Текст
СРЕДНЕЕ (ПОЛНОЕ) ОБЩЕЕ ОБРАЗОВАНИЕ
Р.А. Гладкова, А.Л. Косоруков
СБОРНИК Р
ЗАДАЧ
И УПРАЖНЕНИЙ
ПО ФИЗИКЕ
ю
ГУМАНИТАРНЫЙ А
ИЗДАТЕЛЬСКИЙ/
ЦЕНТР/ -----_
^ВПАДОС
ПОДВИЖНАЯ КАРТА
ЗВЕЗДНОГО НЕБА
СЕНТЯБРЬ
среднее (полное) общее образование J)
Р.А.Гладкова, А.Л. Косоруков
Сборник
ЗАДАЧ
И УПРАЖНЕНИЙ
ПО ФИЗИКЕ
10-11
Учебное пособие
2-е издание,
исправленное и дополненное
Москва
кздатъльсюнИ/ \_
ЦЕНТР/
'"'х/владос
2007
УДК 53(076.1)
ББК 22.3я723
Г52
Гладкова Р.А.
Г52 Сборник задач и упражнений по физике: учеб, пособие /Гладко-
ва Р.А., Косорукое А.Л. — 2-е изд., испр. и доп. — М.: Гуманитар,
изд. центр ВЛАДОС, 2007. — 400 с.: ил. — (Среднее (полное) общее
образование).
ISBN 978-5-691-01468-0.
Агентство CIP РГБ.
Задачник составлен в соответствии с действующей учебной программой
с учетом современной физической терминологии и СИ. Каждая тема содержит
основной теоретический материал, ко всем задачам и вопросам даны ответы,
к наиболее трудным — решения. В приложениях приведены основные физи-
ческие и математические формулы.
Для средних специальных учебных заведений.
УДК 53(076.1)
ББК 22.3я723
ISBN 978-5-691-01468-0
© Гладкова Р.А., Косоруков А.Л., 2007
© ООО « Гуманитарный издательский центр ВЛАДОС •,
2007
© Оформление. ООО « Гуманитарный издательский центр
ВЛАДОС., 2007
Учебное издание
Гладкова Римма Александровна
Косоруков Александр Львович
СБОРНИК ЗАДАЧ И УПРАЖНЕНИЙ ПО ФИЗИКЕ
10—11 классы
Учебное пособие
2-е издание, исправленное и дополненное
Зав. редакцией С. В. Платонов
Редактор А. И. Юдина
Зав. художественной редакцией И. А. Пшеничников
Художник обложки М. Б. Патрушева
Компьютерная верстка А. И. Кудрявцев
Корректор Т. Я. Кокорева
Отпечатано с диапозитивов, изготовленных
ООО «Гуманитарный издательский центр ВЛАДОС».
Лицензия ИД № 03185 от 10.11.2000.
Санитарно-эпидемиологическое заключение № 77.99.24.953.Д.006900.08.06 от 08.08.2006.
Сдано в набор 14.04.07. Подписано в печать 14.06.07. Формат 60x90/16. Печать офсетная.
Бумага офсетная. Усл. печ. л. 25,00. Тираж 3 000 экз. Заказ № 2353.
Гуманитарный издательский центр ВЛАДОС.
119571, Москва, просп. Вернадского, 88,
Московский педагогический государственный университет.
Тел. 437-11-11,437-25-52, 437-99-98; тел./факс 735-66-25.
E-mail: vlados@dol.ru http://www.vladoe.ru
ООО «Полиграфист».
160001, Россия, г. Вологда, ул. Челюскинцев, 3.
ПРЕДИСЛОВИЕ
Сборник задач и вопросов по физике составлен в строгом со-
ответствии с программой, действующей в средних специаль-
ных учебных заведениях и в 10—11 классах средних школ.
В разделе «Механика» излагаются основные вопросы меха-
ники: кинематические уравнения движения материальной точ-
ки, законы Ньютона, законы сохранения энергии и импульса,
механическая работа и мощность.
Тема «Механические колебания и волны» выделена особо и
расположена перед электромагнитными колебаниями низкой и
высокой частоты. Такая последовательность позволяет опреде-
лить общие закономерности и выразить их однотипными мате-
матическими формулами, а также указать на многие различия,
например, возможность распространения электромагнитных ко-
лебаний в вакууме в отличие от механических колебаний.
Каждый параграф сборника включает краткое изложение
основных теоретических понятий, законов и формул и после-
дующий разбор типовых задач с анализом полученных резуль-
татов. В ряде случаев приводятся альтернативные приемы ре-
шения задачи, чтобы показать возможность поиска наиболее
рациональной формы ее решения. По всем разделам приведено
138 задач с решениями.
Тренировочные задачи для самостоятельного решения име-
ют среднюю сложность, что позволяет авторам рекомендовать
данное учебное пособие для использования в учебных заведени-
ях гуманитарного профиля.
Ответы даны как к вычислительным, так и к качественным
задачам, но к последним они краткие и требуют дополнитель-
ного осмысления. Тем самым достигается возможность активи-
зировать самостоятельную работу и оказать помощь при само-
подготовке к экзаменам.
В это пособие включены задачи по астрономии. При их ре-
шении в ряде случаев необходимо использовать подвижную
карту звездного неба и накладной круг, позволяющий приме-
нять карту в регионах с различной географической широтой.
Они приведены в начале и в конце книги на форзацах.
Авторы
3
ВВЕДЕНИЕ
Рекомендации по решению задач
Учебное пособие, предлагаемое читателю, ставит своей це-
лью способствовать лучшему пониманию закономерности яв-
лений природы, свойств материи и законов ее движения. Все
это возможно лишь при условии, если к решению задач присту-
пать после детального изучения конкретной темы. Сначала не-
обходимо прочитать по учебнику материал соответствующего
параграфа, не задерживаясь на деталях.
При повторном чтении надо обдумывать смысл каждой фра-
зы, а выводы формул, определение физических величин и еди-
ниц их измерения, а также формулировки законов записывать
в тетрадь, используя учебник. Материал можно считать усво-
енным, если при его повторении не возникает необходимость
заглянуть в книгу или в свои записи (конспект).
Хорошее усвоение теоретического материала невозможно без
решения задач. В процессе их решения лучше запоминаются за-
коны и формулы. Поэтому большое внимание необходимо уде-
лять именно им.
Приступая к решению задачи, надо внимательно прочесть
условие и, уяснив его смысл, записать в тетрадь.
Выписывая в столбик все величины, заданные в условии за-
дачи, выразить их в единицах СИ, например:
s = 1,5 мм2 = 1,5 • 10-6 м2;
т = 50 мг = 5,0 • 10-5 кг;
w = 1 кВт • ч = 1000 Вт • 3600 с = 3,6 • 106 Дж.
Такая запись сводит до минимума ошибки при вычислени-
ях, удобна при работе с калькулятором, а также помогает в
приобретении навыков по использованию дольных и кратных
приставок к единицам измерения.
Если для решения задачи потребуются общеизвестные физи-
ческие константы: ускорение свободно падающего тела, скорость
света в вакууме, электрическая или магнитная постоянные и раз-
личные табличные данные, их обязательно записывают, добав-
ляя к известным из условия задачи.
4
Для решения большинства задач необходим рисунок или
схематический чертеж, поясняющий суть физических явлений,
обозначенных условием. Так при контакте двух или более тел с
различной температурой, на графике легче объяснить тепловое
равновесие, составить уравнение теплового баланса, основыва-
ясь на законе сохранения энергии.
В дальнейшем решение задач на фазовые переходы с исполь-
зованием графиков не вызовет затруднений.
Особое место в физике занимают задачи с векторными вели-
чинами, к которым относятся перемещение, скорость, ускоре-
ние, сила и другие. Для их характеристики одинаково важно
знать как модуль, так и направление. Векторные величины
складываются всегда геометрически.
В тех случаях, когда одна или несколько физических вели-
чин являются векторами, используют координатный метод.
Определив точку отсчета, координатные оси располагают по
направлениям, удовлетворяющим условиям данной задачи.
Проекция вектора на координатную ось может быть и поло-
жительной, и отрицательной.
Составляя одно или несколько уравнений, решают задачу в
общем виде, т. е. выражают искомую величину через известные
условия. Проверка правильности решения проводится путем
действия над единицами; если полученная единица соответст-
вует искомой, можно определять ее численное значение. Ответ
записывать следует в виде а • 10", где а — число от 1 до 10, ап —
степень, определяемая положительным либо отрицательным
числом.
При изучении материала, содержащегося в седьмой главе,
необходимо с помощью ксерокса или кальки сделать копии
карты звездного неба и накладного круга к ней. Зная, что скло-
нение светила соответствует географической широте места на-
блюдения, можно определить в любой момент вид звездного
неба на различных широтах, найти на небосклоне интересую-
щую вас звезду или созвездие, определить будут ли они для
данной широты заходящими. Для этого необходимо вырезать
часть накладного круга по линии с надписью географической
широты места наблюдения или близкой к ней (например, для
Москвы широту можно считать равной 55°) и по наружной ли-
нии с обозначением момента времени наблюдения.
Справочные сведения по физике и математике см. в Прило-
жениях.
5
I. МЕХАНИКА1
§ 1. Кинематика
Основные понятия, законы, формулы
Кинематика — раздел механики, изучающий движение тел
вне зависимости от причин, вызывающих это движение.
Линия, по которой движется точка тела, называется траек-
торией. Длина этой линии называется пройденным путём.
Поступательным движением называется движение, при ко-
тором все точки тела движутся одинаково.
Можно сформулировать это по-другому — прямая линия,
соединяющая любые две точки тела, остается при движении
параллельной себе.
Материальная точка — идеализированное понятие, заменяющее
собой тело, если при движении можно пренебречь его размерами.
Поступательное движение твердого тела всегда можно представить,
как движение материальной точки, поскольку положение одной
точки определяет положение всего тела.
Равномерным движением называется движение, при кото-
ром материальная точка проходит любые равные расстояния за
равные промежутки времени.
В физике используются скалярные и векторные величины.
Скалярные определяются только числовым значением, для век-
торных надо знать еще и направление. Числовое значение векто-
ра называется модулем. Примером скалярных величин могут
быть пройденный путь S, время t, а векторных — скорость v , ус-
корение а, перемещение s. Перемещением называется вектор,
соединяющий начальную и конечную точки траектории.
Сложение векторов а и & можно произвести по правилу: а) тре-
угольника, б) параллелограмма (см. рис. a-I, II).
а) Вектор ^переносится параллельно самому себе так, чтобы
его начало совпало с концом вектора а. Векторе, проведенный
из начала а к концу b равен а + Ь.
б) Векторы а и b переносятся параллельно самим себе так,
чтобы начала их совместились. Вектор с = а+Ь будет равен диа-
гонали параллелограмма, построенного на векторах а и Ь.
1 О тригонометрических функциях см. Приложения, табл. 30.
6
Рис. а
Для того, чтобы понять, как вычесть один вектор из другого,
рассмотрим рис. а-I. Найдем разность векторов с - а. Для этого
надо совместить начала этих векторов, и из конца а к концу с
провести вектор Ъ — с - а.
Вектор с может быть разложен на любые два направления
Ох и Оу (см. рис. а-Ш). Для этого надо совместить начало векто-
ра с точкой О и из конца вектора провести линии, параллель-
ные Ох и Оу до пересечения с ними. Отрезки О А, О В будут соот-
ветствовать составляющим вектора с на направления Ох,Оу.
Для нахождения проекций вектора в прямоугольной системе
координат, надо из начала и конца вектора провести перпенди-
куляры к осям до их пересечения. Отрезки осей между точками
пересечения называются проекциями вектора на эти оси.
Чтобы написать уравнение движения материальной точки,
надо, во-первых, выбрать тело отсчета.
Часто этим телом является Земля, но может быть, напри-
мер, вагон поезда. Во-вторых, выбрать начало отсчета и связан-
ную с ним систему координат. Как правило выбирается прямо-
угольная система координат.
Равномерное прямолинейное движение — наиболее простая
форма движения, при котором перемещение s за время t опре-
деляется как
s-vt,
где v — скорость движения, v = const.
Направим ось Ох по движению тела. В проекции на ось Ох
уравнение движения имеет вид
х = х0 + vt; х — х0 = s.
Здесь х0 — координата тела в начальный момент; х — коор-
дината, определяемая положением тела в зависимости от вре-
мени t.
7
Скорость тела есть величина, определяющая изменение коор-
динаты со временем. Для неравномерного движения она не по-
стоянная величина. Поэтому вводится понятие средней скоро-
сти, численно равной отношению пройденного пути ко времени
движения. Можно дать другое определение средней скорости.
Скоростью неравномерного движения называется скорость тако-
го равномерного движения, при котором тело проходит тот же
путь за то же время, что и при неравномерном движении.
Ucp
s
—, где s— полное перемещение, t — время движения.
Средняя скорость для данного движения не постоянная ве-
личина, а зависит от промежутка времени, за который мы ее
определяем. Для точной характеристики движения вводится
понятие мгновенной скорости. Если мы будем определять сред-
нюю скорость за уменьшающиеся промежутки времени At —> О,
мы получим мгновенную скорость в данный момент времени t.
_ AS dS
vt = hm------ —
д«->о At dt
Мгновенная скорость есть производная от перемещения по
времени. На графике S(t) она численно равна тангенсу угла на-
клона касательной в момент времени t.
Если тело участвует в двух движениях (или более) со скоро-
стями Oj и v2, направленными под углом друг к другу, то резуль-
тирующие скорость и перемещение должны определяться как
векторные суммы:
V = V1 + V2 И 8 = Sj +s2.
Равнопеременным прямолинейным движением называют та-
кое движение, при котором за равные промежутки времени ско-
рость изменяется на равные значения. Изменение скорости за
единицу времени называется ускорением.
- Vt V0 _
а=—-—, или vt=vo+at (1)
где vo и vt —начальная и конечная скорость за промежуток
времени t. В общем случае равнопеременного движения, умень-
шая измеряемый промежуток времени, получим
Av dv
at = hm — ~ —.
д<-»о At dt
Ускорение есть производная от скорости по времени и чис-
ленно равна тангенсу угла наклона касательной в момент вре-
мени t на графике v(t). Движение будет равноускоренным или
8
равнозамедленным для уравне-
ния (1) в зависимости от направ-
ления вектора а.
Заметим, что при равнопере-
менном движении график v(t)
представляет собой прямую ли-
нию, например, как изображе-
но на рис. б.
Путь, пройденный за время tu
равен заштрихованной площади.
(vo+vt)
КУ — bl-
2
Поскольку S=vcpt , для сред-
ней скорости получаем
Рис. б
(2)
VcP = (V0 + Vt)/2 ‘
Для равномерного движения, состоящего из участков, про-
ходимых с разными скоростями в общем случае это не верно,
хотя в отдельных случаях может быть, но рассчитывать на это
не следует.
Уравнение (1) в проекции на ось координат, совпадающую с
направлением движения, будет иметь вид
vt ~ vo + at- (3)
Подставляя vt в (2), получим уравнение для пути при равно-
переменном движении:
at2
S = vot + ——. (4)
Л
В уравнениях (3), (4) при равноускоренном движении уско-
рение а > 0, при равнозамедленном а < 0.
Из уравнений (3) и (4) можно получить полезную формулу,
связывающую отрезок пути S и мгновенные скорости на кон-
цах отрезка и1 и v2:
v2-vl = 2aS.
Если на одном конце скорость равна нулю, уравнение
упрощается:
v2 = 2aS.
В случае свободного падения тел
vt = gt, H gt2/2, vt2=2gH.
9
Примеры решения задач
Пример 1. Самолет, имея скорость 360 км/ч, летел через
пунктА в пункт В и обратно в пункт С, расположенный на рав-
ном удалении от А и В (рис. 1). Время полета от В до С составило
30 мин. Принимая скорость ветра в направлении от А к В рав-
ной 72 км/ч, определите среднюю скорость самолета за все вре-
мя полета, путь за все время полета и перемещение.
Дано: v = 360 км/ч = 100 м/с, и = 72 км/ч = 20 м/с —
скорости самолета и ветра; t2 = 30 мин = 1800 с — время, затра-
ченное на перелет от В к С.
Найти: иср — скорость, s — путь за все время полета, Ах —
перемещение.
Решение. Скорость самолета относительно Земли на пути
от А до В определится как vr = v + и, а в обратном направлении
до пункта С — как v2 = v - и.
Время полета t{ в прямом направлении в сумме с временем t2
в обратном направлении дадут полное время t, потраченное на
I I
перелет от А до С через В: t = t, + t2, где t, =-и/2 =-,
v+u 2(v-u)
следовательно,
I ( I l(3v-u)
~ u + u + 2(u-n) “ 2(v2—u2)
Путь, пройденный самолетом за время t,
s = / + 0,5/= 1,5/,
а полное перемещение за то же время
Ах = I - 0,5/ = 0,5/.
Среднюю скорость переменного движения определим, поде-
лив путь s на время /:
= з 1,5/ 2(о2-и2) _ 3(о2 —и2)
ср /’ ср /(Зо-п) Зо-п
С учетом того, что I = 2t2(v - и), получим выражения для s и Ах:
s - 3/2(о - и) и Ах = t2(v - и).
А С В
-----0,5/--------------------0,5/--------►
Рис. 1
10
Подставляя числовые значения известных величин в форму-
лы для оср, s и Ах, получаем:
3(104 -400) м2/с2 ,
orn =---------------= 103 м/с;
ср (3-100-20)м/с
s = 3 • 1800 с (100 - 20) м/с 432 км;
Ах = 1800 с (100 - 20) м/с = 144 км.
Ответ. иср = 103м/с; s = 432 км; Ах = 144 км.
Пример 2. Два тела, находящиеся на высоте 20 м от поверх-
ности земли, брошены с интервалом 1 с вертикально вверх с на-
чальной скоростью 10 м/с. Сколько пройдет времени до момен-
та встречи этих тел? Через какое время после бросания первое
тело упадет на землю и с какой скоростью?
Д а н о: Н = 20 м — высота, с которой брошены тела; At = 1 с —
интервал времени; = v2 = v = 10 м/с — начальная скорость тел.
Н а й т и: it — время встречи тел; t2 — время, за которое пер-
вое тело упадет на землю; vt — скорость перед падением.
Решение. Условимся считать направление вертикально
вверх положительным, а точку бросания —- началом отсчета.
Тогда уравнения движения тел примут вид:
_£1.
2 ’
g(t, - At)2
2
Время, через которое тела встретятся, найдем из равенства:
= ^2'
ftj = ytj
h2 = v(tt - At) -
Stl А .4 М*1~Д02
oti - — = v(t! - At)----------;
Ci Ci
_2t>+gAi _ 20 м/с+9,8 м/с2 lc
11 — « t1 _ ~ 1,5 Ci c.
1 2g 1 19,6 м/с2
Для определения времени падения первого тела на землю
подставим в уравнение движения координату Земли в выбран-
ной системе отсчета -Н.
-Н = vt2 - или t2 - —12 - —Н = 0;
2 2 2 g 2 g
10 м/с ±^/(100+2-93-20) м2/с2
^2 ~ о 2 ’ 3,28 с»
93 м/с2
11
Скорость тела при падении на землю найдем из формулы
vt = v - gt2; vt - 10 м/с - 9,8 • 3,28 (м/с2) • с = — 22,1 м/с.
Знак «-» указывает на то, что при падении направление ско-
рости не совпадает с направлением Ох.
Ответ. На одной высоте тела окажутся через 1,52 с; через
3,28 с после бросания, первое тело упадет на Землю; скорость
тела в момент падения равна -22 м/с.
Пример 3. Камень бросили с высоты 40 м со скоростью 20 м/с
под углом 30° к горизонту. Определите: максимальную высоту,
на которую поднимется камень, дальность полета и скорость
камня в момент приземления. Сколько времени продлится по-
лет? Примите g = 10 м/с2.
Д а н о: Л = 40 м — высота, с которой брошен камень; v0 =
= 20 м/с, а = 30° — начальная скорость камня и угол, составлен-
ный вектором скорости и линией горизонта; g = 10 м/с2.
Н а й т и: Н — максимальную высоту; s — дальность полета;
v — скорость в момент приземления камня; t — время его полета.
Решение. В данном примере камень движется по кривой
траектории — параболе. Для решения задачи представим по-
лет камня в виде двух движений: по горизонтали и вертикали.
Для этого воспользуемся системой прямоугольных координат
хОу, в которой точка О расположена на Земле под точкой бро-
сания (рис. 2). Найдем составляющие скорости (проекции) на
оси Ох и Оу: vOx = v0cosa и uOj/ = o0sina. Для определения макси-
мальной высоты подъема кам-
ня запишем формулы vy = vOy —
— gtlv. Н = h + vOytl - gtl/2 ,
здесь tj — время движения на
пути H-h. При совместном ре-
шении этих уравнений учтем,
что vy = 0; тогда
н2
Н = h + —;
2g
100
Н - 40 м Ч---м = 45 м.
20
Примечание. Этот резуль-
тат можно получить проще,
применив закон сохранения и
превращения энергии в меха-
нических процессах. В точке
12
О
, „ mvi
энергии mgh и кинетической---
2
, т. е. mgh +
бросания энергия камня определится суммой потенциальной
mv20y
2
2
mv20x
zni?o ттгЫо
-----. В верхней точке эта сумма будет mgH -I------.
2 2 2
В соответствии с законом общая энергия не меняется, поэтому
mgh + —-— = mgH, откуда
С.
Н = к + ^.
2g
Чтобы определить дальность полета, необходимо знать вре-
мя t, прошедшее от момента бросания до падения на землю.
Для этого запишем уравнение движения по вертикали с учетом
выбора начала координат: у = h + vOyt -gt2/2.
В момент падения камня на землю у = О, поэтому
gt2 - 2vOyt - 2й = 0.
Отсюда
^_vOy±^y+2gh
g
приемлемо положительное значение корня, равное 4 с.
Для нахождения дальности полета камня запишем уравне-
ние движения вдоль оси Ох:
х = s = VOxt или s = o0cosat;
s = 20 • 0,87 • 4 м/с • с = 69 м.
Конечная скорость есть векторная сумма ее составляющих
по осям Ох и Оу, причем vOx постоянна, a vy = nOj/ — gt. Найдем
скорость v падения камня на землю.
п2 = vgx +v2 = v%x +(vOy -gt)2 =ug +g(gt2 -2vOyt).
Заметим, что из уравнения для нахождения t (см. выше)
gt2 - 2uOj/f = 2h. Тогда скорость падения камня
v =
i------ I м2
v = vvo +2gh; v = ,1(400+800) — ~ 35 м/с.
V c
Примечание. Формулу для конечной скорости можно полу-
чить из закона сохранения энергии, приравнивая полную энер-
гию в начальный и конечный моменты движения.
13
Ответ. Максимальная высота подъема камня 45 м; камень
упадет на землю на расстоянии 69 м от нулевой точки; время
полета и скорость в момент падения соответственно 4 с и 35 м/с.
Равномерное движение
1.1. Угол наклона графика составляет 58° (рис. 1.1). Опреде-
лите модуль скорости и путь, пройденный телом за 5 с.
1.2. Два тела движутся равномерно и прямолинейно, как по-
казано на рис .1.2. Графики движения тел наклонены под угла-
ми ср! = 45° и ф2 = 58°. Определите для каждого тела скорость,
пройденное расстояние и время движения до момента встречи.
1.3. Моторная лодка, двигаясь вниз по течению реки, прохо-
дит расстояние между двумя пристанями за 2 ч, а при движе-
нии в обратном направлении за 4 ч. Сколько времени потребу-
ется лодке, чтобы преодолеть то же расстояние, двигаясь по
течению реки при заглохшем моторе?
1.4. Уравнение движения материальной точки описывается
законом х = 2(а - bt), где а и b — постоянные коэффициенты.
Чему равны скорость и перемещение за время t = tj?
1.5. Мотоциклист, велосипедист и находящийся между ними
пешеход движутся по прямой дороге. Расстояния от пешехода
до мотоциклиста и до велосипедиста соответственно равны хмп =
= 200 м и хпп = 100 м, а их скорости vH = —15 м/с, оп = 2 м/с, vB —
= 5 м/с. Напишите уравнения движения каждого из них в систе-
ме отсчета, связанной: а) с землей, б) с пешеходом. В обоих слу-
чаях начало отсчета совпадает с положением велосипедиста при
t = 0.
Рис. 1.2
Рис. 1.1
14
1.6. Движение материальной точки вдоль осей Ох и Оу опи-
сывается уравнениями х = 1 + 4£ иу = 3- 3t. Чему равна ско-
рость материальной точки? Постройте график траектории дви-
жения.
1.7. Два теплохода плывут со скоростью 20 км/ч по реке
вверх и вниз по течению. Скорость течения реки 5 км/ч. Како-
вы скорости каждого теплохода относительно: а) воды, б) бере-
га, в) друг друга?
1.8. По условию задачи 1.7 определите скорости теплоходов
относительно велосипедиста, едущего вдоль берега на прямо-
линейном участке в направлении течения реки со скоростью
15 км/ч.
1.9. Движение велосипедистов описывается уравнениями:
х, = 7t - 20 и х2 = 40 - 5t. Определите место и время их встречи.
Постройте графики.
1.10. Человек затрачивает 0,5 мин на подъем по движуще-
муся вверх эскалатору и 3 мин, двигаясь с той же скоростью,
если эскалатор движется вниз. За сколько времени эскалатор
поднимет неподвижно стоящего человека?
1.11. Автомобиль движется со скоростью 15 м/с в направле-
нии к пунктам А и В, расстояние между которыми 10 км. В мо-
мент прохождения автомобилем пункта А через пункт В прохо-
дит другой автомобиль, скорость которого 10 м/с, направленная
под прямым углом к АВ. Определите скорость второго автомоби-
ля относительно первого. Чему равно минимальное расстояние
между автомобилями?
Переменное движение.
Равнопеременное движение
1.12. Поезд прошел 10 км со скоростью 72 км/ч, а следующее
10 км со скоростью 108 км/ч. Какова средняя скорость движе-
ния поезда?
1.13. Автомобиль 1 мин двигался со скоростью 30 м/с, а сле-
дующую минуту — со скоростью 15 м/с. Определите среднюю
скорость движения автомобиля.
1.14. Катер, пересекая озеро, две трети времени шел со скоро-
стью 10 км/ч. С какой скоростью он должен пройти оставшуюся
часть пути, чтобы средняя скорость движения была 20 км/ч?
1.15. Санки движутся с горы, имея ускорение 0,5 м/с2 и на-
чальную скорость 1м/с. Найдите скорость санок через 18 с и
пройденное за это время расстояние.
1.16. Сцепка из двух тележек движется равномерно со скоро-
стью 8 м/с. Заднюю тележку отцепили. Двигаясь равнозамедленно,
15
a, м/с2
0,5---------
0 2 4 t,c
Рис. 1.3
она остановилась, пройдя расстояние 160м, а передняя тележка
продолжала движение с той же скоростью. Какой путь пройдет пе-
редняя тележка к моменту остановки задней? Определите среднюю
скорость и ускорение задней тележки.
1.17. Два автомобиля начинают торможение при одинако-
вой начальной скорости v. Время торможения первого автомо-
биля в 2 раза меньше второго. Как относятся их тормозные
пути sx: s2?
1.18. Шарик, скатываясь с наклонной плоскости, за 2 с пере-
местился на 20 см. За сколько времени шарик переместится
еще на 20 см?
1.19. Тело движется равноускоренно с начальной скоростью
v0. Определите, на сколько возрастет скорость за 3 с, если ли-
ния скорости на графике образует с осью времени угол 58°.
1.20. Поезд на участке длиной I разгоняется от скорости до
v2. Определите ускорение и время разгона поезда.
1.21. Лыжник, скатываюсь с горы без начальной скорости,
за третью секунду проехал 10 м. Какое расстояние проедет он
за пятую секунду? Сколько потребуется времени для спуска с
горы длиной 100 м? Какой будет скорость лыжника в конце
спуска?
1.22. На рис. 1.3 показана зависимость ускорения от време-
ни. Принимая х0 = 0 и v0 = 0, начертите графики скорости и ко-
ординаты в зависимости от времени. Определите среднюю ско-
рость движения на всем пути.
1.23. Какой длины должна быть посадочная полоса с дву-
кратным запасом, чтобы самолет при скорости 324 км/ч мог
приземлиться за 20 с?
Свободное падение тел. Сложное движение
1.24. Два шарика падают с высоты йх и h2 = 2ЛХ. Как относит-
ся время падения их на землю?
16
1.25. При свободном падении двух тел с начальной нулевой
скоростью, время их падения на землю связано соотношением
= 3t2. Какими будут отношения скоростей и пройденных
расстояний?
1.26. Человек, прыгая в воду с высоты 7 м, погрузился на
глубину 4,2 м. Определите ускорение и время погружения.
1.27. Свободно падающее тело за последнюю секунду про-
шло половину пути. Определите время падения на землю, вы-
соту падения и скорость приземления.
1.28. Определите глубину шахты, если известно, что камень,
брошенный над ней вертикально вверх с начальной скоростью
14 м/с, коснулся дна шахты, имея в два раза большую скорость.
1.29. Одно тело бросают с земли вертикально вверх с началь-
ной скоростью 25 м/с. Второе в тот же момент начинает свобод-
но падать с высоты 40 м. Через сколько времени и на какой вы-
соте они встретятся?
1.30. Два тела брошены вертикально вверх: одно со скоростью
15 м/с, другое — через 0,5 с после первого со скоростью 20 м/с.
Найдите время встречи и высоту, на которой она произойдет.
1.31. Из окна поезда, идущего прямолинейно, падает пред-
мет. Какова его траектория относительно поезда, если он дви-
жется: 1) равномерно, 2) равноускоренно, 3) равнозамедлен-
но? Какой будет траектория движения предмета относительно
Земли?
1.32. Самолет летит горизонтально на высоте 250 м со скоро-
стью 200 м/с. На каком расстоянии от пункта назначения необ-
ходимо сбросить груз, чтобы он попал в нужное место?
1.33. Склон горы составляет с горизонтом угол 60°. С этого
склона бросают горизонтально камень со скоростью 8 м/с. На
каком расстоянии от бросавшего вдоль склона горы упадет
камень?
1.34. Напишите уравнение траектории тела, брошенного под
углом а к горизонту со скоростью о0.
1.35. Тело брошено со скоростью и0 под а углом к горизонту. Вы-
ведите формулу для полной скорости в наивысшей точке полета.
1.36. При выстреле из орудия, ствол которого образует с го-
ризонтом угол 30°, снаряд попадает в цель, находящуюся на
расстояния 26 км. Какова начальная скорость снаряда и время
его полета? Примите ускорение свободного падения, равным
10 м/с2.
1.37. Тело брошено со скоростью 40 м/с под углом 45° к гори-
зонту. Через какое время и с какой скоростью упадет оно на
площадку, расположенную на высоте 15 м?
17
1.38. Спортсмен бросает молот, сообщая ему начальную ско-
рость и0. При каком угле бросания можно достичь максималь-
ной дальности полета молота?
1.39. Тело бросают со скоростью 30 м/с, направленной под
углом 45° к горизонту. Каковы дальность полета, значение и на-
правление скорости, с которой тело падает на землю?
§ 2. Динамика
Основные понятия, законы, формулы
Рассмотрим законы механики, сформулированные Ньютоном.
Первый закон (Галилея — Ньютона): всякое тело сохраня-
ет состояние покоя или равномерного прямолинейного дви-
жения, пока приложенные к телу силы не вызовут измене-
ние этого состояния.
Это означает, что тело будет покоиться или сохранять свою
скорость, если на него не действуют силы или, если векторная
сумма действующих на тело сил равна нулю. Это свойство тел
называется инерцией или инертностью, поэтому первый закон
иногда называют законом инерции. Системы координат, в ко-
торых выполняется закон инерции, называются инерциальны-
ми. Систему координат, связанную с Землей, считают инерци-
альной (если не требуется учитывать вращение Земли). Также
инерциальными будут все системы, движущиеся относительно
Земли с постоянными скоростями, параллельными Земле. В
инерциальных системах выполняются все законы механики.
Это является отражением того факта, что покой и движение от-
носительны. Вы можете сидеть или идти по проходу плавно ле-
тящего самолета так же, как вы это делали бы в своей квартире.
Что происходит, когда на тело действует сила, говорит вто-
рой закон Ньютона: произведение массы тела на его ускорение
равно действующей на тело силе. При этом направления уско-
рения и силы совпадают.
F = та.
Из этой формулы видно, что чем больше масса тела, тем
меньше получаемое им ускорение при действии одной и той
же силы. Поэтому можно сказать, что масса является мерой
инертности тела. В системе СИ масса измеряется в килограм-
мах (кг). Сила есть мера взаимодействия тел. Единица ее из-
мерения — Ньютон (Н).
Мы рекомендуем следующий порядок решения задач по
динамике.
18
1) Сделать рисунок, на котором будут изображены все участ-
вующие в задаче тела. Показать векторами силы, действующие
на эти тела. Будем считать, что для каждого тела все действую-
щие на него силы приложены в одной точке.
2) Для каждого тела выбрать направление взаимно перпен-
дикулярных осей координат. Для некоторых тел может быть
достаточно одной оси координат. Заметим, что правильный вы-
бор осей упрощает запись уравнений и облегчает решение зада-
чи. Как правило, одна ось координат должна совпадать с на-
правлением движения.
3) Записать уравнения второго закона Ньютона в векторной
форме для каждого тела:
Fi+F2+— = ma,
и спроецировать их на оси Ох и Оу :
У (Fi)x - max и У (Ft)y = may.
i i
Если по одной оси, например, Оу ускорение равно нулю, то
i
Решая совместно полученные уравнения, определяем иско-
мые величины.
Второй закон Ньютона можно записать иначе. Учитывая,
v2 -Pi Др
что а ------=—, получаем
t2 At
F =771 “ или F&t = m&v ~
где FAt — импульс силы; Д(тр) — импульс тела. Таким образом
приходим к иному выражению второго закона динамики —
к закону сохранения импульса: если на систему тел не действу-
ют внешние силы, то импульс системы сохраняется.
Примеры решения задач
Пример 4. Груз массой 2,5 кг, связанный невесомой и нерас-
тяжимой нитью с грузом массой 2 кг, начинает равноускоренно
двигаться по наклонной плоскости, угол наклона которой 45°,
с высоты 2 м (рис. 3). Считая коэффициент трения равным 0,2
для обоих поверхностей, определите ускорение, с которым бу-
дут двигаться грузы; силу натяжения нити и скорость груза т1
в конце спуска. Трение в блоке не учитывайте.
19
Д а н о: т1 = 2,5 кг и т2 = 2,0 кг — массы грузов; h = 2 м — вы-
сота, на которой находится груз до начала движения; а = 45° —
угол наклона, k = 0,2 — коэффициент трения. Из таблиц: g =
= 9,8 м/с2 — ускорение свободного падения.
Н а й т и: а — ускорение грузов; Т — силу натяжения нити;
v — скорость груза в конце спуска.
Решение. Система из двух грузов будет двигаться с оди-
наковым ускорением (нить нерастяжима и перемещения гру-
зов одинаковы). В соответствии с условием выполним рисунок
и обозначим силы, действующие на тела (рис. 3). Ось Ох для
обоих тел направим в сторону движения тел, а ось Оу — пер-
пендикулярно поверхности скольжения. Запишем уравнение
второго закона Ньютона в векторной форме.
Для первого тела
rr^g+Ni +FTpl +T = mia.
Тогда проекции сил:
на ось Ох
m^sina - FTpl - Т = ma; (1)
на ось Оу
- mucosa = 0, или Nx — mucosa.
Учитывая, что FTp = kN, получаем
FTpl = km^gcosa.
Повторим те же действия для второго тела:
f+ N2 + Гтр2 +m2g = m2a.
Проекции сил:
на ось Ох
Т ~ ~ тп2а; (2)
20
на ось Оу
N2 - m2g = 0, или N2 - m2g и FTp2 = km2g.
Определим силу натяжения, подставив в формулу (2) выра-
жение для FTp:
Т = m2a + km2g, или Т = m2(a + kg). (3)
Для нахождения ускорения решим совместно уравнения (1)
и(3):
mjgsina - fem^cosa - т2а - km2g = п^а.
Отсюда
ml (sin а - k cos a) - km^
о g.
77lj + 77^
h
Брусок по наклонной плоскости пройдет путь s =---------.
sin a
Скорость бруска т1 в конце спуска определится из выражения
v2 = 2aft/sina:
v = A/2a/i/sina.
Произведем вычисления:
2,5(0,707-0,2 - 0,707)-0,2 2 „ кг м о о , „
4,5 кг с
Т = 2(2,2 + 0,2 • 9,8) = 8,3 Н;
с2
v —
2-2,2-2 т2 _3 м
0,707 с
О т в е т: а ~ 2,2 м/с2; Т = 8,3 Н; v = 3,5 м/с.
Пример 5. Автомобиль массой 1,5 т трогается с места, двига-
ясь равноускоренно 200 м. Определите максимальную скорость,
если сила тяги двигателя 1,5 кН. Каким будет тормозной путь
при выключенном двигателе и сколько пройдет времени на про-
хождение этого пути? Примите ускорение свободного падения
g = 10 м/с2. Коэффициент трения равен 0,2.
Д а н о: ттг = 1,5 т — масса автомобиля; s = 200 м — расстояние,
на котором увеличивалась скорость; FT = 1,5 кН = 1,5 • 103 Н —
сила тяги двигателя; k — 0,2 — коэффициент трения дороги, g —
= 10 м/с2 — ускорение свободного падения.
Найти: vM — максимальную скорость при разгоне; sT —
тормозной путь; t — время торможения.
21
Реш е н и е. Для нахождения vK используем формулу vK =
= y/2as. Чтобы найти неизвестное ускорение а, представим урав-
нение второго закона Ньютона в векторной форме
FT =та,
а затем запишем его в проекциях на ось Ох, направленную в
сторону FT:
Гт = та.
Отсюда
а = FJm,
тогда
^M = V2FTs/m.
При неработающем двигателе, в процессе торможения уско-
рение а. = kg, следовательно, тормозной путь будет
8=^-
т 2kg
Время торможения можно найти из формул
kgt2
vM = kgt или sT - ———.
Произведем вычисления:
2 1,5 103Н-200м _ м
---’-----s-----= 20
1,5-103кг с
400 м2 /с2
s =------------— 100 м;
т 2 0,2 10 м/с2
20 м/с
t =---------- =10 с.
0,2 -10 м/с2
Ответ. Максимальная скорость, достигнутая при разгоне
20 м/с; путь, пройденный до остановки, 100 м; время торможе-
ния 10 с.
Пример 6. Тележка с песком массой 100 кг движется гори-
зонтально по рельсам без трения со скоростью 10 м/с. Навстре-
чу ей летит болванка, скорость которой 20 м/с, направленная
под углом 30° к горизонту. Масса болванки 20 кг. С какой ско-
ростью и в каком направлении будет двигаться тележка после
погружения болванки в песок?
Д а н о: т} = 100 кг, = 10 м/с — соответственно масса и ско-
рость тележки; v2 = 20 м/с, а = 30° — значение и направление
скорости болванки; т2 = 20 кг — масса болванки.
Н а й т и: и — скорость тележки после попадания в нее бол-
ванки.
22
Решение. Данная задача предполагает использование закона
сохранения импульса, который утверждает, что общий импульс
тел до их взаимодействия и после сохраняется неизменным.
Направим ось Ох горизонтально в сторону движения тележ-
ки. Начало координат не фиксируется, так как оно не потребу-
ется. Ось Оу будет направлена вертикально вверх.
Запишем в векторной форме импульс системы до взаимодей-
ствия:
znjUj = m2v2.
В проекции на ось Ox: mlvl - m2v2cosct., а на ось Оу: —m2t>2sina.
Сохраняется только горизонтальная составляющая импульса
системы, так как по горизонтали силы не действуют, а по верти-
кали действует сила реакции опоры дороги.
После взаимодействия болванка застрянет в песке и будет
двигаться вместе с тележкой. Импульс системы после взаимо-
действия в проекции на ось Ох имеет вид:
(/П] + т2)и.
По закону сохранения импульса
m1v1 - m2v2cosa = (т1 + т2)и.
Скорость системы после взаимодействия
_ cos a
nij +m2
100кг-10м/с-20кг-20м/с0Д66 t
и ------------------------------= 5,4 м/с.
100кг+20кг
Ответ. Тележка движется со скоростью 5,4 м/с в прежнем
направлении.
2.1. Автомобиль массой 3 т разгоняется за 5 с до скорости
25 м/с. Какова сила тяги, развиваемая двигателем автомоби-
ля? Начальная скорость автомобиля равна нулю.
2.2. Брусок скользит равномерно по наклонной плоскости с уг-
лом наклона 30°. Определите коэффициент трения скольжения.
2.3. Тело, двигавшееся со скоростью 5 м/с, под действием
силы трения остановилось, пройдя расстояние 5 м. Сколько вре-
мени прошло до остановки и чему равен коэффициент трения?
2.4. Автомобиль движется с постоянной скоростью 72 км/ч
по горизонтальной дороге с коэффициентом трения 0,2. На ка-
ком расстоянии от светофора водитель должен начать торможе-
ние (g = 10 м/с2)?
2.5. Санки толкнули в гору, сообщив им скорость 5 м/с. На ка-
кую высоту, с каким ускорением и за какое время поднимутся
23
санки, если склон горы с горизонтом образует угол 20"? Трение не
учитывайте.
2.6. Тело массой 10 кг поднимают на веревке равноускорен-
но вверх на 5 м за 2 с. Определите силу натяжения веревки.
2.7. Автомобиль на расстоянии 100 м увеличивает скорость
от 10 до 30 м/с при силе тяги двигателя 10 кН. Какова масса
автомобиля?
2.8. От поезда, идущего со скоростью 72 км/ч, отцепляется
вагон, который продолжает двигаться равнозамедленно с уско-
рением -0,4 м/с2. Масса вагона 60 т. Определите силу торможе-
ния, время движения до остановки и тормозной путь.
2.9. Определите силу давления человека на дно кабины при
подъеме лифта вверх: 1) равномерно; 2) равноускоренно с уско-
рением g/3; 3) равнозамедленно с тем же ускорением.
2.10. В лифте, движущемся вниз с ускорением 0,5 g, нахо-
дится человек массой т. Определите его вес в случае, когда ус-
корение направлено: 1)вниз; 2) вверх.
2.11. Два бумажных листа, один из которых смят в комок,
свободно падают с одной высоты. Какой из них и почему дос-
тигнет пола раньше?
2.12. Какие капли дождя — крупные или мелкие — падают
медленнее и почему?
2.13. Почему при встряхивании медицинского термометра
столбик ртути опускается?
2.14. Чтобы удалить пыль из одежды, ее резко встряхивают.
Почему?
2.15. Почему автомобиль с хорошей подвеской меньше ощу-
щает тряску на неровностях дороги?
2.16. Тело, на которое действует сила тяжести 500 Н, лежит на
наклонной плоскости длиной 1 м и высотой 50 см. Коэффициент
трения 0,81. Какую силу, параллельную наклонной плоскости,
надо приложить к телу, чтобы оно двигалось равномерно вниз?
2.17. С какой минимальной силой надо прижимать тело к на-
клонной плоскости с углом наклона 45°, чтобы оно покоилось?
Масса тела 1 кг, а коэффициент трения равен 0,1.
2.18. Какой должна быть минимальная сила, действующая
на тело в задаче 2.17, если ее направить горизонтально?
2.19. Тележка массой 1 кг под действием силы прошла из со-
стояния покоя некоторое расстояние. Когда на тележку поло-
жили груз, она то же расстояние прошла за в два раза большее
время. Какова масса груза?
2.20. Человек равномерно поднимается по склону гор. Како-
вы значение и направление силы реакции горы?
24
2.21. Каким будет ответ (см. задачу 2.20), если человек будет
двигаться вниз?
2.22. Мальчик, поднимаясь равномерно на гору с углом на-
клона 30°, тянет санки за веревку, образующую с перемещением
угол 45°, прилагая усилие 50 Н. Масса санок 6,5 кг. Определите,
коэффициент трения скольжения. Примите g = 10 м/с2.
2.23. Тело массой 50 кг движется с ускорением 1 м/с2 вверх
по плоскости с углом наклона 30°. Определите силу, параллель-
ную наклонной плоскости, вызывающую это движение, если
коэффициент трения скольжения равен 0,72.
2.24. Доска массой 10 кг лежит на двух опорах под углом 10°
к горизонту и может по ним двигаться без трения. С каким ус-
корением должен бежать вниз человек массой 50 кг, чтобы дос-
ка не двигалась?
2.25. Санки скатываются с горы длиной 50 м и углом наклона
20°. Какое расстояние проедут санки до остановки на горизон-
тальном участке пути, если коэффициенты трения скольжения
на склоне и на горизонтальной части пути соответственно равны
0,01 и 0,2? Чему равен полный путь и время движения санок?
2.26. Груз массой 1 кг висит на нерастяжимой нити, переки-
нутой через неподвижный блок. На свободный конец нити вер-
тикально вниз действует внешняя сила, сообщающая нити уско-
рение 4,9 м/с2. Каково натяжение нити, удерживающей блок?
Какими будут значение и направление силы натяжения этой
нити, если та же внешняя сила F будет действовать в горизон-
тальном направлении (рис. 2.1)?
2.27. Два груза тл — 2 кг и т2 = 1 кг связаны нерастяжимой ни-
тью, перекинутой через неподвижный блок (рис. 2.2). Определи-
те силу натяжения нити и коэффициент трения скольжения
Рис. 2.1
25
между грузом тх и столом, если известно, что грузы движутся с
ускорением 2 м/с2. Примите g = 10 м/с2.
2.28. Груз = 1 кг связан нитью, перекинутой через блок, с
грузами т2 = 2 кг и т3 = 3 кг (рис. 2.3). Коэффициент трения
при скольжении грузов по столу 0,08. Определите ускорение,
с которым движутся грузы, и силу натяжения нити между гру-
зами т2 и т3. Трением в блоке пренебрегите. Считайте, что
нити невесомы и нерастяжимы. Примите g = 10 м/с2.
2.29. Система грузов с массами m г = 400 г и т2 = 200 г, связан-
ных нитью, находится на призме с углами 30 и 60°, как показано
нь рис. 2.4. Коэффициент трения скольжения равен 0,1. Опреде-
лите ускорение при движении тел и силу натяжения нити.
2.30. На нерастяжимой и невесомой нити, перекинутой че-
рез блок, висят грузы массами пг1 = 100 г и т2 — 150 г (рис. 2.5).
Определите ускорение при движении грузов, силу натяжения
нити и реакцию опоры. Считайте блок невесомым, а ускорение
свободного падения равным 10 м/с2.
//////////
Рис. 2.5
26
2.31. Определите ускорение грузов массами иг, = 300 г и т2 =
= 400 г и силы натяжения нитей 7\ и Т2 в схеме, изображенной
на рис. 2.6. Подвижный блок считайте невесомым, нити нерас-
тяжимыми. Примите g = 10 м/с2.
2.32. Один мальчик может растягивать пружину динамо-
метра с силой 80 Н, а другой — с силой 90 Н. Что покажет этот
динамометр, если мальчики вдвоем будут тянуть его в противо-
положные стороны?
2.33. Две лодки одинаковой массы подтягиваются к берегу с
помощью веревок. В одной лодке конец веревки держит чело-
век, а в другой — конец привязан к носу лодки. Другие концы
держат двое, стоящие на берегу. Все одновременно начинают
тянуть веревки с одинаковой силой. Какая лодка приблизится
к берегу раньше?
2.34. Почему, спрыгивая с некоторой высоты, приземляют-
ся не на прямые ноги, а на полусогнутые?
2.35. При забивании гвоздя в легкую дверь с обратной ее сто-
роны прислоняют топор. Для чего?
2.36. Пуля массой 5 г вылетает из ружья со скоростью 500 м/с.
Длина ствола 50 см. Определите среднюю силу давления порохо-
вых газов.
2.37. Два шара массами 300 и 600 г летят по прямой в одном
направлении соответственно со скоростями 5,0 и 7,0 м/с. Опре-
делите скорость шаров после абсолютно неупругого удара.
2.38. Определите скорость шаров (см. задачу 2.37) после
абсолютно неупругого удара, если они летят навстречу друг
другу.
2.39. Шарик массой пг, движущийся со скоростью v, ударя-
ется о неподвижную стену: 1) перпендикулярно поверхности;
2) под углом 45° к ней. Считая удар шара абсолютно упругим,
найдите изменение его импульса.
2.40. Пушка стоит на платформе, которая может двигаться с
пренебрежимо малым трением. Масса пушки с платформой 1,0 т.
Масса снаряда 3,0 кг. При выстреле снаряд вылетает со скоро-
стью 1000 м/с под углом 30° к горизонту. Какой будет скорость
платформы после выстрела?
2.41. Лодка массой 120 кг и длиной 3,0 м стоит в воде носом к
берегу. Человек в лодке переходит с кормы на нос. На сколько
он приблизился к берегу, если его масса 60 кг?
2.42. Доска массой 2,0 кг лежит на роликах, по которым она
может двигаться без трения. Белка бежит по доске со скоро-
стью 5 м/с. С какой скоростью белка будет двигаться относи-
тельно земли, если ее масса 200 г?
27
2.43. Тело массой т, движущееся со скоростью V, абсолютно
упруго сталкивается с неподвижным телом, получившим при
этом импульс р, направленный под углом а к скорости нале-
тающего тела, как показано на рис. 2.7. Найдите импульс пер-
вого тела после удара и его направление.
Рис. 2.7
2.44. Легкий мяч летит горизонтально со скоростью V. Навстре-
чу ему движется массивный плоский щит со скоростью и. Какой
будет скорость мяча после упругого соударения со щитом?
2.45. Массивный плоский щит движется горизонтально со
скоростью и. Вслед за ним в том же направлении летит легкий
мяч со скоростью v > и. Чему равна скорость мяча относительно
земли после упругого соударения со щитом?
§ 3. Работа, мощность, энергия.
Закон сохранения и превращения энергии
Основные понятия, законы, формулы
Количество движения есть мера механического движения
тел. Однако, не во всех случаях закон сохранения импульса при-
годен для описания механического движения. Например, при аб-
солютно неупругом столкновении двух шаров, двигавшихся с
одинаковой скоростью навстречу друг другу, происходит исчез-
новение механического движения, хотя закон сохранения им-
пульса выполняется. Шары остановились, деформировались и
нагрелись.
Другой мерой механического движения, пригодной во всех
случаях, является энергия. При всех превращениях материи
основным законом является закон сохранения энергии.
Работа — мера действия силы на тело, если нет силы — нет
работы, если нет перемещения — нет работы. Кран поднимает
груз, при этом его мотор превращает электрическую энергию в
механическую и совершает работу по подъему груза. Но, если
груз висит на тросе крана, работа не совершается, хотя трос
действует на груз с силой, равной его весу.
28
Работа равна произведению силы на перемещение, если сила
действует вдоль прямой, по которой происходит перемещение.
Если их направления совпадают, работа считается положи-
тельной — энергия переходит от «двигателя» к телу. Если на-
правления силы и перемещения противоположны — работа от-
рицательна, и энергия переходит к телу, со стороны которого
действует сила. Если же векторы силы и перемещения перпен-
дикулярны, работа силы равна нулю. В общем случае
А = Fs cosa,
где а — угол между векторами F и s . Единица работы и энергии
в СИ называется Джоуль (Дж).
Мощность N — скалярная физическая величина, измеряе-
мая отношением работы к тому промежутку времени, за кото-
рый она совершена:
N = А/1.
Мощность измеряют в ваттах (Вт).
Для равномерного движения (пусть а = 0)
N = F-v.
При неравномерном движении вводят понятия мгновенной
мощности N = F • v и средней мощности N = Fv. В приведен-
ных формулах используют: v — мгновенную скорость и v —
среднюю скорость.
Энергетической мерой движущегося тела является кинети-
ческая энергия. Найдем ее величину. Пусть тело массой m на-
чинает двигаться равноускоренно из состояния покоя под дей-
ствием силы F. По второму закону Ньютона
та = F.
Умножим обе части уравнения на пройденный путь з.
mas = Fs= А.
Учитывая, что v2 = 2as, получим
Таким образом, сила, действующая на тело, совершает рабо-
ту, которая переходит в кинетическую энергию тела.
Пространство, в каждой точке которого на тело действует
сила, называется силовым полем. Таким силовым полем явля-
ется поле тяготения Земли. Сила тяготения зависит от расстоя-
ния между телом и центром Земли, но, если перемещение тела
ДЛ пренебрежимо мало по сравнению с радиусом Земли, то поле
можно считать однородным, и силу тяжести постоянной и
29
равной mg. Если тело перемещается вертикально вниз на рас-
стояние h, то работа силы тяжести положительна и равна mgh,
если вертикально вверх на то же растояние, работа силы тяже-
сти отрицательна -mgh. Если же тело перемещается горизон-
тально, работа силы тяжести равна нулю.
Легко показать, что, если перемещение происходит меж-
ду двумя точками, не расположенными на одной вертикали,
и находящимися на расстояниях hx и Л2 от поверхности Зем-
ли, то работа, произведенная силой тяжести, будет такой же,
как если бы точки находились на одной вертикали, и равна
mgfhi-h?). Таким образм, работа силы тяжести при переме-
щении тела между любыми двумя точками не зависит от фор-
мы пути, а зависит только от положения точек относительно
Земли. Такое силовое поле называется потенциальным.
Потенциальная энергия тела определяется произведением
силы тяжести на высоту, на которую поднято тело над Землей
Еп =mgh + const.
Еп можно определить с точностью до произвольной посто-
янной в зависимости от выбора начала отсчета.
Потенциальную энергию упругой деформации растяжения
или сжатия можно определить, рассмотрев работу по переме-
щению частиц тела на расстояние х. Работа, затраченная си-
лой, будет равна потенциальной энергии деформации.
л-п hcpx- 2 Х~ 2 '
Здесь k — коэффициент жесткости материала, х — абсолют-
ное растяжение или сжатие при упругих деформациях.
Одним из основных законов природы является закон сохра-
нения и превращения энергии, указывающий на то, что для
системы тел, на которую не действуют внешние силы, общая
энергия количественно не изменяется. В различных случаях
механическая энергия из потенциальной может превращаться
в кинетическую и наоборот, как это происходит с телом, бро-
шенным вертикально вверх.
mghi +
mvf
~~2~
= mghz +
о
mv2
~2~
Механическая энергия может превращаться во внутреннюю,
например, когда преодолевается трение, частично или полно-
стью при неупругих деформациях. Потери энергии характери-
зуются коэффициентом полезного действия, который показыва-
ет, какая часть совершенной работы считается полезной, если
30
затраченную работу принять за единицу. Отсюда КПД механиз-
ма выражают правильной дробью или в процентах.
т] = — П = —-100%.
Аз А3
Примеры решения задач
Пример 7. Автобус массой 4,0 т, двигаясь из состояния по-
коя равноускоренно по горизонтальному пути и пройдя 250 м,
достиг скорости 20 м/с. Коэффициент сопротивления движе-
нию равен 0,02. Определите работу, произведенную двигате-
лем на пройденном участке пути, среднюю мощность, мгновен-
ную мощность через 15 с от начала движения и коэффициент
полезного действия двигателя автобуса.
Д а н о: т = 4,0 т = 4 • 103 кг — масса автобуса; vQ = 0 — на-
чальная скорость автобуса; s = 250 м — пройденное расстояние;
v — 20 м/с — скорость, достигнутая на пути s; ц — 0,02 — коэф-
фициент сопротивления; t = 15 с — промежуток времени от на-
чала движения. Из таблиц: g= 9,8 м/с2 — ускорение свободного
падения.
Н а й т и: А — работу, произведенную двигателем на участке
s; N — среднюю мощность на этом участке; N — мгновенную
мощность через время t от начала движения; Т] — КПД двигате-
ля автобуса.
Решение. Работу определим из формулы
А = FT • s.
Используя второй закон Ньютона, найдем силу тяги:
FT +p.mg = та.
Положительное направление оси совместим с направлением
движения. Запишем проекции сил в последнем уравнении:
FT - iimg = та.
откуда
FT = т (а + pg).
Неизвестное ускорение а = v2/2s. Таким образом, зная силу
тяги и ускорение, получим:
. (v2 'I f v2 А
А = ml —+p.g s, или A=ml —+pgs .
\ 2s j \ 2 )
Средняя мощность
— x v
N =m(a+[ig)—.
Ci
31
Скорость через время t от начала движения равна = at, то-
гда мгновенная мощность в этот момент:
N = FTv} = FT at.
Для нахождения КПД необходимо определить полезную ра-
боту Ап; Ап — это часть полной работы, идущая на ускорение
автобуса:
Ап = mas = mv2/2‘,
,4
n= —-100% ----------100%.
А 2А
Подставив числовые значения искомых величин, получим:
V2 400 м2 м
а - — ----------= 0,8—;
2s 2-250с2-м с2
F, = т(а + р£) = 4 • 103 кг • (0,8 + 0,02 • 9,8) — = 3,984 103Н;
с2
A = F.[s- 3,984 • 103 • 250 Н • м = 996 кДж;
N = FTvc = 3,984 • 103 • 10 Н - = 40 кВт;
с
N = FTVi = 3,984 • 103 • 0,8 • 15 Н—с = 48 кВт;
с2
Л 2
П= —-100% 1()()%;т] =
А 2А 1
4-103-4-102 кг м2/с2
=---------------------~ 0,8, или 80%.
2 996-Ю3 Дж
Ответ. Работа на участке разгона автобуса 996 кДж; сред-
няя мощность на этом участке -40 кВт; мгновенная мощность
через 15 с -48 кВт; КПД автобуса 80%.
Пример 8. Пуля летит горизонтально со скоростью 1000 м/с,
попадает в шар, находящийся на подставке, и пробивает его.
После этого шар и пуля летят в одном направлении, причем
шар со скоростью 4,0 м/с. Масса пули оставляет 0,01 массы
шара. Определите: 1) скорость пули после столкновения;
2) часть механической энергии пули, перешедшей во внутрен-
нюю энергию.
Дано: vt= 1000 м/с — скорость пули до столкновения; и =
= 4,0 м/с — скорость шара после столкновения; т = 0,01 М —
масса пули.
ТТ Л-Ек
Н а и т и: v2 — скорость пули после столкновения; С =-
часть кинетической энергии пули, перешедшей во внутреннюю.
32
Решение. По условию задачи часть кинетической энергии
пули при столкновении с шаром переходит во внутреннюю энер-
гию Ев = АЕК, поэтому закон сохранения механической энергии в
данном примере не выполняется. Вместе с тем можно применить
закон сохранения импульса, так как в горизонтальном направле-
нии (по линии движения тел) внешние силы не действуют:
mt>, = Ми + mv2.
Разделим обе части уравнения на М и обозначим т/М = q,
тогда
qvx = и + qv2,
v2 = ~ u/q.
В соответствии с законом сохранения и превращения энер-
гии:
mv, Muz mvl „ mv?
2 2 2 2
.. 2
Умножив обе части уравнения на —, найдем искомую вели-
М
чину С:
qvf = и2 +qv2 +Cqvf,
guf -qv% -и2
qvf
9\yi J '
Произведем вычисления:
v2 = Pj - — = 1 000 м/с - =600 м/с;
( Vo V u2
C = l- —------Г =1-036-0,0016 = 0,638.
qv
Ответ. Скорость пули после столкновения с шаром 600 м/с;
0,638 энергии пули превратилось во внутреннюю энергию.
3.1. Тело массой 1 кг движется горизонтально с постоянной
скоростью. Какова работа силы тяжести на расстоянии 1 км?
3.2. Автомобиль движется равномерно по горизонтальному
участку пути. На что расходуется работа двигателя?
3.3. На тело, движущееся равномерно по горизонтальной по-
верхности, действует сила 20 Н. Чему равна работа этой силы,
когда тело пройдет 5,0 м? Чему равна работа той же силы на том
ясе расстоянии, если тело будет двигаться с ускорением а?
3.4. Тело массой т бросили вертикально вверх со скоростью
и. Какова работа сил тяжести: 1) за время подъема тела? 2) за
2-2453
33
время его падения. Чему равна полная работа сил тяжести с мо-
мента бросания до падения тела?
3.5. Какую минимальную работу должен совершить кран,
чтобы лежащую на земле стальную балку длиной 10 м и сечени-
ем 25 см2 поставить вертикально? При вычислении перемеще-
ния толщиной балки пренебрегите.
3.6. Человек стоит на крыше дома и держит за один конец
канат длиной 20 м и массой 12 кг. Какую надо совершить рабо-
ту для подъема каната на крышу?
3.7. Тело свободно падает с нулевой начальной скоростью.
Найдите отношение работы силы тяжести за первую и вторую
секунды падения тела.
3.8. Тележка массой 60 кг движется горизонтально без тре-
ния с ускорением 2 м/с2 из состояния покоя. Какую работу про-
изведет сила тяги за первые 20 с?
3.9. Санки с ребенком везут, прилагая к веревке силу 50 Н.
Веревка образует с горизонтом угол 45°. Чему равна работа, со-
вершенная на пути 100 м?
3.10. Санки весом 120 Н скатываются с горы высотой 20 м,
склон которой образует угол 30°. Коэффициент трения 0,05.
Определите работу силы тяжести, силы трения на всем склоне
горы и кинетическую энергию в конце спуска.
3.11. Человек стоит на крыше дома высотой 15 м и тянет го-
ризонтально веревку, перекинутую через блок на краю крыши.
Привязанный к веревке груз массой 20 кг поднимается с уско-
рением 0,2 м/с2. Совершает ли человек работу по поднятию гру-
за (сила перпендикулярна перемещению) и почему? Если да, то
чему равна эта работа? Силы сопротивления не учитывайте.
3.12. Камень падает с высоты 20 м. На какой высоте кинети-
ческая энергия равна потенциальной?
3.13. Тело бросили с земли вертикально вверх, сообщив ему ско-
рость 24,5 м/с. Не учитывая сопротивления воздуха, определите,
на какой высоте кинетическая энергия тела равна потенциальной.
3.14. Тело массой 2 кг свободно падает с высоты 30 м. Чему
равна его скорость в точке, где кинетическая энергия в 2 раза
больше потенциальной?
3.15. Груз массой 10 кг, подвешенный к пружинным весам,
растягивает пружину на 4,0 см. Определите потенциальную
энергию упруго деформированной пружины.
3.16. Динамометр имеет деления 0, 20, 40 Н. Человек растя-
гивает пружину динамометра сначала от 0 до 20 Н, а затем от 20
до 40 Н. Одинаковы ли совершенные работы, и если нет, то ка-
ким соотношением они связаны?
34
3.17. Тело брошено с высоты 5 м со скоростью 15 м/с под уг-
лом к горизонту. С какой скоростью оно упадет на землю? Ре-
шите задачу, используя закон сохранения энергии.
3.18. Тело массой 0,1 кг брошено под углом 60° к горизонту.
В высшей точке траектории его кинетическая энергия равна
5 Дж- С какой скоростью брошено тело?
3.19. Под каким углом к горизонту брошено тело, если в выс-
шей точке траектории потенциальная энергия равна
кинетической?
3.20. Тело массой 200 г брошено с высоты 10 м под углом к го-
ризонту со скоростью 20 м/с и упало на землю, имея скорость
18 м/с. Какова работа силы сопротивления воздуха?
3.21. На вертикально закрепленной пружине жесткостью
1000 Н/м лежит шарик массой 50 г. Пружина сжата силой
50 Н. На какую максимальную высоту поднимется шарик по-
сле освобождения пружины?
3.22. Сжатая вертикально поставленная пружина жестко-
стью 300 Н/м распрямляется и толкает вверх шарик массой
10 г, который взлетает до высоты 2,45 м. На сколько была сжа-
та пружина?
3.23. Невесомая пружина, к которой подвешен некоторый
груз, обладает потенциальной энергией 1,0 Дж. Если к ней под-
весить дополнительный груз массой 3,0 кг, то пружина растя-
нется еще на 2,0 см. Найдите полное растяжение пружины и
потенциальную энергию упругой деформации.
3.24. В тележку с песком массой 50 кг, движущуюся со ско-
ростью 3,0 м/с, попадает и застревает в песке горизонтально ле-
тящий камень массой 5,0 кг. Скорость камня -15 м/с. Чему
равна энергия камня после столкновения? Сколько механиче-
ской энергии перешло во внутреннюю?
3.25. Телу, брошенному вертикально вверх, сообщен импульс
12 кг м/с. Максимальная высота подъема равна 5,1 м. Найдите
массу и кинетическую энергию тела в момент бросания.
3.26. Груз массой 2,0 кг движется вертикально вверх под дейст-
вием постоянной силы 25 Н. Чему равна работа этой силы и сред-
няя мощность к моменту, когда тело окажется на высоте 10 м?
Почему совершенная работа не равна потенциальной энергии?
3.27. Два шара массами 400 и 500 г движутся навстречу друг
Другу соответственно со скоростями 2,0 и 1,0 м/с. Определите,
на сколько уменьшится механическая энергия шаров после аб-
солютно неупругого удара.
3.28. Пуля массой т, летящая с горизонтальной скоростью
и, попадает в висящий на невесомой нити длиной I шарик
35
массой М и застревает в нем. На какую высоту поднимется ша-
рик? Какой угол образует при этом нить с вертикалью?
3.29. Платформа весом 980 Н движется горизонтально без
трения со скоростью 4,5 м/с. На нее кладут брусок массой 50 кг.
Брусок скользит по платформе 1 м до остановки. Каков коэф-
фициент трения скольжения между платформой и бруском?
3.30. Горизонтально установленная пружина жесткостью
3000 Н/м сжата на 5,0 см. На концах пружины находятся на
подставках шарики массами 100 и 200 г. С какими скоростями
разлетятся шарики, если освободить пружину? Трением меж-
ду шариками и подставками пренебрегите.
3.31. Возможен ли случай, когда кинетическая или потен-
циальная энергия имели отрицательное значение? Почему?
3.32. Трактор с прицепом, имеющий полезную мощность
50 кВт, движется со скоростью 4,0 м/с. Какую силу сопротив-
ления он преодолевает?
3.33. Электровоз движется равномерно со скоростью 108 км/ч.
Моторы электровоза потребляют мощность 2-103 кВт, а их КПД
равен 75%. Определите силу сопротивления при движении элек-
тровоза.
3.34. Летящий горизонтально шарик массой 100 г ударяется
в шарик массой 200 г, висящий на нити длиной 46 см. После
этого нить отклонится на угол 90°. Какова скорость первого ша-
рика до и после абсолютно упругого столкновения?
3.35. Камень массой 200 г, брошенный человеком вертикаль-
но вверх, достиг максимальной высоты 15 м. Процесс бросания
длился 0,3 с. Найдите среднюю мощность, развиваемую чело-
веком в процессе бросания, и среднюю силу бросания.
3.36. Парашютист массой 60 кг при затяжном прыжке дос-
тигает максимальной скорости 80 м/с, после чего падает с по-
стоянной скоростью до раскрытия парашюта. Определите мощ-
ность сил сопротивления при равномерном падении.
3.37. Автомобиль весом 25 кН начинает разгон с ускорением
3 м/с2. Какую среднюю мощность развивает автомобиль на пер-
вых 50 м пути? Коэффициент сопротивления 0,006.
3.38. Транспортер за 5,0 с грузит на машину контейнер мас-
сой 1,0 т. Лента транспортера длиной 3,0 м образует с землей
угол 30°. Каков КПД транспортера, если на подъем затрачива-
ется мощность 4,4 кВт?
3.39. Автомобиль может развивать максимальную скорость
. Во сколько раз надо увеличить мощность автомобиля, чтобы
максимальная скорость увеличилась в 2 раза? Считайте силу
сопротивления пропорциональной скорости.
36
3.40. Каким способом можно увеличить максимальную скорость
движения автомобиля, не увеличивая мощности двигателя?
3.41. Определите мощность потока воды, движущегося со
скоростью 4,0 м/с, в трубе сечением 1,0 м2.
3.42. Вода со скоростью 28 м/с падает на лопасти турбины,
имеющей мощность 5 • 104 кВт и КПД 0,9. Определите расход
воды.
3.43. Насос производительностью 12 м3/мин поднимает воду
на высоту 5,0 м. Скорость воды на выходе 8,0 м/с. Какую мощ-
ность потребляет насос, если его КПД равен 0,7?
3.44. На какую высоту насос мощностью 30 кВт поднимает
воду, если ее расход составляет 10 м3/мин, а скорость воды на
выходе равна 3,0 м/с.
§ 4. Равномерное движение тел по окружности.
Закон всемирного тяготения
Основные понятия, законы, формулы
Равномерное движение материальной точки по окружности —
наиболее простое из множества криволинейных движений. В этом
случае линейная скорость v направлена по касательной к окруж-
ности, а ускорение, называемое центростремительным, — по ра-
диусу к центру:
ац = vz/R .
Ускорение вызвано силой, приложенной к телу и направ-
ленной по радиусу к центру; эту силу называют центростреми-
тельной:
Линейную скорость и центростремительное ускорение мож-
но выразить через период вращения Т или частоту v = —:
2лй о „
v =----, или v = 2n/tv,
Т
4л2.й л 2 2
а„ = —или ап = 4 л Rv .
ц гр2 ц
Зная время t и частоту вращения v, можно определить число
оборотов п за время t:
п = vt.
37
Вращение тела удобно характеризовать угловой скоростью со:
со = cp/t,
где ср — угол поворота радиус-вектора в радианах. Если учесть,
что за время одного оборота радиус-вектор поворачивается на
2л рад, то
со = 2л/Т, или со = 2kv.
Для угловой и линейной скоростей существует связь:
v = со/?,
поэтому
ац == со2/?.
При равномерном движении тела по окружности угловая
скорость всех точек тела одинакова; линейная скорость зави-
сит от расстояния точки до центра или оси вращения.
Сила, действующая на тело, может быть разложена на на-
правление, касательное траектории движения и перпендику-
лярное (нормальное) ему. Касательная составляющая силы
изменяет значение линейной скорости, а перпендикулярная
(центростремительная сила) — изменяет лишь направление
скорости.
План решения задач по теме «Равномерное движение по
окружности» тот же, что и в разделе «Динамика», поэтому ос-
новное уравнение — второй закон Ньютона для центростреми-
тельной силы. При необходимости могут быть использованы
кинематические соотношения или закон сохранения энергии.
Для решения задач, связанных с космическими полетами,
используют закон всемирного тяготения: сила взаимного тяго-
тения двух тел пропорциональна произведению их масс и об-
ратно пропорциональна квадрату расстояния между ними:
Здесь G — коэффициент пропорциональности, получивший на-
звание гравитационной постоянной; G = 6,67 • 10-11 м3/(кг • с2).
При взаимодействии протяженных тел под расстоянием
между ними надо понимать расстояние между их центрами
тяжести.
В разделе «Динамика» рассматривалось движение тел
вблизи поверхности Земли на расстояниях, много меньших
„ т-М->
радиуса Земли. В этом случае сила тяжести mg0 = G---—,
Яз
38
где М3 = 5,97 • 1024 кг — масса Земли; R3 = 6,4 • 106 м — ради-
ус Земли. Отсюда
Я0 = б:^- = 9,8 м/с2.
rt3
Для больших расстояний от Земли это приближение не спра-
ведливо и необходимо пользоваться законом всемирного тяго-
тения в виде
F _ G тМ3 = gp/nBj
(Л3 +h)2 (R3 +Л)2 ‘
Примеры решения задач
Пример 9. Шарик, подвешенный на невесомой и нерастяжи-
мой нити длиной 1 м, движется по окружности в горизонталь-
ной плоскости так, что нить составляет с вертикалью угол 30°
(рис. 4). Найдите угловую, линейную скорости и период враще-
ния шарика.
Дано. Z=1m — длина нити; а = 30° — угол отклонения нити
от вертикали. Из таблиц: g = 9,8 м/с2 — ускорение свободного
падения.
Най т и: и — угловую и v — линейную скорости; Т — пери-
од вращения шарика по окружности.
Рис. 4
39
Решение. Запишем в векторной форме уравнение второго
закона Ньютона:
N+mg = та.
С учетом выбора направления координатных осей запишем
проекции
на Ох:
Nsina = тах; ах - аи,
на Оу:
TVcosa - mg = тау = О
(движение по вертикали отсутствует).
После почленного деления уравнений получим:
sina _ах
cosa g ’
если учесть, что ац = (о2г и г = Zsina, то
sina to2Zsina
cosa g
Отсюда
v Zcosa
Линейная скорость и период вращения определяем из формул:
2л
v = coZsina и Т = —.
(0
Произведем вычисления:
93 м/с2
(0 = J------
VI м-037
~3,4с-1;
о = 3,4с 1-1 м-0,5 = 1,7 м/с;
2-ЗД4
3,4с1
=1,9с.
Ответ. Угловая скорость равна 3,4 рад/с; линейная —
1,7 м/с; период движения шарика по окружности 1,9 с.
Пример 10. Спутник вращается по круговой орбите вокруг
Земли на расстоянии 1600 км от ее поверхности. Найдите ли-
нейную скорость, с которой спутник движется по орбите, и пе-
риод его вращения.
40
Д а н о: h —1600 км = 1,6-106 м; из таблиц: g0 = 9,8 м/с2 — уско-
рение свободного падения у поверхности Земли, R3 = 6,4 • 106 м —
радиус Земли.
Н а й т и: v — скорость спутника; Т — время полного оборота
спутника.
Решение. На спутник действует единственная сила — сила
тяготения со стороны Земли:
„ тМ3
F = G----Ц-.
(7?3 +й)2
„ М3
Учитывая, что£0 -G—получаем
7?з
Сила тяготения вызывает
спутника
F = g0
mR3
(Из +h)z '
центростремительное ускорение
v2
а„ =------.
ц (Яз+Л)
Запишем второй закон Ньютона для спутника:
mR3 mv2
g ----2— =--------.
° (И3 +h)2 (R3 +h)
После сокращений получим выражение для скорости, а за-
тем и периода:
и — /?з
v
go „ 2n(R3 +Л)
------ И 1--------.
Подставляя числовые значения, получаем:
1> = 6,4 106м.
9,8 м/с2 „
--------------— = 7 Д 103 м/с.
(6,4+1,6) 106м
m 2 л (6,4+1,6) 106м _
Т = —» 7,08 103 с или=2 ч.
7Д-103м/с
Ответ. Приближенное значение скорости спутника 7,1 км/с;
время полного оборота составляет -2 ч.
4.1. Определите угловую скорость лопастей ветряной мель-
ницы, если они совершают 20 об/мин.
4.2. Во сколько раз средняя угловая скорость секундной
стрелки больше угловой скорости часовой?
41
4.3. Якорь мотора вращается с частотой 20 с-1. С какой ско-
ростью будет двигаться приводной ремень, если он охватывает
шкив диаметром 0,20 м, связанный с якорем? Ремень движется
без проскальзывания.
4.4. Определите линейную скорость вращения Земли в Крас-
нодаре, для которого географическая широта равна 45°.
4.5. Скорость телеги 9 км/ч, а колесо делает полный оборот
за 0,40 с. Определите центростремительное ускорение точек на
ободе колеса.
4.6. Ротор турбины вращается с частотой 12000 об/мин. Оп-
ределите центростремительное ускорение точек ротора, уда-
ленных от оси на 15 см, и число оборотов ротора за 2 мин при
торможении с постоянным ускорением до остановки.
4.7. Маховик, вращающийся с частотой 10 с-1, отключают от
двигателя. После этого маховик останавливается, сделав 600 об.
Сколько времени длилось торможение?
4.8. Груз, привязанный к веревке, вращается по окружности
в вертикальной плоскости. Меняется ли натяжение веревки во
время движения и если да, то как?
4.9. Груз массой 1 кг вращают на веревке длиной 76 см в вер-
тикальной плоскости. Прочность веревки 40 Н. При какой час-
тоте вращения веревка может оборваться?
4.10. Автомобиль массой 1,5 т, двигаясь по вогнутому мосту
радиусом 100 м, давит на середину моста с силой 20 кН. Опреде-
лите скорость автомобиля.
4.11. Автомобиль весом 20 кН движется по выпуклому мосту
радиусом 100 м со скоростью 72 км/ч. Чему равна сила давле-
ния автомобиля на мост в верхней его части? Примите ускоре-
ние свободного падения равным 10 м/с2.
4.12. Поезд въезжает на дугу закругления со скоростью
54 км/ч и проходит по дуге расстояние 600 м за 30 с. Радиус
дуги 1,0 км. Определите скорость и полное ускорение в сере-
дине дуги закругления.
4.13. Закругленный участок пути радиусом 1,0 км рассчитан
на скорость поезда 20 м/с. На сколько должен быть приподнят
внешний рельс (угол с горизонтом)? Примите g = 9,8 м/с2.
4.14. Шарик массой 200 г скатывается без трения с верхней
части вогнутой полусферы радиусом 80 см с нулевой начальной
скоростью (рис. 4.1). Какова реакция опоры в нижней части
траектории в точке А?
4.15. Велосипедист, двигаясь со скоростью 10 м/с по гори-
зонтальной поверхности, описывает дугу окружности радиу-
сом 20 м. Определите угол наклона велосипедиста по отноше-
нию к вертикали.
42
4.16. Автомобиль, движущийся со скоростью 54 км/ч, пово-
рачивает по дуге окружности. Каким должен быть минимально
возможный радиус закругления при коэффициенте трения 2?
4.17. С какой максимальной скоростью может ехать велоси-
педист по горизонтальному закруглению дороги радиусом 9 м
при коэффициенте трения 0,6?
4.18. Тело массой 50 г движется с нулевой начальной скоро-
стью с высоты h наклонного желоба и продолжает движение по
его внутренней стороне, имеющего форму обруча (рис. 4.2).
Найдите давление тела в точке А, для которой угол а, образо-
ванный подвижным радиусом с горизонтальным диаметром,
составляет 30°. Трение не учитывайте. Принять Л = 4R.
4.19. С какой высоты должно начаться движение тела (см.
задачу 4.18), чтобы оно оторвалось от желоба в точке В?
4.20. Камень, привязанный к нерастяжимой и невесомой
веревке длиной I = 92 см, вращается по окружности в верти-
кальной плоскости. При натяжении веревки в верхней точ-
ке окружности, равном удвоенному весу камня, веревка об-
рывается, когда камень проходит через ее нижнюю точку:
а) с какой скоростью камень упадет на землю, если расстоя-
ние от оси вращения до поверхности земли 2Z?; б) определи-
те расстояние по горизонтали, которое пролетит камень по-
сле обрыва веревки.
4.21. Чему равен вес свободно падающего тела, масса которо-
го равна т?
4.22. Почему два шарика, лежащих на столе, не сближают-
ся, хотя на них действуют силы взаимного притяжения?
4.23. Различаются ли на полюсе и на экваторе: 1) сила тяготе-
ния, 2) сила тяжести? Считайте, что Земля имеет форму шара.
4.24. Самолет падает с ускорением g. Что произойдет, если в
нем перевернуть чашку с водой?
43
4.25. Сколько весит на Луне тело массой 1 кг? Радиус Луны
1,73 -106 м; масса Луны 7,3 • 1022 кг.
4.26. Как изменится сила притяжения между двумя телами,
если расстояние между ними увеличить в 2 раза, а массу одного
из них увеличить: 1) в 2 раза; 2) в 4 раза?
4.27. Какую часть своего веса теряет человек на горе высотой
8 км?
4.28. На какую часть изменяется вес тела на экваторе по
сравнению с его весом на полюсе вследствие вращения Земли?
Радиус Земли считайте равным 6,4 106 м.
4.29. Чему равен период обращения спутника, который «ви-
сит» над одной точкой поверхности Земли, и в какой плоскости
расположена его орбита?
4.30. Совершает ли работу сила тяготения над спутником,
движущимся по орбите: 1) круговой; 2) эллиптической?
4.31. Определите период обращения спутника, запущенного
на круговую орбиту, на расстоянии 1600 км от поверхности
Земли.
4.32. По условию задачи 4.31 определите, как и на сколько
изменится ускорение свободного падения тел.
4.33. Определите период и орбитальную скорость лунного
спутника, движущегося по круговой орбите на высоте 300 км
над поверхностью Луны. 7?л = 1,7 • 106 м; Мл = 7,3 • 1022 кг.
4.34. На каком расстоянии от Земли должен вращаться спут-
ник, находящийся над одной и той же точкой ее поверхности?
Определите орбитальную скорость спутника.
4.35. Зная, что Юпитер удален от Солнца на расстояние в
5,21 раз большее, чем Земля, определите для него период обра-
щения вокруг Солнца.
44
II. основы молекулярной физики
И ТЕРМОДИНАМИКИ
§ 5. Молекулярно-кинетическая теория.
Движение молекул. Размеры и масса молекул
Основные понятия, законы и формулы
Учение, объясняющее строение и свойства тел движением и
взаимодействием мельчайших частиц, из которых состоят все
тела, называют молекулярно-кинетической теорией. Эта тео-
рия опирается на три основных положения.
1. Все вещества состоят из мельчайших частиц — молекул1.
В свою очередь, молекулы образуются из еще более мелких час-
тиц — атомов, в состав которых входят протоны, электроны,
нейтроны.
2. Молекулы находятся в состоянии непрерывного хаотиче-
ского движения, называемого тепловым. Вследствие этого каж-
дая молекула обладает определенной кинетической энергией.
Следует иметь в виду, что с переходом тела из одного агрегат-
ного состояния в другое, характер движения частиц (атомов, мо-
лекул и др.), из которых оно состоит, существенно изменяется.
3. Молекулы вещества взаимодействуют между собой. При-
рода сил взаимодействия (притяжения и отталкивания) элек-
трическая. Эти силы зависят как от природы молекул, так и от
расстояния между ними. В результате взаимодействия молеку-
лы приобретают потенциальную энергию.
В молекулярной физике под внутренней энергией тела под-
разумевают сумму кинетической энергии всех молекул и по-
тенциальной энергии их взаимодействия.
Число молекул в любом теле огромно, а их размеры и масса
очень лалы.
В СИ основной единицей количества вещества является
моль. Моль — количество вещества, содержащее столько же
Молекулой называют наименьшую частицу вещества, обладающую его ос-
новными химическими свойствами и состоящую из атомов, соединенных
между собой химическими связями.
45
структурных элементов, сколько содержится атомов в угле-
роде-12 массой 0,012 кг.
В моле любого вещества содержится одно и то же число моле-
кул, называемое постоянной Авогадро NA (NA=6,022 1023 моль-1).
Масса одной молекулы
М
т(.=---,
Na’
где М — молярная масса.
Число молекул в одном кубическом метре вещества нахо-
дится из соотношения:
где р — плотность вещества.
Число молекул в данной массе вещества т
N = — Na,
м А
где т/М = v — число молей.
Агрегатное состояние вещества, в котором его частицы весь-
ма слабо связаны силами взаимодействия, и движутся свобод-
но, заполняя весь объем, называется газообразным или газом.
Объем, давление и температура — параметры, характери-
зующие состояние газа.
Газ, между молекулами которого отсутствуют силы взаим-
ного притяжения, называют идеальным. При нормальных ус-
ловиях (То = 273 К, ро = 101325 Па) молярные объемы всех иде-
альных газов одинаковы и равны = 22,4 • 10-3 м3/моль.
Число Лошмидта Nn = 2,7' Ю25 м-3 — это число молекул газа
в 1 м3 вещества при нормальных условиях:
^ = NA/Vm,
где Кт — молярный объем.
Среднее расстояние между молекулами I определяется из
соотношения
I=^V/N,
где V/N—элементарный объем, приходящийся на одну молекулу.
Средняя длина свободного пробега X = тт — среднее расстоя-
2
ние, которое проходит одна молекула между двумя последова-
тельными соударениями. Здесь и — средняя арифметическая
скорость молекул; г - V2nd2uno — среднее число столкновений
за 1 с; d3 — эффективный диаметр молекулы; по — число моле-
кул в 1 м3 вещества.
46
Примеры решения задач
Пример 11. Определите количество вещества в молях, содер-
жащегося в 1 кг ртути; в 5,6 дм3 кислорода при нормальных
условиях.
Д а н о: тг = 1 кг — масса ртути; Vo = 5,6 дм3 = 5,6 • 10“3 м3 —
объем кислорода при нормальных условиях; из таблиц:
Mj = 200,6 • 10“3 кг/моль — молярная масса ртути;
М2 = 32 • 10я кг/моль — молярная масса кислорода;
р0 = 1,43 кг/м3 — плотность кислорода при нормальных усло-
виях.
Н а й т и: Vj — количество вещества в 1 кг ртути; v2 — коли-
чество вещества в 5,6 дм3 кислорода при нормальных условиях.
Решение. Количество вещества в 1 кг ртути вычислим по
соотношению
Vi
;vi
-----------------= 4,98 моль.
200,6 10 3 кг/моль
Для определения количества вещества в 5,6 дм3 кислорода
найдем массу кислорода по формуле т2 = р0Ко. Тогда
p0Vo 1,43-5,6-10 3 кг/м3-м3
М2 ’ 2 32-10-3 кг/моль
= 0,25 моль.
О т в е т. В 1 кг ртути содержится -5 моль; в 5,6 дм3 кислоро-
да — 0,25 моль.
Пример 12. Определите число молекул, содержащихся в
0,5 кг кислорода; в 5,0 см3 диоксида углерода при нормаль-
ных условиях.
Дано: И] = 0,5 кг — масса кислорода; Vo - 5,0 см3 = 5,0 •
10“6 м3 — объем диоксида углерода при нормальных условиях;
из таблиц: Мj = 32 • 10-3 кг/моль — молярная масса кислорода;
М2 = 44 • 10"3 кг/моль — молярная масса диоксида углерода (рав-
на сумме молярных масс углерода и кислорода); NA = 6,022 •
• 1023 моль 1 — постоянная Авогадро; Vm = 22,4 • 10"3 м3/моль —
молярный объем; Ал = 2,68 • 1025 м“3 — число Лошмидта (-2,7 •
1025м3).
Н а й т и: Аг — число молекул в 0,5 кг кислорода; N2 — число
молекул в 5,0 см3 диоксида углерода при нормальных условиях.
Решение. Количество вещества в молях:
т,
v =---.
Зная, что 1 моль содержит NA молекул, определим число мо-
лекул в 0,5 кг кислорода:
Л\ =v-Na =^-Na;
A ЛЛ A
0,5-6,02-1023 кг моль"1
M = --------5----------Г = 9,4 -IO24.
32 10 3 кгмоль 1
Для нахождения числа молекул N2 диоксида углерода, содер-
жащихся в 5,0 см3 при нормальных условиях, воспользуемся
N
соотношением N2 = —— Уо, где NA/Vm — число молекул в 1 м3;
6,022-1023 -5,0 10-6 моль-1-м3
N, ’ -------------------------- =1Д4-1020.
22,4 10 3 м3-моль 1
Примечание. Вторую часть задачи можно решить значительно
проще, если учесть, что при нормальных условиях в 1 м3 газа со-
держится Ал молекул, тогда N2 =Niyo = 2,7-1025м-3,5,0-10-вм3 =
= 1,35-Ю20.
Ответ. Число молекул в 0,5 кг кислорода приблизительно
равно 9,4 • 1024 , в 5,0 см3 диоксида углерода — 1,34 • 1О20.
Пример 13. Подсчитайте число молекул и атомов, содержа-
щихся в 150 г оксида углерода (СО). Вычислите для нормаль-
ных условий число молекул в 1 м3, плотность и среднее расстоя-
ние между молекулами.
Д а н о: m = 150 г = 0,15 кг — масса газа оксида углерода, М =
= 28 • 10-3 кг/моль — молярная масса СО; = 6,02 • 1023 моль-1 —
постоянная Авогадро; Vm = 22,4 • 10-3 — объем моля газа при
нормальных условиях.
Найти: NM nNa — число молекул и атомов газа; п0 — число
молекул в единице объема при нормальных условиях; р0 и<20 —
плотность газа и среднее расстояние между молекулами при
тех же условиях.
Решение. Так как NM = т/т0, где т0 — масса молекулы,
но т0 = M/NA, следовательно,
т
=—na;
м
0,15-6,02 1023 кг-моль1 24
м 28-10-3 кг-моль-1
Так как оксид углерода двухатомный газ, то
Na = 2Л'М = 6,4 • 1024.
Число молекул газа в 1 м3 найдем из соотношения
п0 =NA/Vm-,
48
Рис. 5
6,02 1023 моль 1
22,4 10-3 м3 - моль-1
= 2,69 1025 м-3=2,7 1025 м-3.
Число п0, одинаковое для всех газов при нормальных усло-
виях, называют числом Лошмидта и обозначают Nn. Зная и
т0, можно определить плотность вещества р0:
М .
Na :
Ро — ^лто~ Мл ;
2,7-1025 -28 10"3 м-3-кг-моль-1 , , о , ,
Ро =---апо Ш23------------Ч------=1’26/м ^Зкг/м3.
6,02 10 моль
Для определения среднего расстояния между молекулами
найдем объем Vlt приходящийся на одну молекулу:
^i = ^/Na.
Рассматривая этот объем как элементарный кубищв центре
которого находится молекула, вычислим его ребро a=d (рис. 5):
d -а =з
/22,410 3 м3 моль 1
з-------------------
у 6,02-Ю23 моль-1
=ЗД4 10-9м.
Ответ. NMj= 3,2 • 1024; NB = 6,4 • 1024; n0 = Nn = 2,7 • 1025м-3;
р0=1,3 кг/м3; d = 3,34 • 10 9 м.
Примечание, d можно рассматривать как среднее расстоя-
ние (при нормальных условиях) между молекулами любого га-
зообразного вещества, так как для 1 моль газа число молекул и
объем одинаковы.
49
Пример 14. Молярная масса кислорода 32 • 10-3 кг/моль. Оп-
ределите молярную массу воздуха, если при нормальных усло-
виях плотности кислорода и воздуха соответственно равны 1,43
и 1,29 кг/м3.
Дано: Mj = 32 • 10“3 кг/моль — молярная масса кислорода;
р01 = 1,43 кг/м3 — плотность кислорода; р02 = 1,29 кг/м3 —
плотность воздуха.
Найти: М2 — молярную массу воздуха.
Решение. Молярную массу М можно выразить через мас-
су молекулы т0 и постоянную Авогадро NA:
М = m0NA.
Плотность р0 газа при нормальных условиях определяют,
используя число Лошмидта:
Ро =
Поделим почленно выражения для молярной массы и плот-
ности:
Ро
Поскольку отношение двух постоянных величин NANn — ве-
личина постоянная, то молярные массы двух газов при нор-
мальных условиях пропорциональны их плотностям:
м1 = л^ = =Аа_
Poi Р02 Мл
Отсюда М2
Poi
1^9 32 10 3 (кг/м3) (кг/моль) 3
М? -----------------------------= 29 10 кг/моль.
1,43 кг/м3
Ответ. Молярная масса воздуха приблизительно равна
29 10“3 кг/моль.
Пример 15. Определите количество вещества, содержащегося
в 9,0 г воды. Найдите массу одной молекулы. Считая (условно)
молекулы плотно упакованными (соприкасающимися) шарика-
ми, оцените объем, приходящийся на одну молекулу, и среднее
расстояние между их центрами. Во сколько раз при нормальных
условиях среднее расстояние между молекулами водяного пара
больше среднего расстояния между молекулами воды?
Д а н о: т = 9,0 г = 9,0 • 10“3 кг — масса воды; из таблиц: р0 =
= 1,00 • 10-3 кг/м3 — плотность воды при нормальных услови-
ях; М = 18 • 10“3 кг/моль — молярная масса воды; NA = 6,02 •
• 1023 моль-1 — постоянная Авогадро; Vm = 22,4 • 10-3 м3/моль —
молярный объем водяного пара.
50
Н а й т и: v — количество вещества; т0 — массу одной моле-
кулы воды; V — объем, приходящийся на одну молекулу; d —
среднее расстояние между центрами молекул; d/l — отношение
средних расстояний между центрами для молекул воды и водя-
ного пара.
Решение. Число молей v определим из соотношения
т 9-10”3 кг Л
v - —; v =-------------= 0,50 моль.
М 1810 3 кг/моль
Массу одной молекулы т0 выразим через молярную массу и
постоянную Авогадро:
М 1810-3 кг/моль
т0 =----; т0 =--------------=3,0 102eKr.
Аа 6,02-1023 моль’1
Учитывая, что 1 моль любого вещества содержит NA моле-
V
кул, найдем элементарный объем V, =---(объем кубика (см.
^А
рис. 5), приходящийся на одну молекулу воды), Vm = М/р0 (мо-
лярный объем при заданных условиях):
М у. _ 18-Ю-3 кг/моль
1 Ро^а ’ 1 1,00 103 -6,02-1023 кг/м3-моль-1
= 2,99-10~29 м3 =3,010-29 м3.
По условию задачи молекулы воды соприкасаются; следова-
тельно, ребро элементарного кубика можно принять за диаметр
молекулы. Тогда среднее расстояние между центрами молекул
d d =^30,0-10 30 м'3 =ЗД1 Ю10м.
Чтобы ответить на вопрос, во сколько раз диаметр молекулы
воды d меньше среднего расстояния I между молекулами водя-
ного пара, вспомним, что при нормальных условиях молярные
объемы всех газов одинаковы и равны Vm = 22,4 • 10-3 м3/моль.
Отсюда
IVm - 122,4 10~3м3/ моль
I =з—I =з—---------------
\NA \ 6,02-1023 моль-1
=3,33 10 9 м.
Окончательно
£ = ЗД110^
I 3^3 10“9м
О т в е т. v = 0,50 моль; т0 = 3,0 • 10-26 кг; V1 — 3,0 • 10-29 м3;
d = 3,11 • Ю10 м3; d /1~ 0,093.
51
Пример 16. Вычислите среднее расстояние между центрами
молекул идеального газа при нормальных условиях.
Решение. При нормальных условиях молярный объем
Vm = 22,4 • 10-3 м3/моль. В 1 моль любого вещества содержится
NA = 6,022 • 1023 молекул. Если предположить, что эти молеку-
лы распределены равномерно по всему объему, то на каждую
молекулу приходятся V= Vm/NA. Этот объем можно рассматри-
вать как куб, jje6po которого равно среднему расстоянию между
молекулами d (см. рис. 5):
- ГЙГ » /22,4 10-3м3 -моль’1
d =з —d =з-------------------------
\Na \ 6,02-1023 моль 1
=ЗД108м.
Ответ. Среднее расстояние между молекулами любого газа
при нормальных условиях -3,3 • 10-9 м.
Пример 17. Средняя арифметическая скорость молекул азо-
та при нормальных условиях 453 м/с. Найдите для нормальных
условий средние значения длины свободного пробега, времени
движения молекул без столкновений и количества движения
(импульса) молекулы, если за 1 с она претерпевает 7,55 • 109
столкновений.
Д а н о: v = 453 м/с — средняя арифметическая скорость моле-
кулы азота при нормальных условиях; z = 7,55 • 109 с-1 — сред-
нее число столкновений за 1 с; из таблиц: М — 28 • 10-3 кг/моль —
молярная масса азота; NA = 6,022 • 1023 моль-1 — постоянная
Авогадро. _
Найти: A,,F,p — соответственно средние значения длины
свободного пробега молекулы, времени движения ее без столк-
новений и импульса молекулы.
Решение. Из-за хаотического движения молекул величи-
ны X, t ир непрерывно меняются. Поэтому целесообразно опре-
делить их средние значения:
453 м/с
7,55-10-9с-1
= 6,0 10-8м;
t
_ (JJO-IO-’m
t =—-------
453 м/с
1
г
= 1,3 IO10
с или t
Для нахождения импульса молекулы азота определим ее
массу т0:
М
тп =--
° Ад
52
Средний импульс молекулы азота р найдем из соотношения
_ Ми
р = mnv =---;
Na
_ 28-Ю-3 кг-моль-1
р =------—---------—453м/с=2Д1 10 23кгм/с.
F 6,02-Ю23 моль’1
Ответ. Средние длина и время свободного пробега соответ-
ственно равны 6,0 • 10-8 м и 1,3 • 1О-10 с; средний импульс моле-
кулы азота 2,11 • 10-23 кг-м/с.
5.1. Какие опытные факты наглядно подтверждают хаотиче-
ский характер движения молекул и связь между интенсивно-
стью этого движения и температурой?
5.2. Чем объяснить, что в жидкостях диффузия протекает
гораздо медленнее, чем в газах?
5.3. Какой физический процесс имеет место при окрашива-
нии поверхности твердых тел?
5.4. Поваренная соль, помещенная в воду, через некоторое
время после ее растворения равномерно распределяется по все-
му объему. Чем это объясняется?
5.5. Почему мерные плитки (плитки Иогансона) при плот-
ном соприкосновении торцами слипаются (рис. 5.1)?
5.6. Что положено в основу склеивания твердых тел?
5.7. В устье Амазонки найден один из крупных самородков
золота массой 62,3 кг. Какое количество вещества в нем содер-
жится?
5.8. Определите массу 1 кмоль углерода, азота, гелия.
5.9. Какова масса 50 моль кислорода?
5.10. Сколько молекул содержится в 32 кг кислорода и в 2 г
водорода?
5.11. Какой объем при нормальных условиях займут 7 • 1028
молекул диоксида углерода (углекислого газа)?
Рис. 5.1
53
5.12. Определите количество вещества, содержащегося в 6 г
диоксида углерода. Сколько молекул содержится в данной мас-
се газа?
5.13. Какой объем займут 0,6 • 1023 атомов графита?
5.14. Плотность латуни 8,5 • 103 кг/м3. Что это значит?
5.15. Плотность алюминия 2,7 кг/м3. Какое количество ве-
щества содержится в 1 м3 алюминия?
5.16. Определите молярную массу диоксида углерода и ко-
личество вещества в 1 г, если известно, что в нем содержатся
1,37 • 1022 молекул.
5.17. Найдите молярную массу и массу молекулы метана СН4.
5.18. При серебрении методом напыления на поверхности ме-
таллического зеркала образуется слой серебра толщиной 1 мкм.
Сколько атомов серебра находится в покровном слое, площадь
которого 25 см2?
5.19. Крупинка поваренной соли массой 3 • 10-3 г при раство-
рении в 10 л воды равномерно распределилась по всему объему.
Сколько молекул соли находится в 5 см3 такой воды?
5.20. Масса пылинки 10~8 г. Во сколько раз различаются мас-
сы пылинки и молекулы воды?
5.21. Сравнивая плотности неона (Ne) и водорода (Н2) при
нормальных условиях, определите во сколько раз масса атома
неона больше массы молекулы водорода.
5.22. Масса молекулы метана (СН4) 2,66 • 10-23 г. Определите
молярную массу и плотность метана при нормальных условиях.
5.23. Химическая формула бутана С4Н10. Определите моляр-
ную массу и плотность газа при нормальных условиях.
5.24. От каких факторов зависит плотность вещества?
5.25. Капля минерального масла массой 0,023 мг, вылитая на
поверхность воды, образовала пленку площадью 60 см2. Предпо-
лагая, что молекулы в пленке расположились в один ряд, опре-
делите их поперечные размеры.
5.26. Определите число молекул, содержащихся в сферической
водяной капле радиусом 1,0 мм, и их диаметр, считая, что молеку-
лы расположились вплотную и имеют шарообразную форму.
5.27. Какой длины получилась бы цепочка из молекул, содер-
жащихся в 1 мг воды, если их расположить вплотную друг к дру-
гу в один ряд? Сколько раз можно опоясать земной шар по эква-
тору этой цепочкой, если длина окружности экватора 4 • 107 м,
а диаметр молекулы 2,69 • 10-1° м?
5.28. Плотности водорода и метана при нормальных услови-
ях соответственно равны 0,09 и 0,72 кг/м3. Определите моляр-
ную массу метана, если для водорода она равна 2 • 10-3 кг/моль.
54
5.29. Определите, какую часть объема, в котором находится
газ при нормальных условиях, занимают молекулы, полагая
их диаметр равным 1О-10 м.
5.30. Средняя скорость молекулы диоксида углерода 362 м/с,
а число столкновений молекулы за 1 с в среднем равно 9 • 103. Оп-
ределите среднюю длину свободного пробега.
5.31. Средняя длина свободного пробега молекул азота в глу-
боком вакууме равна 45,6 м. Определите среднюю арифметиче-
скую скорость молекулы, если за 1 с она испытывает в среднем
10 столкновений.
5.32. Наибольшая высота орбиты космического корабля «Вос-
ток» над Землей 327 км. Длина свободного пробега молекул газа
на этой высоте -5 км. С какой средней арифметической скоростью
движутся молекулы, если число их столкновений за 1 с прибли-
зительно равно 0,11 с-1?
5.33. Средняя арифметическая скорость молекул водорода
при нормальных условиях 1,7 • 103 м/с, а их средняя длина сво-
бодного пробега равна 1,12 • 10“7 м. Какое в среднем число
столкновений за 1 с испытывает молекула?
5.34. Найдите среднюю длину свободного пробега молекул
воздуха при нормальных условиях. Эффективный диаметр мо-
лекул считайте 3 • 1О“10 м.
5.35. Определите среднюю длину свободного пробега атомов
гелия в условиях, когда их средняя концентрация 3,2 1024 м“3,
а эффективный диаметр составляет 1,9 • 1О“10 м.
5.36. Молекула азота при нормальных условиях движется со
средней арифметической скоростью 454 м/с. Определите сред-
ний импульс молекулы.
5.37. Молекула диоксида углерода, обладая средним импуль-
сом 2,7 • 10"23 кг-м/с, за 1 с совершает 9,5 • 109 столкновений. Оп-
ределите среднюю длину свободного пробега молекулы.
5.38. Молекула диоксида углерода при поступательном дви-
жении обладает кинетической энергией 6,07 • 10“21 Дж. Опреде-
лите скорость и импульс молекулы в данный момент.
§ 6. Скорости молекул. Основное уравнение
молекулярно-кинетической теории газа
Основные понятия, законы и формулы
При тепловом движении одноатомные молекулы газообраз-
ного вещества участвуют в поступательном движении; молеку-
лы, состоящие из нескольких атомов, совершают как поступа-
тельное, так и вращательное движение.
55
Броуновское движение частиц указывает на то, что при те-
пловом движении скорости молекул непрерывно изменяются
как по модулю, так и по направлению. Поэтому в основу изу-
чения свойств газа положен статистический метод, с помощью
которого вычисляются:
средняя арифметическая скорость молекул
_ I?! +v2 +v3 +...+vn _ {8RT IRT
N у пМ \ М
где М — молярная масса газа; R = 8,31 Дж (моль • К) — моляр-
ная газовая постоянная; N — число молекул;
средняя квадратичная скорость молекул
3RT ч [RT
икв =1--- =1,73,/--,
V М ]М
наиболее вероятная скорость молекул
2RT * _ [RT
v„ = .--- =1,41.---.
V М \ М
Основное уравнение молекулярно-кинетической теории газа
устанавливает связь между давлением молекул газа и кинетиче-
ской энергией их поступательного движения:
п 2 F TOOFkb _ Р^кв
Р „^О-^пост Q п° О ,Р— о ’
где число молекул в 1 м3 (концентрация); р — плотность
газа; Епост — средняя кинетическая энергия поступательного
движения молекул.
При изохорном процессе давление газа прямо пропорцио-
нально температуре:
Pi _ 71
Рг 7г
Средняя кинетическая энергия поступательного движения
- 3
молекулы газа £пост = — kT; для одноатомного газа это будет и
2
средняя полная энергия. В случае, если газ двухатомный (или
более), формула имеет вид
Ё = -кТ,
2
где i — число степеней свободы, т. е. число независимых коор-
динат, характеризующих движение молекулы, причем для од-
ноатомных газов i=3; для двухатомных i = 5; для многоатом-
ных i = 6.
56
Постоянная Больцмана k = R/NA = 1,38 • 10-23 Дж/К показы-
вает, сколько работы в среднем приходится на одну молекулу
идеального газа при изобарном нагревании на 1 К.
Для различных газов при одной и той же температуре сред-
ние энергии поступательного движения молекул одинаковы:
т02^кв2
2 2
Следовательно:
Примеры решения задач
Пример 18. Для определения скорости теплового движения
молекул О. Штерн использовал прибор, сечение которого пока-
зано на рис. 6. Покрытая серебром платиновая проволочка, на-
тянутая вдоль общей оси цилиндров А и В радиусами соответ-
ственно 120 и 6,0 мм, накаливалась электрическим током.
Испаряющиеся с ее поверхности атомы серебра пролетали в ва-
кууме сквозь щель в цилиндре А и создавали на внутренней по-
верхности цилиндра В налет серебра в области М (рис. 6, а). Оба
цилиндра приводились во вращение с одинаковой частотой V.
За время t, когда атомы серебра пролетали расстояние от щели
до внутренней поверхности цилиндра В, он повернулся так, что
атомы попали в область К (рис. 6,6). Вычислите скорость ато-
мов серебра, если расстояние от середины области М до макси-
мального наплыва К равно 9,5 мм, а частота вращения цилинд-
ров v = 45,4 с-1. Определите температуру накала нити.
Д а н о: Tj = 6,0 мм = 6,0 • 10“3 м, г2 = 0,12 м — радиусы соответст-
венно внутреннего и внешнего цилиндров; I = 9,5 мм = 9,5 • 10"3 м —
расстояние между точками М и К по дуге; v = 45,4 с-1 — частота вра-
щения; из таблиц: М = 107,87 • 10-3 кг/моль ~ 108 • 10 а кг/моль —
57
молярная масса серебра; R = 8,31 Дж/(моль • К) — молярная газо-
вая постоянная.
Найти: ив — наиболее вероятную скорость атомов; Т —
температуру накала нити.
Решение. В данной ситуации v = гДе t — время, за
которое атомы пролетают расстояние от щели до внутренней
стенки цилиндра В. Если цилиндры неподвижны, атомы осе-
дают в области М. При вращении цилиндров за то же время
наплыв образуется в области К {КМ = Z). Так как t — 1/{(йг2),
где (о = 2tuv — угловая скорость (круговая частота), то
v=(r2 -А!)
2nvr2
I
и=(120-6,0) IO 3
2-ЗД4-45.4-12010-3
9,5 10~3
м-с 1 -м
-------= 411м/с.
м
Поскольку атомы серебра попадают в точку К с максималь-
ным наплывом, найденная скорость является наиболее вероят-
ной, т. е. пв.
Из соотношения определим температуру накала нити
I2RT
V м
vzBM
2R ’
_(411)2 108 IO 3 м2/с2 кг-моль"1
2-8,31 Дж-моль^-К-1
=1098 К, или 825°С.
О т в е т. пв = 411 м/с; Т ~ 1098 К, или 825°С.
Пример 19. Вычислите для нормальных условий средние зна-
чения кинетической энергии поступательного движения моле-
кул диоксида углерода, среднюю квадратичную скорость моле-
кул и плотность газа при заданных условиях.
Д а н о: р0 = 1,013 • 105 Па — нормальное атмосферное давле-
ние; Na = 6,02 • 1023 моль1 — постоянная Авогадро; М = 44 •
• 10-3 кг/моль — молярная масса газа; Vm = 22,4 • 10“3 м3/моль —
объем моля газа при нормальных условиях. Все величины взя-
ты из таблиц^
Найти: -Епост — среднюю кинетическую энергию поступа-
тельного движения молекул; пкв — среднюю квадратичную ско-
рость молекул; р0 — плотность газа.
58
Решение. Запишем основное уравнение кинетической тео-
рии газа:
Р — g “О л пост >
где п0 = N/V — концентрация молекул.
Известно, что 1 моль любого газа при нормальных условиях
занимает один и тот же объем Vm, поэтому
n0 = ^A/Vm,
Следовательно,
-р _ 3 р0 .
пост-2 Na ’
- 3 1,013-105 -22,4-lQ-3 Па -м3
пост 2 6,02-1023 моль-1-моль
Среднюю квадратичную скорость определим из соотношения
- той3в
^ПОСТ 2 ’
М — Ми^
гдет0 =—иЕпост=——.
WA 2Na
Окончательно
/2NAEnocT
^кв — Л/ ~9
V м
,2-6,02-Ю23 -5,65-Ю-21 моль-1 -Дж _ ,
нкв =,----------т---------------г- = 393 м/с.
V 44-10 3 кг-моль 1
Запишем основное уравнение кинетической теории через
плотность газа:
„ Р”к„ .
Р 3 ’
отсюда при нормальных условиях найдем плотность газа:
__ ЗРо .
Ро — —2 ’
”кв
3 1,013 105 Па , з
Ро = -----;-----—-==1,97 кг/м3.
Ро (393)2 м2/с2
59
Ответ. Средние значения энергии и скорости при нормаль-
ных условиях соответственно равны 5,65 • 10-21 Дж и 393 м/с;
плотность газа ~ 1,97 кг/м3.
Пример 20. В закрытом сосуде находится азот массой 1,4 кг
при 27°С. Определите среднюю кинетическую энергию посту-
пательного движения молекул азота, среднюю полную кинети-
ческую энергию для одной молекулы и всей массы газа.
Д а н о: т = 1,4 кг — масса азота; Т = 300 К — его температу-
ра; из таблиц: М = 28 • 10-3 кг/моль — молярная масса; k =
= 1,38 • 10-23 Дж/К — постоянная Больцмана.
Найти: Епост — среднюю кинетическую энергию поступа-
тельного движения молекул; Е — среднюю полную кинетиче-
скую энергию молекул; Е — полную кинетическую энергию
всех молекул газа.
Решение. Определим среднюю кинетическую энергию по-
ступательного движения для одной молекулы:
__ 3
Епост = 2 ^Т;
Ёпост =- 1,38 10 23 -300— К=6,21 -10-21 Дж.
Среднюю полную кинетическую энергию для одной молеку-
лы найдем из выражения
E=-kT,
2
где i — число степеней свободы, т. е. число независимых коор-
динат, определяющих положение молекулы в пространстве.
Так как азот — двухатомный газ, то i = 5. Следовательно,
Ё = — kT; Ё =- -1,38-10-23 ЗОО^Ж'К=1,О4 1О-20 Дж.
2 2 К
Чтобы найти полную кинетическую энергию всех молекул,
составляющих данную массу газа, определим число молекул N:
N= — Na.
м А
Тогда
Е = — NjS;
М
Е = -И-6Д2 1023 1,О4-1О-20 ^одь1Дж =
28-10-3 кг-моль-1 14
Ответ. Для одной молекулы энергия поступательного дви-
жения и полная кинетическая энергия (средние значения)
60
соответственно 6,21 • 1021 и 1,04 • 1О 20 Дж; полная кинетиче-
ская энергия для всех молекул 0,31 МДж.
Пример 21. Вычислите число молекул воздуха, находящих-
ся в помещении объемом 6 х 4 х 2,5 м3 при температуре 27°С и
давлении 99,8 кПа.
Д а н о: V = 60 м3 — объем воздуха в помещении; Т = 300 К —
температура воздуха; р — 99,8 • 103 Па — давление воздуха в
помещении; из таблиц: k = 1,38 • 10“23 Дж/К — постоянная
Больцмана.
Найти: N— число молекул воздуха.
Решение. Число молекул воздуха в помещении опреде-
лим через концентрацию п0 (их число в 1 м3) и объем воздуха:
N = n0V.
Для нахождения п0 используем уравнение кинетической тео-
рии газа р = nokT,
откуда п0 = — . kT
Тогда N = — ; kT Пам3 = 7 1Д8 1023300 Дж-К1 К
О т в е т. В помещении содержится 1,45 • 1027 молекул воздуха.
6.1. При нормальном атмосферном давлении температуры
соответственно таяния льда и кипения воды равны 0 и 100°С.
Выразите эти температуры в кельвинах.
6.2. При нормальном атмосферном давлении температура
кипения серного эфира 308 К, этилового спирта 351 К. Вырази-
те эти температуры в градусах Цельсия.
6.3. Ртуть отвердевает при температуре 234 К, а нафталин —
при 80°С. Для какого из указанных веществ температура плав-
ления выше и на сколько?
6.4. При нормальных условиях в два сосуда поместили ге-
лий и водород. Определите средние значения арифметической
и квадратичной скоростей молекул этих газов.
6.5. Определите средние значения арифметической и квад-
ратичной скоростей молекул водорода и кислорода при темпе-
ратуре 300 К.
61
6.6. Определите среднюю квадратичную скорость молекул
газа, если при той же температуре их средняя арифметическая
скорость равна 500 м/с.
6.7. При какой температуре средняя квадратичная скорость
молекул кислорода будет равна 450 м/с?
6.8. Во сколько раз при одинаковых температурах средняя
квадратичная скорость молекул гелия больше, чем молекул
неона?
6.9. Имеется гелий, азот и диоксид углерода. Что можно ска-
зать о средней кинетической энергии молекул этих газов, нахо-
дящихся при одинаковой температуре?
6.10. При какой температуре находится одноатомный газ, если
средняя кинетическая энергия его молекул равна 0,8 • 10“1в Дж?
6.11. Определите кинетическую энергию всех молекул неона
при температуре 1000 К, содержащихся в 1 моль; в 1 кг.
6.12. Гелий находится при температуре 580 К. При какой
температуре водорода средние квадратичные скорости моле-
кул этих газов будут одинаковы?
6.13. Средняя арифметическая скорость молекул азота
453 м/с. Определите среднюю квадратичную скорость, тем-
пературу и среднюю кинетическую энергию поступательного
движения молекул газа.
6.14. Скорости молекул газа измеряются сотнями метров в
секунду. Почему же запахи пахучих веществ распространяют-
ся относительно медленно?
6.15. При температуре 27°С в 1 м3 газа содержится 2,4 • 1010 мо-
лекул. Определите его давление. Как называют такую степень
разрежения?
6.16. Сколько молекул содержится в 0,5 м3 газа при темпера-
туре 300 К и давлении 120 кПа?
6.17. Определите среднюю кинетическую энергию молекул
одноатомного газа при температуре 310 К. Сколько молекул со-
держится в 1 м3 такого газа при давлении 0,4 МПа?
6.18. Ампула заполнена азотом при температуре 0°С. Опреде-
лите давление газа, если концентрация молекул 3,5 • 1014 м“3.
6.19. Как изменится давление газа, если его термодинами-
ческую температуру увеличить в 4 раза, а концентрацию мо-
лекул уменьшить во столько же раз? Как изменится при этом
средняя кинетическая энергия поступательного движения мо-
лекул?
6.20. Средняя кинетическая энергия поступательного дви-
жения молекул газа равна 6,21 • 10“21 Дж. Определите давление
и температуру газа при концентрации молекул 1,6 1026 м-3.
62
6.21. Определите плотность воздуха при нормальном атмо-
сферном давлении, если средняя квадратичная скорость его
молекул 485 м/с. Определите температуру воздуха и концен-
трацию его молекул. Молярная масса воздуха 29 • 10-3 кг/моль.
6.22. Во сколько раз увеличиваются давление газа и средняя
кинетическая энергия поступательного движения его молекул
после нагревания от 0°С до 546 К при неизменной концентра-
ции молекул?
6.23. В баллоне вместимостью 5 л находился газ при температу-
ре 17°С с концентрацией молекул 2,5 • 2024 м~3. Вследствие утечки
газа его давление понизилось на 2,9 кПа, а температура осталась
прежней. Определите первоначальное давление газа. На сколько
уменьшились концентрация молекул и их число в сосуде?
6.24. После того как в комнате включили электрокамин,
температура воздуха повысилась от 17 до 22°С при неизменном
давлении. На сколько процентов уменьшилась концентрация
молекул воздуха в комнате?
6.25. Из баллона вместимостью 500 л со сжатым водородом
из-за неисправности вентиля произошла утечка газа. Вначале
при давлении 5 МПа температура газа была 280 К, а через неко-
торое время при том же давлении она повысилась до 290 К. На
сколько уменьшились число молекул водорода и его масса?
6.26. Кинетическая энергия всех молекул, содержащихся в
2 г гелия равна 1,26 кДж. Определите энергию, приходящуюся
на одну молекулу, и температуру газа.
6.27. Водород массой т поровну распределен в двух сосудах
одинаковой вместимости, соединенных трубкой с краном. Опре-
делите среднюю квадратичную скорость молекул после открытия
крана, если до того она была гкв1 в одном сосуде и vкв2 в другом.
6.28. В сосуде вместимостью V находится N молекул трехатом-
ного газа с молярной массой М. Полная кинетическая энергия
молекул газа в сосуде Ек. Определите средние полную и кинетиче-
скую энергии поступательного движения одной молекулы, тем-
пературу, среднюю квадратичную скорость молекул и плотность
газа.
§ 7. Уравнение состояния идеального газа.
Изопроцессы
Основные понятия, законы и формулы
Физические величины, которыми характеризуется состоя-
ние любого тела, называют параметрами. Для характеристики
63
состояния газа вводятся три параметра: давление р, объем V и
температура Т. Уравнение, в котором эти параметры связаны
между собой, называют уравнением состояния идеального газа.
Для постоянной массы газа уравнение состояния имеет вид
pV . Pivi P2V2
т Тг Тг
Если газ вначале находился при нормальных условиях: р0,
Уо, То, а затем перешел в состояние, при котором параметры
приобрели значение р, V, Т, уравнение будет иметь вид:
р0У0 _рУ
То т
Следует учесть, что р0 и То известны и равны соответственно
1,013 • 105 Па и 273 К. Поэтому для определения неизвестной
величины, например Vo, достаточно знать р, V и Т.
Уравнение состояния газа применимо к изотермическому,
изобарному и изохорному процессам. Действительно, сокра-
щая в уравнении постоянный для данного изопроцесса пара-
метр, при постоянной массе получаем:
для изотермического процесса при Т = const
p1Vl = p2V2 (закон Бойля-Мариотта);
для изобарного процесса при р = const
Vj/Tj = Уг/Тг или yjV2 = TJT2 (закон Гей-Люссака);
для изохорного процесса при V = const
Pl Р9 Pl 7l
— = — или — = — (закон Шарля).
Tl гр гтт х х- z
1 12 Р2 ? 2
В общем случае, когда известна масса или требуется ее опре-
делить, применяют уравнение Клайперона — Менделеева:
pV = — RT,
М
где М — молярная масса газа; R=8,314 ДжДмоль • К) — моляр-
ная газовая постоянная, показывающая работу расширения
1 моль идеального газа под постоянным давлением при нагре-
вании на 1 К.
Пользуясь уравнением Клапейрона — Менделеева, можно
определить плотность газа в зависимости от его температуры и
давления. Разделив обе части уравнения на объем V и заменив
m/V плотностью р, будем иметь
М р
н R Т
64
Для данного газа М/R — величина постоянная, следователь-
но, плотность газа прямо пропорциональна давлению и обратно
пропорциональна термодинамической температуре.
Закон Дальтона. Если в сосуде имеется смесь нескольких
газов, не вступающих в химические реакции друг с другом,
давление смеси газов равно сумме парциальных (частных) дав-
лений каждого газа в отдельности:
Р=Р1+Р2 + Рз + ••••
где ри р2, р3 — парциальные давления. Давление, которое имел
бы газ, входящий в состав газовой смеси, если бы он один зани-
мал объем, равный объему смеси при той же температуре, на-
зывают парциальным.
Примеры решения задач
Пример 22. В баллоне содержится газ при температуре 17°С
и давлении 1,0 МПа. На сколько изменится давление, когда
температура газа понизится до -23°С?
Д а н о: t j = 17°С, рг = 1,0 МПа — соответственно температура
и давление газа в первом состоянии; t2 = -23°С — температура
газа во втором состоянии.
Н а й т и: Др — изменение давления в баллоне после перехо-
да газа из первого состояния во второе.
Решение. В данном случае, используя уравнение состоя-
P1V1 PiV2
ния идеального газа----=-----, учтем, что изменение давле-
'1'1 Тг
ния газа с понижением температуры происходит при постоян-
ном объеме (имеет место изохорный процесс). Следовательно,
р. Т\
V\ = V2 и — = —. Отсюда
Рг Тг
Т
Рг = ”Pi,a Ap = pt-p2.
-м
Запишем параметры для первого и второго состояний газа в
СИ: для первого состояния рг = 1,0 • 106 Па, 7\ = 290 К; для вто-
рого состояния Т2 = 250 К, р2 = ?
Определим давление газа р2 после снижения температуры и
вычислим разность давлений Др:
К К
= —-Па = 0,86106 Па;
290tf К
Др = (1,0-0,86) 106 Па = 0Д4-106 Па = 0,14 МПа.
Ответ. Давление газа в баллоне понизилось на 0,14 МПа.
3- 2453
65
Пример 23. Сосуд вместимостью 20 л, наполненный возду-
хом при давлении 0,4 МПа, соединяют с сосудом, из которого
воздух удален. При этом давление в обоих сосудах становится
одинаковым и равным 1,0 • 105 Па. Определите вместимость
второго сосуда. Процесс изотермический.
Д а н о: /?! = 0,4 МПа = 0,4 • 106 Па, V1 = 20 л = 0,02 м3 — соответ-
ственно давление и объем в первом состоянии; р2 = 1,0 • 105 Па —
давление газа во втором состоянии после присоединения второго
сосуда.
Н а й т и: V — вместимость присоединенного сосуда.
Решение. Изотермический процесс протекает при посто-
янной температуре = Т2 и подчиняется закону Бойля-Мари-
отта, для которого справедливо уравнение
pV = const или рхУх = p2V2.
Но после присоединения второго сосуда газ занял объем V2 =
= V + Уп следовательно,
P1V,
PiVi =Р2 (F+ И1), ИЛИ = V+V1.
Рг
Отсюда
У = ^1-У1;
Р2
0,4 106 0,02 Па м3
1,0 105 Па
- 0,02 м3 = 0,06 м3.
Ответ. Вместимость присоединенного сосуда 60 л.
Пример 24. При какой температуре находился газ, если в ре-
зультате изобарного нагревания на 1К его объем увеличился на
0,0035 первоначального?
Дано: ДТ = 1К — изменение температуры газа; ДУ = 0,0035
увеличение объема газа.
Н а й т и: 7\ — первоначальную температуру газа.
Решение. В результате нагревания температура повыси-
лась на 1 К, следовательно, Т2 = Т\ + ДТ. При этом объем газа
увеличился от V\ до У2, где V2 = V\ + ДУ.
По условию процесс расширения газа протекал при постоян-
ном давлении, что позволяет преобразовать уравнение состоя-
ния для идеального газа
P1V1 _PiV2
Т гр
в уравнение
66
h.
Zl
v2
— ИЛИ
T2
Vr+AV
Tt +AT
(закон Гей-Люссака).
Решая это уравнение относительно 1\, получаем
VJ\ + Vi AT = VjTj + AVTi.
Отсюда
Г,4К _28fiK
AV 0,0035V!
Ответ. Температура газа до нагревания была 286 К.
Пример 25. Два баллона вместимостью 3 и 7 л наполнены со-
ответственно кислородом под давлением 200 кПа и азотом под
давлением 300 кПа при одинаковой температуре 290 К. В бал-
лонах после их соединения образовалась смесь газов с той же
температурой. Определите давление смеси и ее плотность после
соединения баллонов.
Дано: V1K = 3 л = 3 • 10~3 м3, р1к = 200 кПа = 2 • 105 Па — со-
ответственно объем и давление кислорода до соединения бал-
лонов; Vla = 7 л = 7 • 10“3 м3, р1а = 300 кПа = 3 • 105 Па — то же
для азота; Т = 290 К — температура газов; из таблиц: Мк = 32 •
• 10"3 кг/моль и Ма = 28 • 10“3 кг/моль — молярные массы га-
зов; R =8,31 ДжДмоль • К) — молярная газовая постоянная.
Н а й т и: р — давление смеси газов и р — ее плотность.
Решение. В данном примере после соединения сосудов
образуется смесь двух газов, поэтому необходимо воспользо-
ваться законом Дальтона: давление смеси двух или несколь-
ких газов равно сумме парциальных давлений каждого газа в
отдельности:
Р = Р2к +Р2а ’
где Ргк и /?2а — парциальные давления кислорода и азота.
После соединения баллонов каждый из газов будет иметь
объем, равный сумме вместимостей баллонов:
V2K=V2a=V1K+Vla.
Запишем параметры двух состояний газов.
Для кислорода: V1K и р1к до соединения баллонов, V2k ир2к
после соединения.
Для азота: Vla и р1а до соединения баллонов, V2a и р2а после
соединения.
67
Для определения неизвестных парциальных давлений р2к и
р2а воспользуемся законом Бойля—Мариотта V1p1 = V2p2:
, PiK^iK , 2-105-3-10-3 Па м3
, = fik. 1к ,------------------— = 0,6 -105 Па;
Р2к „ »К2к (3 + 7).10-з з
f2k
, Pia Fla , 3-105-7-10-3 Па м3 л, „
P2a= ; jP2a =-----------------5------— = 2Д-105 Па.
V2 (3 + 7) -IO-3 м3
Найдем искомое давление:
р = (0,6 + 2,1) • 105 Па = 2,7 • 105 Па = 270 кПа.
Плотность смеси газов определим по формуле
тпсм _ тк +тя
V1K +Vla V1K + Vla '
Но массы кислорода и азота определим, используя уравне-
ние Клайперона-Менделеева
pV = — RT:
М
т P1KVlKMK PiaVlaM,
-- ------, т„ —-------
RT RT
--------------------------------------------(2 105 -ЗЮ-3 -32-10-3 +
8,31 290 10-2
+310s-710-3 28-10"3)
Пам3кгмоль 1
Дж-моль-1-К-1 -К-м3
— 3,2 кг/м3.
Ответ. Давление смеси газов 270 кПа, а ее плотность
3,2 кг/м3.
Пример 26. Сколько кислорода находилось в баллоне вме-
стимостью 290 л, если присоединенный к нему технический
манометр показал 308,7 кПа при температуре газа 17°С? Какой
объем занял бы кислород при нормальных условиях?
Д а н о: V - 290 л = 0,29 м3 — объем кислорода; Т = 290 К —
его температура; рм = 308,7 кПа = 308,7 • 103 Па — показание ма-
нометра; р0 = 101,3 кПа = 101,3 103 Па — атмосферное давле-
ние; из таблиц: М = 32 • 10-3 кг/моль — молярная масса кисло-
рода; R = 8,31 Дж/(моль • К). р0 = 1,43 кг/м3.
Н а й т и: т — массу кислорода и Vo — его объем при нор-
мальных условиях.
68
Решение. Для определения массы воспользуемся уравне-
нием Клапейрона-Менделеева
т____
pv = — RT,
М
где R — молярная газовая постоянная.
Известно, что манометр показывает не давление газа, а раз-
ность между давлением газа и атмосферным, поэтому
р =ры + р0 = 410 • 103кПа.
Масса кислорода
(Рм +PoWM
т =-----------;
RT
410-Ю3 -0,29-32 103 Па м3 кг моль’1
т =------------------------------;---— 1,58кг.
8,31-290 Дж-моль ’-К 1 - К
Используя табличное значение плотности р0, определяем объ-
ем Ио:
' = —-V .Л58 КГ
ро 1,43 кг-м
О т в е т. В баллоне находилось 1,58 кг кислорода; при нор-
мальных условиях его объем составил 1,1м3.
Пример 27. Какой из двух изотерм, изображенных на рис. 7
и построенных для одной и той же массы газа, соответствует бо-
лее высокая температура?
Решение. Построим на графике изохору для некоторого
объема Ир Изохора пересекается с изотермами в точках 1 и 2, ко-
торым соответствуют давления рг и р2. При постоянном объеме
Рис. 7
69
Vj давления прямо пропорциональны термодинамическим тем-
пературам (закон Шарля):
Р2 _ *^2
Pi
Поскольку р2 >рг, то и Т2 > Т\. Таким образом, изотерма, со-
ответствующая более высокой температуре, расположена даль-
ше от начала координат.
Пример 28. Начертите графики изотермического, изобарно-
го и изохорного процессов для одной и той же массы газа в коор-
динатах р, V;p,T и V, Т.
Решение. Для удобства графики перечисленных в усло-
вии изопроцессов обозначим цифрами 1, 2, 3.
1. Изотермический процесс. Для этого процесса зависимость
между давлением и объемом обратно пропорциональная (pV =
= const), и в координатах р, V она изображается гиперболой
(рис. 8, а). В координатахр^Тг и V, Тэтот процесс изображается
прямыми линиями (рис. 8, би в). Все эти графики называют
изотермами.
2. Изобарный процесс. Зависимость между объемом и термо-
динамической температурой при неизменной массе и постоян-
ном давлении прямо пропорциональная и описывается уравне-
нием
V/T = const.
В координатах р, V изобара 2 представляет собой прямую,
параллельную оси OV; в координатах р, Т — прямую, парал-
лельную оси ОТ; в координатах V, Т — прямую, продолжение
которой проходит через начало координат (рис. 8, а—в).
3. Изохорный процесс. Зависимость между давлением и
термодинамической температурой при неизменной массе и
70
постоянном объеме прямо пропорциональная и определяет-
ся уравнением
р/Т = const.
Рассуждая так же, как при изобарном процессе, получаем
графики изохор 3, изображенные на рис. 8, а-в.
Пример 29. Процесс изменения состояния идеального газа
для одной и той же массы показан на рис. 9, а, причем на участ-
ке 3-1 процесс изотермический. Изобразите замкнутый цикл в
координатах р, Т и V, Т. Опишите изменение состояния газа на
отдельных участках цикла.
Решение. На рис. 9, а участок 1-2 соответствует изобар-
ному процессу; 2-3 — изохорному.
Для построения графиков этого цикла в координатах р, Т и
V, Т потребуется температура, которую можно определить, ис-
пользуя значения давления и объема для обозначенных точек
на рис. 9, а. Используя эти значения с помощью уравнения
Клайперона-Менделеева определяем температуру для точек 11
3,2и строим графики (рис. 9, б-в).
Пример 30. Поршневой насос с рабочим объемом цилиндра
0,30 л соединен с баллоном вместимостью 3,0 л, в котором нахо-
дится воздух при нормальном атмосферном давлении. Каким
станет давление воздуха в баллоне после трех рабочих ходов
поршня, если режим работы: 1) нагнетательный; 2) разрежаю-
щий? Изменение температуры не учитывайте.
Дано: Vj = 0,30 л = 0,30 • 10"3 м3 — рабочий объем цилинд-
ра, Vz = 3,0 л = 3,0 • 10-3 м3 — вместимость баллона, п = 3 — чис-
ло рабочих ходов; из таблиц: р0 — 1,013 • 105 Па — нормальное
атмосферное давление; АТ = 0 — изменение температуры не
происходит.
Н а й т и: рн ирр — давление после п ходов поршня при: 1) на-
гнетательном и 2) разрежающем режимах работы.
71
Р е ш е н и е. 1) После п рабочих ходов поршня насос заберет
из атмосферы объем воздуха пУг. Этот воздух в баллоне создаст
парциальное давлениерп. На основании закона Бойля-Мариот-
та запишем
V2pn =nViP0,
откуда
Рп = п~Ро-
*2
Давление воздуха в баллоне в режиме нагнетания
Ри =Pn +Ро =Ро I +11
Производя вычисления, получим:
( О 30 10“3 м3 А
р„ =1,013 105 Па ———1-1 =1Д2105 Па =132 кПа.
I 3,010~3м3 I
2) До начала первого рабочего хода поршня воздух в баллоне
занимал объем V2 при давлении р0. К концу первого хода порш-
ня воздух той же массы и в объеме V2 + Vj находился при давле-
нии pr С учетом того, что ДТ = 0, можно записать:
Pl = (V2+V1) = p0V2,
откуда
В начале второго хода объем и давление в баллоне были V2 и
а в конце V2 + и р2, откуда
V2 f V2 У
p°-
По прошествии третьего хода
После подстановки числовых данных, получим
ГЗ,0103м3У _ _
р =р------—- -1,013-Ю5 Па=0,692-105 Па = 69кПа.
1 Ю м J
Ответ. После трех ходов поршня давление воздуха в балло-
не: 1) 132 кПа; 2) 69 кПа.
72
7.1. В сосуде при нормальных условиях содержится 10,2 л
газа. Какой объем займет этот газ при температуре 40°С и давле-
нии 1,0 МПа?
7.2. Газ при температуре -50°С и давлении 196 кПа занимает
объем 4,0 л. При каком давлении этот газ займет объем 16 л по-
сле нагревания до 20°С?
7.3. При какой температуре 4,0 м3 газа создают давление
0,15 МПа, если при нормальных условиях газ той же массы за-
нимает объем 5,0 м3?
7.4. В баллоне вместимостью 45 л хранится кислород под
давлением 1,52 МПа при температуре 27°С. Какой объем за-
нял бы этот газ при нормальных условиях? Какова его
масса?
7.5. При автогенной сварке используют сжатый кислород,
который хранится в баллонах вместимостью 20 л под давлени-
ем 9,8 МПа при температуре 290 К. Приведите объем кислорода
к нормальным условиям и определите его массу.
7.6. При нормальных условиях неон занимает объем 12,4 л.
Во сколько раз возрастет давление, если тот же газ заключить в
сосуд вместимостью 5,6 л при температуре 318 К?
7.7. Идеальный газ, находясь под давлением 1,33 кПа при
температуре 15°С, занимает объем 2,0 л. Каким будет его давле-
ние, если температура повысится в 2 раза, а объем уменьшится
на 0,25 первоначального объема?
7.8. В баллоне вместимостью 6,0 л находится 0,1 кг газа при
температуре 300 К и давлении 9,44 • 105 Па. Определите моляр-
ную массу и название газа.
7.9. Какое количество газообразного вещества, выраженное
в молях, находится в баллоне вместимостью 10 л под давлением
0,29 МПа и температуре 17°С?
7.10. В баллоне вместимостью 40 л хранится 64 г кислорода
под давлением 213 кПа. Определите его температуру и плот-
ность.
7.11. В баллоне хранится 40 л диоксида углерода при темпе-
ратуре 286 К и давлении 2,7 МПа. Определите массу газа, коли-
чество вещества и концентрацию молекул.
7.12. Определите количество вещества в газе, если при дав-
лении 0,14 МПа и температуре 300 К он занимал объем 25 л. Ка-
кова концентрация молекул газа?
7.13. Альпинист при каждом вдохе поглощает 5,0 г воздуха
при нормальных условиях. Какой объем воздуха должен вды-
хать альпинист в горах, где давление ниже атмосферного и со-
ставляет 79,8 кПа при температуре -13°С?
73
7.14. На какую часть от первоначального изменится давле-
ние идеального газа, если его температура повысится на 1/5, а
объем газа уменьшится в 2 раза?
7.15. Газ, находящийся под давлением 200 кПа при темпера-
туре 27°С, занимает объем 40 л. Определите число молекул и ко-
личество вещества в сосуде.
7.16. Вычислите молярную массу бутана, 2,0 л которого при
температуре 15°С и давлении 87 кПа имеют массу 4,2 г. Опреде-
лите концентрацию молекул бутана.
7.17. В дизеле в начале такта сжатия температура воздуха
была 40°С, а давление 78,4 кПа. Во время сжатия объем умень-
шился в 15 раз, а давление возросло до 3,5 МПа. Определите
температуру воздуха в конце такта сжатия.
7.18. 265 г газа при температуре 0°С и давлении 5 МПа зани-
мают объем 60 л. Какой это газ?
7.19. Определите массу воздуха в помещении 6 х 5 х 3 м3 при
температуре 17°С и давлении 101,3 кПа. Молярная масса возду-
ха 29 • 10"3 кг/моль.
7.20. До какой температуры нагреется газовая смесь в цилин-
дре двигателя внутреннего сгорания, если в результате сжатия
объем уменьшился в 8 раз, а давление возросло до 1,52 МПа? До
сжатия газовая смесь имела температуру 50°С при нормальном
атмосферном давлении.
7.21. Баллон содержит газ при температуре 7°С и давлении
91,2 МПа. На сколько понизится давление, если из баллона вый-
дет 0,25 массы газа и при этом температура поднимется до 27°С?
7.22. Стальной баллон вместимостью 100 л выдерживает
давление 3,0 МПа. Каким запасом прочности1 обладает баллон,
если в нем при температуре 20°С находится 1,5 кг азота? При
какой температуре возникнет опасность взрыва?
7.23. Определите плотность кислорода при температуре 47°С
и давлении 105 Па.
7.24. На высоте 10 км от поверхности земли давление возду-
ха приблизительно равно 30,6 кПа, а температура 230 К. Опре-
делите плотность воздуха, концентрацию молекул и их сред-
нюю квадратичную скорость на этой высоте.
7.25. Некоторый газ массой 7 г заключен в баллон при темпе-
ратуре 27°С, который создает давление 4,9 • 104 Па. В том же
объеме 4 г водорода при температуре 60°С создают давление
43,5 • 104 Па. Определите молярную массу неизвестного газа и
назовите его.
1 Запас прочности k = pmrJp.
74
7.26. Сухой атмосферный воздух состоит из кислорода, азота
и аргона. Не учитывая другие компоненты, доля которых очень
мала, определите массы этих газов в 1 м3 атмосферного воздуха
при нормальных условиях, если парциальные давления соот-
ветственно равны 2,1 • 104 Па, 7,8 • 104 Па, 103 Па.
7.27. В сосуде вместимостью 10 л при температуре 27°С и под
давлением 105 Па находится диоксид углерода. Какое давление
установится в сосуде, если в него ввести 14 г азота при той же
температуре? Определите массу диоксида углерода. Считайте,
что химические реакции не происходят.
7.28. Два баллона вместимостью 6 и 4 л при температуре 20°С
заполнены водородом при давлении 300 кПа и азотом при дав-
лении 500 кПа. В баллонах после их соединения образовалась
механическая смесь газов с той же температурой. Определите
давление смеси и ее плотность.
7.29. Баллон с газом находился на открытом воздухе при
температуре 17°С. Манометр на баллоне показывал 285 кПа1.
Какой стала температура окружающего воздуха, если мано-
метр стал показывать 250 кПа? Атмосферное давление считай-
те равным 105 Па.
7.30. Камеру футбольного мяча вместимостью 2,5 дм3 необ-
ходимо накачать так, чтобы давление в ней стало 300 кПа. На-
сос за одно качание набирает 0,14 л воздуха при атмосферном
давлении 101,3 кПа. Сколько потребуется качаний, если вна-
чале камера была пустой?
7.31. Резервуар компрессора вместимостью 30 л соединен с
нагнетающим насосом объемом 600 см3. Начальное давление в
резервуаре равно 750 мм рт. ст. Какое давление установится в
резервуаре после 100 качаний поршня насоса? Температуру
считайте постоянной.
7.32. Разрежающий насос вместимостью VB = 0,5 л соединен
с резервуаром вместимостью Vp = 10 л. Начальное давление газа
в резервуаре р0 = 105 Па. Какое давление установится в резер-
вуаре после двух рабочих ходов поршня насоса? Температуру
считайте постоянной.
7.33. Вместимость разрежающего насоса в 4 раза меньше
вместимости резервуара, с которым он соединен. Каким было
первоначальное давление в резервуаре, если после двух ходов
поршня насоса оно стало 50 кПа? Температуру считайте посто-
янной.
Стрелка на шкале манометра показывает, на сколько давление газа в балло-
не больше атмосферного.
75
7.34. В пресной воде на глубине 5,0 м находится пузырек воз-
духа объемом 0,5 см3. Определите его объем у поверхности воды.
Атмосферное давление нормальное. Считайте, что изменение
температуры до заданной глубины воды не происходит.
7.35. Постройте графики изотермического процесса в коор-
динатах V, Т кр, Т.
7.36. Гелий и водород находятся при одинаковой температу-
ре и имеют равные массы. Изобразите в координатах р, V изо-
процессы этих газов. Для какого газа график ближе к началу
координат?
7.37. Какая из точек на рис. 7.1 для 1 моль идеального газа
соответствует более высокой температуре? Почему? Покажите
на графике две произвольные точки, для которых 1 моль газа
будет иметь одинаковую температуру.
7.38. Представьте на графиках изобарный процесс в коорди-
натах V, Т; р, V; р, Т.
7.39. На рис. 7.2 две изобары построены для одной и той же
массы газа. Какой изобарный процесс протекает при большем
давлении и почему?
7.40. Газ изобарно нагревался от температуры Тг до Т2 (рис. 7.3).
Какие изменения произошли с газом?
7.41. Какой объем займет идеальный газ при температуре
348 К, если при 35°С его объем был 7,5 л? Процесс изобарный.
7.42. При температуре 27°С идеальный газ занимает объем
10 л. До какой температуры его следует охладить изобарно,
чтобы объем уменьшился на 0,25 первоначального?
7.43. На сколько кельвин надо нагреть газ изобарно, чтобы
его объем по сравнению с объемом при 0°С увеличился в 1,3 раза?
7.44. Замкнутый цикл изменения состояния идеального газа
представлен на рис. 7.4. В каких точках температура газа будет
минимальной? максимальной? одинаковой? Для подтверждения
3
2
1
2
0 12 3 V
Рис. 7.1
76
правильности ответов постройте график этого процесса в коорди-
натах рТ.
7.45. Некоторая масса газа совершает замкнутый цикл
1-2-3-1, в котором состояние газа меняется изобарно-изохор-
но-изотермически. Показать изопроцессы этого цикла в коор-
динатах V, Т и р, V.
7.46. Показать на графике изохорный процесс изменения со-
стояния идеального газа в координатах р, V;p,T и V, Т.
7А7. В закрытом сосуде при температуре -18°С находится
газ под давлением 85 кПа. Каким будет давление газа при тем-
пературе 310 К? Изменение объема сосуда не учитывайте.
7.48. При какой температуре находился газ в закрытом сосу-
де, если при ее повышении на 180 К давление газа возросло в
1,6 раза?
7.49. При изохорном нагревании на 1К давление газа возрос-
ло на 1/373 от его первоначального значения. Определите пер-
воначальную температуру газа.
7.50. С какой целью в процессе изготовления газополых элек-
трических ламп их заполняют криптоном при низком давлении?
7.51. В замкнутом цикле, изображенном на рис. 7.5, точкам
2 и 4 соответствует одинаковая температура. Для каких точек
77
она будет минимальной? максимальной? Представьте замкну-
тый цикл в координатах р, Т.
7.52. Аэростат вместимостью 4500 м3 наполнен гелием при
температуре 290 К. Масса оболочки 677 кг. Определите подъем-
ную силу аэростата при температуре воздуха 27°С. Атмосферное
давление 102 кПа считайте неизменным.
7.53. Воздушный шар вместимостью 500 м3 заполнен горя-
чим воздухом и сообщается с атмосферой, давление которой
100 кПа. Температура окружающего воздуха 20°С. До какой
температуры необходимо нагреть воздух внутри оболочки, что-
бы подъемная сила шара была равна 1,15 кН? Масса оболочки
110 кг, молярная масса воздуха 29 10-3 кг/моль.
7.54. Аэростат вместимостью 1000 м3, заполненный горячим
воздухом, температура которого 250°С, сообщается с окружаю-
щим воздухом, температура которого 20°С. Масса оболочки и
кабины 150 кг. Определите силу натяжения вертикального ка-
ната, удерживающего аэростат. Атмосферное давление 98,7 кПа;
массу каната не учитывайте.
§ 8. Изменение внутренней энергии в процессе
теплопередачи и при совершении механической
работы. Первое начало термодинамики
Основные понятия, законы и формулы
При соприкосновении нескольких тел, находящихся при раз-
личных температурах, происходит теплообмен, в результате
которого температура тел становится одинаковой, наступает те-
пловое равновесие. При этом внутренняя энергия нагревающих-
ся тел увеличивается за счет энергии, которую отдают тела с
более высокой температурой. Установлено, что изменение внут-
ренней энергии тела прямо пропорционально массе тела и изме-
нению его температуры:
ДС7 Q стпДТ,
где Q — количество теплоты как мера изменения внутренней
энергии, выражается в джоулях (Дж); с — коэффициент пропор-
циональности, называемый удельной теплоемкостью вещества.
Например, удельная теплоемкость стали 460 Дж/(кг-К) по-
казывает, что при нагревании 1 кг стали на 1 К ее внутренняя
энергия увеличивается на 460 Дж.
Для определения удельной теплоемкости тел используют ка-
лориметр. Все данные, полученные при проведении опыта, по-
зволяют составить уравнение теплового баланса.
78
Например, тело массой т1 удельной теплоемкостью Cj имеет
температуру 7\ и участвует в теплообмене с телом, масса кото-
рого т2, удельная теплоемкость с2 и температура Т2. Известно,
что > Т2. Тогда первое тело отдает количество теплоты
Сотд ~®)-
Второе тело в процессе теплообмена получает количество
теплоты
©пол =c2/nz(®—
где 0 — конечная температура обоих тел. Основываясь на зако-
не сохранения энергии для изолированной системы
Qi +©2 +©з +...=о,
запишем
©отд + ©пол =0-
Отсюда
Cim^Ti -в)=сгт2(е-Т2).
Мы получили уравнение теплового баланса для системы из
двух тел.
Необходимо иметь в виду, что удельная теплоемкость зависит
не только от рода вещества, но и от условий, при которых проис-
ходит нагревание. Например, для газов удельная теплоемкость
при постоянном давлении больше, чем при постоянном объеме.
Тело может нагреваться в процессе сжигания топлива. Вы-
делившееся при этом количество теплоты прямо пропорцио-
нально массе сгоревшего топлива и зависит от его рода:
Q = qml,
где q — удельная теплота сгорания топлива, выражаемая в джо-
улях на килограмм (Дж/кг); тг — масса сгоревшего топлива.
В процессе теплопередачи не вся теплота сгоревшего топли-
ва идет на полезное нагревание, часть ее рассеивается в окру-
жающей среде. Поэтому вводится понятие коэффициента по-
лезного действия нагревателя:
©затр
Если Сполезн = стАТ, a Q3aTp = qmlt то
стпДТ
Т| =-------------------------------.
Внутренняя энергия тела или системы тел может изменять-
ся за счет совершения механической работы. Механическая
79
энергия тела или системы тел может полностью перейти во
внутреннюю энергию, пойти на нагревание тела.
Первое начало термодинамики (закон сохранения и превра-
щения энергии). Количество теплоты, переданное системе, рас-
ходуется на увеличение ее внутренней энергии и на совершение
работы против внешних сил:
Q^AO’+A.
Для произвольной массы газа внутренняя энергия
i т i
U =----RT = -pV,
2М 2
здесь для одноатомных газов i = 3, для двухатомных i = 5 и,
если газ многоатомный i = 6.
С изменением температуры изменяется внутренняя энергия
AU = -—RAT.
2М
При изохорном процессе V = const, следовательно,
А= рЛУ = O;Q = AU;
теплота, переданная газу, целиком идет на увеличение его внут-
ренней энергии.
При изобарном процессе, протекающем при постоянном дав-
лении теплота, переданная газу, расходуется и на увеличение
его внутренней энергии, и на совершение работы по расшире-
нию газа:
Q = &U+А или Q = Ли+рЛУ.
При изотермическом процессе Т = const, следовательно, внут-
ренняя энергия газа не изменяется. Поэтому
Q=A.
Теплота, переданная газу при изотермическом процессе, пол-
ностью расходуется на выполнение им механической работы.
Адиабатный процесс протекает при отсутствии теплообмена
с окружающей средой, поэтому Q = О. В этом случае первое на-
чало термодинамики будет иметь вид
О = Ли+А, или А - -Ли.
Таким образом, газ при адиабатном расширении совершает
работу за счет убыли внутренней энергии, вследствие чего газ
охлаждается.
В термодинамике процесс называют обратимым, если в пер-
воначальное состояние возвращается как сама система, так и
80
тела, с которыми она взаимодействует. Такой процесс называ-
ют круговым или циклом. Основой тепловых двигателей явля-
ются круговые процессы.
Коэффициентом полезного действия тепловой машины на-
зывают отношение работы, совершенной машиной, к количест-
ву теплоты, полученной от нагревателя:
A (Qi ~Qz)
и = — или п =------,
Q Qj
где Q1 и Q2 — соответственно теплота, полученная от нагревате-
ля и отданная холодильнику.
Максимальное значение КПД для идеальной машины пред-
ложил С. Карно:
где 7\ и Т2 — соответственно температуры нагревателя и холо-
дильника.
Одной из важнейших технических задач при разработке те-
пловых двигателей является повышение их коэффициента по-
лезного действия.
Примеры решения задач
Пример 31. Для определения удельной теплоемкости меди
медный цилиндр массой 0,5 кг нагрели до 100°С, затем опустили
в алюминиевый калориметр массой 40 г, содержащий 300 г воды
при температуре 15°С. В результате теплообмена в калориметре
установилась температура 26°С. Какова удельная теплоемкость
меди? Сравните полученный результат с табличным значением,
определите абсолютную и относительную погрешности.
Дано: тк = 0,5 кг — масса медного цилиндра; t = 100°С —
начальная температура цилиндра; тв = 40 г = 0,04 кг — масса
калориметра; тв = 300 г = 0,3 кг масса воды; = 15°С — на-
чальная температура воды и калориметра; 0 = 26°С — темпе-
ратура, установившаяся при тепловом равновесии; из таблиц:
са = 880 Дж/(кг • К), св = 4187 Дж/(кг • К) — удельные теплоем-
кости соответственно алюминия и воды; стаб = 380 Дж/(кг • К) —
табличное значение удельной теплоемкости меди.
Найти: см — удельную теплоемкость меди; Де — абсолют-
Дс
ную погрешность измерения;-------относительную погреш-
^таб
ность измерения.
81
Решение. В результате теплообмена в калориметре вырав-
нивается температура всех тел — наступает тепловое равновесие.
Нагретый цилиндр отдает теплоту Qma и охлаждается от t до 0:
Сотд
Калориметр и вода, получая теплоту, нагреваются от до 0:
Фпол =ся™а(0-л)+Св™в(е-М
или
Спел =(сатя +cBmB)(0-t1).
На основании закона сохранения энергии приравниваем те-
плоту, отданную медным цилиндром, к теплоте, полученной
калориметром и водой:
О =О .
*'-ОТД **ПОЛ*
Следовательно,
cMmK(t-e) = (cama +свтв)(0-/1).
Такое равенство справедливо при отсутствии потерь. Полу-
ченное уравнение теплового баланса позволяет найти любую из
входящих в него величин (в данном примере это см):
(сата +свтв)(е-«!)
См =----------------»
mM(t-6)
(8800,04+4187 0Д)-(299-288)(Дж/кгК)кгК
с„ =------------------------------------------=
0,5 (373-299) кг-К
= 384 Дж/(кг-К).
Абсолютная погрешность
Ас=см-стаб Ас =(384-380)Дж/(кг-К) = 4Дж/(кг-К).
Относительная погрешность
Ас
---100%
^таб
4 Дж/(кг-К)
380 Дж/(кг-К)
•100% =1,0%
Ответ. Удельная теплоемкость меди 384 Дж/(кг • К); абсо-
лютная и относительная погрешности приближенно составля-
ют 4 Дж/(кг • К) и 1,0%.
Пример 32. Вода массой 150 г, налитая в латунный калори-
метр массой 0,2 кг, имеет температуру 12°С. Найдите темпера-
туру, которая установится в калориметре после погружения в
воду железной гири массой 0,5 кг, нагретой до 100°С. Пред-
ставьте график зависимости температуры от количества тепло-
ты при теплообмене.
82
Дано: тв — 150 г = 0,15 кг — масса воды в калориметре;
тк = 0,2 кг — масса калориметра; Тв = 285 К — начальная тем-
пература воды и калориметра; тж = 0,5 кг — масса гири (желе-
зо); Тж = 373 К — начальная температура гири; из таблиц: сл =
= 380 Дж/(кг-К), св = 4100 Дж/(кг-К) и сж = 460 Дж/(кг-К) —
удельные теплоемкости соответственно латуни, воды и железа.
Н а й т и: 0 — температуру, установившуюся в калориметре.
Решение. В результате теплообмена, происходящего в ка-
лориметре, внутренняя энергия гири уменьшается, а внутренняя
энергия калориметра и воды увеличивается. Мерой изменения
внутренней энергии является количество теплоты. Охлаждаясь,
гиря отдает количество теплоты
Сотд = = СЖ тж (Тж ~ 6)-
Калориметр и вода, получая это тепло, нагреваются:
<2пол =Qb+Qk =свтпв(е-Т в)+слтл(0-Г в).
По закону сохранения энергии
Сотд — Спол или еж —QB +QK;
Сжтж(^ж -О)=Свтв(О-Тв) + Ск7Пк(0-Т’в).
Полученное уравнение теплового баланса решим относитель-
но неизвестной температуры 0, установившейся в калориметре
при тепловом равновесии. Для этого раскроем скобки:
-сжтпж0=crJn,fi-cnm.,TB +сктк8-скткТв
и запишем решение относительно 6 в общем виде:
„ сжтжТж+(свтв+сктк)Тв
___ ЛЧ ЛЧ Л4 X В В 14 14 Z г*
с„т„ +сжтж +сктк
в в лч лч в. к
Произведем вычисления, подставив числовые значения:
0 _ 460-0,5 373+(4190 0,15+380 0,2) 285 Дж кг 1 К 1 -кг- К
4190-0,15+460-0,5+380-0^ Дж-кг^-К’1 -кг
6 = 34°С.
График процесса t = f(Q) представлен на рис. 10. Прямая АВ
показывает изменение температуры гири и количество отдан-
ной теплоты (проекция АВ на ось OQ). Прямая СВ показывает
изменение температуры калориметра и воды, а ее проекция на
ось OQ — количество поглощенной теплоты. Линии CD и СЕ —
это изменение температуры калориметра и воды.
83
Несмотря на то, что разность температур в обоих случаях
одинакова, различный наклон этих линий говорит о том, что
вода поглощает большее количество теплоты, чем калориметр.
Ответ. Температура, установившаяся в калориметре, при-
близительно равна 307 К или 34°С.
Пример 33. Стальной шарик при свободном падении на вы-
соте 68,75 м имел скорость 15 м/с и в результате удара о землю
поднялся на высоту 0,5 м. На сколько повысилась температура
шарика, если считать, что потери энергии составили 50% ? Ус-
корение свободного падения примите равным 10 м/с2.
Дано:Н = 68,75м — высота с обозначенной скоростью; Vj =
= 15 м/с — скорость шарика на высоте H’,h = 0,50 м — высота,
на которую подскочил шарик; ДЕК = 50% =0,5 — потери энер-
гии; из таблиц: с = 460 Дж/(кг-К) — удельная теплоемкость
стали; g = 10 м/с — ускорение свободного падения.
Найти: АТ — изменение температуры шарика при ударе.
Решение. Кинетическая энергия Ек, которую приобрел
шарик в момент соударения с землей, за вычетом потерь пошла
на его нагревание на Д71 и потенциальную энергию шарика на
высоте й:
0,5Е к = Q +Е п ил и 0,5 т1>2 = ст АТ+mgh.
2
После сокращения на т получим
0,25i>2 = cAT+gh,
откуда
(0^5u2-gft)
с
84
Скорость шарика в момент соударения с землей
v2 = y]vl +2gH; v2 = 7(225+2 1°-68»75)M2/c2 = 40м/с.
Окончательно получаем:
m 0,25 1600-5 м2-с2
Д7 = —------------------
460 Дж-кг 1-К 1
= 0Д6К.
Ответ. Температура шарика повысилась приблизительно
на 0,86 К.
Пример 34. Определите КПД плавильной печи, в которой
для нагревания 0,50 т алюминия от 282 К до температуры плав-
ления было израсходовано 70 кг каменного угля марки А-1.
Д а н о: тя = 0,50 т = 500 кг — масса алюминия; 7\ — 282 К —
начальная температура алюминия; ту = 70 кг — масса, угля;
из таблиц: са = 880 Дж/(кг-К) — удельная теплоемкость алю-
миния; Тил = 932 К — температура плавления алюминия; q =
= 2,05 • 107 Дж/кг — удельная теплота сгорания угля.
Н а й т и: Т] — КПД печи.
Решение. Для нагревания алюминия от температуры 7\ до
температуры плавления потребуется количество теплоты (?пол.
«пол =сата(71пл -7\).
При сжигании угля выделяется количество теплоты
С?затр t/Шу»
КПД печи выражается отношением количества теплоты, за-
траченной на нагревание алюминия, к теплоте, полученной от
сжигания топлива:
„ Спел „ СатАТ^-Т^
Г] —-- или Т] =---------;
^затр
880 Дж/(кг-К)-500кг-650К
2,05-Ю7 Дж/кг-70кг
= 0,2 или 20%.
Ответ. КПД печи приблизительно равен 20%.
Пример 35. Двигатель мотоцикла развивает мощность 4,0 кВт
при скорости 72 км/ч и имеет КПД 22%. Какое расстояние прой-
дет мотоцикл, имея 4,0 л бензина? На сколько километров пути
хватило этого топлива, если бы при той же мощности двигатель
работал по циклу Карно? Максимальная температура в камере
сгорания 800°С, а температура холодильника (отработанных га-
зов) 100°С.
85
Д а н о: Р = 4,0 кВт = 4,0 • 103 Вт — мощность двигателя; v =
= 72 км/ч = 20 м/с — скорость мотоцикла; Т| = 22% = 0,22 —
КПД двигателя; V = 4,0 л = 4 • 10-3 м3 — расход бензина; Тг =
= (800 + 273) К = 1073 К — температура в камере сгорания; Т2 =
= (100 + 273) К = 373 К — температура холодильника (отрабо-
танных газов); из таблиц: р = 7,0 • 102 кг/м3 — плотность бензи-
на; q = 4,6 • 107 Дж/кг — удельная теплота сгорания бензина.
Найти: Sj— расстояние, которое пройдет мотоцикл, расхо-
дуя имеющийся бензин; s2 — расстояние, которое мог бы прой-
ти мотоцикл с этим трпливом, если бы двигатель работал по
циклу Карно.
Решение. Для определения пройденного пути формулу
КПД двигателя преобразуем, включив мощность, массу топли-
ва и скорость:
W Pt
_ rr пол х *
Л— ~ »
^затр Qm
где t -sx/v, m = pV.
Заменив время t и массу m, получим
Psi
ц =——•
qpVv
Отсюда
T]gpVv
s, =-----;
P
0,22-4,6107 Дж/кг-7,0102кг/м3-4,010-3м3-20м/с-1
Si — — —
4,0103Bt
= 141,7103m.
Определим, какой путь прошел бы мотоцикл с тем же топли-
вом, если бы двигатель работал по циклу Карно. Для этого за-
пишем выражение КПД идеального теплового двигателя:
Т!-Т2
Лид — У ’
где 7\ — температура нагревателя, а Т2 — температура холо-
дильника. Находим численное значение КПД:
1073-373 К „п,
Г|ил =------------ 0,65 или 65%.
1ид 1073 К
Подставив значение т]ид в формулу для определения пути,
получим:
0,65-4,6-Ю7 Дж/кг-7,0-102 кг/м3 Л.О Ю 3 м3 -20 м/с
s2 =--------------------------------------------= 421 км.
4,0103 Дж/с
86
Ответ. 142 км пройдет мотоцикл на имеющемся топливе;
если бы двигатель работал по циклу Карно, топлива хватило бы
на 421 км.
Пример 36. При изобарном расширении 80 г кислорода с
температурой 300 К его объем увеличился в 1,5 раза. Определи-
те количество теплоты, израсходованное на нагревание кисло-
рода, работу, совершенную для его расширения, и изменение
внутренней энергии газа.
Дано:т = 80г = 0,08 кг — масса кислорода; Тг = 300 К —
начальная температура кислорода; V2 — 1,5 Vj — конечный объ-
ем кислорода; из таблиц: R = 8,31 Дж/(моль • К) — молярная га-
зовая постоянная; М = 32 • 10 3 кг/моль — молярная масса газа;
ср = 920 Дж/(кг-К) — удельная теплоемкость кислорода при по-
стоянном давлении.
Н а й т и: Q — количество израсходованной теплоты; А — ра-
боту при изобарном расширении; АС7 — изменение внутренней
энергии газа.
Решение. Для нагревания газа потребуется количество
теплоты
Q = сртАТ,
где АТ = Т2“Л-
Температуру Т2 находим, используя закон Гей-Люссака, ко-
торому подчиняется изобарный процесс:
Ъ тг ’
Так как по условию задачи V2 = 1,5 Vj, то Т2 = 1,5Т1 = 1,5 •
• 300 К = 450 К.
Подставляя числовые данные, получим:
Q = 920 Дж/(кг • К) • 0,08 кг • 150 К = 11040 Дж = 11,04 кДж.
При изобарном процессе А = pAV. Если применить уравнение
Клапейрона-Менделеева, можно записать:
m
A=pAV =— RAT;
Р М
А =----°’°8КГ----8,31 -----—150К = 3116 Дж=3,12 кДж.
32 10 3 кг/моль моль-К
Первое начало термодинамики в применении к изобарному
процессу имеет вид
Q = AU+A,
следовательно,
AU = Q - A; AU = 11,04 кДж - 3,12 кДж = 7,92 кДж.
87
Ответ. Для нагревания кислорода израсходовано 11,04 кДж
теплоты; 3,12 кДж пошло на работу расширения, а 7,92 кДж на
увеличение внутренней энергии газа.
Пример 37. Идеальный одноатомный газ в количестве 3,05 •
•102 моль совершает процесс, в котором зависимость термодина-
мической температуры от объема определяется уравнением Т =
= aV2, а начальный и конечный объемы газа соответственно
равны 10 и 15 м3. Построить график процесса в р, V, координа-
тах. Вычислить работу расширения газа, изменение его внут-
ренней энергии и количество теплоты, поглощенной в этом
К
процессе. Принять а = 4 —-.
м
Д а н о: v = 3,05 • 102 моль — количество газа; Т = аР2, где a =
= 4 —----соотношение между температурой и объемом; V, =
мь
= 10 м3, V2 = 15 м3 — начальный и конечный объемы газа. Из
таблиц: R = 8,31 Дж/(моль • К) — газовая постоянная.
Найти: Построить график зависимости давления газа от объ-
ема вр, V координатах; А — работу, совершенную газом для увели-
чения объема; AL7 — изменение его внутренней энергии; Q — коли-
чество теплоты, полученной газом для совершения процесса.
Решение. Для построения графика процесса необходимо
вычислить давление газа, соответствующее начальному и конеч-
ному значениям объема, иначе, установить функциональную
зависимость давления от объема. В уравнении Клайперона-Мен-
делеева давление выражено через температуру, а в заданном при-
мере показано, как взаимосвязаны температура и объем:
pV = vRT, T = aV2.
Решая совместно эти уравнения, исключим температуру и
получим:
р = vRaV.
С учетом того, что в данном примере произведение vRa есть
величина постоянная, приходим к выводу, что давление есть
функция объема р = f(V).
Определяем давления рг и р2:
Ру =vRaVy-, p2vRaV2;
Ру = 3,05-102 -8,31 4-10МОЛЬ ДЖ Квм3 «1,01-105 Па = 101кПа;
моль-К м6
р2 = 3,05-102 -8,31-4-15 моль'Дж К м3 gl 52.108 Па =152 кПа.
моль-К-м6
88
(1)
Имея значение объема и соответствующее ему давление для
начала процесса V\ и р} и то же для конца процесса Vj)2, строим
график (см. рис. 11). Как и следовало ожидать, линия графика
изображается прямой, продолжение которой проходит через
начало координат, а площадь под ней (на рисунке это трапеция)
численно равна работе расширения газа:
^=^(Р1+Р2) (^2 -ИО, или
A = |vKa(V22-V2).
Внутреннюю энергию идеального одноатомного газа
3 3
ках 1 и 2 выразим формулами их = -vR^ nU2 = — vRT2.
2 2
Тогда изменение внутренней энергии будет равно
3
AL7 = - V-RAТ, где ЛТ = Т2 - Т\ = а( V/ - И2 ).
2
В окончательном виде получим
3
Д17 = -vJ?a(V22 -V2).
2
Для определения количества теплоты, поглощенного газом,
используем первое начало термодинамики
Q = A[/ + A (3)
Подставляя в уравнения 1, 2 и 3, известные из условия вели-
чины с их единицами, определяем работу, изменение внутрен-
ней энергии и количество теплоты:
(1,01+1,52) 105 Нм3 „
А =-------------5---—=6,33 105 Дж =633 кДж.
м2
Д17 = —-3,05 102 -8,31 4 125МОЛЬ'ДЖ К_— =1900 кДж.
2 моль-Км6
Q = (1900+633)Дж =2533кДж=2,53 МДж.
в точ-
(2)
2
89
Примечание. В результате сравнения уравнений 1 и 2, мож-
но сделать вывод о том, что изменение внутренней энергии в
три раза больше работы газа, т. е. ДС7 = ЗА, что упрощает вычис-
ления.
Ответ. При переходе газа из состояния 1 в состояние 2
была совершена работа 633 кДж; его внутренняя энергия уве-
личилась на 1900 кДж. Для совершения процесса потребова-
лось 2,53 МДж энергии.
8.1. От чего зависит удельная теплоемкость вещества?
8.2. Температура медной гири массой 1 кг понизилась от
293 К до 19°С. На сколько уменьшилась при этом ее внутренняя
энергия?
8.3. Имеются два бруска из алюминия и никеля одинаковой
массы. Их температуры понизились на 1 К. В каком из метал-
лов выделилось большее количество теплоты и во сколько раз?
8.4. На сколько изменяется внутренняя энергия 1 кг воды
при нагревании на 1 К?
8.5. Три цилиндра: свинцовый, медный и алюминиевый име-
ют одинаковый объем. У какого из них теплоемкость наиболь-
шая? наименьшая?
8.6. Две гири одинаковой массы — медная и железная — па-
дали на землю с одной высоты. Какая из них при ударе нагре-
лась до более высокой температуры? Зависит ли ответ от массы
гири?
8.7. При понижении температуры латунной гири от 289,4 до
285 К выделилось 334,4 Дж теплоты. Масса гири 200 г. Опреде-
лите удельную теплоемкость латуни.
8.8. Какое количество теплоты потребуется для нагревания
на 150 К медной пластинки, объем которой при температуре
20°С равен 200 см3?
8.9. Для ванны взято 200 л воды при температуре 283 К.
Сколько кипятка необходимо добавить, чтобы температура
воды стала 37°С?
8.10. Для аквариума смешивают 20 л воды при температуре
15°С и 2 л при 70°С. Определите установившуюся температуру.
8.11. В алюминиевом сосуде теплоемкостью 88 Дж/К нахо-
дится 0,5 дм3 воды. На сколько изменится их общая внутрен-
няя энергия при повышении температуры на 10 К?
8.12. В латунном калориметре массой 0,2 кг содержится 0,5 л
воды при температуре 100°С. На сколько и как изменится внут-
ренняя энергия калориметра с водой при понижении температу-
ры до 20°С?
90
8.13. В алюминиевый калориметр массой 40 г налили 240 г
воды при температуре 288 К. После того как брусок из свинца
массой 100 г и температурой 100°С поместили в калориметр с
водой, там установилась температура 289 К. Составьте уравне-
ние теплового баланса и определите удельную теплоемкость
свинца.
8.14. Чтобы охладить выточенную из меди деталь, имеющую
температуру 373 К, ее погрузили в 420 г воды, имеющей темпе-
ратуру 15°С. Определите массу детали, если известно, что в про-
цессе теплообмена вода нагрелась до 18°С.
8.15. Для нагревания 200 г ртути на 58,8°С потребовалось та-
кое же количество теплоты, как и для нагревания 50 г воды на
7 К. Определите по этим данным удельную теплоемкость ртути.
8.16. Определите, при какой температуре в печи осуществ-
лялась закалка 0,5 т стали, если при ее нагреве от 20°С до темпе-
ратуры закалки израсходовано 175 МДж теплоты.
8.17. До какой температуры был нагрет при закалке сталь-
ной резец массой 0,15 кг, если после погружения его в алюми-
ниевый сосуд с машинным маслом с их общей теплоемкостью
1348 Дж/К температура в сосуде повысилась от 20 до 65,3°С?
8.18. В латунный калориметр массой 128 г, содержащий
0,24 л воды при температуре 8,5°С, опущен металлический
цилиндр массой 146 г, имеющий температуру 100°С. В резуль-
тате теплообмена установилась температура 283 К. Опреде-
лите удельную теплоемкость металла, из которого выточен
цилиндр, и назовите его.
8.19. В стакане имеется 250 г воды, температура которой
80°С. На сколько понизится температура воды, если в нее опус-
тить серебряную ложку массой 50 г и температурой 293 К? По-
тери энергии составляют 20%.
8.20. Удельная теплота сгорания пороха 3,0 • 106. Что это
означает?
8.21. Сколько израсходовано природного газа, если при пол-
ном его сгорании выделилось 178 МДж теплоты?
8.22. Для нагревания 3 л воды от 20 до 100°С на газовой го-
релке было израсходовано 0,06 м3 природного газа. Определите
КПД газовой горелки.
8.23. Сколько алюминия можно нагреть от 15°С до темпера-
туры плавления в плавильной печи, КПД которой 25%, при
сжигании 20 кг нефти?
8.24. При выстреле из ствола винтовки пуля массой 9 г при-
обрела скорость 800 м/с. Определите массу порохового заряда,
если КПД выстрела 24%.
91
8.25. На сколько изменилась температура 2,0 м3 воды в кот-
ле, если в топке с КПД 50% сожжено 25 кг экибастузского ка-
менного угля?
8.26. Доменная печь за 1 мин потребляет 2200 м3 воздуха,
нагревающегося в воздухонагревателе за счет сгорания домен-
ного газа. Определите объем газа, сжигаемого за сутки, для
нагревания воздуха от 273 К до 1200°С, если потери энергии
составляют 30%.
8.27. Вагон массой 12 т, имевший скорость 60 км/ч, останав-
ливается. Определите количество выделившейся теплоты при
торможении. На сколько кельвин нагрелись чугунные тормоз-
ные колодки общей массой 72 кг, если на их нагревание пошло
60% выделившейся энергии?
8.28. Свинцовая пуля летит со скоростью 300 м/с. На сколько
изменится ее температура при внезапной остановке? Считайте,
что на ее нагревание расходуется 50% кинетической энергии
пули.
8.29. На какую высоту можно было бы поднять груз массой
0,5 т, если для этого потребовалось столько энергии, сколько
отдает латунная гиря массой 10 кг при охлаждении на 100 К?
8.30. На сколько кельвин нагреется вода, падая с высоты 120 м,
если 60% потенциальной энергии воды пойдет на ее нагревание?
8.31. Определите изменение температуры воды, падающей
на лопасти турбины с высоты 96 м, если предположить, что
50% потенциальной энергии падающей воды идет на увеличе-
ние ее внутренней энергии.
8.32. Ударная часть молота, масса которого 10 т, свободно
падает с высоты 2,5 м на железную поковку массой 200 кг.
Сколько ударов сделал молот, если поковка нагрелась на 20 К?
На ее нагревание затрачивается 30% энергии молота.
8.33. Для скрепления бревен рабочий забивает в них желез-
ный костыль массой 500 г, ударяя по нему 20 раз кувалдой,
массой 3 кг. Скорость кувалды перед ударом 12 м/с. Насколько
изменилась температура костыля, если предположить, что вся
энергия кувалды пошла на его нагревание?
8.34. Два одинаковых медных шара получили равную энер-
гию, в результате чего первый шар нагрелся, оставаясь непод-
вижным, на 40 К, а второй приобрел скорость, не нагреваясь.
Определите эту скорость.
8.35. Свинцовая пуля, летящая со скоростью 400 м/с, проби-
вает доску, причем ее скорость уменьшается до 100 м/с. На
сколько изменилась температура пули при условии, что 40%
кинетической энергии пошло на ее нагревание?
92
8.36. Двигатель трактора расходует 292 г дизельного топли-
ва за 1 ч на 1 кВт мощности. Каков КПД двигателя?
8.37. Двигатель трактора, имеющий КПД 30%, развивает
мощность 74 кВт. Сколько дизельного топлива потребуется на
1 ч работы трактора?
8.38. Тепловоз при мощности 3 МВт имеет КПД 25%. Сколь-
ко потребуется дизельного горючего для работы тепловоза на
полную мощность в течение 1 ч?
8.39. В автомобиле на 1 кВт развиваемой мощности израсходо-
вано в среднем 330 г бензина за 1 ч. Определите КПД автомобиля.
8.40. Определите мощность, развиваемую автомобилем, если
на каждый километр пути при скорости 60 км/ч расходуется
74 г бензина, а КПД двигателя равен 30%.
8.41. Двигатель автомобиля расходует 7 л бензина за 1 ч. Ка-
кую максимальную полезную мощность мог бы развить двига-
тель автомобиля, если температура газов в камере сгорания и
при выхлопе достигала соответственно 1200 и 360 К?
8.42. Газ изобарно нагрели от температуры Тг до Т2. При
этом объем его остался неизменным. Что происходило с газом?
8.43. В процессе изобарного нагревания объем газа изменил-
ся от 100 л до 1,6 м3 при давлении 200 кПа. Какую работу совер-
шил газ?
8.44. При изобарном расширении воздуха, находящегося под
поршнем в вертикально расположенном цилиндре, была совер-
шена работа 5,22 кДж. На сколько переместился поршень мас-
сой 2,2 кг и площадью поперечного сечения 50 см2, если принять
атмосферное давление 0,1 МПа, а ускорение свободного падения
10 м/с2?
8.45. Какую работу совершает идеальный газ, заполняющий
шар с растягивающей оболочкой, при нагревании от 10 до 70°С?
Начальный объем шара 5,0 л; атмосферное давление 105 Па.
Упругость оболочки шара не учитывайте.
8.46. Газ, занимающий объем 30 л под давлением 1,2 • 105 Па,
был изобарно нагрет от температуры 300 до 450 К. Определите
работу, совершенную газом.
8.47. Воздух объемом 3 м3 находится под давлением 200 кПа
и при температуре 0°С. Определите работу, совершенную возду-
хом при изобарном нагревании на 12 К.
8.48. Какая работа совершается при нагревании 160 г кисло-
рода на 20 К при постоянном давлении?
8.49. Какую работу совершает 1 моль идеального газа при
изобарном нагревании на 1 К? Зависит ли работа от давления,
начальной температуры и вида газа?
93
8.50. Воздух массой 2 кг находится в цилиндре под поршнем
при температуре 289 К. Какую работу он совершит при изобар-
ном нагревании до 373 К и на сколько при этом изменится его
внутренняя энергия?
8.51. В цилиндре под тяжелым поршнем находится 22 г ди-
оксида углерода с начальной температурой 290 К. До какой
температуры нагрелся газ, если при постоянном давлении им
была совершена работа 416 Дж? На сколько увеличилась внут-
ренняя энергия газа?
8.52. При изобарном нагревании на 159 К газом, масса кото-
рого 3,47 кг, была совершена работа 144 кДж. Определите мо-
лярную массу газа и назовите его.
8.53. Определите массу кислорода, находящегося в цилинд-
ре под поршнем, если известно, что работа, совершенная им
при изобарном нагревании на 200 К равна 16 кДж. Трение не
учитывайте.
8.54. Определите плотность воздуха при температуре 17°С и
атмосферном давлении 100 кПа.
8.55. Температура газа при изотермическом процессе остается
неизменной. На что же расходуется энергия, подводимая к газу?
8.56. При изотермическом сжатии газ отдает 100 Дж тепло-
ты. Какая совершена работа по сжатию газа?
8.57. На что расходуется энергия, переданная газу при его
изохорном нагревании?
8.58. В результате изохорного нагревания идеального газа
на 1К его давление возросло на 0,002pv Определите начальную
температуру газа.
8.59. Сколько теплоты необходимо для нагревания 20 г ге-
лия на 100 К и на сколько при этом изменится его внутренняя
энергия?
8.60. При изохорном нагревании 2 м3 диоксида углерода дав-
ление возросло на 5 кПа. На сколько увеличилась внутренняя
энергия газа?
8.61. Как изменится объем идеального газа определенной
массы при переходе из состояния 1 в 2 (рис. 8.1)?
8.62. При изохорном нагревании 14 г азота его давление воз-
росло от 100 до 300 кПа. Определите количество энергии, пере-
данной газу, начальная температура которого 27°С.
8.63. Идеальный газ нагревается от температуры Т\ до Т2.
Одинаковы ли при изобарном и изохорном процессах совер-
шенные газом работы? Изменения внутренней энергии?
8.64. Какую работу совершит одноатомный газ при переходе
из состояния 1 в состояние 4 (рис. 8.2)? На сколько увеличится
94
при этом внутренняя энергия газа и сколько к нему подведено
теплоты?
8.65. Состояние идеального одноатомного газа изменяется
по замкнутому циклу, показанному на рис. 8.3. Определите ра-
боту, совершенную за один цикл и количество теплоты полу-
ченное газом.
8.66. Определите КПД идеального теплового двигателя, ко-
торый работал бы по циклу Карно, если температуры нагрева-
теля и холодильника были соответственно 1500 и 400 К.
8.67. Возможно ли изменение температуры газа без теплооб-
мена с окружающей средой?
8.68. При адиабатном расширении газа совершена работа
100 Дж. Как и на сколько изменилась внутренняя энергия
газа?
8.69. При адиабатном расширении азота совершена работа
416 кДж. Масса азота 56 г. Определите изменение его внутрен-
ней энергии и температуры.
8.70. С одним молем идеального газа совершен замкнутый
цикл 1-2-3-4-1 (рис. 8.4). Температуры газа в точках 2 и 4 ле-
жат на одной изотерме. В точках 1 и 3 температуры соответст-
венно 200 и 400 К. Определите работу, совершенную газом за
один цикл.
95
§ 9. Свойства паров. Кипение.
Водяной пар в атмосфере
Основные понятия, законы и формулы
Процесс перехода веществ из жидкого состояния в пар назы-
вают парообразованием’, обратный процесс — конденсацией.
Парообразование возможно как при испарении, так и кипении
жидкости. При испарении пар образуется лишь со свободной
поверхности жидкости, причем оно возможно при любой тем-
пературе. При кипении образование пара происходит во всем
объеме и для каждой жидкости существует определенная тем-
пература, называемая температурой кипения.
Испарение с поверхности твердых тел называется сублимацией.
Парообразование всегда протекает с поглощением энергии.
Образование пара при кипении сопровождается поглощением
энергии извне. Испарение осуществляется за счет уменьшения
внутренней энергии испаряющейся жидкости, которая при этом
охлаждается.
Удельная теплота парообразования i-это количество теп-
лоты, необходимое для обращения в пар 1 кг жидкости при по-
стоянной температуре — температуре кипения:
Q = rm; r = Q/m.
Единица удельной теплоты парообразования — джоуль на
килограмм (Дж/кг).
Удельная теплота парообразования зависит от рода жидко-
сти и от внешних условий. С повышением температуры она
уменьшается для любых жидкостей, а при критической темпе-
ратуре становится равной нулю.
Решение задач на парообразование и конденсацию основано
на составлении уравнения теплового баланса. Вследствие того,
что в процессе кипения парообразование происходит при опре-
деленной температуре, при составлении уравнения теплового
баланса необходимо учитывать не только теплоту Q = гт, но и
Q = ст (Тк — TJ,
где Тк — температура, при которой жидкость кипит.
Следует различать процессы парообразования и конденса-
ции: в первом случае теплота поглощается, а во втором — выде-
ляется.
Удельная теплота парообразования, например аммиака 1,37 •
•106 Дж/кг; это значит столько энергии потребуется для обраще-
ния 1 кг аммиака в пар при температуре кипения (-33,4°С). Такое
же количество выделяется при конденсации. Если температура
96
аммиака ниже точки кипения, необходимо израсходовать допол-
нительное количество теплоты для нагревания аммиака до этой
температуры.
Насыщающим паром называют пар, давление и плотность ко-
торого максимальны при данной температуре. Если эти условия
не выполняются, пар называют ненасыщающим. Ненасыщаю-
щие пары по своим свойствам близки к газам, поэтому подчиня-
ются основным законам идеальных газов и тем точнее, чем мень-
ше степень насыщения. Ненасыщающий пар можно обратить в
насыщающий, уменьшая его объем и понижая температуру.
Влажность воздуха характеризует наличие водяного пара в
земной атмосфере. Абсолютная влажность ра — величина, рав-
ная плотности водяного пара, содержащегося в воздухе, или
его давлениюрв. Единица абсолютной влажности — килограмм
на кубический метр (кг/м3).
Относительная влажность <р равна отношению абсолютной
влажности ра или давления ра водяного пара в воздухе к плотно-
сти рн или давлению рк насыщающих паров при данной темпе-
ратуре:
<р = £моо% или <р =—100%.
Рн Рн
Значения плотности рн или давления рк насыщающих паров
даны в табл. 7 (см. Приложения).
При понижении температуры воздуха до температуры росы
(точки росы) относительная влажность достигает 100%.
Примеры решения задач
Пример 38. Какое количество теплоты потребуется для того,
чтобы 200 г воды, взятой при температуре 10°С, довести до ки-
пения и 10% ее превратить в пар? Считайте, что потерь энергии
нет.
Дано: т„ = 0,2 кг — масса холодной воды; t = 10°С или Т =
= 283 К — температура холодной воды; пгП = 0,1 пгв — масса
пара; из таблиц: св = 4187 Дж/(кг • К) ~ 4190 Дж/(кг • К) —
удельная теплоемкость воды; tK — 100°С или Тк = 373 К — темпе-
ратура точки кипения воды; г = 2,26 • 106 Дж/кг — удельная те-
плота парообразования воды.
Н а й т и: Q — количество теплоты (израсходованной энергии).
Решение. Поскольку вода имеет температуру ниже тем-
пературы точки кипения, необходимо ее температуру повы-
сить от Т до Тк, для чего потребуется количество теплоты Q, =
4 -2453
97
Рис. 12
= cB?nB(TK - Т). На превращение воды в пар необходимо израсхо-
довать количество теплоты Q2 — mnr, или Qz = 0,1 mBr.
По условию задачи процесс протекает без потерь энергии,
следовательно, общее количество теплоты, которое потребует-
ся израсходовать
Q = Qi + Q2-
Qr = 4190 Дж/(кг • К) 0,2 кг • 90 К = 75 420 Дж = 75,42 кДж;
Q2 = 0,1 • 0,2 кг • 2,26 • 106 Дж/кг = 4,52 • 104 Дж = 45,2 кДж;
Q = 75,42 кДж + 45,2 кДж = 120,62 кДж.
Этот процесс можно представить на графике (рис. 12). На оси
абсцисс будем откладывать количество израсходованной тепло-
ты. Для простоты значения Q, и Q2 округлим до целых чисел: 75
и 45 кДж. На оси ординат будем откладывать температуру в гра-
дусах Цельсия (в этой шкале удобнее выбрать масштаб). Анали-
зируя график, обращаем внимание на то, что парообразование
протекает при неизменной температуре, в данном примере при
100°С, следовательно, воду необходимо нагреть до этой темпера-
туры. Отрезки ОА и АВ на оси абсцисс соответствуют значениям
Qi и Q2.
Ответ. Для нагревания воды и превращения части ее в пар
расходуется приблизительно 121 кДж энергии.
Пример 39. В перегонном кубе имеется 2 м3 воды при темпе-
ратуре 10°С. Сколько необходимо сжечь древесного угля, чтобы
нагреть воду до температуры кипения и обратить в пар, если
КПД установки 45% ?
Д ан о: 7=2м3 — объем воды; tr = 10°С, tK = 100°С — соответ-
ственно начальная температура и температура воды в процессе
98
парообразования; ц = 45% = 0,45 — КПД установки; из таблиц:
р = 103 кг/м3 — плотность воды; с = 4187 ~ 4190 Дж/(кг • К) —
удельная теплоемкость воды; г — 2,26 • 106 Дж/кг — удельная
теплота парообразования воды; qy = 3,1 • 107 Дж/кг — удельная
теплота сгорания древесного угля.
Н а йти: ту — массу сгоревшего топлива.
Решение. Энергия Q = qymy, выделенная при сгорании
древесного угля, расходуется на нагревание воды до температу-
ры кипения:
Qi = cm (tK - tj
и на превращение ее в пар при этой температуре:
Q2 = rm.
На основании закона сохранения энергии и условия задачи
только 45% энергии сгоревшего топлива идет на обозначенный
процесс. Составим уравнение теплового баланса:
T]Q=Qi +Q2 или = cm(^ -ti)+rm.
Зная плотность и объем воды, найдем ее массу т = pV и после
подстановки в уравнение, решим его относительно ту:
_pV[c(tK -M+d.
fTly — 9
Л9У
_ 103кг/м3 2м3[4190 90+2,26 106]Дж/кг _380кг
ГПу~ 0,45-3,1 107 Дж/кг “ КГ‘
Ответ. Израсходовано -380 кг угля.
Пример 40. Сосуд, теплоемкость которого 266 Дж/К, содер-
жит 0,8 л воды при температуре 20°С. Сколько пара потребуется
ввести в сосуд с водой, чтобы в нем установилась температура
48°С? Температура пара 100°С. В процессе теплообмена потеря
энергии составила 20%.
Дано: с = 266 Дж/К — теплоемкость сосуда; V = 0,8 л =
= 0,8 • 10~3 м3 — объем воды в сосуде; tr = 20°С — начальная тем-
пература воды и сосуда; 0 = 48°С — температура воды и сосуда
после введения пара; t = 100°С — температура пара; AQ = 0,2Q —
потери энергии; из таблиц: р = 1 • 103 кг/м3 — плотность воды;
ci = 4187 = 4200 Дж/(кг-К) — удельная теплоемкость воды; г =
= 2,26 10® Дж/кг — удельная теплота парообразования воды.
Н а й т и: т — массу пара.
Решение. Пар в процессе конденсации и вода, полученная
из него при охлаждении до 0, отдают количество теплоты Q:
Q = rm+c1m(t-6) или Q = zn[r+c1(i-0)].
99
На графике (рис. 13) участок АВ соответствует конденсации,
а ВС — понижению температуры конденсата до 0.
Сосуд и вода, находящаяся в нем, получая некоторое коли-
чество теплоты нагреваются от температуры до 0:
Qi =(C+c1m1)(0-t1).
На графике это отрезок ОК.
По условию в данном процессе имеют место потери энергии
AQ = 0,2Q. На основании закона сохранения энергии теплота,
полученная водой и сосудом при нагревании, равна
Q,-Q 0,2Q = 0,8Q. (1)
Подставив в уравнение (1) значения Q и Qlf получим уравне-
ние теплового баланса, из которого определим массу пара т:
(С +c1m1)(0-tj) = O3^i[r+c1(i-0)];
[C+C1?n1(0-t1)]z тг X
т =--------------- (здесь т, =pV = 0,8 кг);
ОД[г+С1(#-0)] 1 Р
(266 Дж/К+4200 Д ж/(кг • К)-0,8кг-28К
т =-----------------------------------------— 0,051 кг.
0,8кг[(2,26 106 Дж/К+4200Дж/(кгК)]-52К
Ответ. Масса пара составляет 51 г.
Пример 41. В алюминиевую кастрюлю массой 600 г налили
1,5 л воды, температура которой 20°С, и поставили на электро-
плитку, КПД которой 75%. Через 35 мин вода закипела и 20%
ее превратилось в пар. Какова мощность электроплитки?
Д ан о: та - 0,6 кг — масса кастрюли; V= 1,5 л = 1,5 • 10-3 м3 —
объем воды; t0 = 20°С — начальная температура воды и кастрю-
ли; Т] = 75% = 0,75 — КПД электроплитки; t = 35 • 60 с — время
100
протекания процесса; тп = 0,2 тв — масса образовавшегося
пара; из таблиц: tK = 100°С — температура кипения воды; са =
= 880 Дж/(кг • К) — удельная теплоемкость алюминия; р =
= 103 кг/м3 — плотность воды; св = 4190 Дж/(кг-К) — удельная
теплоемкость воды; г = 2,26 • 106 Дж/кг — удельная теплота па-
робразования воды.
Н а й т и: Р — мощность электроплитки.
Решение. Для нагревания воды в кастрюле до температу-
ры кипения и обращения ее части в пар потребуется количество
теплоты, которое будем считать полезной теплотой
Опол =(сата +cBmB)(tK -t0)+m„r.
Теплоту, выделенную электроплиткой, будем считать затра-
ченной:
На основании закона сохранения энергии и с учетом КПД
плитки имеем
ПОштр = QПОЛ’
отсюда
^затр ^пол/Л-
Искомую мощность электроплитки определим, разделив из-
расходованную энергию на время:
р^(са^а +св^в)Ок -ta)+02mBr Дж
ц/t с
Неизвестную массу воды определим из формулы плотности:
т„ =р-Р = 103кг/м31,510~3м3 = 1,5кг.
Произведем вычисления:
р_[880Дж/(кг-К) 0,6кг+4190Дж/(кг-К)1,5кг]-80К
0,75-35-60с +
0,21,5кг-2,26106 Дж/кг
+—--------------—-— = 780Вт.
0,75 35 60с
Ответ. Мощность электроплитки = 780 Вт.
Пример 42. Сколько воды можно испарить в комнате разме-
ром 6 х 5 х 3 м при температуре воздуха в ней 20°С и относитель-
ной влажности 60% ? При какой температуре пар, находящий-
ся в воздухе, станет насыщающим? Сколько влаги выделится
при понижении температуры до 10°С?
Дано:У=6х5хЗм = 90м3 — объем воздуха, в комнате; =
= 20°С — температура в помещении; ф = 62% = 0,62 — относи-
101
тельная влажность воздуха; из таблиц: рн п 2 = 17,3 • 10 3 кг/м3 —
плотность насыщающих паров при 20°С; рн пл = 9,4 • 10“3 кг/м3 —
плотность насыщающих паров при 10°С.
Найти: т1 — массу воды, которую можно испарить при
температуре воздуха 20°С; tp — температуру росы; т2 — массу
воды, образующейся при понижения температуры до 10°С.
Р е ш е н и е. Д/П! =(рн.п,2 -ра)Г.
Определим абсолютную влажность:
ф-ра /Рн.п.2»
Ра =ФРн.п.2; Ра = 0,62 17,3-10 3 кг/м'3=10,73 10'3 кг/м'3;
ДОТ! =(17,3-10,73)10~3кг/м3-90м3 = 0,599кг.
Найдем по табл. 25 (см. Приложения) температуру росы, т.е.
температуру, при которой ра =рн п.;это достигается при 12°С.
Если температура воздуха в помещении понизится до 10°С,
то излишки водяного пара выпадут в виде росы:
Л™2 =(pH.n.i-pa)V;
Ат2 = (10,73 -9,4) Ю’3 кг/м3 *90 м3 = 119,7103 кг=0,12кг.
Ответ. В помещении можно испарить не больше 0,599 кг
воды. Пар станет насыщающим при температуре 12°С. С пониже-
нием температуры воздуха до 10°С сконденсируется 0,12 кг пара.
Пример 43. Относительная влажность воздуха 54%, а его
температура 16°С. Что показывает смоченный термометр пси-
хрометра? Какова абсолютная влажность воздуха?
Д а н о: (р = 54% = 0,54 — относительная влажность воздуха;
t = 16°С — температура воздуха; из таблиц: рн16 = 13,6 • 10-3 кг/м3.
Н а й т и: fCM — показание смоченного термометра; ра — абсо-
лютную влажность воздуха.
Решение. Воспользуемся табл. 25 (см. Приложение). Най-
дем в первой графе 16°С (показание сухого термометра): В этой
же строке найдем относительную влажность 54%; она будет рас-
положена в колонке с разностью температур, которые показыва-
ют сухой и смоченный термометр, в данном примере 5°С. Следо-
вательно, t - tCM = 5°С. Отсюда
t = t - 5°С; tCM = 16°С - 5°С = 1 ГС.
Для нахождения абсолютной влажности запишем
Ф = Ра/Рн16>
откуда
Ра = ФРн1б;
ра = 0,54 • 13,6 • Ю 3 кг/м3 = 7,3 • 10 3 кг/м3.
102
Ответ. Показание смоченного термометра 11°С; абсолют-
ная влажность - 7,3 • 10-3 кг/м3
Пример 44. При температуре воздуха 30°С парциальное дав-
ление пара в нем 4,1 кПа. Определите абсолютную влажность
воздуха.
Д а н о: Т = 303 К — температура воздуха; р - 4,1 кПа =
= 4,1 • 103 Па — парциальное давление пара; из таблиц: М =
= 18 • 10“3 кг/моль — молярная масса водяного пара; R =
= 8,31 ДжДмоль • К) — молярная газовая постоянная.
Н а й т и: ра — абсолютную влажность воздуха.
Решение. Если учесть, что ненасыщающие пары подчиня-
ются газовым законам, для определения плотности водяного
пара в воздухе можно воспользоваться уравнением Менделее-
ш
ва-Клапейрона pV=—RT. Из этого уравнения выразим отноше-
М
ние массы пара к объему, т. е. абсолютную влажность воздуха:
m/V =ра =pM/(RT).
Подставляя числовые значения, получаем
4,1103(Па)1810“3(кг/моль) п „
ра = —----*---------—-------- = 0,029 кг/м3.
8,31-ДжДмольК)303
Ответ. В 1 м3 воздуха содержится ~ 29 г водяного пара.
9.1. От чего зависит скорость испарения жидкости?
9.2. Почему при повышении температуры жидкость испаря-
ется быстрее?
9.3. В районах Средней Азии в летнее время питьевую воду
хранят в сосудах из пористой глины. Почему?
9.4. Равные по массе вода и ее пар имеют одинаковую темпе-
ратуру. Что можно сказать об их внутренней энергии?
9.5. В каком случае пар подчиняется законам идеальных
газов?
9.6. Когда ненасыщенный пар точнее подчиняется газовым
законам?
9.7. Какой пар называется насыщающим? Подчиняется ли
он законам идеальных газов? От чего зависят его плотность и
Давление?
9.8. Для измерения больших давлений пара (газа) использу-
ют металлические манометры. Что показывает такой манометр,
когда он соединен с баллоном, наполненным газом?
9.9. При давлении меньше 0,1 МПа (меньше атмосферного)
вода закипает при температуре ниже 100°С. Объясните, почему
103
в котле, где манометр показывает 0,07 МПа, пары имеют темпе-
ратуру выше 100°С.
9.10. Существует два процесса образования пара. В чем их
различие?
9.11. Можно ли заставить кипеть воду не нагревая ее?
9.12. Когда из баллона выпускают газ, то на вентиле образу-
ется роса или даже иней? Почему?
9.13. Одинакова ли температура кипящей воды вблизи по-
верхности и на дне глубокого сосуда? Почему?
9.14. Всегда ли для испарения единицы массы кипящей жид-
кости требуется одинаковая энергия?
9.15. Чем можно быстрее погасить пламя — кипятком или
холодной водой?
9.16. Когда удельные теплоты паробразования воды и эфира
одинаковы?
9.17. В каком случае потребуется большая энергия — для
превращения в пар 1 кг воды или 1 кг этилового спирта, взятых
при температурах кипения? Во сколько раз?
9.18. Определите количество теплоты, необходимой для пре-
вращения в пар 2 кг воды, взятой при температуре 100°С.
9.19. Какое количество теплоты потребуется для превраще-
ния 1,5 кг воды, взятой при температуре 20°С, в пар при 100"С?
9.20. В процессе превращения пара, взятого при температу-
ре 105°С, в воду при 20°С выделилось 261 кДж теплоты. Опреде-
лите массу полученной воды. Атмосферное давление нормаль-
ное. Потери не учитывайте.
9.21. В алюминиевый калориметр массой 45 г, содержащий
200 г воды при температуре 20°С, впускают сухой водяной пар
при температуре 100°С, после чего в калориметре установилась
температура 60°С. Определите удельную теплоту паробразова-
ния, если после конденсации пара калориметр с водой имел
массу 260 г.
9.22. В медный калориметр массой 200 г, содержащий 400 г
воды, впустили 4 г водяного пара при температуре 100°С, после
чего в калориметре установилась температура 60°С. Определи-
те начальную температуру воды и калориметра.
9.23. В калориметр теплоемкостью 76 Дж/К, содержащий
воду при 10°С, впустили 20 г водяного пара при температуре
100°С. После конденсации установилась температура 50°С. Счи-
тая, что потери энергии составили 20%, определите массу воды
до пропускания пара.
9.24. Температурный режим в камере холодильника поддер-
живается за счет испарения холодильного агента фреон-12. На
104
сколько изменится внутренняя энергия воздуха в камере холо-
дильника при испарении 50 г фреона-12, находящегося при
температуре кипения гф = 1,68 • 106 Дж/кг?
9.25. В медный калориметр массой 200 г, содержащий 400 г
воды, при температуре 283 К впускают сухой водяной пар мас-
сой 21 г при температуре 100°С, после чего температура воды в
калориметре повысилась до 40°С. Определите удельную теплоту
парообразования воды и, сравнив ее с табличным значением,
найдите абсолютную и относительную погрешности измерений.
9.26. В котел, содержащий 10 л воды при температуре 20°С,
поместили железную гирю массой 5 кг, нагретую до 500°С. Часть
воды обратилась в пар, а в котле установилась температура
25°С. На нагревание котла в процессе теплообмена расходуется
21,85 кДж энергии. Определите массу образовавшегося пара.
9.27. В сосуд, содержащий 3 л воды при температуре 20°С,
погружают стальной брусок массой 3 кг, нагретый до 450°С. По-
сле этого 70 г воды превращается в пар, а в сосуде устанавлива-
ется температура 50°С. Определите потери теплоты в процессе
теплообмена.
9.28. В алюминиевом чайнике массой 600 г нагревали 2 л воды
от 20 до 100°С, при этом 50 г ее обратилось в пар. Сколько было из-
расходовано природного газа в горелке, КПД которой 60% ?
9.29. На электроплитке нагревали 1,2 кг воды от 283 до 373 К.
При этом 3% ее обратилось в пар. Сколько времени длилось на-
гревание, если мощность плитки 800 Вт, а ее КПД 65% ?
9.30. Через змеевик подогревателя, содержащего 10 л воды
при температуре 15°С, пропустили водяной пар при температу-
ре 100°С. Сколько пара прошло через змеевик, если температу-
ра конденсата была 70°С, а вода нагрелась до 50°С?
9.31. Пар поступает в змеевик нагревателя при температуре
100"С, а вытекающий из змеевика конденсат имеет температу-
ру 85°С. До какой температуры нагрелось 1,5 м3 воды при на-
чальной температуре 10°С, если образовалось 240 л конденса-
та? Потери энергии составили 20%.
9.32. Сколько дистиллированной воды можно получить в
дистилляторе с КПД 40% при сжигании 2 м3 природного газа?
Начальная температура воды 15°С.
9.33. В дистиллятор налито 30 л воды при температуре 18°С.
Для получения 5 л дистиллированной воды было израсходова-
но 1,5 м3 природного газа. Определите КПД дистиллятора.
9.34. В закрытом сосуде вместимостью 40 л содержится 90 г
воды. На сколько необходимо уменьшить объем сосуда, чтобы по-
сле нагревания его до 160°С в нем находился только насыщенный
105
пар? Давление насыщенного водяного пара при температуре
160°С равно 618 кПа.
9.35. Температура воздуха 18°С, а температура росы 11°С.
Определите абсолютную и относительную влажность воздуха.
9.36. Температура воздуха в комнате 17°С, а в 1м3 воздуха со-
держится 8,8 г водяного пара. Определите абсолютную и отно-
сительную влажность воздуха.
9.37. В помещении, объем воздуха в котором 45 м3, относи-
тельная влажность 70%, а температура 20°С. Определите абсо-
лютную влажность и массу водяного пара в помещении.
9.38. По условию задачи 9.35 определите, на сколько долж-
на понизиться температура, чтобы появилась роса.
9.39. В каком случае будет ощущаться большая сырость —
когда в 1 м3 воздуха содержится 10 г водяного пара при 25°С или
3,8 г при 4°С?
9.40. Утром при температуре воздуха 12°С был туман. Какая
температура была накануне вечером, если относительная влаж-
ность 70% ?
9.41. Показания сухого термометра психрометра 2ГС, а влаж-
ного 16°С. Какова относительная влажность воздуха и сколько во-
дяного пара содержится в 1 м3 воздуха?
9.42. Относительная влажность воздуха 51%. Определите
температуру воздуха и абсолютную влажность, если психро-
метрическая разность равна 6 К.
9.43. Сухой термометр психрометра показывает 24°С. Что
покажет влажный термометр, если относительная влажность
62% ? При какой температуре появится роса?
9.44. Что покажут на психрометре оба термометра, если
влажность будет 100% ?
9.45. Относительная влажность воздуха в помещении музея
65%. Психрометрическая разность в показаниях сухого и влаж-
ного термометров составляет 4°С. Какова температура в помеще-
нии? Что происходит с относительной влажностью при умень-
шении психрометрической разности?
9.46. В баллоне находится воздух при 15°С. Относительная
влажность воздуха 63%. После того как воздух был осушен
хлористым кальцием, масса баллона уменьшилась на 3,243 г.
Определите вместимость баллона.
9.47. При температуре 12°С относительная влажность возду-
ха 78%. Как изменится относительная влажность при повыше-
нии температуры до 18°С?
9.48. В помещении размером 8 х 5 х 2,5 м температура возду-
ха 20°С, а относительная влажность 70%. Сколько водяного
106
пара содержится в помещении и сколько его сконденсируется,
если температура понизится до 10'С?
9.49. В помещении объемом 30 м3 при температуре 20°С относи-
тельная влажность воздуха равна 60%. Определите давление на-
сыщенных водяных паров при этой температуре, если известно,
что полная масса воды, испарившаяся в помещении, равна 310 г.
9.50. Температура воздуха в помещении 27°С, а парциальное
давление водяного пара в нем 1,7 кПа. Определите абсолютную
и относительную влажность воздуха.
9.51. В сосуде вместимостью 10 л находится водяной пар с от-
носительной влажностью 60% при температуре 20°С. В сосуд
вводят 15 г воды. Каким станет давление пара?
§ 10. Свойства жидкостей
Основные понятия, законы и формулы
Вещества, находящиеся в жидком состоянии, имеют посто-
янный объем, обладают свойством текучести, а следовательно,
принимают форму сосуда, который они заполняют.
Вследствие того, что молекулы жидкости по сравнению с га-
зом плотнее упакованы, между ними в отличие от газов прояв-
ляются силы взаимодействия. Радиус действия этих сил не пре-
вышает 10 нм.
На молекулы, находящиеся в поверхностном слое жидко-
сти, действуют силы, равнодействующая которых направлена
внутрь жидкости. Для перемещения молекулы из глубины
жидкости на ее поверхность требуется совершить работу, по-
этому молекулы поверхностного слоя обладают избыточной по-
тенциальной энергией, что и приводит поверхностный слой в
состояние натяжения.
Поверхностное натяжение о — величина, равная отноше-
нию работы, необходимой для увеличения площади поверхно-
сти, к приращению площади:
Единица поверхностного натяжения — джоуль на метр в
квадрате (Дж/м2). Поверхностное натяжение можно найти так-
же через отношение силы поверхностного натяжения F к длине
границы поверхности жидкости I:
F
I
В этом случае выражается в ньютонах на метр (Н/м).
107
Жидкости называют смачивающими, если силы межмолеку-
лярного взаимодействия между твердым телом и жидкостью
больше, чем в жидкости. Мениск (искривленная поверхность
жидкости) у смачивающих жидкостей вогнутый, а краевой угол
(угол между мениском и поверхностью твердого тела) 0 острый.
У несмачивающих жидкостей мениск выпуклый, краевой угол 0
тупой.
Искривленная поверхность жидкости создает дополнитель-
ное давление
+ 2о
где R — радиус сферической поверхности. Дополнительное дав-
ление в капиллярах вызывает поднятие смачивающей и опус-
кание несмачивающей жидкости на высоту й:
, 2о
h =---cos0.
pgR
При полном смачивании 0 = 0, cos 0 = 1, следовательно,
2°
h =---------------------------.
Рис. 14
Примеры решения задач
Пример 45. Кольцом, изготовленным из латунной проволо-
ки длиной 0,16 м и площадью поперечного сечения 12,56 мм2,
коснулись поверхности воды (рис. 14). При отрыве кольца ди-
намометр показал усилие 0,192 Н. Определите по этим данным
поверхностное натяжение воды.
Д а н о: 1г = 0,16 м — длина проволо-
ки; S = 12,56 мм2 = 12,56 • 10 6 м2 —
площадь поперечного сечения проволо-
ки; Fy = 0,192 Н — показание динамо-
метра; из таблиц: р = 8,5 • 103 кг/м3 —
плотность латуни; g = 9,8 = 10 м/с2 —
ускорение свободного падения.
Найти: о — поверхностное натя-
жение воды.
Решение. В момент отрыва коль-
ца от поверхности жидкости на него
действуют: Fy — сила упругости растя-
нутой пружины динамометра, mg —
108
сила тяжести кольца и Fn н — сила поверхностного натяжения.
Соотношение сил в векторной форме:
Fy +mg+Fuli =0,
а в проекции на вертикальную ось Оу:
Fy -mg-Fn„ =0.
Отсюда
F^Fy-mg.
Неизвестная масса кольца
m = pl1s; тп = 8,5103 0Д6 12,56 10 6кг=0,0171кг.
Сила поверхностного натяжения действует по всей грани-
це соприкосновения жидкости и твердого тела. В данном слу-
чае как по внешней стороне, так и по внутренней окружно-
сти кольца
F,,.,, =oGi +12),
где Zj — Ttcfj и ^2 = лс?2 •
Если учесть, что d2 = dx - 2d (d — диаметр проволоки), то
F[IH =оя(с/1 4-dj -2d) = 2nc>(dl -d).
Вычислим dY и d:
dr =li/n =0Д6 м/3,14 = 0,051м;
S = nd2 /4;d = -Jas/k; d =
Теперь определим о:
Fy -mg
2n(dA -d)’
(0Д92-0Д71)Н
°- 6,280,047 m“ ’
Ответ. Поверхностное натяжение воды 0,071 Н/м.
Пример 46. Поверхностное натяжение можно определить по
методу отрыва капель. На чашку весов поставили стеклянный
стаканчик. После уравновешивания весов на другую чашку по-
местили гирьку массой 5,0 г. Из вертикально расположенной
пипетки с водой медленно накапали в стаканчик до уравнове-
шивания весов. При этом число капель составило 170. По ре-
зультатам опыта определите поверхностное натяжение воды;
абсолютную и относительную погрешности. Внутренний диа-
метр пипетки примите равным 1,38 мм.
4 12,56 10~6м2
= 0,004 м.
ЗД4
109
Дано: т = 5,0 г = 5,0 • 10“3 кг — масса всех капель; п =
= 170 — число капель; d =1,38 мм = 1,38 • 10~3 м — внутренний
диаметр пипетки; из таблиц: g = 9,8 м/с2 — ускорение свобод-
ного падения.
Н а й т и: о — поверхностное натяжение воды; До и б — абсо-
лютную и относительную погрешность измерений.
Решение. При отрыве капель сила поверхностного натя-
жения уравновешивается силой тяжести капли: FT = FH. Но
mg
Fr =---, aFn = gI или
n
F„ =undK.
Если учесть, что диаметр капли dK ~ 0,9d, то mg/п = с 0,9 nd,
откуда
mg
о =------;
0,9nnd
5,0 10~3 кг-9,8 м/с2
0,9-170м-3,14-1,38-10-3м
= 0,0739Н/м.
Абсолютную погрешность определим как разность расчет-
ного и табличного поверхностных натяжений:
До = |о-от|; До =0,0739 Н/м-0,072 Н/м=0,19-10-2 Н/м.
Вычислим относительную погрешность измерения:
ОД 9 10~2
7,2 102
100% = 2,6%.
Ответ. Поверхностное натяжение воды по результатам из-
мерения 7,39 • 10 2 Н/м; абсолютная и относительная погреш-
ности ~ 0,19 • 10“2 Н/м и 2,6%.
Пример 47. Вычислите высоту подъема воды в капилляре
диаметром 0,25 мм; работу, совершенную при этом силами по-
верхностного натяжения, и потенциальную энергию поднятого
столба воды. Краевой угол 30°. Температура воды 20°С. Почему
потенциальная энергия водяного столба не равна работе по его
подъему?
Д а н о: d = 0,25 мм = 0,25 • 10“3 м — диаметр отверстия ка-
пилляра; 0 = 30° — краевой угол; из таблиц: G = 0,072 Н/м и р =
= 1,0 • 103 кг/м3 — соответственно поверхностное натяжение воды
и ее плотность; g = 9,8 м/с2 — ускорение свободного падения.
Н а й т и: Л — высоту подъема воды в капилляре; работу сил
поверхностного натяжения; потенциальную энергию поднято-
го столба воды; почему А * £р?
110
Решение. Вода будет подни-
маться в капилляре до тех пор, пока
вертикальная составляющая силы
поверхностного натяжения уравно-
весится силой тяжести воды в ка-
пилляре:
Рн у - mg = 0,
где
Рис. 15
F«.y = F« cos е. (1)
Вода по отношению к обезжи-
ренному стеклу является смачи-
вающей жидкостью с краевым уг-
лом 0 (рис. 15):
FH =и/,
где 1 = nd — длина границы мениска воды.
Массу поднятого столба воды выразим как т = pSh, где S =
= nd2/4 — площадь поперечного сечения капилляра.
После подстановки в (1) получим:
pnd2hg
and cos 0 --.
4
Отсюда
4g cos 0
й =-------;
pgd
4-7,2-Ю'2 Н/м-0,87
й =
„ „ , . =0,102 м.
1,0103кг/м3-9,8м/с2 -2,5 10-4м
Работа внешних сил
А -FKyh или A = F„hcos0 = end cos0 й,
А = 0,072Н/м-ЗД40,2510_3м0,87 0,1м=
=4,910 fi Дж =5 мкДж.
Потенциальная энергия определяется положением центра
тяжести водяного столба:
Лц.т. =Л/2;
г - mgh А
Fp mghnv_ ‘
Потенциальная энергия составляет половину работы сил по-
верхностного натяжения, т. е. Ер = 2,5 мкДж.
111
Вторая половина энергии, затраченной в процессе совершения
работы, идет на увеличение внутренней энергии.
Ответ. Высота подъема воды 10,2 см; работа сил поверхно-
стного натяжения 5 мкДж; потенциальная энергия поднятой
воды 2,5 мкДж.
10.1. Что называют сферой молекулярного действия? Оце-
ните ее диаметр.
10.2. Одна молекула находится на поверхности жидкости, а
другая — в глубине. Чем различаются равнодействующие сил
молекулярного взаимодействия в этих случаях?
10.3. Почему поверхностный слой, толщина которого равна
радиусу сферы молекулярного действия, создает молекуляр-
ное давление? Куда оно направлено?
10.4. Вода почти несжимаема. Почему?
10.5. Чем объяснить, что мыльный пузырь на соломинке по-
степенно уменьшается в размерах?
10.6. Из кранов с горячей и холодной водой падают капли.
Различаются ли они размерами?
10.7. Как зависит поверхностное натяжение жидкости от
температуры?
10.8. Для получения свинцовой дроби расплавленный сви-
нец льют в воду с некоторой высоты. Почему во время падения
свинец принимает сферическую форму?
10.9. Поверхностный слой жидкости обладает избыточной
потенциальной энергией. Почему?
10.10. От чего зависит молекулярно-потенциальная энергия
поверхностного слоя жидкости?
10.11. Определите потенциальную энергию поверхностного
слоя воды площадью 20 см2.
10.12. Определите энергию поверхностного слоя сфериче-
ской капли воды радиусом 5,0 мм.
10.13. Определите избыточную потенциальную энергию мыль-
ного пузыря диаметром 2,0 см.
10.14. Прямоугольная рамка, охватывающая площадь 45 см2,
затянута мыльной пленкой. На сколько уменьшится поверхност-
ная энергия при сокращении пленки в 3 раза?
10.15. Вертикальная прямоугольная рамка с подвижной пе-
рекладиной длиной 5,0 см затянута мыльной пленкой. Опреде-
лите массу перекладины, если пленка не сокращается.
10.16. Пипеткой, диаметр отверстия которой 1,8 мм, набра-
ли в мензурку 134 капли воды общей массой 5,0 г. Считая, что
112
диаметр шейки капли равен 0,9 диа-
метра отверстия пипетки, определи-
те поверхностное натяжение.
10.17. Этиловый спирт по кап-
лям вытекает из бюретки (рис. 10.1)
диаметр отверстия которой 2,0 мм.
За сколько времени вытечет 7,5 см3
спирта, если капли падают с интер-
валом 0,9 с, а диаметр шейки капли
равен 0,9 диаметра отверстия?
10.18. Сколько капель воды долж-
но вытечь из бюретки (см. рис. 10.1)
диаметр отверстия которой 2,0 мм,
чтобы набрать в мензурку 3 см3 воды
температурой 20°С? Диаметр шейки
капли равен 0,9 диаметра отверстия
бюретки.
10.19. Кольцо массой 20,5 г, при-
Рис. 10.1
крепленное к динамометру, опуска-
ли на поверхность воды, а затем отрывали от нее. Определите
поверхностное натяжение воды, если средний диаметр кольца
2,0 см, а при отрыве кольца от поверхности воды динамометр
показал 0,21 Н.
10.20. Как велико усилие, необходимое для отрыва кольца
массой 6,0 г и средним диаметром 8,0 см, от поверхности рас-
твора сульфата меди?
10.21. Какое явление положено в основу действия фитиля,
промокательной бумаги?
10.22. С какой целью во время засухи производят рыхление?
10.23. Определите краевой угол, если в капиллярной трубке
диаметром 0,78 мм искривленная поверхность воды создает до-
бавочное давление 0,32 кПа.
10.24. На какую высоту поднимется этиловый спирт, темпе-
ратура которого 20°С, в капиллярной трубке с внутренним диа-
метром 0,15 мм, если краевой угол равен 60°?
10.25. Определите высоту подъема вода в капиллярной труб-
ке диаметром 0,2 мм, работу поверхностных сил и потенци-
альную энергию поднятого столба воды. Смачивание считайте
полным.
10.26. В капиллярной трубке, диаметр отверстия кото-
рой 0,6 мм, жидкость поднялась на высоту 4,25 см. Опреде-
лите плотность жидкости, если ее поверхностное натяжение
0,071 Н/м.
113
§11 . Свойства твердых тел.
Деформации.
Плавление и кристаллизация
Основные понятия, законы и формулы
Любое твердое тело обладает упругостью формы1, а также
свойством сохранять свой объем и форму.
Для твердых тел характерен дальний порядок в расположе-
нии частиц, из которых состоят тела. Такими частицами могут
быть атомы, молекулы, ионы.
Кристаллическая структура твердого тела — это результат
упорядоченного расположения частиц. Для кристаллических
тел характерна зависимость физических свойств от направле-
ния оси симметрии в кристалле (анизотропия).
Под действием внешних сил твердые тела деформируются.
Деформации, исчезающие после прекращения действия сил,
называют упругими, пластическими, если не исчезают после
снятия нагрузки. Среди различных видов деформаций выделя-
ют растяжение (или сжатие) и сдвиг.
Деформация растяжения характеризуется абсолютной де-
формацией
Ы = 1 — 10
и относительной деформацией
AZ
£ =--.
1о
Механическое напряжение о — величина, равная отноше-
нию внутренней силы, возникающей в теле при деформации, к
площади поперечного сечения тела: а = F/S. Единица механи-
ческого напряжения — паскаль (Па).
Закон Гука устанавливает связь между упругими дефор-
мациями и внутренними силами: механическое напряжение
о прямо пропорционально относительной деформации е:
, т. Д/
о = кеилио = £ —,
*0
где Е — модуль упругости (Юнга). Модуль упругости имеет ту
же единицу, что и напряжение, — паскаль.
Предел упругости — это наибольшее напряжение, возникаю-
щее в материале, для которого остается в силе закон Гука.
1 Аморфные тела рассматриваются как переохлажденные жидкости.
114
Запас прочности устанавливает, во сколько раз максималь-
ное (предельное) напряжение опред на конструкцию больше до-
пускаемого сд:
^пред
П =-----.
Од
При упругой деформации потенциальная энергия тела Ер
равна работе, совершенной для деформации (растяжения или
сжатия) тела:
= FAZ = ES
р 2 21 (Д ’
При изменении агрегатного состояния твердого вещества
(плавлении) увеличиваются расстояния между частицами в
кристаллической решетке и она разрушается. Возрастает по-
тенциальная энергия взаимодействия молекул (частиц).
Для плавления 1 кг твердого вещества, взятого при темпера-
туре плавления, необходимо затратить количество теплоты X.,
называемое удельной теплотой плавления:
X = Q/m.
Единица удельной теплоты плавления — джоуль на кило-
грамм (Дж/кг).
Для того чтобы кристаллическое вещество расплавилось,
необходимо израсходовать количество теплоты для нагрева-
ния его до температуры плавления и для превращения в жид-
кое состояние:
Q = ст (Тпл - Т) + Хт.
Примеры решения задач
Пример 48. Определите удлинение медного стержня длиной
6 м и площадью поперечного сечения 0,4 см2 под действием
силы 2 кН. Какова энергия упругой деформации стержня?
Д а но: / = 6м — длина стержня; S = 0,4 • 10-4 м2 — площадь
поперечного сечения стержня; F = 2 • 103 Н — действующая
сила; из таблиц: Е = 130 -109 Па — модуль упругости меди.
Н а й т и: Д/ — удлинение стержня; Ер — энергию упругой
деформации.
Решение. Для решения задачи воспользуемся законом
г Д/ 1 Д/ F
1 ука — = —и или — = , откуда
I Е I ES
— ^1- 2 103 Н'6м
ES’ 130-10’ Па-0,4 10’4м2
=2,3 10~ям.
115
Определим энергию упругой деформации стержня
„ FAI 2-103 Н-2,3-1О-Зм „„„
ЕР =-^-;Ер =------------------= 2,ЗДж.
&
2
Ответ. Удлинение медного стержня приблизительно равно
0,23 см; энергия упругой деформации стержня 2,3 Дж.
Пример 49. Люстра массой 250 кг подвешена с помощью
прутка из алюминия, предел прочности которого 0,11 ГПа. Ка-
кой должна быть площадь поперечного сечения прутка при за-
пасе прочности 4? Какова относительная деформация прутка?
Д а н о: т = 250 кг — масса люстры; п = 4 — запас прочности;
опред = 1Д ’ Ю8 Па — предел прочности; из таблиц: g= 9,81 м/с2 —
ускорение свободного падения; Е = 7 • 1О10 Па — модуль упругости
алюминия.
Н а й т и: S — площадь поперечного сечения прутка; е — от-
носительную деформацию.
Решение. Деформация прутка вызывается действием силы
тяжести люстры Р = mg. Площадь поперечного сечения прутка
выбирают в зависимости от возникающего в прутке механическо-
го напряжения о:
о = F/S = mg/S,
откуда
S = mg/о.
Зная запас прочности п и предел прочности опред, определим
допускаемое напряжение о: п = опред/о; а = апред/п. Оконча-
тельно
s = 25<L„;Sli
^пред
250кг-9,81 м/с2 -4
1,1-10» Па
==8,9-10-5м2.
Относительное удлинение прутка
®пред
£ =-----
пЕ
1,1-10» Па
4-7-1О10 Па
«4 НТ4.
Ответ. Площадь поперечного сечения прутка равна 0,89 см2;
относительное удлинение ~ 4 • 10 4.
Пример 50. Какое количество теплоты потребуется для пре-
вращения 0,8 кг льда, взятого при температуре -10“С, в пар при
100°С? Покажите на графике зависимость t = f(Q).
Д а н о: т = 0,8 кг — масса льда; tj = -10°С — начальная тем-
пература льда; t2 = 100°С — температура пара; из таблиц: t0 =
= 0°С — температура плавления льда; t2 = 100°С — температура
кипения воды; сл = 2090 Дж/(кг-К) — удельная теплоемкость
116
льда; св = 4187 Дж/(кг • К) — удельная теплоемкость воды;
X = 3,35 • 105 Дж/кг — удельная теплота плавления льда; г =
= 2,26 • 106 Дж/кг — удельная теплота парообразования воды.
Н а й т и: Q — количество теплоты, необходимое для превра-
щения льда в пар.
Решение. Искомое количество теплоты Q определяется
суммой количеств теплоты (рис. 16):
Q = Qi + Q2 + Qs + Q4»
где Qj — количество теплоты, необходимое для нагревания льда
до температуры плавления:
Qi = слт (f0 - tj);
Qi = 2090 Дж/(кг К) • 0,8 • 10 К = 16720 Дж = 16,72 кДж;
Q2 — количество теплоты, необходимое для плавления льда:
Q2 -кт; Q2 = ЗД5105 Дж/кг 0,8кг = 268кДж;
Q3 — количество теплоты, необходимое для нагревания полу-
ченной из льда воды до точки кипения:
Q3 =cBm(t2 -t0);
Q3 = 4187 Дж/(кг-К) 0,8 кг • 100 К = 334 960 Дж = 335 кДж;
Q4 — количество теплоты, необходимое для превращения воды
в пар:
Q4 = rm; Q4 = 2,26 • 106 (Дж/кг) 0,8 кг =
= 1,808 • 106 Дж = 1810 кДж.
Общее количество теплоты
Q = 16,72 кДж + 268 кДж + 335 кДж + 1810 кДж ~
~ 2,43 МДж.
Ответ. Для превращения 0,8 кг льда в пар требуется
2,43 МДж энергии.
117
Пример 51. В калориметре, теплоемкость которого 35,2 Дж/К,
находится 400 г воды и 20 г льда при температуре 0°С. После вве-
дения в воду 16,4 г водяного пара при температуре 100°С, весь лед
растаял и наступило тепловое равновесие при некоторой темпера-
туре 0. Определите эту температуру при условии, что в процессе
теплообмена потери энергии составили 20%.
Д а н о: С = 35,2 Дж/К — теплоемкость калориметра; =
= 0,4 кг и т2 = 20-10-3 кг — масса соответственно воды
и льда; = 0°С — начальная температура в калориметре;
т = 16,4 • 10"3 кг — масса пара; t — 100°С — его температура;
AQ = 20% = 0,2© — потери энергии; из таблиц: А. = 3,35 •
• 105 Дж/кг — удельная теплота плавления льда; с = 4187 ==
= 4,2 • 103 Дж/(кг-К) — удельная теплоемкость воды; г = 2,26 •
• 106 Дж/кг — удельная теплота конденсации.
Н а й т и: 0 — температуру в калориметре при тепловом рав-
новесии.
Решение. Задача решается на основе закона сохранения
энергии.
©пОл = Q ~ 0,2 Q = 0,8 Q,
где Q — количество теплоты, выделенное в процессе конденса-
ции пара и охлаждении воды, полученной из него, до темпера-
туры 0:
Q = rm + cm (t - 0).
С учетом потерь можно определить количество теплоты, по-
лученное калориметром, водой и льдом:
Зпол = °’8 lrm + cm(t- 0)]. (1)
Количество теплоты, полученное калориметром, водой и
льдом, можно выразить иначе:
Qj — количество теплоты, израсходованное на таяние льда,
©i = A.m2,
Q2 — количество теплоты, полученное водой после таяния
льда и нагревания до температуры 0:
Q2 = с(тг ч-и^ХО-М или Q2 -c^mi ч-гг^)©;
Q3 — количество теплоты, полученное калориметром:
Q3 = С(0 — tj) или Q3 = С0, так как = 0.
Таким образом
©пол = Ал12 ч-с(7П! Ч-ТИ2 )0 Ч-С0. (2)
118
Запишем уравнение теплового баланса, приравняв правые
части уравнений (1) и (2) и раскрыв скобки:
0J8rm+0JBcmt -OJ8cmO = ктг +с(т1 +ГП2)О+С0.
Отсюда
Ofirm+Oficmt-km^
C+cIm! +m2)+0ficm,
0,8 • 2,26 10® 16,4 IO3 + 0,8 4,2 103 16,4 IO 3 102 -3,35 105 20 • IO 3
0 — - ___ — —7 : : : :--------------z л
35,2 + 4,2 • 103 • 0,42 + 0,8 4,2 103 16,4 10~3
X-J’L.IMC.
Д»К_|
Ответ. При наличии теплового равновесия в калориметре
установилась температура 15,4°С.
Пример 52. Сколько серого чугуна при начальной темпера-
туре 20°С можно расплавить в печи, КПД которой 20%, сжигая
в ней 1,94 т каменного угля марки А-1?
Д а н о: т| = 20% = 0,2 — КПД печи; ту = 1,94 • 103 кг — масса
израсходованного угля; tr = 20°С — начальная температура чугу-
на; из таблиц: q = 2,05 • 107 Дж/кг — удельная теплота сгорания
угля; с = 550 Дж/(кг • К) — удельная теплоемкость чугуна; tn =
= 1150°С — температура плавления чугуна; к — 9,7 • 104 Дж/кг —
удельная теплота плавления чугуна.
Н а й т и: тч — массу расплавленного чугуна.
Решение. Количество теплоты QnojI, необходимое для на-
гревания чугуна до температуры плавления и его плавления,
найдем по формуле
Qi™ =«M*n -ti)+Xm,.
С другой стороны, полезное количество теплоты составляет лишь
20% затраченной, т. е. выделенной при сжигании угля:
^?пол
------------------------------>
^затр
гДе QaaTp = <1™у, тогда QnojI = гит?.
Составим уравнение теплового баланса:
m4[c(t„ -t1) + l] = T]9my;
отсюда
тч =--------г;
Фп -ti) + x
0,2 2,05 107 Дж/кг 1,94 103кг
=---------------------------------= 11070кг=11,1 т.
550Дж/(кг-К)-1130К+9,7 104 Дж/кг
119
Ответ. В печи можно расплавить приблизительно 11,1 т
чугуна.
Пример 53. Какую наименьшую скорость должен иметь же-
лезный метеор, чтобы, попав в атмосферу Земли, он полностью
испарился? Начальную температуру метеора перед входом в ат-
мосферу принять равной 3 К. Считать, что 50% кинетической
энергии метеора превращается во внутреннюю его энергию.
Дано:71 = ЗК — начальная температура метеора; Т| = 50% =
= 0,5; из таблиц: с = 460 Дж/(кг-К) — удельная теплоемкость
метеора в твердом состоянии; Тп = 1803 К — температура плав-
ления; X = 2,7 • 105 Дж/кг — удельная теплота плавления ве-
щества метеора; сж = 830 Дж/(кг • К) — удельная теплоемкость
вещества в жидком состоянии; Тк = 3323 К — температура
кипения; г = 5,8 • 104 Дж/кг — удельная теплота парообразо-
вания.
Н а й т и: v — минимальную скорость метеора перед входом
в земную атмосферу.
Решение. По условию задачи веществом метеора являет-
ся железо, поэтому все табличные данные взяты для железа.
Когда метеор попадает в атмосферу Земли, его кинетическая
энергия тратится на нагревание, плавление и превращение в
пар вещества метеора. По условию задачи на эти процессы рас-
ходуется 50% кинетической энергии метеора, следовательно,
можно записать
0,5 mV = сш(Тп -Т) + Кт+сжт(Тк - Тп )+rm.
2
Исключим из уравнения массу метеора, для этого в правой час-
ти уравнения вынесем ее за скобки и произведем сокращение:
v2 = 4[С(ТП -Т) + К+сж(Тк -Тп)+г].
Запишем решение в общем виде, а затем произведем вычис-
ления:
v = 2jc(Tn -Т)+К+сж(Тк -Тп)+г;
v = 2д/(460-1800+2,7-105 +8301520+5,8-Ю4) Дж/кг =3100 м/с.
Ответ. Минимальная скорость метеора = 3,1 км/с.
11.1. Всегда ли свойства твердых тел одинаковы по различ-
ным направлениям?
11.2. Чем объясняется, что прочность реальных кристаллов
меньше, чем идеальных?
120
11.3. Определите наименьшее расстояние между ионами Na
и Cl в кристаллах хлорида натрия.
11.4. Каким видам деформаций подвергаются стены зданий,
тросы подъемного крана, рельсы, валы машин?
11.5. Бетон хорошо сопротивляется сжатию и плохо выдер-
живает растяжение. Сталь обладает большой прочностью на
растяжение. Какими свойствами обладает железобетон?
11.6. С какой целью велосипедные рамы изготавливают труб-
чатыми?
11.7. Твердость стекла и инструментальной стали одинако-
вы. Почему резцы не делают из стекла?
11.8. Какой диаметр имеет стержень, если под действием силы
2,0 кН в нем возникает механическое напряжение 160 МПа?
11.9. Предел упругости медной проволоки 30 МПа. При ка-
кой максимальной нагрузке у проволоки диаметром 1,38 мм
деформация будет упругой?
11.10. Определите минимальную площадь поперечного се-
чения стального троса, который при разрушающем напряже-
нии для данной марки стали, равном 600 МПа, выдержит на-
грузку 75 кН.
11.11. Предел упругости стали равен 344 МПа. Будет ли де-
формация упругой, если стальная проволока длиной 10,0 м и
площадью поперечного сечения 1,5 мм2 под действием растяги-
вающей силы удлиняется на 10,0 мм? Под действием какой
силы происходит такая деформация?
11.12. На концы железной проволоки длиной 2,0 м и площа-
дью поперечного сечения 1,0 мм2 действует растягивающая сила
150 Н. Определите абсолютную и относительную деформации
проволоки. Какое механическое напряжение она испытывает?
11.13. Определите площадь поперечного сечения стального
троса подъемного крана, поднимающего равномерно груз мас-
сой 6,0 т, если предел прочности материала 780 МПа при запасе
прочности 10.
11.14. Какую наименьшую длину должен иметь стальной ка-
нат, подвешенный за один конец, чтобы под действием силы тя-
жести он мог разорваться вблизи точки подвеса? Предел прочно-
сти каната 320 МПа.
11.15. К стальному стержню длиной 1,0 м и площадью попе-
речного сечения 1,0 см2 подвешен груз массой 2,5 т. Каким запа-
сом прочности обладает стержень, если предел прочности (раз-
рушающее напряжение) стали при растяжении равен 1,25 ГПа?
Каково относительное удлинение стержня? Какова энергия его
Упругой деформации? Массой стержня пренебрегите.
121
11.16. Какой максимальный груз может выдержать стальной
трос, площадь поперечного сечения которого 12 мм2? Разру-
шающее напряжение примите равным 785 МПа. Вес троса не
учитывайте.
11.17. На скольких сваях, имеющих диаметр 10 см, можно
расположить платформу массой 200 т, если допустимое напря-
жение на сжатие равно 10 МПа? Нагрузка распределяется рав-
номерно.
11.18. Пружина под действием силы 120 Н удлинилась на
5,0 см. Чему равна потенциальная энергия упругой деформа-
ции пружины?
11.19. Каким должно быть абсолютное удлинение железного
прутка длиной 1,8 м и площадью поперечного сечения 7,8 мм2,
обладающего потенциальной энергией упругой деформации
3,9 10"2 Дж?
11.20. Стальную проволоку длиной 2,0 м и площадью попереч-
ного сечения 2,0 мм2 растягивают силами по 200 Н. Принимая
предел прочности равным 500 ГПа, определите механическое на-
пряжение, абсолютное и относительное удлинение, потенциаль-
ную энергию упругой деформации и запас прочности. Как изме-
нятся ответы, если один из концов жестко закрепить?
11.21. Почему во время снегопада становится теплее, а во
время ледохода — холоднее?
11.22. Чем объяснить использование свинца в плавких пре-
дохранителях?
11.23. Можно ли изменить температуру плавления опреде-
ленного кристаллического вещества?
11.24. При каких условиях можно в воде расплавить олово?
11.25. Зимой обледенелые тротуары посыпают солью. Зачем?
11.26. В сосуд с водой, имеющей температуру 0°С, поместили
колбу, в которой был лед с той же температурой. Будет ли лед та-
ять? Почему? Теплообмен с окружающей средой не учитывайте.
11.27. На севере для измерения температур наружного возду-
ха применяют спиртовые термометры, а не ртутные. Почему?
11.28. Какое количество теплоты необходимо затратить, что-
бы расплавить 2 кг олова, имеющего температуру 12°С?
11.29. Лед массой 0,5 кг, имеющий температуру -10°С, необ-
ходимо превратить в воду при 20°С. Определите требуемое для
этого количество теплоты.
11.30. Брусок из алюминия, нагретый до 520°С, положили
на лед, имеющий температуру 273 К. Определите массу бруска,
если за счет количества теплоты, отданного им при охлажде-
нии, растаяло 26 кг льда.
122
11.31. Воду, температура которой 80°С, находящуюся в стек-
лянном сосуде массой 1,2 кг, требуется охладить до 5°С, опус-
кая в нее кусочки льда, имеющие температуру 0°С. Определите
массу льда, необходимого для этого, если объем воды равен 3,0 л.
Потери не учитывайте.
11.32. Почему морская вода не замерзает при 0°С? Почему при
изготовлении мороженого для охлаждения используют снег с
солью?
11.33. В латунном калориметре массой 150 г содержится
100 г льда при температуре 0°С. Сколько пара потребуется вве-
сти в калориметр, чтобы весь лед растаял и установилась тем-
пература 25°С? Температура пара 100°С. Потери энергии в окру-
жающую среду составляют 20% энергии, отдаваемой паром.
11.34. Определите КПД плавильной печи, в которой для плав-
ления 300 кг меди, начальная температура которой 13°С, израс-
ходовали 32 кг угля марки А-1.
11.35. Сколько литых изделий из белого чугуна можно при-
готовить в плавильной печи, КПД которой 20%, если израсхо-
довать 1,1т донецкого каменного угля? Начальная температу-
ра чугуна 0°С.
11.36. Определите расход нефти для получения расплавленно-
го алюминия массой 500 кг при температуре плавления в печи,
КПД которой 17%. Начальная температура алюминия 20°С.
11.37. На нагревание и плавление 1200 кг железа, взятого
при температуре 293 К, в плавильной печи, КПД которой 60%,
израсходовано 64 кг кокса. Определите удельную теплоту плав-
ления железа.
11.38. С какой высоты должен упасть кусок олова, началь-
ная температура которого 0°С, чтобы при ударе о землю он рас-
плавился? На нагревание и плавление расходуется 50% меха-
нической энергии этого куска.
11.39. Автомобиль буксуя, продвигается по снегу. При этом
на буксовку расходуется 5 кВт его мощности. Сколько снега
растает под колесами автомобиля за 1 мин, если снег имеет тем-
пературу 0°С?
11.40. Свинцовая пуля, имея скорость 450 м/с и температу-
ру 11 7°С, попала в стальную балку. Какая часть пули расплави-
лась, если 40% кинетической энергии, которой обладала пуля
перед ударом, пошло на ее нагревание?
11.41. Для приготовления льда в холодильнике температуру
воды в течение 5 мин понижают от 278 до 273 К и за 1 ч 20 мин
превращают ее в лед. Определите по этим данным удельную
123
теплоту плавления льда. Удельную теплоемкость воды примите
равной 4190 Дж/(кг • К).
11.42. Комок мокрого снега массой 300 г поместили в 1,2 л
воды при температуре 21°С. После того как весь снег растаял,
температура воды понизилась до 6°С. Сколько воды содержа-
лось в комке снега?
§ 12. Тепловое расширение тел
Основные понятия, законы и формулы
При нагревании тела, находящиеся в любом агрегатном со-
стоянии, расширяются. Твердые тела расширяются значитель-
но меньше, чем жидкости, и еще меньше, чем газы.
Твердые тела, одно из измерений которых намного пре-
вышает другие, характеризуются линейным расширением,
для чего вводят понятие коэффициента линейного расшире-
ния а.
Если при температуре t0 = 0°С длина тела равна 10, а после его
нагревания до температуры t она станет равна Zt, то
AZ
а -----,
l0At
где AZ = lt -l0, a Ai = t-t0.
Единица температурного коэффициента линейного расши-
рения — кельвин в минус первой степени (К-1).
Если начальная температура 0°С, то At = t.
Длина тела при различных температурах может быть опре-
делена из формулы
lt = Zo (1 +at).
С учетом того, что а — очень малое число, можно использо-
вать формулу
l2 = Zj (1 + aAZ),
где At = t2 - tr-12 и Zj — длины тел при указанных температурах.
Твердые тела (куб, шар и т.д.) и жидкости характеризуются
температурным коэффициентом объемного расширения Р:
ДУ
VOAZ‘
Единица коэффициента объемного расширения — кельвин в
минус первой степени (К1).
124
По аналогии с линейным расширением объем твердого тела
при любой температуре определяется по формуле
Vf = V0(l + pAZ),
или для двух температур, отличных от 0°С,
V^VJl + pAZ),
где AZ — t2 ~ t1.
Между коэффициентами линейного и объемного расшире-
ния установлена связь:
р = 3а.
Следует отметить, что поверхностное расширение характе-
ризуется числом, показывающим, на сколько изменяется еди-
ница площади при изменении температуры от 0°С на 1 К:
AS
у =----.
S0AZ
Если учесть, что у ~ 2а, то
S = SO(1 + 2aAZ).
При нагревании твердых и жидких тел меняется не только
их объем, но и их плотность. С увеличением объема (вследствие
нагревания) уменьшается плотность:
А РО
Pf 1+PAt’
При постоянном давлении коэффициенты объемного расши-
рения Р для всех газов одинаковы и равны 0,00361 К-1.
Примеры решения задач
Пример 54. Железная проволока длиной 9,0 м, измеренная
при температуре 0°С, под действием электрического тока удли-
нилась на 56 мм. До какой температуры накалилась проволока?
Д а н о: 10 = 9,0 м — первоначальная длина; t0 = 0°С — темпе-
ратура проволоки до накаливания электрическим током; AZ =
= 56 мм = 56 • 1(Г3 м — удлинение проволоки; из таблиц: а =
= 1,2 • 10-5 К-1 — температурный коэффициент линейного рас-
ширения железа.
Н а й т и: t — температуру накала проволоки.
Решение. Удлинение проволоки прямо пропорционально
разности температур и зависит от начальной длины и материала:
AZ = aZ0AZ,
где At = t - t0.
125
Учитывая, что t0 = О, получаем t = At;
t = At =
At
aZ0
56-1О-«м
1,2 IO 5 К1 9м
= 520 К = 520°C.
Напоминаем, что разность температур может выражаться в
кельвинах или градусах Цельсия.
Ответ. Температура накала проволоки составляет 520°С.
Пример 55. Стальной провод, имеющий температуру 40°С,
натянут между двумя столбами, удаленными один от другого
на 50 м. Каким должен быть предел прочности материала про-
вода, чтобы при понижении температуры до -20°С возникла
опасность разрыва? На сколько при этом уменьшилась длина
провода?
Д а н о: = 40°С и t2 = -20°С — начальная и конечная темпе-
ратуры; = 50 м — длина провода; из таблиц: Е = 220 • 109 Па —
модуль упругости стали; a = 1,2 • 10® К-1 — температурный ко-
эффициент линейного расширения стали.
Найти: <упр — предел прочности стального провода; AZ —
абсолютное сжатие при понижении температуры.
Решение. Относительную деформацию можно выразить как
- = ^. (1)
Z, Е 17
Одновременно из определения коэффициента линейного рас-
ширения следует, что
AZ
— = aAt. (2)
ч
Приравнивая правые части уравнений (1) и (2), получаем
°Пр А +
---= aAt.
Е
Отсюда
опр = EaAt, или опр ==Ea(t2 -ti);
Опр =220-109 Па 1,2 10® К1 60К = 1584 105 Па =160МПа.
Укорочение провода вследствие понижения температуры
AZ = aZjAt;
AZ = 1 <2-10-* К1 • 50м 60K=3,610"2m= 3,6 см.
Ответ. Предел прочности материала провода равен 160 МПа;
абсолютное сжатие 3,6 см.
126
Пример 56. В медном листе, размеры которого при темпера-
туре 273 К, 2 х 3 м, имеется круглое отверстие диаметром 20 см.
На сколько изменятся площади листа и отверстия при темпера-
туре 353 К?
Дано: Tj = 273 К — начальная температура листа; S01 — 2 х
х 3 м = 6 м2 — площадь листа при начальной температуре; d0 —
= 20 см = 2,0 • 101 м — диаметр отверстия; Т2 = 253 К — конеч-
ная температура; из таблиц: а = 1,7 • 10-5 К-1 — температурный
коэффициент линейного расширения меди.
Найти: AS! и AS2 — увеличение площади листа и площади
отверстия после повышения температуры.
Р е ш е н и е. Из определения температурного коэффициента
расширения (в данном примере площади) имеем
ASt = Serf АТ.
Здесь у = 2а и, следовательно,
AS! =2S0iaA'T.
г, о ndo
Зная, что площадь круглого отверстия S02 =--, выразим
4
приращение площади отверстия из-за повышения темпера-
туры:
min ndn
AS2 -----2аАТ, или AS2 =----аЛТ.
г 4 2
Произведем вычисления:
ASi = 2-6м21,7 10“5 К1 80К-1632 10 5м2 =163 см2;
„ 3,14-4-Ю 2 м2 1,7 10-5 К1 -80К
as2 = —--------------------------=
2 2
= 8,54110-5м2=85,4мм2.
Ответ. Площадь листа и отверстия увеличилась приблизи-
тельно на 163 см2 и 85 мм2 соответственно.
Пример 57. Сколько керосина можно налить при температу-
ре 0°С в железный десяти литровый бидон, чтобы в помещении
при 20°С из него не вытекал керосин через край?
Дано: i0 = 0°С и t = 20°С — температуры керосина; Vo =
= 10 л — вместимость бидона при 0°С; из таблиц: Рк = 1 • 10“3К-1
и аж = 1,2 • 10-5К-1 — температурные коэффициенты расшире-
ния керосина и железа.
Найти: Уок — максимальный объем керосина в бидоне
при 0°С.
127
Решение. Определим вместимость бидона при 20°С:
Vt = 7О(1+₽ЖД0,
где рж = 3аж, а М = t-t0 =t.
По условию задачи объем керосина в бидоне при 20°С равен
вместимости бидона при этой температуре, т. е. VK — Vt. Отсюда
ГОкИ +РК0 = Vo(1 +3at) и70к = Уо<1+3(М.
l+PKt
10л(1+31,210-5 К-1-20К)
Ок — о-» — 9,81л»
1+10-3 К1 -20К
Ответ. Чтобы керосин не вытекал через край, в бидон мож-
но налить не более 9,81 л.
12.1. Почему для изготовления точных инструментов, пред-
назначенных для определения размеров тел, применяют сплав
инвар?
12.2. Почему отверстия в накладках, соединяющих желез-
нодорожные рельсы, делают продолговатыми?
12.3. Проволоки, впаянные в стекло радиоламп и ламп нака-
ливания, должны иметь одинаковый со стеклом коэффициент
теплового расширения. Почему? Можно ли для этих целей ис-
пользовать проволоку из меди?
12.4. Медное кольцо нагревают в пламени горелки. Как из-
менится внутренний диаметр кольца?
12.5. Что надо сделать, чтобы вынуть стальной стержень, за-
стрявший в бронзовой втулке?
12.6. В раскаленную колбу из кварцевого стекла можно вли-
вать холодную воду, не опасаясь, что колба лопнет. Чем это
объясняется?
12.7. Что будет с биметаллической пластиной1 * из меди и цин-
ка, если ее нагреть? Где используют такие пластины?
12.8. Какую опасность может иметь навешивание проводов
линии электропередачи в летнее время при высоких темпера-
турах?
12.9. Взятый при 0°С алюминиевый провод длиной 50 м в
результате повышения температуры на 10 К удлинился на
11,5 мм. Определите по этим данным температурный коэффи-
циент линейного расширения алюминия.
1 Пластина, состоящая из двух разнородных металлических полос, склепан-
ных между собой.
128
12.10. На сколько изменится длина стальной ленты рулетки
при температуре 30°С, если при 0°С ее длина была 25 м?
12.11. Медный стержень при температуре О С имеет длину
1,5 м. Определите разность длин стержня при 30 и -30°С.
12.12. Латунная штыревая антенна, изготовленная для ав-
томатической станции «Луна-20», при температуре 0°С имела
длину 199,95 см. Какой будет разность ее длин при переходе от
лунного полдня при температуре 120°С к полуночи при -160°С?
12.13. По железной проволоке длиной 9 м пропустили элек-
трический ток, вследствие чего она удлинилась на 36 мм. На
сколько кельвин повысилась температура проволоки?
12.14. Железный обруч при температуре 410°С имеет диа-
метр 0,75 м. Чему будет равен его диаметр при 273 К?
12.15. Через латунное кольцо, внутренний диаметр которого
при температуре 0°С равен 3,0 см, после нагревания в пламени
горелки прошел шар диаметром 30,3 мм. До какого минималь-
ного значения повысилась температура кольца?
12.16. Концы стальной балки перекрытия жестко закрепле-
ны в неподвижных опорах. Какое давление будет производить
балка на опоры при повышении температуры на 20 К?
12.17. Две линейки из алюминия и стали при температуре
0°С имеют равные длины по 1 м. При какой температуре раз-
ность их длин будет 5,5 мм?
12.18. Латунный прут, площадь поперечного сечения ко-
торого 50 мм2, имеющий температуру 0°С, после нагревания
удлинился на 0,3 мм. Сколько энергии потрачено на его на-
гревание?
12.19. Стальная балка, площадь поперечного сечения кото-
рой 100 см2, используемая в помещении для перекрытия, же-
стко ограничена двумя опорами. Определите силу, с которой
балка будет действовать на опоры при повышении температу-
ры на 10 К.
12.20. Поверхностное тепловое расширение характеризует-
ся с помощью удвоенного коэффициента линейного расшире-
ния. С какой оговоркой это справедливо?
12.21. Какой была площадь стального листа во время прока-
та при температуре 500°С, если после охлаждения до 273°С его
площадь стала 200 дм2?
12.22. Стальной лист при температуре 0°С имеет размеры 1,6 х
х 0,8 м. Определите площадь листа при 40°С.
12.23. На сколько повысилась температура алюминиевого
листа, если в процессе нагревания его площадь увеличилась на
3200 мм2? При температуре 0°С площадь листа была 1,5 м2.
5 2453
129
12.24. В латунном листе при температуре 20°С имеется от-
верстие площадью 100 мм2. На сколько и как изменится пло-
щадь отверстия при нагревании листа до 120°С?
12.25. Доказать, что для твердых тел температурные коэф-
фициенты объемного расширения в три раза больше коэффи-
циентов линейного расширения.
12.26. Определите температурный коэффициент объемного
расширения керосина, если 385 г его при температуре 60°С за-
нимают объем 0,5 л.
12.27. Влияет ли наличие полости в металлической детали
на то, каким будет ее объем при нагревании?
12.28. При температуре 25°С керосин и серная кислота име-
ют равные объемы по 500 см3. Как будут отличаться объемы
жидкостей при 0°С?
12.29. При температуре 20°С вместимость алюминиевого би-
дона 40 л. На сколько уменьшится его вместимость при темпе-
ратуре -20°С?
12.30. В десятилитровую алюминиевую канистру наливают
спирт при температуре 0°С. Сколько по объему спирта можно
налить, чтобы при 50°С он не выливался через край?
12.31. Бидон вместимостью 5 л наполнен до краев керосином
при температуре 0°С, после чего внесен в помещение с темпера-
турой 18°С и поставлен на поддон. Сколько керосина вытекло
бы, если не учитывать расширения бидона?
12.32. Латунный шар, взятый при температуре 20°С, от на-
гревания увеличил свой объем на 10 см3. Какое количество теп-
лоты затрачено на его нагревание? При 20°С плотность латуни
8,5 • 103кг/м3.
12.33. На нагревание железной детали затрачено 20 кДж
теплоты. На сколько увеличился ее объем? Плотность желе-
за р0 = 7,8 -103 кг/м3.
12.34. Масса медного бруска 10 кг. При какой температуре
брусок будет иметь объем 1,125 дм3? Принять плотность меди
р0 = 8Д103кг/м3.
12.35. При температуре 0°С плотность меди р0 - 8,9 103 кг/м3.
Какой будет плотность при температурах 100 и —50°С?
12.36. При температуре 0°С объем спирта 500 см3, а масса 400 г.
Определите плотность спирта при 20°С.
12.37. Масса керосина, взятого при температуре 273 К в объ-
еме 0,25 л, составляет 200 г. Определите плотность керосина
при 20°С.
12.38. Какую наименьшую вместимость должна иметь охла-
ждающая система трансформатора, если температура залитого
130
в нее масла во время работы трансформатора не превышает
363 К, а масса масла равна 3000 кг?
12.39. Колба из кварцевого стекла вместимостью 500 см3
при температуре 273 К заполнена ртутью. Определите темпе-
ратурный коэффициент расширения ртути, если в процессе на-
гревания колбы до температуры 373 К из нее вытекло 8,91 см3
ртути.
12.40. Какое количество теплоты было израсходовано, если
в процессе нагревания некоторой массы ртути ее объем увели-
чился на 4,5 см3? Потери теплоты не учитывайте.
131
III. ОСНОВЫ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ
§13. Электрическое поле
Основные понятия, законы и формулы
В обычных условиях любое тело электрически нейтрально,
т. е. оно содержит равное количество элементарных электри-
ческих зарядов, имеющих противоположные знаки. Единица
электрического заряда — кулон (Кл). В процессе электриза-
ции тел происходит перераспределение электрических заря-
дов, при этом тело с избытком зарядов одного знака становит-
ся наэлектризованным. Так, при избытке электронов в теле
оно становится отрицательно заряженным.
В изолированной системе алгебраическая сумма зарядов ос-
тается постоянной (закон сохранения заряда).
При взаимодействии одноименно заряженные тела взаимно
отталкиваются, разноименные — притягиваются. Сила F, с ко-
торой взаимодействуют точечные заряды qr и q2 определяется
тг г fcki||9z|
из закона Кулона F = k-—, где г—расстояние между заряда-
еН
ми; £ — диэлектрическая проницаемость среды; k — коэффици-
, 1 П1ПЛ'т2
етн пропорциональности, к =---= 910 ----—.
4ле0 К лг
Здесь £0 — электрическая постоянная (диэлектрическая про-
ницаемость вакуума).
« Кл2
Ео = 9109 ——.
Н-пг
Относительная диэлектрическая проницаемость среды есть
отношение диэлектрических проницаемостей среды и вакуума
е= еср /е0.
Электрические заряды взаимодействуют посредством элек-
трических полей, для характеристики которых вводится век-
торная величина — напряженность Е:
S__L
П/ —--,
Q пр
где дпр — пробный заряд, внесенный в поле.
132
Напряженность поля, образованного точечным зарядом,
4ле() ег
где q — электрический заряд, создающий поле.
При перемещении заряда в электрическом поле совершает-
ся работа, поэтому энергетической характеристикой электри-
ческого поля служит электрический потенциал
А
Ф =---.
q пр
Единица потенциала — вольт (В).
Электрический потенциал поля, образованного точечным за-
рядом, или потенциал наэлектризованного шара, определяется
по формуле
1 q
4ле0 ег
Работа в электрическом поле А, связанная с перемещением
заряда, зависит от разности потенциалов точек, между которы-
ми перемещается заряд q:
A=q(<p! -<р2)
и не зависит от формы пути, по которому он перемещается.
Для однородного поля справедлива следующая зависимость:
Ф1 -ф2 U
=---------------------------=--,
d d
где d — расстояние между точками 1 и 2, измеряемое вдоль си-
ловой линии.
Единица напряженности — вольт на метр (В/м).
При электризации уединенного проводника его потенциал
возрастает пропорционально переданному заряду: q = Сф. Здесь
С — коэффициент пропорциональности, называемый электри-
ческой емкостью проводника:
С = «.
Ф
Единица электроемкости - фарада (Ф).
Электрическая емкость уединенного шара
Сш = 4пе0ег.
В качестве накопителя электрической энергии используют
конденсаторы. Емкость плоского конденсатора
О — •
d
а энергия, накопленная в нем,
W=CU2 /2.
133
При параллельном соединении конденсаторов в батареи об-
щая емкость равна сумме емкостей отдельных конденсаторов:
С =(\ +С2 +С3 +...
Напряжения на всех конденсаторах одинаковы.
При последовательном соединении конденсаторов в батареи
заряды на всех конденсаторах одинаковы, а емкость определя-
ется по формуле
1_J_ 1 1
С С, С3 с3
Примеры решения задач
Пример 58. Проводящий шарик, несущий заряд 1,8-10“8 Кл,
привели в соприкосновение с такими же двумя шариками,
один из которых имел заряд -0,3-108 Кл, а другой был не заря-
жен. Как распределился заряд между шариками? С какой си-
лой будут взаимодействовать в вакууме два из них на расстоя-
нии 5 см один от другого?
Д а н о: qT = 1,8 • 10"8 Кл; q2 = -0,3 10“8 Кл; q3 = 0 — заря-
ды на шариках до их соприкосновения; г — 5 • 102 м — рас-
стояние, на котором взаимодействуют два шарика; из таблиц:
£0 =8,85 1012 Ф/м — электрическая постоянная; е = 1 — ди-
электрическая проницаемость вакуума.
Найти: <7/, q2, q3 — электрические заряды на шариках по-
сле их соприкосновения; F — силу электрического взаимодей-
ствия двух шариков.
Решение. При соприкосновении шариков часть зарядов
компенсируется, поскольку заряды имеют противоположный
знак. Оставшийся заряд распределится поровну между тремя
шариками:
91 -9г ~9з -
91 +Яг +9з
3
, 1Д 10 8 Кл -0,310-8 Кл
91 =
= 0,5 108 Кл.
3
Силу электрического взаимодействия двух одинаковых за-
рядов qt' и q2 в вакууме найдем из закона Кулона:
47Г£о г2 4ее0 Ф Кл2
Кл2 25 104 м2
134
Ответ. Заряд на каждом шарике после их соприкоснове-
ния равен 0,5 10 ® Кл; сила их взаимодействия 9 • 10“5 Н.
Пример 59. Два заряженных металлических шарика пренеб-
режимо малых размеров помещены в трансформаторное масло,
где взаимодействуют с силой 2,5 • 10 * 4 Н. Определите расстояние
между шариками, если их заряды 6 и 60 нКл.
Дано:^ =610“в Кл; q2 =6 108 Кл — электрические заря-
ды на шариках; F = 2,5 • 10-4 Н — сила электрического взаимо-
действия; из таблиц: £ = 2,5 — диэлектрическая проницаемость
трансформаторного масла.
Найти:;— расстояние между шариками.
Решение. По условию задачи заряды можно считать то-
чечными, поэтому к ним можно применить закон Кулона:
F = 9-109^-.
ГГ
Отсюда
/910В9192
V eF
/9-Ю9 Н м2/ Кл2-6-10~9 6 10 ® Кл2
] 2,5-2,5104 Н
= 7Л02м.
Ответ. Расстояние между шариками 7,2 см.
Пример 60. Два металлических шарика малых размеров,
подвешенные на шелковых нерастяжимых нитях равной дли-
ны, получили заряды по 9 нКл, вследствие чего разошлись на
4 см (рис. 17). Массы шариков по 120 мг. Определите силу элек-
трического отталкивания; угол, образованный нитями; силу
натяжения нитей.
135
Дано: q = 9нКл = 9-10-в Кл — заряд каждого шарика; г =
= 4 • 10 2 м - расстояние между ними; т=12 10-5 кг; из таблиц:
Ео = 8,85 • 10 12 Ф/м — электрическая постоянная; g = 9,81 ~
= 10 м/с2 — ускорение свободного падения; £ = 1 — диэлектри-
ческая проницаемость вакуума.
Найти: FKjI — силу электрического взаимодействия заря-
дов; а — угол, образованный нитями; FH — силу натяжения
нитей.
Решение. Сила электрического взаимодействия опреде-
ляется из закона Кулона
1 Cf2 G2
FK. = ---~, или FKjI =9-10в —;
4ле0 ег ег
= 9.10»м/Ф-8110-»Кл»
Кл 16-10 4 м2
Для определения угла а запишем условие равновесия сил:
силы тяжести mg, электрического отталкивания FKn и силы на-
тяжения FH:
(1)
(2)
zni+FH +FKji =0.
Проецируя уравнение сил на оси Ох и Оу получаем:
- . а -
F« SH1 9 ~Гкл =0,
— (X -
F„ cos — -mg-0.
Разделив уравнение (1) на (2), найдем угол а:
2 mg
а 46-Ю5 Н-с2 а „
tg- =---------------= 0,38; — = 21 ; а =42 .
2 120-10’6 -10 кг м 2
Для определения силы натяжения нити можно взять либо
уравнение (1), либо уравнение (2).
F, F =12010"кг-10М/о2= 1о.г
н cos(a/2) 0,93
Ответ. Сила электрического отталкивания 460 мкН; угол,
образованный нитями 42°; сила натяжения каждой нити 1,3 мН.
Пример 61. В точках А и В (рис. 18) находятся точечные заря-
ды qY и q2, равные по модулю и знаку. Определите напряженность
136
электрического поля и потенциал, созданные зарядами в точке С.
Расстояния АС и ВС равны г. Среда — вакуум.
Д а н о: q} = q2 = q — заряды, создающие поле; АС = ВС =
= г — расстояние от зарядов до точки С; из таблицы: £0 =
= 8,85 • 10“12 Кл2/(Н-м2) — электрическая постоянная.
Н а й т и: Ес — напряженность поля в точке С; <рс - потенци-
ал в той же точке.
Решение. Если поле создается несколькими зарядами, то
напряженность поля находится как геометрическая сумма на-
пряженностей, созданных в этой точке каждым зарядом (прин-
цип суперпозиции):
Ес =Е^ +Е2,
где Ег и Е2 — напряженности полей, образованных зарядами qt
и q2. В проекции на ось Оу
Ес =Ег cos а+Е2 cos а = (Ег + Е2) cos а.
Так как Е, - Е2 - —-—-, то
1 2 4леог2
Ес - 2——г-cos ос.
4ле()г
В нашем примере а = 45°.
Потенциал в точке С будет равен алгебраической сумме по-
тенциалов ф1 и ср2, созданных каждым зарядом:
о „а
Ф1 =(Рг =~. и Фс = 2- .
4леог 4ле0г
137
Примечание. Если заряды q1 и q2 будут иметь разные знаки,
то напряженность Ес по модулю останется прежней, а вектор Ес
повернется на угол 90°. Потенциал в точке С при наличии рав-
ных по значению и противоположных по знаку зарядов будет
равен нулю: <рс = 0.
Ответ. Напряженность поля Ес =2——-cosа; потенциал
4ле0г
q
Фс =2- •
4те0г
Пример 62. Два точечных электрических заряда 2,64 • 10-8и
3,3 • 10“9 Кл находятся в вакууме на расстоянии 0,6 м один от
другого. Какую работу следует совершить, чтобы сблизить за-
ряды до расстояния 25 см?
Д а н о: г/, = 2,64 • 10 8 Кл, q2 = 3,3 • 10-9 Кл — электрические
заряды; т\ = 0,6 м — первоначальное расстояние между заряда-
ми; г2 = 0,25 м — расстояние между зарядами после их сближе-
ния; из таблиц: е0 = 8,85 • 10~12 Ф/м — электрическая постоян-
ная; е = 1 — диэлектрическая проницаемость вакуума.
Н а й т и: А — работу, необходимую для сближения зарядов.
Решение. Предположим, что заряд qr образует поле, а за-
ряд q2 в этом поле перемещается. Тогда работа внешних сил для
перемещения заряда будет равна
А=92(ф1-ф2),
где <Р] и (р2 — электрические потенциалы точек, между которы-
ми заряд q2 должен перемещаться.
Так как
91 2,64-10 8 Кл
Ф1 = —~— =-------'--------------= 396В,
4ле0ег1 4л8,8510 12Ф/м- 0,6м
91 2.64 10 8 Кл
ф2 =------=----------75---------= 950В,
Y 4Л£О£Г2 4л8,851012Ф/м-0,25м
то
А = 3,3 - 10 9 Кл (396 В - 950 В) = -1,83 • 10 6 Дж.
Знак минус указывает на то, что работа совершалась против
сил поля.
Ответ. Работа по сближению зарядов ~ 1,83 • 10-е Дж.
Пример 63. Между пластинами плоского воздушного кон-
денсатора, к которому приложено напряжение 500 В, находит-
ся во взвешенном состоянии пылинка массой 10-7 г. Расстояние
138
между пластинами 5 см. Определите электрический заряд пы-
линки.
Д а н о: т = 1О“10 кг — масса пылинки, U = 500 В — напряже-
ние на обкладках конденсатора; d =5 • 10-2 м — расстояние меж-
ду обкладками; из таблиц: g = 9,8 м/с2 — ускорение свободного
падения.
Н а й т и: Q — заряд пылинки.
Решение. В однородном поле конденсатора на пылинку
действуют сила тяжести Р — mg, направленная вниз, и со сторо-
ны электрического поля сила F — qE, направленная вверх. Пы-
линка останется в равновесии при условии равенства этих сил:
Р =F или mg = qE. Отсюда
q - mg/E.
Используя соотношение между напряженностью и напря-
жением E = U/d, получаем
™gd .О_10-10 -9Д-5 Ю-2 кг-(м/с2)-м
7 и 500 В
Ответ. Заряд пылинки = 10-13 Кл.
Пример 64. К плоскому воздушному конденсатору, площадь
которого 60 см2, приложено напряжение 90 В, при этом заряд
конденсатора оказался равным 10-9 Кл. Определите электриче-
скую емкость конденсатора, энергию, запасенную в нем, и рас-
стояние между пластинами.
Д а н о: S = 6 • 10-3 м2 — площадь одной пластины; U = 90 В —
напряжение на пластинах; q = 10“9 Кл — заряд конденсатора; из
таблиц: Ед = 8,85 • 1012 Ф/м — электрическая постоянная; е = 1 —
диэлектрическая проницаемость воздуха.
Найти: С — электрическую емкость конденсатора; W —
энергию, запасенную в конденсаторе; d — расстояние между
пластинами.
Решение. Из формулы С = q/U находим емкость конден-
сатора:
С = 10 Кл =1,1 10иФ=11 пФ.
90В
Для определения энергии, запасенной в конденсаторе, мож-
но взять любую из трех формул:
qU CU2 q2
W = — -,W =---;W= —;
2 2 2С
10-9Кл90В ЛС1п8тт
W-------------=4,5-10 8 Дж.
2
139
Расстояние между пластинами конденсатора определим из
формулы емкости плоского конденсатора С =eoeS /d. По усло-
вию задачи е = 1, следовательно,С =E0S/d. Отсюда
J e0S J 8,85-10-иФ/м-6-10-’м! 3
d = -5—; d = —-------—----------=5 -10~3 m.
C 1,1 10иФ
Ответ. Емкость конденсатора ~11 пФ, его энергия 4,5 • 10-8 Дж
и расстояние между пластинами около 5 мм.
Пример 65. По схеме, изображенной на рис. 19,а определите
электрическую емкость батареи, если С! = 1,5 мкФ, С2 = 2 мкФ,
С3 = 3 мкФ, С4 = 4 мкФ, С5 = 2 мкФ. Какая энергия запасена в ба-
тарее, если напряжение, приложенное к ней, равно 500 В?
Д а н о: С, = 1,5 мкФ, С2 = 2 мкФ, С3 = 3 мкФ, С4 = 4 мкФ,
С5 = 2 мкФ — электрические емкости конденсаторов; U =
= 500 В — напряжение на батарее.
Н а й т и: С — электрическую емкость батареи; W — энергию
поля конденсаторов.
Решение. В данной задаче электрические емкости кон-
денсаторов удобнее выражать в микрофарадах. Конденсаторы
емкостью С2, С3, С4 соединены между собой последовательно.
Заменим их одним конденсатором с эквивалентной емкостью
(рис. 19, б). При последовательном соединении конденсаторов
1 L.
с, -с2 +с3 +с4 ’
— = — ----+— +—i ; Ci =0,92 мкФ.
Ci 2 мкФ 3 мкФ 4 мкФ
Конденсаторы емкостью С5 и Сг соединены параллельно, по-
этому эквивалентная емкость
Сп = С5 + Ср Сп = 2 мкФ + 0,92 мкФ = 2,92 мкФ = 3 мкФ.
В результате получили последовательное соединение кон-
денсаторов емкостью Cj и Сп (рис. 19, в).
Рис. 19
140
Емкость всей батареи найдем из формулы
_1__1_ 1
С С] сц
„ CiCu „ 1,5 мкФ-3 мкФ „
С = ———;С = —----------------=1 мкФ = 1 10-®Ф.
Сг +СП 1,5 мкФ+3 мкФ
Энергию, накопленную в батарее конденсаторов, можно оп-
ределить из выражения
CU2 1 -10“6Ф-25 104В2 , О,Л,„
W =----; W =-----------------=1,3 103 Дж.
2 2
Ответ. Емкость батареи равна 1 мкФ; энергия 1,3.10-3 Дж.
Пример 66. Электрон летит от точки А к точке В, разность
электрических потенциалов между которыми 100 В. Какую
скорость приобретает электрон в точке В, если в точке А она
была равна нулю? Отношение заряда электрона к его массе рав-
но 1,76 • 10й Кл/кг,
Д а н о: U = 100 В — разность потенциалов между точками Л
и В; е/те = 1,76 1011 Кл/кг — отношение заряда электрона к
его массе.
Н а й т и: v —скорость электрона в точке В.
Решение. Электрическое поле совершает работу по пере-
мещению электрона: А = eU, которая переходит в кинетиче-
скую энергию электрона Ек = mev2 /2. На основании закона со-
хранения энергии можно записать eU = mev2/2. Отсюда
2U—; v = J2-100B 1,76 10п Кл/кг = 5,9-Ю6м/с.
т„
V -
Ответ. Скорость электрона в точке В ~ 5900 км/с.
Закон сохранения электрического заряда.
Закон Кулона
13.1. Капля масла имеет электрический заряд -3,2 • 10”19 Кл.
Определите избыток электронов на капле.
13.2. В наэлектризованном проводящем теле недостает трех
электронов. Определите значение и знак заряда на теле.
13.3. Возможно ли в процессе электризации трением образо-
вание электрического заряда одного знака?
13.4. При каких условиях можно наэлектризовать латунную
палочку?
13.5. Электрический заряд, имеющийся на проводящем ша-
рике, необходимо разделить поровну на три части. Как это осу-
ществить?
141
13.6. С какой целью к машине, предназначенной для транс-
портировки бензина, крепят цепь так, чтобы она соприкаса-
лась с землей?
13.7. Можно ли на электроскопе получить положительный
заряд, имея в распоряжении эбонитовую палочку, заряженную
отрицательно?
13.8. Что произойдет с поверхностной плотностью электри-
ческого заряда на металлическом листе, если ему придать ци-
линдрическую форму?
13.9. На шелковой нити закреплен шарик из бузины. Что про-
изойдет, если к нему приблизить наэлектризованную палочку?
13.10. Изменится ли сила взаимодействия между двумя то-
чечными электрическими зарядами, если каждый заряд и рас-
стояние между ними уменьшить в два раза?
13.11. Два одинаковых проводящих шарика, электрические
заряды которых 3,2 • 10~19 и -3,2 • 10-19 Кл, привели в соприкос-
новение. Каким стал заряд шариков? Сколько электронов пере-
шло с одного шарика на другой?
13.12. С какой силой взаимодействуют в вакууме два точеч-
ных электрических заряда по 12 нКл, если расстояние между
ними 3 см? Во сколько раз уменьшится сила взаимодействия,
если заряды будут находиться в воде?
13.13. Два одинаковых точечных электрических заряда, на-
ходясь в глицерине на расстоянии 9,0 см один от другого, взаи-
модействуют с силой 1,3 10 5 Н. Определите значение каждого
заряда.
13.14. С какой силой взаимодействуют два заряда по 1 Кл ка-
ждый на расстоянии 1 м в вакууме? в керосине?
13.15. На каком расстоянии заряды по 1 Кл каждый взаимо-
действовали бы с силой 1 Н, если средой является вакуум?
13.16. Пользуясь табл. 14 (см. Приложения), ответьте на во-
просы: 1) во сколько раз сила взаимодействия между электри-
ческими зарядами в слюде меньше, чем в вакууме? 2) в какой
среде взаимодействие между зарядами в два раза меньше, чем в
вакууме? 3) в какую среду из вакуума следует перенести заря-
ды, чтобы их взаимодействие уменьшилось в 81 раз?
13.17. Изменится ли сила электрического взаимодействия
между двумя зарядами, если их из вакуума перенести в лед?
13.18. Капелькам ртути массой 20 г каждая, находящимися
на стекле на расстоянии 4,0 см одна от другой, сообщили заря-
ды -6,0 • 10“8 и 2,0 • 10“7 Кл. В какую сторону и с каким ускоре-
нием они начнут двигаться? Будет ли при этом движние равно-
ускоренным? Силы гравитации не учитывайте.
142
13.19. С какой силой притягивается электрон к ядру атома
гелия при движении по орбите радиусом 5,0 • 10 11 м? Заряд
ядра 3,2 • 10“19 Кл. Орбиту считайте круговой.
13.20. Два маленьких шарика массой 1 г каждый, подвешен-
ные в вакууме в одной точке на шелковых нитях, получив оди-
наковые отрицательные электрические заряды, разошлись на
12 см, а нити образовали угол 22°. Определите количество элек-
тронов, переданных каждому шарику, и силу натяжения ни-
тей: а) покажите на рисунке силы, действующие на шарики;
б) изменится ли сила натяжения нитей, если заряды будут взаи-
модействовать в условиях невесомости?
13.21. Два точечных заряда 5,0 • 10“9 и 1,5 • 10“8 Кл находятся
на расстоянии 4,0 см один от другого в вакууме. Определите
силу, с которой эти заряды будут действовать на третий заряд
1,0 • 10“9 Кл, находящийся в средней точке на линии, соеди-
няющей заряды.
13.22. Металлическому шарику радиусом 5 см передали заряд
1,57 • 10-8 Кл. Какова поверхностная плотность заряда на шаре?
13.23. Поверхностная плотность заряда на проводящем ша-
рике 5 • 10“5 Кл/м2. Определите значение заряда на шарике,
если его радиус 8 см.
13.24. Два электрических заряда, один из которых в два
раза меньше другого, находясь в вакууме на расстоянии 0,60 м,
взаимодействуют с силой 2,0 мН. Определите эти заряды. На
каком расстоянии в керосине взаимодействие между заряда-
ми останется прежним?
13.25. Во сколько раз сила электрического отталкивания
двух электронов больше их гравитационного притяжения?
13.26. Определите абсолютную диэлектрическую проницае-
мость керосина при условии, что два одинаковых по модулю и
знаку электрических заряда в вакууме на расстоянии 0,283 м
взаимодействуют с такой же силой, как в керосине на расстоя-
нии 0,20 м. Считая силу взаимодействия в керосине равной
3,0 10 2 Н, определите значения зарядов.
Напряженность электрического поля
13.27. Всегда ли вектор напряженности и вектор силы, дейст-
вующей на заряд со стороны электрического поля, будут иметь
одно направление?
13.28. Иногда на корпус радиоламп надевают металличе-
ский колпачок. С какой целью это делают?
13.29. Возможно ли разделить электрические заряды на про-
воднике? на диэлектрике?
143
13.30. Проводник имеет форму цилиндра, основание которо-
го совмещено с основанием конуса. Что можно сказать о напря-
женности электрического поля вблизи различных точек по-
верхности этого проводника?
13.31. Почему на стержень электроскопа обязательно кре-
пят шарик?
13.32. Два одинаковых по значению и знаку электрических
заряда образуют электрическое поле. Какой будет напряжен-
ность в средней точке прямой, соединяющей эти заряды?
13.33. Напряженность в данной точке электрического поля
равна 300 В/м. Что это значит?
13.34. Определите напряженность электрического поля в точ-
ке, в которой на заряд 0,7 • 10 6 Кл действует сила 5 мН.
13.35. С какой силой действует электрическое поле на заряд
3,2 • 108 Кл в точке, где напряженность равна 500 В/м?
13.36. Напряженность электрического поля вблизи поверх-
ности Земли перед разрядом молнии равна 2 • 105 В/м. С какой
силой поле будет действовать на электрон, помещенный в него?
13.37. Электрическое поле в вакууме образовано точечным
зарядом 7,5 • 10“8 Кл. Определите напряженность поля в точ-
ках, удаленных от заряда на 15 см. Что является геометриче-
ским местом этих точек?
13.38. Точечный электрический заряд 2,2 нКл создает
поле, напряженность которого на расстоянии 6,0 см от заря-
да равна 2,5 кВ/M. Определите диэлектрическую проницае-
мость среды.
13.39. В сосуде с керосином находится проводящий шарик
пренебрежимо малых размеров, имеющий заряд 8,0 • 10-8 Кл.
Определите напряженность электрического поля в точке, уда-
ленной на 5,0 см от заряда. Как изменится напряженность в
этой точке, если керосин из сосуда вылить?
13.40. Напряженность электрического поля в точке, распо-
ложенной на расстоянии 5,0 см от заряда, равна 1,5 • 105 В/м.
Какова напряженность в точке, удаленной на 10,0 см от заря-
да? Определите значение этого заряда.
13.41. Сколько избыточных электронов содержит пылинка,
если в электрическом поле напряженностью 1,5 • 105 В/м на нее
действует сила 2,4 • 1О10 Н?
13.42. Электрическое поле образовано точечным зарядом.
Что представляют собой геометрические места точек, имею-
щих одинаковую по модулю напряженность?
13.43. Останется ли электрическое поле однородным, если в
него внести проводящий шар?
144
13.44. Два одноименных точечных электрических заряда
1,0 • 10-8 и 2,0 • 10 8 Кл, расположенных в вакууме на расстоя-
нии 20 см один от другого, образуют электрическое поле. Оп-
ределите напряженность в точке, находящейся на линии, со-
единяющей заряды на равном удалении от них. Какой будет
напряженность, если заряды будут разноименными?
13.45. Два проводящих шарика диаметрами 10,0 и 4,0 см на-
ходятся на расстоянии 120,0 см один от другого и имеют заря-
ды соответственно 3,0 • 10“6 и 2,0 • 10“6 Кл. Определите напря-
женность в средней точке прямой, соединяющей эти шарики.
13.46. Два одноименных электрических заряда по 7,0 • 10 8 Кл
находятся в точках А и В (рис. 13.1). Определите напряженность
электрического поля в точке О, являющейся вершиной прямого
угла угла АОВ. АО = ВО = 5,0 см.
13.47. Определите напряженность электрического поля, об-
разованного заряженным проводящим шаром в точке, удален-
ной от поверхности шара на расстояние, равное утроенному ра-
диусу. Поверхностная плотность заряда на шаре 1,6 • 10“7 Кл/м2.
13.48. Проводящий шар радиусом R наэлектризован до по-
верхностной площади заряда о. Какой будет напряженность в
центре шара? на расстоянии от центра, равном половине радиу-
са? на поверхности шара?
13.49. В однородном электрическом поле напряженностью
49 В/м находится в равновесии капелька с зарядом 2 • 10-8 Кл.
Определите ее массу.
13.50. С каким ускорением будет падать шарик массой 10 г и
зарядом 1,0 • 10“5 Кл в электрическом поле Земли? Напряжен-
ность поля вблизи поверхности Земли 130 В/м.
13.51. Тонкое проводящее кольцо радиусом R имеет элек-
трический заряд д. Определите напряженность поля в центре
кольца О и в точке А (рис. 13.2).
13.52. Почему нарушается однородность электрического поля
заряженного плоского конденсатора, если между его пластинами
поместить незаряженный металлический шар?
Рис. 13.1
Рис. 13.2
145
Электрический потенциал.
Разность электрических потенциалов.
Работа в электрическом поле
13.53. Рассматривая Землю как шар радиусом 6400 км, оп-
ределите ее электрический заряд и потенциал, если напряжен-
ность земного поля вблизи ее поверхности 130 В/м.
13.54. При перемещении заряда 2,0 • 10“8 Кл из бесконечно-
сти в данную точку поля была совершена работа 1,13 • 10-4 Дж.
Каков электрический потенциал в данной точке поля?
13.55. Определите разность электрических потенциалов
между двумя точками поля, если для перемещения между
ними заряда 8,0 • 10 7 Кл пришлось совершить работу 3,0 •
• 10“5 Дж.
13.56. Электрическое поле перемещает положительный за-
ряд 3,0 • 10“7 Кл между точками, потенциал которых 200 и
1200 В. Какую работу совершает при этом поле?
13.57. Электрическое поле образовано точечным зарядом
4 • 10-8 Кл. Каким будет электрический потенциал в точке, уда-
ленной от заряда на расстояние 6 см? Какую работу необходимо
совершить против сил поля, чтобы из бесконечности в эту точку
перенести положительный заряд, равный 1 Кл?
13.58. Два точечных электрических заряда 1,0 • 10 5 и 6,0 •
• 10-6 Кл находятся в воздухе на расстоянии 20 см один от друго-
го. Определите электрический потенциал в точке поля, распо-
ложенной посредине прямой, соединяющей заряды.
13.59. В однородном электрическом поле напряженностью
5,0 • 103 В/м перемещался электрический заряд 1,6 • 10-7 Кл
вдоль силовой линии на 3,0 см. Определите совершенную рабо-
ту и разность электрических потенциалов двух точек, между
которыми заряд перемещался.
13.60. При прохождении электроном между двумя точка-
ми электрического поля, его скорость возросла от 2,0 • 106 до
3,0 • 107 м/с. Какова разность электрических потенциалов ме-
жду этими точками? На сколько увеличилась кинетическая
энергия электрона?
13.61. В двух вершинах равностороннего треугольника со
стороной 6,0 см расположены заряды по 8 нКл каждый. Опре-
делите напряженность и потенциал в третьей вершине.
13.62. Два проводящих шарика, радиусы которых 2,0 и 3,0 см,
заряжены соответственно до 30 и 40 В. Каким будет электриче-
ский потенциал шаров, если их соединить проволокой? Считай-
те, что расстояние между шариками велико по сравнению с их
радиусами.
146
13.63. Электрон, имея скорость 6,0 • 107 м/с, влетает в сере-
дину между пластинами плоского воздушного конденсатора
параллельно им. Каким должно быть электрическое напряже-
ние на пластинах, чтобы при выходе из конденсатора элек-
трон получил максимальное отклонение от первоначального
направления? Длина пластин 10,0 см, а расстояние между
ними 3,0 см.
13.64. Электрон, имея скорость 1,6 • 106 м/с, влетает в одно-
родное электрическое поле напряженностью 90 В/м и летит в
нем по силовой линии до полной остановки. Какой путь прой-
дет электрон и сколько потребуется для этого времени? Массу
электрона считайте равной 9,0 • 10“31 кг.
13.65. Проводящий шар радиусом 0,5 м заряжен до поверх-
ностной плотности 10~9 Кл/м2. Определите: а) напряженность и
потенциал электрического поля в точках MhN, удаленных от
поверхности шара на расстояния 1 и 2,5 м; б) скорость электро-
на в точке М, если в точке N она равнялась нулю. Отношение
заряда электрона к его массе составляет 1,76 • 1011 Кл/кг.
Электрическая емкость. Конденсаторы.
Энергия электрического поля в конденсаторе
13.66. Можно ли изменить потенциал заряженного провод-
ника, не изменяя его заряда?
13.67. Плоский воздушный конденсатор емкостью С погру-
жают в среду, диэлектрическая проницаемость которой равна 2.
Какой станет емкость конденсатора?
13.68. Емкость шарового проводника пропорциональна его
радиусу. Каким должен быть радиус проводящего шара, чтобы
его емкость в вакууме равнялась 1 Ф? Во сколько раз радиус
этого шара больше радиуса Земли?
13.69. Плоский воздушный конденсатор подключен к источ-
нику постоянного напряжения. Как изменятся емкость конден-
сатора, напряжение и заряд на его пластинах, энергия электри-
ческого поля конденсатора, если расстояние между пластинами
уменьшить?
13.70. Определите емкость уединенного проводящего шари-
ка радиусом 5,0 см, помещенного в керосин. Ответ дайте в фа-
радах, микрофарадах и пикофарадах.
13.71. Допуская, что Земля имеет форму шара, радиус кото-
рого 6400 км, определите ее электрическую емкость.
13.72. Уединенный проводящий шарик емкостью 5,0 пФ на-
электризован до потенциала 1570 В. Определите радиус шари-
ка и поверхностную плотность заряда на нем.
147
13.73. Почему электролитические конденсаторы имеют боль-
шую емкость?
13.74. Два проводящих шарика, имеющих заряды по 1,0 •
• 10-8 Кл каждый, расположены на достаточно большом рас-
стоянии один от другого. Емкость большего шарика 2,2 • 10-11 Ф,
меньшего — 5,6 • 10 12 Ф. Каковы их потенциалы? Что произой-
дет, если их соединить проводником?
13.75. Вычислите емкость плоского конденсатора, если пло-
щадь каждой станиолевой пластины 15 см2, а диэлектриком
служит слюда толщиной 0,8 мм. Диэлектрическая проницае-
мость е - 6.
13.76. Плоский воздушный конденсатор состоит из двух пла-
стин площадью 100 см2 каждая. Когда одной из них сообщили
заряд 6,0 • 10“9 Кл, конденсатор зарядился до напряжения 120 В.
Определите расстояние между пластинами конденсатора.
13.77. Площадь каждой пластины плоского воздушного
конденсатора 62,3 см2, а расстояние между пластинами 5 мм.
Определите заряд конденсатора, если разность электрических
потенциалов на его пластинах 60 В.
13.78. В воздушном плоском конденсаторе расстояние меж-
ду пластинами 0,1 см. Площадь каждой пластины 200 см2 и
разность потенциалов на них 600 В. Какой заряд накоплен в
конденсаторе? Как изменится разность электрических потен-
циалов, если пространство между пластинами заполнить слю-
дой с диэлектрической проницаемостью 6?
13.79. Плоский воздушный конденсатор, расстояние между
пластинами которого 1,5 мм, заряжен до напряжения 150 В.
На какое расстояние потребуется раздвинуть пластины, чтобы
напряжение возросло до 600 В?
13.80. Определите емкость конденсатора, в котором 9 слюдя-
ных пластинок толщиной 0,12 мм и площадью 12,56 см2 поме-
щены между листами станиоля. Диэлектрическая проницае-
мость е = 6.
13.81. Определите энергию плоского бумажного конденсато-
ра, площадь каждой обкладки которого равна 600 см2. Заряд
конденсатора 2,0 • 10-7 Кл, а диэлектриком служит парафини-
рованная бумага толщиной 2,0 мм.
13.82. Три конденсатора, емкости которых 4, 2 и 6 мкФ, со-
единены в батарею и подключены к источнику постоянного на-
пряжения 200 В. Определите емкость и энергию батареи при:
1) последовательном; 2) параллельном соединении конденса-
торов.
148
Рис. 13.3
Рис. 13.4
13.83. Определите электрическую емкость батареи конден-
саторов, соединенных по схеме, изображенной на рис. 13.3,
если Cj = 1,2 мкФ, С2 = С3 = 0,6 мкФ.
13.84. Определите электрическую емкость батареи конден-
саторов, соединенных так, как показано на рис. 13.4. Все кон-
денсаторы имеют одинаковую емкость 0,6 мкФ. Определите
электрический заряд, накопленный батареей, если к ней подве-
дено напряжение 100 В.
13.85. Конденсаторы соединены так, как показано на рис. 13.5.
Дано: С\ = С2 = 2 мкФ, С3 = С4 = С5 = 6 мкФ. Определите разность
электрических потенциалов в точках А и В, если энергия, запа-
сенная батареей, равна 1,35 • 101 Дж.
13.86. Незаряженный конденсатор емкостью 100 мкФ со-
единили параллельно с конденсатором емкостью 50 мкФ, заря-
женным до напряжения 300 В. Какое напряжение установи-
лось на конденсаторах? Как распределился заряд между ними?
13.87. После того как конденсатор неизвестной емкости, за-
ряженный до напряжения 600 В, подключили параллельно к
незаряженному конденсатору емкостью 5 мкФ, напряжение на
батарее упало до 100 В. Какова емкость конденсатора?
13.88. Два конденсатора, имеющие различную емкость, со-
единили параллельно и подключили к источнику постоянного
напряжения. В каком из конденсаторов запасется большая
энергия?
13.89. Импульсную вспышку при фотографировании осуще-
ствляют с помощью разряда конденсатора емкостью 800 мкФ
при напряжении на конденсаторе 300 В, протекающего за вре-
мя 2,8 мс. Определите энергию вспышки лампы и среднюю
мощность.
13.90. Три конденсатора соединены в батарею так, как пока-
зано на рис. 13.6, и подключены к источнику постоянного на-
пряжения 200 В. Определите емкость конденсатора С1 и заряд
149
на нем, если емкость батареи С2 = 6 мкФ, а емкость конденсато-
ров С2 = 2 мкФ, С3 = 3 мкФ.
13.91. Сила, с которой притягиваются пластины плоского
конденсатора, определяется из формулы F=g2/(2E0eS). В каком
случае затрачивается большая энергия на раздвигание пластин:
1) когда конденсатор остается подключенным к источнику на-
пряжения; 2) когда конденсатор зарядили и перед раздвигани-
ем пластин отключили от источника?
13.92. Сферический конденсатор состоит из двух проводя-
щих концентрических полых сфер. Если радиусы сфер мало
различаются, то для вычисления можно использовать формулу
емкости плоского конденсатора. Запишите в общем виде эту
формулу и найдите емкость воздушного сферического конден-
сатора, у которого радиусы внешней и внутренней сфер соот-
ветственно равны 5,00 и 4,95 см.
13.93. Определите объемную плотность энергии однородно-
го электрического поля слюдяного конденсатора, заряженного
до напряжения 90 В. Расстояние между пластинами 1,0 мм; ди-
электрическую проницаемость слюды примите равной 6.
§14. Электрический ток в металлах.
Закон Ома. Электрическое сопротивление
Основные понятия, законы и формулы
Электрический ток - это упорядоченное (направленное) движе-
ние заряженных частиц (в металлах это свободные электроны).
Сила тока I в проводнике — величина, равная количеству
электричества Q, протекшего через поперечное сечение провод-
ника за 1 с:
I = q/t или I = envS,
где п — концентрация носителей зарядов е; v — средняя ско-
рость зарядов; S — площадь поперечного сечения проводника.
Единица силы тока — ампер (А). За направление тока прини-
мают направление, противоположное движению электронов.
150
Для возникновения постоянного тока в металлических про-
водниках на свободные электроны должно действовать элек-
трическое поле, способное обеспечить на концах проводника
(цепи) постоянную разность потенциалов. В источнике тока в
результате действия сторонних сил у отрицательного полюса
возникает избыток электронов, у положительного — их недос-
таток, т.е. возникает разность потенциалов. Каждый источник
тока характеризуется электродвижущей силой которая рав-
на работе сторонних сил, совершаемой при перемещении поло-
жительного заряда 1 Кл вдоль цепи:
^=Ат/9-
Единица электродвижущей силы (ЭДС) — вольт (В).
Закон Ома для участка цепи устанавливает зависимость ме-
жду силой тока в проводнике и напряжением на его концах:
I = -U,
R
где коэффициент пропорциональности — называют электриче-
R
ской проводимостью; R — электрическое сопротивление про-
водника.
Единица сопротивления — ом (Ом).
Сопротивление проводника зависит от его размеров, мате-
риала и температуры:
I
R = p — ;Rt = R0(l+aAT),
S
где р — удельное сопротивление, Ом • м; а — температурный ко-
эффициент сопротивления, К-1;
АЯ
а ------.
7?0ДТ
Для металлических проводников а выражается положитель-
ным числом. Для некоторых металлов при температурах, близ-
ких к абсолютному нулю, наступает сверхпроводимость — со-
стояние, при котором сопротивление скачком падает до нуля.
Закон Ома для полной цепи устанавливает зависимость ме-
жду силой тока, электродвижущей силой и полным сопротив-
лением цепи:
где R и г — сопротивление соответственно внешней части цепи
и источника тока.
151
Напряжение U на полюсах источника тока при замкнутой
цепи меньше ЭДС на значение падения напряжения внутри
источника:
U = V-Ir.
Короткое замыкание — явление, возникающее, когда сопро-
тивление внешней части цепи ничтожно мало, а сила тока дос
тигает наибольшего значения. Используя формулу закона Ома
для полной цепи, можно определить силу тока при коротком
замыкании:
/к.3 =%э /г.
Отдельные участки цепи (резисторы) можно соединять по-
следовательно и параллельно.
При последовательном соединении резисторы включаются
один за другим, поэтому сила тока на всех участках цепи одина-
кова, а общее или эквивалентное сопротивление цепи равно
«поел - Rl + R2 + ••• + Rn-
Если = R2 = ... = Rn = R, to
Люсл = П^-
Падение напряжения при последовательном соединении пря-
мо пропорционально сопротивлениям:
С72 2?2
При параллельном соединении напряжение на всех парал-
лельных ветвях одинаково, а сила тока в отдельных ветвях за-
висит от их сопротивлений:
/2 Ri
Общее или эквивалентное сопротивление определяется из
формулы
11 1 1
-^пар ^2 Кп
Если — Rz =... = Rn -R,to
11 й
--------------------= — п или R„BB - —.
ДППр R ₽ П
Для измерения силы тока в цепь последовательно включают
амперметр, сопротивление которого должно быть очень малым.
Чтобы изменить цену деления шкалы амперметра, параллельно
152
Рис.20
Рис. 21
с ним включают шунтирующий резистор /?ш, сопротивление ко-
торого в (п - 1) раз меньше сопротивления амперметра:
„ ra
Ru, =-----г
(п-1)
где п — число, показывающее во сколько раз расширяются пре-
делы измерения прибора (рис. 20).
Для измерения напряжения в цепи включается вольтметр па-
раллельно участку, на котором оно измеряется. Сопротивление
вольтметра должно быть большим. В том случае, когда измеряе-
мое напряжение превышает диапазон измерений вольтметра,
последовательно с прибором включают дополнительный рези-
стор /?д (рис. 21), сопротивление которого
Ra = RB(n-l),
где п — число, показывающее, во сколько раз увеличивается
цена деления на шкале прибора; 7?в — сопротивление вольт-
метра.
Источники электрической энергии (источники тока) можно
соединять в батареи. При последовательном соединении поло-
жительный полюс первого источника соединяют с отрицатель-
ным полюсом второго и т.д. Сила тока при этом определяется по
формуле
где п — число одинаковых источников тока, соединяемых в
батарею.
При параллельном соединении в один узел соединяют прово-
да, идущие от положительного полюса, в другой — от отрица-
тельного, при этом сила тока батареи определяется по формуле
R+r/n
153
При решении задач на закон Ома для разветвленных цепей
необходимо:
1) произвольно выбрать направления силы тока и обхода
контуров и показать их на схеме цепи;
2) составить уравнения для тока в узлах, число уравнений
при этом должно быть на одно меньше числа узлов; алгебраиче-
ская сумма сил токов, сходящихся в узле, всегда равна нулю,
если токи, приходящие к узлу и уходящие от него, берутся с
противоположными знаками;
3) составить уравнения закона Ома для замкнутых конту-
ров, при этом знаки ЭДС и падения напряжения считать поло-
жительными, если направление ЭДС и направление тока совпа-
дают с направлением обхода контура, в противном случае —
отрицательным. За направление ЭДС принимают направление
внутри источника тока от«-»к«+».В каждом уравнении дол-
жен быть хотя бы один не использованный ранее участок цепи,
что определяет количество уравнений.
Примеры решения задач
Пример 67. К концам стального проводника длиной 20 м
приложено напряжение 3,6 В. Найдите среднюю скорость упо-
рядоченного движения носителей зарядов в проводнике, если
их концентрация 4,0 • 1028 м‘3.
Дано: U — 3,6 В — падение напряжения в проводе; п =
= 4,0 • 1028 м’3 — концентрация подвижных носителей зарядов;
Z = 20 м — длина проводника; из таблиц: е = 1,6 • 10”19 Кл — за-
ряд электрона; р = 1,2 • 10 7 Ом • м — удельное сопротивление
стали.
Н а й т и: v — среднюю скорость носителей зарядов.
Решение. В металлах подвижными носителями зарядов
являются свободные электроны или, как их называют, элек-
троны проводимости. Следовательно, требуется найти сред-
нюю скорость упорядоченного движения свободных электро-
нов о.
Закон Ома на основе электронной теории имеет вид
I =erivS.
Отсюда
I
v —---.
enS
Силу тока определим по формуле I = U/R, выразив сопро-
тивление R через длину и поперечное сечение: R = pl/S.
154
Подставив полученное выражение силы тока в формулу ско-
рости, найдем:
_ US _ и
v =-----; v =---;
pZenS pZen
3,6В
V =-----=-------------77-------—„=2,343 10 4 м/с.
1.2-10-7 Ом м 20м-1,61019Кл 4,0 1028м"3
Ответ. Средняя скорость упорядоченного движения сво-
бодных электронов ~ 0,23 мм/с.
Пример 68. Потребитель тока, рассчитанный на напряже-
ние 220 В и силу тока 15 А, удален от генератора на расстояние
500 м. Линия, соединяющая их, выполнена из алюминиевых
проводов диаметром 5 мм. Определите напряжение на зажимах
генератора.
Д а н о: U = 220 В — напряжение у потребителя: I = 15 А —
сила тока в цепи; I ~ 500 м — расстояние от генератора до потре-
бителя; d = 5 мм = 5 • 10-3 м — диаметр проводов; из таблиц: р =
= 2,7 • 10“8 Ом • м — удельное сопротивление алюминия.
Н а й т и: Ur — напряжение на зажимах генератора.
Решение. Учитывая падение напряжения в проводах, за-
пишем
Ur=U + IRnTt.
Сопротивление проводов /?пр найдем из формулы 7?пр = р .
ltd2
Здесь I = 21 и S =--. Отсюда
4
пр nd2'
Окончательно получим
ltd
UT =220В+
15А 2,7 10"8 Ом м-8-500м
3,14-25 КГ* м2
=241 В.
Ответ. С7Г = 241 В.
Пример 69. На сколько изменится при переходе от зимних
температур к летним сопротивление телеграфной линии, если
она проложена стальным проводом, площадь поперечного сече-
ния которого 5,0 мм2? Температура изменяется от -30 до +30°С.
Длина провода при О С равна 200 км. Линейное расширение не
Учитывайте.
155
Д а н о: S = 5,0 • 10 6 м2 — площадь поперечного сечения про-
вода; tx = -30 °C — температура в зимнее время; t2 = +30°С —
температура в летнее время; I = 2,0 • 10s м — длина провода; из
таблиц: р0 = 1,2 • 10“7 Ом • м — удельное сопротивление стали
при 0°С; а = 0,006 К-1 — температурный коэффициент сопро-
тивления стали.
Найти: ДЕ — изменение сопротивления телеграфной ли-
нии, вызванное сезонными изменениями температуры.
Решение. Сопротивление линии при 0°С: Ro = р0 —. Со-
S
I
противление линии при температуре tx: Rx = р0 —(1+atj). Со-
<8
I
противление линии при температуре t2: R2 = р0 —(1 +at2 ). Изме-
S
нение сопротивления
I 1а
&R = R2 -Rl;AR = p0 — (l+at2 -1-а^) = р0 — (t2 -*i).
О о
Если учесть, что модули температур одинаковы: |tT| = |t2|,
получим
I
ДЛ = р0 — 2atx;
О
ДЯ=1,2-10-7 Ом м2,01? ™-2-0,006 К’1 -ЗОК=1,7кОм.
5-10~6м2
Ответ. При переходе от зимних температур к летним со-
противление провода возросло приблизительно на 1,7 кОм.
Пример 70. Рассчитайте сопротивление цепи, схема которой
приведена на рис. 22. Определите силу тока в каждом резисто-
ре, если их сопротивления Rx = 6 Ом, R2 = 5 Ом, R3 = 4 Ом, Т?4 =
==12 Ом, R5 = 8 Ом и напряжение в цепи UAB = 20 В.
Д ан о: Д[=6Ом,R2 = 5Ом,R3 = 4Ом,/?4 = 12Ом,Т?5 = 8Ом —
сопротивления резисторов; С7АВ = 20 В напряжение в цепи.
Найт и: Д — общее (эквивалентное) сопротивление цепи;
7\ - /5 — силы токов в каждом резисторе.
Решение. При решении задач, в которых потребители энер-
гии соединяются и песледовательно и параллельно, целесообраз-
но разветвленную цепь заменять ее эквивалентными схемами,
как это показано на рис. 22 а—д.
Резисторы R3 и R4 соединены параллельно (рис. 22, а), поэто-
му эквиваленое им сопротивление (рис. 22, б):
R3R4 4Ом-12Ом
ллт — ----—------------— о UM.
R3 +R4 4Ом+12Ом
156
Участок цепи, сопротивление которого Т?2 и Rl, соединен по-
следовательно (рис. 22, б), эквивалентное им сопротивление Rn
(рис. 22, в);
/?п = R2 + Rx =5 Ом + 3 Ом = 8 Ом.
Участок цепи, сопротивление которого 7?п, и резистор R5 со-
единены параллельно (рис. 22, в). Известно, что при параллель-
ном соединении п одинаковых сопротивлений, эквивалентное
им будет в п раз меньше одного сопротивления (рис. 22, г), т.е.
7?ш = _R5/2 = 8 Ом/2 = 4 Ом.
Общее сопротивление цепи
R = Rr + _Rni = 6 Ом + 4 Ом = 10 Ом.
Сила тока в первом резисторе (она же общая сила тока)
Л = UAn/fi = 20 В/10 Ом = 2А.
Для определения силы тока 12 и 15 найдем напряжение на
участке СВ:
[7СВ = /]7?1П = 2 А • 4 Ом = 8 В.
I2= U<* =------------=1А;
{R2+Rj) (5Ом+ЗОм)
R5 8Ом
Этот результат можно получить иначе: если сопротивления
резисторов 7?п = Т?5, то силы токов In =I6 = 1/2.
На участке DB UDB = I3R3 = /4Т?4 + I2Rf, UDB = 1А • 3 Ом = 3 В.
I3 = Udb/R3 = 3 В/4 Ом = 0,75 А;
Л = ивв^ = 3 В/12 Ом = 0,25 А.
157
О т в е т. R = 10 Ом; Д = 2 A, I2 = 1 А, 13 = 0,75 А, 14 = 0,25 А,
I5 = 1 А.
Пример 71. При замыкании источника электрической энер-
гии с ЭДС 4,2 В никелиновым проводом длиной 10 м и диаметром
поперечного сечения 1,0 мм сила тока в цепи была 0,6 А. Найдите
внутреннее сопротивление источника электрической энергии.
Дано: & = 4,2 В — ЭДС источника электрической энергии;
Z =10 м — длина провода из никелина; d = 1,0 • 10-3 м — диаметр
поперечного сечения провода; I = 0,6 А — сила тока цепи; из таб-
лиц: р = 4,2 • 10“7 Ом • м — удельное сопротивление никелина.
Н а й т и: г — внутреннее сопротивление источника тока.
Решение. Для решения задачи запишем закон Ома для
всей цепи:
Отсюда
I
Внешнее сопротивление R определим из формулы R = p—.
S
nd2
Учитывая, что S = ——, получаем
„ 4pZ 4-4,2-10 7 Ом-м-Юм „
R = ~~ =-----’----------------= 5,4 Ом.
nd2 3,14 1,0 10-®м2
Тогда
4,2В
г -----5,4Ом = 1,6 Ом.
0,6А
Ответ. Внутреннее сопротивление источника электриче-
ской энергии равно 1,6 Ом.
Пример 72. Батарея элементов с ЭДС 3 В и внутренним сопро-
тивлением 0,25 Ом питает цепь, состоящую из четырех резисто-
ров, сопротивлениями RT = 1,0 Ом, /?2 = 3,0 Ом, R3 = 1,5 Ом, R4 =
= 0,75 Ом, соединенных так, как показано на рис. 23, а. Опреде-
лите силу тока в неразветвленной части цепи и падения напря-
жения внутри батареи.
Дано: (9 = 3 В — ЭДС батареи; г = 0,25 Ом — внутреннее со-
противление батареи; R1 = 1,0 Ом, R2 = 3,0 Ом, Я3 = 1,5 Ом, Т?4 =
= 0,75 Ом — сопротивления резисторов.
Найти: I — силу тока в цепи; UBB — падение напряжения
внутри батареи элементов.
158
Рис. 23
Решение. Для решения задачи используем закон Ома для
всей цепи: I --. Поэтому необходимо определить сопротив-
Л+г
ление внешней части цепи R. Для простоты представим схему
так, как показано на рис. 23, б. На этой схеме видно, что рези-
сторы и R2 соединены параллельно; эквивалентное им сопро-
тивление обозначим 2?! и найдем по формуле
7?t
7?! + /?2
1,0 Ом-3,0 Ом
1,0 Ом+3,0 Ом
= 0,75 Ом.
Участок цепи, сопротивление которого Лр и резистор _В4 со-
единены последовательно; эквивалентное им сопротивление
обозначим 7?п и найдем по формуле
Яп = R, + R4; Ra = 0,75 Ом + 0,75 Ом = 1,5 Ом.
Сопротивление Rn и R3 можно заменить эквивалентным R,
которое определим по правилу параллельного соединения.
Так как эти сопротивления равны, то
R = Лп/2 = 0,75 Ом.
В неразветвленной части цепи сила тока
0,75 Ом+0,25 Ом
Падение напряжения внутри источника тока определим по
закону Ома для участка цепи:
UBH = Ir; UBB =3 А • 0,25 Ом = 0,75 В.
Ответ. Сила тока в неразветвленной части цепи 3 А; паде-
ние напряжения внутри источника тока 0,75 В.
Пример 73. Гальванометр, внутреннее сопротивление кото-
рого 19,8 Ом, может измерять силу тока до 10 мА. Как следует
159
включить его в цепь, чтобы им можно было измерять силу тока
до 1,0 А? напряжение до 10 В?
Дано: Яг= 19,8 Ом — сопротивление гальванометра; 1Г ~
= 0,01 А — сила тока в гальванометре; I = 1,0 А — сила тока в
цепи; U = 10 В — измеряемое напряжение.
Найти: Rm — сопротивление шунта, 7?д — дополнительное
сопротивление.
Решение. Если гальванометр должен работать как ампер-
метр (в этом случае в цепь он включается последовательно), то к
нему параллельно присоединяется шунт Rm (резистор) так, как
показано на рис. 20. Сопротивление шунта можно рассчитать
гдеп —
по законам параллельного соединения:
; т?ш
19,8 Ом
99
= 0,2 Ом.
Если гальванометр используется как вольтметр (в этом слу-
чае он присоединяется параллельно участку, на котором изме-
ряют падение напряжения 17), то последовательно с ним под-
ключают дополнительное сопротивление Rr так, как показано
на рис. 21.
Падение напряжения U распределяется пропорционально
сопротивлениям Rr и 7?д:
и-иг
иг RT ' Ur Rr ’
и и
Rr =(«-1)7?.
10В
п =----------------= 50.
0,01 А 19,8 Ом
7?д = 49 • 19,8 Ом « 970 Ом.
Ответ. Для измерения силы тока гальванометром его надо
зашунтировать (сопротивление 0,2 Ом) для измерения напря-
жения последовательно с гальванометром следует включить
дополнительно резистор сопротивлением, приблизительно рав-
ным 970 Ом.
Пример 74. Как надо соединить два гальванических элемен-
та с ЭДС 1,45 В и внутренним сопротивлением 0,4 Ом каждый,
160
чтобы при замыкании их на внешнее сопротивление 0,65 Ом
получить большую силу тока?
Д ан о: п = 2 — количество элементов в батарее; <$=1,45 В —
ЭДС одного элемента; г — 0,4 Ом — внутреннее сопротивление
элемента; R — 0,65 Ом — сопротивление внешней цепи.
Найти: 1ПОСЛ — силу тока при последовательном соедине-
нии; /пяр — силу тока при параллельном соединении.
Решение. Чтобы ответить на вопрос задачи, какой спо-
соб соединения будет более выгодным, определим силу тока
при последовательном и параллельном соединениях элемен-
тов, а затем сравним их:
, =___________________21'45Ц_____-2А.
Я+пг’ ““ 0,650м + 20,4Ом
t = .j __М5В________________
Я+r/n’ ”р 0,65 Ом+0,4 Ом/2 ’
Ответ. Соединить элементы в батарею выгоднее последова-
тельно.
Пример 75. В электрическую цепь, схема которой приведена
на рис. 24, включены три резистора сопротивлениями: Rx =
= 100 Ом, R2 = 50 Ом, R3 =20 Ом, гальванические элементы с
ЭДС <\ = 2 В и ?2. Амперметр показывает силу тока 50 мА. Опре-
делите силу токов в резисторах и ЭДС второго элемента. Внут-
ренним сопротивлением амперметра и элементов пренебргите.
Д а н о: Rr = 100 Ом, R2 = 50 Ом, R3 = 20 Ом — сопротивления
резисторов; ^ = 2 В — ЭДС первого элемента; 1А = 0,05 А — по-
казание амперметра.
Н ай т и:Д, 12,13 — силы тока в резисторах; $2 — ЭДС второ-
го элемента.
6 2451
161
Решение. Произвольно выберем направление тока и по-
кажем его на схеме цепи. Учитывая, что алгебраическая сумма
сил токов, приходящих к узлу и уходящих от него, равна нулю
(первое правило Кирхгофа), запишем -12 -13 = 0, отсюда
4 = Л“ (1)
Сила тока, показанная амперметром, 1А = 1а.
Условимся обходить контуры по часовой стрелке; покажем
это на схеме.
Исходя из того, что в замкнутом контуре алгебраическая
сумма падений напряжения равна алгебраической сумме ЭДС
(второе правило Кирхгофа), запишем:
для контура ABCDFA
-1^! - I2R2 = “Я или ЛА + ЛА = А? (2)
для контура AFMNA
IiRi + I3R3 = <92. (3)
Из уравнения (1) определим и подставим в уравнение (2):
71 — /3 + Z2; (I3 +12)Ry +12R2 — Jpj,
отсюда
^-I3R^T 2В-0,05 А100 Ом
2 Ri+R2 ’ 2 100 0м+50 0м
Знак минус указывает на то, что сила тока 12 имеет направ-
ление, противоположное условно показанному на схеме. Сила
тока
Ц = 13 +12 = 0,05 А - 0,02 = 0,03 А.
Подставив 1г в уравнение (3), найдем $2:
£2 = 0,03 А • 100 Ом + 0,05 А • 20 Ом = 4 В.
Ответ. Силы токов в резисторах Rlt R2, R3 равны соответст-
венно 0,03, -0,02, 0,05 А; ЭДС второго элемента равна 4 В.
Сила тока. Сопротивление.
Закон Ома для участка цепи
14.1. Сила анодного тока в радиолампе 12 мА. Сколько элек-
тронов подходит к аноду лампы за 1 с?
14.2. Сколько электронов проходит через поперечное сечение
контактного провода трамвайной сети за 2 с при силе тока 500А?
14.3. Определите силу тока в контактном медном проводе
троллейбусной сети, если концентрация электронов проводи-
мости в меди 3 • 1023 см-3 , их средняя скорость упорядоченного
162
движения 0,25 мм/с и площадь поперечного сечения провода
85 мм2.
14.4. Определите концентрацию электронов проводимости в
меди, если при средней скорости упорядоченного движения
электронов проводимости 0,1 мм/с в проводе, площадь попе-
речного сечения которого 105 мм2, сила тока 500 А.
14.5. К концам медного провода длиной 200 м приложено на-
пряжение 18 В. Определите среднюю скорость упорядоченного
движения электронов в проводнике, зная, что концентрация
электронов проводимости в нем составляет 3,0 • 1023 см-3.
14.6. Какова напряженность поля в проводе площадью попереч-
ного сечения 6 мм2 при силе тока 9 А, если разность потенциалов
на концах проводника 21 В, подвижность электронов проводимо-
сти в проводнике из алюминия 7 • 10“3 м2/(В • с), а концентрация
электронов в нем 3,7 • 1022 см-3? Какова длина проводника?
14.7. В спирали электрической плиты сила тока 2,7 А при
напряженности электрического поля 3,1 В/м. Определите под-
вижность электронов проводимости, если концентрация их в
материале спирали 1023 см-3, а площадь поперечного сечения
провода 0,10 мм2.
14.8. Определите плотность тока в проводнике, если через по-
перечное сечение площадью 6 мм2 за 1 с проходит 0,15 Кл элек-
тричества. Учитывается ли допустимая плотность тока при выбо-
ре проводов при монтаже электропроводки в жилом помещении?
14.9. При золочении изделия, размеры которого 1,2 х 15 см,
поддерживали постоянную силу тока 3,6 мА. Определите плот-
ность тока.
14.10. Какого диаметра необходимо выбрать медный провод,
чтобы при допустимой плотности тока 2,5 А/мм2 сила тока в
нем была 1000 А?
14.11. Определите плотность тока в обмотке возбуждения
тягового двигателя тепловоза, площадь поперечного сечения
которой 4,7 х 25 мм, а номинальная сила тока 725 А.
14.12. Каким сопротивлением обладает алюминиевый про-
вод длиной 2 м и площадью поперечного сечения 1 мм2? Как из-
менится сопротивление провода, если при той же длине пло-
щадь поперечного сечения будет в два раза больше?
14.13. Никелиновая и нихромовая проволоки имеют одина-
ковую длину и диаметр. Какая из них имеет большее сопротив-
ление? во сколько раз?
14.14. Железную и вольфрамовую проволоки одинаковой дли-
ны и диаметра поочередно подключали к аккумулятору. В какой
из них будет большая сила тока? во сколько раз?
163
14.15. Длинный проводник разрезали на две равные части и
свили вместе по всей длине. Как изменилось сопротивление
проводника?
14.16. Определите емкость конденсатора, при зарядке кото-
рого силой тока 10 6 А за 12 с напряжение на обкладках оказа-
лось равным 1 В.
14.17. Электрическая цепь, проводимость которой 0,024 Ом-1,
подключена к источнику постоянного напряжения 50 В. Опреде-
лите силу тока в цепи и ее сопротивление.
14.18. Определите длину манганинового провода, необходи-
мого для изготовления реостата на максимальное сопротивле-
ние 1500 Ом, если диаметр провода 0,3 мм.
14.19. Для изготовления реостата израсходовано 2,25 м кон-
стантанового провода диаметром 0,15 мм. Определите сопро-
тивление реостата.
14.20. Моток медного провода массой 3,6 кг имеет сопротив-
ление 22,5 Ом. Определите длину провода в мотке.
14.21. Катушка, содержащая 75 м константанового провода
диаметром 0,1 мм, подключена к источнику электрической энер-
гии напряжением 12 В. Определите силу тока в катушке.
14.22. Допустимая нагрузка в комнатной проводке 6 А/мм2.
Каково падение напряжения в медной проводке, если ее длина
30 м?
14.23. Определите падение напряжения и плотность тока об-
мотки магнитного полюса двигателя электровоза. Обмотка из-
готовлена из полосовой меди площадью поперечного сечения
28 х 4,7 мм2; средняя длина витка 1,5 м; число витков 40; сила
тока в обмотке 352 А.
14.24. Потребитель энергии находится на расстоянии 0,5 км от
источника тока и соединен с ним проводом, площадь поперечного
сечения которого 5 мм2. Потребитель перенесли на 1 км дальше.
Какая площадь поперечного сечения должна быть у провода, что-
бы падение напряжения в линии осталось прежним?
14.25. Каков необходим вес меди для контактного провода
трамвайной сети сопротивлением 0,2 Ом, если площадь попе-
речного сечения его 85 мм2?
14.26. Определите сопротивление 1 км стального трамвайно-
го рельса, каждый метр которого имеет массу 55 кг.
14.27. Медную и нихромовую проволоки одинаковой длины
и диаметра нагрели на 5 К. Сопротивление какой проволоки из-
менится больше и во сколько раз?
14.28. Добавочное сопротивление к катушке зажигания ав-
томобиля «Москвич» равно 1,35 Ом при температуре 293 К и
164
2 Ом при 373 К. Определите материал, из которого оно изготов-
лено.
14.29. Пусковые чугунопластинчатые и фехралеленточные
реостаты электровагонов при температуре 298 К имеют сопро-
тивление 4 Ом. Как изменится их сопротивление при темпера-
туре 723 К?
14.30. С каким температурным коэффицентом необходимо
выбирать материал для изготовления реостатов?
14.31. В холодном состоянии вольфрамовая нить лампочки
накаливания имеет сопротивление 20 Ом. Каким будет ее со-
противление при горении, если нить накаливается до 2100°С?
14.32. На сколько повысилась температура медной обмотки
якоря генератора постоянного тока после продолжительной рабо-
ты, за время которой сопротивление увеличилось от 2 до 2,2 Ом?
14.33. Электрическую дугу, рассчитанную на напряжение
45 В и силу тока 10 А, включают в сеть, напряжение которой
110 В. Определите необходимое добавочное сопротивление,
если сопротивление соединительных проводов 0,5 Ом.
14.34. На сколько градусов нагрелся реостат с обмоткой из
железной проволоки, если его сопротивление увеличилось в
два раза?
14.35. Электродвигатель, удаленный от источника электри-
ческой энергии на расстояние 200 м, соединен с ним медными
проводами, площадь поперечного сечения которых 150 мм2.
Определите напряжение на зажимах двигателя, если на полю-
сах источника оно 600 В, а сила тока в двигателе 150 А.
14.36. Опытная линия передачи электроэнергии постоянным
током Кашира — Москва напряжении 200 кВ выполнена одно-
жильным алюминиевым кабелем длиной 112 км. Определите
площадь поперечного сечения кабеля, если при силе тока в нем
150 А падение напряжения составляет 3,1% от номинального.
14.37. Линия постоянного тока напряжением 1500 кВ имеет
длину 2500 км. Какое напряжение будет в конце линии, если
она выполнена из алюминиевого провода, площадь поперечно-
го сечения которого 600 мм2? Допустимая нагрузка на провод
1070 А.
14.38. Показание какого из амперметров — А: или А2 (рис. 14.1)
больше? Как изменится сопротивление цепи, если перегорит лам-
почка Л2? Изменятся ли при этом показания амперметров А! и А2
при том же напряжении?
14.39. Пусковой реостат двигателей вагона состоит из 80 пла-
стин сопротивлением 0,05 Ом каждая, соединенных последова-
тельно. Определите сопротивление реостата.
165
/?! = 5 Ом
7?з = 10 Ом
Рис. 14.2
14.40. Обмотка якоря тягового двигателя состоит из 132 сек-
ций, соединенных последовательно в две параллельные ветви.
Сопротивление одной секции 0,001 Ом. Определите сопротив-
ление всей обмотки.
14.41. Определите общее сопротивление цепи (рис. 14.2),
силу тока в ней и распределение напряжений, если напряже-
ние сети 220 В.
14.42. Какое добавочное сопротивление требуется присоеди-
нить к нагревательному элементу утюга сопротивлением R =
— 24 Ом, рассчитанного на напряжение 120 В, чтобы его можно
было включить в сеть напряжением 220 В?
14.43. Цепь составлена так, как показано на рис. 14.2, и под-
ключена к источнику постоянного напряжения 120 В. Дано: =
= 6 Ом, Т?2 = 15 Ом, I = 5 А. Определите общее сопротивление
цепи и сопротивление резистора R3.
14.44. На рис. 14.3 приведена схема цепи возбуждения тягово-
го двигателя троллейбуса. Сопротивления секций регулировоч-
ного реостата: Rx = 1040 Ом, R2 - 200 Ом, R3 = 90 Ом и R4 = 10 Ом;
сопротивление обмоток возбуждения Т?5 = 160 Ом. Определите
силу тока возбуждения при включении одного из контакторов: 3,
2 и 1, а затем без контакторов.
14.45. В двигателе электровоза четыре медных обмотки элек-
тромагнитов, соединены последовательно. Определите сопро-
тивление обмоток, если число витков одной из них равно 39,
средняя длина витка 1,5 м, сила тока в обмотках 352 А, а допус-
тимая плотность тока 2,7 А/мм2.
14.46. На сколько равных частей надо разрезать проводник
сопротивлением 4 Ом и как соединить их, чтобы получить со-
противление 1 Ом?
14.47. Резистор каким сопротивлением необходимо присое-
динить параллельно к резистору сопротивлением 100 Ом, что-
бы их общее сопротивление было 20 Ом?
166
Рис. 14.4
14.48. Определите общее сопротивление лампового реоста-
та, силу тока в сети и в каждой лампе, если в реостате 10 па-
раллельно соединенных ламп сопротивлением 440 Ом каж-
дая, а напряжение сети 220 В.
14.49. Три резистора сопротивлениями 1, 2 и 16 Ом соедине-
ны параллельно и подключены к источнику постоянного тока.
Сила тока в неразветвленной части цепи 5 А. Определите общее
сопротивление цепи и силу тока в каждом резисторе.
14.50. Если два проводника соединить параллельно, то эквива-
лентное им сопротивление будет 0,72 Ом. При последовательном
соединении тех же проводников эквивалентное сопротивление
оказывается равным 3 Ом. Определите сопротивление каждого
проводника.
14.51. В сеть напряжением 220 В включены три лампочки на-
каливания, каждая сопротивлением 400 Ом. Определите силу
тока, проходящего через одну лампу при параллельном и после-
довательном их включении. Определите общую силу тока в обо-
их случаях.
14.52. Пять резисторов соединены так, как показано на
рис. 14.4. Они подключены к источнику постоянного напряже-
ния 12 В. Определите общее сопротивление цепи и силу тока в
резисторах RT, R3 и _R4.
14.53. Цепь составлена так, как показано на рис. 14.4. Все
резисторы имеют одинаковое сопротивление — 1,2 Ом. Сила
тока в первом резисторе 10 А. Определите общее сопротивле-
ние, напряжение на зажимах цепи, силу тока и напряжение на
каждом резисторе.
14.54. Нить лампочек накаливания разогревается примерно
До температуры 2200°С и чаще перегорает в момент включения
света, а не при его выключении. Почему? Сравните силы тока в
лампе в обоих случаях и сделать выводы. Материалом нити
служит вольфрам.
167
< 500 А/ • —
° -<—500AJ < 1000 А
О—-------
800 m
Рис. 14.6
14.55. Два резистора сопротивлением RT = 12 Ом и R2 соеди-
нены параллельно и подключены к источнику электрической
энергии. Определить сопротивление Rz и силу тока в нем, если
общая сила тока 4 А, а напряжение, подведенное к резисторам,
12 В.
14.56. Девять резисторов соединены, как показано на рис. 14.5.
Сопротивление резисторов: 7?j = Т?4 = 2 Ом, R2 = R6=Т?7=Rg = 3 Ом,
7?3 = R5 = 10 Ом, Rs = 4 Ом. Определите силу тока в каждом рези-
сторе. U = 100 В.
14.57. Определите падение напряжения на участке рельсо-
вого пути, если электровоз находится на расстоянии 800 м от
кабеля, соединяющего рельсы с подстанцией (рис. 14.6). Пло-
щадь поперечного сечения рельсов 72 см2.
14.58. На рис. 14.7 дана схема пускового реостата, состояще-
го из трех секций. Определите сопротивление реостата для сле-
дующих позиций: а) включен контактор 1; б), включен контак-
тор 2; в) включены контакторы 1 и 4; г) включены контакторы
2 и 4; д) включены контакторы 1,2 и 4; е) включены контакто-
ры 2, 3 и 4.
14.59. Определите сопротивление двух секций пускового рео-
стата, если сопротивление одной чугунной пластины 0,06 Ом.
Первая секция состоит из 10 пластин, вторая — из 12. Способы
их соединения показаны на рис. 14.8.
Рис. 14.7
Рис. 14.8
168
Рис. 14.10
14.60. Определите сопротивление пускового реостата, если
он состоит из двух секций, соединенных между собой последо-
вательно. В первой секции 22 спирали соединены по 11 после-
довательно в две параллельные группы; во второй секции
45 спиралей соединены по 15 последовательно в три параллель-
ные группы. Спирали изготовлены из фехралевой проволоки
диаметром 3 мм, длиной 1,6 м каждая.
14.61. Цепь освещения трамвайного вагона состоит из двух
параллельных групп. В каждой группе пять ламп, соединен-
ных последовательно. Определите общую силу тока в цепи и
группах, если сопротивление одной лампы 220 Ом, а напряже-
ние в линии 550 В.
14.62. Лампы накаливания сопротивлением 440 Ом каждая
включены в сеть напряжением 220 В так, как показано на
рис. 14.9. Определите общее сопротивление ламп, напряжение
и силу тока в одной лампе.
14.63. Обмотка якоря двигателя электровоза состоит из
924 медных стержней длиной 1 м каждый. Стержни соединены
поровну в четыре параллельные ветви (рис. 14.10). Определите
сопротивление обмотки якоря при силе тока 352 А. Допусти-
мая плотность тока 5 А/мм2.
14.64. На рис. 14.11 дана схема электрической цепи. Напря-
жение UAB = 120 В. Определите сопротивление всей цепи, силу
тока до разветвления и в каждом резисторе.
169
Рис. 14.13
14.65. На рис. 14.12 приведена схема электрической цепи.
Напряжение С7АВ = 220 В. Определите общую силу тока и силу
тока в параллельных ветвях.
14.66. Амперметром со шкалой до 10 А надо измерить силу
тока до 50 А. Определите сопротивление шунта, если сопротив-
ление амперметра 0,01 Ом (см. рис. 13.7).
14.67. Амперметр, имеющий сопротивление 0,18 Ом, показыва-
ет силу тока 6 А. Амперметр снабжен шунтом, сопротивление ко-
торого0,02. Ом. Определите силу тока в магистрали (см. рис. 13.7).
14.68. Вольтметр со шкалой от 0 до 150 В должен быть ис-
пользован для измерения напряжения от 0 до 250 В. Рассчитай-
те добавочное сопротивление к вольтметру, если его сопротив-
ление 600 Ом (рис. 14.13).
14.69. Вольтметром, рассчитанным на максимальное напря-
жение 20 В при силе тока в нем 8 мА, необходимо измерять на-
пряжение 100 В. Какое для этого потребуется дополнительное
сопротивление?
14.70. Вольтметр, имеющий внутреннее сопротивление
1000 Ом, при включении в сеть постоянного напряжения по-
следовательно с некоторым дополнительным сопротивлением
7?д показал напряжение UA = 180 В. Если в ту же цепь последова-
тельно включить еще одно такое же дополнительное сопротив-
ление, то вольтметр покажет напряжение U2 = 150 В. Опреде-
лите дополнительное сопротивление /?д и напряжение сети U.
14.71. Предел измерения миллиамперметра с внутренним
сопротивлением R = 150 Ом равен I =10 мА. Какой длины I
должна быть проволока из манганина диаметром d = 0,1 мм,
взятая в качестве дополнительного сопротивления, чтобы ис-
пользовать прибор как вольтметр со шкалой от 0 до 10 В?
14.72. Внутреннее сопротивление вольтметра 300 Ом. При
включении в цепь последовательно с ним присоединили допол-
нительное сопротивление 1200 Ом. Во сколько раз изменилась
цена деления шкалы вольтметра?
170
Закон Ома для полной электрической цепи.
Соединение источников электрической энергии
14.73. Вольтметр подключен к зажимам источника электри-
ческой энергии. Внешняя цепь замкнута. Что при этом измеря-
ет вольтметр? На сколько показание вольтметра будет отли-
чаться от ЭДС, если цепь разомкнуть?
14.74. Элемент, внутреннее сопротивление которого 0,4 Ом,
замкнут на внешнюю цепь, сопротивление которой 2,1 Ом. Сила
тока в цепи 0,6 А. Определите ЭДС элемента и падение напря-
жения в нем.
14.75. На рис 14.14 дана схема электрической цепи. При со-
противлении внешней цепи 1,5 Ом вольтметр показывает 1,65 В,
а при замыкании на цепь сопротивлением 3,6 Ом вольтметр по-
казывает 1,8 В. Определите ЭДС и внутреннее сопротивление
элемента.
14.76. Гальванический элемент с ЭДС 1,45 В и внутренним
сопротивлением 1,5 Ом замкнут на внешнее сопротивление
3,5 Ом. Определите силу тока в цепи, напряжение на зажимах
элемента и КПД элемента в этой цепи.
14.77. Определите ЭДС генератора и напряжение на зажи-
мах, если его сопротивление 0,05 Ом, а сопротивление внешне-
го участка 11,45 Ом. Сила тока в цепи 20 А.
14.78. Определите силу тока в цепи, если ЭДС генератора
230 В, его сопротивление 0,1 Ом, а сопротивление внешней час-
ти цепи 22,9 Ом.
14.79. К генератору с ЭДС 230 В подключено сопротивление
2,2 Ом. Чему равно сопротивление генератора, если напряже-
ние на его зажимах при этом 220 В?
14.80. Батарея гальванических элементов с ЭДС 15 В и внут-
ренним сопротивлением 5 Ом замкнута проводником, сопро-
тивление которого 10 Ом. К зажимам
батареи подключен конденсатор емко-
стью 1 мкФ. Определите значение элек-
трического заряда на конденсаторе.
14.81. Конденсатор емкостью 2 мкФ
и резистор сопротивлением 3 Ом под-
ключены параллельно к источнику элек-
трической энергии с ЭДС 10 В и внутрен-
ним сопротивлением 1 Ом. Чему равен
электрический заряд на конденсаторе?
14.82. Если источник электрической
энергии замкнуть на резистор сопро-
тивлением 13 Ом, то в цепи возникает Рис. 14.14
171
сила тока 0,8 А; если источник замкнуть на резистор сопротив-
лением 8 Ом, сила тока в цепи становится 1,2 А. Определите
ЭДС и внутреннее сопротивление источника энергии.
14.83. Генератор постоянного тока, ЭДС которого 150 В и
внутреннее сопротивление 0,3 Ом, питает током 20 ламп нака-
ливания сопротивлением 240 Ом каждая, соединенных парал-
лельно. Сопротивление подводящих проводов 2,7 Ом. Опреде-
лите напряжение на зажимах генератора и на лампах.
14.84. Для питания сигнальных ламп и аварийного освеще-
ния трамвайного вагона применяется аккумуляторная бата-
рея, ЭДС которой 48 В и внутреннее сопротивление 0,2 Ом. Де-
сять ламп сопротивлением 39,5 Ом каждая соединены так, как
показано на рис. 14.15. Определите силу тока в каждой лампе и
подводящем проводе.
14.85. В цепь включено 20 ламп, соединенных параллельно.
Сила тока в лампе 1 А. Сопротивление проводов, соединяющих
генератор с потребителем, 0,2 Ом. Какую ЭДС должен иметь ге-
нератор, чтобы напряжение на лампах было 220 В? Внутреннее
сопротивление генератора 0,05 Ом.
14.86. К генератору, ЭДС которого 240 В и сопротивление
0,025 Ом, подключены три электродвигателя и десять ламп
накаливания, соединенных параллельно. Сила тока в двигате-
ле 50 А, в лампе 1 А. Сопротивление подводящих проводов
0,1 Ом. Определите напряжение на зажимах генератора и по-
требителях.
14.87. Механическая мастерская получает электроэнергию
от электростанции. В мастерской установлены два электродви-
гателя (Л1) и четыре лампы, включенные так, как показано на
рис. 14.16. Сила тока в двигателе 10 А, в лампе 0,5 А. Расстоя-
ние I от станции до мастерской 0,5 км. Внутреннее сопротивле-
ние генератора 0,1 Ом, а напряжение на его зажимах 220 В.
Рис. 14.16
172
Определите ЭДС генератора и площадь поперечного сечения
подводящих медных проводов, если допустимое падение на-
пряжения в них 8%.
14.88. Определите противо-ЭДС тягового двигателя, если со-
противление его обмоток 0,1 Ом, напряжение сети 550 В, а сила
тока 150 А.
14.89. Определите ЭДС генератора, внутреннее сопротивле-
ние которого 0,05 Ом, и противо-ЭДС двигателя, если сила тока
в цепи 100 А, напряжение на зажимах генератора 225 В, сопро-
тивление обмоток двигателя 0,2 Ом, а подводящих проводов
0,1 Ом.
14.90. Схема двигателя постоянного тока приведена на
рис. 14.17. Напряжение сети U = 550 В. Сила тока! = 102 А. Со-
противление цепи якоря RK = 0,1 Ом, обмотки параллельного воз-
буждения RB = 150 Ом, регулировочного реостата R? =125 Ом.
Определите силу тока в обмотке параллельного возбуждения
при полностью включенном регулировочном реостате и проти-
во-ЭДС двигателя, если запуск электродвигателя произведен
без пускового реостата.
14.91. К аккумуляторной батарее, ЭДС которой 48 В и внутрен-
нее сопротивление 0,25 Ом, подключены четыре потребителя со-
противлением 10 Ом каждый. Определите силу тока в батарее,
если все потребители соединены: а) последовательно; б) парал-
лельно; в) по два последовательно в две параллельные ветви.
14.92. Возьмем два элемента. Один имеет ЭДС 1,45 В, внутрен-
нее сопротивление 0,5 Ом и питает цепь, КПД которой 90%; дру-
гой имеет ЭДС 2 В, внутреннее сопротивление 0,5 Ом и питает
цепь, КПД которой 80%. Определите силу тока в каждой цепи.
14.93. Аккумулятор, ЭДС которого 1,45 В, в проводнике со-
противлением 2,5 Ом создает силу тока 0,5 А. Определите силу
тока при коротком замыкании.
Рис. 14.17
173
14.94. При коротком замыкании источника электрической
энергии, имеющего ЭДС 1,8 В, сила тока в цепи равна 6 А. При ка-
ком сопротивлении внешней части цепи сила тока в ней будет 2 А?
14.95. Почему нельзя допускать закорачивания свинцового
аккумулятора?
14.96. Гальванический элемент один раз замыкается на
внешнее сопротивление 1,9 Ом, при этом сила тока в цепи дос-
тигает 0,6 А; другой раз замыкается на внешнее сопротивление
2,4 Ом и сила тока при этом 0,5 А. Какую силу тока обеспечит
элемент, если его замкнуть накоротко?
14.97. Три гальванических элемента, имеющих ЭДС 1,5 В и
внутреннее сопротивление 0,6 Ом каждый, соединяют последо-
вательно и замыкают на проводник сопротивлением 1,8 Ом.
Определите силу тока в цепи. Какой будет сила тока в том же
проводнике, если элементы соединить параллельно?
14.98. По данным задачи 14.97 определить, при каком со-
единении элементов в батарею сила тока короткого замыкания
в цепи будет больше.
14.99. Как следует соединить шесть гальванических элемен-
тов, имеющих ЭДС 1,5 В и внутреннее сопротивление 0,5 Ом ка-
ждый, в параллельные группы, чтобы при замыкании батареи
на сопротивление 1,0 Ом получить большую силу тока?
14.100. Как сдедует соединить 12 элементов, имеющих ЭДС
1,2 В и внутреннее сопротивление 0,6 Ом каждый, чтобы во
внешней цепи сопротивлением 2,2 Ом сила тока была 1,6 А?
14.101. В батарейке «Крона», применяемой для питания тран-
зисторных радиоприемников, семь гальванических элементов со-
единены последовательно. Какова ЭДС одного элемента, если
ЭДС батарейки 9 В? Как изменится ЭДС батарейки, если элемен-
ты в ней соединить параллельно?
14.102. Два щелочных аккумулятора, имеющих ЭДС 1,5 В
и внутренее сопротивление 0,3 Ом каждый, соединены один раз
последовательно, другой — параллельно и питают внешнюю цепь
сопротивлением 6 Ом. Какой способ соединения дает во внешнюю
цепь большую силу тока, т. е. является более выгодным?
14.103. Решить задачу 10.102 для случая, когда сопротивле-
ние внешнего участка цепи 0,9 Ом. По результатам двух задач
сделать вывод, при каком соотношении внешнего и внутреннего
сопротивлений последовательное соединение источников тока
дает большую выгоду.
14.104. Для освещения пассажирского вагона применяется
батарея, состоящая из 26 свинцовых аккумуляторов, соединен-
ных последовательно. ЭДС аккумулятора 2 В, его внутреннее
174
сопротивление 0,004 Ом. Определите ЭДС и напряжение на за-
жимах батареи, если сила тока в цепи 20 А.
14.105. Определите показание вольтметра, присоединенного
к зажимам батареи, состоящей из трех последовательно соеди-
ненных щелочных аккумуляторов, имеющих ЭДС 1,2 В и внут-
реннее сопротивление 0,3 Ом каждый. Внешняя цепь состоит
из лампочки сопротивлением 16 Ом и соединительных алюми-
ниевых проводов длиной 2 м и площадью поперечного сечения
0,2 мм2. Определите, под каким напряжением горит лампочка.
14.106. Аккумуляторная батарея, имеющая ЭДС 22 В и
внутреннее сопротивление 0,1 Ом, заряжается от выпрямите-
ля, на зажимах которого напряжение 24 В. Определите сопро-
тивление, введенное в цепь с помощью реостата, последова-
тельно соединенного с батареей, если зарядка происходит при
силе тока 4 А.
14.107. Два аккумулятора, ЭДС которых 1,3 и 1,8 В и внут-
реннее сопротивление соответственно 0,1 и 0,15 Ом, соединены
параллельно. Определите силу тока в цепи и напряжение на ее
зажимах (рис. 14.18).
14.108. Определите силу тока
в резисторе сопротивлением R =
= 2 Ом, подключенном к цепи так,
как показано на рис. 14.19. Д а н о:
= 2 В, rj = 0,50 Ом, К2 = 4,0 В,
^2 = 0,70 Ом.
14.109. По схеме цепи, изобра-
женной на рис. 14.20, определите,
как изменятся показания ампер-
метра и вольтметра при перемеще-
нии ползунка реостата R вправо.
Постройте графики зависимости
силы тока и напряжения от внеш-
него сопротивления.
175
§ 15. Работа, мощность,
тепловое действие электрического тока
Основные понятия, законы и формулы
Электрическая энергия превращается в другие виды энер-
гии в соответствии с законом сохранения энергии. Мерой тако-
го превращения является работа электрического тока
A = QU = IUt.
Если силу тока или напряжение выразить из закона Ома для
участка цепи, то получим
U2
A=IUt = I2Rt----1.
R
Мощность равна отношению работы, которую совершает
электрический ток за время t, ко времени t:
A IJ2
P = — ;P-IU = I2R =--.
t R
Единица работы — джоуль (Дж). В электротехнике, на-
родном хозяйстве, быту используется единица работы — ки-
ловатт-час (1 кВт • ч = 3,6 МДж). Единица мощности — ватт
(1 Вт = 1 Дж/с).
Закон Джоуля-Ленца', количество теплоты, выделенное в
проводнике при прохождении по нему электрического тока,
прямо пропорционально квадрату силы тока, времени его про-
хождения и сопротивлению проводника:
Q = I2Rt.
Эту формулу прменяют при последовательном соединении
потребителей энергии:
Qi =I2RxtnQ2 = I2R2t.
Отсюда
Qi _ Д1
Qz -^2
Количество теплоты, выделенное током в каждом проводни-
ке при последовательном их соединении, прямо пропорцио-
нально сопротивлению проводников.
Если потребители энергии соединены параллельно, то удоб-
нее использовать формулу
176
В этом случае
Отсюда
Qi _ Д2
Q2 Д1
Количество теплоты, выделенное в параллельно соединенных
потребителях, обратно пропорционально их сопротивлениям.
Короткое замыкание возникает в случае, когда сопротивле-
ние проводника, замыкающего полюсы генератора, очень мало:
4.з.=
Примеры решения задач
Пример 76. Электрический двигатель работает 5 ч от сети на-
пряжением 380 В при силе тока 35 А. Сопротивление обмотки
двигателя 0,5 Ом. Определите израсходованную электрическую
энергию, количество теплоты, выделенной в обмотке за время
работы, и совершенную двигателем механическую работу.
Д а н о: U = 380 В — напряжение на зажимах двигателя; I =
= 35 А — сила тока; R = 0,5 Ом — сопротивление обмотки двига-
теля; t = 5 ч = 5 • 3600 с — время работы двигателя.
Н а й т и: А — израсходованную двигателем энергию; Q —
количество теплоты, выделенной в обмотке; Амех — механиче-
скую работу.
Решение. Израсходованную энергию или полную работу
тока определим формулой
A = IUf, А = 35 А 380В 5 3600с=2,4108 Дж.
Количество теплоты, выделенной в обмотке двигателя, оп-
ределим из закона Джоуля-Ленца:
Q = I2Rt; Q =(35 А)2 0,5 Ом-5 3600с =1,1 107 Дж.
Механическую работу, совершенную двигателем, определим,
если из всей израсходованной энергии вычтем энергию, затра-
ченную на нагревание обмотки:
Амех = А - Q; Амех = 2,4 • 108 Дж - 1,1 • 107 Дж = 2,29 • 108 Дж.
Ответ. Израсходованная двигателем энергия приблизитель-
но равна 2,4 • 108 Дж; количество теплоты, выделенное в обмотке
двигателя, 11 МДж; механическая работа 2,3 108 Дж.
Пример 77. Грузовой лифт, КПД которого 70%, равномер-
но поднимает груз массой 560 кг на высоту 30 м за 1 мин.
177
Определите силу тока в электродвигателях, если они работают
при напряжении 380 В.
Д а н о: Т| = 70% =0,7 — КПД установки; тп — 560 кг — мас-
са груза; Л = 30 м — высота подъема груза; t = 1 мин = 60 с —
время подъема; U = 380 В — напряжение в сети; из таблиц: g =
= 9,8 м/с2 — ускорение свободного падения.
Найти: I — силу тока в электродвигателях.
Решение. Работа по подъему груза mg на высоту h опреде-
ляется по формуле А = mgh. Эта работа совершается за счет из-
расходованной электрической энергии, и с учетом КПД можно
записать
mgh - x\IUt,
откуда искомая сила тока
mgh.
~ T\Ut'
_ 560 кг-9,8м/с2-30м .
I =--------— -------=10,3 А.
0,7 380В 60с
Ответ. Сила тока в двигателях ~ 10,3 А.
Пример 78. Два резистора, сопротивление которых 40 и 80 Ом,
соединены параллельно и подключены к источнику постоянного
напряжения. В первом резисторе выделилось 3,0 • 105 Дж тепло-
ты. Какое количество теплоты за то же время выделится во вто-
ром резисторе? в обоих, если резисторы будут соединены последо-
вательно?
Д а н о: 7?! = 40 Ом — сопротивление первого резистора; Я2 =
= 80 Ом — сопротивление второго резистора; Qj = 3,0 • 105 Дж —
количество теплоты, выделенное первым резистором.
Н а й т и: Q2 — количество теплоты, выделенное вторым ре-
зистором; Q — количество теплоты, выделенное резисторами,
соединенными последовательно.
Решение. Для решения задачи воспользуемся законом
Джоуля-Ленца.
„ U2
„ и2
q2 —s-*-
ri2
При почленном делении этих уравнений получаем
Qi _ Д2
(1)
Q2
178
(2)
Отсюда
= ВД, =40 0м3.010>Дж
В, 80Ом
Если резисторы соединены последовательно, то
U2t
Q =------• (
Ry +Л2
Из уравнения (1) найдем U2t и подставим в уравнение (2):
QvRi 3,0-105 Дж-40 Ом
Q = ; Q = —-------------= 1,0 • 105 Д ж.
Rt+R2 120 0м
Ответ. Количество теплоты, выделенное вторым резисто-
ром, равно 1,5 • 105 Дж; двумя резисторами при последователь-
ном соединении выделено 1,0 105 Дж.
Пример 79. Воздух в комнате теряет в сутки 293 МДж тепло-
ты. Определите диаметр нихромового провода при его длине
10,2 м, использованного на изготовление спирали электриче-
ского камина, поддерживающего температуру воздуха в ком-
нате неизменной. Камин работает от сети напряжением 220 В.
Д а н о: Q = 2,93 • 108 Дж — количество потерянной теплоты;
t = 24 • 3600 с — время, за которое происходит потеря теплоты;
I = 10,2 м — длина нихромового провода; U = 220 В — напряже-
ние сети; из таблиц: р = 1,05 • 10-6 Ом • м — удельное сопротив-
ление нихрома.
Н а й т и: d — диаметр провода.
Решение. Найдем количество теплоты, теряемое воздухом
комнаты за 1 с, т.е. мощность тепловых потерь Pr = Q/t. Мощ-
ность электрического камина найдем по формуле Р2 = U2/R.
Чтобы температура в комнате не изменялась, мощность камина
должна быть такой же, как мощность тепловых потерь: Рг = Р2;
Q/t = U2/R. Отсюда найдем сопротивление нагревательной спи-
рали:
U2t
R =----.
Q
I nd2
Известно, что R = p —, где S --
4
Тогда
~ 4PZ
nd2
Приравнивая выражения для R, получаем
U2t 4pl
Q nd2
179
Отсюда
d=J*W;
\U2tn
/4-2,93-Ю8 Дж-1,0510-6 Ом-м-10,2м
V 220В 220В 24 3600с-3,14
= 9,8-10-4м.
Ответ. Диаметр провода ~ 1 мм.
Пример 80. Сколько времени потребуется для того, чтобы 1 л
воды при начальной температуре 15°С довести до кипения элек-
трическим кипятильником, сопротивление нагревательного
элемента которого 25 Ом и КПД 85% ? Подводимое к кипятиль-
нику напряжение 120 В.
Д а н о: V— 10 3 м3 — объем воды; tx = 15°С — начальная тем-
пература воды; t2 — 100°С — температура кипения воды; R =
= 25 Ом — сопротивление спирали; 17 = 120 В — подводимое
напряжение; т] = 0,85 — КПД кипятильника; из таблиц: р =
= 103 кг/м3 — плотность воды; с = 4187 Дж/(кг • К) — удельная
теплоемкость воды.
Н а й т и: t — время, необходимое для кипячения воды.
Решение. Решение задач, в условиях которых дан КПД,
удобно начинать с формулы КПД
U2
гдефп = cm(t2 -t^Q, =—t.
kl
Тогда
cm(t2 -tj
n =---------R.
1 U2t
Отсюда найдем искомое время:
cm(t2 -t^R
r\U2
Если учесть, что масса воды может быть выражена через
плотность и объем: т = рР, то
cpV(f2-*i>R.
Т]172
4187 Дж/(кг-К) 103кг/м310~~3м3 85К-25 Ом
0,85 120В120В
= 720с =12 мин.
180
Ответ. Время, необходимое для кипячения воды, равно
12 мин.
15.1. Какое количество электричества пройдет за 30 с через
поперечное сечение проводника, сопротивление которого 20 Ом,
при напряжении на его концах 12 В? Определите работу элек-
трического тока.
15.2. Какая энергия отдается генератором во внешнюю цепь
за 8 ч, если показания амперметра и вольтметра не изменяются
и равны соответственно 50 А и 220 В? Ответ запишите в джо-
улях и киловатт-часах.
15.3. Для освещения помещения используют электрические
лампы общей мощностью 480 Вт. На сколько увеличится пока-
зание электросчетчика через 30 дней, если ежедневно лампы
включают на 10 ч? Определите стоимость израсходованной энер-
гии при тарифе 1 руб. 50 коп./(кВт • ч).
15.4. Линия электропередачи постоянного тока рассчитана
на напряжение 800 кВ и номинальную силу тока 1000 А. Опре-
делите передаваемую мощность и энергию, расходуемую за год
при номинальном режиме.
15.5. При напряжении на концах провода 12 В через его сече-
ние прошел заряд 8 Кл за 30 с. Определите работу электриче-
ского тока и сопротивление проводника.
15.6. Сколько энергии потребляет двигатель трамвая за 1 ч
непрерывной работы, если напряжение на коллекторных пла-
стинах двигателя 500 В, а сила тока в обмотке двигателя 130 А?
Ответ запишите в джоулях и киловатт-часах.
15.7. Электрический двигатель работает от сети постоянного
напряжения 220 В при силе тока 15 А и развивает мощность
3 кВт. Определите КПД установки и энергию, израсходован-
ную за 8 ч.
15.8. Телевизор, потребляющий мощность 200 Вт, работа-
ет от сети напряжением 220 В. Выберите плавкий предохра-
нитель для телевизора, если в наличии предохранители на
0,5 и 1 А.
15.9. Перегоревшую спираль электрической плитки мощно-
стью 400 Вт укоротили на 1/5. Какой при этом стала мощность
плитки при том же напряжении?
15.10. В помещении включены 5 ламп по 40 Вт, 8 ламп по
60 Вт и 5 ламп по 100 Вт. Определите общую силу тока, если на-
пряжение в сети 220 В.
15.11. Определите мощность электрического тока в цепи,
схема которой приведена на рис. 15.1.
181
15.12. Пять резисторов соединены по схеме, изображенной на
рис. 15.2 и подключены к источнику напряжения — 24 В.
Определите общее сопротивление цепи, разность потенциалов в
точках С и Л, силу тока в резисторе R5 и мощность тока в цепи.
15.13. Две лампы сопротивлением Rr = 300 Ом и R2 = 400 Ом
подключены параллельно к сети с постоянным напряжением.
Какая из ламп потребляет большую мощность?
15.14. Лампы мощностью PY = 40 Вт и Р2 = 100 Вт, рассчи-
танные на напряжение 220 В, включаются последовательно в
сеть с тем же напряжением. Какая из них потребляет большую
мощность? Как распределится между ними напряжение?
15.15. В сеть напряжением 220 В включают 4 лампы одина-
ковой мощности, рассчитанные на напряжение 110 В каждая.
Как следует соединить лампы, чтобы в момент включения они
не перегорели?
15.16. Электродвигатель потребляет мощность 5,08 кВт при
силе тока 40 А. Определите напряжение на генераторе, если па-
дение напряжения в подводящих проводах составляет 5 В.
15.17. Какова должна быть площадь поперечного сечения
медного провода, чтобы на расстояние 50 м передать мощность
1,0 кВт при напряжении 100 В и при этом потери напряжения
не превышали 6 В?
15.18. Сопротивление лампочки накаливания в рабочем со-
стоянии 360 Ом. Напряжение в сети 220 В. Сколько ламп вклю-
чено параллельно в сеть, если потребляемая ими мощность
равна 2,15 кВт? Сопротивление соединительных проводов не
учитывайте.
15.19. Электрический двигатель, сопротивление обмотки ко-
торого 1,4 Ом, работает при напряжении 220 В и силе тока 18 А.
Определите механическую мощность, развиваемую двигателем
и его КПД.
182
15.20. Лампа накаливания, рассчитанная на напряжение
120 В, потребляет мощность 150 Вт. Какое сопротивление тре-
буется включить последовательно с лампой, чтобы в сети на-
пряжением 220 В она потребляла ту же мощность?
15.21. Трамвайный вагон движется по горизонтальному пути
со скоростью 36 км/ч. Какую силу тяги развивают электродви-
гатели при силе тока 200 А и напряжении 550 В, если КПД со-
ставляет 80% ?
15.22. Четыре одинаковых электродвигателя, имеющих КПД
80% и механическую мощность 1,2 кВт каждый, соединены
параллельно и работают при напряжении 220 В. Определите
напряжение на зажимах питающего их генератора и потерю
мощности в соединительных медных проводах, площадь попе-
речного сечения которых 20 мм2 и длина 200 м.
15.23. Лифт массой 2,4 т равномерно поднимается на высоту
45 м за 40 с. Определите мощность электрического тока, питаю-
щего двигатели лифта, развиваемую механическую мощность,
потери мощности в обмотке якоря (тепловые потери) и ее сопро-
тивление. Напряжение в сети 380 В и КПД 90%.
15.24. С какой постоянной скоростью поднимается лифт мас-
сой 1800 кг, если электродвигатели лифта, КПД которых 90%,
работают при напряжении 220 В и силе тока 89А?
15.25. На чем основано использование в предохранительных
пробках свинцовых проводников?
15.26. Предохранители для легковых автомобилей ВАЗ, рас-
считанные на 8 и 16 А, имеют одинаковую длину. В чем их
различие?
15.27. Имеются две плитки одинаковой мощности: одна рас-
считана на напряжение 127 В, другая — 220 В. У какой из них
спираль толще? Длины спиралей и материал одинаковы.
15.28. Для отопления вагона установлено 8 электрических
печей сопротивлением 275 Ом каждая, соединенных парал-
лельно. Напряжение на зажимах печей 550 В. Определите ко-
личество теплоты, отданное печами за 18 ч работы. Потери не
учитывайте.
15.29. Две лампы на 110 В соединены последовательно и
включены в сеть, напряжение которой 220 В. Определите на-
пряжение на каждой лампе, мощность и количество теплоты,
выделенное каждой лампой за 1 ч, если лампы имеют мощ-
ность: а) по 60 Вт каждая; б) 60 и 40 Вт; в) 60 и 100 Вт.
15.30. Сколько олова, взятого при температуре 293 К, можно
расплавить за 1 мин паяльником, работающим при силе тока
0,22 А от сети напряжением 220В?
183
15.31. Электрический самовар мощностью 600 Вт нагревает
1,5 л воды от 283 К до кипения за 20 мин. Определите КПД са-
мовара и стоимость израсходованной энергии при тарифе 1,5 руб.
за 1 кВт - ч.
15.32. Два резистора сопротивлениями 1 и 4 Ом, поочередно
подключенные к источнику электрической энергии, потребля-
ют одинаковую мощность. Определите внутреннее сопротивле-
ние источника энергии.
15.33. Определите сопротивление нагревательного элемента
электрического чайника, в котором 2 л воды с начальной темпе-
ратурой 20°С нагревают да 100°С за 20 мин. Чайник работает от
сети, напряжение которой 220 В, и имеет КПД 80%.
15.34. В электрическом чайнике вода закипает через 12 мин
после включения его в сеть. Нагревательный элемент намотан
из 4,5 м провода. Как его следует переделать, чтобы вода в чай-
нике закипала через 8 мин? Потери энергии не учитывайте.
15.35. Нагревательный элемент электрической кастрюли
имеет две секции. Если включают обе секции последовательно,
то вода в кастрюле закипает через 27 мин; если их включают
параллельно, то —через 6 мин. Одна секция имеет сопротивле-
ние 40 Ом. Каково сопротивление второй секции? Потери энер-
гии не учитывайте.
15.36. Генератор с внутренним сопротивлением 0,01 Ом под-
ключен к электродвигателям так, как показано на рис. 15.3.
Вольтметр показывает 220 В, а амперметр — 500 А. Сопротив-
ление подводящих проводов 0,05 Ом. Определите полную мощ-
ность, мощность, потребляемую электродвигателями, и КПД
установки.
15.37. От генератора, ЭДС которого 240 В и внутреннее со-
противление 0,1 Ом, до потребителя электрической энергии
184
50 м. Сколько меди потребуется для изготовления подводящих
проводов, если потребитель мощностью 22 кВт рассчитан на на-
пряжение 220 В?
15.38. Источник электрической энергии, ЭДС которого Е и
внутреннее сопротивление г, включают в цепь с переменным
сопротивлением. При каком соотношении внешнего и внут-
реннего сопротивлений во внешней цепи выделяется макси-
мальная мощность? Чему она равна? Каким при этом будет
КПД?
15.39. Батарея состоит из четырех последовательно соеди-
ненных элементов, каждый из которых имеет ЭДС 1,5 В и внут-
реннее сопротивление 0,3 Ом. При каком внешнем сопротивле-
нии мощность, выделенная на нем, максимальна? Чему она
равна? Чему при этом равна сила тока в цепи?
§ 16. Электрический ток в электролитах
Основные понятия, законы и формулы
К жидким проводникам относятся, главным образом, рас-
творы и расплавы солей, щелочей, кислот. Носителями элек-
трического тока в жидких проводниках являются ионы, кото-
рые образуются в процессе электролитической диссоциации.
Электролитическая диссоциация — это процесс распада ней-
тральных молекул солей, кислот и щелочей на положительные
и отрицательные ионы при растворении названных веществ
в воде или других растворителях. Большая диэлектрическая
проницаемость воды (е = 81) и тепловое движение приводят к
распаду молекул.
Прохождение электрического тока через жидкий проводник
(электролит), сопровождающееся химическими превращения-
ми вещества и его выделением на электродах, называют элек-
тролизом.
При электролизе выполняются два закона Фарадея.
Первый закон Фарадея. Масса вещества, выделившегося при
электролизе, прямо пропорциональна количеству электричест-
ва, прошедшего через электролит:
т = kQ,
где k — электрохимический эквивалент, который показывает,
сколько вещества выделяется при электролизе, если через элек-
тролит пройдет 1 Кл количества электричества.
185
Второй закон Фарадея. Электрохимические эквиваленты
прямо пропорциональны отношению молярной массы к ва-
лентности:
_ мх м2
k2 711 П2
где Мг и М2 — молярные массы; п, и п2 — валентности.
Важно помнить, что при выделении 1 моль количества веще-
ства, через электролит проходит заряд F = NAe = 9,648456 104
Кл/моль; F — число, одинаковое для всех электролитов, назы-
вается постоянной Фарадея.
Объединенный закон Фарадея:
1 М „
т = Q,
Fn
где F = 9,648 • 104 Кл/моль.
При прохождении тока через электролит может возникать
поляризация электродов, которая создает противо-ЭДС, что вы-
зывает уменьшение силы тока в цепи. В этом случае при реше-
нии задач применяется закон Ома для участка цепи с ЭДС:
' полр
Примеры решения задач
Пример 81. Металлическое изделие покрывают электроли-
тическим способом слоем серебра толщиной 20 мкм. Сколь-
ко времени будет протекать электролиз при плотности тока
2,5 • 10 я А/см2?
Д а н о: Л = 20 мкм = 2 • 10-й м — толщина слоя серебра;
] = 2,5 • 10-3 А/см2 = 25 А/м2 — плотность тока; из таблиц:
k = 1,118 • 10-6 кг/Кл — электрохимический эквивалент сереб-
ра; р = 10,5 • 103 кг/м3 — плотность серебра; п = 1 — валент-
ность; М = 108 • 10 3 кг/моль — молярная масса серебра; F =
= 9,65 • 10-4 Кл/моль — постоянная Фарадея.
Н а й т и: t — время протекания электролиза.
Решение. 1-й способ. Для решения задачи используем фор-
иг
мулу первого закона Фарадея т = kit. Откуда t = —.
kl
Массу и силу тока можно найти по формулам: т = pSh; I=jS.
Подставив эти значения в формулу времени, получим
ph 10,5-103 кг/м3-2010-6м
t - —; t = ——--— -------------- = 7500 с.
kj 1,11810^кг/Кл-25А/М2
186
2-й способ. Если числовое значение электрохимического эк-
вивалента не дано, задачу можно решить, применив объеди-
л 1 м Т
ненныи закон Фарадея т =---It, откуда
F п
mFn
t =---.
MI
Массу и силу тока найдем по тем же формулам, что и в пер-
вом способе: m = pV = pSh; I = jS. Тогда
phFn
Mj ’
10,5-103кг/м3-20 10 6м-9,65 104 Кл/моль
t = — ---. „ Q--;----_ . . o—------= 7500c«2,1 ч.
108 10 3кг/моль-25 А/м2
Ответ. Для серебрения потребуется = 2,1 ч.
Пример 82. При электролизе раствора нитрата серебра на
катоде за 1 ч выделилось 12 г серебра. Напряжение на зажимах
ванны 5,2 В, сопротивление раствора 1,5 Ом. ЭДС поляризации
0,7 В. Определите валентность серебра и число атомов серебра,
выделившихся на катоде.
Д а н о: t = 3600 с — время протекания электролиза; т =
= 1,2 • 10~2 кг — масса выделенного серебра; U = 5,2 В — напря-
жение на зажимах ванны; R = 1,5 Ом — сопротивление раство-
ра электролита; £ = 0,7 В — ЭДС поляризации; из таблиц:
М = 108 • 10~3 кг/моль — молярная масса серебра; F = 9,65 •
• 104 Кл/моль — постоянная Фарадея; е = 1,6 • 10“19 Кл — заряд
электрона.
Н а й т и: п — валентность серебра; N — число атомов сереб-
ра, выделившихся на катоде.
Решение. Валентность серебра определим из объединен-
1 АГ Т
ного закона Фарадея т =--I1, откуда
F п
MIt
п =----.
mF
Так как в цепи действует ЭДС поляризации, для определения
силы тока воспользуемся законом Ома для участка цепи с ЭДС:
R
Тогда выражение для валентности примет вид
п _ M(U _ 108 10 3кг/моль(5,2В-0,7В)3600с _
mFR ’ 1,210 2кг-9,65 104 Кл/моль-1,5 Ом
187
Учитывая, что валентность серебра равна 1, число атомов се-
ребра найдем делением протекшего через электролит заряда на
элементарный заряд: N = q/e. Так как q — It, получим
, (5,2В-0,7В)3600с
Ле ’ 1,5 Ом 1,6 10“ Кл
Ответ. Валентность серебра равна 1; число атомов серебра,
выделившихся на катоде, 6,75 1022.
Пример 83. В электролитической ванне с раствором сульфа-
та цинка (ZnSO4) сила тока изменяется по линейному закону I =
= (2 + 0,02i). Сколько цинка выделится на катоде за 5 мин по-
сле начала изменения силы тока?
Д а н о: I = (2 + 0,02Z) — линейный закон, по которому изме-
няется сила тока; t = 300 с — время протекания электролиза; из
таблиц: k = 3,4 • 10~7 кг/Кл — электрохимический эквивалент
цинка.
Н а й т и: т — массу цинка, выделенного на катоде.
Решение. Для решения задачи воспользуемся первым за-
коном Фарадея: т = kQ, где Q — количество электричества, про-
текшего через электролит. Для определения Q построим график
изменения силы тока со временем. Определим из уравнения силу
тока: для начального момента времени t0 = 0 имеем 10 = 2 А; для
момента времени t = 300 с запишем I = (2 + 0,02 • 300) А = 8 А.
График изменения силы тока со временем приведен на рис. 25.
Анализируя график, приходим к выводу, что количество
электричества, протекающего через электролит, численно рав-
но площади заштрихованной фигуры (трапеции):
„ - 10+1 „ (2+8)А-300с
Q = It = —--1; Q = ---------= 1500 Кл.
2 2
Масса цинка
m = 3,410 7(кг/Кл) 1500Кл =
= 51,0-10-“ кг.
Ответ. На катоде выделится
510 мг цинка.
Пример 84. Определите, ка-
кая мощность расходуется при
электролизе раствора серной ки-
слоты, если за 25 мин выделяет-
ся 150 мг водорода, а сопротивле-
ние электролита 0,4 Ом. Потери
не учитывайте.
188
Дано: t = 1500 с — время протекания электролиза; т =
= 0,15 • 10~3 кг — масса выделенного водорода; R = 0,4 Ом — со-
противление электролита; из таблиц: k = 1,044 • 10-8 кг/Кл —
электрохимический эквивалент водорода.
Н а й т и: Р — затраченную электрическую мощность.
Решение. Для нахождения мощности тока используем
формулу Р = I2R. Силу тока определим из формулы первого зако-
Т т ГТ
на Фарадея: 1 = —. Подставив ее в формулу мощности, получим
kt
„ m2R „ (ОДб-Ю^кг^ОЛОм _ „
Р=—; Р—------------q------------—=37 Вт.
(kt)2 (1,044-10 й кг/К л-1500с)2
Ответ.1 Мощность, затраченная на выделение водорода, при-
близительно равна 37 Вт.
16.1 . Раствор соли NaCl электрически нейтрален. Можно ли
утверждать, что в растворе отсутствуют ионы? Почему?
16.2 . Электролитические конденсаторы включаются в цепь с
учетом обозначенной на них полярности. Можно ли на это не
обращать внимание? Почему?
16.3 . При электролитической полировке поверхности металла
применяют реверсирование тока. Что этим достигается? Можно
ли использовать этот метод при заточке режущих инструментов?
16.4 . Сколько алюминия, серебра и меди выделится на като-
де при прохождении через соответствующие электролиты 1 Кл
электричества? Сколько электронов при этом пройдет через ка-
ждый электролит?
16.5 . При электролизе раствора сульфата меди получен 1 г
меди. Сколько алюминия можно получить электролитическим
путем при прохождении через соответствующий электролит
того же количества электричества?
16.6 . Две электролитические ванны соединены последова-
тельно и подключены к источнику постоянного тока. В первой
ванне находится раствор сульфата никеля NiSO4, а во второй —
раствор хлорид хрома(П) СгС12. Сколько хлора выделится в од-
ной из ванн, если в другой выделилось 300 г никеля?
16.7 . В двух электролитических ваннах, соединенных после-
довательно, имеются растворы сульфата меди CuSO4 и хлори-
стой меди CuCl. Сколько меди выделится в каждой из ванн при
прохождении через них 1 Кл электричества?
При наличии потерь в реальном процессе, КПД которого Т], затраченная
мощность Р определится выражением Р = Р/Т).
189
16.8 . Перед лабораторной работой по определению электро-
химического эквивалента меди учащийся рассчитал его по фор-
муле k = M/(Fn). На сколько должна увеличиться масса катода
за 15 мин, если электролиз раствора сульфата меди протекал
при силе тока 1 А? Валентность меди 2.
16.9 . При определении электрохимического эквивалента меди
учащийся в течение 20 мин проводил электролиз раствора суль-
фата меди при силе, тока 1,5 А. За это время масса катода увели-
чилась на 600 мг. Чему равен полученный электрохимический
эквивалент меди? Какова абсолютная и относительная погрешно-
сти измерения по сравнению с табличными значениями?
16.10 . Электролиз протекал 20 мин при силе тока 1,5 А. За
это время на катоде выделилось 594 мг вещества. Какое это
вещество?
16.11 . В процессе электролиза на катоде выделилось 503 мг
металла. Процесс протекал 5 мин при силе тока 1,5 А. Какой
это металл и какова его валентность?
16.12 . Чему равен заряд одно-, двух- и трехвалентного иона?
16.13 . Валентности серебра и золота соответственно 1 и 3.
Определите их электрохимические эквиваленты.
16.14 . Сколько атомов серебра выделится на катоде за 1 ч
при электролизе раствора нитрата серебра, протекающего при
силе тока 1 А?
16.15 . В двух электролитических ваннах, соединенных по-
следовательно, находятся растворы сульфата меди и хлорного
золота. В процессе электролиза на катоде выделилось 2 г меди.
Сколько трехвалентного золота выделится за то же время на
катоде другой ванны? Сколько атомов меди и золота осядет на
катодах ванн?
16.16 . Рафинирование меди осуществлялось при напряже-
нии на зажимах ванны 0,3 В. Сколько меди выделится на като-
де за 1 ч, если сопротивление электролита 3 • 10-5 Ом? Медь
двухвалентная.
16.17 . Для получения алюминия через расплавленный крио-
лит с глиноземом пропускают ток. При напряжении 6 В сила
тока 50 А. Определите расход электроэнергии на получение ка-
ждой тонны алюминия и сопротивление электролита.
16.18 . Смена катодов при рафинировании меди производит-
ся через 10 сут непрерывной работы электролитических ванн.
На каждом электроде за это время накапливается 71 кг меди.
Найдите плотность тока, если площадь катода 0,9 м2.
16.19 . При электролизе через раствор хлористого железа
(FeCl3) прошло 5 • 104 Кл количества электричества. Сколько
190
при этом выделилось железа и хлора? На каком электроде вы-
делился хлор? Почему?
16.20 . Сколько времени потребуется для покрытия гальвани-
ческим способом корпуса часов слоем золота толщиной 12 мкм
при плотности тока 0,1 А/дм2?
16.21 . Для увеличения отражательной способности фары ав-
томобиля покрывают слоем серебра толщиной 10 мкм с помо-
щью электролиза. Сколько времени должен протекать электро-
лиз раствора нитрата серебра при плотности тока 0,3 А/дм2,
чтобы на изделии образовался слой нужной толщины?
16.22 . Электролиз расплавленных солей алюминия про-
текает при напряжении 6,5 В. Сколько затрачивается элек-
трической энергии на получение 1 т алюминия и какова ее
стоимость, если 1 кВт • ч энергии стоит 1 руб. 65 коп., а КПД
установки 75% ?
16.23 . Сколько алюминия можно получить электролитиче-
ским путем, расходуя 100 кВт • ч энергии? Электролиз ведется
при напряжении 6 В, а КПД установки 80%.
16.24 . За какое время полностью израсходуется медный анод,
размеры которого 50 х 10 х 1 мм, если электролиз раствора суль-
фата меди протекает при силе тока 0,3 А?
16.25 . Электролитическое никелирование изделия проводят
при плотности тока 0,8 А/дм2. Определите скорость нараста-
ния слоя никеля. Валентность никеля в соединении 2.
16.26 . При электролизе слабо подкисленной воды за 50 мин
получено 0,5 л водорода при давлении 0,13 МПа. Определите
температуру водорода, если сила тока в цепи была 1,6 А.
16.27 . Электролиз раствора нитрата серебра продолжался
5 мин, при этом на катоде выделилось 336 мг серебра. Ампер-
метр, включенный в цепь, показывал 0,9 А. Правильно ли его
показание или необходима поправка?
16.28 . Зная электрохимический эквивалент кислорода, оп-
ределите электрохимические эквиваленты водорода, натрия,
магния.
16.29 . Какой электрический заряд проходит через раствор
нитрата серебра за 20 с, если за это время сила тока возрастает
от 1 до 4 А? Сколько при этом серебра выделяется на катоде?
16.30 . Определите расходуемую мощность тока, если элек-
тролиз слабо подкисленной воды протекал 25 мин и за это вре-
мя выделилось 0,5 г кислорода. Сопротивление электролита
1,8 Ом и со временем не изменялось.
16.31 . При электролизе раствора нитрата серебра сила тока в
ванне изменялась по закону I = 0,2 + 6 • 10-3t. Сколько серебра
191
выделилось на катоде через 300 с после того, как стала изме-
няться сила тока?
16.32 . При какой плотности электрического тока в раство-
ре нитрата серебра толщина слоя серебра растет со скоростью
3 • 10“3 мкм/с?
16.33 . Сколько атомов одновалентного металла выделится
на 1 м2 поверхности катода, если электролиз протекал 10 мин,
а плотность тока равна 5 А/м2?
16.34 . При электролизе раствора сульфата никеля за 40 мин
на катоде выделилось 2,19 г никеля. Определите ЭДС поляри-
зации, если напряжение на зажимах ванны было 5 В, а сопро-
тивление раствора 1,4 Ом.
§ 17. Электрический ток в газах и вакууме
Основные понятия, законы и формулы
В обычных условиях все газы не являются проводниками.
В них нет носителей зарядов или количество их незначительно.
При нагревании или под воздействием различных излучений
происходит ионизация газа: атомы теряют один из валентных
электронов, превращаясь в положительные ионы. Электроны,
покинувшие атомы, частично присоединяются к нейтральным
атомам, образуя отрицательные ионы. В результате подвижны-
ми носителями зарядов в газе становятся положительные и от-
рицательные ионы и электроны.
Для удаления электрона из атома, т.е. для его ионизации,
необходимо совершить работу
Аи =<рие,
где фи — потенциал ионизации, различный для всех газов. Сле-
дует помнить, что
1 эВ =1,6-IO"1® Дж.
Чтобы возникла ударная ионизация, электрон должен при-
обрести кинетическую энергию, равную работе ионизации или
большую нее:
Эту энергию электрон приобретает за счет работы сил элек-
трического поля
лп<//2 = еЕк,
когда он проходит расстояние Л, между двумя столкновениями.
192
Положительные ионы также принимают участие в ионизации.
Прохождение электрического тока через газ называют элек-
трическим разрядом. Существуют различные виды газовых
разрядов.
В вакууме проводимость обеспечивается наличием источни-
ка заряженных частиц. Например, в электронной лампе при
нагреве катода с его поверхности вылетают электроны, приоб-
ретающие под действием электрического поля кинетическую
энергию
mv2/2 = Ue,
где U — напряжение между электродами лампы, называемое
разгоняющим напряжением.
Количество электронов, испускаемых катодом, зависит от
температуры накала катода. Плотность тока насыщения
j = env,
где пир — соответственно концентрация и скорость электронов.
Примеры решения задач
Пример 85. При нормальных условиях искровой разряд в
воздухе происходит при напряженности поля 3 • 106 В/м. Опре-
делите энергию, которой должен обладать электрон, чтобы ио-
низировать молекулы воздуха, если длина свободного пробега
электрона 5 мкм. Какую минимальную скорость должен иметь
электрон, чтобы произошла ионизация?
Д а н о: Е = 3 • 106В/м — напряженность электрического
поля; X = 5 • 10“6 м — длина свободного пробега электрона; из
таблиц:е= 1,6-10“19Кл — заряд электрона; т = 9,11 • 10-31кг —
масса электрона.
Найти: WH — энергию ионизации; v — наименьшую ско-
рость, при которой произойдет ионизация.
Решение. Энергию W„, необходимую для ионизации мо-
лекул воздуха, электрон получит за счет работы сил электриче-
ского поля: А = е(<р, - <р2)> гДе разность потенциалов можно вы-
разить через напряженность поля: <Pi _ <р2 = Тогда энергия
ионизации
1УИ = А=еЕХ;
W„ =1,6101В Кл •3-106В/м-510“ем = 2,410“18 Дж.
При движении в электрическом поле электрон приобрета-
ет кинетическую энергию mv2/2. Ионизация молекул может
произойти лишь в том случае, когда кинетическая энергия
2453
193
электрона будет больше или равна энергии ионизации. При
определении минимальной скорости справедливо равенство
/ш>2/2 = 1¥и, откуда можно найти и:
v =
2WH.
т
/22,410~18 Дж
V ЭДМО^кг
= 2Д106м/с.
Ответ. Энергия ионизации равна 2,4 • 1(Г18 Дж; скорость
электронов 2,3 • 106 м/с.
Пример 86. Расстояние между электродами в ионизационной
камере 6,2 см, а площадь каждого из них 100 см2. Ионизатор в
1 см3 камеры образует каждую секунду 109 пар ионов с подвиж-
ностью 3,29 • 10“4 м2/(В • с). Ионы считайте одновалентными.
Найдите силу тока насыщения и напряженность поля в камере.
Д а н о: S = 10-2 м2 — площадь электрода; I = 6,2. • 10-2 м —
расстояние между электродами; п = 2 • 1015 м-3 — концентрация
ионов; b = 3,29 • 10-4 м/(В • с) — подвижность зарядов; t = 1с —
время образования ионов; из таблиц: е = 1,6 -10"19 Кл — заряд
электрона.
Найти: I — силу тока насыщения; Е — напряженность
электрического поля в камере.
Решение. В газах носителями зарядов являются ионы и
электроны. При токе насыщения все носители зарядов дости-
гают электродов. Силу тока насыщения найдем по формуле
I = envS, где v = l/t. Тогда
I-en-S;
t
7=1,6 1019 Кл-21015 м~3 6,2 10 2м10~2м2 = 0,2 мкА.
1с
Из формулы подвижности носителей зарядов b = v/E опреде-
лим напряженность поля:
Ь bt
„ 6,2 10-2м dnnTi,
Е =--------— --------=188В/ м.
3,29 10-4м2/(Вс)-1с
Ответ. Сила тока насыщения 0,2 мкА, напряженность поля
188 В/м.
17.1. Под действием ионизатора газ стал проводником и рядом
стоящий заряженный электроскоп начинает быстро разряжать-
ся. Почему после удаления ионизатора разряд прекращается?
194
Рис. 17.1
17.2. На рис. 17.1 приведена зависимость силы тока в газе от
приложенного напряжения. Какие процессы соответствуют раз-
ным участкам на графике? Какой участок графика соответству-
ет самостоятельному разряду?
17.3. В чем состоит различие в проводимости газов и рас-
творов?
17.4. Что необходимо предпринять для увеличения силы тока
насыщения?
17.5. Возможна ли ударная ионизация при низком напряже-
нии, если газ находится при атмосферном давлении?
17.6. Чем объясняется, что искровой разряд носит прерыви-
стый характер?
17.7. Указать примеры, в которых коронный разряд отно-
сился бы к вредным явлениям; к полезным.
17.8. Какой вид разряда имеет место в лампах дневного све-
та? Какие частицы являются носителями зарядов при этом
разряде?
17.9. Почему при увеличении разрежения ударная иониза-
ция может происходить при меньшем напряжении?
17.10. С какой целью поверхность катода в электронных
лампах покрывают тонким слоем металлов, например бария и
стронция?
17.11. На рис. 17.2 приведена зависимость силы тока анода
от его напряжения при различных температурах нити накала
двухэлектродной лампы. Чем объяснить наличие горизонталь-
ных участков на графике? Чем вызвано увеличение силы тока
насыщения при более высокой температуре?
17.12. Каким образом можно управлять электронным пуч-
ком? Чем это достигается в кинескопе телевизора?
17.13. Газ и плазма в целом электрически нейтральны. В чем
их различие?
17.14. Определите потенциал ионизации атомов серебра, если
Для их ионизации требуется энергия 6,9 • 1(Г19 Дж.
195
17.15. Как изменится скорость электронов в телевизионной
трубке, если при изменении напряжения между анодом и като-
дом энергия электрона изменится от 700 до 1000 эВ? Чему бу-
дет равна эта скорость в обоих случаях?
17.16. При получении катодных лучей к электродам разряд-
ной трубки приложено напряжение 30 кВ. Определите макси-
мальную скорость электронов в катодном пучке.
17.17. Между катодом и анодом двухэлектродной электрон-
ной лампы приложена разность потенциалов 300 В. Определи-
те скорость электронов и время их движения в лампе, если рас-
стояние между катодом и анодом 10 мм.
17.18. Какой минимальной скоростью должны обладать элек-
троны, чтобы вызвать ударную ионизацию атомов цезия, для ко-
торых работа выхода электронов равна 1,8 эВ?
17.19. Энергия ионизации атома водорода 13,5 эВ. При ка-
кой наименьшей скорости электрон может вызвать ударную
ионизацию атома водорода?
17.20. В атмосфере вблизи поверхности Земли из-за радиоак-
тивности почвы и космического излучения образуется в среднем
пять пар ионов за 1 с в 1 см3 воздуха. Расстояние между электро-
дами 8 см. Определите плотность тока насыщения между элек-
тродами для однозарядных ионов.
17.21. Работа выхода электронов из оксида бария 1,0 эВ. Ка-
кой должна быть средняя длина свободного пробега электронов
в плоском конденсаторе, чтобы электроны могли вызвать иони-
зацию атомов бария? Напряженность поля между пластинами
конденсатора 3 • 105 В/м. Поле считайте однородным.
17.22. При напряженности электрического поля 30 В/м ме-
жду электродами трубки с воздухом сила тока насыщения дос-
тигает 2 • 1О-10 А. Суммарная подвижность одновалентных ио-
нов 3,29 • 10“4 м2/(В • с), а площадь плоских электродов 100 см2.
Определите концентрацию ионов.
17.23. Определите суммарную подвижность ионов водорода,
если плотность тока насыщения 2,8 • 1О10 А/м2 при напряжен-
ности поля 1,2 кВ/м и концентрации ионов 104 в 1 см3.
17.24. Под воздействием излучения в газоразрядной трубке
за 2 с образуется 8 • 1018 пар однозарядных ионов. Определите
силу тока насыщения.
17.25. В трубке, заполненной неоном, между электродами
образовано электрическое поле напряженностью 200 В/см. Ка-
кой будет длина свободного пробега электронов в момент воз-
никновения ударной ионизации. Для неона работа ионизации
равна 21,5 эВ.
196
17.26. При какой напряженности электрического поля мо-
жет наступить электрический пробой в воздухе, если при ско-
рости электронов 2,5 • 10® м/с длина их свободного пробега со-
ставляет 5,5 мкм?
§ 18. Электрический ток в полупроводниках
Основные понятия, законы
Полупроводники — это вещества у которых удельное сопро-
тивление изменяется под воздействием температуры или осве-
щения. Типичными полупроводниками являются элементы
IV группы периодической системы, атомы которых на внешней
оболочке имеют четыре валентных электрона, например герма-
ний (Ge), кремний (Si) и др. При низких температурах кристал-
лы этих элементов не имеют свободных электронов и являются
хорошими диэлектриками. С повышением температуры, при ос-
вещении или под воздействием сильных электрических полей
нарушаются ковалентные связи, появляются свободные элек-
троны — возникает собственная электронная проводимость по-
лупроводников (n-типа). Собственная дырочная проводимость
(p-типа) обусловлена перемещением дырок.
Примесная проводимость полупроводников создается нали-
чием примесей посторонних химических элементов V группы,
например мышьяка, сурьмы, или элементов III группы, напри-
мер бора, алюминия. В первом случае создается примесная
электронная проводимость, во втором — возникает дырочная
примесная проводимость. Таким образом, внесением в чистые
полупроводники примесей можно нарушать равновесие между
электронной и дырочной проводимостями. Если в полупровод-
ник вводятся примеси (донорные и акцепторные), то проводи-
мость зависит от концентрации носителей тока и будет преиму-
щественно электронной, если большей будет концентрация атомов
примеси, поставляющей электроны.
При контакте полупроводников р- и n-типов в результате
диффузии на границе электронно-дырочного перехода образует-
ся запирающий электрический слой. Воздействие на этот слой
внешнего поля может изменять его проводимость и создавать ус-
ловия для односторонней проводимости.
Полупроводниковый диод — это полупроводник с одним
P-n-переходом. Он обладает такими преимуществами перед
Двухэлектродными лампами, как миниатюрность, надежность
в работе, большая экономичность.
197
Полупроводниковый триод — транзистор, используемый для
усиления колебаний тока и напряжения. В триоде сила тока в
эмиттере равна сумме сил токов в коллекторе и базе.
18.1. На рис. 18.1 показана зависимость сопротивления от
температуры проводников и полупроводников. Какая из них
относится к полупроводникам?
18.2. Какие подвижные носители зарядов имеются в чистом
полупроводнике?
18.3. Каково соотношение числа дырок и свободных элек-
тронов в чистых полупроводниках? Сохраняется ли это соотно-
шение при примесной проводимости полупроводников?
18.4. Какой тип проводимости будет у германия, если к нему
добавить в небольших количествах фосфор? индий?
18.5. Как изменяется проводимость кремния и германия при
понижении температуры?
18.6. Во сколько раз изменится плотность тока в полупро-
воднике, если при повышении температуры от 0 до 175°С ско-
рость электронов возрастает от 0,5 до 0,75 м/с, а концентрация
электронов увеличивается от 1,3 • 1014 до 2,1 • 1018 м'3?
18.7. Скорость направленного перемещения свободных
электронов в полупроводнике при данной температуре равна
0,25 м/с. Определите подвижность зарядов и их концентра-
цию, если при напряженности поля 100 В/м плотность тока
равна 4 • 10-2 А/м2.
18.8. Что такое термистор? Почему их называют нелинейны-
ми сопротивлениями?
18.9. В чем различие между термистором и фоторезистором?
18.10. Что такое транзистор? Какие области имеются в кри-
сталле транзистора?
Рис. 18.1
18.11. Толщина базы в транзисторе
очень мала (1-25 мкм). Чем это объяс-
няется?
18.12. Каково соотношение между
токами эмиттера, базы и коллектора?
18.13. В чем преимущество исполт
зования в радиотехнике полупровод-
никовых приборов по сравнению с лам-
повыми?
18.14. На рис. 18.2 приведена схема
полупроводникового диода с р-п-пере-
ходом. При каких условиях и в каком
направлении пойдет ток через диод?
198
Рис. 18.2
Рис. 18.3
18.15. Имеется транзистор типар-п-р. Вычертите схему его
включения для усиления колебаний напряжения. В каком ре-
жиме будут работать эмиттерный и коллекторный переходы?
18.16. На рис. 18.3, а и б изображены два типа транзисторов:
р-п-р и п-р-п. Укажите тип каждого транзистора и положе-
ние эмиттера, базы и коллектора.
§19. Электромагнетизм
Рис. 26
Основные понятия, законы и формулы
Магнитное поле — частный случай электромагнитного поля,
характеризующийся воздействием на движущуюся электриче-
ски заряженную частицу силой, пропорциональной заряду час-
тицы и ее скорости.
Вид магнитного поля зависит от того, какую форму имеет
проводник с током. Например, магнитное поле, образующееся
вокруг прямого проводника с током,
графически изображается линиями
магнитной индукции в виде концен-
трических окружностей в плоскости,
перпендикулярной направлению то-
ка (рис. 26). Направление магнитно-
го поля в этом случае определяют по
правилу Максвелла (правилу винта):
вращение головки винта показывает
направление линий индукции, если
поступательное движение винта сов-
падает с направлением тока.
Магнитное поле катушки с то-
ком — соленоида аналогично маг-
нитному полю постоянного полосо-
вого магнита.
199
Взаимодействие магнитных полей, образованных параллель-
ными проводниками с электрическими токами, определяется
формулой
где Ц и 12 — сила тока в проводниках; I — длина участка прово-
да, на который действует сила; а — расстояние между провода-
ми; |1С — абсолютная магнитная проницаемость среды, харак-
теризующая зависимость силы взаимодействия проводников
с токами от среды: цс = цоц, где ц0 = 4л • 10“7 Гн/м — магнитная
постоянная; р. — магнитная проницаемость среды (см. табл. 21
в Приложении).
При ее определении используется взаимодействие магнит-
ных полей, образованных параллельными проводниками с элек-
трическими токами.
В СИ введена единица силы тока — ампер (А). 1А равен силе
неизменяющегося тока, который при прохождении по двум па-
раллельным прямолинейным проводникам бесконечной дли-
ны и ничтожно малой площади поперечного сечения, располо-
женным в вакууме на расстоянии 1 м один от другого, вызвал
бы на участке проводника длиной 1 м силу взаимодействия,
равную 2 • 10-7 Н. Ампер — одна из семи основных единиц СИ.
Магнитное поле действует на проводник с током силой ВА
(силой Ампера):
ВА = ВЛ sin а.
Если проводник перпендикулярен линиям индукции (а =
= 90°), то
fa = bii.
Коэффициент пропорциональности В называется магнит-
ной индукцией и является силовой характеристикой магнит-
ного поля. Магнитная индукция — векторная величина. Еди-
ница магнитной индукции — тесла (Тл). В любой точке одно-
родного магнитного поля магнитная индукция одинакова по
модулю и направлению, поэтому такое поле графически изо-
бражается параллельными прямыми с одинаковым расстоя-
нием между ними.
Направление силы Ампера определяется правилом левой
руки: если левую руку расположить так, чтобы линии магнит-
ной индукции входили в ладонь, а четыре пальца располага-
лись по направлению тока, то вытянутый большой палец ука-
жет направление действующей силы.
200
Магнитный поток равен числу
линий индукции, пронизывающих
площадь S, если вектор индукции
совпадает с нормалью к этой пло-
щади:
Ф ВЗ.
Единица магнитного потока —
вебер (Вб).
Магнитные свойства контура ха-
рактеризуются магнитным момен-
том рт (рис. 27):
Pm = IS.
Рис. 27
На контур с током, находящийся в однородном магнитном
поле, индукция которого В, действует вращающий магнитный
момент М:
М = ISB sina,
где a — угол между векторами рт и В.
Вращающий момент будет максимальным, если плоскость
контура параллельна линиям магнитной индукции:
Mmt№ = ISB=pmB.
Направление вектора магнитного момента определяется пра-
вилом правого винта: если винт поворачивать по направлению
тока в контуре, то поступательное движение винта покажет на-
правление вектора рт.
Замкнутый проводник с током (длина Z) под действием силы
Fa перемещается на расстояние b , следовательно, совершается
работа
А = FAb = ВПЬ,
но lb есть изменение площади AS. Тогда
А = BIAS, или А = 1ЛФ.
Индукция магнитного поля прямолинейного проводника с
током выражается
В = ЦС ——,
2лг
где 1— кратчайшее расстояние от проводника с током до точки,
в которой определяется индукция В.
Индукция магнитного поля в центре кругового тока
201
Индукция магнитного поля соленоида
„ /со
В=ц, —,
Ис z
где со — число витков; I — длина соленоида.
Магнитное поле внутри длинного соленоида однородное, по-
этому в соленоиде магнитный поток
Ф = В8=цс — S.
Магнитное поле также характеризуют напряженностью Н,
которая связана с магнитной индукцией формулой
В = ИсН.
Сила, действующая на электрический заряд Q, движущийся
в магнитном поле, называют силой Лоренца Вл:
Вл = BvQ sina,
где a — угол между векторами Вин. Сила Лоренца всегда пер-
пендикулярна плоскости, в которой находятся векторы Виа,
поэтому работы она не совершает; не изменяя скорости заряда,
она изменяет лишь направление и обусловливает центростре-
мительное ускорение. Если a = 90°, то
BvQ = mv2/r,
т.е. частица массой т и зарядом Q под действием силы Fn совер-
шает движение по окружности.
Если направление начальной скорости, например электро-
на, попавшего в однородное магнитное поле, составляет неко-
торый острый угол с направлением поля, то траектория элек-
трона приобретает форму винтовой линии.
Примеры решения задач
Пример 87. По двум параллельным проводам, расположен-
ным на расстоянии 30 см один от другого, протекают в одном
направлении постоянные токи. Расстояние между опорами, на
которых закреплены провода, равно 50 м. Сила тока в каждом
проводе равна 150 А. Определите модуль и направление силы,
с которой взаимодействуют провода.
Д а н о: Zj = I2 = I = 150 А — сила тока в каждом проводе; а =
— 0,3 м — расстояние между проводами; I = 50 м — расстояние
между опорами; из таблиц: ц0 = 4л • 10-7 Гн/м — магнитная по-
стоянная; Ц = 1 — магнитная проницаемость воздуха.
202
Н а й т и: F — силу, с которой
взаимодействуют провода (модуль
и направление).
Решение. Рассмотрим в ка-
честве активной части длины про-
водов расстояние между опора-
ми. С учетом того, что I > а,
провода можно считать бесконеч-
но длинными. Тогда силу взаимо-
действия найдем по формуле
„ 121
2 ла
4л-10~7Гн/м1(150А)250м
2л 0,3м
= 0,75Н.
Для определения направления сил, действующих на прово-
да, воспользуемся рис. 28. Между проводами магнитное поле
ослаблено (линии индукции направлены навстречу); на внеш-
ней стороне линии индукции полей обоих проводов имеют оди-
наковое направление — здесь поле усилено, следовательно, при
токах одного направления провода должны испытывать взаим-
ное притяжение.
Ответ. Сила взаимного притяжения проводов равна 0,75 Н.
Пример 88. На прямой провод длиной 0,5 м при силе тока в
нем 4 А действует однородное магнитное поле с силой 2,8 Н, ко-
гда проводник образует угол 90° с линиями индукции. С какой
силой будет действовать на проводник то же поле при угле 30°?
Дано: 1 = 0,5м — длина провода; Г = 4 А — сила тока в про-
воде; Fr =2,8 Н — сила Ампера при угле 90°; «1 = 90°, а2 = 30° —
углы, образованные линиями индукции и направлением про-
водника соответственно в первом и втором случае.
Найти: F, — силу, действующую на проводник.
Решение. Из формулы Ампера FA = BIl sin оц определим
индукцию однородного магнитного поля:
Pi „ 2,8Н
-------? л =-------
Il sinaj 4А-0,5м
=1,4
Тл.
Зная магнитную индукцию, можно определить силу, с кото-
рой магнитное поле будет действовать на проводник с током,
если угол равен 30°:
F2 -BIlsina2; F2 = 1,4 Тл-4А0,5м-0,5=1,4Н.
О т в е т. Во втором случае на проводник действует сила 1,4 Н.
203
Пример 89. В однородном магнитном поле, индукция кото-
рого 5 • 10“2 Тл, перемещается прямой проводник длиной 0,8 м.
Сила тока в проводнике 15 А. Проводник расположен под уг-
лом 30° к вектору магнитной индукции. Найдите силу, дейст-
вующую на проводник, и работу магнитного поля по перемеще-
нию проводника на 1,8 м.
Д а н о: В = 5 • 10-2 Тл — индукция магнитного поля; I =
= 0,8 м — длина проводника; I = 15 А — сила тока в проводни-
ке; а = 30° — угол между векторами 7 и В; & = 1,8 м — расстоя-
ние, на которое перемещается проводник.
Н а й т и: F — силу, действующую на проводник; А — работу
магнитного поля по перемещению проводника.
Решение. На проводник с током в однородном магнитном
поле действует сила Ампера
F = ВИ sin a; F = 5 • 102 Тл • 15 А • 0,8 м • 0,5 = 0,3 Н.
Зная силу, действующую на проводник, и расстояние, на ко-
торое он перемещается, можно определить работу:
A = Fb;A = 0,3H- 1,8 м = 0,54 Дж.
Ответ. Магнитное поле действует на проводник с током си-
лой 0,3 Н и, перемещая его, совершает работу 0,54 Дж.
Пример 90. В соленоиде длиной 30 см имеется 3000 витков.
Диаметр одного витка 11 см. Определите индукцию магнитно-
го поля внутри соленоида при силе тока в нем 1,5 А и магнит-
ный поток сквозь площадь витка. Как изменятся индукция и
магнитный поток, если внутрь соленоида поместить сердечник
из углеродистого железа?
Д а н о: Z = 0,3 м — длина соленоида; N = 3000 — число витков
в соленоиде; d = 11 • 10“2 м — диаметр витка; I = 1,5 А — сила
тока; из таблиц: Цо = 4 л 10-7 Гн/м — магнитная постоянная;
р = 3000 — магнитная проницаемость углеродистого железа.
Н а й т и: BY — индукцию магнитного поля в соленоиде без
сердечника; В2 — индукцию в соленоиде при наличии сердеч-
ника; Ф! и Ф2 — соответственно магнитные потоки при тех же
условиях.
Решение. Учитывая достаточную длину соленоида, бу-
дем считать магнитное поле внутри соленоида однородным, на-
правленным вдоль оси. Индукцию магнитного поля определим
по формуле
В = РоР —•
204
В отсутствие сердечника ц = 1 (для воздуха). Тогда
Bi = 4л • IO 7Гн/м1 ’5 А 3000 = 1,9-IO 2 Тл.
1 0,3м
При наличии сердечника индукция магнитного поля увели-
чится в р. раз:
В2 = 3000 • 1,9 • 10“2 Тл- 57 Тл.
Магнитный поток определим по формуле
Ф - BScos а.
В данной задаче а = 0 и cos а = 1, a S = nd2/4. В этом случае
1 4
При наличии сердечника
Ф2 = 3000 • 1,8 • 10"4 Вб = 0,54 Вб.
Ответ. Индукция магнитного поля в соленоиде без сердеч-
ника равна 1,9 • 10“2 Тл, а при наличии сердечника — 57 Тл;
магнитный поток при тех же условиях соответственно 1,8 • 10“4
и 0,54 Вб.
Пример 91. Проводнику с током придали форму окружности
радиусом 10см. При этом магнитный момент контура стал рав-
ным 0,314 А • м2. Определите силу тока в контуре и максималь-
ный вращающий момент, действующий на него со стороны од-
нородного магнитного поля, индукция которого 5 • 10-3 Тл.
Дано: г = 0,1 м — радиус витка; рт = 0,314 А • м2 — магнит-
ный момент контура; В = 5 • 10“3 Тл — индукция магнитного
поля.
Найти:/ — силу тока в контуре; Мтах — максимальный
вращающий момент.
Решение. Зная магнитный момент контура, определяем
силу тока в нем:
где S = лг2, тогда рт = Inr2, отсюда
Максимальный магнитный момент находится по формуле
Мтах = pmB; Мтах = 0,314Ам2-510-3Тл = 1,6 10"3 Н-м.
205
Ответ. Сила тока в контуре 10 А; максимальный вращаю-
щий момент 1,6 • 10-3 Н • м.
Пример 92. Протон, получивший скорость в результате про-
хождения разности потенциалов 1 кВ, попадает в однородное
магнитное поле, индукция которого 0,2 Тл, перпендикулярно
линиям индукции. Определите радиус окружности, по которой
будет двигаться протон, и период его вращения.
Дано: U = 1000 В — ускоряющая разность потенциалов;
В = 0,2 Тл — индукция магнитного поля; а = 90° — угол между
векторами В и v; из таблиц: тр = 1,67 • 10-27 кг — масса протона;
q = 1,6 • 10~19 Кл — заряд протона.
Найти: г — радиус окружности; Т — период вращения
протона.
Решение. На движущийся электрический заряд, в дан-
ном случае протон, в магнитном поле действует сила Лоренца:
Fjj = Bvq sin а,
где — а угол между векторами В и v. С учетом того, что а = 90° и
sin а = 1, Fji = Bvq. Так как сила Лоренца всегда перпендикуляр-
на плоскости, в которой находятся векторы В и п, она не соверша-
ет работу, т.е. не изменяет кинетическую энергию движущихся
зарядов; под действием этой силы меняется лишь направление
скорости. Поэтому мы можем написать
Bvq = znpv2/r,
откуда
r =---.
Bg
Для нахождения скорости протона воспользуемся законом
сохранения энергии: работа сил электрического поля U равна
кинетической энергии, приобретенной протоном:
тру2
2 ’
откуда
[2qU /2 1,6 1019 Кл 103В
v — I--; v — .1----------------
у тр у 1,67 IO 27кг
Найдем радиус окружности:
1,67-10 27 кг-4,4-105 м/с
0,2Тл 1,6 1019 Кл
=0,023 м.
206
Рис. 19.1
Рис. 19.2
Зная скорость протона и радиус его орбиты, определим период:
2пг
v
;Т =
2 3,14 0,023м
4,4105м/с
=0,033 10 5с=0,3 мкс.
Ответ. Протон движется по окружности радиусом 0,023 м;
период вращения его 0,3 мкс.
19.1. Гибкий проводник в виде витка при пропускании по
нему тока стремится принять форму окружности. Почему?
19.2. Имея вольтметр постоянного тока и магнитную стрел-
ку на острие, определите в какой стороне двухпроводной линии
постоянного тока находится генератор. Как это сделать?
19.3. Определите полярность полюсов электромагнитов, изо-
браженных на рис. 19.1.
19.4. Определите направление токов в обмотках электромаг-
нитов, изображенных на рис. 19.2.
19.5. Определите полярность полюсов и направление линий
индукции в электрической машине, схема которой приведена
на рис. 19.3.
19.6. Определите направление движения проводников с то-
ками в магнитных полях, показанных на рис. 19.4.
19.7. Что произойдет с постоянным полосовым магнитом,
если в соленоиде ток направлен так, как показано на рис. 19.5?
Рис. 19.3
207
Рис. 19.6
19.8. Как будет двигаться катушка с током относительно со-
леноида при заданных направлениях тока (рис. 19.6).
19.9. Каким должно быть расположение полюсов магни-
та, чтобы рамка с током поворачивалась по часовой стрелке
(рис. 19.7)? На какой угол повернется рамка?
19.10. С какой силой будут взаимодействовать троллейбус-
ные провода линии постоянного тока на участке 30 м, если рас-
стояние между проводами 520 мм, а сила тока в них 200 А?
19.11. Линия электропередачи (ЛЭП) постоянного тока Ка-
шира — Москва рассчитана на силу тока 150 А. На каком рас-
стоянии должны находиться два провода, чтобы на участке
длиной 50 м они взаимодействовали с силой 2,8 • 10-1 Н?
19.12. Расстояние между двумя параллельными проводами
с одинаковыми токами 25 см. Определите силу тока в каждом
проводе, если на каждый метр его длины действует сила 2 мН.
19.13. Два параллельных провода находятся на расстоянии
6 см один от другого. Сила тока в одном из них 15 А, в другом
10 А. Какова длина участка проводов, на которой будет дейст-
вовать сила 1,4 мН?
19.14. Линейный проводник длиной 0,5 м при силе тока в
нем 5 А находится в однородном магнитном поле с индукцией
0,16 Тл. Определите силу, действующую на проводник, в слу-
чаях, когда угол, образованный им с направлением вектора ин-
дукции, составляет 90, 30, 0°.
19.15. Определите индукцию однородного магнитного поля,
в котором на прямолинейный проводник длиной 0,7 м при силе
тока в нем 10 А действует сила 42 мН. Угол между направлени-
ем тока и магнитного пола составляет 30°.
19.16. С помощью сильного дугообразного магнита определи-
те, к какому источнику — постоянного или переменного тока —
подключена лампочка накаливания. Как это сделать?
208
19.17. На прямолинейный проводник длиной 1 м, располо-
женный в однородном магнитном поле перпендикулярно лини-
ям индукции, действует сила 0,6 Н. Сила тока в проводнике
12 А. С какой силой это поле будет действовать на тот же про-
водник, если угол, образованный им и направлением вектора
индукции поля, 45°? Решите задачу двумя способами.
19.18. Проводник MN, изготовленный из материала плотно-
стью р и площадью поперечного сечения S, подвешен на двух
невесомых нерастяжимых нитях в однородном магнитном поле
с индукцией В (рис. 19.8). При какой силе тока нити не будут
испытывать натяжение? Каково при этом направление тока?
19.19. На расстоянии 10 см от длинного прямолинейного
провода с током напряженность магнитного поля 20 А/м. Ка-
кая сила будет действовать на каждый метр этого провода, если
его поместить в однородное магнитное поле с индукцией 2,5 Тл
так, чтобы угол между направлением тока и вектором магнит-
ной индукции был равен 30°?
19.20. Определите силу тока, который должен бы проходить
по длинному прямому проводу, чтобы напряженность поля, об-
разованного им на расстоянии 1 м, была такой же, как у маг-
нитного поля Земли вблизи ее поверхности? Индукцию маг-
нитного поля Земли считайте равной 5,5 • Ю-5 Тл.
19.21. Определите напряженность и индукцию магнитного
поля, создаваемого прямолинейным проводом при силе тока в
нем 7,8 А, в точке, удаленной от него на расстояние 4,8 см.
19.22. Прямой проводник при силе тока в нем 10 А создает
в некоторой точке магнитное поле напряженностью 40 А/м.
Определите индукцию магнитного поля в этой точке и расстоя-
ние от нее до проводника.
19.23. Два длинных провода с токами расположены в од-
ной плоскости во взаимно перпендикулярных направлениях
209
(рис. 19.9). Определите результирующую индукцию магнит-
ного поля в точках М mN, еслиЦ = 10 А, /2 = 6 А, МО = NO =
= 5 см, МС = NCr = 4 см.
19.24. Проводник с током, имеющий форму кольца, создает
в его центре магнитное поле напряженностью 25 А/м. Опреде-
лите индукцию этого поля и радиус кольца, если сила тока в
нем 3,45 А.
19.25. В центре кругового тока индукция магнитного поля
равна 1,57 • 10~4 Тл при радиусе витка 4 см. Определите напря-
женность поля в центре витка и силу тока в нем.
19.26. По длинному прямому проводнику протекает ток,
создающий на расстоянии 4,4 см магнитное поле, индукция ко-
торого 0,8 • 10“4 Тл. Магнитная проницаемость среды 1,1. Опре
делите силу тока в проводнике и напряженность поля на рас-
стоянии 16 см от него.
19.27. Определите магнитный момент кругового тока, если
сила тока в витке 10 А, а его радиус 6,0 см.
19.28. Проволочное кольцо с током, диаметр которого 15 см,
имеет магнитный момент 4,2 • 10~2 А • м2. Определите силу тока
в кольце и напряженность магнитного поля в его центре.
19.29. В однородном магнитном поле, индукция которого
1,2 10-2 Тл, находится проволочное кольцо, сила тока в кото-
ром 6 • 1(Г2 А. Плоскость кольца параллельна линиям магнит-
ной индукции. Радиус кольца 5,0 см. Определите максималь-
ный магнитный момент, действующий на кольцо со стороны
магнитного поля.
19.30. Соленоид без сердечника длиной 100 см содержит 600
витков. Определите индукцию магнитного поля внутри соле-
ноида при силе тока в нем 0,4 А.
19.31. В соленоиде, диаметр которого мал по сравнению с дли-
ной, сила тока 6,5 А. При длине 65 см соленоид имеет 750 вит-
ков. Определите напряженность и индукцию магнитного поля
внутри соленоида без сердечника.
19.32. Индукция магнитного поля внутри достаточно
длинного соленоида 2,52 • 10“3 Тл при силе тока в нем 3,0 А.
Витки намотаны плотно в один ряд. Соленоид без сердечни-
ка. Определите диаметр провода, из которого изготовлен со-
леноид.
19.33. Определите магнитную проницаемость для мягкой
стали при напряженности магнитного поля 1,5 и 5,0 кА/м
(см. табл. 22, график). Как изменяется магнитная проницае-
мость стали при увеличении напряженности магнитного поля в
процессе первоначального намагничивания? Почему?
210
19.34. Определите магнитную индукцию в никелевом сер-
дечнике и магнитный поток внутри него, если напряженность
однородного магнитного поля в сердечнике 2,0 • 103 А/м, пло-
щадь поперечного сечения сердечника 30 см2 и его магнитная
проницаемость 200.
19.35. В соленоиде без сердечника обмотка сделана из прово-
да диаметром 1,0 • 10-3 м. Витки радиусом 1,0 см плотно приле-
гают один к другому. Определите магнитный поток внутри со-
леноида при силе тока в нем 2,0 А.
19.36. В однородном магнитном поле, индукция которого
0,10 Тл находится прямоугольная рамка из провода, сила тока
в которой 2,0 А. Размеры рамки 4x5 см. В данном положении
магнитный поток в рамке равен 0,80 • 10“4 Вб. Определите мак-
симальный магнитный поток в рамке, когда ее плоскость рас-
положится перпендикулярно направлению линий индукции.
Определите, какая при этом будет совершена работа.
16.37. Магнитная индукция сердечника электромагнита
1,2 Тл, а площадь его поперечного сечения 0,12 м2. Определите
магнитный поток в сердечнике электромагнита.
19.38. Стальной стержень, имеющий площадь поперечного
сечения 4,5 см2 и магнитную проницаемость 160, внесен в од-
нородное магнитное поле напряженностью 7970 А/м так, что
линии напряженности совпадают с нормалью к площади попе-
речного сечения стержня. Определите магнитный поток, про-
низывающий стержень.
19.39. Напряженность магнитного поля внутри соленоида с
железным сердечником равна 1600 А/м. Площадь поперечного
сечения сердечника 10 см2. Определите индукцию магнитного
поля и магнитную проницаемость железа, если магнитный по-
ток в сердечнике равен 2 • 10-4 Вб.
19.40. Электрон влетает в однородное магнитное поле так,
как показано на рис. 19.10. Определите направление силы, дей-
ствующей на электрон, в начальный момент. Какова траектория
его движения?
+ + + + +
Рис. 19.10
211
19.41. Электрон движется в однородном магнитном поле со
скоростью 1,0 • 104 км/с, направленной перпендикулярно век-
тору индукции магнитного поля. Определите силу, действую-
щую на электрон при напряженности поля 150 А/м.
19.42. Электрон влетает в однородное магнитное поле, ин-
дукция которого 9,1 10“5Тл. Скорость электрона 1,9- 107м/си
направлена перпендикулярно вектору магнитной индукци]
Определите радиус окружности, по которой будет двигаться
электрон, период и частоту его вращения.
19.43. Сила Лоренца, действующая на электрон со стороны
двух взаимно перпендикулярных электрического и магнитно-
го полей, определяется по формуле Рл — еЕ + evB. Какой должна
быть скорость электрона по модулю и направлению, чтобы его
движение было равномерным и прямолинейным?
19.44. Электрон влетает в однородное магнитное поле, индур
ция которого 2,5 • 1(Г3 Тл, и движется в нем по окружности радиу-
сом 40 см. Вектор его скорости образует угол 90° с направлением
магнитного поля. Определите кинетическую энергию электрона.
19.45. Электрон влетает в однородное магнитное поле, индук-
ция которого 6,28 • 10“2 Тл, а скорость 8,8 • 107 м/с. Вектор скоро-
сти образует с вектором магнитной индукции угол 30°. Определи-
те радиус и шаг винтовой линии, по которой будет происходить
движение электрона. В задаче использовать отношение заряда
электрона к его массе, ограничиваясь третьим знаком точности.
19.46. Два одинаковых однозарядных иона влетают в одно-
родное магнитное поле, имея различную скорость. Какими бу-
дут у них периоды вращения?
19.47. Электрон и однозарядный ион влетают в однородное
магнитное поле, имея одинаковую скорость. Какими будут у
них периоды вращения?
§ 20. Электромагнитная индукция
Основные понятия, законы и формулы
Явление электромагнитной индукции состоит в том, что в
любом замкнутом контуре возникают электродвижущая сила
индукции и индукционный ток, если магнитный поток, огра-
ниченный этим контуром, изменяется со временем:
« дф
=----; е« = ф •
" At и
Предположим, что прямоугольный контур, расположенный в
плоскости, перпендикулярной магнитному полю, перемещается
212
со скоростью v и выходит из однородного магнитного поля. Тогда
магнитный поток, проходящий сквозь площадь контура, будет
изменяться по закону
ДФ = -В1иМ.
Учитывая это, ЭДС индукции можно записать в виде
<9И =-Blv.
Если векторы и и В образуют угол а, то
=-Blv sin а.
ЭДС будет возникать и в неподвижном контуре, но для это-
го индукция магнитного поля также должна меняться со вре-
менем.
Направление индукционного тока, возникающего в замк-
нутом контуре, можно определить, используя правило правой
руки или правило Ленца. Согласно правилу Ленца, индукцион-
ный ток направлен так, чтобы магнитное поле, создаваемое им,
противодействовало изменению магнитного поля, вызывающе-
го индукционный ток.
Явление самоиндукции можно рассматривать как частный
случай электромагнитной индукции, когда изменяющийся
магнитный поток создается самим током в процессе его измене-
ния. Так, при замыкании цепи ЭДС самоиндукции (согласно
правилу Ленца) препятствует увеличению силы тока, а при
размыкании — противодействует его исчезновению. Поэтому
при замыкании ток самоиндукции направлен против основно-
го тока, а при размыкании — в одну с ним сторону. ЭДС самоин-
дукции пропорциональна скорости изменения тока в контуре:
У тМ Т'
& = -L — ;ec = —Li ,
At
где L — индуктивность контура, зависящая от его размеров,
формы и магнитных свойств среды, в которую помещен контур.
Единица индуктивности — генри (Гн).
Магнитное поле, являясь составной частью электромагнит-
ного поля, обладает энергией. Энергия магнитного поля
1 1 1Ф2
W = -<I>I = ±LI2 =-—.
2 2 2 L
Для соленоида индуктивность можно определить по формуле
Li — .
I
гДе I и S — длина и площадь поперечного сечения соленоида.
213
Примечание. еи и ес — мгновенные значения ЭДС индукции
и самоиндукции соответственно. ЭДС индукции для контура из
N витков можно определить через потокосцепление Ч*. Учиты-
вая, что Т = ПФ,
F ДЧ* ПДФ кт_,
С’и =---=------;еи = Т = -ПФ.
дг м
Примеры решения задач
Пример 93. Проводник АВ длиной 0,6 м и сопротивлением
0,2 Ом может двигаться по медным шинам CD, подключенным к
источнику электрической энергии, ЭДС которого 0,96 В и внут-
реннее сопротивление 0,1 Ом (рис. 29). Сопротивление шин пре-
небрежимо мало. Определите силу тока в проводнике, если он:
а) покоится; б) движется со скоростью 0,5 м/с в однородном маг-
нитном поле, индукция которого 1,6 Тл, и направлена от читателя.
Д а н о: Z = 0,6 м — длина проводника; R = 0,2 Ом — сопро-
тивление проводника; = 0,96 В — ЭДС источника тока; г =
= 0,1 Ом — внутреннее сопротивление источника тока; v =
= 0,5 м/с — скорость движения проводника; В = 1,6 Тл — ин-
дукция магнитного поля.
Найти: 1г — силу тока в покоящемся проводнике; 12 —
силу тока при движении проводника в магнитном поле.
Решение. Если проводник остается в покое, сила тока Ц
определяется по закону Ома для полной цепи:
$ 0,96В
Д =-----; Zj -------------=3,2А.
R+r 0,2 0м+0,10м
Если проводник движется со скоростью v в однородном маг-
нитном поле, в нем возникает ЭДС индукции $и, а если провод-
ник является частью замкнутой цепи, возникает индукцион-
ный ток, направление которого определяется правилом правой
руки. В нашем примере индукционный ток направлен против
тока Ij. Закон Ома для данного случая примет вид
К -¥ ,
12 =----= Blv,
R+r
тогда
Jf-Blv
1 о — •
R+r
Здесь необходимо обратить внимание на то, что вектор ин-
дукции магнитного поля и вектор скорости образуют угол 90°.
0,96В-1,6 ТлО,6мО,5м/с „А
/о =----------------------= 1,6 А.
0,2 Ом+0,1 Ом
214
Ответ. Сила тока в покоящемся, проводнике равна 3,2 А;
при движении в магнитном поле — 1,6 А.
Пример 94. В однородном магнитном поле, индукция кото-
рого 0,12 Тл, находится круглая рамка диаметром 10 см, распо-
ложенная так, что вектор индукции перпендикулярен плоско-
сти рамки (рис. 30). Определите количество витков рамки, если
при ее повороте на угол 180° за 0,14 с в ней наводится ЭДС
0,942 В.
Д а н о: В = 0,12 Тл — индукция магнитного поля; d = 0,1 м —
диаметр витка; а = 180° — угол поворота рамки; At = 0,14 с —
промежуток времени; (£и = 0,942 В — ЭДС индукции.
Н а й т и: N — число витков в рамке.
Решение. При повороте рамки изменяется магнитный по-
ток, ограниченный контуром рамки, и в ней возникает ЭДС
индукции
АФ АГ
6И =----N.
At
Из условия задачи следует, что до поворота нормаль к плос-
кости рамки и вектор индукции составляли угол а0 = 0 и при
этом магнитный поток сквозь контур рамки
Ф! = BS cos а0.
После поворота рамки магнитный поток
Ф2 = BS cos а,
здесь а = 180°. Изменение магнитного потока ДФ = Ф2 - Фт;
ДФ = BS cos 180° - BS cos 0°; cos 180° = -1, cos 0°= 1, тогда
АФ = -BS - BS= -2BS;
если учесть, что S = nd2/4, получим
A_ Bud2
АФ =------.
2
215
Подставляя в выражение для ЭДС индукции изменение маг-
нитного потока, получаем
Bnd2
2М
N.
Отсюда число витков
2 0,942В0,14 с
Bnd2’ 0,12 Тл-3,1410“2м2
Ответ. Число витков в рамке равно 70.
Пример 95. Определите индуктивность катушки, в которой
при изменении силы тока от 5 до 10 А за 0,1 с возникает ЭДС са-
моиндукции 10 В. На сколько при этом изменяется энергия
магнитного поля катушки?
Д а н о: = 5 А — начальная сила тока в катушке; 12 = 10 А —
сила тока через промежуток времени At; At = 0,1 с — время из-
менения силы тока; =10 В — ЭДС самоиндукции.
Найти: L — индуктивность катушки; AW — изменение
энергии магнитного поля катушки.
Решение. Запишем формулу для определения ЭДС само-
индукции
Отсюда определим индуктивность катушки:
<£At
~аГ
ftcAt
^2 ~ Л
10В 0,1с
10А-5А
= 0,2Гн.
При силах тока Ц и 12 энергии магнитного поля будут равны:
W. = LI2 /2; W2 = LI2 /2.
Изменение энергии
т т2 т т2 т
^W = W2-WX =-JL__± = L(I2_i2}.
Ll L
0 2Гн
ЛIV =- ---[(10 А)2 -(5А)2] = 7,5 Дж.
2
Ответ. Индуктивность катушки 0,2 Гн; с увеличением силы
тока энергия магнитного поля возросла на 7,5 Дж.
Пример 96. Соленоид с сердечником из никеля на длине 0,5 м
имеет 1000 витков площадью поперечного сечения 50 см2. Оп-
ределите магнитный поток внутри соленоида и энергию маг-
нитного поля, если сила тока в соленоиде 10 А, а магнитная
проницаемость никеля 200.
216
Дан о: Z = 0,5м — длина соленоида; N = 1000 — число витков;
S = 5 • 10 3 м2 — площадь поперечного сечения витка; I = 10 А —
сила тока; ц = 200 — магнитная проницаемость никеля; из таб-
лиц: р0 = 4л • 10-7 Гн/м — магнитная постоянная.
Найти: Ф — магнитный поток внутри соленоида; W —
энергию магнитного поля соленоида.
Решение. Формула магнитного потока Ф = BS. Так как
индукция магнитного поля соленоида с сердечником равна
„ IN
В=110Ц — ,
то
IN „
Ф = Ц0Ц —-S;
Ф = 4л-10-7Гн/м 20010А 100°5 10-3м2 = 2,510-2Вб.
0,5м
Зная магнитный поток и силу тока, можно определить энер-
гию магнитного поля внутри соленоида:
W =—Ф1; W = —-2,510“2Вб 10А «1,3-Ю"1 Дж.
2 2
Ответ. Поток магнитной индукции внутри соленоида
2,5 • 10"2 Вб; энергия магнитного поля приблизительно 0,13 Дж.
20.1. Будет ли возникать ЭДС индукции в проводниках, ко-
торые движутся так, как показано на рис. 20.1?
20.2. Когда якорем замыкают полюсы подковообразного маг-
нита (рис. 20.2), стрелка гальванометра отклоняется. Почему?
20.3. Определите направление ЭДС индукции в проводниках,
находящихся в однородных магнитных полях, изображенных
на рис. 20.3.
20.4. Прямоугольная рамка, двигаясь поступательно: а) вхо-
дит в однородное магнитное поле; б) движется в нем; в) выходит
за границу этого поля. Нормаль к плоскости рамки направлена
Рис. 20.2
Рис. 20.1
217
Рис. 20.3
вдоль линии индукции. Возникает ли в проводнике ЭДС индук-
ции при этих условиях? Почему?
20.5. Прямоугольная рамка вращается в однородном маг-
нитном поле так, что ось вращения совпадает с направлением
линии индукции. Возникает ли при этом ЭДС индукции?
20.6. Определите направление индукционного тока в рамке
(рис. 20.4), вращающейся в однородном магнитном поле по на-
правлению стрелки.
20.7. К медному кольцу, подвешенному в вертикальной плос-
кости, подносятся поочередно два одинаковых стальных стерж-
ня. В одном случае кольцо отталкивается от стержня. Почему?
20.8. Определите направление индукционного тока, возни-
кающего в соленоиде при движении полосового магнита вверх
(рис. 20.5).
20.9. К медному кольцу приближается полосовой магнит
так, как показано на рис. 20.6. Определите направление индук-
ционного тока в кольце.
20.10. Прямой постоянный магнит падает сквозь медный
цилиндр. Можно ли считать, что движение происходит с уско-
рением свободного падения?
218
20.11. Проводник, сложенный вдвое, перемещается в одно-
родном магнитном поле, пересекая линии индукции. Возни-
кает ли в проводнике ЭДС индукции? Что покажет гальвано-
метр, если к нему будут присоединены концы движущегося
проводника?
20.12. Чему равна ЭДС индукции, возбуждаемая в контуре,
если в каждую секунду магнитный поток в нем изменяется на
3,4 • 10’2 Вб?
20.13. Проводник, активная длина которого 15 см, движется
со скоростью 10 м/с перпендикулярно линиям индукции одно-
родного магнитного поля, индукция которого 2,0 Тл. Какая
сила тока возникает в проводнике, если его замкнуть накорот-
ко? Сопротивление цепи 0,5 Ом.
20.14. Прямолинейный проводник, активная длина которого
0,7 м, пересекает однородное магнитное поле под углом 30° со
скоростью 10 м/с. Определите индукцию магнитного поля, если
ЭДС, индуцируемая в проводнике, равна 4,9 В.
20.15. Определите ЭДС индукции, возникающую на концах
крыльев самолета, движущегося горизонтально со скоростью
900 км/ч, если размах крыльев составляет 36,5 м, а верти-
кальная составляющая напряженности магнитного поля Зем-
ли 40 А/м.
20.16. Электромагнит создает у полюсов в воздухе магнит-
ное поле напряженностью 4 • 105 А/м. Считая поле однород-
ным, определите, с какой наименьшей скоростью необходимо
двигать в нем проводник с активной длиной 10 см, чтобы в нем
наводилась ЭДС индукции, равная 1 В, если угол между векто-
рами магнитной индукции поля и скорости составляет 90°.
20.17. Магнитный поток 30 мВб, пронизывающий замкну-
тый контур, убывает до нуля за 1,5 10 2 с. Определите средние
значения ЭДС индукции и силы тока, возникающие в контуре.
Сопротивление контура 4 Ом.
219
20.18. Прямой проводник движется со скоростью 4 м/с в од-
нородном магнитном поле, индукция которого 6 мТл. Под ка-
ким углом к направлению поля движется проводник с активной
длиной 0,3 м, если на его концах возникает разность электриче-
ских потенциалов 3,6 -10“3 В?
20.19. Соленоид имеет 200 витков площадью поперечного се-
чения 80 см2. Индукция магнитного поля внутри соленоида за
0,1 с увеличивается от 2 до 6 Тл. Определите среднее значение
ЭДС индукции, возникающей в обмотке соленоида.
20.20. На сколько изменился магнитный поток внутри ка-
тушки за 0,05 с, если при наличии 1000 витков в ней возникает
ЭДС индукции 120 В?
20.21. Определите ЭДС самоиндукции, возникающей в ка-
тушке индуктивностью 0,5 Гн, если сила тока в ней за 10-3 с
уменьшается на 0,2 А.
20.22. За какое время в катушке индуктивностью 1 Гн сила
тока изменится на 3 А, если средняя ЭДС самоиндукции 2 V?
20.23. Индуктивность контура 40 мГн. Чему равна ЭДС са-
моиндукции, возникающая в контуре, если за 0,01 с сила тока
изменилась на 0,2 А? На сколько при этом изменился магнит-
ный поток в контуре?
20.24. Индуктивность контура 0,05 Гн. Чему равен магнит-
ный поток, пронизывающий контур, если сила тока в нем 8 А?
20.25. Определите индуктивность катушки, в которой воз-
никает ЭДС самоиндукции 0,5 В, если за 0,04 с сила тока умень-
шается на 0,2 А.
20.26. Что необходимо предпринять для увеличения индук-
тивности соленоида?
20.27. Почему при размыкании цепи, в которую включена
катушка с сердечником, сильно искрит рубильник? Как устра-
нить образование искры?
20.28. Магнитный поток 0,14 Вб сцеплен с контуром, индук-
тивность которого 0,02 Гн. Определите силу тока, протекающе-
го в контуре.
20.29. При какой силе тока в катушке индуктивностью
40 мГн энергия магнитного поля равна 0,15 Дж?
20.30. Определите энергию, запасенную в магнитном поле
катушки индуктивностью 85 мГн, если сила тока, проходяще-
го по виткам катушки, равна 8 А.
20.31. Через поперечное сечение катушки индуктивностью
12 мГн проходит заряд 6 • 10“2 Кл за 0,01 с в течение длитель-
ного времени. Каковы энергия магнитного поля и магнитный
поток внутри катушки?
220
20.32. Круговой контур радиусом 5 см помещен в однородное
магнитное поле с индукцией 1,2 • 10“2 Тл так, что нормаль к
плоскости контура совпадает с направлением поля. Сопротив-
ление контура 3,1 Ом. Какое количество электричества проте-
чет по контуру, если его повернуть на угол 60°?
20.33. Плоский виток изолированного провода в виде квад-
ратной рамки со стороной I — 0,2 м находится в однородном
магнитном поле в плоскости, перпендикулярной линиям ин-
дукции. Определите силу тока, протекающего по витку, если
магнитное поле начинает убывать с постоянной скоростью
0,1 Тл/с? Сопротивление витка 1 Ом.
20.34. В проводящем контуре, содержащем 100 витков, маг-
нитный поток изменяется по закону Ф = -0,01 t2. Определите
мгновенные значения ЭДС индукции и силы тока в конце пятой
секунды, если сопротивление контура 2 Ом.
20.35. В катушке индуктивностью 20 мГн сила тока изменя-
ется по закону i = (I - 0,2t). Определите мгновенное значение
ЭДС самоиндукции и энергию магнитного поля в конце четвер-
той секунды I = 1,2.
20.36. Катушка длиной 0,2 м и площадью поперечного сече-
ния 10 см2 содержит 100 витков провода. Определите энергию
магнитного поля катушки при силе тока 2 А. Какая средняя
ЭДС самоиндукции возникает в катушке, если за 0,01 с сила
тока в нем убывает до нуля?
221
IV. КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
§ 21. Механические колебания и волны.
Звук и ультразвук
Основные понятия и формулы
Колебание — это периодическое движение, при котором тело
(частица), проходя через положение равновесия, отклоняется от
него попеременно то в одну, то в другую сторону.
Время, за которое совершается одно полное колебание, на-
зывают периодом Т, а величину, обратную периоду, — часто-
той колебаний v:
v = 1/Г.
Частота определяет количество колебаний, совершенных
за 1 с.
Единица частоты — герц (Гц).
Важнейший вид колебаний — гармонические, они вызыва-
ются действием силы, пропорциональной смещению х. Смеще-
ние точки, участвующей в гармоническом колебании, опреде-
ляется уравнением
х - A sin(cot +ф0 ),
где А — амплитуда колебания; cot +<р0 =<р — фаза; ф0 — началь-
ная фаза; (о — круговая (циклическая) частота;
(D = 2tuv или а>-2п/Т.
Единица круговой частоты — радиан в секунду (рад/с).
Примечание. В данном уравнении гармонического коле-
бания А выражает максимальное смещение (хтах) и может
обозначаться через X. По аналогии амплитуды скорости (i>max)
и ускорения (атах) можно обозначать соответственно через
ГиА
Математический маятник (материальная точка, подвешен-
ная на невесомой и нерастяжимой нити) имеет период малых
колебаний
T-2n^l/g.
222
Для груза массой т, колеблющегося на пружине жестко-
стью Л, круговая частота и период колебаний равны:
со = ^k/m; Т-2n^m/k.
Колеблющееся тело обладает потенциальной и кинетической
энергией. Для груза, колеблющегося на пружине, полная энер-
гия колебаний
W = kA2/2.
Энергия для груза при произвольном смещении х равна
W=W„ + WK = fex2/2 + mv2/2.
Если колеблющаяся частица находится в среде, то она во-
влекает в колебательное движение находящиеся рядом части-
цы — в среде распространяется волна. Скорость v и длина 1 вол-
ны связаны соотношением
v = А.Т или v = A.V.
Скорость волны не зависит от частоты колебаний, а зависит
только от свойств среды. Таким образом, при переходе в другую
среду изменяются скорость и длина волны, а частота остается
неизменной.
Волны частотой от 16 Гц до 20 кГц воспринимаются челове-
ческим ухом и называются звуковыми волнами. Звук с часто-
той ниже 16Гц называется инфразвуком, а выше 20кГц — ульт-
развуком. Скорость звука обычно обозначают буквой с.
Волны, в которых фаза перемещается с определенной ско-
ростью, называют бегущими. При этом все точки среды в вол-
не не перемещаются вместе с фазой, а колеблются около своего
положения равновесия. Распространение бегущих волн связа-
но с передачей энергии от одной колеблющейся точки к другой.
Следует учесть, что максимум кинетической и потенциальной
энергии в бегущей волне приходится на точку, проходящую
положение равновесия.
Волны, в которых частицы колеблются перпендикулярно
направлению распространения волн, называют поперечными;
они возникают в твердых телах и на поверхности жидкости.
Волны, в которых частицы совершают колебания по прямой,
совпадающей с направлением распространения волны, называ-
ют продольными. Они могут возникать в твердых, жидких и га-
зообразных средах.
В результате наложения на бегущую волну отраженной мо-
гут возникать стоячие волны. Для них характерно: все точки
между соседними узлами совершают колебания в одинаковых
Фазах, но с различными амплитудами.
223
Примеры решения задач
Пример 97. Мальчик качается на доске. Время, за которое
он из верхнего положения опускается в нижнее, равно 1,5 с.
Чему равна частота, круговая частота и период колебаний?
Д а н о: t = 1,5 с — время, за которое мальчик переместится
из крайнего верхнего положения в нижнее.
Н а й т и: v — частоту колебаний доски; со —круговую часто-
ту; Т — период колебаний.
Решение. Период колебаний в данном случае можно оп-
ределить как время, прошедшее между двумя последователь-
ными самыми высокими (или самыми низкими) положениями
мальчика. Таким образом,
T = 2Z.
Частоту и круговую частоту найдем по формулам:
v =1/Т; (o = 2nv.
Произведем вычисления:
Т = 2 1,5с = 3с; v = ~ = 0,ЗЗс 1 =0,33 Гц;
Зс
со = 2-лрад 0,33с1 =2,1рад/с.
Ответ. Частота колебаний 0,33 Гц; круговая частота
2,1 рад/с; период 3 с.
Пример 98. Координаты точки определяются уравнением
х = 1,2 cos л (2t/3 + 1/4).
Определите амплитуду, круговую частоту, частоту, период и
начальную фазу колебаний. Найдите амплитуды скорости и ус-
корения. Чему равна фаза колебаний через 0,375 с после нача-
ла движения?
Д а н о: х = 1,2 cos л (2£/3 + 1/4) — уравнение движения ко-
леблющейся точки; t = 0,375 с — время, прошедшее от начала
колебаний.
Н а й т и: X — амплитуду; со — круговую частоту; v — частоту;
Т — период; <р0 — начальную фазу; V— амплитуду скорости; А —
амплитуду ускорения; ср — фазу колебаний в момент времени t.
Решение. Сначала приведем заданное уравнение к тако-
му виду, чтобы оно содержало синус, а не косинус. Из тригоно-
метрии известно, что cos а — sin(a+7t /2). Отсюда
х = 1,2 cos 7t(2i/3+l/4) = l,2sin[7c(2Z/3+l/4)+7t/2] =
-1,2 sin[2n t /3 + л/ 4 + л/2] = 1,2 sin(2n t / 3+3л / 4).
224
Сравнивая полученное уравнение с уравнением гармониче-
ских колебаний х = X sin(cot+<po), получаем: X = 1,2 м;
со = 2л/3 рад/с = 2,1 рад/с; <р0 = Зл/4 рад = 2,36 рад.
Частоту, период и фазу определим по формулам:
v=co/2n; 7,=l/v;cp = cot+cp().
Чтобы найти амплитудное значение скорости, надо продиф-
ференцировать уравнения движения. Получим
dx
— = Xcocos(cot+cp0), или v = Vcos(cot+cp0).
dt
Отсюда
V = Xco.
Для нахождения амплитудного значения ускорения надо про-
дифференцировать уравнение для скорости:
dv
— = -Vcosin(cot+<р0), или а = -A sin(cot +ср0 ).
dt
Отсюда
А = -У® = -Хсо2.
Произведем вычисления:
2лрад/с Л т 1 „
v =—Р 7 = 0,ЗЗГц; Т = -=Зс;
3-2прад v
2лрад/с-0,375с Зл „ _ ,
ср =-------------+ —рад = з, 14 рад;
2л ,
V = 1,2м—с 1 =2,5м/с;
4л 2
А =-1,2 м-—с-2 = -5,27 м/с2.
Ответ. Амплитуда колебаний равна 1,2 м; круговая частота
2,1 рад/с, частота 0,33 Гц; период 3 с, начальная фаза 2,36 рад;
амплитуда скорости 2,5 м/с; амплитуда ускорения -5,27 м/с2;
фаза через 0,375 с после начала движения равна 3,14 рад.
Пример 99. Груз массой 100 г закреплен на пружине жестко-
стью 100 Н/м. Его смещают на 3 см от положения равновесия и
сообщают скорость 10 см/с. Чему равна потенциальная и кине-
тическая энергии груза в начальный момент? Какова полная
энергия груза? Напишите уравнение его движения.
Д а н о: /п = 100 г = 0,1 кг — масса груза; k = 100 Н/м — жест-
кость пружины; х = 3 см = 0,03 м — начальное смещение груза
8— 2453
225
от положения равновесия; v = 10 см/с = 0,1 м/с — начальная
скорость груза.
Найти: JVn0 — потенциальную энергию груза в начальный
момент; Wk0 — кинетическую энергию груза в начальный мо-
мент; W — полную энергию груза; уравнение движения груза.
Решение. Потенциальную и кинетическую энергию гру-
за найдем по формулам:
Wu0 = kx2/2;WK0 = mv2/2.
Полная энергия груза равна
W = Wn0 + WK0.
Чтобы написать уравнение движения, надо найти амплиту-
ду А, круговую частоту со и начальную фазу <р0 колебания. Заме-
тим, что начальное смещение груза не является амплитудой,
так как вместе с начальным отклонением грузу сообщили еще и
скорость. Однако мы знаем, что полная энергия может быть вы-
ражена через амплитуду: W = kA2/2, откуда
A=^2W/k.
Круговую частоту определим по формуле
w = -y]k/m.
Для определения начальной фазы запишем в общем виде
уравнение гармонических колебаний:
х- Asin(cot+9o).
В начальный момент t = 0 уравнение имеет вид х — А зшф0.
Отсюда
ср0 = arcsin(x/А).
Подставив числовые значения:
„г ЮОН/м-9 104 м2 „
Wn0 - ----—----------=4,5-10~2 Дж;
2
О,1кгО,О1м2/с2 „
WKo ----------—=5ЮЧ Дж;
2
W =4,55-10-2 Дж;
'2-4,55.10- Дж =3>017.10_2м.
ЮОН/м
(0 =
ЮОН/м „
—-------=31,6рад/с;
0,1кг
з
ф0 = arcsin goi? = arcsin 0,9945 = 1,4658рад.
226
Ответ: Потенциальная и кинетиче- •* (
ская энергия в начальный момент соот-
ветственно равны 4,5 • 10“2 и 5 • 10-4 Дж;
полная энергия равна 4,55 • 10-2 Дж;
уравнение движения груза будет иметь
вид х = 3,017 • 102 sin (31,6t + 1,4658). N
Пример 100. Как изменится период *1
колебаний маятника, если он находится т
в лифте, движущемся вверх с ускорени- (( '
ем 0,3 g?
Д а н о: а = 0,3 g — ускорение лифта. . f
Найти: Т — период колебаний ма- mg
ятника. рис 31
Решение. Перейдем в систему ко-
ординат, связанную с лифтом. Тогда на
маятник дополнительно будет действовать сила инерции та,
направленная в сторону, противоположную ускорению а. Что-
бы пояснить это, рассмотрим покоящийся маятник. На него
действуют силы натяжения нити N и тяжести mg. Движется
маятник с ускорением а вместе с лифтом (рис. 31). Запишем
второй закон Ньютона:
N-mg = та или N = m(g+a).
Таким образом, вес шарика как бы увеличился на величину
та, которую мы и называем силой инерции. Тогда в формуле
для периода колебаний нужно вместо g поставить g + а:
Т = 2ny]l/(g+a).
При отсутствии ускорения
То = 2ny[T/g.
Разделив почленно эти два равенства, получим
Т I g „ „ I g
— = J----или Т = Т0,-----;
т0 v #+« V g+a
g _То _То
g+O^g Jig U4
= ОД77То.
Ответ. Период колебаний маятника уменьшится в 1,14 раза.
Пример 101. С помощью векторных диаграмм определите
амплитуду и фазу колебания, получающегося при сложении
трех гармонических колебаний: хг =sincot, х2 =2sin(co£+Tt/2),
хз = 2,5 sin(coi + л). Напишите его уравнение.
227
A3 Aj
. ^2
б
Рис. 32
Н а й т и: А, <р0 — амплитуду, и начальную фазу. Написать
уравнение результирующего колебания.
Р е ш е н и е. Из приведенных уравнений гармонических ко-
лебаний можно определить амплитуды и начальные фазы: А.! =
= 1 м, А2 = 2 м, А3 = 2,5 м, <р01 = 0, <р02 = л/2 рад, <р03 = л рад.
С помощью векторных диаграмм можно складывать коле-
бания одинаковой частоты. В нашем случае это условие вы-
полнено.
Для каждого колебания из начала координат строим вектор,
длина которого равна амплитуде, а наклон к оси абсцисс — на-
чальной фазе. Сложение этих векторов, даст амплитуду и фазу
искомого колебания. На рис. 32, а изображены векторы, длина
которых равнаА1? А2,А3, а наклон к оси абсцисс 0, л/2, л. Снача-
ла сложим векторы, лежащие на одной прямой (рис. 32, б),
а потом по правилу параллелограмма находим результирую-
щий вектор (рис. 32, в).
Вычислим:
А3 -At =1,5м;
А = +(А3 -AJ2 ; А = л/(4+2^5)м2 = 2,5 м;
2
since =— = 0,8, <х = 53°8 ;
2,5
ср = 180° -а = 126°52'=0,705л.
Ответ. Результирующее колебание имеет амплитуду 2,5 м
и начальную фазу 0,705л и описывается уравнением х = 2,5 х
х sin(cot +0,705л).
21.1 . Чему равен период колебаний материальной точки,
если она за 5 с совершает одно полное колебание?
21.2 . Частота колебаний частицы 2 Гц. Сколько колебаний
делает частица за 1 с?
228
21.3 . Материальная точка за 2 мин совершает 60 полных ко-
лебаний. Чему равны период и частота колебаний?
21.4 . Груз, подвешенный на пружине, колеблется с частотой
0,4 Гц. Определите круговую частоту и период колебаний.
21.5 . Мячик бросили на пол. Через 0,5 с после удара он дос-
тиг своей высшей точки подъема. Считая удар мячика об пол
абсолютно упругим, определите период и частоту, с которыми
движется мячик.
21.6 . Изменится ли характер колебаний камертона, если его
опустить в воду?
21.7 . Ареометр погружают в жидкость и отпускают. Через
1/8 с он достигает положения равновесия. Чему равны частота
и период колебаний ареометра?
21.8 . На рис. 21.1 изображены пары колеблющихся маятни-
ков. В каких фазах один относительно другого они колеблются?
21.9 . Диск электропроигрывателя делает 33 оборота за 1 мин.
Определите круговую частоту вращения диска.
21.10 . Угловая скорость ведущего колеса автомобиля 30 рад/с.
Чему равна частота и период колебаний поршня двигателя на
прямой передаче?
21.11 . Карусели за 0,5 с поворачиваются на угол 90°. Опреде-
лите частоту, период и круговую частоту.
21.12 . Движение тела описывается уравнением х = 4,25 х
х sin (0,3/ + 0,75). Чему равна амплитуда колебаний, круговая
частота, начальная фаза и период? Чему равна фаза в момент
времени t = 0,5 с?
21.13 . Уравнение гармонического колебания имеет вид х =
л
= 0,02 sin—t. Определите смещение тела от положения равнове-
сия при fj = 0; t2 = Т/4; t3 = Т/2; t4 = 7Т/12.
21.14 . По условию задачи 21.13 определите фазу колебаний
для моментов времени tj = Т; t2 = Т/2; t3 = Т/4.
\\\\\
б
Рис. 21.1
229
21.15 . Положение колеблющейся частицы определяется урав-
нением х =0,05 sin (at. Определите смещение частицы, если фаза
колебания равна л/4.
21.16 . Уравнение гармонического колебания частицы имеет
вид х =1,2 sin n(2t/T +1 /4). Определите смещение частицы в мо-
менты времени tx = 0; t2 = 7Т/24; t3 = 117724.
21.17 . По условию задачи 21.16 определите координату час-
тицы в моменты времени tY = ПТ/24; t2 = 2Т; t3 = ST/8. Постро-
ить график х = f(t).
21.18 . Положение колеблющегося тела описывается форму-
лой х = 8 sincot. Определите смещение тела, если фаза колеба-
ний равна 30°.
21.19 . Определите амплитуду колебаний, если для фазы 45°
смещение частицы оказалось равным 10 см.
21.20 . По графику колебательного движения материальной
точки, приведенному на рис. 21.2, определите амплитуду, час-
тоту, период и начальную фазу колебания. Напишите уравне-
ние движения.
21.21 . Закон колебания материальной точки приведен в виде
графика (см. рис. 21.2). Определите смещение точки при t =
= 57712.
21.22 . Даны уравнения гармонических колебаний двух тел:
a)*! = 2sin0,5n(2t+l), х2 = 3sin(nt+l,57r);
б) Xi = sin(cot+n /2), х2 = cos cot.
Укажите, на сколько по фазе второе тело опережает или от-
стает от первого.
21.23 . По уравнениям колебаний двух тел определите на
сколько по фазе первое тело отстает или опережает второе:
ч • 3t+5 Л А 1А
a) Xj = ОД sinn--; х2 = 0,4cosl,5n t+— ;
2 13/
1
з Г
б) хх = 4sinl/4(cot + 7n); х2 = 0,02cosl/3(0,75cot-3n).
230
21.24 . Составьте уравнение гармонического колебания, если:
а) (О = л; при t, = 0 Xj = л/З; при t2 = Т/4 х2 = 1;
б) при tj = 1 Xj = О; при tz = 2 х2 = -Уз /2; при t3 = 3; х3 = -3/2.
21.25 . Составьте уравнение гармонического колебания, если:
а) А = 9 см, v = 20 Гц;
б) А = 5 м, v = 0,5 Гц, (р0 соответствует Т/8;
в) А = 1 м, Т = 6 с, ф0 = -л/4.
21.26 . Тело, плавающее на поверхности жидкости, погрузили
на глубину 10 см и отпустили. Оно стало совершать два колеба-
ния в секунду. Определите, за какое время тело проходит 5 см от
положения равновесия. Какое время понадобится на прохожде-
ние 5 см от точки максимального отклонения? Какое расстояние
тело пройдет за 10 с? Колебания считайте незатухающими.
21.27 . Маятник состоит из шарика, подвешенного на нити.
Под действием каких сил происходят его колебания? Куда на-
правлена возвращающая сила? В каких точках она максималь-
на? минимальна?
21.28 . Шарик, висящий на нити, совершает малые колеба-
ния около положения равновесия. Как изменяется в течение
одного периода скорость шарика? Можно ли назвать движение
шарика равнопеременным и почему?
21.29 . Свинцовый и алюминиевый шарики одинакового раз-
мера подвешены на нитях равной длины. Шарики отклоняют
на один и тот же малый угол и отпускают. Будут ли одинаковы
периоды их колебаний?
21.30 . Одновременно ли остановятся шарики (см. задачу 21.29)
и если нет, то какой из них раньше?
21.31 . В каком положении маятник имеет наибольшее и в
каком наименьшее значение ускорения и скорости?
21.32 . Определите возвращающую силу, действующую на
математический маятник массой 10 г при угле отклонения
его 45°.
21.33 . Определите массу маятника, если при угле отклоне-
ния 30° движущая сила равна 1 Н.
21.34 . На какой угол отклонили медный шарик диаметром
2 см, если на него действует возвращающая сила 0,183 Н?
21.35 . Почему часы с маятником показывают точное время
только на определенной географической широте?
21.36 . Маятник часов состоит из металлического стержня и
груза, который можно укрепить в любом месте стержня. Как из-
менится ход часов при понижении температуры воздуха? Как
восстановить точность хода?
231
21.37 . Как изменится период колебаний маятника при уве-
личении его длины в четыре раза?
21.38 . Как надо изменить длину маятника, чтобы часы на
Луне показывали правильное время?
21.39 . Определите периоды полных колебаний маятника дли-
ной 1 м в Москве (g = 9,816 м/с2), на полюсе (g = 9,832 м/с2), на
экваторе (g= 9,78 м/с2), на Луне (g = 1,63 м/с2).
21.40 . Маятник, установленный в Исаакиевском соборе в
Санкт-Петербурге, при длине 98 м делает 181,5 полных колеба-
ний за 1 ч. Определите по этим данным ускорение свободного
падения для Санкт-Петербурга.
21.41 . Как будут идти маятниковые часы: а) в равномерно
поднимающейся кабине лифта; б) в кабине лифта, свободно па-
дающей вниз? Какое значение имеет фаза колебаний, которая
была у маятника в момент начала падения?
21.42 . Шарик массой т подвешен на невесомой нерастяжимой
нити. Период его колебаний То. Помимо силы тяжести по верти-
кали на шарик действует сила F. Куда должна быть направлена
эта сила и чему она равна (по сравнению с силой тяжести шари-
ка), чтобы период колебаний был равен: а) Т = 2Т0; б) Т = 0,8 То“?
21.43 . Какой должна быть сила F (см. задачу 21.42), чтобы
колебания маятника прекратились?
21.44 . На шарик (см. задачу 21.42) действует горизонталь-
ная сила F. Чему должна быть равна эта сила (по сравнению с
силой тяжести шарика), чтобы период его колебаний был ра-
вен: а) Т = 0,946 То; б) Т = 0,8 То? В каком случае наступит поло-
жение равновесия? Сделайте чертеж.
21.45 . Маятник состоит из металлического шарика массой
10 г и шелковой нити. На шарик поместили заряд 10~6 Кл и
включили горизонтальное электрическое поле напряженностью
2 • 104 В/м. Как изменится характер колебаний маятника? Во
сколько раз изменится его период?
21.46 . Секундный маятник (маятник, у которого период про-
стого колебания равен 1 с) находится в вагоне, движущемся с ус-
корением а = 0,458 g. Определите период колебаний маятника.
21.47 . Маятник с периодом простого колебания 0,5 с нахо-
дится в кабине лифта, движущегося вниз с ускорением а =
= 0,19 g. Какова частота колебаний маятника?
21.48 . Груз закреплен на пружине так, как показано на
рис. 21.3. Заставим груз совершать колебания по вертикали.
При этом на него будут действовать сила упругости пружины и
сила тяжести. Будут ли колебания груза гармоническими? Ка-
ково влияние силы тяжести груза?
232
Рис. 21.3
21.49 . Один конец пружины жесткостью 50 Н/м
закреплен, на другом висит груз массой 1 кг. Опре-
делите частоту колебаний такого маятника.
21.50 . Период колебаний пружинного маятни-
ка 0,25 с. Чему равна жесткость пружины, если
масса груза 200 г?
21.51 . Тело массой 0,5 кг, укрепленное на пру-
жине, в покое растягивает ее на 1 см. Его смещают
на 3 см вниз и отпускают. После этого оно начинает
совершать гармонические колебания. Определи-
те амплитуду, циклическую частоту, период и на-
чальную фазу. Напишите уравнение колебаний.
21.52 . Тело массой 800 г, закрепленное на пружине жест-
костью 40 Н/м, совершает колебания так, как показано на
рис. 21.4. Амплитуда колебаний 2 см. Чему равна энергия ко-
лебаний? Определите максимальное значение скорости и ус-
корения. Трение не учитывайте.
21.53 . Движение тела массой 2 кг описывается уравнением
х = 0,8sin(jt£ + л/2). Определите энергию колеблющегося тела.
Как она зависит от начальной фазы?
21.54 . Груз массой 1 кг, висящий на пружине жесткостью
1000 Н/м, находится в ракете, летящей вверх с ускорением
а = 2g. После выключения двигателя груз начинает совершать
колебания. Чему равна энергия колеблющегося груза? Какова
скорость груза, когда он находится на расстоянии 0,5 см от
положения равновесия? Каковы при этом кинетическая и по-
тенциальная энергии груза? Напишите уравнение колебаний.
Считайте, что во все время полета ускорение свободного паде-
ния g не меняется.
21.55 . Уравнение движения точки имеет вид
t-02 ( t А
x = 6cos0^sinn—-—cosl л — -ОДл I.
Запишите уравнение в более удобном виде и по нему опреде-
лите амплитуду колебания, частоту, период, начальную фазу и
круговую частоту.
Рис. 21.4
233
21.56 . В ракете установлены пружинные и маятниковые
часы. Ракету запускают вертикально вверх и 30 с ракета летит
с ускорением av = g, после чего двигатели выключаются. За 980 м
от Земли ракета начинает тормозить и мягко опускается на
Землю. Каково расхождение в показаниях часов?
21.57 . Постройте графики гармонических колебаний, опи-
cot
сываемых уравнениями: 1) х = 2 sin cot; 2)х = 3sin—; 3) х = 2 х
2
х sin(cot + л).
21.58 . На рис. 21.5 даны графики пяти колебательных дви-
жений. Определите амплитуды колебаний II и V. Чему равна
амплитуда суммарного колебания? Сложить колебания II и V
графически.
21.59 . Сложите аналитически и графически колебания I, II
(см. рис. 21.5) и 1, V. Определите амплитуды результирующих
колебаний.
234
Рис. 21.7
21.60 . С помощью векторных диаграмм найдите амплитуду,
получающуюся при сложении колебаний (см. рис. 21.5): а) I и
IV; б) II, IV и V; в) I, III и IV.
21.61 . С помощью векторных диаграмм найдите сдвиг фаз
при сложении колебаний I, III и IV (см. рис. 21.5).
21.62 . С помощью векторных диаграмм найдите амплитуду
и фазу колебания, получащегося при вычитании колебаний IV
и У (см. рис. 21.5).
21.63 . Как движется частица, участвующая в волновом дви-
жении?
21.64 . На рис. 21.6 показана форма поперечной волны. Вол-
на распространяется вправо. Показать стрелками направление
скорости отдельных частиц.
21.65 . Определите направление распространения волны, изо-
браженной на рис. 21.7, а, б. Стрелками показаны направления
скорости частиц.
21.66 . От чего зависит скоростъ распространения попереч-
ной волны на границе двух жидких сред?
21.67 . На поверхности воды распространяется волна со ско-
ростью 3 м/с. Какова скорость частиц, находящихся на гребне
волны?
21.68 . На низких широтах на берегу океанов распространен
вид спорта «серфинг» — катание на доске на гребне волны. С ка-
кой скоростью волна несет человека, если при длине волны 25 м
колебания частиц поверхности происходят с периодом 1,5 с?
21.69 . Где скорость звука больше — в воздухе или в железе?
Может ли звук распространяться в вакууме?
21.70 . Иногда, открывая дверь, мы слышим скрип. Как объ-
яснить возникновение этого звука? Какова роль двери?
21.71 . Какие свойства среды определяют скорость звука?
Поясните на примере воздуха и воды.
21.72 . От чего зависит скорость распространения звука в
конкретной среде, например в воздухе?
235
21.73 . Почему прикладывают ухо к рельсам, когда хотят уз-
нать, приближается ли поезд?
21.74 . В Луну врезается метеорит. Через какое время чувст-
вительные приборы на Земле зафиксируют звук взрыва?
21.75 . Если поставить ножку колеблющегося камертона на
стол, то звук становится значительно громче. Почему?
21.76 . Звучащий камертон один раз просто держат в руке,
а другой — прислоняют ножкой к столу. В каком случае звук
прекратится быстрее и почему?
21.77 . Ухо человека имеет наибольшую чувствительность в
диапазоне 1,5-3 кГц. Определите длины волн для этого диапа-
зона, если скорость звука 340 м/с.
21.78 . Звук распространяется в воздухе со скоростью 330 м/с
при частоте колебаний 0,5 кГц. Определите расстояние между
двумя ближайшими точками, колеблющимися в одинаковых
фазах в направлении распространения звуковой волны.
21.79 . Если звуковые волны распространяются в среде со ско-
ростью 340 м/с при частоте 500 Гц, то с какой разностью фаз про-
исходят колебания двух частиц среды, расстояние между кото-
рыми 17 см? Частицы лежат на линии распространения волны.
21.80 . Если взять колпачок от авторучки и дуть около от-
крытого конца, то раздается свист. Объясните причину его воз-
никновения.
21.81 . Длина колпачка 5,5 см (см. условие задачи 21.80). Ка-
кова частота возникающего звука?
21.82 . Частота колебаний камертона 1,38 кГц. Чему равна
длина колеблющейся части камертона? Скорость звука 332 м/с.
21.83 . Как изменится частота звука, издаваемого камерто-
ном, при понижении температуры?
21.84 . Длина звуковой волны одной и той же частоты в воз-
духе в 4,25 раза меньше, чем в воде, и в 10,7 раз меньше, чем в
кирпиче. Определите скорость звука в воде и кирпиче. Ско-
рость звука в воздухе считайте равной 340 м/с.
21.85 . Как изменяется частота, период колебаний и длина
волны при переходе звука из воздуха в сталь. Скорость звука в
стали 5000 м/с.
21.86 . Определите глубину моря, если ответный сигнал эхо-
лота был принят через 1,6 с, а скорость звука в воде 1500 м/с.
21.87 . Для выявления дефектов в крупногабаритных изде-
лиях пользуются ультразвуком. На какой глубине обнаружен
дефект алюминиевой детали, если первый отраженный сигнал
получен через 8 • 10-6 с, а второй через 2 • 10-5 с? Какова высота
детали? Скорость звука в алюминии 510 м/с.
236
21.88 . Человек услышал раскаты грома через 9 с после вспыш-
ки молнии. Как далеко произошел разряд?
21.89 . Гроза прошла в 4,5 км от наблюдателя. Через какое
время после вспышки молнии будет слышен гром?
21.90 . Судно, изучающее рельеф дна океана, идет со скоро-
стью 36 км/ч. Какова ошибка (в процентах) измерения глуби-
ны, связанная с движением судна? Чему равна ошибка на глу-
бине 3000 м?
21.91 . В каких фазах колеблются точки между соседними
узлами стоячей волны? Переносят ли стоячие волны энергию?
21.92 . Определите длину стоячей волны и частоту колеба-
ний, если расстояние между первым и третьим узлами равно
0,8 м, а колебания распространяются со скоростью 336 м/с.
21.93 . Определите расстояние между соседними узлами
стоячей волны при скорости звука 342 м/с и частота колебаний
440 Гц.
§ 22. Переменный электрический ток
Основные понятия, законы и формулы
Переменным током называют электрический ток, периоди-
чески изменяющий свое направление в цепи таким образом,
что среднее его значение за период Т равно нулю.
Переменный электрический ток — колебательное движение
носителей заряда — электронов.
При вращении рамки в однородном магнитном поле на ее
концах возникает ЭДС индукции
e = c£m =sincoZ,
где е — мгновенное, a — максимальное, или амплитудное,
значение ЭДС; со — угловая скорость вращения рамки и круго-
вая частота переменной ЭДС. Запишем формулы для периода и
частоты:
Сопротивление R, в котором выделяется теплота при прохо-
ждении по нему тока, называют активным. Если замкнуть
рамку на нагрузку с активным сопротивлением, то по нему бу-
дет проходить переменный электрический ток, а на концах
появится переменное напряжение:
i = Im sincoi; и = Um sincoZ.
При этом и = Ш.
237
Переменный ток эквивалентен постоянному току такой же
мощности, тогда эффективные (действующие) значения напря-
жения и силы переменного тока определяются выражениями:
Цепь переменного тока, содержащая катушку индуктивно-
стью L, обладает индуктивным сопротивлением
XL
Цепь переменного тока, содержащая конденсатор емкостью
С, обладает емкостным сопротивлением
Величины XL и Хс называют реактивными сопротивлениями.
Для последовательно соединенных конденсатора, резистора
и катушки индуктивности реактивное сопротивление
x = xL-xc,
а общее сопротивление
Z = ^R2 +(Х£-ХС)2.
Связь между Z, R и X графически изображается треугольни-
ком сопротивлений (рис. 33), т.е. находится геометрическим
сложением. На рисунке <р — сдвиг фазы напряжения относи-
тельно тока.
Используя амплитудные или действующие значения, мож-
но записать закон Ома для переменного тока:
C/m = /mZ;C7 = ZZ.
При наличии в цепи реактивного сопротивления напряжение
не совпадает по фазе с током. Если начальную фазу тока принять
за нуль, то напряжение на индуктивном сопротивлении опере-
жает ток на л/2, а напряжение на емкостном сопротивлении
отстает от тока на л/2, и только на активном сопротивлении ко-
лебания тока и напряжения происходят в одинаковой фазе.
Поэтому переменные токи и напряжения нельзя суммировать
алгебраически, как в случае с постоянным током. Сложение
производится с помощью векторных диаграмм, на которых зна-
чения ЭДС, напряжения и силы тока изображаются векторами,
выходящими из нуля под углом к оси абсцисс, равным началь-
ной фазе.
238
Средняя мощность, выделяемая в цепи переменного тока,
определяется по формуле
Р = ImUm cog= шcos
В электротехнике вводят понятие активной, реактивной и
полной мощности. Активная мощность Р связана с превраще-
нием электрической энергии в теплоту:
Р = PR.
Единица активной мощности — ватт (Вт).
Реактивная мощность
Q = PXlhjihQ = PXc.
Единица реактивной мощности — вольт-ампер реактивный
(вар).
Полная мощность
S = PZ
связана с Р и Q треугольником мощностей (рис. 34). Единица
полной мощности — вольт-ампер (В • А).
Активная мощность есть средняя мощность, выделяемая в
цепи. Реактивная мощность связана с передачей энергии от ге-
нератора в цепь и обратно (накапливается в катушках и кон-
денсаторах). В среднем за период реактивная мощность равна
нулю.
Активную, реактивную и полную мощности можно выразить
через действующие значения тока и напряжения всей цепи:
Р = /L7cos<p ; Q = IU sintp; S = IU.
Здесь coscp — коэффициент мощности. Его можно найти как
отношение активного сопротивления к полному или активной
мощности к полной:
Я Р
239
Примеры решения задач
Пример 102. К генератору переменного тока последователь-
но подключили нагрузку с активным сопротивлением 20 Ом,
катушку индуктивностью 0,0398 Гн и конденсатор емкостью
159 мкФ. Определите напряжение на данных участках и на
всей цепи. Чему равен сдвиг фаз напряжения и тока? Найдите
полное сопротивление цепи. Что произойдет при равенстве ем-
костного и индуктивного сопротивлений? Частота переменного
тока 100 Гц, сила тока 2 А. Постройте векторную диаграмму.
Д а н о: R = 20 Ом — активное сопротивление; L = 0,0398 Гн =
= 3,98 • 10~2 Гн — индуктивность катушки; С = 159 мкФ =
= 1,59- 10~4Ф— емкость конденсатора; v = 100 Гц — частотапе-
ременного тока; I = 2А — действующее значение силы тока.
Найти: UR, UL, Uc, U — соответственно напряжения на со-
противлении, катушке индуктивности, конденсаторе и на всей
цепи; (р — сдвиг фаз между напряжением и током в цепи; Z —
полное сопротивление цепи.
Решение. Сопротивления катушки индуктивности и кон-
денсатора найдем по формулам XL = (oL, Хс = 1/соС.
Полное сопротивление цепи
Z = -J R2 +(Х L — X с)2 = yjR2 +(coL-l/<oC)2.
При последовательном соединении через все элементы цепи
проходит одинаковый ток, а напряжение во всей цепи есть сум-
ма напряжений на отдельных участках. Напряжение на актив-
ном сопротивлении
Ur = IR
и совпадает по фазе с током. Напряжение на катушке индук-
тивности
UL = ImL
опережает ток на л/2. Напряжение на конденсаторе
ис = 1/((»С)
отстает на л/2 от тока.
Полное напряжение найдем с помощью векторной диаграм-
мы. Для этого выберем на плоскости нулевую точку и проведем
из нее горизонтальный вектор — линию токов, относительно
которой будем строить векторы напряжения (рис. 35, а).
Вектор напряжения UR на активном сопротивлении откла-
дываем от нуля вдоль оси токов, так как сдвиг фаз для него ра-
вен нулю.
240
Рис. 35
Построим вектор напряжения UL на катушке индуктивно-
сти. Угол обычно отсчитывают против часовой стрелки, поэто-
му вектор напряжения отложим от нуля перпендикулярно оси
токов вверх.
Вектор напряжения Uc на конденсаторе откладываем от нуля
вниз, перпендикулярно относительно оси токов.
Геометрическая сумма трех векторов даст полное напряжение
в цепи. Сначала следует сложить векторы, направленные по вер-
тикали, в результате чего получится треугольник напряжений
(рис. 35, б), из которого легко найти напряжение и сдвиг фаз:
HX=HL-17C;
Uo6^U = -fi/2+U2x = I^R2 +(<0L-1/wC)2;
ioL-1/ioC Ux
Если a>L = 1/(£>C, то реактивное сопротивление равно нулю.
Это явление происходит при угловой частоте со = <в0, определяе-
мой C0q =1/(1/С). При этом сопротивление цепи минимально и
равно активному: Z = R, а сила тока приобретает максимальное
значение. Такое явление называют резонансом напряжений,
а соо — резонансной угловой частотой.
Вычислим:
UR = 2А-20 Ом=40В;
UL =2А-2л 100с 1-0,0398Гн = 50В;
Uc = 2А/(2л 100с 1 15910-4Ф) = 20В;
U = 7(40В)2 +(30В)2 = 50В;
xL -хс =2л-100с-1-0,398Гн-(2л-100с-1-1,59-10-4ф)-1 =
= 15Ом;
tg<p = = 0,75; ср = 36°52';
20 Ом
Z = Jr2 +(Xl-Xc)2 =у = ^ = 25 Ом.
1
241
Рис. 36
Ответ. Напряжение на активном сопротивлении, катушке
и конденсаторе соответственно равно 40, 50, 20 В, полное на-
пряжение 50 В; сдвиг фаз 36°52'; полное сопротивление 25 Ом;
при равенстве индуктивного и емкостного сопротивлений на-
ступает резонанс.
Пример 103. К генератору, дающему переменное напряже-
ние 80 В при частоте 20 Гц, подключены параллельно соединен-
ные катушка индуктивности и конденсатор емкостью 750 мкФ.
Катушка имеет активное сопротивление 1 Ом и индуктивность
0,1 Гн (см. рис. 36, а).
Определите силу тока в разветвлении и полную силу тока в
цепи. При каких условиях наступает резонанс в контуре? Най-
дите сопротивление цепи при резонансе, если co2L2 » R2.
Д а н о: U = 80 В — напряжение в цепи; v = 20 Гц — частота;
С = 750 мкФ = 7,5 • 10-4 Ф — емкость конденсатора; L = 0,1 Гн,
R = 1 Ом — индуктивность и сопротивление катушки.
Н а й т и: Ic, IL, I — соответственно силы токов в ветвях и во
всей цепи; условие резонанса; Z — сопротивление контура при
резонансе.
Решение. Рассмотрим сначала ветвь с индуктивностью. По-
строим для нее векторную диаграмму (рис. 36, б) и найдем U и <р£:
=U^iJr2 +^L2-, tg<p£ =~.
При параллельном соединении (см. рис. 36, а) на каждой вет-
ви одно и то же напряжение U, а сила тока I равна сумме сил то-
ков в параллельных ветвях. Токи в параллельных ветвях имеют
разные фазы, следовательно, суммировать их надо с помощью
векторных диаграмм. Проведем ось напряжений (рис. 37, а).
Сила тока в ветви с индуктивностью
, и
Jr2 +o)2l2
и отстает от напряжения на ф£.
242
Сила тока, проходящего через конденсатор,
Ic -U(f>C
и опережает напряжение на л/2.
Результатом сложения этих двух векторов является 1^ — 1 —
вектор, повернутый от оси напряжений на угол <р; I можно оп-
ределить по теореме косинусов:
I1 2 ^I2L+Il-2ILIr cosa.
Из тригонометрии известно, что
tgq>L _ ыЬ
+ tg2<pt у/R2 +oa2L2
sin<p£ =
wL
так как tg<p L = —,
R
1 R
СОБфг = . ----= —j=
71 + tg2<pL -Л?2 +<o2L2
Таккака = 7г/2-<р£, то cosa = sii^£. Таким образом,
I2 =I2 +I2 -2IlIc . WL
c Jr2 +(»2l2
Угол ф определим из равенства проекций I и IL на ось напря-
жений:
Icos<p = IL совф^; совф =—совф£.
Геометрическое сложение векторов часто бывает удобнее
производить по-другому. Из начала координат проводят не все
векторы, а только первый. Каждый последующий строится из
конца предыдущего. А результат равен вектору, идущему из
начала первого в конец последнего вектора. Для нашей задачи
такое построение дает треугольник токов (рис. 37, б), а вычис-
ления остаются прежними.
243
Если в цепи изменять какой-нибудь из параметров со, С, L, то
будет изменяться полный ток и сдвиг фаз ф. При некотором со-
отношении между со, С и L сдвиг фаз окажется равным нулю
(рис. 37, в). При этом ток I будет минимальным, а следователь-
но, сопротивление контура, которое становится чисто актив-
ным, увеличивается. Такое явление носит название резонанса
токов. Условие резонанса найдем из рис. 37, в:
1с = IL sincpf
Подставив сюда выражения для Ic, IL, втф£, получим
!7соС =
U wL
-Jr2 +aa2L2 -JR2 +o2L2
В катушках индуктивности обычно индуктивное сопротив-
ление гораздо больше активного coL > R, тем более со2!»2 > R2. От-
брасывая в последнем равенстве R2 и производя сокращения,
получаем условие резонанса токов
и2 =со2 =1/(ZC).
Найдем сопротивление контура. Из рис. 37, в следует
I = 1, cos ф, = , = . =.
y]R2 +a>20L2 -JR2 +(й2оь2
Учитывая со2!»2 > R2, получаем
UR URC „ L
„ „ =----, отсюда Z --
coU L RC
Вычислим:
II
___________80В______________
д/(1 Ом)2 +(2л-20с-1 0,1Гн)2
= 6,35 А;
1С = 80В-2л 20с* 1-7,5 10-4Ф = 7,54А;
2л-20с 1 0,1Гн
cos а = ...... ..= = 0,997;
7(1 Ом)2 +(2л-20с1 0,1Гн)2
I = 7(6,35А)2 +(7,54А)2 -2 6,35А 7,54А 0,997 =1,28А.
1
Резонансная частота
vp = —=-------- =18,4 Гц.
2л 71/0 2л70,1Гн-7,5 10-4Ф
244
Полное сопротивление
0,1 Гн
1 Ом-7,5 10"4Ф
= 133 Ом.
Ответ. Силы тока, текущего через катушку и конденсатор,
соответственно равны 6,35 и 7,54 А; полный ток 1,28 А; резо-
нанс возникнет при частоте 18,4 Гц, при этом сопротивление
контура будет 133 Ом.
Пример 104. В городскую электрическую сеть напряжением
220 В включены последовательно электрическая лампочка, рас-
считанная на напряжение 240 В, мощностью 200 Вт, катушка
индуктивностью 0,15 Гн и конденсатор. Какова емкость конден-
сатора, если активная мощность, выделяемая в цепи, равна по-
ловине полной мощности? Найдите силу тока, напряжения на
участках цепи, активную, реактивную и полную мощности, ко-
эффициент мощности.
Д а н о: U = 220 В — напряжение сети; v = 50 Гц — частота
переменного тока; С7Л = 240 В, Рл = 200 Вт — соответственно но-
минальные напряжение и мощность лампочки; L = 0,15 Гн —
индуктивность катушки; Р = 0.5S — соотношение между ак-
тивной и полной мощностью.
Н а й т и: С — емкость конденсатора; I —силу тока в цепи;
UR, UL, Uc — напряжения соответственно на лампочке, катуш-
ке индуктивности и конденсаторе; Р, Q, S — активную, реак-
тивную и полную мощности; coscp — коэффициент мощности.
Решение. Зная, что Рл = [7Л / R, определим сопротивление
лампочки:
U2
R = —L
Рл
240В
200 Вт
= 288 Ом.
Коэффициент мощности определим из соотношения Р = 0.5S:
cos (р — P/S = 0,5S/S = 0,5.
Для определения емкости конденсатора необходимо найти
индуктивное и емкостное сопротивления:
XL =2iwL; XL = 2л-50Гц-0Д5Гн = 47Д Ом.
R/Z = P/S-,R = 0,5Z = 0,5д/Р2 +(XC-XL)2.
После возведения в квадрат получим 47?2 = R2 +(ХС -XL )2;
37?2 = (XC-XL)2. Тогда
Хс =R^3+Xl;Xc =288 Омл/з+47,1 Ом = 546 Ом;
С =--------------= 5,83•10-6Ф = 5,83 мкФ.
2л -50 Гц -546 Ом
245
Полное сопротивление
Z = 7(288 Ом)2 +(546 Ом-47,1 Ом)2 = 576 Ом.
Сила тока в цепи
Z
220В
576 Ом
= 0,38 А.
Напряжение на всех элементах цепи найдем по формулам:
С7Л=П?; Uc =IXC;UL =IXL;
UR =0,38Л -288 Ом= 109,4В;
Uс =0,38Л 546 Ом= 207,5В;
UL = 0,38А 47,1 Ом=17,9В.
Найдем мощности:
полную S = IU; S = 0,38 А220 В = 83,6 В • А;
активную Р = 0,5S; Р = 41,8 Вт;
реактивную
Q-Ssinip = S^l-cos2 ф = — S;
2
л/З
Q = -^--83,6BA = 72,4 вар.
Ответ. Емкость конденсатора 5,83 мкФ, сила тока в цепи
0,38 А, напряжения на лампе, катушке индуктивности, кон-
денсаторе соответственно равны 109,4; 17,9 и 207,5 В; актив-
ная, реактивная и полная мощности соответственно равны
41,8 Вт, 72,4 вар и 83,6 В • А; коэффициент мощности 0,5.
22.1. Стандартная частота переменного тока, принятая в
России, равна 50 Гц. Определите период колебаний. Сколь-
ко раз в секунду меняется направление движения носителей
зарядов?
22.2. Амперметр, включенный в цепь переменного тока, по-
казывает 3 А. Чему равно амплитудное значение силы тока?
22.3. Пробойное напряжение конденсатора 250 В. Можно ли
включить его в городскую сеть напряжением 220 В?
22.4. Электродвижущая сила в цепи переменного тока изме-
няется по формуле е = 250 sin 100 nt. Определите действующее
значение ЭДС и круговую частоту.
22.5. Зависимость силы переменного тока от времени опре-
деляется уравнением i = 90 sin (314t + тг/4). Определите дейст-
вующее значение силы тока, фазу, начальную фазу и частоту.
246
22.6. Мгновенное значение напряжения определяется форму-
лой и — 179 sin tot. Определите мгновенные значения напряже-
ния для следующих моментов времени; О; 0,0025; 0,005; 5/6;
4/3; 0,015; 0,0175 и 0,02 с. Частота переменного тока 50 Гц.
22.7. Мгновенное значение силы тока через % периода равно
2,6 А. Какой будет сила тока при фазе: а) 1,5л; б) 13л/6?
22.8. Проволочная рамка равномерно вращается в однород-
ном магнитном поле относительно оси, перпендикулярной ли-
ниям магнитной индукции. При каком положении рамки ЭДС
индукции будет равна: а) нулю; б) амплитудному значению?
22.9. Прямоугольная рамка длиной 10 см и шириной 5 см
равномерно вращается в однородном магнитном поле с индук-
цией 0,02 Тл. Скорость вращения рамки 2865 об/ч. Определите
амплитуду ЭДС индукции, возникающей в рамке.
22.10. В однородном магнитном поле равномерно вращается
прямоугольная металлическая рамка длиной 12 см и шириной
4 см. Как изменится ЭДС индукции в рамке, если, не меняя ско-
рость вращения, деформировать рамку так, что длина станет
4 см, а ширина 12 см?
22.11. Прямоугольная рамка вращается в однородном маг-
нитном поле с неизменной скоростью относительно оси, перпен-
дикулярной линиям магнитной индукции. Длина ее I = 14 см и
ширина d = 6 см. Как изменится ЭДС индукции, возникающая в
рамке, если ее деформировать следующим образом: а) I = 16 см,
d = 4 см; б) Z = 10 см, d = 10 см; в) I = 8 см, d = 12 см.
22.12. Из скольких витков состоит рамка площадью 367 см2,
равномерно вращающаяся в однородном магнитном поле с ин-
дукцией 0,115 Тл, если вольтметр, подключенный к ее концам,
показывает 90 В? Период вращения рамки 2,5 102 с.
22.13. Рамка, состоящая из 15 витков площадью 200 см2, рав-
номерно вращается в однородном магнитном поле со скоростью
10 об/с. Когда рамка находится под углом 30° к направлению маг-
нитного поля, ЭДС индукции, возни-
кающая в рамке, равна 0,75 В. Чему
равна индукция магнитного поля?
22.14. Деревянная рамка площа-
дью 150 см2 с намотанными на нее
десятью витками проволоки равно-
мерно вращается в однородном маг-
нитном поле с индукцией 0,05 Тл.
Положение рамки при t = 0 показано
на рис. 22.1. Частота получаемого
переменного тока 10 Гц. Определите
247
амплитуду, круговую частоту, период и начальную фазу ЭДС ин-
дукции. Напишите уравнение для мгновенного значения ЭДС.
22.15. Проводник индуктивностью 2,55 • 10-3 Гн переключи-
ли из сети частотой 50 Гц в сеть частотой 300 Гц. Изменилось ли
его сопротивление? Если изменилось, то во сколько раз? Чему
равно его сопротивление в цепи постоянного тока?
22.16. Катушка индуктивностью 8,42 • 10-3 Гн имеет актив-
ное сопротивление 3 Ом. Чему равно сопротивление этой ка-
тушки в цепи переменного тока частотой 50 Гц и в цепи посто-
янного тока?
22.17. При включении катушки индуктивностью 0,3 Гн в
цепь постоянного тока напряжением 24 В в ней устанавливает-
ся сила тока 0,2 А. Определите полное сопротивление этой ка-
тушки при включении ее в цепь переменного тока частотой
50 Гц.
22.18. Каким будет сопротивление конденсатора емкостью
100 пФ в цепи постоянного тока?
22.19. Определите сопротивление конденсатора емкостью
100 мкФ, включенного в сеть переменного тока частотой 50 и
3000 Гц.
22.20. В цепи переменного тока частотой 400 Гц последова-
тельно включены: катушка индуктивностью 0,15 Гн, резистор
сопротивлением 500 Ом и конденсатор емкостью 2 мкФ. Опре-
делите полное сопротивление цепи.
22.21. Определите полное сопротивление цепи, включенной
в городскую электрическую сеть. Цепь состоит из последова-
тельно соединенных двух конденсаторов, емкость которых 500
и 1000 мкФ, и катушки с активным сопротивлением 10 Ом и
индуктивностью 0,08 Гн.
22.22. Конденсатор емкостью 530 мкФ и последовательно со-
единенный с ним реостат сопротивлением 5 Ом подключены к
сети напряжением 220 В и частотой 50 Гц. Определите силу
тока, проходящего через реостат.
22.23. В сеть переменного тока напряжением 220 В и часто-
той 50 Гц включен конденсатор. Амплитудное значение силы
тока в цепи 4,89 А. Какова емкость конденсатора?
22.24. Катушка индуктивностью 0,2 Гн включена в цепь пе-
ременного тока частотой 100 Гц. Сила тока в катушке 1,01 А.
Чему равно напряжение на катушке? Каково амплитудное зна-
чение напряжения?
22.25. На конденсатор переменной емкости и на соединен-
ную с ним последовательно катушку с сердечником подано на-
пряжение 80 В. Сила тока в цепи оказалась 4 А. Определите
248
напряжение на элементах цепи, если при уменьшении емкости
конденсатора и индуктивности катушки в два раза сила тока
увеличивается до 20 А. Чему равна частота, если первоначаль-
ная индуктивность была 1,91 • 10-2 Гн?
22.26. В цепи переменного тока имеется резистор. Изобрази-
те амплитудное значение напряжения на резисторе векторной
диаграммой, взяв за основу линию токов. Постройте графики
тока и напряжения.
22.27. Начертите векторную диаграмму напряжений, если в
цепь переменного тока включен: а) конденсатор; б) соленоид.
Начертите графики токов и напряжений.
22.28. Начертите векторную диаграмму напряжений для
участка цепи переменного тока частотой 50 Гц, состоящей из
последовательно соединенных элементов: а) С = 1,33 • 103 мкФ,
R = 2,4 Ом; б) L = 3,18 • 10 2 Гн, R = 17,3 Ом.
22.29. Начертите графики напряжений и тока на элементах
цепи (см. задачу 22.28).
22.30. Начертите векторные диаграммы напряжений для слу-
чая последовательно соединенных: a) L = 0,03 Гн, С = 2 • 10“4 Ф;
б) L = 4,95 • 10-2 Гн, С = 398 мкФ, R = 7,55 Ом. Частота переменно-
го напряжения 50 Гц.
22.31. Начертите графики напряжений на элементах цепи
переменного тока по условию задачи 22.30.
22.32. Докажите с помощью векторных диаграмм формулу
для реактивного сопротивления участка цепи, состоящего из
конденсатора и катушки индуктивности.
22.33. С помощью векторных диаграмм докажите формулу
для полного сопротивления последовательно соединенных R, С
и L переменному току.
22.34. В цепь переменного тока напряжением 120 В и часто-
той 50 Гц последовательно включены: a) R = 60 Ом, L = 0,255 Гн;
б) R = 3,8 Ом, С = 2,27 • 10"3 Ф; в) L = 0,0764 Гн, С = 398 мкФ. Оп-
ределите полное сопротивление цепи, силу тока в ней, напряже-
ние на участках цепи. Постройте векторные диаграммы.
22.35. Переменное напряжение 220 В частотой 50 Гц подано
на последовательно соединенные элементы: a) R = 5 Ом, L =
= 0,135 Гн, С = 75 мкФ; б) JR = 30 Ом, L = 0,2 Гн, С = 97 мкФ. Оп-
ределите полное сопротивление, силу тока и напряжения на
участках цепи. Постройте векторные диаграммы.
22.36. К генератору переменного напряжения 36 В (рис. 22.2)
параллельно присоединены следующие элементы: a) R = 3 Ом,
XL = 4 Ом; б) R = 1 Ом, Хс = 2 Ом; в) Хс = 2 Ом, XL = 4 Ом. Частота
переменного тока 50 Гц, Определите силу тока в ветвях и в
249
неразветвленной части цепи. Определите совф. Постройте век-
торные диаграммы.
22.37. Определите силу тока в разветвлениях и в общей час-
ти цепи (см. задачу 22.36): a) R = 6 Ом, XL = 3 Ом; Хс = 3 Ом;
б) R = 9 Ом, XL = 10 Ом, Хс = 4,8 Ом; в) R = 4 Ом, XL = 2 Ом, Хс =
= 6 Ом. Определите совф. Постройте векторные диаграммы. Все
элементы соединены параллельно.
22.38. Реостат и соленоид с сердечником включены в цепь пе-
ременного тока частотой 50 Гц. Суммарное напряжение сдвину-
то по фазе относительно тока на 30°. Сопротивление увеличили
на 100 Ом. Как надо изменить индуктивность соленоида, чтобы
сдвиг фаз не изменился? Каково напряжение сети, если на соле-
ноиде, напряжение 60 В?
22.39. К генератору переменного тока частотой 40 Гц и на-
пряжением 60 В подключили последовательно резистор и катуш-
ку индуктивности с ничтожно малым активным сопротивлени-
ем. Сила тока в цепи 3 А, а разность фаз между напряжением и то-
ком 30°. Определите сопротивление резистора и индуктивность
катушки.
22.40. Реостат сопротивлением 8 Ом соединен последова-
тельно с конденсатором емкостью 398 мкФ и катушкой индук-
тивностью 0,0383 Гн. Частота переменного тока 50 Гц. Опреде-
лите напряжение на участках и во всей цепи; сдвиг фаз между
током и напряжением. Сила тока в цепи 4 А. Начертите вектор-
ную диаграмму.
22.41. В цепь частотой 50 Гц включена катушка индуктив-
ностью 0,00636 Гн. Конденсатор какой емкости надо включить
в цепь, чтобы возник резонанс?
22.42. С какой целью генераторы для гидроэлектростанций
делают многополюсными?
22.43. Ротор гидрогенератора совершает 150 об/мин. Сколь-
ко пар магнитных полюсов должен иметь ротор генератора,
чтобы вырабатываемый им ток имел частоту 50 Гц?
22.44. Определите частоту переменного тока, при которой
наступит резонанс в цепи, изображенной на рис. 22.3, если
емкость конденсатора 2,5 • 10-й Ф, а индуктивность катушки
0,1 Гн.
22.45. Первичную обмотку трансформатора включили в цепь
постоянного напряжения. Загорится ли лампочка, подключен-
ная ко вторичной обмотке?
22.46. Первичная обмотка трансформатора включена в сеть
переменного тока, а вторичная разомкнута. Потребляет ли при
этом трансформатор электроэнергию из сети?
250
—о ~ о-
Рис. 22.3
22.47. Во вторичной обмотке трансформатора накоротко
замкнули два соседних витка. Что при этом может произойти?
22.48. При включении трансформатора в сеть переменного
тока напряжением 230 В во вторичной обмотке возникла ЭДС
индукции 110 В. Чему равен коэффициент трансформации?
22.49. Коэффициент трансформации 10. Во сколько раз чис-
ло витков одной обмотки трансформатора больше числа витков
второй обмотки?
22.50. Во вторичной обмотке трансформатора, содержащей
1900 витков, возникает ЭДС 600 В. Сколько витков содержит
первичная обмотка, если трансформатор подключен к сети на-
пряжением 220 В?
22.51. Трансформатор включен в сеть напряжением 120 В.
Первичная обмотка его содержит 300 витков. Сколько витков
должна иметь вторичная обмотка, чтобы напряжение на ее кон-
цах было 6,4 В?
22.52. На участок цепи, содержащий катушку индуктивно-
стью 0,1 Гн и конденсатор емкостью 20 мкФ, подано напряже-
ние 60 В частотой 50 Гц. Какова средняя мощность, выделяемая
в цепи за период? Чему равны реактивная и полная мощности?
22.53. Переменный ток течет через последовательно соеди-
ненные резистор, конденсатор и катушку, сопротивления кото-
рых 2, 3 и 5,67 Ом. Определите активную, реактивную и пол-
ную мощности, если сила тока 6 А. Чему равен коэффициент
мощности? Каково напряжение, поданное в цепь?
22.54. В последовательно соединенной цепи действует пере-
менное напряжение 90 В при силе тока 2 А. Цепь состоит из
конденсатора, катушки и резистора. Коэффициент мощности
0,6. Чему равны активная и реактивная мощности? Каковы со-
противления элементов цепи, если сопротивление конденсато-
ра в два раза больше, чем сопротивление катушки?
22.55. Источник переменного напряжения и = 180 sin coi
замкнут на неразветвленную цепь, содержащую активное и
251
реактивное сопротивления. Реак-
тивные сопротивления XL = 8 Ом,
Хс =12 Ом. Определите коэффи-
циент мощности, активную и ре-
активную мощности, если сила то-
ка в цепи 3 А.
22.56. Переменное напряжение
100 В подано на параллельно со-
единенные резистор и конденсатор
сопротивлением 50 и 55 Ом соот-
ветственно. Определите полную, активную и реактивную мощ-
ности. Чему равен коэффициент мощности?
22.57. К источнику переменного напряжения 60 В частотой
50 Гц параллельно присоединены сопротивление 15 Ом и катуш-
ка индуктивности с пренебрежимо малым активным сопротив-
лением. Полная мощность в цепи 648 В • А. Найти индуктив-
ность катушки. Каковы активная и реактивная мощности?
22.58. Через катушку и резистор, соединенные параллель-
но, течет переменный ток. Напряжение на катушке 120 В, сила
тока в резисторе 2 А, а в общей цепи 3,5 А. Найдите сопротивле-
ние резистора и катушки. Определите активную, реактивную,
полную мощности и коэффициент мощности.
22.59. Катушка, конденсатор и резистор соединены так, как
показано на рис. 22.4. Напряжение источника 40 В. Определи-
те коэффициент мощности, полную, активную и реактивную
мощности, если: a) XL =15 Ом; Хс = 15 Ом; R = 10 Ом; б) XL =
= 8 Ом; Хс = 18 Ом; R =13,3 Ом.
22.60. В сеть переменного напряжения 220 В включены па-
раллельно конденсатор, катушка и резистор. Их сопротивления
соответственно 8, 12 и 6 Ом. Определите коэффициент мощно-
сти, активную и реактивную мощности.
22.61. В двух параллельно соединенных ветвях мощность пе-
ременного тока 200 вар и 346 Вт. Сила тока в общей части цепи
8 А. Чему равно сопротивление ветвей, коэффициент мощности
и полная мощность? Каково общее сопротивление?
§ 23. Электромагнитные колебания и волны
Основные понятия и формулы
Всякое переменное магнитное поле индуцирует вихревое элек-
трическое поле. В свою очередь, переменное во времени электри-
ческое поле порождает вихревое магнитное поле. Такой процесс
252
непрерывного превращения энергии
электрического поля в энергию маг-
нитного поля и обратно осуществ-
ляется в колебательном контуре —
электрической цепи, в которой име-
ется катушка индуктивности и кон-
денсатор (рис. 38). Активное сопро-
тивление колебательного контура
должно быть небольшим, иначе энер-
гия электромагнитного поля будет
превращаться в теплоту и колебания быстро прекратятся. При
этих условиях период собственных электромагнитных колеба-
ний равен ___
Т = 2пу[ьС,
а частота
v =1/Т=1/(2л7Ес).
В реальном колебательном контуре, для которого активное
сопротивление R не равно нулю, свободные электромагнитные
колебания являются затухающими. Для этого случая период и
частота колебаний определяются формулами:
„ 2л 1 Г1 R2
Т = , =; v = — J------
Г1 2л V LC 4L2
\LC~4l7
Открытый колебательный контур излучает волны длиной
к=сТ или k-c/v,
где с — скорость электромагнитных волн, равная скорости све-
та в вакууме.
Зависимость скорости распространения электромагнитных
волн от среды имеет вид
С I— с
— = J[1£, откуда v - —f=,
и л/Не
где v — скорость распространения электромагнитных волн в
среде; ц и е — соответственно магнитная и диэлектрическая
проницаемость среды. Так как магнитные проницаемости всех
диа- и парамагнитных сред незначительно отличаются от еди-
ницы, то можно считать, что
с
V = ~j=.
л/е
При пользовании этой формулой необходимо учесть, что из-
вестные из раздела электростатики значения Е не всегда можно
253
использовать, так как на диэлектрическую проницаемость влия-
ет частота колебаний.
Примеры решения задач
Пример 105. Колебательный контур состоит из катушки ин-
дуктивностью 20 мкГн и конденсатора, емкость которого можно
изменять от 2 • 10"8 до 10-8 Ф. На какие длины волн рассчитан
контур? Определите диапазон частот данного контура.
Д а н о: L = 2 • 10“5 Гн — индуктивность катушки Сх = 2
• 10 8 Ф — максимальная емкость конденсатора; С2 = Ю 8 Ф —
минимальная емкость конденсатора; из таблиц: с — 3 • 108 м/с —
скорость света в вакууме.
Н а й т и: и А,2 — максимальную и минимальную длины
волн; Vj и v2 — граничные частоты колебательного контура.
Решение. Длины волн лежат в интервале от — сТг при
емкости С?! до Л,2 = сТ2 при емкости С2.
Период колебаний контура определим по формулам:
7i = 2пд/ЬС1; Т2 - 2n^LC2 ;
= 2 ЗД4д/2 Ю^Гн-г-Ю^Ф =3,97 10-®с;
Т2 = 2-ЗД4Л/210"5Гн10-8Ф = 2,81 НТ6 с.
Тогда длины волн будут равны:
= 3 • 108 м/с • 3,97 • 10"6 с = 1191 м;
Х2 = 3 • 108 м/с • 2,81 • 10 в = 843 м.
Зная периоды, можно определить частоты:
vi =1/T1;v2 =1/Т2;
Vj =252 кГц; v2 =356кГц.
Ответ. Данный колебательный контур может работать в
диапазоне длин волн 843—1191 м на частотах 252-356 кГц.
Пример 106. В колебательном контуре максимальное напря-
жение на конденсаторе 120 В. Определите максимальную силу
тока, если индуктивность катушки 0,005 Гн, а емкость конден-
сатора 10-5 Ф. Считайте, что активное сопротивление пренебре-
жимо мало.
Дано: Um = 120 В — максимальное напряжение на конден-
саторе; L = 0,005 Гн — индуктивность катушки; С = 10~5 Ф —
емкость конденсатора.
Н а й т и: Im — максимальную силу тока.
254
Решение. Задачу можно решить двумя способами.
1 й способ. При резонансе сопротивление контура минималь-
ное, а сила тока максимальная. При этом резонансная частота
(00 =i/4lc-, 1тС =ит /хс-,хс =1/((OOC)=7Z7C;
1тС=ит/4ь7с=итУ1с7ь.
Рассуждая подобным образом, приходим к выводу, что и в
катушке индуктивности силу тока можно определить по такой
же формуле.
Вычислим:
| 10~5Ф
1тС = 120 Bl =5,37 А; 1тС =1т.
у 5 10 Гн
2-й способ. По закону сохранения н превращения энергии
максимальная энергия магнитного поля должна равняться мак-
симальной энергии электрического поля:
LI*m/2=CUzm /2;
отсюда
Im =Um^cjL.
Сравнивая оба решения, можно заметить, что второй способ
значительно проще.
О т в е т. В отсутствие активного сопротивления максималь-
ная сила тока в контуре равна 5,37 А.
23.1. Что произойдет с частотой колебаний в контуре, если
уменьшить емкость с помощью переменного конденсатора?
23.2. Повлияет ли на период электромагнитных колебаний,
возникающих в колебательном контуре, введение сердечника
и з ферромагнитного материала внутрь катушки?
23.3. Передатчик работает на частоте 600 кГц. Какой длине
волны соответствует эта частота?
23.4. Колебательный контур состоит из конденсатора емко-
стью 200 пФ и катушки индуктивностью 20 мГн. Какова часто-
та и период собственных колебаний контура?
23.5. Когда автомобиль въезжает в тоннель, звук радиопри-
емника либо ослабевает, либо исчезает совсем. Почему?
23.6. Ионосфера отражает радиоволны. Как же осуществля-
ется радиосвязь с космическими кораблями?
23.7. Колебательный контур состоит из конденсатора, ем-
кость которого меняется от 10 “9 Ф до 40 пФ, и катушки индук-
тивностью 2 мГн. На какие длины волн рассчитан контур?
255
23.8. Колебательный контур состоит из катушки индуктив-
ностью 0,01 мГн и конденсатора емкостью 10-9 Ф. На какую
длину волны настроен контур? Какой частоте соответствует
данная длина волны?
23.9. Колебательный контур излучает электромагнитные
колебания с длиной волны 500 м. Определите емкость конден-
сатора, включенного в контур, если индуктивность контура
1,5 мГн.
23.10. На каком расстоянии от радиолокатора находится са-
молет, если отраженный от него сигнал принят через 3 10-4 с
после излучения импульса?
23.11. Как зависит мощность электромагнитного излучения
от частоты колебаний в излучающем контуре?
23.12. На рис. 23.1 изображена схема детекторного прием-
ника. Какой элемент используется для сглаживания пульса-
ции тока?
23.13. Прием передач с помощью детекторного приемника
осуществляется на наушники, так как принимаемый сигнал
слишком слабый. За счет чего происходит усиление сигнала в
современных радиоприемниках?
23.14. Радиолокационная станция посылает в некоторую сре-
ду электромагнитные волны длиной 10 см при частоте 2,25 ГГц.
Чему равна скорость волн в этой среде и какую будут иметь дли-
ну электромагнитные волны в вакууме?
23.15. Колебательный контур, в котором имеется конденса-
тор емкостью 1,5 мкФ, надо настроить на частоту 1,5 кГц. Ка-
кая для этого потребуется индуктивность?
23.16. В колебательном контуре зависимость силы тока от
времени описывается уравнением i — 0,06 sin 106ni. Определите
частоту электромагнитных колебаний и индуктивность катуш-
ки, если максимальная энергия магнитного поля 1,8 • 10~4 Дж.
Рис. 23.1
256
23.17. В колебательном контуре, настроенном на частоту
20 МГц имеется катушка индуктивностью 10“6 Гн и плоский
слюдяной конденсатор с площадью пластины 20 см2. Определи-
те толщину слюды, если ее диэлектрическая проницаемость
равна 6.
23.18. В колебательном контуре в процессе колебаний мак-
симальная сила тока достигает 6,28 • 10“3 А, а максимальный
заряд на конденсаторе 10 8 Кл. Определите период колебаний в
контуре. На какие длины волн он настроен?
23.19. Максимальная разность потенциалов на конденсато-
ре в колебательном контуре 120 В. Какой будет максимальная
сила тока, если конденсатор имеет емкость 9 мкФ, а катушка
обладает индуктивностью 6 мГн?
23.20. Зависимость силы тока от времени в колебательном
контуре определяется уравнением i = 0,02 sin 500 nt. Индук-
тивность контура 0,1 Гн. Определите период электромагнит-
ных колебаний, емкость контура, максимальную энергию маг-
нитного и электрического полей.
23.21. При изменении емкости конденсатора на 100 пФ резо-
нансная частота колебательного контура увеличилась от 0,2 до
0,25 МГц. Какой индуктивностью обладает контур?
23.22. Колебательный контур состоит из конденсатора емко-
стью 24 мкФ, катушки индуктивностью 12 мГн и активного
сопротивления 20 Ом. Определите частоту и полную энергию
электромагнитных колебаний, если максимальный заряд на
конденсаторе 6 • 10“6 Кл.
9 2453
257
V. ОПТИКА.
ОСНОВЫ СПЕЦИАЛЬНОЙ ТЕОРИИ
ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
§ 24. Геометрическая оптика
Основные понятия, законы и формулы
При изучении явлений, связанных с распространением види-
мого излучения (света) в однородной среде или при переходе че-
рез границу двух прозрачных сред, вводится понятие светового
луча. В однородной среде лучи света распространяются прямо-
линейно, этим объясняется образование тени и полутени.
Если на пути распространения световых лучей поместить от-
ражающую поверхность, то будет наблюдаться отражение све-
та, подчиняющееся двум законам
1. Луч падающий, отраженный и перпендикуляр, восстав-
ленный к отражающей поверхности из точки падения луча, ле-
жат в одной плоскости.
2. Угол падения е равен углу отражения е' (рис. 39).
Если углы падения лучей света на какую-либо плоскую по-
верхность будут одинаковы, т.е. падающие лучи параллельны,
то и после отражения лучи останутся параллельными.
Лучи, идущие от источника света расходящимся пучком, по-
сле отражения также расходятся (рис. 40). В этом случае изобра-
жение, полученное на пересечении продолжения отраженных
лучей, будет мнимым и симметричным относительно зеркала.
Рис. 39
Рис. 40
258
Если на пути сходящегося пучка света поместить плоское
зеркало, то полученное в нем изображение будет действитель-
ным, а точка пересечения продолжения падающих лучей будет
мнимым источником света (рис. 41); S'O = SO.
Световые лучи, падающие на сферическую поверхность, от-
ражаются от нее по тем же законам. Если зеркальной (отражаю-
щей) поверхностью является внутренняя сторона части сфери-
ческой поверхности, зеркало называют вогнутым, в противном
случае — выпуклым.
Прямая проходящая через центр кривизны С и точку О (по-
люс зеркала), называют оптической осью зеркала (рис. 42).
Пучок лучей, падающих на вогнутое зеркало параллельно
оптической оси, после отражения пересекается с осью в точке
F, называемой фокусом. Фокус — действительный у вогнутого
и мнимый у выпуклого зеркала. Расстояние FO называют фо-
кусным расстоянием и обозначают f:
FO-f^R/2,
где R — радиус кривизны зеркала.
Формула сферического зеркала имеет вид
111
±- = -+—
f а а
здесь а и а' — соответственно расстояние от предмета и от его
изображения до зеркала. Знак минус показывает, что зеркало
выпуклое, знак плюс — что зеркало вогнутое.
Линейное увеличение
а' _ f
a a±f
Здесь «-» в знаменателе соответствует вогнутому, а «+» —
выпуклому зеркалу.
259
Для построения изображений предмета в сферических зер-
калах используют: 1) луч, падающий параллельно оптической
оси; 2) луч, проходящий через фокус; 3) луч, идущий по на-
правлению радиуса кривизны.
Преломление света наблюдается, когда лучи падают на гра-
ницу раздела двух различных прозрачных сред, и подчиняется
законам:
1. Луч, падающий и преломленный лежат в одной плоскости
с перпендикуляром, восставленным из точки падения луча к
границе раздела сред.
2. Для данных двух сред отношение синуса угла падения к
синусу угла преломления остается постоянной величиной, на-
зываемой показателем преломления второй среды относитель-
но первой (рис. 43):
sine
В данном случае вторая среда является оптически более
плотной, чем первая. При переходе луча из первой среды во
вторую угол преломления всегда меньше угла падения. Если
луч света переходит из оптически более плотной среды в менее
плотную, то возможен случай, когда лучи вовсе не будут пре-
ломляться, а полностью отразившись, останутся в той же сре-
де — наступит полное отражение света. Это явление происхо-
дит, когда луч падает на границу раздела под углом больше
предельного. Угол падения, для которого угол преломления ра-
вен 90°, называют предельным:
sin£np 1 . 1
sin 90° п р п
Относительный показатель преломления может быть выра-
жен через скорости, с которыми свет распространяется в двух
средах:
"2,1
Абсолютный показатель преломления
n=c/v,
где с — скорость света в вакууме.
Прозрачные среды, ограниченные выпуклыми или вогнуты-
ми поверхностями, называют линзами. Выпуклые линзы соби-
рают лучи, вогнутые — рассеивают. Это справедливо, если пока-
затель преломления материала, из которого изготовлена линза,
больше показателя преломления среды, окружающей линзу.
260
Главная оптическая ось — прямая, проходящая через центры
кривизны преломляющих поверхностей (рис. 44); О — оптиче-
ский центр, точка в линзе; лучи, идущие через нее, не преломля-
ются; F viF' — фокусы линзы. Любую прямую, проходящую че-
рез оптический центр, называют побочной оптической осью.
Для построения изображений в линзах обычно используют:
1) луч, параллельный главной оптической оси; 2) луч, проходя-
щий через фокус; 3) луч, проходящий через оптический центр.
Как и для сферических зеркал, к линзам применима формула
±ы+1.
f а а
Правило знаков такое же, как и в зеркалах.
Единица оптической силы Ф = 1// — диоптрия (дптр).
Изображение предмета в вогнутой линзе всегда мнимое, а в
выпуклой — мнимое, когда предмет расположен между линзой
и фокусом.
Линзы широко применяют в оптических приборах, назначе-
ние которых в основном сводится к получению увеличенных
изображений предмета (проекционный аппарат, лупа, микро-
скоп) или к увеличению угла зрения для видения предметов, на-
ходящихся на больших расстояниях от наблюдателя (бинокль,
телескопы).
Примеры решения задач
Пример 107. Что произойдет, если на пути сходящегося пуч-
ка лучей поместить плоское зеркало?
Решение. Обратимся к чертежу, изображенному на рис. 45.
Лучи 1, 2 и 3 падают на плоское зеркало сходящимся пучком.
После отражения они пересекутся в точке S', которая является
действительным изображением точки S. В этой точке сошлись
бы лучи в отсутствие зеркала. Используя законы отражения
света, можно убедиться в равенстве равнобедренных треуголь-
ников MS'N и MSN, откуда следует, что S'O = SO.
261
'd's
Рис. 45
Ответ. Сходящийся пучок лучей дает действительное и
симметричное изображение от мнимой светящейся точки.
Пример 108. Вогнутое сферическое зеркало дает изображе-
ние предмета, увеличенное в три раза. Расстояние от предмета
до изображения 2,6 м. Чему равен радиус кривизны зеркала?
Д а н о: р = 3 — линейное увеличение изображения; I = 2,6 м —
расстояние от предмета до изображения,
Найти:/? — радиус кривизны зеркала.
Решение. Известно, что R = 2f, следовательно, решение сво-
дится к нахождению фокусного расстояния сферического зеркала.
В вогнутом зеркале изображение получается увеличенным в
двух случаях. Рассмотрим каждый из них.
1. Предмет расположен между фокусом и центром кривизны
(рис. 46). Для построения изображения А'В' воспользуемся дву-
мя лучами: падающим на зеркало параллельно оптической оси и
направленным по радиусу кривизны. После отражения лучи пе-
ресекутся в точке А’. Опустив перпендикуляр на оптическую
ось, получим точку В'. Получилось действительное изображе-
ние предмета с линейным увеличением: а' = Ра.
По условию задачи I = а' - а; поэтому I = Ра - а, отсюда
I , pz „
а = -—- и а = -—-. Полученные значения для аи а подставим
в формулу сферического зеркала и определим фокусное рас-
стояние:
1.1 _Р-1 Р-1.1. Р2-1.
f a a' f I р/ ’ f PZ ’
r pZ r 3 2,6м
f = f =---------— = 0,975 м.
P2-l 9-1
262
Следовательно, R = 2 • 0,975 м = 1,95 м.
2. Предмет расположен между зеркалом и фокусом (рис. 47).
Для построения изображения пользуемся теми же лучами. Как
видно из рисунка, изображение точки А' получилось на пересе-
чении не самих лучей, а их продолжений, т.е. изображение
мнимое. В формуле сферического зеркала величину 1/а' следу-
ет брать со знаком минус. Дальнейшие рассуждения аналогич-
ны рассуждениям первого случая, только здесь I = а + а'. Ре-
зультат получится тот же.
Ответ. Радиус кривизны сферического вогнутого зеркала
1,95 м.
Пример 109. Радиус кривизны выпуклого сферического зер-
кала 1,2 м. На каком расстоянии от зеркала находится предмет
высотой 12 см, если от мнимого изображения до зеркала 0,35 м?
Какой высоты получилось изображение предмета?
Дано:Я = 1,2 м — радиус кривизны зеркала; а' = 0,35 м —
расстояние от мнимого изображения до зеркала; Л = 0,12 м —
высота предмета.
Н а й т и: а — расстояние от предмета до зеркала, Л' — высо-
ту изображения.
Решение. Учитывая, что у выпуклого зеркала фокус и
изображение мнимые, в формуле перед 1/f и 1/а' поставим знак
«-». Формула примет вид:
111 a'f
— =--; а =-;
f a a f-a'
А
Рис. 47
263
Определим высоту изображения.
h' а' ,, ha'
— = —; h =--;
ha а
, О,12мО,35м
h ------------
0,84 м
= 0,05 м; Л'= 0,05 м.
Ответ. Предмет отстоит от зеркала на 0,84 м; высота изо-
бражения 5 см.
Пример 110. Высота Солнца над горизонтом 60°. Определите
длину тени на дне непрозрачного сосуда, если он освещается
солнечными лучами. Высота сосуда 25 см. Как изменится дли-
на тени, если в сосуд налить воду до высоты 20 см (рис. 48)?
Д а н о: Н = 25 см — высота сосуда; <р — 60° — угловая высота
Солнца над горизонтом; h = 20 см — расстояние от дна до уров-
ня воды; из таблиц: п = 1,33 — показатель преломления воды.
Н а й т и: 1г — длину тени на дне сосуда без воды; AZ — изме-
нение длины тени в сосуде с водой.
Решение. Обозначим через е угол, образованный верти-
кальной стенкой сосуда и направлением падающих солнечных
лучей. Тогда, как видно из рисунка, угол падения Е и угловая вы-
сота Солнца (р связаны соотношением £ + <р=тс/2; е=90° - 60° = 30°.
Если в сосуде нет воды, лучи будут распространяться прямо-
линейно (по направлению AM), и длину тени I можно найти из
прямоугольного треугольника AMD:
lx = AD = Htgt; tg30° = 0,577;
Z, =25см-0,577=14,4см.
Если в сосуде будет вода, на границе раздела воздух — вода
произойдет преломление, так как луч света переходит из среды
с меньшей оптической плотностью в среду более оптически
плотную. В этом случае преломленный луч приближается к
264
перпендикуляру и угол преломления е' меньше угла падения е.
В сосуде с водой длина тени
l2 = BD = ВС + CD.
Но CD = ON; в прямоугольном треугольнике OMN : ON =
= (Н-h)tg е; ON = 5 см • 0,577 = 2,9 см. Из треугольника ВОС на-
ходим ВС = h tg е'. Для определения угла преломления е' вос-
пользуемся вторым законом преломления:
sinE - , sine • , 0,5 „„„„„
----= п; sinE =---; sins =---= 0,3759; е = 22°.
sinE п 1,33
По таблице находим: tg 22 ° = 0,404.
Следовательно, ВС = 20 см • 0,404 = 8,1 см.
Длина тени в сосуде с водой
l2 = BD = 8,1 см + 2,9 см = 11 см.
После наполнения сосуда водой тень уменьшилась на Д/:
Д/ = 14,4 см - 11 см = 3,4 см.
Ответ. Длина тени в пустом сосуде приблизительно равна
14,4 см, длина тени в сосуде с водой уменьшилась на 3,4 см.
Пример 111. Луч света падает на стеклянную пластинку с
плоскопараллельными гранями под углом 45°. Толщина пла-
стины 3 см, показатель преломления стекла 1,5. На сколько
сместится луч в результате прохождения через пластинку? Под
каким углом выйдет луч из пластинки?
Д а н о: е = 45° — угол падения луча; h — 0,03 м — толщина
пластинки; п = 1,5 — показатель преломления стекла.
Н а й т и: 8 — смещение луча; £j — угол при выходе луча из
пластинки.
Решение. Смещение луча, как видно из рис. 49, есть
кратчайшее расстояние между направлением падающего на
265
пластинку и выходящего из нее лучей: 8 = CD. Из треугольни-
ка ACD:
8 =ACsin(e-£'); AC-h/cosc',
следовательно,
Лвш(е-е )
о =------—
COSE
Для определения смещения остается найти угол е'. Восполь-
зуемся вторым законом преломления света:
sinE . , sinE . , V2 п ,
п =------; sine. =--; sine. =----= 0,47; £ =28°.
sinE п 21,5
Тогда
8 =
0,03м 0,29
0,88
=0,0099 м=9,9 мм.
Ответ. Луч после прохождения через пластинку с парал-
лельными гранями остается параллельным падающему, но сме-
щается на 9,9 мм; £t =е.
Пример 112. Предмет высотой 6 см поставлен перпендику-
лярно оптической оси и удален от двояковыпуклой линзы, оп-
тическая сила которой 5 дптр, на расстояние 25 см. Определите
фокусное расстояние линзы, положение изображения, линей-
ное увеличение, которое дает линза, и высоту полученного изо-
бражения.
Дано: h = 0,06 м — высота предмета; Ф = 5 дптр — опти-
ческая сила линзы; а = 0,25 м — расстояние от предмета до
линзы.
Найти:/ — фокусное расстояние линзы; а' — расстояние
от изображения до линзы; Р — линейное увеличение; h' — высо-
ту изображения.
Решение. Зная оптическую силу, определим фокусное рас-
стояние линзы:
/ = —= —1— = 0,2м.
Ф 5 дптр
Строим изображение предмета (рис. 50). Если выбрать со-
ответствующий масштаб, то в результате построения можно
с достаточной степенью точности определить искомые вели-
чины.
Используя формулу линзы, находим а':
1 1 1 , fa , 0,2 м-0,25 м
— = —+—;а =-----;а ----------- =1м.
/ a a a-f 0,05 м
266
Линейное увеличение Р линзы найдем из формулы
а 0,25м
Следовательно, линейные размеры изображения будут
й' = рй; й' = 4 • 0,06 м = 0,24 м.
Ответ. Фокусное расстояние линзы 20 см; изображение
удалено от линзы на 1 м; линейное увеличение линзы 4; высота
изображения 24 см.
Пример 113. Предмет высотой 30 см расположен вертикаль-
но на расстоянии 80 см от линзы с оптической силой -5 дптр.
Определите положение изображения и его высоту.
Д а н о: й = 0,3 м — высота предмета; а = 0,8 м — расстояние
от предмета до линзы; Ф = -5 дптр — оптическая сила линзы.
Н а й т и: а' — расстояние от линзы до изображения; й' — вы-
соту изображения.
Решение. Линза вогнутая, так как ее оптическая сила
выражена отрицательным числом. Определим фокусное рас-
стояние:
/ = - = ---= -0,2м.
Ф -5 дптр
Построим изображение предмета в линзе (рис. 51). Изобра-
жение предмета мнимое. Из формулы линзы определяем рас-
стояние от линзы до изображения:
1 1 1 , af , 0,8м (-0,2м)
- = —+—; а =----; а =-----------= -0,16м.
f a a' a — f 0,8м+0,2м
Для определения высоты изображения используем формулу
увеличения:
— = —;й' =—й; й'=~°’16 - 0,3 м=-0,06 м.
ha а 0,8 м
267
Рис. 51
Ответ. Расстояние от линзы до изображения — 16 см (знак
минус указывает на то, что изображение мнимое); его высота —
6 см.
Пример 114. Дана главная оптическая ось MN, предмет АВ и
А' — изображение точки А (рис. 52). Найдите положение линзы
и ее фокусов. Установите собирающая она или рассеивающая.
Постройте изображение предмета.
Решение. Проведем луч из точки А в точку А'. Он пересе-
чется с главной оптической осью в точке, которая, будучи опти-
ческим центром линзы, определит ее положение. Второй луч из
точки А направим параллельно главной оптической оси; после
преломления в линзе он также попадает в точку А', но при этом
пересечет оптическую ось в точке F', которая является фокусом
линзы. Проведем через фокус вертикальную плоскость, кото-
рую называют фокальной плоскостью. Для построения изобра-
жения предмета достаточно построить изображение точки В.
Проведем из этой точки луч под произвольным углом к оптиче-
ской оси до линзы. Параллельно этому лучу проведем побоч-
ную оптическую ось, с которой произвольный луч должен пере-
сечься в точке, лежащей на фокальной плоскости, а дальше он
пересечется с главной оптической осью в точке В' (рис. 53). Со-
единив точку А' с точкой В', получим изображение предмета.
Пример 115. Микроскоп дает увеличение в 157,5 раз. Фо-
кусное расстояние объектива 0,3 см. Предмет находится от
объектива на расстоянии 0,31 см. Определите увеличение, ко-
торое дает окуляр, и его фокусное расстояние. Какова длина
тубуса микроскопа, если изображение получается на расстоя-
нии 26,25 см?
Дано: Р = 157,5 — увеличение микроскопа; Д = 0,3 см —
фокусное расстояние объектива; аг = 0,31 см — расстояние от
268
предмета до объектива; а'2 = 26,25 см — расстояние от окуляра
до конечного изображения.
Найти: Р2 — увеличение окуляра; f2 — фокусное расстоя-
ние окуляра; L — длину тубуса.
Решение. Увеличение микроскопа определяется увели-
чением Pj объектива и р2 окуляра: р = Р!р2.
Для определения Р2 необходимо знать увеличение рп кото-
рое дает объектив. Определим положение изображения, полу-
ченного от объектива, из формулы линзы:
111
— —---'—7" ’
fl а1 а1
, /лал , 0,3 см-0,31 см Л „
ал = 1 1 ; а, = —---------= 9,3 см.
а1-/1 0,31 см-0,3 см
Примечание. Чтобы избежать громоздких записей, все вели-
чины выражены в сантиметрах:
аг 0,31см
Найдем увеличение, которое дает окуляр:
£,15^5
н В, 30
Определим расстояние а2 от окуляра до изображения А,В,,
которое по отношению к окуляру можно считать предметом
(рис. 54).
а2 26,25 см
а9 = —; а9 =--------= 5 см.
Р2 5,25
Окуляр по отношению к изображению А\В\ располагают
так, чтобы оно рассматривалось, как через лупу; в этом случае
269
изображение А'2В2 будет мнимым и при определении фокус-
ного расстояния f2 окуляра необходимо поставить знак минус
перед 1/а2:
1
1111. . ,
—=---г; — =---; f2 =62 см.
f2 а2 а2 f2 5 см 26,25 см
Длину тубуса микроскопа определим из формулы
L =а{ +а2; L =9,3 см+5 см=14,3 см.
Ответ. Увеличение окуляра 5,25; фокусное расстояние оку-
ляра 6,2 см; длина тубуса 14,3 см.
Пример 116. Перед вогнутым сферическим зеркалом с фо-
кусным расстоянием 25 см на оптической оси находится точка,
удаленная от зеркала на 35 см. На каком расстоянии от вогну-
того надо поместить плоское зеркало, чтобы изображение, по-
лученное в нем, совпало со светящейся точкой?
Д а н о: f-0,25 м — фокусное расстояние зеркала, а - 0,35 м —
расстояние от светящейся точки до вогнутого зеркала.
Найти: / — расстояние от вогнутого зеркала до плоского.
Решение. Без плоского зеркала в точке получилось бы
изображение точки Sj (рис. 55). На плоское зеркало падают схо-
дящиеся лучи, поэтому точку Si надо принимать за мнимый ис-
точник света, а его изображение будет действительным (см.
пример 107), удаленным от вогнутого зеркала на а. Расстояние
а! до точки S[ определим из формулы
, af , О,35м О,25м „ „„„
' = —— ;а = — --------= 0,875
-f 0,35м-0,25
Тогда расстояние между зеркалами
, а'-а , ~ 0,875м-0,35м Л
I - а ч--; Z = 0,35 мч----------=0,61 м.
2
2
270
Ответ. При расстоянии между зеркалами, равном прибли-
зительно 61 см, светящаяся точка и ее изображение в плоском
зеркале совпадут.
Отражение света.
Плоские и сферические зеркала
24.1. Луч света падает на плоское зеркало. На сколько граду-
сов отклонится отраженный луч при повороте зеркала на 20°?
24.2. Угол падения светового луча на плоское зеркало умень-
шили на 15°. На сколько уменьшился угол между падающим и
отраженным лучами?
24.3. Лучи, идущие от Солнца, образуют с горизонтом угол
24°. Как, используя плоское зеркало, направить их параллель-
но линии горизонта?
24.4. Высота Солнца над горизонтом составляет 46°. Ка-
ким должен быть угол падения лучей на плоское зеркало,
чтобы отраженные от него солнечные лучи пошли: а) верти-
кально вниз; б) вертикально вверх? Каким при этом будет
угол между отраженным лучом и зеркалом? Показать ход лу-
чей на чертеже.
24.5. Пучок параллельных лучей распространяется из про-
екционного аппарата по горизонтальному направлению. Как
нужно расположить плоское зеркало, чтобы получить изобра-
жение диапозитива на потолке?
24.6. На стене вертикально висит зеркало так, что его верх-
ний край находится на уровне верхней части головы человека.
Длина зеркала 80 см. Выше какого роста человек не сможет
увидеть себя во весь рост?
24.7. Плоское зеркало.наклонено под углом 45° к горизон-
тальной поверхности стола, на котором лежит книга. В какой
плоскости будет изображение книги?
271
24.8. От лампы на плоское зеркало падает пучок лучей
(рис.24.1). Покажите графически их дальнейший ход. Где и ка-
кое получится изображение лампы?
24.9. Два плоских зеркала расположены под углом 120” друг
к другу. Расстояние между изображениями светящейся точки
в них 20 см. Определите, на каком расстоянии от линии сопри-
косновения зеркал находится светящаяся точка, если она ле-
жит на биссектрисе угла, образованного зеркалами.
24.10. Как следует расположить два плоских зеркала, чтобы
светящаяся точка и два ее изображения лежали в вершинах
равностороннего треугольника?
24.11. Сколько изображений получится от предмета в двух
зеркалах, поставленных под прямым углом друг к другу? под
углом 60”?
24.12. Сколько изображений предмета дадут два зеркала,
расположенных в параллельных плоскостях по обе стороны от
предмета?
24.13. В каком случае с помощью маленького плоского зер-
кала можно увидеть изображение высокого здания?
24.14. В солнечный день можно определить фокус у вогнутого
зеркала, имея в распоряжении одну линейку. Как это сделать?
24.15. Определите радиус кривизны и фокусное расстояние
выпуклого сферического зеркала (рис. 24.2), если MN — 3 см,
а АВ = 30 см.
24.16. Светящаяся точка находится на оси и удалена от по-
люса вогнутого сферического зеркала на четыре фокусных рас-
стояния. Постройте ее изображение.
24.17. Фокусное расстояние вогнутого сферического зеркала
0,6 м. На каком расстоянии от полюса зеркала на оптической
оси должна находиться светящаяся точка, чтобы ее изображе-
ние находилось там же?
24.18. Вогнутое сферическое зеркало дает в три раза увели-
ченное обратное изображение предмета. Расстояние от предмета
272
до изображения 28 см. Чему равны главное фокусное расстояние
и радиус кривизны поверхности зеркала?
24.19. Фокусное расстояние вогнутого сферического зеркала
25 см. Где надо поместить предмет, чтобы его мнимое изобра-
жение получилось на расстоянии 1 м от полюса зеркала?
24.20. Когда предмет поместили на расстоянии 40 см от полюса
вогнутого сферического зеркала, изображение получилось в на-
туральную величину. Чему равно фокусное расстояние зеркала?
24.21. На главной оптической оси вогнутого сферического
зеркала находится точечный источник света, а его мнимое изо-
бражение удалено от зеркала на 40 см. Радиус кривизны зерка-
ла 1,2 м. Определите расстояние от источника света до полюса
зеркала. Чему равен коэффициент увеличения?
24.22. С помощью вогнутого сферического зеркала было по-
лучено действительное изображение с коэффициентом увеличе-
ния 3. Когда предмет отодвинули от зеркала на 5 см, коэффици-
ент увеличения нового действительного изображения оказался
равным 2. Определите радиус кривизны поверхности зеркала и
первоначальное расстояние от предмета до зеркала.
24.23. На вогнутое сферическое зеркало, радиус кривизны
которого 0,8 м, падают сходящиеся световые лучи. Определите
положение точки на оптической оси зеркала, в которой пересе-
кутся отраженные лучи, если известно, что продолжения па-
дающих лучей пересекут оптическую ось на расстоянии 40 см
от полюса зеркала.
24.24. На каком расстоянии от предмета, поставленного пе-
ред вогнутым сферическим зеркалом, получится действитель-
ное изображение, если от полюса зеркала оно удалено на 42 см,
а радиус кривизны зеркала 48 см?
24.25. Почему в автомобилях для обзора дороги предпочита-
ют выпуклые зеркала, а не плоские?
24.26. На каком расстоянии от выпуклого зеркала находит-
ся предмет, если его изображение получилось на расстоянии
1 м от зеркала? Фокусное расстояние зеркала 1,5 м.
24.27. В вогнутом сферическом зеркале получается изобра-
жение предмета с коэффициентом увеличения Р = -5, когда
предмет находится на расстоянии 60 см от полюса зеркала. Ка-
ков радиус кривизны зеркала?
24.28. Где и какое получится изображение в выпуклом сфе-
рическом зеркале с радиусом кривизны 1,2 м, если расстояние
от предмета до зеркала 0,3 м?
24.29. Сходящиеся лучи падают на выпуклое сферическое
зеркало, а их продолжения пересекаются в точке, лежащей на
273
Рис. 24.3
оптической оси на расстоянии 30 см за зеркалом. Отраженные
лучи идут расходящимся пучком так, что их продолжения пе-
ресекаются с оптической осью на расстоянии 1,2 м от зеркала.
Определите фокусное расстояние зеркала.
24.30. Два сферических зеркала, вогнутое и выпуклое, фо-
кусные расстояния которых одинаковы и равны 36 см, распо-
ложены так, что их оптические оси совпадают (рис. 24.3). Рас-
стояние между зеркалами Z = 1 м. На каком расстоянии от
вогнутого зеркала надо поместить предмет, чтобы его изобра-
жения в зеркалах были одинаковы по величине?
Преломление света
24.31. Каков показатель преломления стекла из тяжелого
флинта, если при угле падения на него светового луча, равном
63°, угол преломления получился 29°40'?
24.32. Луч света падает на поверхность воды под углом 50°.
Каков угол преломления луча в воде?
24.33. Под каким углом надо направить луч света на поверх-
ность стекла из легкого крона, чтобы угол преломления был
27?
24.34. Определите, на какой угол отклонится луч света при
переходе из воздуха в воду при угле падения 30°? 45°?
24.35. При падении луча света на пластинку из кварца под
углом 44° угол преломления оказался 27°. При каком угле паде-
ния луч преломится под углом 30°?
24.36. Почему трудно попасть из ружья в рыбу, плывущую в
воде?
24.37. Луч света падает на границу раздела сред воздух —
жидкость под углом 45° и преломляется под углом 30°. Каков по-
казатель преломления жидкости? При каком угле падения угол
между отраженным и преломленным лучами составит 90°?
24.38. Луч света проходит через границу двух прозрачных
сред. Когда угол преломления может быть равен углу падения?
274
24.39. Параллельные лучи света переходят из воздуха в воду.
Угол падения лучей 55°. Определите угол преломления лучей и
скорость распространения их в воде.
24.40. Определите скорость света внутри льда, если при угле
падения луча на лед, равном 61°, угол преломления был 42°.
24.41. При переходе светового луча из воздуха в жидкую
прозрачную среду угол падения был 69°, а угол преломления
38°30'. Какова скорость распространения света в жидкой среде?
Чему равен показатель преломления этой среды?
24.42. Определите угол падения луча света на поверхность
ацетона, если угол между отраженным и преломленным луча-
ми составляет 120°.
24.43. Показатель преломления горного хрусталя 1,54. Под
каким углом должен падать из воздуха на хрусталь луч света,
чтобы отраженный луч был перпендикулярен преломленному?
24.44. На дне прямоугольного аквариума с водой находится
источник видимого излучения, от которого на границу раздела
сред падают световые лучи (рис. 24.4). Начертите дальнейший
ход лучей.
24.45. Определите предельный угол падения при переходе
светового луча из алмаза в воздух.
24.46. Определите показатель преломления бензола, если
предельный угол падения лучей для него составляет 42°.
24.47. При каком угле падения светового луча на границу
раздела между алмазом и водой наступит полное отражение
света?
24.48. Если блестящий металлический шарик предваритель-
но закоптить в пламени свечи, а затем опустить в воду, он вновь
будет казаться блестящим. Почему?
24.49. Чем можно объяснить, что пробирка, опущенная на-
клонно в стакан с водой, при определенном расположении глаз
кажется зеркальной? Как, не вынимая пробирки устранить это
впечатление?
275
Рис. 24.5
24.50. Направление падающего луча света показано на
рис. 24.5. Полуцилиндр изготовлен из стекла, имеющего пока-
затель преломления 1,8. Каков дальнейший ход луча?
24.51. На дне аквариума, разделенного перегородкой, укре-
плена лампочка (рис. 24.6). До какой наибольшей высоты сле-
дует налить воду, чтобы освещалось дно у противоположной
грани, если длина аквариума 60 см?
24.52. Солнечные лучи падают на поверхность воды под уг-
лом 45°. Какой длины тень образуется от шеста на дне водоема
при условии, что шест расположен вертикально и полностью
погружен в воду? Длина шеста 1,2 м.
24.53. Решить задачу 24.52, если считать, что 0,2 м шеста
находится над водой.
24.54. Луч света падает на пластинку из легкого крона с
плоскопараллельными гранями под углом 45°. Определите тол-
щину пластинки, если после выхода из нее луч сместился на
1,5 см.
24.55. Определите, на сколько смещается луч света, проходя
через пластинку из легкого крона с плоскопараллельными гра-
нями, если толщина ее 2,1 см, а угол падения лучей 30°.
24.56. Пластинка с плоскопараллельными гранями из стек-
ла с показателем преломления 1,8 лежит на плоском зеркале.
Луч света падает на верхнюю грань пластинки под углом 60°.
На каком расстоянии от места входа выйдет луч после отраже-
ния от зеркала, если толщина пластинки 6 см?
24.57. Лучи света, проходя через плоскопараллельную пла-
стинку, смещаются. Почему же, глядя на предметы через окон-
ное стекло, мы этого не замечаем? При каких условиях это сме-
щение становится заметным?
24.58. Луч света падает на стеклянную пластинку с плоско-
параллельными гранями под углом 70°. Толщина пластинки
4 см. Показатель преломления стекла 1,5. Определите: 1) сме-
щение луча, 2) длину пути луча в пластинке.
276
24.59. На полуквадратную стеклянную призму падает нор-
мально луч света (рис. 24.7). Каким будет дальнейший ход луча?
24.60. Как расположить две полуквадратные призмы, чтобы
получить модель перископа? Покажите ход луча в нем.
24.61. На полуквадратную стеклянную призму падают парал-
лельные лучи 1 и 2 (рис. 24.8). Начертите их дальнейший ход.
24.62. На призму с преломляющим углом 30° по перпендику-
ляру к боковой грани падает луч света (рис. 24.9). Определите
угол смещения луча после прохождения через призму, если по-
казатель преломления ее вещества 1,8.
24.63. Луч, падающий на боковую грань стеклянной приз-
мы, имеющий преломляющий угол 30°, выходит из нее под уг-
лом 30°. Показатель преломления стекла 1,5. Определите угол
падения луча на призму.
24.64. Луч света, падающий на боковую грань стеклянной
призмы по перпендикуляру к боковой грани, выходит из приз-
мы, отклоняясь на угол 25° от направления падающего луча. По-
казатель преломления стекла 1,5. Каков преломляющий угол
призмы?
24.65. Преломляющий угол призмы 60°. Луч света выходит
из призмы под таким же углом, под каким входит в нее. Пока-
затель преломления вещества призмы 1,5. Определите угол, на
который отклоняется луч от своего первоначального направле-
ния, пройдя через призму.
24.66. Преломляющий угол призмы А. Луч после прохож-
дения через призму отклоняется на угол 8. Определите показа-
тель преломления вещества призмы, если угол падения луча
на боковую грань равен углу преломления при выходе его из
призмы.
Линзы. Оптические приборы
24.67. Определите оптическую силу двояковыпуклой лин-
зы, фокусное расстояние которой 12,5 см; 50 см.
277
24.68. Определите оптические силы вогнутых линз, фокус-
ные расстояния которых: а) 25 см; б) 0,4 м.
24.69. Имеются линзы, оптические силы которых 4,-5,
-2 дптр. Определите их фокусные расстояния.
24.70. В каком случае двояковыпуклая линза будет рассеи-
вающей?
24.71. Дана оптическая ось MN, собирающая линза, фокусы
и светящаяся точка S на оптической оси (рис. 24.10). Построй-
те ее изображение.
24.72. Между предметом и собирающей линзой поставили
непрозрачный экран (рис. 24.11). Что произойдет с изображе-
нием? Ответ поясните чертежом.
24.73. Как пойдут лучи после преломления в линзах (рис. 24.12,
а, б)?
24.74. На пути параллельных лучей надо расположить две
собирающие линзы так, чтобы, пройдя через них, лучи оста-
лись параллельными. Как это сделать?
24.75. Фокусное расстояние собирающей линзы 20 см. Пред-
мет поместили на расстоянии 60 см от линзы. Где и какое полу-
чится изображение предмета?
24.76. На каком расстоянии от линзы получаются изображе-
ния, даваемые собирающей линзой с фокусным расстоянием
10 см, если предмет будет находиться в 5,15,20,25 см от линзы?
24.77. Используя условие задачи 24.76, постройте изображе-
ния предмета в масштабе 1:10 и ответьте на вопросы: 1) как ме-
няется высота изображения с удалением предмета от линзы;
2) какое получается изображение, когда предмет находится на
двойном фокусном расстоянии; 3) где надо поместить предмет,
чтобы изображение было мнимым?
24.78. Когда предмет поместили на расстоянии 20 см от лин-
зы, изображение получилось в натуральную величину. Каковы
фокусное расстояние и оптическая сила линзы?
24.79. Даны оптическая ось MN, положения предмета и его
изображения (рис. 24.13). Графическим путем найти положение
278
Рис. 24.12
Рис. 24.13
линзы (ее оптического центра О) и ее фокусы. Собирающая или
рассеивающая эта линза? Действительное или мнимое изобра-
жение?
24.80. На каком расстоянии от двояковыпуклой линзы с фо-
кусным расстоянием 0,42 м расположен предмет, если мнимое
изображение получилось от него на расстоянии 56 см?
24.81. Свечу отнесли на 2 м от стены и между ними в 40 см от
свечи поместили собирающую линзу. На стене получилось от-
четливое изображение свечи. Определите оптическую силу лин-
зы и коэффициент увеличения.
24.82. Линза, помещенная между свечой и экраном, дает дей-
ствительное в 3 раза увеличенное изображение свечи на экране.
Когда, не трогая свечи, отодвинули от нее линзу на 0,8 м, на эк-
ране получилось действительное, но в 3 раза уменьшенное изо-
бражение. Определите фокусное расстояние линзы.
24.83. На расстоянии 15 см от двояковыпуклой линзы, опти-
ческая сила которой 10 дптр, находится предмет высотой 2 см.
Определите высоту изображения.
24.84. Предмет расположен на расстоянии 1,4 f от собираю-
щей линзы с оптической силой 2 дптр. Где и какое получилось
изображение?
24.85. Предмет поместили на расстоянии 0,8 f от линзы (см.
условие задачи 24.84). Где и какое получилось изображение?
24.86. Фокусное расстояние двояковогнутой линзы 12 см.
На каком расстоянии от линзы находится предмет, если его
изображение удалено от нее на 8 см?
24.87. Предмет находится на расстоянии 20 см от двояковог-
нутой линзы с фокусным расстоянием 30 см. Где, по отноше-
нию к линзе, получится изображение и какова его высота, если
высота предмета 6 см?
24.88. С помощью рассеивающей линзы получено мнимое
изображение, удаленное от линзы, фокусное расстояние кото-
рой 0,12 м, на 8 см. Чему равно расстояние от предмета до его
изображения?
279
24.89. Изменится ли и как фокусное расстояние стеклянной
линзы, если ее поместить в среду, оптическая плотность кото-
рой такая же, как у стекла?
24.90. Каким будет коэффициент увеличения собирающей
линзы с оптической силой 4 дптр, если предмет удален от нее на
расстояние, равное 1,4 /?
24.91. Уменьшенное в 5 раз мнимое изображение предмета
находится на расстоянии 6 см от рассеивающей линзы. Найди-
те фокусное расстояние, оптическую силу линзы и постройте в
ней изображение предмета.
24.92. Расстояние от собирающей линзы до предмета в 3 раза
больше фокусного расстояния. Определите коэффициент уве-
личения.
24.93. Оптическая сила линзы 2,5 дптр. При одном положении
предмета по отношению к линзе на экране получилось действи-
тельное изображение, увеличенное в 2 раза. Каким будет коэффи-
циент увеличения, если предмет приблизить к линзе на 0,1 м?
24.94. Собирающая линза дает в 3 раза увеличенное действи-
тельное изображение предмета. Чтобы получить в 3 раза увели-
ченное, но мнимое изображение, линзу передвинули в сторону
предмета на 10 см. Каково фокусное расстояние и оптическая
сила линзы?
24.95. Две одинаковые тонкие собирающие линзы сложили
вплотную так, что их оптические оси совпали, и поместили на
расстоянии 12,5 см от предмета. Какова оптическая сила систе-
мы и одной линзы, если действительное изображение, даваемое
системой линз, было в 4 раза больше предмета?
24.96. Две линзы, выпуклую и вогнутую, сложили вплотную
так, что их оптические оси совпали. Фокусное расстояние вы-
пуклой линзы 10 см. Когда такую систему поместили на рас-
стоянии 40 см от предмета, то по другую от нее сторону на экране
получилось четкое изображение предмета. Определите оптиче-
скую силу вогнутой линзы, если расстояние от предмета до экра-
на I = 1,6 м.
24.97. Фокусное расстояние объектива проекционного аппара-
та 15 см. Диапозитив расположен на расстоянии 15,5 см от объек-
тива. Какое линейное увеличение дает проекционный аппарат?
24.98. Определите оптическую силу объектива проекцион-
ного аппарата, если он дает 24-кратное увеличение, когда диа-
позитив помещен на расстоянии 20,8 см от объектива.
24.99. Объектив проекционного аппарата имеет фокусное
расстояние 12,5 см. Каким должно быть расстояние от экрана
до объектива, чтобы коэффициент увеличения был равен 20?
280
24.100. На экран, размеры которого 1,05 х 0,75 м, необходимо
передать с помощью диапроектора с максимальным увеличени-
ем изображение слайда, имеющего размеры 7x5 см. Какова оп-
тическая сила объектива, если экран удален от него на 4 м?
24.101. С какой целью диафрагмируют объективы фотоап-
паратов?
24.102. Фокусное расстояние объектива фотоаппарата 50 мм.
При фотографировании здания с расстояния 80 м его высота на
пленке получилась 12 мм. Какова истинная высота здания?
24.103. Изображение предмета на матовом стекле фотоап-
парата при съемке с расстояния 8,5 м получилось высотой
13,5 мм и высотой 6 см при съемке с расстояния 2 м. Определи-
те оптическую силу объектива фотоаппарата.
24.104. Фокусное расстояние объектива микроскопа 5 мм,
а длина тубуса 16см. Определите увеличение окуляра для нор-
мального зрения, если общее увеличение микроскопа 200.
24.105. Фокусное расстояние объектива микроскопа 0,4 см.
Препарат помещен на 0,1 мм дальше фокуса. Увеличение микро-
скопа 400. Определите фокусное расстояние окуляра и длину ту-
буса, если для наблюдателя расстояние наилучшего зрения 25 см.
§ 25. Фотометрия
Основные понятия, законы и формулы
В фотометрии используется понятие точечного источника
видимого излучения (света). Часть этого излучения в узком
диапазоне волн от 400 до 760 нм воздействует на сетчатку глаз и
воспринимается как свет. За точечный принимают такой ис-
точник, размеры которого значительно меньше расстояний, на
которые распространяется его действие. Полагают, что этот ис-
точник излучает свет равномерно по всем направлениям. При-
мером точечного источника являются звезды.
Световой поток Ф есть мощность видимого излучения, кото-
рая оценивается по воздействию на сетчатку нормального гла-
за. Единица светового потока — люмен (лм).
Сила света I источника — величина, численно равная отно-
шению светового потока, распространяющегося от источника в
рассматриваемом направлении внутри малого телесного угла,
к этому телесному углу:
у _ дф
Единица силы света — кандела (кд).
281
Единица телесного угла — стерадиан (ср); 1 ср — это про-
странственный угол, ограниченный конической поверхностью,
которая вырезает на сфере ее часть площадью AS, равной квад-
рату радиуса (рис. 56). Вершина телесного угла совпадает с цен-
тром шаровой поверхности, в котором находится точечный ис-
точник света. Телесный угол, охватывающий все пространство
вокруг точки, опирается на поверхность шара и равен
Q =4л7?2 /R2 = 4лср.
Полный световой поток, излучаемый источником света,
Фполн = Л2=4я1.
Световой поток, падая на поверхность тел, частично отража-
ется, попадает в глаз и вызывает световое ощущение — мы ви-
дим окружающие нас тела.
Освещенность Е — величина, численно равная отношению
светового потока Ф падающего на рассматриваемый малый уча-
сток поверхности, к площади этого участка:
Е=Ф/8.
Единица освещенности — люкс (лк).
Освещенность поверхности перпендикулярными лучами из-
меняется обратно пропорционально квадрату расстояния от ис-
точника света до освещаемой поверхности:
E0=I/R2.
Если лучи света падают на поверхность под некоторым уг-
лом, освещенность зависит от угла падения лучей:
Е = Е0 cose или Е = —г cose.
Я
Для сравнения силы света двух источников используют фото-
метры. Два источника света помещают по обе стороны фотомет-
ра на таких от него расстояниях, чтобы освещенности фотометра
с двух сторон были одинаковы. Измеряя расстояния источников
света от фотометра и зная силу света одного из них, можно опре-
делить силу света другого:
E = W’E = W>
Г11 /ъ2
Л _ 12 Ц R2
р2 р2 ИЛИ т р2 '
Tlj «2 12
282
Примеры решения задач
Пример 117. На столбах высотой 3 м подвешены лампы, сила
света которых 200 и 300 кд (рис. 57). Расстояние между лампа-
ми 4 м. Определите освещенность на земле в точках А, В и С.
Д ано: Л = 3 м — высота подвески ламп; I = 200 кд — сила
света первой лампы; 12 = 300 кд — сила света второй лампы; I —
= 4 м — расстояние между лампами.
Н а й т и: Еа — освещенность в точке А; Ев — освещенность в
точке В; Ес — освещенность в точке С, если АС = 0,5 I.
Решение. В точках А, В и С освещенность поверхности
земли создают обе лампы. Рассмотрим каждый случай в от-
дельности.
В точке А:
= Е1А + ^24’
где — освещенность в точке А от первой лампы, а Еи — от
второй лампы. От первой лампы лучи света приходят в точку А
перпендикулярно поверхности земли, поэтому
I, „ 200кд Л
Eia Е1А — - £— = 22,2 лк.
Л2 9 м2
Освещенность, создаваемая в той же точке от второй лампы,
создается лучами, падающими под углом е (см. рис. 57), поэто-
му Е2а -Ео cose, где Ео — освещенность поверхности в точке А
при нормальном падении лучей;
е0-г2.
Так как г - >/л2 +Z2то Е0 = -/2 .Из рисунка находим, что
Л2 +Z2
h h
COSE = — = -- - .
Г Jh2 +l2
283
Вторая лампа создает в точке А освещенность
F h -F ЗООкд-Зм
Л2 +l2 y/h2 +12 25 м2 5 м
Освещенность в точке А от двух ламп
Еа = 22,2 лк + 7,2 лк = 29,4 лк.
В точке В освещенность поверхности земли находим так же,
как для точки А:
E b~Eib+E2B.
Угол падения лучей, идущих от первой лампы, остается
прежним.
_ 11 12 200кд „ „ ЗООкд ,
Ев = ~ycos£+—; Ев = 2 о,б+ =38,1 лк.
rf /г 25 м2 9 м2
В точке С освещенность
Ес =Eic +Е2С.
Так как точка С одинаково удалена от первой и второй ламп,
то лучи от них образуют один и тот же угол Е1? поэтому
„ I, I2 „ COSEi ,,
Ес = — cosEj +—cosE], или Ес =—— (Л +12)«
Т№-- F*"
h Q ж*
Здесь г2 = hz +(0,5Z)2 =13м2, a cosEi - — =------------= 0,83.
Tj 3,6 м
Окончательно
0,83
Ес =----(200кд+300кд) = 31,9 лк.
13 м
Ответ. Освещенность поверхности земли в точках А, В и С
соответственно равна 29,4; 38,1 и 31,9 лк.
Пример 118. Две лампы накаливания, сила света которых
25 и 225 кд, расположены на расстоянии 1 м одна от другой
(рис. 58). Где надо поместить между ними экран, чтобы он был
одинаково освещен с обеих сторон?
Рис. 58
284
Д а н о: Ц = 25 кд — сила света первой лампы; 12 = 225 кд —
сила света второй лампы; I = 1 м — расстояние между лампами.
Н а й т и: — расстояние от первой лампы до экрана.
Решение. Будем считать, что от первой и второй ламп
лучи падают на экран перпендикулярно, тогда освещенности
экрана лампами равны:
I. 1г
По условию, Ел = Е2, следовательно, — = —,но г2 =Z-f1,to-
г? Ъ
Ii h 11 г?
гда — =-------, или — =--------. Решим это уравнение относи-
rf (Z-rJ2 Iz (Z-rJ2
тельно
(Z—т\ )-Jli — пZ-J/j” — ri(-J77+V^2")’
откуда
ZVA 1Мд/25кд
П - —f=—т=; т\ = , —. - 0,25 м.
yjl1 +yjI2 у]25кд, +у]225кд
Ответ. Экран следует поместить на расстоянии 0,25 м от
первой лампы.
Пример 119. В центре шаровой поверхности радиусом 0,5 м
находится точечный источник света в 25 кд. Определить, какой
световой поток падает на внутреннюю поверхность шара пло-
щадью 50 см2.
Д а н о: г = 0,5 м — радиус шаровой поверхности; Z = 25 кд —
сила света источника; S = 50 см2 = 5 • 10-3 элемент площади.
Н а й т и: Ф — световой поток.
Решение. Для нахождения светового потока необходимо
знать площадь, на которую он падает, и ее освещенность:
Ф = Е8.
Освещенность создается лучами, падающими нормально
на внутреннюю поверхность шара, поэтому Е = Z/r2, следова-
тельно,
I 510-3
Ф = — S; Ф = 25кд----ср=0,5лм.
г2 0,25
Ответ. На элемент площади S падает световой поток 0,5 лм.
285
25.1 . Найдите полный световой поток, излучаемый источни-
ком, сила света которого 200 кд.
25.2 . Внутри телесного угла, равного 0,5 ср, равномерно рас-
пределен световой поток 2 лм. Какова сила света точечного ис-
точника, помещенного в его вершине?
25.3 . В центре полого шара радиусом 30 см помещен точеч-
ный источник, сила света которого 15 кд. Найдите освещен-
ность внутренней поверхности шара и полный световой поток,
излучаемый источником света.
25.4 . Определите, какой световой поток проходит через пло-
щадку 20 см2, расположенную в 5 м от точечного источника,
сила света которого 100 кд. Считайте, что лучи падают на пло-
щадку нормально.
25.5 . Освещенность Санкт-Петербурга в белую ночь в сред-
нем 1 лк, а в лунную ночь 0,1 лк. Какой световой поток падает в
это время на Марсово поле, площадь которого 0,1 км2?
25.6 . Лампочка накаливания силой света 25 кд без абажура
висит над столом на высоте 80 см. Определите освещенность
стола под лампой.
25.7 . Сила света лампочки в фотоувеличителе 15 кд. Опреде-
лите освещенность фотобумаги, если объектив поднят на высо-
ту 30 см и используется только 15% светового потока.
25.8 . Лампочка накаливания в комнате на одной стене создает
освещенность 28 лк, а на противоположной на том же уровне —
7 лк. Во сколько раз она ближе к первой стене, чем ко второй?
25.9 . В каком случае под лампами освещенность будет боль-
ше: при силе света 120 кд на расстоянии 3 м или при силе света
25 кд на расстоянии 1,2 м?
25.10 . Параллельные лучи, падая под углом 25°, создают ос-
вещенность 54 лк. При каком угле падения этих лучей осве-
щенность поверхности будет равна 45 лк?
25.11 . Перед заходом Солнца лучи света падают на Землю
под углом 81°. Сравните освещенность, создаваемую на поверх-
ности Земли и на вертикальной стене, обращенной к Солнцу.
25.12 . Максимальная освещенность, которую могут создать
на земной поверхности лучи, идущие от Солнца, составляет
108 000 лк. На каком расстоянии от Солнца находится планета
Марс, когда максимальная освещенность лучами Солнца ее по-
верхности равна 48000 лк?
25.13 . Почему под действием солнечных лучей снег тает на ос-
вещаемых склонах быстрее, чем на горизонтальных участках?
25.14 . Когда на изделие параллельные лучи падают нор-
мально, освещенность его поверхности равна 70 лк. Какой
286
будет освещенность поверхности, если изделие повернуть так,
что угол падения лучей составит 60°?
25.15 . Электрическая лампа, сила света которой 150 кд, ви-
сит над центром круглого стола диаметром 2 м. Определите
наибольшую и наименьшую освещенность стола, если от его
центра до лампы 1,5 м.
25.16 . Над столом диаметром 1,2 м висит лампа без абажура
на высоте 1 м от центра стола. Найдите освещенность на краю
стола, если полный световой поток от лампы равен 650 лм.
25.17 . На высоте 1 м над столом висит лампа без абажура.
Расстояние от лампы до книги, лежащей на краю стола, 2 м.
Какую силу света должна иметь лампа, чтобы освещенность
книги была 25 лк?
25.18 . Свет от электрической лампы падает на рабочее место
под углом 45° и создает освещенность 141 лк. Сила света лампы
200 кд. На каком расстоянии от рабочего места находится лам-
па? На какой высоте от рабочего места она висит?
25.19 . Две лампы силой света по 50 кд висят на высоте 1 м
над поверхностью стола. Расстояние между лампами 140 см.
Найдите освещенность стола под каждой лампой.
25.20 . На столбе одна над другой висят две лампы силой света
по 200 кд на высоте 2 и 3 м от земли. Определите освещенность
поверхности земли на расстоянии 1 м от основания столба.
25.21 . На столбе высотой 10 м требуется повесить лампу,
чтобы освещенность на земле на расстоянии 10 м от основания
столба была 2,5 лк. Какой силы света должна быть лампа?
25.22 . На столбах, расстояние между которыми 5 м, на высо-
те 4 м над землей подвешены лампы силой света по 250 кд. Оп-
ределите освещенность на земле на равном расстоянии от осно-
ваний столбов.
25.23 . На высоте 10 м над землей висит лампа силой света800 кд.
На какой площади на земле освещенность будет не менее 1 лк?
25.24 . Две лампы накаливания, сила света которых 300 и
200 кд, подвешены на высоте 3 м. Расстояние между лампами
4 м. Определите освещенность точки на земле между лампами,
в которую лучи от первой лампы падают под углом 45°.
25.25 . Лампу силой света 32 кд, висящую над серединой сто-
ла на высоте 1,2 м, заменили другой, сила света которой 90 кд.
На какой высоте ее повесили, если освещенность середины сто-
ла осталась прежней?
25.26 . Над центром круглого катка на высоте 6 м висит лампа и
освещает лед. На каких расстояниях от лампы и центра катка осве-
щенность поверхности льда будет в 3,4 раза меньше, чем в центре?
287
г
о
Рис. 25.1
25.27 . Слева от фотометра на расстоянии 15 см поставлена
лампа силой света 25 кд. Испытуемую лампу поместили справа
на расстоянии 45 см от фотометра, при этом его освещенность с
двух сторон оказалась одинаковой. Определите силу света ис-
пытуемой лампы.
25.28 . Две лампы, сила света которых 50 и 200 кд, находятся
на расстоянии 2,4 м одна от другой. Где между ними надо поста-
вить непрозрачный экран, чтобы он был освещен с двух сторон
одинаково?
25.29 . Центр экрана освещается источником силой света I,
помещенным на расстоянии I от экрана. Изменится ли осве-
щенность, если и силу света источника, и расстояние его от эк-
рана увеличить в п раз?
25.30 . Источник, сила света которого 40 кд, помещен между
экраном и плоским зеркалом на расстоянии 0,5 м от экрана
(рис. 25.1). Расстояние от экрана до зеркала 1,2 м. Определите
освещенность экрана в точке, куда луч света приходит нор-
мально. Зеркало считайте идеально отражающим.
25.31 . При печатании фотоснимков использовали лампу си-
лой света 50 кд, расположенную на расстоянии 1,2 м от снимка,
при этом время экспозиции составило 3 с. После того как лампа
перегорела, применили другую силой света 40 кд, расположен
ную на расстоянии 1 м от снимка. Определите время экспози-
ции при работе с новой лампой.
§ 26. Явления, объясняемые волновыми
свойствами излучения.
Интерференция. Дифракция
Основные понятия, законы и формулы
К оптическому излучению, занимающему в шкале электро-
магнитных волн небольшую часть спектра, относятся три об-
ласти излучения: ультрафиолетовое, видимое и инфракрасное.
288
Рис. 59
Ультрафиолетовое излучение имеет длины волн примерно
от 5 до 400 нм. Оно обладает ярко выраженным химическим
действием.
Излучение, которое вызывает зрительное ощущение, назы-
вается видимым или светом. Нижняя граница области видимо-
го излучения лежит между 380—400 нм, а верхняя — между
760-780 нм.
Инфракрасное излучение имеет длины волн от 780 нм (верх-
няя граница видимого излучения) до 1 мм. Оно обладает ярко
выраженным тепловым действием.
Оптическое излучение имеет электромагнитную природу.
Длина волны
X = сТ или X = c/v,
где с — скорость распространения электромагнитных волн; Т и
v — их период и частота.
При переходе световых волн из одной среды в другую меня-
ется длина волны (частота остается неизменной):
с Xj
« = - = 7~.
v Х2
где п — абсолютный показатель преломления; с и о — соответ-
ственно скорости распространения электромагнитных волн в
вакууме и среде.
К явлениям, подтверждающим волновую природу видимого
излучения, относятся интерференция и дифракция.
Интерференция света — это усиление или ослабление света в
результате наложения световых волн. Для наблюдения интер-
ференции требуется, чтобы волны имели одинаковую длину и
постоянную разность фаз, т.е. были когерентными.
С помощью бипризмы Френеля можно от одного источника
S получить два его мнимых изображения S' и S", дающих коге-
рентные лучи (рис. 59). Когда на бипризму падает монохрома-
тическое излучение (одной частоты колебаний), на экране
К) -2453
289
светлые полосы чередуются с темными. Максимальное усиле-
ние света происходит в том случае, когда оптической разности
хода Д соответствует четное число полуволн:
Д = 2k^, где k=1, 2,...
Если же одна волна отстает от другой на половину длины вол-
ны, т.е. если оптической разности хода соответствует нечетное
число полуволн, то произойдет максимальное ослабление света:
Д = (2Л+1)—, где А = 0,1, 2,...
2
Интерференция наблюдается в тонких пленках при прохож-
дении света через систему плосковыпуклая линза — плоскопа-
раллельная пластинка (кольца Ньютона).
Зная радиус кривизны линзы R и измерив радиус одного из
темных колец rk (рис. 60), можно определить длину волны света,
которым освещается установка для получения колец Ньютона:
rk =y/k)Jl,
где k = 0,1, 2,... — номер темного кольца. Формула справедли-
ва для случая, когда между пластинкой и линзой имеется воз-
дух, для которого п = 1.
Дифракцией называют явление огибания светом препятст-
вий, вызывающее нарушение прямолинейного распростране-
ния света. Дифракция наблюдается, когда размеры препятст-
вий соизмеримы с длинами волн.
Дифракционная решетка представляет собой чередующиеся
щели и непрозрачные промежутки. Сумму ширины щели и
промежутка между щелями называют постоянной дифракци-
онной решетки или ее периодом (рис. 61):
d = а + Ь,
где d — период решетки; b — ширина щели; а — ширина непро-
зрачного промежутка.
290
Формула дифракционной решетки имеет вид
dsin<p = feX,
где k — определяет порядок максимума. Против центра решетки
на экране находится самый яркий максимум нулевого порядка.
Анализ формулы дифракционной решетки показывает, что
для определения длины волны с помощью дифракционной ре-
шетки необходимо измерить угол (р.
Когда на решетку направляется белый свет, то на экране по-
лучается спектр, получивший название нормального спектра.
В таком спектре имеются все цветные полосы — от красной до
фиолетовой.
Примеры решения задач
Пример 120. Длина световой волны в стекле 450 нм. Свет в
стекле распространяется со скоростью 1,8 • 105 км/с. Определите
частоту колебаний света, абсолютный показатель преломления
стекла и длину волны при переходе света из стекла в вакуум.
Д а н о: Хс = 450 нм = 4,5 • 10~7 м — длина волны света в стек-
ле; v = 1,8 • 105 км/с = 1,8 • 108 м/с — скорость света в стекле; из
таблиц: с = 3 • 108 м/с — скорость света в вакууме.
Н а й т и: v — частоту колебаний света; п — абсолютный по-
казатель преломления стекла; X — длину волны света в вакууме.
Решение. Зная длину волны и скорость света в стекле, оп-
ределяем частоту колебаний:
Хс =-.
v
Отсюда
v = —; v =1,8108 ^/С 4,0 1014 Гц =400 ТГц.
Хс 4,5-10“7м
При переходе световой волны из одной среды в другую часто-
та не изменяется, а меняются скорость и длина волны. Следова-
тельно, можно определить длину волны света в вакууме:
, с . ЗЮ8 м/с Л _
X = —; X =--——=0,75 10 6м.
v 4,01014Гц
Оптическая плотность среды равна абсолютному показате-
лю преломления:
с 3 108 м/с , _
п = —; п —----------=1,7.
v 1,8-Ю8 м/с
291
Ответ. Частота колебаний света 400 ТГц, длина волны в ва-
кууме 750 нм; абсолютный показатель преломления приблизи-
тельно 1,7.
Пример 121. Два когерентных источника света посылают на
экран свет длиной волны 550 нм, дающий на экране интерферен-
ционную картину (рис. 62). Источники удалены один от другого
на 2,2 мм, а от экрана на 2,2 м. Определите, что будет наблюдать-
ся на экране в точке О — гашение или усиление света.
Дано: X = 550 нм = 5,5 • 10“7 м — длина волны света; I =
= 2,2 м — кратчайшее расстояние от первого источника света до
экрана; d = 2,2 мм = 2,2 • 10“3 м — расстояние между источника-
ми света.
Н а й т и: Д — разность хода лучей.
Решение. Для ответа на вопрос задачи необходимо знать
разность хода лучей. В данном случае оптическая разность хода
лучей равна их геометрической разности (лучи распространяют-
ся в одной среде — воздухе):
A^S[D = S2O-SlO; SxO = l.
Из треугольника 8гО82 определим S2O:
S2O = yll2 +d2 = ly]l+(d/l)2.
Учитывая, что отношение d/l мало по сравнению с (, мож-
но воспользоваться формулой приближенного вычисления
л/1±а2 =1±—а2 |: S2O = l
2 J 2
1(d)2
2U J
тогда
d2
21
1 d2
А = {1 + 2?-"1
Д = <2.2.ю-»му =1 м
2-2,2м
В точке О будет максимальное усиление, если разность хода
будет соответствовать целому числу волн, т.е. k =1, 2, 3, ...
, Д I.IIO^m „
X 5,5-10-7м
О т в е т. В точке О произойдет усиление света (будет светлая
полоса).
Пример 122. Плосковыпуклая линза, радиус кривизны ко-
торой 12 м, положена выпуклой стороной на плоскопарал-
лельную пластинку (рис. 63). На плоскую грань линзы нор-
мально падает монохроматический свет и в отраженном свете
292
э
Рис. 62
образуются темные и светлые кольца. Определите длину вол-
ны монохроматического света, если радиус шестого темного
кольца равен 7,2 • 10-3 м.
Д а н о: 7? = 12 м — радиус кривизны линзы; k = 6 — номер
темного кольца; гв = 7,2 • 10~3 м — радиус шестого темного
кольца.
Н а й т и: X — длину волн монохроматического света.
Решение. На плоскую поверхность линзы нормально па-
дает световая волна, которая частично отражается от выпуклой
поверхности линзы, другая часть проходит через воздушный
промежуток d, затем отражается от плоской пластины, при
этом разность хода увеличивается на X/2. Таким образом, вто-
рая волна проходит путь d дважды, следовательно, разность
хода составит Д = 2d + X / 2.
Условием минимума света будет
X
Д =—(2fe+l) или 2d + X/2 = Xfe+X/2,
2
откуда d - Xfe/2.
Из треугольника АВС получим R2 = (R-d)2 +r£; 2Rd-d2 = г62.
Величиной d2 можно пренебречь из-за малости d, тогда 2Rd = г62,
откуда d = r62 /(2R). Сравнив выражения для d, получим
Х/г/2 = г62/(27?),
откуда
г2
Х = -^-
kR
(7,210~3м)2
612м
= 7,2-10 7 м.
Ответ. Длина волны равна 720 нм.
Пример 123. Период дифракционной решетки 0,016 мм.
Красная линия спектра 2-го порядка оказалась расположенной
293
на расстоянии 14,2 см от средней линии. Расстояние от решет-
ки до экрана 1,5 м. Определите длину волны красных лучей и
ширину спектра 2-го порядка. Длина волны фиолетовых лучей
4 • 10-7 м (рис. 64).
Д а н о: d = 0,016 мм = 1,6 • 105 м — период дифракционной
решетки; Лк = 14,2 см = 1,42 • 10-1 м — расстояние от средней
линии до красного конца спектра 2-го порядка; k = 2 — порядок
спектра; Z = 1,5 м — расстояние от экрана до дифракционной ре-
шетки; = 4 • 10“7 м — длина волны фиолетовых лучей.
Найти: 1и — длину волны красных лучей, h — ширину
спектра 2-го порядка.
Решение. Длину волны красных лучей найдем из форму-
лы дифракционной решетки: feXK = d sin ф. В данном случае угол
ф очень мал, поэтому можно положить sinф ~ tgф. Тогда
сДиф dhK
Кк =-----, или —------
k kl
. 1,610-^1,4210-^ „ _
Хк = ---------------= 7,57 IO 7 м.
2-1,5м
Для определения ширины спектра надо знать расстояние от
средней линии спектра до фиолетовых лучей Лф; его можно най-
ти из формулы дифракционной решетки:
ф" d
410 7м-2-1,5м
1,6 105м
= 7,5-IO’2 м.
Тогда
Л =hK -Лф =14,2 IO 2 м-7,5 IO 2 м=б,7 10 2 м.
294
э
Ответ. Длина волны красных лучей приблизительно 760 нм;
ширина спектра второго порядка 6,7 см.
26.1. В каком случае на экране в точке, куда приходят два
луча от когерентного монохроматического источника света, по-
лучается светлое пятно, а в каком — темное?
26.2. В точки 1 и 2 на экране (рис. 64а) приходит свет от коге-
рентных источников. В какой точке произойдет максимальное
усиление света, в какой — гашение?
26.3. Если в пламя свечи добавить кристаллы поваренной
соли, а затем рассматривать его через прозрачную пластинку с
параллельными гранями, на фоне пламени образуются чере-
дующиеся темные и желтые полосы. Такую же картину можно
наблюдать и в отраженном свете (поместив пластинку за пламе-
нем). Чем это объясняется?
26.4. Масляные и нефтяные пятна на поверхности воды при
освещении солнечным светом имеют радужную окраску. Поче-
му? Изменится ли картина, если освещение производить све-
том одной цветности?
26.5. В некоторую точку пространства приходят лучи от ко-
герентных источников, длина волны которых 0,5 мкм, с разно-
стью хода 0,5 мм. Что будет наблюдаться в этой точке — усиле-
ние или ослабление света?
26.6. От двух когерентных источников на экран падает крас-
ный свет длиной волны 760 нм, в результате чего образуется
интерференционная картина из чередующихся красных и тем-
ных полос. Определите разность хода лучей, если в ней уклады-
ваются четыре полуволны. Какая при этой разности хода лучей
образуется полоса — красная или темная?
26.7. Мыльный пузырь на солнце играет всеми цветами ра-
дуги. Почему?
295
26.8. Определите радиус второго темного кольца Ньютона в
отраженном свете, если прибор, состоящий из плосковыпук-
лой линзы радиусом кривизны 8 м и плоской пластины (см.
рис. 60), освещался монохроматическим светом длиной волны
640 нм.
26.9. Прибор для наблюдения колец Ньютона осветили мо-
нохроматическим красным светом и при этом радиус третьего
темного кольца оказался равным 2,8 мм. Определите длину
волны красного света, если радиус кривизны плосковыпуклой
линзы 4 м.
26.10. В приборе для наблюдения колец Ньютона (см. рис. 60)
воздушную прослойку заполнили водой. Как изменились радиу-
сы интерференционных колец?
26.11. На чем основано просветление оптики? Почему в от-
раженном свете объективы имеют голубовато-сиреневый от-
тенок?
26.12. Расстояние между двумя точечными когерентными
монохроматическими источниками света 1,5 см. Источники
расположены на расстоянии 36 м от экрана так, что линия, их
соединяющая, параллельна плоскости экрана. Определите дли-
ну световой волны, если расстояние между соседними интерфе-
ренционными полосами 1,8 мм.
26.13. Плосковыпуклая линза с радиусом кривизны 8 м по-
мещена на прозрачную плоскопараллельную пластинку. При
освещении зеленым светом талия длиной волны 536 нм в отра-
женном свете образовались кольца Ньютона. Определите ради-
ус пятого темного кольца.
26.14. Радиус третьего темного кольца Ньютона (см. зада-
чу 26.13) при освещении монохроматическим светом оказался
равным 2,8 мм. Определите радиус кривизны плосковыпуклой
линзы, если известно, что длина волн монохроматического света
равна 720 нм.
26.15. Если сквозь ресницы смотреть на свет уличного фо-
наря, вокруг него появляется радужный свет. Чем это объяс-
няется?
26.16. Чем отличается дифракционный спектр от спектра,
полученного с помощью призмы?
26.17. В лабораторной работе по определению длины свето-
вой волны с помощью дифракционной решетки получают пер-
вый дифракционный максимум на экране на расстоянии 30 см
от средней линии. Период решетки 2 • 10-3 мм, а расстояние от
экрана до решетки 1,5 м. Определите по этим данным длину
световой волны.
296
26.18. Свет от газоразрядной трубки падает нормально на
дифракционную решетку, период которой 2 • 10~3 мм. Оранже-
вая линия в спектре первого порядка видна под углом 18°, а го-
лубая — под углом 14°. Определите длины волн этого света.
26.19. Спектры дифракционной решетки проецируют на эк-
ран, удаленный от нее на расстояние 3 м. Определите длину
волны монохроматического света, если расстояние от централь-
ной полосы до спектра первого порядка 22,8 см, а постоянная
решетки (период) 0,01 мм.
26.20. На дифракционную решетку нормально падает моно-
хроматический свет, соответствующий линии натрия длиной
волны 5,89 10“7 м. Угол, под которым видна эта линия в спек-
тре первого порядка, оказался равным 17°18'. Определите пери-
од решетки. Сколько штрихов имеется на каждом сантиметре
решетки?
26.21. Монохроматический свет от ртутной лампы длиной
волны 579 нм падает на дифракционную решетку с периодом
2 • 10“5 м, при этом на экране образуется дифракционный спектр.
Расстояние от решетки до экрана 1,5 м. На каком расстоянии от
центральной полосы будет находиться цветная линия в спектре
первого порядка?
26.22. Сколько штрихов на 1 мм должна иметь дифракцион-
ная решетка, чтобы зеленая линия длиной волны 500 нм в спек-
тре третьего порядка наблюдалась под углом 48°30'?
26.23. На дифракционную решетку, на 1 мм которой 500 штри-
хов, нормально падает монохроматический свет длиной волны
500 нм. Каков наибольший порядок спектра, который можно
наблюдать с этой решеткой?
§ 27. Излучение и спектры
Основные понятия, законы и формулы
По своему составу белый свет является сложным. В этом лег-
ко убедиться, проводя опыты с трехгранной призмой: после
прохождения через призму луч белого света распадается на
спектральные цветные лучи, которым соответствуют опреде-
ленные длины волн.
Дисперсия — это зависимость показателя преломления от
длин волн проходящего света. Для красных лучей показа-
тель преломления пк наименьший, а для фиолетовых пф наи-
больший. Это означает, что красный свет в прозрачной среде
297
(например, в стекле) распространяется с большей скоростью, чем
фиолетовый: пк = с/ок; пф = с/оф. Так как пк < пф, то c/vK < с/оф или
»к > уФ-
Цвет прозрачных тел зависит от того, какой по цветности
луч света проходит через них. Зеленый цвет стекла мы воспри-
нимаем в том случае, если из всех составляющих белого света
оно пропускает только зеленые лучи.
Цвет непрозрачных тел определяется цветом отраженных
лучей.
Все самосветящиеся тела дают спектры испускания.
1. Сплошные или непрерывные спектры получаются от на-
гретых жидких и твердых тел; для всех тел они одинаковы —
состоят из семи основных цветных полос, незаметно переходя-
щих одна в другую.
2. Линейчатые — получаются от светящихся газов или
паров. Для каждого химического элемента существует свой
линейчатый спектр, отличающийся от других количеством
линий, цветом и местоположением их на фоне сплошного
спектра.
3. Полосатые спектры образуются в результате излучения
молекул и состоят из ряда полос.
Спектры поглощения возникают, когда свет проходит через
какую-либо среду, обладающую избирательным поглощением,
имеющую более низкую температуру. Объяснение возникнове-
ния спектров поглощения дано в законе Кирхгофа: всякое ве-
щество поглощает преимущественно свет тех длин волн, кото-
рый оно само может испускать.
Тепловое излучение тела при данной температуре опреде-
ляется его излучательной способностью е, которая измеряет-
ся энергией излучения, испускаемого единицей площади по-
верхности тела, за единицу времени. Тела обладают способно-
стью поглощать падающее на них излучение. Если тело полно-
стью поглощает падающее на него излучение, его называют
черным телом. В соответствии с законом о тепловом излуче-
нии наибольшей излучательной способностью обладает черное
тело.
Закон Стефана-Больцмана: излучательная способность чер-
ного тела еч прямо пропорциональна четвертой степени его тер-
модинамической температуры:
еч = аТ4,
где о — постоянная Стефана-Больцмана.
298
Закон Вина: произведение длины волны, на которую прихо-
дится максимум излучения энергии, на термодинамическую
температуру есть величина постоянная для черного тела:
ХмаксТ = Ь,
где Ь — постоянная Вина.
Следовательно, при повышении температуры максимум энер-
гии излучения перемещается в сторону коротких волн.
Пример решения задач
Пример 124. Считая температуру поверхности Солнца рав-
ной приблизительно 6000 К, определите, на какие длины волн
приходится максимум энергии. Солнце рассматривайте как чер-
ное тело.
Дано: Т = 6000 К — температура поверхности Солнца; из
таблиц: b = 2,89 • 10“3 м • К — постоянная Вина.
Найти: \,акс — длину волны, на которую приходится мак-
симум энергии.
Решение. Длину волны в спектре черного тела, на которую
приходится максимальное значение излучаемой энергии при за-
данной температуре, можно найти из закона Вина b =
, Ь 2,89-10** м-К ,<>Ол1л7
Хмпкс = — J Хмакс =---------=4,82-10 7 М.
макс т макс 60()0 R
Ответ. Максимум энергии приходится на волны, длиной
482 нм.
27.1. Где скорость распространения света больше — в алмазе
или в воде?
27.2. Во сколько раз скорость распространения света в воде
меньше, чем в вакууме? За какое время свет проходит в воде
расстояние 225 км?
27.3. В эталоне метра укладывается 1 650 763,73 длин волн
оранжевых лучей, испускаемых атомами криптона-86 в вакуу-
ме. Какова частота колебаний этого излучения?
27.4. Определите длины волн для крайних красных и край-
них фиолетовых лучей видимой части спектра, если им соот-
ветствуют частоты 3,95 • 1014 и 7,5 • 1014 Гц.
27.5. Какова скорость света в алмазе, если при частоте
2,73 • 1014 Гц длина волны в нем равна 450 нм?
27.6. Длина волны голубых лучей в вакууме 500 нм. Опреде-
лите длину волны голубых лучей в воде и частоту их колебаний.
299
‘El.'l. Зеленые лучи переходят из воздуха в воду, при этом
длина волны их становится меньше. Какого цвета эти лучи бу-
дет воспринимать человек, погрузившись в воду?
27.8. На сколько изменится длина волны желтых лучей,
имеющих частоту 5,3 1014 Гц, при переходе из стекла в ваку-
ум, если скорость распространения их в стекле 1,98 • 108 м/с?
27.9. Определите скорости света в прозрачной среде для край-
них красных (800 нм) и фиолетовых (400 нм) лучей, если показа-
тели преломления в этой среде для длин волн соответственно
1,62 и 1,67. Каковы частоты и длины волн этого света в прозрач-
ной среде?
27.10. При переходе лучей из воды в вакуум длина волны их
увеличилась на 0,120 мкм. Определите длины волн этих лучей
в вакууме и воде.
27.11. При переходе световых волн из вакуума в некоторую
прозрачную среду длина волны уменьшилась в 1,31 раз. Какая
это среда?
27.12. На листе написано слово «свет» зеленым каранда-
шом. Глядя через какую прозрачную среду нельзя будет про-
честь написанное?
27.13. Звезда Сириус имеет поверхностную температуру
104 К. Определите, с какими длинами волн звезда излучает
наибольшую энергию.
27.14. Если некоторое время смотреть на яркий красный
предмет, а затем перевести взгляд на белую стену, на ней можно
увидеть пятно зеленого цвета, по форме напоминающее пред-
мет. Как это объяснить?
27.15. Каким образом определить химический состав Солнца?
27.16. Полная энергия, излучаемая Солнцем за 1 с, состав-
ляет примерно Е = 4 • 1026 Дж. Рассматривая Солнце как черное
тело, определите, какова температура его поверхности.
27.17. При исследовании туманности оказалось, что полу-
ченный от нее спектр сплошной. Какое предположение можно
высказать?
27.18. Вся поверхность Солнца за 1 с испускает примерно
4 • 1026 Дж энергии излучения. Имеются данные, что свети-
мость Солнца оставалась неизменной последние 3 • 10® лет
(1017 с). Определите массу, теряемую Солнцем за 1 с в виде излу-
чения, и массу, потерянную за прошедшие 3 • 10® лет.
27.19. Чему равна температура плавления вольфрама, если
длина волны излучения, обладающего максимумом испускае-
мой энергии, лежит в красной области спектра вольфрама и
равна 784 нм?
300
§ 28. Явления, объясняемые квантовыми
свойствами излучения. Фотоэффект
Основные понятия, законы и формулы
Видимое излучение проявляет наряду с волновыми и корпус-
кулярные свойства. При небольших частотах в большей степени
проявляются волновые свойства электромагнитного излучения;
при очень больших частотах на первое место выступают корпус-
кулярные свойства.
По теории Планка излучение рассматривается как процесс
дискретный (прерывистый). Порции энергии электромагнитно-
го излучения называются квантами. Частицы, несущие кванты
энергии, получили название фотонов.
Основной характеристикой фотонов является энергия и им-
пульс. Энергия
е =/zv = Лс/Х0,
где h — постоянная Планка; Хо — длина волны излучения в
вакууме.
Так как фотоны в отличие от других микрочастиц движутся
со скоростью света, формулу импульса можно записать в виде
р = тс.
Из формулы Эйнштейна т = г/с2, следовательно,
р = г/с = hv/c или р = hfk0.
Масса фотона
т = hv/c2.
Сравнивая формулы энергии, импульса и массы, можно
прийти к выводу: для монохроматического света у всех фото-
нов частотой v одинаковы энергия, импульс и масса. Покоя-
щихся фотонов нет, следовательно, масса покоя фотона рав-
на нулю.
Фотоэффект — явление, возникающее при взаимодействии
излучения с веществом. При фотоэффекте за счет энергии излу-
чения фотонов, взаимодействующих с веществом, с его поверх-
ности вырываются электроны (внешний фотоэффект).
Законы фотоэффекта:
1. Фототок насыщения прямо пропорционален световому
потоку, падающему на поверхность вещества.
301
2. Максимальная кинетическая энергия электронов, высво-
божденных с поверхности под действием излучения, не зави-
сит от его интенсивности и определяется по формуле
тпи2 _
----=е£Л,
2
где омпкс — максимальная скорость электронов; U3 — мини-
мальное задерживающее напряжение, при котором нет фотото-
ка; т и е — соответственно масса и заряд электрона.
Уравнение Эйнштейна для внешнего фотоэффекта
. , /Ш?2 с
hv=A3+-----
в 2
гдэ Ав — работа выхода, значение которой определяется кине-
тической энергией электрона, при которой он может вырваться
с поверхности вещества.
Наибольшую длину волны (наименьшую частоту колебаний),
при которой может наблюдаться фотоэффект, называют крас-
ной границей фотоэффекта для данного вещества.
Полагая в формуле Эйнштейна кинетическую энергию элек-
трона равной нулю, можно определить длину волны, соответст-
вующую красной границе фотоэффекта для различных мате-
риалов:
hc/\K =АВ; Хк =hc/A3.
Работа фотоэлементов и фотосопротивлений основана на ис-
пользовании внешнего и внутреннего фотоэффектов. Явление
фотоэффекта нашло широкое применение в различных сферах
человеческой деятельности.
Примеры решения задач
Пример 125. Излучение с энергией 15 Дж освещает площад-
ку 2 см2 в течение 1 мин. Определите давление, производимое
излучением на поверхность в случае, когда площадка: а) полно-
стью поглощает лучи; б) полностью их отражает.
Дано:ТУ=15 Дж — энергия излучения; t = 60с — время;
S = 2 см2 = 2 104 м2 — площадь, на которую падает излучение;
из таблиц: с = 3 • 108 м/с — скорость света в вакууме.
Найти: Р] — давление, производимое излучением, если
оно полностью поглощается; р2 — давление для случая, когда
происходит полное отражение.
302
Решение. Давление, возникающее в результате взаимо-
действия излучения с веществом, можно найти из формулы
р = ^(1+р),
с
где Wo — энергия излучения, приходящаяся в единицу време-
ни на единицу поверхности; р — коэффициент отражения.
При полном поглощении излучения р = 0, тогда
W
; Wo = —;
St
n ’
Pi =----J
c
15 Дж
W
Pi =
---=--------------5------= 4,2-10-® Па.
Set 210-4м2-3108м/с-60с
При полном отражении излучения р = 1, тогда
2W
Рг =---; Рг =8,4 -10-6 Па.
Г2 Set Г2
Ответ. Давление, производимое излучением, в первом слу-
чае приблизительно равно 4,2 • 10-6 Па; во втором — в два раза
больше.
Пример 126. Работа выхода электрона из цинка равна 3,74 эВ.
Определите красную границу фотоэффекта для цинка. Какую
скорость получают электроны, вырванные из цинка при облуче-
нии его ультрафиолетовым излучением длиной волны 200 нм?
Д а н о: А = 3,74 эВ = 3,74 • 1,6 • 1019 Дж — работа выхода
электрона; X = 200 нм = 2 • 10 7 м — длина волны падающего из-
лучения; из таблиц: с = 3 • 108 м/с — скорость света в вакууме,
h = 6,62 • 10-34 Дж • с — постоянная Планка; те — 9,1 • 10-31 кг —
масса электрона.
Найти: Хк — красную границу фотоэффекта для цинка;
v — максимальную скорость электронов.
Решение. Красная граница фотоэффекта — это наиболь-
шая длина волны света, который может вызвать фотоэффект.
Очевидно, в этом случае кинетическая энергия электрона будет
равна нулю, следовательно,
A =hvK = -—.
Отсюда
А
. 6,62 10 34 Дж с-3108м/с 7
Хк = —------------------— = 3,32 107 м=332нм.
к 3,74-1,6-Ю19 Дж
303
Энергия фотонов ультрафиолетового излучения hv, падаю-
щего на цинковую пластинку, расходуется на работу выхода
электрона А с поверхностного слоя цинка и сообщение ему ки-
нетической энергии: he/1 = A +m,,v2 /2. Из этого уравнения оп-
ределяется скорость, которую могут получить электроны при
фотоэффекте:
he А mrv2 l2(hc-AA)
-—л =------;v=,------;—;
X 2 у тек
_ /2(6,6210~34 Джс3108м/с-210~7м-3,741,6-10 lfl Дж)
Vy 9,110-31кг-210-7м
= 9,340s м/с.
Ответ. Для цинка наибольшая длина волны излучения,
способного вызвать фотоэффект, 332 нм; максимальная ско-
рость выбитых электронов 9,3 • 105 м/с.
28.1. Какое давление производит световое излучение на 1 мм2
черной поверхности, которая получает с излучением 500 Дж
энергии каждую секунду?
28.2. Давление солнечного света на поверхности Земли со-
ставляет 4,7 • 10“4 Па. Определить энергию излучения, падаю-
щего ежесекундно на каждый квадратный метр поверхности
Земли, расположенной перпендикулярно лучам.
28.3. На каждый квадратный метр черной поверхности еже-
секундно падает 2,5 • 1015 фотонов рентгеновского излучения,
частота которого 7 -1019 Гц. Какое давление создает это излу-
чение?
28.4. Желтый свет паров натрия имеет длину волны 530 нм.
Чему равна энергия кванта для этого света в джоулях и элек-
трон-вольтах?
28.5. Во сколько раз энергия фотона, соответствующая у-из-
лучению частотой 3 • 1021 Гц, больше энергии фотонов рентге-
новского излучения длиной с волны 2 • 10-1° м?
28.6. Определите энергию кванта, соответствующего длине
волны 10"7 м (ответ дать в джоулях и электрон-вольтах).
28.7. Сколько фотонов содержит 10-8 Дж излучения с длиной
волны 2 мкм?
28.8. Определите энергию, массу и импульс фотона, длина
волны которого 360 нм и соответствует ультрафиолетовому из-
лучению.
304
28.9. Определите энергию, массу и импульс фотонов рентге-
новского излучения с длиной волны 4 • 10 н м.
28.10. Вечером после захода Солнца наблюдали на небе ко-
мету. Куда был направлен ее хвост?
28.11. Красная граница фотоэффекта вольфрама соответст-
вует длине волны 405 нм. Определите работу выхода электрона
из вольфрама.
28.12. Работа выхода электрона для цезия 1,9 эВ. Определи-
те максимальную длину волны света, при облучении которым
цезия возникает фотоэффект.
28.13. Определите наибольшую длину волны света, облуче-
ние которым поверхности никеля может вызвать фотоэффект.
Работа выхода для никеля 4,5 эВ.
28.14. Работа выхода электрона для платины 6,3 эВ. Про-
изойдет ли фотоэффект под действием излучения с длиной вол-
ны 10’7 м?
28.15. На поверхность серебра падает свет, длина волны ко-
торого 500 нм. Зарядится ли при этом серебро или останется
нейтральным? Если зарядится, то какой знак будет у заряда?
Граница фотоэффекта для серебра 261 нм.
28.16. Наибольшая длина волны излучения, способного вы-
звать фотоэффект, у платины равна 234 нм. Определите макси-
мальную кинетическую энергию, которую приобретут электро-
ны под действием излучения длиной волны 200 нм.
28.17. Какой энергией обладают электроны, вырванные с по-
верхности меди при облучении ее светом частотой 6 • 1016 Гц?
Работа выхода электронов для меди 4,5 эВ.
28.18. Какой скоростью обладают электроны, вырванные из
натрия, при облучении его светом, длина волны которого 66 нм?
Работа выхода электрона для натрия 4 • 10“19 Дж.
28.19. Для некоторого металла красной границей фотоэффек-
та является свет с длиной волны 690 нм. Определите работу вы-
хода электрона из этого металла и максимальную скорость, ко-
торую приобретут электроны под действием излучения с длиной
волны 190 нм.
28.20. 1 Какую максимальную скорость приобретут фото-
электроны, вырванные с поверхности молибдена излучением
частотой 3 • 102° Гц? Работа выхода электрона для молибдена
4,27 эВ. Применима ли для данного случая классическая фор-
мула?
1 Решение задачи 28.20 целесообразно проанализировать после изучения темы
«Специальная теория относительности» (§ 29).
305
28.21. Если поочередно освещать поверхности металлов из-
лучением с длинами волн 350 и 540 нм, то максимальные ско-
рости фотоэлектронов будут отличаться в два раза. Определите
работу выхода электрона для этого металла.
§ 29. Основы специальной теории
относительности
Основные понятия, законы и формулы
В основе специальной теории относительности (СТО) лежат
два постулата.
1. Все физические процессы в любых инерциальных систе-
мах протекают одинаково и не зависят от выбора системы
отсчета.
2. Скорость распространения электромагнитных волн в ва-
кууме одинакова во всех инерциальных системах отсчета; она
не зависит от скорости движения источника света и от движе-
ния наблюдателя (приемника светового сигнала).
Постулаты специальной теории относительности противо-
речат представлениям об абсолютном времени и пространстве,
сложившимся в классической механике Ньютона. В СТО рас-
сматриваются следующие понятия.
Относительность длин (расстояний): длина стержня I (тела)
в системе отсчета, относительно которой он движется, согласно
теории относительности будет меньше длины 10 покоящегося
стержня:
1 = 10Л]1-о2 /с2.
Поперечные размеры тела при движении будут одинаковы
во всех инерциальных системах.
Относительность промежутков времени (релятивистское
замедление времени): время т, отсчитываемое в лабораторной
системе, где наблюдатель неподвижен, и собственное время т0 ,
отсчитываемое по часам, движущимся вместе с системой отсче-
та, связаны соотношением
Т= , Т» .
-J1-V2 /с2
Если скорость движущейся системы близка к скорости све-
та, то движущиеся часы будут идти медленнее неподвижных,
т.е. произойдет замедление времени.
306
Зависимость массы тела от его скорости: масса покоя т0
(собственная масса) и масса тела т, движущегося со скоростью,
приближающейся к скорости света, связаны соотношением
1-и2 /с2
Учитывая зависимость массы тела от скорости, можно запи-
сать формулу импульса тела в виде
Р
= mv =
mov
д/1-о2 /с2
Релятивистский закон сложения скоростей: скорость v2
тела М относительно неподвижного наблюдателя, находяще-
гося в системе К, может быть найдена из формулы
и, +и
-----7Т’
l+ViV/c2
где I?! — скорость тела М относительно системы отсчета К'; v —
скорость движения данной системы отсчета К' относительно
неподвижной системы отсчета К (непременное условие, чтобы
ось Ох была общей для обеих систем отсчета, рис. 65).
Если предположить, что vl — v = c,ro результирующая ско-
рость не может быть больше скорости света с.
Закон взаимосвязи массы и энергии (уравнение Эйнштей-
на): какие бы взаимные превращения материи не происходили,
изменению энергии соответствует изменение массы:
АЕ=с2Ат.
307
Примеры решения задач
Пример 127. Относительно неподвижного наблюдателя раке-
та движется со скоростью, равной 0,6 скорости света в вакууме.
Как изменятся длина стальной метровой линейки и плотность
вещества, из которого она изготовлена, в ракете (вдоль линии
движения) для неподвижного наблюдателя? Какое пройдет вре-
мя по часам неподвижного наблюдателя, если по часам в движу-
щейся ракете прошло 6 лет?
Д а н о: v = 0,6 с — скорость ракеты относительно неподвиж-
ного наблюдателя; l0 = 1 м — собственная длина линейки; t0 =
= 6 лет — собственное время; из таблиц: р0 = 7,8 • 103 кг/м3 —
собственная плотность стали.
Найти: I — длину линейки; р — плотность стали; t —
время.
Решение. Для земного наблюдателя, относительно кото-
рого движется ракета, длина метровой линейки (вдоль линии
движения) определится из формулы
Z = Z0Jl-u2 /с2 ; Z=1mJ1-^^C =0,8м.
V с2
Плотность вещества выражается через массу и объем: р = m/V,
но V = IS = Z0SA/l-i?2 /с2. В рассматриваемых условиях попереч-
ные размеры не меняются, следовательно,
т0
Jl-v2 /c2l0Sy]l-vz /с2 ’
/п0
но---=р0, поэтому
zos
р=—Р°—;
1-V2 /с2
7,8103кг/м3 , „ _
р = —---------= 1,2104кг/м3.
н 0,64
Течение времени для земного наблюдателя будет замедлен-
ным и определится из формулы
Zo 6 лет _ _
t = . —; t =-----= 7,5 лет.
Jl-v2/с2 0,8
Ответ. Для земного наблюдателя длина линейки 0,8 м;
плотность материала 1,2 • 104 кг/м3; течение времени 7,5 лет.
308
Пример 128. Энергия покоя протона приблизительно равна
938 МэВ. Определите массу покоя протона, массу и скорость
протонов после сообщения им кинетической энергии 70 ГэВ в
ускорителе.
Д а н о: Ео = 938 МэВ — энергия покоя протона; Ек = 70 ГэВ —
кинетическая энергия протона, полученная в ускорителе; из
таблиц: с = 3 • 108 м/с — скорость света в вакууме.
Найти: тро — массу покоя протона; тр — массу протона по-
сле ускорения; v — скорость протона после ускорения.
Решение. Для решения задачи произведем пересчет энер-
гии протона в единицу СИ — джоуль: 1 эВ = 1,6 • 10“19 Кл • 1В =
= 1,6 • 10“19 Дж; 1 МэВ = 1,6 • 10“13 Дж. Следовательно, энергия
покоя
Ео = Э381,61О-13 Дж=1,5-10-1° Дж.
Кинетическая энергия протона после ускорения
£к = 71О10 1,6 10 19 Дж = 1,1210“8 Дж.
Для определения массы покоя протона воспользуемся фор-
мулой Эйнштейна Ео = тросг:
Ео 1,5-Ю-10 Дж
тро = — '’тро = 1П16 2/2 =1.67 10 27 кг.
с2 910 м2/с2
Полную энергию протона определим по формуле Е = Ек +
+ Ео = трс2. После деления обеих частей равенства на Ео = трос2
получим
тро Ео тро Ео
откуда
=^+1|пр0;
тр = (1,12 10 * +1\,67 10-27 кг=1,26 10~25кг.
р Ц,5-Ю10 Дж )
Определив массу протона после ускорения, найдем его ско-
рость:
тро I v2 тр0 и2 т2р0
~ /—--------’А/ 9 2 2 ’
yjl-v2/с2 V С2 тр с2 т2
откуда
о-с 11 Г1’6710~27кг>|
V Ч1,26 10-25кгJ
= 0,99 с.
309
Ответ. Масса покоя протона 1,67 • 10-27 кг и соответствует
табличному значению; масса протона после ускорения при-
близительно в 75 раз больше его массы покоя, скорость равна
0,99 скорости света.
Пример 129. Две ракеты движутся навстречу, имея скорости
относительно неподвижного наблюдателя, равные 0,8с. Найдите
по законам классической механики и теории относительности
скорости сближения ракет. На сколько отличаются результаты
вычислений?
Д а н о: — v2 = 0,8с — скорости ракет по отношению к не-
подвижному наблюдателю на земле.
Найти: икл — скорость сближения ракет по классическим
законам, — скорость сближения ракет по релятивистскому
закону; Ди — различие скоростей сближения.
Решение. По законам классической механики
U = V1 + икл = 0’8 С + 0’8 С = 1,6 с.
По законам релятивистской механики
ш +l>2 1.6с „„„„
U =--------5 U л =------Г = 0,976с.
рвл ”ii>2 0,64с2
1 2 1 + о
С2 С2
Различие скоростей сближения ракет
Ди = 1,6 с - 0,976 с = 0,624 с.
Анализируя результат проведенных вычислений, можно
прийти к выводу: при движении тел со скоростями, близкими к
скорости света, использовать классическую формулу сложе-
ния скоростей нельзя, так как это противоречит теории относи-
тельности, утверждающей невозможность превышения скоро-
сти света в вакууме.
29.1. Сравните длины метровых стержней, движущихся в
направлении их длин со скоростями 0,5 и 0,75 скорости света
относительно неподвижного наблюдателя.
29.2. При какой скорости движения тела относительно не-
подвижного наблюдателя его длина составляет 0,8 собственной
длины?
29.3. С какой скоростью относительно земного наблюдателя
должно перемещаться тело, чтобы его размеры вдоль линии
движения сократились в два раза? Изменятся ли размеры для
наблюдателя, движущегося вместе с телом?
310
29.4. Ракета движется со скоростью 0,866 с относительно на-
блюдателя на Земле. В ней вдоль линии движения расположен
плоский прямоугольник, поперечная сторона которого в 2 раза
меньше продольной. Каким должен воспринимать его земной
наблюдатель?
29.5. Радиус электрона в покое составляет 2 • 10“13 см. Во
сколько раз сократится радиус электрона в направлении дви-
жения при скорости, равной 0,8 скорости света?
29.6. В ракете, движущейся со скоростью 0,96 с, было за-
фиксировано время полета 1 год. Сколько времени должно
пройти по подсчетам земного наблюдателя?
29.7. Какое время пройдет на Земле, если в ракете, движу-
щейся со скоростью 2,4 • 108 м/с относительно Земли, прошло
6 лет?
29.8. Расстояние до ближайшей к нам звезды а Центавра
свет проходит за 4 года. Выразите это расстояние в астрономи-
ческих единицах (а.е.) и в километрах. Определите, сколько
времени по подсчетам земного наблюдателя займет путешест-
вие на ракете до звезды и обратно и каким будет собственное
время. Скорость ракеты относительно земного наблюдателя
0,99 с, 1 а. е. = 150 млн км.
29.9. Сколько времени для жителей Земли и для космо-
навтов займет путешествие до звезды в ракете, летящей со
скоростью, равной 0,9 скорости света? Расстояние от земного
наблюдателя до звезды равно 40 св. годам.
29.10. 1 кг воды нагрели на 80 К. Увеличилась ли при этом
масса воды и на сколько?
29.11. Какой должна быть скорость частицы, при которой
кинетическая энергия будет равна ее энергии покоя?
29.12. С какой скоростью движется электрон, если его масса
в 4 раза больше массы покоя?
29.13. Определите массу электрона, движущегося со скоро-
стями 50 и 90% скорости света.
29.14. С какой скоростью должен двигаться в ускорителе
протон, чтобы увеличение его массы не превышало 5% ?
29.15. В ракете, движущейся относительно земного наблю-
дателя со скоростью 2,4 • 105 км/с, находится тело, масса покоя
которого 5 кг, а плотность 7,8 • 103 кг/м3. Определите релятиви-
стские массу и плотность тела.
29.16. Ракета движется с околосветовой скоростью относи-
тельно неподвижного наблюдателя. Во сколько раз изменяется
масса и плотность тел в ракете для находящегося в ней наблю-
дателя?
311
29.17. Какую скорость должно иметь тело, чтобы его плот-
ность увеличилась в 5 раз?
29.18. Выразите энергию покоя электрона (позитрона) в ме-
гаэлектрон-вольтах (МэВ). Чему будет равна энергия излуче-
ния при аннигиляции электрона и позитрона?
29.19. Определите импульс электрона, если он движется со
скоростью, равной 0,6 скорости света.
29.20. Два самолета летят навстречу друг другу со скоростя-
ми 500 и 400 м/с. Какова их относительная скорость?
29.21. Две частицы движутся навстречу друг другу, имея
скорость 5/8 с каждая. Какой будет скорость сближения час-
тиц, найденная по классической и релятивистской формулам?
312
VI. ФИЗИКА АТОМНОГО ЯДРА
§ 30. Строение атомного ядра.
Атомная энергия и ее использование
Основные понятия и формулы
Согласно ядерной модели атома, предложенной Резерфор-
дом и в дальнейшем развитой Бором, атом состоит из положи-
тельно заряженного ядра и электронов, вращающихся вокруг
него. В состав ядра входят протоны и нейтроны, получившие
общее название — нуклоны.
Ядро занимает весьма малый объем по сравнению с атомом.
Если условно форму ядра атома считать сферической, то радиу-
сы ядер различных элементов можно определить по формуле
f = 1,4-1015Va,
где А — массовое число элемента.
Плотность вещества в ядре порядка 1,3 • 1017 кг/м3. Средняя
плотность ядерного вещества вычисляется по формуле
где т — масса нуклона; г — радиус ядра.
Положительный заряд ядра определяется произведением по-
рядкового номера Z в таблице химических элементов Менделее-
ва на элементарный зяряд и, следовательно, зависит от числа
протонов в ядре.
Масса ядра обусловлена числом нуклонов. Единица массы
атомов — атомная единица массы (а. е. м.), равная %2 массы
атома углерода С.
Атомную единицу массы можно выразить в СИ:
1 а. е. м. = 1,66057 • 10’27 кг.
Чтобы определить массу атома, в большинстве случаев дос-
таточно воспользоваться массовым числом элемента:
та = А • 1,66057 • 10 27 кг.
313
Ядра атомов химических элементов обозначаются х X, где
X — символ элемента; А — массовое число; Z — атомный номер
элемента, равный числу протонов в ядре. Обозначения частиц:
— электрон; [е — позитрон; — нейтрон; — протон
(ядро атома водорода |Н); | Не — ос-частица.
Масса атомного ядра меньше суммы масс нуклонов на вели-
чину, получившую название дефекта массы:
Am = Zmp +Nmn —тх,
где тх — масса ядра; тр — масса протона; тп — масса нейтро-
на. Массу атома тй берут из таблицы химических элементов
Менделеева. Тогда
znx = та - Zme.
Нуклоны в ядре удерживаются благодаря ядерным силам,
значительно превосходящим электростатические силы (оттал-
кивания), поэтому когда расщепляется ядро, то затрачивается
энергия для преодоления ядерных сил. При соединении нукло-
нов с образованием нового ядра освобождается энергия, назы-
ваемая энергией связи.
Зависимость энергии связи и дефекта массы определяется
уравнением Эйнштейна
ДЕ= Лиге2.
Дефекту массы, равному 1 а. е. м., соответствует энергия
связи 931,5 МэВ.
Радиоактивность (способность атомов к превращениям) —
одно из явлений, подтверждающее сложное строение ядер
атомов.
Существует три вида излучений при радиоактивном распаде
(рис. 66):
ос-излучение представляет собой ядра атомов гелия £ Не. При
а-распаде массовое число ядра уменьшается на 4, а заряд на
2 единицы;
P-излучение представляет собой поток электронов, скорости
которых близки к скорости света. При p-распаде электрон воз-
никает в результате превращения нейтрона в протон, поэтому
положительный заряд ядра возрастает на единицу, а массовое
число остается без изменения;
у-излучение сопровождает а- или p-распад. При испускании
у-квантов массовое число и заряд не изменяются.
314
Правила смещения ядер, образующихся при радиоактивных
распадах:
при а-распаде z Хг —» Z-2 Х2 + 2Не;
при 0-распаде Z^X2 + Де.
Закон радиоактивного распада: число ядер AN, подвергаю-
щихся радиоактивному распаду за промежуток времени от t до
t + At, пропорционально числу ядер N, имеющихся к моменту
времени t, и промежутку времени At:
AN = -kNAt,
где А. — постоянная распада, характеризующая скорость радио-
активного распада для данного вида ядер; знак минус указыва-
ет на убыль числа ядер в процессе распада.
Для характеристики устойчивости ядер вводится понятие
периода полураспада Ту2 — времени, за которое распадается по-
ловина всех ядер, способных к распаду:
Ту2 = In 2/А. =0,693/А,.
Примеры решения задач
Пример 130. В радиоактивных отходах атомных электростан-
ций (АЭС) содержится радиоактивный изотоп стронция Sr с пе-
риодом полураспада 28 лет. За какое время количество стронция
в отходах уменьшится в 4 раза?
Д а н о: Sr — изотоп стронция; = 28 лет — период полу-
распада.
315
Рис. 67
Найти: t — время, за которое количество стронция умень-
шится в 4 раза.
Решение. Зависимость количества распадающихся ядер
от периода полураспада может быть показана на графике
(рис. 67). Анализируя график, приходим к выводу, что через
два периода полураспада, т.е. через 2 • 28 лет = 56 лет, количе-
ство ядер стронция в отходах уменьшится в 4 раза.
Пример 131. Какая доля радиоактивного цезия 5357 Cs, пери-
од полураспада которого 30 лет, распадается за 1 год? Опреде-
лите постоянную распада.
Дано: 5357 Cs — радиоактивный изотоп цезия; Ту = 30 лет —
период полураспада; t = 1 год — время.
Найти: ДА / No — долю распавшихся ядер; 1 — постоян-
ную распада.
Решение. Начальное число атомов обозначим через No,
через N — число атомов, оставшихся по истечении времени t.
Тогда можно записать ДА = Ао — А, где ДА — число атомов,
распавшихся за время t.
По закону радиоактивного распада А = Аое-Х<,гдее = 2,71... —
основание натуральных логарифмов.
С учетом того, что время t мало по сравнению с периодом по-
лураспада Ту, можно использовать приближенную формулу
316
AN =
0,693
Not.
Запишем ее иначе:
AN 0,693 AN 0,693-1год л _
---= — t; = —-------------- = 0,023.
No Туг No ЗОлет
Постоянная распада X характеризует скорость протекания
радиоактивного распада и определяется из формулы
0^93 ------0^93-----= 7310_10с_,
Т 30-365-24 3600с
Ответ. Доля ядер цезия, распавшихся за 1 год, равна при-
близительно 2,3%; постоянная распада 7,3 • 1О-10 с-1.
Пример 132. Определите состав ядер атомов лития, изотопов
водорода с массовыми числами 1 и 2 и изотопов урана с массо-
выми числами 235 и 238.
Д а н о: зЫ — ядро атома лития; }Н— ядро атома водорода;
f Н — ядро атома тяжелого водорода (дейтрон); 29328U и 2925U —
ядра атомов изотопов урана.
Н а й т и: Z — число протонов и N — число нейтронов в ядрах
атомов названных элементов.
Решение. Число протонов в ядре определяется зарядо-
вым числом, которое равно порядковому номеру элемента в
таблице Менделеева. Зарядовое число всегда ставится слева от
символа, обозначающего данный элемент, в нижней его части.
Слева от символа вверху ставится массовое число А, равное ко-
личеству нуклонов в ядре:
А = Z + N.
Отсюда количество нейтронов
N = A — Z.
Литий 3Li: Z = 3, N = 7 - 3 = 4.
Обычный водород }Н: Z = 1; тяжелый водород 2Н— Z = 1;
N=l.
Уран 2928U: Z = 92; N = 146.
Уран 29325U: Z = 92; N = 143.
В данном примере водород и уран представлены двумя изото-
пами. Для одного и того же химического элемента изотопы име-
ют одинаковое число протонов, но разное число нейтронов.
317
Пример 133. Ядро изотопа магния с массовым числом 25
подвергается бомбардировке протонами. Ядро какого элемента
при этом образуется, если ядерная реакция сопровождается из-
лучением а-частиц?
Решение. Находим в таблице Менделеева порядковый но-
мер магния (12) и пишем ядерную реакцию
f|Mg+} Н—> ^Х + гНе.
По закону сохранения заряда сумма зарядовых чисел слева
должна равняться сумме зарядовых чисел справа: 12+1 = Z + 2;
отсюда зарядовое число неизвестного элемента Z = 11. В таблице
химических элементов Менделеева на 11-м месте стоит натрий.
По закону сохранения массы (массового числа) слева и справа
сумма массовых чисел должна оставаться неизменной, в нашем
примере 26. Следовательно, получился изотоп натрия с массо-
вым числом 22.
Окончательно уравнение запишем в виде
f|Mg+} Н-> ijNa + ^He.
Пример 134. При бомбардировке а-частицами алюминия об-
разуется новое ядро и нейтрон. Запишите ядерную реакцию и
определите, ядро какого элемента при этом образуется.
Решение. Запишем ядерную реакцию. Слева запишем
то, что нам дано, а справа должно быть неизвестное ядро и
нейтрон:
?!Л1+4 Не-» *Х+ *п.
Уравнивая зарядовые и массовые числа слева и справа (как в
примере 133), приходим к заключнию, что новым ядром будет
фосфор. Окончательно реакция будет иметь вид
?з А1+| Не—> ?°Р+дЛ.
Пример 135. Определите дефект массы, энергию связи ядра
атома азота. Какая энергия связи приходится на один нуклон?
Д а н о:14 N—ядро атома азота; из таблиц: тп — 1,00867 а. е. м. —
масса покоя нейтрона; тн = 1,00797 а. е. м. — масса атома водоро-
да; та = 14,0067 а. е. м. — масса атома азота; с = 2,99792 • 108 м/с —
скорость света в вакууме; 1 а. е. м. = 1,66056 10~27 кг.
Найти: Ат — дефект массы; ЛЕ — энергию связи ядра ато-
ма азота; &Е/А — удельную энергию связи.
318
Решение. Дефектом массы называют разность между сум-
мой масс покоя свободных протонов и нейтронов, входящих в со-
став ядра, и массой самого ядра:
Am = Zmp +Nmn -тх,
где тх — масса ядра: тх = та - Zme.
Выражение для дефекта массы значительно упростится, если
вместо суммы масс протонов взять сумму масс атомов водорода:
Am=ZmK +Nmn -тй.
Вычислим:
Дт = 7 1,00797 а. е. м. + 7 • 1,00867 а. е. м. - 14,0067 а. е. м ~
~ 0,10978 а.е.м.;
Ат = 0,10978 • 1,66 • 10"27 кг = 1,822348 • 10~28 кг.
Энергию связи найдем по уравнению Эйнштейна:
ДЕ - Дтс2;
ДЕ = 1,822 • 10’28 кг (2,9979 м/с)2 = 1,638 • 10" Дж.
Энергию связи можно выразить, как это принято в атомной
физике, в мегаэлектрон-вольтах:
1,638 10 11
ДЕ = ------— МэВ=102,4 МэВ.
1,61013
Если учесть, что 1 а. е. м. соответствует энергия, приблизи-
тельно равная 931,4 МэВ, энергию связи можно найти проще:
АЕ = 0,10978 • 931,4 МэВ = 102,25 МэВ.
Как видим, результаты вычислений отличаются незначи-
тельно.
Удельной энергией связи называют энергию, приходящуюся
на 1 нуклон:
АЕ/А = 102 МэВ/14 ~ 7,3 МэВ/нуклон.
Вычисления согласуются с табличными данными.
Ответ. Дефект массы равен 0,1097 а. е. м.; энергия связи ядра
атома азота = 102 МэВ; удельная энергия связи 7 МэВ/нуклон.
Пример 136. На атомной электростанции установлены реак-
торы тепловой мощностью по 3200 МВт каждый. Электриче-
ская мощность 1000 МВт. Загрузка реактора ураном составляет
180 т. Определите КПД блока и массу урана-235, расходуемого
реактором за 1 год непрерывной работы на полную мощность.
319
Какую часть от полной загрузки составит израсходованный за
это время уран?
Д а н о: Рт = 3,2 • 109 Вт — тепловая мощность реактора;
Рэ = 10е Вт — электрическая мощность блока; t = 1 год =
= 3,15 • 107 с — время, для которого определяется расход ядер-
ного-горючего; т = 1,8 • 105 кг — масса урана, загруженного в
реактор; из таблиц: Nk = 6,02 • 1023 моль-1 — постоянная Аво-
гадро; М — 235 • 10 3 кг/моль — молярная масса урана; Е =
= 200 МэВ — энергия, выделенная при делении одного ядра
урана-235.
Н а й т и: Т] — коэффициент полезного действия установки
(блока); т1 — массу израсходованного урана; mjm — долю из-
расходованного урана.
Решение. Коэффициент полезного действия блока опре-
деляется отношением электрической мощности блока к тепло-
вой мощности реактора:
Р 109 Вт
Т| =—100%; п =---------100% = 31,3%.
1 Рт 1 3,2 109Вт
Для определения массы израсходованного урана необходимо
найти число атомов урана-235, вступивших в реакцию за время
эксплуатации реактора. Учитывая, что при делении одного ядра
урана-235 освобождается примерно 200 МэВ энергии и из них
190 МэВ превращается в теплоту, можно написать А = PTt/Er,
где Ег = 190 МэВ. Зная число атомов, вступивших в реакцию, и
массу одного атома та = M/NK, определим массу израсходован-
ного урана:
М PTt
т, =m.N или тп, =------;
Е.
235 10-3кг • моль-1 -3,2 109 Вт-ЗД5107с „ _
тп, =--------—-----;-----------—------= 1294 кг.
6,02 1023 моль-1 1901,6-Ю-13 Дж
Определим, какая часть от полной загрузки будет израсходо-
вана за 1 год:
ТП,
т
1294кг
1,840s кг
=0,007.
Ответ. КПД станции приблизительно 31%; за год работы
сгорает примерно 1300 кг урана-235, что составляет меньше 1%.
30.1. Что такое a-излучение? Почему в магнитном поле оно
отклоняется слабее, чем [3-излучение?
320
30.2. Под действием какой силы а- и p-излучение отклоня-
ются в магнитном поле?
30.3. Какое из трех: а-, р- и у-излучение не отклоняется маг-
нитным и электрическим полями?
30.4. Что такое у-излучение? Чем оно отличается от рентге-
новского излучения?
30.5. Сколько электронов находится в электронной оболочке
нейтрального атома, ядро которого состоит из 6 протонов и
6 нейтронов?
30.6. Ядра атомов любых химических элементов состоят из
протонов и нейтронов. Как же объяснить возникновение р-из-
лучения?
30.7. Определите период полураспада радона, если за одни
сутки из 106 атомов распадается 1,75 • 105 атомов. Чему равна
постоянная распада? (Воспользоваться приближенной форму-
лой.)
30.8. Постоянные распада висмута-209 и полония-210 соот-
ветственно равны 1,6 • 10~6 с-1 и 5,8 10-8 с-1. Определите их пе-
риоды полураспада.
30.9. Какая доля радиоактивных ядер изотопа *64 С распада-
ется за 100 лет, если его период полураспада 5570 лет?
30.10. При p-распаде изотопа натрия-24 распадается 9,3 • 1018
из 2,51 • 1019 атомов. Период полураспада 14,8 ч. Определите по
приближенной формуле (см. пример 131) время и постоянную
распада.
30.11. Изотоп урана 2g28 U массой 1 г излучает 1,24 • 104 а-частиц
в секунду. Определите период и постоянную распада изотопа.
30.12. Каков состав ядер водорода f Н, хвлия 2Не, алюминия
Ц А1, урана g28U, нептуния g87Np? Что можно сказать о количе-
стве нейтронов в ядрах с возрастанием их порядкового номера?
30.13. Чем различаются ядра изотопов хлора: ffCl и f?Ci?
Как объяснить, что в таблице Менделеева хлор имеет относи-
тельную атомную массу 35,5?
30.14. В ядре какого элемента содержится 14 протонов и
столько же нейтронов? В ядрах каких элементов из числа пер-
вых 20 в таблице Менделеева содержится равное число прото-
нов и нейтронов?
30.15. Определите заряды ядер лития, меди и урана-238 в
кулонах.
30.16. Радий массой 1 г испускает каждую секунду 3,7 • Ю10
а-частиц. Определите заряд этого излучения в кулонах.
11- -2453
321
30.17. Определите радиус и плотность ядер атомов гелия и
урана-238.
30.18. Запишите реакцию непосредственного превращения
актиния-227 во франций-223, а- или 0-распад имеет здесь
место?
30.19. Что произойдет с изотопом урана-237 при 0-распаде?
Как изменяется массовое число нового элемента? Влево или
вправо в таблице химических элементов Менделеева происхо-
дит сдвиг? Запишите реакцию.
30.20. При взаимодействии ядра атома лития с дейтроном
образуется ядро атома бериллия. Какая частица освобождается
при этом? Напишите ядерную реакцию.
30.21. В археологических исследованиях «возраст» найден-
ных предметов определяют по содержанию изотопа некоторого
элемента. Определите заряд, массовое число и назовите эле-
мент по ядерной реакции
“N+in-^X + lp.
30.22. В ядро какого атома химического элемента превра-
тится ксенон после одного а- и одного 0-распада?
30.23. При аннигиляции электрона и позитрона образуются
два у-кванта. Считая массы электрона и позитрона одинаковы-
ми, определите энергию у-излучения и его частоту.
30.24. Для обнаружения взрывчатки в багаже авиапассажи-
ров можно использовать ядерно-физический метод. Взрывчат-
ка обычно содержит изотопы азота с массовыми числами 14 и
15. После облучения нейтронами образуются изотопы азота с
массовыми числами 15 и 16, а последний радиоактивен и излу-
чает у-кванты, которые можно регистрировать. Запишите, как
протекала ядерная реакция.
30.25. Какой должна быть энергия у-кванта, чтобы он мог
превратиться в пару электрон — позитрон?
30.26. Установлено, что при бомбардировке изотопа алюми-
ния ядрами атомов гелия вместе с образованием нового ядра ис-
пускается протон. Запишите, как протекала ядерная реакция и
ядро какого элемента при этом образовалось?
30.27. Когда бор “В захватывает быстро движущийся про-
тон, то в камере Вильсона, где протекает этот процесс, образу-
ются три почти одинаковых трека, расходящихся веером в раз-
ные стороны. Какие частицы образовали эти треки?
30.28. Назовите пропущенную частицу в ядерной реакции
322
jLi+?—> 15°B+ ‘n.
30.29. Какие ядра и частицы образуются, когда протекают
следующие ядерные реакции:
2939Pu+|He-» zX+qh;
fH+y—> }Н+?
30.30. Превращение фосфора 39 Р в кремний 39 Si сопровож-
дается испусканием позитрона. Какие изменения происходят в
ядре?
30.31. Определите дефект массы ядра атома лития в атом-
ных единицах массы и килограммах.
30.32. Определите дефект массы ядра атома бора 5° В в атом-
ной единице массы и энергетических единицах.
30.33. Определите дефект массы и энергию связи ядра атома
уран-238.
30.34. Проведите энергетический расчет ядерных реакций и
ответьте, в каких из них выделяется или поглощается энергия
а) |Не + |Не3L1+}Н;
б) 9Be + fH—> ^В+оП;
в) ®Li+?Н—>2 гНе.
30.35. На тепловых электростанциях для обеспечения 1 ГВт
электрической мощности необходимо сжигать ежегодно 2 • 106 т
угля, «поставляя» в атмосферу 8 • 103 т золы и десятки тысяч
тонн сернистых газов. Сколько потребуется израсходовать
урана-235 для получения такой же мощности и при том же
КПД?
30.36. При делении одного атома урана-235 на два осколка
выделяется около 3 • 10 й Дж энергии. Сколько бензина по-
требуется сжечь, чтобы получить такую же энергию, которая
выделяется при ядерной реакции, в которой расходуется 1 г
урана?
30.37. Подсчитайте энергию, выделенную при сжигании
1120т каменного угля марки А-1,376 т нефти, 5 • 105 м3 природ-
ного газа, и энергию, полученную при делении 260 г урана-235.
30.38. Реакторы, установленные на Кольской и Ровенской
АЭС, имеют КПД 32%. Сколько граммов урана-235 потребляет
ядерный реактор за 1 ч, если электрическая мощность его
440 МВт?
30.39. Сколько энергии выделялось в ядерных реакторах
атомного ледокола, если в сутки расходуется 62 г урана-235?
323
30.40. В тепловых реакторах АЭС (работающих на медленных
нейтронах) эффективность использования ядерного горючего
низкая, и они не могут обеспечить нужные масштабы выработки
атомной энергии. Проблему решают реакторы на быстрых ней-
тронах. Почему?
30.41. Какие из перечисленных частиц стабильны: фотон
электрон, нейтрино, протон, нейтрон, л-мезон?
30.42. При аннигиляции протона и антипротона возникает
у-излучение. Подсчитайте энергию фотонов, если массы прото-
на и антипротона считать равными 1,67 • 10-27 кг каждая.
30.43. Осуществление управляемой термоядерной реакции
создает огромные возможности для получения энергии. При ис-
пользовании дейтерия, содержащегося в литре обычной воды, в
реакции термоядерного синтеза выделяется столько же энер-
гии, сколько получается при сжигании 350 л бензина. Подсчи-
тайте эту энергию.
30.44. В процессе термоядерного синтеза 5 • 104 кг водорода
превращаются в 49644 кг гелия. Определите, сколько энергии
выделяется при этом.
324
VII. ОБОБЩАЮЩИЕ СВЕДЕНИЯ
ПО АСТРОНОМИИ
§ 31. Некоторые сведения по курсу астрономии
Основные понятия и формулы
Изучение астрономии помогает глубже понять физическую
картину мира, расширить диалектико-материалистические
представления о материи, различных формах ее существова-
ния. Развитие космонавтики создало дополнительные возмож-
ности изучения процессов, происходящих во Вселенной, и их
влияния на жизнь на нашей планете.
Небесная сфера — это сфера произвольного радиуса с цент-
ром в месте наблюдения, на которую проектируются небесные
светила. Ось мира РРХ — ось видимого вращения небесной сфе-
ры; точки пересечения небесной сферы с осью мира называют
полюсами мира (рис. 68).
Суточное вращение небесной сферы позволяет установить, ка-
кие созвездия на данной географической широте будут заходить за
линию горизонта и какие будут незаходящими. Так, для широты
Москвы созвездие Малой Медведицы является незаходящим. Наи-
более яркая звезда созвездия Полярная очень близка к северному
полюсу мира. Так как по угловому расстоянию полюса мира от
плоскости горизонта можно определить географическую широту
места наблюдения, то в северном полушарии о географической ши-
роте можно судить по угловой высоте Полярной звезды.
Эклиптика — это видимый го-
дичный путь Солнца на небесной
сфере. Эклиптика пересекается с эк-
ватором в точках весеннего и осен-
него равноденствия (рис. 69). Наи-
более удаленные от экватора точки,
в которых бывает Солнце, соответ-
ствуют летнему солнцестоянию 22
июня и зимнему солнцестоянию 22
декабря. Эклиптика проходит через
12 созвездий, получивших название
зодиакальных: Рыбы, Овен, Телец,
325
Рис. 72
Близнецы, Рак, Лев, Дева, Весы, Скорпион, Стрелец, Козерог и
Водолей.
Положение светила на небесной сфере определяется двумя ко-
ординатами: склонением 5 и прямым восхождением а (рис. 70).
Большой круг небесной сферы, проходящий через полюсы
мира и данное светило, называется кругом склонения, а угло-
вое расстояние от небесного экватора до светила, измеряемое по
кругу склонения, — склонение светила. К северу от экватора
все склонения положительны, к югу — отрицательны. Склоне-
ние светила аналогично географической широте. Прямое вос-
хождение измеряется вдоль небесного экватора от точки весен-
него равноденствия до круга склонения, проходящего через
данное светило. Прямое восхождение аналогично географиче-
ской долготе, и оно выражается в единицах времени.
Прохождение светил через меридиан называется кульмина-
цией. Каждое светило за сутки дважды проходит через мериди-
ан. Истинный полдень — момент верхней кульминации центра
диска Солнца; истинная полночь — его нижняя кульминация.
Угловая высота светила над горизонтом h в момент его верх-
ней кульминации может быть определена по формуле (рис. 71):
h = 90° - (р + 5, где <р — географическая широта.
326
Определение расстояний до небесных тел основано на явле-
нии параллактического смещения. Горизонтальный параллакс
р — угол, под которым со светила виден радиус Земли, перпен-
дикулярный лучу зрения (рис. 72):
SC =----.
sin р
Годичный параллакс звезды — это угол, под которым со
звезды виден радиус земной орбиты, перпендикулярный лучу
зрения D (рис. 73):
a
sin p
Единица расстояния в астрономии — астрономическая еди-
ница (а. е.); 1 а. е. = 149,6 106 км — это среднее расстояние от
Земли до Солнца. В звездной и галактической астрономии еди-
ницами расстояний служат световой год (св. год) и парсек (пк):
1 пк — 206265 а. е. = 30,86 • 1012 км; световой год равен расстоя-
нию, которое проходит луч света за один год:
1 св. год = 0,3068 пк.
Парсек определяется, как расстояние, с которого радиус зем-
ной орбиты виден под углом 1'. Переход от одних единиц рас-
стояний к другим показан в таблице, расположенной ниже.
км а.е. св. год ПК
1км 1 6,7-10” 1,1 • 10 13 3,2 10 14
1 а.е. 1,5-108 1 1,6 10 5 4,8 • 10 6
1 св. год 9,5 -1012 6,3-104 1 3,1 • 10 1
1 парсек 3,1 • 1013 2,1 • 105 3,3 1
327
Основные источники света во Вселенной — звезды и Солнце
в том числе — различаются по видимому блеску (воспринимае-
мой яркости). Для сравнительной характеристики используют
понятие визуальной (видимой) звездной величины (т). Чем
ярче звезда, тем меньше ее видимая звездная величина. Усло-
вились, что звезды 1-й величины ярче звезд 2-й в 2,512 раз. Для
сравнения блеска звезд используют отношение
— = 2,512(m2~mi),
е2
где Ег и Е2 — блеск звезд, видимые звездные величины которых
т1 и т2.
Так как 1g 2,512 = 0,4,
lg^- = 0,4(m2 -mJ.
&2
Светимость L измеряется световым потоком, излучаемым с
единицы светящегося тела.
Единица светимости — люмен на метр квадратный (лм/м2).
Абсолютная звездная величина М — это та видимая звезд-
ная величина, которую имела бы звезда, удаленная от нас на
стандартное расстояние Do; здесь Do = 10 пк. Так как
Е/Ео =D20 / D2 =102/ D2, то lg(E/E0) = 2-21gZ>.
Учитывая, 4Tolg(E/E0) = 0,4(Af -тп), можно записать
0,4(М -m) = 2-21gD.
Таким образом, абсолютная звездная величина
M = m+5-51gZ>;
здесь D выражено в парсеках. Если учесть, что D = 1/р, гдер —
параллакс, выраженный в секундах, то
М =m+5+51g р.
На стандартном расстоянии справедливо соотношение
Ei / L2 — Ei / Е2,
следовательно
lg(L1/Z2) = 0,4(M2-M1).
Принимая во внимание, что абсолютная звездная величина
Солнца М@ == 5, а светимость принимается равной 1(£@ = 1)
можно выразить светимость звезды относительно Солнца:
lg L = 0,4 (М@ - М).
328
В состав Солнечной системы кроме Солнца и планет входят
астероиды (малые планеты), кометы и метеорная пыль.
Наше светило — Солнце — является рядовой звездой в сис-
теме Млечного Пути, относящейся к желтым карликам. Диа-
метр его 1,39 • 106 км, т. е. в 109 раз больше земного, а масса в
333 000 раз больше земной. Раскаленный газовый шар Солнца
в своем составе имеет 85% водорода и 13% гелия; многие дру-
гие элементы присутствуют в небольших количествах в качест-
ве примесей. Температура в центре Солнца порядка 20 • 106 К.
давление порядка 2 • 107 ГПа. При таких условиях возникают
ядерные реакции, являющиеся источником энергии Солнца.
Движение небесных тел и их взаимное тяготение подчиняет-
ся законам физики.
Первый закон Кеплера: все планеты обращаются вокруг Солн-
ца по эллипсам, в одном из фокусов которых находится Солнце.
Второй закон Кеплера: радиусы-векторы планеты за равные
промежутки времени описывают равные площади (рис. 74).
Третий закон Кеплера: квадраты времен обращения планет
вокруг Солнца относятся как кубы их средних расстояний до
Солнца:
Т? _ Я?
гр 2 пЗ
Ньютон уточнил третий закон таким образом, что оказалось
возможным использовать его для сравнения масс небесных тел:
т1+т2 Т?2 _ Я?2
Шз +/п4 Т324 Я|4 ’
где т1г т2 и т3, т4 — массы двух пар небесных тел, обращаю-
щихся одно вокруг другого; Г12, 7134, Я12, Я34 — соответственно
периоды обращения и средние расстояния между ними.
Закон всемирного тяготения Ньютона: все тела во Вселенной
тяготеют друг к другу с силой, пропорциональной произведению их
329
масс и обратно пропорциональной квадрату расстояния между цен-
трами их масс:
„ о Нм2
где G = 6,6720 • 10 ------гравитационная постоянная.
кг2
При решении ряда задач необходимо пользоваться подвиж-
ной картой звездного неба. Для этого надо перевести на кальку
накладной круг, изображенный на заднем форзаце книги. В нем
сделать вырез по линии, соответствующей географической ши-
роте места наблюдения. Путем совмещения накладного круга с
подвижной картой звездного неба, изображенной на переднем
форзаце, можно наблюдать звездное небо в интересующие на-
блюдателя час и месяц. Например, для ответа на вопрос, каким
будет звездное небо 10 октября в 22 ч, необходимо, чтобы 22 ч на
накладном круге совпали с 10 октября на подвижной карте.
В вырезе накладного круга будут находиться все видимые в дан-
ный момент небесные тела.
Примеры решения задач
Пример 137. Определите, во сколько раз масса Солнца больше
массы Земли, если известно, что период обращения Луны вокруг
Земли 27,2 сут, а среднее расстояние ее от Земли 384000 км.
Д а н о: Тл = 27,2 сут — период обращения Луны вокруг Зем-
ли; ал = 3,84 • 105 км — среднее расстояние от Луны до Земли;
Т3 = 365 сут — период обращения Земли вокруг Солнца; из таб-
лиц: «3 = 1,5-108 км — среднее расстояние от Земли до Солнца.
Найти: тс/ш3- отношение массы Солнца к массе Земли.
Решение. Для решения используем формулу уточненно-
го третьего закона Кеплера:
тпс +т3 _ а|
т3 +тл ал ‘
Учитывая, что масса Земли по отношению к массе Солнца и
масса Луны по отношению к массе Земли ничтожно малы, фор-
мулу можно переписать в виде:
тс ^з _ °з
тз ал
отсюда
тс _аз
"1з «л 7з ’
330
Подставим числовые значения и вычислим:
™с = (1,5108км)3(27,2 сут)2 = 330000
т3 (3,84 105 км)3(365 сут)2
Ответ. Масса Солнца больше массы Земли приблизительно
в 330000 раз.
Пример 138. Определите среднее расстояние от Земли до
Луны, используя следующие данные: 1) горизонтальный пара-
ллакс Луны р = 0,57'; 2) электромагнитный импульс, послан-
ный с Земли на Луну, возвратился через 2,56 с. Какова средняя
скорость движения Луны вокруг Земли, если звездный или си-
дерический месяц составляет 27,3 сут?
Д а н о: р = 0,57' — горизонтальный параллакс Луны; t =
= 2,56 с — время прохождения электромагнитным импульсом
двойного расстояния от Земли до Луны; Т = 27,3 сут = 27,3 •
• 3600 • 24 с — сидерический месяц; из таблиц: = 6370 км —
средний радиус Земли; с = 3 • 105 км/с — скорость света.
Н а й т и: d — расстояние от Земли до Луны; v — среднюю
скорость движения Луны по орбите.
Решение. 1. Горизонтальный параллакс Луны определя-
ет угол, под которым с Луны виден радиус Земли (см. рис. 72),
р R3 „
следовательно, 3gQO~ = Здесь параллакс удобно выразить в
градусахр = 0,57' = 0,95°. Тогда
, 360°-6370 км
d =------------=384 380 км.
0,95° -6,28
2. Если послать на Луну радиосигнал, то он, отразившись от
ее поверхности, возвратится на Землю. По измерениям время,
за которое радиосигнал прошел двойное расстояние от Земли до
Луны, известно, следовательно,
, ct , 300000км/с-2,56с
d = — ;d =---------------=384000км.
2 2
Для определения средней скорости движения Луны по орби-
те вокруг Земли воспользуемся формулой
_ 2nd
v ----------------------------,
Т
где Т — звездный или сидерический месяц, т. е. период обраще-
ния Луны вокруг Земли относительно звезд. Подставив число-
вые данные, получим:
_ 6,28-3,84 10® км ,
v =---------------=1,02 км/с.
27,3 24-3600 с
331
Ответ. Расстояние от Земли до Луны приблизительно рав-
но: 1) 384380 км; 2) 384000 км; средняя скорость движения
Луны по орбите 1,02 км/с.
Пример 139. Видимые звездные величины — звезды из со-
звездия Девы (Спики) и Солнца соответственно равны +1т,21 и
-26т,8. Зная, что расстояние до Спики равно 47,7 пк, определи-
те абсолютные звездные величины звезды и Солнца. Во сколько
раз светимость Спики больше светимости Солнца?
Д а н о: т — + 1т,21 — визуальная (видимая) звездная вели-
чина звезды; т@ = - 26т,8 — визуальная звездная величина
Солнца; D = 47,7 пк — расстояние до звезды.
Н а й т и: М — абсолютную звездную величину Спики; М@ —
абсолютную звездную величину Солнца; L — светимость звез-
ды Спики.
Решение. Для определения абсолютной звездной величи-
ны Спики воспользуемся формулой, в которой расстояние вы-
ражено в парсеках:
М = zn+5-51g£); М = 1,21 +5-51g47,7 =-2т ,2.
Для определения абсолютной звездной величины Солнца не-
обходимо учесть, что расстояние до Солнца, принятое за 1 а. е.,
выраженное в парсеках, равно 1/206265:
М@ = т@ + 5 - 5 1g (1/206 265);
М@ = -26,8 + 5 + 51g 206265;
М& = -26,8 + 5 + 5 • 5,314 = 4т,77 = 4т,8.
Определить светимость звезды — это значит сравнить ее со све-
тимостью Солнца, которую принимают равной единице (L@ = 1):
lg (L/L@) = 1g L = 0,4 (Me - M);
lg£ = 0,4 (4,8 + 2,2) = 2,8;
£=630,9=631.
Ответ. Абсолютные звездные величины Спики и Солнца
соответственно равны -2т,2 и 4т,8; светимость Спики превос-
ходит в 631 раз светимость Солнца.
31.1. Сколько времени свет идет от Солнца до Земли? Рас-
стояние от Солнца до Земли 149,6 • 10® км; скорость света 2,998 •
105 км/с.
31.2. Определите расстояние до ближайшей к нам звезды а
Центавра, зная, что свет от нее к нам идет 4,25 года. Расстояние
выразите в километрах и парсеках.
332
31.3. Среднее расстояние от Солнца до самой далекой плане-
ты Плутон 40 а. е. Сколько времени потребуется лучу света,
чтобы пройти это расстояние?
31.4. До ближайшей к нам Галактики в созвездии Андроме-
ды свет идет 2 • 106 лет. Выразите это расстояние в парсеках.
31.5. Назовите самые яркие звезды, видимая звездная вели-
чина которых выражена отрицательным числом.
31.6. Какому созвездию принадлежит Сириус? На что ука-
зывает его отрицательное склонение?
31.7. Самая яркая звезда Сириус удалена от нас примерно на
8,4 • 1013 км. За сколько времени свет от Сириуса доходит до
Земли?
31.8. Луч света пересекает наибольший поперечник нашей
Галактики за 100000 лет. Определите приближенно размеры
Галактики в парсеках.
31.9. Какая из самых ярких звезд находится в северном по-
лушарии небосвода? Какому созвездию она принадлежит?
31.10. Назовите точки горизонта, расположенные на небес-
ном меридиане и на небесном экваторе.
31.11. Как называют созвездие, находящееся на небесном
экваторе, которое разрезается на две неравные части другим
созвездием?
31.12. Путем наблюдений составьте перечень созвездий, не
заходящих в вашей местности. Проверьте правильность с помо-
щью подвижной карты звездного неба.
31.13. На подвижной карте звездного неба определите поло-
жение созвездия Андромеды в момент наблюдения, а затем
найдите на небосводе. В виде туманного пятнышка вблизи со-
звездия обозначена ближайшая к нам Галактика. Проведите
наблюдения за ней.
31.14. Всегда ли Солнце восходит точно на востоке и заходит
точно на западе? Объясните.
31.15. Какие зодиакальные созвездия нельзя наблюдать на
северном полюсе?
31.16. Для какого наблюдателя полюс мира будет находить-
ся в зените?
31.17. Для наблюдателя в Москве полюс мира находится на
угловом расстоянии 34°15' от зенита. Какова географическая
широта Москвы?
31.18. Определите высоту Полярной звезды для вашей мест-
ности.
31.19. Географическая широта Санкт-Петербурга 59°56'. На ка-
ком расстоянии от зенита находится полюс мира в этом городе?
333
31.20. Определите по подвижной карте звездного неба, какое
созвездие расположено на линии горизонта на севере в полночь
15 мая на широте Москвы. Проверьте, какое созвездие на севе-
ре в то же время будет вблизи горизонта на вашей широте.
31.21. На сколько градусов Солнце смещается по эклиптике
за сутки?
31.22. Каким будет склонение и прямое восхождение Солнца
22 марта?
31.23. Чему равно склонение и прямое восхождение точки
осеннего равноденствия?
31.24. Какова полуденная высота Солнца в Москве в день
летнего солнцестояния?
31.25. Какое значение углового диаметра Земли получит кос-
монавт, находящийся на Луне, если радиус Земли принять рав-
ным 6370 км, а расстояние от Земли до Луны 384000 км?
31.26. Угловой диаметр Солнца 32'. Определите линейный
диаметр Солнца.
31.27. Наибольший горизонтальный параллакс Марса 23".
Вычислите наименьшее расстояние от Марса до Земли.
31.28. Годичный параллакс Веги 0,121". Вычислите расстоя-
ние до Веги в парсеках.
31.29. Вычислите период обращения вокруг Солнца планеты
Уран, зная, что его среднее расстояние от Солнца 19,19 а. е.
31.30. Один оборот вокруг Солнца Сатурн совершает за
29,46 лет. Определите среднее расстояние от Солнца до Са-
турна.
31.31. Период обращения Юпитера вокруг Солнца 11,86 лет.
Определите среднее расстояние от планеты до Солнца в астро-
номических единицах и в миллионах километрах.
31.32. Планету Венера называют утренней и вечерней звез-
дой. Для каких географических широт это справедливо?
31.33. В какой фазе находится Венера, когда ее наблюдают
как утреннюю звезду?
31.34. Годичный параллакс ближайшей к Солнцу звезды а
Центавра 0,76". Сколько времени потребовалось бы на полет
космического корабля до звезды при скорости полета 17 км/с?
31.35. Расстояние до звезды Барнарда 1,83 пк. Каков ее го-
дичный параллакс?
31.36. Почему на Венере нет смены времен года?
31.37. Определите среднюю плотность солнечного вещества.
Необходимые данные возьмите из таблиц.
31.38. Определите линейную скорость корабля «Восток-1», на
котором Ю.А. Гагарин впервые совершил облет Земли. Орбиту
334
считайте круговой со средним расстоянием от поверхности Зем-
ли 251 км.
31.39. Что означает видимая звездная величина? Связана ли
она с истинными размерами звезды?
31.40. Во сколько раз звезда первой величины ярче звезды
второй величины?
31.41. Назовите ярчайшую звезду, видимую (визуальную)
звездную величину которой выражают отрицательным числом.
31.42. Во сколько раз звезда Капелла (а Возничего) ярче
звезды Денеба (а Лебедя), если их видимые звездные величины
равны соответственно О'",2 и 1т,4?
31.43. Во сколько раз звезда Альдебаран (а Тельца) ярче По-
лярной (а М. Медведицы), если их видимые звездные величи-
ны равны соответственно 1т,06 и 2т,1?
31.44. Что называют абсолютной звездной величиной? Как
ее обозначают?
31.45. Какова зависимость расстояния до звезды, видимой
(визуальной) и абсолютной звездных величин?
31.46. На каком расстоянии от наблюдателя должна нахо-
диться звезда, чтобы ее видимая (визуальная) и абсолютная
звездные величины были одинаковы?
31.47. Видимая (визуальная) звездная величина а Центавра
равна нулю, а расстояние от нее до земного наблюдателя состав-
ляет 1,3 пк. Определите абсолютную звездную величину звезды.
31.48. Во сколько раз светимость Сириуса больше светимо-
сти а Центавра, если их абсолютные звездные величины равны
соответственно 1т,35 и 4т,43.
335
Приложения
1. Основные физические постоянные
Скорость звука в воздухе при нормаль-
ных условиях .....................
Скорость света в вакууме..........
Гравитационная постоянная
Нормальное ускорение свободного
падения ..........................
Постоянная Авогадро
Молярный объем идеального газа
при нормальных условиях...........
Число Лошмидта....................
Молярная газовая постоянная.......
Постоянная Больцмана..............
Постоянная Фарадея................
Электрическая постоянная..........
Магнитная постоянная..............
Масса атома водорода..............
Масса покоя:
электрона ........................
протона ........................
нейтрона .......................
Элементарный электрический заряд . .
Отношение заряда электрона
к его массе.......................
Отношение массы протона к массе
электрона ........................
Атомная единица массы.............
Постоянная Планка.................
Постоянная Стефана-Больцмана . . .
Постоянная Вина...................
Постоянная Ридберга (для водорода) . .
Температура тройной точки воды . . .
v = 331,46 м/с
с - 2,998 • 108 м/с
6 = 6,67 1011Нм2/кг2
g =9,807 м/с2
Аа = 6,022 • 1023 моль1
Vm = 22,4 • 10~3 м3/моль
NL = 2,687 1025м-3
R = 8,314 Дж/(моль • К)
*= 1,381 -10 23Дж/К
F = 9,648 • 104 Кл/моль
е0 = 8,85 1(Г“ Ф/м
р0 =4 л • 10"7 Гн/м =
=1,257-10 вГн/м
та = 1,673 • 1027 кг
те =9,109 • 10"31 кг
тр= 1,673-10 27кг
тп = 1,675 • IO 27 кг
е = 1,602 10 19Кл
е/те= 1,759 • 1011
Кл/кг
тр!те = 1836,15
1 а.е.м. = 1,660 • 10-27 кг
h = 6,626 • 10“34 Дж • с
о = 5,67 • 10 8 Вт/(м2 • К4)
Ь = 2,897 103 м К
Rm = 1,097 •107m’1
T = 273,16K(t = 0,01"C)
2. Плотность некоторых веществ р, кг/м3
Твердые вещества (при 293 К)
Алмаз . .
Алюминий
Бетон . .
Вольфрам
Германий
3,5-103
2,7 • 103
2,2 • 103
1,93 • 103
5,32 103
336
Графит............................ 2,1 • 10
Дуб............................... 0,8 • 103
Железо, сталь..................... 7,8 -103
Золото............................ 19,3 • 103
Иридий............................ 22,4 • 103
Каучук ........................... 0,94•103
Кирпич............................ 1,5 • 103
Константан........................ 8,9 • 103
Латунь............................ 8,5 • 103
Лед (0"С)......................... 0,9 • 103
Манганин.......................... 8,5 • 10
Медь.............................. 8,9 • 103
Никелин........................... 8,8 • 103
Никель............................ 8,9 • 103
Нихром............................ 8,3 • 103
Олово............................. 7,3 • 103
Парафин........................... 9.0 • 102
Платина........................... 21,5 • 103
Поваренная соль................... ~2,1-10
Пробка............................ 0,24 • 103
Свинец ........................... 11,4•103
Серебро........................... 10,5 • 103
Снег.............................. 0,2 • 103
Слюда............................. 2,8 • 103
Стекло оконное.................... 2,5 • 10
Уран.............................. 19,0 • 103
Фарфор............................ 2,3 • 103
Цинк.............................. 7,1 • 103
Чугун белый....................... 7,5-10
Чугун серый....................... 7,0-10
Эбонит............................ 1,2-103
Янтарь............................ 1.1' Ю3
Жидкости (при 293 К)
Ацетон............................ 0,8 • 103
Анилин............................ 1,02 • 103
Бензин ........................... 0,7-103
Бензол............................ 0,85 • 103
Вода:
при 277 К........................ 1,0 103
морская........................ 1,03 • 10
тяжелая........................ 1,06-10
Глицерин.......................... 1,26-103
Керосин........................... 9.8'19
Масло:
подсолнечное..................... 0,93 • 10^
трансформаторное............... 0,89-10
минеральное, касторовое........ 0,92 10
Нефть............................. 0,9 • 103
12-2453
337
Нитробензол......................... 1,2 • 103
Раствор сульфата меди насыщенный . . 1,15 • 103
Ртуть при 273 К...................... 13,6 • 103
Сероуглерод.......................... 1,26 • 103
Скипидар............................. 0,87 • 103
Спирт этиловый, метиловый............ 0,79 • 103
Эфир серный.......................... 0,71 • 10я
Газы
(при нормальных условиях: р„ = 1,013 • 106 Па, То = 273 К)
Азот.............................. 1,25
Аммиак.............................. 0,77
Аргон............................... 1,78
Ацетилен.......................... 1,17
Бутан............................. 0,6
Водород........................... 0,09
Воздух............................ 1,29
Гелий............................. 0,18
Кислород............................ 1,43
Криптон............................. 3,74
Ксенон............................ 5,85
Метан............................. 0,72
Неон.............................. 0,9
Пропан............................ 2,01
Диоксид углерода.................... 1,98
Хлор.............................. 3,21
3. Удельная теплоемкость некоторых веществ с,
Дж/(кг • К)
Твердые вещества
Алюминий............................. 880
Бетон................................ 920
Дерево (ель, сосна)................ 2700
Железо, сталь, никель................ 460
Золото........................... 125
Кирпич........................... 750
Латунь........................... 380
Лед (снег)......................... 2090
Медь................................. 380
Нафталин........................... 1300
Олово................................ 250
Парафин............................ 3200
Песок............................ 970
Платина.......................... 125
Сера............................. 712
Свинец........................... 120
338
Серебро............................. 250
Стекло.............................. 840
Цемент.............................. 800
Цинк................................ 400
Чугун............................... 550
Жидкости
Вода.............................. 4187
Глицерин......................... 2430
Железо........................... 830
Керосин.......................... 2140
Масло машинное................... 2100
Масло трансформаторное........... 2093
Ртуть............................ 125
Спирт этиловый................... 2430
Скипидар.......................... 1760
Эфир серный...................... 2330
Газы
(при постоянном давлении)
Азот............................. 1000
Аммиак........................... 2100
Водород.......................... 14300
Водяной пар...................... 2130
Воздух............................ 1000
Гелий............................ 5200
Кислород......................... 920
Диоксид углерода................. 880
4. Удельная теплота сгорания некоторых веществ q,
Дж/кг
Твердое топливо
Бурый уголь...................... 9,3 • 106
Древесные чурки.................. 1,5 • 10
Древесный уголь.................. 3,1 • 10
Дрова сухие...................... 8,3 • 10
Каменный уголь:
марки А-1....................... 2,05 -107
марки А-11.................... 3,03-107
донецкий ..................... 2,55•10?
экибастузский................. 1,63 • 10
Кокс............................. 3,03 • 107
Порох............................... 3,0 • 10®
Торф............................. 1,5 • 107
339
Жидкое топливо
Бензин, нефть........................ 4,6 107
Дизельное горючее.................... 4,2 • 107
Керосин.............................. 4,4 • 107
Лигроин.............................. 4,33 • 107
Мазут................................ 4,0 107
Спирт этиловый....................... 2,7 • 107
Газообразное топливо
(для 1 м3 при нормальных условиях)
Генераторный газ................ 5,5 • 10е
Коксовый газ.................... 1,64 • 107
Доменный газ.................... 3,7 • 106
Природный газ................... 3,55 107
Светильный газ.................. 2,1 • 107
5. Температура кипения и удельная теплота
парообразования при температуре кипения
Вещество Г, К t,"C г, Дж/кг
Аммиак 239,6 -33,4 1,37-10®
Ацетон 329,2 56,2 5,2 • 105
Бензин 423 150 3,0 • 105
Вода обычная 373 100 2,26 • 106
Вода тяжелая 374,43 101,43 2,06 • 106
Воздух 81 -192 2,1 • 10®
Железо 3023 2750 5,8 • 104
Ртуть 630 357 2,85 • 105
Скипидар 433 160 2,94 10®
Спирт этиловый 351 78 8,57 10®
Фреон-12 243,2 -29,8 1,68 10®
Эфир серный 308 35 3,52 • 10®
6. Температура кипения и удельная теплота
парообразования воды при различных давлениях
t,‘C р, МПа г, МДж/кг
10 0,001 2,47
100 0,1 2,26
151 0,49 2,11
197,4 1,47 1,95
346 15,7 0,9
374,15 22,1 0
340
7. Давление насыщающих водяных паров и их плотность
при различных температурах
t, “С р, кПа р • 10 3, кг/м3
-10 0,260 2,14
-5 0,401 3,24
-4 0,437 3,51
-3 0,476 3,81
-2 0,517 4,13
-1 0,563 4,47
0 0,613 4,80
1 0,653 5,20
2 0,706 5,60
3 0,760 6,00
4 0,813 6,40
5 0,880 6,80
6 0,933 7,30
7 1,000 7,80
8 1,066 8,30
9 1,146 8,80
10 1,226 9,40
11 1,306 10,0
12 1,399 10,7
13 1,492 11,4
14 1,599 12,1
15 1,706 12,8
16 1,813 13,6
17 1,933 14,5
18 2,066 15,4
19 2,199 16,3
20 2,333 17,3
21 2,493 18,3
22 2,639 19,4
23 2,813 20,6
24 2,986 21,8
25 3,173 23,0
26 3,359 24,4
27 3,559 25,8
28 3,786 27,2
29 3,999 28,7
30 4,239 30,3
40 7,371 51,2
50 12,33 83,0
60 19,92 130,0
80 47,33 293
100 101,3 598
120 198,5 1123
160 618,0 3259
200 1554 7763
341
8. Температура кипения и критические параметры
некоторых веществ
Вещество Температура кипения t,"C Критические параметры
Температура «кр/С Давление РкрЮ’.Па
Вода 100 374,15 221,3
Спирт этиловый 78 243,1 63
Эфир 35 193,8 35,6
Ксенон -108 18,76 57,64
Кислород -183 -118,4 49,7
Аргон -186 -122,4 48
Криптон -193 -63,62 54,27
Азот -196 -147,1 33,5
Неон -246 -228,7 26,9
Водород -253 -241 12,8
Гелий -269 -267,9 2,25
9. Температура плавления и удельная теплота плавления
твердых веществ при температуре плавления
Вещество ^.к X, Дж/кг
Алюминий 932 659 3,8 • 10s
Вода, лед 273 0 3,35-10®
Вода тяжелая 276,82 3,82 3,16 10s
Вольфрам 3683 3410 2,6 • 104
Железо 1803 1530 2,7 • 105
Золото 1337 1064 6,6 • 104
Медь 1356 1083 1,8 • 10®
Нафталин 353 80 1,51 • 10®
Олово 505 232 5,8 • 104
Ртуть 234 -39 1,25 • 104
Свинец 600 327 2,5 • 104
Сера 385,8 112,8 5,5 104
Серебро 1233 960 8,8 • 104
Сплав Вуда* 341 68 3,2 104
Сталь 1673 1400 2,1 • 10®
Цинк 692 419 1,18 10®
Чугун белый 1473 1200 1,3 • 10®
Чугун серый 1423 1150 9,7 • 104
В состав сплава Вуда с указанной температурой плавления входят 50% вис-
мута, 25% свинца, 12,5% олова, 12,5% кадмия.
342
10. Поверхностное натяжение некоторых веществ G, Н/м
(при 293 К)
Ацетон.......................... 0,024
Бензин.......................... 0,029
Вода............................ 0,072
Глицерин........................ 0,059
Керосин......................... 0,024
Масло касторовое................ 0,033
Молоко.......................... 0,045
Раствор сульфата меди .......... 0,074
Мыльный раствор................. 0,040
Ртуть........................... 0,470
Скипидар........................ 0,027
Спирт этиловый.................. 0,022
Эфир............................ 0,017
11. Модуль упругости некоторых веществ Е, ГПа
Алюминий........................ 70
Бетон........................... 20
Железо............................. 200
Кирпич.......................... 28
Латунь.............................. ПО
Медь............................... 130
Свинец.............................. 17
Сталь.............................. 220
Чугун........................... 90
12. Коэффициенты линейного расширения
твердых веществ а, К-1
Алюминий, дюралюминий........... 2,3 • 10“5
Бетон, цемент................... (1-1,4) • 10“г>
Бронза.......................... 1,8-10 5
Вольфрам........................ 4 • 10 е
Железо, сталь................... 1,2 • 10-5
Золото.......................... 1,4 • 10-5
Инвар*.......................... 6 10-7
Латунь.......................... 1,9 • 10 5
Медь............................ 1,7 10 5
Никель.......................... 1,28 10' 5
Олово........................... 2,1 105
Платина......................... 9 • 10-6
Платинит........................ 9 • 10®
В состав инвара входит 64% железа, 36% никеля.
343
Свинец ...........................
Стекло:
оконное ..........................
кварцевое ......................
Цинк..............................
Чугун ............................
Эбонит............................
2,9 • 10“6
9 10 fi
6 • 1(Г7
2,9 • 105
1,0-10-*
7,0 • 10®
13. Коэффициент объемного расширения
жидкостей Р, К-1
Ацетон............................ 1,2 • 10-3
Бензин............................ 1,0 • 10-3
Вода при:
5-ЮС............................ 5,3 • 10-®
10-20”С......................... 1,5 • 10“4
20-40С.......................... 3,02 • 104
40-60С.......................... 4,58 104
60-80С.......................... 5,87-10-4
80 100'С........................ 7,02 • 104
Глицерин.......................... 5,0 10-4
Керосин........................... 1,0 • 10-3
Масло трансформаторное............ 6,0 • 10“4
Нефть............................. 1,0 • 10~3
Ртуть............................. 1,8 10~4
Серная кислота.................... 5,7 • 10-4
Спирт этиловый.................... 1,1 • 10-3
Эфир этиловый..................... 1,6 10-3
14. Диэлектрическая проницаемость некоторых веществ, е
Анилин............................ 84
Бензин............................ 2,3
Вакуум............................ 1
Вода.............................. 81
Вода при 0°С...................... 88
Водород .......................... 1,0003
Воздух при:
0,1 МПа......................... 1,0006
10 МПа.......................... 1,055
Воск.............................. 5,8
Глицерин.......................... 39
Керосин........................... 2,0
Лед при -18”С..................... 3,2
Масло трансформаторное............ 2,2—2,5
Мрамор............................ 8-9
Парафин........................... 2,2
Парафинированная бумага........... 2,0
344
Резина............................ 2-3
Рутил............................. 130
Сера.............................. 3,6-4,3
Слюда............................. 6-9
Смола эпоксидная.................. 3,7
Стекло.............................. 5-10
Фарфор............................ 4-7
Эбонит............................ 2,7
Шеллак............................ 3,6
Янтарь............................ 2,8
15. Удельное сопротивление некоторых веществ р,
Ом • м
Алюминий.........................
Вольфрам.........................
Железо...........................
Золото ..........................
Константан ......................
Латунь ..........................
Манганин.........................
Медь.............................
Никелин .........................
Никель...........................
Нихром ..........................
Олово ...........................
Осмий ...........................
Платина .........................
Реотан ..........................
Ртуть ...........................
Свинец ..........................
Серебро .........................
Уголь ...........................
Фехраль .........................
Цинк.............................
Сталь ...........................
2,7- 10 8
5,3- 10 8
9,9- 10 8
2,2- 10 8
4,7- 10 7
6,3- 10 8
3,9- 10 7
1,68 10 8
4,2- 10 7
7,3- 10 8
1,05 10 6
1,13 •10 7
9,5- 10“8
1,05 • 10 7
4,5- 10 7
9,54 •10"7
2,07 •10 7
1,58 10 8
4,0-! 5,0 10
1,1- 10 е
5,95 -108
1,2- 10 7
16. Температурный коэффициент сопротивления
некоторых веществ а, К 1
Вольфрам.........................
Константан ......................
Манганин.........................
Никелин .........................
Нихром, фехраль..................
Реотан ..........................
Сталь ...........................
Чугун ...........................
0,0050
0,000005
0,000008
0,0001
0,0002
0,0004
0,006
0,002
345
17. Электрохимический эквивалент
некоторых веществ k, кг/Кл
Алюминий......................... 9,32 • 1СГ8
Водород.......................... 1,045 -10“®
Железо двухвалентное............. 2,89 • 10-7
Железо трехвалентное............. 1,93 • 10~7
Золото........................... 6,81 • 10“7
Калий.............................. 4,052 • 10~7
Кальций.......................... 2,077 • 10~7
Кислород............................ 8,29 • 10-8
Магний.............................. 1,26 • 10-7
Медь одновалентная............... 6,6 10-7
Медь двухвалентная............... 3,29 • 10-7
Натрий........................... 2,383 • 10~7
Никель двухвалентный............. 3,04 • 10-7
Никель трехвалентный............. 2,03 • 10-7
Ртуть............................ 2,072 10"6
Свинец............................. 1,074 • 10~®
Серебро.......................... 1,118-МТ®
Хлор............................. 3,67 • 10"7
Хром двухвалентный............... 2,79 • 10~7
Цинк............................. 3,388 10’7
18. Показатель преломления некоторых
веществ п
Алмаз............................ 2,42
Анилин........................... 1,59
Ацетон........................... 1,36
Бензол........................... 1,50
Вода............................. 1,33
Воздух........................... 1,0003
Глицерин......................... 1,47
Каменная соль.................... 1,54
Кварц............................ 1,54
Лед.............................. 1,31
Сахар............................ 1,56
Сероуглерод...................... 1,63
Сильвин.......................... 1,49
Скипидар......................... 1,51
Спирт метиловый.................. 1,33
Спирт этиловый................... 1,36
Стекло (легкий крон)............. 1,5
Стекло (флинт)................... 1,6-1,8
Четыреххлористый углерод......... 1,46
346
19. Масса некоторых изотопов, а. е. м.*
Элемент Изотоп Масса
Водород 1н 1,00783
?Н 2,01410
?н 3,01605
Гелий |Не 3,01603
24Не 4,00260
Литий ;«Li 6,01513
37Li 7,01601
Бериллий ?Ве 8,00531
®Ве 9,01219
Бор I'B 11,00930
Углерод 12,00000
Углерод «С 13,00335
Кислород 15,99491
Фтор *99F 18,99843
Алюминий Al 26,98153
Фосфор 30-р 15* 29,97867
Радон 2«6Rn 222,01922
Радий 2BB’Ra 226,02435
Уран %5U 235,04299
29328U 238,05006
Нептуний 29337Np 237,04706
Плутоний 293®Pu 239,05122
20. Энергия связи атомных ядер
Ядро £св,МэВ Есв/А, МэВ
?н 2,2 1,1
?н 8,5 2,83
|Не 7,7 2,57
24Не 28,3 7,075
«Li 32,0 5,33
з7Ы 39,2 5,60
®Ве 58,2 6,47
>°В 64,7 6,47
*5*В 76,2 6,93
’62С 92,2 7,68
в3С 97,1 7,47
1 а. е. м. равна 1/12 массы изотопа С.
347
Окончание табл. 20
Ядро Ега,МэВ ECJA, МэВ
*?N 104,7 7,47
’в’О 127,6 7,975
VO 131,8 7,75
is А1 225,0 8,33
?°Si 255,2 8,51
30 ТЭ 15* 250,6 8,35
“2Rn 1708,2 7,69
22£Ra 1731,6 7,66
235 тт 92 U 1783,8 7,59
29328U 1801,7 7,57
2™Ри 1806,9 7,56
21. Магнитные проницаемости некоторых веществ, ц
Парамагнетики (ц > 1)
Алюминий...................... 1,000023
Воздух........................... 1,00000038
Вольфрам...................... 1,000176
Кислород...................... 1,0000019
Кислород жидкий............... 1,003400
Диамагнетики (ц < 1)
Висмут........................... 0,999824
Вода............................. 0,999991
Водород.......................... 0,999999937
Медь............................. 0,999990
Стекло .......................... 0,999987
Ферромагнетики
(максимальное значение магнитной проницаемости)
Железо мягкое................... 8000
Железо трансформаторное............. 15000
Железо углеродистое............. 3000
Пермаллой — сплав никеля и железа
для сердечников трансформаторов . . 80000
Чугун........................... 2000
Примечание. Для ферромагнетиков приведены максимальные значе-
ния магнитной проницаемости, так как она не постоянна и зависит от на-
пряженности внешнего магнитного поля.
348
22. График зависимости индукции магнитного поля от
напряженности в мягкой стали при ее первоначальном
намагничивании
23. Некоторые астрономические величины
(средние значения)
Радиус Земли................................... 6,37 • 106 м
Масса Земли.................................... 5,98 • 1024 кг
Плотность Земли................................ 5,52 • 103 кг/м3
Скорость движения Земли по орбите.......... 105 км/ч
Радиус Солнца.................................. 6,95 • 108 м
Масса Солнца................................... 1,98 • 1О30 кг
Радиус Луны.................................... 1,74 • 10® м
Масса Луны..................................... 7,33 • 1022 кг
Расстояние между центрами Земли и Солнца. . . 1,49 • 1011 м
Расстояние между центрами Земли и Луны . . . 3,84 108 м
Период обращения Луны вокруг Земли............. 27,3 сут
Наклон эклиптики к экватору.................. 23,5°
24. Сведения о некоторых ярких звездах,
видимых в России
Звезда Видимая звездная величина т Прямое восхо- ждение а Склоне- ние 6 Раст. ДО звезды ПК
Альдебаран (а Тельца) 1,06 4 ч 33 мин +16°25' 20,8
Ригель (Р Ориона) 0,34 5 ч 12,1 мин -8°15' 199
Капелла (а Возничего) 0,21 5 ч 13 мин +45°57' 13,7
Бетельгейзе (а Ориона) 0,92 5 ч 52,5 мин +7°24' 200
Сириус (а Б. Пса) -1,58 6 ч 42,9 мин -16°39' 2,7
Кастор (а Близнецов) 1,99 7 ч 31,4 мин +32° 13
Вега (а Лиры) 0,14 18 ч 35 мин +38°4Г 8,12
Денеб (а Лебедя) 1,33 20 ч 39,7 мин +45°06' 290
349
25. Психрометрическая таблица
Показания сухого термометра Разность показаний сухого и влажного термометров
к с 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
273 0 100 82 63 45 28 11
274 1 100 83 65 48 32 16
275 2 100 84 68 51 35 20
276 3 100 84 69 54 39 24 10
277 4 100 85 70 56 42 28 14
278 5 100 86 72 58 45 32 19 6
279 6 100 86 73 60 47 35 23 10
280 7 100 87 74 61 49 37 26 14
281 8 100 87 75 63 51 40 28 18 7
282 9 100 88 76 64 53 42 31 21 11
283 10 100 88 76 65 54 44 34 24 14 4
284 11 100 88 77 66 56 46 36 26 17 8
285 12 100 89 78 68 57 48 38 29 20 11
286 13 100 89 79 69 59 49 40 31 23 14 6
287 14 100 90 79 70 60 51 42 33 25 17 9
288 15 100 90 80 71 61 52 44 36 27 20 12 5
289 16 100 90 81 71 62 54 45 37 30 22 15 8
290 17 100 90 81 72 64 55 47 39 32 24 17 10
291 18 100 91 82 73 64 56 48 41 34 26 20 13
292 19 100 91 82 74 65 58 50 43 35 29 22 15
293 20 100 91 83 74 66 59 51 44 37 30 24 18
294 21 100 91 83 75 67 60 52 46 39 32 26 20
295 22 100 92 83 76 68 61 54 47 40 34 28 22
296 23 100 92 84 76 69 61 55 48 42 36 30 24
297 24 100 92 84 77 69 62 56 49 43 37 31 26
298 25 100 92 84 77 70 63 57 50 44 38 33 27
299 26 100 92 85 78 71 64 58 51 45 40 34 29
300 27 100 92 85 78 71 65 59 52 47 41 36 30
301 28 100 93 85 78 72 65 59 53 48 42 37 32
302 29 100 93 86 79 72 66 60 54 49 43 38 33
303 30 100 93 86 79 73 67 61 55 50 44 39 34
26. Множители и приставки для образования кратных
и дольных единиц СИ
Множитель Наименование приставки Обозначение приставки
1018 экса э
1015 пета п
ю12 тера т
ю9 гига г
106 мега м
350
Окончание табл. 26
Множитель Наименование приставки Обозначение приставки
103 кило к
102 гекто г
101 дека да
КГ1 деци Д
10 2 санти С
10"3 милли м
10 е микро мк
мт® нано н
ю12 ПИКО п
ю15 фемто ф
10-“ атто а
27. Значения синусов и тангенсов для углов 0—90°
Угол Синусы Тангенсы
град рад
0 0 0,0000 0,0000
1 0,0175 0,0175 0,0175
2 0,0349 0,0349 0,0349
3 0,0524 0,0523 0,0524
4 0,0698 0,0698 0,0699
5 0,0873 0,0872 0,0875
6 0,1047 0,1045 0,1051
7 0,1222 0,1219 0,1228
8 0,1396 0,1392 0,1405
9 0,1571 0,1564 0,1584
10 0,1745 0,1736 0,1763
11 0,1920 0,1908 0,1944
12 0,2094 0,2079 0,2126
13 0,2269 0,2250 0,2309
14 0,2443 0,2419 0,2493
15 0,2618 0,2588 0,2679
16 0,2793 0,2756 0,2867
17 0,2967 0,2924 0,3057
18 0,3142 0,3090 0,3249
19 0,3316 0,3256 0,3443
20 0,3491 0,3420 0,3640
21 0,3665 0,3584 0,3839
22 0,3840 0,3746 0,4040
23 0,4014 0,3907 0,4245
24 0,4189 0,4067 0,4452
25 0,4363 0,4226 0,4663
26 0,4538 0,4384 0,4877
27 0,4712 0,4540 0,5095
28 0,4887 0,4695 0,5317
29 0,5061 0,4848 0,5543
351
Продолжение табл. 27
Угол Синусы Тангенсы
град рад
30 0,5236 0,5000 0,5774
31 0,5411 0,5150 0,6009
32 0,5585 0,5299 0,6249
33 0,5760 0,5446 0,6494
34 0,5934 0,5592 0,6745
35 0,6109 0,5736 0,7002
36 0,6283 0,5878 0,7265
37 0,6458 0,6018 0,67536
38 0,6632 0,6157 0,7813
39 0,6807 0,6293 0,8098
40 0,6981 0,6428 0,8391
41 0,7156 0,6561 0,8693
42 0,7330 0,6691 0,9004
43 0,7505 0,6820 0,9325
44 0,7679 0,6947 0,9657
45 0,7854 0,7071 1,0000
46 0,8029 0,7193 1,036
47 0,8203 0,7314 1,072
48 0,8378 0,7431 1,111
49 0,8552 0,7574 1,150
50 0,8727 0,7660 1,192
51 0,8901 0,7771 1,235
52 0,9076 0,7880 1,280
53 0,9250 0,7986 1,327
54 0,9425 0,8090 1,376
55 0,9599 0,8192 1,428
56 0,9774 0,9774 1,483
57 0,9948 0,8387 1,540
58 1,0123 0,8480 1,600
59 1,0297 0,8572 1,664
60 1,0472 0,8660 1,732
61 1,0647 0,8746 1,804
62 1,0821 0,8829 1,881
63 1,0996 0,8910 1,963
64 1,1170 0,8988 2,050
65 1,1345 0,9063 2,145
66 1,1519 0,9135 2,246
67 1,1694 0,9205 2,356
68 1,1868 0,9272 2,475
69 1,2043 0,9336 2,605
70 1,2217 0,9397 2,747
71 1,2392 0,9455 2,904
72 1,2566 0,9511 3,078
73 1,2741 0,9563 3,271
74 1,2915 0,9631 3,487
75 1,3090 0,9659 3,732
76 1,3265 0,9703 4,011
77 1,3439 0,9744 4,331
78 1,3614 0,9781 4,705
352
Окончание табл. 27
Угол Синусы Тангенсы
град рад
79 1,3788 0,9816 5,145
80 1,3963 0,9848 5,671
81 1,4137 0,9877 6,314
82 1,4312 0,9903 7,115
83 1,4486 0,9925 8,144
84 1,4661 0,9945 9,514
85 1,4835 0,9962 11,43
86 1,5010 0,9976 14,30
87 1,5184 0,9986 19,08
88 1,5359 0,9994 28,64
89 1,5533 0,9998 57,29
90 1,5708 1,000 оо
28. Основные формулы
Формула Название величин, входящих в формулу Единица измере- ния
Механика
"8 О > 'Ъ ! СМ NO 3 + ? £ 'Ы* ; 1 eg|^ Й|8 II II II Ъ II II » || II а II 2 в = и CL в ~ ч а 11 во a oj s — перемещение v — скорость t — время v0 — начальная скорость перемен- ного движения а — ускорение равнопеременного движения g — ускорение свободного падения R — радиус вращения v — частота вращения со — угловая скорость вращатель- ного движения а — центростремительное ускоре- ние s — перемещение прямолинейного равнопеременного движения р — плотность т — масса V — объем EF — равнодействующая сил, дей- ствующих на тело м м/с с м/с м/с2 м/с2 м Гц; с"’ с-1, рад/с м/с2 м кг/м3 кг м3 Н;Н = = кг-м/с2
353
Продолжение табл. 28
Формула Название величин, входящих в формулу Единица измере- ния
Второй закон Ньют P — mg Fy = kx р = mv Ек=^ 2 £п = mgh „ ЕЛх Д11 ~ о А = FScosa N=— t N=Fv она Р — сила тяжести Fy — сила упругости k — жесткость FTp — сила трения N — сила нормального давления р — коэффициент трения р — импульс, количество движе- ния Ек — кинетическая энергия Ев — потенциальная энергия Еп1 — потенциальная энергия упру- гой деформации А — работа a — угол между направлением силы и перемещением N — мощность N — средняя мощность о — средняя скорость н н Н/м н н кг • м/с Дж Дж Дж Дж град Вт Вт м/с
Молекулярная физика. Теплота
Е 5} о а д -П" II II е° е° и ’1 и i<< I N.i.w е Si? i*< а. — постоянная Авогадро М — молярная масса п0 — концентрация молекул Vm — молярный объем mG — масса молекулы Vo — объем молекулы г0 — радиус молекулы X — средняя длина свободного про- бега молекулы v — средняя скорость молекул (арифметическая) z — число столкновений в секунду d3 — эффективный диаметр моле- кулы р — давление vKn — средняя квадратичная ско- рость моль-1 кг/моль м-3 м3/моль кг м3 м м м/с с1 м Па м/с
354
Продолжение табл. 28
Формула Название величин, входящих в формулу Единица измере- ния
p=nokT Ёк =-kT 2 Уравнение Мендел< pV= — RT М Уравнение состоят AH = EJl=const Ъ т2 Закон Дальтона р = р'1+р'2+... Q = cm(T2-Tt) Q=qm Л = 9п°лез.. 100о/о Qtarp Q=rm В=—100% Рн в=^моо% р« k — постоянная Больцмана Т — термодинамическая темпера- тура Ек — кинетическая энергия посту- пательного движения молекул seea—Клайперона R — молярная газовая постоянная m/M = v — количество вещества ня газа Рр Vp 7\ — параметры первого со- стояния газа р2, V2, Т2 — параметры второго со- стояния газа р — давление смеси газов p'j; р'2 — парциальные давления Q — теплота, необходимая для на- гревания тела или отданная при его охлаждении с — удельная теплоемкость Q — теплота, отданная при сгора- нии топлива q — удельная теплота сгорания m — масса сгоревшего топлива Г) — коэффициент полезного дейст- вия нагревателя QnojlralI — теплота, полезно израсхо- дованная (?затр — теплота затраченная Q — теплота, необходимая для па- рообразования или выделенная при конденсации г — удельная теплота парообразо- вания m — масса пара В — относительная влажность воз- духа ра — абсолютная влажность воздуха рн — плотность насыщающих паров ра — давление пара, содержащего- ся в воздухе р„ — давление насыщающих паров Дж/К К Дж Дж/ (моль К) моль Па Па Дж Дж/(кг-К) Дж Дж/кг кг % Дж Дж Дж Дж/кг кг % кг/м3 кг/м3 Па Па
355
Продолжение табл. 28
Формула Название величин, входящих в формулу Единица измере- ния
F с=— 1 А с = — AS , 2а п. = pgr Рл =2с/г Q = 'km о — поверхностное натяжение F — сила поверхностного натяжения 1 — длина границы свободной по- верхности жидкости А — работа молекулярных сил AS — уменьшение площади свобод- ной поверхности h — высота подъема смачивающей жидкости в капилляре (опускания несмачивающей) i— радиус капиллярной трубки рл — лапласовское давление для сферической поверхности Q — теплота, идущая на плавле- ние или выделенная при кристал- лизации 1 — удельная теплота плавления Н/м н м Дж м2 м м Па Дж Дж/кг
Деформации
W в) И _сч 2 - (Ч Q « и и и <2 Q !ч > (ч я и & \ <^|> » ^1*4 м о — механическое напряжение F — сила упругой деформации S — площадь поперечного сечения деформированного тела Е — модуль упругости (Юнга) А1 — абсолютная деформация (уд- линение) 1 — первоначальная длина е — относительная деформация ЕП — потенциальная энергия упру- гой деформации Па Н м2 Па м м Дж
— Тепловое расширение тел
a Al ^оАТ /одг /=го(1 + аДТ) ® ~®о(1 + 2аДТ) а — коэффициент линейного рас- ширения 10 — длина тела при температуре 273 К 1 — длина тела при любой темпера- туре АТ — изменение температуры So — площадь поверхности тела при 273 К S — площадь поверхности тела при любой температуре К1 м м К м2 м2
356
Продолжение табл. 28
Формула Название величин, входящих в формулу Единица измере- ния
У-Уо ДУ Р У0Д7 УоЛТ У = У0(1 + рДТ) р=-*>- 1 + рД7 Р — коэффициент объемного рас- ширения У — объем тела при любой темпера- туре Уо — объем тела при температуре 273 К р — плотность вещества при любой температуре р0 — плотность вещества при тем- пературе 273 К к1 м3 м3 кг/м3 кг/м3
Электростатика
Закон сохранения з Qi +Q2+...+Q„ = const Закон Кулона F_ 1 IQIIQI 4л£0 erz E = F/Qnp E=-*_ 4хе0£г2 Ф = W/Q Q <9 = 4леоег U =ф! -Ф2 A=QU Е=" d C = Q/<p C=Q/U аряда Qp Q2..., Qn — электрические заряды п — число электрических зарядов в замкнутой системе F — сила взаимодействия точечных электрических зарядов Q2 — электрические заряды 1 расстояние между зарядами е0 — электрическая постоянная Е — диэлектрическая проницаемость среды Е — напряженность электрическо- го поля Qnp — пробный заряд, внесенный в поле Q — заряд, создающий поле <р — потенциал электрического поля W - потенциальная энергия проб- ного заряда U — напряжение А — работа, совершенная электри- ческим полем по перемещению за- ряда из одной точки поля в другую Е — напряженность однородного поля U — разность потенциалов двух то- чек электрического поля d — расстояние между точками поля вдоль силовой линии С — электрическая емкость Кл Н Кл м Кл/(Н-м2) Кл/(Н-м2) Н/Кл Кл Кл В Дж В Дж В/м, Н/Кл В м Ф
357
Продолжение табл. 28
Формула Название величин, входящих в формулу Единица измере- ния
C..VS d W=CEP/2 С — электрическая емкость конден- сатора (плоского) S — площадь одной пластины d — толщина диэлектрика W — энергия конденсатора ф м2 м Дж
Электрический ток в металлах
I=Q/_t I =envS I = enuES u=v /E . I J~s R=p— S Rt =К0(1+аД7') Закон Ома для учас 1 = " R Последовательное с R„ =Ri +R2 +...+R„ R3 = Rxn при Rx = R2 = ... = Параллельное соед1 J_=J_ 1 1 Ka ^2 Rn R>=— n приД1=Р2 = ... = Яп I — сила электрического тока е — заряд электрона (иона) п — концентрация зарядов (число носителей зарядов в единице объема) v — средняя скорость направлен- ного движения носителей зарядов и — подвижность носителей зарядов j — плотность электрического тока S — площадь поперечного сечения R — сопротивление проводника р — удельное сопротивление про- водника 1 — длина проводника S — площадь поперечного сечения проводника Rt — сопротивление проводника при любой температуре Ro — сопротивление проводника при температуре 273 К а — температурный коэффициент сопротивления тка цепи U — напряжение на концах участ- ка цепи R — сопротивление участка цепи оединение проводников R3 — эквивалентное сопротивление проводников п — число проводников , R2, - - -, Rn — сопротивления про- водников «пение проводников R3 — эквивалентное сопротивление п — число резисторов Rlt R2, ..., Rn — сопротивления ре- зисторов А Кл и’3 м/с м2/(В • с) А/м2 м2 Ом Ом "M м м2 Ом Ом К-1 В Ом Ом Ом Ом Ом
358
Продолжение табл. 28
Формула Название величин, входящих в формулу Единица измере- ния
Закон Ома для пол» R + г Закон Ома для учас R A = IUt A = I2Rt и2 А =—t R P^-IU P = I2R P=U2/R PO=IW, PK^P0-I2r гой цепи — электродвижущая сила источ- ника электрической энергии R — сопротивление внешней части цепи ।— сопротивление внутренней час- ти цепи тка цепи с ЭДС — противоэлектродвижущая сила А — работа электрического тока t — время Р — мощность электрического тока Ро—полная мощность, развиваемая источником энергии Р„ — мощность нагрузки в полной цепи в Ом Ом В Дж с Вт Вт Вт
Электрический, ток в электролитах
Закон Фарадея т = kQ или т — kit Объединенный зак< 1 м т = Q F п т — масса вещества, выделенного при электролизе k — электрохимический эквивалент )Н М — молярная масса F — постоянная Фарадея п — валентность кг кг/Кл кг/моль Кл/моль
Электромагнетизм
2па Fa = ВЛ sina fA=BZZ при sina =1 F — сила взаимодействия парал- лельных проводников с токами и 12 — силы токов в проводниках ц — магнитная проницаемость ц0 — магнитная постоянная а — расстояние между проводни- ками Fa — сила Ампера (действующая на проводник с током) В — магнитная индукция Н А Гн/м м Н Тл
359
Продолжение табл. 28
Формула Название величин, входящих в формулу Единица измере- ния
A = IBbS А = 1ДФ Впр=ЦоЦ^- 2лг Вкр=МоЦ^; г, /<0 B<™=HoU— Фрол = Дюл® В=ЦоЦН Гл =Buesina 1 — активная длина проводника а — угол между направлениями тока и вектором магнитной индукции А — работа при перемещении про- водника с током в магнитном поле AS — изменение площади, охвачен- ной током АФ — изменение магнитного потока Впр — магнитная индукция прямо- линейного тока г — расстояние от проводника до точки, где определяется индукция Вкр — магнитная индукция в цен- тре кругового тока г — радиус кругового тока Всол — магнитная индукция поля внутри соленоида to — число витков 1 — длина соленоида Феод — магнитный поток в соленоиде S — площадь сечения соленоида Н — напряженность магнитного поля Вл — сила Лоренца (действующая на заряженную частицу в магнит- ном поле) е — заряд частицы v — скорость заряда а — угол между векторами В и о м град Дж м2 Вб Тл м Тл м Тл м Вб м2 А/м Н Кл м/с град
Электромагнитная индукция
К=-^- At v ДФ <'еол=-»— At #np = BZi?sina £— ЭДС индукции АФ — изменение магнитного по- тока At — промежуток времени, в тече- ние которого изменяется магнит- ный поток Кгол — ЭДС индукции, возникаю- щая в соленоиде Кпр — ЭДС индукции, возникающая в прямолинейном проводнике при его движении 1 — активная длина проводника В Вб с В В м
360
Продолжение табл. 28
Формула Название величин, входящих в формулу Единица измере- ния
^е=-Ь — „Я 2 И. — ЭДС самоиндукции L — индуктивность цепи W — энергия магнитного поля цепи в Гн Дж
Колебания и волны
Т=- п v = l/T со = 2л/Т =2тп> <р =(f>t ф=СО£ + фо Уравнение гармони x = Asin(coi + ф0) Т =2пу/т/к “> = J^ V т X=vT Т — период колебаний п — число полных колебаний v — частота колебаний со — круговая (циклическая) час- тота ф — фаза колебаний ф0 — начальная фаза ческих колебаний х — смещение А — амплитуда колебаний Т — период полных колебаний ма- тематического маятника 1 — длина маятника g — ускорение свободного падения Т — период упругих колебаний пру- жинного маятника со — круговая частота k — жесткость пружины m — масса груза X — длина волны v — скорость распространения волны с Гц рад/с рад рад м м с м м/с2 с рад/с Н/м кг м м/с
Переменный ток
е=К<0 sin(ffit + ф0 ) и=17о8П1((ог + фо) i=I0 sin(cot + ф„ ); I=Io/42 U = U0/^2 i" =К0/л/2 е — мгновенное значение ЭДС в цепи Ко — амплитудное значение ЭДС и — мгновенное значение напряже- ния Uo — амплитудное значение напря- жения 1 — мгновенное значение силы тока 10 — амплитудное значение силы тока I — действующее (эффективное) зна- чение силы тока U — действующее значение напря- жения — действующее значение ЭДС В В В В А А А В В
361
Продолжение табл. 28
Формула Название величин, входящих в формулу Единица измере- ния
X - 1 - 1 Хс — емкостное сопротивление цепи Ом
<оС 2nvC XL =a>L =2mL v — частота переменного тока XL — индуктивное сопротивление цепи Гц Ом
Z=^R2+(XL-Xcf cos<p = 7?/Z P-UI costp Q=t/1 sin <p S=yjp2 + P2 ^-^-k Ut Nt Z — полное сопротивление цепи при последовательном соединении сопротивлений R — активное сопротивление цепи cos <р — коэффициент мощности Р — активная мощность I и U — эффективные сила тока и напряжение Q — реактивная мощность S — полная мощность k — коэффициент трансформации Np — число витков в первичной и вторичной обмотках U\, U2 — напряжения на первич- ной и вторичной обмотках транс- форматора Ом Ом Вт А, В вар ВА В
Электромагнитные колебания и волны
Т =2n-jLC Х = сТ Т — период собственных колебаний колебательного контура 1 — длина электромагнитных волн с — скорость света в вакууме с м м/с
Геометрическая оптика
п = с/и sinE «2,1 , sins vl «2,1= — 4i sininp=l/n 111 -=—+ — f a a’ п — абсолютный показатель пре- ломления и — скорость света в среде п21 — относительный показатель преломления Е — угол падения луча е' — угол преломления луча — скорость света в первой среде v2 — скорость света во второй среде дпр — предельный угол полного от- ражения f — фокусное расстояние линзы, зеркала а — расстояние от предмета до лин- зы, зеркала м/с град град м/с м/с град м м
362
Окончание табл. 28
Формула Название величин, входящих в формулу Единица измере- ния
ТЭ «ч, |б| II II " »• | &J N | Л'ч. а’ — расстояние от изображения до линзы, зеркала Ф — оптическая сила линзы f — фокусное расстояние зеркала R — радиус кривизны зеркала Р — линейное увеличение Н — высота изображения h — высота предмета м дптр м м м м
Фотометрия
Ф=О/г ^полн — 4 л/ / = ф/(0 Е=Ф/в Законы освещенное Е=//г2 Е = £о cosot или I Ф — световой поток Q — световая энергия Фполн — полный световой поток I — сила света <о — телесный угол Е — освещенность !ТИ । расстояние источника света до освещаемой поверхности £0 — освещенность перпендикуляр- ными лучами лм Дж ЛМ КД ср лк м лк град
Е-— cos a г2 ос угол падения лучей
Волновые и квантовые свойства излучения
feX=dsin<p E=hv Е h т=—-=— <? ск h тс=— к I ..hv p = — = N— с с Уравнение Эйнште! mu2 hv = А ч—-— 2 d — период решетки <р — угол, определяющий направ- ление на дифракционный макси- мум k — порядок спектра е — энергия фотона h — постоянная Планка т — масса фотона тс — импульс фотона р — давление света N — число фотонов I — интенсивность излучения «на для фотоэффекта А — работа выхода электронов м град Дж Дж-с кг кг • м/с Па ДжДм^с) Дж
363
29. ПЕРИОДИЧЕСКАЯ СИСТЕМА
периоды Группы
IA
1 1 И ПА
2 3 Li 4 Be
3 и Na 12 Mg
ШБ IVE VE VIE VIIE VIIIE
4 19 К 20 Ca 21 Sc 22 Ti 23 V 24 Cr 25 Mn 26 Fe 27 Co
5 37 Rb 38 Sr 39 Y 40 Zr 41 Nb 42 Mo 43 Tc 44 Ru 45 Rh
6 55 Cs 56 Ba 57 * La 72 Hf 73 Ta 74 w 75 Re 76 Os 77 Ir
7 87 Fr 88 Ra 89 t Ac 104 Rf 105 Db 106 Sg 107 Bh 108 Hs 109 Mt
58 59 60 61 62 63 64
‘ЛАНТАНОИДЫ Се Pr Nd Pm Sm Eu Gd
* АКТИНОИДЫ 90 Th 91 Pa 92 u 93 Np 94 Pu 95 Am 96 Cm
364
ЭЛЕМЕНТОВ Д.И. МЕНДЕЛЕЕВА
элементов
VIIIA
2
IIIA IVA VA VIA VIIA He
5 6 7 8 9 10
В c N 0 F Ne
13 14 15 16 17 18
1Б ПБ Al Si P s Cl Ar
28 29 30 31 32 33 34 35 36
Ni Си Zn Ga Ge As Se Br Kr
46 47 48 49 50 51 52 53 54
Pd Ag Cd In Sn Sb Те I Xe
78 79 80 81 82 83 84 85 86
Pt Au Hg T1 Pb Bi Po At Rn
110 in 112 113 114 115 116 117 118
65 66 67 68 69 70 71
Tb Dy Ho Er Tm Yb Lu
97 98 99 100 101 102 103
Bk Cf Es Fm Md No Lr
365
30. Некоторые математические формулы
Алгебра
(a±bf =а2 ±2ab + b2;
(а ± bf = а3 ± За2Ь + ЗаЬ2 ± Ь3;
а2 -Ь2 =(а-Ь)(а +Ь);
a3 +b3 =(а ±fc)(a2 + ab + b2).
Следующее неравенство означает, что среднее арифметическое больше
или равно среднему геометрическому:
а + >-Jab, a>0,b>0.
2
Равенство достигается при а = Ь.
Если дано квадратное уравнение в общем виде
ах2 +Ьх + с =0,
то два его решения можно найти по формуле
—b + Vfe2 -4ас
X. „ =---------
или
х1.2 -
а
Последнюю формулу удобно употреблять при четном Ь.
Для квадратного уравнения
х2 + рх + q =0
два решения определяются формулой
Р- Р2
Пусть дана система двух уравнений с двумя неизвестными:
a,x + feIj/ = c1;
а2* + Ь2!/ = <2-
Чтобы найти решение этой системы, надо из одного уравнения (напри-
мер из первого) выразить одно неизвестное через другое (например у через
х) и подставить его в другое уравнение:
с, -а.х
У=-^Г'
, с. -а.х
агх + Ь2 . ' =Сг-
Решая это уравнение, получим
х _ С1^2 ~ CjPl
aib2 — a2bt
366
Подставляя х в выражение для у, определяем у:
у - Д1^2 ~Д2С1
а2Ь1
Для системы большего числа уравнений метод решения остается тем
же самым. Из любого уравнения выражаем одно неизвестное и подставля-
ем это выражение в остальные уравнения. После этого количество уравне-
ний и неизвестных уменьшается на единицу. Затем исключаем таким же
образом остальные неизвестные, пока не останется одно уравнение с од-
ним неизвестным, которое легко находится. Остальные неизвестные оп-
ределяем в обратном порядке.
Приведем некоторые формулы приближенного вычисления. Если е «1
(по крайней мере в 10 раз), то
(l±ef = 1±2е;
(1 ± ef = 1 ± Зе;
71 + £ = 1 + -.
2
Пользуясь этими формулами, легко производить некоторые вычисле-
ния с достаточной точностью. Например, вычислим
ЕЕ_______!_=________!_______
У 3,96 ^4-0,04 ГТ 0,04 А
V I 4 )
= , 1 = -?—= --------------= -(1 + 0,005)=0,5025.
2^1-0,01 X 0,01^ 21-0,005 2
V 2 J
Геометрия
Пусть дан прямоугольный треугольник с катетами а, b и гипотенузой
с. Тогда
а2+Ь2=с2.
Площадь треугольника
S= — ah,
2
где Л — высота, опущенная на сторону а из противоположной вершины.
Площадь прямоугольника со сторонами а и Ь:
S = ab.
Площадь трапеции с основаниями а и Ь и высотой Л:
S=i(a + fc)/i.
367
Площадь круга радиусом г:
S = nr2.
Поверхность и объем шара радиусом г:
S-4nrz,V
3
Боковая поверхность прямого цилиндра, у которого i-радиус осно-
вания и Л — образующая (она же высота), определяется как
S=2nrh.
Полная поверхность и объем прямого цилиндра
S =2лг(г + Л), V = itr2h.
Тригонометрия
Тригонометрические функции острого угла в прямоугольном тре-
угольнике есть отношения двух его сторон. Обозначив острые углы аир,
а — катет, лежащий против угла а, b — катет, прилежащий к углу а, с —
а Ь
гипотенуза, получим: синус — sina=—; косинус — cosa=—; тангенс —
с с
а 1 b j. 1
tga = —; котангенс — ctga = — или ctga =-.
b a tga
Используя теорему Пифагора можно получить:
sin2 a + cos2 a =1.
Значения синусов и тангенсов для углов 0—90° приведены в табл. 27.
Функции суммы и разности углов:
sin(a ± Р) = sinacosP ± cosa sinp;
cos(a ±P)=cosacosP + sin a sin p.
Функции двойного угла:
sin 2a =2sinacosa;
cos 2a =cos2a -sin2a.
Функции половинного угла:
2 sin — = 1 -cosa;
2
„ ,a ,
2cos — = 1 + cosa.
2
Сумма и разность функций:
-no- a + ₽ «~Р
sina + sinP =2sin--—cos-
2 2
. _ „ a+p . a-p
sina -sinP=2cos-----sin-—;
2 2
a + p a-p
cosa + cosp=2cos---cos--
2 2
„ . a + p . a-p
cosa -cosP = -2sin--sin---.
2 2
368
Выражение функции через тангенс:
tga 1
sin а - . ; сова - . .
Jl + tg2a -Jl+tg2»
Теорема косинусов: для произвольного треугольника со сторонами а,
Ь, с имеем:
а2 =Ь2 + <? -2bccosA.
Здесь А — угол, лежащий против стороны а.
Теорема синусов:
а _ b _ с
sin A sin В sinC
где А, В, С — углы, лежащие против сторон а, Ь, с соответственно.
Для £ « 1:
sin е = £;
cose = 1;
tg£ = £.
Производные и интегралы:
(хяУ=пх"1;
__________n_
lx" J x"+l ’
V 7 2-Jx
(sinx/ =cosx;
(cosxy =-sin x;
t x"+1
fxndx=----;
J и + 1
J X
j sin xdx = -cos x;
J cos xdx = sin x.
31. Греческий алфавит
Аос — альфа It — йота Рр —ро
Bp — бета Кк — каппа Ео — сигма
Гу —гамма АХ — лямбда Тт — птау
А8 — дельта Мц — мю Ун— ипсилон
Ее — эпсилон Nv — ню Фф — фи
Z£ — дзета •— кси Х% — хи
Нт] — эта Оо — омикрон Фу — пси
06 — тета Пл — пи Qco— омега
132453
369
ОТВЕТЫ
§ 1.1.1.1,6 м/с; 8 м. 1.2.1 м/с; 8 м; 8 с; 1,6 м/с; 8 м; 5 с. 1.3.8 ч. 1.4. -2Ь;
-2bt. 1.5. хы = -300 -15t; хп = -100 + 2t; х, = 5t; хм = -300 - 17#; хп = -100;
x„ = 3t. 1.6.5 м/с (рис. 76). 1.7.20 км/ч; 20 км/ч; 15 км/ч; 25 км/ч; 40 км/ч;
40 км/ч. 1.8. 30 км/ч; 10 км/ч. 1.9. 15 м; 5 с (рис. 77). 1.10. 1,2 с. 1.11.
18 м/с; 5,6 км. 1.12. 86,4 км/ч. 1.13. 22,5 м/с. 1.14. 40 км/ч. 1.15.10 м/с;
99 м. 1.16.320 м; 4 м/с; 0,2 м/с2.1.17.1:2.1.18.1с. 1.19. На 4,8 м/с (рис 77а).
1.21.18 м; 7,1 с; 28 м/с. 1.22.0,75 м/с (рис. 78). 1.23.1800 м. 1.24. t^t2 = 1:^2.
1.25. v, = 3t>2; Л, = 9Л2.1.26.16 м/с; 0,7 с. 1.27.3,4 с; 57 м; 33 м/с. 1.28.30 м.
1.29.1,6 с; 27,5 м. 1.30.1,13 с; 10,7 м. 1.31. Относительно поезда: 1) верти-
кально вниз; 2) под углом к вертикали arctg] — назад; 3) под углом к верти-
\g)
f д Л ff
кали arctg — вперед. 1.32. 1,4 км. 1.33. 45 м. 1.34. у = xtga -х2— --—.
\gj 205 cos2 a
1.35. u0cosa. 1.36. 550 м/с; 55 с. 1.37. 5,2 с; 36 м/с. 1.38. 45°. 1.39. 92 м;
30 м/с; а, =-а.
§ 2.2.1.15 кН. 2.2.0,58. 2.3.2 с; 0,255.2.4.100 м. 2.5.1,28 м; -3,35 м/с2;
1,5с. 2.6.123 Н. 2.7. 2,5т. 2.8. 24 кН; 50с; 500м. 2.9.mg; -mg; -mg.2.10.
3 3
0,5 mg; 1,5 mg. 2.11. Быстрее упадет комок; сила сопротивления про-
порциональна поверхности. 2.12. Вес капли mg - г3; сила сопротивления
Fc - иг2. При увеличении радиуса капли равенство mg = Fc достигается при
большей скорости, поэтому мелкие капли падают медленнее. 2.13. Вслед-
ствие инерции ртути. 2.14. Инерция пыли при резком изменении скорости.
370
2.15. Увеличивается время упругой деформации по сравнению с временем
прохождения неровностей дороги. 2.16.100 Н. 2.17.62 Н. 2.18.8 Н. 2.19.
3 кг. 2.20. mg-, по вертикали вверх. 2.21. См. ответ 2.20. 2.22. 0,14. 2.23.
600 Н. 2.24.0,34 м/с2.2.25.83 м; 14,4 с. 2.26.29,4 Н; 20,8 Н; 45 к вертика-
ли. 2.27. 8 Н; 0,2. 2.28. 1 м/с2; 5,4 Н. 2.29. 3,5 м/с2; 1,9 Н. 2.30. 2 м/с2;
1,2 Н; 2,4 Н. 2.31.2,5 м/с2; -1,25 м/с2; 2,25 Н; Т2 = 4,5 Н. 2.32.80 Н. 2.33.
Достигнут берега одновременно. 2.34. При увеличении времени призем-
ления уменьшается сила, действующая на ноги. 2.35. С увеличением мас-
сы двери уменьшается ее скорость, если считать, что импульс, получае-
мый дверью, в обоих случаях одинаков. 2.36.1,25 кН. 2.37.6,3 м/с. 2.38.
-3 м/с. 2.39.1)-2 mv; 2)-mv-j2.2.40.2.6 м/с. 2.41.2 м. 2.42.4,55 м/с. 2.43.
Pi = р---; tgP = psina/(mv — pcosa). 2.44. -v - 2u. 2.45. —v + 2u.
sinp
§ 3. 3.1. 0. 3.2. На преодоление сил сопротивления. 3.3. 100 Дж; 100
Дж. 3.4. 1) 2) +^; 3) 0. 3.5. 9,5 • 103 кДж. 3.6. 1,2 кДж. 3.7.
А1:А2= 1:3.3.8.48 кДж. 3.9.3,5 кДж. 3.10.2,4 кДж; -0,21 кДж; 2,19 кДж.
3.11. Да; с помощью блока меняется направление силы; 3 кДж. 3.12.10 м.
3.13.15,3 м. 3.14.20 м/с. 3.15.1,96 Дж. 3.16. Нет. Во втором случае в 3 раза
больше. 3.17. 18 м/с. 3.18. 20 м/с. 3.19. 45°. 3.20. 27,2 Дж. 3.21. 2,55 м.
3.22. На 4 см. 3.23. 5,7 см; 2,4 Дж. Указание. Используя формулу потен-
циальной энергии упруго деформированной пружины и второй закон
Ньютона, определите первоначальное растяжение. 3.24. 4,6 Дж; 736 Дж.
3.25.1,2 кг; 60 Дж. 3.26.250 Дж; 92 Вт; на высоте 10 м скорость тела боль-
ше нуля. 3.27. 1 Дж. 3.28. Л=-—-;cosa = -—— = 1-------—
2g(M + mf I 2gl(M + mf
3.29. 0,46. 3.30. 7 м/с, 3,5 м/с. 3.31. Кинетическая — нет; потенциаль-
ная — да. 3.32. 12,5 кН. 3.33. 50 кН. 3.34. 4,5 м/с; -1,5 м/с. 3.35. 92 Вт;
3,6 Н. 3.36. 47 кВт. 3.37.67,6 кВт. 3.38. 67%. 3.39. В 4 раза. 3.40. Умень-
шить коэффициент сопротивления в формуле Fconp =Ц1’> сделав машину бо-
лее обтекаемой формы. 3.41. 32 кВт. 3.42. 142 м3/с. 3.43. 23 кВт. 3.44.
18 м.
371
§ 4. 4.1. 2,1 рад/с. 4.2. В 720 раз. 4.3. 12,6 м/с. 4.4. 330 м/с. 4.5.
39 м/с2.4.6. 237 км/с2; 1,2 • 104 об. 4.7.2 мин. 4.8. Да. Натяжение веревки
растет с приближением к нижней точке. 4.9. 1,0 с-1. 4.10. 19 м/с. 4.11.
1,2 • 104 Н. 4.12.20 м/с; 0,52 м/с2.4.13. Примерно 2,3”. 4.14.6 Н. 4.15.27”.
4.16.11,5 м. 4.17. 8,9 м/с. 4.18. 2,2 Н. 4.19. 2,5 R. 4.20. а) 9 м/с; б) 3,9 м.
4.21.0.4.22. Потому что сила тяготения ничтожно мала в сравнении с си-
лой трения покоя. 4.23. 1) нет; 2) да. 4.24. Ничего. 4.25. 1,63 Н. 4.26.
1) Уменьшится в 2 раза; 2) не изменится. 4.27. 0,0025. 4.28. 0,0035. 4.29.
24 ч; в экваториальной. 4.30.1) нет; 2) да; составляющая силы, касатель-
ная к траектории спутника, совершает работу. 4.31. -2 ч. 4.32. Уменьшит-
ся на 3,5 м/с2.4.33.2,2 ч; 1,56 км/с. 4.34.36 -103 км; 3,1 км/с. 4.35.12 зем-
ных лет. Указание. Использовать третий закон Кеплера.
§ 5. 5.1. Броуновское движение, диффузия. 5.2. В жидкостях силы мо-
лекулярного сцепления значительны, а в газах — пренебрежимо малы.
5.3. Диффузионное проникновение частиц красителя в поры (межмолеку-
лярные пространства) окрашиваемой поверхности. 5.4. В месте растворе-
ния соли создается ее высокая концентрация, вследствие чего возникает
диффузия в области с пониженной концентрацией. 5.5. Торцы плиток очень
хорошо отшлифованы и поэтому при их плотном соприкосновении начи-
нает проявляться действие сил молекулярного притяжения. 5.6. Дейст-
вие сил молекулярного сцепления и смачивание. 5.7.316 моль. 5.8.24 кг;
28 кг; 4 кг. 5.9. 1,6 кг. 5.10. 6,02 102в; 6,02 • 1023. 5.11. 2600 м3. 5.12.
0,14 моль; 8,2 • 1022. 5.13. 5,7 • 10-7 м3. 5.14. 1 м3 латуни имеет массу
8,5 • 103 кг. 5.15. 105 моль. 5.16. 44 • 10-3 кг/моль; 0,023 моль. 5.17.
16 • 10"3 кг/моль; 2,66 10 26 кг. 5.18. 1,46 • 102°. 5.19. 1,54 • 101в. 5.20.
= в 3,3 • 1014 раз. 5.21. В 10 раз. 5.22. 16 • 10"3 кг/моль; 0,71 кг/м3. 5.23.
58 • 10-3 кг/моль; 2,6 кг/м3.5.24. От рода вещества, агрегатного состояния,
давления и температуры. 5.25. 4,2 • 10-9 м. 5.26. 1,4 • 102°; ~ 3,85 • 10-1° м.
5.27. 9 • 109 м; 225 раз. 5.28. 16 • 10~3 кг/моль. 5.29. 1,4 • 10-5, или
1,4 • 10’3%. 5.30.4,0 • 10"8 м. 5.31.456 м/с. 5.32.550 м/с. 5.33.1,5 • 1010 с1.
5.34.9,4 • 10-8 м. 5.35. = 2 -10 6 м. 5.36.2,1-10 23 кг • м/с. 5.37. -3,9 • 10"8 м.
5.38.408 м/с; 3 • 10“23 кг • м/с.
§ 6.6.1.273 К; 373 К. 6.2. 35”С; 78"С. 6.3. Для нафталина на 119 К. 6.4.
Для гелия: 1200 и 1305 м/с; для водорода: 1700 и 1845 м/с. 6.5. 1782 и
1934 м/с; 446 и 483 м/с. 6.6. 540 м/с. 6.7. 260 К. 6.8. В 2,24 раза. 6.9. Сред-
ние кинетические энергии молекул относятся как 3:5:6. 6.10. 3860 К.
6.11.1,25 • 104 Дж; 6,2 • 105 Дж. 6.12.290 К. 6.13.490 м/с; 270 К; 5,6 • 1021 Дж.
6.14. При хаотичном движении происходят частые столкновения моле-
кул, длина свободного пробега при этом мала, что и влияет на поступа-
тельное движение молекул. 6.15. 9,9 • 10-11 Па; высокий вакуум. 6.16.
1,45 • 102®. 6.17.6,42 • 10’21 Дж; 9,35 • 1025.6.18.1,32 мкПа. 6.19. Давление
не изменится. Увеличится в 4 раза. 6.20.6,62 • 10® Па; 300 К. 6.21.1,29 кг/м3;
274 К; 2,67 • 1025 1/м3. 6.22. Увеличится в 3 раза. 6.23. 3,6 • 1021; 10 кПа;
7,25 • 1023 м-3.6.24.1,7%. 6.25.2,25 • 1025; 75 г. 6.26.4,2 • 10’21 Дж; 203 К.
„ „„ - йТг-------2 ч ,п с no Ек Ек Ек IN.-Ek М N
6.27. окв +1>22)/2. 6.28. —; —-; ——;, ——2-;---------.
у N N 3KN у v.N
^л-£к.
372
Рис. 79
§ 7.7.1.1,18 л. 7.2.6,44 кПа. 7.3.323 К. 7.4.614 л; 0,88 кг. 7.5.1,82 м3;
2,6 кг. 7.6. В 2,6 раза. 7.7. 3,5 кПа. 7.8. 44 • 10-3 кг/моль; диоксид углеро-
да. 7.9.1,2 моль. 7.10.512 К; 1,6 кг/м3.7.11.2 кг, 45,4 моль; 6,8 • 1026 м“3.
7.12.1,4 моль; 3,4 1025 м~3. 7.13. 5,0 л. 7.14. Др = 1,4 Р1. 7.15.1,93 • 1024;
3,2 моль. 7.16. 58 10-3 кг/моль; 2,2 • 1025 м-3. 7.17. 932 К. 7.18. Водород.
7.19.110 кг. 7.20. 606 К. 7.21.17,9 МПа. 7.22. 2,3; 400°С. 7.23.1,2 кг/м3.
7.24. 0,46 кг/м3; 9,6 • 1024 м~3; 444 м/с. 7.25. 28 • 10~3 кг/моль; азот. 7.26.
296, 963 и 17,6 г. 7.27. 2,25 105 Па; 17,6 г. Указание, р = рх + р2; Рг нахо-
дится из уравнения Менделеева-Клапейрона. 7.28. 3,8 • 105 Па; 2,45 кг/м3.
7.29. -10”С. 7.30. 53. 7.31. 300 кПа. 7.32. 90,7 кПа. 7.33. 62,5 кПа. 7.34.
0,74 см3. 7.35. См. рис. 8. 7.36. См. рис. 79. 7.37. Точка 1. Любые две точ-
ки, например А и В, для которой произведение pV численно равно заштри-
хованным площадям (рис. 80). 7.38. См. рис. 81. 7.39. Изобара 1. Произ-
вольно выбранной температуре Т\ соответствуют два значения объема Vj и
V2, следовательно, два значения давления рг и р2- Но при постоянной тем-
пературе произведение объема на давление есть величина постоянная,
т. е. PjOj = р2н2; поэтому объему Уг на изобаре 1 соответствует большее дав-
ление. 7.40. Произошла утечка газа. 7.41.8.5 л. 7.42. До 225 К. 7.43.82 К.
7.44. Вт. 1; вт. 2и 3.7.45. См. рис. 82.7.46. См. рис. 8.7.47.103 кПа. 7.48.
300 К. 7.49. 373 К. 7.50. Для предотвращения возможного взрыва баллона
лампы. 7.51. Для т. 1; для т. 3 (рис. 83). 7.52.38,3 кН. 7.53. На 20ГС. 7.54.
3,6 кН.
Рис.81
373
§ 8. 8.1. От рода вещества, агрегатного состояния, процесса нагрева-
ния. 8.2. На 380 Дж. 8.3. В алюминии; - в 1,9 раза. 8.4. На 4187 Дж. 8.5.
У меди; у свинца. 8.6. Медная; нет. 8.7. 380 Дж/(кг • К). 8.8.101 Дж. 8.9.
86 л. 8.10. 293 К. 8.11. 21,8 кДж. 8.12. Понизится на 174 кДж. 8.13.
124 Дж/(кг • К). 8.14.169 г. 8.15. 125 Дж/(кг • К). 8.16. 78ГС. 8.17.950°С.
8.18.120 Дж/(кг - К); свинец. 8.19. На 0,88 К. 8.20. При полном сгорании
1 кг пороха выделяется 3,0 106 Дж. 8.21. 5 м3. 8.22. 47%. 8.23. 405 кг.
8.24. 4 г. 8.25. 24 К. 8.26. 1,9 106 м3. 8.27. 1,67 МДж; на 25 К. 8.28. На
187 К. 8.29. -78 м. 8.30.0,17 К. 8.31. На 0,11 К. 8.32.25.8.33. На 19 К. 8.34.
174 м/с. 8.35. На 250 К. 8.36. 29%. 8.37. 21 кг. 8.38.1029 кг. 8.39. 24%.
8.40. 17 кВт. 8.41. 44 кВт. 8.42. Происходила утечка газа. 8.43. 300 кДж.
8.44. 5 см. 8.45.106 Дж. 8.46.1,8 кДж. 8.47.26,4 кДж. 8.48.831 Дж. 8.49.
8,31 Дж; нет. 8.50. 48,1 кДж; на 144 кДж. 8.51. 117°С; 1,04 кДж. 8.52.
32 • 10-3 кг/моль; кислород. 8.53. 0,31 кг. 8.54.1,2 кг/м3. 8.55. На совер-
шение работы. 8.56. 100 Дж. 8.57. На увеличение внутренней энергии
газа. 8.58. 500 К. 8.59. 6,24 кДж; на 6,24 кДж. 8.60. 30 кДж. 8.61. Увели-
чится (см. рис. 84). 8.62. 6,24 кДж. 8.63. Нет; нет. 8.64. А = p4(V2 - +
+Р2(У< - v2); Д17=|(p2v4 - Pl V,); <?=P,(V2 - V,)+ &(V4 - V2)+ - Ay,).
Ci Ci
8.65. A=\(p2- Pl)(V2 - V, );Q=|(p2 - p,)(V2 - V,). 8.66. 73%. 8.67. Да. При
Ct L
адиабатном расширении или сжатии. 8.68. Уменьшилась на 100 Дж. 8.69.
Уменьшилась на 416 Дж; понизилась на 10 К. 8.70. 283 Дж.
374
§ 9. 9.1. От рода жидкости, темпера-
туры, площади свободной поверхности,
плотности паров над ее поверхностью.
9.2. При более высокой температуре воз-
растает средняя кинетическая энергия
поступательного движения молекул,
а работа их выхода уменьшается. 9.3.
Испарение воды происходит не только с
поверхности воды, но и через боковые
стенки сосуда, в котором имеются поры,
что способствует большему охлажде-
нию. 9.4. Энергия пара больше. 9.5. Ко-
гда имеется ненасыщающий пар. 9.6.
Когда пар далек от состояния насыще-
ния. 9.7. Пар, находящийся в динами-
ческом равновесии со своей жидкостью. Нет. От рода жидкости и темпера-
туры. 9.8. Манометр показывает давление, избыточное над атмосферным.
9.9. См. Приложение, табл. 7. 9.10. При кипении пар образуется не толь-
ко с поверхности, но и изнутри жидкости. Для каждой жидкости (при
нормальных условиях) имеется своя температура кипения. Испарение
происходит лишь со свободной поверхности жидкости при любой тем-
пературе и сопровождается охлаждением испаряющейся жидкости. 9.11.
Можно, если соответствующим образом понизить давление. 9.12. Работа
расширения газа совершается за счет убыли внутренней энергии газа, в
результате чего температура выходящего газа снижается и вентиль по-
крывается инеем. 9.13. Нет. 9.14. Нет. С повышением температуры энер-
гия уменьшается и в критическом состоянии становится равной нулю.
9.15. Кипятком. 9.16. В критическом состоянии. 9.17. Для воды; в 2,63 раза.
9.18.4,5 МДж. 9.19.3,9 МДж. 9.20.113 г. 9.21.2,26 106 Дж/кг. 9.22.54°С.
9.23. 218 г. 9.24. На 84 кДж. 9.25. 2,25 • 106 Дж/кг; 0,01 • 106 Дж/кг;
0,44%. 9.26.334 г. 9.27. 2,32 кДж. 9.28.0,04 м3.9.29.17 мин. 9.30.614 г.
9.31.28°С. 9.32.11 кг. 9.33.40%. 9.34. На 11 л. 9.35.10 2 кг/м3; 65%. 9.36.
8,8 10 3 кг/м3; 57%. 9.37.12 • 103 кг/м3; 0,54 кг. 9.38. На 6 К. 9.39. При
4°С. 9.40.18°С. 9.41.60% ,11г. 9.42.20°С; 8,82 10 3 кг/м3.9.43.19“С; 15 С.
9.44. Одинаковую температуру. 9.45.19 С; относительная влажность уве-
личится. 9.46. 0.4 м3. 9.47. Уменьшится до 54%. 9.48. 1,21 кг; 0,27 кг.
9.49. 2,33 кПа. Указание: р„=ра/(р;ра находим из уравнения Клапейро-
на-Менделеева ра=-^— RT;ра ЯТ.9.50.12,3-10 3кг/м3;48%. Ука-
MV MVtp
зание. Для решения задачи использовать уравнение Клапейрона — Менде-
леева. 9.51. 2,333 кПа.
§ 10. 10.1. Пространство, ограниченное сферической поверхностью,
внутри которой с центральной молекулой взаимодействуют остальные.
Радиус сферы молекулярного действия имеет порядок 10~9 м. 10.2. В пер-
вом случае равнодействующая направлена внутрь жидкости; во втором —
равна нулю. 10.3. На каждую молекулу поверхностного слоя действуют
силы, равнодействующая которых направлена внутрь жидкости. 10.4. Вода
уже сжата давлением поверхностного слоя, равным -1,1 ГПа. 10.5. Нали-
чием сил поверхностного натяжения. 10.6: Да, холодные капли крупнее.
375
10.7. Для данной жидкости с повышением температуры уменьшается.
10.8. Под действием сил поверхностного натяжения дробинки принимают
форму, имеющую наименьшую поверхность. 10.9. Перемещаясь к поверх-
ности, молекулы совершают работу по преодолению сил молекулярного
притяжения; их кинетическая энергия переходит в потенциальную. 10.10.
От рода жидкости, площади свободной поверхности, температуры. 10.11.
1,44 • 10’4 Дж. 10.12. 22,6 мкДж. 10.13. 10 4 Дж. 10.14. На 0,24 мДж.
10.15. 0,41 г. 10.16. 0,072 Н/м. 10.17. 7 мин. 10.18. 72.10.19. 0,072 Н/м.
10.20. 96 мН. 10.21. Подъем смачивающей жидкости по капиллярам.
10.22. При рыхлении разрушаются капилляры и тем самым в почве сохра-
няется влага. 10.23. 30°. 10.24. 3,8 см. 10.25.15 см; 6,8 мкДж; 3,4 мкДж.
10.26.1,14 -103 кг/м3.
§ 11.11.1. Нет, в кристаллах свойства по разным направлениям могут
быть различными. 11.2. Наличием дефектов кристаллической решетки.
11.3. а = 2,8 • 1О10 м. Указание: объем 1 моль Vm = М /р; в 1 моль 2NA яче-
ек; а =^]М/(2pNA). 11.4. Продольному сжатию; продольному растяже-
нию; изгибу и кручению. 11.5. Хорошо сопротивляется сжатию и растя-
жению. 11.6. Трубы, при работе на изгиб, обладают большей прочностью,
чем сплошные стержни той же массы. Увеличивается прочность и снижа-
ется расход металла. 11.7. Стекло обладает хрупкостью. 11.8. 4 мм. 11.9.
45 Н. 11.10. 125 мм2. 11.11. Деформация упругая; F=3,3-102 Н. 11.12.
1,5 мм; 7,5 • 10“4; 150 МПа. 11.13. 7,5 см2. 11.14. 4,2 км. 11.15. 5,1;
1,1 • 10 3; 14 Дж. 11.16. 961 кг. 11.17. 25.11.18. 3 Дж. 11.19.0,3 мм. 11.20.
0,1 ГПа; 9 10-4 м; 4,5 • 10-4; 9 • 10-2 Дж; 5 103; не изменятся. 11.21. При
кристаллизации воды во время снегопада выделяющееся тепло идет в ок-
ружающую среду. Теплота, необходимая для таяния льда, заимствуется
от окружающей среды. 11.22. Температура плавления свинца значитель-
но ниже, чем у других металлов. 11.23. Да, изменяя давление. 11.24. Если
процесс будет протекать при повышенном давлении. 11.25. Температура
плавления снега в сочетании с солью ниже 0°С, поэтому таяние снега про-
исходит даже при отрицательных температурах. 11.26. Нет. 11.27. Тем-
пература отвердевания спирта ниже, чем у ртути. 11.28. 226 кДж. 11.29.
220 кДж. 11.30. 19 кг. 11.31. 2,9 кг. 11.32. Температура замерзания мор-
ской воды и плавления снега с солью ниже 0°С. 11.33. 22 г. 11.34. 27%.
11.35. 7,2 т. 11.36. 60,25 кг. 11.37. 2,7 • 105 Дж/кг. 11.38. 24 км. 11.39.
0,9 кг. 11.40. 0,61.11.41. 3,35 105 Дж/кг. 11.42. 97 г.
§ 12.12.1. Сплав инвар имеет очень малый температурный коэффици-
ент линейного расширения и на инструменты из инвара мало влияют
колебания температуры. 12.2. Продолговатое отверстие создает возмож-
ность линейного теплового расширения, при котором уменьшается воз-
душный зазор между рельсами. 12.3. Различные температурные коэффи-
циенты линейного расширения уменьшали бы прочность во время работы
(нагревания) лампы; нет. 12.4. Увеличится. 12.5. Нагреть втулку. 12.6.
Относительно малым температурным коэффициентом расширения. 12.7.
Изогнется в сторону металла с меньшим коэффициентом линейного рас-
ширения, т. е. меди; в тепловых реле, для автоматического регулирова
ния температурного режима. 12.8. При пониженных температурах в зим-
ний период в результате укорочения проводов, может происходить их
376
разрыв. 12.9. 2,3 • 10 5 К-1.12.10. На 9 мм. 12.11.1,53 мм. 12.12. 10,6 мм.
12.13. 333 К. 12.14. 74,6 см. 12.15. До 526°С. 12.16. 52,8 МПа. 12.17. При
500°С. 12.18.2,55 кДж. 12.19.264 кН. 12.20. Приближенно. 12.21.202,4 дм2.
12.22.1,281 м2. 12.23. На 46 К. 12.24. Увеличится на 0,38 мм2. Указание:
при изменении температуры линейные размеры отверстий изменяются,
как размеры сплошных тел. 12.25. Соотношение приближенное. Указа-
ние: запишем, каким будет единица объема после нагревания на 1 К:
1 + Р= (1 + а)?;в правой части после возведения в куб из-за малости можно
пренебречь слагаемыми За2 и а3, что и приведет к соотношению Р=3а.
12.26. 10 '3 К-1. 12.27. Нет. См. ответ 12.24. 12.28. Объем серной кислоты
больше объема керосина на 5,2 см3. 12.29. На 110,4 см3. 12.30. 9,5 л.
12.31. 0,09 л. 12.32. 567 кДж. 12.33. На 0,2 см3. 12.34. При 24°С. 12.35.
8,85 • 103 кг/м3; 8,92 • 103 кг/м3. 12.36. 783 кг/м3.12.37. 780 кг/м3.12.38.
- 3,4 м3.12.39.1,8 10 4 К'1.12.40.42,5 кДж.
§ 13. 13.1. Два. 13.2. + 4,8 • 10 19 Кл. 13.3. Нет. 13.4. Если один конец
палочки, находящийся в руке, будет покрыт изоляционным материалом.
13.5. Заряженный шарик привести в соприкосновение с двумя такими
же, на которых заряда нет. 13.6. Статический заряд, который может обра-
зоваться при движении, через цепь отводится в землю. 13.7. Да. 13.8. По-
верхностная плотность заряда увеличится. 13.9. Шарик вначале коснется
наэлектризованной палочки, затем оттолкнется от нее. 13.10. Не изме-
нится. 13.11.0; 2.13.12.1,44 мН; в 81 раз. 13.13. 2,1 • 10“8 Кл. 13.14.9 ГН;
4,5 ГН. 13.15.95 км. 13.16.1) В 6-9 раз; 2) в керосине, парафинированной
бумаге; 3) в воду. 13.17. Да; уменьшится в 3,2 раза. 13.18. Капельки будут
сближаться с начальным ускорением 340 м/с2, которое по мере сближения
капелек должно увеличиваться. Нет. 13.19.1,84 • 10~7 Н. 13.20. 3,45 • 1011;
= 0,01 Н; да; см. рис. 85, а, б. 13.21. 2,25 • 104 Н. 13.22. 5 • 10’7 Кл/м2.
13.23. 4 • 10 6 Кл. 13.24.4 • 10’7 и 2 • 10"7 Кл; 0,42 м. 13.25. В 4,2 1042 раза.
13.26.1,77- 10-11Ф/м; 5,2 • 10~7Кл. 13.27. Нет. 13.28. Таким способом осу-
ществляется электростатическая защита. 13.29. Да; нет. 13.30. Напря-
женность поля будет больше в местах, где наибольшая кривизна поверх-
ности, например вблизи острия. Поэтому с острия возможно стекание
заряда — образование «электрического ветра». 13.31. См. ответ к задаче
13.30. 13.32. 0. 13.33. В данной точке на заряд в 1 Кл это электрическое
поле действует с силой 300 Н. 13.34. 7 • 103 В/м. 13.35.1,6 • 10-5 Н. 13.36.
Рис.85
377
3,2 • 10“14Н. 13.37. 3 • 104 В/м; шаровая поверхность. 13.38. 2,2. 13.39.
1,44 • 105 В/м; увеличится в 2 раза. 13.40. 3,75 • 104 В/м; 42 нКл. 13.41.
104 электронов. 13.42. Концентрические шаровые поверхности. 13.43. Нет.
13.44.9 • 103 В/м; 2,7 • 104 В/м. 13.45.1,71 • 10*4 В/м. 13.46.« 3,6 • 10® В/м.
13.47.1,13 кВ/м. 13.48. 0; 0; —. 13.49. 0,1 мг. 13.50. 9,93 м/с2.13.51. 0;
£ое
л/2о
------—13.52. Вследствие электризации шара через влияние. 13.53.
16х£0£/г
= 5,9 105 Кл; 8,3 • 10® В. 13.54.5,6 кВ. 13.55.38 В. 13.56.8- КГ* Дж. 13.57.
6 кВ; 6 кДж. 13.58.1,44 106 В. 13.59.2,4 • 10 s Дж; 150 В. 13.60.2,56 кВ;
на 4,1 10*1® Дж. 13.61. 3,5 • 104 В/м; 2,4 кВ. 13.62. 36 В. 13.63. 1,8 кВ.
13.64.8 см; 10 7 с. 13.65. а) В т. М: 12,6 В/м; 18,8 В; в т. N: 3,14 В/м; 9,4 В;
б) и = 1,82 • 10® м/с. 13.66. Да, приблизив к нему другой проводник. 13.67.
2С. 13.68.9 • 10® км; Kln/7?3 ~ 1400.13.69. Емкость, заряд и энергия конден-
сатора увеличатся; напряжение останется прежним. 13.70. 1,1 • 10'11 Ф;
1,1 10*®мкФ; 11 пФ. 13.71.= 711 мкФ. 13.72.4,5 см; 3 10 7 Кл/м2.13.73.
В качестве диэлектрика в конденсаторе используется оксидная пленка,
толщина которой очень мала. 13.74. = 455 и 1786 В; заряд с меньшего ша-
рика будет переходить на больший до выравнивания потенциалов. 13.75.
= 100 пФ. 13.76.1,8 мм. 13.77.6,6 Ю10 Кл. 13.78.1,1 • 10*7Кл; уменьшит-
ся в 6 раз. 13.79. На 6 мм. 13.80. 5 • 10 9 Ф. 13.81. 3,8 • 10*5 Дж. 13.82. 1)
1,09 мкФ; 2,2 • 10 2 Дж; 2) 12 мкФ; 0,24 Дж. 13.83. 0,6 мкФ. 13.84.
0,24 мкФ, 2,4 • 10*Б Кл. 13.85. 300 В. 13.86. 100 В; 10 2 Кл; 0,5 • 10*2 Кл.
13.87.1 мкФ. 13.88. В конденсаторе с большей емкостью. 13.89. 0,36 Дж;
130 Вт. 13.90. 4,8 мкФ, 9,6 • 10 4 Кл. 13.91. Во втором. 13.92. С = 4ne°Er ;
Аг
для вакуума 555 пФ. 13.93.0,215 Дж/м3.
§ 14.14.1. 7,5 • 10*®. 14.2. 6,3 1021.14.3.103 А. 14.4. 3 • 1023 см*3.14.5.
1,1 • 10*4 м/с. 14.6. 3,6 • 10*2 В/м; 518 м. 14.7. 5,4 10*4 м2/(В • с). 14.8.
2,5 • 104 А/м2; да. 14.9. 2 А/м2. 14.10. = 23 мм. 14.11. 6,2 А/мм2. 14.12.
0,054 Ом; уменьшится в два раза. 14.13. Нихромовая проволока; в 2,5 раза.
14.14. При условии, что внутренним сопротивлением аккумулятора из-за
его малости можно пренебречь, сила тока в вольфрамовой проволоке боль-
ше в 1,87 раза, чем в стальной. 14.15. Уменьшилось в 4 раза. 14.16.
12 мкФ. 14.17. 1,2 А; = 42 Ом. 14.18. 272 м. 14.19. 60 Ом. 14.20. 736 м.
14.21. 2,7 мА. 14.22. 3 В. 14.23. 2,7 В; 2,67 А/мм2. 14.24. 15 мм2. 14.25.
7,5 кН. 14.26. 0,017 Ом. 14.27. Нихромовой; в 3,125 раза. 14.28. Сталь.
14.29. Увеличится на 3,4 Ом для чугуна и на 0,34 Ом для фехраля. 14.30.
С большим. 14.31. 230 Ом. 14.32. На 25 К. 14.33. 6 Ом. 14.34. На 250 К.
14.35. 593 В. 14.36. 146 мм2. 14.37. ~ 1260 кВ. 14.38. увеличится;
сила тока в цепи уменьшится. Показания амперметров Аг и А2 будут оди-
наковы. 14.39. 4 Ом. 14.40. 0,033 Ом. 14.41. 22 Ом; 10 А; Ut — 50 В;
U2 = 70 В; U3 = 100 В. 14.42.20 Ом. 14.43.24 Ом; 3 Ом. 14.44.3,24; 2.12; 1,2
и 0,37 А. 14.45. 0,03 Ом. 14.46. На 2 части; параллельно. 14.47. 25 Ом.
14.48. 44 Ом; 5 А; 0,5 А. 14.49. 0,64 Ом; 3,2; 1,6 и 0,2 А. 14.50. 1,8 Ом;
1,2 Ом. 14.51. 0,55 А; 0,183 А; 1,65 А; 0,183 А. 14.52. 6 Ом; /, = 2 А;
I3 = I4 = 1 А. 14.53. 2,1 Ом; 21 В; = 12 В; 13 = 7,5 A; U3 = 9 В;
378
I2 = Ц = — 2,5 A; U2 = = U5 = 3 B. 14.54. Сопротивление нити в холод-
ном состоянии меньше, чем в раскаленном; сила тока, следовательно,
при включении больше, чем при выключении. 14.55. 4 Ом; 3 А. 14.56.
1г=12= 10 A; I3 - 5А; /4 = /6 = 5А; /5 = 17 = /8 = Л, = 2,5 А. 14.57.27 В. 14.58.
4,5 Ом; 2 Ом; 1,5 Ом; 0,67 Ом; 0,46 Ом; 0. 14.59. 0,78 Ом. 14.60. 2,6 Ом.
14.61.1 А; 0,5 и 0,5 А. 14.62.440 Ом; 110 В; 0,25 А. 14.63.0,014 Ом. 14.64.
= 2,3 Ом; 52,5 А; It = 22,5 А; 12 = 30 А; 13 = Ц = 15 = 7,5 А. 14.65. 20 А.
Ц = 5 А; 12 = 15 А; 13 = /4 = 2,5 А; /5 = 17 = 10 А; 16 = 7,5 А. 14.66.2,5 • 10” Ом.
14.67.60 А. 14.68.400 Ом. 14.69.10 кОм. 14.70.250 Ом; 225 В. 14.71.17 м.
14.72. Увеличилась в 5 раз. 14.73. Напряжение на внешней цепи; на паде-
ние напряжения в источнике тока. 14.74. 1,5 В, 0,24 В. 14.75. 1,93 В;
0,25 Ом. 14.76.0,29 А; 1,02 В; 70%. 14.77.230 В; 229 В. 14.78.10 А. 14.79.
0,1 Ом. 14.80. 10 5 Кл. 14.81.1,5 • 10“5 Кл. 14.82.12 В; 2 Ом. 14.83.147 В;
120 В. 14.84. 0,6 А; 3 А. 14.85. 225 В. 14.86. 236 В; 220 В. 14.87. 222 В;
21 мм2.14.88. 535 В. 14.89.230 В; 195 В. 14.90.2 А; 540 В. 14.91. а) 1,2 А;
б) 17,5 А; в) 4,7 А. 14.92.0,29 А; 0,8 А. 14.93. = 3,6 А. 14.94.0,6 Ом. 14.95.
Внутреннее сопротивление кислотных аккумуляторов очень мало, поэто-
му в цепи возникает большая сила тока, которая может разрушать пла-
стины. 14.96. 2,5 А. 14.97.1,25 А; 0,75 А. 14.98. /ш1р : /11ОСЛ = 3.14.99. По
три последовательно в две параллельные группы. 14.100. По четыре по-
следовательно в три параллельные группы. 14.101. 1,3 В; уменьшится
в семь раз. 14.102. Последовательное соединение. 14.103. Когда внеш-
нее сопротивление значительно больше внутреннего. 14.104. 52 В;
50 В. 14.105. 3,43 В; 3,36 В. 14.106. 0,4 Ом. 14.107. 2 А; 1,5 В. 14.108.
р I г*
/ =---L?--— = 1,24А. 14.109. Показания амперметра уменьшатся,
ПГ2 + Й(Г1 +Г2)
а вольтметра — увеличатся (рис. 86).
§ 15.15.1.18 Кл; 216 Дж. 15.2.317 МДж; 88 кВт • ч. 15.3. На 144 кВт • ч;
216 р. 15.4. 800 МВт; 7 • 109 кВт • ч. 15.5. 96 Дж; 45 Ом. 15.6. 234 МДж;
65 кВт • ч. 15.7.91%; 26,4 кДж. 15.8.1 А. 15.9. 500 Вт. 15.10. 5,4 А. 15.11.
48 Вт. 15.12. 4 Ом; C7cd = 0; Is = 0; 144 Вт. 15.13. Первая, в 1,3 раза. 15.14.
Первая; Ut = 157 В; U2 = 63 В. 15.15. По 2 параллельно в 2 последователь-
ные группы или по 2 последовательно в 2 параллельные группы. 15.16.
132 В. 15.17. 2,8 мм2. 15.18.16.15.19. 3,5 кВт; 89%. 15.20. 80 Ом. 15.21.
8,8 кН. 15.22. 225 В; 125 Вт. 15.23. 29,4 кВт; 26,5 кВт; 2,9 кВт; 0,48 Ом.
15.24. 1 м/с. 15.25. Свинец имеет относительно низкую температуру
379
плавленая 327°С. 15.26. Разная площадь поперечного сечения. 15.27.
У плитки, работающей от напряжения 127 В. 15.28. 570 МДж. 15.29.
а) 110 В; 60 Вт; 0,22 МДж; б) 88 В; 132 В; лампа мощностью 40 Вт находит-
ся под напряжением выше номинального; 38,4 Вт; 57,5 Вт; 0,14 МДж;
в) 138 В; 82 В; лампа мощностью 60 Вт находится под напряжением выше
номинального; 94 Вт; 56 Вт; 3,38 • 105 Дж; 0,2 МДж. 15.30. 26 г. 15.31.
79%; 30 коп. 15.32. 2 Ом. 15.33. 69,4 Ом. 15.34. Уменьшить длину до 3 м.
15.35. 20 или 80 Ом. 15.36. 125 кВт; 110 кВт; 88%. 15.37. 15 кг. 15.38.
R = г; Рмех = #2/4г; 1] = 50%. 15.39.1,2 Ом; 7,5 Вт; 2,5 А.
§ 16.16.1. Нет. 16.2. Нет. В противном случае вследствие электролиза
будет разрушаться оксидная пленка. 16.3. Реверсирование тока означает
изменение его направления. В процессе реверсирования, когда деталь ста-
новится анодом, неровности (выступы) начинают растворяться более ин-
тенсивно, при этом края или поверхности сглаживаются. 16.4.9,32 • 10* кг;
1,118 • 10’6 кг; 0,33 • 10"6 кг; 6,25 • 1018. 16.5. 283 мг. 16.6. 362 г. 16.7.
3,3 10 7 кг; 6,6 • 10 7 кг. 16.8. На 2,96 • 104 кг. 16.9. 3,33 • 10"7 кг/Кл;
0,004 • 10“6 кг/Кл; 1,2%. 16.10. Медь. 16.11. Серебро; 1.16.12. 1,6 • 10“19;
Кл; 3,2 • 1019 Кл; 4,8 • 10"19 Кл. 16.13.1,118 10"6 кг/Кл; 6,8 • 10“7 кг/Кл.
16.14. 2,24 • 1022.16.15.4,13 10"3 кг; 1,88 • 1022; 1,26 • 1022.16.16.11,8 кг.
16.17. 64,5 ГДж; 0,12 Ом. 16.18. 278 А/м2. 16.19. 9,65 г; 18,4 г. На катоде
выделилось железо, на анодев — хлор. Ионы металлов положительные,
идут к катоду; ионы хлора отрицательные, идут к аноду. 16.20. 9,4 ч.
16.21.52 мин. 16.22. 2,6 • 104 кВт• ч; 42 900 руб. 16.23.4,5 кг. 16.24.12,5 ч.
16.25. 2,7 10“9 м/с. 16.26. 312 К. 16.27. Нет, необходима поправка 0,1 А.
16.28.1,045-Ю'8 кг/Кл; 2,38 -10 7 кг/Кл; 1,26 10 7 кг/Кл. 16.29. 50 Кл;
56 мг. 16.30. ~ 29 Вт. 16.31.369 мг. Указание. См. рис. 87. Площадь трапе-
ции на графике численно равна количеству электричества, протекшего че-
рез электролит с момента, когда ток начал изменяться. 16.32. = 28,2 А/м2.
16.33.1,9 • 1022.16.34. =U-—R -0,8 В.
§ 17.17.1. В результате рекомбинации заряженные частицы быстро ис-
чезают, превращаясь в нейтральные атомы — газ становится непроводни-
ком. 17.2. О А — область подвижного равновесия между ионизацией и ре-
комбинацией (область приближенного применения закона Ома); АВ —
область тока насыщения (сила тока зависит только от действия ионизато-
ра); ВС — область ударной ионизации
(самостоятельный разряд). 17.3. 1) Об-
разование носителей зарядов в газе про-
исходит под действием ионизатора, а в
растворах — под действием растворите-
ля с учетом теплового движения; 2) в га-
зе проводимость электронная и ионная,
а в растворах только ионная; 3) прово-
димость в газе не подчиняется закону
Ома. 17.4. Повысить температуру. 17.5.
Нет, при малой длине свободного про-
бега электрическое поле должно иметь
большую напряженность. 17.6. Большая
380
сила тока при образовании искры снижает напряжение на электродах,
что приводит к прекращению разряда. 17.7. Образование коронного раз-
ряда вокруг проводов высоковольтных линий; коронный разряд в роли
фильтра для очистки топочных газов. 17.8. Тлеющий; электроны, ионы
газа и паров ртути. 17.9. По мере разрежения газа длина свободного пробе-
га становится больше, следовательно, энергия, необходимая для иони-
зации, W" =еЕ'К может быть приобретена при меньшей напряженности
электрического поля. 17.10. Активирование катода (покрытие слоем дру-
гих более активных металлов) уменьшает работу выхода электронов из
катода и приводит к экономии энергии. 17.11. Горизонтальные участки
графика соответствуют току насыщения при различных температурах на-
кала нити лампы. При повышении температуры накала нити эмиссия
электронов возрастает. 17.12. Электронным пучком можно управлять с
помощью электрического или магнитного полей. В кинескопе для этого
используют плоские конденсаторы, а на горловину трубки надевают
катушки с током для создания магнитного поля. 17.13. В газе в обычных
условиях отсутствуют носители зарядов или число их ничтожно мало.
Плазма — это смесь электрически заряженных частиц, в которой общий
отрицательный заряд частиц равен по модулю суммарному положитель-
ному заряду. Наличие заряженных частиц в плазме обеспечивает ей элек-
тропроводность, что неприменимо к газу. 17.14. 4,3 В. 17.15. Увеличится
в 1,2 раза; 1,6 • 107 м/с; 1,9 • 107 м/с. 17.16.1,03 • 108 м/с. 17.17.1,03 • 107 м/с;
9,7-10“10 с. 17.18.7,95 • 105м/с. 17.19.2,18 -106 м/с. 17.20.6,4 -1014 А/м2.
17.21.3 мкм. 17.22.1,26 • 1013 м’3.17.23.1,46 • 10“4 м2/(В • с). 17.24.0,64 А.
17.25.1,1 мм. 17.26. 3,2 МВ/м.
§ 18.18.1. Кривая I. 18.2. Электроны, дырки. 18.3. Число дырок равно
числу электронов; нет. 18.4. n-типа (фосфор пятивалентен); p-типа (ин-
дий, трех валентен). 18.5. Уменьшается. 18.6. Увеличится в 2,4 • 104 раза.
18.7. 2,5 • 10-3 м2/(В • с); 1018 м-3. 18.8. Полупроводник с контактами для
включения в цепь. Для термисторов нет прямо пропорциональной зависи-
мости между силой тока и приложенным к нему напряжением. 18.9. В уст-
ройстве термистора используется зависимость сопротивления от темпера-
туры, а в фоторезисторе — от освещенности. 18.10. Полупроводниковый
прибор, представляющий собой кристалл, в котором имеются два элек-
тронно-дырочных перехода. База, коллектор, эмиттер. 18.11. При тол-
щине базы значительно меньшей длины свободного пробега, попадаю-
щие в нее неосновные носители зарядов не успеют рекомбинировать.
18.12.1Э =Ц + 1к. 18.13. Значительно экономится энергия; радиотехниче-
ские устройства более компактны и имеют больший срок службы. 18.14.
Если потенциал точки А будет выше потенциала точки В, через диод пой-
дет прямой ток от А к В. 18.15. См. рис. 88. Эмиттерный переход включен
Рис. 88
381
2
Рис. 89
в прямом направлении, коллекторный — в обратном. 18.16. а)р — п — р;
п — р — п;Э-— эмиттер; Б — база; К — коллектор.
§ 19.19.1. Если мысленно разделить проводник с током на множество
элементов, то для каждого из них можно найти такой, в котором ток имеет
обратное направление, что вызовет взаимное отталкивание: при таком
взаимодействии всех элементов проводник будет принимать круглую фор-
му. 19.2. Подключив вольтметр к двум точкам 1 и 2 (рис. 89), можно опре-
делить, какая из них будет иметь более высокий потенциал; затем поднес-
ти к одному из проводов магнитную стрелку и по отклонению северного
полюса определить направление тока. 19.3. См. рис. 90.19.4. См. рис. 91.
19.5. См. рис. 92.19.6. См. рис. 93.19.7. Магнит будет отталкиваться от со-
леноида и подниматься вверх. 19.8. Катушка будет отклоняться вправо.
19.9. При заданном направлении тока рамка будет поворачиваться по ча-
совой стрелке, если справа будет северный полюс; на 90°. 19.10. 0,46 Н.
19.11. 0,8 м. 19.12. 50 А. 19.13. 2,8 м. 19.14. 0,4 Н; 0,2 Н; 0. 19.15.
1,2-10”2 Тл. 19.16. Поднести магнит к лампочке. В цепи переменного тока
возникнут колебания нити и она будет видна расплывчатой. 19.17.0,42 Н.
19.18. 1=^-; от N к М. 19.19. 15,7 Н. 19.20. 275 А. 19.21. 26 А/м;
382
3,25 ‘ 10 5 Тл. 19.22. 5 • 10 5 Тл; 4 см. 19.23. 7 • 10 5 и 1 Ю'5 Тл. 19.24.
3,14 • 10“5 Тл; 6,9 см. 19.25. 125 А/м; 10 А. 19.26. 16 А; 16 А/м. 19.27.
1,1 • 10"1 А • м2.19.28. ~ 2,4 А; 16 А/м. 19.29.5,7 • IO’6 Н • м. 19.30.3 • 10"4 Тл.
19.31. 7,5 103 А/м; 9,4 • 10 3Тл. 19.32.1,5 мм. 19.33.800; 280; уменьшает-
ся. Когда намагничивание ферромагнетика достигает насыщения, рост
магнитной индукции происходит только за счет возрастания напряжен-
ности магнитного поля. 19.34. 0,5 Тл; 1,5 мВб. 19.35. 7,9 • 10-7 Вб. 19.36.
2 • 10“4 Вб; 2,4 • 10“4 Дж. 19.37.144 мВб. 19.38. 7,2 • 10’4 Вб. 19.39. 0,2 Тл;
100. 19.40. В начальный момент вертикально вниз; окружность. 19.41.
3,0 • 10“16 Н. 19.42.1,2 м; 4,0 • 10-7 с; 2,5 МГц. 19.43. Вектор скорости дол-
жен быть перпендикулярен плоскости, в которой действуют векторы Е и
В. По условию движение электрона равномерное и прямолинейное, следо-
вательно, Fj! ® 0; v = Е/В. 19.44. 1,4 • 10-14 Дж. 19.45. 4 мм; 4,4 см. 19.46.
Ти1 = Ти2.19.47.Ти>Тэ.
§ 20.20.1. Будет в случае а. 20.2. При замыкании (или размыкании) по-
люсов магнита изменяется индукция магнитного поля, что приводит к
возникновению индукционного тока. 20.3. От А к 7W; от М к N. 20.4. Воз-
никает при входе рамки в магнитное поле и выходе из него, так как при
этом магнитный поток, проходящий сквозь рамку, изменяется. 20.5. Нет.
20.6. По верхней части рамки: аиг — от нас; бив — к нам. 20.7. Второй
стержень ненамагничен. 20.8. Снизу вверх через гальванометр. 20.9. Про-
тив часовой стрелки. 20.10. При входе и выходе магнита из цилиндра маг-
нитное поле, созданное индукционным током в цилиндре, тормозит дви-
жение. Если цилиндр длинный, то внутри него а = g. 20.11. Да; 0, так как
ЭДС, возникающие в каждой половине проводника, одинаковы по моду-
лю, но имеют противоположные направления. 20.12.3,4 • 10-2 В. 20.13.6 А.
20.14. 1,4 Тл. 20.15. 0,46 В. 20.16. « 20 м/с. 20.17. 2 В; 0,5 А. 20.18. 30°.
20.19. 64 В. 20.20. На 6 мВб. 20.21. 100 В. 20.22. 1,5 с. 20.23. 0,8 В; на
8 мВб. 20.24. 0,4 Вб. 20.25. 0,1 Гн. 20.26. Поместить внутрь сердечник из
ферромагнитного материала. 20.27. Возникающая при размыкании цепи
ЭДС самоиндукции направлена в ту же сторону, что и ЭДС источника;
их совместное действие вызывает искрение. Параллельно рубильнику
присоединить конденсатор. 20.28. 7 А. 20.29. ~ 2,7 А. 20.30. = 2,7 Дж.
20.31. 0,216 Дж; 0,072 Вб. 20.32. 1,5 10"5 Кл. 20.33. 4 мА. Указание:
I =<?/В; fo = —ДФ/AZ; АФ=Д(В/2). Так как I2 не изменяется, то АФ=/2АВ;
I =l2t±B/(Rbt). 20.34.10 В; 5 А. 20.35.4 мВ; 1,6 мДж. 20.36.1,26 • 10“4 Дж;
12,6 мВ.
§ 21. 21.1. 5 с. 21.2. 2. 21.3. 2 с; 0,5 Гц. 21.4. 2,51 рад/с; 2,5 с. 21.5. 1 с;
1 Гц. Указание. От удара об пол до наивысшей точки подъема проходит
Т/2. 21.6. Частота колебаний не изменится, но колебания будут затухать
быстрее. 21.7.2 Гц; 0,5 с. 21.8. а) В одинаковой фазе; б) и в) в противофазе.
21.9. со = 2лп/£ = 3,46рад/с. 21.10. 4,77 Гц; 0,21 с. 21.11. 0,5 Гц; 2 с;
3,14 рад/с. 21.12.4,25 м; 0,3 рад/с; 0,75 рад; 20,9 с; 0,9 рад. 21.13.0; 2 см;
0; -1 см. 21.14.2лрад; л рад; л /2рад. 21.15. 3,54 см. 21.16. 0,85 м; 0,6 м;
-0,6 м. 21.17. -1,04 м; 0,85 м; 0; см. рис. 94. 21.18. 4 м. 21.19. 14,2 см.
21.20.6 м; 2 Гц; 0,5 с; -л /рад\ х=6 sin л(4* -0,5). 21.21.5,2 м. 21.22. л рад; 0.
21.23. а) Д<р=— рад или Д<р = -— рад; б) А(р = — рад. Указание, а)
383
Рис. 94
Зя 5л Зл л к л 1 Л 7 1 Л л
ч>1 =—*+v;<₽2=vt+ о+^; Лф=Ф1-Ф2;б)Ф1=7‘п*+тл;ф2=тю*-*+р
( j\ 5
21.24. а) х — =2 sin л t + - ; 6)x = v3 sin-n(t-l). Указание, а)
к 3/ 6
/— (2л
х = Asin(cot + (po); V3 = = Asincp0; l = Asinl — х
71 А . . f л _ ли
—+ Фо l=Asinl ~ + (Ро j~Acos<p0. Решая совместно, находим: А = 2;
ср0 = л/3; 6)0 = A sin(co + <poX следовательно, со=-<р0; л/3/2 = = A sin со;
-3/2 = Asin2cD=2Asincocosco; -3/2=V3cosco; cosco=—Тз/2; со=5л6;А=д/3.
21.25. а) х=0,09sin40лt; б)х=5вшл| t + —|; e)x = sinn| —- —21.26. 4,17 •
V 4/ \3 4/
10“2 с; 8,33 • 10-2 с; 8 м. Указание. Смещение, равное половине амплитуды
от положения равновесия, соответствует фазе л / 6 или = Т/12. Зная пе-
риод, определяем время tr = 0,0417 с. Смещение, равное половине ампли-
туды, считая от точки максимального отклонения, соответствует измене-
нию фазы на л/3 или t2 = Т/6. Отсюда t2 = 0,0833 с. За 10 с тело совершило
20 колебаний, поэтому s = п • 4 А = 20 • 0,4 м — 8 м. 21.27. Под действием
силы тяжести; к положению равновесия; в крайних; в положении равно-
весия. 21.28. v = Acdcos(coZ + <р0 ); нет, так как возвращающая сила непре-
рывно изменяется. 21.29. Да. 21.30. Алюминиевый шарик остановится
раньше. 21.31. Ускорение максимально при амплитудном значении сме-
щения и минимально в положении равновесия; скорость максимальна в
положении равновесия. 21.32. F = m^sinoc =6,93-10 2 Н. 21.33. 204 г.
21.34. 30°. 21.35. Период колебаний маятника зависит от ускорения сво-
бодного падения, которое на различных географических широтах не оста-
ется постоянным. 21.36. С понижением температуры длина маятника
уменьшается и, следовательно, меняется период — часы будут спешить;
изменить длину путем перемещения груза. 21.37. Увеличится в 2 раза.
21.38. Уменьшить в 6,05 раз. Указание. Из условия следует, что на Земле
и Луне периоды будут одинаковы. Выражая периоды по формуле Т = / g
для Луны и земных условий, получим —— = 1; —=—=6,05;Z„ =-^—.
'л^з 1л 8л 6,05
384
21.39. 2,005 с; 2,004 с; 2,009 с; 4,92 с. 21.40. 9,82 м/с2. 21.41. а) точно;
б) при свободном падении лифта наступает состояние невесомости и воз-
вращающая сила обращается в нуль; если маятник находился в крайних
положениях, то колебаний не будет; а в положении равновесия — будет
равномерное вращение в вертикальной плоскости. 21.42. а) вверх; 0,75 mg;
б) вниз; 0,5625 mg. Указание, а) Если под действием силы F период
стал больше, ускорение, создаваемое ею, имеет знак минус. То =2п^1/ g;
2Т0 =2^1 /(g-g1);l/2 = J(g-gl)/g-,g^g-gx)-,gl -0,75g. 21.43. F=mg
направлена вверх. 21.44. a) 0,5mg;a =0,464 рад или a=26°3(Y; 6) 1,2 mg;
a =0,876 рад или a =50°12/. Решение. Результирующую силу, дейст-
вующую на шарик, найдем из прямоугольного треугольника (рис. 95).
Fj =maY =y]m2g2 + F2 .откуда a= Jg2 + F2 / m2. Решая последнее уравнение
совместно с двумя уравнениями для периодов колебаний TQ —2ityjl/g;
kT0 = 2n^jl / gr, где k = T /То, получим F = mgyjl/k* -1. Положение равнове-
сия будет в том случае, когда tga = F /(mg). 21.45. Т = О,99То (см. решение
задачи 21.44). 21.46.1,9 с (см. решение задачи 21.44). 21.47.0,9 Гц (см. ре-
шение задачи 21.44). 21.48. Будут; сила тяжести изменяет положение
равновесия. 21.49.1,13 Гц. 21.50.126 Н/м. 21.51.0,03 м; 31,3 рад/с; 0,2 с;
-к/2 рад; x=0,03sin(31,31-л /2). 21.52.8 • 10-3 Дж; 0,14 м/с; 1 м/с2. 21.53.
6,32 Дж; не зависит. 21.54. 0,192 Дж; 0,6 м/с; 0,1795 Дж; 0,0125 Дж;
х = 1,96-10“2 sin(31,61-0,5л). Указание. После выключения двигателя пру-
жина оказывается растянутой до амплитудного значения смещения. При
этом m • 2g -kA. 21.55. x=3cos0,2sin(Ttt- 0,2л); 3cos0,2 м; 0,5 Гц; 2с; -0,2 рад;
л рад/с. Указание. С помощью формулы для синуса двойного угла sin 2a=
= 2 sin a cosa уравнение можно преобразовать к обычному виду. 21.56. Ма-
ятниковые часы отстали на 47,6 с. Р е ш е н и е. Движение ракеты можно
разделить на три участка (рис. 96). На первом участке ускорение направ-
лено вверх и равно ах = g, на втором участке, который продолжается до
включения двигателей, происходит свободное падение, на участке торможе-
ния ускорение направлено вверх. Сначала найдем t2 и 13. Для нахождения
gt2
t2 воспользуемся формулой равноускоренного движения: й=Л0+и01 +——.
385
В нашем случае h = Н2; h0 = Нг; vG = рх. Учитывая знак ускорения и вели-
gt? gfi
чины I?! = gt1 и 1Ц =—запишем уравнение: Н2 =—^--i-gt1t2 —откуда
2 2 2
=ti + y2(zf - Н2 /g) = 70 с. Перейдем к третьему участку пути. Здесь и2 =
1^2 и
=ц ~Sh. =g(h -*г)=-392 м/с; а3 =--— = -8g; =— =5 с. На первом уча-
2Н2 _____ Оз
стке период маятниковых часов Т =2n*Jl/2g =Т0/42. Часы спешат на
Д^ =^(>/2 -1)~ 12,4 с. На втором участке маятниковые часы стоят, а на тре-
тьем спешат. Т =Т0 /3; Д^ =^(3-1)= 10 с. В результате Д£ = Д^ + Д^ + Д^ =
- 12,4с-70с + 10с = -47,6с. 21.57. См. рис. 97. 21.58. 2 м; 3 м; 5 м (рис. 98).
21.59. x=O;x=-sincof; 0; -1 м (рис. 99). 21.60. а)2>/2 м; б) 5,4 м; в) 5,4 м
(рис. 100). 21.61. <p=arctg0,4 = 0,38 рад = 2Г48' (см. рис. 100, в). 21.62.
3,6 м; 30°27' (рис. 101). 21.63. Колеблется около положения равновесия.
21.64. См. рис. 102. 21.65. а) Вправо; б) влево. 21.66. От силы поверхност-
ного натяжения. 21.67. 0. 21.68. 16,7 м/с. 21.69. В железе; не может.
386
Рис. 102
21.70. Звук возникает при трении металлических поверхностей в петлях.
Дверь, имея большую поверхность, усиливает колебания. 21.71. Силы уп-
ругости. 21.72. От температуры и давления. 21.73. Проходя по рельсу,
звуковая волна частично отражается от поверхностей рельса внутрь и, та-
ким образом, интенсивность звука убывает не так быстро, как в сфериче-
ской волне в воздухе. Рельс играет роль звукопровода. 21.74. Звук слышен
не будет. 21.75. Колебания камертона передаются поверхности стола, ко-
торая во много раз больше, чем у камертона. 21.76. Быстрее прекратится
звучание камертона, прислоненного к столу, так как на колебание по-
верхности стола затрачивается энергия камертона. 21.77. 22,7 - 11,3 см.
21.78. 0,66 м. 21.79. 0,5л рад. 21.80. В колпачке возникают колебания
столба воздуха. 21.81. 1545 Гц. 21.82. 6 см. 21.83. Увеличится. 21.84.
1445 м/с; 3638 м/с. 21.85. v и Т не изменятся; X увеличится в 14,7 раз.
21.86. 1200 м. 21.87. 2,04 мм; 5,1 мм. 21.88. 3 км. 21.89. 13,2 с. 21.90.
2 • 10-3%; 6 см. 21.91. В одинаковых; не переносят. 21.92. 0,8 м; 420 Гц.
21.93. 0,4 м.
§ 22.22.1.0,02 с; 100 раз. 22.2.4,24 А. 22.3. Нет. 22.4.177 В; 314 рад/с.
22.5. 63,8 А; (314t + л4) рад; л/4 рад; 50 Гц. 22.6.0; 126,6 В; 179 В; 89,5 В;
-155 В; -179 В; -126,6 В; 0. 22.7. -3 А; 1,5 А. 22.8. а) Плоскость рамки
перпендикулярна линиям индукции магнитного поля; б) плоскость рам-
ки параллельна линиям индукции. 22.9. 5 • 10-4 В. 22.10. Не изменится.
22.11. а) Уменьшится в 1,3125 раз; б) увеличится в 1,19 раз; в) увеличится
в 1,143 раза. 22.12. 120. 22.13. 0,046 Тл. Указание. Начало колебаний
ЭДС соответствует положению рамки, при котором ее плоскость перпен-
дикулярна линиям индукции. 22.14. 0,15л В; 20л рад/с; 0,1 с; —л/4 рад;
е=0,15л sin л(20£-0,25). 22.15. Да, увеличилось в 6 раз: равно активному
сопротивлению проводника. 22.16. 4 Ом; 3 Ом. 22.17. 152,6 Ом. 22.18.
Бесконечное. 22.19. 31,8 Ом; 0,53 Ом. 22.20. 531 Ом. 22.21. 18,5 Ом.
387
a
Рис. 104
22.22. 28,2 A. 22.23. 50 мкФ. 22.24. 127 В; 179 В. 22.25. Uc = 16 В;
UL = 96 В; 200 Гц. Указание. Ответ получим из решения двух уравнений:
XL-Xc=U/I1;XL/2-2Xc=U/I2.22.26. См. рис. 103.22.27. а) Рис. 104,
а, б; б) рис. 104, в, г. 22.28. а) Рис. 105, а; б) рис. 105, б. 22.29. а) рис. 106, а,
б; б) рис. 106, в. 22.30. а) рис. 107, а; б) рис. 107, б. 22.31. а) рис. 108, а;
б) рис. 108, б, в. 22.32. См. рис. 107, а. 22.33. См. рис. 107, б. 22.34. а) 100 Ом;
1,2 А; 72 В; 96 В; см. рис. 109, а; б) 4 Ом; 30 А; 114 В; 42 В; см. рис. 109, б;
388
Рис. 109
Рис. 110
389
Рис. 111
в) 16 Ом; 7,5 А; 180 В; 60 В; см. рис. 109, в. 22.35. а) 5 Ом; 44 А; 220 В;
1866 В; 1866 В: рис. 110, а; б) 42,4 Ом; 5,2 А; 156 В; 327 В; 171 В; рис. 110, б.
22.36. а) 12 А; 9 А; 15 А; 0,8; рис. 111, а; б) 36 А; 18 А; 40, 25 А; 0,894;
рис. 111, б; в) 18 А; 9 А; 20 А; 0; рис. 111, в. 22.37. а) 6 А; 12 А; 12 А; 6 А; 1;
рис. 112, а; 6)4 А; 3,6 А; 7,5 А; 6 А; 0,67; рис. 112,б; в)9 А; 18 А; 6 А; 15 А;
0,6; рис. 112, в. 22.38. Увеличить на 0,184 Гн; 120 В. Указание. Из усло-
R V3 „ L i
вия 2 • 2 2 =~^~ найдем — = равенство сдвигов фаз дает уравне-
Л + AR R 1
ние —, . . . . = . =, отсюда AL=AR— = ДВ—j=.
ylfR + ARf + affL + bLf y/R2+(a2L2 R ш-Уз
22.39.17,3 Ом; 0,04 Гн. 22.40. UR = 32 В, UL - 48 В, Uc = 32 В, = 36 В;
2634'; см. рис. 113. 22.41.1594 мкФ. 22.42. Гидротурбины не могут сооб-
щить ротору генератора необходимой скорости вращения. Чтобы частота
тока была стандартной (50 Гц), используют многополюсные генераторы.
Увеличение пар полюсов равносильно увеличению скорости вращения ро-
тора. 22.43.20. Указание. Частота переменного тока v и частота вращения
ротора п связаны зависимостью v = рп, где р — число пар полюсов. 22.44.
100 Гц. 22.45. Нет. 22.46. Потребляет незначительную. 22.47. По корот-
козамкнутому витку проходит огромный ток, что приводит к перегреву
трансформатора и может вывести его из рабочего состояния. 22.48. 2.
22.49. В 10 раз. 22.50. 696. 22.51.16. 22.52. 0; 28,2 вар; 28,2 В • А. 22.53.
72 Вт; 96 вар; 120 В А; 0,6; 20 В. 22.54.108 Вт; 144 вар; R=27 Ом; XL - 36 Ом;
Хс = 72 Ом. 22.55. 0,995; 380 Вт; 36 вар. 22.56. 270 В • А; 200 Вт; 182 вар;
Рис. 112
390
0,74. Указание. При параллельном соединении коэффициент мощности
Р 1/Л
можно наити двумя способами: cos<p =—, или costp = —. - , что
S ^1/R2+1/X2C
вытекает из векторной диаграммы токов. 22.57.0,019 Гн; 240 Вт; 602 вар.
22.58.60 Ом; 41,8 Ом; 240 Вт; 344,7 вар; 420 В А; 0,57.22.59. а) 1; 160 Вт;
0; б) 0,6; 120 Вт; 160 вар. 22.60.0,97; 8067 Вт; 2020 вар. 22.61. X = 12,5 Ом;
R = 7,2 Ом; 0,865; 400 В • А; 6,25 Ом.
§ 23. 23.1. Увеличится. 23.2. Да, период увеличится. 23.3. 500 м. 23.4.
7,94 • 104 Гц; 1,26 10”5 с. 23.5. Происходит отражение электромагнитных
волн. 23.6. Ультракороткие волны проходят через ионосферу. 23.7. 53 и
2640 м. 23.8. =200 м; 1,6 МГц. 23.9. 70 пФ. 23.10.45 км. 23.11. Пропорцио-
нально четвертой степени частоты. 23.12. С1. 23.13. За счет источника
электрической энергии. 23.14.2,25 • 108 м/с; 0,13 м. 23.15. 7,5 мГн. 23.16.
0,5 МГц; 0,1 Гн. 23.17. 1,6 мм. 23.18. Ю 5 с; 300 м. 23.19. 4,65А. 23.20.
2 2
4 Ю'3 с; 4 мкФ; Е„ - Е = 2 • 10 5 Дж. 23.21. L = *2~V* , = 2,3 мГн. 23.22.
м 4n2ACvfv2
265 Гц; 0,75 мкДж.
§ 24. 24.1. На 40". 24.2. На 30°. 24.3. Расположить зеркало на пути лу-
чей под углом 78° или 12° к горизонту. 24.4. а) 68°; 22°; б) 22°; 68°; см.
рис. 114. 24.5. Под углом 45° к горизонту, зеркальной поверхностью
вверх. 24.6. Выше 160 см. 24.7. В вертикальной. 24.8. Изображение лампы
Рис. 115
Рис. 116
391
мнимое и симметричное относительно зеркала; см. рис. 115.24.9.11,5 см;
см. рис. 116. 24.10. Зеркала располагают перпендикулярно боковым гра-
ням треугольника SjSS2 на равных расстояниях от вершин; см. рис. 117.
24.11. 3; 5. 24.12. В результате многократного отражения от зеркал полу-
чается множество изображений. 24.13. Когда расстояние до здания боль-
шое. 24.14. Лучи, идущие от Солнца, можно принять за параллельные,
поэтому точка, в которой они соберутся и будет фокусом. 24.15. 39 см,
19,5 см. 24.16. См. рис. 118. 24.17.1,2 м. 24.18.10,5 см; 21 см. 24.19.20 см.
24.20. 20 см. 24.21. 24 см; -1,7. 24.22. 60 см; 40 см. 24.23. 0,2 м. 24.24.
14 см. 24.25. Использование выпуклых зеркал позволяет расширить поле
обзора. 24.26. 3 м. 24.27. 1,5 м. 24.28. -0,2 м; мнимое и уменьшенное.
24.29. -24 см; см. рис. 119. 24.30. 86 см. 24.31. 1,8. 24.32. 35”. 24.33. 43”.
24.34. =8”; 12°20'. 24.35. 50”. 24.36. В воде изображение рыбы получается
мнимое и смещенное. 24.37. 1,41; 54”40'. 24.38. 1) При гц = п2, 2) когда
е =0. 24.39. =38°; 225000 км/с. 24.40. 2,3 • 105 км/с. 24.41. 2 • 105 км/с; 1,5.
24.42. 35. 24.43. 57°. 24.44. См. рис. 120. 24.45. =24°. 24.46. 1,5. 24.47.
33°20'. 24.48. Наличие пузырьков воздуха на поверхности шарика,
392
покрытого копотью, создает условие для полного отражения, на границе
вода-воздух. 24.49. Явлением полного отражения. 24.50. См. рис. 121.
24.51. 26 см. 24.52.0,75 м; см. рис. 122. 24.53.82,5 см; см. рис. 123. 24.54.
4,5 см. 24.55.0,4 см. 24.56. MN = 6,6 см; см. рис. 124.24.57. Все точки сме-
щаются одинаково; если толщина оконного стекла будет различной. 24.58.
2,65 см; 5 см. 24.59. См. рис. 125. 24.60. См. рис. 126. 24.61. См. рис. 127.
л -L х д
24.62. 34°. 24.63. 17°. 24.64. 35 30'. 24.65. 38°. 24.66. n = sin-sin—.
2 2
24.67.8 дптр; 2 дптр. 24.68. -4 дптр; -2,5 дптр. 24.69.25 см; -20 см; -50 см.
24.70. Если прозрачная среда, в которую помещена линза, будет более оп-
тически плотная, чем материал, из которого изготовлена линза. 24.71.
См. рис. 128. 24.72. Уменьшится яркость изображения; см. рис. 129.
24.73. См. рис. 130. 24.74. Совместить фокусы линз. 24.75.30 см; действи-
тельное и уменьшенное в 2 раза. 24.76. -10 см; 30 см; 20 см; =17 см. 24.77.
1) Уменьшается; 2) действительное, обратное, в натуральную величину;
3) между фокусом и линзой. 24.78.10 см; 10 дптр. 24.79. См. рис. 131; для
нахождения оптического центра О проведем луч из точки А в Aj. Он
Рис. 127
393
пересечется с оптической осью в оптическом центре. Второй луч из точки А
проведем параллельно оптической оси, следовательно, преломленный луч
попадет в точку А', пройдя через фокус V. В данном примере от собираю-
щей линзы получилось действительное изображение. 24.80. 24 см.
24.81. = 3,1 дптр; 4. 24.82. 0,3 м. 24.83. 4 см. 24.84.1,75 м; увеличенное в
2,5 раза. 24.85. -2 м; мнимое, прямое, увеличенное в 5 раз. 24.86. 24 см.
24.87. -12 см; 3,6 см. 24.88.16 см. 24.89. Да. f 24.90. 2,5. 24.91. -7,5
см; = -13 дптр; см. рис. 132. 24.92. 0,5. 24.93. 4. 24.94. 0,15 м; =7 дптр.
24.95.10 дптр; 5 дптр. Указание. Оптическая сила системы Ф равна сумме
оптических сил линз, сложенных вплотную, образующих систему.
394
24.96. = -6,7дптр.Фвогя =----Фвып. 24.97.30.24.98.5дптр.24.99.2,63
d(l —d)
м. 24.100. 4 дптр. 24.101. Для увеличения резкости изображения. 24.102.
19 м. 24.103. =8,9 дптр. 24.104. 7,25. 24.105. 2,5 см; 16 см.
§ 25. 25.1. 2.51 • 103 лм. 25.2. 2,4 кд. 25.3. 3,167 лк; 188,4 лм. 25.4.
8 • 10-3 лм. 25.5.10® лм; 104 лм. 25.6. 39 лк. 25.7. 25 лк. 25.8. В два раза.
25.9. Ej = 13,3 лк; Е2 = 17,4 лк; во втором случае освещенность больше.
25.10. =41°. 25.11. Освещенность вертикальной стены в 6,39 раза больше.
25.12. 224 млн км. 25.13. На склонах солнечные лучи падают под мень-
шим углом к их поверхности, следовательно, та же площадь в единицу
времени поглощает большую энергию. 25.14. 35 лк. 25.15. 67 лк; = 38 лк.
25.16.32,5 лк. 25.17.200 кд. 25.18.1 м; 0,71 м. 25.19. Под каждой лампой ос-
вещенность одна и та же 60 лк. 25.20. 55 лк. 25.21. = 700 кд. 25.22. 19 лк.
25.23. На площади не более 942 м2.25.24. = 31 лк. 25.25.2 м. 25.26. = 9 и 6,7 м.
25.27. 225 кд. 25.28. На расстоянии 0,8 м от лампы с меньшей силой света.
25.29. Да, уменьшится в п раз. 25.30.123 лк. Указание. Освещенность экра-
на определяется суммой освещенностей, создаваемых лампой и ее изображе-
нием в плоском зеркале. 25.31. 2,6 с. Указание. JijiR того чтобы качество
фотоснимков было одинаковым, при печатании должно выполняться сле-
дующее условие: на фотобумагу в обоих случаях должна поступать одинако-
вая энергия: = W2. Так как W = Ф1=ESt, получим JS1St1 = E2St2. Исполь-
зуя это равенство и определив освещенности, найдем время t2.
§ 26. 26.1. Светлое пятно (усиление света) получается, когда волны
приходят с оптической разностью, равной четному числу полуволн. Тем-
ное пятно (ослабление света) — когда разности хода волн соответствует
нечетное число полуволн. 26.2. Усиление света в точке 1; ослабление или
гашение — в точке 2.26.3. Интерференцией. 26.4. Явление возникает в ре-
зультате интерференции света; да, образуются чередующиеся темные и
светлые полосы, окраска которых зависит от цветности падающих на по-
верхность воды лучей. 26.5. Усиление (светлая полоса). 26.6.1,52 • 1(Г6 м;
красная. 26.7. При освещении пленки мыльного пузыря белым светом
возникает интерференция: в различных местах в зависимости от толщи-
ны пленки создается такая разность хода, на которой возможно усиление
одних длин волн и гашение других. 26.8. 3,2 мм. 26.9. 652 нм. 26.10.
Уменьшились. 26.11. На явлении интерференции; подбор пленки, покры-
вающей объектив, осуществляется таким образом, чтобы происходило га-
шение волн в основном в средней части спектра; при этом красные и фио-
летовые лучи, ослабляясь незначительно, создают сиреневатый блеск.
26.12. X = dh/L = 750 нм, где d — расстояние между источниками света;
h — расстояние между соседними интерференционными полосами; L —
расстояние от экрана до линии, соединяющей источники света. 26.13.
4,6 мм. 26.14. = 3,6 м. 26.15. Дифракцией света. Роль решетки выполняют
ресницы. 26.16. Дифракционный спектр в отличие от призматического
равномерно растянут во всех областях. Кроме того, обычно получаются
спектры нескольких порядков слева и справа от центральной светлой по-
лосы. 26.17. 0,4 мкм. Указание. При малых углах синусы можно заме-
нять тангенсами; ЛХ =dsin<p. 26.18.618 нм; 484 нм. 26.19.0,76 мкм. 26.20.
395
2 • 10 е м; 5 • 103 см 1. 26.21. 4,34 см. 26.22. 500. 26.23. 4. Указание.
fik =d sincp; k =d sincp IX; при sin<p = 1 порядок спектра будет максимальный.
§ 27.27.1. В воде. 27.2. В 1,33 раз; 10 3 с. 27.3. 5 • 10м Гц. 27.4. 759 нм;
0,4 мкм. 27.5. - 1,23 • 108 м/с. 27.6.380 нм; 6 • 1014 Гц. 27.7. Зеленого; цвет-
ность луча зависит от частоты колебаний, которая не изменяется при пе-
реходе луча света из одной среды в другую. 27.8. Больше на 190 нм. 27.9.
1,85 • 108 м/с; 1,8 • 108 м/с; 3,75 10м и 7,5 1014 Гц; 494 и 240 нм. 27.10. =
605 и 485 нм. 27.11. Лед. 27.12. Через красную, так как она не пропускает
зеленый свет. 27.13. Максимум энергии несет ультрафиолетовое излучение
с длиной волны =290 нм. 27.14. В результате цветового утомления глаза на-
чинают реагировать на дополнительный цвет. 27.15. Проводилось исследо-
вание солнечного спектра по линиям поглощения (спектральный анализ).
27.16. 6000 К. Указание. Для определения излучательной способности
Солнца использовать табличное значение радиуса Солнца; е = Е/(4лй2).
Температура поверхности Солнца определяется из закона Стефана —
Больцмана: е = е>Т4. 27.17. Туманность состоит из звезд. В противном слу-
чае, когда в составе туманности имеется газообразное вещество, спектр от
нее будет линейчатым. 27.18. 4,4 • 10е кг; 4,4 • 1026 кг. 27.19. 3683 К. Ука-
зание. Использовать закон Вина.
§ 28. 28.1. = 1,67 Па. 28.2. 141 кДж. 28.3. 3,86 • Ю 7 Па. 28.4.
3,75 • 10“3 Дж; 2,34 эВ. 28.5. В 2000 раз. 28.6. 2 • 1018 Дж; 12,5 эВ. 28.7.
10“ 28.8. 5,52 • 1019 Дж; 0,6 10*35 кг; 1,84 • 1027 кг • м/с. 28.9.
5 • 10-15 Дж; 5,5- 10-32кг; 1.66 • 10-23кг-м/с. 28.10. Приблизительно к вос-
току. 28.11.4,9 • 10”19 Дж. 28.12. 653 нм. 28.13.273 нм. 28.14. Да, так как
Х<Хкгр. 28.15. Не зарядится, так как Х>Хк1.р. 28.16. 1,44 • 10-19 Дж.
28.17. = 3,93 • 10'17 Дж. 28.18. 2,4 • 106 м/с. 28.19. 2,9 • 1019 Дж;
1,3 • 106 м/с. 28.20. 2,85 • 108 м/с. Указание. Полученная скорость элек-
трона убеждает в необходимости использовать релятивистскую формулу.
Так как работа выхода электрона из молибдена пренебрежимо мала по срав-
нению с энергией фотона, при вычислениях ее можно не учитывать и тогда
формула Av =А+ £0| , * =-11 примет вид Av =Е0| . * -11, где
Ui-^/c2 ) Vvi-^/c2 J
Ео = 0,51 МэВ — энергия покоя электрона. 28.21. 2,84 • 1019 Дж. Реше-
Ас . mv? he , mv? he /по? . he mi£ . he mV?
ние. —=A +—L; — = a + —---------1-= A; -----=A; ------L =
X, 2 X2 2 X., 2 X2 2 X, 2
Ac mv? , ( 1 1 3/no? /no? Ac fl l^.AcAcfl 1 'I
X2 2 \ X । X2 / 2 3 у Xq X2 j X2 3 \ X*i X2 J
A = he(±__ И
3 (X2 X, J
§ 29.29.1. Д/ = 0,87 м - 0,66 м = 0,21 м. 29.2. о = 0,6 с. 29.3.2,6 • 108 м/с;
нет. 29.4.1 — 0,5Zn; в виде квадрата. 29.5. 1,2 - 1013 см; в 1,67 раза. 29.6.
= 3,57 лет. 29.7. 10 лет. 29.8. = 8,08 лет и 1,14 г. 29.9. Для наблюдателя
44,4 г.; для космонавтов 19,4 г. 29.10. На 3,73 10-12 кг. 29.11. 0,866 с.
29.12. 0,968 с. 29.13. 1,05 • Ю 30 кг; 2,09 - 10 3° кг. 29.14. 9,2 • 107 м/с.
396
29.15.8,33 кг; 2,2 • 104 кг/м3. 29.16. Для наблюдателя, находящегося в ра-
кете, и масса и плотность не изменятся. 29.17. 0,89 с. 29.18. 0,51 МэВ;
1,02 МэВ. 29.19. 2,05 • 10-22 кг • м/с. 29.20. 900 м/с. 29.21.1,25 с, что про-
тиворечит постулату теории относительности о невозможности превыше-
ния скорости света; = 0,9 с.
§ 30. 30.1. Поток двукратно ионизированных атомов гелия. Их масса
почти в 8000 раа больше массы электрона. 30.2. Под действием силы Ло-
ренца. 30.3. у-излучение. 30.4. у-излучение представляет собой электро-
магнитные волны, занимающие место в шкале электромагнитных волн
после рентгеновского излучения и отличающиеся от него большей часто-
той (порядка 102° Гц), а следовательно, большей энергией. 30.5. 6. 30.6.
Электрон возникает в результате превращения нейтрона в протон. 30.7.
= 4 сут; 2 • 10-6 с-1.30.8. TBi = 5 сут; 7Ро =138 сут. 30.9. = 1,2%. 30.10.7,9 ч;
1,3 • 10"® с"1.30.11.4,5 • 109 лет; = 5 • 10~18 с *. 30.12. У водорода 1 протон и
2 нейтрона; у гелия 2 протона и 2 нейтрона; у алюминия 13 протонов и
14 нейтронов; у урана 92 протона и 146 нейтронов; у нептуния 93 протона
и 144 нейтрона; количество нейтронов возрастает. 30.13. Количеством
нейтронов; табличный хлор состоит из 75% хлора с массовым числом 35 и
из 25% с массовым числом 37. 30.14. В ядре атома кремния; в ядрах ге-
лия, углерода, азота, кислорода, неона, магния, серы и кальция. 30.15.
4,8 • 10"19 Кл; 4,64 • 1018 Кл; 1,47 • 1017 Кл. 30.16. 1,2 • 10~8 Кл. 30.17.
ЛНе = 2,2 • 10® м; Rv = 8,7 • 1015 м; рНе = 1,44 1017 кг/м3; ри = 1,4 • 1017
кг/м3.30.18.2fJ Ас—> 2g3Fr + gHe; а-распад. 30.19. Превратится в нептуний:
2в2^~>293?Np+ _9е; массовое число не меняется; сдвиг вправо. 30.20. Ней-
трон; jLi+ 2Н—» 8Ве + [)П. 30.21. Z = 6; А = 14; изотоп углерода: 14N + J/i—>
-^164С + }р. 30.22. В ядро атома иода 1^1. 30.23. 1,02 МэВ; 2,5 • Ю20 Гц.
30.24. ’74N + >®N + 2 о«—> ’7N + ,8N + у. 30.25. Больше суммарной энергии, ко-
торой обладают в покое электрон и позитрон, т. е. больше 1,02 МэВ. 30.26.
igAl + ^He—>|$Si + }p; ядро изотопа кремния. 30.27. Одинаковые треки
дают одинаковые частицы — ядра атомов гелия, образующиеся в реак-
ции s’B + Jp—>ЗзНе. 30.28. Пропущена а-частица. 30.29. Кюрий 2gfCm;
нейтрон. 30.30. Протон превращается в нейтрон. 30.31. 0,12 а.е.м. или
1,99 • Ю28 кг. 30.32. 0,07 а. е. м.; = 65,2 МэВ. 30.33. 1,97 а.е.м. или
3,27 • 10“27 кг; 4833 МэВ или = 29 1О~10 Дж. 30.34.1) Поглощается; 2) вы-
деляется; 3) выделяется. 30.35. 770 кг. 30.36.1,67 т. 30.37. Во всех случа-
ях примерно равна 2 • 1013 Дж. 30.38. = 64 г. 30.39.4,8 • 1012 Дж. 30.40. Бо-
лее полное использование природного урана и воспроизводство ядерного
горючего (получение плутония). 30.41. у-квант, электрон, нейтрино, про-
тон. 30.42. 3 • 1011 Дж. 30.43. =1,13 Ю10 Дж. 30.44. = 3 • 1019 Дж.
§ 31. 31.1. 8 мин 19 с. 31.2. 4,02 • 1013 км; 1,30 пк. 31.3. 5,54 ч. 31.4.
6,2 • 10® пк. 31.5. Сириус, Канопус. 31.6. Созвездию Большого Пса; нахо-
дится в южной половине небесной сферы. 31.7. 8,9 лет. 31.8. 3,04 • 104 пк.
31.9. Вега; к созвездию Лиры. 31.10. На небесном меридиане — точки се-
вера и юга; на небесном экваторе — точки востока и запада. 31.11. Созвез-
дие Змеи. 31.12. В зависимости от географической широты перечень со-
звездий может меняться. 31.13. См. ответ к задаче 31.12. 31.14. Нет;
только в дни весеннего и осеннего равноденствий. 31.15. Водолей,
397
Козерог, Стрелец, Скорпион, Весы. 31.16. Для наблюдателя, находящего-
ся на полюсах. 31.17. = 56’. 31.19. 30’. 31.21. На 1’. 31.22. 0; 0. 31.23.0; 12
ч. 31.24.57’42'. 31.25.1,9’. 31.26.1,392 • 106км. 31.27.5,71 • 107 км. 31.28.
8,2 пк. 31.29.84,01 г. 31.30.9,539 а. е. 31.31.5,203 а. е.; 778 млн км. 31.32.
Для любых. 31.33. В первой четверти. 31.34. 7,5 • 104 лет. 31.35. 0", 545.
31.36. Наклон оси Венеры к плоскости ее орбиты близок к прямому углу.
31.37. 1400 кг/м3. 31.38. 7,7 • 103 м/с. 31.39. Звездная величина характе-
ризует блеск (яркость) звезды, т. е. освещенность, создаваемую светилом
на Земле в месте наблюдения. Нет. 31.40. В 2,512 раз. 31.41. Сириус;
-1т,58. 31.42. Приблизительно в 3 раза. Указание. 2,512'пО-'пК = 2,5121,2;
lgx = 1,21g 2,512; lgx = 1,2 • 0,4 = 0,48; х = 3.31.43. В 2,61 раза. См. ответ к
задаче 31.42.31.44. Звездная величина, которую имела бы звезда, если бы
расстояние от нее до наблюдателя на Земле равнялось 10 пк; М. 31.45.
lg г - (т - М + 5)/5. 31.46. На расстояние 10 ик.Указание. Igr - (т -
-М + 5)/5 = 1; г = 10.31.47. Приблизительно 4т,3. Указание. См. ответ к
задаче 31.46.31.48. В17 раз. Указание. lg(Lc/Lq) = 0,4(Мц - Afc), здесь Lc и
— светимости звезд. = 0,4'3,08 = 1,232; отсюда £С/ЛЦ =17 раз.
398
СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие...............................3
Введение..................................4
I. Механика...................................6
§ 1. Кинематика...........................6
§2. Динамика............................15
§ 3. Работа, мощность, энергия. Закон
сохранения и превращения энергии .... 25
§ 4. Равномерное движение тел по окружности.
Закон всемирного тяготения..........33
II. Основы молекулярной физики
и термодинамики..............................45
§ 5. Молекулярно-кинетическая теория.
Движение молекул.
Размеры и масса молекул.............45
§ 6. Скорости молекул. Основное
уравнение молекулярно-кинетической
теории газа.........................55
§ 7. Уравнение состояния идеального газа.
Изопроцессы.........................63
§ 8. Изменение внутренней энергии в процессе
теплопередачи и при совершении
механической работы.
Первое начало термодинамики.........78
§ 9. Свойства паров. Кипение.
Водяной пар в атмосфере.............96
§10. Свойства жидкостей.................107
§ 11. Свойства твердых тел. Деформации.
Плавление и кристаллизация.........114
§12. Тепловое расширение тел...........124
399
III. Основы электродинамики.................132
§ 13. Электрическое поле.................132
§ 14. Электрический ток в металлах. Закон Ома.
Электрическое сопротивление.............150
§ 15. Работа, мощность, тепловое действие
электрического тока.....................176
§ 16. Электрический ток в электролитах .... 185
§17. Электрический ток в газах и вакууме ... 192
§ 18. Электрический ток в полупроводниках. . . 197
§ 19. Электромагнетизм...................199
§20. Электромагнитная индукция..........212
IV. Колебания и волны.......................222
§ 21. Механические колебания и волны.
Звук и ультразвук.......................222
§ 22. Переменный электрический ток.......237
§ 23. Электромагнитные колебания и волны . . 252
V. Оптика. Основы специальной
теории относительности......................258
§ 24. Геометрическая оптика.............258
§ 25. Фотометрия........................281
§ 26. Явления, объясняемые волновыми
свойствами излучения. Интерференция.
Дифракция...............................288
§ 27. Излучение и спектры................297
§ 28. Явления, объясняемые квантовыми
свойствами излучения. Фотоэффект. ... 301
§ 29. Основы специальной теории
относительности.........................306
VI. Физика атомного ядра....................313
§ 30. Строение атомного ядра.
Атомная энергия и ее использование . . . 313
VII. Обобщающие сведения по астрономии......325
§ 31. Некоторые сведения по курсу
астрономии..........................325
Приложения...............................336
Ответы...................................370
400
НАКЛАДНОЙ ПУТЬ К КАРТЕ
ЗВЕЗДНОГО НЕБА
Цвиочь
СРЕДНЕЕ (ПОЛНОЕ) ОБЩЕЕ ОБРАЗОВАНИЕ
Р.А. Гладкова, А.Л. Косоруков
Сборник
ЗАДАЧ
И УПРАЖНЕНИЙ
ПО ФИЗИКЕ
10-11
Задачник составлен в соответствии с действующей
программой с учетом современной физической тер-
минологии и СИ. Каждая тема содержит основной тео-
ретический материал, ко всем задачам и вопросам
даны ответы, к наиболее трудным — решения.
Предназначен для учащихся 10-11 классов общеоб-
разовательных школ.
ГУМАНИТАРНЫЙ
ИЗДАТЕЛЬСКИЙ
ЦЕНТР
ВПАЛОЕ