Автор: Ромашкевич А.И.
Теги: общее школьное образование общеобразовательная школа физика механика термодинамика задачи по физике молекулярная физика
ISBN: 978-5-358-03301-6
Год: 2007
Текст
А. И. Ромашкевич
1I 3 !
мопЕкупИРНАИ ФИ3ИКА
ТЕРМОДИНАМИКА
10
кпасс
УЧИМСЯ
РЕШАТЬ
ЗАДАЧИ
.
I
. 5SQ.
. .
." .. .."
.
е
ra:.:,.
i - "":\
Dрофа
. А. и. Ромашке..... .
ФИЗИКА
. МОJlЕКУJlЯРНАЯ ФИЗИКА .
ТЕРМОДИНАМИКА
8
кпасс
УЧИМСЯ
РЕШАТЬ
ЗАДАЧИ
юрофа
Москва . 2007
УДК 373.167.1:53(076.2)
ББК 22.2я72
Р69
Ромашкевич, А. И.
Р69 Физика. Молекулярная физика. Термодинами
ка. 10 класс: Учимся решать задачи / А. И. Ромаш
кевич. М. : Дрофа, 2007. 94, [2] с. : ил.
ISBN 978-5 358-03301-6
Пособие содержит задачи по всем разделам молекулярной
физики. Перед упражнениями ПРИВОДJlТСЯ необходимые тео-
ретические сведения и рассматриваются примеры решения за-
дач. Задачи, которые MOryT вызвать затруднения у школьни-
ков, снабжены указаниями.
Данное пособие может использоваться при работе с учеб-
ником для yrлубленноrо изучения физики под редакцией
r. я. Мякишева .Физика. Молекулярная физика. Термодина-
мика. 10 класс..
Содержание и принцип расположения материала позволя-
ет использовать пособие не только учителям на уроках и фа-
культативных занятиях, но и учащимся, проявляющим ин-
терес к точным наукам, для самостоятельных занятий.
УДК 373.167.1:53(076.2)
ББК 22.2я72
ISBN 978 5 358-03301-6
@ООО .Дрофа., 2007
Предисловие
Это пособие продолжает серию, начатую книrа
ми «Механика. 10 кл. Учимся решать задачи» и
«Электродинамика. 10 11 классы. Учимся решать
задачи». в предисловии к ним достаточно подробно
излarались цели комплекса упражнений и peKOMeH
дадии для работы с ним. Сказанное далее обращено
к тем, кому не довелось использовать упомянутые
пособия при освоении курса физики.
Объем и содержание задач, изложение теорети
ческих фраrментов в предлarаемом пособии пресле
дуют одну цель способствовать формированию
у учащеrося системноrо (или, если хотите, лоrиче
cKoro, физическоrо) мышления.
Ученику надо научиться выделять существенное
в рассматриваемом явлении или процессе, отбра
сывать второстепенное, строить модель, а по моде-
ли и алrоритм решения, анализировать результат
и проrнозировать следствия.
Успех человека, независимо от рода трудовой дe
ятельности, в значительной степени определяется
тем, насколько у Hero развито системное мышление.
Поэтому занятия физикой никоrда нельзя считать
бесполезной тратой времени. (А это в жизни мне не
приrодится!)
Выбранный в пособии способ изложения опор
ных вопросов теории призван содействовать более
rлубокому пониманию материала. Пособие COBMec
тимо с любым школьным учебником физики и бу-
3
дет полезно при самостоятельной ПОДI'отовке к
вступительному экзамену в вуз.
Упражнения включают в себя как ОРИI'иналь
ные задачи, так и задачи ДРУI'их авторов, полное
перечисление которых представляется затрудни
тельным, тем более что наиболее полезные в MeTO
дическом отношении задачи переходят из задач
ника в задачник в той или иной редакции.
Подборка задач и объем упражнений в пособии
обеспечивают надежное усвоение материала. Первая
и I'лавная рекомендация: с помощью или без, но Ha
до выполнять каждое упражнение полностью, а ca
ми задания по порядку.
Работая с пособием, не забывайте:
понял еще не значит умею; без решения дo
статочноI'О количества целенаправлеmю подобран
ных задач информация быстро выветривается, oc
тавляя в I'олове только информационный шум;
нельзя отбрасывать задачу, которая не полу
чилась сразу: ЛОI'ическое мышление формируется
в процессе поиска решения;
если вам ПОМОI'ЛИ решить задачу, восстанови
те решение самостоятельно на чистом листе это
включит процесс активноI'О восприятия;
относиться внимательно к условию задачи:
проверьте, хорошо ли вы помните определения и
физический смысл всех величин, упомянутых в
условии;
анализировать ответ задачи: проверьте размер
ность, приrодность результата в предельных случаях
и разумность ЧИСЛОВОI'о значения.
Удачи!
Автор
Тема N! 1 I
Идеальный rаэ.
rрафическое представление
rаэовых процессов
Под идеальным rазом будем понимать I'аз,
для KOTOpOI'O в любой момент времени выполняет
ся уравнение М енделеева lCлаnейрона:
m
pV === M RT,
I'де р давление I'вза на стенки сосуда, V объем
сосуда, содержащеI'О I'аз, Т температура I'аза,
m масса I'вза, М масса ОДБОI'О моля I'вза (MO
лярная масса), R I'азовая постоянная. В системе
СИ она равна
R == 8,31Дж/(моль . К).
Это соотношение описывает состояние системы
из OI'pOMHOI'O количества частиц (молекул). Пове
дение каждой отдельной молекулы должно подчи
няться известным законам механики. Но просле
дить за каждой из них не представляется возмож
ным из за их количества. Да это инеинтересно.
Важнее узнать результат их коллективноI'О вза
имодействия с внешними объектами. В этом COCTO
ит метод сmаmисmическоzо описания системы
большоI'О количества частиц.
Уравнение Менделеева Клапейрона связывает
статистические параметрыр, V, Т, т. имеющие OT
ношение ко всей системе в целом, с величиной М.
характеризующей свойства отдельной молекулы.
Отметим, что уравнение Менделеева Кл8Пейро
на было получено экспериментально до создания
кинетической теории идеальноI'O I'вза, при этом фи
5
зическая величина температура не имела стати
стической интерпретации и трактовалась весьма He
определенно, как степень нarретости тела. Физиче
ский смысл температуры прояснится в дальнейшем
на основе механической модели идеальноrо rаза.
Для облеrчения решения задач часто бывает по
лезным изобразить переход rаза из одноrо состоя
ния в друrое rрафически. rрафики rазовых про
цессов изображают в координатах р, V; р, т или
V, Т. Первое упражнение преследует цель Bыpa
ботки навыков построения таких rрафиков и их
элементарноrо анализа.
Перед построением rрафика следует получить
аналитическое выражение функции процесса из
уравнения Менделеева Клапейрона.
В качестве примера работы с rрафиками rазо
вых процессов рассмотрим решение двух задач.
ЗАДАЧА
На рисунке 1 в координатах р, Т представлен
rрафик цикла rаза некоторой массы (rаз последова
тельно переводится из состояния 1 в состояние 2,
из состояния 2 в состояние 3, далее из 3 в 4 и из 4
в 1). Изобразите этот же цикл в координатах V, Т
и р, V.
Решение
Построим rрафик цикла в координатах V, Т.
На участке 1 2 (см. рис. 1) последовательность
состояний rаза укладывается на прямой, проходя
щей через начало координат,
что аналитически можно за
писать так:
р lLJ:
/ ,," 4
/" "
Рис. 1
б
т
р const . Т.
Сравнивая это выражение
с законом Менделеева Кла
пейрона
mR
р MV Т,
у6еждаемся, что переход rаза
из состояния 1 в состояние 2
происходит при постоянном
объеме (V const). Такой про
цесс называют изохорным.
В координатах V, Т учас
ток 1 2 прямая, парал
лельная оси Т (рис. 2).
Перевод rаза из состояния
2 в состояние 3 совершается
при постоянной температу
ре, следовательно, в коорди
натах V, Т этому процессу
тоже соответствует прямая,
перпендикулярная оси Т. Об
ратите внимание, что при пе
реходе 2 3 (см. рис. 1) дaB
ление rаза падает при посто
янной температуре, значит,
rаз расширяется. Поэтому в
координатах V, Т rрафик от
точки 2 к точке 3 должен ид
ти вверх (рис. 3).
Участок rрафика 3 4
(см. рис. 1) отображает изо
хорное охлаждение rаза, по
этому дальше в координатах
V, т rрафик идет влево, па
раллельно оси Т (рис. 4).
Положение точки 4 (см.
рис. 1) на rрафике опреде
лится пересечением участков
3 4 и последнеrо 4 1. Из
рисунка 1 видно, что переход
rаза из состояния 4 в состоя
ние 1 происходит при посто
янном давлении (р const).
Такой процесс называют изо
барным. Из уравнения MeH
делеева Клапейрона следу
v
1 . :а . 2
т
Рис. 2
v
1 :
о
т
Рис. 3
v
1.=1:
о
т
Рис. 4
v
,
,;:: l :
/
о
т
Рис. 5
v
у,з
1 L.......J 2
/
о
т
Рис. 6
7
ет, что rрафиком зависимости V от Т на участке
4 1 является прямая, проходящая через начало
координат (рис. 5):
Из рисунка 5 становится понятным положение
точки 4 на rрафике цикла в координатах V, Т.
Окончателы):ый rpафик
цикла в координатах V, Т
приведен на рисунке 6.
Построим тот же цикл в
координатах р, V.
Изохора 1 2 в коорди
натах р, V изобразится ПОk
нимающимся вверх отрезком
V (давление растет) (рис. 7).
Перевод rаза из состояния
2 в состояние 3 происходит
при постоянной температуре
(см. рис. 1). Если в ypaBHe
нии Менделеева Клапейрона
положить т == const, то зави
симость р от V становится rи
перболической:
р
]
о
Рис. 7
р \
\
: 3
о
Рис. 8
Р "
\
2 .,
lU4
о
Рис. 9
8
V == mR T .
Мр ,
V == const оТ.
v
mRT 1
Р == . v;
const
p== ,
и отрезок 2 3 (см. рис. 1) в
координатах р. V изобразится
спадающим участком rипербо
лы (давление падает) (рис. 8).
Дальше уже все просто.
Участок 3 4 представляет
v собой изохорное (V == const)
сжатие до начальноrо давле
ния, участок 4 1 отражает
изобарное (р == const) воз
вращение в начальное co
стояние.
Окончательный резуль
тат приведен на рисунке 9.
ЗАДАЧА
На рисунке 10 приведен
['рафик перехода идеально
1'0 1'аза некоторой массы из
состояния 1 в состояние 2
(продолжение 1'рафика пе
ресекает осьр выше нуля).
Определите, сжимается
или расширяется 1'аз в этом
процессе.
Решеuие
Сравним процесс 1 2
сизохорным на1'реванием
ЭТО1'О 1'аза из состояния 1
(рис. 11). Видно, что при пе
реходе 1'аза из состояния 1 в
состояние 2 давление растет
медленнее, чем при изохор
ном процессе (У == const),
значит, I'аз расширяется.
Если вас это рассуждение
не убедило, поступим сле
дующим образом. Обозна
чим параметры 1'аза в co
стоянии 1 через Рl' У 1 , Т 1 ,
В состоянии 2 Р2' У 2 , Т 2'
Ha1'peeM 1'аз изохорно из co
стояния 1 до температуры
т 2 (рис. 12). rаз перешел в
состояние 3 с параметрами
Р
! 2
о
т
Рис. 10
Р
1j2
/
/
/
/
о
т
Рис. 11
Р
РЗ A :
Р2 2
1 I
Рl
,. ;/1 I
/ I I
/ I I
о
Т 2
т
Т 1
Рис. 12
Р
Р2
Рl
о
Т 1
Т 2
т
Рис. 13
9
рз. Vl' Т 2 . Запишем уравнение Менделеева :Кла
пейрона для состояний 2 и 3:
т
РЗ V l == M RT 2;
т
P2 V 2 == M RT 2'
откудаРЗVl == P2V2 (закон Бойля Мариотта)
V 2 Рз
или == .
V 1 Р2
Поскольку Рз > Р2' V 2 > V 1 (rаз расширился).
Полезно познакомиться и с таким рассуждени
ем: сравнивая уравнение Менделеева :Клапейро
на для состояний 1 и 2, леrко находим:
PI V l P2V2.
т; ---т; ,
V 2 == ( Рl ) : ( Р2 ) .
V 1 Т 1 Т 2
НО Рl/Тl ==- tg a 1 (TaHreHc уrла наклона изохоры,
проходящей через точку 1) (рис. 13), COOTBeTCTBeH
но Р2/Т2 == tg а 2 (TaHreHc уrла наклона изохоры,
проходящей через точку 2).
Следовательно,
V 2 tg <Х 1
V 1 tg <Х 2 .
Учитывая, что а 1 > а 2 . получаем tg а 1 > tg а 2
и V 2 > V 1 .
Ответ: rаз расширяется.
Упражнения
1.1. Изобразите rрафики процессов: изобарноrо
(р == const), изохорноrо (V == const) и изотермиче
CKoro (Т == const) в координатахр, V; Р, Т и V, Т.
10
v р ,/2
2 1/2
Т О Т О Т
Рис. 14 Рис. 15 Рис. 16
1.2. На рисунке 14 изображены две изобары для
HeKoToporo идеальноrо rаза одной и той же массы.
Найдите отношение давлений Рl/Р2' если извест
ны уrлы наклона изобар (;(1 и (;(2'
1.3. По rpафику, приведенному на рисунке 15, оп
ределите, как изменялось давление идеальноrо rаза
при переходе из состояния 1 в состояние 2. Продол
жение прямой 1 2 пересекает ось V выше нуля.
1.4. По rpафику, приведенному на рисунке 16,
определите, как менялся объем идеальноrо rаза He
которой массы при переходе из состояния 1 в co
стояние 2. Продолжение прямой 1 2 пересекает
осьр ниже нуля.
1.5. Состояние rаза менялось в соответствии с
rpафиком, приведенным на рисунке 17. На каких
участках rрафика температура rаза росла и на Ka
ких падала?
1.6. На рисунке 18 изображены изотермы для
двух rазов одной и той же массы. Чем отличаются
состояния rазов, если ['азы одинаковы? Чем отли
чаются rазы, если их температуры одинаковы?
р р 2
Т73
1
V О V
Рис. 17 Рис. 18
11
р 20" Р Р : "
и=
1 4 1/"5
1/ /
О V о т о V
Рис. 19 Рис. 20 Рис. 21
1.7. На рисунке 19 представлен замкнутый
цикл, осуществленный с идеальным rазом HeKOTO
рой массы. Изобразите этот же цикл в координа
тахр, Т и V, Т.
1.8. Изобразите в координатах р, V цикл, преk
ставленный на рисунке 20.
1.9. На рисунке 21 изображен rpафик замкнуто
ro цикла, состоящий из изохоры, изобары и изо
термы. Изобразите rрафик этоrо же цикла в коор-
динатах р, Т и V, Т.
1.10. На рисунке 22 точками 1 и 2 представлены
два состояния идеальноrо rаза. Требуется перевести
rаз из состояния 1 в состояние 2 с помощью про
цессов: изобарноro и изотермическоrо; изотермиче
cKoro и изохорноrо; изохорноro и изотермическоrо;
изобарноrо и изохорноrо.
Представьте rрафически каждый из указанных
переходов в координатах р. Т.
1.11. На рисунке 23 представлен rрафически
процесс перехода двух молей идеальноrо rаза из
р
2-
р
3Ро
Р, 1 2
1_
о У О 3У о V
Рис. 23
о
т
Рис. 22
12
состояния 1 в состояние 2. Определите макси
мальную температуру Т шах rаза при таком перехо
де, если РО и V o известны.
Ответы
р
т сопst
V const
1.1. р
р const
v сопst
т const
р сопst
о
v
т
Рис. 24
Рис. 25
v
т const
р С'Опst
v const
т
Рис. 26
Рl tg а 2
1.2. Р2 tg а 1 .
1.3. Давление возрастало.
1.4. Объем уменьшался.
1.5. На участках 1 2 и 2 3 температура увеличива-
лась, на участке 3 1 уменьшалась.
1.6. Для одинаковых rазов Т 2 > Тl' при одинаковых
температурах М 1 > М 2'
1.7. р v:
t?3 1l?3
1 4
, " , "
" "
'" '"
о т о т
Рис. 27 Рис. 28
13
1.8. р
2 4
1 L.....=э 5
о
Рис. 29
1.9. р
2J.
/
/
о т
Рис. 30
1.10. р
, 2
о
Рис. 32
р ;12
о т
Рис. 34
2ро V o
1.11. Tmax '
V
т
v: 2L1,
/
/
О Т
Рис. 31
р
'V 2
/
/
О Т
Рис. 33
р
1/2
О Т
Рис. 35
Тема N! 2 I
rазовые законы
Из уравнения Менделеева Клапейрона сле
дует, что для двух произвольных состояний одноrо
и Toro же количества идеальноrо rаза справедливо
равенство:
Рl V 1 P2 V 2
Т 1 Т 2 .
Постоянство одноrо из параметров приводит к
частным rазовым законам.
Закон Бойля Мариотта (при Т == const):
Рl V 1 == Р2 V 2 (изотерма);
закон Шарля (при V == const):
Рl Р2
== (изохора);
Т 1 Т 2
закон rей Люссака (при р == const):
V 1 V 2
Т == т (изобара).
1 2
В этих уравнениях, равно как и в уравнении
Менделеева Клапейрона, температура Т измеря
ется по абсолютной шкале (шкале Кельвина).
При решении задач полезно помнить, что физи
m (
ческии смысл отношения М число молеи KO
личество вещества), поэтому уравнение Менделе
ева Клапейрона можно записывать в одном из
трех видов (удобном для решения):
m
pV === M RT;
pV === vRT, rде v число молей rаза;
15
N
pV == N RT, rде N число молекул rаза, N А
А
1
6 02. 1023 число молекул в одном моле
, моль
(число Авоrадро).
т
Кроме Toro, если учесть, что отношение V
это плотность вещества р, то уравнение Менделе
ева Клапейрона можно представить в виде
р RT.
Если в одном сосуде находится смесь rазов (Ha
пример, двух), то надо понимать, что каждый из
них заполняет весь объем и сосуществуют они
«в общей квартиреl>, нисколько не мешая друr
друrу. Уравнения состояния rазов:
PIV == v 1 RT и P2V == v 2 RT.
rде Рl давление, создаваемое молекулами перво
1'0 rаза, Р2 давление, создаваемое молекулами
BToporo rаза, v 1 число молей первоrо rаза, V 2
число молей BToporo rаза.
При сложении этих уравнений получаем:
(Рl + P2)V (V 1 + v 2 )RT;
PoV vORT,
rде Ро == (Рl + Р2) давление в сосуде, V o (v 1 +
+ v 2) число молей rазообразноrо вещества в co
суде.
Решение задач, основанных на применении ra
зовых законов, начинаем с записи уравнения MeH
делеева Клапейрона для каждоrо состояния ra
за. В некоторых задачах необходимо записать в
виде уравнений механические условия или связи
параметров и затем решить систему уравнений.
Покажем, как работает этот алrоритм, на примере
классической учебной задачи.
16
ЗАДАЧА
Стеклянную трубку длиной L == 1 м, открытую с
обоих концов, наполовину поrружают в ванну с
ртутью. Затем верхний конец закрывают пальцем
и вынимают трубку из ванны. Какой длины х
столбик ртути останется в трубке? Атмосферное
давление Ра == 750 мм рт. ст., температуру считать
постоянной.
Решение
В состоянии 1 (рис. 36, а)
верхняя половина трубки
заполнена воздухом при aT
мосферном давлении.
В состоянии 2 (рис. 36, б)
верхняя часть трубки за
полнена той же массой воздуха, но уже при дpy
rOM давлении р. Температура по условию посто
янна.
Решение задачи основано на трех утвержде
ниях:
1. В состоянии 1 воздух можно считать идеаль
ным rазом.
2. В состоянии 2 воздух можно считать идеаль
ным rазом.
3. Столбик ртути длиной х (см. рис. 36, б) Haxo
дится в равновесии.
В переводе на язык MaTe
матики это означает:
1. Ра( S) == ;; RT.
rде S площадь поперечно
ro сечения трубки, ( S)
объем воздуха в состоянии 1.
m
2.p(L x)S == M RT.
rде (L x)S объем воздуха
в трубке в состоянии 2.
Дано:
L==1M
Ра == 750 мм рт. ст.
х ?
Ll2
L
I
!
х
а)
б)
Рис. 36
17
р в
3. Условие равновесия
столбика ртути (см. рис.
36, б) означает, что сумма
сил, действующих на стол
бик по вертикали, равна
нулю (рис. 37) .
Это сила давления возду
ха в верхней части трубки
F mg I
F B
F
Рис. 37
mg F == pS,
сила давления атмосферно
ro воздуха снизу
Ра == PB S ,
rде Рв атмосферное давление, и сила тяжести
р т == mg.
Запишем условие равновесия:
р в == F + mg;
PBS == pS + (xS) pg;
Рв == Р + pgx.
Итак, мы выразили все утверждения математи
чески, получив три уравнения:
l)рв ( S) == RT;
m
2) p(L x)S == M RT;
3)Рв == р + pgx.
Этоrо достаточно для решения задачи. Но CHa
чала обсудим, к чему мы пришли. Из первых двух
уравнений следует:
Рв ( S ) == p(L x)S.
Внимательный ученик должен был бы сразу Ha
писать это уравнение вместо первых двух, потому
что это просто закон Бойля Мариотта.
Третье уравнение тоже надо научиться писать
сразу. Ero смысл прост. Давление на самый ниж
18
ний слой ртути со стороны атмосферы (снизу) ypaB
новешивается (сверху) давлением rаза внутри труб
ки плюс давлением столба жидкости высотой х.
После сокращения S остается решить систему
двух уравнений с двумя неизвестными Р и х
(плотность ртути придется взять из таблицы):
i Ра == p(L х);
1 Ра Р + pgx.
Исключив р, получаем:
PaL == 2(ра pgx)(L х); (1)
2pgx 2 (2Lpg + 2Ра)Х + PaL == о:
2(Lpg + Ра) ::!: J (Lpg + Ра)2 8pgPa L
х ==
1 4pg .
Проведя расчет, необходимо отбросить значе-
ние х, не имеющее физическоrо смысла, и запи-
сать ответ.
Процесс достаточно трудоемкий, но задача
предоставляет нам возможность показать, кю\
иноrда, руководствуясь физическим смыслом,
можно сократить путь к результату.
Если учесть, что pgx давление столба ртути
РРТ' то
PaL == 2(ра ppT)(L х).
Обратите внимание, что теперь в уравнение вхо-
дят Bcero две физические величины: длина и давле-
ние. Причем давление можно измерять тоже в еди-
ницах длины (мм рт. ст.). Это наводит на мысль,
что специально для этой задачи можно придумать
новую систему единиц, в которой за единицу дли
ны принимается 1 см, а за единицу давления
тоже 1 см, только pTYTHoro столба. Тоrда, соrлас-
но условию: Ра == 75 см (рт. ст.), L == 100 см, РРТ ==
== Х см (рт. ст.).
19
Подставим в уравнение числовые значения:
75 о 50 == (75 х)(100 х).
Числа настолько просты, что корни уравнения
леrко уrадываются. ЭТО Х 1 == 25 см и Х 2 == 150 см.
Отбрасываем второй корень уравнения (столбик
ртути не может быть длиннее трубки).
Ответ: х == 25 см.
ЗАДАЧА
Из сосуда объемом V == 5 л откачивают воздух
поршневым насосом. Начальное давление в KaMe
ре РО == 105 Па. Какое давление Р п останется в Ka
мере после n == 8 ходов поршня, если объем KaMe
ры насоса V H == 0,5 л? Температуру в сосуде во Bpe
мя откачки считать постоянной.
Решеиие
Сначала вспомним прин
цип работы поршневоrо Ha
соса в режиме откачки.
На рисунке 38, а показа
но, что при движении пор
шня насоса вправо OTKpЫ
вается клапан 1 и часть
воздуха из сосуда заполня
ет камеру насоса. При движении поршня влево
(рис. 38, б) клапан 1 закрывается и открывается
клапан 2, через который воздух из камеры насоса
:вытесняется в атмосферу. На этом заканчивается
д аио:
V==5л
РО == 105 Па
V H == 0,5 л
n==8
Р ?
п .
:"..у
Клапан 1
v
; л пан 2
'V N
.....
v..
.....
а)
б)
Рис. 38
20
первый ход порmня. При втором ходе порmня все
повторяется и т. д.
Перед началом движения порmня вправо воз
дух заполнял только сосуд объемом V, при смеще
нии порmня в крайнее правое положение то же KO
личество rаза занимает объем V + V H (рис. 39).
Воспользуемся законом Бойля Мариотта:
PoV == Pl(V + VH)'
Перед началом движения порmня влево клапан
1 закрывается, и давление
у
Рl == РО у + у
н
сохраняется в сосуде до начала BTOpOro хода порmня.
При втором ходе порmня процесс повторяется,
только исходным давлением в сосуде становится
Рl' а не РО' Значит, после BToporo хода поршня в
сосуде остается давление
у ( у ) 2
. Р2 == Рl У + Ун == РО У + УН .
Повторяя операцию, леrко устанавливаем, что
после TpeTbero хода поршня в сосуде остается дaB
ление
Рз == РО ( У: yJ 3,
а после п ходов
Рn == РО ( у: yJ n.
Подставляя числовые значения, находим ответ:
Р8 == 105 0( 5 } 0,5 )8 :::::: 4,70 104 (Па).
V+V п
Рис. 39
21
Обратите внимание, что при подстановке число
вых значений объемов мы не стали переводить
литры в м 3 , так как в скобках стоит отношение
объемов, а оно не зависит от выбора единиц.
Ответ: РВ == 4,7 -104 Па.
Замечанuе 1. В расчетной формуле получи
лась степенная зависимость давления в сосуде от
числа ходов поршня. Такая зависимость обуслов
лена тем, что из за nocTeneHHoro снижения давле
ния в сосуде с каждым ходом поршня из сосуда
удалялось все меньше и меньше rаза.
Замечание 2. Если поменять порядок OTKpЫ
тия И закрытия клапанов, то получится HarHeTa
тельный насос (например, велосипедный). Снача
ла воздух будет забираться в камеру насоса из aT
мосферы, а затем вытесняться в велосипедную
камеру. В этом случае получится линейная зави
симость роста давления в сосуде от числа ходов
поршня, так как теперь в сосуд будет с каждым
ходом поршня поступать rаз одинаковой массы.
ЗАДАЧА
В сосуде содержится смесь aToMapHoro азота и
молекулярноrо водорода. При повышении темпе
ратуры смеси в k == 2 раза молекулы водорода пол
ностью распадаются на атомы, а давление возрас
тает в 11 == 3 раза. Найдите массу водорода т н в co
суде, если масса азота m N == 7 r.
Дано:
Т 2 == 2Т 1
11==3
m N ==7r
тH ?
Решение
Молярную массу азота и водорода
определяем с помощью таблицы MeH
делеева.
r
М == 14 .
N моль'
r
M==2
н моль
22
Запишем уравнение Менделеева Клапейрон'1
для начальноrо состояния смеси rазов:
pV== (V N + vH)RT.
В этом уравнении число молей водорода, как и
положено, определяется отношением числа моле
кул водорода к числу Авоrадро:
N
V H == N'
А
При распаде молекул водорода (Н 2 Н + Н)
число микрообъектов удваивается, поэтому новое
количество вещества водорода
, 2N 2
v H == N == VH'
А
Запишем уравнение Менделеева Клапейрона
для конечноrо состояния смеси rазов с учетом из
менения давления и температуры:
1lP V == (V N + vи)RkТ.
Вот, собственно, и все. Заметим, что, как и в
предыдущих примерах, мы записали закон MeH
делеева Клапейрона для выделенных состояний
rаза и внесли в них данные условия задачи.
Поделим последнее уравнение на уравнение Ha
чальноrо состояния смеси и заменим V H на 2v H :
(V N + 2У н )
11 == k ( + ) ' или 11 V N + 11 V H == kV N + 2kv H ,
v N У н
11 k
V H == V N 2k 11 .
Выразив число молей aToMapHoro азота через
отношение
m N
V N == М '
N
а молекулярноrо водорода через
т н
V H == М '
н
23
окончательно получаем:
Ми 11 k
т н == m N М N . 2 k 11 ;
2 3 2
т н == 7. 14 . 4 3 == 1 (r).
Ответ: т н == 1 ['.
Упражнения
2.1. В помещении с температурой t == 27 ос Ha
ходится баллон с ['азом. Манометр на баллоне по
казывает давление Рl == 400 кПа. Баллон выносят
на улицу. Установившееся показание манометра
на улице Р2 == 300 кПа. Какова температура t H
наружноrо воздуха, если атмосферное давление
Ра == 105 Па?
Указание. Будьте осторожны: манометр пока
зывает, на сколько давление внутри баллона боль
ше наружноrо.
2.2. Давление воздуха в автомобильной шине
(по манометру) Р == 4.105 Па при температуре
t 1 == 7 ос. При быстрой езде шина наrревается до
t 2 == 42 ос. Во сколько раз (11 == 81/82) уменьшится
площадь соприкосновения шины с дороrой при ез
де, если объем шины считать постоянным? ATMO
сферное давление Ра == 105 Па, упруrими свойства
ми шины пренебречь.
2.3. Объем некоторой массы rаза при HarpeBa
нии на Д Т при постоянном давлении увеличился
так, что ДV/V НаЧ == а. Какова начальная темпера
тура rаза Т нач?
2.4. Из баллона вместимостью V == 20 л со сжа
тым водородом из за неисправности вентиля про
изошла утечка rаза. При температуре t 1 == 7 ос Ma
24
нометр баллона показывал давление Рl == 20 атм,
при температуре t 2 == 27 ос он показал такое же
давление. Какое количество t1m rаза утекло?
1 атм 105 Па.
2.5. На сколько уменьшится масса воздуха в KOM
нате объемом V == 50 м 3 , если в ней протопить
печь? Начальная температура t 1 == 15 ОС, конеч
ная t 2 == 25 ОС. Атмосферное давление Ра == 105 Па.
2.6. Определите плотность смеси водорода Mac
сой т 1 == 8 r и кислорода массой т 2 == 32 r при TeM
пературе t == 17 ОС, если давление в сосуде равно
750 мм рт. ст.
2.7. Считая, что весовое содержание азота в воз
духе f N == 76%, кислорода {о == 24%, и пренебре
rая друrими составляющими, вычислите среднюю
молярную массу воздуха.
2.8. В камере объемом V == 0,1:м 3 при темпера
туре т == 300 К и давлении Р == 6 атм находится
смесь уrлекислоrо rаза (СО 2 ) и азота (N 2)' Масса
смеси т == 1 Kr. Найдите массу т 1 азота и массу
т 2 уrлекислоrо rаза в камере.
2.9. Сколько ходов n должен сделать поршень
наrнетательноrо насоса, чтобы повысить давление
в камере объемом V в 3 раза? Начальное давление
в камере РО' объем камеры насоса VH' атмосферное
давление Ра' Температура внутри камеры и CHapy
жи одинаковая.
2.10. Наrнетательный насос втяrивает с каж
дым ходом поршня объем воздуха V H == 2 л из aT
мосферы и подает этот воздух в резервуар объемом
V == 0,15 м 3 с начальным давлением, равным aTMO
сферному. Сколько ходов n должен сделать пор
шень, чтобы давление в резервуаре увеличилось в
k == 4 раза? Температура в резервуаре постоянна и
25
равна t == 27 ос, температура наnужноrо воздуха
t 2 == 6 ос.
2.11. Три баллона, соединенные трубками с раз
делительными кранами, заполнены различными
rазами при одной и той же температуре. В первом
баллоне объемом V 1 == 3 л давление Рl == 2 атм, во
втором (V 2 == 7 л) давление Р2 == 3 атм, в третьем
(V з == 5 л) давление Рз == 0,6 атм. Какое давление
РО установится в системе, если открыть краны?
2.12. В середине rОРИЗ0НТально лежащей, за
паянной с обоих концов стеклянной трубки дли
ной L == 1 м находится столбик ртути длиной
l == 20 см. Коrда трубку поставили вертикально,
столбик ртути опустился на d == 10 см. Какое дaB
ление РО было в трубке в rоризонтальном положе
нии?
2.13. Закрытый с обоих концов цилиндр разде
лен на две равные половины теплонепроницаемым
поршнем толщиной d == 4 см, способным без Tpe
ния перемещаться внутри цилиндра. В одной по
ловине цилиндра находится rаз при температуре
t 1 == 23 ос, а во второй половине друrой rаз при
температуре t 2 == +27 ос. На какое расстояние х
сместится поршень, если первый rаз нarреть до t 1 ==
== 77 ос, а второй охладить до t 2 == +7 ОС? Длина
цилиндра L == 100 см.
2.14. На сколько rpaдYCOB надо наrреть воздух
внутри сообщающеrося с атмосферой воздушно
ro шара, чтобы шар начал подниматься? Оболоч
ка шара имеет форму сферы диаметром D == 10 м
и массу m == 10 Kr. Атмосферное давление Р ==
== 735 мм рт. ст., температура наружноrо воздуха
t == 27 ос.
2.15. В открытую с обоих концов U образную
трубку наливают ртуть (рис. 40). При этом высота
26
столба воздуха в левом колене
трубки l 50 см. Температура
окружающей среды Т 1 300 К, 1
давление Ра 750 мм рт. ст. 3a
тем левое колено плотно закры
вают. На сколько поднимется
уровень ртути в правом колене,
если при неизменном внешнем
давлении температура среды по
высится дО Т 2 310 К?
2.16. Баллон, содержащий т 1 0,5 кr азота,
взорвался при температуре Т 1 == 700 К. Какое KO
личество m 2 rелия можно хранить в таком же бал
лоне при температуре Т 2 == 300 К, соблюдая пяти
кратный запас прочности?
2.17. В сосуде объемом V == 1 л находится уrле
кислый rаз массой m == 2 1'. Сосуд нarревают до TeM
пературы Т == 2600 К, при которой 11 == 20% всех
молекул rаза распадаются по схеме
х
Рис. 40
2С0 2 2СО + 02'
Какое давление установится в сосуде?
Ответы
2.1. t H 33 ос.
2.2. 11 1,1.
дТ
2.3. Т нач а
2.4. Дт 2,3 r.
2.5. Дт 2 Kr.
Kr
2.6. р 0,331"3.
м
MN'Mo r
2.7. МВ f м + f м 29 .
N О О N моль
2.8. т 1 103 r, т 2 897 r.
2P o V
2.9. n ----v .
Ра н
27
(k I)T 2 V
2.10. п == т V 200.
1 н
2.11. РО == 2 атм.
2.12. РО == 375 мм рт. ст.
2.13. х == 9,6 см.
1tDЗ
6 ТрМ в
2.14. !'!..Т == 1tDЗ Т 5,1 К.
p M TmR
6 в
2.15. х 7 мм.
2.16. т 2 33 r.
m ( 100 + 0,511 ) 5
2.17.р MV 100 RT 10,8'10 Па.
Teмa 3 I
Кинетическая теория
идеальноrо rаза
Механическая модель идеальноrо rаза пред
полarает, что в сосуде содержится orpoMHoe количе
ство микрочастиц, которые двиrаются хаотически
и не взаимодействуют друr с дрyrом. Отсутствие
взаимодействия означает, что между частицами
нет дистанционных сил (отталкивания или притя
жения). Столкновения частиц между собой и со
стенками сосуда считаются упруrими. Средние
расстояния между частицами в десятки и более
раз превышают размеры частиц, так что их CYM
марный собственный объем (если их собрать и сло
жить в кучку) пренебрежимо мал по сравнению
с объемом сосуда.
При столкновениях частиц (молекул или aTO
мов) меняются их скорости и энерrии, но в стаци
онарном состоянии (р, V, т константы) при
очень большом количестве частиц это несущест
венно, так как устанавливается устойчивое pac
пределение молекул по скоростям и энерrиям. Это
надо пони мать так: пусть в определенном направ
лении движется некоторое количество частиц N с
примерно равными скоростями v. Число N вели
ко. В результате столкновений за время llt коли
чество llN молекул выбывает из этоrо потока. Но
зато друrие столкновения за то же время llt по
ставляют практически такое же количество моле
кул и с теми же скоростями в наш поток. В этом
смысл стационарности распределения молекул по
29
скоростям. И это позволяет нам не замечать столк
новения, считая, что каждая молекула движется в
сосуде без столкновений с постоянной, присущей
только ей скоростью. Напомним, что число моле
кул должно быть достаточно большим, чтобы слу
чайные флуктуации были незаметны на фоне pac
пределения молекул по скоростям.
Вывод OCHOBHoro кинематическоI'О уравнения
идеальноI'О rаза можно посмотреть в любом учеб
нике. Мы приведем здесь еще один способ полу
чения ЭТОI'О уравнения, потому что он, на наш
ВЗI'ляд, дает более I'лубокое понимание поведения
идеальноI'О I'аза.
Для вывода нам понадобится закон Ньютона в
импульсной форме*:
АР
F == At '
I'де F сила давления, действующая на участок
дS стенки (рис. 41); ДР импульс, передавае-
мый стенке молекулами за время дt.
Каждая молекула при бсолютно УПРУI'ОМ ударе
передает стенке импульс Рстенки' который находит
ся из закона сохранения импульса (рис. 42):
до удара после удара
i\ + о == Р 2 + Рстенки; Рстенки == Р 1 Р 2 .
Значение скорости частицы при абсолютно уп
pyroM ударе не меняется, следовательно,
'Р 1 1 == IP 2 1 == mv.
Поэтому значение импульса, передаваемоrо
стенке, леI'КО находится из рисунка 43, т. е.
Рстенки == 2mvcos а.
* в физике принято для обозначения импульса тела и
давления использовать одну и ту же букву. Чтобы разли
чать эти величины, обозначим импульс прописной бук
вой Р, а давление строчной.
30
F
I t ,. .
;t '
wf
Р2
Рстеики Р 1 Р 2 дР
A
дs
Рис. 41
Рис. 42
Рис. 43
После этих предварительных напоминаний мож
но приступить к выводу уравнения состояния иде
альноrо rаза.
Возьмем абсолютно пустой сосуд в форме сферы
и запустим в Hero одну единственную молекулу,
имеющую массу m 1 и скорость и 1 (рис. 44).
Молекула падает на стенку сосуда в точке А под
уrлом а, отскакивает, не теряя скорости, под тем
же yrлом. ТреуrольникАОВ равнобедренный, зна
чит, следующее соударение со стенкой сосуда (в точ
ке В) происходит под тем же уrлом а и т. д. Между
двумя последовательными соударениями со стенкой
Рис. 44
31
молекула пролетает каждый раз одно и то же pac
стояние
1 == АВ == 2Rcos а, rде R радиус сферы.
За время дt молекула проходит путь S == vl1t,
совершая при этом число соударений
N == == vM
1 2Rcos а'
Не нарушая никаких физических принципов,
можем считать, что при большом количестве MO
лекул удары распределятся равномерно по поверх
ности сферы. Это позволяет продолжить расчет
для одной молекулы. Выделим на сфере малую
площадку ДВ. За время l1t на нее придется N' yдa
ров из 06щеrо числа N, причем
N'==N ==N ДS ==
SСфеРЫ 41tR2
vM дs vдtдS
2Rcos а о 41tR2 == 81tR3COS а'
Мы уже выяснили, что при каждом ударе моле
кула передает стенке импульс
Рl == 2т 1 и 1 сов а,
значит, за время Дt площадка l1S получает от oд
ной молекулы импульс
, v 1 дtдS2m 1 v 1 соs а
р N' == N Р 1 == 81tR3COS а
МдSml vf
41tR3
Теперь можно подсчитать силу давления на
площадку дs:
P N ,
F==
дt
ДSmtvf
41tR3 '
и давление р в сосуде, создаваемое одной молекулой:
F т! vf
р == дs 41tR3 '
32
Проведем в последней формуле некоторые заме
ны. Из формулы для объема сосуда
4
V == з1tR3 выразим 41tR3 == 3Vи т 1 vf == 2Е 1
(удвоенная кинетическая энерrия),
2
Pl == зу Е1'
Здесь индекс 1 означает, что речь идет о первой
частице.
Обратим внимание на то, что давление, созда
ваемое частицей, не зависит от уrла падения час
тицы а и определяется только ее энерrией и объ
емом сосуда.
Очевидно, что, если запустить вторую частицу с
друrой массой т 2 , друrой скоростью v и падаю
щую на поверхность под друrим уrлом , она соз
даст в сосуде давление
2
Р2 == зу Е2'
Теперь можно запустить в сосуд N частиц с раз
личными массами и различными, произвольно Ha
правленными скоростями. Для каждой из них
справедливо полученное соотношение:
2
Рl == зv Е1;
2
Р2 == зv Е2;
2
Р3 == зу Ез;
2
PN == зу Е N'
Полное давление Р Bcero ансамбля частиц в co
суде получаем, складывая все Pi:
2
Р == ЗV (Е 1 + Е 2 + Ез + ... + E N ). (1)
1 7729
зз
Кстати, отсюда следует, что полная кинетиче-
ская энерrия поступате ""Iьноrо движения молекул
идеальноrо rаза
3
Е == }:,E i == 2PV.
Смысл выделения .поступательноro движения.
станет ясен в дальнейшем.
Умножим и разделим правую часть уравнения
(1) на полное число частиц N:
2N (Е 1 +E2+E3+...+ E N)
Р == 3v . N (2)
N
Здесь отношение V концентрация п (число
частиц в единице объема), второй сомножитель в
правой части уравнения (2) средняя кинетиче
ская энерrия частиц (Е). Таким образом,
2
р == 3 п(Е). (3)
Это и есть основное уравнение кинетической Te
ории идеальноrо rаза. Мы привели этот вывод по
тому, что он дает возможность понять, что полу-
ченное соотношение не зависит ни от распределе
ния частиц по скоростям, ни от распределения
частиц по массам. В сосуде может быть смесь OT
дельных атомов, молекул и даже частиц, образо
ванных несколькими слипшимися молекулами.
Уравнение остается справедливым.
Вернемся к уравнению Менделеева Клапейрона
N
pV == NRT,
А
которое HeMHoro преобразуем:
р == ( )T;
p==пkT. (4)
Здесь п концентрация частиц в сосуде.
k R 8,31 1 38 10 23 ( ДЖ )
N А 6,02 . 1023 ,' к '
k постоянная Больцмана.
34
Из уравнений (3) и (4) получаем соотношение,
позволяющее дать механичеСRУЮ траЕТОВЕУ TeM
пературы идеальноrо rаза ЕаЕ меры средней Rине
тичеСRОЙ энерrии молеRУЛ:
2
3 (Е) == kT;
3
(Е) == 2 kT.
(5)
Пусть rаз в сосуде состоит из одинаRОВЫХ моле
RУЛ массой т.
При нахождении средней RинетичеСRОЙ энер
rии молеRУЛЫ
m Vf + V + ... + vx,
(Е) == 2" N
усредняются Евадраты СRОроСтей, поэтому при за
писи формулы средней RинетичеСRОЙ энерrии MO
леRУЛЫ в виде
2
(Е) == mv
2
(6)
под СRОрОСТЬЮ V ср. кв н адо понимать вели чину
== == J v f + и + ... + иRт
v v ср. кв N'
Эту СЕОрОСТЬ называют средней Rвадратичной.
Те, ЕТО пойдет дальше по пути изучения физи
RИ и математики, еще не раз СТОЛRНУТСЯ с поня
тиями среднеrо значения неRОТОРОЙ величины и
средним Rвадратичным значением этой же вели
чины. Это разные числа.
Например, пусть неRоторая величина А прини
мает значения А 1 == 3, А 2 == 5, Аз == 7.
Найдем Аср и А ср . кв:
А 1 + А 2 + Аз 3 + 5 + 7
Аср == 3 ; А: р == 3 == 5;
Af + A + A . J 32 + 52 + 73
А: р . КВ == 3 ' p. КВ 3 5,26.
2'"
35
Поэтому не цадо путать среднюю скорость моле
кул (правильнее rоворить средний модуль CKO
рости) со средней квадратичной.
Для одинаковых молекул при постоянном pac
пределении по скоростям эти величины пропорци
ональны, т. е.
v cp == av cp . КВ'
Поскольку значения этих величин (v cp и v cp . КВ)
одноrо порядка, то при качественных оценках мож
но использовать вместо средней скорости среднюю
l\.вадратичную.
Уточним сказанное на примере.
ЗАДАЧА
При О ос молекулы азота имеют среднюю CKO
рость v cp == 454 м/с. Какова средняя скорость MO
лекул водорода при 100 ОС?
Д апо: Решепие
t 1 == О ОС С учетом формул (5) и (6)
(N) 454 м среднюю квадратичную CKO
Vcp 2 == с рость молекулы находим из
t 2 == 100 ос соотношения
L'cp(H 2 ) ? mv p. кв == k T'
2 2'
v == J3kT == J3kN А Т == J3RT
ср.КВ m mN A М .
Средняя скорость (средний модуль скорости) мо--
лекулы азота при О ос
J 3RT 1
v cp (N 2 ) == av cp . КВ == а MN '
Средняя скорость молекулы водорода при 100 ос
J3RT2
v cp (H 2 ) == av cp . КВ == а Ми '
36
Поделив второе равенство на первое, получаем:
JT2 MN
v CP (H 2 ) == v cp (N 2 ) о т. м ;
1 Н
373 28
v cp (H 2 ) == 454 27з ."2 1990 (м/с).
Ответ: при 100 ос v cp (H 2 ) == 1990 м/с.
ЗАДАЧА
Среднее расстояние между ближайшими моле
кулами идеальноrо I'аза (d) == 3 о 10 9 м. Оцените,
какое давление оказывает I'аз на стенки сосуда, ec
ли el'o температура Т == 300 К.
Д аnо: Решеnие
(d) == 3 .10 9 М Зная среднее расстояние
т == 300 К между молекулами, можно
определить концентрацию
I'аза. Для этоI'O располо
жим молекулы равномерно
по всему объему сосуда, как по казан о на рисунке 45.
Из рисунка понятно, что каждая молекула в
среднем занимает «квартиру» объемом
VHa одну молекулу == d 3 .
Поэтому количество молекул в единице объема,
т. е. концентрацию п, определим по формуле
1 1
п== ==
V Ha одну молекулу d 3 '
p ?
Остается подставить п в
формулу
р == nkT;
1
р == d 3 kT;
1,38' 1O 23 . 300
Р == (3 . 1O 9)3
1,5 о 105 (Па).
Ответ: р 1,5 .105 Па.
<r tf --- --- 7! ---..,--- --- ..
L/..J....(" L -t-'....J ___( L--('
1"' 1 · , · , · ..-
.J , .J , .
/ I 1 /, 1/1 ,/, 1
L I.( I.II.I 1.1'
.А- , A r ,f- , A r-- .
ш: "'/...J L.-!</...J.t:L.-t"
d I J..J ! L .J .... .
-1;" I 1"" I 1"" I 1"'" I
L ( I .i".I I.1'
, ) r ;.. , , r-- .
.... .... .... .... ....
11.. ___ ........... ___..k ___ ___....... ___ .....
Рис. 45
37
Упражнения
3.1. Оцените число N молекул
воды в стакане, содержащем m ::
== 200 r жидкости.
3.2. Оцените массу m и размер d
молекулы воды. Для упрощения pac
четов считайте, что молекула воды
имеет сферическую форму, а способ
упаковки молекул воды COOTBeTCT
вует рисунку 46.
3.3. Оцените среднее расстояние L между цeHT
рами молекул идеальноrо rаза при атмосферном
давлении и комнатной температуре.
3.4. Найдите среднюю квадратичную скорость
атомов rелия при комнатной температуре. Какие
молекулы воздуха движутся в среднем быстрее
азота или кислорода?
3.5. Определите число молекул N идеальноrо
rаза в 2 м 3 при нормальных условиях (Т == 273 К,
р == 105 Па). Какой объем занимает 1 кмоль иде
альноrо rаза при нормальных условиях?
3.6. В двух теплоизолированных сосудах coдep
жится азот. В первом сосуде средняя квадратич
ная скорость молекул V 1 == 300 м/с. Во втором co
суде количество молекул вдвое больше, чем в пер
вом, а средняя квадратичная скорость молекул V 2 ==
== 500 м/с. Сосуды соединены краном. Какая темпе
ратура Т установится в сосудах, если открыть кран?
3.7. Выведите формулу
"
Рис. 46
f3P
V Cp . KB p'
rдер давление rаза, р плотность rаза.
3.8. При каком давлении Р rаз объемом V == 3 м 3
содержит N == 7,2' 1026 молекул, если температу
ра rаза t == 60 ОС?
38
3.9. Чему равна средняя квадратичная скорость
молекул азота и их средняя энерrия поступатель
HOro движения, если азот массой m == 2,5 Kr, Haxo
дясь в сосуде объемом V == 3,2 м 3 , создает давление
р == 15 HjCM 2 ?
3.10. Три одноатомных rаза находятся в трех
сосудах, соединенных тонкими трубками с KpaHa
ми. Параметры состояния rазов Рl' V 1 , Т 1; Р2' V 2 ,
Т 2 ; Р3' V з , Т3' Краны открывают, и во всех cocy
дах получается однородная смесь. Определите
температуру и давление смеси, если теплообмена с
окружающей средой нет.
3.11. Изменится ли энерrия воздуха в комнате,
если в ней протопить печь?
3.12. Какой воздух леrче, влажный или сухой,
при одинаковом давлении и одинаковой темпера
туре?
Ответы
3.1.N NA 6,7,1024.
3.2. m 3 '1O 23 r, d 3 '1O 10 М.
3.3. L 3,5.1O 9 м.
3.4. V cp . кв 1370 м/с. В среднем содержащиеся в возду
хе молекулы азота движутся быстрее молекул кислорода.
3.5. N 5,3 '1025, v 22,4 м 3 .
М(и 2 + 2и 2 )
3.6. T R 2 221 К.
3.8.р 1,1'106 Па.
3.9. (Е) 1,34. 1O 20 Дж, V ер. кв 760 м/с.
Т 1 Т 2 Т З (Рl V 1 + P2 V 2 + РзVзJ
3.10. То V т т v: т т v: т т '
Рl 1 2 3 + Р2 2 1 3 + РЗ з 1 2
P1V 1 +Р2 V 2+РЗ V З
Р
О V 1 + V 2 + V з
3.11. Не изменится.
3.12. Влажный воздух леrче.
39
I TeмaN!4 ,
Элементы термодинамики
Количество энерrии, переданное одним Te
лом друтому в процессе теплообмена, называется KO
личеством теплоты. Традиционное обозначение Q.
Если термодинамическая система получает из
вне некоторое количество теплоты Q, то часть по
лученной энерrии l1и добавляется к внутренней
энерrии системы и, а часть возвращается наружу
в процессе совершения этой системой работы А.
Q == l1и + А.
Это обычный закон сохранения энерrии, KOTO
рый принято называть первым началом тepMO
динамики.
Для ясности представьте себе, что Q это коли
чество денеr, полученных в зарплату, из которых
l1и рублей вы добавили на сберкнижку (ваш лич
ный запас .энерrии»),_а количество А рублей ис
тратили на покупки (деньrи вернулись в «OKPy
жающее пространство» ).
Все величины, входящие в первое начало Tep
модинамики, алreбраические, т. е. MOryт быть ли
60 положительными, либо отрицательными.
Можно получить зарплату (Q > О), а можно OT
дать долrи (Q < О); можно добавить деньrи на
сберкнижку (l1и > О), а можно снять (Ди < О);
можно купить rалоши (А > О), а можно продать
валенки (А < О).
Первое начало термодинамики, как и положено
закону сохранения энерrии, применимо к любой
40
термодинамической системе, будь то твердое тело,
жидкость или I'аз. Но поскольку нас интересует
идеальный I'аз, найдем внутреННЮЮ энерl'ИЮ иде
альноl'О I'аза.
Ввиду отсутствия межмолекулярных взаимо
действий полная внутренняя энерl'ИЯ идеальноl'О
rаза складывается из кинетических энерl'ИЙ всех
молекул:
[ средняя ] [ число ]
( внутренняя ) энерr я Х молекул Х ( количе тво ) .
энерrия однои в одном молеи'
молекулы моле
3 m
и kT о N о
2 А М
или
3т
u 2 M RT .
Соответственно
3т
дu == 2 м RДТ .
В некоторых задачах удобно выражать BHyтpeH
НЮЮ энерl'ИЮ идеальноl'О rаза через давление и
объем. Воспользовавшись уравнением Менделеева
Елапейрона, запишем:
3 m 3
и 2 M RT 2 PV .
Вспомним, что тот e результат для суммарной
кинетической энерl'ИИ молекул rаза мы уже полу
чали в процессе вывода OCHoBHoro уравнения ки
нетической теории.
В реальных I'азах, даже коrда их поведение xopo
шо описывается уравнением Менделеева Елапей
рона, коэффициент, равный 3/2 в формуле средней
энерrии молекулы, может иметь ДРУТlJе значение,
например 5/2, 6/2, 7/2 и т. д. Это связано с устрой
ством молекулы.
Чтобы разобраться, в чем тут дело, надо позна
комиться с понятием количества степеней свободы
тела.
41
Количеством степеней свободы тела называIqТ
количество чисел, которое нужно задать, чтобы
полностью определить положение тела в простран
стве. Так, для материальной точки достаточно
трех чисел (координаты Хl' Уl' ZI)' чтобы сказать,
rде она находится. Пример молекула OДHoaTOM
Horo rаза. Основываясь на понятии о степенях CBO
боды, мы rоворим, что эта молекула обладает Tpe
мя степенями свободы, участвуя в трех независи
мых движениях (вдоль осей Х, у и Z).
Молекула, состоящая из двух жестко связан
ных атомов, имеет пять степеней свободы. Это леr
ко объяснить. Для задания положения системы,
состоящей из двух свободных атомов, надо знать
шесть чисел (Х 1 ' Уl' ZI' Х 2 ' У2' Z2)' НО в ДByxaTOM
ной молекуле на координаты атомов накладывает
ся кинематическая связь, фиксирующая постоян
ство расстояния между атомами:
(Х 2 х 1 )2 + (У2 Уl)2 + (Z2 Zl)2 == const.
Таким образом, зная пять координат, можно BЫ
числить шестую.
Трехатомная молекула с жесткой связью имеет
шесть степеней свободы. На девять координат
трех свободных атомов накладываются три ypaB
нения кинематических связей, фиксирующих по
парно неизменность расстояний между ними.
Физический смысл этих шести степеней свобо
ды тоже леrко понять. Такая молекула участвует
в трех независимых поступательных движениях
(вдоль осей координат) и в трех независимых Bpa
щениях (BoKpyr каждой из осей координат). Часто
rоворят, что такая молекула имеет три поступа
тельных степени свободы и три вращательных.
Положение молекулы в пространстве можно оnpеде
лить, задавая три координаты одноro из атомов M
лекулы и три yrла поворота BOKpyr осей координат.
Заметим, что трехатомная молекула представля
ет собой абсолютно твердое тело минимальных раз
42
меров. Если с помощью шести Rоординат зафИRСИ
ровать «((ЗaRрепить») три произвольные ТОЧRИ (не
лежащие на одной прямой) твердоrо тела, то оно по
теряет свободу движения. Это значит, что абсолют
но твердое тело имеет тоже шесть степеней свободы.
Кстати, заодно мы объяснили, ЕаЕ передвиrает
ся альпинист. Три заRрепленные Rонечности фИR
сируют положение тела альпиниста, с помощью
четвертой, свободной Rонечности можно выбрать
дополнительную ТОЧRУ Rрепления, освобождая
при этом одну из первых трех для дальнейшеrо пе
ремещения.
Но вернемся в термодинаМИRУ.
Все степени свободы одной молеRУЛЫ энерrети
чеСRИ равноправны. Это означает, что на Rаждую
1
из них в среднем приходится 2 kT. Т8.Rим образом,
средняя энерrия молеRУЛЫ одноатомноrо rаза равна
3( kT ), полная энерrия жеСТRОЙ молеRУЛЫ ДBYX
aToMHoro rаза 5( kT ) и TpexaToMHoro rаза
6C kT )-
Все СRазанное надо бы учитывать при подсчете
-внутренней энерrии rаза. Одн8.RО полная энерrия
даже сложной молеRУЛЫ при НИЗRИХ температурах
3
равна 2 kT, затем с ростом температуры она СRач
ЕОМ становится равной kT, затем kT и т. д.
ТаЕое аномальное поведение не поддается объ-
яснению в рамЕах RлассичеСRИХ представлений,
поэтому отложим ero до Rвантовой фИЗИRИ, а ПОRа
при решении задач будеМ использовать приведен
ные выше значения энерrии молеRУЛЫ. ТаЕ что,
встречая в условии задачи слова ((одноатомный
rаз,), вы должны воспринимать их ЕаЕ УRазание
43
дх
на то, что средняя энерrия одной
молекулы rаза рассчитывается по
формуле
3
(Е) == 2 kT.
Второе слаrаемое в первом за
коне термодинамики работа rаза.
Рассчитаем работу rаза.
В цилиндре под поршнем (рис. 47) находится
rаз при давлении р.
Переместим поршень вправо на малое расстоя
ние Дх. «Малое» означает, что давление rаза под
поршнем практически не изменилось. rаз дейст
вует на поршень площадью S с силой F == pS, KO
торая совершает элементарную работу
ДА == РДх == рSдх == рДV,
rде Д V элементарное приращение объема rаза.
Полная работа rаза при изменении объема от V 1
ДО V 2 складывается из элементарных работ:
v 2
А == и. == p Д V..
l L l l
V 1
В механике мы уже не раз сталкивались с похо
жими выражениями и знаем, что произведение
РiДVt на rрафике р, V равно площади полоски
v 2
(рис. 48), а сумма lрtДVi равна площади под rpa
v 1
фиком от V 1 дО V 2 .
Рис. 47
о V 1
ДV t
Рис. 48
V 2 V
Ясно, что при ПОСТО
янном объеме rаз работу
не совершает.
Переход rаза из одноrо
состояния в дрyrое может
ОСYIЦествляться так, что
один из членов в ypaBHe
нии первом начала Tep
модинамики оказывается
равным нулю.
р
А I;A i
р. .
.
44
1. При Q == о rаз не получает и не отдает энер
rии. Изменение состояния rаза происходит без
теплообмена с внешней средой. Такой процесс Ha
зывают адиабатным.
2. При llU == О остается постоянной внутренняя
энерrия rаза, а значит, и ero температура. Это уже
знакомый нам изотермический процесс.
3. При А == О rаз не совершает работу, т. е. не
меняет объема. Процесс изохорный.
В заключение KpaTKoro теоретическоrо обзора
напомним определения теплоемкости.
Теплоемкостью тела С называют количество
теплоты, необходимое для ero наrревания на 1 К.
Если физическому телу сообщили количество теп
лоты Q, в результате чеrо температура тела подня
лась на f}. Т, то
Q
С == !1Т '
При решении задач чаще пользуются молярной
теплоемкостью CV' Если rаз содержит v молей, то
теплоемкость Bcero rаза
С == vC v '
Для твердых и жидких тел удобнее пользовать
ся удельной теплоемкостью е.
Удельной теплоемкостью вещества называют KO
личество теплоты, необходимое для нarревания 1 Kr
(единицы массы) вещества на 1 К. Очевидно, что
С == те,
Q
те == !1 Т и
Q == mellT.
Теплоемкость (любая удельная, молярная или
полная) твердых тел и жидкостей можно считать
постоянной в широком диапазоне температур и дaB
лений.
С rазами сложнее: теплоемкость rаза зависит от
процесса, точнее от работы, совершаемой rазом
при ero наrревании.
45
Так, при изохорном процессе все переданное ra
зу количество теплоты идет на увеличение BHYТ
ренней энерrии.
При изобарном процессе только часть количест
ва теплоты переходит во внутреннюю энерrию (oc
тальное передается наружу в процессе совершения
rазом работы), поэтому для нarpевания rаза на то же
количество rpaдyCOB требуется большее количество
теплоты. Теплоемкость rаза при изобарном процессе
больше, чем при изохорном. А при изотермическом
расширении rаза температура вообще не изменяется
(ь..т == О), и все количество теплоты тратится на co
вершение работы. Теплоемкость rаза при изотерми
ческом процессе оказывается бесконечно большой.
Рассмотрим пример расчета теплоемкости rаза.
ЗАДАЧА
Один моль одноатомноrо идеальноrо rаза Harpe
вают так, что процесс перехода из состояния 1 в
состояние 2 происходит по приведенному rрафику
(рис. 49). Найдите молярную теплоемкость rаза в
этом процессе.
Решение
Соrласно определению
теплоемкости и первому Ha
чалу термодинамики,
С == С == !l. == дU + А ==
v ДТ дТ
ДU А
== дт + дТ '
Первое слаrаемое находится леrко. Для одноrо
моля одноатомноrо идеальноrо rаза
Дано:
р == aV
v == 1 моль
С ?
v .
3 3
U == 2 RT, ь..и == 2 Rb..T.
Подставляя ь..и в формулу для теплоемкости,
получаем
3 А
C v == 2 R + дт '
46
р
р 2
2 Р2 aV 2
,/ --- ------
Р1 aV 1 1
'" '"
'" '"
о V о V 1 V 2 V
Рис. 49 Рис. 50
Теперь займемся расчетом работы. При перехо
де из состояния 1 в состояние 2 rаз совершает pa
боту, значение которой определяется площадью
под rрафиком на рисунке 50. По формуле площа
ди трапеции
Р2 + Рl а(У 2 + У 1 )(У 2 У 1 )
А == 2 (V 2 V 1 ) == 2 ==
1
== 2 (aV avf).
Нам нужно выразить эту работу через прираще
ние температуры I1Т. ДЛЯ этоrо воспользуемся
уравнением Менделеева Клапейрона для одноrо
моля rаза:
pV == RT,
в котором заменимр (р == аVпо условию задачи):
aV2 == RT.
Соответственно в состоянии 1 а Vf == RT l' в
состоянии 2 aV == RT 2 . Подставляя эти Bыpa
жения в формулу работы, получаем
1 1
А == 2R(T2 Т 1 ) == 2RI1T.
Наконец, заменяя работу в формуле молярной
теплоемкости, получаем окончательный ответ:
3 А
C v == 2 R + лт
Ответ: C v == 2R.
R + ! RЛТ == 2R
2 2 ЛТ .
47
ЗАДАЧА
Состояние одноrо моля идеальноrо rаза меняет
ся по циклу, приведенному на рисунке 51. Извест
ны минимальная и максимальная температура Т 1
И Т 2' минимальное и максимальное давление Рl и
Р2' Найдите работу А, совершаемую rазом за один
цикл.
Решепие
Цикл состоит из двух
изохор (1 2 и 3 4) и двух
изобар (2 3 и 4 1).
Запишем уравнение MeH
делеева Клапейрона для четырех выделенных
состояний rаза, соответствующих указанным на
рисунке точкам:
1) PIVl == RT 1 ;
2) P2Vl == RT';
3) P2V2 == RT 2 ;
4) PIV2 == RT".
Из этой системы четырех уравнений можно
найти четыре неизвестные величины Vl' V 2 ,
Т', Т".
Работа rаза за полный цикл:
д апо:
Тl' Т 2 'Рl'Р2
A ?
А == А 12 + А 2з + А34 + А 41 == О + А 2з + О + А 41 .
На изохорных участках !J.. V == О, и, следователь
но, работа тоже равна нулю.
А 2з == p!J..V == R!J..T == R(T 2 Т'),
rде Т' == Т Р2 из первоrо и BToporo уравнений
l Р1
системы.
А 41 == R(T 1 Т"),
rде Т" == Т 2 Рl из TpeTbero и четвертоrо ypaBHe
Р2
ний системы.
48
р
р
Р2 1 / " Р2 2 3
O4
Рl Рl
,. 4 1
, 1/.....1
1,. -t
О Т 1 Т' Т" Т 2 Т О V 1 V 2 V
Рис. 51 Рис. 52
Остальное просто:
А в( Т 2 Т 1 ;: ) + в( т 1 Т 2 ; )
== в(р р ) ( Т2 Т 1 ) .
2 1 Р2 Рl
( Т2 Тl )
Oтвeт:A B(p2 Рl) .
Р2 Рl
Можно было подойти к решению этой задачи и
по друrому.
Изобразим тот же цикл в координатах р. V
(рис. 52). В этих координатах работа rаза за пол
ный цикл равна площади, охватываемой KOHTY
ром цикла:
А (Р2 Pl)(V 2 У 1 ).
Объемы У 1 и У 2 леrко находятся из уравнений
состояния идеальноrо rаза в точках 1 и 3:
ВТ 1 ВТ 2
V иv:
1 Рl 2 Р2
Подставляя эти выражения в формулу работы,
снова получаем
( Т2 Тl )
А В(Р2 Рl) Р2 Рl .
49
Упражнения
4.1. Сколько степеней свободы 111 у двери, З8
крепленной Н8 двух петлях? Сколько степеней
свободы 112 для чертежных линеек оставляет пан
тоrраф кульмана? (Если слово «пантоrpаф вам He
известно, постарайтесь самостоятельно разузнать,
что это за устройство.) Сколько степеней свободы 113
у хоккейной шайбы, скользящей по rоризонталь
ной поверхности льда? Шайбу не считать матери
альной точкой. Разумеется, речь идет о системе
координат, связанной с помещением.
4.2. Сколько степеней свободы 111 у камня, если
считать ero абсолютно твердым телом? Сколько
степеней свободы 112 у ножниц?
4.3. Может ли теплоемкость rаза быть отрица
тельной?
4.4. Сравните количество теплоты, необходимое
для наrревания rаза на одинаковое число rраду
сов, для следующих случаев:
rаз находится в вертикальном цилиндре под
неподвижным поршнем (Ql);
тот же rаз находится в том же цилиндре, но
поршень поднимают вверх (Q2);
тот же rаз находится в том же цилиндре, но
поршень опускают вниз (Qз),
4.5. Чему равна молярная теплоемкость C vV Ok
H08TOMHOI'O идеальноrо r8З8 в изохорном процессе?
4.6. Чему равна молярная теплоемкость C vP oд
HoaToMHoro идеальноrо rаза в изобарном процессе?
4.7. Докажите, что для любоrо идеальноrо rаза
C VP == C vv + В.
4.8. В rоризонтальном сосуде, закрытом порш
нем, способным перемещаться без трения, Haxo
дится воздух. Масса воздуха m == 3 Kr, температу
50
ра t 1 == 20 ос. Какую работу совершит этот воздух
при изобарном наrревании до 100 ОС?
4.9. В вертикально расположенном цилиндре
сечением S == 20 см 2 под поршнем массой т ==
== 10 Kr заключен rаз при температуре t == 27 ос.
Поршень находится на расстоянии h == 20 см от
дна цилиндра. Трение отсутствует. Цилиндр Ha
rревают на 6.Т == 100 К. Какую работу совершает
rаз, если атмосферное давление Ра == 105 Па? При
нять g == 10 м/с 2 .
4.10. Идеальный rаз, имеющий массу т (моляр
ная масса М), охлаждается изохорно от темпера
туры Т так, что давление падает в п раз. Затем rаз
расширяется при постоянном давлении. В конеч
ном состоянии ero температура равна начальной.
Определите совершенную rазом работу.
4.11. В одинаковых цилиндрах 1 и 2 под одина
ковыми леrкоподвижными поршнями находит
ся одинаковое количество уrлекислоrо rаза. К пор
шням прикреплены одинаковые rрузы, как по
казано на рисунке 53. На сколько сантиметров
ниже (6.h) расположен поршень в первом цилинд
ре, если масса каждоrо из поршней т 1 == 10 Kr,
масса каждоrо rруза т 2 == 5 Kr, во втором цилинk
ре поршень находится на
высоте Н == 90 см от дна,
внешнее давление Ра ==
== 105 Па, площадь попе
речноrо сечения каждо
ro цилиндра S == 40 см 2 ?
Масса блока пренебрежи
мо мала.
На сколько rpaдYCOB
(6. Т) нужно наrреть rаз в
первом цилиндре, чтобы
поршень в нем поднялся
до уровня поршня BTOpO
1
2
Ра
I
..
Ра
т 2
Рис. 53
51
1'0 цилиндра? Масса yrлекислоrо rаза в каждом
цилиндре m r == 9 ['.
Какое количество теплоты Q нужно передать ['a
зу для этоrо? Молярная теплоемкость уrлекислоrо
rаза при постоянном объеме C v V == 27 ( Дж К) '
моль'
4.12. При изобарном расширении двухатомноrо
идеальноrо rаза ero внутренняя энерrия увеличи
лась на ди == 1500 Дж. Какое количество теплоты
Q было подведено к rазу?
4.13. Внекотором процессе давление идеально
1'0 rаза меняется в зависимости от объема по зако
ну р == Y. Какую работу А совершит этот rаз при
увеличении ero температуры на ДТ К, если масса
rаза т, а молярная масса М?
4.14. Какое количество теплоты Q надо сообщить
одноатомному идеальному rазу, находящемус,я в Bep
тикальном цилиндре под невесомым леrкоподвиж
ным поршнем, чтобы последний переместился на
высоту l:1h == 5 см? Площадь поверхности порш
ня S == 50 см 2 , атмосферное давление равно Ра ==
== 105 Па.
4.15. Внекотором процессе температура идеаль
Horo rаза меняется по закону Т == yV2. Какую pa
боту совершает один моль этоrо rаза при увеличе
нии объема от У 1 до У 2 ?
4.16. Состояние OДHO
1'0 моля идеальноrо ['a
за меняется по циклу V
(рис. 54). Известны ми
нимальная и максималь V 2
ная температура Т 1 И Т 2'
минимальный и макси V 1
мальный объем У 1 и У 2 .
Найдите работу А, COBep
шаемую rазом за один
цикл.
I.,/
/1 "
'/ .j'
о
Т 1
Т 2 Т
Рис. 54
52
Ответы
4.1. 111 1, 112 2, 113 3.
4.2.111 6, 112 7.
4.3. Да. Коrда rаз совершает БОльшую работу, чем по-
лучаемое тепло, или коrда над rазом совершается б6ль
шая работа, чем отнимаемое тепло.
4.4. Q2 > Ql > Qз,
3
4.5. C vv 2 R.
5
4.6. C vP 2 R.
m
4.8.А M RllT::::: 68,8 кДж.
Sh6.T l mg )
4.9. А ---------т Ра + s 200 Дж.
n 1 m
4.10. А ----п----- . м RT.
4.1l.11h 7,5 см, llT::::: 26,5 К, Q ::::: 191,4 Дж.
4.12. Q ::::: 2100 Дж.
1 m
4.13. А 2 . м RllT.
4.14. Q 62,5 ДЖ.
4.15.А У: (V V ).
( Т2 Тl )
4.16.А == R(V2 V 1 ) V v .
2 1
Тема N! 5 I
Тепловые машины
Тепловая машина предназначена для преоб
разования тепловой энерrии в механическую. Про
стейший пример TaKoro преобразования изотер
мическое расширение rаза, при котором, соrласно
первому началу термодинамики, все количество
теплоты, сообщаемое rазу, может быть преобразо
вано в механическую энерrию внешних тел в про-
цессе работы, совершаемой rазом.
Проблема заключается в том, что рабочее тело
(в нашем случае rаз) нужно вернуть в исходное co
стояние, чтобы процесс преобразования тепла в pa
боту Mor снова повториться, т. е. чтобы машина Mor-
ла работать постоянно. При этом энерrетические за
траты на возвращение рабочеrо тела в исходное
состояние должны быть меньше совершаемой rазом
работы, иначе толку от такой машины не будет. Для
этоrо rаз перед сжатием придется охладить.
Таким образом, в любой тепловой машине, KpO
ме рабочеrо тела, должны быть наrреватель (от KO
Toporo рабочее тело получает количество теплоты
QH) и холодильник (которому рабочее тело отдает
количество теплоты QX>.
ПО завершении цикла в системе (наrреватель
рабочее тело холодильн.ик) происходят следую
щие изменения:
наrреватель теряет энерrию QH'
рабочее тело совершает работу А,
холодильник получает энерrию Qx'
54
Соrласно закону сохранения энерrии:
QH ==А + Qx,
rде (иными словами) QH полная затраченная
энерrия, А полезная механическая энерrия, по
лученная от тепловой машины, Qx бесполезно
потерянная энерrия.
Откуда коэффициент полезноrо действия тепло
оой машины
11 == А == Qи Qx == 1 Qx
Qи Qи QH'
Если тепловая машина работает по обратимому
циклу (т. е. можно заставить рабочее тело повто
рить все ero состояния в обратном порядке), то Ta
кая тепловая машина может работать как холо
дильная машина (рис. 55). При этом:
холодильник отдаст рабочему телу количест
во теплоты Qx;
рабочее тело совершит за полный цикл отри
цательную работу А' (внешние устройства COBep
шают над рабочим телом работу А == A');
наrреватель получит количество теплоты QH'
Сказанное означает, что передача тепла от «xo
лодноrо» тела к «rоряче
му» возможна только «Ha
силъственным,) путем (Ha
до совершить некоторую
работу). Холодильная Ma
шина может быть исполь
зована в двух целях:
охлаждение HeKOTO
рой среды (бытовой холо
дильник);
наrревание HeKOTO
рой среды (тепловой Ha
сос).
В первом случае важно
знать, как хорошо отбира-
Камера
БЫТОБоrо
холод :ьиика I Коми
aTa
"" .... QH
" J
Упи T
Рис. 55
55
ется тепло, т. е. какое количе
ство энерrии отбирается у xo
лодной среды на единицу за
траченной энерrии. Для этих
целей вводится '.l'aK называе
мый холодильный коэффици
ент Ех, определяемый по фор
муле
Qx Qx 1 11
Ex
А QH Qx 11
Здесь 11 кпд Toro же YCT
ройства, работающеro как тепловая машина.
В случае тепловоrо насоса нужно знать количе
ство получаемоrо тепла на единицу затраченной
энерrии. Для этоrо вводится отопительный коэф
фициент Е н :
р
1
о
Рис. 56
3
v
QH Qп 1
Е н == А == QH Qx 11
В свое время было доказано, что из всех обрати
мых циклов В смысле получения механической
энерrии из тепловой самым эффективным являет
ся цикл Карно, состоящий из двух изотерм и двух
адиабат (рис. 56).
Не вдаваясь в подробности, напомним, что если
тепловая машина, работающая по циклу Карно,
идеальна, т. е. работает без трения, то ее КПД
Т п ТХ
11==
Т Н
Это выражение надо воспринимать как :ьерхний
предел КПД, не достиrаемый ни одной реальной
тепловой машиной.
Чтобы закрепить понятие КПД тепловой маши
ны, решим задачу.
ЗАДАЧА
Рабочим телом тепловой машины является oд
ноатомный идеальный rаз, состояние KOToporo
меняется по циклу, представленному на рисун
56
ке 57. Максимальная температура rаза в n == 4 раза
больше минимальной (Тз == 4Т 1)' Пренебреrая по
терями на трение, найдите кпд машины. Сравни
те полученный коэффициент полезноrо действия с
КПД идеальной тепловой машины, работающей по
циклу Карно, в которой температура нarревателя и
холодильника соответствует максимальной и мини
мальной температуре заданной машины.
Решепие
Коэффициент полезноro действия определяется
как отношение работы, совершенной rазом за весь
цикл, к количеству теплоты Q, полученному rазом:
А
11== Q' (1)
В координатах р, V работа rаза за весь цикл
равна площади треуrольника 1 2 3 (рис. 58):
1
А z:= "2 (Р2 Рl)(У 2 У 1 ). (2)
Нам нужно выразить работу rаза через макси
мальную и минимальную температуру цикла. He
трудно понять, что температура минимальна в co
стоянии 1, а максимальна в состоянии 3.
Запишем, что в состояниях 1,2, 3 rаз остается
идеальным:
РI У l ==vRTl'
Р2 У l ==vRT 2 ,
Р2 V 2==vRТ з .
(3)
(4)
(5)
р
р 2
:С:: 7 .' Р2 V'
> ,. . ., I
, ,.. I
Рl ;.' j. I
1
О V о У 1 У 2 V
Рис. 57 Рис. 58
57
Состояния 1 и 3 изображаются точками, лежа
щими на прямой, проходящей через начало KOOp
динат, поэтому
V 1 Рl
V 2 Р2
(6)
Этих уравнений достаточно, чтобы выразить
температуру Т 2 через Tl и Т3' ДЛЯ этоrо поделим
уравнение (3) на уравнение (4), уравнение (4) на
(5) и результаты подставим в (6):
Рl Т 1 V 1 Т 2 Т 1 Т 2
и
h ' .
Откуда Т 2 == JTIT3 .
Раскроем скобки в выражении (2) для работы:
1
А == 2 (P2 V 2 PI V 2 P2 V l + PI V 1) ==
1
== 2 (P2 V 2 2P2 V l + Рl V 1 ).
Мы учли, что отрицательные члены в скобке оди
наковы (см. (6».
Уравнения Менделеева Клапейрона позволяют
произвести нужные нам замены:
1
А == 2 (vRТ з 2vRT 2 + vRT 1 ) ==
== VR(Тz 2 JТIТЗ + Т 1 ). (7)
Теперь вычислим количество теплоты, получен
ное rазом. rаз получал тепло при изохорном пере
ходе из состояния 1 в состояние 2 и при изобарном
переходе из состояния 2 в состояние 3.
Q12 == VC y V<T2 T 1 ) == V R( JТЗТl Тд;
Q23== vс ур (т з Т2)==V R(Тз JT3 T l )'
58
Мы учли, что молярная теплоемкость идеально
ro одноатомноrо rаза при изохорном процессе
3
C vv == "2R,
а молярная теплоемкость одноатомноrо идеально
ro rаза при изобарном процессе
C vp == C vv + R.
Полное количество теплоты, полученное rазом за
цикл:
Q == Q12 + Q23 ==
== V: (3 JТ З Т 1 3Tl +5Тз 5 JТЗТ1 )==
vR
== 2(5Тз 2-JТЗТl 3Tl)'
(8)
Подставим полученные для А и Q выражения
(7) и (8) в формулу КПД (1):
Т3 2 J T 3 T l + Т 1
11== .
5Т з 2 J T 3 T l 3Т 1
Наконец, учитывая, что по условию Т3 == 4Тl'
вычисляем КПД:
4Т 1 4Т 1 + Т 1 1
11 == 20Т 1 4Т 1 3Т 1 13'
В принципе мы моrли бы обойтись без расчета
работы rаза за цикл. Для этоrо надо воспользо
ваться формулой
QH Qx
11==
QH
И выражением C v == 2R дЛЯ молярной теплоемкости
при изменении давления пропорционально объему
(см. с. 47).
В данной задаче именно при таком процессе rаз
отдает количество теплоты Qx:
Qx == 2vR(Т з Т 1 ).
59
Подставляя QxB формулу дЛЯ КПД, получаем
vR
т(5Т з 2 "' Т З Т 1 3Т 1 ) 2vR(Т з Т 1 )
11 == vR
т(5Т з 2 JТ З Т 1 3Т 1 )
что после упрощений дает тот же результат:
1
11 == 13 .
Идеальная тепловая машина, работающая по
циклу Карно с температурой наrревателя Т 3 И
температурой холодильника Т l' должна иметь
КПД, определяемый по формуле
Тз Т 1 4Т 1 Т 1 3
11предельный == Тз 4 Т 1 4: .
Как и следовало ожидать, цикл Карно дает бо
лее высокий КПД.
1
Ответ: 11 == 13 '
Упражнения
5.1. Идеальная тепловая машина, работающая по
циклу Карно, совершает за один цикл работу А ==
== 6. 104 Дж. Температура наrревателя t 1 == 127 ос,
температура холодильника t 2 == 27 ос. Найдите KO
личество теплоты Ql' получаемое рабочим телом
от наrревателя за один цикл. Нвйдите количество
теплоты Q2' отдаваемое холодильнику за один
цикл.
5.2. Идеальная тепловая машина работает по
циклу Карно. При этом 80% тепла, получаемоro
от наrревателя, передается холодильнику. Коли
чество тепла, полученное от наrревателя за HeKO
торое время, Q == 5 кДж. Сколько полных циклов
п совершила машина, если за один цикл она co
вершает работу А == 100 Дж?
60
5.3. Идеальная тепловая машина работает по
циклу Карно. Найдите КПД 11 машины, если из
вестно, что за один цикл совершается работа А ==
== 3000 Дж, а холодильнику передается количест
во теплоты Q == 15 ккал за n == 3 цикла. Выясните
самостоятельно связь внесистемной единицы Ka
лории и джоуля.
5.4. Полезная мощность на валу электромотора,
обеспечивающеrо работу холодильной машины, N ==
== 0,25 кВт. Сколько времени t потребуется для
понижения температуры в камере холодильника
на дt == 10 ос, если полная теплоемкость камеры
С == 6. 104 Дж/К, а холодильный коэффициент Ех ==
== 4? Естественным теплообменом камеры с внеш-
ней средой пренебречь. Какое количество теплоты
QH получит внешняя среда при этом?
5.5. Обратимая тепловая машина, КПД KOTO
рой составляет 60% от предельноrо, работает в pe
жиме тепловоrо насоса, как отопитель, от мотора с
полезной мощностью N == 0,25 кВт. Температура
воздуха в помещении t 1 == 27 ос, температура CHa
ружи t 2 == 13 ос. Найдите отопительный коэффи
циент машины Е н . Какое количество QH подается
в помещение за время 't == 30 с?
5.6. Рабочим телом тепловой машины служит
одноатомный идеальный rаз, совершающий цикл
по rpафику, приведенному на рисунке 59. V 2 == 3V 1 ,
Р2 == 2Рl' Найдите КПД 11 этой машины. Тепловы
ми потерями и трением пре
небречь. К8RИМ был бы коэф
фициент 11тах полезноrо дейст Р2
вия, если бы она работала по
циклу Карно, с температурой Рl
наrревателя и холодильника,
соответственно равной макси
мальной и минимальной TeM
пературе цикла?
р
D
о
V 1
V 2 V
Рис. 59
61
Ответы
5.1. Ql 24. 104 Дж, Q2 18. 104 Дж.
5.2. n 10.
5.3. 1] 12,5%.
5.4. t 10 МИН, Qи 750 кДж.
5.5. Е н 12,5, Qи 93,75 кДж.
4 5
5.6. 11 23 ' 11тах 6'
I Тема N! б
Уравнение тепловоrо баланса
Второе начало термодинамики устанавли
вает направление естественных тепловых потоков:
тепло переходит от rорячеrо тела к холодному.
Или, отходя от бытовых понятий .rор.ячий» и .xo
лодный., сформулируем второе начало термодина
мики: тепловая энерrия переходит от тела с боль
шей температурой к телу с меньшей температурой.
Рассмотрим систему тел, изолированную от OKPy
жающей среды. Пусть внутри системы происходят
только процессы теплообмена. Второе начало TepMO
динамИRи утверждает, что с течением времени TeM
пература тел, вход.ящих в систему, станут ОДИНaRО
выми и движение тепловых потоков прекратится.
Полная внутренняя энерrия тел, входящих в
систему, одна и та же для любых двух моментов
времени t и t' (система теплоизолирована).
U 1 + u 2 + ... + U == u 1 + U 2 + ... + u n
или (и 1 и 1 ) + (и 2 и 2 ) + ... + (и и n ) == о.
Учитывая, что изменение внутренней энерrии
i-ro тела есть количество теплоты, полученное им,
можем записать:
и ' и Q '
- . ----- . ,
l l l
1: Qi == о; (1)
Это друrая форма записи утверждения, что сис
тема в целом не обменивается теплом с внешней
средой. Разумеется, некоторые члены этоrо paBeH
БЗ
ства будут отрицательными, что вполне ecTeCТBeH
но, так как в процессе теплообмена внутри систе
мы какие то тела не получают, а отдают энерrию.
В общем виде задача на уравнение тепловоrо ба
ланса сводится к определению равновесной темпе-
ратуры теплоизолированной системы из несколь
ких тел имеющих различную температуру. Зада-
ча решается с помощью равенства (1).
Но в явном виде не всеrда можно записать это
равенство. Дело в том, что в процессе теплообмена
возможны фазовые переходы отдельных тел (плав
ление, отвердевание, испарение, конденсация), и
заранее трудно, а часто и невозможно предуrадать,
будут ли они происходить И В какую сторону.
Для решения задачи придется проводить после
довательные ориентировочные расчеты, постепенно
выясняя возможность и направление фазовых пре-
вращений. Прежде чем пояснить сказанное приме
ром, вспомним основные формулы для количества
теплоты, полученноrо (отданноrо) при нarревании
и фазовых переходах.
На рисунке 60 представлен качественный rpa
фик зависимости температуры простоrо кристал
лическоrо тела от времени при равномерном Ha
rpeBe.
Участок АВ rрафика наrревание твердоrо
тела до температуры плавления. Количество теп
лоты Q, получаемое твердым телом при нзrрева
нии, определяется знакомой формулой QH === mct1T,
Т
Т
к
Т пл
То
А
О
t
Рис. 60
64
rде т масса тела, с удельная теплоемкость
вещества, Ь..Т == (Т конечная Тначальнан) изменение
температуры.
На участке БС температура остается постоянной
(температура плавления Т ил), несмотря на то что
тело продолжает получать тепло. Дело в том, что
температура определяется только кинетической
энерrией молекул, а внутренняя энерrия твердоro
тела включает в себя еще и потенциальную энер
rию. Сообщаемая энерrия тратится на увеличение
потенциальной энерrии молекул. Разрушается крис
Т8ЛЛическая решетка, т. е. конфиrypация, COOTBeт
ствующая минимуму потенциальной энерrии.
При температуре плавления количество тепло
ты, поrлощаемое телом, определяется формулой
Qпл == тл.
Здесь л удельная теплота плавления, т. е. KO
личество теплоты, необходимое для плавления
единицы массы вещества (одноro килоrрамма в
системе СИ) при температуре плавления.
Участок CD соответствует HarpeBY ЖИДКосТИ, об
разовавшейся после плавления. Формула для коли
чества теплоты, получаемоro веществом в жидком co
стоянии, аналоrична формуле Harpeвa твердоrо тела:
Qи == тсЬ..Т,
с той лишь разницей, что удельные теплоемкости
вещества в жидком и твердом состоянии различны.
На участке DE температура снова перестает pac
ти. Жидкость закипает, идет интенсивное испаре
ние, в процессе KOToporo все поступающее коли-
чество теплоты снова тратится на увеличение по
тенциальной энерrии молекул (расстояния между
молекулами резко возрастают). Если для испарения
единицы массы жидкости (1 Kr) при температуре ки
пения требуется r джоулей (удельная теплота паро
образования), то для испарения массы m потребует
ся количество теплоты
Qисп == mr.
3 7729
65
Далее, образовавшийся пар представляет собой
rаз, и в силу вступают rазовые ЗaRОНЫ.
Если процесс происходит в обратном порядке
(температура падает), то тело будет отдавать теп
ло. Соrласно закону сохранения энерrии точно
такое же количество, т. е. приведенные формулы
rодятся и для подсчета отдаваемой энерrии.
3АДАЧА
В калориметр, теплоемкостью KOToporo можно
пренебречь, поместили М == 2 Kr льда при темпе
ратуре t 1 == 10 ОС. Затем в калориметр влили воду
т == 3 Kr при температуре t 2 == 40 ОС. Найдите ко-
нечную температуру в R8ЛОрИМетре. (Удельные теп
лоемкости воды и льда: СВ == 4,19 -103 Дж/(кr - К),
с Л == 2,1'103 Дж/(кr - К); удельная теплота плавле
ния льда л == 333 -103 Дж/кr.)
Д аnо: Решеnие
t 1 == 10 ос Что может получиться
t 2 == 40 ос в Rалориметре в результа
М == 2 Kr те теплообмена?
т == 3 Kr 1. Сnлоmнойлед. Ледох
ладит воду, а затем всю ее
t ? заморозит.
и 2. Лед + вода. Конечное
Rоличество льда больше начальною. Не вся вода
успела замерзнуть R моменту выравнивания TeM
пературы. Равновесная температура О ОС.
3. Лед + вода. Конечное количество льда меньше
начальною. Не весь лед успел растаять R моменту
выравнивания температуры. Равновесная темпера-
тура О ОС.
4. Сплошная вода. Вода нarpeла лед до нуля rpa
дусов, затем растопила ero и подоrpела образовав
myюcя из льда воду до конечной температуры t и .
В Rаждом случае уравнение тепловою баланса
свое, и заранее ero не напишешь. Приходится про
изводить предварительный расчет.
бб
Если вода охладится до О ОС, она отдаст
Ql == mc B l1T 1 == 3 - 4,19 -103 - 40 == 502,8 -103 (Дж).
Лед будет получать отдаваемую водой знерrию.
Чтобы нarретъся до температуры плавления (О ОС),
ему потребуется
Q2 == Мс л l1Т 2 == 2 - 2,1-103 -10 == 42 -103 (Дж).
Сравнивая Ql и Q2' убеждаемся, что 4Сзапаса.
энерrии воды с лихвой хватает, чтобы HarpeTb лед
до температуры плавления.
Пока можно сказать, что лед будет таять. Для
превращения всей массы льда в воду потребуется
еще
Qз == Мл == 2 - 333 - 103 == 666 - 103 Дж.
Видим, что для HarpeBa льда до температуры
О ос и ero последующеrо расплавления требуется
Q2 + Qз == 42 - 103 + 666. 103 == 708 - 103 Дж.
А вода при остывании до О ОС может отдать
только 502,8 - 103 Дж.
Теперь ясно, что лед растает только частично и в
равновесном состоянии в калориметре будет смесь
льда и воды. Конечная температура t K == О ОС.
В принципе задача решена, но теперь мы мо-
жем записать уравнение тепловOI'О баланса, чтобы
узнать, сколько льда растаяло:
Мсл(t к t 1 ) + Мхл + mCB(t K t 2 ) == О.
Здесь М х масса растаявшеrо льда.
(Изменение температур выражается одним и
тем же числом и в шкале Цельсия, и в абсолютной
шкале температур.)
Последнее равенство позволяет вычислить М х:
М == mc B (t 2 t K ) мсл(t к t 2 J == Ql Q2 .
х Л л ·
М == 502,8' 103 42 -103 :::::: 1 38 ( )
х 333.103 · Kr .
Ответ: t K == О ОС, М х:::::: 1,38 Kr.
3*
б7
НесКОЛЬКО изменим условие задачи. Пусть в Ka
лори метр налили не три КИЛОl'рамма воды, а т ==
== 6 КI' при той же температуре. Теперь Ql стало в
два раза больше:
Ql == 6.4,19.103' 40 == 1005,6.103 Дж.
Это число превышает Q2 + Qз, т. е. «запаса»
энерl'ИИ воды вполне хватает, чтобы ПОДОl'реть лед
до О ОС И расплавить el'o. Мало TOI'O, образующаяся
изо льда вода (а она имеет температуру О ОС) будет
наl'реваться до выравнивания температур. Теперь
можно написать уравнение тепловоrо баланса:
Мсл(t пл t 1 ) + Мл + McB(t K t пл ) + mCB(t K t 2 ) == О.
Нarpeвание Плав- Нarревание воды, Остывание
льда до t пл ление образовавшейся налитой в калори
льда изо льда метр воды
Мсл(t пл t 1 ) + Мл Мсвt пл mc B t 2 ==
== mCBtK М cBt K ;
tKcB(M + т) == Мсвt пл + mCBt2 Мсл{tпл t 1 ) Мл;
Мсвt пл + mC B t 2 Мсл(t пл t 1 ) Мл
t == .
к (М + т)с в '
6. 4,19 .103.40 + 2.2,1'103' ( 10) 2.333. 103
t K 8'4,19 . 103
== 8,9 еС).
Еще раз вернемся к условию. Пусть масса Ha
литой воды составляет 50 1'. Теперь вода, остывая
до О ос, сможет отдать ТОЛЬRО Ql == 0,05.4,19 х
х 103' 40 == 8,38. 103 (Дж).
Это меньше, чем Q2 == 42. 103 Дж Rоличество
теплоты, необходимое для наl'ревания льда до TeM
пературы плавления. ПОСRОЛЬRУ температура льда
остается меньше температуры плавления, вода бу
дет еще отдавать тепло (превращаясь в лед). При
полном затвердевании вода отдаст дополнительно
Q4 == тл == 0,05.333. 103 == 16,65. 103 Дж.
Ql + Q4 все еще меньше Q2' Получающийся из BO
дЫ лед (ero температура О ОС) будет продолжать OT
68
давать тепло до выравнивания температур. В КОJIеч
БОМ счете в калориметре образуется сплошной лед,
а уравнение тепловоro баланса приобретает вид:
МсЛ<t к t 1 ) + тсв(t пл t 2 ) + т( л) + тсЛ<tк t пл )== о;
Нarревание Остывание Отвер- Остывание льда,
льда воды до t пл девание полученноro
воды из воды, до tJ(
Мслt к Мс л t 1 + тсв(t пл t 2 )
тл + тслt к тслt пл == о;
mл + Мслt 1 + mслt пл + mc B (t 2 t пл )
t ==
к сл(М + т)
о 05 . 333 . 103 2 . 2 1 . 103 . 10 + О 05 . 4 19. 103' 40
t K == ' 2:1' 103' 2,05' ,
::::: 4 (ОС).
В калориметре образовался сплошной лед при
температуре t K == 4 ОС.
Вывод прост: дока не станет ясно, какие фазо
вые превращения будут происходить в процессе
теплообмена, невозможно предуrадать заранее вид
уравнения тепловоrо баланса.
Упражнения
6.1. В воду массой М == 500 r при температуре
t 1 == 15 ос поместили т == 120 r льда при темпера
туре t 2 == 6 ОС. Какая температура е установится
при достижении тепловоrо равновесия?
6.2. Какое количество теплоты Q надо сооб
щить куску льда массой т == 1,5 Kr, взятоrо при
температуре t == 20 ОС, чтобы лед расплавить,
а полученную воду HarpeTb до температуры кипе
ния (при нормальном атмосферном давлении) и ис
парить? Почему здесь rоворится о нормальном дaв
лении?
6.3. В калориметр со льдом массой т == 100 r
при температуре Т == 263 К подается насыщенный
водяной пар, давледие K TOpOro равно ат.мрсферно
9
му. Какое минимальное количество пара т п нужно
ввести в калориметр, чтобы весь лед растаял? Теп
лоемкостью калориметра пренебречь.
6.4. В латунном калориметре массой т 1 == 100 r
находится лед массой т 2 == 5 r при температуре
т == 263 К. В калориметр вливают расплавленный
свинец тз == 30 r при температуре плавления. Что и
при какой температуре будет в калориметре после
достижения тепловоrо равновесия?
6.5. В колбе при температуре Т == 273 К Haxo
дится вода. При выкачивании воздуха из колбы
вода в ней замерзла посредством собственноrо ис
парения. Какая часть 11 воды испарилась, если
притока тепла извне не было?
6.6. Температура холодной воды, вытекающей
из первоrо крана, t x == 10 ос. Температура rорячей
воды, вытекающей из BToporo крана, t r == 70 ос.
Сколько воды должно поступить из каждоro Kpa
на, чтобы температура воды в ванне объемом
V == 150 л получилась t K == 30 ОС? Теплоемкость
ванны С == 90 о 103 Дж/К. Начальная температура
в8lпIы t B == 20 ос. Рассеянием тепла в окружающее
пространство пренебречь.
6.7. В электрическом чайнике литр воды с Ha
чальной температурой t} == 15 ос заюшает (при HOp
мальном атмосферном давлении) за время 't == 5 мин.
Какова мощность N нarpeвательноrо элемента чай
ника, если КПД чайника 11 == 79% ?
Ответы
6.1. е о ос.
6.2. Q ::::: 4,64' 1()6 Дж.
6.3. m п ::::: 13 r.
6.4. Вода т' ::::: 4,3 r, лед т" ::::: 0,7 r, свинец т'" 30 r,
е о ос.
6.5.1'} ::::: 11,6%.
6.6. V x 96,4 л, V r 53,6 л.
6.7. N 1,5 кВт.
70
Тема N! 7
Насыщенный пар. Влажность
Концентрация молекул воды, находящей
ся в rазообразном состоянии, при заданной темпе
ратуре (ниже критической) имеет верхний предел.
Попытка превысить этот предел в обычных усло
виях при водит К конденсации лиmних молекул.
Пар в состоянии предельной концентрации назы
вают насыщенным. Иными словами, при Hacы
щении в закрытом сосуде, частично заполненном
водой, устанавливается равновесие: количество бы
стрых молекул, покидающих жидкость, равно KO
личеству молекул, возвращающихся в жидкость.
Предельное парциальное давление паров воды за
висит только от температуры и приведено в COOT
ветствующих таблицах. Полное давление воздуха
над жидкостью создается всеми компонентами
воздуха (азот, кислород и т. д.).
Если в цилиндре с водой медленно поднимать
порmень, лежащий непосредственно на воде (TeM
пературу Т системы при этом сохраняем постоян
ной), то пространство между поршнем и водой за
полнится чистым насыщенным водяным паром.
При этом давление под порmнем будет постоян
ным, равным давлению насыщенноrо водяноrо па
ра при температуре Т независимо от положения пор
mня. Порmень можно поднимать или опускать, но
концентрация молекул по,:!; ним, а значит, и давле
ние будет оставаться постоянными, просто при под
нятии порmня из воды поступают «недостающие!)
молекулы, а при опускании «лишние-) молекулы
71
будут ВОЗВРaIЦаться в BO
ду. Если шток поршня
отпустить, он опустится
до самой воды блаrодаря
наружному атмосферному
давлению и весу поршня.
Все видели, как бур
лит при кипении вода.
В жидкости образуются
U///////////U//U//ffJ%////u///////////////////////.d пузырьки, которые под
нимаются на поверхность.
Внутри пузырька Haxo
дится насыщенный водяной пар. И если такой пу
зырек не пропадает, (сне схлопывается., поднима
ясь наверх, это означает, что давление внутри пу
зырька равно наружному плюс давление столба
жидкости pgh, rде h rлубина, на которой Haxo
дится пузырек. А в непосредстве:нной близости к
поверхности давление внутри пузырька равно Ha
ружному.
Итак, можно считать, что, как только давление
насыщенноrо пара становится равным наружно
му, вода закипает. Так, если в обычных условиях
вода закипает при 100 ос, это означает, что давле
ние насыщенноrо водяноrо пара при температуре
:кипения равно Р Н == Ра == 760 мм рт. СТ.
В воздухе всеrда есть KaKoe TO количество моле
:кул воды. Эти молекулы создают свое парциальное
давление (давление паров воды Р п . в). При каждой
температуре Т существует свое предельное дaiзле
ние паров (насыщение) р н . Отношение Р п . В/Р Н Ha
зывается относительной влажностью воздуха f при
температуре Т. Обычно это отношение выражают
в процентах:
..r
........ ,
,; ................
........ 1
........
.........
........
........
........
........
........
'r
---.у.....
Рис. 61
f == Р п . н .100%.
Р Н
Иноrда бывает удобно пользоваться понятием
абсолютной влажности. Это просто плотность
водяноrо пара, Т. е. масса водяных паров в одном
кубическом метре.
72
"ЗАДАЧА
Дневная температура равна t 1 == 25 ос. Ночью
при температуре t 2 == 10 ос выпала роса (точка po
сы). Какой была относительная влажность 1 днем?
Решеnие
Явление выпадения po
сы это конденсация из
бытка паров воды (pa3YMe
ется, коrда пар становится
насыщенным).
Если считать воздух
вблизи поверхности земли
идеальным rазом, то ero
«водяная» составляющая тоже будет описываться
основным уравнением кинетической теории. За
пишем уравнения «дневноrо» (1) и «ночноrо» (2)
состояний водяноrо пара:
Рl == п 1 kTl'
Р2 == п 2 kT 2'
д аnо:
t 1 == 25 ос
t 2 == 10 ос
Р == 1 23. 103 Па
Н 1 '
Р == 3 17. 103 Па
Н 2 '
I ?
(1)
(2)
Корректное решение задачи зависит от пра
вильноrо выбора одноrо из двух утверждений:
l)до момента появления росы концентрация
молекул воды не меняется;
2) до момента появления росы давление паров
воды не меняется.
Если справедливо первое утверждение, то
11РН2 == пkT 1 ,
РН 1 == пkT 2'
Здесь Рн и Рн давление насыщенных паров
2 1
воды при температурах 25 и 10 ос. Поделив одно
уравнение на друrое, находим
Р н Т 1 Р н Т 1
11 == ,или в процентах 11 == '100%.
P 2 P 2 .
73
А если справедлив второй тезис, то
'2. Р Н2 == PH 1 '
Р Н1 P H1
И '2 == , или в процентах '2 == . 100%.
Р Н2 Р Н2
Хотя числовые значения '1 == 39,6% и '2
38,8% не слишком отличаются друr от друrа,
имеет смысл разобраться, какое из решений сле
дует считать правильным. На первый взrляд YT
верждение, что число молекул в единице объема
(концентрация) не меняется до начала KOHдeHca
ции, кажется естественным. Но это означает, что с
понижением температуры падает скорость моле
кул (и не только воды), что неизбежно приводит к
понижению атмосферноrо давления ночью. В yc
тойчивых поrодных условиях барометр не отмеча
ет ночных колебаний атмосферноrо давления. Это
становится понятным, если вспомнить, что вес aT
мосферноrо столба не зависит от времени суток.
Просто при понижении температуры уменьшается
ero высота .атмосфера оседает». При неизмен
ном числе молекул это означает, что растет число
молекул (в том числе и воды) в единице объема. Ta
ким образом, первое утверждение неверно. Пра
вильным является второй ответ.
Ответ: '2 == 38,8%.
При решении задач на влажность важно пом
нить, что давление паров воды это только пар
циальное давление. Представим себе, что молеку
лы воды выкрашены в синий цвет, а остальные
молекулы воздуха в красный. Полное давление
воздуха Рвоздуха складывается из:
Рвозду а == Р синих + Ркрасных'
«Красные» молекулы в широких пределах темпе
ратур и давлений ведут себя как идеальный rаз. «Си
74
ние. молекулы тоже можно
считать идеальным rазом,
но только до полноrо Hacы
щения. Будем сжимать воз
Р Н
дух изотермически. Тоrда
давление .синих. молекул
можно представить качест
венным !'рафиком, представ
ленным на рисунке 62.
Поначалу давление па
ров воды подчиняется ypaB
нению Менделеева Клапейрона, а при достиже
нии насыщения остается постоянным.
Р
I
,
,
v
Рис. 62
ЗАДАЧА
В закрытый сосуд объемом 10 л с сухим воз
духом при давлении Рl == 105 Па и температуре
t 1 == О ос наливают воду массой m == 30 r, затем co
держимое наrpeвают до 100 ос. Определите конеч
ное давление в сосуде.
д аnо:
V == 10 л
Рl == 105 Па
t 1 == О ос
t 2 == 100 ос
m == 30 r
PK ?
Решеnие
Давление cyxoro возду
ха при нarревании увели
чивается по закону Шарля
Рl Р2
Т 1 == Т 2 (У == const);
Т 2
Р2 == Рl . Т .
1
Мы не знаем, вся ли вода испарится или для Ha
сыщения требуется меньшее количество воды при
100 ос. Но нам никто не мешает это проверить. Ec
ли вся вода перейдет в rазообразное состояние, то
водяной пар создаст давление:
р' == ::у . ВТ;
р' == 18 g,Ol .8,31. 373 5,17. 105 (Па).
75
Давление насыщенноrо водяноrо пара при TeM
пературе Т == 373 К Рн == 105 Па.
1
Неравенство р' > Рн (чеroбыть не может) означа..
1
ет, что испарится не вся вода и давление водяноro
пара в сосуде достиrнет только Р н == 105 Па.
Полное давление в сосуде после нarревания равно
Т 2
Р к == Р2 + Р н == Рl - Т + Р н ;
1
Р :::::: 2,4. 105 (Па).
Ответ: Р к :::::: 2,4 - 105 Па.
Если бы воды было меньше (недосrаточно для
насыщения), скажем т == 5 r, тор' == ::Jv 'BT;
р' == 18. ,01 . 8,31. 373 :::::: 0,86' 105 (Па)
и полное давление в сосуде после наrревания было
бы равным
р к == Р2 + р' :::::: 1,86 -105 Па.
Упражнения
7.1. Цилиндр с водой закрыт поршнем, приле
rающим к поверхности жидкости. Площвдь порш
ня S == 10 см 2 . Хватит ли у человека сил, чтобы
оторвать поршень от воды?
7.2. Насыщенный водяной пар при 100 ос зани-
мает некоторый объем. Каким будет давление во-
дяноrо пара, если, не меняя температуры, YMeHЬ
шить объем в три раза?
7.3. Коrда и во сколько раз абсолютная влаж
ность р воздуха больше: в ноябре при t 1 == О ОС И от-
носительной влажности {1 == 95% или в июле при
t 2 == 35 ос и относительной влажности {2 == 40% ?
7fJ
Указание. Давление насыщенных паров воды
при соответствующих температурах найдите, ис
пользуя зависимость, приведенную на с. 94.
7.4. Определите абсолютную р и относительную 1
влажность воздуха при температуре t == 20 ОС, если
ero точка росы t p == 6 ОС.
7.5. В комнате объемом V == 130 м 3 при темпе
ратуре t == 20 ос относительная влажность воздуха
составляет 1 == 50%. Определите массу m водяных
паров в комнате.
7.6. Две комнаты разделены закрытой дверью.
Температура в комнатах одинаковая. В первой KOM
нате объемом У 1 == 80 м 3 относительная влажность
11 == 30%, во второй комнате объемом У 2 == 120 м 3
относительная влажность 12 == 60% . Какая относи
тельная влажность 1 установится в помещениях,
если дверь открыть?
7.7. Две комнаты разделены закрытой дверью.
В первой комнате объемом У 1 == 80 м 3 температура
t 1 == 15 ОС, относительная влажность 11 == 30%, во
второй комнате объемом У 2 == 120 м 3 температура
t 2 == 30 ОС, относительная влажность 12 == 60%. AT
мосферное давление в обеих комнатах одинаковое.
Какая относительная влажность 1 установится в
помещениях, если дверь открыть?
Указание. Сначала найдите конечную темпера
туру воздуха в :комнатах, затем по таблице COOT
ветствующее ей давление насыщенноrо пара.
7.8. В закрытом помещении объемом у== 100 м 3
при температуре t == 20 ос относительная влаж
ность воздуха 11 == 30% . Сколько :килоrраммов BO
дЫ надо испарить, чтобы при той же температуре
поднять влажность до 12 == 60% ?
7.9. В закрытом помещении объемом у== 100 м 3
при температуре t 1 == 20 ос относительная влаж
77
ность воздуха '1 == 30% . Сколько КИЛОl'раммов BO
дЫ надо испарить, чтобы поднять влажность до
'2 == 60% при температуре t 2 == 30 ОС?
7.10. Трубку длиной 1 == 60 см, запаянную с oд
HOI'O конца, открытым концом вертикально поrру
жают в ртуть. На какую rлубину х нужно поrру
зить нижний конец трубки, чтобы в ней выпала po
са? Температура трубки не меняется, атмосферное
давление нормальное, влажность атмосферноl'О воз
духа' == 80%. Принять g == 10 м/с 2 .
7.11. В комнате при температуре t 1 == 25 ос OTHO
сительная влажность 11 == 12%. Какой станет OTHO
сительная влажность 12' если температуру в KOM
нате постепенно понизить до t 2 == 14 ОС? Считать,
что наружный воздух, поступающий при этом в
помещение, абсолютно сухой.
7.12. Чему равна относительная влажность воз
духа, заполняющеrо баллон емкостью V == 700 л,
при температуре t == 24 ОС, если до полноrо Hacы
щения пара понадобилось испарить в этот объем
воду массой т == 6,2 I'?
Ответы
7.1. Хватит. F 100 Н.
7.2. Давление насыщенноrо пара не изменится.
7.3. Р2 == 3,5 Р1'
7.4. Р 6,9 '10 :i Kr/M 3 , f 40%.
7.5. т == 1,12 Kr.
76 f == {1 V 1 + f 2 V 2 == 480/<
. . V 1 + V 2 о.
7.7.1 == 57%.
7.8. т 0,52 Kr.
7.9. т 1,3 Kr.
7.10. х 30 см.
7.11. 12 23%.
7.12. , 60%.
78
I TeMa 81
Поверхностное натяжение
Можно считать, что молекула жидкости,
находящаяся на поверхности (на rранице раздела
жидкость rаз), испытывает силовое воздействие
только со стороны жидкости. Расстояния от такой
молекулы до молекул rаза (в среднем) достаточно
велики, так что силами взаимодействия с ними
можно пренебречь. Эта асимметрия определяет oco
бое поведение молекул на поверхности жидкости.
Прежде Bcero, напомним, что Hayraд выбранная
молекула жидкости отталкивается ближайшими
соседями и притяrивается всеми остальными. На
рисунке 63 изображены силы, действующие на
поrраничную молекулу (серый кружок).
Результирующая сил притяжения направлена в
rлубь жидкости (светлая стрелка). Она мало меня
ется, несмотря на хаотическое движение молекул,
так как обусловлена воздействием достаточно боль
шоro числа молекул (белые кружки). Со стороны
ближайших молекул (черные кружки) действуют
силы отталкивания (стрелки в сторону rаза). Pe
зультирующая этих сил (ce
рая стрелка вверх) ypaвHO
вешивает силу притяже
ния со стороны жидкости. О
Поэтому поrpаничная MO
лекула находится в paBHO
весии. Но это равновесие
неустойчиво. Это леrко по
нять, если учесть, что число Рис. 63
79
отталкивающих молекул
невелико (2 3). Хаотичес
кое смещение этих молекул
меняет величины и направ
ления сил отталкивания.
Это объясняет, почему pe
зультирующая сил оттал
кивания часто становится
меньше силы притяжения
(рис. 64).
Таким образом, молекула на поверхности под
держивается непродолжительное время, а затем yxo
дит в r бь жидкости. Дрyrими словами, поверх
ность жидкости имеет тенденцию к сокращению.
Разумеется, если площадь поверхности жидкости
поддерживается постоянной, то и число молекул по
верхности будет неизменным за счет СПОНТ8ННоro
выталкивания молекул из rлубины в случайные раз-
режения на поверхности. Но если устранить сторон-
ние воздействия на некоторый объем жидкости, то
она принимает форму с наименьшей площадью по-
верхности. Так, капля воды в условиях невесомости
принимает форму шара (при фиксированном объеме
у шара наименьшая площвдь поверхности). Создает-
ся впечатление, что поверхностный слой молекул
<lстяrиваеТI) жидкость.
. Правда, это «стяrивание. не похоже на дейст-
вие упруrой пленки, растяжение которой пропор
ционально приложенной силе.
Следующий опыт поясняет CKa
занное.
П образную рамку со сколь
зящей перемычкой опускают в
мыльную воду, чтобы на ней
(после вытаскивания) осталась
мыльная пленка. Если перемыч
ка достаточно леrкая, мыльная
пленка будет подтяrивать ее
вверх. Подвешивая разные rpy
зы к перемычке, можно добить
ся равновесия (рис. 65). Если
Рис. 64
Рис. 65
80
перемычку с таким rpy
зом оттянуть вниз, yвe
личив площадь пленки в
два раза, а затем отпус
тить, равновесие сохра-
нится. В то время как для
аналоrичноro удержания
в равновесии резиновой
пленки потребовался бы
двойной rpуз. Это можно
объяснить следующим об
разом. Число поверхност-
ных молекул пополняет
ся из внутренних слоев
жидкости, и среднее pac
стояние между молеку
лами поверхности OCTaeт
ся постоянным. Но стоит
увеличить ширину рамки (рис. 66), скажем, в три
раза, и для равновесия перемычки потребуется уже
тройной rруз.
В местах контакта с перемычкой поверхност-
ные молекулы действуют на нее с силой F, пропор
циональной длине перемычки l (см. рис. 66):
F == crl.
:Коэффициент пропорциональности cr называют
поверхностным натяжением или коэффици-
ентом поверхностноео натяженuя.
Физический смысл поверхностноrо
натяжения можно трактовать как силу,
действующую на единицу возможной
длины разрыва жидкости. Эта сила
действует по касательной к поверхно-
сти жидкости и перпендикулярна выде-
ленной линии.
Медленно (чтобы не учитывать кине-
тическую энерrию) оттянем перемычку
вниз на расстояние Х (рис. 67). Рука co
вершит работу
А == Рх.
Рис. 66
3mg
."'.
1 .'
Рис. 67
81
Приложенная сила при таком движении равна
удвоенной силе поверхностноrо натяжения. Это
связано с тем, что пленка имеет две поверхности,
каждая из которых прилеrает к перемычке:
А === 2crlx === crl!1S,
rде l!1S суммарное увеличение площади пленки
(с обеих сторон). Растраченная рукой энерrия пе
реmла, очевидно, в потенциальную энерrию мыль
ной пленки, а точнее, в дополнительную потенци
альную энерrию l!1U молекул, составляющих ее
поверхность (поверхностная энерrия):
l!1U == crl!1S.
Из этой формулы следует еще одна трактовка
поверхностноrо натяжения как потенциальной
энерrии единицы площади свободной поверхности
жидкости.
Маленькая капелька жидкости на rоризонталь
ной поверхности может вести себя двояко: либо
собираться в форме приплюснутой сферы, урезан
ной снизу, либо растекаться (рис. 68).
В первом случае жидкость не смачивает поверх
ность, во втором смачивает. В первом случае
молекулы жидкости притяrиваются друr к друrу
сильнее, чем к молекулам поверхности, во BTO
ром притяжение молекул .жидкость поверх
ность» сильнее притяжения молекул (Сжидкость
жидкость» .
Явление смачивания вкупе с поверхностным
натяжением объясняет поведение жидкости в Ka
пиллярах и между поверхностями с малым зазо
ром. Чтобы не заучивать формулы, получаемые
при рассмотрении поведения жидкости в капилля
"
6
$ шшшшr#'/ /1' ,, // /
Рис. 68
82
рах, будем получать их в процессе решения задач.
rораздо полезней усвоить алrоритм действий.
3АДАЧА
Открытую с обоих концов обезжиренную стеклян
ную трубочку с внутренним диаметром d 1 мм
опускают вертикально в воду (рис. 69). При этом Ha
блюдается поднятие воды в капилляре над свобод
ной поверхностью воды в сосуде. Определите высоту
h столба воды в капилляре. Принять g 10 м/с 2 .
Д аuо: Решеuие
d 1 мм Обратите внимание на
а 0,073 Н/м то, что в справочных таб
h ? лицах приводятся значе
ния поверхностноrо натя
жения чистой воды. Это надо понимать так, что
разноrо рода примеси MorYT заметно менять по
верхностное натяжение. Указание на температу
ру rоворит о зависимости а от температуры. Это в
условии не оrоваривалось. Но в подобных задачах
часто «по умолчанию» подразумевается KOMHaT
ная температура и чистая жидкость, что позво
ляет пользоваться табличными значениями. Как
понимать слова «обезжиренная поверхность»? Дe
ло в том, что смачивание бывает полным (или аб
солютным) и неполным. Степень смачивания xa
рактеризуется краевым уrлом 6 (рис. 70), образо
ванным стенкой сосуда и
поверхностью жидкости в
крайней точке контакта
(уrол всеrда отсчитывает
си так, чтобы жидкость
была внутри уrла): 6 >
> 900 несмачиваемая
поверхность, е < 900
смачиваемая поверхность,
е о абсолютно смачи
ваемая поверхность.
d
h
-\
'о
Рис. 69
Рис. 70
83
Слова «обезжиренная поверх
ность» означают смачивание, а
отсутствие указания на краевой
yrол подразумевает полное CMa
чивание.
Между молекулами воды и
стекла сила притяжения больше,
чем взаимопритяжение молекул
БОды. Это приводит К тому, что
молекула воды, приблизившись
к стеклу, «прилипает» К нему и
подтяrивает за собой соседние. Таким образом, вода,
«карабкаясь» по стенке капилляра, поднимает за co
бой весь столб жидкости. Процесс продолжается, по-
ка сила поверхностноrо натяжения, действующая
вверх по линии крайБеrо контакта со стенками, не
уравновесится весом столба жидкости внутри капил
ляра (рис. 71).
. t J J 1 t : 1
1т.
Рис. 71
1td . (j == тg;
1td 2
1td. (j == Р4"" hg;
h == 40" .
pgd'
4 . 0,073
h 1000. 10. 0,001 0,029 (м).
Ответ: h 2,9 см.
в случае абсолютно несмачиваемой поверхности
уровень жидкости в капилляре устанавливается
ниже уровня свободной поверхности, а поверхность
жидкости в капилляре становится выпуклым мени
ском. Сила поверхностноrо натяжения по rранице
контакта жидкость стенка направлена вниз и
препятствует проникновению воды в капилляр
(рис. 72). Теперь она уравновешивает силу давле
ния внешнеrо столба жидкости, но арифметика oc
тается прежней:
1td 2
1td . (j == 4"" . phg;
h == 40"
pgd'
84
Или, отсчитывая уровень жид
кости в капилляре от уровня CBO
бодной поверхности жидкости:
h == + 40"
pgd'
d
Знак (.+» соответствует смачи
ванию и подъему жидкости, знак
« » несмачиванию и опусканию
жидкости в капилляре.
Опускание (или поднятие) жид
кости в капилляре означает, что
поверхностное натяжение искрив
ленной поверхности жидкости создает перепад
давлений. Действительно, давление под менис
ком внутри жидкости в точке С (см. рис. 72) paB
но давлению Р Н (наружное) в точке В плюс пере.
пад ь'Рве:
в h
.
с D
Рис. 72
Ре == Р Н + ь'Рве'
Давление в точке D, как обычно,
Рп == Р Н + pgh.
Точки С и D находятся на одном уровне, поэтому
Ре == Рп;
Р Н + ь'Рве == Р Н + pgh;
t-:.Рве == pgh.
Подставляя вместо h полученное в задаче BЫ
ражение, находим формулу для перепада дав-
лений, создаваемоrо искривленной поверхностью
жидкости:
( 40" ) 20"
ь'Рве == pg pgd == r .
Здесь r внутренний радиус капилляра (он же
радиус сферической поверхности мениска жид
кости). Полезно повторить ход рассуждений в.слу
чае поднятия жидкости и убедиться, что BorHY
тый мениск создает отрицательный перепад дaB
лений.
85
3АДАЧА
На международной :космичес:кой станции в воз-
духе свободно парит :капель:ка воды радиусом
R == 10 2 мм. Найдите давление Р внутри капельки,
если давление воздуха на станции равно Ра ==
== 750 мм рт. СТ.
Д аnо:
R == 10 2 мм
Ра == 750 мм рт. СТ.
а == 0,073 Н/м
Решеnие
В принципе предыду-
щие рассуждения позво-
ЛЯЮТ сразу написать ответ:
2(}
Р == Ра + В '
Но мы проведем дрyroe
решение, чтобы ПОЗНаЕО-
миться еЩе с одним алrоритмом.
Сначала небольшой, но полезный мысленный
э:ксперимент. Представим себе некоторое тело в
форме полушара на подвижной подстав:ке (рис. 73).
Еще ни:кто ни:коrда не видел, чтобы такая YCTaнOB
:ка поехала бы самостоятельно вправо или влево.
Это означает, что «(ершик. сил давления, действую
щих на сферичес:кую поверхность полушара спра-
ва, уравновешивается силой давления на плос:кую
поверхность слева.
F давл. справа == Р а . nR2.
А теперь перейдем :к :капель:ке. Поверхностное на-
тяжение, *стяrивaя» :капель:ку, придает ей форму
сферы и создает внутри нее избыточное давление.
p ?
1/
/"
.........
..
\ "
..,j
Направление
действия
силы F
Рис. 73
86
Направление
/ действия силы
L.. поверхностноrо
натяжения F натяж
Направление
действия силы
давления
среды F среды
Рис. 74
Мысленно разрежем капельку пополам (рис. 74).
Равновесие половинки обеспечивается тремя сила
:ми: Fсреды' силой поверхностноrо натяжения по
rранице разреза F натяж И силой давления F внутри
капли, действующей на сечение.
F == F среды + Fнатяж'
Заменяя силы известными выражениями:
Р 'nR2 == Ра 'nR2 + а' 2nR,
находим, как и ожидалось:
20'
Р == Ра + R '
Производим вычисления:
Р == 750.133 + 2 '1 573 ::::: 1,14 .105 (Па).
Ответ: Р ::::: 1,14 .105 Па.
Разрезать каплю пополам было вовсе необяза
тельно. Можно было бы (мысленно) отсечь плоско
стью произвольный cerMeHT и сравнить давления в
точках А и В, снаружи и внутри капли (рис. 75).
Равновесие этоrо cerMeHTa обеспечивается теми
же силами, что и в задаче, только силы поверх
HOCTHoro натяжения, приложенные к разным участ
кам поrраничной окружности, направлены по об
Направление
действия F
А
.. .. . 1:
Направление
действия
F среды
Рис. 75
87
разующим конуса, как пока
З8НО на рисунке 75, и резуль
тирующую подсчитать чуть
сложнее. Она направлена по
оси конуса и равна сумме
проекций сил поверхностно
ro натяжения от отдельных
участков на эту ось.
Fна'rЯЖ == L(j lcoB 8.
О
Далее по уже пройденному пути:
Р .1tr 2 == Ра .ш. 2 + L(j lcoB 8;
О
Р 'Х,,2 == Ра "х,,2 + асов а L l;
о
Р "1tr 2 == Ра о 1tr 2 + асов 8" 21tr.
r
Учитывая, что сов а == п' получаем
2а
Р == Ра + R'
что и было получено ранее.
Этот расчет подсказывает, как найти высоту
поднятия (или опускания) жидкости в капилляре
(рис. 76), коrда краевой уrол 8 отличен от нуля.
Суммируя векторы сил поверхностноro натяжения
от отдельных участков rраничной линии, как это
делалось в предыдущем примере, получаем
1tdaCOB 8 == mg;
h == 4асов е
pgd .
J
Рис. 76
J
Поверхностное натяжение (J
некоторых жидкостей (20 ОС)
Вещество Н
(J
'м
Вода 0,072
Ртуть 0,470
Бензин 0,029
Мыльный раствор 0,045
Спирт 0.;022
8б
I УпражнеНJ1Я
8.1. Два сосуда первый с водой, второй с
ртутью помещены рядом, причем свободные по
верхности обеих ИДRостей находятся на одном
уровне. Две сте:клянные, достаточно длинные Ea
пиллярные труБОЧRИ с одинаRОВЫМИ внутренними
диаметрами d == 0,5 мм поrру ают веРТИRально
одну в воду (полное смачивание), друrую в ртуть
(абсолютное несмачивание). КаЕова разность ypOB
ней ИДRостей Дh внутри Rапилляров? Принять
g == 10 м/с 2 .
8.2. Колена U образной Rапиллярной стеRЛЯН
ной труБRИ имеют разные внутренние диаметры:
d 1 == 0,1 мм и d 2 == 0,2 мм. В труБRУ вводят HeEOTO
рое Rоличество бензина (полное смачивание). Ka
Еова будет разность уровней ИДRОСТИ в Rоленах
труБRИ? Принять g == 10 м/с 2 .
8.3. Найдите избыточное давление Др внутри
мыльноro ПУЗЫРЬRа диаметром d == 4 мм.
8.4. Найдите давление р внутри ПУЗЫРЬRа воз
духа диаметром d, находящеrося в воде на rлуби
не h. Атмосферное давление Ра'
8.5. СтеRЛЯННУЮ Rапиллярную веРТИRальную
труБRУ длиной l == 100 см, запаянную сверху, OT
ЕРЫТЫМ ЕОНЦОМ приводят В соприкосновение с по
верхностью воды (полное смачивание), в результате
чеrо ИДRОСТЬ поднимается по Rапилляру на BЫCO
ту h == 2,5 см. КlШов внутренний диаметр труБRИ,
если атмосферное давление Ра == 105 Па, плотность
воды р == 1000 Rr/M 3 , g == 10 м/с 2 ?
8.6. С помощью пипеТRИ надо наRапать 25 Ea
пель спиртовоrо раствора леRарства. КlШова дo
за леRарства D, если диаметр отверстия пипеТRИ
d == 0,5 мм, а диаметр mеЙRИ Rапли в момент OT
рыва d' == 0,8d? Принять g == 10 м/с 2 .
8.7. В воду поrру ают частично две верТИRаль
ные, параллельные друr друrу пластины. Зазор
89
между пластинами d 0,1 мм. На какую вь):Соту
h поднимется вода в зазоре при полном смачива
нии? Принять g 10 м/с 2 .
8.8. С какой силой F будут притяrиваться две
вертикальные, параллельные стеклянные плас
тины, если их частично поrрузить в воду? Ши
рина пластин 1, зазор между пластинами d,
поверхностное натяжение воды 0'. (Вода между
пластинами не поднимается до верхних краев
пластин. )
8.9. На rоризонтально закрепленную стеклян
ную пластину капнули капельку воды. На плас
тину сверху положили друrую стеклянную плас
тину. Между пластинами установился зазор d
0,01 мм. Дальнейшеrо уменьшения зазора не про-
исходит из за микросоринок, попавших между
стеклами. Площадь водяноrо пятна между пласти
нами S 10 см 2 . Какую перпендикулярную плас
тинам силу F следует приложить к верхней плас
тине, чтобы оторвать ее от нижней? Масса верхней
пластины m 200 r, g 10 м/с 2 .
8.10. Найдите поверхностную энерrию И:
а) капли ртути диаметром d 1 мм;
б) мыльноrо пузыря диаметром D 1 см.
8.11. Найдите приращение поверхностной энер
rии !'lU при слиянии трех капелек ртути с диа
метрами d 1 1,5 мм, d 2 1,0 мм и d з 0,5 мм.
Ответы
8.1. f:1h ::::: 8,5 СМ.
8.2. f:1h == : ( 1 2 )::::: 8,3 СМ.
8.3. др == 90 Па.
90
4а
8.4. Р Ра + pgh + d .
40"
8.5. d h 0,1 ММ.
P a l h + pgh
8.6. D 17,3 Mr.
8.7. h 14,4 мм.
2l0"2
8.8.F d 2'
pg
8.9. F 16,4 Н.
8.10. и рт 1,48' 1O 6 Дж, иМ. п 28,3 . 1O 6 Дж.
8.11. дu 1,26 . 1O 6 Дж.
ПЕРИОДИЧЕСКАЯ СИСТЕМА
t:{ r р у П П Ы
о t:{
:s:
ь:
Q) р.. 1 11 111 IV
1::
1 1 (Н)
II 2 Li 3 не 4 Б 5 С 6
6.830 0.0122 10.811 12.0111&
ЛИТИЙ ВеРИJШIIЙ Бор Уrперод
111 3 N а 22.ofo Mg 34. Аl 13 8i 14
36.081& 38.086
Натрий Мвrвий .AJlЮIUlИИЙ ICрем:ввй
4 К 19 Са 20 21 8с 22 тi
30.102 40.08 44.8116 41.80
IV Квлий Кальций Скандий Титва
5 29 Cu 30 Zn Ga 31 Ge 32
63.&46 66.31 60.12 12.50
Медь Цини rаллвl rерМaRИЙ
6 Rb 31 8r 38 39 У 40 Zr
86.41 81.6.2 88.906 91.22
V Рубидиll Строициll Иттриll Цирконий
7 fJ1.868 Ag 48 Cd In 49 8n 50
112.40 114,82 118.68
Серебро lCaДКВII Ив.дВЙ Олово
8 Св 55 Ба 56 J8.01 La. 12 Hf
182.906 181.34 118.40
УI Цванй ВapвIi Лввтва rафвий
9 .981 Au 80 Hg ТI 81 РЬ 82
200.68 204.81 201.10
Эo.пcm> ртуть Талл:8Й C811Bell
УН 10 Fr 81 Ra 88 1] Ас" 104 Rf
(22З] (226] (261)
Фракций Р..цнll АкТИНИЙ Ре...рфордий
j) :0.12 Се 0.8O r 4.24N d 1 1].Pт :O 86 8т :1 98 Eu :1.26Gd
Церий ПР8.3еОДIIII Нео.цвм: Пром:етий ёаМариll Европий rадОJlавий
-) 2.0з:rh =В.03 U :З1) N Р 4] Pu :.З] Аш 1 Ст
Торий )/"раи Нептуний IIлYтoниll Амервций юрий
92
ХИМИЧЕСКИХ ЭЛЕМЕНТОВ Д. И. МЕНДЕЛЕЕВА
V
N
Аэo-r
р эо.97 S
Фосфор
28
1Ю.942
Вавцдий
As 74.92 Se
Мышьяк Селен
::.906 Nb
Ниofjий
Sb 121
Сурьма
I .948 Та
TaвTВJI
Bi 208.:в
Висмут
t2 ) Db
Дубиий
VI
ЭЛЕМЕНТОВ
VIII
VII
Н 1.0079
Водород
7
14.0067
О 8 F 9
15.99114 18.11984
Кислород Фroр
16
82,064
Cl
v
Сера
24
51,996
Хлор
Cr
9a80 Мп
Марraиец
Не
rепий
Ne
Неои
17
86.463
Ar
Арroи
2
4.0026
Обозначение
8JlеNеИi&
Атомный
iO Mep
6'i8 I
Orн ситеJlЬНая
атомная масса
:'71 Ni
Никель
:g6,4 Pd
Палладий
I:6.09 pt
Пп8тина
110
65 ть 2,1Ю Dy 67 JlO 7.26 Er 69 ]'m a.o4 УЬ r:4 97 Lu
1611.924 168.98
Тербий Диспроеий l ьм:нй Эрбий 'J'yпий Иттербий Лютеций
;'iJ!, Bk : m 101 Md 102 No : 5 ) Lr
57) [26и
рклий рмий енделевий обелий Лоуренсий
::94 Мо
Молиr5ден
Те ш 1
Теллур Нод
I:З.86 W
Во.пьфрам
Ро [21
Половий
t2 ) Sg
Сиборmй
Хром
78 Br
Вром
] Те
Технеций
53
126.9<144
75
186.2
At
Астат
t ВЬ
БорнА
:847 Fe
Жепеэl')
35
79.904
Kr 36
83.80
Криптон
::1.07 Ru
Рутений
Хе 181
Ксенон
Re
76
190.2
Рений
85
[210)
Rn
Радон
t2 ) Нв
Хассий
10
20.179
I L'
ли й
18
.39,948
9азо Со
Кобальт
:g2,906 Rh
Родий
Os
Осмий
IJ2.2 Ir
Иридий
86
[222)
t2 ) Mt
Мейтиерий
93
ЗаВRСRМOCТIt давлении )
насыщенных паров воды от температуры
1,0
..
..
..
...
у
+- '"
+. 11 ..
I Z t+t:t :; н.. . +
r +.+++++ +--r+-f-- -+-'+ т
+ r +--+ 1 T l : : Ни
! . I L' ! ++ . +--++ fo +.
+--+ + +- +- ++
+ .+ +-++ .... -+- -т ... t .... r+--+ + .ц i -и-ц-- -++
. v ... + ++++.....-+-+ +-.... 1"+--+- +- +..........
.z , .. ....1'... +. .. +--+ 1"+ + +-+ +---+- + .t. +--+ t +--+
iI""1 ,'++-rl-.. ! .....+-+ t+.. +..... +
+ .....r++.+..... +... t.-t..... .
.... т
-t + +
t.. ..
.. ..
+ .. .. ..
р. кПв
6.0
5.0
4,0
3,0
2.0
о
10
20
30
t, "С
94
Содержание
Предисловие. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
Тема .м 1. Идеальный rаз. rрафическое
представление rазовых процессов . . . . . . . . . . . . 5
Упражнения. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . , . . . .. 10
Тема .м 2. rазовые законы. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 15
Упражнения. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 24
Тема .м 3. Кинетическая теория идеальноro rаза . . .. 29
Упражнения. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 38
Тема .м 4. Элементы термодинамики ........... 40
Упражнения. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 50
Тема .N2 5. Тепловые машины ................. 54
Упражнения. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 60
Тема .N2 6. Уравнение тепловоrо баланса. . . . . . . .. 63
Упражнения. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 69
Тема .м 7. Насыщенный пар. Влажность. . . . . . . .. 71
Упражнения. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 76
Тема .м 8. Поверхностное натяжение . . . . . . . . . .. 79
Упражнения. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 89
Учебное издание
Ромашкевич Александр Иосифович
ФИЗИКА. МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА.
ТЕРМОДИНАМИКА
10 класс
Учимся решать задачи
3ав. редакцией Е. Н. Тихонова
Ответственный редактор Л. Н. Коршунова
Оформление М. В. МандРЫICина
Художественный редактор М. В. М андРЫICина
Технический редактор Н. и. repaCUMoea
Компьютерная верстка А. В. МарICИН
Компьютерная rрафИК8 А А Нuфонтов
Корректор r. и. МОСЯICuна
Санитарно эпидемиолоrическое заключение
М 77.99.24.953.Д.006499.07.06 от 26.07.2006.
Подписано к печати 25.05.07. Формат 84 х 1081/.32'
Бумаrа типоrрафская. rарнйтура .Школьная.. Печать офсетная.
Уел. печ. л. 5,0. Тираж 3000 зкз. 3аказ М 7729.
000 ..Дрофа.. 127018, Москва, Сущевекий вал, 49.
Предложення и замечания по содержанию и оформлению
книrи просим .иаправлять в редакцию общеro образования
издательства .Дрофа.: 127018, Москва, а/я 79.
Тел.: (495) 795-05-41. Е-шаН: cblef@drofa.ru
По вопросам приобретения продукции
издательства ..Дрофа. обращаться по адресу:
127018,. Москва, Сущевекий вал, 49.
Тел.: (495) 795-05-50, 795-05-51. Факс: (495) 795-05-52.
Торrовый дом ..Школьник..
109172, Москва, ул. Малые Каменщики, д. 6, стр. lA.
Тел.: (495) 911 70-24, 912-15-16, 912-45-76.
Сеть маrазинов ..Переплетные птицы..
Тел.: (495) 912-45-76.
Интернет-маrазин: http://www .drofa.rи
Orпечатано с I'OТOBЬ!X диапозитивов в ОАО ордена ..Знак Почета.
..Смоленская областная типоrpафия им. В. и. Смирнова..
214000, r. Смоленск, проспект им. ю. raraрива, 2.
r
.
Предлаrаем вашему вниманию
учебное пособие по физике
«МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА.
ТЕРМОДИНАМИКА».
Эта книrа полезное
и необходимое дополнение
к учебно-методическому
комплекту под редакцией
r. Я. Мякишева.
Предлаrаемое пособие
включает:
. алrоритмы решения задач;
. примеры решения задач;
. упражнения;
. справочные материалы.
Все :tTO поможет учащимся
правильно и быстро решать
задачи.
,.
....
,
--
ISBN 978 5 358 03301 б .
111111111111 111111111111
..... ....
l 9785358 03301 б r
: ... .'
-
Dрофа