Основы теории дифракции - Ваганов Р.Б., Каценеленбаум Б.З.

Автор: Ваганов Р.Б. Каценеленбаум Б.З.

Теги: интерференция дифракция дифракционное рассеяние физика математика математическая физика электромагнетизм радиофизика теория дифракции

Год: 1982

Похожие

Физика дифракции

Введение в теорию дифракции, обработку информации и голографию

Проблемы дифракции и распространения электромагнитных волн

Физика колебаний и волн

Текст

СОВРЕМЕННЫЕ
ФИЗИКО-ТЕХНИЧЕСКИЕ
ПРОБЛЕМЫ
Серия выпускается
под общим руководством
РЕДАКЦИОННОГО СОВЕТА
МОСКОВСКОГО
ФИЗИКО-ТЕХНИЧЕСКОГО ИНСТИТУТА
Р. Б. ВАГАНОВ, Б. 3. КАЦЕНЕЛЕНБАУМ
ОСНОВЫ
ТЕОРИИ ДИФРАКЦИИ
МОСКВА «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1982
22.31
В 12
УДК 535.4
ВАГАНОВ Р. Б., КАЦЕНЕЛЕНБАУМ Б. 3. Основы теории дифракции.—
М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1982.—
(Современные физико-технические проблемы). — 272 с.
В книге дано систематическое изложение математических методов реше-
ния задач дифракции монохроматических волн (электродинамика, акустика).
Представлены как точные методы (разделение переменных, интегрирование в
плоскости комплексной переменной, метод собственных колебаний), так и
приближенные (вариационные, низкочастотная и высокочастотная асимпто-
тики) . В каждом методе описаны в первую очередь его идея, область приме-
нения, связь с другими методами. Затем изложен, в наиболее простой поста-
новке, аппарат метода и приведены примеры его применения. Книга может
служить введением в теорию дифракции и облегчить переход к чтению более
узкоспециальных монографий и журнальных статей.
Для специалистов в области радиофизики, распространения радиоволн,
оптики, акустики и математической физики, а также аспирантов и студентов
университетов, физико-технических и инженерно-физических институтов.
Рис. 77. Табл. 2. Библ. 31 назв.
Роальд Борисович Ваганов
Борис Захарович Каценеленбаум
ОСНОВЫ ТЕОРИИ ДИФРАКЦИИ
(Серия «Современные физико-технические проблемы»)
Редактор Н. А. Петрунина
Техн, редактор В. В. Морозова Корректор Л. И. Назарова
ИВ № 11819
Сдано в набор 19.12.81. Подписано к печати 31.08.82. Т-16739. Формат 60х90’/ц. Бумага
тип. № 1. Литературная гарнитура. Высокая печать. Условн. печ. л. 17.
Уч.-нзд. Л. 16,71. Тираж 4700 экз. Заказ № 2. Цена 2 р. 50 к.
Издательство «Наука»
Главная редакция физико-математической литературы
117071, Москва, В-71, Ленинский проспект, 15
Ленинградская типография № 2 головное предприятие ордена Трудового Красного
Знамени Ленинградского объединения «Техническая книга» им. Евгении Соколовой
Союзполиграфпрома при Государственном комитете СССР по делам издательств, поли-
графии и книжной торговли. 198052, г. Ленинград, Л-52, Измайловский проспект. 29
В
1704050000-125
053 (02)-»2 1U Z
© Издательство «Наука».
Главная редакция
физико-математической
литературы, 1982
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие....................................................... 9
Глава I
УРАВНЕНИЯ И ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ УСЛОВИЯ
§ 1. Введение.....................................................11
1.1. Комплексные амплитуды (11). 1.2. Комплексные диэлектрическая и маг*
нитиая проницаемости (12). 1.3. Квадратичные величины (12). 1.4. Уравнения
электродинамики и акустики (13). 1.5. Токи поляризации (14). 1.3. Волновые
уравнения (15). 1.7. Плоские волны (17).
§ 2. Граница раздела (особые поверхности поля)....................18
2.1. Граница раздела диэлектриков (19). 2.2. Поверхность хорошего провод-
ника (20). 2.3. Поверхность идеального проводника (21). 2.4. Тела с границами
раздела как частный случай непрерывных сред (23). 2.5. Граничные условия
в акустике (24).
§ 3. Особые точки поля............................................25
3.1. Точечный источник. Линейный источник (25). 3.2. Поток энергии из источ-
ника (27). 3.3. Ребра и вершины (28). 3.4. Бесконечно удаленные точки (32).
§ 4. Теорема единственности..................................... 34
4.1. Среда без особенностей (35). 4.2. Общий случай (37). 4.3. Нарушение
теоремы единственности (39). 4.4. Неявные способы задания стороннего
Тока (40).
Глава II
МЕТОД РАЗДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕННЫХ
§ 5. Дифракция на цилиндре..................................... . 43
5.1. Сохранение поляризации и деполяризация при дифракции на произволь-
ном цилиндре (43). 5.2. Металлический круговой цилиндр; ^-поляризация,
ряд Релея (44). 5.3. Металлический круговой цилиндр; Я-поляризацня, ряд
Релея (46). 5.4. Металлический круговой цилиндр; Е-поляризация. ряд Ват-
сона (47). 5.5. Источник в виде линии тока, ряд Ватсона; падение плоской
волны (50). 5.6. Импедансный цилиндр; скалярная задача (53). 5.7. Диэлек-
трический круговой цилиндр, ряд Релея (53). 5.8. Металлический эллиптиче-
ский цилиндр (56). 5.9. Круговой цилиндр; поле зависит от 2 (57). 5.10. Поля
и токи при дифракции на круговом цилиндре (57).
§ 6. Дифракция на шаре......................................... . 63
6.1. Акустическая задача, ряд Релея (63). 6.2. Электромагнитная задача:
идеально проводящая сфера (66). 6.3. Электромагнитная задача; диэлектриче-
ский шар (68). 6.4. Акустическая задача, ряд Ватсона (68). 6.5. Поля и токи
при дифракции на шаре (71).
§ 7. Дифракция на клине ...........;........................... . 74
7.1. Дифракция на клине; ^-поляризация (74). 7.2. Иктегральные представле-
ния полей дифракции плоской волны на клине (77). 7.3. Поле вдали от
ребра (79). 7.4. Поле вблизи границы свет—тень (79). 7.5. Поля при дифракции
на клине (80). 7.6. Дифракция на клине; Я-поляризация (82).
в
ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава III
СОБСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ
§ 8. Метод собственных частот........................................84
8.1. Простой пример: возбуждение закрытого резонатора: метод разделения
переменных (85). 8.2. Возбуждение закрытого резонатора; метод собственных
частот (86). 8.3. Учет конечной проводимости стенок (88). 8.4. Резонатор с ди-
электриком (89). 8.5. Применение метода собственных частот для внешних
задач; непрерывный спектр (91).
§ 9. Собственное значение — диэлектрическая проницаемость............92
9.1. Диэлектрик в закрытом резонаторе (92). 9.2. Резонансный множитель (94).
9.3. Диэлектрик в резонаторе с нендеальнымн стенками или излуче-
нием; тело с генерирует энергию (во вспомогательной задаче) (94).
9.4. Собственное значение гп входит в двустороннее граничное условие (95).
9.5. Пример: резонанс в диэлектрическом цилиндре (97).
§ 10. Собственное значение — импеданс стенкй.........................99
10.1. Собственный импеданс; задача дифракции с нулевым импедансом (99).
10.2. Импеданс в задаче дифракции отличен от нуля (101). Ю.З. Внешняя за-
дача (102). 10.4. Перенос математического аппарата на уравнения Макс-
велла (102). 10.5. Другие методы собственных .колебаний (103).
Глава IV
ФУНКЦИИ ГРИНА И ВЫВОД ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
§11. Функции Грина................................................ 105
11.1. Определение функции Грина: выражение для поля в пространстве через
функцию Грина (106). 11.2. Выражение для поля на бесконечности через функ-
цию Грина (109). 11.3. Граничные задачи (111). 11.4. Функция Грина в вектор-
ной формулировке (112).
§ 12. Интегральные уравнения для „поля в диэлектрике и тока на металле 114
12.1. Задачи с диэлектриком (115). 12.2. Снижение размерности интегрального
уравнения (116). 12.3. Диэлектрик в волноводе (118). 12.4, Металлическое тело;
Ё-поляризация; интегральное уравнение первого рода (119). 12.5. Металличе-
ское тело; В поляризация; интегральное уравнение второго рода (121). 12.6. Ме-
таллическое тело; Д-поляризация; интегральное уравнение первого рода (122).
12.7. Металлическое тело; /7-поляризация; интегральное уравнение второго
рода (123). 12.8. Потенциал двойного слоя и производная потенциала простого
слоя (123). 12.9. Возбуждение длинного тонкого вибратора (125).
§ 13. Интегральные уравнения для электрического поля в отверстии
экрана.............................................'................128
13.1. Отверстие в плоском экране; Е-поляризация (128). 13.2. Отверстие в пло-
ском экране; Н-полярнзация (131). 13.3. Уравнения первого и второго рода (132).
13.4. Векторная задача (134). 13.5. Индуктивная диафрагма в волноводе (135).
Глава V
ВАРИАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ
§ 14. Стационарный функционал для собственных значений. Метод Ритца 138
14.1. Собственная частота резонатора (138). 14.2. Метод Ритца (141). 14.3. Есте-
ственные граничные условия (143). 14.4. Уравнения Максвелла (144). 14.5. Резо-
натор с диэлектриком (145). 14.6. Стационарный Функционал для собственного
импеданса (146).
§ 15. Стационарные функционалы для коэффициентов отражения и пре-
образования и для полей........................................... 147
15.1. Коэффициент отражения от диафрагмы (147). 15.2. Матрица рассеяния от
диафрагмы (149), 15.3. Стационарный функционал для поля (151).
ОГЛАВЛЕНИЕ
7
Гл а в а VI
ИНТЕГРИРОВАНИЕ В ПЛОСКОСТИ
КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
§ 16. Возбуждение импедансной плоскости (двумерный вариант) . . . .154
16.1. Постановка задачи (154). 16.2. Разделение переменных (156). 16*3. Разрезы
на плоскости комплексной переменной (158). 16.4. Особенность функции F(ft)
При х«еО (158). 16.5. Дополнительное поле вблизи поверхности (160). 16.6. Воз-
буждение поверхностной волны (162). 16.7. Вычисление амплитуды поверхност-
ной волны по заданным токам (164). 16.8. Цилиндрическая волна (166). 16.9. Раз-
ложение падающего поля на плоские волны (168).
§ 17. Возбуждение диэлектрического слоя и диэлектрического цилиндра 170
17.1. Диэлектрический слой (171). 17.2. Вытекающие волны (173). 17.3. Диэлек-
трический цилиндр (174).
§ 18. Метод Винера — Хопфа (метод факторизации)...................177
18.1. Интегральное уравнение (177). 18.2. Две вспомогательные функции и их
преобразования Фурье (178). 18.3. Соотношение между преобразованиями
Фурье (180). 18.4. Факторизация (180). 18.5. Дополнительные соображения (182).
18.6. Метод Джонса (184).
Глава VII
НИЗКИЕ ЧАСТОТЫ ?
§ 19. Дифракция на малых трехмерных телах и малых отверстиях ... 186
19.1. Металлическое тело; формулировка статических задач (186). 19.2. Скаляр-
ные потенциалы (188). 19.3. Металлическая сфера; эллипсоид вращения (190).
19.4. Дифрагированное поле во всем пространстве (192). 19.5. Диэлектрическое
тело (193). 19.6. Особые значения диэлектрической проницаемости (194). 19.7. Ма-
лое отверстие в плоском экране; принцип двойственности (196).
§ 20. Двумерные задачи. Дифракция на прямолинейных металлических
цилиндрах и на частопериодических структурах........................199
20.1. Е-поляризация; круговой металлический цилиндр (200). 20.2. E-поляриза-
ция; металлический цилиндр произвольного сечения (202). 20.3. Е-поляризация;
частая гофра (205). 20.4. Е-поляризация; решетка (207). 20.5. Н-поляризация; кру-
говой цилиндр (209). 20.0. Н-поляризация; цилиндр произвольного сечения;
электростатический потенциал (211). 20.7. Н-поляризация; решетка (215).
Глава VHI
ВЫСОКИЕ ЧАСТОТЫ
§ 21. Неоднородные среды.................................................218
21.1. Почти плоское поле (218). 21.2. Лучи и фронты (220). 21.3. Принцип Фер-
ма (221). 21.4. Лучевые трубки (222). 21.5. Точка стационарной фазы (225).
21.6. Область влияния (227). 21.7. Условие применимости геометрической
оптккн (228). 21.8. Каустики (230). 21.9. Линейный слой (231). 21.10. Комплексные
лучи (235). 21.11. Векторная геометрическая оптика (237).
§ 22. Большие тела.......................................................238
22.1. Структура поля (238). 22.2. Физическая оптика нли приближение Кирх-
гофа (239). 22.3. Принцип Бабине (241). 22.4. Метод параболического уравне-
ния (242). 22.5. Локальный характер высокочастотной дифракции (243). 22.6. Фи-
зическая теория дифракции; метод краевых волн (244). 22.7. Геометрическая
теория дифракции (245). 22.8. Дифракция на гладком выпуклом теле (246).
8
ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 23. Большие отверстия................................................247
23.1. Лучевая структура (248). 23.2. Полутеневые зоны (248). 23.3. Дифракция
Френеля и Фраунгофера (249). 23.4. Параксиальное приближение (251). 23.5. Фо-
кальное пятно (253). 23,6. Формирование изображения линзой (254).
§ 24. Волновые пучки.................................................. 255
24.1. Источники в комплексном пространстве (256). 24.2. Свойства гауссова
пучка (259). 24.3. Геометрическая оптика неоднородных волн (261). 24.4. Линзо-
вая линия (263). 24.5. Собственные волны линзовой линии (265). 24.6. Открытые
резонаторы (267)
Литература.......................................................... . 269
ПРЕДИСЛОВИЕ
Теория дифракции электромагнитных волн, по существу, со-
стоит из двух частей. Во-первых, эта теория представляет собой
совокупность методов решения уравнений Максвелла, т. е. спо-
собов теоретического нахождения полей, возникающих при по-
мещении различных тел в поле заданных источников. Во-вторых,
она есть совокупность результатов, т. е. качественных и количе-
ственных характеристик этих полей. Таким же образом теория
дифракции акустических волн есть совокупность методов и
результатов, относящихся к решению скалярного волнового
уравнения.
Обе эти стороны теории — методы и результаты — связаны
не только очевидным образом: методы позволяют решать за-
дачи дифракции, т. е. получать результаты. Существует и за-
метная обратная связь — ожидаемые результаты, угадываемые
по аналогии или из каких-либо приближенных расчетов, под-
сказывают методы решения задачи — такие приемы, которые
позволяют получить эти результаты и их уточнения простейшим,
естественным путем. Эта книга содержит в основном описание
лишь методов теории дифракции, а результаты решения кон-
кретных задач приведены в ней коротко.. Сформулированы
только основные качественные черты решения, и только в той
степени, в которой они могут помочь установлению этой обрат-
ной связи.
В каждом методе изложена в первую очередь его идея. Она
проиллюстрирована самой простой задачей из тех, в которых
применение этого метода целесообразно. Лишь затем рассмот-
рены — обычно очень коротко — более сложные задачи и более
сложные варианты метода. Всюду, где это было возможно, вспо-
могательные математические преобразования опущены и заме-
нены описанием этих преобразований. Теория дифракции, кото-
рая иногда рассматривается как глава математической физики,
изложена в этой книге как совокупность нескольких простых
идей, подсказанных, как правило, физической интуицией, т. е. не
как математическая, а как физическая дисциплина.
10
ПРЕДИСЛОВИЕ
Эта книга, разумеется, не содержит ни всех методов (их
было бы трудно не только изложить, но даже просто описать и
в более объемном учебнике), ни bcqx результатов (их, вероятно,
вообще нельзя изложить даже в многотомном курсе). Выбор ма-
териала определяется тем, что именно авторы считали основным.
Цель книги — подготовить читателя к изучению современной
журнальной и монографической литературы, посвященной раз-
личным вопросам теории дифракции или использующей эту тео-
рию. Этой целью и определяется лаконичный стиль изложения.
Предполагается, что общее представление о физическом смысле
уравнений Максвелла и уравнений акустики читатели получили
из учебников по физике.
Книга не содержит задач. Лучшим упражнением для закреп-
ления материала является, вероятно, проведение всех выкладок,
намеченных в тексте. Знаком (*) отмечены места, где рекомен-
дуется проделать пропущенные выкладки.
В списке литературы указаны только монографии. Материал
журнальных статей либо посвящен частным вопросам, либо
быстро стареет, либо концентрируется в новых книгах.
Мы признательны нашим коллегам, исправившим ряд оши-
бок и неточностей в рукописи. Мы не называем их имен, чтобы
не возлагать на них ответственность за неисправленные ошибки.
Однако здесь нельзя не сказать о большой помощи, которую
нам оказала рецензия В. И. Таланова; многие замечания из
этой рецензии мы с благодарностью приняли.
Главы II—IV и VIII написаны Р. Б. Вагановым, главы I,
V—VII Б. 3. Каценеленбаумом.
Авторы
Глава I
УРАВНЕНИЯ И ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ УСЛОВИЯ
В этой главе будем рассматривать различные постановки за-
дач дифракции. Особое внимание уделим тем идеализациям,
которые, как показывает практика, всегда приходится вводить,
чтобы решить какую-либо конкретную задачу. Упомянем неко-
торые дополнительные трудности, которые при этом возникают,
и дополнительные условия, необходимые, чтобы эти трудности
преодолеть.
§ 1. Введение
В этом параграфе напомним лишь о некоторых основных по-
нятиях, используемых во всей книге.
1.1. Комплексные амплитуды. Электромагнитные поля опи-
сываются двумя векторами — электрическим и магнитным, за-
висящими от координат х, у, г и от времени t. Акустическое
поле описывается вектором — переменной составляющей скоро-
сти и скаляром — переменной составляющей давления. Во всей
книге будем рассматривать только так называемые монохрома-
тические поля, т. е. примем, что поля содержат t только в мно-
жителе
cos(etf + а). (1.1)
Здесь а — циклическая частота колебаний — одинакова для всех
компонент полей и во всех точках пространства, фаза а раз-
лична для различных компонент и зависит от х, у, z.
Для таких колебаний можно исключить t из уравнений, введя
вместо полей их комплексные амплитуды. Электрическое поле
характеризуется комплексной амплитудой E(x,y,z), магнитное
поле, соответственно, H(x,y,z). Акустические поля характери-
зуются комплексными амплитудами скорости v (х, у. г) и дав-
ления p(x,y,z). После нахождения комплексной амплитуды
поле может быть получено по простой формуле, являющейся
определением комплексной амплитуды. Например, электриче-
ское поле равно
Re[£(x, у, z)e'M']- (1.2)
10
ПРЕДИСЛОВИЕ
Эта книга, разумеется, не содержит ни всех методов (их
было бы трудно не только изложить, но даже просто описать и
в более объемном учебнике), ни bcqx результатов (их, вероятно,
вообще нельзя изложить даже в многотомном курсе). Выбор ма-
териала определяется тем, что именно авторы считали основным.
Цель книги — подготовить читателя к изучению современной
журнальной и монографической литературы, посвященной раз-
личным вопросам теории дифракции или использующей эту тео-
рию. Этой целью и определяется лаконичный стиль изложения.
Предполагается, что общее представление о физическом смысле
уравнений Максвелла и уравнений акустики читатели получили
из учебников по физике.
Книга не содержит задач. Лучшим упражнением для закреп-
ления материала является, вероятно, проведение всех выкладок,
намеченных в тексте. Знаком (*) отмечены места, где рекомен-
дуется проделать пропущенные выкладки.
В списке литературы указаны только монографии. Материал
журнальных статей либо посвящен частным вопросам, либо
быстро стареет, либо концентрируется в новых книгах.
Мы признательны нашим коллегам, исправившим ряд оши-
бок и неточностей в рукописи. Мы не называем их имен, чтобы
не возлагать на них ответственность за неисправленные ошибки.
Однако здесь нельзя не сказать о большой помощи, которую
нам оказала рецензия В. И. Таланова; многие замечания из
этой рецензии мы с благодарностью приняли.
Главы II—IV и VIII написаны Р. Б. Вагановым, главы I,
V—VII Б. 3. Каценеленбаумом.
А вторы
Глава I
УРАВНЕНИЯ И ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ УСЛОВИЯ
В этой главе будем рассматривать различные постановки за-
дач дифракции. Особое внимание уделим тем идеализациям,
которые, как показывает практика, всегда приходится вводить,
чтобы решить какую-либо конкретную задачу. Упомянем неко-
торые дополнительные трудности, которые при этом возникают,
и дополнительные условия, необходимые, чтобы эти трудности
преодолеть.
§ 1, Введение
В этом параграфе напомним лишь о некоторых основных по-
нятиях, используемых во всей книге.
1.1. Комплексные амплитуды. Электромагнитные поля опи-
сываются двумя векторами — электрическим и магнитным, за-
висящими от координат х, у, г и от времени t. Акустическое
поле описывается вектором — переменной составляющей скоро-
сти и скаляром — переменной составляющей давления. Во всей
книге будем рассматривать только так называемые монохрома-
тические поля, т. е. примем, что поля содержат t только в мно-
жителе
cos(®/ + a). (1.1)
Здесь а — циклическая частота колебаний — одинакова для всех
компонент полей и во всех точках пространства, фаза а раз-
лична для различных компонент и зависит от х, у, г.
Для таких колебаний можно исключить t из уравнений, введя
вместо полей их комплексные амплитуды. Электрическое поле
характеризуется комплексной амплитудой Е(х, у, г), магнитное
поле, соответственно, Н (х, у, г). Акустические поля характери-
зуются комплексными амплитудами скорости v(x,y.z) и дав-
ления p(x,y,z). После нахождения комплексной амплитуды
поле может быть получено по простой формуле, являющейся
определением комплексной амплитуды. Например, электриче-
ское поле равно
Re[E(x, у, z)e'mtJ.
(1.2)
12
УРАВНЕНИЯ И ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ УСЛОВИЯ
[ГЛ. I
1.2. Комплексные диэлектрическая и магнитная проницаемо-
сти. В электродинамике среды, которые мы будем рассматривать,
описываются двумя скалярными параметрами — диэлектриче-
ской проницаемостью е и магнитной проницаемостью ц. Этим
исключаются из рассмотрения два класса сред — анизотропные
тела и тела с пространственной дисперсией. В первых е и ц —
тензоры. Во вторых такие локальные характеристики, вообще
говоря, не существуют, они могут быть введены только для пло-
ских волн и зависят от направления этих волн.
Вообще говоря, для полей с произвольной зависимостью от
времени не существует характеристик среды, которые играли
бы роль проницаемостей. Для полей специального типа, моно-
хроматических, которые мы только и рассматриваем, величины
е и ц могут быть введены, и они зависят в общем случае от
частоты.
В однородных средах е и р не зависят от координат. Мы
пользуемся гауссовой системой единиц, так что в вакууме в = 1,
И = 1. В неоднородных средах е = е(х, у, z), ц = ц(х, у, г).
Обычно неоднородность состоит в том, что в пространстве не-
постоянно либо 8, либо Ц.
Введя комплексные амплитуды, можно среды с потерями
характеризовать комплексными 8 и ц:
8 = в' + *8/z, Ц = н' + ill".
(1.3)
Величины е", ц" описывают следующее свойство среды: элек-
тромагнитные поля в ней испытывают потери, пропорциональ-
ные квадрату электрического или магнитного полей соответ-
ственно. В таких средах б" < 0 или ц" <0. В средах без по-
терь б" — 0, ц" = 0.
В акустике изотропная среда также характеризуется двумя
скалярными параметрами — скоростью звука в среде с и плот-
ностью р. В общем случае сир — функции координат.
1.3. Квадратичные величины. При вычислении нелинейных ве-
личин нельзя, вообще говоря, пользоваться комплексными ам-
плитудами, надо переходить к физическим полям по формуле
(1.2). Однако наиболее интересные нелинейные характеристики
поля — средние по периоду — можно вычислить непосредственно
по комплексным амплитудам.
Средний за период поток мощности через единицу площади
(мы будем называть его, по традиции, потоком энергии), т. е.
средний поток вектора Пойнтинга, равен
S = ^Re[E/F],
(1.4)
§ 1] ВВЕДЕНИЕ 13
где * — знак комплексного сопряжения. Средние плотности
электрической и магнитной энергии в вакууме равны
-rarl-BP. (L5a)
Здесь | | —знак модуля комплексного вектора, который опре-
делен таким образом: если комплексный вектор Е разложен по
ортам, Е = 1ЕХ + ]'ЕУ + kEz, где Ех, Е„, Ег — комплексные ска-
лярные функции, то |Е|2 = |Е.|2 + \ЕУ |2 + |£г|2.
Средние потери энергии (плотность потерь) равны соответ-
ственно
-^"lEI2, —£-ц"|ЯР. (1.56)
Вообще, среднее за период значение произведения двух лю-
бых физических величин, зависящих от t по закону (1.1), вы-
ражается через их комплексные амплитуды по формуле (*)
’/2Ке(ЛВ*). (1.6)
1,4. Уравнения электродинамики и акустики. Уравнения
Максвелла представляют собой систему двух векторных (т. е.
шести скалярных) дифференциальных уравнений первого по-
рядка
a) rot Я— ik&E*= — j,
с (1.7)
б) rot Е + ik]iH = О
для шести комплексных компонент векторов Е и Н. Здесь с —
скорость света в пустоте, а величина k = <о/с, имеющая раз-
мерность см-1 — так называемое волновое число. Мы всюду бу-
дем характеризовать частоту буквой k. Вектор j — плотность
сторонних токов. В задачах дифракции / — заданная функция
координат.
Акустические поля о, р удовлетворяют одному векторному и
одному скалярному уравнению первого порядка:
a) grad р + /сори = F,
т. е. четырем скалярным уравнениям для четырех скалярных
функций — трех компонент вектора скорости v и давления р.
Здесь F— заданная внешняя сила, имеющая тот же смысл,
что у в (1.7).
В акустической волне средний поток мощности, т. е. среднее
произведение давления на скорость, выражается через комплекс-
ные амплитуды р и v по формуле-'/aRefpu*) . Если в области,
14 УРАВНЕНИЯ И ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ УСЛОВИЯ (ГЛ. 1 1
где нет источников ир = const, выразить v через р (р ~ grad р), 1
то с точностью до несущественных множителей поток энергии |
будет ‘ I
ImfpVp*). (1.9) 1
источниками (т. е. величинами,
1.5. Токи поляризации. Если в (1.7) во всем пространстве
8 = 1, ц = 1, то эти уравнения описывают поле, создаваемое
стоящими в (1.7) справа) в ва-
кууме. Иногда удобен спо-
соб рассуждения, основан-
ный на представлении об-
щих уравнений (1.7) в ана-
логичной форме:
a) rot Н — ikE =
б) rot 2? + ikH = O. (1.10)
Для простоты принято, что
во всем пространстве р. = 1.
Так как слева в (1.10) нет
множителя в, то эти уравне-
ния можно трактовать та-
ким образом: поле создано
источниками двух типов —
сторонними токами / и инду-
цированной поляризацией
S> ' /инд = 4^-(8-1)Е, (1.11)
Рис. 1.1. Дифракция как экранировка
телом (а) и как возникновение нндуци- причем — И ЭТО соображе-
рованного тока (б). ние является в приведенном
рассуждении основным —
все источники излучают в вакууме. Разумеется, переход от (1.7)
к (1.10) не решает задачу определения Е и Н, ибо в (1.10)
участвуют неизвестные источники, однако в некоторых слу-
чаях — например, при использовании аппарата интегральных
уравнений — удобнее начинать не с (1.7), а с (1.10).
Различие в подходах к явлениям дифракции, основанных на
(1.7) и на (1.10), можно проиллюстрировать рис. 1.1. Пусть
в пространство, в котором е = 1, ц = 1 и где задан сторонний
ток /, вводится тело V, в котором 8 =#= 1. Изменение поля в ка-
кой-либо точке л, согласно (1.7), описывается как изменение
условий, в которых поле передается от тока в эту точку (так
как в некоторой области изменилось е), т. е. как некую экра-
нировку. По (1.10) полное поле есть результат интерференции
ВВЕДЕНИЕ
15
5П
первоначального поля и некоторого вторичного поля, возник-
шего при внесении тела. Первое создается сторонним током,
второе — индуцированным током (1.10). Существенно, что оба
поля — первоначальное и вторичное — создаются своими токами
в вакууме.
Далее мы часто будем производить разбиение всего поля
на два слагаемых: на поле заданных токов в вакууме (будем
называть это поле падающим) и на поле индуцированных токов
в вакууме (это поле будем называть дифракционным).
1.6. Волновые уравнения. В областях пространства, где в
и [1 не зависят от координат, уравнения Максвелла (1.7) часто
удобно привести к одному уравнению второго порядка, так на-
зываемому волновому уравнению. Его можно писать либо для
Е, либо для Н, либо для каким-либо образом введенной вспомо-
гательной функции (потенциала), из которой Е и Н находят
затем дифференцированием.
В однородной среде, свободной от токов (/ = 0), поля Е и Н
удовлетворяют волновым уравнениям (*)
а) Д£ + Ь2гцЕ = 0, б) ДЯ4-£2врЯ = 0. (1.12)
В этих формулах лапласиан Д действует на вектор. Применен-
ный к любому вектору М, он определен формулой
ДМ —grad div М — rot rot М. (1.13)
Декартовы компоненты вектора ДМ, согласно этому опреде-
лению, равны, как легко проверить, результату применения ла-
пласиана к соответствующей декартовой компоненте вектора (*)
(ДМ)3 = Д(М3). (1.14)
Для недекартовых компонент простая формула (1.14) неспра-
ведлива, ДМ надо вычислять по (1.13).
В декартовых координатах лапласиан (в применении к ска-
лярной функции) равен
. д2и . д2и . д2и
Лы — дх2 + dj/2" + dz2 • (1.15)
Выражение Д в других координатах будет приведено при ре-
шении соответствующих задач дифракции.
Уравнения (1.12) получены из (1.7), но не эквивалентны им.
Из (1.7) следует также (в однородной среде и при отсутствии
токов), что
a) div Е = 0, б) div Н = 0. (1.16)
Эти уравнения не следуют из (1.12). Совокупность уравнений
(1.12) и (1.16) тоже не эквивалентна (1.7) например, она до-
пускает решение Я = 0, не удовлетворяющее (1.7). Связь
16
УРАВНЕНИЯ И ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ УСЛОВИЯ
[ГЛ. I
полей Е и Н содержится только в (1.7). Поэтому, решив, напри-
мер, (1.12а), следует решение подчинить еще условию (1.16а),
а Н найти из (1.76). Уравнение (1.126) будет при этом удов-
летворяться автоматически (*).
В точках пространства, где есть токи, волновые уравнения
для полей содержали бы производные от токов. Проще иногда
вводить потенциалы, которые удовлетворяют волновым уравне-
ниям, содержащим, как и уравнения Максвелла, сами токи, а не
производные от них, а затем поля находить дифференцирова-
нием потенциалов. Одним из таких потенциалов является элек-
трический вектор Герца П, пропорциональный векторному по-
тенциалу. Поля выражаются через него по формулам
Е = £2ецП + grad div П, H — ikaroi П, (1.17)
а сам он удовлетворяет простому волновому уравнению
ДП + ^28цП=/^-/. (1.18)
Прямая проверка показывает, что если выполняется (1.18), то
(при е — const, р. = const) поля (1.17) удовлетворяют уравне-
ниям (1.7) (*), так что при использовании (1.18) не нужно тре-
бовать, чтобы поля удовлетворяли еще каким-либо уравнениям.
Таким образом в теорию электромагнитного, т. е. вектор-
ного, поля вводится волновое уравнение (с правой частью) для
декартовых компонент, т. е. скалярных функций, которое запи-
шем в виде
Дн + й28М = /, (1.19)
где и — любая декартова компонента вектора Герца, Е или Н.
Это уравнение справедливо в тех областях пространства, где в
не зависит от координат и где ц 1. Однако иногда мы будем
рассматривать (1.19) в предположении, что в = е (х, у, г). Во-
первых, это уравнение в некоторых двумерных задачах спра-
ведливо и при 8 =/= const. Во-вторых, оно описывает распростра-
нение акустических волн в среде с постоянной плотностью.
Главная же причина, делающая целесообразным анализ реше-
ний уравнения (1.19) также и при переменном 8, состоит в том,
что оно описывает те качественные особенности распространения
электромагнитных волн, которые не связаны с векторной при-
родой поля. Иными словами, если при изучении дифракции
электромагнитных волн на теле, т. е. на каком-то заданном рас?
пределении е в пространстве, не интересоваться изменением со-
отношения между различными компонентами поля, то многие
качественные свойства дифрагированного поля и особенности
различных методов его вычисления можно извлечь цз скаляр-
ного уравнения (1.19),
5 1Т ВВЕДЕНИЕ 17
Используем, например, (1.19) для того чтобы проверить
утверждение, что величина (1.9) может рассматриваться как
среднее значение потока энергии в скалярной задаче. Преобра-
зовывая дивергенцию этого вектора с использованием (1.19),
получим (*)
divIm(uVu*) = -A28"|u|2 —1т(«7). (1.20)
В среде без потерь (е" = 0) в области, свободной от источни-
ков (/ = 0), дивергенция этого вектора равна нулю. Поэтому
поток его через любую замкнутую поверхность равен нулю.
Если f =/= 0, то поток его одинаков для любых замкнутых по-
верхностей, содержащих данные источники. Как известно, век-
тор (1.4) обладает этими же свойствами— это легко доказать,
используя (1.7) (*). При применении так называемых энергети-
ческих соображений к решению конкретных задач дифракции
используют именно эти два свойства векторов (1.4) или (1.9)
(см., например, ниже п. 3.2).
1.7. Плоские волны. Проиллюстрируем применение комплекс-
ных амплитуд для описания физических свойств поля на при-
мере простейшего решения уравнений Максвелла — плоской
волны в однородной безграничной среде. Поле
£ж = е-^, Я„ = -1-е-^, Ев—Ег = Нх —Нг = 0, (1.21)
где показатель преломления п и волновое сопротивление w
равны ____
a) n = Velx> б) w = л/ц/е, (1.22)
представляет собой волну, идущую в направлении оси г, так как
зависимость от z и t величины (1.2) будет даваться множите-
лем cos(o»f — nkz). Поле обратного направления будет иметь
другой знак в экспоненте и другой знак в формуле для Нв.
Сумма прямой и обратной волн образует стоячую волну.
В ней зависимость от координат будет даваться вещественной
функцией cos nkz или sin nkz, и при образовании физических
величин по (1.2) этот множитель выйдет за знак Re.
Существует еще одно решение:
Е„ = е-^, Ях = _2.е-^, Ех = Ег —Н в —Н г = 0, (1.23)
— плоская волна того же, что и (1.21), направления, также
линейно поляризованная, но с другим направлением поляриза-
ции. Любая линейная комбинация полей (1.21), (1.23) есть тоже
плоская волна: ее поляризация определяется отношением коэф-
фициентов этой комбинации. Если они вещественны, то эта
комбинация — тоже линейно поляризованная волна. Если и#
18
УРАВНЕНИЯ И ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ УСЛОВИЯ
(ГЛ. I
отношение равно i или —I, то она представляет собой плоскую
волну круговой поляризации. В более общем случае наложение
обоих решений (1.21), (1.23) образует волну эллиптической по-
ляризации. Все эти утверждения легко проверить образованием
физических величин по (1.2) (*).
Плоская волна, направление распространения которой об-
разует с осями координат углы а, (3, у, описывается множителем
ехр {— ikn(x cos а + у cos р z cos у)}. (1.24)
При cos2 а cos2 р + cos2 у — 1 (1.24) удовлетворяет волновому
уравнению. Заметим, что это утверждение справедливо также и
в том случае, если, например, cos2 а > 1. При этом углы теряют
свой простой геометрический смысл, становятся некоторыми
комплексными величинами. Такие решения — так называемые
неоднородные плоские волны — возникают при исследовании
полного внутреннего отражения и в некоторых более сложных
задачах.
Для того чтобы установить возможные соотношения между
компонентами Е и Н, аналогичные (1.21), (1.23), надо исполь-
зовать еще и уравнения (1.7). Очевидно, однако, что соотноше-
ние между амплитудами полей, следующее . из (1.21), (1.23):
V^|£|= д/]Г|Я|, (1.25)
справедливо при любом расположении осей координат относи-
тельно направления волны, т. е. для любой плоской волны.
§ 2. Граница раздела (особые поверхности поля)
В теории дифракции, как и в любой другой физической тео-
рии, принят ряд идеализаций, т. е. рассматриваются некоторые
математические модели, облегчающие анализ реальных объек-
тов. Решения идеализированных задач близки к решениям ре-
альных. Мы уже начали с такой идеализации — с представления
о монохроматических колебаниях (1.1). Решение задач в идеа-
лизированной постановке легче, чем при учете соответствующих
точных (более точных) условий. В идеализированных задачах
часто удается применить какие-либо вспомогательные приемы.
Однако введение в теорию идеализированных объектов приво-
дит и к некоторым усложнениям — кроме уравнений Максвелла
или соответствующих уравнений акустики искомые решения
надо подчинять еще и дополнительным условиям. Иначе ока-
зываются возможными решения, не близкие к решениям не-
идеализированных задач.
Примером такой идеализации является понятие о скачко-
образном изменении свойств среды, т. е. о границе раздела,
которое мы рассмотрим в этом параграфе. В следующем пара-
§ 2] ГРАНИЦА РАЗДЕЛА (ОСОБЫЕ ПОВЕРХНОСТИ ПОЛЯ) 19
графе будут даны дополнительные условия, которые необходимо
ввести в формулировку задачи дифракции при использовании
других идеализаций.
2.1. Граница раздела диэлектриков. Во всех точках про-
странства, в которых виц непрерывны, поля Е и Н тоже не-
прерывны— это следует из уравнений Максвелла (1.7). По-
верхность, на которой е и ц. терпят разрыв, можно рассматри-
вать как предельный образ тонкого слоя, в котором градиенты
е и и очень велики. На этой поверхности Е и Н не удовлетво-
ряют уравнениям Максвелла и, вообще говоря, будут терпеть
разрыв. Условия для тангенциальных и для нормальных ком-
понент Е и Н на границе раздела диэлектриков оказываются
различными. Условия эти получаем из рассмотрения тех связей
между компонентами по обе стороны тонкого слоя, которые
слабо меняются при предельном переходе от тонкого слоя к
границе раздела. Утверждение о существовании таких условий
означает, что предельная форма этих связей не зависит от того,
как именно совершается этот предельный переход.
Как известно, тангенциальные к поверхности раздела ком-
поненты Е и Н удовлетворяют условиям
a) £(<1)-£$2)|s==0, б) HP — М2)|з = 0. (2.1)
Индексы 1 и 2 в (2.1) относятся к двум сторонам поверхности
раздела. В (2.1) содержатся четыре скалярных условия — для
двух тангенциальных компонент Е и для двух тангенциальных
компонент Н.
Нормальные компоненты Е и Н по обе стороны границы раз-
дела, вообще говоря, различны, точнее, непрерывны произве-
дения &En и iiHn:
а) - 8(W |s = 0, б) p(1 W - ц(2)Я^ [s = 0- (2-2)
Например, если при переходе через границу раздела изменяется
только 8, а у. непрерывна, то из шести компонент полей Е и Н
пять компонент непрерывны, а разрыв испытывает только Еу.
Формулы (2.2) не независимы от (2.1) и не ставят допол-
нительных условий. Если по обе стороны S поля удовлетворяют
уравнениям Максвелла с соответствующими значениями 8 и ц,
а на S выполняются (2.1), то на S выполняются и (2.2). Таким
образом, при решении задач о дифракции на диэлектрическом
теле, т. е. на некотором объеме, ограниченном поверхностью S,
внутри которого 8 = const =/= 1, а вне 8 = 1, надо удовлетворить
уравнениям (1-7) для внешнего и внутреннего полей и усло-
виям (2.1) на S.
Автоматическое выполнение (2.2) при этом непосредственно
следует из (1.7). Например, написав (1.76) для нормальной
20
УРАВНЕНИЯ И ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ УСЛОВИЯ
[ГЛ. I
к S компоненты, получим для выражение, содержащее
только тангенциальные к S производные от Et, и так как (2.1а)
выполняется во всех точках S, то* с обеих сторон равны друг
другу не только Et, но и эти производные, откуда и следует
(2.26). Точно так же из (2.16) и (1.7а) легко получить (2.2а) (*).
Равенство нулю левой части уравнения (2.16) означает, что
на границе диэлектрика S не существует сторонних поверхност-
ных токов, т. е. токов, сосредоточенных в бесконечно тонком
слое на некоторой поверхности с конечной поверхностной плот-
ностью. Действительно, если бы такие токи существовали, то,
как известно, из (1.7) следует, что при переходе через такую
поверхность тангенциальная к ней компонента Ht испытывала
бы скачок, пропорциональный этой поверхностной плотности,
что противоречит (2.16). Возможна аналогичная трактовка и
условий (2.1а) как условия отсутствия поверхностных магнит-
ных токов [см. (11.22)].
Введение поверхности, на которой не выполняются уравне-
ния Максвелла, потребовало установления некоторого условия,
означающего, что на ней нет «скрытых» сторонних токов. По-
добные условия, дополнительные к уравнениям Максвелла, не-
обходимо вводить при переходе к любым идеализациям, если
при этом в каких-либо точках пространства уравнения Максвел-
ла становятся неприменимыми. Только после их введения за-
дача дифракции полностью сформулирована. Эти условия полу-
чаются из рассмотрения тех предельных переходов, результатом
которых является появление идеализированных моделей.
2.2. Поверхность хорошего проводника. Частным случаем
диэлектрического тела является хороший проводник — тело, в
котором —е." 1. Электромагнитное поле проникает в такой
проводник на расстояние порядка глубины скин-слоя
d = — (k Im VeiO *' (2.3)
На глубине 2nd, равной длине волны в проводнике, поле уже
практически отсутствует. Оно убывает при удалении от границы
внутрь тела по экспоненциальному закону — локальному, т. е.
не зависящему от структуры внешнего поля или от кривизны
поверхности:
£(z) = E(0)e-<1+i>z/‘i, Я (г) = Я(0)е-(1+г>г/4. (2.4)
Здесь г — ось местной системы координат — направлена в ме-
талл, z — 0 соответствует поверхности тела; для простоты за-
писи принято, что —в" s', ц" — 0. Для металла, как известно,
в" == — 4ло/со, где ст — проводимость, так что
в за
ГРАНИЦА РАЗДЕЛА (ОСОБЫЕ ПОВЕРХНОСТИ ПОЛЯ)
21
На границе хорошего проводника тангенциальные компонен-
ты Е и Н, согласно граничному условию Леонтовича, пропор-
циональны друг другу:
Ех ~ wHy, Еу — — wHx (2.5)
с коэффициентом пропорциональности — импедансом w (1.226),
не зависящим от структуры внешнего поля и полностью опре-
деляемым свойствами проводника. Импеданс имеет порядок от-
ношения толщины скин-слоя к длине волны:
w = it-kd. (2.6)
Индуцированный ток поляризации (1.11) сосредоточен в
скин-слое. Подставляя в (1.11) выражения (2.4) и (2.5), полу-
чим для /инд выражение через тангенциальную компоненту маг-
нитного поля на поверхности Например, для х-й компо-
ненты объемной плотности тока получаем формулу
/Гд (г) = Ну (0) г/< (2.7)
Эта формула понадобится в следующем пункте.
2.3. Поверхность идеального проводника. Формулы (2.5) и
(2.7) удобны для рассмотрения еще одной идеализации — иде-
ального проводника, рассматриваемого как диэлектрик, в кото-
ром —е"->оо. Условия на границе металла можно получить,
перейдя к пределу в формулах предыдущего пункта.
Поле внутрь металла не проникает, равно нулю, и поэтому,
согласно (2.1а), на границе идеального проводника должно вы-
полняться
£Js = 0. (2.8)
Эта формула, как в (2.1а), содержит два условия — обе тан-
генциальные компоненты электрического поля на границе ме-
талла равны нулю.
Далее, из (2.8) следует, что нормальная к поверхности ком-
понента магнитного поля равна нулю:
Яаг15 = 0. (2.9)
Это равенство так же, как и (2.2), не ставит дополнительных
условий для поля. Оно автоматически выполняется, если поля
вне S удовлетворяют уравнениям Максвелла, а на S — условиям
(2.8), и это доказывается таким же рассуждением, какое было
применено к (2.2) (*).
Тангенциальная компонента магнитного поля Ht, вообще го-
воря, отлична от нуля; она может быть вычислена после того,
как задача дифракции на данной металлической поверхности
22
УРАВНЕНИЯ И ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ УСЛОВИЯ
[ГЛ. I
(2.10)
решена. Отлична от нуля и компонента EN на S; она пропор-
циональна, согласно (1.7а), поверхностному ротору Ht, так что
если ось z направлена в металл, то
р (дН* дНУ
ik \ ду дх
Таким образом, второй предельный переход —е"оо приво-
дит к тому, что нарушено условие (2.16), выполнявшееся при
первом предельном переходе. На поверхности идеального про-
водника тангенциальная компонента магнитного поля испыты-
вает скачок. Причина этого состоит в том, что при переходе
к идеальному проводнику толщина скин-слоя d-*-0 й одновре-
менно объемная плотность индуцированного тока (2.7), содер-
жащая множитель (в")1/2, становится бесконечной. Появляется
поверхностный ток, т. е. ток с конечной ненулевой поверхност-
ной плотностью. Он разделяет внутренние точки, в которых
Я = 0, от наружных, в которых Я =/= 0. Точнее, при —е"-><ю
d стремится к нулю как 1/V) е |, /инд (2.7) растет как V| в | , так
что согласно (2.3)
|/5ид(г)|~|яИО)|4-е‘г/й
По определению, поверхностная плотность /инд равна току, про-
текающему через все сечение скин-слоя:
(2.11)
iT*{z)dZ.
о
которых справедливо (2.11), этот ин-
частности, при d -> 0 7ННД остается ко-
(2.12)
При столь малых d, при
теграл не зависит от d. В
нечной величиной, хотя /инд->оо;
^“’ = --£^(0)- /Г = ^-^(0).
(2.13)
Полученное следствие применения теории скин-слоя к иде-
альному металлу является основным результатом рассуждения
этого пункта. Разумеется, (2.13) представляет собой не гранич-
ное условие для Н, а выражение, позволяющее вычислить /иид
по найденному из решения задачи дифракции полю Н.
Формулу (2.1-3) можно также получить, минуя результаты
предыдущего пункта и рассматривая сразу обе идеализации —
переход к границе раздела и к идеальному проводнику. Фор-
мулы (1.10) означают, что поле создается как сторонними то-
ками /, так и индуцированными токами, которые становятся при
этом поверхностными. Поля этих токов, интерферируя, гасят
друг друга внутри тела.
s д ГРАНИЦА РАЗДЕЛА (ОСОБЫЕ ПОВЕРХНОСТИ ПОЛЯ) 23
Из (1.10а) следует, что при переходе через такую поверх-
ность Ht испытывает скачок, пропорциональный /инд; об этом
следствии из уравнений Максвелла мы уже упоминали в п. 2.1.
Условия (2.8) накладывают на поле значительно более силь-
ное ограничение, чем похожее на него условие (2.1а). Как бу-
дет показано в § 4, условие (2.8) полностью характеризует по-
верхность, а условие (2.1а) должно быть еще дополнено усло-
вием (2.16).
2.4. Тела с границами раздела как частный случай непрерыв-
ных сред. Если какое-либо свойство поля удается доказать для
непрерывного распределения е(х, у, г) и ц(х, у, г) и это доказа-
тельство не требует конечности е, р или градиентов s и ц, то
результат справедлив и для кусочно-постоянных или бесконеч-
ных 8, т. е. для диэлектрических или металлических тел.
В качестве простого примера, иллюстрирующего это положе-
ние, рассмотрим дифракцию на телах с цилиндрической сим-
метрией при симметричном возбуждении. Пусть относительно
некоторой цилиндрической системы координат г, q>, z функции
e(r, z) и ц.(г, г) не зависят от угла ср, и, кроме того, сторонние
токи содержат только z-ю компоненту и тоже не зависят от
угла, / = jz(r, z). В этом случае поле содержит только три ком-
поненты ЯФ, Ег, Ег, а три другие компоненты Ev, Нг, Нг равны
нулю(*). Этот результат легко показать, записав (1.7) в ци-
линдрической Системе координат. Уравнения для второй тройки
компонент окажутся независимыми от уравнений для первой
тройки и не будут содержать правых частей. Если не считать
случаев, которые будут оговорены в п. 4.3, такие уравнения
имеют только нулевые решения, что и доказывает наше утвер-
ждение. При доказательстве соображения о непрерывности и
конечности 8 и ц не использовались; в процессе соответствую-
щих предельных переходов новые компоненты полей не возни-
кают, поэтому наше утверждение справедливо и для диэлек-
трических, и для металлических поверхностей, лишь бы все
поверхности диэлектриков и металла были телами вращения.
Достоинство такого метода доказательства состоит в том, что
он не требует проверки также и граничных условий.
Заметим, что в этом примере поле выражается через одну
скалярную функцию, удовлетворяющую волновому уравнению
(1.19), где г и н зависят от координат г, z. Действительно, пря-
мая проверка показывает, что если принять
Пг = ц(г, <р), Пг = 0, Пф = 0, (2.14)
и выражать Н и Е через П по формулам (1.17), то уравнения
Максвелла будут выполняться, если и удовлетворяет (1.19) (*).
Напомним, что в общем случае трехмерной электродинамиче-
ской задачи либо двумерной задачи, в которой поле зависит от
УРАВНЕНИЯ И ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ УСЛОВИЯ [ГЛ. I
24
угла, (1.17) и (1.18) справедливы только в областях простран*
ства, в которых е и р не зависят от координат, а при е =
= e.(x,y,z) волновое уравнение сложнее, чем (1.19).
2.5. Граничные условия*в акустике. На поверхности, на кото*
рой терпят разрыв функции р или с, уравнения акустики (1.8)
неприменимы. Предельным переходом от тонкого слоя с боль-
шими градиентами риск поверхности раздела получаем гра-
ничные условия, связывающие их значения по разные стороны
поверхности раздела:
p(i)_p(2)|s = 0, vU)_0(2)|s==o. (2.15)
В акустике удобно рассматривать две идеализированные
среды, в которые акустическое колебание не проникает и в ко-
торых р — 0, и = 0. Существуют реальные среды, свойства ко-
торых близки к свойствам таких идеализированных сред. Абсо-
лютно мягким называют тело, в котором рс = 0. На поверх-
ности такого тела
pls = 0. (2.16а)
Абсолютно жестким называют тело, в котором рс = оо. На его
поверхности
»н1з = 0. (2.166)
Граничные условия (2.15) и (2.16) аналогичны граничным усло-
виям (2.1) и (2.8) электродинамики.
Если скорость с мала и в теле есть большие потери, точнее,
если 1т(й)/с) велико, то вблизи его поверхности поле имеет
структуру уходящей плоской волны, независимо от структуры
поля снаружи. При этом условии величины р и vN на поверхно-
сти приближенно удовлетворяют условию (.V направлено в тело)
р = рсп^, (2.17)
аналогичному условию Леонтовича (2.5) на границе провод-
ника, в котором велико Im • При | рс |->0 это условие пе-
реходит в (2.16а). Если |рс|-»-со при сохранении требования
малости |?|, то (2.17) переходите (2.166).
Этому условию можно придать вид граничного условия
третьего рода для р, если с внешней стороны выразить v че-
рез р, vN ~ dp/dN-.
p + w^- = Q. (2.18)
Коэффициент w (импеданс) зависит от соотношения парамет-
ров тела и наружной среды. Поверхность, на которой выпол-
няется (2.18), будем называть импедансной. При w — оо и w = 0
условие (2.18) принимает вид dp/dN = 0 и р = 0, что тожде-
ственно соответственно (2.166) и (2.16а).
§ 3] . ОСОБЫЕ ТОЧКИ ПОЛЯ 25
Вообще говоря, w комплексно, w = w' 4- iw". Если w" = 0,
то энергия в поверхность не уходит. Поток энергии на единицу
поверхности, т. е. Im (р dp*/dN), равен —w" ] dp/dN |г, и всегда
w"^0.
§ 3. Особые точки поля
В этом параграфе мы продолжим описание идеализирован-
ных моделей, вводимых в теорию дифракции, и нахождение тех
дополнительных условий, которые при этом приходится ставить.
Начнем с представления о таких особых точках поля, в которых
поля могут обращаться в бесконечность. В конце параграфа бу-
дут рассмотрены условия, возникающие при введении понятия
о бесконечно удаленных точках поля.
3.1. Точечный источник. Линейный источник. Пусть размеры
источника малы по сравнению со всеми размерами, участвую-
щими в задаче, и, в частности, с-длиной волны %==2n/k. Удоб-
ной идеализацией является представление о точечном источнике.
По определению объем, им занимаемый, бесконечно мал, объ-
емная плотность / бесконечно велика, а произведение объема и
плотности тока конечно. Эти условия выполняются, если при-
нять, что / пропорционален 6-функции:
a) j(x, у, z) = a63(p), (3
б) Jd3(p)dy=l, dV = 4np2dp,
где а — единичный вектор; р — радиус-вектор сферической си-
стемы координат (р, 0, ф), в центре которой расположен источ-
ник. Ток (3.1) называется элементарным электрическим duno-
лем. Мы снабдили 6-функцию (3.16) индексом «3», имея в виду,
что далее мы будем применять 6-функцию и для двумерных
(6г), и одномерных (61) уравнений.
Поле, создаваемое током (3.1), имеет особенность — обра-
щается в бесконечность при р -* 0. Точнее, три отличные от нуля
компоненты при kp <С 1 имеют вид
^ф^ 2Р2С sin9> 2kp3c s*n 9’ ^5y2cos0. (3.2)
Далее, введем еще и другие особые точки, в которых поля
тоже будут обращаться в бесконечность, и нам надо найти
какое-либо свойство, характеризующее именно поле точечного
источника. Таким свойством мог бы быть закон обращения в
бесконечность (3.2). Однако достаточно, как увидим ниже, бо-
лее простого свойства — плотность энергии (1.5) неинтегри-
руема:
$ | Е f dV = оо, $ | Н р dV = оо. (3.3)
26 УРАВНЕНИЯ И ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ УСЛОВИЯ (ГЛ. I
Это свойство непосредственно следует из (3.2), ибо dV ~ р2 dp,
и подынтегральные функции в (З.З).имеют при р->0 неинтегри-
руемые особенности. Оно не нарушается при внесении в поле
каких-либо тел.
В скалярных задачах будем исследовать не систему урав-
нений акустики, а более простое волновое уравнение (1.19). Ска-
лярным аналогом элементарного диполя будет точечный источ-
ник, для которого
/ = б3(Р). (3.4)
Решение скалярного волнового уравнения с правой частью (3.4)
проще, чем решение уравнений Максвелла с током (3.1); это
решение есть сферическая волна
Скорость возрастания поля при р->0 значительно меньше, чем
в электродинамике (3.2). Однако и здесь плотность энергии не-
интегрируема:
| Vu МИ = (3.6)
ибо | Vu |2 имеет особенность р-4.
Если источник имеет конечную или большую длину, а в двух
других измерениях его размеры малы, то для его описания
удобно вводить понятие линейного тока. Для простейшего слу-
чая прямой бесконечной нити плотность тока следует задавать
в виде
/г = Й2(г), Js2(r)dS==l, (3.7)
где г — радиус-вектор цилиндрической системы координат г, <р, г;
dS — 2лг dr. Поле такого тока содержит две компоненты:
£г = - (kr), я<2) (*г). (3.8)
Обе они обращаются в бесконечность при г->0. Задача о поле
прямого линейного тока двумерная. Для этого поля тоже имеет
место свойство (3.3) — неинтегрируемость плотности энергии
(| Е I2 +1 Н р) dS, ибо | Я I2 ~ 1/г2, a dS ~ г dr. Это свойство
сохраняется и в присутствии других тел, а также для непря-
молинейного линейного тока.
Наконец, таким же образом можно ввести понятие линей-
ного источника и в скалярной задаче. Если этот источник —
прямая линия, так что вся задача двумерная, то / = 62(г) и
решение есть цилиндрическая волна
u = ~H{?(kr).
(3.9)
$3] .
ОСОБЫЕ ТОЧКИ ПОЛЯ
27
Для него тоже выполняется условие (3.6) — неинтегрируемость
плотности энергии, так как интеграл ^iVupdS расходится (*).
3.2. Поток энергии из источника. В этом параграфе суще-
ственную роль будет играть понятие потока энергии из источ-
ника. Вычисление потока представляет и самостоятельный ин-
терес. В электродинамике этот поток есть интеграл от среднего
по периоду значения вектора Пойнтинга, взятый по любой по-
верхности, окружающей ток.
Для диполя (3.1), расположенного в вакууме, этот поток ра-
вен (*)
Г ka
\sNdS = ^. (3.10)
Если его вычислять, взяв в качестве поверхности малую сферу,
то пользоваться приближением (3.2) нельзя. Старшие члены в
разложении и £е находятся в квадратуре и не дают вклада
в поток энергии. Отличное от нуля слагаемое в Re[£ff*] имеет
порядок 1/р2. Проще вычислять интеграл в (3.10) интегрирова-
нием по большой сфере, в волновой зоне, где Eq ~ ехр(—ikp)/p,
H<f ~ exp (—ikp) /р.
Для скалярной задачи роль вектора Пойнтинга играет
Im(uVu*) (1.9). Поток этой величины через любую поверхность,
содержащую все источники, не зависит от поверхности и равен
согласно (1.20) Im§ u*fdV, где интеграл взят по всем источни-
кам. Для элементарного источника, как легко получить из
(3-5) (•),
(3.11)
Для двумерной задачи надо вычислять поток на единицу
длины, т. е. поток через любую замкнутую кривую на плоскости,
перпендикулярной к току и окружающей ток. Для электромаг-
нитного и скалярного полей будет соответственно (*)
a) $S„dS=^g-, б) = (3.12)
Поток|энергии от диполя или линейного тока изменится при
помещении в его поле какого-либо тела. Это изменение потока,
как мы сейчас покажем, выражается через значение дифрак-
ционного поля в точке, в которой расположен диполь. Проведем
соответствующую выкладку — она проиллюстрирует ту простоту
вычислений, которая достигается введением этой идеализации,
позволяющей использовать 6-функцию.
Определим, уточняя пункт (1.5), понятие дифракционного
поля, которым будем широко пользоваться дальше. Назовем его
28 УРАВНЕНИЯ И ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ УСЛОВИЯ ГГЛ. I
в, Л в векторной задаче и v в скалярной. Пусть Е®, Н® (и соот-
ветственно и°) есть поле, созданное теми же сторонними тока-
ми / (теми же источниками /)* при отсутствии данного тела,
а Е, Н (или и) —поле в его присутствии. По определению
Е = Е° + е, Н — Н°h, u = u° + v. (3.13)
Далее поля Е°, Н°, и° будем называть падающими. Поля е, Л
(или о) созданы индуцированной поляризацией (1.11), излу-
чающей в вакууме.
Из уравнений Максвелла следует известное выражение
divS = —’/гКе^'Д*), аналогичное (1.20). Интегрируя его, по-
лучаем для потока энергии формулу—’/г Re(jE’) SV. Пользо-
ваться ею, например, для вычисления (3.10) неудобно, так как
там, где / отлично от нуля, Е имеет особенность. Однако если
подставить в эту формулу разбиение (3.13), то первое слагаемое
будет невозмущенным потоком [оно было вычислено в (3.10)
независимо], а второе легко вычисляется согласно свойству
6-функции (♦):
JsJvrf5 = ^--yRee*(0)a. (3.14а)
Это второе слагаемое и есть искомое изменение потока, созда-
ваемого заданным диполем при внесении в его поле какого-либо
тела. Например, если диполь расположен вблизи бесконечно
большого идеального зеркала, то е есть поле зеркального изо-
бражения данного диполя, излучающего в вакууме, так что
(3.14) дает простое явное выражение полного потока..
Скалярный аналог формулы (3.14а) согласно (1.20) имеет
вид (»)
Im$«-^dS = A.-Imv*(0). (3.146)
Такие же формулы леко получить в двухмерных задачах.
Вообще говоря, поток энергии из точечного источника — ди-
поля или линейного тока—отличен от нуля. Возможны, однако,
особые случаи (закрытый резонатор, запредельный волновод),
в которых второе слагаемое в (3.14) компенсирует первое, и
поток равен нулю. Для дальнейшего существенно, что и в этих
случаях свойство (3.3) или (3.6) сохраняется.
3.3. Ребра и вершины. Вернемся к вопросу о дополнительных
условиях, которые надо ставить, принимая какие-либо идеали-
зации. При введении идеальных объектов другого типа — вер-
шин и ребер, т. е. поверхностей с бесконечной кривизной — воз-
никают другие точки и линии, в которых поля также обращают- ‘
ся в бесконечность. Это обращение происходит, как будет по-
казано ниже, медленнее, чем вблизи источников. А именно —
5 з].
ОСОБЫЕ ТОЧКИ ПОЛЯ
29
вблизи вершин и ребер плотность энергии интегрируема, так
что в векторных задачах
a) Jlf'pdy < со, б) J|/7|2d1Z<oo, (3.15)
а в скалярных, соответственно,
a) J|«|2d7<oo, б) VnpdJ/Coo. (3.16)
Эти условия — так называемые условия Майкснера — противо-
положны условиям (3.3) и (3.6).
Найдем структуру поля при условии, что требования (3.15)
и (3.16) выполняются. Оказывается, что некоторые характери-
стики этой структуры не зависят от падающего поля и опреде-
ляются только геометрией тела и поляризацией поля. Опреде-
ление этих характеристик имеет и самостоятельный интерес,
однако в первую очередь нас будет интересовать вопрос о по-
токе энергии из ребра или из вершины. Подробно рассмотрим
поле только вблизи ребра, так как для него все существенные
характеристики поля можно изучать на .
двумерной задаче, а для вершины толь- /
ко сформулируем результаты. /
Покажем, что при выполнении (3.15)
поток энергии из ребра будет равен нулю. / J) g
Это обстоятельство позволяет отличать
истинные источники от ребер (где поля
тоже бесконечны) по просто проверяемо-
му критерию интегрируемости энергии,
а в следующем пункте увидим, что рис 3д к>ии
выполнение именно этого критерия до-
статочно для формулировки задачи дифракции. Доказательство
основано на том, что вблизи ребра можно в явном виде запи-
сать решения уравнений Максвелла. Так как условие (3.15)
является локальным свойством окрестности особой линии, т. е.
не зависит от кривизны ребра, то достаточно рассмотреть пря-
молинейное ребро (клин), свойства которого не зависят от ко-
ординаты z вдоль ребра, и поля, для которых d/dz s 0. Мы
подробно рассмотрим только металлический клин, для которого
поля находятся в явном виде.
Совместим ось z с ребром: уравнения металлических поверх-
ностей будут ф = 0 и ср — тл (рис. 3.1). Полуплоскости соответ-
ствует значение параметра т = 2; для всех клиньев т 2.
Уравнения Максвелла при д/дг = 0 распадутся на две группы
(подробнее см. п. 5.1). В одной из них отличны от нуля три
компоненты Ег, /7Ф, Нг, во второй отлична от нуля тройка Нг,
Еу, Ег — аналогично ситуации, описанной в п. 2.4, где, однако,
30 УРАВНЕНИЯ И ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ УСЛОВИЯ [ГЛ. I
выделенной координатой была не z, а угол <р. Рассмотрим обе
поляризации отдельно.
Компонента Ег— декартова, ‘она удовлетворяет волновому
уравнению
EEz + k2Ez = Q, (3.17)
а Н9 и Нг получаем из Ег дифференцированием:
нг=~^^- (3.18а)
IK dr ' Ik Оф '
Общее решение (3.17) имеет вид суммы: 1
Ez = [AmJm (kr) + ВпНт (&r)l sin (mcp + a). (3.19)
Мы пользуемся здесь методом разделения переменных, который
подробно изложен в гл. II. Согласно этому методу потребуем,
чтобы граничное условие на металле при <р = 0, ср —тл
Ег = 0 (3.20)
выполнялось почленно. Из (3.20) следует, что в (3.19) а=0,
а числа т могут принимать значения из ряда 1/т, 2/т и т. д.
Наименьшее из них назовем то=1/т. В частности, для полу-
плоскости т0 = 7г, для любого другого металлического клина
шо > '/г-
Вблизи ребра клина kr <С 1. При малых значениях аргумен-
та цилиндрические функции с точностью до несущественных
множителей равны: функция Бесселя Jm (kr) « (kr)т и функция
Ханкеля Н(т (kr) да (kr)~m.
Если в разложении (3.19) присутствует член, пропорцио-
нальный функции Ханкеля, то интеграл (3.156) расходится.
Действительно, даже для наименьшего допустимого т, т. е. для
то, ~ г-(“а+1), Дг~г_(,й5+1) и интеграл (3.156)
имеет вид r_(2'no+I) Jr, т. е. расходится (*). Следовательно,
условие (3.156) исключает возможность присутствия в поле вто-
рого слагаемого в (3.19).
Рассмотрим порядки величин полей, получающихся из (3.19)
при Вт = 0. Старшие члены в полях соответствуют т = то.
Старший член в электрическом поле Ez ~ гт„. В магнитном
поле Нг и Яф старшие члены согласно (3.18) имеют порядок
1/г *~'По. Для любого выпуклого клина (т > 1), т. е. при mo < 1,
магнитное поле имеет особенность. Соответствующая особен-
ность в плотности энергии интегрируема, так как в ней подын-
тегральная функция после умножения на dS имеет вид
т. е. она слабее, чем 1/г; тем более она интегрируема для сла-
гаемых в (3.19) с т > то-
ОСОБЫЕ ТОЧКИ ПОЛЯ
3t
5 з]
Наиболее сильная особенность поля имеет место вблизи по-
луплоскости. Компоненты магнитного поля Нг и Яф~ 1/Vr>
плотность магнитной энергии ~1/г. Поверхностная плотность
тока имеет ту же особенность, что и Нг — при этой потяриза-
ции (электрическое поле и ток параллельны ребру) она растет
при приближении к ребру как .
Теперь легко показать, что поток энергии через любую по-
верхность, окружающую ребро, равен нулю. Возьмем цилиндр
малого радиуса, окружающий ребро. Входящие в радиальную
компоненту вектора Пойнтинга компоненты полей Ег и ТУ гр про-
порциональны соответственно rm° и 1/г1-т°, их произведение
пропорционально г2"*1-1, интеграл по дуге радиуса г имеет по-
рядок г2'”’, т. е. стремится к нулю при г—>-0. Вещественная часть
этого интеграла, т. е. поток энергии, не зависит от радиуса ци-
линдра, следовательно, она равна нулю.
Таким образом, если в окрестности особой линии выполняет-
ся требование (3.15), то поток энергии из нее равен нулю. Об-
ратное, вообще говоря, не имеет места — в конце п. 3.2 были
упомянуты ситуации, когда поток энергии равен нулю несмотря
на наличие сильных особенностей, таких, при которых плотность
энергии неинтегрируема. Поэтому нельзя различать поля, соот-
ветствующие линейным источникам, и поля, соответствующие
ребрам, по тому, отличен ли от нуля поток энергии. Эти два
типа особых линий поля отличаются характером интеграла от
плотности энергии — сходится он или нет.
Для второй возможной поляризации (отличны от нуля толь-
ко компоненты Нг, Er,Ev) рассуждения почти полностью по-
вторяются. Волновому уравнению удовлетворяет компонента /Т2,
и она может быть представлена рядом (3.19), к которому надо
еще добавить постоянное слагаемое. Компоненты Ег, Еч полу-
чаем из Нг дифференцированием по формулам, аналогичным
(3.18а):
<3-186)
Граничное условие (равенство Ег нулю при ср = 0 и при
ф =-гл) дает в (3.19) а = л/2, а для пг получаем тот же ряд
возможных значений, начинающийся с пго—1/т. Слагаемое с
функцией Ханкеля исключается условием (3.15а). Особенность
при г—>0 имеет в этом случае электрическое поле, пропорцио-
нальное l/r1-"1’; плотность поверхностного заряда пропорцио-
нальна £₽. Ток, пропорциональный Нг, не имеет особенности.
Например, для полуплоскости (то — 1/2) при этой поляриза-
ции (магнитное поле параллельно ребру, ток ему перпендикуля-
рен) Ir ~ const + VE заряд1/д/г Токи, связанные с по-
32
УРАВНЕНИЯ И ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ УСЛОВИЯ
[ГЛ. !
стоянным слагаемым в Нг, с обеих сторон направлены в проти-
воположные стороны, так что в суммарный (по обеим сторона^
поверхности) ток они не входят, и он пропорционален Vr*
Доказательство отсутствия потока энергии производится таким
же методом.
Те же соображения позволяют утверждать, что и для ска-
лярной задачи условия (3.16) гарантируют отсутствие потока
энергии. Таким же образом, т. е. выписывая явное решение
волнового уравнения, можно показать, что и для острия (вер-
шина конуса или пирамиды) условия (3.15) и (3.16) обеспечи-
вают отсутствие потока энергии. Фактически можно выписывать
решение более простого, чем волновое, уравнения, получающееся
при отбрасывании в (3.17) члена, пропорционального к2. Реше-
ния такого уравнения при малых значениях kr близки к реше-
нию волнового уравнения, а наши построения использовали
лишь вид поля при малых kr.
Все это рассмотрение переносится на диэлектрический клин
или на несколько клиньев из разного материала с общим реб-
ром. Некоторое усложнение состоит в том, что граничные усло-
вия приводят для числа то, определяющего порядок возраста-
ния перпендикулярных к ребру (поперечных) компонент полей
(пропорциональных 1/г1-т“)> не к явной формуле т0==1/т,
а к некоторому трансцендентному уравнению. Для простого слу-
чая одного клина оно имеет вид
8 1
sin лто ± —т—г sin л/По(1 — т) == 0, (3.21)
6 “Г А
где два знака соответствуют двум поляризациям. Это уравнение
может быть получено рассмотрением задачи о клине в длинно-
волновом пределе, т. е. методами электростатики. Переход к
электростатике для диэлектрических тел рассмотрен ниже в
п. 19.5. Требование конечности интегралов (3.16) вновь приво-
дит к тому, что компоненты Ег и Нг при г -> 0 остаются конеч-
ными. Уравнения, аналогичные (3.21), получаем и для слу-
чаев, если общее ребро имеют несколько клиньев. При этом по-
перечные компоненты могут при г->0 обращаться в бесконеч-
ность даже быстрее, чем для металлической полуплоскости, так
как т0 может оказаться меньше 1/2. Однако решение этого
трансцендентного уравнения положительно, т. е. для любых ди-
электриков и любых углов то > 0, а этого достаточно, как мы
выяснили, и для интегрируемости плотности энергии, и для от-
сутствия потока энергии.
3.4. Бесконечно удаленные точки. Если область пространства,
в котором ищется поле, велика, а влияние далеко расположен-
ных тел мало, то удобной идеализацией становится представле-
ние о бесконечно удаленной области пространства. Согласно
§ ЗЬ ОСОБЫЕ точки ПОЛЯ 33
этой идеализации все токи и все тела расположены на конечном
расстоянии от начала координат, а вне некоторой сферы конеч-
ного радиуса находится открытая бесконечная область. Отсут-
ствие вне этой сферы сторонних и индуцированных токов озна-
чает, что на нее извне не могут приходить какие-либо волны.
Точнее, если радиус сферы а порядка размеров тел, их расстоя-
ния друг от друга и длины волны, то требование — вне этой
сферы нет источников и тел — приводит к тому, что при р а
должно выполняться асимптотическое равенство:
p-iko
u = -~-F(Q, <p)[1-h О(а/р)]. (3.22а)
Для электромагнитного поля аналогично
p-ifeP
Ев = - ЯФ = Ft (0, ф) [1 + О (a/p)J,
(3.23)
= яв = (е, Ф) [ 1 + о (й/р)].
Функции F, Fi и Fz не задаются этими условиями, они нахо-
дятся из решения конкретной задачи.
Этим условиям иногда придают другую форму, математиче-
ски эквивалентную, образуя такую комбинацию полей, которая
быстро (быстрее 1/р) убывает с ростом р. Для скалярного поля
условие (3.22а) может быть записано в форме (*)
lim р (ди/др + iku) = 0, (3.226)
р->ОО
и аналогичным образом преобразуется (3.23).
Условия (3.22) и (3.23) называются условиями излучения
Зоммерфельда, который впервые указал на необходимость фор-
мулировать условия на бесконечности. Эти условия исключают
существование приходящих извне (из бесконечности) сфериче-
ских волн, т. е. волн, поля которых имели бы вид ехр (Игр) /р.
Простого требования, чтобы поле стремилось к нулю при
р —оо, недостаточно, чтобы исключить эти приходящие волны.
Ситуация была бы проще, если бы идеализацию — все тела и
токи расположены в конечной области — дополнить условием,
что вся остальная, безграничная область заполнена средой с
потерями. При этом поле, созданное этими токами и телами,
стремилось бы к нулю при р->оо. Поля же, созданные беско-
нечно удаленными источниками, либо равны нулю в конечной
области пространства, либо неограниченно возрастают при р -*
-+ оо. Таким образом, если бы в принятой идеализации беско-
нечной области бесконечная среда имела бы потери, то условие^
2 Р. Б. Баганов, Б. 3. Каценеленбаум
34
УРАВНЕНИЯ И ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ УСЛОВИЯ
[ГЛ. I
обеспечивающее отсутствие полей, созданных бесконечно уда-
ленными источниками, было бы просто:
lim« = 0. (3.24)
р->оо
Более удобным, чем введение безграничной среды с поте-
рями, оказывается введение понятия комплексной частоты (точ-
нее— комплексного волнового числа k). Так как закон измене-
ния фазы и амплитуды уходящих волн определяется множите-
лем ехр(—ik 'у/в р), то вместо того, чтобы вводить комплекс-
ное 8, проще считать комплексным k:
k = k' + ik", k"<0. (3.25)
Тогда поле уходящей волны будет с ростом р убывать по закону
ехр(/г"р) и будет удовлетворять (3.24), а поле приходящей
волны не будет удовлетворять (3.24). Условие (3.24) при k" < О
называется принципом предельного поглощения. При его исполь-
зовании вся задача дифракции сначала решается при k" < 0, в
частности, ставится требование (3.24), а затем совершается
предельный переход k" —>-0.
Условие (3.24) исключает приходящие из бесконечности
волны и при ситуациях несколько более сложных, чем описан-
ные в начале этого пункта, и потому шире условия Зоммер-
фельда (3.22), (3.23). Пусть какое-либо тело само уходит на
бесконечность, как, например, в задаче о бесконечной импе-
дансной плоскости. Тогда поле содержит не только уходящие
сферические волны, но и уходящие плоские волны, и условие
Зоммерфельда следует дополнить требованием, исключающим
приходящие из бесконечности плоские волны. Условие же (3.24)
не требует никакого расширения, ибо соображения о различном
поведении приходящих и уходящих волн при k" < 0 справед-
ливы и для плоских волн, и при k" < 0 условие (3.24) доста-
точно.
Далее будем пользоваться более простыми в конкретных за-
дачах условиями Зоммерфельда (3.22а) и (3.23) и не будем счи-
тать k комплексным.
§ 4. Теорема единственности
Задача, которая решается в теории дифракции, состоит в
нахождении поля в заданной системе тел при заданных сторон-
них токах. Во многих методах решение сначала каким-либо об-
разом конструируется, а затем производится проверка того, что
это решение удовлетворяет всем условиям задачи. При этом
возникают два вопроса. Во-первых, всегда ли задача разреши-
Т' ' .
§41 ТЕОРЕМА ЕДИНСТВЕННОСТИ 35
ма, т. е. всегда ли существует решение, удовлетворяющее этим
условиям. Во-вторых, единственно ли это решение. Прежде, чем
решать какую-либо конкретную задачу, нужно быть уверенным
в положительном ответе на оба эти вопроса.
Первый вопрос — о существовании решения — означает: не
слишком ли много поставлено условий, нет ли среди них лиш-
них, противоречащих остальным. Второй — о единственности —
означает: не слишком ли мало поставлено условий, достаточно
ли их, чтобы выделить решение.
Будем анализировать только теорему, отвечающую на второй
вопрос — теорему единственности. Теорема существования — в
простейшей формулировке — состоит в том, что при тех же
условиях, которые сформулированы в теореме единственности,
решение действительно существует, так что эти условия необ-
ходимы и достаточны для существования решения, притом един-
ственного. .
В последнем пункте параграфа рассмотрим вопрос о неяв-
ном задании сторонних токов, в частности, постановку так на-
зываемой граничной задачи. Вопрос этот логически близок к
рассуждениям, приводящим к теореме единственности.
4.1. Среда без особенностей. Начнем с простейшего случая.
Пусть р = 1, а е — непрерывная и всюду конечная функция, т. е.
нет границ раздела, в том числе импедансных поверхностей или
металла, нет ребер и вершин. Кроме того, пусть всюду &" =# О,
так что, в частности, поле не проникает в бесконечно удаленные
области пространства. Это последнее предположение также су-
щественно упрощает доказательство.
Таким образом, мы в этом пункте рассмотрим ситуацию,
когда нет тех идеальных объектов, которые были введены в
§§ 2, 3. Теорема единственности доказывается при этом совсем
просто. Однако надо иметь в виду, что практически во всех
конкретных задачах применяются какие-либо из упомянутых
идеализаций.
Начнем со скалярного волнового уравнения (1.19). Доста-
точно доказать, что однородное уравнение
Аи + k2&u = 0 (4.1)
имеет только нулевое решение. Действительно, если бы неодно-
родное уравнение (1.19) имело бы два различных решения, то
их разность удовлетворяла бы (4.1); доказав, что для (4.1)
и = 0, покажем, что (1.19) не может иметь различных решений.
Это рассуждение будет использовано и далее; вместо теоремы
единственности будем доказывать, что однородное уравнение
имеет только нулевое решение.
Доказательство теоремы единственности основано на рас-
смотрении соотношений, существующих между квадратичными
2*
36
УРАВНЕНИЯ И ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ УСЛОВИЯ
[ГЛ. I
величинами полей, удовлетворяющих (4.1). Применим первую
формулу Грина
(V<₽Уф +ФДф)ЙУ—(p-|^ds==o (4.2)
к бесконечной области, положив ф — и, ф = —и*. Получим
£2Je*|ufW- JlVupdF + ^u~dS = Q. (4.3)
Возьмем от этого равенства мнимую часть:
— jfe25e"i“i2rfF + Im$“SrdS = 0- (4.4)
Мы уже рассматривали соотношение этого вида в конце п. 1.6.
Интеграл по бесконечно удаленной поверхности равен нулю, так
как в среде с потерями поле на бесконечности убывает экспо-
ненциально, т. е. быстрее, чем растет область интегрирования.
Так как в объемном интеграле согласно нашему предположе-
нию е," ни в одной точке не равно нулю, то и == 0, что и дока-
зывает наше утверждение.
Формула (4.4) представляет собой запись закона сохране-
ния энергии для решения уравнения (4.1). На бесконечность
энергия не уходит, притока энергии нет, плотность потерь энер-
гии^ел)и|2 равна нулю, и при в" #= 0, и s=s 0.
Такой же вывод для однородных уравнений Максвелла для
разностного поля
rot Н — ik&E = 0, rot Е + ikH = 0, (4.5)
основан на векторном аналоге формулы (4.2):
(<prot ф — ф rot ф) dV — [фф]# dS = 0. (4.6)
Положив ф = Е, ф = —Н* и используя (4.5), получим
— ik J в| Е pdV + ik J | Я FdV + J (ЯЛ*]# dS =0. (4.7)
Возьмем от этого равенства вещественную часть:
— k J в" | Е I2 dV + Re J [ЕЯ‘]„ dS = 0. (4.8)
Это есть запись закона сохранения энергии при отсутствии ис-
точников и при ц" = 0. Повторяя то же рассуждение, что и
после (4.4), найдем, что Е = 0 и согласно (4.5) Н=0, что и
доказывает единственность решения уравнений Максвелла в
этом простейшем случае.
§ 4)
ТЕОРЕМА ЕДИНСТВЕННОСТИ
37
4.2. Общий случай. Для того чтобы доказать, что разност-
ные поля равны тождественно нулю и при наличии особых по-
верхностей, линий и т. д., мы могли бы обобщить результаты
предыдущего пункта, используя соображения, приведенные в
п. 1.4, т. е. проследив за предельными переходами, приводящими
к появлению этих особенностей. Проще, однако, провести до-
казательство непосредственно, т. е. предполагая, что идеализа-
ции уже приняты.
Мы должны доказать, что если функция и удовлетворяет
в объеме однородному уравнению (4.1), на границах раздела —
условиям (2.15),
a) uw — «(2) = 0, б) duw/dN — du^ldN = 0, (4.9)
на импедансных поверхностях Sw — условию (2.18),
и + w du/dN = 0 (4.10)
(N направлено в тело), на ребрах и вершинах — условию
Майкснера (3.16) и на бесконечности — условию Зоммерфельда
(3.22), то во всем объеме и =
= 0. Функция г" не обязатель-
но отлична от нуля всюду, в
частности—вне некоторой сфе-
ры достаточно большого ра-
диуса в" = 0. Доказательство
основано на анализе формулы
(4.3).
Для того чтобы она имела
смысл, поля либо не должны
иметь особенностей, либо осо-
бенности должны быть не
слишком сильными: такими,
чтобы интегралы существо-
вали. Это обеспечивается
Рис. 4.1. Поверхности интегрирова-
ния S.
(3.16) и, по существу, служит
оправданием того, что именно эти условия выбраны для отде-
ления истинных источников от особенностей поля на ребрах и
вершинах.
Интегрирование в (4.3) производится по области (рис. 4.1),
снаружи ограниченной Sr, внутри— поверхностями, импеданс-
ными Sa,, металлическими (»== 0 и w = оо ) и диэлектрически-
ми Se. Кроме того, такой же интеграл надо взять по области, за-
нятой диэлектриком и снаружи ограниченной поверхностью. Se.
Применять (4.3) сразу ко всему объему нельзя, поскольку вол-
новое уравнение справедливо только в областях, где 8 непре-
рывна. Затем надо сложить равенства (4.3), полученные при
интегрировании по обеим областям. При этом поверхностный
38
УРАВНЕНИЯ И ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ УСЛОВИЯ
[ГЛ. I
интеграл по обеим сторонам поверхности раздела берется два-
жды. Множитель и в обоих интегралах согласно (4.9а) одина-
ков, множитель du*/dN имеет^ согласно (4.96) противоположный
знак, так как направление нормали с обеих сторон в (4.96)
одно и то же, в (4.3) — противоположное. Поэтому оба инте-
грала компенсируют друг друга, т. е. условия (4.9) обеспечи-
вают отсутствие интегралов по поверхности раздела.
Интегралы по поверхности металла (да = оо или 0) тоже
выпадают. Мнимая часть (4.3) будет содержать объемный ин-
теграл, интеграл по удаленной сфере и интеграл по импе-
дансной поверхности
— ( + Im и += (4.11)
J ' ‘ J oN J ON v z
SR Sw
Сумма энергии, теряемой в области, уходящей на бесконеч-.
ность и уходящей в импедансную поверхность, равна нулю. Со-
гласно (3.22а) второе слагаемое равно I F I2 dQ, где dQ—
элемент телесного угла; неотрицательность этого слагаемого
следует из условия на бесконечности также и при записи этого
условия в форме (3.226). Согласно (4.10) третье слагаемое рав-
но — w" | du)dN fdS. Таким образом, все три слагаемых имеют
Sw
простой энергетический смысл, и все они неотрицательны.
Дальнейшее рассуждение основано на том, что если в поле
есть какие-либо источники потерь, то в этой области поле равно
нулю, а тогда — и эту часть доказательства мы опускаем —
поле равно нулю всюду. Например, если есть уходящие на бес-
конечность волны, то третье слагаемое в (4.11) обратится в
нуль, если только участвующая в (3.22а) функция F тожде-
ственно равна нулю, т. е. поле убывает на бесконечности быст-
рее, чем 1/р. Это следует из (4.11) также и при записи условия
Зоммерфельда в форме (3.226). Можно показать, что столь
быстрое убывание поля на бесконечности возможно лишь, если
и = 0.
Если есть импедансная поверхность, на которой (хотя бы
в части ее) да" < 0, т. е. на ней происходит поглощение, то из
(4.11) следует, что на ней du/dN = 0, а из (4.10)—что на ней
также и и — 0. А тогда — это мы не доказываем — поле всюду
тождественно равно нулю.
Наконец, если в некоторой области е" =£0, то в ней и = 0,
следовательно, и Vu = 0, так что можно провести поверхность,
на которой равно нулю и поле, и его нормальная производная,
и, следовательно, поле равно нулю всюду.
ТЕОРЕМА ЕДИНСТВЕННОСТИ
39
§ 4]
Таким образом, система условий, упомянутых в связи с фор-
мулами (4.9), (4.10), действительно обеспечивает единствен-
ность решения уравнений (1.19). Этот же результат получается,
если заменить условия (3.22) условиями на бесконечности в
виде (3.24), т. е. если сначала принимать k комплексным. При
этом интеграл по Sr будет равен нулю, т. е. не будет участвовать
в (4.11), но при взятии мнимой части от (4.3) в (4.11) войдет
еще одно слагаемое (/г2)" в'| и I2 dV, а равенство его нулю воз-
можно только при и = 0.
Наконец, докажем теорему единственности для уравнений
Максвелла, т. е. покажем, что однородные уравнения Максвелла
(4.5) при условиях: на границах раздела (2.1), на импеданс-
ных поверхностях (2.5), на бесконечности (3.23), на ребрах и
вершинах (3.15), и при наличии в системе каких-либо потерь
энергии имеют только нулевое решение Е1 = 0, Н s 0.
Доказательство основано на (4.7). Участвующие в нем объ-
емные интегралы существуют согласно (3.15). Поверхностные
интегралы по границе раздела двух диэлектриков взаимно ком-
пенсируются, так как в [£ЕГ*] я участвуют только тангенциаль-
ные компоненты полей, которые согласно (2.1) непрерывны, а
нормали N по обе стороны границы направлены в противопо-
ложные стороны. Интегралы по поверхности идеального металла
равны нулю вследствие (2.8). Взяв от (4.7) вещественную часть,
получим (при вещественном k)
— fe$8"|E|W + Re J dS + Re J | EH* |„ dS = 0, (4.12)
где Sw — поверхность с импедансными свойствами (2.5).
Дальнейшие рассуждения тождественны тем, которые были
приведены в скалярном случае по поводу формулы (4.11). До-
казательство опять совершенно элементарно, если во всем объе-
ме в"=# 0. Если диэлектрические потери есть только в части
объема, или если потери происходят на импедансной поверхно-
сти [w = w'iw", w" > 0; см. (2.6)], то существует поверх-
ность, на которой Et = 0, /7/ = 0, а тогда, как можно показать,
во всем объеме Е 0, Н 0.
При уходе энергии на бесконечность доказательство тоже
проводится таким же образом, как в скалярном случае, и таким
же образом оно видоизменяется при записи условия на беско-
нечности в форме принципа предельного поглощения.
4.3. Нарушение теоремы единственности. В замкнутом объе-
ме без потерь, т. е. в закрытом резонаторе с идеально прово-
дящими стенками, в (4.11) и в (4.12) интегралы по Sr отсут-
ствуют, а остальные слагаемые могут быть равны нулю при
40
УРАВНЕНИЯ И ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ УСЛОВИЯ
[ГЛ. 1
и 0, (Е, Н) 0, и это доказательство не может быть прове-
дено. И действительно, однородное волновое уравнение и одно-
родные уравнения Максвелла,, могут иметь ненулевое решение.
При этом, очевидно, неоднородные уравнения будут иметь бо-
лее одного решения, т. е. теорема единственности нарушается.
Вообще говоря, нарушается и теорема существования, точнее —
решение существует не при всяких сторонних токах. В теории
колебаний эта ситуация известна как бесконечный резонанс
в системе без потерь. Она возникает вследствие введения не-
скольких идеализаций, которые оказываются несовместимы-
ми—строгая монохроматичность колебаний, заданная величина
сторонних токов, полное отсутствие потерь. Происходит это в
данной системе тел только на некоторых дискретных частотах
или, при фиксированной частоте, при некоторых значениях па-
раметров системы.
Эти особые сочетания частот и параметров представляют
значительный интерес для теории дифракции именно потому,
что при них существуют решения однородного уравнения, так
называемые собственные колебания. Совокупность этих соб-
ственных колебаний — например, для упомянутых дискретных
частот — при фиксированных параметрах системы образуют си-
стему функций, используемых в одном из методов решения за-
дач дифракции (гл. III). Задача дифракции при этом решается
в обычных условиях, при которых решение существует и един-
ственно (например, при другой частоте), но используются реше-
ния, соответствующие особым условиям, когда теоремы суще-
ствования и единственности нарушены.
Всюду дальше будем полагать, что в системе есть какие-
либо потери или что частота такова, что решение существует
и единственно.
4.4. Неявные способы задания стороннего тока. Сторонние
токи не обязательно задаются в виде явно входящих правых
частей уравнений Максвелла (или волнового уравнения). Пусть,
например, сторонний ток расположен далеко от тела, на кото-
ром происходит дифракция. Тогда условия возбуждения удобно
представить в виде задания волны, падающей на это тело. Су-
ществование такой волны означает, что полное поле не удов-
летворяет условию излучения (3.22). Этому условию удовле-
творяет -только дифрагированное поле, которое получается,
если из полного поля вычесть падающее. В такой ситуации сто-
ронний ток задается неявно, в виде поля, которое надо вычесть
из полного поля, чтобы удовлетворялось условие излучения.
Таким же образом сторонний ток может быть сосредоточен
в вершине или на ребре. Полное поле при этом не удовлетво-
ряет условию интегрируемости (3.15) или (3.16). Сторонний ток
задается тем полем, которое надо вычесть из полного поля
§ fl ТЕОРЕМА ЕДИНСТВЕННОСТИ 41
вблизи ребра или вершины, чтобы оставшееся поле (дифраги-
рованное) этим условиям удовлетворяло.
Условия непрерывности тангенциальных компонент поля на
поверхности раздела двух диэлектриков (2.1) и соответствую-
щие условия (4.9) в скалярной задаче, как мы уже отмечали,
гарантируют отсутствие на этой поверхности скрытых сторон-
них токов. Тем самым создается возможность и поверхностные
токи задавать не явным образом, а в виде значений скачка
тангенциальных компонент Е или Н (или Е и Н) на какой-либо
поверхности. Эта поверхность может и не быть поверхностью
разрыва свойств среды.
Другой класс задач, в которых удобно пользоваться неяв-
ным способом задания токов, возникает, если поле ищется с од-
ной стороны какой-либо поверхности, а источники расположены
с другой. Неявное задание их состоит в том, что на этой гра-
нице— на поверхности области, в которой ищется поле — за-
даются какие-либо граничные значения.
В скалярной задаче на замкнутой границе области может
быть задано значение поля
w|s = O(S), (4.13а)
или значение производной
•М-'т (4.136)
В каждом из этих случаев теорема единственности гарантирует
однозначность решения, так как разностное поле должно на
границе удовлетворять условию «= 0 или du/dN = 0, т. е.
условию, обеспечивающему отсутствие притока энергии в эту
область. Разумеется, однозначность требует выполнения также
и всех остальных условий, обеспечивающих отсутствие других
скрытых токов и существование в поле каких-либо потерь
энергии.
Одновременное задание на всей ограничивающей область
поверхности и w(S), и du/dN делает задачу, вообще говоря, не-
разрешимой, т. е. нарушает условия теоремы существования;
произвольно заданные функции Ф(5) и ЧДЗ) в (4.13) про-
тиворечат друг другу. Действительно, задав одну из них, мы
однозначно задаем поле во всем объеме, а тем самым и вторую
функцию. Можно, разумеется, задать Ф(5) на части поверхно-
сти, а на дополнительной части — функцию 'P'(S).
В векторной задаче на замкнутой границе области может
быть задана тангенциальная компонента Е или тангенциальная
компонента Н. Одновременное их задание также, вообще го-
воря, противоречиво, как одновременное задание и и du/dN.
Явные виды решения описанных в последних четырех абза-
цах граничных задач приведены в § 11.
10
ПРЕДИСЛОВИЕ
Эта книга, разумеется, не содержит ни всех методов (их
было бы трудно не только изложить, но даже просто описать и
в более объемном учебнике), ни bcqx результатов (их, вероятно,
вообще нельзя изложить даже в многотомном курсе). Выбор ма-
териала определяется тем, что именно авторы считали основным.
Цель книги — подготовить читателя к изучению современной
журнальной и монографической литературы, посвященной раз-
личным вопросам теории дифракции или использующей эту тео-
рию. Этой целью и определяется лаконичный стиль изложения.
Предполагается, что общее представление о физическом смысле
уравнений Максвелла и уравнений акустики читатели получили
из учебников по физике.
Книга не содержит задач. Лучшим упражнением для закреп-
ления материала является, вероятно, проведение всех выкладок,
намеченных в тексте. Знаком (*) отмечены места, где рекомен-
дуется проделать пропущенные выкладки.
В списке литературы указаны только монографии. Материал
журнальных статей либо посвящен частным вопросам, либо
быстро стареет, либо концентрируется в новых книгах.
Мы признательны нашим коллегам, исправившим ряд оши-
бок и неточностей в рукописи. Мы не называем их имен, чтобы
не возлагать на них ответственность за неисправленные ошибки.
Однако здесь нельзя не сказать о большой помощи, которую
нам оказала рецензия В. И. Таланова; многие замечания из
этой рецензии мы с благодарностью приняли.
Главы II—IV и VIII написаны Р. Б. Вагановым, главы I,
V—VII Б. 3. Каценеленбаумом.
А вторы
Глава I
УРАВНЕНИЯ И ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ УСЛОВИЯ
В этой главе будем рассматривать различные постановки за-
дач дифракции. Особое внимание уделим тем идеализациям,
которые, как показывает практика, всегда приходится вводить,
чтобы решить какую-либо конкретную задачу. Упомянем неко-
торые дополнительные трудности, которые при этом возникают,
и дополнительные условия, необходимые, чтобы эти трудности
преодолеть.
§ 1, Введение
В этом параграфе напомним лишь о некоторых основных по-
нятиях, используемых во всей книге.
1.1. Комплексные амплитуды. Электромагнитные поля опи-
сываются двумя векторами — электрическим и магнитным, за-
висящими от координат х, у, г и от времени t. Акустическое
поле описывается вектором — переменной составляющей скоро-
сти и скаляром — переменной составляющей давления. Во всей
книге будем рассматривать только так называемые монохрома-
тические поля, т. е. примем, что поля содержат t только в мно-
жителе
cos(®/ + a). (1.1)
Здесь а — циклическая частота колебаний — одинакова для всех
компонент полей и во всех точках пространства, фаза а раз-
лична для различных компонент и зависит от х, у, г.
Для таких колебаний можно исключить t из уравнений, введя
вместо полей их комплексные амплитуды. Электрическое поле
характеризуется комплексной амплитудой Е(х, у, г), магнитное
поле, соответственно, Н (х, у, г). Акустические поля характери-
зуются комплексными амплитудами скорости v(x,y.z) и дав-
ления p(x,y,z). После нахождения комплексной амплитуды
поле может быть получено по простой формуле, являющейся
определением комплексной амплитуды. Например, электриче-
ское поле равно
Re[E(x, у, z)e'mtJ.
(1.2)
12
УРАВНЕНИЯ И ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ УСЛОВИЯ
[ГЛ. I
1.2. Комплексные диэлектрическая и магнитная проницаемо-
сти. В электродинамике среды, которые мы будем рассматривать,
описываются двумя скалярными параметрами — диэлектриче-
ской проницаемостью е и магнитной проницаемостью ц. Этим
исключаются из рассмотрения два класса сред — анизотропные
тела и тела с пространственной дисперсией. В первых е и ц —
тензоры. Во вторых такие локальные характеристики, вообще
говоря, не существуют, они могут быть введены только для пло-
ских волн и зависят от направления этих волн.
Вообще говоря, для полей с произвольной зависимостью от
времени не существует характеристик среды, которые играли
бы роль проницаемостей. Для полей специального типа, моно-
хроматических, которые мы только и рассматриваем, величины
е и ц могут быть введены, и они зависят в общем случае от
частоты.
В однородных средах е и р не зависят от координат. Мы
пользуемся гауссовой системой единиц, так что в вакууме в = 1,
И = 1. В неоднородных средах е = е(х, у, z), ц = ц(х, у, г).
Обычно неоднородность состоит в том, что в пространстве не-
постоянно либо 8, либо Ц.
Введя комплексные амплитуды, можно среды с потерями
характеризовать комплексными 8 и ц:
8 = в' + *8/z, Ц = н' + ill".
(1.3)
Величины е", ц" описывают следующее свойство среды: элек-
тромагнитные поля в ней испытывают потери, пропорциональ-
ные квадрату электрического или магнитного полей соответ-
ственно. В таких средах б" < 0 или ц" <0. В средах без по-
терь б" — 0, ц" = 0.
В акустике изотропная среда также характеризуется двумя
скалярными параметрами — скоростью звука в среде с и плот-
ностью р. В общем случае сир — функции координат.
1.3. Квадратичные величины. При вычислении нелинейных ве-
личин нельзя, вообще говоря, пользоваться комплексными ам-
плитудами, надо переходить к физическим полям по формуле
(1.2). Однако наиболее интересные нелинейные характеристики
поля — средние по периоду — можно вычислить непосредственно
по комплексным амплитудам.
Средний за период поток мощности через единицу площади
(мы будем называть его, по традиции, потоком энергии), т. е.
средний поток вектора Пойнтинга, равен
S = ^Re[E/F],
(1.4)
§ 1] ВВЕДЕНИЕ 13
где * — знак комплексного сопряжения. Средние плотности
электрической и магнитной энергии в вакууме равны
-rarl-BP. (L5a)
Здесь | | —знак модуля комплексного вектора, который опре-
делен таким образом: если комплексный вектор Е разложен по
ортам, Е = 1ЕХ + ]'ЕУ + kEz, где Ех, Е„, Ег — комплексные ска-
лярные функции, то |Е|2 = |Е.|2 + \ЕУ |2 + |£г|2.
Средние потери энергии (плотность потерь) равны соответ-
ственно
-^"lEI2, —£-ц"|ЯР. (1.56)
Вообще, среднее за период значение произведения двух лю-
бых физических величин, зависящих от t по закону (1.1), вы-
ражается через их комплексные амплитуды по формуле (*)
’/2Ке(ЛВ*). (1.6)
1,4. Уравнения электродинамики и акустики. Уравнения
Максвелла представляют собой систему двух векторных (т. е.
шести скалярных) дифференциальных уравнений первого по-
рядка
a) rot Я— ik&E*= — j,
с (1.7)
б) rot Е + ik]iH = О
для шести комплексных компонент векторов Е и Н. Здесь с —
скорость света в пустоте, а величина k = <о/с, имеющая раз-
мерность см-1 — так называемое волновое число. Мы всюду бу-
дем характеризовать частоту буквой k. Вектор j — плотность
сторонних токов. В задачах дифракции / — заданная функция
координат.
Акустические поля о, р удовлетворяют одному векторному и
одному скалярному уравнению первого порядка:
a) grad р + /сори = F,
т. е. четырем скалярным уравнениям для четырех скалярных
функций — трех компонент вектора скорости v и давления р.
Здесь F— заданная внешняя сила, имеющая тот же смысл,
что у в (1.7).
В акустической волне средний поток мощности, т. е. среднее
произведение давления на скорость, выражается через комплекс-
ные амплитуды р и v по формуле-'/aRefpu*) . Если в области,
14 УРАВНЕНИЯ И ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ УСЛОВИЯ (ГЛ. 1 1
где нет источников ир = const, выразить v через р (р ~ grad р), 1
то с точностью до несущественных множителей поток энергии |
будет ‘ I
ImfpVp*). (1.9) 1
источниками (т. е. величинами,
1.5. Токи поляризации. Если в (1.7) во всем пространстве
8 = 1, ц = 1, то эти уравнения описывают поле, создаваемое
стоящими в (1.7) справа) в ва-
кууме. Иногда удобен спо-
соб рассуждения, основан-
ный на представлении об-
щих уравнений (1.7) в ана-
логичной форме:
a) rot Н — ikE =
б) rot 2? + ikH = O. (1.10)
Для простоты принято, что
во всем пространстве р. = 1.
Так как слева в (1.10) нет
множителя в, то эти уравне-
ния можно трактовать та-
ким образом: поле создано
источниками двух типов —
сторонними токами / и инду-
цированной поляризацией
S> ' /инд = 4^-(8-1)Е, (1.11)
Рис. 1.1. Дифракция как экранировка
телом (а) и как возникновение нндуци- причем — И ЭТО соображе-
рованного тока (б). ние является в приведенном
рассуждении основным —
все источники излучают в вакууме. Разумеется, переход от (1.7)
к (1.10) не решает задачу определения Е и Н, ибо в (1.10)
участвуют неизвестные источники, однако в некоторых слу-
чаях — например, при использовании аппарата интегральных
уравнений — удобнее начинать не с (1.7), а с (1.10).
Различие в подходах к явлениям дифракции, основанных на
(1.7) и на (1.10), можно проиллюстрировать рис. 1.1. Пусть
в пространство, в котором е = 1, ц = 1 и где задан сторонний
ток /, вводится тело V, в котором 8 =#= 1. Изменение поля в ка-
кой-либо точке л, согласно (1.7), описывается как изменение
условий, в которых поле передается от тока в эту точку (так
как в некоторой области изменилось е), т. е. как некую экра-
нировку. По (1.10) полное поле есть результат интерференции
ВВЕДЕНИЕ
15
5П
первоначального поля и некоторого вторичного поля, возник-
шего при внесении тела. Первое создается сторонним током,
второе — индуцированным током (1.10). Существенно, что оба
поля — первоначальное и вторичное — создаются своими токами
в вакууме.
Далее мы часто будем производить разбиение всего поля
на два слагаемых: на поле заданных токов в вакууме (будем
называть это поле падающим) и на поле индуцированных токов
в вакууме (это поле будем называть дифракционным).
1.6. Волновые уравнения. В областях пространства, где в
и [1 не зависят от координат, уравнения Максвелла (1.7) часто
удобно привести к одному уравнению второго порядка, так на-
зываемому волновому уравнению. Его можно писать либо для
Е, либо для Н, либо для каким-либо образом введенной вспомо-
гательной функции (потенциала), из которой Е и Н находят
затем дифференцированием.
В однородной среде, свободной от токов (/ = 0), поля Е и Н
удовлетворяют волновым уравнениям (*)
а) Д£ + Ь2гцЕ = 0, б) ДЯ4-£2врЯ = 0. (1.12)
В этих формулах лапласиан Д действует на вектор. Применен-
ный к любому вектору М, он определен формулой
ДМ —grad div М — rot rot М. (1.13)
Декартовы компоненты вектора ДМ, согласно этому опреде-
лению, равны, как легко проверить, результату применения ла-
пласиана к соответствующей декартовой компоненте вектора (*)
(ДМ)3 = Д(М3). (1.14)
Для недекартовых компонент простая формула (1.14) неспра-
ведлива, ДМ надо вычислять по (1.13).
В декартовых координатах лапласиан (в применении к ска-
лярной функции) равен
. д2и . д2и . д2и
Лы — дх2 + dj/2" + dz2 • (1.15)
Выражение Д в других координатах будет приведено при ре-
шении соответствующих задач дифракции.
Уравнения (1.12) получены из (1.7), но не эквивалентны им.
Из (1.7) следует также (в однородной среде и при отсутствии
токов), что
a) div Е = 0, б) div Н = 0. (1.16)
Эти уравнения не следуют из (1.12). Совокупность уравнений
(1.12) и (1.16) тоже не эквивалентна (1.7) например, она до-
пускает решение Я = 0, не удовлетворяющее (1.7). Связь
16
УРАВНЕНИЯ И ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ УСЛОВИЯ
[ГЛ. I
полей Е и Н содержится только в (1.7). Поэтому, решив, напри-
мер, (1.12а), следует решение подчинить еще условию (1.16а),
а Н найти из (1.76). Уравнение (1.126) будет при этом удов-
летворяться автоматически (*).
В точках пространства, где есть токи, волновые уравнения
для полей содержали бы производные от токов. Проще иногда
вводить потенциалы, которые удовлетворяют волновым уравне-
ниям, содержащим, как и уравнения Максвелла, сами токи, а не
производные от них, а затем поля находить дифференцирова-
нием потенциалов. Одним из таких потенциалов является элек-
трический вектор Герца П, пропорциональный векторному по-
тенциалу. Поля выражаются через него по формулам
Е = £2ецП + grad div П, H — ikaroi П, (1.17)
а сам он удовлетворяет простому волновому уравнению
ДП + ^28цП=/^-/. (1.18)
Прямая проверка показывает, что если выполняется (1.18), то
(при е — const, р. = const) поля (1.17) удовлетворяют уравне-
ниям (1.7) (*), так что при использовании (1.18) не нужно тре-
бовать, чтобы поля удовлетворяли еще каким-либо уравнениям.
Таким образом в теорию электромагнитного, т. е. вектор-
ного, поля вводится волновое уравнение (с правой частью) для
декартовых компонент, т. е. скалярных функций, которое запи-
шем в виде
Дн + й28М = /, (1.19)
где и — любая декартова компонента вектора Герца, Е или Н.
Это уравнение справедливо в тех областях пространства, где в
не зависит от координат и где ц 1. Однако иногда мы будем
рассматривать (1.19) в предположении, что в = е (х, у, г). Во-
первых, это уравнение в некоторых двумерных задачах спра-
ведливо и при 8 =/= const. Во-вторых, оно описывает распростра-
нение акустических волн в среде с постоянной плотностью.
Главная же причина, делающая целесообразным анализ реше-
ний уравнения (1.19) также и при переменном 8, состоит в том,
что оно описывает те качественные особенности распространения
электромагнитных волн, которые не связаны с векторной при-
родой поля. Иными словами, если при изучении дифракции
электромагнитных волн на теле, т. е. на каком-то заданном рас?
пределении е в пространстве, не интересоваться изменением со-
отношения между различными компонентами поля, то многие
качественные свойства дифрагированного поля и особенности
различных методов его вычисления можно извлечь цз скаляр-
ного уравнения (1.19),
5 1Т ВВЕДЕНИЕ 17
Используем, например, (1.19) для того чтобы проверить
утверждение, что величина (1.9) может рассматриваться как
среднее значение потока энергии в скалярной задаче. Преобра-
зовывая дивергенцию этого вектора с использованием (1.19),
получим (*)
divIm(uVu*) = -A28"|u|2 —1т(«7). (1.20)
В среде без потерь (е" = 0) в области, свободной от источни-
ков (/ = 0), дивергенция этого вектора равна нулю. Поэтому
поток его через любую замкнутую поверхность равен нулю.
Если f =/= 0, то поток его одинаков для любых замкнутых по-
верхностей, содержащих данные источники. Как известно, век-
тор (1.4) обладает этими же свойствами— это легко доказать,
используя (1.7) (*). При применении так называемых энергети-
ческих соображений к решению конкретных задач дифракции
используют именно эти два свойства векторов (1.4) или (1.9)
(см., например, ниже п. 3.2).
1.7. Плоские волны. Проиллюстрируем применение комплекс-
ных амплитуд для описания физических свойств поля на при-
мере простейшего решения уравнений Максвелла — плоской
волны в однородной безграничной среде. Поле
£ж = е-^, Я„ = -1-е-^, Ев—Ег = Нх —Нг = 0, (1.21)
где показатель преломления п и волновое сопротивление w
равны ____
a) n = Velx> б) w = л/ц/е, (1.22)
представляет собой волну, идущую в направлении оси г, так как
зависимость от z и t величины (1.2) будет даваться множите-
лем cos(o»f — nkz). Поле обратного направления будет иметь
другой знак в экспоненте и другой знак в формуле для Нв.
Сумма прямой и обратной волн образует стоячую волну.
В ней зависимость от координат будет даваться вещественной
функцией cos nkz или sin nkz, и при образовании физических
величин по (1.2) этот множитель выйдет за знак Re.
Существует еще одно решение:
Е„ = е-^, Ях = _2.е-^, Ех = Ег —Н в —Н г = 0, (1.23)
— плоская волна того же, что и (1.21), направления, также
линейно поляризованная, но с другим направлением поляриза-
ции. Любая линейная комбинация полей (1.21), (1.23) есть тоже
плоская волна: ее поляризация определяется отношением коэф-
фициентов этой комбинации. Если они вещественны, то эта
комбинация — тоже линейно поляризованная волна. Если и#
18
УРАВНЕНИЯ И ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ УСЛОВИЯ
(ГЛ. I
отношение равно i или —I, то она представляет собой плоскую
волну круговой поляризации. В более общем случае наложение
обоих решений (1.21), (1.23) образует волну эллиптической по-
ляризации. Все эти утверждения легко проверить образованием
физических величин по (1.2) (*).
Плоская волна, направление распространения которой об-
разует с осями координат углы а, (3, у, описывается множителем
ехр {— ikn(x cos а + у cos р z cos у)}. (1.24)
При cos2 а cos2 р + cos2 у — 1 (1.24) удовлетворяет волновому
уравнению. Заметим, что это утверждение справедливо также и
в том случае, если, например, cos2 а > 1. При этом углы теряют
свой простой геометрический смысл, становятся некоторыми
комплексными величинами. Такие решения — так называемые
неоднородные плоские волны — возникают при исследовании
полного внутреннего отражения и в некоторых более сложных
задачах.
Для того чтобы установить возможные соотношения между
компонентами Е и Н, аналогичные (1.21), (1.23), надо исполь-
зовать еще и уравнения (1.7). Очевидно, однако, что соотноше-
ние между амплитудами полей, следующее . из (1.21), (1.23):
V^|£|= д/]Г|Я|, (1.25)
справедливо при любом расположении осей координат относи-
тельно направления волны, т. е. для любой плоской волны.
§ 2. Граница раздела (особые поверхности поля)
В теории дифракции, как и в любой другой физической тео-
рии, принят ряд идеализаций, т. е. рассматриваются некоторые
математические модели, облегчающие анализ реальных объек-
тов. Решения идеализированных задач близки к решениям ре-
альных. Мы уже начали с такой идеализации — с представления
о монохроматических колебаниях (1.1). Решение задач в идеа-
лизированной постановке легче, чем при учете соответствующих
точных (более точных) условий. В идеализированных задачах
часто удается применить какие-либо вспомогательные приемы.
Однако введение в теорию идеализированных объектов приво-
дит и к некоторым усложнениям — кроме уравнений Максвелла
или соответствующих уравнений акустики искомые решения
надо подчинять еще и дополнительным условиям. Иначе ока-
зываются возможными решения, не близкие к решениям не-
идеализированных задач.
Примером такой идеализации является понятие о скачко-
образном изменении свойств среды, т. е. о границе раздела,
которое мы рассмотрим в этом параграфе. В следующем пара-
§ 2] ГРАНИЦА РАЗДЕЛА (ОСОБЫЕ ПОВЕРХНОСТИ ПОЛЯ) 19
графе будут даны дополнительные условия, которые необходимо
ввести в формулировку задачи дифракции при использовании
других идеализаций.
2.1. Граница раздела диэлектриков. Во всех точках про-
странства, в которых виц непрерывны, поля Е и Н тоже не-
прерывны— это следует из уравнений Максвелла (1.7). По-
верхность, на которой е и ц. терпят разрыв, можно рассматри-
вать как предельный образ тонкого слоя, в котором градиенты
е и и очень велики. На этой поверхности Е и Н не удовлетво-
ряют уравнениям Максвелла и, вообще говоря, будут терпеть
разрыв. Условия для тангенциальных и для нормальных ком-
понент Е и Н на границе раздела диэлектриков оказываются
различными. Условия эти получаем из рассмотрения тех связей
между компонентами по обе стороны тонкого слоя, которые
слабо меняются при предельном переходе от тонкого слоя к
границе раздела. Утверждение о существовании таких условий
означает, что предельная форма этих связей не зависит от того,
как именно совершается этот предельный переход.
Как известно, тангенциальные к поверхности раздела ком-
поненты Е и Н удовлетворяют условиям
a) £(<1)-£$2)|s==0, б) HP — М2)|з = 0. (2.1)
Индексы 1 и 2 в (2.1) относятся к двум сторонам поверхности
раздела. В (2.1) содержатся четыре скалярных условия — для
двух тангенциальных компонент Е и для двух тангенциальных
компонент Н.
Нормальные компоненты Е и Н по обе стороны границы раз-
дела, вообще говоря, различны, точнее, непрерывны произве-
дения &En и iiHn:
а) - 8(W |s = 0, б) p(1 W - ц(2)Я^ [s = 0- (2-2)
Например, если при переходе через границу раздела изменяется
только 8, а у. непрерывна, то из шести компонент полей Е и Н
пять компонент непрерывны, а разрыв испытывает только Еу.
Формулы (2.2) не независимы от (2.1) и не ставят допол-
нительных условий. Если по обе стороны S поля удовлетворяют
уравнениям Максвелла с соответствующими значениями 8 и ц,
а на S выполняются (2.1), то на S выполняются и (2.2). Таким
образом, при решении задач о дифракции на диэлектрическом
теле, т. е. на некотором объеме, ограниченном поверхностью S,
внутри которого 8 = const =/= 1, а вне 8 = 1, надо удовлетворить
уравнениям (1-7) для внешнего и внутреннего полей и усло-
виям (2.1) на S.
Автоматическое выполнение (2.2) при этом непосредственно
следует из (1.7). Например, написав (1.76) для нормальной
20
УРАВНЕНИЯ И ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ УСЛОВИЯ
[ГЛ. I
к S компоненты, получим для выражение, содержащее
только тангенциальные к S производные от Et, и так как (2.1а)
выполняется во всех точках S, то* с обеих сторон равны друг
другу не только Et, но и эти производные, откуда и следует
(2.26). Точно так же из (2.16) и (1.7а) легко получить (2.2а) (*).
Равенство нулю левой части уравнения (2.16) означает, что
на границе диэлектрика S не существует сторонних поверхност-
ных токов, т. е. токов, сосредоточенных в бесконечно тонком
слое на некоторой поверхности с конечной поверхностной плот-
ностью. Действительно, если бы такие токи существовали, то,
как известно, из (1.7) следует, что при переходе через такую
поверхность тангенциальная к ней компонента Ht испытывала
бы скачок, пропорциональный этой поверхностной плотности,
что противоречит (2.16). Возможна аналогичная трактовка и
условий (2.1а) как условия отсутствия поверхностных магнит-
ных токов [см. (11.22)].
Введение поверхности, на которой не выполняются уравне-
ния Максвелла, потребовало установления некоторого условия,
означающего, что на ней нет «скрытых» сторонних токов. По-
добные условия, дополнительные к уравнениям Максвелла, не-
обходимо вводить при переходе к любым идеализациям, если
при этом в каких-либо точках пространства уравнения Максвел-
ла становятся неприменимыми. Только после их введения за-
дача дифракции полностью сформулирована. Эти условия полу-
чаются из рассмотрения тех предельных переходов, результатом
которых является появление идеализированных моделей.
2.2. Поверхность хорошего проводника. Частным случаем
диэлектрического тела является хороший проводник — тело, в
котором —е." 1. Электромагнитное поле проникает в такой
проводник на расстояние порядка глубины скин-слоя
d = — (k Im VeiO *' (2.3)
На глубине 2nd, равной длине волны в проводнике, поле уже
практически отсутствует. Оно убывает при удалении от границы
внутрь тела по экспоненциальному закону — локальному, т. е.
не зависящему от структуры внешнего поля или от кривизны
поверхности:
£(z) = E(0)e-<1+i>z/‘i, Я (г) = Я(0)е-(1+г>г/4. (2.4)
Здесь г — ось местной системы координат — направлена в ме-
талл, z — 0 соответствует поверхности тела; для простоты за-
писи принято, что —в" s', ц" — 0. Для металла, как известно,
в" == — 4ло/со, где ст — проводимость, так что
в за
ГРАНИЦА РАЗДЕЛА (ОСОБЫЕ ПОВЕРХНОСТИ ПОЛЯ)
21
На границе хорошего проводника тангенциальные компонен-
ты Е и Н, согласно граничному условию Леонтовича, пропор-
циональны друг другу:
Ех ~ wHy, Еу — — wHx (2.5)
с коэффициентом пропорциональности — импедансом w (1.226),
не зависящим от структуры внешнего поля и полностью опре-
деляемым свойствами проводника. Импеданс имеет порядок от-
ношения толщины скин-слоя к длине волны:
w = it-kd. (2.6)
Индуцированный ток поляризации (1.11) сосредоточен в
скин-слое. Подставляя в (1.11) выражения (2.4) и (2.5), полу-
чим для /инд выражение через тангенциальную компоненту маг-
нитного поля на поверхности Например, для х-й компо-
ненты объемной плотности тока получаем формулу
/Гд (г) = Ну (0) г/< (2.7)
Эта формула понадобится в следующем пункте.
2.3. Поверхность идеального проводника. Формулы (2.5) и
(2.7) удобны для рассмотрения еще одной идеализации — иде-
ального проводника, рассматриваемого как диэлектрик, в кото-
ром —е"->оо. Условия на границе металла можно получить,
перейдя к пределу в формулах предыдущего пункта.
Поле внутрь металла не проникает, равно нулю, и поэтому,
согласно (2.1а), на границе идеального проводника должно вы-
полняться
£Js = 0. (2.8)
Эта формула, как в (2.1а), содержит два условия — обе тан-
генциальные компоненты электрического поля на границе ме-
талла равны нулю.
Далее, из (2.8) следует, что нормальная к поверхности ком-
понента магнитного поля равна нулю:
Яаг15 = 0. (2.9)
Это равенство так же, как и (2.2), не ставит дополнительных
условий для поля. Оно автоматически выполняется, если поля
вне S удовлетворяют уравнениям Максвелла, а на S — условиям
(2.8), и это доказывается таким же рассуждением, какое было
применено к (2.2) (*).
Тангенциальная компонента магнитного поля Ht, вообще го-
воря, отлична от нуля; она может быть вычислена после того,
как задача дифракции на данной металлической поверхности
22
УРАВНЕНИЯ И ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ УСЛОВИЯ
[ГЛ. I
(2.10)
решена. Отлична от нуля и компонента EN на S; она пропор-
циональна, согласно (1.7а), поверхностному ротору Ht, так что
если ось z направлена в металл, то
р (дН* дНУ
ik \ ду дх
Таким образом, второй предельный переход —е"оо приво-
дит к тому, что нарушено условие (2.16), выполнявшееся при
первом предельном переходе. На поверхности идеального про-
водника тангенциальная компонента магнитного поля испыты-
вает скачок. Причина этого состоит в том, что при переходе
к идеальному проводнику толщина скин-слоя d-*-0 й одновре-
менно объемная плотность индуцированного тока (2.7), содер-
жащая множитель (в")1/2, становится бесконечной. Появляется
поверхностный ток, т. е. ток с конечной ненулевой поверхност-
ной плотностью. Он разделяет внутренние точки, в которых
Я = 0, от наружных, в которых Я =/= 0. Точнее, при —е" -> оо
d стремится к нулю как 1/V) е |, /инд (2.7) растет как V| в j, так
что согласно (2.3)
|/5ид(г)|~|яИО)|4-е‘г/й
По определению, поверхностная плотность /инд равна току, про-
текающему через все сечение скин-слоя:
(2.11)
iT*{z)dZ.
о
которых справедливо (2.11), этот ин-
частности, при d -> 0 7ННД остается ко-
(2.12)
При столь малых d, при
теграл не зависит от d. В
нечной величиной, хотя /инд->оо;
^“’ = --£^(0)- /Г = ^-^(0).
(2.13)
Полученное следствие применения теории скин-слоя к иде-
альному металлу является основным результатом рассуждения
этого пункта. Разумеется, (2.13) представляет собой не гранич-
ное условие для Н, а выражение, позволяющее вычислить /иид
по найденному из решения задачи дифракции полю Н.
Формулу (2.1-3) можно также получить, минуя результаты
предыдущего пункта и рассматривая сразу обе идеализации —
переход к границе раздела и к идеальному проводнику. Фор-
мулы (1.10) означают, что поле создается как сторонними то-
ками /, так и индуцированными токами, которые становятся при
этом поверхностными. Поля этих токов, интерферируя, гасят
друг друга внутри тела.
s д ГРАНИЦА РАЗДЕЛА (ОСОБЫЕ ПОВЕРХНОСТИ ПОЛЯ) 23
Из (1.10а) следует, что при переходе через такую поверх-
ность Ht испытывает скачок, пропорциональный /инд; об этом
следствии из уравнений Максвелла мы уже упоминали в п. 2.1.
Условия (2.8) накладывают на поле значительно более силь-
ное ограничение, чем похожее на него условие (2.1а). Как бу-
дет показано в § 4, условие (2.8) полностью характеризует по-
верхность, а условие (2.1а) должно быть еще дополнено усло-
вием (2.16).
2.4. Тела с границами раздела как частный случай непрерыв-
ных сред. Если какое-либо свойство поля удается доказать для
непрерывного распределения е(х, у, г) и ц(х, у, г) и это доказа-
тельство не требует конечности е, р или градиентов s и ц, то
результат справедлив и для кусочно-постоянных или бесконеч-
ных 8, т. е. для диэлектрических или металлических тел.
В качестве простого примера, иллюстрирующего это положе-
ние, рассмотрим дифракцию на телах с цилиндрической сим-
метрией при симметричном возбуждении. Пусть относительно
некоторой цилиндрической системы координат г, q>, z функции
e(r, z) и ц.(г, г) не зависят от угла ср, и, кроме того, сторонние
токи содержат только z-ю компоненту и тоже не зависят от
угла, / = jz(r, z). В этом случае поле содержит только три ком-
поненты ЯФ, Ег, Ег, а три другие компоненты Ev, Нг, Нг равны
нулю(*). Этот результат легко показать, записав (1.7) в ци-
линдрической Системе координат. Уравнения для второй тройки
компонент окажутся независимыми от уравнений для первой
тройки и не будут содержать правых частей. Если не считать
случаев, которые будут оговорены в п. 4.3, такие уравнения
имеют только нулевые решения, что и доказывает наше утвер-
ждение. При доказательстве соображения о непрерывности и
конечности 8 и ц не использовались; в процессе соответствую-
щих предельных переходов новые компоненты полей не возни-
кают, поэтому наше утверждение справедливо и для диэлек-
трических, и для металлических поверхностей, лишь бы все
поверхности диэлектриков и металла были телами вращения.
Достоинство такого метода доказательства состоит в том, что
он не требует проверки также и граничных условий.
Заметим, что в этом примере поле выражается через одну
скалярную функцию, удовлетворяющую волновому уравнению
(1.19), где г и н зависят от координат г, z. Действительно, пря-
мая проверка показывает, что если принять
Пг = ц(г, <р), Пг = 0, Пф = 0, (2.14)
и выражать Н и Е через П по формулам (1.17), то уравнения
Максвелла будут выполняться, если и удовлетворяет (1.19) (*).
Напомним, что в общем случае трехмерной электродинамиче-
ской задачи либо двумерной задачи, в которой поле зависит от
УРАВНЕНИЯ И ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ УСЛОВИЯ [ГЛ. I
24
угла, (1.17) и (1.18) справедливы только в областях простран*
ства, в которых е и р не зависят от координат, а при е =
= e.(x,y,z) волновое уравнение сложнее, чем (1.19).
2.5. Граничные условия*в акустике. На поверхности, на кото*
рой терпят разрыв функции р или с, уравнения акустики (1.8)
неприменимы. Предельным переходом от тонкого слоя с боль-
шими градиентами риск поверхности раздела получаем гра-
ничные условия, связывающие их значения по разные стороны
поверхности раздела:
p(i)_p(2)|s = 0, vU)_0(2)|s==o. (2.15)
В акустике удобно рассматривать две идеализированные
среды, в которые акустическое колебание не проникает и в ко-
торых р — 0, и = 0. Существуют реальные среды, свойства ко-
торых близки к свойствам таких идеализированных сред. Абсо-
лютно мягким называют тело, в котором рс = 0. На поверх-
ности такого тела
pls = 0. (2.16а)
Абсолютно жестким называют тело, в котором рс = оо. На его
поверхности
»н1з = 0. (2.166)
Граничные условия (2.15) и (2.16) аналогичны граничным усло-
виям (2.1) и (2.8) электродинамики.
Если скорость с мала и в теле есть большие потери, точнее,
если 1т(й)/с) велико, то вблизи его поверхности поле имеет
структуру уходящей плоской волны, независимо от структуры
поля снаружи. При этом условии величины р и vN на поверхно-
сти приближенно удовлетворяют условию (.V направлено в тело)
р = рсп^, (2.17)
аналогичному условию Леонтовича (2.5) на границе провод-
ника, в котором велико Im • При | рс |->0 это условие пе-
реходит в (2.16а). Если |рс|-»-со при сохранении требования
малости |?|, то (2.17) переходите (2.166).
Этому условию можно придать вид граничного условия
третьего рода для р, если с внешней стороны выразить v че-
рез р, vN ~ dp/dN-.
p + w^- = Q. (2.18)
Коэффициент w (импеданс) зависит от соотношения парамет-
ров тела и наружной среды. Поверхность, на которой выпол-
няется (2.18), будем называть импедансной. При w — оо и w = 0
условие (2.18) принимает вид dp/dN = 0 и р = 0, что тожде-
ственно соответственно (2.166) и (2.16а).
§ 3] . ОСОБЫЕ ТОЧКИ ПОЛЯ 25
Вообще говоря, w комплексно, w = w' 4- iw". Если w" = 0,
то энергия в поверхность не уходит. Поток энергии на единицу
поверхности, т. е. Im (р dp*/dN), равен —w" ] dp/dN |г, и всегда
w"^0.
§ 3. Особые точки поля
В этом параграфе мы продолжим описание идеализирован-
ных моделей, вводимых в теорию дифракции, и нахождение тех
дополнительных условий, которые при этом приходится ставить.
Начнем с представления о таких особых точках поля, в которых
поля могут обращаться в бесконечность. В конце параграфа бу-
дут рассмотрены условия, возникающие при введении понятия
о бесконечно удаленных точках поля.
3.1. Точечный источник. Линейный источник. Пусть размеры
источника малы по сравнению со всеми размерами, участвую-
щими в задаче, и, в частности, с-длиной волны %==2n/k. Удоб-
ной идеализацией является представление о точечном источнике.
По определению объем, им занимаемый, бесконечно мал, объ-
емная плотность / бесконечно велика, а произведение объема и
плотности тока конечно. Эти условия выполняются, если при-
нять, что / пропорционален 6-функции:
a) j(x, у, z) = a63(p), (3
б) Jd3(p)dy=l, dV = 4np2dp,
где а — единичный вектор; р — радиус-вектор сферической си-
стемы координат (р, 0, ф), в центре которой расположен источ-
ник. Ток (3.1) называется элементарным электрическим duno-
лем. Мы снабдили 6-функцию (3.16) индексом «3», имея в виду,
что далее мы будем применять 6-функцию и для двумерных
(6г), и одномерных (61) уравнений.
Поле, создаваемое током (3.1), имеет особенность — обра-
щается в бесконечность при р -* 0. Точнее, три отличные от нуля
компоненты при kp <С 1 имеют вид
^ф^ 2Р2С sin9> 2kp3c s*n 9’ ^5y2cos0. (3.2)
Далее, введем еще и другие особые точки, в которых поля
тоже будут обращаться в бесконечность, и нам надо найти
какое-либо свойство, характеризующее именно поле точечного
источника. Таким свойством мог бы быть закон обращения в
бесконечность (3.2). Однако достаточно, как увидим ниже, бо-
лее простого свойства — плотность энергии (1.5) неинтегри-
руема:
$ | Е f dV = оо, $ | Н р dV = оо. (3.3)
26 УРАВНЕНИЯ И ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ УСЛОВИЯ (ГЛ. I
Это свойство непосредственно следует из (3.2), ибо dV ~ р2 dp,
и подынтегральные функции в (З.З).имеют при р->0 неинтегри-
руемые особенности. Оно не нарушается при внесении в поле
каких-либо тел.
В скалярных задачах будем исследовать не систему урав-
нений акустики, а более простое волновое уравнение (1.19). Ска-
лярным аналогом элементарного диполя будет точечный источ-
ник, для которого
/ = б3(Р). (3.4)
Решение скалярного волнового уравнения с правой частью (3.4)
проще, чем решение уравнений Максвелла с током (3.1); это
решение есть сферическая волна
Скорость возрастания поля при р->0 значительно меньше, чем
в электродинамике (3.2). Однако и здесь плотность энергии не-
интегрируема:
| Vu МИ = (3.6)
ибо | Vu |2 имеет особенность р-4.
Если источник имеет конечную или большую длину, а в двух
других измерениях его размеры малы, то для его описания
удобно вводить понятие линейного тока. Для простейшего слу-
чая прямой бесконечной нити плотность тока следует задавать
в виде
/г = Й2(г), Js2(r)dS==l, (3.7)
где г — радиус-вектор цилиндрической системы координат г, <р, г;
dS — 2лг dr. Поле такого тока содержит две компоненты:
£г = - (kr), я<2) (*г). (3.8)
Обе они обращаются в бесконечность при г->0. Задача о поле
прямого линейного тока двумерная. Для этого поля тоже имеет
место свойство (3.3) — неинтегрируемость плотности энергии
(| Е I2 +1 Н р) dS, ибо | Я I2 ~ 1/г2, a dS ~ г dr. Это свойство
сохраняется и в присутствии других тел, а также для непря-
молинейного линейного тока.
Наконец, таким же образом можно ввести понятие линей-
ного источника и в скалярной задаче. Если этот источник —
прямая линия, так что вся задача двумерная, то / = 62(г) и
решение есть цилиндрическая волна
u = ~H{?(kr).
(3.9)
$3] .
ОСОБЫЕ ТОЧКИ ПОЛЯ
27
Для него тоже выполняется условие (3.6) — неинтегрируемость
плотности энергии, так как интеграл ^iVupdS расходится (*).
3.2. Поток энергии из источника. В этом параграфе суще-
ственную роль будет играть понятие потока энергии из источ-
ника. Вычисление потока представляет и самостоятельный ин-
терес. В электродинамике этот поток есть интеграл от среднего
по периоду значения вектора Пойнтинга, взятый по любой по-
верхности, окружающей ток.
Для диполя (3.1), расположенного в вакууме, этот поток ра-
вен (*)
Г ka
\sNdS = ^. (3.10)
Если его вычислять, взяв в качестве поверхности малую сферу,
то пользоваться приближением (3.2) нельзя. Старшие члены в
разложении и £е находятся в квадратуре и не дают вклада
в поток энергии. Отличное от нуля слагаемое в Re[£ff*] имеет
порядок 1/р2. Проще вычислять интеграл в (3.10) интегрирова-
нием по большой сфере, в волновой зоне, где Eq ~ ехр(—ikp)/p,
H<f ~ exp (—ikp) /р.
Для скалярной задачи роль вектора Пойнтинга играет
Im(uVu*) (1.9). Поток этой величины через любую поверхность,
содержащую все источники, не зависит от поверхности и равен
согласно (1.20) Im§ u*fdV, где интеграл взят по всем источни-
кам. Для элементарного источника, как легко получить из
(3-5) (•),
(3.11)
Для двумерной задачи надо вычислять поток на единицу
длины, т. е. поток через любую замкнутую кривую на плоскости,
перпендикулярной к току и окружающей ток. Для электромаг-
нитного и скалярного полей будет соответственно (*)
a) $S„dS=^g-, б) = (3.12)
Поток|энергии от диполя или линейного тока изменится при
помещении в его поле какого-либо тела. Это изменение потока,
как мы сейчас покажем, выражается через значение дифрак-
ционного поля в точке, в которой расположен диполь. Проведем
соответствующую выкладку — она проиллюстрирует ту простоту
вычислений, которая достигается введением этой идеализации,
позволяющей использовать 6-функцию.
Определим, уточняя пункт (1.5), понятие дифракционного
поля, которым будем широко пользоваться дальше. Назовем его
28 УРАВНЕНИЯ И ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ УСЛОВИЯ ГГЛ. I
в, Л в векторной задаче и v в скалярной. Пусть Е®, Н® (и соот-
ветственно и°) есть поле, созданное теми же сторонними тока-
ми / (теми же источниками /)* при отсутствии данного тела,
а Е, Н (или и) —поле в его присутствии. По определению
Е = Е° + е, Н — Н°h, u = u° + v. (3.13)
Далее поля Е°, Н°, и° будем называть падающими. Поля е, Л
(или о) созданы индуцированной поляризацией (1.11), излу-
чающей в вакууме.
Из уравнений Максвелла следует известное выражение
divS = —’/гКе^'Д*), аналогичное (1.20). Интегрируя его, по-
лучаем для потока энергии формулу—’/г Re(jE’) SV. Пользо-
ваться ею, например, для вычисления (3.10) неудобно, так как
там, где / отлично от нуля, Е имеет особенность. Однако если
подставить в эту формулу разбиение (3.13), то первое слагаемое
будет невозмущенным потоком [оно было вычислено в (3.10)
независимо], а второе легко вычисляется согласно свойству
6-функции (♦):
JsJvrf5 = ^--yRee*(0)a. (3.14а)
Это второе слагаемое и есть искомое изменение потока, созда-
ваемого заданным диполем при внесении в его поле какого-либо
тела. Например, если диполь расположен вблизи бесконечно
большого идеального зеркала, то е есть поле зеркального изо-
бражения данного диполя, излучающего в вакууме, так что
(3.14) дает простое явное выражение полного потока..
Скалярный аналог формулы (3.14а) согласно (1.20) имеет
вид (»)
Im$«-^dS = A.-Imv*(0). (3.146)
Такие же формулы леко получить в двухмерных задачах.
Вообще говоря, поток энергии из точечного источника — ди-
поля или линейного тока—отличен от нуля. Возможны, однако,
особые случаи (закрытый резонатор, запредельный волновод),
в которых второе слагаемое в (3.14) компенсирует первое, и
поток равен нулю. Для дальнейшего существенно, что и в этих
случаях свойство (3.3) или (3.6) сохраняется.
3.3. Ребра и вершины. Вернемся к вопросу о дополнительных
условиях, которые надо ставить, принимая какие-либо идеали-
зации. При введении идеальных объектов другого типа — вер-
шин и ребер, т. е. поверхностей с бесконечной кривизной — воз-
никают другие точки и линии, в которых поля также обращают- ‘
ся в бесконечность. Это обращение происходит, как будет по-
казано ниже, медленнее, чем вблизи источников. А именно —
5 з].
ОСОБЫЕ ТОЧКИ ПОЛЯ
29
вблизи вершин и ребер плотность энергии интегрируема, так
что в векторных задачах
a) Jlf'prfy < оо, б) J|/7|2d1Z<oo, (3.15)
а в скалярных, соответственно,
a) J|«|2d7<oo, б) VnpdJ/Coo. (3.16)
Эти условия — так называемые условия Майкснера — противо-
положны условиям (3.3) и (3.6).
Найдем структуру поля при условии, что требования (3.15)
и (3.16) выполняются. Оказывается, что некоторые характери-
стики этой структуры не зависят от падающего поля и опреде-
ляются только геометрией тела и поляризацией поля. Опреде-
ление этих характеристик имеет и самостоятельный интерес,
однако в первую очередь нас будет интересовать вопрос о по-
токе энергии из ребра или из вершины. Подробно рассмотрим
поле только вблизи ребра, так как для него все существенные
характеристики поля можно изучать на .
двумерной задаче, а для вершины толь- /
ко сформулируем результаты. /
Покажем, что при выполнении (3.15)
поток энергии из ребра будет равен нулю. / J) g
Это обстоятельство позволяет отличать
истинные источники от ребер (где поля
тоже бесконечны) по просто проверяемо-
му критерию интегрируемости энергии,
а в следующем пункте увидим, что рис 3д к>ии
выполнение именно этого критерия до-
статочно для формулировки задачи дифракции. Доказательство
основано на том, что вблизи ребра можно в явном виде запи-
сать решения уравнений Максвелла. Так как условие (3.15)
является локальным свойством окрестности особой линии, т. е.
не зависит от кривизны ребра, то достаточно рассмотреть пря-
молинейное ребро (клин), свойства которого не зависят от ко-
ординаты z вдоль ребра, и поля, для которых d/dz s 0. Мы
подробно рассмотрим только металлический клин, для которого
поля находятся в явном виде.
Совместим ось z с ребром: уравнения металлических поверх-
ностей будут ф = 0 и ср — тл (рис. 3.1). Полуплоскости соответ-
ствует значение параметра т = 2; для всех клиньев т 2.
Уравнения Максвелла при д/дг = 0 распадутся на две группы
(подробнее см. п. 5.1). В одной из них отличны от нуля три
компоненты Ez, Н<$, Нг, во второй отлична от нуля тройка Нг,
Еу, Ег — аналогично ситуации, описанной в п. 2.4, где, однако,
30 УРАВНЕНИЯ И ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ УСЛОВИЯ [ГЛ. I
выделенной координатой была не z, а угол <р. Рассмотрим обе
поляризации отдельно.
Компонента Ег— декартова, ‘она удовлетворяет волновому
уравнению
EEz + k2Ez = Q, (3.17)
а Н9 и Нг получаем из Ег дифференцированием:
нг=~^^- (3.18а)
IK dr ' Ik Оф '
Общее решение (3.17) имеет вид суммы: 1
Ez = [AmJm (kr) + ВпНт (&r)l sin (mcp + a). (3.19)
Мы пользуемся здесь методом разделения переменных, который
подробно изложен в гл. II. Согласно этому методу потребуем,
чтобы граничное условие на металле при <р = 0, ср —тл
Ег = 0 (3.20)
выполнялось почленно. Из (3.20) следует, что в (3.19) а=0,
а числа т могут принимать значения из ряда 1/т, 2/т и т. д.
Наименьшее из них назовем то=1/т. В частности, для полу-
плоскости т0 = 7г, для любого другого металлического клина
шо > '/г-
Вблизи ребра клина kr <С 1. При малых значениях аргумен-
та цилиндрические функции с точностью до несущественных
множителей равны: функция Бесселя Jm (kr) « (kr)т и функция
Ханкеля Н(т (kr) да (kr)~m.
Если в разложении (3.19) присутствует член, пропорцио-
нальный функции Ханкеля, то интеграл (3.156) расходится.
Действительно, даже для наименьшего допустимого т, т. е. для
то, ~ г-(“а+1), Дг~г_(,й5+1) и интеграл (3.156)
имеет вид r_(2'no+I) Jr, т. е. расходится (*). Следовательно,
условие (3.156) исключает возможность присутствия в поле вто-
рого слагаемого в (3.19).
Рассмотрим порядки величин полей, получающихся из (3.19)
при Вт = 0. Старшие члены в полях соответствуют т = то.
Старший член в электрическом поле Ez ~ гт„. В магнитном
поле Нг и Яф старшие члены согласно (3.18) имеют порядок
1/г *~'По. Для любого выпуклого клина (т > 1), т. е. при mo < 1,
магнитное поле имеет особенность. Соответствующая особен-
ность в плотности энергии интегрируема, так как в ней подын-
тегральная функция после умножения на dS имеет вид
т. е. она слабее, чем 1/г; тем более она интегрируема для сла-
гаемых в (3.19) с т > то-
ОСОБЫЕ ТОЧКИ ПОЛЯ
3t
5 з]
Наиболее сильная особенность поля имеет место вблизи по-
луплоскости. Компоненты магнитного поля Нг и Яф~ 1/Vr>
плотность магнитной энергии ~1/г. Поверхностная плотность
тока имеет ту же особенность, что и Нг — при этой потяриза-
ции (электрическое поле и ток параллельны ребру) она растет
при приближении к ребру как .
Теперь легко показать, что поток энергии через любую по-
верхность, окружающую ребро, равен нулю. Возьмем цилиндр
малого радиуса, окружающий ребро. Входящие в радиальную
компоненту вектора Пойнтинга компоненты полей Ег и ТУ гр про-
порциональны соответственно rm° и 1/г1-т°, их произведение
пропорционально г2"*1-1, интеграл по дуге радиуса г имеет по-
рядок г2'”’, т. е. стремится к нулю при г—>-0. Вещественная часть
этого интеграла, т. е. поток энергии, не зависит от радиуса ци-
линдра, следовательно, она равна нулю.
Таким образом, если в окрестности особой линии выполняет-
ся требование (3.15), то поток энергии из нее равен нулю. Об-
ратное, вообще говоря, не имеет места — в конце п. 3.2 были
упомянуты ситуации, когда поток энергии равен нулю несмотря
на наличие сильных особенностей, таких, при которых плотность
энергии неинтегрируема. Поэтому нельзя различать поля, соот-
ветствующие линейным источникам, и поля, соответствующие
ребрам, по тому, отличен ли от нуля поток энергии. Эти два
типа особых линий поля отличаются характером интеграла от
плотности энергии — сходится он или нет.
Для второй возможной поляризации (отличны от нуля толь-
ко компоненты Нг, Er,Ev) рассуждения почти полностью по-
вторяются. Волновому уравнению удовлетворяет компонента /Т2,
и она может быть представлена рядом (3.19), к которому надо
еще добавить постоянное слагаемое. Компоненты Ег, Еч полу-
чаем из Нг дифференцированием по формулам, аналогичным
(3.18а):
<3-186)
Граничное условие (равенство Ег нулю при ср = 0 и при
ф =-гл) дает в (3.19) а = л/2, а для пг получаем тот же ряд
возможных значений, начинающийся с пго—1/т. Слагаемое с
функцией Ханкеля исключается условием (3.15а). Особенность
при г—>0 имеет в этом случае электрическое поле, пропорцио-
нальное l/r1-"1’; плотность поверхностного заряда пропорцио-
нальна £₽. Ток, пропорциональный Нг, не имеет особенности.
Например, для полуплоскости (то — 1/2) при этой поляриза-
ции (магнитное поле параллельно ребру, ток ему перпендикуля-
рен) Ir ~ const + VE заряд1/д/г Токи, связанные с по-
32
УРАВНЕНИЯ И ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ УСЛОВИЯ
[ГЛ. !
стоянным слагаемым в Нг, с обеих сторон направлены в проти-
воположные стороны, так что в суммарный (по обеим сторона^
поверхности) ток они не входят, и он пропорционален Vr*
Доказательство отсутствия потока энергии производится таким
же методом.
Те же соображения позволяют утверждать, что и для ска-
лярной задачи условия (3.16) гарантируют отсутствие потока
энергии. Таким же образом, т. е. выписывая явное решение
волнового уравнения, можно показать, что и для острия (вер-
шина конуса или пирамиды) условия (3.15) и (3.16) обеспечи-
вают отсутствие потока энергии. Фактически можно выписывать
решение более простого, чем волновое, уравнения, получающееся
при отбрасывании в (3.17) члена, пропорционального к2. Реше-
ния такого уравнения при малых значениях kr близки к реше-
нию волнового уравнения, а наши построения использовали
лишь вид поля при малых kr.
Все это рассмотрение переносится на диэлектрический клин
или на несколько клиньев из разного материала с общим реб-
ром. Некоторое усложнение состоит в том, что граничные усло-
вия приводят для числа то, определяющего порядок возраста-
ния перпендикулярных к ребру (поперечных) компонент полей
(пропорциональных 1/г1-т“)> не к явной формуле т0==1/т,
а к некоторому трансцендентному уравнению. Для простого слу-
чая одного клина оно имеет вид
8 1
sin лто ± —т—г sin л/По(1 — т) == 0, (3.21)
6 “Г А
где два знака соответствуют двум поляризациям. Это уравнение
может быть получено рассмотрением задачи о клине в длинно-
волновом пределе, т. е. методами электростатики. Переход к
электростатике для диэлектрических тел рассмотрен ниже в
п. 19.5. Требование конечности интегралов (3.16) вновь приво-
дит к тому, что компоненты Ег и Нг при г -> 0 остаются конеч-
ными. Уравнения, аналогичные (3.21), получаем и для слу-
чаев, если общее ребро имеют несколько клиньев. При этом по-
перечные компоненты могут при г->0 обращаться в бесконеч-
ность даже быстрее, чем для металлической полуплоскости, так
как т0 может оказаться меньше 1/2. Однако решение этого
трансцендентного уравнения положительно, т. е. для любых ди-
электриков и любых углов то > 0, а этого достаточно, как мы
выяснили, и для интегрируемости плотности энергии, и для от-
сутствия потока энергии.
3.4. Бесконечно удаленные точки. Если область пространства,
в котором ищется поле, велика, а влияние далеко расположен-
ных тел мало, то удобной идеализацией становится представле-
ние о бесконечно удаленной области пространства. Согласно
§ ЗЬ ОСОБЫЕ точки ПОЛЯ 33
этой идеализации все токи и все тела расположены на конечном
расстоянии от начала координат, а вне некоторой сферы конеч-
ного радиуса находится открытая бесконечная область. Отсут-
ствие вне этой сферы сторонних и индуцированных токов озна-
чает, что на нее извне не могут приходить какие-либо волны.
Точнее, если радиус сферы а порядка размеров тел, их расстоя-
ния друг от друга и длины волны, то требование — вне этой
сферы нет источников и тел — приводит к тому, что при р а
должно выполняться асимптотическое равенство:
p-iko
u = -~-F(Q, <p)[1-h О(а/р)]. (3.22а)
Для электромагнитного поля аналогично
p-ifeP
Ев = - ЯФ = Ft (0, ф) [1 + О (a/p)J,
(3.23)
= яв = (е, Ф) [ 1 + о (й/р)].
Функции F, Fi и Fz не задаются этими условиями, они нахо-
дятся из решения конкретной задачи.
Этим условиям иногда придают другую форму, математиче-
ски эквивалентную, образуя такую комбинацию полей, которая
быстро (быстрее 1/р) убывает с ростом р. Для скалярного поля
условие (3.22а) может быть записано в форме (*)
lim р (ди/др + iku) = 0, (3.226)
р->ОО
и аналогичным образом преобразуется (3.23).
Условия (3.22) и (3.23) называются условиями излучения
Зоммерфельда, который впервые указал на необходимость фор-
мулировать условия на бесконечности. Эти условия исключают
существование приходящих извне (из бесконечности) сфериче-
ских волн, т. е. волн, поля которых имели бы вид ехр (Игр) /р.
Простого требования, чтобы поле стремилось к нулю при
р —оо, недостаточно, чтобы исключить эти приходящие волны.
Ситуация была бы проще, если бы идеализацию — все тела и
токи расположены в конечной области — дополнить условием,
что вся остальная, безграничная область заполнена средой с
потерями. При этом поле, созданное этими токами и телами,
стремилось бы к нулю при р->оо. Поля же, созданные беско-
нечно удаленными источниками, либо равны нулю в конечной
области пространства, либо неограниченно возрастают при р -*
-+ оо. Таким образом, если бы в принятой идеализации беско-
нечной области бесконечная среда имела бы потери, то условие^
2 Р. Б. Баганов, Б. 3. Каценеленбаум
34
УРАВНЕНИЯ И ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ УСЛОВИЯ
[ГЛ. I
обеспечивающее отсутствие полей, созданных бесконечно уда-
ленными источниками, было бы просто:
lim« = 0. (3.24)
р->оо
Более удобным, чем введение безграничной среды с поте-
рями, оказывается введение понятия комплексной частоты (точ-
нее— комплексного волнового числа k). Так как закон измене-
ния фазы и амплитуды уходящих волн определяется множите-
лем ехр(—ik 'у/в р), то вместо того, чтобы вводить комплекс-
ное 8, проще считать комплексным k:
k = k' + ik", k"<0. (3.25)
Тогда поле уходящей волны будет с ростом р убывать по закону
ехр(/г"р) и будет удовлетворять (3.24), а поле приходящей
волны не будет удовлетворять (3.24). Условие (3.24) при k" < О
называется принципом предельного поглощения. При его исполь-
зовании вся задача дифракции сначала решается при k" < 0, в
частности, ставится требование (3.24), а затем совершается
предельный переход k" —>-0.
Условие (3.24) исключает приходящие из бесконечности
волны и при ситуациях несколько более сложных, чем описан-
ные в начале этого пункта, и потому шире условия Зоммер-
фельда (3.22), (3.23). Пусть какое-либо тело само уходит на
бесконечность, как, например, в задаче о бесконечной импе-
дансной плоскости. Тогда поле содержит не только уходящие
сферические волны, но и уходящие плоские волны, и условие
Зоммерфельда следует дополнить требованием, исключающим
приходящие из бесконечности плоские волны. Условие же (3.24)
не требует никакого расширения, ибо соображения о различном
поведении приходящих и уходящих волн при k" < 0 справед-
ливы и для плоских волн, и при k" < 0 условие (3.24) доста-
точно.
Далее будем пользоваться более простыми в конкретных за-
дачах условиями Зоммерфельда (3.22а) и (3.23) и не будем счи-
тать k комплексным.
§ 4. Теорема единственности
Задача, которая решается в теории дифракции, состоит в
нахождении поля в заданной системе тел при заданных сторон-
них токах. Во многих методах решение сначала каким-либо об-
разом конструируется, а затем производится проверка того, что
это решение удовлетворяет всем условиям задачи. При этом
возникают два вопроса. Во-первых, всегда ли задача разреши-
Т' ' .
§41 ТЕОРЕМА ЕДИНСТВЕННОСТИ 35
ма, т. е. всегда ли существует решение, удовлетворяющее этим
условиям. Во-вторых, единственно ли это решение. Прежде, чем
решать какую-либо конкретную задачу, нужно быть уверенным
в положительном ответе на оба эти вопроса.
Первый вопрос — о существовании решения — означает: не
слишком ли много поставлено условий, нет ли среди них лиш-
них, противоречащих остальным. Второй — о единственности —
означает: не слишком ли мало поставлено условий, достаточно
ли их, чтобы выделить решение.
Будем анализировать только теорему, отвечающую на второй
вопрос — теорему единственности. Теорема существования — в
простейшей формулировке — состоит в том, что при тех же
условиях, которые сформулированы в теореме единственности,
решение действительно существует, так что эти условия необ-
ходимы и достаточны для существования решения, притом един-
ственного. .
В последнем пункте параграфа рассмотрим вопрос о неяв-
ном задании сторонних токов, в частности, постановку так на-
зываемой граничной задачи. Вопрос этот логически близок к
рассуждениям, приводящим к теореме единственности.
4.1. Среда без особенностей. Начнем с простейшего случая.
Пусть р = 1, а е — непрерывная и всюду конечная функция, т. е.
нет границ раздела, в том числе импедансных поверхностей или
металла, нет ребер и вершин. Кроме того, пусть всюду &" =# О,
так что, в частности, поле не проникает в бесконечно удаленные
области пространства. Это последнее предположение также су-
щественно упрощает доказательство.
Таким образом, мы в этом пункте рассмотрим ситуацию,
когда нет тех идеальных объектов, которые были введены в
§§ 2, 3. Теорема единственности доказывается при этом совсем
просто. Однако надо иметь в виду, что практически во всех
конкретных задачах применяются какие-либо из упомянутых
идеализаций.
Начнем со скалярного волнового уравнения (1.19). Доста-
точно доказать, что однородное уравнение
Аи + k2&u = 0 (4.1)
имеет только нулевое решение. Действительно, если бы неодно-
родное уравнение (1.19) имело бы два различных решения, то
их разность удовлетворяла бы (4.1); доказав, что для (4.1)
и = 0, покажем, что (1.19) не может иметь различных решений.
Это рассуждение будет использовано и далее; вместо теоремы
единственности будем доказывать, что однородное уравнение
имеет только нулевое решение.
Доказательство теоремы единственности основано на рас-
смотрении соотношений, существующих между квадратичными
2*
36
УРАВНЕНИЯ И ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ УСЛОВИЯ
[ГЛ. I
величинами полей, удовлетворяющих (4.1). Применим первую
формулу Грина
(V<₽Уф +ФДф)ЙУ—(p-|^ds==o (4.2)
к бесконечной области, положив ф — и, ф = —и*. Получим
£2Je*|ufW- JlVupdF + ^u~dS = Q. (4.3)
Возьмем от этого равенства мнимую часть:
— jfe25e"i“i2rfF + Im$“SrdS = 0- (4.4)
Мы уже рассматривали соотношение этого вида в конце п. 1.6.
Интеграл по бесконечно удаленной поверхности равен нулю, так
как в среде с потерями поле на бесконечности убывает экспо-
ненциально, т. е. быстрее, чем растет область интегрирования.
Так как в объемном интеграле согласно нашему предположе-
нию е," ни в одной точке не равно нулю, то и == 0, что и дока-
зывает наше утверждение.
Формула (4.4) представляет собой запись закона сохране-
ния энергии для решения уравнения (4.1). На бесконечность
энергия не уходит, притока энергии нет, плотность потерь энер-
гии^ел)и|2 равна нулю, и при в" #= 0, и s=s 0.
Такой же вывод для однородных уравнений Максвелла для
разностного поля
rot Н — ik&E = 0, rot Е + ikH = 0, (4.5)
основан на векторном аналоге формулы (4.2):
(<prot ф — ф rot ф) dV — [фф]# dS = 0. (4.6)
Положив ф = Е, ф = —Н* и используя (4.5), получим
— ik J в| Е pdV + ik J | Я FdV + J (ЯЛ*]# dS =0. (4.7)
Возьмем от этого равенства вещественную часть:
— k J в" | Е I2 dV + Re J [ЕЯ‘]„ dS = 0. (4.8)
Это есть запись закона сохранения энергии при отсутствии ис-
точников и при ц" = 0. Повторяя то же рассуждение, что и
после (4.4), найдем, что Е = 0 и согласно (4.5) Н=0, что и
доказывает единственность решения уравнений Максвелла в
этом простейшем случае.
§ 4)
ТЕОРЕМА ЕДИНСТВЕННОСТИ
37
4.2. Общий случай. Для того чтобы доказать, что разност-
ные поля равны тождественно нулю и при наличии особых по-
верхностей, линий и т. д., мы могли бы обобщить результаты
предыдущего пункта, используя соображения, приведенные в
п. 1.4, т. е. проследив за предельными переходами, приводящими
к появлению этих особенностей. Проще, однако, провести до-
казательство непосредственно, т. е. предполагая, что идеализа-
ции уже приняты.
Мы должны доказать, что если функция и удовлетворяет
в объеме однородному уравнению (4.1), на границах раздела —
условиям (2.15),
a) uw — «(2) = 0, б) duw/dN — du^ldN = 0, (4.9)
на импедансных поверхностях Sw — условию (2.18),
и + w du/dN = 0 (4.10)
(N направлено в тело), на ребрах и вершинах — условию
Майкснера (3.16) и на бесконечности — условию Зоммерфельда
(3.22), то во всем объеме и =
= 0. Функция г" не обязатель-
но отлична от нуля всюду, в
частности—вне некоторой сфе-
ры достаточно большого ра-
диуса в" = 0. Доказательство
основано на анализе формулы
(4.3).
Для того чтобы она имела
смысл, поля либо не должны
иметь особенностей, либо осо-
бенности должны быть не
слишком сильными: такими,
чтобы интегралы существо-
вали. Это обеспечивается
Рис. 4.1. Поверхности интегрирова-
ния S.
(3.16) и, по существу, служит
оправданием того, что именно эти условия выбраны для отде-
ления истинных источников от особенностей поля на ребрах и
вершинах.
Интегрирование в (4.3) производится по области (рис. 4.1),
снаружи ограниченной Sr, внутри— поверхностями, импеданс-
ными Sa,, металлическими (»== 0 и w = оо ) и диэлектрически-
ми Se. Кроме того, такой же интеграл надо взять по области, за-
нятой диэлектриком и снаружи ограниченной поверхностью. Se.
Применять (4.3) сразу ко всему объему нельзя, поскольку вол-
новое уравнение справедливо только в областях, где 8 непре-
рывна. Затем надо сложить равенства (4.3), полученные при
интегрировании по обеим областям. При этом поверхностный
38
УРАВНЕНИЯ И ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ УСЛОВИЯ
[ГЛ. I
интеграл по обеим сторонам поверхности раздела берется два-
жды. Множитель и в обоих интегралах согласно (4.9а) одина-
ков, множитель du*/dN имеет^ согласно (4.96) противоположный
знак, так как направление нормали с обеих сторон в (4.96)
одно и то же, в (4.3) — противоположное. Поэтому оба инте-
грала компенсируют друг друга, т. е. условия (4.9) обеспечи-
вают отсутствие интегралов по поверхности раздела.
Интегралы по поверхности металла (да = оо или 0) тоже
выпадают. Мнимая часть (4.3) будет содержать объемный ин-
теграл, интеграл по удаленной сфере и интеграл по импе-
дансной поверхности
— ( + Im и += (4.11)
J ' ‘ J oN J ON v z
SR Sw
Сумма энергии, теряемой в области, уходящей на бесконеч-.
ность и уходящей в импедансную поверхность, равна нулю. Со-
гласно (3.22а) второе слагаемое равно I F I2 dQ, где dQ—
элемент телесного угла; неотрицательность этого слагаемого
следует из условия на бесконечности также и при записи этого
условия в форме (3.226). Согласно (4.10) третье слагаемое рав-
но — w" | du)dN fdS. Таким образом, все три слагаемых имеют
Sw
простой энергетический смысл, и все они неотрицательны.
Дальнейшее рассуждение основано на том, что если в поле
есть какие-либо источники потерь, то в этой области поле равно
нулю, а тогда — и эту часть доказательства мы опускаем —
поле равно нулю всюду. Например, если есть уходящие на бес-
конечность волны, то третье слагаемое в (4.11) обратится в
нуль, если только участвующая в (3.22а) функция F тожде-
ственно равна нулю, т. е. поле убывает на бесконечности быст-
рее, чем 1/р. Это следует из (4.11) также и при записи условия
Зоммерфельда в форме (3.226). Можно показать, что столь
быстрое убывание поля на бесконечности возможно лишь, если
и = 0.
Если есть импедансная поверхность, на которой (хотя бы
в части ее) да" < 0, т. е. на ней происходит поглощение, то из
(4.11) следует, что на ней du/dN = 0, а из (4.10)—что на ней
также и и — 0. А тогда — это мы не доказываем — поле всюду
тождественно равно нулю.
Наконец, если в некоторой области е" =£0, то в ней и = 0,
следовательно, и Vu = 0, так что можно провести поверхность,
на которой равно нулю и поле, и его нормальная производная,
и, следовательно, поле равно нулю всюду.
ТЕОРЕМА ЕДИНСТВЕННОСТИ
39
§ 4]
Таким образом, система условий, упомянутых в связи с фор-
мулами (4.9), (4.10), действительно обеспечивает единствен-
ность решения уравнений (1.19). Этот же результат получается,
если заменить условия (3.22) условиями на бесконечности в
виде (3.24), т. е. если сначала принимать k комплексным. При
этом интеграл по Sr будет равен нулю, т. е. не будет участвовать
в (4.11), но при взятии мнимой части от (4.3) в (4.11) войдет
еще одно слагаемое (/г2)" в'| и I2 dV, а равенство его нулю воз-
можно только при и = 0.
Наконец, докажем теорему единственности для уравнений
Максвелла, т. е. покажем, что однородные уравнения Максвелла
(4.5) при условиях: на границах раздела (2.1), на импеданс-
ных поверхностях (2.5), на бесконечности (3.23), на ребрах и
вершинах (3.15), и при наличии в системе каких-либо потерь
энергии имеют только нулевое решение Е1 = 0, Н s 0.
Доказательство основано на (4.7). Участвующие в нем объ-
емные интегралы существуют согласно (3.15). Поверхностные
интегралы по границе раздела двух диэлектриков взаимно ком-
пенсируются, так как в [£ЕГ*] я участвуют только тангенциаль-
ные компоненты полей, которые согласно (2.1) непрерывны, а
нормали N по обе стороны границы направлены в противопо-
ложные стороны. Интегралы по поверхности идеального металла
равны нулю вследствие (2.8). Взяв от (4.7) вещественную часть,
получим (при вещественном k)
— fe$8"|E|W + Re J dS + Re J | EH* |„ dS = 0, (4.12)
где Sw — поверхность с импедансными свойствами (2.5).
Дальнейшие рассуждения тождественны тем, которые были
приведены в скалярном случае по поводу формулы (4.11). До-
казательство опять совершенно элементарно, если во всем объе-
ме в"=# 0. Если диэлектрические потери есть только в части
объема, или если потери происходят на импедансной поверхно-
сти [w = w'iw", w" > 0; см. (2.6)], то существует поверх-
ность, на которой Et = 0, /7/ = 0, а тогда, как можно показать,
во всем объеме Е 0, Н 0.
При уходе энергии на бесконечность доказательство тоже
проводится таким же образом, как в скалярном случае, и таким
же образом оно видоизменяется при записи условия на беско-
нечности в форме принципа предельного поглощения.
4.3. Нарушение теоремы единственности. В замкнутом объе-
ме без потерь, т. е. в закрытом резонаторе с идеально прово-
дящими стенками, в (4.11) и в (4.12) интегралы по Sr отсут-
ствуют, а остальные слагаемые могут быть равны нулю при
40
УРАВНЕНИЯ И ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ УСЛОВИЯ
[ГЛ. 1
и 0, (Е, Н) 0, и это доказательство не может быть прове-
дено. И действительно, однородное волновое уравнение и одно-
родные уравнения Максвелла,, могут иметь ненулевое решение.
При этом, очевидно, неоднородные уравнения будут иметь бо-
лее одного решения, т. е. теорема единственности нарушается.
Вообще говоря, нарушается и теорема существования, точнее —
решение существует не при всяких сторонних токах. В теории
колебаний эта ситуация известна как бесконечный резонанс
в системе без потерь. Она возникает вследствие введения не-
скольких идеализаций, которые оказываются несовместимы-
ми—строгая монохроматичность колебаний, заданная величина
сторонних токов, полное отсутствие потерь. Происходит это в
данной системе тел только на некоторых дискретных частотах
или, при фиксированной частоте, при некоторых значениях па-
раметров системы.
Эти особые сочетания частот и параметров представляют
значительный интерес для теории дифракции именно потому,
что при них существуют решения однородного уравнения, так
называемые собственные колебания. Совокупность этих соб-
ственных колебаний — например, для упомянутых дискретных
частот — при фиксированных параметрах системы образуют си-
стему функций, используемых в одном из методов решения за-
дач дифракции (гл. III). Задача дифракции при этом решается
в обычных условиях, при которых решение существует и един-
ственно (например, при другой частоте), но используются реше-
ния, соответствующие особым условиям, когда теоремы суще-
ствования и единственности нарушены.
Всюду дальше будем полагать, что в системе есть какие-
либо потери или что частота такова, что решение существует
и единственно.
4.4. Неявные способы задания стороннего тока. Сторонние
токи не обязательно задаются в виде явно входящих правых
частей уравнений Максвелла (или волнового уравнения). Пусть,
например, сторонний ток расположен далеко от тела, на кото-
ром происходит дифракция. Тогда условия возбуждения удобно
представить в виде задания волны, падающей на это тело. Су-
ществование такой волны означает, что полное поле не удов-
летворяет условию излучения (3.22). Этому условию удовле-
творяет -только дифрагированное поле, которое получается,
если из полного поля вычесть падающее. В такой ситуации сто-
ронний ток задается неявно, в виде поля, которое надо вычесть
из полного поля, чтобы удовлетворялось условие излучения.
Таким же образом сторонний ток может быть сосредоточен
в вершине или на ребре. Полное поле при этом не удовлетво-
ряет условию интегрируемости (3.15) или (3.16). Сторонний ток
задается тем полем, которое надо вычесть из полного поля
§ fl ТЕОРЕМА ЕДИНСТВЕННОСТИ 41
вблизи ребра или вершины, чтобы оставшееся поле (дифраги-
рованное) этим условиям удовлетворяло.
Условия непрерывности тангенциальных компонент поля на
поверхности раздела двух диэлектриков (2.1) и соответствую-
щие условия (4.9) в скалярной задаче, как мы уже отмечали,
гарантируют отсутствие на этой поверхности скрытых сторон-
них токов. Тем самым создается возможность и поверхностные
токи задавать не явным образом, а в виде значений скачка
тангенциальных компонент Е или Н (или Е и Н) на какой-либо
поверхности. Эта поверхность может и не быть поверхностью
разрыва свойств среды.
Другой класс задач, в которых удобно пользоваться неяв-
ным способом задания токов, возникает, если поле ищется с од-
ной стороны какой-либо поверхности, а источники расположены
с другой. Неявное задание их состоит в том, что на этой гра-
нице— на поверхности области, в которой ищется поле — за-
даются какие-либо граничные значения.
В скалярной задаче на замкнутой границе области может
быть задано значение поля
w|s = O(S), (4.13а)
или значение производной
•М-'т (4.136)
В каждом из этих случаев теорема единственности гарантирует
однозначность решения, так как разностное поле должно на
границе удовлетворять условию «= 0 или du/dN = 0, т. е.
условию, обеспечивающему отсутствие притока энергии в эту
область. Разумеется, однозначность требует выполнения также
и всех остальных условий, обеспечивающих отсутствие других
скрытых токов и существование в поле каких-либо потерь
энергии.
Одновременное задание на всей ограничивающей область
поверхности и w(S), и du/dN делает задачу, вообще говоря, не-
разрешимой, т. е. нарушает условия теоремы существования;
произвольно заданные функции Ф(5) и ЧДЗ) в (4.13) про-
тиворечат друг другу. Действительно, задав одну из них, мы
однозначно задаем поле во всем объеме, а тем самым и вторую
функцию. Можно, разумеется, задать Ф(5) на части поверхно-
сти, а на дополнительной части — функцию 'P'(S).
В векторной задаче на замкнутой границе области может
быть задана тангенциальная компонента Е или тангенциальная
компонента Н. Одновременное их задание также, вообще го-
воря, противоречиво, как одновременное задание и и du/dN.
Явные виды решения описанных в последних четырех абза-
цах граничных задач приведены в § 11.
Глава III
СОБСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ
Функции, по которым производилось разложение в методе
Релея, сами удовлетворяют однородным волновым уравнениям.
Мы находили эти функции разделением переменных и этим их
свойством не пользовались. Однако, как будет показано в этой
главе, в задачах, к которым метод разделения переменных не-
применим, функции, в ряд по которым целесообразно разлагать
искомые решения, можно определить именно из этого свой-
ства, как собственные функции некоторых вспомогательных од-
нородных задач. Ниже различным задачам дифракции сопоста-
вим несколько таких однородных задач. Одному и тому же
телу можно сопоставить различные системы собственных функ-
ций. Для каждой конкретной задачи дифракции один из воз-
можных вариантов выбора этой системы дает наиболее удобное
для исследования решение.
В задачах о возбуждении объемных резонаторов (т. е. в не-
однородных задачах дифракции поля источника на резонаторе)
коэффициенты разложения носят резонансный характер, и
вблизи резонанса один или два члена ряда хорошо описывают
все поле, особенно для высокодобротных систем. Поэтому ино-
гда, особенно при качественном анализе, можно пренебречь
остатком ряда (нерезонансным фоном), однако всегда можно
численно суммировать ряд и получить значение поля при
любом значении параметра, определяющего близость к резо-
нансу.
§ 8, Метод собственных частот
Начнем с известного из курсов высокочастотной . к:риди-
намики метода собственных частот; собственные функции в нем
являются решениями однородных задач, в которых роль соб-
ственного значения играет частота, точнее квадрат волнового
числа k.
§ 8] МЕТОД СОБСТВЕННЫХ ЧАСТОТ 85
8.1. Простой пример: возбуждение закрытого резонатора;
метод разделения переменных. Прежде чем детально излагать
метод собственных частот, решим уже известным методом раз-
деления переменных задачу о возбуждении изнутри полого ме-
таллического цилиндра. Для определенности выберем f-поля-
ризацию, и = Ег, остальные компоненты поля получаем диффе-
ренцированием потенциала и. Решается граничная задача:
а)(А + А2)м = Л б)и|г=а = 0, (8.1)
причем токи f и свойства тела не зависят от координаты г. За-
дача сводится, как известно, к двумерной задаче о поле внутри
окружности.
Поле представляется как ряд по функциям Бесселя; ни функ-
ции Неймана, ни функции Ханкеля использовать здесь нельзя,
так как все они имеют особенность при г = 0. Полное поле
ищем в виде
и = и° + У, ApJp (kr) cos pq>, (8.2а)
р
где ц°— падающее поле, т. е. поле тех же источников в вакууме.
На поверхности цилиндра решение удовлетворяет нулевым гра-
ничным условиям:
и° + У ApJp (ka) cos рф = 0, (8.26)
р
откуда, используя ортогональность системы функций cos рф, по-
лучаем
2л
Л„ = . д-у / \ u° cos РФ dq>. (8.2в)
р л (1 + бор) Jp (ka) J r-r т '
Полученное таким образом решение содержит в знаменателе
множитель Jp(ka), который на некоторых частотах kn обра-
щается в нуль. На этих частотах неоднородная задача (8.1),
вообще говоря, т. е. при произвольных источниках, решения не
имеет. Физический смысл этого результата очевиден: мы пыта-
лись решить задачу о возбуждении колебательной системы без
потерь на собственной ее частоте. Частоты, для которых неодно-
родная задача оказалась неразрешимой, являются характерис-
тиками колебательной системы, в нашем примере — внутренней
области цилиндра. Одновременно именно на этих частотах
имеет решение однородная задача. Использование решений од-
нородной задачи и лежит в основе так называемого метода соб-
ственных колебаний. Мы упоминали об этом в п. 4.3.
86
СОБСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ
[ГЛ. III
8.2. Возбуждение закрытого резонатора; метод собственных
частот. Итак, решается неоднородная задача (8.1) возбуждения
закрытого резонатора с идеально проводящими стенками. Со-
поставим ей однородную заддчу
а) (Д + ^)«п = О, б)и„|з = 0, (8.3)
имеющую решение только при дискретном наборе собственных
значений k\, k2, ..., причем каждой собственной частоте соот-
ветствует собственная функция: и2, ... Собственные функции
эти ортогональны (для простоты предполагаем, что нет вырож-
дения, т. е. все собственные значения различны) в том смысле,
что
^unumdV = Q, n^=m, (8.4а)
где интеграл берется по объему резонатора. Эту формулу легко
доказать, если умножить уравнение (8.3а) на ит, такое же урав-
нение, с заменой п на т, умножить на ип, а затем вычесть оба
получившихся равенства друг из друга, применить вторую фор-
мулу Грина
^(фДф —фДф)г/Г==^ (ф-^-— ф-||-)й5 (8.5)
для ф = ип и Ф — ит и учесть граничное условие (8.36) и та-
кое же условие для ит(*). Функции ип образуют полную систему.
Отметим, что при граничном условии (8.16) функции ип
всегда можно сделать вещественными. Поэтому очевидно, что из
(8.4) следует также и эрмитова ортогональность:
^unu*mdV = 0, п =/= т. (8.46)
В однородной задаче (8.3) возможна любая нормировка соб-
ственных функций. Пронормируем их так, чтобы левая часть
(8.4) была равна единице при т == п, т. е. примем
jj dV = 6rtm. (8.4в)
Функции ип и числа kn характеризуют тело и не зависят
от того, какими источниками возбуждается поле, т. е. не зави-
сят от f. Например, для двумерной задачи о возбуждении полого
цилиндра его собственные частоты
kn = У-п/а (8.6)
определяют из характеристического уравнения
/д(|*я) = 0, (8.7)
МЕТОД СОБСТВЕННЫХ ЧАСТОТ
87
§ 8] '
полученного из граничного условия (8.16); собственные колеба-
ния имеют вид произведения функции Бесселя на косинус или
синус:
ип = MnJp (pnr/a) cos р<р. (8.8)
Здесь п — двойной индекс, объединяющий азимутальный р и ра-
диальный т индексы, и выписанные ниже суммы подразумевают
суммирование по р и пг; М„ — нормирующий коэффициент, ко-
торый получается при подстановке (8.8) в условие нормировки
(8.4в).
. Вернемся к общему случаю. Решение задачи (8.1) ищем
в виде ряда
» = ЕЯА. (8.9)
п
Заметим, что в этом методе не производится выделение падаю-
щего поля, как в (8.2а). Разумеется, коэффициенты в этом ряде
не совпадают с Ар в (8.2а); они зависят, в частности, от двух
индексов, а не от одного, как в (8.2а). Ряд (8.9) почленно удов-
летворяет граничному условию, т. е. для каждого слагаемого
выполняется (8.36). Коэффициенты Ап находим из требования,
чтобы ряд удовлетворял уравнению (8.1а).
Применяя к (8.9) почленно оператор Д (законность этой
процедуры может быть доказана) и используя (8.3а), получим
функциональное уравнение, которое должно выполняться во
всем объеме резонатора:
£ (/г2-(8.10)
а используя условие (8.4а), найдем
An = -^-^-\fundV. (8.11)
Формулы (8.9), (8.11) дают решение задачи (8.1).
Если в примере о возбуждении круга принять, что f — точеч-
ный источник в центре:
f = 62(r), (8.12)
т. е. линейный источник, расположенный на оси бесконечногб
цилиндра, то в ряду (8.9) будут только симметричные слагае-
мые (р = 0):
/г —
так что ряд становится однократным и имеет вид
и = У Mnjo (Ипг/а). (8.14)
k — kn
88
СОБСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ
[ГЛ. III
Математический аппарат не изменится, если поле должно
удовлетворять не условию (8.16), а условию
(duidN) |s = 0. (8.1в)
Тогда и собственные функции должны удовлетворять тому же
условию
(ди/дЫ) Is — 0. (8.Зв)
Иными будут и собственные числа k2n- Так, для круга собствен-
ные частоты будут находиться не из (8.7), а из
J'p(kna) = 0. (8.15)
8.3. Учет конечной проводимости стенок. Задача (8.1) —о
возбуждении резонатора без потерь — не очень содержательна.
Интереснее исследовать задачу о резонаторе с потерями, введя
их, например, как потери в стенках, т. е. заменив (8.16) на
граничное условие третьего рода (импедансное):
(и + w dujdN) Is — 0, Im да < 0. (8.1г)
Соответственно надо изменить и граничное условие (8.36) для
собственных функций: в излагаемом методе ряд (8.9) должен
удовлетворять граничным условиям почленно, т. е. для собствен-
ных функций тоже должно быть
(и„ + w dUnJdN) Is = 0 (8.3г)
с тем же значением да, что и в задаче дифракции. Если импе-
данс да зависит от частоты, то в двух последних формулах он
должен быть взят на частоте возбуждающего поля (а не на
собственной частоте). Условие ортогональности (8.4в) сохра-
нится, сохранятся и формулы (8.11) для коэффициентов разло-
жения. Однако числа kn будут комплексными:
kn = k'n -f- ik'n, (8.16)
поэтому резонансный множитель
(£2 —-СГ1 (8.17)
ни на какой частоте не обратится в бесконечность. Если резо-
натор высокодобротный, т. е. потери малы, то kp с k'n. Если,
кроме того, частота возбуждающих токов k близка к веществен-
ной части собственной частоты k'n, то (8.17) может стать очень
большим. Тогда в ряду (8.9)доминирующим будет один член,
и частотная зависимость поля будет в основном описываться
модулем (8.17), который пропорционален величине
[(А - kff + да]"''2’ (8.18)
§ 8] МЕТОД СОБСТВЕННЫХ ЧАСТОТ 89
Найдем собственные частоты для круга с импедансным усло-
вием на окружности. Комплексное значение kn находится из
трансцендентного уравнения
Jp (kna) — — wkJ'p (kna). (8.19)
Импеданс комплексный, поэтому и решение этого уравнения,
т. е. собственная частота, должно быть комплексным. Найдем
решение в предположении, что импеданс мал:
| kw | -С 1,
т. е. переход от (8.7) к (8.19) представляет собой малое возму-
щение. Обозначим kna = х, тогда /Р(х) =— (w/a) xJ'p (х). По ме-
тоду Ньютона х = б, откуда 1р(х} ~ 1р(у.п) + бУр(Ип), где
удовлетворяет невозмущенному уравнению (8.7) /р(цп) = 0, так
что 6 яз —pnw/a и окончательно получаем (*)
kn = 0„/а) — + О (8.20)
Отсюда находится и сдвиг (по сравнению с идеальным метал-
лом) резонансной частоты k'n — (рп/а) ——(pnw'/a2'), и мнимая
часть собственной частоты k" — — (\inw"la2}. Заметим, что веще-
ственная и мнимая части импеданса хорошего проводника равны
между собой (2.6), так что смещение резонансной частоты при
замене идеальных стенок металлическими равно мнимой части
комплексной собственной частоты.
Формула типа (8.20) может быть получена в общем виде,
т. е. для любой поверхности или контура S. Из сопоставления
собственных функций задач (8.3а, б) и задач (8.3а, г) следует,
что (*)
где индексом «0» снабжена «невозмущенная» задача (8.3а, б).
При \kw/a\<^. 1 справа можно заменить ип и дип/дЫ на
и du^/dN, откуда и получается с учетом (8.4в) формула (*)
<8-22>
Для круга (8.22) переходит в (8.20).
8.4. Резонатор с диэлектриком. Метод собственных частот
применим и для резонаторов с частичным заполнением диэлек-
триком. Для простоты будем считать, что диэлектрик однород-
ный, т. е. 8 = const. Обозначим область, занятую диэлектриком,
через V+, остальную область между диэлектриком и стенкой
90
СОБСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ
(ГЛ. Ill
через V~ (рис. 8.1). Источник, для определенности, расположим
в V~. Тогда в скалярной записи, т. е., по существу, для акусти-
ческой задачи или для двумерной электродинамической задачи,
Рис. 8.1. Резона-
тор с диэлектри-
ком.
уравнения .задачи возбуждения резонатора
будут выглядеть следующим образом:
а) (Д + Л)« = 0 (V+).
б) (Ир., <8-23)
с граничными условиями на границе тела од-
ного из двух типов:
а) (О*-В-)Ь.-0,
б) („+_ы-)Ь=0, =0.
’ ' ' '*8 \ е dN dN J |S(s
(8.24)
Граничные условия на поверхности резонатора будут, соответ-
ственно,
а) и Is = 0, или б) (du/dN)\ s = 0. (8.25)
Условия (8.24а), (8.25а) соответствуют двумерной задаче с
Е-поляризацией (и = Ег), условия (8.246), (8.256) — с /7-поля-
ризацией (« = /Zz).
Вспомогательная однородная задача, которую мы формули-
руем, чтобы получить удобные собственные функции, описы-
вается в этом методе уравнениями
а) (Д + е^)«„ = 0 (7+),
, , _\ (8.26)
6) (А 4- kJ) ип = 0 (V )
и теми же граничными условиями (8.24а), (8.25а) или (8.246),
(8.256). Собственные функции, соответствующие различным соб-
ственным значениям k2n, ортогональны (*) в смысле
в $ unumdV 4- ипит dV == f>nm, (8.27)
V+ v~
и если искать решение в виде (8.9), то амплитуды будут
Ап = -~-~2~ \fundV. (8.28)
k ~ k- v-
Если в диэлектрике нет потерь, то резонанс бесконечный
(т. е. при k — kn задача при произвольных источниках не
имеет решения), если же г" < 0, то kn — комплексно, и резо-
нансная кривая снова описывается множителем (8.18).
§ 8] ' МЕТОД СОБСТВЕННЫХ ЧАСТОТ gj
8.5. Применение метода собственных частот для внешних за-
дач; непрерывный спектр. Метод собственных частот применяют
и при анализе высокодобротных открытых резонаторов, связан-
ных с внешним пространством. Однако собственные функции
внешней задачи в этом методе не только не подчиняются усло-
вию излучения, но даже возрастают на бесконечности. Так,
в простейшем примере дифракции на цилиндре полное поле
имеет вид ряда по функциям:
ип — Н(р (knr) cos р<р, (8.29)
гДе р — целое число, а сами функции на границе удовлетворяют
условию
Я(р2) (kna) = 0, р = 0, 1, 2, ... (8.30)
В отличие от (5.18), где из этого же уравнения находился
индекс, это условие определяет комплексные собственные час-
тоты. Их мнимая часть оказывается такой, что //р2) (knr) —> сю,
г—>оо. Очевидно, что полное поле, даже если падающее поле
и не удовлетворяет условию излучения, не может быть пред-
ставлено в виде ряда по возрастающим функциям.
Неограниченное возрастание собственных функций имеет
место для внешней задачи, т. е. если поле ищется в бесконечной
области, при любой форме резонатора. Это математическое
следствие уравнения (8.3а) и комплексности kn имеет простое
физическое объяснение. Собственное колебание с комплексной
частотой описывает затухающий во времени процесс высвечива-
ния. В точках, далеких от тела, поле было высвечено раньше,
чем поле в близких точках, т. е. тогда, когда токи были больше.
Поэтому дальнее поле больше ближнего. Система функций ип
не полна, значит, решение задачи дифракции нельзя записать
в виде (8.9).
Кроме того, ортогональность (8.4в) не существует, соответ-
ствующие интегралы расходятся. Ортогональность можно вос-
становить, вводя так называемое «комплексное пространство»,
т. е. полагая на больших расстояниях в интегралах (8.4в) ра-
диус комплексной переменной.
Неполнота системы функций ип компенсируется тем, что
к сумме в (8.9) добавляется интегральный член (интеграл по
непрерывному спектру). Это слагаемое обеспечивает правильное
условие на бесконечности для всего решения, т. е. интеграл
тоже растет на бесконечности и компенсирует экспоненциальное
увеличение слагаемых в (8.9). Внутри и вблизи резонатора
интеграл невелик, и поэтому в этой области пространства со-
храняются все достоинства, которые имеют решения, получен-
ные методом собственных частот для закрытых резонаторов.
92
СОБСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ
[ГЛ. Ill
Мы не будем выписывать соответствующие формулы для
открытых резонаторов, так как другие разложения, описанные
в этой главе, не усложняются при переходе от закрытых резо-
наторов к открытым, и поэтойу для открытых резонаторов пред-
почтительно пользоваться одним из этих методов, в которых не
нужно вводить интеграл, а можно ограничиться рядом.
5 9. Собственное значение — диэлектрическая проницаемость
В методах, описанных в этом и следующем параграфах, час-
тота во вспомогательной задаче не является собственным зна-
чением, а равна частоте в задаче дифракции, т. е. частоте воз-
буждения. В качестве собственного значения в однородной
задаче принимается какой-либо другой из параметров задачи
дифракции.
В этом параграфе описан метод, в котором роль собственного
значения играет диэлектрическая проницаемость. Такая поста-
новка естественна, и соответствующий аппарат наиболее эф-
фективен, если исследуется зависимость резонансных свойств
системы от параметров диэлектрика, а также в задачах, связан-
ных с измерениями диэлектрических свойств вещества.
9.1. Диэлектрик в закрытом резонаторе. Объясним метод
на уже сформулированной задаче (8.23), (8.24а), (8.25а) о за-
крытом резонаторе, содержащем диэлектрическое тело. Сопоста-
вим данной задаче дифракции следующую вспомогательную од-
нородную задачу, в которой сохраняются те же граничные усло-
вия (8.24а), (8.25а), а уравнения для ип в V+ и в V~ имеют вид
a) (A + A2b„)U„ = 0 (V+),
б) (A + fe2)u„ = 0 (У").
В такой постановке отличие от уравнений (8.26) метода
собственных частот состоит только в том, что собственным зна-
чением является не й2, а е. При этом вне диэлектрика уравнение
не содержит собственного значения.
Система собственных функций однородной задачи (8.24а),
(8.25) ортогональна в том смысле, что (*)
5 unumdV = дпт, (9.2)
V*
где в отличие от (8.4) или (8.27) интеграл взят только по
объему тела. Формулу (9.2) при п =/= т легко доказать в пред-
положении, что все собственные значения ея невырожденные,
так же, как доказывалось (8.4). При п = т условие (9.2) вво-
дит, как и (8.4), определенную нормировку собственных
функций.
§ 91*
ДИЭЛЕКТРИЧЕСКАЯ ПРОНИЦАЕМОСТЬ
93
Система функций ип в отличие от системы, используемой
в методе собственных частот, не полна, и, вообще говоря, по
ней нельзя всюду разложить поле- сформулированной задачи
дифракции. Можно показать, что эти собственные функции опи-
сывают поля, созданные токами поляризации (которые пропор-
циональны еп—1). Эти токи расположены в /+, и вне диэлек-
трика они не передают поля, падающие на диэлектрик.
Если, однако, разлагать в ряд не полное поле, а только
дифрагированное, то такое разложение всегда возможно. Точ-
нее, обозначим через и0 поле, создаваемое теми же источни-
ками f в пустом резонаторе. Это определение и° не совпадает
с данным в гл. I определением падающего поля, которое было
полем того же источника в вакууме. Поле и° удовлетворяет
уравнению и граничному условию
(А + А2)д° = / (V~ + V+), «°1з = 0. (9.3)
Тогда и — и° можно разлагать по
и = ы° + £ (9.4)
п
Этот ряд в V~ (вне диэлектрика) удовлетворяет волновому
уравнению (8.236),почленно удовлетворяет граничным условиям
(8.24а) и (8.25а), ибо этим условиям удовлетворяет и и0, а ко-
эффициенты Ап находим из требования о выполнении уравнения
(8.23а). Подставляя (9.4) в (8.23а), получаем (»)
Е An(s — 8„)w„ = (l — e)iA (9.5)
n
Это функциональное соотношение должно выполняться в V+,
т. е. именно в том объеме, в котором имеет место ортогональ-
ность собственных функций, поэтому из него сразу получаем
явное выражение для А„:
— "ё —“ё^" u°Un • (9.6а)
v+
Формулы (9.4) и (9.6а) решают поставленную задачу.
Последнюю формулу можно еще преобразовать так, чтобы
она содержала не поле и0, а непосредственно создающие это
поле источники f (*):
Ъ = Т- S ?“» dV- <9*66)
v~
Вывод (9.66) из (9.6а) производят аналогично тому, как дока-
зывается условие ортогональности, из сопоставления (9.1)
с (9.3).
94
СОБСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ
[ГЛ. ПI
9.2. Резонансный множитель. Вблизи резонанса наибольшее
значение в ряде имеет одно из собственных колебаний. Множи-
тель, который выделяет в резонансных условиях одно слагае-
мое, в методе этого параграфа имеет вид
(е-8»)-1. (9.7)
Он хорошо описывает изменение поля при изменении диэлектри-
ческой проницаемости тела, внесенного в резонатор. Если в —
вещественно, то возможна ситуация, при которой s = ел, и ре-
шение не существует, точно так же, как и при k = kn в методе
собственных частот. Если меняется частота, то в зависимости от
нее меняются числа вл = ел(£), и тот же знаменатель описывает
и этот процесс. Вблизи резонанса поле хорошо описывается
двучленной формулой
и и°Апип. (9.8)
В этой формуле второе слагаемое определяет резонансную
часть поля — собственное колебание, близкое к резонансу, ам-
плитуда которого очень велика.
Первое слагаемое в (9.8), поле и°, создается, как уже гово-
рилось, источниками в пустом, без диэлектрика, резонаторе.
В этом методе оно частично суммирует нерезонансный фон, т. е.
излучение, наполняющее резонатор и пространство, помимо
резонансного поля. Особенно существенно это слагаемое для
представления полей вблизи источника.
Если диэлектрик обладает потерями (в = ez + ie", ъ" < 0),
то это никак не скажется на собственных значениях ел. Они
по-прежнему будут вещественными (если, как в нашей задаче,
других потерь кроме диэлектрических нет). Они вообще не за-
висят от в задачи дифракции — эта величина не входит в фор-
мулировку вспомогательной задачи. При изменении е резонанс
наступит при г' *= вл, а резонансная кривая будет иметь вид
1(8л-8<)2+(8")21~1/2- (9.9)
В отличие от метода предыдущего параграфа комплексность
в резонансный знаменатель здесь входит не в собственное значе-
ние kn, а в параметр задачи дифракции (в).
9.3. Диэлектрик в резонаторе с неидеальными стенками или
излучением; тело с еп генерирует энергию (во вспомогатель-
ной задаче). Ничего принципиально не изменится, если стенки
резонатора будут неидеальными, т. е. если граничные условия
будут не (8.25а), а (8.3г). То же граничное условие надо будет
наложить и на и на и0. Однако собственные значения 8Л уже
§ 9]
ДИЭЛЕКТРИЧЕСКАЯ ПРОНИЦАЕМОСТЬ
95
не будут вещественными, причем, как легко показать (*),
е" > 0.
(9.10)
Напомним, что для поглощающих тел е" <0 (1.3).
Если резонатор открытый (рис. 9.1), то и на решение и, и на
собственные функции ип, и на поле и° надо наложить еще усло-
вие излучения. В этом методе частота в условии излучения ве-
щественна, соответствующие функции ип этому условию удов-
летворяют, и именно с
этим, по существу, связа-
но то обстоятельство, что
к ряду (9.4) не надо —
как в методе § 8 — до-
бавлять интегралы. Все
эти соображения, а так-
же и формулы, написан-
ные выше, сохраняются,
если резонатора вообще
нет, т. е. речь идет о ди-
фракции на диэлектриче-
ском теле в вакууме
(рис. 9.2). Аппарат легко
Рис. 9.1. Открытый резо-
натор с диэлектриком.
Рис. 9.2. Ди-
электрическое
тело.
сообщается на случай, если источники расположены не только
в V~, но и в самом диэлектрическом теле V+.
Собственные колебания имеют и самостоятельное физиче-
ское значение, хотя это и не используется при решении неодно-
родных задач. Они описывают электромагнитное поле, колеб-
лющееся с заданной частотой в заданной системе металлических
и диэлектрических тел — такое колебание возможно только при
определенных значениях диэлектрической проницаемости. Фор-
мула (9.10) имеет простой физический смысл — если в системе
есть потери, например потери в стенках или на излучение, то
незатухающие колебания при отсутствии источников возможны
только при условии, что диэлектрик излучает энергию при по-
мещении в поле, т. е. если мнимая часть его диэлектрической
постоянной положительна.
9.4. Собственное значение еп входит в двустороннее граничное
условие. Сформулируем однородную задачу для собственных
функций, пригодных для решения задачи дифракции, в которой
на поверхности диэлектрика должны выполняться граничные
условия (8.246), сами содержащие значение диэлектрической
проницаемости. Однородная задача описывается теперь урав-
нениями (9.1) и граничными условиями
{.Un — Un) lsg — 0,
I А
8„ dN dN )
(9.11)
= 0
з8
96
СОБСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ
[ГЛ. III
в которые также вместо истинного е введено собственное значе-
ние ел. Граничное условие (8.25) на поверхности резонатора или
условие излучения мы не выписываем — им должны удовлетво-
рять и функция и, и функции* пл, «°.
Собственные функции задачи (9.1), (9.11) ортогональны
в смысле
Чип Vum dV = 0, п ф т, (9.12)
v+
что легко получить, записав уравнение (9.1а) в виде f— Д +
+ &2)и„=0, произведя обычные преобразования с этим урав-
нением и таким же уравнением с заменой п на т и воспользо-
вавшись тождеством ит Лип = V(umVun) — VumVun (*).
Ряд (9.4) удовлетворяет уравнению (8.236) и первому из
граничных условий (8.246) при любых значениях Ап. Эти коэф-
фициенты находят из уравнения (8.23а) и второго граничного
условия (8.246), которые дают, соответственно, в V+ условия
(9.5), а на Se — функциональное соотношение
zL n\e ej dN V a J dN ’
(9.13)
Из (9.5) и (9.13), учитывая условие ортогональности (9.12),
можно получить
Ап= enB(8~J> S Nu°^undv\ (V«n)2rfvl (9.14)
— 8 J I J I
Lk+ J
Для вывода этой формулы надо (9.5) и (9.13) умножить на ит,
проинтегрировать, соответственно, по V+ и по S8 и сложить
полученные выражения. Преобразуя первый из этих интегра-
лов, получим явное выражение (9.14) для Ап. Из числителя
формулы (9.14) так же, как и из числителя формулы (9.6а),
можно удалить и°, выразив Ап непосредственно через f, как
в (9.66) (*).
Таким же образом, для того чтобы записать однородные
уравнения, порождающие системы собственных вектор-функций,
по которым можно разлагать дифрагированное поле для век-
торных задач, надо в уравнениях Максвелла и в граничных
условиях задачи дифракции отбросить возбуждающие токи и за-
менить в на ел. Этот метод обобщается на задачи дифракции на
неоднородном диэлектрике, на теле, в котором р. #= 1, в = 1
(тогда, очевидно, надо ввести цл), и т. д.
§ 9] ДИЭЛЕКТРИЧЕСКАЯ ПРОНИЦАЕМОСТЬ 97
9.5. Пример: резонанс в диэлектрическом цилиндре. В ка-
честве примера рассмотрим задачу о диэлектрическом круге
в вакууме. Собственные функции легко находятся в явном виде:
a) Un = Jp (л/ё^гг) cos р<р, б) ир = — cos РФ’
(Ы) (9.15)
Здесь описывает поле внутри цилиндра, т. е. при г <Z а; ип —
поле вне цилиндра; п — двойной индекс (р, т); множитель
в (9.156) выбран таким образом, чтобы выполнялось первое из
граничных условий в (8.24а) и (8.246) при г — а. Собственные
числа ел являются корнями трансцендентного уравнения; это
уравнение, очевидно, различно для (8.24а) и (8.246). Например,
для (8.246), т. е. для (9.11), оно имеет вид (*)
j'p (Vел^а)/V~ (ka). (9.16)
Отметим, что уравнение для собственных частот kn в методе
собственных частот получается такое же, но в нем следовало бы
заменить частоту k на собственную частоту kn, а 8„ на е. Урав-
нение для kn сложнее, чем уравнение (9.16) для ел, в котором
правая часть есть заданное число. Это усложнение уравнения
для kn по сравнению с уравнением для 8Л связано с тем, что
в волновое уравнение для ип вне тела собственное значение ме-
тода собственных колебаний kn входит (8.26), а собственное
значение метода этого параграфа ел не входит (9.16). Однако
главное достоинство не в простоте уравнения, а в том, что все
собственные функции удовлетворяют условию излучения и, в
связи с этим, в том, что их система достаточна, чтобы предста-
вить дифрагированное поле без интегрального слагаемого.
Будем рассматривать собственные функции с невысокими
азимутальными индексами р, т. е. колебания, при которых
стоячая волна состоит из двух волн почти радиального направ-
ления.
Мы будем рассматривать задачу дифракции при условии
е>1, (9.17)
когда существуют высокодобротные «запертые» колебания. По-
этому будем искать большие по модулю значения ел. Положим
р -С ka л/ё. _
При больших [/гад/еп1 из (9.16) следует, что величина
ka^z'n близка к корню функции J’p(z). Обозначим m-й корень
ррт через (7' (ц„) = 0) и положим
ka <\/ъп = Рл + 6 (ц„ >1, |б|<1). (9.18)
4 Р. Б. Ваганов, Б. 3. Каценеленбаум
I
98
СОБСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ
[ГЛ. HI
Ограничимся вычислением поправки 6 в старшем по 1/ц„ по-
рядке малости. Этого достаточно для грубого определения ре-
зонансных условий и для нахождения добротности.
Подставим (9.18) в (9.Iff) и, отбрасывая члены старших по-
рядков, найдем б = —Ь/[1п, где b (*):
b = kaHf' (ka)!H{p} (ka). (9.19)
Таким образом, мы нашли формулу для больших по модулю
собственных значений:
e„ ~ - ^n/(ka)2. (9.20)
Соответственно (9.10) ъп в этой задаче комплексно.
Из (9.7) и (9.20) легко получить обычную резонансную кри-
вую, т. е. зависимость множителя [е — еДб)]-1 от k. Резонанс-
ная частота, при которой множитель (9.7) максимален, при
условии слабой зависимости e'n(k) от частоты, определяется
уравнением
e'n(k)~ 8' = 0, (9.21)
причем максимум
этого множителя равен
К - в")"'- (9.22)
приближенное значение резонансной час-
1 Г и2 — 2 Re Ь TI/2 u_ / 1 \
Отсюда находим
тоты (»)
kn = —1 ---—— I « — Re I -,= I, (9.23)
a L в J а \ л/ е /
а максимальное значение множителя (9.2) приближенно
равно (»)
(-Ц11-8")1- (9-24)
Оба слагаемых в скобке (9.24) положительны. Они соответ-
ствуют двум типам потерь — потерям на излучение (первое сла-
гаемое) и потерям в диэлектрике (второе).
Несложно найти полуширину 8k резонансной кривой. Она
определяется из уравнения
I < (*. + «)-<(».)!= < (*») - «"• (9.25)
откуда добротность диэлектрического резонатора (*)
&п __ kn I г (k)/dk | .q
Q— _ „г " (и \ ’ (9.2о)
2 dfe 2 [еп (Л„) - е J
Для нашего примера — цилиндра (*)
« = + (9.27)
§ 10].
ИМПЕДАНС СТЕНКИ
99
В этой формуле учтены только потери на излучение и в яв-
ном виде выписана Im b. Добротность Q рассматриваемых ко-
лебаний имеет порядок диэлектрической проницаемости тела.
Можно получить и другую, несколько необычную, резонанс-
ную кривую, положив постоянной частоту. Если при k = const
изменять диэлектрическую проницаемость в, то при некотором
значении е = ея наблюдается резонанс. Продолжая изменять е,
можно определить ширину резонансной кривой и, следовательно,
величину, которую тоже можно назвать добротностью. Мы не
будем выписывать соответствующих формул. Скажем только,
что добротность Qe (при фиксированной частоте k) и Q* (при
фиксированной е) различны, причем первая в два раза меньше
второй: Q* = 2Qg.
Мы рассматривали колебания с малыми р. В принципе,
можно исследовать и колебания с высокими р, т. е. колебания
«шепчущей галереи», состоящие из волн, обегающих цилиндри-
ческую поверхность изнутри и отражающихся от границы под
скользящим углом. Вне цилиндра это колебание убывает почти
экспоненциально. Такие колебания могут быть высокодоброт-
ными и при небольших jв|, но при больших ka.
§ 10. Собственное значение — импеданс стенки
В предыдущем параграфе при формулировке вспомогатель-
ной однородной задачи был введен собственный параметр —
диэлектрическая проницаемость еп. Здесь рассмотрен еще один
из возможных вариантов метода; в нем собственным значением
является импеданс стенки. Исследуется дифракция при любом
импедансе. Импеданс зависит от структуры стенки, его мнимая
часть характеризует потери в поверхности неидеального провод-
ника. Если частота k фиксирована и нужно проследить зависи-
мость поля от импеданса, то наиболее подходящим является
именно этот метод.
10.1. Собственней импеданс; задача дифракции с нулевым
импедансом. Вернемся к первой задаче § 8 — о возбуждении за-
крытого пустого резонатора с идеальными стенками (8.1). Со-
поставим ей вместо (8.3) другую однородную задачу:
а) (А + fe2)ип = 0, б) (u„4- wnduJdN) |s = 0. (10.1)
В этой задаче собственным значением является коэффициент
в граничном условии третьего рода wn, или, что то же, импеданс
стенки. Математические особенности такой однородной задачи
для замкнутой области, когда собственным значением является
коэффициент в граничном условии третьего рода, исследованы
в работах В. А. Стеклова, и весь импедансный метод следует
назвать методом Стеклова.
100
СОБСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ
[ГЛ. III
Функции ип ортогональны на поверхности (а не по объему).
Из (10.1) следует, что (опять — при отсутствии вырождения) (*)
^unumdS=Q, п т, (10.2)
что доказывается так же, как и (9.2).
Дифрагированное поле во всем пространстве может быть
разложено по системе функций ип. Обозначим через и° поле тех
же источников в вакууме, тогда и — и° можно разложить в ряд
по ип:
и = и° + Е Апип. (10.3)
п
В отличие от (8.9) и (9.4), где суммирование в трехмерной за-
даче производится по трем индексам, индекс п в (10.3) — двой-
ной, а в двумерных задачах сумма в (10.3) — однократная. Это
получается, по существу, потому, что функции определяются
своими значениями на поверхности, а решения волнового урав-
нения определяются граничными значениями однозначно (4.13).
Ряд (10.3) удовлетворяет волновому уравнению (8.1а), и Ап
находят из требования, чтобы ряд удовлетворял граничному
условию (8.16)— ситуация противоположная той, из которой на-
ходят коэффициенты в (8.9); Напомним, что в методе собствен-
ных частот ряд удовлетворял граничному условию, а коэффи-
циенты находят из требования, чтобы он удовлетворил урав-
нению.
Подставляя (10.3) в (8.16), получим функциональное урав-
нение
(«°+ £ =0, (10.4)
справедливое на S. Собственные функции ип ортогональны
именно на S, поэтому, умножая на ит и интегрируя по S, легко
найти Ап- Несколько преобразуем получающуюся формулу, вы-
ражая un[s по (10.1) (-»):
( и° (du,JdN) dS
л«—ггт---------——• (10-5)
\(dun/dN)dS
Формулы (10.3) и (10.5) решают поставленную задачу (8.1).
Например, для двумерной задачи—круг радиуса а — соб-
ственные функции (с произвольной нормировкой) равны
ип = Jp (kr) cos рф, (10.6)
и (10.3) есть тот обычный ряд, который получился бы, если бы
мы искали решение тривиальным для такой простой фигуры
§ .Ю]
ИМПЕДАНС СТЕНКИ
101
методом разделения переменных, а условие ортогональности
(10.2) просто означало бы ортогональность тригонометрических
функций. В этой задаче явно выписывается и собственное зна-
чение wn:
wn = — Jn (ka)/kJ'n (ka). (10.7)
Этот вариант в частном случае разделяющихся переменных дает
ряды, тождественные рядам Релея, и может поэтому рассматри-
ваться как обобщение метода Релея для задач, в которых пере-
менные не разделяются.
10.2. Импеданс в задаче дифракции отличен от нуля. Соб-
ственные значения wn и функции ип не зависят от импеданса
стенки в задаче возбуждения (дифракции), так как в уравнение
(10.1), определяющее wn и ип, импеданс w не входит. Поэтому
ряд (10.3) дает решение также и задачи (8.1а), (8.1г), только
коэффициенты Ап будут определены не (10.5), а несколько бо-
лее сложной формулой (*):
1 j +
Wn~w ^(du^dN^dS
(10.8)
Если в знаменателе последней формулы разность wn — w
мала, т. е. собственный импеданс и импеданс в задаче возбуж-
дения близки, то имеет место резонанс, и поле описывается
двучленной формулой (9.8). Если w— комплексное, то резонанс
конечный, и резонансная кривая дается формулой
| w — wn (k) Г1. (10.9)
В закрытых резонаторах без потерь (или с потерями только
в стенках) wn(k) вещественно. Однако метод без каких-либо
усложнений переносится на задачи, в которых есть и какие-либо
другие потери, например, в материале диэлектрика или на излу-
чение, если резонатор открытый. При этом, как легко пока-
зать (*),
Im wn > 0. (10.10)
Эта формула имеет тот же смысл, что и (9.10), и показывает,
что однородная задача имеет самостоятельное значение, т. е.
описывает физическое явление — незатухающие колебания на
заданной частоте данной системы тел. Если в этой системе есть
потери, то они компенсируются выделением энергии в стенках,
пропорциональной квадрату поля у стенки.
Можно обобщить этот метод на задачи, в которых импеданс
есть функция координат на поверхности.
102
СОБСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ
[ГЛ. III
10.3 Внешняя задача. Заметим, что применяя метод соб-
ственных колебаний в импедансной постановке для внешней за-
дачи, получим то же решение, которое мы получили обычным
разделением переменных—-‘разумеется, в простой задаче типа
задачи о цилиндре, где переменные разделяются. Этот вариант
метода собственных колебаний применим и к внешним задачам,
т. е. поле дифракции может быть представлено в виде ряда. Из
всех возможных методов собственных колебаний только в ме-
тоде собственных частот возникают во внешних задачах, как мы,
уже говорили в § 8, трудности — там приходится к ряду до-
бавлять еще интеграл.
Еще раз сформулируем задачу:
(\ + k2)u = f, u\s — 0. (10.11)
Решение ищется в виде разложения по собственным функциям
Дп„ + А:2ц„ = 0, (un + wndun/dN)ls = 0, (10.12)
но уже не внутренней, а внешней задачи. Такой (импедансный)
метод применим и для сложных задач, где разделить перемен-
ные не удается. Единственная оговорка по сравнению с внутрен-
ними задачами — собственные функции должны удовлетворять
условию излучения.
В частном случае задачи о дифракции на цилиндре собствен-
ные функции и собственные значения имеют вид (*):
ип = (kr) cos n<p, wn = - tf(n2) (kajlkH™ (ka). (10.13)
10.4. Перенос математического аппарата на уравнения Макс-
велла. Как уже упоминали в начале главы, метод разложения
полного (§ 8) или дифрагированного (§§ 9, 10) поля в ряд по
собственным функциям легко переносится на уравнения Макс-
велла. Применение метода собственных частот к задачам о воз-
буждении закрытых резонаторов приводит к тройным рядам,
причем коэффициенты разложения полей Е и Н различны, хотя
и содержат один и тот же резонансный множитель, и к рядам
еще надо добавлять некоторые градиентные слагаемые.
Для метода этого параграфа разложения несколько проще.
Неоднородной задаче возбуждения открытого или закрытого ре-
зонатора (для простоты записи — пустого)
rotE-4-ZfeH=0, rot Я — ikE = ^-j, (Ю.14)
с граничными условиями на стенках
(Et - wHх) |s = 0, (£, + ФЯ<)1з = 0, (10.15)
(где t, т — два перпендикулярных друг другу орта, касательных
к S), и условием излучения (для открытые резонаторов) надо
§ 1.0]
ИМПЕДАНС СТЕНКИ
103
сопоставить однородную задачу для собственных функций еп, hn:
rot еп ikhn — 0, rotft„ — iken = Q (10.16)
с граничными условиями на S:
&nt wnhnX = 0, дл1; -J- wnh.ni = 0, (10.17)
и условием излучения, где / — заданные токи; w — заданное
число (импеданс поверхности), для идеального металла w = 0.
Здесь считается, что w = const; несложно обобщить решение
для переменного импеданса. Числа wn — спектральный пара-
метр однородной задачи, причем из закона сохранения энергии
для однородной задачи следует, что Im wn 0; знак равенства
имеет место для закрытых резонаторов (*).
Если Е°, Н° — поля тех же токов j в вакууме, то решение
дается рядами
Е = Е°+ЕАпеп, Я==Я°+2 Anhn. (10.18)
п п
В обоих рядах коэффициенты одинаковы, градиентные члены
отдельно вводить не надо, они фактически включены в Е°, Н°.
Собственные функции ортогональны на S (*) в смысле
$ (hnthmt 4- hnxhmx) dS == 0, п т, (10.19)
и для коэффициентов разложения находится явное выражение,
имеющее ту же структуру, что и (10.8) (*):

(10.20)
Здесь для простоты принято, что w — 0; обобщение й 4= 0 не
составляет особого труда. Отметим, что решение представлено
двойным, а не тройным рядом.
10.5. Другие методы собственных колебаний. Существует
еще целый ряд возможностей сопоставить данной задаче ди-
фракции какую-либо однородную задачу и воспользоваться по-
рождаемой ею системой собственных функций для разложения
дифрагированного поля в ряд. В качестве собственного значения
в этих однородных задачах можно выбрать, например, элементы
матрицы рассеяния. Для этого надо представить поле на боль-
ших расстояниях от тела (речь идет о возбуждении открытых
резонаторов) в виде суммы приходящей и уходящей волн с сов-
падающими (с точностью до комплексного сопряжения) угло-
выми зависимостями и рассматривать отношение амплитуд этих
104
СОБСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ
[ГЛ. III
волн как собственное значение. Задача о возбуждении откры-
того резонатора, в котором нет иных потерь, кроме потерь из-за
излучения, сводится к вещественнбму интегральному уравнению
второго рода, и именно дЛя таких задач этот метод особенно
удобен. Возможен еще вариант метода собственных колебаний,
удобный при наличии бесконечно тонких экранов, в частности,
полупрозрачных, не обязательно замкнутых, в котором прозрач-
ность экрана рассматривается как собственное значение.
Если потери сосредоточены только в одной области (в ди-
электриках, в стенке, на излучение) — целесообразно выбрать
такую однородную задачу, в которой собственным значением
является величина, ответственная за эти потери (е, w, элементы
матрицы рассеяния или прозрачность экрана), и тогда однород-
ная задача будет вещественной.
Таким образом, метод собственных колебаний представляет
поле задачи дифракции в виде рядов по собственным функциям.
Особенно эффективен метод для высокодобротных закрытых и
открытых резонаторов.
В заключение отметим, что любые численные методы реше-
ния задачи дифракции для высокодобротных резонаторов тре-
буют в резонансной области выделения резонансного слагаемого.
Если такое выделение не производить, то неоднородная задача
неизбежно будет плохо обусловлена именно потому, что ее
условия близки к условиям однородной задачи, имеющей нетри-
виальное решение. Плохая обусловленность означает практиче-
скую неразрешимость задачи. Описанные в этой главе аналити-
ческие методы производят такое выделение наиболее простым
и естественным путем. Во всех этих методах зависимость ампли-
туды главного слагаемого от резонансного параметра имеет яв-
ный вид (8.11), (9.6), (9.14), (10.8), и простыми формулами
описывается также его зависимость от возбуждающего тока.
Во многих методах весь нерезонансный фон в относительно
широкой полосе частот хорошо суммируется слагаемым и0, и
формулы типа (9.8) с высокой точностью решают задачу ди-
фракции для высокодобротных резонаторов. Ряды типа (10.3)
даже для б-возбуждения хорошо сходятся (хуже всего — в ме-
тоде собственных частот, где нельзя выделить член и0), и спек-
тральные методы позволяют, вообще говоря, с любой точностью
вычислить полное поле.
Глава IV
ФУНКЦИИ ГРИНА И ВЫВОД
ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
В начале этой главы вводятся функции Грина. Это вспомога-
тельные функции, которые позволяют в некоторых простых си-
туациях записывать явное решение задач дифракции. Однако их
главная ценность в том, что с их помощью многие задачи ди-
фракции, сначала формулируемые в терминах дифференциаль-
ных уравнений, удается свести к интегральным уравнениям. Пе-
речислим задачи, которые будут рассмотрены в этой главе: ди-
фракция на диэлектрическом теле (искомой величиной является
поле внутри диэлектрика); дифракция на металлическом теле
(определяется ток на поверхности металла); дифракция на от-
верстии в металлическом экране (находится поле на воображае-
мой поверхности, затягивающей отверстие). По полю в диэлек-
трике, току на металле, полю на отверстии дифракционное поле
во всем пространстве выражается уже в явном виде. Свести
задачу о решении волнового уравнения к интегральному удобно,
в частности, потому, что ЭВМ, вообще говоря, легче находит
решение интегрального уравнения, чем дифференциального
уравнения в частных производных. Кроме того, интегральное
уравнение иногда имеет меньшую размерность. Особенно незна-
чительны затраты машинного времени, если масштабы тел или
отверстий меньше длины волны или сравнимы с этой длиной.
§ 11. Функции Грина
Начнем с определения функции Грина, формулировки ее
свойств, в частности, теоремы взаимности. Формулы этого па-
раграфа, как правило, не решают задач дифракции, а лишь
дают выражения для искомых полей через заданные токи (или
граничные значения) в виде интегралов, зависящих от коорди-
нат точки наблюдения, как от параметра. Ядрами интегралов
являются соответствующим образом введенные функции Грина.
Эти интегральные выражения позволят нам далее написать
интегральные уравнения для искомых полей.
104
СОБСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ
1ГЛ. Ill
волн как собственное значение. Задача о возбуждении откры-
того резонатора, в котором нет иных потерь, кроме потерь из-за
излучения, сводится к вещественному интегральному уравнению
второго рода, и именно дЛя таких задач этот метод особенно
удобен. Возможен еще вариант метода собственных колебаний,
удобный при наличии бесконечно тонких экранов, в частности,
полупрозрачных, не обязательно замкнутых, в котором прозрач-
ность экрана рассматривается как собственное значение.
Если потери сосредоточены только в одной области (в ди-
электриках, в стенке, на излучение) —- целесообразно выбрать
такую однородную задачу, в которой собственным значением
является величина, ответственная за эти потери (е, w, элементы
матрицы рассеяния или прозрачность экрана), и тогда однород-
ная задача будет вещественной.
Таким образом, метод собственных колебаний представляет
поле задачи дифракции в виде рядов по собственным функциям.
Особенно эффективен метод для высокодобротных закрытых и
открытых резонаторов.
В заключение отметим, что любые численные методы реше-
ния задачи дифракции для высокодобротных резонаторов тре-
буют в резонансной области выделения резонансного слагаемого.
Если такое выделение не производить, то неоднородная задача
неизбежно будет плохо обусловлена именно потому, что ее
условия близки к условиям однородной задачи, имеющей нетри-
виальное решение. Плохая обусловленность означает практиче-
скую неразрешимость задачи. Описанные в этой главе аналити-
ческие методы производят такое выделение наиболее простым
и естественным путем. Во всех этих методах зависимость ампли-
туды главного слагаемого от резонансного параметра имеет яв-
ный вид (8.11), (9.6), (9.14), (10.8), и простыми формулами
описывается также его зависимость от возбуждающего тока.
Во многих методах весь нерезонансный фон в относительно
широкой полосе частот хорошо суммируется слагаемым и0, и
формулы типа (9.8) с высокой точностью решают задачу ди-
фракции для высокодобротных резонаторов. Ряды типа (10.3)
даже для б-возбуждения хорошо сходятся (хуже всего — в ме-
тоде собственных частот, где нельзя выделить член и0), и спек-
тральные методы позволяют, вообще говоря, с любой точностью
вычислить полное поле.
Глава IV
ФУНКЦИИ ГРИНА И ВЫВОД
ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
В начале этой главы вводятся функции Грина. Это вспомога-
тельные функции, которые позволяют в некоторых простых си-
туациях записывать явное решение задач дифракции. Однако их
главная ценность в том, что с их помощью многие задачи ди-
фракции, сначала формулируемые в терминах дифференциаль-
ных уравнений, удается свести к интегральным уравнениям. Пе-
речислим задачи, которые будут рассмотрены в этой главе: ди-
фракция на диэлектрическом теле (искомой величиной является
поле внутри диэлектрика); дифракция на металлическом теле
(определяется ток на поверхности металла); дифракция на от-
верстии в металлическом экране (находится поле на воображае-
мой поверхности, затягивающей отверстие). По полю в диэлек-
трике, току на металле, полю на отверстии дифракционное поле
во всем пространстве выражается уже в явном виде. Свести
задачу о решении волнового уравнения к интегральному удобно,
в частности, потому, что ЭВМ, вообще говоря, легче находит
решение интегрального уравнения, чем дифференциального
уравнения в частных производных. Кроме того, интегральное
уравнение иногда имеет меньшую размерность. Особенно незна-
чительны затраты машинного времени, если масштабы тел или
отверстий меньше длины волны или сравнимы с этой длиной.
§ 11. Функции Грина
Начнем с определения функции Грина, формулировки ее
свойств, в частности, теоремы взаимности. Формулы этого па-
раграфа, как правило, не решают задач дифракции, а лишь
дают выражения для искомых полей через заданные токи (или
граничные значения) в виде интегралов, зависящих от коорди-
нат точки наблюдения, как от параметра. Ядрами интегралов
являются соответствующим образом введенные функции Грина.
Эти интегральные выражения позволят нам далее написать
интегральные уравнения для искомых полей.
106
ФУНКЦИИ ГРИНА И ВЫВОД ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ [ГЛ TV
11.1. Определение функции Грина; выражение для поля в
пространстве через функцию Грина. «Функцией Грина G (г, г J
волнового уравнения
Ди (г) + k2 е. (г) и (г) = f (г) (Н.1)
называется вспомогательная функция, используемая при реше-
нии этого уравнения, которая сама удовлетворяет уравнению
с той же левой частью и с 6-функцией в качестве возбуждаю-
щего тока:
ДО (г, ri) + k2e(r) G(r, ri) = 53(r — rj. (11.2)
Это уравнение не определяет полностью функцию G, нужно по-
ставить еще условия на границе области или условия излучения.
Это можно делать различным образом, т. е. вводить для одного
и того же уравнения (11.1) ра!зличные функции Грина; мы вер-
немся к этому существенному обстоятельству ниже.
Функция G зависит от координат точки г, по которой произ-
водят дифференцирование в (11.2), и точки л, в которой распо-
ложен возбуждающий элементарный диполь, точнее 6-источник.
В (11.2) вектор л играет роль параметра. При любых гранич-
ных условиях функция G симметрична:
G(r2, r1) = G(r1, г2), (11.3)
что является простейшей записью теоремы взаимности: поле в
точке г2, возбуждаемое источником, расположенным в точке г\,
т. е. левая часть (11.3), равно полю в точке л, возбуждаемому
источником, расположенным в точке г2, т. е. правой части (11.3).
Заметим, что так как этот результат справедлив для любой
функции е(г), то он справедлив и для разрывных или бесконеч-
ных е(г), т. е. и при наличии границ раздела, металлических
поверхностей и т. д. Для доказательства формулы (Н.З) надо
переписать (11.2) с заменой л на г2, умножить (11.2) на
G(ri,r2), а вновь написанное равенство — на G(r2, л)> вычесть
второе равенство из первого, проинтегрировать по dV и преобра-
зовать объемный интеграл по второй формуле Грина (8.5) в по-
верхностный. Поверхностный интеграл равен нулю, какие бы
граничные условия, одинаковые, разумеется, для G(r, л) и
G(r, г2), ни были поставлены, откуда и получаем (11.3) (*).
Использование функции Грина для решения уравнения (11.1)
тоже основано на преобразовании объемного интеграла в по-
верхностный по второй формуле Грина. Умножая (11.2) на и (г)
и (И.1) — на G(r, л), вычитая и интегрируя по области, содер-
жащей точку л, (рис. 11.1) получаем, используя основное свой-
ство (3.16) 63-функции:
rJdV + fytu^-G-^dS. (11.4а)
§ 11]
ФУНКЦИИ ГРИНА
107
Область V ограничена поверхностью S. Внутри S и и \}и не-
прерывны и содержится точка г\. В конкретных задачах S
должно содержать поверхность металлических тел и внешнюю
поверхность, которую в некоторых случаях мы будем устремлять
в бесконечность. Эта формула — основная в дальнейших по-
строениях параграфа. В обоих интегралах справа г\ является
параметром, который входит в G; дифференцирование и инте-
грирование производят по г. Применение функции Грина обычно
приводит к представлению решения в виде интеграла, завися-
щего от параметра.
Для двумерной задачи, заменяя в (11.2) б3 на б2 и исполь-
зуя (3.7), получим такую же формулу с заменой dV на dS
и dS на ds.
Основная формула (11.4а) показывает, в частности, что для
того чтобы получить значение функции т. е. решение
волнового уравнения в какой-либо точке надо взять функцию
Грина (11.2), порождаемую источником, расположенным именно
в этой точке Гь Далее мы часто будем применять различные ва-
рианты этого свойства функции Грина, иногда даже относя Г\
в бесконечность.
Формула (11.4а) дает непосредственно решение (11.1), только
если G подчинить тем же условиям на границе области, которым
должно удовлетворять и. Например, если на поверхности 5,
окружающей объем и содержащей все источники,
«ls==0 (11.5)
и функция G подчинена тому же условию:
G|s = 0, (11.6)
то в (11.4а) будет только объемный интеграл
u(rt) = J f (r)G(r, rt)dV, (11.46)
что и является непосредственным выражением решения (11.3)
через G. Эту формулу мы уже применяли в гл. II (5.35), полу-
чив ее там из простых физических соображений.
Если на S равна нулю нормальная производная от и, и G
тоже выбрано таким образом, что
d£.| ==о (117)
то поверхностный интеграл вновь выпадает. Он выпадает также
и в том случае, если и удовлетворяет на S импедансному усло-
вию (4.10), — для этого и G надо подчинить тому же условию.
Наконец, если и удовлетворяет условию излучения, то и G
108 ФУНКЦИИ ГРИНА И ВЫВОД ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ [ГЛ. IV
должно ему удовлетворять, тогда при любом поле и тоже будет
выражаться через G по простой формуле (11.46). Действи-
тельно, из того, что и и G имеют одинаковые асимптотики:
u = Fi exp (— ikR)/R + О (I//?2), G = F2 exp (- ikR) + О (1Д?2),
следует, что поверхностный интеграл ф ... dS —O(\/R), а так
как он не может зависеть от R, то он равен нулю. Если в обла-
сти есть границы раздела, на которых и подчиняется граничным
условиям (4.9), то и G должна подчиняться этим же условиям —
в противном случае в (11.46) войдут еще интегралы по этим
поверхностям. Должна G подчиняться также и условиям (3.16).
Если G и и удовлетворяют условию излучения, то в (11.4а) S не
содержит внешней ограничивающей поверхности.
Применение формулы (11.46) позволяет считать задачу с ка-
кими-либо граничными условиями решенной (сводящейся к квад-
ратурам), если она решена для б-источника.
Функции Грина в вакууме, т. е. для е = 1, удовлетворяющие
условию излучения, будут, как известно, равны
a) G (х, X]) = — &~1к 1 х~х' I,
б) G{r, гх} = ^Нй(к\г-гх\), (11.8)
1 _-i* I ’’-л |
в) G(p, Р1)=- —-т-^-р
для, соответственно, одного, двух и трех измерений. Их можно
получить, записав решение однородного уравнения, удовлетво-
ряющее условию излучения. Для одного измерения имеет осо-
бенность (разрыв) производная функции Грина, для двух и трех
измерений особенность (соответственно, вида 1п|г — и | и |г —
— Г1]-1) имеет сама функция Грина — это различие мы уже от-
мечали при анализе рядов Ватсона для цилиндра и для сферы
(см. п. 6.4). Коэффициенты при этих решениях, входящие
в (11.8), можно найти, проинтегрировав (11.2), где б3 заме-
няется в соответствующих случаях на б2 или 61, по бесконечно
малой области, содержащей и. Для одного измерения из (11.2)
следует, что G непрерывна, a dG/dx испытывает при переходе
через точку х = Х\ скачок, равный единице; отсюда следует
(11.8а). Для двух и трех измерений при г — г\ решения имеют
особенности; сами решения будут интегрируемы, а градиент их
будет настолько велик, что интеграл взятый по беско-
нечно малому кругу или сфере, будет равен единице; отсюда
следуют (11.86, в) (*) .
ФУНКЦИИ ГРИНА
109
§ ill
Если в (11.4а) G — функция Грина в вакууме, то поверхность
S содержит только поверхности тела, на котором происходит
дифракция, а интеграл можно распространить по всему про-
странству. Тогда
^GfdV — u0, (11.9)
так как это есть поле тех же источников в отсутствии тела,
и формула (11.4а) примет вид
Ы(г1) = «°(Г1)+^[«(г) dG^ri) -G(r, n)-^]rf5, (11.4в)
где S — поверхность тела. Интеграл в (11.9) отличен от (11.46),
поскольку содержит другую функцию Грина и дает не и, а и°.
11.2. Выражение для поля на бесконечности через функцию
Грина. Формула (11.46) примет иной вид, если искать выраже-
ние для поля на бесконечности (и тело, и источники f располо-
жены на конечном расстоянии). При г->оо поле имеет струк-
туру уходящей волны (3.22а), а аналогом формулы (11.46)
должно быть явное выражение для диаграммы излучения
F(Q, ср). При Г[ оо функция Грина создана бесконечно удален-
ным источником. Можно не вводить его явно и не переходить
к пределу ri->oo (см. последний абзац этого пункта), а опреде-
лить функцию Грина таким образом, чтобы она удовлетворяла
не (11.2), а однородному уравнению (без 6-функции в правой
части), но при этом нарушала бы условие излучения. В основ-
ной формуле (11.4а) будет отсутствовать левая часть, и формула
примет вид
Покажем, как из (11.10) получается аналог формулы (11.4).
Подобно тому, как для нахождения поля в точке п надо
именно в эту точку поместить источник функции Грина, для
определения диаграммы направленности F(0j, cpi) надо в каче-
стве G в (11.10) принять поле, возбуждаемое плоской волной,
приходящей из направления, характеризуемого углами 01, ерь
Тогда левая часть (11.10) будет пропорциональна искомому
значению /7(0j, <pi).
Покажем это на примере двумерной задачи. Плоская волна,
приходящая из направления 0о, имеет вид exp [i’Z:r cos (0— 0О)].
Если эту функцию вычесть из функции Грина, то разность будет
удовлетворять условию излучения. Поэтому функция Грина
G(0, 0О) представима в виде
G = exp [ikr cos (0 — 0О)] -]- G, (11.11)
110 ФУНКЦИИ ГРИНА И ВЫВОД ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. IV
где G удовлетворяет, как и и, условию излучения, и при подста-
новке (11.11) в поверхностный интеграл (для двумерной за-
дачи— контурный) в (11.10) О выпадает. Подставляя в левую
часть (11.10) первое слагаемое из (11.11) и выражение для
искомого поля и его производной в дальней зоне
a) u — F(Q)^-~~, б) -^- = -/^(0)-^==- (11.12)
ykr dr '\/kr
и вычисляя при kr-^oo контурный интеграл в (11.10)
2л
I -y/kre~ikr J f (e)eZftrcos(e~e,) [1+ cos(0 —0o)]dO (11.13)
0
методом стационарной фазы, получим искомую формулу (*)
F(0O)= д/JJfGdV. (11Л4)
Как известно (см., например ниже, п. 16.8 и 22.2), этот метод
состоит в том, что множитель при ikr в экспоненте заменяется
двумя членами разложения в ряд Тейлора около точки, в кото-
рой первая производная этого множителя равна нулю. В нашем
случае этими точками будут корни уравнения sin(0 — 0О) = 0,
т. е. 0 = 0о и 0 — 0о + л. Из этих двух точек только первая даст
вклад в интеграл порядка 1/д/^г, а во второй этот вклад
будет иметь более высокую степень малого параметра (\/kr),
так как в этой точке равен нулю подынтегральный множитель
l-bcos(0 — 0О).
Для трехмерной задачи расчет, требующий двукратного ин-
тегрирования методом стационарной фазы, дает для К(0О, <р0)
такую же формулу, только с другим численным множителем.
Формула (11.14) имеет по существу тот же смысл, что
и (11.46). Она дает явное выражение для поля излучения, т. е.
для функции F(0) из (11.12), через возбуждающие токи f и че-
рез поле G, создаваемое плоской волной, дифрагирующей на
том же теле. Согласно этой формуле, если известно поле G,
создаваемое в месте расположения источников f при дифракции
плоской волны, падающей на тело с некоторого направления, то
в этом направлении амплитуда цилиндрической волны, созда-
ваемой источниками в присутствии тела, находится квад-
ратурой.
Формулу (11.14) можно было бы получить и иначе, переходя
к пределу г\ -> оо в (11.46), т. е. уже после того, как интеграл
по бесконечно удаленной сфере будет отброшен. Левая часть
(11.46), согласно (11.12а), пропорциональна F(0o). Цилиндриче-
5 11] ФУНКЦИИ ГРИНА 111
ская волна, создаваемая далеким 6-источником, вблизи тела
отличается от (11.11), кроме обычной зависимости Xl'Jkr, только
постоянным множителем Этот множитель легко может
быть получен (*) из асимптотического представления функции
Ханкеля типа (5.9). Таким способом формулу (11.14) получаем
без вычислений по методу стационарной фазы, но логически
этот способ сложнее. Он применим, разумеется, и для трехмер-
ной задачи.
11.3. Граничные задачи. Зная функции Грина, подчиняю-
щиеся условию (11.6) или (11.7), можно написать также явное
решение соответствующей граничной задачи, т. е. задачи опре-
деления поля и, удовлетворяющего волновому уравнению и ус-
ловию, что на поверхности S либо и, либо du/dN принимает
заданные значения и(г) или du(r)/dN. Граничная задача, в ко-
торой задано ы(г), имеет явное решение, содержащее функцию
Грина, удовлетворяющую условию (11.6), ибо именно это усло-
вие обеспечивает отсутствие в явном выражении (11.4а) вели-
чины ди/dN, которая в этой задаче не задана. Полагая еще для
простоты, что внутри области, ограниченной поверхностью S,
f = 0, получим решение этой граничной задачи через функцию
Грина, удовлетворяющую граничному условию (11.6):
Ы(Г1)= ф»(г) —ferri) dS- (11.15а)
Точно так же можно написать явное выражение для и во
всем объеме через значение du(r)/dN на границе области, если
известна функция Грина области, удовлетворяющая на границе
условию (11.7):
u(ri)==_^J^lG(r, rOdS. (11.156)
Здесь вновь опущен первый интеграл в (11.4а), т. е. принято
f s 0.
Формулы (11.46), (11.14) и обе формулы (11.15) дают ре-
шения волнового уравнения для различных способов sadauun
возбуждающих токов. В (11.46), (11.14) участвуют явно входя-
щие токи, в (11.15) — заданные значения на границе.
Легко написать через соответствующие функции Грина ре-
шение также для других способов задания источников. Напри-
мер, если задан скачок функции и на какой-либо поверхности S,
a du/dN на 3 непрерывно, то G должно быть на этой поверхно-
сти непрерывной и иметь непрерывную нормальную производ-
ную, а на остальных поверхностях и бесконечности удовлетво-
рять тем же условиям, что и искомое поле. Тогда, применяя
112
ФУНКЦИИ ГРИНА И ВЫВОД ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ [ГЛ. TV
основную формулу (11.4а) к обоим объемам, примыкающим
к S, и складывая обе формулы, получим
и = j [«<>’ — u(2)] -g- dS, (11.16а)
— здесь опять принято, что / = 0. Таким же способом, с по-
мощью той же функции G записывается решение и в случае,
когда ток задан скачком производной искомого поля
С Г <5«(2> 1 _ ,о ,,, ....
и J L dN (11.166)
В (11.16) нормаль N направлена от стороны поверхности S,
соответствующей индексу 1, к стороне с индексом 2. Если на
какой-либо поверхности задан скачок и самой функции и, и её
производной ди/dN, то с помощью той же функции Грина —
непрерывной вместе со своей нормальной производной на этой
поверхности — поле вне этой поверхности представится суммой
интегралов (11.16а) и (11.166) (при fs=O).
Поле может создаваться и каким-либо другим «скрытым
источником», а не только скачком функции или скачком произ-
водной, например, источником на ребре клина или на бесконеч-
ности. Источник этот задается тем слагаемым, которое надо
вычесть из полного поля, чтобы разность удовлетворяла, соот-
ветственно, условиям (3.16) и условию излучения. Для любой
из этих задач можно получить решение через функцию Грина,
которая должна быть выбрана таким образом, чтобы, соответ-
ственно, не имела особенности на ребре или удовлетворяла ус-
ловиям на бесконечности.
11.4. Функция Грина в векторной формулировке. Функцию
Грина уравнений Максвелла можно вводить двумя различными
способами в зависимости от того, в какое из двух уравнений
Максвелла вводится 6-источник, расположенный в той точке гь
в которой ищутся поля. Можно ввести 6-источник в (1.7а), т. е.
назвать функцией Грина поле элементарного электпического
диполя; обозначим это поле (£(е\ Я(е)). Тогда, как сейчас будет
показано, через эту функцию получается явное выражение для
E(ri). Если же ввести 6-источник в другое уравнение Макс-
велла— этот источник называется элементарным магнитным ди-
полем, а его поле обозначается Е^, — то явное выражение
получаем для Я(п). В первом варианте уравнения для поля
Е<е>, элементарного электрического диполя имеют вид:
rot НМ — iktEM = — аб (г — г
с (11.17)
rot ЕМ -j- ikpHM = о,
§ Hl'
ФУНКЦИИ ГРИНА
113
Во втором варианте функцией Грина является поле £("*>, Я<т>
элементарного магнитного диполя; уравнения для этого поля
имеют вид
rot Я(т) — ike,E'm} = О,
rot E(m) + ike.H(m) = — ^-аЪ(г — г i). (11.18)
Здесь принято вносить 6-источник с противоположным относи-
тельно (11.17) знаком. В обеих этих системах уравнений а —
произвольный орт, т. е. векторные функции Грина зависят не
только от того, куда помещен вспомогательный источник, но
и от того, как он ориентирован.
Для того чтобы получить выражение для проекции вектора
E(rt) на этот орт, следует пользоваться функциями Грина
(11.17). Применяя к (11.17) лемму Лоренца в интегральной
форме, т. е. векторный вариант формулы Грина, получим
аЕ (г 0 = J dV + ф { [EHV]N - dS. (11.19а)
Аналогично можно получить аН(Г1), если использовать функции
Грина (11.18):
аН(Г1) = - J jE^dV - ~ § {[ЕЯ<«>]„ - [Е<т>Я]„) dS. (11.196)
Из формулы (11.19а) для векторной задачи получаются те же
следствия, что и для скалярной задачи из (11.4а). Если танген-
циальные компоненты Е(е), Я<е) подчинить на границе тем же
условиям (2.1), (2.5) или (2.8), которым должны удовлетворять
тангенциальные компоненты истинного поля Е, Н, то в (11.19а)
поверхностного интеграла не будет. Интеграл по бесконечно
удаленной сфере тоже будет равен нулю, если все токи распо-
ложены в конечной части пространства, а Е(е>, Я<е> подчинены,
как и искомые поля, условию излучения (*). То же относится
к (11.196) и полям Е(т), Я<'").
Как и в скалярном случае, формула (11.19а) позволяет по-
лучить явное решение граничной задачи, точнее, представление
решения в виде квадратуры (интеграла). Если функция Грина
подчинена условию
= 0 (11.20а)
на некоторой поверхности S, то (11.19а) дает явное выражение
для поля Е (fi) через значение Et на S:
aE(rl) — -^^[EH(e'l]NdS. (11.21а)
Для простоты записи вновь принято, что внутри области токов
нет, / ss 0. Явное выражение для Е(г0 внутри области через
114
ФУНКЦИИ ГРИНА И ВЫВОД ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ [ГЛ. IV
граничное значение тангенциальных компонент магнитного поля
на S,
aE(rt) = —-£§ [В(е,Я].у dS, (11.216)
получаем из (11.19а), если поля £(г), /7(е) на 5 подчинены
условию
z6e)|s = 0. (11.206)
Формулы (11.21) аналогичны (11.15), а условия (11.20)—усло-
виям (11.6), (11.7). Эти формулы лежат в основе многих мето-
дов решения задач дифракции.
Иногда используется такая терминология — при применении
векторной функции Грина, удовлетворяющей (11.20а), говорят
о металлизации поверхности S, а при использовании функции,
удовлетворяющей (11.206)—о замене поверхности S поверх-
ностью идеального магнетика. Речь идет при этом, согласно
предыдущему, о выборе вспомогательных функций (векторных
функций Грина), удовлетворяющих уравнениям (11.17) или
(11.18), т. е. о том, каким условиям их подчинить.
Заметим в заключении, что если на какой-либо поверхности
испытывают скачок Et и Ht, т. е. заданы поверхностные магнит-
ные и электрические токи, то поле Е тоже находится в явном
виде из (11.19а). При этом надо пользоваться полями £(е) и Н(е)
с непрерывными на S тангенциальными компонентами, а на всех
остальных поверхностях удовлетворяющими тем же условиям,
что и истинное поле Е, Н, в частности, — условиям излучения,
если область незамкнута. Тогда, полагая еще j = 0, получим (*)
аЕ (г J = ф {[£(1) — Е™, H^]N — [£<*’, } dS,
(11.22)
где N направлено из (1) в (2). Эта формула аналогична (11.16).
§ 12. Интегральные уравнения для поля в диэлектрике
и тока на металле
Соотношения, полученные в предыдущем параграфе, по су-
ществу нельзя рассматривать как решение задач дифракции.
Действительно, из полученных квадратур может быть опреде-
лено поле дифракции только в том случае, если либо известна
функция Грина при заданных граничных условиях, т. е. та же
задача решена при простейшем возбуждении, либо если изве-
стно поле на поверхности тела. Ниже мы покажем, как можно
свести дифракционные задачи к интегральным уравнениям с по-
мощью простейших функций Грина — полей точечных источни-
§ 12]. ПОЛЕ В ДИЭЛЕКТРИКЕ И ТОК НА МЕТАЛЛЕ 115
ков в вакууме. Решение этих интегральных уравнений, вообще
говоря, требует применения ЭВМ и здесь не рассматривается.
Упомянуты только некоторые приближенные методы, позволяю-
щие получать явные результаты.
12.1. Задачи с диэлектриком. Ставится зада’а о дифрак-
ции поля заданного источника f на диэлектрическом теле. Для
упрощения записи распределение в будем считать непрерывным:
Au + k2eu = f. (12.1)
Вводя ток поляризации в правую часть уравнения, т. е. исклю-
чив диэлектрическую проницаемость из левой части, сведем
(12.1) к задаче о полях в вакууме:
Au + &2u = f — k2(e—l)u. (12.2)
Поле всюду в пространстве получается в виде интеграла типа
(11.46), который остается от (И.4) после отбрасывания поверх-
ностного интеграла. Интеграл по бесконечной сфере исчезает
из-за того, что и для полей и для функции Грина выполняются
условия излучения. Подставив в (11.46) вместо f правую часть
уравнения (12.2), получим
u = u° — k2 J (в — \)GudV. (12.3а)
Формулу (12.3а) можно рассматривать как выражение для
поля, созданного заданными источниками, причем первое сла-
гаемое— результат возбуждения реальными токами в отсут-
ствии тела, а второе — возбуждение индуцированной поляриза-
ции (см. п. 1.5).
Для точек внутри тела (12.3а) представляет собой инте-
гральное уравнение, в котором неизвестное поле внутри диэлек-
трика участвует и в свободном члене и под интегралом. Для
точек вне тела (12.3а) — уже не интегральное уравнение, а вы-
ражение для поля вне диэлектрика через поле в диэлектрике.
Согласно соображениям п. 2.4, интегральное уравнение
(12.3а) справедливо и тогда, когда е испытывает разрыв на гра-
нице тела. В простейшем случае, когда в внутри некоторого
объема V, т. е. внутри тела, постоянно, (12.3а) принимает вид
u — u° — k2(e — 1) $ GudV. (12.36)
Для диэлектрика с диэлектрической проницаемостью, мало
отличающейся от единицы,
е-1<1, (12.4)
можно найти явное решение для поля всюду в пространстве
с помощью известного приближения Борна, т. е. принимая, что
116
ФУНКЦИИ ГРИНА И ВЫВОД ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ [ГЛ. IV
поле в диэлектрике (поле и под интегралом), не отличается от
поля источников в свободном пространстве:
и = и° — J (в— l)u°GdV. (12.5)
Можно продолжить итерационный процесс и получить для w
ряд Неймана по возрастающим степеням малой величины
(е—1). Во втором приближении под интеграл в (12.3) подстав-
ляется поле первого приближения (12.5) и т. д. Надо иметь
в виду, что сходимость полученного ряда тем хуже, чем больше
(ka), где а — порядка линейных размеров тела.
Иногда применимо приближение, не требующее, чтобы
(е — 1) было очень мало. Пусть тело достаточно «плоское»
и перпендикулярно к этой плоскости падает почти плоская
волна. Тогда поле внутри тела может быть записано в. виде
произведения падающего поля и° на фазовый множитель, учи-
тывающий набег фазы волны при распространении внутри тела.
Если и° — поле, которое было бы в отсутствии тела на расстоя-
нии z от передней поверхности тела, то u°exp(iAz) —поле на по-
верхности тела (здесь мы учли только набег фазы в вакууме).
Теперь определим поле в точке внутри тела, но учтем набег
фазы при внесении диэлектрика: и° exp (t’£z)exp (—ik-y/e, z)-
Подставив найденное приближенное выражение для поля под
интеграл в (12.3), получим искомое поле
и = иа — k2 J н°е-^(8— V)GdV, (12.6)
где ф = ^(д/8 — О2- Это выражение имеет внутри тела боль-
шую точность, чем и ~ и°ех$(-—гф), и дает значение поля также
и вне тела. Небольшое усложнение, учитывающее преломление,
позволяет таким же образом приближенно определить и в ди-
электрике через и° при наклонном падении почти плоской волны
на почти плоское тело.
Мы ограничиваемся получением интегрального уравнения
(12.3). Кроме этих простых приближений, мы не рассматриваем
процесс нахождения его решения — это задача прикладной ма-
тематики. Скажем лишь, что трехмерная задача сегодня еще
практически нерешаема, но двумерные задачи решаются эффек-
тивно, особенно если тела не очень велики по сравнению с дли-
ной волны.
12.2. Снижение размерности интегрального уравнения. Для
задачи о дифракции на теле с постоянным е можно свести
задачу к интегральным уравнениям с размерностью, меньшей,
чем у исходной задачи. Последнее обстоятельство облегчает
проведение численных расчетов.
§12]' ПОЛЕ В ДИЭЛЕКТРИКЕ И ТОК НА МЕТАЛЛЕ I 17
Проиллюстрируем метод на двумерной задаче; пусть свой-
ства тела и поля не зависят от z. Для определенности выберем
Е-поляризацию, для //-поляризации сложнее будет только фор-
мальный аппарат. Полное поле и удовлетворяет уравнению
(8.23) (внутри тела поле пометим знаком «+», вне тела знаком
«—»; и s= Ег):
а) \и~ + k2u~ = f, б) \и+ + &ги+ = f. (12.7)
Введем, кроме функции Грина G (г, свободного пространства,
удовлетворяющей уравнению
AG-4-^2G- = d2(r — Г1), (12.8а)
еще и функцию Грина пространства, равномерно заполненного
диэлектриком с проницаемостью е:
^G++ k2sG+= ^(г— Г1). (12.86)
Очевидно, что G~ определяется формулой (11.86), a G+ — той
же формулой с заменой k на k л/ё.
Теперь попытаемся преобразовать выражение (12.3)
и = и~ k2^ (в— l)G~u+dV, (12.9)
заменив интеграл по объему интегралом по поверхности. В дву-
мерной задаче эта замена означает переход от интеграла по
площади к интегралу по контуру. Преобразуем подынтегральное
выражение, используя волновые уравнения (12.7) и (12.8) (*):
&2(e—l)G~u+ = Azz+E — u+AF, (12.10)
где F= G+ — G~. Правая часть (12.10) имеет форму, позволяю-
щую применить формулу Грина (8.5). Так получим (•»):
„(r1) = «<’(r1)_J[^lF(r1, r)-«(r)^^-pS. (12.11)
Если теперь поместить точку наблюдения на контур, то со-
отношение (12.11) становится интегральным уравнением. Значки
«+» и «—» для полей здесь уже писать не надо, так как эти
поля и их производные берутся на контуре, где они вследствие
граничных условий непрерывны, и+ — и-, du+/dN = du~/dN.
Так как (12.11) справедливо при любом положении г\ относи-
тельно контура, то это равенство можно дифференцировать по
Г\. Продифференцируем обе части соотношения (12.11) по нор-
мали к поверхности в точке наблюдения и:
= (г){12.12)
dNi dN± J L ON dNi 4 ' dNi J ' 7
118
ФУНКЦИИ ГРИНА И ВЫВОД ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. IV
Здесь d/dN\ означает производную по нормали в точке гь Если
теперь и в (12.12) точку наблюдения л поместить на контур,
то и это уравнение станет* интегральным. Здесь необходима
именно пара уравнений, так как неизвестных два: поле и и его
производная du/dN. Это приводит к удвоению числа уравнений,
но размерность уравнений ниже, чем у исходного.
12.3. Диэлектрик в волноводе. Если в поле есть и другие
тела, кроме того тела, дифракция на котором исследуется, то
надо, если это возможно, вводить функции Грина, удовлетво-
ряющие условиям на границах этих тел. Таким образом появ-
ляются функции Грина, отличающиеся от функции Грина ва-
куума. В частности, в волноводах, т. е. в полых металлических
трубах, аналогом функции Грина вакуума являются собствен-
ные волны.
Вспомним в этой связи, как решаются задачи о возбужде-
нии волновода заданными источниками. При вычислении поля
заданных токов, для того чтобы получить явную формулу типа
(11.46), надо пользоваться функцией Грина, удовлетворяющей
тем же условиям на стенках, что и искомое поле. При этом при-
менялся тот же прием, что и в п. 11.2 — источник функции Грина
неявно относится на бесконечность. Как в п. 11.2 используется
приходящая из бесконечности плоская волна, так и в волноводе
используется приходящая из бесконечности собственная волна.
Далее в этом пункте, находя поле в волноводе при дифрак-
ции на диэлектрическом теле, мы под и° будем понимать поле
гех же источников в волноводе без диэлектрика.
Пусть, например, решается задача с нулевым граничным
условием на поверхности волновода:
АЫ° + &2и° = /, w°|s = 0. (12.13)
Введем функцию Грина с тем же граничным условием
AG„ + fc2G„ = O, G„|s = 0 (12.14)
без источников в конечной части пространства, но нарушающую
условие излучения. Такой функцией Грина является собственная
функция волновода, идущая из z = °о к началу координат
G„ = nn(x, у)е'Ч (12.15)
где hn — волновое число n-й собственной волны. Она позволяет
найти амплитуду волны того же номера п, возбужденную за-
данным источником. Это рассуждение аналогично использован-
ному в п. 11.2. Формула Грина (11.10) записывается в виде

§12]' ПОЛЕ В ДИЭЛЕКТРИКЕ И ТОК НА МЕТАЛЛЕ Ц9
в ней нет внеинтегрального члена, так как в (12.14) справа нет
6-функции. Полное поле всех источников в волноводе ищется
в виде суперпозиции волн всех номеров:
Апип(х, y)e~ihnz. (12.17)
п
Подстановка (12.17) в (12.16) позволяет получить формулу для
амплитуды Ап волны номера п. При этом поверхностный инте-
грал по металлу выпадает из-за нулевых граничных условий.
Интеграл по поверхности слева от токов также выпадает, так
как здесь и собственная волна [функция Грина Gn (12.15)],
и поле (12.17) распространяются справа налево, т. е. имеют
одно направление (*). Поэтому интеграл по поперечному сече-
нию равен нулю либо вследствие ортогональности собственных
волн, либо вследствие компенсации двух слагаемых. Это — ана-
лог исчезновения интеграла по бесконечно удаленной сфере,
если и и, и G удовлетворяют условию излучения. Остается
только поверхностный интеграл по поперечному сечению справа
от области, занятой токами, и объемный интеграл по области
токов. Окончательно формула для амплитуды Ап волны номера
п в (12.17) имеет вид (*)
(12.18)
Вернемся теперь к задаче о диэлектрике в волноводе.
Ищется поле с нулевым граничным условием как решение урав-
нения
Ди 4-/г2еи = f, u|s = 0. (12.19)
Повторяя выкладки, приведшие от уравнения (12.1) к (12.2),
вновь сведем задачу о дифракции на диэлектрическом теле
к задаче об излучении в волноводе без диэлектрика, но к источ-
никам f добавятся поляризационные токи —k2(e,— 1)и. Таким
образом, поле в волноводе удовлетворяет уравнению
и = и°-к2^2П^(\^- l)uGndv)un(x, y)e~ih< (12.20)
п
Если применить это уравнение к точкам в диэлектрике, то
(12.20) представляет собой интегральное уравнение. Как и в
предыдущем п. 12.1, иногда можно использовать приближение
Борна (12.5) или более точное приближение фазового коррек-
тора (12.6) и получить приближенное решение в явном виде.
12.4. Металлическое тело; Я-поляризация; интегральное
уравнение первого рода. Теперь перейдем к задаче о дифракции
на идеально проводящем металлическом теле. Ограничимся дву-
120
ФУНКЦИИ ГРИНА И ВЫВОД ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ [ГЛ. IV
мерной ситуацией. Для £-поляризации требуется найти скаляр-
ную функцию и из волнового уравнения
Au*+k2u = f (12.21а)
с нулевым граничным условием
w|.s = 0. (12.216)
Из (11.4в) и (12.216) получаем интегральное соотношение для
поля всюду в пространстве через производную поля на поверх-
ности тела:
ц(г1) = ы°(г1)-Jg(f, (12.22)
где G— функция Грина вакуума и интеграл взят по поверхности
тела. В электродинамических терминах и — электрическое поле,
du/dN— магнитное, а поскольку на поверхности металла маг-
нитное поле испытывает скачок, то ди/dN пропорциональна
поверхностному электрическому току (2.13). По аналогии с тео-
рией потенциала можно сказать, что выражение (12.22) есть
представление поля с помощью «простых источников» с поверх-
ностной плотностью du/dN.
Из (12.22) несложно получить интегральное уравнение для
этого тока. Поле и в свободном члене слева в (12.22) опреде-
лено в любой точке ri пространства; будем эту точку прибли-
жать к поверхности металла. Поместив точку наблюдения rv
на поверхность, и еще раз воспользовавшись граничным усло-
вием (12.216), получим искомое интегральное уравнение пер-
вого рода для поверхностного тока:
u°(r1) = ^^p-G(r, r,)dS. (12.23)
Такие уравнения в математическом смысле некорректны.
Связано это по существу с тем, что при малом изменении левой
части, т. е. электрического поля источника на поверхности тела
в отсутствие этого тела, искомый ток ди/dN изменяется сильно.
Непосредственное решение некорректных задач на ЭВМ, во-
обще говоря, связано со значительными трудностями. Иногда
пользуются предварительной регуляризацией уравнения. Один
из способов регуляризации состоит в том, чтобы превратить
уравнение первого рода в уравнение второго рода, добавив
к правой части искомую функцию в виде слагаемого с некото-
рым коэффициентом:
r/)dS. (12.24)
Это уравнение уже не является некорректным. Оказывается, что
§ 12]
ПОЛЕ В ДИЭЛЕКТРИКЕ И ТОК НА МЕТАЛЛЕ
121
если выбрать последовательность а„, стремящуюся к нулю, то
соответствующая последовательность решений уравнения (12.24)
стремится к решению (12.23). Существуют и другие способы ре-
гуляризации.
12.5. Металлическое тело; Д-поляризация; интегральное
уравнение второго рода. Уравнение (12.23) получено переводом
точки наблюдения fi в (12.22) на поверхность металла; особен-
ность в ядре очень слабая, и единственное осложнение состоит
в том, что уравнение первого рода некорректно, для его реше-
ния, вообще говоря, следует производить регуляризацию. Сей-
час мы получим для того же тока на металле корректное урав-
нение второго рода, в котором неизвестная функция ди/dN на-
ходится не только под интегралом, но и в свободном члене. Для
этого продифференцируем обе части соотношения (12.22) по
нормали к некоторой поверхности Si, которая почти совпадает
с поверхностью металла S, находится от нее на малом расстоя-
нии. Затем совместим поверхность Si с S, т. е. поместим точку
наблюдения Г! на металл. Тогда в свободном члене окажется
та же функция du/dN, что и под интегралом:
du (rt) _ du° (n) a CG, х ди (г)
dNt ~' dNt dNt J G dN
Чтобы получить интегральное уравнение второго рода, введем
дифференцирование по нормали под интеграл:
ди (ri) ___ диа (гр
dNt dNi
dO (г, rd ди(г) jc,
dNt dN
(12.26)
Ядро dG/dN имеет сильную особенность, и для численного
анализа уравнение (12.25) следует преобразовать, произведя
фактическое интегрирование в малой области, окружающей
особенность. Это преобразование можно сделать для металли-
ческого тела, не имеющего вершин или ребер. Уравнение вто-
рого рода может быть переписано таким образом, чтобы особен-
ности под интегралом не содержалось. Оказывается, что инте-
гральный член в (12.25) может быть представлен в виде
д С _ ч <Эи(г) лс 1 ди (rd , CdG(r,rd du(r)je,
-dN7jG<r> r^~dN~dS-~ -2-dNT+j—liNt----------------dN~dS’
(12.27)
где перечеркнутый интеграл взят в смысле главного значения,
т. е. точка г = и, в которой функция dG(r,r\} /dN\ имеет силь-
ную особенность, исключена из области интегрирования. Соот-
ношение (12.27) мы получим в п. 12.8; подставим его в (12.25).
122 ФУНКЦИИ ГРИНА И ВЫВОД ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. IV
Таким образом, интегральное уравнение второго рода для тока
на поверхности гладких металлических тел имеет вид
1 да(Г1) ди°(гд С дв (г, п) ди (г)
2 dNi “ М,‘ J dUi ~dN аг>'
12.6. Металлическое тело; /7-поляризация; интегральное
уравнение первого рода. Задача сводится, как известно, к ска-
лярной, в которой нормальные производные поля равны нулю
на поверхности тела:
a) bu + k2u = f, б) -^-|s = 0. (12.29)
Напомним, что переход от векторной задачи к скалярной воз-
можен, если задача двумерная, а тело и поле не зависят от
координаты z. Поле и пропорционально Hz, так что производ-
ная du/3M|s может быть названа электрическим полем, каса-
тельным к металлу. На поверхности тела и пропорционально
току на металле.
При условии (12.296) из формулы Грина (11.4в) получаем
соотношение для магнитного поля всюду в пространстве:
«(r1)-«°(rl)+ \u(r)^^-dS. (12.30)
Интеграл берется по поверхности тела.
Попытаемся теперь получить интегральное уравнение пер-
вого рода для тока на металле. Для этого устраним неизвестную
функцию и(г\) из свободного члена тем же приемом, какой мы
применили для вывода уравнения первого рода в предыдущем
случае f-поляризации. Именно, нужно перевести точку г\ на
поверхность металла (ri—>г/$) и воспользоваться граничным
условием. Но на этот раз в граничном условии равно нулю на
поверхности не поле и, а его производная. Поэтому схема вы-
вода интегрального уравнения несколько меняется. Сначала,
введя поверхность 5ц близкую к S, возьмем нормальную произ-
водную от обеих частей (12.30):
<?м(г.) ди°(гд , д С , , 5G (г, ГО ле ПП п»
Переведем точку г\ на поверхность и внесем дифференцирова-
ние под интеграл. Учитывая условие (12.296), получим
-TWT— $“<>> (12’32>
На этот раз уравнение первого рода не только некорректно, как
и любое интегральное уравнение такого типа, но в отличие от
(12.23), где особенность под интегралом была очень слабой,
§ 121 ПОЛЕ В ДИЭЛЕКТРИКЕ И ТОК НА МЕТАЛЛЕ |23
здесь особенность под интегралом очень сильная, неинтегрируе-
м.ая, и формально правая часть (12.32) не существует. Это есть
следствие незаконного введения производной по АЛ под знак
интеграла. Тем не менее, мы выписали здесь уравнение (12.32),
имея в виду, что иногда, например в вариационных методах,
в процессе преобразований возникают двойные и тройные инте-
гралы, в которых неинтегрируемые особенности становятся ин-
тегрируемыми.
От неинтегрируемой особенности в (12.32) можно изба-
виться, вынося оба дифференцирования под интегралом за знак
интеграла. Учитывая, что функция uG dS удовлетворяет при
г #= ri волновому уравнению и вводя эту вспомогательную функ-
цию, можно вместо одного интегрального уравнения получить
два — дифференциальное и интегральное уравнения первого
рода. Здесь мы этого делать не будем.
12.7. Металлическое тело; //-поляризация; интегральное
уравнение второго рода. Чтобы получить из соотношения (12.30)
уравнение второго рода, т. е. оставить неизвестный ток на ме-
талле и в свободном члене, достаточно точку наблюдения и
перевести на поверхность:
U(r1) = «°(r1) + ^u(r)^-^±dS. (12.33)
Это уравнение второго рода, оно корректно. Под интегралом —
сильная особенность такого же типа, как в (12.26).
Для гладких тел можно убрать особенность из ядра инте-
грального уравнения (12.33). Для этого воспользуемся соотно-
шением (см. следующий пункт)
$«(г) dS=iи (Г1) + f и dS> <12-34)
в котором, аналогично (12.27), интеграл с сильной особенностью
заменялся интегралом в смысле главного значения, где особая
точка г = Г[ исключена из области интегрирования, и выделена
в виде свободного члена регулярная в этой точке функция —
сомножитель перед ядром интеграла. Подставим (12.34) в
(12.33). Получаем интегральное уравнение второго рода для
тока на поверхности гладкого металлического тела
4и (г,) = и° (rj + ju(r) д-аfaГ1^ dS. (12.35)
12.8. Потенциал двойного слоя и производная потенциала
простого слоя. Формула (12.27) представляет собой, по сущест-
ву, известное из теории потенциала соотношение между пре-
делом, к которому стремится производная потенциала простого
124 ФУНКЦИИ ГРИНА И ВЫВОД ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ [ГЛ. TV
слоя при приближении к поверхности в какой-либо ее точке,
и значением плотности простого слоя в этой точке. Приведем
схему вывода этой формулы, например, для трехмерной задачи.
Для любой гладкой функции Ф имеет место очевидное соот-
ношение
$фж^-ф(0>^‘/5+1фж-,/-* 5- (12-36>
S
Справа первый интеграл есть предел при а —О интеграла, взя-
того по кругу радиуса а с центром в упомянутой точке О,
Ф(0)— значение Ф в этой точке, а второй ин-
теграл взят в смысле главного значения —
он есть предел при а-^-0 интеграла, взятого
по всей поверхности, за исключением круга
радиуса а.
В первом интеграле можно функцию Гри-
на (11.8в) заменить функцией Грина уравне-
ния Лапласа, G = —1/4 л 7?, /? = |г — rj, а
поверхность — плоскостью. Обозначим цилин-
дрические координаты на этой плоскости
(г, ф) , dS = rdrd<p; на ней 2 = 0 и =
= г2 + г2, где zi отсчитывается по нормали к
поверхности. Очевидно, что d/dNi =d/dzi
(рис. 12.1), и поэтому d(\/R~) /dN\ =—z^/R3.
по ф дает множитель 2л, и для первого инте-
грала в (12.36) будет
а
S dS= __ (1Гф (12.37)
о

Рис. 12.1. К выво-
ду формулы
(12.39).
При 21 ->0 эта величина принимает неопределенный вид 0-оо.
Неопределенность эта легко раскрывается, так как(r/R3) dr =
= — d (1/R). При нижнем пределе г = 0 эта величина равна
— l/|zi|. Значение при верхнем пределе входит во второй ин-
теграл в (12.36). Произведение — zi/2 на —l/|zi| равно —1/2
или +1/2 в зависимости от знака z\. Отсюда, в частности, сле-
дует известный результат о скачке нормальной производной по-
тенциала простого слоя при переходе через поверхность; при
21-»--0 и 21 —>+0 значения этого слагаемого отличаются на
единицу.
Таким образом, при 2i->—0
—т- «2-38>
5 12] ПОЛЕ В ДИЭЛЕКТРИКЕ И ТОК НА МЕТАЛЛЕ 125
Отсюда следует, что
$ Ф~^7 ds = " Тф<°) + f ф -S^dS- <12-39)
Во втором интеграле можно просто положить zj = 0. Для пло-
ской поверхности он равен нулю. Полагая в (12.39) Ф = du/dN,
получим (12.27).
Для доказательства формулы (12.34) надо сначала функцию
Грина с 7?2 = r2 + (z — zi)2 продифференцировать по г и лишь
затем положить г = 0. Так как d/dz =—d/dz\, то мы вновь
получим тот же интеграл (12.37), только с противоположным
знаком, и, по аналогии с (12.39), переходя к пределу Zi ->—0,
будем иметь (*)
$ф^з=4ф(°) + } ф-^s. <12-4°)
Это известное соотношение между пределом, к которому стре-
мится потенциал deouHoeo слоя при приближении к поверхности
в какой-либо ее точке, и значением плотности двойного слоя
в этой точке Ф(0). Положив в (12.40) Ф = и, получим (12.34).
Формулу (12.38) — точнее, такую же формулу для dG/dN
с изменением знака — можно получить, не используя явный вид
функции G(*). Для этого надо провести сферу радиуса а с тем
же центром 0 и проинтегрировать уравнение Лапласа, опреде-
ляющее G, т. е. уравнение AG = 6з(г— П), по области, ограни-
ченной кругом на поверхности 5 и полусферой, лежащей при
z 0. Так как точка и лежит в этой области, то объемный ин-
теграл равен единице. Поверхностный интеграл состоит из ин-
теграла от dG/dN, взятого по площади круга, и интеграла
от dG/dN, взятого по полусфере. Последний интеграл равен 1/2,
так как [см. текст после (11.8) [ интеграл по всей сфере от
dG/dN равен единице. Поэтому интеграл по площади круга
равен 1/2. Так получается формула (12.40), и, с учетом того,
что d/dz\ = —d/dz, формула (12.39). Достоинство этого спо-
соба вывода известных формул (12.39) и (12.40) состоит в том,
что он почти без изменений переносится на двумерную задачу.
12.9. Возбуждение длинного тонкого вибратора. Рассмотрим
задачу, в которой удается продвинуться в исследовании реше-
ния интегрального уравнения довольно далеко. Задача состоит
в исследовании.распределения тока на тонком вибраторе; стро-
гая постановка приводит к интегродифференциальному уравне-
нию для тока, содержащему в правой части внешнее (падаю-
щее, по нашей обычной терминологии) электрическое поле.
В уравнении наряду с производными от тока есть еще инте-
гральный член от распределения тока; этот интеграл учитывает
влияние на ток излучения и отражения от всех точек вибратора.
126 ФУНКЦИИ ГРИНА И ВЫВОД ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ [ГЛ. IV
Тонкий вибратор представляет собой цилиндр радиуса а
и длины L, причем длина цилиндра много больше радиуса, а ра-
диус — много меньше длины волны'.
a/L «1, ka < 1. (12.41)
Решается система уравнений Максвелла, причем решение нахо-
дится через вектор Герца П, удовлетворяющий неоднородному
волновому уравнению
(Д + 62)П = -^/. (12.42)
Компоненты поля получаются дифференцированием вектор-по-
тенциала.
Для получения уравнения для тока найдем электрическое
поле, вызванное этим током. Затем на поверхности вибратора
приравниваем нулю сумму этого поля и поля падающего:
(E + E°)ls = 0. (12.43)
Второе условие, которому должен удовлетворять ток — ра-
венство нулю его продольной компоненты на концах проводника:
/г1г-±ь/2 = 0- (12.44)
Очевидно, для выполнения этой программы необходимо свя-
зать ток с полем. Предполагая, что распределение тока по
окружности проводника равномерно, и оставляя всюду только
компоненту /2, определим продольную составляющую вектора
Герца (остальные компоненты имеют порядок a/L}:
П2 = -^-р2-^— dS, (12.45)
где /?— д/(2 — ?)2 + г2- Здесь П2 выражена через интеграл от
произведения /2 — поверхностного тока — на функцию Грина
трехмерной задачи (с точностью до коэффициента). Электриче-
ское поле, после удержания только членов старших порядков
(по параметру a/L, т. е. для тонкого проводника), имеет на
поверхности также только продольную компоненту, связанную
с вектор-потенциалом соотношением
£*=(-£г + *2)П- (12.46)
Покажем, что в выражении для П2 можно выделить большой
параметр, равный логарифму отношения поперечного размера
вибратора к длине волны:
|1п/га)> 1. (12.47)
$ 12] ПОЛЕ В ДИЭЛЕКТРИКЕ И ТОК НА МЕТАЛЛЕ [27
Членами порядка отношения поперечных размеров к длине
волны и к длине вибратора будем последовательно прене-
брегать.
Преобразуем Пг (12.45), предварительно заметив следующее:
величина вектора есть расстояние между точкой наблюдения
и точкой интегрирования; для случая, когда обе точки находятся
на поверхности вибратора, приближенно можно считать, что под
интегралом будет «пинцетная» функция, которая выделяет
из-под интеграла значение функции-сомножителя в данной
точке. Можно вынести особенность (она оказывается довольно
слабой, логарифмической) за знак интеграла. Для того чтобы
произвести это выделе’ние, запишем интеграл в виде суммы двух
интегралов так, чтобы первый из них не имел особенности при
уменьшении толщины вибратора до нуля, а второй после инте-
грирования дал логарифм от ka:
С ; e~lkR Г ; е-ш?—1 . С , dl
Таким образом, выражение для Пг имеет форму
Щ = и [/2 (г)] + 24 /г (г) In ka. (12.48)
Интеграл (12.45) расходится при а = 0, но эту расходимость
удалось выделить в члене с In Ап, поэтому в операторе U можно
уже полагать а = 0.
Подставив (12.48) в (12.46) и воспользовавшись граничным
условием (12.43), получим интегродифференциальное уравнение
для тока на поверхности вибратора:
j" (z) + k2j (z) = (V [j (z)] + £°), (12.49)
где оператор V — результат действия на оператор С/ оператором
(d2/dz2 + k2), Е° = Е*.
Решение этого уравнения ищется в виде разложения по об-
ратным степеням Inka (так называемое экспоненциальное при-
ближение) :
/ = /о + х/1 + %2/2+ (12.50)
где % = 1 /21п ka. Здесь малой величиной является не 1 /ka,
а 1/1п&а; а так как логарифм — очень медленная функция, то
это значит, что рассматриваются чрезвычайно тонкие прово-
лочки. Продвинуться дальше аналитически не удается, реальные
тонкие (ka 1) провода приходится рассчитывать с помощью
ЭВМ. Итак, если 1x1*^ 1> то ток ищем в виде (12.50); подстав-
ляя этот ряд в основное уравнение и приравнивая коэффициенты
128
ФУНКЦИИ ГРИНА И ВЫВОД ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. IV
при одинаковых степенях %, придем к системе дифференциаль-
ных уравнений и граничных условий:
/о+^2/о = 0. . * /о(±А/2) = О,
/[' + k2j{ = г<в (V [/о] + £°), Д(±А/2) = 0, (12.51)
/2 + [Л]> h (± ^/2) = о-
Применим изложенный метод к простому случаю настроен-
ного диполя:
kL = nn: (12.52)
длина вибратора равна или кратна целому числу полуволн. Из
первого уравнения и граничного условия (12.51) следует, что
распределение тока вдоль вибратора не зависит от падающего
поля; ток имеет вид
/о = IQ cos kz (12.53)
при п нечетном. Амплитуда Jo находится из требования, чтобы
полученное решение было ортогонально к правой части уравне-
ния первого порядка:
[io]Е°) cos kz dz — Q. (12.54)
Учитывая, что V [/0] = iQV [cos kz], получим
/0 = —Е° cos kz dz V [cos kz] cos kz dz^ . (12.55)
Амплитуда тока зависит от падающего поля; как было сказано
выше, структура тока от него не зависит.
Более сложна ситуация, в которой вибратор не настроен,
feL =И= пл. Тогда нулевой ток (12.50) равен нулю, /0 = 0; ток
имеет порядок 1/1пЛа, и структура его сильно зависит от па-
дающего поля.
§ 13. Интегральные уравнения для электрического поля
в отверстии экрана
13.1. Отверстие в плоском экране; Е-поляризация. Иногда
проще вводить в качестве неизвестной функции не ток на ме-
талле, а поле на отверстии. Так часто поступают в антенных
задачах. В радиолокационных антеннах энергия подводится по
волноводу к облучателю, который посылает излучение на по-
верхность вогнутого отражающего зеркала. Найти ток на криво-
линейной поверхности зеркал труднее, чем определить поле на
апертуре антенны, т. е. на плоскости, затягивающей контуры
зеркала, а уже затем по этому полю — поле в дальней зоне.
§ 131 ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ В ОТВЕРСТИИ ЭКРАНА 129
Здесь мы рассмотрим более простую задачу о плоском без-
граничном металлическом экране с отверстием. Справа и слева
от экрана имеются некоторые источники; поле этих источников
при наличии экрана без отверстия найти нетрудно. Это поле
возмущено отверстием в экране; наша цель — найти полное поле.
Схема построения интегрального уравнения такова: в каче-
стве неизвестной скалярной функции и принимаем электриче-
ское поле в плоскости отверстия. Предполагаем (эта логика
всегда лежит в основе вывода интегральных уравнений), что это
поле известно; и так как, кроме того, известно поле и = Е на
металлической поверхности экрана (оно равно нулю), то задано
поле по всей плоскости. Решается граничная задача — по элек-
трическому полю на плоскости находим поле во всем простран-
стве слева и справа от плоского экрана. По этому полю нахо-
дим магнитное поле, т. е. нормальные производные du/dN,
в частности, на отверстии. Приравнивая нормальные производ-
ные поля слева и справа отверстия, получаем искомое инте-
гральное уравнение для электрического поля на отверстии.
Проделаем эти действия. Сформулируем предварительно
задачу: ищется решение волнового уравнения с заданными ис-
точниками и нулевом граничным условием на экране:
а) Д« + Л2ц = Д б) «|5о = 0, (13.1)
где So—плоский металлический экран с отверстием. Поле и
его нормальные производные должны быть непрерывны в пло-
скости отверстия. Введем функцию Грина полупространства,
ограниченного заметаллизированным экраном (отверстие в ко-
тором закрыто металлом) с граничным условием
<?1з==0, (13.2)
где S — заметаллизированная поверхность (сплошная металли-
ческая плоскость). Такая функция Грина, как нетрудно получить
из соображений о замене экрана изображением источника в нем,
имеет вид (при z > 0)
. z -ikH f.ikH'y
°—тк-СЧ-----------тт) <I3-3>
где R— расстояние от точки интегрирования до точки наблюде-
ния (т. е. до координаты 6-источника функции Грина), а /?' —
расстояние от точки интегрирования до зеркального изображе-
ния точки наблюдения. Эта функция Грина удовлетворяет
уравнению, при z > 0 (ось z перпендикулярна плоскости экра-
на) имеет лишь одну особенность (при R = 0) и равна нулю на
поверхности. Разумеется, столь простая форма функции Грина
получается только для бесконечного экрана без отверстий.
g Р, Б. Ваганов, Б, 3. Клцеыеленбаум
130
ФУНКЦИИ ГРИНА И ВЫВОД ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ [ГЛ. IV
В формуле Грина для (11.4а) интеграл по бесконечной полу-
сфере выпадает из-за того, что и роле и функция Грина удов-
летворяют условию излучения, а в интеграле по поверхности
экрана второй член исчезает из-за граничного условия (13.2),
а в первом остается только интегрирование по отверстию из-за
граничного условия (13.16); кроме того, остается и объемный
интеграл — поле и+ источников, расположенных при z > 0, ко-
торое эти источники создавали бы, если бы не было отверстия.
Поле при z > 0 равно:
ы = J „JgLjs. (13.4)
3-3»
Здесь 0+—функция Грина (13.3), созданная точечным источ-
ником, расположенным справа от полностью заметаллизирован-
ного плоского экрана; S— So — поверхность отверстий в экране.
Ищем таким же способом поле и слева от экрана. Вследствие
изменения знака нормали
w = u“— ц • dS. (13.5)
3—Зо
Здесь, аналогично (13.4), G~—функция Грина, созданная то-
чечным источником, расположенным слева от экрана S; и~ —
поле сторонних источников, расположенных в том же полупро-
странстве. Заметим, что и — это полное поле, определенное
в (13.4) справа от экрана и на отверстии, в (13.5) — слева от
экрана и на том же отверстии. В (13.4) и (13.5) и под интегра-
лами— одна и та же функция, ибо и непрерывно на отверстии.
Теперь потребуем, чтобы нормальная производная от полей
(13.4) и (13.5) на отверстии справа и слева была также одной
и той же функцией, т. е. поставим условие непрерывности нор-
мальной производной. Получаем, таким образом, соотношение
= -Д- и — ^-^dS. (13.6)
dNi dNi dN\ J \ dAZ dN / v 7
5—5o
Здесь, так же как и в (12.32), строго говоря, нельзя ввести
производную под интеграл — из-за сильной особенности в ядре
интеграл при этом расходится. Уравнение (13.6) обычно сводят
к двум, дифференциальному и интегральному. Если все же вве-
сти нормальную производную под интеграл, получим интеграль-
ное уравнение первого рода:
ди+ ди~ ____f . ( d2G+ д2О~ \ , .
dNy dNt ~~~ JU\dNi dN dN^dNj^'
Это уравнение, с очень сильной особенностью в ядре, иногда
называется, так же как и уравнение первого рода (12.32) для
§ 13] ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ В ОТВЕРСТИИ ЭКРАНА 131
тока на металле (//-поляризация), псевдоинтегральным. Заме-
тим, что слева в (13.6) стоит разность магнитных полей на от-
верстии, которые возникли бы из-за излучения источников справа
и слева от экрана при условии, что отверстие закрыто металли-
ческой пленкой. Таким образом, для составления интегрального
уравнения задачи об определении электрического поля на от-
верстии в металлическом экране достаточно знать производные
функции Грина и поля источников на экране в отсутствии от-
верстия.
13.2. Отверстие в плоском экране; Я-поляризация. В задаче
с другими граничными условиями
a) \u + k^u=f, б) •#! =0 (13.8)
log
неизвестной функцией, которую можно будет определить, решая
интегральное уравнение, является также электрическое поле
в отверстии, на этот раз оно пропорционально du/dN. Введем
функцию Грина
a) AG + fe2G = 6, б) (13,9)
Для плоского экрана функция Грина полупространства, удовле-
творяющая (13.8), имеет вид
Поле справа от экрана (и на самом отверстии) равно
« = - \ G+*LdS + ut, (13.11)
S —So
поле слева от экрана (и на самом отверстии)
u = J G~~dS + u-0. (13.12)
3-So
В (13.11) и (13.12) подразумевается, что производная поля
du/dN под интегралами есть одна и та же функция. Обеспечим
теперь непрерывность полей и на отверстии:
— ио == J (G+ — G~)dS. (13.13)
s-s.
Таким образом, получено интегральное уравнение первого рода,
где неизвестной величиной является du/dN, т. е. электрическое
поле на отверстии. В левой части уравнения — разность uf—«7
магнитных полей справа и слева экрана при закрытом металли-
ческой пленкой отверстии. Это уравнение в отличие от (13.7)
имеет очень слабую, интегрируемую, особенность в ядре.
5*
132
ФУНКЦИИ ГРИНА И ВЫВОД ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. IV
В задачах о дифракции на отверстии всегда ищется электри-
ческое поле, так как задача об определении магнитного поля
в отверстии оказывается более сложной, ибо неизвестно магнит-
ное поле на продолжении отверстия.
13.3. Уравнения первого и второго рода. Подытожим сказан-
ное об интегральных уравнениях для магнитного поля (тока) на
поверхности металлического тела и для электрического поля
в отверстии плоского экрана.
Получены уравнения первого рода, в которых неизвестная
функция и (г) (или du(r) /dN) находится под интегралом, а сво-
бодный член F(ri)—известные поля источников:
F(rl) = К (г, r/)u (r)dS. (13.14)
Для тока на металле при Д-поляризации и для электрического
поля на отверстии при /7-поляризации ядро имеет при г = г\
слабую особенность [см. (12.23), (13.13)]. Для тока при /7-по-
ляризаций и для поля на отверстии при Д-поляризации ядро
неинтегрируемо, особенность г = и очень сильная [см. (12.32),
(13.7)].
Для тока на металле получено уравнение второго рода:
u(r/) — F(r/) + К {г, r/)u(r)dS, (13.15)
в котором неизвестная функция и (г) (или ди/dN) находится
не только под интегралом, но и в свободном члене. Для Е-
и /7-поляризаций ядро имеет 6-образную особенность при г = и
[см. (12.26), (12.33)]. Для гладких тел эту особенность можно
устранить из-под интеграла, взяв интегралы в смысле главного
значения [см. (12.28), (12.35)].
Для наглядности сведем эти интегральные уравнения вместе.
Получается следующая схема:
А. Е-поляризация, и|s == О
Металл:
u(r1)“«°(r1)-$G(r, rx)^-dS. (12.22)
Функция Грина свободного пространства. Переносим и на
поверхность: r-*ri|s, используем граничное условие
n)^p-dS. (12.23)
Уравнение первого рода, слабая особенность.
Выразим слева ту величину, которая стоит под интегралом,
г. е. возьмем нормальную производную. Переносим г\ на по-
§ 13] ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ В ОТВЕРСТИИ ЭКРАНА 133
верхность. Вносим производную под интеграл:
ди (г,) _ ди° (л) f dG (г, л) ди (г) .
dNt ~ dN, J dN, dN~a^‘
Уравнение второго рода, 6-образная особенность.
Отверстие:
и (ri) = и° (ri) + j ц (г) dG^ -Г1) dS.
Функции Грина полупространства. Обеспечиваем непрерыв-
ность нормальной производной поля на отверстии. Вносим про-
изводную под интеграл:
ди+ ди~ f , .( d2G+ d2G~ \
dN, dN, ~}U^\dN dN, dNdNi)dS- (13-7)
Уравнение первого рода, очень сильная (неинтегрируемая) осо-
бенность.
Б. Я -поляриз ация, (ди/dN) | s = О
Металл:
«(Г1) = «°(г1)-Ь J -Gg^ Г1) u(r)dS.
(12.30)
Функция Грина ceododnoeo пространства. Дифференцируем
по нормали, переносим п на поверхность, используем гранич-
ные условия, производную вносим под интеграл:
<5н° (л)
dN,
d2G (г, л)
dNidN
и (г) dS.
(12.32)
Уравнение первого рода, очень сильная, неинтегрируемая осо-
бенность.
Переносим точку наблюдения л на поверхность. Сразу по-
лучаем
и (л) = и° (л) + $ Г1) и (г) dS. (12.33)
Уравнение второго рода, 6-образная особенность.
Отверстие:
«(л) = «° (п) - $ G (г, л) dS.
Функция Грина полупространства. Обеспечиваем непрерыв-
ность поля на отверстии
«+ (л) - и~ (л) - J -^pL[G+ (г, И) - G" (г, л)Ш (13.18)
Уравнение первого рода, слабая особенность.
134
ФУНКЦИИ ГРИНА И ВЫВОД ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ [ГЛ. IV
Таким образом, для обеих поляризаций получаются инте-
гральные уравнения всех трех упомянутых типов.
13.4. Векторная задача.*В векторном варианте интегральные
уравнения получаются из леммы Лоренца теми же приемами,
что и скалярные уравнения. Граничное условие на металле
Z?f|s = 0 используется сначала для получения из общей фор-
мулы (11.19) выражения для поля всюду в пространстве через
интеграл по поверхности металла:
а) аЕ^^аЕЦгд-[E^(r, n)И(r)]WldS,
„ { (13.16)
б) аН (rj = аЯ° (и) + ^- Ф [£(m) (г, г О Н (r)k dS.
Функции Грина £(е) есть в векторном случае решение уравнений
Максвелла с электрическим диполем в правой части, —
с магнитным диполем.
Теперь, как обычно делалось выше, поместим точку наблюде-
ния и на поверхность металла. Получим связь между полем
на поверхности и интегралом от того же поля по той же поверх-
ности, т. е. интегральное уравнение. Направим единичный век-
тор а по касательной к поверхности металла. Получим уравне-
ние первого рода (13.17) и уравнение второго рода (13.18) для
касательного магнитного поля Ht на металле, с точностью до
множителя и направления, совпадающего с поверхностным
током:
аВ°(г1) = ^гф[В(в)(г, r\)H(r)}NdS, (13.17)
аН (и) = аН° (г,) + -£ $ [£<т> (г, г,) Я (г)]„ dS. (13.18)
Интегральное уравнение для электрического поля Е на от-
верстии в металлическом экране получаем из той же леммы
Лоренца, в которой используют функции Грина полупростран-
ства с плоским экраном. Интегрирование производится на пло-
скости экрана, получаем в результате магнитное поле слева или
справа от экрана в виде интеграла по отверстию:
аЯ±(г1)^аЯ$(г1)--^[Я('п)±(г, г0 E(r)]NdS. (13.16в)
Переносим точку наблюдения и на поверхность, затягивающую
отверстие, и обеспечиваем непрерывность магнитного поля на
отверстии, приравнивая Я+(Г[) и Я-^); при этом единичный
вектор а направляем по касательной к плоскости отверстия.
§ 13}
ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ В ОТВЕРСТИИ ЭКРАНА
135
В результате получаем интегральное уравнение первого рода
для электрического поля в отверстии:
О [»«+ ('.)-»«-ОД] -
r,))fi(r)LrfS. (13.19)
13.5. Индуктивная диафрагма в волноводе. Рассмотрим при-
мер получения интегрального уравнения для электрического
поля на отверстии тонкого металлического экрана, на этот раз
в волноводе. Отличие от задачи, рассмотренной в п. 13.1, со-
стоит в том, что вместо функции Грина полупространства (13.3)
возникает функция Грина волновода.
Векторная задача может быть сведена
к скалярной, например, в простом случае
прямоугольного волновода с индуктив-
ной диафрагмой (края экрана парал-
лельны узкой стенке волновода) и па-
дающей на экран волны типа Ню, у ко-
Рис. 13.1. Индуктивная
диафрагма в волноводе.
торой имеется единственная компонента
электрического поля Еу, параллельная
краям экрана (рис. 13.1). Геометрия за-
дачи такова, что никаких других компонент электрического поля
не возникает, под полем и можно понимать Еу.
Пусть экран расположен в поперечном сечении z — 0. Слева
на диафрагму, т. е. на экран с отверстием, падает одна из соб-
ственных волн волновода; обозначим ее индексом «нуль». В кон-
кретном случае, рассматриваемом нами, волна с этим индексом
есть Ню. Результатом решения этой задачи должно быть опре-
деление амплитуды волноводных волн, возникающих при ди-
фракции падающей волны на экране, справа и слева от диа-
фрагмы.
Поле слева от экрана представляет собой сумму падающей
волны и волн, которые возникли при дифракции на отверстии
и идут во встречном направлении:
Е AnunQih^.
п-0
(.13.20)
Справа поле есть сумма прошедшей с коэффициентом прохож-
дения D волны ио и собственных волн волновода, идущих от
препятствия вперед:
u = Duoe-ift^+ Е Anune~lh< (13.21)
n—l
Совпадение коэффициентов в (13.20) и
тем, что дифракционные поля, уходящие
(13.21) объясняется
в противоположных
136
ФУНКЦИИ ГРИНА И ВЫВОД ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ (ГЛ. IV
Рис. 13.2. Емкостная
диафрагма в волноводе.
фоагмы в свободном
направлениях от диафрагмы, возбуждаются одним и тем же
источником — электрическим полем и, установившимся на от-
верстии экрана. Иными слбвами, равенство амплитуд волн, рас-
сеянных диафрагмой вперед и назад, обеспечивается непрерыв-
ностью поля на отверстии (для бесконечно тонкого экрана).
Следует отметить, что отличие (13.20), (13.21) от (13.4),
(13.5) не только в том, что вместо функции Грина (поле б-ис-
точника) используется функция Грина —
собственная волна волновода (ср.
п. 12.3), но и в том, что берутся соб-
ственные волны регулярного волновода,
бегущие в одном из двух направлений, а
не стоячие волны, возникающие при ме-
таллизации отверстия в экране, как надо
бы взять, если бы мы полностью следо-
вали логике п. 13.1. Некоторое упрощение
аппарата по сравнению со случаем диа-
пространстве связано с возможностью
использовать ортогональность собственных волн волновода.
Можно выразить коэффициенты разложения полного поля
в волноводе через и на отверстии, используя упомянутые свой-
ства ортогональности
Ап = цип dS, n=l,2,..., D — uzzq dS, D = 1 -f- Ло.
(13.22)
Теперь воспользуемся условием равенства нормальных про-
изводных поля на отверстии, т. е. магнитного поля Нх. Продиф-
ференцируем (13.20) и (13.21) по z и приравняем результаты
при z = 0; получим соотношение
— h^u^Ao = У*, hnunAn. (13.23)
п
Выразим Ап через неизвестное поле и на отверстии. Учитывая
(13.22), получаем интегральное уравнение первого рода:
F (у) = и (х) К {х, y)dx, (13.24)
где F (у) = h0 и0 (у), а ядро (*)
К (х, у) = 2 hn ип (у) ип (х). (13.25)
Оно имеет очень сильную особенность в точке у — к, ряд (13.25)
в этой точке расходится. Это соответствует общей схеме и фор-
муле (13.7).
$ 13] ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ В ОТВЕРСТИИ ЭКРАНА 137
Если бы мы рассматривали задачу о емкостной диафрагме
(рис. 13.2), то ситуация была бы проще. Поскольку все поля за-
висят от у по одному и тому же закону (пропорциональны
sinjtz//a или cosny/a), то задача сводится к //-поляризации
при замене k на д/й2 — л2/а2. Для //-поляризации мы получили
бы уравнение того же типа (13.24), но величина hn в ядре вхо-
дила бы в каждое слагаемое не в числителе, как в (13.25),
а в знаменателе. Это обеспечивает сходимость ядра во всех точ-
ках, даже при у = х, т. е. ядро не будет иметь особенности, со-
гласно общей схеме и формуле (13.13).
Г л а в a V
ВАРИАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ
В этой главе на нескольких простых примерах проиллюстри-
рована идея одного из наиболее мощных приближенных мето-
дов, применяемых в теории дифракции — вариационного метода.
В большей части § 14 этот метод применяется к задаче об
определении собственной частоты закрытого резонатора. Именно
для этой частной задачи вариационный аппарат разработан
наиболее подробно. В § 15 изложен способ, позволяющий приме-
нить вариационные методы в основной задаче дифракции, т. е.
для определения поля, дифрагированного на каком-либо теле.
Основная идея вариационного метода состоит в том, что для
искомой величины (например, собственной частоты) находится
такая формула, выражающая эту величину в виде интеграла от
какой-либо функции (например, от поля собственного колеба-
ния), которая, во-первых, дает точное значение искомой вели-
чины, если в нее подставить точное значение функции, и, во-вто-
рых, при подстановке приближенного значения функции дает
для искомой величины приближенное значение с существенно
меньшей погрешностью, чем погрешность подставляемой функ-
ции. Такие выражения (функционалы — они дают число в ре-
зультате операций, производимых над функцией) называются
стационарными функционалами. В § 15 будут рассмотрены ста-
ционарные функционалы от двух функций.
Зная стационарный функционал, можно свести задачу о при-
ближенном вычислении искомой величины к вычислению не-
скольких интегралов, а при более точном расчете — к решению
алгебраического уравнения, коэффициентами которого также
являются интегралы от известных функций.
§ 14. Стационарный функционал
для собственных значений. Метод Ритца
14.1. Собственная частота резонатора. Начнем с простейшей
задачи об определении собственной частоты k скалярного вол-
нового уравнения
Д^ + Л2м = 0 (14.1 а)
§ 14] ФУНКЦИОНАЛ ДЛЯ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ 130
для внутренней области объемного резонатора, ограниченного
поверхностью S, на которой должно выполняться граничное ус-
ловие
(14.16)
Искомым собственным значением будет квадрат собственной
частоты, т. е. k2.
Построение вариационного метода начинается с нахождения
стационарного функционала, удовлетворяющего двум условиям,
сформулированным во введении в эту главу. В задаче (14.1)
такой функционал, как мы сейчас проверим, имеет вид
/<(«)== (14.2)
Для упрощения дальнейших выкладок предположим, что все
рассматриваемые функции вещественны, так что К.{и) можно
записать в виде
7<(м)= \(Vu)2dV f^tfdV. (14.3)
Результаты, полученные ниже для функционала (14.3), спра-
ведливы и для (14.2), т. е. принятое ограничение (и —и*) не
необходимо.
Покажем, что (14.3) удовлетворяет обоим условиям. Обозна-
чим решение задачи (14.1) через ио. Нам понадобится первая
формула Грина (4.2), которую запишем в виде
VWw dV + v &wdV = ф v-^j-dS. (14.4)
Полагая в ней v = и0, w = и0 и учитывая (14.1), получим, что
первое условие действительно выполняется, т. е. что
/<(Ыо) = Й!2. (14.5)
Стационарность (14.3), которую мы сейчас будем проверять,
означает, что если функция и близка к «о:
и = «о + цФ, ц 1, (14.6)
где пока на функцию Ф не наложено никаких ограничений, то
отличие К (и) от k2 имеет более высокий порядок малости, чем
ц. Именно,
Я(ц0-Ь1хФ) = А>2{1 + О(ц2)}. (14.7)
Доказательство очень просто. Подставив (14.6) в (14.3), по-
лучим
( (V«o)2 dv + 2ц ( V«o 7Ф dV + О (ц2)
К («0 + цФ) = ~г-------------=!-------—— (14.8)
\ «О dV 2ц \ «0Ф dV + О (ц2)
140
ВАРИАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ
1ГЛ. V
Первый член числителя, согласно (14.3), (14.5), в k2 раз
больше первого члена знаменателя. Покажем, что так же отно-
сятся и вторые члены числителя и знаменателя. Это следует из
(14.4), если принять w = и0, v = Ф и учесть, что и0 удовлетво-
ряет волновому уравнению и условию (14.16). Именно вслед-
ствие этого условия исчезнет поверхностный интеграл в (14.4)
при преобразовании второго члена в числителе (14.8), и бу-
дет (*)
J Vu0 V® dV = k2 J «оФ dV. (14.9)
Таким образом,
k2 ( u20dV + 2ц*2 “оф dV + О (ц2)
К («О + р.Ф) = —(Г—-------г----------------, (14.10)
u20dV + 2р. и0Ф dV -J- О (ц2)
откуда и следует основная формула (14.7).
В этом доказательстве на функцию Ф не накладывалось ни-
каких ограничений, кроме того только, чтобы участвующие
в (14.3) интегралы существовали. Следовательно, стационар-
ность оператора К достигается на искомой функции и0 при лю-
бых близких к и0 функциях и. Функции и — так называемые
функции сравнения — не обязаны при этом удовлетворять ка-
кому-либо определенному уравнению или каким-либо опреде-
ленным граничным условиям. Они должны лишь быть непре-
рывными, иначе не будет, вообще говоря, выполняться (14.9).
Для доказательства основного равенства (14.7) надо было
использовать только (14.1). Граничное условие (14.16) обладает
тем свойством, что если ы0 удовлетворяет ему, то для выполне-
ния (14.7) не надо накладывать никаких условий на функции
сравнения. Такое граничное условие называется естественным
для данного функционала. Условие (14.16) естественное для
(14.3). В п. 14.3 мы рассмотрим более сложную ситуацию.
Зная свойство (14.7) для функционала (14.3), можно найти
приближенное значение собственной частоты задачи (14.1),
подставив в (14.3) какую-либо функцию, приближенно решаю-
щую эту задачу.
Например, для двумерной задачи о круге единичного ра-
диуса решение (14.1) с наименьшим значением собственной час-
тоты k, как известно, есть
и0 = Ji (kr) cos qp, (14.11)
а значение ka равно 1,84. Согласно (14.5), K(u0) = (1,84)2, что
можно было бы проверить прямым вычислением интегралов,
входящих в (14.3), при подстановке в них (14.11) и замене dV
на dS — rdrdq>.
§14] ФУНКЦИОНАЛ ДЛЯ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИИ 141
Для того чтобы проиллюстрировать (14.7), подставим
в (14.3) м = Лгсоз<р — очень грубое приближение к и0 (14.11).
Так как (14.3) однородно относительно и, то множитель А не
существен. Вычисляя интегралы, найдем 7<(ц) — 4, т. е. полу-
ченное значение /га — 2 отличается от правильного значения
/га — 1,84 всего лишь на 8%. Часто удается из каких-либо вспо-
могательных соображений, например, из решения электростати-
ческой задачи с той же симметрией, найти лучшее приближение
к ио и тем самым с высокой точностью вычислить /г2.
14.2. Метод Ритца. Можно, однако, значительно эффективнее
использовать то обстоятельство, что функционал (14.3) стацио-
нарен. Изложим основы метода, позволяющего в принципе найти
/г2 с любой точностью. Запишем функцию и в виде ряда по си-
стеме функций vn
и=ХапЯп- (14.12)
п
Функции vn должны обладать некоторыми простыми свойства-
ми — их, грубо говоря, должно быть достаточно много. Суще-
ственно, что на них не налагается требование удовлетворять
уравнению (14.1а) или граничному условию (14.16). Например,
в задаче о круге такими функциями могут быть vn = rn cos /гф.
Подставим (14.12) в (14.3). Производя несложные преобра-
зования, получим явное выражение для функционала /<(и) как
функции коэффициентов
У У, ^птапат
к (и) = ------, (14.13)
/ , / , Yптапат
пт
где Хпт и Ynm — интегралы от известных функций (*)
Xnm^\jNvn\?vmdV, Ynm=^vnvmdV, (14.14)
т. е. известные числа.
Если коэффициенты ап выбраны таким образом, что (14.12)
равно «о, то все частные производные от К по а\, аг ... равны
нулю. Действительно, (14.7) означает, что любое отклонение и
от «о вызывает изменение К, квадратичное по этому отклоне-
нию. В частности, если это отклонение состоит в том, что ai
вместо правильного значения, при котором ряд (14.12) равен и0,
принимает другое, близкое значение, то К должно измениться
на квадрат разности этого правильного и близкого значения аь
а это и значит, что
? = 0, 4^ = 0, ... (14.15)
dat ’ да2 ’ '
где последующие уравнения написаны по аналогии.
142
ВАРИАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ
[ГЛ. V
Таким образом, ап могут быть найдены из (14.13) и (14.15),
а найдя ап, можно найти по (14.13) неэкстремальное значение
К, т. е. искомое собственное значение k2.
Фактически находить ап не надо, форма функции (14.13)
такова, что определение k2 не требует предварительного опреде-
ления коэффициентов ап. Найдем уравнение для k2, заменив
сначала нахождение стационарного значения отношения (14.13)
двух квадратичных форм от ап эквивалентной задачей — нахож-
дением стационарного значения числителя при знаменателе,
равном единице, т. е. условного экстремума квадратичной формы
Е X ^nmanam при условии, что переменные ап не независимы,
п тп
а связаны уравнением
ZI^A=1. (14.16)
п tn
Как известно, эта задача, в свою очередь, применением ме-
тода Лагранжа сводится к определению безусловного экстре-
мума функции
R = Е Е —Z, Е Е Ynmanam. (14.17)
пт пт
Таким образом, вместо системы (14.15) для ai, аг, ... можно
решать относительно аь аг, ... и буквы L совокупность урав-
нения (14.16) и уравнений
~ = 0, “ = 0, ... (14.18)
ocii дй2 v 7
Уравнения эти имеют вид системы однородных линейных урав-
нений относительно ап:
Е Хптап - k2 Е Ynman = 0, (14.19)
п п
При этом значение числа L, которое получается из системы
(14.18), (14.16), и есть искомое экстремальное значение функ-
ции (14.13), т. е. то значение ее, которое она принимает при
подстановке величин а\, аг, являющихся решением уравнения
(14.15) или, что то же, уравнений (14.19). Мы уже использо-
вали это, заменив в (14.19) L на. А2.
Равенство L = k2 следует из того, что эти уравнения (их
иногда называют уравнениями Ритца — Галеркина) могли бы
быть получены непосредственно из (14.15), без обращения к ап-
парату условных экстремумов и множителей Лагранжа. Для
этого следует умножить равенство (14.13) на сумму, стоящую
в знаменателе, и продифференцировать по а\, а2 ..., учитывая
(14.15), т. е. считая К = const. Мы получили (14.19) из (14.17),
§ 14] ФУНКЦИОНАЛ ДЛЯ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИИ 143
так как в литературе стационарные функционалы часто приво-
дят в форме, аналогичной (14.17).
Таким образом, значение k2 находится раньше, чем значе-
ния ai, а2, • • •, которым оно соответствует; k2 есть корень урав-
нения
Det|Z„OT-^y„m| = 0, (14.20)
которое должно выполняться, чтобы система (14.19) для ai,
аг, ... имела нетривиальные решения. Найдя из (14.20) k2,
можно из (14.19) найти отношения аг. а2: .... а из (14.12) —
собственную функцию (с точностью до нормировки).
Вычисление А2 по (14.14) и (14.20) требует разумного выбора
функций vn — так, чтобы ограничиваясь небольшим числом чле-
нов в бесконечном детерминанте (14.20), мы получили бы хоро-
шее приближение к истинному значению k2, быстро сходящееся
к нему с ростом числа строк и столбцов, сохраняемых в детер-
минанте.
14.3. Естественные граничные условия. Во всем этом аппа-
рате для доказательства экстремальности функционала К. не
накладывалось никаких ограничений на функции сравнения и
(кроме непрерывности). Стационарность К обеспечивалась свой-
ствами функции Uo, в том числе граничным условием (14.16).
Эта стационарность достигается на любых функциях сравнения,
в частности при любом выборе функций vn в методе Ритца.
Ситуация будет иной, если мы будем искать собственное
значение другой задачи
а) Ам-|-/г2м = 0, б) «|5=0, (14.21)
отличающейся от (14.1) другим граничным условием. Простая
проверка показывает, что функционал (14.3) обладает, по-преж-
нему, свойством (14.5), но стационарен он, вообще говоря, не
будет, т. е. для него не будет выполняться основное свойство
(14.7). Действительно, при преобразовании второго слагаемого
в числителе (14.8) по (14.4) вместо (14.9) получим
dV == к2^ и0Ф dV (14.22)
Для того, чтобы К было стационарно на «о, нужно, чтобы вто-
рое слагаемое в (14.22) было равно нулю. При граничном усло-
вии (14.16) это выполнялось при любой функции Ф, при гра-
ничном условии (14.216) — только при функциях Ф, которые
сами удовлетворяют этому условию. Поэтому и функции vn
в методе Ритца для задачи (14.21) должны удовлетворять гра-
ничному условию (14.216). Необходимость предварительно по-
лучить достаточно богатый набор функций, удовлетворяющих
144
ВАРИАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ
(ГЛ. V
граничному условию, существенно затрудняет использование
метода.
Граничное условие*(14.216) не является, таким образом, ес-
тественным для функционала (14.3). Можно так изменить этот
функционал, чтобы сделать и граничное условие (14.216) есте-
ственным. Действительно, простая проверка показывает (*), что
функционал
K(zz) = Q(Vzz)2dK-2^w ^-ds]/J«2rf7 (14.23)
будет стационарен на решении задачи (14.21) для любых непре-
рывных функций сравнения. При подстановке и — и0 + цФ вто-
рое слагаемое в (14.23) дает член, пропорциональный ц, кото-
рый сократится с контурным интегралом, возникающим, со-
гласно (14.22), от первого слагаемого. Таким образом, к (14.23)
можно уже применять, например, метод Ритца с любыми функ-
циями vm- При этом коэффициенты детерминанта (14.20) будут
даваться формулами, отличными от (14.14); эти формулы легко
получить из (14.23).
14.4. Уравнения Максвелла. Перенесение всего этого аппара-
та на векторную задачу не требует привлечения новых идей.
Рассмотрим задачу о нахождении собственной частоты закры-
того резонатора с идеальными стенками, т. е. значения k, при
котором уравнения
rot If — ikE = 0, rot Е + ikH — 0, (14.24а)
с граничным условием
Et = 0 (14.246)
на замкнутой поверхности имеют внутри этой поверхности нену-
левые решения. Функционалы зависят теперь не от скалярной
функции, а от вектора. Простейший стационарный на решении
задачи (14.24) функционал имеет вид
К (Я) = J (rot Я)2 dV/$ Я2 dV. (14.25)
Для упрощения записи мы ограничились вещественными функ-
циями. Все дальнейшие рассуждения сохранятся, если допустить
комплексные вектора Я и заменить в (14.25) квадраты векто-
ров произведениями их на комплексно сопряженные.
Если Но — решение задачи (14.24), то функционал (14.25)
обладает свойством, которое является основным во всех по-
строениях этой главы:
7С(Я0 + цФ) = fe2[l + О (р,2)], (14.26)
где Ф — любой непрерывный вектор, для которого интегралы
в (14.25) существуют. Другими словами, функционал (14.25)
5 Ifl
ФУНКЦИОНАЛ ДЛЯ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИИ
145
стационарен на решениях задачи (14.24), и граничное условие
(14.246) для него естественное.
Доказательство (14.26) повторяет доказательство свойства
(14.7) и основано на формуле, заменяющей (14.4):
ArotadV = a rot AdV — ф [aA]NdS. (14.27)
Подставив в (14.25) Но + и® и отбросив члены второго порядка
по ц, получим (14.26), если покажем, что
а) (rot Яо)2 dV = k2 Hl dV,
г г (14.28)
б) j rot Но rot Ф dV =. kz Н0Ф dV.
Оба эти равенства получаются из (14.27), если в нем принять
А = Ео и заменить Ео и rotEo по (14.24а), а под а понимать Но
для (14.28а) или Ф для (14.286) (*). Существенно, что согласно
(14.246) поверхностный интеграл в (14.27) равен нулю.
Для другого функционала
К(Е) = J(rotE)W/$ E?dV (14.29)
граничное условие (14.246) не является естественным, и он ста-
ционарен на решениях задачи (14.24), только если все функции
сравнения удовлетворяют этому граничному условию.
И здесь можно так изменить функционал, чтобы граничное
условие (14.246) было для него естественным. А именно, легко
проверить, что функционал
( (rot В)2 dV + 2 (£> [rot Е BL, dS
K(E) = -d----------г---?----------- (14.30)
\ E2 dV
обладает свойством
• /С (Eo-f-р.Ф) = й2 [ 1 + О (p.2)] (14.31)
для любых Ф, если Ео — решение (14.24). К функционалам этого
пункта применимы методы, описанные для функционалов (14.3),
(14.23), в частности, метод Ритца, требующий, разумеется, за-
дания системы векторных функций для разложения Н или Е.
14.5. Резонатор с диэлектриком. Можно написать стационар-
ные функционалы, дающие квадрат собственной частоты для
закрытых резонаторов, частично заполненных диэлектриком.
Проще всего полагать е(х, у, z) непрерывной функцией коорди-
нат, тогда не надо будет обеспечивать выполнение условий (2.1)
146
ВАРИАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ
1ГЛ. V
на границе, диэлектрика. В реальных задачах, в которых е есть
кусочно постоянная функция, легко потом перейти к пределу
разрывного е.
Функционал, стационарный* на решениях уравнений
rot Н — iksE == 0, rot£ + zW = 0 (14.32)
с граничным условием (14.246) на металле, будет
K=\^{rotH)2dV/^iPdV. (14.33)
В стационарных точках он принимает значение fe2. Это легко
проверить таким же методом, как мы проверяли стационарность
(14.25) и (14.29) (*). Из этой проверки следует также, что гра-
ничное условие (14.246) естественное для (14.33). Можно запи-
сать К. и для резонатора с отличной от единицы магнитной
проницаемостью, с тензорным заполнением и т. д.
14.6. Стационарный функционал для собственного импеданса.
Как мы отмечали в § 10, решение задачи дифракции можно
представлять в виде ряда по собственным функциям однородных
задач; в которых собственным значением служит не частота,
а поверхностный импеданс. В скалярной записи однородная за-
дача запишется так:
а) Дц + k2u = 0, б) (м + — 0. (14.34)
Величина w — собственное значение этой задачи — играет
в рядах (10.3) примерно ту же роль, что и k2— собственное
значение задач (8.3) или (14.1), так что зная w как функцию
частоты, можно в резонансных условиях определить частотную
зависимость амплитуды. Поэтому существенно, что можно на-
писать функционалы, стационарные на решениях задачи (14.34)
и принимающие в стационарных точках значения w. Простей-
ший такой функционал имеет вид
W(u)== ^u2dv/\^2u2 — (ku)2\dV. (14.35)
Используя (14.22) и граничное условие (14.346), легко про-
верить (*), что, действительно,
Г(цо + нФ)==®[1+ О(Р2)]. (14.36)
Так как искомое собственное значение входит в граничное усло-
вие, то подчинить этому условию функции сравнения нельзя,
и могут быть использованы только функционалы, для которых
оно естественно.
Задача (14.34) имеет смысл и для внешних задач дифрак-
ции, когда w комплексная величина. При этом надо либо добав-
§ 1ST
ФУНКЦИОНАЛЫ ДЛЯ КОЭФФИЦИЕНТОВ ОТРАЖЕНИЯ
147
лять к. интегралам в (14.35) еще слагаемые, либо, что проще,
полагать k слегка комплексным; это обеспечивает их сходи-
мость. В отличие от функционалов для k2, в рассмотренных
выше внутренних задачах дифракции без потерь, функции и в
(14.35) теперь обязательно комплексны. Функционал w прини-
мает комплексные значения и на ио достигает не экстремума,
а именно стационарного значения. Для формального примене-
ния, например, метода Ритца, этого достаточно, и весь форма-
лизм (14.12)— (14.20) применим к (14.35) и для внешних за-
дач, однако вопросы, связанные со сходимостью решений урав-
нения (14.20), в этом случае значительно сложнее.
§ 15. Стационарные функционалы для коэффициентов
отражения и преобразования й для полей
15.1. Коэффициент отражения от диафрагмы. Выше вариаци-
онный аппарат применялся для определения собственных значе-
ний нескольких однородных задач, которые (гл. III) являются
вспомогательными для задач дифракции. Однако его можно ис-
пользовать и непосредственно для задач дифракции, т. е. для
нахождения коэффициентов отражения, прохождения и, вообще,
полей, являющихся решениями неоднородных уравнений.
Проиллюстрируем эту идею на задаче о коэффициенте отра-
жения от диафрагмы в волноводе, для которой она и была сна-
чала применена. Для прямоугольного волновода и индуктивной
или емкостной диафрагмы задача эта сводится к скалярной.
Мы в общем виде сформулируем ее как скалярную, чтобы не
усложнять запись.
Электрическое поле и на отверстии диафрагмы удовлетво-
ряет интегральному уравнению первого рода (13.14). Для индук-
тивной диаграммы ядро в прямоугольном волноводе в явном
виде выписано в (13.25). Мы запишем это уравнение в виде
и (х) F (х, Х[) dx — F (xi). (15.1)
Здесь как х, так и хц вообще говоря, являются совокупностью
двух координат (х, у) и (xi,i/i); интеграл взят по отверстию
в диафрагме; F(x\)— магнитное поле падающей (с одной сто-
роны) волны; w (х) — электрическое поле. Для Н-поляризации
оно было раньше обозначено dufdN, но в этом пункте мы не
уточняем характер поляризации и сохраняем для электрического
поля это обозначение. Ядро К(х, Xi) выписано в общем виде
в (13.7) и (13.13), а в векторной записи — в (13.19). Суще-
ственно, что оно симметрично; это является выражением прин-
ципа взаимности. В гл. IV показано, что уравнение для ы(х)
нельзя (например, для Д-поляризации) записать в виде (15.1),
148
ВАРИАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ
(ГЛ. V
ибо нельзя производить дифференцирование под знаком инте-
грала, которое может быть необходимым для получения не ин-
тегродифференциального, а именно интегрального уравнения
(15.1). Но так как в окончательные выражения войдут только
двукратные интегралы от К(х, х>), то мы сохраним запись
(15.1), ибо формальное введение производных под знак инте-
грала, приводящее к расходящемуся ядру, с последующим дву-
кратным почленным интегрированием приводит к верным ре-
зультатам. В векторной форме ядро вообще говоря, имеет
слишком сильную особенность, и применять (13.19) к точкам
в отверстии нельзя. Однако и здесь можно формально совершить
предельный переход (точка наблюдения помещается в отвер-
стии) под знаком интеграла, также имея в виду, что возникаю-
щее расходящееся ядро будет в окончательных формулах стоять
под знаком двукратного интеграла.
Коэффициент отражения 2? от диафрагмы получается из
и(х) интегрированием, и с точностью до несущественных мно-
жителей
1 +/?== ^u(x)F(x)dx. (15.2)
Таким образом, для того чтобы найти /?, надо найти и из (15.1)
и вычислить интеграл (15.2). Вторым множителем в интеграле
является правая сторона уравнения для и.
Оказывается — и эта идея лежит в основе всех построений
этого параграфа — что можно написать функционал
( ( и (х) F (х) dxY
L(»)= , (15.3)
\ \ К (х, xi) и (х) и (xi) dx dx\
который при подстановке вместо и решения (15.1) даст l-f-2?
и стационарен на этом решении. Если обозначить решение (15.1)
через «о, то утверждается, что
L (и0 + рф) = (!+/?) [1 + 0 (р2)]. (15.4)
Доказательство при р — 0 очевидно — из (15.1) следует, что при
этом числитель равен квадрату знаменателя, так что L{u0) —
— ^UoFdx, а это, согласно (15.2), есть искомая величина. Ста-
ционарность доказывается стандартным способом, подстановкой
в (15.3) и = uq + цф и разложением числителя и знаменателя
по р с сохранением только членов порядка р. Числитель при
этом будет равен
(\ u0F dx\2 + 2р u0F dx epF dx,
(15.5а)
§ 16] ФУНКЦИОНАЛЫ ДЛЯ КОЭФФИЦИЕНТОВ ОТРАЖЕНИЯ 149
а знаменатель
К (х, X]) и0 (х) и (xj dx dxx + pi <р (xj) dx{ К. (х, х^ «0 (*) dx +
4- ц <р (х) dx К. (х, x^ti^x^dx^. (15.56)
Первый член числителя в раз больше первого члена
знаменателя (*). Для того чтобы доказать, что это справедливо
и для слагаемых, пропорциональных ц, надо в (15.56) заменить
внутренние интегралы по (15.1). При этом используется сим-
метрия К(х, xi) («•)
Таким образом, определение R можно производить, минуя
вычисление и из (15.1). Достаточно для этого применить к
(15.3), например, метод Ритца или подставить в (15.3) функцию
и, найденную каким-либо приближенным способом. Именно та-
ким образом и определяются часто коэффициенты отражения
от препятствий в волноводах.
15.2. Матрица рассеяния от диафрагмы. Коэффициент отра-
жения R получается, согласно (15.2), интегрированием и, умно-
женного на ту же функцию F, которая стоит в уравнении для и.
От неоднородности не только отражается падающая волна, но
и рассеиваются волны других номеров. Вычисление их амплитуд
представляет собой интерес для широких волноводов, где не-
которые из этих рассеянных волн являются незатухающими.
Для того чтобы по полю на отверстии вычислить амплитуду
какой-либо другой волны, рассеянной от диафрагмы, надо, со-
гласно теории возбуждения волноводов, вычислить интеграл от
произведения и на магнитное поле Ф(х) этой рассеянной волны,-.
А = и(х)Ф(х)Дх. (15.6)
Оказывается, что и для нахождения этих величин не нужно
предварительно определять и из (15.1) и затем производить
фактическое вычисление интеграла (15.6). Можно и для А
найти функционал, который будет стационарен на решении
уравнения (15.1) и будет давать при этом искомый коэффи-
циент рассеяния.
Для построения этого функционала надо ввести, одновре-
менно с и, еще функцию и(х), удовлетворяющую уравнению
К (х, Xi) v (xt) dx{ = Ф. (15.7)
Ядро этого уравнения совпадает с ядром уравнения (15.1), а
правой частью является функция, входящая в интеграл (15.6)
150
ВАРИАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ
{ГЛ. V
для искомой величины А. Функционал для А зависит от двух
функций и равен
\ F (х) о (х) dх • \ Ф (х) и (х) dx
L {и, о) = . (15.8)
\ \ К (х, и (х) v (xi) dx dxi
Обозначим решения уравнений (15.1) и (15.7), соответственно,
и0 и v0 и покажем, что действительно функционал (15.8) обла-
дает основным свойством
Л(«о + цф, п0 + цф)==Л[1 +О(ц2)], (15.9)
где ср и ф— произвольные функции. Умножим' для этого (15.1)
на v0 и проинтегрируем, а затем умножим (15.7) на и0 и проин-
тегрируем. Так как в (15.1) и (15.7) участвует одно и то же
ядро, то
Fv0 dx — Фп0 dx — KuoVo dx dxlt (15.10)
откуда следует, что подстановка в функционал (15.8) функций
и0 и vQ действительно придает ему значение А. Стационарность,
т. е. свойство (15.9), доказывается из сравнения членов, про-
порциональных р. в числителе
ц Фп0 dx j фУ7 dx + ц Fvo dx <рФdx (15.11а)
и в знаменателе (*)
М Ф (xi)dxt К (х, хг) и0 (х) dx + ц j ср (х) dx К (х, xt) vQ (*i) dx\.
(15.116)
Внутренние интегралы в последней строчке согласно интеграль-
ным уравнениям для и0 и о0 равны, соответственно, F(x\) и
Ф(х), т. е. вся строчка (15.11а) равна строчке (15.116), умно-
женной на j Фи0dx. Отсюда и из (15.10) и следует (15.9).
Таким образом, и для вычисления коэффициентов рассеяния
можно применить вариационный аппарат. Для каждой из рас-
сеянных волн магнитное поле выражается своей функцией Ф,
так что Vq зависит от того, амплитуда какой именно из рас-
сеянных волн вычисляется. Формулы предыдущего пункта яв-
ляются частным случаем формул этого пункта, когда рассеян-
ная волна имеет тот же вид, что и падающая, т. е. Ф s F, а
потому и функция v совпадает с и.
Функция v имеет простой физический смысл, вытекающий из
сравнения уравнений (15.1) и (15.7). Подобно тому, как и(х)"
является электрическим полем на отверстии, возникающем при
S 15J ФУНКЦИОНАЛЫ ДЛЯ КОЭФФИЦИЕНТОВ ОТРАЖЕНИЯ 151
падении основной волны (с магнитным полем F), функция v —
электрическое поле на отверстии, создаваемое падением волны
с магнитным полем Ф. Согласно первому равенству в (15.10),
амплитуда волны второго типа, возникающая при падении пер-
вой волны, равна амплитуде первой волны, возникающей при
падении на то же препятствие второй волны. Это есть частный
случай теоремы взаимности; этим же объясняется и симметрия
оператора (15.8) относительно полей обеих волн.
15.3. Стационарный функционал для поля. Схема построения
стационарного функционала для амплитуды волн рассеяния от
диафрагмы в волноводе может быть обобщена практически на
любую задачу теории дифракции. Покажем — опять в скаляр-
ной записи, как строится функционал типа (15.8) для задачи
о дифракции на теле, на поверхности S которого выполняется
граничное условие
«1з = 0. (15.12)
Примем, что источником служит б-диполь, т. е. ищем функ-
цию Грина этой задачи.
При этом будем применять весь аппарат не к электриче-
скому полю на отверстии (и, а затем и), как в предыдущих
пунктах, а к магнитному полю на металле. Соответственно пра-
выми частями интегральных уравнений, аналогичных (15.1) и
(15.7), будет не магнитное, а электрическое поле падающей
волны. Можно было бы и в волноводной задаче оперировать не
с полем на отверстии диафрагмы, а с током на диафрагме. При-
меняя в общем случае несколько иной вариант, мы подчерки-
ваем гибкость всего метода.
Обозначим точку, в которой расположен источник, знаком
гь точку, в которой хотим найти поле, г2, а точки на поверхности
тела через х или у, и, соответственно, через dx и dy — элементы
поверхности S около этих точек. Введем функцию Грина ва-
куума G (§ И). Поле в точке наблюдения выражается через
ток на поверхности S — так мы назовем функцию duw/dN.
Здесь индекс (1) означает, что ток этот создан источником,
расположенным в п. Поле в г2 равно сумме поля, создаваемого
в г2 в отсутствие тела, и поля, создаваемого током (12.22):
и (r2) = G (г„ г2) — 6 (г2, х) ди^х} dx. (15.13)
Функция du^/dN находится из интегрального уравнения пер-
вого рода, которое получаем, если в последнем равенстве поло-
жить точку г2 на поверхность. Обозначим эту точку буквой у.
Используя (15.12), получим
\g{x, y')-^Q~-dx = G{rl, у). (15.14)
152
ВАРИАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ
(ГЛ. V
Это интегральное уравнение в других обозначениях записано
в (12.23). Сопоставим (15.14) с (15.1). Неизвестная функция,
обозначенная в (15.1) через и, в (1544) обозначена du^/dN,
ядро и правая часть имеют вид>
К(х, i/) = G(x, ^), F(y) = G(rb у). (15.15а)
Надо вычислить дифрагированное поле, т. е. второе слагаемое
в (15.13). Этой величине можно придать вид (15.6), если по-
ложить
ф(х) = — G(r2, х). (15.156)
Следовательно, схема предыдущего пункта — решить уравнение
(15.1) и от решения взять интеграл (15.6) — имеет место для
любой задачи дифракции на металлическом теле. Поэтому и
здесь можно получить стационарный функционал, дающий в
своих стационарных точках искомую величину — дифрагирован-
ное поле.
Согласно схеме предыдущего пункта, надо ввести на S еще
одну функцию и(х), удовлетворяющую уравнению
G (х, у) v(x)dx = — G (г2, х). (15.16)
Из сравнения с (15.14) следует, что функция v только знаком
отличается от тока, возникающего на S под действием 6-источ-
ника, расположенного в г2, так что в очевидных обозначениях
и (х) = — ди&> (x)/dN. (15.15в)
Таким образом, функционал, дающий дифрагированное поле,
создаваемое в точке г2 источником, расположенным в г\ [второе
слагаемое в (15.13)], согласно (15.8) и (15.15), будет иметь вид
С <Э«(2) (х) f . д«(1) (х) ,
ч ди^(х) ди^(у) . , •
J J ° dN dN dx dy
Как и должно быть, он симметричен относительно перестановки
индексов 1 и 2. Напомним, что G — функция Грина вакуума.
Для фактического применения (15.17) надо обе варьируе-
мые функции dum/dN и du^/dN либо найти в каком-нибудь
приближении, либо разложить в ряд по какой-либо полной на S
системе функций и применить метод Ритца. При этом L ока-
жется отношением двух билинейных форм от коэффициентов
этих рядов, и уравнения типа (14.15) приведут к двум системам
однородных уравнений для этих коэффициентов, аналогичным
(14.19). Условие существования нетривиального решения при-
ведет опять к уравнению типа (14.20), в котором неизвестной
величиной является искомое дифрагированное поле.
s IBJ ФУНКЦИОНАЛЫ ДЛЯ КОЭФФИЦИЕНТОВ ОТРАЖЕНИЯ 153
Метод полностью применим и для определения характери-
стики рассеяния плоской волны. Вместо точек г\ и г% надо при
этом ввести направление, из которого приходит возбуждающая
волна, и направление, в котором ищется рассеянное поле. Функ-
ции G(ri, х) и С(гг, х) заменятся своими асимптотическими
формами (т. е. полем плоских волн), которые, например, для
двумерной задачи даются первым слагаемым в (11.11) с заме-
ной 0о на 01 и 02, соответственно. Функционал (15.17) дает
стационарное выражение для диаграммы рассеяния волны, при-
ходящей из направления 01, в направлении 02.
Метод может быть обобщен для дифракции на диэлектри-
ческих телах, для векторных задач и т. д. Основная его идея
состоит в вычислении интегралов типа (15.2), (15.6) [в частно-
сти, (15.13)] от решения интегральных уравнений первого рода
(15.1) [в частности, (15.14)], без фактического решения этих
уравнений.
Г л а в a VI
ИНТЕГРИРОВАНИЕ В ПЛОСКОСТИ
КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
В этой главе рассмотрены методы, основанные на представ-
лении искомого поля в виде интеграла Фурье. После того как
формальное решение в этом виде получено, его исследование
производится путем деформации контура интегрирования в пло-
скости комплексной переменной. Подробно рассмотрены мате-
матические приемы, связанные с такой деформацией, в частно-
сти— выделение однозначной ветви многозначной функции пу-
тем проведения разрезов и др. Основным результатом являются
приближенные формулы для поля на большом расстоянии от
источника и для амплитуд поверхностных волн. Метод приме-
няется к телам бесконечным (§§ 16, 17) и полубесконечным
(§ 18). Для бесконечных тел решение в виде интеграла Фурье
находится легко, центральной задачей исследования является
получение приближенных выражений.
§ 16. Возбуждение импедансной плоскости
(двумерный вариант)
16.1. Постановка задачи. Простейшей задачей этого типа
является нахождение скалярного поля u(x, z), возникающего
при возбуждении импедансной плоскости х — О, т. е. плоскости,
на которой выполняется граничное условие
(16Л)
где импеданс w — постоянная (не зависящая от а)’ величина.
Предполагается, что источники расположены в конечной обла-
сти пространства, вблизи начала координат.
Электродинамическая задача сводится к указанной двумер-
ной задаче, если источники содержат только у-к> компоненту
электрического или магнитного токов, притом не зависящие от
у; тогда и = Еу или и — Ну.
§161 ВОЗБУЖДЕНИЕ ИМПЕДАНСНОЙ ПЛОСКОСТИ 155
В двух частных случаях, соответствующих идеальному ме-
таллу (w = 0, если и—Еу; w — оо, если и — Ну~), задача при
любом возбуждении имеет простое решение — поле равно сумме
полей, создаваемых (в вакууме) заданными и отраженными
источниками. Простое решение задача имеет и в другом част-
ном случае — при падении плоской волны; при любом w возни-
кает только отраженная плоская волна. Это обстоятельство
будет положено в основу метода, намеченного в § 16.9. В общем
случае структура решения сложнее.
Условие излучения, которое надо поставить, чтобы задача
была сформулирована и имела однозначное решение, было по-
лучено в § 3 в предположении, что дифракция происходит на
теле конечных размеров. Для задачи о бесконечном теле оно
требует некоторого обобщения. Это вызвано тем, что если по-
верхность тела уходит на бесконечность, то из бесконечности
могут, при некоторых условиях, приходить не только объемные
волны (в двумерной задаче цилиндрические), но и поверхност-
ные. Обычное же условие возбуждения (3.22) гарантирует от-
сутствие только приходящих объемных волн. Мы упоминали
об этом в п. 3.4.
Прежде, чем сформулировать это обобщение, приведем фор-
мулу для поля поверхностной волны, распространяющейся
вдоль импедансной поверхности:
цпов (х, z) — e-i V*2-*» XQ-ihoZ^ (16.2)
При любом /г0 эта функция удовлетворяет однородному волно-
вому уравнению. Граничное условие (16.1) дает уравнение
для h0'.
— i — ho — 1/ш = 0, (16.3)
причем надо выбрать тот знак корня, при котором поле (16.2)
убывает при х->оо (т. е. поверхностная волна существует):
1тд//г2— /го < 0. (16.4)
Далее для простоты записи примем w вещественным. Из (16.3)
и (16.4) следует, что поверхностные волны могут распростра-
няться вдоль импедансной поверхности, если w < 0.
Таким образом, при w > 0 поверхностные волны не распро-
страняются, а при w < 0 могут распространяться две поверх-
ностные волны, поля которых убывают с х по закону exp (x/w),
с волновыми числами h — ±/io'.
/г0 = 1/ш2. (16.5)
Требуемое обобщение условия излучения состоит в том, что
поле не должно содержать также приходящих к началу коор-
динат плоских волн с волновыми числами ±h0.
156 ИНТЕГРИРОВАНИЕ В ПЛОСКОСТИ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ [ГЛ. VI
Сформулируем теперь задачу дифракции, введя вместо пол-
ного поля и дифрагированное поле обычным условием v =
— и — и°, где и0 — поле заданных источников в вакууме. Поле
v есть решение волнового уравнения
4. k2v — О
дх2 + дг2 ' й ° ~ U’
(16.6)
удовлетворяющее упомянутому условию излучения и гранич-
ному условию при х — 0, следующему из (16.1):
где f(z) — известная (т. е. определяемая только падающим по-
лем) функция:
Дифрагированное поле удовлетворяет однородному уравнению
и неоднородному граничному условию.
16.2. Разделение переменных. Решение уравнения (16.6) бу-
дем искать в виде суперпозиции частных решений, имеющих вид
произведения
к = д/1!2-й2. (16.9)
Выбор множителя ехр(—ihz) в этом частном решении опре-
деляется применяемым аппаратом интеграла Фурье. Второй
множитель находится при подстановке функции Х(х)ехр(—ihz)
в (16.6) и решении получающегося уравнения для Х(х). Для
более сложного, чем (16.6), волнового уравнения этот множи-
тель был бы сложнее — с этим мы встретимся в следующем
параграфе.
При любом значении h функция (16.9) удовлетворяет урав-
нению (16.6). Величина h есть постоянная разделения для ре-
шения (16.9), аналогичная, например, постоянной разделения
т в задаче дифракции на цилиндре (§ 5). Однако в задаче
дифракции на бесконечном теле постоянная разделения может
принимать (в отличие от т) любое значение, и поэтому общее
решение следует искать не в виде суммы, как в (5.10), а в виде
интеграла:
о(х, z)—^F(_h)&~ihz&~iKXdh. (16.10)
с
Контур С в основном совпадает с вещественной осью, его
положение мы уточним ниже.
Интеграл (16.10) удовлетворяет волновому уравнению для
любой функции F(h), для которой он существует (*). Подобно
§ I6Q
ВОЗБУЖДЕНИЕ ИМПЕДАНСНОЙ ПЛОСКОСТИ
157
тому, как коэффициенты рядов Релея (5.10) определялись из
функционального уравнения, следующего из граничного усло-
вия, функция F(h) находится из уравнения, получающегося под-
становкой (16.10) в (16.7):
( F (h.) | —ix j ^~ihzdh = f (z). (16.11)
с
Это уравнение должно выполняться для всех z. Поэтому оно
решается элементарным образом, по формуле обращения инте-
грала Фурье
(16.12)
где g(h) — фурье-сопряженная от известной функции f (z),
(16.8), то есть известная функция от h;
оо
= J f(z)ethzdz. (16.13)
— со
При этом мы не учитывали некоторого отличия контура С от
вещественной оси. Можно показать, что это отличие не нару-
шает правила обращения интеграла Фурье.
Формулы (16.10), (16.12) должны быть дополнены опреде-
лением значения на контуре С входящей в них двузначной
функции а — — h2. При h > k и h < — k, т. e. в области
в которой подкоренное выражение отрицательно, знак х опреде-
ляется из требования сходимости интеграла (16.10); множитель
ехр(—гхх) должен убывать при й->±оо. Для этого следует
принять
Imx<0 при h < — k и h> k. (16.14а)
В интервале —k <Zh<Z.k х вещественно. Поведение ' всего
интеграла (16.10) при х->оо определяется знаком х в этом ин-
тервале, так как в остальной части интеграла множитель
ехр(—ixx) при х—>со быстро убывает согласно (16.14а) (*).
Дифрагированное поле (16.10) должно при х-*-оо представлять
собой уходящую волну, и это будет иметь место, если
Rex>0 при —k < h < k. (16.146)
Формулы (16.14) определяют значение двузначной функции,
входящей в (16.12), при вещественных h.
Контур С, вообще говоря, не совпадает всюду с веществен-
ной осью, так как на нем подынтегральная функция может
обратиться в бесконечность и интеграл не будет иметь смысла.
Действительно, знаменатель функции Fiji) совпадает с левой
частью уравнения (16Д). При w <0 существуют два корня
168 ИНТЕГРИРОВАНИЕ В ПЛОСКОСТИ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ [ГЛ. VI
этого уравнения (16.5). Они лежат в той части вещественной
оси, в которой радикал определен по (16.14а), и в них радикал
(16.4) определен таким же образом.4 Следовательно, при w <Z О
на вещественной оси существует два полюса h — ±К0 функции
F(h). Положение контура С относительно вещественной оси
вблизи этих полюсов будет определено нами в п. 16.6 таким
образом, чтобы выполнялось не использованное еще условие —
отсутствие поверхностных волн, приходящих к началу координат
из 2 = ±оо.
16.3. Разрезы на плоскости комплексной переменной. Далее
мы будем преобразовывать интеграл (16.10) деформацией кон-
тура С в плоскости h — h' + ih". Это требует выбора на всей
плоскости определенной ветви двузначной функции к, входящей
в подынтегральное выражение.
Точки ветвления этой функции расположены на веществен-
ной оси при h = —k и h — k. Для того чтобы сделать функцию
х однозначной всюду в плоскости h, надо из этих точек провести
разрезы. Только после этого можно производить деформацию
контура. Как увидим в п. 16.5, в некоторой части пространства
Рис. 16.1. Разрез в
плоскости h.
= k + 0 К h =
именно существование этих разрезов в пло-
скости комплексной переменной определяет
структуру поля.
Условия (16.14), которым выбранная ветвь
функции х должна удовлетворять на вещест-
венной оси плоскости h, задают направление
обоих разрезов, т. е. определяют, в какой по-
луплоскости (верхней или нижней) должен
располагаться каждый из них.
Из точки h = k разрез должен быть про-
веден в нижнюю полуплоскость. Это следует
из того, что непрерывный переход от ft =
k — 0, который возможен только с выходом в
комплексную плоскость, согласно (16.14) должен происходить
В верхней полуплоскости (*). Из точки ветвления ft = —k раз-
рез следует проводить в верхней полуплоскости (рис. 16.1).
Разрезы должны уходить на бесконечность. Положение раз-
резов (между точками ft = —k и ft = zoo и точками ft = k и
h — —zoo) можно выбирать различным образом. Каждому по-
ложению разрезов соответствует свое определение ветви функ-
ции x=V^2 — ft2 во всей плоскости ft. Мы проведем разрезы
параллельно мнимой оси, это облегчит нам в п. 16.5 вычисле-
ние некоторых интегралов, входящих в приближенные формулы
для поля.
16.4. Особенность функции F(ft) при х = 0. Как увидим, по-
ведение Фурье-сопряженной функции от поля при ft—*±й
связано с асимптотикой поля при |z|->.oo вблизи поверхности.
§ I6J
ВОЗБУЖДЕНИЕ ИМПЕДАНСНОЙ ПЛОСКОСТИ
159
Так как все источники расположены вблизи начала координат,
то падающее поле u°(x, z) при х = 0, |z|->co асимптотически
пропорционально ехр(—ife|z|)/Vlzl- Зная эту асимптотику,
найдем особенность фурье-сопряженной от и0(0, z) при h-*-±k,
а затем, используя (16.8), (16.13) и (16.12), и особенность F(h).
В следующем пункте по этой особенности найдем асимптотику
полного поля при |z|-»-co.
Разложим и (О, z) и производную ди(х, z)/dx, взятую при
х = 0, в интеграл Фурье:
а) и° (0, z) = F° (й) e~ihz dh,
с
б) = J fxF° (Л) е-ihz dh.
с
(16.15)
Первая из этих формул является определением функции Р°(й).
Вторая получается из неё, если учесть, что согласно волновому
уравнению, разложение Фурье для м°(х, z) при малых х, х О,
получается из (16.15а) добавлением под интегралом множителя
exp(ixx) (*). Здесь в экспоненте следует брать другой знак по
сравнению с множителем в (16.10), так как поле и° создано
источниками, расположенными выше плоскости х = 0, и потому
должно вблизи этой плоскости иметь аналитическую форму,
обеспечивающую удовлетворение условиям излучения прй
х—>—оо [а не прих-э-оо, как (16.10)].
Обратив (16.15а), получим
оо
F°{h) = ~ \ z)eihzdz. (16.16)
Особенности F°(h) могут быть вызваны только расходимостью
этого интеграла при больших |z|. Асимптотика подынтеграль-
ного выражения есть

(г < 0),
ei (h—k'tz
{z > 0).
(16.17)
При всех h, кроме h = —k и h — k, (16.17) — знакопеременная
убывающая функция, и интеграл (16.16) сходится. При h — k
и при h ——k подынтегральное выражение в (16.16) имеет
асимптотику 1 /Vlz 1> т. е. знакопостоянно и убывает медленно,
интеграл расходится, FQ(h) имеет при этих значениях h особен-
ность. Легко показать, что эту особенность можно получить, не-
посредственно подставляя в (16.16) асимптотику (16.17), т. е.
160 ИНТЕГРИРОВАНИЕ В ПЛОСКОСТИ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ (ГЛ. VI
что разность между F°(h) и интегралом с подынтегральным вы-
ражением (16.17) конечна при всех А(*). Интеграл от (16.17)
вычисляется в явном виде; он равен 1/х.
Таким образом,
F0 (А) = <р (А)/х. (16.18)
Здесь <р(А)—конечная при всех h функция, определяемая уже
явным видом и°(х, г).
Теперь мы можем найти, т. е. выразить через эту же функ-
цию <р(А), и остальные участвующие в наших расчетах функции
от h. Согласно (16.8), (16.13) и формулам (16.15) (*)
g (А) = F° (А) (- ix + 1/w). (16.19)
Согласно (16.12) и (16.19) (*).
F (А) = F° (A) • (16.20)
В следующем пункте нам понадобится фурье-сопряженная
функция от полного поля и = и° + v при х = 0. Назовем её
Fu(h)', она равна F° (h.)F(h). Согласно (16.20) (*)
(16.21)
В отличие от F°(h) и F(A), функция Fu(h) остается конечной
при х = 0.
Для того чтобы функции F(A) и F“(A) были однозначны во
всей плоскости h, проведем те же разрезы, что и в предыдущем
пункте.
Формулы (16.21), (16.18) и (16.20) будут использованы в
следующем пункте.
16.5. Дополнительное поле вблизи поверхности. В этом пунк-
те мы проведем преобразование решения (16.10), которое позво-
лит получить явное приближенное выражение при х = 0, kz 1
и оценку в области пространства внутри параболы Ах2 = z, точ-
нее, в области
a) Az»l, б) Ах2 -С г. (16.22)
Преобразование это состоит в деформации контура С, а именно,
в переводе его в бесконечно удаленную полуокружность плоско-
сти h. Для различных точек пространства надо производить
различные деформации контура. Оно должно быть таким, что-
бы множитель ехр(—ihz) в (16.10), (16.15) обеспечивал ра-
венство нулю предела интеграла на полуокружности с ростом
ее радиуса. Выбор этой полуокружности — в верхней или ниж-
ней полуплоскости комплексной плоскости А — зависит от
знака z.
$ Тб] возбуждение импедансной плоскости tel
Будем исследовать поле в точках, расположенных в области
(16.22) при z > 0. В этом пункте будем искать не дифрагиро-
ванное поле V, а полное поле и. Деформируем контур в беско-
нечно удаленную полуокружность в нижней полуплоскости. Мо-
дуль функции ехр(—ihz) равен exp^'z), в нижней полупло-
скости h" < 0, и при z > 0 интеграл по полуокружности стре-
мится к нулю с ростом ее радиуса. Согласно основному свой-
ству интегралов в плоскости комплексной переменной, при де-
формации контура интеграл изменяет свое значение только при
прохождении контуром полюса; интеграл по новому контуру
равен интегралу по старому контуру плюс вычет в этом полюсе.
' Решающую роль в этой деформации контура играет вопрос
об однозначности подынтегральной функции. Только в области
однозначности возможно это преобразование. Однозначность
была нами обеспечена произведением разрезов, в частности,
разреза из точки h = k в нижнюю полуплоскость. При дефор-
мации контура он не должен пересекать разрез; он окружает
разрез петлей. Интеграл по этой петле равен интегралу, взя-
тому вдоль разреза от разности значений подынтегральной
функции по двум берегам разреза.
Таким образом, интеграл, которым выражается поле и(х, г),
равен сумме интеграла по разрезу и вычетов в полюсах, лежа-
щих между первоначальным контуром С и разрезом.
В этом пункте мы выведем приближенную формулу для ин-
теграла по разрезу. Положим сначала х = 0, т. е. найдем фор-
мулу для полного поля на самой импедансной плоскости. Поле,
описываемое этим интегралом, назовем дополнительным, имея
в виду, что если в полном поле содержится еще слагаемое, рав-
ное вычету, то старшим будем именно оно. Это слагаемое мы
найдем в следующем пункте.
Вдоль разреза множитель ехр (—i/iz) при kz1 быстро
убывает. С этим связаны и малость этого интеграла и свойство,
упомянутое в начале предыдущего пункта — значение интеграла
в основном определяется поведением подынтегральной функции
в малом интервале, примыкающем к точке h — k. Покажем это.
Введем вместо h безразмерную переменную интегрирования
t формулой h = k — ikt. При выбранном положении разреза
t — вещественная переменная, меняющаяся от t = 0 в точке
ветвления до t = оо. Интеграл по разрезу, с точностью до по-
стоянного множителя, равен
оо
I = ke~ikz J \Fu{h)e~ktgdt, (16.23)
о
где AF“(/i) — разность значений функции F“(/i) на берегах раз-
реза. Если обозначить значение х на одном берегу разреза через
6 Р. Б. Ваганов, Б. 3. Каценеленбаум 1
162 ИНТЕГРИРОВАНИЕ В ПЛОСКОСТИ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ [ГЛ. VI
х+, то значение этого корня на другом берегу разреза будет
—Х+- Явное выражение зависит от q>(h), т. е. от вида
возбуждения, но, согласно (16.21), при малых х (*)
AFu~x/w2, (16.24)
что достаточно для дальнейших оценок.
При kz~^> 1 (16.22а) в интеграле (16.23) существенна только
область малых t, t <; \/kz. При этих t х тоже малая величина,
х2 = 2ik2t. Если импеданс w не очень велик (точнее, если
z^>kw2), то выражение (16.24) имеет порядок q>(k)kt>/2w2, а
весь интеграл (16.23) — порядок (*)
I ~ <р (k) k'/2 rvQ'^lz312, (16.25)
что является основным результатом этого пункта. Дополнитель-
ное поле при условии (16.22а) мало и убывает, как l/z3''2.
Заметим, что оба слагаемых, входящих в дополнительное
поле — падающее поле и° и дифрагированное поле о — убывают
медленнее, как l/zl/2, однако старшие члены в их разложении
компенсируются. Закон убывания для п, о ~ l/zl/2, следует из
того, что AF(/i) имеет, согласно (16.20), порядок 1/х (при ма-
лых х), и подынтегральное выражение в интеграле, аналогич-
ном (16.23), есть f~1/2exp(—kzt). Для падающего поля закон
убывания ~1/г’/2 был положен нами в основу всего рассмо-
трения; разумеется, Д/?0(Л) имеет вблизи точки ветвления тот
же порядок 1/х (16.18).
Покажем теперь, что и при х =/= 0, но в области (16.226),
интеграл по разрезу тоже может быть оценен — именно это
обстоятельство и делает для этих точек целесообразным при-
менение описанного преобразования контура.
Зависимость и{х, г) от х в разложении Фурье определяется
в основном множителями ехр(/хх) и ехр(—/хх), согласно
(16.10) и замечанию после (16.156). Точные формулы зависят
от расположения источников, нам они не нужны.
В существенной части интеграла вдоль разреза х2 = 2ik2i,
и на одном из берегов разреза в подынтегральном выражении
всегда будет присутствовать возрастающий с х множитель
ехр(/гх^ )• Так как при этом t < l/kz, то именно в области
(16.22), при kx^Xjkz «С 1,этот множитель близок к единице,
т. е. не велик.
Таким образом, в области (16.22) дополнительное поле убы-
вает с z по закону гт*12, распространяется с фазовой скоростью
с и возрастает, оставаясь малым, при удалении от поверхности.
16.6. Возбуждение поверхностной волны. Подынтегральное
выражение (16.18) для падающего поля, очевидно, не имеет по-
люсов, поэтому поверхностные волны могут содержаться только
§ I6J ВОЗБУЖДЕНИЕ ИМПЕДАНСНОЙ ПЛОСКОСТИ
163
в дифрагированном поле (16.10), (16.20). При w > 0 полюсов
нет, т. е. вдоль импедансной поверхности
няются, и все поле в области (16.22) вы-
ражается интегралом по разрезу. Кон-
тур С совпадает с вещественной осью.
При w < 0 существуют два полюса
h — ±h0 (16.5); оба лежат на вещест-
венной оси. Контур С должен огибать
полюс h = —h0 снизу, а полюс h = ho
сверху (рис. 16.2). Любое другое его по-
ложение относительно полюсов, как мы
волны не распростра-
Рис. 16.2. Положение по-
люса в плоскости h.
сейчас покажем, дает решение, нарушаю-
щее условие излучения. При описанной
в предыдущем пункте деформации кон-
тура возникает, кроме интеграла по разрезу, еще слагаемое,
равное вычету в корне h = ho:

(16.26)
где N равно производной по h от знаменателя F(h), взятой в
корне этого знаменателя:
iV_^.(_iVF=X?-Jr)| (16.27)
Поле (16.26) представляет собой поверхностную волну (16.2),
идущую в сторону положительных z, т. е. уходящую от источ-
ника. Ее амплитуда равна 2nig(h0')/N; определенная формулой
(16.27) величина А равна, как легко проверить, who (*).
Если бы контур С проходил не под полюсом h = —h0, а над
ним, то возник бы вычет также и в этом полюсе. Зависимость
поля от z в этом слагаемом была бы exp(i7i0z). Оно представ-
ляло бы собой волну, идущую из бесконечности (г=4-оо)
к началу координат, и было бы нарушено условие излучения,
сформулированное после формулы (16.5). Так же доказывается,
что контур С не должен проходить под полюсом h — ho’, если
бы это имело место,то слагаемое (16.26) возникло бы при дефор-
мации контура в верхнюю полуплоскость. А так как такую де-
формацию можно производить для точек z < 0, то при таком
расположении С относительно полюса h — h0 поле слева от
источников содержало бы слагаемое, описывающее поверхност-
ную волну, идущую слева направо, т. е. из бесконечности
(z = —оо) к источникам, что исключено условием излучения.
Таким образом, вблизи плоскости — в области (16.22) —
поле состоит из поверхностных волн, расходящихся от начала
6*
164 ИНТЕГРИРОВАНИЕ В ПЛОСКОСТИ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ [ГЛ VI
координат (их нет при а>>0), и дополнительного поля, убы-
вающего при удалении от начала координат по закону г-3''2
(16.25).
16.7. Вычисление амплитуды поверхностной волны по задан-
ным токам. Формула (16.26) позволяет вычислить амплитуду
поверхностной волны по полю и0, создаваемому возбуждаю-
щими токами в вакууме. Существует другой способ вычисления
этой амплитуды, при котором получается формула, содержащая
непосредственно эти токи. Способ этот проще, он не требует
интегрирования в плоскости комплексной переменной. Его не-
достаток состоит в том, что он не позволяет оценить дополни-
тельное поле и указать область, где оно мало и где поэтому
полное поле имеет в основном структуру поверхностной волны.
Этот способ состоит в использовании леммы Лоренца для иско-
мого и вспомогательного поля; в качестве вспомогательного
поля надо взять поле встречной поверхностной волны. Этот
способ—-аналог вычисления поля токов с помощью функции
Грина (п. 12.3), роль которой играет вспомогательное поле.
Изложим этот метод, опуская математическое доказательство
законности проделываемых преобразований.
Так как мы хотим получить выражение для амплитуды по-
верхностной волны не через и°, а через сторонние токи j, то
рассматривать надо уравнение, содержащее эти токи, т. е. не-
однородное уравнение для полного поля:
+ + г). (16.28)
Поле и удовлетворяет граничному условию (16.1) и условию
излучения, которое легко сформулировать, зная условие излу-
чения для v — и — и°.
Вспомогательное поле введем формулой
un'(x, г) = егл’гел/ш. (16.29)
Это поле удовлетворяет однородному волновому уравнению и
тому же граничному условию (16.1). Обычным способом, при-
меняемым при выводе формулы Грина, получим формулу
$ ("‘°Sr - “ dS = $iu>i'dV- (16.30)
Интеграл распространим на все верхнее полупространство
х > 0. Поверхностный интеграл по плоскости х — 0 равен нулю,
так как и и и(1) удовлетворяют одному и тому же граничному
условию (16.1) (*). Интеграл по части поверхности, далекой от
плоскости х — 0, равен нулю, так как поле и(|) экспоненциально
убывает с ростом х. Интеграл по частям поверхности, примы-
§ 161
ВОЗБУЖДЕНИЕ ИМПЕДАНСНОЙ ПЛОСКОСТИ
165
кающим к плоскости х = 0, можно вычислять, заменяя эти ча-
сти плоскостями 2 = —d я z = d и затем устремляя d к беско-
нечности. В этих интегралах поле можно заменять полем пло-
ских волн, так как дополнительное поле убывает при |z|—>оо.
Все эти утверждения можно строго обосновать.
Интеграл (16.30) по плоскости z = —d равен, как легко
проверить, нулю, так как слева от источника поле и состоит
только из такой же волны, как (16.29), идущей притом в том
же направлении. Таким образом, для вычисления поверхност-
ного интеграла в (16.30) надо производить интегрирование по
плоскости z — d и подставлять вместо и поле плоской волны
Лехр(—ihoz + x/w), где А — искомая амплитуда; w <; 0. Инте-
грал этот легко вычисляется. Оказывается, что он только мно-
жителем i отличается от величины N, введенной в (16.27) как
производная знаменателя коэффициента Фурье. Таким образом,
$/(x, y)elh°z+xlwdV. (16.31)
Можно, разумеется, проверить, что (16.31) дает ту же ампли-
туду, что и (16.26). Для этого надо выразить и° через / по фор-
муле (11.9), где функция Грина G равна
(i/4)H{2i [fe д/(* — х)2 + (z — z)2 ],
и воспользоваться табличным интегралом:
( Н'2> (k л/х2 + z2 ) eite dz = ==.!*' г *, h> k. (16.32)
J V h* — k2
—oo
Из (16.31) следует, в частности, что амплитуда поверхностной
волны, возбуждаемой заданным током, убывает с увеличением
расстояния этого тока до поверхности, так как с ростом х убы-
вает (по закону exp(x/w), w < 0) поле поверхностной волны.
Сделаем два замечания, обобщающие полученные резуль-
таты. Для всех поверхностных волн в любой направляющей си-
стеме имеет место полученная для нашей задачи и формулиро-
ванная в (16.31) пропорциональность между производной
знаменателя коэффициента Фурье (16.27) и интегралом (16.30),
взятым по поперечному сечению для этой поверхностной волны
и такой же встречной волны.
Второе замечание относится к закрытым волноводам. При
возбуждении открытых линий полное поле не является суммой
только поверхностных волн. Оно сложнее, и в области (16.22)
содержит еще убывающее с z дополнительное поле. Для закры-
тых волноводов ситуация проще. Дополнительное поле не воз-
никает, поле равно сумме волноводных волн типа (16.2). С этим
16в ИНТЕГРИРОВАНИЕ В ПЛОСКОСТИ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ [ГЛ. VI
связано то обстоятельство, что в плоскости комплексной пере-
менной не возникает неоднозначностей и не надо поэтому про-
водить разрезы. Поэтому задача о возбуждении закрытых вол-
новодов могла быть полностью решена в п. 12.3 без интегриро-
вания в плоскости комплексной переменной.
16.8. Цилиндрическая волна. Деформация контура С, произ-
веденная в п. 16.5, разбивает полное поле на сумму поверхност-
ных волн (их может и не быть) и интеграл по разрезу. Это
разбиение справедливо для любых точек пространства, однако
пользоваться им целесообразно только для тех точек, для кото-
рых интеграл по разрезу мал, как в области (16.22). В области
а)£г»1, б) kx2 z (16.33)
имеет место противоположная ситуация: этот интеграл не мал.
В этой области поле имеет другую структуру. Для того чтобы
при (16.33) приближенно вычислить поле, надо произвести дру-
гое преобразование интеграла (16.10).
Вдали от импедансной плоскости поле должно представлять
собой уходящую из начала координат объемную (цилиндри-
ческую) волну. Это подсказывает, что следует перейти к ци-
линдрическим координатам
x = rsinq>, z = rcos<p. (16.34)
Запишем интеграл (16.10) в виде
о (г, ф) = 5 ? (^) е~ dh, (16.35)
где через ф(Л) обозначена функция, играющая основную роль
в дальнейших построениях этого пункта:
Ф (Л) = у cos ф 4--£• sin ср. (16.36)
Для дальнейшего решающим является присутствие в фазе
подынтегрального выражения (16.35) большого параметра kr.
Так как kr 1, то подынтегральное выражение быстро меняет
знак вдоль пути интегрирования, т. е. его фаза меняется на л
при малом изменении h. Это приводит к почти полной компен-
сации значений интеграла в близких участках интегрирования.
Весь интеграл (16.35) при kr 1 мал. Можно было бы попы-
таться получить старший член разложения этого интеграла по
1/Аг интегрированием по частям. При этом мы нашли бы, что
весь интеграл убывает не медленнее, чем \/kr. Однако при этом
под интегралом возник бы знаменатель ф' — dty/dh. Очевидно,
что если где-либо на контуре интегрирования этот знаменатель
обращается в ноль, то интегрирование по частям недопустимо.
При интегрировании в окрестностях этих точек происходит
} те] ВОЗБУЖДЕНИИ ИМПЕДАНСНОЙ ПЛОСКОСТИ 187
менее быстрая компенсация значений интеграла в соседних
участках, ибо в этих областях множитель ехр [—ikrty(h)] ме-
няется медленнее, чем в интервалах, в которых нет корней урав-
нения
,|/(Л) = 0. (16.37)
Интегрирование в окрестностях корней этого уравнения вносит
в интеграл слагаемое порядка Xj-^kr, т. е. много большее, чем
весь остальной интеграл. Поэтому весь интеграл (16.35) при-
близительно равен интегралу, взятому в окрестностях этих
точек.
Это рассуждение можно сделать строгим и показать, что
если уравнение (16.37) имеет корень Л = hs на контуре инте-
грирования, то старший член асимптотического разложения
интеграла (16.35) по степеням (6г)-1/2 можно получить, ограни-
чившись интегрированием в малой окрестности этой точки. Точ-
нее, можно положить
a) F (h) = F (hs), б) ф (Л) = Ф (А.з) + у Ф" (hs) (h - hs)\ (16.38)
а затем вновь распространить область интегрирования до беско-
нечности. При этом, очевидно, будет
оо
v (г, ф) = F (hs) е“exp [— J krty" (hs) (h — A s)2] dh.
(16.39)
Оставшийся интеграл легко вычисляется (♦):
v (г, ф) = (1/(hs)l4- Ф" (hs). (16.40)
Корни уравнения (16.37) называются точками стационарной
фазы. Если таких точек на контуре несколько, то интеграл
(16.35) приближенно равен сумме интегралов (16.40), взятых
около всех таких точек. Вообще говоря, применение этого ме-
тода вычисления интегралов с большим параметром в фазе
(так называемого метода стационарной фазы) требует предва-
рительной деформации контура интегрирования, так чтобы он
проходил через все точки hs, притом в направлении, в котором
ф(Л) меняется быстрее, чем в соседних направлениях. В нашей
задаче это имеет место уже для первоначального контура —
точка h = hs лежит на вещественной оси, и именно вдоль ве-
щественной оси ф(Л) меняется быстрее всего.
Применим метод стационарной фазы к нашей задаче, в ко-
торой ф(Я) дано в (16.36). Точка стационарной фазы согласно
(16.37)
fts== cos ф. (16.41)
В этой точке х = k sin ф.
168 ИНТЕГРИРОВАНИЕ В ПЛОСКОСТИ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ [ГЛ. VI
Положение существенного участка интегрирования на пло-
скости h определяется координатой <р той точки пространства,
для которой производится вычисление* поля. С аналогичной си-
туацией мы встретились в п. 16.4. Для области (16.22) сущест-
венной была окрестность точки h — k. Заметим, что хотя метод
этого пункта, согласно (16.336), не применим при <р = 0, но
формально (16.41) при рр = 0 дает ту же точку h — k. Это сов-
падение не случайно. Если перейти к плоскости комплексной
переменной х (вместо й), то поле и в области (16.22) вычисля-
лось бы методом стационарной фазы. Это преобразование мы
делать не будем.
Вернемся к формуле (16.40). В точке h — hs
ф(й5) = 1, ^"(hs)==—1/(й2 sin2ф), так что (*)
p-ikr
a) v (г, ф) = Ф(ф)—==-, б) Ф (ф) = k sin фЕ (k cos ф). (16.42)
ykr
Этот расчет основан, в частности, на замене фазы ф по (16.386).
Существенной является область интегрирования, в которой
второй член в разложении йгф(й) имеет порядок единицы. Эта
область тем меньше, чем больше kr, точнее, она имеет порядок
(й — hs) k sin yl+Jkr. (16.43)
Формула (16.386) справедлива, если во всей этой области пер-
вый отброшенный член ty"'(hs) (h — й5)3/6 мал по сравнению
с сохраненным квадратичным членом. Это приводит к требова-
нию snnpV^ 1 (*), эквивалентному (16.336). Условие
kr 1, на котором основан весь метод стационарной фазы,
совпадает с (16.33а).
Таким образом, в области (16.33) дифрагированное поле
представляет собой цилиндрическую волну с диаграммой
(16.426). Полная диаграмма получается интерференцией ци-
линдрических волн (16.42) и и°.
16.9. Разложение падающего поля на плоские волны. Возмо-
жен другой метод рассуждения, приводящий к таким же инте-
гралам в плоскости комплексной переменной, но основанный
на менее формальной процедуре, чем произведенное в п. 6.2
разложение в интеграл Фурье. Это рассуждение основано на
том, что при падении плоской волны на импедансную поверх-
ность возникает только одна плоская отраженная волна.
Если падающее поле разложить в интеграл по плоским вол-
нам, то дифрагированное поле выразится в виде интеграла по
отраженным волнам. Волна, падающая на плоскость под углом
скольжения а, т. е. поле
ы0 (ах_Q-(ftzcosa+ ffexsina (16 44)
§ I6J ВОЗБУЖДЕНИЕ ИМПЕДАНСНОЙ ПЛОСКОСТИ jgg
порождает отраженное поле
иот₽ (а) = (а) e-ikzcosa-ikxslna^ (16.45)
Коэффициент отражения для импедансной плоскости легко на-
ходится по (16.1) (*):
*(«) = I-’ (16.46)
' — 1— 14lt)Sina
[ср. второй множитель в (16.20)].
Таким образом, если представить падающее поле в виде
«°(х, z)= T(a)e-'fezcosa+'A*sln“da, (16.47)
L
то дифрагированное поле будет равно
0(х, z)= 4r(a)/?(a)e-/*2cosa-zft*sln“da. (16.48)
L
Нам надо установить вид- контура L в плоскости а и найти
функцию Чг(а). Проще всего это сделать, положив в тождестве
(16.47) х — 0. Тогда
и°(0, г)== Т (a)e-Zftzcos“da.
L
(16.49)
Введем вместо а переменную интегрирования
h — k cos а. Мы вновь пришли к интегралу
h — k cos а. Мы вновь
Фурье типа (16.15а)
(16.50) 4
/7 П а‘
с
Контур С в (16.50) должен быть тем же, что
е. совпадать с вещественной осью
Рис. 16.3. Кон-
тур в плоско-
сти а.
в (16.10), т.
(с точностью до малых дуг около полюсов). На
есть участки,
но, контур L
Он идет . (рис. 16.3) параллельно мнимой оси из точки a=n+ioo
этом контуре
Следователь-
на которых |й| >k, т. е. |cosa|>l.
в плоскости а не совпадает с вещественной осью.
до точки a = л (й меняется от h = —оо до h — —k), затем по
вещественной оси от a — л до a = 0 (й меняется от й = —k до
h — k), а затем вдоль мнимой оси от а — 0 до a = too (й ме-
няется от h = k до й = со). Это означает, что в разложении
(16.47) произвольного поля по плоским волнам участвуют так-
же и такие волны (16.44), в которых cos2a> 1, sin2a<0 (так
называемые неоднородные плоские волны).
Функция 4r(a)/sina определяется по п°(0, z) из (16.50) по
той же формуле обращения интеграла Фурье, по которой F (h)
в (16.12), (16.13) находится по f(z) из (16.11). Например, если
L
170 ИНТЕГРИРОВАНИЕ В ПЛОСКОСТИ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ [ГЛ VI
и° цилиндрическая волна, создаваемая единичным током, рас-
положенным в точке z = 0, х = х0, т. ел если
u(0)(x, z)«(i/4) (k - х0)2 + г2 ), (16.51)
то из (16.50) следует, с использованием (16.32),
Y (а) — — (А/4л) e<JC|>sIn“. (16.52)
Функция 'F(a) не имеет полюсов, возможные полюсы подын-
тегральной функции в (16.48)—полюсы /?(а). Эти полюса
всегда комплексны, согласно (16.46) они определяются из
условия cos а — ho/k, где h0 дано в (16.5). При вещественных
же а и принятом у нас условии вещественности w |/?(a)|=l.
Для полюсов a = ао всегда sin2a<0, так что Т'(а) (см.
(16.52)) экспоненциально убывает с ростом расстояния х0 источ-
ника до плоскости. Это обстоятельство уже было отмечено в
связи с формулой (16.32). Множители ехр(х/а>) в (16.31) и
exp (ixo sin а) при a = ao совпадают.
Используя (16.8), можно, разумеется, доказать и в общем
виде тождественность двух полученных решений — формулы
(16.48) с 7? (а) из (16.46) и формулы (16.10) (*). Мы привели
этот способ рассмотрения, чтобы описать возможную физиче-
скую трактовку корней знаменателя в (16.12), вычеты в кото-
рых определяют поверхностные волны. В этих корнях обра-
щается в бесконечность коэффициент отражения, т. е. поверх-
ностные волны представляют собой вычеты в полюсах (всегда
комплексных) коэффициента отражения.
Этот результат позволяет исследовать методом этого пункта
задачи о возбуждении плоскостей со свойствами, более слож-
ными, чем свойства, описываемые условием (16.1). Если для
какой-либо плоскости удается найти коэффициент отражения
7? (а) плоской волны для любого а, то можно найти значения
a = ссо, для которых R — оо, & затем и фазовую постоянную по-
верхностных волн fto==£cosao и их амплитуду. Такой метод
удобен, например, для задачи о возбуждении плоскослоистой
структуры. Полное исследование интеграла (16.48) как в об-
ласти существования поверхностных волн (16.22), так и в вол-
новой зоне (16.33), также может быть произведено без перехода
в плоскость h, т. е. в плоскости комплексного угла а.
§ 17. Возбуждение диэлектрического слоя
и диэлектрического цилиндра
В первых двух пунктах этого параграфа рассматривается
двумерная задача о возбуждении бесконечного диэлектриче-
ского слоя. Применение интеграла Фурье приводит к такому же
аппарату, что и в задаче § 16, и ниже будут описаны только т§
S 17] ВОЗБУЖДЕНИЕ ДИЭЛЕКТРИЧЕСКОГО СЛОЯ И ЦИЛИНДРА 171
выкладки, которые отличают эти две задачи. В п. 17.1 будет
развит формальный аппарат, аналогичный пп. 16.1—16.4 и
16.8—16.9.
Пункт 17.2 посвящен так называемым вытекающим волнам,
существование которых связано с комплексными корнями дис-
персионного уравнения, аналогичного (16.3). Появление этих
волн представляет собой основное отличие поля над слоем от
поля над импедансной плоскостью. В последнем пункте описаны
некоторые особенности аппарата, возникающие при переходе
к трехмерной задаче.
17.1. Диэлектрический слой. Слой с диэлектрической прони-
цаемостью е занимает область —а < х < а, —оо <; z < оо,
т. е. имеет ширину 2а. Он возбуждается токами j(x,z), имею-
щими только у-ю компоненту и расположенными вблизи начала
координат. Искомая скалярная функция и(х, г), описывающая
полное поле, равна либо Еу (если j — электрический ток), либо
Ну (если j — магнитный ток). Она удовлетворяет уравнениям
а) Ди + k2eu =- /, | х | < а;
б) Ди + k2u = j, |х|>а. (17.1)
Ha границах слоя х=±а непрерывны и(х, z) и ди/дх (если
и = Еу) или и и (1/е,) ди/dN (если и = Ну); эти условия легко
получить, выразив через Еу или через Ну тангенциальные к гра-
нице компоненты полей (соответственно, Нг или Ег). Далее бу-
дем полагать для определенности, что и = Еу.
Падающее поле и°(х, z) при |х|<а определим, как поле
токов, стоящих справа в (17.1а), создаваемое ими в безгранич-
ном диэлектрике, а при | х | > а — как поле токов, стоящих
справа в (17.16), создаваемые ими в вакууме. При таком опре-
делении и0 диафрагированное поле v = u— и° удовлетворяет
однородным волновым уравнениям
До + &2ео—0, | х | < а; До + £2п = О, |х|>а (17.2)
и неоднородным граничным условиям при х = а
о(а + 0, z) —о(а —0, z) = f!(z),
dv (а 4- 0, z) dv (а — 0, z) f , \ • 1
----д~х------------d~x--
Такие же условия при х = —а мы не выписываем, полагая, для
простоты записи, что токи (и потому и поля u°, v и и) симме-
тричны относительно плоскости х = 0. Функции fi (z) и f2 (z) в
(17.3) выражаются через скачок u°(x, z) и ди°/дх при х=а
по очевидным формулам, т. е. являются известными функциями.
Поверхностные волны описываются собственными функция-
ми краевой задачи, состоящей из уравнений (17.2), однородных
172 ИНТЕГРИРОВАНИЕ В ПЛОСКОСТИ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ [ГЛ. VI
граничных условий, получающихся из (17.3) при ^ = ^ = 0, и
условия .исчезновения поля при |х|—>оо. Эти функции имеют
вид (х > 0, при х < 0 поля симметричны)
vnoB (х, z) = At cos*Tnxe~ZA< х < а; (17 4)
Опов(х, г) = Л2е-/х»хе-/Ч х>а, ' }
где
тл = £е-—Лл, хл = А —пп. (17.5)
Собственное значение этой задачи hn удовлетворяет уравнению
тп sin хпа — 1кп ccs хпа — 0, (17.6)
которое получается исключением А\ и Л2 из граничных условий.
Это дисперсионное уравнение играет далее ту же роль, что
уравнение (16.3) в задаче об импедансной плоскости.
Решения уравнений (17.3) будем искать в виде (х > 0)
a) v (х, z)—\ Fi (h) cos xxe~ihzdh, x < a, t2 = k2& — h2,
r (17-7)
б) о (x, z) — \^ F2(k) e~,xxe~l!tzdk, x > a, v.2 = k2— h,2.
Функции F\(h) и F2(h) находятся из системы линейных
уравнений, которые получаются при подстановке (17.7) в (17.3)
и обращении интегралов Фурье («):
F2e~lxa — F cos та — gi (h), — ixF2e~ixa + tFi sin та == g2 (Ji),
(17.8)
где g\(h), gz(h)—фурье-сопряженные функции от /i(z) и f2(z).
Явные формулы для Fi и F2, которые мы не выписываем, со-
держат в знаменателе левую часть дисперсионного уравнения
(17.6).
Функции Fi(h) и F2(Ji) имеют точками ветвления не только
h — ±k, но и h = ± k -у/е, ибо в fi(z) и /2 (z) входят слагаемые
как с асимптотикой ехр (—| z |)/V I 2 I > так и с асимптотикой
ехр(— ik л/& | z |)/Vl 2 I-Однако в разложении Фурье для пол-
ного поля и(х, z) в точках h = ±k-\Je ветвления не происхо-
дит. Поэтому в плоскости комплексного переменного для пол-
ного поля достаточно провести только те же разрезы, что и в
задаче § 16 — от h = ±k к h — H=ioo. Заметим, что если бы по
обе стороны пластинки находились бы бесконечные среды с раз-
личным е (при х > а в = si, при х < —а е = е2), то существо-
вали бы две пары точек ветвления, при й = ± k и при h —
= ± k
§ 17] ВОЗБУЖДЕНИЕ ДИЭЛЕКТРИЧЕСКОГО СЛОЯ И ЦИЛИНДРА 173
Исследование полей вдали от начала координат произво-
дится по той же схеме, что в задаче § 16. Приближенные выра-
жения вблизи слоя в области (16.22) получаются деформацией
контура в петлю вдоль разреза, а для поля в волновой зоне
(16.33) — интегрированием вблизи точек стационарной фазы.
В области (16.22) будут еще волны, получающиеся как вы-
четы в полюсах Ft(h) и F2(h), лежащих между мнимой осью и
разрезом. Рассмотрим их подробнее.
17.2. Вытекающие волны. Уравнение (17.6) —левая часть его
стоит знаменателем в Fi(ft) и /^(Л)—имеет бесконечную ди-
скретную совокупность корней. Положение каждого корня на
плоскости h зависит от частоты. При очень высокой частоте
корень лежит на вещественной оси вблизи точки h = k мы
здесь и ниже не будем упоминать о симметричных относитель-
ной мнимой оси корнях при Re/i<0. С уменьшением'частоты
корень смещается вдоль вещественной оси к h — k. При неко-
торой частоте kn, зависящей от номера корня (критической ча-
стоте для волны данного номера), корень совпадает с k, т. е.
при k = kn h = k.
И при k < k„ соответствующий корень дисперсионного урав-
нения существует, однако для него Imx>0 и, вообще говоря,
он лежит не на вещественной оси. Вычеты в корнях, лежащих
в области
1шЛ<0, 0<ReA<£ (17.9)
на листе Im х > О, дают слагаемые, называемые вытекающими
волнами. Их зависимость от х, z при z > 0, х > а дается мно-
жителем
а) 6)ReA„<£, 1тЛ„<0, 1тх„>0. (17.10)
Эти поля убывают вдоль оси z и возрастают при удалении от
слоя. Их фазовая скорость больше с. Напомним, что выделение
в полном поле поверхностных (1тЛ„ — 0, 1тхп<0) и выте-
кающих (17.10) волн имеет смысл только в области не очень
больших х (16.22), в которой дополнительное поле — интеграл
по разрезу — мало (и убывает с z по алгебраическому закону).
Существенный вклад в поле вносят не все вытекающие
волны, а только те из них, которые соответствуют корням, близ-
ким к вещественной оси (| Im hn\ <С k); для остальных очень
мал первый множитель в (17.10а). Такие корни возникают из
каждого вещественного корня, соответствующего поверхностной
волне, при понижении частоты до некоторого значения, мень-
шего kn. При частоте, лишь немногим меньшей kn, вытекающие
волны с малым | Imhn\ не образуются.
Существование бесконечного множества корней уравнения
(17.6) позволяет получить представление полного поля в слое
174 ИНТЕГРИРОВАНИЕ В ПЛОСКОСТИ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ [ГЛ. VI
и вблизи него в виде бесконечного ряда, т. е. без интегрального
слагаемого. Основная идея такого разложения основана на
том, что стоящие под интегралом множители при ехр(—ihz) яв-
ляются целыми функциями переменной х. Все подынтегральное
выражение не обладает этим свойством, однако двузначность
содержится только в множителе ехр(—ihz), так как h k2 — х2.
Целые функции разложимы в ряд по простейшим дробям
Fi(/i)costx= £ Д„(х)/(х —х„), (17.11)
п
где хп — все корни знаменателя, т. е. все корни дисперсионного
уравнения, рассматриваемого как уравнение относительно х.
Очевидно, хп == д/^2 — hn . Коэффициенты Ап (х) можно найти
по (17.11), зная явное выражение для F\{h).
Подставляя (17.11) в (17.7), получим выражение для v(x, z)
тоже в виде ряда. Вновь произведя в каждом члене преоб-
разование контура в бесконечную полуокружность в плоскости
комплексной переменной h, получим искомое дискретное пред-
ставление (|х| < а)
v (х, z)= У Сп cos т„хе-гл,»г + У Dn cos тпхФ (z, х„), (17.12)
п п
где Сп и Dn можно найти по Ап(х). Эта формула точная, и она
не содержит интегрального слагаемого^ В первой сумме участ-
вуют все поверхностные (fe < hn < k ) и вытекающие (17.10)
волны, а вторая охватывает все корни уравнения (17.6).
Функции Ф(з, х„) не совпадают с ехр(—ihnz), так что вто-
рая сумма не удовлетворяет волновому уравнению почленно.
Легко получить выражение для Ф(г, х„) в виде интеграла и, в
частности, асимптотическую формулу, справедливую при kz 1.
Однако основное достоинство дискретного ряда (17.12) состоит
в том, что по нему поле сравнительно просто вычисляется с
любой степенью точности всюду (в слое), в том числе и при
конечных kz. Использование же интегрального представления
для численных расчетов при конечных kz приводит к большим
трудностям.
Представление поля в виде ряда (17.12) можно получить не
только для точек внутри слоя, но и вблизи него, при |х|<2а.
17.3. Диэлектрический цилиндр. Задача о возбуждении кру-
гового диэлектрического цилиндра решается теми же методами,
которые применяются в задаче о диэлектрическом слое. Огра-
ничимся сначала задачей о симметричном возбуждении, когда
токи и поля не зависят от угла ф цилиндрической системы ко-
ординат (z, г, ф). При этом можно ввести в качестве потенциа-
лов скалярные функции Ez(z, г) и Hz(z, г). Так как поля, свя-
занные с этими потенциалами, возбуждаются независимо друг
§ 17] ВОЗБУЖДЕНИЕ ДИЭЛЕКТРИЧЕСКОГО СЛОЯ И ЦИЛИНДРА 175
от друга, то мы рассмотрим лишь случай, когда возбуждаются
только поля, связанные с Ег (симметричные электрические вол-
ны). Задача о возбуждении симметричных магнитных волн ре-
шается таким же точно методом.
Функции cos хх и ехр(—ixx), которые описывают поле вну-
три и вне диэлектрического слоя, должны быть заменены соот-
ветственно, на функции J0(xr) и (иг). Они обладают требуе-
мыми свойствами — их произведения на ехр(—ihz) являются
решением волнового уравнения, при г = 0 70(тг) конечно, при
г->оо H$}(xr) исчезает, если и определено, как в (16.14).
Дифрагированное поле v(r, z) (v hs Ег) запишем в виде
а) о (г, z)— ( Fi(H)JQ(xr)&~ihiedh., г<а;
г (17.13)
б) v (г, г) — j F2 (h) H{q} (иг) e~ihzdh, r> a,
где a — радиус цилиндра. Граничные условия состоят в том, что
скачок Е* и /7Ф в дифрагированном поле должен компенсиро-
вать скачок этих компонент в падающем поле. Для выбранной
симметрии полей легко показать, что (*)
... 1 дЕг . Л ., 1 dEz ~
Hv— — ike.-^2 дг . г <а\ tk'rf dr ’ r > а-
(17.14)
Граничные условия приводят к двум функциональным уравне-
ниям, в которых справа стоят известные функции, выражаю-
щиеся через и0. Обращение по Фурье этих уравнений, выполняю-
щихся при всех z, приводит к двух линейным уравнениям для
Fi(h) и F2(h). Явные выражения для Fi(h) и F2(h) содержат
в знаменателе левую часть дисперсионного уравнения для по-
верхностных £ол-волн:
т/0 (ха) Н{? (иа) — exJi (ха) (ха) = 0. (17.15)
Основное отличие трехмерной задачи от двумерной состоит
в том, что в точках ветвления h = ±k возникает не двузнач-
ная функция x — ^Jk2— h2 , а бесконечнозначная функция
In ха. Это приводит к некоторому отличию в структуре поля в
области kz1, kr2 С z, в которой поле выражается в виде
суммы вычетов и дополнительного поля — интеграла, взятого
по разрезу от ДГ в области малых и. Поверхностные волны со-
ответствуют корням (17.15), лежащим в интервале k < h <
<А V8’ вытекающие—корням в интервале (17.106). Движе-
ние каждого корня с уменьшением частоты от высокой
(ka 'у/е — 1 » 1) до критической происходит таким же образом,
176 ИНТЕГРИРОВАНИЕ В ПЛОСКОСТИ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ [ГЛ. VI
как и для слоя, однако вытекающие волны с малой 1гпА„ воз-
никают уже при частоте, лишь немногим меньшей критиче-
ской. Поведение А/7 при малых х иное; расчет дает, что AF ~ х2,
и потому дополнительное цоле убывает, как 1/z2. Напомним,
что для слоя А/7х (16.24), и дополнительное поле убывает,
как l/z3/2.
Так как F содержит In ха, то оно не есть целая функция от
х, и дискретное представление поля, основанное на разложении
целой функции в ряд по простейшим дробям, не существует для
этой задачи — и, вообще говоря, для трехмерных задач о беско-
нечных цилиндрах.
В волновой зоне (йр 1, kr2 z) применением метода ста-
ционарной фазы получаем асимптотическое представление поля
в виде сферической волны
о(г, е) = Ф(6)-Ц—, Ф (0)~F2(Acos0), (17.16)
где р, 0, q> — сферические координаты. Эта формула получается
заменой в (17.136) (w) на асимптотическое представление
(5.9). После перехода к сферическим координатам z=pcos0,
r = psin9 подынтегральное выражение приобретает фазу
— /Арф(0), ф(0) = у cos 0 +-£ sin 0 (17.17)
с той же, что в (16.41), точкой стационарной фазы h — k cos 0.
Сделаем некоторые замечания о решении той же задачи о
круговом диэлектрическом цилиндре, когда возбуждающие токи
/ зависят от ф. Надо разложить / в ряд Фурье по <р и в таком же
виде искать дифрагированное поле
v (г, z, ф) = cos пф Fn (A) Jn (тг) e~ih*dh, г <.а (17.18)
п
(для простоты записи считаем / четной функцией от ф). Такое
же разложение пишется при г 2> а. Задача для каждого п не-
зависима от других. В каждой из них надо пользоваться двумя
потенциалами, например Ez и Нг, так что для каждого п возни-
кает четыре линейных уравнения для четырех функций F.
Общие свойства решений будут такими же, как и для сим-
метричных волн. Однако дополнительное поле при п #= 0, во-
обще говоря, иначе убывает с г, чем при п ~ 0, ибо разность
А/7 на разрезе при малых х иначе зависит от х.
Существуют, например, тип волны (один из двух типов с
п = 1), для которых АД ~ 1 /1 п ха, и для них дополнительное
поле убывает, как l/zln2z. Для этого типа (как и для волн в
сдое), вытекающие волны с малым Im h не существует при ча-
5 1Я МЕТОД ВИНЕРА-ХОПФА (МЕТОД ФАКТОРИЗАЦИИ) )77
стотах, очень близких к критической частоте соответствующей
поверхностной волны.
При возбуждении диэлектрического цилиндра некруглого
сечения возникающее дифрагированное поле имеет те же общие
свойства. Вдали от цилиндра образуется сферическая волна.
Дисперсионное уравнение записывается в виде равенства нулю
бесконечного детерминанта. Вблизи цилиндра поле состоит из
поверхностных и вытекающих волн и дополнительного (убываю-
щего с г) поля. В наиболее общем случае дополнительное поле
и вытекающие волны имеют вблизи критических частот те же
свойства, которые перечислены в предыдущем абзаце для од-
ного из типов волн круглого волновода.
Заметим в заключение, что в задаче о некруглом волноводе
целесообразно в качестве потенциальных функций выбирать не
Ег и Нг, а какие-либо две поперечные декартовы компоненты,
например, Нх и Ну. При этом продольное волновое число не
входит в .граничные условия, что существенно упрощает форму-
лировку и исследование задачи.
§ 18. Метод Винера—Хопфа (метод факторизации)
В первых двух параграфах этой главы рассматривались за-
дачи дифракции на телах, занимающих всю бесконечную ось z
(—oo<zz<2oo). Для этих задач легко строится решение в
виде интеграла в плоскости комплексной переменной, и мы в
основном излагали способы исследования этого решения. В этом
параграфе описывается метод решения задач дифракции на
полубесконечных (0 < z < оо) телах. В таких задачах уже пер-
вый этап — получение решения в виде интеграла — довольно
сложен. Этот интеграл может быть затем исследован теми же
методами, которые выше применялись для более простых задач.
18.1. Интегральное уравнение. Будем решать одномерное ин-
тегральное уравнение первого рода
ОО
jG(z-O/(g)rfS = f(2), 2>0, (18.1)
о
для функции /(£) (£>0). Ядро G в (18.1) зависит не от г и £
в отдельности, а только от разности аргументов. Вид ядра и
правой части f определяются, соответственно, формой тела и
падающим полем, т. е. характером возбуждения.
В этом пункте расшифруем вид функций G и f в (18.1) для
простейшей двумерной задачи — идеально проводящая полу-
плоскость х = 0, z > 0 нулевой толщины помещена в поле, со-
держащее только компоненту Еу\ поля не зависят от у. Искомое
дифрагированное поле и(х, г) удовлетворяет однородному вол-
178 ИНТЕГРИРОВАНИЕ В ПЛОСКОСТИ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ [ГЛ. VI
новому уравнению, условию излучения, условию (3.16) вблизи
ребра и граничному условию
и =— и°, ‘Х = 0, z>0, (18.2)
которое получается из требования, чтобы полное поле u=u°-j-v
исчезало на металле. Функция v(x, г) всюду непрерывна, а ее
нормальная производная испытывает на металле скачок, кото-
рый обозначим /(«):
'w-£L.,-&L,v г>0- (18-3>
Эта функция пропорциональна скачку компоненты Нх, т. е. у-й
компоненте индуцированного тока.
Для того, чтобы получить уравнение для j(z), выразим
v(x, г) через /(z) по формуле для дифрагированного поля
[аналог первого слагаемого в (11.4)]
со
о (х, z) = Gj d^, (18.4)
о
где О — функция Грина вакуума (11.86) от аргумента |г— г0
|го!==С и | г |= д/х2 £2, и поместим точку наблюдения
(х, z) на полуплоскости х = 0, z > 0. Получим, согласно (18.2),
уравнение (18.1), где f(z) =—u°(z), т. е. с точностью до знака
значение падающего поля на экране (при его отсутствии),
G = (Z/4)//o2)(A| z — £ |). Найдя из (18.1) ток /(£), можно затем
по (18.4) найти дифрагированное поле во всем объеме. Мы уже
получали такое уравнение для любого металлического тела
(12.23).
Для любых полубесконечных тел интеграл берется в тех же
пределах (0, оо), ядро — функция Грина — всегда зависит от
разности аргументов (даже только от модуля этой разности),
так что к уравнению (18.1), или к линейной системе таких
уравнений сводятся, например, задачи о дифракции на откры-
том конце волновода, на эквидистантной решетке полуплоско-
стей и многие другие задачи о полубесконечных структурах.
Ниже мы опишем идею решения уравнения (18.1). Уточнения,
которые были бы необходимы при строгом доказательстве,
будут упомянуты в п. 18.5.
18.2. Две вспомогательные функции и их преобразования
Фурье. Введем две вспомогательные функции, определенные на
всей оси г. Во-первых, введем функцию, равную искомой функ-
ции /(г) при z > 0 и равную нулю при z < 0. Эту доопределен-
ную нулем при z < 0 функцию тоже будем обозначать /'(.г), что
де может вызвать недоразумения, так как при z < 0 нет ме*
j 181 МЕТОД ВИНЕРА - ХОПФА (МЕТОД ФАКТОРИЗАЦИИ)
талла, функция v (х, z) непрерывна вместе со своей производной
и ток (18.3) равен нулю.
Вогвторых, введем функцию v(z), определенную при z < О
формулой
оо
J G(z-.?)/(?) = о (z), z < О (18.5)
о
и равную нулю при z > 0. При z < 0 эта функция равна дифра-
гированному полю на продолжении полуплоскости. Однако при
z > 0 она не равна интегралу, стоящему в (18.1), т. е. не имеет
этого физического значения. Обе введенные таким образом
функции определены на всей оси; одна из них равна нулю на
отрицательной полуоси z, вторая — на положительной.
Обозначим фурье-сопряженную от функции /(z) через /(Л)
7 (h) = j (z) e~thz dz. (18.6a)
о
Здесь уже учтено, что при z<0 /(z) = 0. Мы будем искать
функцию 7(A); найдя ее, восстановим j(z) по формуле обра-
щения:
со
7(г) = -^- J J(h)bihzdh. (18.7)
— оо
Функция J (h) в плоскости комплексной переменной обла-
дает свойством, вытекающим из того, что в (18.6а) участвуют
только положительные значения z — в нижней полуплоскости,
т. е. при Im h < 0, она аналитична и стремится к нулю при
|А|—>-оо. При некоторых предположениях о i(z) это следует из
того, что при Im ft < 0 множитель ехр (—ihz) обеспечивает схо-
димость интеграла (18.6а) и всех его производных. Обратно, из
этого свойства 7(A) легко получить, что определенная формулой
(18.7) функция j(z) равна нулю при z < 0. Для этого доста-
точно деформировать в (18.7) контур интегрирования в полу-
окружность бесконечного радиуса в нижней полуплоскости —
при z < 0 множитель exp(z’Az) при Im h. < 0 на ней равен
нулю, а 7 (А) не имеет в этой полуплоскости полюсов или раз-
резов.
Введем для функций от h, аналитичных в нижней полупло-
скости и исчезающих в ней при |А|—>-оо, значок «—», Тогда
7(Л) = 7_(Л). (18.8а)
Это свойство окажется в дальнейшем решающим.
180 ИНТЕГРИРОВАНИЕ В ПЛОСКОСТИ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ (ГЛ. VI
Очевидно, что фурье-сопряженная V(h) от второй вспомога-
тельной функции о (г) выражается формулой
с «
V (h) = и (z) е~ihz dz. (18,66)
—оо
Она не имеет особенностей и стремится к нулю при |Л|—>оо в
верхней полуплоскости, так что в очевидных обозначениях
V (h)=V+(h). (18.86)
То обстоятельство, что уравнение (18.1) содержит интеграл
только по положительным £ и должно выполняться только при
положительных г — записано уравнениями (18.8) в виде анали-
тических свойств фурье-сопряженных от двух вспомогательных
функций.
18.3. Соотношение между преобразованиями Фурье. Из
(18.1) следует соотношение между /_(Л) и V+(h), которое мы
получим в этом пункте. Уравнение (18.1) справедливо при
z > 0; умножим его на ехр(—ihz) и проинтегрируем от z = 0
до z= oo. Определение (18.5) справедливо при z с 0; умножим
его на ехр(—ihz) и проинтегрируем от г — —оо до г = 0. Сло-
жим оба результата. Сумма содержит интеграл от величины,
стоящей слева в (18.1) и в (18.5), взятый уже по всей оси z.
Это позволяет использовать то обстоятельство, что G зависит
только от разности аргументов. Переставив в этом двойном
интеграле порядок интегрирования и введя во внутреннем ин-
теграле вместо (z — £) новую переменную интегрирования t,
представим его в виде произведения (*)
со оо
J /(Oe'^rfg J G(i)e.~iM dt. (18.9)
О —со
Введем очевидные обозначения
оо ос
F(ft)=p(z)e-/tedz, Г(Л)= J G(Oe"M/d/. (18.10)
О — оо
Обе эти функции считаются известными, так как функции / и G
заданы.
Таким образом получим искомое функциональное уравне-
ние (*)
V+(A) + F(ft) = r(A)Z_(A). (18.11)
18.4. Факторизация. Решение уравнения (18.11) с двумя не-
известными функциями V+(h) и J-(h) основано на упомянутых
аналитических свойствах этих функций в двух полуплоскостях
§181 МЕТОД ВИНЕРА-ХОПФА (МЕТОД ФАКТОРИЗАЦИИ) 181
плоскости h, имеющих общую границу — вещественную ось
Im h = 0.
Покажем сначала на более простом примере, как из одного
функционального уравнения могут быть найдены значения двух
функций в некоторых частях комплексной плоскости. Пусть две
функции Ф+(й) и Ф_(й) с упомянутыми аналитическими свой-
ствами равны друг другу на вещественной оси, Ф+(й) = ф_(й).
Тогда в соответствующих полуплоскостях и, в частности, на ве-
щественной оси, они равны нулю. Это следует из того, что
можно ввести функцию, по определению равную на веществен-
ной оси обеим функциям Ф+(й) и Ф_(/г), в верхней полупло-
скости равную Ф+(й), в нижней равную Ф_(й). Эта функция
будет аналитична во всей плоскости, и будет исчезать при
|Л|->оо. По теореме Лиувилля такая функция всюду равна
нулю. Следовательно, функции Ф+(/г) и Ф_(/г) равны нулю в
соответствующих полуплоскостях и, в частности, на веществен-
ной оси (см. уточнения в п. 18.5).
Оказывается, уравнение (18.11) можно привести к форме
ф+(й) = Ф_(й) и затем из равенства нулю обеих сторон найти
искомую функцию Основная процедура, которую для
этого надо произвести, состоит в том, чтобы факторизовать
функцию Г (Л), введенную в (18.10), т. е. представить ее в виде
произведения двух функций, аналитических и стремящихся к
нулю при |й|-> оо, соответственно, при 1т/г>0 и при Im/КО,
т. е. в виде
Г(/г) = Г+(Л)Г_(/г). (18.12)
Предположив, что мы это сделали, подставим выражение
(18.12) в (18.11) и разделим на Г+(/г). Возникшее слева отно-
шение F(h)/r+(h) надо будет затем представить в виде суммы
двух функций с такими же свойствами:
T^ = T+(h) + T_(h). (18.13)
Тогда основное функциональное уравнение (18.11) примет фор-
му (*) Ф+(/г) = Ф_(Л):
^^- + 7’+(Л) = Г_(Л)/_(А)-Г_(Л), (18.14)
которая позволяет применить теорему Лиувилля. Если обе сто-
роны равенства (18.14) стремятся к нулю в своих полуплоско-
стях, то они в них и на оси Im h = 0 равны нулю, и для искомой
функции /_(й) получим (*)
= 1т/г<°- (18.15)
182 ИНТЕГРИРОВАНИЕ В ПЛОСКОСТИ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ [ГЛ/VI
Это и есть формальное решение уравнения (18.11). Подставляя
его в (18.7), получим искомое решение /(г) интегрального урав-
нения (18.1).
Опишем прием, позволяющий по известной функции Г (А)
найти обе функции Г+(А) и Г-(Л) в (18.12) и по известной ле-
вой части (18.13) найти T+(h) и T-(h). Первая из этих задач
легко сводится ко второй, так как для факторизации Г (А) до-
статочно представить функцию 1п Г (А) в виде суммы
In Г+(Л) + In Г_ (Л).
Эта задача решается применением формулы Коши, дающей
значение аналитической функции через ее значение на контуре.
Формула
оо
1пг+(Л)—(I8.i6)
— оо
где для точек h, расположенных в верхней полуплоскости, ин-
теграл взят по вещественной оси, а если 1тА = 0, то полюс
а — h должен быть обойден снизу — дает, при некоторых до-
полнительных условиях на поведение функции Г (А) при ]А|->оо,
функцию с требуемыми свойствами в верхней полуплоскости.
Функция In Г-(А) дается такой же формулой с противополож-
ным направлением интегрирования и противоположным прави-
лом обхода полюса при 1mA = 0. Сумма двух таких интегралов
при 1mA = 0 равна вычету в точке а = А, т. е. равна In Г (А).
После того, как Г+(А) найдено по (18.16), левая часть
(18.13) известна, и ее разбиение на две функции производится
по той же схеме.
Таким образом, для решения интегрального уравнения (18.1)
надо вычислить фурье-сопряженные ядрй и правой части этого
уравнения по (18.10), факторизовать Г(А) по (18.16), с исполь-
зованием той же формулы найти Т_(А) из (18.13), вычислить
фурье-сопряженную искомой функции по (18.15) и обратить ее
по (18.7).
18.5. Дополнительные соображения. Метод решения уравне-
ния (18.1), просуммированный в последнем абзаце, требует
ряда уточнений. Приведенный вывод не является доказатель-
ством, он содержит лишь основную идею. Упомянем некоторые
из уточнений, которые надо было бы сделать, чтобы оправдать
этот формальный аппарат. Последовательное проведение этих
уточнений привело бы к существенному усложнению всего из-
ложения.
Волновое число k следует положить комплексной величиной,
и мнимую его часть устремить к нулю лишь в окончательном
§ I8J МЕТОД ВИНЕРА - ХОПФА (МЕТОД ФАКТОРИЗАЦИИ) 183
решении. Тогда общей областью аналитичности обеих частей
функционального уравнения (18.14) будет не ось Im h = 0, а
полоса в плоскости А, содержащая эту ось. Интеграл в (18.16)
берется не по вещественной оси, а по линиям, ей параллельным,
лежащим в этой полосе и различным для 1п Г+(А) и 1пГ_(А).
Если в этой полосе Г (Л) имеет нули, то по (18.16) фактори-
зуется не Г (Л), а функция, получающаяся после выделения в
ней обращающихся в нуль биноминальных множителей.
В (18.14) обе стороны стремятся при |А|-»-оо не к нулю,
а к некоторому полиному от Л, и коэффициенты этого полинома
находятся из дополнительных соображений о поведении иско-
мого тока j(z) и поля v(z) вблизи ребра полуплоскости, т. е.
при z-*-+0 и z->-—0, соответственно. Основное функциональ-
ное уравнение (18.11) эквивалентно первоначальному инте-
гральному уравнению (18.1) лишь при некоторых дополнитель-
ных предположениях о характере искомого решения j(z) при
z—>-+0, эквивалентных условию (3.16) и неявно использован-
ных при выводе (18.11).
Во многих задачах самая сложная часть — факторизация
(18.12) функции Г(Л)—производится без обращения к общему
методу (18.16). Например, для задачи о полуплоскости функция
rW-TVS=?- (18.17а)
что легко получить, вычисляя интеграл в (18.10) при подста-
новке вместо G функции Ханкеля от А|/| [ср. (16.32)], а эта
функция легко факторизуется непосредственно:
Если ток j(z) протекает в закрытом объеме, то функцию
Г (Л) обычно тоже удается факторизовать без привлечения об-
щей формулы (18.16). Например, в задаче о разветвленном пло-
ском волноводе [и в аналогичных задачах, которые сводятся
к системе уравнений типа (18.1)] функция Г (А) не имеет разре-
зов и может быть представлена в виде произведения бесконеч-
ного числа множителей типа (Л — Ал)*1 (где hn — собственные
значения некоторой краевой задачи), а такое произведение
легко записать в форме (18.12). При этом и функция J-{h)
также не имеет разрезов во всей плоскости А, и интеграл для
тока (18.7) деформацией контура в верхнюю полуплоскость
преобразуется в сумму, каждый член которой есть ток, соот-
ветствующий волноводной волне. Для открытых же систем
функции Г(А) и /-(А) имеют разрезы, как в (18.17), и поле не
представрмр в виде дискретной суммы волд.
184 ИНТЕГРИРОВАНИЕ В ПЛОСКОСТИ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ [ГЛ. VI
18.6. Метод Джонса. Основное функциональное уравнение
(18.11) можно различными методами получить, минуя составле-
ние интегрального уравнения (18.1). В этом пункте мы на том
же простом примере (полуплоскость, граничное условие Ди-
рихле) опишем схему одного из таких методов; в нем преобра-
зование Фурье применяется непосредственно к дифференциаль-
ному уравнению в частных производных для искомой функции
v(x, г).
Уравнение (18.11) представляет собой соотношение между
фурье-сопряженными от функций u(z) и j(z), т. е. от v(z, 0)
при z < 0, дополненной нулем при z > 0, и от разрыва произ-
водной dv(x, z)/dx при х — 0, z > 0, дополненной нулем при
z <С 0. Для установления этой связи введем фурье-сопряженную
от о(х, г) при всех х, а не только при х = 0, как выше. Эта
функция зависит и от х, и от h
У(х, Л)= J и(х, z}Q-lhzdz. (18.18)
— оо
Для V(x, Л), как функции от х, легко получить уравнение (*)
^_ + (^_/г2)у==0, (18.19)
умножив для этого волновое уравнение для v(x, z) на
ехр(—ihz) и проинтегрировав по z от —оо до +°о. Интеграл от
d2v/dx2 равен d2V/dx2, а интеграл от d2u/dz2 после двукратного
интегрирования по частям даст член —Zi2V, так как можно по-
казать, что обынтегрированные члены равны нулю.
Решение уравнения (18.19) есть
V (х, h) — V(Q, h) exp (± z’Vk2 — h2x}, (18.20)
где верхний знак относится к области х 0, нижний — к х 0;
при этом использовано условие излучения для v(x, z). В (18.20)
использована геометрия этого конкретного примера: так как
индуцированный ток, создающий дифрагированное поле, проте-
кает на плоскости х = 0, то поле v(x, z) — а потому и функция
V (х, z) — симметричны относительно этой плоскости.
Дифференцируя (18.20) по х и полагая х = ±0, получим
требуемое соотношение между разрывом производной функции
V(x, h) и значением этой функции при х — 0 (*):
L- -о - 1,- +. = - 2‘ v <»• *>• <18.21)
До сих пор h рассматривался как параметр. Теперь рас-
смотрим зависимость именно от h. Слева в (18.21) стоит фурье-
сопряженная от тока (18.3), т. е. функция /_(/г) (18.6а), (18.8а).
§ 18J МЕТОД ВИНЕРА —ХОПФА (МЕТОД ФАКТОРИЗАЦИИ) 185
Стоящая справа функция V(0, h) есть интеграл по г от —оо
до -f-оо от о(0, г). Часть его, а именно интеграл от —оо до О,
есть V+(h) (18.65), (18.85). В оставшейся части — в интеграле
от 0 до оо, согласно граничному условию (18.2) для поля,
о(0, г) =—и°, и интеграл, согласно (18.10), равен F(h). Таким
образом, в введенных раньше обозначениях (18.21) имеет
вид (*) _______
J_ (ft)= — 2z V*2 — Л2 [И+ (Л) 4- НЛ)]. (18.22)
Согласно (18.17а), множитель справа равен 1/Г(Л), так что мы
действительно получили то же основное уравнение (18.11),
только с расшифрованным значением Г (Л).
Дальнейшее его исследование производится по той же схеме
с использованием, разумеется, формулы (18.176).
Глава VII
НИЗКИЕ ЧАСТОТЫ
В двух параграфах этой главы рассмотрены методы, которые
применимы при дифракции на телах, размеры которых малы по
сравнению с длиной волны. Наличие в задаче параметра мало-
сти ka (а — упомянутый линейный размер) позволяет использо-
вать прием, основанный на близости задачи дифракции к зада-
чам электростатики и магнитостатики. Поля вблизи тела опре-
деляются в статическом (k = 0) приближении, а затем про-
длеваются во все пространство по волновым законам. Цен-
тральными являются, тем самым, два вопроса: формулировка
статических задач и правила продления поля. Оказывается, что
оба этих вопроса решаются в трехмерных и двумерных задачах
не вполне одинаково. Поэтому в § 19 изучена задача о дифрак-
ции на малых трехмерных телах и на малых отверстиях в пло-
ских экранах; двумерные задачи — цилиндры и периодические
поверхности с малым периодом — выделены в § 20.
§ 19. Дифракция на малых трехмерных телах
и чалых отверстиях
19.1. Металлическое тело; формулировка статических задач.
Малое металлическое тело помещено в поле £°(г), Н°(г). Наи-
больший линейный размер тела а мал по сравнению с длиной
волны
£а<1. (19.1)
Поместим начало сферической системы координат (р, 6, <р)
где-либо внутри тела. Неравенство (19.1) означает, что сущест-
вует такая область, где р удовлетворяет условиям
а -С р 2n/fe, (19.2)
т. е. область, размеры которой велики по сравнению с разме-
рами тела и малы по сравнению с длиной волны. Для статиче-
ских задач, к которым мы сейчас сведем задачу дифракции,
такие значения р — бесконечно большие. В задаче дифракции
§ 19] ДИФРАКЦИЯ НА МАЛЫХ ТРЕХМЕРНЫХ ТЕЛАХ 187
эти же значения р — бесконечно малые. Существование таких р,
гарантированное условием (19.1), есть следствие наличия в за-
даче двух разных масштабов — размера тела и длины волны.
Во всей области, где Ар< 1, в уравнениях Максвелла члены
rot Я, rotE, имеющие порядок Я/p, Е/р, велики по сравнению
с членами kE, kH. В нулевом порядке по частоте эти уравнения
могут быть заменены статическими уравнениями (в точках, сво-
бодных от сторонних токов):
a) rotE = 0, б) rotff = 0. (19.3)
Эти уравнения можно рассматривать как уравнения для нуле-
вых членов разложений Е и Я по степеням малого параметра k.
К ним надо добавить уравнения (1.16)
a) divE = 0, б) <ИуЯ = 0. (19.4)
Эти уравнения — следствия строгих уравнений Максвелла; так
как (1.16) не содержат параметра k, то они сохраняются во
всех порядках по k. Эти уравнения не являются следствием
(19.3), они могли бы быть получены из уравнений для первых
членов разложений Е и Я по k (*).
Граничные условия на поверхности тела 5 (идеальный ме-
талл) имеют вид
a) Е< = 0, б) Ял, = 0. (19.5)
Первое из них — обычное условие на металле. Второе справед-
ливо при любых частотах (2.9). Оно, также как (19.4), может
быть получено из уравнений первого по k порядка (*). Условие
(19.55) не является прямым следствием условия нулевого по-
рядка (19.5а), точнее — оно может быть получено из него только
с привлечением уравнения (19.36).
При удалении от тела на расстояния, большие по сравнению
с а, поля Е, Я должны переходить в падающие поля Е°, Н°:
а) Е->Е°, б) Я->Я° при р->оо, (19.6)
причем бесконечность понимается в статическом смысле, т. е.
для р, удовлетворяющих (19.2). Формулы (19.6) получаются при
разложении Е(г), Я(г) в ряд Тейлора и сохранении нулевых
членов. Они справедливы, если вблизи тела падающие поля
мало меняются на расстояниях порядка а. При помещении ма-
лого тела в нуль поля или вблизи источника условия на стати-
ческой бесконечности формулировались бы иначе.
Однако условий (19.6) недостаточно, чтобы поставить соот-
ветствующие статические задачи. Существует еще условие,
определяющее скорость убывания дифрагированного поля при
188
НИЗКИЕ ЧАСТОТЫ
[ГЛ. VIT
больших (в смысле (19.2)) р. Оно состоит в том, что при ди-
фракции на любом конечном теле э;го тело не приобретает сум-
марного поверхностного заряда, так что
a) ^ENdS = 0, б) §HNdS = O. (19.7)
Второе из этих условий — отсутствие суммарного поверхност-
ного магнитного заряда — содержится, разумеется, уже в (19.56)
и выписано для симметрии.
Первое, как мы сейчас покажем, является следствием усло-
вия излучения и уравнения (19.4а). Проинтегрируем (19.4а) по
объему, лежащему между поверхностью тела S и поверхностью
сферы радиуса роо, г де р<эо 2л/&, так что на этой сфере при-
менимы условия излучения. Интеграл, стоящий слева в (19.7а),
равен по формуле Гаусса интегралу по поверхности сферы от
Ер. Применяя (19.4а) к точкам на этой сфере и подставляя для
тангенциальных компонент выражения (3.23), получим
+ <19-8)
Элемент поверхности сферы равен dS = р2 sin 0 dQ dtp, и инте-
грал Ер dS равен, с точностью до несущественных множи-
телей,
$ Ер dS = е~«₽ J J (sinGF,) + dQ d<p + О (-£-) . (19.9)
Первое слагаемое в (19.9) является интегралом по периоду от
периодических функций, т. е. равно нулю. Так как левая часть
(19.9) не зависит от роо, то она равна нулю.
Таким образом, поле вблизи малого металлического тела
(при р <С 2л/А>) находится из двух независимых задач — из
электростатической задачи (19.3а), (19.4а), (19.5а), (19.6а),
(19.7а) и из магнитостатической задачи (19.36), (19.46), (19.56),
(19.66), (19.76).
19.2. Скалярные потенциалы. Каждая из этих задач сводится
к нахождению скалярных функций — электростатического по-
тенциала Ф и магнитостатического потенциала ЧЛ Согласно
(19.3), поля можно искать в виде
а) Е = — УФ, б) Н = — (19.10)
Оба потенциала удовлетворяют, согласно (19.4), уравнению
Лапласа
а) ДФ = 0, б) ДЧГ = О. (19.11)
Граничные условия для них, согласно (19.5), имеют вид
а) Ф|з==0, 6) д'¥/дК = 0. (19.12)
§ 19] ДИФРАКЦИЯ НА МАЛЫХ ТРЕХМЕРНЫХ ТЕЛАХ 189
Мы не рассматриваем особую ситуацию, когда тело состоит
из нескольких тел (неодносвязно), так что Ф на каждом теле
может принимать свое постоянное значение, и приравниваем
левую часть (19.3) к нулю, так как добавление постоянного
слагаемого к Ф не меняет, согласно (19.10а), поля Е.
Условия на бесконечности (19.6) проще всего записать, на-
правив в каждой из двух задач ось сферической системы коор-
динат по соответствующему вектору Е°(0) или №(0). Если, на-
пример, связать систему координат с £"°(0), то условие (19.6а)
для Ф будет
Ф^- —E"0(0)pcos9 при р->оо. (19.13)
Это условие надо уточнить, используя (19.7а). Согласно (19.7а)
ряд по обратным степеням р, который асимптотически пред-
ставляет электростатический потенциал дифрагированного поля
Ф E°(0)p cos 0, т. е. разность потенциала полного поля Ф и
падающего поля, равного —£'°(0)pcos9, должен (после постоян-
ной) начинаться с члена порядка 1/р2.
Член, пропорциональный 1/р, который был бы старшим в
разложении потенциала заряженного тела, не может присут-
ствовать в статической задаче, возникшей из задачи дифракции.
Действительно, слагаемое, пропорциональное 1/р, согласно
(19.11а), не зависит от углов (так как 1/р — решение уравне-
ния Лапласа), поэтому если в Ф содержится такое слагаемое,
то интеграл EodS, взятый по сфере большого [в смысле
(19.2)] радиуса, отличен от нуля. Однако он равен левой части
(19.7а) — это вновь получается при интегрировании (19.4а) по
области между S и этой сферой — и поэтому должен быть ра-
вен нулю (•»).
Следующий член, убывающий как 1/р2, пропорционален
cos0/p2, ибо именно так зависит от'0 решение уравнения Лап-
ласа, пропорциональное 1/р2. Для простоты записи предполо-
жим, что Е°(0) направлено некоторым определенным образом
относительно тела, в общем же случае угол 0 в этом слагаемом
не совпадает с 0 в (19.13). Коэффициент при этом члене должен
быть пропорционален возбуждающему полю в (19.13). Таким
образом, условие на статической бесконечности для потенциала
имеет вид
ф=_£О(О){рСО50 + С-рЕ^-) + о(4), (19.14)
где С — несущественное для дальнейшего постоянное слагаемое.
Вводимое таким образом число Ре—коэффициент электри-
ческой поляризуемости тела при данном направлении вектора
Е°(0) — определяет, как увидим в п. 19.4, также и дифрагиро-
ванное поле. Вообще говоря, Ре— тензор, и только для некото-
190
НИЗКИЕ ЧАСТОТЫ
1ГЛ. VH
рых направлений Е°(0) не происходит деполяризации и условие
(19.14) записывается таким простым образом.
Так же записывается формула для асимптотического пове-
дения V и вводится коэффициент магнитной поляризуемости рн-
Задача, состоящая из уравнения (19.11а) и условий (19.12а)
и (19.14) (причем в последней формуле рЕ не задано, а само
находится из этой задачи), однозначно определяет функцию Ф.
Как и в электродинамике, для того чтобы это показать, доста-
точно убедиться в том, что разность двух решений Ф тождест-
венно равна нулю. Применим формулу
$(УФ)2ЙУ = фф^-^-§ Ф^-dS, (19.15)
sp
которая очевидным образом получается из формул Ф УФ =
= (УФ)2 + ФДФ и (19.11а), к области между 5 и сферой Sp
большого радиуса, на которой применимо (19.14). Первый инте-
грал справа исчезает вследствие (19.12а), второй — вследствие
(19.14), так как Ф~С + О(1/р3), дФ/'д/V—О (1/р3), Ф дФ/dN—
— О(1/р3), и интеграл имеет порядок не ниже 1/р. Интеграл от
неотрицательной величины (УФ)2 может неограниченно стре-
миться к нулю с ростом области интегрирования, только если
УФ = 0, что и доказывает однозначность сформулированной
электростатической задачи. Так же доказывается однозначность
(с точностью до несущественного постоянного слагаемого) маг-
нитостатической задачи.
19.3. Металлическая сфера; эллипсоид вращения. Общим ме-
тодом, позволяющим для трехмерного металлического тела ре-
шать задачи, сформулированные в предыдущем пункте и, в
частности, найти Ре и рн, является метод интегральных уравне-
ний. Эти уравнения составляются таким же образом, что и инте-
гральные уравнения в задачах электродинамики, но ядром в
них является более простая, чем в электродинамике, функции
1/]и —г2| —функция Грина уравнения Лапласа.
Для эллипсоида задача решается значительно проще, раз-
делением переменных. Мы решим задачу для шара, а для эл-
липсоида вращения приведем только некоторые результаты.
Частные решения уравнения Лапласа, не зависящие от угла
tp, в сферической системе координат имеют вид
p"Pn(cos0), p_(n+1)Pn(cos0), (19.16)
где P„(cos 0) — полиномы Лежандра; P0(cos 0) = 1, Pi(cos 0) =
= cos0; другие полиномы (см. п. 6.1) нам не понадобятся.
i 14 ДИФРАКЦИЯ НА МАЛЫХ ТРЕХМЕРНЫХ ТЕЛАХ 191
Решение уравнения (19.11а) ищем в виде
ф = — £° (0) {pcosO — рв-(19.17)
Для шара первые члены асимптотического разложения (19.14)
дают точное решение. Действительно, (19.17) удовлетворяет
граничному условию (19.12а) на поверхности шара радиуса а
при
рЕ = а3. (19.18а)
В том же виде (19.17) с заменой рЕ на рн записывается реше-
ние магнитостатической задачи для и из граничного условия
(19.126) получается
ря=в —аз/2. (19.186)
Разумеется, для шара рЕ и рн — не тензоры, а скаляры.
Для эллипсоидов рЕ и рн — тензоры. Главные значения этих
тензоров — это те значения коэффициентов поляризуемости, ко-
торые получаются из соответствующих статических задач, если
поля Е° или Я° направлены по одной из осей эллипсоида. Явные
формулы, не содержащие интегралов, получаются только для
эллипсоидов вращения. Например, для вытянутого эллипсоида
вращения, если поле Е° направлено вдоль большей оси эллипса,
рЕ==-^а3е2( — 1 +-^-In-^y) \ (19.19а)
где а — большая полуось эллипса, е — его эксцентриситет. При
е—>-0 (19.20) переходит, разумеется, в (19.18а).
Для очень вытянутого эллипсоида, при е->1,
Q лЗ
= Т In [2/(1—е)] • (19.196)
Поляризуемость имеет порядок а3. Она несколько меньше, чем
для шара радиуса а, но значительно больше, чем для шара
того же объема, что и объем эллипсоида; для такого шара
рЕ — а3(1 — е2). Если же вытянутый эллипсоид помещен в поле,
перпендикулярное к его большой оси, то рЕ « 2/заЬ2, где b —
малая полуось.
Для сплюснутого эллипсоида вращения мы приведем только
результаты, относящиеся к предельному случаю, когда одна ось
много меньше двух других (круглый диск). Если электрическое
поле направлено по оси вращения (перпендикулярно к диску),
то рЕ имеет порядок объема диска, т. е. дипольный момент мал.
Если электрическое поле лежит в плоскости диска, то коэффи-
циент электрической поляризуемости пропорционален кубу ра-
192 НИЗКИЕ ЧАСТОТЫ [ГЛ. VIT
диуса диска, который мы обозначим а:
Р£ = ^а3.‘ (19.20а)
А
Магнитный момент имеет тот же порядок, если магнитное поле
перпендикулярно к диску; коэффициент магнитной поляризуе-
мости равен
Ря = -^-а3. (19.206)
Он мал, порядка объема диска, если магнитное поле лежит
в его плоскости.
19.4. Дифрагированное поле во всем пространстве. Основным
полученным выше результатом является формула (19.14) и фор-
мулировка задачи, из которой определяется рЕ, и соответствую-
щая формула для Т. При этом статические потенциалы дифра-
гированного поля на статической бесконечности
а) Фдиф = рнЕ°(0)-^-, б) = рнН* (0) (19.21)
[угол 0 в обеих формулах отсчитывается от разных направле-
ний, см. замечание перед (19.13)]. Формулы (19.21) дают стар-
шие члены разложения по малому параметру а/p. Согласно
(19.21) и (19.10), на статической бесконечности металлическое
тело действует как совокупность электрического и магнитного
статических диполей с моментами p££,°(0) и р«Я°(0) соответ?
ственно. Для простоты мы рассматривали поляризуемости рЕ
и рн как скаляры, однако последние формулы записываются
таким же образом и для тензорных рЕ и рн.
Регулярный способ, позволяющий использовать решение ста-
тических задач для решения электродинамической задачи ди-
фракции, состоит в том, чтобы вычислить из статики индуциро-
ванный ток, или — для диэлектрических тел — индуцированную
поляризацию (1.11), а по нему дифрагированное поле во всем
пространстве. Однако за исключением некоторых двумерных
задач (см. п. 19.6), всегда можно применить какой-либо более
простой прием. Для трехмерных задач таким приемом является
сшивание полей на поверхности, лежащей в области (19.2).
Для этого надо, вообще говоря, по (19.21), (19.10) найти тан-
генциальные компоненты Е и Я на сфере большого (р а)
радиуса, а затем по ним вычислить вне этой сферы поле,
удовлетворяющее волновым уравнениям и условиям излучения.
Однако фактически и Эту краевую задачу можно решить, не
производя никаких вычислений, а просто сшивая на какой-либо
сфере радиуса, лежащего в промежуточной области (19.2), поле
статического диполя и поле элементарного диполя (3.2).
§ 195 ДИФРАКЦИЯ НА МАЛЫХ ТРЕХМЕРНЫХ ТЕЛАХ J93
Сопоставление формул показывает, что тангенциальная ком-
понента поля Е электрического статического диполя, получае-
мого из (19.21) и (19.10а), и элементарного электрического ди-
поля с дипольным моментом
1в>рЕЕ°(0) (19.22а)
совпадают. Так же совпадает тангенциальная компонента поля
Н магнитного статического диполя рн и элементарного магнит-
ного диполя с магнитным моментом
i&pHHQ (0). (19.226)
Поэтому сшивание полей на сфере промежуточного радиуса
(19.2) производится автоматически.
Таким образом, малое металлическое тело, помещенное
в поле Е°, Н°, создает во вне поле двух элементарных дипо-
лей— электрического с моментом (19.22а) и магнитного с мо-
ментом (19.226).
19.5. Диэлектрическое тело. Сформулируем электростатиче-
скую задачу, к которой сводится электродинамическая задача
о дифракции падающего поля Е°, Н° на малом диэлектрическом
теле. Примем сначала е непрерывной функцией; вне некоторой
сферы радиуса a (ka 1) е = 1.
Нулевой член разложения поля Е по степеням k удовлетво-
ряет уравнениям
a) rot Я = 0, б) div(e£) = 0. (19.23)
Второе из них может быть получено либо из разложения по k
уравнений Максвелла в первом по k порядке, либо из уравне-
ния (1.7а); оно аналогично уравнениям (19.4а) и (19.5а) (*).
В диэлектрике, при дифракции не возникает локального элек-
трического заряда, поэтому не возникает и суммарного заряда,
и уравнение типа (19.7а) есть простое следствие (19.236). Усло-
вия на статической бесконечности для диэлектрического тела
такие же, как для металлического, т. е. это тело действует как
электростатический диполь с моментом psfi^O). Повторяя со-
ображения предыдущего пункта, можно утверждать, что ди-
фрагированное поле всюду есть поле элементарного электриче-
ского диполя с тем же моментом (19.22а).
Диэлектрическое тело не возбуждает магнитного диполя,
т. е. для него рн = 0. Это следует из того, что уравнения (19.36)
и (19.46) справёдливы по всей области kp <С 1, так как в ста-
тическом приближении решение есть просто Н = Н°(0). В сле-
дующем пункте мы упомянем условия, когда это утверждение
становится неверным.
Определение рн из электростатической задачи производится
разными методами, в общем случае — применением интеграль-
ных уравнений.
7 Р. Б. Ваганов, Б. 3. Каценеленбаум
194
НИЗКИЕ ЧАСТОТЫ
[ГЛ. VII
Если тело ограничено поверхностью 5, внутри которой е =
= const =/= 1, а вне е = 1, то задача легко сводится к скалярной
введением потенциала Ф по (19.10а). Этот потенциал можно
вводить, разумеется, и при*8 = е(г), однако для Ф получается
сложное уравнение
ДФ + УФ V In е = 0. (19.24)
Для тела с постоянным 8 потенциал и внутри, и вне тела
удовлетворяет уравнению Лапласа (19.11а), а на S — гранич-
ным условиям
а> 8 = б> ф+ = ®4. (19.25)
где Ф+, Ф~ — значения Ф внутри и вне тела (*). Первое из них
есть предельная форма (19.236), второе — предельная форма
тангенциальной к S компоненты векторного уравнения (19.23а).
Точнее, из (19.23а) следует непрерывность тангенциальных ком-
понент [это справедливо в любом порядке по k; см. (2.1а)],
а (19.256) учитывает еще несущественность аддитивного сла-
гаемого в Ф.
Методом разделения переменных электростатическая задача
решается, как и для металлического тела, не только для шара,
но и для эллипсоида. В статике при этом не возникает трудно-
стей, специфических для электродинамической задачи о ди-
электрическом эллипсоиде и связанных с различием волновых
уравнений внутри и вне диэлектрика.
Ограничимся вычислением поляризации рБ для диэлектри-
ческого шара. Потенциал при р > а записывается в виде
(19.17), при р < а — в виде решения уравнения Лапласа с той
же угловой зависимостью
ф+= — £° (0) Др cos 6. (19.26)
Условия (19.25) дают для двух коэффициентов А и рБ два
уравнения, из которых следует
а)Л = -Лу, б)р£ = а3|^|. (19.27)
Таким образом, при помещении диэлектрического шара
в электромагнитное поле возникающее дифракционное поле вне
шара равно полю элементарного электрического диполя с мо-
ментом (19.22а), где рБ дано в (19.276), а поле внутри шара
постоянно по величине и направлению и равно АЕ'°(0), где А
дано в (19.27а).
19.6. Особые значения диэлектрической проницаемости. Ди-
электрическая проницаемость в статической задаче (19.11а),
(19.25), (19.14) возникла из электродинамической задачи и мо-
§ 19] ДИФРАКЦИЯ НА МАЛЫХ ТРЕХМЕРНЫХ ТЕЛАХ 195
жет быть поэтому отрицательной или комплексной. В двух слу-
чаях возникает особая ситуация, при которой условие (19.1)
недостаточно для применимости статического приближения.
Если 8 + 2 = 0, то электростатическая задача для шара не
имеет решения. Значение е — —2 можно рассматривать как
собственное значение однородной задачи, состоящей из (19.11а),
(19.25) и условия Ф~ = О(1/р2). Электростатическая задача —
неоднородная (£°(0)=/= 0), и при этом она, как видно из (19.27),
не имеет решения. Такое исключительное значение е (их может
быть несколько) существует для тел любой формы.
Электродинамическое решение переходит в электростатиче-
ское, если ka мало по сравнению со всеми участвующими
в задаче величинами. Анализ электродинамического решения,
которое для шара находится методом разделения переменных,
показывает, что оно переходит в электростатическое (19.27) при
условии
ka <С | в + 2 |1/2. (19.28)
Это условие, заменяющее при е, близком к —2, условие (19.1),
гарантирует также на расстояниях kp <С 1 малость члена ре/р2
в (19.14) по сравнению с первым членом, описывающим падаю-
щее поле.
Электродинамическая задача имеет решение и при в = —2,
но она не сводится к электростатической задаче, как бы мал
ни был шар. При приближении 8 к этому значению сколь угодно
малый шар становится электродинамической ловушкой. Его
внутреннее поле и поляризация становятся большими (но, ра-
зумеется, конечными) и зависят от частоты.
При увеличении |е| статическое приближение тоже стано-
вится неприменимым. Условие его применимости состоит не
только в (19.1), но также в том, что а должно быть мало по
сравнению с длиной волны в диэлектрике-.
бад/ТёТс!. (19.29)
Если это условие нарушено, а условие (19.1) выполнено, то поле
только вне тела удовлетворяет уравнениям электростатики,
а внутри тела оно должно удовлетворять уравнениям Макс-
велла или волновому уравнению (1.12).
Тем не менее в пределе, при ]s|—>оо, электростатическая
задача о диэлектрическом теле переходит в электростатическую
задачу о металлическом теле. Действительно, при |в|->оо
(19.25а) дает (дФ+/дй/) | $ = 0, а решение уравнения Лапласа
внутри замкнутого объема с таким граничным условием тожде-
ственно равно нулю—.это следует, например, из уравнения
(19.15), примененного к внутреннему объему (*). Из (20.256)
при Ф+== 0 следует граничное условие (19.12а) для Ф~, так
7*
196
НИЗКИЕ ЧАСТОТЫ
[ГЛ. VII
что Ф~ совпадает с потенциалом в задаче о металлическом
Тёле. В частности, рЕ для диэлектрика при |е|->-оо переходит
в Ре для металла, что дл» шара видно непосредственно из срав-
нения (19.276) с (19.18а).
Однако в таком предельном переходе не получается пра-
вильного значения магнитной поляризации рн- Утверждение,
что она равна нулю для диэлектрического тела, справедливо
лишь при выполнении условия (19.29). При нарушении этого
условия электрическое поле внутри тела вызывает магнитное,
так что возникает отличное от нуля рн.
Покажем, что и поляризуемость рн для металлического тела
можно найти из электростатической задачи о диэлектрическом
теле, если в выражении для рЕ такого тела положить е — 0.
Существует связь между значением рн для тела с отличной
от единицы магнитной проницаемостью р. и значением рн для
металлического тела. Если ц=й= 1, то рн находится из магнито-
статической задачи, в которой потенциал Т удовлетворяет тем
же условиям (19.25), что и Ф в электростатической задаче
с е =й= 1, с заменой 8 на ц. Эта задача переходит в задачу о ме-
таллическом теле, если формально положить в ней р, = 0, ибо
тогда граничное условие, аналогичное (19.25а), переходит в гра-
ничное условие (19.126) в задаче о металле (*). Например, рн
для шара сц¥=1 равно, по аналогии с (19.276),
ря = а3 (р — 1)/(р, + 2) (19.30)
и при р, = 0 это выражение переходит в рн для металлического
шара (19.186).
19.7. Малое отверстие в плоском экране; принцип двойствен-
ности. Для определения поля, возникающего при прорезании
малого отверстия в плоском экране, воспользуемся аналогией
3? Si &з
Рис. 19.1. Отверстие в
плоском экране.
s3 Sf Ss
Рис. 19.2. Диск, допол-
няющий экран с отвер-
стием до сплошной пло-
скости.
между этой задачей (рис. 19.1) и задачей о дифракции на ме-
таллическом диске, форма которого повторяет форму отверстия
(рис. 19.2). Эта аналогия — так называемый принцип двойствен-
ности— состоит в том, что задаче об отверстии можно сопоста-
ДИФРАКЦИЯ НА МАЛЫХ ТРЕХМЕРНЫХ ТЕЛАХ
197
S 14
вить такую задачу о диске, что полное поле, проникающее
в нижнее полупространство в первой задаче, равно дифрак-
ционному полю во второй задаче. Этот принцип легко обоб-
щается при возбуждении поля с обеих сторон, не ограничен
малыми отверстиями, но справедлив только для плоских
экранов.
Его доказательство основано на двух простых идеях. Во-
первых, на том, что тангенциальная составляющая магнитного
поля Ht в какой-либо точке плоскости не искажается при ме-
таллизации не содержащей этой точки части плоскости, т. е.
равна Ht в падающей волне. Это свойство есть следствие того,
что магнитное поле токов, индуцированных на плоской поверх-
ности (S2 на рис. 19.1 и Si на рис. 19.2), не содержит компо-
нент, расположенных в той же плоскости. Поэтому в задаче об
отверстии (см. рис. 19.1) Ht на Si совпадает с H°t в отсутствии
экрана, а в задаче о диске (см. рис. 19.2) Ht на S2 совпадает
со значением Ht, где Ё°, Н°— падающее поле в задаче о диске,
которое мы ниже свяжем с Е°, Н°.
Вторая идея состоит в том, чтобы рассматривать поле в ниж-
нем полупространстве как созданное компонентами Et и Ht на
плоскости, точнее — как решение следующей смешанной гра-
i ничной задачи: на металле задано Et, на части плоскости, сво-
бодной от металла, задано Ht. На бесконечности поля удовле-
творяют условию излучения.
В задаче о диске дифрагированное поле (е, й)— т. е. раз-
ность полного и падающего поля — создано следующими гра-
ничными значениями:
et =— Д? на Si, ht = 0 на S2. (19.31)
; В задаче об отверстии полное поле создано граничными значе-
ниями
i Ht = Ht на Si, Е« = 0 на S2. (19.32)
Следовательно, если мы задаче о дифракции падающего на
отверстие поля Ё°, На сопоставим задачу о дифракции падаю-
щего на диск поля Е°, Н°, такого, что
Ё° = — Н°, Н° = — Е°, (19.33)
то в нижнем полупространстве полное поле (Е, Н) в задаче об
отверстии может быть получено из дифрагированного поля
(е, й) в задаче о диске заменой е на —Н и й на —Е. Ниже
мы ограничимся нормально падающей плоской волной.
Для вычисления дальнего поля в задаче о круглом отвер-
стии мы можем воспользоваться приведенным в (19.20а) зна-
чением коэффициента электрической поляризуемости круглого
198
НИЗКИЕ ЧАСТОТЫ
[ГЛ. VII
диска. Дипольный момент элементарного электрического ди-
поля, поле которого равно полю диска, равен, согласно (19.22а),
icopfE0, т. е., согласно принципу двойственности (19.33), равен
—йт>рЕН0. Этот дипольный момент пропорционален магнитному
полю падающей волны. Магнитный дипольный момент плоского
диска, согласно тексту после (19.206), равен нулю (поле лежит
в его плоскости).
Таким образом, поле малого круглого отверстия радиуса а
есть поле элементарного магнитного диполя [напомним о за-
мене полей, отмеченной после (19.33)] с моментом
— (19.34)
□Л
Эта формула позволяет, в частности, найти поток энергии через
отверстие. Диполь с моментом (19.34) излучает энергию, рав-
ную квадрату модуля этого момента, умноженному на fe2/6c
(3.10). Коэффициент этот равен половине коэффициента в
(3.10), так как мы вычисляем энергию,, излучаемую только
в полупространство. Энергия эта пропорциональна а6.
Удобной характеристикой электродинамических свойств от-
верстия является так называемый коэффициент прохождения т,
равный отношению прошедшей энергии к энергии, падающей
на отверстие. Падающая энергия равна (с/8л) |7/°|2ла2, так
что (*)
<19.35)
Разумеется, фактическое вычисление коэффициента поляри-
зуемости диска (19.20а) потребовало бы решения такой же за-
дачи электростатики, что и прямое определение электрического
поля на отверстии (что позволило бы решить задачу рис. 19.1
без обращения к задаче рис. 19.2). Обе эти задачи для круглого
диска или круглого отверстия решаются разделением перемен-
ных в эллиптических координатах. Для отверстий (дисков) не-
круглой формы потребовались бы более сложные методы теории
потенциала. В принятом выше методе вычисления т подчерки-
вается, что электрическое поле в отверстии пропорционально
магнитному полю падающей волны (его тангенциальной компо-
ненте). Это объясняется просто тем, что удвоенное магнитное
поле падающей волны равно току, протекающему по плоскости,
а возмущающее действие отверстия тем больше, чем больше
отверстие нарушает протекание тока.
В этом рассуждении существен еще и векторный характер
Н°. Например, в длинном отверстии (щели), прорезанном по-
перек тока, т. е. сильно его возмущающем, возникнет большое
§ 20] ДВУМЕРНЫЕ ЗАДАЧИ 199
электрическое поле, и просачивание энергии будет велико, а в
щели, параллельной току, возникнет слабое поле. Это можно
рассматривать как следствие принципа двойственности и полу-
ченных в следующем параграфе свойств металлических лент.
Там будет показано, что если электрическое поле падающей
волны параллельно ленте, то на ней возникнут большие токи.
Согласно принципу двойственности, в щели возникнут большие
электрические поля, если она параллельна магнитному полю
падающей волны, т. е. перпендикулярна к направлению тока,
протекающего по плоскости. Если же электрическое поле пер-
пендикулярно к ленте, то лента слабо рассеивает, поэтому ма-
лым будет просачивание через щель, перпендикулярную к маг-
нитному полю (т. е. параллельную токам).
Малое значение коэффициента т (19.35) для круга связано
с тем, что ток на плоскости легко обтекает малое отверстие,
и в отверстии не возникает значительного электрического поля.
Если бы Е° содержало нормальную к плоскости компоненту
E°n, то такую же компоненту содержало бы магнитное поле
в эквивалентной задаче о диске, Нм =— Ех, и в поле присут-
ствовало бы еще слагаемое, созданное электрическим диполь-
ным моментом —^рцЕ'м. Для круга рн дано в (19.206).
§ 20. Двумерные задачи. Дифракция на прямолинейных
металлических цилиндрах
и на частопериодических структурах
В этом параграфе рассмотрены двумерные низкочастотные
задачи дифракции. Одно из измерений тела, на котором проис-
ходит дифракция, бесконечно велико. Всюду, кроме предпо-
следнего пункта, мы ограничимся металлическими телами.
Кроме того, чтобы не усложнять запись, примем, что поля не
зависят от координаты z, вдоль которой тело бесконечно.
Выделение двумерных задач в отдельный параграф связано
с двумя обстоятельствами. Во-первых, для одной из поляриза-
ций (при Ег =/= 0) задача при сколь угодно низкой частоте не
сводится к статической. Решение имеет такой вид, как будто на
цилиндре образуется заряд, зависящий от частоты. Поэтому
и условия на бесконечности для уравнения Лапласа зависят от
частоты.
Во-вторых, в двумерном случае задача, разумеется, сводится
к решению двумерного уравнения Лапласа, и мы в этом пара-
графе сможем пользоваться универсальным методом решения
этого уравнения — конформными преобразованиями.
Как было показано в п. 5.1, если форма тела и падающее
поле не зависят от г, то имеет место разделение поляризаций.
200
НИЗКИЕ ЧАСТОТЫ
[ГЛ. VII
Компонента Ez в падающем поле порождает поле, содержащее
только Ег, Нх, Ну [ср. 318а)]:
Нх = — Ну = 4т-~, Ег — и. (20.1)
я ik оу у ik дх 2 4 *
Компонента Нг в падающем поле порождает поле, содержащее
только Hz, Ех, Еу [ср. (3.186)]:
Ех = ±~, Еу=^-~^-, Нг = и. (20.2)
х ik ду у ikdx 2 ' '
Поэтому можно отдельно решать задачу для S-поляризации
(_Ег ^0,Нг = 0) и для 77-поляризации (Ег = 0, /72 0), а если
в падающем поле отличны от нуля и Ег, и Hz, то решение бу-
дет суммой решений двух независимых задач.
Потенциальной функцией в обоих случаях можно выбрать и.
Так как это — декартова компонента поля, то и удовлетворяет
волновому уравнению, а при kr <С 1 (г2 = х2-j-у2) уравнению
Лапласа
Au = 0. (20.3)
В этом параграфе, не вводя специального обозначения, бу-
дем в отличие от § 19 всюду пользоваться двумерным операто-
ром Лапласа, который в декартовых и цилиндрических коорди-
натах имеет, соответственно, вид
д2 , д2 (90 4'1
дх2 ‘ ду2 ’ дг2 г dr ' г2 dtp2 ‘ \ • ’
20.1. Е-поляризация; круговой металлический цилиндр. На
контуре С металлического цилиндра функция и удовлетворяет
условию
и|с = 0. (20.5)
Задача об определении и (г, ф) из (20.3) и (20.5), как мы
уже отмечали, не сводится полностью к задаче электростатики.
Формально это связано с тем, что интеграл взятый
вдоль контура сечения С, отличен от нуля. Поэтому в решении
присутствует член In г, не стремящийся к нулю при г-*со, и ус-
ловие на статической бесконечности не состоит в том, что поле
должно перейти в невозмущенное падающее поле. Программа,
осуществленная в первых пяти пунктах предыдущего пара-
графа, здесь не может быть проведена. По существу, это есть
следствие того простого физического факта, что при помещении
в электростатическое поле вдоль его силовых линий бесконечно
длинного идеально проводящего цилиндра по цилиндру пойдет
бесконечный ток, электростатическое поле разрушится. Поэтому
электростатическая задача (20.3), (20.5) приобретает смысл,
5 20]
ДВУМЕРНЫЕ ЗАДАЧИ
201
только если условия на бесконечности в ней будут носить не-
электростатический характер, т. е. содержать частоту.
Чтобы определить структуру поля при низких частотах, вос-
пользуемся решением (5.10), (5.12а), справедливым при всех
частотах, и в нем положим ka <С 1. Как легко показать (*),
основываясь на (5.12а), коэффициенты ряда (5.10) при любой
структуре падающего поля имеют порядок Ат ~ (ka)2m (т =
= 1, 2, ...), Ло ~ 1/1пЛа, в частности, для специального вида
падающего поля это следует из (5.13а). Поэтому при всех г
в ряде (5.10) надо сохранить только два члена:
« = «°(0) + ЛХ2,(6г),
д = _ “° (°) ~ Я«° (0) (20.6)
° (ka) 2i In ka
Здесь мы еще заменили падающее поле и° его значением ы°(0)
на оси цилиндра. Это приводит к ошибке того же порядка
(ka)2, что и отбрасывание остальных членов полного ряда. На
статических расстояниях
„ = tto(o)_„O(O)^L. (20.7)
Это и есть искомое решение. Оно — электростатическое в том
смысле, что удовлетворяет уравнениям электростатики (20.3),
(20.5). Оно может трактоваться как решение задачи о заряжен-
ном цилиндре, хотя, разумеется, никакого заряда на поверхности
не образуется, ибо Er s= 0. Эффективный заряд, согласно (20.7),
равен
Ф5и , 2ли° (0) /пГ. о,
3iv-ds==--re2-- <20-8)
Эта формула представляет собой основной результат анализа
задачи о круглом металлическом цилиндре (Е-поляризация)
при низких частотах. Стоящий слева интеграл определяет коэф-
фициент при логарифмическом члене в статическом решении
для электрического поля Ez.
Этот эффективный заряд пропорционален току, протекаю-
щему по цилиндру. На поверхности цилиндра существует ази-
,, 1 ди
мутальная компонента магнитного поля , и полный
ток, протекающий по цилиндру, отличен от нуля и равен
lz = (20.9)
3 4ikn j dr v '
Явное выражение (20.7) для поля вблизи металлического
цилиндра кругового сечения, полученное непосредственно из
анализа ряда Релея при ka <С 1, позволит нам решить и задачу
о цилиндре некруговом.
202
НИЗКИЕ ЧАСТОТЫ
[ГЛ. VII
20.2. Е-поляризация; металлический цилиндр произвольного
сечения. Задача состоит в решении уравнения (20.3) с гранич-
ным условием. (20.5) на произвольном замкнутом контуре С.
В частности, надо найти коэффициент при логарифмическом
слагаемом в этом решении, которое является главным членом
в асимптотике при г а. Зная этот коэффициент, можно затем
найти дифрагированное поле вдали по формуле (20.6), если
вблизи, на расстояниях порядка длины волны, нет других тел.
Решение этой задачи основано на сведении ее к задаче пре-
дыдущего пункта путем замены координат (х, у) на другие ко-
ординаты в которых контур С переходит в окружность,
уравнение Лапласа и граничное условие сохраняются, и кото-
рые на больших (статически) расстояниях переходят в (х, у).
Эта замена координат осуществляется конформным преобра-
зованием.
Введем две комплексные величины Z и W формулами
Z = x-\-iy, W = (20.10)
т. е. две плоскости с декартовыми координатами (х, у) и (/, т),
соответственно. Затем введем некоторую функцию
Z = F(W), (20.11а)
правила выбора которой мы определим ниже. Разделяя
в (20.11а) вещественную и мнимую части, получим
x = x(t, т), y — y(t, т), (20.116)
Рис. 20.1. Преобразование эллипса в круг.
так что (20.11а) есть сокращенная запись уравнения перехода
от координат плоскости W к декартовым координатам
(х, у) плоскости Z. Пусть при движении точки (t,x) по некото-
рой окружности радиуса
аэф точка (х, у) по
(20.116) движется по за-
данному контуру С. По-
требуем, чтобы при t2 +
-|-т2->оо координата t
переходила в х, а т — в у,
т. е. чтобы вдали от на-
чала координат пло-
скость UJ7 переходила в Z. Тем самым мы осуществим требуемое
конформное (если F—аналитическая функция) преобразование
плоскостей, переводящее окружность в заданную кривую С.
Например, если С есть эллипс с полуосями а\ и Ь\ (рис. 20.1),
то, как известно, искомая функция (20.11а) есть
я2 — b\ 1
Z = W (20.12)
§ 20]
ДВУМЕРНЫЕ ЗАДАЧИ
203
Действительно, параметрическое уравнение окружности ? +
+ т2 — а2ф в плоскости W есть
/== a^costl), т = дэф sin ф.
(20.13)
Разделяя, согласно (20.12), действительную и мнимую части,
получим на контуре С (*)
( а2 — Ь2 \ ( а? — Ь? \
х = (аЭф + -4а"ф ) cos ф, у = ^дэф-----4^— J sin Ф- (20.14а)
Разумеется, ф— полярный угол в плоскости (/, т) — не есть по-
лярный угол <р в плоскости (х, у).
Уравнение (20.14а) есть параметрическое уравнение эллипса
с полуосями
9 *.2 «2 ь2
fli Ь\ Clt ~~ bi
+ <20Л4в>
Из требования, чтобы эти полуоси были он и находится
Дэф (*)•
(20.15)
Мы проверили, что преобразование (20.12) переводит окруж-
ность радиуса дЭф в плоскости IF в требуемый эллипс в плоско-
сти Z. Очевидно, что на бесконечности обе переменные совпа-
дают, так как согласно (20.12), при |Ц7|->оо Z-+W, и внеш-
няя по отношению к окружности область в плоскости W пере-
ходит во внешнюю по отношению к эллипсу область плоско-
сти Z.
Так как (20.12)—аналитическая функция, то при переходе
к новым переменным лапласиан (двумерный) сохраняет свою
форму, приобретая только общий множитель (»):
д3и , д2и ( д2и , <?2u\| dW ]2
~д^+ = +-а^)|^г| • (20.16а)
Поэтому в переменных (t, т) — т. е. в плоскости W — искомая
функция u(t, т) вблизи цилиндра удовлетворяет уравнению
Лапласа (20.3), а вдали, в волновой зоне, где второй множи-
тель в (20.16а) равен единице — правильному волновому уравне-
нию. Сохраняется и граничное условие (20.5), которое в пло-
скости W поставлено на окружности радиуса дЭф (20.15).
Таким образом, решение задачи о дифракции на малом
эллиптическом цилиндре получается, если в решении (в коор-
динатах t, т) задачи о дифракции на малом круговом цилиндре
заменить а на дЭф, а координаты (t, т) выразить через (х, у)
по (20.12). В частности, вместо г в (20.6), (20.7) надо подста-
вить (t2 + т2)1/2. При /2 + т2^>аэф (Z2т2) 1/2—>-г, так что вдали
204
НИЗКИЕ ЧАСТОТЫ
[ГЛ. VII
поле при дифракции на эллиптическом цилиндре совпадает
с полем при дифракции на круговом ^цилиндре радиуса (20.15).
Этот вывод позволяет обоцтись без указанной в п. 19.4 про-
цедуры— определения поля вдали по току. Его справедливость
основана на двух дополнительных обстоятельствах, имеющих
место только для задачи о Е-поляризации.
Во-первых, при этом делается ошибка, состоящая в неучете
отличия множителя |dIF/dZ|2 от единицы вблизи тела. Для
волнового уравнения в координатах (t, т) этот множитель, со-
гласно (20.16а), эквивалентен существованию эффективной ди-
электрической проницаемости
&^ = \dZ/dW р. (20.166)
Эта величина отлична от единицы вблизи цилиндра и только
при (/2 + т2)1/2 а3ф стремится к единице. Задача о дифракции
на произвольном металлическом круговом цилиндре тожде-
ственна задаче о дифракции на металлическом круговом ци-
линдре, помещенном в среду с 8 = еЭф, и 8Эф отлично от еди-
ницы в области порядка аЭф. При ka3$ <С 1 пренебрежение ди-
фракцией на этом неоднородном диэлектрическом теле приво-
дит к ошибке порядка (6аЭф)2, т. е. малой по сравнению
с дифракционным полем, которое, как и для кругового ци-
линдра, имеет порядок 1/1п6аЭф-
Во-вторых, при этом существенна инвариантность суммар-
ного тока (суммарного эффективного заряда), т. е. левой части
равенства (20.8). Плотность тока, т. е. du/dN, неинвариантна,
так как, в очевидных обозначениях
ди {х, у) ди (t, т) | dW I
dNx,y ~ <3A^, т I dZ I
(20.17а)
Однако растяжение плоскости при конформном преобразова-
нии, т. е. при переходе от (/, т) к (х, у) по (20.11), одинаково
во всех направлениях, и подынтегральное выражение в токе
du/dN ds при этом переходе не изменяется. Поэтому выражение
для эффективного заряда, вычисленное в (20.8) из задачи о кру-
говом цилиндре, справедливо для любого цилиндра при замене
CL НЯ Пэф*
Для эллиптического цилиндра аЭф дано в (20.15). В частно-
сти, для ленты (61 = 0) аэф = ai/2. Узкая лента ширины 2а\
возмущает поле при г как цилиндр радиуса «1/2. Плот-
ность тока на ленте вычисляется по (20.17а). Согласно (20.12)
dZ/dW — 1—Я1/41У2, на ленте (|x|<«i, у = 0), как легко
проверить, W = х/2 + i (al — х2)1/2/2, и (*)
I dW I _____1
I dZ I- 9л/э
(20.176)
j 20] ДВУМЕРНЫЕ ЗАДАЧИ 205
На краях ленты, при x-*-±ai, ток (параллельный краю ленты)
имеет, разумеется, особенность, которая из общих соображений
была получена в (3.3).
Существуют регулярные (точные или приближенные) ме-
тоды нахождения функции (20.11а), осуществляющие конформ-
ное преобразование окружности в заданный замкнутый контур
С таким образом, чтобы при 1^1-хх» Z W, и, тем самым, ре-
гулярный способ решения сформулированной в этом пункте
задачи. В общем случае основная формула — выражение для
аЭф через параметры контура С — не столь проста, как формула
(20.15) для эллипса.
20.3. Е-поляризация; частая гофра. В основе метода, приме-
няемого при решении задачи о двумерных периодических струк-
турах, тоже лежит введение, вместо
в которых на больших расстояниях
сохраняется волновое уравнение, а
на малых — уравнение Лапласа.
Основной идеей метода является
перевод сложного контура в пло-
скости (х, у) в простой контур в
плоскости (t, т). Метод по существу
основан на формуле (20.16а).
Мы рассмотрим сначала задачу
о поле вблизи неглубокой частопе-
риодической гофры. Сечение гофры
плоскостью z — const есть периоди-
ческая линия С, близкая к прямой.
Период этой линии а и отклонение ее от прямой малы по сравне-
нию с длиной волны. При отражении от такой поверхности' поле
на расстояниях, больших по сравнению с а, будет асимптоти-
чески таким же, как при отражении от некоторой плоской по-
верхности. Все мелкие (с масштабом а) возмущения будут
существовать лишь на расстояниях порядка а — аналогично
тому, что поле вблизи эллиптического цилиндра только на рас-
стояниях, малых или сравнимых с аЭф, отличается от поля
вблизи кругового цилиндра. Вдали от гофры мелкомасштабные
возмущения затухнут, сгладятся, и в этой области характери-
стикой гофры является положение упомянутой эквивалентной
плоскости, которое мы и будем искать.
Введем опять две комплексные величины (20.10), т. е. две
плоскости с декартовыми координатами (х, у) и (/, т), и будем
искать такую аналитическую функцию (20.11а), которая пере-
водила бы кривую С в плоскости (х, у) в прямую t = 0 в пло-
скости (/, т) (рис. 20.2) . Такую функцию всегда можно найти,
но нельзя подчинить ее дополнительному условию, чтобы при
t—^oo преобразование (20.11) переходило в тождественное.
х, у), таких координат,
Рис. 20.2. Преобразование гоф-
рированной поверхности в пло-
скую.
206
НИЗКИЕ ЧАСТОТЫ
[ГЛ. VIT
Однако это условие и не является необходимым для того, чтобы
вдали от поверхности искомая функция «(/, т) удовлетворяла
обычному волновому уравнению с еЭф = 1. Достаточно потре-
бовать, чтобы при t-> оо Z‘H W отличались постоянным слагае-
мым, т. е.
W-> Z + L при (20.18а)
Растяжение вдоль оси С должно быть локализовано вблизи
линии t = 0, так что один период линии С в плоскости (х, у)
должен переходить в отрезок такой же длины линии t = 0. При
(20.18а), очевидно, \dW/dZ\ будет стремиться к единице,
и, согласно (20.16), волновое уравнение сохранится при t а
и в координатах (I, т). Вещественное число L само находится
из этого преобразования. Оно является единственной характе-
ристикой мелкопериодической гофры на расстояниях, больших
по сравнению с периодом. Любая задача дифракции на гофре
(при f-поляризации) заменой переменных (20.12) сводится
к решению волнового уравнения в переменных (t, т) с гранич-
ным условием и = 0 (20.5) на прямой t = 0.
Например, если в падающем поле д/ду = 0 (нормальное
падение плоской волны), то уравнение Лапласа с этим гранич-
ным условием имеет простое решение u=At(x, у). В области
промежуточной, при Лх <С 1, х а решение волнового уравне-
ния должно перейти в это решение. Но при х^>а t = x — L,
согласно (20.18). Следовательно, вдали от гофры она действует
как плоская металлическая поверхность, смещенная на рас-
стояние L.
Этот результат может быть сформулирован как существо-
вание некоторого эквивалентного импедансного граничного ус-
ловия, справедливого на несмещенной поверхности, т. ё. при
х — 0. Чтобы его получить, надо исключить коэффициент А,
который зависит от падающего поля. Составим для этого отно-
шение и: ди/дх. При х 3> а оно равно х + L. Если перейти те-
перь в этом отношении к х->0, то мы получим
эдаг-i. (20.186)
Если решать уравнение электродинамики с этим граничным
условием при х = 0 (т. е. на несмещенной поверхности), то
получим решение, которое при kx <С 1 будет иметь правильный
вид Л(х + А). Таким образом, для получения эквивалентного
граничного условия следует в статическом решении положить
х—>оо, а затем установить соотношение, не зависящее от внеш-
него поля, и в этом соотношении положить х = 0. Смысл этого
приема состоит в том, что существует область, в которой одно-
временно х a, kx <С 1, и в этой области производится сшива-
ние статического и электродинамического решений.
§ 201
ДВУМЕРНЫЕ ЗАДАЧИ
207
20.4. f-поляризация; решетка. Решение более сложной за-
дачи о частопериодической решетке производится по той же
схеме. Отличие от задачи о гофре состоит в том,
находить по обе стороны от решетки. Мы огра-
ничимся рассмотрением решеток, провода кото-
рых имеют две оси симметрии — ось х = 0 и ли-
нии, параллельные оси у = 0 (рис. 20.3).
Нам понадобятся два разных решения урав-
нения Лапласа в переменных Оба решения
обращаются в нуль на той части прямой t = 0,
которая в плоскости (х, у) соответствует поверх-
ностям цилиндров, образующих решетку. Через
ту часть прямой t = 0, которая соответствует
отрезку между цилиндрами, одно из них (назо-
вем его «1) продлевается четным образом, вто-
рое (и2) — нечетным.
что поле надо

Рис. 20.3. Ре-
шетка.
Начнем с более простого построения функции uz(x, у). Тре-
бование о нечетном продлении означает, что на отрезке между
цилиндрами «г обращается в ноль. Следовательно, и2 есть ре-
шение задачи об отражении от линии t = 0, при условии, что
на всей этой линии и% = 0. Решение (опять для простейшего
случая, когда нормально падает плоская волна) есть и% =
— h(x,y), и для того, чтобы найти t2(x, у), надо перевести ли-
нию, содержащую [в плоскости (х, у)] половину контуров ци-
линдра и отрезки между ними, в линию t = 0 (рис. 20.4).

Рис. 20.4. К построению нечетного
решения для f-поляризации.
Рис. 20.6. К построению четного реше-
ния для f-поляризации.
Четное продление означает, что на отрезке между цилинд-
рами дщ/дх — 0. Решение также получается простым, если при-
менить конформное преобразование, переводящее ту же линию
в плоскости (х, у) в гофру, состоящую из линии t = 0 и отрез-
ков линий т = const (рис. 20.5). На линии t = 0 функцию ui
надо подчинить условию и\ = 0, на отрезках т = const — усло-
вию du\/dN — 0. Следовательно, это конформное преобразова-
ние должно переводить поверхность цилиндров в отрезки Оси
208
НИЗКИЕ ЧАСТОТЫ
(ГЛ. VIГ
t — 0 (заполняющие всю ось), а промежутки между цилинд-
рами— в отрезки линий т = con§t. Если такое преобразование
построено, то, очевидно, функция, решающая уравнение Лап-
ласа для гофры с упомянутыми смешанными граничными усло-
виями, будет (для нашего примера, когда в падающем поле
д/ду = 0) удовлетворять требованиям, поставленным для чет-
ного решения.
Оба упомянутых конформных преобразования, позволяющие
построить функции «I и и2, обладают свойством (20.18а), со
своими значениями постоянного слагаемого. Получение этих
слагаемых составляет основной результат решения конкретных
задач.
Решения Ui(x, у} и и2(х,у) легко строятся и для более об-
щего случая, когда в падающем поле д/ду =/= 0, и решения
асимптотически должны содержать также и т(х, у).
После того, как найдены два решения уравнения Лапласа,
легко построить и общее решение и связать между собой асим-
птотические значения' полей по обе стороны решетки. Наметим
соответствующие выкладки, аналогичные образованию отноше-
ния (20.186) в более простой задаче о гофре.
Обозначим компоненты полей, параллельные решетке, т. е.
Ez и Ну, соответствующие первому решению, (Eu Hi), а соот-
ветствующие второму обозначим (Ё2, Н2). Для первого решения
(Eb Hi), полученного из четной функции щ, предельные стати-
ческие, т. е. соответствующие х а и х —а, значения Ez
совпадают (в очевидных обозначениях E+==Ef), а предельные
значения Ну отличаются знаком (Н/ = — 77Г). Для второго
решения предельные значения Ег отличаются знаком (Е2 —
= —ЕГ), а значения Ну совпадают (Н2 =Н2').
Независимо от амплитуды падающего поля, в статической
области поле может быть представлено линейной комбинацией
этих двух решений:
Ег = AEi + ВЕ2, Ну = АН! + ВН2, (20.19)
где коэффициенты А, В зависят от задачи дифракции.
Образуя предельные (в статическом смысле) значения полей
Ег и Ну по обе стороны решетки, мы найдем, что между суммой
и разностью этих предельных значений существуют соотноше-
ния (-»)
a) Et — е; +
б) еГ + е;=р(я;-нД
в которых коэффициенты а и р не зависят от 4 и Е. Эти коэф-
фициенты определяются только структурой решетки, точнее —
ДВУМЕРНЫЕ ЗАДАЧИ
209
§ 20]
асимптотическими свойствами (при х а) четного и нечетного
решений уравнения Лапласа (*)
a = Et/Ht, (20.21)
Согласно соображениям, приведенным после формулы (20.19),
в последних формулах следует положить х — 0, так что а и ₽
будут пропорциональны линейным комбинациям постоянных
слагаемых в формуле (20.18а) для обоих конформных преобра-
зований.
Формулы (20.20) — так называемые условия сопряжения —
являются усредненными граничными условиями на частоперио-
дической решетке для задач электродинамики. Вычислив из
задач статики аир, мы затем в задачах электродинамики мо-
жем заменять решетку плоскостью, на которой выполняется
(20.20). Как и в начале § 19, используется основная идея этой
главы — расстояния, бесконечно большие для статических задач
[для этих расстояний и получены (20.20)], для электродинами-
ческих задач могут рассматриваться как бесконечно малые.
Величины аир, вообще говоря, имеют порядок отношения
периода решетки к длине волны. Это следует из того, что в ста-
тике д/дх ~ 1/а, а из (20.1). В нулевом порядке по этому отно-
шению решетка, ориентированная по электрическому полю,
действует как идеально отражающая плоскость, на обеих сто-
ронах которой Ег = 0:
Et =0, £7 = 0. (20.22)
Сильное влияние решетки вызвано появлением токов вдоль про-
водов. Лишь при стремлении к нулю относительного заполнения
решетка перестает эффективно экранировать поле. Коэффи-
циент р при этом стремится к бесконечности, а а — к нулю, так
что и Ег, и Ну непрерывно переходят через плоскость решетки.
20.5. Я-поляризация; круговой цилиндр. Всюду, кроме конца
п. 20.6, мы ограничимся металлическими телами. В ситуации,
описываемой формулами (24.2), электрическое поле расположе-
но в плоскости поперечного сечения, и граничное условие со-
стоит в равенстве нулю тангенциальной компоненты Es на кон-
туре сечения. Для потенциальной функции и = Нг это дает
(20.23)
На цилиндре не образуется эффективного заряда, как в случае
£-поляризации (20.8), поле не содержит при kr С 1 логарифми-
ческого слагаемого (20.66), и при г а оно должно переходить
в падающее поле. Нет существенного для £-поляризации явле-
ния дальнодействия, так что имеют место те же условия, что и в
общем случае трехмерной задачи.
210
НИЗКИЕ ЧАСТОТЫ
(ГЛ. VII
В статической окрестности цилиндра и(х, у) есть решение
уравнения Лапласа с граничным условием (20,23) на контуре
сечения и с условием на (ртатической) бесконечности, анало-
гичным (19.14):
и = но + Л^- + о(-^), (20.24)
где и° — падающее поле. Предполагая, для простоты записи,
симметрию задачи относительно плоскости <р = 0, мы не выпи-
сали в (20.24) второе убывающее как 1/г решение уравнения
Лапласа sincp/r.
Для круга, как и в случае шара, два первых члена асимпто-
тики дают полное решение. Действительно, при соответствую-
щем выборе направления осей х, у, т. е. начала отсчета угла <р
«° (г, <р) == и0 (0) + Q г cos ф. (20.25)
Поэтому diP/dN — cos ф( согласно (20.23), других функций
угла решение не должно содержать, т. е. должно иметь вид
a) u^u°4-4-^, б) Д = а2Д^-| , (20.26)
Г ОХ |г=о
где (20.266) получено подстановкой (20.26а) и (20.25) в
(20.23) (*). Участвующая в двух последних формулах производ-
ная ди°/дх\г=0 пропорциональна, согласно (20.2), значению Еу
падающего поля, взятому в начале координат, то есть Еу (0).
Вычислим ток, протекающий по цилиндру. Так как отлична
от нуля только г-я компонента магнитного поля, то ток будет
содержать только азимутальную составляющую, равную, с точ-
ностью до множителя с/4л (2.13), значению и при г = а. Со-
гласно (20.25), (20.26)
и |r=a = Н°г (0) — 2ikaE°y (0) cos ф. (20.27)
Разумеется, это совпадает с результатом, который для частного
случая падающего поля в виде плоской волны получается из
(5.176), если положить ka <С 1 (*). Первое слагаемое в
(20.27) — кольцевой ток, второе — так называемый дипольный
ток.
Дипольный ток на порядок меньше кольцевого, однако, как
мы сейчас покажем, в дальнем поле оба эти тока дают слагае-
мое одного порядка. Физическая причина этого состоит в том,
что элементы кольцевого тока, расположенные по разным кон-
цам одного диаметра, имеют противоположное (в декартовой
системе координат) направление, и поля, ими создаваемые, ин-
терферируя, почти полностью компенсируют друг друга. Для
дипольного же тока поля складываются почти точно в фазе.
ДВУМЕРНЫЕ ЗАДАЧИ
211
§ 20]
Имея явное выражение (20.27) для индуцированного тока,
полученное в статическом приближении, можно по этому току
вычислить дальнее поле. Разумеется, можно было так поступить
и в трехмерных задачах, и в двумерной задаче о Е-поляризации,
но примененный там метод сшивания полей в промежуточной
зоне приводил к требуемому результату несколько проще.
Выражение для поля через ток в достаточной для двумерной
задачи скалярной форме дано в (11.41а). Напомним, что эта
формула содержит функцию Грина вакуума. Поэтому интеграл
от f есть падающее поле и0. Согласно (20.23) дифрагированное
поле выражается интегралом
фи^-rfs, (20.28)
где и дано в (20.27). Для дальнего поля dG/dN можно разло-
жить в ряд по ka, и в нулевом порядке dG/dN будет содержать
слагаемые, пропорциональные cosrp или sin<p. При интегриро-
вании в (20.28) по окружности интеграл от произведения членов
нулевого порядка впив dG/dN окажется равным нулю, и инте-
грал (20.28) от первого и от второго слагаемого (20.27) будет
одного порядка, а именно, порядка (/га)2.
Этот результат, разумеется, следует и из точного решения,
полученного в (5.3). Так как симметрия дифрагирован того поля
сохраняет симметрию создающего его индуцированног i тока, то
кольцевой ток создает поле, пропорциональное Но™(1г), а ди-
польный — пропорциональное cos qp7712) (kr). Амплитуда соответ-
ствующих слагаемых дана в (5.136), и из этой формулы сле-
дует, что и при пг = 0, и при т = 1 Ат ~ (ka)2, и лишь при
т>1 Ат имеет меньший порядок, ~ (ka)2m (*). Дифрагиро-
ванное поле Нг при Я-поляризации сложнее, чем Ег при Е-поля-
ризации, когда в старшем порядке поле симметрично. Кроме
того, оно значительно меньше — порядка (ka)2, а не l/\nka,
как при Е-поляризации (20.6).
20.6. Я-поляризация; цилиндр произвольного сечения; элек-
тростатический потенциал. Решение уравнения Лапласа с усло-
виями (20.23) на С и условием (20.24) на статической беско-
нечности для любого контура С, т. е. для цилиндра любого
сечения, может быть найдено, например, методом конформных
преобразований. Из этого решения можно найти ток на поверх-
ности цилиндра, и затем, подобно тому, как мы это наметили
в конце предыдущего пункта, по этому току вычислить дальнее
поле.
Более простой метод сшивания статического и электродина-
мического решений, которым мы пользовались для Е-поляриза-
ции, для задачи этого пункта неприменим. Как отмечено в
212
НИЗКИЕ ЧАСТОТЫ
[ГЛ. VII
п. 20.2 [см. текст после формулы (20.166)], мы при этом пре-
небрегали полем, возбуждаемым индуцированной поляриза-
цией, пропорциональной еЭф—1, где 8Эф дано в (20.166). Од-
нако при //-поляризации поле, возбуждаемое индуцированным
на металле током, имеет тот же порядок, и это пренебрежение
приводит к ошибке того же порядка, что и вычисляемое дифра-
гированное поле. Поэтому при этой поляризации статическим
решением можно пользоваться только в непосредственной бли-
зости к цилиндру, точнее, только для определения тока. Опре-
деление поля по токам должно производиться по волновым за-
конам, т. е. с использованием формулы (20.28).
Как и для кругового цилиндра, в дальнем поле Нг содержит
два слагаемых, симметричное и пропорциональное cos qp, имею-
щих, вообще говоря, одинаковый порядок {ka)2. Для нахожде-
ния каждого из них можно применять вспомогательный прием,
позволяющий избегнуть фактического вычисления интеграла
(20.28).
Симметричное, пропорциональное Ho^kr), слагаемое в Н2
порождается кольцевым током, т. е. постоянным вдоль контура
слагаемым в и|с. Это постоянное слагаемое равно, с достаточ-
ной точностью, значению и°(0), т. е. магнитному полю падаю-
щего поля в месте, где расположен цилиндр [ср. первое слагае-
мое в (20.27)]. Вынесем его в (20.28) за знак интеграла и при-
меним формулу Гаусса, преобразующую контурный интеграл от
dG/dN в интеграл по площади от лапласиана. Использовав за-
тем точное {волновое) уравнение для функции Грина, получим
для этого слагаемого выражение (*)
— k2u°{0) J QdS, (20.29)
где интеграл взят по сечению цилиндра. Так как малый пара-
метр k2 стоит перед интегралом множителем, то в этом инте-
грале можно — для дальнего поля — вынести значение G в не-
которой средней точке за знак интеграла. Таким образом, под-
ставив еще выражение для двумерной функции Грина (11.86),
получим явное выражение для симметричного слагаемого в ком-
поненте Иг дальнего поля (*)
(20.30)
где S — площадь сечения. Для кругового цилиндра S = ла2, и
(20.30) дает то же выражение, что и метод разделения перемен-
ных при ka <С 1. При дифракции на малом теле с нулевой пло-
щадью сечения, например, на ленте, симметричное слагаемое
не возникает.
$ 20J ДВУМЕРНЫЕ ЗАДАЧИ 213
Для определения дипольной слагающей дифракционного
поля удобно пользоваться двумерным электростатическим по-
тенциалом Ф(х, у), аналогичным функции Ф, введенной в трех-
мерных задачах в п. 19.2. Сопоставляя (19.10а) с (20.2), найдем
связь и (х, у) с Ф (х, у):
дФ 1 ди дФ 1 ди ,9П ..
дх ik ду ’ ду ik дх '
С точностью до множителя ik эти функции связаны соотноше-
нием Коши — Римана.
Граничное условие на С, согласно (20.23), для Ф будет
^Гс-0. (20.32)
Оно обеспечивает, в частности, однозначность функции Ф, ибо
|тг*~о-
Не теряя, по существу, в общности [см. замечание после
(19.12)], мы заменим это условие другим:
Ф 1с = 0, (20.33)
чтобы получить совпадение граничного условия для Ф(х, у) с
условием (19.12а) для скалярного электростатического потен-
циала в трехмерной задаче.
Так как аддитивная постоянная в Ф не дает слагаемого в
Ех, Еу, a Hz не связано непосредственно с Ф, то-с введением
вместо и ~ Нг потенциала Ф мы потеряли решение, которое в
статической области имеет вид и = const [первое слагаемое в
(20.27)] и порождает кольцевой ток. В трехмерной задаче эта
часть решения была бы связана с магнитным потенциалом Т’.
В нашей двумерной задаче Т просто равно —ы°(0), но вводить
этот потенциал не надо, так как созданное кольцевым током
поле Нг уже найдено в общем виде в (20.30).
В двумерной электростатической задаче, записанной для по-
тенциала ф, выполняется условие отсутствия эффективного за-
ряда, то есть условие
§^-ds = 0. (20.34)
Оно следует из того, что, согласно (20.31), дФ/dN пропорцио-
нально du/ds, и интеграл в (20.34) равен ds, т. е. нулю,
так как и есть однозначная функция. Следовательно, условие
для статической бесконечности для Ф не содержит логарифми-
ческого члена и имеет вид, аналогичный (19.14)
Q = -£0„(0){rsin<p-pB-^} + o(-^). (20.35)
214
НИЗКИЕ ЧАСТОТЫ
{ГЛ. VII
В соответствии с (20.27) мы расположили систему цилиндриче-
ских координат таким образом, что Е°х (0) = 0.
Задачей, состоящей из уравнения Лапласа, условия (20.33)
на С и условия (20.35) при г—>оо мы ввели двумерный коэф-
фициент электрической поляризуемости рЕ. Соображения, при-
веденные после (19.14) о тензорном характере рЕ в трехмерной
задаче, относятся и к двумерной задаче.
Для круга первые два члена асимптотического разложения
(20.35) дают полное решение, и рЕ получается равным а2, в со-
гласии с (20.266). Для произвольного контура С рЕ может быть
получен любым методом электростатики, например, для эллипса
применим метод разделения переменных.
Можно применить и метод конформных преобразований, пре-
образовав С в круг. Однако при этом рЕ не инвариантно, т. е.
нельзя, найдя рЕ для круга, найти рЕ для данного контура.
Найдя решение уравнения Лапласа, надо найти значение
дФ/dN на контуре, а затем вычислить рЕ по формуле (*)
= (20.36)
Формула имеет такой простой вид, только если ось у и поле
Е°(0) направлены по одной из главных осей тензора поляризуе-
мости. Эта формула, как и ее полная тензорная запись, могут
быть найдены из слагаемого
(20-37)
в (11.4а); второе слагаемое фф—выпадает вследствие
(20.33). В нашей статической задаче G — функция Грина дву-
мерного уравнения Лапласа, т. е. G — In|ri—гг|/2л. Для то-
чек, далеких от цилиндра, для которых справедливо (20.35),
надо разложить G в ряд по малому параметру г(<р)/г, где
г = г(ф) есть уравнение контура С. Нулевой член этого разло-
жения выпадет при вычислении (20.37), вследствие (20.34).
Член, пропорциональный 1/г, равен второму слагаемому в
(20.35), откуда и следует (20.36).
Вычислив каким-либо способом рЕ, можно затем таким же
образом, как это сделано в п. 20.4, произвести сшивание поля
электростатического диполя с полем элементарного электриче-
ского диполя 1сзрЕЕ°(0).
Заметим в заключение, что дипольное слагаемое в дифраги-
рованном поле может быть найдено таким же образом и для
диэлектрического цилиндра. Соображения, приведенные в
п. 19.5, полностью переносятся на двумерную задачу; в частно-
сти, сохраняются граничные условия (19.25). Остаются спра-
ведливыми и результаты п. 19.6.
§ 20]
ДВУМЕРНЫЕ ЗАДАЧИ
215
Для диэлектрического кругового цилиндра
Ре = а2(е~ 1)/(е + 1), (20.38)
Рис. 20.6. К построению нечетного ре-
шения для //-поляризация.
а внутреннее поле постоянно и равно 2Е°(0) / (е + 1). Особым
значением 8, при котором задача не сводится к статической,
является е = —1. При е—>оо (20.38) переходит в выражение
для Ре металлического цилиндра.
20.7. Я-поляризация; решетка. Эта задача аналогична соот-
ветствующей задаче о Д-поляризации (п. 20.4), но сложнее ее;
как мы уже убедились, определение дифрагированного поля
для этой поляризации всегда сложнее. По существу, это свя-
зано с тем, что весь эффект дифракции при //-поляризации сла-
бее, и поэтому при его вычислении надо обеспечивать большую
абсолютную точность и
нельзя делать тех прибли-
жений, которые были допу-
стимы для Д-поляризации.
Наметим только основ-
ные идеи, применяемые при
решении. Как и в п. 20.4,
надо построить два реше-
ния уравнения Лапласа, чет-
ным и нечетным образом
продлив их за линию, сое-
диняющую провода решет-
ки. Это продление будет
обеспечено, если для четного решения на этой линии обратится
в нуль нормальная производная, а для нечетного — сама функ-
ция. На самом металле должно выполняться условие (20.23).
Четное решение и\ (х, у) есть просто постоянная. Для получения
нечетного решения Па (х, у) можно использовать конформное пре-
образование. Надо перевести линию С в ось /=0 с горизонталь-
ными отрезками т = const, расположёнными на расстоянии а
друг от друга (рис. 20.6). В отличие от преобразования, позво-
ляющего получить четное решение для Д-поляризации (см.
рис. 20.5), надо преобразовать промежутки между решетками
в отрезки оси t = 0 (без промежутков), а участки контура про-
водов— в отрезки т = const. Тогда искомое нечетное решение,
опять для простейшего случая нормального падения плоской
волны, будет U2 = ^(x, у) (*). Разумеется, это преобразование
не совпадает с преобразованием, которое использовалось для
нахождения четного решения для Д-поляризации.
Однако пользоваться статическим решением для этой поля-
ризации можно только для вычисления токов. Определение
дальнего поля по токам должно, как и в задачах двух пред-
шествующих пунктов, производиться по точным формулам, при-
216
НИЗКИЕ ЧАСТОТЫ
[ГЛ. VIJ
чем должны быть использованы функции Грина волнового
уравнения. Функциями Грина при этом служат поля плоских
встречных волн, аналогично тому* как это имеет место при
вычислении полей, созданный токами в волноводе (п. 12.3) или
амплитуды волн на бесконечности (п. 11.2).
Найдя по токам поля в дальней (статической) области,
можно затем установить соотношения, аналогичные (20.20), т. е.
справедливые на промежуточных расстояниях от решетки, в
областях |х| а, | kx| <С 1. Зная эти условия сопряжения,
можно в задачах электродинамики заменять решетку поверхно-
стью, по обе стороны которой поля связаны этими соотноше-
ниями. Они имеют вид (при д]ду = 0):
а) +
б) е}-е;
Четное решение и\ (х, у) связано с кольцевыми токами на про-
водах решетки. Эти кольцевые токи вызывают скачок Еу
(20.396), т. е. эквивалентны в среднем некоторому магнитному
току, текущему в направлении оси z. Как известно, кольцевой
ток при малой площади кольца эквивалентен магнитному ди-
полю. Для решетки из лент этот магнитный ток отсутствует.
Нечетное решение и2(х, у) связано с дипольными токами,
эквивалентным в среднем электрическому току, текущему пер-
пендикулярно к направлению проводов и вызывающему скачок
Hz (20.39а).
Коэффициенты у и б зависят от формы и густоты решетки.
Они имеют, как и а и р в (20.20), порядок ka. В нулевом по-
рядке
— Нг= 0, Еу — Еу = 0. (20.40)
В отличие от Д-поляризации (20.22), в старшем порядке
решетка для /7-поляризации полностью прозрачна, т. е. дифра-
гированное ею поле в этом приближении равно нулю. Это
результат отсутствия дальнодействия, т. е. аналог относитель-
ной малости поля, дифрагированного одиночным цилиндром.
Подобно тому, как коэффициенты аир (20.20) описывают
малую прозрачность решетки для £-поляризации, коэффициенты
у и б в (20.40) описывают слабую экранировку решеткой для
//-поляризации. Лишь при переходе к очень плотному заполне-
нию решетка начинает очень сильно экранировать поле. В пре-
деле, при сплошном заполнении (т. е. для гофры) у становится
большой величиной, точнее, у-*-—1/6. Как легко показать (*),
это действительно означает полную экранировку. Гофра экви-
валентна непрозрачному плоскому экрану с чисто мнимым им-
педансом EyjHz = б, т. е. идеально проводящей плоскости, сме-
щенной на расстояние |б|/&. Эта величина имеет порядок а.
Глава VIII
ВЫСОКИЕ ЧАСТОТЫ
Здесь будут рассмотрены методы решения задач дифракции
в ситуациях, когда характерный размер задачи (масштаб неод-
нородности среды, размер тела или отверстия в экране, ширина
области, занимаемой полем) много больше длины волны. Эти
методы позволяют найти основные свойства поля, не прибегая
к значительно более трудоемким строгим методам, которые к
тому же часто и неприменимы к реальным телам из-за ограни-
ченных возможностей современных ЭВМ. Все высокочастотные
методы получены на основе эвристических соображений, т. е.
догадок, на которые наталкивает накопленный опыт решения
подобных задач. При нахождении высокочастотных' дифрак-
ционных полей широко используются результаты, полученные
строгими методами в эталонных задачах дифракции простых
полей на простых телах (цилиндре, шаре, клине и т. п.).
Сначала, в § 21, рассматривается лучевая структура полей
в средах, свойства которых медленно изменяются в простран-
стве. Лучевое строение поля рассмотрено двумя способами.
Волновые фронты и нормали к ним, т. е. лучи, можно построить,
если решить дифференциальное уравнение эйконала. Показано,
что лучи, имеющие разную амплитуду и идущие параллельно
друг другу, обмениваются энергией. Мы можем также получить
лучи, препарируя интегральное представление поля, определяя
поле в точке наблюдения методом стационарной фазы. Этот
подход позволяет сформулировать условие применимости гео-
метрической оптики.
В § 22 рассмотрена дифракция на больших телах, с ребра-
ми или гладких, в § 23— дифракция на больших отверстиях в
экране. Приближение Кирхгофа (физическая теория дифрак-
ции) дает возможность определить поля всюду, кроме, иногда
несущественной, области глубокой тени или больших углов ди-
фракции. Предложенная Келлером геометрическая теория ди-
фракции, в которой постулируется лучевая структура дифрак-
ционных полей также и в тени, позволяет существенно уточнить
структуру высокочастотных полей и расширяет область приме-
нимости геометрической оптики.
216
низкие частоты
(ГЛ. VII
чем должны быть использованы функции Грина волнового
уравнения. Функциями Грина при этом служат поля плоских
встречных волн, аналогично тому* как это имеет место при
вычислении полей, созданньГх токами в волноводе (п. 12.3) или
амплитуды волн на бесконечности (п. 11.2).
Найдя по токам поля в дальней (статической) области,
можно затем установить соотношения, аналогичные (20.20), т. е.
справедливые на промежуточных расстояниях от решетки, в
областях |х1a, |fex|<C 1. Зная эти условия сопряжения,
можно в задачах электродинамики заменять решетку поверхно-
стью, по обе стороны которой поля связаны этими соотноше-
ниями. Они имеют вид (при д/ду нз= 0):
а) я?-нг=т(г; + ^),
б) д+ ~~ЕУ = + ( ‘ '
Четное решение «1(х, у) связано с кольцевыми токами на про-
водах решетки. Эти кольцевые токи вызывают скачок Еу
(20.396), т. е. эквивалентны в среднем некоторому магнитному
току, текущему в направлении оси г. Как известно, кольцевой
ток при малой площади кольца эквивалентен магнитному ди-
полю. Для решетки из лент этот магнитный ток отсутствует.
Нечетное решение и2(х, у) связано с дипольными токами,
эквивалентным в среднем электрическому току, текущему пер-
пендикулярно к направлению проводов и вызывающему скачок
Нг (20.39а).
Коэффициенты у и 6 зависят от формы и густоты решетки.
Они имеют, как и а и 0 в (20.20), порядок ka. В нулевом по-
рядке
//+ — //7=0, Д^ —Д7 = 0. (20.40)
В отличие от Д-поляризации (20.22), в старшем порядке
решетка для //-поляризации полностью прозрачна, т. е. дифра-
гированное ею поле в этом приближении равно нулю. Это —
результат отсутствия дальнодействия, т. е. аналог относитель-
ной малости поля, дифрагированного одиночным цилиндром.
Подобно тому, как коэффициенты а и 0 (20.20) описывают
малую прозрачность решетки для Д-поляризации, коэффициенты
у и 6 в (20.40) описывают слабую экранировку решеткой для
//-поляризации. Лишь при переходе к очень плотному заполне-
нию решетка начинает очень сильно экранировать поле. В пре-
деле, при сплошном заполнении (т. е. для гофры) у становится
большой величиной, точнее, —1/6. Как легко показать (*),
это действительно означает полную экранировку. Гофра экви-
валентна непрозрачному плоскому экрану с чисто мнимым им-
педансом Еу/Нг = 6, т. е. идеально проводящей плоскости, сме-
щенной на расстояние |6|/£. Эта величина имеет порядок а.
Глава VIII
ВЫСОКИЕ ЧАСТОТЫ
Здесь будут рассмотрены методы решения задач дифракции
в ситуациях, когда характерный размер задачи (масштаб неод-
нородности среды, размер тела или отверстия в экране, ширина
области, занимаемой полем) много больше длины волны. Эти
методы позволяют найти основные свойства поля, не прибегая
к значительно более трудоемким строгим методам, которые к
тому же часто и неприменимы к реальным телам из-за ограни-
ченных возможностей современных ЭВМ. Все высокочастотные
методы получены на основе эвристических соображений, т. е.
догадок, на которые наталкивает накопленный опыт решения
подобных задач. При нахождении высокочастотных' дифрак-
ционных полей широко используются результаты, полученные
строгими методами в эталонных задачах дифракции простых
полей на простых телах (цилиндре, шаре, клине и т. п.).
Сначала, в § 21, рассматривается лучевая структура полей
в средах, свойства которых медленно изменяются в простран-
стве. Лучевое строение поля рассмотрено двумя способами.
Волновые фронты и нормали к ним, т. е. лучи, можно построить,
если решить дифференциальное уравнение эйконала. Показано,
что лучи, имеющие разную амплитуду и идущие параллельно
друг другу, обмениваются энергией. Мы можем также получить
лучи, препарируя интегральное представление поля, определяя
поле в точке наблюдения методом стационарной фазы. Этот
подход позволяет сформулировать условие применимости гео-
метрической оптики.
В § 22 рассмотрена дифракция на больших телах, с ребра-
ми или гладких, в § 23 — дифракция на больших отверстиях в
экране. Приближение Кирхгофа (физическая теория дифрак-
ции) дает возможность определить поля всюду, кроме, иногда
несущественной, области глубокой тени или больших углов ди-
фракции. Предложенная Келлером геометрическая теория ди-
фракции, в которой постулируется лучевая структура дифрак-
ционных полей также и в тени, позволяет существенно уточнить
структуру высокочастотных полей и расширяет область приме-
нимости геометрической оптики.
218
ВЫСОКИЕ ЧАСТОТЫ
[ГЛ. VIII
В § 24 рассказывается о квазиоптике волновых пучков, ши-
роких по сравнению с длиной волны и длинных по сравнению с
шириной.
§ 21. Неоднородные среды
В этом параграфе исследуется распространение поля в об-
ласти, не содержащей диэлектрических или металлических тел;
неоднородность состоит в том, что диэлектрическая проницае-
мость плавно меняется в пространстве. Поле представляется
в форме локально плоской волны. В приближении геометриче-
ской оптики амплитуда этой волны не зависит от частоты, а
частота, которая считается большой величиной, входит только
в фазовый множитель. Построение лучевой структуры поля
само показывает, где это приближение не применимо: в тени,
где нет лучей геометрической оптики; далее, в областях с боль-
шим градиентом поля, например там, где происходит «скачок»
поля или его производных; наконец, в точках, куда сходятся
лучи и где схлопываются так называемые лучевые трубки. Из
интегрального представления поля следует, что поле на луче
зависит не только от полей на этом же луче, но и от полей в
некоторой окрестности луча, размером аР. Условие применимо-
сти геометрической оптики состоит в том, чтобы показатель
преломления п среды менялся медленно, причем и п, и поле
должны оставаться почти постоянными в области порядка аР.
Далее рассматривается один конкретный случай структуры
поля, при которой геометрическая оптика неприменима, хотя
п меняется медленно — каустика. Затем кратко говорится о
комплексной геометрической оптике и о векторной геометриче-
ской оптике.
21.1. Почти плоское поле. В однородной (п == const) среде
простейшее решение волнового уравнения — плоская волна
(см. п. 1.7)
u = Ae~iknz. (21.1)
Фаза ее постоянна на плоскостях z = const, т. е. фазовые
фронты плоские. Нормали к фронтам параллельны.
Пусть показатель преломления среды есть функция коор-
динат
м = д(г), (21.2)
однако выполнены условия, которые мы ниже сформулируем, и
поля в среде близки к плоским волнам. Амплитуда А стано-
вится функцией координат. Волновые фронты уже не плоские,
и нормали к ним не параллельны, но близки к параллельным.
Все характерные масштабы изменения и амплитуды поля, и
показателя преломления среды велики по сравнению с длиной
НЕОДНОРОДНЫЕ СРЕДЫ
219
« 21]
волны Л(Л = 2л/Л). Если I — наименьший из этих масштабов, то
предполагается, что выполнено неравенство
Ц = (21.3)
Это неравенство — не самое сильное (см. п. 21.7) условие при-
менимости лучевой или геометрической оптики, законы кото-
рой мы ниже сформулируем. Мы иногда будем говорить, что
«частота k велика», понимая под этим выполнение (21.3).
Решение ищем в виде почти плоской волны
и = A (k, г) e_£teS (г). (21.4)
Здесь A (k, г) — амплитуда волны; kS (г) — фаза; величина S (г)
называется эйконалом. Термин «почти плоская волна» оправ-
дан тем, что в области порядка 2л/kn поле имеет вид (21.1).
Амплитуду А и эйконал S будем искать из требования, что-
бы решение, записанное в форме (21.4), удовлетворяло волно-
вому уравнению, и при этом используем условие, что k велико.
Это можно сделать несколькими способами. Простейший из них
состоит в том, чтобы искать А в виде лучевого разложения по
обратным степеням k:
-4«.r)=£^- <21-5)
т
Фактически это разложение проводится по возрастающим сте-
пеням безразмерного малого параметра ц (21.3).
Подставляя (21.4), (21.5) в волновое уравнение
Дм + /г2п2м = 0 (21.6)
и приравнивая нулю коэффициенты при одинаковых степенях
k, получим в нулевом приближении уравнение эйконала
(VS)2 = n2, (21.7)
а в следующих приближениях — систему рекуррентных уравне-
ний для амплитуд
2VA0VS + ДоД5 = О, (21.8)
2V41VS + AiAS= — АДо, (21.9)
которые называются уравнениями переноса.
Приближение, при котором в (21.5) сохраняется только ну-
левой член, называется геометрооптическим приближением. По-
ля в этом приближении, т. е. поля геометрической оптики.
м = А0(г)е_‘*5(г>, (21.10)
содержат частоту только множителем в фазе. В отличие от
(21.4) , в (21,10) До уже не есть функция частоты.
220 ВЫСОКИЕ ЧАСТОТЫ [ГЛ. УШ *
21.2. Лучи и фронты. В этом и следующем пунктах мы будем ’
исследовать уравнение (21.7). Решение задачи по определению
поля в неоднородной среде (да ‘и вообще любой высокочастот-
ной задачи) следует начинать с нахождения эйконала S. Зная
эту функцию, можно построить волновые фронты: они задаются
уравнением S = const.
Следует заметить, что вообще эйконал в большей степени
определяет высокочастотное поле, чем амплитуда Л0(г). Это
объясняется тем, что перед S (k, г) стоит большой множитель k.
Поэтому все изменения и при малом изменении координат опре-
деляются главным образом изменением S, а не Ао.
Уравнение (21.7) решается в наиболее общем виде с по-
мощью метода характеристик. Этот метод сводит уравнение в
частных производных к системе обыкновенных дифференциаль-
ных уравнений. Обозначим VS = р, введем параметр т вдоль
направления р, связанный с длиной дуги а условием dx = da/n.
Вектор г определяет точку на луче, а вектор dr/dx— касатель-
ный к лучу. Уравнение (21.7) выглядит в новых обозначениях
как |р| = л. Можно показать, что оно переходит в систему
уравнений
а) £ = (21.11)
(21-12)
Уравнения (21.11) определяют лучи
г = г(т), р = р(т), (21.13)
т. е. координаты г и направления р луча в точке с параметром
х (этот параметр пропорционален времени прохождения волны
вдоль луча). Очевидно, что касательный к лучу вектор (21.11а)
параллелен VS, т. е. перпендикулярен к волновой поверхности.
Таким образом, в рассматриваемой задаче луч есть нормаль к
поверхности равной фазы.
Вектор р, определяющий направление луча, изменяется
вдоль луча, согласно (21.116), в направлении градиента пока-
зателя преломления. Иными словами, преломление или рефрак-
ция криволинейного луча в неоднородной среде происходит в
область возрастания п. Пример расчета луча в неоднородной
среде приведен в п. 21.9.
В частном случае однородной среды Vn ив 0, так что р =
= const, и лучи являются прямыми линиями.
Для эйконала из (21.12) получаем
т
S = S(t0)+ (21.14)
S 21]
НЕОДНОРОДНЫЕ СРЕДЫ
221
Здесь S(-to) — значение эйконала при т = то; интегрирование
ведется вдоль геометрооптического луча. Заметим, что в геоме-
трической оптике физическое значение имеет лишь разность
эйконалов S — 5(то), а не величина S.
Для однородной среды
S — S (то) + п2 (т — то) -
Выбрав направление оси z вдоль луча, умножив затем эйко-
нал — его часто называют «оптиче-
ческий путь» — на частоту k, полу-
чим привычное выражение для фа-
зы плоской волны kn(z—Zo), так как,
очевидно, в данном случае пт = z.
Для построения лучей и фрон-
тов удобно пользоваться системой
лучевых координат (рис. 21.1). Та-
кими координатами являются две
координаты g, т] на поверхности лю-
бого, принятого за начальный вол-
нового фронта 3(то), характеризую-
щие данный луч и постоянные
Рис. 21.1. Лучевые координа-
ты.
вдоль луча, и длина дуги о, отсчитываемая вдоль луча, либо
вместо ст — введенный выше параметр т (время).
21.3. Принцип Ферма. Известно, и здесь мы это не будем до-
казывать, что траектории, определяемые из (21.11), соответ-
ствуют экстремальному значению функционала
п da.
(21.15)
Это утверждение — математическая формулировка принципа
Ферма.
Оптическая длина (21.15) между двумя точками экстремаль-
на именно на луче; она, как правило, минимальна, хотя может
быть и максимальна, а также и равна оптической длине на
соседних с данным лучом. Простой пример равенства оптиче-
ских длин — источник в одном из фокусов зеркала, имеющего
форму эллипсоида вращения, а поле наблюдается в другом фо-
кусе. Этим же свойством лучей (таутохронизмом) обладает
линза — все лучи, исходящие из точки в плоскости «предмета»,
собираются в одной точке в плоскости «изображения». Сущест-
вуют и плавно неоднородные среды, обладающие таким свой-
ством.
Необходимое условие, которому должна удовлетворять кри-
вая— экстремаль, в терминологии вариационного исчисления
выглядит следующим образом: первая вариация интеграла
222
ВЫСОКИЕ ЧАСТОТЫ
[ГЛ. VIII
(21.15) равна нулю
= (21.16)
Принцип Ферма определяет лучевую структуру поля не
только в плавно неоднородной среде. Луч, соединяющий две
точки г0 и Г1, выделяется из всех кривых, проходящих через эти
точки, тем, что эйконал S(ri) — S(to) (21.14) экстремален. Из
принципа экстремальности может быть выведен закон зеркаль-
ного отражения (*)
Ф1 = Фз (21.17)
и закон преломления (*)
sin <pt/sin ф2 = п^/п^ (21.18)
на резкой границе между двумя плавно-неоднородными сре-
дами. Здесь «1 — показатель преломления среды, из которой на
границу падает луч. Он преобразуется в два луча — отражен-
ный и преломленный в среду п2- Углы фь фг, фз — соответ-
ственно углы с нормалью падающего, преломленного и отражен-
ного лучей. Все три луча и нормаль к поверхности расположены
в плоскости падения. Хотя эти законы получены для случая
падения плоской волны на плоскую границу раздела однород-
ных сред, они выполняются и для неплоской границы между
плавно неоднородными средами,, если поле сохраняет лучевую’
структуру (21.10). В § 22 мы увидим, что в некоторых обла-
стях пространства и дифракционное поле имеет лучевую струк-
туру, причем оказывается, что дифракционные лучи также под-
чиняются принципу Ферма.
21.4. Лучевые трубки. Перейдем от лучевой структуры поля,
т. е. системы волновых фронтов S = const и лучей VS, к опре-
делению амплитуд. В лучевых координатах т], т уравнения
переноса (21.8), (21.9) сводятся к системе обыкновенных диф-
ференциальных уравнений, и можно выписать в общем виде их
решения.
Решение уравнений переноса для двух первых членов ряда
(21.5) имеет вид:
А (т)=-Л.«| Г' <21.t9)
= (21.20)
То
Здесь
= st Н
§ 21] НЕОДНОРОДНЫЕ СРЕДЫ 223
якобиан перехода от декартовых координат к лучевым; пара-
метр то, вообще говоря, произволен. Якобиан (21.21) легко
вычисляется, если известны уравнения семейства лучей.
Например, цилиндрическая волна есть геометрооптическое
поле, если исключить область порядка А, вблизи начала коор-
динат. Лучи совпадают с радиусами: под лучевыми коор-
динатами g, т], т следует понимать <p, z, т/п. Тогда
£>(r) = w; и, например, Ао (т) — Ао (т0) л/ г . Разуме-
ется, цилиндрическая волна может распространяться только в
аксиально симметричной среде (в частности, в среде с постоян-
ным п). В плоскослоистой Среде, где п зависит от z, в направ-
лении z может распространяться плоская волна, для нее £)(т) =
= п. В сферически симметричной среде распространяется сфе-
рическая волна, т = pn, D (т) = пр2, здесь координата р
отсчитывается от центра волны, так
ЧТО радиус КРИВИЗНЫ ВОЛНОВОГО
фронта R = р. В общем случае по-
верхности с двумя главными радиу- 0
сами кривизны D (т) — nR\R2.
Определим теперь понятие луче- рис. 21.2. Лучевая трубка.
вой трубки. На начальном волно-
вом фронте т = То возьмем исходную поверхность s (то) беско-
нечно малого размера (рис. 21.2). Лучи, выходящие с кон-
тура поверхности, образуют стенки лучевой трубки. Величина
D(t)/£>(to) пропорциональна отношению площадей элементар-
ной лучевой трубки:
ГЦт) = п(т) ; (тХ. (2 j 22)
D (т0) п (То) s (то)
и может быть названа расходимостью лучей. Отсюда для нуле-
вого, т. е. геометрооптического, приближения из (21.19), (21.22)
получаем
= (21.23)
Таким образом, в геометрической оптике амплитуда на луче
определяется только амплитудой на том же луче в любой точке,
откуда этот луч пришел, геометрической расходимостью луче-
вой трубки и изменением п вдоль луча. Формула (21.19), таким
образом, означает, что в лучевой трубке сохраняется поток
энергии
Afyis = const. (21.24)
Все лучевое поле можно себе представить состоящим из
тонких трубок, причем в каждой трубке распространяется та
энергия, которая была в ее начале. Распространение энергии в
224
ВЫСОКИЕ ЧАСТОТЫ
1ГЛ. VIII
трубке происходит независимо от соседних. Геометрическая
оптика, которая ограничивает ряд (21.5) первым членом, до-
пускает, что на протяжении произвольно длинной границы
между лучевыми трубками г разной интенсивностью и, в част-
ности, на границе между освещенной областью и теневой — не
будет никакого обмена энергией.
Предположение о том, что взаимодействие между лучевыми
трубками пренебрежимо мало, может оказаться грубо неверным
при продвижении вдоль трубки. Действительно, уже для первого
коэффициента лучевого разложения (21.20) кроме слагае-
мого, учитывающего геометрическую расходимость лучей, есть
еще интегральное слагаемое, которое содержит производные
амплитуды предыдущего приближения Ао. Если бы Л1 и Ао
были величинами одного порядка, то влияние Аг на суммарное
поле, как это следует из лучевого разложения (21.5), было бы
в k раз меньше, чем влияние Ао. Но эффект взаимодействия
между лучевыми трубками из-за интегрального, накапливаю-
щегося характера А[ на достаточно длинном пути может сущест-
венно превзойти изменение
Рис. 21.3. Сферическая волна
с лучевой структурой (а) и
плоская волна с заметной по-
перечной диффузией (б).
До, связанное с изменением сечения
трубки или показателя преломле-
ния п вдоль луча.
Взаимодействие между лучевы-
ми трубками иначе называется
диффузией амплитуды. Ниже, в
п. 22.4, будет пояснено, почему про-
цесс обмена энергией между труб-
ками назван именно так. Диффу-
зия пропорциональна ДД0 (21.20),
т. е. тем меньше, чем меньше изме-
нение амплитуды нулевого прибли-
жения как по фронту волны, так и вдоль луча. Если сечение
трубки растет с длиной ст, то в пределе ст—>оо значение лапла-
сианов стремится к нулю. Простым примером столь быстрого
убывания взаимодействия, что эффект диффузии несуществен,
является сферическая или цилиндрическая волна (рис. 21.3, ст).
Все члены в лучевом разложении при fep—>оо и fer->oo убывают
быстрее, чем накапливается эффект поперечной диффузии. В ре-
зультате остается лишь нулевой член разложения Ло, пропор-
циональный 1/Ар для сферической и 1/<\/7гг для цилиндрической
волн. Иными словами, эти волны имеют геометрооптическую
структуру поля, по крайней мере достаточно далеко от источ-
ника (см. рис. 21.3,а).
Если же сечение трубки неизменно или меняется медленно,
то эффект диффузии накапливается. Так происходит, на-
пример, если распространяется неоднородная плоская волна
(рис. 21.3,6). Деформация этой волны при распространении вы-
5 21] НЕОДНОРОДНЫЕ СРЕДЫ 225
звана ее неоднородностью (зависимостью амплитуды от попе-
речных координат) при z = 0, поэтому для простоты можно
принять п = 1. В качестве лучевых координат можно выбрать
декартовы х, у, z. Лучи направлены вдоль оси г. Якобиан D(z)
перехода от декартовых к лучевым координатам тождественно
равен единице. Рассмотрим процесс нарушения геометрооптиче-
ских условий несколько подробнее.
Пусть на начальном волновом фронте г =0 задано поле
и(х, у, 0), амплитуда которого не зависит от частоты, т. е.
До(О)==и(х, у, 0), Д1(0)=Д2(0) = ... —0. Тогда A0(z) =
= и(х,у,0), т. е. в геометрооптическом приближении поле пере-
дается без изменения. Далее, согласно (21.20),
2
А (г) = — ~ Д«(х, у, 0)dz = ~ ~ А. ц(х, у, 0)z, (21.25)
о
где Дх = д2/дх2 4-<92/ду2. Таким образом, диффузионная до-
бавка накапливается с ростом z и может сильно исказить на-
чальное распределение поля. Очевидно, что в геометрооптиче-
ском приближении нужно знать только амплитуду и направле-
ние луча в начальной точке и расходимость лучей. Определение
амплитуды поля с учетом взаимодействия лучевых трубок тре-
бует знания не только расходимости лучей, но и амплитуды в
окрестности луча.
Геометрическая оптика не дает правильного решения не
только в случае, если член лучевого разложения A\/k стано-
вится сравнимым с геометрооптическим членом До — случай,
проиллюстрированный в этом пункте. Геометрическая оптика
не может также ничего сказать о поле в области тени, куда не
проникают лучи. Наконец, упомянем третий случай отказа гео-
метрической оптики.
Пусть выделенная на заданном волновом фронте лучевая
трубка при подходе к некоторой точке схлопывается, т. е. пло-
щадь трубки s(t) становится равной нулю. При этом нулевой
член лучевого разложения (21.23) становится бесконечно боль-
шим. Это означает, что структура поля локально не близка к
плоской волне. В ряде случаев — каустика, фокус — переход к
иным, не экспоненциальным, как при рассмотрении почти пло-
ских волн, функциям позволяет построить асимптотические раз-
ложения, в которых уже нулевой член хорошо описывает поле.
21.5. Точка стационарной фазы. До сих пор в этом параграфе
мы исходили из волнового уравнения, т. е. из дифференциальной
записи уравнений поля. Используя функцию Грина (см. § 11),
можно записать эти уравнения в интегральной форме. Приме-
нение к этой форме записи асимптотического приближения
А—>оо позволяет несколько иначе подойти к понятию луча.
8 Р. Б. Ваганов, Б. 3. Каценеленбаум
226
ВЫСОКИЕ ЧАСТОТЫ
[ГЛ. VIII
Известно, что поле в точке и может быть записано в форме
интеграла. Полагая, что в объеме*V нет источников, получим
из (11.4а)
U(r1) = ^[«(r)^gp)--G(r, ri)^)]d5> (21.26)
где интегрирование проводится по некоторой поверхности S.
Пусть теперь поле имеет форму (21.10). Кроме того, функция
Грина G — поле точечного источника,- помещенного в точке
наблюдения п, может вследствие свойства взаимности (11.3)
считаться полем источника, помещенного в точку г поверхности
S. Таким образом, мы приходим к такому истолкованию (21.26):
поле в некоторой точке есть суперпозиция полей вторичных
источников, помещенных на S, амплитуда которых пропорцио-
нальна полю и его производной на той же поверхности.
Пусть, таким образом, как поле и, так и функция Грина G
имеют геометрооптическую структуру (21.10). Тогда
«(ri)=r)e-№S(,i,r>dS- (2L27)
Коэффициент, пропорциональный д/k, в двумерном варианте
формулы (21.27) возникает в результате дифференцирования
G и и (появляется k), и, кроме того, асимптотика функции
Грина (11.96) дает &~1/2. Предположение о лучевой форме
функции и и G может быть и излишним, если интегральное
представление (21.27) есть точное решение какой-либо задачи.
Основной вклад в поле и (и) дает окрестность так называе-
мой точки стационарной фазы г = rv- Она определяется из урав-
нения
dS (rb r)/dx — 0, (21.28)
где х — декартова координата г и производная берется вдоль S.
Фаза вблизи стационарной точки rv квадратично зависит от
расстояния до этой точки:
S(rb r)«S(r„ rv) + ±^| (x-xj2. (21.29)
xv
Оставляя фазу в этом виде и расширяя пределы интегрирова-
ния, получим поле
и (/]) ~ А (гь rv) e~‘kS <Г1’ rv\ (21.30а)
где (-»)
А(г1г r4)~g(ri, rv)(d2S/dx2)~112. (21.306)
Точка стационарной фазы может быть не одна, тогда поле
(21.30) будет иметь вид суперпозиции полей того же вида
(о методе стационарной фазы см. п. 16.8). Из (21.30) следует,
5 2П
НЕОДНОРОДНЫЕ СРЕДЫ
Г 227
что функция S(ri, rv) удовлетворяет уравнению эйконала, а
амплитуда Л(гь rv) — уравнению переноса. Таким образом,
(21.30) есть луч (21.10), пришедший в точку наблюдения п из
точки rv.
Для неоднородных сред также возможны интегралы типа
(21.27) и подобное же истолкование асимптотических выраже-
ний. Эти соображения позволяют нам в следующих пунктах
уточнить условия, при которых справедлива геометрическая
оптика.
21-6. Область влияния. Окрестность точки стационарной фазы
представляет собой ту область влияния, которая формирует
поле в точке наблюдения. Область влия-
ния, светящееся пятнышко, которое мож-
но наблюдать, если глаз поместить в
точку и, можно назвать первой зоной
Френеля. Уточним это понятие.
Предполагается, что вблизи точки
стационарной фазы падающее поле име-
ет форму сферической волны с радиусом
кривизны R. Найдем разность эйкона-
Рис. 21.4. Зона влияния
на поле в точке г, около
точки стационарной фа-
зы rv-
лов вдоль луча из г, в и и вдоль луча,
испускаемого в -ту же точку и точечным
источником, мысленно помещенным на
волновую поверхность на краю зоны
Френеля в точке rv + ар (рис. 21.4). По
определению, будем считать аР размером первой зоны Френеля,
если эта разность эйконалов, умноженная на k, равна по мо-
дулю л:
fe|S(rv + aF, rj — S(rv, Г1)1 = л.
(21.31)
Особенно просто определить область влияния в однородной
среде. В параксиальном приближении
ае -С max (| |, г), (21.32)
оставляя в (21.31) только квадратичные по аР члены, получим
явную формулу для радиуса первой зоны Френеля
^=(Ш+тГ)'° <21-33>
где z — расстояние вдоль луча от точки стационарной фазы до
точки наблюдения. Радиус кривизны волнового фронта считаем
положительным (/? > 0) для расходящейся волны, отрицатель-
ным (7? < 0) для сходящейся.
Область влияния изменяется при изменении расстояния от
выбранной точки на луче до точки наблюдения ri (рис, 21.5).
8*
228
ВЫСОКИЕ ЧАСТОТЫ
[ГЛ. VIII
Если z->0, то светящееся пятнышко стягивается в точку, т. е.
практически передача идет по геометрической оптике, которая
не учитывает никаких нелокальных воздействий. Величина ар
при данном R > 0 максимальна при отнесении z на бесконеч-
ность и равна при этом
аР = yjKRIn, z—>oo. (21.34)
Если 7? = оо, т. е. фронт в районе точки стационарной фазы
плоский, то размер области влияния
аР —л]Kz/n. (21.35)
Если R < 0, волна сходящаяся, то
(21.36)
Рис. 21.5. Уменьшение первой зо-
ны Френеля с приближением точ-
ки наблюдения к выбранному Фа-
зовому фронту.
нем. что только плоская
Очевидно, что на расстоянии z==|/?| все лучи сходятся в точку.
При z—размер светящегося пятна растет и заполняет всю
поверхность. Таким образом, на
поле в фокусе влияет вся светя-
щаяся поверхность. При z-»-oo
размер пятна стремится к тому
же пределу (21.34):
->дД| R \1п’ как и для расходя-
щейся волны. Заметим, что лишь
для плоской волны такого пре-
дела не существует — пятно ра-
стет неограниченно с увеличе-
нием z (21.35). Это связано с
уже отмеченным свойством пло-
ской волны — накапливанием
эффекта взаимодействия между
лучевыми трубками. В следую-
щем пункте мы еще раз подчерк-
волна, ограниченная чем-либо по
своему фронту, не может оставаться геометрооптическим полем
как угодно далеко (при z—>оо).
В более общем случае неоднородной среды и двух радиусов
кривизны волнового фронта в выбранной на луче точке гч также
существует область вокруг луча, влияющая на формирование
поля в точке и. Форма этой области, которая находится дву-
мерным методом стационарной фазы, может быть довольно
сложной.
21.7. Условие применимости геометрической оптики. Интег-
ральная форма поля (21.27) переходит в геометрооптическое
поле (21.30) только в том случае, если мы сможем увеличить
5 211
НЕОДНОРОДНЫЕ СРЕДЫ
229
пределы интегрирования, причем в этих пределах свойства
среды и поля если и изменяются, то слабо. Поэтому потребуем,
чтобы вблизи луча на расстоянии, много большем линейного
размера первой зоны Френеля, не было резких изменений ни
свойств среды, ни свойств поля. Если обозначить поперечный
масштаб изменения этих свойств (точнее, наименьший из мас-
штабов) через /х, то условие применимости геометрической
оптики запишется в виде неравенства
aF < lj_. (21.37)
Это условие намного более жесткое, чем условие (21.3) превы-
шения масштабов среды и поля над длиной волны. Так, если
волна почти плоская, то аР -\l"kz[n, а этот размер в xjzfan
больше длины волны, и при z-»-oo становится как угодно боль-
шим. Растет до бесконечности область влияния и при прибли-
жении к фокусу: R < 0. Поэтому в реальной ситуации,
когда нельзя обеспечить неизменные свойства среды на беско-
нечной поверхности, излучение плоского поля при достаточно
больших z теряет лучевую структуру. В окрестности фокуса
(а не только в фокальной плоскости) поле также принципиально
не может быть геометрооптическим.
Область влияния для сходящихся или расходящихся лучей
при z—>оо приближается к конечному пределу (21.34), поэтому,
в отличие от плоской волны, они могут быть описаны в пред-
ставлениях геометрической оптики, если только выполнено усло-
вие (21.37) (подробнее см. § 23).
При фиксированной точке наблюдения, расположенной на
луче, можно провести огибающую первых зон Френеля, так на-
зываемый френелевский объем. Если, например, точка наблю-
дения расположена на расстоянии L от светящейся поверхности
(волнового фронта) с радиусом кривизны R, то радиус вытяну-
той поверхности, ограничивающей френелевский объем,
s kz\L + R — z\xm zoi ооч
aF == ( |L + /?|------) • <21 -38)
где z отсчитывается от точки наблюдения вдоль луча
(рис. 21.6). Эта формула получена из (21.33) очевидной заме-
ной в ней R, т. е. радиуса кривизны на расстоянии z от точки
наблюдения, на L-j-/?— z (*).
Френелевский объем выделяет ту часть пространства, кото-
рая может считаться областью локализации физического луча
и внутри которой для справедливости (21.10) среда и поле
должны быть постоянными или очень медленно меняться.
Мы вернемся к эвристическому условию (21.37) в п. 23.2.
Там будет показано, как оценивать границы области, где гео-
метрическая оптика отказывает.
230
ВЫСОКИЕ ЧАСТОТЫ
[ГЛ. VIII
В следующих пунктах будет подробно разобрано поле в ок-
рестности каустики.
21.8. Каустики. Поверхность (или линия), огибающая систе-
му лучей, называется каустикой (рис. 21.7). Для плоской волны
каустики нет. Каустика цилиндрической волны вырождается в
Рис. 21.6. Френелевский объем (огибающая первых зон Френеля) для луча,
соединяющего точки га и П: а) луч криволинейный; б) луч — прямая линия.
фокальную линию (ось системы координат). Каустика сфери-
ческой волны вырождается в точку — фокус. Каустика может
сформироваться как в неоднородной среде (см. п. 21.9), так и в
однородной. Пример каустики в однородной среде приведен на
Рис. 21.7. Каустика в
неоднородной среде.
лучей — нормалей к вол-
новой поверхности близ
максимума ее кривизны.
рис. 21.8, где лучи— нормали к волновому фронту, который
несколько отличен от сферического. Здесь мы рассмотрим свой-
ства двумерной простой каустики, вдали от особых точек, на-
пример, от точек возврата, фокусов или фокальных линий.
На каустике пересекаются бесконечно близкие лучи, попе-
речный размер лучевой трубки уменьшается до нуля, и лучевые
разложения (21.5) поэтому не могут быть использованы, так
как все коэффициенты Л/ на каустике обращаются в бесконеч-
ность. ...- -
§ 21]
НЕОДНОРОДНЫЕ СРЕДЫ
231
Каустика разделяет часть пространства, заполненную лу-
чами, от каустической тени. В освещенной части через каждую
точку проходит два луча — один из них уже коснулся каустики,
другой еще нет. При подходе к каустике со стороны освещенной
зоны наблюдается рост амплитуды поля, локальный максимум;
при переходе через каустику и удалении от нее в область тени
поле спадает. В направлении нормали к каустике поле в осве-
щенной части имеет, из-за интерференции двух лучевых полей,
характер стоячей волны. Вдоль каустики поле имеет характер
бегущей волны.
При пересечении каустики происходит быстрое изменение
свойств поля. Это поле локально не плоское, поэтому место
экспоненты в разложении поля долж-
на занять другая функция; вид этой
функции можно найти из простой за-
дачи, в которой лучевые конфигура-
ции образуют каустику. В следующем
пункте мы рассмотрим такую эталон-
ную задачу.
21.9. Линейный слой. Пусть слева,
со стороны пространства п = 1, па-
дает на плоскую границу раздела
2 = 0 плоская волна (рис. 21.9). В об-
Рис. 21.9. Показатель пре-
ломления линейного слоя.
ласти z > 0 среда имеет линейно убывающую с ростом г ди-
электрическую постоянную и2(г):
га2(г)=£о^£
*0
(21.39)
где 20 — характеристика среды, та плоскость, на которой п = 0.
Предположим сначала, что плоская волна падает перпендику-
лярно к линейному слою. Тогда волновое уравнение
^+k2n2u^Q (21.40)
после замены переменных
/ = Ло~1/3(г-го) (21.41)
принимает вид (*)
d2u
— tu = Q.
(21.42)
Решение уравнения (21.42) пропорционально функции Эйри
v(t), которая определяется интегралом
v (0 = -7=- J
Vn J
X3
3
]- tx^ dx.
(21.43)
232
ВЫСОКИЕ ЧАСТОТЫ
(ГЛ. VIII
Рис. 21.10. Поле при пересече-
нии каустики [см. (21.58)].
Искомое поле
ы(/) = Ао(/), (21.44а)
причем коэффициент пропорциональности определяется из тре-
бования непрерывности поля*и его производной при t = to, где
to — значение / (21.41) при г = 0:
А = 2 [о (t0) - i (kzo)~113 v' (/о)]’1. (21.446)
Предполагается, что амплитуда падающего поля равна еди-
нице. Вид функции Эйри приведен на рис. 21.10. Значение
функции вблизи нуля порядка единицы, о(0) = 0,63, максимум
несколько сдвинут в сторону освещенной области и достигается
при t ~ —1 :v(—1,02) —0,95. Слева от точки z = z0 (т. е. при
t <Z 0) эта функция ведет себя п.ри
больших значениях аргумента
(}/|^> 1) как геометрооптическая
стоячая волна:
V (/) « (- /)-1/4 Sin [4 (- /)3/2 + -4] .
(21.45а)
Так как t ~ k2/3, (—Z)-1/4 ~ k~l/6,
но при больших |/0|, как можно
получить из (21.446), величина А в старшем порядке по k
пропорциональна А1/6, так что амплитуда поля [коэффициент
при синусоиде в (21.44а)] вдали от плоскости z = z0 не
зависит от частоты. Справа от точки z — z0 функция Эйри при
больших положительных значениях аргумента (/>0, t 1)
быстро спадает:
ц(/)«-р-1/4ехР(_Т/3/2)- (21.456)
Коэффициент при экспоненте при больших t также не за-
висит от частоты, но показатель линейно растет с частотой,
поэтому поле в теневой области спадает тем быстрее, чем выше
частота. Поведение поля на самой каустике (при z — z0) при
увеличении частоты определяется зависимостью от нее ампли-
туды А — так как в (21.44а) функция v (/) при t — О порядка
единицы:
ut^o ~ (kzQ)ll&. (21.46)
Рост амплитуды наблюдается в области, масштаб которой опре-
деляется расстоянием между плоскостью z = z0 и первым мак-
симумом функции Эйри. В линейных единицах этот масштаб
имеет порядок
| Z — Zq\ k~2l3Zo3.
(21.47)
§ 21] НЕОДНОРОДНЫЕ СРЕДЫ 233 '
Таким образом, с ростом частоты поле вблизи плоскости z == z0
растет как &1/6, его протяженность в теневой области быстро
падает, а в освещенной поле имеет характер стоячей волны,
причем размер области, где поле велико, и масштаб осцилля-
ции уменьшаются как &~2/3.
Теперь рассмотрим наклонное падение плоской волны на ли-
нейный слой (21.39) под углом падения 0. Решение волнового
уравнения имеет в этом случае вид (*)
и = Av [fe2/3Z(TI/3 (z — zc)] exp (— ikx sin 0), (21.48)
где аргумент функции Эйри принимает нулевое значение при
z = zc, причем
zc = z0 cos2 0, (21.49)
т. е. каустика приближается к плоскости z = 0.
Решение, полученное для нормального падения, слегка ви-
доизменилось. Добавилась экспонента — волна в линейном слое
бежит вдоль оси х с фазовой скоростью c/sin 0. В амплитуде А
(21.446) добавился сомножитель (cos0)-1 во втором слагаемом
в квадратных скобках.
Решим теперь ту же задачу о наклонном падении в терминах
геометрической оптики. Лучевую структуру поля легко найти
из уравнений (21.11). На плоскость z = 0 падает поле с эйко-
налом
S = x sin 0 4-zcosO. (21.50)
Лучи в слое будем характеризовать их координатой в плоскости
z = 0, обозначив в этой плоскости х через g. Таким образом, на
плоскости z = 0 заданы начальная амплитуда Л(£, 0)= 1 и эйко-
нал S(g)=gsin0. Уравнения геометрической оптики имеют в
данном случае вид (*)
dx dz dp, dp, 1
-37 = ^’ -dT-Р» ST-----2ТГ- (21.51)
Из определения р = VS и параметрического задания начальной
плоскости следуют начальные условия
х(0) = £, z(0) = 0, px(O) = sin0, (0) = cos 0. (21.52)
Решение уравнений (21.51), (21.52) имеет вид (*)
х(т) = £ + тз1п0, z (т) = т cos 0 —-т—, (21.53а)
px(r) = sin9, p2(t) = cos0 — -=^-. (21.536)
Соотношения (21.53а) дают координаты луча в зависимости от
точки £ входа в линейный слой и от параметра т (напомним, что
234
ВЫСОКИЕ ЧАСТОТЫ
[ГЛ. VIII
dx = da/ri). Соотношения (21.536) определяют направление
луча в тех же координатах. Из (21.536) следует, что луч с ро-
стом т постепенно заворачивает, пр» рг(т) = 0 он направлен па-
раллельно оси х. Затем луч возвращается к начальной плоско-
сти z = 0. «Точка поворота» zc — Zq cos2 0 (*) и определяет по-
ложение каустической поверхности. Таким образом, каустика,
возникающая при наклонном освещении линейного слоя (21.39)
плоской волной, есть плоскость (21.49). В следующем пункте
мы выпишем эйконал для точек освещенной области (xi, zi) и
амплитуду поля в этих точках (21.60).
Вблизи каустики и на каустике поле не может быть описано
с помощью геометрооптических лучей. На каустике — потому,
что сечение лучевой трубки обращается в нуль, коэффициент
расходимости (21.22) равен нулю, и все амплитудные коэффи-
циенты в лучевом разложении неограниченно растут. В окрест-
ности каустики лучевое разложение неприменимо потому, что
лучи становятся неразличимыми, так как разность эйконалов
двух пересекающихся лучей, один из которых коснулся каусти-
ки, а другой еще нет, меньше %/2.
Отметим, что аргумент функции Эйри t связан с кривизнами
лучей и кривизной каустики. Из (21.53) следует, что кривизна
луча в точке касания им каустики равна
‘ 7?r = 2zosin0. (21.54)
Учитывая (21.54), (21.39), (21.48), получаем (*)
t = k2'3 (2n? 1/3 (z - zc). (21.55)
В общем случае, если отличны от нуля как кривизна луча, так
и кривизна каустики, аргумент функции Эйри будет равен
X I I 1 I X
t = k2'3 [2п2 j -±- ± | ) (z-zc), (21.56)
где Rc — радиус кривизны каустики, причем знак плюс берется,
если луч и каустика находятся по разные стороны от общей
касательной, знак минус — в противоподожном случае. В одно-
родной среде 1/7?г = 0 (лучи прямолинейны), так что
t = k2/3 (,2п2с pL-j-)1/3 (z - zc). (21.57)
Вспомним, что (см. рис. 21.10) ширина прикаустической зоны
определяется условием |/|=1 и оценим эту ширину, положив
|f|= 1 в (21.56):
Л = й-2/3(2п?|-^-±-^|) 1/3 (21.58)
Таким образом, хотя поле вблизи каустики и нельзя описать с
помощью геометрической оптики, удалось оценить ширину за-
НЕОДНОРОДНЫЕ СРЕДЫ
235
{ 213
претной для геометрической оптики зоны с помощью чисто лу-
чевых характеристик, кривизн лучей и каустики.
Подобно тому, как из простейшего решения — плоской волны
в однородной среде — было получено решение в виде лучевого
разложения для почти плоских волн в плавно неоднородной
среде, простое решение для поля вблизи плоской каустики в ли-
нейном слое подсказывает форму каустического разложения, в
котором амплитуда перед произведением функции Эйри на
экспоненту разлагается по обратным степеням k. Почти очеви-
ден эвристический критерий применимости этого разложения:
масштаб изменения показателя преломление среды и параме-
тров волны должен быть много больше характерного размера
прикаустической зоны Л (21.58).
21.10. Комплексные лучи. Оказывается, можно использовать
геометрооптическое решение и там, где лучей нет, а именно, в
каустической тени. Для этого проанализируем полученное в
п. 21.9 решение геометрической оптики, в котором допустим су-
ществование комплексных лучей, т. е. лучей в пространстве с
комплексными координатами. Поясним, что имеется в виду.
Комплексные лучи определяются как решение уравнений гео-
метрической оптики, но они описывают поля в таких точках
пространства, куда обычные вещественные лучи, идущие в про-
странстве с вещественными координатами, не проникают. По-
ставим в соответствие точке наблюдения Г\ в вещественном про-
странстве точку (£, 0) на начальной волновой поверхности.
Если в ri попадает геометрооптический луч, то координаты (g, 0)
существуют и они вещественны. Если же точка наблюдения
выбрана там, где обычных вещественных лучей нет, например,
в каустической тени, то вещественной координаты g не сущест-
вует. Однако если мы формально все же попытаемся найти
точку выхода «луча» из начальной плоскости, то она окажется
комплексной. Комплексными будут и все координаты точек на
«луче», но конечная его точка г\ окажется вещественной. Поле
в этой точке и будет найдено таким способом. Итак, при г = 0
координата выхода луча £ = £' комплексна, при измене-
нии т от нуля до т(п) координаты луча r = r' -j-ir" также
комплексны. Координата rt, в которой мы ищем поле, вещест-
венна.
Продемонстрируем этот прием на примере линейного слоя.
В каждую точку (xi, zj) здесь приходят два луча. Из (21.53а)
находим координаты £(1) и |(2) выхода лучей из начальной
плоскости z = 0 и два «расстояния» т(1) и т(2), пройденные
лучами до их пересечения в точке наблюдения:
1(1, 2) = xt — т(1, 2)sin0,
т (1, 2) «= 2z0 [соз 0 ф Vcosa 0 ~ Zj/гJ.
236
ВЫСОКИЕ ЧАСТОТЫ
[ГЛ. VIII
Если z < Zo cos2 0, т. е. точка наблюдения находится в запол-
ненном лучами полупространстве, то величины g(l, 2) и т(1, 2)
вещественны, они соответствуют двум обычным лучам вдали
от прикаустической зоны. Если z> zocos20, то точка наблюде-
ния находится в каустической тени, и все величины (21.59)
комплексны.
Сопоставим лучевой картине в каустической тени лучевую
картину в освещенной области. Слева от каустики в точку
(xi, Zi) придут два луча. Амплитуда и эйконал — они полу-
чаются из (21.19) и (21.12) — того из них, который еще не кос-
нулся каустики (падающего луча), равны
S(l) = x1 sin0 [cos30 — (cos20 — j.
(21.60а)
Соответствующие параметры луча, который уже коснулся кау-
стики (отраженного луча), равны
г ~ -1 —1/4
e-W!.
S (2) — х, sin 0 + [cos’ 0 + (cos2 0 —й-)’Л[. (2I -606)
Множитель ехр(—in/2) появился после «отражения» луча от
каустики. Подобные множители появляются и в других ситуа-
циях, при которых луч проходит область, где сечения лучевых
трубок обращаются в нуль. Так, после прохождения фокального
пятна (геометрооптического фокуса линзы) луч приобретает
дополнительный сдвиг фаз, равный л. Формально дополнитель-
ный сдвиг л/2 после каустики возникает из-за изменения знака
коэффициента расходимости в отраженной от каустики волне.
Правее каустики, при гх — Л, в точку наблюдения так-
же приходят два луча. На этот раз эти лучи комплексные. В ре-
шении следует оставить один из них, неоднородную почти пло-
скую волну с параметрами (*)
г _ 1-*/4
S(t)—xisine + ^cos’e —/-^(cos’e —-2-')м, 21'60в
затухающую в направлении, перпендикулярном к каустике. Вто-
рой луч откидываем, так как он соответствует волне, возра-
стающей при удалении точки наблюдения (хь Zi) от каустики
в сторону тени.
Асимптотики строгого решения задачи (21.44), (21.45) в
областях вдали от прикаустической зоны совпадают с (21.60).
$ 21] НЕОДНОРОДНЫЕ СРЕДЫ 237
21.11. Векторная геометрическая оптика. Для геометроопти-
ческого описания векторного поля, например электромагнит-
ного, используются те же приемы, что и для скалярного (урав-
нение эйконала в изотропной среде, которой мы только и огра-
ничиваемся, такое же, как и в скалярной задаче; лучевые раз-
ложения, примененные к каждой компоненте поля, те же, и
т. д.). Уравнения переноса для коэффициентов Ео, Но (аналог
скалярного коэффициента Ао) в дебаевских разложениях
показывают, что в нулевом (т. е. геометрооптическом) приближе-
нии вектора электрического и магнитного полей ортогональны к
лучу, т. е. волны являются поперечными, локально плоскими.
Луч в среде, параметры которой зависят от координат, мо-
жет представлять собой довольно сложную пространственную
кривую. В векторной ситуации кроме общих со скалярной зада-
чей свойств поля (лучевой структуры, т. е. лучей и волновых
фронтов, зависимости амплитуд полей от координат) надо
знать еще закон изменения направления вектора Ео (или Но),
т. е. особенности изменения линейной поляризации поля. С каж-
дой точкой пространственной кривой связан трехгранник: I —
единичный вектор вдоль луча, п — нормаль
маль к лучу. Введем угол 0 между векто-
ром Е и нормалью к лучу п. Для угла 0 по-
лучено уравнение
d0/dff=l/T, (21.62)
где des — элемент дуги вдоль луча; Т — ра-
диус кручения луча. Из (21.62) следует,
что ориентация векторного поля (Ео, Но)
относительно нормали к лучу не остается
постоянной. Скорость вращения поляриза-
ции (вектора Ео относительно луча), т. е.
приращение dQ, отнесенное к элементу дуги do, равно кручению
луча 1/Т. Если луч — плоская кривая (7’ = оо), то dQ/do — O,
т. е. угол плоскости поляризации с нормалью не меняется, хотя
из-за кривизны луча ориентация векторов (Ео, Но), разумеется,
не остается постоянной в пространстве (рис. 21.11). В частном
случае однородной среды лучи — прямые линии, вдоль которых
ориентация векторов поля постоянна.
Векторные поля поперечны только в нулевом, геометроопти-
ческом приближении. Следующие члены лучевого разложения,
(Ei, Hi), (Е2, Н2) и т. д., могут иметь и продольные компоненты.
Мы уже говорили, что эти члены учитывают такие эффекты, как
к лучу.

Рис. 21.11. Изменение
ориентации вектора
поля для криволиней-
ного луча.
238
ВЫСОКИЕ ЧАСТОТЫ
(ГЛ. VIII
перетекание энергии из лучевой трубки в соседнюю. Нетрудно
видеть, что это явление обмена энергиями между лучевыми
трубками — или поперечная диффузйя амплитуды — связаны с
появлением продольных компонент поля. Действительно, поток
вектора Пойнтинга в чисто поперечном поле направлен вдоль
луча; только возникновение продольной компоненты ведет к по-
перечной добавке к этому потоку.
Для векторных полей к условиям применимости геометриче-
ской оптики — медленности, точнее, плавности изменения
свойств среды и полей-—добавляется условие плавности изме-
нения поляризации волны.
§ 22. Большие тела
Тела, рассмотренные в этом параграфе, и отверстия в экра-
нах, о которых пойдет речь в § 23, названы большими, так как
они велики по сравнению с длиной волны, условие (21.3) вы-
полняется, причем в нем под I следует понимать характерный
размер тела или отверстия. Окружающее пространство счи-
Рис. 22.1. Дифракция
на большом непро-
зрачном теле.
тается однородным, так что лучи в нем —
прямые линии.
Последовательно рассматриваются
асимптотические методы: приближение
Кирхгофа или физическая оптика, метод
параболического уравнения, физическая
теория дифракции, геометрическая теория
дифракции.
22.1. Структура поля. Чтобы разобрать-
ся в полях, возникающих при дифракции
на теле, следует выделить отдельные обла-
сти, в которых структура поля примерно
известна. Рассмотрим дифракцию поля то-
чечного источника или плоской волны на
непрозрачном теле произвольной формы
(рис. 22.1). Прежде всего, попытаемся
представить себе геометрооптическую струк-
туру поля. За телом возникает тень, повторяющая его контуры;
в тень лучи не проникают. В точку наблюдения г\, которая на-
ходится в освещенной части пространства, лучи могут прихо-
дить либо непосредственно от источника, либо отразившись от
поверхности тела. Разумеется, луч приходит в г\ только в том
случае, если выполнено условие применимости геометрической
оптики: размер первой зоны Френеля на поверхности тела
много меньше характерного масштаба тела. При этом отражен-
ные лучи могут образовать каустические поверхности. Лучи
могут пересекаться на одной линии или в одной точке — о по-
лях вблизи фокуса см. п. 23.5. Геометрическая оптика не может
5 22) г БОЛЬШИЕ ТЕЛА 239
описать поля прикаустической зоны и фокального пятна, поля
в этих областях дифракционные.
Дифракция вносит и другие поправки в геометрооптическую
картину. На границе между светом и тенью возникают зоны
сильного градиента амплитуды, полутеневые переходные зоны.
Эти зоны на рис. 22.1 выделены редкой штриховкой; они расши-
ряются по мере того, как точка наблюдения удаляется от вер-
шины А или точки касания В гладкого выпуклого участка.
В этих зонах происходит поперечная диффузия света из области
света в область тени; поля полутеневых зон описываются инте-
гралом Френеля.
Поперечная диффузия в окрестности границ свет — тень яв-
ляется основным механизмом проникновения поля в область
геометрической тени. В диффузной зоне острой кромки А возни-
кают дифракционные или краевые лучи. Эти лучи как бы по-
рождаются источником, расположенном на ребре (см. ниже
пп. 22.6 и 22.7).
В тень за гладким участком тела проникает так называемая
волна соскальзывания, порождающая лучи соскальзывания
(см. ниже п. 22.8). Особая зона дифракции возникает в районе
точки касания В, где накладываются зона полутени и зона
волны соскальзывания.
Подобное расчленение полного поля на отдельные зоны
в ряде случаев полезно; однако мы начнем параграф с методов,
позволяющих дать общее, хотя и приближенное, представление
о поле.
22.2. Физическая оптика или приближение Кирхгофа. Опре-
делить поле, дифрагированное на большом теле, становится
затруднительным, если для точки наблюдения размер зоны
влияния на поверхности тела становится сравнимым с харак-
терным масштабом, либо лучи в совокупности образуют очень
сложные каустические поверхности, либо полутеневые зоны
накладываются друг на друга. В этих и подобных случаях
полезно иметь единое выражение для поля во всем простран-
стве. Получим формулы, которые обычно называются соотно-
шениями физической оптики.
Для полей, возникающих при дифракции на металлическом
теле, удобно воспользоваться интегральным соотношением.
Поле в любой точке наблюдения Г; выражается интегралом по
поверхности тела от тока. Приближение Кирхгофа заключается
в том, что вместо точного значения тока, для определения кото-
рого нам пришлось бы решать задачу дифракции, под интегра-
лом подставляется вместо тока du/dN величина 2du°/dN, опре-
деленная в приближении геометрической оптики:
u(rx) = -2\^GdS. (22.1)
240
ВЫСОКИЕ ЧАСТОТЫ
1ГЛ. VIII
точность для полей
чевые поля могут
с помощью метода
Формула получается из (11.156), если граничное условие на по-
верхности и| s = 0; G — функция Грина свободного простран-
ства; dua/dN— нормальная производная падающего поля, взя-
тая на освещенной поверхности тела в отсутствие тела; источ-
ников в окрестности тела нет (/ = 0). Произведенная в (22.1)
замена под интегралом истинного тока на поверхности током,
полученным в приближении геометрической оптики, называется
приближением Кирхгофа. Под интегралом — сравнительно гру-
бое приближение, однако интегралы типа (22.1) дают хорошую
как в геометрооптической области, где лу-
быть выделены, если вычислить интеграл
стационарной фазы, так и в переходных
зонах, где интеграл представляет собой не-
которую специальную функцию. Прибли-
жение Кирхгофа дает хорошие результаты
при расчетах полей, представляющих собой
излучение в сравнительно узком интервале
углов. Однако расчет в этом приближе-
нии излучения, сильно отклоненного пре-
пятствием, приводит к неправильным ре-
зультатам.
Теперь получим другое интегральное
выражение для поля. Это приближенное
соотношение, в котором интеграл берется не
по поверхности тела, а по отверстию, обыч-
но применяется в антенной технике и оп-
тике. Пусть на плоский экран, падает поле
и°, например, плоская волна или сфокуси-
рованное линзой излучение. Воспользуемся
соотношением (11.15а). Неизвестное поле
и под интегралом заменим падающим
полем и° аналогично тому, как в (22.1) мы ток на металле, неиз-
вестный нам, заменили удвоенной производной падающего
поля:
и (х, у, z) = и0 (g, тр 0)-^-dS- (22.2)
Здесь функция Грина подчинена условию G = 0 при £ = 0,
т. е. G — функция Грина плоского экрана без отверстия. Ищется
поле за экраном при а > 0 (рис. 22.2). Интегрирование идет
по плоскости z = 0, не занятой металлом (по отверстию в эк-
ране или, как на рис. 22.2, б, по плоскости вне ограниченного
экрана). На теневой стороне экрана поле принимается равным
нулю. В принципе (22.2) можно уточнить, если вместо поля и°
подставить поле с учетом дифракционных эффектов.
3)
Рис. 22.2. Дифракция
на отверстия (а) и
диске (б).
§ 22]
БОЛЬШИЕ ТЕЛА
241
Функция Грина полупространства, ограниченного заметал-
лизированной плоскостью z — О, имеет вид
Здесь г — расстояние от точки гу(х, у, z), где ищется поле
(рис. 22.3), до точки (§, ц, £); г' — расстояние от зеркально
отраженной в плоскости £ = 0 точки
(х, у, —z) до той же точки (|, т), £). На
плоскости ? = О
z dr dr' z
г — ^ — го> дМ ~~~ ~dN ~ ’
Го = V(X - |)2 + {у- Г])2 + z2. (22.4)
В выражении для dG/dN мы опустим
из двух слагаемых то, которое получает-
ся дифференцированием знаменателя, так
как оно в &г0 раз меньше оставшегося,
справедливая на расстояниях, много больших длины волны:
и (х, у, Z) = ~ \ и° (£, ть 0) - dS. (22.5)
АН J • о

Рис. 22.3. К выводу фор-
мулы (22.3).
Получается

а.
В приближении Кирхгофа (22.5) неразличимы дифракционные
поля в направлении, совпадающем с направлением падающего
поля, от тел, проекция которых на перпендику-
лярную плоскость одинакова (рис. 22.4). Дейст-
вительно, в приближении геометрической оптики
поле на теневой стороне непрозрачных тел рав-
но нулю. Никак не сказываются особенности
геометрии близ точки касания крайним лучом
поверхности, скруглена ли поверхность или имеет
ребро. Ускользают при этом детали, связанные
с локальным взаимодействием падающего поля
с краем экрана, и все различия, обязанные по-
ляризации поля.
22.3. Принцип Бабине. Этот принцип — приб-
лиженная и потому имеющая большую область
применимости формулировка принципа двойст-
венности, коротко изложенная в п. 19.7. В прин-
ципе Бабине не участвуют, в частности, решаю-
щие для принципа двойственности соотношения
между поляризацией падающих полей в двух сопоставляемых
задачах.
Сравним два опыта по дифракции: на отверстии в экране
и на том кусочке экрана (плоском диске в конкретном случае
плоского экрана), который пополняет экран по сплошной ме-
а)
3)
Рис. 22.4. В
приближении
Кирхгофа ди-
фракция для
тел а) и б) не-
отличима.
9 Р. Б. Ваганов, Б. 3. Каценеленбаум
242
ВЫСОКИЕ ЧАСТОТЫ
[ГЛ. VIII
таллической поверхности (рис. 22.5). Обозначим поля дифрак-
ции «1 и и2, соответственно. В (22.5) одно поле получено при
интегрировании по отверстию S, другое — по остальной поверх-
ности. В сумме эти поля дают поле, которое получится, если
интегрировать по полной поверхности, в от-
I сутствии экрана; но интеграл по всей по-
I верхности от падающего поля и° = и(0)
---есть падающее поле и° = п(г) на расстоя-
I нии z от плоскости z = 0:
• п = н1 + и2- (22.6)
Это значит, что поля при дифракции на
дополняющих друг друга экранах допол-
няют друг друга до невозмущенного поля.
Поэтому результаты, которые будут полу-
да чены в § 23 для задачи о дифракции на от-
5)
Рис. 22.5. К выводу
принципа Бабине.
верстии в экране, сразу переносятся с по-
мощью принципа Бабине на случай ди-
фракции на плоском большом теле. Заме-
тим, что принцип Бабине в этой формули-
ровке— геометрооптический, так как поле
и° на отверстии только в геометрооптическом приближении рав-
но полю падающей волны.
22.4. Метод параболического уравнения. Пусть поле изме-
няется в пространстве таким образом, что можно выделить на-
правление г, вдоль которого эти изменения происходят быстрее,
чем в перпендикулярном направлении, т. е. имеют вид
ехр(—ikz}. Тогда поле может быть записано в виде произведе-
ния этого быстроменяющегося множителя на медленноменяю-
щуюся амплитуду
u — A(k, х, у, z)e~ikz.
(22.7)
Это — отход от геометрооптического приближения (21.10), здесь
А ищется при больших k немного точнее, ибо оно зависит от
частоты.
Подставляя и в волновое (эллиптическое) уравнение
д2и . д2и
дх2 ду2
+ + k2u = 0,
(22.8)
получим для A(k, х, у, г) уравнение
д2А . д2А . д2А дА п _
—5" 2 г "Ъ "5" Ч л 2 Qlk “а— = 0. (22.9)
дх2 1 ду2 1 dz2 dz
Теперь предположим, что масштабы изменения А по попереч-
ным координатам и вдоль оси z велики по сравнению с длиной
волны и 'различны. Если масштаб Iz^lx.y, то вторая произ-
БОЛЬШИЕ ТЕЛА
243
§ 22]
водная по z в (22.9) может быть отброшена, и мы придем к па-
раболическому дифференциальному уравнению второго порядка
д2А . д2А п., дА п ,о п.
дх3 + ду2 %lk dz “°- (22.10)
Для того чтобы было выполнено условие 1г 1Х, у, направление
оси z, а в неоднородных средах направление о, лучше всего
выбирать вдоль лучей. Две другие координаты лежат на по-
верхности волновых фронтов. Решение параболического урав-
нения в лучевых координатах значительно проще, чем исход-
ного волнового.
Явление диффузии, например, тепла или концентрации при-
месей в жидкостях, также описывается параболическим урав-
нением, в котором есть вторые производные от координат
и первая производная от времени. Поэтому изменение А вдоль
волновых фронтов можно трактовать как диффузию амплитуды
вдоль волновых фронтов. Происходит эта диффузия не во вре-
мени, а с изменением координаты z. С этой точки зрения рас-
плывание градиентной зоны близ границы свет — тень, как уже
упоминалось выше, является диффузион-
ным процессом. Поведение поля в погра- I _
ничной зоне соответствует требованиям - • =»-
к амплитуде в (22.7) — поперек грани-
цы (ее и можно принять за координату
г) амплитуда изменяется значительно
быстрее, чем вдоль z. Поэтому, так же Рис. 22.6. Волна над по-
как и поле при распространении над глощающей поверхно-
поглощающей поверхностью (рис. 22.6), стью-
а также поля в процессе расплывания
ограниченных в поперечном направлении волновых пучков
(рис. 24.1), поле в переходной зоне может быть найдено из ре-
шения параболического уравнения (22.10). Параболическое
уравнение остается эффективным аппаратом при переходе к не-
линейным задачам квазиоптики (которые мы здесь не рассма-
триваем).
22.5 . Локальный характер высокочастотной дифракции. Вер-
немся к рис. 22.1. Используя методы физической оптики, можно
найти поле слева от тела, интегрируя в (22.1) по освещенной
поверхности тела; можно также найти и поле справа от тела,
интегрируя в (22.2) по поверхности, представляющей собой
проекцию тела на плоскость, перпендикулярную к оси z, и вы-
читая полученное поле из падающего согласно принципу Ба-
бине. Однако при этом будут допущены неточности: непра-
вильно найдены поля в тени, волны от острой кромки, волны
соскальзывания, дифракционные поля, уходящие над большими
углами и т. д.
9*
J
244 ВЫСОКИЕ ЧАСТОТЫ 1ГЛ. VIII /|
а
ч
Уточнить поля в этих областях можно, если использовать ?
соображения о локальности взаимодействия поля с телом. Бу- '
дем, например, полагать, что. поле при дифракции на реальной
кромке А, представляющей собой, вообще говоря, простран-
ственную кривую, почти не отличается от полей дифракции на
прямолинейном ребре металлического клина. Ток, возникающий
около точки касания крайним лучом тела, практически тот же,
что и ток при дифракции плоской волны, соответствующей
этому лучу, на цилиндре, имеющем тот же радиус кривизны,
что и реальное тело в точке В. Подобные предположения позво-
ляют широко использовать результаты решения модельных за-
дач в конструировании полей дифракции на сложных телах.
Соответствующие методы получили общее название физической
теории дифракции.
22.6 . Физическая теория дифракции; метод краевых волн.
Рассматривая результаты строгого решения задачи о падении
плоской волны на клин, мы уже видели, что кроме геометрооп-
тического поля (падающая и отраженная волны, тень), пере- j
ходных зон между ними, описываемых функцией Френеля, су- j
ществуют еще цилиндрические волны от ребра клина. Они J
проявляются и в освещенной, и в теневой областях. Прибли-
жение Кирхгофа, т. е. физическая оптика, тоже дает волны от
ребра, но как оказывается, очень неточно. Нужна была какая-то |
дополнительная идея, позволяющая исправить результаты физи- -
ческой оптики. Эта уточняющая приближение Кирхгофа мысль
состоит в том, что при определении поля вдали по току на ме-
талле кроме тока в геометрооптическом приближении в (22.1)
нужно учесть ток, обусловленный дифракцией. Таким образом,
ди о ди* . ( ди\
полный ток представляется в виде — 2 + I L .
суммы токов геометрооптического (равномерной части тока)
и дополнительного (неравномерной части тока). В том варианте
приближения Кирхгофа, в котором поле ищется по току на
металле, обычно используется только равномерная часть тока.
Она представляет собой, по определению, ток на бесконечной
плоской поверхности, касательной к телу в рассматриваемой
точке. Неравномерная часть тока обусловлена возмущениями,
которые создаются отклонениями формы поверхности от беско-
нечной плоскости. Например, эта часть тока может возникнуть
на геометрических неоднородностях типа ребер.
Практически точно выделить неравномерную часть тока
и взять от нее интеграл типа (22.1) не удается, однако можно
выразить этот интеграл через функции неравномерного поля,
рассеянного клином или полуплоскостью. Эти функции полу-
чены в модельной задаче о металлическом клине. Таким обра-
§ 22]
БОЛЬШИЕ ТЕЛА
245
зом, в ряде задач дифракции на металлических телах с реб-
рами удается получить поправку к полю физической оптики.
22.7 . Геометрическая теория дифракции. Краевые цилиндри-
ческие волны, возникающие в модельной задаче о падении
плоской волны на клин, могут трактоваться как особого вида
лучевое поле, как мы уже упоминали в начале параграфа. Лучи
от ребра клина порождаются лучами, падающими на ребро. Эти
новые лучи, носящие название дифракционных, ведут себя
после своего возникновения точно так же, как обычные геомет-
рооптические лучи. Отличие заключается в законах, которым
подчиняется образование дифракционных лучей.
Постулируется, что дифракционные лучи порождаются не
всеми лучами падающего поля, а только некоторыми: во-пер-
вых, лучами, которые попали на неоднородности тела: вершины,
линии разрыва кривизны поверхности, ребра, а во-вторых, лу-
чами, которые касаются тела. Дру-
гими словами, дифракционные лучи х,
как бы возникают из падающих на
тело «крайних лучей» геометриче-
ской оптики — разграничивающих 1 ~
свет и тень, участки пространства,
в которых лучевое поле имеет раз- ДА
ную расходимость, и т. д. 11
Каждый такой геометрооптиче-
ский луч порождает целый веер ди- Рис- 22-7- Дифракция на ребре,
фракционных лучей. Если луч по-
пал на вершину, то возникают дифракционные лучи, уходя-
щие от вершины по всем направлениям. Если луч попал на
ребро, то возникает конус дифракционных лучей с вершиной
в точке падения луча на ребро и с углом раствора тЭ>, равным
углу между лучом и касательной к ребру (рис. 22.7):
Ог = (22.11)
Этот закон есть обобщение закона геометрической оптики
(21.17): угол падения равен углу отражения. При этом добав-
лялось, что оба луча лежат в одной плоскости. К правилу
(22.11) подобного добавления нет — лучи веером расходятся от
ребра. Если Ф,- = л/2, как это было в модельной задаче
(см. § 7), то и все лучи дифракции перпендикулярны к ребру.
Они расходятся от прямолинейного ребра, образуя цилиндри-
ческую волну; их амплитуды не одинаковы, они зависят от
направления ухода дифракционного луча. В общем случае
амплитуда дифракционных лучей
u = c(i, zo)[A^-]1/2«oe-iftS (22Л2)
246
ВЫСОКИЕ ЧАСТОТЫ
[ГЛ. VIII
пропорциональна амплитуде и° падающего луча, включает
в себя обычную для геометрооптинеских лучей экспоненту
ехр(—ikS), где 5 — эйконал дифракционного луча, О(т)— яко-
биан перехода от декартовых координат к лучевым. Величина
С(1,1о) называется коэффициентом дифракции, она зависит от
направления Zo и I падающего и дифракционного лучей, соот-
ветственно. Находится коэффициент дифракции из решения
соответствующей модельной задачи; он определяется локальны-
ми особенностями падающего поля и геометрии тела в окрестно-
сти падающего луча.
Смысл коэффициента дифракции для ребра заключается
в том, что ребро после падения на него геометрооптического
луча становится вторичным источником,
но для дифракционных лучей, имеющих
различное направление, амплитуда это-
го источника различна.
Раздел высокочастотной теории ди-
фракции волн, в котором рассматрива-
ются лучевые структуры во всех обла-
Рис. 22.8. Дифракция на
диске. Заметно, как смы-
каются полутеневые зо-
ны.
стях пространства, кроме переходных
зон, носит название геометрической тео-
рии дифракции (ГТД). Интерференцией
падающей волны с лучами от края и
можно объяснить мелкую интерференци-
онную рябь при дифракции на краю экрана, например, на полу-
плоскости. Так как дифракционные лучи уходят по всем на-
правлениям, лимитируемым лишь условием (22.11), то эта рябь
присутствует и перед диафрагмой.
Дифракционные лучи проникают и в область глубокой тени
(рис. 22.8). В полутеневых зонах дифракционных лучей нет.
22.8. Дифракция на гладком выпуклом теле. Теперь коротко
опишем поведение дифракционных лучей при касании лучом
точки на поверхности гладкого тела. Возбуждение проникает
в область тени. Его называют волной соскальзывания, соответ-
ствующий луч — лучом этой волны, или ползущим лучом. Об-
общенный принцип Ферма позволяет определить путь луча
волны соскальзывания в любую точку в тени, образованной
телом (см. рис. 22.1). От точки касания первичным лучом тела
дифракционный луч идет по геодезической линии поверхности,
а затем отрывается по касательной. Все лучи соскальзывания
касаются поверхности тела, так что она является каустикой,
а прилегающая к поверхности зона — каустической зоной, где
геометрооптическая теория не дает правильного решения. В за-
даче есть еще две переходные зоны: близ границы свет — тень
полутеневая зона и в окрестности точки касания — область пере-
сечения первых двух зон.
§ 23] . БОЛЬШИЕ ОТВЕРСТИЯ 247
Луч, соответствующий волне соскальзывания при огибании
гладкого тела по геодезической, экспоненциально затухает,
а после отрыва от поверхности подчиняется обычным законам
геометрической оптики.
Попробуем качественно пояснить возникновение убывающей
экспоненты в ползущем луче. Рассмотрим дифракцию на двух
изломах (рис. 22.9). Волна рассеивается f
сначала на первом ребре, ее амплитуда __________
убывает, на второе ребро попадает __________—
скользящий вдоль поверхности луч и —-—
снова дифрагирует, причем он идет по
экстремали, подчиняясь обобщенному Рис. 22.9. Дифракция па
принципу Ферма. Теперь перейдем к т многограннике,
граням. Если ф— общий угол, на кото-
рый повернулась обегающая тело волна, то на элементарном угле
ф//п происходит уменьшение поля на величину а(<р/т)Д про-
порциональное этому углу и амплитуде падающего поля. К сле-
дующему ребру подходит волна с амплитудой А (1 — аф//п),
после этого ребра амплитуда становится равной Д(1—аф//п)2,
а после т граней Л(1—ац>/гп)т. В пределе, при т-*оо, полу-
чаем экспоненту Дехр(—опр).
Эталонные задачи о дифракции на круговом цилиндре
и шаре, решение которых было получено в форме рядов Ват-
сона (§§ 5, 6), также указывают на эту форму дифракционного
поля — обегающие гладкую поверхность волны, затухающие
при этом экспоненциально. Показатель экспоненты в соскаль-
зывающей волне может быть взят из решений этих эталонных
задач.
§ 23. Большие отверстия
На простом примере отверстия в плоском экране и нормаль-
ного падения плоской или сферической волны демонстрируются
методы высокочастотной теории дифракции, изложенные выше.
В поле выделяются зоны с различным характером дифракции.
Есть зоны, где поле лучевое, например, в той части освещенного
через отверстие пространства, в которой выполняется условие
применимости геометрической оптики. Другими свойствами об-
ладают поля в полутеневых зонах между освещенной областью
и глубокой тенью, а также промежуточная область между осве-
щенной лучевой зоной и дальним полем. В этих частях про-
странства отличительной особенностью поля является наличие
заметных градиентов; по мере распространения они сглажи-
ваются. Наконец, есть область, где поле представляет собой
в некотором масштабе фурье-сопряженную от исходного поля.
К таким полям относится поле в фокальной плоскости сходя-
щейся волны, а также в дальней зоне (при падении почти пло-
248
ВЫСОКИЕ ЧАСТОТЫ
(ГЛ. VIII
__In - =— ’
ской волны). В этой зоне сферическая волна снова принимает
лучевой характер, там нет обмена м“ежду лучевыми трубками
(см. п. 21.4), причем происходит геометрооптическая передача
не лучей исходного поля, а поля дальней зоны. В конце пара-
графа кратко разобран вопрос о формировании изображения
конечной линзой.
23.1. Лучевая структура. При падении плоской волны на от-
верстие справа от экрана возникает световой пучок параллель-
ных лучей, повторяющий контуры отверстия (рис. 23.1, а).
Слева от экрана отраженный от плоско-
сти экрана свет интерферирует с падаю-
щим, возникает стоячая волна всюду,
кроме части пространства, ограничен-
ного тем же контуром (рис. 23.1,6).
Дифракция возмущает эту геометро-
оптическую картину. На границе между
освещенной областью справа от экрана
и тенью появляются зоны полутени, за-
штрихованные на рис. 23.1, а. Такие же
зоны возникают и в отраженном поле.
В областях вне полутеневых переходных
зон имеют место дифракционные лучи,
как бы излученные краем экрана. Крае-
вые лучи интерферируют с падающими и
отраженными лучами; те и другие вме-
сте составляют лучевую структуру поля.
В областях А — лучи падающие, отра-
женные и лучи от краев, нижнего и верх-
него; в областях В, С — лучи падающие
и краевые; в D — только краевые ди-
фракционные лучи.
Эта структура может быть названа
первичной. Ее можно уточнить введе-
нием так называемой вторичной дифрак-
ции: дифракционные лучи, уходящие от
верхнего края, дифрагируют на нижнем крае, и наоборот, лучи
от нижнего дифрагируют на верхнем. Лучи вторичной дифрак-
ции расходятся веером во все стороны, в том числе и в зоны
полутени, интерферируя с полутеневым полем, и в направлении
от нижнего края к верхнему и наоборот, возбуждая дифракцион-
ные лучи третичные и т. д. Таким образом, геометрическая
теория дифракции позволяет проследить весь процесс формиро-
вания дифракционного поля, чего нельзя ожидать, например, от
метода физической оптики.
23.2. Полутеневые зоны. Поле с большим градиентом вблизи
границы свет — тень, как мы выяснили в п. 7.5 при рассмотре-

5)
Рис. 23.1. Дифракция на
большом отверстии в эк-
ране, эффекты в прямом
(а) и отраженном (б)
полях.
§ 23]
БОЛЬШИЕ ОТВЕРСТИЯ
249
4 >
на том же луче, находя-
Рис. 23.3. Отношение размера
отверстия к первой зоне Фре-
неля определяет характер по-
ля: А — поле геометрооптиче-
ское; В — френелевское; С —
фраунгоферовское.
нии дифракции плоской волны на клине и в частности на полу-
плоскости, расширяется пропорционально л/Kz. Можно указать
на простой способ определять границу полутеневого слоя в бо-
лее общем случае. Для этого воспользуемся условием примени-
мости геометрической оптики. Пусть на
край экрана падает сферическая волна
(рис. 23.2). Если двигаться вдоль ка-
кого-либо луча, например Oz\, то, как
видно из (21.33),
aF = Kw{\lZl- 1/|7? |)-1/2, (23.1)
т. е. размер aF первой зоны Френеля в
плоскости начального поля растет. Бу-
дем по определению считать, что точка Рис. 23.2. К определе-
наблюдения п находится на границе нию гРании-ы полутени,
между лучевой областью и полутеневой зоной, если светя-
щееся пятно aF коснется края экрана. Дальше двигаться вдоль
луча мы уже не имеем права, так как при больших Z\ геоме-
трическая оптика отказывает. Точки
щиеся ближе к начальной плоско-
сти, расположены еще в зоне геоме-
трической оптики, так как для них
размер первой зоны Френеля мень-
ше, чем для пограничной точки л,
и выполняется условие (21.37).
Можно условно считать, по анало-
гии с рассмотренной в § 7 эталон-
ной задачей, что полутеневая зона
симметрична относительно луча,
который коснулся края экрана. Вне
полутеневой зоны поле вновь имеет
лучевую структуру; краевые лучи
как бы выходят от края, проникая
сквозь полутень.
23.3. Дифракция Френеля и Фра-
унгофера. Проследим за осевым
лучом падающей на отверстие сфе-
рической волны (рис. 23.3) и сравним размер отверстия в экране
с размером первой зоны Френеля. Как обычно, будем считать,
что при
а/ар » 1
(23.2)
выполняются условия геометрической оптики (точка А на оси).
Если нельзя пренебречь влиянием краев диафрагмы, т. е.
a/apfial, (23.3)
250
ВЫСОКИЕ ЧАСТОТЫ
[ГЛ. VIII
то поле в этих условиях назовем френелевским и обозначим
соответствующую точку В.
Таблица Таблица 2
R > 0 Я < 0
а’/гА a*lzK аЧ\ R | X
» 1 ~ 1 1 » 1 ~ 1 с 1
» Г А А А » 1 АВСВА А А
~ 1 А В В ~ 1 А ВСВ В
«1 А В С <1 А В С
Очевидно, что именно в зоне френелевской дифракции отка-
зывает, по предыдущему пункту, геометрическая теория ди-
фракции и начинается область полутени. В точке В рис. 23.3
границы нижней и верхней полутеневых зон пересекаются. Если
же первая зона Френеля намного
больше отверстия, т. е.
а[аР -С 1, (23.4)
то поле назовем фраунгоферовским
и обозначим буквой С. Из (23.1)
следует, что
Рис. 23.4. Дифракция на от-
верстии сильно расходящейся
(а) и сильно сходящейся (б)
волн.
Здесь появились два безразмерных
параметра а2/КХ и а2/г%. Рассмо-
трим табл. 1 и 2, в которых бук-
вами А, В, С показан характер по-
ля при различных значениях этих
параметров.
Вертикальные столбцы показы-
вают, как меняется поле при удале-
нии точки наблюдения от экрана.
Сильно расходящееся поле или
сильно сходящееся поле
а2/|(23.6а)
(см. первые столбцы в таблицах) на любом расстоянии от от-
верстия вблизи оси является геометрооптическим-, на него на-
кладываются, разумеется, дифракционные лучи от краев. Это
значит, что полутеневые зоны относительно узкие и вдали от
фокуса не пересекаются (рис. 23.4). Только около фокуса
(рис. 23.4, б)
zx'.R\, Ж0
(23,7)
§ 23]
БОЛЬШИЕ ОТВЕРСТИЯ
251
где параметры a2/RX и а?/гк сравнимы по величине и противо-
положны по знаку, поле в области, называемой фокальным
пятном, из геометрооптического (А) меняется на френелевское
(В), в фокальной плоскости оно фраунгоферовское (С), затем
снова френелевское (В) и геометрооптическое (Л) (см. табл. 2),
т. е. а/ар переходит от больших значений к малым и затем
снова становится большим.
Умеренно расходящееся или сходящееся поле
a2/\R\K^\ (23.66)
случай дифракции на отвер-
стии.
(см. вторые столбцы в таблицах) вблизи линзы при z С а2/%
геометрооптическое (Л), затем становится френелевским (В)
всюду, даже очень далеко от начальной плоскости. Лишь
в фокальной плоскости сходящейся
волны поле, как и в предыдущем
случае, фраунгоферовское (С). По-
лутеневые зоны, как видно из
рис. 23.5, смыкаются. Выделять их
имеет смысл лишь недалеко от
апертуры; начиная с некоторого
расстояния полутень неразличима с
основным полем. Область около
фокуса, достаточно четко выделен-
ная в предыдущем случае, здесь как бы размазана вдоль г.
Расходимость полутеневых зон смещает наиболее узкую часть
пучка, его перетяжку, от плоскости (23.7) к экрану. Необычные
свойства поля при условии (23.66) заставляют как-то выделить
его; иногда такие поля называют квазиоптическими.
Наконец, слабо расходящееся или сходящееся поле, к кото-
рому принадлежит и прожекторный пучок 1//? = О,
а2/| R |А <С 1
(23.6в)
(см. третьи столбцы в таблицах) вблизи от отверстия геометро-
оптическое (Л), затем становится френелевским (В), потом —
фраунгоферовским (С). Область при z а2/Х называется даль-
ней зоной. При условии (23.6в) поле в дальней зоне будет
фраунгоферовским. Расходимость поля очень сильная; фокаль-
ная плоскость (23.7) никак не выделена. Перетяжка практиче-
ски совпадает с плоскостью экрана.
23.4. Параксиальное приближение. Для того чтобы уяснить
себе некоторые особенности фраунгоферовского поля (23.4),
воспользуемся интегральной формулой (22.5), взяв ее в дву-
мерном варианте:
ы (х, г) = (g, 0) dS. (23.8)
262
ВЫСОКИЕ ЧАСТОТЫ
1ГЛ. VIII
Для полей дифракции в точках, близких к оси z
x/z<«l, (23.9)
можно упростить (23.8), заменив в знаменателе г0 на z и вынося
множитель 1/ из-под интеграла. Кроме того, в экспоненте
разложим го по обратным степеням отношения поперечных ко-
ординат к z:
го = 2 + -^=^-. (23.10)
Получаем приближенную формулу («)
« <* 2) = л/S e"/fcz $ “°(g> 0) ехр {“ £{х -5)2} db (23’11 а)
В трехмерной задаче та же формула имеет вид (*)
и(х, у, z) =
= 2^- e-/fez 5 “° & ч» 0) ехР { — [(* — в)2 + (У — и)2] } d.1
(23.116)
Нас интересует случай, когда на отверстие падает цилиндри-
ческая волна
«°(§, 0)=|«°(g, 0)|ехр{--^-}. (23.12)
Подставив (23.12) в (23.11а), получим
«(х, ^-л/Sexp{“z’&(2 + i)}x
Xj|«°(g, 0)|ехр{-1-ЦЦ^ + ^)]ехр{/-^-}^. (23.13)
—а
Теперь подставим (23.5) в (23.13) (*):
и (х, z) — д/^ехр { — ik (z 4- | X
i
X ^|«°(o)|expf — /[я(^")2 v2— “F"] (23.14)
Полученная формула обычно используется при расчетах в тео-
рии оптических инструментов.
Очевидно, что первым слагаемым в фазовом множителе,
оставшемся под интегралом, нельзя пренебречь при условиях
(23.2) и (23.3), т. е. в случаях геометрической оптики и фре-
нелевской дифракции. В случае же фраунгоферовской дифрак,-
§ 23]
БОЛЬШИЕ ОТВЕРСТИЯ
253
ции (23.4) его можно отбросить, тогда поле становится, в неко-
тором масштабе, фуръе-образом начального распределения.
Фазовый фронт поля — цилиндрический, с радиусом кривизны,
равным расстоянию z— это следует из вида фазового множи-
теля перед интегралом, если, конечно, сам интеграл не дает
функцию, фаза которой зависит от координаты х.
В дальней зоне, где выполняется условие
z>a2/X (23.15)
и условие (23.6в), формируется сферическая волна, распреде-
ление амплитуды в которой зависит только от углов x/z. Пе-
редача сформированного поля — фурье-
образа исходного — идет при этом по
законам геометрической оптики, энергия
не передается из одной лучевой трубки в
соседнюю (см. п. 21.4).
23.5. Фокальное пятно. В фокальной
плоскости (23.7) поле, так же как и в
дальней зоне, фраунгоферовское. В част-
ности, оно расходящееся, причем кри-
визна его волнового фронта равна фокус-
ному расстоянию, точнее, начальной кри1
тельство отмечено на рис. 23.4 и 23.5.
Распределение амплитуды в плоскости (23.7) — знакопере-
менные полосы в двумерной ситуации и кольцевая структура
в осесимметричной трехмерной (кольца Эйри). Из (23.13) при
|u«>(g, 0) | = 1 сразу получаем (*)
и(х, |/?|) =
— { - I {k I RI + + Д) } •
(23.16)
Амплитуда поля в фокусе, т. е. центре дифракционной картины,
при х = 0 равна
| « (0, | /? |) |=2 д/а2/|/? |А . ' (23.17)
Очевидно, что с ростом частоты амплитуда растет как k1!2.
В трехмерном случае амплитуда пропорциональна а2/1R | %.
Оценим размер фокального пятна. Из (23.16) находим
удвоенное расстояние от оси z до ближайшего нуля:
lx — \R\K/a. (23.18)
Продольный размер пятна проще определить из рис. 23.6. Пред-
ставив себе пятно в форме вытянутого объема, получим из оче-
видных геометрических соотношений (*)
/г = |^|2Л/а2. (23.19)
Рис. 23.6. К определе-
нию размера- фокального
пятна.
| R |. Это обстоя-
254
ВЫСОКИЕ ЧАСТОТЫ
[ГЛ. VIII
Это и есть размер зоны, отмеченной в табл. 2 как ВСВ. Оценка
(23.19) получается столь же элементарно и из соотношения
(23.3), (23.1): начало фокальной области в точке В (см.
рис. 23.3), для которой размер первой зоны Френеля совпадает
с размером отверстия («).
Строго говоря, максимум интенсивности светового поля не
совпадает с точкой (0, |/?|), в которой формально пересекаются
геометрооптические лучи. Это обстоятельство можно установить
из (23.13), если положить х = О, продифференцировать по z и
приравнять результат нулю. Максимум поля (перетяжка пучка)
оказывается сдвинутым в направлении экрана на относитель-
ную величину (*)
Д2/Ш«(|Я|%/п2)2. (23.20)
Очевидно, что в случае (23.6а) этот эффект мал; однако для
умеренно сходящихся полей
Рис. 23.7. Изображение щели в
экране с помощью конечной лин-
зы.
(23.66) он становится определяю-
щим. Еще раз к вопросу о поло-
жении перетяжки светового пуч-
ка мы вернемся в следующем
параграфе [см. (24.30)].
23.6. Формирование изобра-
жения линзой. Рассмотрим для
определенности щель в экране,
на которую слева падает пло-
ская волна. Дифракционные эф-
фекты, возникающие при этом,
разобраны выше достаточно под-
робно (рис. 23.7, а). Линза рас-
положена на расстоянии Li от
щели, т. е. от поля и0(х), изо-
бражение которого мы пытаемся
получить. Сначала предполо-
жим, что линза не ограничена
по оси х. Тогда справа от линзы, на расстоянии Т2, связанном с
фокусным расстоянием F геометрооптическим соотношением
1
(23.21)
возникает поле, подобное исходному и перевернутое (-»)
ц2(х2) = * д/4г "° (~ *2) ехР { ~ ik (Li + ^ + )} •
(23.22)
Это соотношение легко получить, если применить интегральное
преобразование (23.11а), из поля и2(х) получить поле на рас-
стоянии z = Li слева от линзы, затем умножить полученное
поле на фазовый множитель ехр(г7гх2/2Ё), характеризующий
ВОЛНОВЫЕ ПУЧКИ
255
§ 24]
действие линзы, а затем снова применить (23.11а), интегрируя
в бесконечных пределах, к передаче на расстояние z = L2. Та-
ким образом, неограниченная линза компенсирует в нашем
приближении физической оптики все дифракционные эффекты.
Квадратичное искажение фазового фронта при z = L2 можно
устранить, поместив в плоскость z = L2 еще одну линзу с фо-
кусным расстоянием Ь2— Р.
Как уже было неоднократно сказано, дифракцию в прибли-
жении Кирхгофа можно себе представить таким образом, что
каждая точка поля и0(х) испускает цилиндрическую волну
(рис. 23.7, б). Линза переводит расходящуюся волну в сходя-
щуюся, так что на расстоянии Ь2 от линзы снова возникает
светящаяся точка. Цилиндрические (в двумерной задаче) или
сферические волны представляют собой геометрооптические
объекты; именно поэтому все построения при расчетах оптиче-
ских приборов от плоскости «предмета» ио(х) до плоскости
изображения и2(х2) выполняются с помощью лучей.
Дифракционные искажения изображения происходят по-
тому, что реальная линза ограничена, например, краями отвер-
стия в непрозрачном экране. Интегрирование при пересчете
поля с выхода линзы на плоскость z = Ь2 приходится произво-
дить в конечных пределах, поэтому идеальное изображение
(23.22) уже не получается. Светящаяся точка трансформи-
руется в дифракционную картину, которая уже была разобрана
выше [см. (23.16)], куда вместо следует подставить Ь2.
Действительно, линза превращает излучение от каждой точки
в плоскости «предмета» в сходящуюся сферическую волну
с радиусом кривизны R — —L2, ограниченную экраном. Про-
тяженность дифракционного изображения не позволяет разли-
чить, одна или две точки наблюдаются в плоскости изображе-
ния, если расстояние между ними меньше поперечного размера
фокального пятна ЪЬ2/а (23.18). Отсюда легко получаем пре-
дел углового разрешения
а0/Ц & %/а, (23.23)
где ао — расстояние между светящимися точками.
Если в поле Wo(xi) имеются резкие скачки амплитуды, как
в нашем примере со светящейся щелью, то они будут переданы
с искажением, сглажены, появятся слабые осцилляции поля
около изображения края экрана. Область сильного градиента
в дифракционном изображении имеет тот же масштаб rKL2/a
(23.18).
§ 24. Волновые пучки
В волновых пучках поле сосредоточено главным образом
в окрестности некоторой прямой линии — оси пучка. Пример
таких пучков уже рассматривался в предыдущем параграфе —
256
ВЫСОКИЕ ЧАСТОТЫ
ГГЛ VHT
пучок формировался с помощью отверстия в непрозрачном эк-
ране, вырезавшего из падающей волны ограниченный в попе-
речном направлении участок.
Здесь мы сначала изучим Свойства гауссова пучка. Ампли-
туда его экспоненциально быстро спадает при удалении точки
наблюдения от оси. Гауссов пучок удобен для анализа тем,
что в любой зоне — геометрооптической, френелевской, фраун-
гоферовской — он описывается одной формулой. Гауссов пучок
можно исследовать разными способами: например, а) использо-
вать интегральную формулу в параксиальном приближении
(23.11), подставив в нем вместо «°(£, 0) гауссову функцию;
б) получить гауссов пучок как решение параболического урав-
нения (23.10); в) представить гауссов пучок как интеграл по
плоским волнам, направления которых мало отличаются от на-
правления оси пучка, и т. д. Здесь мы воспользуемся несколько
искусственным приемом: получим поле гауссова пучка из точ-
ного решения волнового уравнения, цилиндрической или сфери-
ческой волны, поместив источник волны в точку с комплекс-
ными координатами. Затем кратко излагается геометрическая
оптика неоднородных волн, к которым относится, в частности,
гауссов пучок.
В периодических линиях из одинаковых линз, расположен-
ных на одинаковых расстояниях друг от друга, могут распро-
страняться волновые пучки, поле которых повторяется на каж-
дом периоде. Линзовые линии и их аналог — открытые резона-
торы— рассмотрены в конце параграфа.
24.1. Источники в комплексном пространстве. Поместим
источник цилиндрической волны, т. е. функции Грина (11.86)
свободного пространства
<? = 4-^о2)(й|г-г1|) (24.1)
в точку с координатами
. г, = г (£ = 0, Z = - iV (0)). (24.2)
Здесь V(0) — комплексное число, имеющее размерность длины
У(0)=Г(0) + /К"(0), (24.3)
свойства линейного источника и волны от координаты у не за-
висят. Тогда «длина» вектора г — [аргумент в (24.1)] имеет
вид
L (г - г J = {х2 + [z + IV (О)]2}1'2, (24.4)
т. е. комплексна.
Пусть координаты х, в которых поле (24.1), (24.4) имеет
заметное значение, малы по сравнению с \z + г/(0) |:
х | z 4- IV (0) |. (24.5)
« 24]
ВОЛНОВЫЕ ПУЧКИ
257
В таком параксиальном приближении
£ (г — гх) as IV (z) — . (24.6)
где
V (z) = V (0) - iz. (24.7)
Теперь исследуем лучевую структуру волны (24.1), взяв
асимптотику функции Ханкеля для больших значений аргумента
Q ~ f'3Z2 exp {—ikL (г —л)}
AjkL.(r — fi)
(24.8)
Формально это геометрооптическое поле расходящейся цилин-
дрической волны, в котором, однако, источник помещен в ком-
плексное пространство, а лучи имеют комплексную длину, так
что и амплитуда и эйконал комплексны. В п. 21.10 мы уже
рассматривали лучи, которые начинались и шли в комплексном
пространстве, а вещественное пространство пересекали в обла-
сти каустической тени. Здесь то же самое, однако вещественные
прямолинейные лучи в отличие от окрестностей каустики совсем
отсутствуют — весь гауссов пучок в каком-то смысле «каустиче-
ская тень». Поля, имеющие такую лучевую структуру в ком-
плексном пространстве, в обычном, вещественном пространстве
дают неоднородные плоские волны.
В параксиальном приближении волна (24.8) есть гауссов
пучок. Для того чтобы подробнее познакомиться с его свойст-
вами, подставим (24.6) в (24.8). В экспоненте мы оставим в
разложении (24.6) два члена, а в знаменателе — один (*):
+ (24-9)
Несущественный множитель мы отбросили. Знаменатель пока-
зывает, как меняется амплитуда пучка по мере распространения
по оси г (*):
Ug (z)
»g(0)
[V' (О)]2 + [V" (0)р
В"(0)12 + [Г'(0)-г12 J
(24.10)
Наибольшая амплитуда пучка наблюдается в плоскости
2 = 1/"(0). (24.11)
На оси z (при х — 0) фаза гауссова пучка изменяется по за-
кону (*)
Ф = kz + j arctg 7у>О)(оу * • (24.12)
258
ВЫСОКИЕ ЧАСТОТЫ
1ГЛ. VIII
Наконец, при удалении от оси поле пучка изменяется по гаус-
сову закону. Введем обозначения для вещественной и мнимой
частей выражения 1/Г(0) и 1/V(z):
__1— — —1 I i- _! —_1 _i_ . ‘ (94 13)
V (0) kx2s (0)____________________________________/? (0) ’ V (г) kx2s (z) К (z) ' v
Подставив (24.13), (24.7) в (24.9), получим (*)
ц*~ехр{ (24Л4)
\Z) ZXg \Z) )
Таким образом, /?(г) — радиус кривизны фазового фронта, а
Xs(z) можно условно назвать шириной пучка: на расстоянии
x-Xs(z') от оси амплитуда пучка уменьшается в -\j е раз.
Очевидно, что 7?(0) и xs(0)—радиус кривизны фронта и ши-
рина пучка в плоскости z = 0. При распространении вдоль оси
меняется и та, и другая величина, причем простое соотношение
(24.7) позволяет связать R(z) и %s(z) с параметрами пучка в
начальной плоскости.
Точечный источник трехмерной функции Грина (11.8в)
1 ехр {- ikL (р - р,)}
G = -4?T------L(P-X)------ (24Л5)
также можно поместить в комплексное пространство
Р1 = Р(О, 0, — iV(0)). (24.16)
Тогда длина вектора р — pi равна
L (р - Pi) = {х2 + У2 + [г + iV (О)]2}1/2. (24.17)
В параксиальном приближении
Г = д/х2 + у2 <^\z + iV (0) I2, (24.18)
длина (24.17) имеет вид
L(p-pI) = iy(Z)--2^ty, (24.19)
где комплексная величина V(z) снова связана с начальной ко-
ординатой источника соотношением (24.7). Подставляя (24Л9)
в (24.15) и откидывая несущественный множитель, получим-
G ~ us = у ехр | ik (z + 2у | • (24.20)
Амплитуда пучка меняется вдоль оси z по закону (*)
ug(z) ( (ГЧО)]2 + W" (О)]2 I1/2
«я(0) ~ I [Г'(0)12 + [Г"(0)-2]2 J ’ v '
§ 24]
ВОЛНОВЫЕ ПУЧКИ
259
наибольшая амплитуда — в той же плоскости z — У"(0) (24.11),
как и в случае двумерного пучка, а фаза на оси гауссова трех-
мерного пучка равна («-)
Ф = kz + arg tg V ~ z-. (24.22)
24.2. Свойства гауссова пучка. Рассмотрим подробнее соот-
ношения (24.7) и (24.13), т. е. изучим, как изменяется ширина
и кривизна его волнового фронта в зависимости от расстояния z
(рис. 24.1). При этом попытаемся связать полученные формулы
с обычными законами геометрической оптики.
Для определенности рассмотрим пучок после собирающей
линзы, т. е. /?(0) < 0,
R (0) = - | R |. (24.23)
Из (24.3), (24.13), (24.23) получаем
а) V' (0) = I R (0) |, б) V" (0) = | R (0) |, (24.24)
где введен параметр (*)
c = kx2s (0)/| /?(0) |. (24.25)
При рассмотрении дифракции на отверстии параметр а2/|/?|Х
содержал размер отверстия, здесь входит поперечный размер
пучка; оба параметра пропорциональны площади, занятой по-
лем. Далее из (24.3), (24.7), (24.13)
получаем (*) в=щ0)1
а) (г) = V' (0) + -----
б) Я (г)=г - V" (0) +
С V
(24.26) Рис. 24.1. Пучок.
Очевидно, что в плоскости (24.11) кривизна волнового фрон-
та равна нулю (поле имеет плоский фронт), а размер пучка
минимален и равен
xs(y") = xs(0)/V^+T. (24.27)
Таким образом, задание в начальной плоскости 7(0) (24.3)
сразу определяет и положение перетяжки (24.11) и ширину
пучка в ней (24.27). Пучок симметричен относительно плоскости
(24.11). При z < V" пучок сходящийся (/?<0), при z > V"—
расходящийся (7? > 0). В плоскости
z = | 7? (0) |, (24.28)
которая в геометробптическом смысле является фокальной,
ширина пучка в с раз меньше начальной, а радиус кривизны
260
ВЫСОКИЕ ЧАСТОТЫ
[ГЛ. VIII
положительный (волна расходящаяся) и равен по модулю на-
чальному радиусу кривизны (*): <
a) xs = xs tO)/c, б) 7? = | /? (0) |. (24.29)
Последнее свойство — общее для всех сфокусированных пучков
(см. п. 23.5).
Перетяжка пучка (24.11), в которой амплитуда поля макси-
мальна, отстоит от фокальной плоскости (24.28) на расстояние
(0) — У" (0) = 7^-1 /3(0)1. (24.30)
При с 1 эта величина по порядку совпадает с (23.19) — сдви-
гом максимума фокального пятна при дифракции сходящейся
сферической волны на отверстии в экране. Из (24.30) следует,
что смещение перетяжки может быть значительным; так, при
с = 1 максимум амплитуды пучка (перетяжка) в два раза
ближе к линзе, чем фокальная плоскость.
Ширина пучка, как это следует из (24.26а), меняется вдоль
z по гиперболическому закону. Ширина пучка и радиус кри-
визны линейно зависят от расстоя-
ния до перетяжки, если
| V"(0) — z|/V'(0) » 1. (24.31)
Для точек, достаточно далеких от
перетяжки (24.11), это неравенство
справедливо, причем масштаб, с ко-
торым следует сравнивать расстоя-
ние, есть нормированная шири-
на пучка в самом узком месте,
V'(z=0).
Рассмотрим два предельных слу-
чая. Для сильно сфокусированного
пучка
с > 1, (24.32)
Рис. 24.2. Сильно (а) и слабо
(б) сфокусированные пучки. минимальный размер пучка в пере-
тяжке (24.27) много меньше раз-
мера в начальной плоскости, а перетяжка (24.11) почти сов-
падает с фокальной плоскостью (24.28), так что смещение
(24.30) максимума поля невелико. В зоне, близкой к перетяж-
ке, свойства пучка меняются особенно быстро; можно назвать
эту зону, по аналогии с п. 23.5, фокальным пятном (рис. 24.2,а).
Эта зона фокального пятна, как видно из (24.26а), имеет про-
дольный размер порядка
4 -1 R (0) |/с,
(24.33)
ВОЛНОВЫЕ ПУЧКИ
261
§ Ml
что согласуется с размером фокального пятна сферической вол-
ны (23.19). Вне фокального пятна, при условии (24.31), попе-
речные размеры пучка изменяются линейно с расстоянием от
фокуса, т. е. по законам геометрической оптики. Условие (24.32)
соответствует условию (23.6а).
Для слабосфокусированного пучка
с <С 1, (24.34)
минимальный размер поля (24.27) почти равен размеру поля в
начальной плоскости, а перетяжка с точностью до величин
порядка с2 совпадает с плоскостью z — 0. Размер поля в фо-
кальной плоскости в 1/с раз больше поля в начальной плоско-
сти. Условие (24.34) соответствует условию (23.6в). Гео-
метрооптическая фокусировка при этом не осуществляется
(рис. 24 2,6). Расширение пучка происходит линейно с расстоя-
нием от плоскости z = 0.
Промежуточной между (24.32) и (24.34) является ситуация,
которую можно назвать квазиоптической. Поле характеризуется
необычными с точки зрения геометрической оптики свойствами.
Так, при
с = 1 (24.35)
размер пучка в фокальной плоскости равен размеру пучка в
плоскости z = 0; а перетяжка пучка расположена на расстоянии
17? |/2, причем размер пучка в д/2 раз меньше размера в на-
чальной плоскости.
24.3. Геометрическая оптика неоднородных волн. Гауссов пу-
чок является примером «почти плоской» неоднородной волны:
волна бежит вдоль одного направления, а ее амплитуда убывает
(иногда говорят: затухает) в перпендикулярном направлении.
Простейшей волной такого типа является неоднородная волна
с комплексным эйконалом
и = ехр[—i(kxx + kxz)}, (24.36)
где kx = t|fe^|. Такая волна возникает, если kz > kn, так что
kx — i-\Jk2 — k2n2; она распространяется вдоль оси z и экспо-
ненциально затухает вдоль оси х. Существует много примеров
неоднородных волн: поверхностные и вытекающие волны, поля
в менее плотной среде при полном внутреннем отражении, поля
в каустической тени, волновые пучки, поля в сильно поглощаю-
щих средах, полутеневые поля, волны соскальзывания, прони-
кающие в геометрическую тень за гладким выпуклым телом
и т. д.
Почти плоские неоднородные волны могут быть представ-
лены в форме, аналогичной почти плоским однородным волнам,
262
ВЫСОКИЕ ЧАСТОТЫ
ГГЛ. VIII
т. е. в виде и = Лехр(—ikS). Отличие будет состоять в том,
что эйконал становится комплексным:
S^=SZ + /S", (24.37)
где 5' и S" — вещественны. Потребуем, чтобы (24.37) удовле-
творяло уравнению (21.7). Разделяя вещественную и мнимую
части, получим два уравнения
a) (VSZ)2—(VS")2 = n2, б) VS'VS" = O, (24.38)
из которых следует, что кривые 5' = const, S" — const взаимно
ортогональны (рис. 24.3). Первые из этих кривых естественно
назвать эквифазными поверхностями, или волновыми фронтами.
Рис. 24.3. Линии равной ам-
плитуды (квазилучи) S" —
— const и линии равной фазы
S' = const.
Нормали к волновым фронтам ино-
гда называют квазилучами. В каж-
дой точке квазилучи параллельны
вектору VS'. Квазилучи оказывают-
ся криволинейными даже в среде
с постоянным п. Это необычное
свойство отличает траекторию ква-
зилучей от обычных геометрических
лучей, которые в однородной среде
прямолинейны. Искривление квази-
лучей происходит в том случае, если
градиент затухания VS" непостоянен вдоль волнового фронта.
Непостоянство VS" приводит к тому, что разные участки вол-
нового фронта распространяются с разной скоростью (*). Оче-
видно, что для волны с постоянным VS" лучи прямолинейны,
поэтому волна (24.36), kx — const, с экспоненциальным умень-
шением амплитуды в направлении, перпендикулярном к направ-
лению распространения, имеет лучевую структуру, не отличаю-
щуюся от структуры однородной плоской волны.
Гауссов пучок представляет пример неоднородной волны с
переменным градиентом. В плоскости равной фазы пучок (24.9)
имеет вид
ug ~ ехр (— х2/2х|).
(24.39)
Очевидно, что мнимая часть эйконала S" пропорциональна квад-
рату поперечной координаты, а градиент S" — первой степени х:
| VS" | = x/kx2s.
(24.40)
Из (24.38а) следует, что градиент вещественной части эйконала
/ X \ 2“1 I/2
IVS|-L“+«)]
(24.41)
растет при удалении точки х от оси, т. е. периферийная часть
ВОЛНОВЫЕ ПУЧКИ
263
§ 24]
гауссова пучка движется с меньшей скоростью, чем приосевая.
Это отставание скажется в том, что пучок из плоской волны
(24.39) по мере удаления от плоскости перетяжки z — V" (0)
превращается в расходящийся.
Из квазилучей можно сформировать лучевые трубки, но
энергия в таких трубках не сохраняется. Существуют энергети-
ческие траектории, слегка отличные от квазилучей; в образован-
ных из них трубках сохраняется энергия при распространении
неоднородной волны и, в частности, гауссова пучка.
В заключении этого пункта отметим, что в неоднородной
среде пучок может не расширяться, если показатель преломле-
ния среды уменьшается от оси к периферии. Очевидно (24.41),
что фазовый градиент | VS' | не изменяется на всем фронте
волны, если сумма п2(х) + | VS"(2 постоянна (*):
n2 (х) +1 VS" I2 = п2 (0). (24.42)
Если поле в плоскости z = 0 описывается экспонентой и
« Лехр[—kS" (х)], то градиент затухания dS"/dx и «согласо-
ванный» с волной профиль показателя преломления среды свя-
заны соотношением
п2 (х) = п2 (0) - | |2. (24.43а)
В конкретном случае гауссова пучка (24.40) согласованный про-
филь имеет параболическую зависимость от поперечной коор-
динаты (*):
п2 (х) = п2 (0) Г 1 - ( Х 2 Y1. (24.436)
L V п (о) kxs (о) 7 j
Кривизна
из геоме-
В такой среде фронт гауссова пучка в любом сечении z = const
плоский. Дифракционная расходимость, т. е. поперечная диффу-
зия, заставляющая фазовые траектории отгибаться в сторону от
оси, скомпенсирована в линзоподобной среде (24.43) фокуси-
рующим действием неоднородного диэлектрика.
24.4. Линзовая линия. Компенсация расходимости может
быть не непрерывной, а дискретной. На пути волнового пучка,
который имеет кривизну фазового фронта 1/7?~, помещается
тонкая линза с оптической силой 1 /F (рис. 24.4).
фронта на выходе линзы 1/R+ может быть получена
трооптического соотношения («формулы линзы»)
1 _ 1___1_
~ R~ Р ‘
Учитывая (24.13), получаем формулу
1 J , I
у+ ~ у~ "Г F ’
(24.44)
(24.45)
264
ВЫСОКИЕ ЧАСТОТЫ
[ГЛ. VIII
которая определяет свойства пучка после прохождения лин-
зы. Теперь зададимся целью повторить распределение поля
гауссова пучка. Формируется пучок с таким параметром V(0),
что после прохождения расстояния L его поперечный размер
восстанавливается, а радиус кривизны меняет знак (из сходя-
щейся волны пучок становится расходящейся волной, но модуль
радиуса кривизны фазового фронта не изменяется), т. е.
У(£) = У(0)-»£ = У(0). (24.46)
Используя определение параметра V(г) (24.13), получаем из
(24.46) уравнение для начального радиуса кривизны волнового
фронта пучка; его решение (*)
[kx\ (0) I( kxl (0) У ’ 1
V - 1 J <24-47)
дает связь кривизны фронта с шириной пучка и расстоянием,
на которое мы его передаем. Если на пути пучка при z = L
поставим линзу с фокусным расстоянием F = |/?(0) |/2, то знак
кривизны фазового фронта изменится на противоположный
(24.44), и поле пучка полностью восстановится. Соотношение
(24.46) связывает поперечные размеры пучка kx2s и расстояние
между линзами с оптической силой линзы, которая требуется,
чтобы пучок повторился. Два знака соответствуют двум возмож-
ным вариантам линзы, короткофокусному и длиннофокусному.
Если L > kx^ (0), то не удается подобрать линзу, которая бы
повторила распределение поля, так как на таких расстояниях
поперечный размер пучка уже превысит начальный. Макси-
мальное расстояние, на которое можно передать световое гаус-
сово пятно без изменения его размера, равно L = kx^, при этом
|/^(0)|= L. Начальный пучок как бы сфокусирован в центр
линзы, хотя, разумеется, в этом квазиоптическом случае (24.35)
не осуществляется геометрическая фокусировка, в частности,
перетяжка пучка оказывается на расстоянии L/2.
ВОЛНОВЫЕ ПУЧКИ
265
§ 241
Если использовать не одну линзу, а установить много линз
на общей оси, причем расстояние между соседними линзами вы-
брать L, а оптическую силу линз подобрать согласно (24.47), то
получится линзовая линия с периодической коррекцией фазо-
вого фронта пучка. Пучок будет повторяться в каждом проме-
жутке между линзами. Если в линзовую линию с данным рас-
стоянием L и линзами F попадает гауссов пучок, не удовлетво-
ряющий соотношению (24.46), то такой «несогласованный»
пучок не будет повторяться, а его размеры и кривизна волно-
вого фронта будут меняться от линзы к линзе. Несложно
проследить за этими изменениями с помощью (24.7), (24.45).
Точно так же, если в линзоподобную среду (24.43) попадает
несогласованный волновой пучок, то его сечение не будет сохра-
няться неизменным: пучок пульсирует вдоль z с периодом, рав-
ным лп (0) kx2s.
24.5. Собственные волны линзовой линии. При рассмотрении
линзовой линии с гауссовым пучком предполагалось, что раз-
меры линз велики по сравнению с шириной Xs пучка. Реальные
линзы помещены в отверстие непрозрачного экрана. Поле пучка,
который падает слева на такую диафрагмированную линзу, мо-
жет в общем случае занимать площадь, большую площади от-
верстия. Часть энергии пучка, попадающая на экран, теряется;
доля, которую составляет потерянная часть от всей энергии,
переносимой пучком, называется дифракционными потерями.
Действительно, эти потери объясняются дифракционным эффек-
том — расползанием волнового пучка из-за поперечной диффу-
зии. Параметр, который определяет потери — отношение раз-
мера отверстия к размеру поля волнового пучка a/xs', чем боль-
ше это отношение, тем меньше потери.
Экран не только вносит дополнительные потери (к потерям
в диэлектрике линз, в среде и т. д.), но и фокусирует остав-
шееся в линзовой линии излучение. В процессе распространения
поля по линии из данных линз в ней устанавливается повторяю-
щийся пучок — собственная волна линии с наименьшими воз-
можными для данной геометрии и частоты потерями.
Повторяющиеся волны могут существовать в периодической
системе и вообще без линз. Если на первое отверстие в экране
направлена плоская волна (рис. 24.5), то на второе отверстие
придет участок плоской волны (прожекторный пучок) с полу-
теневыми полями по краям, так что на границе свет — тень
амплитуда оказывается равной лишь половине амплитуды па-
дающей плоской волны. Таким образом поле поджимается к
оси; через несколько переизлучений пучок почти перестает ме-
няться по форме от отверстия к отверстию, т. е. устанавливается
собственная волна. Для установления необходимо диафрагмиро-
вание, т. е. устранение из поля «лишних» составляющих.
266
ВЫСОКИЕ ЧАСТОТЫ
[ГЛ. VIII
В линзовых линиях могут использоваться не только сфери-
ческие линзы, преобразующие сферический (в параксиальном
приближении) фронт падалицей волны в сферический фронт
, прошедшей. Линзы могут
I быть достаточно произволь-
^777777 ной формы-, конусные ша-
* ___________________________ почки, тарелки, даже колеч-
ки. Единственное требова-
ние — иметь ограниченные
поперечные размеры и пе-
риодически повторяться
Рис. 24.5. Диафрагменная линия. вдоль оси пучка. В любом
случае после ряда линз воз-
никнет пучок — собственная волна, дифракционные потери кото-
рой будут зависеть от того, насколько разумно выбрана форма
линзы и размер отверстия.
Получим уравнения для собственных волновых пучков. По
полю и(£, ц, 0) на выходе линзы определим в параксиальном
приближении (23.11) поле на расстоянии z — L, на входе сле-
дующей линзы. Затем используем идею о фазовой коррекции
почти плоского диэлектрического тела при падении на него
почти плоской волны (см. п. 12.1). Поле на входе в точке
(х, у, L — d), где d — толщина линзы, равно полю на выходе
(х, у, L), отличаясь лишь набегом фазы ф(х, у):
и(х, у, Е)=*и(х, у, L — d)exp[—/ф (х, г/)]. (24.48)
Фазовая коррекция ф(х, у) равна оптическому пути, отсчиты-
ваемому по прямой, параллельной оси линзы:
L
ф (х, у) = k j п (х, у, z} dz. (24.49)
L-d
Приближение фазовой коррекции не учитывает, на первый
взгляд, преломления на поверхностях раздела. Однако основ-
ные свойства линзы передаются правильно. Так, если на линзу
со сферическими поверхностями, радиусы которых равны Ь, па-
дает плоская волна, то поверхность равных фаз на выходе —
сфера z: = "'у~ (х2 + У2), нормали к которой пересекутся на
расстоянии F = Ъ/2(п—1) (*). Таким образом получается вер-
ная формула для фокусного расстояния линзы. Фазовая кор-
рекция сферических линз имеет вид («•)
Ф (X, у) = - ' (24.50)
Свяжем теперь с помощью (23.11) и (24.48) поле и(£, т], 0) на
выходе первой линзы с полем u(x.p.L) на выходе второй, и
§ 24)
ВОЛНОВЫЕ ПУЧКИ
267
потребуем, чтобы было выполнено условие повторяемости поля
с точностью до постоянного комплексного множителя:
и (х, у, L) = %u(x, у, 0). (24.51)
Требование повторяемости поля приводит нас к однородному
интегральному уравнению Фредгольма второго рода
-g^-exp { — i \kL + ф (x, у) | и (g, г), 0) X
X exp | — i [(x — g)2 4- (x — rj)2] j di dx\ = (x, y, 0). (24.52)
Уравнение имеет счетную последовательность собственных
значений х« и соответствующую им совокупность собственных
функций ип(х, у). Собственное значение определяет как потери
энергии 1—|%п|2 при попадании части пучка на экран, так и
набег фаз arg х« при прохождении пучка от линзы к линзе.
Собственная волна с минимальными потерями 1—|xi|2 имеет
на выходе линзы распределение поля Ui(x, у). Именно эта волна
устанавливается в линии после многократного переизлучения
начального распределения поля.
Наименьший размер пучка на линзе и, поэтому, наимень-
шие дифракционные потери при заданном L достигаются в так
называемой, конфокальной линии — (24.50) при F — L/2. Полу-
ширина пучка на линзе при этом равна xs — л] Lfk .
24.6. Открытые резонаторы представляют собой систему из
двух параллельных друг другу плоских или фокусирующих изо-
гнутых зеркал (рис. 24.6). Колебательный процесс в открытом
резонаторе близок к проц
нии. Волновой пучок в
резонаторе при отраже-
нии от изогнутого зерка-
ла испытывает ту же фа-
зовую коррекцию, т. е.
исправление фазового
фронта, что и волновой
пучок линзовой линии
при прохождении через
линзу. Между зеркалами
пучок распространяется
так же, как и между линзами. В открытом резонаторе часть
пучка при отражении проходит мимо зеркала, имеющего конеч-
ную площадь — так же, как и в линзовой линии часть пучка
проходит мимо отверстия с линзой и попадает на экран. Соб-
ственные колебания и собственные частоты открытого резона-
тора указанного типа описываются тем же интегральным урав-
нением (24.53).
распространения в линзовой ли-
а) 5)
Рис. 24,6. Открытые резонаторы с плоскими
(а) и изогнутыми (б) зеркалами.
268
ВЫСОКИЕ ЧАСТОТЫ
1ГЛ. VIII
В открытом резонаторе фазовая коррекция обеспечивается
за счет прогиба зеркала Д(х, у), ф = 2АА.
Для сферических поверхностей с радиусом кривизны b про-
гиб равен
Д(х, у) = — (хг + у2)/2Ь, (24.53)
так что фазовая коррекция имеет вид (24.50), где F = b/2 (*).
Этот результат совпадает с известным из геометрической оптики
соотношением: фокусное расстояние изогнутого зеркала равно
половине радиуса кривизны. Минимальный размер поля пучка
на зеркале при заданном расстоянии между зеркалами снова
обеспечивается при выполнении соотношения F = L/2. Вообще,
размер пятна на корректоре (24.50) в линии из периодически
повторяющихся корректоров или в открытом резонаторе зависит
от частоты и геометрии задачи следующим образом:
xs = [L/k V(2 — v) v ]1/2, v — L)2F. (24.57)
При a/xs^ 1 потери из-за дифракции малы, при a/xs <С 1 они
очень велики. Из (24.57) очевидно, что на корректорах с опти-
ческой силой v и 2 — v дифракционные потери одинаковы. При-
мер мы уже приводили (п. 24.5): v = 0 (диафрагменная линия
или плоскопараллельные зеркала) и v = 2 (линзы или зеркала
с фокусным расстоянием, равным 1/4 расстояния между кор-
ректорами) .
Аналогом дифракционной линии среди открытых резонаторов
является резонатор из двух плоских зеркал. Фокусировки здесь
нет, а потери тем меньше, чем больше отношение размера зер-
кала а к величине первой зоны Френеля дД/,, т- е- чем ближе
все поле внутри резонатора к геометрооптическому и меньше
доля полутеневого поля в процессе установления колебания.
Существует аналогия между колебаниями открытого резо-
натора с плоскими зеркалами и задачей об излучении волн из
волновода, составленного из плоскопараллельных плоскостей.
В открытом резонаторе мы представляем себе, что волна попе-
ременно отражается от правого и левого зеркал, часть энер-
гии при этом теряется на излучение. Однако тот же процесс
можно представить себе иначе: по волноводу идет волна с коэф-
фициентом, близким к единице, отражается от открытого конца
волновода, идет обратно, снова отражается и т. д. Анализ отра-
жения от открытого конца волновода показал, что для волновод-
ных волн, частота которых близка к критической, коэффициент
отражения близок к единице. Эта аналогия позволила вычис-
лить, не прибегая к интегральному уравнению (24.52), дифрак-
ционные потери и найти распределение поля собственных коле-
баний резонатора с плоскими зеркалами и диафрагменной линии.
ЛИТЕРАТУРА
Ниже приведен краткий список литературы по теории дифракции. В него включены
только вышедшие сравнительно недавно монографии на русском языке. Он не содержит
учебников и учебных пособий, книг по общим вопросам электродинамики, а также моно-
графий, посвященных специальным вопросам, не упомянутым в настоящей книге.
1. Бабич В. М., Булдырев В. С. Асимптотические методы в задачах ди-
фракции коротких волн; метод эталонных задач. — М.: Наука, 1972. — 456 с.
Изложены методы построения высокочастотной асимптотики решений задач дифрак-
ции. Исследованы собственные функции различных типов, соответствующие высоким
собственным частотам, и структура решения при возбуждении точечным источником, рас-
положенным вблизи гладкой поверхности.
2. Борн М., Вольф Э., Основы оптики: Пер. с англ./Под ред. Г. П. Ма-
тулевич. — М.: Наука, 1973. — 720 с.
Систематический и полный курс оптики. Изложены законы геометрической оптики
и ряд вопросов высокочастотной теории дифракции на некоторых телах. Рассмотрен
вопрос о частичной когерентности.
3. Боровиков В. А., Кинбер Б. Е. Геометрическая теория дифракции.—
М.: Советское радио, 1978. — 248 с.
Последовательное изложение геометрической теории дифракции на телах с ребрами
и экранах. Обычная геометрическая теория дифракции дополнена введением полутене-
вых полей. Приведен целый ряд приложений ГТД — к теории нерегулярных волноводов,
антенным намерениям, излучающим апертурам со сложным контуром и т.д.
4. Бреховских Л. М. Волны в слоистых средах. 2-е изд. — М.: Наука,
1973. —342 с.
Теория плоских и сферических волн, падающих на среду, свойства которой непре-
рывным или дискретным образом зависят от декартовой координаты. При падении сфе-
рической волны задача решена интегрированием в плоскости комплексного волнового
числа, и это решение тщательно исследуется для различных случаев.
5. Вайнштейн Л. А. Электромагнитные волны. — М.: Советское радио,
1957. — 580 с.
Широко применяемое пособие по высокочастотной электродинамике. Подробно рас-
смотрены плоские, цилиндрические и сферические волны вдоль открытых и периодиче-
ских систем, свободные и вынужденные колебания закрытых резонаторов, некоторые
задачи высокочастотной дифракции.
6. Вайнштейн Л. А. Открытые резонаторы и открытые волноводы. — М.:
Советское радио, 1966. — 470 с.
Систематическое изложение методов, используемых в теории открытых резонаторов,
и анализ физической картины работы различных типов открытых резонаторов. Дана
теория возбуждения открытых резонаторов, построенная с привлечением функций не-
прерывного спектра.
7. Войтович Н. Н., Каценеленбаум Б. 3., Сивов А. Н. Обобщенный метод
собственных колебаний в теории дифракции. — М.: Наука, 1977. — 416 с.
Изложение метода, основанного на разложении дифрагированного поля по дискрет-
ной системе собственных функций вспомогательных однородных задач, в которых соб-
ственным значением выбрана не частота, а какой-либо другой электродинамический па-
раметр. В дополнении, написанном Аграновичем М. С., строго доказана законность ис-
пользования таких разложений.
268
ВЫСОКИЕ ЧАСТОТЫ
1ГЛ. VIII
В открытом резонаторе фазовая коррекция обеспечивается
за счет прогиба зеркала Д(х, у}, ф = 2АД.
Для сферических поверхностей*с радиусом кривизны b про-
гиб равен
Д(х, у) = - (х2 + у*)12Ъ, (24.53)
так что фазовая коррекция имеет вид (24.50), где F — Ь/2 (*).
Этот результат совпадает с известным из геометрической оптики
соотношением: фокусное расстояние изогнутого зеркала равно
половине радиуса кривизны. Минимальный размер поля пучка
на зеркале при заданном расстоянии между зеркалами снова
обеспечивается при выполнении соотношения F = L/2. Вообще,
размер пятна на корректоре (24.50) в линии из периодически
повторяющихся корректоров или в открытом резонаторе зависит
от частоты и геометрии задачи следующим образом:
xs = [_L/k V(2 — v) v ]‘/2, v = L/2F. (24.57)
При a/xs 1 потери из-за дифракции малы, при a/xs С 1 они
очень велики. Из (24.57) очевидно, что на корректорах с опти-
ческой силой v и 2 — v дифракционные потери одинаковы. При-
мер мы уже приводили (п. 24.5): v = 0 (диафрагменная линия
или плоскопараллельные зеркала) и v — 2 (линзы или зеркала
с фокусным расстоянием, равным 1/4 расстояния между кор-
ректорами) .
Аналогом дифракционной линии среди открытых резонаторов
является резонатор из двух плоских зеркал. Фокусировки здесь
нет, а потери тем меньше, чем больше отношение размера зер-
кала а к величине первой зоны Френеля yjKL, т. е. чем ближе
все поле внутри резонатора к геометрооптическому и меньше
доля полутеневого поля в процессе установления колебания.
Существует аналогия между колебаниями открытого резо-
натора с плоскими зеркалами и задачей об излучении волн из
волновода, составленного из плоскопараллельных плоскостей.
В открытом резонаторе мы представляем себе, что волна попе-
ременно отражается от правого и левого зеркал, часть энер-
гии при этом теряется на излучение. Однако тот же процесс
можно представить себе иначе: по волноводу идет волна с коэф-
фициентом, близким к единице, отражается от открытого конца
волновода, идет обратно, снова отражается и т. д. Анализ отра-
жения от открытого конца волновода показал, что для волновод-
ных волн, частота которых близка к критической, коэффициент
отражения близок к единице. Эта аналогия позволила вычис-
лить, не прибегая к интегральному уравнению (24.52), дифрак-
ционные потери и найти распределение поля собственных коле-
баний резонатора с плоскими зеркалами и диафрагменной линии.
ЛИТЕРАТУРА
Ниже приведен краткий список литературы по теории дифракции. В него включены
только вышедшие сравнительно недавно монографии на русском языке. Он не содержит
учебников и учебных пособий, книг по общим вопросам электродинамики, а также моно-
графий, посвященных специальным вопросам, не упомянутым в настоящей книге.
1. Бабич В. М., Булдырев В. С. Асимптотические методы в задачах ди-
фракции коротких волн; метод эталонных задач. — М.: Наука, 1972. — 456 с.
Изложены методы построения высокочастотной асимптотики решений задач дифрак-
ции. Исследованы собственные функции различных типов, соответствующие высоким
собственным частотам, и структура решения при возбуждении точечным источником, рас-
положенным вблизи гладкой поверхности.
2. Борн М., Вольф Э., Основы оптики: Пер. с англ./Под ред. Г. П. Ма-
тулевич. — М.: Наука, 1973. — 720 с.
Систематический и полный курс оптики. Изложены законы геометрической оптики
и ряд вопросов высокочастотной теории дифракции на некоторых телах. Рассмотрен
вопрос о частичной когерентности.
3. Боровиков В. А., Кинбер Б. Е. Геометрическая теория дифракции. —
М.: Советское радио, 1978. — 248 с.
Последовательное изложение геометрической теории дифракции на телах с ребрами
и экранах. Обычная геометрическая теория дифракции дополнена введением полутене-
вых полей. Приведен целый ряд приложений ГТД — к теории нерегулярных волноводов,
антенным измерениям, излучающим апертурам со сложным контуром и т.д.
4. Бреховских Л. М. Волны в слоистых средах. 2-е изд. — М.: Наука,
1973. —342 с.
Теория плоских и сферических волн, падающих на среду, свойства которой непре-
рывным или дискретным образом зависят от декартовой координаты. При падении сфе-
рической волны задача решена интегрированием в плоскости комплексного волнового
числа, и это решение тщательно исследуется для различных случаев.
5. Вайнштейн Л. А. Электромагнитные волны. — М.: Советское радио,
1957. — 580 с.
Широко применяемое пособие по высокочастотной электродинамике. Подробно рас-
смотрены плоские, цилиндрические и сферические волны вдоль открытых и периодиче-
ских систем, свободные и вынужденные колебания закрытых резонаторов, некоторые
задачи высокочастотной дифракции.
6. Вайнштейн Л. А. Открытые резонаторы и открытые волноводы. — М.:
Советское радио, 1966. — 470 с.
Систематическое изложение методов, используемых в теории открытых резонаторов,
и анализ физической картины работы различных типов открытых резонаторов. Дана
теория возбуждения открытых резонаторов, построенная с привлечением функций не-
прерывного спектра.
7. Войтович Н. Н., Каценеленбаум. Б. 3., Сивов А. Н. Обобщенный метод
собственных колебаний в теории дифракции. — М.: Наука, 1977. — 416 с.
Изложение метода, основанного на разложении дифрагированного поля по дискрет-
ной системе собственных функций вспомогательных однородных задач, в которых соб-
ственным значением выбрана не частота, а какой-либо другой электродинамический па-
раметр. В дополнении, написанном Аграновичем М. С., строго доказана законность ис-
пользования таких разложений.
270
ЛИТЕРАТУРА
8. Гринберг Г. А. Избранные вопросы математической теории электриче-
ских и магнитных явлений. — М.: Изд-во АН СССР, 1948. — 727 с.
Изложение некоторых математических методов решения уравнений Лапласа, Пуас-
сона, волнового уравнения в призматических, цилиндрических и сферических областях
Подробно исследован, в частности, предложенный автором вариант метода разделения
переменных, где функции, по которым производится разложение, удовлетворяют одно-
родным граничным условиям — независимо от граничных условий для искомого реше-
ния. Большое внимание уделено электростатике, в частности, впервые установлен харак-
тер поля на ребре диэлектрических клиньев. Исследованы некоторые нестационарные
задачи, фокусировка электронных пучков с учетом пространственного заряда и т. д.
9. Каценеленбаум. Б. 3. Высокочастотная электродинамика. — М.: Наука
1966.— 240 с.
Очень сжатое изложение теории простейших систем — волноводов, открытых линий,
в том числе квазиоптических, резонаторов, антенн. Может служить введением в материал
данной книги.
10. Кинг Р., У Тай-Цзунь. Рассеяние и дифракция электромагнитных
волн: Пер. с англ./Под ред. Э. Л. Бурштейна. — М.: ИЛ, 1962.— 190 с.
Многочисленные графики полей и токов при дифракции на цилиндре, сфере и неко-
торых более сложных телах. Большое внимание в книге уделено экспериментальному
определению дифрагированных полей.
11. Кривцов Ю. Л., Орлов Ю. И. Геометрическая оптика неоднородных
сред. — М.: Наука, 1980. — 304 с.
С помощью геометрооптических методов исследованы волновые поля в неоднород-
ных средах. Систематически изложены как традиционные вопросы (геометрическая оп-
тика монохроматических волн), так н ряд обобщений, в том числе пространственно-вре-
менная геометрическая оптика нестационарных волновых полей, произвольно зависящих
от времени, геометрическая оптика импульсных полей в диспергирующих средах, обрат-
ные задачи геометрической оптики, новые варианты теории возмущений для лучей и др.
Впервые сформулировано достаточное условие применимости геометрической оптики,
опирающееся на волновые представления.
12. Марков Г. Т., Васильев Е. Н. Математические методы прикладной
электродинамики. — М.: Советское радио, 1969.— 120 с.
Приведены методы, применяемые в теории дифракции, классифицируются задачи,
решаемые этими методами. Указаны книги и оригинальные работы, в которых можно
подробнее ознакомиться с данным методом. Методы изложены на конкретных примерах.
Во внутренних задачах применены: метод собственных функций, метод интегральных
преобразований, вариационные методы, интегральные уравнения; во внешних задачах —
методы собственных функций и интегральных преобразований, интегральные уравнения,
асимптотические методы, в том числе лучевые, метод фазовых интегралов (метод ВКБ)
и метод эталонных уравнений. Рассмотрены методы синтеза антенн.
13. Марков Г. Т., Чаплин А. Ф. Возбуждение электромагнитных волн.—
М.: Энергия, 1967.— 376 с.
Последовательное применение метода разделения переменных и методов, связанных
с интегрированием в плоскости комплексной переменной. Рассмотрены задачи о дифрак-
ции на плоской границе раздела, на цилиндре, клине и шаре, о волноводах и резонаторах.
14. Менцер. Дж. Р. Дифракция и рассеяние радиоволн: Пер. с англ./Под
ред. Л. А. Вайнштейна. — М.: Советское радио, 1958.— 144 с.
Краткое ^введение в теорию дифракции. В основном рассмотрены методы разделения
переменных и физической оптики. Приведены результаты экспериментального определе-
ния полей для нескольких задач.
15. Миттра Р., Ли С. Аналитические методы теории волноводов: Пер. с
англ./Под ред. Г. В. Воскресенского.:—М.: Мир, 1974. — 328 с.
Основное содержание книги — метод Винера — Хопфа в применении к волноводным
задачам и развитие приближенных методов, также использующих теорию аналитических
функций для более сложных задач (например, связь волноводов через щель, разветвлен-
ный волновод с диэлектрическим заполнением).
16. Нефедов Е. И., Сивов А. Н. Электродинамика периодических струк-
тур.— М.: Наука, 1977. — 209 с.
Теория периодическх структур на низких частотах, даны вывод и примеры приме-
нения эквивалентных граничных условий. Исследованы также периодические структуры,
образованные цепочкой открытых резонаторов.
ЛИТЕРАТУРА
271
17. Нефедов Е. И. Дифракция электромагнитных волн на диэлектриче-
ских структурах. — М.: Наука, 1979. — 272 с.
Основным объектом исследования является диэлектрический клин. Приведены раз-
личные методы решения задач дифракции на клине в свободном пространстве и в волно-
воде, а также на полупрозрачных пластинках; дан подробный анализ результатов.
18. Никольский В. В. Вариационные методы для внутренних задач элек-
тродинамики. — М.: Наука, 1967. — 460 с.
Наиболее полное на русском языке изложение вариационных методов для определе-
ния собственных частот резонаторов, постоянных распространения волноводов и амплитуд
волн, возникающих на локальных неоднородностях в волноводах. Большое внимание уде-
лено выбору базиса, т. е. системы функций, используемой в прямых методах типа мето*
да Ритпа.
19. Папуяис А. Теория систем и преобразований в оптике. — М.: Мир,
1971. —496 с. .
Книга содержит полезные сведения о различных преобразованиях, выполняемых в
линейных системах: свертках, преобразованиях Фурье и Ханкеля. Много внимания уде-
лено применению теории преобразований в оптике. Рассмотрены дифракционные поля в
приближении физической оптики на отверстиях, освещенных сферической и плоской вол-
ной при различной степени когерентности излучения. Описан дифракционный процесс
формирования оптического изображения конечной линзой. Многочисленные примеры по-
могают освоить аппарат. Изложены принципы, на которых основано объяснение процес*
сов когерентной оптики: голографии, оптической фильтрации, аподизации и т. д.
20. Потехин А. И. Некоторые задачи дифракции электромагнитных
волн. — М.: Советское радио, 1948. — 136 с.
Разобраны эталонные задачи по дифракции электромагнитных волн. Дифракция
волн на щели и полуплоскости, цилиндре и шаре рассмотрена методами геометрической
и волновой оптики, а также строгими методами.
21. Стреттон Дж. А. Теория электромагнетизма: Пер. с англ./Под ред.
С. М. Рытова. — М.: Гостехиздат, 1948. — 540 с.
Последовательное изложение электродинамики, начинающееся с уравнений Макс-
велла и их общего анализа. После электростатики и магнитостатики рассмотрены пло-
ские, цилиндрические и сферические волны и задачи дифракции, использующие метод
разделения переменных и интегрирование в плоскости комплексной переменной.
22. Уфимцев П. Я. Метод краевых волн в физической теории дифрак-
ции.— М.: Советское радио, 1962.— 240 с.
Исследована высокочастотная асимптотика в задаче о падении плоской волны на
идеально проводящее тело с изломами поверхности. Кроме основного тока, соответствую’
щего геометрооптическому приближению, возникает еще составляющая тока, убываю-
щая при удалении от изломов. Она порождает в дифрагированном поле краевые волны,
представляющие собой главную дифракционную поправку,
23. Уэйт Д. Р. Электромагнитное излучение из цилиндрических систем:
Пер. с англ./ Под ред. Г. В. Кисунько.— М.: Советское радио, 1963. — 236 с.
Методом разделения переменных решены задачи о поле, возбуждаемом различными
токами при падений на цилиндры, в том числе диэлектрический, клин, полуплоскость.
Приведены точные и приближенные формулы и многочисленные графики.
24. Фельд Я. Н. Основы теории щелевых антенн. — М.: Советское радио,
1948. — 158 с.
Сформулированы граничные задачи электродинамики в общем виде и дано их фор*
мальное решение. Установлены интегральные уравнения для поля в узких щелях, про*
резанных в стенках резонатора или волновода, и найдено распределение поля вдоль ще-
лей и их амплитуда при возбуждении произвольными источниками.
25. Фельсен Jl.t Маркувиц Н. Излучение и рассеяние волн: Пер. с англ./
Под ред. М. Л. Левина. — М.: Мир, 1978, т. 1—546 с., т. 2 — 550 с.
Подробно изложено распространение волн от заданных источников в неоднородных
средах со сложными свойствами (плазма, анизотропные среды) и задачи дифракции на
цилиндре и шаре. Решение основано на методе собственных функций, используемом в
весьма широкой формулировке. Результаты представлены, как правило, в терминах тео*
рии цепей.
272
ЛИТЕРАТУРА
26. Фок В. А. Проблемы дифракции и распространения электромагнит-
ных волн. — М.: Советское радио. — 1970. — 520 с.
В первой части монографии развита теории дифракции на выпуклом хорошо прово-
дящем теле; использован установленный автором принцип локальности тока вблизи гра-
ницы свет — тень. Во второй части рассмотрены некоторые задачи о распространения
волн в слоистой атмосфере при учете сферичности Земли.
27. Хёнл X., Мауэ А., Вестфаль К. Теория дифракции: Пер. с нем./Под
ред. Г. Д. Малюжинца.— М.: Мир, 1964. — 428 с.
Наиболее полное изложение теории дифракции на русском языке. Начинается с урав-
нений Максвелла и их общих свойств. Подробно рассмотрены вывод и исследование ин-
тегральных уравнений для тока и другие типы интегральных уравнений. Рассмотрены
ряды Релея и Ватсона для цилиндра и сферы, большое внимание уделено низкочастот*
ным предельным случаям для эталонных задач.
28. Хюльст Г. ван де, Рассеяние света малыми частицами: Пер. с англ./
Под ред. В. В. Соболева. — М.: ИЛ, 1961. — 536 с.
Систематическое изложение задач дифракции на сфере и цилиндре при различных
значениях отношения радиуса к длине волны и комплексной диэлектрической проницае-
мости. Развита также теория для малых по сравнению с длиной волны тел произвольной
формы. Рассмотрены применения в химии, метеорологии, астрономии. Много конкретных
результатов.
29. Швингер Ю. Неоднородности в волноводах (конспект лекций). —
Зарубежная радиоэлектроника, № 3: Пер. с англ./Под ред. П. Ш. Фридбер-
га.— М.: Советское радио, 1970. — 104 с.
Теория сосредоточенных элементов (металлический и диэлектрический стержень,
диафрагма, скачок сечения) в прямоугольном волноводе. Метод интегральных уравнений
И вариационные методы.
30. Шевченко В. В. Плавные переходы в открытых волноводах. Введение
в теорию. — М.: Наука, 1969, — 190 с.
Для открытых волноводов построена полная система собственных функций; спектр
содержит дискретную и непрерйвную части. Использование разложения по этой системе
позволяет решать задачу о возбуждении линий простыми методами, применяемыми для
закрытых волноводов. Найдена и исследована система ннтегродифференциальных урав-
нений для нерегулярных линий.
31. Шестопалов В. 77., Литвиненко Л. H.t Масалов С. Л., Сологуб В. Г.
Дифракция волн на решетках. —Харьков: Изд-во Харьковского университета,
Монография содержит строгую теорию дифракции на одномерных периодических
структурах при любых отношениях периода к длине волны. Приведен богатый фактиче-
ский материал.