/
Автор: Пейн Г.
Теги: колебания акустика интерференция дифракция дифракционное рассеяние физика теория волн
Год: 1979
Текст
-w
THE PHYSICS OF
VIBRATIONS AND WAVES
2nd Edition
H. J. PAIN
Department of Physics
Imperial College, London
JOHN WILEY AND SONS, LTD
LONDON• NEW YORK•SYDNEY . TORONTO
1976
Г. Пейн
ФИЗИКА
КОЛЕБАНИЙ
И ВОЛН
Перевод с английского
канд. физ.-мат. наук А. А. КОЛОКОЛОВА
под редакцией
д-ра физ.-мат. наук, проф. Г. В. СКРОЦКОГО
Москба
«Мир»
1979
УДК 534+535.4+538.3+530.145
Книга представляет собой учебное пособие по
физике колебаний и црлн. В ней рассматриваются
линейные и нелинейные колебательные и волновые
процессы в механике, акустике, электромагнетизме,
радиотехнике, оптике и квантовой механике; приво-
дится много примеров и задач.
Может служить пособием по курсу общей фи-
зики для студентов физических, механико-математи-
ческих, инженерно-физических и радиотехнических
специальностей. Книга может дать ценный материал
для семинаров и лекций преподавателям и будет по-
лезна всем желающим расширить кругозор в вопро-
сах физики колебаний и волн.
Редакция литературы по физике
1704010000
20401—073
© 1976 by John Wiley and Sons, Inc. All Rights Re-
served.
Authoried translation from English language, edition
published by John Wiley, and Sons, Inc.
П Ал/хп/ч та 73—79 © Перевод на русский язык, «Мир», 1979
Предисловие редактора перевода
За последние два десятилетия в результате развития новых
направлений физических исследований в программах физиче-
ских факультетов университетов, инженерно-физических и мно-
гих технических вузов появились новые дисциплины: квантовая
электроника, квантовая оптика, голография и др. Создание мощ-
ных источников когерентного излучения обогатило физику твер-
дого тела, акустику, радиационную химию, атомную и молеку-
лярную физику, спектроскопию, некоторые разделы ядерной фи-
зики и т. п., что привело к существенному расширению области
применения методов теории колебаний и их дальнейшему раз-
витию. Одновременно расширился и круг задач, решаемых этими
методами.
Но все эти вопросы только начали входить в программы кур-
сов общей физики вузов и еще не нашли должного отражения
в учебниках для студентов младших курсов. Старшее поколение
выпускников физических факультетов университетов, инженерно-
физических и многих технических вузов до сих пор вспоминает
добрыми словами учебник Габриеля Семеновича Горелика «Ко-
лебания и волны»1). Он в свое время содействовал успешному
внедрению и установлению единого подхода к колебательным и
волновым процессам различной природы. Но все же это былз
книга «долазерной эпохи», и сейчас нужна новая учебная моно-
графия, соответствующая требованиям нашего времени. В каче-
стве монографии такого рода вниманию читателей предлагает-
ся русский перевод книги Г. Пейна. Она предназначена для
тех, кто еще только приступает к изучению предмета. Для
нее характерен единый подход к описанию колебательных и
волновых процессов независимо от их природы. Ее содержание
охватывает многие стороны современного учения о колебаниях
и волнах. Автор не дает в ней описания демонстраций опытов
9 Горелик Г. Сч Колебания и волны, 2-е изд., под ред. С. М., Рытова,
ГИ ФМЛ, М., 1959.
6 Предисловие редактора перевода
и схем приборов, но после краткого изложения предмета в
каждом разделе подробно разбирается несколько задач и уча-
щемуся предлагается самостоятельно решить несколько приме-
ров. Тематика задач и примеров весьма разнообразна и охваты-
вает по существу все основные разделы физики.
Книга Г. Пейна принесет-большую пользу студентам физиче-
ских факультетов университетов, физико-технических и радио-
технических факультетов вузов. Она, несомненно, окажется
полезной для широкого и быстро расширяющегося круга специ-
алистов, которые в своей работе сталкиваются с колебатель-
ными и волновыми явлениями. Книга Г. Пейна — превосходное
пособие для переподготовки и самообразования.
Г. Скроцкий.
Предисловие к первому изданию
На первом году обучения студентам-физикам в Имперском
колледже читается вводный курс по физике колебаний и волн.
Основной упор в нем делается на выявление глубокого единства
тех понятий, которые более подробно изучаются на последую-
щих стадиях обучения. В основу нашего краткого учебника по-
ложен такой курс лекций, который читался автором в течение
ряда лет. Для расширения круга рассматриваемых вопросов и
области их приложения были добавлены главы, посвященные
преобразованиям Фурье и нелинейным колебаниям.
В начале книги предполагается, что математические знания
читателя не превышают школьного уровня. Более сложные ме-
тоды излагаются по мере того, как возникает необходимость
в них. Так в книге вводятся разложение в ряд экспоненциальной
функции, комплексные числа, частная производная и пробные
решения дифференциальных уравнений. Рассматриваются толь-
ко плоские волны, причем всюду, кроме двух случаев, исполь-
зуются декартовы координаты. Методы векторного анализа при-
меняются только в связи со скалярным и (в одном случае) с
векторным произведением.
Опрос многих студентов показал, что им желательна книга,
не только разъясняющая материал, но и заставляющая само-
стоятельно работать. В результате был написан краткий учеб-
ник, дополненный значительным количеством задач разного со-
держания и разной степени сложности. Иногда мы даем указа-
ния относительно их решения, исходя из принципа, что студенту
важнее понять физический смысл задачи, нежели выполнить
несложное арифметическое упражнение.
Основная мысль данной книги заключается в том, что среда,
через которую возможен перенос энергии с помощью волнового
движения, по существу, ведет себя как континуум связанных ос-
цилляторов. Простой осциллятор характеризуется тремя пара-
метрами, двумя из которых определяется его способность накап-
ливать энергию, переходящую из одной формы в другую, а
третьим— диссипация энергии. Это в равной степени справед-
ливо для любой среды.
Произведением параметров, характеризующих накопление
энергии, определяется скорость распространения волны в среде,
а их отношением (если третий параметр равен нулю) — волновое
8 Предисловие к первому изданию
сопротивление, или импеданс, среды. Если параметр, харак-*
теризующий диссипацию энергии, отличен от нуля, то в импе-
дансе появляется член, описывающий потери. Энергия волны
при ее распространении поглощается, и волна затухает.
Такой подход позволяет, проанализировав колебания про-
стого гармонического осциллятора, осциллятора с затуханием,
осциллятора, на который действует внешняя сила, а также си-
стемы связанных осцилляторов, естественным образом перейти
к представлению о поперечных волнах в струне, продольных
волнах в газе и твердом теле, волнах тока и напряжения в ли-
нии передачи, а также электромагнитных волнах в диэлектрике
и проводнике. Все эти случаи можно рассматривать одинаково,
а цель нашей книги и состоит в том, чтобы показать широкую
применимость сравнительно небольшого числа физических прин-
ципов.
Май 1968
Г. Пейн
П редисловие ко второму изданию
Основное содержание книги осталось без изменения. Введена
только еще одна глава «Квантовая механика», иллюстрирующая
применение классических принципов в современной физике.
Все сделанные исправления были направлены на упрощение,
особенно в первых главах и дополнительных задачах. Ссылка на
задачу в тексте главы указывает, что задача относится к пред-
шествующему материалу. В конце каждой главы помещена
сводка основных результатов.
Первое издание книги вызвало конструктивную критику мно-
гих читателей, в том числе студентов физических и инженерных
специальностей, которые пользовались ею. Второе издание, в ко-
тором столь полно учтена эта критика, является лучшим призна-
нием ее ценности.
Июнь 1976
Г. Пейн
Физические постоянные
Заряд электрона Масса покоя электрона Атомная единица массы 1 ньютон 1 электронвольт Постоянная Планка h Постоянная Больцмана k 1,602-10~19 кулон 9,1-10~31 килограмм 1,66-10~27 килограмм 105 дина 1,6-10-19 джоуль 6,62-10~34 джоуль • секунда 1,38-10~23 джоуль/кельвин,
Число Авогадро Скорость света с Магнитная проницаемость вакуума ц0 Диэлектрическая проницаемость вакуума (диэлектрическая постоянная) е0 8,61• 10~5 электронвольт/кельвиы 6,022-1023 моль-1 3-108 метр/секунда 4л-10~7 генри/метр (36л-109)-1 фарада/метр
Таблица, показывающая, как скорость волны и импеданс,
или волновое сопротивление, среды определяются процессами,
связанными с запасанием энергии в среде
Накопление в среде потенциальной энергии характеризуется параметром С, а кинетической:
или индуктивной энергии — параметром р или L
Тип волны (Скорость)2 Импе- данс, или волновое сопро- тивление Обозначения
Поперечная волна на струне Г/р рс Т — натяжение, р — линейная плотность, с — скорость волны
Продольная волна в газе W7p = = 5/р = = (рС)-> pc=Vp/C у — отношение удельных тепло- емкостей, Р —• давление газа, В — модуль всестороннего сжатия, С — сжимаемость, с — скорость волны
Волна напряже- ния и тока в линии передачи Электромагнитная волна в диэле- ктрике (ЦА)"1 (ре)-1 V Ьо/А Lq — индуктивность, | на единицу Со — емкость ) длины р — магнитная проницаемость, (генри/метр), 8 —диэлектрическая проницае- мость (фарада/метр)
Глава 1
Незатухающие и затухающие
гармонические колебания
На первый взгляд кажется, что у восьми физических систем,
изображенных на фиг. 1, мало общего. На фиг. 1 показаны:
а — простой маятник в виде тела с массой т, прикреплен-
ного к концу легкого жесткого стержня длиной I и колеблюще-
гося около точки подвеса стержня;
б — плоский диск, подвешенный в центре на жесткой прово-
локе и закручивающийся на малый угол в своей плоскости то
в одну, то в другую сторону;
в — тело с массой т, прикрепленное к стенке пружиной с
жесткостью $; скользя без трения по плоскости, оно колеблется
вдоль оси х;
г — тело с массой т, закрепленное посередине легкой струны
длиной 2/, натяжение Т которой постоянно, и колеблющееся в
плоскости чертежа;
д — жидкость с плотностью р, заполняющая на длине I U-об-
разную трубку постоянного сечения и колеблющаяся около по-
ложения равновесия, в котором высота уровней одинакова в
обоих коленах трубки (предполагается, что трение между жид-
костью и стенками трубки отсутствует);
е — открытая колба объемом V с горлышком длиной I с по-
стоянной площадью сечения Л, содержащая воздух с плот-
ностью р, который вибрирует при прохождении звука по гор-
лышку;
ж—ареометр, т. е. сосуд с массой т с горлышком постоян-
ной площади поперечного сечения, плавающий в жидкости с
плотностью р и при небольшом отклонении от положения рав-
новесия совершающий малые вертикальные колебания;
з — электрический контур в виде катушки индуктивности L,
присоединенной к конденсатору с емкостью С с зарядом q на
его пластинах.
Все эти системы представляют собой простые гармониче-
ские осцилляторы. При малом отклонении от своего положения
равновесия, или покоя, они совершают простые гармонические
колебания. Это самый важный вид колебаний отдельной час-
тицы или одномерной системы. При малом смещении х отно-
сительно положения равновесия возникает возвращающая сила
mg
a
nix-hng^O
mte + mg9-0
шг=дЦ
mg 5\x\0^mgO
Mmsf
mx+sx=O
CUZ=s/rri
Фиг. 1. Простые гармонические осцилляторы (указаны их уравнения движе-
ния и угловые частоты колебаний (о).
а — обычный маятник; б —крутильный маятник; в —тело на плоскости без трения, при
крепленное к стене пружиной; г—тело, прикрепленное к средней точке струны с постоян-
ным натяжением Т\ д — невязкая жидкость, заполняющая U-образный сосуд с постоянной
площадью поперечного сечения; е — акустический резонатор Гельмгольца; ж—ареометр
массой т, плавающий в жидкости с плотностью р; з — электрический параллельный резо-
нансный контур.
Незатухающие и затухающие гармонические колебания
13
F, пропорциональная смещению х и направленная к положению
равновесия.
Таким образом, возвращающую силу F можно записать в
виде
F = — sx,
где s — постоянная, называемая коэффициентом жесткости. Знак
минус показывает, что сила действует против увеличения сме-
щения и направлена в сторону положения равновесия. Постоян-
ство коэффициента жесткости означает, что мы ограничиваемся
малыми смещениями х (это закон Гука). Очевидно, что коэффи-
циент жесткости s есть возвращающая сила на единицу расстоя-
ния (или смещения), и ее размерность такова:
Сила ___ MLT~2
Расстояние L
Уравнение движения такой возмущенной системы определяется
динамическим .равновесием между силами, действующими на
систему. Согласно закону Ньютона,
Масса, умноженная на ускорение — Возвращающая сила,
или
тх — — sx,
где х — ускорение:
.._ d2x
Отсюда получаем
тх + sx = О,
или
X + — х=о,
1 т
где s/m — величина с размерностью
MLT"2 Т-2 2
-щ—=Т =v-
Здесь Т — время, т. е. период колебаний, величина, обратная
частоте v колебаний системы.
Решив уравнение движения, мы получим синусоидальную
или косинусоидальную зависимость х от времени. Поэтому удоб-
нее пользоваться не частотой v, а угловой частотой со = 2rcv, так
что период
14
Глава 1
Здесь отношение s/m записывается теперь как со2. Следователь-
но, уравнение простых гармонических колебаний
х + — х = 0
* т
принимает вид
x + <d2x = 0. (1.1)
(Задача 1.1.)
Смещение при простых гармонических колебаниях
Движение гармонического осциллятора характеризуется сме-
щением х относительно положения равновесия, его скоростью
х и ускорением х в любой заданный момент времени. Если под-
ставить в уравнение движения
х + — 0
выражение
х — A cos со/,
где А — постоянная, имеющая ту же размерность, что и х, то
мы найдем, что это выражение удовлетворяет ему, поскольку
X = — 4(0 sin со/, X = — 4(02 COS (д/ = — (й2х.
Решением этого уравнения является и выражение
х = В sin со/
(где размерность В совпадает с размерностью 4), поскольку
х —Во cos со/ и х = — Всо2 sin со/= — <о2х.
Полное, или общее, решение уравнения (1.1) равно сумме,
или суперпозиции, обоих выражений для х, а поэтому мы полу-
чаем
х — A cos со/ + В sin со/, (1.2)
причем
х = — со2 (4 cos со/ + В sin со/) = — со2х,
где 4 и В — постоянные, которые определяются значениями х и
х в заданный момент времени. Если мы запишем эти постоян-
ные в виде
4 = asincp и B = acos<p,
где ф — некоторый постоянный угол, то
42 + В2 = a2 (sin2 ф + cos2 ф) — а2.
Незатухающие и затухающие гармонические колебания
15
Отсюда
а = 7 Л2 + В2
И
х — a sin ф cos со/ + a cos <р sin со/ = a sin (со/ + ф).
Максимальное значение функции sin(co/ + ф) равно единице, по-
этому постоянная а есть максимальное значение величины х
и называется амплитудой смещения. Предельные значения функ-
ции 8т((о/ + ф) равны ±1, а поэтому смещение системы будет
осциллировать между значениями ±а. Далее мы увидим, что ве-
личина а связана с полной энергией осциллятора.
Фиг. 2. Синусоидальное изменение смещения гармонического осциллятора со
временем.
Положение начальной точки в периоде колебаний зависит от постоянной фазы ф.
Угол ф называется «фазовой постоянной» по следующей при-
чине. Простые гармонические колебания часто объясняются на
примере кругового движения. Каждое возможное значение сме-
щения х можно представить как проекцию радиус-вектора по-
стоянной длины а на диаметр окружности, описываемой концом
этого вектора при вращении его с постоянной угловой скоростью
со против часовой стрелки. Таким образом, каждый поворот ра-
диус-вектора на фазовый угол 2л радиан соответствует одному
полному периоду колебаний осциллятора.
В решении
х = a sin (со/ + ф)
фазовой постоянной ф, измеряемой в радианах, определяется по-
ложение в пределах одного периода колебаний в момент вре-
мени t = 0. Таким образом, начальное положение, из которого
осциллятор начинает свое движение, дается выражениехМ
х = опф.
Решение
х = a sin со/
16
Глава 1
описывает смещение только такой системы, которая начинает
движение из положения х — 0, занимаемого в момент времени
t = 0. Если же ввести в решение фазу ср:
х = а sin (со/ + ф),
где ф может принимать все значения от 0 до 2л, то оно будет
описывать движение при любом начальном положении. Это по-
казано на фиг. 2, где отмечены разные значения ф. (Задачи
1.2—1.4.)
Скорость и ускорение при гармонических колебаниях
Скорость и ускорение для гармонических колебаний, описы-
ваемых формулой
х — a sin (со/ + ф),
даются выражениями
= х = а& cos (со/ + ф),
= х = — a®2 sin (со/ + ф).
Максимальное значение скорости аш называется амплитудой
скорости. Амплитуда ускорения равна а®2.
Из фиг. 2 видно, что при добавлении положительного фазо-
вого угла, равного л/2 радиан, кривая синуса преобразуется
в кривую косинуса. Следовательно, скорость
х — а® cos (со/ + ф)
опережает смещение
х = a sin (со/ + ф)
по фазе на л/2 радиан и ее максимумы и минимумы достигают-
ся на четверть периода раньше, чем максимумы и минимумы
смещения. Скорость максимальна, когда смещение равно нулю,
и равна нулю, когда смещение максимально. Ускорение изме-
няется в «противофазе» со смещением (сдвинуто по фазе на л
радиан), причем положительное ускорение максимально, когда
максимально отрицательное смещение, и наоборот (фиг. 3).
Относительное смещение или относительные колебания двух
осцилляторов с одинаковой частотой часто можно характеризо-
вать разностью их фаз qpi —фг, которая может быть любой, по-
скольку одна система может начать движение на несколько
периодов раньше, чем другая, а каждому полному периоду коле-
баний соответствует изменение фазового угла ф на 2л. Когда ко-
лебания двух систем диаметрально противоположны, т. е. у од*
Незатухающие и затухающие гармонические колебания
17
ной системы х — 4-а, тогда как у другой х = —а, системы на-
ходятся в противофазе и полная разность фаз
Ф1 — ф2 == радиан,
где п —нечетное целое число. В случае идентичных систем, на-
ходящихся в фазе,
Ф1 — ф2 = 2пп радиан,
где п — любое целое число. Для таких систем смещение, ско-
рость и ускорение одинаковы в любой момент времени. (Задачи
1.5—1.8.)
Нелинейность
Когда смещение изменяется во времени по закону синуса или
косинуса, говорят, что система линейна. Нелинейность возникает
Фиг. 3. Временная зависимость смещения, скорости и ускорения при гармо-
нических колебаниях.
Смещение отстает по фазе от скорости на л/2 радиан и изменяется в противофазе (л ради-
ан) с ускорением. Начальная фазовая постоянная ф принята равной нулю.
тогда, когда коэффициент жесткости не является величиной по-
стоянной, а зависит от смещения х (гл. 11).
Энергия гармонического осциллятора
При простых гармонических колебаниях скорость равна
нулю, когда смещение максимально, и максимальна, когда сме-
щение равно нулю. Здесь мы имеем иллюстрацию очень важ-
ного понятия взаимного превращения кинетической и потенци-
альной энергий. В идеальном случае полная энергия остается
постоянной, хотя в действительности так никогда не бывает.
18
Глава 1
Если же потери энергии отсутствуют, то вся потенциальная энер-
гия переходит в кинетическую, и наоборот, а поэтому а) полная
энергия Еполн в любой момент времени, б) максимальная потен-
циальная энергия РЕ мыс. и в) максимальная кинетическая энер-
гия ДЕмакс будут равны между собой:
Еполн= ДЕ 4“ ЕЕ = КЕ^акс.= ЕЕмакс.
Из решения х — a sin (со/ + <р) следует, что полная энергия ос-
тается постоянной, поскольку после каждого полупериода амп-
литуда смещения достигает значения х = ±а в положении с
максимальной потенциальной энергией. В конце этой главы мы
увидим, что при наличии потерь энергии амплитуда колебаний
постепенно уменьшается.
Потенциальная энергия находится путем суммирования всех
малых элементов работы sxdx (сила sx умножается на элемент
пути dx), совершаемой системой против возвращающей силы на
отрезке от:0 до х, где точка х — 0 соответствует нулю потен-
циальной энергии. Таким образом, потенциальная энергия равна
X
f 1 _____ 1 2
\ sx dx — у sxE
о
Кинетическая энергия равна а поэтому полная энергия
есть •
Е = -^- пгх2 + ~ sx2.
Поскольку величина Е постоянна, мы имеем
~~ — (mx + sx) х = О,
откуда снова следует уравнение движения
nix + sx = 0.
Потенциальная энергия достигает максимума при х = ±а, и,
следовательно,
РЕ = —
Максимальная кинетическая энергия такова:
Камаке == (т/п*2') =4-ma2®2 [cos2 (о/ + ф)]макс = у waV
\ /макс z z
(в последнем выражении косинус положен равным единице).
Однако /П(о2 = $, а поэтому максимальные значения потенци*
Незатухающие и затухающие гармонические колебания
19
альной и кинетической энергий одинаковы. Отсюда следует, что
энергия полностью переходит из одной формы в другую.
Полная энергия в произвольный момент времени и при лю-
бом значении х имеет вид
£ = у mx2 + ~ sx2 = ~ та2®2 [cos2 (со/ + ф) + sin2 (со/ + ф)] =
= у та2®2 — у sa2,
.как и должно быть.
Смещение
Фиг. 4. Параболические зависимости потенциальной и кинетической энергий
от смещения для гармонических колебаний.
Одна кривая обратна другой, что говорит о наличии разности фаз в 90°. При любом сме-
щении сумма ординат обеих кривых равна постоянной полной энергии Е.
На фиг. 4 представлена зависимость энергии от смещения
для гармонических колебаний. Отметим, что кривая потенци-
альной энергии как функции смещения х ... *
РЕ — у sx2 — у tnaV sin2 (со/ + qp)
есть парабола, симметричная относительно точки х = 0. Таким
образом, в осцилляторе запасена энергия как при положитель-
ных, так и при отрицательных значениях х. Например, пружина
запасает энергию и при сжатии, и при растяжении. Точно так
же газ запасает энергию и при сжатии, и при разрежении.
Кинетическая энергия
КЕ = 4" тх2 = ~ cos2 (со/ + ф)
Л Л
описывается параболой и как функция смещения х, и как функ-
ция скорости х. То, что одна кривая представляет собой
20
Глава 1
перевернутую другую, говорит о наличии разности фаз л/2 ме-
жду смещением (связанным с потенциальной энергией) и ско-
ростью (связанной с кинетической энергией). При произволь-
ном значении х сумма ординат обеих кривых равна постоянной
полной энергии Е. (Задачи 1.9—1.11.)
Гармонические колебания в электрической
системе
Пока что мы рассматривали простые гармонические колеба-
ния механических и гидродинамических систем, изображенных
на фиг. 1, исходя в основном из модели в виде тела с инертной
массой, растягивающего невесомую пружину с коэффициентом
жесткости s. Коэффициент жесткости пружины s показывает, на-
Lq + j=O
Фиг. 5. Гармонические
колебания в электриче-
ской схеме.
Сумма напряжений вдоль
цепи определяется законом
Кирхгофа: L (dlldt) + q/c—0.
сколько трудно растягивать данную пру-
жину. Величина, обратная коэффициенту
жесткости, податливость С = 1/$, харак-
теризует легкость, с которой растяги-
вается пружина и накапливается потен-
циальная энергия. Буква С как символ
для податливости удобна при анализе
гармонических колебаний в электриче-
ской цепи, представленной на фиг. 1,з и
5, где мы имеем катушку индуктивности
Л, присоединенную к обкладкам конден-
сатора С.
Уравнение сил, использовавшееся для
описания примеров механических и гид-
родинамических систем, теперь заменяется уравнением для
напряжений (баланса напряжений) в электрической цепи.
Однако вид и решение этих уравнений, а также колебательный
характер поведения систем одинаковы.
Если сопротивление равно нулю, то энергия электрической
системы остается постоянной и происходит лишь переход энер-
гии магнитного поля, запасенной в катушке индуктивности, в
энергию электрического поля, запасенную между обкладками
конденсатора, и наоборот. В произвольный момент времени на-
пряжение на катушке индуктивности дается выражением
V = — L — — —
v ь dt ь dt2 ’
где I — ток, a q — заряд. Знак минус показывает, что напряже-
ние препятствует росту тока. Это напряжение равняется напря-
жению qjC на конденсаторе, а поэтому
Lq + q!C = 0 (закон Кирхгофа),
Незатухающие и затухающие гармонические колебания
21
ИЛИ
где
q +
2 1
0 =ТС
Энергия, накопленная за период индуктивной частью цепи в
виде магнитного поля, получается путем интегрирования мгно-
венной мощности по времени:
EL=^VIdt,
где V— напряжение на катушке индуктивности. Если ток увели-
чивается от 0 до 7, то
I
EL = \vidt = \L^r-I di = \LIdI = ±-LI2 = ±-Lq2.
J J a I J
0
Потенциальная энергия (в случае пружины — механическая
энергия) теперь представляет собой электростатическую энер-
гию и определяется формулой
Сравнение уравнений для механического и электрического
осцилляторов:
механический (сила) mx + sx = О,
электрический (напряжение) Lq + q/C = О,
механический (энергия) у mx2 + у sx2 = Е,
электрический (энергия) ± Lq + ~ q2jC — Е
показывает, что скорость изменения тока при заданном напря-
жении в цепи точно так же зависит от инерции магнитного поля
(характеризуемой индуктивностью L), как изменение скорости
при заданной силе от инертной массы. Инерционность магнит-
ного поля (или индуктивное поведение) обусловлена тем, чта
магнитный поток через контур цепи стремится оставаться по-
стоянным. Любое изменение потока приводит к возникновению
напряжения и, следовательно, тока, который противодействует
изменению потока. В этом физическая основа правила правой
руки.
22
Глава 1
Фиг. 6. Сложение двух векторов,
каждый из которых описывает
гармонические колебания с угло-
вой частотой со вдоль оси
х, при отыскании смещения х =
= Я sin (со/ + 0) результирующих
гармонических колебаний.
Сложение двух гармонических колебаний,
происходящих вдоль одной прямой
1. Колебания с одинаковыми частотами
В следующих главах мы встретимся с физическими ситуа-
циями, когда происходит сложение двух и более гармонических
колебаний одной системы.
Мы уже видели, как амплитуду и фазу смещения в случае
простых гармонических колебаний можно описывать вектором
постоянной длины, вращающим-
ся в положительном направлении
(против часовой стрелки) с по-
стоянной угловой скоростью ок
Чтобы найти результирующее
движение системы вдоль оси х,
совершающей одновременно гар-
монические колебания двух ви-
дов— с одинаковыми частотами,
но разными амплитудами и фа-
зами,— мы можем представить
простые гармонические колеба-
ния каждого вида соответствую-
щим вектором и сложить эти век-
торы.
Если первое движение описывается выражением
Xi = «1 sin (со/ + фО,
а второе выражением
х2 = а2 sin (о/ + ф2),
то амплитуда полного смещения определяется формулой
(фиг. 6)
К2 = (а{ + а2 cos б)2 + (а2 sin б)2 = а2 + а2 + 2а{а2 cos б,
где б = ф2 — Ф1 — постоянная.
Фазовая постоянная 0 для смещения дается выражением
, g___ g\ sin Ф1 + а2 sin фг
® Q! COS Ф1 + «2 COS фг
а поэтому смещение результирующего гармонического движения
запишется в виде
х = R sin (со/ + 9),
соответствующем колебаниям с той же самой частотой со, но
имеющим амплитуду R и фазовую постоянную 0. (Задача 1.12.)
Незатухающие и затухающие гармонические колебания 2Я
2. Колебания с разными частотами
Рассмотрим теперь сложение двух колебаний с одинаковыми
амплитудами, но с разными частотами. Если мы запишем эти
колебания в виде
Xi = asin(Oi/ и x2 = asin<o2/,
где (02 > <оь то результирующее смещение получим в виде
• / • . I Л ((01 (О2) t ((О2 — (01) t
х == + х2 = a (sin (01/ + sin (о2/) = 2а sin-%---cos----------•
Это выражение описывает синусоидальные колебания со сред-
ней частотой ((01+<02)/2 и модулированной амплитудой смещения.
Фиг. 7. Сложение двух гармонических колебаний = a sin (Oj/ и *2 —
= a sin (о2/ при (о2 > 0)1.
Огибающая cos [((02--(OiH/2] модулирует кривую sin [(o)i+a)2) t/2] так, что амплитуда сме-
щения х меняется от —а до + а.
2а (фиг. 7). Амплитуда изменяется от 0 до 2а и по закону коси-
нуса с намного меньшей частотой ((о2 — <oi)/2, равной половине
разности частот исходных колебаний.
Когда частоты coi и (о2 почти одинаковы, частота синуса очень
близка к обеим частотам (Oi и <о2, а частота (oj2 — (0i)/2 косину-
соидальной модуляции амплитуды 2а очень мала.
В акустике, когда мы слышим два звука почти равной ча-
стоты, нарастание и спад амплитуды воспринимаются как «бие-
ния». Частота «биений» равна разности (о2— <oi отдельных час-
тот (а не половине этой разности), поскольку максимум ампли-
туды 2а достигается дважды за период, соответствующий
24
Глава 1
частоте (ю2 — <oi)/2. Мы снова встретимся с этим явлением,
когда будем говорить о связи двух осцилляторов в гл. 3 и о груп-
повой скорости в гл. 4.
Сложение двух перпендикулярных
гармонических колебаний
1. Колебания с одинаковыми частотами
Допустим, что частица гармонически колеблется с одинако-
вой частотой одновременно вдоль двух взаимно перпендикуляр-
ных осей х и у. Каково ее результирующее движение?
Смещения можно записать в виде
х = а{ sin (со/ + <Р1), У = ^2 sin (со/ + <р2).
Чтобы найти траекторию частицы, необходимо исключить из
этих уравнений время t и получить выражение, ’Содержащее
только координаты х и у, а также постоянные <pi и ф2.
Раскрывая синусы сумм аргументов:
— = sin со/ cos <pi + cos со/ sin фь
«1
— — sin со/ cos <р2 + cos со/ sin ср2
«2
и вычисляя сумму квадратов разностей
Sin ф2 - sin Ф1 )2 + (-£- cos Ф1 - cos ф2)2,
получаем равенство
-4-+ ^7 —COS (ф2 — фО = sin2 (ф2 — Ф1), (1.3)
а । а2 а । а2
которое представляет собой общее уравнение эллипса.
В самом общем случае главные оси эллипса наклонены от-
носительно осей х и у. Но оси х и у совпадают с главными ося-
ми эллипса, когда разность фаз
л
<Р2 — qpi == —.
Тогда уравнение (1.3) принимает знакомый вид
уравнения эллипса с полуосями а\ и п2.
Незатухающие и затухающие гармонические колебания
25
Если а\ = аг = а, то эллипс превращается в окружность
х2 + у2 = а2.
При
ф2 — Ф1 = 0, 2л, 4л и т. д.
уравнение сводится к уравнению прямой
проходящей через начало координат, с тангенсом угла наклона,,
равным ЛгМь
При
ф2 — ф! — л, Зл, 5л и т. д.
мы тоже получаем уравнение прямой
проходящей через начало координат, с тем же по абсолютной
величине углом наклона, но противоположным по знаку.
Фиг. 8. Траектории системы, которая гармонически колеблется с одинаковой
частотой одновременно в двух перпендикулярных направлениях. Величина
б — это фазовый угол, на который колебания по оси у опережают колебания
по оси х.
Траектории частицы при разных значениях S = ф2 — ф1 изо-
бражены на фиг. 8, их легко получить на экране электронного
осциллографа.
Когда
ф2 — ф1 = 0, л, 2л и т. д.,
26
Глава 1
эллипс вырождается в прямую и результирующие колебания
происходят в одной плоскости. Такие колебания называют пло-
ско- (или линейно) поляризованными. Плоскостью поляризации
принято считать плоскость, перпендикулярную той плоскости, в
которой происходят колебания. При других значениях разности
<Р2 — Ф1 мы получаем круговую или эллиптическую поляризацию,
когда конец результирующего вектора описывает соответствую-
щее коническое сечение. (Задачи 1.13—1.15.)
Поляризация
Понятие поляризации — одно из важнейших в оптике; оно
основано на представлении о сложении двух перпендикулярных
гармонических оптических колебаний. Мы увидим в гл. 7, что в
случае линейно-поляризованной световой волны вектор ее элек-
трического поля колеблется в одной плоскости и описывает си-
нусоиду вдоль направления волнового движения.
Такие вещества, как кварц и кальцит, способны разделять
свет на две волны с взаимно перпендикулярными плоскостями
поляризации. Эти волны имеют разные скорости распростране-
ния во всех направлениях, кроме одного, носящего название оп-
тической оси. Одна из волн, обыкновенная, или О-волна, рас-
пространяется во всех направлениях с одинаковой скоростью, а
колебания ее электрического поля всегда перпендикулярны оп-
тической оси. Скорость необыкновенной волны, или Е-волны, за-
висит от направления распространения.
Как для обыкновенной, так и для необыкновенной световой
волны существует свой собственный показатель преломления, а
поэтому кварц и кальцит называются двоякопреломляющими.
Если скорость обыкновенной волны больше, как, например, в
кварце, то кристалл соответствующего вещества называется по-
ложительным. В кальците же необыкновенная волна имеет
большую скорость, и соответствующий кристалл является отри-
цательным.
На фиг. 9 представлены поверхности—?сферы и эллипсои-
ды, — которые служат геометрическим местом точек для концов
векторов волновой скорости в произвольном направлении. Для
заданного направления распространения колебания электриче-
ского поля отдельных волн происходят по касательной к поверх-
ности сферы или эллипсоида.
На фиг. 10 показан случай, когда плоскополяризованный свет
падает нормально на кристалл кальцита, вырезанный парал-
лельно его оптической оси. Внутри кристалла колебания элект-
!) Этот раздел можно пропустить при первом чтении.
Незатухающие и затухающие гармонические колебания
27
рического поля более быстрой £-волны происходят параллель-
но оптической оси, а колебания электрического поля 0-волны
происходят перпендикулярно плоскости чертежа. Разница в ско-
рости распространения приводит к дополнительному набегу
Оптическая ось
Оптическая ось
Кальцит Кварц
{отрицательный кристалл) {положительный кристалл)
Фиг. 9. Обыкновенная (сферическая) и необыкновенная (эллипсоидальнаяJ
волновые поверхности в двоякопреломляющих кальците и кварце.
В кальците Е-волна распространяется быстрее 0-волны во всех случаях, кроме случая
распространения вдоль оптической оси. В кварце быстрее распространяется О-волна.
О-колебания всегда перпендикулярны оптической оси. Кроме того, О- и Е-колебания всегда
направлены по касательной к своим волновым поверхностям.
фазы для £-волны по сравнению с фазой 0-волны, который уве-
личивается с толщиной кристалла.
. Плоскополяризованный свет,
падающий нормально
Кристалл
кальцита
= О-колебания
плоскости чертежа)
Е-колебания Оптическая
= ОСЬ
Фиг. 10. Плоскополяризованный свет падает нормально на поверхность кри*
сталла, вырезанного из кальцита параллельно его оптической оси.
Опережение Е-волной О-волны эквивалентно опережению по фазе.
На фиг. 11 показан случай, когда плоскополяризованный свет
падает нормально на кристалл, изображенный на фиг. 10, при-
чем угол между плоскостью колебаний электрического поля
световой волны и оптической осью составляет 45°. Кристалл
разделяет колебание на две равные £- и О-компоненты. При
определенной толщине на выходе кристалла £-волна имеет
28
Глава 1
Кристалл
^кальцита
ось)
Оптическая
Синусоидальные
колебания
электрического поля
Е-колебания на 90°
опережают по фазе
О-колебания
Разность фаз вызывает
вращение вектора
результирующего
электрического поля
*Фиг. 11. Толщина кристалла кальцита (фиг. 10) такова, что в результате про-
хождения через кристалл £-волна опережает по фазе О-волну на л/2.
В результате сложения волн, выходящих из кристалла, свет оказывается поляризованным
по кругу.
«Фиг. 12. Простые фигуры Лиссажу, возникающие в результате сложения гар-
монических колебаний с разными угловыми частотами по двум перпендикуляр-
ным осям.
Незатухающие и затухающие гармонические колебания
29
дополнительный набег фазы в 90° относительно О-волны. Сло-
жение этих двух волн дает свет, поляризованный по кругу, элек-
трический вектор которого описывает спираль (винтовую ли-
нию) против часовой стрелки.
2. Колебания с разными частотами {фигуры Лиссажу)
Если частоты двух перпендикулярных гармонических коле-
баний неодинаковы, то результирующее движение становится
более сложным. Соответствующие траектории движения назы-
ваются фигурами Лиссажу. Пример таких кривых приведен на
фиг. 12, где частоты осевых колебаний связаны простыми соот-
ношениями, указанными на фигуре, и
б = ф2 — Ф1 = -2--
Если амплитуды колебаний равны а и Ь, то получающаяся
фигура Лиссажу будет всегда ограничена прямоугольником со
сторонами 2а и 2Ь. Стороны этого прямоугольника будут всегда
касаться кривой в ряде точек, причем отношение числа точек
касания, лежащих на оси х, к числу точек касания, лежащих на
оси у, обратно пропорционально отношению соответствующих
частот (фиг. 12).
Сложение большого числа п гармонических колебаний
одинаковой амплитуды а с последовательным сдвигом
по фазе на 6
На фиг. 13 складываются п векторов одинаковой длины а,
каждый из которых описывает гармонические колебания, сдви-
нутые по фазе относительно соседних на б. Такое сложение ха-
рактерно для двух физических явлений. Первое из них встретит-
ся нам в гл. 4 как задача о волновом пакете. Здесь разность
фаз б связана с малой разностью частот бсо соседних компонент,
образующих волновой пакет. С вторым мы встретимся в гл. 10,
где речь идет о распределении интенсивности поля при интер-
ференции и дифракции света. В этом случае складываемые гар-
монические колебания будут иметь одинаковую частоту, но каж-
дая компонента поля будет сдвинута по фазе относительно своей
соседней компоненты на постоянную величину благодаря допол-
нительному пути, который она прошла.
На фиг. 13 приведено графическое изображение суммы ряда
/? cos (со/ + а) = a cos со/ + a cos (<о/ + б) + а cos (со/ + 26) + ...
... + a cos (со/ + [п — 1] б).
30
Глава 1
Здесь R — амплитуда результирующего вектора, а а — его фазо-
вый сдвиг относительно первой компоненты a cos со/. Из геомет-
рических соображений следует, что длина каждого отрезка
дается формулой
О . 6
а — 2r sin у,
где г — радиус круга, описывающего (неполный) многоугольник»
Фиг. 13. Векторное сложение большого числа п гармонических колебаний рав-
ной амплитуды а с одинаковым последовательным сдвигом фаз б.
Амплитуда результирующего колебания Д=2г sin (пб/2)=а sin (n6/2)/sin 6/2, причем его
фаза сдвинута относительно фазы первого слагаемого на величину а==(п —1)6/2.
Длина результирующего вектора находится из равнобедрен*
ного треугольника О АС:
R — 9r sin nd — a sin (nS/2)
а — sin 2 — a sjn б/2
Как видно из фиг. 13, фазовый угол результирующего вектора
а== Z О АВ— Z О АС.
В равнобедренном треугольнике ОАС
Z ОАС = 90°--у-,
Незатухающие и затухающие гармонические колебания
31
а в равнобедренном треугольнике ОАВ
ЛОАВ = 90а-~-,
следовательно,
а-=(90--4)-(90°—i)_(n-l)A.
Иными словами, фазовый угол а равен половине разности фаз
между первой и последней компонентами. Таким образом, ре-
зультирующий вектор запишется в виде
R cos (<о/ + а) = а cos Гео/ + (п — 1) -у].
Несколько далее в этой главе мы получим тот же самый резуль-
тат как пример применения экспоненциальных обозначений для
синуса и косинуса.
Сейчас же исследуем поведение длины результирующего век-
тора
П__ Sin (nd/2)
К~а sin (d/2) ’ .
которая не постоянна, а зависит от величины б. Когда число п
очень велико, а сдвиг б очень мал, многоугольник становится ду-
гой окружности с центром в точке О. Длина дуги равна па — 4,
a R — ее хорда. В этом случае
, ,ч д пб
а = (п-1)т« —
Следовательно, в таком пределе
D___ sin (яд/2) _ sin a ___ sin a ___ < sin a
sin (0/2) a/n a a
На фиг. 14 показано, как функция 4sina/a зависит от a.
Кривая зависимости симметрична относительно вертикальной
прямой а = 0 и проходит через нуль во всех случаях, когда
sin a = 0, кроме случая, когда а~>0, тде sina/a->l. При
a = 0 мы имеем б = 0 и в результате сложения и векторов по-
лучаем отрезок прямой длиной А (1 на фиг. 14). Если 0 < a <
< л/2, то А — длина дуги окружности. При а = л/2 первый и
последний члены векторной суммы находятся в противофазе
(2a = л) и дуга А превращается в полуокружность, диаметр
32
Глава 1
которой равен амплитуде R результирующего вектора (2 на
фиг. 14). Дальнейшее увеличение 6 приводит к увеличению а, и
при а = л величина А равна длине окружности, а результирую-
щий вектор равен нулю (5 на фиг. 14). При а — Зл/2 длина А
в 3/2 раза больше длины окружности, диаметр которой равен
Фиг. 14. Кривая зависимости величины A sin а/а от а.
Указана амплитуда результирующих колебаний: / — при а=0; 2—при а=л/2; 3— при
а = л; 4 — при а=Зл/2.
амплитуде первого максимума (4 на фиг. 14).
Сложение п одинаковых векторов
простых гармонических колебаний с длиной а
и случайной фазой1'
Когда разность фаз между двумя соседними векторами, рас-
смотренными в последнем разделе, может принимать случайные
значения ф, лежащие в интервале от 0 до 2л, векторная сумма
и результирующий вектор R могут быть изображены так, как
на фиг. 15.
Проекции вектора R на оси х и у даются следующими выра-
жениями:
п
Rx = a cos q>] + a cos Ф2 + a cos ф3 + ... + a cos ф„ = а У, cos фг,
i=i
= « У 81пф,,
i=l
где
= +
’) Этот раздел можно пропустить при первом чтении.
Незатухающие и затухающие гармонические колебания
33
Теперь
ап \2 г п п п “I
>2 COS <рг) = а21 £ cos2 фг + £ cos<p< £ cos фу ,
= 1 / 1 = 1 isl /=1
L J
где множители cos ф/ и cos ф/, входящие в общий член
2 cos ф/cos ф/ двойной суммы, принимают случайные значения
от —1 до 4-1- В результате
усредненная сумма всех таких
произведений практически равна
нулю.
Суммирование ряда
п _____
У COS2 ф/ = п COS2 ф
1 = 1
свелось к умножению числа чле-
нов ряда п на среднее значение
соь2ф, которое равно интегралу
от функции cos2q), вычисленному
в интервале от 0 до 2л и поделен-
ному на длину интервала 2л:
2л
COS2 Ф = C°S2 Ф ^Ф = J =
О ____
= 8Ш2ф.
Фиг. 15. Результирующий вектор
длиной R =^Jna, полученный пу-
тем сложения п векторов длиной
а со случайной фазой.
Эта формула имеет важное значение
в теории оптической некогерентности
и в расчете энергии волн, теряемой за
счет случайных диссипативных процес-
сов.
Следовательно,
R2X = а2 cos2 ф. = па2 cos2 фх. = ,
f=l
/?2 = а2 sin2 ф* = па2 sin2 ф. = ,
i==l
откуда
R2 = R2X + R2y = na2,
т. е.
R — ^па,
Таким образом, амплитуда R системы, участвующей в п оди-
наковых гармонических колебаниях с одинаковой амплитудой а
и случайными фазами, равна всего лишь ^па, тогда как при
сфазированности всех движений амплитуда R равнялась бы па.
Данный результат иллюстрирует очень важный принцип случай-
ного поведения системы. (Задача 1.16.)
2 Зак. 1186
34
Г лава 1
Применение
1. Некогерентные источники в оптике. Полученный выше ре-
зультат имеет прямое отношение к вопросу о когерентности в оп-
тике. Когерентными называют сфазированные световые источ-
ники. Когерентность — необходимое условие эксперименталь-
ного получения эффектов оптической интерференции. Если ам-
плитуда одного светового источника равна а, а его интенсивность
пропорциональна а2, то полная амплитуда излучения п когерент-
ных источников равняется па, а его интенсивность пропорцио-
нальна (п2а2). Излучение некогорентных источников характери-
зуется случайными фазами; поэтому полная амплитуда излуче-
ния п таких источников равна ^па, а его интенсивность про-
порциональна па2. Здесь а—амплитуда излучения одного источ-
ника.
2. Случайные процессы и поглощение энергии. Для нас здесь
случайные процессы важны своим вкладом в потери энергий
или поглощение волн, распространяющихся через среду. Мы бу-
дем встречаться с этим, какие бы волны ни рассматривали. Слу-
чайные процессы, например столкновения между частицами при
броуновском движении, имеют очень большое значение в физике.
Диффузия, вязкость или сопротивление трения, теплопровод-
ность— все; это обусловлено процессами случайных столкнове-
ний. Такие процессы, приводящие к диссипации энергии, связаны
с переносом массы, импульса и энергии и протекают только в
направлении увеличения беспорядка. Они называются «термоди-
намически необратимыми» процессами и сопровождаются увели-
чением энтропии. Тепло, например, может передаваться только
от тела с более высокой температурой к телу с более низкой
температурой.
Предположим, что в проведенном выше анализе отрезок а
не амплитуда гармонических колебаний, а среднее расстояние,
проходимое частицей между двумя случайными столкновениями
(средняя длина свободного пробега). Тогда после п таких столк-
новений (с одинаковыми в среднем временными интервалами ме-
жду столкновениями) частица отойдет от своего положения при
t = Q в среднем только на расстояние Vпа. Поэтому пройден-
ный путь пропорционален корню квадратному из времени, про-
шедшего после того, как началось движение, а не первой сте-
пени этого времени. Это свойственно всем случайным процессам.
Расстояние л/па пройдут не все частицы системы. Но это
расстояние наиболее вероятно и представляет собой статистиче-
ское среднее.
Случайное поведение системы описывается уравнением диф-
фузии (см. последний раздел гл. 6), при этом всегда будет воз-
никать постоянная, называемая коэффициентом диффузии для
Незатухающие и затухающие гармонические колебания
35
данного процесса. Размерность коэффициента диффузии всегда
такова: (длина)2/время; эту величину нужно интерпретировать
как некую характерную длину процесса, в котором расстояние
изменяется лишь как корень квадратный из времени.
Некоторые сведения из математики
Разложение экспоненциальной функции в ряд
«Естественным процессом» роста или уменьшения называют
такой процесс, при котором изменение рассматриваемой вели-
чины в данном пространственном или временном интервале рав-
но некой постоянной доле самой величины. Закону естествен-
ного роста следует, например, прирост капитала, составляющий
5% годовых. Процессы затухания
в физике обычно следуют закону'
естественного уменьшения.
В дифференциальной форме
этот закон запишется в виде
dN , , dN , ..
=±аах или — = + aa/,
где N— изменяющаяся величина,
a a — постоянная; знак плюс от-
носится к случаю возрастания,
а знак минус — к случаю умень-
шения величины N. Таким обра-
зом, производные dNIdx или
dN/dt пропорциональны тому зна-
чению 7V, при котором опреде-
Фиг. 16. Кривые зависимости
экспоненциальных функций у = е*
и у = е~х от х.
ляется производная:
В результате интегрирования приведенных выше уравнений
получаем
N = Nq6±{ix или N = ,
где Nq—значение величины W при х = 0 или t = 0, а е — осно-
вание натуральных логарифмов.
Разложение в ряд экспоненциальной функции определяется
следующим образом:
v2 м3
«'=i+*+i-+^+ +^г+ •
График этой функции при положительных и отрицательных зна-
чениях х приведен на фиг. 16. Важно отметить, что, каков бы
ни был вид показателя величины е, он представляет собой сте-
пень, в которую возводится эта величина, а потому всегда без*
2*
36
Глава 1
размерен. Следовательно, величина ах безразмерная и множи-
тель а должен иметь размерность величины х”1.
Записывая
еах=1+(1х + ±^)1_|_1^)1+ # > _
X; О1
сразу получаем, что
I 2а2 I За3 9 .
— ^==а+_ х + _х2+ ...=
Ti । । (ах)2 . (ах)3 . 1 „„
= а[1 4- ах + + -4jp- + ...]=ае°\
Аналогично
d2
еах = а2еах.
В ряде случаев в этой главе мы будем пользоваться соотноше-
ниями
А- еа/ = аеа*, ~пгеаЛ — «2еа*.
dt dt2
Прологарифмировав, легко показать, что
ехеу — ех+у,
поскольку
In (exev) — In ех + In еу = х + у.
Обозначение i = — \
В физике особенно удобна комбинация ряда для экспоненци-
альной функции с комплексной формой записи i = ^/—1. Здесь
мы покажем математическое удобство представления синусои-
дальных или косинусоидальных колебаний в комплексной фор-
ме eix — cos х + i sin x.
В гл. 2 мы увидим также, что мнимую единицу i выгодно ис-
пользовать в качестве векторного оператора.
Функции sinx и cos х следующим образом разлагаются в ряд:
уЗ у5 у7
sin X = X “Ь "5! 7!~ “Ь • • • >
у2 уб
IyV । Л I
~ "гГ + "4! "ёГ • • • •
Поскольку
Z = t2=—1, i3— — i и т. д.,
Незатухающие и затухающие гармонические колебания
37
получаем
?*=1+гх+^ + -^ + -^-+ ... =
1 . х2 ix?' . х4 .
1 -f- IX 21 з| 4“ 41 "Ь • • •
1 х2 . х1 . . . ( х" . х5 \ . . .
= 1 — -gf + + ... + Ц* — -3Г + -5Г — • • . ) = COS X + I sin X.
Мы также видим, что
diY • i Y » •
— el — te = z cos x — sin x.
dx
1Лъ\ будем часто заменять синус или косинус функцией eix, а
чтобы вернуться к исходной форме записи — брать мнимую часть
решения в случае синуса и действительную часть решения в слу-
чае косинуса.
Примеры
1. В случае простых гармонических колебаний (х + <о2х = 0)
возьмем в качестве пробного решения функцию х = ае'^е'ч, где
а — постоянная длина, а ф (и, следовательно, eZ(₽) — безразмер-
ная константа:
d х
-тг — х — ц£>ае{а>*е‘ф = /шх,
dt
= х = i2a2aeiatetv = — а>2х.
dt*
Следовательно, функция
х = аеше1® — ае1 +(р} = a cos (со/ + ф) + sin (со/ + ф)
является полным решением уравнения х + со2х = 0.
На стр. 24 мы использовали решение в виде синуса. Решение
в виде косинуса также справедливо, оно отличается лишь сдви-
гом фазы ф на л/2.
2. е{х + е~{х=2(1 -4 + 4“ ...) = 2cosx,
е/х — e~lx = 2i(x —дг + 4;--------... 'j = 2i sin x.
3. На стр. 32 мы нашли геометрическим методом результат
сложения гармонических колебаний:
a cos и/ 4- a cos (<в/ + б) + a cos (со/ + 26) + ...
.. . + а cos (со/+ [п — 1] б) = а - cos { ^ + (-пгЧ 6 } •
0141 U/ \ \ £л J J
38
Глава 1
Мы можем получить тот же самый результат, представив коси-
нусы в виде комплексных экспонент и вычислив сумму ряда
как сумму геометрической прогрессии:
ggitot -|- даИю^+б) ggi (art+26) _|_ . Qgi [<о£ + (п—1)6] —
= aei<Sit (1 + -J- ei26 + ... 4-£/(п“1)б) =
2 1 — е"г6 fin6/2 (e~in6/2 __ Лп6/2\
= ае1^ -—= ае™ -L =
1 -?6
ei6/2 (e-i6/2 _ ^id/2)
— pi {at+[(n -1)/2] 6} _sin (nd/2)
sin <5/2 ’
Если теперь перейти от комплексной формы записи к исходной,,
действительной форме, то получим прежний результат
( 4 f ( П ~ 1 \ X 1 8’П (лб/2)
a cos < со/ + I —Q— 16 > —♦-'я/о-
I 1 \ 2 / ) sin 0/2
(Задача 1.17.)
4. Допустим, что мы записали гармоническое колебание с по-
мощью комплексной экспоненциальной функции
2 =
где а — действительная амплитуда. Если заменить i величиной
—I, то мы получим комплексно сопряженную функцию
=
О применении комплексно сопряженных величин подробнее го-
ворится в гл. 2, а здесь мы отметим лишь, что произведение
двух комплексно сопряженных величин всегда равно квадрату
амплитуды:
22* = а2еме~'®* = а2.
(Задача 1.18.)
Затухающие гармонические колебания
Ранее мы рассматривали случай идеальных гармонических
колебаний, в котором полная энергия системы остается постоян-
ной, а смещение изменяется по закону синуса — очевидно, неог-
раниченно долго. В действительности же некоторая доля энер-
гии всегда теряется из-за наличия сопротивления или вязкости.
Например, амплитуда свободно колеблющегося маятника всегда
будет уменьшаться со временем, по мере того как теряется энер-
гия.
Наличие сопротивления движению означает действие другой
силы, которую принимают пропорциональной скорости. Подобна
Незатухающие и затухающие гармонические колебания
39
силе упругости, она всегда действует в направлении, противопо-
ложном ускорению (фиг. 17). Новое уравнение баланса сил, или
уравнение движения, принимает вид
mx = —- sx — гх,
где г — постоянный коэффициент пропорциональности, равный
силе сопротивления, приходящейся на единицу скорости. Нали-
чие такого слагаемого всегда будет приводить к потерям энер-»
гии.
х
Сила гх
трения
Фиг. 17. Гармонические колебания тела, на которое действует тормозящая
сила (или сила трения) гх, направленная против движения системы.
Уравнение движения: mx + rx + sx=0.
Теперь задача заключается в том, чтобы найти зависимость
смещения х от времени из уравнения
mx + rx + sx = 0, (1.4)
где т, г и $ — постоянные коэффициенты.
Когда эти коэффициенты постоянны, можно всегда найти
решение в виде х — Ceat. Поскольку экспоненциальная функция
безразмерна, постоянная С, очевидно, имеет размерность вели-
чины х (скажем, длины), а размерность величины а обратна
размерности времени. Мы увидим, что существуют три возмож-
ных вида этого решения, каждый из которых описывает различ-
ную зависимость смещения х от времени. В два из них величина
С входит в явном виде как постоянная длина, а в третьем слу-
чае она принимает вид1)
С = А + Bt,
где А—длина, В — скорость, a t—время, что обеспечивает ве-
личине С общую размерность длины, как и должно быть. Для
нас этот случай не самый важный.
!) Число возможных постоянных, входящих .в общее решение дифферен-
циального уравнения, всегда равно порядку уравнения (т. е. порядку высшей
производной в нем). Поскольку уравнение (1.4) —второго порядка, возможны
две постоянные А и В. Значения постоянных выбирают так, чтобы выполня-
лись начальные условия.
40
Глава 1
Считая С постоянной длиной, получаем
х = аСеа*, х = o?Ceat;
поэтому уравнение (1.4) можно переписать в виде
Ceat (та2 4- га + s) = 0.
Отсюда либо
х = Сеа* = 0 (тривиальный случай),
либо
та2 4- га + s = 0.
Решая квадратное уравнение относительно а, находим
Отметим, что размерность всех членов г/2т, (s/m)}^ и, следова-
тельно, величины а обратна размерности времени, что и соответ-
ствует виду функции eat.
Теперь смещение можно переписать следующим образом:
д. — (^е-г1/2т±{г2/4т2-8/т)^21
где разность г2/4т2— s/m может быть положительной, нулевой
или отрицательной в зависимости от соотношения между двумя
ее членами. Каждому из этих трех случаев соответствует одно
из трех возможных решений, указанных выше. Каждое решение
описывает особый вид движения. Мы рассмотрим эти решения
в порядке их важности с нашей точки зрения. Третьему решению
будет уделено главное внимание в остальной части книги.
Итак, рассмотрим три случая.
1. Разность в скобках положительна (r2/4m2 > s/m). В этом
случае член r2/4m2, описывающий демпфирующее сопротивление,
превышает член s/m, связанный с жесткостью. Вследствие силь-
ного затухания мы имеем апериодическое движение.
2. Разность в скобках равна нулю (r2/4m2 = s/m). Равенство
двух членов соответствует критическому затуханию.
3. Разность в скобках отрицательна (r2/4m2 < s/m). При на-
личии небольшого затухания мы имеем затухающие гармониче-
ские колебания.
Случай 1. Сильное затухание.
Вводя новые обозначения
г ( г2
2tn Р И \ 4m2
мы можем переписать решение
д- — QQ-rtl'2m±{r'il\m2—slm)v^ t
Незатухающие и затухающие гармонические колебания
41
в виде
x = + С2е“^).
Здесь постоянные Ct (/=1,2) могут принимать любые значе-
ния, но их размерность совпадает с размерностью постоянной С
(отметим, что возможны два независимых значения С, поскольку
дифференциальное уравнение (1.4) — второго порядка).
Если теперь положить
F = C1~|-C2, G = C{ — C^
то получим смещение в виде
X = e~pt [ (eit + e~pt) + у (е<7< “ >
ИЛИ
х — e~pt (F ch qt + G sh qt).
Такое выражение описывает апериодический процесс. Фактиче-
ское смещение будет зависеть от начальных условий, т. е. от
Фиг. 18. Апериодическое движение гармонической системы с сильным зату-
ханием (г2/4/п2 > s/m), после того как она была резким толчком выведена
из положения покоя х = 0.
значения величины х в момент времени t — 0. Если при / = 0
мы имеем х = 0, то F = 0 и
X = Ge~rt/2m sh Г( -Д- — — у/2 /1.
|Д 4m2 tn J J
Для иллюстрации на фиг. 18 представлен случай, когда си-
стема с большим затуханием выведена из состояния равновесия
резким толчком (т. е. при t=0 имеется некоторая скорость).
Система будет возвращаться в состояние с нулевым смещением
довольно медленно без каких-либо осцилляций около своего по-
ложения равновесия. Более строгий математический анализ по-
казывает, что скорость dxldt обращается в нуль только один раз
и поэтому смещение имеет только один максимум. (Задача 1.19.)
42
Глава 1
Случай 2. Критическое затухание (г2/^Ш2 = s/m)
Пользуясь теми же обозначениями, что в случае 16, получаем
что q = 0 и х — Ce~pt. Это предельный вариант случая 1 при из-
менении q от положительных до отрицательных значений. Квад-
ратное уравнение для а имеет одинаковые корни, а поэтому по-
стоянная С в решении дифференциального уравнения должна
быть записана в виде С = А + В/, где А — постоянная длина, а
В — определенная скорость, зависящая от начальных условий.
Проверкой легко убедиться, что величина
х = (А + Bt) e~rt/2m = (А + Bt) e~pt
удовлетворяет уравнению mx 4~ гх + — 0, если r2/4m = s/m.
(Задача 1.20.)
Баллистический гальванометр
Критическое затухание («успокоение») имеет важное значе-
ние в измерительных приборах, таких, как баллистические галь-
ванометры, которые испытывают резкие импульсные воздействия
и которые должны за минимальное время возвращаться в поло-
Фиг. 19. Предельный случай апериодического движения гармонической си-
стемы с затуханием, когда r2l^m2 = s/m (критическое затухание).
жение нулевого смещения. Допустим, что на такой гальвано-
метр, световой зайчик которого при t — 0 стоит на нуле, подает-
ся некоторый электрический заряд, в результате чего световой
зайчик начинает двигаться со скоростью V по линейной шкале.
Тогда при t = 0 мы имеем х = 0 (поэтому А = 0) и х = К
Но при t — 0
х = В [(- pt) e~pt + е-^] = В,
а поэтому В = V и полное решение имеет вид
х = Vte~pt.
Незатухающие и затухающие гармонические колебания
43
Максимальное смещение х достигается в тот момент, когда
световой зайчик гальванометра останавливается, прежде чем
начать двигаться к положению нулевого смещения. При макси-
мальном смещении
х== Ve^(\ =
отсюда 1 — pt — 0, т. е. t = 1/р.
Следовательно, в этот момент времени смещение имеет вид
X = Vte~pt = — е-1« 0,368 — = 0,368 .
Р р г
Кривая зависимости смещения от времени представлена на
фиг. 19. В системе с критическим затуханием возврат в состоя-
ние с нулевым смещением происходит за минимальное время.
Случай 3. Затухающие гармонические колебания
При r2/4m2 < s/m затухание невелико, и мы получаем самый
важный для нас вид движения — затухающие гармонические ко-
лебания.
Величина (r2/4m2— s/m)'!* является мнимой, т. е. это квад-
ратный корень из отрицательного числа; ее можно переписать
следующим образом:
± ± V=T (4 - - ± I (4 -
отсюда находим смещение:
д- — QQ—rtl2mQ±.i
Размерность величины (s/m — r2/4m2)V1 обратна размерности
времени, т. е. это величина с размерностью частоты, и ее можно
обозначить через со'. Тогда вторая экспоненциальная функция
примет вид е1®'* = cos со'/ + i sin со'/. Отсюда следует, что смеще-
ние осциллирует с новой частотой со' < © = (s/m)/2, где <о — ча-
стота идеальных гармонических колебаний. Чтобы провести срав-
нение между осциллятором с затуханием и идеальным осцилля-
тором, нам хотелось бы записать решение в таком же виде, как
и в идеальном случае, т. е. в виде х = A sin(co7 + <р), где час-
тота со была заменена частотой о/.
Мы можем сделать это, написав
х = е^2тп(Схе1^ + С2е-/<й'9.
Если теперь мы положим
С, = 4г« а с, —4а-»,
44
Глава 1
где А и ф (и, следовательно, е1®)— константы, которые зависят
от характеристик движения при t — 0, то после подстановки по-
лучим
i (w'f+tp) , -i (юЧ+т)
х = ~ Ae~rt/2m sjn (q// <р).
Такое преобразование эквивалентно наложению начального
условия х = A sin ф при t = 0 на решение х. Таким образом,
смещение изменяется во времени по закону синуса, как и в слу-
чае идеальных гармонических колебаний, но теперь частота ко-
лебаний иная:
, ( s г2 \Чг
Ю \ т 4 т2 ) ’
а амплитуда колебаний содержит дополнительный экспоненци*
альный множитель e~rt/2m, монотонно убывающий со временем.
Фиг. 20. Затухание колебаний при s/m <r2/4m2.
Амплитуда уменьшается как е~'г^2т, а приведенная угловая частота определяется соот-
ношением (o'2=s/m—г2/4дп2.
Если при t = 0 мы имеем х = 0, то ф = 0. На фиг. 20 пред*
ставлена кривая такой зависимости х от времени. Осцилляции
величины х постепенно затухают, причем огибающая (штрихо-
вая кривая, проходящая через точки максимальной амплитуды)
следует закону e~rtl2tn. Постоянная А — это, очевидно, то значе-
ние, до которого выросла бы амплитуда колебаний в первом
максимуме, если бы не было затухания.
Таким образом, наличие силы гх в уравнении движения при-
водит к потерям энергии, которые вызывают затухание ампли-
туды колебаний во времени согласно множителю e~rt/2rn. (За-
дача 1.21.)
Незатухающие и затухающие гармонические колебания
45
Методы описания затухания осциллятора
Ранее в данной главе мы видели, что энергия осциллятора
определяется формулой
Е = у ma2co2 — ~ sa2t
т. е. пропорциональна квадрату его амплитуды.
Выше мы пришли к выводу, что при наличии тормозящей
силы амплитуда колебаний убывает со временем по закону
g—rt{2m
и, следовательно, энергия уменьшается пропорционально вели-
чине
(p-rt/2my2 — Q-rtlm *
Чем больше тормозящая сила гх, тем быстрее уменьшаются
амплитуда и энергия. Следовательно, мы можем характеризо-
вать скорость, с которой уменьшаются амплитуда и энергия,
экспоненциальным множителем.
1. Логарифмический декремент затухания
Эта величина характеризует скорость уменьшения ампли-
туды. Возьмем выражение
х = Ae~rtl2m sin (со7 + <р),
положим в нем
и перепишем его в виде
х = Аъе~г*12т cos со7,
где х = Aq при t = 0. Изменение х во времени будет следовать
кривой, представленной на фиг. 21.
Если период колебаний равен т', причем х' = 2л/й/, то через
один период амплитуда будет равна
A^AqC-^^'.
Отсюда
Л?. — ргт,'12т — рб.
А. >
величина
46
Глава 1
называется логарифмическим декрементом затухания. Он равен
логарифму отношения двух амплитуд колебаний, разделенных
во времени одним периодом, причем большая амплитуда служит
числителем, поскольку е6 > 1.
Аналогично
_ er (2т')/2т _ e2d
А2 * Ап
Экспериментально величину б лучше всего определять по из-
менению амплитуды колебаний за п периодов. В этом случае
Фиг. 21. Логарифм отношения двух амплитуд, разделенных во времени одним
периодом, называется логарифмическим декрементом затухания: б =
== 1п(Ап1Ап+д = гх'/Ът.
величина б находится как тангенс угла наклона кривой зависи-
мости величины InAoMn от п.
2. Постоянная времени затухания
Затухание можно характеризовать временем, за которое ам-
плитуда уменьшается до величины, составляющей
е~1 = 0,368
ее начального значения Ао- Такое время называется постоянной
времени затухания. В момент времени t = 2m/r достигается ам-
плитуда
At = Aoe-rt/2m = Atf-1.
Незатухающие и затухающие гармонические колебания
47
В физике широко принято характеризовать естественное за-
тухание величины временем ее уменьшения в е раз, поскольку
время, необходимое для уменьшения ее до нуля в процессе есте-
ственного убывания, равно (конечно, теоретически) бесконеч-
ности.
(Задача 1.22)
3. Добротность Q гармонического осциллятора с затуханием
Эта величина характеризует скорость уменьшения энергии»
Поскольку амплитуда уменьшается по закону
А = A0e~rt/2mt
энергия уменьшается пропорционально величине
A2 = A20e~rt/m
и можно написать •
Е = Еое^т^,
где Eq — энергия при t = 0.
Время, необходимое для уменьшения энергии Е до значения
fo^1, равно t = m/r секунд. За это время фаза осциллятора из-
менится на (s/mfr радиан.
Мы определим добротность
______________________________(д'т
г
как число радиан, на которое изменяется фаза системы с зату-
ханием при уменьшении энергии системы до значения
Е — Е&~1.'
Обычно добротность Q очень велика и, следовательно, демпфи-
рующее сопротивление г очень мало, а потому
m 4m2
И
ю'«<0о=(-£.у‘.
Таким образом, в очень хорошем приближении мы можем напи-
сать
q___ (Нот
Ч г
и считать добротность постоянной величиной для системы с за-
туханием.
48
Глава 1
Поскольку добротность Q(=coom/r) постоянна, отношение
Энергия, накопленная в системе
Энергия, теряемая за один период
тоже постоянно, так как
Q d)otn у am
2л 2пг г
есть число периодов (или полных колебаний), которое необхо-
димо для уменьшения энергии системы до значения Е = Е^е~х.
Если
E = Eae-^m'>t,
то энергия, теряемая за один период, равна
— dE = — Edt = — е+г,
т ту
где dt = 1/v' = т'— период колебаний. Таким образом,
Энергия, запасенная в системе _ Е ___ у'т ~ yQm ___ Q
Энергия, теряемая за один период — dE г ~ г 2л
В следующей главе мы встретимся с той же добротностью Q
в ее новых ролях: во-первых, она выступит как мера частотной
ширины линии поглощения для осциллятора с затуханием, воз-
буждаемого вблизи резонансной частоты, и, во-вторых, она бу-
дет характеризовать увеличение смещения осциллятора при ре-
зонансе.
Пример', расчет добротности гармонического осциллятора с
затуханием
Электрон в атоме, который свободно излучает энергию, ведет
себя подобно простому гармоническому осциллятору с затуха-
нием. Мощность излучения равна Р = ^2ш4х2/12ле0с3 ватт на
длине волны 0,6 мкм (6000 А). Показать, что добротность Q
атома — порядка 108, а его время свободного излучения — по-
рядка 10-8 с (время, необходимое для уменьшения начальной
энергии атома в е раз). Здесь
q = 1,6 • 10~19 кулон,
74ле0 = 9 • 109 метр • фарада-1
те = 9- 10~31 килограмм,
с = 3 • 108 метр • секунда-1,
х0 = максимальная амплитуда колебаний.
Мощность излучения равна Р = —vdE, где —dE есть энергия,
теряемая за один период. Энергия осциллятора дается формулой
Е = 1/2mg(O2X2.
Незатухающие и затухающие гармонические колебания
49
Следовательно,
2 2
2лЕ VntnAi) хп
Р ’
подставляя указанные выше значения параметров и учитывая,
что (о = 2nv = 2лс/Х, где А,— заданная длина волны, получаем
значение Q ~ 5-107.
Соотношением Q = at определяется время излучения
/ - IO"8 с.
Диссипация энергии
Мы уже видели, что наличие силы сопротивления приводит к
уменьшению амплитуды колебаний со временем вследствие дис-
сипации энергии.
Полная энергия по-прежнему равна сумме кинетической и по-
тенциальной энергий:
Е — у mx2 + sx2.
Однако теперь производная dEjdt отлична от нуля и отрица-
тельна, поскольку энергия теряется. Следовательно,
4т- = (у m*2 + у s*2) =х(тх + sx) = — гх2,
где было использовано уравнение mx + гх + sx = 0. Отсюда сле-
дует, что скорость уменьшения энергии равна работе, совершае-
мой против силы трения за единицу времени (размерность про-
изведения сила X скорость такова: сила X длина/время). (За-
дачи 1.23, 1.24.)
Затухающие гармонические колебания в электрическом кон-
туре
В случае электрического контура, содержащего катушку ин-
дуктивности, резистор и конденсатор (фиг. 22), уравнение сил
для механического осциллятора заменяется уравнением для на-
пряжений.
Следовательно, мы имеем уравнение
+ m + t =
или
Lq + Rq + ± = 0.
50
Глава 1
Сравнивая с решениями для х в механическом случае, мы сразу
получаем, что заряд дается выражением
q _ q^-WL ±(R*/4L*- \ilc№
При l/LC > R2/4L2 это решение дает величину, осциллирующую
с частотой со, которая определяется равенством
Из вида экспоненциально-убывающего члена следует, что от-
ношение R/L имеет размерность Г”1, обратную размерности вре-
мени, т. е. размерность частоты <о, а поэтому произведение coL
имеет размерность сопротивления R и измеряется в омах.
l&TR^-O
Фиг. 22. Электрическая цепь, составленная из ка-
тушки индуктивности, конденсатора и резистора,,
в которой возможны затухающие гармонические
колебания. Сумма напряжений вдоль цепи опре-
деляется законом Кирхгофа: Ldlldt + IR. 4-
+ q!C = 0.
Аналогично, поскольку со2 — X/LC, l/coC, величина 1/<оС
также измеряется в омах. Эти результаты будут использованы
в следующей главе. (Задачи 1.25—1.27.)
Задача 1.1
Уравнение движения
тх = — sx,
где непосредственно применяется к системе, изобра*
женной на фиг. 1, в. Покажите, что при смещении маятника,
представленного на фиг. 1,а, на малое расстояние х коэффи-
циент жесткости (возвращающая сила на единицу смещения)
равен mg/l, а со2 = §//, где g — ускорение свободного падения.
Затем вместо х возьмите малое угловое смещение 0 и покажите,
что выражение для частоты со останется без изменения.
Колебания, представленные на фиг. 1,6 — вращательные, по*
этому инертная масса заменяется моментом инерции I диска, а
Незатухающие и затухающие гармонические колебания
51
коэффициент жесткости — возвращающим моментом сил нити,
который равен С на 1 радиан углового смещения. Покажите, что
<о2 = //С.
Покажите, что в случае системы, изображенной на фиг. 1,г,
коэффициент жесткости равен 27/Z, а со2 = 277Zm.
Покажите, что в случае системы, изображенной на фиг. 1,5,
коэффициент жесткости равен 2pg, a co2 = 2g/Z, где g— ускоре-
ние свободного падения.
В случае системы, изображенной на фиг. 1,е, колеблется
только газ, находящийся в горлышке сосуда. Он ведет себя как
поршень с массой pAZ. Учитывая, что изменения давления опре-
деляются уравнением состояния, возьмите уравнение адиабаты
pVy — const и, прологарифмировав, покажите, что изменение
давления в сосуде подчиняется уравнению
, dV Ах
dp = — yp — = — yp—>
где х — смещение газа в горлышке. Отсюда покажите, что со2 =
— ypA/lpV. Величина ур есть коэффициент жесткости газа (гл. 5).
Площадь поперечного сечения горлышка ареометра, изобра-
женного на фиг. 1,ж, равна А. Если ареометр приподнят на
высоту х относительно своего нормального уровня плавания, то
на него действует возвращающая сила, равная весу смещенной
жидкости (закон Архимеда). Покажите, что м2 = gpA/m.
Во всех случаях проверьте размерность величины со2.
Задача 1.2
Путем выбора соответствующих значений постоянных А и В
в уравнении (1.2) покажите, что в равной степени справедливы
решения для х:
х — a cos (со/ + <р), х = a sin (со/ — <р), х = a cos (со/ — <р).
Покажите, что эти решения удовлетворяют уравнению
х + со2х = 0.
Задача 1.3
Маятник, изображенный на фиг. 1, а, колеблется с амплиту-
дой а. Найдите фазовую постоянную <р для решений
х = a sin (со/ ± qp), х = a cos (со/ ± <р),
«если колебания начинаются из положения
л) х = а, б) х = —а, в) х = а!^2, г) х = а/2, д) х — Ъ.
52
Глава 1
Задача 1.4
Покажите, что отношение значений величины со2 для гармо*
нических колебаний трех систем, изображенных на фиг. 23, рав*
но 1:2:4.
Фиг. 23
Задача 1.5
Смещение гармонического осциллятора описывается уравне-
нием
х — a sin (со/ + <р).
Покажите, что если колебания начинаются в момент времени
t = 0 из положения х = х0 со скоростью х = vQi то
tg ф = cox0/u0, а = (%2 + а^/сй2)1/*.
Задача 1.6
Частица совершает гармонические колебания вдоль оси х с
амплитудой а. Из точки х в точку х + dx она перемещается за
время dt. Покажите, что вероятность найти частицу в интервале
от х до х + dx равна
_____dx____
л (а2 — х2)^2
(в квантовой механике эта вероятность отлична от нуля и при
х > а).
Задача 1.7
Вдоль оси х в некой среде равномерно распределено большое
число одинаковых гармонических осцилляторов. Фотография по-
казывает, что огибающая их смещения вдоль оси у является си-
нусоидой. Расстояние между осцилляторами с разностью фаз 2л
радиан равно X. Какова разность фаз осцилляторов, находящих-
ся на расстоянии х друг от друга?
Незатухающие и затухающие гармонические колебания
53:
Задача 1.8
На платформе, совершающей гармонические колебания с ча-
стотой 5 Гц в вертикальном направлении, стоит груз. Покажите,
что груз теряет контакт с платформой, когда ее смещение пре-
высит 10-2 м.
Задача 1.9
Груз с массой М подвешен на конце пружины длиной / с
коэффициентом жесткости s. Масса пружины равна /и, а ско-
рость элемента пружины dy пропорциональна расстоянию у до
закрепленного конца пружины. Покажите, что кинетическая
энергия этого элемента равна
где v — скорость движения подвешенного груза М. Проинтегри-
ровав эту величину по всей длине пружины, покажите, что ее
полная кинетическая энергия равна l/etnv2. Исходя из полной
энергии колеблющейся системы, покажите, что частота колеба-
ний определяется выражением
2__ $
0 ~ М + гп/3 '
Задача 1.10
Общая формула для энергии простого гармонического осцил-
лятора имеет вид
Е = 7г масса X (скорость)2 +
+ 7г коэффициент жесткости X (смещение)2-
Найдите формулы для энергии всех осцилляторов, изображен-
ных на фиг. 1. Выведите уравнение движения в каждом случае,
пользуясь условием
dt и*
Задача 1.11
Смещение гармонического осциллятора описывается уравне-
нием х = a sin со/. Считая, что смещение х и скорость х откла-
дываются на двух взаимно перпендикулярных осях, исключите
t и покажите, что геометрическим местом точек (х, х) является
эллипс. Докажите, что этот эллипс является кривой постоянной
энергии.
Задача 1.12
В гл. 10 будет показано, что распределение интенсивности
света, распространяющегося от двух щелей (опыт Юнга), опре-
деляется суперпозицией двух гармонических колебаний с одина-
54
Глава 1
новой амплитудой а и разностью фаз 6. Докажите, что эта ин-»
тенсивность описывается выражением
I = = 4а2 cos—.
В каких пределах она изменяется?
Задача 1.13
Проведите указанные в тексте выкладки, необходимые для
вывода уравнения (1.3) на стр. 24.
Задача 1.14
Координаты частицы массой т определяются уравнениями
х = a sin со/, y = b cos со/.
Исключите t и покажите, что траектория движения частицы
представляет собой эллипс. Сложив кинетическую и потенци-
альную энергии частицы в произвольном положении (х,у), дока-
жите, что такой эллипс является кривой постоянной энергии,
равной сумме отдельных энергий гармонических колебаний.
Докажите, что величина т(ху— ух) также постоянна. Что
представляет собой эта величина?
Задача 1.15
Рассмотрим гармонические колебания с одинаковой частотой
одновременно в двух взаимно перпендикулярных направле-
ниях— вдоль осей х и у. Колебания происходят с разностью фаз
б = (р2 — <рь
благодаря чему главные оси результирующего эллипса накло-
нены под некоторым углом к осям х и у. Покажите, что для оп-
ределения разности фаз достаточно измерить два отдельных зна-
чения х (или у).
(Указание. Нужно взять уравнение (1.3) и определить умаКс
и значение у при х = 0.)
Задача 1.16
Имеется набор из 21 значения величины sin ф/:
sin<p/ = ±l; ±0,9; ±0,8; ...; 0.
Выберите из него случайную группу из п значений и вычислите
.произведение
п п
S sin qp, У sin ф/.
/=1
Незатухающие и затухающие гармонические колебания
55*
Покажите, что среднее значение данного произведения для не-
скольких таких групп пренебрежимо мало по сравнению с вели-
чиной м/2.
Задача 1.17
Пользуясь тем же методом, что и в примере 3 на стр. 37, до-
кажите равенство
a sin со/ + л sin (со/ + &) + & sin (со/+ 26)4-.. . + а sin (co/+[n—1]6) =
• Г г । ( п \ xl sin ^6/2
Задача 1.18
Представив сумму ряда
a cos со/ + a cos (со/+ 6) + a cos (со/ + 26) + ... + a cos [со/ + (n— 1) 6],
в комплексной форме с помощью экспоненциальных функций:
z = (1 + ei& + ei2Q + ... +е*(п~1)б),
покажите, что
* _ 2 sin2 (пб/2)
ZZ sin2 6/2 •
Задача 1.19
Гармоническая система с большим затуханием (фиг. 18) сме-
щается на расстояние F относительно ее положения равновесия
и затем отпускается из состояния покоя. Покажите, что смеще-
ние системы описывается выражением
X-ft--'» ch -£)'\
Изобразите графически зависимость ее смещения х от времени..
Задача 1.20
Покажите, что смещение
х=-(Д + Bt)e~rt/2m
удовлетворяет уравнению
mx + гх + sx = 0,
если
г2 з
4m2 m ’
Глава 1
56
Задача 1.21
Покажите, что если на общее решение
х = e~rt/2m + C2e-f(0'9,
которое описывает затухающие гармонические колебания, нало-
жить начальное условие х = A costp при t = 0, то мы получим
д А
Ct = ±e*, С2 = 4е’4
Задача 1.22
Конденсатор с емкостью С, имеющий заряд q0, при t = 0 на-
чинает разряжаться через резистор с сопротивлением R. Исходя
из уравнения для напряжений
%- + lR =0,
покажите, что постоянная времени такого процесса в секундах
равна RC, т. е.
q = q^~t/RC-
(Величина t/RC безразмерная.)
Задача 1.23
Частота гармонического осциллятора с затуханием опреде-
ляется выражением
/2 5 Г2 2 Г2
w =со0~-W*
Покажите:
а) что при ©о —сд,2= 1О“6сдо добротность Q = 500, а лога-
рифмический декремент затухания б — л/500;
б) что при о)о= Ю6 Гц и т— 10“10 кг коэффициент жестко-
сти системы равен 100 Н-м-1, а коэффициент силы сопротивле-
ния г = 2-10~7 Н-с-м-1;
в) что если максимальное смещение при t = 0 равно 10~2 м,
то энергия системы равна 5-Ю-3 Дж, а время уменьшения энер-
гии в е раз составляет 50 мс;
г) что энергия, теряемая за первый период, равна 2л-10-5Дж«
Задача 1.24
Покажите, что относительное изменение резонансной частоты
<о0 = в случае гармонического механического осцилля-
тора с затуханием равно ~.(8Q2)-1, где Q — добротность.
Незатухающие и затухающие гармонические колебания
57
Задача 1.25
Покажите, что добротность электрической ЛС7?-цепочки дает-
ся формулой Q = &qL/R, где a2 — \)LC.
Задача 1.26
Плазма представляет собой ионизованный газ, содержащий в
равной концентрации (п/ = пе = п) ионы и электроны с заря-
дами противоположного знака ±е и с массой т, и те, причем
mt > те. При смещении электронов относительно ионов возни-
кает электрическое поле, которое возвра-
щает электроны в равновесное положе-
ние, если ионы считать неподвижными.
На фиг. 24 показан плазменный слой
толщиной /. Все электроны слоя сме-
щены на расстояние я, при этом воз-
никло возвращающее электрическое поле
Е = пех/ео, где е0 — постоянная. Пока-
жите, что на электроны действует воз-
вращающая сила (отнесенная к единице
площади), равная хп2еЧ]ъъ и что элек-
троны гармонически колеблются с угло-
вой частотой со| = пе21теЪц. Эта частота
называется электронной плазменной ча-
стотой. В такой ионизованной среде
могут распространяться только радио-
волны с частотой со > (о*. Этим объясняется отражение радио-
волн с (0 < (0е от ионосферы.
Задача 1.27
Простой маятник в виде тела массой т, которое подвешено
на конце нити длиной /, совершает малые колебания. Длина нити
очень медленно уменьшается за время, за которое маятник со-
вершает большое число колебаний с постоянной амплитудой /0,
где 0 — очень малый угол. Покажите, что при уменьшении длины
нити на величину — Д/ совершается работа — mgM (затрачивае-
мая на повышение положения равновесия) и энергия маятника,
увеличивается на
ДЕ = (mg —----m/02) Д/,
где 0—среднее значение угла 0 за время уменьшения длины
нити. Покажите, что в случае 0 = 0о cos ast энергию маятника в>
любой момент времени можно записать в виде
wZVO2 mglBl
Е~ 2 ~
58
Глава 1
и, следовательно,
Д£ 1 Д/ Av
Е ~ 2 / ~~ v ’
Иными словами, отношение энергии маятника Е к его частоте
колебаний v остается постоянным в ходе медленного изменения
параметра маятника. (Постоянство данного отношения при мед-
ленно меняющихся условиях имеет важное значение в кванто-
вой теории, где это постоянное отношение записывается в виде
целого кратного постоянной Планка.)
Сводка основных результатов
Простой гармонический осциллятор (масса т, коэффициент
жесткости s, амплитуда а)
Уравнение движения х + со2х = 0, где со2 = s/m.
Смещение х = a sin (<о/ + ф).
Энергия у mx2 + уsx2 = у m®2a2 = sa2 = const.
Сложение (амплитуды и фазы) двух гармонических колеба-
ний
В одном измерении
Одинаковая частота со, разные амплитуды, разность фаз 6,
результирующая амплитуда R, причем R2 = а2 + а2 + 2а{а2 cos S.
Разные частоты <х>, одинаковая амплитуда:
х = xi + х2 = a (sin (01/ + sin со2/) = 2а sin —1 cos .
В двух измерениях', взаимно перпендикулярные оси
Одинаковая частота со, разные амплитуды. В этом случае по-
лучается общее уравнение конического сечения
А’ + \ cos (ф2 — Ф1) = sin2 (<р2 — фО.
а2 а1а2
(Это уравнение лежит в основе теории оптической поляризации.)
Сложение п векторов, описывающих гармоническое движе-
ние (одинаковая амплитуда а и постоянный последовательный
сдвиг фаз 6)
Результирующая амплитуда /?cos(<o/+ а), где
р _ sin (nd/2)
к~а sind/2 > а —(n 1) 2 .
Незатухающие и затухающие гармонические колебания
59
Эти формулы важны в теории дифракции света и для описания
волновых пакетов, образованных из большого числа компонент.
Затухающие гармонические колебания
Уравнение движения mx + rx + sx = 0.
Колебания — при
— f2
т 4т2
Смещение х = Ae~ri/2m cos (со7 4- tp),
где
Уменьшение амплитуды
Логарифмический декремент затухания б— логарифм отно-
шения двух значений амплитуды, разделенных во времени од-
ним периодом: * 1
д=1п-Д-=-£-.
Дп+1 2m
Время релаксации
Время, необходимое для уменьшения амплитуды до значения
А == AQe-rt/2'n = т. е. t = 2m!r.
[ Уменьшение энергии
Добротность Q равна числу радиан, на которое изменяется
фаза колебаний при уменьшении энергии до значения Е = £ое-1:
QtoQtn п Энергия, запасенная в системе
г Энергия, теряемая за один период
Е — E^e~rtlrn = Е§е~\ когда Q = co0^
1 В случае затухающих гармонических колебаний
~~ — (mx sx) х = — rx2 (работа, совершаемая силой сопро-
тивления в единицу времени).
В эквивалентных выражениях для электрических осцилля*
торов необходимо произвести замену r->R и
Уравнение для сил переходит в уравнение для напряжений.
Глава 2
Вынужденные колебания осциллятора
Действие оператора i на вектор
Мы уже видели, что гармонические колебания удобно описы-
вать функцией Мнимая единица i удобна в математическом
отношении, и, кроме того, ее можно рассматривать как вектор-
ный оператор, имеющий определенный физический смысл. Когда
вектор умножается на i, т. е. i действует на вектор, этот вектор
поворачивается на положительный (т. е. против часовой стрел-
ки) угол л/2. Действуя как оператор, i увеличивает фазу вектора
на 90°. Оператор —i поворачивает вектор по часовой стрелке на
л/2 и уменьшает его фазу на 90°.
Фиг. 25. Векторное представление комплексных величин, в котором исполь-»
зуются оператор i и показатель экспоненты.
Звездочкой обозначаются комплексно сопряженные величины, в которых i заменено вели-
чиной — i.
Комплексную величину r = a-{- ib можно изобразить на пло-
скости в виде вектора, как на фиг. 25, где величина а отложена
по оси абсцисс, а величина ib — по оси ординат. Величина век-
тора, или его модуль, записывается в виде
| г | = (а2 + Ь2)'/г
и
г2 = а2 + b2 — (а + ib) (а — ib) = rr*.
Здесь а — ib = г* есть величина, комплексно сопряженная вели-*
чине а + ib, т. е. отличающаяся от нее знаком перед L Вектор
г*= а — ib также изображен на фиг. 25.
Комплексная величина г = а + ib может быть записана в
виде произведения ее модуля | г| на фазовый множитель е'Ч\ <
| г | — | г | ei(* = | г | (cos ф + i sin ф) ~ а + ib,
Вынужденные колебания осциллятора
61
Отсюда получаем формулы, устанавливающие связь с вектор-
ным представлением комплексной величины (фиг. 25):
а = | г | cos ф, b = | г | sin ф,
или
а а . b b
COS ф ----------------гт-, Sin ф =----=----------гп,
|г| (а2 + Ь2)1г |г| (а2 + Ь2)1г
откуда tg <р = Ь/а.
Точно так же’
| г Г = | г |e_f4, = | г |(cos ф — i sin ф),
с°5ф = -рр 8тф = -^у, tgф = ^- (фиг. 25).
Комплексная форма закона Ома
Мы знаем закон Ома как соотношение V — IR для действи-
тельных величин — напряжения V на резисторе R. и тока / через
этот резистор. Действительная форма соотношения означает, что
Фиг. 26. Электрический осциллятор, совершающий вынужденные колебания.
На цепочку последовательно соединенных катушки индуктивности L, конденсатора С и
резистора R подается напряжение так что Va=LdHdt + IR + Q/C.
напряжение и ток всегда находятся в фазе. Временная зависи-
мость обеих величин дается функцией зш((д/ + ф) или cos (со/+
+ ф), где величина ф одинакова как для напряжения, так и для
тока.
Но при наличии индуктивности L или емкости С (или того
и другого) возникает разность фаз между напряжением и током
и закон Ома принимает комплексную форму
V = IZe.
В него вместо сопротивления входит величина Ze, которая назы-
вается импедансом. Импеданс равен сумме эффективных сопро-
тивлений резистора R, катушки индуктивности L и конденса-
тора С, имеющихся в цепи.
Когда к последовательно соединенным резистору, катушке
индуктивности и конденсатору (фиг. 26) приложено перемен-
ное напряжение Va частоты со, баланс напряжений имеет вид
Va=IR + L^-+^.
62
Глава 2
Ток в такой-цепи определяется формулой
1 = 1^
Напряжение на катушке индуктивности
VL = L = L I#™ = 1аЫое^ = iaLI.
Но как мы видели в конце первой главы, величина изме-
ряется в омах и представляет собой эффективное сопротивле-
ние, которое оказывает индуктивность L току частоты со. Перед
icoL
R
* соС ♦
R
Фиг. 27. Векторное сложение сопротивления и реактансов при нахождении
электрического импеданса Ze = R + t(coL — l/соС).
произведением coL/, размерность которого равна размерности
произведения сопротивления на ток, т. е. напряжения, стоит
мнимая единица i. Это означает, что напряжение на катушке ин-
дуктивности опережает по фазе на 90° ток цепи.
Точно так же напряжение на конденсаторе равно
С С у ai С У ai iaC соС
(поскольку 1/i — —i). Величина 1/юС, измеряемая в омах, пред-
ставляет собой эффективное сопротивление, которое оказывает
конденсатор току с частотой со. Однако теперь перед напряже-
нием на конденсаторе /со С стоит —i, и, следовательно, оно от-
стает по фазе от тока на 90°. В случае резистора напряжение
находится в фазе с током.
Закон Ома в комплексной форме можно записать следующим
образом:
V = IZe = I [/? + i (<oL - l/соС)],
где величина Ze = R + i(<&L—l/соС) есть импеданс. Векторное
представление импеданса приведено на фиг. 27. Величины ojL и
l/соС называются реактансами; они вносят не только эффектив-
ное сопротивление, но и фазовый сдвиг. Выражение в скобках
(coL— l/соС) есть реактивная компонента импеданса Ze, ее часто
обозначают символом Хе,
Вынужденные колебания осциллятора
63
Модуль импеданса, т. е. его величина в омах, дается выраже-
нием
Ыв| = [/?2 + (й>£-1/®С)2]*/!.
Комплексную величину Ze можно представить в виде произведе-
ния модуля Ze на фазовый множитель:
Ze = | Ze | eiv = | Ze | (cos ф + i sin q>),
откуда
R XX
C0S(P = -|zd’ 81пф = ТЙТ*
•Здесь ф — разность фаз между полным напряжением и'током
в цепи.
Величина ф может быть и положительной, и отрицательной
в зависимости от соотношения величин и 1/соС: при coL >
> 1/соС величина ср положительна. Но поскольку эти величины
зависят от частоты, разность фаз ср может менять и знак, и ве-
личину. Модуль импеданса \Ze\ также зависит от частоты и при-
нимает свое минимальное значение |Ze| = R при coL = 1/соС.
: Импеданс механической системы
Все сказанное справедливо и тогда, когда мы рассматриваем
не электрический осциллятор, а механическую систему, характе-
ризуемую массой, коэффициентом жесткости и сопротивлением.
Механический импеданс определяется как сила, необходимая
для того, чтобы сообщить осциллятору единичную скорость, т. е,
Р
Zm = ~ ИЛИ F=vZm.
Мы можем сразу записать механический импеданс в виде
zm = г + I — -£•) = г + IX т,
где
Zm = I Zm I е‘’ф И tg q> = Xm/r.
Здесь ф — разность фаз между силой и скоростью, a \Zm\ =
= [r2 + (o)m-s/(o)2] Ч
Масса, подобно индуктивности, определяет положительный
реактанс, а коэффициент жесткости играет ту же роль, что и ем-
кость.
6ч
Глава 2
Поведение осциллятора под действием внешней силы
Теперь мы в состоянии рассмотреть физическое поведение
механического осциллятора с массой т, коэффициентом жестко-
сти 5 и сопротивлением г, находящегося под действием пере-
менной силы Focoscot, где Fo—амплитуда силы (фиг. 28). Эк-
вивалентным электрическим осциллятором была бы приведенная
s
Fo cos art
Фиг. 28. Механический осциллятор, совершающий вынужденные колебания.
На механическую систему с затуханием, изображенную на фиг. 17, действует сила Fo coscot
на фиг. 26 цепочка, содержащая индуктивность Л, емкость С и
сопротивление 7?, к которой приложено переменное напряжение
Vo cos со/.
Механическое уравнение движения, т. е. уравнение динами-
ческого баланса сил, имеет вид
mx + rx + sx = Fq cos со/.
Уравнение напряжений для эквивалентного электрического ос-
циллятора запишется следующим образом:
Lq + Rq + q/C — Vo cos со/.
Мы будем исследовать поведение механической системы, но все
сказанное будет в равной степени относиться и к электрическому
осциллятору.
Полное решение уравнения движения состоит из двух членов:
1) «нестационарного» члена, который затухает со временем
и в действительности является решением уравнения тх + гх +
+ 5х = 0, рассмотренного в гл. 1; он имеет вид
% — Qf>-rtl2tn(>i (slm-ryirntflz t
и затухает со временем как e~rt/2m\
2) «стационарного» члена, который описывает поведение ос-
циллятора после затухания нестационарного члена.
В начальной стадии оба члена дают вклад в решение, однако
главное внимание мы уделим «стационарному» члену, который
описывает конечное поведение осциллятора.
Заменим cos со/ величиной е™* и перепишем уравнение сил
в комплексной форме:
mx + rx + sx = Foe™*, (2.1)
Вынужденные колебания осциллятора
65
Решив это уравнение относительно х, мы найдем модуль сме-
щения и его фазу относительно действующей силы FQei(dt. Сна-
чала в качестве пробного решения выберем
g х = Aei<dt,
где величина А может быть комплексной, т. е. может иметь ком-
поненты, которые находятся в фазе или противофазе относи-
тельно действующей силы.
Скорость
х = ia>Aei(df = /сох,
откуда
X = /2(02Х = — Сд2Х,
и уравнение (2.1) принимает вид
(— A®2m + i&Ar + As) eiQt = FqC^.
Поскольку это уравнение выполняется при всех /,
itor 4- (s — co2m)
или, после умножения числителя и знаменателя на —i,
. __________— iFo________ — IFq
со [г + i (com — s/co)] со Zm
Следовательно,
х = АеШ = -iFoeiat = -1Рое^ = _гТоеН^-Ф)
co|Zm|e^ со | |
где
1! = [г2 + (tom — s/a>)2]71.
Этим стационарным решением в комплексной форме пол*
ностью определяется амплитуда смещения и его фаза относи-
тельно действующей силы, после того как затухнет нестацио-
нарный член. Оно позволяет сделать следующие три вывода:
1) благодаря наличию реактивной части сот — s/co механиче*
। ского импеданса существует разность фаз ф между смещением
х и силой;
2) существует дополнительная разность фаз, обусловленная
множителем —z; даже если бы разность фаз ф равнялась нулю,
то смещение х отставало бы по фазе от силы Fq cos at на 90°;
3) максимальная амплитуда смещения х равна ’» мы
видим, что эта величина имеет правильную размерность, по-
скольку размерности скорости x/t и F^/Zm одинаковы.
3 Зак. 1186
66
Г лава 2
Мы представляли величиной FQei(dt ее действительную часть
Fo cos со/, а потому теперь возьмем действительную часть реше-
ния
_ _ iFQei
х <0 I Zm |
для нахождения действительной величины х. (Если бы сила
имела вид F0sin<o/, то мы взяли бы теперь мнимую часть реше-
ния х.)
Итак,
х = - Trferе‘ (и/-ч>) = “ ’^Тcos и “ ф) + Wbrsin (&t ~ ф)-
Следовательно, смещение х под действием силы Fo cos art опре-
деляется выражением
х = -Л° । sin (со/ — <р)
со I £т |
(смещение х под действием силы F0sin(o^ равнялось бы
—Fo cos (со/ — ф) /со | Zm |).
Оба эти решения удовлетворяют требованию, чтобы полная
разность фаз между смещением и силой была равна ф плюс ве-
личина —л/2, обусловленная множителем —i. При ф = О смеще-
ние х = Fq sin (o//(o|Zm| отстает по фазе от силы Fq cosco/ точно
на 90°.
Скорость вынужденных колебаний в стационарном состоянии
мы найдем следующим образом:
7) — y — /гл--О*® . pi (cof-Ф) == —— pi (со£—ф)
V Х ZK><o|Zm|e \Zm\
Мы сразу видим, что:
1) перед выражением нет множителя t, а потому разность
фаз между скоростью v и силой равна только ф; при ф = О
скорость находится в фазе с силой;
2) амплитуда скорости равна Fo/lZm], как мы и ожидали, ис-
ходя из определения механического импеданса Zm = Ffv.
Снова взяв действительную часть комплексного выражения
для скорости, которая будет соответствовать действительной ча-
сти силы FqC1^, находим
v — . cos (со/ — ф).
I I
Таким образом, скорость всегда опережает смещение по фазе
на 90°, а ее сдвиг фазы относительно силы равен лишь ф, причем
। = com — s/e = Хт
О • г Г *
Вынужденные колебания осциллятора 67
Следовательно, сила Focosat вызывает смещение
х = —Л° , sin (о/ — <р)
®|Zm| v т/
и скорость
V == I f° COS (<в/ — ф).
I I
(Задачи 2.1—2.4.)
Зависимость амплитуды и фазы скорости v
от частоты внешней силы со
Амплитуда скорости равна отношению
Fp Fo
\zm\ р + (ып - s/G»2)]'/» •
Следовательно, она изменяется при изменении частоты со, по-
скольку Zm зависит от частоты.
Фиг. 29. Зависимость скорости при вынужден-
ных колебаниях осциллятора от частоты со
внешней силы.
Максимальная скорость 1,макс=^0/г Д°стигается при
о
(0==(Oq, причем (o0=s/m.
На низких частотах самым большим в выражении для
является член — s/co, т. е. импеданс определяется коэффициен-
том жесткости. На высоких же частотах основным членом яв-
ляется ьупг и импеданс определяется массой. На частоте (оо, та-
кой, что сооШ — s/coo, импеданс принимает свое минимальное
значение zm = г, которое представляет собой действительную ве-
личину, поскольку реактанс равен нулю. В этом случае скорость
F0/\Zm\ принимает максимальное значение v = F$!r и частоту
(о0 называют частотой резонанса скорости. На частоте <о0 мы
имеем tg(p = 0, поскольку скорость и сила находятся в фазе.
Зависимость скорости от частоты со внешней силы представ-
лена на фиг. 29. Высота и острота максимума при резонансе
зависят только от сопротивления г, которое является единствен-
ным существенным членом в выражении для Zm на частоте соо-
3*
68
Глава 2
Из выражения
где
V — •; у ° ; COS ((О/ — ф),
I I
. com — s/co
tg ф=—Н-
следует, что при положительных значениях ф, т. е. при com > s/co,
скорость v отстает по фазе от силы, поскольку в аргумент коси-
нуса входит —ф. Когда частота внешней силы со очень велика,
при со —> оо мы имеем ф-> 90° и скорость отстает по фазе от силы
именно на эту величину.
Фиг. 30. Зависимость разности фаз <р между скоростью вынужденных коле-
баний осциллятора и внешней силой от частоты внешней силы.
В случае резонанса скорости ф=0. Каждая кривая соответствует определенному значению
сопротивления.
При com < s/(d фаза ф отрицательна и скорость опережает
по фазе силу. В случае низкой частоты внешней силы, когда
(о->0, мы имеем s/(o->oo и ф—>—90°. Таким образом, на низ-
ких частотах скорость опережает силу по фазе (фаза ф отрица-
тельна), а на высоких частотах скорость отстает от силы по фазе
(фаза ф положительна).
Однако на частоте о)0 выполняется равенство — s/co0 и
ф = 0, а поэтому скорость находится в фазе с силой. На фиг. 30
показано, как изменяется фаза ф с частотой со для скорости;
форма кривых зависит от величины г. (Задача 2.5.)
Зависимость смещения от частоты со внешней силы
Смещение
х = —sin (со/ — ф)
всегда отстает от скорости по фазе точно на 90°. График зави-
симости ф от о) остается без изменения, но полная разность фаз
Вынужденные колебания осциллятора
69
между смещением и силой содержит дополнительное запазды-
вание на 90°, обусловленное оператором —i.
Таким образом, на очень низких частотах, где ф=—л/2 ра-
диан и скорость опережает по фазе силу, смещение и сила изме-
няются в фазе, как мы и должны были ожидать. На высоких
частотах смещение отстает по фазе от силы на л радиан и изме-
няется в противофазе с ней. Поэтому кривая разности фаз
между смещением и силой представляет собой кривую зависи-
мости ф от о, смещенную на л/2 радиан (фиг. 31).
При низких частотах |Zm | = [г2 + (com —s/(d)2]1/2->s/(o, а по-
этому амплитуда смещения х = Fq/co j 1m | « F0/(<os/(o) = F0/s. На
Фиг. 31. Зависимость полной разности фаз между смещением и внешней силой
от частоты со внешней силы.
Полная разность фаз равна (-ф —л/2) радиан.
высоких частотах |Zm|-хот, поэтому величина х » F0/co2m и
стремится к нулю, когда частота становится очень большой. Сле-
довательно, при очень высоких частотах амплитуда смещения
почти равна нулю из-за инерции системы, определяемой ее мас-
сой.
На частоте со2 = s/m, где знаменатель |ZW| выражения для
амплитуды скорости минимален, происходит резонанс скорости.
Резонанс смещения же, в силу того что х = (Fo/(o|Zm|)s4n((o/—
— <р), происходит при минимальном значении знаменателя
<o|Zm|. Этот минимум достигается, когда
JL (<O| Zm |) = ^ {Ш [г2 + (com - s/to)2]*} = 0,
т. е. когда
2<вг2 + 4ит (®2/п — s) = 0
или
2со [г2 + 2m (a2m — s)] = 0.
Отсюда либо
а=0,
70
Глава 2
либо
2 S Г2 2 Г2
СО2 --------77-7- = (Оа----
т 2т2 0 2т2
Следовательно, резонанс смещения происходит на частоте,
несколько меньшей частоты соо резонанса скорости. В случае-
малой константы затухания г или большой массы т практически
Фиг. 32. Зависимость смещения осциллятора при вынужденных колебаниях
от частоты (о внешней силы при разных значениях г.
При частоте резонанса смещения (&=(s/tn —г2/2т2)1^ максимальное смещение ^макс ==
= F0/(o'r, где (jb'—(s/m — r2/4m2)lh.
всегда можно считать, что эти два резонанса происходят на час-
тоте (Оо-
Максимальное значение смещения определяется формулой
х =______________
МЗКС (G) | Zm | )мин ‘
Подставив в знаменатель величину со — — г2/2т2),/а, получаем*
значение
Лмакс (07 ’
где со'2 = со2 — r2/4m2. Из последней формулы видно, что резо-
нансная амплитуда уменьшается с увеличением г. Зависимость
х от со при разных значениях г представлена на фиг. 32.
При очень малом г амплитуда оказывается очень большой
при резонансе. На этом основана высокая избирательность на*
Вынужденные колебания осциллятора
71
страиваемого высокочастотного контура (см. в этой главе раз-
дел, где добротность Q рассматривается как коэффициент уси-
ления). Виброизоляция же основана на уменьшении резонанс-
ной амплитуды. (Задачи 2.6, 2.7.)
Виброизоляция
На фиг. 33 представлен типичный амортизатор колебаний.
Тяжелая плита крепится на колеблющемся полу с помощью си-
стемы пружин с коэффициентом жесткости s и вязким сопротив-
лением г, изображенным на схеме в виде демпфера. Обычно
Равновесное
положение
покоя плиты
Колеблющийся пол
X' A cos cut
Фиксированный уровень отсчета
Фиг. 33. Амортизатор колебаний.
Тяжелая плита лежит на вибрирующем полу на пружинах с вязкостным демпфером.
амортизатор работает на том краю частотного спектра, где
основную роль играет масса (инерционность). Резонансную час-
тоту выбирают так, чтобы она лежала ниже области частот, ко-
торые могут встретиться в процессе работы. Допустим, что вер-
тикальные колебания пола относительно его положения равно-
весия описываются формулой х — A cos cot. Соответствующее
вертикальное смещение плиты относительно ее положения по-
коя обозначим через у. Амортизатор должен обеспечивать ми-
нимальное отношение у/А.
Уравнение движения
ту = — г (у — х) — s (у — х)
после замены у — х = X принимает вид
тХ + rX + sX = — тх == mAa? cos at = FQ cos со/,
тде Fq = mA со2.
72
Глава 2
Используя стационарное решение для X, покажите, что
у = —sin (со/ — <р) + Л cos со/.
(О I £т |
Отсюда, учитывая, что у есть сумма двух гармонических компо-
нент с постоянной разностью фаз, покажите справедливость фор-
мулы
Умакс = (г2 4- $2/(02)1/2
A \Zm\
где
I |2 = г2 + (ат — s/a)2.
I
л
I
!
Отметим, что
^^>1, если ®2<—,
А т
поэтому для обеспечения изоляции от колебаний с данной час-
тотой со отношение s/m должно быть как можно меньшим.
Покажите, что: a) t/MaKcM = 1 при со2 = Zs/itv, б) умаксМ < 1
при со2 > 2s/m; в) если со2 = s/m, то z/мзксМ > 1, но демпфиро-
вание способствует уменьшению колебаний плиты до достаточно
низкого уровня; г) если со2 > 2s/т, то умаксМ < 1, но демпфиро-
вание играет вредную роль.
Физический смысл двух компонент смещения
Каждая кривая на фиг. 32 есть сумма двух кривых а и Ьг
изображенных на фиг. 34, поскольку смещение х можно пере-
писать в виде
х = —г^-т sin (tot — ф) = ч ।---у (sin со/ cos ф — cos со/ sin ф)
(D J £т J (О I £т I
или с учетом формул
Г . Хт
cos<p=ra’ sln4,= iZd
в виде
х
Fq Г . . Fq Хт ,
—ПГТ I V - "Г Sin (О/-ч 7 г . у—г COS со/.
ю I | \zm\ ® I | | Zm I
Компонента, содержащая cos со/ (со знаком минус), находит-
ся точно в противофазе с вынуждающей силой F0cos(of. Ее
амплитуду (кривая а) можно записать следующим образом:
Л) Хт Л)"* (<°0 - в*2)
<0 | Zm |2 т2 (<j^ — <о2)2 + оЛ2 ’
где ©о — s/m и ®0 — частота резонанса скорости.
Вынужденные колебания осциллятора
73
Компонента, содержащая sin со/, отстает по фазе от действую-
щей силы Fq cos at на 90°. Ее амплитуда (кривая Ь) дается вы-
ражением
Fo г ________ FQtor
„ г2 । у2 w2 Г „2 „2\2 । „2 2 *
(о г ф Xm tn I ©0 — (о \ -f- © г
Мы сразу видим, что на частоте (о0 кривая а проходит через
нуль, а кривая b — через максимум. Сложение этих двух кривых
Фиг. 34. Типичная кривая фиг. 32, разделенная на «противофазную» компо-
ненту (кривая а) и компоненту, сдвинутую по фазе на 90° (кривая Ъ).
Кривая а описывает реактивную, а кривая b — активную часть импеданса. Кривая Ь соот-
ветствует поглощению, а кривая а — аномальной дисперсии электромагнитных волн в среде,
где имеются резонансные атомные или молекулярные частоты, равные частоте волны.
приводит к образованию максимума на резонансной частоте сме-
щения (о, которая определяется соотношением
Эти кривые особенно часто встречаются в исследованиях по
дисперсии света, где осциллятором, совершающим вынужденные
колебания, является электрон атома, а внешней силой — пере-
менный вектор поля электромагнитной волны частоты со. Когда
<о совпадает с резонансной частотой электрона в атоме, атом
поглощает большое количество энергии электромагнитной волны
и кривая b имеет форму характерной кривой поглощения. Отме-
тим, что кривая b описывает диссипативную, т. е. связанную с
поглощением, часть импеданса
(г2+4),/!
74
Глава 2
и ту часть смещения, которая отстает по фазе от действующей
силы на 90°. Следовательно, связанная с этой компонентой ско-
рость будет в фазе с действующей силой. Именно эта часть ско-
рости входит в член гх2, описывающий потери энергии, обуслов-
ленные сопротивлением осциллятора, и приводит к поглощению.
Кривая же а описывает реактивную, т. е. связанную с накоп-
лением энергии, часть импеданса
Х/п
Реактивными компонентами определяется скорость волн в среде,,
а скоростью волн определяется показатель преломления п. Кри-
вая а совпадает с кривой изменения величины п2 в области ано-
мальной дисперсии, где ось со соответствует значению п= 1. Та-
кие области имеются вблизи каждой резонансной частоты ато-
мов, образующих среду. Мы вернемся к этому вопросу в книге
несколько позже. (Задачи 2.8—2.10.)
Энергия, передаваемая осциллятору внешней силой
Для поддержания в системе стационарных колебаний внеш-
няя сила должна возмещать энергию, теряемую за каждый пе-
риод колебаний из-за наличия сопротивления. Выведем очень
важное положение: в стационарном состоянии амплитуда и фаза
осциллятора, совершающего вынужденные колебания, устанав-
ливаются таким образом, чтобы средняя энергия, передаваемая
внешней силой в единицу времени, точно равнялась средней
энергии, теряемой в единицу времени из-за наличия силы трения.
Мгновенная мощность Р, передаваемая осциллятору, равна
произведению мгновенной внешней силы на мгновенную скорость*
осциллятора:
F F2
Р = Fq COS Cdf I у ° i COS (со/ — ф) = -т-=—г COS (О/ cos (со/ — ф).
IzmI I zmI
Средняя мощность
р _ Полная работа, совершаемая за один период колебаний
ср Период колебаний
Следовательно,
r Р dt F1 г
Рср = \ ~Т~ = 17 \ C0S C0S (®^ — <р) =
J 1 I &ГП I 1 J
0 0
F2 г F2
= |Z jy J [COS2 cos Ф + COS sin sin ф] — 2 I Zm\ C0S
m о
Вынужденные колебания осциллятора
75
(где Т — период колебаний), поскольку
т т
cos со/ sin at dt = 0, — cos2 со/ dt — .
о о
Энергия, передаваемая внешней силой, не накапливается в
системе, а диссипируется за счет работы, совершаемой при дви-
жении системы против силы трения гх. Работа, совершаемая в
единицу времени силой трения (мгновенная мощность), равна
(гх) х = г х2 = г । у °|2- cos2 (a>t — <р).
I I
После усреднения по периоду колебаний данное выражение при-
нимает вид
1 rF2 _ 1 F2
2 |Zm|2 2 |Zm| C0S(₽’
поскольку r/\Ztn\ = cos ср. Тем самым мы доказали положение
о равенстве энергий, передаваемой и диссипируемой в единицу
времени.
В случае электрической цепи мощность равна произведению
V/cosqp, где V и I — среднеквадратичные значения напряжения
и тока, a cosqp — так называемый коэффициент мощности:
V2 V2
VI COS ф = Г^-Т COS ф = о . ~ COS ф,
II & | I
поскольку y=IZ0/V2- (Задача 2.11.)
Зависимость Р ср от со, резонансная
кривая поглощения
Возвращаясь к случаю механического осциллятора, мы ви-
дим, что средняя мощность
^ср = (^о/2| ZOT|)cos<p
проходит через максимум при со5ф= 1, т. е. при ф =0 и сот —
— $/(о = 0 или со2 = со2 = s/tn. Тогда сила и скорость находятся
в фазе, а импеданс Zm принимает свое минимальное значение г.
Следовательно,
F2
Рср (макс.) =27.
Кривая зависимости РСр от частоты со внешней силы пред-
ставлена на фиг. 35. Подобно кривой зависимости смещения от
<о, данная кривая характеризует реакцию осциллятора на дей-
7&
Глава 2
ствие внешней силы. Острота максимума при резонансе также
определяется коэффициентом затухания г, который является
единственным членом, остающимся в выражении для Zm при ре-
зонансной частоте (Оо. Максимум приходится на частоту резо*
Фиг. 35. Зависимость средней энергии, передаваемой осциллятору внешней^
силой в единицу времени, от частоты со.
От частотной ширины w2—резонансной кривой зависит отклик, который определяется
2
добротностью Q=w0/(w2-0)|), где ®o=s/m.
нанса скорости, когда энергия, отбираемая системой у внешней
силы, максимальна. Кривая называется кривой поглощения ос-
циллятора (она похожа на кривую b фиг. 34).
Добротность Q, выраженная через ширину
частотной полосы поглощения
В первой главе мы говорили о добротности осциллятора, рас-
сматривая уменьшение его энергии. Мы можем получить тот же
самый параметр, рассматривая кривую фиг. 35, где острота ре-
зонансного максимума определяется отношением
Здесь (01 и со2 — частоты, на которых мощность Рср =
= 1/2?ср (макс.). Разность частот <о2 — (0i часто называют шири-
ной частотной полосы поглощения.
Итак,
г F'l 1 1 Fjj
Рср — ~2 ~z^ ~ 2* ^ср(макс-) = Yl?’
Вынужденные колебания осциллятора
П
когда Z^ = 2r2, т. е. когда
г2 + Х2щ = 2г2 или Хт = ып — s/co = ± г.
ЕСЛИ (02 > (01, то
co2m — s/(o2 = + г, (01/п — s/(ot — — г.
Исключая из этих уравнений s, получаем
(Оо — (01 == — ,
2 1 пг
и, следовательно,
Q = -^L.
Частоты (01 = (Оо — г/2т и (02 = (оо + г/2т отмечены на графике,
представленном на фиг. 34.
Добротность электрической цепи определяется выражением
п_ (OpL
где (о2 = (£С) \
Для больших значений Q, при которых затухание г мало, час-
тота (o', входившая в первой главе в определение Q = ы'т/г,
очень мало отличается от частоты (о0. Поэтому оба определения
величины Q, а также третье, с которым мы встретимся в сле-
дующем разделе, оказываются эквивалентными.
Добротность как коэффициент усиления
уже видели, что смещение при резонансе дается выраже-
нием
А = -А_
^макс >
где о/2 = s/m — r2/4m2. На низких частотах (а>->0) смещение
имеет величину
поэтому
/ Лмзкс \2 _ F0 g2 _ m2°0 _ “o'”2 <?
V Л„ ) <oV F2 r2 [o>* - r2/4zn2] r2[l-l/4Q2]~l-l/4Q2‘
Следовательно, при больших значениях Q
^макс ________________Q______О Г1 I 1 1 П
Ло ~ [1 - l/4Q2],/a ~ Ч|/ "Г 8Q2 J
78
Глава 2
Фиг. 36. Кривые фиг. 32, представленные при разных значениях добротности
Q системы.
Величина Q в случае резонанса есть коэффициент усиления отклика x—F0/s, получаемого
на низких частотах.
Таким образом, в случае резонанса смещения смещение на низ-
ких частотах умножается на большую величину Q.
Кривые фиг. 32 представлены на фиг. 36, где для каждой из
них указано соответствующее значение добротности Q. В на-
страиваемых радиотехнических контурах добротность Q служит
мерой селективности: благодаря большой остроте резонансного
максимума можно получать сигнал, свободный от наложения
сигналов с близкими частотами. В случае обычных радиотехни-
ческих контуров, работающих на частоте порядка 1 МГц, вели-
чина Q — порядка нескольких сотен. На более высоких частотах
медные резонаторы имеют значения Q порядка 30 000, а для
пьезоэлектрических кристаллов добротность Q может достигать
500 000. Добротностью Q часто характеризуют оптическое погло-
щение в кристаллах и ядерный магнитный резонанс. Эффект
Мессбауэра в ядерной физике характеризуется величиной Q по-
рядка 1010. (Задачи 2.12—2.18.)
Вынужденные колебания осциллятора
79
Задача 2.1
Уравнение движения для осциллятора, совершающего вы-
нужденные колебания, записано в комплексной форме, где сила
Fq sin со/ представлена величиной покажите, что смещение
и скорость
/7
v = . у г sin (со/ — <р).
I I
Задача 2.2
Смещение осциллятора при вынужденных колебаниях равно
нулю в момент времени t = 0. Скорость роста смещения опре-
деляется скоростью уменьшения нестационарного члена. За вре-
мя t он уменьшается в e~k раз. Покажите, что в случае малого
затухания средняя скорость нарастания колебаний определяется
формулой x^t = F$l2km®b где xQ— максимальное стационар-
ное смещение, Fq—амплитуда силы и <^ = s/m.
Задача 2.3
Уравнение mx + sx = Fq sin со/ описывает движение гармони-
ческого осциллятора без затухания под действием силы с часто-
той со. Решив это уравнение в комплексной форме, покажите,
что стационарное решение описывается выражением
__ Fq sin со/
Х m ((0q — со2) ’
где <о2 = s/m. Нарисуйте график зависимости х от со и обра-
тите внимание на то, что изменение знака прй со = соо означает
изменение фазы смещения на л радиан. Далее покажите, что об-
щее решение для смещения имеет вид
Fq sin со/ , - . i г> •
X —----+ A C0S W -Г В Sin (00/,
m ((00 — со )
где А и В — постоянные.
Задача 2.4
Решив уравнение задачи 2.3 при начальных условиях х —
= х = 0 при t = 0, покажите, что
Го 1 ( . . со . л
X —------2----9 I Sincrf----Sin СО0/ I •
m <0q — or \ co0 J
Записав сд = соо + Д(о, где Дсо— малая величина, покажите, что
вблизи резонанса
х = —(sin (Оо/ — (оу cos соо/)-
2w(0q
80
Глава 2
Нарисуйте график такой зависимости, обращая внимание на рост
второго члена со временем, который обеспечивает нарастание
колебаний (резонанс между свободными и вынужденными коле-
баниями).
Задача 2.5
Какой вид имеет общее выражение для ускорения v в случае
механического осциллятора с затуханием, на который действует
сила F0cos(o/? Выведите выражение для частоты максималь-
ного ускорения и покажите, что в случае г = Vsm амплитуда
ускорения на частоте резонанса скорости равна предельной ам-
плитуде ускорения на высоких частотах.
Задача 2.6
Докажите, что при резонансе смещения точную амплитуду
механического осциллятора, совершающего вынужденные коле-
бания, можно записать в виде
где Fq — амплитуда внешней силы и со'2 = s/m — г2)Ат2.
Задача 2.7
Покажите, что в случае механического осциллятора, на кото-
рый действует внешняя сила, от частоты не зависят следующие
величины: а) амплитуда смещения на низких частотах, б) ам-
плитуда скорости при резонансе скорости и в) амплитуда уско-
рения на высоких частотах (со->оо).
Задача 2.8
Покажите, что при (о = (о0 кривая b на фиг. 34 имеет макси-
мум, равный Fq/ыъГ. Покажите также, что при малом г макси-
мум кривой а равен приближенно Р^2^г и достигается на час-
тоте (01 = (0о — r/2m, а ее минимум равен приближенно —Р^2^г.
и достигается на частоте (02 = (Оо + г 12т.
Задача 2.9
У равнение х + ®2х = — (eE^mj cos со/ описывает без учета
затухания движение свободного электрического заряда —е с
массой т под действием переменного электрического поля Е —
= focos (о/. Покажите, что поляризуемость на единицу объема
(динамическая восприимчивость) среды равна
__ пех _________пе2___
е0£ еот - <о2) ’
где п—плотность числа электронов. (Диэлектрическая прони-
цаемость среды определяется по формуле е = ео( I + х), где е0 —
Вынужденные колебания осциллятора
81
диэлектрическая проницаемость свободного пространства. Отно-
сительная диэлектрическая проницаемость ег = е/ео равна квад-
рату показателя преломления, если £ — электрическое поле элек-
тромагнитной волны.)
Задача 2.10
Решите задачу 2.9 в случае, когда в уравнении колебаний для
электрона учитывается затухание. Учитывая только ту компо-
ненту смещения х, которая описывается кривой а на фиг. 34, по-
кажите, что
( ne2m (со2 — со2)
8г= 1 +Х=1+ 8fl[-m2(w2_o2)2 + MV]-
Действительно, кривая а на фиг. 34 есть кривая зависимости
8г = е/ео- Отметим, что
( 1 । пе2 ..
1 Ч------п* ПРИ to <(00,
J eofncoo
~ ) 2
I 1 Пе
1 -----2 ПРИ to (00.
( боШСО2 Г и
Задача 2.11
Покажите, что энергия, теряемая за один период колебаний
из-за наличия силы трения гх, равна лгсох2 акс, где со — угловая
частота колебаний.
Задача 2.12
Покажите, что частотной шириной резонансной кривой погло-
щения определяется интервал изменения фазового угла, в кото-
ром tg ф пробегает значения от —1 до 4-1.
Задача 2.13
На цепочку последовательно соединенных катушки индуктив-
ности, конденсатора и резистора подается переменное напряже-
ние с амплитудой 1/0. Покажите, что при резонансе тока напря-
жение либо на катушке индуктивности, либо на конденсаторе
равно QV0.
Задача 2.14
Покажите, что в резонансной цепочке, состоящей из последо-
вательно соединенных катушки индуктивности, конденсатора и
резистора максимальное напряжение на конденсаторе достигает-
ся при частоте со = (о0(1 — 1/2Qq)1/2, где (Oo = (LC)“l и Qo = too£//?.
82
Глава 2
Задача 2.15
Исходя из условий задачи 2.14, покажите, что максимальное
напряжение на катушке индуктивности достигается на частоте
© = ®0(1 - 1/2Q2o)“,/2-
Задача 2.16
Электрон атома, который ведет себя подобно гармоническому
осциллятору с небольшим затуханием и добротностью Q = 5-107,
испускает свет с длиной волны 0,6 мкм (6000 А). Исходя из
частотной ширины резонансной кривой, покажите, что ширина
спектральной линии такого атома равна 1,2-10-14 м.
Задача 2.17
Считая добротность Q в задаче 2.6 большой, покажите, что
ширина резонансной кривой смещения приближенно равна
'y/Zrltn, если она измеряется между частотами, для которых
X = Хмакс/2.
Задача 2.18
Покажите, что при условиях задачи 2.10 средняя скорость
поглощения энергии в единице объема дается выражением
р_ ______________________________(°2f_____
2 m2 (со2 — to2)2 + co2r2
Сводка основных результатов
Механический импеданс Zm = Ffv (сила на единицу скоро-
сти)
Zm = \Zm\ei(P = r + i (от —s/m), где | Zm |2 = г2 + (сош —
—s/(o)2;
com — s/g> r , <am — s/co
sinqp =---у—— , coscp —, tgqp =-----------------—;
Ф — фазовый угол между силой и скоростью.
Осциллятор под действием внешней силы
Уравнение движения mx + гх + sx = Fo cos
Подстановка x = Aei(dt дает стационарные значения смеще-
ния
х = — I е1 (“'-ч”
и скорости
х = V = -Д е1 <“'-4».
Вынужденные колебания осциллятора
83
Если Л) coso)/ заменить величиной F^e1®1, то
x = -^rsin(®z_(₽)-
V = -Д- COS (to/ — ф).
Максимальная скорость = Fq/г на частоте резонанса скоро-
сти ©ч) = (s/m)i/2.
Максимальное смещение = Fo/co'r, где со' = (s/m — r2/4m2)\
на частоте резонанса смещения со = (s/m — r2/2m2)I/2.
Энергия, поглощаемая осциллятором при действии внешней
силы
Амплитуда и фаза осциллятора устанавливаются так, что
энергия, поглощаемая в единицу времени, равна энергии, теряе-
мой в единицу времени.
Энергия, поглощаемая в единицу времени, равна xI^FyZn^ X
Xcos<p (cosср — коэффициент мощности).
Максимальная энергия, поглощаемая в единицу времени,
равна рЦ2г и соответствует частоте <о0.
Половина максимальной энергии, поглощаемой в единицу
времени, равна F2j4r и соответствует частотам ац = соо — г 12m
и юг = coo + г 12m.
Добротность Q = >
р.__ Максимальное смещение при резонансе смещения _ Лмакс
Смещение при со -> 0 F0/s
Чтобы получить соответствующие выражения для электриче-
ских осцилляторов, нужно произвести замену m~>L,
з-^l/C и Fq->Vq (напряжение).
Глава 3
Связанные колебания
В двух первых главах подробно было показано, как ведет
себя колеблющаяся система, взятая отдельно. Но осцилляторы
редко находятся в полной изоляции. Волновое движение воз^
можно лишь при наличии таких колеблющихся систем, которые
взаимодействуют между собой и способны передавать друг
другу свою энергию.
В общем случае такой перенос энергии происходит потому,,
что два осциллятора связаны общим элементом: емкостью (же-
сткостью), индуктивностью (массой) или сопротивлением. Связь
через сопротивление неизбежно приводит к потере энергии и бы-
строму затуханию колебаний. Связь же, осуществляемая при
помощи любой из двух других компонент, не потребляет энергии
и допускает непрерывный перенос энергии через большое коли*
чество осцилляторов. Это составляет основу волнового движения,.
Сначала мы рассмотрим механический пример связи двух ма-
ятников через жесткость. Это могут быть два атома, входящих
в состав кристаллической решетки и находящихся под дейст-
вием взаимных сил связи. Затем мы исследуем пример связи че*
рез массу (индуктивность), а в заключение рассмотрим связан-
ное движение длинной цепочки осцилляторов, которое естествен-
ным образом приведет нас к понятию волнового движения.
Осцилляторы, связанные через жесткость
(или емкость)
На фиг. 37 изображены два одинаковых маятника. Каждый
из них представляет собой тело массой /и, подвешенное на лег-
I I
5
cnnvmd
Фиг. 37. Два одинаковых маятника, соединенные неве-
сомой пружиной с коэффициентом жесткости s.
Каждый маятник представляет собой тело с массой tn, укреплен-
ное на конце легкого жесткого стержня длиной /. Собственная
длина пружины равна расстоянию между телами при их нулевом
смещении.
ком жестком стержне длиной I. Оба тела соединены легкой пру-
жиной с коэффициентом жесткости s. Длина нерастянутой и не-
сжатой пружины равна расстоянию между телами, когда они на-
Связанные колебания
холятся в положении равновесия. Мы будем рассматривать ма-
лые колебания в плоскости чертежа.
Если смещения тел обозначить через х и у, то уравнения дви-
жения будут иметь вид
mx = — mg — s(x — у),
my = — mg-j- + s(x — y).
Кроме обычных членов, соответствующих гармоническим коле-
баниям каждого маятника, эти уравнения содержат дополни-
тельный член связи s(x— у), обусловленный пружиной. Мы ви-
дим, что если х > у, то пружина растянута больше своей нор-
мальной длины и будет уменьшать ускорение х, но увеличивать
ускорение у.
Написав со^= g/l, где <о0— собственная частота колебаний
каждого маятника, получаем
X + afyc = — (х — у), (3.1>
у + tty = — ± (у — х). (3.2>
Вместо того чтобы прямо решать эти уравнения относительно с
и у, мы выберем две новые координаты:
Х — х + у, Y = x — y.
Преимущества такого подхода станут ясными позднее.
Складывая уравнения (3.1) и (3.2), получаем
x + ^ + ©5(x + y)==°)
т. е.
X + (^Х = 0.
Вычитая уравнение (3.2) из уравнения (3.1), находим
r + ((Oo + 2s/m)r==O.
Таким образом, движение связанной системы описывается двумя?
координатами X и У, каждая из которых удовлетворяет уравне-
нию гармонических колебаний.
Если во все моменты времени У — 0 и х = у, то движение-
полностью описывается уравнением
х + а2Х = 0.
В этом случае частота колебаний точно такая же, как частота
одного отдельно взятого маятника, а жесткость связи не оказы-
86
Г лава 3
вает никакого влияния на движение. Это объясняется гем, что
оба маятника все время колеблются в фазе (фиг. 38, а), длина
легкой пружины при этом не изменяется.
Фиг. 38. а — «синфазная» мода колебаний, описываемая уравнением
^ + <OqX = 0, где X — х + у — нормальная координата, а (0^= qll-
б — «противофазная» мода колебаний, описываемая уравнением У + +
4- 2 s/m) У = О, где У = х — у — нормальная координата.
Если во все моменты времени X = 0 и х — у, то движение
полностью описывается уравнением
У + (®о + 2«/т)Г = О.
Частота таких колебаний больше, поскольку маятники колеб-
лются в противофазе (фиг. 38,6), так что пружина все время
либо растянута, либо сжата и связь осцилляторов действует эф-
фективно.
Нормальные координаты, степени свободы
и нормальные моды колебаний
Мы взяли параметры X и У для описания движения, потому
что они позволяют очень просто проиллюстрировать понятие
нормальных координат.
а. Нормальные координаты — это такие координаты, в ко-
торых уравнения движения записываются в виде системы ли-»
нейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффи-
циентами. Каждое уравнение содержит только одну зависимую
переменную (см. наши гармонические уравнения для X и У).
б. Колебания, описываемые только одной зависимой перемен-
ной X (или У), называются нормальным типом или нормальной
модой колебания и характеризуются своей собственной нормаль-
ной частотой. При возбуждении такой нормальной моды все ком-
поненты системы колеблются с той же самой нормальной часто-
той.
в. Полную энергию системы без затухания можно предста-
вить в виде суммы квадратов нормальных координат и квадра-
тов первых производных нормальных координат, умноженных
на постоянные коэффициенты. Если происходят колебания обеих
мод X и У, то энергия связанной системы выражается через
квадраты скоростей и смещений X и У (задача 3.1),
Связанные колебания
87
г. Важное значение нормальных мод колебаний обусловлено
тем, что они полностью независимы одна от другой. Одна нор-
мальная мода никогда не обменивается энергией с другой модой.
Именно поэтому при вычислении полной энергии мы можем
складывать энергии отдельных мод. Если возбуждены колеба-
ния только одной моды, то колебаний второй моды нашей систе-
мы не будет, так как они не получают энергии от колебаний
первой моды.
д. Каждый независимый путь, по которому система может
получать энергию, называется степенью свободы. С каждой сте-
пенью свободы связана своя отдельная нормальная координата.
Число таких различных путей, по которым система может по-
лучать энергию, есть число ее степеней свободы, а также число
ее нормальных координат. Каждый гармонический осциллятор
имеет две степени свободы, поскольку он может приобретать по-
тенциальную энергию (нормальная координата X) и кинетиче-
скую энергию (нормальная координата X).
В случае наших двух нормальных мод энергии могут быть
записаны в виде
Ех = аХ2 + ЬХ\ Еу = сУ2 + б/У2,
где а, Ь, с и d — постоянные. Следовательно, наша система из
двух связанных маятников имеет четыре степени свободы и че-
тыре нормальные координаты.
Любое состояние нашей связанной системы можно предста-
вить в виде суперпозиции двух нормальных мод:
X — х + у — Xq cos ((»!/ + Ф1),
У = X — у = Уо COS (Сд2/ + ф2).
Здесь XQ и Уо—амплитуды нормальных мод, а со2 = g/l и
со2 _ gn 2s/m — частоты нормальных мод.
Для простоты положим
XQ = YQ = 2ai ф1 = Ф2 = 0.
Тогда смещения маятников будут описываться выражениями
х = у (X + У) = a cos + a cos со2/,
у = у (X — У) = a cos (о^ — a cos (fyt,
а их скорости — выражениями
х = — acd! sin <0^ — а(о2 sin <о2/,
у = — acoi sin + а(о2 sin о2/.
88
Глава 3
Теперь приведем систему в движение, сместив правое тело на
расстояние х = 2а и отпустив оба тела из положений покоя
в момент времени t = 0 при условии х = у = 0. Из фиг. 39
Фиг. 39. Смещение одного маятника на расстояние 2а представлено в виде
суммы двух нормальных координат X и У.
видно, что наше начальное смещение можно рассматривать как
суперпозицию «синфазной» моды (х = у = а, поэтому х + у =
— Ло = 2а) и «противофазной» моды (х = —у = а, поэтому
Уо = 2а).
Фиг. 40. Изменение смещения отдельных маятников во времени.
•При уменьшении смещения х от 2а до 0 смещение у растет от 0 до 2а и происходит полный
обмен энергией между маятниками.
После освобождения тел движение правого маятника описы-
вается формулой
, . , п (со2 — ©1)* (со2 + Wj) t
х — a cos со^ + я cos со2/ = 2а cos---%-----cos----%------,
а движение левого маятника — формулой
, , п . ((0| — (02) / . ((01 + <д2) t
у— a cos (di/ — a cos со2/ = — 2а sin---%------sin----%-----.
Если мы построим кривые зависимости х и у от времени
{фиг. 40), то увидим, что после того, как первое тело смещено
Связанные колебания
89
на расстояние 2а от его положения равновесия и предоставлена
самому себе, смещение х меняется по закону косинуса. Частота
колебаний равна средней частоте двух нормальных мод, а их
амплитуда изменяется по закону косинуса с меньшей частотой,
равной половине разности частот нормальных мод. В то же вре-
мя смещение у, начальное значение которого равно нулю, колеб-
лется по закону синуса со средней частотой. Его амплитуда сна-
чала растет до значения 2а, а затем уменьшается по закону
синуса с низкой частотой, равной половине разности частот нор-
мальных мод. Короче говоря, тело, описываемое переменной х,.
Фиг. 41. Более быстрое колебание моды У опережает по фазе на л рад на»
колебание моды X, приводя к смещению у — 2а, которое представлено здесь
в виде разности нормальных координат X — У.
передает всю энергию телу, которое описывается переменной ут
и не движется, когда смещение у изменяется с амплитудой 2а,
а затем энергия снова возвращается к первоначально смещенно-
му телу.
Такой полный обмен энергией возможен только тогда, когда
обе массы одинаковы и отношение (coi + со2)/(*О2 — coi) равно
целому числу. В противном случае ни одно из тел никогда не
будет совершенно неподвижным. Медленное изменение амплиту-
ды с частотой, равной половине разности частот нормальных,
мод, называется «биениями» двух колебаний с почти одинако-
выми частотами. В дальнейшем мы рассмотрим данное явление'
в той части гл. 4, где описываются пакеты волн.
Необходимо, однако, усвоить один важный момент: хотя от-
дельные маятники могут обмениваться энергией, обмен энергией
между нормальными модами отсутствует. На фиг. 39 показано
состояние х = 2а, у = 0, разложенное по модам X и У. Посколь-
ку частота моды У выше, через несколько колебаний мода У
опередит моду X на половину колебания (по фазе — на л ра-
диан), как показано на фиг. 41. В этом случае сложение мод X
и У дает у — 2а и х = 0, и процесс вновь повторяется. Когда
мода У опередит моду X еще на половину колебания, величина
х станет снова равной 2а. Маятники могут обмениваться энер-
гией, а нормальные моды — нет.
90
Глава 3
си2
шг4,16-Ю13с-1
шг-7,05-1013с~'
ш3=2- 1013С'1
Фиг. 42. Нормальные моды колебаний трехатомных молекул СО2 и Н2О.
Атомы в многоатомных молекулах ведут себя так же, как
наши маятники. На фиг. 42 представлены нормальные моды двух
трехатомных молекул СО2 и Н2О и их частоты. Нормальные
моды колебаний будут часто встречаться на протяжении всей
нашей книги.
Общий метод нахождения частот
нормальных мод
Мы только что видели, что, когда в связанной системе воз-
буждены колебания только одной нормальной моды, каждый
компонент системы будет колебаться с частотой данной моды.
На этом и основан метод определения частот нормальных мод и
относительных амплитуд колебаний отдельных осцилляторов на
каждой частоте.
Допустим, что система связанных маятников, описанная в по-
следнем разделе, совершает колебания, соответствующие только
одной ее нормальной моде с частотой со. Тогда мы можем искать
решение уравнений движения
tnx + mg (x/Z) + 5 (х — у) — О,
ту + mg (y/l) — s (х — у) = О
в виде
X = A COS G)t, X — В cos со/,
где А и В — амплитуды смещений х и у на частоте со.
Связанные колебания
9F
Подставляя эти выражения в уравнения движения, получаем
[— may2 А + (mg//) А + s (А — В)] cos со/ — О,
{— may2В + (mg/l) В — s (Л — В)] cos ayt = 0.
Сложение обоих уравнений приводит к уравнению
(А + В) (— may2 + mg/l) = 0,
которое удовлетворяется при со2 = g/Z, где со — частота первой
нормальной моды. Вычитанием второго выражения из первого
получаем уравнение
(Л - В) (- may2 + mg/l + 2s) = 0,
которое удовлетворяется при условии со2 = g/l + 2s/m, где со —
частота второй нормальной моды.
Подставляя значение со2 = g/l в наши два уравнения, полу-
чаем Л = В (условие одинаковых фаз), тогда как подстановка
значения со2 = g/l + 2s/m дает Л = —В (условие противопо-
ложных фаз). Это результаты, полученные в предыдущем раз-
деле.
Мы смогли выбрать решение в простом виде
х = A cos ayt, у = В cos ayt
благодаря тому, что система начинала свое движение из состоя-
ния покоя. Если же маятники имеют при t = 0 некоторую на-
чальную скорость, то в соответствии с начальными условиями
решения должны быть записаны в виде
х = Л cos (ayt + а), у = В cos (ayt + а).
Здесь каждой нормальной моде с частотой со соответствует свое
собственное частное значение фазовой постоянной а. Теперь
число подгоночных констант достаточно велико для того, чтобы
решения удовлетворяли произвольным начальным смещениям
и скоростям обоих маятников. (Задачи 3.1—3.11.)
Связь через массу или индуктивность
В одной из следующих глав мы будем рассматривать распро-
странение волн напряжения и тока вдоль линии передачи, ко-
торую можно рассматривать как последовательность связанных
электрических осцилляторов с одинаковыми индуктивностью и
емкостью. Здесь же мы рассмотрим обмен энергией между двумя
электрическими контурами, связанными через индуктивность.
О взаимной индуктивности (общей «массе») двух электри-
ческих контуров можно говорить тогда, когда магнитный поток*.
$2
Глава 3
•создаваемый током одного контура, проходит через второй кон-
тур. При любом изменении потока в обоих контурах индуци-
руется напряжение.
На взаимной индуктивности основана работа трансформато-
ра. Источник энергии присоединяется к первичной обмотке
трансформатора, имеющей П\ витков. Поверх этой обмотки в
том же направлении намотана вторичная обмотка, имеющая п2
витков. Если единичный ток в одном витке первичной обмотки
создает магнитный поток ф, то поток, пронизывающий каждый
виток первичной обмотки (предполагается, что рассеяния пото-
ка вне обмотки нет), равен П1ф. Полный поток, пронизывающий
все п2 витков первичной обмотки, таков:
L{ = п*ф,
где Lx — самоиндуктивность первичной обмотки. Если единичный
ток в одном витке вторичной обмотки создает поток ф, то поток,
пронизывающий каждый виток вторичной обмотки, равен п2ф.
Полный поток, пронизывающий вторичную обмотку, равен I
£2 = ф. |
где L2 — самоиндуктивность вторичной обмотки.
Если все линии магнитного потока, создаваемого единичным 1
током в первичной обмотке, проходят через все витки вторичной }
обмотки, то полный поток через вторичную обмотку равен взаим-
ной индуктивности
M==n2(ni(f)=='\/LiL2.
На практике из-за рассеяния потока вне обмотки мы имеем
М < VL1L2; отношение !
называется коэффициентом связи, |
Если первичный ток Ц изменяется во времени по гармониче-
скому закону ei&t, то он индуцирует в первичной обмотке напря-
жение \
- L A=-ia>LIb ;
1 at
а во вторичной обмотке — напряжение j
— = —/(йМ/р |
at I
Если мы теперь рассмотрим два электрических контура без со*
.противления, изображенные на фиг. 43, где в катушках индук*
Связанные колебания
93
тивности Li и Л2> связанных через магнитный поток, ток и напря-
жение осциллируют с частотой со, то уравнения для напряжения
запишутся в виде
iaLih — 1-Д-/1 + /®Л1Л = 0, (3.3)
1 ©О !
ZCdZro/o — 2 “1“ 1 == 0, (3.4)
©С 2
где М — взаимная индуктивность.
м
Фиг. 43. Индуктивно связанные LC-контуры с взаимной индуктивностью М,
Умножая уравнение (3.3) на co/iLi:
а уравнение (3.4) — на
“2/г--гг+ -r®2/‘ = 0
ЬгСг L.2
и вводя собственные частоты контуров
2 1 9 1
Lfii’ Ю2— l2c2’
получаем
(®?-<°2)Л = Т7®2/2. (3-5)
((й2_(В2)/2==^.{02/1. (3.6)
Произведение уравнений (3.5) и (3.6) имеет вид
(cof — со2) (со2 — со2) = ~цц ®4 = (3.7)
где k — коэффициент связи.
Решение последнего уравнения относительно со дает частоты,
при которых обмен энергией между контурами приводит к резо-
нансу в этих контурах. Если собственные частоты контуров оди-
94
Глава 3
наковы, скажем coi = «2 = ©о, то уравнение (3.7) упрощается
и принимает вид
— (О2)2 = &2со4,
откуда
©о
“ = ±VT±* •
Выбирая перед корнем знак плюс, получаем два значения ча-
стоты
которым, если построить кривую зависимости тока от частоты»
будут соответствовать два максимума (фиг. 44),
Фиг. 44. Изменение амплитуды тока в каждом контуре около резонансной'
частоты.
Коэффициент связи k: 1 — большой; 2 — средний: 3 — малый. Небольшое сопротивление
предотвращает обращение в бесконечность амплитуды тока при резонансе, но это не учи-
тывалось в нашем упрощенном анализе. Плато в окрестности максимума кривой опреде-
ляет частотную полосу пропускания системы.
В случае слабой связи величины k и М малы и ш' ~ со" о)0>
а потому обе системы ведут себя почти независимо. В случае же
сильной связи разность частот со" — со' увеличивается и появ-
ляются два максимума тока с четко выраженным провалом
между ними. В нашем упрощенном анализе сопротивление не
учитывалось, но в действительности всегда имеется некое сопро-
тивление, которым ограничивается максимум амплитуды. (За-
дачи 3.12—3.16.)
Связанные колебания нагруженной струны
В качестве последнего примера системы, состоящей из боль-
шого числа связанных осцилляторов, рассмотрим легкую струну»
по всей длине которой на одинаковом расстоянии а друг от
Связанные колебания
95
друга закреплено п одинаковых тел с массой т. Оба конца
струны, полная длина которой равна (п + 1)а, закреплены. Во
все моменты времени вдоль всей струны существует постоянное
натяжение Т.
Тела могут совершать малые гармонические колебания толь-
ко в одной плоскости. Требуется найти частоты нормальных мод,
а также смещение каждого тела в данной нормальной моде.
Такая задача, впервые поставленная Лагранжем, особенно
интересна тем, что в ней используются нормальные моды. Кроме
того, она позволяет лучше понять волновое движение и колеба-
ния однородной струны, в которую переходит наша система, если
постепенно уменьшать массу тел и расстояния между ними.
Фиг. 45. Смещения трех тел на нагруженной струне с натяжением Т, приво*
дящие к уравнению движения пгуг— T(yr+i — 2уг + Уг-i)/а.
На фиг. 45 показано смещение уг тела с номером г и смеще-
ния двух соседних с ним тел. Уравнение движения r-го тела мож-
но написать, рассмотрев компоненты натяжения, направленные
в сторону положения равновесия. Смещение r-го тела вниз, в
направлении положения равновесия, вызывается силой Т sin 0Ь
обусловленной натяжением струны с левой стороны от данного
тела, и силой Т sin 02, обусловленной натяжением струны с пра-
вой стороны от этого тела, причем
_ Уг Уг—\ д Уг Уг + \
Sin th =----------, Sin Uo —-----------•
1 a 1 a
Следовательно, уравнение движения имеет вид
+ 02) = - Т (Уг~/г~' +
Отсюда
—Уг — та (Уг-i %Уг + Уг+i)-
Если в случае нормальной моды колебаний с частотой <о времен-
ная зависимость смещения уг относительно оси равновесия яв-
ляется гармонической, то смещение r-го тела для этой моды мы
96
Глава 3
можем записать следующим образом:
У г= Arei(iit,
где Аг — максимальное смещение. Аналогично
уг+1 = Ar+Ieitt>f, уг_} = Аг_^.
Подставляя эти значения у в уравнение движения, получаем
- ^А^ = ~{Аг_\ -2АГ+ Аг+1)eia>t,
ИЛИ
л । (с\ таю2 \ л л п
— Аг_\ + ^2------у—J Аг — Ar+i — 0.
Это — основное уравнение.
Теперь нужно, начав с первого тела г = 1, двигаться вдоль
струны и выписывать систему аналогичных уравнений, где г
принимает значения 1, 2, 3, ..., п. Следует помнить, что концы
струны закреплены и поэтому
У о = А) — 0, Уп+ ] = Ап+1 = 0.
Таким образом, мы получаем следующие уравнения:
г = 1
(2-^-)л1-Л2 = 0 (Ло = О),
г — 2
-Л1 + (2--^)Л2-Л3 = 0>
Г — п
-Л-1 + (2-^-)Л = 0 (Л„+1 = 0).
Следовательно, мы имеем систему из п уравнений, решив кото-
рую можно найти п разных значений со2, причем каждое такое
значение будет частотой некой нормальной моды. Число нор-
мальных мод равно числу тел.
Вообще говоря, решение этой системы п уравнений основано
на теории матриц. Но мы можем легко получить решение для
простейших случаев, когда на струне имеется одно или два тела
(n = 1 или п = 2). Кроме того, обходясь без сложной матема-
тики, можно показать, какой вид должно иметь полное решение
в случае п тел.
Во-первых, когда п = 1 и на струне длиной 2а находится
одно тело, нам достаточно только уравнения для г = 1. При
Связанные колебания
97
Фиг. 46. а — нормальные колебания с частотой ®2 = 2Т]та в случае одного
тела массой т, укрепленного на струне длиной 2а.
б — нормальные колебания двух тел, укрепленных на струне длиной За.
о
Показаны слабо связанная «синфазная» мода, имеющая частоту а>^=Т/та, и сильнее свя-
2
ванная «противофазная» мода, имеющая частоту (^—ЗТ/та. Число нормальных мод
колебаний равно числу тел.
этом Ло = А2 = 0, поскольку концы струны закреплены. Следо-
вательно, мы получаем уравнение
которое дает одну-единственную частоту возможных колебаний
(фиг. 46, а)
Когда га = 2 и длина струны равна За (фиг. 46,6), нам не-
обходимы уравнения как для г = 1, так и для г — 2, т. е.
' -Л, + (2-^-)л, = 0
Исключив Л] или Л2, мы увидим, что эти два уравнения имеют
решение (являются совместными), когда
(2-^-)2-1=0,
4 За к. 1186
98
Г лава 3
т. е. при
таен2
~Т~
+-1) = 0.
Таким образом, существуют две частоты нормальных мод:
Подстановка значения частоты coi в уравнение для г = 1 и
г = 2 дает А{ = Л2, т. е. определяет медленное «синфазное» ко-
лебание, изображенное на фиг. 46, б. Подставив же значения ча-
стоты (02, получим А[ = —А2, т. е. более быстрое «противофаз-
ное» колебание, возникающее благодаря увеличенной связи.
Чтобы найти общее решение при любом п, перепишем урав-
нение
- + (2 - -^) Аг - Аг+1 = О
в виде
V-1 + Лг+1 2<о2 - (О2
Аг ®2
где а^=Т1та, 1Аъ\ видим, что при любом заданном значении
частоты со нормальной моды (скажем, (os) правая .часть, этого
уравнения постоянна, не зависит от г. Поэтому уравнение спра-
ведливо при всех значениях г. Какие значения мы можем при-
писать Лг, удовлетворяющие этому уравнению и согласующиеся
с граничными условиями Ло = ^r+i = 0 для конца струны?
Предположим, что мы можем записать амплитуду смещения
r-го тела на частоте cos следующим образом:
Аг = С sin rfts,
где С — постоянная, a 0S — некоторый постоянный угол при дан-
ном значении Тогда, преобразуя левую часть уравнения
Лг-! + Лг+1 _ С [sin (г — 1) 4- Sin (г + 1) 0$] _
Ar С sin r0s
2С sin r0s cos 0S п л
=-----n o—- = 2 cos 0o,
C sin r05
получаем, что она представляет собой константу, не зависящую
от г.
Угол 0s (постоянный для частоты <о$) легко находится из гра-
ничных условий
Ло=4+1 = о,
Связанные колебания
99
поскольку
До==С$1пО = О (выполняется автоматически при г = 0)
и
Ап+Х = С sin (n + 1) 0$ — О,
если
(n+l)0s = sn при $=1, 2,. .., п.
Следовательно,
А ________________________
U С ' I J-
5 п+1
и
Аг — С sin r0s = С sin —Д-
г 5 «4-1
есть амплитуда смещения r-го тела при фиксированной частоте
нормальной моды <о$.
Чтобы найти разрешенные значения со$, напишем
Ar_t + Лг+1 2^-<о* зя
-----------=-----5— = 2 cos 0S = 2 cos--.
Ar ®o n +1
Отсюда получаем
®2 = 2®ф -cos-^г],
где s — может принимать значения 1,2, ..., пи а^ = Т1та.
Отметим, что существует максимальная частота колебаний
(os = 2(о0, которая называется критической. Наличие такой пре-
дельной верхней частоты характерно для всех колебательных
систем, образованных из одинаковых элементов (масс), которые
периодически повторяются во всей структуре системы. Мы встре-
тим ее в следующей главе как характеристику волнового распро-
странения в кристаллах.
Итак, мы нашли частоты нормальных мод колебаний для п
связанных тел, укрепленных на струне. Эти частоты опреде-
ляются выражением
= 3.................................»)
Для каждой частоты амплитуда смещения r-го тела имеет
вид
где С — постоянная. (Задачи 3.17—3.21.)
4*
100
Глава 3
Волновое уравнение
В заключение данной главы мы покажем, как связанные ко-
лебания в периодической структуре нашей нагруженной струны
переходят в волны, распространяющиеся в непрерывной среде.
Мы нашли, что уравнение движения r-го тела имеет вид
4^ “ ~ 2уг +
Положим теперь а = бх. Рассмотрим предел при 8х -> 0, когда,
сближаясь, тела сливаются в однородную тяжелую струну.
Тогда мы получим
d2yr =.!_( Уг-Н ~ 2Уг + Уг-1 Ч _ Т_ ( Ут+\ — Уг _ Ur — //г-1 Ч _
dt2 пг \ 6х J m \ 6х 6х )
/ $У Ч 1
m |Д дх )r+i V дх )г]‘
Далее,
=-^-dx
I dx )x+dx k dx )x dx2 ax'
Поэтому в пределе при бх->0 мы можем опустить индексы и
написать уравнение движения для гармонического осциллятора
в точке х следующим образом:
d*y _ т d2y . Т d2y
dt2 m dx2 р dx2
Здесь р = m/dx— масса, приходящаяся на единицу длины стру-
ны (ее линейная плотность). Последнее соотношение называется
ВОЛНОВЫМ УРАВНЕНИЕМ.
Величина Т/р имеет размерность квадрата скорости с, это
скорость, с которой распространяется волна (т. е. фаза колеба-
ний). Решение для у всегда имеет такой же вид, как решение,
описывающее гармонические колебания в некоторой точке х
струны.
Задача 3.1
Покажите, что потенциальную энергию двух одинаковых про-
стых маятников, соединенных пружиной, можно записать в виде
аХ2 + ЬУ2, где X и У—нормальные координаты, а а и b — по-
стоянные. Покажите, что кинетическую энергию можно предста-
вить в виде cX2-}-dY2, где с и d — постоянные. Выразите а, 6, с
и d через s, Z, m и g.
Связанные колебания
101
Задача 3.2
Выразите полную энергию системы, о которой говорится в за-
даче 3.1, через смещения маятников х и у следующим образом:
Е = (£КИН + Епот)х + (£кин + Епот)у + (^пот)х!/’
Здесь в скобках стоит энергия каждого маятника, записанная
через его собственные координаты, а (^пот)^ — энергия связи,
или обмена, зависящая от произведения этих координат.
Задача 3.3
На фиг. 39 и 41 показано, как в результате сложения нор-
мальных мод X и Y получаются состояния маятников с х = 2а,
у = 0 и х = 0, у — 2а. Взяв те же самые начальные условия
(х = 2а, у = 0, х = у — 0), покажите точно так же, что сложе-
ние мод X и Y приводит к состояниям с х = —2а, у = 0 и
х = 0, у = —2а.
Задача 3.4
На фиг. 47 изображены два тела с массами гп\ и т2, соеди-
ненные пружиной, имеющей собственную длину I и жесткость s.
Фиг. 47.
Обозначив растяжение пружины через х, покажите, что уравне-
ния движения вдоль оси х имеют вид
/И1Х1 = sx, m2x2 = —
Рассматривая эти уравнения совместно, покажите, что система
колеблется с частотой
где р = mim2/(mi + т2) — так называемая приведенная масса.
Предположим теперь, что на фиг. 47 изображена двухатом-
ная молекула в виде гармонического осциллятора с эффектив-
ной массой, равной приведенной массе молекулы. Покажите, что
в случае молекулы хлористого натрия, имеющей собственную ча-
стоту колебаний 1,4-1013 Гц (лежащую в инфракрасной области
электромагнитного спектра), постоянная межатомного взаимо*
102
Глава 3
действия s = 120H-M“1. (Такая простая модель дает завышен-
ное значение постоянной s по сравнению с более совершенными
методами, учитывающими другие взаимодействия в кристалли-
ческой решетке соли.) Масса атома Na = 23 а. е. м., масса атома
С1 = 35 а. е. м. (1 а.е.м. = 1,67-10-27 кг).
Задача 3.5
Два тела с одинаковой массой, изображенные на фиг. 48, ко-
леблются в вертикальном направлении. Покажите, что частоты
нормальных мод колебаний определяются вы-
ражением
»!=(3±Vs)-^
и что отношение амплитуды смещения верх-
него тела к амплитуде смещенйя нижнего тела
равно д/5/2—1 в случае медленных колеба-
ний и д/5/2+ 1 в случае быстрых колебаний..
Задача 3.6
Для связанных маятников, изображенных
на фиг. 39, напишем частоту модуляции в виде
= (<02 — (01)/2 и среднюю частоту в виде
(оср == ((о2 + (01)/2 и допустим, что пружина
очень слабая и запасает пренебрежимо малую
энергию. Допустим, что модулированная амплитуда ’
2acosco;d/ или 2а sin
постоянна в течение периода, соответствующего средней частоте
(оср. Покажите, что энергию тел можно записать в виде
EY = 2ma2(o2 cos2 (ом/ и E = 2ma2co2 sin2
X Ср У vp 4VI
Покажите, что полная энергия Е постоянна, а разность энергий
в любой момент времени имеет вид
Ех — ЕУ = Е cos ((о2 — ®i) t-
Докажите, что
Ех = ^-[\ + cos (<о2 — ®1Н]>
Еу = -|- [1 — cos (©2 — фО /].
Исходя из последних двух выражений, покажите, что полный
обмен постоянной полной энергией между двумя маятниками
происходит с частотой биений <02 — соь г
Связанные колебания
103
Задача 3.7
Если массы связанных маятников, изображенных на фиг. 37,
неодинаковы, то уравнения движения принимают вид
т\х = — т{ (g/l) х — s (х — у),
— (g/l) y + s(x — y).
Покажите, что в качестве нормальных координат мы можем вы-
брать
X = Y = x-y.
ml + т2 v
Частоты нормальных мод определяются выражениями
0)2 = у-, сд2 = у + $( — + —)•
1 I 2 I 1 \ гп\ * т2 /
Отметим, что X — это координата центра масс системы, тогда
как эффективная масса моды У равна приведенной массе систе-
мы ц (1/ц = 1/mi + 1/ги2).
Задача 3.8
Система, о которой говорится в задаче 3.7, приходит в дви-
жение с начальными условиями х = А, у = 0, х = у = 0 при
i = 0. Покажите, что амплитуды нормальных мод таковы:
Хо = ^-А, У0 = Л;
отсюда выведите, что
д
Х = -^(ГП1 COS COjZ + ГП2 cos CO^),
у — А (cos со,/ — cos <о20,
где М = т.\ 4- т2.
Перепишите эти смещения в виде
24
х = 2А cos <i»Mt cos <оср/ + -jjj- (mi — m2) sin a>Mt sin cocp/,
у = 2Д sin <&Mt sin cocp/,
где сом = (co2— (0i)/2 и coep — (coi 4- сог)/2.
Задача 3.9
Применив условие слабой связи задачи 3.6 к системе, о ко-
торой говорится в задаче 3.8, покажите, что
Ж [mi + т2 + ^т\т2 cos (со2 — (0|) /],
104
Глава 3
Отметим, что энергия Ех изменяется от максимального значе-
ния Е (при t = 0) до минимального значения [(тх — т2)/М]2Е,
тогда как Еу колеблется с частотой биений сог— coi между ми-
нимальным нулевым значением (при t = 0) и максимальным
значением 4(mlm2/M2)E.
Задача 3.10
На правый маятник связанной системы (фиг. 49) действует
горизонтальная сила FQ cos со/. Если учесть малую константу за-
Фиг. 49.
тухания г, то уравнения движения можно записать в виде
тх =----------р х ~ гх —- s (х — у) + Fq cos со/,
ту = — У — г у + s (х — у).
Покажите, что уравнения движения для нормальных коорди-
нат X = х + у и Y = х — у совпадают с уравнениями движе-
ния для осцилляторов с затуханием, на которые действует внеш-
няя сила Fq cos <оЛ Решив эти уравнения относительно У и X в
пренебрежении величиной г, покажите, что
Г0 / Г 1
х « —- cos со/ —------------7
2т L 031 ~ °
1
2 2
У~
Го ,
cos со/
2т
где
02 = Х (02 = ^ I
I ’ ю2 I т
Покажите, что
9 2
у ~
х со2 + (of — 2<о2 *
Связанные колебания
105
Изобразите графически зависимость смещения осциллятора от
частоты и покажите, что вне частотного интервала от coi до сог
амплитуда смещения у меньше амплитуды смещения х.
Задача 3.11
Переменная сила FQ cos (о/ действует на тело с массой М,
(фиг. 50), которое является частью гармонической системы с ко-
эффициентом жесткости k и присоединено к телу с массой т
F0coscvt ।। j—1
*---->- 1ло-ОчППм--1/77
Фиг. 50.
пружиной с коэффициентом жесткости s. Все колебания проис-
ходят вдоль оси х. Покажите, что тело с массой М неподвиж-
но при со2 = s/m. (Это простой вариант используемой в технике
нагрузки малой массой для гашения нежелательных колеба-
ний.)
Задача 3.12
Два одинаковых LC-контура (фиг. 51) связаны общей ем-
костью С. Направление токов в цепи указано стрелками. Урав-
Фиг. 51.
нения для напряжений имеют вид
У,-Уг = 1.^.
а токи определяются выражениями
dtfi ______________ j dq% ____j __j dq$ _____j
dt ~ a) dt a b' dt b'
Решив уравнения для напряжений в нормальных координат
тах 1а + 1ь и 1а — 1ь> покажите, что нормальные моды колеба-
106
Глава 3
ний описываются формулами
' 1ь при 1 LC ’
1а = ' .-'ь при ®22- 3 LC ‘
Отметим, что при Ia = 1ь емкость связи можно убрать и
<?1 = —?2- Если la = — lb, то q2 = —2<71 = — 2q3.
Задача 3.13
Генератор э. д. с. Е (фиг. 52) соединен с нагрузкой Z через
идеальный трансформатор. Применяя к данной схеме закон
Lp Ls
Фиг. 52.
Кирхгофа, получаем
Е = — et = itoLih — us>MI2,
/2Z2 = е2 = i — i®L2I2.
Покажите, что отношение Е//ь т. е. импеданс всей схемы, при-
соединенной к зажимам генератора, равно сумме импеданса пер-
вичной обмотки трансформатора и «импеданса связи» второй це-
почки a2M2/Zs, где Zs = Z2 + iaL2.
Задача 3.14 “
Покажите, что в случае идеального трансформатора, о кото-
ром говорится в задаче 3.13, импеданс схемы, присоединенной к
зажимам генератора, равен импедансу параллельного соединения
импеданса первичной обмотки трансформатора с импедансом
(ni/«2)2^2, где П1 и п2 — числа витков в первичной и вторичной
обмотках трансформатора.
Задача 3.15
Энергия, отдаваемая генератором нагрузке, максимальна
тогда, когда нагрузка равна его внутреннему импедансу. Пока-
жите, что при помощи идеального трансформатора можно согла*
Связанные колебания
107
совать нагрузку с генератором, например громкоговоритель,
имеющий импеданс в несколько ом, с выходом усилителя, импе-
данс которого — порядка 103 Ом.
Задача 3.16
В случае двух контуров (фиг. 53), которые связаны пере-
менной взаимной индуктивностью М, закон Кирхгофа дает сле-
дующие уравнения:
21Л + ZMl2 = E,
ZmIi + Z2/2 = 0,
где Zm — i($M. На резонансной частоте со, на которой реактансы
= Х2 = 0, величину М изменяют так, чтобы ток /2 достиг
максимального значения. Покажите, что условие такого макси*
мума имеет вид
(оМ = ^R\R2
и что им определяется «критический коэффициент связи»
где Qs — добротность контуров (s = 1, 2).
Задача 3.17
Допустим, что число тел на нагруженной струне, о которой
говорилось в данной главе, равно п = 3. Покажите, что частоты
нормальных колебаний даются следующими формулами:
И2 = (2- л/2) —, Ю2 = 2—, (o2 = (2 + V2)—.
1 4 v 7 та 2 та з v 1 v 7 /па
Задача 3.18
Покажите, что отношение смещений тел в этих модах равно
1 : д/ 2 : 1, 1:0: —1 и 1 : — : 1. Изобразив смещения гра-
фически, покажите, что с усилением связи растет частота мод.
Задача 3.19
Взяв максимальное значение
2 2Т SJI \
% =---1 1 — cos —г-г)
5 та \ п+1 /
108
Глава 3
при s = п, которое определяется наиболее сильной связью, най-
дите относительные смещения соседних тел. Проверьте пра*
вильность вычислений, подставив полученные значения в после-
довательные разностные уравнения, связывающие z/r+i, уг и уг-\.
Почему маловероятно то, что ваше решение удовлетворит сме-
щениям тел вблизи концов струны?
Задача 3.20
При s <С п разложите величину
о 2Т \
=----I 1 — cos —т-г )
5 ma \ п + 1 /
в ряд по степеням s/(n+ 1) и покажите, что в пределе очень
больших п низкая частота дается выражением
где р = т]а и 1 = (п+ 1)а.
Задача 3.21
Электрическая линия передачи состоит из одинаковых кату-
шек индуктивности L и конденсаторов С, соединенных как пока-
Vr4 Vr
Qr-1 L qr L
Фиг. 54.
зано на фиг. 54. Исходя из уравнений
Г dlr— 1 17 1/ _ Qr—1 Qr
- Vr —----с
покажите, что для 1Г можно вывести выражение, эквивалентное
выражению для уг в случае струны, нагруженной массами. Та-
кая линия работает как низкочастотный электрический фильтр
и имеет критическую частоту, как и в случае струны. Наличие
критической частоты характерно для распространения волн в
периодических структурах и волноводах.
Сводка основных результатов
В связанных системах каждой нормальной координате соот-
ветствует одна степень свободы; каждой степенью свободы оп-
ределяется один из путей, по которому система может получать
Связанные колебания
109
энергию. Полная энергия системы равна сумме энергий ее нор-
мальных мод колебаний, поскольку эти моды никогда не обмени-
ваются энергией, а остаются изолированными и отличными друг
от друга.
Гармонический осциллятор имеет две нормальные координа-
ты [скорость (или импульс) и смещение] и, следовательно, две
степени свободы, первая из которых связана с кинетической
энергией, а вторая — с потенциальной энергией.
п одинаковых тел, укрепленных с равным интервалом а на стру-
не с постоянным натяжением Т
Уравнение движения r-го тела с массой m
myr = y (У г-1 — 2уг + у г+1)
после подстановки yr — Arei(iit преобразуется к виду
- Лг+1 + 2 - Аг - Аг_1 = 0.
Имеется п нормальных мод, частоты которых <os определяются
формулой
В случае нормальной моды с частотой амплитуда смеще-
ния r-го тела имеет вид
где С — постоянная.
Волновое уравнение
В пределе, когда интервал а = 6х->0, уравнение движения
r-го тела на нагруженной струне
Т
ту г = ~а (У r-г — 2Уг + Уг+1)
превращается в волновое уравнение
d2y _ Т d2y _ 2 d2y
dt2 р dx2 ~с dx2 ’
где p — масса, приходящаяся на единицу длины, а с — скорость
волны.
Глава 4
Поперечные волны
Частная производная
В этой главе и далее мы будем часто обращаться к понятию
частной производной. Когда мы имеем дело с функцией одной
переменной, скажем y = f(x), производная определяется как
-^ = Ит Нх + дх)-Цх)
dx вх->0
Но если мы рассматриваем функцию двух или большего числа
переменных, то она будет меняться как при изменении одной
произвольной переменной, так и при изменении всех переменных.
Например, координата z на поверхности сферы с центром
в начале координат О, которая описывается уравнением
х2 + У2 + z2 = а2, где а — радиус сферы, будет зависеть от х и
у. Поэтому z является функцией координат х и у и записывается
в виде z = г(х, у). Дифференциальное приращение координаты
2, обусловленное изменением координат х и у, можно записать
следующим образом:
rf2=(-57)/x+(37),‘'’’
Здесь (dz[dx}y означает дифференцирование z по х при фиксиро-
ванном значении у, поэтому
f dz Ч = z(x + У) ~ z(x, у)
\дх)у бх^0 6х
Полное изменение dz находится путем сложения отдельных диф-
ференциальных приращений, обусловленных изменением каж-
дой переменной по очереди, в то время как остальные перемен-
ные остаются постоянными. Из фиг. 55 явствует, что, положив ко-
ординату у постоянной, мы выделяем плоскость, которая раз-
резает сферическую поверхность по кривой. Дифференциальное
приращение dz вдоль этой кривой точно такое же, как если бы
координата z была функцией только координаты х. Фиксировав
теперь величину х, мы поворачиваем эту плоскость на 90° и
повторяем вычисления, считая у переменной. В результате пол-
ное дифференциальное приращение dz равно сумме прираще-
ний, полученных двумя такими способами.
Поперечные волны
111
В случае функции только двух переменных индекс, указы-
вающий фиксированную переменную, можно опустить без по-
тери определенности. Наши функции, описывающие волновое
движение, будут зависеть от пространственной и временной пе-
ременных, а поэтому мы будем обозначать первую производную
Z
Фиг. 55. Часть сферы с центром в начале координат.
Схема иллюстрирует соотношение dz—dz^ + dz2 — (dzldx}y dx + (dzfdy)x dyt в котором
каждая производная вычисляется при фиксированном значении одной переменной.
по х символом д/дх, а вторую — символом д2/дх2, считая время
t постоянным. Первую же и вторую производные по времени мы
будем обозначать через d/dt и d2/dt2, подразумевая, что вели-
чина х остается постоянной.
Волны
Один из самых простых способов продемонстрировать волно-
вое движение — это взять свободный конец длинной веревки,
второй конец которой закреплен, и дернуть его вверх и вниз.
Вдоль веревки побегут горбы и впадины волн, и если бы веревка
была бесконечно длинной, то такие волны можно было бы на-
звать бегущими волнами — так называются волны, распростра-
няющиеся в неограниченной среде, где нет отражения (фиг. 56).
Если размеры среды ограничены, например если веревку за-
менить скрипичной струной с закрепленными обоими концами, то
бегущие волны, распространяющиеся по струне, отражались бы
от обоих концов. Тогда колебания струны представляли бы со-
бой комбинацию таких волн, распространяющихся взад и вперед
по струне, и образовались бы стоячие волны.
112
Глава 4
Волны на струнах — это поперечные волны, т. е. смещения
или колебания в среде происходят поперек направления распро-
странения волны. Когда колебания параллельны направлению
распространения волны, волны называются продольными. К про-
дольным волнам относятся звуковые волны. В газе могут рас-
пространяться только продольные волны, поскольку для сущест-
вования поперечных волн необходима сила сдвига. В твердом
же теле могут распространяться и продольные, и поперечные
волны.
Впадина
Фиг. 56. Поперечные бегущие волны, распространяющиеся вдоль струны.
Мы в своей книге будем рассматривать только плоские вол-
ны. Когда мы наблюдаем волновое движение в виде последова-
тельности горбов и впадин, то в действительности мы видим ко-
лебательное движение отдельных осцилляторов в среде и, в ча-
стности, всех тех осцилляторов в плоскости среды, которые в
момент наблюдения имеют одинаковую фазу колебаний.
Если мы возьмем плоскость, перпендикулярную направлению
распространения волны, то все осцилляторы, лежащие в этой
плоскости, имеют общую фазу. Мы будем наблюдать во вре-
мени, как плоскость общей фазы будет перемещаться через
среду. На такой плоскости все параметры, описывающие волно-
вое движение, остаются постоянными. Горбы и впадины соответ-
ствуют плоскостям максимальной амплитуды колебаний, которые
сдвинуты по фазе относительно друг друга на л радиан. Горб
соответствует плоскости максимальной положительной амплиту-
ды, а впадина — плоскости максимальной отрицательной ампли-
туды. При математическом описании такого волнового движе-
ния мы должны будем связать разность фаз между двумя лю-
быми плоскостями с расстоянием между ними. По существу
мы уже проделали это при нашем рассмотрении осцилляторов.
Сферическими волнами называются волны, поверхности оди-
наковой фазы которых представляют собой сферы. Источник та-
ких волн, например взрыв, лежит в центральной точке. Каждой
сферической поверхностью определяется совокупность осцилля-
торов, которые при данном волновом возмущении колеблются в
фазе. На практике сферические волны, прошедшие очень корот-
кое расстояние, можно считать плоскими. Малый участок сфери-
ческой поверхности очень близок к плоскости.
Поперечные волны
113
Скорости волнового движения
С самого начала мы должны четко усвоить один момент. От-
дельные осцилляторы, образующие среду, не распространяются
вместе с волнами через среду. Они гармонически колеблются в
поперечном и продольном направлении относительно своих по-
ложений равновесия. Мы наблюдаем как волны их фазовые со-
отношения, а не их распространение в среде.
При волновом движении существуют три скорости, которые
представляют собой совершенно различные величины, хотя они
и связаны математически.'
1. Скорость частиц. Это скорость простых гармонических ко-
лебаний осциллятора около его положения равновесия.
2. Волновая, или фазовая, скорость. Это скорость, с которой
перемещаются в среде поверхности одинаковой фазы, т. е. гор-
бы или впадины.
3. Групповая скорость. Путем сложения ряда волн с раз-
ными частотами (длинами волн) и скоростями можно получить
группу волн, или волновой пакет. Волны редко существуют в
виде отдельных монохроматических компонент. Импульс белого
света имеет сплошной спектр частот, поэтому движение такого
импульса описывается его групповой скоростью. Конечно, такой
пакет расплывается со временем, поскольку волновые скорости
каждой компоненты неодинаковы во всех средах, кроме свобод-
ного пространства. Только в свободном пространстве импульс
белого света остается неизменным.
Мы рассмотрим вопрос о групповой скорости отдельно в
одном из последующих разделов данной главы. Групповая ско-
рость имеет важное значение как скорость, с которой переносит-
ся энергия в волновой группе. В случае монохроматической вол-
ны групповая и волновая скорости одинаковы. Здесь мы подроб-
нее рассмотрим скорость частиц и волновую скорость.
Волновое уравнение
Волновое уравнение будет основным для остальной части
книги, а поэтому мы выведем его, рассматривая прежде всего
движение поперечной волны по струне.
Рассмотрим вертикальное смещение у очень короткого отрез-
ка однородной струны. Этот участок струны, совершающий вер-
тикальные гармонические колебания, будет нашим простым гар-
моническим осциллятором. Конечно, смещение у изменяется
со временем, а также зависит от х, положения той точки стру-
ны, которую мы выбираем для наблюдений за колебаниями.
Итак, волновое уравнение будет связывать смещение у от-
дельного осциллятора с расстоянием к и временем /. Мы будем
114
Глава 4
рассматривать колебания только в плоскости чертежа, так что
наши поперечные волны на струне будут плоскополяризован-
ными.
Масса однородной струны, приходящаяся на единицу длины,,
или её линейная плотность, равна р. Вдоль струны существует
постоянное натяжение Г, хотя она обладает небольшой растяжи-
мостью. В соответствии с этим мы должны рассматривать столь
короткий отрезок и столь малые колебания, что наши уравнения i
могут быть линеаризованы. Действие силы тяжести не учиты- J
вается. 1
Фиг. 57. Смещенный элемент струны, имеющий длину ds ж dx.
Сила натяжения Т действует в точке х под углом 0, а в точке x + dx — под углом 0 + d а
к оси х. ’
Как видно из фиг. 57, на искривленный элемент длиной ds с
одного конца действует натяжение Г, направленное под углом
0 к Оси х, а с другого — натяжение Г, направленное под углом I
0 4- dft. Длина искривленного элемента равна
но в силу наложенных ограничений величина ду)дх так мала,
что мы можем пренебречь ее квадратом и принять ds — dx.
Следовательно, масса элемента струны равна pds — pdx, а
уравнение его движения находится из закона Ньютона: сила .4
равна массе, умноженной на ускорение.
Перпендикулярная сила, действующая на элемент dx в по- ]
ложительном направлении оси у, равна Т sin (0 + ^0)—Г sin 0.
Она равна также произведению массы pdx на ускорение d2y/dt\ |
Поскольку угол 0 мал, мы имеем sin 0 tg 0 = ду/дх и сила
равна
Поперечные волны
115
Здесь индексы относятся к точке, где вычисляются производные.
Разность в квадратных скобках равна произведению производ-
ной функции ду!дх на элемент расстояния dx, а поэтому сила
равна
T^dx.
дх2
Тогда уравнение движения малого элемента dx принимает
вид
т д2У л л д2У
Т дх2 dt2 *
или
д2у р д2у
дх2 Т dt2 ’
Здесь отношение Т/р имеет размерность квадрата скорости с2,
а потому последнее уравнение можно переписать в виде
д2у _ 1 д2у
дх2 ~ с2 dt2 ‘
Это — ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ.
Оно связывает ускорение гармонического осциллятора в
среде с второй производной его смещения по координате х, оп-
7 ределяющей положение осциллятора. В какой части уравнения
должен быть множитель с2, всегда легко определить путем бы-
строй оценки размерности.
Мы еще не сказали, что означает скорость с. Ниже мы уви-
дим, что с — это волновая, или фазовая, скорость, т. е. скорость,
с которой перемещаются плоскости одинаковой фазы. В случае
струны эта скорость возникает как отношение натяжения к
инерционной плотности струны. Мы покажем, что независимо от
типа волн волновую скорость всегда можно представить как
функцию упругости (связанной с механизмом накопления потен-
циальной энергии в среде) и инерции среды (связанной с накоп-
лением кинетической или индуктивной энергии). В случае про-
дольных волн в твердом теле упругость характеризуется моду-
лем Юнга, а в газе — величиной уР, где у — отношение удель-
ных теплоемкостей J), а Р — давление газа.
!) А именно у == Cp/Cv, где Ср— удельная теплоемкость газа при постоян-
ном давлении, а СР — его удельная теплоемкость при постоянном объеме. —
Прим, переев
116
Глава 4
Решение волнового уравнения
Решение волнового уравнения
д2у 1 д2у
дх2 с2 dt2 9
конечно, будет функцией переменных х и Л Мы покажем, что^
его решением является любая функция вида у = fi(ct— х).
Кроме того, решением будет также любая функция y=f2(ct-{-x)r
так что полное решение в общем случае имеет вид суперпози-
ции у = fl (cl — х) + h(d + х).
Если через обозначить производную функции fi по ее ар*
гументу ct — х, то
= f 1 (d х), = f" (d х).
Кроме того,
= cf{ (d — х), $ = C2f" (d — х),
откуда для у = f\(d — х) получаем
д2у 1 д2у
дх2 с2 dt2
Аналогичный результат справедлив для r/ = f2(^ + *). (Зада-
чи 4.1, 4.2)
Если у — смещение в точке х в момент времени t осциллято-
ра, совершающего простые гармонические колебания, то в
силу сказанного в гл. 1 мы можем представить его в виде
у = a sin —<р). И действительно, все волны, которые мы рас-
сматриваем в этой книге, будут описываться функциями синуса
или косинуса, поскольку они представляют собой плоские волны.
Аргумент ct — х функции у = f (ct — х) имеет размерность
длины. Для того чтобы эта функция могла быть синусом или ко-
синусом, ее аргумент должен иметь размерность угла и изме-
ряться в радианах. Поэтому разность ct — х нужно умножить на
коэффициент 2лД, где Л — длина волны, которую следует оп-
ределить.
Теперь мы можем написать
2 л
у = a sin (со/ — <р) = a sin -т- (d — х)
в качестве решения волнового уравнения, если 2лс/Х — со = 2n;vr
где v—частота колебаний, и ср = 2лх/Х. Это означает, что если
в момент времени t — 0 сфотографировать осцилляторы среды,
в которой вправо бежит волна, то траектория смещений осцил-
ляторов (фиг. 58) будет описываться выражением у = —a sin ф =
Поперечные волны
117
— — asin(2nx/X). Если же мы наблюдаем за движением осцил-
лятора в точке х = 0, то его смещение будет описываться функ-
цией у = a sin со/.
Под действием волны, бегущей вправо, любой осциллятор,
расположенный в некоторой точке х справа, начнет движение с
некоторым запаздыванием. Его движение будет описываться вы-
ражением
у — a sin (со/ — ф) = a sin — (ct — х),
где <р — запаздывание по фазе относительно осциллятора в точ-
ке х — 0. Поскольку ф = 2лх/Х, при х = X фазовый сдвиг ра-
вен 2л радиан, т. е. запаздывание равно одному полному пе-
риоду колебаний осциллятора.
Фиг. 58. Профиль смещения осцилляторов в сплошной среде, в которой рас-
пространяется волна в положительном направлении оси х.
Длина волны Л—это расстояние между любыми двумя осцилляторами, имеющими разность-
фаз 2л радиан.
Тем самым мы определили X как длину волны — расстояние
между -любыми двумя осцилляторами, имеющими разность фаз
2л радиан. Из выражения 2лс/Х = со = 2nv находим величину
с = vX; это волновая, или фазовая, скорость, равная произведе-
нию частоты на длину волны. Таким образом, справедливо соот-
ношение Х/с = 1/v = т, где т — период колебаний, показываю-
щее! что волна проходит расстояние в одну длину волны за вре-
мя т. Мимо наблюдателя, расположенного в любой точке, за
одну секунду проходит волновой цуг, содержащий v длин волн
и имеющий длину, численно равную скорости волны с.
Если волна бежит влево, то знак величины ф должен быть
обратным, поскольку колебания в точке х начинаются раньше,
чем в точке х = 0. Следовательно, аргумент ct — х соответ-
ствует волне, распространяющейся Вправо, а аргумент ct + х—
волне, распространяющейся в направлении отрицательных зна-
чений х.
118
Глава 4
Имеется несколько эквивалентных форм записи функции
у = f (ci— х), которые мы здесь приведем для случая, когда
функция f — синус (хотя представление функции f в виде коси-
нуса тоже справедливо):
у — a sin (ct — х),
у = a sin 2л (v/ — -£ ),
t/ = a sin <х> — у),
у = a sin (<о/ -— fex),
где k = 2л/Х = (д/с— так называемое волновое число. Можно
также использовать экспоненциальное представление синуса и
косинуса в виде у = Каждое из приведенных выше
выражений является решением волнового уравнения, опреде-
ляющим смещение осциллятора, а также его фазу относительно
некоторого исходного осциллятора. То, что мы наблюдаем как
волновое движение, есть изменение смещений осцилляторов и
распространение фазы их колебаний.
Волновая; или фазовая, скорость, конечно, равна dxjdt —
скорости, с которой возмущение перемещается по системе осцил-
ляторов. Скорость осциллятора или частицы есть простая гар-
моническая скорость dyldt.
Выбирая любое из приведенных выше выражений для бегу-
щей вправо волны, например
у = а sin (со/ — kx),
мы получаем
= (да COS ((dt — kx), — ~ka COS ((dt — kx), '
откуда
dy__________________co dy_____ dy /___ dx dy \
dt k dx C dx v dt dx ) ’
Следовательно, скорость частицы dyldt равна произведению вол-
новой скорости с == dxldt на градиент волнового профиля, взя-
того со знаком минус в случае волны, распространяющейся
вправо, вида
У = f {ct — х).
Стрелками на фиг. 59 показано направление скорости частиц
в разных точках волны, бегущей вправо. Очевидно, что скорость
частиц увеличивается в том же направлении, в котором увели-
Поперечные волны
119>
Фиг. 59. Синусоидальная волна, бегущая вправо.
Внизу стрелками указаны величина и направление скорости частиц dyldt=— с ду/дх в раз-
ных точках х.
чивается поперечная сила в волне. В следующем разделе мы.
увидим, что эта сила определяется выражением
т ду
дх 9
где Т — натяжение струны. (Задача 4.3.)
Импеданс струны (струна как осциллятор, колеблющийся
под действием внешней силы)
Любая среда, в которой распространяются волны, характе-
ризуется неким импедансом для этих волн, или волновым со-
противлением. Если среда без потерь и не имеет механизма дис-
сипации или сопротивления, то импеданс будет действительным
и будет определяться двумя параметрами, описывающими на-
копление энергии в среде: инерцией и упругостью. При наличии
механизма потерь в импедансе появится мнимый член.
Струна тоже характеризуется неким импедансом для бегу-
щих волн, который в соответствии с природой этих волн опреде-
ляется как поперечный импеданс:
2___ Поперечная сила ____ F
Поперечная скорость v
120
Глава 4
Ниже мы выявим двойную роль струны — как среды и как
осциллятора, колеблющегося под действием внешней силы.
Рассмотрим бегущую по струне волну (фиг. 60), которая
возбуждается на одном из концов струны переменной силой
Foez<tt/, действующей на струну только в поперечном направлении
(и лежащей в плоскости чертежа). Натяжение струны постоянно
и равно Т. Баланс сил для конца струны показывает, что в лю-
Фиг. 60. Струна как осциллятор, совершающий вынужденные колебания.
На один конец струны действует вертикальная сила Feez<0^.
бой момент времени внешняя сила равна по величине и проти-
воположна по направлению силе Т sin 0, а поэтому
= - т sin0 » — TigQ = — T~,
где 0 — малый угол.
В случае бегущих волн смещение можно записать в экспо-
ненциальной форме
у (tot — kx)
где амплитуда А может быть комплексной благодаря ее фазо-
вому сдвигу относительно F. Для конца струны, где х = 0,
= — Т (^~) = ikTAe1
откуда
А = - = — ( —1
л ikT /о \т )'
„ __ (— 'I pi (tot-kx)
у — i<*\T )e
(поскольку С = (д/k).
Поперечной скоростью
и амплитудой скорости v = Fo/Z определяется поперечный им-
педанс
Z = -у- = рс (поскольку Т — рс2),
Поперечные волны
121
или волновое сопротивление, струны. Так как скорость с зави-
сит от инерции и упругости, импеданс также определяется этими
свойствами среды.
(Как нетрудно видеть, амплитуда смещения у = F$/(&Z и фа-
зовый сдвиг смещения относительно силы, соответствующий
множителю —i, полностью согласуется с тем, что говорилось
в гл. 2.)
Отражение и прохождение волн
на границе двух струн
Мы уже видели, что струна обладает импедансом рс для
волн, бегущих по ней. Теперь мы спрашиваем: как будут реа-
гировать волны на резкое изменение импеданса, т. е. вели-
чины рс? Такой вопрос мы будем задавать, рассматривая все
волны, включая акустические, электромагнитные, а также волны
напряжения и тока. При этом мы обнаружим замечательное
сходство в их поведении.
Фиг. 61. Падающая, отраженная и прошедшая волны на стыке двух струнг
где импеданс изменяется скачком от piCi до рзСа-
Предположим, что струна состоит из двух кусков, гладко со-
единенных в некоторой точке, и имеет постоянное натяжение Т
вдоль всей длины. Обе части струны имеют разные линейные
плотности pi и р2 и разные волновые скорости ПР1 = и
Т1р2 = ст Характеристические импедансы равны picx и р2с2.
Волна, бегущая по струне, в точке х — 0 встречает скачок
импеданса, как показано на фиг. 61. В этой точке х = 0 часть
падающей волны отразится, а другая часть пройдет в область
с импедансом р2г2.
Обозначим импеданс piCj через Zi, а импеданс р2с2— че-
рез Z2. Смещение для падающей волны запишем в виде =
= A\ei{(dt-k>x\ где Л1—действительная амплитуда (волна бежит
в положительном направлении оси х со скоростью Ci). Смещение
для отраженной волны, бегущей в отрицательном направлении
оси х со скоростью Ci, имеет вид yr== Biei{®t+klX\ где Bj — ам-
122
Глава 4
плитуда. Смещение для прошедшей волны, бегущей в положи-
тельном направлении оси х со скоростью c2t определяется вы-
ражением yt — Л2е1’ где А2 — амплитуда.
Мы хотим найти амплитудные коэффициенты отражения и
прохождения, т. е. отношения величин и А2 к амплитуде Ль
Для этого воспользуемся граничными условиями, которые дол-
жны выполняться в точке скачка импеданса х == 0. Эти гранич-
ные условия следующие:
1. Геометрическое условие, заключающееся в том, что в лю-
бой момент времени смещение справа и слева в непосредствен-
ной близости от точки х = 0 одинаково. Таким образом, скачка
смещения нет.
2. Динамическое условие, заключающееся в том, что попе-
речная сила Т(ду!дх) непрерывна в точке х = 0. Следовательно,
непрерывна производная смещения по х. Это условие должно
выполняться, ибо в противном случае конечная разность сил бу-
дет действовать на бесконечно малую массу струны и вызовет
бесконечно большое ускорение, что недопустимо.
Согласно условию (1), мы имеем
У1 + Уг = Уь
ИЛИ
= A2el
При x = 0 можно сократить экспоненциальные множители; по-
лучим
(4.1)
Согласно условию (2), при х = 0 для всех значений t
откуда после сокращения экспоненциальных множителей при"
х = 0 получаем
—• k{TA\ 4“ k\TB\ — — k2TA2i
или т т т — (о — А\ 4" ® В 1=== ® А.2' Cl 1 1 Cl С2
Но т т ~ = Pl С\ = 21, — = р2С2 = 22; С1 с 2
поэтому
Zi (Л1 — В[) — Z2A2.
(4<2)
Поперечные волны
123-
Из уравнений (4.1) и (4.2) находим:
Амплитудный коэффициент отражения — = >
х Амплитудный коэффициент пропускания ~~ = *
Мы сразу видим, что эти коэффициенты не зависят от со и оди-
наковы для волн любой частоты. Они действительны и не вно-
сят никаких фазовых сдвигов, если не считать сдвига на л ра-
диан, который будет изменять знак члена. Кроме того, эти от-
ношения полностью определяются отношениями импедансов (см.,
таблицу на стр. 382).
Бесконечный,
импеданс
рс = <х>
Падающий
импульс_
отраженный
импульс
С1
А'+В
Фиг. 62. Отражение импульса, или волнового пакета, состоящего из большого
числа частотных гармоник, от границы с бесконечным импедансом (рс = оо).
Каждая гармоника полностью отражается с изменением фазы на л радиан, поэтому форма
отраженного импульса оказывается обращенной по отношению к первоначальной форме
импульса. На фигуре импульс в момент отражения поделен на три части: А, В и С. В мо-
мент наблюдения часть С уже отразилась и испытала обращение формы, необходимое для
превращения в С'. Фактическая форма импульса, наблюдаемого в этот момент, есть А,
поскольку он равен Л + B-f-C', где В —С'. Смещение в точке отражения должно равняться
нулю. Перевернутая и обращенная часть Л'-f-B' соответствует неотраженной части Л + В
и будет распространяться в отрицательном направлении оси х вдали от границы, когда
отразятся части Л и В.
. Случай Z2 = оо соответствует концу струны, закрепленному
в точке х = 0, поскольку прошедшей волны нет. Отсюда полу-
чаем В\/А[ = —1, поэтому падающая волна полностью отра-
жается (как и должно быть) с изменением фазы на л (обраще-
ние фазы). В дальнейшем мы получим, что эти условия являются
необходимыми для существования стоячих волн. В случае Z2 =
= оо волновой пакет, образованный из множества волн раз-
личной частоты, при отражении будет сохранять свою форму,,
которая в результате отражения лишь обращается (фиг. 62).
Если Z2 = 0, то х = 0 соответствует свободному концу
струны и Bi/Ai = 1, A2/Ai = 2. Этим объясняется хлопок, воз-
никающий, когда волна достигает конца кнута или незакреплен-
ной струны. (Задачи 4.4—4.6.)
124
Глава 4
Отражение и прохождение энергии
Наш основной интерес к волнам связан, однако, с их способ-
ностью переносить энергию через среду. Поэтому посмотрим,
что происходит с энергией волны, когда волна падает на гра-
ницу раздела двух сред с разными импедансами.
Мы знаем, что если рассматривать единичный отрезок стру-
ны с массой р как гармонический осциллятор с максимальной
амплитудой колебаний Д, то его полная энергия имеет вид
Е = у рсо2Д2,
где о)— частота волны. Поскольку каждый единичный отрезок
струны начинает колебания с приходом волны, а волна распро-
страняется со скоростью с, скорость переноса энергии вдоль
струны дается выражением
Энергия X Скорость = у рсо2Д2с.
Таким образом, скорость поступления энергии на границу
х = 0 равна энергии, переносимой падающей волной за единицу
времени, т. е.
~plcla2Al = ~Zia2A2l.
Скорость, с которой энергия уносится от границы отраженной
и преломленной волнами, равна
4 р^В2 +1 p2c2<aM2 = 4 z р2В2 + | Z^A2 =
Zi (Z, - Z2)2 + 4Z2Z2
(2, + z2p
Здесь были использованы формулы для отношений BJA\ и
Л2/Д1. Следовательно, энергия сохраняется: вся энергия, пере-
носимая к границе падающей волной, уносится от границы от-
раженной и преломленной волнами.
Энергетические коэффициенты отражения
и пропускания
Эти коэффициенты определяются следующим образом:
Отраженная энергия
Падающая энергия ZtAf А* \ Z{ 4- Z2
Прошедшая энергия Z2A2 4ZtZ2
Падающая энергия ZtAf (Zt + Z2)2 ’
Поперечные волны
125
Мы видим, что энергия не отражается, если Z\ — Z2. В этом
случае говорят, что импедансы согласованы. (Задачи 4.7, 4.8.)
Согласование импедансов
Согласование импедансов имеет очень важное практическое
значение в вопросе передачи энергии. Длинные кабели, по кото-
рым переносится энергия, должны быть точно согласованы во
всех соединениях, чтобы избежать потерь энергии за счет отра-
жения. Энергия, получаемая от любого генератора, макси-
мальна, когда нагрузка согласована с импедансом генератора.
Громкоговоритель согласуется с импедансом выхода усилителя
путем выбора правильного отношения числа витков в обмотках
трансформатора связи. Этот последний пример, где между двумя
несогласованными импедансами вводится элемент связи, имеет
важнейшее значение во многих областях инженерной физики и
оптики. Мы проиллюстрируем этот прием на примере волн, бе-
гущих по струне, но результаты будут справедливы для всех
волновых систем.
Мы уже видели, что, когда между двумя струнами с раз-
ными импедансами имеется гладкое соединение, на границе про-
исходит отражение энергии. Теперь мы покажем, как путем вве-
дения еще одной струны определенной длины между двумя не-
согласованными струнами можно исключить отражение энергии
и согласовать импедансы.
Нам нужно (фиг. 63) согласовать импедансы Zi = piCi и
Z3 = р3Сз путем введения струны длиной / с импедансом Z2 =
= р2^2. Струны гладко соединены, и задача в том, чтобы найти
величины I и Z2.
На фиг. 63 показаны смещения для падающей, отраженной
и прошедшей волн в точках соединений х — 0 и х = I. Мы хо-
тим добиться, чтобы отношение
Прошедшая энергия Z34|
Падающая энергия ^i^l
было равно единице.
Согласно граничным условиям, величины у и Т(ду!дх) не-
прерывны при переходе через соединения х = 0 и х = /. Из ус-
ловия непрерывности величины у в точке х — 0 между струнами
с импедансами и Z2 следует уравнение
((Ht-kix) W+kiX) — Д^е1 (sat-kiX)
ИЛИ
A[ + Bi = A2 + B2, (4.3)
поскольку x = 0.
126
Глава 4
Фиг. 63. Импедансы Z\ и Z3 двух струн согласуются путем введения между
ними струны, имеющей длину I и импеданс Z%.
Падающая и отраженная волны показаны для границ х=0 и х=/. Импедансы согласо-
ваны, когда Я^—^^З и где 1—Длина струны с импедансом Z2 Все сказанное
справедливо для волн во всех средах.
Точно так же из условия непрерывности величин Т(ду/дх)
в точке х = 0 следует, что
Т (— -j- ik\Bi)=== T (— Z^2^2 “F /^2^2)*
Разделив обе части равенства наши вспомнив, что Т (k/a) —
= Т/с = pc — Z, получаем
ZdAi-Bi) = Z2(A2-B2). (4.4)
Аналогично условие непрерывности у в точке х = Г приводит
к соотношению
A2e~ikl + B2eik>1 = А3, (4.5)
а условие непрерывности Т(ду/дх)—к соотношению
Z2 (A2e-‘^! - B2elk*1) = Z3A3. (4.6)
Из четырех граничных уравнений (4.3) — (4.6) нам необхо-
димо найти отношение A3/Ai. Используя уравнения (4.3) и (4.4),
мы исключим В\ и выразим Ai через члены А2 и В2. Затем с по-
мощью уравнений (4.5) и (4.6) выразим А2 и В2 через член А3.
Поперечные волны
127
Из уравнений (4.3) и (4.4) следует, что
Z! (Л] — А2 — В2 + Л) = Z2 (^2 — B2)f
или
Д — (Г12 4“ 1) 4~ В2 (г 12 — 1)
> 1 2г 12
где Г12 = ZJZ2.
Согласно уравнениям (4.5) и (4.6),
А>=^А*‘и-
где Ггз — Z2/Z3. .
С помощью уравнений (4.7) й (4.8) находим, что
А = К''* + + 1) + (г12 - 1) (Пи - 1) =
= ^7 [(Пз + 1) (е‘™ + + (г18 +.Г23) (?‘w - e-;W)] =;
= 277 [(Из + 1) COS k2l + i (Г12 +-r23) Sin k2l],
где ' '
__ ZiZ2 __ Z\ ___
Г12Г23 —"ад — z?-r‘3-
Следовательно, •
. ГГЛз.|Л2__.= ' 4rf3______________. .
\ At J (rl3 + I)2 co$2 k2l + (r12 + г2з)2 sin2 k2l\
откуда ......
Прошедшая энергия Z31 Л312 1 / I Л31\2
Падающая энергия ZiMJ2 Г13 \| Ai |/
__________________4г 13______________
(Г13 + I)2 COS2 k2l 4- (Г12 + Г2з)2 sin2 k2l * !
Если мы выберем I = ^/4, то cosk2l = 0, sinZ^ = 1 и
z3| Лз12= 4Г13
Z1IX1I2 (Г124"Г23)2
при Г12 = Г23, т. е.
^- = 77. ИЛИ 72 = л/ад.
Таким образом, мы видим, что если импеданс связывающей
среды равен среднему геометрическому двух импедансов, кото-
128
Глава 4
рые должны быть согласованы, и толщина связывающей среды
равна
“Г’
где Х2 = 2ji/fe2, то вся энергия волны с частотой со будет прохо-
дить без отражения.
Толщина диэлектрического покрытия на оптических линзах,
которое исключает отражение при прохождении света из воз-
духа в стекло, равна четверти длины волны. Радужная окраска
в таких линзах возникает из-за того, что точное согласование
происходит только на одной частоте. Линии передачи согла-
суются с нагрузками путем введения четвертьволновых отрезков
линии с соответствующим импедансом. (Задачи 4.9, 4.10.)
Стоячие волны на струне фиксированной
длины
Мы уже видели, что если импеданс отражающей среды ра-
вен бесконечности, то бегущая волна полностью отражается с из-
менением фазы на л радиан. Бесконечным импедансом харак-
теризуются жестко закрепленные концы струны с фиксирован-
ной длиной /. Теперь мы исследуем поведение волн на такой
струне.
Рассмотрим простейший случай, когда одна монохроматиче-
ская волна с амплитудой а и частотой со распространяется в по-
ложительном направлении оси х, а другая монохроматическая
волна той же частоты с амплитудой Ъ распространяется в отри-
цательном направлении оси х. Тогда смещение в любой точке
струны будет определяться выражением
у _ aei (tot-kx) fai (at + kx)
и граничными условиями у = 0 при х = 0 и х = I для любого
момента времени.
Условие у = 0 при х = 0 дает 0 = (а + для всех зна-
чений а поэтому а = —Ь. Физически данное соотношение вы-
ражает то обстоятельство, что волна, бегущая в любом направ-
лении, доходя до конца струны, обладающего бесконечным им-
педансом, полностью отражается с изменением фазы на л ра-
диан. Этот результат справедлив для всех волн любой формы и
любой частоты.
Таким образом, смещение у дается выражением
у = аеш (e~ikx — eikx) = — 2iaei(di sin kx, (4.9)
Поперечные волны
129
которое удовлетворяет стационарному волновому уравнению
для стоячей волны
поскольку
д2У ,
дх2
k2y = О,
1 д2у _
с2 dt2
(О2 ,2
-гУ^-^у.
Согласно условию у = 0 при х = /, для всех значений t
sin kl = sin — = 0, или — = пл.
с с
Отсюда находим разрешенные частоты*
МЛС ПС с
= или vn==-^ = Т’
т. е.
- nk . (Ипх . плх
l== — > sm —у-= sin-у-.
Это нормальные частоты, соответствующие нормальным мо-
дам колебаний, с которыми мы впервые встретились в гл. 3. Их
Фиг. 64. Первые четыре гармоники (п = 1—4) стоя-
чих волн, которые могут существовать в струне с
двумя закрепленными концами.
часто называют собственными частотами. Такие частоты опре-
деляются числом полуволн, укладывающихся на длине струны.
На фиг. 64 показано смещение струны для первых четырех гар-
моник (п — 1, 2, 3, 4). Гармоника, соответствующая п = 1, на-
зывается основной.
Как и в случае нагруженной струны, о которой говорилось
в гл. 3, все нормальные моды могут существовать одновременно,
при этом полное смещение равно сумме смещений на каждой
частоте. Это более сложная задача, которую мы рассмотрим
в гл. 9, посвященной методам Фурье.
Сейчас мы видим, что при п > 1 на струне будет ряд точек,
которые всегда остаются неподвижными. Они определяются
5 Зак, 1186
130
Глава 4
уравнением
®пх . плх ~
sin —— = sin —7— — 0,
с I
или
= гя (г = 0, 1, 2, 3, ..., п).
Значения г — 0 и г = п соответствуют концам струны х = 0
и х = I. Однако в случае n-й гармоники между концами струны
имеется еще (п—1) точек, в которых смещение всегда равно
нулю. Такие точки, распределенные равномерно по всей струне,
называются узлами или узловыми точками. Это точки нулевого
движения (покоя) в системе стоячих волн. Стоячие волны воз-
никают благодаря сложению волновых возмущений, распростра-
няющихся в противоположных направлениях. Если амплитуды
этих бегущих волн равны по величине и противоположны по
знаку (благодаря полному отражению), то узловые точки будут
существовать.
Но отражение часто оказывается неполным, а поэтому волны,
бегущие в противоположных направлениях, не точно компенси-
руются и не образуют идеальных узлов, в которых смещение
было бы строго равно нулю. В этом случае говорят о коэффи-
циенте стоячей волны, который мы рассмотрим немного ниже.
Если же узловые точки существуют, то мы знаем, что волны,
бегущие в противоположных направлениях, одинаковы во всех
отношениях. Поэтому энергия, переносимая в одном направле-
нии, точно равна энергии, переносимой в другом направлении.
Это означает, что полный поток энергии, т. е. энергия, переноси-
мая в единицу времени через единичную площадь в стоячей
волне, равен нулю.
Возвращаясь к уравнению (4.9), мы видим, что в случае п-й
гармоники полное выражение для смещения имеет вид
Уп — — *2а (cos (dnt + i sin con/) sin .
Мы можем переписать это выражение следующим образом:
г/„ = (Лcosсо„/+ sin sin-^-, (4.10)
где амплитуда n-й моды определяется формулой(Л„ Вп)'/2 =2а.
(Задача 4.11.)
Энергия колеблющейся струны
Колеблющаяся струна обладает как кинетической, так и по-
тенциальной энергией. Кинетическая энергия элемента струны,
имеющего длину dx и линейную плотность р, равна V2P dx у2.
Поперечные волны
131
Полная кинетическая энергия струны определяется интегралом
от этого выражения по всей длине струны:
i
^кин ==: ~2 $Х.
О
Потенциальная энергия равна работе, которую совершает
натяжение Т при колебании струны, изменяя длину элемента
от dx до ds. Следовательно,
Епот = $ T(ds-dx) = J Т {[1 + (-ЙОТ-1} = | Т J (^-)2 dx,
если мы пренебрежем высшими степенями величины dyldx.
Далее, изменение длины элемента dx равно xl2(d,yldx)2dx.
В случае упругой струны изменение ее натяжения пропорцио-
нально изменению длины, поэтому, если ду/дх — величина пер-
вого порядка малости, то изменение натяжения имеет второй
порядок малости и величину Т можно считать постоянной.
Энергия каждой нормальной моды
колеблющейся струны
Полное смещение струны у является суперпозицией смещений
уп отдельных гармоник. Мы можем найти энергию каждой гар-
моники, заменив в формулах последнего раздела величину у
величиной уп. Таким образом, кинетическая энергия n-й гармо-
ники дается выражением
i
Еп (кин.) = у ру2п dx,
О
а потенциальная энергия — выражением
Еп (пот.) = у Т (-^-) dx.
О
Как мы уже показали,
Уп = (Ап cos <о„/ + Вп sin <й„/) sin ;
поэтому
Уп = (— sin tont + B„ton cos tont) sin ,
~ (An cos tont + Bn sin tonf) cos .
5*
132
Глава 4
Следовательно,
i
Еп (кин.) = у р®2 (— Ап sin (Ont + Вп cos <в„/)2 sin2 dx,
О
2
Еп (пот.) = ± Т ~ (Ап cos ®nt + Вп sin соЛ/)2 cos2 dx.
о
Вспоминая, что Т — рс2, получаем
Еп (кин. + пот.) = 1 p/и2 (Л2 + В2) = 1 т®2 (Л2 + В2),
где m — масса струны, а А2п + Вп — квадрат максимального
смещения амплитуды моды.
Чтобы найти точное значение полной энергии Еп моды, нам
нужно знать точные величины Ап и Вп. Мы их вычислим в гл. 9,
посвященной методам Фурье. Полная энергия колеблющейся
струны равна, конечно, сумме энергий Еп всех нормальных мод.
(Задача 4.12.)
Коэффициент стоячей волны
Когда волна полностью отражается, сложение амплитуд па-
дающей и отраженной волн приведет к образованию узловых
точек (с нулевой амплитудой), в которых падающая и отражен-
ная волны компенсируют друг друга. В точках максимального
смещения, где падающая и отраженная волны усиливают друг
друга, амплитуда равна удвоенной амплитуде падающей волны.
Допустим, что бегущая волна лишь частично отражается на
границе. Обозначим амплитудный коэффициент отражения
В1/Ль введенный выше в одном из разделов, через г (г < 1).
Максимальная амплитуда при усилении равна сумме Ai +
’+ Bi, а минимальная амплитуда равна разности А\ — Вь В этом
случае отношение максимальной амплитуды к минимальной в
стоячей волне называется коэффициентом стоячей волны (КСВ):
где г = Bi/Аъ
Измерив максимальную и минимальную амплитуды, можно
найти коэффициент отражения, поскольку
_ Вх _ КСВ — 1
Г~~ Л| КСВ+ 1 ‘
(Задача 4.13.)
Поперечные волны
133
Волновые пакеты и групповая скорость
Выше мы рассматривали только монохроматические волны,
т. е. волны, имеющие одну частоту и длину волны. Значительно
более общим является случай, когда волны существуют в виде
набора или группы частотных гармоник. Например, белый свет
имеет сплошной спектр, занимающий участок видимого диапа-
зона примерно от 3000 А в голубой области до 7000 А в красной
области. Анализ поведения таких пакетов приводит к понятию
групповой скорости, упомянутому в начале главы.
Сложение двух волн с почти одинаковыми частотами
Рассмотрим пакет из двух компонент с одинаковой ампли-
тудой, но с разными частотами cdi и сог, различающимися на ма-
лую величину.
Их отдельные смещения описываются формулами
Ух == a cos (со^ — k\X), у2 = a cos (со2/ — k2x).
Складывая амплитуды и фазы, получаем выражение
г/= */14-«/г =
(со! — О2) t (kx — k2) X “I _ Г (COj + o2) t (kX + Aj2) x
2 2 JC0S L 2 2
описывающее волну с частотой (coi + «2) /2, которая очень
близка к частоте любой из двух компонент. Амплитуда волны,
имеющая максимальное значение 2а, модулирована в простран-
стве и времени очень медленно меняющейся огибающей с часто-
той (coi — (02)/2 и с волновым числом {k\ — £2)/2.
Поведение такой волны (фиг. 65), конечно, похоже на пове-
дение эквивалентных связанных осцилляторов, рассматривав-
шихся в гл. 3. Скорость новой волны равна
G>1 — о2 __ kx — k2 _
kx-k2 k,- k2 c'
где через с обозначена фазовая скорость: с = coi/^i — (O2/&2.
Следовательно, частотные гармоники и их сумма, т. е. пакет,
будут распространяться с одинаковой скоростью, причем про-
филь пакета, изображенного на фиг. 65, не изменяется.
Если волны звуковые, то интенсивность максимальна всегда,
когда амплитуда имеет максимальное значение 2а. Это происхо-
дит дважды за период, определяемый частотой модуляции, т. е,
частотой vi — v2»
— 2а cos
134
Глава 4
Таким образом, частота биений интенсивности равна разно-
сти частот гармоник vi — V2. В приведенном здесь примере, где
амплитуды гармоник одинаковы и равны а, в результате сложе-
ния гармоник амплитуда будет меняться от 0 до 2а. В этом слу-
чае говорят о полной, или 100%-ной, модуляции.
Колебания
с частотой.
Фиг. 65. Сложение двух волн с почти одинаковыми частотами (ot и g>2 при-
водит к образованию пакета.
Волее быстрые колебания происходят со средней частотой двух компонент (сен 4-cd2)/2.
Медленно меняющаяся огибающая пакета имеет частоту (<о( — (о2>/2, равную половине раз-
ности частот компонент.
В более общем случае волну с модулированной амплитудой
можно записать в виде
у = A cos (о/ — kx),
где модулированная амплитуда
A —a A- &cos
Отсюда получаем
у = а cos (со/ — kx) + {cos [(со + со') t — kx\ + cos [(со—со') t — kx]}.
Таким образом, здесь из-за амплитудной модуляции появились
две новые частоты со ± о/, которые называются комбинацион-
ными или боковыми частотами. Амплитудная модуляция несу-
щей частоты широко применяется при радиопередаче, но сопут-
ствующая генерация боковых частот приводит к чрезмерной
плотности радиочастот и увеличению помех.
Волновые пакеты и групповая скорость
Теперь предположим, что две гармоники, рассмотренные
в предыдущем разделе, имеют разные фазовые скорости и
&\/k\ =# (02/&2- Скорость максимума амплитуды пакета, т. е.
Поперечные волны
135
групповая скорость,
СО! СО 2 А СО
kx — k2
теперь отлична от каждой из этих скоростей. Вид суперпозиции
двух волн уже не будет сохраняться неизменным, и профиль
пакета будет изменяться со временем.
Среда, в которой фазовая скорость зависит от частоты (от-
ношение (о/й не является постоянным), называется диспергирую-
щей средой. Зависимость со от k выражается дисперсионной фор-
мулой. Если пакет состоит из гармоник с почти одинаковыми
частотами, то исходное выражение для групповой скорости за-
писывается следующим образом:
А(0 d(f)
&k dk'
Групповая скорость есть скорость максимальной амплитуды па-
кета, а потому это скорость, с которой переносится энергия па-
кета.
Поскольку со = kv, где v — фазовая скорость, групповая ско-
рость равна
dco d \ . , dv . dv
Vz~ dk~ dk ~~V + k dk ~V dK ’
где k = 2л/%. Обычно производная dvld\ положительна, так Что
< v. Это случай нормальной дисперсии. Но возможна ано-
мальная дисперсия — когда производная dv/dK отрицательна и
> и.
При рассмотрении электромагнитных волн мы увидим, что
для таких волн электрический проводник обладает аномальной
дисперсией, а диэлектрик — нормальной дисперсией всюду, кро-
ме небольших областей около собственных резонансных частот
атомов, образующих диэлектрик. В главе, посвященной выну-
жденным колебаниям, мы видели, что волна действует на атом-
ные осцилляторы как внешняя сила. При этом сильное погло-
щение волновой энергии описывается диссипативной частью им-
педанса осциллятора, тогда как кривая аномальной дисперсии
следует за реактивной частью импеданса.
На фиг. 66 представлены три кривые, которые описывают:
а) среду без дисперсии, для которой величина со/й постоянна
и vg = v (например, свободное пространство для световых
волн);
б) область нормальной дисперсии, где vg < v\
в) область аномальной дисперсии, где vg > v.
Пример. Электромагнитная волна распространяется в ди-
электрике со скоростью v = (це)",/2, где ц и s — магнитная и
136
Глава 4
диэлектрическая проницаемость. В свободном пространстве эта
скорость равна скорости света с = (цо8р)~1/2. Показатель пре-
ломления п — с1ъ = л/ це/роео = VНг/ег> где Цг — н/но и В/ = е/ео-
Для многих веществ — постоянная порядка единицы, а вели-
чина ег зависит от настоты и поэтому v зависит от Z.
Фиг. 66. Дисперсионные кривые.
/ — прямая линия, соответствующая среде без дисперсии, где v — v^\ 2~нормальная диспер-
Фиг. 67. Зависимость показателя преломления п,—л]гг от со и % в области
аномальной дисперсии.
Величина ©о—резонансная частота атомов среды. Штриховой линией показано поглощение
в данной области.
Групповая скорость
a dv (. . Л дег \
Vg — V К — V I 1 Ч—о--------ЗТ- I *
g ал \ ' 2ег дк J
следовательно, vg > v (аномальная дисперсия), когда дъг/дк >
> 0. На фиг._67 представлена зависимость показателя прелом-
ления n —Ver °т частоты со и длины волны X в области ано-
Поперечные волны
137
мальной дисперсии, связанной с резонансной частотой. Штрихо-
вой линией показано поглощение энергии (ср. с фиг. 34). (За-
дачи 4.14—4.19.)
Волновой пакет, состоящий из многих гармоник,
теорема о ширине частотной полосы
Выше мы рассматривали волновые пакеты, состоящие только
из двух частотных компонент. Мы можем легко обобщить наш
анализ на случай пакета, образованного из большого числа ча-
стотных компонент с одинаковой амплитудой а, лежащих в уз-
ком частотном интервале Дсо.
Физическую суть этой задачи мы уже выяснили, когда на-
шли (на стр. 29) сумму ряда
п-1
R = У, a cos (<о/ + /гб),
где 6 — постоянная разность фаз между последовательными ком-
понентами. Здесь мы имеем дело с постоянной разностью фаз
(бсо)/, обусловленной постоянной разностью частот So) между
последовательными компонентами. Частотный спектр такого па-
кета приведен на фиг. 68, а\ мы хотим исследовать его поведе-
ние во времени.
Нам нужно найти амплитуду, которая получается в резуль-
тате сложения частотных компонент и записывается в виде ряда
R = a cos сох/ + a cos (coi + &(о) t + a cos (o>i + 2So) t + ...
... + a cos [©1 + (n 1) S<o] t.
Сумма такого ряда (стр. 31) имеет вид
n sin [п (do) t/2]
R — a —. г J ЛД- COS со/,
sin [ (до) Z/2]
где со— средняя частота импульса:
СО = G>i -|—2” (^ — 0
Но ширина импульса п бсо = Дсо, а поэтому при больших п
зависимость суммарной амплитуды R от времени можно пере-
писать следующим образом:
~ / .ч sin (До//2) sin (До//2)
R(t} = a . /\"77о-г cos со/ = па —г -ттк - ~ cos (о/,
v 7 sin (До//2п) До//2
или
R(t) = А а cos (Ы,
138
Глава 4
Здесь А = па и а = Асо //2, т. е. а — это разность фаз между
первой и последней частотной компонентами в момент вре-
мени t.
На основе данного выражения построен график временного
поведения импульса, представленный на фиг. 68, б. Мы видим,
дсо
-----------Да)--------------э
Фиг. 68. а — прямоугольный волновой импульс с частотной шириной Дсо, со-
стоящий из п гармоник, которые имеют амплитуду а и общую разность частот
бсо; б — представление этого импульса на временной оси в виде кривой коси-
нуса со средней частотой со, амплитуда которого модулирована функцией
sin а/а, где а — Дсо//2.
Через время / = 2л/А(0 сложение гармоник дает нулевую амплитуду.
что амплитуда R(t) изменяется по закону синуса со средней
частотой со, но с модулирующим множителем A sin а/а.
При t — 0 мы имеем sin а/а —► 0, а поэтому все компоненты
складываются с нулевой разностью фаз и дают максимальную
амплитуду R(0) = A = na. Через некоторый интервал времени
когда
До Д/
а= —
фазы частотных компонент становятся такими, что суммарная
амплитуда R (t) обращается в нуль.
Таким образом, время А/, которое может служить мерой ши-
рины центрального импульса на фиг. 68, б, определяется соотно-
Поперечные волны
130
шением
АсоА/ л л, 1
—2— = л или AvA/=l,
где Дсо = 2л Av.
'Ширина основания центрального импульса равна 2Д/, а ин-
тервал Д/ с центром в точке t = 0 взят в качестве условной
меры времени, в течение которого амплитуда R(t) остается до-
статочно большой (>А/2). При таком произвольном опреде-
лении точное соотношение
Av Д/ = 1
превращается в приближенное равенство
Av Д/ 1, или Дсо А/ ~ 2л.
Данное соотношение известно под названием ТЕОРЕМЫ О ШИ-
РИНЕ ЧАСТОТНОЙ ПОЛОСЫ.
Согласно этой теореме, сложение компонент импульса с ча-
стотной шириной Дсо дает значительную амплитуду R(t) только
в течение времени А/, а затем импульс затухает из-за случайных
разностей фаз компонент. Чем больше ширина полосы Дсо, тем
короче интервал А/.
Иначе говоря, в теореме утверждается, что одиночный им-
пульс длительностью А/ является результатом сложения компо-
нент, частоты которых лежат в интервале Дсо. Чем короче дли-
тельность импульса А/, тем шире интервал частот Дсо, необходи-
мых для его создания.
Когда интервал Дсо равен нулю и есть только одна частота,
мы имеем дело с монохроматической волной, длительность кото-
рой, следовательно, должна быть (теоретически) бесконечной.
Для описания нашего волнового пакета мы выбрали два па-
раметра: частоту и время (произведение которых безразмерно),
но мы можем так же легко работать с другой парой параметров:
волновым числом k и расстоянием х.
При замене со —* k и t —> х мы выразили бы длину волнового
пакета Дх через интервал длин волн компонент Д(1/Х). Тогда
теорема о ширине частотной полосы принимает вид
Ах Ай 2л, или Ах| Д (1/Л) | « 1.
Снова отметим, что в случае монохроматической волны из со-
отношения Ай = О следует условие Дх—> оо, определяющее бес-
конечно длинный волновой цуг.
В случае волнового пакета, который мы только что рассмо-
трели, задача была упрощена благодаря предположению о
равенстве амплитуд всех частотных компонент. Если данное
140
Глава 4
предположение не выполняется, то учет различных значений
а (со) производится методом Фурье (гл. 9).
Мы еще не раз встретимся с идеями этого раздела на про-
тяжении всей книги. В частности, отметим, что в современной
физике теорема о ширине частотной полосы переходит в прин-
цип неопределенности Гейзенберга. (Задача 4.20.)
Поперечные волны в периодической структуре
В конце главы, посвященной связанным колебаниям, мы рас-
смотрели поперечные колебания п тел одинаковой массы, рас-
пределенных с равным интервалом а на струне с натяжением Т.
Оба конца струны, имеющей общую длину а(п+ 1), были за-
креплены. Было найдено, что уравнение движения r-й частицы
имеет вид
ту г = (Уг+1 + Уг-i — %уг),
а частоты нормальных мод колебаний для п тел определяются
выражением
где s — 1, 2, 3, ..., п.
Когда интервал а бесконечно мал (скажем, равен dx), член,
стоящий в скобках в уравнении движения, можно преобразовать
следующим образом:
4“ (уг+1 + Уг-l — 2уг) -► (уг+1 + Уг-i — %Уг) =
_ Уг+1~~Уг Уг — Уг-t _ ( дУ\ _ ( дУ\ _ ( д2у А
dx dx \ dx )r+y2 \ dx )r-y2 \ dx2 )г аК'
Тогда уравнение движения превращается в волновое уравнение
д2у __________________________ Т д2у
di2 ~ р дх2 1
где р = m/dx — линейная плотность и
у ос е*
Теперь рассмотрим распространение поперечных волн вдоль
линейной цепочки атомов с массой m в кристаллической ре-
шетке, где натяжение Т есть упругая сила взаимодействия ато-
мов (так что Tfa есть коэффициент жесткости). Расстояние а
между атомами — порядка 1 А, или 10~10 м. Если закрепленные
концы струны заменены концами кристалла, то мы можем запи-
Поперечные волны
141
сать смещение r-й частицы, обусловленное поперечной волной
в виде
yr = Аге1 = Are' (at-kra),
поскольку х = га.
Тогда уравнение движения преобразуется следующим обра-
зом:
— —— (eika Ц- e~ika — 2) = — (eikal2 — e~ika^2)2 — — sin2-^-.
Отсюда находим разрешенные частоты:
о 4Г . 9 ka
ОТ = ----- S1I1
та 2
Это выражение для <о2 эквивалентно выражению, полученному
в конце гл. 3:
9 2Т (« sji \ 4Т . 9 sir
(01 =---I 1 — COS—-т-т- ) —--- Sirr-^7—Г-7Т-»
ma \ п + 1 / ma 2 (п + 1)
если
ka 5 Л __ 1 о о
Т” 2(п + 1) и s—1, 2, 3, ...» га.
Но (n’+ 1)а = I есть длина струны или кристалла, а мы уже
видели, что разрешенные длины волн Л удовлетворяют соотно-
шению
p^- = Z==(n+ 1)а.
Следовательно,
ka 2л а san _________________________ s ла
2 X 2 2 (п + 1) а р X ’
если s = р. При s = р изменение s на единицу соответствует
переходу от одного разрешенного числа полуволн к следующему,
поэтому минимальная длина волны X = 2а. Тем самым опреде-
ляется максимальная частота со21 = 4Т/та. Таким образом, оба
выражения можно считать эквивалентными.
При X = 2а мы имеем sin ka/2 = 1, поскольку ka = л. Сдвиг
фаз между колебаниями соседних атомов равен точно л ра-
диан, так как
У г gikci — gin — — 1
Z/rt-i
Следовательно, самая высокая частота соответствует максималь-
ной связи, как и должно быть.
142
Глава 4
В случае больших длин
sin
волн или малых волновых чисел k
ka ka
поэтому
со2
AT k2a2
та 4
и скорость волны, как и раньше, определяется формулой
2 со2 Та Т
с — "тг — — = —,
k2 т р
где р = т/а.
В общем случае фазовая скорость дается выражением
„_____________________ со___sin /га/2
k ~С ka/2 ‘
Соответствующая дисперсионная кривая представлена на
фиг. 69. Лишь в области очень коротких длин волн расстояние
Фиг. 69. Кривая дисперсии со == со(/г) для волн,
распространяющихся вдоль линейной одно-
мерной цепочки атомов в периодической струк-
туре.
между атомами в кристаллической решетке действительно
влияет на волновое распространение. Здесь предельное, или
максимальное, значение волнового числа таково: км = л/а «
& 1010 м-1.
Для кристалла постоянная упругой силы Т/а— порядка
15 Н-м”1, а типичное значение «приведенной» атомной массы —
порядка 60-10~27 кг. При таких значениях квадрат максималь-
ной угловой частоты
2 4Т 60
Г = ----- " "" “"пТ
та 60 • 10“27
1027 рад/с
дает значение частоты v = <о/2л ~ 5-1012 Гц.
(Взятая здесь для кристалла величина Т/а в 8 раз меньше ве-
личины, найденной для отдельной молекулы в задаче 3.4. Это
обусловлено взаимодействием между соседними ионами и из-
менением равновесного состояния между ними.)
Поперечные волны
143
Полученная частота лежит в инфракрасной области элек-
тромагнитного спектра. В одной из следующих глав мы увидим,
что электромагнитные волны с частотой со имеют поперечное
электрическое поле Е = где Eq— максимальная ампли-
туда. Поэтому заряженные атомы, или ионы, могут совершать
вынужденные колебания под действием электрического поля из-
лучения, падающего на кристалл, и последний может поглощать
любое излучение на резонансной частоте его колеблющихся ато-
мов.
Линейная цепочка из атомов двух
типов в ионном кристалле
Продолжим анализ данного вопроса, взяв одномерную ли-
нейную цепочку, которая содержит атомы двух типов. Расстоя-
ние между атомами, как и прежде, равно а. Атомы с массой М
занимают положения, соответствующие нечетным номерам
2г— 1, 2г-f- 1 и т. д., а атомы с массой m — положения с чет-
ными номерами 2г, 2г + 2 и т. д. Уравнения движения для каж-
дого типа атомов имеют вид
Т
mij^r (^2г+1 У2г—\ ^У2г)>
^У2г-\-\ ~ ’JJ" (У2гЦ-2 У2г %Уг+1)'
Их решения описываются выражениями
y2r+i = AMeiW4?r+l] ka)9
где Am и Ам — амплитуды смещений соответствующих атомов.
Следовательно, уравнения движения преобразуются к виду
— 6>2шА m = 4“ (е~ika + eika) — ,
- а)2МАм = (e~ika -|- eika) - EEl.
Эти уравнения совместны, когда
2— Л _LA , г Г Г 1 । 1 Л2 4 sin2 ka V2
Ю а \ m М ) a [д m ' М ) mM J
Если изобразить графически дисперсионную зависимость со от k
в случае знака плюс и при m > М, то получим верхнюю кривую
фиг. 70, где
( — (— + 4г) при k = 0,
а \ пг 1 М ) г
со — 2Г л
при kM — (минимальная длина волны Л = 4а)
144
Глава 4
Выбрав знак минус, получим нижнюю кривую фиг. 70, где
2Tfe2a2
а (М 4- т)
27
ат
при очень малых k,
и я
при k = ^-.
Верхняя кривая называется «оптической», а нижняя — «акусти-
ческой» ветвью. Движения атомов двух типов для каждой ветви
показаны на фиг. 71.
Фиг. 70. Кривые дисперсии для двух
мод поперечных колебаний в кристал-
лической структуре.
Фиг. 71. Смещения атомов различ-
ного типа для двух мод поперечных
колебаний в кристаллической струк-
туре.
а —оптическая мода, б—акустическая мода
В случае оптической ветви при больших длинах волн и ма-
лых k отношение Ат/Ам = — М/т и атомы колеблются в про-
тивоположных направлениях, так что центр масс единичной
ячейки в кристалле остается неподвижным. Такие колебания
можно возбудить электромагнитной волной, если чередующиеся
атомы представляют собой ионы с зарядами противоположного
знака; отсюда и название ветви «оптическая».
В случае акустической ветви при больших длинах волн и
малых k выполняется равенство Ат = Ам‘, поэтому атомы и их
центр масс движутся вместе в одном направлении (как в слу-
чае продольных звуковых волн). В следующей главе мы увидим,
что атомы могут также колебаться в продольной волне.
Поперечные волны, о которых мы только что говорили, по-
ляризованы в одной плоскости. Они могут также колебаться
в плоскости, перпендикулярной к рассмотренной здесь плоско-
сти. Колебательная энергия таких двух поперечных волн вместе
с энергией продольной волны, которая будет рассмотрена в сле-
дующей главе, лежат в основе теории удельных теплоемкостей
твердых тел. К этому вопросу мы вернемся в гл. 8,
Поперечные волны
145
Поглощение инфракрасного излучения
ионными кристаллами
Для излучения с частотой 3-1012 Гц длина волны равна
100 мкм (10"4 м) и лежит в инфракрасной области, а волновое
число & = 2лД » 6-104 м-1. Мы установили, что критической
частоте кристаллической решетки соответствует волновое число
км Ю10 м”1; поэтому величина k для инфракрасного излуче-
ния пренебрежимо мала по сравнению с kM, и ее можно принять
равной нулю.
Когда под действием электрического поля Е — Е$е1^ элек-
тромагнитного излучения движутся ионы с зарядами противо-
положного знака ±е, уравнения движения (при k = 0) прини-
мают вид
со tnAm а Ат) еЕ§,
—’ (Ам ~ Лт) + еЕц.
Решив эти уравнения, получим
л д___ еЕ0
( 2 2\ ’ /2 2\ *
А4 (of; — со ) т ^(Од — coj
где частота со0,
9 2Т / 1 . 1 \
а I т + М ) '
является предельной для оптической ветви при & -> 0.
Таким образом, при со = ооо инфракрасное излучение сильно
поглощается ионными кристаллами, а амплитуды колебаний
ионов Ам и Ат увеличиваются. Экспериментально установлено,
что хлористый натрий сильно поглощает при % = 61 мкм, а хло-
ристый калий имеет максимум поглощения на длине волны
К = 71 мкм. (Задача 4.21.)
Эффект Доплера
В отсутствие дисперсии скорость волн, излучаемых движу-
щимся источником, постоянна, но длина волны и частота, изме-
ряемые неподвижным наблюдателем, изменяются.
На фиг. 72 неподвижный источник S излучает сигнал с ча-
стотой v и длиной волны %, который доходит до неподвижного
наблюдателя О за время /, пройдя расстояние, равное vKt, Если
источник S' движется к наблюдателю О со скоростью и, то
в точке О будет зарегистрирована новая частота /.
146
Глава 4
Мы видим, что
vkt = ut +
откуда в силу соотношения
с = vZ = v'A/
получаем
с — и _с^
V v'
и, следовательно,
Такое изменение частоты, регистрируемой наблюдателем, на-
зывается эффектом Доплера.
vt\
vfA’
Фиг. 72. Эффект Доплера.
Если волны от неподвижного источника S принимаются неподвижным наблюдателем О
на частоте v и длине волны %, то при движении источника S' в процессе излучения изме-
ряемые частота и длина волны равны V' и %'.
Предположим теперь, что источник S неподвижен, а наблю-
датель О' движется от источника S со скоростью v. Если на-
блюдателю, источнику и волнам мы припишем скорость —у, то
тем самым сделаем наблюдателя неподвижным. При этом источ-
ник будет иметь скорость —и, а волна — скорость с — v. Под-
ставляя эти значения в выражение для v', получаем новую на-
блюдаемую частоту
vz/ = v(c-v) '
с
(Задачи 4.22—4.31.)
Задача 4.1
Покажите, что функция у = f2(ctх) удовлетворяет вол-
новому уравнению
д2у 1 д2у
дх2 с2 di2
Поперечные волны
147
Задача 4.2
Покажите, что профиль волны
У — fi {ct — х)
не изменяется со временем, если с — волновая скорость. Для
этого рассмотрите выражение для у в момент времени t + Д/,
где А/ = Дх/с.
Решите эту задачу для случая у = fz(ct х).
Задача 4.3
Нарисовав график распределения скоростей частиц (как на
фиг. 59), покажите, что в случае волны, бегущей влево,
(Следует учесть, что с — это абсолютная величина скорости, ко-
торая не меняет знака.)
Задача 4.4
Импульс треугольной формы, имеющий длину Z, отражается
от закрепленного конца струны, по которой он распространяется
(Z2 = оо). Нарисуйте форму импульса (фиг. 62) после отраже-
ния части импульса с длиной: a) Z/4, б) Z/2, в) 3//4 и г) I. На-
рисуйте график изменения скорости частицы вдоль отраженного
импульса в каждом случае.
Задача 4.5
Точечная масса М прикреплена в некоторой точке к струне,
имеющей характеристический импеданс рс. Поперечная волна
с частотой о) распространяется в положительном направлении
оси х и частично отражается от этой массы, а частично прохо-
дит. Граничные условия заключаются в том, что смещения
струны в непосредственной близости справа и слева от массы
одинаковы (у/ + у г = yt), а разность поперечных сил в этих же
точках равна произведению массы на ее ускорение. Обозначив
через Дь Bi и Л2 амплитуды падающей, отраженной и прошед-
шей волн, покажите, что
_____ — iq А2 1
Л1 1 + iq ’ Д1 1 + iq ’
где q — (яМ/2рс и Z2 — — 1.
Задача 4.6
Записав q = tg 0, покажите, что в задаче 4.5 амплитуда Д2
отстает по фазе от Д] на угол 0, а амплитуда Bi отстает по
фазе от Ai на угол л/2 Д- 0, причем 0 <; 0 <. л/2
148
Глава 4
Покажите также, что энергетические коэффициенты отраже-
ния и прохождения равны sin2 0 и cos2 0.
Задача 4.7
По струне бежит волна (фиг. 60) со смещением
у — a sin (со/ — kx).
Покажите, что средняя работа, совершаемая силой за единицу
времени (среднее произведение поперечной силы на поперечную
скорость), равна скорости переноса энергии вдоль струны.
Задача 4.8
Поперечная гармоническая сила с пиковым значением 0,3 Н
и частотой 5 Гц возбуждает волны на конце очень длинной стру-
ны с линейной плотностью 0,01 кг/м. Покажите, что скорость
переноса энергии вдоль струны равна Зл/20 Вт, а волновая ско-
рость составляет 30/л м/с.
Задача 4.9
На фиг. 73 показаны две среды с импедансами Zx и Z3, раз-
деленные третьей средой с промежуточным значением импеданса
Z2. В первой среде по нормали к гра-
нице идет падающая волна с единич-
ной амплитудой. На схеме указаны ко-
эффициенты отражения и пропускания
для многократных отражений. Пока-
жите, что полная амплитуда отражен-
ной волны в среде 1, описываемая ря-
дом
7? + /Г/?'(1+г/?' + г2/?'2+ ...),
равна нулю, если R = —R'. Пока-
жите, что отсюда следует условие
Z\ — Z1Z3.
(В случае нулевой амплитуды полной
отраженной волны в среде 1 амплиту-
да R первой отраженной волны ком-
пенсируется суммой амплитуд всех последовательно отраженных
волн.)
Задача 4.10
Соотношение между импедансом Z и показателем преломле-
ния п диэлектрика определяется формулой Z = 1/п. Свет, рас-
пространяющийся в свободном пространстве, падает на стек-
Поперечные волны
149
лянную линзу, показатель преломления которой равен 1,5 для
длины волны в свободном пространстве 5,5 • 10~7 м. Покажите,
что отражение на этой длине волны можно устранить при по-
мощи покрытия с показателем преломления 1,22 толщиной
1,12-10~7 м.
Задача 4.11
Докажите, что смещение уп в выражении (4.10) для стоячей
волны удовлетворяет стационарному волновому уравнению
-g- + ^ = o.
Задача 4.12
Полную энергию Еп нормальной моды можно найти другим
способом. Каждый элемент dx струны представляет собой гар-
монический осциллятор, полная энергия которого равна макси-
мальной кинетической энергии колебаний
*£макс = | Р dx (Уп\^ = 4 Р d™n (^)макс-
Далее, величина (</2)макс в точке х струны определяется фор-
мулой
Покажите, что нужный результат дает энергия этих осциллято-
ров, просуммированная по всей струне, т. е. интеграл
i
|р^(уХкс^-
о
Задача 4.13
Смещение в случае волны на струне с двумя закрепленными
концами дается выражением
у (х, /) = A cos (со/ — kx) + г A cos (со/ + kx),
где г — амплитудный коэффициент отражения. Покажите, что
это выражение можно представить в виде суперпозиции стоячих
волн:
У (х, t) = А (1 + г) cos со/ cos kx + А (1 — г) sin со/ sin kx.
Задача 4.14
Волновой пакет состоит из двух компонент с длинами волны
К и X + ДХ, причем отношение ДХ/Х очень мало. Покажите, что
число длин волн X, умещающихся между двумя соседними ну-
лями модулирующей огибающей, приблизительно равно Х/ДХ.
150
Глава 4
Задача 4.15 1
Фазовая скорость поперечных волн в кристалле с межатом- |
ным расстоянием а определяется выражением I
sin (ka/2) I
V ~ C ka/2 * I
где k — волновое число, ас — постоянная. Покажите, что груп-
повая скорость равна
ka
с cos —. f
Каково предельное значение групповой скорости при больших
длинах волн?
Задача 4.16
Относительная диэлектрическая проницаемость газа на длине
волны Z описывается выражением
ег = 4- = Д + 4-— D72,
где Л, В и D — постоянные, с — скорость света в свободном про- 1
странстве, a v — его фазовая скорость в газе. Покажите, что j
групповая скорость Vg удовлетворяет соотношению j
Vger = у (Л — 2/)Л2).
Задача 4.17
Из решения задачи 2.10 следует, что относительная диэлек-
трическая проницаемость ионизованного газа дается выраже- ,
нием ;
где v — фазовая скорость, с — скорость света, а сое — постоянное
значение электронной плазменной частоты. Покажите, что это
выражение приводит к следующей дисперсионной формуле:
со2 = со2 c2k2,
причем при со (ое фазовая скорость превышает скорость све-
та с, но групповая скорость (скорость переноса энергии) всегда
меньше с.
Задача 4.18
Электронная плазменная частота в задаче 4.17 определяется
соотношением
2 пее2
(£Г =-----.
е те£о
Поперечные волны
151
Покажите, что электромагнитные волны, распространяющиеся
в плазме с плотностью числа электронов пе ~ 1020 м-3 (что
равно 10~5 плотности числа молекул в атмосфере), должны
иметь длины волн X < 3-10~3 м (т. е. лежащие в СВЧ-области).
Это типичные значения длин волн, используемых для зондиро-
вания термоядерной плазмы при высоких температурах. Здесь
8о = 8,8-ю-12 Ф/м, /ие = 9,Ы0-31 кг, е= 1,6-10~19 Кл.
Задача 4.19
В квантовой механике дисперсионная формула для электрона
записывается в виде
где с — скорость света, а пг — масса электрона (рассматривае-
мая как постоянная при данной скорости); его фазовая скорость
определяется формулой
где й = /г/2л и h — постоянная Планка. Покажите, что произ-
ведение групповой и фазовой скоростей равно с2. Фазовая ско-
рость может превышать с, но групповая скорость будет всегда
меньше с.
Задача 4.20
На фиг. 74 изображен импульс у = A cos длительно-
стью kt. Покажите, что центр частотного представления
у (со) = a cos g>iZ + a cos (a>i + dco) t + ... + a cos [«! + (п — 1) (6<о)
приходится на среднюю частоту со0, а область частот, дающих
существенный вклад в импульс, удовлетворяет условию
Дсо Д/ ж 2л.
Повторите этот анализ для случая импульса у = A cos kQx
длиной Дх и покажите, что в ^-пространстве центр импульса со-
у- A cos a)ot
't
Фиг. 74.
ответствует fe0, а существенная область волновых чисел Д& удо-
влетворяет условию
Дх Д6 2л.
152
Глава 4
Задача 4.21
Константа упругой силы для ионного кристалла равна при-
близительно 15 Н/м. Покажите, что экспериментальные значе-
ния для частот инфракрасного поглощения, приведенные в конце
этой главы для NaCl и КС1, удовлетворительно согласуются
с вычисленными значениями. Масса атома Na = 23 а. е.м., масса
атома К = 39 а. е. м. и масса атома С1 = 35 а. е. м.; 1 а. е. м. =
= 1,66-10"27 кг.
Задача 4.22
Покажите, что в случае эффекта Доплера изменение частоты,
измеряемой неподвижным наблюдателем О при прохождении
мимо него движущегося источника S', дается выражением
где с — vX — скорость сигнала, а и — скорость источника S'.
Задача 4.23
Источник S' и наблюдатель О движутся в одном направлении
со скоростями и и v. Придав системе скорость — v и приведя
тем самым наблюдателя в состояние покоя, покажите, что те-
перь наблюдатель О' регистрирует частоту
== у (с- у)
с — и
Задача 4.24
Свет с длиной волны 6-10“7 м, идущий от звезды, смещен
на 10“н м в красную область спектра по сравнению с таким же
излучением лабораторного источника. Скорость света равна
3 • 108 м/с. Покажите, что Земля и звезды разлетаются в проти-
воположные стороны со скоростью 5-103 м/с.
Задача 4.25
Самолет, летящий горизонтальным курсом, посылает сигнал
на частоте 3-109 Гц, который после отражения от удаленной
точки, находящейся впереди по курсу, принимается самолетом
с разностью частот 15 кГц. Какова скорость самолета?
Задача 4.26
Свет, испускаемый нагретыми парами натрия, занимает по
обе стороны от своей центральной длины волны 6-10“7 м спек-
тральную область шириной 2-10~12 м, что обусловлено эффектом
Доплера, связанным с движением атомов относительно наблю-
дателя. Вычислите тепловую скорость атомов и покажите, что
температура газа порядка 900 К.
Поперечные волны
153
Задача 4.27
Источник и наблюдатель движутся в разных направлениях.
Покажите, что формулы для частот
./ // v (с — v) fr с — v
V = ----- = ----------2---L_ = /у-----
с — и с С — U *
описывающие эффект Доплера, остаются справедливыми, если и
и v — не сами скорости, а их проекции на направление, в кото-
ром волны приходят к наблюдателю.
Задача 4.28
Обобщая принцип Доплера, рассмотрим схему, представлен-
ную на фиг. 75, где О — неподвижный наблюдатель, находя
щийся в начале системы координат
О(х, /), а О' — наблюдатель, находя-
щийся в начале системы координат
О'(х', t'), которая движется вдоль
оси х с постоянной скоростью v отно-
сительно системы О. В момент време-
ни t = t' = 0 системы О и О' совпа-
дают и световой источник излучает
о’№
о*
O(x>t)
вдоль оси х волны, распространяю- фиг 75
щиеся с постоянной скоростью с. Эти
волны удовлетворяют соотношению
O = x2—c2t2 (согласно наблюдателю О) =
= x'2 — c2t'2 (согласно наблюдателю О'). (1)
Поскольку имеется только одна относительная скорость и,
должны быть также справедливы преобразования
x' — k(x — vt), (2)
х = k' (х' + vt'). (3)
Используя формулы (2) и (3), исключите х' и t' из тожде-
ства (1) и покажите, что это тождество выполняется только при
k = k' —--------------------------------—л- ,
(1 -р2),/2
где р = v/c. (Указание. В тождестве (1) нужно приравнять
нулю коэффициенты при одинаковых переменных.) Это преоб-
разование Лоренца специальной теории относительности, из ко-
торого следуют соотношения
г __ X ~ vt _ х' + Vt
Х~(1-Р2),/2’ — (1 — Р2)'Л ’
f _ t — (v/g)2 X __ t' + (р/с)2 х'
(1 - Р2)1''1 ’ (1 - P2f2 *
154
Глава 4
Задача 4.29
Покажите, что если интервал, измеренный в системе О за-
дачи 4.28, равен Д/ = /2 — то тот же самый интервал, изме-
ренный в системе О7, равен Д/7 = k \t. Докажите, что если длина
отрезка, измеренного в системе О, равна I — х2— то длина
этого же отрезка, измеренного в системе О7, равна Г = l/k.
Задача 4.30
Покажите, что два события в точках х2 и *i(/2 = t\), одно-
временных при наблюдении в системе О, о которой говорилось
в предыдущих задачах, не являются одновременными при на-
блюдении в системе О' (т. е. Л =# /2).
Задача 4.31
Покажите, что порядок событий, наблюдаемых в системе
О(/2 > Л), ° которой говорилось в предыдущих задачах, не мо-
жет измениться при наблюдении в системе О7 (т. е. /2 > б),
поскольку скорость света с — это наибольшая достижимая ско-
рость.
Сводка основных результатов
Волновое уравнение =
Волновая (фазовая) скорость = с == -^—.
Волновое число k = -^~,
&
где Л — длина волны, определяет расстояние между двумя точ-
ками с разностью фаз 2л радиан.
ду ду
Скорость частиц
Смещение у = ае1№~-ь*\
где а — амплитуда волны.
Импеданс, или волновое сопротивление, струны
Поперечная сила
Поперечная скорость
ду /ду
дх ' dt
рс.
Поперечные волны
155
Коэффициенты отражения и пропускания
Амплитуда отраженной волны _ Z{ — Z2
Амплитуда падающей волны Z{~\-Z2 1
Амплитуда прошедшей волны 2Zi
Амплитуда отраженной волны Zx + Z2 ’
Отраженная энергия /Zj—-Z2 \2
Падающая энергия \ Zx + Z2 / ’
Прошедшая энергия 4ZtZ2
Падающая энергия (Z\ + Z2)2
Согласование импедансов
Импедансы Z\ и Z3 согласуются путем включения между
ними импеданса Z^ — (Z\Z£fl\
Толщина среды с импедансом Z^ равна Х/4, где X = длина
волны в этой среде.
Стоячие волны, нормальные моды, гармоники
В решении волнового уравнения пространственная и времен-
ная зависимости разделяются для того, чтобы оно удовлетво-
ряло не зависящему от времени волновому уравнению
‘^2 + Ь2У — ® (множитель ei(dt сокращен).
Длина волны X стоячей волны на струне длиной I удовлетво-
ряет соотношению
Л ,
Пу = /.
Смещение в случае n-й гармоники
Уп = (Ап cos соЛ/ + Вп sin a>nt) sin .
Энергия п-й гармоники (масса струны пг)
Еп = КЕп + РЕп = ± т&п (А2п + В2).
Групповая скорость
В диспергирующей среде волновая скорость v зависит от ча-
стоты со (или волнового числа k). Энергия пакета таких волн
156
Глава 4
распространяется с групповой скоростью
dco , , dv A dv
vs=-dk=v + k-dk=v-%M:-
Прямоугольный волновой пакет из п компонент с амплиту-
дой а, имеющий частотную ширину Лю, описывается во времени
выражением
sin (Дсо//2)
R (t) = а .--т"—cos со/,
' ' sin (Дсо //2Л) ’
где со—средняя частота. Амплитуда R(t) обращается в нуль,
когда
До t
—=п-
т.е. (ТЕОРЕМА О ШИРИНЕ ЧАСТОТНОЙ ПОЛОСЫ)
Дсо д/ =2л,
или
\k — 2л.
Для определения импульса длительностью Д/ в частотном про-
странстве необходима частотная ширина Дсо, и наоборот.
Эффект Доплера
Если источник, излучающий сигнал с частотой v и скоростью
с, движется к неподвижному наблюдателю со скоростью щ то
наблюдатель принимает сигнал с частотой
/ VC
V
с —и
Глава 5
Продольные волны
В гл. 4 при выводе волнового уравнения
д2у ___ 1 д2у
дх2 ~ с2 dt2
мы использовали пример поперечной волны и продолжили рас-
смотрение волн этого типа на колеблющейся струне. В данной
же главе мы рассмотрим продольные волны, т. е. волны, в кото-
рых направление колебания частиц или осцилляторов совпадает
с направлением распространения волны.
Продольные волны распространяются в виде звуковых волн
в веществе, находящемся в любом состоянии: в плазме, газах,
жидкостях и твердых телах. Но мы уделим основное внимание
газам и твердым телам. В случае волн в газах на распростра-
нение волн налагаются некоторые термодинамические ограни-
чения. В случае твердых тел распространение волн будет зави-
сеть от формы образца. Ни в газах, ни в жидкостях невозможна
поперечная сдвиговая деформация, необходимая для попереч-
ных волн. В твердом же теле могут поддерживаться как про-
дольные, так и поперечные колебания.
Звуковые волны в газах
' Рассмотрим постоянную массу газа, которая при давлении
Ро занимает объем Vo, имея плотность ро- Эти величины харак-
теризуют равновесное состояние газа, которое нарушается, или
возмущается, сжатиями и разрежениями звуковых волн. Под
действием звуковых волн
давление Ро становится равным Р = Ро ~f- р,
объем Vo становится равным V = Vo + v,
плотность ро становится равной р — р0 + р^.
Избыточное давление р равно амплитуде давления звуковой
волны, которое, будучи переменной компонентой, накладывается
на равновесное давление газа Ро.
Относительное изменение объема v/V = 6 называется раз-
режением, а относительное изменение плотности р^/ро = 5 на-
зывается уплотнением. Для обычных звуковых волн величины б
158
Глава 5
и s равны приблизительно 10~3» а давление р = 2-10~5 Н/м2 (по-
рядка 10~10 атмосферного) создает звуковую волну, еще слы-
шимую на частоте 1000 Гц. Таким образом, изменения в среде,
вызываемые звуковыми волнами, чрезвычайно малы по порядку
величины и соответствуют ограничениям, при которых приме-
нимо волновое уравнение.
Постоянная масса газа равна произведению
PoVo = pV = PoVo(l+6)(l+s);
отсюда (1 + 6) (1 + s) = 1, и в очень хорошем приближении
получаем, что s = — S. Упругость газа, или его сжимаемость,
характеризуется модулем всестороннего сжатия
В = — d-— = — V —
D dV/V v dV 9
равным отношению изменения давления к относительному из-
менению объема. Поскольку увеличение объема происходит при
уменьшении давления, в правой части формулы стоит знак
минус.
Величина В зависит от того, являются ли изменения в газе,
обусловленные волновым движением, адиабатическими или изо-
термическими. Они должны быть термодинамически обратимыми
для того, чтобы исключить энергетические потери, связанные
с диффузией, вязкостью и теплопроводностью. Если такие слу-
чайные процессы, приводящие к увеличению энтропии, пол-
ностью отсутствуют, то мы имеем адиабатический процесс —
термодинамический цикл с к. п. д. 100% в том смысле, что не
теряется ни потенциальная, ни кинетическая энергия волны.
В случае звуковой волны в силу таких термодинамических
соображений ограничивается амплитуда избыточного давления.
При очень большой амплитуде будет сильно повышаться ло-
кальная температура газа в области пика давления и энергия
будет уходить из волновой системы за счет теплопроводности.
Будут также возникать локальные градиенты скорости частиц,
приводящие к диффузии и потерям энергии за счет вязкости.
Взяв постоянное значение адиабатического модуля всесто-
роннего сжатия, мы ограничили амплитуду колебаний в звуко-
вой волне малыми значениями, поскольку полное давление Р =
= Ро + р считается постоянным. При больших амплитудах воз-
никают нелинейные эффекты и ударные волны, которые мы
рассмотрим отдельно в гл. 11.
Все адиабатические изменения в газе подчиняются соотно-
шению = const, где у — отношение удельных теплоемкостей
при постоянном давлении и постоянном объеме. Дифференцируя
Продольные волны
15$
это соотношение, получаем
ИЛИ
dP
-V^ = yP = Ва (индекс а означает адиабатический процесс).
Следовательно, упругость газа характеризуется величиной уР,
которую мы считаем постоянной. Поскольку Р = Ро + Р, можно
написать dP = р, где р — избыточное давление, и
Ва=--^, или р = — Ba& — Bas.
В звуковой волне смещения и скорости частиц направлены
по оси х. Смещение мы будем характеризовать координатой т).
При выводе волнового уравнения мы рассмотрим движение
элемента газа, имеющего бесконечно малую толщину dx и еди-
ничное поперечное сечение. Движение этого элемента под дей-
ствием звуковой волны показано на фиг. 76.
dx+d/rj- dx dx
Фиг. 76. Тонкий элемент газа с единичным
поперечным сечением и толщиной dx, кото-
рый под действием разности давлений
— (dPxjdx)dx смещается на расстояние и и
расширяется на величину (дт]/дх).
k+<ty—j
+dx
Частицы в слое x смещаются на расстояние rj, а частицы
в слое х + dx смещаются на расстояние т] + dr]*f поэтому уве-
личение толщины, которым, очевидно, определяется увеличение
объема элемента dx, имеющего единичное поперечное сечение,
равно
и
д____ у _____ dr) dx ____ dr)
70 дх dx дх
Величина дг^/дх называется деформацией.
Среда деформируется, потому что давления вдоль оси х
с обеих сторон тонкого элемента не компенсируют друг друга
160
Глава 5
(фиг. 76). Полная сила, действующая на элемент, такова:
р. - Р,+„ = [р, - (?, + ^й)]=
= - Ъ ,Р" + Р)Л = - & *'
Ускорение элемента, имеющего массу podx, в хорошем прибли-
жении равно d2r\/dt2. Поэтому, согласно закону Ньютона,
др < л д2Л
—ах = р0 dx ,
дх dt2
где
р=-в.« = -во>.
Отсюда следует, что
°адх2 ~ Ро dt2 *
Но Ва/ро — yP/pQ есть отношение упругости к плотности, яв-
ляющейся мерой инерции среды, и имеет следующую размер-
ность:
Сила
Площадь
Объем /лл \о
Ий----= (Скорость)2.
Масса ' г
Поэтому
Ро
где с — скорость звуковой волны.
Следовательно, мы получаем волновое уравнение
<?2т) 1 d2i)
Обозначив через г)м максимальную амплитуду смещения, мы по-
лучим следующие выражения для волны, бегущей в положи-
тельном направлении оси х:
П = Пме‘'и-*х)> Л = — «отр
6 = -^- — — ikf\ = — s (т. е. s = ikx\),
р = Bas — iBakx\.
Фазовые соотношения между этими параметрами (фиг. 77, а)
таковы: при распространении волны в положительном направ-
лении оси х избыточное давление р, относительное увеличение
Продольные волны
161
плотности s и скорость частиц т) опережают по фазе на л/2 ра-
диан смещение г], тогда как изменение объема (сдвинутое по
фазе на л радиан относительно изменения плотности) отстает
по фазе на л/2 радиан относительно смещения.
ТИЛ
Волна, бегущая
в направлении +х
>9
------->7
6
"p,s
Волна, бегущая
в направлении - х
Фиг. 77. Фазовые соотношения между смещением частиц т), скоростью частиц
т], избыточным давлением р и уплотнением s = —6 (разрежением) для волн,
распространяющихся в положительном и отрицательном направлениях оси х.
Смещение Т) для обеих волн отсчитывается в положительном направлении оси х.
Соотношения становятся иными, когда направление распро-
странения волны изменяется на противоположное (фиг. 77,6).
В случае волны, бегущей в отрицательном направлении оси х,
'П = (®t+kx\ f| = — 4(0Т),
6 = -|у = /&'П = — s (т. е. $ = — /Ь]),
p = Bas = — iBah].
В обоих случаях смещение частиц т] измеряется в положитель-
ном направлении оси х и рассматривается тонкий элемент газа
dx, колеблющийся около своего среднего положения т] = 0.
В случае волны, бегущей в положительном направлении
оси х, значению г| = 0 при максимальном положительном зна-
чении величины т] соответствует максимальное избыточное дав-
ление (сжатие) с максимальным уплотнением s (максимальной
плотностью) и минимальным объемом. В случае волны, бегу-
щей в отрицательном направлении оси х, тому же самому зна-
чению т) = 0 при максимальном положительном значении ве-
личины т] соответствует максимальное отрицательное избыточ-
ное давление (разрежение), максимальный объем и минималь-
ная плотность.
В случае волны, бегущей в отрицательном направлении
оси х, для создания сжатия скорость частиц f) должна
быть максимальной по величине и направленной в сторону
6 Зак. 1186
162
Глава 5
отрицательных значений х при т] = 0. Это различие существенно,
когда мы определяем импеданс среды для волн. При изменении
направления изменяется знак — этим правилогл мы также долж-
ны будем руководствоваться при рассмотрении волн в гл. 6 и 7.
Распределение энергии в звуковых волнах
Кинетическую энергию звуковой волны можно найти, рас-
смотрев движение отдельных элементов газа толщиной dx.
Каждый такой элемент будет обладать кинетической энергией
А^кин 1 2 Ро dxi\ ,
где величина f) будет зависеть от положения элемента х. Сред-
нее значение плотности кинетической энергии находится путем
усреднения величины f)2 по области протяженностью в п длин
волн. Далее,
Т)=Т)Л1 sin -у-(ct — х);
поэтому
пк
sin2 [2л (ct — х)/Х] dx
Следовательно, средняя
дается выражением
плотность кинетической энергии в среде
Д£кин=ТРоПм = тРо“2П1<
(кинетическая энергия гармонического осциллятора с макси-
мальной амплитудой колебаний а, усредненная по периоду,
равна 1/4т(о2а2).
Плотность потенциальной энергии найдем, рассмотрев ра-
боту pdV, которая совершается над газом, имеющим постоян-
ную массу и занимающим объем Vo, при адиабатических изме-
нениях в звуковой волне. Эта работа записывается в виде
Д^ПОТ == р d V,
где знак минус показывает, что изменение потенциальной энер-
гии положительно как при сжатии, когда р > 0, a dV < 0, так
и при разрежении, когда р < 0, a dV > 0 (фиг. 78).
Продольные волны
163
Уплотнение выражается следующим образом:
\dV
Sz="~~’
где = y —малое приращение исходного объема Vo. По-
этому
dV — — Vo ds.
Отсюда, учитывая соотношение
Р = Bas,
получаем
.S
А£пот = — 5 Р dV = Bas Vo ds = у Bas2 dx = ±- Ba& dx.
Здесь s = — б, а толщина dx элемента, имеющего единичное
поперечное сечение, численно равна его объему Vo.
Фиг. 78. Заштрихованные треугольники показывают, что потенциальная энер-
гия ри/2, приобретенная газом при сжатии, равна потенциальной энергии,
приобретенной газом при разрежении (поскольку обе величины р и v изме-
няют знак).
Далее,
поэтому
। 1 Л)
дх с dt ’
где с = (d/k. Таким образом,
А^пот == у П2 dx — -у Poff dx.
Усредняя это выражение по области с линейным размером гал,
получаем плотность потенциальной энергии:
А^пот ~ ~4 Ро^лг
6*
164
Глава 5
Мы видим, что в звуковой волне средние значения плотно-
стей кинетической и потенциальной энергий одинаковы. Но важ-
нее другое обстоятельство. Поскольку плотность энергии того
и другого вида для элемента dx равна УгРЛ2» потенциальная и
кинетическая энергии элемента максимальны (или минимальны)
одновременно. Энергия элемента возрастает до максимума и
s* АЛЛА.
Расстояние
Фиг. 79. Распределение энергии в пространстве для звуковой волны в газе.
И потенциальная, и кинетическая энергии максимальны, когда скорость частиц Т] имеет
максимальное значение, и равны нулю при ^=0.
при сжатии, и при разрежении, поскольку запасенная энергия
определяется величиной f). Поэтому энергия волны распреде-
лена в пространстве так, как показано на фиг. 79.
Интенсивность звуковых волн
Интенсивность характеризует поток энергии, т. е. скорость,
с которой энергия проходит через единичную площадь; поэтому
она равна произведению плотности энергии (кинетической и
потенциальной) на волновую скорость с. Интенсивность обыч-
ных для нас звуковых волн очень низка: от 10~12 до 1 Вт/м2,
что свидетельствует о высокой чувствительности уха. Рев боль-
шой толпы футбольных болельщиков, приветствующих гол, бу-
дет приблизительно эквивалентен всего лишь теплу от чашки
кофе.
Интенсивность можно вычислить следующим образом:
1 = | P0Cf|A< = 4 РоС®Чи = РоСПср.-кв = Рср.-кв/РоС = Рср.-квПер.-КВ>
где индекс ср.-кв означает среднеквадратичное значение. Обыч-
но используемый стандарт звуковой интенсивности определяется
величиной
Л)=10-2 Вт-м“2,
которая приблизительно соответствует разговору в среднем
тоне двух людей, стоящих рядом друг с другом. Крику на таком
же расстоянии соответствует в 100 раз большая интенсивность.
Продольные волны
165
Если интенсивность лежит в интервале от 100 70 до 1000 Iq
(10 Вт-м~2), то звук причиняет болевые ощущения.
Когда звуковая интенсивность увеличивается в 10 раз, гово-
рят, что она увеличивается на 1 бел. Динамический диапазон
уха порядка 12 бел. Если интенсивность увеличивается в 100Л =
= 1,26 раза, то говорят, что она увеличивается на 1 децибел
(1 дБ). Такое изменение громкости замечает лишь человек с хо-
рошим слухом.
Мы видим, что почти во все выражения для интенсивности
входит произведение рс. Его физический смысл станет очевид-
ным после того, как мы определим импеданс среды для аку-
стических волн:
Удельный акустический импеданс=
Избыточное давление р
Скорость частиц f]
(отношение силы на единицу площади к скорости).
В случае волны, бегущей в положительном направлении
оси х,
р = Bas = iBakv\ и f] = /сот),
поэтому
Следовательно, акустический импеданс среды для этих волн,
как и в случае поперечных волн на струне, равен произведению
плотности на волновую скорость и определяется упругостью и
инерцией среды. Для волны, бегущей в отрицательном направ-
лении оси х, удельный акустический импеданс равен
Л==__^1=_
Г) ги
Здесь изменение знака обусловлено изменением фазового соот-
ношения.
В книгах по практической акустике в качестве единиц из-
мерения величины рс обычно указывают кг«м“2-с~1. В этих еди-
ницах удельный акустический импеданс воздуха равен ~ 400,
воды ~ 1,45-106 и стали ~3,9-107. Данные значения приобретут
больший смысл, когда позже мы их используем в примерах на
отражение и прохождение звуковых волн.
Для плоских звуковых волн удельный акустический импе-
данс рос является действительной величиной, а в случае сфери-
ческих волн он имеет дополнительную реактивную компоненту
ikfr, где г — расстояние, пройденное волновым фронтом. С уве-
личением г эта компонента стремится к нулю, а сферическая
волна становится практически плоской. (Задачи 5.1—5.8.)
166
Глава 5
Продольные волны в( твердом теле
Скорость продольных волн в твердом теле зависит от формы
образца, в котором распространяются волны. Если он имеет
форму тонкого стержня с конечной площадью поперечного сече-
ния, то для него справедливо все сказанное в случае продоль-
ных волн в газе. Единственное различие заключается в том, что
модуль всестороннего сжатия Ва заменяется модулем Юнга У,
равным отношению продольного напряжения в стержне к его
продольной деформации.
Тогда волновое уравнение принимает вид
д2Т] 1 д2Г]
дх2 с2 dt2 ’
где с2 = У/p. Продольная волна, распространяющаяся в среде,
сжимает ее и искажает в поперечном направлении. Поскольку
в твердом теле сила сдвига может существовать в любом на-
правлении, такое поперечное искажение сопровождается попе-
речным сдвигом. Влияние этого сдвига на волновое движение
в твердых телах с конечным поперечным сечением носит слож-
ный характер, и оно не учитывалось в случае очень тонкого об-
разца, о котором говорилось выше. Но в случае объемных твер-
дых тел продольные и поперечные моды могут быть рассмо-
трены раздельно.
Мы уже видели, что продольное сжатие создает деформа-
цию Л]/дх. Сопутствующее боковое искажение вызывает дефор-
мацию д$!ду (противоположную по знаку производной дч\!дх и
направленную перпендикулярно оси х). Здесь £ — смещение по
оси у, зависящее как от х, так и от у.
Отношение этих деформаций
___ др /дт) _
ду ' дх
называется коэффициентом Пуассона и выражается через уп-
ругие постоянные Ламе А и ц твердого тела:
__ * 4
° ~ 2 (А + ц) ’
где X = аУ/(1 о) (1 — 2о). Эти постоянные положительны,
поэтому о < V2, обычно о ~ 7з- Модуль Юнга, выраженный че-
рез данные постоянные, имеет вид
У === Л "4“ 2р — 2Л<т.
Постоянная ц — это модуль сдвига, т. е. отношение попе-
речного напряжения к поперечной деформации. Он играет роль
Продольные волны
167
упругости при распространении чисто поперечных волн в объем-
ном твердом теле. Такую же роль играет модуль Юнга для
продольных волн в тонком образце.
Фиг. 80. Сдвиговая деформация в объемном
твердом теле, создающая поперечную волну.
Поперечная сдвиговая деформация равна д${дх,
поперечное сдвиговое напряжение равно
где ц— модуль сдвига.
У
х x+dx
fleecy}
3 поперечная деформация
На фиг. 80 показан сдвиг для поперечной плоской волны,
для которой поперечная деформация равна д$/дх. Следователь-
но, поперечное напряжение в точке х равно
Тх = р д$/дх,
а уравнение для поперечного движения тонкого элемента dx
принимает вид
Т x + dx Р dxtj,
ИЛИ
д ( д$\
где р — плотность. Однако у = d2$/dt2, и, следовательно, мы по-
лучаем волновое уравнение
д2р р д2р
дх2 ц dt2 9
в котором скорость определяется выражением с2 = ц/р.
Наличие поперечной упругости, характеризуемой модулем
сдвига ц, приводит к увеличению коэффициента жесткости твер-
дого тела, а также константы упругости, которой определяется
распространение продольных волн. В случае объемного твер-
дого тела скорость таких волн определяется уже не соотноше-
нием с2 — У/p, а формулой
с2 + 2ц
Р
Поскольку модуль Юнга У = X + 2ц — 2Хо, упругость воз-
растает на величину 2Zo л, и поэтому скорость продольных
волн в объемном твердом теле больше, чем в тонком стержне.
В случае изотропного твердого тела, когда скорость распро-
странения одинакова во всех направлениях, тоже можно вве-
сти модуль всестороннего сжатия, как и в случае волн в газах.
168
Глава 5
Модуль всестороннего сжатия для твердого тела следующим об-
разом выражается через постоянные Ламе:
В = Л + |н = ИЗ(1-2а)Г‘,
О
а скорость продольной волны для объемного твердого тела при-
нимает вид
^^^ + (4/з)цу/^
В то же время выражение для поперечной скорости остается
без изменения:
Применение к описанию землетрясений
Такие скорости хорошо известны для сейсмических волн,
создаваемых землетрясениями. Скорость продольных волн
вблизи поверхности Земли составляет 8 км/с, а поперечные
волны распространяются со скоростью 4,45 км/с. Скорость про-
дольных волн растет с увеличением глубины, но до глубин по-
рядка 30 км волны уже не доходят из-за скачка и большого
рассогласования импедансов, связанного с жидким ядром.
На скорость поперечных волн, распространяющихся по по-
верхности Земли, влияет то обстоятельство, что компоненты на-
пряжения, направленные перпендикулярно к поверхности, равны
здесь нулю. Эти волны, называемые рэлеевскими волнами, рас-
пространяются со скоростью
где /(о) = 0,9194 при о = 0,25 и /(о)= 0,9553 при о = 0,5.
Энергия рэлеевских волн заключена в двумерной области
пространства. Их амплитуда часто бывает намного больше ам-
плитуды трехмерных продольных волн, и, следовательно, они
могут приводить к более серьезным разрушениям.
При землетрясении приход быстрых продольных волн сопро-
вождается рэлеевскими волнами, а затем устанавливается слож-
ное распределение отраженных волн, включая волны, определяе-
мые слоистой структурой Земли и известные под названием
волн Лява. (Задача 5.9.)
Продольные волны в периодической структуре
Постоянные упругости Ламе Ги ц, которые входят в опре-
деление таких макроскопических величин, как модуль Юнга и
модуль всестороннего сжатия, сами определяются силами, дей-
Продольные волны
169
ствующими на межатомных расстояниях. Анализ поперечных
волн в периодической структуре уже показал, что в одномерной
цепочке, представляющей кристаллическую решетку, взаимо-
действие между атомами, разделенными расстоянием а, можно
характеризовать коэффициентом жесткости s = T!a дин •см*'1.
Когда вдоль такой цепочки бегут продольные волны, атомы
смещаются относительно положения равновесия; смещение ато-
мов будем обозначать через ц (фиг.
Фиг. 81. Смещение атомов в линейной це-
почке, обусловленное продольной волной
в кристаллической структуре.
расстоя-
7г+Z
ния между атомами от а до а Ч- л вызывает деформацию е =
= т]/а. Это приводит к появлению напряжения, которое направ-
лено нормально к внешней поверхности единичной ячейки кри-
сталла с площадью а2 и равно sx\/a2 = se/a, т. е. силе, действую-
щей на единицу площади.
Модуль Юнга равен отношению этого продольного напря-
жения к продольной деформации, поэтому У = $е/еа, и s =
= Уа. Частота продольных колебаний атомов с массой т, связь
между которыми характеризуется коэффициентом жесткости $,
весьма приближенно дается выражением
__ со 1 / s ~ 1 / Y ~ с0
2л 2л у/ т ~ 2ла V р ~ 2ла ’
где т — ра3, а с0 — скорость звука в твердом теле.
При Со ~ 5-103 м-с-1 и а ж 2‘10~10 м частота v ~ 3-1012 Гц
и почти совпадает с частотой поперечной волны в инфракрас-
ной области электромагнитного спектра. Самая высокая уль-
тразвуковая частота, полученная в настоящее время, примерно
в 10 раз меньше частоты у = с0/2ла. В области частот от 5-1012
до 1013 Гц следует ожидать многих интересных эксперименталь-
ных результатов.
Более точный математический анализ приводит к такому же
уравнению движения для r-й частицы, как и в случае попереч-
ной волны, а именно
mx\r = s (г)г+1 + Пг-1 — 2т)г).
где s — Т/а и
Tlr— Чмаксе
Результаты точно совпадают с результатами, полученными для
поперечных волн, при этом форма дисперсионной кривой также
похожа.
170
Глава 5
Правда, максимальное значение критической частоты шм
для продольных волн больше, чем для поперечных. Это объяс-
няется тем, что продольная постоянная упругости У больше по-
перечной постоянной упругости р, т. е. сила, необходимая для
заданного смещения в продольном направлении, больше, чем
сила, необходимая для такого же смещения в поперечном на-
правлении.
Отражение и прохождение звуковых волн
на границе сред
Когда звуковая волна падает на границу, разделяющую две
среды с разными акустическими импедансами, при расчете отра-
жения и прохождения волны нужно учитывать два граничных
условия:
на границе должны быть непрерывными
1) скорость частицf],
2) избыточное акустическое давление р.
Это физические условия, необходимые для того, чтобы две среды
находились в полном контакте на всей границе.
Падающая Прошедшая
Отраженная Фиг. 82. Падающая, отраженная и прошедшая зву- ковые волны на плоской границе раздела сред с удельными акустическими импедансами piCi и Р2^2-
Pl Cl Рг сг
Как показано на фиг. 82, мы рассматриваем плоскую зву-
ковую волну, распространяющуюся в среде с удельным акусти-
ческим импедансом Zi = picb Волна падает нормально на беско-
нечную плоскую поверхность, отделяющую первую среду от дру-
гой среды, с удельным акустическим импедансом Z2 = рг^2.
Если индексом i обозначить падающую, индексом г — отражен-
ную и индексом t — прошедшую волны, то в силу граничных
условий
П» + Пг = Пъ (5-1)
Pt + Pr = Pi- (5-2)
Для падающей волны рг-== piCit]/, а для отраженной волны
рг = — piCif).-; поэтому уравнение (5.2) принимает вид
Pi<W — PiCiY]r = р2с2т](,
или
— Zif|r = Z2ih-
(5.3)
Продольные волны
171
Исключив тц из уравнений (5.1) и (5.3), получим соотношение
Чг = W _ Чг _ Л — ^2
Ч; ^4Z Ч/ Zl + Z29
а исключив Чг из уравнений (5.1) и (5.3),— соотношение
ч, ч, 2^1
Ч/ Ч; Zl + Z2‘
Теперь
Рг = __ ^1Чг _ Z?~~Z1 _ Чг
Pi Z14x ^1 + Z2 Ъ
Pt Z2^t _ %Z2
Pi Z14/ Z\ + Z2
Мы видим, что при Zi > Z2 скорости частиц в падающей и
отраженной волнах находятся в фазе, тогда как акустические
давления в падающей и отраженной волнах — в противофазе.
Сложение находящихся в фазе скоростей частиц в падающей и
отраженной волнах приводит к нулевому давлению (узлу давле-
ния в стоячей волне). Если Z\ < Z2, то давления находятся
в фазе, а скорости — в противофазе.
Скорость частиц и акустическое давление в прошедшей волне
всегда находятся в фазе с соответствующими величинами для
падающей волны.
На поверхности жесткой стенки, где импеданс Z2 бесконечен,
скорость ч= 0 = t]i + Чг» что приводит к удвоению давления
на границе (см. сводку результатов на стр. 382).
Интенсивность отраженной и прошедшей звуковых волн
Энергетические коэффициенты отражения и пропускания оп-
ределяются следующими формулами:
If = Z1 (Пг)ср..кв р. - ^2 \2
Z1(C.-kb \Zl + ZJ
И
Ц Z2 «р..кв __ ^2 ( 2Z1 Y 4Z1Z2
л" “ Z1 «,.кв = V1 + Z2 / (Zl + Z2j2 ’
Из закона сохранения энергии следует, что
4 + 4 = 1> т. е. Л = Л + /Г.
Большое различие между удельными акустическими импе-
цансами воздуха, с одной стороны, и воды или стали, с другой
172
Глава 5
стороны, приводит к чрезвычайно сильному рассогласованию
импедансов, когда предпринимаются попытки передать акусти-
ческую энергию через границу между этими средами.
На границе воздух — вода энергия звуковой волны почти
полностью отражается независимо от того, с какой стороны
волна падает на поверхность. Через границу сталь —вода мо-
жет быть передано только 14% акустической энергии. Это имеет
очень важное значение для передающих и приемных акустиче-
ских устройств. (Задачи 5.10—5.17.)
Задача 5.1
Покажите, что в газе с температурой Т средняя тепловая
скорость молекул приблизительно равна скорости звука.
Задача 5.2
Скорость звука в воздухе с плотностью 1,29 кг-м-3 можно
принять равной 330 м-с-1. Покажите, что акустическое давление
звука, вызывающего болевые ощущения и имеющего интенсив-
ность 10 Вт-м~2, порядка 6,5* 10-4 атмосферного давления.
Задача 5.3
Покажите, что в случае звуковой волны с частотой 500 Гц,
имеющей интенсивность 10 Вт-м-2 (такая волна вызывает бо-
левые ощущения), амплитуда смещения молекулы воздуха
равна приблизительно 3*10-4 м.
Задача 5.4
Едва слышимый звук в воздухе имеет интенсивность 10~10 Zq.
Покажите, что для звука с такой интенсивностью и частотой
500 Гц амплитуда смещения молекулы воздуха равна прибли-
зительно 10~10 м, т. е. она порядка диаметра молекулы.
Задача 5.5
Высококачественный проигрыватель очень громко играет
с интенсивностью 100/0 в маленькой комнате с площадью по-
перечного сечения 3 м X 3 м. Покажите, что выходная звуковая
мощность проигрывателя — порядка 10 Вт.
Задача 5.6
Две звуковые волны — одна в воде, другая в воздухе —
имеют одинаковую интенсивность. Покажите, что отношение их
амплитуд давления (рвод/рвозд) равно приблизительно 60. По-
кажите, что при равенстве амплитуд давления отношение ин-
тенсивностей равно ~3-10“2.
Продольные волны
173
Задача 5.7
Пружина с массой т, коэффициентом жесткости s и дли-
ной L растянута до длины L + /. Когда вдоль пружины распро-
страняются продольные волны, уравнение движения элемента
пружины длиной dx может быть записано в виде
1 д2т] dF .
т dx dt2 ~ дх dXf
где у — продольное смещение, a F — возвращающая сила. Вы-
ведите волновое уравнение и покажите, что волновая скорость v
определяется формулой
2 $
v2 = —,
р
где р — масса, приходящаяся на единицу длины пружины.
Задача 5.8
В задаче 1.9 мы показали, что тело с массой Л4, подвешен-
ное на пружине с коэффициентом жесткости s и массой т, со-
вершает гармонические колебания с частотой, определяемой
выражением
2_ $
® — М + т/з •
Мы можем решать ту же самую задачу, рассматривая стоячие
волны, установившиеся вдоль вертикальной пружины со сме-
щением
ц = (Д cos kx + В sin kx) sin ©f,
где k = (o/v — волновое число. Граничные условия имеют вид
т] = 0 при х = 0 (на верхнем конце пружины),
= при x = L (на нижнем конце пружины).
Покажите, что отсюда следует соотношение
kLtgkL — —--,
и, разложив tg kL в ряд по степеням kL, докажите, что во вто-
ром приближении
М + /и/3 •
Выражение для v приведено в задаче 5.7.
174
Глава 5
Задача 5.9
Коэффициент Пуассона о для твердого тела равен 0,25. По-
кажите, что отношение скорости продольной волны к скорости
поперечной волны равно д/З- Взяв значения этих скоростей,
указанные в тексте, найдите соответствующую величину о для
земли.
Задача 5.10
Покажите, что при нормальном падении звуковых волн на
плоскую поверхность раздела стали и воды отражается 86%
энергии. Покажите, что в случае волн, распространяющихся
в воде и падающих по нормали на плоскую поверхность раздела
воды и льда, через границу раздела сред проходит 82,3% энер-
гии. Возьмите следующие значения рс (в единицах кг • м~2 • с-1):
для воды 1,43-106, для льда 3,49-106, для стали 3,9-107.
Задача 5.11
Исходя из граничных условий для стоячих акустических волн
в трубе, убедитесь в правильности следующих результатов:
Смещение частиц Давление
закрытый конец открытый конец закрытый конец открытый конец
Изменение фазы при отражении 180° узел 0 пучность 0 пучность 180° узел
Задача 5.12
В трубе длиной / образовались стоячие акустические волны.
Возможны два случая: а) оба конца трубы открыты, б) один
а 6
дх __ дт] п я дх дх
1 — >. 1 *
Фиг. 83
конец открыт, а другой закрыт. Смещение частиц дается выра-
жением
т] = (Д cos kx + В sin kx) sin art,
граничные условия такие, как показано на фиг. 83. Докажите,
что в случае «а»
q = A cos kx sin w/, где Л = 21/п,
Продольные волны
175
а в случае «б»
г| — A cos fexsino/, где Л = 4//(2п+1).
Нарисуйте первые три гармоники для каждого случая.
Задача 5.13
На стр. 126 мы рассмотрели вопрос о согласовании двух
струн с импедансами Zi и Z3 путем введения между ними чет-
вертьволнового элемента с импедансом
Z^(ZxZjh.
Снова решите эту задачу в случае акустических волн, в кото-
ром выражениями для смещений струн yi, уг и yt даются соот-
ветствующие акустические давления р/, рг и pt.
Покажите, что граничное условие непрерывности давления
при х = 0 имеет вид
А\ + Bi = Л2 + ^2»
а граничное условие, выражающее непрерывность скорости ча-
стиц, запишется следующим образом:
Z2 (Л1 — Bi) = Z\ (А2 — В2).
Аналогично покажите, что граничные условия при х = I
имеют вид
Л2е-^ + B2eikzl = Л3,
Z3 (A2e~ikil - B2eikil) = Z2A3.
Исходя из этих условий, покажите, что коэффициент про-
хождения звука равен
^Из __1
когда
zl = zxz3, 1 = ^-.
(Вид обоих граничных условий и выражение для коэффициента
пропускания отличаются от соответствующих формул для слу-
чая струны.)
Задача 5.14
При большой амплитуде звуковых волн модуль всесторон-
него сжатия уже нельзя считать константой. Используя при
выводе волнового уравнения условие адиабатичности
Р [ Vo f
Ро I Vo (1 4- 6) J 9
176
Глава 5
покажите, что каждый участок волны с большой амплитудой
распространяется со своей собственной скоростью
Cod +s)(v+I)/2,
где — 6 — разрежение, s — уплотнение и у — отно-
шение удельных теплоемкостей при постоянном давлении и
объеме.
Задача 5.15
В плазме некоторые продольные волны связаны одновре-
менно с электрическими и акустическими процессами. Они под-
чиняются дисперсионному уравнению
G)2 = G>2
е 1 ’
где Т — температура, (ое — постоянная электронная плазменная
частота (см. задачу 4.18) и через а обозначена постоянная
Больцмана (чтобы не смешивать ее с волновым числом k). По-
кажите, что произведение фазовой скорости на групповую свя-
зано со средней тепловой энергией электрона (которая нахо-
дится из уравнения pV = RT).
Задача 5.16
Волновое уравнение для приливных волн (длинных волн на
мелководье) можно вывести так же, как выводилось акустиче-
ское волновое уравнение. На фиг. 84 изображен элемент жид-
кости с постоянной массой, единичной
шириной, высотой h и длиной Дх. Ко-
гда он переместится на расстояние т|,
его высота становится равной h + а,
длина — равной (1 + дт]/дх)Дх, но ши-
рина остается единичной. Покажите,
что в первом приближении
Фиг. 84.
давление. Покажите, что
Если не учитывать поверхностного на-
тяжения, то сила, действующая на по-
верхность элемента жидкости на вы-
соте h + а, равна произведению этой
высоты на среднее гидростатическое
полная сила, действующая на элемент
жидкости, определяется выражением
— Дх = — pgh — Дх.
дх Гб дх
Продольные волны
177
Продолжите вывод по аналогии с акустическим случаем и по-
кажите, что у таких волн нет дисперсии, а их фазовая скорость
удовлетворяет соотношению v2 == gh.
Задача 5.17
Вблизи поверхности невязкой несжимаемой жидкости с плот-
ностью р фазовая скорость волны определяется соотношением
у2
где g— ускорение свободного падения, Т — коэффициент по-
верхностного натяжения, k — волновое число, a h — глубина
жидкости. Вода считается мелкой при h <С к и глубокой при
h » X.
а. Покажите, что в случае, когда поверхностное натяжение
сравнимо с силой тяжести и h >> %, волновая скорость имеет
минимум v4 = bgT/р, который достигается на критической длине
волны кс = 2л(Tlpg)'K
б. Условием к >> кс определяются гравитационные волны,
для которых поверхностное натяжение несущественно. Пока-
жите, что у таких гравитационных волн нет дисперсии, а их
скорость v=^/gh (задача 5.16).
в. Покажите, что для таких волн на глубокой воде фазовая
скорость равна у = glk> а групповая — вдвое меньше.
г. Условием к < кс определяется рябь (зависящая главным
образом от поверхностного натяжения). Покажите, что фазовая
скорость мелкой ряби на глубокой воде равна г> = д/Т/г/р,
а ее групповая скорость равна 3/г V. (Здесь мы имеем случай
аномальной дисперсии.)
Сводка основных результатов
Волновая скорость
2__ Модуль всестороннего сжатия _ уР
С ~~ Р —
Удельный акустический импеданс
___ Акустическое давление
Скорость частиц
ре (для волны, бегущей вправо).
/==< — рС (дЛя волны, бегущей влево, поскольку давление и
скорость частиц находятся в противофазе).
178
Глава 5
1 р2
Интенсивность = - per]* акс = = Рср..квПср..кв
Коэффициенты отражения и пропускания
Амплитуда отраженной „волны {смещение и скорость} =
Амплитуда падающей волны k у
__ Zi --- Z2 _ Давление отраженной волны ,
Zi4-Z2 Давление падающей волны ’
Амплитуда прошедшей вол_ны {смещение и скорость} =
Амплитуда падающей волны v
__ 2Zi Zi Давление прошедшей волны t
Zi -f Z2 Z2 Давление падающей волны *
Интенсивность отраженной волны мнрпгия1 ( %2 V,
Интенсивность падающей волны * ” \Zi + Z2 / ’
Интенсивность прошедшей волны (энеогия) —
Интенсивность падающей волны < г > (Z1 + Z2)2
Глава 6
Волны в линиях передачи
Относительно волнового движения, которое мы рассматри-
вали выше, можно сделать четыре основных вывода:
1) отдельные частицы среды колеблются около своих поло-
жений равновесия, но в среднем не перемещаются;
2) по среде распространяются горбы и впадины, а также все
плоскости одинаковой фазы колебаний, что и воспринимается
как волновое движение;
3) волновая, или фазовая, скорость определяется произве-
дением двух величин, одна из которых характеризует инерцию
среды, а другая — способность среды запасать потенциальную
энергию, т. е. ее упругость;
4) импеданс среды для такого волнового движения опреде-
ляется отношением двух указанных величин, характеризующих
инерцию и упругость (см. таблицу на стр. 10).
В данной главе мы исследуем волновое распространение на-
пряжений и токов. Как мы увидим, и в этом случае в основном
сохраняются те же самые физические закономерности. Волны
напряжений и токов обычно посылают по геометрическим ком-
бинациям проводов и кабелей, носящим название линий пере-
дачи. Такие линии могут быть разных размеров — от кабеля
для осциллографа на лабораторном столе до линий электропе-
редачи, подвешенных к мачтовым опорам и простирающихся на
сотни километров, или подводных кабелей дальней связи, про-
ложенных по дну океана.
Любую линию передачи можно упрощенно представить
в виде системы двух параллельных проводов, к одному концу
которой присоединен генератор переменного тока. На фиг. 85, а
показана такая линия в тот момент, когда вывод А генератора
положителен относительно вывода В и ток, создаваемый гене-
ратором, идет от вывода А к выводу В. Через половину периода
положение меняется на обратное и положительным становится
вывод В. В результате вдоль каждого провода устанавливается
распределение зарядов, как показано на схеме, меняющее знак
через каждую половину периода соответственно гармоническим
колебаниям носителей заряда (фиг. 85,6). Носители смещаются
по обе стороны от своего положения равновесия на расстояние,
180
Глава 6
Индуктивная
связь
Волна^^^ Провода
напряжения^ линии
Лехера
Генератор
Неоновая
лампа
Фиг. 85. Бесконечно длинная линия передачи, в которую непрерывно поступает
энергия от генератора.
Показано распределение зарядов и волны напряжения: а — когда вывод А генератора поло-
жителен; б—через половину периода, когда положителен вывод В генератора: в — лабо-
раторная демонстрация максимумов напряжения вдоль двухпроводной линии Лехера.
Неоновая лампа загорается, когда она находится вблизи точки, где ^=VMa c,
составляющее доли длины волны. Движение зарядов есть ток,
и этот ток достигает максимального значения, когда макси-
мально произведение плотности заряда на скорость.
Максимумы и минимумы тока, положение которых вдоль
кабеля изменяется во времени по гармоническому закону, соот-
ветствуют волне тока, идущей вдоль кабеля. С волной тока свя-
зана волна напряжения (фиг. 85, а). Если напряжение и ток на
выходе генератора изменяются в фазе, то энергия непрерывно
поступает в линию передачи и волны уносят энергию от гене-
ратора. В лаборатории волны напряжения и тока можно
продемонстрировать, пользуясь двухпроводной линией Лехера
(фиг. 85, в).
Чтобы найти скорость волны, мы выведем волновое уравне-
ние для напряжения и тока, а для этого рассмотрим короткий
элемент линии, длина которого намного меньше длины волны.
В первом приближении мы можем считать, что на таком эле-
Волны в линиях передачи
181
менте переменные величины изменяются линейно, и использо-
вать дифференциалы.
Токи, существующие в линии, создают магнитный поток, ко-
торый пронизывает область между кабелями, так что линия ха-
рактеризуется определенной погонной индуктивностью, которую
мы обозначим через Со и будем измерять в единицах генри на
метр. Провода линии образуют конденсатор, погонную емкость
которого мы обозначим через Со и будем измерять в единицах
фарада на метр. Если активное сопротивление в линии отсут-
ствует, то эти два параметра полностью характеризуют линию
и линия называется идеальной или линией без потерь.
Идеальная линия передачи (без потерь)
На фиг. 86 изображен короткий элемент (с нулевым сопро-
тивлением) идеальной линии передачи длиной dx <С Л, где К —
длина волны напряжения или тока. Индуктивность элемента
равна Lodx генри, а его емкость — CQdx фарад.
Фиг. 86. Схема элемента идеальной линии передачи с индуктивностью Lq генри
на единицу длины и емкостью Со фарада на единицу длины.
Длина элемента намного меньше длины волны к для волн напряжения и тока.
Если скорость изменения напряжения по длине в любой за-
данный момент времени есть dV/dx, то напряжение на концах
элемента dx равно (dV!dx)dx\ в то же время это падение на-
пряжения на индуктивности L, т. е.—(Lbdx)dlldt. Следова-
тельно,
dV . п j \д!
дх (Lvdx) dt ,
или
Если скорость изменения тока по длине в любой заданный мо-
мент времени есть dl/dx, то на длине dx часть тока —(dl!dx)dx
теряется, поскольку ток заряжает емкость Со dx линии до на-
пряжения V. Если заряд q = (Со dx) V, то
182
Глава 6
поэтому
~ ~дх dx==~gi (Со dx) V,
или
_^- = С0-^. (6.2)
дх и dt 4 7
Поскольку д2)дх dt — d2/dt дх, мы, дифференцируя уравне-
ние (6.1) по х, а уравнение (6.2)— по t, получаем
(6.3)
dx2 и и dt2 4 '
Это — простое волновое уравнение для напряжения, в котором
скорость распространения определяется соотношением v2 =
= 1/LqCq. Аналогично, дифференцируя уравнение (6.1) по /,
а уравнение (6.2) по х, получаем
д21 г г> дЧ
•^2' = ЬоСо-^г. (Ь.4)
Отсюда следует, что волны тока распространяются с той же
самой скоростью v2 — \ILqCq. При проверке размерности мы
должны помнить, что Lq и Со — погонные величины, т. е. они от-
несены к единице длины.
Итак, колебательное движение носителей заряда (наших ча-
стиц в среде) создает волны напряжения и тока, распространяю-
щиеся со скоростью, которая определяется произведением ин-
дуктивности, т. е. магнитной инерции среды, на емкость, ха-
рактеризующую способность среды накапливать потенциальную
энергию.
Коаксиальные кабели
Многие линии передачи выполняются в виде коаксиального
кабеля, т. е. цилиндра из диэлектрического материала (напри-
мер, полиэтилена), по оси которого проходит один проводник,
а по внешней поверхности — другой. Погонная индуктивность
такой системы равна
(генри),
где Г1 и г2 — радиусы внутреннего и внешнего проводников,
а ц— магнитная проницаемость диэлектрика (измеряется в еди-
ницах генри на метр). Погонная емкость системы дается выра-
жением
= (ФаРаДа)>
Волны в линиях передачи
183
где е — диэлектрическая проницаемость диэлектрика (изме-
ряется в единицах фарада на метр); поэтому v2 — l/LoCo =
= 1/^8.
Скорость волн напряжения и тока вдоль такого кабеля пол-
ностью определяется свойствами диэлектрической среды. В сле-
дующей главе, посвященной электромагнитным волнам, мы уви-
дим, что величины е и ц характеризуют инерционные и упругие
свойства любой среды, в которой распространяются такие
волны. Скорость этих волн будет определяться соотношением
v2 = В случае свободного пространства данные параметры
имеют следующие значения:
|л0 = 4л- 10“' генри на метр,
е0 = (36л- 109)“1 фарада на метр,
a v2 переходит в г2 = (цово)”1, где с — скорость света, равная
3-108 метрам в секунду.
Коаксиальные кабели можно изготовить с очень высокой сте-
пенью точности, поэтому время прохождения электрическим
сигналом определенного расстояния может быть точно вычис-
лено, ибо его скорость известна. Такие кабели могут служить
«линией задержки», позволяющей разделить момент прихода
сигналов в данную точку очень малыми интервалами времени.
Волновое сопротивление линии передачи
Решения уравнений (6.3) и (6.4), конечно, имеют вид
V+ — Vo+ sin (vt — х) и 1± — IQ, sin (vt — х),
где Vo и /о — максимальные значения, а индекс + относится
к волне, распространяющейся в положительном направлении
оси х. Тогда из уравнения (6.1) следует, что
— V'+ = — vL0['+,
где штрихом обозначено дифференцирование по величине vt — х.
Интегрируя это уравнение, получаем
V+ = vL0I+.
Здесь константа интегрирования не имеет значения, поскольку
мы рассматриваем только осциллирующие значения напряже-
ния и тока, а константой определяется просто уровень постоян-
ного тока.
Отношение
TT = t’L«= VS (0">-
184
Глава 6
где величина V^o/G), обозначаемая через Zo, постоянна для ли-
нии передачи с определенными свойствами и называется волно-
вым сопротивлением. Отметим, что эта величина представляет
собой чистое сопротивление (в ее размерность не входит длина)
и играет для волны, бегущей вдоль бесконечно длинной линии,
точно такую же роль, как удельный акустический импеданс рс
для акустической волны. Физическое соответствие между рс
и Lqv — LqCq = Zo сразу становится очевидным.
Можно показать, что в случае коаксиального кабеля, о ко-
тором говорилось ранее,
z0 = _L д/bin-^.
и 2л V в И
Волновое сопротивление вакуума для электромагнитных волн
имеет величину
zo= = 376,6 Ом.
Мы рассматривали волны, распространяющиеся только в по-
ложительном направлении оси х. Волны же, которые распро-
страняются в отрицательном направлении оси х, будут описы-
ваться следующими выражениями, полученными путем решения
волнового уравнения:
V_ = Vo- sin у- (vt + х), /_ = /0- sin -у- (vt + х).
Здесь минусом в индексе обозначено отрицательное направление
оси х, в котором распространяется волна.
Тогда из уравнения (6.1) следует, что
-у— = — у£0 = — Zo.
Таким образом, как и в случае удельного акустического импе-
данса, в это отношение вводится знак минус, когда волны рас-
пространяются в отрицательном направлении оси х.
Если волны распространяются вдоль линии передачи в обоих
направлениях, то полное напряжение и полный ток в любой
точке будут определяться выражениями
V=V+ + I = I+ + I_.
Когда в линии передачи волны распространяются только
в положительном направлении, волны напряжения и тока всегда
находятся в фазе и переносят энергию, которая все время посту-
пает в линию от генератора. Когда же волны распространяются
в обоих направлениях, .положение изменяется. Волны, бегущие
Волны в линиях передачи
185
в отрицательном направлении оси х, возникают за счет отраже-
ния на границе, если линия имеет конечную длину или не со-
гласована. Рассмотрим такое отражение. (Задача 6.1.)
Отражение от конца линии передачи
Предположим, что линия передачи с волновым сопротивле-
нием Zo имеет конечную длину, а на ее конце, противополож-
ном генератору, имеется нагрузка с импедансом ZL (фиг. 87).
Волна, бегущая вправо (V+, Z+), может отразиться в виде
волны, бегущей влево (V_, /_).
---НК, Л)
----(К, Л)
у++у~=Ъ
v+ -v_
h' l/Z0
Фиг. 87. Линия передачи, которая оканчивается нагрузкой с импедансом Zl.
В линии возникает отраженная волна, если где Zo~волновое сопротивление
линии.
Граничные условия на нагрузке должны быть следующими:
V+ + V_ = VL, I+ + I_=IL,
где Vl — напряжение на нагрузке. Кроме того,
у yL
—==Z0, -7—= — Zo, -j—= ZL.
Из этих уравнений нетрудно получить, что
V+ Zl+Z0
(амплитудный коэффициент отражения для напряжения),
I- ZQ ~~~ Z£
Zo + H
(амплитудный коэффициент отражения для тока),
VL _ 2ZL JL _ 2Z0
y+ zl + zo’ H zl+V
Данные результаты полностью согласуются с теми коэффициен-
тами отражения и пропускания, которые встречались нам выше
(см. сводку результатов на стр. 382).
186
Глава 6
Мы видим, что если линия оканчивается нагрузкой ZL = Zo,
где Zq — волновое сопротивление линии, то линия согласована
и вся энергия, переносимая волной вдоль линии, поглощается,
а поэтому отраженной волны нет. Таким образом, при Zl = Zo
волна, бегущая в положительном направлении, ведет себя так,
как если бы линия передачи была бесконечно длинной.
Короткозамкнутая линия передачи (ZL = 0)
Если концы линии передачи замкнуты накоротко (фиг. 88)
и Zl = 0, то мы получаем
vL=v+ + v_=o.
Следовательно, V+ = — V- и происходит полное отражение
с изменением фазы волны на л. Но при таких условиях, как мы
видели раньше, должны возникать стоячие волны. Мы увидим,
что такие волны существуют и в линиях передачи.
ие
Фиг. 88. Стоячая волна в короткозамк-
нутой линии передачи длиной (2и +
ZL=0 +1)Ш
На конце линии ток максимален, а напря-
жение равно нулю.
В любой точке х линии мы можем представить две рассма-
триваемые волны напряжения в виде
У+ = Zol+ = Vo+ei ^~kx\ V_ = - Zol-e* ^+kx\
В случае полного отражения и изменения фазы на л выпол-
няется соотношение Vo+ = — Ко-, а поэтому полное напряжение
в точке х таково:
Vx = V+ + V_ = Уо+ (e~ikx — eikx) == — 12 Vo+ sin kxei(i)t,
а соответствующий ток'
IX = I+ +7_ = -^±- (e‘kx _|_ g-ikx^ еы == cos kxeiwt.
Отсюда мы видим, что в любой точке х напряжение Vx из-
меняется как sin kx, а ток 1Х — как cos kx\ поэтому в простран-
стве напряжение и ток сдвинуты по фазе относительно друг
друга на 90°. Кроме того, множитель —i в выражении для на-
пряжения показывает, что во времени напряжение отстает по
фазе от тока на 90°. Следовательно, если при временной зависи-
мости мы примем, что напряжение меняется как cos со/, то
ток будет меняться как —sin со/. Если же мы примем, что из-
Волны в линиях передачи
187
менение напряжения во времени описывается функцией sin
то ток будет описываться функцией cos ю/.
Во всех точках линии напряжение сдвинуто по фазе отно-
сительно тока на 90° как в пространстве, так и во времени. По-
этому коэффициент мощности cos ф = cos 90° — 0 и энергия не
потребляется. В случае стоячей волны в обоих направлениях
переносится одинаковая энергия и полная переносимая энергия
равна нулю. Узлы напряжения и тока расположены вдоль ли-
нии так, как показано на фиг. 88, причем ток I всегда макси-
мален там, где V = 0, и наоборот.
Если зависимость тока I от времени описывается функцией
cos со/, то он достигает максимума при V — 0. Когда напряже-
ние V максимально, ток равен нулю. Таким образом, энергия
системы переходит из одной формы в другую каждую четверть
периода: магнитная энергия V2W2 полностью превращается
в электрическую энергию V2C0V2, и наоборот. (Задачи 6.2—6.10.)
Роль сопротивления в линии передачи
Мы рассматривали линию передачи, имеющую только ин-
дуктивность и емкость, т. е. компоненты, которые не потребляют
энергию. В действительности такие линии, конечно, не суще-
ствуют: в проводах всегда имеется некоторое сопротивление,
Фиг. 89. Элемент реальной линии передачи.
В нем имеется последовательное сопротивление /?0 Ом на единицу длины и шунтирующая
проводимость Go сименс на единицу длины.
которое будет приводить к потерям энергии. Мы учтем это со-
противление, предполагая, что линия передачи содержит после-
довательно включенный резистор с сопротивлением /?0 (в омах
на единицу длины) и параллельный, или шунтирующий, рези-
стор между проводами, который мы будем характеризовать про-
водимостью (она обратна сопротивлению). Эту проводимость,
имеющую размерность сименс на метр, мы обозначим через Go-
Наша модель короткого элемента линии передачи, имею-
щего длину dx, приведена на фиг. 89. В нее входят резистор
с сопротивлением Ро dx, соединенный последовательно с катуш-
кой -индуктивности Lq dx, и резистор с проводимостью Go dx,
188
Глава 6
шунтирующий конденсатор с емкостью Codx. Теперь возможен
ток и поперек линии передачи, поскольку диэлектрик не яв-
ляется идеальным.
Мы уже видели, что временную зависимость напряжения и
тока вдоль линии передачи можно представить в виде
V=V0e^9 I = IQe^.
Поэтому
Lo|t- = ^oZ. с0-^- = ^с0у.
Изменения напряжения и тока на элементе линии длиной dx
теперь определяются уравнениями
|K = _Lo^_/?oZ = _(/?o + Zo)£0)Z> (6.1а)
-g- = - Со 4г - GoV = - (Go + i®C0) Z, (6.2а)
поскольку ток через резистор, которым шунтирован конденса-
тор, равен (Godx) V.
Дифференцируя уравнение (6.1а) по х и используя уравне-
ние (6.2а), получаем
^ = - (Z?o + г®Ло) = (^о + i«>L0) (Go + поС0) V = y2V,
где у2 = (/?о + KoLo) (Go + коСо). Величина у, очевидно, ком-
плексна, и ее можно представить в виде
у = а + ik.
Дифференцируя уравнение (6.2а) по х и учитывая (6.1а), по-
лучаем уравнение
- (Go + z®C0) = (Яо + i®L0) (Go + Z®oCo) I = y2I,
аналогичное уравнению для V.
Решения уравнения
^--Y2K = 0, (6.5)
описывающие зависимость V от х, имеют вид
у = Ае~^ или 7 =
где А и В — постоянные. Мы уже знаем, что временная зависи-
мость V описывается множителем eia)t, а поэтому полное реше-
ние для V можно представить следующим образом:
V^tAe-^ + Be^e1"*
Волны в линиях передачи
189
или, поскольку у = а + ik,
у -— (Дв““ахв"^х 4~ Beaxeikx) ei<dt — Ае~ахе^ Be0LXei
Характер изменения напряжения V показан на фиг. 90; здесь
две волны: одна бежит вправо, и ее амплитуда уменьшается
с расстоянием соответственно множителю е~ах, а другая бежит
влево, и ее амплитуда уменьшается экспоненциально с расстоя-
нием соответственно множителю еах. Величины у, а и k, входя-
щие в формулу у = а + ik, называются константой распростра-
нения, коэффициентом затухания или поглощения и волновым
числом.
Фиг. 90. Волны напряжения и тока, бегущие в обоих направлениях вдоль
линии передачи с потерями.
Действие диссипативного члена выражается в экспоненциальном затухании волн, распро-
страняющихся в обоих направлениях.
Ток I изменяется точно так же. Поскольку мощность равна
произведению VI, зависимость потерь энергии от расстояния
описывается функцией (е-ах)2, т. е. е~2ах. Такую зависимость мы
могли бы предсказать на основе проведенного ранее анализа
затухающих гармонических колебаний. Когда свойства линии
передачи являются чисто индуктивными (инерционными) и ем-
костными (упругими), мы имеем чисто волновое уравнение с ре-
шениями в виде синуса или косинуса. Введение же сопротив-
ления или элемента потерь приводит к экспоненциальному зату-
ханию с расстоянием вдоль линии передачи. Точно так же за-
тухают колебания осциллятора со временем.
Такие механизмы потерь, как сопротивление, вязкость, тре-
ние или диффузия, будут всегда приводить к потерям энергии
распространяющейся волны. Все они являются примерами слу-
чайных столкновительных процессов, протекающих только в од-
ном направлении в том смысле, что они являются термодинами-
чески необратимыми процессами. В конце главы мы остановимся
на их влиянии более подробно.
190
Глава б
Волновое сопротивление линии передачи
с потерями
В случае линии без потерь мы видели, что отношение V+//+ —
— ZQ = л/ЩСц = Zo измеряется в омах и является чисто ре-
зистивным. Каким образом введение сопротивления в линию
влияет на характеристический импеданс?
Решение уравнения
= vv,
дх2 г ’
учитывающее только зависимость I от х, можно записать в виде
1 = А'е-ух + В'е<х.
В результате из уравнения (6.2а) получаем
_ у (д'е-v* _ В'е^ = - (Go + V
ИЛИ
V(Ro + йо£р) (Go + zg>Cq) _В еух} = V = V I V
Go + /соСо ' + "Г -•
Но если не учитывать множитель то
А'е~ух = 1+
есть волна тока, бегущая в положительном направлении оси х.
Следовательно, для линии передачи с потерями
Л / Ro + i®Lo , т/
А/ Go + /шС0 ' + — ! +>
или
_____ Л / Ro + ZcoAq _ у'
/+ Л/ Go + /(oCo ~Ло‘
Аналогично
р' Vх _ J _ / Ro + Z0)^° ___, 7f
Ве V GH^7 = ~Ze-
Наличие резистивного члена в комплексном волновом сопро-
тивлении означает, что энергия волн будет поглощаться за счет
выделения джоулева тепла. Мы рассмотрим этот вопрос более
подробно в следующей главе, посвященной электромагнитным
волнам. Сейчас же исследуем поглощение с другой (хотя и эк-
вивалентной) точки зрения. (Задачи 6.11, 6.12.)
Волны в линиях передачи
191
Уравнение диффузии и поглощение
энергии в волнах
В гл. 1 мы кратко упомянули о роли случайных процессов.
Теперь рассмотрим данный вопрос подробнее. Волновое урав-
нение
д2Ф 1 д2ф
дх2 с2 dt2
— это лишь одно из семейства уравнений, содержащих в левой
части вторую производную по координате. В случае трех изме-
рений левая часть уравнения должна иметь вид
д2ф . д2ф . д2ф
дх2 * ду2 дх2
В векторном анализе такое выражение называется диверген-
цией градиента (div grad) и обозначается символом V2q>.
В одномерном случае можно написать пять уравнений дан-
ного семейства:
1) уравнение Лапласа
4^ = 0 (только для ф(х)),
2) уравнение Пуассона
= Постоянная (только для <р(х)),
3) уравнение Гельмгольца
= Постоянная • <р,
4) уравнение диффузии (Фика)
= (Положительная постоянная) • ~ ,
5) волновое уравнение
= (Положительная постоянная) • .
л
Уравнения Лапласа и Пуассона очень часто встречаются
в теории электростатического поля и используются для нахож-
дения значений электрического поля и потенциала в произволь-
ной точке пространства. В этой главе мы уже встречались
с уравнением Гельмгольца на примере уравнения (6.5), где по-
стоянная была положительной (и записывалась как у2). Мы
познакомились с характером решений этого уравнения, когда
постоянная является отрицательной, поскольку в этом случае
оно эквивалентно уравнению для гармонического движения. Но
192
Глава 6
только здесь вторая производная берется по координате, а не
по времени. Постоянная в волновом уравнении имеет, конечно,
вид 1/с2, где с — волновая скорость. Там, где в волновом урав-
нении справа стоит «ускорение» (член с d2q/dt2), в случае урав-
нения диффузии стоит «скорость» (член с dq/dt).
В левой же части всех уравнений содержится один и тот же
член с д2ср/дх2, и мы должны спросить себя: «Каков его физи-
ческий смысл?»
Мы знаем, что значения скаляра ф зависят от той точки
пространства, где он измеряется. Допустим, что мы выберем
точку, в которой ф имеет значение фо, и окружим эту точку ма-
леньким кубом с ребром /. В объеме куба величина ср может
принимать другие значения. Если усредненное по этому ма-
ленькому кубу значение величины ф обозначить через ф, то
разность между средним значением ф и значением фо в центре
куба описывается формулой
ф — <р0 = Постоянная • (§ + .
Эта формула доказывается в приложении в конце настоящей
главы, и ее легко поймут те, кто знаком с тройными интегра-
лами. Итак, левая часть всех этих уравнений определяется раз-
ностью ф — фо-
В уравнении Лапласа данная разность равна нулю, а по-
этому величина ф постоянна во всем рассматриваемом объеме.
В случае уравнения Пуассона эта разность постоянна, а из урав-
нения Гельмгольца следует, что величина ф в любой точке
объема пропорциональна этой разности. Первые два уравнения
являются «стационарными», т. е. они не зависят от времени.
Из уравнения Гельмгольца следует, что при положительной
постоянной величина ф экспоненциально увеличивается или
уменьшается с расстоянием. Например, в уравнении (6.5) по-
стоянная у2 положительна. Но если постоянная отрицательна,
то ф будет меняться с расстоянием синусоидально или косину-
соидально таким же образом, как изменяется во времени смеще-
ние при гармонических колебаниях, а уравнение принимает вид
стационарного волнового уравнения для стоячих волн. Это урав-
нение ничего не говорит о временной зависимости величины ф,
которая будет определяться только самой функцией ф.
Как диффузионное, так и волновое уравнения содержат про-
изводные по времени. Согласно уравнению диффузии, «ско-
рость», т. е. изменение ф во времени в некоторой точке объема,
пропорциональна разности ф — фо, тогда как в случае волно-
вого уравнения от этой разности зависит «ускорение» d2y!dt2.
Волновое уравнение напоминает уравнение движения гар-
монического осциллятора, где отклонением от среднего положе-
Волны в линиях передачи
193
пия (х — 0) определялась сила или ускорение. Как уравнение
осциллятора, так и волновое уравнение имеют решения, зависи-
мость которых от времени описывается синусом или косинусом.
Для таких решений максимальная скорость ду/dt достигается
при нулевом смещении из положения равновесия, т. е. там, где
разность ф — ф0 = о.
Диффузионное же уравнение описывает другой тип поведе-
ния. Оно описывает неравновесную систему, которая движется
к равновесию со скоростью, определяющейся ее расстоянием до
Фиг. 91. Кривая охлаждения по Ньютону.
Скорость охлаждения нагретого тела дТ/dt зависит от разности температур между телом
и окружающей средой, а эта разность прямо пропорциональна величине д2Т/дх2.
положения равновесия. Следовательно, система достигает рав-
новесия за время, теоретически равное бесконечности. Читатели
уже встречались с такой ситуацией в случае закона охлаждения
Ньютона. Пусть нагретое тело с температурой Го находится
в комнате с более низкой температурой Т. Скорость охлаждения
тела, т. е. величина дТ/dt, зависит от Т—То. График изме-
нения температуры при таком охлаждении представлен на
фиг. 91. Скорость охлаждения максимальна при максимальной
разности температур. Охлаждение замедляется, по мере того
как система приближается к равновесию. Здесь обе величины
Г — То и дТ/dt, конечно, отрицательны.
Все неравновесные процессы такого рода протекают лишь
в одном направлении, т. е. они термодинамически необратимы.
Они связаны с переносом массы в случае диффузии, с переносом
импульса в случае трения или вязкости и с переносом энергии
в случае проводимости. Все такие процессы приводят к потерям
полезной энергии и увеличению энтропии.
Все это процессы, которые определяются случайными столк-
новениями. Складывая в гл. 1 векторы с постоянной длиной и
7 3dK. 1186
194
Глава 6
случайной фазой, мы установили, что среднее расстояние, про-
ходимое частицами, которые участвуют в таких процессах, про-
порционально не времени, а корню квадратному из времени.
Переписав уравнение диффузии в виде
д2ф 1 дф
дх2 d dt ’
мы видим, что размерность постоянной d, называемой коэффи-
циентом диффузии, находится из соотношения
Ф _ 1 Ф
(Длина)2 d Время
Следовательно, размерность величины d такова: длина2/время.
Об интерпретации этой величины как квадрата характерной
длины, изменяющейся пропорционально корню квадратному из
времени, уже говорилось в гл. 1.
В случае вязкости величина d определяется отношением т]/р,
где ц — коэффициент вязкости, ар — плотность. В случае теп-
лопроводности d = К/рсру где /< — коэффициент теплопровод-
ности, р — плотность, а ср — удельная теплоемкость при по-
стоянном давлении. Для магнитного поля, распределенного не-
однородно в проводнике, коэффициент диффузии d = (ро)-1,
где ц — магнитная проницаемость, а о — удельная электропро-
водность.
Одним из наиболее известных процессов случайных столкно-
вений является броуновское движение. Расстояние х, проходи-
мое за время t частицей, испытывающей многократные случай-
ные столкновения, определяется формулой Эйнштейна для ко-
эффициента диффузии __
, _ х2 _ 2RT
t fav(\N ’
Уравнением состояния идеального газа pV = RT величина RT
определяется как энергия одного моля газа при температуре Т.
Число частиц в одном моле равно числу Авогадро N. Средняя
энергия отдельной частицы RT/N = kT, где k — постоянная
Больцмана.
Таким образом, процесс определяется отношением энергии
частиц к коэффициенту вязкости, который служит мерой сил
трения. Чем выше температура, тем больше энергия, тем меньше
влияние сил трения и тем больше среднее проходимое рас-
стояние.
Волновое уравнение с учетом эффектов диффузии
В реальных системах вряд ли можно встретить случай, когда
на распространении волн совершенно не сказываются меха-
низмы потерь, о которых идет речь. Но если такие потери не
Волны в линиях передачи
195
очень значительны, то мы можем полностью описать распро-
странение волн в пространстве и времени, комбинируя волновое
и диффузионное уравнения.
В качестве решения объединенного уравнения
д2ф 1 д2ф . 1 дф
дх2 с2 dt2 ’ d dt
не подходит просто синус или косинус. Подставляя в уравнение
пробное решение
Ф =
где фм — максимальная амплитуда, получим комплексное зна-
чение у:
Но (о2/с2 = k2, где k — волновое число, а поэтому, полагая
у = k — ia, получаем
у2 = k2 —- 2Zfea — a2 & k2 — 2Z£a,
если a k.
Тогда решение ср принимает вид
Ф == фл1е‘ И-^),
соответствующий колебаниям, описываемым синусом или коси-
нусом. Максимальная амплитуда этих колебаний экспоненциаль-
но уменьшается с расстоянием. Физический смысл условия
a С k = 2лД заключается в том, что уменьшение амплитуды
до значения фмв-1 происходит на расстоянии х = 1/а, которое
намного больше длины волны X. Диффузионные процессы при-
ведут к ослаблению или потерям энергии волны. Энергия волны
пропорциональна квадрату амплитуды и поэтому уменьшается
по закону е~2а\ (Задачи 6.13—6.15.)
Приложение
Физический смысл величины
д2Ф д2ф . д2ф _v2
дх2 ду2 dz2
Пусть в некоторой точке О скалярного поля ф = фо. Окру-
жив точку О кубом с ребром I и усреднив ф по объему куба,
получаем
+ 1/2
ф/3 = ф dx dy dz.
-1/2
7*
196
Глава 6
Разложим ф в точке О в ряд Тейлора:
’=*+®.’+(l).«+(IV+
+I[(SV+(W+(>р]+
Проинтегрировав по объему куба от —1/2 до Z/2, получим
ф/з= Z3 +^.(^Ф+^Ф+^ФА .
' ти 24 \ дх2 ду2 dz2 Jo
Здесь учтено, что интегралы от функций вида
обращаются в нуль, а
\\\x*dxdydZ = £.
-Z/2
Следовательно,
Ф — <Ро = ^-(^ф)о,
где / — постоянная.
Задача 6.1
Покажите, что волновое сопротивление двухпроводной линии
Лехера в среде с магнитной проницаемостью ц и диэлектриче-
ской проницаемостью е дается формулой
zo = J-x/iln-,
и л V е r
где г — радиус провода, a d — расстояние между проводами.
Задача 6.2
В случае короткозамкнутой линии передачи без потерь про-
интегрируйте магнитную (индуктивную) энергию V2L0Z2 и элек-
трическую (потенциальную) энергию по последней чет-
верти длины волны (от 0 до —Х/4) и покажите, что они равны.
Задача 6.3
Покажите, что в задаче 6.2 сумма мгновенных значений двух
энергий, приходящихся на последнюю четверть длины волны,
равна максимальному значению любой из этих энергий.
Волны в линиях передачи
197
Задача 6.4
Покажите, что импеданс реальной линии передачи в точке х
линии дается выражением
7 _7 Ае-^-Ве**
х й Ае^ + Ве<х '
где у — константа распространения, а А и В — амплитуды тока
при х — 0 для волн, распространяющихся в положительном и
отрицательном направлениях оси х. Длина линии равна /, на
ее конце имеется нагрузка ZL\ докажите справедливость фор-
мулы
7 _ 7 Ae~Vl~Be*
Ае-^ + Ве^1 ’
Задача 6.5
Покажите, что входной импеданс линии, о которой говори-
лось в задаче 6.4, т. е. импеданс линии в точке х = 0, имеет вид
_ / zo sh у/ + ZL ch у/ X
Z/ — Z° V ch V1 + Z£ sh у/ ) ‘
(Напомним, что 2ch yZ = e^1 + e~^1 и 2sh yZ = e^1 —
Задача 6.6
Покажите, что входной импеданс линии передачи, о которой
говорилось в задаче 6.4, равен
^кор.-замкн === ZQ th yZ,
если линия коротко замкнута, и
-^разомкн = Zo Cth yZ,
если линия разомкнута.
Вычислив произведение этих величин, предложите способ
измерения волнового сопротивления линии.
Задача 6.7
Покажите, что входной импеданс короткозамкнутой линии
без потерь, имеющей длину Z, дается выражением
v , 2л/
= г A/c7tg~
Изобразив графически зависимость отношения Zil^L^CQ от Z,
покажите, что при (п + 1) V2 > Z > (2п + 1) %/4 импеданс Zt
носит емкостный характер, а при (2п + 1)V4 > Z > пк/А — ин-
дуктивный. (От этого зависит знак реактанса для согласования
с другой линией.)
198
Глава 6
Задача 6.8
Покажите, что линию с волновым сопротивлением Zo можно
согласовать с нагрузкой ZL при помощи четвертьволновой линии
без потерь с волновым сопротивлением Zm, если Z^ = Z0ZL.
(Указание. Вычислите входной импеданс в точке соединения
линий Z0Zm.)
Задача 6.9
Покажите, что короткозамкнутая четвертьволновая линия
без потерь обладает бесконечным импедансом и, если ее соеди-
нить с другой линией передачи, она не будет влиять на основную
гармонику, но замкнет накоротко любую нежелательную вторую
гармонику.
Задача 6.10
Покажите, что линию без потерь, имеющую волновое сопро-
тивление Zo и длину rih/2, можно использовать для связи двух
высокочастотных цепей без воздействия на другие импедансы.
Задача 6.11
В случае линии передачи с потерями, для которой величины
Rq/^Lq и G0/coCo малы, разложите выражение для константы рас-
пространения
у — [(/?0 + ZoLo) (Go + коСо)]
в ряд по степеням этих величин и покажите, что константа за-
тухания дается выражением
“ = Fa/F + Fa/F
а волновое число
Покажите, что при Go = 0 добротность Q для такой линии равна
£/2а.
Задача 6.12
Разложите выражение для волнового сопротивления линии
передачи, о которой говорилось в задаче 6.11, выделяя волновое
сопротивление линии без потерь, и покажите, что при условии
^0 _ Ср
Lq Со
импеданс остается действительным, поскольку фазовые эффекты,
обусловленные последовательным и шунтирующим сопротивле-
ниями, равны по величине, но противоположны по знаку.
Волны в линиях передачи
199
Задача 6.13
Электрон с полной энергией Е в потенциальной яме (фиг. 92),
имеющей глубину V и занимающей область 0 < х < /, описы-
вается стационарным волновым уравнением Шредингера
д2,ф . 8л2т Т7Ч . Л
^+—(В-У)^=о,
где т — масса электрона, a h — постоянная Планка. (В потен*
циальной яме V = 0.)
Покажите, что при Е> V (внутри потенциальной ямы) реше-
нием для ф является стоячая волна, а при Е < V (вне области
0 < х < Z) зависимость ф от х имеет вид е*?*, где у =
= 2л ^2m(V - E)/h.
Задача 6.14
Магнитное поле Я, локализованное в электропроводящей
среде с магнитной проницаемостью ц и удельной проводи-
мостью о, диффундирует по среде в направлении оси х со ско-
ростью, определяющейся уравнением
дН 1 д2Н
dt цсг дх2
Покажите, что скорость уменьшения поля приближенно равна
произведению L2po, где L — линейный размер среды. Покажите,
что в случае медного шара радиусом 1 метр, для которого ц =
= 1,26-10~6 Г/м и о = 5,8-107 См/м, это время меньше 100 се-
кунд.
(Если бы ядро Земли состояло из расплавленного железа, то
это поле свободно затухало бы примерно в течение 103 лет.
В случае Солнца для уменьшения локального поля потребова-
лось бы 1010 лет. При очень большой величине о локальное поле
будет изменяться только за счет его переноса при движении
среды. О таком поле говорят, что оно «заморожено» в среде.
При движении силовые линии растягиваются и создают возвра-
щающую силу, противодействующую движению среды.)
200
Глава 6
Задача 6.15
В момент времени /0 в точке Хо, находящейся в центре боль-
шой пластинки, материал которой характеризуется коэффициен-
том теплопроводности k, удельной теплоемкостью С и плотно-
стью р, температура Т бесконечно высока. Скорость диффузии
тепла в среде определяется уравнением
dT k д2Т __ . д2Т
dt рС дх2 ~адх2*
Подставив в это дифференциальное уравнение выражение
f (a, =
где а = х —х0 и r = 1/2Vпокажите, что оно описывает по-
ток тепла вдоль оси х.
Решение представляет собой гауссову функцию, график ко-
торой для переменных х и t данной задачи приведен на фиг. 125.
В точке (х0, /о) она имеет вид дельта-функции Дирака. С тече-
нием времени, по мере того как тепло распространяется по
среде, высота гауссовых кривых уменьшается, а их ширина уве-
личивается. Однако полное количество тепла, т. е. площадь гаус-
совой кривой, остается постоянным.
Сводка основных результатов
Линия передачи без потерь
Погонная индуктивность = Lo или р,.
Погонная емкость = Со или е.
Волновое уравнение
(для напряжения)>
д21 1 дЧ , „ ,
(длятока)>
фазовая скорость
9 1 1
V = г "Н"’ ИЛИ —.
LqCq |-18
Волновое сопротивление
Zo = ^-= а/или а/— (для волны, бегущей вправо).
(— Zo — Для волны, бегущей влево).
Волны в линиях передачи
201
Линия передачи с потерями
Сопротивление 7?0 на единицу длины
Шунтирующая проводимость Go на единицу длины.
Волновое уравнение принимает вид
—у2И^=0 (такое же уравнение справедливо
для тока /),
где у — а Ч- ik — константа распространения, а — коэффициент
затухания, k — волновое число.
Решение волнового уравнения
у — Ae~axgi (^t-kx) Bevxgi (tot+kx)'
Волновое сопротивление
Zo = -т- = А/ (для волны, бегущей вправо)
1 у Ctq *4“ ZOCq
(—Zo —для волны, бегущей влево).
Затухание волн
Поглощение энергии в среде описывается диффузионным урав-
нением
д2ф 1 дф
дх2 d dt 9
которое добавляется к волновому уравнению для учета зату-
хания:
д2ф 1 д2ф . 1 дф
дх2 с2 dt2 ‘ d dt
Это уравнение имеет экспоненциально-убывающие решения
= (рме~ахе1^~кх\
Глава 7
Электромагнитные волны
В предыдущих главах было показано, что скорость распро-
странения волн в среде определяется инерцией среды и ее упру-
гостью. Эти два свойства характеризуют способность среды за-
пасать энергию волн. В отсутствие диссипации энергии ими оп-
ределяется также волновое сопротивление среды. Кроме того,
в отсутствие потерь мы всегда получаем волновое уравнение, ре-
шение которого имеет вид синуса или косинуса. Но при добав-
лении члена, описывающего сопротивление, или потери, это
уравнение изменяется и дает осциллирующие решения, которые
затухают со временем или с расстоянием.
Такими же физическими свойствами среды определяется и
процесс распространения электромагнитных волн в ней. Магнит-
ная инерция среды, как и в случае линии передачи, связана
с индуктивными свойствами среды и характеризуется магнитной
проницаемостью р, имеющей размерность генри на метр. Упру-
гость же соответствует электрической емкости среды, которая
характеризуется диэлектрической проницаемостью е, имеющей
размерность фарада на метр. Накопление магнитной энергии
обусловлено магнитной проницаемостью р, а накопление потен-
циальной энергии, или энергии электрического поля, обуслов-
лено диэлектрической проницаемостью е.
Если материал представляет собой диэлектрик, то все опре-
деляется только величинами р, и е; поэтому чисто волновое
уравнение будет справедливо как для вектора магнитного
поля Н, так и для вектора электрического поля Е. Если же
среда представляет собой проводник и характеризуется не
только величинами р и 8, а и удельной проводимостью о (вели-
чиной, обратной удельному сопротивлению), имеющей размер-
ность сименс на метр, то будет происходить поглощение и энер-
гия волны будет диссипироваться.
В данной главе мы сначала рассмотрим распространение
электромагнитных волн в среде, характеризуемой только вели-
чинами 8 и р, а затем исследуем общий случай, когда среда
описывается величинами 8t р и о.
Электромагнитные волны
203
Уравнения Максвелла
Электромагнитные волны возникают всегда, когда изменяется
скорость движения электрического заряда. Электроны, перехо-
дящие в атоме с более высокого на более низкий энергетический
уровень, излучают волну с определенной частотой и длиной
волны. Очень горячий ионизованный газ, состоящий из заряжен-
ных частиц, излучает волны, имеющие непрерывный спектр ча-
стот, поскольку траектории отдельных частиц искривляются
при взаимных столкновениях. Такое излучение называется тор-
мозным. Излучение электромагнитных волн антенной обуслов-
лено колебательным движением зарядов, которые создают пере-
менный ток в антенне.
Частота
в герцах о
ю8
10’° 1012 10й
Частота
в герцах
1016 1018 10го 10гг 10гз
J---1---1---1--1---1___I__L...i
Радиочастоты
Инфракрасные
СВЧ- волны
<------
-•---Гамма -лучи —
Рентгеновские луча
Ультрафиолетовые
д_!Н
1 10-’ иг3 ю~6
Ю~9 ' 1О~№ ' IQ-™
I
в метрах
Фиг. 93. Длины волн и частоты в спектре электромагнитных волн.
На фиг. 93 приведен спектр электромагнитных волн. У всех
этих волн одинаковые физические свойства.
Весьма интересно, что вся теория электромагнитного поля
может быть сведена к четырем векторным соотношениям, обра-
зующим систему уравнений Максвелла. При подробном иссле-
довании этих уравнений мы увидим, что два из них являются
стационарными, т. е. не зависящими от времени, а два других —
зависящими от времени.
Чтобы вывести отдельные волновые уравнения для векторов
электрического Е и магнитного Н полей, достаточно двух урав-
нений, зависящих от времени. Стационарные же уравнения уста-
навливают поперечный характер волн.
Первое зависящее от времени уравнение связывает измене-
ние во времени магнитной индукции pH = В с пространствен-
ным изменением поля Е, т. е.
0 / U\ дЕ
связывается, скажем, с
Как мы увидим, это не что иное, как форма записи закона Ленца
или Фарадея.
Согласно второму зависящему от времени уравнению, изме-
нением во времени величины еЕ определяется пространственное
изменение поля Н, т. е.
д , ЗН
-^-(еЕ) связывается, скажем, с
Мы снова увидим, что это уравнение в действительности пред-
ставляет собой математическое выражение закона Ампера.
Из этих уравнений следует, что изменения поля Е во вре-
мени и пространстве влияют на пространственные и временные
изменения поля Н, и наоборот. Поля Е и Н нельзя рассматри-
вать как изолированные величины, поскольку они зависят друг
от друга.
Произведение еЕ имеет следующую размерность:
фарада вольт Заряд
метр метр Площадь
Эта величина, имеющая размерность заряда на единицу пло-
щади, называется электрической индукцией и обозначается че-
рез D.
Индукция возникает тогда, когда внешнее электрическое
поле поляризует атомы и молекулы, образующие диэлектрик, и
через любую плоскость, проведенную в диэлектрике перпенди-
кулярно направлению внешнего поля, перемещаются заряды.
Если внешнее электрическое поле изменяется во времени, то
размерность величины
0D д , рч _______Заряд____
dt dt ' Время X Площадь
такая же, как размерность тока, приходящегося на единицу пло-
щади. Этот ток называется током смещения. Его довольно легко
представить себе в случае диэлектрика, где имеются заряды, ко-
торые могут двигаться, но отнюдь не просто вообразить себе
ток смещения в свободном пространстве, где нет никакого ве-
щества.
Посмотрим, что происходит в электрической цепи, изобра-
женной на фиг. 94, когда при замыкании переключателя бата-
рея начинает заряжать конденсатор С до потенциала V. Пока
заряжается конденсатор, по соединительным проводам будет
проходить ток /, подчиняющийся закону Ома (У = IR). Стрелка
компаса или другой детектор магнитного поля, помещенный
около проводов, покажет наличие магнитного поля, связанного
с током. Но предположим, что детектор магнитного поля (экра-
нированный от всех посторонних воздействий) помещен между
обкладками конденсатора, где омический ток, или ток проводи-
мости, отсутствует. Обнаружит ли детектор магнитное поле? От-
вет: да, обнаружит. Все эффекты магнитного поля, связанные
с током, существуют в этой области, пока конденсатор заря-
Электромагнитные волны
205
жается, т. е. пока разность потенциалов и электрическое поле
между обкладками конденсатора изменяются во времени.
Главный вклад Максвелла в теорию электромагнитного поля
заключался именно в доказательстве того, что переменное во
времени электрическое поле создает в свободном пространстве
ток смещения. Точно такой же результат следует из рассмотре-
ния сохранения заряда. Поток заряда, входящий в малый объем
пространства, должен равняться потоку заряда, выходящему из
Фиг. 94. Цепь, в которой при за-
мыкании переключателя конден-
сатор заряжается за счет тока
проводимости.
В процессе зарядки величина ЕЕ в объеме
конденсатора изменяется и возникает
ток смещения, плотность которого равна
е dE/dt. Ток смещения связан с магнит-
ным полем, существующим между об-
кладками конденсатора.
этого объема. Если выделенный объем включает в себя верхнюю
пластину конденсатора, то омический ток, идущий по проводам,
создает поток заряда, направленный внутрь объема, а ток сме-
щения соответствует потоку заряда, выходящему из объема.
Таким образом, в дальнейшем будет необходимо учитывать
два вида тока:
1) хорошо известный ток проводимости, подчиняющийся за-
кону Ома V == //?;
2) ток смещения с плотностью dD/dt.
В среде с конечными магнитной проницаемостью ц и диэлек*
трической проницаемостью е, но с удельной проводимостью
о == 0 ток смещения будет единственным током. В этом случае
Е и Н будут определяться чисто волновым уравнением и не бу-
дет потерь энергии или затухания волн.
При о #= 0 возможен ток проводимости, который будет при-
водить к потерям энергии. К волновому уравнению добавляется
диффузионный член, и амплитуда волны будет экспоненциально
уменьшаться с расстоянием. Мы увидим, что относительная ве-
личина этих двух токов зависит от частоты, а от отношения их
амплитуд зависит, ведет ли себя среда как проводник или как
диэлектрик.
Электромагнитные волны в среде, где &=/= 0, но о = 0
Мы будем рассматривать плоские волны. В качестве плоско-
сти, где свойства волны являются постоянными, мы выберем
плоскость ху. Эти свойства не будут зависеть от х и у, поэтому
все производные д/дх и д/ду обратятся в нуль.
206
Глава 7
Первое зависящее от времени уравнение Максвелла записы-
вается в векторной форме следующим образом:
1 « _г? к у « _ В____ дН
rot Е — V X Е — р .
Это векторное уравнение соответствует трем уравнениям для
компонент полей:
_ дНх дЕг дЕу
dt ду дх *
дНи дЕх дЕ2
= <7Л>
dHz _ дЕу дЕх
dt дх ду '
Здесь индексы указывают направления компонент.
Размерность этих уравнений может быть записана в виде
рЯ = £
Время Длина
Умножая последнее равенство с обеих сторон на квадрат длины,
получаем
— Вр£я X Площадь = Е X Длина,
т. е.
Полный магнитный поток Т1
----------------------- Напряжение.
Размерность этого соотношения совпадает с размерностью урав-
нения, выражающего закон Ленца или Фарадея.
Второе зависящее от времени уравнение Максвелла записы-
вается в векторной форме следующим образом:
rotH=VXH = f- = t>.
Это векторное уравнение соответствует трем уравнениям для
компонент поля:
дЕх _ дН2 дНу
е dt ду dz 1
дЕу дНх дН2
<7-2)
дЕг дНу дНх
8 dt дх ду '
Электромагнитные волны
207
Размерность уравнений (7.2) может быть записана в виде
Ток / н
Площадь Длина
Умножая это соотношение с обеих сторон на длину, получаем
уравнение
Ток __ I _____н
Длина Длина ’
размерность которого совпадает с размерностью уравнения, вы-
ражающего закон Ампера. (Согласно закону Ампера, круговое
) магнитное поле, создаваемое током I на расстоянии г от прямо-
линейного провода, по которому он протекает, таково: Я =
= //2лг.)
Первое стационарное уравнение Максвелла можно записать
в виде *)
) / дЕх дЕи дЕх \
divD»VD-=»(^ + -^+^-) = P, (7.3)
где р — плотность зарядов. Из этого уравнения следует, что из-
менение индукции на малом элементе объема dx dy dz с плот-
ностью зарядов р зависит от величины р. При р = 0 уравне-
ние (7.3) принимает вид
) (дЕх. , дЕу дЕг\
е I ---—;----h -5— I = 0. (7.3а)
\ дх ‘ ду 1 dz ) 4 * 7
Следовательно, если электрическую индукцию D = пред-
ставить графически с помощью линий потока индукции, которые
। должны начинаться и заканчиваться на электрических зарядах,
то число линий потока, входящих в элемент объема dxdydz,
равно числу линий потока, выходящих из этого элемента объема.
Второе стационарное уравнение записывается следующим
образом:
(дНх дНу дНг\
divB=V.B = 1.(-^ + -^+— ) = 0. (7.4)
I Согласно этому уравнению, число линий магнитной индукции,
входящих в объем dx dy dz и выходящих из него, тоже должно
22 быть одинаковым. Данный результат есть физическое следствие
того, что в природе нет изолированных магнитных полюсов, т. е.
отдельного северного или южного полюса.
) В то время как плотность заряда р в уравнении (7.3) может
быть положительной (т. е. являться источником линий электри-
ческой индукции) или отрицательной (т. е. являться стоком ли-
4) Здесь предполагается, что среда однородная и величины е и р не за-
висят от координат. — Прим, перев.
208
Глава 7
ний потока смещения), отдельные источники или стоки линий
магнитной индукции не могут существовать изолированно:
каждому источнику всегда соответствует сток равной силы.
Волновое уравнение для электромагнитных волн
Поскольку для выбранных нами плоских волн все производ-
ные по х и у равны нулю, из уравнений (7.1) и (7.4) следует,
что
(7.1а)
И dt и> дг и-
Таким образом, величина Hz постоянна в пространстве и вре-
мени. Мы рассматриваем только осциллирующее поле Н, по
этому постоянное поле Н2 не может влиять на волновое движе-
ние. Следовательно, можно положить Hz = 0. Аналогичный ана-
лиз уравнений (7.2) и (7.3а) приводит к равенству Ez = 0.
Постоянство значений Hz и Ez означает, что колебания или
изменения Н и Е происходят в направлениях, перпендикулярных
оси г. Как мы увидим, отсюда следует вывод о том, что элек-
тромагнитные волны являются поперечными волнами.
Для большей простоты мы будем рассматривать только те
плоские волны, которые являются плоскополяризованными. Мы
можем выбрать направление колебаний электрического поля
вдоль оси х или у. Рассмотрим только поле Ех, положив Еу = 0.
В этом случае из уравнений (7.1) и (7.2) получаем
дНу _ дЕх
dt ~ дг 9
дЕх _ дНу
8 dt дг *
Учитывая соотношение
fd2 = д2
дг dt dtdz 9
а также производные уравнения (7.1а) по t и уравнения (7.2а)
по z, находим волновое уравнение для Ну:
д2Ну _ д2Ну
dz2 —|Ле <9/2 •
Аналогично, дифференцируя уравнение (7.2а) по t, а уравне-
ние (7.1а) по z, получаем волновое уравнение для Ех:
d2Ex ~ д2Ех
dz2 “I18 dt2 '
Таким образом, оба поля Ех и Ну подчиняются одному и
тому же уравнению, распространяясь вдоль оси z с одинаковой
(7.2а)
£
Электромагнитный волны
209
скоростью, определяемой соотношением v2 = 1/ре. В случае сво-
бодного пространства эта скорость равна скорости света, т. е.
с2 — 1/poSo, где ро и ео — магнитная и диэлектрическая прони-
цаемости свободного пространства.
В случае плоских волн решения этих волновых уравнений
могут быть записаны следующим образом:
Ех = £0 sin -у- (vt — 2), Ну = Hq sin -у- (vt — 2),
где Eq и Hq — амплитуды полей Е и Н. Отметим, что существо-
вание решений в виде синуса (или косинуса) означает отсут-
ствие поглощения: существуют только токи смещения, а токи
проводимости, или омические токи, отсутствуют.
Фиг. 95. Плоскополяризованная электромагнитная волна.
Вектор электрического поля Ех и вектор магнитного поля такой волны взаимно пер-
пендикулярны и изменяются по закону синуса. В непроводящей среде они находятся в фазе.
Векторное произведение EX Н называется вектором Пойнтинга. Оно дает направление и
плотность потока энергии.
Мы можем изобразить электромагнитную волну (Ех, Ну),
распространяющуюся вдоль оси z, так, как это сделано на
фиг. 95. Напомним, что, поскольку поля Ё2 и Нг постоянны (или
равны нулю), электромагнитная волна является поперечной
волной.
Направление распространения волн всегда будет совпадать
с направлением вектора Е X Н. В данном случае вектор Е X Н
имеет величину ЕХНУ и направлен вдоль оси г. Это векторное
произведение имеет размерность
Напряжение X Ток _ Электрическая мощность
Длина X Длина Площадь ’
г. е. измеряется в ваттах на квадратный метр. Векторное про-
изведение Е X Н называется вектором Пойнтинга, им опреде-
ляется плотность потока энергии.
210
Глава 7
Пример на использование вектора Пойнтинга
Для примера рассмотрим поток электромагнитной энергии
и вектор Пойнтинга в простой схеме, представленной на фиг. 96,
где конденсатор заряжается до напряжения V. Конденсатор со-
стоит из двух параллельных пластин площадью Л, расстояние
между которыми равно d. Промежуток между пластинами за-
полнен диэлектриком с диэлектрической проницаемостью е.
Вектор Е*Н направлен
к оси конденсатора
Фиг. 96. Плоский конденсатор.
В процессе зарядки вектор Пойнтинга Е X Н
направлен внутрь объема конденсатора
В конце зарядки энергия конденсатора
является полностью электростатической и
равняется произведению объема конденса-
тора Ad на плотность электростатической
энергии */г SE12*
Во время всей зарядки через конденсатор проходит ток. Ана-
лиз векторов электрического и магнитного полей показывает,
что вектор Пойнтинга всегда направлен внутрь объема Ad, за-
нятого диэлектриком.
Емкость конденсатора С = &A/d, при этом полная энергия
конденсатора, заряженного до напряжения V, равна V2CV2 джоу-
лей и запасена в виде электростатической энергии. Но V = Ed,
где Е — конечное значение электрического поля, поэтому полная
энергия имеет вид
ICV = ± (-^-)W = у (е£2) Ad,
где Ad — объем конденсатора.
Таким образом, в конденсаторе запасена электростатическая
энергия с плотностью 1/2е£‘2, и это обусловлено потоком элек-
тромагнитной энергии в процессе зарядки.
Волновое сопротивление диэлектрика
для электромагнитных волн
Если мы подставим решения
Ех = Eq sin -у- (vt — z), Ну = Hq sin (vt — z)
Электромагнитные волны
211
б уравнение (7.1а), то получим соотношение
— iivHy = — Ех.
Поскольку V2 — 1/р,е, последнее соотношение преобразуется
к виду
у/цНу=^&Ех,
т. е.
Ех___ . /__
бо-
данное отношение имеет размерность сопротивления.
Следовательно, величина есть волновое сопротивление
среды для электромагнитных волн (ср. эту величину с эквива-
лентным результатом V//= VW^o = Zo для линии передачи,
полученным в гл. 6). В случае свободного пространства
^-= д/-^ = 376,7 Ом,
НУ V 8о
поэтому волновое сопротивление свободного пространства для
распространяющихся в нем электромагнитных волн равно
376,7 Ом.
Из соотношения
следует, что
и, следовательно,
*
гЕ\ = ^Н\.
Обе эти величины имеют размерность плотности энергии. На-
пример, размерность величины еЕ* такова:
фарада (вольт)2 джоуль
метр (метр)2 (метр)3 *
как мы это видели в примере, в котором речь шла о векторе
Пойнтинга. Таким образом, в случае диэлектрика плотность
электрической энергии 1/гвЕх в электромагнитной волне равна
плотности магнитной энергии а плотность полной энергии
равна сумме + (Задачи 7.1—7.10.)
212
Глава 7
Электромагнитные волны в среде, где р=^0, &
С физической точки зрения электрическое поле электромаг-
нитной волны играет значительно более важную роль, чем маг-
нитное поле. Например, большинство оптических эффектов свя-
зано с электрическим полем. Поэтому мы сосредоточимся на
рассмотрении поведения электрического поля.
Для среды с удельной проводимостью о == О мы получили
волновое уравнение
д2Ех д2Е
ЪГ=Р-ЙГ.
Правая часть, переписанная в виде
и‘д7[д7’<е£*)]’
показывает, что мы рассматриваем величину
д Г Ток смещения 1
L Площадь J ’
При о #= 0 мы должны также учесть токи проводимости,
которые определяются законом Ома I = V/R. Введем плотность
тока, т. е. ток через единицу площади, как
J __- 1 \/ _ gjtf
Площадь R X Длина Длина
Здесь о = //(/? X Длина) — удельная проводимость, а Е — элек-
трическое поле. Уравнение / == оЕ представляет собой другую
форму записи закона Ома.
При наличии и тока смещения, и тока проводимости второе
зависящее от времени уравнение Максвелла записывается в век-
торной форме следующим образом:
VXH=| + J, (7.5)
причем каждый член в правой части этого уравнения имеет раз-
мерность тока на единицу площади. Изменение волнового урав-
нения, связанное с наличием тока проводимости, заключается
в добавлении второго члена такого же вида
д / Ток \
dt \ Площадь )
в его правую часть, а именно члена
д J _ д ( «\
Электромагнитные волны
213
Таким образом, окончательное уравнение принимает вид
д2Ех d2Ex . дЕх
dz2 “ dt2 + dt ‘
Это уравнение можно вывести формально, если выписать
проекцию уравнения (7.5) на ось х:
dEv дНу ~ ч
е + <зЕх = - (7.5а
dt 1 х dz v 7
вместе с уравнением (7.1а)
dHy _ dEx
dt dz
и затем продифференцировать уравнение (7.5а) по а урав-
нение (7.1а)—-по z. Мы сразу видим, что наличие диссипатив-
ного члена, или сопротивления, благодаря которому возможны
токи проводимости, приводит к добавлению в чисто волновое
уравнение диффузионного члена типа рассмотренного в послед-
ней главе. Произведение (рл)-1 называется магнитным коэффи-
циентом диффузии и имеет размерность L-2?-1, как и должно
быть для коэффициента диффузии.
Теперь найдем решение Ех нового уравнения, предполагая,
что его временная зависимость является гармонической. Под-
ставляя Ех = Е^е^ в уравнение (7.6), получаем
— (i сорю — со2ц8) Ех = 0.
Если последнее уравнение переписать как
_у2£ 0
dz2 1 х
где у2 = гсоцо — со2це, то оно примет вид уравнения (6.5).
В гл. 6 мы видели, что это уравнение имеет решение, содер-
жащее множитель e~^z или Но мы рассмотрим лишь волну
Ех, бегущую в положительном направлении оси г, написав
Ех = Еое^е~ч*.
Чтобы представить величину у в удобном виде, мы должны
вернуться назад к уравнению (7.6) и рассмотреть относительные
значения двух членов, стоящих в правой части этого уравнения.
Если среда представляет собой диэлектрик, то возможны
только токи смещения. Если же среда — проводник, то будут
преобладать омические токи, описываемые вторым членом в пра-
вой части уравнения. Отношение плотности тока проводимости
к плотности тока смещения, равное отношению двух членов
в правой части уравнения, имеет вид
J ___ (уЕх ________ (уЕх о
OD/dt d/dt (eEel(dt) i($eEx iaz
214
Глава 7
Мы сразу видим, что благодаря множителю i ток смещения опе-
режает по фазе на 90° омический ток, или ток проводимости.
В случае проводника, где | J| |dD/d/|, мы имеем о>(оеи
выражение у2 = /о (соц)—сое (соц) с высокой степенью точности
можно переписать в виде
у2 ~ /скор.
Далее, л/i =(1+/)/д/2; поэтому
V = (!+<) ('ТГ
и поле
— £,ое*<й*е~У-г' — [(й/ - (ф|1а/2)‘/2г]
соответствует волне, распространяющейся в положительном на-
правлении оси z. Амплитуда волны уменьшается по закону
e-№l№zt Отметим, что произведение соцо имеет размер-
ность L“2. (Задача 7.11.)
Глубина скин-слоя
В проводнике электрическое поле уменьшается до значе-
ния Ех = на расстоянии
6=(_S_Y‘,
к <оца /
которое называется глубиной скин-слоя (фиг. 97). Для меди
ц « цо и о « 5,8-106 7 сименс/метр, а потому на частоте 60 Гц
Фиг. 97. Электромагнитная волна, падающая из диэлектрика на плоскую по-
верхность проводника.
Электрическое поле Ео уменьшается до значения Foe-1 на расстоянии (2/(оц,о)-/2» которое
называется глубиной скин-слоя. Этим объясняется возможность экранирования провод-
ником от воздействия электрического поля. Величина Кс—длина волны в проводнике.
6 ~ 9 мм, на частоте 1 Мгц б ~ 6,6-10“5 м и на частоте
30 000 Мгц (соответствующей сантиметровым волнам, приме-
няющимся в радиолокации) б 3,8-10~7м.
Следовательно, в проводнике высокочастотные электромаг-
нитные волны распространяются лишь на очень малое расстоя-
Электромагнитные волны
215
ние. Электрическое поле отлично от нуля лишь в очень малой
области вблизи поверхности. Существенные токи будут только
около поверхности, а поэтому сопротивление проводника растет
с частотой. Мы видим также, что проводник может «экраниро-
вать» некоторую область пространства от воздействия электро-
магнитных волн.
Скорость электромагнитных волн в проводнике
и аномальная дисперсия
Фазовая скорость волны v определяется выражением
(О (О s /’2сй\1/2 .
V —--=---------П- = (00 = I--I = vKc,
k (соца/2)/г \ ца /
где Кс — длина волны излучения в проводнике. Когда величина 6
мала, скорость v также мала и показатель преломления c/v
проводника может быть очень большим. В дальнейшем мы уви-
дим, что этим можно объяснить высокую отражательную спо-
собность хороших проводников на оптических частотах.
Скорость v = об = 2яу6, поэтому длина волны Кс в провод-
нике равна 2лб и может быть очень малой величиной. По-
скольку v зависит от частоты, электрический проводник является
диспергирующей средой для электромагнитных волн. Более того,
как показывает таблица, приведенная ниже, производная dv/dK
отрицательна, поэтому проводник обладает аномальной диспер-
сией и групповая скорость больше волновой скорости.
Поскольку
С2 Ц8
у Нобо г
(где индексом г обозначены безразмерные относительные вели-
чины == ц/|л0, er = в/ео), при Цг « 1
еги2 = с2,
д&г 2_ ди_
дК ~~ v*r дГ
Этим подтверждается то, что было сказано в связи с вопросом
о групповой скорости, а именно что в случае положительной
производной д&г/дК среда обладает аномальной дисперсией.
Мы видим также, что
— = ег = п2,
где п — показатель преломления. Поэтому кривая зависимости
реактивной части импеданса осциллятора от частоты вблизи
резонанса смещения, представленная на фиг. 34, дает также за-
висимость п от частоты. На низких частотах эта относительная
216
Глава 7
диэлектрическая проницаемость слабо зависит от частоты. Но в области более высоких частот нужно помнить, что диэлектри- ческая проницаемость зависит от частоты.
Частота, Гц Л в свободном пространстве, м б, м ^проводи м/с Показатель преломления (с'/ипроводн)
60 5- 10s 9.10~3 3,2 9,5- 107
106 300 6,6- ю~5 4,1 • 102 7,3- 105
з. Ю10 10“2 3,9- 10~7 7,1 • 104 4,2- 103
Длина волны \с — 2лб очень мала, а поэтому, когда элек-
тромагнитная волна падает на проводящую поверхность, элек-
трическое поле будет убывать до значения, равного приблизи-
тельно 1 % значения поля на поверхности, на расстоянии 3/ДС =
= 4,6 S. Следовательно, электромагнитная волна практически
не проникает в проводник на глубину, большую, чем одна длина
волны. (Задачи 7.12—7.14.)
Когда среда проводник и когда она диэлектрик?
Мы уже видели, что для любой среды, характеризующейся
величинами р, е и о, отношение плотности тока проводимости
к плотности тока смещения
I J [ О'
I дЪ/dt I (08
безразмерно. Следовательно, мы можем представить среду про-
стой схемой, изображенной на фиг. 98, где полный ток распре-
деляется между двумя ветвями цепи. Одна из ветвей имеет ем-
костный характер и описывается реактансом 1/сое (Ом/метр),
а другая содержит сопротивление и описывается удельной про-
водимостью о (сименс/метр).
Если проводимость о велика, то сопротивление мало и боль-
шая часть тока проходит по о-ветви в виде тока проводимости.
Если же емкостный реактанс так мал, что основная часть
тока проходит по емкостной ветви в виде тока смещения, то
среда ведет себя как диэлектрик.
Весьма условно можно сказать, что при
I—----1=8 — > 100
| dD/dt I «е
преобладает ток проводимости и среда — проводник, а при
I = ^1 > юо
| J I (У
преобладает ток смещения и среда —диэлектрик.
Электромагнитные волны
217
Промежуточные значения данного отношения соответствуют
квазипроводникам. В эту категорию попадают некоторые полу-
проводники.
Правда, отношение а/сое зависит от частоты, а поэтому ве-
щество, являющееся на одной частоте проводником, может на
Фиг. 98. Простая электрическая схема, показывающая, как проводящая среда
реагирует на электромагнитную волну.
Полная плотность тока J делится между параллельно соединенными элементами цепи
в отношении о/(08 (это отношение плотности тока проводимости к плотности тока смеще-
ния). Большой удельной электропроводности о (малому удельному сопротивлению) соот-
ветствует большой ток проводимости, а малому емкостному реактансу 1/(08 —большой ток
смещения. В случае проводника б/сое > 100, в случае диэлектрика wea 100, но это отно-
шение зависит от частоты. Для рентгеновских лучей, т. е. на частоте (о«1020 Гц, медь
является диэлектриком.
другой частоте стать диэлектриком. В случае меди, для кото-
рой о = 5,8-107 сименс/метр и е » ег = 9 -1012 фарада/метр,
о ~ 1018
(08 ~ Частота ’
поэтому вплоть до частоты 1016 герц (частота ультрафиолето-
вого света) мы имеем о/сое > 100 и медь является проводником.
Но на частоте 1020 герц (частота рентгеновских лучей) вели-
чина о/(08 < 100 и медь ведет себя как диэлектрик. Этим объяс-
няется, почему в меди рентгеновские лучи проходят расстояние,
равное многим длинам волн.
Обычно для диэлектрика о ~ 10~15 сименс/метр и е ~
ж Ю“н фарада/метр, так что
(08
а
1О4со.
Следовательно, ток проводимости пренебрежимо мал на всех
частотах.
218
Глава 7
Почему электромагнитные волны
не проникают в проводник?
Чтобы ответить на этот вопрос, достаточно лишь рассмотреть
простую цепь, в которой конденсатор С разряжается через ре-
зистор с сопротивлением R. Уравнение для напряжения имеет
вид
-%- + IR = 0.
Поскольку I = dq/dt, получаем
где ?о — начальный заряд.
Мы видим, что электрическое поле будет существовать ме-
жду пластинами конденсатора только в течение времени t « RC.
Оно исчезнет, как только заряды равномерно распределятся по
цепи. Электрическое поле может существовать только при нали-
чии неоднородного распределения зарядов.
Если мы возьмем пластинку из любого вещества и поместим
заряд q в некоторой точке внутри этой пластинки, то среда бу-
дет вести себя как 7?С-цепь и выражение
q = w
примет вид
<7=^-а//е СтУпж)-
Однородное распределение зарядов будет устанавливаться за
время t ~ е/о, поэтому электрическое поле будет поддержи-
ваться только в течение этого времени. Время е/о называется
временем релаксации среды (RC — постоянная времени элек-
трической цепи). Это максимальное время, в течение которого
может существовать электрическое поле, пока распределение
зарядов не станет однородным.
В веществе любое электрическое поле с частотой v < а/е за-
тухает и устанавливается только высокочастотное поле, для ко-
торого v > о/е.
Волновое сопротивление проводящей среды
для электромагнитных волн
Волновое сопротивление среды без потерь — действительная
величина. Волновое сопротивление линии передачи, о которой
говорилось в гл. 6,
Электромагнитные волны
219
а для электромагнитных волн в диэлектрике
z=4;=V?<Om)'
причем поля Ех и Ну синфазны.
В случае линии передачи мы видели, что при введении ме-
ханизмов потерь в виде последовательного сопротивления 7?0
и шунтирующей проводимости Go импеданс становится ком-
плексной величиной и принимает вид
/?о + ZcoLq
Go -j- /оСо
Спрашивается: каким будет волновое сопротивление для элек-
тромагнитных волн проводящей среды, характеризующейся ве-
личинами |i, 8 и а? Если отношение ExfHy — комплексная вели-
чина, то это означает, что между двумя полями существует раз-
ность фаз.
Мы уже видели, что в проводнике
Ех = Е^е^*,
где у = (1 + I) (соро/2),/2. Теперь предположим, что поле Ну от-
стает от Ех по фазе на ср, и напишем
Отсюда находим импеданс проводника
Согласно уравнению (7.1а),
— уЕх = — корЛ^;
поэтому импеданс
7 — Е* — Z(°H 1 . соц V/2 ,
° Ну у \ а / \ д/2 Z V2- / \ а /
имеет величину ((оц/а),/2 и фазовый угол ср = 45°, т. е. поле Ну
отстает по фазе от Ех на 45°. Мы можем также переписать Zc
в виде
ИЛИ
7 = 1 + 1 — / Но е0 ц сое -т
8о 8 Цо а
220
Глава 1
где величина импеданса
\ZC 1 = 376,6 Ом
На длине волны А, = 0,1м, т. е. на частоте v = 300 МГц,
величина сое/о для меди равна 2,9-10~9 и « er « 1. Отсюда
следует, что на данной частоте Zc = 0,02 Ом. Если о = оо, то
Zc = 0 и электрическое поле Ех обращается в нуль. Следова-
тельно, мы можем сказать, что, когда импеданс Zc мал или ра-
вен нулю, проводник ведет себя по отношению к электрическому
полю как короткозамкнутая цепь. Это приводит к большим то-
кам проводимости и увеличению магнитной энергии.
Из выражения для импеданса диэлектрика
z=nr = '\l^
Ну V 8
следует, что плотности энергии электрического и магнитного
полей одинаковы, т. е. = х1^Ёх- Величина импеданса про-
водника
7 — IJk.l = (^Y/2
Lc ~ I ну I UP
поэтому отношение плотности энергии магнитного поля к плот-
ности энергии электрического поля в электромагнитной волне
таково:
g _ q
Уг^х 8 ©Ц
Мы уже знаем, что для проводника это отношение очень ве-
лико, поскольку оно равно отношению тока проводимости к току
смещения. Следовательно, в проводнике энергия магнитного
поля значительно превышает энергию электрического поля и
увеличивается по мере уменьшения энергии электрического
поля.
Отражение и прохождение электромагнитных волн
на границе раздела сред (нормальное падение)
На фиг. 99 изображена неограниченная плоская поверхность,
разделяющая две среды с импедансами Zi и Z2 (действитель-
ными или комплексными), на которую нормально падает элек-
тромагнитная волна. Составляющие полей показаны на схеме,
где индексы f, г и t обозначают падающую, отраженную и про-
шедшую волны. Отметим, что направление вектора ЕЛ X Нг
Электромагнитные волны
221
должно быть противоположно направлению вектора Е/ X Н/,
чтобы выполнялось условие непрерывности потока энергии, опи-
сываемого вектором Пойнтинга.
Согласно теории электромагнитного поля, граничные условия
заключаются в том, что тангенциальные, т. е. параллельные
Фиг. 99. Отражение и прохождение электромагнитной волны, падающей нор-
мально на плоскую границу раздела сред с волновыми сопротивлениями
и Z2.
Как показывает направление вектора Пойнтинга для отраженной волны (Е X Н)г> при отра-
жении может изменить свою фазу на противоположную по знаку либо Е, либо Н в зави-
симости от относительных величин Z\ и Z2.
границе, составляющие полевых векторов Е и Н непрерывны на
границе раздела сред. Таким образом,
£z + £r = Eb Н, + НГ=НЬ
где
Hl __ у _____ у Ef ____ у
777 Zb нг — Zb //f~”z2-
Используя эти соотношения, легко показать, что
Ег __ /2 - Zi Et _ 2Z2
El Zi + Z2 ’ Ei Zi + Z2 •
Последние формулы согласуются с коэффициентами отражения
и пропускания, которые мы нашли для других волн. Если волна,
распространяющаяся в воздухе, падает нормально на идеаль-
ный проводник с Z2 == 0, то
Г __ Z2 Zj _ 1
Ei — Z2 + Zi “ 1
что соответствует полному отражению, и
Еt __ 2Z2 __ ~
Ei Z2 + Zi
222
Глава 7
Следовательно, хорошие проводники хорошо отражают элек-
тромагнитные волны. Например, световые волны хорошо отра-
жаются от металлических поверхностей (см. сводку результатов
на стр. 382).
Связь между волновым сопротивлением
и показателем преломления
Если электромагнитная волна падает из свободного про-
странства на диэлектрик, то показатель преломления диэлек-
трика п определяется выражением
__ Z(свободного пространства)
Z(диэлектрика)
поскольку ц/цо ~ ~ 1. В том случае, когда описывает про-
водник, a Zi — свободное пространство, показатель преломления
— А = _1_
П Z2 а + /а ’
где Р= д/но/ео и а=д/(°н/2ог, является комплексным.
Комплексный показатель преломления всегда говорит о на-
личии поглощения, поскольку комплексное волновое сопротив-
ление определяется комплексной константой распространения.
Например, здесь Z2 = Zcopt/y, поэтому
ra==A==A/K2±LA/“HZ = (i_Z) A/ZZZT,
Z2 V ео V 2 ' ' V 2g)8o
где VЦо/Н 1 • Следовательно, отношение Er/Ei комплексно
(между падающим и отраженным полями существует разность
фаз) и имеет величину
Ег Z2 — Zj a 4- icl — P 1 — P/cc i
Ei Z2 4" Zj a 4~ ia -j- P 14" P/cc 4-1* ’
где p/a > 1.
Поскольку отношение ErIEi комплексно, энергетический ко-
эффициент отражения R находится путем возведения в квадрат
модулей числителя и знаменателя данного отношения:
\ЕГ\* _ ।z2 — Zi |2 _ (1 — р/<х)24-1 _
к \Ei\* |Z24-ZJ2 (1+Р/а)2+1
= 1 “ 2 + 20/а + (Р/а)2 1 Г (П₽И
Электромагнитные волны
223
Следовательно,
(Задачи 7.15—7.23.)
Задача 7.1
Покажите, что, рассматривая величину В2/2р (плотность маг-
нитной энергии) как давление магнитного поля, можно объяс-
нить взаимное притяжение двух параллельных проводов, по
которым проходят токи в одном направлении, и их взаимное
отталкивание в том случае, когда токи противоположны по на-
правлению. (Нужно взять точку, лежащую посредине между
двумя проводами.) Покажите, что точно так же можно объяс-
нить движение проводника с током во внешнем постоянном маг-
нитном поле.
Задача 7.2
Электрическое поле на расстоянии г от частицы массой ш
и зарядом е определяется по формуле Е = е/4л&ог2. Проинтегри-
ровав плотность электростатической энергии по всему простран-
ству, кроме сферической области радиусом а, в центре которой
находится частица, и приравняв полученную энергию вели-
чине пгс2, покажите, что «классический» радиус электрона равен
а = 2,82- 10~15 м.
Задача 7.3
Количество тепла, выделяющегося в единицу времени в длин-
ном цилиндрическом проводе, по которому проходит ток /, равно
/27?, где R — сопротивление провода. Покажите, что это джоуле-
во тепло можно вычислить как поток энергии в провод из ок-
ружающего пространства, равный произведению вектора Пойн-
тинга на площадь поверхности провода.
Задача 7.4
Покажите, что при увеличении тока в длинном равномерно
намотанном соленоиде с радиусом витков г полный поток энер-
гии в соленоид на длине / (равный вектору Пойнтинга, умно-
женному на площадь поверхности соленоида 2л/7) равен ско-
рости изменения во времени магнитной энергии, запасенной на
этой длине соленоида.
Задача 7.5
Плоскополяризованная электромагнитная волна (£\, Ну), о ко-
торой говорилось в данной главе, распространяется в свободнохМ
224
Глава 7
пространстве. Покажите, что вектор Пойнтинга (поток энергии,
измеряемый в единицах Вт/м2) дается выражением
S = ЕхНу = с (у е0£х + 4 ИоЯ») = сгоЕ2х,
где с—скорость света. Интенсивность такой волны1)
Т = SCp = C&qE = — Сбо^макс*
Покажите, что
S = 1,327 . Ю-^акс? £макс = 27,45§'/! В/м;
^макс = 7,3 • 10-3S/2 А/м.
Задача 7.6
Световой импульс рубинового лазера представляет собой ли-
нейно-поляризованный волновой цуг с постоянной амплитудой.
Его длительность равна 10~4 секунды, и он переносит энергию
0,3 джоуля. Диаметр круглого поперечного сечения пучка со-
ставляет 5-10~3 метра. Используя результат задачи 7.5, вычис-
лите плотность энергии в пучке и покажите, что среднеквадра-
тичное значение электрического поля волны составляет
2,4-105 вольт/метр.
Задача 7.7
На один квадратный метр земной поверхности, освещаемой
Солнцем, при нормальном падении приходится поток энергии,
равный 1,35 киловаттам. Покажите, что амплитуда электриче-
ского поля на поверхности Земли равна 1010 В/м, а соответ-
ствующее магнитное поле волны имеет амплитуду 2,7 А/м (см.
задачу 7.5). Плотность энергии электрического поля ^ъЕ2 имеет
размерность давления. Вычислите радиационное давление сол-
нечного света на Землю.
Задача 7.8
Полная энергия, теряемая Солнцем, равна энергии, полу-
чаемой единичной площадью земной поверхности, умноженной
на площадь поверхности сферы радиусом, равным расстоянию
между Солнцем и Землей (15-107 км). Покажите, что масса,
превращаемая за единицу времени в энергию излучения и теряе-
мая Солнцем, составляет 4,2-109 кг (см. задачу 7.5).
Задача 7.9
Средняя мощность излучения радиостанции, распределен-
ного равномерно по полусфере с центром в точке расположения
1) Здесь чертой сверху обозначено усреднение по времени. — Прим, перев.
Электромагнитные волны
225
станции, составляет L05 Вт. Найдите величину вектора Пойн-
тинга, а также амплитуду электрического и магнитного полей
плоской электромагнитной волны в точке, находящейся на рас-
стоянии 10 км от станции (см. задачу 7.5).
Задача 7.10
Плоскополяризованная электромагнитная волна распростра-
няется вдоль линии передачи, состоящей из двух параллельных
идеально проводящих полос, промежуток между которыми за-
полнен средой с магнитной проницаемостью ц и диэлектриче-
ской проницаемостью в. На фиг. 100 изображен отрезок этой ли-
нии передачи объемом 1 м3 и показаны соответствующие векторы
поля. Электрическое поле Ех индуцирует на проводниках равные
по величине, но противоположные по знаку поверхностные за-
ряды с плотностью ъЕх кулон на квадратный метр. Движению
этих поверхностных зарядов в направлении распространения
волны соответствует поверхностный ток (как и в случае фиг. 85).
Покажите, что этот ток равен Ну, а волновое сопротивление ли-
нии передачи имеет вид
у
8 Зак. 1186
226
Глава 7
Задача 7.11
Покажите, что по размерности уравнение (7.6) соответствует
уравнению
V — L —
V ~L dtf
где V — напряжение, L — индуктивность, а I — ток.
Задача 7.12
Покажите, что при распространении пакета электромагнит-
ных волн с почти равными частотами в проводящей среде груп-
повая скорость в 2 раза больше фазовой.
Задача 7.13
Удельная проводимость среды о — КН сименс/метр, отно-
сительная диэлектрическая проницаемость sr — 50 (не зависит
от частоты) и относительная магнитная проницаемость = 1.
Определите, является среда проводником или диэлектриком на
частоте:
а) 50 кГц, б) 104 МГц [8о = (36л • 109)-1 Ф/м; ц0 =
= 4л-10“7 Г/м.]
Ответ: а) сг/сое = 720 (проводник); б) а/сое = 3,6-10~3 (ди-
электрик).
Задача 7.14
Электрические и магнитные свойства воды в Атлантическом
океане характеризуются следующими параметрами: 8г = 81,
Цг = 1, о = 4,3 сименс/метр. Покажите, что вода океана ведет
себя как проводник до частоты порядка 10 МГц. Какова наи-
большая длина волны электромагнитных волн, которые могут
распространяться под водой?
Задача 7.15
Покажите, что при нормальном падении плоской электромаг-
нитной волны из воздуха на плоскую проводящую поверхность
прошедшее магнитное поле равно Ht ~ 2Hi и в воздухе возни-
кает стоячая волна магнитного поля с очень большим коэффи-
циентом стоячей волны. Покажите, что если волна, распростра-
няющаяся в проводнике, нормально падает на плоскую границу
раздела проводник — воздух, то при отражении Et = 2Е/. По-
кажите, что первый случай аналогичен короткозамкнутой, а вто-
рой — разомкнутой линии передачи.
Электромагнитные волны
227
Задача 7.16
Покажите, что в проводнике среднее значение вектора Пойн-
тинга определяется выражением
Scp = У Е0Н0 cos 45° =
= -j Но • (действительная часть Zc) Вт/м2,
где Eq и Hq — амплитуды полей. Плоская волна, имеющая ча-
стоту 103 МГц и поле Eq = 1 В/м, распространяется в воздухе
и падает по нормали на большой медный лист. Сначала пока-
жите, что действительная часть импеданса проводника равна
8,2-10~3Ом. Затем (учитывая удвоение Hq в проводнике, см. за-
дачу 7.15) покажите, что средняя мощность, поглощаемая на
одном квадратном метре медной поверхности, составляет
1,6-10~7 Вт.
Задача 7.17
Для хорошего проводника = 1. Покажите, что при
отражении электромагнитной волны, падающей по нормали на
такую проводящую поверхность, коэффициент потерь энергии
(1 —/?, где R — коэффициент отражения) точно равен д/Зсое/а.
Таким образом, отношение плотности тока смещения к плотно-
сти тока проводимости служит прямой мерой отражательной
способности поверхности.
Задача 7.18
Воспользуйтесь результатами вычисления вектора Пойнтинга
в проводнике в задаче 7.16 и покажите, что отношение этой ве-
личины к вектору Пойнтинга в воздухе точно равно д/всое/сг,
как и должно быть, в силу решения задачи 7.17.
Задача 7.19
Электрическое и магнитное поля в проводнике электромагнит-
ной волны, о которой говорится в задачах 7.17 и 7.18, имеют
вид
Ех = Ае~к*е^-кг},
н = А (— V е~кге'
У \ (0J1 / ’
где k = ((фо/2)1/2. Покажите, что среднее значение вектора
Пойнтинга в проводнике таково:
5ср = 4 А2 (УАе-2^ Вт/м2.
ср 2 \ 2о|1 / '
Это энергия, поглощаемая в единицу времени единицей поверх-
ности проводника. Но мы знаем, что волна проникает в провод-
8*
228
Глава 7
ник только на расстояние порядка глубины скин-слоя и, значит,
эта энергия быстро превращается в другие формы энергии. Ско-
рость изменения потока энергии с расстоянием равна dS^/dz,
т. е. она равна энергии, преобразующейся в другие формы энер-
гии за единицу времени в единичном объеме. Покажите, что эта
величина равна удельной проводимости о, умноженной на
квадрат среднего значения электрического поля Е, т. е. джоу-
леву теплу, выделяемому токами в поверхностном слое провод-
ника, толщина которого по порядку величины равна глубине
скин-слоя.
Задача 7.20
Покажите, что при нормальном падении света, распростра-
няющегося в свободном пространстве, на поверхность диэлек-
трика с показателем преломления п относительные интенсив-
ности отраженного и прошедшего света определяются коэффи-
циентами R и Т:
р ___ Г А У — Г 1 ~” У т - Г А У -
* “ k Ei ) ~ к 1 + п ) ’ 1 \Ei) ~ (1 + п)2 *
(Отметим, что R + Т = 1.)
Задача 7.21
Допустим, что среда в задаче 7.20 — это стекло (п = 1,5).
Покажите, что R = 4% и Т = 96% и что если электромагнит-
ная волна с частотой 100 МГц нормально падает на воду
(ег = 81), то R = 65% и Т = 35%.
Задача 7.22
Свет проходит через стеклянную пластинку перпендикулярно
ее поверхности, испытывая только одно отражение на границе
воздух — стекло и одно отражение на границе стекло — воздух.
Какая интенсивность при этом теряется?
Задача 7.23
Излучающая антенна простейшего типа представляет собой
просто кусок провода длиной х0> в котором поддерживается пе-
ременный ток. Выражение для мощности излучения антенны та-
кое же, какое было использовано на стр. 48 для колеблющегося
электрона:
Р-— — ?2q4*q
dt 12ле0с3 ’
где q — заряд электрона, а со — частота колебаний. Ток I в ан-
тенне можно записать в виде /0 = со#. Исходя из того, что
Электромагнитные волны
229
p = ll2R[2^ покажите, что сопротивление излучения
«=тл/¥Ш2-787 (1У
где % — длина волны излучения (выражение справедливо при
Л > х0).
Покажите, что если антенна имеет длину 30 м и излучает на
частоте 5-Ю5 Гц, а среднеквадратичный ток равен 20 А, то со-
противление излучения антенны равно 1,97 Ом, а мощность из-
лучения равна 400 Вт (проверьте условие X х0).
Сводка основных результатов
Диэлектрик: ц и 8(о = 0)
Волновое уравнение
д2Ех д2Ех ( <> 1 \
Г 2“)'
dmу _ дту
dt2 •
Волновое сопротивление
х /_Е
Ну-У/ в
(волновое сопротивление свободного
пространства равно 376,7 Ом).
Плотность энергии х12ъЕ2х + 72Н^- _
Средний поток энергии = Интенсивность = S== v • (средняя
ПЛОТНОСТЬ ЭНерГИИ) = V (1/2 &Е2х+1/2Ц /7^)средн = VSE2X = 42VE2X макс-
Проводник: ц, е и о
Добавление диффузионного уравнения к волновому уравне-
нию для учета потерь, обусловленных проводимостью о, приво-
дит к уравнению
д2Ех д2Ех . дЕх
-у 2 = ЦЕ - + цог —иг ,
dz2 r dt2 1 r dt ’
решение которого имеет вид
Ех = Е$е~кге1
где
^2 = (ора/2,
230
Глава 7
Глубина скин-слоя
б = у (на этой глубине Ех = Еов“1).
Критерием поведения вещества как проводника или как диэлек-
трика является отношение
Ток проводимости а , ч
—~—------------= — (отношение зависит от частоты).
Ток смещения <ое х 1
Волновое сопротивление Zc (проводника) определяется выра-
жением
и имеет величину Zc = 376,6 д/Рг/8г Vе08/0, Ом.
Коэффициенты отражения и пропускания
I*- 1 (£ и Z могут быть комплексными),
Ef _ 2Z2
Ei /2 + ^1
Показатель преломления
п —
с ___ Z (свободного пространства)
a Z (диэлектрика)
Глава 8
Волны в пространстве двух
и трех измерений
Плоская волна в пространстве двух и трех измерений
Волны, распространяющиеся в двумерном пространстве со
скоростью с, можно представить линиями постоянной фазы
(фиг. 101), которые перемещаются в направлении вектора к.
Вектор к перпендикулярен каждой такой линии, а его модуль
равен волновому числу 2лХ
Фиг. 101. Горбы (сплошные линии) и впадины (штриховые линии) двумерной
плоской волны, перемещающиеся в направлении вектора к (направляющие
косинусы которого равны I и т)<
Волна определяется уравнением 1х + ту=р=с1, где р—расстояние, отсчитываемое от
начала координат и проходимое волной за время t со скоростью с.
Направляющие косинусы вектора к определяются следую-
щими формулами:
причем k2 = k\ + ^2. Произвольная точка г(х, у) линии постоян-
ной фазы удовлетворяет уравнению
1х + ту = р = ct,
где р — расстояние от начала координат до данной линии. Сме-
щения во всех точках г(х, у), лежащих на одной линии, имеют
одну и ту же фазу. Разность фаз ф между колебаниями волны
в начале координат и в точках данной линии дается выраже-
нием
2л 2п
<р = — (разность пути) = -j- р = к • г = kpc + k2y — kp.
232
Глава 8
Следовательно, в случае волн в двумерном и трехмерном про-
странстве выражение at — ф = cat — kx, которое мы имели
в случае одномерной волны, заменяется выражением со/ — к-г.
Например, мы будем использовать экспоненциальное выраже-
ние
В пространстве трех измерений все точки г (х, у, z) опреде-
ленного волнового фронта лежат на плоскостях постоянной
фазы, удовлетворяющих уравнению
lx + my + nz = р = ct,
а вектор к перпендикулярен такой плоскости и имеет направ-
ляющие косинусы
(следовательно, k2= k2 + k2 + k%). Расстояние p от начала ко-
ординат до данной плоскости постоянной фазы определяется
уравнением
kp = к • г = k\X + k2y + k&'
Волновое уравнение в случае двух измерений
Рассмотрим волны, распространяющиеся по плоской натя-
нутой мембране, толщина которой пренебрежимо мала. Масса
мембраны, приходящаяся на единицу поверхности, равна р.
Мембрана растянута под действием однородного натяжения Т,
Это означает, что если на поверхности мембраны провести ли-
нию единичной длины, то материал, находящийся по одну сто-
рону от этой линии, действует на материал, находящийся по
другую сторону, с силой Г, направленной перпендикулярно ли-
нии.
Если равновесным положением мембраны является плоскость
ху, то колебательные смещения, перпендикулярные этой плоско-
сти, будут описываться функцией г, которая зависит от коорди-
нат х и у. На фиг. 102, а изображен малый прямоугольный эле-
мент со сторонами бх и 6z/, совершающий колебания. На сто-
роны элемента в направлениях, указанных на схеме, действуют
силы Тдх и Т8у, которые стремятся вернуть элемент в его рав-
новесное положение.
При выводе уравнения для волн на струне мы видели, что
натяжение Т вдоль искривленного элемента струны длиной dx
создавало силу, перпендикулярную оси х и равную
т ^2 dx,
дх2 *
Волны в пространстве двух и трех измерений
233
где у — перпендикулярное смещение. Здесь на основании
фиг. 102, б мы точно так же получим, что сила ТЬу, действую-
а
Фиг. 102. Прямоугольный элемент однородной мембраны, колеблющейся в на-
правлении оси х.
Вдоль краев элемента бх действует возвращающая сила Тбх, а вдоль краев элемента
длиной 01/ — возвращающая сила ТЪу.
Тбх
Т8х TSy
6
щая на элемент мембраны длиной бх, определяет силу, направ-
ленную вдоль оси г,
ТЪу ^4бх
дх2
(где z— перпендикулярное смещение), а другая сила Тбх, дей-
ствующая на элемент мембраны длиной Sz/, определяет силу
'гх ^2z X
Tbx-^by.
Сумма этих возвращающих сил, действующих в направлении
оси г, равна массе элемента рбхбу, умноженной на ее ускорение
вдоль оси ZJ
Т бх by + Т 0- bx by = р бх by .
Отсюда получаем двумерное волновое уравнение:
д2г . д2г р д2г 1 д2г
дх2 ду2 ~ Т dt2 ~ с2 dt2 ’
где с2 = Т/р. В случае волн, распространяющихся по такой
мембране, смещение будет описываться выражением
2 <— Д#* k«r) —
где k2 = k2 + k?. Читателю нетрудно убедиться, что это выра-
жение для z действительно удовлетворяет двумерному волно-
вому уравнению. (Задача 8.1.)
234
Глава 8
Волноводы
Отражение двумерной волны от абсолютно твердых границ
Сначала мы рассмотрим двумерную волну, распространяю-
щуюся в направлении вектора к (&ь 62) по мембране шири-
ной &, лежащей в плоскости ху. Мембрана натянута с силой Т
на двух жестких стержнях, обладающих бесконечно большим
волновым сопротивлением (бесконечно большим механическим
импедансом).
Бесконечный
/ импеданс
у.Ь -------------
Р‘0— -
Бесконечный
импеданс
Фиг. 103. Распространение двумерной волны вдоль натянутой мембраны.
На границах мембраны у—0, У=Ь волновое сопротивление равно бесконечности, так что
величина &2 меняет знак при каждом отражении волны.
Из фиг. 103 мы видим, что при отражении от линии у = b
компонента k\ остается неизменной, а компонента k2 изменяет
знак и принимает значение —k2. Отражение при у = 0 остав-
ляет неизменной компоненту k\, а компонента —k2 снова ме-
няет свой знак и принимает начальное значение k2. Следова-
тельно, система волн на мембране будет определяться супер-
позицией падающей и отраженной волн, т. е.
z — Ai sin [со/ — [k\x + k2y)\ + Л2 sin [со/ — (k^x — k2y)],
где z удовлетворяет граничным условиям z = 0 на прямых
у = 0 и у = &, соответствующих бесконечно большому волно-
вому сопротивлению.
Из условия z = 0 при у = 0 следует, что
Л2 = — Ль
Второе граничное условие (г — 0 при у = Ь) дает уравнение
sin k2b = 0
или
k2=^~, п=1,2, 3.........
(Задача 8.2.)
Волны в пространстве двух и трех измерений
235
При этих значениях А2 и получаем, что смещение
z = — 241 sin k2y cos (со/ — k{x)
соответствует волне, распространяющейся вдоль оси х с фазо-
вой скоростью
В случае бесконечно широкой мембраны скорость
(о
v = T<vp,
поскольку k2 = k\ + kl-
Но
/2 «2 . П2Л2
А = Ai Ч—
поэтому
и групповая скорость волны в направлении оси х принимает вид
да) kx о ki
V, = -7Т~ = — у =“Г- v
s dki (о k
Отсюда находим произведение фазовой скорости на групповую:
VpVg=V2.
Поскольку для бегущей волны компонента ki должна быть
действительной, из соотношения
ь2 = ь2 _ Л™.
r\f 1 Zv ^2
мы находим условие
П2Л2
"Г2”’
т. е.
nnv nv
Сд^—Г- ИЛИ V^—,
b 2Ь
где п — номер моды, которым определяется распределение ее
амплитуды по оси у. Таким образом, только волны определенной
частоты v могут распространяться по мембране, а мембрана
действует как волновод.
Для каждой моды с номером п имеется критическая частота
nwulb, а поэтому волновод действует как частотный фильтр (то
же самое говорилось о волнах, распространяющихся вдоль на-
236
Глава 8
груженной струны, в гл. 3). Благодаря наличию множителя
sin k%y в выражении для смещения z амплитуда волны изме-
няется в поперечном направлении у так, как показано на
фиг. 104 для мод с номерами п — 1, 2, 3. Таким образом, в лю-
бом направлении, в котором для волн имеются абсолютно твер-
дые границы, возникают стоячие волны, подобно тому как это
о?
Фиг. 104. Изменение амплитуды вдоль оси у в случае двумерной волны, рас-
пространяющейся по мембране, изображенной на фиг. 103.
Нормальные моды (приведенные здесь для п — 1, 2 и 3) устанавливаются вдоль любого
отрезка, на концах которого волновое сопротивление равно бесконечности.
происходит в случае струны с закрепленными концами. На вы-
текающих отсюда следствиях мы остановимся в разделе, посвя-
щенном нормальным модам и методу разделения переменных.
Волноводы используются для всех видов волн, в частности
для акустических и электромагнитных. На принципе волновода
основана волоконная оптика, но наибольшее распространение
получили волноводы для электромагнитных волн, применяемые
в системах дальней связи. В таких волноводах отражающими
поверхностями служат стенки медных труб круглого или пря-
моугольного поперечного сечения. Отметим, что в этом случае
скорость волны в свободном пространстве переходит в фазовую
скорость
. ©
vP>c = T.
но в силу соотношения vpvg = с2 групповая скорость с кото-
рой переносят энергию волны, по-прежнему меньше скорости
света: vg < с. (Задачи 8.3—8.11.)
Нормальные моды и метод разделения переменных
Мы только что показали, что при распространении волн в
двумерном и трехмерном пространстве вдоль любого отрезка,
на концах которого волновое сопротивление равно бесконечно-
сти, образуется стоячая волна.
В гл. 4 мы установили, что стоячие волны могут существо-
вать на струне фиксированной длины /. В этом случае смещение
Волны в пространстве двух и трех измерений
237
имеет вид
Г sin kx sin
у = A s ,
( cos kx cos сол/,
где A — постоянная. Любое из этх двух решений можно взять,
если оно удовлетворяет заданным граничным начальным усло-
виям. Когда оба конца струны закреплены, условием у = О
исключается решение, содержащее cos kx. Из условия у = О,
х = I следует, что knl = пл, или km = пл// = 2л/Хп, откуда
/ = nhnlZ. Из формулы ДЛЯ ВОЛНОВОЙ скорости С — Vnhn нахо-
дятся разрешенные частоты (ол = 2лул = лпс/Z, которые назы-
ваются частотами собственных колебаний или частотами нор-
мальных мод колебаний.
Мы получим такое решение методом, допускающим обобще-
ние на случай волн в двумерном и трехмерном пространстве.
Как мы уже видели, решение волнового уравнения
д2ф 1 д2(р
дх2 с2 dt2
может быть записано в виде произведения двух множителей,
один из которых зависит только от х, а другой — только от t.
Применяя так называемый метод разделения переменных,
напишем ф = X(x)T(t). После подстановки волновое уравнение
принимает вид
д^т_ 1 у д2Т
дх2 1 с2 л dt2 *
или
XxxT = -^-XTtt,
где двойными индексами обозначено двойное дифференцирова-
ние по соответствующим переменным. Разделив обе части урав-
нения на ф = Х(х)Т(/), получим
*хх _ 1 Тп
X с2 Т ’
Здесь левая часть уравнения зависит только от х, а правая
часть — только от t. Но, поскольку хи/ — независимые пере-
менные, такое равенство может выполняться только тогда, когда
обе его части не зависят от х и / и равны некой постоянной.
Для удобства обозначим эту постоянную через —k2. Итак,
= — k2, откуда Ххх + k2X =« О,
и
-^--у- = — &2, откуда Ttt + c2k2T = 0.
238
Глава 8
Таким образом, функция Х(х) имеет вид e±ikx, а функция
T(t)—вид e±icki. Поэтому ср = Ae±ikxe±ickt, где А — постоянная.
Частное решение мы выберем в уже знакомой нам форме, на-
писав
Ф — Agi (ckt-kx) — Agi (tot-kx) >
где co = ck. Это решение мы можем переписать в таком же виде,
как и решение, приведенное выше:
( sin kx sin ckt,
(р = Л<
( cos kxcos ckt.
Двумерный случай
Обобщая этот метод на случай двумерных волн, мы рас-
смотрим волновое уравнение следующего вида:
д2ф . д2(р 1 д2ф
дх2 ’ ду2 с2 dt2
Написав ср = Х(х) У (y)T(t), где У (у) зависит только от у, после
двукратного дифференцирования и деления на <р = XYT, полу-
чаем
Ххх I уу __- I
~ + Т" — Т2 Г
Левая часть этого уравнения зависит только от х и у, а пра-
вая — только от t. Поскольку х, у и t — независимые перемен-
ные, обе части должны равняться некой постоянной, скажем —k2.
Это означет, что входящие в левую часть уравнения функции
переменных х и у при всех значениях х и у различаются только
на константу. Поэтому каждая такая функция есть постоянная.
Следовательно, мы можем написать
Ххх .2 ¥уу ,2
=— «1, —у-== — «2,
^^ = -(й + й)=-^
Отсюда получаем
yw + ^y = o,
T(( + cW = 0
и
— Ae±ikiXe±ik2ye±ickt,
Волны в пространстве двух и трех измерений
239
2 2 2
где k — k\ + ki, или в обычной форме:
( sin kix sin k2y sin ckt,
I COS kiX cos k2y cos ckt.
Трехмерный случай
В трехмерном случае действуем точно так же. Волновое
уравнение имеет вид
д2ф . д2ф . д2ф 1 д2д>
дх2 "I* ду2 ' dz2 с2 dt2 ’
а его решение записывается в виде
4 = X(x)Y(y)Z(z)T(t).
Отсюда получаем
{sin k\x sin k2y sin k3z sin ckt,
cos kxx cos k2y cos k3z cos ckt,
где k2 + k2 + kl = k2. Пользуясь векторными обозначениями, мы
можем переписать решение в виде
где k-r == krx + k2y + k3z.
Двумерные нормальные моды прямоугольной мембраны
Предположим, что волны распространяются по прямоуголь-
ной мембране в направлении вектора к. Длины сторон мем-
Фиг. 105. Нормальные моды для пря-
моугольной мембраны в направлении
вектора к.
Они удовлетворяют граничным условиям
в виде равенства нулю смещения на краях
мембраны, имеющих длины a=n,i (Л/2) cos а
и Ь — Пг (Л/2) cos 0.
—а=л/ЛЛГвл/Л/^со8 а —*-
браны равны а и b (фиг. 105). Расстояние между соседними
штриховыми линиями равно Л/2. Стоячие волны будут суще-
ствовать всегда, когда а = щАА' и Ь = п2ВВ', где п\ и п2 —
целые числа.
240
Глава 8
а поэтому
Но
- -, Л ____ Л k К 2л 1 л
2 cos a 2 2 Л ki ki *
а = ^, k{ = ^,
k\ а
и аналогично
Следовательно,
или
2 = Л
Последним выражением определяется частота моды (пь n2)'i
с / nf л?
Здесь с2 = Т/р, а П1 и п2 характеризуют распределение смеще-
ния моды по осям х и у.
Если вектор к не перпендикулярен ни одной из сторон а
или Ь, то мы можем написать общее решение для волн в сле-
дующем виде:
sin kxx sin k2y sin ckt >
cos kxx cos k2y cos ckt )
При этом должны выполняться граничные условия z = 0 при
х = 0, а\ z = 0 при у = 0, Ь.
Условию z = 0 при х = у = 0 удовлетворяет решение, со-
держащее множитель sin k^x sin k2y. Условием z = 0 при x = a
определяется значение k\ = П1л/а, а условием z = 0 при у =
= b — значение &2 = п2л/Ь. В результате получаем
л . П1ЛХ . п2лу .
z = A sin —— sin , sin ckt.
a b
✓
Основная частота, соответствующая n\ = п2 = 1, принимает вид
Волны в пространстве двух и трех измерений
241
В общем случае произвольной моды («1, п2) линии нулевого
смещения, или линии узлов, соответствуют прямым
Некоторые из этих нормальных мод представлены на фиг. 106,
где заштрихованы области со смещением, противоположным
смещению в незаштрихованных областях.
Фиг. 106. Некоторые нормальные моды прямоугольной мембраны.
Смещение изменяется по закону синуса и в заштрихованных областях мембраны противо-
положно по знаку смещению в незаштрихованных областях.
Полное решение для смещения должно, как и в более про-
стом случае волн на струне (см. главу, посвященную рядам
Фурье), быть суммой отдельных нормальных мод, удовлетворяю-
щей заданным граничным и начальным условиям. Частоты не-
которых мод с разными значениями п\ и п2 могут быть одина-
ковыми. Например, в случае квадратной мембраны одинаковы
частоты всех четырех мод (4,7), (7,4), (1,8) и (8,1). Если мем-
брана прямоугольная и а = ЗЬ, то моды (3,3) и (9,1) имеют
одинаковые частоты. Такие моды называются вырожденными.
Данный термин употребляют и в применении к одинаковым
энергетическим уровням электронов в атоме, соответствующем
разным квантовым числам.
242
Глава 8
Трехмерные нормальные моды
В трехмерном случае нормальная мода характеризуется чис-
лами пь п2, п3 и имеет частоту
где /ь /2 и /3—длины сторон прямоугольника, внутри которого
распространяются волны. Теперь мы образуем прямоугольную
Фиг. 107. Решетка из прямоугольных ячеек в пространстве частот.
Длина вектора, идущего из начала координат в угол любой ячейки, численно равна частоте
разрешенной моды: v=(c/2) + 3* НапРавленИе вектора совпадает с на-
правлением распространения волн данной моды.
решетку, разбивая (фиг. 107) оси х, у и г на отрезки длиной
С С С
21\ 9 21% ’ 2/з
и принимая длины этих отрезков за единицы измерения расстоя-
ния вдоль соответствующих осей. Тогда мы можем взять вектор
с проекциями на оси х, у и г, равными п2 и п3, полная длина
которого будет равна
Таким образом, каждую частоту можно представить отрез-
ком, соединяющим начало системы координат с точкой (cni/2/i,
сп2/2/2, сп3/2/3) прямоугольной решетки. Длина отрезка числен-
но равна частоте, а его направление совпадает с направлением,
в котором образуется стоячая волна.
Волны в пространстве двух и трех измерений
243
Каждая точка решетки будет соответствовать вершине угла
прямоугольной единичной ячейки со сторонами cj2li, с/212 и
с/213 и объемом c3/8/i/2/3. Ячеек будет столько, сколько имеется
точек (т. е. частот), поскольку каждая ячейка содержит восемь
точек, расположенных в ее углах. Каждая точка служит вер-
шиной угла для 8 ячеек.
Возникает очень важный вопрос: сколько же всего нормаль-
ных мод (стационарных состояний в случае квантовой меха-
ники), которые могут существовать в частотном интервале от v
до v + dv. Ответ таков: их столько, сколько положительных це-
лых чисел (пь п2, п3), удовлетворяющих неравенству
Л с ( nf /г.; п* \
соответствующему формуле (8.1).
То есть нужно найти число возможных точек (пь п2, п3), ле-
жащих в положительном октанте между двумя концентриче-
скими сферами с радиусами v и v + dv. Число соответствующих
точек в других октантах будет просто равняться числу точек
в положительном октанте, поскольку приведенные выше нера-
венства квадратичны по п.
Следовательно, полное число возможных точек, или ячеек,
будет равно
1 Объем сферического слоя _ 4лу2 dv 31{121з _a j i i dv
8 Объем ячейки 8 с3 n 1 2 з сз
Таким образом, число возможных нормальных мод, лежащих
в частотном интервале от v до v + dv и приходящихся на еди-
ницу объема, равно
4jtv2 dv
с3
Эта величина, число нормальных мод на единицу объема, не
зависит от конкретной системы. Для примера рассмотрим два
важных приложения полученной формулы.
1, Частотное распределение энергии,
излучаемой нагретым телом,
формула Планка
Электромагнитную энергию, излучаемую нагретым телом при
температуре Т в малом частотном интервале от v до v + dv,
можно представить как Evdv. Если эту величину измерить экс-
периментально в широкой области значений v, то в результате
получится кривая Т\, изображенная на фиг. 108. Общая форма
244
Глава 8
этой кривой не зависит от температуры, но с ростом Т макси-
мум кривой увеличивается и сдвигается в область более высо-
ких частот.
Первые попытки найти аналитическое выражение для этой
кривой основывались на двух результатах, которые нами уже
использовались. В гл. 3, посвященной связанным колебаниям,
мы установили связь между нормальными модами и «степенями
Фиг. 108. Кривые Планка (/) для излучения черного тела, соответствующие
двум разным температурам Г2 > 7\, и кривая (2), построенная по классиче-
ской формуле Рэлея — Джинса, которая приводит к «ультрафиолетовой ката-
строфе».
свободы» системы, т. е. числом путей, по которым система мо-
жет получать энергию. В случае кинетической теории газа пред-
положение о том, что на каждую степень свободы одноатомного
газа, имеющего температуру Г, приходится энергия l/2kT, при-
водит к уравнению состояния газа pV = RT = NkT. Здесь N —
число Авогадро, k — постоянная Больцмана и R — газовая по-
стоянная.
Если мы предположим, что каждая частотная компонента из-
лучения нагретого тела связана с нормальной модой осцилля-
тора, имеющего две степени свободы и два состояния поляриза-
ции, то энергия, излучаемая в частотном интервале dv, может
быть записана в виде произведения числа нормальных мод или
осцилляторов в интервале dv на энергию kT каждого осцилля-
тора для каждого состояния поляризации. Отсюда получаем
формулу
г, * 4nv2dv2kT 8xiv2kT dv
dv —--------о----=------з---.
которая называется формулой Рэлея — Джинса.
Волны в пространстве двух и трех измерений
245
Но согласно этой формуле, плотность энергии пропорцио-
нальна v2 и, как показывает сплошная кривая на фиг. 108, не-
ограниченно растет при очень высоких частотах. Этот не имею-
щий физического смысла результат известен под названием
«ультрафиолетовой катастрофы».
Правильное решение данной проблемы было крупным успе-
хом физики. Планк предложил квантовую теорию, в которой
средняя энергия kT заменяется величиной hv/(ehv/kT—1), где
h — постоянная Планка (единица действия). Эксперименталь-
ная кривая правильно описывается формулой Планка
г-, , &rtv2 hv i
Ev dV ehv/kT _ ]
2. Теория удельной теплоемкости Дебая
Успехами современной теории удельной теплоемкости твер-
дых тел мы во многом обязаны Дебаю, который предложил рас-
сматривать тепловые колебания атомов в кристаллической ре-
шетке твердого тела как систему стоячих волн, занимающих
большую область частотного спектра. Такая картина в простран-
стве трех измерений соответствует задаче об атомах, располо-
женных вдоль одной прямой (гл. 4). В теории удельной теплоем-
кости считалось, что каждый атом может совершать два попе-
речных колебания (соответствующих перпендикулярным плоско-
стям поляризации) и одно продольное колебание.
Тогда число возможных мод, или колебаний, приходящихся
на единицу объема в частотном интервале от v до v + dv, имеет
вид
dn = 4nv2 dv (, (8.2)
V ст 4 )
где Ст — скорость поперечной, a Cl — продольной волны.
Согласно формуле Планка, средняя энергия каждой моды
- hv
8 — ehvfkT _ ! ’
Поэтому полная энергия колебаний атомов в частотном интер-
вале от v до v + rfv для одного моля вещества, занимающего
объем Va, равна
Vazdn 4nVaf 3 + з hvikT ।
uj1 L, J &
246
Глава 8
Отсюда, интегрируя по всем разрешенным частотам, находим
полную энергию, приходящуюся на один моль:
Еа = \ VА & dn — 4л Va ( —
** \
v
макс
О
Лу3
ehv!kT _ 1
dv,
где Умакс — максимальная частота колебаний.
В одном моле вещества содержится N атомов, где N — число
Авогадро. Каждый атом может участвовать в колебаниях трех
Температура, К
Фиг. 109. Удельная теплоемкость твердого тела.
Сплошная линия —кривая, рассчитанная на основе теории Дебая, отдельные точки —экспе-
риментальные данные для алюминия.
мод, поэтому приближенно величину умакс можно оценить, взяв
интеграл от выражения (8.2) для одного моля:
Величины Ст и Cl можно вычислить, зная упругие постоянные
твердого тела (см. гл. 5, где рассматриваются продольные вол-
ны). Затем можно найти умакс.
Таким образом, величина ЕА принимает вид
Еа
9JV
макс
¥макс
( _____________V2rfv
J phv/kT __ i V
0 e 1
Производная величины Ед по Т дает нам молярную теплоем-
кость вещества при постоянном объеме. На фиг. 109 представ-
лена зависимость удельной теплоемкости алюминия от Г, рас-
Волны в пространстве двух и трех измерений
247
считанная таким способом. Для сравнения здесь же приведены
результаты экспериментального измерения теплоемкости. (За-
дачи 8.12—8.19.)
Отражение и прохождение трехмерной волны
на плоской границе раздела сред
Для большей ясности мы рассмотрим конкретный случай
прохождения световой волны через границу раздела воздуха и
стекла, имеющий важное физическое значение. На фиг. ПО
представлен более общий случай, когда плоскопол-яризованная
Епри z=0
Фиг. НО. Плоскополяризованная электромагнитная волна, распространяющаяся
в плоскости чертежа, представлена вектором электрического поля Е/.
При отражении волны от плоской границы раздела двух сред с волновым сопротивле-
нием Zi и Z2 возникают отраженная волна Ef и прошедшая волна Е^. Никаких предполо-
жений относительно плоскостей распространения волн Ef и Е^ не делается. Из граничного
условия непрерывности компоненты электрического поля Е% на плоскости г=0 следует:
1) что волны Ер Ef и Е| распространяются в одной плоскости; 2) что 0 = 0' (угол падения
равен углу отражения); 3) что sin 0/sin cp=/i2//ii, где «—показатель преломления (закон
Снеллиуса).
электромагнитная волна £\- падает под углом 0 к нормали на
граничную плоскость z = 0, разделяющую два диэлектрика
с волновыми сопротивлениями Z\ и Z%. При этом возникают от-
раженная волна Ег и преломленная волна Ef.
Согласно граничным условиям, тангенциальное электриче-
ское поле Ех непрерывно при z = 0. Волновой вектор к/, задаю-
щий направление распространения волны Е/, лежит в плоскости
чертежа (у = 0), но никаких предположений относительно рас-
пространения отраженной и прошедшей волн (а также относи-
тельно плоскостей колебаний их векторов электрического поля)
мы не делаем.
248
Глава 8
Запишем векторы электрических полей в виде
—- Д ,g‘ [и<~ki (lix+niz)] — (* sin 0+2 COS 0)]
где kr и к/ — волновые векторы отраженной и прошедшей волн,
а I, т и п — соответствующие направляющие косинусы. По-
скольку поле Ех непрерывно при z — 0 при всех значениях х, у,
t, мы получаем тождество
А1хе* №~к*хsln 01 + Arxel №~kr Угх+тгу')) = Aixe‘ (ltx+mty)],
которое возможно только тогда, когда показатели экспонен-
циальных функций во всех трех членах одинаковы, т. е.
tat — ktx sin 0 нэ <i>t — kr (lrx + mry) = — kt (fax + mty).
Приравнивая в этом тождестве коэффициенты при х и у, по-
лучаем уравнения
kt sin 0 = krlr = ktlt,
О = krmr = kttnt.
Из второго уравнения следует, что
тг = mt — 0;
поэтому отраженный и преломленный лучи не имеют компонент
вдоль оси у и лежат в плоскости падения хг, т. е. падающий,
отраженный и прошедший (преломленный) лучи компланарны.
Далее,
h. — b == —
Ki «г »
поскольку падающая и отраженная волны распространяются
в среде с волновым сопротивлением Z\. Следовательно,
ki sin 0 = krlr,
откуда
ki sin 0 = kr sin 0',
т. e. угол падения равен углу отражения:
0 = 0'.
Величина
поэтому
ki sin 0 = ktlt
Волны в пространстве двух и трех измерений
249
и, следовательно,
или
2л . Л 2л .
-7— Sin 6 =-Г- Sin ф
sin 6 Л1 «2
sin ф Лг «1 ’
где п\ — показатель преломления среды 1, а «2 — среды 2. Дан-
ное соотношение между углом падения и углом преломления
представляет собой хорошо известный нам закон преломления
(закон Снеллиуса). (Задача 8.20.)
Задача 8.1
Покажите, что выражение
Z = Ael
где k2 = со2/с2 = k2 + удовлетворяет двумерному волновому
уравнению
d2z । d2z 1 d2z
bx2 *" ду2 с2 *
Задача 8.2
В случае волн, распространяющихся по мембране шириной b
(фиг. 103), смещение описывается суперпозицией
z = Ai sin [со/ — (kix + k2y)] + А2 sin [со/ — (k{x — k2y)],
удовлетворяющей граничным условиям z = 0 при у = 0 и
у = Ь. Покажите, что
z = — 2Ai sin k2y cos (со/ — kix),
где k2 = пл/6.
Задача 8.3
Потери электромагнитной волны при отражении от хорошо
проводящей поверхности пренебрежимо малы. Многократно от-
ражаясь, волна может распространяться вдоль линии передачи
или волновода, состоящего из двух параллельных плоскостей
с бесконечной проводимостью, расстояние между которыми
равно а.
Если волна плоскополяризована, так что отлично от нуля
только поле Ez (фиг. 111), то волновой вектор к лежит в пло-
скости ху. Согласно граничным условиям, полное тангенциаль-
ное электрическое поле Ег обращается в нуль на проводящих
250
Глава 8
поверхностях х — 0 и х = а. Покажите, что в соответствии
с первым граничным условием мы можем написать
Ег = Ео (eik*x - е~^х) el ^yy~at\
где kx = k cos 0 и /^ = £sin0, а из второго граничного условия
следует, что kx — пл/а.
Проводящая плоскость
Фиг. 111.
Пусть Хо = 2лс/(о, а Хс = 2к]кх и Xg = 2n/^ — длины волн,
распространяющихся вдоль осей х и у. Покажите, что
1 . 1 1
“м +^Г=1Г
При п = 1 мы имеем kx — л/а и Хс = 2а. Поэтому с умень-
шением со и увеличением Хо величина ky = k sin 0 становится
мнимой и волна затухает. Таким образом, значению п = 2
(kx = 2л/а) соответствует «критическая длина волны» Хс = а,
т. е. наибольшая длина волны, с которой может распростра-
няться волна в волноводе с поперечным размером а. Наличие
таких критических длин волн и частот характерно для волнового
распространения в периодических структурах, линиях передачи
и волноводах.
Задана 8.4
Исходя из уравнений (7.1) и (7.2), покажите, что магнитное
поле плоскополяризованной электромагнитной волны, о которой
говорилось в задаче 8.3, имеет отличные от нуля компоненты
вдоль обеих осей х и у. [Если распространяющаяся в волноводе
электромагнитная волна имеет только поперечное электрическое
поле, а ее электрическое поле в направлении распространения
равно нулю, то она называется поперечной электрической вол-
Волны в пространстве двух и трех измерений
251
ной (ТЕ-волной). Аналогично может существовать поперечная
магнитная волна (ГМ-волна). Плоскополяризованная волна за-
дачи 8.3 является поперечной электрической волной. У соответ-
ствующей поперечной магнитной волны должны быть компо-
ненты HZi Ех и Еу. Значения п из задачи 8.3, удовлетворяющие
граничным условиям, записываются в виде индексов в обозна-
чении моды распространения: например, ТЕ^.]
Задача 8.5
Исходя из выражений для индуктивности и емкости двух па-
раллельных плоских проводников шириной Ь, находящихся на
расстоянии а друг от друга, покажите, что волновое сопротив-
ление такого волновода равно
= Т V? °'”'
где |л и е — магнитная и диэлектрическая проницаемости среды
между проводниками.
Задача 8.6
Исходя из выражения для вектора Пойнтинга, или для
плотности энергии электромагнитной волны, покажите, что
мощность одной волны, бегущей в положительном направ-
лении в волноводе, о котором говорилось в задаче 8.5, равна
Ч2аЬЕ2й е/ц.
Задача 8.7
Электромагнитная волна (Е, Н) распространяется вдоль
оси х по полой трубе произвольного поперечного сечения
с идеально проводящими стенками. Тангенциальная компонента
поля Е на проводящих стенках всегда должна оставаться рав-
ной нулю.
Покажите, что подстановка решения Е=Е(у, г) cos (со/—kxx)
в волновое уравнение приводит к следующему уравнению:
ду2 дг2
где k2 — а2/с2 — k2, a kx-— проекция волнового вектора на ось х.
Задача 8.8
Волновод, о котором говорилось в задаче 8.7, имеет пря-
моугольное поперечное сечение с шириной а (вдоль оси у) и
высотой b (вдоль оси г). Покажите, что граничными условиями
Ех — 0 при у = 0, у = Ь, а также z = 0, г — b определяется
252
Глава 8
следующее решение волнового уравнения, полученного в за-
даче 8.7:
Ех = A sin sin cos (со/ — kxx)t
где
Задача 8.9
Исходя из решений задач 8.7 и 8.8, покажите, что наимень-
шее значение частоты со (критическая частота), при котором
kx — действительная величина, определяется условием т =
= п = 1.
Задача 8.10
Покажите, что в случае волны, о которой шла речь в зада-
чах 8.7—8.9, произведение фазовой скорости ®/kx на групповую
скорость d^ldkx равно с2, где с — скорость света.
Задача 8.11
Обобщим теперь задачу 8.2: волны отражаются от абсолютно
твердых краев прямоугольной мембраны, стороны которой равны
Фиг. 112.
а и b (фиг. 112). Полное смещение мембраны определяется
суперпозицией волн
z = А1 sin [со/ — + k2y)\ + А2 sin [со/ — (fax — k2y)] +
+ А3 sin [со/ — (— kix — k2y)] + A4 sin [co/ — (— k^ + k2y)],
удовлетворяющей граничным условиям z = 0 при x — 0 и
x = a, z = 0 при у = 0 и у = Ь.
Волны в пространстве двух и трех измерений
253
Покажите, что в окончательном виде смещение, удовлетворяю-
щее этим условиям, таково:
z = — sin kiX sin k2y sin со/,
где
f tl j Л ।
1 a * b
Задача 8.12
При выводе выражения для средней энергии осциллятора
с частотой v и температурой Т
-___________________________ hv
6 —’ ehv/kT _ j
Планк исходил из предположения, что большое число W осцил-
ляторов обладает энергиями 0, hv, 2hv, .,., nhv, соответствую-
щими распределению Больцмана
Nn = NQe-nhv!kT,
т. е. число осцилляторов Nn, имеющих энергию nhv, уменьшается
экспоненциально с увеличением п.
Исходя из формулы для суммы геометрической прогрессии
N = £ Nn = No (1 + e~hv,kT 4- e~^kT + ...),
п
покажите, что
N =___________
1 _ e-hvlkT ‘
Полная энергия осцилляторов, находящихся в п-м энергети-
ческом состоянии, равна
Еп ~ Nnnhv.
Докажите, что полная энергия, просуммированная по всем п
энергетическим состояниям, дается выражением
Еп = No (j _ e-hv/kTy •
Исходя из этого, покажите, что средняя энергия осциллятора
такова:
-___ Е __ hv
8~ N ~'ehvlkT_x •
Разложив знаменатель последнего выражения в ряд по степе-
ням отношения hvIkT, покажите, что при hv/kT <С 1 (т. е. при
низких частотах и больших длинах волн) формула Планка пе-
реходит в классическую формулу Рэлея — Джинса.
254
Глава 8
Задача 8.13
В квантовой механике частица, например электрон, в пря-
моугольной потенциальной яме, где V = 0, описывается не за-
висящим от времени уравнением Шредингера
д2Ф । д2ф , д2ф _ __ 8л2т р
дх2 ду2 "Г" dz2 L2
Здесь Е и т — энергия и масса частицы, a h — постоянная
Планка. Волновая функция ф должна удовлетворять следующим
граничным условиям: ф = О при х = у = z — О и при х = Lx,
у = Ly, z = LZi где Ly и Lz — линейные размеры ямы.
Покажите, что функция
, Л . 1ПХ . HIU . ПЛ2
ф = A Sin -у— Sin Sin -7—
ьх Ly Lz
является решением уравнения Шредингера и дает энергию
Р__ h2 fl2 . г2 . п2 \
8/n Ux 4 + 4 )’
V Л у & S
где I, г, п — целые числа. Когда яма имеет форму куба со сто-
роной L,
£--Ш7«2 + ''г + »!»
и наименьшее значение квантованной энергии
соответствует значениям I — 1, г — п = 0.
Покажите, что энергии следующих уровней имеют вид
3£о, 6Е0 (трехкратное вырождение), 9£0 (трехкратное вырож-
дение), 11£0 (трехкратное вырождение), 12£0 и 14£0 (шести-
кратное вырождение).
Задача 8.14
Покажите, что в случае уровней с малой энергией hv <С kT
(большие длины волн) формула Планка для излучения эквива-
лентна формуле Рэлея — Джинса.
Задача 8.15
Формула Планка для плотности энергии излучения, прихо-
дящейся на единичный интервал длин волн, а не частот, имеет
вид
с _ Srtch
Z5(ecft/Ur -1)
Волны в пространстве двух и трех измерений
255
Перейдя к переменной х — ch/kkT, покажите, что плотность пол-
ной энергии при абсолютной температуре Т определяется фор-
мулой
оо
EKdK = аТ* Дж • м~3,
о
где
__ 8л5£4
а 15с3А4
(са/4 == о— постоянная в законе Стефана — Больцмана). От-
метим, что
Г х3 dx __ л4
J - 1 — 15 '
о
Задача 8.16
Покажите, что длина волны Хмакс, на которую приходится
максимум величины Ек, введенной в задаче 8.16, определяется
решением уравнения
где x — ch/kkT. Решение этого уравнения ch/k^aKQkT 4,965
можно выразить через частоту следующим образом: hvMaKC ж
ж 5 kT.
Задача 8.17
Используя результат задачи 8.16 ftvMaKC = 5 kT, покажите,
что если температура Солнца приблизительно равна 6000 К, то
^макс ~ 4,7-10~7 м и лежит в зеленой области видимого спектра,
где чувствительность человеческого глаза наибольшая (резуль-
тат эволюции?)
Задача 8.18
Температура вольфрамовой нити электрической осветитель-
ной лампы равна приблизительно 2000 К. Покажите, что в этом
случае Хмакс » 14-10~7 м и лежит в дальней инфракрасной
области спектра. Следовательно, такая лампа представляет со-
бой хороший тепловой излучатель, но малоэффективна как
источник света.
Задача 8.19
Энергия свободного электрона (движущегося в области с ну-
левым потенциалом)
Е — k2 — Е (k)
2m 2m П ~ 22
256
Глава 8
где длина волны
a h 2л
Л — — — —г-.
Р k
В случае периодического потенциала небольшой величины,
как, например, в хорошо проводящем твердом теле,
где т* — так называемая эффективная масса. (Для валентных
электронов /и* ~ т.)
При волновом описании электронов в потенциальной яме
(V = 0) кубической формы со стороной L разрешенные волно-
вые числа k удовлетворяют уравнениям
k2 = k2X+k2y+kl9
(см. задачу 8.13). При каждом значении k существуют два раз-
решенных состояния (каждым из которых определяется спино-
вое состояние единственного электрона, занимающего данное
состояние — принцип Паули).
Рассуждая так же, как в гл. 8, покажите, что полное число
состояний в ^-пространстве, лежащих между значениями k и
k + dk9 дается выражением
Р^ = 2(А)3^-.
Используя соотношение Е = (й2/2т*)£2, преобразуйте послед-
нее выражение в формулу для числа состояний S(E)dE, прихо-
дящихся на интервал энергий dE:
где А = L3.
В соответствии с принципом Паули N электронов находятся
в N состояниях с наименьшей энергией. Покажите, что инте-
гралом
Ef
\s(E)dE = N
о
определяется уровень Ферми
р _ й2 / Зл2М \3/>
— 2т* I А ) ’
т. е. кинетическая энергия электрона с наибольшей энергией
в твердом теле, находящемся в своем основном состоянии.
Волны в пространстве двух и трех измерений
257
Задача 8.20
При выводе в конце гл. 8 закона Снеллиуса
sin 6 ________________________ п2
sing) Mi
на плоскости колебаний вектора электрического поля не нала-
гались никакие ограничения. На фиг. 113, а вектор электриче-
ского поля направлен перпендикулярно плоскости чертежа (па-
раллельно оси у). Показаны также соответствующие векторы
магнитного поля. На фиг. 113,6 вектор электрического поля ле-
жит в плоскости xz чертежа.
Взяв в случае фиг. ИЗ, а граничные условия
Et-Er = Et, Ei + Er = Et-^,
покажите, что
Ег sin (9 — ф)
El sin (9 + ф)
На основании закона Снеллиуса покажите, что при 0 и ср—>0
(условие 0 = ф = 0 соответствует нормальному падению)
Ег п2 — П\ п — 1
Et п2 + п + 1 ’
где п = n2/ni.
Взяв в случае фиг. 113, б граничные условия
Ei + Er=^-Et, Е[ — Er = Et^-~-,
1 * r ni 1 r 1 cos 9
покажите, что
Er = tg (0 — <p)
Ei 1ё(9 + ф)
9 Зак. 1186
258
Глава 8
На этом основании докажите, что при tg 0 = n2Mi отноше-
ние ErlEi = 0. Покажите, что в случае, когда волна в воздухе
падает на стекло (п21п{ = 1,5), отношение ErIEi = Q при
9 = 56°.
Сводка основных результатов,
Волновое уравнение в двумерном пространстве
d2z . d2z 1 d2z
дх2 ду2 с2 dt2
Линии постоянной фазы lx + my = ct перемещаются в направ-
лении вектора k(&i, fe2), где I = k\Jk9 т — k2lk, k2 = k2+kl и
с2 == (о2/^2. Решение имеет вид
z = Ае1
где г = г(х, у).
Волновое уравнение в трехмерном пространстве
>. д2® . д2ф 1 д2ф
Плоскости постоянной фазы lx + ту + nz = ct перемещаются
в направлении вектора k(£i, k2, &3), где I = k\lk, m = k2lkt
n = k^k k2 == k2 + k2 + k2 и c2 — (o2/fe2. Решение имеет вид
Ф-= Aei И-кт),
где г = г (х, у, z).
Волноводы
При отражении волны с частотой со и волновым вектором
k(fei, k2) от стенок у = 0, у = b двумерного волновода устанав-
ливаются нормальные моды колебаний. Распределение поля
этих мод вдоль оси у определяется величиной k2 == пл/b. Волны
этих мод распространяются вдоль оси х с фазовой скоростью
и групповой скоростью
причем VpVg = v2.
Волны в пространстве двух и трех измерений
259
Критическая частота
В волноводе распространяются только те волны, у которых ча-
стота со плу/Ь, где п — номер моды.
Нормальные моды в трехмерном пространстве
Волновое уравнение разделяется на три уравнения (по одному
для каждой переменной х, у, z) и имеет решение
( sin k[X sin k2y sin k3z sin co/)
A s , , , . >.
( COS k\X cos k2y cos k3z cos of)
(Окончательный вид решения определяется граничными усло-
виями.)
Если скорость волн равна с, то число нормальных мод на еди-
ницу объема в частотном интервале от v до v + dv равно
4лу2 dv
с3
Это выражение находит прямое применение: а) в формуле
Планка для излучения, б) в теории удельной теплоемкости Де-
бая для твердых тел, в) при вычислении уровня Ферми (за-
дача 8.19).
9*
Глава 9
Методы Фурье
Ряд Фурье
В данной главе мы рассмотрим подробнее следствия, выте-
кающие из принципа суперпозиции. С этим принципом мы встре-
тились в начале книги, когда складывали два отдельных реше-
ния уравнения для гармонических колебаний. Наш анализ моно-
хроматических волн привел к представлению о простейшем виде
периодического изменения. Теперь мы рассмотрим более слож-
ные формы периодической зависимости, возникающие в резуль-
тате суперпозиции.
Всякая функция, значения которой повторяются через задан-
ный пространственный или временной интервал, называется пе-
риодической. Для периодической функции можно написать
f(x) = Кх ± а)> гДе а — интервал повторения, или период.
Фиг. 114. Прямоугольная волна высотой h.
Ее представление в виде ряда Фурье, содержащего синусы (нечетная функция), таково:
f (x)=(4h/n) (sin х + */з sin Зх 4- 4$ sin 5x4- 7т sin 1х 4- •• •).
Простейшим примером периодической функции может слу-
жить синус или косинус с фиксированной частотой или длиной
волны; в этом случае а — период т, длина волны X или фазовый
угол 2л радиан в зависимости от значения х. Другие периоди-
ческие функции, например прямоугольная волна (фиг. 114), до-
вольно просто представляются графически, но их математиче-
ское описание гораздо сложнее. Но почти все периодические
функции, представляющие интерес для физики, можно предста-
вить математически, пользуясь методом ряда Фурье. Метод со-
стоит в том, что любая периодическая функция представляется
в виде ряда
f (%) = A- oq + ах cos х + а2 cos 2х + ... + cos пх +
+ &1 sin х + Ь2 sin 2х + ... + bn sin пх +
(9.1)
Методы Фурье
261
т. е. в виде суммы постоянной и синусов и косинусов с раз-
ными коэффициентами и с частотами, которые растут в ариф-
метической прогрессии. Конечно, такой ряд должен удовлетво-
рять некоторым условиям, главным из которых является сходи-
мость ряда. Условие сходимости выполняется для функции с ко-
нечными разрывами, имеющей ограниченные первую и вторую
производные. В точках таких разрывов, как, например, в случае
прямоугольной волны при х = 0, ±2л и т. д., где f(x) = ±h9
ряд дает среднее значений функции, взятых слева и справа от
скачка.
Ряд можно записывать в разных эквивалентных видах: либо
в виде
оо оо
f (х) = -2 а0 + £ (ап cos пх 4- bn sin пх) = у а0 + £ сп cos (пх — 0„),
ra = l п=1
где
C2 = a2+b2 tgen==-^-,
либо в виде
Е dnelnx,
П—-ОО
где
24 ап tbfi (tt 0), == an 4" tbn, (fl Q)*
Чтобы найти коэффициенты an и bni умножим обе стороны
равенства (9.1) на cos пх и проинтегрируем по х в пределах
периода, скажем, от 0 до 2л. Получим
2л
С , I 0 при пг^п,
\ cos /пх cos пх dx = < г
0J (л при m = n,
2л
sin tnx cos пх dx — О
о
при всех тип. Следовательно, при т = п
2л
ап cos2 пх dx = лпЛ,
о
откуда
2л
ап = f (х) cos пх dx.
о
262
Глава 9
Точно так же, умножая обе стороны равенства (9.1) на sin пх
и интегрируя от 0 до 2л, получаем
2л
bn==—\ f{x) sin пх dx,
Л J
о
поскольку
2л
г . . , (0 при т=р=п,
\ sin тх sin пх ах = <
0J ( л при т = п.
Мы сразу видим, что постоянная (п — 0), определяемая фор-
мулой
2л
2^ J f^dx>
о
есть просто среднее значение функции в интервале 2л. Следо-
вательно, эта постоянная дает постоянный уровень, на который
накладываются изменяющиеся члены ряда в виде синусов и ко-
синусов. Постоянную можно изменять, смещая функцию относи-
тельно оси х. Когда периодическая функция симметрична отно-
сительно оси х, ее среднее значение 72^о, т. е. постоянный уро-
вень, обращается в нуль, как, например, в случае прямоугольной
волны на фиг. 114. Если мы сдвинем прямоугольную волну вверх
по оси у на величину h так, чтобы она представляла собой по-
следовательность импульсов высотой 2А, расположенных на
оси х, то величина 72ц0 будет равна h (среднему значению функ-
ции в интервале 2л). Величины ап равны удвоенному среднему
значению произведения /(x)cosnx в интервале 2л. Коэффи-
циенты Ьп могут быть найдены аналогичным образом.
Мы также видим, что ряд, представляющий функцию, есть
сумма косинусов, являющихся четными функциями [cos х =
— cos(—х)], и синусов, являющихся нечетными функциями
[sinx = —sin(—х)]. Но всякую функцию мы можем записать
в виде
f (х) = I [f (X) + И- х)] + 1 [f (X) - f (- X)],
где выражение в первых квадратных скобках — четная функция,
а выражение во вторых квадратных скобках — нечетная. Следо-
вательно, одна часть ряда Фурье, содержащая косинусы, описы-
вает четную часть функции, а другая часть ряда, содержащая
синусы, описывает нечетную. Отсюда ясно, что четная функция
f(x) описывается рядом Фурье, содержащим только косинусы.
Если же f(x) нечетная функция, то ее ряд Фурье будет содер-
Методы Фурье
263
жать только синусы. Четность и нечетность функции часто опре-
деляется положением оси у.
Наша пямоугольная волна на фиг. 114 является нечетной
функцией [f(x) =—f(—х)] и представляется следующим рядом
Фурье:
f (х) = М- ( ain х + у sin Зх + у Bin 5х + ...),
где постоянная равна нулю. Но если мы сдвинем ось у на поло-
вину периода вправо (фиг. 115), то функция будет удовлетво-
Фиг. 115. Та же функция, что и на фиг. 114, но представленная симметричной
относительно оси у.
Теперь она представляется в риде ряда Фурь$, содержащего косинусц (четная функция):
Г (х)«(4л/л) (dos х—«/з cos Зх + l/s cos 5х — */7 Cos 7х 4- •).
рять соотношению /(x)=f(—х) и станет четной, а прямоуголь-
ная волна будет описываться другим рядом Фурье:
f (х) = -у- (cos х — у cos Зх + у cos 5х — у cos 7х + ... У
Если мы возьмем первые три или четыре члена ряда, описываю-
щего прямоугольную волну на фиг. 114, и сложим, то получим
Фиг. 116. Сложение первых трех чле-
нов ряда Фурье для прямоугольной
волны, изображенной на фиг. 114.
Крутизна краев импульса определяется
высшими гармониками.
Гумма первых
трех членив
результат, приведенный на фиг. 116. Основная, или первая, гар-
моника имеет частоту прямоугольной волны. Гармоники более
высоких частот создают прямоугольную форму волны. Самыми
высокими частотами определяется крутизна вертикальных краев
волны.
264
Глава 9
Прямоугольная волна такого вида обычно используется для
проверки частотной характеристики усилителей. Усилитель, на
вход которого подана прямоугольная волна, «разлагает» вход-
ной сигнал в ряд Фурье и усиливает отдельные частотные ком-
поненты. Затем эти сигналы складываются на выходе усилителя.
Если на выходе усилителя возникает идеальная прямоугольная
волна, то это доказывает возможность работы усилителя в целой
области частот с одинаковой эффективностью. Уменьшение же
крутизны краев волн показывает, что отклик усилителя огра-
ничен в области более высоких частот.
Пример ряда Фурье
Рассмотрим прямоугольную волну высотой h (фиг. 114).
Функция задается следующим образом:
( h при 0 < х < л,
f(x) = S . / п
( —- п при л < х < 2л.
Коэффициенты разложения функции в ряд имеют вид
[л
и С
П \
J
О
2л
cos пх dx — О,
л
поскольку
л 2л
cos пх dx — cos пх dx == О
О л
И
[л 2л -1
h ( sin пх dx — h \ sin пх dx I =
J J I
О л J
= [cos ПХ Iq + cos пх £я] = [(1 — cos пл) + (1 — cos пл)].
Отсюда bn = 0 при четных значениях п и Ьп = 4й/пл при не-
четных значениях п. Таким образом, ряд Фурье для прямоуголь-
ной волны принимает вид
е / х 4h / . . sin 3% . sin 5х . sin 7х . \
lSmX + —3~+—5~ + “7^+ •••)•
Ряд Фурье для произвольного интервала
Хотя мы рассмотрели представление Фурье только для слу-
чая периодической функции, область его применения значи-
тельно шире. Можно выбрать любую часть или отрезок доста-
точно гладкой функции и записать ее в виде ряда Фурье. Этот
Методы Фурье
265
ряд будет точно описывать функцию только в пределах вы-
бранного отрезка. Вне данного отрезка ряд не будет соответ-
ствовать функции, а будет периодически повторять значения,
принимаемые ею внутри выбранного отрезка. Если мы опишем
этот отрезок функции с помощью разложения Фурье по косину-
сам, то повторения будут соответствовать четной функции. Если
же используется разложение Фурье по синусам, то повторение
будет соответствовать нечетной функции.
Фиг. 117. Одна и та же функция, представленная разными рядами Фурье в
выбранном полуинтервале.
Функция общего вида а в полуинтервале 0 < х < Z/2 представлена: б — в виде ряда, со-
держащего только косинусы и дающего четную функцию fe\ в—-в виде ряда, содержащего
только синусы и дающего нечетную функцию Эти представления справедливы только
для указанного полуинтервала. Вне данного полуинтервала эти представления ведут
себя как периодические функции и отличаются от исходной функции.
Теперь предположим, что нас интересует поведение функции
только на половине ее полной области определения. Ее описа-
ние вне этого ограниченного интервала нас не интересует. На
фиг. 117, а функция f(x} изображена во всем своем простран-
ственном интервале определения от —Z/2 до //2. Но в интервале
от 0 до //2 функция f(x) может быть полностью описана с по-
мощью разложения в ряд либо по косинусам (такой ряд будет
повторять свои значения через каждую половину интервала как
четная функция), либо по синусам (такой ряд будет повторять
свои значения через каждую половину периода как нечетная
функция).
Ни одно из этих представлений не будет соответствовать
функции f (х) вне области от 0 до //2, но для половины интервала
266
Глава 9
от 0 до 1/2 мы можем написать
f W = feW==fo(x),
где индекс е обозначает четное (по косинусам), а индекс о не-
четное (по синусам) разложение Фурье.
Аргументами синусов и косинусов должны быть, конечно,
фазовые углы, поэтому переменная х измерялась в радианах.
Однако теперь интервал определен как расстояние, и перемен-
ной становится величина 2лх/1. В результате всякий раз, когда х
изменяется на величину /, фазовый угол изменяется на 2л.
Таким образом,
оо
с / \ а о । \
/ е (-^) === “2 / j COS J
п—1
где
1/2 г О
1 С г / \ « 2лпх 1 2 I Г £ ч 2лпх . ,
ал===7/2Г J / w cosI j /\,(x)cos—j—ах +
2 — 1/2 L_z/2
Z/2 -1 Z/2
+ fe (*) cos ----- dx = Y f (x) cos dx.
0 J 0
поскольку
f (*) = fe W при 0 < X < 1/2
и
f W = x) = fe(x) при — //2 < x<0.
Аналогичным образом мы можем записать f(x) в виде раз-
ложения в ряд по синусам:
оо
f (х) = fo (х) = £ bn sin
п= i
для области 0 < х < 1/2, где
Z/2
. 1 С г/ \ • 2лпх ,
ьп=~йТ J ZU) Sin—j—dx=
2 -//2
Г 0 z/2
__ 2 I С г t ч . 1 I С -С / \ • 2jt/zx 1
= Т j /owsin——ax+^foWsm—j—dx
I--1/2 о
Методы Фурье
267
Во втором интеграле для области 0 <. х < 1/2 мы имеем /0(х) =
= f (х), тогда как
о о
fo (*) sin dx= \ fо (— х) sin dx —
-Z/2 Z/2
О Z/2 Z/2
= — fo W sin f0 W sin yp-dx= f (x) sin dx.
1/2 0 0
Следовательно,
1/2
i 4 f :z \ • 2лпх <
^п—у\ I W sin —j— dx.
0
Если мы проследим за поведением функций fe(x) и fQ(x) за
пределами интервала от 0 до 1/2 (фиг. 117), то увидим, что они
больше не совпадают с функцией /(х).
Разложение треугольной функции в ряд Фурье
по синусам
На фиг. 118 изображен график функции, которую мы соби-
раемся представить в виде ряда по синусам для половины ин-
Фиг. 118. Функция, описывающая оттянутую струну, определена в конечном
интервале.
При колебаниях струны все разрешенные гармоники дают вклад в начальную конфигура-
цию струны.
тервала от 0 до л. Эта функция задается следующим образом:
( х при 0 < х < л/2,
т (х) = 1
( л — х при л/2 < х < л.
Написав
f (*) = zE sin пх,
п
получаем
, Л/2 Л
Ьп = \ х sin пх dx + — \ (л — х) sin пх dx = —г~ sin *
" л J л J ' пл 2
О л/2
268
Глава 9
Когда п четное, sin пл/2 = 0, а потому сохраняются только
члены с нечетными значениями п и разложение в ряд принимает
вид
г / ч _ 4 / sin х sin Зх . sin 5х sin lx . \
k I2 З2 + 52 T2 Г ’ * J’
При x = л/2 мы имеем f (х) = л/2; отсюда
^__L + J_ + _L+ -У »
8 р Т Зг Т 52 Т •. • (2п + I)2 •
п=0
Мы воспользуемся этим результатом несколько позже.
Сплошная линия на фиг. 118 в интервале от 0 до —л соот-
ветствует разложению в ряд Фурье по синусам для /(х), кото-
рый повторяется вне интервала от 0 до л. Если бы в интервале
от 0 до л мы разложили f(x) в четный ряд по косинусам, то
поведение этого ряда в интервале от 0 до —л описывалось бы
штриховой линией. (Задачи 9.1—9.9.)
Вычисление энергии нормальных
мод колеблющейся струны
Если взять струну длиной / с закрепленными концами и от-
тянуть ее центр на расстояние tZ, то мы получим конфигурацию,
изображенную на фиг. 118 в полуинтервале от 0 до л. Эту кон-
фигурацию мы описали с помощью ряда Фурье по синусам.
Если центр струны освободить, возникнут нормальные моды
колебаний, или стоячие волны. Смещение для каждой такой
моды (стр. 130) дается формулой
уп = (Ап cos (£>„/ 4- Вп sin ©„/) sin ,
где о)п — ппс/1 — частота нормальной моды.
Полное смещение, которым определяется форма оттянутой
струны в момент времени t = 0, описывается рядом Фурье:
У = X У* = X ^А'1 cos + Bfl sin sin •
Поскольку концы струны закреплены, разложение в ряд может
содержать зависящие от х члены только в виде синусов. Если
оттянутая струна находится в покое, то для ее описания необхо-
димы только зависящие от х члены, взятые с соответствующими
коэффициентами. Однако колебательное движение струны после
ее освобождения зависит от времени, что выражается в следую-
щей временной зависимости каждого коэффициента гармоники:
Ап cos (оЛ/ + sin
Методы Фурье
269
Смысл этих коэффициентов выяснится, когда мы рассмотрим
начальные условия.
Запишем полное смещение струны в момент времени t — 0:
Уо W = £> W = £ (Лп cos ®nt + Вп sin ©„/) sin =
= £A„sin-^( t = 0.
Аналогичным образом мы запишем скорость струны в момент
времени t = 0:
Оо W = =^Уп W =
= 2 (— ®„An sin ®„/ + w„B„ cos ©„/) sin = У ©„В„ sin ,
/ = 0.
Тем самым мы представили и уо(х), и Уо(*) в виде разложения
в ряд Фурье по синусам.
Но если при t = 0 струна находится в покое, то уо(х)=О,
все коэффициенты Вп обращаются в нуль и остаются только ко-
эффициенты Ап. Если же при t = 0 смещение струны z/o(x)=O,
а струна движется, то все величины Ап равны нулю и коэффи-
циентами Фурье являются величины ®пВп.
Мы можем решить уравнения относительно Ап и соВп обыч-
ным способом. Если для струны длиной I
Уо (х) = ХАп sin ^Г~ * v° = X sin '
ТО
I
Ап=^\уо (х) sin dx,
о
I
<лпВп = -^-\v0 (х) sin dx.
I J c
0
Если оттянутая струна с массой m (с линейной плот-
ностью р) начинает движение из состояния покоя при t = 0
(уо(х)=О), то формула для энергии каждой ее нормальной
моды
Еп = {Ап + ^п)>
приведенная на стр. 132, принимает простой вид
Е = 4" тсо2 А2,
п 4 п п>
270
Глава 9
поскольку все коэффициенты Вп равны нулю. Полная энергия
колебаний освобожденной струны будет определяться суммой
по всем модам, участвующим в колебании.
Теперь решим задачу об оттянутой струне, которая начи-
нает свое движение из состояния покоя. Конфигурация струны,
представленная на фиг. 118 (длина струны /, центр струны от-
тянут на расстояние d), описывается следующими формулами:
Уа W ='
2dx
I
2d (/ - х)
I
при
при
таким образом,
[Z/2 I -1
j j .2d(z~21 Sin.^£dx =
0 Z/2 j
8d . пл ( nnc \
= ^S,n-2- (при = —).
Мы сразу видим, что Ап — 0 при четных значениях п (когда
синус обращается в нуль), а поэтому все четные гармоники про-
падают. С физической точки зрения это объясняется тем, что
для четных гармоник было бы необходимо существование узла
в центре струны, который всегда движется после освобождения
струны.
Следовательно, смещение нашей оттянутой струны опреде-
ляется путем сложения всех разрешенных (нечетных) мод:
Уо(х)= У Уп(х)= £ Ап sin
п нечетн. п нечетн.
где
Л Sd . пл
Ап~~ п2я2 sinT
Энергия n-й моды колебаний
1 _ лп 16d2mco2
^ = -4тй)'«Лп = -^-
поэтому при = tiTtc/l полная колебательная энергия струны
описывается следующим выражением:
\6d2tn ул со2 1бА2т у-' 1
эт4 2_у п2 п212 2-J п2
п нечетн. п нечетн.
£ Еп
п нечетн.
Методы Фурье
271
Но в последнем разделе мы видели, что
Е1 ______л2 .
лг2 ~ 8 ;
п нечетн.
следовательно,
V г? _ 2mc2d2 2Td2
Z2
где Т = рс2 — постоянное натяжение струны. В отсутствие дис-
сипации эта колебательная энергия должна равняться потен-
циальной энергии оттянутой струны до ее освобождения. Пре-
доставляем читателю доказать это.
Подведем итоги. Наша оттянутая струна может быть опи-
сана с помощью разложения Фурье по синусам. При освобож-
дении струны каждой компонентой Фурье определяется возбуж-
дение разрешенной нормальной моды колебаний. Метод нор-
мальных мод позволяет складывать энергии каждой моды для
нахождения полной энергии колебаний, которая должна рав-
няться потенциальной энергии оттянутой струны до ее освобож-
дения. Энергия n-й моды пропорциональна п~2 и уменьшается
с увеличением частоты. Четные моды запрещены начальными
условиями.
Разрешенные моды определяются начальными условиями.
Если бы по струне ударили молотком, то имеющие узел в точке
удара гармоники отсутствовали бы, как и в случае оттянутой
струны. Фортепьяно обычно устроено таким образом, что моло-
точек ударяет в точку струны, отстоящую от конца струны на
!/7 ее длины. Тем самым исключается седьмая гармоника, ко-
торая, складываясь с другими гармониками, вызывает диссо-
нанс.
Разложение в ряд Фурье прямоугольного импульса
скорости на струне
Рассмотрим теперь такую же задачу, как и в предыдущем
разделе, но только теперь в момент времени t = 0 смещение
струны z/0(*) будем считать равным нулю, а скорость v$(x) —
отличной от нуля. Деревянный молоточек шириной а ударяет по
центру струны длиной /, оба конца которой закреплены. В мо-
мент удара смещение
однако скорость
И (х) == О,
Г л I 1 I а
О при X-у
- <
I 1 I а
[у при
Распределение скорости на струне показано на фиг. 119.
272
Глава 9
Ряд Фурье имеет вид
«о (х) = £ уп = £ (йпВп sin
п п
где
1/2+а/2
п 2 f . юпх 1 4о . пл . ппа
®пВп = -г \ о sin—— dx= — sin -5-sm-^T-
L J ilJb 4Ъ
1/2—a/2
Мы снова видим, что ®пВп = 0 при четных значениях п
(sin пл/2 = 0), поскольку центр струны никогда не находится
Фиг. 119. Распределение скорости на струне длиной I с закрепленными кон-
цами в момент времени t = 0, когда в средней точке по струне ударили де-
ревянным молоточком шириной а.
Смещение Уа (х)—0, скорость Уо (x)=v при | х—Z/2 | < а/2, вне этой области скорость равна
нулю.
в покое, как это необходимо в случае четной гармоники. Сле-
довательно,
Е
п нечетн.
Энергия одной моды колебаний
Еп = т + в*) =4 т^п = Sin’4^-,
поскольку все Ап — 0. Далее,
п__ _ &п1
COj яс ’
так как основная частота он = пс/1. Таким образом, энергия
одной моды
Поскольку соп ос п, то мы снова видим, что энергия n-й моды
пропорциональна п~2 и уменьшается с увеличением частоты гар-
Методы Фурье
273
моники. Мы можем показать это, переписав энергию следую-
щим образом:
Р __ tnv2a2 sin2 ((йпа/2с) ______ mv2a2 sin2 а
р (<опа/2с)2 — —T2 a2-’
где аЛ = tonafec, и представив последнее выражение в виде ча-
стотно-энергетического спектра на фиг. 120. Знакомая кривая
sin2 а/а2 снова появляется в качестве огибающей значений энер-
гии для каждой частоты оъ.
Фиг. 120. Распределение энергии между гармониками соп струны, изображен-
ной на фиг. 119.'
Спектр Еп (со) со sin2 а/а2, где а=(опа/2с. Большая часть энергии струны приходится на
частотный интервал До«2лс/а. В случае когда а — &х (пространственная ширина
импульса), мы имеем ^t — Sxfc и Дсо Д/~2л: (теорема о ширине частотной полосы).
Если энергию моды с частотой coi обозначить через Еь то
Е3 — Ei/9 и £5 = ^1/25, поэтому основная часть энергии, за-
пасенной в импульсе скорости, должна приходиться на низкие
частоты. Первый нуль огибающей sin2 а/а2 соответствует значе-
нию
отсюда находится ширина центрального частотного пика, содер-
жащего основную энергию:
А 2лс
Лео «----.
а
Эта область частот гармоник, несущих основную энергию, на-
зывается «спектральной шириной» импульса. «Пространствен-
ную ширину» а импульса можно обозначить через Дх. Тогда
получим
Дх Дсо « 2лс,
274
Глава 9
Уменьшение ширины Дх молоточка будет приводить к увели-
чению области частот До, необходимой Для аккумуляции энер-
гии в прямоугольном импульсе скорости. Далее, с — скорость
волн на струне, поэтому величина Дх/с есть длительность им-
пульса Д/, так что
Дсо Д^ ж 2л,
или
Дv Д/ « 1.
Это соотношение выражает теорему о ширине частотной полосы,
с которой мы впервые встретились на стр. 139.
Отметим, что, поскольку частоты гармоник выражаются
формулой
плс
I ’
частотный интервал между гармониками равен лс/l. Когда длина
струны I становится очень большой (/->оо), интервал между
гармониками становится очень малым и его можно заменить
дифференциалом. Тогда в случае изолированного непериодиче-
ского импульса суммирование ряда Фурье заменяется интегра-
лом Фурье.
Спектр ряда Фурье
Ряд Фурье можно всегда представить в виде частотного
спектра. На фиг. 121, а приведены относительные амплитуды
частотных компонент прямоугольной волны, изображенной на
фиг. 114, причем каждому члену с синусом соответствует одна
спектральная линия. Аналогичным образом можно представить
зависимость энергии от частоты для случая оттянутой струны,
рассмотренной в одном из предшествующих разделов. Частота
r-й моды изменяется обратно пропорционально г2, где г — не-
четное число. Спектр энергетического распределения приведен
на фиг. 121, б.
Теперь предположим, что длина струны уменьшилась в два
раза, а полная энергия осталась неизменной. Частота основной
гармоники теперь увеличится до значения со'= 2глс//, а частот-
ный интервал между соседними спектральными линиями уд-
воится (фиг. 121, в). Снова, чем меньше область, в которой
сконцентрирована определенная величина энергии, тем шире
частотный спектр, необходимый для ее описания.
Часто (см., например, следующий раздел) ряд Фурье запи-
сывают в комплексной или экспоненциальной форме
оо
f(0= X dne‘^,
- оо
Методы Фурье
275
Ej = 2Et
шг -2г ~р
г 2лс
со^-т-
±2 Е' Ej
Q —- ~
। Z5 49
Зсо} 5co'j 7cuj
Действительная
плоскость
Мнимая
плоскость
-па) 0 +пси
cos mot = j (e^+ eln(vt)
-пси 0 + пои
Фиг, 121. а — разложение в ряд Фурье по синусам для прямоугольной волны
и ее частотный спектр; б — энергетический спектр оттянутой струны длиной 1\
в — энергетический спектр оттянутой струны длиной Z/2, полная энергия кото-
рой точно такая же, как в случае б (как и должно быть в силу теоремы
о ширине частотной полосы, чем больше концентрация энергии в пространстве
или во времени, тем шире соответствующий частотный спектр); д — комплекс-
ное представление частотного спектра функции cos со/, выраженной через экс-
поненциальные функции; е — то же самое для функции sin со/.
276
Глава 9
где 2dn = ап — ibn при п 0 и 2dn = ап-\- ibn при п < 0. По-
скольку
cos /до/ = у sin /ко/ = (eitUdt — e~inG)t)t
для каждой частотной компоненты /гео частотный спектр на ком-
плексной плоскости дает две спектральные линии: одну на ча-
стоте а другую на частоте —/до. На фиг. 121, д приведено
комплексное представление косинуса, целиком лежащее на ве-
щественной плоскости, а на фиг. 121, е — комплексное представ-
ление синуса, целиком лежащее на мнимой плоскости.
Амплитуды линий в областях положительных и отрицатель-
ных частот являются, конечно, комплексно-сопряженными, по-
этому их произведение равно квадрату истинной амплитуды.
Понятие отрицательной частоты возникло, как можно видеть,
благодаря тому, что увеличение фазы члена противопо-
ложно по знаку увеличению фазы члена е1™* с положительной
частотой. Знак минус перед амплитудой компоненты с отрица-
тельной частотой в разложении синуса указывает на то, что она
находится в противофазе по отношению к компоненте с поло-
жительной частотой.
Интеграл Фурье
В начале этой главы мы видели, что разложение функции
в ряд Фурье может быть записано в виде
оо
f(x)= Z dneinx,
где 2dn — ап — ibn при n > 0 и 2dn — ап'+ ibn при п < 0. Если
в качестве переменной мы возьмем время, то это разложение
может быть переписано следующим образом:
f(0 = Z 4^.
п«—оо
Если Т — период функции, то
Г/2
= ± j f(t)e~iw,tdt (n = 0, ±1, ±2,...).
— T/2
Используя формулу co = 2nvi, где vi — основная частота,
мы можем записать
ОО г Т/2
/(/)= У (
1-Г/2
Методы Фурье
277
Если теперь устремить период Т к бесконечности, то мы тем
самым выделим один импульс, поскольку можно сказать, что
он не будет повторяться в течение бесконечного интервала вре-
мени. Частота vi = 1/7 —> 0, и величина \/Т становится беско-
нечно малой; ее можно обозначить через dv.
Далее, когда число и становится таким большим, как нам
нужно, и \/Т = vi —► 0, величину nv\ можно обозначить через v.
Сумма по п становится интегралом, поскольку изменение п на
единицу приводит к бесконечно малому изменению величины
п/Т = nvi.
Следовательно, в случае бесконечного периода, т. е. одного
непериодического импульса, мы можем записать функцию f(t)
в виде интеграла Фурье:
f(t)= \ \ f (f)e~i2nvt dt \ei2nvtdv.
— со
Эта формула может быть переписана в виде преобразования
Фурье-.
f(f) = F (v) ei2nvt dv,
— оо
где величина
F(v) = J f(t)e-i2wtdt
называется фуръе-образом функции f(t). На преобразовании
Фурье мы подробнее остановимся в следующем разделе данной
главы.
Если период конечен и /(/)—периодическая функция, то из
выражения
/(/) = £
/г =—оо
мы видим, что разложение содержит бесконечное число компо-
нент с разными частотами, причем частотное расстояние между
соседними компонентами конечно. Но если f(t)—непериодиче-
ская функция (период бесконечен), то
/(/)= \ F (v)ei2nvt dv.
278
Глава 9
Здесь мы имеем интеграл (а не сумму), значение которого оп-
ределяется бесконечным числом частотных компонент с ампли-
тудой F(v), Их частоты расположены вплотную друг к другу,
поскольку v изменяется непрерывно, а не дискретно.
В случае периодической функции амплитуда коэффициента
для ряда Фурье дается выражением
Т/2
dn — -^- ( f dt,
-.«T2
тогда как соответствующая амплитуда в интеграле Фурье та-
кова:
оо
F(v)dv = d(-y) J f (f)e~i2nvt dt.
— оо
Этим подтверждается то, что было сказано, когда речь шла
о частотном спектре: чем уже или менее растянут импульс, тем
шире частотная область компонент, необходимых для его опи-
сания. Для корректного определения истинной монохроматиче-
ской волны, имеющей одну частоту и длину волны (или волно-
вое число), необходим волновой цуг бесконечной длины. Ни один
волновой цуг конечной длины не может быть задан одной-един-
ственной длиной волны.
Поскольку бесконечно длинная монохроматическая волна,
имеющая одну частоту и постоянную амплитуду, не несет ин-
формации, ее амплитуда должна быть промодулирована путем
добавления других частот (как мы уже видели это в гл. 4),
прежде чем изменение амплитуды сможет передать информа-
цию. Эти представления выражены в виде теоремы о ширине
частотной полосы.
Фурье-образы
Мы только что видели, что интеграл Фурье, представляющий
непериодический волновой пакет /(/), можно записать в виде
f(0 = F (v) ei2nvt dv,
— оо
где
оо
F(v) = f(t)e~i2™‘dt
— оо
Методы Фурье
279
— его фурье-образ. Стало быть, в результате интегрирования
по одной переменной получается функция другой переменной.
Обе переменные входят как произведение в показатель экспо-
ненциальной функции, поэтому произведение должно быть без-
размерным. Любая пара переменных, удовлетворяющих этому
условию, составляет пару фурье-образов, поскольку из симме-
трии выражений мы сразу видим, что если
F(y) есть фурье-образ функции /(/),
то
f (— v) есть фурье-образ функции F(t).
Если нам задана функция времени, то мы сразу можем полу-
чить ее частотный спектр, и наоборот. Аналогичным образом
данное распределение в пространстве может быть представлено
как функция волновых чисел (при этом перед фурье-образом
просто появляется множитель 1/2л, поскольку k = 2лД).
Такой же множитель появится, если вместо v использовать со.
Если функция f(Z) четная, то отличны от нуля только члены, со-
держащие косинус экспоненциальной функции. В результате мы
получаем косинус-преобразование Фурье:
f (t) = J F (v) cos 2nv/ dv,
oo
F (v) = f (t) cos 2jiv/ dt.
о
Если функция f(t) нечетная, то отличны от нуля только члены,
содержащие синус, поэтому в приведенных выше выражениях
косинусы заменяются синусами. Отметим, что в эти выражения
входят только положительные частоты. Фурье-образ четной
функции — действительный и четный, а нечетной функции —
мнимый и нечетный.
Примеры фурье-образов
Для иллюстрации метода мы выбрали два примера преоб-
разований Фурье, имеющих большое значение в физике. Это
преобразования:
1) прямоугольной функции (функции «щели»), изображен-
ной на фиг. 122, а\
2) гауссовой функции, изображенной на фиг. 124.
280
Глава 9
Обе функции четные, и, следовательно, их фурье-образы дей-
ствительны. Физический смысл этого заключается в том, что все
Фиг. 122. а — узкая прямоугольная функция высотой h, отличная от нуля во
временном интервале d; б — ее фурье-образ.
частотные компоненты имеют одинаковую фазу в нулевой мо-
мент времени.
Прямоугольная функция
Это функция, имеющая высоту h во временном интервале от
—d/2 до d/2. Следовательно, f(t) = h при |/|<d/2 и f(t)=O
при |/| > d/2; поэтому
oo d/2
F(v)= f (t) e~i2mt dt = he~i2mt dt =
— oo —d/2
—____ h [e-i2riVd/2___ei2nvd/21 = fa] s*n a
Z2itv L J a 9
где a = 2jvvd/2.
Мы снова видим, что преобразование Фурье прямоугольного
временного импульса приводит к частотной зависимости вида
sin a/a. Преобразование Фурье аналогичного пространственного
импульса будет давать точно такое же распределение как функ-
цию длины волны. Из фиг. 122, б видно, что с уменьшением вре-
менной длительности импульса расстояние между нулями фурье-
образа увеличивается. Отрицательные значения фурье-образа
указывают на обращение фазы амплитуды у соответствующей
частотной компоненты.
Применение преобразования Фурье при анализе
дифракции света на щели
Этот вопрос, вообще говоря, относится к теме следующей
главы, где он будет исследован другим методом. Здесь же мы
выведем основной результат в качестве примера преобразова-
Методы Фурье
281
ния Фурье. Элегантность этого метода обнаруживается в зада-
чах более сложных, нежели одномерный пример, рассмотренный
здесь. С обобщением метода Фурье на двумерный случай мы
встретимся в гл. 10, когда будем рассматривать дифракцию на
прямоугольном или круглом отверстии.
Амплитуду света, проходящего через щель, можно предста-
вить в пространстве как прямоугольный импульс, изображенный
на фиг. 122, а, где d теперь — ширина щели. Плоский фронт
волны монохроматического света с длиной волны К, падающий
по нормали на экран с узкой щелью шириной d ~ X, является
Фиг. 123. Дифракция на щели.
Монохроматическая плоская волна, падающая нормально на узкую щель шириной dt
дифрагирует под углом 0. Распространяющийся в этом направлении свет фокусируется
в точку Р, где амплитуда равна сумме всех вкладов с учетом их фаз относительно вклада
центральной точки щели. Вклад от точки х щели сдвинут по фазе относительно вклада
центральной точки щели на величину ф==2лл: sin 0/Л. Разность фаз между вкладами точек,
находящихся на противоположных краях щели, равна <p=2nd sin 0/Х=2а.
источником вторичных плоских волн, дифрагирующих во всех
направлениях относительно экрана. Дифрагированные волны
фокусируются на втором экране, распределение интенсивности
(квадрата амплитуды) на котором мы хотим выразить через
ширину щели d, длину волны X и угол дифракции 0.
Как показано на фиг. 123, свет, дифрагированный под
углом 0, фокусируется в точку Р на экране РР0. Чтобы найти
амплитуду света в точке Р, нужно просто просуммировать все
малые вклады в дифрагированную волну с учетом всех разно-
стей фаз. Разности фаз обусловлены различиями в длине пути
от точек щели, которые служат источниками волн, дающих
вклады в дифрагированную волну, до точки Р. Амплитуда ди-
фрагированной волны в ^-пространстве, или пространстве вол-
новых чисел, представляет собой фурье-образ импульса шири-
ной d в х-пространстве (фиг. 122, б).
Сопряженные параметры v и t обратны друг другу, но
в произведение величин х и k входит множитель 2л, а поэтому
282
Глава 9
необходимо ввести либо множитель 1/2л перед одним из инте-
гралов преобразования, либо множитель 1/д/2л перед каждым
интегралом преобразования. Однако этот множитель входит
в постоянную величину максимальной интенсивности, а все дру-
гие значения интенсивности измеряются относительно этой ве-
личины.
Итак, амплитуда малых волновых источников, распределен-
ных по щели шириной d, равна постоянной амплитуде h им-
пульса и метод преобразования Фурье заключается в сложении
вкладов этих источников путем интегрирования.
Из фиг. 123 мы видим, что разность путей для волн, выходя-
щих из центра щели и из точки х щели, равна х sin 0, поэтому
разность фаз
2тс
Ф = -у- х sin 0 = kx sin 0.
Л
Произведение kx sin 0 можно записать в виде скалярного произ-
ведения k x = kix, что удобнее для обобщения на случай про-
странства двух и трех измерений. Здесь к — волновой вектор,
задающий направление распространения волны, I — направляю-
щий косинус:
I == cos (-у — 0) == sin 0,
а 0 — угол между вектором к и осью х.
Сложение всех малых вкладов источников, распределенных
по щели, для нахождения амплитуды волны в точке Р методом
Фурье приводит к следующему результату:
+d/2
= \f(x)e~^dx = he~iktxdx = ^^\
— d/2
где
kid jt , . л
a = = — a sin 0.
2 /г
Интенсивность / в точке Р определяется квадратом амплитуды,
т. е. произведением F(k) на комплексно-сопряженную вели-
чину F* (k), так что
г d2h2 sin2 a
4л2 a2 ’
откуда получаем интенсивность главного максимума при a = О
(в точке Pq на фиг. 123):
т d2/i2
Методы Фуръе
283
Распределение Гаусса, или нормальное
распределение (кривая ошибок)
Эта кривая часто используется для представления формы
волнового пакета, соответствующего частице, в квантовой ме-
ханике. Фурье-образ одного гауссова распределения представ-
ляет собой другое гауссово распределение.
На фиг. 124, а изображена гауссова кривая ошибок высо-
той h, симметричная относительно момента времени t = 0 и
описываемая выражением f(t) = he-t2№2 , где о — параметр ши-
а d
Фиг. 124. а — гауссова функция; б — ее фурье-образ, тоже являющийся гаус-
совой функцией.
рины, называемый стандартным отклонением; он равен тому
значению абсциссы /, при котором ордината кривой в е_1/2 раз
меньше ее максимума.
Фурье-образ гауссовой функции имеет вид
оо оо
Р ___ fie-t2l2&e-i2nvt ^(-^2/2o2-i2nvf+2n2v2o2)e-2n2V2(J2 —
— оо — оо
оо
= he-2n2v2°2 ^-(^/V2a+i V2HVQ)2 rff
Производя замену
х = //д/2сг + i V2nvo, dt = dx
и учитывая, что интеграл
оо
е~х2 dx= 'х/л,
— оо
получаем
F (v) = h ^/2noe~2jiv2°\
Это тоже гауссово распределение в пространстве частот
(фиг. 124,6)—с другой высотой ho д/2л и с другим параме-
284
Глава 9
тром ширины (>\/2л а) . Как и в случае щели и соответствую-
щего ей дифракционного распределения, мы снова видим, что
короткий во времени импульс (шириной о) приводит к широ-
кому частотному распределению (шириной (д/2яог) 9-
Если кривую нормировать так, чтобы ее площадь была равна
единице, то высота h будет равна (^2дсг) , поскольку
оо
V2ita J
— оо
Следовательно, импульс, описываемый нормированной кривой,
преобразуется в импульс единичной высоты, а импульс единич-
ной высоты преобразуется в импульс шириной (д/2ло) .
Фиг. 125. а — семейство нормированных гауссовых функций, переходящих
в пределе при неограниченном уменьшении ширины в дельта-функцию Дирака;
б — семейство их фурье-образов.
Рассмотрим семейство гауссовых функций с нормированной
на единицу площадью их кривых, в котором высота h посте-
пенно увеличивается, а ширина сг постепенно уменьшается.
В пределе неограниченного роста высоты (Л—>оо) и неограни-
ченного уменьшения ширины (сг —► 0) мы придем к бесконечно
узкому импульсу с конечной единичной площадью. Такой им-
пульс называется дельта-функцией Дирака, которая обозна-
чается через б. Фурье-образ такой функции — постоянная, рав-
ная единице. На фиг. 125 представлено семейство нормирован-
Методы Фуръе
285
Фиг. 126. Некоторые часто встречающиеся пары фурье образов.
285
Глава 9
ных гауссовых распределений и их фурье-образы. На фиг. 126
представлен ряд часто встречающихся пар фурье-образов. (За-
дачи 9.10—9.17.)
Задача 9.1
Определите по виду двух кривых, изображенных на фиг. 127
(без всякой математики), каковы постоянные в разложении этих
волн в ряд Фурье, имеются или отсутствуют в нем синусы, ко-
синусы, нечетные или четные гармоники и каковы частотные
области гармоник в таком разложении.
Задача 9.2
Покажите, что в случае периодической волны, которая через
каждую половину периода, сохраняя свою форму, изменяет
знак, в спектре Фурье отсутствуют четные частотные гармоники.
Проанализируйте этот результат с физической точки зрения.
Задача 9.3
В случае чисто синусоидальной волны у — h sin х однополу-
периодный выпрямитель исключает полупериоды с отрицатель-
ной амплитудой. Покажите, что ряд Фурье для волны на выходе
выпрямителя имеет вид
h /1 । л 2 n
у = — I 1 + -т—Т Sin X-r-z- cos 2x —
Л \ 1•2 1*3
2 . 2 c X
— V"F- cos 4x-r? cos 6x — . . . I .
3*0 0'7 /
Методы Фурье
287
Задача 9.4
Двухполупериодный выпрямитель просто меняет знак ам-
плитуды синусоидальной волны в те полупериоды, когда ампли-
туда отрицательна. Покажите, что это приводит к удвоению ам-
плитуды выходного сигнала и устранению нежелательной мо-
дулирующей пульсации первой гармоники.
Задача 9.5
Покажите, что в интервале от —л до +л функцию f(x) = х2
можно представить в виде ряда
f W = у л2 + У (— 1)" cos пх.
Задача 9.6
Исходя из разложения в ряд (по синусам) прямоугольной
волны единичной высоты:
/ (х) = ( sin х +1 sin Зх +1 sin 5х + ... ) ,
покажите, что
1 1 . 1 1 । л
1 ~ з" + 1Г~Т ' =Т-
Задача 9.7
Неограниченная последовательность импульсов с единичной
высотой и длительностью 2т описывается формулами:
0 при -уТ< J < — т.
1 при — т < t • <
0 при т < t < < — т 2
и
+ П =
где Т — интервал между соседними импульсами. Покажите, что
эта функция четная и разлагается в ряд Фурье по косинусам,
причем соответствующие коэффициенты разложения таковы;
2 . 2л
Задача 9.8
Покажите, что в задаче 9.7 ап 4т/7 при т -> 0 и коэффи-
циенты ап не зависят от п, а спектр состоит из бесконечного
числа равноотстоящих линий постоянной высоты. Теперь опи-
сание последовательности импульсов во времени и в простран-
288
Глава 9
стве частот имеет одинаковый вид. Такие функции называются
взаимно обратными. Каков физический смысл того, что ап —► О
при т —> О?
Задача 9.9
Импульсы, рассмотренные в задачах 9.7 и 9.8, имеют ам-
плитуду У2т и единичную площадь. Покажите, что при т -> О
бесконечная последовательность импульсов описывается функ-
цией
f (0 — у" + Т X cos
/1=1
При таких условиях амплитуда исходных импульсов стано-
вится неограниченной, энергия каждого импульса остается ко-
нечной и полная энергия бесконечной последовательности им-
пульсов также неограниченно велика. Амплитуда отдельных ча-
стотных компонент конечна, и ей соответствует конечная энер-
гия, но бесконечное число компонент снова приводит к неогра-
ниченной энергии.
Задача 9.10
Единичная ступенчатая функция задается следующим обра-
зом (фиг. 128):
( 1 при t > 0,
/(/)==1о при КО.
Такая функция играет важную роль в физике и технике, но она
не удовлетворяет условию существования представления Фурье,
А
। f(t)
।
7
О
Фиг. 128.
поскольку интеграл от нее неограничен. Подобная же функция,
определенная в конечном интервале, будет удовлетворять этому
условию. Эта функция задается так:
fw = {i
при 0 < t < Г,
при всех других значениях t.
Методы Фурье
289
Исходя из выражения для ее фурье-образа
оо т
F(fs>)-= J f (t) е~1,л* di =
— оо О
покажите, что при больших значениях Т
1 1 Г
f (?) = -5- + -5— \ —:— d(0.
' '' 2 1 2л J ia>
— оо
(Отметим, что интеграл в последней формуле равен —л при
t < 0 и 4-л при t > 0. Такое спектральное представление пока-
зано на фиг. 126.)
Задача 9.11
Цуги световых волн, испускаемые излучающими атомами,
имеют конечную длину-. Только неограниченный волновой цуг
можно характеризовать одной частотой. Следовательно, излуче-
ние атомов характеризуется целой полосой частот, которые дают
вклад в спектральную ширину линии. Случайные фазовые соот-
ношения, существующие между этими волновыми цугами, при-
водят к некогерентности и вызывают трудности в получении
интерференционных эффектов с излучением независимых источ-
ников.
Допустим, что цуг монохроматической волны с частотой vo,
имеющий конечную длину, описывается косинусом с постоянной
амплитудой /о, которая отлична от нуля в интервале от —т/2 до
т/2. Расстояние / = сг называется длиной когерентности. Ком-
плексная форма записи такого цуга имеет вид
f (t) = - т/2 < t < т/2.
Этот конечный цуг представляет собой суперпозицию частотных
компонент с амплитудой F(v), определяемой преобразованием
Фурье
F(v) = J f (f)e~i2nvt dt — dt.
-00 — т/2
Покажите, что
__г sin [л (у —- у0] т]
'° Л (У ~ Уо) т 9
а распределение относительной энергии в спектре соответствует
распределению интенсивности в случае дифракции на одной
щели.
Ю Зак, 1186
290
Глава 9
Задача 9.12
Покажите, что полная ширина первого максимума энергетиче-
ского спектра в задаче 9.11 равна частотному интервалу 2Av,
которым определяется введенная в задаче 9.11 длина когерент-
ности /, согласно формуле Лд/АЛ, где X0 = c/v0.
Задача 9.13
Для излучения рубинового лазера величина Av, о которой
говорится в задаче 9.12, равна 104 Гц, а Ло = 6,936-10~7 м. По-
кажите, что АЛ = 1,6-10“17 м, а длина когерентности I излуче-
ния составляет 3-104 м.
Задача 9.14
В случае затухающих гармонических колебаний излучаю-
щего атома, рассмотренного в гл. 1, энергия конечного волнового
пакета описывается выражением Е = EQe^t/Q. На основании фи-
зических соображений покажите, что, согласно этому выраже-
нию, частотный спектр такого пакета занимает область Дсо около
частоты (Оо, где добротность Q = соо/Асо. (Предлагаемая схема
рассуждения следующая. При максимальной амплитуде все ча-
стотные компоненты находятся в фазе. Через время т фаза ча-
стотной компоненты соо изменится на величину <о0т. Изменение
фаз других компонент приводит к их взаимной компенсации
в результате интерференции. Какие значения ширины частотной
полосы и изменения фаз являются допустимыми?)
Задача 9.15
Рассмотрите задачу 9.14 более формально. Пусть затухаю-
щая волна описывается функцией времени
f (/) =
где /о— постоянный коэффициент, а т — постоянная времени
затухания. Исходя из преобразования Фурье, покажите, что рас-
пределение амплитуды в частотном спектре имеет вид
F (v) =--------------.
' ' 1/т + /2л (v — v0)
Записав знаменатель в виде reiQ, покажите, что распределение
энергии гармоник в области v — Vo таково:
F2 f2
,rwi г2 (1/т)2 + (со~со0)2 •
Задача 9.16
Покажите, что кривая зависимости ^(v)!2, найденной в за-
даче 9.15, является резонансной кривой энергии, рассмотренной
в гл. 2. Покажите, что ее ширина на уровне, соответствующем
Методы Фурье
291
половине максимального значения, равна (/от)2, т. е. Av = 1/лт.
Используя формулу задачи 9.12, покажите, что спектральной
линии с шириной А% = 3-10~9 м соответствует ограниченный
волновой пакет с длиной когерентности 32-10~6 м (32 мкм),
если Ло = 5,46-10~7 м.
Задача 9.17
Фурье-образ прямоугольного импульса высотой h и шири-
ной d имеет вид ^(v) = hd sin а/а, где а = 2nvd/2. Покажите,
что фурье-образ импульса в виде равнобедренного треугольника
с высотой h и основанием 2d таков:
F (v) = 4h2d2
где а = 2nvd/2.
Треугольный импульс можно получить, сдвигая один прямо-
угольный импульс высотой h и шириной d вдоль основания дру-
гого такого же импульса и откладывая как ординату треуголь-
ного импульса отрезок на оси абсцисс, на котором перекры-
ваются два прямоугольных импульса (максимальное значение
соответствует их полному перекрыванию). Такое преобразова-
ние называется сверткой.
Сводка основных результатов
Ряд Фурье
Любую функцию можно представить в интервале от —л до
+л следующим образом:
f w=4a°+ ап cos пх + bn sin пх,
где
ап — 4- \ f (х) cos пх dx, bn = — ( f (х) sin пх dx.
Л J Л J
Интеграл Фурье (преобразование Фурье)
Одиночный непериодический импульс можно записать в виде
ОО Г оо
\ \ f (t)e~i2nvtdt ei2mt dv
— oo ' oo
10*
292 Глава 9
или оо f(/) = J F (v) el2nvt dv, — оо
где оо F(v)= J f dt. — оо
Функции f (/) и F(v) — фурье-образы друг друга.
При замене t на к и v на k перед правой частью каждого
преобразования появляется множитель 1/д/2л. Фурье-образ пря-
моугольного импульса равен sin а/а (этот результат играет важ-
ную роль в теории дифракции света).
Глава 10
Интерференция и дифракция света
Для всех волн характерны явления интерференции и дифрак-
ции, возникающие при сложении волн, идущих от разных источ-
ников. В каждой точке интерференционной или дифракционной
картины разность фаз складываемых волн зависит от разницы
в путях, проходимых отдельными волнами. Суммарная ампли-
туда может быть и больше, и меньше амплитуды любой одиноч-
ной компоненты.
Различие между интерференцией и дифракцией заключается
просто в масштабе. В случае дифракции света на узкой щели
или дифракции света малого источника размер отверстия или
источника — порядка длины волны света. Согласно принципу
Гюйгенса, каждую точку волнового фронта в плоскости щели
можно рассматривать как источник вторичных волн, а дальней-
шую эволюцию системы дифрагированных волн можно найти
путем сложения этих вторичных волн.
В случае интерференции света, идущего от двух или боль-
шего числа таких узких щелей, каждую щель можно рассма-
тривать как источник одной волны. Поэтому число компонент,
складываемых в конечной интерференционной картине, равно
числу щелей (или источников). Это означает, что на полном
изображении двух и большего числа щелей должны наблюдать-
ся эффекты и интерференции и дифракции. В дальнейшем мы
увидим, что это действительно так.
Суперпозиция волн сводится к сложению двух или большего
числа гармонических компонент с разными фазами. В основе
нашего подхода лежит сложение векторов, показанное на
фиг. 13. Формально мы уже показали в гл. 9 (стр. 281), что ме-
тод преобразования Фурье в случае дифракции эквивалентен
такому сложению.
Интерференция
Интерференция волн, распространяющихся
от двух щелей или источников
На фиг. 129 буквами Si и S2 обозначены два одинаковых
источника, разделенные расстоянием /. Каждый источник излу-
чает волну с угловой частотой со и амплитудой а. В точку Р,
294
Глава 10
Фиг. 129. Интерференция в точке Р волн от двух одинаковых источников Si
и S2, находящихся на расстоянии f друг от друга.
Результат интерференции зависит только от разности путей х2— Xi. Геометрическим
местом точек с постоянной разностью фаз 6 = (2л/Л) (х2—xj является семейство гипербол
с фокусами в точках Si и S2.
достаточно удаленную от источников Si и S2, приходят только
плоские волновые фронты со смещениями
У1 = a sin (со/ — kx\) от Sb
у2 = a sin (со/ — kx2) от S2.
Отсюда находим разность фаз между сигналами в точке Р:
Ъ = k(x2 — Xi) — (Х2 — Xj).
Она обусловлена разностью путей х2— Xi и зависит только от
Хь х2 и длины волны X, но не зависит от какого-либо изменения
в поведении источника. Для этого необходимо, чтобы фаза сиг-
нала, излучаемого каждым источником, не изменялась резкими
скачками. Такие источники называются когерентными.
Складывая смещения в точке Р, находим полное смещение
= ух -|- у2 = a [sin (со/ — kx\) + sin (со/ — kx^}
Интерференция и дифракция света
295
и интенсивность
I = R2 — 2а2 (1 + cos 6) = 4а2 cos2 у.
Когда
6 1
COS у = 1,
интенсивность максимальна:
/ = 4а2,
а компоненты смещения усиливают друг друга, т. е. мы имеем
усиливающую интерференцию. Это происходит при условии
т = т — == пп
£ At
т. е. когда разность путей
х2 — *1 = пХ.
Когда
д Л
cos — О,
интенсивность обращается в нуль, а компоненты гасят друг
друга, т. е. мы имеем ослабляющую интерференцию. Для этого
необходимо, чтобы выполнялось условие
4 = (2n + l)^- = i(r2-x1)
или разность путей
Л-2 — Х1 = (« + у) Л.
Геометрические места точек, или траектории, для которых
разность х2 — (или б) постоянна, представляют собой, как
показано на фиг. 129, гиперболы с фокусами в точках Si и S2.
(В трехмерном случае геометрическим местом точек будут ги-
перболические поверхности вращения.)
Интерференция в случае двух одинаковых
источников, разделенных расстоянием f
а. Расстояние f >> X, опыт Юнга
Один из наиболее известных способов демонстрации интерфе-
ренции света — опыт Юнга с щелями. В таком опыте (схема
его приведена на фиг. 130) две одинаковые щели Si и S2 осве-
щаются монохроматическим светом одного источника, находя-
296
Глава 10
щегося на одинаковом расстоянии от щелей Si и S2, Картина
наблюдается на экране, который расположен на расстоянии I
от плоскости щелей.
Интенсивность в точке Р экрана описывается выражением
I = = 4а2 cos2 —.
Расстояние РР$ = z и интервал между щелями f намного
меньше I (это величины порядка 10—3 Z), что условно показано
Фиг. 130. Интерференция волн, идущих от двух одинаковых источников Si
И Зг-
Волны интерферируют в точке Р с разностью фаз б=(2л/А) (х2—Xi)=(2n/A) f sin 0«(2jt/X) fz/l.
Расстояние / намного больше z и f, поэтому прямые SiP и S2P практически параллельны.
В плоскости РР0 образуются интерференционные полосы с интенсивностью Z=/ocos26/2.
разрывами линий Xi и х2 на фиг. 130. Прямые S\P и S2P можно
считать почти параллельными. Поэтому в очень хорошем при-
ближении разность путей запишется в виде
х2 —• Xi == f sin 0 = f -у-,
и, следовательно,
5 2л , ч 2л е . п 2л f z
6 — д, (^2 *^i) f sin 0 л * / ’
Если
I = 4а2 cos2-|->
то
/ = /0 = 4а2,
Интерференция и дифракция света
297
когда cos 6/2 = 1, т. е. когда разность путей
= ±Л, ±2Л, ..±пК,
и
/ = 0,
когда cos 6/2 = 0, т. е. когда
с z . А, , ЗА, , / । 1 \ л
Если принять, что z — 0 в точке PQl то зависимость интен-
сивности на экране PPq от z будет такой, как показанная на
фиг. 130, и картина будет представлять собой ряд чередующихся
-5л -Зл -л 0 л Зл 5л -^5
Фиг. 131. Интенсивность внутри интерференционных полос изменяется пропор-
ционально cos2 6/2, где 6 — разность фаз интерферирующих волн.
Энергия, потерянная в области ослабляющей интерференции (в минимумах), перераспре-
деляется в область усиливающей интерференции (в максимумы).
светлых и темных полос, параллельных направлению щелей.
Светлые полосы с интенсивностью I = 4а2 соответствуют z —
= rihl/f, а темные полосы с интенсивностью 1 = 0 соответствуют
z = (м -j- */2) МД где п— так называемый порядок интерферен-
ционной полосы. Центральная светлая полоса в точке Ро имеет
нулевой порядок п = 0. Расстояние на экране между двумя
светлыми полосами порядка п и n + 1 дается формулой
2п+1-гп = [(п+\)-п]ф = ф,
которая дает также расстояние между двумя соседними тем-
ными полосами. Таким образом, расстояние между полосами
постоянно и не зависит от п. Измерив это расстояние, а также
величины I и /, можно определить X.
Кривая распределения интенсивности (фиг. 131) показывает,
что в том случае, когда две волны приходят в точку Р точно
в противофазе, при интерференции они гасят друг друга и в ре-
зультате суммарная интенсивность, или поток энергии, равна
нулю. Из закона сохранения энергии следует, что энергия может
лишь перераспределиться и потери энергии в области с нулевой
298
Глава 10
интенсивностью должны компенсироваться увеличением энергии
в области с максимальной интенсивностью. Поскольку среднее
значение величины cos2 6/2 равно V2, интенсивность, усреднен-
ная по всему интерференционному распределению и равная
сумме отдельных интенсивностей излучения от каждой щели,
определяется штриховой линией, проведенной на уровне 1=2а2.
При анализе дифракционных явлений необходимо помнить
о двух важных особенностях интерференционных полос:
1) изменение интенсивности в них описывается множителем
cos2 6/2;
2) максимумы соответствуют разности путей, равной нулю
или целому числу длин волн, а минимумы соответствуют раз-
ности путей, равной нечетному числу половин длин волн.
б. Расстояние f <С X (kf <С 1, где k = 2лД).
Если разность фаз сигналов, выходящих из источников Si и
S2, равна нулю, то интенсивность в некоторой удаленной точке Р
можно записать в виде
I = 4а2 cos2 j = 4ZS cos2 ~ 4ZS,
где разность путей S2P — SjP = f sin 6 и Is = a2 — интенсив-
ность излучения каждого источника. Поскольку f <С % (kf <С 1),
интенсивность очень слабо зависит от 0, и два источника можно
заменить одним источником с амплитудой излучения 2а.
в. Дипольное излучение (f X)
Если же сигналы выходят из источников Si и S2 в противо-
фазе, то их полная разность фаз в некоторой удаленной точке Р
равна
6 = 60 + kf sin 9,
где 6о = л — разность фаз, введенная в источнике. Интенсив-
ность в точке Р дается выражением
I = 4/s cos2 у = 41 s cos2 (f + ) =
= 41 s sin2 ) & is (kf sin e)2,
поскольку kf <c 1.
Два противофазных источника такого рода образуют диполь,
интенсивность излучения I которого намного меньше интенсив-
ности излучения Is отдельного источника, если kf <С 1. Как
видно из приведенной выше формулы, эффективность излучения
зависит от произведения kf. При фиксированном расстоянии f
диполь на низких частотах (при малых значениях k) менее эф-
фективен как излучатель, чем на более высоких частотах.
Интерференция и дифракция света
299
Фиг. 132. Зависимость интенсивности I от направления 0 при интерференции
волн двух одинаковых источников, которые сдвинуты по фазе относительно
друг друга на л; радиан и образуют диполь.
Расстояние между источниками f < X. Ось диполя ориентирована в направлении 0=±л/2*
На фиг. 132 представлена зависимость интенсивности излу-
чения I от полярного угла 0. Мы видим, что, когда ось диполя
совпадает с осью 0 = л/2, интерференция, приводящая к полной
взаимной компенсации компонент, имеет место только для пер-
пендикулярных осей 0 = 0 и 0 = л. Направление (т. е. угол 0),
соответствующее интерференции с полным усилением компо-
нент, не существует. Интенсивность излучения вдоль осей 0 =
= л/2 и 0 = Зл/2 максимальна, но и здесь она равна всего
лишь
/ = (^)Ч,
где kf <С 1.
Направленность излучения диполя используется при созда-
нии передающих антенн. В акустике громкоговоритель можно
рассматривать как мультипольный источник. В выходной пло-
скости громкоговорителя формируются волны сжатия, а в его
задней части — волны разрежения. Отражение акустических
волн от окружающих стен приводит к нежелательным интерфе-
ренционным эффектам, для устранения которых громкоговори-
тель помещают в ящик. У ящиков, отражающих на низких часто-
тах (или ящиков с обращением фазы), в той стенке, к которой
300
Глава 10
обращен выход громкоговорителя, имеется отверстие. Расстоя-
ние от него до задней поверхности громкоговорителя делают
равным половине длины волны акустического излучения. Тогда
отверстие действуе как второй источник, находящийся в фазе с
выходом громкоговорителя, что улучшает частотные характери-
стики всего устройства. (Задачи 10.1 — 10.5.)
Интерференция в случае линейной цепочки
из N одинаковых источников
На фиг. 133 изображена линейная цепочка из N одинаковых
источников, расположенных на постоянном расстоянии f друг
Фиг. 133. Линейная цепочка из N одинаковых источников, интервал между ко-
торыми равен f, излучает в направлении 0.
Излучение принимается в удаленной точке Р, где полная амплитуда излучения равна
R=a [sin (W6/2)/sin (6/2). Здесь а —амплитуда излучения отдельного источника и 6»
«=(2л/Х) f sin 0—разность фаз между соседними источниками.
от друга и испускающих сигналы с нулевой разностью фаз
(бо = 0). В удаленной точке Р разность фаз между сигналами,
приходящими от двух соседних источников, имеет вид
6 = -v-f sin е,
где 9 — угол между нормалью к линии источников и направле-
нием на точку Р. Полная амплитуда в точке Р находится путем
сложения одинаковых вкладов от каждого источника с постоян-
ной разностью фаз б между последовательными вкладами.
Интерференция и дифракция света
301
Но ранее (фиг. 13) мы установили, что полная амплитуда
такой суперпозиции равна
п — „ sin (W2)
sin <5/2
где а — амплитуда сигнала от каждого источника. Поэтому ин-
тенсивность можно записать в виде
г_р2___^2 sin2 (Nd/2)_. sin2 (Nnf sin 0/Л) _ , sin2 WP
1 — K~ — a sin2 (6/2) — ls sin2 (nf sin e/A) ~ ‘s sin2 0 ’
где ls — интенсивность излучения одного источника, а (3 =
= nf sin 0Д. Если мы выберем случай W = 2, то получим фор-
мулу для распределения интенсивности в интерференционном
опыте Юнга с двумя щелями:
г т sin2 26 лт п о л т 9 6
I==Is "sin2/'= 41 s cos ₽ = 415 cos У •
Мы можем исследовать распределение интенсивности для слу-
чая N источников, анализируя изменение величины sin2 Лф/sin2 р.
Мы видим, что при
P = -yfsin0 = O, ±л, ±2л и т. д.,
т. е. при
fsin0 = O, ±Л, ±2Л, ... ±пЛ,
имеет место усиливающая интерференция n-го порядка и
sin2Afp . JV2P2 2
sin2 р Р2 7V *
Отсюда получаем, что в области, где выполняется условие глав-
ного максимума
f sin 0 =
интенсивность очень велика:
I = N2IS.
Мы можем представить поведение величины sin2 TVp/sin2 р сле-
дующим образом:
числитель sin2Mp равен нулю при Мр~>0л, ..., Nn, ..., 2ЛГл,
II I
знаменатель sin2р равен нулю при р —>0, л, ..., 2л.
Точками совпадения нулей числителя и знаменателя (где
fsin0 = n%) определяются главные максимумы, в которых ин-
тенсивность одного источника умножается на /V2; /Между этими
главными максимумами всегда имеется (7V— 1) точек с нулевой
302
Глава 10
интенсивностью. Они возникают всякий раз, когда числитель
sin2 Лф — 0, а знаменатель sin213 остается отличным от нуля.
Положение этих минимумов определяется уравнением
f Q:n д_ % О
1 5111 N ’ N ’ ’ ’ ’ ’ N
Между главными максимумами имеются (N— 2) побочных
максимумов, интенсивность которых намного меньше, поскольку
№2
stn 0
-2-1 о 1 г
У\лл/\лл/|\лл/\лл/\
sin 0
~ sin 0
л
sin 0
sin 0
Фиг. 134. Интенсивность интерференционного распределения, создаваемого ли-
нейной цепочкой из W одинаковых источников, интервал между которыми
равен f.
Над каждой кривой распределения указан спектральный порядок интерференции п [вели
чина f sin (0/Л,)]. Шкала величины sin 0, показывает, что расстояние между главными
максимумами определяется равенством sin 0 = A7f, а полуширина главного максимума —
равенством sin 0=A/Nf.
соответствующие выражения для интенсивности не содержат
множителя N2. На фиг. 134 представлены кривые распределения
интенсивности при N = 2, 4, 8 и при N оо.
По горизонтальной оси нанесены две шкалы. Одна из них
дает порядок интерференции п = f sin 9/Л для разных максиму-
мов. Другая шкала, шкала величины sin 0, позволяет выявить
две особенности интерференционной структуры: она показы-
вает, что расстояние между главными максимумами, взятое как
sin0, равно %//, а полуширина основания главных максимумов
по той же шкале равна X/Nf (эта величина совпадает с шири-
ной основания побочных максимумов). С увеличением N не
Интерференция и дифракция света
303
только растет (пропорционально N2) интенсивность в главных
максимумах, но и уменьшается ширина главного максимума, ко-
торая становится очень малой.
При очень больших N интерференционное распределение ин-
тенсивности становится высоконаправленным с очень острыми
пиками большой интенсивности, возникающими всегда, когда
sin 0 изменяется на величину 1/Д
Направленность таких линейных цепочек широко исполь-
зуется как в передающих, так и в принимающих антеннах. На
фиг. 135 показана полярная диаграмма, соответствующая зна-
Исшочники.
Фиг. 135. Полярная диаграмма интенсивности для интерференционной кар-
тины в случае четырех источников, расположенных на одной прямой с ин-
тервалом f == 1/2.
Полуширина главного максимума равна 0==л/6 и удовлетворяет соотношению sinQ — K/Nf,
а расстояние между главными максимумами соответствует изменению величины sin 0 на h/f.
чению N = 4. Такая цепочка с большим N, используемая как
приемник, лежит в основе радиотелескопа, в котором прием-
ники (источники) расположены на фиксированном, но регули-
руемом расстоянии f друг от друга и настроены на прием опре-
деленной длины волны. Каждый приемник имеет форму пара-
болического отражателя. При ориентации отражателей в раз-
личных направлениях их оси сохраняются параллельными друг
другу. Угловое расстояние между направлениями падения излу-
чения, для которых принятый сигнал максимален, определяется
уравнением sin0 —1/Д (Задачи 10.6, 10.7.)
Дифракция
Дифракция на одной узкой щели
В начале главы было сказано, что различие между интер-
ференцией и дифракцией заключается просто в масштабе, а не
в физике явления.
Допустим, что мы уменьшаем интервал f между N одинако-
выми источниками, изображенными на фиг. 133, до тех пор, пока
304
Глава 10
расстояние между первым и последним из них, первоначально
равное Nf, не станет равным d. Предположим, что теперь d есть
ширина узкой щели, на которую падает монохроматическое из-
лучение с Длиной волны %, причем d ~ %. Теперь каждый из
большого числа N одинаковых источников можно рассматри-
вать как источник вторичных волн в соответствии с принципом
Гюйгенса. Они образуют систему волн, дифрагированных во
всех направлениях.
Если эти дифрагированные волны фокусируются на экране,
как показано на фиг. 136, то распределение интенсивности ди-
фрагированных волн можно выразить через ширину щели, длину
Фиг. 136. Монохроматическая волна, падающая по нормали на узкую щель
шириной d, дифрагирует под углом 0.
Свет, распространяющийся в этом направлении, фокусируется в точку Р, Амплитуда
в точке Р определяется суперпозицией всех вторичных волн, возникающих в плоскости
щели, с учетом соотношения фаз. Максимальная разность фаз между вкладами волн
от противоположных краев щели (р==2га/ sin 0/Л=2а.
волны К и угол дифракции 0. На фиг. 136 плоская световая
волна падает нормально на щелевую диафрагму шириной d.
Волны, дифрагированные под углом 0, фокусируются в точке Р
на экране PPq. Точка Р находится далеко от щели, так что все
волновые фронты, достигающие этой точки, можно считать пло-
скими. Рассматривая только плоские волны, мы ограничиваемся
случаем так называемой дифракции Фраунгофера,
Нахождение амплитуды света в точке Р сводится просто
к сложению всех малых вкладов W одинаковых источников, рас-
положенных в плоскости щели, с учетом разности фаз, обуслов-
ленной различием в длине пути от точки Р до этих источников.
Мы уже решали эту задачу несколько раз. В гл. 9 мы выбрали
ее в качестве примера на применение метода Фурье, а здесь мы
снова возьмем уже использованное в этой главе на стр. 301
выражение для интенсивности в точке Р
т__ , sin2 2Vp
1 sin2 р •
Интерференция и дифракция света
305
Величина N$ — (rc/2i)A7sin 0 — половина разности фаз между
вкладами первого и последнего источников.
Однако теперь величина Nf равна ширине щели d; поэтому
если мы заменим (3 величиной а == (лД)б/sin 0, т. е. половиной
разности фаз между вкладами противоположных краев щели, то
интенсивность дифрагированного света в точке Р запишется
в виде
т__ г sin2 [(л/Л) d sin 0] _ sin2 a
3 sin2 [(зт/ЛЛ^) d sin 0] *s sin2 (a/AO
При больших значениях N
. 9 a / a \2
sin
поэтому мы получаем
г Ar2r sin2 a т sin2 a
/ “ /V 1 с о 10 9
s a2 и a2
(напомним, что в выводе преобразования Фурье на стр. 282
/0 = d2/i2/4n2, где h — амплитуда излучения каждого источ-
ника) С
Фиг. 137. Распределение интенсивности света I == /0 sin2 a/a2, дифрагирован-
ного на одиночной щели шириной d.
Здесь а==лс? sin 0/Л.
Построив кривую зависимости величины Л= Zo (sin2 a/a2) от
a=(n/X)dsin0 на фиг. 137, мы видим, что она симметрична
относительно значения
a = 0 = 0.
Здесь I = /о, поскольку sin a/a—>1 при a—>0. Интенсивность I
обращается в нуль всякий раз, когда sin a = 0, т. е. всегда,
когда величина а равна целому кратному числа л, или
a = d sin 6 — ± л, ± 2л, ± Зл и т. д.
Л
306
Глава 10
Отсюда находим, что
d sin 0 — ± Л, ± 2Л, ± 3Z и т. д.
Это условие дифракционного минимума имеет точно такой
же вид, как условие интерференционного максимума в случае
двух щелей, разделенных расстоянием d. Данное обстоятельство
имеет важное значение, когда мы рассматриваем задачу с мно-
гими щелями.
Фиг. 138. Положение главных и побочных максимумов интенсивности света,
дифрагированного на одиночной щели, определяется точками пересечения кри*
вых у = а и у = tg а.
Максимумы распределения интенсивности соответствуют
максимуму множителя sin2 а/ос2, т. е. условию
d / sin а у d / sin a \ q
da \ a ) da \ a ) ’
или
cos a sin a q
a a2
Это условие выполняется, когда a = tga. Как видно из фиг. 138,
в очень хорошем приближении корни последнего уравнения та-
ковы: а = 0; ±Зл/2, ±5л/2 и т. д. (точные значения см. в за-
даче 10.9).
Ниже приводится таблица, в которой указаны отношения
интенсивностей побочных максимумов к интенсивности главного
максимума /о- Быстрым уменьшением интенсивности, по мере
того как мы удаляемся от центра интерференционной картины,
Интерференция и дифракция света
307
объясняется, почему обычно наблюдаются только первые два
или три побочных максимума.
а sin2 а а2 У о sin2 а а2
0 1 h
Зл 4 /о
2 9л2 22,2
5л 4 Л
2 25л2 6Ь7
7л 4 /о
2 49л2 121
Масштаб распределения интенсивности
Ширина главного максимума определяется условием
d sin 0 = ± X. Если длина волны % постоянна, то при уменьше-
нии ширины щели d будут возрастать величина sin 0 и ширина
главного максимума, а также расстояние между побочными
максимумами. Чем уже щель, тем шире дифракционное распре-
деление, или, если иметь в виду преобразование Фурье, чем уже
импульс в х-пространстве, тем больше область в й-простран-
стве (или пространстве волновых чисел), необходимая для его
описания. (Задачи 10.8, 10.9.)
Распределение интенсивности в случае интерференции
и дифракции на N одинаковых щелях
Все сказанное выше в случае одной щели очень просто об-
общить на случай N одинаковых щелей шириной d с постоян-
ным интервалом f между ними (фиг. 139). Чтобы найти выра-
жение для интенсивности света в точке Р9 дифрагированного
на одной щели, мы суммировали вклады множества одинаковых
источников, распределенных по поверхности щели.
Мы получили результат
т т sin2 а
у г--- - у Q р ।
и а2
сжимая исходную линейную цепочку из N источников, расстоя-
ние между которыми равно f (фиг. 133). Если мы снова рас-
тянем систему до восстановления линейной цепочки, где каждый
источник теперь является щелью, определяющей дифракционное
распределение интенсивности
г г sin2 а
= а2 >
308
Глава 10
Плоскость
фокусирующей
линзы
Фиг. 139. Распределение интенсивности света, дифрагированного на N одина-
ковых щелях, разделенных промежутком f.
Распределение описывается выражением /=/0 (sin2 а/а2) (sin2 7V(3/sin2 (3), которое предста-
вляет собой произведение интенсивности света /о sin2 а/а2, дифрагированного на одной
щели, на распределение интенсивности sin2 2V(3/sin2 определяющееся интерференцией
излучения N источников. Здесь а=(л/^) d sin 0 и в = (л/Л) f sin 0.
то нам достаточно будет лишь подставить это значение 1$ в ис-
ходное выражение для интенсивности интерференционного рас-
пределения
,__г sin2
1 ~ is sin2 р 9
приведенное на стр. 301, чтобы получить интенсивность в точ-
ке Р на фиг. 139:
г__ г sin2 a sin2 Nfi
0 а2 sin2 Р
Здесь р = (л/Х)/ sin 0 и а = (л/Л)б/ sin 0.
Отметим, что в этом выражении объединяются дифракцион-
ный множитель sin2 а/а2, относящийся к одной щели (одному
источнику), и интерференционный множитель sin2 Лф/sin2 р, ха-
рактеризующий совместное действие W источников (чем под-
тверждается сказанное нами в первых разделах данной главы).
При любом числе щелей дифракционное распределение будет
всегда иметь огибающую
sin2 а
а2 ’
Интерференция и дифракция света
309
определяемую дифракцией на одной щели, которая изменяет
интенсивность интерференционного распределения
sin2 Лф
sin2 Р *
создаваемого всей совокупностью щелей (источников).
Дифракция на двух одинаковых щелях (N = 2)
При W = 2 имеем
sin2 ЛАР . 2d
—-го-- = 4 cos2 В,
sin2 р
поэтому интенсивность
Г Л т Sin2 Ct 9 п
1 = 41 о—cos2 р.
Здесь коэффициент 4 обусловлен величиной N2, а величина
cos2 р — известный нам множитель, связанный с интерферен-
Фиг. 140. Дифракционное распределение интенсивности в случае двух одина-
ковых щелей.
Оно состоит из интерференционных полос, модулированных дифракционным распределе-
нием от одной щели. Когда дифракционные минимумы совпадают с интерференционными
максимумами, светлая полоса исчезает (теряющийся при этом порядок интерференции
указан стрелкой).
цией двух источников. Распределение интенсивности при N = 2
и f = 2 представлено на фиг. 140. Интенсивность равна нулю
в дифракционных минимумах, когда d sin 0 = п%. Она также
обращается в нуль в интерференционных минимумах, когда
f sin 0 = (n + V2)X.
При некотором значении 0 положение интерференционного
максимума, определяемое уравнением f sin 0 = nk, совпадает
с положением дифракционного минимума, определяемым урав-
нением d sin 0 = mk В этом случае дифракционный минимум
310
Глава 10
приводит к исчезновению интерференционного максимума и со-
ответствующий порядок интерференции п теряется.
Порядок п зависит от отношения расстояния между щелями
к ширине щели, поскольку
пЛ f sin 0
тЛ d sin 0 ’
т. е.
т d а *
Следовательно, если
то потерянные порядки будут соответствовать значениям п =
— 2, 4, 6, 8 и т. д. для т = 1, 2, 3, 4 и т. д.
Отношением
± = А
d а
определяется масштаб дифракционной структуры, поскольку им
определяется число интерференционных полос, расположенных
между дифракционными минимумами. Масштаб дифракционной
огибающей определяется величиной а. (Задача 10.10.)
Дифракционная решетка (большое^
Большое число N эквивалентных щелей образуют дифрак-
ционную решетку, причем постоянное расстояние f между со-
седними щелями называется постоянной решетки. Снова, со-
гласно выражению для интенсивности
т т sin2 a sin2 Nfi
огибающей интерференционной структуры является функция
sin2 а
а2 ’
описывающая дифракционное распределение для одной щели
(фиг. 141).
Положение главных интерференционных максимумов, интен-
сивность которых пропорциональна N2, определяется уравне-
нием
/ sin 0 = пЛ.
Интерференция и дифракция света
311
Эти максимумы наблюдаются как спектральные линии порядка
п. Мы, однако, увидим, что при фиксированной длине волны ип-
N-2 побочных максимумов
Фиг. 141 Спектральная линия определенной длины волны, полученная при по-
мощи дифракционной решетки.
Интенсивность линии уменьшается с увеличением порядка п, поскольку она модулиро-
вана дифракционным распределением интенсивности от одной щели. Интенсивность глав-
ного максимума каждой спектральной линии содержит множитель N2, где Л' —число линий
в решетке.
тенсивность спектральных линий уменьшается с увеличением по-
рядка спектра из-за огибающей sin2 а/а2.
Разрешающая способность дифракционной решетки
Дифракционная решетка — важный оптический прибор, по-
зволяющий разделять спектральные линии двух длин волн,
слишком близких друг к другу, чтобы их можно было различить
невооруженным глазом. Если эти две длины волны равны % и
X + где бЛД— очень малая величина, то разрешающей спо-
собностью (или разрешающей силой) любого оптического при-
бора называется отношение Х/Ш-
Согласно критерию Рэлея, две такие линии разрешены, когда
максимум одной линии совпадает с первым минимумом другой
линии. Когда же линии находятся на более близком расстоянии,
они воспринимаются как одна линия.
Если вспомнить, что спектральные линии — это главные мак-
симумы интерференционного распределения, создаваемого боль-
шим числом щелей, то мы можем пояснить критерий Рэлея схе-
мой, представленной на фиг. 142, где спектральные линии м-го
порядка для двух длин волн построены на оси, по которой от-
кладывается величина sin 0. Мы уже видели (фиг. 134), что по-
луширина спектральных линий (главных максимумов), опреде-
ляемая по изменению sin 0, равна h/Nf, где N теперь число ли-
ний (щелей) решетки, a f— постоянная решетки.
312
Глава 10
A (sin
Фиг. 142. Согласно критерию Рэлея, две длины волны X и X + сГК минимально
разрешены в n-м спектральном порядке, когда максимум одной линии совпа-
дает с первым минимумом другой линии, как показано на фигуре.
Это разделение, характеризуемое величиной sin 0, равно Л/Л7, где N — число дифракцион-
ных линий в решетке, a f—постоянная решетки. Отсюда следует, что разрешающая спо-
собность дифракционной решетки KldK = nN
На фиг. 142 положение спектральной линии n-го порядка для
длины волны X определяется уравнением
f sin 0 = nX,
а положение спектральной линии того же порядка для длины
волны X + dX удовлетворяет соотношению
f [sin 0 + A (sin 0)] = п (X + dX);
поэтому
fA (sin 0) = п dK.
Согласно критерию Рэлея, линии разрешены, если
A (sin 0) =
откуда
fA (sin 0) = п dX =
Интерференция и дифракция света
313
Следовательно, разрешающая способность дифракционной ре-
шетки в n-м порядке определяется выражением
ал
Отметим, что разрешающая способность растет с увеличе-
нием числа линий решетки W и спектрального порядка п. Но
максимальный порядок п ограничивается тем обстоятельством,
что при увеличении п из-за влияния дифракционной огибающей
sin2 а/а2 уменьшается интенсивность (фиг. 141).
Разрешающая способность и теорема
о ширине полосы частот
Спектральная линия n-го порядка возникает при условии
f sin 0 = nh, где f sin 0 — разность путей для света, идущего от
двух соседних щелей решетки. Следовательно, максимальная
разность путей для света, идущего от противоположных концов
решетки с N линиями, равна
Nf sin 0 = NnK.
Разность времен прихода сигналов, идущих по этим экстремаль-
ным путям, такова:
где с — скорость света.
Минимальное разрешаемое изменение частоты света v = с/К
дается выражением
поскольку для обратной величины разрешающей способности
мы имеем АЛД — 1/Nn. Следовательно,
л с 1
NnK М ’
где Av А/ = 1 (теорема о ширине частотной полосы).
Таким образом, минимальная разность частот, которую мож-
но разрешить, равна обратной разности времен прихода сигна-
лов, идущих по экстремальным путям. (Соотношение Av \t = 1
эквивалентно, конечно, соотношению А<о А/ = 2л.)
Если теперь записать разность экстремальных путей в виде
Nrik = Дя,
314
Глава 10
то величину, обратную разрешающей способности, получим как
АЛ _ 1
v Nn
Следовательно,
I АЛ 1 | Л Г 1 \ I _ АА? _ 1 1
I V г I г 2л NnX Ах ’
где k = 2лД— волновое число. Таким образом, мы также полу-
чаем, что
Дх \k = 2п,
где Д/г, т. е. мера разрешаемой разности длин волн, выражена
через разность экстремальных путей Дх. (Задачи 10.11—10.14.)
Дифракция на прямоугольном отверстии
Ценность изложенного в гл. 9 метода преобразования Фурье
становится очевидной, когда мы рассматриваем дифракцию пло-
ской волны на отверстии, ограниченном в двух измерениях. Хотя
Фронт плоской волны,
падающей нормально
на прямоугольное
Плоскость а
фокусирующей
линзы
отверстие
Плоскость
дифракционного
изображения
1х+ту
в направлении к,
фокусируете я’в точке Р
Фиг. 143. Плоские волны монохроматического света, падающие нормально на
прямоугольное отверстие, дифрагируют в направлении к.
Весь свет, распространяющийся в этом направлении, фокусируется в точке Р на плоскости
изображения. Амплитуда в точке Р определяется суперпозицией вкладов всех точек (х, у)
плоскости отверстия с учетом их фаз.
анализ преобразования в гл. 9 был доведен до конца только
в случае одной переменной, он в равной степени применим
к функциям двух и более переменных. В случае двух измерений
функция f(x) заменяется функцией f(x,y), фурье-образ которой
имеет вид F(kx, ky), где индексы указывают направления с ко-
торыми связаны волновые числа.
На фиг. 143 плоская волна дифрагирует, проходя через пря-
моугольное отверстие с размерами d и b по осям х и у. Направ-
ляющие косинусы вектора к, нормального к фронту дифрагиро-
Интерференция и дифракция света
315
ванной волны, относительно осей х и у равны I и т. Эта волна
фокусируется в точке Р, где амплитуда поля является суперпо-
зицией вкладов всех точек отверстия (х, у) с учетом их соот-
ветствующих фаз.
Произвольную точку отверстия (х, у) можно представить
вектором г. Разность фаз между вкладом этой точки и вкладом
центральной точки отверстия О, конечно, равна (2лД) • (разность
путей). Но разность путей равна просто проекции вектора г на
вектор к, а поэтому разность фаз равна
к • r = -y-(Zx + mz/),
где lx + ту — проекция вектора г на вектор к.
Если мы напишем
2л/ _Л _ 2лт __L
Т” И
то преобразование Фурье для двух измерений примет вид
оо оо
F(kx, kv) = -^\ ( f(x, y^^Wdxdy,
J J
где f(x, y)—амплитуда малых вкладов от точек отверстия.
Принимая функцию /(х, у) равной постоянной а, мы нахо-
дим, что в точке Р амплитуда F{kx, ky) в /г-пространстве равна
+d/2 +Ъ/2
( e~lk*xe~ikyy dxdy = -^bd—
(2л)2 J J 4л2 а р
-d/2 -Ы2
где
л/d kxd nmb kyb
а = Т"= 2 9 Л" = ~1~'
Интегрируя по у, мы вычисляем вклад узкой полоски отвер-
стия, идущей вдоль оси у, а затем, интегрируя по х, суммируем
вклады всех таких полосок с учетом фазовых соотношений.
Распределение интенсивности в случае прямоугольного от-
верстия имеет вид
Т__ r sin2 a sin2 Р
1 "“7°“ р2""’
Относительные интенсивности побочных максимумов опреде-
ляются произведением двух дифракционных множителей
sin2 а/а2 и sin2 р/р2. Следовательно, эти относительные величины
будут численно равны произведению двух произвольных членов
ряда
4 4 4
9л2 ’ 25л2 ’ 49л2 И Т' Д'
316
Глава 10
соответствующий размеру у
Фиг. 144. Распределение интенсивности в дифракционном изображении прямо-
угольного отверстия.
Распределение представляет собой произведение двух дифракционных распределений от
одиночных щелей: широкого дифракционного распределения, соответствующего меньшему
размеру отверстия, и узкого дифракционного распределения, соответствующего большему
размеру отверстия. Поэтому дифракционная картина как бы повернута на 90° относи-
тельно отверстия.
Дифракционная картина, получаемая на таком отверстии, вме-
сте с диаграммой относительных интенсивностей представлена
на фиг. 144.
Дифракция на круглом отверстии
Это еще одна двумерная задача, к которой может быть приме-
нен метод преобразования Фурье. Как и в случае прямоуголь-
ного отверстия, дифрагированная плоская волна распростра-
няется в направлении вектора к, направляющие косинусы кото-
рого относительно осей х и у равны I и m (фиг. 145, а). Радиус
круглого отверстия равен d. Произвольная точка отверстия за-
дается полярными координатами г, 0, где х = г cos 0 и у =
— г sin 0. Плоская волна, распространяющаяся в направлении
вектора к, фокусируется в точке Р на плоскости дифракционной
картины.
Амплитуда в точке Р определяется суперпозицией вкладов
всех точек (г, 0) отверстия с учетом соответствующих фазовых
соотношений. Разность фаз между вкладом точки (х, у) и вкла-
Интерференция и дифракция света
317
x = r cos 9
у = r sin 0
Плоскость
У фокусирующей у
р ^х
''Свет, дифрагированный
в направлении к,
фокусируется в точку Р
Плоскость
дифракционного
изображения
Плоскость
дифракционного
изображения
Плоскость xz
х^ г cos 0
у = г sin 0
и Плоскость
\ фокусирующей
*' линзы
Свет, дифрагированный
в направлении к,
фокусируется в точку Р
Фиг. 145. Плоская монохроматическая волна, дифрагированная на круглом
отверстии в направлении вектора к, фокусируется в точке Р плоскости изо-
бражения.
Вклады всех точек (х, у) отверстия складываются в точке Р с учетом соответствующих
фаз. а — вектор к направлен произвольно; б —вектор к для простоты считается лежащим
в плоскости xz. В случае б общность рассмотрения не теряется в силу круговой симметрии
задачи: полное дифракционное распределение определяется изменением амплитуды дифра-
гированного света по радиусу.
дом центральной точки отверстия такая же, как и в случае пря-
моугольного отверстия, и равна
• (разность путей) =-у- (1х + ту) = kxx + kvy;
поэтому преобразование Фурье принимает вид
оо оо
F(kx, ky) = -^\ \ f (х, у) e~l dx dy.
— оо —оо
Если мы перейдем к полярным координатам, то функция
/(х, у) запишется в виде /(г, 0), а произведение dx dy — в виде
г dr dQ, где угол 0 изменяется в пределах от 0 до 2л. Кроме того,
мы можем упростить задачу, учитывая круговую симметрию:
если известно распределение амплитуды или интенсивности
вдоль любого радиуса дифракционной структуры, то этого до-
статочно для определения всей дифракционной структуры. Из
соображений удобства мы можем выбрать это единственное ра-
диальное распределение таким образом, чтобы вектор к лежал
318
Глава 10
в плоскости xz (фиг. 145, б). Тогда т = ky = 0 и разность фаз
равна просто
2л
— 1х = kxX — kxr cos 0.
Если предположить, что функция /(г, 0)—постоянная, рав-
ная а во всех точках круглого отверстия, то преобразование при-
нимает вид
2л d
F(kx)^^-\de\e-ikXrcoserdr.
О о
Подынтегральное выражение можно проинтегрировать по ча-
стям относительно г, а затем, разложив полученную функцию
в ряд по степеням cos 0, можно проинтегрировать все члены ряда
по 0. Результат интегрирования хорошо известен, и его удобно
выразить через функцию Бесселя'.
F(kx) = ^-Jdkxd),
где J\(kxd) — функция Бесселя первого порядка.
Функции Бесселя — это функции, которые определяются
с помощью ряда и применяются аналогично синусу и косинусу.
Синусы и косинусы удовлетворяют прямоугольным граничным
условиям, заданным в декартовых координатах, а функции Бес-
селя удовлетворяют круговым или цилиндрическим граничным
условиям, требующим полярных координат. Так, для описания
стоячих волн на круглой мембране, т. е. на барабане, нужны
функции Бесселя.
Функции Бесселя n-го порядка записывается в виде
j ( \_ %п (1_______х2 ।____________х4__________\
W — 2"nl V 2 (2п 4- 2) 2.4 . (2п 4- 2) (2п + 4) ’ ’ ’ ) ’
так что, например,
Ху» 3 у 5 у 7
А А/ А •
J W = у — 22.4 "Г 22.42.6 ~~ 22 • 42 • 62 • 8 “!••••
На фиг. 146 представлена графически (нормированная) вели-
чина a2d4[Ji(kxd)/kxd]2, которая характеризует распределение
интенсивности вдоль произвольного радиуса дифракционной кар-
тины в случае круглого отверстия.
Функция Ji (kxd) имеет бесконечное число нулей, а поэтому
дифракционная картина состоит из бесконечного числа светлых
и темных концентрических колец. Положение первого темного
кольца будет соответствовать первому нулю функции Ji(kxd)t
который определяется уравнением kxd = 1,219 л.
I
Интерференция и дифракция света
319
Однако
kxd = ~ld = -^-dsin 9',
х Л л
1 где 0' — угол между вектором к и осью z, т. е. угол дифракции.
Таким образом, положение первого минимума определяется
уравнением d sin 0' = 0,61Z, а положение второго минимума —
уравнением d sin 0' = 1,16k Если бы отверстие было квадрат-
ным с длиной стороны 2d (равной диаметру круга), то положе-
ние первой темной полосы определялось бы уравнением
d sin 0' = 0,5 %, а положение второй темной полосы — уравне-
, нием d sin 0' — k
Фиг. 146. Зависимость интенсивности света, дифрагированного на круглом
отверстии радиусом d, от радиуса г дифракционного распределения.
Интенсивность пропорциональна [ (kxd)/kxd]2, где /j — функция Бесселя первого по-
рядка. Распределение состоит из центрального круглого главного максимума и окружаю-
щих его концентрических колец, соответствующих минимумам и побочным максимумам
с быстро уменьшающейся интенсивностью.
С уменьшением радиуса круглого отверстия угол 0' для пер-
вого минимума увеличивается и вся картина расширяется. Это
напоминает нам о том, что уменьшение импульса в х-простран-
стве приводит к увеличению области в пространстве волновых
чисел, или ^-пространстве, необходимой для его описания.
I Задача 10.1
Две одинаковые радиомачты, находящиеся на расстоянии
400 метров друг от друга, передают на частоте 1500 кГц. Пока-
4 жите, что интенсивность интерференционного распределения ме-
жду этими излучателями имеет вид
I = 21 q [ 1 + cos (4л sin 0)],
где Iq — интенсивность излучения каждой радиомачты. Изобра-
зите графически это распределение интенсивности на полярной -
диаграмме, считая, что радиомачты расположены на оси 90—
320
Гласа 10
270°. Покажите, что вдоль этой оси имеются два главных ко-
нуса излучения, направленных в противоположные стороны, и,
кроме того, существуют 6 меньших конусов излучения при углах
0; 30; 150; 180; 210 и 330°.
Задача 10.2
а. Два одинаковых источника, излучающих на длине волны
%, находятся на расстоянии Х/2 друг от друга. Сигналы, испу-
скаемые источниками, имеют разность фаз б0 = я. Покажите,
что распределение интенсивности излучения описывается выра-
жением
I = 41 s sin2 sin о),
где Is — интенсивность излучения каждого источника (источ-
ники лежат на оси 0 = ± л/2). Нарисуйте график зависимости I
от 0.
б. Источники, о которых говорилось в части «а», находятся
на расстоянии Х/4 друг от друга, и б0 = л/2. Покажите, что
/ = 4/s [cos2-J- (1 + sinO)].
Нарисуйте график зависимости I от 0.
Задача 10.3
а. Большое число одинаковых осцилляторов расположено
в виде горизонтальных и вертикальных рядов, образуя решетку.
Единичная ячейка такой решетки представляет собой квадрат
со стороной d. Покажите, что на большом расстоянии все излу-
чение решетки в направлении 0 будет в фазе, если tg 0 = m/n,
где тип — целые числа.
б. Пусть решетка, о которой говорится в части «а», образо-
вана из атомов кристалла и атомные ряды параллельны перед-
ней поверхности кристалла. Покажите, что излучение с длиной
волны X, падающее на переднюю поверхность кристалла под уг-
лом скольжения 0, рассеивается с образованием интерферен-
ционных максимумов, определяемых уравнением 2d sin 0 = п Л
(брэгговское отражение).
Задача 10.4
В звездном интерферометре Майкельсона, схема которого
представлена на фиг. 147, монохроматический свет двух отдель-
ных звезд 1 и 2, проходя через две щели, образует на экране
РР' систему интерференционных полос. Покажите, что в случае
малых углов 0 разность фаз между двумя пучками света от
звезды 1 такова:
= +
Интерференция и дифракция света
321
Найдите аналогичное выражение для 62 (для второй звезды).
Покажите, что условие смещения системы полос, образованной
излучением звезды /, относи-
тельно системы полос, образо-
ванной излучением звезды 2,
на половину ширины полосы
имеет вид
Л
а = а2 — aj = .
Здесь а — угловое расстояние
между звездами. Такое смеще-
ние полос приводит к исчезно-
вению контраста интенсивно-
сти в системе полос. В экспе-
рименте путем изменения вели-
чины f определяют ее мини-
мальное значение, при котором
контраст исчезает, что позво-
ляет найти а.
Задача 10.5 2
Схема интерферометра,
описанного в задаче 10.4, изме- фиг 148
нена: в нее введена система
зеркал М (фиг. 148). Расстояния I и f можно изменять. Покажи-
те, что разрешающая способность такого прибора в l/f раз боль-
ше, чем интерферометра из задачи 10.4.
Задача 10.6
Покажите, что, для того чтобы главный максимум излучения
линейной цепочки одинаковых источников был направлен вдоль
7211 Зак, 1186
322
Глава 10
линии источников (0 ~ ± л/2), расстояние между источниками
должно быть равно длине волны излучения. Определите поло-
жение (значения 0) вторичных максимумов для случая N — 4 и
нарисуйте угловое распределение интенсивности излучения.
Задача 10.7
Первый многолучевой радиоастрономический интерферометр
был эквивалентен линейной цепочке из N = 32 источников
(приемников), находящихся на расстоянии f — 7 м друг от дру-
га и работающих на длине волны % = 0,21 м. Покажите, что
угловая ширина центрального максимума составляет 6 угловых
минут, а угловое расстояние между соседними главными макси-
мумами равно Г 42'.
Задача 10.8
Монохроматический свет падает по нормали на одиночную
щель. Интенсивность и направление распространения света, ди-
фрагированного под углом 0, даются вектором 1(0), конец кото-
рого описывает полярную диаграмму. Нарисуйте несколько по-
лярных диаграмм и покажите, что при постепенном увеличении
отношения- ширины щели к длине волны полярная диаграмма
становится остронаправленной вдоль оси 0 = 0.
Задача 10.9
Положение максимумов в распределении интенсивности све-
та, дифрагированного на одиночной щели шириной d, опреде-
ляется уравнением об = tg а, где а = nd sin 0/Х и X — длина
волны. Приближенные значения а, удовлетворяющие этому
уравнению, таковы: а = 0, ±Зл/2, ±5л/2 и т. д. Написав а =
= Зл/2 — 6, 5л/2 — бит. д., где 6 — малая величина, покажите,
что действительные решения имеют вид: а = 0; ± 1,43л;
±2,459л; ±3,471л и т. д.
Задача 10.10
Докажите, что интенсивность вторичного максимума в слу-
чае дифракционной решетки с тремя щелями составляет ин-
тенсивности главного максимума.
Задача 10.11
Дифракционная решетка состоит из N щелей, постоянная ре-
шетки равна f. Пусть р = л/ sin 0/Х, где 0 — угол дифракции
Вычислите изменение фазы dp, необходимое для смещения ди-
фрагированного света от главного максимума к первому мини-
муму. Покажите, что полуширина спектральной линии, созда-
ваемой дифракционной решеткой, определяется уравнением
dQ = (nN ctg 0)”1, где п— порядок спектра. (При Af= 14 000,
п = 1 и 0 = 19° величина d0 5".)
Интерференция и дифракция света
323.
Задача 10.12
а. Дисперсия — это разделение спектральных линий с раз-
ной длиной волны при помощи дифракционной решетки. Диспер-
сия увеличивается с ростом порядка спектра п. Покажите, что
в случае дифракции под углом 0 и наблюдения спектра n-го по-
рядка дисперсия линий, проецируемых на экран линзой с фокус-
ным расстоянием F, такова:
dl __р ____ nF
где / — линейный интервал между линиями на экране, a f —
постоянная решетки.
б. Покажите, что для системы с F = 2 м и / = 2-10~6 м
изменение линейного разделения спектральных линий при уве-
личении порядка спектра на единицу для двух длин волн Xi =
= 5-10~7 м и Х2 = 5,2-10~7 м составляет 2-10“2 м.
Задача 10.13
а. Дублет натрия состоит из двух линий с длинами волн
Xi = 5,890-10~7 м и = 5,896-10~7 м. Покажите, что минималь-
ное число линий дифракционной решетки, необходимое для раз-
решения этого дублета в третьем спектральном порядке, равно
приблизительно 328.
б. По данным наблюдения, красная спектральная линия, со-
ответствующая длине волны Х = 6,5-10~7 м, является узким
дублетом. Эти две линии едва разрешаются дифракционной ре-
шеткой, имеющей 9-Ю4 линий. Покажите, что разность длин
волн линий, образующих дублет, составляет 2-10~12 м.
Задача 10.14
В оптических приборах обычно применяются круглые отвер-
стия и диафрагмы, а поэтому критерий Рэлея определяется фор-
мулой sin 0 = 1,22 k/a, где а — диаметр отверстия.
Две точки О и О' образца, находящегося в предметной пло-
скости микроскопа, разделены расстоянием s (фиг. 149) (рас-
стояние s считаем очень малым, так что ОБ || О'В и О А || О'А).
72И*
324
Глава 10
Угол, под которым видна из каждой точки линза объектива,
равен 21, а изображения точек I и Г — на пределе разрешения.
Рассматривая разность путей между О'А и О'В, покажите, что
расстояние s = 1,22 X/2 sin I.
Сводка основных результатов
Интерференция (два одинаковых источника')
Интенсивность
/ == 4/scos26/2,
где Is — интенсивность источника и
бв[у- (Разность путей)] есть разность фаз.
Интерференция (N одинаковых источников, интервал между
ними f)
j__ г sin2 Np
sin2 р ’
где р = у- f sin 0/X.
Главные максимумы
I — N2IS при f = sin0 = nX.
Дифракция (одна щель шириной d)
Интенсивность
т_______________________т sin2 а
/-/0-^2—»
где а = -у d sin 9/X.
Распределение интенсивности в случае N щелей (ширина d,
интервал f)
т__j sin2 d sin2 Лф
0 а2 sin2 р
(интерференционное распределение, модулированное кривой ин-
тенсивности света, дифрагированного на одиночной щели)
Интерференция и дифракция света
325
Разрешающая способность дифракционной решетки
^- = nN,
ал
где п — спектральный порядок, a N — число линий решетки.
Записывается в виде теоремы о ширине частотной полосы сле-
дующим образом:
Д v Д/ = 1,
где Av — минимальная разрешаемая разность частот, а Д/ —
разность времен прохода светового сигнала по двум экстре-
мальным оптическим путям.
11 Зак. 1186
Глава 11
Нелинейные колебания
Ранее во всей книге мы рассматривали колебания, считая,
что их амплитуда удовлетворяет уравнению движения, в кото-
ром возвращающая сила является линейной функцией смеще-
ния. Это условие было подчеркнуто в гл. 1, и время от времени
его ограничивающее воздействие требовало дополнительных
разъяснений, как, например, в гл. 5, когда речь шла об акусти-
ческих волнах в жидкости. Теперь мы рассмотрим некоторые
следствия, возникающие при снятии этого ограничения.
Свободные колебания нелинейного осциллятора,
движение простого маятника с большой амплитудой
На фиг. 1 уравнение движения простого маятника было за-
писано для его углового смещения в виде
где = §//. Здесь была сделана приближенная замена
sin 0 —> 0, а поэтому уравнение справедливо лишь при амплиту-
дах колебаний, лежащих в соответствующих пределах. Если же
0 7°, то такое уравнение неприменимо и мы должны рассма-
тривать более сложное уравнение
d2Q , , . Q Л
-^ + ®2sin0==O.
Умножая это уравнение на Zdtydt и интегрируя по /, полу-
чаем (d^ldt)2— 2(d2 cos 0 + А, где А — постоянная интегрирова-
ния. Скорость dtydt обращается в нуль при максимальном угло-
вом смещении 0 = 0О, отсюда А — — 2cd§ cos 0О и
= (о0 [2 (cos 0 — cos 0О)]1/2,
или, после интегрирования,
. f dO
(OQl = \ -------------77- .
J [2 (cos 0 — cos Оо)1 2
Нелинейные колебания
327
Если в момент времени t = 0 угол 0 = 0 и Т — новый пе-
риод колебаний, то 0 — 0О при t = Т/4 и, производя замену
0 —► 0/2, мы получаем
е
т = г__________J0_______
Ю° 4 J 2(sin2e0/2- sin26/2)1/2 ‘
Если теперь выразить 0 в долях 0О, написав sin 0/2 =
= sin 0о/2 sin ф, где, конечно, —1 < sin ф < 1, то
~ (cos 0/2) 60 = (sin 0о/2) cos ф 6ф.
Отсюда
л/2
л Т ___ Г dqp
Т7Г “ J [1 — (sin2 8г/2) sin2 <p]-2 ’
где То — 2л/(0о. Разлагая подынтегральное выражение в ряд и
интегрируя, получаем
7' = 7’о(1 + jSin2eo/2+Asin40o/2+ ...)
или приближенно
Т = 7'о(1 + j sin2 Оо/2) .
(Задача 1.1.)
Вынужденные колебания, нелинейная возвращающая сила
Если на осциллятор без затухания действует гармоническая
сила, то уравнение движения такой системы имеет вид
mx + s (х) = Fq cos со/.
Здесь s(x)—нелинейная функция своего аргумента х, которую
можно представить в виде полинома
S (х) = SiX + S2X2 + S3X3 + ...
с постоянными коэффициентами.
На практике во многих случаях достаточно двух членов:
s(x) == $ix + S3X3. Кубический (а не квадратичный) член обеспе-
чивает одинаковое значение возвращающей силы при положи-
тельных и отрицательных смещениях, и поэтому колебания сим-
метричны относительно х = 0. Когда оба коэффициента Si и s3
положительны, возвращающая сила при заданном смещении
больше, чем в линейном случае. Если это сила упругости пру-
11*
328
Глава 11
жины, то такую пружину называют «жесткой». Когда коэффи-
циент s3 отрицателен, возвращающая сила меньше, чем в линей-
ном случае, и пружина называется «мягкой». На фиг. 150 пред-
ставлены кривые зависимости возвращающей силы для случаев,
когда a) s3 = 0 (линейная пружина), б) s3 > 0 (жесткая пру-
Фиг. 150. Зависимость возвращающей силы
от смещения осциллятора.
1 — линейная возвращающая сила; 2 — «жесткая»
нелинейная пружина; 3 — «мягкая» нелинейная
пружина.
жина) и в) s3 < 0 (мягкая пружина). Таким образом, мы ви-
дим, что колебания маятника с большой амплитудой, о которых
говорилось в предыдущем разделе, соответствуют случаю мяг-
кой пружины, поскольку
sin е«е - 4- е3.
О
На фиг. 151 изображено тело с массой т, прикрепленное
к точкам D и D' двумя легкими упругими струнами с постоян-
D
Fo С05 cut
Фиг. 151. Тело с массой т, прикрепленное упругими
струнами к точкам D и D', лежащим на вертикаль-
ной прямой на расстоянии 2а одна от другой.
На тело действует боковая сила FQ cos (of.
ным коэффициентом жесткости s. Точки D и D' лежат на вер-
тикальной прямой на расстоянии 2а одна от другой. На тело
действует внешняя горизонтальная сила Fo cos со/. При нулевом
смещении натяжение струн равно Го> а при смещении х (неогра-
ниченном по величине) T = Tq + s(L — а), где L — длина рас-
тянутой струны.
Уравнение движения (без учета силы тяжести) имеет вид
тх = — 2Т sin 0 -р Fo cos coz = — 2 [Fo + $ (F — #)] 7" + Fo cos co/.
Нелинейные колебания
329
Если в него подставить выражение
затем разложить последнее в ряд по степеням х/а и пренебречь
членами, меньшими чем (х/а)3, то мы получим
.._ 2Го “““* Л)) 3 I n j.
тх =-----х —-—аГ" ' х + Л) cos со/.
Данное уравнение мы можем переписать следующим образом:
х + «1% + $3х3 — cos со/,
где
__ 2Го _______ sa —~ Т’о
51 та 9 $3 та3
Если коэффициент s3 мал, то, выбирая в качестве первого
приближения решение Xi = A cos со/ и подставляя его в уравне-
ние, находим
х2 = — sH cos со/ — $3Л3 cos3 со/ + cos со/.
Поскольку cos3 со/ = 3Д cos со/ + !/4 cos Зсо/, это уравнение преоб-
разуется к виду
х2 = — А + ~ s3 А2 — Fo/m^ cos со/ — j s3X3 cos Зсо/.
Дважды интегрируя последнее уравнение и полагая константы
интегрирования равными нулю в соответствии с начальными ус-
ловиями, в качестве второго приближения для решения уравне-
ния
X + S]X + s3x3 = cos со/
получаем
Х2 = (М + 4 М3 -- —) cosat + cos Зсо/.
Таким образом, при малых коэффициентах s3 заданной ам-
плитуде А соответствует некоторое значение величины <о, и по-
этому можно построить график зависимости амплитуды от ча-
стоты внешней силы. Отметим, что решение содержит третью
гармонику. Мы видим, что в системе с нелинейной возвращаю-
щей силой такой резонанс, как в линейном случае, не суще-
ствует. В приведенном выше примере даже в отсутствие затуха-
ния амплитуда не будет неограниченно расти под действием
силы с определенной частотой, поскольку частота со, являю-
330
Глава 11
щаяся собственной частотой при небольшой амплитуде, не будет
собственной частотой при большой амплитуде.
Если же коэффициент s3 положителен (жесткая пружина), то
собственная частота увеличивается с ростом амплитуды и на
кривой зависимости амплитуды от частоты имеется наклонный
максимум (фиг. 152, а). В случае мягкой пружины ($з < 0)
кривая имеет такой вид, как на фиг. 152, б. Наклон максимума
может оказаться настолько большим (фиг. 152, в), что при од-
ном значении частоты со будет несколько возможных значений
Фиг. 152. Кривые зависимости амплитуды от частоты для осцилляторов с не-
линейной возвращающей силой.
а —«жесткая» пружина; б —«мягкая» пружина; в—предельный случай, когда наклон мак-
симума велик и заданной частоте могут соответствовать несколько значений амплитуды,
так что возможны «ударные скачки» амплитуды (см. фиг. 156, где изображена такого рода
звуковая волна с большой амплитудой).
амплитуды. Поэтому на определенной частоте возможны удар-
ные скачки амплитуды (см. ниже раздел о нелинейных эффек-
тах в акустических волнах с большой амплитудой). (Задачи
11.2, 11.3.)
Тепловое расширение кристалла
В гл. 1 было показано, что кривая зависимости потенциаль-
ной энергии от смещения в случае линейного осциллятора имеет
вид параболы. В случае же ангармонических колебаний такая
кривая отклоняется от параболической формы. Рассмотрим кри-
вую потенциальной энергии для двух соседних ионов с зарядами
противоположного знака в кристаллической решетке такого
вещества, как КС1. Если г — расстояние между ионами, то по-
тенциальная энергия их взаимодействия
Г(г) = --^ + ^,
где аир — положительные константы, а р = 9. Эта зависи-
мость представлена на фиг. 153, где мы видим, что кривая по-
тенциальной энергии — уже не парабола.
Первый член в выражении для V(г) описывает потенциаль-
ную энергию кулоновского притяжения, а второй член — потен-
Нелинейные колебания
331
циальную энергию взаимного отталкивания. Величина а, зави-
сящая от наличия соседних ионов, — порядка 0,3. Константу р
можно выразить через а и равновесное межионное расстоя-
ние Го- Действительно, в равновесии
( _ РР = А
I (1r J Л гР+1 ’
\ «Г /г=Го г0 г0
откуда
ае2^"1
.
* р
Рентгеноструктурный анализ дает для КС1 значение г о = 3,12 А,
что позволяет вычислить величину р.
Фиг. 153. Непараболическая кривая потенци-
альной энергии взаимодействия разноимен-
но заряженных ионов в решетке ионного кри-
сталла (NaCl или КО).
Равновесное межионное расстояние г0 определяется
балансом сил отталкивания и притяжения. При не-
большом увеличении энергии возникают гармониче-
ские колебания около положения г0. При больших же
значениях энергии колебания становятся ангармониче-
скими, что приводит к тепловому расширений кри-
сталла.
Будем рассматривать малые смещения из равновесного по-
ложения го, что дает нам право разложить функцию V(r) в ряд
Тейлора в точке г = г0. В результате получим
- у«+* +4 т:,.+4 + .
где х = г — г0. Поскольку (dV/dr) r=rt == 0, мы можем написать
V (Г) - V (Го) = V (х) ® А + В .
Величина Дх2/2 — это квадратичный член, с которым мы хо-
рошо познакомились в случае линейного осциллятора. Таким
образом, при очень малых возмущениях нижняя часть кривой
потенциальной энергии остается параболической, так что малое
увеличение энергии вызывает колебания ионной пары, симме-
тричные относительно г = г0. При дальнейшем увеличении энер-
гии ионной пары становится существенным второй член Вх3/6,
а потому колебания оказываются уже не симметричными отно-
сительно го (на фиг. 153 г2 —- r0 > n — г0) • Следовательно, сред-
332
Глава 11
нее по времени значение разности г — г0 не равно нулю, как
в случае линейного осциллятора, а усредненное по времени рас-
стояние rt больше го- Если все ионные пары приобретают такое
количество энергии (например, при нагреве), то кристалл рас-
ширяется.
Мы можем представить силу взаимодействия ионов в виде
f=-4r=-^-s4-
Здесь из-за наличия квадратичного члена симметрия в движе-
нии ионов отсутствует. Если бы вместо квадратичного члена был
кубический член, как в предыдущем примере, то симметрия дви-
жения около Го сохранялась бы. Коэффициент А в выражении
для силы — это коэффициент жесткости, о котором говорилось,
когда речь шла о кристаллах в гл. 4 и 5, и в конечном счете
он равен модулю Юнга. Коэффициент В связан с коэффициен-
том теплового расширения кристалла. (Задачи 11.4, 11.5.)
Нелинейные эффекты в электрических приборах
Типичным проявлением нелинейности в механических устрой-
ствах, рассмотренных раньше, было возникновение гармоник ос-
новной частоты, с которой колеблется внешняя сила. В случае
электронных систем таких нелинейных эффектов довольно про-
сто избежать, выбирая малый линейный участок рабочей ха-
рактеристики и предусматривая несколько ступеней усиления.
В электромеханическом устройстве, таком, как пьезоэлектриче-
ский кристалл, линейность тоже достигается путем ограничения
амплитуды всех колебаний (режим малых сигналов) и приме-
нения усилителя. В электроакустических устройствах, таких, как
микрофоны и громкоговорители, возникновение гармоник часто
приводит к сильному искажению сигнала. В случае громкогово-
рителя, изображенного на фиг. 154, трудно создать механиче-
скую подвеску конуса, которая обеспечивала бы линейное вос-
произведение даже чисто синусоидальной волны, подаваемой на
звуковую катушку. Конус действует как поршень, излучающий
акустическую энергию. При ограничении же амплитуды наряду
с неизбежным рассогласованием акустических импедансов (вол-
новых сопротивлений) падает к. п. д. преобразования электри-
ческой энергии в акустическую энергию до уровня, не превы-
шающего 10%. Правда, человеческое ухо — это очень чувстви-
тельный прибор.
Однако нелинейные электрические колебания часто приме-
няются. На фиг. 155 представлена схема релаксационного гене-
ратора, в котором конденсатор очень быстро разряжается через
газоразрядную лампу, наполненную, например, водородом. Здесь
И елинейные колебания
333
Е — постоянное напряжение зарядки, a i — мгновенная сила
тока, заряжающего конденсатор через резистор R до потенциала
зажигания Vs, при котором газ в лампе быстро ионизуется.
Вынуждающая сила F
^Ток в катушке х Магнитное поле в зазоре
Синусоидальный
входной
сигнал
Фиг. 154. При подаче на вход электроакустического преобразователя, такого,
как громкоговоритель, простого синусоидального сигнала на выходе будет
искаженный звук, если у подвески конуса коэффициент жесткости нелинеен
при высоких амплитудах.
Лампа начинает хорошо проводить ток и за пренебрежимо ко-
роткое время разряжает конденсатор до потенциала деиониза-
Фиг. 155. Схема нелинейного «релаксационного генератора».
Конденсатор С заряжается через резистор R до потенциала 7$ < Е, при котором в газо-
наполненной лампе зажигается разряд, что приводит к быстрой разрядке конденсатора
до потенциала Vе, при котором разряд гаснет и лампа перестает быть проводящей, а затем
цикл повторяется.
ции Ve, при котором она перестает проводить ток. Конденсатор
снова заряжается до потенциала Vs, и цикл повторяется. На
фиг. 155,6 показано, как изменяется напряжение на конденса-
торе. Предположим, что в точке А (в момент времени t) кон-
денсатор только что разрядился. Если i’o — ток в момент вре-
334
Глава 11
мени t = 0, то
Конденсатор заряжается до потенциала за время т, поэтому
Vs = E-iQRe-^iRC.
Отсюда
- Ve = iQR (e~t/RC - e~{t+x}/RC) = iQRe-VRC (1 - e~x/RC) =
==(£- Ve)[l -e-w?]
и, следовательно,
p — x/RC — E
~ E - Ve
ИЛИ
т=лс |П(*_£
Таким образом, период колебаний прямо пропорционален по-
стоянной времени зарядки RC.
В более сложной схеме можно получить линейную зарядку
с очень малым временем разрядки. На выходе такой схемы экс-
поненциальное выходное напряжение становится линейным, т. е.
она дает «пилообразное» напряжение. Из гл. 9 нам известно,
что такая периодическая функция содержит много гармоник.
Пилообразное выходное напряжение, подаваемое на пластины
горизонтального отклонения осциллографа, обеспечивает равно-
мерное движение луча по экрану (линейная развертка).
Нелинейные эффекты в акустических волнах
Продольные акустические волны, которые мы рассматривали
в гл. 5, линейны при условии, что постоянен модуль всесторон-
него сжатия
„ dP
D dV/V *
Если же амплитуда звуковой волны слишком велика и данное
условие не выполняется, то волновое распространение прини-
мает новую форму.
Определенная масса газа, испытывающего адиабатическое
изменение, подчиняется следующему уравнению (записанному
в обозначениях гл. 5):
Р _ (= Г Vo ~|Y
Ро V V J I Vo (1 + 6) J
Нелинейные колебания
335
Следовательно,
= %- = - YPo (1 + 6)-(v+1> -ft,
дх дх г и\ । / дх2
поскольку 6 = д%]/дх.
Так как (1 6) (1 + s) = 1, мы можем написать, что
%- = _ ypo(i 4-sr1^.
дх I U \ I / дх2
и на основании второго закона Ньютона
др ____ д2Г]
дх ~ Ро dt2
находим
ft^d+^+'-ft,
dt2 и' 1 дх2
где с2 = уР0/р0.
С физической точки зрения это уравнение означает, что ло-
кальная скорость звука с0 (1 + s)(v+l)/2 зависит от уплотнения s.
Следовательно, в случае звуковой волны с конечной амплитудой
Фиг. 156. Изменение формы звуковой волны с большой амплитудой в процессе
ее распространения.
Локальная скорость звука в звуковой волне с большой амплитудой (а) зависит от давления
и плотности. Волна деформируется с течением времени (б), поскольку ее гребень догоняет
области с меньшей плотностью. Крайний случай (в) не достигается из-за механизмов,
приводящих к увеличению энтропии; вместо этого волна стабилизируется в виде N-образ-
ной ударной волны (г) с крутым передним фронтом.
скорость звука будет больше там, где больше плотность и дав-
ление. Локальные возмущения, соответствующие таким частям
волны, будут перемещаться быстрее ее возмущений с меньшими
плотностью, давлением и температурой и нагонять их.
Одиночную синусоидальную волну с большой амплитудой
можно получить в трубе при помощи хорошо пригнанного
поршня, очень резко толкнув его вперед, а затем вернув в ис-
ходное положение. На фиг. 156, а показана начальная форма
такой волны, а на фиг. 156,6 — изменение ее формы при рас-
пространении волны по трубе. Если бы деформация продолжа-
лась, то в конечном счете волна приняла бы такую форму, как
на фиг. 156, в, и давление, плотность и температура стали бы
неоднозначными, как и в случае нелинейного осциллятора на
336
Глаза 11
Фиг. 157. а — фронты волн, возникающих в точках S вдоль пути самолета,
который летит со скоростью и, превышающей скорость звука vs.
Волновые фронты (окружности) складываются на поверхности конуса Маха (типичная
точка которого обозначена через Р) с половиной угла при вершине a —arcsin (^s/«), обра-
зуя ударный фронт.
б — в точку Р звуковые волны приходят одновременно из точек А и В
вдоль пути самолета, если (u/os) cos 0=1 (0 + а = 90°).
фиг. 152,в. Но прежде чем дело дойдет до этого, форма волны
стабилизируется и принимает такой вид, как на фиг. 156, г, ибо
при быстром изменении плотности частиц, скорости и темпера-
туры на вертикальном «ударном фронте» интенсифицируются
диссипативные процессы диффузии, вязкости и теплопроводно-
сти. Скорость такого ударного фронта всегда больше скорости
звука в газе, в котором он распространяется. При переходе че-
рез «ударный фронт» энтропия всегда возрастает. Благодаря
противоположному действию эффектов диссипации и нелиней-
ности стабильность фронта обеспечивается до тех пор, пока
волна сохраняет достаточную энергию. Волна Af-образной фор-
мы (фиг. 156, г) всегда возникает при взрывах в виде сфериче-
ской волны, в которой за взрывным уплотнением часто следует
разрежение.
Формирование ударного фронта можно также рассматривать
как проявление обобщенного эффекта Доплера (стр. 145) в слу-
чае, когда скорость источника больше скорости сигнала. На
фиг. 157, а при пролете самолета из точки S в точку S' за время
t воздух вокруг него смещается и возмущение уходит из этой
Нелинейные колебания
337
области с локальной скоростью звука vs. Окружности показы-
вают положение в момент времени t фронтов звуковых волн,
возникших в разных точках на пути самолета. Но если скорость
самолета и больше скорости звука vs, то будут возникать обла-
сти с высокими значениями плотности и давления, особенно на
краях корпуса самолета и вдоль конической поверхности, каса-
тельной к фронтам последовательных волн, возникающих при
скорости, большей скорости звука. Эти волны возбуждаются до
большой амплитуды с образованием ударной волны. Угол а по-
лураствора конуса, осью которого является путь самолета, опре-
деляется соотношением
Ус
sina = —.
и
Такой конус называется «конусом Маха». Когда он доходит до
поверхности земли, слышен «сверхзвуковой хлопок».
Возникновение ударной волны на поверхности конуса можно
объяснить, рассматривая, как на фиг. 157,6, звуковые волны,
возникающие в точках А (в момент времени /л) и В (в момент
времени tB) вдоль пути самолета, который пролетает расстоя-
ние АВ — х = uAt за промежуток времени А/ = tB — tA. Чтобы
достичь точки Р в момент времени
/о = /л +
звуковой волне из точки А нужно пройти расстояние го. Чтобы
прибытье точку Р в момент времени
6 = + “Ч
vs
волна из точки В должна пройти расстояние Если величина %
мала по сравнению сг0 и ri, то мы получим
Г1 — г0 ~ х cos 0 = и А/ cos 0,
откуда временной интервал
+ = = ±соз0ч
vs VS \ Vs J
Если и < vs, то интервал ti — /0 всегда положителен и зву-
ковые волны приходят в точку В в том порядке, в каком они
возникли. При и > vs их временная последовательность зависит
от 0. Когда
Л 1
— cos 0=1,
vs
t\ = /о и звуковые волны приходят в точку Р одновременно, об*
разуя ударную волну.
338
Глава 11
Теперь углы 0 и а оказываются дополнительными, так что
из условия
Л Vs
COS 0 = —
U
следует равенство
sin а = —.
и
Таким образом, все точки Р лежат на поверхности конуса Маха.
Аналогичное положение может возникнуть, когда заряжен-
ная частица q, излучающая электромагнитные волны, движется
в среде с показателем преломления, большим единицы. Скорость
частицы vq может быть больше фазовой скорости электромаг-
нитных волн в среде (и < с). В этом случае образуется конус
Маха для электромагнитных волн с углом полураствора а, та-
ким, что
V
sin а = —.
Появляющаяся в результате «ударная волна» называется че-
ренковским излучением. Измерение эффективного направления
распространения черепковского излучения — один из способов
определения скорости заряженной частицы.
Толщина ударного фронта
В одноатомном газе размер области, в которой изменяются
свойства газа, т. е. толщина фронта ударной волны, может рав-
няться лишь нескольким средним длинам свободного пробега.
Дело в том, что для обмена энергией, в результате которого
характеристики атомов изменяются от соответствующих равно-
весным условиям впереди фронта до характеристик, соответ-
ствующих условиям позади фронта, достаточно лишь несколь-
ких столкновений между атомами. В случае многоатомного газа
за счет столкновений довольно быстро увеличивается энергия
поступательного и вращательного движения атомов. Для до-
стижения же нового равновесного состояния колебательных мод
требуется значительно больше времени, а поэтому толщина
фронта ударной волны во много раз больше, чем в случае одно-
атомного газа.
Найти состояние газа в пределах толщины фронта ударной
волны не так просто, но состояние газа с одной стороны фронта
можно вычислить, зная состояние газа с другой стороны фронта,
на основе законов сохранения массы, импульса и энергии.
Нелинейные колебания
339
Уравнения законов сохранения
В лаборатории ударные волны создаются в так называемой
ударной трубе, которая поделен^ перегородкой на короткое от-
деление с высоким давлением и на отделение с низким давле-
нием, имеющее значительно большую длину. Когда перегородка
разрушается, расширяющийся газ высокого давления ведет себя
как очень быстрый малоинерционный поршень, который сжимает
газ низкого давления с другой стороны перегородки и создает
а
S
5
В
4
—| Скорость фронта
ударной волны Uj
I Наблюдатель на фронте
Q ударной волны
Возмущенный газ Плотность Давление Рг Скорость потакай Относит, скорость иг = щ-и —।— 1 1 1 ! Стационарный газ Плотность pt Давление Р2 Относит, скорость Uj
Невозмущенный
неподвижный
газ
А ' Б
Фиг. 158. Ударная волна, создаваемая в ударной трубе; штриховой линией
показан профиль давления в виде ступенчатой функции.
Плоские поперечные сечения А и В неподвижны относительно наблюдателя О, движуще-
гося вместе с фронтом ударной волны со скоростью щ в невозмущенном газе с плот-
ностью Pi, который находится в покое при давлении pi. Возмущенный газ характери-
зуется давлением р2, плотностью р2 и скоростью и, поэтому его скорость относительно
фронта ударной волны u2~U\ — и. Состояние газа в сечении А связано с состоянием в се-
чении В уравнениями сохранения массы, импульса и энергии при переходе через фронт
ударной волны. Для определения неизвестных параметров достаточно экспериментально
измерить скорость ударной волны щ, если параметры стационарного газа известны.
бегущую по трубе ударную волну. Профиль ударной волны опи-
сывается ступенчатой функцией (фиг. 158, штриховая линия).
Газ, в котором распространяется ударная волна, мы считаем
неподвижным. Это упрощает анализ, поскольку тогда можно
рассматривать состояние газа на фиг. 158 таким, как его видит
наблюдатель О, движущийся со скоростью фронта ударной
волны и в стационарном газе. Фронт ударной волны находится
между поверхностями А п В единичной площади. Обе поверхно-
сти неподвижны относительно наблюдателя. Стационарный газ,
который проходит сквозь фронт ударной волны через поверх-
ность В, приобретает скорость потока и < и, следовательно,
скорость относительно фронта и2 — щ — и.
С точки зрения наблюдателя количество газа, входящего че-
рез единичную площадь области АВ в единицу времени, равно
piи\, где pi — плотность газа впереди фронта ударной волны. Ко-
личество газа, уходящего через единичную площадь области АВ
340
Глава 11
в единицу времени, равно p2(wi — w)=p2^2, где р2 — плотность
газа в ударной волне.
Из закона сохранения массы следует, что pi^i = р2ц2 = т
(постоянная масса). Сила (отнесенная к единице площади),
действующая через область АВ, равна разности р2— а по-
следняя равна скорости изменения импульса газа в единичном
элементе т(и\ — и2). Следовательно, уравнение закона сохра-
нения импульса имеет вид
Pi + p1^ = P2 + p2z/2-
Работа p\U\ — р2и2, совершаемая в единицу времени силами,
действующими на единичной площади области АВ, равна скоро-
сти увеличения кинетической и потенциальной энергий газа, про-
ходящего через единичную площадь фронта ударной волны. По-
скольку
Р2
P\U\ — р2и2 = ^т —
Pl Р2
закон сохранения энергии, приходящейся на единицу массы,
если внутренюю энергию на единицу массы газа обозначить че-
рез е = е(р, р), принимает вид
Т и? + е{ + = У и~2 + е2 + .
В случае идеального газа р/р = RT и е = cvT — (1/у—1)р/р,
где Т — абсолютная температура, cv — удельная теплоемкость
(на один грамм) при постоянном объеме, у = cp/cv и ср — удель-
ная теплоемкость (на один грамм) при постоянном давлении.
Три закона сохранения:
PiWi = р2и2 = т (массы),
Pi + = Р2 + P2ZZ2 (импульса),
4«l + ei +т7 = |ы2 + е2 + 77 (энергии)
вместе с выражением для внутренней энергии е(р, р) полностью
определяют характеристики идеального газа за ударной волной
через характеристики стационарного газа перед ударной волной.
В эксперименте свойства газа перед фронтом ударной волны
обычно известны, поэтому в четырех уравнениях остаются пять
неизвестных: скорость фронта ударной волны и\, плотность газа
в ударной волне р2, относительная скорость потока позади
фронта ударной волны и2, давление р2 и внутренняя энергия е2
газа в ударной волне. На практике скорость фронта ударной
волны ti\ измеряется, поэтому остальные четыре характеристики
могут быть затем вычислены.
Нелинейные колебания
341
Число Маха
Важным параметром в теории ударных волн является число
Маха. Это локальный параметр, равный отношению скорости
потока к локальной скорости звука. Следовательно, число Маха
для фронта ударной волны = U\fc\, где U\ — скорость фронта
ударной волны, распространяющейся в газе, в котором скорость
звука равна с\.
Число Маха для потока газа позади фронта ударной волны
определяется как Mf = и/с2, где и — скорость потока газа
(и < Wi), а с2— локальная скорость звука позади фронта удар-
ной волны. При переходе через фронт ударной волны темпера-
тура всегда увеличивается, поэтому с2 > ci и Ms > Mf. Физи-
ческий смысл числа Маха станет ясным, если записать его квад-
рат М2 = и2/с2, определяющий отношение кинетической энергии
потока на один моль V2u2 к тепловой энергии на один моль
с2 == yRT. Чем выше доля кинетической энергии потока в пол-
ной энергии газа, тем больше число Маха.
Отношения характеристик газа по обе стороны
от фронта ударной волны
Ударную волну можно характеризовать числом Маха для
фронта Ms, а также отношениями плотностей р = рг/рь темпе-
ратур Т2/Т\ и давлений (силы ударной волны) у = р^1рх газа
по обе стороны от фронта ударной волны.
Если задана сила ударной волны у = р2/рь то уравнение
законов сохранения можно легко решить и найти
s Ct k 1 ч- a )
„ — 1 я_ Pa _ « + У Jk — „ 1 + ay
V+1 ’ P Pi 1+ay ’ Tt ~y a + y ’
Эти же отношения можно выразить через экспериментально из-
меряемый параметр Ms'.
Т2 . [а И ~ 0 + <1 [° -0 + 1]
П Al?
В случае слабых ударных волн (когда отношение p2/pi лишь не-
много больше единицы) величины р, Г2/7\ и Ms также незначи-
тельно превышают единицу и ударная волна распространяется
со скоростью звука.
342
Глава 11
Сильные ударные волны
При Р2/Р1 1 мы имеем сильную ударную волну. В этом
случае
2у J 1 Pi Y-l
Если в последнее выражение подставить значение у, то предел
окажется равным 6 для воздуха и 4 для одноатомного газа.
Скорость потока
2щ
и отношение температур
Л \сх ) y+1 У'
Увеличение температуры в сильной ударной волне представ-
ляет большой интерес с экспериментальной точки зрения. Физи-
ческая причина такого увеличения станет ясной, если уравнение
сохранения энергии переписать в виде Ч2и\ + h{ = 1/2и1 +
где h = е + р/р — полная тепловая энергия, или энтальпия, на
единицу массы. В случае сильной ударной волны Л2 hi, где
hi — энтальпия холодного неподвижного газа, и ui и2, по-
этому уравнение закона сохранения энергии сводится к виду
72zzf. Отсюда следует, что, когда ударная волна проходит
через элемент стационарного газа, находящийся непосредствен-
но перед фронтом ударной волны, его относительная кинетиче-
ская энергия превращается в тепловую энергию.
Энергия газа, который подвергся воздействию очень сильной
ударной волны, делится почти пополам между его кинетической
и тепловой (или внутренней) энергиями. Это можно показать,
считая, что в уравнениях законов сохранения начальные значе-
ния внутренней энергии ei и давления рх холодного неподвиж-
ного газа пренебрежимо малы. Тогда кинетическая энергия,
приходящаяся на единицу массы газа позади фронта ударной
волны, равна
7«2 = y<ui — «2)2 = е2,
где е2 — внутренняя энергия, приходящаяся на единицу массы
газа в ударной волне.
В принципе температура позади фронта очень сиьных удар-
ных волн могла бы достигать миллионов градусов. В действи-
тельности же этому препятствуют свойства реального газа.
Нелинейные колебания
343
В одноатомном газе за счет увеличения энергии поступатель-
ного движения температура может повышаться лишь до тех
пор, пока не наступит ионизация. После этого энергия, которая
должна была бы идти на дальнейшее увеличение температуры,
затрачивается на ионизацию. В многоатомном газе полная энер-
гия делится между разными степенями свободы (поступатель-
ными, вращательными и колебательными) и поэтому достигае-
мая температура намного ниже, чем в случае одноатомного газа.
Такие процессы приводят к значительному уменьшению вели-
чины у; так, при увеличении ионизации у —► 1, а отношение тем-
ператур пропорционально отношению (у—1)/(у+ 1), которое
оказывается очень малым. (Задачи 11.6—11.11.)
Задача 11.1
Период маятника, колеблющегося с большой амплитудой,
дается формулой
т = То(1 + 4 sin2-!-) -
где То — период колебаний с малой амплитудой, а 0о — ампли-
туда колебаний. Покажите, что при 0О < 30° величины Т и То
различаются только на 2%, а при 0о = 90° их разность состав-
ляет 18%.
Задача 11.2
Уравнение движения свободного нелинейного осциллятора
без затухания имеет вид
mx~ — f (х).
Покажите, что период колебаний с амплитудой Хо равен
.- Xq
__ . / т__ Г dx
T°“ VT) [F(xo)-F(x)]'^ ’
где
F (х0) = f (х) dx.
о
Задача 11.3
Уравнение движения для нелинейного осциллятора без зату-
хания с единичной массой, на который действует внешняя сила,
имеет вид
X + S (х) == Fq COS со/.
344
Глава 11
Написав s(x) = Six + s3x3, где Si и s3— постоянные, перейдите
к новой переменной ф = и покажите, что все члены решения
оо
х = £ (апсоз-|-ф +bn sin-уф),
/1=1
содержащие косинусы и синусы с четными значениями п, равны
нулю, а при s3 <С Si главными остаются члены с основной и
утроенной основной частотами.
Задача 11.4
Потенциал межионного взаимодействия в кристалле имеет
вид
где Го — равновесное значение межионного расстояния г. Раз-
ложив V в ряд около значения Vo, покажите, что ионы могут
совершать малые гармонические колебания на частоте, опреде-
ляющейся соотношением со2 « 72VQ/mr2, где т — приведенная
масса.
Задача 11.5
Потенциальная энергия осциллятора такова:
V (х) = у kx2 “ — ах3,
где а — положительная величина, причем а <С k. Покажите, что
решение вида х = A cos mt + В sin 2со/ + Xi дает хорошее при-
ближение при со2 = со2 = k/tn, если хг = аЛ2/2(о2 и В = — aX2/6cd2,
где а = а/tn.
Задача 11.6
Для неподвижного газа, содержащегося в большом резер-
вуаре при температуре 7%, известны: скорость звука с0, энталь-
пия на единицу массы h0 = cpTq и постоянное отношение удель-
ных теплоемкостей у. Пусть перегородка резервуара разрушена
и газ может течь вдоль трубы со скоростью и. Исходя из урав-
нения закона сохранения энергии, докажите, что
Y-1 2 (y — 1) ’
где с* — скорость, при которой скорость потока равна локаль-
ной скорости звука.
Далее покажите, что если ujc* = М* и «i/ci = Л15, то
лг= <У+|)Д|<
(т -1)«;+2
Иелинейные колебания
345
Задача 11.7
Возьмите систему координат, которая движется вместе
с фронтом ударной волны со скоростью //ь и, исходя из уравне-
ний законов сохранения, покажите, что скорость с* в задаче 11.6
дается выражением
C*2 = UiU2,
где 1/2 — относительная скорость потока газа позади фронта
ударной волны.
Задача 11.8
Исходя из уравнений законов сохранения, докажите, что от-
ношение давлений с обеих сторон фронта ударной волны в газе
с постоянным отношением у равно
Р2 = Р —а
Pi 1 — Ра ’
где р = рг/pi — отношение плотностей, а а = (у — 1) / (у + 1).
Задача 11.9
Исходя из результатов задач 11.6 и 11.7 и из закона сохра-
нения импульса, покажите, что число Маха для фронта ударной
волны дается формулой
с\ V 1 + а ’
где у = pdpx — отношение давлений с обеих сторон фронта,
а а = (у—1)/(у+1). Далее, покажите, что скорость потока
позади фронта
V(1 +а) (у + а)
Задача 11.10
На фиг. 159 изображены: а) ударная волна, имеющая давле-
ние р2 и скорость потока и, распространяющаяся в неподвижном
газе с давлением pi; б) волна, отраженная от абсолютно твер-
дой стенки, имеющая давление р3 и идущая обратно в газе по-
зади фронта падающей ударной волны, в которой давление еще
равно р2- Исходя из последней формулы в задаче 11.9, пока-
жите, что для скорости иг потока газа позади фронта отражен-
ной волны выполняется соотношение
цг _ (1 — а)(рз/рг — 1)
с2 V(1 -f-а) (рз/рг + а)
346
Глава 11
Абсолютно
твердая
стенка
Абсолютно
твердая
стенка
Фиг. 159.
Далее, с учетом равенства c2/ci = (^/^i)72 и условия на абсо-
лютно твердой стенке и + = 0 докажите, что
(2а+ 1) у — а
Р2 ъу + 1
где у = p2/Pi и а = (у — 1)/(у + 1).
Задача 11.11
На основании формул задачи 11.10 докажите, что в пределе
очень сильных ударных волн
Рз-ра._>2 + -.
Рг — Pi а
(Отметим, что при у = 1,4 эта величина равна 8, а при у = 5/3
она равна 6, тогда как скачок нормального акустического дав-
ления при отражении равен 2.)
Глава 12
Квантовая механика
В основе так называемой «современной физики» лежат кван-
товая механика Шредингера (1926 г.) и эквивалентная ей мат-
ричная теория Гейзенберга (1926 г.). Они полностью заменили
или включили в себя классическую механику во всей физике,
рассматриваемой на атомном и молекулярном уровне (а атомно-
молекулярной физикой определяются макроскопические свой-
ства большего масштаба). Что же касается физики элементар-
ных частиц очень высокой энергии, то здесь еще остается много
проблем.
В данной главе мы будем рассматривать только квантовую
механику Шредингера, причем лишь с тем, чтобы показать, как
в ней выступает двойственная корпускулярно-волновая природа
материи. Такая двойственная природа впервые была установ-
лена для электромагнитного излучения. Параллельные попытки
доказать волновую природу материальных частиц составляют
основу всей истории физики XX в.
Источники современной квантовой механики
В XIX в. интерференционные и дифракционные эксперименты
вместе с классической электромагнитной теорией со всей очевид-
ностью подтвердили волновую природу света. Но в 1901 г. для
того, чтобы объяснить экспериментальные кривые, описываю-
щие излучение черного тела, Планк постулировал, что электро-
магнитный осциллятор с частотой v может иметь лишь дискрет-
ные значения энергии nhv, где п — целое число, a h — некая по-
стоянная (стр. 245)]). Прошло четверть века, прежде чем это
свойство осциллятора было теоретически выведено в новой, кван-
товой механике.
В 1895 г. Рентген открыл рентгеновские лучи, в 1912 г. фон
Лауэ продемонстрировал их волновые свойства в своих опытах
по дифракции, а вскоре была доказана их электромагнитная
природа. Значительно больше времени потребовалось, чтобы
установить волновые свойства отрицательно заряженных частиц,
9 Это не совсем точно: Планк постулировал дискретность энергии мате-
риального осциллятора. — Прим, перев.
348
Глава 12
которые были открыты Дж. Дж. Томсоном в его экспериментах
с катодными лучами в 1897 г. Лишь в 1927 г. Дэвисон и Джер-
мер обнаружили интерференционные эффекты при отражении
и рассеянии электронов, а в 1928 г. Дж. П. Томсон (сын
Дж. Дж. Томсона) получил дифракционные картины в виде кон-
центрических колец, пропуская электроны через тонкую фольгу.
Тем временем в 1906 г. Эйнштейну удалось, используя идею
Планка, объяснить фотоэлектрический эффект, т. е. эмиссию
электронов из поверхности, на которую падает свет. Эйнштейн
рассматривал световой пучок как поток отдельных фотонов, или
квантов света, каждый из которых обладает энергией hv. В ре-
зультате столкновений с такими квантами электроны в мате-
риале мишени получают достаточную энергию для того, чтобы
выйти с поверхности мишени.
В 1912 г. Резерфорд на основе своих опытов по рассеянию
сс-частиц выдвинул гипотезу о том, что атом состоит из положи-
тельно заряженного ядра малых размеров и окружающих его
отрицательных электронов, которых столько, что атом электри-
чески нейтрален. На такой модели атома была основана «старая
квантовая механика» Бора и Зоммерфельда, т. е. комбинация
классической механики с квантовыми постулатами, с помощью
которой они пытались объяснить среди других явлений регуляр-
ность спектральных серий в излучении атомов. Из этой теории
следовало, что электрон вращается вокруг ядра по орбитам, со-
ответствующим определенным энергетическим уровням (подоб-
но планетам вокруг Солнца). Когда электрон переходит с од-
ной орбиты на другую, энергия которой меньше на величину
ДЕ = hv, атом испускает излучение с частотой v. Требовалось,
чтобы эти орбиты были стабильными, или «стационарными», ор-
битами с квантованными, т. е. дискретными разрешенными, зна-
чениями энергии и углового момента. Но, как было показано
в классической электромагнитной теории, заряд, движущийся,
с ускорением (как, например, электрон на орбите), сам должен
непрерывно испускать излучение. Эта трудность оказалась не-
преодолимой в рамках старой квантовой теории.
К 1920 г. Эйнштейн доказал два важнейших положения, не-
обходимых для дальнейшего продвижения. Он показал: а) что
энергия кванта излучения Е = hv и б) что релятивистская энер-
гия Е частицы с импульсом р = mv и массой покоя т0 удовле-
творяет соотношению Е2 = р2с2 + (т0с2)2; этим соотношением
устанавливается эквивалентность массы и энергии, поскольку
неподвижная частица с v = 0 обладает энергией Е = то?2, где
с — скорость света.
Теперь оставалось два шага до современной квантовой тео-
рии. Один из них был сделан Комптоном в 1922—1923 гг., а дру-
гой — де Бройлем в 1924 г.
Квантовая механика
349
Комптон, пропуская рентгеновские лучи с известной частотой
через тонкую фольгу, установил, что частота v рассеянного из-
лучения не зависит от материала фольги. Отсюда следовало, что
рассеяние обусловлено столкновениями между рентгеновскими
квантами с энергией hv и электронами в материале мишени.
Кроме рассеяния на частоте падающего излучения, всегда на-
блюдалось рассеянное излучение с меньшей частотой, которая
зависела только от массы рассеивающих частиц (электронов) и
угла рассеяния. Комптон показал, что эти результаты можно
объяснить, если исходить из закона сохранения импульса и энер-
гии при упругом столкновении двух «частиц» — электрона и
рентгеновского кванта. Таким образом, рентгеновский квант
рассматривается как частица с энергией hv, массой покоя
т0 = 0 и импульсом (определяемым по релятивистской формуле
Эйнштейна для энергии)
Е hv h
P==T==Z-T' = 'T>
С С Л,
где с — скорость света.
В 1924 г. де Бройль высказал предположение, что как для
описания двойственной корпускулярно-волновой природы элек-
тромагнитных полей приходится вводить импульс частицы р =
= /i/Х, так и, наоборот, любой частице с импульсом р = mv
можно приписать длину волны % некоторого «поля материи»
в соответствии с соотношением р = Л/Х. Он рассуждал следую-
щим образом. Если фазовая скорость такой волны подчиняется
обычному соотношению
Vp = vZ,
где v — частота, то предположение о том, что любая частица
обладает импульсом р = h/k, вместе с формулой Эйнштейна
Е = hv приводит к выражению vp = Е/р.
Согласно теории относительности, частица с массой покоя то
и скоростью v обладает энергией Е = тс2 и импульсом р = mv,
где величина
и2
т = m0 1 ~ ^г)
есть масса частицы, движущейся со скоростью v. Фазовая ско-
рость такой частицы равна
т. е.
VVp = с2.
350
Глава 12
(С этим выражением мы встречались раньше, когда речь шла
о волноводах, стр. 235.)
Отсюда следует, что для частицы, движущейся со скоростью
v < с, фазовая скорость vp > с. Но энергию волна де Бройля
(или частица) переносит с групповой скоростью
которая с учетом соотношений
у-, 1 h h h л
E = hv = — со, p = — = k
2л r К 2л
преобразуется к виду
__ дсо _ дЕ
Vz—~dk"~~dt‘
Для такой частицы с релятивистской энергией £*, где
Е2 = р2с2 + (тос2)2,
выполняется соотношение
2Е~ = 2рс2,
др г ’
ИЛИ
Таким образом, групповая скорость дебройлевской волны равна
скорости частицы v.
Даже в «старой квантовой теории» Бора — Зоммерфельда
была в некоторой степени использована гипотеза де Бройля. Как
было показано, в случае круговой орбиты радиусом г их посту-
лат о том, что угловой момент для стационарных орбит ограни-
чен целыми (квантовыми) числами единичного углового мо-
мента h, приводит к соотношению
2лгр = nht
или
2лг = — пк.
р
Таким образом, стационарной орбите соответствует система
стоячих волн, а на длине ее окружности укладывается целое
число п длин волн де Бройля X.
Через три года эти квантовые числа перестали быть гипо-
тетическими и стали естественным следствием новой квантовой
теории Шредингера и Гейзенберга.
Квантовая механика
351
Принцип неопределенности Гейзенберга
Хотя уравнение Шредингера, как мы увидим, имеет вид вол-
нового уравнения для стоячих волн, с тем обстоятельством, что
на длине окружности боровской орбиты должно укладываться
целое число стоячих волн де Бройля, связаны трудности прин-
ципиального характера. Угловая симметрия такой траектории
(фиг. 160), описываемой электроном при его движении по ор-
бите, не позволяет точно указать положение электрона в от-
дельный момент времени. Эту проблему решил Гейзенберг на
основе теоремы о ширине полосы частот, с которой мы впервые
встретились на стр. 139.
Фиг. 160. Вдоль круговой боровской орбиты укладывается целое число волн
де Бройля X = hip, образуя стоячую волну.
Это не позволяет точно определить положение электрона в тот или иной момент времени.
Там было показано, что волны в частотном интервале Av,
образующие волновой пакет, который распространяется с груп-
повой скоростью vgi эффективно складываются только в тече-
ние времени А/, удовлетворяющего соотношению
А/ Av ж 1.
Точно так же, если волны, образующие пакет, занимают интер-
вал волновых чисел А£, то их сложение в пространстве происхо-
дит эффективно лишь на расстоянии Ах, удовлетворяющем со-
отношению
Ах Ай & 2л.
Скорость же волн де Бройля, связанных с частицами, — это
по самой своей сути групповая скорость. Импульс волн
352
Глава 12
де Бройля равен
p==T==i^k = nk’
где fi = /г/2л; поэтому
\p = hkk
и теорема о ширине полосы частот выступает как принцип не-
определенности Гейзенберга
Дх Др h.
Из соотношения
E — hv — (о = Й<о
следуют два других выражения для принципа неопределенности
Гейзенберга:
= Д£ Д/ « h
ME^h Дсо.
Этими соотношениями принципиально ограничивается пре-
дельная точность, с которой мы можем знать положение х ча-
Фиг. 161. Расплывание волнового пакета, описывающего частицу, со временем.
а — волновой пакет; б — тот же пакет спустя время t. Квадрат амплитуды волны в любой
точке дает вероятность нахождения частицы в этой точке. Дисперсия увеличивает со вре-
менем неопределенность положения частицы (принцип неопределенности Гейзенберга).
стицы и компоненту ее импульса по оси х. Если частицу описы-
вает волновой пакет, изображенный на фиг. 161, то отрезок Дх
характеризует неопределенность положения частицы, т. е. это
размер той области пространства, где ее можно обнаружить
(вероятность нахождения частицы в определенном месте равна
квадрату амплитуды волны в этом месте).
Соотношение
кхкр ж h
означает, что скорость частицы (р = mv) также является не-
определенной. Чем точнее известно положение частицы, тем ме-
Квантовая механика
353
нее определенна ее скорость. Если частица «наблюдается» в бо-
лее поздний момент времени, то дисперсия пакета будет приво-
дить к увеличению области Дх и уменьшению амплитуды. Не-
определенность положения увеличивается, а вероятность найти
частицу в любой отдельно взятой точке уменьшается. Но это об-
условлено исходной неопределенностью скорости частицы (че-
рез Др), которая делает точное предсказание ее положения
спустя время t еще менее вероятным.
Пример выполнения соотношения
ДЕ Д/ « h
можно найти, рассматривая время, которое проводит электрон
на атомной орбите. В случае устойчивой орбиты это время Ы
велико, а неопределенность энергии ДЕ мала, поэтому энергети-
ческие уровни устойчивых орбит точно определены. Когда элек-
трон переходит с одного энергетического уровня на другой с ис-
пусканием излучения, время пребывания электрона на орбите
может быть малым, а значит, энергетические уровни определены
неточно и величина ДЕ дает вклад в ширину спектральной ли-
нии. (Задачи 12.1 —12.10.)
Волновое уравнение Шредингера
Старая квантовая теория пыталась установить правила для
определения дискретных частот и дискретных энергетических
уровней. На круговой боровской орбите должно укладываться
целое число длин волн де Бройля. И дискретные частоты, и це-
лое число длин волн согласуются со свойствами классических
стоячих волн, рассмотренными нами в гл. 4 и 8, где волны, рас-
пространяющиеся между двумя абсолютно твердыми поверхно-
стями, испытывали полное отражение.
В гл. 4 мы видели, что поперечное смещение г/(х, /) струны
длиной I с закрепленными концами подчиняется волновому
уравнению
д2у___1 д2У —а
дх2 v2 dt2
где vp — волновая скорость. В случае решения, описывающего
стоячую волну, можно было разделить переменные х и /, и тогда
оказывалось, что
у (х, t) — A sin sin (dnt.
vp
Здесь п может принимать целые значения п = 1, 2, 3, ..., кото-
рыми определяются собственные частоты
ПЛОр
= I *
354
Глава 12
Решение у(ху t)y соответствующее данной частоте con, называется
собственной функцией или волновой функцией.
Шредингер установил, что такое волновое уравнение при-
годно для описания движения частицы. Доводы, приводимые
ниже в его выводе, никоим образом нельзя считать доказатель-
ством, поскольку волновая механика не может быть выведена
из классической механики, а основывается на некоторых посту-
латах. Справедливость этих постулатов можно подтвердить
лишь точностью предсказываемых результатов.
В классической механике полная энергия Е частицы с мас-
сой пг и импульсом ру находящейся в консервативном поле с по-
тенциалом V, описывается формулой
Следовательно, импульс можно записать в виде
р = ^2пг (Е—V),
откуда находим фазовую скорость волны де Бройля, связанной
с частицей:
— Е
р~ р ~ ^2tn (Е - 7)
Таким образом, волновое уравнение принимает вид (в одномер-
ном случае)
d2T 2m(E — V) d2W
дх2 Е2 dt2
Здесь через T(x, t) мы обозначили, как это принято, амплитуду
волны де Бройля в точке х в момент времени /. Состояния с по-
стоянной энергией — это состояния с постоянной частотой. В ре-
шениях, описывающих такие состояния, переменные х и t можно
разделить, как и в гл. 8. В результате получаем
Ф (х, t) = ф (х)е~ыу
где временная зависимость является гармонической. Здесь пока-
затель экспоненты взят со знаком минус, поскольку во всех кни-
гах по квантовой механике для описания волны, бегущей вправо,
используется экспоненциальная зависимость вида
Q-i - kx) — gikx-tet
а для описания волны, бегущей влево, — экспоненциальная за-
висимость вида
g-i {(Sit +kx) — Q-ikx-i(Sit
Квантовая механика
355
Это приводит просто к сдвигу по фазе на л относительно
обозначений, которые использовались всюду в предыдущих гла-
вах этой книги. Мы будем пользоваться в данной главе этим
новым обозначением, чтобы избежать расхождений с другими
учебниками, и при этом будем обращать особое внимание на лю-
бую возможную неоднозначность и неясность.
Теперь
^ = -<0^
dt2 ’
поскольку временная зависимость является гармонической,
а волновое уравнение Шредингера может быть записано в фор-
ме, не зависящей от времени:
дх2 1 Е2
С учетом соотношения Е — hv = Йсо перепишем последнее урав-
нение в виде
д2У , 2m(E—V) nf А
дх2 “г h2 v — v,
где теперь мы можем взять только пространственную часть ф(х)
полной функции Ч^х, /) и получить для нее следующее урав-
нение:
(*) у 2m(E-V) ,. _
+-----&----W = °-
Это не зависящее от времени волновое уравнение будет опи-
сывать состояния с постоянной частотой, т. е. с постоянной энер-
гией. В своей книге мы будем рассматривать только такие со-
стояния. Отметим, что данное уравнение имеет вид уравнения
для стоячих волн, с которым мы впервые встретились в гл. 4.
Одномерная бесконечно глубокая потенциальная яма
В качестве первого примера рассмотрим случай, когда дви-
жение частицы ограничено областью 0 х а, где потенциал
V = 0. В точках х = 0 и х = а высота потенциального барьера
бесконечно велика, как показано на фиг. 162. Это идеализиро-
ванная модель потенциала, которым определяется поведение
электрона на низких энергетических уровнях вблизи атомного
ядра.
Поскольку при 0 < х < а мы имеем V (х\ = 0, уравнение
Шредингера принимает вид
•^ + ^Ч«=о.
356
Глава 12
Это уравнение может быть переписано в таком же виде, как
на стр. 355:
•Ц- + =о,
где k2 = 2mE/h2. Граничные условия таковы: ф(х) = 0 в точках
х = 0 и х = а, где потенциал Г(х) обращается в бесконечность,
а остальные члены уравнения остаются конечными.
Фиг. 162. Бесконечно глубокая потенциальная яма и разрешенные энергетиче-
ские уровни Еп для частицы, движущейся в этой яме.
2 2
Волновая функция n-го уровня sin knx, где kn—2mElh и т — масса частицы.
Частица, находящаяся в потенциальной яме, в классической
механике должна упруго отражаться от «стенок» потенциала не-
зависимо от ее энергии. Поведение частицы можно описывать
волновой функцией eikx, удовлетворяющей уравнению Шредин-
гера, когда частица движется вправо, и волновой функцией
e~ikx, когда частица движется влево.
Но, как и в случае волн на струне при полном отражении,
когда амплитуда меняет знак на обратный, решение уравнения
Шредингера фп(х) описывает стоячую волну с частотой соЛ и
дается выражением
Фл W ~ CetknX — Ce~lkrlX — A sin knx = A sin ®пХ-,
vp
где А = С/21.
Квантовал механика
357
Из граничного условия (я) = 0 при х = а следует, что
kna = пл, где п = 1, 2, 3, ..., т. е. kn = пл/а. Следовательно,
у 2 ___________________ 2шЕп _ п2я?
Пп~~ h2 ""IT1
откуда получаем собственные значения энергии:
Р __n2n2h2
п 2та2
Мы видим, что при наложении граничных условий на волновые
функции, удовлетворяющие уравнению Шредингера, естествен-
х-0 х=а х =0 x~ct
Фиг. 163. Волновые функции фл(х) и плотности вероятности |фл(х)[2 для
первых трех разрешенных энергетических уровней в случае бесконечно глубо-
кой потенциальной ямы шириной а.
ным образом возникают дискретные значения энергии, опреде-
ляющиеся квантовым числом п. Импульс частицы также кван-
тован, поскольку
h +. 1 nnh
р = — = flk =-----.
г Z а
Очевидно, что энергия электрона или другой частицы, нахо-
дящейся в потенциальной яме бесконечной глубины, не может
быть любой, а должна принимать только квантованные значе-
ния Еп. Такое положение будет всегда при решении уравнения
Шредингера с потенциалом V(x), ограничивающим движение
частицы конечной областью.
На фиг. 163 изображены волновые функции фл(х) при п —
= 1, 2, 3. Нетрудно видеть, что они идентичны разрешенным
распределениям амплитуды для стоячих волн на колеблющейся
струне с закрепленными концами. При этом интервал между
разрешенными энергетическими состояниями уменьшается, когда
358
Глава 12
увеличивается масса частицы или ширина потенциальной ямы.
В случае частиц с большой массой и систем с большими разме-
рами разрешенные энергетические состояния можно практически
рассматривать как континуум и считать энергию неквантован-
ной величиной. Следовательно, при переходе от атомных мас-
штабов к макроскопическим результаты квантовой механики пе-
реходят в результаты классической физики.
Мы видим, что минимальная энергия частицы в потенциаль-
ной яме отлична от нуля и равна
Р __ Л2л2
1 2та2 *
Существование конечной минимальной энергии связано с прин-
ципом неопределенности Гейзенберга
Дх Др ж h.
В самом деле, неопределенность положения частицы Дх равна а.
Что же касается импульса частицы р, то он может быть на-
правлен либо в сторону положительных, либо в сторону отрица-
тельных значений х и, стало быть, неопределенность импульса
равна
Др = 2р.
Следовательно,
Дх Др = а2р «Л,
или
При V (х) = 0 мы имеем
£2 р2 ~ h2 h2n2
2tn ~ 8та2 2та2
Это пример так называемой энергии нулевых колебаний. В даль-
нейшем мы встретимся с другими примерами. (Задача 12.11.)
Физический смысл амплитуды ^(х) волновой функции
На фиг. 163 кроме амплитуды ф«(х) волновой функции пред-
ставлена величина |ф«(х)|2 при значениях п — 1, 2, 3. Для
волн, с которыми мы встречались ранее, квадрат амплитуды был
мерой интенсивности волны. В том месте, где амплитуда боль-
шая, волна была более интенсивной, т. е. в данном месте была
локализована большая энергия. Теперь же наша волна, волна
де Бройля, описывает движение частицы, ограниченное малой
областью. Амплитуда волновой функции фДх) меняется от точки
к точке в той малой области, где может быть обнаружена ча-
стица. Вне бесконечно глубокой потенциальной ямы функция
Квантовая механика
359
фп(х) равна нулю. Интенсивность волны де Бройля записывает-
ся в виде
| ф (х) I2 = ф* (х) ф (х),
где ф*(х)—комплексно-сопряженная величина, ибо функция
ф(х) может быть комплексной.
Поскольку волна де Бройля описывает движение частицы,
мы можем сказать, что вероятность найти частицу больше в тех
областях пространства, в которых велика интенсивность |ф(х) |2,
или, более строго:
Вероятность нахождения частицы, описываемой волновой
функцией ф(х), в окрестности dx точки х равна | ф (х) 12dx.
Плотность вероятности нахождения частицы в точке х
Р(х) = |ф(х) I2.
В трехмерном случае волновая функция должна иметь вид
ф(х, у, г), а потому вероятность нахождения частицы в области
единичного объема, окружающей точку с координатами х, у, г,
определяется выражением
Р (х, у, z) = \ У (х, у, z) I2.
Вероятность нахождения частицы внутри конечного объема V,
очевидно, запишется в виде
ру = | ф (х, у, z) |2 dx dy dz.
v
Далее, поскольку частица всегда должна находиться в той или
иной точке пространства, при интегрировании по всему простран-
ству мы получим вероятность достоверного события, т. е. еди-
ницу:
I Ф (х, У у z) I2 dxdy dz=\.
по всему
пространству
Такое интегрирование по всей возможной области локализа-
ции с приравниванием результата единице называется норми-
ровкой. Нормировка всегда накладывает некоторые ограничения
на вид функции ф(х, у, г), ибо последняя должна стремиться
к нулю, когда х, у или z стремится к бесконечности.
Нормировкой определяется константа А в нашей волновой
функции
(х) = A sin —
360
Глава 12
для случая бесконечно глубокой потенциальной ямы. Здесь
5 I W I2 dx = 51'ФгаЮ I2d-t = Л2 sin2-^-dx = А24- = 1;
— оо о 0
следовательно, <
и нормированная волновая функция принимает вид |
__ /
. / \ / 2 пзтх !
^(x)=^/-sin —. j
(Задача 12.12.) |
Частица в трехмерном «потенциальном ящике»
Предположим, что движение частицы ограничено прямоуголь- J
ной областью объемом abc на дне бесконечно глубокой потен-
циальной ямы (У = 0), где а, Ь, с — стороны прямоугольной
области. Тогда энергия частицы
£=<г”^(р; + '’; + рЭ.
где рХ1 Ру и pz — компоненты импульса:
nh nh nh
Рх > Ру П2 > Pz — Щ » |
а /11, п2 и п3 — целые числа. !
Следовательно, энергетические уровни, разрешенные в «по-
тенциальном ящике», определяются выражением
n2h2 (п] п22 г& \ !
р —-_____I —2_ I £ । L I I
2m \ а2 ' b2 ' с2 J ’ ’
I
а решения, соответствующие пространственной части волновой I
функции, могут быть записаны в виде
в соответствии с решением для трехмерной нормальной моды,
приведенным на стр. 240.
Если «потенциальный ящик» имеет форму куба и а = b — с,
то выражение для разрешенных уровней энергии принимает вид
Квантовая механика
361
где /?2 =/г! + nj + мз, а волновая функция
t (х, у, z) = A sin sin sin
Y v 7 а а а
Но мы видели (стр. 239), что комбинации разных величин п
могут давать одно и то же значение k, т. е. одно и то же зна-
чение энергии. При перестановке чисел п2 и п3 без изменения
величины k волновая функция также меняется. Поэтому один
уровень энергии может быть связан с несколькими разными
волновыми функциями или динамическими состояниями. Такой
энергетический уровень называют вырожденным, причем число
различных, или независимых, волновых функций, связанных
с этой энергией, называется степенью вырождения.
В случае кубического «потенциального ящика» энергия низ-
шего уровня равна 3Ei (т. е. пх = n2 = п3 = 1), где
р __ л2й2
1 2 та2
Энергия следующего уровня равна 6Е1, причем этот уровень
трехкратно вырожден со следующими значениями п: (2, 1, 1),
(1,2,1) и (1,1,2). Более высокие значения энергии и степени
их вырождения приведены в помещенной ниже таблице.
Энергия Комбинации квантовых чисел Ль п2, Пз Степень вырож- дения
3£j (1,1.1) 1
(2,1,1) (1,2,1) (1,1,2) 3
9^! (2,2,1) (2,1,2) (1,2,2) 3
llfj (3,1,1) (1,3,1) (1,1,3) 3
12Е! (2, 2, 2) 1
14^ (1,2,3) (3,2,1) (2,3,1) (1,3,2) (2,1,3) (3,1,2) 6
(Задача 12.13.)
Число энергетических состояний в интервале от Е до Е + dE
Пока размеры кубического «потенциального ящика», о ко-
тором говорилось выше, малы, энергетические уровни остаются
разделенными. Но при увеличении объема, как в случае сво-
бодных электронов в металле, соседние энергетические уровни
настолько сближаются, что они почти сливаются в непрерывный
спектр.
12 Зак. 1186
362
Г лава 12
Если мы хотим определить, сколько энергетических уровней
может содержаться в малом энергетическом интервале dE в слу-
чае, когда «потенциальный ящик» очень велик, то нам доста-
точно применить результат, приведенный на стр. 243. Там мы
установили, что число возможных нормальных мод колебаний,
приходящееся на единицу объема в частотном интервале от v
до v + dv, равно
1 4лл?2 dv
dn =----.
с3
При этом мы подчеркивали, что данный результат не зависит от
конкретной системы, поэтому мы применяли его в формуле
Планка для излучения и в теории удельной теплоемкости Де-
бая.
Используя здесь этот результат вместе с соотношениями
E = -^- — hv, р = =
2т г с с
[следовательно, dE — (р/т) dp = hdv и dp(h/c)dv], мы получаем
число состояний, приходящееся на единицу объема в энергети-
ческом интервале dE\
dd^^'^-dE.
Данное выражение позволяет сразу найти возможное распреде-
ление свободных электронов в металле в интервале энергий ог
нуля до некоторого значения Е. Согласно принципу Паули, на
каждом энергетическом уровне могут находиться только два
электрона (с противоположными спинами), поэтому полное
число электронов в единице объема в энергетическом интервале ’ ‘
от нуля до Е дается выражением
„ _ 2 (£) = 2 j £'' dE _= "‘"У-)1". Е\
О
где те — масса электрона.
Когда металл находится в своем основном состоянии, все
электроны в нем занимают наинизшие уровни энергии. Если
полное число электронов в единице объема nQ меньше, чем пол-
ное число энергетических уровней в зоне, то электроны будут
занимать все энергетические состояния вплоть до максимальной J
энергии Ef, называемой энергией Ферми и определяемой соот- •
ношением - j
16л(2^)'/г Е‘£
"°- ЗЛ5
Типичное значение величины EF — порядка 5 электронвольт
(1 электронвольт — 1,6-10~19 Дж). (Задачи 12.14, 12.15.)
Квантовая механика
363
Потенциальная ступенька
Случай стоячей волны в бесконечно глубокой потенциальной
яме, где волновая функция ф«(х) конечна в области *с V(x)= О,
но равна нулю во всех остальных точках, исключителен в том
отношении, что классические и квантовомеханические резуль-
таты оказываются фомально одинаковыми. Если же рассмотреть
общий случай потенциальной ступеньки конечной высоты V
Фиг. 164. Волновые функции г|ч(х) и ф2(х) частицы с массой ш и энергией
Е < V в случае потенциальной ступеньки V(x) == V.
(фиг. 164), то квантовые эффекты станут более очевидными. Та-
кая ступенька — предельная форма очень крутого градиента по-
тенциала консервативной силы
' 7 дх
Потенциальный барьер подобного вида обычно существует для
электрона вблизи поверхности металла.
Мы рассмотрим отдельно случай, когда полная энергия ча-
стицы
Е = + V (х)
2m 1 х 7
меньше потенциальной энергии V, и случай, когда она больше V.
а. Е <V
Когда Е < V, область х > 0 на фиг. 164 запрещена для ча-
стицы законами классической механики, поскольку в этой обла-
сти кинетическая энергия р2/2т была бы отрицательной. Чтобы
найти полное решение ф(х) в случае потенциальной ступеньки,
нам нужно решить уравнение Шредингера для отдельных обла-
12*
364
Глава 12
стей, показанных на фиг. 164: х<0 (область 1) их>0 (об-
ласть 2).
В области 1 потенциал V(x) = 0, поэтому мы получаем урав-
нение
д2гр! (х) . 2тЕ , х
-h—+ —Ф1(х) = 0,
имеющее решение
(х) = AeiXiX + Be~ikxX,
где &1 = 2тЕ/й2. Член AetklX (с учетом правила знаков, принятого
в данной главе) описывает частицу, движущуюся вправо, а член
Be~ikxX — отраженную частицу, движущуюся влево.
В области 2 мы имеем V (х) — V, а поэтому уравнение Шре-
дингера принимает вид
2гп (|-ю (х) = 0
дх2 1 п2 \ / >
ИЛИ
^М_а2ф2(х) = 0,
где
2_ Ъп(У-Е)
а “ Я2
Такое уравнение имеет решение
<ф2(х) = Се-ах +Оеа\
Теперь вероятность обнаружить частицу в области 2, где она
не может находиться по законам классической физики, зависит
от квадрата амплитуды волновой функции | ф2 (%) |2 при усло-
вии, что ф2(х)->0 при х—► оо. Это условие необходимо для нор-
мировки любой волновой функции (т. е. для выполнения соот-
ношения | ф2 (х) I2 dx — 1У
Отсюда следует, что второй член Deax, который растет с уве-
личением х, должен равняться нулю. Но остается еще один член,
и волновая функция
ф2 (*) = Се~ах
дает конечную вероятность найти частицу за потенциальной сту-
пенькой (правда, эта вероятность уменьшается экспоненциально
с расстоянием). В этом глубокое отличие от классической меха-
ники.
На границе х = 0 функция ф(х) должна быть конечной,
чтобы она давала конечную вероятность нахождения здесь ча-
стицы, а потенциал V(x) испытывает конечный скачок в точке
х = 0. Но согласно уравнению Шредингера, вторая произвол-
Квантовая механика
365
/ ная д2$/дх2 при х = 0 ограничена, что означает непрерывность
как ф(х), так и dty(x)/dx в точке х — 0. Требование непрерыв-
ности этих функций — вот те граничные условия, которые по-
< зволяют сшить на границе двух областей отдельные решения
ф1(х) и фгМ для волновой функции.
В силу условия непрерывности ф(х) при х = 0 мы имеем
(0) = W0), или
А + В = С,
j тогда как из равенства (х)/дх = дф2(х)/дх при х = 0 сле-
дует, что
I ikx (X - В) = - аС = - а (А + В).
’ Таким образом,
i в = (ik'^a} А, С = -.;2-fe| А
и волновые функции для отдельных областей принимают вид
Ф1 (х) — A (eik'x + а ,
Они представлены на фиг. 164.
Отметим, в частности, что интенсивность той части волновой
функции, которая описывает падающую волну, равна
1Ф1 (х) 12 = | А |2,
тогда как интенсивность отраженной волны равна
|В|2 = | .*1 + а Л |2 = I л |2.
11 I tkx — a j 11
Следовательно, при любой энергии Е < V имеет место полное
отражение, как и в классическом случае, даже для тех частиц,
которые проникают в запрещенную классической физикой об-
ласть х > 0, где волновая функция ф2 (*) отлична от нуля.
В области 2 вероятность нахождения частицы
Р(х) = \^2 (Х) |2 = | Се-ах |2 =
------— Ае~ах = ——!—Д2е-2а*.
— а Zej + a2
Поскольку показатель экспоненты а зависит от 7(х), чем
больше величина У(х), тем быстрее стремится к нулю волновая
функция ф2(*) в области 2 при заданной полной энергии Е < V.
Если !/(%)—► оо, как в случае бесконечно глубокой потенциаль-
ной ямы, то, как мы уже видели, функция ф2(*) обращается
366
Глава 12
в нуль и проникновение в область, запрещенную классической
физикой, не происходит.
Предположение о том, что волновая функция ф2(х) частицы,
подлетающей с энергией Е < V к потенциальному барьеру ко-
нечной высотой V и конечной шириной Ь, еще отлична от нуля
в точке х — Ь, позволяет объяснить ряд важных физических яв-
лений. В результате становится возможным туннельный переход
частицы через потенциальный барьер, как показано на фиг. 165.
Фиг. 165. Узкий потенциальный барьер шириной Ь, через который проходит
частица, описываемая функцией ф1(х).
За барьером амплитуда функции ф, (х) остается конечной и дает некоторую вероятность
найти частицу в области 3.
Вероятность того, что частица под барьером достигнет точки
х = Ь, определяется выражением
Р(&) = |ф2(6)|2осе“2а\
За этим барьером частица будет распространяться в области 3
с волновой функцией ф 3 (х), имеющей уменьшенную амплитуду.
В таком случае для сшивания функций ф2(х) и ф3(х) должны
использоваться граничные условия при х = Ь.
Квантовый «туннельный эффект» лежит в основе объяснения
радиоактивного распада ядра. Кроме того, им объясняется так
называемая холодная (автоэлектронная) эмиссия электронов',
потенциальная ступенька, существующая для свободных элек-
тронов вблизи поверхности металла, может измениться
(фиг. 166) под действием внешнего электрического поля так,
что образуется барьер конечной ширины и электроны с наи-
большей энергией, находящиеся вблизи поверхности металла,
могут просачиваться через барьер.
Другой пример связан с двумя возможными положениями
атома азота относительно трех водородных атомов в молекуле
аммиака NH3. Эти положения, обозначенные буквами N и N',
показаны на фиг. 167, где представлен также потенциальный
барьер, препятствующий свободному движению атома азота
между положениями N и N7. В основном состоянии молекулы
NH3 атом азота переходит через барьер с частотой 2,3786-1010 Гц.
Квантовая механика
367
Высокая точность определения этой частоты, основанная на
малой ширине линии, используется в атомных часах для уста-
новления эталона времени. (Задача 12.16.)
Потенциал_______________
поверхности
металла
Туннельный переход
электрона с достаточно
большой энергией
Фиг. 166. При наличии внешнего электрического поля Е потенциал поверх-
ности металла, бывший ранее равным Уо, становится равным V — Vo — Ех,
что соответствует образованию барьера конечной ширины.
Через этот барьер могут проходить электроны, находящиеся вблизи поверхности металла
и имеющие достаточную энергию.
Удля движений
Фиг. 167. Два возможных положения N и N' атома азота относительно трех
атомов водорода в молекуле аммиака NH3.
В основном состоянии молекулы NH, частота прохождения атома азота через потенциаль
ный барьер превышает 1010 Гц.
б. Е> V
В области х < 0 на фиг. 164 потенциал У(х) = 0, а поэтому
уравнение Шредингера
д21|ц (х) . 2тЕ . , ч п
+ —^ (х) = 0,
ИЛИ
= 0
дх2 m ’
где k*~2mEltr, имеет решение
Ф1 W = Aeik'x + Be~ik'x,
368
Глава 12
содержащее как падающую, так и отраженную волны. Импульс
частицы pi определяется из формулы р\]2т = Е,
В области х > 0 мы имеем V(x)= V и уравнение Шредин-
гера принимает вид
или
где
дх2
+ Аф|>2=0,
2 2m (Е - V)
'2 =-------Й2-----
а импульс частицы р2 находится по формуле рЦ2т = Е — V.
В качестве решения для волновой функции в этой области мы
рассмотрим только бегущую вправо, или прошедшую, волну, по-
скольку при х > 0 волне не от чего отразиться. Следовательно,
ф2 (*) = Ceik2X,
где волновое число k теперь связано с длиной волны де Бройля
для частицы.
Мы видим, что величина k изменяется вместе с потенциа-
лом V, т. е. вместе с силой, действующей на частицу. Иначе
говоря, частица реагирует на изменяющийся потенциал так же,
как свет реагирует на изменяющийся показатель преломления.
Если при Е > V потенциал V увеличивается, то импульс р и
волновое число k (р = ttk) уменьшаются, а длина волны X уве-
личивается.
Из условий непрерывности при х = 0 следует, что
Ф1 W = U).
или
Л + В = С,
и
(Hi (х) д^>2 (х)
дх дх ’
ИЛИ
ki(A —В) = k2C.
Решая эти два уравнения, получаем
Поскольку коэффициент В отличен от нуля, при х — 0 происхо-
дит некоторое отражение, несмотря на то что энергия Е > V.
Очевидно, что это не классический эффект.
Квантовая механика
369
Если при к = 0 мы имеем падающий пучок из большого
числа частиц и скорость каждой частицы равна
0ie4i = ^,
1 m tn
то скорость прошедших частиц будет равняться
р2 ___hk2
z_______tn_m
Интенсивность потока частиц, т. е. число частиц, проходящих
через единицу площади в единицу времени, можно записать
в виде произведения скорости на квадрат амплитуды волновой
функции. Тогда интенсивности падающего, отраженного и про-
шедших потоков равны ui | А |2, Ui | В |2 и 1 С |2.
Следовательно, коэффициент отражения, равный отношению
интенсивности отраженного потока к интенсивности падающего
потока, имеет вид
n__ th! Д I2 pi - ^2 \2
| А р + ’
Коэффициент пропускания, равный отношению интенсивности
прошедшего потока к интенсивности падающего потока, опреде-
ляется формулой
т_ и2|С|2 __ k2 ( 2k> \2__ Akfa
Vi I A I2 kx k kx + k2 ) (k. + ад2 •
Эти результаты сходны с результатами, полученными для наших
классических волн в предыдущих главах. Отметим, что в силу
соотношения /? + Г == 1 полное число частиц сохраняется.
В нашем примере коэффициенты R и Т относятся к числу ча-
стиц, образующих пучок. Если же мы рассматриваем отдельные
частицы, входящие в состав пучка, то эти коэффициенты дают
среднюю вероятность того, что отдельная частица отразится от
потенциального барьера или пройдет сквозь него. (Задача 12.17.)
Прямоугольная потенциальная яма
Рассмотрим частицу с энергией Е < V, движущуюся в пря-
моугольной потенциальной яме шириной а (фиг. 168). Внутри
ямы, высота V которой конечна, потенциал равен нулю. Такая
потенциальная яма — приближенное представление потенциала
сил с конечным радиусом действия, не оказывающих воздей-
ствия за пределами этого радиуса. Вне области действия сил
потенциал можно считать постоянным. На основании того, что
было сказано в случае бесконечно глубокой потенциальной ямы
(У = оо) и потенциальной ступеньки, можно полагать, что наша
370
Глава 12
волновая функция будет представлять собой стоячую волну де
Бройля с целым числом полуволн в области потенциальной ямы
и экспоненциально-затухающую волну вне потенциальной ямы.
V(x)~V
3
V(x)=0...........
х = 0 х~а
Фиг. 168. Энергия частицы Е < V (V —конечная высота прямоугольной по-
тенциальной ямы шириной а) может принимать только значения, удовлетво-
ряющие уравнению tg (a'y/ZinE/ti1 ) = 2^F (V — E)I(2E — V).
Волновые функции для трех областей сшиваются на границах х = 0 и х — а с учетом усло-
вий непрерывности ф (х) и бф (х)/дх.
Записывая уравнение Шредингера для каждой из трех обла-
стей, мы получим для области 1 (0 < х а) следующее урав-
нение:
решение которого имеет вид
Ч1! W ~ Aetk'x + Be~‘kiX =
= A (cos kjX + i sin k\X) 4- В (cos kix — i sin fejx) =
= At cos kix + Bt sin ktx.
Здесь Л1 = Л + Д Bt = i (A — В) и k{ = 2mElt^.
В области 2 (xi>a) уравнение
дх2 1 n2 ’
имеет решение
ф2 (x) = Л2еах + B2e~~ax,
где
В области 3 (x < 0) уравнение
Квантовая механика
3/1
имеет решение
Фз (х) = А3еах + В3е“и*.
Поскольку функция ф(х) должна оставаться конечной при
х -> ± оо (условие нормировки), постоянные Д2 и В3 должны
равняться нулю. Кроме того, должны выполняться граничные
условия непрерывности ф(х) и д^(х)/дх в точках х = 0 и
х = а.
При х = О
откуда Ф1 (х) = ф3 (X), Л дф1 (х) _ дфз (х) (12.1) (12.2)
дх = Д3, = аЛ3. дх ’
В то же время при X = а
Ф1W = ф2 (х), дф1 (х) дх _ <?фг (х) дх 9
откуда
Xi cos k{a + S] sin k}a = B2e~aa,
— kiA{ sin kxa + k\Bx cos k{a = — aB2e~aa.
(12.3)
(12.4)
Для того чтобы выполнялись уравнения (12.1) — (12.4), на
величины k и ос, т. е. на энергию Е, должны быть наложены оп-
ределенные условия, иначе говоря, разрешены должны быть
только определенные значения Е. Из уравнений (12.1) и (12.2)
следует, что
А\ k
Bi а
Используя это соотношение
(12.4), получаем
вместе с уравнениями (12.3) и
tgM
2k^a
_ 2 ’
fvj Ct
или
2 л/Е (V - Е)
2E-V
Разрешенными энергетическими состояниями являются только
те значения Е, которые удовлетворяют данному соотношению.
Но эти значения приходится находить либо численными мето-
дами, либо графически.
372
Глава 12
Фиг. 169. Волновые функции для трех низших разрешенных энергий Е2
И Ез в случае частицы, находящейся в прямоугольной потенциальной яме.
За пределами ямы ф (х) уменьшается по экспоненте.
Волновые функции для первых трех разрешенных значений
энергии приведены на фиг. 169. Ход их изменения можно объяс-
нить, рассматривая уравнение Шредингера в виде
—= — (Положительная константа) (Е — 7).
Величина д2ф/дх2 — это скорость изменения наклона касатель-
ной к кривой волновой функции ф(х), т. е. кривизна этой кри-
вой. При Е > V обе части уравнения отрицательны, поэтому
кривая ф(х) должна всюду быть выпуклой в сторону от оси х,
как, например, синусоида или косинусоида. Поскольку кри-
визна увеличивается с ростом Е, на более высоких энергетиче-
ских уровнях на ширине потенциальной ямы должно уклады-
ваться большее число полуволн де Бройля. Это согласуется
с тем, что при увеличении энергии Е увеличивается волновое
число k и уменьшается длина волны де Бройля %.
На низшем энергетическом уровне у кривой функции ф(х)
нет ни одного узла, на втором энергетическом уровне имеется
один узел, на третьем энергетическом уровне имеются два узла
Квантовая механика
373
и т. д. Но в пространстве узлы расположены не совсем равно-
мерно, а амплитуда функции ф(х) не одинакова по всей потен-
циальной яме. В частности, амплитуда должна увеличиваться
вблизи стенок потенциальной ямы по мере замедления частицы,
чтобы она давала более высокую вероятность нахождения здесь
частицы.
В области, где Е <_ V, отношение (д2ф/дх2)/ф положительно,
а поэтому кривая ф(х) должна быть обращена своей выпук-
лостью к оси х, как в случае экспоненциальной зависимости. Из-
менение характера кривой ф(х) должно происходить на границе
Е = V, причем две части кривой будут сшиваться только при
определенных значениях Е.
Гармонический осциллятор
В качестве последнего примера, иллюстрирующего кривые
ф(х) в случае потенциальной ямы, мы рассмотрим кривую по-
тенциальной энергии гармонического осциллятора V = 1/2^^2
(фиг. 170).
Фиг. 170. Кривая потенциальной энергии V гармонического осциллятора с раз-
решенными энергетическими уровнями Еп = (п + V2)Av.
В тексте показано, что энергией Е (амплитудой колебаний осциллятора а) определяется
средняя длина волны де Бройля к—Ь](ЧьгпЕ№.
Расчет кривых ф(х) слишком сложен для данной главы, и
мы просто приведем их, чтобы показать, что их общая форма
совпадает с той, которую мы можем ожидать, исходя из преды-
дущих примеров. Кроме того, мы получим квантовомеханические
результаты в очень хорошем приближении путем чисто класси-
ческих рассуждений.
374
Глава 12
В 1901 г. Планк постулировал, что энергия такого осцилля-
тора может иметь значения Е = nhv, где п — целое число,
a v — частота. Шредингеру удалось вывести этот результат
в 1926 г., но с одним существенным различием, которое связано
с принципом неопределенности. Согласно этому принципу, дол-
жен существовать уровень с минимальной энергией, или энер-
гией нулевых колебаний, равной xl2hv.
В случае классического осциллятора минимальная энергия
Е = 0. Соответствующее состояние определяется точкой О на
фиг. 170, которая одновременно дает точные значения х = 0 и
р = 0, т. е. осциллятор не совершает колебаний. Принцип неоп-
ределенности запрещает это. Если а$ — наименьшая амплитуда
колебаний осциллятора, совместимая с принципом неопределен-
ности, то
а0 ~ у
Если ро — максимальный импульс осциллятора с амплитудой ко-
лебаний а0, то
Ро ~ kp,
поскольку он может быть направлен как в положительном, так
и отрицательном направлении оси х.
Энергия классического осциллятора
£ = 1 /жо2а2 = -Г соа0 (тиа0) = у соа0р0 «
« g-ci) Дх -g- у пая = ~ hv.
Таким образом, все другие уровни энергии будут располагаться
выше этой энергии нулевых колебаний на величину, равную це-
лому числу энергетических ступенек hv.
Рассмотрим осциллятор, колеблющийся с амплитудой а. Его
энергия
Е = -& + v = +1s%2 = Isa" = т
следовательно,
2„=ал/М.
(О V пг
Кинетическую энергию осциллятора, усредненную по простран-
ственному интервалу от —а др а длиной 2а, можно записать
Квантовая механика
375
в виде
а
р212пг dx о
—2—z--------dx = -±- { (Е — ±-mw2x2') dx~ Е — /па2а2 — -^-Е,
** j \ Zi / о о
С j ~а
\ dx
-а
поскольку
Е = у тсо2а2.
Таким образом, среднее значение кинетической энергии
-PL = 1E
2m 3
откуда
h / 4m£
P=-==V~3--
Последняя формула дает нам среднее значение длины волны
де Бройля:
^4тЕ1Ъ
1Аъ\ предполагаем, что при энергии Е на длине
уложится п полуволн. Следовательно,
Л пК 2 /2Е
2 2л/4тЕ/3 со V m
и, записывая со == 2nv, мы получаем
Е = -| nhv Q,96nhv,
что очень близко к nhv. Однако в точном результате должна
учитываться энергия нулевых колебаний xl2hv. Следовательно,
энергетические уровни описываются формулой
Е = (м + у) hv (п = 0, 1, 2, 3, ...).
Кривые функций фи | ф |2 для первых четырех энергетиче-
ских уровней представлены на фиг. 171. Мы видим, что, тогда
376
Глава 12
Фиг. 171. Волновые функции ф(х) и плотности вероятности |ф(х) |2 для пер-
вых четырех энергетических уровней гармонического осциллятора.
как классический осциллятор никогда не может превысить свою
максимальную амплитуду колебаний п0, частица, подчиняю-
щаяся законам волновой механики, может быть с определенной
вероятностью обнаружена за этим пределом. (Задачи 12.18,
12.19.)
Задача 12.1
Энергия электрона с массой т и зарядом а, вращающегося
по круговой орбите радиуса г, имеет вид
£СТ.Р.2____g2
2т 4ле0г ’
где р — импульс. Исходя из принципа неопределенности Гейзен-
берга в виде Др Дг « й, покажите, что минимальная энергия
(энергия основного состояния атома Н)
р — те"
8ф2
соответствует боровскому радиусу
г= Sq/*2
яте2
Задача 12.2
При регистрации некой частицы происходит ее аннигиляция:
энергия, соответствующая массе покоя частицы т, превращается
в энергию излучения. Исходя из соотношений Др Дх « h и
Е = рс для фотона, покажите, что коротковолновый предел из-
мерения длины равен комптоновской длине волны
Покажите, что для электрона последняя равна 2,4 • 10~12 м.
Квантовая механика
377
Задача 12.3
Если х и р изменяются по гармоническому закону, то сред-
ние квадраты неопределенностей удовлетворяют соотношению
(д?)(м«4-
Энергия гармонических колебаний с частотой со дается выраже-
нием
Покажите, что ее минимальное значение равно V2/1V.
Задача 12.4
Электрон с импульсом р и длиной волны % = p/h проходит
через щель шириной Дх. Дифракцию его как волны можно ха-
рактеризовать изменением его импульса Др в направлении, па-
раллельном плоскости щели (при постоянном полном импульсе
электрона). Покажите, что приближенное положение первого
минимума в дифракционной картине согласуется с принципом
неопределенности Гейзенберга. (Кривая интенсивности в глав-
ном максимуме дифракционной картины дает вероятность того,
что электрон попадает в ту или иную точку экрана.)
Задача 12.5
Пучок электронов с длиной волны де Бройля 10-5 м проходит
через щель шириной 10~4 м. Покажите, что угловая ширина
пучка, обусловленная дифракцией, равна 5° 47'.
Задача 12.6
Покажите, что длина волны де Бройля электрона, ускорен-
ного разностью потенциалов V, такова:
X = A/(2meeV)'/2 = 1,29 • 10-9V~'/2 м,
где V измеряется в вольтах.
Задача 12.7
Расстояние между атомами в неком кристалле равно
3-10~10 м (ЗА). Покажите, что для получения картины дифрак-
ции электронов на таком кристалле необходимо напряжение
3 кВ.
Задача 12.8
Электромагнитное излучение состоит из фотонов с нулевой
массой покоя. Покажите, что плотность среднего импульса, пе-
реносимого электромагнитной волной с амплитудой электриче-
378
Глава 12
ского поля £0, дается формулой
___J_ ео£о
р
(Проверьте размерность обеих частей этого равенства.) э
Задача 12.9
Покажите, что средний импульс, переносимый электромаг-
нитной волной, создает давление излучения
Р = ср = 1е0Е5, ,
когда волна падает нормально на идеальный поглотитель, и
давление
р = 2ср = 80Е2,
когда волна падает нормально на идеальный отражатель. (Если
излучение падает на поверхность по всем направлениям внутри
телесного угла 2л, то в приведенные выше выражения войдет
множитель !/з«)
Задача 12.10
Плотность потока энергии солнечного излучения, падающего на >
идеально поглощающую поверхность Земли, равна 1,4 Вт-м~2, и
излучение приходит по всем направлениям внутри телесного
угла 2л. Покажите, что давление излучения составляет при-
мерно ICH1 атмосферного давления.
Задача 12.11
Два атома в молекуле углерода колеблются с частотой
6,43-10-11 Гц. Покажите, что энергия нулевых колебаний равна
1,34-Ю-3 эВ (1 эВ = 1,6-10-19 Дж).
Задача 12.12
Частица с массой m движется в бесконечно глубокой прямо-
угольной потенциальной яме, заданной следующим образом: j
f 0 при — a^x^Za,
( оо при I х | > а.
Частица описывается волновой функцией i
| 1-------| при \х нС а,
1|>(х) = < v 8«2 7
0 при | х | > а.
Квантовая механика
379
Вычислив интеграл | гр W I2 dx, покажите, что вероятность
— а
найти частицу в яме равна 0,96.
Покажите, что основное состояние частицы описывается нор-
мированной функцией ф(х) = (1/д/а) cos(nx/2a). Разложите эту
функцию в ряд по степеням лх/а и сравните ряд с волновой
функцией, приведенной выше.
Задача 12.13
Покажите, что нормировочная постоянная для
функции
ф (х, у, г) = A sin sin sin ,
волновой
описывающей электрон в объеме abc на дне глубокой потенци-
альной ямы, равна (8/abc)I/2.
Задача 12.14
Все N электронов, находящиеся в объеме V твердого тела,
при очень низкой температуре занимают энергетические уровни,
лежащие в интервале энергий от нуля до энергии Ферми EF.
Покажите, что их полная энергия
Ер
U==\Edn=[ E~dE = ^NEF.
J J dE 5 p
о
Отсюда средняя энергия одного электрона равна
Задача 12.15
В меди на один атом приходится один электрон проводимо-
сти. Плотность меди равна 9, а ее атомный вес равен 64. Пока-
жите, что плотность свободных электронов равна ~8-1028 м~3,
а энергия Ферми равна ~7 эВ (1 эВ = 1,6-10“19 Дж).
Задача 12.16
Вероятность проникновения частицы с массой m на расстоя-
ние х в область, запрещенную законами классической физики,
пропорциональна е~2ах, где
а2 = 2т(У-£)/Й2.
Приняв х — 2-10“10 м (2 А) и V — Е = 1 эВ (1,6-10~19 Дж),
покажите, что
о ( 0,1 для электрона,
q — 2ах - г I
I 10“43 для протона.
380
Глава 12
Задача 12.17
Частица с полной энергией Е движется в положительном
направлении оси х в области, где потенциальная энергия V — 0.
Потенциал резко уменьшается до очень большого отрицатель-
ного значения. Покажите, что, согласно квантовой механике, ам-
плитуда отраженной волны стремится к единице, а амплитуда
прошедшей волны стремится к нулю. Отметим, что это означает
неклассическое полное отражение.
Задача 12.18
Покажите, что уравнение Шредингера для одномерного гар-
монического осциллятора с частотой со имеет вид
d2ty . 2m [„ 1 2 2I 1 А
Покажите, что при а2 = функции
‘ фо(х) = (а/7^),^-а2х’/2
и
ф1 (х) = (а/2 Vл У!г 2axe~a’x'!2
являются нормированными волновыми функциями для состоя-
ний с энергиями Ео = 1 /2ЙИ (энергия нулевых колебаний) и
Ei = 3/гй<1).
Задача 12.19
Нормированная волновая функция для одномерного гармо-
нического осциллятора с энергией Еп = (п + !/г) йсо имеет вид
ф„(х) = ^„Яп(ах)е-«М2)
где
Nn — (а/яЧ‘2пп1)',г, а2 — ma/fi и Нп (у) = (— 1 )п е~у\
ау
Покажите, что функции фо(^) и ф1(х) в задаче 12.18 удовлетво-
ряют общему выражению для и вычислите фг(*) и ф3(х).
Сводка основных результатов
Длина волны де Бройля X = h/p.
Принцип неопределенности Гейзенберга (теорема о ширине
частотной полосы)
Дх Др ж h,
\Е M^h
определяет энергию нулевых колебаний.
Квантовая механика
381
Независящее от времени уравнение Шредингера
а2ф (х) , 2m (Е- 17) п
—а^~ +-------л2---W °-
ф(х) = Aeikx 4- Be~ikx,
где F = 2m (Е — V)/H\ Е > V,
ф (х) = Сеах + De~ax,
где а2 = 2m (V — Е)/&, V > Е.
Вероятность на единицу длины нахождения частицы в точке х
Р (х) = 1ф (х) |2.
Нормировка
| ф (х, у, z) |2 dx dy dz = I,
где интеграл берется по всему пространству.
Гармонический осциллятор
Энергетические уровни Еп = (п + у) hv.
Волны, падающие на плоскую границу раздела двух сред с волновым сопротивлением Zt и Z2
Тип волн Амплитудные коэффициенты
Волновое сопротивление/: + для волны, бегущей в положительном направлении, — для волны, бегущей в отрицательном направлении Граничные условия Отраженная r Падающая i _Z, — Z2 z, + z2 Прошедшая r Падающая i 2Z, Zi + Z2 Отраженная г Падающая i _z2-z, z2 + zt Прошедшая t Падающая i 2Z> ” zr + z2
Поперечные на струне (стр. 120) Vi + У Г = У t или У{ + Уг = yt (ду{ дуг dyt\ \ дх дх дх ) У * У _ T dx
Продольные акустические (стр. 170) -£- = Рос = (Вар)1Д + = Pi + Pr = Pt T| И T) p
Напряжения и тока в ли- нии передачи (стр. 185) Ml Ii + Ir = It Vi + Vr = Vt I V
Электромаг- нитные (стр. 211) Гц II со > I 1 Ei + Er = Et H E
Для всех волн
Отраженная интенсивность
Падающая интенсивность
Л - Z2 у
Zi + zJ ’
Прошедшая интенсивность ____ 4Z1Z2
Падающая интенсивность (Zi+Z2)2'
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Акустические волны 157
---- конечной амплитуды 335
---- распределение энергии 162
Апериодическое движение 40
Баллистический гальванометр 42
Бесселя функции 318
Биения 23, 89, 134
Виброизоляция 71
Волна бегущая 111
---- в волноводе 234
— ------ периодической структуре
140
— двумерная 231
— длина волны 117
— интенсивность 164
— напряжения 182
— плоская 112
—• плотность энергии 131, 162, 209
— поперечная НО
— продольная 157
— скорость ИЗ, 117, 118
— стоячая 128
— сферическая 112
— тока 182
— трехмерная 231
— уравнение 113, 232, 234
—194 ° УЧеТ0М эФФектов Диффузии
— электромагнитная 202
---- в диэлектрике 205
-------- проводнике 212
Волновое сопротивление (импеданс)
диэлектрика 210
---- линии передачи без потерь 183
---------- с потерями 190
---- проводника 218
----связь с показателем преломле-
ния 222
---- согласование 125
---- струны 119
Вырождение 241, 361
Гейзенберга принцип неопределенно,
сти 140, 351
Двоякопреломляющий кристалл 26
Дебая теория удельной теплоемкости
245
Де Бройля длина волны 349
Децибел 165
Дипольное излучение 298
Дисперсия 135
— аномальная 135
— нормальная 135
Дифракционная решетка 307, 310
----разрешающая способность (си-
ла) 311
---------- критерий Рэлея 312
----------теорема о ширине частот-
ной полосы 313
Дифракция 303
— круглое отверстие 316
— прямоугольное отверстие 314
— узкая щель 280, 303
— Фраунгофера 304
Диффузии уравнение Г91
Доплера эффект 145
---- связь с ударной волной 336
Звуковые волны 157
---- интенсивность 164
Импеданс осциллятора механиче-
ского 63
---- электрического 61
— согласование 125
— удельный акустический 165
Интерференция 293
— двух источников 293
— дипольное излучение 298
— линейной цепочки из N источни-
ков 300
— максимумы главные 301
----побочные 302
384
Предметный указатель
Интерференция опыт Юнга с двумя
щелями 295
— полосы 297
----- порядок 297
-------потерянный 310
Ионные кристаллы, поглощение ин-
фракрасного излучения 145
----- распространение волн 143
-----тепловое расширение 330
Квантовая механика 347
-----атомные часы 367
----- нулевые колебания 358
----------энергия 358, 374
-----отражение частиц от потен-
циального барьера 364
----- туннельный переход через по-
тенциальный барьер 366
-----Ферми энергетический уровень
362
-----функция волновая 354, 358
---------- нормировка 359
-----Шредингера волновое уравне-
ние 353
Когерентность 34
Колебания гармонические 11
----- затухание 38
-----добротность 47, 76, 77
------- критическое 42
-------логарифмический декремент
затухания 45
------- постоянная времени затуха-
ния 46
------- сильное 40
----- скорость диссипации энергии
49
-----сложение 22, 24, 32
— нелинейные 326
— связанные 84
Критическая частота 99, 235
Ламе упругие постоянные 166
Лиссажу фигуры 29
Максвелла система уравнений 203
Маха конус 337
— число 341
Модуль всестороннего сжатия 158,
168
Нормальные координаты 86
— моды двумерные 239
— — одномерные 86, 129
Нормальные моды трехмерные 242
— частоты 86
Осциллятор под действием внешней
силы 60
-------------механический 64
-------------нестационарные коле-
бания 64
-------------передаваемая энергия
74
------------- резонанс скорости 67
----------------смещения 69
------------- стационарные колеба-
ния 64, 65
---------- электрический 61
Отражение волн на границе разде-
ла линий передачи 185
------------- сред в акустике 170
------------------- двумерном про-
странстве 234
------------------- трехмерном про-
странстве 247
-------------------электродинами-
ке 220, 247
----------------коэффициент отра-
жения амплитудный 123
— — ______ — — энергетиче-
ский 124
----- сводка результатов 382
Пакет волновой 133
-----групповая скорость ИЗ, 133
----- двухкомпонентный 133
-----многокомпонентный 137
Передачи линия 178
----- без потерь 181
— — реальная 187
Планка формула излучения 243
Поглощение энергии в волнах 191,
195
----------коэффициент поглощения
189
Пойнтинга вектор 209
Поляризация 26
Постоянная времени релаксации сре-
ды 218
Прохождение волн через границу
раздела линий передачи 185
------------- сред в акустике 170
------------- двумерном Пр0_
странстве 247
---------------— электродинами-
ке 220, 247
---------------коэффициент про-
пускания амплитудный 123
Предметный указатель
385
Прохождение волн через границу раз-
дела коэффициент пропускания
энергетический 124
----- сводка результатов 382
Пуассона коэффициент 166
Разделение переменных (метод) 236
Распространения константа 189, 195
Релаксационный генератор 332
Связанные колебания 84
-----маятников, соединенных пру-
жиной 84
-----нагруженной струны 94
----------предельный переход к
волновому движению 100
— — электрические 91
Скин-слоя глубина 214
Скорость волны 113, 117, 118
— пакета 113, 133
— частиц 113
Смещения ток 204
Снеллиуса закон 249
Собственные функции 354
— частоты 129, 237, 353
Степень свободы 87
Стоячая волна 128
-----коэффициент 132
-----на струне 128
----- уравнение 129
Стоячая волна энергия гармонической
моды 131
Теорема о ширине частотной полосы.
137, 274
Ударные волны 336, 337
Узловые точки (узлы) 130
Фурье интеграл 276
Фурье-образы 278
-----гауссовой функции 283
-----прямоугольной функции 280
Фурье ряд 260
-----частотный спектр 273, 274
Частная производная НО
Черепковское излучение 338
Экспоненциальная функция, разло-
жение в ряд 35
Юнга модуль 166
Оглавление
Предисловие редактора перевода......................'.............. 5
Предисловие к первому изданию.......................................7
Предисловие ко второму изданию .................................... 9
Глава 1. Незатухающие и затухающие гармонические
колебания....................................................11
Смещение при простых гармонических колебаниях (14). Скорость
и ускорение при гармонических колебаниях (16). Энергия гармони-
ческого осциллятора (17). Гармонические колебания в электрической
системе (20). Сложение двух гармонических колебаний, происходя-
щих вдоль одной прямой (22). Сложение двух перпендикулярных
гармонических колебаний (24). Поляризация (26). Сложение боль-
шого числа п гармонических колебаний одинаковой амплитуды а
с последовательным сдвигом по фазе на 6 (29). Сложение п одина-
ковых векторов простых гармонических колебаний с длиной а и слу-
чайной фазой (32). Применение (34). Некоторые сведения из мате-
матики (35). Затухающие гармонические колебания (38). Методы
описания затухания осциллятора (45). Сводка основных резуль-
татов (58).
Глава 2. Вынужденные колебания осциллятора..............60
Действие оператора i на вектор (60). Комплексная форма закона
Ома (61). Импеданс механической системы (63). Поведение осцил-
лятора под действием внешней силы (64). Зависимость амплитуды
и фазы скорости v от частоты внешней силы со (67). Зависимость
смещения от частоты со внешней силы (68). Виброизоляция (71).
Физический смысл двух компонент смещения (72). Энергия, пере-
даваемая осциллятору внешней силой (74). Зависимость Рср от со,
резонансная кривая поглощения (75). Добротность Q, выраженная
через ширину частотной полосы поглощения (76). Добротность как
коэффициент усиления (77). Сводка основных результатов (82).
Глава 3. Связанные колебания.................................84
Осцилляторы, связанные через жесткость (или емкость) (84). Нор-
мальные координаты, степени свободы и нормальные моды коле-
баний (86). Общий метод нахождения частот нормальных мод (90).
Связь через массу или индуктивность (91). Связанные колебания
нагруженной струны (94). Волновое уравнение (100). Сводка основ-
ных результатов (108).
Оглавление
387
Глава 4. Поперечные волны.................................. но
Частная производная (НО). Волны (111). Скорости волнового движе-
ния (113). Волновое уравнение (ИЗ). Решение волнового уравне-
ния (116). Импеданс струны (струна как осциллятор, колеблющийся
под действием внешней силы) (119). Отражение и прохождение на гра-
нице двух струн (121). Отражение и прохождение энергии (124).
Энергетические коэффициенты отражения и пропускания (124). Согла-
сование импедансов (125). Стоячие волны на струне фиксированной
длины (128). Энергия колеблющейся струны (130). Энергия каждой
нормальной моды колеблющейся струны (131). Коэффициент стоячей
волны (132). Волновые пакеты и групповая скорость (133). Волновой
пакет, состоящий из многих гармоник, теорема о ширине частотной
полосы (137). Поперечные волны в периодической структуре (140).
Линейная цепочка из атомов двух типов в ионном кристалле (143).
Поглощение инфракрасного излучения ионными кристаллами (145).
Эффект Доплера (145). Сводка основных результатов (154).
Глава 5. Продольные волны..................................157
Звуковые волны в газах (157). Распределение энергии в звуковых
волнах (162). Интенсивность звуковых волн (164). Продольные волны
в твердом теле (166). Применение к описанию землетрясений (168).
Продольные волны в периодической структуре (168). Отражение
и прохождение звуковых волн на границе сред (170) Интенсивность
отраженной и прошедшей звуковых волн (171). Сводка основных
результатов (177).
Глава 6. Волны в линиях передачи........................... . 179
Идеальная линия передачи (без потерь) (181). Коаксиальные ка-
бели (182). Волновое сопротивление линии передачи (183). Отражение
от конца линии передачи (185). Короткозамкнутая линия передачи
(7д = 0) (186). Роль сопротивления в линии передачи (187). Волновое
сопротивление линии передачи с потерями (190). Уравнение диффузии
и поглощение энергии в волнах (191). Волновое уравнение с учетом
эффектов диффузии (194). Приложение (195). Сводка основных
результатов (200).
Глава 7. Электромагнитные волны...........................202
Уравнения Максвелла (203). Электромагнитные волны в среде, где
р,=0=О, е=#0, но о == 0 (205). Волновое уравнение для электромагнит-
ных волн (208). Пример на использование вектора Пойнтинга (210).
Волновое сопротивление диэлектрика для электромагнитных волн (210).
Электромагнитные волны в среде, где цУ=0, 8^=0 и о#=0 (212).
Глубина скин-слоя (214). Скорость электромагнитных волн в провод-
нике и аномальная дисперсия (215). Когда среда проводник и когда
она диэлектрик? (216). Почему электромагнитные волны не прони-
кают в проводник? (218). Волновое сопротивление проводящей среды
для электромагнитных волн (218). Отражение и прохождение элек-
тромагнитных волн на границе раздела сред (нормальное падение)
388
Оглавление
(220). Связь между волновым сопротивлением и показателем прелом-
ления (222). Сводка основных результатов (229).
Глава 8. Волны в пространстве двух и трех измерений . . 231
Плоская волна в пространстве двух и трех измерений (231). Волно-
вое уравнение в случае двух измерений (232). Волноводы (234).
Нормальные моды и метод разделения переменных (236). Дву-
мерный случай (238). Трехмерный случай (239). Двумерные нор-
мальные моды прямоугольной мембраны (239). Трехмерные нормаль-
ные моды (242). 1. Частотное распределение энергии, излучаемой нагре-
тым телом, формула Планка (243). 2. Теория удельной теплоемкости
Дебая (245). Отражение и прохождение трехмерной волны на плоской
границе раздела сред (247). Сводка основных результатов (258).
Глава 9. Методы Фурье......................................260
Ряд Фурье (260). Разложение треугольной функции в ряд Фурье
по синусам (267). Вычисление энергии нормальных мод колеблющейся
струны (268). Разложение в ряд Фурье прямоугольного импульса
скорости на струне (271). Спектр ряда Фурье (274). Интеграл
Фурье (276). Фурье-образы (278). Примеры фурье-образов (279).
Прямоугольная функция (280). Применение преобразования Фурье
при анализе дифракции света на щели (280). Распределение Гаусса,
или нормальное распределение (кривая ошибок) (283). Сводка основ-
ных результатов (291).
Глава 10. Интерференция и дифракция света..................293
ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ (293). Интерференция волн, распространяющихся
от двух щелей или источников (293). Интерференция в случае двух
одинаковых источников, разделенных расстоянием f (295). Интерфе-
ренция в случае линейной цепочки из N одинаковых источников (300).
ДИФРАКЦИЯ (303). Дифракция на одной узкой щели (303). Масш-
таб распределения интенсивности (307). Распределение интенсивности
в случае интерференции и дифракции на N одинаковых щелях (307).
Дифракция на двух одинаковых щелях (А = 2) (309). Дифракцион-
ная решетка (большое N) (310). Разрешающая способность дифрак-
ционной решетки (311). Разрешающая способность и теорема о ширине
полосы частот (313). Дифракция на прямоугольном отверстии (314).
Дифракция на круглом отверстии (316). Сводка основных резуль-
татов (324).
Глава 11. Нелинейные колебания..............................326
Свободные колебания нелинейного осциллятора, движение простого
маятника с большой амплитудой (326). Вынужденные колебания,
нелинейная возвращающая сила (327). Тепловое расширение кри-
сталла (330). Нелинейные эффекты в электрических приборах (332).
Нелинейные эффекты в акустических волнах (334). Толщина удар-
ного фронта (338). Уравнение законов сохранения (339). Число
Маха (341). Отношение характеристик газа по обе стороны от фронта
ударной волны (341). Сильные ударные волны (342).
Оглавление
389
Глава 12. Квантовая механика ....................... . . . 347
Источники современной квантовой механики (347). Принцип неопре-
деленности Гейзенберга (351). Волновое уравнение Шредингера (353).
Одномерная бесконечно глубокая потенциальная яма (355). Физиче-
ский смысл амплитуды фп (х) волновой функции (358). Частица
в трехмерном «потенциальном ящике» (360). Число энергетических
состояний в интервале от Е до Е 4- dE (361). Потенциальная сту-
пенька (363). Прямоугольная потенциальная яма (369). Гармониче-
ский осциллятор (373). Сводка основных результатов (380).
Волны, падающие на плоскую границу раздела двух сред
с волновым сопротивлением Z{ и Z2...................382
Предметный указатель................................383
Уважаемый читатель!
Ваши замечания о содержании книги, ее оформ-
лении, качестве перевода и другие просим посылать
по адресу: 129820, Москва, И-110, ГСП, 1-й Рижский
пер,, 2, изд-во «Мир».
Г. Пейн
ФИЗИКА КОЛЕБАНИЙ И ВОЛН
Редактор Е. Куранский
Мл. редакторы Р. Зацепина, Г. Сорокина
Художник Е. Якубович
Художественный редактор Л. Безрученков
Технический редактор Л. Бирюкова
Корректор Е. Литвак
ИБ № 1617
Сдано в набор 07.06.78. Подписано к печати 09,01.79.
Формат 60X90716- Бумага типографская № 2. Гарни^
тура латинская. Печать высокая. Объем 12,25
бум. л. 24,50 усл. печ. л. Уч.-изд. л. 20,13.
Изд. № 2/9855. Тираж 14 300 экз. Зак. № 1186.
Цена 1 р. 70 к.
Издательство «Мир»
129820, Москва, И-НО, ГСП
1-й Рижский пер., 2
Ордена Трудового Красного Знамени Ленингр ад-
ская типография № 2 имени Евгении Соколовой
«Союзполиграфпрома» при Государственном коми-
тете СССР по делам издательств, полиграфии
и книжной торговли. 198052, Ленинград Измай-
ловский проспект, 29.
К сведению читателей
в московском ДОМЕ книги
ОТКРЫТА ФИРМЕННАЯ СЕКЦИЯ
ПО ПРОДАЖЕ КНИГ ИЗДАТЕЛЬСТВА «МИР»
Здесь представлены книги по естественным наукам
и новой технике, выпущенные издательством «Мир».
Секция принимает заказы на готовящиеся к выпу-
ску научно-технические книги, а также высылает нало-
женным платежом вышедшие раньше и имеющиеся
в продаже книги.
Адрес для заказов: 121019, Москва, Г-19, проспект
Калинина, дом 26, п/я № 42. Московский Дом книги,
Издательство «Мир»