El + p0V}) — (Eq + PqVq).
Приращение диссипированной энергии AED, рассматриваемое как функция рн, не зависит от взрывчатого вещества. Оно зависит только от уравнения состояния воды (3) и начальных условий окружающей среды. Значения AED, вычисленные при помощи уравнений (3) и (9), показаны на рис. 9. Для давлений рн 54 кбар изэнтропы пересекают кривую насыщения в точках, где давление выше 1 атм, и поэтому здесь возможно появление влажного пара, когда давление возвратится к величине 1 атм. Для таких давлений на рис. 9 приведены две кривые: первая рассчитана при помощи уравнения (3), как описано выше, а вторая — в предположении частичного образования пара, т. е. путем определения энтропии в точке, где изэнтропа пересекается с кривой насыщения, и выбора на линии с давлением 1 атм точки с этим значением энтропии. Вдоль изэнтроп ниже кривой насыщения, рассчитанных при помощи уравнения (3), где принимается наличие перегретой воды (см. рис. 1 в работе [1]), температуры и внутренние энергии будут выше, чем температуры и внутренние энергии в
146
Г. М. СТЕРНБЕРГ, В. А. УОЛКЕР
паро-водяной равновесной смеси при тех же самых значениях давления и удельного объема. Этим объясняется тот факт, что при использовании уравнения (3) величина диссипированной энергии получается большей.
Рис. 9. Приращение диссипированной энергии в зависимости от давления на ударной адиабате Гюгонио для воды.
1 — от 10“5 до 1; 2—от 1 до 105; 3— согласно уравнению (3); 4 —частичный пар.
Полная энергия, диссипированная внутри сферы с начальным (до ударного воздействия) радиусом R^ выражается так:
Ri
Ed (Ri) = 4лр0 J bED [Рн (/?)] R2 dR. (10)
Ro
Диссипированная энергия ED(Ri) была рассчитана по значениям Ph(R), взятым по графику, дающему пиковые давления в зависимости от расстояния (рис. 6), и по значениям А£р, взятым по рис. 9. Для Ri 1,3, что соответствует Ph(R) ^54 кбар, величина ED(Ri) определялась по обеим кривым, приведенным на рис. 9. В случае, когда для расчета расширения ниже кривой насыщения применялось уравнение (3), диссипированная
РАСЧЕТ ТЕЧЕНИЯ И РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ЭНЕРГИИ 147
энергия, рассчитанная в воде, первоначально содержавшейся внутри сферы радиусом 1,3 р.з., составляла 7,9% полной энергии, выделившейся при детонации. В случае же, когда рассматривалось частичное образование пара, эта диссипированная энергия составляла 7,3% полной энергии. Мы пользовались значением 7,9%, полученным в расчетах с применением уравнения (3).
На рис. 10 показано разделение энергии, рассчитанное по уравнениям (7) и (8), в зависимости от пройденного ударным фронтом расстояния (RIRo)s от центра.
Рис. 10. Разделение энергии в воде, рассчитанное в зависимости от положения основного ударного фронта.
По оси ординат: процент от полной энергии; / — диссипированная энергия; 2—недиссипированная внутренняя энергия воды; 3 — кинетическая энергия воды;
4 — внутренняя энергия газа; 5—кинетическая энергия газа.
Соответствующие значения времени можно найти по рис. 1. В начале расчета при помощи метода искусственной вязкости детонационный фронт как раз достигает границы между взрывчатым веществом и водой. В этот момент времени энергия, выделившаяся при детонации, вся сосредоточена в тейлоровской волне в газе, причем здесь внутренняя энергия составляет 92,5%, а кинетическая энергия 7,5%. Когда (7?/7?0)s = 2, часть энергии, оставшаяся в газе, составляет 56,5% полной энергии, а при (/?//?o)s = Ю она составляет 21%. Через короткое время почти вся энергия в пузыре становится внутренней энергией; к моменту времени, соответствующему (RIRo)s = 5, кинетическая энергия в пузыре уменьшается до 1% полной энергии. В интервале от (R/Rq)s = 5 до (R/Ro)s — ЮО недиссипированная внутренняя энергия в воде весьма близка к постоянной величине, равной
148
Г. М. СТЕРНБЕРГ, В. А. УОЛКЕР
приблизительно 11% полной энергии. В конце нашего расчета, когда ударный фронт расположен от центра на расстоянии 100 р.з., в пузыре было сосредоточено в виде внутренней энергии 7% полной энергии, кинетическая энергия воды составляла 41,5%, недиссипирован-ная внутренняя энергия воды равнялась 11% и диссипированная энергия равнялась 40,5%. Из рис. 10 видно, что в момент времени, когда основной ударный фронт находится от центра на расстоянии 5 р.з., диссипируется 28% полной энергии.
На рис. 11 изображены распределения накопленной энергии в моменты времени, когда ударный фронт находится от центра на расстояниях 10 и 100 р.з. Заштрихованные области отвечают недиссипированной внутренней энергии в воде. Положение границы раздела между газом и водой может быть определено как точка, где начинает появляться диссипированная энергия. Из-за сферической геометрии течения вода, первоначально находившаяся от центра в пределах расстояния в несколько радиусов заряда (где в основном происходит диссипация энергии), будет сосредоточена в тонком слое после того, как пузырь расширится до нескольких радиусов заряда. Этим объясняется резкое возрастание диссипированной энергии вблизи границы раздела между газом и водой.
Из рис. 11,6 видно, что когда ударный фронт расположен от центра на расстоянии 100 р. з., то при этом 73% полной энергии, выделившейся при детонации, сосредоточено внутри сферы, радиус которой равен 50 р. з. В этой сфере, помимо энергии пузыря, содержится большая часть диссипированной энергии и (в количестве 27% полной энергии) кинетическая энергия спутного течения, т. е. энергия воды, движущейся во внешнем направлении позади ударного фронта. В области между 50 и 85 р.з. сосредоточено 6% полной энергии. В области между 85 и 100 р.з. содержится 21% полной энергии, и это количество энергии делится примерно поровну между кинетической и внутренней энергиями. Когда ударная волна находится на расстоянии 25 р.з. или меньше (рис. И,а), кинетическая энергия распределяется более ровно.
о го to во so too
R/Ro
Рис. 11. Распределение энергии в воде в моменты времени, соответствующие положениям ударного фронта на расстояниях 10 и 100 р. з.
По оси ординат: процент энергии, накопленной до R/Ra. Заштрихованные области отвечают недиссипированной внутренней энергии в воде. 1 — полная энергия; 2—диссипированная энергия; 3— внутренняя энергия пузыря; 4—кинетическая энергия.
150
Г. М. СТЕРНБЕРГ, В. А. УОЛКЕР
Большая часть интерпретаций экспериментальных результатов при подводной детонации (см., например, Коул [3]) зависит от разделения полной энергии, перешедшей в ударноволновую энергию и энергию пузыря. Ударноволновая энергия, являющаяся функцией положения ударного фронта (R/Rq)s, определяется как энергия, которая будет перенесена вовне на расстояние, большее (R/Ro)Si и останется в виде диссипированной энергии. Энергия пузыря берется как сумма энергии, оставшейся в газе, и энергии спутного течения, т. е. кинетической энергии воды, движущейся во внешнем направлении позади ударного фронта. Различие между энергией ударной волны и энергией пузыря утрачивает свой смысл, если интересоваться эффектами, произведенными падением ударного фронта на объекты, расположенные вблизи заряда, скажем на расстояниях от центра, меньших 25 р.з. Здесь приращение давления, следующее за отражением ударной волны, и его длительность зависят до некоторой степени от превращения кинетической энергии спутного течения во внутреннюю энергию. В этих случаях очень важно было бы провести сравнение взрывчатых веществ для подводного применения на основе выделения полной энергии и распределения энергии, рассмотренного на рис. 11.
Список литературы
1.	Walker W. A., Sternberg Н. М., in «Proceedings of the Fourth Symposium (International) on Detonation», U. S. Government Print. Office, Washington, 1965, p. 27.
2.	Wilkins M. L., Squier B., Halperin B., in «Tenth Symposium (International) on Combustion», Combust. Inst., Pittsburgh, 1964, p. 769.
3.	Коул P., Подводные взрывы, ИЛ, M., 1950.
4.	Penney W. G., in «Underwater Explosion Research», vol. 1. Office of Naval Research, Dept, of the Navy, Washington, 1950, p. 273.
5.	Penney W. G., Dasgupta H. K-, in «Underwater Explosion Research», vol. 1, Office of Naval Research, Dept, of the Navy, Washington, 1950, p. 289.
6.	Arons A. B., Yennie D. R., Rev. Mod. Phys., 20, 519 (1948).
7.	Kirkwood J. G., Bethe H. A., John Gamble Kirkwood Collected Works, Shock and Detonation Waves, ed. by W. W. Wood, Gordon and Breach, New York, 1967, p. 1.
8.	Brinkley S. R., Kirkwood J. G., Phys. Rev., 71, 606 (1947).
РАСЧЕТ ТЕЧЕНИЯ И РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ЭНЕРГИИ
151
9.	Snay Н. G., in «Naval Hydrodynamics», Nat. Acad. Sci., Nat. Research Council, Publ. 515, 1957. ch. XIII.
10.	Berger S. A., Holt M., in «Proceedings of the Sixth Midwestern Conference on Fluid Mechanics», Univ, of Texas Press, Austin» Texas, 1959, p. 118.
11.	Berger S. A., Holt M., Phys. Fluids, 5, 426 (1962).
12.	Haywood J. H., in «Proceedings of the Eleventh International Congress of Applied Mechanics», ed. by H. Gortler, Springer-Ver-lag, Berlin, 1966, p. 993.
13.	Кочина H. H., Мельникова H. С., в сб. «Неустановившиеся движения сжимаемых сред с взрывными волнами», Тр. Матем. ин-та им. В. А. Стеклова, т. 87. 1966, стр. 35.
14.	Richardson J. М., Arons А. В., Halverson R. R., J. Chem. Phys., 15, 785 (1947).
15.	Кузнецов Н. М., Ж. прикл. механ. и техн, физ., № 1, 112 (1961).
16.	Taylor G. I., Proc. Roy. Soc. (London), A200, 235 (1950).
17.	Wecken F., Mem. 14 m. Lab. Researches Tech. Saint Louis, 1951.
18.	Berry F. J., Holt M., Proc. Roy. Soc. (London), A224, 236 (1954).
19.	Courant R., Friedrichs K. 0., Lewy H., Math. Ann., 100, 32 (1928).
20.	Walker W. А. (в печати).
21.	Рихтмайер P. Д., Разностные методы решения краевых задач, ИЛ, М„ 1960.
22.	Guderley G., Luftfahrtforschung, 19. 302 (1942).
23.	Coleburn N. L., Roslund L. A., in «Proceedings of the Fifth Symposium (International) on Detonation», U. S. Government Printing Office, Washington (в печати).
24.	Rice M. H., Walsh J. M., J. Chem. Phys., 256, 824 (1957).
25.	Hantel L. W., Davis W. C., in «Proceedings of the Fifth Symposium (International) on Detonation», U. S. Government Printing Office, Washington (в печати).
26.	Kell G. S., Whalley E., Philos. Trans. Roy. Soc. (London), 258, 565 (1965).
27.	Keenan J. H., Keyes F. G., Hill P. G., Moore J. G., Steam tables, Wiley, New York, 1969, table II, p. 12,
УДАРНЫЕ ВОЛНЫ В ВОДЕ С ПУЗЫРЬКАМИ
ВОЗДУХА ')
Б. Р. Паркин, Ф. Р. Гилмор, Г. Л. Б роуд
В данной работе проводятся вычисления распространения ударной волны в воздушно-водяных смесях. Вначале обсуждаются предположения, лежащие в основе теории. Приводятся уравнения и результаты для ударных волн с максимальными давлениями вплоть до 104 фунт/дюйм2 в смесях с различным относительным содержанием воздуха. Даны алгебраические и численные результаты для прямых и косых скачков уплотнения до и после отражения от поверхности раздела жидкость — твердое тело или при прохождении через экран из пузырьков при различных параметрах перед ударной волной.
Более трудная задача пропускания ударных волн через экран или их отражения при нестационарных нагрузках, производимых ядерным взрывом в воздухе, решается для нескольких случаев путем численного расчета гидродинамических параметров на IBM-7090.
I.	ВВЕДЕНИЕ
По крайней мере уже в течение восьми лет в научной литературе периодически рассматриваются вопросы распространения звуковых или ударных волн в жидкости, содержащей пузырьки воздуха. Недавно Кэмпбелл и Питчер [1—3] в Исследовательской лаборатории морского флота развили теорию распространения ударных волн в воздушно-водяной смеси и проверили ее экспериментально для случая волн с малым перепадом давлений (до 12 фунт/дюйм2).
В данном отчете мы развиваем теоретическое исследование Кэмпбелла для получения соотношений, применимых к более сильным ударным волнам. С их помощью получены численные результаты для различных случаев. Кроме того, проводится обсуждение точности
f) Parkin В. R., Gilmore F. R., Brode Н. L., Shock waves in bubbly water, Memorandum RM-2795-PR (Abridged), Oct. 1961.
УДАРНЫЕ ВОЛНЫ В ВОДЕ С ПУЗЫРЬКАМИ ВОЗДУХА
153
предположений, положенных в основу теории. В частности, рассматривается, как влияет на распространение ударных волн отказ от предположения о тепловом равновесии между пузырьками воздуха и водой, а в некоторых случаях при распространении сильных волн в смесях учитывается возможность растворения пузырьков.
II.	ОБЗОР ПРЕДЫДУЩИХ ИССЛЕДОВАНИЙ
Поскольку в качестве отправной точки нашего исследования взяты результаты Кэмпбелла и Питчера, то полноты ради мы должны вначале подвести итог их результатов. Одной из основных целей их исследования было определение условий, при которых гетерогенная смесь воздуха и воды могла бы рассматриваться как однородная сплошная среда при определении ее макроскопического механического поведения. В физической модели Кэмпбелла для акустических волн предполагалось, что воздух в такой смеси ведет себя изотермически, а вода рассматривалась как несжимаемая жидкость. Теоретически он установил, что скорость звука в смеси близка к скорости звука в изотермической сплошной среде, если расстояние между центрами пузырьков меньше десятой доли длины волны и если радиусы пузырьков меньше 0,004 дюйма, за исключением тех случаев, когда частота звука менее 100 Гц.
При изучении ударных волн Кэмпбелл и Питчер рассматривали смесь как сплошную среду, описанную выше, которая отличается лишь тем, что уравнение состояния допускает возможность изменения температуры смеси. При этом предполагалось, что пузырьки воздуха и вода всегда имеют одинаковую температуру. Распространение ударных волн исследовалось посредством обычного анализа, основанного на уравнениях неразрывности, количества движения и энергии. Было найдено, что изменениями температуры на ударной волне можно пренебречь для рассматриваемого диапазона давлений. Они доказали также из рассмотрения энтропии, что волна разрежения не может распространяться без изменения формы, а волна сжатия становится все
154
Б. Р. ПАРКИН, Ф. Р. ГИЛМОР, Г. Л. БРОУД
круче и переходит в ударную волну. Выводы теории сравниваются с экспериментами в малой ударной трубе, наполненной воздушно-водяной смесью. Эксперименты довольно хорошо подтверждают теорию для ударных волн с перепадом давлений до 12 фунт/дюйм2.
При построении теорий, подобных теории, предложенной Кэмпбеллом и Питчером, диссипация энергии предполагается лишь в окрестности фронтов ударных волн. Диссипативные эффекты, подобные известным из исследования распространения акустических волн в жидкости, содержащей пузырьки воздуха [4], не рассматриваются. В данной работе также принимается это предположение. Для интересующих нас случаев, включающих сильные ударные волны, диссипация на фронте ударной волны намного превышает диссипацию в других областях потока.
III.	РАЗЛИЧНЫЕ ПРИБЛИЖЕННЫЕ МОДЕЛИ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ВОЗДУШНО-ВОДЯНЫХ СМЕСЕЙ КАК ПРОСТЫХ ЖИДКОСТЕЙ
А. Предварительные обсуждения
При анализе течений воздушно-водяных смесей было бы очень удобно рассматривать такую смесь как простую жидкость с подходящими термическим и калорическим уравнениями состояния и не рассматривать эффекты «релаксации» колебания пузырьков воздуха, теплообмен между пузырьками и водой и т. д. Такое упрощение ввели предыдущие исследователи, пренебрегая изменениями температуры и давления между пузырьками воздуха и водой и тенденцией воздуха растворяться в воде. Однако, поскольку нас интересует более широкий диапазон условий, чем диапазон предыдущих исследований, их оправдание такого рода предположений здесь оказывается недостаточным, и задача должна рассматриваться заново.
В действительности изменения давления в потоке могут быть настолько быстрыми, что температуры и давления воздуха и воды не успевают достичь равновесия, или в других случаях — настолько медленными, что воз
УДАРНЫЕ ВОЛНЫ В ВОДЕ С ПУЗЫРЬКАМИ ВОЗДУХА
155
дух может растворяться в воде. Кроме того, если пузырьки имеют достаточно малый размер, то давление воздуха может значительно превышать давление воды из-за поверхностного натяжения. Если же воздушные пузырьки первоначально относительно большие, то они могут разбиваться на более мелкие при внезапном сильном сжатии; это явление наблюдалось экспериментально [5]. В последующих разделах мы оценим порядки величин этих сложных эффектов, чтобы установить, в каких случаях ими можно пренебречь. Кроме предположения о тепловом равновесии и о том, что воздух не растворяется в жидкости, введем другие приближенные модели, которые при некоторых обстоятельствах должны более точно описывать истинное явление.
Б. Поверхностное натяжение
На поверхности раздела газ — жидкость давление изменяется на величину 2о//? вследствие поверхностного натяжения. Здесь — средний радиус кривизны поверхности раздела, а о — коэффициент поверхностного натяжения воды, равный 4-Ю"4 фунт/дюйм при комнатной температуре (уменьшающийся при увеличении температуры). Таким образом, для пузырьков радиусом больше чем 10-3 дюйма это изменение давления составляет менее нескольких процентов атмосферного давления. Если пузырек воздуха сжимается, его радиус уменьшается и, следовательно, величина 2о/7? увеличивается, но не настолько быстро, как внутреннее давление, которое растет как I//?3, если воздух подчиняется изотермическому уравнению состояния, и быстрее, если воздух нагревается. Следовательно, если силы поверхностного натяжения первоначально пренебрежимо малы, то они остаются малыми и при сжатии при условии, что пузырек воздуха не распадается на гораздо более мелкие пузырьки.
В. Динамические характеристики пузырьков воздуха
Если в воздушно-водяной смеси давление внезапно меняется, то размер пузырьков не может мгновенно подстроиться под новое давление и имеется некоторое
156
Б. Р. ПАРКИН, Ф. Р. ГИЛМОР, Г. Л. БРОУД
время запаздывания вследствие инерции воды. Это время запаздывания можно оценить, рассматривая в невязкой несжимаемой воде, первоначально находящейся в равновесии при давлении рь сферический пузырек воздуха радиусом к которому в момент t = 0 внезапно прикладывается большое давление р2- Тогда известно [6], что радиус пузырька R(t) должен описываться уравнением
+ (1)
где точками обозначены производные по времени, pw — плотность воды, у — отношение удельных теплоемкостей для воздуха при адиабатическом сжатии. (Для изотермического сжатия полагаем у — 1.) Для простоты аналитических расчетов положим у = 4/3, что не влияет на вычисление порядков величин. Соответствующие граничные условия записываются в виде
^(0) = ^	(2)
и
Я(0)=0.	(3)
Если ввести обозначения
(4)
т =	(5)
и положить у — 4/3 в уравнении (1), то мы можем выписать первый интеграл уравнения (1):
Tr3(w)2 = 7L(1 -7) + тС-г3).	(6)
Этот интеграл удовлетворяет уравнению (3). Окончательно время достижения первого минимума радиуса пузырька можно записать через полный эллиптический интеграл
<7)
где b — действительный корень кубического уравнения г + г2 + г —	= 0,	(8)
УДАРНЫЕ ВОЛНЫ В ВОДЕ С ПУЗЫРЬКАМИ ВОЗДУХА
157
аси с — два комплексных корня. Видно, что как интервал интегрирования, так и подинтегральное выражение зависят от величины Ь, которая в свою очередь зависит от р\/р2- Когда эти два эффекта имеют место, они стремятся компенсировать друг друга, так что, когда pi = = 14,7 фунт/дюйм2, а рг меняется в пределах от 30 до 104 фунт/дюйм2, время схлопывания пузырьков заключено в пределах тс = 1 ±0,1. В дальнейшем будем пользоваться средним значением тс = 1,0. Возвращаясь к уравнению (5), можем теперь записать время схлопывания в виде
tc - Я, VW2.	(9)
Графики этой зависимости приведены на рис. 1. Видно, что времена схлопывания обычно составляют менее 2 мс для пузырьков радиусом менее 1 дюйма.
Времена, показанные здесь, соответствуют времени, при котором достигается первый минимальный радиус. В действительности при схлопывании радиус пузырька скачком переходит к радиусу, меньшему радиуса, соответствующего равенству внешнего и внутреннего давлений, и затем колеблется около этого равновесного радиуса. Наличие колебаний означает, что времена схлопывания, приведенные выше, занижают оценку времени, которое требуется для достижения равновесного размера пузырьков. С другой стороны, наблюдения схлопывания и восстановления пузырьков кавитации, содержащих воздух, свидетельствуют о быстро затухающем процессе восстановления пузырьков [5, 7]. Поэтому можно с уверенностью считать, что вычисленные выше времена схлопывания оценивают величину порядка времени, за которое статическое давление воздуха и давление воды достигают равновесия после внезапного схлопывания жидкости.
Теория показывает [8, 9], что сферическая форма воздушных пузырьков является неустойчивой на поздней стадии схлопывания и на ранней стадии восстановления (если пузырьки воздуха не настолько малы, что поверхностное натяжение стабилизирует их форму). Экспериментальные фотографии [5, 7] подтверждают, что схлопывающиеся пузырьки действительно принимают
			
		
	f90°/o		
	1		bolt,	
— . - - .		...—— 	fC .
.—			*10%	
— 		*90%^		*c
		*10%		
		
	*ГО%	
		
to	IO2	IO3	Ю4
Рис. 1. Характерные времена схлопывания и охлаждения для пузырьков различных размеров.
По оси абсцисс: давление после сжатия р2, фунт/дюйм2; по оси ординат: характерные времена, с.
Начальные условия:----Я^Цюйм;---------Ri=0,l дюйм;------#1==o,Ol дюйм;
----^1=0,001 дюйм, pi — 14,7 фунт/дюйм2, 7\ = 21° С.
УДАРНЫЕ ВОЛНЫ В ВОДЕ С ПУЗЫРЬКАМИ ВОЗДУХА
159
нерегулярную форму, в особенности при наличии асимметричных сил, таких, как сила тяжести. К сожалению, имеющиеся в наличии экспериментальные фотографии не обладают достаточной разрешающей способностью, чтобы определить поведение сильно схлопывающихся пузырьков в окрестности минимума. При восстановлении, когда пузырьки снова становятся видимыми, они часто имеют вид облака, как будто бы каждый пузырек был разбит на облако мелких пузырьков. Таким образом, при любом рассмотрении динамического поведения воздушно-водяных смесей следует учитывать возможность того, что быстрое сжатие значительно уменьшает размеры распыленных воздушных пузырьков. К сожалению, существующие теории и эксперимент не обеспечивают достаточного критерия для определения момента распада пузырьков. Как указывает Питчер1), эксперименты A. R. Е., в которых достигались более значительные перепады давления, чем в работе [3], не дают никаких эффектов, которые могли бы отождествляться с распадом пузырьков. Однако не ясно, что вероятные эффекты, такие, как увеличение скорости растворения пузырьков под давлением, будут наблюдаться в экспериментальных установках A. R. Е., даже если имеет место распад пузырьков.
Г. Теплопроводность
При сжатии или расширении воздушно-водяной смеси изменения температуры в воде обычно очень малы (для давлений до 104 фунт/дюйм2) вследствие малой сжимаемости и большой удельной теплоемкости воды, но изменения температуры в пузырьках воздуха могут быть значительными. Поток тепла между воздухом и водой, таким образом, становится важным явлением, которое мы рассмотрим приближенно.
В действительности во всех практических ситуациях масса воздуха, а следовательно, и его теплоемкость малы по сравнению с массой и теплоемкостью воды.
*) В частной беседе в Морской исследовательской лаборатории в сентябре 1960 г.
160
Б. Р. ПАРКИН, Ф. Р. ГИЛМОР, Г. Л. БРОУД
Вследствие этого при рассмотрении теплового потока изменениями температуры во всем объеме воды можно пренебречь. Кроме того, можно показать, что изменения температуры в воде в окрестности пузырька являются достаточно малыми по сравнению с изменениями температуры внутри пузырька. Чтобы показать это, предположим, что \q — величина потока тепла от газа к воде за время Д/. Тепловой поток через поверхность раздела можно записать в виде
I Д/ I I w t\rw |	|Xa bra | ’
(10)
где индексы w и а относятся к соответствующим величинам в воде и воздухе, ах — коэффициент удельной теплопроводности, ДГ — изменение температуры, Дг — расстояние от поверхности раздела. Но Дг связано с А/ через коэффициент термодиффузии D следующим образом:	____
\rw~ VDw\t	(11)
И	____
\ra^VDa\t.	(12)
Так как D = и/рс, где р — плотность фазы, а с — ее удельная теплоемкость, то из (10) — (12) находим
I &TW I ~ V караСа ‘
Поскольку xw/xa ~ 10, a cw!ca ~ 4, то это отношение температур имеет порядок 6j/pw/pfl. При нормальных температуре и давлении pw/pa ~ 800, а при изотермическом сжатии до 104 фунт/дюйм2 отношение pw/pa ~ 2 (с учетом отклонений от закона совершенного газа). При сжатии воздушно-водяной смеси температура воздуха вначале повышается, и даже после отвода большей части тепла в воду вследствие теплопроводности она будет более высокой, чем первоначальная, так что pw/pa > 2. Из соотношения (13) следует, что | Д7\/Д7\. | >> 10, и изменениями температуры в воде можно пренебрегать вплоть до давления 104 фунт/дюйм2.
Чтобы оценить время, требующееся для установления теплового равновесия, рассмотрим идеализирован-
УДАРНЫЕ ВОЛНЫ В ВОДЕ С ПУЗЫРЬКАМИ ВОЗДУХА
161
ный случай, когда сферические пузырьки воздуха фиксированного радиуса и постоянной начальной температуры Т2 (после сжатия) окружены водой с температурой Т\. Если пренебречь изменениями коэффициента термодиффузии Da в воздухе, средняя температура в пузырьке в момент времени t будет выражаться в виде [10]
Т = ?! + 6(Ггя7 'Г1) 2	е~°а*(ппт\ (14)
п—\
Относительное изменение средней температуры воздуха по сравнению с изменением от начального значения Т2 до предельного Т\ равно
,|5>
п—\
В дальнейшем будем предполагать, что охлаждением пузырька можно пренебречь, если относительное охлаждение составляет менее 10%, а если охлаждение составляет более 90%, то можно пренебречь разницей температур пузырьков воздуха и окружающей воды. Соответствующие времена можно найти путем численного решения уравнения (15)
Ло% « 0,0009/?2/£>а,	(16)
*9о% «0,18Ш>а	(17)
при температуре 21 °C, давлении 14,7 фунт/дюйм2, при £)а = 2,2-10~4 фут2/с. При сжатии величина £>а=ха/раса изменяется, так как меняется плотность ра, а величина Ualca зависит от температуры приближенно как Г0,8. Следовательно, для пузырьков радиусом при нормальной плотности вышеприведенные равенства запишутся в виде
6о% «4(7??/7?)(7'1/П°'8,	(18)
800(/??//?) (Л/Г)0’8,	(19)
где t в секундах, R в футах, Т\ = 21 °C. Если пузырьки в начальный момент характеризуются температурой
6 Зак, 741
162
Б. Р. ПАРКИН, Ф. Р. ГИЛМОР, Г. Л. БРОУД
7'1 = 21 °C и давлением pi = 14,7 фунт/дюйм2, а затем сжимаются адиабатически до давления рг (при у — 4/з) > то R/Rt = (pjpi)-'1' и Т!7\ = (р21р1)'1', так что из уравнения (18) получаем
(2°)
Если охлаждение происходит при постоянном давлении р2, то температура пузырька Т стремится к темпе* ратуре Гь а радиус R — к его изотермическому значению (Р2/Р1)-/3‘ Поскольку при 90%-ном охлаждении основное время протекает тогда, когда пузырьки почти холодные, то уравнение (19) дает
<21)
Времена охлаждения на 10 и 90% приведены на рис. 1 наряду с временами схлопывания, вычисленными ранее. Видно, что пузырьки, имеющие в начальный момент радиус менее 0,01 дюйма, охлаждаются почти до температуры воды через несколько миллисекунд или быстрее. Несомненно, что времена схлопывания для таких пузырьков имеют тот же порядок по величине, так что в точной теории при исследовании поведения пузырьков следует рассматривать как динамику, так и тепловые потоки, но это не изменяет вывода о том, что времена установления динамического и теплового равно* весия имеют порядок нескольких миллисекунд. Для бо* лее крупных пузырьков времена охлаждения больше, а для пузырьков, радиус которых в начальный момент имеет порядок 1 дюйма или больше, во многих случаях достаточным является адиабатическое приближение (при условии что при схлопывании пузырьки не распадаются на более мелкие).
Измерения Кэмпбелла и Питчера [3] по ударным вол* нам малой амплитуды в воде с пузырьками воздуха р.а* диусом порядка 0,005 дюйма показали, что давления достигают своих изотермических значений при временах, меньших времени разрешающей способности аппаратуры, которое составляет около 2 мс. Это не противоречит величине /90% = 0,2 мс, данной на рис. L
УДАРНЫЕ ВОЛНЫ В ВОДЕ С ПУЗЫРЬКАМИ ВОЗДУХА 163
Д. Растворение пузырьков воздуха в воде
Даже когда воздушно-водяная смесь первоначально насыщена воздухом, при увеличении давления растворимость воздуха в воде увеличивается. Задача о растворении сферических пузырьков в полностью ненасыщенной воде при температуре 21 °C и постоянном давлении была решена Эпштейном и Плессетом [11]; их результаты можно записать в виде
^=1,5- 108/?2,	(22)
где td — время в секундах, требуемое для того, чтобы пузырек полностью растворился, a R — радиус в футах до начала растворения. Ниже будет показано, что время td намного больше, чем времена схлопывания и охлаждения, что оправдывает предположение о постоянстве температуры и давления, принимаемое в данной работе (а также позволяет не учитывать растворимость воздуха при рассмотрении схлопывания и охлаждения пузырьков). Для пузырьков, имеющих в начальный момент радиус и давление pi, при сжатии до давления р2 уравнение (22) дает
td= 1,5 •	(23)
Если вода в начальный момент насыщена воздухом при давлении р\, то уравнение (23) справедливо только при условии Р2/Р1	1- При Р2/Р1 = 2 вода после сжатия ста-
новится полунасыщенной, а время td увеличивается в два раза [11] по сравнению с величиной, определяемой по уравнению (23).
Из формул (21) и (23) получаем соотношение t.	1
7^-= 2- ЮЧ/ШГ1,	(24)
*90%
из которого видно, что времена растворения много больше времен охлаждения для всех случаев, представляющих интерес. Для пузырьков радиусом больше 10~3 дюйма при давлениях меньше 104 фунт/дюйм2 время растворения, вычисляемое по выражению (23), обычно составляет больше 10~2 с. Для пузырьков больших размеров и
164
Б. Р. ПАРКИН, Ф. Р. ГИЛМОР, Г. Л. БРОУД
более низких давлений время растворения увеличивается, так что количество растворяемого воздуха будет пренебрежимо малым во всех практически интересных случаях, если в рассматриваемом потоке пузырьки воздуха не распадаются на более мелкие.
Е. Уравнения состояния для воздушно-водяных смесей
Приведенные выше рассмотрения различных «релаксационных» процессов, которые могут иметь место в воздушно-водяных смесях, позволяют определить, когда такие процессы можно не учитывать и характеризовать смесь простым уравнением состояния. Во-первых, очевидно, что аппроксимация уравнения состояния справедлива только на масштабах времени, больших по сравнению со временем колебания пузырька (или схлопывания). Эти времена включают большое число практически интересных случаев. Во-вторых, релаксацией температуры можно пренебрегать в двух предельных случаях: очень быстрой релаксации (теория теплового равновесия) и очень медленной релаксации (теория изолированных пузырьков). В случае когда релаксация температуры является медленной, процесс растворения воздуха замедляется, так что пренебрежение этим процессом является оправданным. При быстрой тепловой релаксации процесс растворения воздуха может быть либо быстрым, либо медленным. В целом мы имеем три следующих случая:
1)	тепловое равновесие без растворения воздуха;
2)	изолированные пузырьки (растворения не проис* ходит);
3)	тепловое равновесие и равновесие процесса растворения.
Соответствующие соотношения для первых двух случаев будут даны ниже. Мы не будем рассматривать третий случай в общем виде, а ограничимся рассмотрением (в большинстве имеющих практическое значение) тех случаев, в которых процесс растворения воздуха является быстрым только тогда, когда пузырьки разбиваются интенсивными ударными волнами с давлением, достаточно высоким, чтобы растворить пузырьки. По
УДАРНЫЕ ВОЛНЫ В ВОДЕ С ПУЗЫРЬКАМИ ВОЗДУХА
165
скольку в обычных воздушно-водяных смесях отношение масс воздуха и воды мало, то после растворения воздуха смесь будет вести себя приближенно, как чистая вода.
Во всех случаях уравнение состояния смеси будет основываться на предположении, что воздух внутри пузырьков подчиняется закону совершенного газа
где р — давление (одинаковое для воздуха и воды); Ра, Та, т — плотность, температура и молекулярный вес воздуха соответственно; В — универсальная газовая постоянная. Плотность воды pw связана с давлением соотношением
Pw = Р* (1 + р/&),	(26)
где k — модуль объемного сжатия, а р* — плотность воды при нулевом давлении (которая незначительно отличается от плотности при давлении в 1 атм). При температуре 21 °C, которая принималась в численных расчетах в данной работе, имеем
р* = 62,4 фунт/фут3, и
k = 3 • 105 фунт/дюйм2
при низких давлениях. Хотя k увеличивается при увеличении давления, ошибка в вычислении pw вследствие предположения о постоянстве k в соотношении (26) составляет только 10% при давлении 104 фунт/дюйм2, в то время как ошибка, вносимая в соотношение на ударной волне, обычно намного меньше, поскольку основное изменение плотности происходит за счет сжатия пузырьков.
Пусть теперь р есть отношение массы воздуха к массе воды в смеси. Приравнивая полный объем массы смеси 1 + р к объему воздуха плюс объем воды, получаем
1 4" Ц	_ Р	I 1	__ В	।______J
Р	~ Ра Рш	~ Ра Р* (1 + р!Ь)	’
166
Б. Р. ПАРКИН, Ф. Р. ГИЛМОР, Г. Л. БРОУД
где р — плотность смеси. Исключая ра из уравнений (25) и (27), получаем уравнение состояния для смеси
Р Г 1 + ц______1	1 _ В
Та L цр цр*(1 J т •
Для теории теплового равновесия (при отсутствии процесса растворения) и теории изолированных пузырьков уравнение (28) описывает термодинамическое состояние смеси в каждый момент времени. Если смесь, подчиняющаяся теории растворимых пузырьков, внезапно сжимается, то уравнение (28) справедливо только до сжатия. После сжатия термодинамическое состояние описывается уравнением (26).
Для вывода калорического уравнения состояния в рассматриваемом приближении можно предположить, что удельные теплоемкости воздуха и воды не зависят от температуры. В теории теплового равновесия изменение внутренней энергии на единицу массы смеси выражается формулой
ДЕ = С,+/Ср дг~ —ДГ,	(29)
1 + ц 1 + ц ’	V '
где с — удельная теплоемкость воды (с= 1), cv — удельная теплоемкость воздуха при постоянном объеме, а ДГ — изменение температуры смеси (одинаковое для обеих фаз). В практических случаях масса воздуха обычно намного меньше массы воды, так что в рассмотрение нужно включать только изменение энергии воды. Для теории изолированных пузырьков можно записать
*Е=т^та + т&’	(30)
где &EW—изменение энергии воды, рассчитанное на единицу массы; AEW можно заменить величиной cATWi но в любом случае мы имеем дополнительную термодинамическую переменную (Ew или Tw) для смеси по сравнению с обычной жидкостью. Для решения задач о течении жидкости должны быть получены дополнительные соотношения, содержащие термодинамические параметры. Для невязких адиабатических течений изменения энергии воды обусловлены работой обратимого
УДАРНЫЕ ВОЛНЫ В ВОДЕ С ПУЗЫРЬКАМИ ВОЗДУХА 167
сжатия
р2
=== J ( 1/Ро>) ===
Pl
= k Г1 п 1 + Pdk 4- —!________1	1 —
р* L1 1 + Pt/k "г 1 + P2/k 1 + h/k J ”
__ Р2 Pl	2 р2 Pl . 3 P2 p\	4 P2 “ Pl .	/q , ч — 2p*&	3 p*62	‘4 p*63	5 p^4 “+••••
Для течений с диссипацией, таких, как течение с ударными волнами и течение в пограничном слое, необходимо найти способ разумного разделения диссипируемой энергии между фазами воздуха и воды. Поскольку вплоть до давлений 104 фунт/дюйм2 ударные волны являются довольно «слабыми» и недиссипирующими в воде, в то время как диссипация, необходимая для сохранения ударного профиля, по-видимому, имеет место в волнах сжатия, которые отражаются назад и вперед внутри индивидуальных пузырьков, то для таких ударных волн разумно использовать уравнение (31). (Течение в пограничном слое не будет рассматриваться в данном отчете.) Такая аппроксимация справедлива только в том случае, когда содержание воздуха в жидкости не очень мало. Если допустить, что р->0 при Гд-^оо, то в любом бесконечно малом объеме воздуха количество диссипируемой энергии будет конечным. Так как известно, что диссипируемая энергия является величиной третьего порядка малости по отношению к разности давления в ударной волне, то не удивительно, что величина ДТа может быть вычислена с большой погрешностью, если только в разложении (31) не учитывать несколько членов ряда; этот факт был случайно обнаружен при проведении излагаемых здесь численных расчетов.
Вывод уравнений (28) — (30) основан на законе идеального газа и предположении о постоянстве удельной теплоемкости воздуха в пузырьках. Эти предположения, строго говоря, несправедливы при высоких давлениях, рассматриваемых здесь. Однако основным физическим свойством смеси, которое определяет свойства потока, является изменение объема при сжатии. При
168
Б. Р. ПАРКИН, Ф. Р. ГИЛМОР, Г. Л. БРОУД
очень высоких давлениях остаточный объем сжатых пузырьков настолько мал, что даже значительная ошибка при вычислении этого объема оказывает малое влияние на рассчитанные свойства потока.
В теории, учитывающей растворение пузырьков, только начальная плотность (до сжатия) зависит от температуры. После сжатия плотность смеси равняется плотности воды без пузырьков воздуха, определяемой по формуле (26). Хотя энергетический баланс может быть выписан и в этом случае, течение определяется без этого соотношения.
IV. РАСПРОСТРАНЕНИЕ ЗВУКОВЫХ И УДАРНЫХ ВОЛН В ВОЗДУШНО-ВОДЯНЫХ СМЕСЯХ
А. Скорость звука
Скорость звука в жидкости определяется формулой С2 = dpfdp. Для воздушно-водяной смеси при тепловом равновесии Та = TWi а в случае, когда отношение масс воздуха и воды мало, температура постоянна. Дифференцируя уравнение (28) и исключая Та при помощи уравнения (25), получаем
C2 = _L [j _	.	(32)
Приравнивая производную по р от выражения (32) нулю (чтобы определить относительное содержание воздуха, при котором скорость звука будет минимальной), с очень хорошей степенью точности находим, что для любого р из рассматриваемого диапазона значений величина С будет минимальной, если р = ра/р*. Это условие выполняется, если половина объема смеси занята воздухом. При давлении 14,7 фунт/дюйм2 и температуре 21 °C отношение р = 1,26-10"3. Величины р, превышающие это значение, не будут рассматриваться в данной работе. Изменения скорости звука в зависимости от давления для трех различных значений р приведены на рис. 2. Линия р = 0 («нет воздуха») соответствует скорости звука в чистой воде при температуре 21 °C, т. е.
С* «	4720 фут/с.	(33)
УДАРНЫЕ ВОЛНЫ В ВОДЕ С ПУЗЫРЬКАМИ ВОЗДУХА 169
Если мы хотим вместо предположения об изотермич-ности использовать соответствующее другому предельному случаю предположение о тепловой изоляции пу-
Р и с. 2. Изотермическая скорость звука в воздушно-водяной смеси при температуре 21 °C; ц — отношение массы воздуха к массе воды. По оси абсцисс: абсолютное давление, фунт/дюйм2; по оси ординат: изотермическая скорость звука, фут/с.
зырьков, то необходимо использовать адиабатическое соотношение
dTa _у — 1 dp
~Т7~~	Р~'
(34)
где у — отношение удельных теплоемкостей для воздуха. Дифференцирование уравнения (28) дает
_ \Р Г, Р 1	(1 _ YP/fe \1 1
Р L (1 + р)р’ 1 + p/k V 1 + p/k Л
(35)
170
Б. Р. ПАРКИН, Ф. Р. ГИЛМОР, Г. Л. БРОУД
Б. Ударные волны
Выведем соотношения на прямой ударной волне в рассматриваемой среде посредством обычного анализа, при котором ударная волна связывается с системой координат, а поток жидкости втекает в нее. Пусть индекс 1
Рис. 3. Скачок температуры за прямой ударной волной в воздушно-водяной смеси, вычисленный по теории теплового равновесия между пузырьками воздуха и водой.
По оси абсцисс: давление за ударной волной р2» фунт/дюйм2; по оси ординат; скачок температуры за ударной волной ДТ, °F.
относится к величинам в потоке перед ударной волной; так, Ui, pi, pi и Л обозначают скорость частицы, статическое давление, плотность и температуру в смеси до прохождения ее через скачок. Индекс 2 относится к значениям этих величин за ударной волной. В выбранной системе координат запишем уравнение неразрывности
Pl^I = Р2^2	(36)
и уравнение количества движения
Pj + prf^Pz + p^l-	(37)
УДАРНЫЕ ВОЛНЫ В ВОДЕ С ПУЗЫРЬКАМИ ВОЗДУХА 171
Уравнение состояния (28) (или уравнения (26) и (28) для растворяющихся пузырьков) можно также записать для состояний 1 и 2. Таким образом, уравнение энергии запишется в двух видах, соответствующих теории теплового равновесия (уравнение (29)) и теории изолированных пузырьков (уравнение (30)), а именно
^- + -^ = ^-+±14-{ 1 + ц ’ Pi 2 pg 2 I ЦСр
( 1+ц а< (1 + ц) ’
(38)
где ДТ = Т2—7\, a \EW дается формулой (31). Для теории растворяющихся пузырьков уравнение энергии не требуется.
Комбинируя уравнения (28), (36) — (38) для случая теории теплового равновесия, находим скачок температуры смеси
В г2 - 1
пг 2г	Г. . р\Р2 т_________J_______1 /оп\
г +1 цВ L1 ' BFi (1 + р1//г)(1 + p2M)J ’
с^~ъг —
где г = p2/pi — отношение давлений1). Значения Д7’, вычисленные по этому уравнению, показаны на рис. 3 для трех значений р. Очевидно, что относительное изменение температуры ДТIT'4 составляет только 6% в рассматриваемом предельном случае.
Для случая изолированных пузырьков
В г2 - 1
\Та _ m 2г	, Р1р2 /и [	1	, ।
П “	. г+1 В V±Wk'B7\l(i + pllk)(l + p2lk)
v + 2r m
, 2г (2 pl — pl 3 Р2 — р\ । 4 pg р\ \ 1
k 4 k2 Ч F ’ /JJ* 1 '
Численные результаты для этого уравнения показаны на рис. 4. Участок кривой при более высокой температуре, где предположение о постоянстве cv вносит ошибку более 10%, показан пунктирной линией.
4) Это обозначение не следует путать с предыдущим г ~ R/Rl.
172
Б. Р. ПАРКИН, Ф. Р. ГИЛМОР, Г. Л. БРОУД
фунт/дюйм2
Р и с. 4. Скачок температуры в пузырьке воздуха за прямой ударной волной по теории изолированных пузырьков.
Обозначения см. под рис. 3; начальные условия: pt = 14,7 фут/дюйм2, 7\=21 °C и далее до рис. 31.
В случае теплового равновесия пузырьков и воды скорость щ движения ударной волны в неподвижной воздушно-водяной смеси дается выражением
_ _________________________Ps/Pl_______________________
1_______Pl_________________Г,________Pl_____1 1	'
(1 + Юр’(1+Р1/Ш1+Рг/*) L (1+!*)P*(1+P1M)J г-1 Г1
41)
УДАРНЫЕ ВОЛНЫ В ВОДЕ С ПУЗЫРЬКАМИ ВОЗДУХА 173
Это выражение можно применить также и к случаю теплоизолированных пузырьков, если отношение ДГ/Л заменить отношением Кта17\. В интересующих нас случаях	вследствие чего выражение (41) упро-
щается:
и2 =________________________Р2/Р1____________________
1	1___________Р±__________Г, Pi 1	1 ДГ *
(1 +ц)р*(1 + P2/k) L (1 + n)p*Jr —1 Л
(41а)
Кроме того, в предположении теплового равновесия нетрудно показать, исходя из соотношения (41а) и рис. 3, что членом, пропорциональным ДТ/Л, можно пренебречь. В случае теплоизолированных пузырьков это отношение нужно заменить отношением ДГа/Т\ и пренебрегать этим выражением уже нельзя.
Для того чтобы сравнить эти две теории, нужно найти отношение скоростей ударных волн для равновесного и теплоизолированного случаев при условии,что начальное состояние перед ударной волной и давление за ударной волной одни и те же в обоих случаях. Результаты таких вычислений при нормальных температуре, давлении и плотности показаны на рис. 5. Видно, что разница между скоростями ударных волн всегда менее 20%, а при высоких отношениях давлений составляет только 10%. Иногда, наоборот, может потребоваться сравнить давления на ударной волне, вычисляемые при двух различных предположениях, когда начальные состояния и скорости ударных волн одинаковы. В интересующих нас областях величина p2/k много меньше единицы, тогда в силу уравнения (41а) р2 будет пропорционально u2it Следовательно, показанную на рис. 5 относительную разницу для нужно удвоить, чтобы получить оценку разницы для р2 при фиксированном значении
В предыдущем анализе ударная волна рассматривалась как переход от состояния 1 к состоянию 2 на расстоянии, малом по сравнению с размерами поля течения, так что толщиной переходной области можно было пренебречь. Однако в действительности ударные волны имеют ненулевую толщину, и ударные волны
174
Б. Р. ПАРКИН, Ф. Р. ГИЛМОР, Г. Л. БРОУД
в воздушно-водяной смеси особо размазаны на ширину мелкомасштабных неоднородностей смеси. В частности,
Рис. 5. Сравнение скоростей нормальной ударной волны, вычисленных по теории теплового равновесия и теории изолированных пузырьков.
По оси абсцисс: давление за ударной волной р2> фунт/дюйм2; по оси ординат: отношение скорости ударной волны по теории изолированных пузырьков к скорости ударной волны по теории теплового равновесия.
ширину по крайней мере нескольких диаметров пузырьков или нескольких расстояний между ними. Кроме того, динамический эффект от схлопывания и колебания пузырьков будет размазывать ударную волну на расстояние, равное скорости ударной волны, умноженной на
УДАРНЫЕ ВОЛНЫ В ВОДЕ С ПУЗЫРЬКАМИ ВОЗДУХА
175
время порядка tc (см. рис. 1); это расстояние обычно составляет около 10 диаметров пузырьков.
Если имеет место теплопроводность в значительной степени, то она будет также увеличивать переходную область. Если характерные времена теплопроводности велики по сравнению с временами схлопывания пузырьков, но не настолько, чтобы теплопроводностью можно было пренебречь, то профиль давления можно разделить на две части. Первая часть, толщиной порядка нескольких диаметров пузырьков, имеет крутой профиль и дает скачок давления, соответствующий теории теплоизолированных пузырьков. Затем профиль давления становится более пологим с перепадом давления в 20—30%, так как пузырьки охлаждаются и давление стремится к значению, соответствующему тепловому равновесию при том же самом значении скорости ударной волны. Пологий профиль давления имеет место на интервале времени порядка /90%, показанного на рис. 1, которое соответствует расстояниям от нескольких дюймов до нескольких футов для рассматриваемого диапазона значений параметров смеси.
Вышеприведенные рассуждения применимы только в случае, если пузырьки не распадаются на такие мелкие части, которые очень быстро растворяются. Когда пузырьки растворяются и, следовательно, за ударной волной находится только вода, тогда соответствующие соотношения на ударной волне можно получить из уравнений (36) и (37) с использованием формулы (28) перед ударной волной и формулы (26) за ударной волной. Для скорости ударной волны в этом случае имеем
_ О - p2/k) (р2 - [pi - н (вгр7т) (1 + Pl/k)]* 2
(1+н)р*(1+Р1//г)Р1Х
X [^2 - Pl) Pl/{ + н {(WM (1 + P2/k) — Pj (1 + Pi/k)] (42)
При 1 это выражение упрощается:
2—________(! + РгМ) (Рг — Pi) (Pi + цВТрУт)2_ , „
1	(l+^p’pj^-pOpjM+^W/mXl+p^)-^]-
176
Б. Р. ПАРКИН, Ф. Р. ГИЛМОР, Г. Л. БРОУД
На рис. 6 приведены результаты сравнения скоростей ударной волны, вычисляемых по формуле (42) или (43) и по теории теплового равновесия. С точностью до построения графика это отношение не зависит от относительного содержания воздуха ц в пределах рассматриваемых значений. Разница между этими двумя теориями
Рис. 6. Сравнение скоростей нормальной ударной волны, вычисленных по теории теплового равновесия и теории растворяющихся пузырьков.
По оси абсцисс: давление за ударной волной р2, фунт/дюйм2; по оси ординат: отношение скорости ударной волны по теории растворяющихся пузырьков к скорости ударной волны по теории теплового равновесия.
наиболее велика при небольших значениях избыточного давления за ударной волной и становится малой при больших значениях избыточного давления. Имеющиеся экспериментальные данные [3] по слабым ударным волнам в воде, содержащей пузырьки воздуха радиусом 0,005 дюйма, согласуются с расчетами в предположении о тепловом равновесии, а не с расчетами в предположении о растворении пузырьков. При более высоких давлениях, когда пузырьки распадаются на более мелкие и растворение становится более вероятным, экспе
УДАРНЫЕ ВОЛНЫ В ВОДЕ С ПУЗЫРЬКАМИ ВОЗДУХА 177
риментальных данных нет. Кроме того, обычные данные зависимости скорости от давления при более сильном сжатии за ударной волной должны быть очень точными, чтобы выявить различие между двумя теориями. Если имеет место значительное растворение пузырьков, то оно влияет на профиль ударной волны. Однако растворение обычно является медленным процессом, если только пузырьки не распадаются на более мелкие за ударной волной. Если этот эффект и имеет место, в настоящее время мы не умеем рассчитывать размер получающихся в результате пузырьков, а следовательно, и толщину зоны релаксации (растворения) в ударной волне.
Можно провести также другие сравнения трех представленных расчетов. Однако приведенные выше результаты достаточно ясно указывают на величину ошибки, которую следует ожидать, если мы используем ту или иную идеализацию для расчета распространения ударной волны в реальных смесях.
V.	СООТНОШЕНИЯ РЭНКИНА - гюгонио ДЛЯ НОРМАЛЬНЫХ УДАРНЫХ волн
В этом разделе мы приведем графики параметров ударной волны, полученные из приведенных выше уравнений при постоянной начальной температуре 21 °C. Для удобства вначале приведен график (рис. 7) зависимости отношения объема воздуха к объему воды а от отношения масс р при различных значениях статического давления.
Все графики соотношений на ударной волне разделены на три группы соответственно теориям теплового равновесия (рис. 8—17), теплоизолированных пузырьков (рис. 18—27) и растворяющихся пузырьков (рис. 28— 33). На рис. 8 показана вычисленная по теории теплового равновесия скорость распространения ударной волны в покоящейся воздушно-водяной смеси в зависимости от интенсивности ударной волны при различных значениях относительной массы воздуха. На рис. 9 приведены значения величины — и2)/с2, т. е. числа Маха за ударной волной, распространяющейся в покоящейся
178
Б. Р. ПАРКИН, Ф. Р. ГИЛМОР, Г. Л. БРОУД
среде. На рис. 10 представлены соответствующие величины динамического давления за ударной волной.
Рис. 7. Диаграмма, связывающая относительный объем с относительной массой воздуха в смеси.
По оси абсцисс: отношение массы воздуха к массе воды ц; по оси ординат: отношение объема воздуха к полному объему смеси.
Если сжимаемостью среды пренебречь, то параметры ударной волны с хорошей степенью точности будут зависеть только от а и рг/рь На рис. 8—10 приведены результаты соответствующих числовых расчетов. Однако
УДАРНЫЕ ВОЛНЫ В ВОДЕ С ПУЗЫРЬКАМИ ВОЗДУХА 179
если сжимаемость воды нужно учитывать, то параметры ударной волны будут зависеть в отдельности как от р2,
ipymfc
Рис. 8. Зависимость скорости ударной волны от давления за ударной волной при различных значениях относительной массы воздуха.
так и от pi. Поэтому представляется полезным дать дополнительные графики скорости ударной волны щ в зависимости от р[. Линии постоянных значений р2 и щ — и2 в плоскости «1, pi показаны на рис. И —17. Каждому значению ц соответствует отдельный рисунок. Все вычисления проводились при начальной температуре 1\ = = 21 °C.
180
Б. Р. ПАРКИН, Ф. Р. ГИЛМОР, Г. Л. БРОУД
Аналогичные графики были построены и для теории теплоизолированных пузырьков (рис. 18—27). Для теории растворимых пузырьков мы привели графики скоро-
Р и с. 9. Зависимость числа Маха за ударной волной, движущейся в покоящейся жидкости, от давления за ударной волной для различных значений относительной массы воздуха.
сти ударной волны, числа Маха и динамического давления за ударной волной при различных значениях р. Все вычисления проводились при начальной температуре Т\ = 21 °C. На рис. 28—30 давление р\ перед ударной волной принималось равным 14,7 фунт/дюйм2; на рис. 31—33 давление р\ = 100 фунт/дюйм2.
q, фунт/дюйм2
р2, фунт/дюйм2
Рис. 10. Динамическое давление за ударной волной, движущейся по покоящейся жидкости, <? == V2P2 («1Иг)2» фунт/дюйм2.
щут/с
Рис. 11. Параметры ударной волны при ц—2,5*10 5, 7\=21°С.
- статическое давление за ударной волной, фунт/дюйм2;---скорость частиц за ударной волной, фут/с.
t,ipyiTl/C
Рис. 12. Параметры ударной волны при ц = 6,3*10 5, Г1==21°С.
Обозначения см. под рис. 11.
<рут/с
Рис. 13. Параметры ударной волны при ц = 1 • 10 4, Г, =21 °C. Обозначения см. под рис. 11.
o/wfxb
Рис. 14. Параметры ударной волны при р, = 3-10 4, Л = 21 °C.
Обозначения см. под рис. 11.
э/иМ
Рис, 15. Параметры ударной волны при ц = 6-10"4, 7\ = 21 °C.
Обозначения см. под рис. 11.
,,<pym/c
Рис. 16. Параметры ударной волны при ц = 9«10"4, 7\ = 21°С. Обозначения см. под рис. 11.
(рут/с
Рис. 17. Параметры ударной волны при ц = 1,26-10-3,	= 21 °C.
Обозначения см. под рис. Ц.
ЭI
Рис. 18. Зависимость скорости ударной волны от давления за ударной волной при различных значениях относительной массы воздуха.
1
Рис. 19. Зависимость числа Маха за ударной волной, движущейся по покоящейся жидкости, от давления за ударной волной при различных значениях относительной массы воздуха, pi = 14,7 фунт/дюйм2, Tj = 21 °C.
q, фунт/дюйм2
Рис. 20. Динамическое давление за ударной волной, движущейся по покоящейся жидкости, pi = 14,7 фунт/дюйм2, Л = 21 °C.
рут/с
Рис. 21. Параметры ударной волны при ц = 2,5- 10 5, Т{ = 21 °C. статическое давление за ударной волной, фунт/дюйм2;-------скорость частиц за ударной волной, фут/с,

Зак. 741
Рис. 22. Параметры ударной волны при ц —6,3*10 5, 7'1==21°С.
Обозначения см. под рис. 21.
з/ шМ)‘*Г1
Рис. 23. Параметры ударной волны при р — 1 • 10“*, 1\ =21 °C.
Обозначения см. под рис. 21.
(рут/с
р,, (рунт/дюйм2
Рис. 24. Параметры ударной волны при и = 3-10 \ 7'1 = 21°С.
Обозначения см. нод рис. 21.

Рис. 25. Параметры ударной волны при ц = 6 10~4, 1\ = 21 °C.
Обозначения см. под рис. 21.
(рут/с
Рис. 26. Параметры ударной волны при ц = 9-10~4,	= 21 °C.
Обозначения см. под рис. 21.
U] ШИШ
Рис. 27. Параметры ударной волны при ц = 1,26-10"3, Ti = 21 °C.
Обозначения см. под рис. 21,
^т/с
Рис. 28. Зависимость скорости ударной волны от давления при различных значениях относительной массы воздуха.
Р и с. 29. Зависимость числа Маха за ударной волной, движущейся по покоящейся жидкости, от давления за ударной волной при различных значениях относительной массы воздуха.
с^фунт/дюйм2
Рис. 30. Динамическое давление за ударной волной, движущейся по покоящейся жидкости.
Рис. 31. Зависимость скорости ударной волны от давления при различных значениях относительной массы воздуха, pi = 100 фунт/дюйм2, 7\ = 21 °C.
Рис. 32. Зависимость числа Маха за ударной волной, движущейся по покоящейся жидкости, от давления за ударной волной при различных значениях относительной массы воздуха, pi = ЮО фунт/дюйм2, Ti = 21 °C.
10 4
р£, фунт/дюйм1
Рис. 33. Динамическое движение за ударной волной, движущейся по покоящейся жидкости, = 100 фунт/дюйм2, Т\ = 21 °C.
УДАРНЫЕ ВОЛНЫ В ВОДЕ С ПУЗЫРЬКАМИ ВОЗДУХА 205
VI.	КОСЫЕ УДАРНЫЕ ВОЛНЫ
Все предыдущее обсуждение касалось главным образом распространения прямых ударных волн. Обобщение результатов на косые ударные волны выполняется известными способами. Подробные вычисления проведены для случая теплового равновесия, когда достигаются значительные упрощения благодаря тому, что изменением температуры на ударной волне можно пренебречь. В этом приближении поток определяется уравнением со->	стояния и уравнениями сохранения массы и количества
|	движения. Если стационарный косой скачок уплотнения
образуется в установившемся сверхзвуковом потоке, то при изменении угла наклона скачка 0 угол отклонения потока 0 также изменяется. Однако уравнения показы-I вают, что при заданных условиях на бесконечности * угол 0 никогда не превышает некоторого определенного значения 0тах- Следовательно, если клин помещается в сверхзвуковой поток и поверхность клина образует с направлением потока угол, меньшии 0тах> то образуется простой скачок уплотнения, имеющий форму клина и присоединенный к его вершине, причем угол наклона этого скачка связан с углом отклонения потока, обтекающего клин. Однако если угол, образуемый поверхностью клина, больше 0тах, то такая простейшая конфигурация скачка невозможна и перед препятствием образуется отсоединенный скачок криволинейной формы.
Для смесей воды и воздуха расчет косых скачков * уплотнения содержит наряду с обычными параметрами потока дополнительный параметр р— относительное содержание массы воздуха. По этой причине краткое представление всех численных результатов невозможно. Однако мы построили график, который дает значения давления за ударной волной р2, а также угол 0, соответствующий максимально возможному углу отклонения потока 0тах при заданном значении числа Маха в набегающем потоке Mi, относительном содержании воздуха р. Такой график, соответствующий давлению в набегающем потоке pi = 14,7 фунт/дюйм2 и 7,1 = 21°С,
I 1
206
Б. Р. ПАРКИН, Ф. Р. ГИЛМОР, Г. Л. БРОУД
показан на рис. 34. Из приведенных данных видно, что диапазон допустимых углов отклонения потока относительно мал, а диапазон чисел Маха набегающего потока
Рис. 34. Максимальные углы отклонения потока для присоединенных скачков уплотнения, вычисляемые по теории теплового равновесия.
довольно велик. Причину такой значительной разницы между характеристиками воздушно-водяной смеси и воздуха можно объяснить тем, что рассматриваемая смесь сжимается намного меньше, чем воздух.
УДАРНЫЕ ВОЛНЫ В ВОДЕ С ПУЗЫРЬКАМИ ВОЗДУХА 207
VII.	ЭФФЕКТЫ ЗАТУХАНИЯ ПРИ НЕСТАЦИОНАРНЫХ (ВЗРЫВНЫХ) НАГРУЗКАХ
Для исследования поведения воздушно-водяных смесей при затухании пиков давлений сильных скачков уплотнения мы провели вычисления, используя исходные зависимости давления от времени, характеризующие ударную волну в воздухе от ядерного взрыва в 1 Мт и и при пиковых давлениях в диапазоне от 5000 до 20 000 фунт/дюйм2. Эти исходные данные были получены из предыдущих расчетов ударных волн в воздухе [12], в которых учитывался как радиационный перенос, так и гидродинамические эффекты. Результаты этих вычислений были аппроксимированы аналитическим выражением следующего вида:
кР (/) = \PS (1 - т) (ае~™ +	(44)
где ДР8 — пик избыточного давления, фунт/дюйм2; т — отношение времени прихода ударной волны к длительности положительной фазы; b = 1 — а. Коэффициенты а, а, р и длительность положительной фазы Dp в миллисекундах в зависимости от пика избыточного давления при энергии взрыва в 1 Мт даны на рис. 35. Хотя это аналитическое выражение является приближенным и, следовательно, может быть улучшено1), оно с разумной степенью точности описывает характер и распространение взрывной волны от ядерного взрыва при избыточных давлениях в рассматриваемом диапазоне2).
При избыточных давлениях около 100 фунт/дюйм2 наиболее примечательной чертой является характеристика затухания с помощью двух экспонент, что приводит к чрезвычайно быстрому первоначальному падению давления, за которым следует более медленное экспоненциальное затухание.
*) Выражение, использованное здесь, хорошо описывает начальные скорости затухания, но обычно быстро теряет силу, когда давление падает ниже, чем на 10% своей первоначальной величины.
2) См. также статью Г. Л. Броуда «Действие ядерного взрыва», сб. переводов «Действие ядерного взрыва», «Мир», М., 1971. — Прим, pedt
208
Б. Р. ПАРКИН, Ф. Р. ГИЛМОР, Г. Л. БРОУД
Полезно заметить, что импульс (или интегральная характеристика давления по времени) ударной волны
Рис. 35. Параметры аппроксимационной кривой давление — время в зависимости от пика избыточного давления.
/)	, мс, при 50 Мт; 2)	, мс, при 5 Мт; 3)	, мс, при 0,5 Мт.
изменяется как кубический корень из избыточного давления в рассматриваемом диапазоне давлений. Такое медленное увеличение импульса наряду с быстрым затуханием по времени делает любой механизм, который может задержать или размазать начальную часть импульса, наиболее полезным для уменьшения предпола
УДАРНЫЕ ВОЛНЫ В ВОДЕ С ПУЗЫРЬКАМИ ВОЗДУХА 209
гаемого пика избыточного давления, а во многих случаях для уменьшения ожидаемых разрушительных возможностей взрыва.
Вычисления проводились для случаев, когда взрывные ударные волны распространяются параллельно свободной поверхности воздушно-водяной смеси, так что динамика воздушного потока и эффекты отражения ударной волны не учитывались, а рассматривалась лишь зависимость избыточного давления от времени. При вычислении одномерного сжимаемого гидродинамического течения в лагранжевых координатах применялась стандартная программа [13] для быстродействующей вычислительной машины. Использовались полученные ранее уравнения состояния для воздушно-водяных смесей и обычные законы сохранения массы, импульса и энергии. Указанная программа позволяет рассчитывать разрывы в ударных волнах путем введения искусственной вязкости [14]. На поверхности жидкости в качестве граничного условия задавалась подходящая зависящая от времени нагрузка от распространяющейся в воздухе ударной волны.
Чтобы исследовать влияние различных параметров, таких, как мощность взрыва (У2, 5 и 50 Мт), относительное содержание воздуха в воде (ц = 1,26-10"3, 10~4, 2,51 -10~5, 0) и пик избыточного давления (5000, 7500, 10 000 и 20 000 фунт/дюйм2), было проведено около 20 расчетов. Были исследованы различные модели: модель теплового равновесия и модель теплоизолированных пузырьков. Кроме того, были изучены параметры отражения и переноса для случаев, когда вода с пузырьками воздуха имеет конечную глубину и ограничена снизу более твердым материалом (чистая вода, песок или абсолютно жесткое дно). Эти исследования включены в специальные разделы: отражение (разд. VIII) и экраны, состоящие из пузырьков и воздуха (разд. IX).
Важной чертой этих вычислений является быстрое уменьшение пика давления при движении ударной волны в воде. На рис. 36—38 приведены пики давления в зависимости от глубины.
На рис. 36 показан эффект влияния энергии взрыва. Три кривые для энергий 7з, 5 и 50 Мт (взрыв на
210
Б. Р ПАРКИН, Ф. Р. ГИЛМОР, Г. Л. БРОУД
поверхности) отличаются лишь вследствие различия в масштабах времени нагрузки на поверхности воды. Такие нагрузки были определены в виде соотношения (44),
Рис. 36. Затухание пика давления с глубиной при различных энергиях взрыва по теории теплового равновесия; ц = 10~4, Pi = = 14,7 фунт/дюйм2, Т{ = 16,8 °C.
которое содержит две экспоненты и в котором все времена выражены в единицах длительности положительной фазы (Dp на рис. 35). Эти длительности пропорциональны корню кубическому из энергии взрыва; так, длительность при 5 Мт больше длительности при !/2 Мт в f410 = 2,15 раза, а при 50 Мт — в 100 = 4,64 раза. Из
УДАРНЫЕ ВОЛНЫ В ВОДЕ С ПУЗЫРЬКАМИ ВОЗДУХА 211
приведенных кривых видно, что в значительной степени нестационарная природа импульса играет основную роль в затухании давления по глубине.
Рис. 37. Затухание ударной волны с глубиной в соответствии с теорией теплового равновесия (кривые /, 2, 5) и теорией теплоизолированных пузырьков (кривые 4У 5, 6); pi = 14,7 фунт/дюйм2, Tt= 16,8 °C, энергия взрыва 5 Мт.
Влияние относительного содержания воздуха иллюстрируется на рис. 37, где приведены кривые для четырех различных значений (включая отсутствие воздуха, р == 0) как для модели теплового равновесия, так и для модели теплоизолированных пузырьков. Разница между этими двумя моделями наиболее заметна в случае наименьшего значения относительной массы воздуха. Интересно отметить расстояние, на котором затухает пик
212
Б. Р. ПАРКИН, Ф. Р. ГИЛМОР, Г. Л. БРОУД
давления в чистой воде (воздух отсутствует), что характеризует чрезвычайно быстрое затухание поверхностной нагрузки при начальном уровне избыточного давления в 104 фунт/дюйм2.
Поскольку эффект затухания столь тесно связан с характером подводимой нагрузки, возникает вопрос: насколько эффективным является механизм затухания при
Рис. 38. Сравнение кривых затухания давления с глубиной при различных начальных уровнях пика давления по теории теплового равновесия; ц = 10~4, pi = 14,7 фунт/дюйм2, 71=16,8 °C, энергия взрыва 5 Мт.
более высоких и более низких уровнях избыточного давления? На рис. 38 сравнивается затухание максимального давления (с глубиной) для значений пиковых давлений в 5000, 7500, 10 000 и 20 000 фунт/дюйм2; все кривые вычислены с использованием модели теплового равновесия при относительном содержании массы воздуха, равном 10-4, и мощности взрыва 5 Мт.
Рис. 39—43 иллюстрируют развитие процесса во времени для типичного случая, т. е. для давления 10 000 фунт/дюйм2 за ударной волной при взрыве на поверхности мощностью 5 Мт и относительном содержа
УДАРНЫЕ ВОЛНЫ В ВОДЕ С ПУЗЫРЬКАМИ ВОЗДУХА 213
нии воздуха в воде 10~4. Приведенные зависимости давления от глубины (рис. 39) для различных моментов времени указывают на быстрое затухание пика давления
Р и с. 39. Давление за ударной волной в зависимости от глубины в различные моменты времени по теории теплового равновесия; ц = Ю"4, pi = 14,7 фунт/дюйм2, Ti = 16,8 °C, энергия взрыва 5 Мт, начальный пик давления 104 фунт/дюйм2.
при уменьшении нагрузки на поверхности. Скорости частиц (рис. 40) затухают аналогичным образо-м при распространении ударной волны, но при всех значениях дают значительную кинетическую энергию; так, частицы воды движутся со скоростью около 60 миль/ч даже на глубине 100 футов.
Относительно высоким скоростям воды соответствуют значения плотности, показанные на рис. 41. Диапазон сжатия лежит между И и 8%. Динамическое давление или сопротивление (ри2/2) ударной волны (рис. 42)
Рис. 40. Скорость воды (фут/с) за ударной волной в зависимости от глубины (фут) в указанные моменты времени по теории теплового равновесия.
Начальные условия см. под рис. 39.
глубины (фут) в указанные моменты времени по теории теплового равновесия.
Начальные условия см. под рис. 39.
700
Рис. 42. Динамическое давление (фунт/дюйм2) за ударной волной в зависимости от глубины (фут) в указанные моменты времени по теории теплового равновесия.
Начальные условия см. под рис. 39.
18,00 ру
/6 70'----1------1------1------1----—I------1------1-----1------1------
О 10	20	30	40	50	60	70	80	90	100
Рис. 43. Температура (°C) за ударной волной в зависимости от глубины (фут) в указанные моменты времени по теории теплового равновесия.
Начальные условия см. под рис. 39»
216
Б. Р. ПАРКИН, Ф. Р. ГИЛМОР, Г. Л. БРОУД
невелико по сравнению с давлением за ударной волной на любой стадии процесса. (Экспериментальные измерения этой величины согласуются с соотношением на ударной волне, связывающим давление за ударной волной и динамическое давление, показанные на рис. 10.)
Температура воды в такой равновесной модели никогда не бывает очень высокой. Только на расстоянии нескольких футов от поверхности воды температура остается в пределах своего первоначального значения (рис. 43).
В процессе решения задачи о затухании ударной волны были проведены несколько приближенных расчетов вручную. Сравнение с расчетами на электронно-вычислительных машинах показало, что достигнутая при этом точность составляла около 15%, и поскольку эти приближенные расчеты затухания ударной волны были чрезвычайно трудоемкими, то от всех приближенных методов подобного рода пришлось отказаться.
VIII. ОТРАЖЕНИЕ УДАРНОЙ ВОЛНЫ ОТ ТВЕРДОЙ ГРАНИЦЫ
Для любого практического приложения, включающего ударные волны в воздушно-водяных смесях, необходимо знать свойства отражения этих ударных волн от твердых границ. Поскольку ударные волны в воздушно-водяных смесях сопровождаются более интенсивным движением воды, чем ударные волны той же амплитуды в чистой жидкости, то их действие на твердые поверхности раздела должно соответственно быть другим и не обязательно акустическим.
А. Соотношения Гюгонио для отраженных ударных волн
Чтобы яснее представить себе свойства отраженных ударных волн, рассмотрим элементарный пример плоской ударной волны, нормально падающей на отражающий материал полубесконечной толщины. Предполагая далее, что избыточное давление за падающей ударной волной постоянно, получаем области с постоянными па
УДАРНЫЕ ВОЛНЫ В ВОДЕ С ПУЗЫРЬКАМИ ВОЗДУХА 217
раметрами за падающей и отраженной ударными волнами. В этом случае можно использовать результаты разд. V для прямого скачка уплотнения. Интенсивность падающей и отраженной волн определяется на основе требования непрерывности давления и скорости частиц на поверхности раздела между воздушно-водяной смесью и отражающим материалом.
В качестве отражающих материалов мы рассматривали рыхлый песок, чистую воду, сланец верхнего миоцена из долины Сан-Жакен и твердую стенку. Только первый из четырех рассматриваемых материалов считался нелинейным. Зависимость плотности от давления для песка была получена из экспериментальных данных на сжатие рыхлого песка, ограниченного с боковых сторон. Эти данные взяты из работы Терцаги и Пека [15], в которой приведены зависимости относительной пористости от давления для различных почв в интересующем нас диапазоне давлений. Рыхлый песок имеет начальную плотность ро = 2,365 слаг/фут3 (1 слаг = 14,6 кг) при начальном коэффициенте пористости е = 1,2. Было найдено, что в интересующем нас диапазоне давлений экспериментальная зависимость достаточно хорошо описывается полиномом
p = (0,003z/ + 6z/4 + 1530//8)- 1,45- 105,	(45)
где р — давление (фунт/дюйм2), а
Расчеты распространения волн при ударе по нормали к песку основывались на этом полиноме. Данные по глинистому сланцу взяты из работы Бирча [16]. Эта порода соответствует мягкому или средней твердости глинистому сланцу, имеющему плотность около 3,88 слаг/фут3 и волновую скорость объемного расширения 7900 фуг/с на глубине 75 футов.
Результаты элементарных вычислений отраженных ударных волн для песка приведены на рис. 44—47. Видно, что для более интенсивных падающих ударных волн теория теплового равновесия, теория теплоизолированных пузырьков и теория растворяющихся пузырьков
Рис. 44. Отражение нормальной ударной волны интенсивности ДР8 от рыхлого песка.
По оси абсцисс: относительная масса воздуха ц; по оси ординат: давление за отраженной ударной волной, фунт/дюйм2.
Отражение от рыхлого песка: ----- по теории теплового равновесия,----по
теории теплоизолированных пузырьков,----по теории растворяющихся пузырь-
ков; р к= 14,7 фунт/дюйм2, 7\=21°С.
Рис. 46. Отражение нормальной ударной волны от чистой воды (р, = 0); pi — 14,7 фунт/дюйм2, 7\ = 21 °C.
Остальные данные см. под рис. 44,
220
Б. Р. ПАРКИН, Ф. Р. ГИЛМОР, Г. Л, БРОУД
дают почти одинаковые значения давления за отраженной ударной волной. Для падающих ударных волн с давлением 100 фунт/дюйм2 кажется невероятным, что теория растворяющихся пузырьков является подходящей, тем
Рис. 46. Отражение нормальной ударной волны от глинистого сланца.
Остальные данные см. под рис. 44.
не менее она дает значения давления за отраженной ударной волной, значительно более высокие, чем значения, вычисляемые по двум другим теориям. Вертикальная пунктирная кривая на рис. 44 разделяет приближенно значения р на два диапазона, соответствующие отражению от песка волн сжатия и волн разрежения. В случае отражения волн разрежения необходимо
УДАРНЫЕ ВОЛНЫ В ВОДЕ С ПУЗЫРЬКАМИ ВОЗДУХА 221
использовать численные результаты для центрированных волн разрежения в воздушно-водяных смесях. Были составлены таблицы параметров течения в простой волне для всего диапазона значений р. Эти таблицы не приводятся здесь из-за ограниченного объема статьи.
Р и с. 47. Отражение нормальной ударной волны от твердой стенки. Остальные данные см. под рис. 44.
Результаты, приведенные на рис. 44—47, иллюстрируют характер отражения ударной волны от различных материалов, свойства которых меняются в широком диапазоне. Для материалов с линейным уравнением состояния интенсивности отраженных ударных волн могут быть связаны с акустическим импедансом рС отражающего материала. Такая связь (для случая теплового
222
Б. Р. ПАРКИН, Ф. Р. ГИЛМОР, Г. Л. БРОУД
равновесия и ц = 10~4) показана на рис. 48. Подобные зависимости для других случаев можно использовать
интенсивность отраженной нормальной ударной волны в воздушноводяной смеси.
По оси абсцисс: акустическая проводимость отражающей среды (рС)“1, фут3/(фунт • с); по оси ординат: отношение давления за отраженной ударной волной к давлению за падающей ударной волной.
Вычисления проводились по теории теплового равновесия; ц,= Ю””4, 7\=21 °C, р1==14,7 фунт/дюйм2.
при вычислении интенсивностей ударных волн, отраженных от материалов, не указанных на рис. 44—47.
Б. Процесс отражения ударной волны от твердой границы
Помимо исследования общего характера отражения, было проведено несколько конкретных расчетов для ил
УДАРНЫЕ ВОЛНЫ В ВОДЕ С ПУЗЫРЬКАМИ ВОЗДУХА 223
люстрации течения за отраженной волной при ядерном взрыве. Поскольку давление за такими ударными волнами не постоянно, алгебраические соотношения, а также результаты, приведенные на рис. 44—48, можно использовать лишь для получения связи между давлением
йавление. i0‘ фунт/дюйм*
Рис. 49. Влияние твердой границы по теории теплового равновесия. / — затухание пика давления в воде до отражения; 2—давление на поверхности воды; ц= 10“4, Pi—14,7 фунт/дюйм2, 7\—16,8°С, мощность взрыва 5 Мт, начальный пик давления 104 фунт/дюйм2.
за ударной волной сразу же после отражения и его значением непосредственно перед отражением. Для определения характеристик в последующие моменты времени и изучения влияния нестационарных нагрузок использовались численные методы, идентичные методам предыдущего раздела (разд. VII).
На рис. 49 приведены графики зависимостей от времени давлений на твердом дне, возникающих за отраженной ударной волной в воде с относительным содержанием воздуха pi = 10"4 для четырех различных глубин
224
Б. Р. ПАРКИН, Ф. Р. ГИЛМОР, Г. Л. БРОУД
(36, 47, 76 и 100 футов); падающая ударная волна, производимая взрывом 5 Мт, на поверхности воды имела давление 104 фунт/дюйм2. Кроме того, на этом рисунке приведены графики зависимости от времени давления за падающей ударной волной и пика давления в воде до отражения. Для описанного здесь случая давление на дне за отраженной ударной волной возрастает до величины, сравнимой с первоначальным пиком давления, и, кроме того, оно в 4—14 раз превышает значения, которые принимает давление на поверхности воды или за падающей ударной волной в момент отражения.
Когда сильная отраженная ударная волна достигает поверхности воды, последующая волна разрежения изменяет направление скорости поверхности воды (от направления вниз к направлению вверх) и вызывает ее движение вверх от первоначального уровня. На рис. 50 показана скорость поверхности воды в зависимости от времени для твердой отражающей поверхности раздела на глубине 47 футов. Кроме того, показано положение этой поверхности относительно ее начального положения, а также приближенный градиент давления сразу же за поверхностью раздела. Эти кривые показывают, что поверхность воды опускается почти на 5 футов за 30 мс и затем более медленно возвращается к первоначальному положению. Хотя это возвращение происходит менее быстро, восстановление происходит при начальной скорости около 90 фут/с, а при этой скорости поверхность воды значительно поднимается по сравнению с ее первоначальным уровнем. При наличии только силы тяжести поверхность воды должна была бы подниматься на 120 футов вверх, но когда начинается подъем, давление воздуха на поверхности все еще имеет порядок 400 фунт/дюйм2 (при взрыве в 5 Мт), а давление на дне по существу равно нулю. Если же давление на поверхности воды остается равным 400 фунт/дюйм2, то вода должна подниматься только на 7 футов. Однако давление на поверхности воды постепенно затухает, достигая в среднем 45 фунт/дюйм2 в течение времени, за которое вода поднимается (для взрыва в 5 Мт). Совместное влияние уменьшающегося градиента давления и
Рис. 50. Скорость wo, координата Хо и градиент давления (dPIdx)^ под поверхностью воды при отражении ударной волны от твердого дна на глубине 47 футов по теории теплового равновесия.
Остальные данные см. под рис. 49,
8 Зак. 741
226
Б. Р ПАРКИН, Ф. Р ГИЛМОР, Г Л БРОУД
силы тяжести приводит к тому, что вода поднимается только на 40 футов.
В таком случае можно ожидать, что подъем воды будет более значительным при давлении 104 фунт/дюйм2
Рис. 51. Профили давления в некоторые фиксированные моменты времени для ударной волны, отражающейся от твердого дна, расположенного на глубине 47 футов, по теории теплового равновесия. Остальные данные см. под рис. 49.
и мощностях взрыва в несколько мегатонн и меньше. Но когда мощность взрыва увеличивается, высокие давления на поверхности воды поддерживаются более длительное время и подъем воды становится меньше при тех же значениях давления за падающей ударной волной.
УДАРНЫЕ ВОЛНЫ В ВОДЕ С ПУЗЫРЬКАМИ ВОЗДУХА 227
Некоторые профили давления для рассматриваемого случая (отражение от твердого дна на расстоянии 47 футов) показаны на рис. 51. Разрывы, соответствующие ударным волнам и волнам разрежения, обозначены буквами s и г, а направления их движения показаны стрелками. Давления за отраженной волной намного превосходят давление за первой падающей ударной волной почти на всех глубинах. Так, например, пиковое давление первой ударной волны на глубине 20 футов меньше 5000 фунт/дюйм2 (/ ~ 8 мс), в то время как давление за отраженной волной поднимается там почти до начального значения 104 фунт/дюйм2 (/ ~ 25 мс). Отраженная ударная волна диссипируется на поверхности воды (t — 33 мс), после чего от поверхности вниз распространяется волна разрежения. Эта волна разрежения достигает дна (t ~ 40 мс), оставляя за собой везде давление меньшее, чем давление на поверхности воды в этот момент времени (~103 фунт/дюйм2).
Характеристики отражения волн для бассейнов из твердых горных пород, бетона или стали должны по существу совпадать с указанными здесь параметрами для твердой границы, так как в рассматриваемом диапазоне давлений сжимаемость бетона, стали или горных пород пренебрежимо мала по сравнению со сжимаемостью воды, содержащей пузырьки воздуха. Для песчаного или заиленного дна, а также для бассейнов, в которых, начиная с некоторой глубины, пузырьки воздуха отсутствуют, отражение не будет полным, как для случая твердой стенки, но все же оно может давать значительные возмущения и, таким образом, иметь отношение к схеме затухания произвольных ударных волн.
В. Отражение от поверхности раздела вода — вода
Не следует опускать из рассмотрения такую деталь, вся ли вода до самого дна содержит пузырьки воздуха или же между дном и поверхностью воды имеется некоторый слой воды, не содержащий пузырьков воздуха. При наличии такого промежуточного слоя чистой воды будут иметь место два отражения: одно — от поверхности раздела воздушно-водяная смесь — чистая вода,
8*
228
Б. Р. ПАРКИН, Ф. Р. ГИЛМОР, Г. Л. БРОУД
другое — от твердого дна. В результате давление за отраженной ударной волной, возвращающейся на поверхность, может оказаться несколько большим, чем в предыдущем случае, когда вся вода содержит пузырьки
Рис. 52. Профили давлений в различные моменты времени для случая, когда ударная волна отражается от чистой воды (ц = 0) на глубине 36,5 фута и от твердого дна на глубине 47,5 фута (по теории теплового равновесия).
Остальные данные см. под рис. 49.
воздуха. На рис. 52 приведен случай, когда на глубине ниже 36,5 фута вода не содержит пузырьков воздуха, причем остальные параметры остаются теми же, что и в случае, показанном нд рис. 51. Заметим, что в первый раз давление повышается в тот момент, когда падающая ударная волна встречает поверхность раздела вода — аэрированная вода на глубине 36,5 фута
Рис. 53. Профили давлений для случая, когда ниже 36,5 фута находится чистая вода (ц==0). / — пик падающей ударной волны; 2—пик отраженной ударной волны.
Остальные данные см. под рис. 49.
230
Б. Р. ПАРКИН, Ф. Р. ГИЛМОР, Г. Л. БРОУД
(/ ~ 17 мс); затем вторично повышается, когда ударная волна отражается от дна на глубине 47,5 фута (/~ 21 мс). Эта отраженная ударная волна с незначительным затуханием (/ ~ 25 мс) распространяется к поверхности воды, причем ей предшествует более слабая ударная волна, отраженная от поверхности раздела вода — вода, и снова (как и в любом примере с твердым дном) происходит значительный подъем поверхности воды над ее первоначальным уровнем.
Более простым является случай, когда имеется одна поверхность раздела между воздушно-водяной смесью (ц = 10-4) и чистой водой (ц = 0); в этом случае имеют место лишь умеренные ударные волны (рис. 53). Давление за отраженной ударной волной почти в два раза больше, чем давление за падающей ударной волной в точке отражения, но затем оно несколько падает, когда ударная волна достигает поверхности воды. Последняя не является достаточно сильной, чтобы вызвать обратное движение поверхности воды. Отраженная ударная волна была бы без сомнения более слабой, если бы поверхность раздела между воздушно-водяной смесью и чистой водой была бы не столь тонкой, допуская более постепенный переход и, следовательно, лучшее совпадение импедан-сов. После того как отраженная ударная волна выходит на поверхность, давление в воде падает почти до того значения, которое имеет в этот момент давление на поверхности. Некоторые искажения из-за неточности вычислений, очевидно, будут проявляться при больших временах и низких давлениях.
Г. Отражение от песчаного дна
Результаты расчетов ударных волн в воде для случая песчаного дна являются несколько более обнадеживающими, чем в случае твердого дна, т. е. давления за отраженными ударными волнами здесь много меньше, никакого всплеска и подъема поверхности воды нет (как это имеет место в случае твердого дна), а в некоторых случаях можно подсчитать, что имеются довольно хорошие соответствия импедансов. В данном случае обычно имеет место как нагрузка, так и разгрузка песчаного дна, в
УДАРНЫЕ ВОЛНЫ В ВОДЕ С ПУЗЫРЬКАМИ ВОЗДУХА 231
то время как уравнение (45) представляет собой надлежащим образом только фазу нагрузки. Для фазы разгрузки уплотняемость каждого элемента песка аппроксимируется при помощи предположения о том, что этот материал проявляет идеализированный гистерезис. Наклон кривой разгрузки и последующей нагрузки для такого элемента полагался равным локальному градиенту (определяемому по производной из уравнения (45)) при наибольшем значении напряжения, которое действует на элемент сразу же после начала разгрузки.
Результаты простого последовательного нагружения давлением 103 фунт/дюйм2, приложенным к поверхности воды с пузырьками воздуха (ц = 10-4) и песчаным дном на глубине 20 футон, иллюстрируются пространственно-временным графиком, показанным на рис. 54. Вместо отраженной ударной волны в этом случае образуется частичное разрежение на поверхности раздела, которое уменьшает давление за ударной волной примерно до 800 фунт/дюйм2. (Из рис. 44 видно, что такие условия отражения являются вполне уместными для ударной волны с давлением 1000 фунт/дюйм2 в воде с относительным содержанием воздуха 10~4.) По мере того как между поверхностью воды и песчаным дном продолжаются отражения, давление заударной волной в песке стремится к начальной нагрузке, т. е. 103 фунт/дюйм2 (рис. 54).
В случае нагрузок, образованных ядерным взрывом, влияние уплотняющегося дна (песка) является еще более выраженным. Взаимодействие нестационарных нагрузок и податливости материала дна может быть использовано для предотвращения опасных волн отражения или повышений давления. Последовательность распространяющихся и отраженных ударных волн в этом случае подобна последовательности при ступенчатой нагрузке. На рис. 55 приведен пространственно-временной график для случая, когда начальная ударная волна имеет интенсивность 104 фунт/дюйм2 (при мощности взрыва 5 Мт), глубина воды (при ц — 10-4) равняется 50 футов, дно песчаное. Снова скорость ударной волны в песке является низкой, но последующие ударные волны или сигналы в сжатом песке распространяются
о

5
I
I
10
15
20
25
30
35
WOO
14,7фунт/дюйм*
Вода (у = Ю~4)
Песок
1000 / \~1000
-800
-910
-960
800
-910
—960
40 L 0
10
20	30
Время, мс
40
50
s
s
s
s
s
s
s
Рис. 54. Пространственно-временная диаграмма для ступенчатой нагрузки 103 фунт/дюйм2 на поверхность воздушно-водяной смеси при песчаном дне.
УДАРНЫЕ ВОЛНЫ В ВОДЕ С ПУЗЫРЬКАМИ ВОЗДУХА 233
значительно быстрее. На рис. 56 показаны профили давления в песке и воде в различные моменты времени для указанного случая. Заметим, что от падающей на песок ударной волны интенсивностью 2400 фунт/дюйм2 в песок
Рис. 55. Пространственно-временная диаграмма для ударной волны интенсивностью 104 фунт/дюйм2 (мощность взрыва 5 Мт), падающей из воды на песчаное дно.
передается давление 1800 фунт/дюйм2, которое постепенно затухает. Заметим также, что в воде не происходит значительного увеличения давления после того, как ударная волна достигает песчаного дна.
Аналогичные результаты были получены для случая песчаного дна на глубине 100 футов и тех же значениях остальных параметров. Для этого случая пик давления
30
Рис 56. Профили давления при падении ударной волны из воды на песчаное дно по теории теплового равновесия, ц = 10“ .
J — ник давления падающей ударной волны 2400 фунт/дюйм2; 2 — пик давления ударной волны, прошедшей в песок, ~ 1800 фунт/дюйм2.
УДАРНЫЕ ВОЛНЫ В ВОДЕ С ПУЗЫРЬКАМИ ВОЗДУХА 235
ударной волны, падающей на песчаное дно, равнялся приблизительно 1340 фунт/дюйм2, в то время как начальный пик давления, распространяющийся в песке, был равен — 1030 фунт/дюйм2 и быстро затухал при
Рис. 57. Профили давления в воде за ударной волной, падающей на песчаное дно (5 Мт, ДР8 = Ю4 фунт/дюйм2, глубина воды 100 футов) по теории теплового равновесия, ц — 2,51-105.
/ — пик давления падающей ударной волны ~2300 фунт/дюйм2; 2 — пик давления ударной волны, прошедшей в песок, ~800 фунт/дюйм2.
распространении в песке. Снова возникающая здесь волна разрежения по мере обратного движения к поверхности воды понижала давление в воде до 300 или 400 фунт/дюйм2.
Для воды с меньшим количеством пузырьков тот же самый песок является (относительно) даже более мягким и более эффективно поглощает ударные волны, распространяющиеся в воде. На рис. 57 приведены несколько профилей давления для случая, когда относительная масса воздуха в воде была наименьшей (р = 2,51 -10 5);
236
Б. Р. ПАРКИН, Ф. Р. ГИЛМОР, Г. Л. БРОУД
давление за ударной волной, падающей на песчаное дно на глубине 100 футов, равнялось приблизительно 2300 фунт/дюйм2. Давление, передаваемое в песок, было менее 800 фунт/дюйм2 и быстро падало ниже значений как в воде, так и в песке. Пространственно-временные соотношения для ударных волн и волн разрежения в этом случае представлены на рис. 58. Поскольку волна разрежения делает давление воды меньшим, чем давление в воздухе, то образуется вторая ударная волна, которая распространяется вниз от поверхности. Интенсивность этой вторичной ударной волны составляет только несколько сотен фунт/дюйм2.
Для воды с наибольшим содержанием воздуха (ц == 1,26-10-3) песок не обеспечивает надлежащего соответствия импеданса и если бы такое высокое содержание воздуха могло встречаться на практике, то пришлось бы рассматривать дно из более податливого материала, чем использованная здесь модель песчаного дна. Большие значения ожидаемых давлений за ударной волной при отражении от песчаного дна, расположенного на малой глубине, иллюстрируется на рис. 59. Хотя первый пик давления на глубине 10 футов уже падает почти до 4300 фунт/дюйм2 от первоначального значения в 104 фунт/дюйм2, относительная жесткость песка поднимает давление в отраженной и передаваемой в грунт ударных волнах до 14 000 фунт/дюйм2. Высокое давление за отраженной волной уменьшается значительно лишь после того, как отраженная волна достигает поверхности воды (рис. 60). Мелкая вода в данном примере приводит к малым временам прохождения отраженных ударных волн и большим значениям давлений в них, тогда как в более глубокой воде давления в падающей и отраженной ударных волнах будут меньше, а времена разгрузки больше. Хотя глубина воды 10 футов является слишком малой для большинства схем защиты от ударных волн, важность соответствующего подбора импеданса материала дна хорошо иллюстрируется этим примером мелкой воды.
Все рассмотренные примеры отражения ударных волн показывают, что в любой практически интересной схеме затухания важен соответствующий подбор
Рис 58 Пространственно-временная диаграмма для ударной волны в воде, падающей на песчаное дно, по теории теплового равновесия, ц = 2,15 1015, 5 Мт, &Ра = 104 фунт/дюйм2.
Глубина, фут
Рис. 59. Профили давлений в воде за ударной волной, падающей на песчаное дно, по теории теплового равновесия, ц = 1,26• 10-3 (5 Мт, начальный пик давления 104 фунт/дюйм2).
1—пик давления падающей волны; 2 — пик давления падающей волны ~4300 фунт/дюйм2; 3 — пик давления ударной волны, прошедшей в песок, ~ 14 000 фунт/дюйм2.
Рис. 60. Пространственно-временная диаграмма для ударной волны в воде, падающей на песчаное дно, по теории теплового равновесия, ц — 1,26-10*3 (5 Мт, начальное давление 104 фунт/дюйм2).
240
Б. Р ПАРКИН, Ф. Р. ГИЛМОР, Г. Л. БРОУД
импеданса на границах. Чтобы продвинуться еще на один шаг, нужно рассмотреть песок или другой податливый материал, расположенный достаточно глубоко, чтобы
Рис. 61. Профили давлений для случая твердой границы, расположенной на 30 футов ниже песчаного дна, по теории теплового равновесия (глубина воды 50 футов, р. == 10~4, мощность взрыва 5Мт, Ю4 фунт/дюйм2).
избежать опасных отражений от более глубоких поверхностей раздела, например между песчаной и скалистой частями дна, или от слоя более жесткого материала, ( расположенного ниже дна.
На рис. 61 приведен пример, когда твердое дно расположено на 30 футов ниже поверхности раздела песок — вода (давление на поверхности воды 104 фунт/дюйм2, глубина воды 50 футов и ц = 10~4). Наименьшее время, указанное на рис. 61, равно 57,6 мс,
УДАРНЫЕ ВОЛНЫ В ВОДЕ С ПУЗЫРЬКАМИ ВОЗДУХА 241
т. е. время после вхождения ударной волны в песок и после возвращения вторичной слабой ударной волны от поверхности. (Развитие процесса до этого момента см.
Рис. 62. Скорость и положение поверхности воды в случае твердой границы (на глубине 80 футов) под слоем песка (30 футов)по теории теплового равновесия.
и0 —скорость поверхности, фут/с; Хо —координата поверхности, дюйм.
ц—10~4г р!=14,7 фунт/дюйм2, Г1=16,8°С, мощность взрыва 5 Мт, начальный пик давления 104 фунт/дюйм2.
на рис. 55 и 56.) Давление за отраженной волной на твердой границе (80 футов) поднимается почти до 7000 фунт/дюйм2, затухает при движении назад через песок и затем снова отражается от поверхности раздела вода — песок. Последнее отражение (и увеличение) давления происходит потому, что вода обладает чуть
242
Б. Р ПАРКИН, Ф Р ГИЛМОР. Г. Л. БРОУД
большей жесткостью, чем песок при данном давлении. Ударная волна, возвращающаяся на поверхность воды, имеет интенсивность около 6000 фунт/дюйм2. После того как ударная волна выходит на поверхность воды, вниз начинает распространяться волна разрежения, уменьшая давление в воде.
В этом случае наличие твердого дна также приводит к подъему поверхности воды относительно первоначального уровня. Сравнение отраженных ударных волн в этом примере (50 футов воды плюс 30 футов песка до твердого дна) и в рассмотренном выше случае твердого дна (рис. 49) ясно показывает, что при наличии песка пик давления уменьшается. Скорости за отраженной волной на поверхности воды оказываются столь же значительными; однако при наличии слоя песка задерживается выход отраженной ударной волны на поверхность, так что противодействие воздушного давления оказывается менее эффективным при замедлении всплеска. На рис. 62 приведены характеристики поверхности воды для последнего случая. Из этого рисунка видно, что замедление подъема поверхности воды ведет к внушительному гейзеру.
Д. Отражение от неплоского дна
В практических случаях, где желательно минимизировать давление за отраженными волнами и неудобно или невозможно использовать для дна материал, дающий подходящий импеданс, может оказаться полезным неплоское дно. Например, для водоемов цилиндрической геометрии стенки в окрестности дна могут сходиться на конус или расходиться, образуя сферическую полость. Такие геометрии не рассматриваются в данной статье вследствие больших аналитических трудностей. Качественно, однако, представляется, что такие конфигурации будут приводить к замедлению ударной волны или расширению течения за ударной волной и, таким образом, уменьшать пики ударного давления.
IX. ПУЗЫРЬКОВЫЕ ЭКРАНЫ
Некоторый практический интерес представляет задача об отражении ударной волны, которая возникает
УДАРНЫЕ ВОЛНЫ В ВОДЕ С ПУЗЫРЬКАМИ ВОЗДУХА
243
в чистой воде и проходит через некоторую зону конечной толщины, содержащую смесь воздушных пузырьков и воды. Задача состоит в том, чтобы вычислить уменьшение интенсивности ударной волны, проходящей в зону чистой воды за пузырьковым экраном.
Вообще говоря, необходимо учитывать форму импульса волны, падающей на пузырьковый экран, и рассматривать все процессы взаимодействия и отражения, обусловленные этим экраном. Важность такого полного анализа станет очевидной из рассмотрения нескольких примеров, которые приводятся в данном разделе. Так, например, наличие экрана, расположенного в мелкой воде, в некоторых случаях может привести к увеличению, а не к уменьшению проходящей ударной волны. Тем не менее полезно дать приближенный вывод параметров пропускаемой и отраженной волн (предполагая, что течение за ударной волной постоянно и нет взаимодействия поверхностей), основанный на соотношениях для нормальной ударной волны, приведенных ранее, и сравнить результаты такого приближенного рассмотрения с выводами полного анализа.
В данном простейшем анализе затухание ударной волны при прохождении через толщину пузырькового экрана не учитывается. Таким образом, пузырьковый экран должен быть «тонким» по сравнению с длиной, на которой давление падающей ударной волны значительно меняется (разд. V). Кроме того, «реверберация» ударной волны внутри экрана вследствие повторных отражений от границ не будет рассматриваться, так что вычисляемые давления за проходящей ударной волной справедливы только до тех пор, пока не произойдет реверберация. Время реверберации равно двойной толщине пузырькового экрана, деленной на скорость распространения ударной волны. Если давление падающей ударной волны остается постоянным на протяжении многих времен реверберации, давление проходящей ударной волны в конце концов будет стремиться к давлению падающей ударной волны и экран не будет обеспечивать эффективного затухания ударной волны.
244
Б. Р. ПАРКИН, Ф. Р. ГИЛМОР, Г. Л. БРОУД
А. Начальные соотношения на нормальной ударной волне, падающей на пузырьковый экран
На рис. 63 приведена лагранжева диаграмма х, t системы волн, соответствующих вычислениям в предположении «тонкого экрана». Цифрами на диаграмме обозначены области постоянного состояния. В области 1
Рис. 63. Диаграмма Лагранжа для расчета волн при наличии тонкого экрана с пузырьками воздуха.
I — вода; // — экран с пузырьками воздуха; /// — падающая ударная волна; /V — отраженная волна разрежения; V — отраженная ударная волна; V/ — первая проходящая ударная волна; VII— нормальная ударная волна.
давление равно р\, а скорость частиц щ равна нулю. В различных зонах внутри экрана относительная масса воздуха pi известна, а давление за ударной волной в зоне 2 р2 задается. Продемонстрируем метод вычисления давления р6 за прошедшей ударной волной для случая акустического прохождения ударной волны через экран.
УДАРНЫЕ ВОЛНЫ В ВОДЕ С ПУЗЫРЬКАМИ ВОЗДУХА 245
В областях, занятых чистой водой, скорость звука, как указывалось ранее, дается формулой С* =Уй/р*. Давление и скорость частиц в зоне 3 связаны в акустическом приближении соотношением
»з= 2Р2~.с~РЗ •	(46)
р ь
В зоне 4 имеем
“4 = ^--	(47)
где величину рС можно найти из уравнений (32) и (33) или (35) в зависимости от того, предполагается ли тепловое равновесие между пузырьками воздуха и водой или нет. С другой стороны, из условия непрерывности потока на поверхности раздела между зонами 3 и 4 имеем
Рз = Р4,	«3 = «4-	(48)
Отраженная волна, разделяющая области 4 и 5, является акустической; тогда
и5-«4=-^А.	(49)
Рь
В области за экраном скорость частиц воды равна
=	(50)
р ь
и так как на второй поверхности раздела поток должен быть непрерывным, то
Р5 = Рб, «5= «6-	(51)
Теперь можно воспользоваться полученными шестью соотношениями для того, чтобы найти отношение амплитуд прошедшей и падающей ударных волн
где Z* = р*С* и Z = рС.
Для случая волн большой амплитуды уравнения (46) и (50) являются достаточно точными для вычисления
Рис. 64. Начальное давление ударной волны, проходящей через тонкий экран с пузырьками воздуха, в зависимости от относительной массы воздуха ц для трех различных значений амплитуд давления падающей ударной волны.
По оси ординат: амплитуда прокодящей ударной волны, р6—р,; ---по теории
теплового равновесия; ----- по теории теплоизолированных пузырьков;
р1==14,7 фунт/дюйм2, 7\ = 21 °C.
УДАРНЫЕ ВОЛНЫ В ВОДЕ С ПУЗЫРЬКАМИ ВОЗДУХА 247
физических параметров воды1). Но уравнения (47) и (49) в этом случае нужно заменить соотношениями для сильных ударных волн, приведенными на рис. 8—17 или 18—27. Граничным условиям (48) и (51) можно тогда удовлетворить графически при помощи диаграмм и, р.
Рис. 65. Начальные отношения амплитуды прошедшей через тонкий пузырьковый экран ударной волны к амплитуде падающей ударной волны при различных содержаниях воздуха в экранирующем слое (теория теплового равновесия, pi = 14,7 фунт/дюйм2, Л = 21 °C).
По оси абсцисс: давление падающей ударной волны, фунт/дюйм2.
На рис. 64 сравниваются значения разности р$ — р\, вычисленные для трех различных значений р2 как по
*) Точность полученных уравнений для волн большой амплитуды в рассматриваемой идеальной жидкости может быть определена, если использовать более точное уравнение для скорости ударной волны
Р2 — Pl Т/а
*z>* *2
р С J
В приближении, использованном выше, пренебрегается последним слагаемым в скобках. При р2 ~ 104 фунт/дюйм2 это приближение дает погрешность около 2%.
248
в. Р ПАРКИН, Ф. Р. ГИЛМОР, Г. Л. БРОУД
теории теплового равновесия, так и по теории теплоизолированных пузырьков. Наибольшее расхождение между результатами по двум теориям составляет около 30%. Отношения амплитуд давлений прошедшей и падающей ударных волн, найденные по теории теплового равновесия для некоторого диапазона значений интенсивности падающей ударной волны вплоть до 104 фунт/дюйм2, приведены на рис. 65. Для вычисления всех точек кривых использовалось уравнение (52) при р2 = = 14,7 фунт/дюйм2. Очень похожие результаты были приведены в работе Кемпбелла [2]. Однако он не учитывал сжимаемость воды в воздушно-водяных смесях, так что его результаты пригодны только при довольно низких давлениях в падающей ударной волне р2. Из графиков для давлений, приведенных на рис. 64 и 65, можно получить скорости частиц в зоне 6, используя уравнение (50).
Б. Начальные соотношения на косой ударной волне, падающей на пузырьковый экран
В предыдущем пункте мы рассмотрели влияние пузырьковых экранов на прохождение ударной волны, падающей под прямым углом на границу раздела. Здесь мы рассмотрим начальные параметры ударных волн, имеющих ступенчатый профиль и падающих под некоторым углом на пузырьковый экран. Простоты ради мы ограничимся случаем теплового равновесия и приближением «тонкого экрана», в котором пренебрегается затуханием ударной волны в пределах экрана. Предыдущие замечания относительно справедливости приближения «тонкого экрана» применимы и в этом случае.
Удобно выбрать систему координат, которая движется с постоянной скоростью вдоль экрана вместе с системой волн. Эта система координат приведена на рис. 66. В зонах, обозначенных цифрой /, поток имеет постоянную скорость
I/ = C*seca,	(53)
где a — угол падения ударной волны на пузырьковый экран. Прошедшая ударная волна покидает вторую по
УДАРНЫЕ ВОЛНЫ В ВОДЕ С ПУЗЫРЬКАМИ ВОЗДУХА 249
верхность экрана под тем же углом. Как и раньше, давление должно быть непрерывным при переходе через поверхность раздела между водой и воздушно-водяной
Рис. 66. Типичная волновая диаграмма для случая, когда ударная волна падает на тонкий пузырьковый экран под углом 45°.
Координаты выбираются таким образом, чтобы падающая и отраженная волны были неподвижными; стрелками обозначены скорости частиц в указанном масштабе; р{—\4,7 фунт/дюйм2, р2= I04 фунт/дюйм2, pi = 2,5 • 10“ 5, 7\ = 21 °C.
/— вода; //— экранирующий слой с пузырьками воздуха; /// — падающая ударная волна; IV — отраженная волна разрежения; У —отраженная ударная волна; VI — первая проходящая через экран ударная волна; VII — ко?о1 скачок.
смесью. Таким образом, имеем
Рз — Аь Рь — Рв'
(54)
Условие непротекания через поверхности раздела, выраженное через углы наклона потока, запишется в виде
03 —	^5 —
(55)
Угол наклона потока в зоне 3 выражается формулой
63 = Д+ В(р2-р3)[1 +В(р2-р3)1,	(56)
250
Б. Р. ПАРКИН, Ф. Р. ГИЛМОР, Г. Л. БРОУД
где
А =
(р2 — Pi) sin a cos а рЧГ2
(р2 — pi) sin а cos а р*С*2
Д=^(1+'р--р.У’°)/1 - (1 +2	cosajcos а.
Угол наклона потока в зоне 6 определяется выражением
П __ (р6 ~ Pl) Sin a cos а /.	(р6 — pj sin а cos а \
°б—	р*С*2 I1	р*С*2	/•
Полученные уравнения совместно с численными результатами для косых ударных волн, приведенными ранее, позволяют определить поток в остальных зонах, а также давление и угол наклона потока в зоне 6.
Получающиеся в результате скорости и углы наклона потока для одного частного случая приведены в масштабе на рис. 66. Для диапазона давлений, рассматриваемого здесь, скорости частиц, индуцируемые ударной волной, много меньше V, так что в выбранной системе координат изменения полной скорости частиц являются едва различимыми.
На рис. 67 дается сравнение результатов, полученных для ударных волн, падающих на тонкий экран под углом 45°, с соответствующими результатами для случая нормального падения при трех различных интенсивностях падающей ударной волны. Очевидно, что интенсивность проходящей через экран ударной волны в значительной степени зависит от угла, под которым исходная ударная волна падает на экран.
В. Изменение во времени процесса прохождения ударной волны через пузырьковый экран. Пример
Чтобы показать, насколько более важным является исследование потока, чем рассмотренных начальных ударных переходов, рассмотрим протекание процесса во времени для одного частного примера: действие ударной волны на погруженный в жидкость пузырьковый экран конечной толщины. Пузырьковый экран толщиной 15 футов при ц = 10~4 расположен на глубине 20 футов от по
УДАРНЫЕ ВОЛНЫ В ВОДЕ С ПУЗЫРЬКАМИ ВОЗДУХА 251
верхности воды. На эту поверхность внезапно прикладывается ступенчатая нагрузка 104 фунт/дюйм2. Из приведенной на рис. 68 диаграммы х, t для этого случая видно,
Рис. 67. Влияние угла падения ударной волны на ее интенсивность после прохождения через тонкий экран с пузырьками воздуха согласно теории теплового равновесия;
Р! == 14,7 фунт/дюйм2.
По оси абсцисс: относительная масса воздуха ц; по оси ординат: избыточное давление прошедшей через экран ударной волны, фунт/дюйм2. ----падение ударной волны под углом 45°;-----нормальное паде-
ние, 90°.
что ее основной характер остается тем же, что и на рис. 63, но она содержит последующую систему волн разрежения и ударных волн, отражаемых от поверхности. Из этой диаграммы (рис. 68) ясно, что поверхность
о
10 20
30
40
В
50 § Л Д' u 60
70
ВО 90
100
(1)
(2) Л 10000	/ \	/0000
^рунт/дюйм2/ (\
\	/г	\
\ / 6000	\
Поверхность
inooo
f s
14000
’ °.?<л: х°о ° °0.:
Экран\ °о \ о° X So° t’ • °о°о оА°в°0 ° ° • ° ° °
° о о ’ 0 о о о ° оХе в 60О0 о ° ’Л X ° ° ° ° млпп о ° °
::	:: •: X::: /^\s-;
: °	° ° •: °; •: у5у//оооо:\-’-,	•*.
\ (в)\	’
(1)
10000
14000
S
10000.
10000
0	5	/0
20	25	30
Время, мс
Рис. 68. Пространственно-временная диаграмма для случая ступенчатой нагрузки, внезапно приложенной к поверхности воды при экранирующем воздушно-водяном слое на глубине от 20 до 35 футов.
УДАРНЫЕ ВОЛНЫ В ВОДЕ С ПУЗЫРЬКАМИ ВОЗДУХА 253
и расположение экрана относительно нее могут оказать существенное влияние на интенсивность прошедшей ударной волны. Отраженная волна разрежения может, таким образом, уменьшать давление в падающей ударной волне только на то время, которое требуется для того, чтобы волна разрежения достигла поверхности воды и возвратилась в виде ударной волны, которая восстанавливает нагрузку. Но эта возвращающаяся от поверхности воды ударная волна встречает идущую наверх, отраженную от нижней поверхности экрана ударную волну, что приводит к давлениям, более высоким, чем начальное давление на поверхности. Это высокое давление также не может поддерживаться дольше времени ее распространения до поверхности и обратно, после чего давление снова падает до начальной нагрузки. Эти рассуждения частично иллюстрируются на диаграмме х, t рис. 68.
Г. Изменение во времени процесса прохождения ударной волны через пузырьковый экран при нестационарной нагрузке (ядерный взрыв)
Два примера с пузырьковыми экранами толщиной 5 и 15 футов служат иллюстрацией некоторых интересных следствий при действии импульса от ядерного взрыва на тонкий экран. В обоих случаях используется экран с относительным содержанием воздуха ц = 10"4, на который действует импульс давления 104 фунт/дюйм2 от взрыва на поверхности мощностью 1/2 Мт. В одном случае используется тот же экран, что и при ступенчатой нагрузке, т. е. толщиной 15 футов (на глубине от 20 до 35 футов). Экран толщиной 5 футов расположен на глубине от 30 до 35 футов.
Диаграмма х, t для экрана толщиной 15 футов (рис. 69) имеет некоторое сходство с диаграммой для случая ступенчатой нагрузки, но очевидны и несколько отличительных черт. Падающая ударная волна Si отражается пузырьковым экраном в виде волны разрежения Г2, точно так же как в предыдущем случае со ступенчатой нагрузкой, но уменьшение давления за падающей ударной волной эквивалентно некоторой волне
Рис. 69. Пространственно-временная диаграмма ударных волн и волн разрежения для экрана толщиной 15 футов, расположенного на глубине 20 футов.
УДАРНЫЕ ВОЛНЫ В ВОДЕ С ПУЗЫРЬКАМИ ВОЗДУХА
255
разрежения следующей за ударной волной, и эта волна разрежения отражается от экрана как волна сжатия, которая вскоре переходит в ударную волну s2. Взаимодействие волн Г1 и г2 Дает область нулевого давления, которая продолжает существовать до тех пор, пока г2 не отразится как ударная волна от свободной поверхности.
В случае экрана толщиной 5 футов, нижняя поверхность которого расположена на той же глубине, что и у экрана толщиной 15 футов, качественные характеристики остаются теми же самыми за одним значительным исключением. В случае экрана толщиной 15 футов (рис. 69 и 70) ударная волна, идущая от поверхности, догоняет первичную ударную волну внутри экрана, увеличивая ее интенсивность перед отражением от нижней поверхности экрана. При толщине экрана 5 футов (не иллюстрируется) этой вторичной ударной волне не удается догнать первичную ударную волну за короткое время. Поэтому давление за прошедшей ударной волной в случае экрана толщиной 5 футов меньше, чем в случае экрана толщиной 15 футов.
Данные примеры показывают, насколько важно учитывать взаимодействие между свободной поверхностью и пузырьковыми экранами на небольшой глубине. Для минимизации давления за прошедшей ударной волной глубина погружения экрана должна быть достаточной для того, чтобы волна, образующаяся от взаимодействия с поверхностью, не смогла догнать первичную ударную волну, проходящую через экран. Поскольку вода является по существу линейной средой, то, если ударные волны не коалесцируют внутри экрана, маловероятно, что они сойдутся за пределами экрана.
Для экрана толщиной 15 футов профили давления в различные моменты времени показаны на рис. 70. Общим следствием для различных экранов и взаимодействий с поверхностью в этом случае (когда пик давления падающей на экран ударной волны равен 8000 фунт/дюйм2) является импульс давления, прошедший через экран с максимумом около 4500 фунт/дюйм2. Для экрана толщиной 5 футов, нижняя поверхность которого расположена на той же глубине, начальное
О IO 20 30 40 50 60 70
д
Ж
Рис. 70. Профили давления при прохождении ударной волны через экранирующий слой с пузырьками воздуха толщиной 15 футов.
На всех графиках по оси абсцисс: глубина, фут; по оси ординат: давление, фунт/дюйм2.
a) / = 2,57 мс; б) / = 6,11 мс; в) /==11,7 мс; г) / = 13,9 мс; О) / = 22,4 мс;
е) /=25,9 мс; ж) t—30,2 мс.
УДАРНЫЕ ВОЛНЫ В ВОДЕ С ПУЗЫРЬКАМИ ВОЗДУХА
257
давление составляет около 7700 фунт/дюйм2, а прошедшие через экран импульсы (как начальный, так и после взаимодействия) имеют максимальное давление около 3500 фунт/дюйм2. В противоположность этому из рис. 65 следует, что в предположении «тонкого экрана» в таких случаях практически не происходит затухания прошедшей ударной волны. Очевидно, что пренебрежение эффектами взаимодействия внутри экрана приводит к результатам в предположении «тонкого экрана», которые дают завышенные давления в прошедшей ударной волне, когда импульс падающей ударной волны имеет острый профиль. Следует отметить, что во всех приведенных вычислениях для нестационарных случаев мощность импульса принималась равной */2 Мт. В случае больших мощностей с более длительной продолжительностью действия приближение «тонкого экрана» будет давать более точные значения давления в прошедшей ударной волне.
Список литературы
1.	Campbell I. J., Note on sound propagation in a gas — liquid mixture, Admiralty Research Laboratory, Report A. R. L./NI/G/NY/17/0. Teddington, Middlesex, England, Aug. 1957.
2.	Campbell I. J., Normal impact of a plane shock on the interface between a liquid and a gas — liquid mixture, Admiralty Research Laboratory, Report A. R. L. /N2/G/NY/17/0, Teddington, Middlesex, England, May 1958.
3.	Campbell I. J., Pitcher A. S., Shock waves in a liquid containing gas bubbles, Admiralty Research Laboratory, Report A R. L./RI/G/HY/17/0, Teddington, Middlesex, England, Aug. 1957; см. также Proc. Roy. Soc., A234, № 1235, Feb., 534 (1958).
4.	Silberman E., Sound velocity and attenuation in bubbly mixtures measured in standing wave tubes, /. Acoust. Soc. Amer., 29, № 8, Aug., 925 (1957).
5.	Ellis A. T., Observations on cavitation bubble collapse, California Institute of Technology Hydrodynamics Laboratory Report № 21-12, Pasadena, California, Dec. 1952.
6.	Ламб Г., Гидродинамика, перев. с 6-го англ, изд., Гостехиздат, М. — Л., 1947.
7.	Knapp R. Т., Hollander A., Laboratory investigations of the mechanism of cavitation, Trans. A.S.M.E.,	70, July, 419
(1948).
8.	Plesset M. S., On the stability of fluid flows with spherical shape symmetry, J. Appl. Phys., 25, № 1, Jan., 96—98 (1954).
9 Зак. 741
258	Б. Р ПАРКИН, Ф. Р. ГИЛМОР, Г. Л. БРОУД
9.	Plesset М. S., Mitchell Т. Р., On the stability of the spherical shape of a vapor cavity in a liquid, Quart. Appl. Math., 13, № 4, Jan., 419 (1956).
10.	Карслоу Г., Егер Д., Теплопроводность твердых тел, перев. со 2-го англ, изд., «Наука», М., 1964.
11.	Epstein Р. S., Plesset М. S., On the stability of gas bubbles in liquid — gas solutions, J. Chem. Phys., 18, № 11, Nov. (1950).
12.	Brode H. L., Weapons effects for protective design, The RAND Corporation, Paper P-1951, March 31, 1960.
13.	Brode H. L., Numerical calculations of blast waves, The RAND Corporation, Paper P-1933, Feb. 16, 1960.
14.	Von Neumann J., Richtmyer R. D., A method for the numerical calculations of hydrodynamic shocks, J. Appl. Phys., 21, 232 (1950).
15.	Terzaghi K., Peck R. B., Soil mechanics in engineering practice, John Wiley and Sons, Inc., New York, 1948, p. 58.
16.	Birch F., et al., Handbook of physical constants, Geological Society of America Special Papers № 36, Jan. 31, 1942, p. 98.
ВЛИЯНИЕ ВОДЫ В ГОРНЫХ ПОРОДАХ НА ЭФФЕКТЫ ПОДЗЕМНЫХ ЯДЕРНЫХ ВЗРЫВОВ >)
Т. Р. Буткович
Рассматривается влияние воды в силикатных горных породах, в которых производятся подземные ядерные взрывы. Взрывы в горной породе с высоким содержанием воды сопровождаются образованием полостей с большим объемом, а в случае взрыва на выброс, производимого в горной породе с высоким содержанием воды, наблюдаются повышенные значения пиковых откольных скоростей. Предлагается водо-подпорная модель, согласно которой среда в некоторой зоне вокруг подземного ядерного взрыва считается двухкомпонентной* 2) системой, разгружающейся от пикового ударного давления. В этой зоне горная порода расплавлена или достаточно нагрета, а вода в этой зоне целиком или полностью испарена. Кривая разгрузки такой системы рассчитывается на основе кривых разгрузки обоих компонентов с учетом их процентного содержания. Эта модель была проверена при помощи одномерных расчетов на ЭВМ по программе, предназначенной для проведения расчетов воздействия подземных взрывов на окружающую среду. Результаты расчетов сравнивались с измерениями, произведенными в горных породах, в которых содержание воды изменялось от долей процента до более 25% по весу. Прекрасное согласие получено для пиковых напряжений в области порядка килобар для радиуса полости и для скорости свободной поверхности в случае взрыва на выброс. Чтобы достичь хорошего согласия измеренных и рассчитанных значений времен прихода ударной волны и пиковых давлений в области порядка 100 кбар в твердом компоненте горной породы, введен фазовый переход, подобный тому, который наблюдается в горной породе, сжатой ударной волной до давлений больше 100 кбар. Влияние фазового перехода в твердом компоненте горной породы вдали, в области давлений порядка килобар, не представляется существенным.
Подземные ядерные взрывы проведены в весьма большом числе силикатных горных пород, которые
9 Butkovich Т. R., Influence of water in rocks on effects of underground nuclear explosions, Journal of Geophysical Research, 76, № 8, 1993—2011 (1971).
2) Терминологически более правильно называть эту систему двухфазной. — Прим. ред.
9*
260
Т. Р. БУТКОВИЧ
классифицируются от совершенно сухих до полностью насыщенных водой. Горные породы, непосредственно окружающие точку взрыва, изменялись от гранита с трещиноватой пористостью 1 % до лаво-пеплогенных туфов с объемной пористостью 50%. Содержание воды по весу колебалось от долей процента до более чем 25% в зависимости от пористости и степени водонасыщения. Вдобавок к поровой воде горные породы могут содержать химически связанную воду. Количество связанной воды в горной породе зависит от ее минеральных компонентов, а ее выделение зависит от температуры и давления в горной породе.
Отмечалось, что наличие воды в горной породе, окружающей ядерный заряд, влияет на развитие ядерного взрыва. Черри и Петерсен [5] сообщали о влиянии свободной воды на прочность гранита с относительно низким содержанием воды. В работе [13] подчеркивалась важность содержания воды для эффективности образования воронки от ядерного взрыва. Хиггинс и Буткович [7] показали, что полости больших размеров образуются от ядерных взрывов в горных породах с более высоким содержанием воды. Наличие воды интенсифицирует рост полости не только потому, что влажная порода является более слабой, но также потому, что водяные пары образуют газ, существенно не конденсируемый по сравнению с парами горной породы.
Когда ядерное устройство сдетонирует, вся энергия выделяется менее чем за 1 мкс. Чрезвычайно высокие давления и температуры, которые возникают при выделении энергии, испаряют материал ядерного устройства и образуют сильную ударную волну, распространяющуюся по окружающей среде. Ударная волна затухает по мере распространения от центра взрыва, до тех пор пока она не выродится в звуковую волну. Когда ударная волна достигает некоторого элемента среды, происходит внезапное увеличение давления, плотности, внутренней энергии, температуры и энтропии. Ударная волна соответствует соотношениям Рэнкина — Гюгонио и уравнению состояния данной среды. После прохождения ударной волны этот элемент среды расширяется вдоль адиабаты, т. е. давление, плотность, температура
ВЛИЯНИЕ ВОДЫ НА ЭФФЕКТЫ ПОДЗЕМНЫХ ВЗРЫВОВ 261
и внутренняя энергия в нем уменьшаются непрерывно, в то время как энтропия среды после сжатия остается постоянной.
Если достаточное количество энергии ввести в этот элемент среды, то он полностью испарится и будет расширяться подобно газу. Буткович [4] сообщил о расче-
Пиковое давление
50 кбар
400 кбар
Рис. 1. Границы сферических областей вокруг ядерного взрыва, где может происходить полное или частичное испарение.
/ — область полного испарения; 2 — горная порода расплавлена, вода полностью или частично испарена; 5 —вода частично испарена,
тах, которые показывают, что приблизительно 70 т силикатной горной породы на 1 кт выделяемой энергии полностью испаряются ударной волной. За пределами этой области полного испарения находится область, где в среду вводится столько энергии, что ее достаточно, чтобы расплавить горную породу и испарить воду, содержащуюся в ней. В третьей области среда лишь нагревается, но настолько, чтобы испарить водный компонент (рис. 1).
Для расчета перемещения среды от подземного ядерного взрыва необходимо иметь полное описание связи энергии с объемом и давлением во всем интервале
262
Т. Р. БУГКОВИЧ
давлений и плотностей для изучаемых сред. Теоретические газовые уравнения состояния для силикатных горных пород в области полного испарения были разработаны Бутковичем [4]. Они связывают давление, плотность и внутреннюю энергию в силикатных горных породах с различным весовым содержанием воды:
SiO2 + 1 % Н2О; SiO2 + 10% Н2О; SiO2 + 20% Н2О.
Эти уравнения состояния используются в настоящее время в одномерной [5] и в двумерной [10] гидродинамических упруго-пластических программах счета в Лау-ренсовской радиационной лаборатории под названием SOC и TENSOR соответственно. Для областей, лежащих за пределами зоны полного испарения, используются экспериментально определенные уравнения Гюгонио и измеренные кривые гидростатической разгрузки, используемые для определения хода разгрузки. Ударные адиабаты Гюгонио были измерены для многих материалов при помощи стандартной техники [15]. Стифенс и др. [12] измерили кривые изотермической разгрузки от давлений порядка 40 кбар. Их результаты позволяют судить об эффекте уплотнения ненасыщенной водой пористой горной породы.
Бьорк построил уравнение состояния для воды на основе экспериментальных результатов и теоретических представлений в области разгрузки после ударного сжатия (рис. 2). В области от 10 000 Мбар до 50 кбар были рассчитаны 29 адиабат. В соответствии с этим уравнением состояния вода, подвергнутая ударному сжатию до давлений свыше 700 кбар, при разгрузке полностью испаряется. Там, где максимальное давление сжатия было ниже 50 кбар, вода останется жидкой при разгрузке. В области давлений ударного сжатия от 50 до 700 кбар при разгрузке будет происходить частичное испарение, причем будет оставаться паро-жидкостная смесь.
В области вблизи ядерного взрыва, где давление ударного сжатия не приводит к полному испарению горной породы, но превышает 50 кбар, происходит полное или частичное испарение водного компонента. В табл. 1 показаны границы этой области для трех сред. Здесь
P, Mtfup
Рис. 2. Адиабата Гюгонио для воды и рассчитанные адиабаты разгрузки от давлений 1000 Мбар до 50 кбар (по данным Бьорка). 1—адиабата Гюгонио для воды; 2—-область двухфазного состояния.
264
Т. Р. БУГКОВИЧ
Таблица 1
Радиусы полного испарения горной породы и радиусы полного испарения водного компонента для трех горных пород при различных энергиях взрыва
Энергия, кт	Аллювии		Водо насыщенный туф		Гранит	
	/?р. м	Rw м	Rv, и	м	Rv. и	
1	2,2	4,5	2,1	5,0	1,8	6,5
10	4,7	9,7	4,4	10,8	3,9	14,0
100	10,2	20,9	9,6	23,2	8,5	30,2
1000	22,0	45,0	20,6	50,0	18,3	65,0
Rv — рассчитанный радиус полного испарения горной породы [4]. Между Rv и Rw заключена область, в которой водный компонент полностью или частично переходит в пар. В данном случае Rw характеризует радиус, где давление ударного сжатия составляет 100 кбар, так как при ударном сжатии ниже этого давления вода начнет переходить в пар при разгрузке до давлений менее 12 бар.
Адиабаты разгрузки горной породы, содержащей воду, рассчитываются по адиабатам разгрузки каждого из двух компонентов при условии отсутствия какой-либо химической реакции, такой, как растворение одного компонента в другом. Кеннеди и др. [9] измерили растворимость SiO2 в Н2О при высоких давлениях и температурах. Они нашли, что растворимость есть функция давления и времени, но для заметного растворения требуются минуты. В случае ядерного взрыва рост полости и развитие всего явления завершается за время, меньшее 1 с.
ВОДО-ПОДПОРНАЯ МОДЕЛЬ
В развиваемой здесь модели, которую назовем водоподпорной, среда представляется состоящей из двух компонентов — воды и горной породы, включающей пустоты. Если среда сжимается в ударной волне давлением, достаточным, чтобы вызвать испарение воды при
Таблица 2
Адиабата Гюгонио двух горных пород с расчетными значениями удельного объема компонентов и объемной доли твердого компонента
Pfj, Мбар	см3/г	V^, см3/г	V%, см\г	^vol
Гранит при взрыве «Хардхэт» (0,5% воды по весу), плотность зерна 2,70 г/см3
0	0,3745	1,0018	0,3714	0,9866
0,001	0,3738	0,9580	0,3708	0,9872
0,002	0,3730	0,9300	0,3702	0,9875
0,003	0,3723	0,9118	0,3696	0,9878
0,005	0,3710	0,8808	0,3684	0,9881
0,007	0,3700	0,8569	0,3675	0,9884
0,01	0,3679	0,8301	0,3655	0,9887
0,02	0,3618	0,7618	0,3598	0,9895
0,03	0,3560	0,7280	0,3541	0,9898
0,05	0,3450	0,6735	0,3433	0,9902
0,07	0,3348	0,6390	0,3333	0,9905
0,1	0,3199	0,6075	0,3185	0,9905
0,2	0,2795	0,5363	0,2785	0,9906
0,3	0,2481	0,4897	0,2469	0,9906
0,5	0,2197	0,4300	0,2186	0,9906
0,7	0,2087	0,3950	0,2077	0,9906
1,0	0,1998	0,3610	0,1989	0,9910
Туф при взрыве «Спунер» (27,6% воды по весу), плотность зерна 2,60 г/см3
0	0,6235	1,0018	0,4793	0,5565
0,0001	0,6200	0,9972	0,4762	0,5561
0,001	0,5419	0,9580	0,3822	0,5121
0,002	0,5310	0,9300	0,3787	0,5167
0,003	0,5220	0,9118	0,3734	0,5179
0,005	0,5070	0,8808	0,3645	0,5205
0,007	0,4960	0,8509	0,3584	0,5232
0,01	0,4822	0,8301	0,3496	0,5249
0,02	0,4515	0,7618	0,3332	0,5343
0,03	0,4365	0,7280	0,3254	0,5397
0,05	0,4186	0,6735	0,3214	0,5559
0,07	0,4055	0,6390	0.3165	0,5651
0,1	0,3902	0,6075	0,3074	0,5703
0,2	0,3560	0,5363	0,2873	0,5842
0,3	0,3340	0,4897	0,2746	0,5953
0,5	0,3090	0,4300	0,2629	0,6159
0,7	0,2961	0,3950	0,2584	0,6318
1,0	0,2840	0,3610	0,2546	0,6492
266
Т. Р БУТКОВИЧ
разгрузке (т. е. выше 50 кбар), все пустоты необратимо исчезают. Было сделано предположение, что давление Pw в водном компоненте быстро выравнивается с давлением PR в горном компоненте, т. е. Pw = Pr- Зная сжимаемость воды из адиабаты Гюгонио и измеряя адиабату Гюгонио для двухкомпонентной системы «горная порода, включая пустоты, — вода», объемное содержание воды U/voi можно определить на основании весового содержания воды Wwt по формуле
V Wvo]=Wwi^, v s
(1)
где Vs — удельный объем двухкомпонентной системы, a Vw —удельный объем воды при том же давлении. Объемное содержание твердого компонента /?Voi равно
Rv0[ = 1 - rvol.	(2)
Удельный объем твердого компонента VR равен
Vr = RvoiVsVw/Vw — U^voi^s*	(3)
В табл. 2 приведены значения Vw, Rvoi и VR, рассчитанные для двух типов горных пород, в которых производились подземные ядерные взрывы. Гранит при взрыве «Хардхэт» имеет низкую трещинную пористость. Измерения содержания воды показывают, что ее весовая доля составляет часть процента; мы приняли ее равной 0,5%. Водонасыщенный туф при взрыве «Скунер» имеет высокую пористость с содержанием воды, равным 27,6% по весу [12]. На рис. 3 представлены данные из табл. 2 для туфа «Скунер».
После прохождения ударной волны твердый и водный компоненты будут иметь разные температуры. Предполагаем, что теплопередача между компонентами за  интересующее нас время будет незначительной. Чапин изучал этот эффект и показал, что тепловое равновесие между водой и твердым компонентом достигается за время порядка минуты.
Адиабаты разгрузки для твердого компонента были рассчитаны по адиабате Гюгонио твердого компонента (Рц в зависимости от VR в табл. 2), причем VR счи-
Рис. 3. Измеренные адиабаты Гюгонио для туфа «Скунер» (Ks), для воды (Vw) и рассчитанная адиабата Гюгонио для твердого компонента туфа (Гл).
---- адиабаты разгрузки от давления 1 Мбар.
268
Т. Р. БУТКОВИЧ
талось соответствующим плотности зерна при нулевом давлении. Разница в удельных объемах между адиабатой разгрузки и адиабатой Гюгонио связана с объемным расширением из-за нагревания. Адиабаты разгрузки для твердого компонента рассчитаны по уравнению состояния Ми — Грюнайзена [11]:
Р=РН + ±(Е-ЕН),
где Рн и Ен — давление и энергия на 1 г для адиабаты Гюгонио, V — удельный объем и Г — так называемый коэффициент Грюнайзена. Предполагалось, что коэффициент Грюнайзена зависит только от объема, и в расчетах было принято, что отношение Г/V постоянно и равно 0,5. Это приближение приводит к неточности в удельном объеме приблизительно в 20% при разгрузке от 1 Мбар до 1 бар. Кроме того, энергия Ен определяется выражением
ЕН = ±Р„(УО-VR),
где Vo — удельный объем горной породы при нулевом давлении.
Общее изменение объема Av некоторого элемента двухкомпонентной системы равно
Av = Av^ + Av^,
где Avw и Avp — изменения объемов водного и твердого компонента соответственно. Удельный объем системы V5 определялся при каждом давлении из адиабат разгрузки обоих компонентов выражением
V's = RwtV'R+ lVwtV^
где VR и Vw—удельные объемы на соответствующих адиабатах разгрузки компонентов. На рис. 3 приведены адиабаты разгрузки от давления 1 Мбар для твердого и жидкого компонентов, а также для туфа при взрыве «Скунер», подсчитанные таким способом. На рис. 4 и 5 приведены рассчитанные адиабаты для туфа «Скунер» и гранита «Хардхэт» при разгрузке от давлений на адиабате Гюгонио, равных 100, 200, 300, 500, 700, 1000 кбар.
Р, Мбар
Рис. 4. Адиабаты разгрузки для туфа «Скунер», рассчитанные при помощи водо-подпорной модели (содержание воды по весу 27,6%), ——— измеренная адиабата Гюгонио.
Рис. 5. Адиабаты разгрузки для гранита «Хардхэт», рассчитанные при помощи водо-подпорной модели (содержание воды по весу 0,5%).
------адиабата Гюгонио.
ВЛИЯНИЕ ВОДЫ НА ЭФФЕКТЫ ПОДЗЕМНЫХ ВЗРЫВОВ 271
Для туфа «Скунер» с высоким содержанием воды влияние воды становится существенным при разгрузке до давлений ниже приблизительно 10 кбар, происходящей по адиабатам, начальные точки которых находятся выше 200 кбар. Для гранита «Хардхэт» влияние воды становится существенным лишь при разгрузке до давлений ниже 300 бар и приводит к значительно меньшим расширениям, чем у туфа «Скунер».
В водо-подпорной модели предполагается, что давление в водном компоненте всегда равно давлению в твердом компоненте системы горная порода —вода. Однако удельные внутренние энергии (т. е. на 1 г вещества) твердого Er и жидкого Ew компонентов не равны друг другу. При сжатии во фронте ударной волны изменение удельной внутренней энергии двухкомпонентной системы равно
(E-EO)S = ±PH(VO-V)S,
где символ S означает двухкомпонентную систему. Ана-^ логично
(Е ==‘2-^я(^о	^)w
есть изменение внутренней энергии для водного компонента, а
есть изменение внутренней энергии для твердого компонента. Поэтому
(Е - E0)s = -LpH[Rvt(Vo- V)R + Wwt (Ио - V) J.
При разгрузке работа, совершаемая двухкомпонентной системой над окружающей ее средой, равна сумме работ, совершенных каждым компонентом.
СРАВНЕНИЕ РАСЧЕТОВ С ЭКСПЕРИМЕНТАМИ
Водо-подпорная модель была проверена при проведении одномерных расчетов по программе SOC для нескольких подземных ядерных взрывов, в которых
272
Т. Р. БУТКОВИЧ
производились экспериментальные измерения и полученные результаты оказались доступными. К сожалению, при ядерных взрывах не удается провести обширных измерений. Часто радиус полости измеряется при помощи скважины, пробуриваемой в район взрыва. При взрывах на выброс обычно измеряют только скорость движения свободной поверхности и размеры образующейся воронки. В некоторых случаях измеряют максимальное давление в ударной волне и время ее прихода. Для нас представляют интерес подземные ядерные взрывы при высоком или малом содержании воды в горной породе вблизи центра взрыва.
Горная порода с малым содержанием воды
Взрыв «Хардхэт» с энергией 5 кт был выбран в качестве примера взрыва в горной породе с низким содержанием воды. Для гранита «Хардхэт» имеется хорошо определенная ударная адиабата Гюгонио; кроме того, многочисленные измерения прочности были проведены на образцах, взятых из этого гранита. Предварительно проведенные расчеты хорошо согласуются с измеренными значениями пиковых напряжений, пиковых скоростей перемещения частиц, с временами прихода ударных волн и радиусом полости [5, 3]. Взрыв «Шоал» был проведен в аналогичной горной породе, и измеренные значения пиковых напряжений подобны соответствующим величинам взрыва «Хардхэт» [8].
Два расчета были проведены при помощи одинаковых адиабат ударного сжатия и прочностных соотношений для описания поведения среды. В первом расчете предполагалось, что разгрузка среды происходит сначала по адиабате ударного сжатия, а при давлениях ниже 40 кбар разгрузка в гидростатических условиях. Второй расчет был выполнен при использовании описанной выше разгрузки с адиабаты Гюгонио для горной породы с весовым содержанием воды 0,5%, как показано на рис. 5. Рассчитанные значения пиковых радиальных напряжений в зависимости от расстояния для обоих случаев и результаты, полученные при взрывах «Хардхэт» и «Шоал» в пересчете на 1 кг, приведены на
Рис. 6. Зависимость измеренных пиковых радиальных напряжений от расстояния для взрыва «Хардхэт» в сравнении с напряжениями, рассчитанными с использованием водо-подпорной модели и без нее.
По оси ординат: пиковое радиальное напряжение, Мбар.
О. данные взрыва «Шоал»; □, данные взрыва «Хардхэт».
----- расчет без водо-подпорной модели;------расчет с водо-подпорной моделью.
Рис. 7. Импульс радиальных напряжений через 12 мс после взрыва «Хардхэт», рассчитанный с использованием водо-подпорной модели и без нее.
Обозначения см. под рис. б.
Р и с. 8. Импульс радиальных напряжений через 25 мс после взрыва «Хардхэт», рассчитанный с использованием водо-подпорной модели и без нее.
Обозначения см. под рис. 6.
ВЛИЯНИЕ ВОДЫ НА ЭФФЕКТЫ ПОДЗЕМНЫХ ВЗРЫВОВ 275
рис. 6. На рис. 7 даны рассчитанные радиальные напряжения в зависимости от расстояния через 12 мс после взрыва. Для взрыва «Хардхэт» измеренное пиковое радиальное напряжение на расстоянии 61,9 м от центра взрыва составило 4 кбар. На рис. 8 показан аналогичный профиль через 25 мс после взрыва. Измеренное пи-
Рис. 9. Развитие полости при взрыве «Хардхэт», рассчитанное с использованием водо-подпорной модели и без нее.
Обозначения см. под рис. 6.
ковое радиальное напряжение на расстоянии 109,7 м составляло 1,25 кбар. На рис. 9 приведены результаты расчета расширения полости.
Горная порода с высоким содержанием воды
В качестве взрыва, проведенного в горной породе с высоким содержанием воды, был выбран взрыв «Скунер» с энергией 31 кт. Взрыв «Скунер» был произведен на небольшой глубине для того, чтобы образовалась воронка. На основании предварительно проведенных расчетов пиковая откольная скорость ожидалась равной 34 м/с, что оказалось на 30% меньше измеренной при взрыве скорости, равной 50 м/с [4]. Низкое значение
276
Т. Р. БУТКОВИЧ
предсказанных скоростей соответствует крайнему случаю, когда образование кратера определяется только одним механизмом ускорения верхнего слоя горной породы — отколом. Можно подозревать, что высокое содержание воды в окружении взрыва «Скунер» является причиной большого расхождения предсказанных и измеренных величин.
Рис. 10. Скорость движения свободной поверхности при взрыве «Скунер», рассчитанная с использованием водо-подпорной модели и без нее.
Обозначения см. под рис. 6.
Для взрыва «Скунер» было проведено два расчета при помощи одних и тех же уравнений состояния и прочностных свойств среды. В первом расчете использовались адиабата Гюгонио и кривые разгрузки, полученные при гидростатических измерениях до 40 кбар [12]. Второй расчет был выполнен на основе кривых разгрузки с адиабаты Гюгонио, полученных по водо-подпорной модели для весового содержания воды 27,6% (рис. 5). На рис. 10 дан график скорости свободной поверхности в обоих случаях. Отметим, что в первом случае скорость откола получается такой же, как и в предварительном расчете. Когда же используется водоподпорная модель, рассчитанное значение скорости свободной поверхности оказывается близким к измеренному.
ВЛИЯНИЕ ВОДЫ НА ЭФФЕКТЫ ПОДЗЕМНЫХ ВЗРЫВОВ 277
Горная порода со средним содержанием воды
Случай горной породы со средним содержанием воды вблизи точки взрыва был рассчитан на основе взрыва «Бенхам» с энергией 1 Мт. Туф при взрыве «Бенхам» был насыщен водой со средним весовым содержанием 13,4% [12]. На рис. 11 приведена адиабата Гюгонио для туфа, построенная по экспериментальным данным, сообщенным Хордом. На рис. 12 показаны результаты расчета разгрузки туфа после ударного сжатия.
При взрыве «Бенхам» были проведены измерения пиковых давлений и времен прихода волны вблизи от центра взрыва для определения энерговыхода взрывного устройства. Были выполнены расчеты на основе кривых разгрузки, представленных на рис. 12. Результаты измерений времен прихода ударной волны, представленные Сайсмором и полученные при помощи SLIFER -метода [6], приведены на рис. 13. Результаты измерений пиковых давлений, представленные Ларсоном вместе с кривыми для двух случаев расчета, приведены на рис. 14. Видно, что рассчитанные по водоподпорной модели значения времен прихода и пиковых давлений не совпадают с экспериментальными результатами.
Сравнение расчетных данных с экспериментальными показывает, что для получения хорошего согласия между ними необходимо, чтобы давление первоначально падало значительно быстрее, чем это следует из адиабаты Гюгонио. Это может быть в случае, когда в материале, сжатом ударной волной до высоких давлений, происходит фазовый переход. Аренс и Розенберг [1] наблюдали фазовые переходы для кварца при разгрузке после ударного сжатия. Из адиабат разгрузки для кварца видно, что в интервале давлений от 114 до 144 кбар ударно сжатый материал представляет собой смесь кварца с коэситом или кварца со стишовитом и что при падении давления остается некоторое количество фазы, соответствующей высокому давлению. Кривые адиабат разгрузки от более высоких давлений указывают, что ударно сжатый кварц переходит в стишо
278
Т. Р. БУТКОВИЧ
вит. При разгрузке от приблизительно 400 кбар и выше стишовит начинает переходить при давлениях около
Рис. 11. Измеренная адиабата Гюгонио туфа при взрыве «Бенхам», рассчитанная адиабата Гюгонио твердого компонента туфа и адиабата разгрузки с учетом фазового перехода, возникающего при высоких давлениях.
/ — измеренная адиабата Гюгонио; 2 —твердый компонент; 3 — стишов it; 4— модель с фазозым переходом; X, опытные точки адиабаты Гюгонио.
50 кбар в фазу с более низкой плотностью. Аренс и др. [2] также наблюдали фазовый переход для полевого шпата, который по мере сжатия все более и более высо-
Р,Мбар
Рис. 12. Адиабаты разгрузки туфа при взрыве «Бенхам», рассчитанные с учетом фазового перехода в твердом компоненте туфа (содержание воды по весу 13,4%).
---- измеренная адиабата Гюгонио.
280
Т. Р. БУТКОВИЧ
ким давлением переходил в более плотное полиморфное состояние. Они решили, что этот полиморфизм, вероят-
Р и с. 13. Измеренные и рассчитанные времена прихода ударной волны при взрыве «Бенхам».
О. данные, полученные методом SLIFER;------расчет при помощи водо-подпорной модели; ----- расчет при помощи водо-подпорной модели и фазового
перехода.
но, соответствует рутилоподобной холландитной структуре, которая, очевидно, возвращается в фазу низкой плотности при падении давления.
Р,Мбар
Рис. 14. Измеренные и рассчитанные пиковые давления в ударной волне при взрыве «Бенхам».
О. измерения пикового давления; / — расчет при помощи водо-подпорной модели;
2— расчет при помощи водо-подпорной модели и фазового перехода в твердом компоненте туфа.
282
Т. Р. БУТКО ВИЧ
ВВЕДЕНИЕ ФАЗОВОГО ПЕРЕХОДА
Фазовый переход, подобный тому, который наблюдал Аренс, возможен в твердом компоненте горной породы, т. е. кривая разгрузки для твердого компонента горной породы от давлений 400 кбар идет резко вниз от адиабаты Гюгонио, а при давлении около 50 кбар
Рис. 15. Измеренный и рассчитанный радиус полости при взрыве «Бенхам».
1 — измеренный радиус полости; ------ расчет при помощи во до-подпорной
модели и фазового перехода;-------расчет без водо-подпорного эффекта и
фазового перехода.
эта кривая выходит на плотность, соответствующую состоянию до ударного сжатия (это видно на рис. 11). В соответствии с этим были подправлены адиабаты разгрузки для двухкомпонентной системы и проведены расчеты по программе SOC. Результаты расчетов приведены на рис. 13 и 14 совместно с результатами расчета без фазового перехода. Как видно, экспериментальные данные и расчеты с учетом фазового перехода находятся в значительно лучшем согласии. На рис. 15 показано изменение размера полости во времени, полученное при помощи двух расчетов: в одном использовалась водо-подпорная модель с учетом фазового перехода, а
ВЛИЯНИЕ ВОДЫ НА ЭФФЕКТЫ ПОДЗЕМНЫХ ВЗРЫВОВ 283
в другом — не учитывалось ни то, ни другое; там же для сравнения приведен измеренный радиус полости. На рис. 16 приведен профиль напряжений в зависимости от расстояния через 50 мс после взрыва, полученный в этих двух расчетах.
Рис. 16. Рассчитанный импульс радиальных напряжений через 50 мс после взрыва «Бенхам».
----- расчет при помощи водо-подпорпого эффекта и фазового перехода; ----------расчет без водо-подпорного эффекта или фазового перехода.
Так как расчеты для взрывов «Хардхэт» и «Скунер» проводились первоначально без учета фазового перехода, было принято, что и в этих случаях происходит фазовый переход, подобный тому, который учитывался в расчетах для взрыва «Бенхам», и были внесены соответствующие поправки в кривые разгрузки. С учетом этих изменений расчеты были повторены; оказалось, что лишь небольшое различие наблюдается между расчетами, выполненными по водо-подпорной модели с учетом и без учета фазовых переходов. На рис. 17 приведен
6
Рис. 17. Рассчитанный импульс радиальных напряжений через 12 мс после взрыва «Хардхэт».
----- расчет без фазового перехода в твердом компоненте гранита;-расчет с фазовым переходом.
Рис. 18. Рассчитанная скорость движения свободной поверхности при взрыве «Скунер».
По оси ординат: скорость свободной поверхности, м/с;---расчет с фазовым
переходом в твердом компоненте туфа; ----- расчет без фазового перехода
ВЛИЯНИЕ ВОДЫ НА ЭФФЕКТЫ ПОДЗЕМНЫХ ВЗРЫВОВ 285
график распределения радиального напряжения с расстоянием через 12 мс после взрыва «Хардхэт», а на рис. Г8 — рассчитанная скорость свободной поверхности для взрыва «Скунер».
ВЫВОДЫ И ЗАКЛЮЧЕНИЯ
Предложена водо-подпорная модель, согласно которой среда в области вокруг подземного ядерного взрыва рассматривается как двухкомпонентная система, разгружающаяся после сжатия пиковым ударным давлением. В этой области порода плавится или просто нагревается, а вода, содержащаяся внутри этой области, целиком или частично испаряется. Предполагается, что твердый и жидкий компоненты при разгрузке имеют одно и то же давление. Кривые разгрузки обоих компонентов учитываются при помощи процентного содержания каждого компонента.
Эта модель была проверена путем проведения расчетов по одномерной программе SOC и сравнения результатов расчетов с экспериментальными данными, полученными в горных породах с содержанием воды от 1 до 25% по весу. Для гранита при взрыве «Хардхэт» с низким содержанием воды различие между расчетами при помощи водо-подпорной модели и без нее оказалось относительно небольшим. Однако результаты, полученные при помощи водо-подпорной модели, находятся в лучшем согласии с измерениями пиковых радиальных напряжений в области порядка 1 кбар. Прекрасное согласие между рассчитанными и измеренными скоростями свободной поверхности было получено для туфа при взрыве «Скунер» с высоким содержанием воды в противоположность расчетам без введения водо-подпорной модели, которые дали на 30% заниженные значения.
Для взрыва «Бенхам» с энергией 1 Мт наблюдалась значительная разница между рассчитанными и измеренными временами прихода и пиковыми давлениями в области порядка 100 кбар. Измерения указывали, что пиковые давления падают с расстоянием значительно быстрее, чем это получено из расчетов. Дальнейшие
286
Т. Р. БУТКОВИЧ
исследования показали, что разгрузка силикатных горных пород после сильного сжатия в ударной волне происходит более круто, чем на адиабате Гюгонио. Этот результат указывает на то, что после ударного сжатия до давлений, превышающих 100 кбар, силикатные горные породы претерпевают фазовое изменение с переходом в более плотное полиморфное состояние, которое при уменьшении давления может или вернуться в фазу с низкой плотностью, или некоторая часть более плотной фазы может сохраниться — в зависимости от минерального состава горной породы и от пикового давления в ударной волне. В предположении, что такой фазовый переход происходит в твердом компоненте горной породы, было получено прекрасное согласие между экспериментальными и расчетными результатами.
Этот фазовый переход в твердом компоненте был учтен в водо-подпорной модели, и для взрывов «Хардхэт» в граните и «Скунер» в туфе расчеты были повторены. Полученные результаты указывают, что фазовый переход вызывает лишь незначительное изменение в форме импульса давления в области порядка 1 кбар и в кривой изменения размера полости.
Влияние воды в горной породе, непосредственно окружающей ядерный взрыв, зависит от ее количества. Даже небольшое количество воды может повлиять на развитие ядерного взрыва, что не объясняется лишь уменьшением прочности горной породы. Во всех проведенных расчетах как при помощи водо-подпорной модели, так и без нее предполагалось, что прочность горной породы одна и та же. Для гранита взрыва «Хардхэт» с содержанием воды 0,5% по весу пиковое напряжение на 120 м от центра взрыва (рис. 8) было на 15% выше в случае водо-подпорной модели. Для туфа при взрыве «Бенхам», где принималось, что содержание воды по весу составляет 13,4%, пиковые напряжения на 150 м от центра взрыва (рис. 16) в случае водо-подпорной модели были приблизительно на 50% выше.
Фазовые изменения, которые происходят в силикатных горных'-породах, сжатых ударной волной до давлений, превышающих 100 кбар, существенны при определении времени прихода и пикового давления в цент
ВЛИЯНИЕ ВОДЫ НА ЭФФЕКТЫ ПОДЗЕМНЫХ ВЗРЫВОВ 28?
ральной зоне взрыва. Измерения этих параметров часто используются для определения энергии, выделяющейся при взрыве ядерного устройства. Влияние фазового изменения на более удаленных расстояниях (в области давлений порядка 1 кбар) оказывается незначительным.
Список литературы
1.	Ahrens Т. J., Rosenberg J. Т., Shock metamorphism: experiments on quartz and plagioclase, in «Shock Metamorphism of Natural Materials», Mono Book Co., Baltimore, Mr., 1968.
2.	Ahrens T. J., Petersen C. F., Rosenberg J. T., Shock compression feldspars, /. Geophys. Res., 74, 2727—2746 (1969).
3.	Butkovich T. R., Calculation of the shock wave from an underground nuclear explosion in granite, J. Geophys. Res., 70, 885— 892 (1965).
4	Butkovich T. R., The gas equation of state of natural materials, Lawrence Radiat. Lab. Rep., UCRL-14729, Livermore, California, 1967.
5.	Cherry J. T., Petersen F. L„ Numerical simulation of stress wave propagation from underground nuclear explosions, Lawrence Radiat. Lab. Rep. UCRL-72216, Livermore, California, 1970.
6.	Heusinkveld M., Holzer F., Method of continuous shock front position measurement, Rev. Sci. Instrum., 35, 1105 (1964).
7.	Higgins G. H., Butkovich T. R., Effect of water content, yield, medium, and depth of burst on cavity radii, Lawrence Radiat. Lab. Rep. UCRL-50203, Livermore, California, 1967.
8.	Holzer A., Mesurements and calculations of peak shock wave parameters from underground nuclear detonation, Lawrence Radiat. Lab. Rep. UCRL-7805, Livermore, California, 1964.
9	Kennedy G. C., Wasserburg G. J., Heard H. C., Newton R. C., The upper three-phase region in the system SiO2—H2O, Amer. J. Sci., 260, 501 (1962).
10.	Maenchen G., Sack S., The tensor code, Lawrence Radiat. Lab. Rep., UCRL-7316, Livermore, California, 1963.
11.	Rice M. FL, McQueen R. G., Walsh J. M., Compression of solids by strong shock waves, Solid State Phys., 6, 40 (1958).
12.	Stephens D. R„ Louis H., Lilley E. M., Loading — unloading P—V curves for tuff at the Nevada test site, Lawrence Radiat. Lab. Rep. UCRL-50554, Livermore, California, 1969.
13.	Terhune R. W., Stubbs T. F., Cherry J. T., Nuclear cratering on a digital computer, Lawrence Rad. Lab. Rep., UCRL-72032, Livermore, California, 1970.
14.	Tewes H. A., Results of the Scooner excavation experiment, Lawrence Radiat. Lab. Rep., UCRL-71832, Livermore, California, 1970.
15.	Von Thiel M., Shock wave data, Lawrence Radiat. Lab. Rep. UCRL-50108, 3 vol., Livermore, California, 1966.
СЕЙСМИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПОДЗЕМНЫХ ЯДЕРНЫХ ВЗРЫВОВ.
Ч. 1. РАСЧЕТ СЕЙСМИЧЕСКОГО СПЕКТРА1)
Р. А. Мюллер, Дж. Р. Мёрфи
Описана модель масштабного пересчета сейсмического спектра, основанная на аналитической аппроксимации функции источника ядерного взрыва, и по большому объему экспериментальных данных произведена оценка ее применимости. Результаты теории подобия указывают, что решающую роль в формировании сейсмических спектров подземных ядерных взрывов играют мощность, глубина и вмещающая среда. Представленные результаты показывают, что для функции возбуждения сейсмического источника подземного ядерного взрыва не выполняется подобие по корню кубическому из заряда. Для взрывов на достаточно больших глубинах, обеспечивающих полный камуфлет, теория подобия предсказывает зависимость показателя степени при заряде от частоты в диапазоне значений от 0,90 на низких частотах до 0,45 на высоких частотах. Эти значения показателя степени при заряде находятся в хорошем соответствии с эмпирическими соотношениями, статистически устанавливаемыми по данным измерений.
ВВЕДЕНИЕ
Предметом этой статьи является расчет амплитудных спектров сейсмических волн, возбуждаемых подземными ядерными взрывами. С начала проведения программы подземных испытаний большой объем исследований был посвящен отысканию математической модели, которую можно было бы использовать для расчета функции сейсмического источника. Главной чертой этих усилий было стремление действовать в соответствие с «основными правилами», а именно, начав с момента и точки взрыва, последовательно вести расчет дальше в пространстве и времени с использованием вы-
Mueller R. A., Murphy J. R., Seismic characteristics of underground nuclear detonations. Part I. Seismic spectrum scaling, Bulletin of the Seismological Society of America, 61, № 6, 1675—1692 (1971).
СЕЙСМИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПОДЗЕМНЫХ ВЗРЫВОВ. Ч. I 289
числительных программ, основанных на фундаментальных физических принципах [1, 3]. Несмотря на то что был достигнут значительный прогресс в этой области, многое еще остается сделать в части отыскания адекватных уравнений состояния и условий хрупкого разрушения для разнообразных горных материалов, в которых производятся взрывы.
В этой статье использован альтернативный подход, при котором не учитываются детали переноса энергии в нелинейном режиме, и аналитическая аппроксимация функции сейсмического источника ядерных взрывов устанавливается по данным экспериментальных измерений в ближайшей зоне. Эта методика характерна тем, что требует проведения первоначального измерения при взрыве в данной среде, на основе которого уже может быть сделана экстраполяция на другие взрывы в той же среде. Однако в настоящее время существуют данные по взрывам в широком классе сред, так что практически это ограничение не очень значительно.
Ниже будет рассмотрена схема, в которой выделены источник, представляющий область взрыва, и передаточная функция, определяющая перенос энергии от источника к приемнику. Принятая модель представляет собой источник в форме сферически симметричной функции давления, действующей на расстоянии, равном упругому радиусу, т. е. на расстоянии, на котором сре-Д^начшш^вести-хе&я--^^	Энергии~~от ис-
точника на удаленную регистрирующую станцию, расположенную на поверхности, выражается линейной передаточной функцией, которая, будучи умноженной на спектр источника, дает спектр Фурье движения грунта на этой станции. Эта передаточная функция является очень сложной функцией, учитывающей влияния путей распространения, преобразований волн, различного типа рассеяния и локальные эффекты увеличения амплитуд. Аналитическая оценка этой функции была бы чрезвычайно сложным делом. Однако, полагая, что наблюдения при двух последующих взрывах осуществляются на одной и той же удаленной станции, можно считать в этом случае передаточные функции, по существу, одинаковыми, и отношение сейсмических спектров двух
10 Зак. 741
290
Р. А. МЮЛЛЕР, ДЖ. Р. МЕРФИ
взрывов на общей станции будет эквивалентно отношению спектров источников. Таким образом, передаточная функция обычно устраняется из рассмотрения, и результаты, полученные в источнике, затем могут быть непосредственно экстраполированы на далекие расстояния.
ТЕОРИЯ
Решение сферически симметричной задачи для функции возбуждения, действующей в безграничной однородной среде, было получено Шарпом [14] во временном представлении и Латтером и др. [6] в частотном выражении. Решение в частотной форме легко получается из волнового уравнения и закона Гука. Предполагается, что существует окружающая точку взрыва сферическая поверхность, вне которой применима теория бесконечно малых деформаций. Радиус этой сферы будем называть упругим радиусом и обозначим его через ге\, тогда для радиальных расстояний г rei уравнение движения приводится к одномерному волновому уравнению для потенциала смещения ср:
д2<р  1 д2ф	m
дг2	с2 dt2 ’
которое имеет решение (р = <р(т) для выходящих сферических волн, где x = t— (г — ге\)/с — время запаздывания. Смещение Z(r,t) связано с потенциалом смещения
г (г, /)- а(ф^);,>.	(2)
Закон Гука устанавливает связь между давлением p(t) и смещением на ге\\
р(/) = -(% + 2И)(^-^	,	(3)
где X и ц—константы Ламе. Подставляя сначала Z(r, t) из уравнения (2) в (3) и применяя преобразование Фурье, заменяем спектр <р (т) спектром Z(r,/) и
СЕЙСМИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПОДЗЕМНЫХ ВЗРЫВОВ. Ч. Т 291
получаем
z (»)=(4+-) п~.
\	4[1	/ \ Г ГС / (g)q + Z(D0(D — Рсо )
где 2(о) — спектр смещения на г; /5(g))—спектр функции давления, действующей на геГ, И— модуль сдвига; с — скорость волны сжатия; р = (X + 2р)/4ц; со — угловая частота и g)0 = с/ге\.
Спектр Фурье на удаленной поверхностной точке наблюдения равен произведению входного сигнала, падающего на грунт, на расстоянии г и заданного уравнением (4), и передаточной функции 7(со), которая соответствует импульсной реакции слоистой земли, т. е.
Z(a)Dist = T^).Z^)r.
(5)
Предполагая, что наблюдения двух близких по расположению взрывов проводятся на фиксированной удаленной станции, и полагая, что передаточные функции линейны, можно написать
Zi(co) = Г (со) (со) %2 (°)) Dist 7 (со) Z2 (со) г
(6)
где передаточные функции взяты одинаковыми для обоих взрывов, поскольку пути распространения, по существу, идентичны. Таким образом, из уравнений (6) и (4) для двух взрывов с различными характеристиками среды в источнике мы получим общую формулу подобия
Zj (со)
Z2(cd)
Pi (Q>)
P2(q)
Dist
2 ।	2 2
C{ + Г CO
2 .	2 9
C2 + r w
^1,^1
+ (1 — 2P2) (Oq2(o2 + P2<j)4 + (1 -Зр^Ф^ + р^о4 ‘
(7)
Аналитическая аппроксимация формы профиля дав-ления, действующего на упругом радиусе, может быть подобрана на основе анализа наблюдений внутри среды при ряде подземных ядерных взрывов, включающих «Салмон» [12], «Хардхэт» [И] и «Шоал» [15]. Эта
10*
292
Р. А. МЮЛЛЕР, ДЖ. Р. МЁРФИ
действующая функция, которая показана на рис. 1, может быть представлена зависимостью
Р (О = (Poe-ai + Рос) И (/),	(8)
где ро + Рос = Pos — пиковое ударное давление, рОс — установившееся давление, а — постоянная затухания и
Рис. 1. Профиль давления на границе упругой зоны.
Н(/) — единичная ступенчатая функция. Спектр p(t) выражается в виде
ft (о) = (pos -р^} + -ESS-.	(9)
r v 7 а + zco zco	v 7
Из уравнений (7) и (9) получаем окончательное соотношение подобия между амплитудными спектрами двух различных взрывов:
СЕЙСМИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПОДЗЕМНЫХ ВЗРЫВОВ. Ч. I 293
где г не меньше наибольшего из двух упругих радиусов. Таким образом, если известен амплитудный спектр взрыва 2 на данной станции, уравнение (10) определяет амплитудный спектр ожидаемого взрыва 1 на той же станции в форме отношения двух функций сейсмических источников ядерных взрывов.
Получив фундаментальное соотношение, необходимо определить расчетные формулы для различных параметров, входящих в уравнение (10). Постоянные с, ц и р являются измеримыми характеристиками среды источника. Остальные параметры a, rei, Pqs и рОс требуют более детального анализа для того, чтобы выразить их функциональную связь с такими изменяющимися параметрами источника, как энергия заряда, глубина заложения и характеристики среды. Ниже детально рассматривается оценка каждого из этих параметров.
Параметр а представляет собой величину, обратную характеристическому времени и связанную с ударным давлением на упругом радиусе. Если бы закон геометрического подобия был бы строго справедлив для сейсмических источников ядерных взрывов, то все характеристические времена задачи моделировались бы по кубическому корню из заряда и мы могли бы написать
а = йсо0, где k — коэффициент пропорциональности, зависящий только от свойств среды в источнике. Хотя ниже в этой статье мы придем к выводу, что соо не моделируется по закону корня кубического из энергии заряда, наблюдаемая зависимость а от энергии позволяет предположить, что указанный закон пропорциональности тем не менее справедлив.
Как было показано в более ранней работе [8], параметры k и соо (а следовательно, rei) можно оценить по способу самосогласования, используя амплитудные спектры прямой волны сжатия по измерениям в дальней зоне. По этой методике определены приблизительные значения k для различных сред: для туфа k = 1,5, для риолита k= 2,0, для сланцев k = 2,4, для соли k = 4,5.
Параметры ге1 и pGs тесно связаны между собой, поскольку один из них определяет другой, если имеются
294
Р. А. МЮЛЛЕР, ДЖ. Р. МЕРФИ
данные измерений внутри среды. В тех нескольких случаях, когда имелись данные измерений внутри среды в ближней зоне, экспериментально устанавливаемый упругий радиус определял скачок давления в упругой области pos, который оказывался несколько большим, чем литостатическое давление [8]. Наиболее подходящим, по-видимому, сказывается множитель 1,5, и в общем мы предполагаем
Pos=l,5pg/i,	(Н)
где р — плотность среды, g — ускорение силы тяжести и h — глубина заложения взрывного изделия.
Максимальное ударное давление в неупругой области ps устанавливается в соответствии со степенным законом в форме
(12)
где А — константа, зависящая от среды, и W — энергия заряда. Сауер [13] исследовал корреляционные связи между неупругими движениями при взрывах в различных средах и показал, что константа затухания п в первом приближении одинакова для всех сред. Если принять, что радиус полости испарившейся породы при взрывах в данной среде моделируется по корню кубическому из заряда [2], то т — п/3 в (12) и соотношение между упругими радиусами для любых взрывов в различных средах имеет вид

(13)
Для двух взрывов в одинаковой среде соотношение (13) приводится к выражению
Ге12
\l3(h2\l/n
(14)
Теперь, предполагая взрыв 2 калибровочным экспериментом и определяя его упругий радиус reical как упругий радиус для 1 кт и р/z = 1 (фут-г)/см3, уравне
сейсмические характеристики подземных ВЗРЫВОВ. Ч. I 295
ние (13) можно записать в виде
ге\ _ felcal / А Y/n
Г'/з ~ (p/^UJ •	(lb)
Как можно видеть из формы уравнения (15), график reJWk в зависимости от рй для ряда взрывов в одинаковых средах позволит эмпирически определить показатель степени п и reiCal. Данные по взрывам в других средах затем могут быть сопоставлены с этой калибровочной основой для определения соответствующих относительных значений коэффициента А применительно к различным средам, представляющим интерес.
Чтобы провести эту оценку, упругие радиусы были эмпирически определены для ряда взрывов при помощи анализа амплитудных спектров прямых волн сжатия, измеренных в дальней зоне [8]. Так как большинство этих данных получено при взрывах в туфе и риолите (т — р), то искомые константы определены для среды типа туф — риолит по усредняющему графику на рис. 2, а коэффициенты для сред других типов были найдены относительно этой опорной зависимости. Как следует из рис. 2, значения п — 2,4 и reical = 3280 м соответствуют данным по туфу — риолиту. Точка, отвечающая взрыву в соли («Салмон»), лежит в 2,8 раза выше опорного графика, что дает /1СолъМт-р = (2,8)71 = 12. Два взрыва в сланцах («Газбагги» и «Рулисон») определяют ДслМт-р = (2,0)п = 5,3, тогда как для вулканического туфа (в. т.) имеем Дв. т.Мт-р = (0,54)п = 0,23. Эти эмпирически определяемые величины составляют основу общего расчета.
Установившееся давление на упругом радиусе рос, обусловленное расширением полости, можно определить путем использования модели несжимаемой среды и закона Гука. Остаточное смещение на расстоянии г в несжимаемом материале, полость в котором растет от первоначального радиуса испарения rv до окончательного радиуса гс, выражается в виде
2₽W = (r3 + rc-r3a)'/3-r-	<16>
296
P. А МЮЛЛЕР, ДЖ. P. МЁРФИ
Принимая во внимание, что член г3 незначителен по сравнению с (г3 + и что rc/r <С 1 (справедливо для г = ге1)} мы получаем выражение
(17)
которое непосредственно приводится к соотношению
^=4-(тМ3-	<18>
о \ Ге\ '
Эмпирически установлено, что остаточное смещение, прогнозируемое с использованием несжимаемой модели,

Рис. 2. График зависимости отношения радиуса границы упругой зоны к корню кубическому из заряда от произведения плотности на глубину заложения для различных взрывов. (Кружочками обозначены взрывы в туфе и риолите.)
для твердых сред (соль, гранит и сланцы) оказывается близким к действительному значению, тогда как для более пористых туфов эти значения получаются слишком большими. Соответствующую поправку как функцию среды источника можно рассчитать, используя гидроди
СЕЙСМИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПОДЗЕМНЫХ ВЗРЫВОВ Ч I 297
намические вычислительные программы. На данном этапе по длиннопериодным сейсмическим данным предлагается ввести поправку в уравнение (18) в форме «коэффициента уплотнения» d со значением около 0,6 для среды типа туф —риолит.
Наконец, чтобы рассчитать по (18) значение рОс, необходимо иметь соотношение подобия для радиуса’ полости гс. Клосман [4] изучил статистически радиусы полостей в зависимости от энергии заряда, глубины заложения и свойств среды. Его результаты недавно дополнены данными по широкому диапазону энергий зарядов, что позволило получить уравнение (см. X. К. Херд, частное сообщение, Лоуренсовская радиационная лаборатория):
rc = 16,ЗГ°’29 (^р-0’2^-0’67) ь~ол *,	(19)
где гс и h в метрах; W в килотоннах; Е и ц (модули Юнга и сдвига соответственно) в мегабарах; р в единицах г/см3. Средние значения множителя (Е0’62р-0’24ц~0>67) равны для гранита 1,513, для соли 1,721, для риолита 1,758, для туфа 1,927, для аллювия 1,761.
Все величины, входящие в общее соотношение подобия — уравнение (10), — теперь выражены через основные параметры точки взрыва: энергию заряда, глубину заложения и характеристики среды. В следующих разделах статьи будут описаны приложения этой теории подобия.
ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ
Применимость теоретической модели сейсмического спектра, полученной в предыдущей части, будет оценена путем сравнения с наблюденными сейсмическими данными. Поскольку большинство взрывов на полигоне в Неваде произведено на глубинах, которые обеспечивают полный камуфлет, т. е. на приведенных глубинах h порядка 400, где h=hlW{!' [А (фут), W (кт)], интересно выяснить, насколько хорошо теоретическая модель описывает поведение сейсмического спектра при этих средних условиях.
298
Р. А. МЮЛЛЕР, ДЖ. Р. МЕРФИ
Для взрывов в туфе и риолите на приведенной глубине 400 были рассчитаны теоретические значения показателя степени при заряде в функции периода п(р) при помощи соотношения
I z, (р) I /	<₽)
I z2 (р) | J ’
где спектральные отношения как функции периода получены из уравнения (10). На рис. 3 расчетные значения показателя степени сравниваются с двумя типами экспериментальных сводок, полученных при взрывах на плоскогорье Пахюте полигона в Неваде и обработанных по методу статистического анализа. В первом случае обработаны многочисленные данные измерений, при которых независимо изменялись расстояния и энергии заряда [7], во втором — средние значения по восьми фиксированным станциям с оптимальным инструментальным оснащением, когда независимой переменной является только величина энергии заряда [9]. Для теоретических расчетов были выбраны параметры туфов и риолитов плоскогорья Пахюте, характеризующие вмещающие породы взрывов. Следует заметить, что на фиксированных приведенных глубинах показатели степени при энергии являются не только функцией периода, но также и энергии заряда (т. е. n = f(p, W)). Поэтому теоретические расчеты были выполнены в предположении изменения заряда около значения 200 кт, которое соответствует среднему значению энергии в статистических примерах. Из рис. 3 можно видеть, что теоретические и экспериментальные значения показателей степени довольно хорошо коррелируются и что оба типа данных указывают на сдвиг спектрального состава в область длинных периодов с увеличением энергии заряда.
В вышеописанном анализе предполагалось, что все взрывы имеют заряды около 200 кт и произведены на общей приведенной глубине 400. Поскольку ни одно из этих условий не является строгим для использования при статистическом анализе взрывов, был выполнен дополнительный теоретический расчет для выявления роли этих предположений. Во-первых, были рассчитаны теоретические амплитуды (относительные) как функции пе
СЕЙСМИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПОДЗЕМНЫХ ВЗРЫВОВ. Ч. I 299
риода для каждого взрыва, включенного в статистический набор для данной станции, с использованием действительных значений энергий заряда и глубины заложения. Вычисленные амплитуды для каждого периода
Рис. 3. Сравнение теоретических и эмпирических показателей степени при заряде.
По оси абсцисс: период в секундах; по оси ординат: показатель степени при энергии заряда, /—теоретический расчет для постоянной приведенной глубины 400 фут/кт /з; 2—эксперимент (анализ по станции); 3 — эксперимент (общий анализ).
Условия расчета: с=3,5 км/с; V—0,30; р—2,0 г/см3; rej=3280 м; п=2,4; £=1,5; d = °>6’
были затем подставлены в уравнение типа А = KWn и согласованы для всех станций по методу наименьших квадратов. Результирующие показатели степени при энергии заряда были затем усреднены как функция периода. Результаты этих расчетов показаны на рис. 4, где сопоставлены теоретические и экспериментальные данные
300
Р. А. МЮЛЛЕР, ДЖ. Р. МЕРФИ
по значениям показателя степени при энергии заряда, причем последние получены по наблюдениям на фиксированных станциях. Как видно из этого рисунка, более точные теоретические показатели степени находятся в
Рис. 4. Сравнение теоретических и эмпирических показателей степени, полученных из анализа данных восьми отдельных станций.
По осям те же величины, что и на рис. 3.
/ — расчет (условия те же, что и на рис. 3); 2 —эксперимент.
хорошем соответствии с данными измерений, причем расхождения почти всюду не выходят за пределы одной среднеквадратичной ошибки, вычисленной по экспериментальным данным.
Полный расчет амплитудного спектра камуфлетных взрывов на глубине 2330 футов и зарядом около 200 кт, произведенных в туфе и риолите, представлен на рис. 5 и 6. На рис. 5 даны показатели степени при энергии заряда как функции периода для взрывов на фиксирован
Сейсмические Характеристики Подземных взрывов. ч. 1 301
ной глубине заложения зарядов. Эта кривая иллюстрирует результат, полученный путем применения закона геометрического подобия к функции ядерного сейсмического источника, так как из уравнения (14) следует, что
Рис. 5. Теоретические показатели степени при энергии заряда для постоянной глубины взрывов.
По оси абсцисс: период в секундах; по оси ординат: показатель степени при энергии заряда для заданной глубины. Обозначения те же, что и на рис. 4.
Условия расчета: Л = 2300 фут, №=200 кт, остальные параметры те же, что и на рис. 3.
упругий радиус на постоянной глубине в данной среде просто пропорционален корню кубическому из заряда. На этом рисунке снова приведены (пунктирная линия) статистические экспериментальные значения экспонент, чтобы продемонстрировать непригодность подобия
302
Р. А. МЮЛЛЕР, ДЖ. Р. МЕРФИ
по корню кубическому для функции ядерного сейсмического источника, не зависящей от глубины заложения. На рис. 6 приведены показатели степени при глубине заложения в функции периода для взрывов заданной мощности. Этот рисунок показывает, что спектр ожидаемого
Рис. 6. Теоретические показатели степени при глубине для заданной энергии заряда.
По оси абсцисс: период в секундах; по оси ординат: показатель степени при глубине для заданной энергии заряда. Условия расчета те же, что и на рис. 5.
сейсмического сигнала сдвигается в область коротких периодов при увеличении глубины взрыва.
Следующее применение схемы подобия относится к согласованию наблюденных сейсмических спектров при взрывах на необычных глубинах заложения. В табл. 1 перечислены взрывы, которые были использованы для анализа, и приведены наиболее существенные параметры отдельных источников.
В первом примере сравниваются спектры маломощного заглубленного взрыва (взрыв «А»), измеренные на станции в Лас-Вегасе, со спектрами сверхмощного взры-
СЕЙСМИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПОДЗЕМНЫХ ВЗРЫВОВ. Ч. I 303
Таблица 1
Параметры точки взрыва
Название взрыва	Заряд, кт	Глубина заложения, фут	Среда	Тип взрыва
”					
«Кабриолет»	2,3	171	Риолит	Выброс
«Шунер»	31	355	ТуФ	»
«Книккер-боккер»	71	2075	Риолит	Камуфлет
«Рекс»	16	2200	Туф	»
Взрыв «А»	Малая мощность	Заглубленный	»	»
«Г рилей»	825	3990	»	»
«Г азбагги»	26	4240	Г линистый сланец	»
ва («Грилей») на нормальной приведенной глубине около 400 футов, наблюденными на той же станции. На рис. 7 показаны экспериментально измеренные спектры взрыва «А», взрыва «Грилей» и результат аналитического приведения взрыва «А» к взрыву «Грилей». Этот результат отчетливо демонстрирует эффект приведения к одному заряду взрывов, произведенных по существу на одинаковой глубине. С увеличением энергии заряда наблюдается сдвиг максимума энергии в область больших периодов, и, как это видно из приведенного рисунка, наблюдаемое изменение спектрального состава хорошо объясняется при помощи предложенной теоретической модели.
В следующем примере сравниваются наблюденный сейсмический спектр глубокого взрыва «Газбагги» из программы «Плаушер» и предсказанный спектр взрыва того же заряда в Неваде на нормальной глубине. На рис. 8 представлены наблюденный спектр «Газбагги», предсказанный спектр взрыва той же мощности на полигоне в Неваде с приведенной глубиной заложения 400 и приведенный к условиям «Газбагги» спектр стандартного взрыва в Неваде. Можно видеть, что наблюденный и теоретически приведенный спектр находятся в хорошем соответствии и оба указывают на сдвиг спектрального состава в область коротких периодов при переходе
Рис. 7. Сравнение спектров взрыва «А», приведенного взрыва «А» и взрыва «Грилей» на станции SE-6 в Лас-Вегасе (горизонтальная компонента).
По оси абсцисс: период в секундах; по оси ординат: псевдоотносительная скорость в единицах см/с. /—приведенный взрыв «А»; 2—взрыв «Грилей»;
3—взрыв «А».
Взрыв «А» (туф): с=2,5км/с;	2.0 г/см ’; v=0,33; fc=sl,5; взрыв «Грилей» (туф):
с=3,1 км/с; р=2,0 г/см3; v=0,33; k= 1,5,
Рис. 8. Сравнение прогнозируемых спектров и спектра «Газбагги» на расстоянии 80 км.
По осям те же величины, что и на рис. 7. /—типичный камуфлетный взрыв (прогноз по Неваде); 2—взрыв «Газбагги»;3—приведенный прогноз.
Условия расчета для взрыва в Неваде; №=26 кт; £=400 фут/кт’/з; Л=1184 фут; с=3,5 км/с; р=2,0 г/см3; v==0,30; Л=1,5; po$eI»5Poy, J=0,6; гг=132 фут.
Условия расчета для взрыва «Газбагги»: №=26 кт; £=1432 фут/кт’/з; Лг=4240 фут;
<?=4,75 км/с; р=2,5 г/см3; v=0,25; й=2,4; POS=I,5()£>; d=l,0; гс=80 фут.
Рис. 9. Сравнение наблюденного спектра «Кабриолет» со спектрами «Книккербоккер» и «Рекс», теоретически приведенными к эквивалентным со взрывом «Кабриолет» физическим параметрам, но отличающимися камуфлегной глубиной заложения (Л = 400). Станция SE-6 в Лас-Вегасе (горизонтальная компонента).
По осям те же величины, что и на рис. 7.
t—взрыв «Книккербоккер», теоретически приведенный к камуфлетному взрыву «Кабриолет»; 2—взрыв «Рекс», теоретически приведенный к камуфлетному взрыву «Кабриолет»; 3—взрыв «Кабриолет».
СЕЙСМИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПОДЗЕМНЫХ ВЗРЫВОВ. Ч. I 307
к необычно большим глубинам заложения. Эта интерпретация была недавно еще раз подтверждена экспериментальными данными по взрыву «Рулисон», произведенному также на большой глубине [5].
Другое интересное применение относится к прогнозу сейсмических спектров ядерных взрывов на выброс. На рис. 9 показаны результаты теоретического приведения наблюденных спектров при камуфлетных взрывах «Кник-кербоккер» и «Рекс» к мощности взрыва на выброс «Кабриолет» в предположении, что «Кабриолет» был произведен на нормальной приведенной глубине 400. Отметим, что эти два приведенных спектра практически совпадают и что они сильно отличаются от наблюденного спектра взрыва «Кабриолет». Дальнейшее приведение наблюденного спектра «Книккербоккер» к действительной глубине взрыва «Кабриолет» приводит к хорошему соответствию приведенного и экспериментального спектров на периодах менее приблизительно 1 с. На длинно-периодном конце спектра различия возрастают, как это и можно было бы ожидать в соответствии с общим характером поведения показателей степени при глубине, показанных на рис. 5.
Представляется вероятным, что этот эффект на длинных периодах обусловлен прорывом полости на поверхность при взрыве на выброс, вызывающим уменьшение члена с затуханием в выражении для давления. Грубо мы учитываем это сложное явление путем уменьшения предсказываемого конечного радиуса полости, вводя множитель 3/4 Для взрывов на выброс. Результирующий приведенный спектр «Книккербоккера» показан на рис. 10, на котором можно видеть его хорошее согласие с наблюденным спектром взрыва «Кабриолет». Та же методика применялась для приведения наблюденного спектра взрыва «Рекс» к заряду и глубине взрыва на выброс «Шунер»; соответствующие результаты приведены на рис. 11. Эти примеры показывают большое значение параметра глубины заложения в формировании сейсмического спектра взрывов, которые проводились на нестандартной приведенной глубине.
Наконец, расчет максимальных значений ускорения и смещения почвы в функции заряда и глубины
Рис. 10. Сравнение спектров «Кабриолет», «Книккербоккер» и приведенного спектра «Книккербоккер» на станции Аламо (горизонтальная компонента).
По осям те же величины, что и на рис. 7.
/—взрыв «Книккербоккер»; 2—приведенный взрыв «Книккербоккер»; 5—взрыв «Кабриолет».
Условия расчета взрыва «Книккербоккер» (риолит): с=3,0 км/с; р=2,0 г/см3: v=0,25; £=2,0.
Условия расчета взрыва «Кабриолет» (риолит): с =«3,5 км/с; р=2,4 г/см’; v=0,25; £=2,0.
Рис. 11. Сравнение спектров «Шунер», «Рекс> и приведенного «Реко на станции SE-6 в Лас-Вегасе (горизонтальная компонента). По осям те же величины, что и на рис. 7.
/—взрыв «Рекс»; 2—взрыв «Шунер»; 3—приведенный взрыв «Реко. Условия расчета взрыва «Реко (туф—риолит): с ==3,1 км/с;р=2,0 г/см3; v== 0,25; fcc=2,0; условия расчета взрыва «Шунер» (сварной туф): с=3,4 км/с; р—2,2 г/см8; v=0,25; fe=2,0.
310
Р. А. МЮЛЛЕР, ДЖ. Р. МЕРФИ
производится с использованием асимптотических значений показателей степеней в коротко- и длиннопериодной областях спектра. Таким образом, при взрывах в одинаковых средах максимальные смещения определяются по низкочастотному пределу уравнения подобия (10):
£i ^2
(20)
или с учетом уравнений (14) и (18)
Ш	(21)
I *2 1®-»0	\	/	\ *2 /
Таким же образом при взрывах в одинаковых средах максимальное ускорение определяется по высокочастотному пределу уравнения (10):
или с учетом уравнений (И) и (14)
I Zj I	/	\7з / Ад V-1/n
I z2 Uoo-yrj U;
(23)
Тогда в соответствии с уравнениями (21) и (23) для взрывов на фиксированной приведенной глубине (h = — hW^ показатели степени энергии заряда становятся равными 0,76 для максимальных смещений’ и 0,53 для максимальных ускорений. Эти значения следует сопоставлять с показателями степени, статистически определенными Мёрфи и Лахоудом [10] на примере 99 взрывов. Эти авторы нашли, что значения показателей степени при энергии заряда для максимальных смещений находятся между 0,76 и 0,85 и для максимальных ускорений — между 0,61 и 0,66.
Эти статистически определенные значения показателей степени для максимального движения получены главным образом для взрывов на постоянной приведенной глубине, равной приблизительно 400. Так же как и в случае со спектральными данными, использование этих показателей степени может привести к значи
СЕЙСМИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПОДЗЕМНЫХ ВЗРЫВОВ. Ч. I 311
тельным различиям, если применять их к взрывам на нестандартных глубинах заложения. Это иллюстрируется
Рис. 12. Сравнение экспериментальных данных при «Газбагги» и прогнозируемых максимальных ускорений на станциях, расположенных на твердых породах.
По оси абсцисс: расстояние в метрах; по оси ординат: максимальные ускорения частиц в единицах g,
/—наблюдения при взрыве «Газбагги»; 2—приведенный прогноз; 3—прогноз для типичного камуфлетного взрыва.
на рис. 12, где усредненные по методу наименьших квадратов экспериментальные данные по максимальным ускорениям при взрыве «Газбагги» сравниваются с прогнозом для типичного взрыва заряда той же энергии на полигоне в Неваде, а также с улучшенным прогнозом за счет приведения ро свойствам среды в источнике И
312
Р. А. МЮЛЛЕР, ДЖ. Р. МЕРФИ
глубине заложения к взрыву «Газбагги». Можно видеть, что большая глубина заложения приводит к значительному увеличению уровня максимального ускорения в соответствии с предсказываемым сдвигом спектрального состава в область высоких частот. Остающиеся после приведения расхождения между расчетными и экспериментальными данными, вероятно, обусловлены различиями в путях распространения для «Газбагги» (осадочный бассейн) и для полигона в Неваде с типичной вулканической геологией.
ВЫВОДЫ
На основе аналитической аппроксимации функции ядерного сейсмического источника развита общая схема расчета спектров движения грунта при подземных ядер-ных взрывах. Соотношения подобия, полученные для функции источника, указывают, что решающую роль в формировании сейсмических сигналов играют энергия заряда, глубина заложения и вмещающая среда. Наиболее конкретно теория позволяет делать следующие прогнозы:
1. Зависимость от частоты показателя степени при энергии заряда, который для типичных камуфлетных взрывов изменяется в интервале значений от 0,90 на низких частотах до 0,45 на высоких частотах.
2. С увеличением глубины заложения ядерного изделия возрастают преобладающая частота и максимальное ускорение грунта.
Было проведено сравнение с результатами, полученными по большому количеству экспериментально измеренных спектров, и показано хорошее соответствие с основными закономерностями, предсказываемыми на основе принятой модели. Согласованность этих результатов указывает, что простое подобие по корню кубическому из заряда для функции сейсмического ядерного источника не выполняется при взрывах на различных глубинах в одинаковой среде.
Методы подобия, описанные в этой статье, конкретно применяются к экспериментальным спектрам движения грунта, измеренным на фиксированных точках наблюдения. Однако эти методы, как было показано, при
СЕЙСМИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПОДЗЕМНЫХ ВЗРЫВОВ. Ч. I 313
годны также для уточнения статистически получаемых спектральных прогнозов [7], чтобы учесть различия, возникающие из-за необычных условий для источника в тех местах, где не проводились предварительные инструментальные наблюдения.
Список литературы
1.	Beaudet Р. R., Cassity С. R., Davis А. Н., de Caprariis Р. Р., Models for calculating close-in motions from underground nuclear explosions, Report NVO-1163-165, Environmental Research Corporation, Atomic Energy Commission, 1969.
2.	Butkovich T. R., The gas equation of state for natural materials, Report UCRL-14729, Lawrence Radiation Laboratory, 1967.
3.	Cherry J. T., Hurdlow W. R., Numerical simulation of seismic disturbances, Geophysics, 31, 33—49 (1966).
4.	Closmann P. J., On the prediction of cavity radius produced by an underground nuclear explosion, /. Geophys. Res., 74, 3935—3939 (1969).
5.	Foote R. Q., Cassity C. R., Loux P. C., O’Brien L. J., Power F. W., Hays W. W., Lynch R. D., Perchalski F. R., Spiker С. T., Whipple A. P., Analysis of ground motions and close-in physical effects, Rulison event, Report NVO-1163-206, Environmental Research Corporation, Atomic Energy Commission, 1970.
6.	Latter A. L., Martinelli E. A., Teller E., Seismic scaling law for underground explosions, Phys. Fluids, 2, 280—282 (1959).
7.	Lynch R. D., Response spectra for Pahute Mesa nuclear events, Bull. Seism. Soc. Amer., 59, 2295—2309 (1969).
8.	Mueller R. A., Seismic energy efficiency of underground nuclear detonations, Bull. Seism. Soc. Amer., 59, 2311—2323 (1969).
9.	Mueller R. A., Prediction of seismic motion from contained and excavation nuclear detonations. Proc. Symp. Eng. Nuclear Explosives, LI. S. At. Energy Comm., 1969.
10.	Murphy J. R., Lahoud J. A., Analysis of seismic peak amplitudes from underground nuclear explosions, Bull. Seism. Soc. Amer.., 59, 2325—2341 (1969).
11.	Perret W. R., Free-field ground motion studies in granite (U), operation Nougat, shot HARDHAT, Report POR-1803, Sandia Corpotation, 1965.
12.	Perret W. R., Free-field particle motion from a nuclear explosion in salt, Part I, Project Dribble, SALMON event, Report VUP-3012, Sandia Corporation, 1968.
13.	Sauer F. M., Ground motion from underground nuclear explosions, Nuclear Geoplosics, DASA-1285 (IV), 1964.
14.	Sharpe J. A., The production of elastic waves by explosion pressures I, Theory and empirical observations, Geophysics, 7, 144 — 154 (1942).
15.	Weart W. D., Free-field earth motion and spalling measurements in granite, project Shoal, Report VUP-2001, Sandia Corporation, 1965.
СЕЙСМИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПОДЗЕМНЫХ ЯДЕРНЫХ ВЗРЫВОВ. Ч. И. ОПРЕДЕЛЕНИЯ УПРУГОЙ ЭНЕРГИИ И МАГНИТУДЫ1)
Дж. Р. Мёрфи, Р. А. Мюллер
На основе аналитической аппроксимации профиля давления, действующего на границе упругой зоны, получено выражение для упругой энергии камуфлетного подземного ядерного взрыва. Для взрывов в туфе и риолите оценены уравнения для статической энергии деформаций и излученной энергии в зависимости от энергии заряда и глубины. Показано, что для данной среды доля упругой энергии зависит только от глубины заложения h ядерного заряда и пропорциональна Zi0>72. Кроме того, в соответствии с используемыми соотношениями подобия энергия деформаций зависит от глубины таким же образом, как и излученная энергия. Теория подобия сейсмических спектров применена к анализу функций сейсмического источника ядерного взрыва. Полученные результаты хорошо согласуются с наблюдаемыми различиями при определении теле-сейсмических магнитуд. Для подземных ядерных взрывов выведено соотношение между энергией и магнитудой, которое не совпадает с аналогичным уравнением Гутенберга — Рихтера. Это различие интерпретируется как указание на то, что излученная энергия при слабых землетрясениях, вероятно, систематически занижалась.
ВВЕДЕНИЕ
В настоящей статье схему масштабного пересчета сейсмического спектра, описанную в ч. I [7], мы применяем к исследованию высвобождения сейсмической энергии и определению магнитуды камуфлетных подземных ядерных взрывов. Так же как и в ч. I, предполагается симметрия в области источника, и задача формулируется при помощи задания конкретного аналитического выражения для профиля давления, действующего на границе упругой зоны. Выводится выражение для высвобожде-
4) Murphy J. R., Mueller R. A., Seismic characteristics of underground nuclear detonations, Part II. Elastic energy and magnitude determinations, Bulletin of the Seismological Society of America, 61, № 6, 1693—1704 (1971).
СЕЙСМИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПОДЗЕМНЫХ ВЗРЫВОВ. Ч II 315
ния упругой энергии, а соотношения подобия для различных параметров используются при оценке доли упругой энергии в зависимости от заряда и глубины заложения ядерного устройства. Существующие оценки высвобождения сейсмической энергии для поверхностных землетрясений будут затем интерпретированы в виде соотношений между энергией и магнитудой, установленных для ядерных источников.
ВЫВОД УРАВНЕНИЙ УПРУГОЙ ЭНЕРГИИ
В этом разделе выводятся выражения для упругой энергии, выделившейся при подземном ядерном взрыве. Основные результаты для одномерного случая хорошо известны [12, 4] и поэтому будут представлены в общей форме. Эти выражения затем определяются в замкнутой форме с применением профиля давления, использованного в ч. I [7] при описании подобия сейсмических спектров.
Поступая так же, как и в ч. I, запишем соотношение между смещением Z и приведенным потенциалом смещения ср в упругой области (г > ге!) в виде
Z
д ( ф \ 	ф	1 б/ф
дг \ г /	г2	гс dr '
(1)
где т = t —(г — ге\)1с— время запаздывания. Граничное условие для настоящей задачи состоит в том, что давление р(0, действующее на границе упругой зоны, равно отрицательной величине радиального напряжения Тгг в упругой области, вычисляемой в точке г = ге1, а именно
Подставляя (1) в (2), получаем
p(oir=r = - 2ц ф (т) ~ 4е- ф(т)—Л- ф(т)>
el	relc	relc	rel
где точки означают дифференцирование по времени.
316
ДЖ. Р. МЁРФИ, Р. А. МЮЛЛЕР
Поток энергии во внешнюю область через сферическую поверхность радиусом г = rei (т. е. упругой энергии) задается выражением [4] оо
Е (Ге1) = 4лГе1 f J dx’	(4)
О
где J — энергия в единицу времени, распространяющаяся через единицу площади сферической поверхности и выражаемая соотношением J = —TrrZ. Подставляя (1) и (3) в (4) и интегрируя почленно, получаем
оо
Е (ге1) = Е, + Ео = 8^relZ2p + ^- f ($)2 dr, (5) О
где мы использовали тот факт, что ср (т)—> const при т->оо, подразумевая, что qp(oo) = r2ZPi где ср(оо) обозначает статическое значение потенциала и Zp является результирующим остаточным смещением.
Как указали Иосияма [12] и Хаскелл [4], первый член в (5) £i не зависит от природы вынуждающей функции, а зависит только от результирующего остаточного смещения. Следовательно, он соответствует статической упругой энергии деформации, генерируемой расширением полости. Второй член £0, который не зависит от расстояния, является излучающим членом и соответствует энергии, выходящей из источника в форме упругих волн. Для больших радиальных расстояний г мы имеем из (1)
-Й- = -гсУ(т), (6)
rc dx ’ dx2	' п	v 7
где V — скорость смещения. Таким образом, излучающий член для больших расстояний можно записать в обычной форме оо
Еок„ = 4ш-2рС/72(тМт,	(7)
О
которая часто использовалась при расчетах [8, 11]. Следует отметить, что (7) не соответствует аппроксимации в ближней области. Поэтому, если производится оценка излученной энергии с использованием измерений смеще
СЕЙСМИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПОДЗЕМНЫХ ВЗРЫВОВ. Ч. II 317
ний внутри среды, расчет должен быть выполнен по уравнению (5).
Вычисление члена излученной энергии Ео в (5) для аналитического задания профиля давления, которое использовалось в ч. I [7], облегчается переходом к частотному представлению при помощи теоремы Рэлея [10]. Таким образом,
=	=	(8)
0	— оо
Теперь необходимо получить выражение для (p(w). Это можно достигнуть применением преобразования Фурье к уравнению (3), что дает
р (со) =	2? СО2ф (со) — I -yl- (Оф (со)----------------ф (со),
re\<=	ге\С	Ге1
(9)
ИЛИ
Р(<0) ф (СО) =--------------5--------------
4ц g)0 + Zcd0co — р<о »
где мы приняли (о0 = с/ге1, р = (А, + 2ц)/4ц. Далее
I 2 I \ |2_ Ге1С4СО4 |Р(®)|2 |	СОф(®)|	2	, 2 о 2\2 .	2 2'
1ОЦ I^COq — рсо J + COq(j)
(10)
(11)
По условию задается следующий профиль давления (см. ч. I, рис. 1 [7]):
Р(тО = [Рое~ат + Рос]Н W,	(12а)
где Н(т) — единичная ступенчатая функция. Применяя преобразование Фурье к (12а), получаем
=	р0е[Я6(со)-^].	(126)
Подставляя (126) в (И) и интегрируя почленно в соответствии с (8), можно видеть, что интегрирование сингулярных функций не дает вклада в Ео- Таким образом, для излученной энергии имеем
лрг2|С3 1 Г (р0 + р0е)2 со4 + (р0са)2 со2
0	4р.2 2л (со2 + а2) [(со2 — рсо2)2 + co^co2]
318
ДЖ. Р. МЁРФИ, Р. А. МЮЛЛЕР
Этот интеграл наиболее легко вычисляется в комплексной плоскости со. Подинтегральное выражение имеет шесть простых полюсов, расположенных в точках
.	/4р - 1	. о)о	- 1	, . G)0
co=±za, (o = -2jr~(o0±*2p ’ <* =-2₽—(°o±Z2p-
Положение полюсов и путь интегрирования показаны на рис. 1. Тогда по теореме вычетов имеем
2 3	3
Ео = -Пр4^~ г' S lim (® — “/)1 (“/)’	44)
, СО-»СО;
/=1 /
где со; — полюсы в верхней полуплоскости и I — подинтегральное выражение в (13). Подстановка и выполнение вычислений приводит к соотношению

4ц2рсо0
(рр + Р0с)2о>0 + [(р—1) Рр + 2 (Р — 0 РоРос + (2р —1) pgc] «2<о2 2(0g + (4р — 2) а2(Оц + 2р2а4
. (РРо + 2рр0р0е) а3а>0 + р2ррса4 2а>о + (4Р - 2) а2а>0 + 2р2а4
(15)
Окончательно, полагая k = a/(o0, получаем
р _ nrll [₽2PoCfe4 + (₽Po + 2PPoPoC)*3 £°— 2ц [ P2fc' + (2Р — 1)F+ 1	+
[(р-1) р2 + 2 (р-1) р0р0с + (2р -1) р02с] fe2 + (р0 + POcf ,
P2fc4 + (2Р - 1)F+ 1
(16)
Если для проверки принять X = ц и р0 = й = О, то по-
лучим
Е.
2 3 лР0сГе1
2ц
(17)
т. е. результат, который был получен Латтером и др. [5] для ступенчатой функции давления. Точно так же, при*
СЕЙСМИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПОДЗЕМНЫХ ВЗРЫВОВ. Ч. II 319
НЯв X = |л и рос = 0, получим выражение
HPyel 12*3-4й2+16
2ц 964 + 862+ 16 ’	U '
которое было получено Мюллером [8] для экспоненциальной функции давления.
Рис. 1. Положение полюсов и путь интегрирования для вычисления интеграла (13).
Уравнения (5) и (16) будут теперь использованы для расчета высвобождения упругой энергии в зависимости от энергии заряда и глубины заложения взрывов в туфе и риолите. При этом параметрическом вычислении бу-дем применять соотношения подобия из ч. I [7], за одним исключением. Это исключение состоит в выборе соотношения подобия для радиуса полости гс (которое в свою очередь определяет соотношения подобия для Zp и рос). Выбор подходящего уравнения для радиуса полости является нелегким делом, поскольку за предыдущие годы было опубликовано большое число уравнений
32)
ДЖ. Р. МЁРФИ, Р. А. МЮЛЛЕР
такого типа. Хотя все эти уравнения в диапазоне экспериментальных данных прогнозируют для каждого взрыва приблизительно одинаковые размеры полости, они существенно отличаются по виду используемых в них зависимостей от энергии заряда и глубины. В ч. I было использовано недавно полученное статистическое уравнение, поскольку оно наилучшим образом по способу наименьших квадратов согласуется с данными по всем взрывам. Однако энергия заряда в этом уравнении имеет несколько меньший показатель степени, чем 1/3 (см. ч. I, уравнение (19)), и, следовательно, на фиксированной глубине в данной среде радиус полости не будет соответствовать закону корня кубического. Это, с другой стороны, означает, что доля упругой энергии будет функцией энергии заряда на фиксированной глубине. Хотя ни один из этих выводов не противоречит основным физическим законам, по-видимому, более подходящим в настоящем контексте будет использование такого уравнения для радиуса полости, в котором применена зависимость корня кубического от энергии заряда. Такое уравнение было недавно получено [9], и показано, что его прогнозные возможности сравнимы с аналогичными возможностями других уравнений. Для взрывов в туфе и риолите это уравнение имеет форму
П/’/з
гс = 85	(19)
для гс и h в футах, W в килотоннах.
С учетом этой модификации теперь имеются все параметры для вычисления упругой энергии в функции энергии заряда и глубины заложения. На рис. 2 показана нормированная спектральная плотность энергии (т. е. подинтегральное выражение в уравнении (13)) для постоянной приведенной глубины (h = 40(W /з) взрывов. Средние физические характеристики среды для плоскогорья Пахюте, которые использовались при вычислениях, показаны на этом рисунке. Приведенные графики отчетливо демонстрируют хорошо известный сдвиг спектрального состава в область низких частот при увеличении заряда. Увеличение площади под кривой (т. е. Eq) в функ-
СЕЙСМИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПОДЗЕМНЫХ ВЗРЫВОВ. Ч. II 321
ции заряда указывает на повышение сейсмической эффективности взрыва с возрастанием глубины заложения. На рис. 3 дан график зависимости общей упругой энергии от отношения г/ге\ для гипотетического взрыва.
Рис. 2. Зависимость нормированной спектральной плотности энергии от частоты и веса заряда.
По оси абсцисс: частота, Гц; по оси ординат: отношение спектральной плотности энергии к W.
Я = 400№1/з; с=3500 м/с; р=2,0 г/см!; 0=0,9.
Этот рисунок иллюстрирует неопределенность, которая существует при вычислении энергии излучения по данным измерениям скорости смещения внутри среды.
Доли упругой энергии (т. е. E^Et и E\IEt, где Et — полная высвободившаяся при взрыве энергия) в зависимости от глубины заложения приведены на рис. 4. Как
11 Зак, 741
322
ДЖ. Р. МЁРФИ, Р. А. МЮЛЛЕР
показано на графике, для частного вида использованных соотношений подобия энергия излучения имеет одинаковую с энергией деформации зависимость от глубины, а, следовательно, зависимость энергии излучения
Рис. 3. Зависимость общей упругой энергии or r/rei для гипотетического взрыва, W = 1 кт, И == 430 фут.
от энергии заряда и глубины может быть выражена на основе более простого уравнения для энергии деформации. Таким образом, из (5) имеем
£i ~ reiZp,
(20)
которое после использования (19) дает
E^Wh0’72 или EJE^h0'72.	(21)
СЕЙСМИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПОДЗЕМНЫХ ВЗРЫВОВ. Ч. II 323
В более общем виде, если rel~W'l3h п и rc~W'l3h т, то EJEt ~ h3{n~2m}. Следовательно, мы имеем три соотношения, которые охватывают все представляющие интерес случаи.
Рис. 4. Доля упругой энергии (%) в зависимости от глубины заложения (фут).
1.	На фиксированной глубине
E\/Et ~ EfJEf — const.
2.	При фиксированном заряде
~ Ео ~ Л0’72
3.	На фиксированной приведенной глубине
EJEt ~ EJEt ~ Г'24.
11*
324
ДЖ. Р. МЁРФИ, Р. А. МЮЛЛЕР
СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ СЕЙСМИЧЕСКОЙ МАГНИТУДОЙ И ЭНЕРГИЕЙ
С самого начала проведения программы подземных испытаний был проявлен значительный интерес к проблеме различения естественных землетрясений и подземных ядерных взрывов. Несмотря на то что было разработано много критериев [6, 1], думается, что наиболее действенные из них были основаны на различии спектрального состава сейсмических волн, генерируемых источниками различного типа. В частности, было найдено, что отношение энергии на низкой частоте (~0,05 Гц) к энергии в полосе около 1 Гц при увеличении высвобождаемой в очаге энергии возрастает для землетрясений более быстрыми темпами, чем для взрывов. Это приводит к распознаванию источников двух типов по графикам зависимости магнитуды поверхностных волн М и площади под огибающей цуга волн Рэлея на сейсмограмме AR от магнитуды объемных волн ть [6,1].
В связи с этим важно, чтобы различия в определениях магнитуд источников двух типов были поняты количественно и чтобы можно было проводить уверенную экстраполяцию этих критериев вне диапазона экспериментальных данных. В этом разделе указанные различия для ядерных источников будут рассмотрены на основе схемы подобия сейсмического спектра, представленной в ч. I.
На рис. 5 представлен график зависимости ть от логарифма энергии заряда для нескольких взрывов в туфе и граните на полигоне в Неваде [2]. Из этого рисунка можно видеть, что уравнение
ть = 3,5 + 0,85 lg W	(22)
описывает характер экспериментальных данных. В ч. I для взрывов на заданной приведенной глубине с зарядом около 200 кт были установлены значения теоретических показателей степени при заряде в интервале величин от 0,8 до 0,9 для диапазона периодов от 1 до 3 с (см. ч. I, рис. 5), что хорошо согласуется с этим наблюдением. При более детальном рассмотрении экспериментальные данные указывают на общую тенденцию выпо-
СЕЙСМИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПОДЗЕМНЫХ ВЗРЫВОВ Ч. II 325
лаживания кривой магнитуда — заряд при больших энергиях зарядов [2]. Анализ рис. 2 указывает, что это наблюдение согласуется с поведением модели, по которой нельзя установить простую степенную зависимость от энергии заряда для амплитудной составляющей на
Рис. 5. Зависимость магнитуды объемной волны ть от энергии заряда (кт) для нескольких взрывов в туфе (•) и граните ( о ),
периоде 1 с. При более конкретном подходе для взрывов в туфе и риолите на заданной приведенной глубине теоретические значения наклона в уравнении (22) приблизительно равны 1 для энергий заряда менее примерно 100 кт и в среднем около 0,60 для диапазона 100— 1000 кт, что хорошо соответствует отмечаемой в эксперименте тенденции.
На рис. 6 дан график зависимости М от ть для 19 взрывов на полигоне в Неваде [6]. Как видно из этого рисунка, усреднение по методу наименьших квадратов дает
М = 0,86m* - 0,35,
(23)
326
ДЖ. Р. МЁРФИ, Р. А. МЮЛЛЕР
Результаты ч. I снова указывают, что теоретическое значение показателя степени при энергии заряда равно 0,76 на периоде 20 с. Таким образом, из соотношений подобия имеем
М = 0,89mb + const,	(24)
что также хорошо согласуется с наблюдениями. Согласованность этих результатов указывает на примени-
сь
Рис. 6. Зависимость магнитуды поверхностной волны М от магнитуды объемной волны ть для подземных ядерных взрывов [6].
мость теоретического анализа к описанию телесейсмиче-ских наблюдений движений грунта при подземных ядерных взрывах.
Другой интересный вопрос связан с соотношением между энергией упругих волн Ео и магнитудой объемной волны тъ. Используя уравнение (22) и (16), получаем результаты, показанные на рис. 7 для взрывов на фик
СЕЙСМИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПОДЗЕМНЫХ ВЗРЫВОВ. Ч. II 327
сированной приведенной глубине (440 фут/кт’/з) и для взрывов на фиксированной глубине 3800 футов (т. е. примерно на глубине, необходимой для камуфлета при
Рис. 7. Зависимость излученной упругой энергии от магнитуды объемной волны.
/ — взрыв при h = 3800, lg Eq= 14,1 +	2—взрыв при Л = 440№Л'/з, lg EQ=
= 12,4 + 1,4/n^; 5 —по Гутенбергу — Рихтеру [3], lg BQ = 5,8 + 2,4/п^.
взрыве 1 Мт). Для сравнения также показана кривая Гутенберга — Рихтера [3]. Несколько неожиданным является тот факт, что эта последняя кривая дает значительно более низкие значения сейсмической энергии для магнитуд тъ менее 6,5, хотя она построена по данным землетрясений с преобладающим диапазоном магнитуд
328
ДЖ. Р. МЁРФИ, Р. А. МЮЛЛЕР
от 6,0 до 8,0. Например, экстраполяция формулы Гутенберга — Рихтера к значению ть = 3,5 дала бы исключительно низкое значение доли сейсмической энергии (около 4-10-4%) для взрыва мощностью 1 кт. Эти результаты, вероятно, объясняются тем, что 1g Ео не является линейной функцией во всем диапазоне значений ть. В любом случае это, по-видимому, означает, что излученная энергия при слабых землетрясениях обычно занижалась.
Д	ОБСУЖДЕНИЕ
Произведена оценка доли упругой энергии в зависимости от заряда и глубины заложения для взрывов в туфе и риолите на плоскогорье Пахюте. Эти расчеты показывают, что доля сейсмической энергии для взрывов в конкретной среде зависит только от глубины и в действительности пропорциональна /г°>72, где h — глубина заложения. Более того, при частном виде использованных соотношений подобия энергии излучения и деформации обнаруживают одну и ту же зависимость от глубины. Результаты этих вычислений энергий и схема масштабного пересчета сейсмического спектра согласуются с наблюдаемыми различиями в определениях магнитуд по объемным и поверхностным волнам для ядерных источников.
Получено соотношение между магнитудой и энергией для ядерных источников и установлено значительное отличие от первоначальной формулы Гутенберга — Рихтера [3]. Это различие интерпретируется как указание на то, что энергия излучения слабых землетрясений обычно занижалась.
Список литературы
1.	Evernden J. F., Identification of earthquakes and explosions by. use of teleseismic data, J. Geophys. Res., 74, 3828—3856 (1969).
2.	Evernden J. F., Magnitude versus yield of explosions, J. Geophys. Res., 75, 1028—1032 (1970).
3.	Gutenberg B., Richter C. F., Earthquake magnitude intensity, energy, and accelaration (second paper), Bull. Seism. Soc. Amer., 46, 105—145 (1956).
СЕЙСМИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПОДЗЕМНЫХ ВЗРЫВОВ. Ч. II 329
4.	Haskell N. A., Analytic approximation for the elastic radiation from a contained underground explosion, J. Geophys. Res., 72, 2583—2587 (1967).
5.	Latter A. L., LeLevier R. E., Martinelli E. A., McMillan W. G., A method of concealing underground nuclear explosions, J. Geophys. Res., 66, 943—958 (1961).
6.	Liebermann R. C., Pomeroy P. W., Relative excitation of surface waves by earthquakes and underground explosions, J. Geophys. Res., 74, 1575—1590 (1969).
7.	Mueller R. A., Murphy J. R., Seismic characteristics of underground nuclear detonations, Part I, Bull. Seism. Soc. Amer., 61, 1675—1692 (1971); русский перевод см. на стр. 288 данного сборника.
8.	Mueller R. A., Seismic energy efficiency of underground nuclear detonations, Bull. Seism. Soc. Amer., 59, 2311—2323 (1969).
9.	Orphal D. L., The cavity formed by a contained underground nuclear detonation, Report NVO-1163-TM-I5, Environmental Research Corporation, 1970.
10.	Papoulis A., The Fourier integral and its applications, McGraw-Hill Book Company, Inc., New York, 1962.
IL Perret W. R., Free-field particle motion from a nuclear explosion in salt, Part I, Project Dribble, Salmon Event, Report VUP-3012, Sandia Laboratory, 1968.
12.	Yoshiyama R., Note on earthquake energy, Bull. Earthquake Res. Inst., Tokyo Univ., 41, 687—697 (1963).
РАСЧЕТНЫЕ ВСТУПЛЕНИЯ ВОЛН СЖАТИЯ ОТ ПОДЗЕМНЫХ ЯДЕРНЫХ ВЗРЫВОВ1)
Дж, Р. Мёрфи
Червени [3] недавно получил аналитические выражения для основных волн, образующихся на плоской границе раздела двух упругих тел при падении на нее под произвольным углом сферической волны сжатия. Эти результаты обобщаются на случай модели сейсмического источника ядерного взрыва, действующего в многослойном линейно неупругом полупространстве. Для тех типов волн сжатия, которые обычно идентифицируются на полевых сейсмограммах в ближней зоне, рассчитываются и сравниваются с экспериментальными данными профили скорости частиц при использовании модели сейсмического источника, соответствующей ядерно-му взрыву «Бокскар», и приближенной модели земной коры. Эти сопоставления показывают, что максимальные амплитуды некоторых важных типов волн сжатия могут быть предсказаны с приемлемой точностью путем использования относительно простой модели сейсмического пути распространения.
ВВЕДЕНИЕ
Вопрос о предсказании характеристик движения грунта, вызванного подземными ядерными взрывами, может быть разделен на отдельные этапы, соответствующие обсуждению эффектов источника, пути распространения и локальной геологии в пункте регистрации. Ранее были предложены модели для описания сейсмического источника ядерного взрыва [11] и эффектов изменения геологических условий в пункте регистрации [12] и были показаны возможности использования этих моделей для предсказания характеристик движения грунта [15]. Эффекты пути распространения, однако, еще плохо
!) Murphy J. R., Calculated compressional-wave arrivals from underground nuclear detonations, Bulletin, of the Seismological Society of America, 62, № 4, 991—1016 (1972).
РАСЧЕТНЫЕ ВСТУПЛЕНИЯ ВОЛН СЖАТИЯ
331
изучены, и нет простой количественной модели, пригодной для оценки ожидаемого изменения в уровне максимальных амплитуд в связи с вариациями условий распространения на профиле источник — приемник.
Эта статья описывает первый шаг в развитии такой модели. Усилия в этом направлении были стимулированы тем практическим обстоятельством, что на сейсмограммах с записями подземных взрывов имеется относительно небольшое число волновых вступлений или групп, определяющих основные признаки записи [7]. В частности, только три главных типа волн сжатия обычно выделяются на сейсмограммах, полученных на расстояниях до нескольких сотен километров. Поэтому будут описаны такие количественные модели, которые могут быть использованы для расчета волновых форм и действительных амплитуд этих нескольких вступлений волн сжатия на основе доступных измерению физических свойств пути распространения.
Основная граничная задача может быть сформулирована как задача об отражении сферической волны сжатия от плоской границы, разделяющей два упругих изотропных полупространства, находящихся в жестком контакте. Определенные аспекты этой задачи уже решены и в деталях обсуждались различными исследователями. Однако большинство из опубликованных решений являются асимптотическими и, следовательно, применяются только в ограниченном диапазоне существования различных волн [8, 16]. В приложении к вопросам сейсмической безопасности при взрывах именно те области, в которых асимптотические решения не могут быть использованы, представляют наибольший интерес.
Однако более полная формулировка задачи была недавно опубликована Червени [3], который получил аппроксимирующие аналитические выражения для поля отраженной волны, справедливые во всей области существования различных типов волн. В этой статье полученные Червени результаты обобщаются на случай сейсмического источника ядерного взрыва, действующего в многослойной модели земной коры, и эта модель используется для расчета вступлений волн сжатия при подзем* них ядерных взрывах.
332
ДЖ. Р. МЁРФИ
ОТРАЖЕНИЕ СФЕРИЧЕСКОЙ ВОЛНЫ СЖАТИЯ ОТ ПЛОСКОЙ ГРАНИЦЫ
Пусть сферические волны излучаются симметричным источником сжатия в бесконечной однородной среде. Вне области источника смещение U удовлетворяет уравнению движения
(X + 2р.) V (V • U) — p.V X (V X U) — р-^- = 0,	(1)
где X, ц— константы Ламе и р — плотность. Источник характеризуется следующим условием: на границе источника напряжение в упругой области равно и противоположно по знаку давлению на этой границе, т. е.
Grr=—P при R = ге1.	(2)
Вследствие симметрии источника представляют интерес только волны сжатия. Поэтому воспользуемся представлением U = Vqp, где ср — потенциал смещения волны сжатия, который удовлетворяет волновому уравнению
V2<p = -V^-, а2 = -Л + 2ц .	(3)
Y a2 dt2	р	х 1
Разделяя переменные и предполагая гармоническую за-* висимость от времени, получаем уравнение
V2q> + й2<р = 0, А = -у,	(4)
которое имеет решение в форме
<p = AoV’	(5)
где определяется из граничного условия на R = геь Таким образом,
Ло=-<^=-{(Л + 2ц)-^+2Л-£}|	.	(6)
Подставляя (5) в (6), получаем [1]
Р« =	— {k - Ко+)(k -	(7)
'el
где
^=±	Y = (|)2. £2 = f. (8)
fel	rel	\a 1	P
РАСЧЕТНЫЕ ВСТУПЛЕНИЯ ВОЛН СЖАТИЯ
333
а функция
оо
Ри = 4г	(9)
— оо является преобразованием Фурье для профиля давления, действующего на /? = геь Таким образом,
. _ P^elexP(-‘®rel/a)	z,m
“	Р^-К+а^-К^а) ’
и потенциал может быть записан в виде
Г • , eikR
<р(ЯЛ)=	(11)
J	к
— оо
Геометрия интересующей нас задачи показана на рис. 1, где вначале рассматриваются два находящихся в жестком контакте вдоль Z — 0 упругих полупространства, на границу которых падают сферические волны сжатия из источника с центром в (О, Zo). Учитывая цилиндрическую симметрию около оси Z, напишем выражения для компонент смещения U и W в направлениях г и Z соответственно
=	^=77’ P = [r2+(Z0-7)2]’/2.	(12)
Затем, обозначая смещение от гармонического источника нулевым индексом и полагая kR 1, получаем
(13)
Однако, согласно рис. 1, sin е0 == (Zo — Z)//?, cos е0 = = r/R. Следовательно, горизонтальная и вертикальная компоненты смещения от нестационарного источника будут тогда представлены выражениями оо
тт cose0 Г /со - Г .	R \1 ,
U = ———	— А ехр — ко \ t-------d(o.
R J ai ° r L \ Д1 /J
(14) w = -^ [' zi exp L ,„(/- А]Ъ,.
A J «1	L \ ai /J
334
ДЖ. Р. МЁРФИ
В уравнении (10) для мы используем профиль давления, действующего на границе упругой зоны, в форме [11]
=	+	//(/),	(15)
где Н(/) —единичная ступенчатая функция. Для целей сопоставления представляют интерес компоненты
Рис. 1. Пути лучей прямой и отраженной волн для точки наблюдения (г, Z).
(£/, W) скорости колебания частиц. Следовательно, подставляя (10) в (14) и взяв производную по времени, получаем для радиальной компоненты скорости

U = ———
-------------7--------Z—--------------Z—Г б/(0 -{•“ (со + /а) (со — (со — Ко aj

dco cose0, (16)
РАСЧЕТНЫЕ ВСТУПЛЕНИЯ ВОЛН СЖАТИЯ
335
Вычисление интегралов в (16) путем интегрирования по контуру дает для члена, обусловленного ступенчатой функцией,
Z7( = e-2Ya“T {cos 2 [у (1 — у)]'/2 ©o’ — Y [Y (1 — y)]"'/2 X
X sin 2 [у (1 — у)]'/г юот} cos e0,	(17a)
и для члена, обусловленного экспоненциальной функцией,
и2 =------г	\*2е-ах - 2^-^ х
4М (®о ~ амо + 4^-)
X {2у (а — ®0) cos 2 [у (1 — у )]‘/2 юот +
+ [у2 (2®0-а) + ау] [у (1 - у)Г'/2 sin 2 [у (1 - у)]'/2 со0т}] cos е0,
(176) где «о = cii/re\ и U = <71 + #2. Вертикальная компонента скорости может быть получена из (17) подстановкой —sin в0 вместо cos во.
Теперь рассмотрим взаимодействие этой первичной сферической волны с плоской границей раздела между двумя полупространствами на Z = 0. Поскольку симметрия возмущения отличается от симметрии на границе, удобно перейти к изображению сферической волны суперпозицией плоских волн, используя представление Вейля, и записать [2]
= 4 J ехР \ik (2 + Zo) (1 - <72)'/2] X
Xq(l-qT'l2dq, (18)
где q = sin в, a — функция Ханкеля первого рода нулевого порядка. Выражая падающее возмущение в виде суперпозиции плоских волн, естественно представить отраженную сферическую волну путем ввода в
336
ДЖ. Р. МЁРФИ
подинтегральное выражение (18) коэффициента отражения для плоских волн. Тогда получим потенциал отраженной волны Р: оо	оо
Ф«(Я, 0=	4 / 40(?)<МХ
— оо	—оо
X exp [z& (Z + Zo) (1 -q2)'l2]q(l-q2)-'l2dq, (19) где До(^)—коэффициент отражения для плоских волн типа РР. Обозначая далее смещение от гармонического источника нулевым индексом и полагая Н = (Z + Z0)/2, получаем оо
UR, = “4 I A0^)H\l}(krq)exp[2ikH(l-q2)'l2]X
Xq2(l-q2)~'l2dq,
(20)
(21)
= 4 J A) (?) //o'* (krq) exp [2ikH (1 -q2)'1’] q dq, — OO
где — функция Ханкеля первого рода первого порядка. Понятно, что коэффициент отражения Ao(q) будет играть важную роль при вычислении интегралов (20). Для отраженной волны Р его можно записать в виде [3]
Л	(q)+L~(q) (п2 — д2)'^
K+{g)+L+(q)^-q^ ’
где
К± (<?) = ± q2 (р - 1) - 2q2 (т - I)]2 +
+ (1 — <72),/г (я2п2 — q2y* nfo 4-
+ [n|p - 2q2 (m— 1 )]2 (1 — q2)'1’ (n2 - q2)\
L* (?) = 4 (m - I)2 <?2 (1 - q2)'11 (n2 - q2f X
X (n2n2 — q2^ ± njp (n2 — <72)i/2 ±
± [n2 + 2q2(m	-	I)]2(n2n2 - q2^,
a[	а1	a2	P2	P2^2
« = —. «1= —	.	«2 = T-.	P=	— .	m = —T2>
ai	^1	^2	Pl	Pl^l
(22)
РАСЧЕТНЫЕ ВСТУПЛЕНИЯ ВОЛН СЖАТИЯ
337
и для того чтобы удовлетворить условию излучения на Z ___ — оо, мы должны взятьаг§ (п2 — д2)‘/г = (л/2) при q> > п.
При применении приближенных методов вычисления (например, метода наибыстрейшего спуска) к уравнениям (20) необходимо предположить, что Ло(<?) является слабо изменяющейся функцией q в окрестности седловой точки. Однако, согласно (21), оказывается, что это условие не будет выполняться в области q = п (т. е. в критической точке), которая представляет особый интерес в настоящем исследовании. Следовательно, удобно записать (21) в форме [3]
A0(q) = P(q)-Q(q)(^-q^,	(23)
где
р _ к+ (?) К~ (q) + L+ (?) L~ (q) (q2 - n2)
W	K+2 (q)L+2 (q) (q2 — n2)
4-4-1	(24)
K~ (q) L+(q) — L~ (q) (K)+ (q)
^(q)	K+2(q) + L+2(q)(q2-n2) ’
причем теперь P(q) и Q(q) имеют конечные производные по q в точке q = п.
Путь интегрирования (20) не удобен для получения приближенных решений, поскольку подинтегральное выражение сильно осциллирует вдоль этого пути. Кроме того, вычисление по этому пути привело бы к получению единого выражения для потенциала, обусловленного вкладами различных волн (например, РР, Рп и т. д.) в суммарную «отраженную» волну, что затруднило бы анализ роли отдельных компонент. Следовательно, желательно заменить первоначальный путь интегрирования таким, при котором вычисления были бы проще. При изменении пути необходимо рассмотреть особые точки подинтегрального выражения. Они представлены точками ветвления q = ±п, q = ±1, q = ±П[ и q — а также полюсами, соответствующими корням знаменателя в уравнении (21). Однако может быть показано, что вычеты полюсов соответствуют волнам Стоили, распространяющимся вдоль границы, в то время как решения в точках пп2 соответствуют неоднородным головным волнам (т. е. в настоящем приложении П\ >> 1,
338
ДЖ. Р. МЕРФИ
ПП2 > 1). Так как амплитуды этих волн убывают экспоненциально с удалением от границы [2, 4], то эти члены не представляют интереса для наблюдений на поверхности, и ими в дальнейшем можно пренебречь.
Принимая во внимание предшествующее обсуждение, приступим к выбору оптимального пути интегрирования. При этом мы будем следовать Червени [3], который всесторонне исследовал эту задачу. Первым шагом является определение отрезков ветвления таким образом, чтобы последовательный расчет интегралов по любому линейному пути возможно было бы выполнить достаточно просто. Выбранное параметрическое уравнение для этих отрезков задается в форме
(1 - <72)Vs = (1 - <?bR)'/2 + ре~‘ <"/<>,	(25)
где р — действительный параметр, непрерывно изменяющийся от 0 до оо, ^BR — точка ветвления со значением либо 1, либо п. Первоначальный путь интегрирования в уравнении (20) тогда преобразуется в полуокружность в верхней полуплоскости, дополненную кривой, которая описывается параметрическим уравнением
(1 -	= (1 - qffl 4- pe~i	(26)
где qo играет роль угла падения в лучевом приближении, а р является теперь действительным параметром, непрерывно изменяющимся между — оо и оо. Преобразованный путь интегрирования в комплексной плоскости q показан на рис. 2 для двух случаев q$ п и qo > п, где полуокружность обозначена индексом D, а петля через Do- Как показано на рисунке, для того чтобы оставаться на соответствующей плоскости римановой поверхности для q0 > п, петля, заданная (26) (т. е. Do), должна быть дополнена петлей D* вокруг границ разреза, связанного с точкой ветвления в q = п. Когда радиус той части пути, которая соответствует полуокружности, приблизится к бесконечности, вклад интегрирования вдоль D будет стремиться к нулю, а потенциал отраженной волны будет задан интегралом по пути Do или для qQ > п по путям Do плюс D*.
Теперь мы вычислим для отраженной волны РР компоненты смещения ([До и ^0) путем вычисления инте-
РАСЧЕТНЫЕ ВСТУПЛЕНИЙ ВОЛН СЖАТИЯ	339
гралов в уравнении (20) вдоль пути Do. Можно показать [3], что для точек на Dq всегда будет сохраняться условие kr\q | » 1, когда krqj^2 > 1. Таким образом, для удаленных точек наблюдения функции Ханкеля
Рис. 2. Преобразованные пути интегрирования в комплексной плоскости q.
в (20) можно заменить их асимптотическими представлениями
(krq) ~ [2/nkrq]'/2 exp |) (krq —	,
//j1' {krq) [2/nkrq]'12 exp (krq —	.
(27)
340
ДЖ. Р. МЁРФИ
Подстановка (27) в (20) дает горизонтальную компоненту смещения
U°Rt = el w (k/2nr)''2 J Ао (q) elkB (<7) ^ (1 - <72)~'/2 dq, (28) D,
где В (q) = rq + 2Н (1 — q2)'11, и мы использовали равенство е-«(зяи) = _	(л/4), в выражении для В мы теперь
заменим переменную q на р, используя (26), и напишем В (р) = г [- 2 (1 - q2^ ре-> + ip2p +
+ 2H [1 - q2 + 2 (1 - q2^ pe~l - ip2\l*. (29)
Разлагая B(p) в ряд около p — 0, получаем
ikB (p) = ikB (<?0) +
+ ikp{2H-r(\-q^q.]e-^^- ~ P2 + •••, (30)
где последующими членами этого выражения можно пренебречь для больших удалений; при Qq = sin е = = r/RR,rne Rr = (г2 4- 4#2)’/2 (рис. 1), имеем
=	2H-r(l-q2)^/qo = 2H-(^-r2)^ = O. (31)
Таким образом, экспоненциальный член можно представить в виде
ikB(p)~ikfiR--£p2.	(32)
Выразим теперь подинтегральное выражение в (28) через переменную р, используя (32) и тот факт, что
<7(1- q2)~'/2 dq — — е~1 (я/4) dp.	(33)
Тогда получим (помня, что пределами интегрирования вдоль Do являются оо и — оо)
оо
UR, = cl0elkRR(k/2nrqQ')^ J Л0(р) exp (-krp2l2q$dp. (34)
— оо
Из (34) ясно, что подинтегральное выражение будет быстро уменьшаться, когда \р\ увеличивается, и, следовательно, только значения р, близкие к нулю (т. е.
РАСЧЕТНЫЕ ВСТУПЛЕНИЯ ВОЛН СЖАТИЯ
341
q&qo), будут давать значительный вклад. В большинстве приложений Ао(^о) будет слабо изменяющейся функцией qo, за исключением окрестности q0 = п. Следовательно, если не близко к п, мы можем Ао(р) вынести за знак интеграла, как и Ло(^о), и использовать тот факт, что
| exp (— ^rp2/2^) dp = (2nq30jkryh, (35)
чтобы получить
=	os)
где черта означает, что этот результат соответствует асимптотической или лучевой аппроксимационной теории. Аналогичным образом для вертикальной компоненты имеем
—	eikRR
П =	•	О?)
R
Для окрестности q0 = п мы используем реписать (34) в форме
(23), чтобы пе-

_[ Р (р) exp (- krp2l2q^ dp —
оо
— / Q (р) («2 — Р2)'2 exp (—krp2/2q3) dp — оо
(38)
Для большинства приложений P(qo) и Q(qo) будут достаточно слабо изменяющимися функциями так что можно положить Р(р) Р(0) ==Р(^0), @(р) ~ ~ <5(0) = <5(*7о) в (38) и вынести эти члены за знак
интеграла. Тогда
ikRn
Р (<7о) — PrQ (<7о) (k/2nrq0)'12 X
оо
X | («2 —92),/г exp(-^r/72/2<72)dp|. (39) — оо
342
ДЖ. Р. МЁРФИ
Вводя переменнуюr/°=(^r/2^y/2 [(1 —- м2)’/2—(J—д2)72] и используя соответствующую аппроксимацию для квадратного корня (п2— д2)’/2 в уравнении (39), Червени [3] получил следующее выражение для поля отраженной
волны сжатия, которое справедливо для значений ^о, близких к п (и включающих п):
Г	/ с \1/	*1
и“».=’«тг Iх» <’"> “ т «(“) ° И  где
« 2л к~~ k ’
^^(-фж.,
S V ’	(4л) Л
ОО
G (z/°) = 77=^ f [</° — Р exp (- zn/4)l'/2 X
У л — оо
X exp ( — р-) dp — iS,'1* Уу°.
(40)
(41)
РАСЧЕТНЫЕ ВСТУПЛЕНИЯ ВОЛН СЖАТИЯ
343
Сравнение уравнений (40) и (36) показывает, что член в скобках в (40) можно интерпретировать как коэффициент отражения сферической волны, причем дополнительное слагаемое определяет зависящую от частоты поправку для коэффициента отражения плоских волн. Благодаря уравнению (40), справедливому вблизи q0 = n, и (36), справедливому всюду в остальной области, мы имеем полное решение для смещения в дальней зоне, связанного с волнами типа РР от гармонического источника. Однако для q0 > п к общему полю отраженной волны добавляется вклад, связанный с интегрированием вдоль D* и соответствующий преломленной волне Рп в критической области. Для значений q$, близких к п (но больших п), поле волны Рп будет интерферировать с полем РР, и наблюдаемое смещение будет результатом суперпозиции смещений двух волн. Для я времена пробега этих двух волн будут существенно различаться, так что интерференция для нестационарного источника уже не будет иметь места.
Вводя переменную у* = L\kn(\ — п2)/2г]\ где L — расстояние, проходимое волной Рп параллельно границе (рис. 3), Червени [3] получил следующее приближенное решение для интеграла вдоль D*, которое справедливо для значений q0, близких к п:
(42)
где
Я2(/)=	)
оо i (7л/8)	-	г
=2	.г- f /рехр[-р2— /2 р(1 +i)y*]dp.
у ТС J
— оо
В (п) = nL + (Z + Zo) sec е\ sine* = n.	I
Когда L велико, можно перейти к асимптотическому соотношению
которое часто использовалось для расчетов [8, 16].
344
ДЖ. Р. МЁРФИ
В окрестности до = п волновые поля РР и Рп будут интерферировать. Следовательно, чтобы получить суммарное поле в этой области, необходимо сложить обе компоненты (40) и (42). Тогда получшм
R
Qo r \ H /	%
(45)
где у = [kPR — kB (п)]’/г. В окрестности критической точки имеем у ~ у® ~ у* для qo п и у —yQ для qo < п. Следовательно, суммарное поле отраженной волны в окрестности критической точки можно записать в виде [3]
ikRR	.	.
vR.h(<?о)- 4 ‘Gщ	<4б>
R
f — [kR — krn — 2Hk(l —n2)'/2]'h, q0<n,
У = \ г	i/ пн	(47)
I + [kR-krn-2Hk(l -n2)/2]/2, q0^n.
Наконец, так как
G (у) = /2 exp [Z (л/8 - z/2/2)] Dy, [y(i- 1)] - Z2>/( Vy, (48)
где Di/2 — протабулированная функция Вебера порядка !/2, уравнение (46) представляется в легко реализуемой расчетной форме.
Таким образом, уравнение (46) вместе с уравнениями (44) и (36) дает полное описание основных волн сжатия, образуемых при отражении сферической волны сжатия от плоской границы, разделяющей два твердых полупространства. Из (36) можно видеть, что для qo п отраженная волна будет иметь ту же самую временную зависимость, что и падающая волна, поскольку величина Ло(<7о) не зависит от частоты и действительна для qo <. п. Таким образом, например, горизонтальная составляющая скорости смещения отраженной волны в этой области может быть непосредственно выписана для случая компоненты при ступенчатой функции возбужде
РАСЧЕТНЫЕ ВСТУПЛЕНИЯ ВОЛН СЖАТИЯ
545
ния нестационарного источника согласно (15):
URl =	e~2yv' lcos 2 {Y (1 — Y)}'/2	—
— Y{y(1 — Y)}“,/2 sin2 {y(1 — Y)}/2 ®0T'j sine, (49)
где т' = t — [(/?h — rei)Mi].
Из уравнения (46) видно, что это соотношение не такое простое в окрестности критической точки, поскольку член в скобках комплексный и зависит от частоты. В этом случае компоненты скорости наиболее легко рассчитываются численно при помощи обратного преобразования Фурье.
В области qo п компонента РР отраженного поля идентична этой же компоненте в области qo п. Однако из уравнения (23) следует, что Ло(^о) является комплексной функцией для qo > п. Хотя До(*7о) не зависит от частоты, обратное аналитическое преобразование Фурье не может быть выражено в элементарных функциях [4], и результирующие компоненты скорости должны включать экспоненциальные интегралы различных аргументов. Следовательно, профили скоростей в этой области также могут быть рассчитаны численными методами.
Вклад критически преломленной волны Рп в волновое поле отраженной волны в области qo^> п можно рассчитать с использованием асимптотического соотношения, задаваемого уравнением (44). Его можно переписать в форме
<4. = naiQ (га) L~l‘{r (1 — n2)}_,/2 X
X exp [ikB (n)] sin e*/( — ко). (50)
Тогда, поскольку соответствующая компонента скорости может быть получена путем умножения на —/со, временное выражение скорости смещения в волне Рп идентично аналогичному выражению для падающего смещения. Это означает, что Рп является «интегральной» волной, что хорошо известно из предыдущих исследований [8]. Поэтому мы можем написать выражение для компоненты скорости, обусловленной ступенчатой
346
ДЖ. Р. МЕРФИ
составляющей функции источника, в виде
Г
Lpiai/7Z.V, (J _n2y/:2{v(l - Y)}'/2 Л
X sin2 {у (1 — у)}'/2 <о0т"| sine’, (51) где
В (п) rp|	L (Z + sec е* гр1
%" = t----K_L + -± = t-------L2_22--------|__SL 52)
ai ‘ ai	a2	ai	ax x 7
и, таким образом,	соответствует времени пробе-
га, связанному с волной Рп (рис. 3). Так как для больших радиальных расстояний L г, амплитуда критически преломленной волны будет убывать в дальней зоне по закону г2 при отсутствии какого-либо другого механизма затухания.
Для всех вертикальных компонент движения будут иметь место аналогичные соотношения с подстановкой cos е вместо sin е.
ПРИЛОЖЕНИЕ К РАСЧЕТУ ВОЛНОВЫХ ФОРМ ПРИ ПОДЗЕМНЫХ ЯДЕРНЫХ ИСПЫТАНИЯХ
В предыдущем разделе представлены уравнения, которые описывают отражение сферической волны сжатия от плоской границы, разделяющей два однородных упругих полупространства. В настоящем разделе эти результаты будут использованы для расчета на свободной поверхности компонент скорости смещения различных типов волн сжатия, которые обычно наблюдаются при подземных ядерных взрывах [7]. Модель, которая будет обсуждаться в дальнейшем, приведена на рис. 4. Здесь показано (используются обозначения волн, принятые Хейзом [7]), что в заданной точке наблюдения, расположенной в дальней зоне, результирующее поверхностное движение будет обусловлено, во-первых, отраженной РР\ и критически преломленной Pg волнами, образующимися на первой границе раздела (фундамент), и, во-вторых, отраженной РтР и критически преломленной Рп волнами, связанными со второй границей раздела (Мохо).
РАСЧЕТНЫЕ ВСТУПЛЕНИЯ ВОЛН СЖАТИЯ
347
Из геометрии задачи очевидно, что будут существовать и другие типы волн, подходящие к точке наблюдения (например, поперечные волны в результате обмена на границах, многократные отраженные волны в каждом слое и т. д.). Однако будут рассмотрены только те типы
Рис. 4. Пути пробега выбранных волн сжатия в многослойной модели.
волн, которые обычно идентифицируются в области регистрации волн Р на сейсмограмме, т. е. на участке от первого вступления до времени вступления основных типов поперечных волн. Следовательно, мы теоретически рассчитаем скорость смещения на поверхности для этих нескольких типов волн и проследим, как эти расчеты согласуются с экспериментально наблюдаемым сейсмическим движением. Для того чтобы произвести такие расчеты, необходимо уравнения, представленные в предыдущем разделе, дополнить соотношениями, учитывающими эффект свободной поверхности и существование дополнительной границы.
Для учета эффектов свободной границы имеется несколько возможных альтернативных подходов.
348
ДЖ. Р. МЁРФИ
Простейший способ (справедливый для модели, показанной на рис. 4) состоял бы в расчете компонент скорости смещения на поверхности с использованием коэффициентов отражения на свободной поверхности для плоских волн. В этом случае вертикальная Az и горизонтальная Аг компоненты движения поверхности для падающей под углом е волны с амплитудой А имеют вид
а  __________________2 sin е___________
z cos 2f tg e + 2 sin2 f tg 2f
д  	2 sin e
r cos 2/ tg e + 2 sin2 f tg 2f
Л, I tg - A, |
(53)
где f — угол, который отраженная поперечная волна образует с нормалью к свободной поверхности и который определяется соотношением sin f — (6i/ai)sin е. Другой возможный подход состоял бы в использовании соответствующих геологических данных для построения многослойной модели разреза под пунктом наблюдения вплоть до границы Z = Z2 и последующего расчета передаточной функции этой слоистой пачки при помощи матричного метода Хаскелла [6, 12]. Эта более сложная передаточная функция, однако, зависела бы от частоты, и потребовалось бы обратное численное преобразование во временное изображение для всех углов падения. Поэтому вначале мы рассмотрим только пересечение свободной поверхности, описываемое уравнениями (53).
Также будет рассмотрена передача энергии из среды 1 в среду 2 и обратно. Обозначая соответствующий коэффициент через Т = Т\2Т<2\, получаем
, ....
где
= 4^Р (1 __ ^у/2	__ ^у/2	+ 2q2 (m^l)} +
+ (^ — ^)l/4pn2 —2^(m— 1)}р,
а К+, L+ заданы уравнениями (22).
Единственными оставшимися для обсуждения вопросами являются вопросы о функции источника и способе численного интегрирования. Из уравнений, представлен
РАСЧЕТНЫЕ ВСТУПЛЕНИЯ ВОЛН СЖАТИЯ
349
ных в предыдущем разделе, очевидно, что функция источника (характеризующаяся членом Д©) играет важную роль в определении характера вступлений различных типов волн в дальней зоне. Следовательно, очень важно, чтобы параметры области источника были бы определены по возможности точнее. Однако это не всегда можно сделать таким способом, который был бы согласован с принятой моделью, показанной на рис. 4, по той причине, что физические свойства слоя источника будут определяться их соответствием со средними временами пробега и, следовательно, могут отличаться от тех свойств, которые в действительности имеют место в ближайшей окрестности реального источника. Это означает существование промежуточных границ, эффекты которых должны быть учтены при помощи уравнения (54). Однако, поскольку детали этих промежуточных границ обычно точно не известны и поскольку множитель Т не зависит от частоты (т. е. является практически амплитудным множителем), мы будем использовать специфические физические свойства для области источника, которые отличаются от свойств слоя и в то же время не нарушают условия модели рис. 4. Тогда, например, выражение для горизонтальной составляющей скорости, обусловленной ступенчатой функцией возбуждения для критически преломленной волны, принимает вид (для л)
А. = »Q(re) Л/el v
R L^V7 (1 - п2)'/г х
e-2Ys<oor"
2{Ys (I -Ys)}'/2
sin2{ys(l — ys)}'/2 co0t"
sin£*,
(55)
где параметры в источнике обозначены нижними индексами s.
При выполнении численного интегрирования задача состоит в нахождении функции времени f(r), задаваемой выражением оо
f (г) = | В (со) dco,	(56)
— OQ
350
ДЖ. Р. МЁРФИ
где В (со) — комплексная функция со. Так как f(r) —действительная функция, положим В (со) = /?(со) +l¥(cd) и перепишем (56) в виде
ь	ь
f (т) = 2 J R (со) cos сот dco + 2 | X (со) sin сот dco, (57) а	а
где пределы интегрирования а и b определяются из условий аппаратурной частотной характеристики и спектра функции источника. В данной работе аппаратурные характеристики не рассматриваются, поскольку анализируемые данные были получены велосиметрами типа L-7, которые имеют плоскую характеристику в полосе от 0,1 до 34 Гц [10]. Интеграл, заданный (57), представлен теперь в форме, удобной для численного вычисления.
В такой постановке задачи скорость смещения на поверхности в дальней зоне, обусловленная вступлениями, показанными на рис. 4, может быть рассчитана во всем диапазоне существования различных типов волн. Выбранный пример относится к взрыву «Бокскар», при котором имелась широкая сеть наблюдений с установкой приборов на твердых породах. Параметры источника для этого взрыва были определены при помощи недавно разработанных сейсмических законов подобия [11] и приведены в табл. 1. Физические свойства слоистой модели и соответствующие графики времен пробега раз-
Таблица 1
Параметры источника для взрыва «Бокскар»
W == 1200 кт as — 3,84; 105 см/с bs — 2,22 • 105 см/с — 2,10 г/см3
1/3
Ге! — 1,223 • 105 см а —4,71 с"1 р' = 4,80-107 дин/см2 Ро = 3,12*1О8 дин/см2
3D
352
ДЖ. Р. МЁРФИ
личных типов волн представлены на рис. 5. На рис. 6 графически изображены модули коэффициента отраже-
но
Рис. 6. Модуль коэффициента отражения волн типа РР в зависимости от qo-
Вверху — отражение от фундамента (PPiY, внизу — отражение от границы Мохо (РтР).
ния в функции угла падения на две границы. Дополнительная шкала расстояний дана в верхней части графиков коэффициентов отражений и указывает соответствующие эпицентральные расстояния для РР\ и РтР.
РАСЧЕТНЫЕ ВСТУПЛЕНИЯ ВОЛН СЖАТИЯ
353
На рис. 7 и 8 показаны расчетные профили радиальной компоненты скорости волн РР\ и РтР для расстояний, соответствующих эпицентральным расстояниям
Рис. 7. Профиль отраженной волны PPt (радиальная компонента).
сейсмических станций, на которых получены записи при взрыве «Бокскар» в условиях установки приборов на твердых коренных породах. Профили PPi ограничены расстоянием 92 км, поскольку на больших расстояниях форма сигнала во времени не изменяется и происходит только простое затухание импульса пропорционально г"1. На этих двух рисунках обнаруживается отчетливое изменение формы отраженного импульса в широком
12 Зак. 741
Рис. 8. Профиль отраженной волны РтР (радиальная компонента)
РАСЧЕТНЫЕ ВСТУПЛЕНИЯ ВОЛН СЖАТИЯ
355
интервале углов падения. При более детальном изучении такого изменения мы сосредоточим наше внимание на профиле волны РтР, поскольку в этом случае имеется более полная картина.
Первые четыре волновые формы, которые построены на рис. 8 (т. е. для R = 16, 22, 27 и 33 км), были рассчитаны с использованием асимптотического решения, справедливого для qo << п (см. уравнение (49)). В этом диапазоне расстояний форма отраженной волны во времени идентична форме падающей волны. Кроме того, амплитуда остается почти постоянной, так как переменные Ао(^), Rr, Т и Ат представляют собой слабо изменяющиеся функции горизонтального расстояния в этом интервале.
Однако, переходя к следующему расстоянию этой последовательности форм (т. е. к R = 48 км), мы находим, что асимптотическая формула недостаточно точна и к аппроксимации, согласно геометрической оптике, необходимо ввести поправочный член на основе уравнения (46). Влияние этого поправочного члена выражается в сужении первого полупериода отраженного импульса. Эта тенденция продолжается вплоть до расстояния приблизительно 60 км, обнаруживая постепенную изменчивость фазы отраженной волны в противоположность дискретному изменению фазы, связанному с аппроксимацией плоскими волнами в области критической точки. В этом диапазоне амплитуда отраженной волны быстро возрастает, как это следует из поведения коэффициента отражения, показанного на рис. 6.
На расстояниях между 60 и НО км волны РтР и Рп перекрываются во времени прихода, вследствие чего образуются более сложные волновые формы. В этой интерференционной зоне благодаря различиям в скорости распространения головная волна постепенно отделяется от волны РтР, пока на расстоянии НО км первый полупериод волны Рп не становится отчетливо различимым. Амплитуда волны РтР в этом интервале расстояний достигает своего максимального значения, причем она превышает более чем в 5 раз амплитуду, рассчитанную для расстояния 16 км,
12*
356
ДЖ. Р. МЁРФИ
На расстояниях свыше 110 км qo п и для расчета компоненты РтР можно снова использовать асимптотические соотношения. Однако, как было ранее отмечено, коэффициент отражения плоских волн в этой области является комплексным, что приводит к возникновению предвестника, который вступает раньше времени вступления, предсказанного лучевой теорией. Этот предвестник быстро затухает с увеличением расстояния, пока на расстоянии 528 км не становится пренебрежимо малым по сравнению с амплитудой основного импульса. На этом расстоянии форма отраженной волны повернута по фазе на 180° по отношению к форме падающей волны, а ам-* плитуда ее затухает с расстоянием как г-1.
Формы головных волн Pg, Рп не зависят от расстояния в асимптотических областях. Наиболее отчетливо их форма во временном представлении показана на графике отраженного от фундамента импульса на расстоянии около 27 км, на котором Pg хорошо отделена во времени от РР\. Таким образом, вне области интерференции головные волны характеризуются постоянной формой во времени и законом изменения амплитуды, приблизительно пропорциональным г~2. Такое быстрое затухание амплитуды головных волн с расстоянием приводит к тому, что вне зон интерференции их амплитуды незначительны по сравнению с амплитудами отраженных волн.
Профили скоростей, представленные на рис. 7 и 8, интересны тем, что отчетливо показывают те изменения, которые претерпевает форма отраженной волны во всем широком интервале углов падения. Однако некоторые из характеристик этих профилей не согласуются с экспериментальными данными. Например, вне зоны интерференции расчетные амплитуды отраженных волн более чем на порядок превышают амплитуды головных волн, тогда как экспериментально измеренные максимальные амплитуды различаются совсем непохожим образом [7]. Кроме того, как это следует из рис. 7 и 8, компонента PPi должна была бы иметь наибольшие амплитуды на всех расстояниях, тогда как в действительности она даже не идентифицируется как независимое вступление на экспериментальных сейсмограммах. Однако эти противоречия могут быть разрешены некоторым образом путем
РАСЧЕТНЫЕ ВСТУПЛЕНИЯ ВОЛН СЖАТИЯ
357
учета частотно избирательного поглощения в идеально упругой модели, которая использовалась до настоящего времени.
За последние годы было выполнено большое число работ по определению операторов поглощения для случая линейного волнового распространения в идеально упругих средах. Предполагая, что Q строго не зависит от частоты, Фаттерман [5] из требования сохранения принципа причинности получил соотношение между действительной и мнимой частями оператора поглощения. Эта модель оказалась в хорошем соответствии с экспериментальными лабораторными данными [9, 17]. Однако предполагаемая линейная зависимость поглощения от частоты приводит к некоторым математическим трудностям, что вынуждает ввести в анализ частоты обрезания по нижним и высоким частотам, за пределами которых линейное соотношение может не выполняться. Позднее Стрик [14] разрешил эти трудности, ослабив предположение о строгой независимости Q от частоты. А именно, обозначив комплексный оператор распространения через е-ЧаЩ-ностя, он предположил, что степенной закон частотной зависимости функции поглощения a(f) имеет вид
a(D = Ws-	(58)
Тогда, если ограничиваться значениями $, меньшими 1, необходимость в частотах обрезания можно устранить. Применение преобразования Гильберта к (58) определяет дисперсионную функцию, и, добавляя эффект запаздывания (обозначенный через /?т), соответствующий времени пробега волн бесконечно большой частоты, Стрик получил для функции фазового сдвига 0(f) следующее соотношение:
e(f) = a(Dtg^L + 2nfr.	(59)
Для значений $, близких к 1, Q = 0 (/)/2а (/) будет по-прежнему практически не зависеть от частоты, как это следует из экспериментальных данных. •
Вообще константы kC) и s должны быть определены эмпирически по экспериментальным данным о поглощении, и затем может быть получено значение т по
358
ДЖ. Р. МЁРФИ
экспериментальному значению фазовой скорости на любой частоте. Однако в настоящем примере необходимые данные отсутствуют, и мы определяли s, Q и значения
U, см! с
Рис. 9. Профиль затухающей отраженной волны PPi (радиальная компонента, Q = 25).
фазовой скорости на частоте 1 Гц. Для расчетных целей эти результаты не очень чувствительны к выбору s, и единственное требование состоит в малости s по сравнению с 2/л arc tg [2Q(fo)L чтобы была обеспечена конечность значения фазовой скорости, когда частота стремится к бесконечности.
Выбор соответствующих значений Q для различных слоев в вашей моделц не может быть произведен про
РАСЧЕТНЫЕ ВСТУПЛЕНИЯ ВОЛН СЖАТИЯ
559
стым путем, поскольку отсутствуют экспериментальные данные по поглощению объемных волн в близкой зоне. В качестве предварительных оценок мы взяли Q = 300 для верхней мантии и Q = 200 для пород фундамента [16, 13]. Слоистость осадков вблизи поверхности выдвигает особые задачи, связанные с влиянием горизонтальных неоднородностей, которые, как известно, преобладают в верхней части коры. Таким образом, даже при отсутствии поглощения, обусловленного неидеальной упругостью, оказывается невозможным, чтобы распространение волн в этом слое на очень больших расстояниях происходило бы в условиях правильной симметрии. Этот вывод подкрепляется тем экспериментальным фактом, что волны, распространяющиеся через осадочный слой, не прослеживаются непрерывно на эмпирических сейсмограммах [7]. Поэтому в расчетах мы игнорировали прямую осадочную волну и не вычисляли волновую форму РР\ на расстояниях свыше 100 км. По этим причинам для поверхностного слоя было принято очень низкое значение Q (около 25), которое грубо учитывает дисперсию волны PPi вследствие как горизонтальных неоднородностей, так и поглощения. Во всех случаях предполагалось значение s = 0,95, и фазовые скорости на частоте 1 Гц были взяты равными скоростям, определенным по данным о временах пробега.
Профили радиальных компонент отраженных волн с учетом поглощения представлены на рис. 9 и 10 (эти же профили без поглощения — на рис. 7 и 8), причем во всех случаях для простоты сравнения не приведены первые волны. Как и ожидалось, были отфильтрованы разрывы на т = 0 с сопутствующим значительным уменьшением максимальных амплитуд отраженных волн. На рис. 11 показаны профили компоненты Рё с поглощением в диапазоне расстояний от 30 до 90 км, внутри которого все волновые формы приведены в одинаковом масштабе. Более низкая характеристическая частота, связанная с этой «интегральной волной», приводит к выводу, что волновые формы с учетом поглощения не отличаются существенно от тех форм, которые получены для идеально упругого случая.
360
ДЖ. Р. МЁРФИ
Заканчивая предварительное изучение расчетных волно* вых форм, мы переходим теперь к сопоставлению с экспериментальными сейсмическими данными для взрыва
U, см [с
Рис. 10. Профиль затухающей отраженной волны РтР (радиальная компонента, Q = 200).
«Бокскар». Для каждого типа волны были рассчитаны максимальные значения вектора скорости смещения на расстояниях, соответствующих местам установки сейсмических станций на твердых породах при этом взрыве. На рис. 12 эти теоретические результаты сравниваются с экспериментальными значениями максимальных амплитуд полного вектора определенной сейсмической волны, измеряемых на эмпирических сейсмограммах взрыва «Бокскар» [7]. На рис. 12, а и б проведено сравне
РАСЧЕТНЫЕ ВСТУПЛЕНИЯ ВОЛН СЖАТИЯ
361
ние расчетных (сплошные линии) и экспериментальных данных (кружки) по головным волнам Рё и Рп во всем диапазоне расстояний, для которого имелись наблюдения при этом взрыве. Можно видеть, что уровень расчетных амплитуд и степень их затухания с расстоянием находятся всюду в хорошем соответствии с поведением экспериментальных данных. При более детальном подходе отмечается, что экспериментальные амплитуды волны Pg на расстояниях 185 и 250 км лежат значительно выше расчетных значений на этих же расстояниях. Однако на этих расстояниях волна Рё не имеет продолжительных первых вступлений и практически вступает на тех же временах, что и волна РтР. Следовательно, возможным объяснением этого различия может быть интерференция волны с другими вступлениями или неправильная идентификация волн.
На рис. 12, в приведено сравнение расчетных и экспериментальных значений максимальных амплитуд волны РтР. Видно, что расчетный уровень амплитуд волны РтР (сплошная линия) значительно ниже экспериментального уровня на расстояниях менее приблизительно 60 км. Однако в этом диапазоне расстояний экспериментальные точки хорошо согласуются с расчетным уровнем амплитуд для волны РР\ (пунктирная линия). Вследствие малого различия во временах пробега волн РР\ и РтР в этом интервале расстояний (обе волны приходят одновременно на расстояние примерно 35 км), вполне вероятно, что при анализе экспериментального материала волна РР\ была ошибочно интерпретирована как волна РтР в этой области. На расстояниях свыше 60 км отмечается достаточно хорошее соответствие между расчетными и экспериментальными значениями максимальных амплитуд волны РтР, причем оба графика зависимости амплитуды от расстояния выполаживаются в районе 100 км с последующим затуханием амплитуды по определенному степенному закону на расстояниях более 185 км.
Из рис. 12 можно видеть, что, хотя расчетные уровни амплитуд достаточно хорошо соответствуют общему ходу экспериментальных данных, последние обнаруживают значительный разброс около средних линий.
Рис. 11. Профиль затухающей преломленной волны Ре (радиальная компонента, Q = 200).
U, см/с
Рис. 12. Сравнение расчетных и наблюдаемых максимальных амплитуд различных типов волн для взрыва «Бокскар».
364
ДЖ р. МЁРФИ
Следующий простой пример показывает, что большинство такого рода флуктуаций, вероятно, объясняется особенностями локальной геологии в пункте регистрации. Участок записи вертикальной компоненты волн сжатия на расстоянии около 185 км, рассчитанный для модели на рис. 4, показан на верхнем графике рис. 13. Рассмотрим теперь случай, когда верхние 500 м геологического разреза в пункте регистрации представлены слоем с материалом, имеющим скорость распространения волн сжатия 2 км/с и плотность 1,6 г/см3. Тогда можно показать, что импульсная реакция этого слоя на вертикально падающую волну сжатия выражается в виде [12]
T(t) =
J 7[гТт]</2<?6-^)’,/25(-1Гб[7-(2т+1)],
I	m=0
I о,	(60)
где b = po^o/pi^i, q = ZoMo (индекс 0 обозначает поверхностный слой). Затем если функцию колебаний во времени при отсутствии слоя обозначить через /(/), то функция колебаний во времени на поверхности этого слоя §(/) может быть получена путем свертки /(О сТ(/):
оо
£(0 = 2 (1	(-1Г[-^-](2т+1)/2 X
Xf[/-7(2m + l)]. (61)
На нижнем графике рис. 13 показана функция колебаний во времени, которая могла быть зарегистрирована на станции, расположенной на нашем гипотетическом слое. Сравнивая верхние и нижние графики рис. 13, можно видеть, что поверхностная геология может значительно видоизменять характер колебаний даже для тех случаев, когда регистрирующие станции расположены на твердых породах. Следовательно, более де
РАСЧЕТНЫЕ ВСТУПЛЕНИЯ ВОЛН СЖАТИЯ
365
тальное сопоставление расчетных и экспериментальных амплитуд и волновых форм должно быть отложено до
U, см/с
t~ tn , С Ип
Рис. 13. Расчетные участки сейсмической записи волн сжатия на расстоянии 185 км от взрыва «Бокскар» с учетом (нижний график) и без учета (верхний график) влияния геологии в месте регистрации.
тех пор, пока не будут составлены соответствующие поверхностные геологические профили для отдельных пунктов регистрации, представляющих интерес для настоящего исследования.
366
ДЖ. Р. МЕРФИ
ОБСУЖДЕНИЕ
Описана аналитическая модель, которая может быть использована для расчета поверхностной скорости смещения выбранных типов волн сжатия, возбуждаемых подземными ядерными взрывами. Рассчитанные с использованием этой модели участки записи волн сжатия указывают, что волновые формы различных типов волн являются сложными функциями расстояния, особенно для отраженных волн. Вследствие этой сложности некоторые из вступлений были в прошлом, по-видимому, неправильно идентифицированы на сейсмограммах в ближней зоне. Сравнение расчетных и экспериментальных максимальных амплитуд при ядерном взрыве «Бокскар» показывает, что, используя простую модель пути распространения сейсмических волн, можно с приемлемой точностью прогнозировать амплитуды нескольких наиболее важных волн сжатия. Однако представленный пример, иллюстрирующий влияние локальной геологии на сейсмические записи и амплитуды этих волн, свидетельствует о том, что, для того чтобы получить точные прогнозы характеристик движения грунта, необходимо учитывать влияние локальной геологии в пункте регистрации.
Список литературы
1.	Beaudet Р. R., Elastic wave propagation in heterogeneous media, Bull. Seism. Soc. Amer., 60, 769—784 (1970).
2.	Бреховских Л. M., Волны в слоистых средах, изд-во АН СССР, М., 1957.
3.	Cerveny V., The dynamic properties of reflected and head waves around” the critical point, Trav. Inst. Geophys. Acad. Tchecosl. Sci., 221, 131—236 (1965).
4.	Ewing W. M., Jardetzky W. S., Press F., Elastic waves in layered media, McGraw-Hill Book Company, Inc., New York, 1957.
5.	Futterman W. I., Dispersive body waves, J. Geophys. Res., 67, 5279—5291 (1962).
6.	Haskell N., The dispersion of surface waves in multilayered media, Bull. Seism. Soc. Amer., 43, 17—34 (1953).
7.	Hays W. W., Amplitude and frequency characteristics of elastic wave types generated by the underground nuclear detonation Boxcar, Bull. Seism. Soc. Amer., 59, 2283—2293 (1969).
8.	Heelan P. A., On the theory of head waves, Geophysicsi 18, 871—; 893 (1953).
РАСЧЕТНЫЕ ВСТУПЛЕНИЯ ВОЛН СЖАТИЯ
367
9.	Jordan N. F., Attenuation and dispersion of shear waves in plexiglass, Geophysics, 31, 622—624 (1966).
10.	King K. W., Ground motion and structural response instrumentation; technical discussions of off-site safety programs for underground nuclear detonations, AEC, NVO-1163-40, 1969.
11.	Mueller R. A., Murphy J. R., Seismic characteristics of underground nuclear detonations: I. Seismic spectrum scaling, Bull. Seism. Soc. Amer., 61, 1675—1692 (1971); русский перевод см. в данном сборнике на стр. 288.
12.	Murphy J. R., Davis А. Н., Weaver N. L., Amplification of seismic body waves by low-velocity surface layers, Bull. Seism. Soc. Amer., 61, 109—145 (1971).
13.	Power F. W., Application of Dorman’s model to determine the attenuation of Pg waves, Trans. Amer. Geophys. Union, 51, № 11 (1970).
14.	Strick E., The determination of Q, dynamic viscosity and transient crbep curves from wave propagation measurements, Geophys. J., 13, 197—218 (1967).
15.	Weetman B. G., Prediction of seismic motion and close-in effects, Rulison event, Environmental Research Corporation, NVO-1163-180, 1969.
16.	Werth C. G., Herbst R. F., Springer D. L., Amplitudes of seismic arrivals from the M discontinuity, J. Geophys. Res., 67, 1587— 1610 (1962).
17.	Wuenschel P. C., Dispersive body waves, an experimental study, Geophysics, 30, 539—551 (1965).
ЭФФЕКТЫ ДВИЖЕНИЯ ГРУНТА ПРИ ЯДЕРНЫХ ВЗРЫВАХ: ОБЗОР НАБЛЮДАЕМЫХ ПОВРЕЖДЕНИЙ И МЕТОДОВ ИХ ПРОГНОЗИРОВАНИЯ1)
Ф. Хольцер
Колебания земли при ядерных взрывах могут вызвать повреждение одно- и двухэтажных зданий даже при таких небольших скоростях поверхности земли, как 0,1 и 0,2 см/с, в то время как из экспериментов со взрывами обычных взрывчатых веществ можно было предполагать, что пороговое значение скоростей будет между 5 и 10 см/с. Последующие исследования показали, что такие повреждения лучше коррелируются со средней амплитудой псевдо-абсолютного ускорения (PSAA) в диапазоне периодов от 0,05 до 0,2 с. Имеющиеся в настоящее время данные показывают, что пороговое значение ускорения составляет около 10 см/с2, а при PSAA около 1000 см/с2 можно ожидать повреждения более половины зданий. Эти повреждения носят архитектурный характер; к ним относятся трещины в штукатурке, трещины хрупких кирпичных стен и повреждение печных труб: около двух третей всех повреждений при взрыве «Рулисоп» были такого типа. Чтобы применять такой метод прогнозирования повреждений, необходимо иметь точное предсказание спектра действия. Точность таких предсказаний можно существенно улучшить, если применять зависимость частоты от мощности и глубины взрыва.
ВВЕДЕНИЕ
В самом начале программы «Плаушер» признавалось, что понимание и предсказание колебаний земли, вызванных взрывом и связанных с ними конструктивных или структурных повреждений, будут необходимы, если применение ядерных взрывов в мирных целях достигнет своего максимума [1]. В прошлом десятилетии комиссия по атомной энергии АЕС приняла постоянно действующую исследовательскую программу, имеющую целью количественное прогнозирование так называемого «сейс-
4) Holzer F., Ground motion effects from nuclear explosions: a review of damage experience and prediction methods. Rep. TID-4500, UC-35, Lawrence Radiation Lab., Univ. Calif., June 2, 1971.
ЭФФЕКТЫ ДВИЖЕНИЯ ГРУНТА ПРИ ЯДЕРНЫХ ВЗРЫВАХ 369
мического повреждения» при подземных ядерных взрывах. В результате были развиты теории и методы, которые позволяют нам оценивать с разумной точностью колебания земли при единичных взрывах в песчаниках и сланцах, т. е. в тех средах, где наиболее часто проводятся взрывы для интенсификации газовых месторождений.
Были выявлены те параметры движения грунта, которые, по-видимому, лучше всего коррелируются с разрушениями и позволяют количественно оценить эти разрушения. Ясно, что целый ряд усовершенствований нужно сделать как в части прогнозирования движения, так и повреждений. Кроме того, нужно привлечь более сложные методы, представляя прогноз повреждений с вероятностной точки зрения [2]. В этой статье я попытаюсь сделать обзор тех этапов, через которые прошли ныне используемые методы, и представить состояние этих методов. Я не претендую на то, что была проделана исчерпывающая обработка материала, но тут нужно иметь в виду то обстоятельство, что в настоящее время мы не располагаем ответами на все вопросы.
КОРРЕЛЯЦИИ ПОВРЕЖДЕНИЙ С МАКСИМАЛЬНЫМИ СКОРОСТЯМИ ПОВЕРХНОСТИ
В качестве первоначального подхода к изучению методов прогнозирования колебаний земной поверхности рассмотрим промышленный опыт применения взрывчатых веществ на карьерах и в горном деле [3]. Следует отметить прежде всего, что колебания, вызванные ядер-ным взрывом, отличаются по своим временным характеристикам от колебаний при обычных взрывах, и, в частности, при ядерном взрыве следует ожидать, что колебания будут более низкочастотными. Однако имеющиеся данные, по-видимому, показывают, что порог для повреждений жилых домов (проявляющихся прежде всего в образовании трещин в штукатурке) не должен зависеть от частоты колебаний земной поверхности [4]. Данные, приводящие к такому заключению, представлены на рис. 1. Из них следует, что при амплитуде колебаний около 10 см/с повреждений не будет либо их
370
Ф. ХОЛЬЦЕР
будет очень мало. Отсутствие зависимости повреждений от частоты можно также выразить при помощи энергетического фактора А2//72, где Л —ускорение, фут/с, a F— частота, Гц. В некоторых штатах США, а также Инженерной службой США в качестве критерия принят энергетический фактор, равный единице. При таком значении
Рис. 1. Первые оценки критерия повреждений, основанные на максимальной скорости поверхности.
ER — энергетический фактор, определяемый как A2IF2, где Л —ускорение, фут/с2, a F —частота, Гц.
По оси абсцисс: частота, Гц; по оси ординат: максимальная скорость, см/с; • , повреждения; О, нет повреждений.
энергетического фактора максимальная скорость гармонических колебаний равна 4,8 см/с.
Такое представление о том, что предельные скорости, вызывающие повреждения, лежат в диапазоне от 5 до 10 см/с, было внезапно опровергнуто после взрыва «Салмон». Этот взрыв мощностью 5 кт был проведен вблизи Хаттесбурга, шт. Миссисипи, в соли на глубине 825 м. Приблизительно 1000 жалоб о повреждении зданий поступило от местных жителей [5]. Хотя некоторые измерения колебаний поверхности земли и вызывают сомнения, было установлено, что скорости колебаний
ЭФФЕКТЫ ДВИЖЕНИЯ ГРУНТА ПРИ ЯДЕРНЫХ ВЗРЫВАХ 371
Таблица 1
Количество заявлений о повреждениях зданий при взрыве «Салмон»
Населенный пункт	Максимальная скорость поверхности, см/с	Заявления/пост-ройки, %
Ламбертон	- 1,3	25
Пурвис	-0,8	40
Хаттесбург	-0,4	3
при этом взрыве были значительно меньше, чем по любому из предлагавшихся ранее критериев повреждения. В табл. 1 приведены значения скоростей поверхности грунта и процент поврежденных зданий в трех ближайших к месту взрыва населенных пунктах.
На рис. 2 показан характер повреждений зданий, вызванных колебаниями земли. Типичные повреждения зданий можно отнести в отличие от «структурных» к так называемым «архитектурным» повреждениям. При повреждениях такого рода возникают трещины или отколы в штукатурке или в кирпичных стенах, а несущие конструкции не повреждаются. Многие трещины, подобные приведенным на этом рисунке, закрываются со временем, что сильно затрудняет оценку действительной картины повреждений.
Эксперимент «Салмон» дал новый импульс в направлении изучения механизма повреждений зданий и нахождения тех параметров колебаний, которые могли бы коррелировать с повреждениями зданий. В частности, очевидное нарушение ранее принятого критерия, основанного на скорости поверхности, требовало дальнейшего изучения. Такие исследования были выполнены на Невадском полигоне АЕС в 1965 г. в связи с проведением там серии подземных ядерных взрывов. В течение 1964 г. в основном лагере полигона была возведена серия новых строений. Они представляли собой в основном одноэтажные конструкции из бетонных блоков и использовались как жилье и административные помещения. На рис. 3 показана типичная постройка такого типа. Сорок три таких здания были выбраны для
Рис. 2. Пример повреждений в Хаттесбурге, шт. Миссисипи, при взрыве «Салмон».
Р и с. 3. Типичная постройка из бетонных блоков, использованная в испытательском поселке в Неваде для исследования повреждений.
Р и с. 4. Суммарное число и скорость образования трещин — исследования в NTS.
По оси абсцисс: время, дни; по оси ординат: суммарное число трещин; Q, результаты наблюдений.
374
Ф ХОЛЬЦЕР
детального обследования и тщательно осматривались изнутри и снаружи как перед, так и после каждого ядерного взрыва и в промежутках между ними. Внешние и
Рис. 5. Пример повреждений — исследования в NTS.
внутренние трещины и отколы были отмечены, идентифицированы и измерены. Кроме того, были измерены параметры колебаний поверхности на площади, занимаемой этими зданиями.
Результаты исследования [6] приведены на рис. 4, где общее число всех трещин в 43 зданиях представлено как функция времени. Было установлено, что в среднем 2,5
ЭФФЕКТЫ ДВИЖЕНИЯ ГРУНТА ПРИ ЯДЕРНЫХ ВЗРЫВАХ 375
новых трещин образуется каждый день. Такая скорость образования трещин характерна для зданий выбранного типа. Ступеньки на рис. 4 соответствуют дополнительным трещинам, вызванным проводившимися в эти дни взрывами. По своему характеру эти трещины ничем не отличаются от тех трещин, которые появляются в обычные дни. Все эти трещины архитектурные по природе, и большинство из них легко обнаруживается при внимательном обследовании. Пример приведен на рис. 5. Максимальная скорость поверхности грунта во всех случаях была меньше 0,3 см/с; это подтверждает вывод о том, что некоторые незначительные повреждения могут быть вызваны колебаниями очень малой амплитуды.
КОРРЕЛЯЦИЯ ПОВРЕЖДЕНИЙ С АМПЛИТУДАМИ СПЕКТРА ДЕЙСТВИЙ
Стало очевидно, что для дальнейшего продвижения необходимо рассматривать воздействие колебаний на сооружения. Естественный подход к этой проблеме состоит в использовании спектра действия [7]. Этот метод применялся при изучении собственных колебаний зданий и основан на простом предположении о том, что реакцию сооружения можно аппроксимировать огибающей максимальных отклонений простых гармонических осцилляторов, которые колеблются с различной частотой и затуханием, равным определенной части от критического [8].
Возбуждение такого спектра изображено схематически на рис. 6, где максимальное относительное смещение каждой колеблющейся массы относительно своего исходного положения на основании определяется заданным смещением основания. Эта процедура может быть выполнена, в частности, при помощи быстродействующей ЭВМ. Предполагая простое гармоническое колебание, по вычисленным смещениям можно определить скорости и ускорения. Это позволяет все три величины представить как функции частоты или периода на четырехдорожечном графике, который весьма удобен при
376
Ф. ХОЛЬЦЕР
установлении связи между различными амплитудами и повреждениями.
Типичный спектр приведен на рис. 7; там же указан примерно тот интервал периодов, при которых здания
Р и с. 6. Определение и расчет спектра действия.
1 _ /~ k t	~ /	/-----\
Частота 'vt,==2n’|/ 777’ затУхание 1^=0,05(2 у	максимальное от-
клонение осциллограмма соответствует входному сигналу.
различной высоты могут попасть в резонанс. Соотношение между спектральными амплитудами и резонансными частотами зданий имеет большое значение; например, если на интересующей нас площади все строения ниже трехэтажных, спектральные амплитуды для периодов выше 0,2 с не существенны при предсказании повреждений.
ЭФФЕКТЫ ДВИЖЕНИЯ ГРУНТА ПРИ ЯДЕРНЫХ ВЗРЫВАХ 377
Для одно- и двухэтажных зданий, для которых существенны частоты от 5 до 20 Гц (периоды от 0,05 до
Рис. 7. Пример спектра с интервалами реакций зданий. Дебек-Каньон, твердые породы, станция R18, расстояние 33,5 км.
По оси абсцисс: период, с; покоси ординат: псевдоотносительная скорость см/с. /—вертикальная компонента; 2—радиальная компонента; 5 —трансверсальная компонента; п—число этажей здания.
0,2 с), Надольский [7] показал, что величина псевдоаб-солютного ускорения PSAA, по-видимому, лучше коррелируется с наблюдаемыми повреждениями, чем другие параметры колебаний. Обширные данные по измерению
378
Ф. Хольцер
колебаний грунта в эксперименте «Рулисон» (43 ± 8 кт на глубине 2570 м в песчаниках и сланцах), а также данные [10] по повреждениям подтверждают, что эта связь достаточно определенная. Это установлено Райзером [11] и совсем недавно Фархумандом и Шоллом [12]. В табл. 2 суммированы данные по параметрам колебаний, спектральным амплитудам и числу повреждений при эксперименте «Рулисон».
Таблица 2
Корреляция повреждений при взрыве «Рулисон»
Населенный пункт	Расстояние, км	Максимальное ускорение, g	PSAA, g при 0,05-0,2 с	Число зданий	Число поврежденных зданий	Процент
Гранд-Вэлли	10,6	0,55	0,85	164	76	46,5
Коллбран	19	—.	0,1	139	6	4,3
Райфл	20	0,1	0,2	818	70	8,5
Дебек	23	0,1	0,15	106	6	5,7
Силт	30	0,035	0,08	168	6	3,6
Гранд-Джанкшн	65	0,017	0,03	-4000	3	0,075
Эти данные вместе с некоторыми добавочными точками, полученными по эксперименту «Салмон» и в Лас-Вегасе, показаны на рис. 8. Из этого рисунка видно, что при значении PSAA, близком к 1 g в интервале периодов от 0,05 до 0,2 с, около 50% одно- и двухэтажных зданий, как можно ожидать, получат некоторые повреждения. При значении PSAA, равном 0,01 g, можно ожидать лишь случайные повреждения, а при более низких значениях PSAA повреждений ожидать не следует (или их будет очень мало). Зависимость, приведенная на рис. 8, может служить для быстрой и удобной оценки повреждений одно- и двухэтажных зданий, находящихся вблизи места проведения ядерных взрывов, если при этом можно определить спектры действия для этих зданий.
Результаты, полученные при взрыве «Рулисон», показывают, что даже в том случае, когда спектральные ускорения достигали уровня 1 g, повреждения носили
ЭФФЕКТЫ ДВИЖЕНИЯ ГРУНТА ПРИ ЯДЕРНЫХ ВЗРЫВАХ 379
архитектурный характер либо происходили повреждения внешней отделки. В табл. 3 приведены типы повреждений, выявленные в зданиях, расположенных вблизи от взрыва «Рулисон».
Рис. 8. Зависимость повреждения зданий (%) от PSAA (g) при 0,05—0,2 с.
О» данные взрыва «Рулисон»; НДЧ, повреждения в Хаттесбурге при взрыве «Салмон»; □, повреждения в Лас-Вегасе при взрыве «Хэндлей».
/ —Гранд-Вэлли; 2 — Райфл; 3 — Дебек; 4 — Коллбран; 5—Силт; 6 —Гранд-Джанкшн.
Больше половины всех повреждений составляют трещины в штукатурке либо повреждения печных труб. Примеры таких повреждений показаны на рис. 9—11. Во всех случаях повреждения были легко исправлены и средняя стоимость ремонта составляла меньше 300 долл,
Рис. 9. Пример повреждений при взрыве «Рулисон».
Рис. 10. Пример повреждений при взрыве «Рулисон»,

Рис. 11. Пример повреждений при взрыве «Рулисон».
382
Ф. ХОЛЬЦЕР
Таблица 3
Типы и число повреждений при взрыве «Рулисон»
Печные трубы......................... 143
Внутренняя штукатурка ............... 148
Внешняя отделка стен................... 69
Фундамент стен......................... 66
Окна ................................. 24
Камины................................ 15
Украшения.............................. 22
Колодцы и резервуары................... 27
Другие................................. 43
Общее число 557
на каждое повреждение. Хотя, как можно было ожидать, средняя стоимость ремонтных работ должна быть небольшой при низких параметрах колебаний, Фархуманд и Шолл не смогли оценить точную связь с повреждениями при взрыве «Рулисон» [12], однако они обнаружили что, по-видимому, существует определенная связь между максимальным значением PSAA в соответствующем диапазоне частот и стоимостью всех затрат на ремонт, отнесенной к стоимости зданий. Такой подход, однако, вряд ли будет универсально применимым и должен быть дифференцирован в зависимости от типа повреждений, например в том смысле, будет ли здание отремонтировано либо будет оплачена стоимость этого повреждения.
ДВИЖЕНИЕ ЗЕМЛИ И СПЕКТРАЛЬНЫЙ ПРОГНОЗ
Необходимым условием для использования метода, изложенного выше, является прогнозирование спектра действия для различных населенных пунктов и жилых центров, которые могут быть подвержены воздействию ядерных взрывов. Предсказания максимального значения параметров движения грунта точно так же, как и спектр действия, непрерывно усовершенствовались путем проведения обширных программ измерений как в Неваде, так и повсюду [13, 14]. Однако до проведения
Рис. 12. Сравнение наблюдаемых и предсказанных максимальных ускорений поверхности при взрыве «Газбагги».
По оси абсцисс: расстояние до взрыва, м; по оси ординат: максимальное ускорение грунта, g. О» вектор, измеренный непосредственно; □, вектор, полученный по скорости; Д, вертикальная компонента, измеренная непосредственно*
----а = 5,03 • Ю5 uzO,70^-2,00.--а=2,44.
384
Ф. ХОЛЬЦЕР
измерений при взрыве «Газбагги» не было сопоставлений с прогнозами. После этого взрыва стало ясно, что масштабные факторы, полученные на основании прошедших ранее экспериментов, не справедливы при взрывах на очень большой глубине.
На рис. 12 сравниваются наблюдаемые при взрыве «Газбагги» ускорения с прогнозированными; как видно, измеренные значения выше предсказанных. В результате, спектр действия смещен в сторону высоких частот, а сами значения PSAA лежат выше. Эти расхождения точно так же, как и подробный анализ результатов, полученных при взрывах на Невадском полигоне, привели Мюллера и Мёрфи к теоретическому выводу о законе подобия [16], согласно которому1) как спектральные, так и истинные амплитуды колебаний грунта зависят не только от мощности и свойств грунта, но также и от глубины взрыва. При увеличении глубины взрыва растет PSAA и увеличивается ускорение поверхности грунта. При разработке этой теории использовались волновое уравнение и закон Гука, связывающий смещение с функцией давления на границе упругой зоны. Зависимость от частоты непосредственно появляется, когда рассматриваются компоненты Фурье. Смещения и давления для двух взрывов в одной и той же среде и спектральные амплитуды относятся следующим образом:
I ^1 —el I 1—-el I Р2-el I r2-ei
| ^2 W |
(®02 ~ Р«>2)2 + <Oq2<»2 - (®oi - P®2)2 + ®01®2 -
‘A
где | Z (и) | — модуль фурье-компоненты смещения; I Pei I — модуль фурье-компоненты давления, действующего на упругой границе радиусом гег, со0 = c/rei, где с —скорость продольных волн, а [3 = Л + 2ц/4р, где X и р — постоянные Ламе. Как можно показать, и | Pei | и ге1 зависят от мощности взрыва и окружающего давления.
Используя некоторые естественные предположения для этих зависимостей, приведенное выше уравнение можно разрешить для ряда значений энергии и глубины
!) См. также стр. 291 настоящего сборника. — Прим. ред.
ЭФФЕКТЫ ДВИЖЕНИЯ ГРУНТА ПРИ ЯДЕРНЫХ ВЗРЫВАХ 385
взрыва. При этом можно оценить зависимость от часто-* ты показателя степени в выражениях типа:
Zi(co) / rj	ч
/	(при одинаковой глубине взрыва),
Рис. 13. Зависимость показателя степени энергии взрыва в законе подобия от частоты.
По оси абсцисс: показатель при степени энергии взрыва; по оси ординат: период, с.
На рис. 13 и 14 приведены примеры зависимостей т((о) и п(со) для глубоких взрывов в песчанике и слан* це, например для взрыва «Рулисон».
Поскольку при высоких частотах предельное значение PSSA близко к амплитуде ускорения грунта,
13 Зак. 741
386
Ф. ХОЛЬЦЕР
Мюллер и Мёрфи получили следующую степенную зависимость для максимального ускорения поверхности грунта:
__ /_®1_W3 / hl \0.58
Я2 \ <о2 /	\ h2 )
Эти соотношения были использованье для предсказания колебаний при взрыве «Рулисон» по результатам наблю-
Рис. 14. Зависимость показателя степени при глубине в законе подобия от частоты.
По оси абсцисс: показатель степени при глубине; по оси ординат: период, с.
дений при взрыве «Газбагги»; полученные результаты представлены на рис. 15 [17]. На этом рисунке показаны также значения ускорений, прогнозируемых без учета глубины взрыва. Сравнение показывает, что прогноз улучшается, если учитывать влияние глубины. Детальный прогноз спектра на основе такой простой теории
Рис. 15. Сравнение наблюдаемых и предсказанных максимальных ускорений поверхности при взрыве «Рулисон»; твердые породы.
По оси абсцисс: расстояние до взрыва, м; по оси ординат: максимальное ускорение, g.
Прогноз: а = 1,26 • 107 Я-1,93; 0=1,62; Q), результирующий вектор, ------------ без учета глубины;---с учетом глубину,
13’
388
Ф. ХОЛЬЦЕР
пересчета сделать довольно трудно, в этом можно убедиться при сравнении наблюдаемого при взрыве «Рули-
Р и с. 16. Сравнение предсказанных и наблюдаемых спектров при взрыве «Рулисон».
По оси абсцисс: период, с; по оси ординат: 5%-ная пседоотносительная скорость, см/с; ----наблюдения (радиальная компонента); заштрихованная область —
прогноз.
сон» спектра с предсказанным, причем полученный при взрыве спектр смещен в сторону высоких частот по от-ношению к предсказанному. Это положение иллюстрируется на рис. 16 и 17. Некоторые из отклонений вы
ЭФФЕКТЫ ДВИЖЕНИЯ ГРУНТА ПРИ ЯДЕРНЫХ ВЗРЫВАХ 389
званы главным образом особенностями геологии в месте установки станций регистрации. Учет рефракционных
Рис. 17. Сравнение предсказанных и наблюдаемых спектров при взрыве «Рулисо!».
Обозначения см. под рис. 16.
явлений для особых участков позволяет ввести соответствующий зависящий от частоты коэффициент усиления [17], который может быть использован для исправления прогнозируемого для данной местности спектра.
Рис. 18. Сравнение спектров при взрывах и землетрясениях.
По оси абсцисс: период, с; по оси ординат: псевдоотносительная скорость, см/с.
/—1940, Ель Центро, М=7,1, 10 км; 2 — «Рулисон», 46 кт, 11 км; 3—1952, «Кёрн-Кан-ти», М—7,7, 80 км, Лос-Анжделес; 4—1968, Центральная Америка, А4«7, 370 км, Мексико-Сити; 5—1966, «Тракки», Калифорния, Л4«6,3, 150 км, Сакраменто, Калифорния; 5—«Грилей», 8?5 кт, 175 км; 7—«Рулисон», 46 кт, 179 км,
ЭФФЕКТЫ ДВИЖЕНИЯ ГРУНТА ПРИ ЯДЕРНЫХ ВЗРЫВАХ 391
Представляет интерес сравнить некоторые полученные при взрывах спектры действия с теми, которые наблюдались при некоторых известных землетрясениях. Такое сопоставление приведено на рис. 18. Из этого рисунка видно, что максимальное значение PSAA на расстоянии 175 км при взрыве мощностью 825 кт «Грилей» почти в 100 раз меньше, чем на расстоянии И км при взрыве «Рулисон» мощностью 46 кт. При периодах свыше 1 с, однако, амплитуда при взрыве «Грилей» на 175 км намного больше, чем при взрыве «Рулисон» на расстоянии 11 км. Спектр взрыва «Рулисон» на расстоянии 179 км смещен в сторону высоких частот и, конечно, имеет много меньшие амплитуды, чем спектр взрыва «Грилей». Из всех приведенных на рис. 18 землетрясений наименьшие повреждения были при землетрясении «Тракки», происшедшем в Калифорнии в 1966 г., в то время как при других трех землетрясениях [18] амплитуды в резонансном интервале частот как грунта, так и высоких зданий были, конечно, очень велики. Относительные смещения дают также возможность представить ту степень повреждения, какую можно было бы ожидать либо при землетрясениях, либо при взрывах. Ни при взрыве «Грилей», ни при взрыве «Рулисон» относительные смещения не превышали 1 см. При таком уровне смещений повреждения должны иметь характер архитектурных повреждений. Когда смещения увеличиваются, возможность повреждений более серьезного характера возрастает.
Список литературы
1.	Griggs D. Т., Surface motion from deep nuclear shots, in “Industrial Uses of Nuclear Explosives”, Lawrence Radiation Laboratory, Livermore, Rept. UCRL-5253, 1958.
2.	Blume J. A., The spectral matrix method of damage prediction, AEC Report NVO-99-33, 1968.
3.	Duvall W. L, Fogelson D. E., Review of criteria for estimating damage to residences from blasting vibrations, U. S. Bureau of Mines Report 5968, 1962.
4.	Cauthen L. J., Survey of shock damage to surface facilities and holes resulting from underground nuclear detonations, Lawrence Radiation Laboratory, Livermore, Rept. UCRL-7964, 1964.
392
Ф. ХОЛЬЦЕР
5.	Power D. V., A survey of complaints of seismic-related damage to surface structures following the Salmon detonation, Bull. Seism. Soc. Amer., 56, 1413 (1966).
6.	Wall J. F., Seismic-induced architectural damage to masonry structures at mercury, Nevada, Bull. Seism. Soc. Amer., 57, 991 (1967).
7.	Nadolski M. E., Architectural damage to residential structures from seismic disturbances, Bull. Seism. Soc. Amer., 59, 487 (1969).
8.	Clough R. W„ Earthquake response of structures, in “Earthquake Engineering” (R. L. Wiegel, ed.), Prentice-Hall, New York, 1967.
9.	Observed Seismic Data, Rulison Event, AEC Report NVO 1163-197, 1969.
10.	Structural Response Studies for Project Rulison, AEC Report JAB 99-78, 1971.
11.	Rizer G. C., A method for predicting seismic damage to residential-type structures from underground nuclear explosions, Lawrence Radiation Laboratory, Livermore, Rept. UCRL-50959, 1970.
12.	Farhoomand L, Scholl R. E., Statistical correlation of observed ground motion and low-rise building damage — Project Rulison, AEC Report JAB 99-59, 1971.
13.	Murphy J. R., Lahoud J. A., Analysis of seismic peak amplitudes from underground nuclear explosions, Bull. Seism. Soc. Amer., 59, 2325 (1969).
14.	Lynch R. D., Response spectra for Pahute Mesa nuclear events, Bull. Seism. Soc. Amer., 59, 2295 (1969).
15.	Klepinger R. W., Analysis of ground motion and containment data — Gasbuggy event, AEC Report NVO 1163-158, 1968.
16.	Mueller R. A., Murphy J. R., Seismic spectrum scaling of underground detonations, AEC Report NVO 1163-195, 1970.
17.	Foote R. A., et al., Analysis of ground motions and close-in physical effects, Rulison event, AEC Report NVO 1163-206,’ 1970.
18.	Blume J. A., Skjei R. A., Seismic motion thresholds юг damage to structures, presented at the Seismological Soc. of America Annual Meeting, Riverside, California, 1971.
ВОЗДУШНАЯ УДАРНАЯ ВОЛНА ПРИ ПОДЗЕМНЫХ ВЗРЫВАХ1)
'Дж. В. Рид
1.	ЦЕЛЬ ПРОГНОЗНЫХ РАСЧЕТОВ
Прогнозные расчеты воздушной взрывной волны делаются для принятия мер предосторожности от появления сильных ударных волн в населенной местности, где они опасны и могут вызвать повреждения. Временами наша атмосфера действует подобно линзе, вызывая фокусировку ударных или звуковых волн, возникающих при взрыве. На больших расстояниях это может вызвать ударную волну гораздо большей интенсивности, чем можно было бы ожидать на основании критерия о безопасном расстоянии, установленном для обычных взрывчатых веществ в нерефрактирующей атмосфере. Даже относительно слабые, но еще слышимые волны сжатия, которые обычно не рассматриваются как обладающие разрушительной силой, могут выбить в городе некоторые окна с большими стеклами. Большие окна наиболее подвержены разрушениям и вызывают существенную опасность при разрушении и выпадении стекол.
Взрывы по программе «Плаушер», производимые под землей, вызывают воздушные ударные волны уменьшенной интенсивности. Степень уменьшения для некоторых предполагаемых взрывов может оказаться недостаточной для нейтрализации всех случаев атмосферной фокусировки. Энергия взрыва, глубина заложения, свойства породы и число взрывных устройств — вот факторы, используемые для определения интенсивности эквивалентного источника воздушной ударной волны. Используя местные метеорологические данные, можно
!) Reed J. W., Airblast from Plowshare projects, in «Education for peaceful uses of nuclear explosives», L. E. Weaver (ed.), University of Arizona Press, Tucson, Arizona, 1970, p. 173—192.
394
ДЖ. В. РИД
сделать сезонные оценки потенциально опасных направлений и расстояний. Это позволяет установить уязвимые поселения, стоимость возможных повреждений и оценить степень риска.
Для решения этой проблемы, возможно, потребуется постоянная служба предсказания действия ударных волн, что повлечет за собой специальные наблюдения за погодой и ее предсказания вплоть до больших высот, достижимых только при помощи ракет. Некоторые прогнозные вычисления действия ударных волн потребуют использования быстродействующих вычислительных машин. В местах, где возможны разрушительные воздушные ударные волны, необходимо предусмотреть измерения с целью проверки прогноза и подтверждения исков за повреждния, которые могут быть представлены.
2.	ИСХОДНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
Распространение воздушной взрывной волны на большие расстояния постоянно рассматривалось в связи с ядерными испытаниями в атмосфере. При взрывах по программе «Плаушер» помещение зарядов под землю значительно ослабляет воздушную взрывную волну, так что действительная опасность повреждения отдаленных сооружений сильно уменьшается. Тем не менее этой опасностью нельзя пренебречь, так как при многих полезных взрывах по программе «Плаушер» мощность зарядов, по-видимому, будет гораздо больше предела, допустимого при проведении атмосферных испытаний на континенте, а затухание из-за заглубления заряда не настолько велико, чтобы полностью предотвратить образование воздушной волны.
Имеется большое число данных по испытаниям на выброс, когда заряды были заглублены так, чтобы получить оптимальные размеры воронок. Кроме того, были проведены измерения при значительном количестве камуфлетных подземных испытаний при различных глубинах и разных энергиях взрывов. Очень мало опытов было проведено при промежуточном заглублении, при котором взрывы могли бы быть применены для получения карьеров или вскрытия месторождений. Для та
ВОЗДУШНАЯ УДАРНАЯ ВОЛНА ПРИ ПОДЗЕМНЫХ ВЗРЫВАХ 395
ких взрывов, пока не проведены дополнительные работы, оценочные данные следует получать путем интерполяции.
В атмосфере из-за наличия градиентов температуры и ветра в некоторых случаях возможна фокусировка ударных взрывных волн на расстоянии 50, 100 миль или даже больше. Около этих фокусов, или каустик, амплитуды обычных акустических волн могут возрасти в десять или большее число раз, компенсируя ослабляющие эффекты подземных взрывов, при которых интенсивность воздушных волн ослабляется в десять раз. Поэтому нужно дальнейшее исследование этого ослабления, которое, как установлено, зависит от энергии, глубины взрыва и породы, окружающей источник взрыва.
3.	УДАРНЫЕ ВОЛНЫ ПРИ ВЗРЫВАХ
Взрыв в воздухе излучает ударные волны, которые достаточно хорошо изучены; они рассчитываются по гидродинамической теории, причем расчеты подтверждены экспериментом. Закон подобия позволяет пересчитывать параметры воздушной ударной волны от взрыва одной энергии к другой, так что прогноз делается для стандартного взрыва, в качестве которого здесь принят ядерный взрыв в 1 кт в воздухе без отражающих поверхностей и в однородной неподвижной атмосфере при давлении 1000 мбар на уровне моря при температуре 300 К (+27°C). Полные таблицы параметров для этого взрыва были рассчитаны в Лос-Аламосе и имеют шифр «Задача М» в программах IBM.
На рис. 1 показана зависимость давления от времени в волне при этом взрыве на расстоянии 9000 футов, полученная в самом конце расчета. Здесь показана типичная форма взрывной волны с резким сжатием, медленным переходом давления в длинную отрицательную фазу и постепенным возвращением к окружающему давлению после прохождения ударной волны. Зависимость избыточного давления на фронте от расстояния для этого взрыва пока’зана на рис. 2. Экстраполяция на давления, меньшие давлений в конце задачи М и ниже 0,37 фунт/дюйм2, основана на опытных данных
396
ДЖ. В. РИД
для взрывов на большой высоте, которые мало чувствительны к атмосферной рефракции. При низких амплитудах на расстояниях, близких к безопасным, избыточное давление уменьшается обратно пропорционально расстоянию в степени 1,2. Для акустических волн сферическое расширение дало бы степень 1, но небольшие потери энергии и изменения формы волны вызывают несколько более быстрое наблюдаемое затухание.
Рис. 1. Зависимость давления в ударной волне от времени на расстоянии 9000 футов от ядерного взрыва в 1 кт, произведенного в атмосфере на уровне моря (задача М в программах IBM).
Законы подобия показывают, что заданная интенсивность ударной волны, т. е. отношение избыточного давления к окружающему давлению kplp, будет достигать расстояний R, пропорциональных кубическому корню из энергии взрыва W. Может быть учтена небольшая поправка из-за изменения давления с высотой, однако для большинства взрывов по программе «Плаушер» этой поправкой можно пренебречь. Давление в ударной волне на высоте, превышающей уровень моря, было бы уменьшено в безопасную сторону. Предмет на высоте 10 000 футов над средним уровнем моря подвергся бы действию избыточного давления на 9% меньше, чем указано в графике, а на высоте 20 000 футов уменьшение составило бы 19%. Избыточное давление
Рис. 2. Зависимость от расстояния избыточного давления при стандартном взрыве.
/•-ядерный взрыв 1 кт в воздухе на уровне моря (IBM, задача М); 2 — ядер-ный взрыв 1 Мт в воздухе на уровне моря (пересчет по законам по юбия).
Законы подобия: \р!р = &Рм/рR=Rm (wPm/wMP)'^’
р — атмосферное давление, Др — ударное избыточное давление, R — расстояние, № — энергия взрыва» / — время, С —скорость звука.
328
ДЖ. в. РИД
нанесено на график в миллибарах — метрических единицах, которые обычно употребляются при расчетах ударных волн. Расстояния показаны для удобства и в километрах и милях.
Отраженное избыточное давление Др*, которое измеряется на больших расстояниях от взрыва, удобно выразить формулой
Др* = 714Г°’4/?_1’2(10_3р)0,6/:’.	(1)
Здесь р — атмосферное давление, мбар; Др — избыточное давление в ударной волне; индекс * означает, что амплитуда удвоена при отражении от земли; W—энергия взрыва, кт; R — расстояние, кфут; F — коэффициент атмосферной фокусировки.
4.	ПОДЗЕМНЫЕ ВЗРЫВЫ
При подземных взрывах давление в воздушной вол-* не уменьшается благодаря ослабляющему действию грунта. Форма волны может быть разной при различных глубинах взрыва, как это показано на рис. 3. Начальная ударная волна, прошедшая сквозь грунт, действует на воздух как поршень, образуя при этом импульс «наведенной грунтовой ударной волны» GSI. Вслед за ним следует импульс «выхода газов» GV, если образуется воронка или происходит прорыв газов. При взрывах на малых глубинах наблюдается только импульс GV; на глубинах, оптимальных для образования воронок в аллювии, наблюдаются оба импульса; при камуфлетных взрывах в воздухе образуется только импульс GSI.
Амплитуда воздушной ударной волны находится при помощи коэффициента передачи Г, который определяется как отношение избыточного давления Др на больших расстояниях к избыточному давлению Ар0, которое было бы там от такого же заряда, но взорванного в воздухе:
Передача в ближней области очень сложна и зависит от многих параметров. Пока еще нет полного физи
ВОЗДУШНАЯ УДАРНАЯ ВОЛНА ПРИ ПОДЗЕМНЫХ ВЗРЫВАХ 399
ческого описания того, что там происходит. Для определения безопасных расстояний в предлагаемой работе будут приниматься во внимание только наблюдения на больших расстояниях.
На рис. 4 показана интерполяционная кривая 7, построенная по экспериментальным данным в зависимости
Время
Рис. 3. Зависимость от времени давления в воздушной волне при взрыве на выброс.
а —взрыв на малой глубине; б —взрыв на промежуточной глубине; в — взрыв на большой глубине.
от глубины взрыва, отнесенной к W Большой разброс частично вызван неодинаковыми условиями излучения волны около источника, а частично — неоднородностями в атмосфере на большом пути распространения волны. При предсказаниях безопасности нужно принять во внимание отмеченные возможные ошибки. Кривые показывают, что существенное значение имеют свойства среды, в которой производится взрыв. При ядерных взрывах во влажных средах происходит испарение воды, увеличивающее амплитуду волны GV. При взрывах
Рис. 4. Коэффициент передачи для подземных взрывов.
По оси абсцисс; глубина взрыва в футах, отнесенная к энергии взрыва (кт) в степени 1/з«
/ — «Седан»; 2—«Кабриолет»; 3 — «Денни-Бой»; 4 — «Паланкин»; а — взрыв в скале; б —взрыв в аллювии.
100
P it с. 5. Зависимость избыточного давления (мбар) в воздушной волне от расстояния при подземном взрыве.
/ — ядерный взрыв 1 Мт на выброс на глубине 1500 футов во влажном аллювии (Г=0,166); 2— ядерный взрыв 200 кт на вскрытие на глубине 1170 футов в сухом базальте (Г = 0,057); 3— камуфлетный подземный взрыв 1 Мт на глубине 7000 футов в спекшемся туфе (Г==0.021), а — порог выбивания стекол»
402
ДЖ. В. РИД
в сухих скальных породах на оптимальных для воронки глубинах получается небольшой импульс давления от выхода газов, а импульс GSI получается больше.
Волны от камуфлетных взрывов в аллювии сильнее затухают по сравнению с более сильными волнами, получаемыми при взрывах в скальной породе. Взрывы в солевых образованиях дают самую большую воздушную волну.
Рис. 6. Эффект рядного взрыва.
По оси абсцисс: число зарядов в ряду; по оси ординат: амплитудный множитель.
/ — перпендикулярно ряду, Др~п0,70; 2 — вдоль ряда, Др~п0,25.
Для получения результирующей зависимости давления от расстояния в разных применениях взрыва следует избыточное давление на рис. 1 умножить на соответствующий коэффициент передачи, взятый из рис. 4. Несколько примеров показано на рис. 5. Эти «стандартные» значения давления при взрывах в полупространстве должны быть умножены на соответствующий коэффициент фокусировки для конкретных условий атмосферной рефракции.
При одновременном взрыве нескольких зарядов ударные волны складываются почти по акустическим законам, и избыточное давление получается больше, чем было бы от одного взрыва суммарной энергии. Этот
ВОЗДУШНАЯ УДАРНАЯ ВОЛНА ПРИ ПОДЗЕМНЫХ ВЗРЫВАХ 403
эффект можно ослабить путем подрыва через некоторый интервал времени, однако при этом выброс уменьшится настолько, что такой способ становится невыгодным или нежелательным. Недавно были получены данные по одновременным рядным взрывам для образования траншей. Ударная волна с максимальной амплитудой распространилась перпендикулярно рядам, минимальная излучалась с концов рядов. Коэффициент усиления для этих двух направлений при взрывах разных чисел зарядов показан на рис. 6, а данные для промежуточных направлений могут быть получены интерполяцией. Особенности рядного взрывания все еще не очень хорошо понятны, так что по этой проблеме продолжаются испытания и исследования. Суммарная ошибка от ошибок в определении коэффициента передачи, рядного эффекта и изменчивости атмосферных условий может изменить результат в 3—4 раза.
5.	РАСПРОСТРАНЕНИЕ В АТМОСФЕРЕ
Рефракция ударных волн в атмосфере вызывает немонотонное распределение давления на больших расстояниях. Простой пример показан на рис. 7. В реальной атмосфере температура изменяется с высотой, как это отражено на левой кривой, так что скорость звука на разных высотах разная. Изменения скорости ветра с высотой совместно с температурными вариациями скорости звука определяют итоговую скорость распространения волн, которая изменяется с высотой так, как это показано пунктирной кривой. Плоская вертикальная волна, показанная справа, в такой атмосфере распространялась бы на разных высотах с разными скоростями и все больше искривлялась бы с течением времени. Звуковые лучи, перпендикулярные волновому фронту, загибаются вверх от земли в слоях, в которых скорость распространения волн уменьшается с высотой. В слоях, где эта скорость возрастает с высотой, звуковые лучи пригибаются к земле.
Аналогичные искривления лучей от точечного источника или от взрыва показаны на рис. 8. Для взрывов наиболее важная особенность зависимости скорости
404
ДЖ. в. РИД
распространения от высоты состоит в том, что сначала эта скорость падает, а затем возрастает с высотой. Лучи, выходящие от места взрыва под разными углами
800 900 1000 П00 1200
800 900 1000 1100 1200
Р и с. 7. Искривление фронта ударной волны из-за наличия градиентов температуры и распределения ветра.
По оси абсцисс: слева — скорость, фут/с; справа — расстояние; по оси ординат: высота.
/ — температурная зависимость скорости звука; 2— скорость ветра; 3 — суммарная скорость звука; 4 — положения волнового фронта; 5 —звуковые лучи.
вверх, поворачиваются из-за градиента скоростей и возвращаются на некотором расстоянии на землю уже вместе. Относительное усиление ударной волны можно предсказать по плотности возвращающихся лучей. Фокусировка ударной волны в таких звуковых кольцевых зонах может быть разной интенсивности. Зависимость скорости распространения волн от высоты обычно та
ВОЗДУШНАЯ УДАРНАЯ ВОЛНА ПРИ ПОДЗЕМНЫХ ВЗРЫВАХ 405
кая, что на больших расстояниях получаются очень сильные сгущения лучей, называемые каустиками.
В атмосфере имеются три области, которые могут привести к распространению сильных звуковых или ударных волн. Нижний приземный инверсионный слой, показанный на рис. 9, обычно не вызывает существенной фокусировки. Однако энергия волны в нем убывает
Высота
ния вили
Рис. 8. Типичная конфигурация лучей при взрывах.
скорее по цилиндрическому, а не по сферическому закону, а это вызывает необычное высокое давление в ударных волнах. Поверхностный звуковой канал может быть вызван приземной температурной инверсией, при которой температура возрастает с высотой в узком (редко толще 1000 футов) слое. Инверсии образуются ночью, когда земля охлаждается из-за излучения, а затем земля в свою очередь охлаждает прилегающие слои воздуха благодаря теплопроводности.
Если температура падает с высотой, что является нормальным в дневное время, когда земля нагревается солнцем, инверсию суммарной скорости распространения волн может вызвать изменение с высотой направления или скорости ветра. И в том, и в другом случаях отраженные звуковые лучи возвращаются на землю в первый раз на расстояниях меньше 2 миль. Эти звуковые лучи почти полностью отражаются от земли (по
406
ДЖ. 8. РИД
крайней мере для частот и длин волн большинства взрывов), и отражения повторяются много раз, как показано на рисунке. Даже малые потери при отражении от земли становятся существенными после многократных повторений, так что этот атмосферный волновод
Рис. 9. Поверхностный инверсионный звуковой канал.
По оси абсцисс слева направо: скорость звука, скорость распространения волны, фут/с; расстояние, миля; по оси ординат: высота, фут.
/ — температурная инверсия; 2—скорость звука; 3 — скорость распространения волн; 4—скорость ветра.
нужно принимать во внимание при предсказаниях ударных волн на несколько десятков миль. В Неваде этот невысокий звуковой канал обычно блокируется горами на расстоянии меньше 20 миль.
Метеорологические условия, показанные на рис. 10, вызвали обширные разрушения ударной волной на необычно больших расстояниях. Струйные ветровые потоки, которые обычно дуют с западного направления, могут достигать скорости 250 узлов. Очень низкие температуры и скорости звука на высотах от 25000 до 40 000 футов нейтрализуются этими высокими скоростями ветра. В результате в направлении ветра на высотах около тропопаузы суммарные скорости распространения волн больше, чем на уровне земли.
ВОЗДУШНАЯ УДАРНАЯ ВОЛНА ПРИ ПОДЗЕМНЫХ ВЗРЫВАХ 407
Тропопаузой называется высота, где температура прекращает уменьшаться. Звуковые лучи с возможными сильными фокусировками могут падать на землю по ветру на расстоянии от 30 до 100 миль в зависимости от высоты и мощности каналов струйных ветровых потоков.
Рис. 10. Звуковой канал, образованный струйным течением.
По оси абсцисс слева направо: скорость, фут/с, расстояние, миля; по оси ординат: высота, фут.
/ — скорость распространения волны; 2 — скорость попутного ветрового потока; 3 — скорость звука; 4 —место возможной фокусировки..
На больших высотах, как показано на рис. 11, в озо-носфере имеется теплый слой, середина которого распо-* ложена на высоте около 150 000 футов. Здесь темпера-’ туры и скорости звука почти такие же большие, как на уровне земли. На этих больших высотах дуют сильные почти постоянные ветры со скоростью до 150 узлов. Направление их зависит от сезона, а именно зимой ветер дует с запада, а летом — с востока. Это создает в направлении ветра звуковой канал, в котором лучи возвращаются на землю на расстоянии от 70 до 150 миль.
Против ветра ударные волны из-за рефракции поднимаются над землей. В зону тени проникают только слабые дифрагированные, или рассеянные, волны, тогда
408
ДЖ. в. РИД
как более сильные ударные волны проходят далеко поверху. Эти дифрагированные волны обладают иногда измеримой, но обычно незначительной интенсивностью — около 2% амплитуды давления в направлении ветра.
Еще выше, в ионосфере на высотах больше 300 000 футов, из-за очень высоких температур также образуется отражающий слой. Волны, отраженные от него,
Против ветра	По ветру
Рис. II. Влияние ветра в озоносфере на звуковой канал.
По оси абсцисс слева направо: скорость распространения волн, фут/с, расстояние, миля; по оси ординат: высота, кфут.
1 — скорость звука; 2 — скорость волн против ветра; 3 — скорость воли по ветру;
4— скорость ветра; 5 —слабая волна, дифрагированная к земле; 6 — сильная волна, рефрагированная к земле.
приходят на землю на расстояниях больше 100 миль. Этот слой обычно отражает волны в направлениях, противоположных направлению ветра в озоносфере. На таких больших высотах низкая плотность воздуха приводит к поглощению большей части энергии ударной волны, так что сообщений о повреждении строений волнами, распространяющимися этим путем, не было. Однако наблюдались отрывистые хлопки, треск высокой частоты, когда волны от больших взрывов, отраженные от ионосферы, достигали земли.
На больших расстояниях волны падают на землю под углом вплоть до 30°; при почти идеальном отражении их амплитуды удваиваются. По этой причине микро^ барографы записывают удвоенную величину по сравни
ВОЗДУШНАЯ УДАРНАЯ ВОЛНА ПРИ ПОДЗЕМНЫХ ВЗРЫВАХ 409
нию с вычисленной для падающей волны в свободной атмосфере, приведенной на рис. 2. Удвоение иногда включают в выражение для эффективного фактора фокусировки, хотя схождение лучей из-за преломления в атмосфере дает только половину наблюдаемого эффекта фокусировки.
Усиление ударной волны благодаря атмосферным волноводам и фокусировкам описывается коэффициентом фокусировки F, равным отношению наблюдаемой или вычисленной амплитуды избыточного давления Др для реальной атмосферы к величине Дро, которая получилась бы при распространении взрывной волны от стандартного взрыва в однородной спокойной среде:
F = kp/kpQ.
При распространении в приземном инверсионном слое коэффициент фокусировки F может быть равным 2 или 3, как это показали записи на расстоянии от 10 до 20 миль от ядерных взрывов в Неваде. Гористая местность в Неваде мешает распространению в приземном слое, поэтому нет данных наблюдений по распространению в этом звуковом канале на большие расстояния. Даже на расстоянии 10 миль атмосферные инверсии могут вызвать такое усиление взрывных волн, которое соответствовало бы взрыву в десять раз больше взорванного заряда. В сущности здесь взрывная волна очень близка к цилиндрической, а не к сферической волне.
Звуковой канал, образованный струйным течением, может вызвать более значительное усиление ударной волны. Эксперименты показывают, что в пределах 10 миль от ожидаемой каустики среднее усиление равно 1,6. Наблюдалось усиление F = 4,2, а статистическая экстраполяция показывает, что при некоторых взрывах ударные воздействия на некоторые дома и сооружения соответствуют усилению в 7,5 раза. Этот волновод обычно расположен в восточном направлении, так как струйные ветровые потоки обычно имеют большие западные составляющие. Явления наблюдаются в средних широтах с ранней весны до поздней осени.
При распространении в озоносфере наблюдения обычно показывают усиление в 1,5 раза. Наибольшая
410
ДЖ. 6. РИД
зарегистрированная величина F — 3,3 была получена на расстоянии 135 миль от взрыва 15 т ВВ.
Неточность в определении состояния атмосферы на таких больших расстояниях приводит к значительным ошибкам предсказываемых величин. Свойство нашей атмосферы изменяться в течение нескольких минут удваивает трудности. Ошибка в определении предсказываемых величин равна по крайней мере двум, иногда больше, иногда меньше. Более точные оценки ожидаемого ущерба можно сделать на основании теории вероятности. Для уменьшения числа нежелательных случаев нужно приложить серьезные усилия.
6.	ДЕЙСТВИЕ ВОЗДУШНЫХ УДАРНЫХ ВОЛН МАЛОЙ АМПЛИТУДЫ
При лабораторных испытаниях оконные стекла не разбивались при избыточных давлениях меньше 10 мбар. Однако число испытанных стекол во много раз меньше, чем число окон даже в маленьких городах.
Более правильная величина порога разрушений в городах волнами ядерных испытаний может быть сделана по трем случаям разрушения больших старых оконных стекол обычной прочности при избыточном давлении 2 мбар (1 мбар в падающей волне). При более высоком избыточном давлении было разбито небольшое число стекол средних размеров в казармах на острове Джон-стон от зарегистрированного избыточного давления 14 мбар при взрыве «Оранж». Максимальное избыточное давление 17 мбар было записано на контрольном пункте СР-1 в Юкка-Пасе на испытательном полигоне в Не* ваде, но там были разбиты двери, сорвана и разбита световая арматура на потолке. Имелись также некоторые другие жалобы о повреждениях от взрывных волн, но измерений соответствующих давлений не проводилось.
Чтобы связать вероятность разрушения с избыточным давлением, необходимо иметь более хорошие лабораторные данные. Их можно получить путем изучения звуковых ударов при сверхзвуковых полетах. А пока полезные данные по эмпирической связи вероятности разрушения с избыточным давлением, размерами стекол и
ВОЗДУШНАЯ УДАРНАЯ ВОЛНА ПРИ ПОДЗЕМНЫХ ВЗРЫВАХ 411
другими факторами получены в Медине, Техас, при случайном взрыве в ноябре 1963 г. Из 12 миллионов окон, имевшихся в Сан-Антонио, 3644 были разбиты под действием избыточного давления, изменявшегося примерно
Рис. 12. Зависимость числа выбитых окон от избыточного давления во взрывной волне. Население города составляет 100 000 жителей.
По оси абсцисс: избыточное давление, мбар; по оси ординат: число разбитых стекол.
/ — примерная область средних данных; 2—экстраполяция.
от 1 до 10 мбар и возникшего от взрыва 115 т химического ВВ.
В целом, как показано на рис. 12, для типичного города с населением 100 000 человек ожидаемое число разбитых стекол может быть оценено в зависимости от ожидаемого избыточного давления. Когда этот оценочный метод был применен к одиночному дому, где было разбито одно окно при испытательном взрыве около города Седар, штат Юта, в октябре 1968 г., то получилось, что должно было бы быть разбито только 47% стекол,
412
ДЖ. В. РИД
Было установлено, что разнообразные другие разрушения — растрескивание штукатурки, повреждение домашних вещей и т. д. — существенно увеличивают стоимость убытков и составляют около 40% стоимости поврежденных окон. Испытания со звуковыми ударами находятся в согласии с этими данными. Технические подробности реакции конструкций на эти разнообразные воздействия получить практически невозможно.
К чисто экономическим расчетам ограничений на воздушные ударные волны взрывов по программе «Плаушер» нужно добавить возможность ранения людей. Барабанная перепонка может лопнуть при избыточном давлении около 5 фунт/дюйм2, или 350 мбар. При меньших давлениях не будет никаких прямых физиологических повреждений людей. Однако при давлении 1 фунт/дюйм2 могут быть ранения при падении или от других действий, например испуга, вызванных ударной волной. При много меньших давлениях вторичная опасность исходит от разбитых или треснувших стекол, а она выходит за рамки стоимостных оценок. К счастью, серьезных сведений об этом практически нет. Никто не был ранен стеклом, разбитым от ядерного испытания или от случайного взрыва в Медине. Однако имеются 15 случаев ранения, когда было выбито 300 стекол при недавнем звуковом ударе в академии USAF. Есть надежда, что детальный доклад об этом случае поможет оценить потенциальную опасность при выбивании окон.
7.	ВЫВОДЫ
Прогнозные расчеты действия ударных волн начинаются с гидродинамического определения волны около источника, которое хорошо известно и зависит от энергии, взрывчатки и других известных параметров. Взрывы на выброс по программе «Плаушер» вызывают воздушную ударную волну, ослабленную или диссипированную в разной степени в соответствии с глубиной взрыва и свойствами окружающей породы. Для адекватного определения этой части продолжают проводиться опыты.
Поскольку воздушная ударная волна взаимодействует с атмосферой, ее распространение на большие
ВОЗДУШНАЯ УДАРНАЯ ВОЛНА ПРИ ПОДЗЕМНЫХ ВЗРЫВАХ 413
расстояния зависит от вертикального распределения температуры и ветров, иногда вплоть до больших высот. Звуковые каналы при явлениях преломления могут быть образованы пограничным слоем, струйными ветровыми потоками, сезонными ветрами на высоте около 150 000 футов и высокими температурами в ионосфере выше 300 000 футов. Можно вычислить амплитуды ударных волн в соответствии с эффектами этих атмосферных линз на больших расстояниях. Имеется качественное согласие с опытными данными, однако часто получается расхождение в два раза, что должно быть учтено для надежной безопасности.
Для предсказаний повреждений от действия волн малой амплитуды опытных данных недостаточно, а существующие теории им неадекватны. Исследования по прояснению этой части проблемы ударных волн продолжаются. Результаты будут полезны при определении безопасности программы «Плаушер» и возможности ее проведения, так же как и при решении проблемы звукового удара при сверхзвуковых скоростях самолетов.
Список литературы
1.	Сох Е. F., Plagge Н. J., Reed J. W., Meteorology directs where blast will strike, Bull. Amer. Meteor. Soc., 35, № 3, March, 95— 103 (1954).
2.	Cox E. F., Sound propagation in air, in «Handbuch der Physik», Vol. 48, chapt. 22. Berlin; Springer-Verlag, 1958.
3.	Broyles C. D., IBM problem M curves, Sandia Corporation Technical Memorandum SCTM-268-56 (51), December 1956.
4.	Reed J. W., Church H. W., Sedan long-range blast propagation, Plowshare Program Report PNE-202F, August 30, 1963.
5.	Reed J. W., Long-range air blast measurements and interpretations, Project Danny Boy Report POR(WT) 1809-1, August 1963.
6.	Reed J. W., Long-range airblast, Operation Sailor Hat Report POR (WT)-4057, August 2, 1966.
7.	Reed J. W., Multiple row charge blast wave observations at long range, Project Dugout, Plowshare Program Report PNE-607F, September 8, 1966.
8.	Reed J. W., Vortman L. J., Airblast measurements: project Schooner II, Plowshare Program Report PNE-512F, February 1968.
9.	Reed J. W., Long-range airblast: project Palanquin, Plowshare Program Report PNE-903F, July 1967.
СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие редактора перевода ............................. 5
К. А. Кот. Мощные подводные взрывы. Перевод П. И. Чушкина 9
Дж. У. Притчетт. Расчеты явлений при подводных взрывах в условиях несжимаемости. Перевод П. И. Чушкина .... 44
Ч. Л. Мейдер. Расчет подводного взрыва с учетом сжимаемости. Перевод В. П. Коробейникова.....................  58
Ч. Л. Мейдер. Взрывы вблизи поверхности воды. Перевод П. И. Чушкина..........................................74
Г. М. Стернберг, В. А. Уолкер. Расчет течения и распределения энергии при подводной детонации пентолитовой сферы. Перевод П. И. Чушкина...............................  121
Б. Р. Паркин, Ф. Р. Гилмор, Г. Л. Броуд. Ударные волны в воде с пузырьками воздуха. Перевод А. И. Державиной 152
Т. Р. Буткович. Влияние воды в горных породах на эффекты подземных ядерных взрывов. Перевод В. М. Цветкова . 259
Р. А. Мюллер, Дж. Р. Мёрфи. Сейсмические характеристики
подземных ядерных взрывов. Ч. I. Расчет сейсмического спектра. Перевод Д. Д. Султанова.....................288
Дж. Р. Мёрфи, Р. А. Мюллер. Сейсмические характеристики подземных ядерных взрывов. Ч. И. Определения упругой энергии и магнитуды. Перевод Д. Д. Султанова . . . .314
Дж. Р. Мёрфи. Расчет вступления волн сжатия от подземных ядерных взрывов. Перевод Д. Д. Султанова ..... 330 Ф. Хольцер. Эффекты движения грунта при ядерных взрывах. Обзор наблюдаемых повреждений и методов их прогнозирования. Перевод В. Н. Костюченко.......................368
Дж. В. Рид. Воздушная ударная волна при подземных взрывах. Перевод П. Ф. Короткова..............................393
УВАЖАЕМЫЙ ЧИТАТЕЛЬ!
Ваши замечания о содержании книги, ее оформлении, качестве перевода и др. просим присылать по адресу: Инд. 129820, Москва И-НО ГСП, 1-й Рижский пер., 2, издательство «Мир».
ПОДВОДНЫЕ И ПОДЗЕМНЫЕ ВЗРЫВЫ
Редактор 77. Я. Корсоюцкая Художник В. М. Новоселова Художественный редактор В. И. Шаповалов Технический редактор Н. Д. Толстякова Корректор С. М. Лебедева
Сдано в набор 3/VI1I 1973 г. Подписано к печати 9/1 1974 г.
Бум. тип. № 1 84ХЮ87з2=6,50 бум. л. Усл. печ. л. 21,84. Уч.-изд. л. 19,43. Изд. № 1/7181
Цена 1 р. 94 к Зак. 741.
ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР»
Москва, 1-й Рижский пер., 2
Ордена Трудового Красного Знамени Ленинградская типография № 2 имени Евгении Соколовой Союзполиграфпрома при Государственном комитете Совета Министров СССР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли
198052, Ленинград, Л-52, Измайловский поспект, 29
1 р^/^4 к