Текст
                    ,.....
I I
 
.
КnаССИllеский курс
]
...
......
:. '"1
..
.
J
....', " .
\ '-""
'.' I:'!"- d)v:, '1 1.. 1
.. . .,("'j', . .
't """'-3' '";' ) " .... J' ) 'W ,
' " , ,1' '"
\ ,(  , J ; ,...:. -'. ,,
'" 1 \. . ".... #.,
\ I I (, "\'\, I( H.,, .: !   
, '  !'...' '" 
 ,  ' 11 , ,.
.J
,
, I

 \ .
-......
\, 
r,
:
. 1
,
 \
I

ПРОСВЕЩЕНИЕ
и 3 Д А Т Е п ь с Т в о


) \ '" .. . 
J \   "  >1') , . . . tt . . . .   -. .... 4\, .,с .' ,.; " '" ... "   . .... "  . .,с .. . '" . .... .. ,в., , ..'  " . , .1" , ..... t) " , 1')'"  
r. я. Мякишев Б. Б. Буховцев Н. Н. Сотский I I . Учебник для 1 О класса общеобразовател ьн ых  учреждении Базовый и профильный уровни Под редакцией проф. В. И. Николаева проф. Н. А. Парфентьевой Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации 17e издание, перера60танное и дополненное Москва ( .Б-t. . .' «.I?в\еJ.!J.ение» ср, I.,"ii 1';,.QQl' .... 1 J . J\III, .' ...  (1, 1  t"ll l .....  
УДК 373.167.1:53 ББК 22.3я72 М99 Раздел «Механика» «(Кинематика», (,Динамика», «3a коны сохранения в механике» и «Статика») написан Н. Н. Сотским. Разделы (,Молекулярная физика. Тепловые явления» и (,Основы электродинамики» написаны Б. Б. Буховцевым и r. Я. Мяtсишевым. Приложение «Нобелевская премия» написано Н. А. Пар фентьевой. На учебник получены положительные заключения Poc сийской академии наук (N!! 101065215Л5 от 31.10.2007) и Российской академии образования (N 01216/5/7д от 11.10.2007) Обратите внимание! Параrрафы, номера которых напечатаны на цветном фоне,  для обязательноrо изучения. Параrрафы, номера которых в цветной paM ке,  для дополнительноrо чтения. Мякишев r. я. М99 Физика: учеб. для 10 кл. общеобразоват. учреж дений: базовыЙ и профил. уровни / r. я. Мякишев, Б. Б. Буховцев, Н. Н. СотскиЙ; под ред. В. И. Нико лаева, Н. А. Парфентьевой.  17e изд., перераб. и доп.  М.: Просвещение, 2008.  366 с. : ил.  ISBN 978509016873]. УДК 37:J.167.1:5:J ББК 22.:Jя72 ISBN 9785()9-016873 1 Издательство (.IIросвещенщ>, 2008 ,< Художественное оформление. Издательrтво (,Просвещение.), 2008 Вер прав<\ защищены 
ВВЕДЕНИЕ ФИЗИКА И ПОЗНАНИЕ МИРА Наука ДЛЯ всех. MHoro веков ДЛИТСЯ процесс познания окружающеrо мира. Оrромный труд был затрачен учены ми, и немалый труд предстоит затратить каждому молодо му человеку для Toro, чтобы усвоить основы современной науки. Они нужны не только учрному и инженеру, но и рабочему и трактористу. Все в большей и большей мере люди на работе, да и дома, управляют машинами и Mexa низмами. Чтобы понять, как они работают, нужно знать законы природы. Простые истины. Начиная с рождения, все мы за ДBa три rода усваиваем солидный курс физики  привыкаем к простым вещам и явлениям BOKpyr нас. Так, мы узнаем, что камень всеrда падает вниз на землю, что есть твердые предметы, о которые можно ушибиться, что оrонь может обжечь и т. д. Однако, как ни важны подобные знания, накапливае мые ребенком и взрослым человеком, они еще не образуют науку. Это частные правила, касающиеся отдельных явле ний. Они rоворят нам о том, что произойдет в обычных условиях, но не отвечают на вопрос: почему те или иные события вообще происходят и не MorYT ли эти события не наступить совсем? Они также не позволяют предсказать, что произойдет при друrих условиях. Людям необходимо понять окружающий мир, чтобы использовать ero законы для облеrчения труда, улучше ния условий жизни. Преобразование мира. Именно развитие наук о приро де дало в руки человека современную технику, и это при  вело к преобразованию окружающеrо нас мира. Основную роль сыrрала физика  важнейшая наука, изучающая ca мые rлубокие законы природы. Физика составляет фундамент rлавнейших направле ний техники. Строительная техника, rидротехника, тепло техника, электротехника и энерrетика, радиоэлектроника, светотехника, оrромная часть военной техники выросли на основе физики. Блаrодаря сознательному использова нию законов физики техника из области случайных Haxo док вышла на широкую дороrу целенаправленноrо разви  тия. Открывая законы природы, спрятанные под покровом бесконечно мноrообразноrо мира явлений, человек научил ся при менять их для своих целей, создавать то, чеrо ни 3 
коrда не было в самой природе. Было изобретено радио, по строены rромадные электрические машины, освобождена внутриядерная энерrия; человек вышел в космическое про странство. Физика и друrие науки. Физика  ЭlnО паука, запи мающаяся изучепием осповополаzающих и вместе с тем паиболее общих свойств окружающеzо пас материальпоzо мира. Поэтому понятия физики и ее за коны лежат в основе любоrо раздела естествознания. В настоящее время физика очень тесно связана с aCTpo номией, rеолоrией, химией. биолоrией и друrими eCTeCT венными науками. Она MHoroe объясняет в этих науках, предоставляет им мощные методы исследования. Научный метод. Какими же путями добывается науч ная истина? Несколько сотен лет назад были выработаны основы физическоrо метода исследования. Он состоит в следующем: опираясь на опыт, отыскивают количествен ные (формулируемые математически) законы природы; OT крытые законы проверяются практикой. Физические величины и их измерение. Исследование явлений начинается с их наблюдения. Но для Toro чтобы понять и описать происходящие события, ученые вводят целый ряд физических величин, таких как скорость, сила, давление, температура, электрический заряд и мноrие друrие. Каждой величине надо дать точное определение, в котором указывается, как эту величину можно изме рить, как провести необходимый для TaKoro измерения опыт. Чаще Bcero в определениях физических величин просто уточняют и придают количественную форму тому, что He посредственно воспринимается нашими орrанами чувств. Так вводят понятия силы, температуры и т. д. Есть, KO нечно, величины, которые не воспринимаются непосредст венно нашими орrанами чувств (например, электрический заряд). Но они выражаются через друrие величины, на KO торые орrаны чувств человека реаrируют. Так, электриче ский заряд определяется по силам взаимодействия между заряженными телами. Связи между физическими величинами. Чтобы из на  блюдений за физическими явлениями сделать общие BЫ воды, найти причины этих явлений, следует установить количественные зависимости между различными физиче скими величинами. Для этоrо необходимо специально из менять условия, в которых протекает данное явление. От непосредственноrо наблюдения за явлением надо перейти к физическому эксперименту. Если меняются все условия сразу, то трудно уловить какиелибо закономерности. Поэтому, про водя физиче ский эксперимент, стремятся проследить зависимость дaH 4 
ной величины от характера изменения каждоrо из усло вий В отдельности. Например, давление rаза зависит от ero массы, объема и температуры. Чтобы исследовать эту за висимость, надо сначала изучить, как влияет на давление изменение объема, коrда температура и масса остаются He изменными. Затем нужно проследить, как давление зави сит от температуры при постоянном объеме, и т. д. Теория. Изучая количественные связи между отдель ными величинами, можно выявить частные закономерно сти. На основе таких закономерностей развивают теорию явлений. Теория должна объяснять частные закономерно сти с общей точки зрения. Теория позволяет не только объяснять уже наблю давшиеся явления, но и предсказывать новые. Так, д. И. Менделеев на основе OTKpblToro им периодическоrо закона предсказал существование нескольких химических элементов, которые в то время не были известны. Анrлий ский физик Дж. Максвелл предсказал существование электромаrнитных волн и т. д. Законы природы и законы, опредеЛЯlOщие жизнь об щества. Любые изменения в природе подчиняются опре деленным законам. Движение тел описывается законами механики, распространение света законами оптики и т. д. Различие законов природы и, например, законов, опре деляющих жизнь общества, состоит прежде Bcero в том, что законы природы не изобретаются людьми, а OTKpЫBa ются в процессе исследования окружающеrо мира. Если «общественные»законы MorYT быть нарушены или OTMeHe ны, то нарушить или отменить законы природы не может никто! 
II МЕХАНИКА  1 ЧТО ТАКОЕ МЕХАНИI\:А Выделим среди великоrо множества процессов, проис ХОДЯIЦИХ В природе, Kpyr явлений, которые ИЗУЧRет Mexa ника. Первое, что бросается в rлаза при наблюдении окружа ющеrо IШС мира,  это ero изменчивость. Мир не являет ся заСТЫВIllИМ, статичным. Изменения в нрм весьма pa3HO образны. Но если спросить вас, какие изменения вы замечаете чаще Bcero, то ответ, пожалуЙ, будет однознач ным: меняется положение предметон (или тел, как rOBo рят физики) относительно земли и относительно друr дpy ra с течением времени. Бежит ли собака или мчится автомобиль  с ними происходит один и тот же процесс: их положение относительно земли меняется с течением времени. Они перемещаются. То же самое происходит с листьями деревьев в ветреную поrоду, падающими кап лями дождя, плывущими В небе облаками. Конечно, не любые изменения состоят в перемещении тел. Так, например, при охлаждении вода замерзает, пре вращаясь в лед. Но наиболее часто встречающиеся BOKpyr нас изменения  это изменения положениЙ тел относи тельно друr друrа. Изменение положения тела или частеЙ тела в простран стве относительно друrих тел с течением времени называ ется механическим движением. Определение механическоrо движения выrлядит про сто, но простота эта обманчива. Прочтите определенир еще раз и подумайте, все ли слова вам ясны: пpocтpaHcт во, вреJflЯ, относительно дрУlllХ тел. CI<opee Bcero, эти слова требуют пояснения. Пространство и время. Пространство и время  наибо лее общие понятия физики и... наименее ясные. Исчерпы ваюIЦИХ сведениЙ о пространстве и времени мы не имерм. Но и те результаты, которые получены сеrодня, изложить в самом начале И3УЧf'ния физики невозможно. На первых порах нам вполне достаточно уметь изме рять расстояние между двумя ТОЧI<ами пространства с по мощью линеЙки и интервалы времени с ПОМOIцью часов. Линейка и часы  важнеЙшие приспособления для изме рений в механике, да и в быту. С расстояниями и интерва лами времени приходится иметь дело при изучении всех школьных учебных предметов. 6 
«...Относите.'1ЬНО друrих тел». Если эта часть определе ния механическоrо движения ускользнула от вашеrо вни мания. то вы рискуете не понять caMoro rлавноrо. Так. Ha пример. в купе BaroHa на столике лежит яблоко. Во время отправления поезда двух наблюдателей (пассажира и про вожающеrо) просят ответить на вопрос: яблоко движется или нет? Каждый наблюдатель оценивает положение яблока по отношению к себе. Пассажир видит. что яблоко находится на расстоянии 1 м от Hero и это расстояние сохраняется с течением времени. Провожающий на перроне видит. как с течением времени расстояние от Hero до яблока увеличи  вается. Пассажир отвечает. что яблоко не совершает механиче cKoro движения  оно неподвижно; провожающий rOBo рит. что яблоко движется. Итак. одно и то же тело одновременно движется и не движется. Возможно ли такое? Соrласно определению Me ханическоrо движения все так и есть. Механика  наука об общих законах движения тел. Механическим движением называется перемещение тел или частей тел в пространстве относительно друr друrа с течением времени. 2 КЛАССИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА НЬЮТОНА И rp АНИЦЫ ЕЕ ПРИМЕНИМОСТИ Законы механики были сформулированы великим aHr лийским ученым И. Н ь ю т о н о м. На моrильной плите в Вестминстерском аббатстве в Лондоне высечены знаме нательные слова: Здесь покоится Сэр Исаак Ньютон. Который почти божественной силой cBoero ума Впервые объяснил С помощью cBoero математическоrо метода Движения и формы планет. Пути комет. приливы и отливы океана. Он первый исследовал разнообразие световых лучей И проистекающие отсюда особенности цветов. Которых до Toro времени никто даже не подозревал. Прилежный. проницательный и верный истолкователь Природы. древностей и Священноrо Писания. Он прославил  в своем учении всемоrущеrо Творца. Требуемую Еванrелием простоту он доказал своей жизнью. 7 
Исаак Ньютон (1642 1727)  rениальный анrлийский физик и математик, один из величайших ученых в истории человечества. Сформулировал основные законы и лонятия Mexa ники и открыл закон всемирноrо тяrотения. Он разработал также теорию движения небесных тел и впервые объяснил происхождение приливов и OT 4. ливов В океане. В оптике Ньютон открыл явление разложения белоrо света на цвета, объяснил их происхождение и др. Разработав метод математи ческоrо исследования природы, повлиял на все по следующее развитие физики. Пусть смертные радуются, что в их среде Жило такое украшение человеческоl'О рода. Родился 25 декабря 1642 1'. Умер 20 марта 1727 1'. На протяжении МНОI'ИХ лет ученые были уверены, что единственными основными (фундаментальными) законами природы являются законы механики Ньютона. Все БОl'ат ство и МНОl'ообразие мира считали результатом различий в движении первичных частиц, слаl'ающих все тела Bce ленной. Однако простая механическая картина мира OKa залась неправильной. При исследовании электромаl'НИТНЫХ явлений было дo казано, что они не подчиняются законам Ньютона. ДРУI'ОЙ великий анl'ЛИЙСКИЙ физик  Дж. Максвелл открыл HO вый тип фундаментальных законов. Это законы поведения электромаl'НИТНОI'О поля, несводимые к законам Ньютона. Было выяснено также, что законы Ньютона, как и лю бые ДРУl'ие законы природы, не являются абсолютно точ ными. Они хорошо описывают движение больших тел, если их скорость мала по сравнению со скоростью света. Механика, основанная на законах Ньютона, называет ся классической механикой. Для микроскопических частиц справедливы, как пра вило, законы квантовой механики. При движениях со CKO ростями, близкими к скорости света, тела обнаруживают свойства, о существовании которых Ньютон не подозре вал. Окружающие нас тела движутся сравнительно медлен но. Поэтому их движения подчиняются законам Ньютона. Таким образом, область применения классической механи ки очень обширна. И в этой области человечество всеl'да будет ПОЛЬЗ0ваться для описания любоl'О движения тела законами Ньютона. 8 
КИНЕМАТИКА rлава 1 КИНЕМАТИКА ТОЧКИ По характеру решаемых задач механику дe лят на ки1lематику и ди1lамику. В кинематике изучают движения тел, не pac сматривая причин, определяющих эти движения.  3 ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ И ТЕЛА Приступ им к изучению механическоrо движения. Че ловечеству понадобилось около двух тысяч лет, чтобы встать на верный путь, который завершился открытием законов механическоrо движения. Попытки древних философов объяснить причины дви жения, в том числе и механическоrо, были плодом чистой фантазии. Подобно тому, рассуждали они, как утомлен ный путник ускоряет шаrи по мере приближения к дому, падающий камень начинает двиrаться все быстрее и быст рее, приближаясь к материземле. Движения живых opra низмов, например кошки, казались в те времена rораздо более простым и и понятными, чем падение камня. Были, правда, и rениальные озарения. Так, rреческий философ AHaKcarop rоворил, что Луна, если бы не двиrалась, упала бы на Землю, как падает камень И3 пращи. Однако подлинное развитие науки о механическом дви жении началось с трудов великоrо итальянскоrо физика r. rалилея. Он первым понял, что для открытия законов механическоrо движения нужно сначала научиться опи сывать движение количественно (математически). Нельзя оrраничиваться простым наблюдением за движущимися телами; нужно ставить опыты для Toro, чтобы выяснить, по каким правилам происходит движение. Кинематика  это раздел механики, изучающий спо собы описания движений и связь между величинами, xa рактеризующими эти движения. Описать движение тела  это значит указать способ определения ero положения в пространстве в любой момент времени. Уже на первый взrляд задача описания кажется очень сложной. В самом деле, взrляните на клубящиеся облака, колышущиеся листья на ветке деррва. Представьте себе, Ka кое сложное движение совершают поршни автомобиля, мча щеrося по шоссе. Как же приступить к описанию движения? Самое простое (а начинать всеrда лучше с простоrо)  это научиться описывать движение точки. Под точкой можно пони мать, например, маленькую отметку, нанесенную на 9 
движущийся предмет  футбольный rЪ мяч (рис. 1.1), колесо трактора и т. д. Если мы будем знать, как происходит движение каждой такой точки (каждо ro очень маленькоrо участка) тела, то мы будем знать, как движется все тело. Но вначале не надо rнаться за особо точным описанием движения. Давайте примем за точку очень маленький пред Рис. 1.1 мет  маленький по сравнению с тем расстоянием, которое он проходит. Например, коrда вы rоворите, что пробежали на лыжах 10 км, то никто не станет уточнять, какая именно часть Ba шеrо тела преодолела расстояние в 10 км, хотя вы отнюдь не точка. В данном случае это не имеет скольконибудь существенноrо значения. Это очень важный момент. Коrда мы пытаемся описать события, происходящие в мире, то всеrда приходится при беrать к разноrо рода упрощениям действительности, т. е. к модели реальных явлений. Не имеет смысла претендо вать на абсолютную точность описания. Вопервых, она практически не нужна, а BOBTOpЫX, все равно она Heдo стижима во всей полноте. В дальнейшем, коrда мы будем rоворить о движении тела, то будем иметь ввиду, что условия ero движения Ta ковы, что ero можно считать точкой. Движение тел, которые мы можем считать точками  первая модель движения реальных тел.  4 ПОЛОЖЕНИЕ ТОЧКИ В ПРОСТРАНСТВЕ Чтобы решить задачу о движении тела, прежде Bcero надо уметь определять, или, что одно и то же, задавать, положение ero в пространстве. Как же определяют поло жение точки? Наблюдая за любым телом, мы замечаем, что ero поло жение в один и тот же момент времени относительно раз личных тел различно. Например, космический корабль, запущенный с космодрома Байконур, занимает совершен но различные положения относительно Земли, Луны и Солнца. Поэтому в данном случае обязательно надо YKa зать физическое тело, относительно KOmOpOlO задается положение aaHHOlO тела или же данной точки. Такое тело называют телом отсчета. Тело отсчета можно выбрать произвольно. Им может быть космодром, самолет, в котором мы летим, космиче ский корабль, Земля, Солнце, звезды и т. д. Но относи 10 
тельно различных точек тела отсчета положение любоrо друrоrо тела или точки тоже различно. Если, например, за тело отсчета принять 3емлю, '1'0 положение спутника 3eM ли относительно Москвы будет иным, Нf'жели относитель но космодрома Байконур. CTporo rоворя, мы должны YKa зать, относительно какой точки выбранноrо тела uтсчета задается положение данной точки или тела. Если тело отсчета выбрано, то относительно Hero поло жение точки можно задать с помощью коордиuат или pa диycвeKтopa. Выбор системы отсчета и системы коuрди нат должен быть разумным, чтобы описание движения тела выrлядело достаточно просто, но в то же время мы моrли бы ответить на все вопросы задачи. Рассмотрим эти два способа задания положения точки. 3адание положения точки с помощью координат. Из курса математики вы знаете, что положение точки на плоскости можно задать с помощью двух чисел, которые называю'rся координатами этой точки. Для этоrо, как из вестно, можно на плоскости провести две пересекающиеся взаимно перпендикулярные оси, например оси ОХ и ОУ. Точку пересечения осей называют началом координат, а сами оси  координатными осями. Координаты точки М 1 (рис. 1.2) равны Х 1 == 2, Уl == 4; кuординаты точки М 2 равны Х 2 == 2,5, У2 == 3,5. Положение точки М в пространстве относительно тела отсчета можно задать с помощью трех координат. Чтобы это сделать, необходимо через выбранную точку тела OT счета провести три взаимно перпендикулярные оси ОХ, ОУ, OZ. В полученной системе координат положение точ ки будет определяться тремя координатами х, у, z. Если число х положительно, то отрезок откладывается в положительном направлении оси ОХ (рис. 1.3) (х == ОА). Если же число х отрицательно, то отрезок откладывается в отрицательном направлении оси ОХ. Из конца этоrо OT резка проводят прямую, параллельную оси ОУ, и на этой прямой откладывают отрезок от оси ОХ, соответС'rвующий 5 4 Ml 3 1 2 1 3 :2  11 О 1 2 3 I I 2 I 3 M; 4 Рис. 1.1  х z D "- ,М z I I У С  I У 1/ .'В z х Рис. 1.] 11 
числу у (у == АВ)  в положитель ном направлении оси аУ, если число у положительно, и в отри цательном направлении оси аУ, если число у отрицательно. Далее из точки В друrоrо OT у резка проводят прямую, парал лельную оси OZ. На этой прямой от координатной плоскости )(ОУ откладывают отрезок, COOTBeTCT вующий числу z. Направление, в котором откладывают этот OT резок, определяют так же, как и в предыдущих случаях. Конец TpeTbero отрезка и есть та точка, положение KO торой задается координатами х, у, z. Чтобы определить координаты данной точки, необходи мо провести в обратной последовательности те операции, которые мы осуществляли, находя положение этой точки по ее координатам. Задание положения точки с помощью радиусвектора. Положение точки можно задать не только с помощью KOOp динат, но и с помощью радиусвектора. Радиусвектор  это направленный отрезок, проведенный из начала коорди нат в данную точку. ... Радиусвектор принято обозначать буквой r. Длина pa диусвектора, или, что одно и то же, ero модуль (рис. 1.4), есть расстояние от начала координат до точки М. Положение точки будет определено с помощью радиус вектора только в том случае, если известны ero модуль (длина) и направление в пространстве. Лишь при этом условии мы будем знать, в каком направлении от нача ла координат следует отложить отрезок длиной r, чтобы определить положение точки. Итак, положение точки в пространстве определяется ее координатами или ее радиусвектором. Модуль и направление любоrо вектора находят по ero проекциям на оси координат. Чтобы понять, как это дела ется, вначале необходимо ответить на вопрос: что понима ют под проекцией вектора на ось? Изобразим какуюлибо ось (рис. 1.5), например ось 0)(, Опустим из начала А и конца В вектора (; перпендику ляры на ось 0)(. Точки А 1 И В 1 есть проекции, соответственно, начала ... и конца вектора а на эту ось. Проекцией вектора (; на какуюлибо ось называется длина отрезка А 1 В 1 между проекциями начала и конца вектора на эту ось, взятая со знаком «+.) или «.). z м о Рис. 1.4 11 
Проекцию вектора мы будем обо значать той же буквой, что и BeK тор, но, вопервых, без стрелки над ней и, BOBTOpЫX, с индексом внизу, указывающим, на какую ось прое цируется вектор:. Так, ах и а"  про О екции вектора а на оси координат Р ОХ и ОУ. не. 1.5 Cor ласно определению проекции вектора на ось можно записать: ах == :t I А,В] 1. Проекция вектора на ось пред ставляет собой алrебраическую Be личину. Она выражается в тех же единицах, что и модуль вектора. Условимся считать проекцию Рне. 1.6 вектора на ось положительной, если от проекции начала вектора к проекции ero конца надо идти в положительном направлении оси проекций. В про тивном случае (см. рис. 1.5) она считается отрицательной. Из рисунков 1.5 и 1.6 нетрудно увидеть, что проекция вектора на ось будет положительной, коrда вектор COCTaB ляет острый уrол с направлением оси проекций, и отрица тельной, коrда вектор составляет с направлением оси про екций тупой уrол. а B: I A I I I I I I     В] А] Х о а :B A I I I I I I I . . .. А] В] Х Положение точки в пространстве можно задавать с по мощью координат или радиусвектора, соединяющеrо Ha чало координат и точку. [1J 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. Что называется телом отсчета! Какнмн способами можно задать положение точки! Как задают положение точки в пространстве с помощью KOOp динат! Что называется радиус-вектором! Что называется проекцией вектора на ось! Чему равна проекция вектора на ось, если вектор направлен так же, как и ось проекции! Чему равна проекция вектора на ось, если вектор направлен противоположно оси проекции! Чему равна проекция вектора на перпендикулярную к нему ось! 5 СПОСОБЫ ОПИСАНИЯ ДВИЖЕНИЯ. СИСТЕМА ОТСЧЕТА Если тело можно считать точкой, то для описания ero движения нужно научиться рассчитывать положение точ ки в любой момент времени относительно выбранноrо тела отсчета. 13 
Существует несколько способов описания, или, что одно и то же, задания, движения точки. Pac смотрим два из них, которые наи более часто применяются. Координатный способ. Будем х задавать положение точки с по мощью координат (рис. 1.7). Если точка движется, то ее координаты изменяются с течением времени. Так как координаты точки зави сят от времени, то можно сказать, что они являются функ циями времени. Математически это принято записывать в виде Уравнения (1.1) называют кинематическими уравнени ями движения точки, записанными в координатной фор ме. Если они известны, то для каждоrо момента времени мы сможем рассчитать координаты точки, а следователь но, и ее положение относительно выбранноrо тела отсчета. Вид уравнений (1.1) для каждоrо KOHKpeTHoro движения будет вполне определенным. Линия, по которой движется точка в пространстве, Ha зывается траекторией. В зависимости от формы траектории все движения точ  ки делятся на прямолинейные и криволинейные. Если Tpa екторией является прямая линия, движение точки называ ется пря.молинейНblМ, а если кривая  криволинейным. Векторный способ. Положение точки можно задать, как известно, и с помощью радиусвектора. При движении Ma териальной точки радиусвектор, определяющий ее поло жение, с течением времени изменяется (поворачивается и меняет длину; рис. 1.8), т. е. является функцией времени: ; == ; (t). (1.2) Последнее уравнение есть за кон движения точки, записанный в векторной форме. Если он изве стен, то мы можем для любоrо MO мента времени рассчитать радиус вектор точки, а значит, опреде лить ее положение. Таким обра зом, задание трех скалярных ypaB нений (1.1) равносильно заданию одноrо BeKTopHoro уравнения (1.2). у '.М y I I Х I Z :/  .    '..!' PIoIC. t.7 у PIoIC. t.8 t4 f х == х (t), l Y == у (t), z == z (t), (1.1) х 
Система отсчета. Движение любоrо тела есть движение uтносительное. Это значит, что движение данноrо тела MO жет быть совершеннu различным по отношению к друrим телам. Так, если для наблюдателя, находящеrося на палубе плывущеrо теплохода, какойнпбудь лежащий на ней предмет неподвижен, для наблюдателя, находящеrося на береrу, он движется. В безве'l'ренную поrоду капли дождя падают относи тельно земли по вертикальным линиям. Но относительно BaroHa, движущеrося равномерно и прямолинейно, эти же капли движутся по прямым, наклонным к вертикали. Если какоелибо тело находится в покое по отношению к Земле, то оно движется по отношению к Солнцу. Таким образом, изучая движение интересующеrо нас тела, мы обязательно должны указать, относительно KaKoro тела это движение рассматривается. Тело, относительно KOToporo рассматриваЕ'ТСЯ движе ние, называется телом отсчета. Чтобы рассчитать положение точки (тела) относительно выбранноrо тела отсчета в зависимости от времени, надо не только связать с ним систему координат, но и суметь измерить время. Время измеряют с помощью часов. COBpe менные часы  это сложные устройства. Они позволяют измерять время в секундах с точностью до тринадцатоrо знака после запятой. Естественно, ни одни механические часы такой точности обеспечить не MorYT. Так, самые точ ные в мире механические часы, циферблат которых мы можем каждый день видеть на телеэкране, в десять тысяч раз менее точны, чем rосударственный эталон времени. Если эталонные часы не корректировать, то на одну ce кунду они убеrут или отстанут за триста тысяч лет. По нятно, что В быту нет необходимости измерять время с очень большой точностью. Но для физических исследо ваний, космонавтики, rеодезии, радиоастрономии, управ лени я воздушным транспортом высокая точность в изме рении времени просто необходима. От точности измерения времени зависит точность, с которой мы сумеем рассчи тать положение тела в какой либо момент времени. Совокупность тела отсчета, связанной с ним системы KO ординат и часов называют СIIС темой отсчета. На рисунке 1.9 показана система отсчета, BЫ бранная для рассмотрения поле та брошенноrо мяча. В данном случаЕ' телом отсчета является дом, оси координат выбрлны Рис. f.9 !I'" ЕВ ЕВ у . c3 15 
так, что мяч летит в плоскости ХОУ, дЛЯ определения Bpe мени берется секундомер. Кинематические уравнения движения, записанные в KO ординатной или векторной форме, позволяют определить положение точки в любой момент времени.  6 ПЕРЕМЕЩЕНИЕ Пусть в какойто момент времени движущееся тело (точка) занимает положение М 1 (рис. 1.10, а). Как найти eI'o положение спустя некоторый промежуток времени после ЭТОI'О момента? Допустим, известно, что тело находится на расстоянии [ относительно CBOeI'O начальноI'О положения. Сможем ли мы в этом случае однозначно определить новое положение тела? Очевидно, нет, поскольку есть бесчисленное MHO жест во точек, которые удалены от точки М 1 на расстоя ние [. Чтобы однозначно определить новое положение тела, надо еще знать, в каком направлении от точки М 1 следует отложить отрезок длиной [. Таким образом, если известно положение тела в Ka който момент времени, то найти eI'o новое положение мож но с помощью направленноI'О отрезка определенной длины, который следует отложить от Ha чалЬНОI'О положения тела. Конец ЭТОI'О отрезка и будет задавать HO вое положение тела (рис. 1.10, б). Направленный отрезок, прове денный из начальноI'О положения тела в eI'o конечное положение, Ha зывается вектором перемещения или просто перемещением тела. Поскольку перемещение  Be личина векторная, то перемеще ние, показанное на рисунке 1.10, б,  можно обозначить М 1 М 2 . Покажем, что при векторном способе задания движения переме щение можно рассматривать как изменение радиусвектора движу щеI'ОСЯ тела. Пусть радиус вектор ;1 задает Х положение тела в момент Bpee-- ...... ..... ни t 1 , а радиус-вектор r 2 :t!!i'IQ мент времени t (рис. 1.11). Чтобы найти измененИf радиусвекторза . \ .7 М 1 l \М ..- , 1..- l  ..- . ,',l , ' , l ' , , . I . а) Рис. 1.10 у о z Рис. 1.11 16 б) , .. 
промежуток времени дt == t 2  t 1 , надо из конечноrо ero значения ;'2 вычесть начальное значение ;'1' Из рисун ка 1.11 видно, что перемещение, совершенное телом за промежуток времени дt, есть изменение ero радиус BeKTO ра за это время. Следовательно, обозначив изменение pa ....... -+ ..... --+ диусвектора через дr, можно записать: дr == r 2  r 1 . Модуль перемещения может быть не равен длине пути, пройденноrо точкой. Например, на рисунке 1.11 длина линии, соединяющей точки М 1 и М 2 больше модуля пере мещения: s > I д;' 1. Путь равен перемещению только в слу чае прямолинейноrо однонаправленноrо движения. Перемещение тела I д;' I  вектор, длина пути  CKa ляр, I д;' I  s. [1] t. Что называется перемещением ТОЧКИ! 1. В каком случае модуль перемещения точки за KaKoeTo время равен пути, пройденному ею за то же время! 7 СКОРОСТЬ Р ABHOMEPHOrO ПРЯМОЛИНЕйноrо ДВИЖЕНИЯ На уроках физики вы довольно подробно изучали paB номерное движение. Как вам известно, движение тела (точки) называется ранномерным, если оно за любые рав- ные промежутки времени проходит одинаконые пути. Равномерное движение может быть как криволиней ным, так и прямолинейным. Равномерное прямолинейное движение  самый простой вид движения. С Hero мы и начнем изучение движения в кинематике. Важной величиной, характеризующей движение тела, является ero скорость. Некоторое представление о скорости каждый из нас имел и до начала изучения физики. Черепа ха перемещается с малой скоростью, человек движется с большей скоростью, автомобиль движется быстрее чело- века, а самолет  еще быстрее. Самой большой скорости относительно Земли человек достиrает с помощью космиче ских ракет. Несмотря на то что слово CKOpOCTЬ давно стало для нас привычным, определить cTporo, что же такое скорость HepaBHoMepHoro движения тела, не так просто. rораздо п выяснить, что понимают под скоростью paBHOMep l;IoGIf hРЯМОfVJJtW.fюrо движения. lrr СРВlIмаiи:Л'Р 1 матривают скорость как векторную ве- r',Jtll:I!.l!;Т. А. э:.tfа . ает, что скорость можно считать извест  '''1-- ''' . .,--;- t7   . 
ной (заданноЙ) лишь в том случае, если известны ее модуль 11 lIаправ ление. Дадим uпределение скорuс'rп равномернOI'О прямолинеЙноrо дви жения точки. Пусть тело, двиrа . ясь равномерно и прямолинеЙно Х в течение промежутка времени дt, переходит из положения М 1 В по ложение M';l (рис. 1.12), совершив при этом перемещение д;. По.л.е --+ лим перемещение д,. на промежуток времени дt, в течение KOToporo это перемещение произошло. В реЗУЛЬ'l'ате полу чим вектор. (При делении вектора на число получаем BeK тор.) Этот вектор называют скоростью paBHoMepHoro пря молинейноrо движения точки и обозначают буквой {;. Следовательно, можно записать: у z Рис. 1.11  6.; V  6.t. (1.3) Скоростью paBHoMepHoro прямолинейноrо движения тела называется величина, равная отношению ero пере мещения к промежутку времени, в течение KOToporo это перемещение произошло. Так как промежуток времени дt  величина положи тельная, то скорость V направлена так же, как и переме --+ щение Дr. Выясним смысл модуля скорости 16.;1 v==bl. Модуль перемещения I д; I есть расстояние, пройденное телом за время дt. А так как тело движется равномерно, то модуль отношения, а значит, и модуль скорости v, есть величина, численно равная расстоянию, пройденному Te лом за единицу времени. Таким образом, если скорость paBHoMepHoro прямоли нейноrо движения тела задана как вектор, то мы знаем ero перемещение за единицу времени. 18 
8 УРАВНЕНИЕ Р ABHOMEPHOrO ПРЯМОЛИНЕйноrо ДВИЖЕНИЯ Получим уравнение равномеРIЮI'О прямолинейноrо дви  жения точки. Для этоrо воспользуемся определением CKO рости. Пусть радиусвектор ;0 задает положение точки в Ha  чальный момент времени t o ' а радиусвектор r  в момент времени t. ТОI'да I1t == t  t o , 11; == ;  ;0' и выражение для Если начальный нулю, то r  ro вид и == . t  t o момент времени t o принять равным скорости принимает Отсюда  r  ro и  t . I ; == ;0 + {;t .1 (1.4) Последнее уравнение и есть уравнение paBHoMepHoro прямолинейнOI'О движения точки, записанное в векторной форме. Оно позволяет найти радиусвектор точки при этом движении в любой момент времени, если известны CKO рость точки И радиусвектор, задающий ее положение в начальный момент времени. Вместо BeKTopHoro уравнения (1.4) можно записать три эквивалентных ему уравнения в проекциях на оси KOOp динат. Радиусвектор ; является суммой двух векторов: радиусвектора ;0 и вектора {;t. Следовательно, проекции  радиусвектора r на оси координат должны быть равны сумме проекций этих двух векторов на те же оси. Выберем оси координат так, чтобы тело двиrалось по какойлибо оси, например по оси ох. Тоrда векторы ;0 и {; будут составлять с осями ОУ и OZ прямой уrол. По этому их проекции на эти оси равны нулю. А значит, paB ны нулю в любой момент времени и проекции радиусвек тора; на оси ОУ и OZ. Так как проекции радиусвектора на координатные оси равны координатам ero конца, то r x == х и r ox == ХО' Поэтому в проекциях на ось ОХ уравнение (1.4) можно записать в виде I Х == ХО + их!. I (1.5) Уравнение (1.5) есть уравнение paBHoMepHoro прямоли нейноrо движения точки, записанное в координатной фор ме. Оно позволяет найти координату Х тела при этом дви t9 
Отметим, что, CTpOrO rоворя, paBHoMepHoro прямоли нейноrо движения не существует. Автомобиль на шоссе никоrда не едет абсолютно прямо, небольшие отклонения в ту ИЛИ иную сторону от прямой всеrда имеются. И значе ние скорости слеrка изменяется. Незначительная HepOB ность шоссе, порыв ветра, чутьчуть большее нажатие на педаль rаза и друrие причины вызывают небольшие изме нения скорости. Но приближенно на протяжении не слиш ком большоrо промежутка времени движение автомобиля можно считать равномерным и прямолинейным с ДOCTa точной для практических целей точностью. Таково одно из упрощений действительности, позволяющее без боль ших усилий описывать мноrие движения. rрафическое представление paHHoMepHoro прямолиней Horo движения. Полученные результаты можно изобразить наrлядно с помощью rрафиков. Особенно прост rрафик за висимости проекции скорости от времени (рис. 1.14). Это прямая, параллельная оси времени. Пло щадь прямоуrольника ОАВС, за штрихованная на рисунке, равна изменению координаты точки за время t. Ведь сторона ОА есть их, а сторона ОС  время движения t, поэтому ДХ == v xt. На рисунке 1.15 приведены примеры rрафиков зависимости координаты от времени для трех различных случаев paBHoMepHoro прямолинейноrо движения. Пря мая 1 соответствует случаю ХО == о, и х1 > о; прямая 2  случаю ХО < О, v х2 > О, а прямая 3  случаю Х() > о, и х :! < О. Уrол наклона а 2 прямой 2 больше, чем уrол накло на а 1 прямой 1. 3а один и тот же промежуток времени t 1 точка, дви у z v М 1 ............... О Х1 1 .. М 2 .  .I X 2 Х s Рис. 1.13 и х А в о Рис. 1.14  с t х о Хоз ХО2 Рис. 1.1 5 10 жении в любой момент времени, если известны проекция ero CKOpO сти на ось ОХ и ero начальная KO ордината хо' Путь в, пройденный точкой при движении вдоль оси ОХ (рис. 1.13), равен мод}'лю изменения ее коорди наты: в == I Х 2  х 1 1. Ero можно най ти, зная модуль скорост и v == I vxl: I в == I их! t == vt.1 (1.6) t 
жущаяся со скоростью и х2 , ПрОХОДИТ большее растояние, чем при движении ее со скоростью v хl' Во втором случае скорость и х больше, чем в первом. Скорость определяет уrол наклона прямой к оси t. Очевидно, скорость и х числен но равна TaHreHCY уrла а. В случае 3 аз < О, движение про ИСХОДИТ в сторону, противоположную оси ОХ. Получено уравнение прямолинейноrо paBHoMepHoro движения точки. rрафики зависимости и х (t) и х (t) позво ляют леrко проанализировать и сравнить движения. [1] t. Как записывается в векторной форме уравнение paBHOMep Horo прямолинейноrо движения точки! 1. Как записывается в координатной форме уравнение paBHO MepHoro прямолинейноrо движения точки, если она движется: по оси Оу! по оси Oz! ш ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ 1. Определите модуль и направление скорости точки, если при равномерном движении вдоль оси ОХ ее координата за Bpe мя t 1 == 4 с изменилась от Х 1 == 5 м дО Х2 == 3 м. Реш е н и е. Модуль и направление вектора можно най ти по ero проекциям на оси координат. Так как точка дви жется равномерно, то проекцию ее скорости на ось ОХ найдем по формуле Х 2  Х 1 3  5 и х == t 1 ; и х ==  м/с == 2 м/с. Отрицательный знак проекции скорости означает, что скорость точки направлена противоположно положи тельному направлению оси ОХ. Модуль скорости равен v == I их! == 12 м/с 1== 2 м/с. 2. И3 ПУНI<ТОВ А и В, расстояние между которыми [о == 20 км, одновременно начали двиrаться навстречу дру!' друrу paBHOMep но по прямому шоссе два автомобиля. Скорость первоrо aBTOMO биля и 1 == 50 км/ч, а скорость BToporo автомобиля и 2 == 60 км/ч. Определите положение автомобилей относительно пункта А спустя время t == 0,5 ч после начала движения и расстояние [ между автомобилями в этот момент времени. Определите пути 81 и 82' пройденные каждым автомобилем за время t. Решение. Примем пункт А за начало координат и направим координатную ось ОХ в сторону Рис. t.t6 1:1. ," ] о Х 1t 
пункта В (рис. 1.16). Движение автомобилеЙ будет описы ваться уравнениями Х\ == Х О1 + v\t, Х 2 == Х 02 + v 2x t. Так как первыЙ автомобиль движется в положитель ном направлении оси ОХ, а второЙ  в отрицательном, то и\х == и\, и 2х == и2' В соответствии с выбором начала KO ординат Х О1 == О, Х 02 == [о' Поэтому спустя время t X 1 == v\t == 50 км/ч . 0,5 ч == 25 км; Х 2 == [о  v 2 t == 20 км  60 км/ч . 0,5 ч == 10 км. ПервыЙ автомобиль будет находиться в точке С па pac стоянии 25 км от пункта А справа, а второй  в точке D на расстоянии 10 км слева. Расстояние между автомобилями будет равно модулю разности их координат: [== I Х 2  x\1 == == I  10 км  25 км I == 35 км. Пройденные пути равны: 8\ == v\t\  50 км/ч . 0,5 ч == 25 км, 82 == v 2 t 2 == 60 км/ч . 0,5 ч == 30 км.  УПРАЖНЕНИЕ 1 1. Точка движется равномерно и прямолинейно прuтивопо ложно положительному направлению оси ОХ. В начальный MO мент времени точка имела координату ХО == 12 м. Определите KO ординату точки спустя 6 с от начала отсчета времени, если модуль ее скорости равен и == 3 м/с. Чему равен путь, пройден ный точкой за это время? 2. На рисунке 1.17 изображен rpa фик зависимости координаты от вре- мени для точки, движущейся вдоль оси ОХ. Опишите движение точки в 9 t, с интервалах времени от О до 3 с, от 3 до 7 с и от 7 до 9 с. Пuстройте rрафи ки для модуля И проекции скорости в зависимости от времени. Начертите rрафик зависимости пути от времени. Х.М 2- Рис. 1.17  9 мrНОВЕННАЯ СКОРОСТЬ Ни одно тело не движется все время с постоянной CKO ростью. Троrаясь с места, автомобиль начинает двиrаться все быстрее и быстрее. Некоторое время он может двиrать ся равномерно или почти равномерно, но рано или поздно замедляет движение и останавливается. При этом он про ходит различные расстояния за одни и те же интервалы времени, т. е. движется неравномерно. 11 
Неравномерное движение MO жет быть как прямолинейным, так и криволинейным. Чтобы полностью описать He равномерное движение точки, надо знать ее положение и скорость в каждый момент времени. CKO рость в данныЙ момент времени называется мrновенной скоростью. Z Что же понимают под MrHoBeH ной скоростью? Пусть точка, двиrаясь HepaBHO мерно и криволинейно, в некоторый момент времени t занимает положение М (рис. 1.18). По прошествии BpeMe ни дt 1 от этоrо момента точка займет положение М l' co   вершив перемещение Дr]. Поделив вектор дr 1 на промежу ток времени дt \' найдем скорость TaKoro paBHoMepHoro прямолинейноrо движения, с которой должна была бы двиrаться точка, чтобы за время дt попасть из положе ния М в положение М l' Эту скорость называют средней скоростью перемещения точки за время дt l' Обозначив ее  t:.r\ через и ср \, запишем: и ср1 == . lJ.t] Найдем средние скорости за все меньшие и меньшие промежутки времени:  t:.r 2 и ср2 == t:.t 2 '   t:.r з и срз == ы. 3 у   Мз М l'1r з м , А  2 lJ.r 2 A М 1 lJ.r\ о х Рис. 1.18 При уменьшении промежутка времени дt перемещения точки уменьшаются по модулю и меняются по направле нию. Соответственно этому, средние скорости также меня ются как по модулю так и направлению. Но по мере при ближения промежутка времени дt к нулю средние CKOpO сти все меньше и меньше будут отличаться друr от друrа. А это означает, что при стремлении промежутка време- дr ни дt к нулю отношение  стремится к определенному Ы вектору как к своему предельному значению. В механике такую величину называют скоростью точки в данный MO мент времени, или просто мrновенной скоростью, и обозна  чают и. Мrновенная скорость точки есть величина, равная пре  делу отношения перемещения дr к промежутку време- ни дt, в течение KOToporo это перемещение произошло, при стремлении промежутка t!t к нулю. Выясним 'l'еперь, как направлен вектор мrновенной CKO рости. В любой точке траектории Bf'KTOp мrновенной CKO 13 
рости направлен так, как в пределе, при стремлении промежутка BpeMe ни дt к нулю, направлена средняя скорость перемещения. Эта средняя скорость направлена так, как Ha -+ правлен вектор перемещения дr. Из рисунка 1.18 видно, что при уменьшении промежутка времени -+ дt вектор дr, уменьшая свою длину, одновременно поворачивается. Чем короче становится вектор д;, тем ближе он к касательной, проведенной к траектории в данной точке М. Следовательно, мrновенная скорость направлена по касательной к траектории (см. рис. 1.18). В частности, скорость точки, движущейся по окружно сти, направлена по касательной к этой окружности. В этом нетрудно убедиться. Если маленькие частички отделяются от вращающеrося диска, то они летят по касательной, так как имеют в момент отрыва скорость, равную скорости TO чек на окружности диска. Бот почему rрязь изпод колес буксующей автомашины летит по касательной к окружно сти колес (рис. 1.19). Помимо средней скорости перемещения, для описания движения чаще пользуются средней путевой скоростью V cPs ' Эта средняя скорость определяется отношением пути к промежутку времени, за который этот путь пройден: s V cps = ('  ............. А( .. .... :h\". Рнс.1.19 (1.7) Коrда мы rоворим, что путь от Москвы до СанктПетер бурrа поезд прошел со скоростью 80 км/ч, мы имеем в виду именно среднюю путевую скорость движения поез да между этими rородами. Модуль средней скорости пере мещения при этом будет меньше средней путевой CKOpO сти, так как S > I д; 1. Понятие мrновенной скорости  одно из основных по нятий кинематики. Это понятие относится к точке. Поэто му в дальнейшем, rоворя о скорости движения тела, KOTO рое нельзя считать точкой, мы можем rоворить о скорости какойнибудь ero точки. [1] 1. 2. 3. 4. S. 14 Что называется средней скоростью перемещения! Что такое мrновенная скорость! Как направлена мrновенная скорость в данной точке траектории! Точка движется по криволинейной траектории так, что модуль ее скорости не нзменяется. Означает ли это. что скорость точ- ки постоянна! Что такое средняя путевая скорость! 
 10 СЛОЖЕНИЕ СКОРОСТЕЙ Пусть по реке плывет моторная лодка и нам известна ее скорость и] относительно воды, точнее, относительно си стемы отсчета К]7 движущейся вместе с водой. Такую систему отсчета можно связать, например, с мя чом, выпавшим из лодки и плывущим по течению. Если известна еще и скорость течения реки v относительно сис темы отсчета К 2 , связанной с береrом, т. е. скорость систе мы отсчета К] относительно системы отсчета К 2 . то можно определить скорость лодки 2 относительно береrа (рис. 1.20). За промежуток времени дt перемещения лодки и мяча относительно береrа равны Д;2 и Д; (рис. 1.20), а перемеще ние лодки относительно мяча равно Д;l" Из рисунка 1.21 видно, что Д;2 == Д;] + Д;. (1.8) Разделив левую и правую части уравнения (1.8) на дt, получим /':>.;2 /':>.;] д; + Ы  Ы ы. Учтем также, что отношения перемещений к интервалу времени равны скорост ям. Поэтом у I 2 == ] + .I (1.9) Скорости складываются rеометрически, как и все дpy rие векторы. Мы получили простой и замечательный результат, KO торый называется закоnом сложеnия скоростей: если тело движется отnосительnо пекоторой системы отс-ч,ета К] со скоростыо ;] и сама система oт с-ч,ета К] движется отnосительnо apyzou системы У2 У]  ,C'' 1'"  I......,, К] /f, н 02 Рис. 1.20 К2 Х 2  Рис. 1.21 н 
отсчета К 2 со скоростыо v. то скорость тела oт носительно второй системы отсчета равна zeo метрической сумме скоростей ;1 и ;. Закон сложения скоростей справедлив и для HepaBHoMepHoro движения. В этом случае складываются MrHoBeHHbIe скорости. Как и любое векторное уравнение. уравнение (1.9) преk ставляет собой компактную запись скалярных уравнений, в данном случае  для сложения проеюJ,ИЙ скоростей дви жения на плоскости: и 2х == и 1х + их, и 2у == и 1у + и у . (1.10) Проекции скоростей складываются алrебраически. Закон сложения скоростей позволяет определять CKO рость тела относительно разных систем отсчета. движу щихся относительно друr друrа. ш ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ 1. Два поезда движутся равномерно друr за друrом. CKO рость первоrо равна 80 км/ч. а скорость BToporo  60 км/ч. Определите скорость BToporo поезда относительно первоrо. Реш е н и е. Обозначим скорость первоrо поезда OTHO сительно Земли через V 1 , а скорость BToporo поезда  че рез V;l. Тоrда соrласно закону сло жения скоростей (1.9) иl .. (;2 == (; + (;1' vi ........... и 2 .  х .. rде и поезда сюда искомая скорость BToporo относительно первоrо. OT Рис. t.11 +  + V==V2VI. Это сложение скоростей поясняется на рисунке 1.22. Из рисунка видно, что скорость BToporo поезда относи тельно первоrо направлена в сторону, противоположную направлению движения поездов, и второй поезд удаляется от первоrо. Проекция скорости и на ось ОХ равна: иx == и 2  и 1 == 20 км/ч. 2. Скорость течения реки V == 1.5 м/с. Определите модуль ско- рости и 1 катера относительно воды. если катер движется перпен дикулярно к береrу со скоростью и2 == 2 м/с относительно Hero. 16 
Реш е н и е. Соrласно закону сло     жеlШЯ сн:оростей (1.9) и 2 == и 1 + и. Отсюда сн:орость катера относи теЛhНО воды и и2 О, "'J v  U 1 == и 2  и. ......:.=..:.  Векторное сложение скоростей v и и 2 показаllО на рисунке 1.23. Так IШК полученный треуrольник уrОЛhIlЫЙ, то и 1 == 2,5 м/с. Рис. t.13 скоростей прямо  УПР А)КНЕIIИЕ 2 1. Два автомобиля движутся равномерно по шоссе навстречу друr друrу. Модули их скоростей равны 36 км/ч и 20 м/с. Опре делите скорость первоrо автомобиля относительно BToporo и BTO poro  относительно первоrо. 2. По двум параллельным железнодорожным путям HaBCTpe чу друr друrу равномерно движутся два поезда со скоростями 72 км/ч IJ 102 км/ч. Длина первоrо поезда 900 м, BToporo  110 м. В течение ICRKoro времени один поезд пройдет мимо дpy roro?  11 7СКОРЕНИЕ При движении тел их скорости обычно меняются либо по модулю, либо по направлению, либо же одновременно как по модулю, так и по направлению. Тю\:, скорость шайбы, скользящей по льду, уменьшает ся с течением времени до полноЙ ее остановки. Если взять в руки l{aMeHb и разжать пальцы, то при падении камня ero скорость постепенно нарастает (рис. 1.24). Скорость любой точки окружности точильноrо Kpyra при неиз менном числе оборотов в единицу времени меняется толь ко по направлению, оставаясь постоянной по модулю (рис. 1.25). Если бросить камень под уrлом к rоризонту, то ero CI{OPOCTb будет меняться и по модулю, и по направ лению. Изменение скорости тела может происходить как очень быстро (движение пули в канале ствола при выстреле из винтовки), так и сравнительно медленно (движение поезда при ero отправлении). Чтобы уметь находить скорость в любой момент времени, необходимо ввести величину, xa 17 
 иl I I I I I I V 1 у t, м v Рис. 1.14 Рис. 1.15 о Рис. 1.16 х рактеризующую быстроту изменения скорости. Эту вели чину называют ускорением. Ускорение  еще одна важ нейшая физическая величина. Рассмотрим случай криволинейноrо и HepaBHoMepHoro движения точки. В этом случае ее скорость с течением времени изменяется как по модулю, так и по направле нию. Пусть в некоторый момент времени t точка занимает положение М и имеет скорость {;. По прошествии проме жутка времени дt 1 точка займет положение М 1 и будет иметь скорость {;l (рис. 1.26). Чтобы найти изменение CKO рости за время дt 1 надо из вектора {;l вычесть вектор {;. Д{;l == {;l  {;. Вычитание вектора {; можно произвести путем прибавления к вектору {;l вектора ({;): Д{;l == {;l  {; == {;l + ({;). Соrласно правил у сложения векторов, вектор измене   ния скорости ди 1 направлен из начала вектора и 1 в конец вектора ({;), как это показано на рисунке 1.27. Поделив вектор Д{;l на промежуток времени дtl' полу чим вектор, направленный так же, как и вектор измене ния скорости Д{;I. Этот вектор называют средним ускорени  у v ем точки за промежуток Bpe мени Д t 1. Обозначив ero че рез а срр запишем: V  иl а ср1 == ы' о х Найдем теперь средние ускорения точки за все MeHЬ Рис. 1.17 18 
шие и меньшие промежутки Bpe у мени: ди 2 а ср2 == ы' м U М 2   Ди 2 v  Ml  и\ 6и\ и При уменьшении промежутка  времени !1t вектор !1и уменьша ется по модулю и меняется по Ha правлению (рис. 1.28). COOTBeTCT венно средние ускорения также меняются по модулю и направле нию. Но при стремлении промежутка времени !1t к нулю отношение изменения скорости к изменению времени CTpe мится к определенному вектору как к своему предельному значению. В механике эту величину называют ускорением точки в данный момент времени, или просто ускорением, и обозначают С;. Ускорением тела называется предел отношения изме  нения скорости !1и к промежутку времени !1t, в течение KO Toporo это изменение произошло, при стремлении !1t к нулю. Ускорение направлено так, как в пределе, при стремле нии промежутка времени дt к нулю, направлен вектор из менения скорости д[;. в отличие от направления скорости, направление вектора ускорения нельзя определить, зная траекторию точки и направление движения точки по Tpa ектории. В дальнейшем на простых при мерах мы увидим, как можно определить направление ускорения тела при прямолинейном и криволинейном движениях. Пока же надо запомнить, что при данном направлении скорости ускорение может иметь любое направление. MorYT возникнуть вопросы: ведь может существовать движение с переменным ускорением? Не следует ли ввести величину, характеризующую быстроту изменения YCKope ния? Конечно, такую величину ввести можно, но обычно в этом нет необходимости. о х РI1С. 1.28 При движении скорость тел, как правило, изменяется. Знать быстроту ее изменения со временем, т. е. знать ускорение необходимо для вычисления скорости и опреде ления положения тела. ш 1. Что такое ускорен..е! 2. Куда направлено ускорен..е пр.. прямол"ненном дв..жен.... тела, есл.. модуль ero скорост.. увел"ч"вается! уменьшается! ]. Может л.. тело ..меть ускорен..е, есл.. ero скорость равна нулю! 29 
 12 ЕДИНИЦА УСКОРЕНИЯ Движение с ускорением можно разделить на два вида: движение с постоянным ускорением, коrда модуль и Ha правление вектора ускорения не меняются со временем, и движение с переменным ускорением, коrда ускорение со временем меняется. Движение с постоянным ускорением является наиболее простым движением с переменной скоростью. Можно при ближенно считать, что с постоянным ускорением движет ся автобус (или поезд) при отправлении в путь и при TOp можении, скользящая по льду шайба и т. д. Мы будем изучать в основном движение с постоянным ускоррнием. Если ускорение тела постоянно, то ОТНОшение измене ния скорости к интервалу времени, за которое это измене ние произошло, будет одним и тем же для любоrо интерва ла времени. Поэтому, обозначив через дt некоторый произвольный промежуток времени, а через д(;  измене ние скорости за этот промежуток, можно записать:  ди а ==ы' (1.11) Так как промежуток времени дt  величина положи  тельная, то И3 этой формулы следует, что если ускорение точки с течением времени не изменяется, то оно направ лено так же, как и вектор изменения скорости. Таким образом, если ускорение постоянно, то ero можно истол ковать как изменение скорости в единицу времени. Это позволяет установить еДИНИЦЫ модуля ускорения и ero проекций. Запишем выражение для модуля I а I == а == I I . ускорения: Отсюда следует, что модуль ускорения численно равен eди нице. если .за единицу времени модуль вектора изменения скорости и.1меняется на единицу. Если время измерено в секундах, а скорость  в MeT рах в сеКУНДУ, то 1 единица ускорения == 1 м/с 2 , т. е. YCKO рение выражается в метрах на секунду в квадрате. Если ускорение точки постоянно и ero модуль равен, например, 2 м/с 2 , ТО это означает, что за 1 с модуль BeKTO ра изменения скорости увеличивается на 2 м/с. Прямолинейное движение с постоянным ускорением, при котором модуль скорости увеличивается, называется равноускоренным движением, а прямолинейное движение с постоянным ускорением, при котором модуль скорости уменьшается, называется равнозамедленным. 30 
Понятие ускорения, кан: и понятие скорости, является одним из основных IIОНЯТИЙ кинематики. Если тело мож но считать точкой, то мы rоворим об ускорении тела. Если же формой и размерами тела пренебречь нельзя, то YCKO рРния различных точек тела MorYT отличаться. [1] 1. В каком случае ускорение тела считается постоянным! 1. Куда направлено ускорение тела при ero равноускоренном движении тела! при равнозамедленном движении! 3. В каких единицах измеряется модуль ускорения!  13 СКОРОСТЬ ПРИ ДВИЖЕНИИ С ПОСТОЯННЫМ УСКОРЕНИЕМ Выясним зависимости скорости точки от времени при ее движении с постоянным ускорением. Для этоrо восполь зуемся формулой 11'; a  ы' Пусть ;0  скорость точки в начальный момент BpeMe -+ ни t o ' а V  ее скорость в некоторый момент времени t. Тоrда Ы == t  t o , 11; == ;  V:, и формула для ускорения примет вид: v  и о а== t  t o Если начальный момент времени t o принять равным нулю, то получим v  и о а== t Отсюда l ; == ;0 + ;t.1 (1.12) Векторному уравнению (1.12) соответствуют в случае движения на плоскости два скалярных уравнения для проекций скорости на координатные оси Х и У: V x == V ox + axt, V y == V Oy + ayt. (1.13) Кан: видим, при движении с постоянным ускорением скорость со временем меняется по линейному закону. Итак, для определения скорости в произвольный MO мент времени надо знать начальную скорость V o и YCKope 31 
ние а. Начальную скорость нуж но измерить. Ускорение, как мы увидим в дальнейшем, определя ется действием на данное тело друrих тел и может быть вычис лено. Начальная скорость зави- сит не от Toro, как действуют на t, с данное тело друrие тела в pac сматриваемый момент времени, а от Toro, что происходило с Te лом в предшествующие моменты времени. Например, начальная скорость падающеrо камня зависит от Toro, выпустили ero из рук или же бросили, совершив некоторое усилие. Ускорение же, наоборот, не зависит от Toro, что проис ходило с телом в предыдущие моменты, а зависит лишь от действия на Hero друrих тел в данный момент времени. Зависимость проекции скорости от времени можно изобразить наrлядно с помощью rрафика. Если начальная скорость равна нулю, то rрафик зави симости проекции скорости на ось Х от времени имеет вид прямой, выходящей из начала координат. На рисунке 1.29 представлен этот rрафик в виде прямой 1 для случая ах> О. По этому rрафику можно найти проекцию YCKope ния на ось Х: Vx. м/с 30 Рис. 1.19 v а ==..2:.. . х t' 30 м / с а х == 5с ==6м/с 2 . Чем больше ах, тем больший уrол а с осью времени COCTaB ляет rрафик проекции скорости. Такая зависимость CKOpO сти от времени наблюдается при падении тела, покоивше rося в начальный момент времени, с некоторой высоты или при движении автомобиля, троrающеrося с места. Если начальная скорость отлична от нуля и тело движет ся с ббльшим ускорением, то rрафик зависимости проек ции скорости от времени имеет вид прямой 2 (см. рис. 1.29). В случае отрицательноrо ускорения (равнозамедленное движение) с той же начальной скоростью rрафик зависи мости и х от времени имеет вид прямой 3. Обратим внима ние на то, что так как уrлы а 2 и аз по модулю равны, то равны по модулю проекции ускорения: I а х2 1 == I а хз l. Мы научились, таким образом, находить скорость Ma териальной точки при движении с постоянным YCKope нием. 31 
 14 ДВИЖЕНИЕ С ПОСТОЯННЫМ УСКОРЕНИЕМ Теперь получим уравнения, которые позволяют рассчи тывать для этоrо движения положение точки в любой MO мент времени. Допустим, движение с постоянным ускорением COBep шается в одной плоскости, пусть это будет плоскость ХОУ. Если вектор начальной скорости и вектор ускорения не ле жат на одной прямой, то точка будет двиrаться по кривой линии. Следовательно, в этом случае с течением времени будут изменяться обе ее координаты Х и у. Обозначим че рез ХО и Уо координаты в начальный момент времени t o == О, а через Х и у координаты в момент времени t. Тоrда за время t1t == t  t o == t изменения координат будут равны t1x == Х  ХО и t1y == У  Уо. Значит, для нахождения положения точки в любой MO мент времени надо знать ее начальные координаты и уметь находить изменения координат t1x и t1y за время движения. В случае движения, при котором проекция скорости из меняется со временем (рис. 1.30), величину t1x, за время t, можно найти следующим образом. Из  8 мы знаем, что при равномерном движении изме нение координаты точки за время t1t можно определить на rрафике зависимости V х (t) по площади прямоуrольника. На рисунке 1.30 длина отрезка ОС численно равна времени движения. Разделим ero на малые интервалы t1t, в преде лах которых проекцию скорости можно считать постоянной и paB ной ее среднему значению. Pac смотрим интервал t1tl" Тоrда t1X i == V, cpt1t" и соответственно пло щадь заштрихованноrо прямоуrольника численно равна изменению координаты точки за время t1t 1 . Сумма всех Ta ких площадей численно равна изменению координаты точ ки за время t. Чем меньше интервал t1t, тем точнее будет результат. При стремлении t1t к нулю площадь фиrуры АВСО будет стремиться к изменению координаты тела t1x. В случае paBHoycKopeHHoro движения изменение KOOp динаты тела t1x численно равно площади трапеции АВСО. Длины оснований О А и ВС этой трапеции численно равны проекциям начальной и конечной скоростей, а длина BЫ соты ОС  времени движения. Отсюда Х == ХО + t1x, у == Уо + t1y. 2фiIJlt....... IOKl (1.14) V x в V cpl А о I1t, с t Рис. 1.30 33 
По формуле для площади трапеции имеем и ох + и х /1х== 2 t. Учитывая, что и х == и ох + axt, получаем и ох + и ох + axt a x t 2 /1х == 2 t == voxt +. Мы рассмотрели случай, коrда и ох > О и ах > о. Но полу ченная формула справедлива и тоrда, коrда одна из этих величин отрицательна или коrда обе они отрицательны. Изменение координаты /1у можно найти таким же спо собом, и оно имеет аналоrичный вид а t 2 /1у == VOyt + т. Подставив найденные значения изменения координат /1х и /1у в формулы (1.14), получим выражения для KOOp динат при движении с постоянным ускорением как функ ции времени (их называют кинематическими уравнения ми движения): а t 2 Х == хо + voxt + т' а t 2 у У == Уо + VOyt + . (1.15) Эти формулы применимы для описания как прямоли нейноrо, так и криволинейноrо движения точки. Важно лишь, чтобы ускорение было постоянным. Обычно в условиях задачи даются значения (модули) скоростей и ускорений. Поэтому удобнее, например, при движении точки по оси ОХ использовать уравнение at 2 х == хо:!:: vot :!:: 2' rде и о и а  модули начальной скорости и ускорения. Очевидно, что в этом уравнении знак «+» берется тоrда, коrда направления скорости и о и ускорения а совпадают с направлением оси ОХ, знак «»  коrда они направле ны в противоположную сторону. При движении точки в плоскости ХОУ двум уравнени ям (1.15) соответствует одно векторное уравнение ...... ..... ...... {;t 2 r == r о + vot + 2' (1.16) Обратите внимание на то, что с помощью формул (1.15) и (1.16) можно найти только положение движущейся точ 34 
ки В любой момент времени. Для нахождения пути необ ходимо более подробно исследовать траекторию, опреде лить точки, в которых, возможно, произошло изменение направления движения. Полученные уравнения, совместно с формулами для проекций скорости (1.13), позволяют решать любую зада чу о движении с постоянным ускорением. ш ПРИ МЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ 1. Ударом клюшки хоккейной шайбе сообщили скорость и о == 20 м/с. Через время t == 2 с скорость шайбы, движущейся прямолинейно, стала равна 16 м/с. Определите ускорение шай бы, считая ero постоянным. Реш е н и е. Выберем оси KOOp динат так, чтобы движение шайбы происходило вдоль какойнибудь координатной оси, например вдоль оси ОХ. За положительное направ ление оси ОХ примем направление вектора начальной CKO рости (рис. 1.31). Из определения ускорения следует: а == v  и о == 16 м/с  20 м/с == 2 м/с. х t 2 с I ""i I  . I .. О ио  .  х Рис. 1.31 Знак .. в конечном результате означает, что вектор ускорения направлен в сторону, противоположную поло жительному направлению оси ох. Модуль же ускорения равен а == I ах I == 2 м/с 2 == 2 м/с 2 . 2. Перекрытие между первым и вторым этажами здания лифт проходил со скоростью и о == 4 м/с. Далее он поднимался с постоянным ускорением а == 2 м/с 2 , направленным ВНИ3. Через время t 1 == 2 с лифт остановился. Высота h каждоrо этажа paB на 4 м. На какой высоте Н, считая от пола первоrо этажа, OCTa новился лифт? Реш е н и е. Совместим начало координат с полом пер Boro этажа и направим одну из координатных осей, напри мер ось ОУ, вертикально вверх. Так как ускорение лифта постоянно, то ero движение будет описываться кинемати а t 2 у ческим уравнением У == Уо + VOyt + 2""". При выбранных начале координат и положительном Ha правлении оси ОУ Уо == h, V Oy == v o ' ау == a, У == Н. Поэтому at 2 2 м/с 2 .4 с 2 Н == h + vot  2; н == 4 м + 4 м/с. 2 с  2 == 8 м. 35 
 УПРАЖНЕНИЕ 3 1. Тело движется вдоль координатной оси ОХ. Направления начальной скорости и ускорения совпадают с положительным направлением оси, а их модули равны и о = 4 м/с, а == 2 м/с 2 . Определите скорость через 4 с от начала отсчета времени. 2. в точке с координатой ХО == 10 м тело имело скорость ио == 20 м/с, направленную противоположно положительному Ha правлению оси ОХ. Ускорение тела направлено противоположно вектору начальной скорости, а ero модуль равен 10 м/с 2 . Опреде лите координату тела в моменты времени 1, 2, 3, 4 с от начала отсчета. 3. Два мотоциклиста выезжают одновременно из двух пунк тов навстречу друr друrу. Один из них спускается paBHOYCKopeH но с rоры, имея начальную скорость 36 км/ч и ускорение 2 м/с 2 . Друrой равнозамедленно поднимается в ropy с начальной CKOpO стью 72 км/ч и с тем же по модулю ускорением. Первоначальное расстояние между мотоциклистами равно 300 м. Через сколько времени они встретятся?  15 СВОБОДНОЕ ПАДЕНИЕ ТЕЛ Рассмотрим теперь одно часто встречающееся движе ние с постоянным ускорением, которое называется свобод ным падением тел. Это движение опытным путем изучал великий итальянский ученый r а л и л е о r а л и л е й. Каждый из нас наблюдал, что при падении тела на Зем лю из состояния покоя оно увеличивает свою скорость, т. е. движется с ускорением. Это ускорение сообщает ему земной шар. Долrое время считали, что Земля сообщает разным телам различные ускорения. Простые наблюдения ro<  \ ranHneo rапнпей (15641642)  великий итальянский физик и aCTpo ном, впервые применивший экспериментальный Me тод исследования в науке. rалилей открыл принцип относительности, ввел понятие инерции, исследовал законы падения тел и движения тел по наклонной плоскости, предложил применять маятник для изме рения времени. Впервые в истории человечества с помощью изrотовленной им зрительной трубы r a лилей открыл ropbI на Луне, спутники Юпитера, звез дное строение Млечноrо Пути, пятна на Солнце, фазы Венеры. r алилей развил запрещенное в те времена церковью учение Коперника о движении Земли, за что в 1633 r. был осужден римским католическим судом. При rOBop был отменен Ватиканом 350 лет спустя. 36 
как будто подтверждают это. Напри мер, птичье перо или лист бумаrи пада ют rораздо медленнее, чем камень. Вот почему со времен А р и с т о т е л я (rpe ческоrо ученоrо, жившеrо в IV в. до н. э.) считалось незыблемым мнение, что ускорение, сообщаемое Землей телу, тем больше, чем тяжелее тело. Только rалилею в конце XVI в. yдa лось опытным путем доказать, что в действительности это не так. Нуж но учитывать сопротивление воздуха. Именно оно искажает картину своБОk Horo падения тел, которую можно было бы наблюдать в отсутствие земной aT мосферы. Наблюдая падение различных тел (пушечное ядро, мушкетная пуля и т. д.) со знаменитой наклонной Пизанской ( 1 32) r u Рис. _.]1 башни рис. . , алилеи доказал, что земной шар сообщает всем телам одно и то же YCKope ние. Все тела достиrали поверхности Земли примерно за одно и то же время. Особенно прост и убедителен опыт, проведенный впер вые Ньютоном (рис. 1.33). В стеклянную трубку помеща ют различные предметы: дробинки, кусочки пробки, пу шинки И т. д. Если перевернуть трубку так, чтобы эти предметы моrли падать, то быстрее Bcero упадет дробинка, за ней  кусочек пробки и, наконец, плавно опустится пушинка. Но если выкачать из трубки воздух, то мы уви дим, что все три тела упадут одновременно. Значит, дви жение пушинки задерживалось ранее сопротивлением воз духа, которое в меньшей степени сказывалось на движении, например, пробки. Коrда же на эти тела дейст вует только притяжение к Земле, то все они падают с oд ним и тем же ускорением. Конечно, на основании данноrо опыта еще нельзя утверждать, что ускорение всех тел под действием притяжения Земли cTporo одинаково. Но и более точные опыты, проведен ные с помощью самой совершенной современной экспериментальной Tex ники, дают те же результаты. Если сопротивление воздуха OTCYT ствует, то вблизи поверхности Земли ускорение падающеrо тела постоянно. Этот факт впервые был установлен r. rалилеем. Движение тела только Рис. _.]] ё .. , fQo fI о 37 
под влиянием притяжения ero к Земле называют свобод ным падением. Соответственно этому, и ускорение, сообщаемое Землей всем телам, называют ускорением свободноrо падения. Оно всеrда направлено вертикально вниз. Ero принято обо -+ значать g. Свободное падение  это не обязательно движение вниз. Если начальная скорость направлена вверх, то тело при свободном падении некоторое время будет лететь вверх, уменьшая свою скорость, и лишь затем начнет падать. Ускорение свободноrо падения изменяется в зависимо сти от rеоrрафической широты места на поверхности Земли и от высоты тела над Землей, точнее, от расстояния до цeH тра Земли. На широте Москвы измерения дают следую щее значение ускорения свободноrо падения: g::::: 9,82 м/с 2 . Вообще же на поверхности Земли g меняется в пределах от 9,78 м/с 2 на экваторе до 9,83 м/с 2 на полюсе. Если подняться на 1 км над уровнем моря, то YCKope ние свободноrо падения уменьшится примерно на 0,00032 CBoero значения в данном месте Земли. На высоте 100 км над полюсом Земли оно примерно равно 9,53 м/с 2 . При падении тел в воздухе на их движение влияет co противление воздуха. Поэтому ускорение тел не равно g. Но коrда движутся сравнительно массивные тела с неболь шими скоростями (камень, спортивное ядро и т. д.), co противление воздуха влияет на их движение незначитель но. В этом случае движение тел можно рассматривать как свободное падение. Лишь при больших скоростях (снаряд, пуля и т. д.) сопротивление воздуха становится существен ным. Для леrких тел типа пушинки сопротивление возду ха существенно и при малых скоростях. Свободное падение  движение тела под действием силы притяжения к Земле.  16 ДВИЖЕНИЕ С ПОСТОЯННЫМ УСКОРЕНИЕМ СВОБодноrо ПАДЕНИЯ При изучении свободноrо падения тел мы будем pac сматривать только такие движения, при которых YCKope ние свободноrо падения постоянно, т. е. сопротивление воздуха можно не учитывать. Эти движения будут описываться известными нам ки нематическими уравнениями (1.13) и (1.15). Движение с постоянным ускорением может быть как прямолинейным, так и криволинейным. :Коrда начальная скорость точки равна нулю или же направлена вдоль той 38 
же прямой, что и ускорение, то точ ка движется прямолинейно вдоль этой прямой. Если начальная CKO рость и ускорение не направлены по одной прямой, точка движется кри волинейно. Ускорение свободноrо падения направлено вертикально вниз. По этому тело движется прямолинейно, если ero начальная скорость равна нулю или направлена вдоль верти кали (рис. 1.34). В противном слу чае траектория тела будет криволи нейной. С движением тел, получивших начальную скорость под уrлом к у ускорению свободноrо падения, при ходится встречаться довольно часто. Например: снаряд, выпущенный под уrлом к rоризонту; ядро, которое толкнул спортсмен. Найдем траекторию тела, бро шенноrо под уrлом к rоризонту, при условии, что на всем пути ero дви О жения ускорение свободноrо паде ния остается постоянным. Пусть из точки О брошено тело с начальной -+ скоростью и о под уrлом а к rоризон Рис. 1.35 ту (рис. 1.35). Выберем оси коорди нат так, чтобы векторы (;0 и i были расположены в какой либо координатной плоскости, например в плоскости ХОУ. Ось ОХ направим rоризонтально, а ось ОУ  вертикально вверх. Начало координат выберем в точке бросания. Так как ускорение свободноrо падения с течением Bpe мени не меняется, то движение тела в данном случае, как и любое движение с постоянным ускорением, можно опи сать уравнениями а t 2 Х == Хо + voxt + Т' а t 2 у У == Уо + и о / + ---Т. у у у Vo 1;o о t g I  I Vo I I g I I I I I / / Рис. 1.34 Vo х g (1.17) (1.18) При выбранном начале координат Хо == О и Уо == о. Про екцию вектора на какуюлибо ось можно выразить через модуль вектора и косинус уrла, который этот вектор обра зует с положительным направлением оси. Из рисунка 1.35 Видно, что и ох == и о cos а, и оу == и о cos (900  а) == и о sin а, 39 
ах == о и ау == g. Поэтому уравнения (1.17) и (1.18) можно записать в виде х == и о cos а . t, . gt 2 У == и о sш а . t  2. (1.19) (1.20) Для построения траектории тела можно найти из ypaB нений (1.19) и (1.20) значения координат х и у для различ ных моментов времени, а затем по координатам построить точки и соединить их плавной линией. Однако удобнее найти уравнение траектории, т. е. зави симость у от х. Чтобы получить это уравнение, нужно иск лючить время из уравнений (1.19) и (1.20). х Из уравнения (1.19) имеем t == . Следовательно, и о cos а и о sin а gx 2 у==х  и о cos а 2и cos 2 а == х tg а  2 g 2 х 2 . 2и о cos а g Введем обозначения: tg а == с и  2 2 == Ь. Тоrда 2и о cos а у == Ьх 2 + сх. (1.21) Из курса алrебры известно, что rрафиком функции (1.21) является парабола, ось симметрии которой  пря мая, параллельная оси У. Поскольку в данном случае Ь < О, то ветви параболы направлены вниз. На рисунке 1.36 изоб ражена парабола для случая Ь == O,2 Ml и с == 1,6. Итак, мы доказали, что если ускорение свободноrо падения по стоянно, то тело, брошенное под уrлом к rоризонту, дви жется по параболе. Теперь выясним, какой будет траектория тела, если ero начальная скорость направлена rоризонтально. у O ио " 4 g h и2 х g и4 z Рис. 1.36 Рис. 1.37 40 
Из рисунка 1.36 видно, что, Ha чиная с Toro момента, коrда CKO рость тела rоризонтальна, оно дви жется по ветви параболы. Следо вательно, любое тело, брошенное rоризонтально, будет двиrаться по одной из ветвей параболы, вершина М которой находится в точке броса ljP ния (рис. 1.37). РИС. _.38 Наrлядное представление о Tpa ектории тела, брошенноrо rоризонтально или под уrлом к rоризонту, можно получить на простом опыте (рис. 1.38). Так как каждая частица воды движется по па раболе, то струи воды имеют форму параболы. В этом леr ко убедиться, поставив за струей экран с заранее вычер ченной параболой. При определенной скорости истечения воды струя будет располаrаться вдоль вычерченной пара болы. Мы получили формулы, позволяющие определить по ложение тела, брошенноrо под yr лом к rоризонту и дви  жущеrося под действием силы тяжести в любой момент времени. 1. С балкона из точки О бросили мяч вертикально вверх со скоростью и о == 9 м/с. Определите положение мяча относитель но точки О и ero скорость спустя время t 1 == 2 с от момента бросания. Сопротивление воздуха не учиты вайте. Реш е н и е. Поскольку сопротивление возду ха не учитывается, то движение мяча можно считать свободным падением. В данном случае векторы [;0 и g лежат на одной прямой. Следо вательно, мяч будет двиrаться вдоль той же пря мой. Примем за начало координат точку О бро сани я мяча, ось У направим вертикально вверх (рис. 1.39). Тоrда движение мяча будет описы ваться кинематическим уравнением а t 2 у У == Уо + и о / + . ш ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ gt 2 Так как Уо == О, и оу == и о и ау == g, то У == vot  т. :, ио о  g М 1 иl РИС. t .39 4. 
В момент времени t 1 == 2 с 9,8  . 4 с 2 М с 2 y==9.2c 2 ==1,6M. Чтобы определить модуль и направление вектора CKO -+ рости и р найдем ero проекцию на ось У по формуле и у == и оу + а/. При выбранном направлении оси У послед нюю формулу можно записать так: и у == и о  gt. Поэтому м М 2 м 11 м м и 1у == 9   9,8 """2. с == 10,6 ; и 1у == и 1 == 10,6   11 . с с с с с Отрицательный знак проекции скорости означает, что в конце второй секунды скорость мяча направлена противо положно положительному направлению оси У, т. е. вниз. 2. Из точки А брошен I'оризонтально шарик со скоростью и о == 8 м/с. Определите положение шарика относительно точки О через t == 1,5 с от начала ero движения. Точки А и О находятся на одной вертикали на расстоянии 5 м друr от друrа. Сопротив лением воздуха можно пренебречь. . Реш е н и е. Выберем оси координат так, чтобы BeKTO -+ -+ ры и о И g лежали в одной координатной плоскости, напри мер в плоскости ХОУ. Так как сопротивление воздуха не учитывается и начальная скорость шарика направлена rоризонтально, то он будет двиrаться в плоскости ХОУ по параболе, вершина которой находится в точке броса ния. Поскольку надо найти положение шарика относи тельно точки О, то за начало координат возьмем эту точку. Ось ОХ направим rоризонтально, ось ОУ  вертикально вверх (рис. 1.40). В этом случае движение шарика будет описываться кинематическими Х уравнениями a x t 2 Х == Хо + voxt + , а t 2 у У == Уо + и о / +. При сделанном выборе начала KOOp динат и направлений осей ОХ и ОУ имеем: Хо == О, Уо == 10A 1, и ох == и о , и оу == О, ах == О, ау == g. gt 2 Поэтому Х == vot, У == 10A 1  Т. Спустя время t 1 == 1,5 с координаты шарика будут равны: 9,8  .2,25 с 2 х 1 ==8.1,5с==12м, Yl==5M С 2 у Уl Рис. t .40 41  6 м. 
 УПРАЖНЕНИЕ 4 1. Камень, упав с обрыва, достиr поверхности воды через 2 с. Чему равна высота обрыва? Определите модуль конечной скорости камня. 2. Камень брошен rоризонтально со скоростью 20 м/с с BЫ соты 10 м относительно Земли. Определите время полета, даль ность полета и скорость камня в момент падения на Землю. 3. Мяч брошен с поверхности Земли под уrлом 450 к rоризон- ту со скоростью 20 м/с. Определите наибольшую высоту подъема, дальность полета, скорость в наивысшей точке траектории, CKO рость и координаты мяча через 2 с после начала движения.  17 РАВНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ ПО ОКРУЖНОСТИ Движение тела по окружности или дуrе окружности до- вольно часто встречается в природе и технике. Приблизи- тельно по окружности движется Луна BOKpyr Земли; каж- дая точка земной поверхности движется по окружности BOKpyr земной оси; дуrи окружности описывают различные точки самолета во время виража, автомобиля при поворо- те, поезда на закруrлении дороrи и т. д. Поэтому знакомст- во с таким движением имеет большое значение. Рассмотрим равномерное движение тела по окружности. Это такое движение, при котором скорость и ускорение не меняются по модулю, а изменяются лишь по направлению. Найдем модуль и направление вектора ускорения при равномерном движении точки по окружности радиусом R. Пусть точка в момент времени t занимает положение М, а через интервал времени дt  положение М 1 (рис. 1.41). Обозначим ее скорость в положении М через ;, а в положе- нии М 1 через ;}" При равномерном движении v == и 1 . Чтобы -+ найти изменение скорости и за М время дt, надо из вектора и 1 вы- честь вектор ;. Разделив вектор д; на промежуток времени дt, полу- чим среднее ускорение точки за vз этот промежуток времени:  t':;.v а ср == м' При стремлении интервала дt к нулю вектор среднеrо ускорения Рис. 1.41 43 
стремится в пределе к определенному вектору, Ha3ЫBaeMO му вектором MrHoBeHHoro ускорения (см.  11). Сначала найдем модуль MrHoBeHHoro ускорения. Для  этоrо проведем вектор перемещения Дr и рассмотрим Tpe уrольники OMM 1 и M1AB. Эти треуrольники подобны как равнобедренные с равными уrлами при вершинах. Сле Iд{;/ Iд;' довательно,  == Н. Разделив левую и правую части этоrо равенства на про межуток времени дt, получим 1 I д{; I I д; I 1 .Ы==M' R ' или I д{; I ==  . I д; I ы R Ы (1.22) Но Iд{;1 Iд;1 ы == а ср и М == и ср . В пределе, т. е. при стремлении промежутка времени дt I д{;1 к нулю, модуль вектора  будет не чем иным, как MOДY Ы лем ускорения 1 (;1 точки в момент времени t, а модуль BeK I д; I б б  тора М удет представлять со ои модуль вектора MrHo венной скорости I {;I. Тоrда равенство (1.22) примет вид   (1.23) Так как V и R постоянны, то модуль вектора ускорения при равномерном движении точки по окружности остается все время неизменным.  Найдем теперь направление ускорения а. Вектор YCKO  рения направлен так, как направлен вектор ди в пределе при стремлении промежутка времени дt к нулю. Из рисун ка 1.41 видно, что при стремлении интервала дt к нулю точка М 1 приближается к точке М и уrол q> стремится к нулю. Следовательно, уrол BM1A стремится к 900. Таким образом, уrол между вектором д{; и радиусом окружности стремится к нулю. Следовательно в пределе вектор MrHo BeHHoro ускорения направлен к центру окружности. По этому ускорение точки при ее равномерном движении по окружности называют центростремительным. 44 
Так как в процессе движения точки по окружности ускорение все время направлено по радиусу к центру, то оно непрерывно изменяется по направлению. Следователь но, равномерное движение точки по окружности является движением с переменным ускорением и переменной CKOpO стью. Отметим, что модули скорости и ускорения при этом остаются постоянными. [1] t. Точка движется равномерно по окружности. Постоянна пи ее скорость! 1. Постоянно ли ускорение при равномерном движении точки по окружности! 3. Куда направлено ускорение конца стрелки часов! rлава 1. КРАТКИЕ итоrи Описать движение тела  это значит описать движе ние всех ero точек, т. е. указать способ, позволяющий pac считывать положение каждой точки тела в любой момент времени. Положение точки относительно выбранноrо тела отсче та можно задать с помощью координат х, у, z или радиус  вектора r. При равномерном прямолинейном движении точки со скоростью {; радиусвектор в любой момент времени t BЫ числяется по формуле    r == ro + vt, rде ro  радиусвектор, задающий положение точки в Ha чальный момент времени t o == о. Если точка движется вдоль какойлибо координатной оси, то со временем изменяется только одна ее координата. В случае paBHoMepHoro движения вдоль оси ОХ координата х точки в любой момент времени t находится по формуле х == Хо + v xt. В этой формуле Хо  координата точки в начальный MO мент времени t o == о, а V x  проекция скорости на ось ох. Чтобы описать неравномерное движение точки, надо уметь рассчитывать ее скорость в любой момент времени. Для этоrо вводят величину. характеризующую быстроту изменения скорости, т. е. ускорение. Если ускорение точки постоянно, т. е. модуль и Ha правление ero не меняются со временем, то оно определя ется по формуле  ди а == м'  rде дv  изменение скорости за промежуток времени дt. 45 
При движении с постоянным ускорением скорость точ -+ ки V И радиусвектор r, определяющий ее положение, в любой момент времени вычисляются по формулам -+ -+ -+ V == V o + at, -+ at 2 r == ro + vot + 2""' rде ro и V o  радиусвектор и скорость точки в начальный момент времени t o == о. Движение с постоянным ускорением может быть как прямолинейным, так и криволинейным. Коrда начальная скорость точки равна нулю или же направлена вдоль той же прямой, что и ускорение, то точка движется прямоли нейно вдоль этой прямой. Если же начальная скорость и ускорение не направле ны вдоль одной прямой, точка движется криволинейно. Причем криволинейное движение с постоянным ускорени ем всеrда происходит в той плоскости, в которой находят ся векторы ускорения и начальной скорости точки. В случае криволинейноrо движения точки с постоян ным ускорением в плоскости ХОУ проекции V x и v y ее CKO рости на оси ОХ и ОУ и ее координаты х и у в любой MO мент времени t определяют по формулам a x t 2 V x == V Ox + axt, х == хо + voxt +----т' а t 2 у v y == V Oy + ayt, у == Уо + voi + ----т. в этих формулах хо, Уо  координаты точки в началь ный момент времени t o == о; V Ox ' V Oy  проекции начальной скорости на оси ОХ и ОУ; ах, ау  проекции ускорения на те же оси. При равномерном движении по окружности скорость и ускорение точки не меняются по модулю. В любой MO мент времени скорость направлена по касательной к окружности, а ускорение  к ее центру. В этом случае связь между модулем ускорения а точки, модулем ее CKO рости v И радиусом окружности R выражается формулой v 2 а == R. Равномерное движение точки по окружности является движением с переменным ускорением, так как ускорение непрерывно изменяется по направлению. 46 
rлава2 КИНЕМАТИКА ТВЕРдоrо ТЕЛА Все предыдущие параrрафы были посвящены описанию движения точки. О движении любоrо тела можно судить по движению всех ero точек (об этом rоворилось в самом начале раздела .Ки нематика» ).  18 ДВИЖЕНИЕ ТЕЛ. ПОСТУПАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ Описание движения тела считается полным лишь тоrда, коrда известно, как движется каждая ero точка. Мы MHoro внимания уделили описанию движения точ ки. Именно для точки вводятся понятия координат, CKO рости, ускорения, траектории. В общем случае задача описания движения тел является сложной. Особенно она сложна, если тела заметно деформируются в процессе дви жения. Проще описать движение тела, взаимное располо жение частей KOToporo не изменяется. Такое тело называ ется абсолютно твердым. На самом деле абсолютно TBep дых тел нет. Но в тех случаях, коrда реальные тела при движении мало деформируются, их можно рассматривать как абсолютно твердые. (Еще одна абстрактная модель, вводимая при рассмотрении движения.) Однако и движе ние абсолютно твердоrо тела в общем случае оказывается весьма сложным. Любое сложное движение абсолютно твердоrо тела можно представить как сумму двух независи мых движений: поступательноrо и вращательноrо. Поступательное днижение. Самое простое движение твердых тел  поступательное. Поступательным называется такое движение твердоrо тела, при котором любой отрезок, соединяющий любые две точки тела, остается параллельным самому себе. При поступательном движении все точки тела соверша ют одинаковые перемещения, описывают одинаковые Tpa ектории, проходят одинаковые пути, имеют в каждый MO мент времени равные скорости и ускорения. Покажем это. Пусть тело движется поступательно (рис. 2.1). Соеди ним две ero произвольные точки В и А отрезком. Расстоя ние I АВ I не изменяется, так как тело абсолютно твердое. При поступательном движении остаются постоянными модуль и ------+ направление вектора АВ. Вследст вие этоrо траектории точек В и А одинаковы, так как они MorYT быть полностью совмещены парал ------+ лельным переносом на вектор АВ. Рис. 1.1 41 
qr:eФ Рис. 1.1 Cor ласно рисунку 2.1 перемеще ния точек А и В одинаковы и co вершаются за одно и то же время. Следовательно, точки А и В имеют одинаковые скорости и ускорения. Совершенно очевидно, что для описания поступательноrо движе ния твердоrо тела достаточно опи , сать движение какойлибо одной ero ,;!. точки. Лишь при поступательном движении можно rоворить о CKOpO Рис. 1.3 сти и ускорении тела. При любом друrом движении тела ero точки имеют различные скорости и ускорения, и термины «CKO рость тела» и «ускорение тела» для не поступательноrо движения теряют смысл. Примерно поступательно движутся ящик письменноrо стола, поршни двиrателя автомобиля относительно цилинд ров, ваrоны на прямолинейном участке железной дороrи, резец TOKapHoro станка относительно станины. Движение педали велосипеда или кабины колеса обозрения в парках (рис. 2.2, 2.3)  также при меры поступательноrо движения. Для описания поступательноrо движения твердоrо тела достаточно написать уравнение движения одной из ero точек. [1] t. В каком случае тело можно считать абсолютно твердым! 1. Что называется лоступательным движением! 3. Приведите примеры поступательноrо движения, не упомяну- тые в тексте книrи.  19 ВРАЩАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЕРдоrо ТЕЛА. уrЛОВАЯ И ЛИНЕЙНАЯ СКОРОСТИ ВРАЩЕНИЯ Вращательное движение BOKpyr неподвижной оси  еще один частный случай движения твердоrо тела. Вращательным движением твердою тела B01(PYlHeпo движной оси называется такое ero движение, при котором 48 
все точки тела описывают окружно сти, центры которых находятся на одной прямой, называемой осью Bpa щения. при этом плоскости, KOTO рым принадлежат эти окружности, перпендикулярны оси вращения (рис. 2.4). В технике такой вид движения встречается очень часто: напрмер, вращение валов двиrателей и reHepa торов, турбин и пропеллеров самоле тов. Уrловая скорость. Каждая точка вращающеrося BOKpyr оси тела, про ходящей через точку О, движется Рис. 1.4 по окружности, и различные точки проходят за время дt разные пути.   Так, ААI > BB 1 , поэтому модуль CKO рости точки А больше, чем у точки В (рис. 2.5). Но радиусы окружностей поворачиваются за время дt на один и тот же уrол Дq>. Уrол q>  уrол меж ду осью ох и радиусвектором r, определяющим положение точки А (см. рис. 2.5). Пусть тело вращается paBHOMep но. т. е. за любые равные промежут ки времени поворачивается на оди Рис. 1.5 наковые уrлы. Быстрота вращения тела зависит от уrла поворота радиусвектора, определяю щеrо положение одной из точек твердоrо тела за дaH ный промежуток времени; она характеризуется уzловой С1Соростью. Например, если одно тело за каждую ceKYH ду поворачивается на уrол л/2, а друrое  на уrол л/4, то мы rоворим, что первое тело вращается быстрее BToporo в 2 раза. Уrловой скоростью называется величина, тела Дq> к промежутку рот произошел. Будем обозначать уrловую скорость rреческой буквой ro (oMera). Тоrда по определению !l<j) ro == ы. I I 102 тела при ранномерном вращении равная отношению уrла поворота времени дt, за который этот пово (2.1) Уrловая скорость выражается в радианах в секунду (рад/с). Например, уrловая скорость вращения Земли BOKpyr 49 
оси равна 0,0000727 рад/с, а точильноrо диска  около 140 рад/с 1 . Уrловую скорость можно выразить через частоту Bpa щения, т. е. число полных оборотов за 1 с. Если тело совершает v (rреческая буква «ню») оборотов за 1 с, то время одноrо оборота равно 1/у секунд. Это время назы вают периодом вращения и обозначают буквой Т. Таким образом, связь между частотой и периодом вращения мож но представить в виде: т ==!. v Полному обороту тела соответствует уrол снр == 21[. По этому соrласно форму ле (2.1) I ro == * == 2пv.1 (2.2) Если при равномерном вращении yr ловая скорость из вест на и в начальный момент времени t o == О уrол поворота q>o == О, то уrол поворота тела за время t соrласно ypaBHe нию (2.1) равен: q> == rot. Если q>o"* О, то q>  q>o == rot, или q> == q>o :t rot. Уrловая скорость принимает положительные значения, если уrол между радиусвектором, определяющим поло жение одной из точек твердоrо тела, и осью ОХ увеличи вается, и отрицательные, коrда он уменьшается. Тем самым мы можем описать положение точек враща ющеrося тела в любой момент времени. Связь между линейной и уrловой скоростями. Скорость точки, движущейся по окружности, часто называют ли нейной скоростью, чтобы подчеркнуть ее отличие от уrло вой скорости. Мы уже отмечали, что при вращении твердоrо тела раз ные ero точки имеют неодинаковые линейные скорости, но уrловая скорость для всех точек одинакова. Между линейной скоростью любой точки вращающеrо ся тела и ero уrловой скоростью существует связь. YCTaHO вим ее. Точка, лежащая на окружности радиусом R, за один оборот пройдет путь 21[R. Поскольку время одноrо оборота тела есть период Т, то модуль линейной скорости точки можно найти так: 21tR v ==  == 21[Rv. (2.3) 1 Напомним, что радиан равен центральному УI'лу, опирающемуся на ДУI'у, длина которой равна радиусу окружности, 1 рад = 57017'48". В радиан ной мере УI'ол равен отношению длины ДУI'и окружности К ее радиусу: q> = .!:..... R 50 
Так как (О == 21tV, то I v == (OR.I (2.4) Из этой формулы видно, что, чем дальше расположена точка тела от оси вращения, тем больше ее линейная CKO рость. Для точек земноrо экватора v == 463 м/с, а дЛЯ TO чек на широте СанктПетербурrа v == 233 м/с. На полюсах Земли v == о. Модуль ускорения точки тела, движущейся paBHOMep но по окружности, можно выразить через уrловую CKO рость тела и радиус окружности: и 2 а ==, v == (OR. R Следовательно, и 2 а ==  == (02R == V(O. R Чем дальше расположена точка твердоrо тела от оси Bpa щения, тем большее по модулю ускорение она имеет. (2.5) Итак, мы научились полностью описывать движение абсолютно твердоrо тела, вращающеrося равномерно BO Kpyr неподвижной оси, так как, пользуясь формулами <1> == <1>0 :t (Ot, v == (OR, а == (02R, можем находить положение, модули скорости и ускорения любой точки тела в произ вольный момент времени. Знаем мы и направления v и а, а также форму траекторий точек. [1] 1. Что называется осью вращения TBepAoro тела! 1. Что такое уrловая скорость! 3. Во сколько раз уrловая скорость минутной стрелки часов 60льwе уrловой скорости часовой стрелки! ш ПРИМЕР РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ Два шкива соединены ременной передачей, передающей Bpa щение от одноrо шкива к друrому. Ведущий шкив вращает си с частотой У 1 == 3000 об/мин, ведомый шкив  с частотой У 2 == 600 об/мин. Ведомый шкив имеет диаметр D 2 == 500 мм. Ka кой диаметр D 1 у ведущеrо шкива? Реш е н и е. Ведущий шкив вращается с уrловой CKO ростью (01 == 2пУl> а ведомый  со скоростью (02 == 2пу 2 . Скорость приводноrо ремня равна линейной скорости TO чек окружностей Toro и друrоrо шкива: v == (01Rl == (02R2. 51 
Отсюда Dt D 2 Rt R 2 == Ю 2 Ю } V 2 V t Следовательно, искомый диаметр v 2 500.600 Dt == D 2  == 3000 == 100 мм.  УПРАЖНЕНИЕ 5 1. Линейная скорость периферийных точек шлифовальноrо камня не должна превышать 95 м/с. Определите наибольшее дo пусти мое число оборотов в минуту для диска диаметром 30 см. 2. Длина минутной стрелки часов на Спасской башне Moc KOBCKoro Кремля 3,5 м. Определите модуль и изменение направ ления линейной скорости конца стрелки через каждые 15 мин в течение часа. rлава 2. КРАТКИЕ итоrи Из всех движений твердоrо тела самыми простыми яв ляются поступательное и вращательное. При поступательном движении все точки тела движут ся одинаково, т. е. имеют равные скорости, ускорения, co вершают одинаковые перемещения, описывают одинако вые траектории и проходят равные пути. Поэтому лишь при таком движении имеют точный смысл понятия «CKO рость тела,) и «ускорение тела,). Для описания поступа тельноrо движения тела достаточно проследить за движе нием одной из ero точек. При вращательном движении все точки тела описыва ют окружности, центры которых находятся на одной и той же неподвижной прямой, называемой осью вращения. Уrловая скорость о) при равномерном вращении тела дq> вычисляется по формуле о) ==, rде Дч>  уrол поворота Ы тела за время /1t. Между периодом вращения тела Т и час тотой вращения v имеется зависимость. Выражения для у!' ловой скорости через период и частоту вращения пишут 2п в виде о) == т == 21tV. Положение точек тела при ero вращении можно найти по уrлу поворота (j), который при равномерном вращении тела равен (j) == (j)o 1: o)t. 51 
Для любой точки твердоl'О тела связь между ее линей ной скоростью и, el'o Уl'ловой скоростью (о И радиусом R окружности, по которой движется точка, выражается фор мулой v == (OR. Воспользовавшись связью между линейной и Уl' ловой скоростями, можно выразить модуль ускорения точки, движущейся равномерно по окружности, через Уl'ловую и 2 скорость тела и радиус окружности: а == R == (02 R == и(О. ДИНАМИКА rлава 3 ЗАКОНЫ МЕХАНИКИ НЬЮТОНА Законам механики подчиняются движения всех окружающих нас тел. ДЛЯ TOI'O чтобы OT крыть эти законы, Ньютону не потребовались Ka киелибо сложные приборы. Достаточными OKa зались простые опыты. rлавная задача состояла в том, чтобы в Ol'pOMHOM разнообразии движений тел увидеть то существенное, что определяет xa рак тер движения каждоl'О тела.  20 ОСНОВНОЕ УТВЕРЖДЕНИЕ МЕХАНИКИ Законы механики, как и все основные законы физики, имеют точную количественную форму. Но вначале мы постараемся качественно сформулировать основное YTBep ждение механики. Так будет проще уловить I'лавное co держание механики Ньютона. После этоl'о перейдем к KO личественной формулировке законов механики. Выбор системы отсчета. Мы уже знаем, что любое дви жение следует рассматривать по отношению к определен ной системе отсчета. В кинематике, т. е. при описании движения без pac смотрения причин el'o изменения, все системы отсчета равноправны. Выбор определенной системы отсчета для решения той или иной задачи диктуется соображениями целесообразности и удобства. Так, при стыковке космиче ских кораблей удобно рассматривать движение одноl'О из них относительно друl'ОI'О, а не относительно Земли. В I'лавном разделе механики  динамике  paCCMaT риваются взаимодеuствия тел, являющиеся причиной из менения движения этих тел, т. е. изменения их скоростей. Вопрос о выборе системы отсчета в динамике не явля ется простым. Выберем вначале систему отсчета, связан 53 
ную С земным шаром. Движение тел вблизи поверхности Земли будем рассматривать относительно самой Земли. Что вызывает ускорение тел? Если тело, лежащее на полу или на столе, начинает ДВИI'аться, то всеI'да по coceд ству можно обнаружить предмет, который толкает это тело, тянет или действует на HeI'O на расстоянии (напри мер, маI'НИТ на железный шар). Поднятый над Землей Ka мень не остается висеть в воздухе, а падает. Надо думать, что именно действие Земли приводит к этому. Вся совокупность подобных фактов I'оворит о том, что измепепие скорости тела (а зпачит. ускорепие) всеzда вЫ,ЗЬLвается воздействием па uezo KaKиx либо друzих тел. Эта фраза содержит I'лавное утвержде ние механики Ньютона и выражает принцип прuчuнно сти в механике. Может оказаться и так, что тело покоится или движет ся равномерно и прямолинейно, т. е. без ускорения (С; == О), хотя на HeI'O и действуют ДРУI'ие тела. На столе лежит КНИI'а, ее ускорение равно нулю, хотя действие со стороны ДРУI'их тел налицо. На КНИI'У действу ют притяжение Земли и стол, не дающий ей падать вниз. В этом случае I'оворят, что действия уравновешивают (или компенсируют) ДРУI' дрУI'а. Но КНИI'а НИКОI'да не придет в движение, не получит ускорение, если на нее не подейст вовать рукой, сильной струей воздуха или еще какимни будь способом. Скорость тела нuкоzда не меняется, если на HeI'O ничто не действует. Перечислить экспериментальные доказательства TOI'O, что изменение скорости ОДНОI'О тела всеI'да вызывается дей ствием на HeI'O ДРУI'их тел, нет никакой возможности. Эти доказательства вы можете наблюдать на каждом шаI'У. Футболист ударил по мячу. Ударил  значит, eI'o HOI'a оказала определенное действие на мяч, и скорость мяча YBe личилась. А вот какое действие позволяет футболисту быст ро устремиться к воротам противника? ОДНОI'О желания здесь мало. Будь вместо футбольноI'О поля идеально I'Лад кий лед, а на HOI'aX футболиста вместо бутс с шипами  тапочки с I'ладкой подошвой, это ему не удалось бы. ДЛЯ TOI'O чтобы бежать с ускорением, нужно упираться НОI'ами в землю. Если НОI'И будут скользить, вы никуда не убежите. Значит, только трение о землю, действие со стороны зем ли на НОI'И футболиста позволяет ему, да и всем нам, при беI'е и ходьбе изменять свою скорость. Точно так же, чтобы остановиться с разбеI'У, надо упираться НОI'ами в землю. Любой человек, даже не знакомый с физикой, понима ет, что заставить какойлибо предмет изменить модуль или направление скорости можно, только оказав на HeI'O опре деленное воздействие. Ученики 5 класса, I'оняющие шайбу во дворе, возможно, не знают законов механики Ньютона. 54 
Рис. 3.1 ;:. Но поступают они правильно: они стараются, ударяя клюшкой по шайбе, так изменить движение шайбы, чтобы она скользила к воротам противника или к партнеру по команде, находящемуся в выrодном положении (рис. 3.1). Движение с постоянной скоростью. Однако не следует думать, что основное утверждение механики совершенно очевидно и уяснить ero ничеrо не стоит. Если действий со стороны друrих тел на данное тело нет, то соrласно основному утверждению механики YCKO рение тела равно нулю, т. е. тело будет покоиться или двиrаться с постоянной скоростью. Этот факт совсем не является само собой разумеющим ся. Понадобился rений rалилея и Ньютона, чтобы ero осознать. Ньютону вслед за rалилеем удалось окончатель но развеять одно из r лубочайших заблуждений человече ства о законах движения тел. Начиная с великоrо древнеrреческоrо философа Аристо теля, на протяжении почти двадцати веков все были убеж дены, что движение тела с постоянной скоростью нуждает ся для cBoero поддержания в действиях, производимых на тело извне, т. е. в не которой активной причине. Считали, что без такой поддержки тело обязательно остановится. Это, казалось, находит подтверждение в нашем повсе дневном опыте. Например, автомобиль с выключенным дви rателем останавливается и на совершенно rоризонтальной дороrе. То же самое можно сказать о велосипеде, лодке и теплоходе на воде и любых друrих движущихся телах. Вот почему даже в наше время можно встретить людей, которые смотрят на движение так же, как смотрел Аристотель. В действительности же свободное тело, которое не взаи модействует с друrими телами, движется всеrда с постоян ной скоростью или находится в покое. Только действие со стороны друrоrо тела способно изменить ero скорость. Дей ствовать на тело, чтобы поддержать ero скорость постоян ной, нужно лишь потому, что в обычных условиях всеrда существует сопротивление движению со стороны земли, воздуха или воды. Если бы не было этоrо сопротивления, то скорость автомобиля на rоризонтальном шоссе и при BЫ ключенном двиrателе оставалась бы постоянной. 55 
Инерциальные и неинерциальные системы отсчета. До сих пор систему отсчета мы связывали с Землей. т. е. pac сматривали движение относительно Земли. В системе OT счета. связанной с Землей. ускорение тела определяется только действием на Hel'O ДРУl'их тел. Подобные системы отсчета называют инерциальными. Однако в ДРУl'их системах отсчета может оказаться. что тело имеет ускорение даже в том случае. КОl'да на Hel'O ДРУl'ие тела не действуют. В качестве примера рассмотрим систему отсчета. свя занную с автобусом. При равномерном движении автобуса пассажир может не держаться за поручень. действие со CTO роны автобуса компенсируется взаимодействием с Землей. При резком торможении автобуса стоящие в проходе пасса жиры падают вперед. получая ускорение относительно CTe нок автобуса (рис. 3.2). Однако это ускорение не вызвано какимилибо новыми воздействиями со стороны Земли или автобуса непосредственно на пассажиров. Относитель но Земли пассажиры сохраняют свою постоянную CKO рость. но автобус начинает ДВИl'аться с ускорением. и пас сажиры относительно Hel'O также движутся с ускорением. Однако это ускорение не связано со взаимодействием пасса жиров с какимилибо телами. оно появляется вследствие TOI'O. что движение их рассматривается относительно тела отсчета (автобуса). движущеl'ОСЯ с ускорением. Таким образом. КОl'да на пассажира не действуют дpy I'ие тела. он не получает ускорение в системе отсчета. свя  занной с Землей. но относительно системы отсчета. свя занной со стенками автобуса. движущеl'ОСЯ замедленно. пассажир имеет ускорение. направленное вперед. То же самое получится. если связать систему отсчета с вращающейся каруселью. Относительно карусели любой предмет. находящийся на Земле. будет описывать окруж ность. т. е. будет ДВИl'аться с ускорением. хотя никаких внешних действий. вызывающих это ускорение. обнару жить нельзя. Если относительно какойнибудь системы отсчета тело движется с ускорением. не вызванным действием на Hel'O ДРУl'их тел. то такую систему называют неинерциальной. Так. неинерциальными являются системы отсчета. свя занные с автобусом. движущимся по отношению к Земле с ускорением. или с вращающейся каруселью. Рис. ].1 56 a ,. I C  \.  Q   о n n .  
В неинерциальных системах отсчета основное положе ние механики о том, что ускорение тела вызывается дейст вием на Hero друrих тел, не выполняется. Введено очень важное понятие  инерциальная систе ма отсчета. В дальнейшем движение тел мы будем pac сматривать только в инерциальных системах отсчета. [1] f. в чем состоит основное утверждение механики! Подтвердите ero примерами, не упомянутыми в тексте. 1. При каких условиях тело движется с постоянной скоростью!  21 МАТЕРИАЛЬНАЯ ТОЧКА Возьмите лист плотной бумаrи и подбросьте ero. Он нач нет медленно опускаться, слеrка раскачиваясь из стороны в сторону. Если тот же лист скомкать, то он будет падать без раскачивания и rораздо быстрее. Обыкновенный вол чок, состоящий из диска, насаженноrо на тонкую палочку, способен кружиться, не падая набок, пока скорость враще ния велика. Заставить же вести себя подобным образом диск и палочку по отдельности просто невозможно. С помощью подобных простых наблюдений нетрудно убедиться, что движение тел сильно зависит от их разме ров и форм. Чем сложнее форма тела, тем сложнее ero движение. Трудно поэтому надеяться найти какието об щие законы движения, которые были бы непосредственно справедливы для тел произвольной формы. Основные законы механики Ньютона относятся не к ПрОИЗНОЛЬНЫl\f телам, а к точке, обладающей массой,  материальной точке. Но точек, обладающих массой, в природе нет. В чем же тоrда смысл этоrо понятия? Во мноrих случаях размеры и форма тела не оказывают скольконибудь существенноrо влияния на характер механическоrо движения. Вот в этих случаях мы и можем рассматривать тело как материальную точку, т. е. считать, что оно обладает массой, но не имеет rеометрических размеров. Причем одно и то же тело в одних случаях можно счи тать материальной точкой, а в друrих нет. Все зависит от условий, при которых происходит движение тела, и от Toro, что именно вас интересует. Например, при исследо вании орбитальноrо движения планет BOKpyr Солнца как планеты, так и Солнце можно считать материальными Точками. Дело в том, что расстояние между ними MHoro больше их собственных размеров, а при этих условиях взаимодействие между телами не зависит от формы тел. 51 
Но на движение искусственных спутников Земли форма нашей планеты уже оказывает заметное влияние. Еще один важный пример. При поступательном движе нии твердоrо тела, например кубика, соскальзывающеrо с доски, все части кубика движутся совершенно одинако во. Кубик вполне можно рассматривать как точку с Mac сой, равной массе кубика. Но если тот же кубик вращает ся, считать ero точкой нельзя: ero части будут иметь существенно различные скорости. Как быть в тех мноrочисленных случаях, коrда тело нельзя считать материальной точкой? Выход есть, и он co всем несложен. Тело можно мысленно разделить на столь малые элементы, что каждый из них допустимо считать материальной точкой. в механике любое тело можно рассматривать как COBO купность большоrо числа материальных точек. Зная зако ны движения точки, мы в принципе располаrаем методом описания движения произвольноrо тела. ш 1. Что называется материальной точкой! 2. Материальных точек в лрироде нет. Зачем же мы ислользуем это понятие! 3. Можно ли считать материальной точкой камень, броwенный вверх!  22 ПЕРВЫЙ ЗАКОН НЬЮТОНА Первый закон механики, или закон инерции, как ero часто называют, был, по существу, установлен еще rали леем. Но общую формулировку этоrо закона дал Ньютон и включил этот закон в число основных законов механики. Движение свободноrо тела. Закон инерции относится к самому простому случаю движения  движению тела, KO торое не взаимодействует с друrими телами. Такие тела мы будем называть свободными телами. Ответить на вопрос, как же движутся свободные тела, не обращаясь копыту, нельзя. Однако нельзя поставить ни одноrо опыта, который бы в чистом виде показал, как движется ни с чем не взаимо действующее тело, так как таких тел нет. Как же быть? Имеется лишь один выход. Надо поместить тело в усло вия, при которых влияние внешних взаимодействий мож но делать все меньшим и меньшим, и наблюдать. к чему это ведет. Можно, например, наблюдать за движением rладкоrо камня на rоризонтальной поверхности, после Toro как ему сообщена некоторая скорость. (Притяжение камня к Земле компенсируется действием поверхности, на KOTO рую он опирается; на скорость ero движения влияет только трение.) При этом леrко обнаружить, что чем более rлад 58 
кой является поверхность, тем медленнее будет уменьшать ся скорость камня. На rладком льду камень скользит Becь ма долrо, не меняя заметно скорость. На основе подобных наблюдений можно сделать вывод: если бы поверхность была идеально rладкой, то при отсутствии сопротивления воздуха (в вакууме) камень совсем не менял бы своей CKO рости. Именно к такому выводу пришел впервые rалилей. Нетрудно заметить, что, коrда ускорение тела отлично от нуля, обнаруживается воздействие на Hero друrих тел. Отсюда можно прийти к выводу, что тело, достаточно удаленное от друrих тел и по этой причине не взаимодейст вующее с ними, будет двиrаться с постоянной скоростью. Закон инерции и относительность движения. Движение относительно, и имеет смысл rоворить лишь о движении тела по отношению к системе отсчета, связанной с друrими телами. Поэтому сразу же возникает вопрос: движется ли с постоянной скоростью любое свободное тело по отношению к любому друrому телу? Ответ будет, конечно, отрицатель ным. Так, если по отношению к Земле свободное тело дви жется равномерно и прямолинейно, то по отношению к Bpa щающейся карусели тело заведомо так двиrаться не будет. Формулировка первоrо закона Ньютона. Таким обра зом, наблюдения за движением тел и размышления о xa рактере этоrо движения приводят нас к заключению о том, что свободные тела движутся с постоянной скоростью по отношению к определенным телам и связанным с ними си стемам отсчета, например по отношению к Земле. В этом состоит rлавное содержание закона инерции. Поэтому nep вый закон динамики может быть сформулирован так: Существуют системы отсчета. называемые иHep циальными, относительно которых тело движет ся прямолинейно и равномерно, если на Hezo не дeй ствуют друzие тела или действие этих тел CKOM nенсировано. Этот закон, с одной стороны, содержит определение инерциальной системы отсчета. С друrой стороны, он co держит утверждение (которое с той или иной степенью точности можно проверить на опыте) о том, что инерци альные системы отсчета существуют в действительности. Первый закон механики ставит в особое, привилеrирован ное положение инерциальные системы отсчета. Примеры инерциальных систем отсчета. Как YCTaHO вить, что данная система отсчета является инерциальной? Это можно сделать только с помощью опыта, который подтверждает, что с большой точностью систему отсчета, связанную с Землей (rеоцентрическую систему отсчета), Можно считать инерциальной (рис. 3.3). Но CTporo инер Циальной она, как об этом будет рассказано позднее, не является. 59 
fZ ! .  .1 у у tf . . X /1 11\" .. " . ... х/ .. . Рис. 3.3 Рис. 3.4 С rораздо большей точностью можно считать инерциаль ной систему отсчета, в которой начало координат COBMe щено с центром Солнца, а координатные оси направлены к неподвижным звездам. Эту систему отсчета называют rелиоцентрической (рис. 3.4). Первый закон Ньютона позволяет дать cTporoe опреде ление инерциальным системам отсчета. [1] 1. Какое утверждеНl1е содеРЖI1ТСЯ в первом законе Ньютона! 1. Какая Сl1стема отсчета называется I1неРЦl1альнон! 3. КаКI1М образом можно устаНОВI1ТЬ. что данная Сl1стема отсчета является I1неРЦl1альнон!  23 СИЛА Основное утверждение механики состоит в том, что ускорения тел определяются действиями их друr на друrа. Количественную меру действия тел друr на друrа, в pe зультате KOToporo тела получают ускорения или испыты вают деформацию, называют в механике силой. Это пока еще качественное, недостаточное для такой точной науки, как физика, определение. Введя ero, мы расчленили rлав ное утверждение механики на два: 1) ускорения тел вызываются силами; 2) силы обусловлены действиями на данное тело дpy rих тел. Понятие силы относится к днум телам. С caMoro начала нужно отчетливо представить себе, что понятие силы OTHO сится именно к двум телам, а не к одному. Всеrда можно указать тело, на которое действует сила, и тело, со стороны KOToporo она действует. Так, сила тяжести действует на камень со стороны Земли, а на шарик, подвешенный на пружине, действует сила упруrости со стороны пружины. Сила имеет направление. Так, сила упруrости растяну той пружины действует вдоль ее оси. Сила трения OCTaHaB 60 
ливает скользящую по льду шайбу и направлена против скорости ее движения. Сила  векторная величина. Сравнение сил. Для количественноrо определения силы мы должны уметь ее измерять. Только при этом условии можно rоворить о силе как об определенной физической величине. Но ведь действия на данное тело MorYT быть самыми раз нообразными. Что общеrо, казалось бы, между силой при тяжения Земли к Солнцу и силой, которая, преодолевая тя rотение, заставляет двиrаться ракету? Или между этими двумя силами и силой, сжимающей мяч в руке, определяе мой сокращением мускул? Ведь они совершенно различны по своей природе! Можно ли rоворить о них как о чемто физически родственном? Можно ли сравнивать их? Коrда человек не может поднять 'l'яжелую вещь, он ro ворит: «Не хватает сил». При этом, В сущности, происхо дит сравнение двух совершенно разных по своей природе сил  мускульной силы и силы, с которой Земля притяrи вает этот предмет. Но если вы подняли тяжелый предмет и держите ero на весу, то ничто не мешает вам утверждать, что сила, действующая на тело со стороны ваших рук, по модулю равна силе тяжести. Это утверждение, по сущест ву, и является определением равенства сил в механике. Д ве силы пезависимо от их природы считаются равпыми и nротивоnоложпо паnравлеnпыми, если их одnовремеппое действие па тело пе мепяет ezo скорости (т. е. не сообщает телу ускорение). Это определение позволяет измерять силы, если одну из них принять за единицу измерения. Измерение сил. Значит, для измерения сил надо распо лаrать эталоном единицы силы. В качестве эталона единицы силы выберем силу ро, с которой не которая определенная (эталонная) пружина при фиксированном растяжении I'1х действует на прикреп ленное к ней тело (рис. 3.5). Сила упруrости пружины Ha правлена вдоль оси пружины. Установим способ сравнения сил с эталонной силой. Мы уже rоворили, что две силы считаются равными и противоположными по направлению, если при OДHOBpe менном действии они не сообщают телу ускорение. Следовательно, из :/.; меряемая сила Р] равна по модулю эталонной силе Ро и направлена в противоположную сторону, если под воздействием этих сил тело не Получает ускорение (см. рис. 3.5). Причем сила Р] может быть любой Рl1с.3.5 t.X.., 1. ,' 'Р. i------  I О Р] 'Н /, /' 61 
/. F 2  2Fo ПРИРОДЫ: силой упруrости пружи Fo ны, силой трения и т. д. F 2 При действии по одному направ лению двух сил ро (рис. З.6) их pe '/ зультирующая сила равна 2Ро. По этому измеряемая сила Р 2 , направ Рис. 3.6 ленная в противоположную сторону, ПО модулю также равна 2Ро, если все три силы, действуя одновременно на тело, не сообщают ему ускорение. Таким образом, располаrая эталоном силы, мы можем измерять силы, кратные эталону. Для этоrо к телу, на KO торое действует измеряемая сила, прикладывают в CTOpO ну, противоположную ее направлению, такое количество эталонных сил, чтобы тело не получило ускорение, и под считывают число эталонных сил. Естественно, что при этом ошибка в измерении произвольной силы будет такой же, как и в измерении эталонной силы ро. Выбрав эталон ную силу достаточно малой, можно в принципе произво дить измерения с требуемой точностью. Динамометр. На практике для измерения сил применя ют динамометр (рис. З.7). Использование динамометра основано на том, что удлинение пружины прямо пропорционально приложенной к ней силе. Поэто му по длине пружины можно судить О значении силы. ., ., о силах в механике. Нам еще предстоит в даль нейшем довольно обстоятельный разrовор о силах. Пока же оrраничимся несколькими замечаниями. В механике не рассматривается природа тех или иных сил. Не делаются попытки выяснить, вследствие каких физических процессов появля ются те или иные силы. Это задача друrих разде лов физики. В механике важно лишь знать, при каких условиях возникают силы и каковы их модули и направления, т. е. знать, как силы зависят от pac стояний между телами и от скоростей их движе ния. А знать модули сил, определять, коrда и как Рис. 3.7 они действуют, можно, не вникая в природу сил, а лишь располаrая способами их измерения. В механике в первую очередь имеют дело с тремя типа ми сил: rравитационными силами, силами упруrости и си лами трения. Модули и направления этих сил определя ются опытным путем. Важно, что все рассматриваемые в механике силы зависят либо только от расстояний меж 61 
ду телами или от расположения частей тела (rравитация и упруrость), либо только от относительных скоростей (трение) . [1] t. Дайте опредепение сипы. 1. Какие две силы считаются в механике равными! 3. Как складываются силы, действующие на тело!  24 связь МЕЖДУ УСКОРЕНИЕМ И СИЛОЙ После Toro как мы научились измерять силу и знаем, как определять ускорение, можно ответить на rлавный BO прос: как зависит ускорение тела от действующих на Hero сил? Экспериментальное определение зависимости YCKope ния от силы. Установить на опыте связь между ускорени ем и силой с абсолютной точностью нельзя, так как любое измерение дает только приблизительное значение измеряе мой величины. Но подметить характер зависимости YCKO рения от силы можно с помощью несложных опытов. Уже простые наблюдения показывают, что, чем больше сила, тем быстрее меняется скорость тела, т. е. больше ero YCKO рение. Естественно предположить, что ускорение прямо пропорционально силе. Ускорение, конечно, может зави сеть от силы и rораздо более сложным образом, но сначала надо посмотреть, не справедливо ли самое простое предпо ложение. Проще Bcero изучить поступательное движение тела, например металлическоrо бруска, так как только при по ступательном движении ускорение всех точек одинаково и мы можем rоворить об определенном ускорении тела в целом. Однако в этом случае сила трения о стол доволь но велика и, rлавное, ее трудно точно измерить. Поэтому возьмем установленную на рельсы тележку с леrкими KO лесами. Тоrда сила трения будет сравнительно невелика, а массой колес можно пренебречь по сравнению с массой тележки (рис. 3.8). Пусть на тележку действует постоянная сила со CTOpO НЫ нити, К концу которой прикреплен rруз. Модуль силы измеряется пружинным динамометром. Эта сила постоян  ' O X .......................  v S х Рис. 3.8 63 
на, но не равна при движении силе тяжести, действующей на подвешенный rруз. Измерить ускорение тележки непо средственно, определяя изменение ее скорости за малый интервал времени, весьма затруднительно. Но ero можно оценить, измеряя время, затрачиваемое тележкой на про хождение пути В. Предполаrая, что при действии постоянной силы YCKO рение тоже постоянно, так как оно однозначно определя ется силой, можно использовать кинематические формулы для paBHoycKopeHHoro движения. При начальной CKOpO сти, равной нулю, at 2 s == Х 1  ХО == 2' rде ХО и Х 1  начальная и конечная координаты тела. Отсюда 28 а == 2' t Тщательные измерения модулей сил и ускорений пока зывают прямую пропорциональность между ними: а  Р. Векторы С; и / направлены по одной прямой в одну и ту же сторону. Если на тело одновременно действуют несколько сил, то ускорение тела будет пропорционально rеометрической сумме всех этих сил. Иначе rоворя, если: (3.1) /==/1 +/2+ ... +/п' (3.2) то С;  /. Это положение иноrда называют принципом суперпо зиции (наложения) сил. Отметим, что действие каждой силы не зависит от наличия друrих сил. Что такое инерция? Итак, соrласно Mexa нике Ньютона сила однозначно определяет ускорение тела, но не ero скорость. Это нужно очень отчетливо представлять себе. Сила опре деляет не скорость, а то, как быстро она меня ется. Поэтому покоящееся тело приобретает заметную скорость под действием силы лишь за некоторый интервал времени. Ускорение возникает сразу, одновременно с началом действия силы, но скорость HapaCTa ет постепенно. Даже очень большая сила не в состоянии сообщить телу сразу значительную скорость. Для этоrо нужно время. Чтобы OCTa новить тело, опятьтаки нужно, чтобы тормозя щая сила, как бы она ни была велика, действо вала некоторое время. Именно эти факты имеют ввиду, коrда ro Рис. 3.9 ворят, что тела инертны. Приведем примеры 64 
простых опытов, в которых очень отчетливо проявляется инертность тел. 1. На рисунке 3.9 изображен массивный шар, подве шенный на тонкой нити. Внизу к шару привязана точно Ta кая же нить. Если медленно тянуть за нижнюю нить, то, как и следует ожидать, порвется верхняя нить: ведь на нее действуют и шар своей тяжестью, и сила. с которой мы тя нем шар вниз. Однако если за нижнюю нить очень быстро дернуть, то оборвется именно она, что на первый взrляд дo вольно странно. Но это леrко объяснить. Коrда мы тянем за нить Mek ленно, то шар постепенно опускается, растяrивая Bepx нюю нить до тех пор, пока она не оборвется. При быстром рывке с большой силой разрывается нижняя нить. Шар получает большое ускорение, но скорость ero не успевает увеличиться скольконибудь значительно за тот малый промежуток времени, в течение KOToporo нижняя нить сильно растяrивается и обрывае'l'СЯ. Верхняя нить поэтому мало растя rивается и остается целой. 2. Интересен опыт с длинной палкой, подвешенной на бумажных кольцах (рис. 3.10). Если резко yдa рить по палке железным стержнем, то палка ломается, а бумажные KO льца остаются невредимыми. Этот опыт вы объясните сами. 3. Наконец, самый, пожалуй, эффектный опыт. Если выстрелить Рис. 3.1 О в пустой пластмассовый сосуд, пуля оставит в стенках правильные отверстия, но сосуд OCTaHeT ся целым. Если же выстрелить в такой же сосуд, заполнен ный водой, то сосуд разорвется на мелкие части. Это объяс няется тем, что вода малосжимаема и небольшое измене ние ее объема приводит к резкому возрастанию давления. Коrда пуля очень быстро входит в воду, пробив стенку co суда, давление резко возрастает. Изза инертности воды ее уровень не успевает повыситься, и возросшее давление раз рывает сосуд на части. Законы механики и повседневный опыт. Основное утверждение механики достаточно наrлядно инесложно. Ведь мы с рождения живем в мире тел, движение которых подчиняется законам механики Ньютона. Но иноrда все же приобретенные из жизненноrо опыта представления MorYT подвести. Так, слишком сильно YKO реняется представление о том, что скорость тела будто бы всеrда направлена в ту же сторону, куда направлена прило женная к нему сила. На самом же деле это не так. Напри Мер, при движении тела, брошенноrо под произвольным lФIIIIIКо.110Кl 6S 
уrлом к rоризонту. сила тяжести направлена вниз. и CKO рость. касательная к траектории. образует с силой HeKOTO рый уrол. который в процессе полета тела изменяется. ('ила является причиной возникновения не скорости. а ускорения тела. С направлением силы совпадает во всех случаях направление ускорения. но не скорости. Установлен rлавный для динамики факт: ускорени{' Te ла прямо пропорционально деЙствующей на Hero силе. [1] t. Как связано ускорение тела с силой! Z. Что такое инерция! Приведите примеры. демонстрирующие инерцию тел, не указанные в тексте. З. В каких случаях направление скорости совпадает с направлени ем силь.!  25 ВТОРОЙ ЗАКОН НЬЮТОНА. МАССА Итак. ускорение данноrо тела определяется деЙствую щеЙ на Hero силой и свойствами caMoro тела. Зависит ли ускорение тел от их свойств? Обратим вни мание на следующее важное обстоятельство. Каждый человек без труда за несколько секунд разrо нит леrкую байдарку до большой скорости. но сделать то же самое с тяжело наrруженноЙ лодкоЙ он будет не в co стоянии. Или еще пример. Стоит отпустить тетиву лука. как леrкая стрела в доли секунды наберет большую CKO рость. А попробуЙте вместо стрелы взять кусок водопро водной трубы. Тот же лук сможет лишь eДBaeДBa сдви нуть ero с места. Эти примеры rоворят о том. что модуль ускорения тела зависит не только от оказываемоrо на Hero воздействия (т. е. от силы). но и от свойств caMoro тела. Отсюда следу ет. что необходимо ввести величину. которая характеризо вала бы способность Toro или иноrо тела менять свою CKO рость под влиянием определенной силы. Такая величина и вводится в механике. Это  ,Jltacca тела. Чем больше масса тела. тем меньше получаемое телом ускорение при действии на Hero заданной силы. Масса. Прямая пропорциональность между модулями ускорения и силы означает. что отношение модуля силы к модулю ускорения является постоянной величиной. не зависящей от силы: F == const. а Наrружая тележку достаточно тяжелыми rирями в описанном ранее опыте (см. рис. 3.8). леrко заметить. что. чем больше rирь на ней находится. тем медленнее 66 
она будет набирать скорость, тем меньше ее ускорение. Поэтому для наrруженной тележки отношение F больше, а чем для ненаrруженной. Это как раз и означает, что YCKO рение зависит не только от силы, но и от свойств caMoro тела. Величину Fja. равную отношению модуля силы к MO дулю ускорения, называют массой (точнее, инертной Mac сой) тела. Масса  основная динамическая характеристика тела, количественная мера ero инертности, т. е. способности тела при обретать определенное ускорение под действием силы. Чем больше масса тела, тем больше ero инертность, тем сложнее вывести тело из первоначальноrо состояния, т. е. заставить ero двиrаться, или, наоборот, остановить ero движение. Второй закон Ньютона. Введя понятие массы. сформу лируем окончательно второй закон Ньютона: Ускорение тела прямо nроnорционально силе, действующей a Hezo, и обратно nроnорционально F ezo массе: а == . m Эта формула выражает один из самых фундаменталь ных законов природы, которому с удивительной точностью подчиняется движение как rромадных небесных тел, так и мельчайших песчинок. С помощью этоrо закона можно рассчитать движение поршня в цилиндре автомобиля и сложнейшие траектории космических кораблей. Для решения задач мы обычно пользуемся друrой фор мулировкой BToporo закона Ньютона. Произведение массы тела на ускорение равно сумме действу ющих на тело сил: 1 -+    I та == F 1 + F 2 + F 3 + ... . (3.3) Уверенность в справедливости BToporo закона Ньютона вытекает не столько И3 отдельных опытов, на основании которых удается подойти к формулировке этоrо закона, сколько из Toro, что все вытекающие из Hero следствия, проверяемые как специальными опытами, так и всей че ловеческой практикой, оказываются правильными. Заметим, что если на тело не действуют силы или их  сумма равна нулю (F == О). то относительно инерциальной системы отсчета (; == О и, следовательно, V == COIlst. Однако это не означает, что первый закон Ньютона есть следствие BToporo. Первый закон Ньютона устанавливает существо вание инерциальных систем отсчета, а именно таких сис тем, в которых справедлив второй закон Ньютона. 67 
Измерение массы. Используя второй закон Ньютона, можно определить массу тела, измерив независимо силу и ускорение: F т   . а (3.4) Правда, на практике rораздо точнее и удобнее измерять массу иначе, с помощью весов. Если измерить массы m 1 , т 2 , тз, ... нескольких тел, а затем соединить все эти тела вместе и измерить массу т одноrо объединенноrо тела, то будет выполняться простое соотношение: т == m 1 + т 2 + тз + ... . Справедливо и обратное: если разделить тело на части, то сумма масс этих частей будет равна массе тела до разде ления. Сформулирован основной закон динамики  второй за кон Ньютона (т(; == Р). Ero нужно помнить и понимать смысл всех трех величин, входящих в этот закон. [1] 1. 1. 3. 4. 5. Что такое инертность тела! Дайте определение массы. Можно ли утверждать. что первый закон Ньютона является следствием BToporo! Справедлив ли второй закон Ньютона для произвольноrо тела или только для материальной точки! При каких условиях материальная точка движется равномерно и прямолинейно! Какие условия необходимы для Toro. чтобы тело двиrалось с постоянным ускорением!  26 ТРЕТИЙ ЗАКОН НЬЮТОНА .\      . в третьем законе Ньютона формулируется одно общее свойство всех сил, рассматриваемых в механике: любое действие тел друr на друrа носит характер взаuмодейст вuя. Это означает, что если тело А действует на тело В, то и тело В действует на тело А. Взаимодейстние тел. Примеров взаимодействия тел и co общения ими друr друrу ускорений можно привести сколь уrодно MHoro. :Коrда вы, находясь в одной лодке, начнете за веревку подтяrивать друrую лодку, то и ваша лодка обя  зательно будет двиrаться вперед (рис. 3.11). Действуя на друrую лодку, вы вызыва ете ее действие на лодку, в которой находитесь. Если вы ударите ноrой по футбольному мячу или толк    Рис. 3.11 68 
нете плечом товаРИlЦа, то ОlЦутите обратное действие на Hory или плечо. Все это  проявления закона взаимодейст вия тел. Действия тел друr на друrа носят характер взаимодейст вия не только при непосредственном контакте тел. Поло жите на r ладкий стол два сильных маrнита разноимен  ными полюсами навстречу друr друrу, и вы тут же обнару жите, что они начнут двиrаться навстречу друr друrу. Изменения скоростей обоих взаимодействуюlЦИХ тел леrко наблюдаются лишь в тех случаях, коrда массы этих тел мало отличаются друr от друrа. Если же взаимодейст ВУЮlЦие тела значительно различаются по массе, заметное ускорение получает только то из них, которое имеет MeHЬ шую массу. Так, при падении камня мы видим, что Ka мень с ускорением движется, но ускорение Земли (а ведь камень тоже притяrивает Землю!) практически обнару жить нельзя, так как оно очень мало. Силы взаимодействия двух тел. Выясним с помоlЦЬЮ опыта, как связаны между собой силы взаимодействия двух тел. Возьмем достаточно сильный маrнит и железный бру сок, установим их на катки для уменьшения трения о стол (рис. 3.12). :к концам маrнита и бруска при крепим одина ковые пружины, закрепленные друrими концами на CTO ле. Маrнит и брусок притянутся друr к друrу и растянут пружины. Опыт показывает, что к моменту прекраlЦения движения пружины растянуты совершенно одинаково. Это означает, что на оба тела со стороны пружин действуют одинаковые по модулю и противоположные по направле нию силы:   Рl == P2. (3.5)  Так как маrнит покоится, то сила Р 2 равна по модулю  и противоположна по направлению силе Р 4 , с которой на Hero действует брусок:   Р 2 == P4' (3.6) Точно так же равны по модулям И противоположны по направлению силы, деЙСТВУЮlЦие на брусок со стороны маrнита и пружины:   F з == Pl" (3.7)  о  Jш=о Рис. 3.12 69 
Отсюда следует, что силы, с которыми взаимодеЙству ют маrнит и брусок, равны по модулям и противоположны по направлению: --+ + F з == P,. (3.8) Третий закон Ньютона. На основе подобных опытов можно сформулировать третий закон Ныотона: Силы, с которыми тела действуют apyz на дpy za, равны по модулям и направлены по одной nря мой в противоположные стороны.. .. Если на тело А со стороны тела В деЙствует сила Р" (рис. 3.13), то одновременно на тело В со стороны тела А + будет деЙствовать сила F в' причем А В FAt:O Рис. 3.13 I Р А == PB. I (3.9) Используя второЙ закон Ньютона, равенство (3.6) можно записать так: т]а] == т:lP2. (3.10) Отсюда следует, что а] т 2  ==   == const, а 2 т] (3.11) т. е. отношение модулеЙ ускорениЙ а] и й 2 взаимодейству ющих дру!' с друrом тел обратно пропорционально их Mac сам. Силы взаимодеЙствия двух тел  силы одноЙ физиче скоЙ природы, время их деЙствия одинаково, но они при ложены к разным телам, следовательно деЙствие первоrо тела на второе не может быть скомпенсировано деЙствием BToporo тела на первое. [1] 1. Правильна ли следующая ЗilПИСЬ TpeTbero закона Ньютона: а) FцF1.1; б) 1 F ц II F 1 . 1 1! 1. Лоwадь тянет телеrу, а телеrа действует на ЛОWilДЬ с rакой же по модулю силой, направленной в противоположную сторону. Почему же лоwадь везет телеrу, а не наоборот!  27 ЕДИНИЦЫ МАССЫ И СИЛЫ. ПОНЯТИЕ О СИСТЕМЕ ЕДИНИЦ Основные и производные единицы физических вели чин. В кинематике мы пользовались двумя основными физическими величинами  длиноЙ и временем. Для еди ниц этих величин установлены соответствующие эталоны, 70 
сравнением с которыми определяются любая длина и лю бой интервал времени. Единицей длины является метр, а единицей времени  секунда. Все друrие кинематиче ские величины не имеют эталонов единиц. Единицы таких величин называются производными. Связь производных единиц с единицами основных величин в кинематике BЫ текает из самих определений производных величин. При переходе к динамике мы должны ввести еще одну основную единицу и установить ее эталон. Дело в том, что второй закон Ньютона содержит две новые, динамические величины  силу и массу. Ни одну из этих величин нель зя выразить только через кинематические величины. С равным правом можно считать основной величиной как силу, так и массу. Выбрав для единицы одной из этих величин эталон, получают единицу для друrой, используя второй закон Ньютона. Соответственно этому получаются две различные системы единиц. Вводя понятие силы, мы rоворили о том, что в качестве эталона силы можно взять пружину, растянутую опреде ленным образом. Однако практически такой эталон силы неудобен, так как, вопервых, трудно изrотовить две пру жины с совершенно одинаковыми свойствами, а BOBTO рых, упруrие свойства пружин MorYT несколько изменять ся с течением времени и в зависимости от окружающих условий, например от температуры. Лучше в качестве еди ницы силы взять силу, с которой Земля притяrивает к себе определенную эталонную rирю. Международная система единиц. Но в настоящее время наиболее широко в физике и технике при меняется система единиц, в которой в качестве основной величины взята не сила, а масса. Единица же силы устанавливается на OCHO ве BToporo закона Ньютона. В Международной системе единиц (СИ) за единицу Mac сы  один килоrрамм (1 Kr)  принята масса эталонной rири из сплава платины и иридия, которая хранится в Международном бюро мер и весов в Севре, близ Парижа. Точные копии этой rири имеются во всех странах. При ближенно массу 1 Kr имеет вода объемом 1 л при KOMHaT ной температуре. Леrко осуществимые способы сравнения любой массы с массой эталона путем взвешивания мы pac смотрим позднее. За единицу силы в Международной системе единиц принимается сила, которая сообщает телу массой 1 Kr ускорение 1 м/с 2 . Эта единица называется ньюmоном (сокращенное обо значение  Н). Наименование ньютона: 1 Н = 1 Kr . 1 м/с 2 . 71 
[1] 1. Чем отличаются основные единиц'" измерения физических Be личин от производных единиц! 1. Единица какой величины  силы ИЛИ массы  является в СИ основной!  28 ИНЕРЦИАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ ОТСЧЕТА И ПРИНЦИП ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ В МЕХАНИКЕ Законы механики справедливы в инерциальных систе мах отсчета. Какие системы отсчета можно считать инер циальными? Инерциальные и неинерциальные системы отсчета. Леrко понять, что любая система отсчета, которая движет ся равномерно и прямолинейно относительно данной инер циальной системы отсчета, также является инерциальной. В самом деле, если тело относительно определенной инер циальной системы отсчета движется с постоянной CKOpO стью и 1 , то по отношению к системе отсчета, которая сама движется со скоростью и, это тело соrласно закону сложе ния скоростей будет двиrаться с не которой новой, но TaK же постоянной скоростью и 2 . Ускорение тела в обеих системах отсчета равно нулю. Напротив, любая система отсчета, движущаяся с YCKO рением относительно инерциальной системы отсчета, уже будет неинерциальной. Действительно, если {;1 = const, а скорость V изменяется, то скорость и 2 также будет Me -+ -+ -+ няться С течением времени: и 2 = и 1 + и. Следовательно, характер движения тела будет изме няться при переходе от одной системы отсчета к друrой. Так как систему отсчета, связанную с Землей, можно приближенно рассматривать как инерциальную, то и сис темы отсчета. связанные с поездом, движущимся с посто янной скоростью, или С кораблем, плывущим по прямой с неизменной скоростью, также будут инерциальными. Но как только поезд начнет увеличивать свою скорость, свя занная с ним система отсчета перестанет быть инерциаль ной. Закон инерции и второй закон Ньютона перестанут выполняться, если рассматривать движение по отношению к таким системам. rеоцентрическая система отсчета инерциальна лишь приближенно. В действительности rеоцентрическая систе ма не является cTporo инерциальной. Наиболее близка к инерциальной система отсчета, связанная с Солнцем и неподвижными звездами. Земля же движется по OTHO шению к этой системе отсчета с ускорением. Вопервых, 71 
она вращается BOKpyr своей оси и, BOBTOpЫX, движется по замкнутой орбите BOKpyr Солнца. Ускорение, обусловленное обращением Земли BOKpyr Солнца, очень мало, так как велик период обращения (rод). Значительно больше (примерно в 6 раз) ускорение, возникающее изза вращения Земли BOKpyr оси с перио дом т == 24 ч. Но и оно невелико. На поверхности Земли у экватора, rде это ускорение наибольшее, оно равно: а == (02 R == ( 2;; )2 R ::::: 0,035 м/с 2 , т. е. составляет Bcero 0,35% от ускорения свободноrо паде ния g == 9.8 м/с 2 . Именно поэтому систему отсчета, связан ную с Землей, можно приближенно рассматривать как инерциальную. Доказательстно нращения Земли. Однако существуют явления, которые нельзя объяснить, если считать rеоцент рическую систему отсчета инерциальной. К ним относится вращение относительно Земли плоскости колебаний маят ника в знаменитом опыте Фуко, доказывающем вращение Земли. Рассмотрим колебания маятника в rелиоцентрической инерциальной системе отсчета. Для большей Har лядно сти и простоты будем считать, что опыт проводится на по люсе. Пусть в начальный момент маятник отклоняют от поло жения равновесия. Действующие на маятник сила притя   жения к Земле F T и сила упруrости подвеса маятника Т лежат в той же вертикальной плоскости (рис. 3.14). Co rласно второму закону Ньютона ускорение маятника совпа  дает по направлению с равнодействующей силой F и поэто му лежит в той же вертикальной плоскости. А это значит, что с течением времени плоскость колебаний маятника в инерциальной системе отсчета должна оставаться неизменной. Так и происходит в re лиоцентрической системе. Однако система отсчета, связанная с Зем лей, не является инерциальной, и относительно нее плоскость коле баний маятника поворачивается вследствие вращения Земли. Чтобы это обнаружить, необходимо подвес сделать таким, чтобы трение в нем было мало, а сам маятник  ДOCTa точно массивным. Иначе трение в подвесе заставит плоскость колеба ний следовать за вращением Земли. Рис. 3.14 .. 73 
Смещение плоскости колебаний маятника относительно Земли становится заметным уже через несколько минут. На средних широтах колебания маятника будут выrлядеть несколько сложнее, но суть явления не изменится. Впер вые такой опыт был произведен ж. Фуко в 1850 r. в Па риже. Равномерное прямолинейное движение не влияет на механические процессы. rалилей первым обратил внима ние на то, что равномерное прямолинейное движение по отношению к Земле совершенно не сказывается на тече нии всех механических явлений. Допустим, вы находитесь в каюте корабля или в BaroHe поезда, движущеrося плавно, без толчков. Вы можете спо койно иrрать в бадминтон или пинrпонr, как и на земле. Мяч или волан будет по отношению к стенам и полу пере мещаться точно так же, как и по отношению к Земле при иrре в обычных условиях. Если не посмотреть в окно, то с уверенностью нельзя сказать, что же происходит с поез дом: движется он или стоит. Если в движущемся с постоянной скоростью BaroHe изучать падение тел, колебания маятника и друrие явле ния, то результаты будут точно такими же, как и при ис следовании этих явлений на Земле. Коrда современный pe активный самолет летит со скоростью около 1000 км/ч, в ero салоне не происходит ничеrо, что позволяло бы ощутить эту оrромную скорость. Вы можете есть, спать, иrрать в шахматы, чувствуя себя как дома. Лишь при резком торможении поезда нужно прилаrать дополнительные усилия, чтобы устоять на Horax. При боль шой болтанке самолета или качке парохода на большой волне об иrре с мячом не может быть и речи. Все предметы приходится закреплять, чтобы они оставались на своих Me стах. Принцип относительности. На основании подобных Ha блюдений можно сформулировать один из самых фунда ментальных законов природы  nринциn относитель ности: Все механические npoцeccьt протекают одинаково во всех инерциальньtх системах отсчета. Это утверждение известно как принцип относительно сти в механике. Ero еще называют принципом относитель ности rалилея. Не нужно думать, что выполнение принципа относи тельности означает полную тождественность движения одноrо и Toro же тела относительно различных инерциаль ных систем отсчета. Тождественны лишь законы динами ки. Законы движения тел определяются не только закона ми динамики, но и начальными скоростями и начальными координатами тел. А начальные скорости и начальные KO 74 
, .;:.: -'1 ' t1':..\ ",4("t ' ,,(' .....Q....-!..I..... v  "'"""""""T. -j;""" '....-.:,,/, Pc. 3.15 Pc. 3.16 ординаты данноrо тела относительно разных систем отсче та различны. Так, камень будет падать отвесно, если ero начальная скорость равна нулю по отношению к Земле. В равномерно движущемся поезде камень также будет падать отвесно по отношению к стенам BaroHa, если начальная скорость KaM ня по отношению к поезду равна нулю. Но, с точки зрения наблюдателя на Земле, камень, падающиЙ отвесно в по езде, будет двиrаться по параболе (рис. 3.15, 3.16). Дело в том, что начальная скорость камня по отношению к сис теме отсчета, связанноЙ с ЗемлеЙ, отлична от нуля и равна скорости поезда. Открытие принципа относительности  одно из вели чаЙших достижениЙ человеческоrо разума. Оно оказалось возможным лишь после Toro, как люди поняли, что ни Земля, ни Солнце не являются центром ВселенноЙ. ш ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ Познакомимся с задачами, для решения которых не нужно знать как зависят силы от расстояниЙ между взаи модеЙствующими телами (или частями одноrо тела) и от их скоростеЙ. Единственное, что нам потребуется,  это выражение для силы тяжести вблизи поверхности Земли: р т = mg. 1. К центру однородноrо шарика массой т == 0,2 Kr приложе на сила F == 1,5 Н. Определите модуль и направление силы Рl' которую необходимо приложить к центру шарика. помимо силы Р, чтобы шарик двиrался с ускорением а == 5 м/с 2 , направлен  ным так же, как 11 сила F (рис. 3.17). Реш е н и е. На шарик деЙст  вуют две силы: сила F и искомая + сила FI' Поскольку модуль И Ha Pc. 3.17  75 
 правление силы Р] неизвестны, можно изобразить на ри  сунке сначала только силу F (см. рис. 3.17). Соrласно BTO рому закону Ньютона т{; == F + Р], Отсюда 1] == т{;  1. Так как векторы т{; и 1 в любой момент времени должны  быть расположены на одной прямой, то и сила Р], являясь их разностью, расположена на той же прямой. Таким образом, искомая сила может быть направле  на либо так же, как сила Р, либо противоположно ей.  Чтобы определить модуль и направление силы Р], най дем ее проекцию на ось Х, направление которой совпада  ет с силой Р. Учитывая, что РХ == F и ах == а, выражение  для силы Р] В проекциях на ось Х можно записать в виде Р]Х == та  Р. Проанализируем последнее выражение. Если та> Р,  то Р]Х > О, т. е. сила Р] направлена так же, как и ось Х. Если же та < Р, то Р]Х < О, т. е. сила Р] направлена проти воположно направлению оси х. Для рассматриваемоrо случая Р]Х == 0,2 . 5 Н  1,5 Н == 0,5 Н.  Следовательно, сила Р] направлена противоположно оси Х (рис. 3.18). стью и() == 4,4 м/с. 2. В результате полученноrо толчка брусок начал скользить вверх по наклонной плоскости из точки О с начальной CKOpO Определите положение бруска относительно точки О через промежуток времени t] == 2 с после начала ero движения, если уrол наклона плоскости к rори З0НТУ а == 30 . Трение не учитывать. Реш е н и е. Поскольку требует ся найти положение бруска относи тельно точки О, начало координат возьмем в этой точке. Ось Х напра вим вдоль наклонной плоскости вниз, а ось У  перпендикулярно этой плоскости вверх (рис. 3.19). При движении бруска на Hero дей ствуют две силы: сила тяжести mg  и сила реакции опоры N 2 наклон ной плоскости, перпендикулярная последней. Эту силу иноrда называ ют силой нормальной реакции. Она всеrда перпендикулярна поверхно сти, по которой движется тело. F Рис. 3. _8 х Рис. 3. _' 76 
Соrласно второму закону Ньютона т{; == mg + N 2 . Так как на брусок действуют постоянные силы, то вдоль оси Х он будет двиrаться с постоянным ускорением. Следователь но, чтобы определить положение бруска относительно точ ки О, можно воспользоваться кинематическим уравнением а t 2 Х == Хо + voxt + т При сделанном выборе направления оси Х и начала KO ординат имеем: Хо == О и и ох == иo. Проекцию ускорения ах на ось Х найдем по второму закону Ньютона. Для pac сматриваемоrо случая та х == mg x + N x . Учитывая, что mg x == mg sin а и N x == О, получим ах == g sin а. Таким обра зом, gt 2 sin а х == vot + 2 ; 98.4 Х] ==  4,4 . 2 м +  м == 1 м. 3. Два тела массами т] == 10 r и т2 == 15 r связаны нерастя жимой и невесомой нитью, перекинутой через невесомый блок, установленный на наклонной плоскости (рис. 3.20). Плоскость образует с rоризонтом уrол а == 300. Определите ускорение, с KO торым будут двиrаться эти тела. Трением пренебречь. Реш е н и е. Предположим, что тело массой т] пере тяrивает. Выберем оси координат так, как показано на рисунке 3.21. В проекциях на оси Х] и Х ypaBHe ния движения тел запишутся в виде: т]а == m]g  Т]' т 2 а == Т 2  m 2 g sin а. Силы натяжения нити равны, т. К. нить И блок невесомы. Сложив левые и правые части ypaB  т т2 sina нении, получим а == ] g == 0,98 м/с 2 . Так как а> О, т] + т 2 то движение тел происходит в выбранном направлении. 4. Автомобиль массой т == 1000 Kr движется со скоростью v == 36 км/ч по выпуклому мосту, имеющему радиус кривизны R == 50 м. С какой силой F давит автомобиль на мост в ero ce х Х] Рис. 3.10 Рис. 3.11 77 
редине? С какой минимальной CKOpO стью Vmin должен двиrаться автомобиль для Toro, чтобы в верхней точке он пе рестал оказывать давление на мост? Реш е н и е. Силы, действующие на автомобиль вдоль радиуса MOC та, изображены на рисунке 3.22: т;  сила тяжести; N  сила нормальной реакции моста. По третьему закону Ньютона искомая  сила давления F равна по модулю  силе реакции моста N. При дви жении тела по окружности Bce rда направляем одну из осей KO ординат от тела к центру окружности. Соrласно второму закону Ньютона центростремительное ускорение aBTOMO биля определяется суммой сил, действующих на Hero вдоль радиуса окружности, по которой он движется: mv 2 jR == mg  N. Отсюда F == N == т (g  v 2 jR) == 7,8 кН. Сила давления на мост станет равной нулю при тийп! R == mg, так что v mlП == 80 кмjч. При скорости, превышающей V шiп ' aBTOMO биль оторвется от поверхности моста. N х Рис. 3.11 ш УПРАЖНЕНИЕ 6 1. К центру шара приложена сила F (рис. 3.23). Куда направлено ускорение шара? В каком направ лении движется шар? 2. Ни динамометре опускают по вертикали rpy3 массой 5 Kr так, что ero скорость за 2 с изме няется от 2 до 8 м/с. Определите пока38ние дина Рис. 3.23 мометра. 3. На полу лифта находится тело массой 50 Kr. Лифт подни мается так, что за 3 с ero скорость изменяется от 8 до 2 м/с. Определите силу давления тела на пол лифта. 4. Тепловоз на rОРИЗ0нтальном участке пути длиной 600 м развивает постоянную силу тяrи 147 кН. Скорость поезда возрас тает при этом от 36 до 54 км/ч. Определите силу сопротивления движению, считая ее постоянной. Масса поезда 1000 т. 5. Жесткий стержень длиной 1 м с при крепленным к нему шариком массой 100 r вращается равномерно в вертикальной плоскости. Определите модуль и направление силы, с которой стержень деЙствует на шарик в верхней точке, при скоростях шарика 2 м/с и 4 м/с. 78 F 
6. Два rруза массами 2 Kr и 4 Kr, связанные нерастяжимой нитью, поднимают по вертикали силой 84 Н, приложенной к первому rрузу. Определите ускорение, с которым движутся rрузы, и силу натяжения нити. l'лава 3. КРАТКИЕ итоrи Основу классической механики составляют три закона, отн:рытые Ньютоном для тел, размерами которых можно пренебречь (для материальных точек). Эти законы спра ведливы непосредственно при рассмотрении движения OT носительно инерциальных систем отсчета. Первый закон Ньютона утверждает, что существуют системы отсчета, называемые инерциальными, относи 'сельно которых тела, достаточно удаленные от всех дpy rих тел, движутся равномерно и прямолинейно. Соrласно второму закону Ньютона произведение массы тела на ero ускорение равно сумме действующих на тело сил: m(; == Рl + Р 2 + ... == Р. Третий закон Ньютона rласит: силы, с которыми тела действуют друr на друrа, равны по модулю и направлены по одной прямой в противоположные стороны. Фундаментальное значение для физики имеет принцип относительности. Принцип относительности в механике был установлен rалилеем. Соrласно этому принципу все механические явления протекают одинаково во всех инер циальных системах отсчета при одинаковых начальных условиях. rлава 4 СИЛЫ В МЕХАНИКЕ в rлаве 2 мы ввели понятие силы как коли чественной меры действия одноrо тела на дpy roe. В этой rлаве мы рассмотрим, какие силы встречаются в механике, чем определяются их значения.  29 СИЛЫ В ПРИРОДЕ Выясним сначала, MHoro ли видов сил существует в природе. На первый взrляд кажется, что мы ВЗЯЛIlСЬ за непо сильную и неразрешимую задачу: тел на Земле и вне ее бесконечное множество. Они взаимодействуют поразному. 79 
Так. например. камень падает на Землю; электровоз тянет поезд; Hora футболиста ударяет по мячу; потертая о мех эбонитовая палочка притяrивает леrкие бумажки. маrнит притяrивает железные опилки; проводник с током повора чивает стрелку компаса; взаимодействуют Луна и Земля. а вместе они взаимодействуют с Солнцем; взаимодейству ют звезды и звездные системы и т. д. Подобным примерам нет конца. Похоже. что в природе существует бесконечное множество взаимодействий (сил)? Оказывается. нет! Четыре типа сил. В безrраничных просторах Вселен ной. на нашей планете. в любом веществе. в живых opra низмах. в атомах. в атомных ядрах и в мире элементар ных частиц мы встречаемся с проявлением Bcero лишь четырех типов сил: rравитационных. электромаrнитных. сильных (ядерных) и слабых. rравитационные силы. или силы всемирноrо тяrоте ния. действуют между всеми телами  все тела притяrи ваются друr к друrу. Но это притяжение существенно обычно лишь тоrда. коrда хотя бы одно из взаимодейству ющих тел так же велико. как Земля или Луна. Иначе эти силы столь малы. что ими можно пренебречь. Электромаzнитные силы действуют между частица ми. имеющими электрические заряды. Сфера их действия особенно обширна и разнообразна. В атомах. молекулах. твердых. жидких и rазообразных телах. живых орrаниз мах именно электромаrнитные силы являются rлавными. Велика их роль в атомах. Область действия ядерных сил очень оrраничена. Они заметны только внутри атомных ядер (т. е. на расстояни ях порядка 1013 см). Уже на расстояниях между частица ми порядка 10ll см (в тысячу раз меньших размеров aTO ма  108 см) они не проявляются совсем. Слабые взаимодействия проявляются на еще меньших расстояниях. порядка 1015 см. Они вызывают взаимные превращения элементарных частиц. определяют радиоак тивный распад ядер. реакции термоядерноrо синтеза. Ядерные силы  самые мощные в природе. Если ин тенсивность ядерных сил принять за единицу. то интен  сивность электромаrнитных сил составит 102. rравитаци онных  1040. слабых взаимодействий  1016. Сильные (ядерные) и слабые взаимодействия проявля ются на таких малых расстояниях. коrда законы механи ки Ньютона. а с ними вместе и понятие механической силы теряют смысл. В механике мы будем рассматривать только rравитаци онные и электромаrнитные взаимодействия. Силы в механике. В механике обычно имеют дело с тремя видами сил  силами тяrотения. силами упруrо сти и силами трения. 80 
Силы упруrости и трения имеют электромаrнитную природу . Мы не будем здесь объяснять происхождение этих сил. с помощью опытов можно будет выяснить усло вия, при которых возникают эти силы. и выразить их KO личественно. в природе существуют четыре типа взаимодействия. В механике изучаются rравитационные силы и две разно видности электромаrнитных сил  силы упруrости и силы трения. rравитационные силы  30 СИЛЫ ВСЕмиРноrо тяrОТЕНИЯ в rлаве 1 подробно rоворилось о том. что земной шар сообщает всем телам у поверхности Земли одно и то же ускорение  ускорение свободноrо падения. Но если зем ной шар сообщает телу ускорение, то соrласно второму за кону Ньютона он действует на тело с некоторой силой. Эту силу называют силой тяжести. Сначала найдем эту силу. а затем и рассмотрим силу всемирноrо тяrотения. у скорение по модулю определяется из BToporo закона Ньютона: F a   . т в общем случае оно зависит от силы. действующей на тело, и ero массы. Так как ускорение свободноrо падения не зависит от массы. то ясно. что сила тяжести должна быть пропорциональна массе: I F == mg, I (4.1) rде g  постоянная для всех тел величина. Тоrда. под ставляя это выражение для силы тяжести во второй закон mg Ньютона, получаем для всех тел: а ==  == g. что находит т ся в полном соrласии с опытом. Нужно только помнить, что сила тяжести, действую щая на данное тело вблизи Земли, может считаться посто янной лишь на определенной широте у поверхности Зем ли. Если тело поднять или перенести в место с друrой широтой, то ускорение свободноrо падения. а следователь но. и сила тяжести изменятся. На основе формулы F == mg можно указать простой и практически удобный метод измерения масс тел путем 81 
Это значит, что массы тел ОДlIнако вы, если одинаковы действующие на них силы тяжести. На этом OCHO вано определение масс путем взве шивания на пружинных или ры  чажных весах. Добиваясь Toro, что бы сила давления тела на чашку весов, равная силе тяжести, приложенной к телу, была уравновешена силой давления rирь на друrую чашку весов, равной силе тяже сти, приложенной к rирям, мы тем самым определяем Mac су тела. Сила Бсемирноrо тяrотения. НЬЮ'l'он был первым, кто cTporo доказал, что причина, вызывающая падение камня на Землю, движение Луны BOKpyr Земли и планет BOKpyr Солнца, одна и та же. Это сила тяrотения, действующая между любыми телами Вселенной. Вот ход рассуждений, приведенных в rлавном ero труде «Математические начала натуральной философии»: «Бро шенный на Землю камень отклонится под действием тя жести от прямолинейноrо пути и, описав кривую Tpa{>KTO рию, упадет наконец на Землю. Если ero бросить с большей скоростью, то он упадет дальше» (рис. 4.1). Продолжая эти рассуждения, Ньютон приходит к выводу, что если бы не сопротивление воздуха, то траектория KaM ня, брошенноrо с высокой rоры с определенной скоростью, моrла бы стать такой, что он вообще никоrда не достиr бы поверхности Земли, а двиrался бы BOKpyr нее подобно тому, как планеты описывают в небесном пространстве свои орбиты. Сейчас нам стало настолько привычным движение спутников BOKpyr Земли, что разъяснять мысль Ньютона подробнее нет необходимости. Итак, по мнению Ньютона, движение Луны BOKpyr Зем ли или движение планет BOKpyr Солнца  это тоже своБОk ное падение, которое длится, не прекращаясь, миллиарды лет. Причиной TaKoro падения (идет ли речь действительно о падении обычноrо камня на Землю или о движении ПJIа нет по их орбитам) служит сила тяrотения. Как и всем друrим телам, Земля должна сообщать Луне ускорение, не зависящее от массы Луны. Траектория движения Луны хорошо известна, т. е. известно положе ние Луны относительно Земли в любой момент времени. , \ \ \ , , '........ .............. Рис. 4.1 81 сравнения массы Д8нноrо тела с эталоном единицы массы. Отноше ние масс двух тел равно отношению сил тяжести, действующих на тела: nZ 1  Fl nZ2  Р2 . (4.2) 
По этим данным нетрудно чисто кинематически опреде лить ее ускорение. Оно оказывается примерно в 3600 (602) раз меньше, чем ускорение свободноrо падения у поверх ности Земли. Расстояние до Луны приблизительно равно 60 земным радиусам. Отсюда можно сделать важнейший вывод: ускорение, которое сообщает телам сила притяже ния к Земле, убывает обратно пропорционально квадрату расстояния до центра Земли: C 1 а == 2' r rде c 1  некоторый коэффициент пропорциональности, одинаковый для всех тел. Исследование движения планет показало, что это дви жение вызвано силой притяжения к Солнцу. Используя тщательные мноrолетние наблюдения датскоrо астронома Т. Б р а r е, И. К е п л е р установил кинематические зако ны движения планет. Из этих законов Ньютон нашел, что Солнце сообщает всем планетам ускорение, обратно про порциональное квадрату расстояния от планет до Солнца: С 2 а == 2. (4.3) r Постоянная С 2 одинакова для всех планет, но не совпа дает с постоянной C 1 дЛЯ ускорения, сообщаемоrо телам земным шаром. Из приведенных данных вытекает вывод о том, что сила тяrотения в обоих случаях (притяжение к Земле и Солнцу) сообщает всем телам ускорение, не зависящее от массы этих тел, и убывает обратно пропорционально KBak рату расстояния между ними.  31 ЗАКОН ВСЕмиРноrо тяrОТЕНИЯ Можно лишь доrадываться о волнении, охватившем Ньютона, коrда он пришел к великому результату: одна и та же причина вызывает явления поразительно широкоrо диапазона  от падения брошенноrо камня на Землю до движения orpoMHbIx космических тел. Ньютон нашел эту причину и cMor точно выразить ее в виде одной форму лы  закона всемирноrо тяrотения. Так как сила всемирноrо тяrотения сообщает всем Te лам одно и то же ускорение независимо от их массы, то она должна быть пропорциональна массе Toro тела, на которое действует: F == ст R 2 . (4.4) 8) 
Но поскольку, например, Земля действует на Луну с силой, пропорциональной массе Луны, то и Луна по Tpe тьему закону Ньютона должна действовать на Землю с той же силой. Причем эта сила должна быть пропорциональна массе Земли. Если сила тяrотения является действительно универсальной, то со стороны данноро тела на любое дpy рое тело должна действовать сила, пропорциональная Mac се этоrо друроро тела. Следовательно, сила всемирноrо тя rотения должна быть пропорциональна произведению масс взаимодействующих тел. Отсюда вытекает формулировка закона BceMupHOZO тяzотения: Сила взаимноzо притяжения двух тел прямо nроnорциональна произведению масс этих тел и 06 ратно nроnорциональна квадрату расстояния меж ду ними: IPa.1 (4.5) Коэффициент пропорциональности G называется rрави тационной постоянной. rравитационная постоянная численно равна силе при тяжения между двумя материальными точками массой 1 кр каждая, если расстояние между ними равно 1 м. Ведь при т 1  т 2  1 кр и R  1 м получаем G  F (численно). Нужно иметь в виду, что закон всемирноrо тяrотения (4.5) как всеобщий закон справедлив для материальных точек. При этом силы rравитацион m2 норо взаимодействия направлены Q вдоль линии, соединяющей эти точ ки (рис. 4.2). Подобноrо рода силы называются центральными. Можно показать, что однородные тела, имеющие форму шара (даже если их нельзя считать материальными точками), также взаимодействуют с силой, определяемой формулой (4.5). В этом случае R  расстоя ние между центрами шаров. Силы взаимноrо притяжения лежат на прямой, проходящей через центры шаров. (Такие силы и называются центральными.) Тела, падение которых на Землю мы обычно рассматриваем, имеют размеры, MHO ро меньшие, чем земной радиус (R  6400 км). Такие тела можно, независимо от их формы, рассматривать как MaTe риальные точки и определять силу их притяжения к Земле с помощью закона (4.5), имея в виду, что R есть расстояние от данноро тела до центра Земли. Определение rравитационной постоянной. Теперь BЫ ясним, как можно найти rравитационную постоянную. Прежде всеро заметим, что G имеет определенное наимено вание. Это обусловлено тем, что единицы (и COOTBeTCTBeH ml g .  Fl .. F 2 Рис. 4.1 84 
но наименования) всех величин, входящих в закон Bce мирноrо тяrотения, уже были установлены ранее. Закон же тяrотения дает новую связь между известными величи нами с определенными наименованиями единиц. Именно поэтому коэффициент оказывается именованной величи  ной. Пользуясь формулой закона всемирноrо тяrотения, леrко найти наименование единицы rравитационной по стоянной в СИ: Н. M 2 /Kr 2 == M 3 /(Kr . с 2 ). Для количественноrо определения G нужно независимо определить все величины, входящие в закон всемирноrо тяrотения: обе массы, силу и расстояние между телами. Использовать для этоrо астрономические наблюдения нельзя, так как определить массы планет, Солнца, да и Земли, можно лишь на основе caMoro закона всемирно ro тяrотения, если значение rравитационной постоянной известно. Опыт должен быть проведен на Земле с телами, массы которых можно измерить на весах. Трудность состоит в том, что rравитационные силы между телами небольших масс крайне малы. Именно по этой причине мы не замечаем притяжение нашеrо тела к окружающим предметам и взаимное притяжение пред метов друr к друrу, хотя rравитационные силы  самые универсальные из всех сил в природе. Два человека Macca ми по 60 Kr на расстоянии 1 м друr от друrа притяrивают ся с силой Bcero лишь порядка 109 Н. Поэтому для изме рения rравитационной постоянной нужны достаточно тонкие опыты. Впервые rравитационная постоянная была измерена анrлийским физиком r. к а в е н Д и ш е м в 1798 r. с по мощью прибора, называемоrо крутильными весами. Схема крутильных весов показана на рисунке 4.3. На тонкой упруrой нити подвешено леrкое коромысло с двумя одина  ковыми rрузиками на концах. Рядом неподвижно закреп лены два тяжелых шара. Между rрузиками и неподвижны ми шарами действуют силы тяrотения. Под влиянием этих сил коромысло поворачивается и за кручивает нить. По уrлу закручива ния можно определить силу притя жения. Для этоrо нужно только знать упруrие свойства нити. Массы тел известны, а расстояние между центрами взаимодействующих тел можно непосредственно измерить. Из этих опытов было получено следующее значение для rравитаци ОН ной постоянной: G == 6,67 . 1011 Н . M 2 /Kr 2 . Лишь в том случае, коrда взаимо действуют тела оrромных масс (или Рис. 4.3 85 
по крайней мере масса одноrо из тел очень велика), сила тяrотения достиrает большой величины. Например, Земля и Луна притяrиваются дру!' к друrу с силой F  2 . 1020 Н. Зависимость ускорения своБОДllоrо падения тел от {'eo rрафической широты. Одна из причин увеличения YCKO рения свободноrо падения при перемещении точки, {'де Ha ХОДИТСЯ тело, от экватора к полюсам, состоит в том, что земной шар несколько сплюснут у полюсов и расстояние от центра Земли до ее поверхности у полюсов меньше, чем на экваторе. Друrой, более существенной причиной явля ется вращение Земли. Раненство инертной и rраВllтационной масс. Самым поразительным свойством rравитационных сил является то, что они сообщают всем телам, независимо от их масс, одно и то же ускорение. Что бы вы сказали о футболи сте, удар KOToporo одинаково ускорял бы обыкновенный кожаный мяч и двухпудовую rирю? Каждый скажет, что это невозможно. А вот Земля является именно таким «He обыкновенным футболистом» с той только разницей, что действие ее на тела не носит характера KpaTKoBpeMeНlIOI'o удара, а продолжается непрерывно миллиарды лет. Необыкновенное свойство rравитационных сил, как мы уже rоворили, объясняется тем, что эти силы пропорцио нальны массам обоих взаимодействующих тел. Факт этот не может не вызывать удивления, если над ним хорошень ко задуматься. Ведь масса тела, которая входит во второй закон Ньютона, определяет инертные свойства тела, т. е. ero способность приобретать определенное ускорение под действием данной силы. Эту массу естественно назвать инертнои массои и обозначить через т и . Казалось бы, какое отношение она может иметь к спо собности тел притяrивать дру!' друrа? Массу, определяю щую способность тел притяrиваться дру!' к друrу, следует назвать zравитационной массой те. Из механики Ньютона совсем не следует, что инертная и rравитационная массы одинаковы, т. е. что т и == те' (4.6) Равенство (4.6) является непосредственным следствием из опыта. Оно означает, что можно rоворить просто о Mac се тела как о количественной мере как инертных, так и rравитационных ero своЙств. Закон всемирноrо тяrотения является одним из самых универсальных законов природы. Он справедлив для лю бых тел, обладающих массой. 86 
 32 ПЕРВАЯ КОСМИЧЕСКАЯ СКОРОСТЬ Вычислим скорость, которую надо сообщить искусст венному спутнику Земли, чтобы он двиrался по круrовой орбите на высоте h над Землей. На больших высотах воздух сильно разрежен и OKa зывает незначительное сопротивление движущимся в нем телам. Поэтому можно считать, что на спутник действу  сила Р, Земли ет только rравитационная направленная к центру (рис. 4.4). По второму закону Ньютона т{; == Р. Центростремительное ускорение спутника определяется формулой и 2 а == R + h ' rде h  высота спутника над поверхностью Земли. Сила же, действующая на спутник, соrласно Рис. 4.4 закону всемирноrо тяrотения опре деляется формулой F == G тМ 2 ' rде М  масса Земли. (R + h) Подставив значения F и а в уравнение для BToporo за кона Ньютона, получим т и 2 == G тМ R + h (R + h)2 Отсюда V ==  :h . (4.7) Из полученной формулы следует, что скорость спутника зависит от ero расстояния от поверхности Земли: чем боль ше это расстояние, тем с меньшей скоростью он будет дви rаться по круrовой орбите. Примечательно то, что эта CKO рость не зависит от массы спутника. Значит, спутником Земли может стать любое тело, если ему сообщить опреде ленную скорость. В частности, при h == 2000 км == 2 . 106 М скорость V ::::: 6900 м/с. Минимальная скорость, которую надо сообщить телу на поверхности Земли, чтобы оно стало спутником Земли, движущимся по круrовой орбите, называется первой KOC мической скоростью. Первую космическую скорость V 1 можно найти по фор муле (4.7), если принять h == о: V\ == JG  . (4.8) 87 
Подставив в формулу (4.8) значение G и значения вели чин М и R для Земли. можно вычислить первую космиче скую скорость для спу тника Земли : I и] ::::: 8 км/с.1 Если такую скорость сообщить телу в rоризонтальном направлении у поверхности Земли. то при отсутствии aT мосферы оно станет искусственным спутником Земли, об ращающимся BOKpyr нее по круrовой орбите. Такую скорость спутникам способны сообщать только достаточно мощные космические ракеты. В настоящее Bpe мя BOKpyr Земли обращаются тысячи искусственных спут ников. Любое тело может стать искусственным спутником дpy roro тела (планеты), если сообщить ему необходимую CKO рость.  33 СИЛА ТЯЖЕСТИ И БЕС. НЕБЕСОМОСТЬ Из равенства ускорений, сообщаемых Землей всем Te лам, вытекает возможность появления состояния HeBeco мости при свободном падении тел. Представим себе взмывающий вверх самолет. Он и Ha ходящиеся в нем люди и предметы имеют одну и ту же скорость. Если бы в некоторый момент взаимодействие ca молета с воздухом прекратилось, то он сам, люди и все предметы внутри Hero начали бы свободно падать. двиrа ясь с одним и тем же ускорением, направленным к центру Земли. Их движение происходило бы по одинаковым пара болам (рис. 4.5). Вот при этом и наступает состояние невесомости: падает пилот в кабине, с тем же ускорением падают стены, пол и потолок кабины. В результате человек будет свободно парить над полом, не оказывая дaв ленuя на окружающие предметы. MHoroKpaTHo проделывали опы ты, в которых создавалось состоя ние невесомости. Например, caMO лет разrоняется и, начиная с HeKoToporo момента, движется cTporo по параболе, той, которая была бы в отсутствие воздуха. В кабине при этом наблюдаются необыкновенные явления: маятник замирает в отклоненном положе нии, выплеснутая из стакана вода "............ / , / , / \'\ / ' / ' / \ / \ / \ / \ / \ / \  / o  Рис. 4.5 88 
большой сферической каплей повисает в воздухе и рядом с ней застывают, будто подвешенные на невидимых нитях, все остальные предметы независимо от их массы и формы. То же самое происходит и в кабине космическоrо KO рабля при движении ero по орбите. На большой высоте над Землей почти нет воздуха, так что не надо ero сопро тивление компенсировать работой двиrателей. Да и полет длится не минуту, а мноrие сутки. Наконец, вы без особоrо труда можете сами привести свое тело в состояние невесомости. Для этоrо достаточно подпрыrнуть. В течение небольшоrо промежутка времени, пока на ваше тело действует только сила тяжести, вы буде те находиться в состоянии невесомости совершенно так же, как космонавты в космическом корабле. Теперь посмотрим внимательно, чем сила тяжести OT личается от веса, и почему вес тела при свободном паде нии исчезает, в то время как действующая на Hero сила тяжести остается. Силой тяжести называют силу, с которой Земля притя rивает тело, находящееся на ее поверхности или вблизи этой поверхности. Под весом же в физике обычно пони мают нечто совсем иное. Весом тела называют силу, с KO торой это тело действует на rоризонтальную опору или растяrивает подвес. Вес не является силой какойто специ фической природы. Это название присвоено частному слу чаю проявления силы упруrости. Вес действует непосредственно на чашку пружинных весов и растяrивает пружину; под действием этой силы по ворачивается коромысло рычажных весов. Поясним CKa занное простым примером. Пусть тело А находится на rоризонтальной опоре В (рис. 4.6), которой может служить чашка весов. Силу тя  жести обозначим через F, а силу давления тела на опору   (вес)  через Fl" Модуль силы реакции опоры F 2 равен   модулю веса Fl" Сила F 2 направлена в сторону, противопо ложную весу F1' Сила реакции опо ры приложена не к опоре, а к находя щемуся на ней телу. В то время как сила тяжести ff обусловлена взаимодействием тела с Землей, вес Р 1 появляется в резуль тате совсем друrоrо взаимодействия: взаимодействия тела А и опоры В. Поэтому вес обладает особенностями, существенно отличающими ero от силы тяжести. Важнейшей особенно стью веса является то, что ero значе А p <Р 2 Рис. 4.6 89 
ние зависит от ускорения, с которым движется опора. При перенесении тел с полюса на экватор их вес изменяется, так как вследствие суточноrо вращения Земли весы с телом имеют на экваторе центростремительное ускорение. ПО BTO рому закону Ньютона для тела, находящеrося на экваторе, тМ з имеем ты 2 R == G"""[i2  N э , rде N э  сила реакции опоры, равная весу тела. Отсюда тМ з 2 N э == G"""[i2  ты R. На полюсе вес тела равен силе тяrотения. Очевидно, что на полюсе вес тела больше, чем на экваторе. OCTaHO вимся на более простом случае. Пусть тело находится на чашке пружинных весов в лифте, движущемся с YCKope нием ii. Соrласно второму закону Ньютона mii == 1 + 12' rде т  масса тела. Координатную ось ОУ системы отсчета, связанной с Землей, направим вертикально вниз. Запишем уравнение движения тела в проекции на эту ось: та у == Ру + Р 2у . Если ускорение направлено вниз, то, выражая проекции BeKTO ров через их модули, получаем та == F  Р 2 . Так как Р 2 == F 1 , то та == F  Fl' Отсюда ясно, что лишь при а == О вес равен силе, с которой тело притяrивается к Земле (F 1 == Р). Если а "# о, то Fl == F  та == т (g  а). Вес тела за висит от ускорения, с которым движется опора, и появле ние этоrо ускорения эквивалентно изменению ускорения свободноrо падения. Если, например, лифт падает своБОk но, т. е. а == g, то Fl == т (g  g) == о. Наступление у тел состояния невесомости означает, что тела не давят на опору и, следовательно, на них не дейст вует сила реакции опоры, они движутся только под дейст вием силы притяжения к Земле. [1] t. Спра_едпи_ пи закон _семирноrо тяrотения дпя Ten ПРОИЗ_ОПIo ной фОРМIo.! 2. Какие СИПIo. наЗIo._ают центрапIoНIo.МИ! 3. Како_ физический CMIo'Cn rра_итационной постоянной! 4. Что наЗIo._ают состоянием не_есомости! 5. Что наЗIo._ается _есом Tena! 6. Будет пи параwютист _о _ремя ПРIo.жка находиться _ состоянии не_есомости! 90 
Силы УНРУl'ОСТИ  34 ДЕФОРМАЦIIЯ 11 СIIJlЫ упруrости Силы тяrотения действуют между телами всеrда. Не нужно заботиться о том, чтобы привести эти силы в дейст ВИР, и нет возможности их уничтожить, их можно только скомпенсировать. А вот силы упруrости возникают при дe формации тел и исчезают, коrда она прекращается. Под дефор.мациеi.J. понимают изменение объема или формы тела. Для Toro чтобы различные тела или части одноrо и Toro же тела взаимодействовали посредством сил упруrости, необходимо определенное условие: тела должны быть дe формированы. Силы упруrости возникают только при деформации тел. Значения сил упруrости обычно определяются значе юшми этих деформаций. Для Toro чтобы резиновый шнур или пружина действо вали с не которой силой на ваши руки, эти тела нужно предварптрльно растянуть, т. е. деформировать (рис. 4.7). Чтобы упруrая сетка батута подбросила акробата, ее нуж но предварительно проrнуть (рис. 4.8). Такой проrиб возникает при прыжке на сетку с некоторой высоты. При исчезновении деформации одновременно исчезают и силы упруrости. При попытке изменить объем или форму твердых тел возникают силы упруrости, препятствующие деформации. Жидкости форму не сохраняют. Вы можете перелить воду из rрафина в стакан, и это не вызовет появления сил упруrости. / Попробуйте сжать жидкость хотя I / бы внутри велосипедноrо насоса или 11 f     J \ просто в бутылке. Сила упруrости не "r замедлит сказаться. Точно так же сила упруrости появляется при сжа тии в насосе воздуха. Итак, силы упруrости возникают всеrда при попытке изменить объем или форму твердоrо тела, при изме нении объема жидкости, а также при сжатии rаза. Рис. 4.8 F] П"'-'ii F 2 W\"'\ Рис. 4.1 91 
Деформация тела возникает лишь в том случае, коrда различ ные части тела совершают раз личные перемещения. Например, коrда вы растяrиваете резиновый шнур, различные части шнура пере мещаются на различные расстояния. Больше Bcero смеща ются края, а середина вообще остается на месте. Рассмотрим пружину, находящуюся на идеально rлад  ком столе. Под действием внешней силы F пружина, обла дающая массой, оказывается растянутой неодинаково по длине. Больше будут растянуты те участки, которые pac  положены ближе к месту, rде приложена сила F (рис. 4.9). Ведь здесь сила упруrости крайнеrо правоrо участка пру жины должна сообщить ускорение всей системе: телу и пружине, а сила упруrости вблизи противоположноrо (ле Boro) конца сообщает то же самое ускорение лишь телу. Если массой пружины можно пренебречь (т. е. если она мала по сравнению с массой тела), то деформация всех участков пружины будет одинакова. Точно так же при торможении быстро движущеrося тела с помощью силы, приложенной к одному из участков поверхности тела, воз никают деформации и сила упруrости. Так, при паде нии мяча на пол нижние участки мяча при столкновении с жестким полом резко тормозятся, а верхние в первый момент продолжают по инерции двиrаться вперед. В pe зультате мяч сплющивается и возникают силы упруrо сти, останавливающие весь мяч. Понятно, что деформа ция и силы упруrости будут большими в нижней части мяча.  ;///////////////////////// Рис. 4.9 В отличие от сил тяrотения, действующих между Te лами всеrда, для возникновения сил упруrости необходи мо определенное условие: тела должны быть деформиро ваны.  35 ЗАКОН rYKA При малых деформациях связь силы упруrости тела с ero деформацией проста. Она была открыта эксперимен тально анrлийским физиком Робертом rYKOM, современни ком Ньютона. УпРУ20U называется деформация, при которой тело BOC станавливает свои первоначальные размеры и форму, как только прекращается действие силы, вызвавшей эту дe формацию. 91 
Закон rYKa для упруrой дефор / мации растяжения нетрудно YCTa новить, наблюдая растяжение pe зиновоrо шнура под действием приложенной к ero концу силы. Пусть длина шнура с подве шенной к нему чашкой равна [о (рис. 4.10, а). Координатную ось Х направим вдоль шнура вертикаль но вниз. Начало отсчета выберем на уровне нижнеrо конца шнура, коrда он находится в начальном состоя нии. Под действием приложенной к шнуру силы, равной весу чаш ки с находящимися на ней rирь ками, ero длина станет равной [, а координата нижнеrо конца шну Рис. 4.10 ра примет значение х (рис. 4.10, б). При этом сила упруrости растянутоrо шнура уравновеши вает силу тяжести, действующую на чашку с rирьками. Обозначим удлинение шнура через д[: д[ == [  [о == х. 10 о  F упр х х+  F а) б) (4.9) Меняя число rирек, можно заметить, что сила упру rости прямо пропорциональна изменению длины шнура. В этом и состоит закон rYKa. Он формулируется так: При ynpyzou деформации растяжения (или сжа тия) удлинение тела прямо nроnорционально npи ложенной силе. Закон rYKa записывают следующим образом: F == k I д[1 == k I х 1. (4.10) Коэффициент пропорциональности k называют коэф фициентом упруrости или жесткостыо. Учитывая, что KO ордината х и проекция силы упруrости деформированноrо тела РХ на ось Х имеют противоположные знаки, можно также записать: РХ == kx. (4.11) Эта закономерность хорошо выполняется только при упруrих деформациях, при которых удлинение х тела мало. Она наблюдается при растяжении стержней из CTa ли, чуrуна, алюминия и друrих твердых упруrих тел. За кону rYKa подчиняется также деформация упруrой пру жины. На рисунке 4.11 показана зависимость модуля силы упруrости деформированноrо тела от значения ero абсо лютной деформации I х 1, а на рисунке 4.12  зависимость Проекции силы упруrости F х Toro же тела от х. 93 
F ynp F ynpx l1l  Ixl х Рис. 4.11 Рис. 4.11 Закон rYKa ХОрОllIО выполняется только при упруrих деформациях, при которых х мало. При дальнеЙllIем YBe личении деформации изменение длины тела перестает быть прямо пропорциональным приложенной силе, а при очень БолыlIхx деформациях тело раЗРУllIается. ш 1. При каком усло.ии поя.ляются силь. упруrости! 1. 06ъясните, почему применение рессор YMeHIowaeT тряску a. томо6иля. 3. При каких усло.иях ....полняется закон rYKa! Силы трения  36 РОЛЬ СИЛ ТРЕНИЯ Еще один вид сил, с которыми имеют дело в механи ке,  это силы трения. Эти силы действуют вдоль поверх ности тел при их непосредственном соприкосновении. Силы трения во всех случаях препятствуют относитель ному движению соприкасающихся тел. При некоторых условиях силы трения делают это движение невозмож ным. Однако силы трения не только тормозят движение тел. В ряде практически важных случаев движение тела не моrло бы возникнуть без действия сил трения. Значение сил трения можно проследить на примере движущеrося автомобиля (рис. 4.13). Сила трения 11' дей ствующая со стороны поверхности Земли на ведомые коле са, и сила сопротивления воздуха .... F 2 направлены назад и способны только затормозить движение. Единственной внеllIней силой, спо собной увеличить скорость aBTOMO биля, является сила трения Р3' действующая на ведущие колеса. .........-  Р 2 .  -  .......... Р3 Р 1 Рис. 4.13 94 
Если бы не было этой силы, автомобиль буксовал бы на месте, несмотря на вращение ведущих колес. Точно так же сила трения, действующая на ступни Hor, сообщает нашему телу ускорение, необходимое для Toro, чтобы начать движение или остановиться. Работа двиrателя, приводящеrо во вращение ведущие колеса, и усилия мышц Hor вызывают появление сил Tpe ния. Прспятствуя проскальзыванию, сила трения совершает полсзнос дело, ускоряя машину или наше собственное тело. Но без усилия со стороны двиrателя или мышц Hor увеличение скорости за счет силы трения невозможно. Таким образом, с одной стороны, нужно принимать все меры к уменьшению сил трения, препятствующих движе нию, смазывая трущиеся части двиrателя и придавая Ma шине форму, при которой сопротивление воздуха мини мально, а с друrой стороны, приходится увеличивать полезное трение, посыпая, к примеру, дороrу песком в ro лолед. Силы трения ;3ё:iВИСЯТ от состояния трущихся твердых поверхностей, а при движении твердоrо тела в воде или воздухе  от относительной скорости движения, от разме ров 11 формы этоrо тела. Трение  явление, сопровождающее нас везде и повсю ду. В одних случаях оно полезно, и мы всячески CTapa емся ero увеличить. В друrих  вредно, и мы ведем с ним борьбу. [1] 1. Посмотрите BOKpyr себя. Видите ли вы полезное действие сил трения! 2. Зачем на rубках тисков и плоскоrубцев делают насечки! 3. Для чеrо на автомобильных шинах делают рельефный рисунок (протектор)!  37 СИЛЫ ТРЕНИЯ МЕiI\:ДУ СОIIРIПСАСАIОЩИМИСЯ ПОВЕРХНОСТЯМИ ТВЕРДЫХ ТЕ.Т] Сначала мы остановимся на так называемом сухом Tpe нии, т. е. трении между поверхностями соприкасающихся твердых тел. Трение покоя. Попробуйте сдвинуть пальцем лежащую на столе толстую книrу. Книrа будет оставаться на месте до тех пор, пока действующая на нее сила не достиrнет определенноrо значения. Факт этот совершенно привыч Ный, но, если вдуматься, достаточно странный и непонят ный. 95 
Ведь что это значит? Вы приложи ли к книrе некоторую силу, направ ленную, скажем, вдоль поверхности стола, а книrа остается в покое. Следовательно, между книrой и по верхностью стола возникает сила, Ha правленная против той силы, с которой вы действуете на книrу, и в точности равная ей по модулю. Вы с большей си лой толкаете книrу, но она попрежнему остается на месте.  Значит, и сила F трения настолько же возрастает. Силу трения, действующую между двумя телами, He подвижными относительно друr друrа, называют силой трения покоя. .. Если на тело действует сила Р, параллельная поверхно сти, на которой оно находится и тело при этом остается He подвижным, то это означает, что на Hero действует сила Tpe ния покоя Р тр ' равная по модулю и направленная в противо  положную сторону силе F (рис. 4.14). Следовательно, сила трения покоя определяется действующей на Hero силой .. F.. P  Рнс.4.14   Р тр == P. Иначе rоворя, коrда ускорение тела равно нулю, сила трения равна по модулю и противоположна по направле нию той силе, которая наряду с трением действует на тело параллельно поверхности ero соприкосновения с друrим Te лом. Если параллельно этой поверхности друrие силы не действуют, то трение покоя будет равно нулю. Наибольшее значение силы трения, при котором сколь жение еще не наступает, называется максимальной силой трения покоя. Если действующая на покоящееся тело сила хотя бы HeMHoro превысит максимальную силу трения по коя, то тело начнет скользить. Для определения максимальной силы трения покоя cy ществует весьма простой, но не очень точный количествен ный закон. Наrрузим брусок rирей (рис. 4.15) Toro же веса,  что и сам брусок. При этом сила Р!, с которой брусок дейст вует на стол перпендикулярно поверхности стола, увели ---+ чится В 2 раза. Но сила Р! соrласно третьему закону Ньютона равна по модулю и противоположна по Ha правлению силе нормальной peaK ---+ ции опоры N 2' действующей на бру сок со стороны стола. Следователь  но, и сила N 2 увеличится в 2 раза. Если мы теперь снова измерим MaK симальную силу трения покоя, то N2 p F. P Р 1 Р;р Рнс.4.15 96 
увидим, что она увеличилась во столько раз, во сколько раз  увеличилась сила N 2 , т. е. в 2 раза. Наrружая брусок различными rирями и измеряя каж дый раз максимальную силу трения покоя, мы убедимся в том, что максимальnое зnа-ч,еnие модуля силы тpe пия покоя nроnорциоnальnо модулIO силы nормаль пой реакции опоры. Этот закон впервые установил экс периментально французский физик Кулон. Если обозначить модуль максимальной силы трения покоя через Ртр.М8КС' то можно записать: Ртр.М8КС == JlF2' (4.12) rде Jl  коэффициент пропорциональности, называемый коэффициентом трения покоя. Коэффициент трения xa рактеРhзует обе трущиеся поверхности и зависит не толь ко от материала этих поверхностей, но и от качества их обработки. Коэффициент трения определяется экспери ментально. От площади соприкосновения тел максимальная сила трения покоя не зависит. Если положить брусок на MeHЬ шую rрань, то Ртр.макс не изменится. Сила трения покоя меняется в пределах от нуля до максимальноrо значения, paBHoro JlF2. 3а счет чеrо может происходить изменение силы трения? Дело здесь вот в чем. При действии на тело некоторой  силы F оно слеrка (незаметно для rлаза) смещается, и это смещение продолжается до тех пор, пока микроскопиче ские шероховатости поверхностей не расположатся относи тельно друr друrа так, что, зацепляясь одна за друrую, они  приведут к появлению силы, уравновешивающей силу Р.  При увеличении силы F тело опять чутьчуть сдвинется так, что мельчайшие неровности поверхностей поиному будут цепляться друr за друrа, и сила трения возрастет. И лишь при Р> Ртр.М8КС ни при каком взаимном расположе нии шероховатостей поверхности сила трения не в состоя  нии уравновесить силу Р, и начнется скольжение. При ходьбе и беrе на подошвы Hor действует сила Tpe ния покоя, если только ноrи не скользят. Такая же сила деЙС'fвует на ведущие колеса автомобиля. На ведомые KO леса также действует сила трения покоя, но уже тормозя щая движение, причем эта сила значительно меньше силы, действующей на ведущие колеса (иначе автомобиль не cMor бы тронуться с места). В давнее время, коrда не очень хорошо представляли себе способность силы трения покоя принимать различные значения, сомневались, что паровоз сможет ехать по rлад ким рельсам. Думали, что трение, тормозящее ведомые KO 4ФИИIКLt 10 к" 97 
леса, будет равно силе трения, дейст вующей на ведущие колеса. Предла rали даже делать ведущие колеса зубчатыми и прокладывать для них специальные зубчатые рельсы. Трение скольжения. При сколь жении сила трения зависит не толь ко от состояния трущихся поверхно стей, но и от относительной скорости движения тел, причем эта зависи мость от скорости является довольно сложной. Опыт пока зывает, что часто (хотя и не всеrда) в самом начале сколь жения, коrда относительная скорость еще мала, сила Tpe ния становится несколько меньше максимальной силы трения покоя. Лишь затем, по мере увеличения скорости, она растет и начинает превосходить Ртр.МВКС. Вы, вероятно, замечали, что тяжелый предмет, напри мер ящик, трудно сдвинуть с места. а потом двиrать ero становится леrче. Это как раз и объясняется уменьшением силы трения при появлении скольжения с малой CKOpO стью. Зависимость модуля силы трения скольжения от MOДY ля относительной скорости тел показана на рисунке 4.16. При не слишком больших относительных скоростях дви жения сила трения скольжения мало отличается от макси мальной силы трения покоя. Поэтому приближенно мож но считать ее постоянной и равной максимальной силе трения покоя: Р тр о v Рис. 4.16 Р тр  Ртр.макс == N. Важная особенность силы трения скольжения состоит в том, что она всеrда направлена противоположно относи тельной скорости соприкасающихся тел. Силу трения скольжения можно уменьшить во MHoro раз с помощью смазки  чаще Bcero TOHKoro слоя жидко сти (обычно Toro или иноrо сорта минеральноrо масла)  между трущимися поверхностями. Трение между слоями жидкости, прилеrающими к твердым поверхностям, зна чительно меньше, чем между сухими поверхностями. Ни одна современная машина, например двиrатель автомоби ля или трактора, не может работать без смазки. Специаль ная система смазки предусматривается при конструирова нии всех машин. Сила трения зависит от относительной скорости дви жения тел. В этом ее rлавное отличие от сил тяrотения и упруrости, зависящих только от расстояний. 98 
38 СИЛЫ СОПРОТИВЛЕНИЯ ПРИ ДВИЖЕНИИ ТВЕРДЫХ ТЕЛ В ЖИДКОСТЯХ И rA3AX При движении твердоrо тела в жидкости или rазе на Hero действует сила сопротивления среды. Эта сила Ha правлена против скорости тела относительно среды и TOp мозит движение. rлавная особенность силы сопротивления состоит в том, что она появляется только при наличии относительноrо движения тела и окружающей среды. Сила трения покоя в жидкостях и rазах полностью отсутствует. Это приводит к тому, что усилием рук можно сдвинуть тяжелое тело, например плавающую баржу, в то время как сдвинуть с места, скажем, поезд усилием рук просто невозможно. Или еще более простой пример. Плавающий деревян ный брусок сразу же придет в движение, если на Hero слеrка подуть. А попробуйте сдви нуть тот же брусок струей воздуха, Fe если он лежит на столе. Модуль силы сопротивления Ре за висит от размеров, формы и состоя ния поверхности тела, свойств среды (жидкости или rаза), в которой тело движется, и, наконец, от относитель ной скорости движения тела и среды. Примерный характер зависимости модуля силы сопротивления от модуля относительной CKO рости тела показан на рисунке 4.17. При относительной скорости, равной нулю, сила сопротивления не действует на тело (Ре == О). С увеличением относительной скорости сила сопротивления сначала растет медленно, а затем все быстрее и быстрее. При малых скоростях движения силу сопротивления можно считать прямо пропорциональной скорости движения тела относительно среды: Ре == k]v, (4.13) rде k]  коэффициент сопротивления, зависящий от формы, размеров, состояния поверхности тела и свойств среды  ее вязкости. Вычислить коэффициент k] теорети чески для тел скольконибудь сложной формы не пред ставляется возможным, ero определяют опытным путем. При больших скоростях относительноrо движения сила сопротивления пропорциональна квадрату скорости: Ре == k 2 v 2 , (4.14) rде k 2  коэффициент сопротивления, отличный от k]. Какая из формул  (4.13) или (4.14)  rодится для использования в конкретном случае, определяется опыт ным путем. о v Рис. 4.17 99 
Основными особенностями силы сопротивления, дейст вующей на тело, являются: 1) отсутствие силы трения покоя; 2) зависимость от относительной скорости дви жения. 1. При каких условиях появляются силы трения! 1. От чеrо зависят модуль и направление силы трения покоя! 3. В каких пределах может изменяться сила трения покоя! 4. Какая сила сообщает ускорение автомобилю или тепловозу! 5. Может ли сила трения скольжения увеличить скорость тела! 6. В чем состоит rлавное отличие силы сопротивления в жидко стях И rазах от силы трения между двумя твердыми телами! 7. Приведите примеры полезноrо и вредноrо действия сил Tpe ния всех видов. [1] ш ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ При решении задач на материал данной rлавы исполь зуются те же приемы, что и при решении задач динамики прямолинейноrо движения и движения по окружности. Различие состоит лишь в том, что теперь используются знания о зависимости сил от расстояний между телами (или частями одноrо тела) и от их скоростей. 1. При помощи пружинноrо динамометра поднимают с YCKO рением а == 2,5 м/с 2 , направленным вверх, rруз массой т == 2 Kr. Определите модуль удлинения пружины динамометра, если ее жесткость k == 1000 Н/м. Реш е н и е. Соrласно закону rYKa, выражающему -+ связь между модулем внешней силы Р, вызывающей pac тяжение пружины, и ее удлинением име F ем F == k!:J.I. Отсюда Ы == /i. Для нахождения силы F воспользуемся вторым законом Ньютона. На rруз, кроме -+ силы тяжести mg действует сила упруrо сти пружины, равная по модулю F и Ha правленная вертикально вверх. Соrласно -+ -+ -+ второму закону Ньютона та == F + mg. Направим ось ОУ вертикально вверх так, чтобы пружина была расположена вдоль этой оси (рис. 4.18). В проекции на ось ОУ второй закон Ньютона можно за писать в виде та у == Ру + mg y . Так кан ау==а, gy==g и Ру==Р, то F == та + mg == т (а + g). у , а о mg Рис. 4.18 100 
Следовательно, дl  т (а + g) .  k ' 2 Kr ( 2,5  + 9,8  ) дl == с с "'" 2,5 . 1 О 2 М "'" 2,5 см. 103 Н М 2. В результате полученноrо толчка кирпич начал скользить вниз по неподвижной ленте конвейера, расположенной под уrлом а = 300 к rоризонтальной плоскости. Определите модуль и направление ускорения кирпича, если коэффициент трения скольжения кирпича о ленту конвейера J.l = 0,6. Реш е н и е. Направим ось ОХ вдоль наклонной ленты конвейера вниз, а ось ОУ перпендикулярно ленте конвейера вверх (рис. 4.19). Так как кирпич движется вдоль оси ОХ, то ero ускорение может быть направлено только вдоль этой оси вниз либо вверх. По второму закону Ньютона т(; == т; + N + Р тр . (4.15) Запишем уравнение (4.15) в проекциях на оси ОХ и ОУ: та х == mg sin а  Р тр ' О == N  mg cos а. Модуль силы трения скольжения выразим через коэф фициент трения  и модуль силы нормальной реакции опоры N: Р тр == N == mg cos а. (4.17) Подставив выражение (4.17) в уравнение (4.16), получим (4.16) та х == mg sin а  mg cos а. Окончательно а == g (sin а   cos а). (4.18) Из формулы (4.18) следует, что проекция ускорения кирпича на Рис. 4.19 ось ОХ может быть положитель ной, отрицательной и равной нулю: если sin а >  СОБ а, то ах > О (вектор ускорения направлен вдоль ленты конвейера вниз); если sin а ==  СОБ а, то ах == О (кирпич движется без ускорения); наконец, если sin а <  cos а, то ах < О (вектор ускорения направлен вдоль ленты конвейера вверх). Для случая, рассматриваемOl'О в задаче, ах == 0,2 м/с 2 . Следовательно, ускорение кирпича направлено вдоль лен ты конвейера вверх и модуль этоrо ускорения равен а == 0,2 M/C"l.. х fOf 
 УПР АЖНЕНИЕ 7 1. Радиус Луны R 1 примерно в 3,7 раза меньше, чем радиус Земли R, а масса Луны т в 81 раз меньше массы Земли М. Опре делите ускорение свободноrо падения тел на поверхности Луны? 2. При быстром торможении автомобиль начал двиrаться по rоризонтальной дорОl'е юзом (заторможенные колеса не враща ются, а скользят по дороrе). с каким ускорением при этом дви жется автомобиль и через сколько времени от начала TOpMO жения автомобиль остановится, если el'o начальная скорость ио = 20 м/с, а коэффициент трения колес о дорОl'у Jl = 0,8? 3. rруз массой 97 Kr перемещают равномерно по I'ОрИЗ0Н тальной поверхности с помощью веревки, образующей уrол 300 с rоризонтом. Определите силу натяжения веревки, если коэф фициент трения равен 0,2. rлава 4. ЕР А ТЕИЕ итоrи в механике преимущественно встречаются три вида сил: силы тяrотения, силы упруrости и силы трения. Силы тяrотения между двумя точечными телами Macca ми т 1 и т 2 , находящимися на расстоянии R друr от друrа, определяются законом всемирноrо тяrотения: F == G т 1 т2 R 2 ' rде G == 6,67 . 1011 Н . M 2 /Kr 2  rравитационная постоянная. rлавная особенность сил тяrотения в том, что данное тело сообщает всем друrим телам одинаковые ускорения. Силы упруrости появляются при упруrой деформации тел. Соrласно закону rYKa при растяжении (или сжатии) их удлинение дl пропорционально приложенной силе Р: F == kдl. Силы трения в отличие от сил тяrотения и упруrости за висят от скорости движения тел относительно друr друrа. Между соприкасающимися твердыми телами, покоя щимися относительно друr друrа, действует сила трения покоя. Она по модулю равна той силе, которая наряду с силой трения действует на тела вдоль поверхности их co прикосновения. Максимальное значение модуля силы Tpe ния покоя равно: Ртр.М8КС == Il N , rде 11  коэффициент трения; N  модуль силы нормаль ной реакции со стороны опоры. 101 
Сила трения при скольжении твердых тел примерно равна максимальной силе трения покоя. При медленном движении тела в жидкости или I'азе сила сопротивления среды пропорциональна скорости, а при быстром движении  квадрату скорости. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ В МЕХАНИКЕ Какую бы систему взаимодействующих тел мы ни pac сматривали, будь то Солнечная система или сталки вающиеся бильярдные шары, координаты и скорости тел непрерывно изменяются с течением времени. В этом, разу меется, нет ничеI'О неожиданноI'О. Замечательным является то, что у системы тел, на KO торую не действуют внешние силы (такую систему называ ют изолированной), имеется ряд величин, зависящих от координат и скоростей всех тел системы, которые при дви жении тел не изменяются со временем. Такими сохраняю щимися величинами являются импульс (или количество движения), механическая энерI'ИЯ и момент импульса (или момент количества движения). Все они подчиняются соответствующим законам сохранения. В школьном курсе физики при изучении механики рассматриваются только два закона сохранения: закон сохранения импульса и за кон сохранения механической энерI'ИИ. Роль законов сохранения в механике и в друrих разде лах физики OI'pOMHa. Boпepвыx, они позволяют сравнительно простым пу тем, не рассматривая действующие на тела силы, решать ряд практически важных задач. Законы сохранения по зволяют по первоначальному состоянию системы, не зная подробностей взаимодействия тел, определить ее конечное состояние, например, зная скорости тел до взаимодейст вия, определить скорости этих тел после взаимодействия. Boвтopыx, и это rлавное, открытые в механике законы сохранения ИI'рают в природе ОI'ромную роль, далеко BЫ ходящую за рамки самой механики. Даже в тех условиях, КОI'да законы механики Ньютона применять нельзя, зако ны сохранения импульса, энерI'ИИ и момента импульса не теряют значения. Они при мени мы как к телам обычных размеров, так и к космическим телам и элементарным ча стицам. Именно всеобщность законов сохранения, их при менимость ко всем явлениям природы, а не только к Mexa ническим делает эти законы столь значительными. 103 
rлава 5 ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ИМПУЛЬСА ИМПУ лье МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ.  39 друr АЯ ФОРМУЛИРОВКА BTOPoro ЗАКОНА НЬЮТОНА Введем новую физическую величину  импульс MaTe риальной точки. Дадим друrую формулировку BToporo за кона Ньютона. Второй закон Ньютона m(; == F можно записать в иной форме, которая приведена самим Ньютоном в ero rлавном труде «Математические начала натуральной философии». Если на тело (материальную точку) действует ПОСТ!>ЯНl!ая сила, то постоянным будет и ускорение тела (; == v 2  V 1 дt rде и 1 и и 2  начальное и конечное значения скорости тела. Подставив это значение ускорения во второй закон Ньютона, получим т({;2{;1)  дt == F, т';2  m';1 == Ры. (5.1) или В этом уравнении появляется новая физическая вели чина  импульс тела. Импульсом тела (материальной точки) называется Be личина, равная произведению массы тела на ero скорость. Обозначив импульс (ero также называют иноrда коли чеством движения) бук вой р, пол учим р == т';. I (5.2) Из формулы (5.2) видно, что импульс  векторная вe личина. Так как т > О, то импульс имеет такое же Ha правление, как и скорость (рис. 5.1). Обозначим через Р1 == m';1 импульс тела в начальный -+ -+ момент времени, а через Р2 == mи 2  ero импульс в конеч ный момент времени. Тоrда Р2  Р1 == Др есть изменение импульса тела за время дt. Теперь уравнение (5.1) можно записать так: т 0 v .. р .. I Др == ffы.1 (5.3) Рис. S. t Так как Дt > О, то направления векторов Др и F совпадают. Cor лас t04 
но формуле (5.3) изменение импуль са тела (материальной точки) про порционально приложенной к нему силе и имеет такое же направление, как и сила. Именно так был впервые сформу лирован второй закон Ньютона. Произведение силы на время ее действия называют импульсом силы. Поэтому можно сказать, что измеnе Рис. 5.2 nие импульса тела равnо имnуль су действующей па nezo силы. "Уравнение (5.3) пока зывает, что одинаковые изменения импульса MorYT быть получены в результате действия большой силы в течение малоrо интервала времени или малой силы за большой промежуток времени. Единица импульса не наименование получается (см. формулу (5.2»: 1 ед. импульса == 1 Kr . 1 м/с == 1 Kr. м/с. Для нахождения импульса тела, которое нельзя счи тать материальной точкой. поступают так: мысленно раз бивают тело на отдельные малые элементы (материальные точки), находят импульсы полученных элементов, а потом суммируют их как векторы. Импульс тела равен сумме импульсов ero отдельных элементов. Импульс тела может быть равен нулю даже в том слу чае, коrда оно движется. Примером может служить Bpa щающийся BOKpyr неподвижной оси однородный диск. Действительно, два диаметрально противоположных, paB ных по массе элемента А и В имеют одинаковые по MOДY лю скорости (рис. 5.2). Следовательно. их импульсы paB  Рl о в Р2 имеет особоrо названия, а ее из определения этой величины ны по модулю, но противоположно направлены: Рl == P2' поэтому Рl + Р2 == о. Такие равенства справедливы для любых двух диаметрально противоположных элементов диска. Второй закон Ньютона может быть записан в импу льс ной форме: изменение импульса тела равно импульсу дей ствующей на Hero силы. [1] 1. Точка движется равномерно по окружности. Изменяется ли ее импульс! 2. Как определяется импульс тела! 3. Автомобиль троrается с места. Куда направлен вектор измене ния импульса! 4. Хоккейная шайба скользит прямолинейно и замедленно. Куда направлен вектор изменения импульса! 105 
 40 ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ИМПУЛЬСА Закон сохранения импульса является следствием BTO poro и TpeTbero законов Ньютона. Для простоты будем считать, что система состоит Bcero из двух тел. Это MorYT быть две звезды, два бильярдных шара или два друrих тела. Силы, возникающие в результате взаимодействия тела, принадлежащеrо системе, с телом, не ПРИН8Длежащим ей, называются внешними силами. Если рассматривать систе му, состоящую из двух бильярдных шаров, то сила взаимодействия ша ров с краем стола при ударе о Hero, сила трения шара о поверхность CTO ла  внешние силы. Пусть на тела --+ системы действуют внешние силы F 1 --+ И Р 2 . Силы, возникающие в результате взаимодействия тел, принадлежащих системе, называют ся внутренними силами. Обозначим их через Рl 2 И Р2 1 ......... ....... 9 9 (рис. 5.3). По третьему закону Ньютона FI. 2 = P2. l' Отсюда следует, что сумма внутренних сил всеrда равна нулю: ""'::.""""............... '/ b 1 F. l . 2 Е 2 , 1 2'" I l \ I , \ I \  / , F. " ....1 ,," ............. .............  F; Рис. 5.3 --+ --+ Р1,2 + Р 2 . 1 = О. (5.4) Вследствие действия сил на тела системы их импульсы изменяются. Если взаимодействие рассматривается за Ma лый промежуток времени дt, то для тел системы можно записать второй закон Ньютона в виде Др] = (Р] + Рl. 2)Ы' ДР2 = (Р2 + Р2. Jы. Сложив эти равенства, получим  -+ ( --+ --+ ) ДРl + ДР2 = FI + Р 2 Ы. (5.5) В левой части равенства (5.5) стоит сумма изменений импульсов всех тел системы, т. е. изменение импульса ca мой системы (под импульсом системы мы будем понимать rеометрическую сумму импульсов всех тел системы): ДРrист = Др] + ДР2' (5.6) "Учитывая равенство (5.5), можно равенство (5.6) запи сать так:  ( --+ -+ )  --+ ДРснст = Р 1 + Р 2 дt, ДРсист = Fдt, (5.7) rде f  rеометрическая сумма всех внешних сил, действу ющих на тела системы. 106 
Мы доказали весьма важное положение: импульс сис- темы тел MorYT изменить только внешние силы, причем -+ изменение импульса системы !J,.peHeT совпадает по направ лению с суммарной внешней силой. Внутренние силы из меняют импульсы отдельных тел системы, но изменить суммарный импульс системы они не MorYT. Уравнение (5.7) справедливо для любоrо интервала Bpe мени tJ,.t, если сумма внешних сил остается постоянной. Из уравнения (5.7) вытекает закон сохранения импуль- са. Если внешние силы на систему не действуют или их сумма равна нулю, то tJ,.p == о и импульс системы остается неизменным, и ли, как rоворят, сохраняет ся: 1 -+ -+ -+ 1 Ренет == т\и\ + т 2 и 2 == const. (5.8) Закон сохранения импульса формулируется так: если сумма внешних сил равна нулю, то импульс системы тел сохраняется. Иначе rоворя, в этом слу- чае тела MorYT только обмениваться импульсами, суммар- ное же значение импульса не изменяется. Импульс. очевидно. сохраняется в изолированной сис- теме тел, так как в этой системе на тела вообще не дейст- вуют внешние силы. Но область применения закона сохра- нения импульса шире: если даже на тела системы действуют внешние силы, но их сумма равна нулю (т. е. система является замкнутой), то импульс системы все равно сохраняется. Полученный результат справедлив для системы, содер- жащей произвольное число тел: т\и\ + т 2 и 2 + тзv з + ... == т\и\ + т 2 и 2 + тзu з + ..., (5.9) rде и р и 2 , v з , ...  скорости тел в начальный момент Bpe мени; и\, и 2 , u з , ...  скорости тел в конечный момент. Так как импульс  векторная величина, то уравне- ние (5.9) представляет собой компактную запись трех уравнений для проекций импульсов системы на оси коор- динат. Если сумма внешних сил не равна нулю, но сумма про екций сил на какое-то направление равна нулю, то проек- ция cYMMapHoro импульса системы на это направление не меняется. Например, систему тел на Земле или вблизи по- верхности Земли нельзя считать изолированной, так как на тела действует внешняя сила  сила тяжести. Однако вдоль rоризонтальноrо направления сила тяжести не дей ствует и сумма проекций импульсов тел на это направле- ние будет оставаться неизменной, если действием сил Tpe ния можно пренебречь. _О7 
В изолированной системе тел импульс системы coxpa няется. Также он может сохраняться в случае, если сумма внешних сил, действующих на систему, равна нулю. t. Сформулируйте закон сохранения импульса. 1. В каких случаях можно при менять закон сохранения импульса! 3. В лежащий на rладком столе брусок попадает пуля, летящая rоризонтально. Почему для нахождения скорости бруска с пу- лей можно применять закон сохранения импульса, хотя на брусок и пулю действуют внешние силы: сила тяжести, HOp мальная сила реакции стола! [1]  41 РЕАКТИВНОЕ ДВИЖЕНИЕ Большое значение закон сохранения импульса имеет для исследования реактивноrо движения. Под реактивным движением понимают движение тела, возникающее при отделении некоторой ero части с определенной скоростью относительно Hero, например при истечении продуктов сrорания из сопла реактивноrо летательноrо аппарата. При этом появляется так называемая реактивная сила, толкающая тело. Наблюдать реактивное движение можно очень просто. Надуйте детский резиновый шарик и отпустите ero. Ша рик стремительно полетит (рис. 5.4). Движение, правда, будет кратковременным. Реактивная сила действует лишь до тех пор, пока продолжается истечение воздуха. rлавная особенность реактивной силы в том, что она возникает в результате взаимодействия частей системы без KaKoro либо взаимодействия с внешними телами. В нашем приме ре шарик летит за счет взаимодействия с вытекающей из Hero струей воздуха. Сила же, сообщающая ускорение пе шеходу на земле, пароходу на воде или винтовому caMO лету в воздухе, возникает только за счет взаимодействия этих тел с землей, водой или воздухом. Реактивные дниrатели. В настоящее время в связи с освоением космическоrо пространства получили широкое распространение реактивные дви rатели. Применяются они также в метеоролоrических и военных pa кетах различноrо радиуса дейст вия. Все современные скоростные самолеты оснащены реактивными двиrателями. В космическом пространстве ис пользовать какиелибо друrие дви rатели, кроме реактивных, невоз можно, так как там нет опоры F .U I\\' ..... ,-,и '-'  РИС. 5.4 t08 
(твердой, жидкой или rазообраз ной), отталкиваясь от которой KOC мический корабль Mor бы получать ускорение. Применение же реактив ных двиrателей в самолетах и paKe тах, не выходящих за пределы aT мосферы, связано с тем, что именно реактивные двиrатели способны обеспечить необходимую скорость полета. Реактивные двиrатели делятся на два основных класса: ракетные Рис. 5.5 и воздушнореактивные. В ракетных двиrателях rорючее и необходимый для ero rорения окислитель находятся непосредственно внутри двиrателя или в ero топливных баках. На рисунке 5.5 по казана схема paKeTHoro двиrателя на твердом топливе. Порох или какоелибо друrое топливо, содержащее и rорючее, и окислитель, помешают внутрь камеры cropa ния двиrателя. При сrорании топлива образуются rазы, имеющие очень высокую температуру и оказывающие дaB ление на стенки камеры. rазы вырываются из сопла paKe ты с большой скоростью, в результате чеrо, в соответствии с законом сохранения импульса, ракета приобретает CKO рость в противоположном направлении. Импульс системы ракета  продукты сrорания остается равным нулю. Так как масса ракеты уменьшается, то даже при постоянной скорости истечения rазов ее скорость будет увеличиваться, постепенно достиrая максимальноrо значения. Сужение камеры сrорания (сопла) приводит к увели чению скорости истечения продуктов сrорания, так как через меньшре поперечное сечение в единицу времени дол жен пройти rаз той же массы, что и через большее попереч ное сечение. Движение ракеты  это пример движения тела с пере менной массой. Для расчета ее CKO рости используют не второй закон Ньютона, а закон сохранения им пульса. Применяются также ракетные двиrатели, работающие на жидком топливе. В жидкостнореактивных двиrателях (ЖРД) в качестве rорю чеrо можно использовать керосин, бензин, спирт, анилин, жидкий BO дород И др., а в качестве окислите ля, необходимоrо для rорения,  жидкий кислород. азотную кисло ту, жидкий фтор, перекись BOДOpO Рис. 5.6 Камера сrорания Топливные Сопло стержни Окислитель \    Камера сrорания { Сопло 109 
да и др. rорючее и окислитель хранятся отдельно в спе циальных баках и с помощью насосов подаются в камеру сrорания, rде температура повышается до 3000 ОС, а давле ние  до 50 атм (рис. 5.6). В остальном двиrатель работает так же, как и двиrатель на твердом топливе. Жидкостнореактивные двиrатели используются для запуска космических кораблей. Воздушнореактивные двиrатели в настоящее время применяют rлавным образом в самолетах. Основное их OT личие от ракетных двиrателей состоит в том, что окисли телем для rорения топлива служит кислород воздуха, по ступающеrо внутрь двиrателя из атмосферы. Реактивными двиrателями оснащены не только paKe ты, но и большая часть современных самолетов.  42 УСПЕХИ В ОСВОЕНИИ КОСМИЧЕскоrо ПРОСТРАНСТВА Основы теории реактивноrо двиrателя и научное доказа тельство возможности полетов в межпланетном простран стве были впервые высказаны и разработаны русским ученым К. э. Ц и о л к о в с к и м в работе «Исследование мировых пространств реактивными приборами ». К. э. Циолковскому принадлежит также идея приме нения мноrоступенчатых ракет. Отдельные ступени, из KO торых составлена ракета, снабжаются собственными дви rателями и запасом топлива. По мере сrорания топлива каждая очередная ступень отделяется от ракеты. Поэтому в дальнейшем на ускорение корпуса этой ступени и ее двиrателя топливо не расходуется. Идея Циолковскоrо о сооружении большой станцииспутника на орбите BOKpyr Земли, с которой будут CTapTO вать ракеты к друrим планетам Сол нечной системы, еще не осуществле на, но нет сомнения в том, что рано или поздно такая станция будет co здана. Нашей стране принадлежит великая честь запуска 4 октября 1957 r. первоrо искусственноrо спутника Земли (рис. 5.7). Также впервые в нашей стране 12 апреля 1961 r. был осуществлен полет космическоrо корабля с космонавтом ю. А. r а r а р и н ы м на борту. Этот и друrие полеты были совершены на ракетах, сконструированных отечественными учеными и инженера ми под руководством С. п. К о р ол е в а. " . :.'"-:-:"/  ':'::::.:,;.:,..:' ,/ }:- . I .'   .: . " ... -... ...: ::..."' ..... Рис. 5.7 ttO 
Циолковский Конст_нтин Эду_рдович (1857  1935)  русский ученый и изобретатель в об ласти азродинамики, ракетодинамики, теории ca молета и дирижабля; основололожник современной космонавтики. Он лервый локазал возможность дo стижения космических скоростен и высказал идею создания околоземных станций. Королев Серrей П_влович ( 1906 1966)  советский ученый, конструктор pa кетнокосмических систем. Научные и технические идеи Королева получили широкое применение в pa кетной и космической технике. Под ero руководством созданы мноrие баллистические и rеофизические pa кеты, ракетыносители и пилотируемые космические корабли «Восток» и «Восход», на которых впервые в истории совершены космический полет человека и выход человека в космическое пространство. r_r_рин Н)рий Алексеевич (1934 1968)  летчиккосмонавт, первый человек, совершивший полет в космос. Впервые в мире 12 ап реля 1961 r. он совершил полет в космос на косми ческом кораблеспутнике «ВОСТОК», облетев земной шар за 1 ч 48 мин. ,  ), &$  \ r . ... Большой вклад в исследование космическоrо простран ства внесли также американские ученые, инженеры и aCT ронавты. Два американских астронавта из экипажа KOC мическоrо корабля «Аполлон11»  Н. ApMcTpoHr и э. Олдрин  20 июля 1969 r. впервые совершили посаk ку на Луну. На космическом теле Солнечной системы чело веком были сделаны первые шаrи. С выходом человека в космос не только отк рылись воз можности исследования друrих планет, но и представи лись поистине фантастические возможности изучения природных явлений и ресурсов Земли, о которых можно было только мечтать. Возникло космическое природове дение. Раньше общая карта Земли составлялась по KPy пицам, как мозаичное панно. Теперь снимки с орбиты, охватывающие миллионы квадратных километров, позво ляют выбирать для исследования наиболее интересные участки земной поверхности, экономя тем самым силы и средства. 111 
Из космоса лучше различаются крупные rеолоrические структуры: плиты. rлубинные разломы земной коры  места наиболее вероятноrо залеrания полезных ископае мых. Из космоса удалось обнаружить новый тип rеолоrиче ских образований  кольцевые структуры. подобные Kpa терам Луны и Марса. Сейчас на орбитальных комплексах разработаны TeXHO лоrии получения материалов. которые нельзя изrотовить на Земле. а можно только в состоянии длительной HeBeco мости в космосе. Стоимость этих материалов (сверхчистые монокристаллы и др.) близка к затратам на запуск косми ческих аппаратов. Орбитальные аппараты в настоящее время используют ся не только для научных исследований космическоrо про странства. но и для биолоrических. медицинских исследо ваний. получения новых материалов. [1] ш 1. Может ли парусная лодка приводиться в движение с помощью компрессора. установленноrо на ней. если струя воздуха на- правлена на паруса! Что произойдет. если поток воздуха будет направлен мимо парусов! 1. Может ли ракета двиrаться в пустоте! 3. Как возникает реактивная сила! 4. Осьминоrи и каракатицы перемещаются со скоростью до 60 км/ч. периодически выбрасывая вбираемую в себя воду. По какому принципу перемещаются эти животные! ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ Закон сохранения импульса целесообразно применять для решения тех задач. в которых требуется определить скорость. а не силу или ускорение. Для решения задачи нужно записать этот закон в BeK торной форме: т.;;. + т 2 ;;2 + ... == т 1 (;. + т 2 (;2 + .... rде ;;..   V 2 И т. д.  скорости тел системы до взаимодействия. а и..  и 2 И т. д.  их скорости после взаимодействия. После этоrо векторное уравнение записывается в проек циях на оси выбранной системы координат. Выбор направ ления осей диктуется удобством решения задачи. Если. например. все тела движутся вдоль одной прямой. то KO ординатную ось целесообразно направить вдоль этой пря мой. При решении некоторых задач приходится использо вать дополнительно уравнения кинематики. 111 
1. Два шара, массы которых m 1 == 0,5 Kr и т2 == 0,2 Kr, дви жутся по rладкой rОРИЗ0нтальной поверхности навстречу друr друrу со скоростями Vl == 1 м/с и и2 == 4 м/с. Определите их CKO рость V после центральноrо абсолютно неупруrоrо удара. Абсолютно HeyпpYZUM ударом называется взаимодей ствие тел, после KOTOpOI'O тела движутся с одинаковыми скоростями. Реш е н и е. Ось ОХ направим вдоль линии, проходя щей чере центры движущихся шаров по направлению скорости V 1 . После абсолютно неупруI'ОI'О удара шары движутся с одной и той же скоростью их, Так как вдоль оси ОХ внешние силы не действуют (трения нет), то сумма проек ций импульсов на эту ось сохраняется (сумма проекций импульсов обоих шаров до удара равна проекции общеI'О импульса системы после удара): m1V 1x + т 2 и 2х == (m 1 + т 2 ) их. Так как v 1x == V 1 ' а и 2х == и2' то тити и х == 1 1 2 2  0,4 м/с. m 1 + т 2 После удара шары будут ДВИI'аться в отрицательном Ha правлении оси ОХ со скоростью 0,4 м/с. 2. Два пластилиновых шарика, отношение масс которых m2/ml == 4, после соударения слиплись и стали двиrаться по rладкой rоризонтальной поверхности со скоростью [; (рис. 5.8, вид сверху). Определите скорость леrкоrо шарика до соударения, если он двиrался в 3 раза быстрее тяже лоrо (Vl == 3и2)' а направления движения шариков были взаимно перпендикуляр ны. Трением пренебречь. Реш е н и е. Так как скорости V 1 И и 2 шариков взаимно перпенди кулярны, то оси прямоуrольной сис темы координат удобно направить параллельно этим скоростям. СОI'ласно закону сохранения им пульса имеем m1{;1 + т 2 {;2 == (m 1 + т 2 ) i,;. у  lV 2  о х Рис. 5.8 проведенные Запишем это уравнение в проекциях на оси ОХ и ОУ, 5.8: так, как показано на рисунке m1V 1x + т 2 и 2х == (m 1 + т 2 ) их, m 1 V 1y + т 2 и 2у == (m 1 + т 2 ) и у . 113 
Так как v 1x == v 1 , v 2x == О, v 1V == О, v 2V == v 2 , то m 1 v 1 3 m 2 v 2 4 их == ==  5 V2' и v == ==  v 2 . m 1 + m2 т 1 + т 2 5 Модуль скорости u ра вен: u ==  и +и == v 2 . Итак, v 2 == И, следовательно, v 1 == 3И.  УПР АЖНЕНИЕ 8 1. Неподвижный BaroH массой 2 . 104 Kr сцепляется с плат формой массой 3. 104 Kr. До сцепки платформа имела ско- рость 1 м/с. Чему равна скорость BarOHa и платформы после их сцепки? 2. На плот массой 100 Kr, имеющий скорость 1 м/с, направ ленную вдоль береrа, прыrает человек массой 50 Kr со скоростью 1,5 м/с перпендикулярно береrу. Какой будет общая скорость плота и человека? 3. Будет ли увеличиваться скорость ракеты, если скорость истечения rазов относительно ракеты меньше скорости самой pa кеты и вытекающие из сопла rазы летят вслед за ракетой? 4. Охотник стреляет с леrкой надувной лодки. Какую CKO рость при обретет лодка в момент выстрела, если масса охотника 70 Kr, масса дроби 35 r и средняя начальная скорость дробинок равна 320 м/с? Ствол ружья во время выстрела образует с rори зонтом уrол 600. rлава 5. КРАТКИЕ итоrи Из BToporo и третьеrо законов Ньютона вытекает важ ное следствие  закон сохранения импульса. Импульс тела массой т, имеющеrо скорость v, равен: р == mv. Импульс системы тел равен rеометрической сумме им пульсов всех тел, входящих в систему. В замкнутой системе тел импульс системы сохраняется. Н4 
rлава6 ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ 3НЕРrии Энерrия  самая важная сохраняющаяся Be личина не только в механике. Энерrия тесно связана с работой. Мы начнем с изучения рабо ты силы.  43 РАБОТ А СИЛЫ Все наши ежедневные действия сводятся к тому, что мы с помощью мышц либо приводим в движение окружа ющие тела и поддерживаем это движение, либо же OCTa навливаем движущиеся тела. Этими телами являются орудия труда (молоток, ручка, пила), в иrрах  мячи, шайбы, шахматные фиrуры. На производстве и в сельском хозяйстве люди также приво дят в движение орудия труда. Правда, в настоящее время роль рабочеrо все больше и больше сводится к управлению механизмами. Но в любой машине можно обнаружить по добие простых орудий ручноrо труда. В швейной машинке имеется иrла, резец TOKapHoro станка подобен рубанку, ковш экскаватора заменяет лопату. Двиrатели. Применение машин во MHoro раз увеличи вает производительность труда блаrодаря использованию в них двиrателей. Назначение любоrо двиrателя в том, чтобы приводить тела в движение и поддерживать это движение, несмотря на торможение как обычным трением, так и «рабочим» co противлением (резец должен не просто скользить по Me таллу, а, врезаясь в Hero, снимать стружку; плуr должен взрыхлять землю и т. д.). При этом на движущееся тело должна действовать со стороны двиrателя сила, точка при ложен ия которой перемещается вместе с телом. Бытовое представление о работе. Коrда человек (или какойлибо двиrатель) действует с определенной силой на движущееся тело, то мы rоворим, что он совершает работу. Это бытовое представление о работе леrло в основу форми рования одноrо из важнейших понятий механики  поня тия работы силы. Работа совершается в природе всеrда, коrда на KaKoe либо тело в направлении ero движения или против Hero действует сила (или несколько сил) со стороны друrоrо тела (друrих тел). Так, сила тяrотения совершает работу при падении капель дождя или камня с обрыва. OДHOBpe менно совершают работу и силы трения, действующие на падающие капли или на камень со стороны воздуха. Co вершает работу и сила упруrости, коrда распрямляется co rHYToe ветром дерево. tt5 
Определение работы. Второй закон Ньютона в форме др == Flit позволяет определить, как меняется скорость ... тела v по модулю и направлению, если на Hero в течение  времени lit действует сила Р. Во мноrих случаях важно уметь вычислять изменение ... скорости по модулю, если при перемещении тела на lir на Hero действует сила Р. Воздействия на тела сил, приводя щих К изменению модуля их скорости, характеризуются величиной, зависящей как от сил, так и от перемещений тел Эту величину в механике и называют работой силы. В общем случае при движении твердоrо тела перемеще ния ero разных точек различны, но при определении рабо ... ты силы мы под lir понимаем перемещение ее точки при ложения. При поступательном движении твердоrо тела перемещение всех ero точек совпадает с перемещением точки приложения силы. Сила, перпендикулярная скорости (а следовательно, и перемещению д;), изменяет скорость только по направ лению, но не по модулю. (При равномерном движении по окружности ускорение тела, а следовательно, и действующая на Hero сила перпендикулярны скорости.) Изменение скорости по модулю возможно лишь в том случае, KO rда проекция силы на направле ние перемещения тела F r отлична от нуля. Именно эта проекция определяет действие силы, изме няющей скорость тела по модулю. Она совершает работу. Поэтому работу можно рассматривать как произведение проекции Fr на модуль перемещения Ili; I (рис. 6.1):  , , , , I ' I А..... ">4' I LJ.r '. I II Fr Рис. 6.1 А == Fr I д; 1. (6.1) Если уrол между силой и перемещением обозначить через а, то Fr == F co s а. Следовательн о, работа равна: I А == F I д; I cos a.1 (6.2) Работа силы ранна произведению модулей силы и пе ремещения точки приложения силы и косинуса уrла меж ду ними. Формула (6.1) справедлива в том случае, коrда сила по стоянна и перемещение тела происходит вдоль прямой. В случае криволинейной траектории и переменной силы мы разделяем траекторию на малые отрезки, которые 116 
можно считать прямолинейными, а силу на них постоян ной. Работа, в отличие от силы и перемещения, является не векторной, а скалярной величиной. Она может быть поло жительной, отрицательной или равной нулю. Знак работы определяется знаком косинуса уrла между силой и перемещением. Если а < 900, то А > О, так как KO синус острых уrлов положителен. При а> 900 работа отри цательна, так как косинус тупых уrлов отрицателен. При а == 900 (сила перпендикулярна перемещению) работа не совершается. Так, сила тяжести не совершает работу при перемещении тела по rоризонтальной плоскости. При дви жении спутника по круrовой орбите сила тяrотения также не совершает работу. Если на тело действует несколько сил, то проекция pe зультирующей силы на перемещение равна сумме проек ций отдельных сил: F r == F 1 r + F 2r + ... . Поэтому для работы результирующей силы получаем А == F 1r Iд;1 + F 2r Iд;1 + ... == А 1 + А 2 + .... Итак, если на тело действует несколько сил, то полная работа (сумма работ всех сил) равна работе результирую щей силы. Совершенную силой работу можно представить rрафи чески. Поясним это, изобразив на рисунке зависимость проекции силы от координаты тела при ero движении по прямой. Пусть тело движется вдоль оси ох (рис. 6.2), тоrда F cos а == РХ' I д;1 == дх. Для работы силы получаем А == F I д;1 cos а == FJ1X. Очевидно, что площадь прямо уrольника, заштрихованноrо на ри сунке 6.3, численно равна работе Рис. 6.1 при перемещении тела из точки с координатой Х\ в точку С коорди натой Х 2 . Единица работы. Единицу рабо рх ты можно установить с помощью основной формулы (6.2). Если при рх перемещении тела на единицу дли ны на Hero действует сила, модуль которой равен единице, и направ ление силы совпадает с направле нием перемещения (а == О), то и pa Рис. 6.3 (6.3) --! д; ,  : о XX2 .. х о Х 1 Х2 Х 117 
бота будет равна единице. В Международной системе еди ниц (СИ) работа измеряется в джоулях (обозначается Дж): 1 Дж == 1 Н . 1 м == 1 Н . м. Итак, джоуль  это работа, совершаемая силой 1 Н на перемещении 1 м, если направления силы и перемещения совпадают. Часто используют кратную единицу работы  кило джоуль: 1 кДж == 1000 Дж.  Приведено определение работы силы F при переме --+ щении тела на дr, составляющем уrол а с направлением силы: А == F Iд;1 cos а. [1] t. Дайте опредепение работы в механике. 1. Может ли cOBepwaTb работу сила трения локоя! З. Всеrда ли сила трения скольжения cOBepwaeT отрицательную работу! 4. В каких единицах измеряется работа!  44 МОЩНОСТЬ Очень часто важно знать не только работу, но и время, в течение KOToporo она произведена. Поэтому надо ввести еще одну величину  мощность. Работа может быть совершена как за большой проме жуток времени, так и за очень малый. На практике, OДHa ко, далеко не безразлично, быстро или медленно может быть произведена работа. Временем, в течение KOToporo совершается работа, определяют производительность лю боrо двиrателя. Очень большую работу может совершить и крошечный электромоторчик, но для этоrо понадобится MHoro времени. Потому наряду с работой вводят величину, характеризующую быстроту, с которой она производит ся,  мощность. Мощностью называют отношение работы А к интерва лу времени дt, за который эта работа совершена: N == . (6.4) ы Иными словами, мощность численно равна работе, co вершенной в единицу времени. Подставляя в формулу (6.4) вместо работы А ее Bыpa жение (6.2), получим I;I N == F  cos а == Fv cos а. (6.5) ы Н8 
Таким образом, мощность равна произведению модуля вектора силы на модуль вектора скорости и на косинус уrла между направлениями этих векторов. Понятие мощности вводится для оценки работы за еди ницу времени, совершаемой какимлибо механизмом (Haco сом, подъемным краном, мотором машины и т. д.). Поэто  му В формулах (6.4) и (6.5) под F всеrда подразумевается сила тяrи. В СИ мощность выражается в в а т т а х (Вт). Мощность равна 1 Вт, если работа 1 Дж совершается за 1 с. Наряду с ваттом используются более крупные (KpaT ные) единицы мощности: 1 {'Вт (reKToBaTT) == 100 Вт, 1 кВт (киловатт) == 1000 Вт, 1 МВт (MeraBaTT) == 1 000 000 Вт. Мощность можно повысить как за счет увеличения дей ствующих сил, так и за счет увеличения скорости движе ния.  45 ЭНЕрrия Если система тел может совершить работу, то мы {,OBO рим, что она обладает энерrией. Для совершения работы необходимо, чтобы на движу щееся тело действовала та или иная сила. Тепловые дви  rатели обеспечивают действие силы до тех пор, пока не кончится топливо, а электродвиrатель  до тех пор, пока к нему подводится ток. Однако эти двиrатели представля ют собой сложные системы и в механике не изучаются. Рассмотрим простые системы движущихся тел, взаимо действующих между собой посредством сил тяrотения и способных в той или иной мере деформироваться. (Пру жина или резиновый шнур деформируются значительно, а камень, дерево, металл  столь мало, что их деформа циями обычно можно пренебречь.) Будем считать, что ни каких химических превращений тел не происходит и что в системе нет заряженных тел и электрических токов. Tor да леrко обнаружить, что поднятые над землей rрузы, а также устройства, имеющие сжатые пружины, способны действовать на движущееся тело и совершать работу лишь в течение определенноrо промежутка времени. Рано или поздно пружина распрямится, а rруз опустится на землю и силы перестанут совершать работу. Совершение работы не проходит для системы тел бес следно. Рассмотрим, например, часы с пружинным заво дом. При заводе часов состояние системы (часовоrо Mexa tt9 
низма) меняется так, что она при обретает способность co вершать работу в течение длительноrо времени. Пружина поддерживает движение всех колес, стрелок и маятника, испытывающих сопротивление движению, вызванное Tpe нием. По мере хода часов способность пружины совершать работу постепенно утрачивается. Состояние пружины Me няется. Подобным обраЗ0М при совершении работы меняется состояние сжатоrо rаза и скоростей движущихся тел. Энерrия характеризует способность тела (или системы тел) совершать работу. Совершая механическую работу, тело или система тел переходят И3 одноrо состояния в друrое, в котором их энер rия минимальна. rpy3 опускается, пружина распрямля ется, движущееся тело останавливается. При совершении работы энерrия постепенно расходуется. Для Toro чтобы си стема опять приобрела способность совершать работу, надо изменить ее состояние: увеличить скорости тел, поднять тела вверх или деформировать. Для этоrо внешние силы должны совершить над системой положительную работу. Энерrия в механике  величина, определяемая состоя нием системы  положением тел и их скоростями; изме нение энерrии при переходе системы И3 одноrо состояния в друrое равно работе внешних сил.  46 КИНЕТИЧЕСКАЯ ЭНЕРrия И ЕЕ ИЗМЕНЕНИЕ В механике состояние системы определяется положени ем тел и их скоростями. Сначала выясним, как энерrия тел зависит от их скоростей.  Подсчитаем работу постоянной силы Р, действующей на тело (материальную точку) массой т при ero прямоли нейном движении. Пусть направление силы совпадает с направлением скорости тела. В этом случае направления  вектора перемещения I1r и вектора силы совпадают  (рис. 6.4). Поэтому работа силы F равна: А == F 111;1. Выберем координатную ось ОХ   так, чтобы векторы Р, и), и 2 И I1r . были направлены в сторону поло Х жительноrо направления этой оси. Тоrда I1r" == I1х, и формулу для pa боты можно записать так: А == РI1Х. и)   F , F . ,1) . O 6.; и2 . Рис. 6.4 (6.6) НО 
Соrласно второму закону Ньютона F == та. (6.7) Так как точка движется с постоянным ускорением, то изменение ее координаты дх при переходе из начальноrо положения в конечное можно найти по известной нам из кинематики формуле at 2 дх == V 1 t +  == 2 и  vf 2а (6.8) rде и 2 == v 1 + at. Подставляя формулу (6.8) в формулу (6.6), получим и 2  и 2 ти 2 ти 2 А == та 2 2а 1 == Т  Т' (6.9) Можно показать, что формула (6.9), выведенная для случая прямолинейноrо движения тела, на которое дейст вует постоянная сила, справедлива и в тех случаях, коrда на тело действует переменная сила и оно движется по кри волинейной траектории. Таким образом, работа силы при перемещении тела из начальноrо положения в конечное равна изменению вели ти 2 чины . ти 2 Величина 2 представляет собой энерrию, которую имеет тело, движущееся со скоростью [;. Эту энерrию Ha зывают кинетической (от rреческоrо слова « кинема »  движение). Как видим, кинетическая энерrия тела равна половине произведения массы тела на квадрат ero скорости. Будем обозначать кинетическую энерrию буквой Е к :   (6.10) Энерrия измеряется, в тех же единицах, что и работа. Учитывая равенство (6.10), можно уравнение (6.9) запи сать так: А == Е к2  E K1 == дЕк' (6.11) Равенство (6.11) выражает теорему об изменении кине тической энерrии: изменение кинетической энерrии тела (материальной точки) за некоторый промежуток времени равно работе, совершенной за то же время силой, действу ющей на тело. Если на тело действует несколько сил, то изменение ero кинетической энерrии равно сумме работ всех сил, действующих на тело. Н1 
Кинетическая энерrия тел зависит только от их масс и скоростей. Как мы увидим дальше, полная механическая энерzия системы зависит от скоростей тел и расстояний между ними. Для Toro чтобы вычислить ту часть энерrии, которая зависит от расстояний между телами, нужно предварительно рассмотреть вопрос о работе силы тяжести и силы упруrости. Движущееся тело обладает кинетической энерrией. Эта энерrия равна работе, которую надо совершить, чтобы YBe личить скорость тела от нуля до значения и. [1] 1. 1. 3. 4. КilК выrлядит rрilфИК изменения кинетической энерrии теЛil в ЗilВИСИМОСТИ от модуля ero скорости! Нilчертите ero. КilКУЮ Рilботу совеРШИЛil СИЛil. деЙСТВУЮЩilЯ НiI тело. если HiI ПРilвление ero скорости изменилось НiI противоположное, iI модуль ее ОСТilЛСЯ без изменения! Три теЛil МilССilМИ т 1 . т 1 и т] имеют скорости v 1 . v 1 И v]. HiI ПРilвленные под уrлом друr к друrу. Зilпишите ВЫРilжение для кинетической энерrии системы этих трех тел. ЗilВИСИТ ли кинетичеСКilЯ энерrия теЛil от выБОРil системы OT счеТiI!  47 РАБОТ А СИЛЫ ТЯЖЕСТИ Вычислим работу, используя в этот раз не второй закон Ньютона, а явное выражение для сил взаимодействия меж ду телами в зависимости от расстояний между ними. Это позволит нам ввести понятие потенциальной энерrии  энерrии, зависящей не от скоростей тел, а от расстояний между телами (или от расстояний между частями одноrо и Toro же тела). Вычислим сначала работу силы тяжести при падении тела (например, камня) вертикально вниз. В начальный момент времени тело находилось на высоте h 1 над поверх ностью Земли, а в конечный момент времени  на BЫCO те h 2 (рис. 6.5). Модуль перемещения тела I д; 1== h 1  h 2 .  Направления векторов силы тяжести р т и перемеще ния д; совпадают. Соrласно определению работы (см. фор мулу (6.2» имеем А == р т I д;1 cos 00 == mg (h 1  h 2 ) == == mgh 1  mgh 2 . Пусть теперь тело бросили вертикально вверх из точки, расположенной на высоте h 1 над поверхностью Земли, и оно достиrло высоты h 2 (рис. 6.6). Векторы р т и /3.; (6.12) 111 
h 1 h 2 h 1 дТ: 1 : "'.. 2 дТ: I F T fj.f, '-2 '......,1 D ,. '.. 2 с'......,) h 2 Рис. 6.5 Рис. 6.6 Рис. 6.7 направлены в противоположные стороны, а модуль переме щения I д; I == h 2  hl" Работу силы тяжести запишем так: А == р т I д; I cos 1800 == mg (h 2  h 1 ) (1) == h h (6.13) == mg 1  mg 2. Если же тело перемещается по прямой так, что направ ление перемещения составляет уrол а с направлением силы тяжести (рис. 6.7), то работа силы тяжести равна: А == р т ILl;1 cos а == mg IBCI cos а. Из прямоуrольноrо треуrольника всп видно, что I вс I cos а == вп == h)  h 2 . Следовательно, А == mg (h 1  h 2 ) == mgh)  mgh 2 . (6.14) Формулы (6.12), (6.13), (6.14) дают возможность подме тить важную закономерность. При прямолинейном движе нии тела работа силы тяжести в каждом случае равна раз ности двух значений величины, зависящей от положений тела в начальный и конечный моменты времени. Эти по ложения определяются высотами /l) и h 2 тела над поверх ностью Земли. Более Toro, работа силы тяжести при перемещении тела массой т из одноrо положения в друrое не зависит от фор мы траектории, по которой движется тело. Действитель но, если тело перемещается вдоль кривой ВС (рис. 6.8), то, представив эту кривую в виде ступенчатой линии, состоя щей из вертикальных и rоризонтальных участков малой длины, увидим, что на rоризонтальных участках работа силы тяжести равна нулю, так как сила перпендикулярна перемещению, а сумма работ на вертикальных участках равна работе, которую совершила бы сила тяжести при пе ремещении тела по вертикальному отрезку длиной h)  h 2 . НЗ 
с с !IR ф  FT F T   J В  М F T в '" <:::1 h 1  h 2 '/ W/////////////////////// Рис. 6.8 Рис. 6.9 Таким образом, работа при перемещении вдоль кривой ВС равна: А == mgh 1  mgh 2 . (6.15) При движении тела по замкнутой траектории работа силы тяжести равна нулю. В самом деле, пусть тело дви жется по замкнутому контуру BCDMB (рис. 6.9). На уча стках ВС и DM сила тяжести р т совершает работы, равные по абсолютной величине, но противоположные по знаку. Сумма этих работ равна нулю. Следовательно, равна нулю и работа силы тяжести на всем замкнутом контуре. Силы, обладающие такими свойствами, называют KOH сервативными. Итак, работа силы тяжести не зависит от формы TpaeK тории тела; она определяется лишь начальным и конеч ным положениями тела. При перемещении тела по замкну той траектории работа силы тяжести равна нулю.  48 РАБОТА СИЛЫ упруrости Подобно силе тяжести, сила упруrости тоже является консервативной. Чтобы убедиться в этом, вычислим pa боту, которую совершает пружина при перемещении rруза. На рисунке 6.10, а показана пружина, у которой один конец закреплен неподвижно, а к друrому концу прикреп лен шар. Если пружина растянута, то она действует на шар  с силой Р 1 (рис. 6.10, б), направленной к положению paB новесия шара, в котором пружина не деформирована. Ha чальное удлинение пружины равно /),.[1' Вычислим работу силы упруrости при перемещении шара из точки с коорди натой Х 1 в точку С координатой Х 2 . ИЗ рисунка 6.10, в вид но, что модуль перемещения равен: 1/),.;1 == Х 1  Х 2 == /),.[1  /),.[2' rде /),.[2  конечное удлинение пружины. 114 (6.16) 
Вычислить работу силы упруrо сти по формуле (6.2) нельзя, так как эта формула справедлива лишь а) для постоянной силы, а сила упру rости при изменении деформации пружины не остается постоянной. Для вычисления работы силы упру б) rости воспользуемся rрафиком за висимости модуля силы упруrости от координаты шара (рис. 6.11). В  43 мы показали, что при по в) стоянном значении проекции силы на перемещение точки приложения силы ее работа может быть опреде лена по rрафику зависимости F хРис. 6.1 О от Х и что эта работа численно равна площади прямоуrольника. При про извольной зависимости РХ от Х, раз бивая перемещение на малые отрез ки, в пределах каждоrо из которых силу можно считать постоянной, увидим, что работа будет численно равна площади трапеции. В нашем примере работа силы Рис. 6.11 упруrости на перемещении точки ее приложения I д; I == X 1  Х 2 численно равна площади трапе ции BCDM. Следовательно, 10 х Xl х Xl х F Fl Х2 х Xl Fl+F2 Fl+F2 1 -+ 1 А == 2 (x 1  Х 2 ) == 2 дr. (6.17) Соrласно закону rYKa Fl == kЫ 1 И Р 2 == kЫ 2 . Подставляя эти выражения для сил в уравнение (6.17) и учитывая, что I д; 1 == дll  Ы 2 , получим А  kЫ 1 + kД ( 1  [ )  k [(Ы 1 )2  (д)2]  2 Дl Д2  2 . Или окончательно А == k(Ы 1 )2  k(Ы 2 )2 2 2 (6.18) Мы рассмотрели случай, коrда направления силы упру rости и перемещения тела совпадали: дll > дl2' А> о. Но можно было бы найти работу силы упруrости, коrда ее Ha правление противоположно перемещению тела или COCTaB ляет с ним произвольный уrол, а также при перемещении тела вдоль кривой произвольной формы. Во всех этих случаях движения тела под действием силы упруrости мы пришли бы к той же формуле для ра  125 
боты (6.18). Работа сил упруrости зависит лишь от дефор маций пружины дll и дl2 В начальном и конечном состоя ниях. Таким образом, работа силы упруrости не зависит от формы траектории и, так же как и сила тяжести, сила упруrости является консервативной. [1] 1. Чему равна работа сип". упруrости при перемещении тепа по замкнутой траектории! 1. Какие сипы называют консервативными!  49 ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЗНЕРrия Используя второй закон Ньютона, мы доказали (см.  46), что в случае движущеrося тела работа сил любой природы может быть представлена в виде разности двух значений некоторой величины, зависящей от скорости тела,  раз ности между значениями кинетической энерrии тела в KO нечный и начальный моменты времени: ти 2 ти 2 А == T т == дЕК. (6.19) Если же силы взаимодействия между телами являются консервативными, то, используя явные выражения для сил, мы показали (см.  47 и 48), что работу таких сил можно также представить в виде разности двух значений некоторой величины, зависящей от взаимноrо расположе ния тел (или частей одноrо тела): А == тgh 1  тgh 2 (для силы тяжести), 2 2 А  kЫ 1 kЫ 2 """"2 """"2 (для силы упруrости). (6.20) Здесь высоты h] и h 2 определяют взаимное расположе ние тела и Земли, а удлинения дl\ и дl2  взаимное распо ложение витков деформированной пружины (или значения деформаций друrоrо упруrоrо тела). Величину, равную произведению массы тела т на YCKO рение свободноrо падения g и на высоту h тела над по верхностью Земли, называют потенциальной энерrией взаимодействия тела и Земли (от латинскоrо слова « по тенция»  положение, возможность). Условимся обозначать потенциальную энерrию бук вой Е п : I Е п == тgh.1 (6.21) 116 
Величину, равную половине произведения коэффициен та упруrости k тела на квадрат деформации Ы, называют потенциальной энерrи ей упруrо де формированноrо тела: I Еп == k (1)2 ./ (6.22) В обоих случаях потенциальная энерrия определяется расположением тел системы или частей одноrо тела OTHO сительно друr друrа. Введя понятие потенциальной энерrии, мы получаем возможность выразить работу любых консервативных сил через изменение потенциальной энерrии. Под изменени ем величины понимают разность между ее конечным и Ha чальным значениями, поэтому дЕп == Е п2  Е пl . Следовательно, оба уравнения (6.20) можно записать так: А == Е П1  Е п2 ==  (Е п2  E nl ) == дЕп' (6.23) откуда дЕп == A. Изменение потенциальной энерrии тела равно работе консервативной силы, взятой с обратным знаком. Эта формула позволяет дать общее определение потен циальной энерrии. Потенциальной энерrией системы называется завися  щая от положения тел величина, изменение которой при переходе системы из начальноrо состояния в конечное paB но работе внутренних консервативных сил системы, взя той с противоположным знаком. Знак «» в формуле (6.23) не означает, что работа KOH сервативных сил всеrда отрицательна. Он означает лишь, что изменение потенциальной энерrии и работа сил в сис теме всеrда имеют противоположные знаки. Например, при падении камня на Землю ero потенци альная энерrия убывает (дЕп < О), но сила тяжести COBep шает положительную работу (А> О). Следовательно, А и ДЕ п имеют противоположные знаки в соответствии с фор мулой (6.23). Нулевой уровень потенциальной энерrии. Соrласно уравнению (6.23) работа консервативных сил взаимодейст вия определяет не саму потенциальную энерrию, а ее из менение. Поскольку работа определяет лишь изменение потенци альной энерrии, то только изменение энерrии в механике имеет физический смысл. Поэтому можно произвольно вы- брать состояние системы, в котором ее потенциальная энерrия считается равной нулю. Этому состоянию COOT ветствует нулевой уровень потенциальной энерrии. Ни одно явление в природе или технике не определяется зна чением самой потенциальной энерrии. Важна лишь раз 117 
ность значений потенциальной энерrии в конечном и Ha чальном состояниях системы тел. Выбор нулевоrо уровня производится поразному и диктуется исключительно соображениями удобства, т. е. простотой записи уравнения, выражающеrо закон coxpa нения энерrии. Обычно в качестве состояния с нулевой потенциальной энерrией выбирают состояние системы с минимальной энерrией. Тоrда потенциальная энерrия всеrда положи тельна или равна нулю. Итак, потенциальная энерrия системы «тело  Зем ля»  величина, зависящая от положения тела относи тельно Земли, равная работе консервативной силы при пе ремещении тела из точки, rде оно находится, в точку, соответствующую нулевому уровню потенциальной энер rии системы. у пружины потенциальная энерrия минимальна в OT сутствие деформации, а у системы «камень  Земля»  коrда камень лежит на поверхности Земли. Поэтому в пер k (ы)2 вом случае Еп = 2 ' а во втором случае Е п = mgh. Но к данным выражениям можно добавить любую постоян ную величину С, и это ничеrо не изменит. Можно считать, k (ы)2 чтоЕ п = 2 +C,En=mgh+C. Если во втором случае положить С = mgho' то это бу дет означать, что за нулевой уровень энерrии системы «Ka мень  Земля» принята энерrия, соответствующая поло жению камня на высоте ho над поверхностью Земли. Изолированная система тел стремится к состоянию, в котором ее потенциальная энерrия минимальна. Если не удерживать тело, то оно падает на землю (h = О); если отпустить растянутую или сжатую пружину, то она вернется в недеформированное состояние (1).l = О). Если силы зависят только от расстояний между телами системы, то работа этих сил не зависит от формы TpaeKTO рии. Поэтому работу можно представить как разность зна чений некоторой функции, называемой потенциальной энерrией, в конечном и начальном состояниях системы. Значение потенциальной энерrии системы зависит от xa рактера действующих сил, и для ero определения необхо димо указать нулевой уровень отсчета. [1] 1. В чем состоит СХОДСТВО кинетической энерrии тела с потенци альной! 2. В чем состоит различие между кинетической энерrией и потен- циальной! 3. Может ли потенциальная энерrия быть отрицательной! 128 
 50 ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ЗНЕРrии в МЕХАНИКЕ в изолированной системе тел положительная работа внутренних сил увеличивает кинетическую энерrию и уменьшает потенциальную. Отрицательная работа, напро тив, увеличивает потенциальную энерrию и уменьшает кинетическую. Именно блаrодаря этому выполняется за кон сохранения энерrии. Снова обратимся к простой системе тел, состоящей И3 земноrо шара и поднятоrо над Землей тела, например камня. Камень падает под действием силы тяжести. Силу co противления воздуха учитывать не будем. Работа, COBep шаемая силой тяжести при перемещении камня из одной точки в друrую, равна изменению (увеличению) кинетиче ской энерrии камня: А == дЕ". (6.24) В то же время эта работа равна уменьшению потенци  альной энерrии: А == дЕп' (6.25) Работа силы всемирноrо тяrотения, действующей со стороны камня на Землю, практически равна нулю. Изза большой массы Земли ее перемещением и изменением CKO рости можно пренебречь. Так как в формулах (6.24) и (6.25) левые части одинаковы, то равны и правые части: дЕ" == /),Еп. (6.26) Равенство (6.26) означает, что увеличение кинетиче ской энерrии системы равно убыли ее потенциальной энер rии (или наоборот). Отсюда вытекает, что /),Е" + дЕп == О, или /), (Е" + Е п ) == о. (6.27) Изменение суммы кинетической и потенциальной энер rий системы равно нулю. Величину Е, равную сумме кинетической и потенци  альной энерrий системы, называют механической энер rией системы: Е == Е" + Е п . (6.28) Так как изменение полной энерrии системы в paCCMaT риваемом случае соrласно уравнению (6.27) равно нулю, то энерrия остается постоянной: I Е == Е" + Е п == const. I (6.29) Таким образом, в изолироваnnой системе, в Koтo рой действуют коnсервативн.ые силы, мехаnическая 5ФI.JJI"'.II()" I 119 
эnерzия сохраняется. В этом состоит закоn coxpane пия мехаnической эnерzии. Энерrия не создается и не уничтожается, а только превращается из одной формы в друrую: из кинетической в потенциальную и наоборот. Учитывая, что в рассматриваемом конкретном случае ти 2 Е п == тgh и Е" ==, можно закон сохранения механиче ской энерrии записать так: ти 2  + тgJl == const, (6.30) или ти 2 ти 2 т +тgh) == т +тgh 2 . Это уравнение позволяет очень просто найти скорость камня и 2 на любой высоте h 2 над землей, если известна Ha чальная скорость и) камня на исходной высоте h\. Закон сохранения механической энерrии (6.29) леrко обобщается на случай любоrо числа тел и любых KOHcepBa тивных сил взаимодействия между ними. Под Е" нужно понимать сумму кинетических энерrий всех тел, а под Е п  полную потенциальную энерrию системы. Для системы, состоящей из тела массой т и пружины, закон сохранения механической энерrии имеет вид ти 2 k (ы)2  + 2 == const. (6.31) Полная механическая энерrия системы равна сумме ее кинетической и потенциальной энерrий. В изолированной системе, в которой действуют только консервативные силы, механическая энерrия сохраняется. [1J f. Что назыаетсяя попной механической )нерrией систем...! 1. Может пи сохраняться механическая )нерrия систем.... на KO торую действуют внешние сип...! 3. Тепо падает с в",сот", Н над поверхностью 3емпи. Постройте rрафики зависимости потенциапьной. кинетической и попной )нерrий систем... "тепо  3емпя» от в",сот", h тепа.  51 УМЕНЬШЕНИЕ МЕХАНИЧЕСКОЙ ЭНЕРrии СИСТЕМЫ ПОД ДЕЙСТВИЕМ СИЛ ТРЕНИЯ Рассмотрим влиянир сил трения на изменение механи ческой энерrии системы. Если в изолированной системе силы трения совершают работу при движении тел относительно друr друrа, то ее механическая энерrия не сохраняется. В этом леrко убе диться, толкнув книrу, лежащую на столе. Изза действия 130 
силы трения книrа почти сразу о('танавливается. Сообщен ная ей механическая энерrия исчезает. Сила трения COBep шает отрицательную работу и уменьшает кинетическую энерrию. Но потенциальная энерrия при этом не увеличи вается. Поэтому полная механическая энерrия убывает. Кинетическая энерrия не превращается в потенциальную. Силы трения неконсервативны. Отличие ('ИЛ трения от консервативных сил становится особенно наrлядным, если рассмотреть работу тех и друrих на замкнутом пути. Рабо та силы тяжести, например, на замкнутом пути всеrда равна нулю. Она положительна при падении тела с BЫCO ты h и отрицательна при подърме на ту же высоту. Работа же силы сопротивления воздуха отрицательна как при подъеме тела вверх, так и при движении ero вниз. Поэто му на замкнутом пути она обязательно меньше нуля. Отрицательная работа сил трения уменьшает кинетиче скую энерrию тел при их движении, но при этом потенци альная энерrия системы «тело  Земля» может не изме няться, например, при движении тела по rоризонтальной поверхности. В результате механическая энерrия системы убывает. В любой системе, состоящей из больших макроскопиче ских тел, действуют силы трения. Следовательно, даже в изолированной системе движущихся тел механическая энерrия обязательно убывает. По('тепенно затухают коле бания маятника, останавливается машина (' выключенным двиrателем и т. д. Но убывание механической .энеРI'ИИ не ОJначает, что эта энерrия исчезает бесследно. В действительности происходит переход энерrии из механическоЙ формы в друrие. Обычно при работе сил трения происходит наrревание тел, или, как rоворят, увеличение их внутренней энерrии. Наrревание при действии сил трения леrко обнаружить. Для этоrо, Ha пример, достаточно энерrично потереть монету о стол. С по вышением температуры, как известно из курса физики 8 класса, повышается кинетическая энерrия тепловоrо дви жения молекул или атомов. Следовательно, при действии сил трения кинетичесн:ая энерrия тела превращается в ки нетическую энерrию хаотично движущих('я молекул. В двиrателях BHYTpeHHero ('rорания, паровых турбинах, электродвиrателях и т. д. механичрская энерrия, наобо рот, появляется за ('чет убыли энерrии друrих форм: хи МlIческой, электрической и т. д. Во всех проце('('ах, ПIЮИ('ХОДЯЩИХ в природе, как и в создаваемых приборах, устройствах в('еrда выполняртся закон сохранения и превращеНIIЯ энРрrии: энерrия не ис чезает и не появляется вновь, она может только пррейти из одноrо вида в друrой. Bt 
[1] 1. В каких случаях механическая знерrия системы сохраняется! 1. Почему сила трения является неконсервативной! 3. Во что лереходит механическая знерrия в системе, в которой действуют силы трения! ш ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ При применении закона сохранения механической энерrии для решения задач надо прежде Bcero выяснить, какое состояние системы целесообразно считать началь ным, а какое  конечным, затем записать выражение для начальной энерrии системы и приравнять ero выражению для конечной. При записи потенциальной энерrии надо предварительно выбрать нулевой уровень отсчета потенци альной энерrии системы. 1. Тело поднимается вертикально вверх под действием силы F == 10 Н. В начальный момент времени тело находилось на BЫ соте, равной 1 м, от поверхности Земли. Определите положение тела в тот момент, коrда сила F совершила pa боту, равную 100 Дж. Реш е н и е. Выберем начало коорди натной оси ОУ на поверхности Земли. Тоrда начальная координата тела Уо == 1 м --+ (рис. 6.12). :Коrда сила F совершит pa боту, то положение тела относительно Земли будет определяться координатой У, значение которой найдем из формулы для работы А == РуДу == Ру (У  уо)' Отсюда А У == уо + р' у у у Уо  о Рис. 6.11  Так как Ру == F (см. рис. 6.12), то А У == Уо + р; У == 11 М. 2. Недеформированную пружину растяrивают на Ы == 10 см. Определите работу деформирующей пружину силы, если для растяжения пружины на Ы О == 1 см требуется сила Fo == 2 Н. Чему равна работа силы упруrости пружины? Реш е н и е. Абсолютные удлинения пружины Bыpa зим в единицах СИ: Ы О == 0,01 м, дl == 0,1 м. Найдем жест кость пружины. Из закона rYKa РО == kдlо следует: k == Fo . I1l0 131 
Работа внешней силы равна: k (ы)2 РО (.1l)2 А == 2 == ы о 2""". А == 1 Дж. Направление силы упруrости противоположно направ лению внешней деформирующей силы, а по модулю эти силы равны, поэтому А упр == A, А упр == 1 Дж. 3. На нити длиной 1 висит rруз. На какую высоту необходи мо поднять rpy3, отклоняя нить от вертикали, чтобы при движе нии rруза вниз без начальной скорости в момент прохождения положения равновесия сила натяжения нити превышала в 2 раза силу тяжести, действующую на rруз? Реш е н и е. При прохождении нити через вертикаль  ное положение на rpy3 действуют сила натяжения нити Т  т(; == т + mg. Запишем этот закон в проек ции на ось ОУ (см. рис. 6.13): и 2 т  mg == та, rде а == т. Учиты вая, что Т == 2mg, получим mg == та, и 2 == gl. Для определения h применим Рис. 6_13 закон сохранения механической энерrии, считая, что в положении 2 потенциальная энер rия системы «тело  Земля>) равна нулю. Тоrда в положе нии 1 система имеет потенциальную энерrию: Е п == mgh, rде h  высота тела относительно нулевоrо уровня. В по ложении 2 тело обладает лишь кинетической энерrией ти 2 Е к == . По закону ти 2  == mgh, и 2 == 2gh. 1 Учитывая, что и .! == gl, получим 2gh == gl, откуда h =="2' и сила тяжести mg, лежащие на одной прямой (рис. 6.13). Поэтому ускорение а rруза является цeHTpo стремительным и направлено Bep тикально вверх. По второму закону Ньютона: сохранения у h v \ \ \ \ \ \ \ , \ \ \ \ , , 1 }., f . I "' h F а 2 Еп=О о mg / механической энерrии: 133 
 УIIР А.iI{НЕНИЕ 9 1. Кан:ая работа будет совершена, если Сllла, равная 3 Н, поднимет rруз весом 1 Н на высоту 5 м? 2. rруз массой 97 Kr перемещают с помощью веревки с посто ян ной скоростью по rоризонтальной поверхности. Уrол между Be рев кой и этой поверхностью равен 300. Коэффициент трения равен 0,2. Определите работу силы натяжения веревки на пути 100 м. 3. с какой скоростью двиrался BaroH массой 20 000 Kr по rоризонтальному пути, если при ударе о преrраду каждая пру жина буфера сжалась на 10 см? Известно, что для сжатия пру жины буфера на 1 см требуется сила 10000 Н. BaroH имеет два буфера. 4. Автомобиль, имеющий массу 1 т, троrается с места и, двиrаясь равноускоренно, проходит путь 20 м за время 2 с. Ka кую мощность при этом развивает двиrатель автомобиля? 5. Тело брошено вертикально вверх со скоростью 4,9 м/с. На какой высоте потенциальная и кинетическая энерrии систе мы (,тело  Земля.) станут одинаковыми? rлава 6. КРАТКИЕ итоrи Постоянная сила F при прямолинейном перемещении  тела на ""-r совершает работу А == F Iд;1 cos а, rде а  уrол между векторами F и д;. Величину, равную отношению работы к промежутку времени, за который эта работа совершена, называют мощностью: N==. ы Изменение кинетической энерrии тела равно сумме pa бот всех сил, действующих на тело (теорема об изменении кинетической энерrии): дЕк == А. Если силы, действующие в изолированной системе, KOH сервативны, то работа этих сил равна изменению потенци альной энерrии системы, взятому с противоположным зна ком: А == ДЕlI. Потенциальная энерrия системы, состоящей из Земли и тела, поднятоrо над Землей на небольшую высоту, опре деляется формулой ЕlI == mgh, rде h  высота тела над по верхностью Земли. 134 
Потенциальная энерrия упруrо деформированноrо тела равна: Е == k (L'.l)2 п 2' упруrости; дl  изменение линей  rде k  коэффициент ных размеров тела. Потенциальная энерrия системы определяется с точно стью ДО произвольной постоянной, зависящей от выбора нулевоrо уровня отсчета энерrии. В изолированной системе, в которой действуют только консервативные силы, полная механическая энерrия co храняется: Е == Е к + Е п == COllst. Кинетическая энерrия зависит от скоростей тел и вы  бора системы отсчета, а потенциальная  от расстояний между ними и выбора нулевоrо уровня отсчета энерrии. СТАТИКА rлава 7 РАВНОВЕСИЕ АБСОЛЮТНО ТВЕРДЫХ ТЕЛ  52 РАВНОВЕСИЕ ТЕЛ Если тело покоится, то rоворят, что это тело находится в равновесии. Здания, мосты, балки вместе с опорами, час ти машин, книrа на столе и мноrие друrие тела покоятся, несмотря на то что к ним со стороны друrих тел приложе ны силы. Задача изучения условий равновесия тел имеет большое практическое значение для машиностроения, строительноrо дела, приборостроения и друrих областей техники. Все реальные тела под влиянием приложенных к ним сил изменяют свою форму и размеры, или, как ro ворят, деформируются. Величина деформации зависит от различных условий: материала тела, ero формы, прило женных к нему сил. Деформации MorYT быть большими, и тоrда их леrко заметить, например растяжение резино Boro шнура, изrиб тонкой металлической линейки и т. д. Малые деформации можно обнаружить при помощи спе циальных приборов. Если действия сил вызывают значительные деформа ции тела, то фактически после приложения сил мы будем иметь дело с телом, обладающим новыми rеометрически ми размерами и формой. И нужно будет определять усло вия равновесия этоrо HOBoro деформированноrо тела. TaKO 135 
ro рода задачи. связанные с расчетом деформаций тел. обычно весьма сложны. Во мноrих случаях. которые встречаются на практике. деформации тел при их равновесии незначительны. В этих случаях деформациями можно пренебречь и вести расчет так. как если бы тела были недеформируемыми. т. е. абсо- лютно твердыми. Изучив условия равновесия абсолютно твердоrо тела. мы найдем условия равновесия реальных тел в тех случаях. коrда их деформации можно не учиты вать. Раздел механики. в котором изучаются условия paBHO весия абсолютно твердых тел. называется статикой. В статике учитываются размеры и форма тел. а все pac сматриваемые тела считаются абсолютно твердыми. Стати ка  частный случай динамики. так как покой тел, коrда на них действуют силы, есть частный случай движения ([; == О). Деформации, происходящие в теле, учитываются в прикладных разделах механики (теория упруrости, сопро тивление материалов). В дальнейшем для краткости абсо лютно твердое тело будем называть твердым телом, или просто телом. Выясним вначале с помощью законов Ньютона, при Ka ком условии любое тело будет находиться в равновесии. С этой целью разобьем мысленно все тело на большое число малых элементов, каждый из которых можно рассматри вать как материальную точку. Некоторые элементы изоб ражены на рисунке 7.1. Как обычно. назовем силы, дейст вующие на тело со стороны друrих тел, внешними, а силы, с которыми взаимодействуют элементы c8Moro тела.   внутренними. Так. сила F 1 , 2  это сила. действующая на  элемент 1 со стороны элемента 2. Сила же F 2. \ действует на элемент 2 со стороны элемента 1. Это внутренние силы; ----+- ....... ..  к ним относятся также силы РС з И F з , \' Р 2 , 3 И F з ,2' На каждый элемент в общем случае может действовать    несколько внешних сил. Под Р р Р 2 , F з и т. д. будем пони мать rеометрическую сумму всех внешних сил. приложенных COOT ветственно к элементам 1, 2, 3, ....    Точно так же через Р;, p, p и т. д. обозначим rеометрическую сумму внутренних сил, приложенных к элементам 1, 2, 3, ... соответственно (эти силы не показаны на рисунке). Если тело находится в покое, то ускорение каждоrо элемента равно Рис. 7.1 нулю. Поэтому соrласно второму за 136 
кону Ньютона будет равна нулю и rеометрическая сумма всех сил, действующих на любой элемент. Следовательно, можно записать:       F 1 + F{ == О, Р 2 + F == О, F3 + F == О. (7.1) Итак, для равновесия тела необходимо и достаточно, чтобы rеометрическая сумма всех сил (внешних и BHYT ренних), действующих на каждый элемент этоrо тела, была равна нулю.  53 ПЕРВОЕ УСЛОВИЕ РАВНОВЕСИЯ ТВЕРдоrо ТЕЛА в предыдущем параrрафе мы показали, что равновесие тела определяется всеми действующими на это тело сила  ми: внешними и внутренними. Выясним, каким условиям должны удовлетворять внеш ние силы, приложенные к твердому телу, чтобы оно Haxo дилось в равновесии. Для этоrо сложим уравнения (7.1): (Р 1 + Е 2 + Ез + ...) + (Р{ + E + E + ...) == о. в первых скобках этоrо равенства записана векторная сумма всех внешних сил, приложенных к телу, а во BTO рых  векторная сумма всех внутренних сил, действую щих на элементы этоrо тела. Но, как известно, векторная сумма всех внутренних сил системы равна нулю, так как со!' лас но третьему закону Ньютона любой внутренней силе соответствует сила, равная ей по модулю и противополож ная по направлению. Поэтому в левой части последнеrо равенства останется только rеометрическая сумма внеш них сил, приложенных к телу:    F 1 + F 2 + F3 + ... == о. (7.2) Полученное условие равновесия (7.2) является необхо димым и достаточным для равновесия материальной точки. В случае абсолютно твердоrо тела это условие называют первым условием ero равновесия. Оно является необходи мым, но не является достаточным. Итак, если твердое тело находится в равновесии, то rеометрическая сумма внешних сил. приложенных к нему, равна нулю. Поскольку к одним элементам тела может быть прило жено несколько внешних сил, а на друrие элементы внеш ние силы MorYT и не действовать, то число всех внешних сил необязательно должно быть равно числу всех элемен тов (см. рис. 7.1). Если сумма внешних сил равна нулю, то равна нулю и 137 
сумма проекций этих сил на оси координат. В частности, для проекций внешних сил на ось ОХ можно записать: F 1x + F 2x + F зх + ... == о. (7.3) Такие же уравнения можно записать и для проекций сил на оси ОУ и OZ. На основе условия равновесия любоrо элемента тела, выведено первое условие равновесия твердоrо тела.  54 ВТОРОЕ УСЛОВИЕ РАВНОВЕСИЯ ТВЕРдоrо ТЕЛА Равенство нулю суммы внешних сил, действующих на твердое тело, необходимо для ero равновесия, но HeДOCTa точно. В этом леrl{О убедиться. Приложите к доске, лежа щей на столе, в различных точках две равные по модулю и противоположно направленные силы так, как показано '>-  на рисунке 7.2. Сумма этих сил равна нулю: F + (F) == о. Но доска, тем не менее, будет поворачиваться. Точно так же две одинаковые по модулю и противоположно направ ленные силы поворачивают руль велосипеда или автомоби ля (рис. 7.3). Почему так происхо дит, понять нетрудно. Ведь любое тело находится в равновесии, коrда сумма всех сил, действующих на каждый ero элемент, равна нулю. Но если сумма внешних сил равна нулю, то сумма всех сил, прило женных к каждому элементу тела, может быть не равна нулю. В этом случае тело не будет находиться в равновесии. В рассмотренных примерах доска и руль потому и не находятся в равновесии, что сумма всех сил, действующих на отдель ные элементы этих тел, не равна нулю. Выясним, какое же еще усло вие для внешних сил, кроме pa венства нулю их суммы, должно выполняться, чтобы твердое тело находилось в равновесии. Для это ro воспользуемся теоремой об из менении кинетической энерrии. Найдем, например, условие равновесия стержня, шарнирно Рис. 7.1 p F Рис. 7.3 138 
закрепленноrо на rоризонтальной оси в точке О (рис. 7.4). Это простое устройство, как вам известно из курса физики 7 класса, представля  ет собой рычаr. Пусть к рычаrу приложены перендикулярно CTep Рис. 7.4 жню силы Р} И Р 2 . В частности, это MorYT быть силы натяжения нитей, к концам которых   прикреплены rрузы. Кроме сил Р} и Р 2 , на рычаr действу  ет направленная вертикально вверх сила реакции F з со стороны оси рычаrа. При равновесии рычаrа сумма всех    трех сил равна нулю: Р} + Р 2 + F з == о. Вычислим работу, которую совершают внешние силы при повороте рычаrа на очень малый уrол а. Точки прило   жения сил Fl и Р 2 пройдут пути 8} == ВВ} и 82 == сс} (дуrи ВВ} и сс} при малых уrлах а можно считать прямолиней  ными отрезками). Работа Al == F}Sl силы Р} положительна, потому что точка В перемещается по направлению дейст  вия силы, а работа А 2 == P282 силы Р 2 отрицательна, по скольку точка С движется в сторону, противоположную   направлению силы Р 2 . Сила F з работы не совершает, так как точка ее приложения не перемещается. Пройденные пути 8} и 82 можно выразить через уrол по ворота рычаrа а, измеренный в радианах: 8} == а I ВО I и 82 == а Icol. Учитывая это, перепишем выражения для работы так: А} == Р}а IBOI, А 2 == P2a I со 1. Радиусы во и со ду!' окружностей, описываемых точ   ками приложения сил Р} и Р 2 , являются перпендикуля рами. опущенными из оси вращения на линии действия этих сил. Кратчайшее расстояние от оси вращения до линии дей ствия силы называют плечом силы. Будем обозначать плечо силы буквой d. Тоrда I во I == d}  плечо силы Р р а 1 со 1 == d 2  плечо силы ;2. При этом выражения (7.4) примут вид А} == F}ad}. А 2 == F2ad2. Из формул (7.5) видно. что при заданном уrле поворота тела (стержня) работа каждой приложенной к этому телу силы равна произведению модуля силы на плечо взятому со знаком «+» или «». Это произведение будем называть моментом силы. t rЗ С} В f&+ C F.  t g l.  } \   B/ Е2 (7.4) (7.5) 119 
Моментом силы относительно оси вращения тела Ha зывается произведение модуля силы на ее плечо. Момент силы может быть положительным или отрицательным.  Момент силы F обоз начим бук вой М: r м == :t Fd.1  Будем считать момент силы F положительным, если она стремится повернуть тело против часовой стрелки, и отрицательным, если по часовой стрелке. Тоrда момент +  силы Fl равен М 1 == F1d 1 (см. рис. 7.4), а момент силы Р 2 равен М 2 == F2d2. Следовательно, выражения (7.5) для pa боты можно переписать в виде Al == Mla, А 2 == М 2 а, (7.6) а полную работу внешних сил выразить формулой: А == Al + А 2 == (M l + М 2 ) а. (7.7) :Коrда тело приходит в движение, ero кинетическая энерrия увеличивается. Для увеличения кинетической энерrии внешние силы должны совершить работу. Соrлас но уравнению (7.7) ненулевая работа может быть соверше на лишь в том случае, если суммарный момент внешних сил отличен от нуля. Если же суммарный момент внеш них сил, действующих на тело, равен нулю, то работа не совершается и кинетическая энерrия тела не увеличивает ся (остается равной нулю), следовательно, тело не прихо дит в движение. Равенство M l + М 2 == О (7.8) и есть второе условие, необходимое для равновесия TBepдo ro тела. При равновесии твердоrо тела сумма моментов всех внешних сил, действующих на Hero относительно любой оси, равна нулю. Итак, в случае произвольноrо числа внешних сил условия равновесия абсолютно твердоrо тела следующие:    Fl + Р 2 + F з + ... == О, M l + М 2 + М з + ... == О. (7.9) Если же тело не абсолютно твердое, то под действием приложенных к нему внешних сил оно может и не OCTa ваться в равновесии, хотя сумма внешних сил и сумма их моментов относительно любой оси равна нулю. Это проис ходит потому, что под действием внешних сил тело может деформироваться и сумма всех сил, действующих на каж дый ero элемент, в этом случае не будет равна нулю. 140 
Приложим, например, к концам резиновоrо шнура две силы, равные по модулю и направленные вдоль шнура в противоположные стороны. Под действием этих сил шнур не будет находиться в равновесии (шнур растяrивается), хотя сумма внешних сил равна нулю и нулю равна сумма их моментов относительно оси, проходящей через любую точку шнура. Условия (7.9) являются необходимыми и достаточными для равновесия твердоrо тела. Если они выполняются, то твердое тело находится в равновесии, так как сумма сил, действующих на каждый элемент этоrо тела, равна нулю. [1] 1. Что называется моментом силы! 1. Какие условия необходимы и достаточны для равновесия твер- доrо тела! ш ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ При решении задач статики надо использовать условия равновесия (7.9). Причем от BeKTopHoro уравнения для суммы сил следует перейти к проекциям сил на коорди  натные оси. Иноrда удобнее решать задачу, используя reo метрическое правило сложения векторов. При равновесии мноrоуrольник сил должен быть замкнутым, так как CYM ма сил равна нулю (подобный пример будет рассмотрен ниже ). При записи для правила моментов сил надо подумать, как выбрать ось, чтобы плечи сил определялись наиболее просто и в сумме моментов сил содержалось меньше слаrа емых. В задачах часто rоворится о стержнях, которые скреп ляются шарнирно. При этом имеется в виду, что трение в шарнире отсутствует. 1. rруз висит на двух тросах (рис. 7.5, а). Уrол АСВ pa вен 1200. Сила тяжести, действующая на rpy3, равна 600 Н. Определите силы натяжения тросов АС и СВ. Реш е н и е. Силы натяжения тросов обозначим через Т] и Т 2 . ЭТИ силы направлены вдоль тросов от точки С  (рис. 7.5, б). Кроме этих сил, на точку С действует сила Р, равная силе тяжести тg. Точка С находится в равновесии. Следовательно, сумма сил, действующих на нее, равна нулю: Т] + Т 2 + тg == о. 141 
А а) Рис. 7.5 '/ У  Т'у   Т 2 Т 2 В  О Х т'х тg тg 6) В) Оси координат выберем так, как показано на рисунке 7.5, в. При равновесии сумма проекций всех сил на оси координат равна нулю: т'х + Т 2х + mg>- == О, Т}у + Т 2у + mg y == О, или Отсюда Т 2  Т, cos 600 == О, Т} cos 300  mg == О. т == mg  690 Н, } cos 30' Т 2 == Т} cos 60'  345 Н. 2. Дверь люка АО, которая может поворачиваться в шарни ре О без трения, удерживается в rоризонтальном положении Be рев коЙ (рис. 7.6. а). Определите натяжение веревки и силу peaK ции шарнира, если веревка образует с ДRерью уrол а == 600. Дверь однородна, и на нее деЙствует сила тяжести 300 Н. Реш е н и е. На дверь люка действуют три силы  (рис. 7.6, б): сила тяжести mg, приложенная к середине  двери в точке D, сила натяжения Т со стороны веревки  и сила реакции N со стороны шарнира. Выберем оси координат так, как показано на рисун ке 7.6, 6. Поскольку дверь находится в равновесии, то сумма моментов всех сил uтносительно, например, шарни ра равна нулю: М} + М + 1\12 == О. Здесь М}' М, М 2  моменты сил Т, F и Л. Найдем плрчи этих сил, обозначив I АО I == l. Тоrда OD == l/2  плечо силы тg, СО == АО sill а == l sill а  пле .  чu силы Т. Ilлрчо силы N равно нулю, так как она прило жена в шарнирр. t41 
!У I I I I С I r.... I /.... I   ............N  I а D........ x А ==1=:л==""  б) Рис. 7.6 а x А  J) а) Значит M 1 == TI Sill а, М == mg, М 2 == о. Теперь запишем правило моментов сил, учитывая зна ки этих моментов: TISilla+mg +0==0. Отсюда находим силу натяжения веревки: т == mg   173 Н. 2 Sill а Для нахождения силы реакции шарнира воспользуемся первым условием равновесия: ---+ ....... ... mg + Т + N == О. Запишем это векторное уравнение в проекциях на KO ординатные оси: ТХ + N x + mg x == о, Ту + N y + mg y == о, или N x == т cos а, N Т . mg и == mg  Slll а == 2' Отсюда N x == 86,5 Н; N y == 150 Н.  Модуль силы N р авен: N == I N 2 + N 2 . N == 173 Н. 'v у х' + Найдем уrол, который образует сила N с координатной осью ОУ: N Y cos J3 == N ' J3  300. 143 
 УПРАЖНЕНИЕ 10 1. Для запуска планера применяют резиновый канат. Опре делите силу, с которой планер действует на канат, в тот момент, коrда две половины каната составляют между собой уrол 900, а каждая из них растянута силой 500 Н. 2. К концу рукоятки rаечноrо ключа длиной 20 см приложе на сила 50 Н под у!' лом 600 по отношению к рукоятке ключа. Определите момент этой силы. 3. Человек, открывая дверь, прикладывает силу 4 Н, KOTO рая направлена под уrлом 600 к плоскости двери в rоризонталь ном направлении. Момент силы равен 3,5 Н . м. Определите pac стояние от ручки до оси вращения двери. 4. Труба массой 14 к!' лежит на земле. Какую силу надо при ложить к одному из концов трубы, чтобы ero слеrка припод нять? 5. На трапеции сидит rимнаст массой 60 Kr. Он расположен на расстоянии 1/3 ее длины, считая от одноrо из ее концов. Опре делите натяжение тросов, на которых подвешена трапеция. rлава 7. КРАТКИЕ итоrи в статике рассматриваются условия равновесия абсо лютно твердых тел, т. е. тел, деформации которых равны нулю. Абсолютно твердое тело находится в равновесии, если сумма действующих на HeI'O внешних сил равна   нулю: Рl + F 2 + ... == О. Кроме TOI'O, сумма моментов внеш них сил равна нулю: М 1 + М 2 + ... == о. Моментом силы называется произведение модуля силы на плечо. Плечом силы называется кратчайшее расстояние от оси вращения до линии действия силы. Модуль MOMeH та силы равен: 1М I == Fd. Момент силы положителен, рсли в отсутствие ДРУI'их сил она вызывает поворот тела против часовой стрелки, и отрицателен  если по часовой стрелке. 
 МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА. ТЕПЛОВЫЕ ЯВЛЕНИЯ  55 ПОЧЕМУ ТЕПЛОВЫЕ ЯВЛЕНИЯ ИЗУЧАЮТСЯ В МОЛЕКУЛЯРНОЙ ФИЗИКЕ? Дадим общее представление о значении и смысле Toro, что вы сейчас начнете изучать. Макроскопические тела. Мы живем в мире макроскопи  ческих тел. Наше тело  это тоже макроскопическое тело. В физике макроскопическими телами называются большие тела, состоящие из orpoMHoro числа молекул. rаз в баллоне, вода в стакане, песчинка, камень, стальной стержень, земной шар  все это примеры макроскопиче ских тел (рис. 7.7). Механика 11 механическое движение. В механике Нью тона имеют дело с .механически.м движение.м .макроскопи- ческих тел  пере.мещение.м одних тел относительно друzих в пространстве с течение.м вре.мени. Механика изучает движение тел, но она не в состоянии объяснить, почему существуют твердые, жидкие и rазооб разные тела и почему эти тела MorYT переходить из одноrо состояния в друrое. Исследование внутренних свойств тел не входит в задачу механики. В механике rоворят о силах как о причинах изменения скоростей тел, но природа этих сил, их происхождение не выясняются. Остается непонятным, почему при сжатии тел появляются силы упруrости, почему возникает трение. На мноrие, очень мноrие вопросы механика Ньютона OTBe тов не дает. Все это хорошо понимал сам Ньютон. Ему принадлежат знаменательные слова: «Я не знаю, чем я кажусь миру; мне самому кажется, что я был только мальчиком, иrраю щим на береrу моря и развлекающимся тем, что от BpeMe ни до времени находил более r ладкие камушки или более красивую раковину, чем обыкновенно, в то время как Be ликий океан истины лежал передо мной совершенно He разrаданным» . D ( i/f::J " 11 Рис. 7.7 145 
Тепловые явления. После механическоrо движения ca мые заметные явления связаны с наl'реванием или охлаж дением тел, с изменением их температуры. Эти явления называются тепловыми. Механическое движение не вызывает в теле какихлибо существенных изменений, если не происходит катастрофи ческих столкновений. Но наrревание или охлаждение тела способно изменить еро до неузнаваемости. Сильно наррев прозрачную, но все же видимую воду, мы превратим ее в невидимый пар. Сильное охлаждение превратит воду в кусок льда. Если вдуматься, то эти явления заrадочны и достойны изумления. Не удивляемся мы потому, что привыкли к ним с детства. Надо найти законы, которые моrли бы объяснить изме нения в телах, корда сами тела неподвижны и корда с точ ки зрения механики с ними не происходит ничеrо. Эти за коны описывают особый вид движения материи  тепло вое движение, при сущее всем макроскопическим телам независимо от торо, перемещаются они в пространстве или нет. Тепловое движение молекул. Все тела состоят из aTO мов и молекул. Тепловые явления происходят внутри тел и всецело определяются движением этих частиц. Дви жение атомов и молекул мало напоминает движение co баки или автомобиля. Атомы и молекулы вещества co вершают беспорядочное движение, в котором трудно усмотреть следы какоrолибо порядка и реrулярности. Беспорядочное движение молекул называют тепловым движением. Движение молекул беспорядочно изза торо, что число их в телах, которые нас окружают, необозримо велико. Каждая молекула беспрестанно меняет свою скорость при столкновениях с друrими молекулами. В результате ее траектория оказывается чрезвычайно запутанной, движе ние  хаотичным, несравненно более хаотичным, чем движение муравьев в разоренном муравейнике. Беспорядочное движение орромноро числа молекул Ka чественно отличается от упорядоченноrо механическоrо перемещения тел. Оно представляет собой особыЙ вид дви жения материи со своими особыми своЙствами. Об этих своЙствах и поЙдет речь в дальнеЙшем. Значение тепловых явлений. Привычный облик нашей планеты существует и может СУlцествовать только в дo вольно узком интервале температур. Если бы температура превысила 100 ОС, то на Земле при обычном атмосферном давлении не было бы рек, мореЙ и океанов, не было бы воды вообще. Вся вода превратилась бы в пар. А при ПОIlИ жении температуры на несколько десятков rрадvсов OKea ны превратились бы в рромадные ледники. 146 
Даже изменение температуры лишь на 2030 ос при смене времен rода меняет на средних широтах весь облик планеты. С наступлением весны начинается пробуждение приро ды. Леса одеваются листвой, начинают зеленеть луrа. Зи мой же жизнь растениЙ замирает. Толстый слой cHera по крывает поверхность Земли. Еще более узкие интервалы температур необходимы для поддержания жизни теплокровных животных. Темпе ратура животных и человека поддерживается внутренни ми механизмами термореrуляции на cTporo определенном уровне. Достаточно температуре повыситься на несколько десятых rрадуса, как мы уже чувствуем себя нездоровы ми. Изменение же температуры на несколько rрадусов Be дет к rибели орrанизмов. Поэтому неудивительно, что теп ловые явления привлекали внимание людей с древнейших времен. Умение добывать и поддерживать oroHb сделало человека относительно независимым от колебаний темпе ратуры окружающей среды. Это было одним из величай ших изобретений человечества. Изменение температуры оказывает влияние на все свой  ства тел. Так, при наrревании или охлаждении изменяют ся размеры твердых тел и объемы жидкостей. Значительно меняются механические свойства тел, например упруrость. Кусок резиновой трубки уцелеет, если ударить по нему MO лотком. Но при охлаждении до температуры ниже 100 ос резина становится хрупкой, как стекло, и от леrкоrо удара резиновая трубка разбивается на мелкие кусочки. Лишь после наrревания резина вновь обретает свои упруrие свой  ства. Кроме механических свойств, при изменении темпера туры меняются и друrие свойства тел, например сопротив ление электрическому току, маrнитные свойства и др. Так, если сильно HarpeTb постоянный маrнит, то он перестанет притяrивать железные предметы. Все перечисленные выше и мноrие друrие тепловые яв ления подчиняются определенным законам. Открытие за конов тепловых явлений позволяет с максимальной поль зой применять эти явления на практике и в технике. Современные тепловые двиrатели, установки для сжиже ния rазов, холодильные аппараты и мноrие друrие устрой ства конструируют на основе этих законов. Молекулярнокинетическая теория. Еще философы древности доrадывались о том, что теплота  это вид BHYT peHHero движения. Но только в XVIII в. начала развивать сл последовательная моле1СУЛЯРllO1СИ1iетuчеС1Сая теория. Большой вклад в развитие молеку лярно кинетической 'теории был сделан М. В. Л о м о н о с о в ы м. Он рассматри вал теплоту как вращательное движение частиц тела. 147 
. с"- Ломоносов Михаил Васильевич (17111765)  великий русский ученый. энцикло педист, поэт и общественный деятель, основатель MOCKoBcKoro университета. носящеrо ero имя. Пуш кин назвал М. В. Ломоносова «первым русским уни верситетом». М. В. Ломоносову принaдnежат Bыдa ющиеся труды по физике, химии, ropHoMY делу и металлурrии. Он развил молекулярнокинетическую теорию теплоты, в ero работах предвосхищены зако ны сохранения массы и энерrии. М. В. Ломоносов co здал фундаментальные труды по истории pyccKoro народа, он является основоположником современной русской rрамматики. \ Цель молекулярнокинетической теории  объяснение свойств макроскопичеСI<ИХ тел и тепловых процессов, про исходящих в них, на основе представлений о том, что все тела состоят из отдельных, беспорядочно движущихся частиц. rлава 8 ОСНОВЫ МОЛЕКУЛЯРНО КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ  56 ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ МОЛЕКУ ЛЯРНОКИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ. РАЗМЕРЫ МОЛЕКУЛ Молекулы очень малы, но посмотрите, как просто oцe нить их размеры и массу. Достаточно одноrо наблюдения и пары несложных расчетов. Правда, надо еще додуматься до Toro, как это сделать. В основе молекулярнокинетической теории строения вещества лежат три утверждения: вещество состоит из ча стиц; эти частицы беспорядочно движутся; частицы взаи модейстнуют друr с друrом. Каждое утверждение cTporo доказано с помощью опытов. Свойства и поведение всех без исключения тел от инфу зории до звезды определяются движением взаимодейст вующих друr с друrом частиц: молекул, атомов или еще более малых образований  элементарных частиц. Оценка размеров молекул. Для полной уверенности в существовании молекул надо определить их размеры. Проще Bcero это сделать, наблюдая расплывание Ka пельки масла, например оливковоrо, по поверхности воды. 148 
, ;:::::::- ""- "" "'\. ........ " "'" Рис. 8.1 Рис. 8.2 Масло НИКОl'да не займет всю поверхность, если сосуд Be лик (рис. 8.1). Нельзя заставить капельку объемом 1 мм 3 расплыться так, чтобы она заняла площадь поверхности более 0,6 м 2 . Можно предположить, что при растекании масла по максимальной площади оно образует слой толщи  ной BCel'O лишь в одну молекулу  «мономолекулярный слой.). Толщину ЭТОI'О слоя нетрудно определить и тем ca мым оценить размеры молекулы ОЛИВКОВОI'О масла. Объем V слоя масла равен произведению el'o площади поверхности S на толщину d слоя, т. е. V:= Sd. Следова тельно, размер молекулы ОЛИВКОВОI'О масла равен: d := 0,001 см 3 ::::; 1,7 . 107 см. 6000 см 2 Перечислять сейчас всевозможные способы доказатель ства существования атомов и молекул нет необходимости. Современные приборы позволяют видеть изображения OT дельных атомов и молекул. На рисунке 8.2 показана МИКрОфОТОl'рафия поверхности кремниевой пластины, I'де буl'ОрКИ  это отдельные атомы кремния. Подобные изоб ражения впервые научились получать в 1981 1'. с помо щью не обычных оптических, а сложных туннельных микроскопов. Размеры молекул, в том числе и оливковоl'о масла, больше размеров атомов. Диаметр любоl'О атома примерно равен 10B см. Эти размеры так малы, что их трудно себе представить. В таких случаях прибеl'ают к помощи cpaB нений. Вот одно из них. Если пальцы сжать в кулак и увели чить el'o до размеров земноl'О шара, то атом при том же увеличении станет размером с кулак. Число молекул. При очень малых размерах молекул число их в любом макроскопическом теле Ol'pOMHO. Под считаем примерное число молекул в капле воды массой 1 l' и, следовательно, объемом 1 см 3 . Диаметр молекулы воды равен примерно 3. 108 см. Считая, что каждая молекула воды при плотной упаковке молекул занимает объем (3 . 108 см):!, можно найти число 149 
молекул в капле, разделив объем капли (1 см 3 ) на объем, приходящийся на одну молекулу: N = 1 см 3 ::::: 3 7 . 1 О 22. (3 . 10)3 см 3 ' При каждом вдохе вы захватываете столько молекул, что если бы все они после выдоха равномерно распредели лись в атмосфере Земли, то каждый житель планеты при вдохе получил бы дветри молекулы, побывавшие в ваших леrких. Размеры атома малы: D ::::: 108 см ::::: 1010 м. О трех основных положениях молекулярнокинетиче ской теории речь будет идти неоднократно. [1] 1. Какие измерения надо произвести, чтобы оценить размеры молекулы оливковоrо масла! 1. Если бы атом увеличился до размеров MaKoBoro зернышка (0,1 мм), то размеров KaKoro тела при том же увеличении дo стиrло бы зернышко! 3. Перечислите известные вам доказательства существования мо- лекул, не упомянутые в тексте.  57 МАССА МОЛЕКУЛ. КОЛИЧЕСТВО ВЕЩЕСТВА Массы атомов и молекул различаются значительно. Ka кими величинами их удобно характеризовать? Как опреде лить число атомов в любом макроскопическом теле? Масса молекулы воды. Массы отдельных молекул и атомов очень малы. Например, в 1 r воды содержится 3,7. 1022 молекул. Следовательно, масса одной молекулы воды (Н 2 О) равна: lr т::::: ::::: 2, 7 . 1 О -23 r. ОН2 0 3,7.1022 Массу TaKoro же порядка имеют молекулы друrих Be [цеств, исключая orpoMHbIe молекулы орrанических Be ществ; например, белки имеют массу, в сотни тысяч раз большую, чем масса отдельных атомов. Но все равно их массы в макроскопических масштабах (rpaMMax и КИЛО rpaMMax) чрезвычайно малы. Относительная молекулярная масса. Так как массы молекул очень малы, удобно использовать в расчетах не абсолютные значения масс, а относительные. По между народному соrлашению массы всех атомов и молекул cpaB 1 нивают с 12 массы атома уrлерода (так называемая уrле (8.1) 150 
родная шкала атомных масс)!. Относительной молеку лярной (или атомной) массой вещества М r называют отношение массы молекулы (или атома) то данноrо веще 1 ства к 12 массы атома уrлерода тое: М== r то (8.2) 1 12 тое Относительные атомные массы всех химических эле ментов точно измерены. Складывая относительные атомные массы элементов, входящих в состав молекулы вещества, можно вычислить относительную молекулярную массу вещества. Например, относительная молекулярная масса уrлекислоrо rаза СО 2 приближенно равна 44, так как относительная атомная масса уrлерода точно равна 12, а кислорода примерно 16: 12 + 2 . 16 == 44. Количество вещества и постоянная Авоrадро. Колuче ство вещества наиболее естественно было бы измерять числом молекул или атомов в теле. Но число молекул в любом макроскопическом теле так велико, что в расче тах используют не абсолютное число молекул, а относи тельное их число. В Международной системе единиц количество вещества выражают в молях. Один моль  это количество вещест ва, в котором содержится столько же молекул или атомов, сколько атомов содержится в уrлероде массой 0,012 Kr. Значит, в 1 моль любоrо вещества содержится одно и то же число атомов или молекул. Это число атомов обозна чают N А И называют постоянной ABozaapo в честь италь янскоrо ученоrо (XIX в.). Для определения постоянной Авоrадро надо найти Mac су одноrо атома уrлерода. Приближенная оценка массы MO жет быть произведена так, как это было сделано выше для массы молекулы воды (наиболее точные методы основаны на отклонении пучков ионов электромаrнитным полем). Для массы атома уrлерода измерения дают: тО(; == 1,995 . 1026 Kr. Постоянную Авоrадро N А можно определить, разделив 1 1 Сравнение атомов и молекул с  массы атома уrлерода было приня- 12 то в 1961 r. rлавная причина TaKoro выбора состоит в том, что уrлерод входит в orpoMHoe число различных химических соединений. Множитель .!... введен для Toro, чтобы относительные массы атомов были близки к цe 12 пым чи('лам. 151 
массу уrлерода, взятоrо в количестве одноrо моля, на Mac су одноrо атома уrлерода: N == 0.012 ....l:...... == 0,012 . 1 л моль тое моль 1,995 . 1026 Kr == 6,02 . 1023 моль 1.  NA  6,02 . 1023 мольI.1 (8.3) Наименование lOль 1 указывает на то, что N A  число атомов в 1 моле любоrо вещества. Если, например, коли чество вещества v == 2,5 моль, то число молекул в теле N == vN л == 1,5 . 1021. Отсюда видно, что количество вещест ва равно отношению числа молекул N в данном теле к по стоян ной Авоrадро N м т. е. к числу молекул в 1 моль Be щества: Iv==  . 1 (8.4) OrpoMHoe числовое значение постоянной Авоrадро по казывает, насколько малы микроскопические масштабы по сравнению с макроскопическими. Тело, обладающее KO личеством вещества 1 моль, имеет привычные для нас макроскопические размеры и массу порядка нескольких десятков rpaMMoB. Молярная масса. Наряду с относительной молекуляр ной массой М r В физике и химии широко используют по нятие молярная масса. Молнрной массой М вещества Ha зывают массу вещества, взятоrо в количестве 1 моль. Соrласно такому определению молярная масса вещест ва равна произведению массы молекулы на постоянную Авоrадро: ! м == mONA.1 (8.5) Масса m любоrо количества вещества равна произведе нию массы одной молекулы на число молекул в теле: m == moN. (8.6) Заменив N л и N в формуле (8.4) их выражениями из формул (8.5) и (8.6), получим т V == Л1 ' (8.7) Количество вещества равно отношению массы вещест ва к ero МОЛНРIIОЙ массе. Именно такое определение коли чества вещества дается в учебнике химии. Число молекул любоrо количества вещества массой m и молярной массой М соrласно формулам (8.4) и (8.7) равно: т N == vN" == N л Л1 ' (8.8) 151 
Формулы (8.2), (8.4) и (8.5) дают определения новым физическим величинам, таким, как относительная моле кулярная масса, количество вещества и молярная масса. Вывести их нельзя, их надо просто запомнить. Остальные формулы, например (8.7) и (8.8), можно вывести. [1] 1. Чему равна относительная молекулярная масса воды! 1. Сколько молекул в двух молях воды! 3. Можно ли доказать, что молярная масса М связана с относи тельной молекулярной массой соотноwением М'" 10 JM,Kr. моль t! (В доказательстве надо ислользовать формулы (8.5), (8.1), а так- же значения массы атома уrлерода и лостоянной Авоrадро.)  58 БРОУНОВСКОЕ ДВИЖЕНИЕ Сейчас вы познакомитесь с самым очевидным доказа тельством тепловоrо движения молекул (второе основное положение молекулярнокинетической теории). Обязатель но постарайтесь посмотреть в микроскоп и увидеть, как движутся так называемые броуновские частицы. Ранее вы узнали, что такое диффузия, т. е. перемеши вание rазов, жидкостей и твердых тел при их непосредст венном контакте. Это явление можно объяснить беспоря дочным движением молекул и проникновением молекул одноrо вещества в пространство между молекулами друrо ro вещества. Этим можно объяснить, например, тот факт, что объем смеси воды и спирта меньше объема составляю щих ее компонентов. Но самое очевидное доказательство движения молекул можно получить, наблюдая в микро скоп мельчайшие, взвешенные в воде частицы какоrолибо твердоrо вещества. Эти частицы совершают беспорядочное движение, которое называют броуновским. Броуновское движение  это тепловое движение взве шенных в жидкости (или rазе) частиц. Наблюдение броуновскоrо движения. AHr лийский бо таник Р. Броун (17731858) впервые наблюдал это яв ление в 1827 r., рассматривая в микроскоп взвешенные в воде споры плауна. Позже он рассматривал и друrие мел кие частицы, в том числе частички камня из еrипетских пирамид. Сейчас для наблюдения броуновскоrо движения используют частички краски rуммиrут, которая HepaCTBO рима в воде. Эти частички совершают беспорядочное дви жение. Самым поразительным и непривычным для нас яв ляется то, что это движение никоrда не прекращается. Мы ведь привыкли к тому, что любое движущееся тело рано или поздно останавливается. Броун вначале думал, что споры плауна проявляют признаки жизни. 153 
Броуновское движение  тепловое движение, и оно не может прекратиться. С увеличением температуры интен ('ивность ero растет. На рисунке 8.3 приведеНfl схема дви жения броуновских частиц. Положения частиц, OTMe ченные точками, определены через равные промежутки времени  30 с. Эти точки соединены прямыми линиями. В действительности траектория частиц rораздо сложнее. Броуновское движение можно наблюдать и в rазе. Ero совершают взвешенные в воздухе частицы пыли или дыма. Красочно описывает броуновское движение немецкий физик Р. Пол ь (18841976): «Немноrие явления способ ны так увлечь наблюдателя, как броуновское движение. Здесь наблюдателю позволяется заrлянуть за кулисы Toro, что совершается в природе. Перед ним открывается новый мир  безостановочная сутолока orpoMHoro числа частиц. Быстро пролетают в поле зрения микроскопа мельчайшие частицы, почти MrHoBeHHo меняя направление движения. Медленнее продвиrаются более крупные частицы, но и они постоянно меняют направление движения. Большие час тицы практически толкутся на месте. Их выступы явно показывают вращение частиц BOKpyr своей оси, которая постоянно меняет направление в пространстве. Ниrде нет и следа системы или порядка. rосподство слепоrо слу чая  вот какое сильное, подавляющее впечатление про изводит эта картина на наблюдателя. В настоящее время понятие броуновское движение ис пользуется в более широком смысле. Например, броунов ским движением является дрожание стрелок чувствитель ных измерительных приборов, которое происходит изза тепловоrо движения атомов деталей приборов и окружаю щей среды. 1 L 1 I I _II :a XI I I :,   т .ll1 ,.II r I .1'-. . "" / :. .a. := jf " " , ?'  , , ...... , 1= . r \1-:::=+:>' , 1 I 1 1. ,= 1 IJ"W' ="1 i +---   ? :-'о 1 .  iP" % f---- 1 I'I   I  1 1 1 IrI' r .::u 1 IIIII       . v'{" I I      rII   IШ Рис. 8.3 Н4 
ОбъяснеНllе броуновскоrо движе НIfЯ. Объяснить броуновское движе ине можно только на основе молеку лярнокинетической теории. Причи- на броуновско?о двИ.нсения частицы заключается в то.м, что удары MO лекул жидкости о частицу не KOM пенсируют друz друю. На рисун ке 8.4 схематически показано поло жение одной броуновской частицы и ближайших к ней молекул. При бес порядочном движении молекул пере даваемые ими броуиовской частице Рис. 8.4 импульсы, например слева и справа, неодинаковы. Поэтому отлична от нуля результирующая сила давления молекул жидкости на броуновскую частицу. Эта сила и вызывает изменение движения частицы. Среднее давление имеет определенное значение как в 1'азе, так и в жидкости. Но все1'да происходят незначи тельные случайные отклонения от ЭТО1'О средне1'О значе ния. Чем меньше площадь поверхности тела, тем заметнее отно('ительные изменения силы давления, действующей на данную площадь. Так, например, если площадка имеет размер порядка нескольких диаметров молекулы, то дей ствующая на нее сила давления меняется скачкообразно от нуля до HeKoTopo1'o значения при попадании молекулы в эту площадку. Молекулярнокинетическая теория броуновско1'О движе ния была создана в 1905 1'. А. Эйнштейном (l8791955). Построение теории броуновско1'О движения и ее экспе риментальное подтверждение французским физиком ж. Пер р е н о м окончательно завершили победу молеку лярнокинетической теории. OlIbITbI Перрена. Идея опытов Перрена состоит в следу ющем. Известно, что концентрация молекул 1'аза в атмосфере уменьшается с высотой. Если бы не было теплово1'О движе ния, то все молекулы упали бы на Землю и атмосфера ис чезла бы. Однако если бы не было притяжения к Земле, то за счет теплово1'О движения молекулы покидали бы Землю, так как 1'аз способен к неО1'раниченному расшире нию. В результате действия этих противоположных факто ров устанавливается определенное распределение молекул по высоте, о чем сказано выше, т. е. концентрация моле кул довольно быстро уменьшается с высотой. Причем, чем больше масса молекул, тем быстрее с высотой убывает их концентрация. Броуновские частицы участвуют в тепловом движении. Так как их взаимодействие пренебрежимо мало, 'ro COBO  р........о 9 /9,P+ '\  +! ,a'o? J;r: J>  "o  с/' "- 9 "g t'o'o+J _55 
купность этих частиц в rазе или жидкости можно paCCMaT ривать как идеальный rаз из очень тяжелых молекул. Следовательно, концентрация броуновских частиц в rазе или жидкости в поле тяжести Земли должна убывать по тому же закону, что и концентрация молекул rаза. Закон этот известен. Перрен с помощью микроскопа большоrо увеличения и малой rлубины поля зрения (малой rлубины резкости) Ha блюдал броуновские частицы в очень тонких слоях жидко сти. Подсчитывая концентрацию частиц на разных BЫCO тах, он нашел, что эта концентрация убывает с высотой по тому же закону, что и концентрация молекул rаза. Отли чие в том, что за счет большой массы броуновских частиц убывание происходит очень быстро. Более Toro, подсчет броуновских частиц на разных BЫ сотах позволил Перрену определить постоянную Авоrадро совершенно новым методом. Значение этой постоянной совпало с известным. Все эти факты свидетельствуют о правильности теории броуновскоrо движения и, соответственно, о том, что броу новские частицы участвуют в тепловом движении молекул. Вы наrлядно убедились в существовании тепловоrо движения; увидели, как происходит беспорядочное движе ние. Молекулы движутся еще более беспорядочно, чем броуновские частицы.  59 СИЛЫ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ МОЛЕКУЛ Молекулы взаимодействуют друr с друrом. Без этоrо взаимодействия не было бы ни твердых, ни жидких тел. Доказать существование значительных сил взаимодей ствия между атомами или молекулами несложно. Попро буйтека сломать толстую палку! А ведь она состоит из MO лекул. Но одни силы притяжения не MorYT обеспечить существования устойчивых образований из атомов и моле кул. На очень малых расстояниях между молекулами обя зательно действуют силы отталкивания. Блаrодаря это му молекулы не проникают друr в друrа и куски вещества никоrда не сжимаются до размеров порядка размеров oд ной молекулы. Как возникает взаимодеiiствие молекул. Молекула  это сложная система, состоящая из отдельных заряжен ных частиц: электронов и атомных ядер. Хотя в целом MO лекулы электрически нейтральны, тем не менее между ними на малых расстояниях действуют значительные электрические силы: происходит ВЗ8ИМОДf>йствие электро нов и атомных ядер соседних молекул. 156 
Если молекулы находятся на расстояниях, прРвышаю щих их размеры в несколько раз, то силы взаимодействия практически не сказываются. Силы между электрически нейтральными молекулами являются короткодействую щими. На расстояниях, превышающих 23 диаметра моле кул, действуют силы притяжения. По мере уменьшения расстояния между молекулами сила их взаимноrо притя жения сначала увеличивается, но одновременно увеличива ется и сила отталкивания. При определенном расстоянии сила притяжения становится равной силе отталкивания. Это расстояние считается равным диаметру молекулы. При дальнейшем уменьшении расстояния электронные оболочки атомов начинают перекрываться и быстро увели чивается сила отталкивания. Атомы и молекулы состоят из электрически заряжен ных частиц. Блаrодаря действию электрических сил на малых расстояниях силы притяжения больше сил оттал кивания. [1] t. Почему два свинцовых бруска с rладкими чистыми срезами слипаются, если их прижать друr к друrу! Z. Почему два кусочка мела прочно не соединяются, если их при жать друr к друrу!  60 СТРОЕНИЕ r А300БР А3НЫХ, ЖИДКИХ И ТВЕРДЫХ ТЕЛ Молекулярнокинетическая теория дает возможность понять, почему вещество может находиться в rазообраз ном, жидком и твердом состояниях. rазы. в rазах расстояние между атомами или молеку лами в среднем во MHoro раз больше размеров самих моле кул (рис. 8.5). Например, при aT мосферном давлении объем сосуда в десятки тысяч раз превышает объем находящихся в нем моле кул. rазы леrко сжимаются, при этом уменьшается среднее расстоя  ние между молекулами, но форма молекулы не изменяется (рис. 8.6). Молекулы с оrромными CKO ростями  сотни метров в ceKYH ду  движутся в пространстве. Сталкиваясь, они отскакивают Рис. 8.5 I ! а " , \.. . d  4 " I 'g , , Q Q Q..  < /",  '- ..;- ........-g ..  g"' .... "Q ;-  ;- g f 7'. I "- g Q q, \  \1 157 
1I  I  Т'> fr< I  r-' " , Рис. 8.6 Рис. 8.7 друr от друrа в разные стороны подобно бильярдным ша рам. Слабые силы притяжения молекул rаза не способны удержать их друr возле друrа. Поэтому za.Jbl Mozym Heo zраниченно расширяться. Они не сохраняют ни фор.мы, ни объе.ма. М нozочисленные удары .молекул о стенки сосуда соз- дают давление za.Ja. Жидкости. Молекулы жидкости расположены почти вплотную друr к друrу (рис. 8.7), поэтому молекула жид кости ведет себя иначе, чем молекула rаза. В жидкостях существует так называемый ближний порядок, т. е. упо рядоченное расположение молекул сохраняется на расстоя ниях, равных нескольким молекулярным диаметрам. Mo лекула колеблется около cBoero положения равновесия, сталкиваясь с соседними молекулами. Лишь врРмя от Bpe мени она совершает очередной « прыжок», попадая в новое положение равновесия. В этом положении равновесия сила отталкивания равна силе притяжения, т. е. (,YMMap ная сила взаимодействия молекулы равна нулю. Время оседлоu ЖU.JНU молекулы БОДЫ, т. е. время ее колебаний около одноrо определенноrо положения равновесия при комнатной температуре, равно в среднем 10 11 с. Время же одноrо колебания значительно меньше (10 1210 13 с). С повышением температуры время оседлой жизни моле кул уменьшается. Характер молекулярноrо движения в жидкостях, впрр вые установленный советским физиком Я. И. Фре н к e лем, позволярт понять основные свойства жидкостей. \ \.., ''1 на Френкель Яков Ильич (1894 1952)  советский физиктеоретик. BHec ший значительный вклад в самые различные облас ти физики. Я. И. Френкель  автор современной теории ЖИДКОf"О состояния вещества. Им заложены основы теории ферромаf"нетизма. Широко извест ны работы Я. И. Френкеля ло атмосферному электричеству и лроисхождению маf"НИТНОf"О лоля Земли. Первая количественная теория деления ядер урана создана Я. И. Френкелем. 
Молекулы жидкости находятся He ПОСРf>дственно друr возле друrа. При уменьшении объема силы отталкива ния становятся очень велики. Этим и объясняется малая сжимаемость жuдкостеil. Как изпестно, жидкuсти текучи, т. е. не сохраняют своеи формы. Объ яснить это можно так. Внешняя сила заметно не меняет числа перескоков молекул в секунду. Но перескоки MO Рис. 8.8 лекул из одноrо оседлоrо положения в друrое происходят преимущественно в направлении дей ствия внешней силы (рис. 8.8). Вот почему жидкость течет и принимает форму сосуда. Твердые тела. Атомы или молекулы твердых тел, в OT личие от атомов и молекул жидкостей, колеблются около определенных положений равновесия. По этой причине твердые тела сохраняют не только обье-м. но u форму. Потенциальная энерrия взаимодействия молекул твердоrо тела существенно больше их кинетической энерrии. Есть еще одно важное различие между жидкостями и твердыми телами. Жидкость можно сравнить с толпой лю дей, rде отдельные индивидуумы беспокойно толкутся на месте, а твердое тело подобно строй ноЙ KoropTe тех же индивидуумов, KO торые хотя и не стоят по стойке смир но, но выдерживают между собой в среднем определенные расстояния. Если соединить центры положений равновесия атомов или ионов твердоrо тела, то получится правильная про странственная решетка, называемая к ри с т а лл u чес кои. На рисунках 8.9 и 8.10 изображены кристаллические решетки поваренной Рис. 8.9 I   1 f t t  . .. .. ,," ..  I .. . . 'I. f ", и"  e:  r t.... .  \  v'  2 ... , .. A 10.<...... Рис. 8.10 Рис. 8.11 Н9 
соли и алмаза. Внутренний порядок в расположении aTO мов кристаллов приводит к правильным внешним {'eOMeT рическим формам. На рисунке 8.11 показаны якутские алмазы. у rаза расстояние l между молекулами MHoro больше размеров молекул ro: l» ro. у жидкостей и твердых тел l:::::: ro. Молекулы жидкости расположены в беСПОРЯДI(е и время от времени перескаки вают из одноrо оседлоrо положения в друrое. у кристаллических твердых тел молекулы (или атомы) расположены cTporo упорядоченно. [1] 1. rаз способен к неоrраниченному расwирению. Почему сущест вует атмосфера у 3емпи! 1. Чем отличаются траектории движения молекул rаза, жидкости и твердоrо тела! Нарисуйте при мерные траектории молекул веществ, находящихся в этих состояниях.  61 ИДЕАЛЬНЫЙ r АЗ в МОЛЕКУ ЛЯРНО КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ Качественное объяснение основных свойств вещества на основе молекулярнокинетической теории не является особенно сложным. Однако теория, устанавливающая KO личественные связи между измеряемыми на опыте вели чинами (давлением, температурой и др.) и свойствами ca мих молекул, их числом и скоростью движения, весьма сложна. Идеальный rаз. У ['аза при обычных давлениях paCCTO яние между молекулами во MHoro раз превышает их раз меры. В этом случае силы взаимодействия молекул прене брежимо малы и кинетическая энерrия молекул MHoro больше потенциальной энерrии взаимодействия. Молеку лы rаза можно рассматривать как материальные точки или очень маленькие твердые шарики. Вместо реальноzо za.Ja, между молекулами KOToporo действуют сложные силы взаимодействия, мы будем рассматривать ero .мo дель  идеальный zаз. Идеальный rаз  это rаз, взаимодействие между моле кулами KOToporo пренебрежимо мало. Естественно, при столкновении молекул идеальноrо rаза на них действует сила отталкивания. Так как молекулы rаза мы можем co rласно модели считать материальными точками, то разме рами молекул мы пренебреrаем, считая, что объем, KOTO рый они занимают, rораздо меньше объема сосуда. Напомним, что в физической модели принимают во внимание лишь те свойства реальной системы, учет KOTO 160 
рых совершенно необходим для объяснения исследуемых законо мерностей поведения этой системы. Ни одна модель не может пере дать все свойства системы. Сейчас нам предстоит решить довольно уз кую задачу: вычислить с помощью молекулярнокинетической теории Рис. 8.12 давление идеальноrо rаза на стенки сосуда. Для этой задачи модель идеальноrо rаза оказыва ется вполне удовлетворительной. Она приводит к резуль татам, которые подтверждаются опытом. Давление rаза в молекулярнокинетической теории. Пусть rаз находится в закрытом сосуде. Манометр показы вает давление rаза Ро. Как возникает это давление? Каждая молекула rаза, ударяясь о стенку, в течение малоrо промежутка времени действует на нее снекоторой силой. В результате беспорядочных ударов о стенку давле ние быстро меняется со временем примерно так, как пока зано на рисунке 8.12. Однако действия, вызванные yдapa ми отдельных молекул, настолько слабы, что манометром они не реrистрируются. Манометр фиксирует среднюю по времени силу, действующую на каждую единицу площади поверхности ero чувствительноrо элемента  мембраны. Несмотря на небольшие изменения давления, среднее зна чение давления Ро практически оказывается вполне опре деленной величиной, так как ударов о стенку очень MHoro, а массы молекул очень малы. р Ро о t Идеальный rаз  модель реальноrо rаза. Соrласно этой модели молекулы rаза можно рассматривать как матери альные точки, взаимодействие которых происходит только при их столкновении. Сталкиваясь со стенкой, молекулы rаза оказывают на нее давление. [1] 1. Чем прене6реrают. KorAa реальный rаз рассматривают как идеальный! 2. rаз оказывает давление на стенки сосуда. А давит ли один слой rаза на друrой!  62 СРЕДНЕЕ 3НА ЧЕНИЕ КВАДРАТА СКОРОСТИ МОЛЕКУЛ Для вычисления среднеrо давления надо знать cpeд нюю скорость молекул (точнее, среднее значение квадрата скорости). Это не простой вопрос. Вы привыкли к тому, что скорость имеет каждая частица. Средняя же скорость молекул зависит от движения всех частиц. f, ФИJика 10 кл 161 
Средние значения. С caMoro начала нужно отказаться от попыток проследить за движением всех молекул, из KO торых состоит rаз. Их слишком MHoro, и движутся они очень сложно. Нам и не нужно знать, как движется каж дая молекула. Мы должны выяснить, к какому результату при водит движение всех молекул rаза. Характер движения всей совокупности молекул rаза известен из опыта. Молекулы участвуют в беспорядочном (тепловом) движении. Это означает, что скорость любой молекулы может оказаться как очень большой, так и очень малой. Направление движения молекул беспрестан но меняется при их столкновениях друr с друrом. Скорости отдельных молекул MorYT быть любыми, OДHa ко среднее значение модуля этих скоростей вполне опреде ленное. Точно так же рост учеников в классе неодинаков, но ero среднее значение  определенное число. Чтобы это число найти, надо сложить рост отдельных учеников и раз делить эту сумму на число учащихся. Среднее значение квадрата скорости. В дальнейшем нам понадобится среднее значение не самой скорости, а квадрата скорости. От этой величины зависит средняя кинетическая энерrия молекул. А средняя кинетическая энерrия молекул, как мы вскоре убедимся, имеет очень бо льшое значение во всей молекулярнокинетической теории. Обозначим модули скоростей отдельных молекул rаза через и 1 , и 2 , V з , ..., V N . Среднее значение квадрата скорости определяется следующей формулой:  vf + и + vл + ... + и и 2 == (8.9) N rде N  число молекул в rазе. Но квадрат модуля любоrо вектора равен сумме KBaдpa тов ero проекций на оси координат ОХ, аУ, OZl. Поэтому и 2 == и + vz + и;. (8.10) Средние значения величин и, VZ и и; можно определить с помощью фор мул , подобных формуле (8.9). Между cpeд ним значением и 2 и средними значениями квадратов про екций существует такое же соотношение, как соотношение (8.10): и 2 == и + и + и . (8.11) Действительно, для каждой молекулы справедливо pa венство (8.10). Сложив такие равенства для отдельных MO лекул и разделив обе части полученноrо уравнения на чис ло молекул N, мы придем к формуле (8.11). 1 Из курса механики известно, что при движении на плоскости и 2  и + v. Формула (8.10) представляет собой обобщение этоrо выраже ния на случай движения в пространстве. 161 
В н и м а н и еl Так как направления трех осей ОХ, ОУ и OZ вследствие беспорядочноrо движения молекул paBHO правны, средние значения квадратов проекций скорости равны друr друrу: и 2 == и; + и + и . (8.12) Видите, из хаоса выплывает определенная закономер ность. Смоrли бы вы это сообразить сами? Учитывая соотношение (8.12), подставим в формулу    (8.11) и; вместо и и и. Тоrда для среднеrо квадрата про екции скорости получим:  1 и 2 ==  и 2 ( 8.13 ) х 3 '  1 т. е. среднии квадрат проекции скорости равен 3" среднеrо  М 1 квадрата самои скорости. ножитель 3" появляется вслеk ствие трехмерности пространства и соответственно сущест вования трех проекций у любоrо вектора. Скорости молекул беспорядочно меняются, но средний квадрат скорости вполне определенная величина. [1] 1. Всеrда ли равнолравны средние значения лроекций скорости движения молекул! 1. Чему равно среднее значение лроекции скорости молекул на ось ОХ!  63 ОСНОВНОЕ УРАВНЕНИЕ МОЛЕКУ ЛЯРНО КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ r АЗОВ Приступаем к выводу OCHoBHoro уравнения молекуляр нокинетической теории rазов. В этом уравнении YCTaHaB ливается зависимость давления rаза от средней кинетиче ской энерrии ero молекул. После вывода этоrо уравнения в XIX в. и экспериментальноrо доказательства ero справед ливости началось быстрое развитие количественной Teo рии, продолжающееся по сеI'ОДНЯШНИЙ день. Доказательство почти любоrо утверждения в физике, вывод любоrо уравнения MorYT быть проделаны с различ  ной С'l'епенью строrости и убедительности: очень упрощен но, более или менее cTporo или же с полной строrостью, доступной современной науке. Строrий вывод уравнения молеку лярно кинетической теории rазов довольно сложен. Поэтому мы оrраничимся сильно упрощенным, схематичным выводом уравнения. Несмотря на все упрощения, результат получится верный. 163 
Вывод OCHOBHoro уравнения. Bы числим давление rаза на стенку CD сосуда ABCD площадью S, перпен дикулярную координатной оси 0)( (рис. 8.13). При ударе молекулы о стенку D ее импульс изменяется: ДРх == то (v x  v Ox ). Так как модуль Х скорости молекул при ударе не Me няется, то ДРх == 2m o v x . Соrласно второму закону Ньютона изменение импульса молекулы равно импульсу подействовавшей на нее силы со стороны стенки сосуда, а соrласно третьему закону Ньютона таков же по модулю импульс силы, с KO торой молекула подействовала на стенку. Следовательно, в результате удара молекулы на стенку подействовала сила, импульс которой равен 2т о I V x 1. Молекул MHoro, и каждая из них передает стенке при столкновении такой же импульс. За секунду они переда дут стенке импульс 2т о I V x I Z, rде Z  число столкнове ний всех молекул со стенкой за это время. Число Z, оче видно, прямо пропорционально концентрации молекул, т. е. числу молекул в единице объема. :Кроме Toro, число Z пропорционально скорости молекул I V x 1. Чем больше эта скорость, тем больше молекул за секунду успеет столк нуться со стенкой. Если бы молекулы «стояли на месте», то столкновений их со стенкой не было бы совсем. :Кроме Toro, число столкновений молекул со стенкой пропорцио нально площади поверхности стенки S: Z  п I vxl S. Надо еще учесть, что в среднем только половина всех моле кул движется к стенке. Друrая половина движется в об ратную сторону. Значит, число ударов молекул о стенку за время 1 с Z ==  п I V x I s и полный импульс, переданный стенке за 1 с, равен: 2т о I V x I z == moпv;S. Соrласно второму закону Ньютона изменение импульса любоrо тела за единицу времени равно действующей на Hero силе: F == moпvS. Учтем, что не все молекулы имеют одно и то же значе ние квадрата скорости v;. В действительности средняя за секунду сила, действующая на стенк у, пропорц ион альна не v;, а среднему квадрату скорости v;: F == moпv;S. Так  1  1  как соrласно формуле (8.13) v == "3V2, то F == "3 пт о v 2 S. Ta ким образом, давление rаза на стенку сосуда равно: Fl 2 Р  S  "3 moпv . у. в V x с VO x Vo y А О jj Рис. 8.13 (8.14) 164 
Это и есть основное уравнение молекулярнокинетиче ской теории rазов. Формула (8.14) связывает макроскопическую величину  давление, которое может быть измерено манометром,  с микроскопическими величинами, характеризующими MO лекулы: их массой, скоростью хаотичноrо движения. Связь давления со средней кинетической энерrией MO лекул. Если через Е обозначить среднюю кинетическую 2 Е  то v энерrию поступательноrо движения молекулы  2 ' то уравнение (8.14) можно записать в виде I р ==  пЕ .1 (8.15) д авлеnuе uдеальnоzо zаза nроnорцuоnальnо npo uзведеnuю коnцеnтрации молекул u сред пей Kane muческой эnерzuu nосmуnаmельnоzо двuжеnuя MO лекул. В rлаве 9 докажем, что средняя кинетическая энерrия молекул связана также и с температурой rаза. Нам удалось вычислить давление идеальноrо rаза на стенки сосуда. Оно зависит от концентрации молекул. Кроме Toro, и это rлавное, давление rаза пропорционально средней ки нетической энерrии молекул. [1] 1. Почему молекула при соударении со стенкон действует на нее с силой, пропорциональной скорости, а давление пропорцио нально квадрату скорости молекулы! 1. Почему и как в основном уравнении молекулярнокинетиче  1, скои теории появляется множитель . 3 3. Как средняя кинетическая энерrия молекул зависит от KOHцeH трации rаза и ero давления на стенки сосуда! ш ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ При решении большей части задач rлавы 8 нужно уметь определять молярные массы веществ. Для этоrо по известным из таблицы Менделеева относительным aTOM ным массам надо определить относительную молекуляр ную массу, а затем и молярную массу по формуле М == 103 M r кr/моль, rде М  молярная масса, M r  OT носительная молекулярная масса. 165 
Во мноrих задачах требуется по известной массе тела т определить количество вещества v или число молекул т (атомов) N в нем. Для этоrо используются формулы v == М т и N == М N A . Постоянную Авоrадро N A надо помнить. Mac т сы отдельных молекул определяются по формуле то == N' А В некоторых задачах массу вещества нужно выразить че рез ero плотность р и объем V. В ряде задач используется основное уравнение молеку лярнокинетической теории в форме (8.14) или (8.15). 1. Определите молярную массу воды. Реш е н и е. Относительная атомная масса водорода равна 1,00797, а кислорода 15,9994. Химическая формула воды  Н 2 О. Следовательно, относительная молекулярная масса воды равна: М,. == 2 . 1,00797 + 15,9994 == 18,01534::::: 18. Молярная масса воды М::::: 103 . 18 кr/моль == 0,018 кr/моль. 2. Определите количество вещества и число молекул, coдep жащихся в уrлекислом rазе массой 1 Kr. Реш е н и е. Так как молярная масса уrлекислоrо rаза М == 0,044 кr/моль, то количество вещества т 1 Kr . моль V == ",й == 0,044 Kr ::::: 23 моль. т Число молекул N == М N A == 23 . 6,02 . 1023::::: 1,4 . 1025. 3. Плотность rаза в баллоне электрической лампы р == 0,9 Kr/M 3 . При rорении лампы давление в ней возросло с Рl == 8. 104 Па до Р2 == 1,1 . 105 Па. На сколько увеличилась при этом средняя скорость молекул rаза? Реш е н и е. Произведение массы то одной молекулы на концентрацию молекул (число молекул в единице объе ма) равно массе молекул, заключенных в единице объема, т. е. плотности rаза р == mun. Следовательно, основное уравнение молекулярнокинетической теории (8.14) мож но записать в виде 1  р == "3 ри 2 . Поэтому и 2  и 1 == f! (.jp;  JP:)  90 м/с. 166 
 УПРАЖНЕНИЕ 11 1. Какую ПЛОlцадь может занять капля оливковоrо масла объемом 0,02 см 3 при расплывании ее на поверхности воды? 2. Определите молярные массы водорода и rелия. 3. Во сколько раз число атомов в уrлероде массой 12 Kr пре вышает число молекул в кислороде массой 16 Kr? 4. Каково количество вещества (в молях), содержащеrося в воде массой 1 r? 5. Молярная масса азота равна 0,028 кrjмоль. Чему равна масса молекулы азота? 6. Определите число атомов в меди объемом 1 м 3 . Молярная масса меди М == 0,0635 кr/моль, ее плотность р == 9000 Kr/M 3 . 7. Плотность алмаза 3500 KrjM 3 . Какой объем займут 1022 атомов этоrо вещества? 8. Под каким давлением находится rаз в сосуде, если средний квадрат скорости ero молекул и 2 == 106 M 2 jc 2 , KOHцeH трация молекул п == 3 . 1025 M3, масса каждой молекулы то == 5 . 1026 Kr? 9. В колбе объемом 1,2 л содержится 3 . 1022 атомов rелия. Чему равна средняя кинетическая энерrия каждоrо атома? ДaB ление rаза в колбе 105 Па. 10. Вычислите средний квадрат скорости движения молекул rаза, если ero масса т == 6 Kr, объем V == 4,9 м 3 и давление р == 200 кПа. rлава 8. КРАТКИЕ итоrи Соrласно основным положениям молекулярно кинети  ческой теории все тела состоят из молекул (или атомов); между молекулами на малых расстояниях (сравнимых с размерами молекул) действуют силы отталкивания, а на больших  силы притяжения; молекулы участвуют в xao тичном тепловом движении. Массы молекул малы, а число их в больших (MaKpOCKO пических) телах orpoMHo. Поэтому вместо абсолютных значений масс молекул и их количества в макроскопиче ских телах используют относительные величины. Относительной молекулярной (или атомной) массой Ha 1 зывают отношение массы молекулы (или атома) к 12 Mac сы атома уrлерода М == то r (1/12)т ос Количество вещества выражают в молях. Моль  количество вещества, содержащее столько же молекул, сколько содержится атомов в уrлероде массой 0,012 Kr. 167 
Число молекул в моле вещества называется постоянной 1 Авоrадро: N A ::::: 6 . 1023 . моль Количество вещества равно отношению числа моле- кул N в теле к постоянной Авоrадро: v == :: . д Молярной массой называется масса вещества, взятоrо в количестве одноrо моля: М == тoNл- В rазах расстояние между молекулами MHoro больше размеров молекул. В жидкостях и твердых телах молеку лы (или атомы) находятся непосредственно друr возле дpy ra. В твердых телах они расположены в CmpOZOM порядке и совершают колебания около положений равновесия. В жидкостях молекулы расположены неупорядоченно и время от времени совершают перескоки из одноrо положе ния равновесия в друrое. В молекулярнокинетической теории идеальным rазом называют rаз, состоящий из молекул, не взаимодействую щих друr с друrом и имеющих нулевые размеры. Соrласно основному уравнению молекулярнокинетиче ской теории давление rаза пропорционально произведению концентрации молекул на среднюю кинетическую энер 2  rию поступательноrо движения молекул: Р == 3" пЕ, rде ти 2 Е == 2"""' rлава 9 ТЕМПЕРАТУРА. ЭНЕРrия ТЕпловоrо ДВИЖЕНИЯ МОЛЕКУЛ в этой rлаве вы узнаете нечто новое о физиче ской величине, которую каждый день упоминают в сводках поrоды, т. е. о температуре, а также о том, как она cTporo научно определяется в фи зике, каков ее истинный физический смысл.  64 ТЕМПЕРАТУРА И ТЕПЛОВОЕ РАВНОВЕСИЕ Термометрами пользуются все. А что они измеряют? Конечно, температуру! Однако это еще не ответ. Что озна чают слова: .Я измерил температуру тела.? Что я при этом узнал? Что именно характеризует температура? Это все не так просто, как может показаться на первый взr ляд. 168 
Макроскопические параметры. Для описания процес сов в rазах и друrих макроскопических телах нет необхо димости все время обращаться к молекулярнокинетиче ской теории. Поведение макроскопических тел, в частно сти ['азов, можно охарактеризовать немноrим числом физических величин, относящихся не к отдельным моле кулам, слаrающим тела, а ко всем молекулам в целом. К числу таких величин относятся объем V, давление р, температура (. Так, rаз данной массы всеrда занимает некоторый объ ем, имеет определенные давление и температуру. Объем и давление представляют собой механические величины, которые помоrают описывать состояние rаза. Температура в механике не рассматривается, так как она характеризу ет внутреннее состояние тела. Величины, характеризующие состояние макроскопиче ских тел без учета их молекулярноrо строения (V, р, (), называют макроскопическими параметрами. Однако MaK роскопические параметры не исчерпываются объемом, давлением и температурой. Например, для описания состояния смеси rазов нужно еще знать концентрации отдельных компонентов. Обыч ный атмосферный воздух представляет собой смесь rазов. Холодные и rорячие тела. Центральное место во всем учении о тепловых явлениях занимает понятие темпера- тура. Все мы хорошо знаем различие между холодными и rорячими телами. На ощупь мы определяем, какое тело HarpeTo сильнее, и rоворим, что это тело имеет более BЫCO кую температуру. Таким образом, температура xapaKTe ризует степень наrретости тела (холодное, теплое, rоря чее). Для ее измерения был создан прибор, называемый термометром. В ero устройстве использовано свойство тел изменять объем при наrревании или охлаждении. Тепловое равновесие. Для измерения температуры тела человека нужно подержать медицинский термометр под мышкой 58 мин. 3а это время ртуть в термометре Harpe вается и уровень ее повышается. По длине столбика ртути можно определить температуру. Термометр никоrда не по кажет температуру тела сразу же после Toro, как он co прикоснулся С ним. Необходимо некоторое время для Toro, чтобы температуры тела и термометра выровнялись и между телами установилось тепловое равновесие, при KO тором температура перестает изменяться. Тепловое равновесие с течением времени устанавлива  ется между любыми телами, имеющими различную темпе ратуру. Бросьте в стакан с водой кусочек льда и закрой те стакан плотной крышкой. Лед начнет плавиться, а вода охлаждаться. Коrда лед растает, вода начнет наrреваться: после то['о как она примет температуру окружающеrо воз 169 
духа, никаких изменений внутри стакана с водой происхо дить не будет. Из этих и подобных им простых наблюдений можно сделать вывод о существовании очень важноrо общеrо свойства тепловых явлений. Любое макроскопическое тело или rруппа макроскопических тел при неизменных внеш них условиях самопроизвольно переходит в состояние теп ловоrо равновесия. Теплоным равновесием называют такое состояние тел, при котором все макроскопические параметры сколь уrод но долrо остаются неизменными. Это означает, что в систе ме не меняются обйем и давление, не происходит теплооб мен, отсутствуют взаимные превращения rазов, жидко стей, твердых тел и т. д. В частности, не меняется объем столбика ртути в термометре, т. е. температура системы остается постоянной. Но микроскопические процессы внутри тела не прекра щаются и при тепловом равновесии: меняются положения молекул, их скорости при столкновениях. Температура. Система макроскопических тел может находиться в различных состояниях. В каждом из этих co стояний температура имеет свое, cTporo определенное зна чение. Друrие физические величины в состоянии теплово ro равновесия системы MorYT иметь разные значения, которые с течением времени не меняются. Так, например, объемы различных частей системы и давления внутри них при наличии твердых переrородок MorYT быть разными. Если вы внесете с улицы мяч, наполненный сжатым воз духом, то спустя некоторое время температура воздуха в мяче и комнате выровняется. Давление же воздуха в мяче все равно будет больше KOMHaTHoro. Температура характеризует состояние тепловоrо paB новесил системы тел: все тела системы, находяпиесл друr с друrом в тепловом равнонесии, имеют одну и ту же TeM пературу. При одинаковых температурах двух тел между ними не происходит теплообмена. Если же температуры тел различ ны, то при установлении между ними тепловоrо контакта будет происходить обмен энерrией. При этом тело с боль шей температурой будет отдавать энерrию телу с меньшей температурой. Разность температур тел указывает направ ление теплообмена между ними. Измерение температуры. Термометры. Для измерения температуры можно воспользоваться изменением любой макроскопической величины в зависимости от темпера туры: объема, давления, электрическоrо сопротивления и т. д. Чаще Bcero на практике используют зависимость объе ма жидкости (ртути или спирта) от температуры. При rpa 170 
:::::::::::::::::::::Z::::Z:::::::::б::Z:::: =::'::2::::::J[J? Рис. 9.1 дуировке термометра обычно за начало отсчета (О) прини мают температуру тающеrо льда; второй постоянной точкой (100) считают температуру кипения воды при HOp мальном атмосферном давлении (шкала Цельсия). Шкалу между точками О и 100 делят на 100 равных частей, назы ваемых rрадусами (рис. 9.1). Перемещение столбика жид кости на одно деление соответствует изменению темпера туры на 1 ос. Так как различные жидкости расширяются при Harpe вании неодинаково, то установленная таким образом шка ла будет до некоторой степени зависеть от свойств данной жидкости, расстояния на шкале между О и 100 ос будут различны. Поэтому rрадусы (расстояние между двумя co седними отметками) спиртовоrо и pTYTHoro термометров будут разными. Какое же вещество выбрать для Toro, чтобы избавиться от этой зависимости? Было замечено, что в отличие от жидкостей все разре женные rазы  водород, rелий, кислород  расширяются при наzревании одинаково и одинаково меняют свое дав- ление при U.JMeHeHUU температуры. По этой причине в физике для установления рациональной температурной шкалы используют изменение давления определенноrо KO личества разреженноrо rаза при постоянном объеме или из менение объема rаза при постоянном давлении. Такую шкалу иноrда называют идеальной zа.Jовой шкалой тeMпe ратур. При ее установлении удается избавиться еще от ok Horo существенноrо недостатка шкалы Цельсия  произ вольности выбора начала отсчета, т. е. нулевой температу ры. Ведь за начало отсчета вместо температуры таяния льда с тем же успехом можно было бы взять температуру кипения воды. Сейчас мы подробно рассмотрим, как можно использо вать rазы для определения температуры. Не в первый раз вам пришлось стокнуться с рассказом о том, как устроен термометр и как он действует. Но по явилось И нечто новое  вы познакомились с тепловым равновесием, хотя имели с ним дело множество раз. TeM пература позволяет отличать одно состояние тепловоrо равновесия от друrоrо. Это не очень наrлядно, но очень важно для физики. Разrовор о температуре еще далеко не завершен. 171 
[1] 1. 1. 3. 4. 5. Какие веnичины характеризуют состояния макроскопических теnl Каковы отnичитеnьные признаки состояний TennoBoro paBHOBe сия! Набnюдаnи nи вы примеры установnения TennoBoro paBHOBe сия теn, окружающих вас в повседневной жнзнн! В чем преимущество испоnьзовання разреженных rазов дnя нзмерення температуры! Как зависнт ннтенснвность тепnообмена между двумя теnамн от разностн нх температур!  65 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ТЕМПЕРАТУРЫ При тепловом равновесии средняя кинетическая энер rия поступательноrо движения молекул всех rазов одина кова. В этом вы скоро убедитесь. Средняя кинетическая энерrия молекул rаза при теп ловом равновесии. Возьмем сосуд, разделенный пополам переrородкой, проводящей тепло. В одну половину сосуда поместим кислород, а в друrую  водород, имеющие раз ную температуру. Спустя некоторое время rазы будут иметь одинаковую температуру, не зависящую от рода rаза, т. е. будут находиться в состоянии тепловоrо paBHO весия. Для определения температуры выясним, какая фи зическая величина в молекулярнокинетической теории обладает таким же свойством. Из курса физики 7 класса известно, что, чем быстрее движутся молекулы, тем выше температура тела. При Ha rревании rаза в замкнутом сосуде давление rаза возрастает. Соrласно же основному уравнению молекулярнокинетиче ской теории (8.15) давление rаза р прямо пропорционально средней кинетической энерrии поступательноrо движения 2  молекул: р == "3 пЕ. При тепловом равновесии, если давле ние rаза данной массы и ero объем фиксированы, средняя кинетическая энерrия молекул rаза должна иметь cTporo определенное значение, как и температура. Можно предположить, что при тепловом равновесии именно средние кинетические энерzии молекул всех zазов одинаковы. :Конечно, это пока только предположение. Ero нужно экспериментально проверить. Практически такую проверку произвести непосредственно невозможно. так как измерить среднюю кинетическую энерrию молекул очень трудно. Но с помощью OCHoBHoro уравнения молеку лярнокинетической теории ее можно выразить через MaK роскопические параметры. 171 
N Так как концентрация молекул rаза п == V ' то из ypaB 2N нения (8.15) получаем р == ЗV Е, или V 2 Р N ==  Е . (9.1) Давление р и объем V измеряются непосредственно. Число молекул N можно определить, зная массу rаза т, постоянную Авоrадро N А И молярную массу М. Cor ласно формуле (8.8) т N== М N A . Если кинетическая энерrия Е действительно одинакова для всех rазов в состоянии тепловоrо равновесия, то и Be личина р должна быть тоже одинаковой для всех rазов. Только опыт может подтвердить или опроверrнуть данное предположение. rазы в состоянии тепловоrо равновесия. Опыт можно осуществить так. Возьмем несколько сосудов, заполнен ных различными rазами, например водородом, rелием и кислородом. Сосуды имеют определенные объемы и снабжены манометрами. Это позволяет измерить давление в каждом сосуде. Массы rазов известны, тем самым изве стно число молекул в каждом сосуде. Приведем rазы в состояние тепловоrо равновесия. Для этоrо поместим их в тающий лед и подождем, пока не установится тепловое равновесие и давление rазов переста нет меняться (рис. 9.2). После этоrо можно утверждать, что все rазы имеют одинаковую температуру О ОС. Давле ния rазов р, их объемы V и число молекул N различны. Н  pV Е аидем отношение N для водорода. сли, к примеру, BO дород, количество вещества KOToporo равно 1 моль, зани мает объем V И2 == 0,1 м 3 , то при температуре О ос давление оказывается равным РИ2== 2,265 . 104 Па. Отсюда РИ2 V И2 2,265 . 104 .0,1 Н. м 3 == == 3,76 . 1021 Дж. (9.2) N A 6,02 . 1023 м 2 Рис. 9.1 173 
Такое же значение отношения произведения давления rаза на ero объем к числу молекул получается и для всех друrих rазов при температуре тающеrо льда. Обозначим это отношение через 00. Тоrда РН2 V H2 = РНе V He = РО 2 V 02 = 00. N H2 N He N 02 образом, наше предположение оказалось Bep (9.3) Таким ным. Правда, соотношение (9.3) не является абсолютно точ ным. При давлениях в сотни атмосфер, коrда rазы CTaHO pV вятся весьма плотными, отношение N перестает быть cTporo определенным, не зависящим от занимаемых rаза ми объемов. Оно выполняется для zазов, коеда их можно считать идеальными. Если же сосуды с rазами поместить в кипящую воду при нормальном атмосферном давлении, то упомянутое OT ношение попрежнему будет одним и тем же для всех ra зов, но больше, чем предыдущее. Как показывает опыт, pV N = 0100 = 5,14 . 1021 Дж. (9.4) Определение температуры. Можно, следовательно, утверждать, что величина 0 растет с повышением темпе ратуры. Более Toro, 0 ни от чеrо, кроме температуры, не зависит. Ведь для идеальных rазов 0 не зависит ни от рода rаза, ни от ero объема или давления, а также от чис ла частиц в сосуде и формы caMoro сосуда. Этот опытный факт позволяет рассматривать величину 0 как eCTeCTBeH ную меру температуры, определяемую через друrие MaKpo скопические параметры rаза. В принципе можно было бы считать темпера'rурой и саму величину 0 и измерять TeM пературу в энерrетических единицах  джоулях. Однако, вопервых, это неудобно для практическоrо использования (температуре 100 ос соответствовала бы очень малая вели чина  порядка 1021 Дж), а BOBTOpЫX, и это rлавное, уже давно принято выражать температуру в ерадусах. Мы нашли способ получать значения температуры, не зависящие от свойств rазов, которые при этом использу ются. Пока что температуру мы выразили в энерrетиче ских единицах. [1] 1. На каком основании можно предполаrатlo существование связи между температурой и кинетической энерrией молекул! 1. Как связаны объем, давление и число молекул различных ra зов в состоянии тепловоrо равновесия! 174 
 66 АБСОЛЮТНАЯ ТЕМПЕРАТУРА. ТЕМПЕР АТУР А  МЕРА СРЕДНЕЙ КИНЕТИЧЕСКОЙ ЭНЕРrии МОЛЕКУЛ Не все в мире относительно. Так, существует абсолют ный нуль температуры. Есть и абсолютная шкала темпера тур. Сейчас вы узнаете об этом, а также о том, какова точ ная связь между температурой и средней кинетической энерrией молекул. Вместо температуры в, выражаемой в энерrетических единицах, введем температуру, выражаемую в привычных для нас rрадусах. Будем считать величину в прямо пропорциональной температуре Т, измеряемой в rрадусах: в == kT, (9.5) rде k  коэффициент пропорциональности. Определенная равенством (9.5) температура называется абсолютной. Ta кое название, как мы сейчас увидим, имеет достаточные основания. Учитывая определение (9.5), получим pV N == kT. (9.6) По этой формуле вводится температурная шкала (в rpa дусах), не зависящая от вещества, используемоrо для из мерения температуры. Абсолютный нуль температуры. Температура, опреде ляемая формулой (9.6), очевидно, не может быть отрица тельной, так как все величины, стоящие в левой части этой формулы, заведомо положительны. Следовательно, наименьшим возможным значением температуры Т явля ется значение Т == О, если давление Р или объем V равны нулю. Предельную температуру, при которой давление идеаль Horo rаза обращается в нуль при фиксированном объеме или при которой объем идеальноrо rаза стремится к нулю при неизменном давлении, называют абсолютным нулем температуры. Это самая низкая температура в природе, та «наибольшая или последняя степень холода», существова ние которой предсказывал Ломоносов. Абсолютная шкала температур. Анrлийский ученый У. Кельвин (18241907) ввел абсолютную шкалу TeM ператур. Нулевая температура по абсолютной шкале (ее называют также шкалой Кельвина) соответствует абсо лютному нулю, а каждая единица температуры по этой шкале равна rрадусу по шкале Цельсия. Единица абсолютной температуры в СИ называется Кельвином (обозначается буквой К). 175 
, &ОЛЬЦМi!lН Людвнr (18441906)  великий австрийский физик, один из основоположников молекулярнокинетической теории. В трудах Больцмана молекулярнокинети ческая теория впервые предстала как лоrически стройная, последовательная физическая теория. Больцман MHoro сделал для развития и популяриза ции теории электромаrнитноrо поля Максвелла. Борец по натуре, он страстно отстаивал необходи мость молекулярноrо истолкования тепловых явле ний и принял на себя основную тяжесть борьбы с учеными, отрицавшими существование молекул. t Постоянная Больцмана. Определим коэффициент k в формуле (9.6) так, чтобы один кельвин (1 К) был равен rрадусу по шкале Цельсия (1 ОС). Мы знаем значения величины 8 при О ОС И 100 ОС (см. формулы (9.2) и (9.4». Обозначим абсолютную температуру при О ОС через T 1 , а при 100 ос через Т 2 . Тоrда соrласно формуле (9.5) 8100  80 == k (Т 2  Т 1 ), 8100  80 == k . 100 К == (5,14  3,76) . 1021 Дж. Отсюда k == 5,1;,76 .1021 ДК Ж == 1,38 . 1023 Дж/К Коэффициент I k == 1,38 . 1023 Дж/К I (9.7) называется постоянной Больцмана в честь Л. Б о л ь ц мана, одноrо из основателей молекулярнокинетической теории rазов. Постоянная Больцмана связывает температуру 8 в энерzетичесн:их единицах с температурой Т в н:ельви нах. Это одна из наиболее важных постоянных в молеку лярнокинетической теории. Связь абсолютной шкалы и шкалы Цельсия. Зная по стоянную Больцмана, можно найти значение абсолютноrо нуля по шкале Цельсия. Для этоrо найдем сначала значе ние абсолютной температуры, соответствующее О ОС. Так как при О ос kT 1 == 3,76 . 1021 Дж, то т == 3,76. 1021 К:::::: 273 К 1 1,38 . 10 23 Один кельвин и один rрадус шкалы Цельсия совпада ют. Поэтому любое значение абсолютной температуры Т будет на 273 rрадуса выше соответствующей температу ры t по Цельсию: т (К) == t (ОС) + 273 (ОС). (9.8) 176 
Но изменение абсолютной TeM Шкала пературы !:1Т равно изменению Кельвина температуры по шкале Цельсия М: !:1Т (К) == М еС). На рисунке 9.3 для сравнения изображены абсолютная шкала и шкала Цельсия. Абсолютному нулю соответствует температура t == 273 ОС. Отметим важнейший факт: аб солютный нуль температуры Heдo стижим! Температура  мера средней кинетической энерrии молекул. Из OCHoBHoro уравнения моле кулярнокинетической теории в форме (9.1) и определения темпе Рис. 9.3 ратуры (9.6) вытекает важнейшее следствие: абсолютная температура есть кинетической энерzии движения молекул. Докажем это. Шкала Цельсия 373К 100°С 273К оОс ОК 273 ос мера средней pV 2  pV Левые части уравнений N == 3" Е и N == kT одинако вы. Значит, должны быть равны и их правые части. Отсю да вытекает связь между средней кинетической энерrией поступательноrо движен ия молек улы и температурой: I Е ==  kT .1 (9.9) Средняя кинетическая энерzия хаотичноzо no стуnательноzо движения молекул zаза nponopциo нальна абсолютной температуре. Чем выше темпе ратура, тем быстрее движутся молекулы. Таким образом, выдвинутая ранее доrадка о связи температуры со средней скоростью молекул получила надежное обоснование. Соотношение (9.9) между температурой и средней ки нетической энерrией поступательноrо движения молекул установлено для идеальных rазов. Однако оно оказывается справедливым для любых веществ, у которых движение атомов или молекул подчиняется законам механики Нью тона. Оно верно для жидкостей, а также и для твердых тел, rде атомы MorYT лишь колебаться возле положений равновесия в узлах кристаллической решетки. При приближении температуры к абсолютному нулю энерrия тепловоrо движения молекул приближается к нулю. Зависимость давления rаза от концентрации ero моле N кул и температуры. Учитывая, что V == п, из формулы (9.6) 177 
получим выражение, показывающее зависимость давления rаза от концентрации молекул и температуры: I р == пkT.1 (9.10) Из формулы (9.10) вытекает, что при одинаковых дaB лениях и температурах концентрация молекул у всех rазов одна и та же. Отсюда следует аакои Авоzадро, известный вам из курса химии: в равиых объемах zааов при oдииaKO вых температурах и давлеииях содержится oдииa ковое -число молекул. Существует минимальная температура, при которой давление или объем идеальноrо rаза обращается в нуль. Это абсолютный нуль температуры: 273 ос. Удобно отсчи тывать температуру от абсолютноrо нуля. Так строится абсолютная шкала температур. Средняя кинетическая энерrия поступательноrо движе ния молекул прямо пропорциональна абсолютной темпера туре. [1] 1. 2. 3. 4. 5. 6. Чему равен абсолютный нуль температуры по шкале Цельсия! Какие преимущества имеет абсолютная шкала температур по сравнению со шкалой Цельсия! Каков физический смысл постоянной Больцмана! Можно ли ее определить теоретически. не обращаясь к эксперименту! Как зависит от температуры средняя кинетическая энерrия по ступательноrо движения молекул rаза! Почему концентрация молекул всех rазов одна и та же при одинаковых давлениях и температурах! Как зависит средняя кинетическая энерrия поступательноrо движения молекул от их массы!  67 ИЗМЕРЕНИЕ СКОРОСТЕЙ МОЛЕКУЛ r АЗА Зная температуру, нетрудно вычислить среднюю кине тическую энерrию молекул rаза. После этоrо леrко вычис лить и среднюю скорость молекулы. А можно ли эту CKO рость измерить? Ведь молекулы так малы! Средняя скорость теплоноrо движения молекул. YpaB нение (9.9) дает возможность найти средний квадрат CKO рости дви жения молекулы. Подставив в это уравнение  то и 2 Е == ' получим выражение для среднеrо квадрата CKO рости: и 2 == 3 kT то (9.11) 178 
Квадратный корень из этой Be А личины называется средней KBaд ратичной скоростью: и= 3kT . (9.12) то Вычисляя по формуле (9.12) CKO рость молекул, например азота при Рис. 9.4 t = О ос, получим v  500 м/с. Mo лекулы водорода при той же температуре имеют среднюю скорость v  1800 м/с. Коrда впервые были получены эти числа (вторая поло вина XIX в.), мноrие физики были ошеломлены. Скорости молекул rаза по расчетам оказались больше, чем скорости артиллерийских снарядов! На этом основании высказывали даже сомнения в справедливости кинетической теории. Ведь известно, что запахи распространяются довольно Meд ленно: нужно время порядка десятков секунд, чтобы запах духов, пролитых в одном уrлу комнаты, распространился до друrоrо уrла. Это нетрудно объяснить. Изза столкнове ния молекул траектория каждой молекулы представляет собой запутанную ломаную линию (рис. 9.4). Большие CKO рости молекула имеет на прямолинейных отрезках лома ной. Перемещение же молекулы в какомлибо направлении в среднем невелико даже за время порядка нескольких ми нут. Вот И получается, что при перемещении молекулы из точки А в точку В пройденный ею путь оказывается rораз до больше расстояния АВ. Экспериментальное определение скоростей молекул. Опыты по определению скоростей молекул доказали спра ведливость формулы (9.12). Один из опытов был предло жен и осуществлен о. Ш т е р н о м в 1920 r. Прибор Штерна состоит из двух коаксиальных цилинд ров А и В, жестко связанных друr с друrом (рис. 9.5, а). Цилиндры MorYT вращаться с постоянной уrловой CKOpO стью. Вдоль оси малоrо цилиндра натянута тонкая плати новая проволочка С, покрытая слоем серебра. По прово Сд)п ---- "' в) а) б) Рис. 9.5 D -, I °1 ([) r) 179 
лочке пропускают электрический ток. В стенке это1'О цилиндра имеется узкая щель О. Воздух из цилиндров OT качан. Цилиндр В находится при комнатной температуре. Вначале прибор неподвижен. При прохождении тока по нити слой серебра испаряется и внутренний цилиндр за полняется 1'азом из атомов серебра. Некоторые атомы про летают через щель О и, ДОСТИ1'нув внутренней поверхности цилиндра В, осаждаются на ней. В результате прямо про тив щели образуется узкая полоска D серебра (рис. 9.5, б). Затем цилиндры приводят во вращение с большим чис 1 лом оборотов п в секунду (до 1500 ). Теперь за время t, с необходимое атому для прохождения пути, paBHo1'o разно сти радиусов цилиндров R B  R A , цилиндры повернутся на некоторый У1'ол <р. В результате атомы, движущиеся с по стоян ной скоростью, попадают на внутреннюю поверхность большо1'О цилиндра не прямо против щели О (рис. 9.5, в), а на не котором расстоянии s от конца радиуса, проходяще 1'0 через середину щели (рис. 9.5, z): ведь атомы движутся прямолинейно. Если через V B обозначить модуль скорости вращения точек поверхности внешне1'О цилиндра, то S == vBt == 2тcпR B t. (9.13) В действительности не все атомы серебра имеют одну и ту же скорость. Поэтому расстояния S для различных aTO мов будут несколько отличаться. Под S следует понимать расстояние между участками на полосках D и D' с наи большей концентрацией атомов серебра. Этому расстоя нию будет соответствовать средняя скорость атомов, KOTO рая равна: R B  R A V= t Подставляя в эту формулу значение времени t из Bыpa жения (9.13), получим  2пn (R B  R A ) V == R B . S Зная п, R A и R B И измеряя среднее смещение полоски ce ребра, вызванное вращением прибора, можно найти сред  нюю скорость атомов серебра. Модули скоростей, определенные из опыта, совпадают с теоретическим значением средней квадратичной CKOpO сти. Это служит экспериментальным доказательством справедливости формулы (9.12), а следовательно, и фор мулы (9.9), СО1'ласно которой средняя кинетическая энер 1'ия молекулы прямо пропорциональна абсолютной темпе ратуре. 180 
Средние скорости молекул превышают скорость звука и достиrают сотен метров в секунду. Эти скорости yдa лось измерить блаrодаря тому, что макроскопическим Te лам (цилиндрам в опытах Штерна) можно сообщить столь большую скорость, что за время пролета молекул между цилиндрами они поворачиваются на заметный уrол. [1] 1. Почему толщина слоя полоски серебра на поверхности внеш Hero вращающеrося цилиндра в опыте Штерна неодинакова по ширине полоски! 1. Как изменится средняя квадратичная скорость движения моле кул при увеличении температуры в 4 раза! 3. Какие молекулы в атмосфере движутся быстрее: молекулы азота или молекулы кислорода! ш ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ При решении задач этой rлавы используется формула (9.6), определяющая абсолютную температуру, формула (9.9), связывающая энерrию беспорядочноrо движения с температурой, и формула (9.12) для средней квадратич ной скорости молекул. Некоторые задачи удобно решать, используя формулу (9.10). Для расчетов надо знать значе ние постоянной Больцмана (9.7). 1. Чему равно отношение произведения давления rаза на ero объем к числу молекул при температуре t == 300 ОС? Решение. Соrласно формуле (9.6) pV/N==kT, {'де k == 1,38 . 1023 Дж/К  постоянная Больцмана. Так как абсолютная температура Т == t + 273 == 573 (К), то pV/N == == 1,38 . 1023 Дж/К. 573 К == 7,9 . 1021 Дж. 2. Определите среднюю квадратичную скорость молекулы rаза при О ос. Молярная масса rаза М == 0.019 кr/моль. Реш е н и е. Средняя квадратичная скорость молекул вычисляется по формуле (9.12). Учитывая, что то == M/N A и Т == 273 К, получим v == 3kT == 3kNA Т == 3.1,38. 1O23. 6,02.1023.273 м ::::: 600 м . то М 0,019 с с 3. Некоторое количество водорода находится при температу ре т 1 == 200 К и давлении Рl == 400 Па. rаз наrревают до темпера туры Т 2 == 10 000 К, при которой молекулы водорода практиче ски полностью распадаются на атомы. Определите значение давления ['аза Р2 при температуре Т 2' если ero объем и масса остались без изменения. 181 
Решение. Соrласно формуле (9.10) давление rаза при температуре Т 1 равно: Рl == nlkTp {'де n 1  KOHцeHTpa ция молекул водорода. При расщеплении молекул водорода на атомы число частиц в сосуде увеличивается в 2 раза. Следовательно, концентрация атомов водорода равна: n 2 == 2n 1 . Давление aToMapHoro водорода Р2 == n 2 kT 2 == 2n 1 kT 2 . Разделив почленно второе уравнение на первое, полу чим 2Т 2 Р2 == Рl Т == 40 кПа. 1  УПРАЖНЕНИЕ 12 1. Какое значение имела бы постоянная Больцмана, если бы единица температуры в СИ  кельвин  была равна не 1 ОС, а 2 ОС? 2. Современные вакуумные насосы позволяют понижать дaB ление до 1,3 . 1010 Па (1012 мм рт. ст.). Сколько молекул rаза содержится в 1 см 3 при указанном давлении и температуре 27 ОС? 3. Средняя квадратичная скорость молекулы rаза, находя щеrося при температуре 100 ОС, равна 540 м/с. Определите Mac су молекулы. 4. На сколько процентов увеличивается средняя квадратич ная скорость молекул воды в нашей крови при повышении TeM пературы от 37 до 40 ОС? rлава 9. КРАТКИЕ итоrи Внутреннее состояние макроскопических тел определя  ется макроскопическими параметрами. К их числу, в част ности, относятся: давление, объем, температура. Темпера тура является мерой интенсивности тепловоrо дви>кения молекул и характеризует состояние тепловоrо равновесия системы макроскопических тел. Температуру обычно измеряют термометром. В любом термометре используется изменение какоrолибо MaKpo скопическоrо параметра в зависимости от температуры. В отличие от >кидкостей и твердых тел все rазы, KOTO рые мо>кно считать идеальными, при наrревании одинако вым образом меняют объем при постоянном давлении или меняют давление при постоянном объеме. По этой причине для установления температурной шка лы удобно использовать rазы (rазовая шкала температур). t81 
Опыт показывает, что отношение р V / N при тепловом равновесии одинаково для всех разреженных rазов и за висит только от температуры. Поэтому оно может быть использовано для определения абсолютной температуры Т по формуле pV/N == kT, rде k == 1,38 . 1023 Дж/К  постоянная Больцмана. Абсо лютная температура Т (К) == t еС) + 273 (ОС), rде t  TeM пература по шкале Цельсия. Минимальной температуре соответствует нуль по абсолютной шкале. Единица темпе ратуры в СИ  кельвин. Средняя кинетическая энерrия движения молекул пря мо пропорциональна абсолютной температуре:  3 Е == 2. kT. Средняя квадратичная скорость молекул rаза вычисля ется по формуле v == 3kT то и составляет при О ОС несколько сотен метров в секунду. УРАВНЕНИЕ СОСТОЯНИЯ rлава 10 ИДЕАльноrо r АЗА. rАЗОВЫЕ ЗАКОНЫ в этой rлаве вы не встретите принципиально новых сведений о rазах. Речь пойдет о следстви ях, которые можно извлечь из понятия темпера туры и друrих макроскопических параметров. Основное уравнение молекулярнокинетической теории rазов вплотную приблизило нас к YCTa новлению связей между этими параметрами.  68 УРАВНЕНИЕ СОСТОЯНИЯ ИДЕАльноrо r АЗА Состояние rаза данной массы характеризуется тремя макроскопическими параметрами: давлением р, объемом V и температурой Т. Сейчас мы найдем между ними связь, а затем посмотрим, для чеrо эта связь нужна. Уравнение состояния. Мы детально рассмотрели пове дение идеальноrо rаза с точки зрения молекулярнокине тической теории. Была определена зависимость давления 183 
rаза от концентрации ero молекул и температуры (см. формулу 9.10). На основе этой зависимости можно полу чить уравнение, связывающее все три макроскопических параметра р, V и Т, характеризующие состояние достаточ но разреженноrо rаза данной массы. Это уравнение назы вают уравнением состояния идеаЛЬНО20 2аза. Подставим в уравнение р == nkT выражение для KOHцeH трации молекул rаза. Учитывая формулу (8.8), KOHцeHTpa цию rаза можно записать так: N 1т п == V == V м N л , (10.1) rде N A  постоянная Авоrадро; т  масса rаза; М  ero молярная масса. После подстановки формулы (10.1) в выражение (9.10) будем иметь m pV == м kNлТ. (10.2) Произведение постоянной Больцмана k и постоянной Авоrадро N л называют универсальной (молярной) rазовой постоянной и обозначают буквой В: В == kN л == 1,38 . 1023 Дж/К. 6,02 . 1023 1/моль == == 8,31 Дж/(моль . К). (10.3) Подставляя в уравнение (10.2) вместо kN л универсаль ную rазовую постоянную В, получим уравнение состоя ния для идеальноrо rа за произволь ной массы: Ipv == *i вт.1 (10.4) Единственная величина в этом уравнении, зависящая от рода rаза,  это ero молярная масса. Из уравнения состояния вытекает связь между давле нием, объемом и температурой идеальноrо rаза, который может находиться в двух любых состояниях. Если индексом 1 обозначить параметры, относящиеся к первому состоянию, а индексом 2  параметры, относя щиеся ко второму состоянию, то соrласно уравнению (10.4) для rаза данной массы Рl V 1 ==.!!!:.... В Р2 V 2 ==.!!!:.... В т м и т. м' 1 2 Правые части этих уравнений одинаковы, следователь но, должны быть равны и их левые части: Рl V 1 == Р2 V 2 == const. (10.5) Тl Т 2 184 
Менделеев Дмитрий Иванович (18З41907)  великий русский ученый, созда тель лериодической системы элементов  oAHoro из самы)( rлубоки)( обобщений в науке. Д. И. MeH делееву лринадлежат важнейшие работы ло Teo рии rазов, взаимным превращениям rазов и жид костей (открытие критической температуры, выше которой rаз нельзя превратить в жидкость). Пере довой общественный деятель, Д. И. Менделеев MHoro сделал для развития производительны)( сил России, использования полезны)( ископаемы)( и развития )(имическоrо производства. Уравнение состояния в форме (10.5) называется ypaв нение,м К:шпейрона 1 и представляет собой одну из форм записи уравнения состояния. Уравнение состояния в форме (10.4) было впервые по лучено великим русским ученым Д. И. М е н Д е л е е в ы м. Ero называют уравнением Менделеева  Клапейрона. Для чеrо нужно уравнение состояния? Не только иде альный rаз, но и любая реальная система  rаз, жид кость, твердое тело  характеризуется своим уравнением состояния. Но только эти уравнения HaMHoro сложнее, чем уравнение Менделеева  Клапейрона для идеальноrо (дo статочно разреженноrо) rаза. Знать уравнение состояния необходимо при исследова нии тепловых явлений. Оно позволяет полностью или час тично ответить сразу на три rруппы различных вопросов. 1. Уравнение состояния позволяет определить одну из величин, характеризующих состояние, например темпера туру, если известны две друrие величины. Это и использу ют в термометрах. 2. Зная урявнение состояния, можно сказать, как про текают в системе различные процессы при определенных внешних условиях: например, как будет меняться давле ние rаза, если увеличивать ero объем при неизменной TeM пературе, и т. д. Этому посвящен следующий параrраф. 3. Наконец, зная уравнение состояния, можно опреде лить, как меняется состояние системы, если она соверша ет работу или получает теплоту от окружающих тел. Об этом пойдет речь в конце раздела «Молекулярная физика. Тепловые явления». Уравнение состояния не надо выводить каждый раз, ero надо запомнить. Неплохо было бы помнить и значение универсальной rазовой постоянной: R == 8,31 Дж/(моль . К). 1 Б. Клапейрон (17991864)  французский физик, в течение 1 О лет работал в России. _85 
[1] 1. Что называют уравнением состояния! 1. Какая форма уравнения состояния содержит больше инфор мации: уравнение Клалейрона или уравнение Менделеева  Клапейрона! 3. Почему rазовая постоянная R называется универсальной!  69 r АЗОВЫЕ ЗАКОНЫ с помощью уравнения состояния идеальноrо rаза мож но исследовать процессы, в которых масса rаза и один из трех параметров  давление, объем или температура  остаются неизменными. Количественные зависимости меж ду двумя параметрами rаза при фиксированном значении TpeTbero называют zазовыми законами. Процессы, протекающие при неизменном значении oд Horo из параметров, называют изоnроцессами (от rреческо ro слова «изос')  равный). Правда, в действительности ни один процесс не может протекать при cTporo фиксиро ванном значении какоrолибо параметра. Всеrда имеются те или иные воздействия, нарушающие постоянство темпе ратуры, давления или объема. Лишь в лабораторных усло виях удается поддерживать постоянство Toro или иноrо параметра с высокой точностью, но в действующих Tex нических устройствах и в природе это практически Heocy ществимо. Изопроцесс  это идеализированная модель pe альноrо процесса, которая только приближенно отражает действительность. Изотермический процесс. Процесс изменения состояния системы макроскопических тел (термодинамической cиc темы) при постоянной температуре называют изотермиче ским. Для поддержания температуры rаза постоянной He обходимо, чтобы он Mor обмениваться тепло'l'ОЙ с большой системой  термостатом. Иначе при сжатии или расшире нии температура rаза будет меняться. Термостатом может служить атмосферный воздух, если температура ero замет но не меняется на протяжении Bcero процесса. Соrласно уравнению состояния идеальноrо rаза (10.4) в любом состоянии с неизменной температурой произведе ние давления rаза на ero объем остается постоянным: pV:= const при Т:= const. (10.6) Д ля zаза данной массы при nосmоянной тeMne ратуре произведение давления zаза на ezo объем no сmоянно. Этот закон экспериментально был открыт анrлийским ученым Р. Бойлем (16271691) и несколько позже французским ученым Э. Мариоттом (16201684). По этому он носит название закона Бойля  М ариотта. Закон Бойля  Мариотта справедлив обычно для лю бых rазов, а также и для их смесей, например для воздуха. 186 
Лишь при давлениях, в несколько co р тен раз больших атмосферноrо, OT клонения от этоrо закона становятся существенными. Зависимость давления rаза от объ ема при постоянной температуре rpa фически изображают кривой, KOTO рую называют изотермой. Изотерма rаза изображает обратно пропорцио нальную зависимость между давле нием и объемом. :Кривую TaKoro рода в математике называют rиперболой Рнс.10.1 (рис. 10.1). Различным постоянным температурам соответствуют различные изотермы. При повышении температуры rаза давление соrласно уравнению состояния (10.4) увеличива ется, если V == const. Поэтому изотерма, соответствующая более высокой температуре Т2' лежит выше изотермы, co ответствующей более низкой температуре Т] (см. рис. 10.1). Для Toro чтобы процесс происходил при постоянной температуре, сжатие или расширение rаза должно проис ходить очень медленно. Дело в том, что, например, при сжатии rаз наrревается, так как при движении поршня в сосуде скорость молекул после ударов о поршень увеличи вается, а следовательно, увеличивается и температура rаза. Именно поэтому для реализации изотермическоrо процесса надо после небольшоrо смещения поршня подо ждать, коrда температура rаза в сосуде опять станет paB ной температуре окружающеrо воздуха. :Кроме этоrо, отметим, что при быстром сжатии давление под поршнем сразу становится больше, чем во всем сосуде. Если значения давления и температуры в различных точ ках объема разные, то в этом случае rаз находится в HepaB новесном состоянии и мы не можем назвать значения TeM пературы и давления, определяющие в данный момент co стояние системы. Если систему предоставить самой себе, то температура и давление постепенно выравниваются, систе ма приходит в равновесное состояние. Равновесное состоя нuе  это состояние, при котором температура и давление во всех точках объема одинаковы. Параметры состояния rаза MorYT быть определены, если он находится в paBHOBec ном состоянии. Процесс, при котором все промежуточные состояния rаза являются равновесными, называют paвHO весным процессом. Очевидно, что на rрафиках зависимости одноrо параметра от друrоrо мы можем изображать только равновесные процессы. Изобарный процесс. Процесс изменения состояния Tep модинамической системы при постоянном давлении назы  вают изобарным (от rреческоrо слова «барос»  вес). Т 2 > Т] о v 187 
Соrласно уравнению (10.4) в любом состоянии rаза с He изменным давлением отношение объема rаза к ero темпера туре остается постоянным: V т == const при Р == const. (10.7) д ля zаза данной массы при постоянном давле нии отношение объема к температуре постоянно. Этот закон был установлен экспериментально в 1802 r. французским ученым Ж. rейЛюссаком (17781850) v и носит название закона rеЙЛIOсса ка. Соrласно уравнению (10.7) объем rаза при постоянном давлении про порционален температуре: V == const . Т. (10.8) Эта зависимость rрафически изоб ражается прямой, которая называется uзобарой (рис. 10.2). Разным давлени т ям соответствуют разные изобары. С ростом давления объем rаза при по стоянной температуре соrласно зако ну Бойля  Мариотта уменьшается. Поэтому изобара, co ответствующая более высокому давлению Р2' лежит ниже изобары, соответствующей более низкому давлению Pl' В области низких температур все изобары uдеальноzо rаза сходятся в точке Т == О. Но это не означает, что объем реальноzо rаза обращается в нуль. Все rазы при сильном охлаждении превращаются в жидкости, а к жидкостям уравнение состояния (10.4) неприменимо. Именно поэто му, начиная с HeKoToporo значения температуры, зависи мость объема от температуры проводится на rрафике штриховой линией. В действительности таких значений температуры и давления у вещества в rазообразном COCTO янии быть не может. Изобарным можно считать расширение rаза при Harpe вании ero в цилиндре с подвижным поршнем, если внеш нее давление постоянно. Постоянство давления в цилиндре обеспечивается атмосферным давлением на внешнюю по верхность поршня. Изо хорный процесс. Процесс изменения состояния Tep модинамической системы при постоянном объеме называ ют изохорным (от rреческоrо слова «хорема»  вмести мость). Из уравнения состояния (10.4) вытекает, что в любом состоянии rаза с неизменным объемом отношение давле ния rаза к ero температуре остается постоянным: Р2 > P 1 P 1 /Р2 ",......... '............ о Рис. 10.1 Р т == const при V == const. (10.9) 188 
Для zаза дан,н,ой массы oтн,o шен,ие давлен,ия к температуре nостоян,н,о, если объем н,е мен,я ется. Этот rазовый закон был YCTaHOB лен в 1787 r. французским физиком ж. Шарлем (17461823) и носит название закон,а Шарля. Соrласно уравнению (10.9) давление rаза при постоянном объеме пропорционально температуре: р = const . Т. (10.10) Эта зависимость изображается прямой, называемой uзохорой (рис. 10.3). Разным объемам соответствуют раз ные изохоры. С ростом объема rаза при постоянной TeM пературе давление ero соrласно закону Бойля  Мариотта падает. Поэтому изохора, соответствующая большему объ ему V 2 , лежит ниже изохоры, соответствующей меньшему объему V 1 . В соответствии с уравнением (10.10) все изохоры иде альноrо rаза начинаются в точке Т = о. Значит, давление идеальноrо rаза при абсолютном нуле равно нулю. Увеличение давления rаза в любом сосуде или в элект рической лампочке при наrревании можно снитать изо хорным процессом. Изохорный процесс используется в ra зовых термометрах постоянноrо объема. р V 1 V 1 < V 2 / //'> // , " , " " , " , " " о т Рис. 10.3 rазовые законы  частный случай уравнения состоя ния идеальноrо rаза, один из параметров KOToporo OCTaeT ся постоянным. 1. Вы НilДУПИ щеки. При JTOM и объем и Дilвпение воздуха у вас во рту увеПИЧИВilЮТСЯ. КilК :JТO cornilCOBilTIo с ЗilКОНОМ Бойпя  Мilриотта! 1. КilК можно осуществить изотермический, изобilРНЫЙ и изохор ный процессы! 3. Кilкое состояние системы (rаЗil) СЧИТilется Рilвновесным! 4. КilК Кilчественно объяснить rазовые ЗilКОНЫ НiI основе мопеку пярнокинетической теории! [1] ш ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ При решении задач по данной теме надо четко пред ставлять себе начальное состояние системы и какой про цесс переводит ее в конечное состояние. Одна из типичных задач на использование уравнения состояния идеальноrо 189 
rаза: требуется определить параметры системы в конечном состоянии по известным макроскопическим параметрам в ее начальном состоянии. Если при переходе rаза из начальноrо состояния в KO нечное один из параметров не меняется, то разумно исполь зовать один из rазовых законов (10.6), (10.7) или (10.9). Если меняются все три параметра, то надо использо вать уравнение состояния (10.4) или (10.5). Во мноrих задачах требуется построение rрафиков, изображающих разноrо рода процессы. Для этоrо нужно знать зависимость параметров друr от друrа, которая в об щем случае дается уравнением состояния, а в частных  rазовыми законами. 1. Баллон вместимостью V] == 0,02 м 3 , содержащий воздух под давлением Рl == 4 . 105 Па, соединяют с баллоном вмести мостью V 2 == 0,06 м 3 , из KOToporo воздух выкачан. Определите давление р, которое установится в сосудах. Температура посто янна. Реш е н и е. Воздух из первоrо баллона займет весь предоставленный ему объем V! + V 2 . По закону Бойля  Мариотта Рl V 1 == Р (V 2 + V 1 ). Отсюда искомое давление: PI V l Р == == 105 Па. V 1 +V 2 2. Плотность воздуха Р при нормальных условиях (темпера тура t o == О ОС И атмосферное давление Ро == 101 325 Па) равна 1,29 KI'/M 3 . Определите среднюю молярную массу М воздуха. Реш е н и е. Уравнение состояния идеальноrо rаза при т нормальных условиях имеет вид РО V o == м RTo. Здесь R == 8,31 Джj(моль' К) И То == О ос + 273 ос == 273 К. Отсюда mRT o PoRTo М ==  == == 0,029 кrjмоль. Ро о Ро 3. Постройте изобары для водорода массой 2 r при нормаль ном атмосферном давлении Ро в осях Р, Т; Р, V; V, Т. Реш е н и е. На rрафиках зависимости Р от Т и Р от V изобара представляет собой прямую, параллельную либо mR оси Т, либо оси V (рис. 10.4, а и б). Так как V ==  Т, то МРо rрафиком зависимости V от Т является прямая, проходя щая через начало отсчета. Учитывая, что т == 0,002 Kr, М == 0,002 кrjмоль, R == 8,31 Джj(моль . К) И Ро == 105 Па, 190 
Pj Р V 71 8'10З м З 10 5 Па  10 5 Па  / 1 / 1100 К О Т О V о т а) б) в) Рнс. 10.4 mR м 3 можно записать V == ВТ, rде В == ;::::: 8 .105 . В част МРо К ности, при Т == 100 К V;::::: 8 . 103 м 3 . rрафик зависимости V от Т показан на рисунке 10.4, 6.  УПР АЖНЕНИЕ 13 1. Компрессор, обеспечивающий работу отбойных молотков, засасывает из атмосферы воздух объемом v == 100 л в 1 с. Сколь ко отбойных молотков может работать от этоrо компрессора, если для каждоrо молотка необходимо обеспечить подачу воз духа объемом V 1 == 100 см 3 В 1 с при давлении Р == 5 МПа? ATMO сферное давление Ро == 100 кПа. 2. Постройте изотермы для водорода массой 2 r при О ос в координатах р, V; V, т ир, т. 3. Определите температуру rаза, находящеrося в закрытом сосуде, если давление rаза увеличивается на 0,4% от первона чальноrо давления при наrревании на 1 К. 4. Чему равен объем идеальноrо rаза в количестве одноrо моля при нормальных условиях? 5. Определите массу воздуха в классе, rде вы занимаетесь, при температуре 20 ос и нормальном атмосферном давлении. Молярную массу воздуха принять равной 0,029 кr/моль. 6. В баллоне вместимостью 0,03 м 3 находится rаз под дaB лением 1,35. 106 Па при температуре 455 ос. Какой объем занимал бы этот rаз при нормальных условиях (to == о ОС, р == 101 325 Па)? 7. Высота пика Ленина на Памире равна 7134 м. ATMO сферное давление на этой высоте равно 3,8. 104 Па. Определите плотность воздуха на вершине пика при температуре О ос, если плотность воздуха при нормальных условиях 1,29 Kr/M 3 . 191 
v ,LJ: / / о Рис. 10.5 т 8. На рисунке 10.5 дан rрафик из менения состояния идеальноrо rаза в KO ординатах V, Т. Представьте этот процесс на rрафиках в координатах р, V и р, т. 9. Выразите среднюю квадратичную скорость молекулы через универсаль ную rазовую постоянную и молярную массу. 10. При переходе rаза определенной массы из одноrо состояния в друrое ero давление уменьшается, а температура YBe личивается. Как изменяется ero объем? rлава 10. КРАТКИЕ итоrи Между термодинамическими параметрами существует связь, показанная уравнением состояния. Все достаточно разреженные rазы (их можно считать идеальными rазами) подчиняются уравнению Менделеева  Клапейрона: т pV == м RT, rде р  давление; V  объем; т  масса rаза; М  MO лярная масса; R == 8,31 Дж/(моль . К)  универсальная rазовая постоянная; Т  абсолютная температура. Уравнение состояния содержит в себе в качестве част ных случаев rазовые законы, связывающие изменение двух термодинамических параметров при неизменном зна чении TpeTbero. Для rаза данной массы: а) при Т == const pV == const (закон Бойля  Мариотта); б) при р == const  == const (закон rейЛюссака); р в) при V == const т == const (закон Шарля). rлава 11 В3АИМНЫЕ ПРЕВРАЩЕНИЯ ЖИДКОСТЕЙ И rA30B Молекулярнокинетическая теория позволяет не только понять, почему вещество может Haxo диться в rазообразном, жидком и твердом COCTO яниях, но И объяснить процесс перехода вещест ва из одноrо состояния в друrое. 191 
 70 НАСЫЩЕННЫЙ ПАР Идеальный rаз нельзя превратить в жидкость. В жиk кость превращается реальный rаз. Как это происходит? Чем rаз отличается от пара? Испарение и конденсация. Хорошо закрытый флакон с духами может стоять очень долrо, и количество духов в нем не изменится. Если же флакон оставить открытым, то, взrлянув на Hero через достаточно продолжительное время, вы увидите, что жидкости в нем нет. Жидкость, в которой растворены ароматические вещества, испари лась. rораздо быстрее испаряется (высыхает) лужа на ac фальте, особенно если высока температура воздуха и дует ветер. Эти явления можно объяснить так. Молекулы жидкости движутся беспорядочно. Чем выше температура жидкости, тем больше кинетическая энерrия молекул. Среднее значение кинетической энерrии молекул при заданной температуре имеет определенное значение. Но у каждой молекулы кинетическая энерrия в данный момент может оказаться как меньше, так и больше cpeд ней. В какойто момент кинетическая энерrия отдельных молекул может стать настолько большой, что они окажут ся способными вылететь из жидкости, преодолев силы при тяжения остальных молекул. Процесс превращения жид кости в пар называется испарением. При этом процессе число молекул, покидающих жидкость за определенный промежуток времени, больше числа молекул возвращаю щихся. Вылетевшая молекула принимает участие в беспоря дочном тепловом движении rаза. Беспорядочно двиrаясь, она может навсеrда удалиться от поверхности жидкости, находящейся в открытом сосуде, но может и вернуться снова в жидкость. Процесс превращения пара в жидкость называется конденсацией. Если поток воздуха над сосудом уносит с собой образо вавшиеся пары жидкости, то жидкость испаряется быст рее, так как у молекулы пара уменьшается возможность вновь вернуться в жидкость. Чем выше температура жид кости, тем большее число молекул имеет достаточную для вылета из жидкости кинетическую энерrию, тем быстрее идет испарение. При испарении жидкость покидают более быстрые MO лекулы, поэтому средняя кинетическая энерrия молекул жидкости уменьшается. Это означает, что происходит по нижение температуры жидкости. Смочив руку какойни будь быстро испаряющейся жидкостью (например, бен зином или ацетоном), вы тут же почувствуете сильное охлаждение смоченноrо места. Охлаждение этоrо места усилится, если на руку подуть. 7 ФИЗIК8 10 1(..'1 19] 
Процесс испарения происходит со свободной поверхно сти жидкости. Если лишить жидкость возможности испаряться, то ox лаждение ее будет происходить I'ораздо медленнее. Вспом ните, каи долl'О остывает жирный суп. Слой жира на ero поверхности мешает выходу быстрых молекул воды. Жид кость почти не испаряется, и ее температура падает Meд лен но (сам жир испаряется крайне медленно, таи каи el'o большие молекулы более прочно сцеплены друl' с ДРУl'ом, чем молекулы воды). Насыщенный пар. Если сосуд с жидкостью плотно за крыть, то сначала количество жидкости уменьшится, а за тем будет оставаться постоянным. При неизменной темпе ратуре система жидкость  пар придет в состояние тепло BOI'O равновесия и будет находиться в нем сколь Уl'одно долl'О. Одновременно с процессом испарения происходит и конденсация, оба процесса в среднем компенсируют друl' дрУl'а. В первый момент, после TOI'O как жидкость нальют в co суд и закроют el'o, жидкость будет испаряться и плотность пара над ней будет увеличиваться. Однако одновременно с этим будет расти и число молеиул, возвращающихся в жидкость. Чем больше плотность пара. тем большее чис ло el'o молекул возвращается в жидкость. В результате в закрытом сосуде при постоянной температуре установит ся динамическое (подвижное) равновесие между жидко стью и паром, т. е. число молекул, поиидающих поверх ность жидкости за некоторый промежуток времени, будет равно в среднем числу молекул пара, возвратившихся за то же время в жидкость. Для воды при комнатной темпе ратуре это число приблизительно равно 1022 молекул за время, равное 1 с (на 1 см 2 площади поверхности). Пар, Ha ходящийся в динамическом равновесии со своей жидко стью, называют насыщенным паром. Это определение под черкивает, что в данном объеме при данной температуре не может находиться большее количество пара. Если воздух из сосуда с жидкостью предварительно откачан, то над по верхностью жидкости будет находиться только ее Hacы щенный пар. Давление насыщенноl'О пара. Что будет происходить с насыщенным паром, если уменьшить занимаемый им объем? Например, если сжимать пар. находящийся в paB новесии с жидкостью в цилиндре под поршнем, поддержи вая трмпературу содержимоl'О цилиндра постоянной. При сжатии пара равновесие начнет нарушаться. Плот ность пара в первый момент HeMHOI'O увеличится, и из I'аза в жидкость начнет переходить большее число молекул, чем из жидкости в I'аз. Ведь число молекул, покидающих жид кость в единицу времени, зависит только от температуры, .'4 
и сжатие пара это число не меняет. Процесс продолжаеrся до тех пор, пока вновь не уrтановится динамическое paBHO весие и плотность пара, а значит, и концентрация ero моле кул не примут прежних своих значений. Следовательно, концентрация .молекул наСblщеНUОlО пара при постоян- uои температуре ие .ювисит от по объема. Так как давление пропорционально концентрации MO лекул (р = nkT), то из этоrо определения следует, что дав- леиие наСblщеllUОlО пара не зависит от занимаеМОlО им объема. Давление ри_ n парtl, при котором жидкость находится в равновесии со своим паром, называют давлением Hacы щенноrо пара. При сжатии насыщенноrо пара все большая часть ero переходит в жидкое состояние. Жидкость данной массы за нимает меньший объем, чем пар той же массы. В результа те объем пара при неизменной ero плотности уменьшается. Отметим еще один важный факт. Очевидно, rазовые за коны для насыщенноrо пара несправедливы (при любом объеме при постоянной температуре давление насыщенно 1'0 пара одинаково). В то же время состояние насыщенноrо пара достаточно точно описывается уравнением Менделее ва  Клапейрона. Ненасыщенный пар. Если пар постепенно сжимают, а превращение ero в жидкость не происходит, то такой пар называют ненасыщенным. При определенном объеме пар становится насыщенным, и при дальнейшем ero сжатии происходит превращение ero в жидкость. В этом случае над жидкостью уже будет находиться насыщенный пар. Однако пар превращается в жидкость не при любой температуре. Если температура выше HeKoToporo значе ния, то, как бы мы ни сжимали rаз, он никоrда не превра тится в жидкость. Максимальная температура, при KOTO рой пар еще может превратиться в жидкость, называется критической температурой. Состояние вещества при температуре выше критической называется rазом; при температуре ниже критической, коrда у пара есть возможность превратиться в жидкость,  паром. Каждому веществу соответствует своя критичес!<ая температура, у rелия Тир = 4 К, у азота Тир = 126 К. Свойства насыщенноrо и ненасыщенноrо пара различны. [1] 1. Почему в жару собака высовывае, ЯЗlolк! Z. Почему давление наСlolщенноrо пара не завис и, о, ero объема! 3. Приведи,е примерlol динамическоrо равновесия, подобноrо ди намическому равновесию наСlolщенноrо пара и ЖИДКОCJи. 195 
 71 ЗАВИСИМОСТЬ ДАВЛЕНИЯ нАсыЕнноrоo ПАР А ОТ ТЕМПЕР ATypы. КИПЕНИЕ Жидкость не только испаряется. При некоторой темпе ратуре она кипит. Зависимость давления насыщенноrо пара от темпера туры. Состояние насыщенноrо пара, как показывает опыт (мы rоворили об этом в предыдущем параrрафе), прибли женно описывается уравнением состояния идеальноrо rаза (10.4), а ero давление определяется формулой Рн.п == пkT. (11.1) с ростом температуры давление растет. Так как давле ние насыщенноzо пара не зависит от объе.ма, то, следо вательно, оно .зависит только от те.мпературы. Однако зависимость Рн.п от Т, найденная эксперимен тально, не является прямо пропорциональной, как у иде альноrо rаза при постоянном объеме. С увеличением TeM пературы давление реальноrо насыщенноrо пара растет быстрее, чем давление идеальноrо rаза (рис. 11.1, участок кривой АВ). Это становится очевидным, если провести изохоры идеальноrо rаза через точки А и В (штриховые прямые). Почему это происходит? При наrревании жидкости в закрытом сосуде часть жидкости превращается в пар. В результате соrласно фор муле (11.1) давление насыщенноzо пара растет не толь ко вследствие повышения те.мпературы жидкости, но и вследствие увеличения концентрации .молекул (плотно сти) пара. В основном увеличение давления при повыше нии температуры определяется именно увеличением KOH центрации. rлавное различие в поведении идеальноrо rаза и насыщенноrо пара состоит в том, что при изменении температуры пара в закрытом сосуде (или при изменении объема при постоянной температуре) меняется масса пара. Жидкость частично превращается в пар, или, напротив, пар частично конденсируется. С идеальным rазом ничеrо подобноrо не происходит. Коrда вся жидкость испарится, пар при дальнейшем наrревании перестанет быть насыщенным и ero давление при постоянном объеме будет возра стать прямо пропорционально абсо лютной температуре (см. рис. 11.1, участок кривой ВС). Кипение. По мере увеличения температуры жидкости интенсив ность испарения увеличивается. Ha конец, жидкость начинает кипеть. При кипении по всему объему жид кости образуются быстро растущие р с  / ,,'" ........ / А  ;," ............ /............ о Рис. 11.1 196 т 
пузырьки пара, которые всплывают на поверхность. Темпе ратура кипения жидкости остается постоянной. Это проис ходит потому, что вся подводимая к жидкости энерrия pac ходуется на превращение ее в пар. При каких условиях Ha чинается кипение? В жидкости всеrда присутствуют растворенные rазы, выделяющиеся на дне и стенках сосуда, а также на взве шенных в жидкости пылинках, которые являются цeHTpa ми парообразования. Пары жидкости, находящиеся внутри пузырьков, являются насыщенными. С увеличением темпе ратуры давление насыщенных паров возрастает и пузырьки увеличиваются в размерах. Под действием выталкивающей силы они всплывают вверх. Если верхние слои жидкости имеют более низкую температуру, то в этих слоях происхо дит конденсация пара в пузырьках. Давление стремительно падает, и пузырьки захлопываются. Захлопывание проис ходит настолько быстро, что стенки пузырька, С'l'алкива ясь, производят нечто вроде взрыва. Множество таких мик ровзрывов создает характерный шум. Коrда жидкость дo ста точно проrреется, пузырьки перестанут захлопываться и всплывут на поверхность. Жидкость закипит. Понаблю дайте внимательно за чайником на плите. Вы обнаружите, что перед закипанием он почти перестает шуметь. Зависимость давления насыщенноrо пара от температу ры объясняет, почему температура кипения жидкости за висит от давления на ее поверхность. Пузырек пара может расти, коrда давление насыщенноrо пара внутри Hero He MHoro превосходит давление в жидкости, которое склады вается из давления воздуха на поверхность жидкости (внешнее давление) и rидростатическоrо давления столба жидкости. Обратим внимание на то, что испарение жидкости про исходит при температурах, меньших температуры кипе ния, и только С поверхности жидкости, при кипении обра зование пара происходит по всему объему жидкости. Кипение начинается при темпера туре, при которой давление насыщен Horo пара в пузырьках сравнивается с давлением в жидкости. Чем больше внешнее давление, тем выше температура кипения. Так, в паровом котле при давлении, дости rающем 1,6. 10 б Па, вода не кипит и при температуре 200 ос. В меди цинских учреждениях в rерметиче ски закрытых сосудах  автоклавах (рис. 11.2) кипение воды также про исходит при повышенном давлении. Рис. 11.1 197 
Поэтому температура кипения жиk кости значительно выше 100 ос. Автоклавы применяют для стери лизации хирурrических инструмен тов и др. И наоборот, уменьшая внешнее давление. мы тем самым nонижа ем температуру кипения. Откачи вая насосом воздух и пары воды из колбы, можно заставить воду кипеть при комнатной температу ре (рис. 11.3). При подъеме в ropbI атмосферное давление уменьшает ся, поэтому уменьшается темпера тура кипения. На высоте 7134 м (пик Ленина на Памире) давление приближенно равно 4 . 10-1 Па (300 мм рт. ст.). Вода кипит там примерно при 70 ос. Сварить мясо в этих условиях невозможно. у каждой жидкости своя температура кипения, которая зависит от давления ее насыщенноrо пара. Чем выше дaв ление насыщеННОlО пара, тем ниже температура киnе ния жидкости, так как при меньших температурах давле ние насыщенноrо пара становится равным атмосферному. Например, при температуре кипения 100 ос давление Ha сыщенных паров воды равно 101 325 Па (760 мм рт. ст.), а паров ртути  Bcero лишь 117 Па (0,88 мм рт. ст.). Кипит ртуть при температуре 357 ос при нормальном давлении. tI d      "'-.-"11 Рис. 11.3 Жидкость закипает, коrда давление ее насыщенноrо пара становится равно давлению внутри жидкости. 1. Почему температура кипения возрастает с увепичением давпе ния! 1. Почему дпя кипения существенно повыwение давпения Hacbl- щенноrо пара в пузырьках, а не повыwение давпения имеюще- rося в них воздуха! 3. Как заставить закипеть жидиость, охпаждая сосуд! (Вопрос этот непростой.) [1J  72 ВЛАЖНОСТЬ воаДУХА Вода занимает около 70,8% поверхности земноrо шара. Живые орrанизмы содержат от 50 до 99,7% воды. Образно rоворя, живые орrанизмы  это одvшевленная вода. В aT мосфере находится около 1315 тыс. км 3 воды В виде Ka пель, кристаллов cHera и водяноrо пара. Атмосферный BO дяной пар влияет на поrоду и климат Земли 198 
Водянuй пар в атмосфере. ВОДЯНОЙ пар в воздухе, He смотря на orpoMHble поверхности океанов, морей, озер и рек, далеко не всеl'да является насы1енныы.. Перемеще ние воздушных масс при водит к тому, что в одних местах нашей планеты в данныЙ момент испарение воды преобла дает над конденсацией, а в друrих, наоборот, преобладает конденсация. Но в воздухе практически всеrда имеется He которое количество водяноrо пара. Сод('ржание водяноrо пара в воздухе, т. е. ero влаж ность, можно характеризовать несколькими величинами. Плотность водяноrо пара в воздухе называется абсо лютной влажностью. Абсолютная влажность измеряется, следовательно, в килоrраммах на метр кубический (KrjM 3 ). Парциальное давление водяноrо пара. Атмосферный воздух представляет собой смесь различных rазов и водя  Horo пара. Каждый из rазов вносит свой вклад в CYMMap ное давление, производимое воздухом на находящиеся в нем тела. Давление, которое производил бы водяной пар, если бы все остальные rазы отсутствовали, называют пар циальным давлением водяноrо пара. Парциалыюе давле ние водяноrо пара принимают за один из показателей влажности воздуха. Ero выражают в единицах давле ния  паскалях или миллиметрах pTYTHoro столба. Атмосферное давление определяется суммой парциаль ных давлений компонент cyxoro воздуха (кислорода, азота и т. д.) И водяноrо пара. Отно('ительная влажность. По парциальному давлению водяноrо пара и абсолютной влажности еще нельзя судить о том, насколько водяной пар в данных условиях близок к насыщению. А именно от этоrо зависит интенсивность испарения воды и потеря влаrи живыми орrанизмами. Вот почему вводят величину, показывающую, насколько водя ной пар при данной температуре близок к насыщению,  относительную влажность. Относительной влажностью воздуха называют отноше ние парциальноrо давления Р водяноrо пара, содержаще rося в воздухе при данной температуре, к давлению РН. п насыщенноrо пара при той же температуре, выраженное в проц('нтах: <р =  .100'Х,. Р Н . п (11.2) Относительная влажность воздуха обычно меньше 100',ь. Психрометр. Влажность воздуха измеряют с помощью специальных приборов. Мы расскажем об одном из них  псиХРО.метре. Психрометр состоит из двух термометров (рис. 11.4). Резервуар одноrо из них остается сухим, и он показывает 199 
температуру воздуха. Резервуар друrоrо окружен полоской ткани, конец которой опущен в воду. Вода испаряется, и бла rодаря этому термометр охлаждается. Чем больше относительная влажность, тем менее интенсивно идет испарение и темпе ратура, показываемая термометром, OKPy женным влажной тканью, ближе к темпе рату ре cyxoro термометра. При относительной влажности, равной 100%, вода вообще не будет испаряться и показания обоих термометров будут одина ковы. По разности температур этих TepMO метров с помощью специальных таблиц можно определить влажность воздуха. Значение влажности. От влажности за висит интенсивность испарения влаrи с по верхности кожи человека. А испарение влаrи имеет большое значение для поддер жания температуры тела постоянной. В космических кораблях поддерживается наиболее блаrо приятная для человека относительная влажность воздуха (4060% ). Очень важно знать влажность в метеоролоrии  в свя зи С предсказанием поrоды. Хотя относительное количест во водяноrо пара в атмосфере сравнительно невелико (OKO ло 1 %), роль ero в атмосферных явлениях значительна. Конденсация водяноrо пара приводит к образованию обла ков и последующему выпадению осадков. При этом Bыдe ляется большое количество теплоты. И наоборот, испаре ние воды сопровождается поrлощением теплоты. В ткацком, кондитерском и друrих производствах для нормальноrо течения процесс а необходима определенная влажность. Хранение произведений искусства и книr требует под держания влажности воздуха на необходимом уровне. Поэтому в музеях на стенах вы можете видеть психро метры. с "с 4 О 4 .Q з о :i Q 2 Q 2 Q 1 Q 1 Q Q Q о Рис. t _.4 о О Важно знать не абсолютное количество водяноrо пара в атмосфере, а относительное. Относительную влажность измеряют психрометром. [1] _. Что называется относительной влажностью воздуха! 1. Определяется ли разность показаний термометров психромет ра только относительной влажностью или, кроме Toro, зависит от конструкции прибора! 100 
ш ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ При решении задач надо иметь ввиду, что давление и плотность насыщенноrо пара не зависят от ero объема, а зависят только от температуры. Уравнение состояния идеальноrо rаза приближенно применимо и для описания насыщенноrо пара. Но при сжатии или наrревании Hacы щенноrо пара ero масса не остается постоянной. 1. Закрытый сосуд объемом V 1 = 0,5 м 3 содержит воду Mac сой m = 0,5 Kr. Сосуд наrрели до температуры t = 147 ос. Ha сколько следует изменить объем сосуда, чтобы в нем содержался только насыщенный пар? Давление насыщенноrо пара Рн. п при температуре t = 147 ос равно 4,7 . 105 Па. Реш е н и е. Насыщенный пар при давлении Рн. п зани мает объем, равный V == mRT ::::: 0,2 м а , рн.п М rде М == 0,018 кr/моль  молярная масса воды. Объем сосуда V 1 > V. а значит, пар не является насыщенным. Для Toro чтобы пар стал насыщенным, объем сосуда следует уменьшить на mRT llV== V 1  V== V 1  М == 0,3 м 3 . Р н . п 2. Относительная влажность воздуха в закрытом сосуде при температуре t 1 = 5 "С равна Ч'1 = 84 ')10, а при температуре t 2 = 22 ос равна Ч'2 = 30%. Во сколько раз давление насыщенноrо пара воды при температуре t 2 больше, чем при температуре t 1 ? Реш е н и е. Давление водяноrо пара в сосуде при Т 1 == 278 К равно: Рl == lci% Рн. п1> rде Рн. пl  давление Ha сыщенноrо пара при температуре Тр При температуре Т 2 == 295 К давление Ч'2 Р2 == 100% Рн. п2. Так как объем постоянен, то по закону Шарля Рl  Т 1 Р2  Т 2 . Отсюда Р н . п2  Ч'1 Т 2  3  "'""---' Р н . п 1  Ч'2 Т 1 . 101 
 УПРАЖНЕНИЕ 14 1. Как будет меняться температура кипения воды, если co суд с водой опускать в rлубокую шахту? 2. Чему равна плотность пара в пузырьках, поднимающихся к поверхности воды, кипящей при атмосферном давлении? 3. На улице моросит холодный осенний дождь. В комнате развешано выстиранное белье. Высохнет ли белье быстрее, если открыть форточку? 4. При температуре t == 20 ос относительная влажность в комнате </>. == 20%. Определите массу воды, которую нужно испа рить для увеличения влажности до </>2 == 50%, если объем комнаты V == 40 м 3 . Плотность насыщенноrо пара воды при температуре t == 20 ос равна Рн. п == 1,73 . 102 Kr/M 3 . rлава 11. КРАТКИЕ итоrи Между жидкостью и паром, находящимся над ней, MO жет существовать динамическое равновесие, при котором число молекул, покидаЮIЦИХ жидкость за некоторое Bpe мя, равно числу молекул, возвращающихся из пара в жид кость за то же время. Пар, находящийся в динамическом равновесии со своей жидкостью, называют насыщенным. Давление насыщенноrо пара не зависит от объема и опре деляется только температурой. Жидкость кипит при температуре, при которой давле ние насыщенноrо пара в пузырьках становится равным давлению в жидкости. Чем больше внешнее давление, тем выше температура кипения. Атмосферный воздух представляет собой смесь различ ных rазов и водяноrо пара. Содержание водяноrо пара в воздухе, т. е. влажность воздуха, характеризуют рядом величин: абсолютной и относительной влажностью, парци альным давлением. Давление, которое производил бы BO дяной пар, если бы все остальные rазы отсутствовали, называют парциальным давлением водяноrо пара. Относи тельной влажностью воздуха называют выраженное в про центах отношение парциальноrо давления водяноrо пара, содержащеrося в воздухе при данной температуре, к дaB лен ию насыщенноrо водяноrо пара при той же температу ре. Большое значение имеет знание влажности в MeTeopo лоrии для предсказания поrоды. 101 
rлава 12 ТВЕРДЫЕ ТЕЛА Мы живем на поверхности твердоrо тела  земноrо шара, в домах, построенных из твердых тел. Наше тело, хотя оно и содержит 65% воды (мозr  80%), тоже считают твердым. Орудия труда сделаны из твердых тел. Знать свойства твердых тел необходимо.  73 КРИСТАЛЛИЧЕСКИЕ ТЕЛА Твердые тела сохраняют не только свой объем, как жидкости, но и форму. Они находятся преимущественно в кристаллическом состоянии. Кристаллы  это твердые тела, атомы или молекулы которых занимают определенные, упорядоченные положе ния в пространстве. Поэтому кристаллы имеют плоские rрани. Например, крупинка обычной поваренной соли име ет плоские rрани, составляющие друr с друrом прямые уrлы (рис. 12.1). Это можно заметить, рассматривая соль с помощью лупы. А как rеометрически правильна форма снежинки! В ней также отражена rеометрическая правиль ность BHYTpeHHero строения кристаллическоrо твердоrо тела  льда (рис. 12.2). Анизотропия кристаллов. Однако правильная внешняя форма не единственное и даже не самое rлавное следствие упорядоченноrо строения кристалла. rлавное  это зави симость физических свойств кристалла от выбранноzо в кристалле направления. Прежде Bcero бросается в rлаза различ ная механическая прочность кристаллов по разным направлениям. Например, кусок слюды леrко расслаивается в oд ном из направлений на тонкие пластинки (рис. 12.3), но разорвать ero в направле нии, перпендикулярном пластинкам, ro раздо труднее. Так же леrко расслаивается в одном направлении кристалл rрафита. Коrда вы пишете карандашом, такое pac слоение происходит непрерывно и тонкие Рис. 11.1 Рис. 11.1 * 103 
слои rрафита остаются на бумаrе. Это происходит потому, что кристал лическая решетка rрафита имеет слоистую структуру. Слои образова ны рядом параллельных сеток, COCTO ящих из атомов уrлерода (рис. 12.4). Атомы располаrаются в вершинах правильных шестиуrольников. Pac стояние между слоями сравнительно велико  примерно в 2 раза больше, чем длина стороны шестиуrольника, поэтому связи между слоями менее прочны, чем связи внутри них. Мноrие кристаллы поразному проводят тепло и электрический ток в различных направлениях. От Ha правления зависят и оптические свойства кристаллов. Так, кристалл кварца поразному преломляет свет в зависимости от направления пада ющих на Hero лучей. Зависимость физических свойств от направления внутри кристалла называют анизотропией. Все крис таллические тела анизотропны. Монокристаллы и поликристал лы. Кристаллическую структуру имеют металлы. Именно металлы преимущественно используются в Ha стоящее время для изrотовления opy дий труда, различных машин и Mexa низмов. Если взять сравнительно большой кусок металла, то на первый взrляд ero кристаллическое строение никак не проявляется ни во внешнем виде этоrо куска, ни в ero физических свойствах. Металлы в обычном COCTO янии не обнаруживают анизотропии. Дело здесь в том, что обычно металл состоит из orpoM Horo количества сросшихся друr с друrом маленьких крис талликов. Под микроскопом или даже с помощью лупы их нетрудно рассмотреть, особенно на свежем изломе металла (рис. 12.5). Свойства каждоrо кристаллика зависят от Ha правления, но кристаллики ориентированы по отношению друr к друrу беспорядочно. В результате в объеме, значите льно превышающем объем отдельных кристалликов, все направления внутри металлов равноправны и свойства Me таллов одинаковы по всем направлениям. Рис. 11.3 Рис. 11.4 ''ч/; ;1 ',; .': \ .. . \\ I '.} I 1" . ., "\ / I J.\J' '( . ) . . '1 ., of' . r J ,I't',i / .' \,-" , .. Рис. 12.5 204 
Твердое тело, состоящее из большоrо числа маленьких кристалликов, называют поликристаллическим. Одиноч ные кристаллы называют монокристаллами. Соблюдая большие предосторожности, можно вырастить металлический кристалл больших размеров  монокрис талл. В обычных условиях поликристаллическое тело образу ется в результате Toro, что начавшийся рост мноrих крис таллов продолжается до тех пор, пока они не приходят в соприкосновение друr с друrом, образуя единое тело. К поликристаллам относятся не только металлы. Ky сок сахара, например, также имеет поликристаллическую структуру. Большинство кристаллических тел  поликристаллы, так как они состоят из множества сросшихся кристаллов. Одиночные кристаллы  монокристаллы имеют правиль ную rеометрическую форму, и их свойства различны по разным направлениям (анизотропия). [1] 1. Все ли кристаллические тела анизотролны! 1. Древесина анизотролна. Является ли она кристаллическим Te лом! 3. Приведите лримеры монокристаллических и лоликристалличе- ских тел, не уломянутых в тексте.  74 АМОРФНЫЕ ТЕЛА Не все твердые тела  кристаллы. Существует множе ство аморфных 1 тел. Чем они отличаются от кристаллов? у аморфных тел нет cTpororo порядка в расположении атомов. Только ближайшие атомысоседи располаrаются в некотором порядке. Но строrой повторяемости по всем направлениям одноrо и Toro же элемента структуры, KOTO рая характерна для кристаллов, в аморфных телах нет. По расположению атомов и по их поведению аморфные тела аналоrичны жидкостям. Часто одно и то же вещество может находиться как в кристаллическом, так и в аморфном состоянии. Напри мер, кварц Si0 2 может быть как в кристаллической, так и в аморфной форме (кремнезем). Кристаллическую форму кварца схематически можно представить в виде решетки из правильных шестиуrольников (рис. 12.6, а). Аморфная структура кварца также имеет вид решетки, но непра вильной формы. Наряду с шестиуrольниками в ней BCTpe чаются пяти и семиуrольники (рис. 12.6, б). 1 От rреческоrо (,морфе  форма и частицы (,а.>, имеющей смысл отрицания. 105 
Рис. 11.6 а Свойства аморфных тел. Все аморфные тела изотроп ны, т. е. их физические свойства одинаковы по всем Ha правлениям. :к аморфным телам относятся стекло, смола, канифоль, сахарный леденец и др. При внешних воздействиях аморфные тела обнаружива ют одновременно упруrие свойства, подобно твердым Te лам, и текучесть, подобно жидкости. Так, при KpaTKOBpe менных воздействиях (ударах) они ведут себя как твердые тела и при сильном ударе раскалываются на куски. Но при очень продолжительном воздействии аморфные тела текут. В этом вы можете убедиться сами, если запасетесь терпени ем. Проследите за куском смолы, который лежит на TBep дой поверхности. Постепенно смола по ней растекается, и, чем выше температура смолы, тем быстрее это происходит. Атомы или молекулы аморфных тел, подобно молеку лам жидкости, имеют определенное время «оседлой жиз ни»  время колебаний около положения равновесия. Но в отличие от жидкостей это время у них весьма велико. Так, для вара при t == 20 ос время «оседлой жизни» при мерно 0,1 с. В этом отношении аморфные тела близки к кристаллическим, так как перескоки атомов из одноrо поло жения равновесия в друrое происходят сравнительно редко. Аморфные тела при низких темпера'rурах по своим свойствам напоминают твердые тела. Текучестью они поч  ти не обладают, но по мере повышения температуры по степенно размяrчаются и их свойства все более и более приближаются к свойствам жидкостей. Это происходит потому, что с ростом температуры постепенно учащаются перескоки атомов из ОДНОI'О положения равновесия в дpy roe. Определенной температуры плавления у аморфных тел, в отличие от кристаллических, нет. Жидкие кристаллы. В природе встречаются вещества, обладающие одновременно основными свойствами крис талла и жидкости, а именно аНИЗО'l'ропией и текучестью. Такое состояние вещества называется жид1Сокристалличе- С1Сим. Жидкими кристаллами являются в основном opra нические вещества, молекулы которых имеют длинную нитевидную форму или форму плоских плаСТIIН. 106 
Рассмотрим наиболее простой случай. коrда жидкий кристалл образуется нитевидными молекулами. Эти моле кулы расположены параллельно друr друrу. однако беспо рядочно сдвинуты. т. е. порядок. в отличие от обычных кристаллов. существует только в одном направлении. При тепловом движении центры этих молекул движут ся хаотически. однако ориентация молекул не изменяется. и они остаются параллельны самим себе. Строrая ориен тация молекул существует не во всем объеме кристалла. а в небольших областях. называемых доменами. На rрани це доменов происходит преломление и отражение света. поэтому жидкие кристаллы непрозрачны. Однако в слое жидкоrо кристалла. помещенном между двумя тонкими пластинами. расстояния между которыми O.OlO.l мм. с параллельными уrлублениями 10100 нм. все молеку лы будут параллельны и кристалл станет прозрачным. Если на какието участки жидкоrо кристалла подать элек трическое напряжение. то жидкокристаллическое состоя ние нарушается. Эти участки становятся непрозрачными и начинают светиться. а участки без напряжения остаются темными. Это явление используется при создании жид кокристаллических экранов телевизоров. Нужно OTMe тить. что сам экран состоит из orpoMHoro числа элементов и электронная схема управления таким экраном чрезвы чайно сложна. Физика твердоrо тела. Человечество всеrда использова ло и будет использовать твердые тела. Но если раньше фи зика твердоrо тела отставала от развития технолоrии. OCHO ванной на непосредственном опыте. то теперь положение изменилось. Теоретические исследования приводят к созда нию твердых тел. свойства которых совершенно необычны. Получить такие тела методом проб и ошибок было бы невозможно. Создание транзисторов. о которых пойдет речь в дальнейшем.  яркий пример Toro. как понимание структуры твердых тел привело к революции во всей pa диотехнике. Получение материалов с заданными механическими. маrнитными. электрическими и друrими свойствами  одно из основных направлений современной физики TBep доrо тела. Примерно половина физиков мира работают сейчас в этой области физики. Аморфные тела занимают промежуточное положение между кристаллическими твердыми телами и жидкостя ми. Их атомы или молекулы располаrаются в относитель ном порядке. Понимание структуры твердых тел (кристаk лических и аморфных) позволяет создавать материалы с заданными свойствами. 107 
[1] t. Чем отличаются аморфн...е тела от кристаллических! 1. Приведите при м ер... аморфныx тел. 3. Возникла ли 6... профессия стеклодува, если 6... стекло 6...ло кристаллическим телом, а не аморфн",м! rлава 12. КРАТКИЕ итоrи Твердые тела преимущественно находятся в кристалли чес ком состоянии. Кристаллы анизотропны; это означает, что физические свойства кристаллов зависят от выбранно ro направления. у аморфных тел, в отличие от кристаллов, нет cTpororo порядка в расположении атомов. При низких температурах аморфные тела по своим свойствам напоминают твердые тела, а при высоких  подобны очень вязким жидкостям. rлава 13 ОСНОВЫ ТЕРМОДИНАМИКИ Тепловые явления можно описывать с помо щью величин (макроскопических параметров), реrистрируемых такими приборами, как MaHO метр и термометр. Эти приборы не реаrируют на воздействие отдельных молекул. Теория тепло вых процессов, в которой не учитывается моле кулярное строение тел, называется термодина микой. Ее мы будем изучать в этой rлаве.  75 ВНУТРЕННЯЯ ЭНЕРrия Термодинамика была создана в середине XIX в. после открытия закона сохранения энерrии. В ее основе лежит понятие внутренняя энерzия. С Hero мы и начнем. Пред варительно остановимся на вопросе о том, какая связь cy ществует между термодинамикой и молекулярнокинети ческой теорией. Термодинамика и статистическая механика. Первой научной теорией тепловых процессов была не молекуляр нокинетическая теория, а термодинамика. Она возникла при изучении оптимальных условий использования тепло ты для совершения работы. Это произошло в середине XIX в., задолrо до Toro, как молекулярнокинетическая теория получила всеобщее признание. Сейчас в науке и технике при изучении тепловых явле ний используются как термодинамика, так и молекуляр нокинетическая теория. В теоретической физике молеку лярнокинетическую теорию называют статистическоu 108 
механикой. Термодинамика и статистическая механика изучают различными методами одни и те же явления и взаимно дополняют друr друrа. r лавное содержание термодинамики состоит в двух основных ее законах, касающихся поведения энерzии. Эти законы установлены опытным путем. Они справедливы для всех веществ независимо от их BHYTpeHHero строения. Статистическая механика более rлубокая и точная Hay ка, чем термодинамика, но и более сложная. К ней прибе rают в тех случаях, коrда простые соотношения термоди намики оказываются недостаточными для объяснения наблюдаемых явлений. Внутренняя энерrия в молекулярнокинетической Teo рии. В середине XIX в. было доказано, что наряду с Mexa нической энерrией макроскопические тела обладают еще и энерrией, заключенной внутри самих тел. Эта вHyтpeH няя энерzия входит в баланс энерrетических превращений в природе. После открытия внутренней энерrии был сфор мулирован закон сохранения и превращения энерzии. Что такое внутренняя энерrия? Коrда скользящая по льду шайба останавливается под действием силы трения, то ее механическая (кинетиче ская) энерrия не просто исчезает, а передается беспорядоч но движущимся молекулам льда и шайбы. Неровности по верхностей трущихся тел деформируются при движении, и интенсивность беспорядочноrо движения молекул возра  стает. Оба тела наrреваются, что и означает увеличение их внутренней энерrии. Нетрудно наблюдать и обратный переход внутренней энерrии в механическую. Если HarpeBaTb воду в пробирке, закрытой пробкой, то внутренняя энерrия воды и BHYTpeH няя энерrия пара начнут возрастать. Давление пара YBe личится настолько, что пробка будет выбита. Кинетиче ская энерrия пробки увеличится за счет внутренней энерrии пара. Расширяясь, водяной пар совершает работу и охлаждается. Ero внутренняя энерrия при этом YMeHЬ шается. С точки зрения молекулярнокинетической теории внутренняя энерrия макроскопическоrо тела равна сумме кинетических энерrий беспорядочноrо движения всех MO лекул (или атомов) тела и потенциальных энерrий взаи модейстния всех молекул друr с друrом (но не с молекула ми друrих тел). Вычислить внутреннюю энерrию тела (или ее измене ние), учитывая движение отдельных молекул и их поло жения относительно друr друrа, практически невозможно изза orpoMHoro числа молекул в макроскопических телах. Поэтому необходимо уметь определять значение BHYTpeH ней энерrии (или ее изменение) в зависимос'l'И от MaKpo 109 
скопических параметров, которые можно непосредственно измерить. Внутренняя энерrия идеальноrо одноатомноrо rаза. Наиболее прост по своим свойствам одноатомный 1'аз, COCTO ящий из отдельных атомов, а не молекул. Одноатомными являются инертные 1'азы  1'елий, неон, ap1'oH и др. Вычис лим внутреннюю энер1'ИЮ идеально1'О одноатомно1'О 1'аза. Так как молекулы идеально1'О 1'аза не взаимодействуют дру1' с дру1'ОМ, то их потенциальная энер1'ИЯ равна нулю. Вся внутренняя энер1'ИЯ идеально1'О 1'аза определяется кинетической энеР1'ией беспорядочно1'О движения e1'o MO лекул. Для вычисления внутренней энер1'ИИ идеально1'О OДHO aToMHo1'o 1'аза массой т нужно умножить среднюю кинети ческую энер1'ИЮ одно1'О a'l'OMa на число атомов. Учитывая, что kN A == R, получим формулу для внутренней энер1'ИИ идеально1'О 1'аза: I и ==  *i RT .1 (13.1) Внутренняя энерrия идеальноrо одноатомноrо rаза прямо пропорциональна ero абсолютной температуре. Она не зависит от объема и ДРУ1'их макроскопических параметров системы. Изменение внутренней энер1'ИИ идеально1'О 1'аза равно 3 т дU == "2 м R (Т 2  T 1 ), т. е. определяется температурами Ha чально1'О и конечноrо состояний 1'аза и не зависит от про цесса. Если идеальный 1'аз состоит из более сложных моле кул, чем одноатомный, то e1'o внутренняя энер1'ИЯ также пропорциональна абсолютной температуре, но коэффици ент пропорциональности между И и Т дру1'ОЙ. Объясняет ся это тем, что сложные молекулы не только движутся поступательно, но и вращаются. Внутренняя энер1'ИЯ таких 1'азов равна сумме энер1'ИЙ поступательно1'О и Bpa щательно1'О движений молекул. Зависимость внутренней энерrии от макроскопических параметров. Мы установили, что внутренняя энер1'ИЯ иде ально1'О 1'аза зависит от одно1'О параметра  температуры. От объема внутренняя энер1'ИЯ идеально1'О 1'аза не зависит потому, что потенциальная энер1'ИЯ взаимодействия e1'o молекул равна нулю. у реальных 1'азов, жидкостей и твердых тел средняя потенциальная энер1'ИЯ взаимодействия молекул не равна нулю. Правда, для 1'азов она MHo1'o меньше средней кине тической энер1'ИИ молекул, но для твердых и жидких тел сравнима с ней. 110 
Средняя потенциальная энерrия взаимодействия моле кул rаза зависит от объема вещества, так как при измене нии объема меняется среднее расстояние между молекула ми. Следовательно, внутренняя энерzия реальноzо za.3a в термодинамике в общем случае зависит, наряду с тeM пературой Т, и от объема v. Значения макроскопических параметров (температу ры Т, объема V и др.) однозначно определяют состояние тел. Поэтому они определяют и внутреннюю энерrию MaK роскопических тел. Внутренняя энерrия и макроскопических тел OДHO значно определяется параметрами, характеризующими co стояние этих тел: температурой и объемом. В основе термодинамики лежит понятие внутренней энерrии. Эта энерrия зависит от макроскопических пара метров: температуры и объема. Внутренняя энерrия идеальноrо rаза прямо пропорцио нальна ero абсолютной температуре. [1] t. Приведите примеры превращения механической знерrии во внутреннюю и обратно в технике и быту. 1. От каких физических величин зависит внутренняя знерrия тела! 3. Чему равна внутренняя знерrия идеальноrо одноатомноrо rаза!  76 РАБОТА В ТЕРМОДИНАМИКЕ В результате каких процессов может меняться BHYT ренняя энерrия? Вы уже знаете, что есть два вида таких процессов: совершение работы и теплопередача. Начнем с работы. Чему она равна при сжатии и расширении rаза и друrих тел? Работа в механике и термодинамике. В механике рабо та определяется как произведение модуля силы, модуля пе ремещения точки ее приложения и косинуса уrла между ними. При действии силы на движущееся тело работа paB на изменению ero кинетической энерrии. В термодинамике движение тела как целоrо не pac сматривается, речь идет о перемещении частей MaKpo скопическоrо тела друr относительно друrа. В результате может меняться объем тела, а ero скорость остается paB ной нулю. Работа в термодинамике определяется так же, как и в механике, но она равна не изменению кинетиче ской энерrии тела, а изменению ero внутренней энерrии. Изменение внутренней энерrии при сонершении рабо ты. Почему при сжатии или расширении тела меняется 1tt 
e1'o внутренняя энер1'ИЯ тела? Почему, в частности, Ha1'pe вается воздух при накачивании велосипедной шины? Причина изменения температуры 1'аза в процессе e1'o сжатия состоит в следующем: при ynpyzux соударениях МОЛf'кул zа.за с движущимся nоршнем изменяется их Kи нетическая энерzия. Так, при движении навстречу моле ку лам 1'аза поршень во время столкновений передает им часть своей механической энер1'ИИ, в результате че1'О 1'аз на1'ревается. Поршень действует подобно футболисту, встречающему летящий мяч ударом но1'и. Ho1'a сообщает мячу скорость, значительно большую той, которой он об ладал до удара. М наоборот, если 1'аз расширяется, то после столкнове ния с удаляющимся поршнем скорости молекул уменьша ются, в результате че1'О ['аз охлаждается. Так же действует и футболист, для To1'o чтобы уменьшить скорость летяще 1'0 мяча или остановить e1'o,  Ho1'a футболиста движется от мяча, как бы уступая ему доро1'У. При сжатии или расширении меняется и средняя по тенциальная энер1'ИЯ взаимодействия молекул, так как при этом меняется среднее расстояние между молекулами. Вычисление работы. Вычис t лим работу в зависимости от изменения объема на примере 1'аза в цилиндре под поршнем (рис. 13.1). Проще Bce1'o вначале  "" <:1[ вычислить не работу силы F, дей ...... ствующей на 1'аз со стороны внешне1'О тела (поршня), а рабо ту, которую совершает сила дaB ления 1'аза, действуя на поршень  с силой F'. СО1'ласно третьему за   кону Ньютона F == F'. Модуль Рис. 13.1 силы, действующей со стороны 1'аза на поршень, равен F' == pS, 1'де р  давление 1'аза, а S  площадь поверхности пор шня. Пусть ['аз расширяется изобарно и поршень CMe  щается в направлении силы F' на малое расстояние дh == h 2  h 1 . Так как давление 1'аза постоянно, то работа 1'аза равна: А' == F'дh == pS (h 2  h 1 ) == р (Sh 2  Sh 1 ). (13.2) Эту работу можно вырази'l'Ь через изменение объема 1'аза. Начальный e1'o объем V 1 == Sh 1 , а конечный V 2 == Sh 2 . Поэтому А' == р (V 2  V t ) == рдV, 1'де ДV == V 2  V 1  изменение объема 1'аза. 112 (13.3) 
При расширении rаз совершает положительную работу, так как Ha правление силы и направление пере мещения поршня совпадают. Если rаз сжимается, то формула (13.3) для работы rаза остается спра ведливой. Но теперь V 2 < V 1 , И по этому А' < О (рис. 13.2). Работа А, совершаемая внешни ми телами над rазом, отличается от работы caMoro rаза А' только зна  Рис. 13.1 ком: А == A', так как сила Р, дейст вующая на rаз, направлена против  силы Р', а перемещение поршня остается тем же самым. Поэтому работа внешних сил, действующих на rаз, равна: I А == A' == pflV.1 1 ... ...:: (13.4) При сжатии rаза, коrда flV == V 2  V 1 < О, работа внеш ней силы оказывается положительной. Так и должно быть: при сжатии rаза направления силы и перемещения точки ее приложения совпадают. Если давление не поддерживать постоянным, то при расширении rаз теряет энерrию и передает ее окружаю щим телам: поднимающемуся поршню, воздуху и т. д. rаз при этом охлаждается. При сжатии rаза, наоборот, внеш ние тела передают ему энерrию и rаз наrревается. rеометрическое истолкование работы. Работе А' rаза для случая постоянноrо давления можно дать простое reo метрическое истолкование. Построим rрафик зависимости давления rаза от зани  MaeMoro им объема (рис. 13.3). Здесь площадь прямоуrоль ника abdc, оrраниченная rрафиком Рl == const, осью V и OT резками аЬ и cd, равными давлению rаза, численно равна работе (13.3): А' == Рl (V 2  V 1 ) == I аЬ I . I ас 1. р р Рl Рl Ь Р2 О V о Рис. 13.3 Рис. 13.4 v 113 
В общем случае давление rаза не остается неизменным. Например, при изотермическом процессе оно убывает об рат но пропорционально объему (рис. 13.4). В этом случае для вычисления работы нужно разделить общее изменение объема на малые части и вычислить элементарные (малые) работы, а потом все их сложить. Работа rаза попрежнему численно равна площади фиrуры, оrраниченной rрафиком зависимости Р от V, осью V и отрезками аЬ и cd, равными давлениям Pl' Р2 В начальном и конечном состояниях rаза. Работа внешней силы, изменяющей при постоянном давлении объем rаза на Д V, равна А = PД V. Работа rаза (силы давления rаза) А' == A = РДV, rде Р  давление rаза. Изменить внутреннюю энерrию rаза в цилиндре мож но, не только совершая работу, но и наrревая rаз. Если закрепить поршень (рис. 13.5), то объем rаза при наrревании не меняется и работа не совершается. Но TeM пература rаза, а следовательно, и ero внутренняя энерrия возрастают. Процесс передачи энерrии от одноrо тела к друrому без совершения работы называют теплообменом или тепло передачей. Количественную меру изменения внутренней энерrии при теплообмене называют количеством теплоты. Количе ством теплоты называют также энерrию, которую тело OT дает в процесс е теплообмена. Молекулярная картина теплообмена. При теплообмене на rранице между телами происходит взаимодействие медленно дви жущихся молекул холодноrо тела с быстро движущимися молекулами rорячеrо тела. В результате кинетические энерrии молекул выравниваются и скорости молекул холодно ro тела увеличиваются, а rорячеrо  YMeHЬ шаются. При теплообмене не происходит превра щения энерrии из одной формы в друrую, часть внутренней энерrии rорячеrо тела пе редается холодному телу. [1]  77 c:!I::l  о о о о о о о о о "';iF /А Рис. 0.5 114 1. Почему тазы при сжатии натреваются! 1. Положительную или отрицательную работу совершают внеш- ние силы при изотермическом процессе. изображенном на ри- сунке 13.1! КОЛИЧЕСТВО ТЕПЛОТЫ о 
Количество теплоты и теплоемкость. Вам уже известно, что для наrревания тела массой т от температуры t I до TeM пера туры t 2 необходимо передать ему количество теплоты: Q == ст и2  t\) == стЫ. (13.5) При остывании тела ero конечная температура t 2 OKa зывается меньше начальной температуры t 1 и количество теплоты, отдаваемое телом, отрицательно. Коэффициент с в формуле (13.5) называют уделыюй теплоемкостью веlцества. Удельная теплоемкость  зто величина, численно равная количеству теплоты, которое получает или отдает вещество массой 1 Kr при изменении f'ro температуры на 1 К. Удельная теплоемкость зависит не только от свойств вещества, но и от Toro, при каком процессе осуществляет ся теплопередача. Если HarpeBaTb rаз при постоянном дaB лении, то он будет расширяться и совершать работу. Для наrревания rаза на 1 ос при постоянном давлении ему нужно передать большее количество теплоты, чем для Ha rревания ero при постоянном объеме, коrда rаз будет толь ко наrреваться. Жидкие и твердые тела расширяются при наrревании незначительно. Их удельные теплоемкости при постоян ном объеме и постоянном давлении мало различаются. Удельная теплота парообразования. Для превращения жидкости в пар в процессе кипения необходима передача ей определенноrо количества теплоты. Температура жид кости при кипении не меняется. Превращение жидкости в пар при постоянноЙ температуре не ведет к увеличению кинетической энерrии молекул, но сопровождается увели чением потенциальной энерrии их взаимодействия. Ведь среднее расстояние между молекулами rаза MHoro больше, чем между молекулами жидкости. Величину, численно равную количеству теплоты, необ ходимому для превращения при постоянной температуре жидкости массой 1 Kr в пар, называют удельной теплотой парообразования. Эту величину обозначают буквой r и выражают в джоулях на килоrрамм (Дж/кr). Очень велика удельная теплота парообразования воды: r H20 == 2,256 . 106 Дж/кr при температуре 100 ос. У друrих ЖИДКОСТf'й, например у спирта, эфира, ртути, керосина, удельная теплота парообразования меньше в 310 раз, чем у воды. Для превращения жидкости массой т в пар требуется количество теплоты, равное: Qп == rm. (13.6) При конденсации пара происходит выделение TaKoro же Н:ОЛИЧf>ства теплоты: Q.: == rm. (13.7) 115 
Удельная теплота плавления. При плавлении кристал лическоrо тела вся подводимая к нему теплота идет на увеличение потенциальной энерrии молекул. Кинетиче ская энерrия молекул не меняется, так как плавление происходит при постоянной температуре. Величину, численно равную количестну теплоты, необ ходимому для превращения кристаллическоrо вещестна массой 1 Kr при температуре плавления в жидкость, Ha зывают удельной теплотой плавления л. При кристаллизации вещества массой 1 Kr выделяется точно такое же количество теплоты, какое поrлощается при плавлении. Удельная теплота плавления льда довольно велика: 3,34 . 105 Дж/кr. «Если бы лед не обладал большой тепло той плавления,  писал Р. Б л э к еще в ХУIII в.,  то тоrда весной вся масса льда должна была бы растаять в несколько минут или секунд, так как теплота непрерыв но передается льду из воздуха. Последствия этоrо были бы ужасны; ведь и при существующем положении возникают большие наводнения и сильные потоки воды при таянии больших масс льда или CHera,). Для Toro чтобы расплавить кристаллическое тело Mac сой т, необходимо количество теплоты, равное: Qпл == лт. (13.8) Количество теплоты, выделяемое при кристаллизации тела, равно: QKP == лт. (13.9) Внутренняя энерrия тела меняется при наrревании и охлаждении, при парообразовании и конденсации, при плавлении и кристаллизации. Во всех случаях телу переда ется или от Hero отнимается некоторое количество теплоты. [1] 1. Что назыаютT количеством теллоты! 1. От чеrо зависит удельная теллоемкость вещества! 3. Что называют удельной теллотой ларообразования! 4. Что называют удельной теллотой ллавления! 5. В каких случаях количество теллоты положительная величина, а в каких случаях отрицательная!  78 ПЕРВЫЙ ЗАКОН ТЕРМОДИНАМИКИ Первый закон термодинамики  это закон сохранения энерrии, распространенный на тепловые явления. Он по казывает, от каких причин зависит изменение внутренней энерrии. Закон сохранения энерrии. К середине XIX в. MHoro численные опыты доказали, что .механическая энерzия 116 
никоzда не пропадает бесследно. Падает, например, MO лот на кусок свинца, и свинец наrревается вполне опреде ленным образом. Силы трения тормозят тела, которые при этом разоrреваются. На основании множества подобных наблюдений и обоб щения опытных фактов был сформулирован закон coxpa нения энерzии: Знерzия в природе не возникает из ничеzо и не исчезает: количество энерzии неизменно, она толь ко переходит из одной формы в друzую. Закон сохранения энерrии управляет всеми явлениями природы и связывает их воедино. Он всеrда выполняется абсолютно точно, неизвестно ни одноrо случая. коrда бы этот великий закон не выполнялся. Этот закон был открыт в середине XIX в. немецким уче ным, врачом по образованию Р. Майером (18141878), анrлийским ученым Дж. Джоулем (18181889) и полу чил наиболее точную формулировку в трудах немецкоrо ученоrо r. rельмrольца (18211894). Первый закон термодинамики. Закон сохранения и превращения энерrии, распространенный на тепловые яв ления, носит название пepBozo закона термодинамики. В термодинамике рассматриваются тела, положение центра тяжести которых практически не меняется. Mexa ническая энерrия таких тел остается постоянной, изме няться может лишь внутренняя энерrия каждоrо тела. До сих пор мы рассматривали процессы, в которых внутренняя энерrия системы изменялась либо за счет co вершения работы, либо за счет теплообмена с окружающи ми телами. В общем случае при переходе системы из одноrо COCTO яния в друrое внутренняя энерrия изменяется OДHOBpeMeH но как за счет совершения работы, так и за счет передачи теплоты. Первый закон термодинамики формулирует ся именно для таких общих случаев: Изменение внутренней энерzии системы при ne реходе ее из одноzо состояния в друzое равно сумме работы внешних сил и количества теплоты, nepe данноzо системе: I дИ == А + Q . J (13.10) Если система является изолированной, то работа внеш них сил равна нулю (А == О) и система не обменивается теплотой с окружающими телами (Q == О). В этом случае cor ласно первому закону термодинамики дИ == и 2  И \ == О, или И\ == И 2 . Внутренняя энерzия u.золированной cиcтe мы остается неизменной (сохраняется). 117 
Часто вместо работы А внешних тел над системой pac сматривают работу А' системы над внешними телами. Учи тывая, что А' == A, первый закон термодинамики (13.10) можно записать так: Количество теплоты, переданное системе, идет на изме нение ее внутренней энерrии и на совершение системой работы над внешними телами. Не возможность создания вечноrо двиrателя. Из первоrо закона термодинамики вытекает невозможность создания вечноrо двиrателя  устройства, способноrо совершать He оrраниченное количество работы без затрат топлива или какихлибо друrих материалов. Если к системе не посту пает тепло (Q == О), то работа А' соrласно уравнению (13.11) может быть совершена только за счет убыли внутренней энерrии: А' == дИ. После Toro как запас энерrии Ol<ажется исчерпанным, двиrатель перестанет работать. Работа и количество теплоты  характеристики про цесса изменения внутренней знерrии. В данном состоянии система всеrда обладает определен ной внутренней энерrией. Но нельзя rоворить, что в системе содержится определенное количество теплоты или работы. Как работа, так и количество ТЕ>ПЛОТЫ являются Be личинами, характеризующими Uj менение внутренней энерzuu систе мы в результате Toro или иноrо про цесса. Внутренняя энерrия системы MO жет измениться одинаково как за счет совершения системой работы, так и за счет передачи окружающим телам какоrолибо количества теп лоты. Например, наrретый rаз в ци линдре может уменьшить свою энер rию остывая, без совершения работы (рис. 13.6). Но он может потерять точно такое же количество энерrии, перемещая поршень, без отдачи теп лоты окружающим телам. Для этоrо стенки цилиндра и поршень должны быть теплонепроницаемыми (рис. 13.7). В дальнейшем на протяжении Bcero курса физики мы будем знако миться с друrими формами энерrии, способами их превращения и пере дачи.    о о о  о о о  ,/ /111 ..........   \ \\ Передаваемое тепло Рис. 13.6 .. ,..., .....L............... Теплоизолирующая оболочка Рис. 13.7 218 Q == дИ + А'. (13.11)  
Внутренняя энерrия системы тел изменяется при COBep шении работы и при передаче количества теплоты. В каж дом состоянии система обладает определенной внутренней энерrией. Работа и количество теплоты не содержатся в теле, а характеризуют процесс изменения ero BHYTpeH ней энерrии. [1] t. Как формулируеТСА первый закон термодинамики! 1. В каком случае изменение внутренней знерrии отрицательно! 3. Почему можно rоворить, что система обладает внутренней знерrией, но неЛЬ3А сказать, что она обладает запасом опре деленноrо количества теплоты или работы!  79 ПРИМЕНЕНИЕ ПЕРвоrо ЗАКОНА ТЕРМОДИНАМИКИ К РАЗЛИЧНЫМ ПРОЦЕССАМ с помощью первоrо закона термодинамики можно дe лать важные заключения о характере протекающих про цессов. Рассмотрим различные процессы, при которых одна из физических величин остается неизменной (изопро цессы), например случай, коrда система представляет co бой идеальный rаз. Изохорный процесс. При изохорном процессе объем rаза не меняется, и поэтому работа rаза равна нулю. Изме нение внутренней энерrии rаза соrласно уравнению (13.11) равно количеству переданной ему теплоты: дИ == Q. (13.12) Если rаз наrревается, то Q > О иди> О, ero внутренняя энерrия увеличивается. При охлаждении rаза Q < О и ди == И 2  И 1 < О, изменение внутренней энерrии отрица тельно и внутренняя энерrия rаза уменьшается. Изотермический процесс. При изотермическом процес се (Т == const) внутренняя энерrия идеальноrо rаза (см. формулу (13.1» не меняется. Соrласно формуле (13.11) все переданное rазу количество теплоты идет на совершение работы: Q == А'. (13.13) Если rаз получает тепло (Q > О), то он совершает поло жительную работу (А' > О). Если, напротив, rаз отдает тепло окружающей среде (термостату), то Q < О и А' < О. Работа же внешних сил над rазом в последнем случае по ложительна. Изобарный процесс. При изобарном процессе соrласно формуле (13.11) передаваемое rазу количество теплоты 1t9 
идет на изменение ero внутренней энерrии и на соверше ние им работы при постоянном давлении: Q == дU + А' == дU + рд v. Адиабатный процесс. Рассмотрим теперь процесс, про текающий в системе, которая не обменивается теплом с окружающими телами. Процесс в теплоизолированной системе называют адиабатным. При адиабатном процессе Q == О и соrласно уравнению (13.10) изменение внутренней энерrии происходит только за счет совершения работы: ДU == А. (13.14) Конечно, нельзя окружить систему оболочкой, абсо лютно не допускающей теплопередачу. Но в ряде случаев можно считать реальные процессы очень близкими к адиа батным. Для этоrо они должны протекать достаточно быстро, так, чтобы за время процесса не произошло за MeTHoro теплообмена между системой и окружающими Te лами. Соrласно уравнению (13.14) при совершении над систе мой положительной работы, например при сжатии rаза, ero внутренняя энерrия увеличивается, что означает повы шение температуры rаза. И наоборот, при расширении rаза сам rаз совершает положительную работу (А' > О) и ero внутренняя энерrия уменьшается  rаз охлаждается. Наrревание воздуха при быстром сжатии нашло приме нение в двиrателях Дизеля. В этих двиrателях отсутствует система зажиrания rорючей смеси, необходимая для обыч ных карбюраторных двиrателей BHYTpeHHero сrорания. В цилиндр засасывается не rорючая Форсунка смесь, а атмосферный воздух. К KOH цу такта сжатия в цилиндр с помо щью специальной форсунки впрыс кивается жидкое топливо (рис. 13.8). К этому моменту температура воздуха так велика, что rорючее воспламеня ется. Двиrатели Дизеля имеют боль ший коэффициент полезноrо дейст вия, чем обычные, но более массивны и сложны в изrотовлении и эксплуа тации. Все большее количество aBTO мобилей снабжается двиrателями Ди зеля, блаrодаря дешевизне дизельноrо топлива. При работе мощных компрессоров,  сжимающих воздух, температура воз духа настолько увеличивается, что Рис. 13.8 приходится прибеrать к специальной 120 
системе охлаждения цилиндров. Адиабатное охлаждение rазов при их расширении используется в машинах для сжижения rазов. Охлаждение rаза при адиабатном расширении происходит в rрандиозных масштабах в атмосфере Земли. Наrретый воздух поднимается вверх и расширяется, так как aTMO сферное давление падает с увеличением высоты. Это расши рение сопровождается значительным охлаждением. В резу льтате водяные пары конденсируются и образуют облака. Теплообмен в изолированной системе. Рассмотрим теп лообмен внутри системы, состоящей из нескольких тел, имеющих первоначально различные температуры, напри мер теплообмен между водой в сосуде и опущенным в воду rорячим железным шариком. Будем считать, что система достаточно изолирована от окружающих тел и ее BHYTpeH няя энерrия не изменяется (изолированная система). Ни какой работы внутри этой системы не совершается. Тоrда соrласно первому закону термодинамики (см. уравнение (13.10» изменение энерrии любоrо тела системы равно KO личеству теплоты, отданной или полученной этим телом до наступления тепловоrо равновесия внутри системы: ди; = Qj. Складывая подобные выражения для всех тел си стемы и учитывая, что суммарная внутренняя энерrия не меняется (ди) + ди 2 + tJ.U з + ... = О), получим следующее уравнение: Q, + Q2 + Qз + ... = О. (13.15) Это уравнение носит название уравнения тепловоrо ба ланса. Здесь Q), Ql' Qз  количества теплоты, получен ные или отданные телами. Эти количества теплоты Bыpa жаются формулой (13.5) или формулами (13.6)(13.9), если в процессе теплообмена происходят превращения Be щества из жидкоrо состояния в rазообразное или твердое (или же, напротив, образуется жидкость). Внутренняя энерrия идеальноrо rаза не изменяется только при изотермическом процессе. При изохорном она изменяется за счет теплопередачи, а при изобарном про цессе внутренняя энерrия rаза изменяется как за счет теп  лопередачи, так и за счет совершения работы. В теплоизо лированной системе происходит адиабатный процесс. Изменение энерrии системы в этом процессе равно работе внешних сил. [1] 1. В каком случае работа rаза больwе: при изотермическом расwирении от объема V t до объема V 1 или при изобарном расwирении от объема V t до объема V 1 ! 1. Как следует записать уравнение тепловоrо баланса для изоли рованнон системы из трех тел. переходящен в равновесное состояние! 111 
 80 НЕОБР А ТИМОСТЬ ПРОЦJo:ССОВ В ПРИРОДЕ 3акон сохранения энерrии утверждает, что количество энерrии при любых ее превращениях остается неизмен ным. Между тем мноrие процессы, вполне допустимые с точки зрения закона сохранения энерrии, никоrда не протекают в действительности. Примеры необратимых процессов. HarpeTbIe тела по степенно остывают, передавая свою энерrию более холод ным окружающим телам. Обратный процесс передачи теп лоты от холодноrо тела к rорячему не противоречит закону сохранения энерrии, если количество теплоты, OT данное холодным телом, равно количеству теплоты, полу ченному rорячим, но такой процесс самопроизвольно ни коrда не происходит. Друrой пример. Колебания маятника, выведенноrо из положения равновесия, затухают (рис. 13.9; 1, 2, 3, 4  последовательные положения маятника при максималь ных отклонениях от положения равновесия). 3а счет рабо ты сил трения механическая энерrия маятника убывает, а температура маятника и окружающеrо воздуха (а зна чит, и их внутренняя энерrия) слеrка повышается. Энерrе тически допустим и обратный процесс, коrда амплитуда колебаний маятника увеличивается за счет охлаждения caMoro маятника и окружающей среды. Но такой процесс никоrда не наблюдается. Механическая энерrия самопро извольно переходит во внутреннюю, но не наоборот. При этом энерrия упорядоченноrо движения тела как целоrо превращается в энерrию неупорядоченноrо тепловоrо дви  жения слаrающих ero молекул. Общее заключение о необратимости процессов в при роде. Переход тепла от rорячеrо тела к холодному и Me ханической энерrии во внутреннюю  это при меры наибо лее типичных необратимых процессов. Число подобных примеров можно увеличивать практически неоrраниченно. Все они rоворят о том, что процессы в природе имеют определенную направленность, ни как не отраженную в первом законе термодинамики. Все маКрОСКОllиче ские процессы в природе протека ют только в одном определенном направлении. В обратном направле нии они самопроизвольно протекать не MorYT. Все процессы в природе необратимы, и самые траrические из них  старение и смерть opra низмов. Точная формулировка понятия необратимоrо IIроцесса. Для пра 4 Рис. t3.9 111 
вильноrо понимания существа необратимости процессов необходимо сделать следующее уточнение: необратимыми называются такие процессы, которые MorYT самопроиз вольно протекать лишь в одном определенном направле нии; в обратном направлении они MorYT протекать только при внешнем воздействии. Так. можно вновь увеличить размах колебаний маятника, подтолкнув ero рукой. Но это увеличение возникает не само собой, а становится возмож ным в результате более сложноrо процесса, включающеrо движение руки. Математически необратимость механических процессов выражается в том, что уравнения движения макроскопи ческих тел изменяются с изменением знака времени. Они, как rоворят в таких случаях, не инвариантны при преоб разовании t  t . Ускорение не меняет знака при замене t  t. Силы, зависящие от расстояний, также не изменя ют знака. Знак при замене t на t меняется у скорости. Именно поэтому при совершении работы силами трения, зависящими от скорости, кинетическая энерrия тела необ ратимо переходит во внутреннюю. Кино (,наоборот.>. Яркой иллюстрацией необратимости явлений в природе служит просмотр кинофильма в обрат ном направлении. Например, прыжок в воду будет при этом выrлядеть следующим образом. Спокойная вода в бассейне начинает бурлить, появляются ноrи, стремитель но движущиеся вверх, а затем и весь ныряльщик. Поверх ность воды быстро успокаивается. Постепенно скорость ныряльщика уменьшается, и вот уже он спокойно стоит на вышке. То, что мы видим на экране, моrло бы происхо дить В действительности, если бы процессы можно было обратить. Нелепость происходящеrо на экране проистекает из Toro, что мы привыкли к определенной направленности процессов и не сомневаемся в не возможности их обратноrо течения. А ведь такой процесс, как вознесение ныряльщи ка на вышку из воды, не противоречит ни закону coxpaHe ния энерrии, ни законам механики, ни вообще какимли бо законам, кроме Bmopozo закона термодинамики. Второй закон термодинамики. Второй закон термоди намики указывает направление возможных энерrетиче ских превращений, т. е. направление процессов, и тем ca мым выражает необратимость процессов в природе. Этот закон был установлен путем непосредственноrо обобщения опытных фактов. Есть несколько формулировок BToporo закона, которые, несмотря на внешнее различие. выражают. в сущности. одно и то же и поэтому равноценны. Немецкий ученый Р. Клаузиус (18221888) сфор мулировал этот закон так: невозможно перевести тen 123 
ло от более холод пой системы к более zорячей при отсутствии друzих одnовремеnnых измеnеnий в обеих системах или в окружающих телах. Здесь констатируется опытный факт определенной Ha правленности теплопередачи: тепло само собой переходит всеrда от rорячих тел к холодным. Правда, в холодильных установках осуществляется теплопередача от холодноrо тела к более теплому, но эта передача связана с друrими изменениями в окружающих телах: охлаждение достиrа ется за счет работы. Важность этоrо закона в том, что из Hero можно BЫ вести заключение о необратимости не только процесс а теп лопередачи, но и друrих процессов в природе. Если бы тепло в какихлибо случаях моrло самопроизвольно пере даваться от холодных тел к rорячим, то это позволило бы сделать обратимыми и друrие процессы. Все процессы самопроизвольно протекают в одном определенном направлении. Они необратимы. Тепло Bce rда переходит от rорячеrо тела к холодному, а механиче ская энерrия макроскопических тел  во внутреннюю. Направление процессов в природе указывается вторым законом термодинамики. [1] 1. Какие процессы называются необратимыми! Назовите наибо лее типичные необратимые процессы. 1. Как формулируется второй закон термодинамики! 3. Если бы реки потекли вспять, означало бы это, что нарушается закон сохранения энерrии!  81 СТАТИСТИЧЕСКОЕ ИСТОЛКОВАНИЕ НЕОБРАТИМОСТИ ПРОЦЕССОВ В ПРИРОДЕ Второй закон термодинамики констатирует факт необ ратимости процессов в природе, но не дает ему никакоrо объяснения. Это объяснение может быть получено на OCHO ве молекулярнокинетической теории. Противоречие между обратимостью микропроцессон и необратимостью макропроцессов. Необратимость MaKpo процессов выrлядит парадоксально, потому что все микро процессы обратимы во времени. Уравнения движения OT дельных микрочастиц, как классические, так и квантовые, обратимы во времени, ибо никаких сил трения, зависящих от скорости, не содержат. Сила трения  это макроскопи ческий эффект от взаимодействия большоrо тела с orpoM ным количеством молекул окружающей среды, и появле ние этой силы само нуждается в объяснении. Силы, посред ством которых взаимодействуют микрочастицы (в первую 114 
очередь это электромаrнитные силы), во времени обрати мы. Уравнения Максвелла, описывающие электромаrнит ные взаимодействия, не меняются при замене времени t на t. Если взять простейшую модель rаза  совокупность упруrих шариков, то rаз в целом будет обнаруживать определенную направленность поведения. Например, буду чи сжат в половине сосуда, он начнет расширяться и зай мет весь сосуд. Снова он не сожмется. Уравнения же дви жения каждой молекулышарика обратимы во времени, так как содержат только силы, зависящие от расстояний и проявляющиеся при столкновении молекул. Таким образом, задача состоит не только в объяснении происхождения необратимости, но и в соrласовании фак та обратимости микропроцессов с фактом необратимости макропроцессов. 3аслуrа в нахождении принципиально правильноrо подхода к решению этой проблемы принадлежит Больцма ну. Правда, некоторые аспекты проблемы необратимости до сих пор не получили исчерпывающеrо решения. Житейский пример необратимости. Приведем простой житейский пример, имеющий прямое отношение к реше нию проблемы необратимости Больцманом. Допустим, с понедельника вы решили начать новую жизнь. Непременным условием этоrо обычно является идеальный или близкий к идеальному порядок на пись менном столе. Бы расставляете все предметы и книrи на cTporo определенные места, и у вас на столе царит состоя ние, которое с полным правом можно назвать состоянием « порядок» . Что про изойдет с течением времени, хорошо известно. Бы забываете ставить предметы и книrи на cTporo опреде ленные места, и на столе воцаряется состояние хаоса. He трудно понять, с чем это связано. Состоянию «порядок» отвечает только одно определенное расположение пред метов, а состоянию «хаос.)  несравнимо большее число. И как только предметы начинают занимать произвольные положения, не контролируемые вашей волей, на столе само собой возникает более вероятное состояние хаоса, pe ализуемое rораздо большим числом вариантов распределе ния предметов на столе. Б принципе именно такие соображения были высказа ны Больцманом для объяснения необратимости макропро цессов. Микроскопическое и макроскопическое состояния. Прежде Bcero нужно различать макроскопическое и мик роскопическое состояния системы. Макроскопическое состояние характеризуется HeMHO rим числом термодинамических параметров (давлением, ХФI'Jик.1 ЮК,1 115 
объемом, температурой и др.). Именно макроскопические величины, характеризующие состояние системы в целом, имеют практическое значение. Мшсроскопическое состояние характеризуется в общем случае заданием координат и скоростей (или импульсов) всех частиц, составляющих систему (макроскопическое тело). Это несравненно более детальная характеристика системы, знание которой совсем не требуется для описа ния процессов с макроскопическими телами. Более Toro, знание микросостояния системы фактически недостижимо изза orpoMHoro числа частиц, слаrающих ее. В приведенном выше житейском примере с предметами на столе можно ввести понятие микро и макросостояний. Jl.lикросостоянию отвечает KaKoeTO одно определенное расположение предметов, а макросостоянию  оценка си туации в целом: либо «порядок», либо «хаос». Вполне оче видно, что определенное макросостояние может быть pe ализовано OlpOMHblM числом ра.зличных микросостоянии. Так, переход одной молекулы из данной точки пространст ва в друrую точку или изменение ее скорости в результате столкновения изменяет микросостояние системы, но, KO нечно, не меняет термодинамических параметров и, следо вательно, макросостояния системы. Теперь введем rипотезу, не столь очевидную, как преk шествующие утверждения: все микроскопические состоя ния изолированнои системы равновероятны; ни одно из них не выделено, не .занимает преимуществеННОlО поло жения. Это предположение фактически эквивалентно rи потезе о хаотичном характере тепловоrо движения моле кул. Вероятность состояния. С течением времени микросос тояния непрерывно сменяют друr друrа. Время пребыва ния системы в определенном макроскопическом состоянии пропорционально, очевидно, числу микросостояний Zp KO торые реализуют данное состояние. Если через Z обозна чить полное число микросостояний системы, то вероят ность состояния W можно определить так: W == Zl Z. Вероятность макроскопическоrо состояния равна OTHO шению числа микросостояний, реализующих MaKpOCOCTO яние, к полному числу возможных микросостояний. Переход системы к наиболее вероятному состоянию. Чем больше Zl' тем больше вероятность данноrо MaKpoco стояния и тем большее время система будет находиться в этом состоянии. Таким образом, эволюция системы пpo исходит в направлении перехода от маловероятных CO стоянии к состояниям более вероятным. Именно с этим 116 
связана необратимость течения макроскопических процес сов, несмотря на обратимость законов, управляющих дви жением отдельных частиц. Обратный процесс не является невозможным, он просто маловероятен. Так как все мик росостояния равновероятны, то в принципе может возник нуть макросостояние, реализуемое малым числом микро состояний, но это чрезвычайно редкое событие. Мы не должны удивляться, если никоrда не увидим их. Наиболее вероятно состояние тепловоrо равновесия. Ему отвечает наибольшее число микросостояний. Леrко понять, почему механическая энерrия самопро извольно переходит во внутреннюю. Механическое движе ние системы (или тела)  это упорядоченное движение, коrда все части системы перемещаются определенным об разом. Упорядоченному движению отвечает небольшое число микросостояний по сравнению с беспорядочным теп ловым движением. Поэтому маловероятное состояние упо рядоченноrо механическоrо движения само собой превра щается в беспорядочное тепловое движение, реализуемое rораздо большим числом микросостояний. Менее Har ляден процесс перехода теплоты от rорячеrо тела к холодному. Но и здесь сущность необратимости та же. В начале теплообмена есть две rруппы молекул: MO лекулы с более высокой средней кинетической энерrией у rорячеrо тела и молекулы с низкой средней кинетиче ской энерrией у холодноrо. При установлении тепловоrо равновесия в конце процесса все молекулы окажутся при надлежащими к одной rруппе молекул с одной и той же средней кинетической энерrией. Более упорядоченное co стояние с разделением молекул на две rруппы перестает существовать. Итак, необратимость процессов связана с тем, что He равновесные макроскопические состояния маловероятны. Эти состояния либо возникают естественным путем в pe зультате эволюции Вселенной, либо создаются искусствен но человеком. Например, мы получаем сильно HepaBHOBec ные состояния, наrревая рабочее тело тепловоrо двиrателя до температур, на сотни rрадусов превышающих темпера туру окружающей среды. Расширение rаза из четырех молекул. Рассмотрим про стой пример, позволяющий вычислить вероятности различ ных состояний и наrлядно показывающий, как увеличение числа частиц в системе при водит к тому, что процессы CTa новятся необратимыми, несмотря на обратимость ypaBHe ний движения микрочастиц. Пусть в сосуде имеется rаз, состоящий Bcero лишь из четырех молекул. Вначале все молекулы находятся в ле вой половине сосуда, отделенной переrородкой от правой половины (рис. 13.10, а). Уберем переrородку, и rаз нач 111 
нет расширяться, занимая весь сосуд. Посмотрим, какова вероятность TOI'O, что I'аз опять сожмется, т. е. молекулы снова соберутся в одной половине сосуда. В нашем примере макросостояние будет характеризо ваться указанием числа молекул в одной половине сосуда безотносительно к тому, какие именно молекулы здесь Ha ходятся. Микросостояния задаются распределением моле кул по половинам сосуда с указанием TOI'O, какие именно молекулы занимают данную половину сосуда. Пронумеру ем молекулы цифрами 1, 2, 3, 4. Возможны 16 различных микросостояний, все они изображены на рисунке 13.10, aд. Вероятность TOI'O, что все молекулы соберутся в левой половине сосуда, равна: Zl 1 W 1 = Z = 16 ' так как данному макросостоянию соответствует одно мик росостояние из ПОЛНОI'О их числа 16 (см. рис. 13.10, а, 6). Вероятность же TOI'O, что молекулы распределятся по ровну, будет в 6 раз больше: 6 3 W 2 = 16 = 8' так как данному макросостоянию соответствует 6 микро состояний из ПОЛНОI'О их числа 16 (см. рис. 13.10, д). Вероятность TOI'O, что в одной половине сосуда, напри мер левой, будет три молекулы, а в ДРУI'ой соответственно одна молекула, равна (см. рис. 13.10, в, z): 4 1 W з = 16 = 4. Большую часть времени молекулы будут распределены в половинках сосуда поровну: это наиболее вероятное co I @I@ I Ф @ I@@IФ I I@IФ@I IФ I @I @ @ @@  I@ IФ@I IФ I@ I IФ@I I I IФФ[ @ф @ @ @ @ @@ @@ IФ@I @ I I@I@I I@@IФ@I @ IФI@ I IФ I@@@I 1@@iФ@1 2 3 I@@IФ@I 3 2 Рис. 13. to 8) б) В) r) д) 118 
стояние. Но примерно 2/16 интервала времени наблюдения молекулы будут занимать одну из половинок сосуда. Ta ким образом, процесс расширения rаза в данном примере обратим и rаз снова сжимается через сравнительно неболь шой промежуток времени. Необратимость расширения r8З8 с большим числом молекул. Описанная выше обратимость возможна лишь при небольшом числе молекул. Если же число молекул становится orpoMHbIM, то результат существенно иной. Подсчитаем вероятность Toro, что молекулы вновь собе рутся в одной половинке сосуда после расширения, если число молекул произвольно велико. Молекулы идеальноrо rаза движутся практически неза висимо друr от друrа. Для одной молекулы вероятность Toro, что она окажется в левой половине сосуда, равна, 1 Т  очевидно, "2' акова же вероятность и для друrои молеку лы. Эти события независимы, и вероятность Toro, что пер вая и вторая молекулы окажутся в левой половине сосуда,  б 11 11 равна произведению вероятностеи со ытии: "2 . "2 == "4 == 22. Для трех молекул вероятность их нахождения в левой по 1 1 лови не сосуда равна 23' а для четырех "24. Именно Ta кое значение вероятности мы и получили при детальном рассмотрении распределения молекул по сосуду. Но если взять реальное число молекул rаза в 1 см 3 при нормальных условиях (п == 3 . 1019), то вероятность Toro, что молекулы соберутся в одной половине сосуда объемом 1 см 3 , будет совершенно ничтожна: 1 23.1019 . Таким образом, только изза большоrо числа молекул в макросистемах процессы в природе оказываются практи чески необратимыми. В принципе обратные процессы воз можны, но вероятность их близка к нулю. Не противоре чит, cTporo rоворя, законам природы процесс, в результате KOToporo при случайном движении молекул все они собе рутся в одной половине класса, а учащиеся в друrой поло вине класса задохнутся. Но реально это событие никоrда не происходило в прошлом и не произойдет в будущем. Слишком мала вероятность подобноrо события, чтобы оно коrдалибо случилось за все время существования Вселен ной в современном ее состоянии  около нескольких мил лиардов лет. По приблизительным оценкам, эта вероятность при мерно TaKoro же порядка, как и вероятность Toro, что 20000 обезьян, хаотично ударяя по клавишам пишущих 119 
машинок, напечатают без единой ошибки «Войну и мир» Л. Н. Толстоrо. В принципе это возможно, но реально ни коrда не произойдет. Стрела времени. Во всех процесс ах существует выделен  ное направление, в котором процессы идут сами собой от более упорядоченноrо состояния к менее упорядоченному. Чем больше порядок в системе, тем сложнее восстановить ero из беспорядка. Несравненно проще разбить стекло, чем изrотовить новое и вставить ero в раму. rораздо проще убить живое существо, чем возвратить ero к жизни, если это вообще возможно. «Боr сотворил маленькую букашку. Если ты ее раздавишь, она умрет»  такой эпиrраф поста вил американский биохимик Сент Дьерди к своей книrе « Биоэнерrетика» . Выделенное направление времени  стрела времени,  воспринимаемое нами, очевидно, связано с направленно стью процессов в мире. rраницы применимости BToporo закона термодинами ки. Вероятность обратных процессов переход а от paBHOBec ных состояний к неравновесным для макроскопических систем в целом очень мала. Но для малых объемов, coдep жащих небольшое число молекул, вероятность отклонения от равновесия становится заметной. Такие случайные OT клонения системы от равновесия называются флуктуаци ями. Именно флуктуациями плотности rаза в областях по рядка длины световой волны объясняются рассеяние света в атмосфере Земли и rолубой цвет неба. Флуктуации дaB ления в малых объемах объясняют броуновское движение. Наблюдение флуктуации служит важнейшим доказа тельством правильности созданной Больцманом статисти ческой теории необратимости макропроцессов. Второй за КОН термодинамики выполняется только для систем с OZPOMHblM числом частиц. В малых объемах становятся существенными отклонения от этоrо закона. Необратимость процессов в природе связана со стремле нием систем к переходу в наиболее вероятное состояние, которому отвечает максимальный беспорядок.  82 ПРИНЦИП ДЕЙСТВИЯ ТЕПЛОВЫХ ДВИr А ТЕЛЕЙ. КОЭФФИЦИЕНТ ПОЛЕзноrо ДЕЙСТВИЯ (КПД) ТЕПЛОВЫХ двиrАТЕЛЕЙ Запасы внутренней энерrии в земной коре и океанах можно считать практически неоrраниченными. Но для pe шения практических задач располаrать запасами энерrии еще недостаточно. Необходимо еще уметь за счет энерrии 130 
приводить В движение станки на фабриках и заводах, средства транспорта, тракторы и друrие машины, вращать роторы reHepaTopoB элеКТРlfческоrо тока и т. д. Человече ству нужны двиrатели  устройства, способные COBep шать работу. Большая часть двиrателей на Земле  это тепловые двиzатели. Тепловые двиrатели  это устрой ства, превращающие внутреннюю энерrию топлива в Mexa ническую. Принципы действия тепловых двиrателей. Для Toro чтобы двиrатель совершал работу, необходима разность давлений по обе стороны Поршня двиrателя или лопастей турбины. Во всех тепловых двиrателях эта разность давле ний достиrается за счет поВышения температуры рабочеrо тела (rаза) на сотни или тысячи rрадусов по сравнению с температурой окружающей среды. Такое повышение TeM пературы происходит при Сrорании топлива. Одна из основных частей двиrателя  сосуд, наполнен ный rазом, с подвижным поршнем. Рабочим телом у всех тепловых двиrателей является rаз, который совершает pa боту при расширении. Обозначим начальную температуру рабочеrо тела (rаза) через Т}" Эту температуру в паровых турбинах или машинах ПРlfобретает пар в паровом котле. В двиrателях BHYTpeHHero сrорания и rазовых турбинах повышение температуры происходит при сrорании топли  ва внутри caMoro двиrателя. Температуру Т] называют температурой наzревателя. Роль холодильника. По мере совершения работы rаз теряет энерrию и неизбежно охлаждается до некоторой температуры т 2' которая обычно несколько выше темпе ратуры окружающей среды. Ее называют температурой холодильника. ХОЛОДИЛЬНIfКОМ является атмосфера или специальные устройства для охлаждения и конденсации отработанноrо пара  конденсаторы. В последнем случае температура холодильника может быть HeMHoro ниже TeM пературы атмосферы. Таким образом, в двиrателе рабочее тело при расшире нии не может отдать всю свою внутреннюю энерrию на co вершение работы. Часть теплоты неизбежно передается холодильнику (атмосфере) вместе с отработанным паром или выхлопными rазами Двиrателей BHYTpeHHero cropa ния и rазовых турбин. Эта часть внутренней энерrии теря ется. Тепловой двиrатель совершает работу за счет BHYTpeH ней энерrии рабочеrо тела. Причем в этом процессе проис ходит передача теплоты от более rорячих тел (HarpeBaTe ля) к более холодным (холодильнику). Принципиальная схема тепловоrо двиrателя изображе на на рисунке 13.11. 131 
Рабочее тело двиrателя получает от наrревателя при сrорании топлива количество теплоты Q\, совершает pa боту А' и передает холодильнику количество теплоты Q2 <Q\. Коэффициент полезноrо действия (КПД) тепловоrо дниrателя. Невозможность полноrо превращения BHYTpeH ней энерrии rаза в работу тепловых двиrателей обусловле на необратимостью процессов в природе. Если бы тепло моrло самопроизвольно возвращаться от холодильника к наrревателю, то внутренняя энерrия моrла бы быть пол ностью превращена в полезную работу с помощью любоrо тепловоrо двиrателя. Q Q2  ... ooJ А' у Наrреватель (температура T 1 ) Ql Р б Работа А а очее тело двиrателя Q2 Холодильник (температура Т 2 ) Рнс. 13.11 131 t A  
Соrласно закону сохранения энерrии работа, совершае мая двиrателем, равна: А' == Q\  I Q21, (13.17) rде Ql  количество теплоты, полученное от наrревателя, а Q2  количество теплоты, отданное холодильнику. Коэффициентом полезноrо дейстния (КПД) тепловоrо двиrателя называют отношение работы А', совершаемой двиrателем, к количеству теплоты, полученной от HarpeBa теля: 11 == А' == Ql  IQ21 == 1  IQ21 I Ql I Ql Ql . (13.18) Так как у всех двиrателей некоторое количество тепло ты передается холодильнику, то 11 < 1. КПД тепловоrо двиrателя пропорционален разности температур наrревателя и холодильника. При Тl  Т 2 == О двиrатель не может работать. Максимальное значение КПД тепловых двиrателей. Законы термодинамики позволяют вычислить максималь но возможный КПД тепловоrо двиrателя, работающеrо с наrревателем, имеющим температуру Т\, и холодильни ком С температурой Т 2. Впервые это сделал французский инженер и ученый С а Д и К а р н о (1 796 1832) в труде «Размышления о движущей силе оrня и о машинах, спо собных развивать эту силу,) (1824). Карно придумал идеальную тепловую машину с идеаль ным rазом в качестве рабочеrо тела. Идеальная тепловая машина Карно работает по циклу, состоящему из двух изо терм и двух адиабат. Сначала сосуд с rазом при водят в KOH такт с наrревателем, rаз изотермически расширяется, co вершая положительную работу, при температуре Т l' при этом он получает количество теплоты Q\. Затем сосуд теплоизолируют, rаз продолжает расши ряться уже адиабатно, при этом ero температура понижа ется до температуры холодильника Т 2 . После этоrо rаз приводят в контакт с холодильником, при изотермическом сжатии он отдает холодильнику количество теплоты Q2' сжимаясь до объема V 4 < V\. Затем сосуд снова термоизо лируют, rаз сжимается адиабатно до объема V 1 и возвра щается в первоначальное состояние. Карно получил дЛЯ КПД этой машины следующее BЫ ражение:  TlT2 1 Т 2 11 ших  т  т . \ I (13.19) Как и следовало ожидать, КПД машины Карно прямо пропорционален разности абсолютных температур Harpe вателя и холодильника. 133 
rлавное значение этой формулы состоит в том, что лю бая реальная тепловая машина, работающая с Hazpe вателем, имеющим температуру Т 1 , и холодильником с температурой Т 2 , не может иметь КПД, превышаю щий КПД идеальной тепловой машины. Ql  IQ21  Т 1  Т 2 Q "" т . 1 1 Формула (13.19) дает теоретический предел для макси мальноrо значения КПД тепловых двиrателей. Она пока зывает, что тепловой двиrатель тем эффективнее, чем выше температура наrревателя и ниже температура холо дильника. Лишь при температуре холодильника, равной абсолютному нулю, 11 == 1. Но температура холодильника практически не может быть ниже температуры окружающеrо воздуха. Повышать температуру наrревателя можно. Однако любой материал (твердое тело) обладает оrраниченной теплостойкостью, или жаропрочностью. При наrревании он постепенно YTpa чивает свои упруrие свойства, а при достаточно высокой температуре плавится. Сейчас основные усилия инженеров направлены на по вышение КПД двиrателей за счет уменьшения трения их частей, потерь топлива вследствие ero неполноrо сrорания и т. д. Реальные возможности для повышения :КПД здесь все еще остаются большими. Так, для паровой турбины Ha чальные и конечные температуры пара примерно таковы: Т 1 == 800 К и Т 2 == 300 К. При этих температурах макси мальное значение коэффициента полезноrо действия равно: Т 1  Т 2  О 62 620/ 11mах == т " Т)mах == /0 . 1 Действительное же значение КПД изза различноrо рода энерrетических потерь приблизительно равно 40%. Максимальный КПД  около 44 %  имеют двиrатели Дизеля. Повышение :КПД тепловых двиrателей и приближение ero к максимально возможному  важнейшая техниче ская задача. Тепловые двиrатели совершают работу блаrодаря раз ности давлений rаза на поверхностях поршней или лопа стей турбины. Эта разность давлений создается с помощью разности температур. Максимально возможный :КПД про порционален этой разности температур и обратно пропор ционален абсолютной температуре наrревателя. Тепловой двиrатель не может работать без холодильни ка, роль KOToporo обычно иrрает атмосфера. 134 
L1J 1. Квкое устройство нвэ",ввют теПЛОВ"IМ двиrilтелем! 1. Квковв роль нвrреввтеля. ХОЛОДИЛЬНИКiI и рв60чеrо телв в теп- ловом двиrilтеле! 3. Что НilЭЫВilется коэффициентом полеэноrо действия двиrвтеля! 4. Чему РilВНО МilКСИМilльное ЭНilчение коэффициеНТiI полеэноrо действия тепловоrо двиrвтеля! ш ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ Для решения задач нужно уметь вычислять работу, пользуясь формулой (13.4), и количество теплоты по фор мулам (13.5)  (13.9). Надо еще иметь в виду, что величи ны А, Q, !:::.U MorYT быть как положительными, так и отри цательными. В большей части задач используются не общая форма первоrо закона термодинамики, а ero различные частные формулировки, применимые к определенным процессам. Задачи на теплообмен в изолированной системе решаются с помощью уравнения тепловоrо баланса (13.15). При решении задач надо четко выделять начальное и конечное состояние системы, а также характеризующие ее параметры. 1. Аэростат объемом V == 500 м 3 наполнен rелием под давле- нием р == 105 Па. В результате солнечноrо HarpeBa температура rаза в аэростате поднялась от t 1 == 10 'с дО t 2 == 25 ОС. Насколько увеличилась внутренняя энерrия rаза? Реш е н и е. rелий является одноатомным rазом, поэто му ero внутренняя энерrия определяется формулой (13.1). 3т При температуре Т] эта энерrия равна U 1 == 2М RTl' а при 3т температуре Т 2 равна U 2 == 2М RT 2 . Изменение энерrии равно: 3mR !:::.U == U 2  И] == 2М (Т 2  Т]). Масса rелия неизвестна, но ее можно выразить с помо щью уравнения Менделеева  Клапейрона через началь mR pV ную температуру, давление и объем rаза: М == Т. Под ] mR ставляя значение М в уравнение для изменения энерrии, получаем 3 ( Т2 ) !:::.U == 2' pV Т]  1 :::::; 4 . 106 Дж. 135 
2. В цилиндре под тяжелым поршнем находится уrлекислый rаз (М == 0,044 кr/моль) массой т == 0,20 Kr. rаз наrревается на дТ == 88 К. Какую работу он при этом совершает? Реш е н и е. rаз расширяется при некотором постоян ном давлении р, которое создается атмосферой и поршнем. В этом случае работа rаза равна А' == р (V 2  V), rде V) и V 2  начальный и конечный объемы rаза. Используя уравнение Менделеева  Клапейрона, выразим произведе т т ния pV 2 и pV) через М RT 2 и М RT). Тоrда А' == :- R (Т 2  Т):::::: 3,3 Дж. 3. Во время расширения rаза, вызванноrо ero наrреванием, в цилиндре с площадью поперечноrо сечения S == 200 см 2 rазу было передано количество теплоты Q == 1,5 . 105 Дж, причем дaB лени е rаза оставалось постоянным и равным р == 2. 107 Па. Ha сколько изменилась внутренняя энерrия rаза, если поршень пе редвинулся на расстояние t::..h == 30 см? Реш е н и е. Соrласно первому закону термодинамики в форме (13.11) Q == ДU + А', rде А' == ptJ.V == pStJ.h  работа, совершенная rазом. Отсюда ДU == Q  pStJ.h == 30 кДж.  УПРАЖНЕНИЕ 15 1. Как изменится внутренняя энерrия одноатомноrо идеаль Horo rаза, если ero давление увеличится в 3 раза, а объем YMeHЬ шится в 2 раза? 2. Термодинамической системе передано количество теплоты 200 Дж. Как изменилась внутренняя энерrия системы, если при этом она совершила работу 400 Дж? 3. Стержень отбойноrо молотка приводится в движение сжа тым воздухом. Масса воздуха в цилиндре за время хода поршня меняется от 0,1 до 0,5 r. Считая давление воздуха в цилиндре и температуру (27 ОС) постоянными, определите работу rаза за один ход поршня. Молярная масса воздуха М == 0,029 кr/моль. 4. На одинаковые rазовые rорелки поставили два одинако вых плотно закупоренных сосуда вместимостью по 1 л. В одном сосуде находится вода, а в друrом  воздух. Какой сосуд быст рее наrревается до 50 ОС? Почему? 5. Предложен следующий проект вечноrо двиrателя (рис 13.12). Закрытый сосуд разделен на две половинки rерметичной пере- 136 
rородкой, сквозь которую пропущены трубка и водяная турбина в кожухе с двумя отверстиями. Давление воздуха в нижней части больше, чем в верхней. Вода поднимается по трубке и наполня ет открытую камеру. В нижней части очередная порция воды выливается из камеры турбины, подошедшей к OTBep стию кожуха. Почему данная машина не будет работать вечно? 6. Положительна или отрицательна работа rаза в процесс ах 1 2, 23 и 31 на рисунке 10.5? Получает rаз тепло или отдает в каждом из этих про Рис. 13.11 цессов? 7. Какое количество теплоты необходимо для изохорноrо Ha rревания rелия массой 4 Kr на 100 К? 8. Вычислите увеличение внутренней энерrии водорода массой 2 Kr при изобарном ero наrревании на 10 К. (Удельная теплоем- кость водорода при постоянном давлении равна 14 кДжj(кr . К).) 9. в цилиндре компрессора сжимают идеальный одноатом- ный rаз, количество вещества KOToporo 4 моль. Определите, на- сколько поднялась температура rаза за один ход поршня, если при этом была совершена работа 500 Дж. Процесс считайте адиа батным. 10. В калориметре находится вода массой 0,4 Kr при темпе ратуре 10 ОС. В воду положили лед массой 0,6 Kr при температу ре 40 "С. Какая температура установится в калориметре, если ero теплоемкость ничтожно мала? 11. Какой должна быть температура наrревателя, для Toro чтобы стало возможным достижение значения КПД тепловой Ma шины 80%, если температура холодильника 27 ОС? 12. В процессе работы тепловой машины за некоторое время рабочим телом было получено от наrревателя количество тепло ты Q. == 1,5 . 106 Дж, передано холодильнику Q2 == 1,2 . 106 Дж. Вычислите КПД машины и сравните ero с максимально возмож ным КПД, если температуры наrревателя и холодильника COOT ветственно равны 250 ос и 30 ОС. rлава 13. КРАТКИЕ итоrи Макроскопические тела обладают внутренней энерrией, которая равна сумме кинетических энерrий беспорядочно ro движения и потенциальных энерrий взаимодействия друr с друrом всех молекул тела. Внутренняя энерrия яв ляется однозначной функцией термодинамических пара метров: температуры и объема. 2)7 
в случае идеальноrо одноатомноrо rаза внутренняя энерrия зависит только от температуры: 3т И == 2М RT. Cor ласно первому закону термодинамики изменение внутренней энерrии системы при переходе из одноrо COCTO яния в друrое равно сумме работы внешних сил и количе ства теплоты, переданноrо при этом системе: дИ == А + Q. Работа, совершаемая над системой, в термодинами ке равна: А == рдV, rде р  давление, а дV  измене ние объема. Сама система при этом совершает работу А' == A == рдV. При наrревании и охлаждении количест во теплоты равно Q == стдТ, rде с  удельная теплоем кость вещества, а дТ  изменение температуры. Кроме Toro, теплота поrлощается при парообразовании и плав лении, выделяется при конденсации и кристаллизации (формулы (13.6)  (13.9». Работа и количество теплоты  характеристики про цессов, при которых меняется внутренняя энерrия сис темы. При изохорном процессе (V == const) работа равна нулю и дИ == Q. При изотермическом процессе (Т == const) внутренняя энерrия идеальноrо rаза не меняется и Q == А'. При изобарном процессе (р == const) передаваемое систе ме количество теплоты идет на изменение внутренней энерrии системы и совершение работы: Q == дИ + А'. При адиабатном процесс е (в теплоизолированной сис теме) Q == О, дИ == А. При обмене теплом в изолированной системе без совершения работы выполняется уравнение тепловоrо баланса: Ql + Q2 + Qз + ... == О, rде Ql' Q2' Qз  количества теплоты, полученные или OT данные телами. Процессы, протекающие в природе с макроскопически ми телами, необратимы. Типичные необратимые процессы таковы: тепло самопроизвольно переходит от rорячеrо тела к холодному, но не наоборот; механическая энерrия самопроизвольно переходит во внутреннюю. Путем обобщения опытных фактов, касающихся необ ратимости процессов, был сформулирован второй закон термодинамики. 138 
Из законов термодинамики вытекает. что тепловые дви rатели MorYT совершать работу только в результате переда чи тепла от наrревателя к холодильнику. Максимально возможное значение коэффициента полезноrо действия тепловоrо двиrателя равно: . TlT2 о llmnx  т .1007'0, 1 rде Tl  температура наrревателя; Т 2  температура xo лодильника. Повышение :КПД тепловых двиrателей, приближение ero к максимально возможному  важнейшая техниче ская задача. 
 ОСНОВЫ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ  83 ЧТО ТАКОЕ ЭЛЕКТРОДИНАМИКА Приступим К изучению HOBoro раздела физики  «Электродинамика». Речь пойдет о процессах, которые определяются движением и взаимодействием электриче ски заряженных частиц. Такое взаимодействие называет ся электромаrнитным. Изучение природы этоrо взаимодействия приведет нас к одному из самых фундаментальных понятий физики  злекmромаznиmnому полю. Электродинамика  это наука о свойствах и зако номерностях поведения особоrо вида материи  элек тромаrнитноrо поля, осущеСТВЛЯlOщеrо нзаимодействие между электрически заряженными телами или части цами. Среди четырех типов взаимодействий, открытых Hay кой,  rравитационных, электромаrнитных, сильных (ядер ных) и слабых 1  именно электромаrнитные взаимодейст вия занимают первое место по широте и разнообразию проявлений. В повседневной жизни и технике мы чаще Bcero встречаемся с различными видами электромаrнитных сил. Это силы упруrости, трения, силы мышц. Электромаrнитные взаимодействия позволяют видеть книrу, которую вы читаете, так как свет  одна из форм электромаrнитноrо поля. Сама жизнь немыслима без этих сил. Живые существа и даже человек, как показали полеты космонавтов, способны длительное время находиться в co стоянии невесомости, коrда силы всемирноrо тяrотения не оказывают никакоrо влияния на жизнедеятельность opra низмов, а только обеспечивают их движение по опреде ленной орбите BOKpyr Земли. В состоянии невесомости, например, внутренние opraHbI человека не оказывают дaB ления друr на друrа, как это происходит, коrда он находит ся на Земле. Тем не менее, человек спокойно существует в этих условиях. Но если бы на мrновение прекратилось дей ствие электромаrнитных сил, то сразу исчезла бы и жизнь. При взаимодействии частиц в самых малых системах природы  в атомных ядрах  и при взаимодействии космических тел электромаrнитные силы иrрают важную 1 Слабые взаимодействия вызывают превращения элементарных частиц. 140 
роль. В то же время сильные и слабые взаимодействия определяют процессы только в очень малых 1 масштабах, а rравитационные  только в космических (по крайней мере одно из тел должно иметь космические размеры). Строение атомной оболочки, сцепление атомов в молекулы (химические силы) и образование макроскопических тел определяются электромаrнитными силами. Трудно, почти невозможно указать явления, которые не были бы связа ны с действием электромаrнитных сил. :к созданию электродинамики привела длинная цепь планомерных исследований и случайных открытий, начи ная с обнаружения способности янтаря, потертоrо о шерсть, притяrивать леrкие предметы и кончая rипотезой великоrо анrлийскоrо ученоrо Джеймса Клерка Максвелла о порождении маrнитноrо поля переменным электрическим полем. Лишь во второй половине XIX в., после создания электродинамики, началось широкое практическое исполь зование электромаrнитных явлений. Изобретение радио А. С. Поповым (18591906) и r. Маркони (1874 193 7)  одно из важнейших применений принципов новой теории. При развитии электродинамики впервые научные ис следования предшествовали техническим применениям. Если паровая машина была построена задолrо до созда ния теории тепловых процессов, то сконструировать элек тродвиrатель или радиоприемник оказалось возможным лишь после открытия и изучения законов электродина мики. Бесчисленные практические применения электромаr нитных явлений преобразовали жизнь людей на всем зем ном шаре. Современная цивилизация немыслима без элек трическоrо тока. Телевизоры, компьютеры, электроплиты и MHoroe дpy ['ое, что кажется для нас естественным и привычным, об разуют своеобразную среду обитания, об истоках которой мы не задумываемся. Нам кажется, что это существовало вечно. Однако это далеко не так и стоит задуматься, что любой прибор, которым мы пользуемся, работает на OCHO ве Toro или иноrо физическоrо закона. Наша задача состоит в изучении основных законов электромаrнитных взаимодействий, а также в знакомстве с основными способами получения электрической энерrии и использования ее на практике. 1 Расстояния, на которых обнаруживаются сильные взаимодейст- вия, имеют порядок 1012 см. Слабые взаимодействия проявляются на еще меньших расстояниях, не превышающих 10lfi см. 141 
rлава 14 ЭЛЕКТРОСТАТИКА Вначале рассмотрим наиболее простой слу чай, коrда электрически заряженные тела Haxo дятся в покое. Раздел электродинамики, посвя- щенный изучению покоящихся электрически заряженных тел, называют электростатикой.  84 ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ЗАРЯД И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ЧАСТИЦЫ Со словами электричество, электрический заряд, электрический ток вы встречались MHoro раз и успели к ним привыкнуть. Но попробуйте ответить на вопрос: «Что такое электрический заряд?  и вы убедитесь, что это не TaKTO просто. Дело в том, что понятие заряд  это основное, первичное понятие, которое не сводится на co временном уровне развития наших знаний к какимлибо более простым, элементарным понятиям. Попытаемся сначала выяснить, что понимают под утверждением: «Данное тело или частица имеет электри ческий заряд». Вы знаете, что все тела построены из мельчайших час тиц, которые неделимы на более простые и поэтому назы ваются элементарными. Все элементарные частицы имеют массу и блаrодаря этому притяrиваются друr к друrу co rласно закону всемирноrо тяrотения. С увеличением pac стояния между частицами сила тяrотения убывает обратно пропорционально квадрату этоrо расстояния. Большинство элементарных частиц, хотя и не все, кроме Toro, обладают способностью взаимодействовать друr с друrом с силой, KO торая также убывает обратно пропорционально квадрату расстояния, но эта сила в orpoMHoe число раз превосходит силу тяrотения. Так, в атоме водорода, изображенном cxe матически на рисунке 14.1, электрон притяrивается к ядру (протону) с силой, в 1039 раз превы шающей силу rравитационноrо при тяжения. Если частицы взаимодействуют друr с друrом с силами, которые убы вают с увеличением расстояния так же, как и силы всемирноrо тяrоте ния, но превышают силы тяrотения во MHoro раз, то rоворят, что эти ча стицы имеют электрический заряд. Сами частицы называются .3аряжен НЫМИ. Бывают частицы без электри Рис. 14.1 141 
ческоrо заряда, но не cyrцecTByeT электрическоrо заряда без частицы. Взаимодействия между заряженными частицами носят название электромаrнитных. Электрический заряд опре деляет интенсивность электромаrнитных взаимодействий, подобно тому как масса определяет интенсивность rрави тационных взаимодействий. Электрический заряд элементарной частицы  это не особый механизм в частице, который можно было бы снять с нее, разложить на составные части и снова co брать. Наличие электрическоrо заряда у электрона и дpy rих частиц означает лишь суrцествование определенных силовых взаимодействий между ними. Но мы, в суrцности, ничеrо не знаем о заряде, если не знаем законов этих взаи модействий. Знание законов взаимодействий должно BXO дить В наши представления о заряде. Эти законы непро сты, и изложить их в нескольких словах невозможно. Поэтому нельзя дать достаточно удовлетворительное KpaT кое определение понятию электрический заряд. Два знака электрических зарядов. Все тела обладают массой и поэтому притяrиваются друr к друrу. Заряжен ные же тела MorYT как притяrивать, так и отталкивать друr друrа. Этот важнейший факт, знакомый вам, означа ет, что в природе есть частицы с электрическими за рядами противоположных знаков; в случае зарядов oди наковых знаков частицы отталкиваются, а в случае разных  притЯ2иваются. Заряд элементарных частиц  протонов, входяrцих в состав всех атомных ядер, называют положительным, а заряд электронов  отрицательным. Между положи тельными и отрицательными зарядами внутренних раз личий нет. Если бы знаки зарядов частиц поменялись местами, то от этоrо характер электромаrнитных взаимо действий нисколько бы не изменился. Элементарный заряд. Кроме электронов и протонов, есть erцe несколько типов заряженных элементарных час тиц. Но только электроны и протоны MorYT неоrраниченно долrо cyrцecTBoBaTЬ в свободном состоянии. Остальные же заряженные частицы живут менее миллионных долей секунды. Они рождаются при столкновениях быстрых эле ментарных частиц и, просуrцествовав ничтожно малое время, распадаются, превраrцаясь в друrие частицы. С эти ми частицами вы познакомитесь в 11 классе. К частицам, не имеюrцим электрическоrо заряда, OT носится нейтрон. Ero масса лишь незначительно превы шает массу протона. Нейтроны вместе с протонами входят в состав aToMHoro ядра. Если элементарная частица имеет заряд, то ero значение cTporo определено. 143 
Существует минимальный заряд, называемый элемен тарным, которым обладают все заряженные элементарные частицы. Заряды элементарных частиц различаются лишь знаками. Отделить часть заряда. например у электрона, невозможно. [1] 1. Какие взаимодействия называют Jлектромаrнитными! }. Что такое Jлементарный заряд! 3. Назовите Jлементарные частиць" заряженные лоложительно и заряженные отрицательно. 85 ЗАРЯЖЕННЫЕ ТЕЛА. ЭЛЕКТРИЗАЦИЯ ТЕЛ Каким образом макроскопические тела приобретают электрический заряд? Об этом сейчас будет рассказано. Электромаrнитные силы в природе иrрают оrромную роль блаrодаря тому, что в состав всех тел входят электри чески заряженные частицы. Составные части атомов  ядра и электроны  обладают электрическим зарядом. Непосредственно действие электромаrнитных сил меж ду телами не обнаруживается, так как тела в обычном co стоянии электрически нейтральны. Нейтрален атом любо 1'0 вещества, так как число электронов в нем равно числу протонов в ядре. Положительно и отрицательно заряжен ные частицы связаны друr с друrом электрическими сила ми и образуют нейтральные системы. Макроскопическое тело заряжено электрически в том случае, если оно содержит избыточное количество элемен тарных частиц с какимлибо одним знаком заряда. Так, OT рицательный заряд тела обусловлен избытком числа элект ронов по сравнению с числом протонов, а положитель ный  недостатком электронов. Для Toro чтобы получить электрически заряженное макроскопическое тело, т. е. наэлектризовать ero, нужно отделить часть отрицательноrо заряда от связанноrо с ним положительноrо. Это можно сделать с помощью трения. Если провести расческой по сухим волосам, то небольшая часть самых подвижных заряженных частиц  электро нов перейдет с волос на расческу и зарядит ее отрицатель но, а волосы зарядятся положительно. Равенство зарядов при электризации. С помощью опы та можно доказать. что при электризации трением оба тела приобретают заряды, противоположные по знаку, но одинаковые по модулю. Возьмем электрометр, на стержне KOToporo укреплена металлическая сфера с отверстием, и две пластины на длинных рукоятках: одна из эбонита, а друrая из плекси 144 
(J) t) I I tijjiii(Jti tijjiii(Jti Рис. t4.1 а) б) rласа. При трении друr о друrа пластины электризуются. Внесем одну из пластин внутрь сферы, не касаясь ее CTe нок. Если пластина заряжена положительно, то часть электронов со стрелки и стержня электрометра притянет ся к пластине и соберется на внутренней поверхности сфе ры. Стрелка при этом зарядится положительно и оттолк нется от стержня (рис. 14.2, а). Если внести внутрь сферы друrую пластину, вынув предварительно первую, то электроны сферы и стержня будут отталкиваться от пластины и соберутся в избытке на стрелке. Это вызовет отклонение стрелки от стержня, при чем на тот же уrол, что и в первом опыте. Опустив обе пластины внутрь сферы, мы вообще не об наружим отклонения стрелки (рис. 14.2, б). Это доказыва ет, что заряды пластин равны по модулю и противополож ны по знаку. Электризация тел и ее проявления. Значительная элек тризация происходит при трении синтетических тканей. Снимая с себя нейлоновую рубашку в сухом воздухе, мож но слышать характерное потрескивание. Между заряжен ными участками трущихся поверхностей проскакивают маленькие искорки. С подобными явлениями приходится считаться на производстве. Так, нити пряжи на текстиль ных фабриках электризуются за счет трения, притяrива ются к веретенам и роликам и рвутся. Пряжа притяrивает пыль и заrрязняется. Приходится при менять специальные меры против электризации нитей. Электризация тел при тесном контакте испол