Текст
                    Francis T.S.Yu
INTRODUCTION
TO DIFFRACTION,
INFORMATION PROCESSING,
AND HOLOGRAPHY
The MIT Press
Cambridge, Massachusetts, and London, England, 1973


Ф.Т.С.Юу ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ДИФРАКЦИИ, ОБРАБОТКУ ИНФОРМАЦИИ И ГОЛОГРАФИЮ Перевод с английского Т. М. БЕЛОПОЛЬСКОЙ и И. Е. ПЕКНОИ под редакцией В. К СОКОЛОВА Москва «Советское радио» 1979
ББК 32.86 Ю 92 УДК 535.4 Юу Ф. Т. С. Ю92 Введение в теорию дифракции, обработку информации и голографию: Пер. с англ./ Под ред. В. К. Соколова. — М.: Сов. радио, 1979.— 304 с, ил. В пер.: 2 р. 20 к. Излагаются оптические методы обработки изображений и сигналов с использованием когерентного и некогерентного света. Изложению предпослано введение в теорию линейных систем, преобразования Фурье и теорию когерентности. Книга предназначена для научных работников и инженеров, работающих в области методов обработки информации и голографии, а также для аспирантов и студентов радиотехнического профиля. 30401-050 ББК 32.86 Ю ^ГТТ^ТТ" 139 1704050000 046@1 )-79 6Ф4 Редакция литературы по вопросам космической радиоэлектроники ИБ № 169 Френсис. Т. С. ЮУ Введение в теорию дифракции, обработку информации и голографию Перевод с английского Т. М. Белопольской и И. Е. Пекной под редакцией JB. К- Соколова Редакторы К. И. Кучумова, Е. В. Вязова Художественный редактор А. Н. Алтунин Художник В. В. Кухта Технический редактор И. В. Орлова Корректор 3. Г. Галушкина Сдано в набор 09.01.79. Подписано в печать 30.03.79 Формат 60Х901/ ,в Бумага типографская № 2 Гарнитура литерат. Печать высокая. Объем 19 усл. печ. л. 19,76 уч.-изд. л. Тираж 9000 экз. Зак. 13 Цена 2 р. 20 к. Издательство «Советское радио», Москва, Главпочтамт, а/я 693 Московская типография № 10 «Союзполиграфпрома» Государственного Комитета СССР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли. Москва, М-114, Шлюзовая наб., 10 © Перевод на русский язык, предисловие редактора перевода. Издательство «Советское радио», 1979 г.
ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие к русскому переводу 8 Предисловие автора Ю Глава 1. Теория линейных систем и преобразование Фурье .... 12 1.1. Линейные системы с физической точки зрения 12 1.2. Преобразование Фурье и спектр пространственных частот .... 14 1.3. Свойства преобразования Фурье 17 1.4. Передаточная функция линейной пространственно-инвариантной системы 21 1.5. Обнаружение сигнала методом согласованной фильтрации .... 22 Задачи 25 Список литературы - ... 27 I. ДИФРАКЦИЯ 28 Глава 2. Теория дифракции 28 2.1. Общие положения 28 2.2. Дифракция Фраунгофера и Френеля . 29 2.3. Дифракция Фраунгофера от многих апертур 31 2.4. Частный случай двух апертур 36 2.5. Теорема взаимности 39 2.6. Принцип Гюйгенса 39 Задачи 40 Список литературы 41 Глава 3. Скалярная теория света 41 3.1. Скалярная теория 42 3.2. Интеграл Кирхгофа 43 3.3. Принцип Бабине 49 Список литературы 49 Глава 4. Дифракция Фраунгофера и дифракция Френеля .... 50 4.1. Дифракция Фраунгофера 50 4.2. Преобразование Фурье при дифракции Фраунгофера ..... 53 4.3. Примеры дифракции Фраунгофера 54 4.4. Дифракция Френеля 59 4.5. Зонная пластинка Френеля 73 4.6. Критерий Рэлея и условие синусов Аббе 75 Задачи " 79 Список литературы 81 Глава 5. Введение в теорию когерентности 81 5.1. Общие понятия о взаимной когерентности 81 5.2. Функция взаимной когерентности 85 5.3. Распространение функции взаимной когерентности 83 5.4. Некоторые физические ограничения на взаимную когерентность . . 91 Задачи 93 Список литературы '....'. 94 II. ОБРАБОТКА ИНФОРМАЦИИ 95 Глава 6. Фурье-преобразующие свойства линз и линейные оптические системы формирования изображения 95 6.1. Фазовое преобразование тонких линз 95 6.2. Фурье-преобразующие свойства линз [ 99
6.3. Формирование оптического изображения 103 Задачи 107 Список литературы 109 Глава 7. Оптическая обработка информации и фильтрация . • . ПО 7.1. Основные некогерентные системы оптической обработки информации 110 7.2. Когерентные системы оптической обработки инфо'рмации . . . . ИЗ 7.3. Когерентная оптическая комплексная пространственная фильтрация . 120 7.4. Радиолокатор с синтезируемой апертурой 130 7.5. Оптическая обработка широкополосных сигналов 135 Задачи 142 Список литературы 146 Глава 8. Основные свойства фотографической пленки 146 8.1. Фотопленка как регистрирующая среда 147 8.2. Вероятностный подход к проблеме шумов фотопленки . . . . 152 8.3. Шум зернистости пленки и отношение сигнал/шум . .... 157 8.4. Информационная емкость фотопленки 163 Задачи 170 Список литературы 170 Глава 9. Восстановление изображения и информация 171 9.1. Восстановление изображения . 174 9.2. Неопределенность и информация 179 9.3. Оптическая разрешающая способность и физическая реализуемость . 183 9.4. Восстановление размытых фотографических изображений . . . . 185 Задачи 191 Список литературы 192 III. ГОЛОГРАФИЯ 194 Глава 10. Введение в линейную голографию 194 10.1. Запись и восстановление волнового фронта 195 10.2. Голографические увеличения 205 10.3. Пределы разрешения 212 10.4. Требования к ширине полосы частот 216 10.5. Голографические аберрации 221 10.6. Пространственно-некогерентная голография 224 10.7. Отражательная голография 227 Задачи 233 Список литературы .... 235 Глава И. Анализ нелинейных голограмм 236 11.1. Метод пяти ординат 236 11.2. Нелинейная голограмма с наклонным опорным пучком .... 241 11.3. Паразитные искажения 246 11.4. Влияние изменения толщины эмульсии на восстановление волнового фронта '. 247 Задачи 255 Список литературы 256 Глава 12. Линейная оптимизация в голографии 257 12.1. Обычная оптимизация 257 12.2. Метод линейной оптимизации 260 12.3. Оптимальная линеаризация . 261 12 4. Синтез оптимальных нелинейных пространственных фильтров . . 268 12.5. Анализ обнаружения сигнала методом оптимальной нелинейной пространственной" фильтрации 271 Задачи 276 Список литературы 277 Глава 13. Применение голографии 277 13.1 Микроскопическое восстановление волнового фронта 277 13.2. Многоэкспозиционная голографическая интерферометрия .... 279 6
13.3. Усредненная по времени голографическая интерферометрия . . . 281 13.4. Формирование контуров 283 13.5. Формирование изображения через случайную турбулентную среду . 285 13.6. Когерентное оптическое распознавание объектов сквозь случайною турбулентную среду 290 Список литературы 293 Приложение А. Решение системы неоднородных дифференциальных уравнений Колмогорова 294 Приложение Б. Теория Френеля—Кирхгофа, или принцип Гюйгенса 297 Предметный указатель 298 Именной указатель 304
ПРЕДИСЛОВИЕ К РУССКОМУ ПЕРЕВОДУ Оптические методы обработки информации и голография играют всевозрастающую роль в решении проблемы создания высокопроизводительных систем обработки больших массивов информации, представляемых обычно в виде изображений или в иной форме. Достигнутые в этой области успехи свидетельствуют о переходе этого направления из сферы исследований в область практических приложений. В настоящее время создано несколько оптических процессоров, обладающих рекордной на сегодня производительностью, намного превышающей производительность современных ЭВМ. Так, например, в Мичиганском университете эксплуатируется когерентный оптический процессор, предназначенный для многоканальной корреляционной обработки сигналов РЛС с синтезируемой апертурой, который имеет эквивалентное быстродействие, равное 1012 бит/с. Основным достоинством оптических методов обработки информации является параллельность обработки двумерного массива и простота и естественность реализации операций преобразования Фурье, пространственной фильтрации, в том числе оптимальной, и ряда интегральных преобразований (корреляция, свертка, преобразование Гильберта, Лапласа, Мелина и некоторые другие). До недавнего времени полагали, что в оптике могут быть реализованы лишь линейные алгоритмы обработки. Однако за последние годы выполнены интересные исследования по реализации нелинейных алгоритмов обработки изображений оптическими методами. Появился ряд статей по оптическим системам обработки информации с оптическими обратными связями. Это существенно расширяет функциональные возможности оптических систем обработки информации и еще раз подтверждает наличие глубокой аналогии между оптическими и электронными информационными системами. Интересно отметить, что первые работы по оптической обработке информации, которые стимулировали всеобщий интерес к этому новому направлению, были выполнены специалистами по радиолокации, которые занимались разработкой РЛС бокового обзора с синтезируемой апертурой. Они же осуществили и первое практическое использование этих методов в радиолокации. С тех пор сфера применений оптических методов обработки информации существенно расширилась. Оптическими методами обработки информации занимаются исследователи различных специальностей, не имеющие, как правило, серьезной подготовки по физической оптике. В ряде инсти-
тутов и университетов читаются курсы лекций по голографии и оптической обработке информации для студентов не оптических специальностей. Все это создает потребность в книге, в которой систематически и с единых позиций рассматривались бы все важнейшие аспекты этого нового направления. Выпущенная издательством «Мир» книга Дж. Гудмена «Введение в Фурье-оптику» A970) стала библиографической редкостью, а в фундаментальной книге Р. Кольера, К. Беркхарта и Л. Лина «Оптическая голография» A973) оптическим методам обработки информации уделена мало внимания. Издательство «Советское радио» успешно пропагандирует оптические методы обработки информации. Выпущен целый ряд хороших монографий: В. А. Зверев и Е. Ф. Орлов «Оптические анализаторы» A971); Г. С. Кондратенков «Обработка информации когерентными оптическими системами A972); В. А. Зверев «Радиооптика» A975); Г. И. Василенко «Голографическое опознавание образов» A977), «Теория восстановления сигналов» A979). Предлагаемая вниманию читателей книга профессора Фрэнсиса Т. С. Юу «Введение в теорию дифракции, оптическую обработку информации и голографию» в значительной мере устраняет имеющийся пробел и является хорошим дополнением к выпущенным ранее книгам. Она адресована научным работникам и инженерам, занимающимся оптическими методами обработки информации и голографией, а также аспирантам и студентам радиотехнических специальностей. Автор книги известен своими работами по оптической обработке информации и голографии и имеет большой опыт преподавания этого курса в Вайнском университете (США). Книга состоит из трех частей: теория дифракции, оптическая обработка информации и голография, которым предпослана вводная глава с изложением основ преобразования Фурье и теории линейных систем. В книге рассмотрены все практически важные аспекты оптической обработки информации и голографии. Достоинством книги является систематическое изложение материала на основе теории линейных систем. Хотя такое рассмотрение в ряде случаев не является вполне корректным, однако в подавляющем большинстве случаев принятое приближение достаточно для практики. В заключение редактор перевода благодарит профессора Ф. Т. С. Юу за внимание к русскому изданию книги. Перевод книги выполнен И. Е. Пекной (гл. 1—7) и Т. М. Бело* польской (гл. 8—13 и приложения). В. Соколов
ПРЕДИСЛОВИЕ АВТОРА Новый метод формирования изображения путем восстановления волнового фронта был впервые предложен Д. Габором в 1948 г. и возрожден Е. Н. Лейтом и Д. Упатниексом в 1963 г.*). С тех пор он вызывает большой интерес. В последние годы наметилась тесная взаимосвязь между электротехникой и когерентной оптикой. Эта тенденция сохраняется не только потому, что современные оптические системы способны выполнять определенные операции преобразования Фурье, фильтрацию сигналов, распознавание образов, но также и потому, что принципы, лежащие в основе оптики, весьма сходны с общими принципами аналоговых систем. Уступая настоятельной необходимости технического применения когерентной оптики, автор в 1966 году прочел два курса лекций по этой теме на факультете электротехники Вайнского государственного университета. В основу настоящей книги положен, главным образом, конспект лекций, который автор написал для своих групп. Этот труд первоначально предназначался аспирантам радиотехнических и электротехнических специальностей, однако он может также представить интерес для физиков и других исследователей. Книга состоит из трех основных частей: дифракция, оптическая обработка информации и голография. Первая часть, теоретическая, будет особенно полезна читателям, незнакомым с основными понятиями дифракции. Она охватывает, в основном, материалы, заимствованные из хорошо известных источников, приведенных в конце глав. Вторая и третья части составляют основное содержание книги. Многие материалы в них почерпнуты из статей, опубликованных в конце 60- и начале 70-х годов. В большинстве разделов этой книги автор упростил анализ, опираясь на элементарные основные понятия (такие, например, как импульсная характеристика) и на теорию линейных систем. Это особенно справедливо, когда рассматриваются голографиче- ские процессы. Такой подход обусловлен следующими соображениями: 1) упрощается анализ, благодаря чему задачу можно сразу решить математически; 2) инженеры радио- и электротехнических специальностей хорошо знакомы с основными понятиями об импульсной характеристике и с теорией линейных систем. *) Большей вклад в развитие голографии внес советский ученый Ю. Н. Де- иискж, предложивший оригинальный метод записи голограмм в трехмерных средах еще до появления лазеров [10.24]. — Прим. ред. 10
Материалы настоящей книги, а также нескольких дополнительных семинаров были использованы в лекциях по когерентной оптике, рассчитанных на полгода. Слушателями являлись, в основном, аспиранты первого года обучения. Автор установил, что можно изучить всю книгу в полном объеме в течение полугода без особых сокращений, проведя несколько дополнительных семинаров. Весь материал этой книги можно также изучать в течение целого учебного года. Книга не рассчитана на то, чтобы охватить обширную область когерентной оптики, ее тематика ограничена кругом вопросов, которые, по мнению автора, имеют практическое значение. Учитывая большое количество исследователей, внесших свой вклад в рассматриваемую область, автор просит извинения за возможные пропуски соответствующих ссылок на литературу в различных разделах книги. Заслуживает специального упоминания прекрасная книга Борна и Вольфа «Основы оптики». Автор чрезвычайно обязан доктору X. К. Данну, бывшему служащему «Бэлл Тэлефон Лэборэтриз», за его указания, критику и огромную помощь во время подготовки руколиси. Автор благодарен служащим лаборатории радиолокации и оптики Мичиганского университета, в особенности Е. Н. Лейту, Д. Упаткиексу и А. Б. Вандер Люгту, за великолепные исследования и публикации. Особо следует отметить профессора Л. Д. Катрона, который оказал автору поддержку в то время, когда он больше всего в ней нуждался. Автор хотел бы также выразить свою признательность следующим лицам: Д. П. Моррисону, который потратил очень много времени па изготовление фотографий, необходимых для издания книги; миссис Вассерман за отличное качество машинописи при печатании рукописи; миссис И. К. Ма за ее помощь и корректуру большей части книги, а также аспирантам за их энтузиазм и поддержку. И, наконец, автор хочет поблагодарить свою жену Люси, без терпения и помощи которой эта книга не могла бы быть завершена. Детройт, Мичиган, ноябрь 1971 Ф. Т. С. Юу
Глава 1 ТЕОРИЯ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ Хорошо известно, что оптические системы и четырехполюсники сходны между собой. Например, любую оптическую линзу можно и удобно представить в виде четырехполюсника. Таким образом, представление о теории линейных систем достаточно важно при анализе современных когерентных оптических систем, по крайней мере, по двум причинам: 1) большое количество современных оптических систем можно считать линейными, во всяком случае, в пределах некоторых границ; 2) точное решение ряда задач линейной оптики может быть 'получено стандартными методами. За исключением очень немногих частных случаев отсутствует общая методика анализа нелинейных оптических систем. Конечно, существуют практические способы решения нелинейных оптических задач, для приближенного решения которых применяются графические или экспериментальные методы. При решении нелинейных задач часто приходится прибегать к приближенным методам, причем в каждом конкретном случае могут потребоваться специальные способы решения. К счастью, большое количество оптических задач является задачами линейными, т. е. решаемыми. Однако следует подчеркнуть, что ни одна оптическая система не бывает строго линейной: линеаризация системы всегда накладывает некоторые ограничения. Допущение о линейности системы упрощает ее математический анализ, поэтому в этой главе приведены основные положения теории линейных систем и некоторые математические выкладки. Однако ни в коем случае нельзя считать эти выводы очень строгими, их, скорее, надо рассматривать как вводные положения. Следует подчеркнуть, что оптическая обработка информации является двумерной по своей природе. Поэтому мы ограничимся рассмотрением только двумерного случая. 1.1. Линейные системы с физической точки зрения Обычно на практике поведение физической системы описывается соотношением между возбуждением на входе и реакцией на выходе (рис. 1.1). Как входное возбуждение, так и выходная реакция могут быть физически измеряемыми величинами. Предположим, что входное возбуждение fi(x, у) дает на выходе реакцию 12
gi(x, У), а второе возбуждение /2(^, У) вызывает вторую реакцию ?2(*, У)- Можно написать h(x, y)—+gi(x, У), A.1) f2(x, У)—+$2(х9 У) A.2) соответственно. Тогда для линейной системы имеем М*. У)+к(х, y)—*gi(x, y)+g2(x, у). A.3) Выражение A.3) в сочетании с равенствами A.1) и A.2) описывают свойство аддитивности линейной системы. Таким образом, необходимым условием для того, чтобы система была линейной, является сохранение принципа суперпозиции. Принцип суперпозиции состоит в следующем: наличие одного возбуждения не влияет на реакцию, вызванную другими возбуждениями. Пусть Cfi (лс, у) — это. возбуждение на входе физической системы, где С—произвольная постоянная. Тогда реакция на выходе будет Cgi(x, у), т. е. Qi(x, y)—+Cgx(x, у). A.4) Выражение A.4) описывает характеристику гомогенности линейной системы. Таким образом, свойством линейной системы является сохранение коэффициента масштаба. Следовательно, физическая система линейна тогда и только тогда, когда выполняются условия A.3) и A.4). Иными словами, если система обладает свойствами аддитивности и гомогенности, то эта система линейная. Существует, однако, и другой важный физический аспект, который характеризует линейную систему с постоянными параметрами, а именно: если входное воздействие f(x, y)y приложенное к такой системе, является функцией х и у, содержащей -пространственные частоты р и q, вызывает выходную реакцию g(x, y)y которая содержит те же самые пространственные частоты р и q, то полагают, что система обладает пространственной инвариантностью. Иными словами, пространственно-инвариантная система не будет создавать новых пространственных частот. Физически пространственная инвариантность означает, что если f(x, y)—+g(x, у), то f(x—xu y—yx)—+g(x—xu У—У\)> A.5) где хх и ух — произвольные пространственные постоянные. Линейная система, которая обладает свойством пространственной инвариантности, описываемым соотношением A.5), называется линейной пространственно-инвариантной системой. Физические характеристики линейных систем будут гораздо ясней, если их рассмотреть с точки зрения анализа Фурье, который приводится в следующих параграфах. 13
1.2. Преобразование Фурье и спектр пространственных частот Преобразования Фурье особенно важны при анализе современных систем оптической обработки информации и восстановления волнового фронта. В этом параграфе рассмотрим сначала класс комплексных функций f(x, у)у который удовлетворяет следующим достаточным условиям: 1) функция f(x, у) должна быть непрерывной на любой конечной области плоскости (х, у), т. е. должно существовать только конечное число разрывов; 2) функция f(x, у) должна быть абсолютно интегрируемой на плоскости (х, у), т. е. JJl/C*. y)\dxdy<oo. A.6) —00 Тогда такие функции можно представить следующим равенством: оо /С*. V) = -bF^FiP> q)e*V\Hpx + qy)]dpdq. A.7) —00 где F{p, q) = f§f(x,y)eM-i(px+qy)]dxdy, A.8) а р и q— соответствующие переменные пространственных частот. Выражения A.7) и A.8) известны как пара двумерных преобразований Фурье. Равенство A.8) часто называют прямым преобразованием Фурье, а A.7)—обратным преобразованием Фурье. Для краткости A.7) и A.8) можно записать в виде f(x9 y)=&*-l[F(p9 q)], A.9) где операторы &~~1 и 8Г обозначают обратное и прямое преобразование Фурье соответственно. Следует отметить, что F(p, q) является, вообще говоря, комплексной функцией F(p9 q) = \F(p9q)\ex^[kp(Pi q)], A.11) где \F (p, q) \ и ср(р, q) обычно называют амплитудным и фазовым спектром соответственно, a F(p, q) —спектром Фурье или спектром пространственных частот. Комплексная функция двух независимых переменных называется функцией с разделяющимися переменными тогда и только тогда, когда ее можно записать в виде произведения двух функций, каждая из которых является функцией от одной переменной f(x,y)=f(x)f(y). A.12) 14
Из A.12) следует, что преобразование Фурье двумерной функции с разделяющимися переменными может быть представлено произведением преобразований Фурье каждой из одномерных функций, т. е. F{p, q)=F{p)F{q). A.13) В качестве иллюстрации рассмотрим анализ Фурье двух элементарных функций, которые имеют важное значение в процессах оптической обработки информации. Преобразование Фурье круговой симметричной функции. Дана круговая симметричная функция ; . л 0-14) (, в остальной области, где г2=х2 + у2. Чтобы определить преобразование Фурье выражения A.13), преобразуем координаты: х = г cos 8, г2 = х2 -\- у2, A.15) xdy — rdrdb. Подставляя A.14) и A.15) в A.8), получаем 1 2* F(p) = F (р, q) = f rdr f exp [— irp cos (в — <р)] db. A.16) oJ о Используя тождество =i J exP f-i 0 iz cos (° ~ где /0 — функция Бесселя первого рода нулевого порядка, уравнение A.16) можно упростить /0(rp)rdr. A-18) о Применяя хорошо известный интеграл Да) da, A.19) 15
преобразуем уравнение A.18) к виду тЧ(р). A-20) где /i — функция Бесселя первого рода первого порядка. Выражение A.20) дает требуемое преобразование Фурье. Можно показать, что преобразование Фурье любой круговой симметричной функции равно A.21) и ее обратное 'преобразование Фурье A.22) о Выражение A.21) часто называют преобразованием Ганкеля (нулевого порядка) функции f(r). Следует подчеркнуть, что преобразование Ганкеля — это не более чем частный случай двумерного преобразования Фурье. Таким образом, любое свойство преобразования Фурье можно применить и к преобразованию Ганкеля. Спектр двумерной дельта-функции Дирака. Двумерная дельта- функция Дирака б (л:—лг0, у—уо) определяется на действительной пространственной области плаокости, причем считается, что она существует в точке (х0, Уо), но имеет нулевое значение в любом другом месте плоскости. По определению, 00 —00 Таким образом, дельта-функция представляет собой импульс с нулевой пространственной длительностью и с бесконечной амплитудой. Преобразование Фурье дельта-функции выражается так F(P, q)=dr\j6(x—x0, y—yo)\=exp[—i(pxo+qyo)]. A.24) Следовательно, соответствующие амплитудные и фазовые составляющие можно представить в виде \F(p,g)\ = h A.25) ф(р? q) =—(pxo + qyo) . A-26) Выражение A.25) показывает, что амплитудный спектр дельта- функции представляет собой непрерывную функцию пространственных частот единичной высоты, которая распространяется на всю пространственно-частотную область. Если дельта-функция находится в начале координат (О, О) пространственной области, то фазовый спектр, описываемый формулой A.26), исчезает и выражение A.24) принимает вид F(P, ?) = !. A.27) 16
Следует также отметить, что для любой другой величины (#о, Уо) единичный спектральный вектор вращается непрерывно с фазовым углом —(+) 1.3. Свойства преобразования Фурье Рассмотрим теперь некоторые основные свойства преобразования Фурье, которые считаем полезными для оптической обработки информации и восстановления волнового фронта. Эти основные свойства будут представлены здесь в виде математических теорем. Так как доказательства аналогичны тем, которые применяются для случая одномерной функции, они приводятся упрощенно в общих чертах, без претензии на строгость. 1. Линейность. Дано С\ и С2— две произвольные комплексные постоянные. Если функции fi(x, у) и f2(x, у) преобразуемы по Фурье, т. е. если ^[fi(x9 #)]=Л(р, Я) и T[f2(x, y)]=F2{p, q), то x, y)+C2f2(x, y)] = ClFl(p, q)+C2F2(p, q). A.28) Доказательство. Очевидность этого свойства непосредственно следует из определения преобразования Фурье A.8). 2. Теорема смещения. Если функция f(xy у) преобразуется по Фурье так, что &*[f(x, y)]=F(p, q), то &*\}{х—хо, y-yo)\=F(p, q)exp[—i(pxo + qyQ)]y A.29) где л'о и уо — произвольные действительные постоянные. Доказательство. Доказательство этой теоремы следует из определения со f [/ (х — х„ у — у,)] = J J / (х — х„ у — у„) ехр [— i (рх + —О© + qy)\dxdy. После замены переменных х'=х—х0 и у'=у—Уо легко показать, что из этого выражения следует $ If (х - х„ у - у,)] = ехр [- i (рх, + qy,)\ ^ f (x1, у') X Хехр [-1 {pxr + qy')\ dx'dy* = ехр [- i {рх. + qy0)] F (/?, q). По существу эта теорема говорит о том, что смещение функции в пространственной области вызывает линейный фазовый сдвиг в области пространственных частот. 3. Обратная теорема смещения. Если функция f(xy у) преобразуема по Фурье, т. е. ^[f(xt y)]=F(py q), то xy у) exp[—i(xpo+yqo)]}=F(p + pot q + qo), A.30) гАе р0 и <7о — произвольные действительные постоянные. 17
Доказательство. Доказательство этой теоремы выводится непосредственно из преобразования Фурье 00 f {f (х, у) exp [— i (хрл + yq,)]} = $$f(*>y) ехР {— » [(Р + />•)•* + 4. Изменение масштаба в преобразовании Фурье. Если функция f(x, у) преобразуема по Фурье, т. е. &~[f(x9 y)]—F(p, q), то f[f(ax,by)]=-LF(JL, -f-), A.31) где а и Ь — произвольные комплексные постоянные. Доказательство. 00 f [f (ax, by)] = J J f (ax, by) exp [— i (px + qy)\ dxdy= 00 ab \ d > b ) Эта теорема показывает, что увеличение функции в пространственной области приводит к уменьшению ее фурье-образа в области пространственных частот и общему уменьшению амплитудного спектра. 5. Теорема Парсеваля. Если f(x, у) преобразуема 'по Фурье, т. e.P'[f(x,y)]=F(p9 q), то GO 00 f(*!/(•*' y)\9^dy = -—-[[\F(p9 q)\2dpdq. A.32) —00 —00 Доказательс тво. f Г | / (x, y) |2 dxdj/ = Г f f (x, y) f* (x, y) dxdy у —00 —00 где * обозначает комплексное сопряжение. Это выражение можно переписать следующим образом: оо оо \ \ I / (х, У) \г dxdy = Г Г dxdy 1-^- f Г F (p1, <f) exp [i (xp' + —00 —00 + yq')\ dp'dq' J /^ j J F* (p", q") exp [-i(^" + yq")\dp"dq"\ 18
сократить его до вида оо оо Jj/C*. y)\*dxdy = 1±r^F(p', q')dp'dq'^F*(p", q")dp"dq"X —oo —oo —oo —CO ^ q")dp"dq" —00 , q")dp"dq" 4p'~ Читателю должно быть ясно, что из теоремы Парсеваля вытекает закон сохранения энергии. 6. Теорема о свертке. Если f\(x, у) и f2(*, У) преобразуемы по Фурье, т. е. &~[fi(x, y)]=Fl(p, q) и ff~[f2(x, y)]=F2(p, q)y то f [fj/i(* У)!Л*-Х> t-y)dxdy\=Fl(p, q)F%(p, q). A.33) \=Fl(p, q) (Можно написать A.33) в сокращенном виде x9 у) *f2(x, y)]=Fl(p, q)F2(p, q), A.34) где>|< обозначает операцию свертки.) Доказательство. [fj L—oo f [fj /. (*> У) /«(а - х, р - у) ^Ф1 = IIU (X, у) f [/, (а - Jf, J —oo = j j J /, (х, у) ехр [— г (рх + ^)] dxd^ i Ft (p, q) = Очевидно, что теорема о свертке будет очень полезной при изучении линейных пространственно-инвариантных систем. 7. Теорема об автокорреляции (теорема Винера — Хинчина). Если функция f(x, у) преобразуема по Фурье, т. е. &~[§(х, у)] = F( q)> то = lF(p, q)\\ A.35) J 19
Можно записать A.35) в виде f[R(a, ®]=f\f(x, У)*Г(Х, y)]=\F(p, q)\*, A.36) где называется функцией автокорреляции, а ^ обозначает операцию корреляции. Справедливо и обратное соотношение ^-ll\F(P, <?)|2]=Я(*, У). A-37) Выражения A.36) и A.37) представляют собой пару преобразований Фурье. Иными словами, теорема утверждает, что функция автокорреляции и спектральная плотность мощности являются преобразованиями Фурье друг от друга. Доказательство. = JJсШ-пГ (?» Т) exp [i U* + ^01 F (р, q) = F* (p, q) F(p,q). —00 8. Теорема о взаимной корреляции. Если /i(*, у) и fi(x, у) преобразуемы по Фурье функции, т. е. #"[М*, y)]=Fi{p, q) и &Ы )}Ъ( ) Ъ(Р, 7), то Г [«„ (а, р)] =Г [Л (х, у) * Г, (*, У)] =Л (А Ф Р\ (Р. <7). A-38) Г [RtI(а. р)] =.f [f\ (х, у) *h(х, y)]=F*i (P, q)F2 (p, я). A-39) где Д« («. Р) = f J /.(•« + «. У + Р) Г, (•«. — функции взаимной корреляции. Доказательство. Доказательство этой теоремы аналогично доказательству теоремы автокорреляции. 20
9. Некоторые свойства симметрии-, а) если f(x, у) —действительная функция, т. е. если f*(xy y)=f(x> у), то F*(-p, -q)=F(p, q), A.40) F*(p. q)=F(-pt -q); A.41) б) если f(x, y)—действительная и четная функция, т. е. f{x, y)=f*(xf y)=f*(—x, —у), то и F(p, q) —действительная и четная функция, t\p, q)=F*(-P, -q)=F*(py q); A.42) в) если функция f(xy у)—действительная и нечетная, т. е. f(x, У>) =/*(*> У) = -/•(-*, —у), то F(p, q)=-F(-p, -q)=F*(-p, -q). A.43) Доказательство. Эти свойства вытекают непосредственно из определения преобразования Фурье A.8). Свойства «преобразования Фурье, которые мы только что рассмотрели, не могут подходить для всех систем современной когерентной оптики. Однако мы часто будем пользоваться этими свойствами в данной книге, благодаря чему избежим большого количества трудоемких вычислений. 1.4. Передаточная функция линейной лространственно-инвариантной системы В § 1.1 были рассмотрены основные свойства линейной системы с физической точки зрения. В этом параграфе мы углубим математический анализ. Хорошо известно, что линейную систему можно представить линейным оператором L, как показано на схеме рис. 1.1. Рис. 1.1. Схема линейной системы Так как оператор линейный, очевидно следующее свойство: x(x, y)+C2f2(x, y)] = C{L[f{(xf y)]+C2L[f2(x, у)], A.44) где d и С2 — произвольные комплексные постоянные. Если система пространственно 'инвариантна, то линейный о(пе- Ратор должен также обладать пространственной инвариантностью L[f(x~*o, У—yo)\=g(x—Xo, У—Уо), A.45) гАе ?(лг, у) — выходная реакция. 21
Интересно оъметить, что если входное воздействие линейной пространственно-инвариантной системы представляет собой дельта-функцию Дирака б (л:, у), то выходная реакция будет импульсной характеристикой Цх, y)=L[6(x,y)]. A.46) Если теперь входное воздействие описывается произвольной функцией f(x, у), которую можно представить интегралом свертки f(x, y) = ^f(x\ у')Ь{х-х*> y — y')dx'dy'9 A.47) —oo то выходную реакцию можно записать так g(x, y) = ^ ^ x', у')Ь(х-х', y-y')dx'dy'] = — x', y-y')]dx'dy'. A.48) Отсюда следует, что -x\ y-y')dx'dyr. A.49) —00 Выражение A.49) показывает замечательное свойство выходной реакции линейной пространственно-инвариантной системы: выходная реакция является сверткой ее импульсной характеристики с входным воздействием. Кроме того, используя теорему о свертке, выражение A.49) можно записать в форме преобразования Фурье G(p, q)=F(py q)H(p, q), A.50) где G(p9 q)=9-[g(x9 у)], F(p, q)=P\f(x9 у)] и H(p,q) = Таким образом, преобразование Фурье реакции линейной пространственно-инвариантной системы равно произведению преобразования Фурье входного воздействия и преобразования Фурье импульсной характеристики. Следует подчеркнуть тот факт, что если известна импульсная характеристика линейной системы, то соответствующее преобразование Фурье является передаточной функцией системы. 1.5. Обнаружение сигнала методом согласованной фильтрации Задача обнаружения сигнала в шуме имеет большое значение при обработке информации методом когерентной оптики. В настоящем параграфе рассмотрим частный вид оптимального линей- 22
ного фильтра, называемого согласованным фильтром, который применяется при комплексной пространственной фильтрации и для оптического распознавания образов. Выведем сначала уравнение пространственной передаточной функции фильтра на основе некоторых общих положений, а именно, для стационарного аддитивного шума. Затем перейдем непосредственно к белому стационарному аддитивному шуму (т. е. шуму с равномерной спектральной плотностью по всей области пространственных частот). Из теории связи хорошо известно, что отношение сигнал/шум на выходе коррелятора можно в значительной степени улучшить. Допустим, что входное воздействие линейного фильтра представляет собой аддитивную смесь сигнала s(xf у) и стационарного случайного шума п(х, у), т. е. f(x, y)=s(x, y)+n(x, у). A.51) Пусть выходная реакция линейного фильтра, обусловленная только сигналом s(x, у), будет so(*, у), а обусловленная одним шумом п(х, у)у будет по(х1 у). Критерием оптимальности фильтра является отношение сигнал/шум в точке х=у=0, (S/N) Л |s0@, 0)|2/а2, A.52) где а2 — среднеквадратическое значение шума на выходе. Используя передаточную функцию фильтра #(р, q) и преобразование Фурье S(p, q) входного сигнала s(x, у), эти величины можно записать так 00 $ A.53) 00 02 = -5?" JJIН (Р> Я) I2 N (Р> Я) dpdq, A.54) —00 где |#(р, q)\2N(p, q)—спектральная плотность мощности шума на выходе фильтра, a N(p, q) —спектральная плотность мощности шума на его входе. Таким образом, отношение сигнал/шум на выходе можно выразить в явной форме через передаточную функцию фильтра N 00 j , q)S(p, q)dpdq A.55) % q)dpdq Задачей разработчика фильтра является определение такой передаточной функции фильтра, при которой отношение сигнал/шум будет максимальным. Для определения требуемой пере- 23
даточной функции фильтра можно воспользоваться неравенством Шварца*> 00 и (х, у) i/* (х, у) dxdy A.56) —оо оо e(*. y)\*.dxdy —00 где u(x, у) и v(х, у)—произвольные функции, значок * обозначает комплексное сопряжение. Равенство в этом выражении имеет место тогда и только тогда, когда и(х, у) пропорционально v(x,y). Чтобы применить неравенство Шварца к уравнению A.55), можно выразить спектральную плотность шума на выходе и входе в виде произведения двух комплексно-сопряженных функций N(p, q)=Nl(p, q)N*x{Py q). A.57) Тогда выражение A.55) можно записать так 00 [Я {p. q) N, (р, ф] Если представить заключенные в квадратные скобки величины выражения A.58) в виде функций и(х, у) и v(x9 у), то, учитывая: неравенство Шварца, получим О-»»» Равенство в выражении A.59) имеет место тогда, когда передаточная функция фильтра Н(р9 q)=KS*(p, q)/N(p, q)9 A.60) где К — коэффициент пропорциональности. Следовательно, соответствующая величина отношения сигнал/шум будет jL^J. ff \Sip, я) Г Ы 4%i JJ N{p,q) —00 Интересно отметить, что если стационарный аддитивный шум на входе белый, то оптимальная передаточная функция Н(р, q)=KS*(Pi q)9 A.62) *) В отечественной литературе это неравенство называют неравенством Бу- няковского — Шварца. — Прим. ред. 24
т. е. пропорциональна комплексно-сопряженной величине спектра сигнала. В этом случае говорят, что оптимальный фильтр согласован с входным сигналом s(x, у). Следовательно, спектр на выходе согласованного фильтра пропорционален спектральной плотности мощности входного сигнала, т. е. G(p, q)=K\S(p, q)\\ A.63) Из A.63) следует, что фазовые изменения на выходе согласованного фильтра исчезают. Иными словами, согласованный фильтр обладает способностью компенсировать фазовые изменения S(p> q) в области пространственных частот. В заключение хотелось бы еще раз подчеркнуть, что фурье-ана- лиз, представленный в данной главе, не претендует на математическую строгость и полноту, а, скорее, введен из практических соображений применительно к целям этой книги. Читателям, серьезно интересующимся анализом Фурье, можно рекомендовать превосходные работы Папулиса [1.1] и Брейсвелла [1.2]. В этих дву> книгах можно найти исчерпывающую разработку теории преобразования Фурье и некоторые случаи применения анализа Фурье. Задачи 1.1. Определите преобразования Фурье следующих функций: а) f(*)=exp (ipo) б) f(x)=cosp0x, в) 10, | х | > а/2, д) Д*)=ехр(-а*2), где /?0 — угловая пространственная частота; б — дельта-функция Дирака; а — произвольная положительная постоянная. 1.2. Предположим, что функция f(x, у) и g(xy у) преобразуемы по Фурье, т. е. P*[f(x, y)]=F(p, q) и &[g{x, y)]=G(p, q). Покажите, что 00 00 J J f (*• У) 8* (x, y) dx dy = -^ J j F (pq) G* (p, q) dp dq. —00 —00 1.3. Покажите, что если функция f(x, у) преобразуема по Фурье, т. е. если существует 9~[f (x, у)] =F(p% q), то J j / (х, у) dxdy/f(O, 0) = 4«V @, 0) / J J F (/7, q) dpdq. —оо / _оо 1.4. Принимая во внимание пару преобразования Ганкеля A.21) и A.22), и при условии, что функции /(/•) и g(r) преобразуемы по Ганкелю, т. е. что 28[f(r)]=F(p) и 26[g(r)]—G(p) существуют, выведите следующие свойства: а) ^[/H]=-^-F ( а )» где а~"пРоизвольная постоянная, 25
б) *U(r)+g(r)]=F(p)+G(p), \F (p) G (р), где а2 = г2 + г/2 — 2/т' cos 8, [00 2те "I f \f(r')g(*)r'dr'db\< 6 6 J oo г) 2 с» д) 2 1.5. Рассмотрите одномерную частотно-ограниченную функцию f(x), у которой взяты отсчеты с частотой Найквиста *> (т. е. с минимальной частотой отсчетов, равной ро/я). Покажите, что эту функцию f(x) можно представить в виде ряда on с / ч sin/?0 (х — пх0) где ро — наибольшая угловая пространственная частота функции f(x) и хо = =я/ро — интервал выборки Найквиста. (Это уравнение известно также под названием теоремы выборки Шеннона.) 1.6. Распространите теорему выборки, рассмотренную в предыдущей задаче, на двумерную частотно-ограниченную функцию /(#, у). Покажите, что функцию f(x> У) можно представить в виде ряда оо оо у)== ж* i.(/ ^sinpo(x-nxo)s\nq0(y — я=—оо т=—оо где ро и q0 — наибольшие угловые пространственные частоты по осям х и у функций f(x, у); хо=л/ро и yo=n/qo— соответствующие интервалы выборки Найквиста. 1.7. Аналогично предыдущей задаче теорему о выборке можно применить к осесимметричной частотно-ограниченной функции, т. е. к функции, пространственная частота которой ограничена областью в виде круга радиусом г о. Покажите, что такая функция представлена рядОхМ Л [г(гоХ — П71J ~Ь (гоУ— птJ ] I {X, у) — г> т . у . I I , ^т tmr \ ° ' п—~ oo m=—oo где 1\ — функция Бесселя первого порядка и первого рода. 1.8. Дан случайный пространственный шум n(xt у), причем предполагается, что он имеет нулевое среднее значение в области S координат (#, у) -у- \ \ п (х, lim -у- \ \ п (х, у) dx dy= 0. *) В отечественной литературе теорема о выборке известна как теорема Ко- тельникова, а ряд A.64) —как ряд Котельникова. — Прим. ред. 26
Пусть s(x, у) —полезный пространственный сигнал. Покажите, что lim^r Г I s(x', у')п(х' — х, y'—y)dx'dyf =0, если s(x, у) и п(х, у) не коррелированы для всех значений (ху у). 1.9. Покажите, что функция автокорреляции суммы данного сигнала s(x7 у) и аддитивного случайного шума п(х> у) является суммой их автокорреляций и взаимных корреляций. 1.10. Предположим, что полезный сигнал описывается выражением s(x, y)=exp'[(-a+to)(**+0«)], где а и b — произвольные положительные постоянные. Полагают, что этот сигнал погружен в случайный аддитивный шум с нулевым средним значением п(х. у) /(*, y)=s(x, У)+п(х} у). Принятый сигнал f(x, у) поступает на вход линейной пространственно-инвариантной системы с пространственной импульсной характеристикой вида h(x, y)=s*(—xt -у). Вычислите выходную реакцию. Начертите приближенный график функций \s(x, у)\ и ОЭ g (х, у) = f ( s (х', у) s* (- х' +х,-у»+д) dx> dy'. —оо Сравните огибающие этих двух графиков и дайте краткое объяснение их значения при обнаружении сигнала. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1.1. A. Papoulis, The Fourier Integral and Us Applications, McGraw-Hill, New York, 1962. 1.2. R. N. Bracewell, The Fourier Transform and Its Applications, McGraw-Hill, New York, 1965. 1.3. W. M. Brown, Analysis of Linear Time-Invariant Systems, McGraw-Hill, New York, 1963. (Рус пер.: Броун В. М. Анализ линейных инвариантных во времени систем. — М.: Машиностроение, 1966.) 1.4. D. К. Cheng-, Analysis of Linear Systems, Addison-Wesley, Reading, Mass., 1959. 1.5. W. B-. Davenport, Jr. and W. L. Root, An Introduction to the Theory of Random Signals and Noise, McGraw-Hill, New York, 1958 (Рус. пер.: Давен- порт В. Б., Рут В. Л. Введение в теорию случайных процессов и шумов. — М.: ИЛ, I960.) 1.6. М. J. Lighthill, Introduction to Fourier Analysis and Generalized Functions, Cambridge University Press, New York, 1960.
I ДИФРАКЦИЯ Глава 2 ТЕОРИЯ ДИФРАКЦИИ 2.1. Общие положения На рис. 2.1 показан источник света, который освещает экран, за исключением мест тени от непрозрачного объекта, помещенного между источником и экраном. Исследуем резкость краев тени. Очевидно, что если лучи от источника света расходятся под значительным углом, то будет наблюдаться постепенный переход от полного освещения к полной темноте, так как на экране существуют точки, из которых можно видеть не весь источник, а только его часть. Рис. 2.1. Тень, создаваемая непрозрачным объектом при освещении точечным источником Во избежание этого эффекта, предположим, что источник так мал, что мы можем считать его точечным источником света. Тогда, учитывая основные положения, принятые в геометрической оптике, о том, что лучи света в однородной среде распространяются прямолинейно, мы должны были бы ожидать, что края тени будут идеально четко очерчены так, что точки на экране будут либо полностью освещены, либо находиться в полной темноте. Если создать такую систему, то края тени, на первый взгляд» кажутся резко очерченными. Однако, если рассмотреть их внимательнее, можно обнаружить, что освещенность на экране плавно изменяется на очень коротком расстоянии. Кроме того, если источник света монохроматический, можно увидеть узкие светлые и темные полосы, параллельные краю геометрической тени. Эти полосы называются дифракционными. Оказывается, что свет, обходя края 28
препятствия, отклоняется от прямолинейного направления. Этот эффект называется дифракцией. Дифракцию можно объяснить с точки зрения волновой теории. Исторически сложилось так, что именно дифракция привела к тому, что была принята волновая теория света, а не корпускулярная теория. С помощью волновой теории можно показать, что величина эффекта дифракции, т. е. угла отклонения от прямолинейного распространения прямо пропорциональна длине волны. Тот факт, что в случае длинных звуковых волн мы обычно не обращаем внимание на существование «тени», объясняется большим углом дифракции. Однако даже для звуковых волн можно продемонстрировать наличие «теней», если работать на сверхзвуковых частотах. Так как длины волн видимого света крайне малы, дифракция тоже мала. Прямолинейное распространение света, принятое в геометрической оптике, является только предельным случаем распространения света с длиной волны, равной нулю. Теория дифракции будет исследована в следующей главе на основе принципа Гюйгенса в форме, данной Кирхгофом. Эта теория приводит к результатам, очень близким к наблюдаемым в действительности, и дает качественное понимание явления. Кроме того, это гораздо более легкий метод по сравнению с тем, который использует волновое уравнение в поле, ограниченном объектом, отбрасывающим тень. Последний подход обычно справедлив только в некоторых частных случаях, когда можно прибегнуть к ряду упрощений. Тем не менее некоторые интересные выводы, касающиеся дифракции, можно сделать только из рассмотренной в полном объеме волновой теории, которая будет тщательно изучена в следующих параграфах настоящей главы. 2.2. Дифракция Фраунгофера и Френеля В предыдущем параграфе речь шла о дифракции света на краю непрозрачного экрана. Анализ дифракции можно упростить, если рассмотреть свет, проходящий через одну или более небольших апертур в дифрагирующем экране. Тогда первый случай будет являться пределом рассмотренного, если размеры апертуры становятся бесконечными. Обычно дифракцию подразделяют на два типа, в зависимое!л от расстояния от источника света и плоскости наблюдения дифрагирующего экрана, которым были присвоены имена двух первых исследователей дифракции. Если источник и точка наблюдения так далеки от дифрагирующего экрана, что линии, проведенные от источника или точки наблюдения ко всем точкам апертур, не отличаются по длине более, чем на малую часть длины волны, то дифракционное явление называют дифракцией Фраунгофера. Если эти условия не выполняются, то дифракционные эффекты называют дифракцией Френеля. Граница между этими двумя случаями до некоторой степени произвольная и зависит от требуемой точности результатов. В большинстве случаев, если разность в рас- 29
стояниях не превышает одной двадцатой длины волны, достаточно воспользоваться методом Фраунгофера. Конечно, случай дифракции Фраунгофера можно получить, не прибегая к увеличению физического расстояния до источника, если с помощью коллимирую- щей линзы сделать практически параллельными лучи света от источника. На рис. 2.2 проиллюстрированы вышеизложенные соображения. Источник монохроматического света обозначен через S, а точка наблюдения — через Р. Между ними помещен непрозрачный экран с конечным числом апертур. Допустим, что круг С начерчен в плоскости экра- Рис. 2.2. Схема для пояснения дифракции на и чт0 он является наи- Фраунгофера и Френеля меньшим по величине кругом, который можно провести, еще охватывая все апертуры. Пусть С — основание конусов с высотами S и Р. Начертим сферические поверхности Si и 22 € центрами в точках S и Р и с радиусами г\ и г2, равными крат- 41 чайшим расстояниям от 5 и Р до круга С. Если максимальные расстояния от С до Si и от Р до Ег не превышают одной двадцатой длины волны используемого света, то имеет место дифракция Фраунгофера, а свет, падающий на экран наблюдения в точке Р, создает картину дифракции Фраунгофера. С другой стороны, если из-за большого размера С или малых расстояний до S или Р расстояние между С и Si или С и 2г превышает одну двадцатую длины волны, то мы говорим о дифракции Френеля и о дифракционной картине Френеля в плоскости Р. Радиус круга С на рис. 2.3 обозначен буквой р, кратчайшее расстояние от 5 до экрана — буквой /, а наибольшее расстояние 30 , * I /I ¦>- Рис. 2.3. Схема для определения величины / в случае дифракции Фраунгофера
между сферой и экраном — А/. По определению дифракции Фраунгофера, Д/ должно составлять малую долю длины волны. Однако р может составлять большое число длин волн (как это может иметь место в случае дифракции Френеля). Из равнобедренного треугольника на рис. 2.3 мы имеем (/ + Д/J=/2+р2, B.1) и, так как размеры (А/J малы по сравнению с другими величинами, мы можем считать приближенно, что B.2) В качестве примера предположим, что р равно 1 см и что источник имеет максимальную длину волны в видимой красной области спектра, т. е. равную приблизительно 8X1O~5 см. Допустим, что А/ равно одной двадцатой этой величины, т. е. 0,4ХЮ~5 см. Тогда расстояние / составило бы приблизительно 1,25 км. Если бы использовался фиолетовый свет с длиной волны вдвое меньшей, чем у рассмотренного источника, то расстояние / было бы равно 2,5 км. Таким образом, требования дифракции Фраунгофера могут быть довольно жесткими. 2.3. Дифракция Фраунгофера от многих апертур Допустим, что дифрагирующий экран имеет вид плоскости с п апертурами. Кроме того, предположим, что апертуры идентичны по размерам, форме и ориентации. Выберем начало координат О и проведем на плоскости координатные оси, по которым можно определить размещение апертур, как показано на рис. 2.4. Положение каждой апертуры может быть определено точкой Q*, причем положение этой точки по отношению к /-й апертуре одинаково для всех и Дифрагирующий экран помещен между источником S и точкой наблюдения Р, как показано на рис. 2.5, (На этом рисунке изображена только одна из многих апертур.) Проведем плоскости через S и Р, параллельные плоскости дифрагирующего экрана, а через точку О проведем линию перпендикулярно этому экрану. Примем точки пересечения этой линии с другими плоскостями О\ и О2 за начала координат в этих пло- 31 й;ЗЩ| Рис. 2.4. Расположение открытых в непрозрачном экране апертур
скостях и предположим, что оси g и т] в плоскости источника и оси а и C в плоскости наблюдения параллельны осям х и у в плоскости дифракции. Линия, проходящая между точками О и 5, образует угол <pi с плоскостью О\Ох и угол 8i с плоскостью О\Оу. Аналогично и линия ОР образует углы ф2 и 02 с этими плоскостями. Стрелки на рисунке указывают положительные направления этих углов. Рассмотрим случай, при котором освещение плоскости наблюдения обусловлено наличием одной апертуры в дифрагирующем экране. Геометрическое пятно света больше размеров апертуры Ог Рис. 2.5. Принятые системы координат: (?» Tl) — плоскость источника; (х, и)— плоскость дифрагирующего экрана; (а, 3) — плоскость изображения (или наблюдения) лриблизительно в два раза, если 5 и Р находятся на равных расстояниях от апертуры. Кроме того, это пятно увеличено из-за явления дифракции на апертуре. Даже если угол дифракции мал, большое расстояние до Р, необходимое в случае дифракции Фраунго- *фера„ увеличивает световое пятно, так что картина дифракции на плоскости Р будет гораздо больше геометрического пятна. Угол дифракции в радианах определяется приближенно по отношению длины волны света к ширине апертуры. В соответствии с принципом Гюйгенса (который будет более подробно объяснен в конце этой главы) различные точки в плоскости апертуры можно рассматривать как вторичные источники света, каждый из которых излучает свет во всех направлениях в пространство за апертурой. Все вторичные источники имеют одинаковую амплитуду, так как их расстояния от первичного источника S в случае дифракции Фраунгофера почти одинаковы. Однако небольшая разность между этими расстояниями составляет значи- 32
тельные доли длины волны света, и, следовательно, источники отличаются по фазе. Все точки на приемной плоскости равномерно освещены различными вторичными источниками на апертуре, и вновь из-за большого расстояния амплитуды на различных точках плоскости Р по существу равны между собой. Если бы апертура уменьшилась до точки, то интенсивность*) в плоскости наблюдения стала бы равномерной. Однако из-за разности фаз вторичных источников на апертуре значительного размера и еще большего изменения по фазе, вызванного небольшой разностью в расстояниях от апертуры до плоскости наблюдения, имеет место значительная разность по фазе в различных точках этой плоскости. В некоторых точках интенсивность увеличится из-за благоприятной комбинации фаз света от вторичных источников, в то время как в других точках получится гасящая интерференция. Этим и объясняются светлые и темные полосы в картине дифракции. Предположим теперь, что в дифрагирующем экране открыта вторая апертура. Она будет несколько сдвинута по отношению к первой, но все еще находится в пределах круга С (см. рис. 2.2). Тогда все, что мы сказали о разности фаз и отсутствии заметной разности амплитуд, одинаково применимо и к дифракционной картине от новой апертуры. Картина от одной новой апертуры была бы такой же, как и в первом случае, но, конечно, в смещенном положении, которое определяется линиями, проведенными от точки 5 через две апертуры и продолженными до плоскости наблюдения. Этот сдвиг будет малым по сравнению с размерами дифракционных картин от каждой апертуры. Общая картина от обеих апертур будет зависеть от комбинации фаз двух отдельных картин. Величину интенсивности в точке Р, обусловленную наличием апертуры Q, можно выразить через интенсивность, которая получилась бы, если бы апертура находилась в начале координат О дифрагирующего экрана (рис. 2.5). Таким образом, можно предположить, что электрическое поле в точке Р, когда апертура находится в точке О, определяется комплексным числом Лег(?, где А — постоянная и ср — фазовый угол, который изменяется в зависимости от положения точки Р. Фазовый угол ф также изменяется, когда апертура перемещается в точку, не совпадающую с точкой О. Теперь, если рассмотреть вместо апертуры О апертуру Q, разность хода от 5 до Р можно выразить через фазовый сдвиг, разделив его на длину волны X и умножив на 2я. Пусть на рис. 2.5 d\=R\—R\o и ^2=^2—#20- Тогда комплексное электрическое поле в точке Р, обусловленное апертурой Q, определяется выражением Де"ехр [**& + <*,)]. B.3) где k=2n/X. Величину (di-f-fik) можно назвать геометрической разностью хода между апертурами Q и О, a k(di-\-d2) определяет разность фаз в точке Р для двух положений. *) Определение интенсивности дается выражением B.13). 33
Геометрическую разность хода можно также выразить в координатах S, Q и Р (рис. 2.5). Предположим, что проведена линия из точки S перпендикулярно плоскости дифрагирующего экрана. Эта линия параллельна Оь О и имеет ту же самую длину. Обозначим этот отрезок буквой /. Пусть D — точка пересечения с плоскостью дифракции. Она имеет те же самые координаты, что и точка S, т. е. | и т). Проведем линии от точки D в точку Q (х, у) и в точку О (О, О). Получается два прямоугольных треугольника с гипотенузами /?iH Rw и с общим катетом /. Заметим также, что Тогда 12=R21~ A-Х) 2- (ц-у) 2=JR2lo_g2_T,2# B.4) Откуда следует Теперь R\—Rw можно заменить на d\, а х2-\-у2— на р2 (по рис. 2.5). Кроме того, поскольку R\ и Rw почти равны, то R\+Rw можно записать как 2Rw Тогда уравнение B.5) принимает вид dic~(Pl2R<io—(xl+yri) 1ЯЮ. B.6) Первый член в правой части равенства B.6) представляет собой разность хода, когда g и ц равны нулю, т. е. когда S совпадает с Oj. В соответствии с требованиями дифракции Фраунгофе- ра, как уже отмечалось, эта разность могла бы составлять до одной двадцатой длины волны используемого света. По величине фазового сдвига это составило бы угол я/10. Мы предлагаем пренебречь этим первым членом уравнения B.6) и, если фазовый сдвиг я/10 окажется слишком большим углом, чтобы им можно было пренебречь, ужесточим наши условия для дифракции Фраун- гофера. Иными словами, мы всегда можем сделать так, чтобы фронт волны, достигающий дифрагирующего экрана, был по существу плоским. Что касается оставшихся членов в B.6), то очевидно, что dx не дает заметного фазового сдвига, если только % или т) или обе эти величины не превышают значительно по абсолютной величине соответствующих величин х и у, когда Q лежит вблизи от О, как это обычно имеет место в рассматриваемом случае. Отметим также, что из рис. 2.5 следует g/i?io=sin9i и T)/?io=sin<pi. Тогда, B.6) сократится до вида d\ с^—х sin 0i—у sin <рь B.7) Точно так же при тех же самых условиях дифракции Фраунго- ф?ра мы можем определить геометрическую разность хода d2 как U2 с* —х sin 02—У sin фг. B.8) 34
Полная разность хода для апертур Q и О равна сумме B.7) и B.8). Заметим, что она может быть либо положительной, либо отрицательной, в зависимости от знака углов. Мы могли бы ожидать этой двойственности знаков, исходя из определения d\=R\— —Rio и d2=R2—#20. Углы фь 6i, фг, Ог не ограничены значениями ±л/2. Подставляя B.7) и B.8) в B.3), получаем электрическое поле в точке Р, обусловленное единичной апертурой Q в значениях координат Q, S и Р. Предположим теперь, что имеется N апертур, идентичных, но занимающих различные положения, и добавим соответствующие поля. Заметим, что в данном случае каждую апертуру считают настолько малой, что когда рассматриваются различные точки в пределах одной и той же апертуры, не появляется заметного фазового сдвига. Тогда N Ер = Ае1 ф ехр (— Ш) 2 ехР {— ik [хп(sin вЕ—{— sinв2) + -f- yn (sin 9i -f- sin <p2)]}, B.9) где (xn, yn) — координаты точки Qn, определяющей положение п-й апертуры. Это согласуется с изложенным ранее предположением о больших расстояниях до S и Р, когда мы используем одинаковые углы для всех апертур. Коэффициент ехр(—mt) введен для того, чтобы учесть изменение во времени светового сигнала; как обычно, со=2яс/Я, где с — скорость света. В B.9) ЕР является изменяющейся во времени величиной электрического вектора световой волны в точке Р. Мы можем также записать магнитный вектор Н/> = 1Г ХЕ/» BЛ0) где к — волновой вектор, а X — обозначает векторое произведение. Мы можем также получить усредненное по времени значение вектора Пойнтинга *), определяемое как <S)=Re[S] = (l/2)Re(EXH*). B.11) В этом уравнении S — вектор Пойнтинга, скобки () показывают усреднение по времени, a Re — действительная часть. Объединяя B.11) с B.10) и B.9), получаем N 2 ехр {— ik [хп (sin в, + sin 02) -f yn (sin ^ + sin <p2)]} Л—1 B.12) (S/>)i=(k/2?)/l2 — усредненный по времени вектор Пойнтин- *> В отечественной литературе этот вектор называют вектором Умова — Пойнтинга. — Прим. ред. 35
га в точке Р, когда единичная апертура находится в начале координат. Для удобства запишем B.12) в виде /=/i|G|2, B.13) где / и 1\ представляют собой усредненные по времени значения векторов Пойнтинга, а N G = 2 ехр {- ik \xn (sin б, + sin 62) + Уп (sin ь + sin ?2)]}. B.14) л=1 Буква / в B.13) обозначает интенсивность в точке Р, т. е. усредненную по времени плотность энергии, падающей на единицу площади перпендикулярно направлению распространения волны. В / входит свет от всех апертур дифрагирующего экрана. Интенсивность / равна интенсивности, создаваемой светом, прошедшим только через центральную апертуру. Можно отметить, что оси х и у на рис. 2.5 были выбраны произвольно с единственным ограничением, заключавшимся в том, что начало координат О должно быть расположено близко к системе апертур. При другом выборе осей изменились бы значения х и у в B.12), а вместе с ними и значения 6 и ср, но величина / осталась бы неизмененной. Поэтому желательно выбирать оси таким образом, чтобы упростить вычисление величины |G|2. 2.4. Частный случай двух апертур В 1801 г. Томас Юнг выполнил эксперимент, которому воздают должное, считая, что он повлек за собой разработку основных положений волновой теории света. Этот эксперимент продемонстрировал дифракцию света в случае двух близко расположенных апертур. Юнг создал очень маленький источник, используя солнечный свет, проходящий через булавочную апертуру в непрозрачном экране и пропуская свет от этого источника через экран с двумя апертурами. Конечно, источник света не был монохроматическим, и дифракционные полосы, вызываемые различными длинами волн, падали на различные участки экрана в плоскости наблюдения. Предположим, что свет с длиной волны % от точечного источника падает на две одинаковые апертуры, находящиеся на расстоянии d. Пусть одна из этих апертур расположена в начале координат, а другая — на оси х, как показано на рис. 2.6. Мы можем теперь использовать теорию из предыдущего параграфа. Сумма в B.14) будет состоять только из двух слагаемых с координатами а: и у, равными (О, О) и (rf, О). Поэтому она сокращается до вида G=l+exp [—ikd (sin Oi+sin 82) ]. B.15) Углы 0i и Q2 неизвестны, так как, выбирая координатные оси, мы не делали никаких допущений относительно положений 5 и Р. В уравнении B.15) &=2яД, так что kd=2nd/X и d(sin6i-j~ 4-sin82)—геометрическая разность хода SQ\P—SQ2P, найденная 36
суммированием B.7) и B.8) с обратными знаками. Определим оптическую разность хода лучей как геометрическую разность хода, деленную на длину волны (не принимая во внимание знаки). Иными словами, б — это разность хода лучей от S до Р для света. Рис. 2.6. Две идентичные открытые апертуры Рис. 2.7. Векторное представление уравнения B.17) проходящего через Qi или через Q2, измеряемая в длинах волн. В этом случае она определяется уравнением 6= {dfV) (sin Gi+sin 92) и B.15) приводится к виду G=l+exp (—йяб)=2ехр (—тб)соэ(яб). Тогда |G|2=4cos2(n6). B.16) B.17) B.18) Вектор, определяемый B.17), показан на рис. 2.7. Уравнение B.18) можно подставить в B.13) и, таким образом, получить /=4/iCOs2(n6). B.19) При смещении точки Р в плоскости наблюдения угол 02 изменяется, если точка Р перемещается параллельно оси х, т. е. параллельно линии между двумя апертурами. В соответствии с B.16) при этом изменяется и величина б. Из B.19) видно, что интенсивность / проходит через ряд максимумов и минимумов, причем максимум, равный 4/, имеет место, когда б равно 0 или любому целому числу (положительному или отрицательному), а минимум, равный нулю,— когда б равно нечетному числу полуволн. Иными словами, когда разность хода лучей равна целому числу длин волн, имоет место усиливающая интерференция волн от двух апертур, если же разность равна нечетному числу полуволн, наблюдается гасящая интерференция. Изменение интенсивности в дифракционной картине от двух апертур показано на рис. 2.8. Сплошная кривая вдоль оси а представляет собой график уравнения B.19), а штриховая огибающая — изменение 4/ь Фотография реальной дифракционной картины, получаемой в плоскости наблюдения для случая одной круглой апертуры зна- 37
чительного размера, представлена на рис. 4.11. Темное кольцо, окружающее центральную яркую область, имеет угловой диаметр (центром которого является апертура), равный приблизительно X/d радиан, где d — диаметр апертуры. Центром круглого пятна является точка на плоскости наблюдения, соответствующая центру Рис. 2.8. Дифракция на двух идентичных апертурах апертуры в дифрагирующем экране. Если / — расстояние между этими плоскостями, то линейный диаметр темного кольца равен приблизительно Xljd. И, наконец, в случае двух круглых апертур, рассматриваемом в настоящем параграфе, картина дифракции выглядит подобно Рис. 2.9. Дифракционное изображение, создаваемое двумя круглыми апертурами картине, показанной на рис. 2.9. Изменение интенсивости по вер* тикали на этом рисунке соответствует кривой, вычерченной вдоль оси а на рис. 2.8. В другом направлении уравнение B.18) для | G |2 неприменимо. 38
2.5. Теорема взаимности Теорема взаимности утверждает, что если источник помещен в точку изображения Р, то в точке расположения источника 5 будет та же интенсивность, которая была в точке Р, когда источник находился в точке S. Таким образом, имеется симметрия между Р и S. Теорема равносильна утверждению о том, что система ди-* фракции является одновременно линейной и симметричной. Дока-» зательство ее осцовано на том, что в B.13) не происходит никаких изменений /, если поменять местами ф1 и ф2, а также 0i и 02- То, что это справедливо для коэффициента |G|2 в B.13), совершенно очевидно, если рассмотреть B.14). Для 1\, однако, это положение еще не разъяснялось подробно. В следующей главе будет показа-* но, что 1\ также не изменяется при перемене мест источника и его изображения. Теорема взаимности дает метод определения интенсивности в точке Р, когда источник перемещается по поверхности 2 вблизи от S. Допустим, в точку Р помещен источник единичной интенсивности и результирующая интенсивность наблюдается в каждой точке картины на поверхности 2. Назовем чувствительностью функцию поверхности ЛB). Если теперь источник поместить в любую точку поверхности 2, то результирующую интенсивность в точке Р можно вычислить умножением Л точки, в которую помещен источник, на интенсивность источника. 2.6. Принцип Гюйгенса С помощью принципа Гюйгенса можно получить графическим способом фронт волны в любой момент времени, если известен фронт волны в предшествующий момент. Принцип можно сформулировать следующим образом: каждую точку волны можно рассматривать как источник малой ВТОрИЧНОЙ Элементарной ВОЛНЫ, КОТОраЯ распространяется ВО всех направлениях от этой точки со скоростью распространения волны. Новый фронт волны нахо- дят, строя поверхность, касательную ко всем вторичным элементарным волнам. Если скорость распространения непостоянна для всех участков фронта волны, то каждой элементарной волне должна быть присвоена соответствующая скорость. Применение принципа Гюйгенса проиллюстрировано на рис. 2.10. Известный фронт волны показан дугой 22, а направление распространения волны — маленькими стрелками. Чтобы определить фронт волны через промежуток времени At при скорости волны и, начертим просто ряд сфер радиусом r=vAt из каждой точки первоначального фронта волны 22. Эти сферы представля- 39 Bmepttwtte элементарные Нобый волновой фронт Рис. 2.10. Принцип Гюйгенса
ют собой вторичные элементарные волны. На рисунке эта поверхность обозначена через 2'2'. В этом примере величина скорости волны считается одинаковой во всех точках. Следует отметить, что принцип Гюйгенса дает возможность предполагать существование обратной волны, которая, однако, никогда не наблюдается. Объяснение этого противоречия следует из анализа интерференции вторичных элементарных волн по всему пространству, окружающему 2. Основное достоинство принципа Гюйгенса состоит в том, что он позволяет предсказать картины дифракции. Это будет тщательно проанализировано в следующих главах. Когда был впервые установлен принцип Гюйгенса, он явился лишь удобным способом определения нового фронта волны, оц-< нако, в то время не придавали большого физического значения вторичным элементарным Еолнам. Позднее, в связи с углублением трактовки волновой природы света, принцип Гюйгенса приобрел более важное значение, по сравнению с тем, которое ему приписы* вали ранее. Задачи 2.1. Дан дифрагирующий экран, на котором расположена линейная решетка из пяти одинаковых апертур, которые размещены на нем в точках х=0, x=df x=2d> x—4d и x—8d соответственно: а) начертите векторную диаграмму для определения функции G; б) сделайте приближенный эскиз |С?|2 функции от разности хода б, как показано в § 2.4. Рис. 2.11. Прямоугольная решетка идентичных апертур 2.2. Рассмотрите прямоугольную решетку, состоящую из тХп идентичных апертур, как показано на рис. 2.11: а) определите функцию G для дифракционной картины Фраунгофера; б) выпишите все члены функции |6|2 для случая т=п=2. 2.3. Монохроматическая плоская волна падает перпендикулярно на решетку из идентичных апертур. Картина дифракции от любой из этих апертур заключена в пределы малых величин 02 и ф2 (см. рис. 2.5). Дифрагирующий экран вытягивают в направлении х таким образом, что апертура, первоначально расположенная в точке (Ху у), сместится в точку (тх, у). Покажите, что функция |<2|2 изменится после такой деформации дифрагирующего экрана. Рассмотрите также изменения в интерференционной картине. 40
2.4. Покажите, что когда прямоугольная дифрагирующая решетка деформируется в квадратную решетку или наоборот, изменение формы главного максимума дифракционной картины согласуется с результатами, полученными в предыдущей задаче. 2.5. Дано большое количество идентичных апертур, произвольно размещенных на дифрагирующем экране. Предположим, что не имеется двух отверстий, расположенных настолько далеко друг от друга, что при этом не могло бы выполняться условие дифракции Фраунгофера, или настолько близко друг к другу, что они не оказывали бы самостоятельного влияния на дифракцию. Допустим, что монохрОхМатическая плоская волна падает перпендикулярно на дифрагирующий экран. Определите вероятностное распределение | G |. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 2.1. М. Born and E. Wolf, Principles of Optics, 2nd rev. ed., Pergamon Press, New York, 1964. (Рус. пер.: Борн М., Вольф Э. Основы оптики. — М.: Наука, 1970.) 2.2. В. Rossi, Optics, Addison-Wesley, Reading, Mass., 1957. 2.3. J. M. Stone, Radiation and Optics, McGraw-Hill, New York, 1963. 2.4. F. W. Sears, Optics, Addison-Wesley, Reading, Mass., 1949. 2.5. A. Sommerfeld, Optics (Lectures on Theoretical Physics, vol. 4), Academic Press, New York, 1954. (Рус. пер.: Зоммерфельд А. Оптика.—M.: ИЛ, 1953.) 2.6. М. Kline and I. W. Kay, Electromagnetic Theory of Geometrical Optics, In- terscience, New York, 1965. 2.7. M. Francon, Diffraction, Coherence in Optics, Pergamon Press, New York, 1966. Глава 3 СКАЛЯРНАЯ ТЕОРИЯ СВЕТА В гл. 2 было рассмотрено явление дифракции света с точки зрения электромагнитной теории Максвелла. Изучая дифракцию таким образом, мы смогли показать, как взаимодействие между светом от различных апертур создает суммарную картину дифракции. Однако это не полное решение данной проблемы, так как она недостаточно четко объясняет значение размеров и формы апертур. Поэтому коэффициент |G|2 из B.13) был переписан в явной форме в уравнение B.14). Однако коэффициент 1\ был введен только для выражения интенсивности, вносимой единичной апер-» турой, без объяснения того, как влияют на этот коэффициент характеристики апертуры. В большинстве случаев крайне трудно получить такое исчерпывающее решение с помощью метода Максвелла. Одна из задач, решенная этим методом, касалась монохроматического света, дифрагирующего на полуплоскости тонкого проводящего экрана. Решение этой задачи было получено Зоммер- фельдом [3.4, с. 247]. Однако большинство задач нельзя решить векторным методом. К счастью, существуют скалярные методы, которые можно применить для этой цели и которые в большинстве случаев дают очень 41
точные результаты. Не следует ожидать, что эти скалярные методы можно эффективно применять в случаях, когда важным фактором является поляризация света. Ранние работы Гюйгенса и Юнга по теории распространения световых волн убедительно показывают возможность применения скалярных методов анализа. Однако только после появления теории Максвелла в 1856 г. Кирхгоф предложил в 1882 г. удовлетворительный в общих чертах скалярный метод. Этот метод будет рассмотрен ниже. Читатели, интересующиеся деталями исторического развития скалярного метода, могут обратиться к книге «Основы оптики» Борна и Вольфа [3.1]. 3.1. Скалярная теория В теории Максвелла волновое уравнение имеет вид V«-?"&=0. C.1) где с — скорость волны и V2 — дифференциальный оператор Лапласа „2 д* , д* Функция и в C.1) может описывать либо электрический вектор Е, либо магнитный вектор Н поля в свободном пространстве. В скалярной теории используем то же самое уравнение C.1), полагая при этом, что и в данном случае описывает чисто скалярную величину, а именно, амплитуду волны. Далее мы попытаемся найти решение уравнения C.1), которое можно применить к явлениям дифракции. Результаты будут неточными, но во многих случаях очень близки к величинам, получаемым экспериментально. Заметим также, что рассматриваемый метод можно применять не только к световым волнам, но и к другим видам распространения волн (например, к звуку), в которых длина волны мала по сравнению с размерами апертуры и для которых поляризация не имеет значения. Если дан точечный источник, излучающий равномерно во всех направлениях (т. е. изотропный), то амплитуду волны этого источника в свободном пространстве на расстоянии г от источника можно выразить так u{r, t) = (l/r)f(r-ct). C.2) Можно убедиться, что решение C.2) удовлетворяет C.1), за исключением случая, когда г=0. Это исключение не имеет значения, так как на практике физический источник не может иметь радиус, равный 0. Величина f в C.2) представляет собой некоторую функцию от выражения в круглых скобках. Форма f зависит от природы источника. Если мы имеем дело с монохроматической волной, то / 42
является синусоидальной или косинусоидальной функцией или, в общем виде, / (r—ct) =a cos [k (r—ct) + 6], C.3) где а — положительная постоянная; k—2nj%— волновое число; 9 — фазовый угол. Если теперь уравнение C.3) записать в комплексной форме и подставить его в C.2), a aetB заменить комплексной постоянной Л, получим и (г, t) = {Alr)expi(kr—®t). C.4) Здесь to=kc — угловая частота волны. В итоге C.4) дает скалярную амплитуду волны от точечного монохроматического изотропного источника света на расстоянии г от него в свободном (т. е. неограниченном) пространстве. Следует отметить, что если решениями C.1) являются две различные формы и, то решением является и их сумма. Это так называемый принцип суперпозиции, который справедлив как для скалярной теории света, так и для векторной. 3.2. Интеграл Кирхгофа Предположим, что мы хотим определить скалярную амплитуду в точке Р, которая находится в поле, создаваемом несколькими монохроматическими источниками с одинаковыми длинами волн. Допустим также, что ни один из источников не совпадает с точкой Р. Тогда, если мы обладаем достаточным количеством сведений обо всех источниках, т. е. знаем их положение, амплитуды и фазы, можно найти амплитуду в точке Р, исходя из принципа су-* перпозиции. Однако Кирхгоф предполагал, что иметь все данные об источниках не обязательно при условии, если в каждой точке произвольной поверхности 2, окружающей точку Р, но не охватывающей ни одного из источников, известны амплитуда и ее нормальные пространственные производные. Эта идея была разработана Кирхгофом и известна теперь как интеграл Кирхгофа, очень часто применяемый в скалярной теории дифракции. При выводе интеграла применяется второе тождество Грина, которое можно описать следующим образом. Допустим, U и V — два любых комплексных скалярных поля, зависящих только от положения, и предположим, что замкнутая поверхность 2 охватывает область о в пространстве, где существуют U и V. Если U и V непрерывные поля и имеют непрерывные вторые производные как на поверхности 2, так и внутри нее, то , C.5) где d/dn— производная по нормали к 2, направленная от поверхности; dli — элемент поверхности, a do — элемент объема. 43
Объем а имеет наружную граничную поверхность 2. Зададим также точку на внутренней граничной поверхности 2', которую мы выбираем произвольно как маленькую сферу с центром в точке Р, в которой необходимо определить амплитуду поля (это изображено на рис. 3.1). Здесь а — пространство между Е и И;, а положительные нормали к граничным поверхностям направлены от а (показано маленькими стрелками). Мы предположили, что полностью скалярная световая волна является монохроматической. Поэтому можно выразить ее ам'плиту- ду в комплексной форме (—Ш), C.6) где Uq зависит только от положения. Из C.1) следует, что щ удовлетворяет уравнению C.7)- Рис. 3.1. Замкнутые поверхности, используемые для вычисления интеграла Кирхгофа с помощью второго тождества Грина которое известно как уравнение Гельмгольца. Здесь !&=г(о/? так же, как и в C.4). Как упоминалось в связи с C.5), V и U могут быть любыми двумя скалярными полями. Определим их следующим образом: У=ио, C.8) ?/=(l/r)expflfer, C.9) где г — расстояние по радиусу от точки Р. Заметим, что V и ?/, определяемые C.8) и C.9), удовлетворяют условиям непрерывности при решении C.5). Так же, как и0 в C.7), U удовлетворяет волновому уравнению C.10) за исключением точки г=0. Но поскольку эту точку исключили из объема а, C.10) справедливо для всего пространства. Теперь можно подставить C.8), C.9), (ЗЛО) и C.7) в уравнение C.5), учитывая, что интеграл можно взять как по поверхности 2, так и по поверхности 2х. Отметим также, что U было определено таким образом, что интеграл по объему в C.5) становится равным нулю. Следовательно, г = 0. C.11) 44
В последнем члене интеграла по 2' в уравнении C.11) d\dn заменили на —д/дг, так как S'— сферическая поверхность. Если взять производную от первого члена интеграла по 2' в C.11), то интеграл принимает вид Теперь уменьшим вторичную сферическую поверхность до очень малых размеров. Величина и0 в каждой точке 2' будет тогда практически такой же, что и в точке Р, так что щ можно обозначить как Uo(P) на всей поверхности интегрирования 2'. Заметим также, что когда г очень мало, eikr стремится к 1. Теперь второй и третий члены интеграла по 2', как показано выше, стремятся к нулю, как и г, и величина всего интеграла зависит от первого члена. Тогда интеграл становится равным 4:гш0(Р). Подставляя эту величину в C.11), получаем <dn [ г ) Jkr dn C.12) Рис. З.2. Применение теоремы Кирхгофа для случая единичного точечного источника без дифрагирующего экрана Это и есть интеграл Кирхгофа. Из C.12) следует, что скалярное поле в точке Р можно определить при условии, если известны поле и его производные, направленные наружу, в каждой точке поверхности, окружающей Р, но не охватывающей никаких других источников. В этом выражении щ — это известное поле на каждой элементарной области d2, а г — расстояние от d2 до Р. Применим интеграл Кирхгофа для случая с единичным монохроматическим точечным источником, но при отсутствии дифраги-» рующего экрана. Это показано на рис. 3.2,а, где гх и г2 есть расстояния от любой точки на поверхности S до источника S и до точки Р соответственно. На рис. 3.2,6 показано, как обозначен угол между Ti и п, нормалью к поверхности S, и угол между гг и п. Комплексную амплитуду щ на элементарной области rf2 можно выразить так uo=(A/ri)exp(ikri), C.13) 45
где А — комплексная постоянная, a &=со/с. Мы можем также выразить нормальную производную к d2 через углы, показанные на рис. 3.2,6, г,) = Л cos(n, г,) (-;?- C.14) Радиус в C.12) равен г2, поэтому, по аналогии с приведенными ранее рассуждениями, получаем d dn r2) (~-L+± C.15) С помощью C.13), C.14) и C.15) мы оценили члены уравнения C.12). Однако заметим перед подстановкой, что в большинстве случаев в г\ и г2 укладывается большое количество длин волн. Предположим, что r\=N%, где N — большое число. Тогда 1/г2!=1/#2А,2. Постоянную k можно выразить как 2яД, так что klri=2nlNX2. Так как N велико, величиной 1/г21 можно пренебречь, по сравнению с k/ru и то же самое справедливо в отношении 1/г22. В этом случае Рис. 3.3. Поверхность 2 в виде сферы, пересеченной плоскостью интеграл Кирхгофа можно переписать так «о (Р) = ~ тг j J 777[COS (П' Гг) ~ C0S exp C.16) Величину [cos(n, r2)—cos(n, ri)] называют коэффициентом наклона. В нашем распоряжении имеется реальная форма оболочки вокруг точки Р, и для того чтобы перейти к случаю с применением плоского дифрагирующего экрана, зададим форму поверхности 2, показанную на рис. 3.3. На нем изображено поперечное сечение сферической поверхности радиусом R, пересекаемой плоскостью, которую мы позднее сделаем плоскостью дифрагирующего экрана. Точка Р — центр сферической части 2. Обозначим эту сферическую часть через So, а часть интеграла в C.16), определяемую So, через W. Как показано на рис. 3.3, нормаль к 2о в любой точке обозначается буквой п7, а расстояние до S буквой г\. Заметим также, что угол (n', R) равен нулю. Тогда соответствующая часть интеграла 2о в C.16) равна W = -cos C.17) 46
Коэффициент наклона в этом уравнении можно выразить через расстояния, включая расстояние между S и Р, которое мы обозначим буквой I. По закону косинусов тогда l-cos(n', r\)=l*-^~R)i. C.18) Подставляя это в C.17) и принимая во внимание только абсолютную величину (чтобы привести экспоненту к единице), получаем 2r2R* Из C.18) очевидно, что I2— (г\—RJ — всегда положительное число, следовательно, /2 должно быть большим числом и I2—(r'i— —RJ<12. Поэтому мы можем утверждать, что Теперь допустим, что R стал бесконечно большим. Этого можно достичь, не помещая источник S внутрь поверхности 2, даже если I — фиксированное конечное расстояние, при условии, что плоская часть 2 лежит между 5 и Р. Отметим также, что с уве« личением R увеличивается и г\, и в пределе его можно принять равным R. Тогда ^ C.19) Данное неравенство вытекает из того факта, что интеграл по 2о меньше, чем по всей сфере, а последний определяется выражением 4nR2. Теперь, когда R становится бесконечным, величина \W\ и, следовательно, вся часть интеграла в C.12), вносимая 2о, становится равной нулю. Скалярную амплитуду в точке Р тогда можно определить по амплитудам и их нормальным производным во всех точках бесконечной плоскости, лежащей между S и Р. Теперь посмотрим, как можно вычислить скалярную амплитуду, вносимую дифрагирующей плоскостью. Пусть плоскость экрана совпадает с плоской частью поверхности 2 на рис. 3.3, и предположим, что экран непрозрачен весь, за исключением конечной области, в которой расположены апертуры. Что касается точки Р, то и0 равно нулю по всей непрозрачной части экрана и интегрирование C.16) необходимо производить только по областям, где расположены апертуры. 47
Рис. 3.4. Применение интеграла Кирхгофа для случая плоского дифрагирующего экрана На рис. 3.4 изображен случай единичного источника и дифрагирующего экрана с одной апертурой. Поверхность 2 показана лежащей за экраном для того, чтобы подчеркнуть тот факт, что амплитуда света, достигающего точки Р от непрозрачной части экрана, равна нулю. В случае дифракции Фраунгофера как ги так и гг, кратчайшие расстояния S и Р до экрана, должны выбираться достаточно большими, по сравнению с длиной волны света. Мы предполагаем, что комплексная амплитуда на незатененной части поверхности 2 определяется уравнением C.13). Тогда по теореме Кирхгофа амплитуда на элементе поверхности d2 будет равна KdH=—(ikA/Алгх) [cos(n9 r2)—cos(n, n)] exp {ikrx)d^y C.20) а ее вклад в амплитуду в точке Р будет duo(P) = (KdZlr2)exp(ikr2). C.21) Это выражение надо интегрировать только по незатененной части поверхности 2. Применение данного метода к изучению дифракции будет дано в следующей главе. Следует напомнить, что плоская поверхность 2 выбирается произвольно и что можно задать и другие поверхности. Например, на рис. 3.5 при круглой апертуре и в случае, когда точка S расположена на оси апертуры, вероятно, было бы удобнее взять в качестве поверхности 2 сегмент сферы с цецтром в точке S. В этом случае Т\ будет постоянной величиной, а угол (п, п) всегда равен л. Кроме того, угол 8 на рисунке равен углу (п, г2). Следовательно, C.16) упрощается до вида "о (р) = - 357 ехР (to,) JJ 7711 + cos в] ехР С*.)dS- C-22> Однако в большинстве случаев более удобной оказывается плоская форма поверхности 2. Легко видеть, что скалярный метод Кирхгофа, в котором используется амплитуда волны каждого элемента промежуточной поверхности, согласуется с принципом Гюйгенса, в котором каждая точка волнового фронта рассматривается как новый источник. Однако согласуется ли метод Кирхгофа с электромагнитной теорией? Оказывается не совсем. Мы предположили, что амплитуда во всех точках апертуры такая, какой она была бы без экрана. Это справедливо для всех частей апертуры, которые находятся на расстоянии от края экрана, большем нескольких длин волн. Однако для точек, расположенных очень близко к краю экрана, сказывается 48
Рис. 3.5. Поверхность интегрирования в виде сферического сегмента влияние краевого поля и, кроме того, поле отлично от нуля в местах, близко расположенных к краю затененной стороны. Итак,, апертура должна быть не очень большой и большая ее часть должна находиться далеко от краев. Только в этих случаях результаты применения скалярного метода точны и хорошо согласуются с экспериментами. Однако, если апертура представляет собой очень маленькое отверстие или узкую щель, скалярный метод не всегда соответствует реальным условиям. Таким образом, скалярный анализ дифракции остается при- s ближенным методом. Очевидно, что для скалярного метода, выражаемого математически уравнением C.16), теорема взаимности, рассмотренная в гл. 2, еще справедлива. Перемена мест S и Р, источника и точки наблюдения, вызывает перемену мест г\ и г2 в C.16) и изменение направления нормали п на противоположное. Эти изменения не меняют уравнения в целом, и теорема взаимности сохраняет силу.. 3 3. Принцип Бабине Предположим, что мы имеем два таких дифрагирующих экрана,, что когда один из них накладывается на другой, открытая область одного из экранов является непрозрачной областью другого. Такие дифрагирующие экраны называют дополнительными. Пусть один из дифрагирующих экранов освещен монохроматическим точечным источником света, тогда можно определить комплексную амплиту- ДУ Uoi(P) дифракционной картины. Если теперь дифрагирующий экран заменить дополнительным экраном, то можно получить ком* плексное световое поле ?/о2(Р), не прибегая к прямым вычислениям, с помощью следующей разности: U02 (P) =?/oo (P)-Uoi (Р), C.23) где U02(P) и иоо(Р)—комплексная амплитуда света в точке Р,. вносимая дополнительным экраном и при отсутствии экрана соответственно. Это уравнение называется принципом Бабине. Если получить любую из двух комплексных амплитуд в C.23), скажем, из интеграла Кирхгофа, то можно найти и третью, просто складывая или вычитая комплексные величины. Следует подчеркнуть, что использование принципа Бабине будет очень полезно во многих случаях, в частности в случае дифракции Фраунгофера. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 3.1. М. Born and E. Wolf, Principles of Optics, 2nd ed., Pergamon Press, N-Y,. 1964. (Рус. пер.: Борн М., Вольф Э. Основы оптики. — М.: Наука, 1970.) 49
3.2. J. M. Stone, Radiation and Optics, ,McGraw-Hill, New York, 1963. 3.3. B. Rossi, Optics, Addison-Wesley, Reading, Mass., 1957. 3.4. A. Sommerfeld, Optics (Lectures on Theoretical Physics, vol. 4), Academic Press, New York, 1954. (Рус. пер.: Зоммерфельд А. Оптика. — M.: ИЛ, 1953.) 3.5. J. W. Goodman, Introduction to Fourier Optics, McGraw-Hill, New York, 1968. (Рус. пер.: Гудмен Дж. Введение в фурье-оптику. — М.: Мир, 1970.) 3.6. W. К. Н. Panofsky and M. Phillips, Classical Electricity and Magnetism, 2nd ed., Addison-Wesley, Reading, Mass., 1962. 3.7. J. A. Stratton, Electromagnetic Theory, McGraw-Hill, New York, 1941. 3.8. H. Margenau and G. M. Murphy, The Mathematics of Physics and Chemistry, vol. I, 2nd ed., Van Nostrand, New York, 1956. Глава 4 ДИФРАКЦИЯ ФРАУНГОФЕРА И ДИФРАКЦИЯ ФРЕНЕЛЯ Наше представление как о дифракции Фраунгофера, так и о ди* -фракции Френеля (определение которых дано в гл. 2) может быть углублено путем использования интеграла Кирхгофа. Этому и будет посвящена настоящая глава. В обоих случаях предполагают, что размеры апертуры велики по сравнению с длинами волн падающего света и интеграл Кирхгофа будет применяться только в тех случаях, когда это допущение справедливо. Будут проанализированы два случая: для прямоугольной и круглой апертур. Будет показано, что в случае дифракций Фраунгофера можно использовать упрощенную форму интеграла Кирхгофа. И, наконец, будет рассмотрена разрешающая способность оптической системы формирования изображения. 4.1. Дифракция Фраунгофера Предположим, что имеет место случай, показанный на рис. 4.1, где 5 — точечный источник монохроматического света, Р — точка наблюдения, и между ними расположен плоский дифрагирующий экран с открытой апертурой. Строго говоря, дифракцией Фраунгофера считают такой случай, когда расстояния как 5, так и Р от экрана велики по сравнению с размерами апертуры и не применяется никаких линз или других устройств для увеличения эффективных расстояний. Предполагается, что поверхность интегрирования 2 (в интеграле Кирхгофа) лежит вплотную за дифрагирующим экранам. Таким образом, плоскость 2 совпадает с плоскостью экрана, но интегрирование производится только в пределах открытых апертур. Координатные оси показаны на рисунке. Когда выполняются условия дифракции Фраунгофера, можно ввести некоторые упрощения. В этом случае п, нормаль к экрану в точке О, образует почти одинаковый угол с г\ и с Гю, и то же самое справедливо и по другую сторону экрана, со стороны точки Р. 50
Следовательно, cos(n, i*i)^cos(n, Гю), cos(n, r2)?*cos(n, Г20). Эти приближенные равенства можно подставить в интеграл? Кирхгофа C.16). Кроме того, в то же самое уравнение можно подставить 1/ПГ2^1/Г1оГ2О. D.1) Сумму гх-\-г2 в экспоненте уравнения C.16) можно записать так Но в соответствии с B.7) и B.8) разность расстояний Г\—Г\^ можно заменить выражением (xsin6i-f-*/sin(pi) и г2—г2о—(#sin92-f- +sinq>2), где sin 0i=g/rio, sin<pi=r)/riO, sin92=a/r2o, sin92=p/ Тогда o—(x sin in q>\) — (x sin Q2+y sin ф2). D.2> Можно также воспользоваться тем фактом, что отклонение дифрагирующего света мало. Поэтому, если взять точку (ао, Ро> Рис. 4.1. Взаимное расположение источника, экрана и точки наблюдения для случая применения интеграла Кирхгофа к дифракции Фраунгофера в плоскости наблюдения, для которой 02=—9i и ф2=—фь то только точки, близкие к точке («о, ро) по угловому расстоянию, если смотреть от апертуры, будут значительно освещены. А все точки, которые лежат в пределах различимой дифракционной картины, будут находиться почти на одной линии с 5 и апертурой. Таким образом,, если мы сравним угол %, как показано на рис. 4.1, с углами на рис. 3.2, при условии, что г2 противолежит ги то увидим, что %с* ^ (п, г20) и что (п, гю) ^я—%. Тогда получим D.3) 51 cos(n, r20)—cos(n, rio)^ Угол % можно назвать углом падения.
Подставляя теперь D.1), D.2) и D.3) в интеграл Кирхгофа C.16), получаем JJ ехр {-**[* (sinO^ по апертурам + sin 62) + у (shift + sin ft)]} dxdy. D.4) Будет удобно сделать интеграл D.4) применимым ко всей поверхности Кирхгофа 2, вводя комплексный коэффициент пропускания Т(х9у) = \Т(х, у) |ехр[мр(х, у)], D.5) который в данном случае должен быть определен следующим образом: ти w)==|1> B пРеделах [О, в остальной области. Тогда D.4) можно переписать так *, f/)exp{— tf D.6) где ikA K = т— 2 cos х ехр [ik (r10 + r20)]— комплексная постоянная. Тогда в точке (ао, Ро) плоскости наблюдения, где 82=—9i и 2=—Фь экспонента интеграла D.6) будет равна единице и Если мы теперь определим другую функцию Q(P) следующим образом Jj Т(х, у) ехр {—ik [х (sin 9t + sin 8,) + у (sin ^ + sin y2)]} dxdy D.7) то уравнение D.6) можно переписать так U0(P)=Uo(ao, Po)Q(P). D.8) 52
Заметим, что Q(ao, Po) = l- Поскольку D.8) оперирует с амплитудами, среднюю плотность энергии на единицу поверхности (интенсивность) можно получить, возводя в квадрат абсолютные значения величин D.8): /(P)=/0|Q(P)|2, D.9) где /о=|[/о(ао, ро)|2, интенсивность при неизменном направлении света от источника. Когда эта величина известна, то с помощью D.9) можно найти интенсивность в любом месте дифракционной картины, умножая /0 на коэффициент |Q(P)|2, который по D.7) зависит от общего расположения апертур. Уравнение D.9) очень напоминает B.13). Действительно, для одинаковых апертур оба эти выражения идентичны. 4.2. Преобразование Фурье при дифракции Фраунгофера Вернемся к упрощенной форме интеграла Кирхгофа для дифракции Фраунгофера — выражению D.6). Если вспомнить следующие соотношения в выбранной системе координат: sin 0i=|/гю, sin<pi=ri/rio и sin62=a/r2o, sin(p2=P/r2o, станет ясно, что уравнение D.6) можно рассматривать как двумерный интеграл Фурье. Например, если мы возьмем монохроматический точечный источник, помещенный в точку (?0, т)о) плоскости источника, то D.6) можно переписать так U. (Р) = К J { Т (х, у) ехр [- ifrx + vy)\ dxdy, D.10) где -*(?+?)• *-*(?+?)• Выражение D.10) —это фурье-преобразование от Т(х, у), которое имеет место в плоскости наблюдения. Наличие преобразования Фурье при дифракции Фраунгофера можно видеть на примерах прямоугольных и круглых апертур, которые будут даны в следующем разделе. В данном случае можно ввести новые переменные Тогда D.6) примет вид U. (Р) = К J J Т (х, у) ехр [-1 fr'x + у'у)] dxdy. D.11) 53
4.3. Примеры дифракции Фраунгофера Прямоугольная апертура. На рис. 4.2 изображена прямоугольная апертура со сторонами а и 6. В этом случае функция пропускания для дифрагирующего экрана будет т <*.*)= т<*<т. -т<»*т). О, в остальной области. D.12) '' 11 b г а О 1 b г а г < Рис. 4.3. Зависимость амплитуды дифракции Q(P) от [I для данного значения v Рис. 4.2. Прямоугольная апертура Для удобства записи введем две новые переменные _ ka kb D.13) D.14) Подставляя D.12), D.13) и D.14) в D.7), получаем нормализованную комплексную амплитуду 6/2 D.15) а/2 -Ы2 7CV " 54
Зависимость нормализованной амплитуды от \i лля фиксированной величины v представлена на рис. 4.3. Она имеет максимум, когда ji=0. Хотя Q(P) обычно величина комплексная, в рассматриваемом частном случае, правильно выбирая систему координат, можно сделать Q(P) действительной величиной для всех значений \х и Рис. 4.4. Положительные и отрицательные области Q(P) в плоскости (ц, v) + - + - + - + - + - + - + - + - + - + - + - + - + - + - + - + - + - + - -f - + - + - - - + - + v. Чередование положительных и отрицательных значений Q(P) показано на рис. 4.4. На линиях, разделяющих области, Q(P)=0. Из D.15) можно определить распределение интенсивности в дифракционной картине где /о — интенсивность, когда и \х и v равны нулю. График 1(Р) для фиксированной величины v приведен на рис. 4.5. Реальная кар- Рис. 4.5. Зависимость интенсивности \(Р) от [I для данного значения v -з -г -г тина дифракции Фраунгофера для прямоугольной апертуры показана на рис. 4.6. Переменные \х и v, определяемые уравнениями D.13) и D.14) и используемые в D.15) и D.16), безразмерны. Действительное положение картины на плоскости наблюдения по отношению к источнику и апертуре можно определить по углам 0 и <р из 55
D.13) и D.14). Координаты а и р на плоскости наблюдения, как это показано на рис. 4.1, можно определить так где / — расстояние между дифрагирующей апертурой и плоскостью наблюдения. Рис. 4.6. Картина дифракции Фраунгофера на прямоугольной апертуре Изменение интенсивности в дифракционной картине по оси a показано на рис. 4.7. Виден большой центральный максимум, половина угловой ширины которого равна Xfa радиан, и ряд гораздо меньших вторичных максимумов с каждой стороны. На рис. 4.6 ви- Рис. 4.7. Распределение интенсивности вдоль одной оси для случая дифракции Фраунгофера на прямоугольной апертуре ден тот же эффект. Точно такая же зависимость имеется и вдоль оси р, если а и а заменить на р и Ь. Круглая апертура. При изучении картины дифракции Фраунгофера от круглой апертуры будем предполагать, что свет падает 56
перпендикулярно плоскости апертуры. Этот случай не самый общий, но он упрощает вычисления. Пусть центр круглой апертуры диаметром D расположен в начале координат дифрагирующего экрана [плоскость (х, у) на рис. 4.1]. Чтобы выполнялось условие перпендикулярности падения света, источник S на рис. 4.1 должен располагаться в начале координат (g, т]). В результате как 0ь так и фЬ определяемые из D.2), становятся равными нулю, и это их значение можно подставить в D.7). Очевидно, что при круглой апертуре и нормальном падении света должна иметь место полная симметрия дифракции относительно нормали. Таким образом, если мы найдем изменение картины дифракции вдоль одного радиуса от точки О в плоскости наблюдения, оно будет таким же вдоль каждого радиуса от точки О. Тогда получим картину дифракции вдоль оси а, для которой мы можем принять ф2=0, если надо рассматривать только положительные значения 02. Напомним, что двойные интегралы по S в D.7) совместно с коэффициентом Т(х, у) в подынтегральном выражении означают, что интегрирование производится только по площади апертуры. В этом случае как х, так и у изменяются от —D/2 до -\-Dj2. Знаменатель в D.7) означает просто площадь апертуры и равен —nD2/4. Чтобы получить изменение картины дифракции по оси а, запишем D.7) в виде Q (Р) = ^г j \ ехр [- ikx sin 62] dxdy. V Считая для данного случая х постоянной, получаем соответствующие пределы изменения у ± |/?J/4— х2 и, выполняя полное интегрирование по у, находим коэффициент l/D2/4 — хг. Если произвести следующую подстановку li=kDsinQ2l2n1 D.18) то D/2 —Ь/2 Пусть теперь t = 2x/D, так что x = Dt/2, dx — (D{2)di и х=1, когда x = D/2. Тогда 1 = ^r f A — х2I/2 ехр [— йИ Л. D.19) Интегрирование здесь производится по т, которая непосредственно связана с х, т. е. с одной координатой круглой апертуры. Величина 57
fjL в D.18) зависит от Э2, который определяет угловое положение дифрагированного луча и не связан в явном виде с х. Если разделить интеграл D.19) на два интеграла — один с пре* делами от —1 до 0, а другой от 0 до 1, то можно увидеть, что A—т2) остается тем же самым для положительных и отрицательных значений величины т, а знак в экспоненте при этом изменяет* ся. В этом случае сумма е+пчхт и е"*1" равна 2cos (jijj/r), т. е. действительной величине. Тогда D.19) принимает вид 1 Q (Р) = -i- Г A — x2)l/2 cos faw) d%. D.20) Рис. 4.8. Зависимость амплиту- Рис. 4.9. Положительные и отрицательные ды дифракции Q(P) от ji для области Q(P) круглой апертуры Интегрируя, получаем функцию Бесселя первого порядка D.21) Зависимость амплитуды Q в плоскости наблюдения от |л представлена на рис. 4.8, причем показано изменение вдоль всего радиуса. Аналогичная зависимость будет вдоль любого другого радиуса, так что суммарная картина дифракции представляет собой ряд концентрических окружностей с центром, в точке 0 плоскости наблюдения. Амплитуда максимальна там, где \х и, следовательно, 62 равны нулю. На рис. 4.9 показано, как амплитуды в картине дифракции меняют знаки. Заметим, что \i прямо пропорционально радиусу картины дифракции. Поэтому, если нужно знать радиус р, он равен p=/tg02, где / — расстояние между плоскостью апер* туры и плоскостью наблюдения. В случае дифракции Фраунгофера 58
угол 02 настолько мал, что его можно считать равным синусу, и из D.18) получаем Соответствующая распределению амплитуд D.21) интенсивность в картине дифракции от круглой апертуры определяется выражением D-22) /(Р) =/0[2/i (яц) IM\ График изменения 1(Р) вдоль радиуса дифракционной картины дан на рис. 4.10. 1,21 2,23 Рис. 4.10. Зависимость интенсивности 1(Р) от |л для круглой апертуры Рис. 4.11. Картина Эйри (дифракция Фраун- гофера на круглой апертуре) Уравнение D.22) впервые вывел Г. Б. Эйри, и картина дифрак-> ции от круглой апертуры известна под названием картины Эйри. Фотография картины Эйри приведена на рис. 4.11. Диск Эйри, которым называют центральный освещенный кружок в' картине дифракции, доходит до |х=1,22, т. е. имеет радиус р= 1,22M/Z). Восемьдесят четыре процента полной мощности в дифракционной картине приходится на этот центральный диск. Первый нуль имеет радиус несколько больший, чем в случае прямоугольной апертуры, где (рис. 4.7) он равен У/а, причем а сравнимо с D в случае круглой апертуры. 4.4. Дифракция Френеля Термин «дифракция Френеля» применяется тогда, когда расстояния от источника до дифрагирующего экрана или от последнего до плоскости наблюдения, или оба этих расстояния невелики, по сравнению с размерами дифрагирующих апертур. Мы вынужде- 59
ны отказаться от предположения о том, что лучи от точечного источника до различных точек апертуры по существу параллельны. Таким образом, упрощенные выражения, выведенные для дифракции Фраунгофера, использовать больше нельзя и задача опре* деления дифракционной картины становится гораздо сложнее. Однако можно проанализировать хотя бы частично дифракционные картины от апертур определенной формы. В частности, рассмотрим случай прямоугольной апертуры и более трудный случай круглой апертуры. Рис. 4.12. Схема для использования интеграла Кирхгофа к случаю дифракции Френеля на прямоугольной апертуре Прямоугольная апертура. На рис. 4.12 показана прямоугольная апертура со сторонами а и Ь. Монохроматический точечный источник расположен в точке 5. Предположим, что 50 — перпендикуляр из точки S на плоскость апертуры. Допустим, что линия 50 проектируется на плоскость наблюдения в точку Р, и определим интенсивность в этой точке. Для исследования этой картины дифракции мы, конечно, должны рассмотреть другие точки вокруг Р. Вместо этого найдем изменения интенсивности в точке Р при перемещении апертуры в различные места дифрагирующего экрана, если 5, О и Р остаются фиксированными. Картина, полученная таким способом, будет мало отличаться от той, которая получилась бы при фиксированной апертуре и перемещаемой точке Р, при условии если смещения апертуры малы по сравнению с расстояниями 50 и ОР (г10 и г20). Будет проанализировано три случая различных размеров а и Ъ. В первом случае а и Ь сравнимы с гю и г20. Казалось бы, что это является повторением условий дифракции Фраунгофера. Однако анализ, приведенный ниже, будет несколько иным. Во-вторых, будет предполагаться, что свет падает почти перпендикулярно на плоскость апертуры. Если мы сравним рис. 4.12 с рис. 4.1, то увидим, что угол % на последнем рисунке в данном случае становится равным нулю. Таким образом, D.3) еще больше упрощается cos(n, г2о)— cos(n, гю) ^2. Однако можно учесть приближенное выражение D.1), т. е. 1/1/ 60
Если подставить его в уравнение Кирхгофа C.16), то можно записать комплексную амплитуду в точке наблюдения в виде ГгI dxdy' D< 23)> где Я в коэффициенте была заменена эквивалентной ей величиной 2я/&, а интеграл по поверхности 2 разделен на два интеграла па х и по у. Величина г\-\-г2 должна мало отличаться от случая дифракции Фраунгофера D.2). Если сравнить рис. 4.12 с рис. 2.5, по которым определяются углы Э и ср, то легко увидеть, что все эти углы равны нулю, и D.2) можно записать в виде ri4-r2=rio-i-r2o. Это выражение получают, если пренебречь некоторыми величинами в D.2), что дает большее упрощение, чем требуется в рассматриваемом случае. Вместо этого покажем, что r2i=r2io+x2+#2 (см. рис. 4.12) и что это является достаточно точным предположением для того,, чтобы утверждать, что D.24) Аналогично на другой стороне апертуры г2-г20+(х2+у2)/2г20. D.25) Складывая их, получаем ^^ D.26> Перед подстановкой D.26) в D.23) будет удобно ввести две новых безразмерных переменных li=x[2(rl0+r20) lXrlor2oY/2, v=r/[2(rlo+r2o)/^rlor2o]1/2. D.27) Тогда D.23) принимает вид exp (J?) ф, ] exp (*f) dv. D.28) Если обозначить через U00(P) амплитуду в точке Р, когда между S и Р нет экрана, то ехр и постоянный коэффициент в D.28) равен тогда —(i/2)f/Oo(P). Экспоненты под знаком интеграла в D.28) можно разделить с помощью уравнения Эйлера на действительную и мнимую: ехр (ш*2/2) =cos (я/2/2) +* sin (я/2/2), 61
где вместо t можно взять либо |л, либо v. Используем также переменную v для обозначения пределов интегрирования и введем величины D.29) Эти интегралы называются интегралами Френеля. Таблицы интегралов Френеля можно найти в книге Янке, Эмде и Леша [4.7]. = Jcos^)tff S (v) = § sin Рис. 4.13. Спираль Корню Используя D.29), можно записать D.28) так D.30) X {С (v.) - С (Vl) +1 [S (v.) - S (Vl)]}. Уравнение D.30) можно оценить графическим способом. Допустим, что даны различные величины и, как положительные, так и отрицательные, и что можно начертить зависимость величин С (v) и S(v) друг от друга в комплексной плоскости, причем значения S(v) отложены на мнимой оси. Полученная кривая называется «спиралью Корню» (рис. 4.13). Величины и, использованные при вычислении координат С и S, нанесены на графике вдоль кривой. Когда v равно нулю, то C(v) и S(v) также равны нулю. С увеличением v либо в положительную, либо в отрицательную сторону, кривая закручивается внутрь по спирали к точкам F и Е, которые определяются выражениями C(oo)=S(oo)=l/2 и С(—oo)=S(—оо)=—1/2. Кривая симметрична относительно на- 62
чала координат. Можно указать на то, что равным приращениям5 в любом месте кривой соответствуют равные отрезки кривой. Вит-^ ки спирали располагаются все теснее друг к другу по мере приближения к точкам Е и F. Когда спиралью Корню пользуются для определения интенсивности в точке Р, необходимо сначала найти пределы изменения длят \х и v. Пусть центр прямоугольной апертуры имеет координаты х<у и г/о. Тогда пределы изменения х будут х0— (а/2) и хо+(а/2), а у изменяется в пределах от уо—(Ь/2) до t/o+(W2)- Чтобы найти значения \iu ^2, vi и v2, эти четыре предела подставляют в D.27) Рис. 4.14. Определение Лег'Ф по спирали Корню Взяв в качестве значения v на кривой каждую из этих величин,, находят точку, по которой определяют значения С и S. Подставляя их в D.30), получают U0(P), выраженную через значения амплитуды Uqo(P) при отсутствии экрана. Изменение положения апертуры должно повлечь за собой выбор других х0 и г/о- Описанную процедуру можно упростить следующим образом. Соединим две точки на кривой, соответствующие i>=|ii и v=\k2» линией, показанной на рис. 4.14. Эта линия представляет собой: вектор с абсолютной величиной А (длина отрезка) и с углом фазы, Ф (угол между этой линией и действительной осью). Значения А и ф находят графически с помощью линейки и транспортира и подставляют в уравнение С (р,) - С W + i [S Ы - S Ы] = Ле'Л D.31) и V2 и найти амплиТу же методику можно использовать для туду В и фазу if. Тогда С (v2) - С (vj + i [S (v2) - 5 (v,)] =Bel*. D.32) Подставляя D.31) и D.32) в D.30), получаем новое выражение для амплитуды и фазы интенсивности в точке Р. Переходя от это-
го уравнения к абсолютной величине энергии (исключая фазу), имеем для интенсивности в точке Р 1(Р) = ±-А*ВЧО(Р)У D.33) где 1о(Р) —интенсивность в точке Р при отсутствии дифрагирующего экрана. Теперь мы можем рассмотреть изменение интенсивости, которое имеет место в точке Р, по мере того, как апертура перемещается в различные положения по отношению к точке О на дифрагирующем экране (рис. 4.12). Допустим, что это перемещение осуществляется сначала только в направлении х, что влияет на пределы |д, но не на пределы v, благодаря чему изменяется Л, но не В [см. D.31) и D.32)]. Будет удобно ввести две новых величины D.34) ^о) I1/2 r20 J • Выражение D.34) следует непосредственно из метода определения [xi и [12 по D.27). Для данной ширины апертуры a, Av— величина постоянная, не зависящая от того, как перемещается апертура. Действительно, Av представляет собой длину дуги вдоль спирали Корню между точками кривой, соответствующими пределам V=\Xi И V=\l2. В D.35) Хо — координата центра апертуры, а [Хо— величина ц,, соответствующая величине х. Действительно, [хо— это средняя точка участка спирали Корню, лежащая между точками для jxi и |х2. Величина [хо при этом значении х0 равна нулю. Когда хо=—а/2, начало координат находится на одном краю апертуры, а когда Хо—а/2, то — на противоположном краю. Соответствующие значения |л0 равны ±Ди/2. В этих пределах существует открытый путь между S и Р, но для того чтобы можно было найти степень распространения света путем дифракции в геометрическую тень от экрана, \10 должно выходить за эти пределы. По расстояниям гю и г2о, ширине а апертуры и длине волны X с помощью D.34) определяют величину Av. Предположим, что она остается постоянной, а х0 изменяется, тогда соответствующая величина [х0 определяется уравнением D.35). Кроме того, допустим, что найдены точки на спирали Корню, соответствующие jxi и [х2, и затем измерено расстояние А между ними по прямой, как показано на рис. 4.14 [результаты измерения должны быть выражены в тех же самых единицах, в которых построены графики С(v) и S(y)]. Если данное перемещение Хо вызывает перемещение точки, соответствующей jxi на определенное расстояние вдоль спирали 64
Корню, то и точки, соответствующие [г0 и \Л2, передвигаются на то же самое расстояние по этой кривой. Однако расстояние А будет другим. Изобразим графически квадрат величины А в зависимости от uo для различных положений центральной линии (х0) апертуры. Результирующая кривая подобна кривой, показанной на рис, 4.15. Кривые, изображенные на рис. 4.15, начерчены для различных положений центральной линии (х0) апертуры. Жирные линии здоль оси |io показывают протяженность окна от S до Р в пределах диапазона — Ди/2^ ^lij^Av/2. За этими пределами находится геометрическая тень. Если апертуру смещать в направлении у вместо ху мы должны только- заменить а, [ли х0 в D.34) и D.35) на 6, v и //о- При этом были бы получены кривые, в точности подобные кривым на рис. 4.15, но с координатами vo и В2. Поперечное сечение картины дифракции в направлении х для апертуры шириной а находят, определяя величину Да, соответствующую а/ и затем построив точный график, подобный графику на рис. 4.15. Аналогично поперечное сечение в направлении у определяют по высоте Ь апертуры и по кривой, соответствующей Av. Если желательно получить картину не на оси, надо использовать произведение Л2 и В2. -4 -2 ' Л. Av=5,$ ~6 ~ -2 о Л -6 -2 Рис. 4.15. Изменение Л2 вдоль одной оси прямоугольной апертуры для шести различных значений Av Большинство кривых на рис. 4.35 показывает значительный дифракционный эффект в области геометрической тени (за пределами жирных линий). Однако, когда Av равно 10 или более, в область тени дифрагирует очень мало света и даже флюктуации дифракционных полос за пределами геометрической тени малы, за исключением областей тени, близких к краям. Независимо от величины Av дифракционные полосы вблизи края тени всегда будут видны. Когда At; мало, скажем, меньше единицы, распространение дифракционной картины в теневую область очень заметно. По мере того, как Av уменьшается, вид картины дифракции Френеля приближается к картине дифракции Фраунгофера. 65
Чтобы получить некоторое представление о соотношении размеров, требуемом для малой величины Av, рассмотрим частный случай. Предположим, что г{0 и г2о равны по 100 см каждый, а X равна 0,8Х10-4 см, т. е. самой длинной волне видимого спектра. Воспользовавшись D.34), получим Av=22y4a, причем а выражено в сантиметрах. Для Av=l расстояние а менее полумиллиметра. Чтобы получить я, равное половине сантиметра, мы должны были бы иметь Av> приблизительно равное 11. Прямоугольная апертура, случай больших а или Ь. В последнем разделе предполагалось, что размеры апертуры достаточно малы для того, чтобы можно было использовать интеграл Кирхгофа. Предположим теперь, что а или b слишком велики для того, чтобы допустить такое упрощение. На верхнем пределе (а и Ъ бесконечны) вообще не было бы никакого экрана между источником света и точкой наблюдения, так что интенсивность 1(Р) была бы просто равна величине интенсивности без экрана 1о(Р). Выражение D.33) довольно неожиданно принимает этот вид, если в D.3П и D.32) подставить бесконечность вместо предельных значений \х и v. Тогда А^=С (оо)-С (— оо)+* [5 (оо)— 5 (—оо)| =1+1 = 1/2 е'4'4. D.36) Заметим, что ]/2 и я/ У А равны соответственно длине прямой линии от Е до F на рис. 4.13 и углу, который эта прямая образует с действительной осью. Аналогично, когда предел v равен бесконечности, Ве'ф = )/2е/7С/4. D.37) Используя абсолютные значения Л и В из D.36) и D.37) и подставляя их в D.33), получаем величину 1(Р)=10(Р), которая является точной величиной. Можно воспользоваться D.36) и D.37) и, подставив их в D.30), получить UQ(P)=U00(P). D.38) Таким образом, мы показали, что уравнение D.30), выведенное лля случая малых размеров апертуры, справедливо также тогда, когда ее размеры бесконечны. Исходя из одного этого факта, нельзя делать вывод, что D.30) справедливо также и для промежуточных значений а и Ь. Однако, если мы ограничимся тем, что будем рассматривать длину волны Я, для видимой области спектра, и придадим Г\0 и г2о удобные для практики значения, то найдем, что пределы \i и v [см. D.27)] и значения Ди, определяемые D.34), могут стать довольно большими, в то время как х9 у> а и b еще достаточно малы для того, чтобы оставались справедливыми приближенные выражения, использованные в D.30). Таким образом, мы можем сказать, что хотя а и b увеличиваются, они все еще достаточно малы для того, чтобы уравнение D.30) было справедливым, при этом |х и v в пределе 66
стремятся к бесконечности, и поэтому D.30) опять-таки остается справедливым. Тогда, для малых длин волн можно ожидать, что D.30) приближенно справедливо для любых размеров апертур. Теперь рассмотрим апертуру в форме длинной узкой щели. В этом случае мы возьмем b большим, а а — малым. При любом перемещении апертуры в направлении у значение В в D.33) было бы постоянным, что следует из D.37). Поэтому величина 1{Р) зависит только от Л, изменяющегося при перемещении апертуры в направлении х, как показано кривыми на рис. 4.15. Выражение для амплитуды в этом случае имеет вид и соответствующая интенсивность равна Величину коэффициента А2 можно определить с помощью кривой на рис. 4.14 по точному значению Av. Картина дифракции состоит А2 3 Рис. 4.16. Зависимость величины А2 от (х2 для случая дифракции на полуплоскости. Значение jx2=0 соответствует краю геометрической .¦¦¦¦¦ -f -4 -Z 0 2/?z из длинных дифракционных полос, параллельных щели, и в этом направлении не меняется, за исключением мест у концов щели. Рассмотрим теперь третий случай, возникающий при прямоугольной апертуре: случай дифракции на полуплоскости. Пусть край полуплоскости параллелен оси у, так что в направлении у пределы равны —оо и -f-°°- В направлении х пространство ограничено наполовину пределами х=—оо и х=х2, где х2 — положение края экрана, а х>х2 соответствует непрозрачной части экрана. Пусть точка О (рис. 4.12) расположена так близко к краю экрана, что х2 всегда мало по сравнению с Г\0 и г20. Тогда точка Р всегда будет близка к геометрической тени. Из D.27) следует, что будет существовать конечная величина \i2f соответствующая x2i но \i\= =—оо и vi=—оо, a v2=-f-oo. В D.32) коэффициент В будет иметь постоянное значение, определяемое D.37), а из D.31) получаем Ае/ф = С Ы - С (-оо) + f [S ОО - 5 (-оо)]. Один конец отрезка А на рис. 4.14 всегда будет в точке Е (где C=S=—1/2), в то время как другой конец меняет свое положение в соответствии с положением, выбранным для х2, определяющим значение ^2. Можно начертить кривую зависимости А2 от ц2, значения которых получены с помощью графика рис. 4.14. Результат приведен на рис. 4.16. Полученная кривая подобна кривой на 67
рис. 4.15, по не обладает симметричностью последней. Картина дифракции представляет собой дифракционные полосы, параллельные краю полуплоскости, расположенные, главным образом, на освещенной стороне и уменьшающиеся по амплитуде с увеличением расстояния от края экрана, причем некоторая интенсивность Рис. 4.17. Картина дифракции Френеля на полуплоскости распространяется и в область геометрической тени. Пример картины дифракции Френеля на полуйлоскостн показан на рис. 4.17. Круглая апертура. При анализе дифракции Френеля от круглой апертуры рассмотрим только случай, когда линия от источника света до точки наблюдения перпендикулярна плоскости апертуры и проходит через центр круга. На рис. 4.18 показан этот случай. -—^ ^ У0 'У Рис. 4.18. Схема использования интеграла Кирхгофа к случаю дифракции Френеля на круглой апертуре Пусть с — радиус апертуры и р — расстояние по радиусу до любой точки апертуры. Рассмотрим первый случай, когда с гораздо меньше Г\о или г2о. Тогда можно прибегнуть к тем же самым приближенным выражениям, какими пользовались при выводе уравнения D.23). Кроме того, учитывая круглую форму поверхности 2, можно считать rfS 68
кольцеобразным элементом поверхности 2npdp и произвести интегрирование от р=0 до р=с. В результате интеграл Кирхгофа принимает вид с ц (р\ — 1Л- Г exp \ik (л 4- r,)l 2%odo. D.39) Xr10r20J Из рис. 4.18 видно, что r2i=r210-fp2 и г22==г220+р2. Поскольку г10 и г20 постоянны, то, дифференцируя эти уравнения и деля их на 2, получаем pdp=ridri=r2dr2. Таким образом, dr\— (l/ri)prfp и tfr2=(l/r2)pdp. Складывая эти уравнения, находим Тогда Поскольку предполагается, что с мало, не будет большой ошибкой допустить Подставляя /=ri+r2, можно записать D.39) в виде *'* D-40) /@) где/(О)=гю+г2о. Расстояние / от S до Р всегда несколько больше, чем расстояние по прямой гю+Г2о. Выразим эту разность хода в форме, впервые введенной Френелем, Здесь Я — длина волны света и разность расстояний выражена в половинах длин волн. Переменная величина А безразмерна, а ДЯ/2 описывает увеличение расстояния от S до Р в полуволнах, когда р становится больше нуля. Эта запись пригодится позднее, $огда будем рассматривать зонную пластинку Френеля. Подставляя D.41) в D.40), отметим, что dl=(X/2)dA н что ехр(Ш)=ехр[;&(г1О+г2о)]ехр(щД), так как &А=2я. Первая из этих экспонент постоянна, и ее можно вынести за знак интеграла и, кроме того, объединить с другими постоянными, получив новую 69
постоянную Uqo(P) —амплитуду излучения в точке Р при отсутствии экрана [см. уравнение, следующее за D.28)]. Вынося К/2 за знак интеграла и отмечая, что Д=0 в точке /@), преобразуем D.40) к виду * (О и9(Р)^-ыи00(Р) f exp(/icA)rfA, D.42) 6 где А (с) —значение А при р=с. Интегрируя выражение D.42), получаем /—ехр[тД(с)]}, D-43) при этом соответствующая интенсивность равна / (Р) = \UQ (Р)|2 = 2/0 (Р) [/ - cosтЛ (с)} = 4/0 (Р) sin2-1- *Д (с). D.44) Из D.41) следует, что величина А (с) показывает (в полуволнах), на сколько путь от S до Р через край апертуры больше пути через центр. По мере изменения с от нуля до средних значений функция sin2 — яД и, следовательно, /(Р) принимает ряд значений, которые колеблются от нуля до максимума. Максимум для /(Р) в четыре раза превышает интенсивность без дифрагирующего экрана. Таким образом, в зависимости от радиуса апертуры центр дифракционной картины может быть либо темным, либо светлым. На рис. 4.19 показаны картины дифракции для различных значений А (с). Зависимость величины А (с) от с и других размеров, показанных на рис. 4.18, а также длины волны i можно вывести из D.41). Если радиус равен с, то / в этом уравнении становится равным или приближенно (так как с мало): /^Г1О+С2/2г,о+Г2О+С2/2Г2О. Подставляя эту величину вместо / в D.41), получаем 4 <4-45> При выводе распределения интенсивности от круглой апертуры, описываемой D.44), мы имели дело только с интенсивностью в центре картины дифракции, причем свет от источника падал перпендикулярно в центр апертуры. Исходя только из этого уравнения, ничего нельзя сказать о дифракционной картине в местах, удаленных от центра Р. Из картин дифракции, показанных на рис. 4.19, видно, что они будут подобны друг другу. Мы, конечно, могли ожидать, что дифракционные полосы будут иметь форму окружностей с центром в точке Р. Мы могли бы также ожидать, что по мере уменьшения значения А (с) в сторону единицы дифракционные 70
полосы были бы менее интенсивными по всей площади, по более широко отстоящими друг от друга, как это имело место в случае прямоугольной апертуры при уменьшении Av (рис. 4.15). Если сравнить А(с) из D.45) с Av из D.34), найдем, что А{с) сравнимо с [AvJ при условии, если с2 сравнимо с 2а2. Если бы Av и А(с) были бы равны единице, мы получили бы с=Уа. Из выражения D.44) следует, что значение А(с) = 1 является наименьшим значением А(с), которое дает наибольшую интенсивность в центре дифракционной картины. При уменьшении А (с) Рис. 4.19. Картины дифракции Френеля на круглых апертурах для различных значений А (с) ниже единицы мы могли бы ожидать, что дифракция распространится дальше в область геометрической тени (как показано на рис. 4.15), но при этом интенсивность будет уменьшаться. Картина дифракции приблизилась бы к случаю дифракции Фраунгофера [см. D.22)]. Лорд Релей пришел к заключению, что при А (с) =0,9 получается наиболее четкое изображение от камеры-обскуры*); имеет место наименьшее размытие изображения за счет дифракции. Большая круглая апертура. Интересно сравнить интенсивность в центре картины or круглой апертуры с интенсивностью от соизмеримой с ней квадратной апертурой при увеличении радиуса апертуры. Мы можем приравнять ширину квадрата диаметру круга: а=2с. Подставим величины Х\—ух=—а/2=—с и x2—ij2=al2— =с в D.27), тогда *) Камера-обскура —фотографическая камера, у которой вместо объектива имеется точечное отверстие. — Прим. ред. 71
и |it? ==vi=—f.i2. Отметим, что для интегралов Френеля D.29) справедливы соотношения С(—|х2)=—C(\i2) и S(—[i2)=—S{[i2). Тогда два основных коэффициента D.30) оказываются подобными и каждый из них равен 2[C(^2)-MS(]U2)]. В результате D.30) принимает вид Uo(P)=—2iUoo(P) [C{ii2)+iS(\x2)]2. Интенсивность равна квадрату абсолютной величины этого выражения w)]2, D.47) 3/ff 1 (I' и 1 Z 3 U 5 S /г, Рис. 4.20. Зависимость интенсивности в центре дифракционной картины от jli2: /с — интенсивность для случая круглой апертуры радиуса с; 1а — интенсивность для случая квадратной апертуры со стороной 2с где индекс s показывает, что выражение относится к квадратной апертуре*). Если сравним D.45) и D.46), то увидим, что Д(с) — = -77~М'22> Подставляя это в D.44) и вводя значок с для круга *ч), получаем D.48) Оба уравнения D.47) и D.48) выражены в значениях jui2, которое в соответствии с D.46) пропорционально радиусу с круглой апертуры. Графики зависимостей 18(Р) и 1С(Р) от \х2 приведены на рис. 4.20. Из графиков видно, что при увеличении размеров интенсивность в центре дифракционной картины от квадрата приближается к интенсивности без экрана, в то время как интенсивность от круга продолжает колебаться от нуля до максимальной величины. Это сравнение справедливо и легко наблюдается в экс: перимепте для средних значений \.i2. Очевидно, что когда \i2 стремится к бесконечности, оба случая должны быть одинаковыми. Это означает только, что аля предельных размеров апертуры допущения, применявшиеся в обоих случаях, больше не являются *) square —квадрат; **) circle — круг. — Прим. ред. 72
справедливыми и необходимо найти более точный способ анализа интеграла Кирхгофа в этой области. 4.5. Зонная пластинка Френеля Вместо того, чтобы в D.42) брать интеграл по всему открытому кругу от Д=0 до Д=Д(с), рассмотрим часть, вносимую в U0(P) кольцевой зоной с размерами от A=Ai до Д=Д2: Uo (Р) = - Ы/м (Р) j ехр (ЫА) dA = UQ0 (P) [ехр (ЫА}) - еХр (fcAt)J = = ^00 (Р) (C0S ^Д1 ~" C0S *Д2 ~Г ' Предположим, что Ai — целое четное число и что Д2=Д1+1, т. е. нечетное число. В этом случае ixo(P)=2Uoo(P). И наоборот, когда д1— нечетное, а Дг — следующее за ним четное число, U0(P) = =-21/<ю(Р). Допустим, что круглая апертура разделена на такие зоны, границы которых имеют А, равное последовательным целым числам. Соответствующие радиусы от центра апертуры находят решая D.45) относительно с, причем Д(?) заменяют на п: Сп=[пХг1Ог2О1(г1О+г2о)У'2, /1=1, 2, 3 ... D.49) Вспоминая значение А, видим, что всякое увеличение п на единицу в D.49) означает, что путь луча о г 5 до Р увеличился на половину длины волны. Такие зоны называют иолупериодными зонами Френеля или, -просто, зонами Френеля. Каждая последующая зона в открытой круглой апертуре компенсирует влияние предшествующей 30'Ны на амплитуду в точке Р. Таким образом, можно считать, что результирующая амплитуда U0(P) определяется частью круга, оставшегося после наибольшего четного значеншя Д. Пусть круглая апертура разделена на зоны Френеля, как описано выше, и допустим, что чередующиеся зоны покрыты непрозрачным материалом. Тогда мы получим так называемую зан- ную пластинку Френеля. Она изображена на рис. 4.21, где центральная зона показана прозрачной* Эффект был бы тот же, если бы центральная зона была непрозрачной. Предположим, что имеется N таких зон, причем экран полностью непрозрачен для всех участков за пределами последней открытой зоны. Тогда полное число прозрачных зон равно N/2, если центральная зона непрозрачна, или (N+1)J29 если центральная зона прозрачна. Каждая прозрачная зона «вносит 2С/оо(Р) в значение Uq(P). (Нет необходимости обращать внимание на отрицательный знак, если центральная зона непрозрачна.) Тогда результирующий эффект при прозрачной центральной зоне будет D.50) и соответствующая интенсивность /(Р)=(ЛЧ-1J/о(Р). D.51) 73
При большом числе зон яркость пятна в точке Р очень высока. В действительности имеет место фокусировка источника S в точку Р. Более точный анализ распределения комплексных амплитуд света можно получить с помощью интеграла Френеля — Кирхгофа, и это будет сделано в главе о восстановлении волнового фронта. Ниже будет также показано, что фокусирующее действие зонной пластинки Френеля лежит в основе современной интерференционной фотографии, т. е. голографии. Можно сравнить фокусирующее действие зонной пластинки Френеля, обусловленное дифракцией, с эффектом, вызванным преломлением в обычной линзе. Если обозначить через Гю расстояние до объекта, а через г2о~ расстояние до изображения, то фокусное расстояние f линзы определяется выражением I 1,1 ? Г10/'о0 -T-=: ИЛИ Г— —-^ / '10 '20 МОП" '20 Физический смысл фокусного расстояния линзы, определяемого этим выражением, состоит в том, что f — это величина, равная расстоянию до изображения ггсь когда расстояние до объекта гю равно бесконечности. Это имеет тот же самый смысл и для зонной пластинки, если подставить значения г\0 и г20 в D.49), которое при возведении в квадрат принимает вид l\=znkf ИЛИ f=C2n Так как с2п и п пропорциональны, возьмем п = \ и сп=С\. Тогда фокусное расстояние зонной пластинки равно Рис. 4.21. Зонная пластинка Френеля с прозрачной центральной зоной i~t D.52) Таким образом, фокусное расстояние зонной пластинки Френеля зависит от % и ,если используется белый свет, то появляется значительная хроматическая аберрация. Поэтому для зонной пластинки Френеля предпочитают использовать монохроматический свет. На величину К не накладывается никаких ограничений и, следовательно, можно сконструировать зонную пластинку для фокусировки ультрафиолетовых, и даже рентгеновских лучей. Это возможно осуществить с помощью лияз из-за отсутствия материала, который обладал бы свойствами преломления, необходимыми для линз на этих длинах волн. 74
4.6. Критерий Рэлея и условие синусов Аббе До сих пор 1мы рассматривали дифракцию просто как явление распространения света. Однако ее необходимо также рассматривать как причину несовершенства характеристик оптических систем. Например, на рис. 4.22 показана простая линза, формирующая изображение Pi и Рч двух источников Si w S2. Оптическую систему можно было бы слегка усложнить несколькими линзами и зеркалами, но она должна давать, как и в рассматриваемом случае, Рис. 4.22. Критерий Рэлея для двух точечных источников два изображения двух источников. Предположим также, что система «стигматическая», т. е. любой оптический луч, выходящий из источника S и падающий на систему в любой точке, должен в конечном счете также пройти через ту же самую точку изображения Р, и что оптические пути (в длинах волн света) по всем таким траекториям от S до Р одинаковы. Очевидно, что геометрический путь луча, проходящего через центр линзы на рис. 4.22, меньше, чем длины других лучей от S до Р. Однако линза в центре утолщается и, поскольку скорость света меньше внутри линзы, число длин волн в этой части линзы увеличивается. В действительности, однако, имеет место дифракция. Таким образом, пространство, занимаемое линзой на рис. 4.22, можно рассматривать как круглую апертуру в дифрагирующем экране и из-за стигматического характера системы дифракцию можно отнести к случаю Фраунгофера. Изображения источников в точках Pi и Р2 будут в результате не резкими, а с дифракционными картинами вокруг каждого из них. Это приведет к ухудшению изображений точек при близком расположении их друг от друга. При этом встает вопрос, как близко они могут отстоять друг от друга и быть все еще разрешаемыми. Критерий Рэлея состоит в следующем: две точки разрешимы, если центральный максимум картины дифракции одной точки совпадает с первой темной дифракционной полосой в картине дифракции второй точки. Кривые распределения интенсивности для точек Pi и Р2 начерчены справа на рис. 4.22, причем расстояние 75
между ними точно соответствует критерию Рзлея. Эти кривые определяются уравнением D.22) для дифракции Фраунгофера на круглой апертуре. Как уже объяснялось в связи с этим уравнением, первая темная полоса приходится на р=1,22, и эту величину можно подставить в D.18). Пусть угол д% в этом выражении, обозначенный ниже -ф, очень мал, тогда D.53) где ifnitn — угол в центре линзы, стягиваемый расстоянием между изображениями двух точек, разрешаемых точно по критерию Рэ- лоя: D — диаметр линзы; К — длина волны света. При угле менее i|*jijin две точки не были бы разрешимы. Заметим, что на рис. 4.22 углы между центральными лучами равны с обеих сторон линзы. Если линзы являются линзами объектива астрономического телескопа, то расстояние I будет бесконечно большим и для оценки разрешающей силы будет достаточно наименьшего углового разрешения, даваемого D.53). Для значительно более близких источников, как это бывает в случае сложных хмикроскопов, было бы разумнее заменить if> отношением h/l и выразить наименьшее значение h в виде hmin=l,22Xl/D. D.54) При применении D.54) на практике обычно пользуются другим соотношением, известным под названием условие синусов Аббе. Оно выводится следующим образом. Пусть фокусирующая оптическая система на рис. 4.23 будет представлена единственной собирающей линзой, хотя система может быть «и более сложной. Допустим, что источник Si помещен на оси линзы и отражается в точке Pi. Предположим, что второй источник S2 расположен на очень маленьком расстоянии h от оси и пусть его изображение Р2 находится на очень маленьком расстоянии Ь! от Р\. Предполагается, что система стигматическая, но допустим, что <на стороне источника и на стороне изображения различные среды. Хотя частота света остается постоянной, он будет иметь различную скорость и поэтому различную длину волны на разных сторонах. Обозначим длины волн через X и Хг яа стороне (источника и стороне изображения, соответственно. Проведем теперь ряд близких к оси лучей от Si до Pi и от S2 до Р2. Пусть оптические пути этих лучей будут &ю и Ь^. Нечертим другие лучи с оптичеекдми путями &i и Ь2 от Si и S2 почти под тем же самым углом, что и первый набор лучей, но с пересечением этих лучей внутри линзы. Углы наклона этих лучей к оптической оси можно считать одинаковыми и равными 6. Тогда оба эти луча приходят в точки Pi и Р2 под одним и тем же углом 0'. Поскольку система стигматическая, имеем &1=&ю и 62=62о. Но h и W очень малы, поэтому Ью^Ьы и, следовательно, D.55) Это полные оптические пути от S\ и S2 до Pi и Р2. 76
Опустим перпендикуляр из точки Si в точку А на линии S2L. Геометрические расстояния SiL и AL почти одинаковы, так что линия S2L превышает S±L по длине на величину Л sin 0. Аналогично в пространстве изображения LPX больше ЬРч на Л7 sin в7. Опти* ческие* разности хода находят из этих выражений, деля их на соответствующие длины волн, учитывая D.55): h sin 6 Дс* A'sin в'/к'. D.56) Уравнение D.56) известно под названием «условие синусов Аббе». Оно является почти точным для всех значений 0, если h и W очень малы и оптическая система стигматическая. Рис. 4.23. Схема, поясняющая условие синусов Аббе Применим это условие синусов для определения разрешающей способности объектива микроскопа. В первом случае допустим, что с обеих сторон линзы находится воздух, так что X и %' равны между собой. Захметим также, что h\h!—l\V. Подставляя это в D.56), получаем / sin 9=/' sine7. D.57) В микроскоте угол 6 очень мал, так что можно сделать замену sinO/^9/=D/2//. D.58) Подставляя это в D.57), получаеАм D//=2sinG, используя D.54), окончательно находим Amin=l,22A,/2sin 0=О,61Я/Ы. А. *>, D.59) где начальные буквы обозначают числовую апертуру, которая равна sin 6. Величина N. А. обычно проставляется изготовителями для оценки объектива микроскопа. Она представляет собой угло- *> Numerical Aperture — числовая апертура. — Прим. ред. 11
вой радиус пучка лучей от объекта в фокусе до линзы объектива. Таким образом, D.59) определяет наименьшее расстояние между разрешаемыми точками. Существует прибор, называемый иммерсионным микроскопом, для которого X и Х\ не равны. В этом случае средой со стороны изображения служит воздух; объект и пространство между ним и линзой погружены в масло с показателем преломления rj. Показатель преломления воздуха можно считать очень близким к единице. Скорость совета в какой-либо среде и, следовательно, длина волны овета данной частоты обратно пропорциональна показателю преломления этой среды. В рассматриваемом случае получаем Тогда условие синусов D.56) принимает вид lift sin е^Л7 sinG'. D.61) Мы должны видоизменить эти условия для решения задачи, изображенной на рис. 4,22. Углы г|) и г|/ в данном случае не равны, но при показателе преломления г) на стороне объекта мы должны написать т]'ф=/ф/. Уравнение D.53) еще остается справедливым, если подставить ^min^ 1,22V ID. В значениях i|> оно принимает вид Поскольку мы можем заменить -ф выражением hjl, минимальное расстояние между объектами равно Amin^l,22V//'n?>. D.62) Мы продолжаем использовать Xf для обозначения длины волны в воздухе. Так как г)\|)=\|/, мы также имеем и если подставить это выражение в D.60), то получим условие синусов / sin 8 c*V sin 9', D.63) т. е. то же самое уравнение, что и D.57). Мы можем также воспользоваться D.58) и совместно с полученным выражением D.63) подставить его в D.62) r]sine. D.64) Выражение D.65) можно представить в виде, подобном D.59), при условии, если в этом случае принять N. A.=r]sine. D.65) 78
Из D.65) очевидно, что для масляного иммерсионного микроскопа можно получить числовую апертуру больше единицы. Все уравнения, которые были выведены для разрешающей способности, такие как D.53), D.54) и D.59), очень важны и полезны. Однако существуют условия, как например, неоднородная или турбулентная среда, в которых они не являются справедливыми. Необходимо также сказать, что мы предполагали разделение двух близких, но независимых источников. Хотя они и могут излучать свет одинаковой длины волны, их считают некогерентными, в том смысле, что между ними не существует никакой фиксированной фазовой связи. Эти выводы недостаточно точны, когда они применяются к отдельным объектам, освещаемым общим источником света, так как в этом случае имеется некоторая степень когерентности света от объектов. Тогда D.59) необходимо модифицировать. Задачи 4.1. Дан дифрагирующий экран с двумя прямоугольными апертурами, как показано на рис. 4.24. Пусть монохроматическая плоская волна падает перпендикулярно на дифрагирующий экран. Определите интенсивность картины дифракции Фраунгофера. Начертите приближенный график изменения интенсивности в направлении вертикальной оси экрана наблюдения. la ^ a Рис. 4.24. Дифрагирующий экран с двумя прямоугольными апертурами Рис. 4.25. Дифрагирующий экран с кольцевой апертурой 4.2. Нормализованная амплитуда картины дифракции Q(p) на круглой апертуре для случая Фраунгофера определяется выражением <2(р)=2/1(яб)/я6, где Л — функция Бесселя первого порядка; 6= (kD/2n) sin02; sin02=aA2o И D — радиус круглой апертуры. Дан экран, имеющий кольцевую апертуру, как показано на рис. 4.25. Определите нормализованную интенсивность картины дифракции Фраунгофера. 4.3. Дифрагирующий экран содержит прямоугольную решетку из пХт идентичных круглых апертур радиусом с, расположенных, как показано на рис. 4.26. Определите интенсивность соответствующей картины дифракции Фраунгофера. 79
4.4. Если в дифрагирующем экране имеется линейная решетка из пяти прямоугольных апертур, как показано на рис. 4.27, определите комплексное световое поле картины дифракции Фраунгофера. Дайте приближенный рисунок распределения интенсивности. о 4.5. Пусть плоская волна с длиной А,=5000 А и интенсивностью / падает перпендикулярно на дифрагирующий экран с открытой апертурой, как показано на рис. 4.28. Определите комплексную амплитуду и интенсивность з точ- о о о о о о о о о о о о—7 о о о о о о о о о о Рис. 4.26. Прямоугольная решетка, образованная круглыми апертурами Рис. 4.27. Линейная решетка из пяти прямоугольных апертур Рис. 4.28. Форма дифрагирующей апертуры
ке Р на оси кружков на расстоянии около 2-х метров за дифрагир>ющ*ш экраном. 4.6. Взаимозаменяя непрозрачные и прозрачные области дифрагирующего экрана в предыдущей задаче, покажите, что сумма возмущений, наблюдаемых с двумя дополнительными экранами, удовлетворяет принципу Бабине. о 4.7. Плоская волна с длиной волны Я=5000 А падает перпендикулярно на дифрагирующую полуплоскость. Используя спираль Корню, определите положения максимумов и минимумов картины дифракции на расстоянии 2-х метров за экраном. 4.8. Предполагается, что плоская волна с длиной волны к падает перпендикулярно на дифрагирующий экран, который имеет передаточную функцию Т (*» У) = ~ + т s'ln Ро<х> где Т(х, у)^\ и ро — угловая пространственная частота. а) Определите картину Френеля за дифрагирующим экраном; б) если /n<V2, определите расстояния за дифрагирующим экраном, на которых имеют место амплитудная и фазовая модуляции. 4.9. Предположим, что ri0 на рис. 4.18 бесконечно велико. Покажите, что картина дифракции переходит от случая Френеля к случаю Фраунгофера по мере того, как радиус апертуры становится очень малым. 4.10. а) Вычислите минимальное угловое расстояние между двумя удаленными звездами, которые едва разрешимы с помощью телескопа диаметром 75 см> когда применяется селективный фильтр фиолетового излучения с длиной волны- К=4000 А; б) вычислите минимальное разрешимое расстояние между двумя изображениями удаленных звезд, если фокусное расстояние объектива равно 8 м. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 4.1. М. Stone, Radiation and Optics, McGraw-Hill, New York, 1963. 4.2. M. Born and E. Wolf, Principles of Optics, 2nd rev. ed., Pergamon Press, New York, 1964. (Рус. пер.: Бори М, Вольф Э. Основы оптики. — М.: Наука,. 1970.) 4.3. A. Sommerfeld, Optics (Lectures on Theoretical Physics, vol. IV), Academic Press, New York, 1954. (Рус. пер.: Зоммерфельд А. Оптика. — M.: ИЛ, 1953.) 4.4. F. W. Sears, Optics, Addison-Wesley, Reading, Mass., 1949. 4.5. B. Rossi, Optics, Addison-Wesley, Reading, Mass., 1957. 4.6. J. W. Goodman, Introduction to Fourier Optics, McGraw-Hill, New York, 1968. (Рус. пер.: Гудмен Дж. Введение в Фурье-оптику. — М.: Мир, 1970.) 4.7. Е. Jahnke, F. Emde, and F. Losch, Table of Higher Functions, 6th edition,. McGraw-Hill, New York, 1960. (Рус. пер.: Янке Е., Эмде Ф., Лёш Ф. Специальные функции. —М.: Наука, 1964.) Глава 5 ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ КОГЕРЕНТНОСТИ 5.1. Общие понятия о взаимной когерентности С появлением и широким распространением лазеров стало важным изучение принципов когерентности излучения. Если излучения от двух точечных источников сохраняют постоянное фазовое соотношение, то говорят, что они взаимно когерентны. Протяженный источник является когерентным, если сохра- 81
ияется постоянная разность фаз между всеми его точками. В этой тлаве будут рассмотрены некоторые элементарные понятия о теории когерентности применительно к оптической обработке информации и восстановлению волнового фронта. Попутно увидим необходимость видоизменить и расширить приведенные ранее определения. При классическом исследовании электромагнитного излучения, т. е. при выводе уравнений Максвелла, обычно предполагалось, что электрическое и магнитное поля всегда можно измерить в любой точке. В этом случае нет необходимости принимать во внимание когерентность или некогерентность. Однако существуют Рис. 5.1. Эксперимент Юнга: .23 — протяженный, но почти монохроматический источник света задачи, в которых нельзя считать, что поле известно; в этих случаях часто приходит на помощь применение теории когерентности. Например, если надо исследовать результирующую картину дифракции от нескольких источников, точного результата получить нельзя, если не принять во внимание степень когерентности отдельных источников. В таком случае желательно получить среднюю величину, которая представляла бы статистически наиболее вероятный результат любой такой комбинации источников. Может быть, полезнее дать статистическое описание, чем подробно исследовать динамическое поведение системы. Наше рассмотрение когерентности будет основано на таком усреднении. В частности, по Борну и Вольфу [5.1, с. 499—503] выберем в качестве величины, подлежащей усреднению, момент второго порядка. Тогда величина, которую мы назовем функцией взаимной когерентности, будет записана так: = (u{(t+x)u*2(t)), EЛ) где ui(t) и U2(t) —комплексные поля в точках Pt и Р2 соответственно; Fi2(t) —функция взаимной когерентности между ними для временной задержки т; символ ( ) показывает усреднение по времени. Из E.1) можно определить нормализованную функцию взаимной когерентности Yi2 (т) =Г12 (т) / [Гц @) Г22 @) ] >/2. E.2) 82
1,0 0,8 0,6 I 0,2 Величину Y*2(t) называют также комплексной степенью когерентности или степенью корреляции. Четкое представление о Fi2(x) и понятие о том, как ее можно* измерить, можно получить, анализируя эксперимент Юнга по интерференции (см. § 2.4), изображенный на рис. 5.1. Используемый здесь протяженный источник света 2 считают некогерентным, но почти монохроматическим, т. е. он имеет узкий спектр конечной ширины. Свет от этого источника падает на экран с двумя точечными апертурами Qi и Q2, отстоящими друг от друга на расстоянии а. Экран расположен на расстоянии ri0 от источника. В плоскости наблюдения, находящейся на расстоянии тг0 от дифрагирующего экрана, формируется интерференционная картина, создаваемая светом, прошедшим через Q\ и Q2. Предположим, что наблюдаемое изменение характеристик интерференционных полос вызвано изменением оптической схемы на рис. 5.1. В качестве измеряемой величины примем видность интерференционных полос V Майкельсона [5.1, с. 267], которая определяется выражением */==(*тах—-*min) / (-«max i /min) » E.3) где /тах и /mm — максимальная и минимальная интенсивность интерференционных полос. Для обеспечения измерения видности необходимо выбрать такие условия эксперимента, при которых можно легко определить /max и /щт, а именно: источник света должен иметь узкий спектр излучения, а схема должна обеспечивать нулевую разность хода между интерферирующими лучами. При изменении параметров схемы будет изменяться и видность полос. Так, средняя видность полос увеличивается при уменьшении размеров источника 23. При изменении расстояния между отверстиями Qi и (?2 видность полос изменяется, как показано на рис. 5.2 (для случая, когда источник 2 имеет форму круга и постоянные размеры). Когда Qi и Q2 расположены очень близко друг к другу, интенсивность между интерференционными полосами уменьшается до нуля, а видность равна единице. С увеличением d видность резко падает и достигает нуля, когда /щах становится равной /mm. При дальнейшем увеличении d полосы снова появляются, однако они оказываются сдвинутыми на половину полосы, так что участки экрана, бывшие ранее освещенными, становятся темными, и наоборот. При даль- 83 / г з 4 5 Расстояние d, см Рис. 5.2. Зависимость видности интерференционных полос от расстояния между точечными отверстиями
нейшем увеличении d повторяются изменения видности, показанные на рисунке. Наблюдается аналогичная зависимость, если расстояния между апертурами остаются постоянными, а изменяются размеры 2. Эти эффекты можно было предполагать, исходя из теоремы Ван Ситтерта — Цернике [5.1, с. 507]. Зависимость видности от расстояния между точечными апертурами иногда используют как меру пространственной когерентности; это будет описано в следующих параграфах. Предполагается, что расстояния по и Гчо велики по сравнению с расстоянием между апертурами d и с размерами источника. Если эти условия выполнены, то изменения гю и Г20 изменяют лишь масштаб кривой, показанной на рис. 5.2, не изменяя ее общего характера. По мере того, как точка наблюдения Р (см. рис. 5.1) удаляется от центра плоскости наблюдения, видность уменьшается, и при определенных условиях становится равной нулю из-за увеличения разности хода Дг=г2—г±. Эффект этот зависит также от того, насколько монохроматическим является источник. Установлено, что видность интерференционных полос наблюдается только для разностей хода, удовлетворяющих условию А/-<2лс/Лсо, E.4) где с — скорость света; А© — ширина спектра источника света. Неравенство E.4) часто используется для определения длины коге* рентности источника. Приведенный пример показывает, что для получения интерференционной картины нет необходимости иметь полностью когерентный свет. Этот эффект можно назвать эффектом частичной когерентности, и нам нужен метод его определения и измерения. Вернемся к дальнейшему анализу приведенных ранее уравнений. Подставим Ui(t) и Uzit) из E.1), которые описывают комплексные поля в точках Qi и С?2, в скалярное волновое уравнение в свободном пространстве Это уравнение линейное и поле в точке Р плоскости наблюдения будет равно сумме полей от Qi и Q%: ир @ = сЛ (t - -J-) +с2и, («--?¦), E.6) где Ci и сг — соответствующие комплексные постоянные. Соответствующую интенсивность в точке Р можно записать так 1Р = <«„@«%@> = Л + Л + 2Re(clUl (t--J.) с\и\ (*--?-)), E.7) где Л и h пропорциональны квадратам величин Ut(t) и u,2(i). Подставим в E.7) ti—njc и t2—r2lc E.8) 84
и перепишем интенсивность в точке Р таким образом (t-h) u*2 (t~t2) >, E.9) поскольку С\ и с2— величины, не зависящие от времени. Величина, усредненная в E.9), — это взаимная корреляция двух комплексных полей. Если подставить i2—^i=t, to E.9) можно записать так i(t+x)u*2(t)>> и в сочетании с E.1) получаем /p=/i+/a+2CiC*2Re[ri2(T) ]. E.10) Автокорреляционные функции излучений от двух точечных апертур равны: Tn@)^{ui(t)u\(t)) и Г22@) = (и2(t)u\(t)). E.11) Если сделать подстановку то можно выразить интенсивность в точке Р, определяемую E.10) через степень комплексной когерентности E.2) /p==/i+/2+2 (IJ2) i/2Re [yi2 (T) ]. E.12) Представим Yi2(t) в виде 7i2 (т) = | Yi2 (т) | ехр [Лр42 (т) ], E.13) в предположении /1=/2=/, что обеспечивает наилучшие условия наблюдения. Тогда E.12) принимает вид (T)| со8ф12(т)]. E.14) Максимум 1Р равен 2/[1 + |yi2(t) |], а минимум 2/[1 — |yi2(t)|]. Подставляя эти величины в уравнение видности E.3), мы находим, что V=\yl2(%)\. E.15) Таким образом, при выбранных условиях видность интерференционных полос является мерой абсолютной величины степени когерентности. 5.2. Функция взаимной когерентности Комплексную взаимную корреляцию обычно определяют как усредненный по времени второй момент, т. е. J tf. EЛ6) 85
Аналогично определим функцию взаимной когерентности ut*(T, t)dt. E.17) [ J Можно, однако, дать более общее определение, являющееся основным в теории когерентности. Это можно сделать исходя либо из среднего по ансамблю, либо из среднего по времени. Чтобы получить среднее по ансамблю, определим функцию взаимной когерентности в таком виде N Г12(Рр tx\ р2, g^lim-i-y] uln(9l, tJti*M(pM9 у. E.18) Суммирование производится по ансамблю из N систем, рг и р2 — соответствующие векторы положения. Если статистика ансамбля системы стационарна, то ri2 (Pi, *; P., *,) = Г12 (Pl, р2, х), E.19) где t=^i—1% Тогда E.18) можно переписать так N Из теории случайных процессов хорошо известно [5.6, с. 16], что если статистика стационарна, то среднее по ансамблю и среднее по времени можно приравнять. Таким образом, имеем Г„ (Р,, Р„ *) = Г12 (х) = (ut (Pl, t + х) и\ (р2, t)). E.21) Это определение функции взаимной когерентности как среднего по времени было выведено на основе условия стационарности статистик. Следовательно, это справедливо, когда источник излучения является периодическим. В общем случае, однако, определение среднего по времени можно записать так riiW = (tt(p1^ + '«)^(pif0>. E.22) Комплексная степень когерентности будет определяться E.2) Yi2 (т) =Г|2 (т) / [Гц @) Г22@) ] V\ E.23) причем 0^|yi2(t) |<Л. Нижний предел относится к случаю полной некогерентности, а верхний — к случаю полной когерентности между излучениями в точках р, и р2. Заметим, что Ivi^WI является функцией от т. Поэтому возможно, что излучение в двух точках может быть когерентным при одном значении т, но некогерентным при другом. Функция автокогерентности, или автокорреляции, определяется следующим образом Гп« = (ММ+ *)"*>!>')>. E.24) 86
Функция автокогерентности очень важна при анализе работы интерферометра Майкельсона. Ее значение в нуле Гц@) определяет наибольшую интенсивность в точке р„ т. е. Гц@)>Гп(т). E.25) Значение Fi2@) функции взаимной когерентности в нуле называется функцией взаимной интенсивности. Это важно при изучении звездного интерферометра. Кроме того, будет полезно получить преобразование Фурье как функции взаимной когерентности, так и функции автокогерентности. Преобразование Фурье функции взаимной когерентности называется спектром взаимной мощности и определяется выражением *..<•>=Li lil/ E-26> I 0, co<0. В том, что второе из этих условий справедливо, можно убедиться, исходя из того факта, что функция Г12(ю) является аналитической функцией. Преобразование Фурье функции автокогерентности — это спектр мощности этого частного вида излучения u(x)e~f<0V'c» cd>0; 0, со<0. Конечно, имеет место аналогичное выражение для f^G)) в функции от Г22 (т). Необходимо сделать еще одно замечание, касающееся когерентности. Словосочетание «пространственная когерентность» применено к тем явлениям, которые обусловлены пространственными размерами источника излучения. Если мы имеем точечный источник и наблюдаем две точки на равных оптических путях от источника, излучение, достигающее этих точек, будет абсолютно одинаковым. Взаимная когерентность будет равна автокогерентности в каждой точке. Таким образом, если обозначить точки через Qi и Q%y то Ti2(Qi, Q2, %) = (u(Qu t+t)u*(Q2, /)>=Гц(т). E.28) Однако, если размеры источника увеличиваются, мы не можем больше утверждать, что взаимная когерентность и автокогерентность равны. Отсутствие полной когерентности является пространственным эффектом. Временная когерентность — это явление, обусловленное конечной спектральной шириной источника. При монохроматическом излучении когерентность полная, но она становится только частичной, когда добавляются другие длины волн, которые формируют определенную спектральную линию излучения источ- 87
ника. Никогда невозможно полностью разделить эти два эффекта (пространственную и временную когерентность), но желательно знать и уметь объяснить их значение. 5.3. Распространение функции взаимной когерентности Уравнения, которые описывают способ, по которому распространяется функция взаимной когерентности, можно вывести, предположив для начала, что иоле можно представить комплексной скалярной функцией u(t), которая отвечает скалярному волноводу уравнению Функция взаимной когерентности в соответствии с приведенным ранее определением равна Лапласиан выражения E.30), взятый в точке Qu можно записать так Viri2 (х) = (v>, (t +1) u\ (/)>. E.31 > Из E.29) имеем НО и, следовательно, E.32) примет вид 3 Т1 / \ / О VL\ (t ~т* *С) at. /л\\ /г nov V ,ГJ (х)=(—' \,7 "*2 @ }• E-33) Поле ti2(t) не зависит от т, и, следовательно, мы можем взять вторую частную производную от всей функции, усредненной по времени E-34) Это выражение можно считать основным уравнением, описывающим распространение функции взаимной когерентности. Таким же путем можно взять лапласиан от выражения E.30) в точке Q2. Можно показать, что оно также сокращается до вида А й1 12 \V—72 д& • 12 Каждое из уравнений E.34) и E.35) содержит только четыре независимых переменных, в то время как Г^(т) содержит семь: три 88
пространственных координаты каждой из двух точек плюс задержка по времени т. Полное уравнение распространения можно получить, объединяя E.34) и E.35), W^^i^i. E.36) Предположим, что источником излучения является конечная поверхность ограниченной протяженности. Для каждой пары точек па поверхности можно определить функцию взаимной когерентности Г12(т). Мы можем использовать условие излучения Зоммер- фельда для бесконечности, которое утверждает, что Ui(t) и u2{t) ведут себя как точечные излучатели: (/i1/r1)exp(i/eri) и (ЛгЫехр^Гз), E.37) когда гА и /*2 (расстояния от точек на поверхности источника) приближаются к бесконечности. Эти условия можно применить к E.34) и E.35) и решить их как одновременные волновые уравнения. Поскольку каждое уравнение содержит четыре переменных, их решения можно выразить в виде четырехмерных функций Грина. Количество переменных в каждом из них, однако, можно сократить до трех, выполнив преобразование Фурье над Г12(т), которое мы обозначим Г*2(со). Поскольку Fi2(t) как аналитическая функция содержит только положительные частоты, можем написать Г12 (х) = f Г12 (о) exp (ion) cfa, E.38) о 00 | Jrit(t)exp(-/a TIt(») = UL "w E-39) 10, <D<0. Подставляя E.38) в E.34) и E.35) и изменяя порядок интегрирования и дифференцирования, получаем 1 [v\ + k* (»)] f и (со) exp H d» == 0, E.40) 6 j [v\ + *2 И] fn (•») ехр (по.) da> = 0. E.41) о Оба эти равенства должны быть справедливыми для любой величины т, поэтому имеем (<о) = О, E.42) Н = 0. E.43) 89
Отсюда следует, что преобразование Фурье функции взаимной когерентности удовлетворяет скалярным уравнениям Гельмгольца. Теперь мы определим функцию Грина G\(Pu Р'ь о) так, что P'i), E.44) с граничным условием G,(V.«>)Ui=Si = 0( E.45) где Р и 5 — координаты положения, а б — дельта-функция Дирака. Решение E.42) можно получить с помощью функции Грина T(Pl9 Sl9 <D)=-tV(Sl9 52, i г {Pl9 P'u со) дпъ 5, E.46) Решение уравнения E.43) можно получить с помощью другой функции Грина G2(P2, P'2, со), определяемой E.44) и E.45), если учесть, что E.46) обеспечивает выполнение граничного условия, Т(Р„ Р.. »)—ff (Р„ Sv '.) J S ,,/»„») dS2. E.47) Подставляя E.46) в E.47), получаем полное решение дп с X X dG2 (P8, Р'8, со) P'2=:S2 E.48) Отметим, что Г (Pi, S2, о)) в E.46) является мерой когерентности между точкой на поверхности источника и произвольной точкой в пространстве. Выражение «продольное направление» применяется для точек пространства, которые лежат на перпендикулярах к поверхности. Так называемая продольная когерентность сильно отличается от когерентности между точками на поверхности. Анализ этого вопроса выходит за пределы тематики, рассматриваемой в данной книге, но заинтересованный читатель может воспользоваться превосходными книгами Борна и Вольфа [5.1, с. 491—555] и Берна и Паррента [5.2, гл. 3]. Преобразование ФурьёГ(Рь Рг, со) является спектром мощности, и если Pi и Р2 совпадают, то это спектр мощности одной точки в пространстве. Уравнение E.48) показывает, что этот спектр мощности определяется выражением Г (Si, S2, со), которое является взаимной корреляцией двух точек излучающей поверхности, а не спектром мощности всей поверхности источника. 90
В соответствии с условием излучения Зоммерфельда E.37) tfi(o)) и й*2(<о) принимают следующий вид, когда г\ и г2 стремятся к бесконечности, *'(9"У"«> еХр (ikrt) и  (92> У2> tt) exp (/*rt). E.49) гх г2 Если предположить, что статистики Ui(t) и ^@ представляют собой стационарный случайный процесс, то Г (Pi, Р2, со) можно выразить как среднее по времени f (Pt, Р2, со) = lim ^г-ц (Г, со)?*, (Т, со), ( Б.ЕО) и в соответствии с E.49) и E.50) Г(Р„ P.. .^.(в,, в„ Ь, 9ш, •) ехр['\(;;-Гг)], E.51) когда rlf г2—*оо. Если Р(РР Р2, со) определяется уравнением E.48), то решение для Т (Plf P2, х) имеет вид Г(Р1? Р2, *) = Jf(Plf P2, ш)е|вт rfco. E.52) 6 5 4. Некоторые физические ограничения на взаимную когерентность Функции когерентности имеют некоторые ограничения, которые будут рассмотрены в настоящем параграфе. Мы уже обращали внимание на наличие пределов [0, 1] для функции |yi2(t)|, когда О представляет случай полной некогерентности, а 1 — полной когерентности. Было показано, что степень когерентности зависит от величины т; но, кроме того, справедливо, что она зависит и от конкретной пары точек, выбранных для сравнения. Таким образом, можно ожидать, что |vi2(x)| будет равно нулю для некоторых точек и некоторых временных задержек, но мы не должны рассчитывать, что эта величина будет пренебрежимо малой в общем случае. Однако остается открытым вопрос, может ли в случае протяженного поля иметь место свойство, состоящее в том, что |у12(т)|=0 или |yi2(t)|=1 для каждой пары точек поля и для любой задержки времени т. Если так, то казалось бы правильным называть все поле соответственно некогерентным или когерентным. В связи с этим мы приведем три хорошо известные теоремы, доказательство которых читатель может найти в работе Берна и Паррента [5.2, с. 47—52]. Теорема 1. Электромагнитное поле имеет единичную степень когерентности (т. е. |у12(т)|=1) для каждой пары точек в поле и для каждой задержки времени т тогда и только тогда, когда поле монохроматическое. 91
Теорема 2 Не равное нулю электромагнитное поле, у которого JY12CO |=0 для каждой пары точек в поле и для каждой задержки времени т, не может существовать в свободном пространстве И, наоборот, если IY12CO |=-0 для каждой пары точек на непрерывной замкнутой поверхности, то эта поверхность не излучает Теорема 3 Степень когерентности двух точечных некогерентных источников не изменяется и равна нулю после осуществлен л я спектральной фильтрации излучения этих источников В отношении теоремы 1 следует отметить, что строго монохроматических полей не существует на практике, так как все поля имеют некоторую ограниченную спектральную ширину полосы частот Однако возможно получить для некоторого поля спектральную ширину полосы Дсо, которая мала по сравнению с центральной частотой излучения о>о Такое поле называется квазимонохроматическим Если разности хода лучей в излучении малы, можно разработать теорию квазимонохроматических полей Конечно, пред- полагается такой подход к квазимонохроматическим полям, который дал бы практические соображения о реальной монохромадач-; ности, но существуют некоторые аспекты, в которых они сильно отличаются Например, хотя условие [yi2(t)|=1 является требованием для всех пар точек строго монохроматического поля, это не обязательно случай квазимонохроматичности Действительно, мо-* гуг существовать пары точек, для которых |vi2(t) | =0 Чтобы дать читателю более реальное представление о квазимонохроматическом поле, рассмотрим его несколько подробнее Примем в качестве условия для квазимонохроматцческого излучения соотношение (Д0/шо)<1. E 53) Далее следует, что Г^со) по существу равно нулю для всех частот за пределами этой полосы Таким образом, для того чтобы получить заметную величину fi2((o), нужно выполнить условие | со—0о | < До. E.54) Из E 38) следует; что функцию взаимной когерентности можно теперь записать так Г12 (*) = ехр (—tott) f f 12 (со) ехр [—* (со — ш0) %] dm. E.55) Рассматривая только малые значения т, удовлетворяющие условию Ао> 11 j <§: 1, видим, что E 55) при этом сокращается до Ti2 (т)=Г12 @) ехр (-коот). E 56) Вместо нулевого значения т, дающего Fi2@), можно взять любую другую стандартную точку, которую мы назовем to, и сделаем так, чтобы т=То+т', До)т'|<С2я Тогда вместо E 56) можно написать Fi2(то+тО =Г12 (то) с ) (—имгО E 57) 92
Условие Ао)|т/|<С2я важно в теории квазимонохроматиче^ких полей. Мы можем теперь определить когерентность в ограниченном смысле, сказав, что доле когерентно, если для каждой пары точек можно найти такое to, что |<у12(т)|=1, когда Дш|т/|<2я. Для очець узкой полосы частот (Доа/соо очень мало) поле можно считать монохроматическим для всех значений т, которые существуют на практике при решении данной задачи. В строго монохроматическом поле функцию взаимной когерентности можно определить так Г12(т)=[Г11@)Г22@)]1/2ехр[/ф12(т)], для До) |т'| < 1 ее можно сократить: Г12 (т) =и (Pi) и* (Р2) ехр (—/coot7), где и — поле в определенной точке (Pi или Р2) E.58) E59) Рис. 5.3. Схема эксперимента Юнга Мы не хотим создать впечатление, что все поля с узкой полосой частот обязательно когерентны, даже когда %' остается малым. Таким образом, наличие условий Дсо/о)о<С1 и Д(о|т'|<1С2л; еще недостаточно, чтобы |vi2(t) |=1. Действительно, при этих условиях эта величина может принять любое значение от 0 до 1. Однако, если квазимонохроматичёское поле в каждой точке можно выразить как u(t)=A(t){-i[mt+a(t)]},, E.60> где функции A(t) и a(t) медленно изменяются во времени по сравнению с 2я/соо, то можно сказать, что поле ведет себя как когерентное. И, наконец, отметим, что анализ теории когерентности, приведенный в настоящей главе, ни в коем случае нельзя считать полным. Для более глубокого изучения этого вопроса читатель может обратиться к прекрасной книге «Теория частичной когерентности» Берна и Паррента [5.2]. Задачи 5.1. Рассмотрите два источника, излучающих на двух частотах ooi и о>2- Один источник создает излучение вида [-/(©iH-<pn)]+a,2exp [—/(сцИ-фи)], 93
>а другой — вида а) определите степень когерентности |yi2(t)|; б) по результату, полученному в «а», покажите, что |Yi2(f)|^l для всех т и покажите, что степень когерентности равна единице, если ©i = ©2, т. е. когда '012 и п22 равны нулю. 5.2. Покажите, что в эксперименте Юнга (рис. 5.3), где сК1и к степень когерентности d<li, /2, если источник стягивается в точку, и |V121 = 0, когда размеры протяженного монохроматического источника 2 становятся бесконечно большими. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 5.1. М. Born and E. Wolf, Principles of Optics, 2nd rev. ed., Pergamon Press, New York, 1964. (Рус. пер. Борн. М., Вульф Э. Основы оптики.— М.: Наука, 1970.) 5.2. М. J. Beam and G. В. Parrent, Jr., Theory of Partial Coherence, Prentice- Hall, Englewood Cliffs, N. J., 1964. 5.3. M. Franc.on, Diffraction Coherence in Optics, Pergamon Press, New York, 1966. 5.4. E. L. O'Neill, Introduction to Statistical Optics, Addison-Wesley, Reading, Mass., 1963. (Рус. пер.: О'Нейл Э. Введение в статистическую оптику. — М.: Мир, 1966.) .5.5. J. В. DeVelis, and G. О. Reynolds, Theory and Applications of Holography, Addison-Wesley, Reading, Mass., 1967. (Рус. пер.: Де Велис Дж., Рейнольде Дж. Голография. — М.; Воениздат, 1970). «5.6. А. М. Яглом. Введение в теорию стационарных случайных функций. Успехи математических наук, 1952, т. 7, № 5, с. 3—168.
II ОБРАБОТКА ИНФОРМАЦИИ Глава 6 ФУРЬЕ-ПРЕОБРАЗУЮЩИЕ СВОЙСТВА ЛИНЗ И ЛИНЕЙНЫЕ ОПТИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ ФОРМИРОВАНИЯ ИЗОБРАЖЕНИЯ Прежде чем рассматривать линейные оптические системы формирования изображения, проанализируем важные преобразующие свойства линз. Для того, чтобы с исчерпывающей полнотой изучить эти ствойства линз, необходимо тщательно проработать основы теории геометрической оптики, что выходит за пределы круга вопросов, рассматриваемых в данной книге. Однако мы используем системный подход, который хотя и не исходит непосредственно из принципов геометрической оптики, но хорошо согласуется с ними в своих результатах. В начале этой главы подробно рассмотрим фазовое преобразование линз и их свойства формировать изображение. Затем будет дан обобщенный анализ линейных оптических систем формирования изображения. 6.1. Фазовое преобразование тонких линз Линза изготавливается из стекла или некоторых других прозрачных материалов. Показатель преломления линзы обычно боль- ше показателя преломления свободного пространства, и в этом случае скорость распространения волны внутри линзы меньше, чем скорость в свободном пространстве. Перед тем, как перейти к общим положениям, следует определить, что понимается под «тонкой» линзой. Если луч света, входящий в некоторую точку на одной стороне линзы, выходит приблизительно в той же точке на другой стороне линзы, то такую линзу можно считать тонкой. Другими словами, поперечным смещением луча света внутри тонкой линзы можно пренебречь. Таким образом, в волне, проходящей через тонкую линзу, не появится ничего, кроме простой задержки- по фазе. Величина этой задержки пропорциональна толщине линзы. Обращаясь к рис. 6.1, можно записать распределение фазы в прошедшем сквозь линзу волновом фронте следующим образом: Ф(*. y)=k[zo+(i\—l)z(x, у)], F.1) где г(х, у) определяет изменения по толщине линзы; z0 — максимальная толщина линзы; ц — показатель преломления линзы и ? —волновое число. Очевидно, что kr\z(x9 у) и k[zo—%(х, у)] —это 95
задержки по фазе в линзе и в свободном пространстве соответственно. Следовательно, тонкую линзу можно описать следующим общим пространственным преобразованием фазы: y)=exp[i<p(x, y)]= у)]}. F.2) 1Л Таким образом, если тонкая линза освещается монохроматическим источником света, у которого распределение комплексных ампли- ТУД светового поля в плоскости Рх описывается Е(х, у) у то аналогичное распределение в плоско* сти Р2 на другой стороне линзы можно записать !/ \ так: Е*{х9 у)=Е(х, у)Т(х, у). F.3) Чтобы лучше ионять влияние изменения по толщине на формирование изображения, можно определить форму фазового преобразования для некоторых применяемых на практике линз. Чаще всего используются линзы с простыми выпуклыми и вогнутыми поверхностями. В качестве примера можно определить фазовое преобразование для выпуклой линзы (положительная линза, рис. 6.1). Предположим, что радиусы кривизны двух сферических поверхностей различны. Разделим линзу на левую и правую половины, как показано на рис. 6.2. Изменение по толщине левой половины можно определить так: Рис. 6.L Изменение толщины выпуклой линзы у) =^-[^- F.4) где Zqi — максимальная толщина левой половины; Ri — радиус кривизны и р2=х2+у2. Аналогично записывается изменение по толщине для правой половины F.5) Полное изменение по толщине линзы равно сумме уравнений F.4) и F.5): г(х, у) = г1(х 1[ (^)]} Т1}' F-6) где г,=г§/+?,г. Выражение F.6) можно упростить, если ограничить его относительной малой областью линзы вблизи оптической оси. При та- 96
ком ограничении будут справедливы следующие приближенные выражения: F.7) *)Г—-К*I. F.8) Рис. 6.2. К определению закона изменения толщины линзы Тогда выражение для изменений линзы ло толщине примет вид г(лг, й«^-4(тИ-т|г)- F.9) Следует заметить, что параксиальные приближения, описываемые 97
F.7) и F.8), дают приблизительно тот же результат, который был бы получен, если бы сферические поверхности линзы были бы заменены параболическими. Из F.9) и F.2) получаем фазовое преобразование выпуклой линзы Т(х, y) = F.10) Некоторые из этих величин, относящиеся к самой линзе, можно объединить следующим образом: f=RiRrl(i\—l)(Ri+Rr). F.11) Хотя в данном случае это не очевидно, но величина / — это фокусное расстояние линзы, т. е. расстояние от центра линзы вдоль Рис. 6.3. Изменение толщины вогнутой линзы Рис. 6.4. Фокусирующее и рассеивающее действия положительной и отрицательной линзы на плоскую падающую волну оптической оси до точки, в которую линза стягивает параллельный пучок лучей. Используя F.11), можно преобразовать F.10) к виду Т(х9 y)=dexp (—flfep»/2/), F.12) где Ci=exp (iki\Zo) — комплексная постоянная. Аналогично можно показать, что для вогнутой (т. е. отрицательной) линзы (рис. 6.3) фазовое преобразование ра(вно Т(х9 r/)= F.13) где Сг — комплексная постоянная. Подобные выражения можно получить для фазового преобразования, осуществляемого любым другим типом тонкой линзы. Заметим, что существенная разница в фазовых преобразованиях выпуклой и вогнутой линз выражается в положительном и отрицательном знаке квадратичной фазовой задержки. Значение фазового преобразования, осуществляемого линзой, можно понять лучше, если предположить, что монохроматическая плоская волна падает перпендикулярно на выпуклую линзу. Тог- 98
да комплексное световое поле непосредственно за линзой (т. е. в плоскости Р2, см. рис. 6.1) будет Е'(х, у)=Сехр (—ftftp*/2f), F.14) где С — комплексная постоянная. Это выражение можно интерпретировать как квадратичное фазовое преобразование, которое является приближением сферического волнового фронта. Этот сферический волновой фронт сходится в точку на оптической оси на расстоянии f за линзой. Это еще раз подтверждает, что f — это фокусное расстояние. С другой стороны, если линза вогнутая, волна расходится из точки на оптической оси на расстоянии f перед линзой. Эти два случая квадратичного фазового преобразования показаны на рис. 6.4. Выпуклая линза соответственно названа фокусирующей линзой, а вогнутая линза — рассеивающей. Квадратичное фазовое преобразование было получено при параксиальном приближении. В общем случае преобразованный волновой фронт будет отклоняться от идеальной сферы и появятся различные типы аберраций. Поэтому применяемые на практике линзы часто корректируют для того, чтобы исключить эти аберрации, по крайней мере до некоторой степени. Эта коррекция может выполняться путем придания поверхностям линз при шлифовании некоторой асферичности для улучшения сферичности создаваемого ими волнового фронта. 6.2. Фурье-преобразующие свойства линз Весьма полезным и важным является тот факт, то двумерное преобразование Фурье можно получить с помощью положительной линзы. Обычно полагают, что операции преобразования Фурье требуют использования сложных электронных анализаторов спектра или цифровых ЭВМ. Однако это сложное преобразование очень просто выполнить в когерентной оптической системе. Поскольку оптическое преобразование двумерное, то оно имеет большую информационную емкость, чем преобразование, выполняемое с помощью электронных систем. Перед тем как убедиться в способности линз осуществлять преобразование Фурье, воспользуемся принципом Гюйгенса для определения комплексного светового поля на плоской поверхности Рг, обусловленного плоским источником света Р±, как показано на рис. 6.5. Допустим, что f(x, у) —комплексное световое поле на плоскости Pi. Тогда распределение комплексных амплитуд на плоскости Рг можно получить с помощью принципа Гюйгенса g(a, р) = с f f / (х, у) exp (ikr) dxdy, F.15) где vS обозначает интеграл по поверхности; С — произвольная комплексная постоянная; jfe=2jt/A, и 99
F.16) Если предположить, что расстояние между системами координат (х, у) и (а, Р) велико по сравнению с пространственными размерами Pi и Рг, то для г можно принять параксиальное приближение F.17) Тогда комплексное световое поле на плоскости Р2 будет g(a, p)= F.18) Это можно переписать в упрощенном виде ?((*, fL)=Cif(x, у) *М*. у), F.19) где С\ — произвольная комплексная постоянная, знак ^? обозначает пространственную свертку, а hi (x, у) =ехр [in (x*+y*) /XI] известно под названием пространственной импульсной характеристики. Выражения F.18) и F.19) описывают зависимость между входом и выходом аналога линейной системы рис. 6.5, показанного на рис. 6.6. Рис. 6.5. Схема для определения комплексного светового поля Для получения преобразования Фурье с помощью линзы требуется дополнительный оптический элемент. Если линза положительная и точечный источник монохроматического света помещен в фокус перед линзой, то свет, проходящий через линзу, колли- мируется в монохроматическую плоскую волну (рис. 6.7). Эта выходная волна является пространственным преобразованием Фурье точечного источника. 100
Таким образом, на рис, 6.5 точечный источник в плоскости Pi эквивалентен пространственной дельта-функции 6(лг, у). Пусть положительная линза помещена в плоскость Рг, а расстояние между системами координат взято равным фокусному расстоянию линзы. Тогда комплексное световое поле перед линзой будет F.20) hL(x,y) Рис. 6.6. Аналог линейной системы для оптической схемы, показанной на рис. 6.5 Рис. 6.7. Преобразование Фурье монохроматического точечного источника vS Действие линзы сводится к преобразованию поля сферической волны в поле плоской волны. Короче говоря, линза должна осуществлять фазовое преобразование вида F.21) F.22) 7(a, p)=exp HМ«2+Р2) А/], так что комплексное световое поле за линзой будет gi(a, p)=Ci, т. е. волновое поле оказывается параллельным плоскости (a, (J). Рис. 6.8. Схема для определения оптического преобразования Фурье f(i / / Л Л ¦н— ЗЫК —7 А/ Л Рассмотрим простую оптическую систему на рис. 6.8. Если комплексное световое поле в плоскости Pi есть f(|, т]), то распределение комплексных амплитуд в плоскости Р2 можно выразить как «Г(а, Р)=С{[/(?, л) * h^ г))]Т(х, y))*hj(x, у), F.23) где С — произвольная комплексная постоянная; Aj(g, ц) и hf(xy у) -соответствующие пространственные импульсные характеристики, а Т(х, у) —фазовое преобразование линзы. 101
На рис. 6.9 приведен аналог линейной системы, описываемой выражением F.23). Выражение F.23) можно записать в интегральной форме # (а, р) = с f JJ J j exp ft \ L\ dxdy\ f F, 13) dxd-ц, F.24) где Si и S2 обозначают интегралы по поверхности светового поля Pi и линзы Т соответственно, а Следует отметить, что пределы интегрирования в поверхностном интеграле можно расширить до бесконечности, так как линза Рис. 6.9. Аналог линейной си- стемы для оптической схемы, приведенной на рис. 6.8 очень большая по сравнению с пространственными апертурами на плоскости Р± и Рг (условия параксиальности). Выражение F.25) можно записать так Д== где v=f/L Группируя члены в F.26), получаем —2vr\y— 2-p2 A—v) /v Подставляя F,27) в F.24), имеем F.26) F.27) X exp [- JJ exp | 2] J dxdy -v«4- v~I/2a) ~I/2a)' F>28) Так как предполагается, что интегрирование по плоскости S2 производится от —оо до +оо, мы получим комплексную постоянную, которую можно объединить с С. Таким образом, получаем g(a, P)=C1exp[-/ F.29) X exp l-i -у- («5 + ^)J 102
Отсюда следует, что g{a, P) представляет собой преобразование Фурье /(|, т)), за исключением пространственного квадратичного изменения по фазе. В самом деле, квадратичный фазовый коэффициент исчезает, если /=f. Отсюда следует, что если плоскость сигнала Pi поместить в переднюю фокальную плоскость линзы, то квадратичный фазовый множитель обращается в единицу, в результате чего имеет место точное соотношение преобразования Фурье. Таким образом, F.29) можно записать так G (р, q) = Сг Г f / (?, tj) exp [-i <jk + q-ц)] cRd-q при v = 1, F.30) где p=ka/f и q=k$/f — пространственные частоты. Рис. 6.10. Последовательные преобразования Фурье, осуществляемые с помощью линз. Монохроматический точечный источник помещается в точке S Необходимо подчеркнуть, что точное соотношение преобразования Фурье имеет место лри условии /=f. Если 1ф\, появится квадратичный фазовый множитель. Кроме того, можно показать, что квадратичный фазовый множитель также появляется, если сигнальная плоскость Pi помещается за линзой. В обычной теории преобразования Фурье преобразование из пространственной области в область пространственных частот требует ядра вида ехр [—*(р*+<7У)]> а преобразование из области пространственных частот в пространственную область — комплексно-сопряженного ядра exp[i(px+qy)]. Из изложенного ясно, что положительная линза всегда вводит ядро ехр [—i(px-\-qy)]. Следовательно, с помощью оптической системы можно выполнить только последовательные преобразования, а не прямое преобразование, за которым следует обратное преобразование, как показано на рис. 6.10. 6.3. Формирование оптического изображения В настоящем параграфе получим несколько выражений для обычной оптичеюкой системы формирования изображений. Формирование изображений будет рассмотрено для двух крайних случаев освещения: при полностью некогерентном и при полностью когерентном освещении. На рис. 6.11 показана гипотетическая оптическая система формирования изображений. Предположим, что свет, излучаемый ЮЗ
источником 2, монохроматический, и допустим, что изображение входного сигнала формируется в выходной плоскости оптической системы. Чтобы рассмотреть формирование изображения этой оптической системой, предположим, что распределение комплексных амплитуд света во входной сигнальной плоскости, обусловленное элементарными источниками света rf2, равно и{х> у). Если прозрачность 1входной плоскости f(x> у), то комплексное световое поле непосредственно за сигнальной плоскостью будет и(х, Предположим, что оптическая система в виде черного ящика линейна, пространственно-инвариантна и имеет пространственную импульсную характеристику h(xy у), тогда комплексное световое Рис. 6.11. Гипотетическая оптическая система формирования изображений. Оптическая система представлена в виде «черного ящика», расположенного между входной, или сигнальной, плоскостью (ху у) и выходной, или плоскостью изображения (а, Р) поле в .выходной плоскости системы, обусловленное gG, можно описать уравнением свертки g(a, р) =и(*, y)f(дс, у) )^h(xy у). F.31> Следует подчеркнуть, что предположение о линейности оптиче- ческой системы справедливо обычно для малых амплитудных возмущений, а условие пространственной инвариантности выполняется только на малой области сигнальной плоскости. Из F.31) следует, что интенсивность в плоскости изображения, обусловленная элементом rfS поверхности источника, равна d/(a, p)=g(a, p)?*(<a, p)dS. F.32) Поэтому полная интенсивность изображения, создаваемая всем источником света, будет Г (ос, 3)№ F.33) что можно переписать в виде интеграла свертки /(a, flse \ y')dxdydx'dy>, F.34) 104
где Г(х, у; х', у') = ^и(х, у)и*(х'9 у1)d?. F.35) Теперь выберем две точки Qi и <2г на входной сигнальной плоскости так, что Qi находится в начале координат плоскости (х, у), а <2г располагается произвольно. Если г± и гг—соответствующие расстояния от Qi и Q2 до d2, то комплексные возмущения в точках Qi и (&, обусловленные dS, соответственно равны: и, (х, y)=V<*'r?]1J2 ехр(**/-,), F.36) и,(х, t/)=[/(s^)ll/2exp(tfer,), F.37) где /(|, л) —распределение интенсивности по источнику света. Подставляя F.36) и F.37) в F.35), получаем Г (х, у)- jf-Ц^- ехр [М (г, -гг)] dS. F.38) В случае параксиального приближения m—r2 можно упростить П—г2^2Aх+цу) I (п+гг)« (б^+чу) /г, F.39) где г — расстояние между плоскостью источника света и сигнальной плоскостью. Тогда F.38) можно сократить до вида Г (х, у) = 4т Jj / E, т]) ехр [** ± (U + V)] dU4. F.40) Выражение F.40) представляет обратное преобразование Фурье от распределения интенсивности на источнике. Теперь можно рассмотреть один из двух крайних случаев гипотетической оптической системы формирования изображения, сделав источник овета бесконечно большим. Если интенсивность на источнике распределена равномерно, т. е. /(?, ti)^/C, то F.40) принимает вид Г(*, y)=Ki&(xt у), F.41) где /Ci — соответствующая положительная постоянная. Это выражение ояисывает полностью некогерентную оптическую систему форм;ирования изображения. С другой стороны, если источник света пренебрежимо мал, F.40) становится равным Г(*, у)^=К2, F.42) где /С2 — положительная постоянная. Это равенство в действительности описывает полностью когерентную оптическую систему формирования изображения. 105
Обращаясь к F.34), получаем следующее выражение для интенсивности на выходе для случая полностью некогерентного освещения (Г(л;, y)=Kib{x, у)), X Л* (« - х', $-y')f (х, у) Г (¦*', у') dxdydx'dy', F.43) которое можно сократить до вида 7 (а> ®=Я|Л (а ~х' р ~ y)wf {x' у)\*dxdy- F-44) —00 Из F.44) очевидно, что для случая полностью некогерентного освещения интенсивность изображения является сверткой интенсивности сигнала с импульсной характеристикой системы по интенсивности. Иными словами, для случая полностью некогерентного освещения оптическая система линейна к интенсивности, т. е. /(¦a, p) = |A(*f */)|2*|/(*> y)\\ F.45) Выражение F.45) в пространственно-частотной области имеет вид 1{р9 q)=\H(p, <7)|2ИР> <7)|2> F.46) где /(р, q), H(p, q) и F(p, q) являются преобразованиями Фурье от /(а, р), h(x, у) и f(x, у) (соответственно, a p и ^ — координаты пространственных частот. Более удобно переписать F.45) в виде /(а, р)=М*, y)*U(x, У), F.47) где hi(x, y) = \h(xy y)\2 — импульсная характеристика системы по интенсивности. Тогда F.46) можно представить так /(/?, q)=Ht(p9 q)Fi(p, q), F.48) где Яг(р, q) « Fi(p, q) —пpeoбpaзOiЗa.ния Фурье Ы(х, у) и f(xy у) соответственно. В действительности Яг-(р, q) определяется Я, (р, q) = JJ h (х, у) h* (х, у) е <"+w djcrfy. F.49) —оо Тогда, используя теорему умножения для преобразования Фурье, F.49) можно переписать в виде 00 Hi (p, q)=i" JJ H (p't q>) H* (p' -p,q'~ q) dp'dq1, F.50) —CO что является сверткой комплексной передаточной функции с ее комплексно-сопряженной. Юб
С другой стороны, для случая полностью когерентного освещения [Г(л:, #)=г/С2)] F.34) становится равным /(а, р) = ?(а, p)g*(ot, р) = Jjh(a — x, $-y)f(x, y)dxdyX —00 XJJл*(• -•*',?-«/') Г(*'. у')лс^'. F.51) —00 Из выражения F.51) очевидно, что оптическая система линейна к комплексной амплитуде, т. е. F.52) = jJ*(a-*, $ — y)f(x, y)dxdy. Преобразуя F.52) по Фурье, получаем , q), ( F.53) где G(p, ^)> ^(Р> ?) и ^(Р» 9)—соответствующие преобразования Фурье от g(a, p), А(^, у) и f(x, у) соответственно. Рис. 6.12. Простая оптическая схема, используемая для получения Г (х, у)—К. Монохроматический источник помещен в точку S Полностью когерентную оптическую систему, для которой Г (л:, у)=К (постоянная), можно получить, используя схему освещения, показанную на рис. 6.12. Здесь точечный монохроматический источник света помещен в передней фокальной плоскости положительной линзы. В результате сигнальную плоскость (#, у) системы освещает коллимированная плоская волна. Задачи 6.1. Покажите, что фазовое преобразование вогнутой линзы на рис. 6.3 в самом деле описывается выражением F.13). Воспользуйтесь параксиальным приближением. 6.2. Определите комплексное световое поле и соответствующую интенсивность в задней фокальной плоскости линзы, показанной на рис. 6.13, где F(l> ц) описывает амплитудное пропускание транспаранта, а Kf. Освещающая волна плоская и монохроматическая. 6.3. Рассмотрите линзу, вырезанную из конуса, как показано на рис. 6.14. Определите соответствующее фазовое преобразование, используя параксиальное 107
приближение, описанное в § 6.1. Объясните воздействие линзы на нормально падающую монохроматическую плоскую волну. Рис. 6.13. Поясняющий рисунок к задаче 6.2 Рис. 6.14. Коническая линза 6.4. Амплитудное пропускание зонно-линзовой решетки определяется выражением Т(х, y)=(\-\-cosax2)/2 для всех у, где а — произвольная постоянная. а) Покажите, что это пропускание можно получить с помощью трех линз, а именно: плоской, вогнутой и выпуклой цилиндрической; б) определите соответствующие фокусные расстояния зонно-линзовой решетки; в) определите распределение света в задней фокальной плоскости зонно-линзовой решетки, если она освещена нормально падающей монохроматической плоской волной. 6.5. Рассмотрите монохроматическую ролну, которая проходит через дифрагирующий экран, в котором имеется апертура в форме большой щели (рис. 6.15). Рис. 6.15. Поясняющий рисунок к задаче 6.5 Рис. 6.16. Звездный интерферометр Май- кельсона Положительная линза помещена за апертурой. Определите дифракционную картину в задней фокальной плоскости линзы. 6.6. Монохроматическая плоская волна нормально падает на идеальную линзу. Из-за некоторой погрешности юстировки изображение наблюдается на плоскости, слегка смещенной от фокальной плоскости линзы. Определите максимальную ошибку смещения, при которой интенсивность еще достаточно точно соответствует дифракционной картине Фраунгофера. 108
6.7. Звездный интерферометр Майкельсона показан на рис. 6.16. Дифрагирующий экран с двумя параллельными щелями помещен перед линзой объектива телескопа. Свет от дальней звезды входит в одну из щелей после отражения от зеркал Мц и Mi2, а в другую щель — после отражения от зеркал М21 и Мы. Предположим, что фильтр, селектирующий монохроматический свет с длиной волны К помещен перед этой линзой. Пусть а и Ь — расстояния между щелями и зеркалами соответственно, а / — фокусное расстояние линзы. Определите места максимумов и минимумов интенсивности, когда: а) звезда расположена на оси телескопа; б) звезда расположена под небольшим углом в к оси телескопа в направлении, перпендикулярном щелям. 6.8. Пространственный фильтр с изменяющимися во времени характеристиками можно реализовать с помощью интерферометра Фабри-Перо. Фильтр состоит из тонких прозрачных стеклянных пластинок, которые используются как подложки, на внутренние поверхности которых нанесено вещество с высоким коэффициентом отражения (рис. 6.17). Монохроматическая плоская волна падает Тонкие стеклянные пластинки Рис. 6.17. Поясняющий рисунок к задаче 6.8 перпендикулярно на поверхность одной, из стеклянных пластин. Покажите, что комплексное поле волны, проходящее через фильтр, равно где со — круговая частота падающей плоской волны; с—скорость распространения света; d —- расстояние между стеклянными пластинками; К — произвольная постоянная; г и t —- соответствующие коэффициенты отражения и пропускания отражающего вещества. Влиянием стеклянных пластин пренебречь. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 6.1. Н. Н. Hopkins, The Concept of Partial Coherence in Optics, Proc. Roy. Soc, ser. A., 208 A951), 263. 6.2. H. H. Hopkins, On the Diffraction Theory of Optical Images, Proc. Roy. Soc, ser. A., 217 A953), 408. 6.3. J. Rhodes, Analysis and Synthesis of Optical Images, Am. J. Phys., 21 A953), 6.4. L. J. Cutrona et al., Optical Data Processing and Filtering Systems, IRE Trans. Inform. Theory, TT-6 A960), 386. (Рус. пер.: Катрона Л. и др. Оптическая обработка данных и системы фильтрации. Зарубежная радиоэлектроника, 1962, № 10, с. 3—30.) 6.5. К. Preston, Jr., Use of the Fourier Transformable Properties of Lenses for Signal Spectrum Analysis, in J. T. Tippett et al. (eds.), Optical and Electro* a a Vp™al Inf°nnation Processing, MIT Press, Cambridge, Mass., 1965. 6.b. J w. Goodman, Introduction to Fourier Optics, McGraw-Hill, New York, 1968. (нус пер.: Гудмен Дж. Введение в Фурье-оптику. — М.: Мир, 1970.) 109
Глава 7 ОПТИЧЕСКАЯ ОБРАБОТКА ИНФОРМАЦИИ И ФИЛЬТРАЦИЯ Автор не пытается привести здесь исчерпывающий анализ оптической обработки информации. Однако будет рассмотрено несколько примеров, чтобы дать понятие о применяемых принципах. Читатель, который захочет углубленно изучить этот вопрос, может обратиться к сборникам Поллака и др. [7.1] и Тилпетта и др. [7.2]. В этих книгах можно найти много полезных методов обработки, не упомянутых здесь. Необходимо отметить и менее значительные исследования в этой области. Именно в первой половине 50-х годов стала очевидной возможность применения аспектов теории связи к методам оптической обработки информации. Первыми наиболее важными работами были классические статьи «Преобразование Фурье в оптических процессах» Элиаса, Грея и Робинсона [7.3] и «Оптика и теория связя» Элиаса [7.4]. Однако впервые методы теории связи были применены к современной оптике О'Нейлом в его статье «Пространственная фильтрация в оптике» [7.5]. В связи с важностью этой навой концепции в 1960 г. состоялся симпозиум «Аспекты теории связи и теории информации в современной оптике» [7.6]. С тех пор применение теории связи в оптике вызывает большой интерес. Потенциальные возможности применения когерентной пространственной фильтрации были особенно очевичными в области обработки радиолокационных сигналов, и именно в этой области работали Катрона и его сотрудники из Мичиганского университета, опубликовавшие статью «Оптическая обработка информации и системы фильтрации» в 1960 г. [7.7]. Она стимулировала еще больший интерес к рассматриваемым методам. В 1964 г. 1в статье Вандер Люгта «Обнаружение сигнала с помощью комплексной пространственной фильтрации» [7.8] был представлен наиболее интересный объект оптического распознавания образов. С тех пор было показано, что когерентная оптическая обработка информации имеет самое широкое применение. Именно сочетание теории связи и когерентной оптики привлекло внимание к современной оптической обработке информации и стимулировало проведение большого числа важных исследований. 7.1. Основные некогерентные системы оптической обработки информации В этом параграфе мы рассмотрим оптическую обработку информации при использовании некогерентного источника. Предположим, что транспарант сигнала f\(x, у) помещен во входную плоскость Pi оптической системы (рис. 7.1). Если этот транспарант осветить некогерентным источником света так, чтобы интенсивность на плоскости Pi была бы распределена равномерно 11©
в пределах рассматриваемой области, то интенсивность непосредственно за транспарантом будет Г(х, y)=I x9 у), G.1) где /о — равномерная интенсивность, с которой освещается транспарант сигнала. Если входной сигнальный транспарант проектируется в масштабе 1 : 1 на другой сигнальный транспарант fa (х9 у) в плоскости Р% то интенсивность непосредственно за вторым транспарантом можно записать так: /(*, У)=/о[М*. У)*Ы(х, у)Шх, у). G.2) Импульсная характеристика интенсивности оптической системы hi(x, у) описывается, как обычно, уравнением hi(x, y)=z\h(x, у) |2, где А (а:, у)—комплексная амплитудная пространственная импульсная характеристика. Рис. 7.1. Схема устройства некогерентной обработки сигналов, реализующего операции умножения и интегрирования. Нить накала является некогерентным источником света, система формирования изображения обведена штриховой линией, фотодиод изображен справа Если пространственно-частотный спектр сигнала fi(x, у) лежит в пределах пространственной частотной характеристики оптической системы, то пространственную импульсную характеристику системы можно описать приближенно дельта-функцией Дирака, а интенсивность за плоскостью Рг выражением =1&(х, y)f2(x9 у)9 G.3) т. е. при таком приближении интенсивность на выходе пропорциональна произведению fi{x9 y)h(x9 у). Интегрирование обоих обрабатываемых сигналов можно выполнить некогерентно, фокусируя выходной свет на фотоприемник, как показано на рис. 7.1. Напряжение на выходе фотоприемника • поверхностное где К — коэффициент пропорциональности; интегрирование по выходной плоскости Р* Процесс интегрирования, показанный на рис. 7.1, можно видоизменить для осуществления многоканального интегрирования, 11!
как показано на рис. 7.2. Тогда напряжения на выходе фотоприемников будут V(fi) = Ktft(x, y)f2(x>y)dy, G.4) Г где К — коэффициент пропорциональности; / — интеграл сигнала в направлении у при фиксированном х. Очевидно, что если параллельно перемещать один из обрабатываемых сигналов, например /г(^, у) вдоль оси у, то сигнал, детектируемый решеткой фотоприемников, можно записать так: V(x9 a) = * f М* y)f%{x9 y-a)dy, G.5) Г где а — расстояние перемещения. Рис. 7.2. Схема устройства некогерентной обработки сигналов, реализующего операции многоканального умножения и интегрирования. Справа показана линейная решетка фотоприемников До сих пор мы считали обрабатываемые сигналы положительными действительными величинами. Это так и есть, потому что транспарант является пассивным устройством, прозрачность которого ограничена неравенством <W. У)<1. G.6) Однако, если обрабатываемый сигнал содержит положительные и отрицательные пики, то его можно реализовать, используя соответствующий уровень смещения и масштабный коэффициент. В этом случае пропускание транспаранта сигнала определяется уравнением T(x9y)=Ko+Kif(x9y)9 G.7) где Ко и /Ci — уровень смещения и масштабный множитель, а Т{х9 у) удовлетворяет условию прозрачности G.6). Если обрабатываемый сигнал удовлетворяет G.7) и выполняется ограничение G.6), то выходной интеграл принимает вид \ 9 У)] G.8) где К — соответствующая постоянная. Очевидно, что при вычислении интеграла вносятся погрешности, обусловленные уровнями смещения* Хотя величины уровней смещения и масштабный мно- 112
житель известны, устранение этих погрешностей может повлечь за собой изменение обрабатываемых сигналов fi(x, у) и f2(x, у). Однако часто положение можно исправить, применяя когерентную обработку, которая будет описана в следующем параграфе. 7.2. Когерентные системы оптической обработки информации Рассмотрим обычную когерентную оптическую систему обработки информации (рис. 7.3). Если монохроматический точечный источник излучения помещен перед коллимирующей линзой L\ на фокусном расстоянии, то монохроматическая плоская волна будет Рис. 7.3. Схема устройства когерентной оптической обработки информации. Здесь и на остальных рисунках этой главы 5 — монохроматический точечный? источник света освещать плоскость входного сигнала Р\. Обрабатываемый сигнал f(x, у) помещен в плоскость Р\, и комплексное световое поле в выходной плоскости Pz равно свертке G.9) где К — соответствующая постоянная, a h(x, у)—пространственная импульсная характеристика оптической системы. Если предположить, что наивысшая пространственная частота обрабатываемого сигнала f(x, у) лежит в пределах пространственно-частотной характеристики оптической системы, то пространственную импульсную характеристику А(х, у) можно аппроксимировать дельта-функцией Дирака, так что световое поле на выходе становится равным *(а, р) =/</(*, у), G.10) т< е- пропорционально входному обрабатываемому сигналу. Вспоминая свойства преобразования Фурье для линз (см. гЛ. 6), мы видим, что распределение комплексных амплитуд света в плоскости Р2 пропорционально F(py g) — преобразованию Фурье входного обрабатываемого сигнала f(x\ у). Следовательно, интенсивность в плоскости Р2 пропорциональна \F(py q) |2. Ниже будет описано несколько случаев применения элементарных когерентных оптических систем. на
Когерентный оптический спектральный анализ. Если когерентная оптическая система, показанная на рис. 7.3, заканчивается на плоскости Р2> как показано на рис. 7.4, система представляет собой по существу двумерный спектроанализатор. Комплексное световое поле в плоскости Р2 определяется выражением В (р, ?)=/t jj f (* ») е~' {PX+qy) dxdy = KF (р, ф, G.11) где К — постоянный коэффициент пропорциональности; S — поверхностное интегрирование по входной плоскости Рх\ F(p, q) — Рис. 7.4. Схема двумерного когерентного спектроанализатора двумерное преобразование Фурье входного сигнала f(xt y)t a p и q — координаты пространственных частот. Следовательно, соответствующая интенсивность равна I(p, q)=E(p, q)E*(py q)=K2\F(p, q) |2, G.12) т. е. пропорциональна спектру мощности обрабатываемого сиг« нала. Рис. 7.6. Схема многоканального когерентного спектроанализатора Оптический двумерный спектроанализатор, показанный на рис. 7.4, можно преобразовать в многоканальный одномерный спектроанализатор, добавив цилиндрическую линзу, как показано на рис. 7.5. Если входной многоканальный сигнал обозначить 114
f(Xi, у), то комплексное световое поле в выходной плоскости анализатора будет Е(х{, 0 = G.13) где v=fjU а значок г обозначает соответствующий канал по оси Но поскольку /=3/, т. е. v=l/3, то G.13) принимает вид i9 q)9 1=19 2, ..., п, G.14) где F(xiy q) —одномерное преобразование Фурье функции f(xu у). Рис. 7.6. Схема устройства когерентной пространственной фильтрации Поэтому соответствующая интенсивность равна > q)=E(xh q)E*(xu q)=K2\F(xii q) \\ t=l, 2, ..., n. G.15) Синтез в области пространственных частот. Желаемую операцию линейной фильтрации можно синтезировать в области пространственных частот. Это достигается с помощью пространственного фильтра, который состоит из транспаранта, помещенного- в частотную плоскость когерентной оптической системы, как показано на рис. 7.6. Действительно, желаемый фильтр можно синтезировать путем непосредственного манипулирования комплексным амплитудным пропусканием в частотной области. Если обрабатываемый сигнал f(xy у) поместить в пространственную область Р\> то преобразование Фурье входного сигнала формируется в ча~ стотной области Р2« Если фильтр с прозрачностью Я(р, q) поместить в плоскость Р2> то комплексное световое поле непосредственно за плоскостью Р2 равно Е(р, q)=KF(p, q)H{Pi g)9 G.16) где К — коэффициент пропорциональности. Фильтр обычно имеет комплексное амплитудное пропускание H(p,q)=\H(p, q)\exp[i<p(p9q)], GЛ7) 115
которое удовлетворяет условиям физической реализуемости \Н(р, <7)|<1, G.18) О«р(р, Q)<2n. G.19) Такую функцию пропускания можно представить в комплексной плоскости рядом точек в пределах круга единичного радиуса, как показано на рис. 7.7. Амплитудное пропускание фильтра изменяется в зависимости от оптической плотности, а задержка по фазе — в зависимости от толщины. Щ-1) Рис. 7.7. Функция комплексного амплитудного пропускания Вторая ,линза L2, показанная на рис. 7.6, выполняет обратное преобразование Фурье над комплексным световым полем ?(р, q) и отображает его на выходную плоскость Р3 так, что распределение комплексных амплитуд в плоскости Р3 описывается интегралом g («. Р) = К Г f F (p, q) H (/7, q) e' G.20) где поверхностью интегрирования является частотная плоскость Р2. Используя теорему умножения преобразований Фурье, уравнение G.20) можно записать иначе (;c, y)h(a-x, $-~ = Kf (x, , у), G.21) где интеграл должен браться по входной пространственной области, a h(xy у)—это пространственная импульсная характеристика фильтра. Можно показать, что фильтр в частотной области #(/?, q) может состоять из апертур или щелей любой формы. В результате, в зависимости от формы апертуры получаются пространственные фильтры высоких частот, фильтры низких частот или полосовые. Очевидно, что непрозрачный участок фильтра представляет собой пространственный полосовой режектор- ный фильтр. Заметим также, что установка фазовой пластинки приводит к фазовому сдвигу в том месте, где находится эта пла- 116
стияка. Поскольку имеется возможность синтезировать амплитуду и фазу независимо, можно осуществить синтез комплексного фильтра. Метод синтеза комплексных пространственных фильтров, предложенный Вандер Люгтом, будет описан в § 7.3. Синтез в пространственной области. Вместо того, чтобы помещать комплексный фильтр Н(р, q) в плоскость пространственных частот Р2 (рис. 7.6), поместим транспарант h(x, у) во входную плоскость Рь Тогда комплексное световое поле в плоскости Р2 будет равно E{p9q)=K^f (*, у)Ь(х,у)е~1 <*+« dxdy. G.22) где К — коэффициент пропорциональности. Если обрабатываемый сигнал сместить в плоскости Р\, то G.22) примет вид Е(р, <7)=/CjJ/(Jt-a, у —р)А(х, y)e-l(px+Wdxdy, G.23) где а и р— переменные, соответствующие поперечным смещениям х и у. Очевидно, что если измерение светового поля производится в точке р=*7=0, то интеграл G.23) можно записать так: g(a, p) = *JJ/(*-a, y-$)h(x9 y)dxdy G.24) и в нем узнать функцию взаимной корреляции f(x, у) и h(x, у). Таким образом, g(*. ® = Kf(x,y)®li(x9 у). G.25) С другой стороны, если пространственные координаты входного обрабатываемого сигнала f(x, у) имеют обратные знаки и затем сигнал перемещается в поперечном направлении во входной плоскости, так что входной сигнал f(x—а, у—р) заменяется на /(а—х, р—у)у то комплексное световое поле в начале координат плоскости Р2 примет вид (а — х, р — у) h (x, у) dxdy. G.26) Это интеграл свертки функций f(xf у) и h(x, y)y и он идентичен В настоящем параграфе было рассмотрено два метода синтеза, применяемые для когерентной оптической обработки информации, а именно: 1. Синтез в частотной области, когда комплексный пространственный фильтр вводится в частотную область и операция фильтрации осуществляется непосредственно над комплексным частотным спектром. 177
2. Синтез в пространственной области, когда комплексная опорная функция вводится во входную пространственную область и операция фильтрации выполняется непосредственно над обрабатываемым сигналом. Теоретически оба эти способа синтеза приводят по существу к одному и тому же результату. Однако на практике синтез в пространственной области требует сканирования и, следовательно, более сложен. Кроме того, выполнение операции обработки занимает больше времени, чем при синтезе в частотной области,, который не требует сканирования. Иногда бывает выгодно объединять оба способа синтеза, тогда выходной сигнал можно записать так: g(a, p)=<F-4#(р, Я)^[!{^ У)Н*> У)]1 G.27> где $Г и &~~1 обозначают прямое и обратное преобразование Фурье; Н(ру q)—комплексная функция фильтра в частотной области, h(x, у)—комплексная опорная функция во входной пространственной области. Многоканальный синтез в частотной области. Одной из наиболее важных особенностей когерентной оптической системы обработки информации является двумерность. Это свойство можно использовать, когда обрабатываемые сигналы представляют собой функции двух переменных. Сигнал можно отобразить в двух измерениях и затем обе переменные обработать одновременно. С другой стороны, если тот же самый сигнал надо было бы обработать с помощью электронных устройств, потребовались бы сканирующие устройства. Рассмотрим случай, когда обрабатываемые сигналы являются функциями одной переменной и для их обработки не требуется дополнительной емкости оптической системы. В этом случае свободную координату оптической системы можно преобразовать в последовательность одномерных каналов, так что можно будет обрабатывать одновременно конечное число сигналов, являющихся функцией от одной переменной. Такая многоканальная система показана на рис. 7.8. Входной обрабатываемый сигнал f(x, у) составлен из конечного числа одномерных сигналов f(x9 y)=f(xu У), ч=1, 2, ..., п, G.28) где Хг представляет f-й канал на оси х, а п — полное число каналов. Следует подчеркнуть, что практическим пределом п является наибольшее число полосовых элементов, которое может разрешить оптическая система. Комплексное световое поле перед цилиндрической линзой LC2 имеет вид Е(хи q)=Kexp(-ikq2l2f)F(xu q)y i=l, 2, ..., пу G.29) т, е. пропорционально преобразованию Фурье F(X{9 q) с точностью до квадратичного фазового множителя. 118
Если Lc2 имеет фазовое преобразование T(x9q)=exj>(ikq*lf) G.30) и многоканальный фильтр #(#*, q) помещен в частотную плоскость Р2у то комплексное световое поле за плоскостью Р% будет Е'(хи q)=Kexp (ikq*lf)F(xiy q)H (xl9 q), *=1, 2, ..., /г. G.31) Из-за операций обратного преобразования Фурье, выполняемых линзами L2 и LC3, распределение комплексных амплитуд в выходной плоскости Рг равно g(xif t)= 1=19 2, ..., n. 9 y)dy=Kf(xi9 y)*h(xi9 y)9 . G.32) Если входные сигналы должны претерпеть одинаковую фильтрацию в пространственно-частотной области, то распределение по отдельным каналам не обязательно. В этом частном случае Рис. 7.8. Схема многоканальной когерентной системы фильтрации не нужны цилиндрические линзы, и оптическая система та же, что и показанная на рис. 7.6. Таким образом, преобразование Фурье многоканальных входных сигналов на плоскости Р2 равно F(p, q). Амплитудное пропускание фильтра #(/?, q) не зависит от р. Следовательно, распределение комплексных амплитуд в выходной плоскости Р3 будет g(x, p)=/ -y)ft(x, y)dy. G.33) С другой стороны, если требуется многоканальная обработка сигналов пространственной области, то входные сигналы /(**> у) и опорную функцию h(xiy у) следует поместить во входную плоскость Рь как показано на рис. 7.8. Комплексное распределение светового поля в плоскости пространственных частот в этом случае равно g(xi9 q) = t9 y)h(xi9 /=l, 2,... п. G.34)
Если входные сигналы f(xu у) перемещаются вдоль оси у, то значение G.34) вдоль линии .<7=0 принимает вид g(xi9 p)=KJ/(Xi, р+0)Л(х,, y)dy9 i=l, 2, ..., п. G.35) Это можно осуществить, поместив щель вдоль линии ^=0. Очевидно, что G.35) описывает операцию многоканальной взаимной корреляции, которую можно выразить так: g(xh$ = Kf(xi9 y)®h(xi9 у), i=l, 2,..., п. G.36) С другой стороны, для выполнения операции свертки мы могли бы просто поменять знаки у обрабатываемых сигналов, так что выходной сигнал стал бы g{xh fl = *{/(*,, $-y)h(xi9 y)dy=Kf(xi9 y)*h(xif у), *=1, 2,..., п. G.37) 7.3. Когерентная оптическая комплексная пространственная фильтрация Когерентная оптическая обработка информации, описанная в предыдущих параграфах, позволяет синтезировать самые разнообразные пространственные фильтры. Такие оптические фильтры состоят из транспарантов, помещаемых в соответствующие места оптической системы. В 1963 г. Вандер Люгт предложил и успешно продемонстрировал новый метод синтезирования комплексных пространственных фильтров [7.8, 7.9]. Используя этот метод, можно легко управлять амплитудной и фазовой информацией с помощью только одного фильтра. Метод Вандер Люгта вызвал большой интерес в области оптического обнаружения сигнала и распознавания образов. Именно поэтому этот вопрос выделен в самостоятельный параграф настоящей главы. Основные понятия о согласованной фильтрации были даны в гл. 1. Ее можно без труда продемонстрировать с помощью простой когерентной оптической системы, схема которой дана на рис- 7.9. Предположим, что подлежащий обработке входной сигнал подвергнут воздействию аддитивного гауссовского шума. Допустим также, что согласованный комплексный фильтр #(р, 4) имеет амплитудное пропускание, пропорциональное комплексно- сопряженному преобразованию Фурье сигнала, т. е. H(p,<])=KF*(pyq), G.38) где F(p, q) —преобразование Фурье входного сигнала f(x, у). Амплитудное распределение света непосредственно за фильтром Б{р9 q)=Ki[\F(P) q) \2+N(p, q)F*{py q)]9 G.39) где N(p, q) —преобразование Фурье случайного шума. 120
В выражении G.39) член \F(p, q)\2, конечно, действительный. Он описывает плоскую волну с некоторым амплитудным распределением. Таким образом, комплексное световое поле, обусловленное этим членом сигнала, будет отображаться линзой на маленькую область. Очевидно, что действие согласованного фильтра состоит в том, что он компенсирует фазовые изменения преобразования Фурье сигнала. Ставится целью не восстановление сигнала в выходной плоскости, а сжатие его в маленькое яркое пятно. Рис. 7.9. Когерентная согласованная фильтрация: f(x, y)+n{x, у) — аддитивная смесь сигнала с шумом; Н{р, д) — согласованный фильтр С другой стороны, член N(p9 q)F*(p1q)> описывающий шум, испытывает иное воздействие. Фильтр не оказывает никакого компенсирующего эффекта на фазовый спектр \N(p, q), но изменяет амплитуду спектра шума в тех областях, где спектр амплитуды сигнала низок. Результирующий эффект состоит в том, что в выходной плоскости Рз воспроизводится амплитудно-взвешен- ный шум существенно неизменный, за исключением того, что он ослаблен по отношению к максимальному сигналу. Комплексное световое поле в выходной плоскости Рз системы согласованной фильтрации, следовательно, равно G.40) Выражение G.40) можно записать в символической форме g(«. ® = K[f (х, у) *f(xty) + n (*, у) * f (-*, -у)]. G.41) Первый член G.41)—это автокорреляция входного сигнала, а второй член — это свертка входного шума с зеркальным изображением входного сигнала. Однако, очевидно, что эффект согласованного фильтра состоит в том, чтобы сжать большую часть света, дифрагируемого сигналом, в маленькую область, занимаемую 121
функцией автокорреляции сигнала. В случае шума, однако, согласованный фильтр не сжимает свет в маленькую область и в выходной плоскости не наблюдается яркого света. До сих пор рассматривались основные принципы согласованной фильтрации. Однако синтезировать двумерный согласованный фильтр на практике достаточно трудно. Тем не менее, существует способ, хорошо известный инженерам-электрикам, основанный на том факте, что частотно-ограниченную комплексную функцию можно представить в виде действительной функции, но с удвоенной шириной полосы частот. Иными словами, амплитудные и фазовые составляющие комплексной функции модулируются несущей функцией, частота которой выше наивысшей частотной составляющей комплексной функции. Затем с помощью соответствующего способа демодуляции можно воспроизвести комплексную функцию из модулированной действительной функции. Применяя этот метод для синтеза комплексного пространственного фильтра, можно представить пропускание в виде действительной функции Н(р, q)=Ki + K2 \S(p, q) | cos [aop + <p(p, q)], G.42) где S(p, q)=\S(p> q) | exp [—ир(р, q)]—комплексная функция; K\ и Кг — соответствующие постоянные, такие, что 0^//(р, #)^1; р и q — соответствующие пространственно-частотные координаты; ссо—несущая частота функции модуляции. Очевидно, амплитудные и фазовые составляющие комплексной функции соответственно модулированы. Если этот комплексный пространственный фильтр установлен в плоскости пространственных частот (рис. 7.9), то комплексное распределение света в выходной плоскости Р3 будет g(a, P)=* JJ F(p, q)H(pt q)exp [-i(ap + $q)]dpdq. G.43) Выражение G.43) можно представить в таком виде g(*9 ® = KK1^F(p, q)exp[-i(*p + $q)]dpdq+^^F(p, q)X XS(p, q)exp{-i[(a-ao)p + ^q]}dpdq+^^F(p9 q)S*(p> 4)X X exp {-i [(a + a0) p + $q\) dpdq. G.44) Первый член в G.44) описывает картину дифракции вокруг оптической оси в выходной плоскости Рз, а второй и третий члены описывают дифракцию вокруг точек a=ao и <х=—<хо соответственна» Поэтому величину пространственной несущей частоты следует выбирать достаточно большой, чтобы эти три картины дифракции не перекрывались. Следует подчеркнуть, что и величину смещения К\ в G:42) необходимо выбрать достаточно большой для физической реализации передаточной функции фильтра. Однако, когда \S(p, q)\ имеет большой динамический диапазон, большая величина К\ часто приводит к неэффективному использованию. 122
регистрирующей среды. Эту проблему можно решить, применяя для синтезирования комплексного фильтра интерферометрический способ. Интерферометршеские способы синтеза комплексных пространственных фильтров. Существует несколько методов синтеза комплексных пространственных фильтров. Здесь будет описано несколько способов, в которых используются интерферометры* Один интересный метод основан на применении модификации интерферометра Рэлея (рис. 7.10), см. также [7.2, с. 128]. Одна часть коллимированного монохроматического света освещает сигнал s(x, у), подлежащий обнаружению, а другая фокусируется Рис. 7.10. Синтез комплексного пространственного фильтра с помощью модифицированного интерферометра Рэлея: s(x, у) — обнаруживаемый сигнал; Р — фотопластинка, помещаемая в частотную плоскость (р, q); точечная диафрагма за линзой L2 формирует точечный опорный источник линзой L2 и образует опорный точечный источник. Комплексное световое поле в задней фокальной плоскости Lz, таким образом, будет Е{р, q)=Kiexp(-^iaopl2)+K2S(p, ?)exp(m0p/2), G.45) где S(p, q)—преобразование Фурье обнаруживаемого сигнала. Соответствующая интенсивность на поверхности фотопластинки равна , q)=E(p, q)E*(p, q)=K\ + Kh\S(p, q)\* + 2S(pt ^)exp(fpao)+/A/C2S*(p, <7)exp(—ipoo), G.46) где S(py q) = \S(p1 ?) |exp [t<p(p, q)]. Если запись производится в линейной области (см. гл. 8), то амплитудное пропускание зарегистрированного комплексного пространственного фильтра можно записать так: Н(р, q)=K{K\ + K22\S(pt q)\2 + 2KlK2\S(p, q) \cos [oop + <p(p, ?)]}. G.47) 123
Выражение G.47) описывает не только действительную функцию, но и, кроме того, является неотрицательной величиной, т. е. Щр> <7MЮ- Синтез фильтра с помощью интерферометра дает эти преимущества за счет увеличения пространственной полосы частот, обусловленного амплитудной и фазовой модуляцией. Если этот комплексный пространственный фильтр поместить в плоскость пространственных частот когерентной оптической системы обработки информации, как показано на рис. 7.11, то поле непосредственно за пространственным фильтром будет Е(р, g)=F(p, q)H(p, q), G.48) где F(p, q) —это преобразование Фурье входного сигнала f(x9 у). Рис. 7.11. Когерентное обнаружение с помощью комплексной пространственной фильтрации: f(x, У) — входной сигнал; Н(р, q) — фильтр; g(a, (J) — выходной сигнал Подставляя G.47) в G.48), получаем Е(р, q)=K[K2iF(p, q)+K22F(p, q)\S(p, q)\*+ + KiK2F{py q)S(p, q)exp(ipa«)+KiK2F(p9 q)S*(p, q)exp(-ipao)]. G.49) Поле в выходной плоскости Pz — это обратное преобразование Фурье выражения G.49) ?(а, р)= J J E(p, q)exp[-i(ap + fiq)]dpdq, G.50) что можно переписать в виде символическом ?(«, р)=/С[/СУ(*, у)+КЫ(х, у) %5(лг, */)* S*(-x, -y) + +KiK2f(x9 у) *S (аг+схо, у) +KiKrf(x, у) *S* (-х+щ9 у) ]. G.51) Первый и второй члены выражения G.51) описывают дифракцию нулевого порядка, которая появляется в начале координат выходной плоскости; третий и четвертый — это члены свертки и взаимной корреляции, которые описывают дифракцию вокруг то- 124
чек а=ао и а=—ао соответственно. В данном случае не представляют интереса члены, описывающие дифракцию нулевого порядка, и члены, описывающие свертку; при обнаружении сигнала используется только член, описывающий взаимную корреляцию. Предположим теперь, что входной сигнал представляет аддитивную смесь обнаруживаемого сигнала с гауссовским шумом f(x, y)=S(x, y)+n(x, у). Тогда корреляционный член G.51) примет вид *, у)+п(х, t/)]*S*(-x+a0, -У). G.52) G.53) 3-й член Рис. 7.12. Распределение сигналов в выходной плоскости схемы комплексной пространственной фильтрации Ч-и член Взаимная корреляция Можно показать, что поскольку взаимная корреляция п(х> у) с S*(—*+<*), —у) приближенно равна нулю, это выражение можно упростить до Я (a, p)=/ti/BS(x, У) *S*(-*+ao, —у), G.54) что пропорционально автокорреляции S (х, у). Для того, чтобы члены, описывающие дифракцию нулевого порядка и дифракцию первого порядка, не перекрывались, пространственную частоту оо можно приближенно выбирать из условия ao>//+3/e/2, G.55) где // и U — расстояния в направлении х, занимаемые входным сигналом f(x, у) и обнаруживаемым сигналом S(x, у) соответственно. Чтобы показать, что это справедливо, рассмотрим расстояния для различных выходных членов g(a, p), как показано на рис. 7.12. Очевидно, что расстояния вдоль оси х для первого, второго, третьего и четвертого членов из G.51) равны Z/, 2ls+lfi lf+t* 125
и lf + ls соответственно. Из рис. 7.12 следует, что для полного разделения сигнального члена и нулевого порядка пространственная несущая частота <х0 должна удовлетворять неравенству G.55). Заметим, что интерферометрический способ синтеза комплексного пространственного фильтра подобен модуляции в теории связи. Синтез фильтра (как показано на рис. 7.10) эквивалентен однополосной модуляции в электронных системах связи. Спектр обнаруживаемого сигнала занимает полосу частот шириной ls и центрирован относительно пространственной несущей частоты ао. Продолжая аналогию синтеза пространственного фильтра с принципами теории связи, замечаем, что можно синтезировать Опорный точечный иеточнак Рис. 7.13. Взаимное расположение сигналов и опорного истояника во входной плоскости при синтезе много- канального фильтра и мультиплексный пространственный фильтр. Требуемый комплексный спектр пространственных частот п обнаруживаемых сигналов можно зарегистрировать на п несущих частотах. Минимальную величину несущей частоты для (?, /)-го обнаруживаемого сигнала можно приближенно определить с помощью неравенств |ао('а, / *, /)/2, G.56) G.57) где lfX и lfV — размеры входного сигнала вдоль осей х и у; lsx и 1$у — размеры (/, /)-го сигнала, а ао(*, /) —вектор, представляющий пространственную несущую частоту (/, /)-го сигнала. Схема матрицы обнаруживаемых сигналов и опорного точечного источника представлена на рис. 7.13. Комплексные пространственные фильтры обычно чувствительны к повороту и изменению масштаба входного сигнала. В результате, когда входной сигнал неточно согласован по углу или по величине с обнаруживаемым сигналом, отклик фильтра значительно уменьшается по сравнению со случаем точного согласования. Степень чувствительности к изменению масштаба и ориентации зависит в большой степени от характеристик сигнала. Например, сигнал с симметрией, отличной от круговой, более 126
чувствителен к повороту, чем сигнал с круговой симметрией. Чувствительность к повороту можно до некоторой степени уменьшить с помощью дополнительной фильтрации. В некоторых случаях единственным практическим решением проблем ориентации и масштаба является ручной поиск. Рассмотрим теперь два варианта когерентных оптических систем для синтеза комплексных пространственных фильтров (рис, 7.14, 7.15). Оптическая система, показанная на рис. 7.14, Рис. 7.14. Синтез комплексного пространственного фильтра с помощью модифицированного интерферометра Маха — Цендера: BSu BS2 — расщепители пучка; S(x, у) — обнаруживаемый сигнал; Р — фотопластинка представляет собой модифицированный интерферометр Маха — Цендера. Наклонный плоский волновой фронт на фотопластинке получают с помощью наклонного зеркала Afi и расщепителя пучка BS\. Нижняя часть интерферометра проектирует преобразование Фурье сигнала S(xy у) на фотопластинку. В результате на регистрирующей среде создается картина интерференции от двух волн. Принцип синтеза, показанный на рис. 7.15, по существу тот Рис. 7.15. Синтез комплексного пространственного фильтра:. S(x, У) — сигнал обнаружения; Р -•- фотопластинка же, что и применяемый в случае модифицированного интерферометра Рэлея, с той разницей, что для выполнения преобразования Фурье применяется линза с меньшей апертурой и требуемую наклонную опорную волну получают с помощью призмы. Комплексная пространственная фильтрация при распознавании образов. Особенно интересным случаем применения когерентной пространственной фильтрации является распознавание образов. Важную роль для этого случая имеет понятие о согласованной 127
фильтрации. При обычном предположении пространственной инвариантности говорят, что комплексный пространственный фильтр согласован с сигналом S(x, у) тогда и только тогда, когда импульсная характеристика фильтра равна Л(х, y)=KS*(-x, -у). G.58) Передаточная функция такого фильтра определяется выражением Л(р, q)=KS*(py q), G.59) где S*(py q)—комплексно-сопряженный спектр сигнала S(xy у). Чтобы показать, что согласованная фильтрация является средством решения задач распознавания образов, предположим, что согласованный фильтр был изготовлен для обнаружения образа Si(x, у). Если теперь входной сигнал f(xy у) состоит из последовательности различных неперекрывающихся образов f(x, y)=Si(x, y)+S2(xy y)+...+Sn(x, y)y G.60) то можно показать, что величина автокорреляции обычно больше, чем взаимной корреляции, т. е. S, (л, у) ® S», (х, у)\ > \S (x9 у) 9 S*t (x9 у)\. G.61) В этом можно убедиться, если функцию автокорреляции записать в следующем виде: *"(а' Р) = № Si {х' у) ^{х + а> у а функцию взаимной корреляции в виде *" (а' ;3) = JIJ S/{Xi У) S*1 {Х + а В максимуме функции автокорреляции, когда а=E=0, имеем \R,i @, 0I = JJ \St (x, y)\* dxdy, G.64) и аналогично |Я//@. 0)! = | J J Sy (jc. y)S"i(x9y)dxdy^/^\Si(x9 y)\2dxdy, 1ф\. G.65) Но неравенство Шварца утверждает \ У) ^(^ y)*xdv\<llPdx> y)\*dxdyX /(*. y)\2dxdy. G.66) Из этого следует, что 0)|<|iR«@f 0)|. G.67) 128
Равенство справедливо только тогда, когда Sj(x, y)=KSi(x, у). G.68) Необходимо подчеркнуть, что распознавание образа с помощью комплексной пространственной фильтрации не всегда является уникальным способом, исключающим погрешности. Тем не менее, а) б) Рис. 7.16. Распознавание знаков: а —набор букв и цифр; б — обнаружение буквы g (с разрешения Вандер Люгта) для большинства случаев эта схема обнаружения работоспособна. На рис. 7.16 и 7.17 показаны примеры распознавания образов, выполненные Вандер Люгтом. Для более детального изучения а) б) Рис. 7.17. Обнаружение сигнала на фоне случайного шума: а —входное изображение; б — результат обнаружения сигнала (с разрешения Вандер Люгта) проблемы комплексной пространственной фильтрации читатель может обратиться к блестящей статье Вандер Люгта, Ротца и Клустера «Считывание знаков с помощью оптической пространственной фильтрации» (см. гл. 7 в [7.2]). 129
7.4. Радиолокатор с синтезируемой апертурой Одним из интересных и уникальных случаев применения когерентной оптической техники является обработка сигналов антенны с синтезируемой апертурой. Анализ, представленный в настоящем параграфе, основан, главным образом, на работе Л. Катрона и др. [7.10]. Рассмотрим радиолокационную систему бокового обзора, установленную на борту самолета, как показано на рис. 7.18. Предположим, что последовательность импульсных радиолокационных сигналов направлена на местность от радарной системы на самолете, и что отраженные сигналы, зависящие от отражательной способности местности, принимаются с площадки, близлежащей 'Азимут Рис. 7.18. Радиолокатор бокового обзора Рис. 7.19. Схема, поясняющая работу радиолокатора бокового обзора к курсу самолета. Назовем координату радиолокационного изображения, поперечную направлению полета, «дальностью», а совпадающую с трассой полета «азимутом». Удобно также назвать координату, соединяющую траекторию радиолокатора на самолете с любой рассматриваемой целью, «наклонной дальностью». Если используется радиолокационная система обычного типа, то разрешение по «азимуту» будет иметь величину порядка Яп/Д где К — длина волны радиолокационных сигналов, г\ — наклонная дальность, a D — размер апертуры антенны вдоль трассы полета. Однако длина волны радиолокационного сигнала на несколько порядков больше оптической волны и, следовательно, для того, чтобы получить угловое разрешение, сравнимое с разрешением системы фоторазведки, требуется очень большая величина апертуры антенны D, Требуемая длина антенны может составлять десятки или даже сотни метров. Очевидно, что на самолете это трудно реализовать. Однако это затруднение можно преодолеть, применяя метод синтезированной апертуры. Предположим, что на самолете установлена маленькая антенна бокового обзора и что относительно широкий луч радара сканирует местность за счет движения само- 130
лета. Положения самолета, в которых излучаются радиолокационные импульсы, можно рассматривать как элементы линейной антенной решетки. Тогда принимаемый сигнал в каждом из этих положений регистрируется когерентно как функция времени, поскольку на радиолокационный приемник подается опорный сигнал, позволяющий одновременно регистрировать и амплитудную, и фазовую информацию. Затем различные записанные комплексные волны соответствующим образом обрабатываются для синтеза действительной апертуры. Чтобы изучить более подробно, как реализуется этот метод синтезирования антенны, рассмотрим сначала задачу с точечной целью и затем распространим полученные результаты методом суперпозиции на более сложный случай. Предположим, что точечная цель находится в точке Х\ (рис. 7.19). Радиолокационный импульс формируется путем периодической прямоугольной модуляции синусоидального сигнала с угловой частотой ко. сЭти периодические импульсы дают информацию о дальности и точное разрешение по азимуту при условии, что расстояние, пролетаемое самолетом между выборками импульсов, меньше, чем я/Ар, где Ар — пространственная ширина полосы частот отражений от земной поверхности. Тогда сигнал, отраженный от точечной цели, можно записать в виде Sx (t) =АХ ехр [ш (¦<—2г/ с) ], G.69) где А\ — соответствующая комплексная постоянная. Комплексная величина А\ включает такие факторы, как излучаемая мощность, отражательная способность цели, фазовый сдвиг и закон распространения (обратно пропорционально четвертой степени мощности). Воспользовавшись параксиальным приближением, дальность г можно записать так G.70) Подставляя G.70) в G.69), получаем Sl(t)=Al(xu ri)exp{i[(ot-2krl~k(x-xlyirl]}9 G.71) где k=2nj%. Выражение G.71) зависит от t и х, причем пространственные и временные переменные связаны между собой соотношением x=vt, G.72) где v — скорость самолета. Если теперь предположим, что местность на расстоянии г\ состоит из набора п точечных целей, то, воспользовавшись методом суперпозиции, запишем полный отраженный сигнал в виде 2 5Л@ = 2 An(Xn,r1)exp{i[<*>t-2kr1-k(vt-xn)*lr1]}. Л=1 /1=1 G.73) 131
Если отраженный радиолокационный сигнал, описываемый G.73), демодулируется с помощью синхронного детектора, то демодули- рованный сигнал можно записать так: S @ = S I4.С*». r')lcos К* - 2kr> -И*- xtfjrt + 9„], G.74) /1=1 где ©с — произвольная несущая частота, a cpn — произвольный фазовый угол. Начало развертки Неправление перемещения пленки ЭЛТ Конец развертки Модуляция интенсивности Смещение+S(tJ О Рис. 7.20. Схема записи отраженного радиолокационного сигнала для его последующей обработки Для запоминания отраженного радиолокационного сигнала, описываемого G.74), применяют электронно-лучевую трубку. Подаваемый на нее демодулированный сигнал модулирует интенсивность электронного луча, который развертывается в вертикальном направлении синхронно с отраженными радиолокационными импульсами (рис. 7.20). Если изображение сигнала с.экрана трубки спроектировать на фотопленку, которая перемещается в горизон- На правление перемещения пленки i Изображение | мо&улироЗанмц по интенсивности стдо/ru ЭЛТ Рис. 7.21. Пленка с записью радиолокационного сигнала тальном направлении с постоянной скоростью, то будет зарегистрирована последовательность трасс дальности, которые сформируют двумерное изображение (рис. 7.21). Вертикальные линии описывают развертку по дальности, а по горизонтали откладываются положения азимута. Таким образом, зарегистрированное изображение представляет собой набор выборок сигнала S(t). Эта выборка осуществляется таким образом, что к моменту окончания записи сигналов на пленке она оказывается существенно неразличимой от первоначального сигнала. При такой регистрации очевидно, что переменные по времени преобразуются в переменные по пространству в значениях расстояния вдоль линии записи. При правильной экспозиции прозрачность регистрирующей плен- 132
ки представляет изменение отраженного радиолокационного сиг* нала по азимуту. Таким образом, если рассматривать только данные, зарегистрированные в направлении у=уи амплитудное пропускание можно представить в виде T(x,y) = Kl + K,J^\An(^rt)\cos[mxx-2krt—^-X G.75) где К\ и /С2 — смещение и коэффициент пропорциональности, х= > — координата пленки; Vf — скорость перемещения пленки; у. Поскольку косинус можно представить в виде суммы двух комплексно-сопряженных экспонент, то сумму в G.75) можно записать в виде двух сумм Т\ и Т^\ г,) [ exp |- i [mxX - 2krx - Для простоты ограничимся задачей для одной цели. Тогда для n=j уравнение G.76) принимает вид ^ (х, ух) = С ехр A<»хх) ехр [-*-?- (-^-J (х - Ц- х^\, G.78) где С — соответствующая комплексная постоянная. Первая экспонента G.78) описывает линейную фазовую функцию, т. е. просто наклон излученной волны. Угол наклона к плоскости пленки определяется выражением sine=©x/*i, G.79) где &1=2я/Яь a A,i—длина волны освещающего источника света. Из второй экспоненты G.78) следует, что искомая передаточная функция равна передаточной функции положительной цилиндрической линзы, с центром в точке G.80) и с фокусным расстоянием где Х\ —длина волны освещающего источника света. 133
Таким образом, за исключением линейной фазовой функции G.76) является суперпозицией N положительных цилиндрических линз, центрированных в точках, определяемых выражением x=vfxn/v, n=l, 2, ..., N. G.82) Аналогично G.77) содержит линейный фазовый множитель —9 и описывает суперпозицию N отрицательных цилиндрических линз, с центрами, определяемыми G.82), и с фокусными расстояниями, описываемыми G.81). Для восстановления изображения транспарант, соответствующий G.75), освещают монохроматической плоской волной, как показано на рис. 7.22. Тогда можно показать, применяя теорию Мнимые изображения, L. формируемые \ J } Действительные изображения, формируемые С бет дифракции нулевого порявке Рис. 7.22. Восстановление изображения с пленочного транспаранта для У=У1 Транспарант Френеля — Кирхгофа или принцип Гюйгенса, что действительные изображения, создаваемые Тх(х, ух)у и мнимые изображения, создаваемые Т2(х, у{), будут восстанавливаться в передней и задней фокальных плоскостях пленки. Относительные положения изображений точечных рассеивателей распределяются вдоль линии фокусов, так как многочисленные центры линзоподобной структуры пленки определяются положением точечных рассеивателей- Однако восстановленное изображение будет размазано в направлении у\ вот почему эта пленка является по существу реализацией одномерной функции вдоль у=У\ и, следовательно, в этом направлении не оказывается никакого фокусирующего действия. Поскольку нашей целью является восстановление изображения не только в азимутальном направлении, но и в направлении дальности, необходимо отображать координату у непосредственно на фокальной плоскости азимутального изображения. Чтобы выполнить это, напомним, что из G.80) фокусное расстояние распределения азимутального изображения прямо пропорционально дальности Г\. В свою очередь, фокусное расстояние прямо пропорционально рассматриваемой координате г/. Таким образом, чтобы создать карту местности, мы должны отобразить координату у передаваемого сигнала на плоскость, положение которой определяется фокусными расстояниями азимутального направления. Это 134
можно легко осуществить, установив положительную коническую линзу непосредственно за регистрирующей пленкой, как показано на рис. 7.23. Очевидно, что если коэффициент /пропускания конической линзы равен Ti(x9 G.83) где / — линейная функция от гь как показано в G.81), то можно полностью удалить всю названную плоскость всей мнимой дифракции в бесконечность, при этом оставить коэффициент пропускания в направлении у неизменным. Таким образом, если цилиндрическую линзу поместить на фокусном расстоянии от пленочного транспаранта, мнимое изображение в направлении у получится в бесконечности. Пусть азимутальное изображение и изображение Цилиндрическая линза Коническая линза Сферическая Л> линзе Записанный на пленке транс/гарант Рис. 7.23. Система оптической обработки сигналов антенны с синтезируемой апертурой для получения изображения местности в направлении дальности (т. е. в направлениях х и у) совпадают, но в бесконечно удаленной точке. Их можно перенести обратно на конечное расстояние с помощью сферической линзы. При этой конечной операции действительное изображение координат местности по азимуту и по дальности будет сфокусировано на выход* ной плоскости системы. Однако на практике желаемое изображение регистрируется через щель в выходной плоскости. На рис. 7.24 приведен пример изображений, получаемых с помощью оптической системы обработки сигналов от радиолокатора с синтезированной апертурой. Радиолокационное изображение было получено в области Монро, южнее Детройта, штат Мичиган. На фотографии показано большое количество рассеивателей в виде городских улиц, участков, покрытых лесом, ферм. Справа можно видеть озеро Эрие и несколько разбитых льдин на нем. 7.5. Оптическая обработка широкополосных сигналов Важным случаем применения когерентных оптических систем является спектральный анализ широкополосных сигналов. Было установлено, что с помощью метода оптической обработки данных, предложенного Томасом [7.13], можно выполнять спек- 135
тральный анализ сигналов с широкой пространственной полосой частот почти в реальном масштабе времени. О применении этого способа для обработки широкополосных радиосигналов сообщил Маркевич [7.14]. В данном параграфе будет рассмотрен способ оптической обработки информации, который применим для обработки широкополосных сигналов. Перед тем, как перейти к рассмотрению этого метода, следует учесть основной недостаток многоканального оптического спектроанализатора (см. § 7.2), а именно то, что его разрешение ограничено длиной входного канала (т. е. шириной входной апертуры). Однако это затруднение легко преодолеть, используя двумерный оптический спектроанализатор, такой, например, как на рис. 7.4. Рис. 7.24. Изображение зоны Монро, штат Мичиган, полученное с помощью радиолокатора бокового обзора с синтезируемой апертурой (с разрешения Л. Кат- рона) Если входной транспарант f(x, у) поместить во входную плоскость анализатора, то комплексное световое поле в плоскости (ру Я) будет F(P, Ч)=С J J f(x9 y)exp[—i(px+qy)]dxdy> G.84) т. е. равно преобразованию Фурье входного сигнала f(x, у), где С — комплексная постоянная. Убедимся теперь с помощью основного двумерного преобразования Фурье, что сигнал с широкой пространственной полосой частот можно обработать несколько иным способом. Широкополосный сигнал можно зарегистрировать, например, фотографируя 136
растр с экрана электронно-лучевой трубки, который формируется построчным разложением, как показано на рис. 7.25. Широкополосный сигнал модулирует луч ЭЛТ по интенсивности. Скорость развертки луча ЭЛТ выбирается таким образом, чтобы были зарегистрированы максимальные частотные составляющие широкополосного сигнала без потерь в разрешении. Таким образом, требуемая скорость развертки электронного луча равна 1>>/ж/'Д, G.85) где v — скорость развертки; fm — максимальная частота широкополосного сигнала; R — предел разрешения оптической системы. Конечно, предполагается, что время обратного хода луча ЭЛТ гораздо меньше \jfm- Рис. 7.25. Транспарант с построчной растровой записью широкополосного входного сигнала Пропускание зарегистрированного кадра можно представить так f (¦*>*)=2 f(x)f(y)> где N = h/b. Здесь <7-86) р.87, f(y)= О, в остальной области, 1, ~2 (п— 1N — а< у<~2 (п—\)Ь\ ПШ О, в остальной области. Если этот кадр установить во входную плоскость анализатора, то комплексное световое поле в области пространственных частот можно записать в виде N F(p, q) = С f Г у. f(x) f (у) ехр [— i (px -f- qy)] dx dy9 G.89) 137 где С — комплексная постоянная.
Равнозначно можно переписать G.89) следующим образом: F (р, q) = С 2 J f (х) ехр (- ixp) dx J / (у) exp (- /де) dy. G.90) Подставляя G.87) и G.88) в G.90), получаем XJexp {_/-|-[А_2(я-1N-а]}, G.91) где С, — комплексная постоянная и = J f (JC) exp (- ipx') dx', x' = х+Bя - 1) -f-, Для простоты предположим, что широкополосный сигнал есть простая синусоида (/(х') =sinpox'), wc^h и be*а. Тогда G.91) можно представить в виде F (/?, q) = Сх sine (~-J У} jsinc л=1 G.92) С целью еще большего упрощения анализа рассмотрим только один из компонентов, скажем, б (р—ро), т. е. Рг'.(Р, Я) = С, sine [-J- (/; - a)] sine р-) X Хехр (- iS^j JJ exp[i 4-B«- 1) (»A + *7)]. G-93) Соответствующую интенсивность можно выразить так 8 | \ [^-(z,-/,,)] sine N N ехр[ —/2яв], G.94) где • = (»А + ЭД/2. G.95) 138
Но (см. [7.15]) N G.96) V w w У Л=1 /1=1 Поэтому /j (p9 q) можно записать в виде /, (р, q)= C\ sine* [-f- (р - Л)] sine8 (ij.)B§?)'. G.97) Из G.97) очевидно, что первая sine-функция описывает относительно узкую спектральную линию в направлении р, находящуюся в точке р=ро, что вытекает из преобразования Фурье чистой синусоиды, ограниченной до ширины до входного транспаранта. Вторая sine-функция описывает относительно широкую спектральную полосу в направлении q, что следует из преобразования Фурье прямоугольного импульса шириной а (т. е. ширины канала). Последний сомножитель заслуживает особого внимания, так как при больших значениях N он описывает последовательность узких импульсов. Положения этих импульсов (т. е. пиков) можно получить, полагая 6=яя, что дает q=Bnn—wpQ)/6, л=1, 2, ... G.98) Таким образом, этот сомножитель дает точное спектральное разрешение в направлении q. Углубляя трактовку уравнения G.97), отметим, что интенсивность в направлении р заключена в пределы относительного узкого спектрального диапазона, который существенно зависит от до. Оказывается, что полуширина спектрального интервала (от центра до первого нуля) равна Ар=2я/до, G.99) что является пределом разрешения идеальной преобразующей линзы. В направлении q интенсивность сигнала распределена внутри сравнительно широкой спектральной области (которая зависит, главным образом, от ширины канала а) с центром в #=0 и затем модулируется последовательностью узких периодических импульсов. Полуширина спектральной полосы равна Aq==2n/a. G.100| Расстояние между узкими импульсами получается из аналогичного выражения, т. е. Aqx=2n/b. G.101) Из уравнений G.100) и G.101) следует, что в пределах широкой спектральной полосы дли каждого ро лежит очень небольшое количество импульсов, как показано на рис. 7.26. 139
Действительное положение любого из импульсов определяется частотой сигнала. Таким образом, если частота сигнала изменяется, то положение импульсов также изменяется в соответствии с dq=wdpo/b. G.102) Смещение в направлении q пропорционально смещению в направлении р. Но N=hjbc^.wjb есть число линий развертки. Таким lot) Рис. 7.26. Широкая спектральная полоса, модулированная последовательностью узких импульсов образом, выходной спектр обеспечивает требуемое разрешение по частоте, что эквивалентно анализу полного сигнала в одном непрерывном канале. Во избежание неясности при считывании результата анализа в выходной плоскости следует пренебречь всеми периодическими Рис. 7.27. Траектории частот в выходной спектральной плоскости импульсами, кроме одного. Это можно выполнить, закрывая всю выходную плоскость, за исключением области —n/b^q^njb, 0<p<oo, G.ЮЗ) как показано на рис. 7.27. Периодические импульсы отстоят друг от друга на расстоянии 2я/й, поэтому когда частота входного сигнала увеличивается, один импульс выходит из открытой области, описываемой G.103) при q=—я/Ь, а другой импульс входит в эту 140
область при q=n/b. Как вытекает из G.102), единственное яркое пятно обычно сканируется по диагонали в выходной плоскости. Положение входного сигнала в пространстве частот зависит от временной частоты. И, наконец, чтобы устранить неравномерности характеристики второго sine сомножителя в G.97), в выходную плоскость процессора можно поместить аподизирующий транспарант. До сих пор мы предполагали, что входной сигнал регистрировался на линейной фотопленке (объект, который мы будем тщательно исследовать в следующей главе). Анализ выполнялся на р—з— т Рис. 7.28. Схема спектро- анализатора, работающего почти в реальном времени одном кадре. Однако регистрацию можно было произвести и на непрерывно движущейся ленте. В этом случае можно создать спектроанализатор, работающий почти в реальном масштабе времени. Принцип работы в масштабе времени, близком к реальному, обычно сводится к применению непрерывной фотопленки и быстродействующего устройства для ее проявления, как показано схематически на рис. 7.28. Модулирующий сигнал поступает на ось z электронно-лучевой трубки. Затем модулированный электронный луч разворачивается на экране ЭЛТ с помощью генератора пилообразных импульсов. Изображение с экрана ЭЛТ проектируется на медленно движущуюся фотопленку. Затем экспонированная пленка поступает в быстродействующий проявитель. Такие устройства имеются в продаже [7.13, 7.14], причем проявление и закрепление занимают от нескольких секунд до минуты. После проявления пленка перемещается во входную плоскость спектроанали- затора. Выходной спектр можно наблюдать на экране телевизора, как показано на рис. 7.28. При этом можно наблюдать непрерывно изменяющийся во времени спектр сигнала. Этот выходной спектр можно также снять на пленку с помощью кинокамеры, чтобы воспользоваться им позднее. 141
Допустимое время задержки от поступления сигнала на вход до отображения его спектра на выходе обычно ограничено временем перемещения пленки от ЭЛТ до оптического процессора. Эта допустимая задержка в какой-то степени зависит от физического построения системы, однако, больше всего времени затрачивается на проявление пленки. Можно сократить допустимую задержку до величины от нескольких секунд до минуты. Широкополосный оптический спектроанализатор обеспечивает сравнительно широкие возможности при обработке данных. Укажем только на одно применение, когда выходной изменяющийся во времени спектр может быть непосредственно подан на вход преобразователя аналог — код и затем в ЭВМ для последующей обработки. Этот случай может быть важен в будущем для автоматического обнаружения сигналов, их синтеза и распознавания. В настоящее время возможно создание непрерывного спектро- анализатора, работающего в масштабе времени, близком к реальному, с произведением пространства на ширину полосы частот до 106 [7.13, 7.14]. Задачи 7.1. Дано когерентное устройство оптической обработки информации, показанное на рис. 7.29. Обозначим амплитудное пропускание входного транспаранта f(x> У) у а выходное комплексное световое поле F(py q) [преобразование Фурье f(x9 у)]. Интенсивность на выходе регистрируется на линейной фотопластинке. S — монохроматический точечный источник. Покажите, что распределение света на выходе будет пропорционально функции автокорреляции f(x, у), если этот записанный транспарант поместить во входную плоскость вместо первоначального транспаранта. Рис. 7.29. Схема когерентного оптического процессора 7.2. Допустим, что пропускание транспаранта Т(ху у) определяется выражением Т (х, у) = 1/2 + sin Ух2 + у2/4. Предложите схему когерентного оптического процессора и соответствующего пространственного фильтра для получения наиболее контрастного изображения транспаранта. 7.3. Транспарант содержит сигнал, погруженный в аддитивный белый гаус- совский шум. Синтезируйте соответствующий когерентный оптический процессор для фильтрации сигнала. Полагают, что сигнал пространственно ограничен и описывается выражением 142 в остальной области.
Найдите простой амплитудный фильтр, который бы значительно увеличил отношение сигнал/шум на выходе. 7.4. Для оптической системы на рис. 7.3 синтезируйте соответствующий пространственный фильтр, такой, чтобы выходной сигнал был пространственной производной от входной прозрачности. 7.5. Пусть входная прозрачность устройства обнаружения, изображенного на рис. 7.11, описывается выражением f(x, */)=ехр[-(**+</2)] ехр«»(*»+0»)ЧЧ, где Р — -положительная действительная постоянная, и предполагается, что аддитивный пространственный шум является белым и гауссовским. а) Синтезируйте согласованный фильтр, такой, чтобы отношение сигнал/шум в выходной плоскости было бы оптимальным; б) определите соответствующее распределение амплитуд света на выходе этого процессора. 7.6. Имеют место определенные соотношения между действительной и мнимыми частями передаточной функции линейной системы. Эти соотношения можно выразить с помощью пары преобразований Гильберта где f(x)~fr(x)-\4fi(x)—комплексозначная функция, причем fr(x) и fi(x) -— соответственно действительная и мнимая части. Предложите схему когерентной оптической системы, способной выполнять соответствующие преобразования Гильберта. 7.7. Способ оптической обработки информации, рассмотренный в задаче 7.6, можно распространить на пару двумерных преобразований Гильберта —о® 00 Синтезируйте оптическую систему, способную выполнять эти двумерные преобразования. 7.8. Дан метод изготовления комплексного пространственного фильтра, как показано на рис. 7.30,а, причем транспарант сигнала s(x, у) установлен на расстоянии d позади преобразующей линзы. Амплитудная прозрачность записываемого пространственного фильтра пропорциональна сигналу. Определите соответствующее место входной плоскости системы, показанной на рис. 7.30,6, если этот пространственный фильтр используется для обнаружения сигнала. 7.9. Комплексный пространственный фильтр из предыдущей задачи установлен во входную плоскость оптического процессора, показанного на рис. 7.31. Каково комплексное распределение света в выходной плоскости? 7.10. Два входных транспаранта с амплитудной прозрачностью fi(x, у) и Ы*» У) помещены в переднюю фокальную плоскость преобразующей линзы оптического процессора, как показано на рис. 7.32. Транспаранты центрированы в координатной плоскости (лс, у) в точках (а, 0) и (—а, 0) соответственно. Вычислите интенсивность в задней фокальной плоскости линзы. 7.11. Выходная интенсивность системы на рис. 7.32 записана на линейной фотопленке. Этот транспарант помещен во входную плоскость оптической системы, показанной на рис. 7.33. а) Найдите комплексное распределение света в задней фокальной плоскости преобразующей линзы; 143
*) Фильщ Рис. 7.30. Схема синтеза комплексного пространственного фильтра (а) и схема процессора, в котором он используется (б) Вхидная плоскость бьшШя Шшсть Рис. 7.31. Схема оптического процессора Рис. 7.32. Схема оптического процессора 144
б) кратко рассмотрите важные функциональные операции над }г(х и) и Ы*> У) в выходной плоскости (а, р). 7.12. Рассмотрите систему когерентной оптической обработки информации с падающей монохроматической плоской волной (рис. 7.34). Два сигнальных транспаранта с прозрачностью fi(x, у) и f2(xt у) установлены в передней фокальной плоскости первой преобразующей линзы с центрами в точках (а, 0) и (—а, 0); Определите амплитудное распределение света в выходной плоскости оптической системы, если имеется синусоидальная решетка с амплитудным пропусканием Т{р> <7) = l/2+cosap/2 при любом q. 'jA У/ Рис. 7.33. Схехма оптического процессора Рис. 7.34. Схема оптического процессора 7.13. Решите задачу 7.12, если в ней косинусоид а льная решетка заменена синусоидальной решеткой с амплитудной прозрачностью Г(р, ^r) = l/2+sin ар/2 при любом q. Покажите, как это повлияет на выходные функциональные операции. 7.14. Рассмотрите пространственно-мультиплексный транспарант, представляющий собой запись двух изображений А\(х, у) и Л2(а:, у), полученных через синусоидальную решетку в контакте с пленкой. Соответствующую прозрачность можно записать так Т(х, у) =K+Ai(x, у) cos р0х+А2(х, у) cos qoy, где К — произвольная постоянная и р0, <7о — соответствующие несущие частоты в пространственно-частотных координатах (р, q). Предполагается, что изображения А\(х, у) и А$(х, у) имеют ограниченную область пространственных частот, лежащую в пределах круга радиусом г=го, где го<ро/2 и ro<qo/2. Эти транспаранты помещены во входную плоскость Pi оптического процессора, изображенного на рис. 7Л\. а) Определите комплексное распределение света в ллоскоети пространственных частот Р2\ б) синтезируйте пространственный фильтр такой, чтобы световое поле на выходе представляло либо А\(х, у), либо А2(х, у). 145
7.15. После анализа G.96) и рассмотрения схемы широкополосного оптического анализатора спектра, описанного в § 7.5. а) Определите соответствующее частотное разрешение в выходной спектральной плоскости (частотное разрешение, т. е. точка на уровне 3 дБ в направлении <7, можно определить, приравнивая G.96) половине максимальной амплитуды гребенчатой функции N2/2); б) покажите, что число разрешаемых элементов в выходной плоскости пропорционально числу строк развертки, если число строк развертки N становится очень большим. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 7.1. D. К. Pollack, С. J. Koester, and J. Т. Tippett (eds.), Optical Processing of Information, Spartan Books, Baltimore, Md., 1963. 7.2. J. T. Tippett et al. (eds.), Optical and Electro-Optical Information Processing, The MIT Press, Cambridge, Mass., 1965. 7.3. P. Elias, D. S. Grey, and D. Z. Robinson, Fourier Treatment of Optical Processes, J. Opt. Soc. Am., 42 A952), 127. 7.4. P. Elias, Optics and Communication Theory, J. Opt. Soc. Am., 43 A953), 229. 7.5. E. L. O'Neill, Spatial Filtering in Optics, IRE Trans. Inform. Theory, IT-2 A956), 56. 7.6. E. L. O'Neill (ed.), Communication and Information Theory Aspects of Modern Optics, General Electric Co., Electronics Laboratory, Syracuse, N. Y., 1962. 7.7. L. J. Cutrona et al., Optical Data Processing and Filtering Systems, IRE Trans. Inform. Theory, IT-6 A960), 386. (Рус. пер.: Катрона Л. и др. Оптическая обработка данных и системы фильтрации. Зарубежная радиоэлектроника, 1962, № 10, с. 3—30). 7.8. A. Yander Lugt, Signal Detection by Complex Spatial Filtering, IEEE Trans. Inform. Theory, IT-10 A964), 139. 7.9. A. Vander Lugt, Signal Detection by Complex Spatial Filtering (Radar Laboratory Report iNb 4594-22-T), Institute of Science and Technology, University of Michigan, Ann Arbor, 1963. 7.10. L. J. Cutrona et al., On the Application of Coherent Optical Processing Techniques to Synthetic-Aperture Radar, Proc. IEEE, 54 A966), 1026. 7.11. J. W. Goodman, Introduction to Fourier Optics, McGraw-Hill, 1968. (Рус. пер,: Гудмен Дж. Введение в Фурье-оптику. — М.: Мир, 1970.) 7.12. Е. N. Leith et al., Introduction to Optical Data Processing, course notes, University of Michigan Engineering Summer Conference, Ann Arbor, 1967. 7.13. С. Е. Thomas, Optical Spectrum Analysis of Large Space-Bandwidth Signals, Applied Optics, 5 A966), 1782. 7.14. B. V. Markevitch, Optical Processing of Wideband Signals, 3rd Annual Wideband Recording Symposium, Rome Air Development Center, April, 1969. 7.15. R. V. Churchill, Fourier Series and Boundary Value Problems, McGraw-Hill, New York, 1941, p. 32. Глава 8 ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ФОТОГРАФИЧЕСКОЙ ПЛЕНКИ Фотографическая пленка (или пластинка) играет важную роль в современных когерентных системах обработки информации в качестве оптического элемента. Хотя в основном она применяется в качестве регистрирующей среды, ее можно также использовать для изготовления комплексных пространственных фильтров и сигнальных транспарантов. Существует целый ряд других оптиче- 146
ских элементов, таких как: фотохромная пленка, термопластическая лента и другие, которые обладают некоторыми оптическими свойствами фотопленки. Однако эти материалы пока еще находятся в стадии исследования и разработки, и нет уверенности, что в будущем они смогут полностью заменить фотографическую пленку или пластинку. Именно поэтому нам представляется необходимым для описания основных свойств фотопленки отвести целую главу, которая, однако, ни в коей мере не может претендовать на полноту изложения. Более детальное описание фотографического процесса можно найти в книгах Миза и Джеймса [8.1, 8.2]. 8.1. Фотопленка как регистрирующая среда Прежде всего обратимся к рассмотрению свойств фотопленки в качестве регистрирующей среды. Фотографический детектор обычно состоит из подложки, сделанной из прозрачной стеклянной пластины или из ацетатной пленки, и слоя фотоэмульсии (рис. 8.1). Фотоэмульсия представляет собой взвесь мельчайших фоточувствительных частиц галоидного серебра, более или мене® равномерно распределенную в желатине. Под воздействием света некоторая часть зерен галоидного серебра поглощает оптическую энергию и претерпевает сложное физическое изменение. Часть зерен, поглотивших достаточное количество световой энергии, мгновенно восстанавливается, образуя мельчайшие частицы металлического серебра (это и есть так называемые центры проявления). Восстановление до серебра завершается химическим процессом проявления. Те же зерна, которые не были проэкспониро- ваны или не поглотили достаточного количества оптической энергии, остаются без изменений. Если такую проявленную пленку затем подвергнуть химическому закреплению (фиксированию), то неэкспонированные зерна галоидного серебра будут удалены и в желатине останутся только частицы металлического серебра. Эти частицы металлического серебра, остающиеся в эмульсии, на оптических частотах в основном непрозрачны. И, таким образом, пропускание проявленной пленки зависит от плотности этих частиц металлического серебра (т. е. проэкспонированных и проявленных зерен) в желатине. Зависимость пропускания по интенсивности от плотности проявленных зерен была впервые выведена в ставшей классической работе Ф. Хюртера и В. Ч. Дрифилда, 1890 г. [8.3]. Они показали, что поверхностная плотность частиц металлического серебра проявленной пленки должна быть пропорциональна —lg Ti\ иными словами, они определили фотографическую плотность следующей формулой: D=-\gTh (8.1) где Тг — пропускание по интенсивности. Это пропускание по интенсивности в свою очередь определяется выражением x, у) >, (8.2) 147
где ( ) обозначает усреднение по ансамблю, a h(x, у) и h(x, у) обозначают соответственно входную и выходную интенсивность в точке (я, у). Для описания фоточувствительности данной фотопленки чаще всего используется введенная Хюртером и Дрифилдом кривая (иначе называемая просто кривой Н—D) *>, изображенная на рис. 8.2. Она выражает зависимость плотности' проявленных зерен от логарифма экспозиции Е. Кривая показывает, что если экспозиция не превышает определенного уровня, то фотографическая плотность не зависит от экспозиции; эта минимальная плотность обычно называется «вуалью». С ростом экспозиции от «основания» кривой плотность начинает увеличиваться прямо пропорционально lg?. Наклон прямолинейного участка характеристической кривой принято называть гаммой плен- щ Лрвзрачгтя Рис. 8.1. Сечение фотопленки. Эмульсия состоит из частиц галоидного серебра, взвешенных в желатине Рис. 8.2. Характеристическая кривая фотослоя (кривая Я—D) ки у. Если экспозиция продолжает расти и выходит за пределы прямолинейного участка, то после прохождения промежуточной области, называемой «плечом», наступает момент насыщения плотности. После наступления насыщения рост экспозиции не вызывает никакого увеличения плотности проявленных зерен. В обычной фотографии используется именно прямолинейный участок характеристической кривой. Однако, как будет показано в гл. 12, в случае линейной оптимизации при записи волнового фронта и при синтезе комплексного пространственного фильтра оптимальная запись не ограничивается линейной областью характеристической кривой. Фотопленка с большим значением у обычно называется высококонтрастной. И наоборот, пленка с низким значением у называется слабоконтрастной. На величину у обычно влияет не только тип используемой фотоэмульсии, но и химический состав проявителя, а также время проявления. Таким образом, на практике оказывается возможным с удовлетворительной точностью достичь за- *) В отечественной литературе эта кривая называется характеристической кривой, и в дальнейшем будет использоваться этот термин. — Прим. ред. 148
данной величины у при условии, что используются необходимые для этого типы пленки и проявителя, а также, если время проявления не выходит за пределы допустимого. В некоторых случаях, особенно при некогерентной обработке информации, пропускание по интенсивности проявленной пленки оказывается более подходящим параметром, чем плотность пленки. Мы сначала рассмотрим свойства фотопленки при некогерентном освещении, а затем обратимся к случаю когерентного освещения. Если данная пленка проэкспонирована в прямолинейной области характеристической кривой, то оптическая плотность может быть записана так: D=yn\gE-DOy (8.3) где индекс п указывает на то, что используется негативная пленка, a Do — точка пересечения прямолинейной части характеристической кривой с ординатой плотности. Подставив (8.1) в (8.3), получим где / — интенсивность падающего излучения, a t — время экспозиции. (Следует обратить внимание на то, что энергия, получаемая пленкой, задается выражением E=It.) Значит, (8.4) можно переписать Т1п=КпГ\ (8.5) где Кп= lOD°t n — положительная постоянная. Из (8.5) видно, что пропускание по интенсивности нелинейно по отношению к интенсивности падающего излучения. Однако можно достичь положительной степенной зависимости между пропусканием по интенсивности и интенсивностью экспонирующего излучения. Для этого необходимо прибегнуть к двухступенчатому процессу, называемому контактной печатью. На первом этапе осуществляют запись на негативной пленке. На втором этапе негативную пленку помещают под проявленной и сквозь первую пропускается некогерентный свет с тем, чтобы проэкспонировать вторую. Проявив вторую пленку так, чтобы достичь при этом заданного значения у, можно получить положительный транспарант с линейной зависимостью между пропусканием по интенсивности и интенсивностью при экспонировании. Для иллюстрации этого двухступенчатого процесса рассмотрим пропускание по интенсивности проявленной пленки (т. е. позитивного транспаранта), которое равно Th = KMCn\ (8.6) где Кп2 — положительная постоянная. Индекс п2 указывает на повторный негативный процесс. Интенсивность /2 является интенсив- 149
ностью, экспонирующей вторую пленку, и может быть записана в виде h=hT<n, (8.7) где Т1п = КП1Г"п\ Здесь индекс п\ указывает на первичный негативный процесс. Интенсивность, освещающая первую пленку во время контактной печати, равна /ь а / — это интенсивность, первоначально экспонировавшая первую пленку. Подставив (8.7) в (8.6), получим (8.8) где K = является положительной постоянной. Достичь линейной зависимости между пропусканием по интенсивности положительного транспаранта и интенсивностью падающего излучения при записи можно также при условии, что общая гамма будет равна единице, Т. е. ДОбиТЬСЯ ТОГО, ЧТОбы Ynl?n2=l. Если пленка используется в качестве оптического элемента в когерентной системе, то следует брать комплексное амплитудное пропускание, а не пропускание по интенсивности. Комплексное амплитудное пропускание определяется следующим образом: Т(х, y)=*[Ti(x9 у)У'*ехр [Лр(*, у)], (8.9) где Тг — пропускание по интенсивности, а ф (х, у) — случайные сдвиги по фазе. Эти сдвиги по фазе возникают в основном из-за изменений в толщине эмульсии, вызываемых двумя явлениями. Это, во-первых, довольно грубые изменения «внешнего масштаба», представляющие собой отклонения от оптимальной плоскостности как эмульсии, так и подложки. И, во-вторых, это едва заметные изменения «внутреннего масштаба», возникающие в результате беспорядочных флюктуации плотности проявленных зерен серебра, которые, как было доказано, вызывают неравномерное разбухание окружающей желатины. Это мелкоструктурное изменение толщины эмульсии зависит от экспозиции пленки. В большинстве случаев на практике сдвиги по „фазе, возникающие из-за изменений в толщине эмульсии, можно устранить с помощью иммерсионной ячейки (рис. 8.3). Такая ячейка состоит из двух параллельных оптических плоских стеклянных пластин, пространство между которыми заполнено жидкостью с подходящим коэффициентом преломления, т. е. жидкостью с коэффициентом преломления, близким к коэффициенту преломления эмульсии пленки. Если проявленную пленку погрузить в такую жидкостную ячейку, то общее комплексное амплитудное пропускание можно будет записать в виде выражения Т(х, у)=[Тг(х9 у)У*\ (8.10) 150
которое уже является действительной функцией. Случайный сдвиг по фазе, таким образом, оказывается устраненным. Обратимся к негативному и позитивному транспарантам двухступенчатого процесса, т. е. вспомним (8.5) и (8.8). Амплитудные пропускания этих двух транспарантов можно записать так (8.11) <8Л2) где и — комплексная амплитуда падающего регистрируемого поля. Тогда амплитудное пропускание двухступенчатого контактного процесса можно представить в виде Т = Кг\и\\ (8.13) Эмульсия Иммерсионная жидкость ч» t Стеклянные ллистины Рис. 8.3. Иммерсионная жидкостная ячейка. Внешние стеклянные поверхности имеют оптическую плоскостность 0 дкмозиция ? Рис. 8.4. Зависимость амплитудного пропускания от экспозиции для негативной фотопленки (кривая Т—Е) где К\ — положительная постоянная, а у=уп\Уп2- Из этого следует, что достичь линейной зависимости между амллитудным пропусканием и амплитудой регистрируемого светового поля можно при условии, если общая гамма будет равна единице. Иными словами, мы наблюдаем ту же картину, что и в случае некогерентного освещения. Следует отметить, что часто удобно выбрать первую гамму меньшей единицы (например, уп1=1/2), a вторую — большей двух (например, уп2=А). Тогда общая гамма будет равна 2. В результате получаем квадратичную, а не линейную зависимость между пропусканием по интенсивности и интенсивностью падающего излучения. Однако из (8.10) видно, что для амплитудного пропускания эта зависимость становится линейной. При когерентной обработке информации в большинстве случаев гораздо удобнее использовать не характеристическую кривую, а непосредственно характеристику передачи, которую часто называют кривой Т—Е (рис. 8.4). Из рис. 8.4 видно, что если рабочая точка лежит в пределах линейной области кривой Т—Е, то в пределах определенного динамического диапазона пленка будет 151
иметь наилучшую линейную передачу амплитудного пропускания. Если Eq и Tq обозначают экспозицию и амплитудное пропускание, соответствующие выбранному смещению (т. е. исходному положению рабочей точки), то в пределах линейной области характеристики передачи амплитудное пропускание можно записать так: —EQ) =Гд + а/| Ди|2, (8.14) где a — угол наклона, измеряемый в точке покоя Т—Е кривой; \Аи\—приращение амплитуды, а a'=at, где t — время экспозиции- Другие случаи использования кривой Т—Е и характеристики прямой передачи описаны в [8.4, с. 48] и в [8.5]. В заключение параграфа следует подчеркнуть, что в некоторых когерентных оптических системах, особенно при восстановлении волнового фронта, нет необходимости ограничивать регистрируемый сигнал в пределах линейной области кривой Т—Е. Устранение линейного ограничения при восстановлении волнового фронта будет детально рассмотрено в гл. 12. Будет показано, что для оптимального линейного восстановления изображения необходимо, чтобы запись волнового фронта, напротив, выходила за пределы линейной.области кривой Т—Е. 8.2. Вероятностный подход к проблеме шумов фотопленки Целый ряд работ посвящен изучению зернистости фотоэмульсии. В первую очередь мы имеем в виду работы Джонса [8.6], Цвейга [8.7—8.9], Пичинбоно [8.10] и Савелли [8.11]. Работа Джонса и Цвейга основывается на эмпирических данных о связи между среднеквадратической плотностью и средней плотностью фотопленки, которая была равномерно экспонирована и проявлена. Пичинбоно и Савелли полагают, что вероятность восстановления фотографических зерен подчиняется закону стационарного распределения Пуассона. В данном параграфе мы будем рассматривать фотошумы как очень специфический тип стохастического процесса. Мы покажем, что поведение шумов фотографической эмульсии можно интерпретировать как цепь Маркова с непрерывными параметрами [8.12; 8.13, с. 288]. Эта модель предсказывает новую взаимосвязь между среднеквадратической плотностью и средней плотностью. Кроме того, нами будет показано, что распределение числа проявленных зерен не подчиняется закону распределения Пуассона, а характеризуется пространственно-нестационарным распределением вероятности. Для того, чтобы определить вероятность распределения непро- явленных зерен (равно как и проявленных), сделаем следующие предположения: 1) размеры зерен однородны, и зерна равномерно распределены по всей поверхности пленки; 2) данная частица либо абсолютно непрозрачна, если зерно было проявлено, либо абсолютно прозрачна, если зерно осталось непроявленным; 152
3) минимально разрешимое изображение (Альтман и Цвейг [8.14] называют такое изображение «ячейкой») содержит большое число зерен. В дальнейшем мы вычислим условно-вероятностное распределение непроявленных зерен, определим соответствующее среднее значение и дисперсию и проиллюстрируем применение изложенного в реальной фотографии. Из вышеприведенных предположений можно получить условно-вероятностное распределение непроявленных зерен, заключенных в объеме, занимаемом минимально разрешимым точечным изображением. Определим условную вероятность как Pm(t)=P[x(t)=m\x(O)=M]t x@=0, I, 2...M, (8.15) где t — время экспозиции; x(t)—число непроявленных зерен; Pm(t)—условная вероятность того, что т непроявленных зерен существует в течение времени t\ M — это общее число зерен, заключенных в границах минимально разрешимого точечного изображения. Если предположить вероятность проявления более чем одного зерна в промежуток времени At равной величине (AtJ, то можно получить систему неоднородных дифференциальных уравнений Колмогорова [8.13] dI^H = — Mq(t)PM{t) при т = М9 (8.16) d^ l(t) при т<М, (8.17) с начальными условиями Ям@)=1, (8.18) Рт@)=0 для т<М, (8.19) где mq(t)dt — вероятность того, что одно из т зерен будет проявлено за время t, a mq(t)—скорость проявления, которую иначе называют интенсивностью перехода. Решение (8.16) и (8.17) имеет вид (см. приложение А) (M-Zy.mi для т<М, (8.20) где (8.21) Соответствующее среднее значение и дисперсия Pm(t) равны m=Afexp[—p(t)], (8.22) <rWWexp [-p@] [1-exp [-p(t)]]. <8.23) 153
Отсюда получаем соотношение между флуктуацией средне- квадратической плотности и средней плотностью: _J1.I1/2 = [#fl — тг-н > (8-24) где п=М—т — средняя плотность проявленных зерен. Условно-вероятностное распределение проявленных зерен можно получить простой подстановкой случайной переменной т= =М—п в (8.20), где п — число проявленных зерен, составляющих минимально разрешимое точечное изображение. CS2 бремя экспозиции t Рис. 8.5. Зависимость плотности проявленных зерен от времени экспонирования для различных значений интенсивности / (сплошные кривые). Зависимость наклона этих кривых от времени экспонирования (штриховые кривые) Для того, чтобы определить условную вероятность Pm(t) обычной фотопленки, необходимо знать q(t). Для определения q(t) следует использовать характеристическую кривую данной фотопленки. Плотность проявленных зерен возрастает с увеличением экспозиции (т. е. интенсивности, помноженной на время экспонирования). Для данной интенсивности можно построить график зависимости плотности проявленных зерен от времени экспонирования t. На рис. 8.5 приведен ряд кривых, выражающих зависимость D от t для разных значений интенсивности /. Штриховыми линиями на том же рисунке обозначены соответствующие наклоны этих кривых. Если предположить, что штриховые линии на этом рисунке подчиняются закону распределения вероятности Рэлея, то эти наклоны можно описать следующим выражением: ^\ (8.25) I 0, в остальной области, где параметр а соответствует времени экспонирования, когда dD/dt имеет максимальное значение. Можно считать, что фотографическая плотность равна числу проявленных зерен, D=M—m. 154 (8.26)
Подставив (8.22) в (8.26), а затем продифференцировав его по t, получим (8.27) Из сравнения (8.27) и (8.25) следует, что Р @ =0,5 (//аJ. (8.29) Из (8.24) видно, что случайное поведение фотографического шума зависит от средней плотности, тогда как вероятность проявления зерен оказывается нестационарной [8.15, с. 300]. бремя экспозиции t Рис. 8.6. Зависимость среднего значения числа проявленных и непро- явленных зерен от времени экспозиции бремя экспозиции t Рис. 8.7. Зависимость среднеквад- ратического отклонения (дисперсии) проявленных зерен от времени экспозиции Более того, из (8.20) следует, что условно-вероятностное распределение непроявленных (равно как и проявленных) зерен скорее похоже на непрерывное биномиальное распределение, а не на распределение Пуассона. Соответственно из (8.22), (8.23) и (8.29) заключаем, что среднее число непроявленных (проявленных) зерен представляет собой монотонную убывающую (возрастающую) функцию t9 как показано на рис. 8.6. Однако дисперсия не является монотонной функцией / (рис. 8.7). Максимальное значение шума, а2=М/4, имеет место при /=a(ln4I/2, a минимальное, а2=0, при t=0 и /=оо. Этот рисунок показывает, что изменение дисперсии вполне согласуется с экспериментальными результатами, приведенйыми в [8.16, рис. 6]. Уравнение (8.24) также показывает, что дисперсия плотности увеличивается с ростом М. Иными словами, в эмульсии, состоящей из зерен меньшего размера, среднеквадра- тические флуктуации плотности выше. Более того, ниже мы покажем, что информационная чувствительность также представляет собой возрастающую функцию М. 155
Информационная чувствительность. Интересующий нас сигнал в обычной фотографии можно определить с помощью линейного градиента [8.2, с. 540] g=dD/dE, (8.30) где Е — экспозиция. Тогда из (8.22) и (8.26) определяем сигнал как где / — интенсивность минимально разрешимого изображения. Таким образом, информационную чувствительность для эффективности передачи информации можно определить следующим образом [8.2, с. 540]: Информационная чувствительность ^—=-? ^ [—щ ] (8.32) На рис. 8.8 приведен график зависимости информационной чувствительности от времени экспонирования, построенной по (8.32). Информационная чувствительность не является монотонной функцией t, она имеет максимум при определенном конечном значении времени экспозиции. Изменение информационной чувствительности соответствует форме кривых, приведенных в [8.16, рис. 8]. Уравнение (8.32) также показывает, что информационная чувствительность возрастает как корень квадратный из М. Это значит, что при любом элементе разрешения мелко- зернистая эмульсия будет иметь более ф ^ у у * Цюн* шяшфш t высокую информационную чувствитель- Рис. 8.8. Зависимость ин- ность> чем крупнозернистая, формационной чувствитель- Кроме того, из (8.31), а также из со- ности от времени экспозиции ответствующих штриховых кривых на рис. 8.5 видно, что зависимость изменения сигнала от средней плотности находится в «полном соответствии с экспериментальными данными, приведенными в [8.16, рис. 7]. Данная стохастическая модель устанавливает новую зависимость между среднеквадратическими шумами и средней плотностью проявленных зерен. Она показывает, что вероятность проявления зерен нестационарна, а распределение проявленных зерен не соответствует распределению Пуассона. Если учесть влияние случайных изменений размеров зерен и их чувствительности, то среднеквадратическоё значение шума будет больше того, которое было нами получено. 156
8.3. Шум зернистости пленки и отношение сигнал/шум В предыдущем параграфе поведение шумов фотографической эмульсии рассматривалось как процесс Маркова с непрерывно изменяющимися параметрами. Эта стохастическая модель предполагает новую зависимость между среднеквадратическими флук- туациями плотности и средней плотностью проявленных фотографических зерен. В данном параграфе среднее значение пропускания и его среднеквадратические флуктуации будут выведены из широко известной аппроксимации в теории случайных функций [8.17]. Исходя из этих новых данных, определим отношение сигнал/шум по пропусканию и динамический диапазон фотопленки. Шум зернистости пленки. Формулы для среднего значения и дисперсии проявленных фотографических зерен, которые были получены 6 предыдущем параграфе, имеют вид п=М{\— exp-[-i> (?)]}, (8.33) о2=Мехр [-р(?)]{1-ехр [-р(Я)]}, (8.34) где п и а2— среднее значение и дисперсия проявленных зерен соответственно; М — общее число зерен в пределах минимально разрешимого изображения; Е— экспозиция; р(?)=0,5(??/аJ, а — константа, соответствующая максимальной производной характеристической кривой. Используя хорошо известную формулу, выражающую зависимость пропускания от плотности проявленных фотографических зерен [8.18, с. 117], а именно: T=W-D/2y (8 35) где Т — амплитудное пропускание, a D — плотность проявленных фотографических зерен, находим, что соответствующее среднее пропускание и его среднеквадратичные флуктуации можно аппроксимировать следующими выражениями [8.15, с. 115]: 7^10-^/2, (8.36) e2T^(dT/dDJ<y2. (8.37) Подставив (8.33) в (8.36), получим Т~ехр{-$М [1—ехр(—p(i?))]}. (8.38) Подставляя (8.34), (8.35) и (8.38) в (8.37), получаем <72r~Afp2exp [—р(?)]ехр{—2рМ [1— ехр(—р(?))]}Х Х{1-ехр [-*>(?)]}, (8.39) где Р=0,51п 10 и р(?)=0,5(?/аJ. Графики зависимости среднего пропускания и его среднеквад- ратических флуктуации от Е/а для разных значений М приведены 157
на рис. 8.9 и 8.10 соответственно. Из рис. 8.9 видно, что среднее пропускание является монотонной функцией, быстро убывающей по мере роста величины М. Следует, кроме того, отметить, что кривые на рис. 8.9 хорошо согласуются с уравнением (8.35). Из рис. 8.10 видно, что шумовое пропускание (т. е. дисперсия пропускания) представляет собой пространственно нестационарный стохастический процесс, характеристики которого существенно зависят от записываемого сигнала. 3 Е/О5 Рис. 8.9. Зависимость амплитудного пропускания от Е/а для различных значений М Отношение сигнал (шум. Отношение сигнал/шум для фотогра* фической эмульсии можно выразить либо через число проявлен* ных зерен, либо через соответствующее пропускание. Однако первое определение не представляет особого интереса для когерентной оптической обработки информации и голографии. Поэто- Рис. 8.10. Зависимость среднеквадратического отклонения амплитудного пропускания от Е/а для различных значений М 158
му ограничимся лишь определением отношения сигнал/шум через пропускание. Определения сигнала и шума, принятые в этой книге, в основном не отличаются от определений, используемых в теории связи, в отличие от этого общепринятое определение сигнала основывается на разнице в локальной фотографической плотности (см., например [8.2]). Различие между этими определениями существенно и заключается в том, что первое базируется главным образом на том, сколь большой входной сигнал (т. е. информационный вход) может передать фотопленка, тогда как второе основывается на ограниченных возможностях физического детектора (т. е. глаза). Так, например, если пленка экспонировалась до однородной фотографической плотности, то согласно общепринятому определению она не содержит никакой информации (т. е. не несет * X Рис. 8.11. Равномерно экспонированная фотографическая пленка сигнала), поскольку детектор в этом случае не сможет отличить одну область от другой. Однако, если пространственная локализация на пленке была заранее предопределена, то посредством этой пленки окажется возможным передать код (т. е. это значит, что сигнал существует), а следовательно, информация отлична от нуля. Поясним это следующим образом. Согласно рис. 8.11,а информация должна бы быть нулевой, так как мы не можем отличить разрешимые области. Однако, если этот рисунок заранее разделить (например, с помощью пространственной системы координат) на тХп частей, как показано на рис. 8.11,6, тогда возможное информационное содержание этого рисунка, конечно же, нельзя считать равным нулю, хотя плотность и однородна. Действительно, рис. 8.11,6 может представлять закодированный сигнал в том смысле, что пропускание каждой разрешимой ячейки равно Т(хи t/i)=k, *=1, 2, ..., п, /=1, 2, ..., т, где & —константа, меньшая единицы. Таким образом, по крайней мере с точки зрения этого простого фотографического кодирования очевидно, что такой однородный транспарант не следует рассматривать как несущий нулевую информацию. Более того, в голографии (гл. 10) прошедшие сквозь пленку световые поля ответственны за фильтрацию и восстановление изображения- Очень важно поэтому, чтобы плотность пленки в определенных точках системы координат определялась записываемым сигналом f(x, у). Это значит, что любая из разрешимых ячеек (х, у) представляет собой отдельную прошедшую сквозь пленку световую волну (т. е. сигнал), которая затем будет участвовать в выполнении операции фильтрации или формирования изображения. Поэтому гораздо удобнее определять сигнал через пропуска- 159
ние, а не через разницу в локализованной плотности, как это обычно принято. Иными словами, каждую разрешимую точку (х, у) можно представить в виде элементарного канала связи, имеющего свой вход и выход, как показано на рис. 8.12. Отсюда следует, что при когерентной обработке информации и при вое- становлении волнового фронта сигнал, определяемый для операций фильтрации и восстановления изображения, нельзя измерять через разницу в локализованной плотности (так как в этом случае пространственная координата очень часто не учитывается), а его необходимо определять через про'пуска- ние пленки в каждой точке пространственной системы координат (х, у). Следует подчеркнуть, что именно пропускание Т(х, у), т. е. прошедшее сквозь пленку световое поле, ответственно за операции от- Рис. 8.12. Представление фотопленки в виде решетки тХп эле ментарных каналов связи со работки информации и формировав своими входами и выходами. Ри сунок представляет операции, выражаемые формулой и yi)=f(Xi, Уз)Т(хи У г) 1 5 Т2 Мр2ехр[-р(?)]{1--;ехр[-р(?)]} • ния изображения, а не пространств венные производные пропускания. Тогда из (8.38) и (8.39) можно вывести отношение сигнал/шум (8.40) Из (8.40) следует, что отношение сигнал/шум по пропусканию обратно пропорционально М. На рис. 8.13 приведены графики зависимости отношения сигнал/шум от Е/а для различных значений М. Кривые, приведенные на этом рисунке, показывают, что отношение сигнал/шум по пропусканию — немонотонная функция. Оптимальные значения отношения сигнал/шум (т. е. S/N=oo) имеют место при Е/а=0 и Е/а=оо, а минимальные — при Е/а= = Aп4)!/2. Можно заметить также, что высокие значения отношения сигнал/шум имеют место в основном в верхней части графиков (т. е. ?/а>Aп4I/2); однако практического значения этот факт не имеет, так как из рис. 8.9 следует, что пропускание играет важную роль только при малых значениях Е/а (т. е. 0^?/а<Aп4I/2). Из рис. 8.9 видно также, что пропускание быстро убывает с увеличением значения М. И, следовательно, можно заключить, что для получения более высокого значения отношения сигнал/шум сигнал следует регистрировать в области малых значений Е/а. Так, например, если требуется получить нижнюю границу значений отношения сигнал /шум, то из (8.40) находим а 160 2 ]1/2 _4__|1/2 > Г8.41)
где (S/N)o — нижнее граничное значение отношения сигнал/шум. Если предположить, что наименьшее требуемое значение отношения сигнал /шум равно единице, то 2^_^]/2 Г Для D")о=1 и Af>3. (8.42) Однако необходимо подчеркнуть, что если фотопленка экспонируется в пределах от нуля до насыщения (т. е. при двух крайних значениях Е=0 и Е=оо), то следует ожидать высокого значения 10 Рис. 8.13. Зависимость отношения сигнал/шум от Е/а для различных значений М отношения сигнал /шум. Это максимальное значение отношения сигнал/шум при бинарной записи наблюдалось многими исследователями, особенно при использовании голограмм, синтезированных на ЭВМ. Эти наблюдения подтверждают развитую нами теорию. Приведенные на рис. 8.14 графики зависимости отношения шум/сигнал от Е/а также представляют значительный интерес, так как показывают, что отношение шум/сигнал пропорционально М и что максимальное значение отношения шум /сигнал имеет место при ?I/a=(ln4I/2, a минимальное — при Е/а—0 и Е/а=оо. В отличие от отношения сигнал/шум, обратно пропорционального М, динамический диапазон, к рассмотрению которого мы переходим, прямо пропорционален этой величине. Динамический диапазон. В обычной фотографии динамический диапазон фотографической пленки определяется линейной областью характеристической кривой. Однако при линейной оптимизации процесса записи волнового фронта, о чем будет гово- 161
риться в гл. 12, оптимальная запись не предполагает ограничения линейной областью характеристической кривой, а, напротив, требует гораздо большего охвата значений Т—Е характеристики передачи. Поэтому мы определяем динамический диапазон как отношение максимальной прошедшей сквозь пленку интенсивности к ее минимальному значению для данной фотопленки: Г2@)/Г2(оо)=1/ехр(— (8.43) Выраженную в децибеллах формулу динамического диапазона можно записать так: db (8.44) Из (8.44) видно, что динамический диапазон фотографической пленки прямо пропорционален М. Теоретически динамический диапазон не имеет верхней границы. Однако на практике оказы- « - - 2,5 5 ?/» Рис. 8.14. Зависимость отношения шум/сигнал от Е/а для различных значений М вается, что его верхнее значение ограничивается конечными размерами зерен на минимально разрешимой площади изображения, а именно Ш?<КШтах, (8.45) где MmSLX — максимальное число зерен, содержащееся в определенной единице объема. Таким образом, минимальное число зерен, необходимое для того, чтобы получить определенный динамический диапазон для реальной фотопленки, будет равно Mmin=DRi 10. (8.46) Так например, если требуется иметь динамический диапазон пленки в 50 дБ, то в соответствии с (8.46) минимальное число зерен на минимальную площадь разрешимого изображения равно 5. Следовательно, чтобы динамический диапазон реальной плен- 162
ки составлял 50 дБ, необходимо, чтобы на единицу элементарного объема приходилось по крайней мере 5 зерен, т. е. М^5. Следует отметить также, что динамический диапазон не непрерывная, а дискретная функция, так как М дискретно по своей природе. 8.4. Информационная емкость фотопленки Формула информационной емкости фотопленки была впервые выведена Фелгетом и Линфутом [8.19] и позднее была использована Джонсом [8.20]. Однако вывод этой формулы основывался на предположении, что фотопленка представляет собой канал с аддитивным стационарным гауссовым шумом. В данном параграфе мы, основываясь на [8.21], будем рассматривать информационную емкость фотографической пленки или пластинки, исходя из мультипликативной нестационарной дискретной стохастической модели, введенной в § 8.2. Ю Ю Рис. 8.15. Одномерный декартов прямоугольник: а — одна сплошная неразличимая область; б — две различимые области Поскольку шум пленки зависит от записываемого сигнала, различимые уровни амплитудного пропускания могут быть численно оценены по дисперсии шума. Фотографическую пленку можно рассматривать как четырехмерное ортогональное эвклидово пространство (две пространственные координаты плюс амплитудная и фазовая координаты). Однако, как будет показано ниже, информационную емкость можно полностью выразить и в трехмерной орто-, тональной системе координат (две пространственные координаты плюс амплитудная). Информационная емкость прямоугольника. Прежде чем приступить к определению информационной емкости фотопленки, обсудим, как рассматривается обыкновенный прямоугольник с точки зрения теории информации [8.22]. Информационное содержание (т. е. энтропия) прямоугольника, изображенного на рис. 8.15,а, очевидно, равно нулю, поскольку отдельные его участки невозможно отличить друг от друга. Однако, если этот прямоугольник разделить на две отличные друг от друга произвольные части (рис. 8.15,6), то количество информации / в каждом из этих прямоугольников можно будет определить, исходя из вероятностного случайного выбора областей бит> я=1 (8.47) 163
где Рп — вероятность выбора л-й области. Если вероятности случайного выбора равны, то информационное содержание прямоугольника на рис. 8.15,6 будет /=log22=l бит. Это значит, что энтропия максимальна, когда вероятности выбора равны. Используя (8.47), находим объем информации, содержащейся в многоячейковом прямоугольнике. Если двумерный прямоуголь- Рис. 8.16. Двухмерный прямоугольник с mX/i числом различимых областей ник содержит тХп различных областей (рис. 8.16), то его информационное содержание будет <8-48> где Pij — вероятность случайного выбора ij-fi области, а т п Если случайный выбор различных ячеек равновероятен, то количество информации, содержащейся в этом прямоугольнике, равно /=log2mfl бит. (8.49) Если, например, предположить, что в каждой из ячеек существует q различных цветовых уровней, то полученная система описывается в трехмерном пространстве и количество содержащейся информации определяется выражением /=-S S S P4kl°g*pw бит' Р-80) t=i /=i k=i где Pijk — вероятность выбора ijk-й ячейки, а i=\ J=l /5=1 164
В случае же равновероятного случайного выбора информационное содержание системы будет равно I=\og2mnq бит. (8.51) Таким образом, используя общее число возможных комбинаций различных областей, можно определить информационную емкость канала, т. е. то максимальное количество информации, содержащееся в прямоугольнике, которое можно передать посредстврм закодированного в нем слова [8.23], C=mn\og2q бит. (8.52) Изложенную выше концепцию можно без потери общности распространить и на прямоугольники в более чем трехмерном пространстве. W ч^ у V У \ * Рис. 8.17. Поясняющий рисунок для определения количества пространственной информации, содержащейся в прямоугольном куске фотопленки Количество пространственной информации в фотопленке. Количество пространственной информации, которое можно зарегистрировать на фотопленке, можно определить, если воспользоваться приведенным выше способом определения количества информации в многоклеточном прямоугольнике, т. е. если подсчитать число различимых или обнаруживаемых областей на куске пленки. Пусть минимально разрешимое расстояние d на фотопленке будет равно удвоенному критерию Рэлея (см. § 4.6), а именно, d=ly2ZkL/Ry (8.53) где Я — длина волны источника; L — расстояние между линзой и пленкой, a R — радиус линзы. Можно заметить, что это выражение является приближением более грубым, чем то, которое использовали Фельгет и Линфут [8.19]. Практически нижний предел d на несколько порядков больше А,. Затем с помощью изображений квадратов (рис. 8.17) определяем верхний предел количества пространственной информации Is, содержащейся в прямоугольном участке пленки Is=log2(ald)+log2(bld) бит, (8.54) где а и Ь — размеры пленки. Дроби a/d и bjd большей частью не равны целому числу; в таких случаях использование ближайшего целого не приводит к заметной ошибке. 165
Для простоты подсчета предположим, что интенсивность в изображении минимально разрешимого точечного объекта равномерно распределяется на круглую область диаметром d. Уравнения для среднего значения и дисперсии амплитудного пропускания (т. е. сигнала) в минимально разрешимой ячейке были выведены в предыдущем параграфе [см. (8.38) и (8.39)]. Было показано, что шум неотъемлем от записываемого сигнала. В связи с этим представляется теоретически возможным (предположив наличие идеального детектора) квантовать амплитудное пропускание на k-\-2 различных уровней таких, что (Е1), (8.55) -от (Еъ) =Т (Е2) +от (Е2), rzeE{<E2<...<Ek. Предположим, что эти дискретные уровни совершенно независимы друг от друга и что произвольная последовательность уровней способна представить определенное сообщение. Следовательно, если априори предположить, что различные сообщения (т. е. k-\-2 уровней амплитудного пропускания) равновероятны, то информационное содержание амплитудного пропускания будет равно /r=log2F+2) бит. Для определения фазовой информации следует начать с выражения для фазовой задержки [8.24] <р=7(?>, 0<Ф<2я, (8.57) где К — соответствующая постоянная, a D — плотность фотографических зерен. Соответствующие среднее значение и дисперсия фазовой задержки в минимально разрешимой ячейке можно аппроксимировать: <р^/Ш{1-ехр [-р(?)]}, (8.58) {1_ехр[-р (?)!}. C.59) Таким образом, оказывается, что теоретически возможно квантовать сигналы, определяемые фазовой задержкой, на г-f-l уровней, О, 9 (Ев) - о9 (?,) = 9 (?2) + о9 (?2), (8.60) 166
где Е\<Е2< ... <ЕГ. И в этом случае, если предположить, что квантованные фазовые задержки равновероятны, информация, содержащаяся в фазовой задержке, будет равна /v = logt(r+l) бит. (8.61) Тогда общее количество информации, которое может зарегистрировать фотографическая пленка, можно записать так: V (8.62) где /s, IT и /ф — пространственная, амплитудная и фазовая информация соответственно. Однако, как следует из (8.57), фазовая задержка однозначно связана с плотностью проявленных зерен, которые в свою очередь связаны с амплитудным пропусканием. Следовательно, информацию, передаваемую с помощью фазовой модуляции, можно рассматривать как избыточную по отношению к информации, передаваемой амплитудным пропусканием, и наоборот. Более того, из ограничения 0^<р^2я, налагаемого на фазовую задержку, следует, что 1Т>1Щ. (8.63) Тогда информационная емкость пленки будет равна (8.64) Отсюда находим соответствующую информационную емкость канала C=(ab/d2) log2(?+2) бит. (8.65) Информационная емкость голограммы •). Точное определение информационной емкости голограммы — задача трудная и еще не завершенная. Здесь мы предложим лишь ее элементарное количественное определение. В голографии разрешимый точечный объект будет записываться в виде зон Френеля [см. A0.9)], а за верхний предел пространственной информации в голограмме будет приниматься максимальное число минимально разрешимых наборов зон Френеля, способное уместиться в данной голограмме. Для теоретического определения минимально разрешимых расстояний мы снова используем удвоенный критерий Рэлея, а также уравнение A0.9) HXy (8.66) Hy, (8.67) где lx и 1У — минимально разрешимые расстояния вдоль направлений осей х и у соответственно; Нх и Ну — размеры прямоугольной *) Голография, или восстановление волнового фронта, будет рассматриваться в гл. 10—13. Читателю, незнакомому с голографией, следует прежде, чем приступить к чтению этого параграфа, обратиться к гл. 10. 167
голограммы; L\ — расстояние между точечным объектом и голограммой; !К — длина волны записывающего света. Если голограмма имеет круглую форму, то (8.66) и (8.67) примут вид 1—2MM-IIH, (8.68) где I — минимально разрешимое расстояние, а Н — диаметр голограммы. Легко, однако, показать, что размытие восстановленного точечного объекта становится больше, если он регистрируется вне оптической оси голограммы. Минимально разрешимое расстояние быстро увеличивается по мере удаления точечного объекта от оптической оси регистрирующей среды. Поэтому верхний предел количества пространственной информации, содержащейся в прямоугольной голограмме, можно аппроксимировать таким образом h=log2(Hxllx)+log2(Hy/ly) бит. (8.69) Естественно, возникает вопрос: почему же продольная информация не вносит вклада в объем пространственной информации, если го- лографическое изображение по природе своей трехмерно? Ответ будет следующий: пленка обычно представляет собой двухмерный регистратор, вследствие чего и исчезает продольная информация. Получение амплитудной информации представляет для голографии задачу гораздо более сложную по сравнению с обычной фотографией. Упрощенно этот процесс можно представить следующим образом. Если пренебречь «пятнистыми» шумами*) и наличием постоянного смещения**), то можно квантовать амплитудное пропускание голограммы на S+2 уровня: o-Ei) +от (Ео-Ег) « Т(Е0-Е2) -ат (Е0-Е2), (8.70) Т(Е0-Ев)+от(Ео-Е8)?*1, где Ео— постоянное смещение, a Es—амплитуды сигналов. Если теперь, как и в предыдущих случаях, предположим, что эти квантованные амплитудные пропускания равновероятны, то количество амплитудной информации можно определить по формуле Iih=\og2(S+2) бит. (8.71) Отсюда емкость соответствующего канала будет равна Ch=(HxHyllxly)log2(S+2) бит. (8.72) Если сравнить квантование в выражениях (8.55) и (8.70), то станет очевидным, что общее число квантованных уровней в голо- *) Пространственные шумы, обусловленные в основном оптической шероховатостью поверхности объекта и высокой когерентностью освещения. **) Экспозиция, соответствующая положению рабочей точки при голографи- ческой записи. 186
графическом процессе в лучшем случае наполовину меньше, чем в фотографическом процессе прямого получения изображения, а именно: (8.73) Следовательно, для одной и той же регистрирующей среды верхний предел количества амплитудной информации в простом фотографическом процессе выше, чем в голографическом, т. е. /г>/тл. (8.74) Кроме того, если регистрирующие пленки при фотографическом и голографическом процессах одинаковы по размеру и минимальна разрешимые расстояния тоже равны, то из (8.65) и (8.72) следует, что информационная емкость фотографической пленки больше, чем голограммы C>Ch. (8.75) Такой вывод может показаться неожиданным, поскольку многие авторы утверждают, что голограмма может содержать горазда больше информации, чем фотография. Однако голографический процесс — это процесс кодирования (т. е. записи), который и обеспечивает основное преимущество голографии перед обычной фотографией. Следует четко представлять себе разницу между информационной емкостью в обычном фотографическом процессе и в голографии. Информационная емкость в фотографии определяется как верхний предел того количества информации, которое можно записать «фотографически». Иными словами должен существовать такой процесс кодирования, который обеспечивал бы регистрацию такого количества информации, которое приближалось бы к информационной емкости фотографической пленки. Информационная емкость голограммы определяется как верхний предел того количества информации, которое можно записать «голографически». Это значит, что процесс кодирования должен обеспечивать запись такого количества информации, которое бы приближалось к информационной емкости голограммы. Амплитудное распределение света, исходящего от объектов, обычно комплексно. Разработанные к настоящему времени обычные фотографические процессы не в состоянии записывать фазовую информацию, в то время как голографический процесс позволяет регистрировать как амплитудную, так и фазовую информацию. Таким образом, на практике голограмма содержит больше информации, чем обычное фотографическое изображение. Однако информационное содержание голограммы никогда не может достичь информационного содержания максимально закодированной фотографии. Голограмма практически представляет собой закодированную фотографическую пластину, поэтому информационная емкость голограммы не может превышать информационную емкость фотографии. 169
Задачи 8.1. Преобразуйте характеристическую кривую, показанную на рис. 8.18, так, чтобы ее амплитудное пропускание представляло собой функцию экспозиции (т. е. постройте кривую Т—?). 8.2. Пусть контраст амплитудного пропускания определяется формулой (Ттъх—Ттт) / G\nax+7\nin). Определите приблизительную линейную экспозицию, при которой контраст оптимизируется, используя Т—^-характеристику передачи, полученную в задаче 8.1. 8.3. Пусть на фотографической пластине записано низкоконтрастное изображение, причем экспозиция описывается следующим выражением: Е(х, y)=EQ+Ei(xt у) и \Ег(х, y)\<EQ, где Eq — экспозиция смещения, а Е\ (х> у) — переменная составляющая экспозиции (приращение). Докажите, что при работе в линейной области характеристической кривой контраст амплитудного пропускания будет пропорционален Ei(xy у) при условии, что \Е\(х, у) \ <EQ. 1000 1800 Еуэрг/смг Рис. 8.18. Характеристическая кривая фотопленки 1000 1800 Рис. 8.19. Зависимость амплитудного пропускания фотопленки от экспозиции 8.4. Предположим, что Т—^-характеристика передачи данной фотографической эмульсии представлена на рис. 8.19, а входная экспозиция задается синусоидальной решеткой вида Е(х, у) = 1000+800 cos (ЮОя*) эрг/см2 для любых значений у. Используя графический метод, постройте кривую соответствующего выходного пропускания Т(х> у). 8.5. Используя рис. 8.13, объясните, почему бинарная прямоугольная решетка дает оптимальное отношение прошедшей интенсивности к шуму. 8.6. Используя материал § 8.4, оцените количество информации и информационную емкость фотографической пластинки при бинарной записи. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 8.1. С. Е. К. Mees, The Theory of the Photographic Process, rev. ed., Macmillan, New York, 1954. 8.2. С E. K. Mees and Т. Н. James, The Theory of the Photographic Process, 3rd ed., Macmillan, New York, 1966. (Рус. пер.: К. Миз, Т. Джеймс. Теория фотографического процесса. — Л.: Химия, 1973.) 170
8.3. F. Hurter and V. C. Driffield, Photochemical Investigations and a New Method of Determination of the Sensitiveness of Photographic Plates, J. Soc. Chem. Ind., 9 A890), 455. 8.4. E. L. O'Neill (ed.), Communication and Information Theory Aspects of Modern Optics, General Electric Company, Electronics Laboratory, Syracuse, N. Y., 1962. 8.5. A. Kozma, Photographic Recording of Spatially Modulated Coherent Light, J. Opt. Soc. Am., 56 A966), 428. 8.6. R. C. Jones, New Method of Describing and Measuring the Granularity of Photographic Materials, J. Opt. Soc. Am., 45, A955), 799. 8.7. H. J. Zweig, Autocorrelation and Granularity, Part I. Theory, J. Opt. Soc. Am., 46 A956), 805. 8.8. H. J. Zweig, Autocorrelation and Granularity, Part II. Results on Flashed Black-and-White Emulsions, J. Opt. Soc. Am., 46 A956), 812. 8.9. H. J. Zweig, Autocorrelation and Granularity, Part III. Spatial Frequency Response of the Scanning System and Granularity Correlation Effect Beyond the Aperture, J. Opt. Soc. Am., 49 A959), 238. 8.10. M. B. Picinbono, Modele Statistique Suggere par la Distribution de Grains d'Argent dans les Films Photographiques, Compt. Rend., 240 A955), 2206. 8.11. M. M. Savelli, Resultats Pratiques de l'etude d'un Modele a Trois Paramet- res pour la Representation des Proprietes Statistiques de la Granularite des Films Photographiques Notamment des Proprietes Spectrales, Compt. Rend., 246 A958), 3605. 8.12. F. T. S. Yu, Markov Photographic Noise, J. Opt. Soc. Am., 59 A969), 342. 8.ГЗ. E. Parzen, Stochastic Processes, Holden-Day Publishing Company, San Francisco, 1962. 8.14. J. H. Altman and H. J. Zweig, Effect of Spread Function on the Storage of Information on Photographic Emulsions, Phot. Sci. Eng., 7 A963), 173. 8.15. A. Papoulis, Probability, Random Variables, and Stochastic Processes, McGraw-Hill, New York, 1965. 8.16. H. J. Zweig, G. C. Higgins, and D. L. MacAdam, On the Information-Detecting Capacity of Photographic Emulsions, J. Opt: Soc. Am., 48 A958),926. 8.17. F. T. S. Yu, Film-Grain Noise and Signal-to-Noise Ratio, J. Opt. Soc. Am., 60 A970), 1547. 8.18. E. L. O'Neill, Introduction to Statistical Optics, Addison-Wesley, Reading, Mass., 1963. (Рус пер.: О'Нейл Э. Введение в статистическую оптику.— М.: Мир, 1966.) 8.19. Р. В. Fellgett and E. H. Linfoot, On the Assessment of Optical Images, Trans. Roy. Soc, ser. A, 247 A955), 369. 8.20. R. С Jones, Information Capacity of Photographic Films, J. Opt. Soc. Am., 51 A961), 1159. 8.21. F. T. S. Yu, Information Channel Capacity of a Photographic Film, IEEE Trans. Inform. Theory, IT-16 A970), 477. 8.22. F. T. S. Yu, Information Content of a Sound Spectrogram, J. Au. Eng. Soc, 15 A967), 407. 8.23. С. Е. Shannon and W. Weaver, The Mathematical Theory of Communication, University of Illinois Press, Urbana, 111., 1949. 8.24. D. G. Falconer, Role of the Photographic Process in Holography, Phot. Sci. Eng., 10 A966), 133. Глава 9 ВОССТАНОВЛЕНИЕ ИЗОБРАЖЕНИЯ И ИНФОРМАЦИЯ В данной главе будут изложены некоторые основные методы и физические ограничения восстановления изображения с точки зрения теории информации. Информацию можно определить как меру степени неопределенности какого-либо сообщения или про- 171
цесса, иными словами, чем менее мы осведомлены о полученном нами сообщении, тем больше информации оно содержит. С точки зрения теории информации, абсолютно нечестный человек столь же хороший информатор, как и человек идеально честный при условии, что нам заведомо известно, кто из двух нечестен. (Это, однако, вовсе не значит, что тот, кто не может быть безупречным джентльменом, обязательно окажется мошенником!). Из этого простого примера видно, что теория информации по существу является теорией вероятности. фр мации *9ёи\ 1 fiepeffamwtr робиния Квш сбязи I I Устрой Примни* —ствойек чатель Рис. 9.1. Схема системы связи Систему связи можно предствить в виде схемы, приведенной на рис. 9.1. Предположим, что у меня имеется сообщение (т. е. источник сообщения), которое мне нужно передать вам посредством разговорного английского, французского, немецкого, китайского или любого другого языка. Следовательно, мне надо выбрать такой язык (т. е. устройство кодирования), который будет соответствовать нашему разговору. Одного выбора языка еще недостаточно, поскольку сообщение невозможно передать до тех пор, пока оно не будет преобразовано в соответствующую акустическую волну (в передатчике), эта акустическая волна является носителем информации (т. е. сообщения). Когда этот акустический сигнал достигает приемника (ваших ушей), происходит соответствующий процесс декодирования (перевода), в результате которого сообщение может быть понято получателем (т. е. вашим разумом). Из этого элементарного примера ежедневного общения видно, что операцию кодирования можно использовать только в том случае, если при этом имеет место соответствующий процесс декодирования. Так, например, если бы я использовал неправильное кодирование (например, китайский язык вместо английского), вы были бы не в состоянии декодировать мое сообщение даже при наличии идеального (т. е. свободного от шумов) речевого канала связи. Это объясняется тем, что для правильного декодирования необходимо наличие некоторых предварительных сведений о схеме кодирования (т. е. необходимо соответствующее запоминающее устройство), в данном случае — знание китайского языка. Следователь- 172
но, процесс декодирования можно рассматривать как процесс распознавания. Теория связи или теория информации представляет собой обширный предмет, который в рамках данной книги мы в состоянии рассматривать лишь качественно. Однако будут рассмотрены основные моменты этой теории, которые понадобятся в дальнейшем. Тем, кто захочет изучить этот предмет глубже, следует обратиться к блестящим работам Фано [9.1] и Бриллюэна [9.2]. Теорию связи можно разделить на две общие дисциплины: теорию связи Винера [9.3 и 9.4] и теорию информации Шеннона [9.5]. И хотя та и другая основываются на теории вероятности, между ними тем не менее существует принципиальное различие. Достоинством теории связи Винера является то, что если сигнал (т. е. информация) искажется каким-либо физическим образом (например, шумами, системой и г. п.), то этот сигнал оказывается возможным восстановить частично или даже полностью из искаженного. Именно поэтому Винер является сторонником корреляционного обнаружения, предсказания, оптимальной фильтрации и т. д. Теория информации Шеннона идет дальше, так как Шеннон показывает, что сигнал может быть подвергнут обработке как до, так и после передачи. Это значит, что до передачи сообщения его можно закодировать, чтобы предотвратить дальнейшее его искажение в канале связи. Затем, используя соответствующий процесс декодирования, можно будет оптимально восстановить сообщение на приемном конце. Именно поэтому Шеннон защищает меру информации, пропускную способность канала, процессы кодирования и т. д. Основным достоинством теории Шеннона является эффективное использование пропускной способности канала. Самым важным и ценным результатом теории информации Шеннона является предложенная им фундаментальная теорема, которую кратко можно изложить следующим образом. Пусть стационарный канал связи с конечной памятью имеет пропускную способность С. Если скорость передачи бинарной информации JR меньше С, то существуют такие процессы кодирования и декодирования, при которых вероятность ошибки передачи на цифру можно сделать сколько угодно малой. И наоборот, если скорость передачи Я больше С, то не существует способов кодирования и декодирования с такими свойствами и, следовательно, вероятность ошибки передачи нельзя уменьшить до произвольной величины. Иными словами, наличие случайных искажений в канале связи само по себе еще не ограничивает точность передачи. Эти искажения скорее ограничивают скорость передачи, при которой может быть обеспечена произвольно высокая точность передачи. В заключение этого краткого введения в теорию информации следует еще раз подчеркнуть различие между теориями Винера и Шеннона. Винер считает, что данный сигнал может быть обработан только после того, как он подвергся искажению шумом. Тогда,
как согласно Шеннону сигнал можно подвергать обработке как до, так и после его передачи по каналу связи. Тем не менее основная цель, преследуемая обеими теориями, общая, а именно: достоверное воспроизведение исходного сигнала. 9.1. Восстановление изображения Восстановление смазанных или расфокусированных фотографических изображений с помощью методов когерентной оптики было рассмотрено в [9.6, 9.8]. Однако, как будет показано в следующем параграфе, восстановленное таким образом изображение не будет выше по качеству, чем фотография, полученная при максимально допустимом времени экспозиции+). Другими словами, восстановленное изображение теоретически может лишь приблизиться к неразмытой или хорошо сфокусированной фотографии. В целом проблему восстановления изображения можно разделить на две категории: 1. Восстановление изображения из искаженного сигнала. 2. Восстановление изображений путем суперпозиции сигналов, искаженных смазом или дефокусировкой. В первом случае изображение восстановить можно, но при этом нельзя использовать дополнительную энергию (например, энергию, обусловленную смазом), записываемую на пленку, Второй случай предполагает возможность не только извлечения сигнала, но также и использования дополнительной энергии, записанной на пленке. Если пренебречь существующим в пленке случайным шумом, то окажется, что различие между двумя вышеуказанными категориями отсутствует, поскольку в обоих случаях будет получено одинаковое количество информации. С другой стороны, если принять во внимание присущий фотографической пленке шум, то во втором случае количество информации окажется больше. Однако практика показывает, что второй случай представляет собой физически нереализуемый процесс [9.9]. Ниже будет описано несколько методов восстановления изображений, искаженных вследствие линейного движения объекта во время экспозиции. В следующем параграфе, кроме того, будут приведены некоторые физически реализуемые примеры. Если изображение искажено некоторым образом, то искаженное изображение обычно можно представить в форме его преобразования Фурье G(p)=S(p)D(p), (9.1) *) Максимально допустимое время экспозиции определяется как максимальное время экспозиции, в течение которого записываемое изображение не будет существенно смазано. Оно зависит от размера объекта и деталей сцены. Чем меньше размеры объекта или мельче детали, тем потребуется меньшее время- экспозиции. 174
где G(p)—функция, описывающая спектр искаженного изображения; D(p)—искажающая функция; S(p)—функция, описывающая спектр неискаженного изображения; р — пространственная частота. Известно, что, зная искажающую функцию D{p)> можно восстановить функцию изображения S(p), а именно: ад Если не учитывать реализуемость обратного фильтра 1/D(p), можно спросить, увеличивает ли процесс обратной фильтрации количество информации в искаженном сигнале G(p)? Ответ будет отрицательным, поскольку точно известно, как он искажен. Иными словами, та малая толика дополнительной информации, которую мы получаем благодаря обратной фильтрации, уменьшается за счет информации, которой мы располагаем благодаря тому, что нам известна искажающая функция D(p). Естественно, может возникнуть вопрос: затем же мы тогда используем этот метод восстановления изображения, если он не увеличивает количества информации? Затем, что здесь имеет место задача распознавания. Поскольку нам известны и G(p) (функция искаженного изображения), и S(p) (функция изображения), то для нас они практически ничем не отличаются друг от друга. Но для тех, кому неизвестно, каким образом был искажен сигнал, полученный в результате обратной фильтрации, реальный сигнал S(p), разумеется, содержит больше информации, чем искаженный, более того, тот, кому неизвестна функция искаженного изображения G(p), получает дополнительную информацию за счет затраты энергии на преобразование G(p) в S(p). Предположим, что изображение разрешимого точечного объекта с постоянной интенсивностью / проектируется на пленку камеры. Если точечный объект движется с постоянной скоростью v, а время экспозиции пленки t, то движущееся точечное изображение, записанное на фотографической пленке, будет иметь вид прямой линии длиной Ax=mvty где т — коэффициент пропорциональности. Соответствующее пропускание f(x) можно записать в виде (X)JA> -t^<x<-Lax, (93) I 0, в остальной области, где А — положительная постоянная, пропорциональная /. Соответствующее преобразование Фурье имеет вид F(p)=AAx sin (рД*/2)/(рДх/2). (9.4) Для того, чтобы восстановить изображение точки, применяем метод обратной фильтрации P(P)-jrjpr=Afl*(x)b (9.5) где ^ — оператор преобразования Фурье, а б(х) —дельта-функция Дирака. 175
Обратный фильтр A/F(p) на практике может оказаться не реализуемым. Тем не менее, если предположить, что обратный фильтр полностью или даже частично реализуем, то восстановленное изображение будет в лучшем случае равно А8(х), т. е. минимально реализуемому исходному изображению точечного объекта. Иными словами, процесс обратной фильтрации теоретически может восстановить исходное изображение из искаженного изображения, но он не может увеличить общего сигнального спектра по сравнению с тем, который получается при максимально допустимой экспозиции. Однако возникает вопрос: можно ли получить такой физический фильтр #(р), при котором F{p)H(p)=Br[6(x)]9 (9.6) где В — положительная действительная постоянная, большая, чем Л? Разумеется, нет, так как когерентный оптический процесс, который мы используем, представляет собой пассивную систему. Кроме того, практические сложности, связанные с синтезом фильтра, приведут нас к другому подходу. Теперь предположим, что на пленке записано такое движущееся изображение f(x), которое за время экспозиции перемещается на величину Ах. Если в процессе экспозиции используется ее модуляция, в результате которой формируется конечная последовательность идентичных функций, то пропускание записанной функции можно выразить так =2 fix-пЫ), (9.7) п=0 где N=AxjAl; Д/ — смещение f(x) за время одной экспозиции. Соответствующее преобразование Фурье будет 2 (9.8) где G(p) и F(p) —преобразования Фурье от g(x) и f(x) соответственно. Из (9.8) следует, что операция восстановления изображения может быть представлена в виде Q(p)H(p)=F(p), (9.9) где передаточная функция фильтра равна — / N (9.10) Следует подчеркнуть, что если надлежащим образом сместить ось jc-ob в (9.7), то согласно тождеству Лагранжа [9.19] знамена* тель (9.10) можно переписать N/2 176
Для больших значений N и малых значений Д/ последнее уравнение можно аппроксимировать N/2 Srt-inpbl •_ р&Х I * р&Х /q « q\ е -^-sm-j-j-Y -^-. (У.1^> Л=—7V/2 Очевидно, Я(р) —физически не реализуемая функция. Следует снова подчеркнуть, что если предположить, что Н(р) физически реализуема, восстановленное изображение в лучшем случае будет идентично изображению, записанному за максимально допустимое время экспозиции. Преимущество этого процесса восстановления изображения заключается в том, что фильтр не является обратной функцией F(p). В некоторых случаях предпочтительнее аппроксимировать фильтр Я(р), а не его обратную функцию. Поскольку фильтр физически нереализуем, нам приходится изменять процесс модуляции экспозиции. Из (9.9) и (9.10) видно, что фильтр Н(р) можно сделать физически реализуемым, если к знаменателю (9.10) добавить единицу, т. е. Ясно, что если использовать фильтр вида (9.13), то условием физической реализуемости будет неравенство \Н(р) |<1 при любых р. (9.14) Метод осуществления физической реализуемости фильтра Н(р) заключается в надлежащем управлении экспозицией пленки, при котором результирующее пропускание будет равно (9.15) /1=0 где N=Ax/M, a Ax=mvi. Тогда соответствующее преобразование Фурье будет иметь вид G (р) = F(р) 11 + У. e~ipnAi . (9.16) L я=о J Очевидно, что фильтр вида (9.17) будет физически реализуемым. Однако легко показать, что спектр восстановленного изображения будет равен F(p), что составляет лишь половину первого сигнала, записанного в (9.15). 177
Модуляционная камера. Если записываемое изображение можно модулировать так, чтобы каждый разрешимый объект мог быть изображен отдельно *\ то в этом случае окажется возможным восстановить сигнал при помощи когерентной оптической системы. При этом будет не только устранен смаз записанного изображения, но, кроме того, будет увеличено общее отношение сигнал /шум. Предположим, что разрешимое точечное изображение записывается на пленку с помощью модуляционного процесса так, что амплитудное пропускание равно (9.18) где % — длина волны когерентного источника; / — фокусное расстояние одномерной линзы Френеля [9.9, 9.11, 9.12]. Следует отме- Рис. 9.2. Когерентное освещение. Монохроматический точечный источник находится в точке 5 тить при этом, что зонная линза аналогична зонной пластине, как указывалось в § 4.5, за исключением лишь того, что ее пропускание является синусоидальной функцией х2. Если полученный транспарант (9.18) осветить монохроматической плоской волной, как показано на рис. 9.2, то комплексное световое поле в фокальной плоскости Т(х) можно будет определить по теории Френеля—Кирхгофа или используя принцип Гюйгенса [9.13]: (9.19) где — пространственный импульсный отклик; В — комплексная постоянная. *) Если каждое из разрешимых точечных изображений записывается при помощи соответствующей прерывистой модулирующей функции, то эти модулированные точечные изображения могут быть восстановлены (т. е. получены вновь) методом восстановления волнового фронта. 178
Подставляя (9.18) в (9.19), получаем Совершенно очевидно, что первый член (9.20) — член нулевого* порядка (т. е. постоянная составляющая); второй — расходящийся, а последний — сходящийся дифракционные члены. Другими словами, зонная линза вида (9.18) эквивалентна трем линзам (плоскопараллельной пластинке, рассеивающей и собирающей). Однако, если посмотреть на (9.20) повнимательнее, то можно заметить, что член, описывающий сходящееся изображение, в четыре раза (а по интенсивности — в 16 раз) меньше, чем тот, который получается при максимально допустимом времени экспозиции. Очевидно, что дополнительная энергия, записываемая на пленку благодаря модуляции, была использована неэффективно. Напротив, эта дополнительная энергия модуляции, т. е. двоичные единицы информации, была преобразована в бесполезную информацию в расходящемся члене и постоянной составляющей. Этот простой анализ заставляет задуматься, существует ли вообще реализуемый прерывистый модуляционный процесс, при котором дополнительная запись может быть полностью или частично преобразована в полезную информацию. Полное восстановление смазанных изображений можно рассматривать как проблему энергии и времени, для которой не существует физически реализуемой процедуры, включающей затраты конечного количества энергии. Вообще смазанное изображение можно представить в трехмерном ортогональном пространстве с закрытым временным интервалом (/1^/^/2) • Следовательно, смазанное изображение можно рассматривать как проблему пространства и времени. Тем не менее, если мы утверждаем, что можем восстановить смазанное изображение путем накопления дополнительной энергии, записанной на пленке, то это утверждение равносительно утверждению о возможности разделить время и пространство в смазанном изображении. Разумеется, с точки зрения общей теории относительности [9.14], это невозможно осуществить без затрат бесконечного количества энергии. 9.2. Неопределенность и информация Чтобы показать, что восстановление смазанного изображения: связано с принципом неопределенности Гейзенберга [9.15], следует обратиться прежде всего к основному неравенству фотографической пленки (9.21> где Ео — минимальная энергия на единицу площади пленки, необ- 179
водимая для получения разрешимого изображения, а / — время экспозиции. Иными словами, если энергия записываемого изображения меньше минимально необходимой энергии ?0, то такое изображение не может быть разрешимым. Этот минимум энергии ?о можно назвать пороговым уровнем фотографической пленки. Чтобы показать, что предыдущее неравенство эквивалентно соотношению неопределенности Гейзенберга, достаточно сделать простую подстановку E0=hv. Тогда получим Et>h, (9.22) где E=I/v; h — постоянная Планка; v — частота. Эти неравенства определяют теоретический предел пленки. Неравенства (9.22) или (9.21) определяют обнаружительную способность, или способность к записи пленки. Если условия записи не удовлетворяют обнаружительной способности пленки, то записываемые изображения невозможно сделать разрешимыми. В дальнейшем мы свяжем это неравенство с теорией информации. В случае неподвижных объектов и пленки при условии, что отношение сиг нал/шум для данного изображения высокое, удовлетворить неравенства (9.21) и (9.22) сравнительно легко. Однако для движущихся объектов и пленки существует определенное максимально допустимое время экспозиции, при котором записанное изображение не будет искажено смазом, *<*тах, (9.23) тде ^тах — максимально допустимое время экспозиции. Обычно tfmax зависит линейно от размеров записываемого изображения. Из неравенства (9.22) следует, что возможен обмен между энергией и временем экспозиции, при высокой интенсивности пленка может регистрировать более мелкие объекты. Однако, если интенсивность объекта мала, то невозможно уменьшить максимально допустимое время экспозиции без нарушения условия обнаружительной способности. Если попытаться удовлетворить условию обнаружительной способности за счет увеличения времени экспозиции выше допустимого, то записанное изображение окажется еще более искаженным (из-за смаза). Какая-то доля информации, записанной в допустимый временной интервал 0^/^/тах, частично или полностью разрушается в результате такой записи. Потеря информации может быть также объяснена увеличением энтропии пленки [9.16],. Следовательно, смазанное изображение должно содержать меньше информации, чем несмазанное, полученное в условиях максимально допустимого времени экспозиции. Эта потеря информации, обусловленная дополнительной записью, является также физической причиной нереализуемости обратного фильтра, рассмотренного в предыдущем параграфе. Для того, чтобы возместить потерянную за счет смаза информацию, необходимо затратить бесконечное количество энергии. 180
При когерентной оптической обработке информации мы располагаем большим количеством энергии от источника. Можно ли использовать эту энергию? Оказывается, нет, так как энергия в когерентных системах используется только для передачи информации, а преобразовать эту энергию в информацию невозможно. Предположим, например, что имеется страница печатного текста, содержащая определенное количество информации. Если эта страница находится в темной комнате, информация нас не достигает: чтобы увидеть страницу, нам необходимо определенное количество света. Это количество света и есть энергия, используемая для передачи информации. Кроме того, если на странице есть неправильно напечатанные слова, причем эти слова независимы от других правильно напечатанных слов текста, то для того, чтобы восстановить правильное написание этих слов, потребуется огромное количество двоичных единиц информации (или энергии). Итак, мы заключаем, что дополнительная энергия (или количество информации), которую, как мы полагали, пленка поглощает с тем, чтобы исправить смаз, на самом деле значительно уменьшает содержание информации в изображении. С другой стороны, мнение о том, что мы в состоянии полностью восстановить исходное изображение из изображения, искаженного смазом или модуляцией, равносильно утверждению, что существует возможность заставить регистрирующее устройство записывать незарегистрированные объекты после записи. Противоречие очевидно. Однако можно задать вопрос: почему оказывается возможным восстановить изображение при помощи комплексной пространственной фильтрации в том случае, если объект погружен в шум (например, шум турбулентности)? Прежде чем попытаться ответить на этот вопрос, можно в свою очередь спросить, удовлетворяют ли условию обнаружительной способности интенсивность источника и время экспозиции? Можно ли восстановить изображение объекта, если эти условия не выполнены? Конечно, нет. Кроме того, если интенсивность источника и время экспозиции удовлетворяют условию обнаружительной способности, сможем ли мы в таком случае восстановить изображение объекта лучше, чем при отсутствии шумов? Нет, не сможем. В лучшем случае мы сможем лишь приблизиться к изображению без шумов как к пределу. Таким образом, можно заключить, что изображение объекта может быть восстановлено (с вероятностью ошибки) из искажающих случайных шумов в том и только в том случае, если интенсивность объекта и время экспозиции пленки удовлетворяют основному условию обнаружительной способности. Кроме того, восстановленное изображение в лучшем случае будет только сравнимо с изображением, полученным при том же условии, но без случайных шумов (таких, как турбулентность и т. п.). Возникает еще целый ряд вопросов, а именно: существует ли процесс кодирования (такой, как модуляционная камера), который может улучшить коррекцию смаза? Нет, не существует. Для того, чтобы улучшить передачу информации по каналу связи, процесс 181
кодирования должен осуществляться на передающей стороне, а не на приемной. Могут ли способствовать улучшению восстановления изображения такие методы когерентного обнаружения, как корреляционное обнаружение, стробирование и т. д.? Нет, не могут, поскольку у нас нет априорной информации об объекте (т. е. о записанном изображении). Таким образом, не существует путей реализации операции корреляции над записанным смазанным изображением. Все вышесказанное можно представить в виде следующих положений. 1. Смазанное изображение в принципе поддается исправлению. Однако результаты коррекции могут лишь приблизиться к изображениям, полученным при максимально допустимом времени экспозиции t=tmdiX пленки. На практике результат коррекции оказывается значительно ниже указанного критерия /max, что обусловлено нереализуемостью фильтра. 2. Метод модуляционной камеры, как и, любой другой модуляционный процесс, не позволяет улучшить разрешение изображения свыше того, которое получается по критерии^ максимально допустимого времени экспозиции, поскольку количество информации в изображении еще более уменьшается в результате модуляционг ного процесса. 3. Проблема коррекции смаза является главным образом проблемой пространства и времени. Физически невозможно восстановить изображение частичным или полным накоплением дополнительной энергии (т. е. количества информации), записанной благодаря смазу. 4. Если интенсивность объекта и время экспозиции пленки не удовлетворяют условно обнаружительной способности прибора (т. е. пленки), восстановить записанное изображение оказывается физически невозможно. В противном случае будет нарушен принцип неопределенности. Восстановить записанное изображение до такого, которое получается при максимально допустимом времени экспозиции, возможно в том и только в том случае, если удовлетворено условие обнаружительной способности. 5. Нереализуемость обратного фильтра можно объяснить с позиций теории информации. Потери информации, обусловленные деградацией записанного изображения (например за счет смаза), можно компенсировать лишь при условии затраты бесконечного количества энергии. 6. Ни один из существующих способов кодирования и методов когерентного обнаружения не в состоянии улучшить процедуру восстановления изображения, поскольку эффективное кодирование должно происходить на передающей, а не на приемной стороне. Для когерентного обнаружения не хватает априорной информации о записываемых сигналах (объектах). Однако частичное восстановление изображения после смаза, безусловно, возможно. Оптимальное восстановление изображения, которое можно получить, может быть найдено с помощью крите- 182
рия среднеквадратической ошибки s2 (х, у) =Пт Г \ [/0 (х, у) — fd (x, у)]2dxdy, (9.24) где fd(x, у)—желаемое изображение; fo(x, у)—восстановленное изображение, а пространственный фильтр должен удовлетворять условию физической реализуемости: \H(p,q)\^l9 (9.25) где #(/?, q)—комплексное пропускание корректирующего фильтра. Следует подчеркнуть, что восстановление смазанного изображения применимо в тех случаях, когда при записи изображения невозможно обеспечить экспозицию, при которой регистрируется несмазанное изображение. 9.3. Оптическая разрешающая способность и физическая реализуемость Возможности превышения классического предела разрешения идеальной оптической системы рассматривались в работах Коль- мана [9.17], Торальдо [9.18], Рончи [9.19, 9.20] и Харриса [9.21]. В этом параграфе (основывающемся на работе [9.22]) мы рассмотрим лишь некоторые из физических ограничений, помимо неизбежных в оптических системах шумов. Рассмотрим две давно известные теоремы, вытекающие из теории аналитических функций, которые оказались полезными при изучении сверхразрешения. Доказательства этих теорем можно найти в [9.23 и 9.24]. Теорема 1. Преобразование Фурье пространственно-ограниченной функции является аналитической функцией в пределах всей плоскости пространственных частот. Теорема 2. Если функция комплексной переменной является аналитической в области /?, то по значениям функции в произвольно малой области, лежащей внутри /?, можно определить функцию на всей области R посредством ее аналитического продолжения. Следствие (теорема подобия, или единственности). Если две аналитические функции имеют равные значения в пределах произвольно малого участка области аналитичности, то значения этих функций равны во всей остальной общей области аналитичности. Из этих двух теорем следует, что, зная передаточную характеристику оптической системы (т. е. ее амплитудную и фазовую пространственно-частотные характеристики), можно разрешить люфой пространственно-ограниченный объект с любой требуемой наперед заданной точностью с помощью метода аналитического продолжения. Кроме того, согласно следствию из второй теоремы, отсутствует неоднозначность в разрешении двух близко расположенных объектов и, следовательно, разрешенный объект единствен. 183
Однако бесконечная точность разрешения объекта — лишь математический идеал. В дальнейшем мы увидим, что бесконечная точность разрешения физически нереализуема. Действительно, количество информации, получаемой за счет расширения комплексной спектральной плоскости объекта, которая ограничена пространственной частотой отсечки оптической системы, должно определяться обработкой, связанной с аналитическим продолжением. Мы также покажем, что степень точности зависит от точности спектрального разложения функции. Чем меньше область с известной спектральной плотностью, тем большие усилия требуются для получения более высокой точности разрешения объекта. Рис. 9.3. Аналитическое продолжение Пусть функция f(z) представляет собой комплексный пространственно-частотный спектр ограниченного по размерам объекта (где z=x-\-iy, ахи у — координаты пространственных частот). Если f(z) является аналитической во всей заданной области R, а значения функции принимаются заданными по произвольно малой области (или дуге) внутри /?, то в результате аналитического продолжения можно однозначно определить значения f(z) на всей области R. Пусть А обозначает дугу внутри R, на которой задана функция f(z) (рис. 9.3). Так как f(z) является аналитической функцией внутри Ry значение производной f'{z) не зависит от того, как Аг стремится к нулю. Предположим, что z0 обозначает точку на дуге А. Тогда, благодаря аналитичности f(z), эту функцию можно разложить в ряд Тейлора по г0 во всех точках, находящихся внутри круга с центром в Zq, расположенного внутри R. Таким образом, получим для | г — гд|<г0, (9.26) /г=1 где fn(zo) обозначает производную я-го порядка от f(z) в точке 2о, а г0 — соответствующий радиус круга сходимости. 184
Таким образом, чтобы определить значение функции f(z) внутри промежутка \z—Zol^o» необходимо знать значения всех производных функции fn(z0). Для наиболее общего вида /, разумеется, невозможно записать бесконечное число необходимых производных. Если принять, что (9.26) сходится к f (z) с незначительной ошибкой при ограничении ряда некоторым конечным числом п= =N9 а также если принять, что мы можем найти или аппроксимировать соответствующие производные fn(zo) (что трудно выполнимо практически, см. [9.25]), то значение функции f(z) внутри круга сходимости Со можно аппроксимировать выражением J ?|? (г - г,)". (9.27) Рассмотрим теперь любую другую точку Р внутри R. Пусть А\ обозначает кривую, соединяющую z0 и Р и лежащую внутри R (рис. 9.3), и пусть радиус г0 равен кратчайшему расстоянию между кривой А\ и границей Д. Пусть z\— точка на кривой А\ внутри круга Со, a Ci — круг с центром в точке z\ и радиусом г0. Тогда функция f(z) внутри С\ аппроксимируется так N / (?) * f (г,) + J] ^ (г - г,)"- (9.28) Если продолжить этот процесс, то кривую Ах можно покрыть конечной последовательностью кругов Со, Си С2, ..., Ст, каждый радиусом го, и, следовательно, можно будет определить значения функции f(z) во всей области 7?. Однако согласно хорошо известной теореме о том, что пространственно-ограниченный объект не может быть ограниченным по пространственной частоте [9.26], полное разложение f(z) требует, чтобы вся плоскость пространственных частот была покрыта бесконечной последовательностью кругов. Поэтому такое аналитическое разложение функции f(z) окажется физически нереализуемым. Уравнение (9.28) является аналитическим продолжением {9.27). Ошибка этого приближенного разложения f(z) увеличивается с каждым шагом аналитического продолжения. Если предположить, что комплексный пространственно-частотный спектр будет ограниченным для всех практических целей *>, то в результате аналитического продолжения, аналогичного только что проведенному, можно заметить, что степень точности разрешения объекта увеличивается по мере увеличения ширины полосы пространственных частот оптической системы. Кроме того, очевидно, что количество информации, получаемой за счет аналитического продолжения пространственно-частотного *) Хотя математически пространственно ограниченный объект не может быть ограничен по пространственной частоте, на практике такое предположение часто допускается. 185
спектра, является следствием усилий (т. е. энергии) по получению производных fn (z0) [9.16]. Итак мы показали, что на практике невозможно достичь бесконечно точного разрешения объекта. Однако, если принять во внимание вышеприведенную теорему единственности, может возникнуть сомнение в необходимости расширения спектра пространственных частот, поскольку, чтобы восстановить объект, достаточно произвольно малой области спектра. К сожалению, чтобы использовать это на практике, необходимо иметь априорную информацию об объектах и соответствующих им спектрах пространственных частот. Это возможно лишь в том случае, если число объектов, которые необходимо обнаружить, конечно. Однако обычно число объектов не бывает конечным, в действительности число объектов может быть неисчислимым. В таком случае необходим бесконечно большой объем запоминаемой информации (т. е. словарь соответствующих этим объектам спектров пространственных частот). Такая информационная емкость, разумеется, практически нереали- зуема. 9.4. Восстановление размытых фотографических изображений Выше было дано краткое рассмотрение восстановления изображения из размазанного или расфокусированного фотографического изображения при помощи когерентной оптической пространственной фильтрации. Мы, кроме того, затронули ряд физических ограничений, определяемых с позиций теории информации. Однако мы не останавливались на синтезе комплексного пространственного фильтра, который уменьшает эффект размытия. Как было указано в гл. 7, комплексный пространственный фильтр можно получить путем наложения друг на друга амплитудного и тонкопленочного фазового фильтров. Однако на практике этот метод синтеза трудно реализуем [9.27]. Требуемый фазовый фильтр легко получить с помощью голографического метода, который будет рассмотрен в следующей главе. Приготовление такого фазового фильтра изучалось Строуком и Зехом [9.28] для восстановления размытых изображений и Ломаном и Парисом [9.29] для оптической обработки информации. В данном параграфе мы рассмотрим синтез такого фазового фильтра, который в соединении с амплитудным фильтром может быть использован для восстановления размытого изображения. Процесс комплексной фильтрации, о котором пойдет речь, может быть использован лишь для исправления некоторых размытых изображений и ни в коей мере не претендует на оптимальность, он сохраняет все ограничения, указанные в § 9.2. Вспомним выражение для преобразования Фурье линейно искаженного (т. е. смазанного) изображения (9.1) G(p)=S(p)D(p), (9.29) 186
где G(p)—функция искаженного изображения; S{p)—функция неискаженного изображения; D(p) —искажающая функция системы, формирующей'изображения, а р — пространственная частота. Передаточная функция соответствующего обратного фильтра для восстановления смазанного изображения будет иметь вид H(p)=l!D(p). (9.30) Как уже отмечалось в § 9.1, передаточная функция обратного фильтра обычно физически нереализуема, особенно для размытых изображений, получающихся в результате линейного движения или дефокусировки. Однако при желании можно допустить определенную степень ошибки и тогда можно будет получить прибли- Рис. 9.4. Когерентный оптический процессор женный обратный фильтр. Например, пусть функция пропускания линейного смазанного изображения точечного объекта, т. е. уравнение (9.3), имеет вид (9.31) 0 в остальной области, где Ag — длина смаза. Если во входную плоскость Pi когерентного оптического процессора (рис. 9.4) поместить транспарант, удовлетворяющий (9.31), то результирующее комплексное световое поле в плоскости пространственных частот можно записать так: (9.32) что по существу и является преобразованием Фурье смазанного точечного изображения. График фурье-спектра (9.32) приведен на рис. 9.5. Можно видеть, что фурье-спектр является биполярной функцией. В принципе, смазанное изображение можно исправить с помощью обратной фильтрации (см. § 9.1). Соответствующая передаточная функция обратного фильтра имеет вид (9.33) sin 187
Следует отметить, что передаточная функция обратного фильтра является не только биполярной функцией, но она имеет также бесконечное число полюсов (нулевых значений). Поэтому такой фильтр физически нереализуем. Однако, если добровольно пожертвовать частью разрешения, можно реализовать приближенную1 передаточную функцию фильтра. Для этого необходимо использовать амплитудный фильтр, передаточная характеристика которого приведена на рис. 9.6, в сочетании с независимым фазовым фильтром с передаточной характеристикой, показанной на рис. 9.7. Пе- Рис. 9.5. Фурье-спектр линейно смазанного изображения точки (сплошная кривая). Заштрихованная область определяет соответствующую восстановленную часть фурье-спектра изображения точки. Нули соответствуют следующим значениям пространственных частот рп=2Лл/А|, л—I, 2, 3 Рис. 9.6. Передаточная функция амплитудного фильтра редаточная функция такого комплексного фильтра будет иметь вид Н(р) = А (р) е/ф {р). (9.34) Если этот приближенный обратный фильтр поместить в плоскость пространственных частот процессора, изображенного на рис. 9.4, то восстановленный фурье-спектр обрабатываемого изображения будет Fi(p)=F(p)H(p). (9.35) Если допустить, что Тт — минимальное пропускание амплитудного фильтра, то восстановленный фурье-спектр точечного изображения будет соответствовать заштрихованной части спектра, представленного на рис. 9.5. Теперь можно определить относительную степень восстановления изображения [9.30]: (9.36) 188
где Ар — интересующая нас ширина полосы пространственных частот. На рис. 9.5, например, Др=2р4- Зависимость степени восстановления изображения от пропускания Тт приведена на рис. 9.8. Можно видеть, что идеальное восстановление достигается при Ттг стремящемся к нулю. Однако одновременно также исчезает и восстановленный фурье-спектр, и поэтому никакое изображение не может быть восстановлено вообще. Таким образом, добиться идеального восстановления практически невозможно. Если отбросить это соображение, то оказывается, что основным ограничиваю- I—1 П П ГН Pi Рис. 9.7. Передаточная функция фазового фильтра 0,5 Рис. 9.8. Зависимость относи* тельной степени восстановления: изображения от Тт для случая линейного движения изо- бражения щим фактором в восстановлении изображения являются шумы (гранулярность пленки и пятнистость). Для достижения высокой степени восстановления необходимо, чтобы пропускание Тш была весьма малым, в результате чего восстановленный фурье-спектр оказывается очень слабым. Это приводит к более низкому отношению сигнал/шум в восстановленном изображении. Таким образом* принимая во внимание проблему шумов, можно заключить, что для оптимального восстановления изображения необходимо, по крайней мере на практике, получить оптимальное значение Тш. Как уже говорилось в этом параграфе, фазовый фильтр можно* синтезировать с помощью голографического метода (например, с помощью голограмм, синтезированных на ЭВМ). Рассмотрим теперь, как такой фазовый фильтр будет работать при восстановлении изображения. Допустим, что пропускание голографическога фазового фильтра описывается (9.37) (9.38) где ссо — произвольно выбранная константа, а К Рп<Р<Рп+1> п=± 1, ±3, ±5,..,; \0, в остальной области.
В сочетании с амплитудным фильтром передаточную функцию комплексного фильтра можно будет записать в виде (9.39) +4- Iя о*) ехр ('«•/>)+н* (р) ехр ( тде Н(р)—передаточная функция аппроксимированного обратного фильтра из (9.34). Кроме того, как следует из (9.38), Н(р) — =Н*(р). Исходное смазанное изображение точки Изображение точки после обработки: амплитудным фазовым фильтром сочетанием амплитудного и фазового фильтроб Рис. 9.9. Вычисленная интенсивность восстановленного точечного изображения, смазанного линейным движением (с разрешения Дж. Цуйючи) Если теперь этот комплексный фильтр И\ (р) поместить в плоскость пространственных частот Р2 процессора, изображенного на рис. 9.4, то комплексное световое поле за плоскостью будет (9.40) Легко видеть, что первый член в (9.40) соответствует восстановленному фурье-спектру, образованному благодаря амплитудному фильтру; и этот спектр будет располагаться на оптической оси в выходной плоскости р3- Второй и третий члены — это восстановленные фурье-спектры смазанного изображения, причем восстановленные изображения на выходе будут смещены от оптической оси и будут локализованы вокруг точек <а=ао и а=—«о соответственно. В качестве иллюстрации на рис. 9.9 приведена вычисленная интенсивность восстановленного точечного изображения, смазанного линейным движением, после пропускания его через 190
амплитудный (Тт=0,1) и фазовый (р^Ра) фильтры отдельно ж через комплексный амплитудно-фазовый фильтр. Результаты, экспериментов с использованием таких фильтров показаны на рис. 9.10. Следует отметить, что восстановить дефокусированное изображение можно посредством аналогичной процедуры с той, лишь разницей, что в этом случае комплексный пространственный. фильтр должен иметь симметрию вращения. Следует подчеркнуть, что относительная степень восстановления определяется выбранной нами шириной полосы пространствен- Рис. 9.10. Восстановленные изображения (с разрешения Дж. Цуйючи) ных частот. Очевидно, что окончательный предел Др ограничивается дифракционными пределами оптических систем формирования: изображений и систем обработки, а именно той из них, которая7 имеет худшее разрешение [9. 31]. Таким образом, из вышесказанного не следует, что высокая степень восстановления подразумевает восстановление, превышающее дифракционный предел. Задачи 9.1. Выражения (9.18) и (9.20), будучи применены к модуляционной камере,, описанной в § 9.1, показывают, что действительное восстановленное изображение искажается интерференцией, обусловленной дифракцией нулевого и первых порядков. Используя (9.18), найдите такую усеченную модулирующую функцию, чтобы восстановленное с ее помощью точечное изображение не страдало от этих нежелательных помех. 9.2. Повторив задачу 9.1 для изображения точки диаметром dt определите- число членов уравнения (9.18), требующееся для полного разделения восстановленного изображения от проходящего и дифрагирующих членов. 9.3. Пусть изображение удаленного объекта с постоянной интенсивностью' проектируется на регистрирующую среду камеры. И пусть при открытом затворе объект движется с изменяющейся скоростью так, что зарегистрированное изображение оказывается сильно смазанным. Функция пропускания записанного изображения определяется выражением Т(х, у) =Л (*—*', у) ехр (—дг2/2), -2<*'<2, где А (х, у) — несмазанное изображение объекта. Спроектируйте когерентный* оптический процессор и соответствующий обратный пространственный фильтр для* улучшения этого изображения. 19!
9.4. Если объект из задачи 9.3 движется с постоянным ускорением, то функцию пропускания записанного изображения можно записать в виде где а — произвольная постоянная. Синтезируйте комплексный обратный фильтр для улучшения этого изображения. 9.5. Предположим, что функция пропускания линейно смазанного изображения равна О, в остальной области, где А (х, у) — несмазанное изображение, а Ах — соответствующая длина смаза. Пусть в силу каких-то причин минимальное пропускание Тт фильтра не должно быть ниже 25%. Используя описанный в § 9.4 метод: а) определите оптимальный комплексный пространственный фильтр и б) вычислите относительную степень восстановления изображения. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 9.1. R. M. Fano, Transmission of Information, MIT Press, Cambridge, Mass., 1961. (Рус. пер.: Р. Фано. Передача информации. Статистическая теория связи. — М.: Мир, 1965.) 9.2. L. Brillouin, Science and Information Theory, Academic Press, New York, 1956. (Рус. пер.: Бриллюэн Л. Наука и теория информации. — М.: ГИФМЛ, 1960.) 9.3. N. Wiener, Cybernetics, Technology Press and Wiley, New York, 1948; 2nd MIT Press edition, MIT Press, Cambridge, Mass., 1965. (Рус. пер.: Н. Винер. Кибернетика или управление и связь в животном и машине. 2-е изд. — М.: Сов. радио, 1968.) 9.4. N. Wiener, Extrapolation, Interpolation, and Smoothing of Stationary Time Series, Technology Press and Wiley, New York, 1949; MIT Press paperback edition, MIT Press, Cambridge, Mass., 1949. 9.5. С. Е. Shannon and W. Weaver, The Mathematical Theory of Communication, University of Illinois Press, Urbana, 111., 1962. 9.6. J. Tsujiuchi, Correction of Optical Images by Compensation of Aberrations and Spatial Frequency Filtering, In E. Wolf (ed.), Progress in Optics, vol. II, North-Holland Publishing Company, Amsterdam, 1963. 9.7. J. L. Horner, Optical Spatial Filtering with the Least Mean-Square-Error Filter, J. Opt. Soc. Am., 59 A969), 553. 9.8. G. W. Stroke, F. Furrer, and D. R. Lamberty, Deblurring of Motion-Blurred Photographs Using Extended-Range Holographic Fourier-Transform Division, Opt. Commun., I A969), 141. 9.9. F. T. S. Yu, Image Restoration, Uncertainty, and Information, J. Opt. Soc. Am., 58 A968), 742; Appl. Opt. 8 A969), 53. 9.10. R. V. Churchill, Fourier Series and Boundary Value Problems, McGraw-Hill, New York, 1941. 9.11. O. Bryngdahl and A. Lohman, Holographic Compensation of Motion Blur by Shutter Modulation, J. Opt. Soc. Am., 59 A969), 1175. 9.12. O. Bryngdahl, Holographic Encoding with Completely Incoherent Light, J. Opt. Soc. Am., 60 A970), 510. 9.13. M. Born and E. Wolf, Principles of Optics, 2nd ed., Pergamon Press, New York, 1964. (Рус пер.: Борн М., Вольф Э. Основы оптики. — М.: Наука, 1970.) 9.14. J. L. Synge, Relativity, North-Holland Publishing Company, Amsterdam, 1955. 9.15. J. L. Powell and B. Crasemann, Quantum Mechanics, Addison-Wesley, Reading, Mass., 1961. 192
9 16. L. Brillouin, Science and Information Theory, 2nd ed., Academic Press, New York, 1962. 9.17. H. S. Coleman and M. F. Coleman, Theoretical Resolution Angles for Point and Line Test Objects in the Presence of a Luminous Background, J. Opt. Soc. Am., 37 A947), 572. 9.18. G. Toraldo di Francia, Resolving Power and Information, J. Opt. Soc. Am., 45 A955), 497. 9.19. V. Ronchi, Optics, The Science of Vision, New York University Press, New York, 1957. 9.20. V. Ronchi, Resolving Power of Calculated and Detected Images, J, Opt. Soc. Am., 51 A961), 458. 9.21. J. L. Harris, Diffraction and Resolving Power, J. Opt. Soc. Am., 54 A964), 931. 9.22. F. T. S. Yu, Optical Resolving Power and Physical Readability, J. Opt. Soc. Am., 59 A969), 497, and Opt. Commun., 1 A970), 319. 9.23. E. T. Whittaker, and G. N. Watson, A Course of Modern Analysis, 4th ed., Cambridge University Press, New York, 1940. 9.24. E. A. Guilleman, The Mathematical of Circuit Analysis, Wiley, New York, 1951. 9.25. J. F. Steffesen, Interpolation, Chelsea Publishing Company, New York, 1950. 9.26. R. E. A. Paley and N. Wiener, Fourier Transform in the Complex Domain, Am. Math. Soc. Colloq., 19 A934), 16 (Рус. пер.: Винер Н., Пэли Р. Преобразование Фурье в комплексной области. — М.: Наука, 1964.) 9.27. Т. М. Halladay and J. D. Gallatin, Phase Control by Polarization in Cohe- 9.28. rol by rent Spatial Filtering, J. Opt. Soc. Am., 56 A966), 869. 9.28. G. W. Stroke and R. G. Zech, A Posteriori Image-Correcting Deconvolution by Holographic Fourier-Transform Division, Phys. Letters, ser. A, 25 A967), 89. 9.29. A. W. Lohmann and D. P. Paris, Computer Generated Spatial Filters for Coherent Optical Data Processing, Appl. Opt., 7 A968), 651. 9.30. J. Tsujiuchi, T. Honda, and T. Fukaya, Restoration of Blurred Photographic Images by Holography, Opt. Commun. 1 A970), 379. 9.31. F. T. S. Yu, Coherent and Digital Image Enhancement, Their Basic Differences and Constraints, Opt. Commun. 3 A971), 440.
Ill ГОЛОГРАФИЯ Глава 10 ВВЕДЕНИЕ В ЛИНЕЙНУЮ ГОЛОГРАФИЮ Теория восстановления волнового фронта была предложена Д. Табором в 1948 г. [10.1] и в дальнейшем детально им разработана в целом ряде работ, ставших классическими [10.2, 10.3]. В то время ему пришлось столкнуться с двумя трудностями. Первая заключалась в отсутствии интенсивного источника когерентного излучения, подходящего для записи волнового фронта, вторая — в невозможности отделить мнимое изображение от действительного. Тем не менее, именно Габор заложил основы современной объемной фотографии, или голографии. Даже само название «голография» было введено им. Это слово образовано из двух греческих: «holos» — целый и «graphein» — писать и означает, таким образом, «полная запись». Этот новый метод получения изображений не вызвал сначала особого интереса. В 50-х годах благодаря работам ряда исследователей, в том числе Г. Л. Роджерса [10.4], X. М. А, Эль-Сама [10.5] и А. Ломана [10.6], теория этого метода получила дальнейшее развитие, а понимание его значительно возросло. С изобретением лазера стали, наконец, доступными источники когерентного излучения достаточной интенсивности. Одна из трудностей, заключавшаяся в отделении мнимого изображения от действительною, была преодолена Лейтом и Упатниексом, которые предложили использовать высокочастотную пространственную несущую^ для записи волнового фронта [10.7—10.9]. Начиная с этого времени было опубликовано много работ по голографии и ее применениям. Целью данной главы является рассмотрение голографии с точки зрения элементарной теории систем. Иными словами, мы будем использовать основные понятия теории систем. Как известно, оптические приборы очень сходны с некоторыми электрическими системами. Из этого следует, что голографию можно рассматривать как аналог системы, имеющей вход и выход. В следующих параграфах будут описаны процессы записи и восстановления волнового фронта, а также приведены расчеты го- лографического увеличения, пределов разрешения и величины требуемой ширины полосы частот. Будут также рассмотрены гологра- фические аберрации третьего порядка, пространственно некогерентная и цветная голография. 194
10.1. Запись и восстановление волнового фронта В данной главе будут рассмотрены осевой и внеосевои методы записи и восстановления волнового фронта простого точечного и более сложного объектов, и будет проиллюстрирована системная аналогия процессов голографической записи и восстановления. Чтобы показать запись волнового фронта точечного объекта, установим монохроматический точечный излучатель на расстоянии R от фотопластины, как показано на рис. 10.1. Комплексная Рис. 10.1. Запись волнового фронта простого точечного объекта световая амплитуда на расстоянии г от излучателя может быть записана в виде следующего выражения: и=(А/г) ехр [*(*/¦—©*)], A0.1) где А — комплексная постоянная; к — волновое число, а со — угловая частота источника света в радианах. Пусть опорная волна, представляющая собой плоскую монохроматическую волну*) той *> Как будет ясно из дальнейшего, нет необходимости использовать именно плоскую, а не сферическую опорную волну. Мы выбираем плоскую волну только для простоты. 195
же частоты, движется перпендикулярно поверхности регистрирующей среды. Комплексная световая амплитуда опорной волны определяется выражением v=B exp {I [k (R+z) —<ot]}, A0.2) где В — комплексная постоянная. Теперь мы можем без потери общности опустить в последующих вычислениях изменяющийся по времени член ехр (Ш). На поверхности регистрирующей среды (т. е. при 2=0) выражения A0.1) и A0.2) примут вид и (*• У) = ,„¦ А „1/2 ехР \ik W + Р'I/21. Aаз) v=Bexp(ikR), A0.4) где р2=х2-\-у2. Таким образом, результирующее распределение комплексных амплитуд света на фотопластине, обусловленное этими двумя волновыми фронтами, будет и(х, y) + v= (/?8Д,I/2 ехр[/Л(Я' + р'I/2]+Вехр(Ш?). A0.5) Однако, если расстояние R окажется слишком большим по сравнению с апертурой регистрирующей среды, тогда г можно заменить его параксиальным приближением г^#+р2/2# A0.6) в экспоненте на R в знаменателе уравнения A0.5). Тогда A0.5) можно записать и(х, y) + v = Следовательно, регистрируемая интенсивность равна cos где ф — фазовый угол между комплексными амплитудами А я В. Экспозицию во время записи (т. е. кодирования) можно принять пропорциональной интенсивности A0.8). Легко видеть, что A0.8) описывает зонную линзу Френеля [10.10]. Если записываемый волновой фронт регистрируется в линейной области Т—Е- характеристики фотослоя (§8.1), то амплитудное пропускание полученной голограммы будет равно A0.9) где К\и К2 — коэффициенты пропорциональности. 196
Если голограмма точечного объекта с данным коэффициентом пропускания A0.9) освещается (т. е. декодируется) подающей по нормали монохроматической плоской волной с длиной волны X (рис. 10.2), то согласно теории Френеля—Кирхгофа или принципу Гюйгенса (приложение Б) распределение комплексных амплитуд света позади голограммы может быть определено с помощью теоремы свертки Е(а; k)=B JJr(p; k) ?+ (а - р; k) dxdy, A0.10) где является импульсным откликом свободного пространства (как показано в приложении Б); S определяет интегрирование по всей поверхности голограммы; р (х, у, z) — система координат на голограмме, а о (а, р, у) — другая система координат, расположенная на расстоянии / от первой. изображение / ^ Головрат — х R Рис. 10.2. Восстановление волнового фронта точечного объекта. Случай освещения плоской монохроматической волной Если в A0.10) принять расстояние за голограммой /=/?, то получим Е(а; k)= A0.11) где Си С2 и С3 — соответствующие комплексные постоянные; о2= =а2~Ьр2, а б (а, р) —двумерная дельта-функция Дирака. Три слагаемых в A0.11) можно интерпретировать следующим образом: С\ представляет дифракцию нулевого порядка (т. е. постоянную составляющую), второе слагаемое — мнимое изображение в плюс-первом порядке дифракции, а третье — действительное изображение в минус-первом порядке дифракции. Как видно из рис. 10.2, все три порядка дифракции перекрываются, в результате чего на восстанавливаемом изображении появляются паразитные искажения. Перекрытие будет наблюдаться 197
даже в том случае, если голограмму освещать наклонной плоской волной. Для наклонного освещения распределение комплексных амплитуд света определяется выражением Е(с; к) = В JJT(р; k) eikxsinВЕ+ (а- р; k)d*dy. A0.12) Подставив в него A0.9), получим аналогичное выражение для случая l=R k) = C'l+C'2exp [(ik/2R) (a +C'36(.a—tfsinB, р), A0.13) где С'ь С г и Сг — соответствующие комплексные постоянные. И в этом случае два последних члена соответствуют мнимому и твльное изображение Рис. 10.3. Восстановление изображения голограммой точечного объекта при освещении наклонной плоской монохроматической волной действительному изображениям, как показано на рис. 10.3. Таким образом, очевидно, что наклонное освещение не позволяет разделять изображения. Для разделения изображений необходимо во время записи использовать наклонную опорную волну, как показано на рис. 10.4. Распределение комплексных амплитуд света на поверхности регистрирующей среды, обусловленное опорной волной, в этом случае будет г>(*)=Яехр [flfc(/H-*sin9)]. A0.14) При обычном параксиальном приближении результирующее распределение комплексных амплитуд света на поверхности регистрирующей среды примет вид A0.15) 193
Соответствующая интенсивность будет v(f)][u(x, A0.16) где A\=A/R\ p2=x2-\-y2; <p — фазовый угол между комплексными амплитудами Л и В. И если снова принять запись волнового фронта линейной, получим амплитудное пропускание внеосевой голограммы A0.17) где К\ и /Сг — коэффициенты пропорциональности. Рис. 10.4. Запись волнового фронта точечного объекта с использованием пространственной несущей частоты: 5 — монохроматический точечный источник (объект); Р — фотопластинка; наклонная опорная волна падает на фотопластинку под углом 9 Если такую внеосевую голограмму осветить плоской волной с длиной волны X и углом наклона —6 (рис. 10.5), то распределение комплексных амплитуд света за голограммой будет ?(а, k)=B J{T(p; k)exp(— ikxsin6)?+ (a — p; k)dxdy. A0.18) s (Замечание: угол считывания мог бы быть любым, но мы используем —9 только для простоты.) Восстановленный волновой фронт на расстоянии l=R за голограммой и в этом случае будет Е (a; k) = Сх ехр (— ik% sin в) -f + С2 ехр | i JL [(а_2Я sin вJ + р2] J + С38 (а, р), A0.19) где Си С2 и С3 — соответствующие комплексные постоянные. 199
На рис. 10.5 представлены восстановленные действительное и мнимое изображения. Легко видеть, что при правильно выбранном угле падения опорной волны действительное изображение может быть отделено от нулевого порядка мнимого изображения. Мы можем также принять угол падения опорной волны положительным, как показано на рис. 10.6. И в этом случае распреде- Мнимое изображение Действительное изображение Рис. 10.5. Восстановление волнового фронта голограммой точечного объекта, записанной на пространственной несущей частоте. Случай освещения монохроматической плоской волной с отрицательным углом наклона 6 Мнимое изображение•[ ^^ Рис. 10,6. Восстановление волнового фронта с голограммы точечного объекта, записанной на пространственной несущей частоте. Случай освещения монохроматической плоской волной с положительным углом наклона в 200
ление комплексных амплитуд света при l=R можно записать в виде A0.20) Е(а; Л)=С +C'8S(a—2«sine, p), где С'ь С'2 и С г — соответствующие комплексные постоянные. Здесь, как и в предыдущем случае, мнимое изображение отделено от нулевого порядка и от действительного изображения. Рис. 10.7. Запись волнового фронта протяженного объекта. Случай монохроматической плоской опорной волню Распределение комплексных амплитуд света от протяженного объекта (рис. 10.7) можно получить с помощью теоремы свертки A0.21) где 0A, т|, ?)—функция объекта; So означает поверхностный интеграл по объекту, наблюдаемому из апертуры голограммы. Если снова принять регистрирующую среду пространственно-» линейной, то амплитудное пропускание записанной голограммы будет следующим: ; k)=*K[u(xiy)+v(x)][u(xjy)+v(x)] *= =К{\и(хуу)\*+В>+ (jc, у) |S2cos [<p(*, y)—kxsinQ]l A0.22) где К — коэффициент пропорциональности; v(x)—наклонная опорная волна, определяемая A0.14), а и(х, у) = \и(х, у) \ ехр X X[i<p(x, у)]. Выражение A0.22) может быть также представлено в виде Г(р; k)=K[\u(x, у) \*+В*+Ви(х, у) ехр (-/**sin0) + +Ви*(х, у) ехр (ifcxsinO)]. A0.23) 201
Если голограмма освещается наклонной опорной волной, как показано на рис. 10.8, то распределение комплексных амплитуд света за голограммой можно записать в виде A0.18). Если рассматривать только член, формирующий действительное изображение, т. е. последний член в A0.23), получим Ег(о; *) = ЭД -\-$y)\dxdy, A0.24) Дейс/nffu- тельное изображение Рис. 10.8. Восстановление волнового фронта протяженного объекта. Случай освещения наклонной монохроматической плоской волной при отрицательном угле наклона 0 в I Голограмма О (a \fl\y')t Рис. 10.9. Восстановление мнимого изображения. Случай освещения наклонной плоской монохроматической волной 202
где С — соответствующая комплексная постоянная, индекс г обозначает дифракционный 'порядок действительного изображения, а /' = = R+y—расстояние между плоскостью голограммы и координатной системой изображения в(а, р, у). Из A0.24) видно, что при 1=1' (т. е. R=R' и ?=—y) действительное голографическое изображение восстанавливается однозначно, а именно: как «показано на рис. 10.8. Таким образом, Er{o;k)=CO*(a, Р, y) при 1=1'. A0.25) Рис. 10.10. Мнимое трехмерное голографическое изображение Аналогично, если голограмму осветить волной -с положительным углом наклона, можно показать, что мнимое изображение формируется однозначно при /=/' (т. е. R = —R' и ?=y')> как показано на рис. 10.9. Это значит, что Ev(a\ k) = CO(a'9 р', у') при / = /'. A0.26) Фотографии мнимого и действительного голографичеоких изображений представлены на рис. 10.10 и 10.11 соответственно. Пропускание A0.22) можно переписать в виде Цр; k) =K[\u(x, у) \2+\v(x) \2 + u(xy y)v(x) + + и*{ху y)v(x)], A0.27) где v* (х) =ехр (—ikx sin 0). Преобразование Фурье для и(х9 у) будет, таким образом, иметь вид U(p, q)=O{p, q)El(pi q)9 A0.28) 203
где р и q— пространственные частоты, a U(py q)y O(p> q) и Ei(P> Я) —преобразования Фурье для и(ху у), О(х, у) и E+i(x, у) соответственно. Аналогично можно записать фурье-преобразование для и*(х, у) U*(piq)=O*(pyq)E*l(py q). A0.29) Если голограмма A0.27) освещается наклонной плоской волной с отрицательным 6, то комплексную световую амплитуду непосредственно на противоположной стороне голограммы можно представить в виде )T(p;k) = K{v*(x)[\u(xyy)\*+ \v(x)\*]+u(x9 y)[v*(x)]*+ (xy y)\v(x)\2}y A0.30) где \v(x)\=B — константа. Рис. 10.11. Действительное трехмерное гологра- фическое изображение Тогда преобразование Фурье A0.30) будет v*(x)T(P; k)[=KP4v*(x) [\u(x, y)\*+\v(x)\*]+u(x9 у)Х X[v*(x)]*}+KB*O*(py g)E*l(p9 q)y A0.31) где ёГ обозначает преобразование Фурье. Поскольку распределение комплексных амплитуд в дифрагировавшей волне за голограммой можно определить с помощью теоремы Френеля—Кирхгофа, как видно из A0.18), то преобразование Фурье от дифракции на голограмме можно записать так Е{ру q)=p[v*(x)T(K k)]Et(py q)y A0.32) где Е(р, q) —преобразование Фурье от Е(в> k). Если A0.31) подставить в A0.32), получим Е(ру q)=\\ + КВЮ*(р9 q). A0.33) 204
Следует отметить, что последний член этого уравнения пропорционален О*(р, q), или преобразованию Фурье сопряженной функции объекта. И в этом случае, если используется освещение с положительным 0, преобразование Фурье от дифракции за голограммой аналогично можно представить в виде (х)[\и(х, y)\2+\v(x)\4+u*(x, y)v^ Е(р9 я)= + KBW(p, q). A0.34) Рис. 10.12. Системный аналог записи и восстановления волнового фронта Последний член этого уравнения представляет мнимое голо- графическое изображение, которое пропорционально преобразованию Фурье функции объекта. Структурные схемы процессов записи и восстановления волнового фронта приведены на рис. 10.12 и 10.13 соответственно. *\a(*tff)+v(*)\г K\tl(XM)+VB)\Z i Рис. 10.13. Системные аналоги восстановления волнового фронта: а — для действительного изображения, где D (а, Р) — комплексная функция; б —для мнимого изображения, где D {а/, р') — комплексная функция 10.2. Голографические увеличения Восстановление волнового фронта по своей природе объемно. Поэтому поперечные и продольные увеличения, имеющие место при восстановлении волнового фронта, можно рассматривать отдельно. Поперечные увеличения. Для того чтобы получить поперечные голографические увеличения, следует начать с записи волнового фронта трех монохроматических точечных излучателей с длиной волны %\ (рис. 10.14). Если принять параксиальное приближение 205
в A0.6), то распределение комплексных амплитуд света от трех излучателей можно будет представить так: Мр; (Ю-35) где ki=2nl%\; Au А2 и Л3 — действительные постоянные. Соответствующая интенсивность имеет вид /(р; к1) = (щ + иш + и^(щ + иш + и^=А A0.36) i \ >^ a? P 11 Рис. 10.14. Схема записи для определения поперечных увеличений: 1У 2 — монохроматические точечные источники; 3 — источник расходящейся монохроматической опорной волны; Р — фотопластинка Последнее выражение описывает две взаимно перекрывающиеся зонные линзы Френеля. И опять, если запись волнового фронта линейна, пропускание голограммы будет равно Т (р; kx) = cos |l 'W] + е'{**} + е~/{**}], A0.37) где Ко, Ки ^2, Кг — действительные коэффициенты пропорциональности, а 206
Если эту голограмму осветить расходящимся пучком света с длиной волны %2, как показано на рис. 10.15, «4(р; *г) = Л4 A0,38) то распределение комплексных амплитуд света за голограммой будет Е (о; кг) = J J T (p; *,) и4 (р; *2) Е* (о - р; кг) dxdy. A0.39) Рис. 10.15. Схема восстановления для определения поперечных увеличений. Монохроматический точечный источник расположен в точке 4 Поскольку третий и пятый члены A0.37) соответствуют мнимым изображениям, а четвертый и шестой — восстановленным действительным изображениям, A0.39) можно вычислить почленно, т. е. отдельно для мнимых и действительных изображений. И тогда для восстановленных действительных изображений мы имеем Е,(*9 к2) = -o; К)dxdy, A0.40) где индекс г обозначает действительное изображение. 207
Сделав соответствующие подстановки, последнее выражение можно записать в виде где С\ и С2 — соответствующие комплексные постоянные. Из A0.41) следует, что действительные изображения могут быть восстановлены однозначно при l^XiRxL^KKzL^—^R^—hRiLi). A0.42) Вычислив A0.41) для расстояния за голограммой, заданного выражением A0.42), получим Е, t], 00.43) где С'\ и С12 — соответствующие комплексные постоянные, а б — дельта-функция Дирака. Из схем рис. 10.14 и 10.15 следует, что поперечное увеличение действительного изображения равно [10.11—10.14] Аналогично можно показать, что распределение комплексных амплитуд света позади голограммы при восстановлении мнимого изображения будет \«[«' + *'(?-il+-$r), i]. A0-45) где индекс v обозначает мнимое изображение, а l'=k\R\L\L2l (X2R1L2—%2LiL2—k\L\Ri). Таким образом, соответствующее поперечное увеличение равно [10.11—10.14]. M\=^=(l + ^-^y\ A0.46) 208
Из A0.44) и A0.46) следует, что A0.47) Это равенство справедливо только в том случае, если опорная п освещающая волны плоские. Продольные увеличения. В голографическом процессе имеют место и продольные увеличения, которые мы определим, воспользовавшись рис. 10.16. Снова, используя параксиальное приближение, определяем распределение комплексных амплитуд света от Рис. 10.16. Схема для определения продольных увеличений: /, 2 — точечные монохроматические источники; 3 — источник расходящейся опорной волны; Р — фотопластинка трех точечных источников монохроматического излучения с длиной волны Х\ в виде A0.48) Соответствующая интенсивность будет равна + 2АЛ cos Lx (x*+y*) - A0,49) 209
Приняв опять, что регистрация осуществлена на линейном участке, получаем ; *,) = *. + *,cos{*,[-«*+ 4-(^- A0.50) где Ко, Ки Къ Кз — действительные коэффициенты пропорциональности, а Если эту голограмму осветить расходящимся пучком с длиной волны Лг (рис. 10.17), получим ]! A0.51) а распределение комплексных амплитуд света, создаваемое действительным изображением, т. е. четвертым и шестым членами A0.50), будет Ег (ЪК) = 1\ (*2е-'{д} + /С3е-'{ДА}) и4 (р; k2) Е* (р - а; * A0.52) Произведя соответствующие подстановки, мы можем переписать последнее выражение следующим образом: где С2 и С2 — комплексные постоянные. Из A0.53) видно, что действительные изображения будут восстанавливаться однозначно при 1=1) k=%xRlLxL2l (X2L1L2—X2R1L2—X1R1L1) A0.54) и при 1=12 l2=XlLlL2(Rl + d)/[k2LlL2—X2L2(Ri + d)—XlLl(Rl+d)]. A0.55) 210
Таким образом, решение A0.53) можно записать почленно где С7! и С'г— соответствующие комплексные постоянные. Из A0.54) и A0.55) можно найти продольное разрешение действительных изображений A0.57) Если расстояние tf мало по сравнению с jRi, то продольное увеличение можно записать так [10.11—10.14]: **=%¦* [W^f-W,]* ПРИ Более того, если воспользоваться поперечным увеличением для действительного изображения из A0.44), то можно записать следующее соотношение [10.11—10.14]: M'^fciM'J* при <*<?,. A0.59) Аналогично можно показать, что для случая восстановления мнимого изображения Щ{?&)]„..' A0-60) где lf2=XiLlL2(R-1+d)/[X2L2 {Ri + d) —ULiLr-%\Lx (Ri+d) \. Тогда соответствующее продольное увеличение будет равно Ml=%.= ,,RL К\(?Р* UR|i при d<Rv A0.61) Воспользовавшись A0.46), снова можно записать [10.11— 10.14] ^j^ A0-62) Кроме того, из A0.58) и A0.61) имеем где равенство справедливо только в том случае, если и опорная, и освещающая волны плоские. 211
Любопытно отметить, что, как видно из A0.56) и A0.60) или из рис. 10.17, при этом наблюдается искажение смещения (т. е. изображение трехмерного объекта скручивается). На практике эти искажения смещения действительного и мнимого изображений можно устранить, поместив освещающий пучок на расстоянии b=±%2L2al%lLu A0.64) где знаки « + » и «—» относятся к устранению искажений смещения для действительного и мнимого изображений соответственно. Искажения смещения устраняются для действительного и мнимого Рис. 10.17. Схема восстановления для определения продольных увеличений. Монохроматический точечный источник расположен в точке 4 изображений также и при a=6=ft. Однако в этом случае действительное и мнимое изображения и нулевой порядок дифракции будут перекрываться. Из A0.59) и A0.62) следует, что в случае голографирования трехмерного объекта могут иметь место искажения за счет разности в поперечном и продольном увеличениях. Однако такие искажения будут минимальными при Afn—WAi. В этом случае A0.59) и A0.62) дают МП=МЕ9 при d<#i. A0.65) 10.3. Пределы разрешения Вообще говоря, поперечное голографическое разрешение ограничивается размерами апертуры голограммы, предельной пространственной частотой регистрирующей среды и аберрациями 212
восстановления волнового фронта. Здесь мы рассмотрим только первые два ограничения. Что касается продольного разрешения, то оно ограничивается шириной полосы частот освещающего пучка и будет также рассмотрено ниже. Пределы поперечного разрешения. Прежде всего рассмотрим предел разрешения, налагаемый размером апертуры голограммы. Вспомним A0.41), где поверхностный интеграл по апертуре голограммы S берется в пределах апертуры голограммы. Таким образом, Г(р; k) = 0 для |*| >^г; \у\>%. A0.66) Тогда решение A0.41) для расстояния, на котором восстанавливаются действительные изображения, принимает вид Е(о\ k2) = CxLxLy—-у-* -r-*- J-C J Г -\-L2LxLy TcL, где C\ и Сг — соответствующие комплексные постоянные, а I определяется A0.42). Если воспользоваться критерием Рзлея (§ 4.6) для предела поперечного разрешения, то минимально разрешимое расстояние в действительных изображениях (рис. 10.18) можно представить в виде Armta=/WIx. (Ю.68) Таким образом с учетом поперечного увеличения действительного изображения, можно записать ^1. (Ю-69) Здесь равенство справедливо для минимально разрешаемого расстояния h [10.13, 10.14], т. е. A0.70) 213
Подобным образом, с учетом предела поперечного раарешения мнимого изображения, можно написать A0.71) где V определяется из A0.45). Таким образом, соответствующее минимальное разрешаемое расстояние будет равно и 1 р /1 1\с\пс>\ *^х> min— h\i\\\Ltx» \Y\j.t?) которое, как и следовало ожидать, идентично A0.70). Следовательно, минимально разрешимое расстояние в голографии прямо пропорционально длине волны излучения когерентного источника, Рис. 10.18. Критерий Рэлея для определения предела поперечного разрешения голограммы используемого для восстановления волнового фронта, и расстоянию между объектом и регистрирующей средой и обратно пропорционально размеру апертуры голограммы, иными словами, предел поперечного разрешения устанавливается в процессе записи (кодирования), а не в процессе восстановления (декодирования). Теперь давайте рассмотрим предел разрешения, налагаемый граничной пространственной частотой фотослоя. В этом случае пределы поверхностного интеграла A0.41) распространяются не по всей апертуре голограммы, а только от х=х2 до х=Х\ и от у=—(xi—х2)/2 до y—(xi—х2)/2 для первого интеграла и от х=х'2 до х=х\ и у=*=—(х\—х'2I2 до y=(x'i—х'2)/2 для второго интеграла. Предельные параметры определяются выражениями A0.73) где v2- 214 наивысшая граничная частота регистрирующей среды.
Тогда решение A0.41) для расстояния, на котором восстанавливается действительное изображение, принимает вид Е(о; Ц = С (Ах)* —L^ 1, A0.74) где С\ и С2— соответствующие комплексные постоянные; си и а2 определяются из A0.67); J\ — функция Бесселя первого порядка, а Ax=xl—x2=x'i—x'2=2Xlv2RiLl/(Li—Rx). Таким образом, можно показать, что минимально разрешаемое расстояние равдо Armin=l,22M?i/Ajc A0.75) и аналогично A0.76) Как и ранее, A0.75) и A0.76) идентичны, и минимально разрешаемое расстояние обратно пропорционально граничной пространственной частоте v2 регистрирующей среды. Предел продольного разрешения. Рассмотрим теперь предел продольного разрешения в голографии, налагаемый конечной шириной полосы частот (т. е. квазимонохроматичностью) освещающего пучка. Вспомним голограмму двухточечного объекта из A0.50). Если допустить, что голограмма освещается квазимоно- хроматическим расходящимся источником с конечной шириной полосы частот Av, то минимально разрешаемое продольное расстояние в восстановленном действительном изображении можно записать drmin^Alr при </<Дь A0.77) где I" r='k\R\L\L2l {Х" Ь\Ь2—XffR\L2—A a %! и А," — соответственно минимальная и максимальная длины волн отсечки источника. Из A0.58) следует, что d^Mr(Mrnpr\ A0.78) где 215
а А,2= (VA,"I/2 — средняя длина волны источника. Таким образом, минимально разрешаемое продольное расстояние будет равно (Ю.79) ажения A0.80) Аналогично для случая восстановления мнимого изображения это расстояние будет где А/ // /// 104. Требования к ширине полосы частот Согласно теории Френеля—Кирхгофа (приложение Б), распределение комплексных амплитуд света на поверхности регистрирующей среды от диффузионного объекта описывается выражением и (х, </) = J J О E, т)) Е* (р -1; k) <Мъ A0.81) s0 где О(?, т|)—функция объекта, спроектированная на плоскость (?, г]) в координатах |(|, т), ?)> a «So обозначает интегрирование по поверхности объекта. Если взять преобразование Фурье от A0.81), получим . Ч)=О(р, q)Ei(p,q)9 A0.82) где (-il/2k) (p4q2)], а р и q — соответствующие пространственные частоты. Поскольку \Ei(p> q) \ = l/Xl> то имеем \U(p9 q)\2=(llU)>\O(p, q)\*. A0.83) Из A0.83) следует, что пространственный спектр мощности светового распределения прямо пропорционален пространственному спектру мощности функции объекта O(g, tj). Таким образом, сохранение пространственного спектра объекта зависит от частотно-контрастной характеристики регистрирующей среды. Полоса пространственных частот ограничивается чаще всего размерами апертуры голограммы, а не граничной пространственной частотой фотослоя. Однако, как мы убедились в предыдущем параграфе, пределы разрешения в голографии определяются как размерами 216
апертуры голограммы, так и граничной пространственной частотой фотослоя. Очевидно, что предел разрешения голограммы определяется наименьшим из двух уже названных. Из 10.19 видно, что требования к разрешению могут определяться углами поля зрения следующим образом. Пусть крайние точки объекта действуют как вторичные точечные излучатели, тогда распределения комплексных амплитуд света на регистрирующей среде будут иметь вид A0.84) A/2ЯО [\(x+h2)*+y*]]}, k)=Azexp{ik[Ll+(l/2Ll)[(x+ay+y2]]}. Рис. 10.19. Схема для определения ширины полосы пространственных частот голограммы: 3 — точечный источник расходящегося опорного пучка; Р — фотопластинка Для упрощения вычисления допустим, что A\t2tz— положительные действительные постоянные. Тогда распределение интенсивности света в регистрирующей среде будет /(р; k) = X [(k/Ri) (hx+h2)x\ +2AlAscos{k(Rl—Ll) + (kl2Rx)[{x—hx)* + у*]— -(k/2Ll)[(x+ay+y*]}+2A2A&os{k(Rl~Ll) + (k№x)[(x+h2)*+ +y*]-(kl2Ll) [(x+a)*+y*]}. A0.85) Из A0.85) можно вывести формулу пространственного фазового сдвига, обусловленного щ и и3, . y)=4Ri~Ll+(ll2Rl)[(x-hl)*+y2]-(l/2Ll)[(x+a)*+y>]}, A0.86) 217
а также обусловленного и2 и иг ф23(л:, y)=k{Rl^Ll+(l/2Rl)[(x+h2 A0.87) Саответствующие пространственные частоты вдоль оси х можно определить так А.М--*»?-в-* [(?-?)*-?-?], A0.88, A0.89) Таким образом, наивысшая положительная пространственная частота, определяемая размером апертуры голограммы, будет равна Это можно представить через углы поля зрения Аналогично находим наинизшую отрицательную пространственную частоту vmin = iA,WU_V2=4-[(-i+Tr)^-lr~t]' <ia92> или, что то же самое, vmin = -r(-^^+tgK~tgb,-\g93). A0.93) Следовательно, ширина полосы пространственных частот, ограничиваемая размером апертуры голограммы, равна -^)L, + ^-(/Il-|-/l2)], A0.94) или через углы поля зрения Av=-^Btg61-2tge4 + tg62 + t8e5). A0.95) Следует отметить, что если размер апертуры голограммы очень мал (т. е. когда он приближается к точке), ширина полосы пространственных частот уменьшается до Av1^(lA/?i)(A1+/i2) = (lA)(tge2+tge5). A0.96) С другой стороны, если объект достаточно мал, то ширина полосы пространственных частот становится 218
Следовательно, можно заключить, что Av<Aa?! + Av2. A0.98) Следует подчеркнуть, что ширина полосы пространственных частот при записи волнового фронта зависит от следующих двух факторов: углов поля зрения от объекта к регистрирующей среде и углов, под которыми падают пучки, исходящие от крайних точек объекта (т. е. S\ и S2). Очевидно, что если объект велик по сравнению с апертурой голограммы, то A0.98) уменьшается до Av^Av1=(lA)(tge2+tge5). A0.99) С другой стороны, если размеры апертуры голограммы велики по сравнению с размерами объекта, то Avfl*Av2=BA)(tgei—tg64). A0.100) Более того, из A0.94) и A0.95) можно видеть, что возможно уменьшение ширины полосы пространственных частот, если опорный источник (т. е. S3) «поместить в одну плоскость с объектом [10.15]. Ширина полосы пространственных частот будет тогда равна 00.101) и, следовательно, не зависит от относительных размеров объекта и апертуры голограммы. Если размер объекта велик «по сравнению с апертурой голограммы, то уменьшение пространственной частоты незначительно. Однако, если размеры апертуры голограммы велики по сравнению с размерами объекта, то уменьшение ширины полосы пространственных частот будет значительным. Это последнее условие может оказаться важным при использовании восстановления волнового фронта в микроскопии. Аналогично, если расходящийся опорный пучок на рис. 10.19 заменить наклонной плоской волной, тогда наивысшая положительная пространственная частота будет равна v/max=(l/M(tg9i+tge2-sine), A0.102) а наинизшая отрицательная пространственная частота v'min= (I A) (tg8i-tg 05-sin 9), A0.103) где 9 —-угол между объектной и опорной волной. Следовательно, ширина полосы пространственных частот, определяемая размерами апертуры голограммы, равна Av/=v/max-v/min= A A) Btg 6i+tg 92+tg 95). A0.104) И тогда, если размер апертуры голограммы достаточно мал, то ширина полосы пространственных частот будет . A0.105) 219
Напротив, если размеры объекта очень малы, то ширина полосы пространственных частот будет A0.106) Следовательно, A0.107) Очевидно, что уменьшение ширины полосы пространственных частот для случая плоской опорной волны невозможно. Рис. 10.20. Схема для определения ширины полосы пространственных частот голограммы протяженного объекта: 3 — источник расходящейся опорной волны; Р — фотопластинка Применяя вышеприведенные рассуждения к обычному трехмерному объекту (рис. 10.20), получим следующие выражения для ширины полосы пространственных частот AVx=(l/X) Btge1-2tge4+tg02+tge5), A0.108) , A0.109) где Av* и Avy — ширина полосы пространственных частот вдоль осей х и у соответственно. Если расходящийся опорный пучок заменить плоской опорной волной, получим A0.110) A0.111) 220
10.5. Голографические аберрации В § 10.2 мы рассмотрели общий простой метод вычисления голографического увеличения и уменьшения. Однако эти вычисления основывались на параксиальном приближении, гори котором восстановленное изображение не имеет аберраций. На практике же увеличение (или уменьшение) голографического изображения очень часто страдает от аберраций. Целью данного «параграфа и является оценка пяти основных видов аберраций [10.16] голографических изображений, а именно: сферической аберрации, комы, астигматизма, кривизны поля и дисторсии. Кроме того, мы остановимся на условиях, гори которых эти аберрации можно либо значительно уменьшить, либо устранить вообще. Рис. 10.21. Схема записи и восстановления волнового фронта: О — объект, Н — голограмма, / — изображение. Расходящийся восстанавливающий пучок падает под углом 62, а плоская опорная волна — под углом 0i Прежде всего оценим основные геометрические параметры записи и восстановления волнового фронта, как показано на рис. 10.21. На этом рисунке для записи используется плоский волновой фронт, а для восстановления — сферический. Полная форма комплексного светового поля изображения голограммы в системе координат а для случая двухмерного объекта имеет вид ? (с; *,) = С О <Е, ч) exp [Ik, (х sin 6, - г, 1 X X exp |Ъ2 (щ--х sin 62)] exp (ik2r2) dxdy, A0.112) где С — комплексная постоянная; O(g, r\) —двумерная функция объекта; &i=2n;/A,i, A* — длина волны записи; &2=2я/Я2, %2 — длина волны при восстановлении; р2=*2-|-#2, a 5i и 5г обозначают 221
поверхностный интеграл от функции объекта и передаточной функции голограммы соответственно. Вполне очевидно, что первый поверхностный интеграл описывает запись волнового фронта, вторая экспонента — освещение голограммы, а последняя экспонента — дифракцию на голограмме. Исходя из рис. 10.21, можно вывести формулы для расстояний Г\ И Г2 (Ш14) Разложив A0.113) и A0.114) по формуле бинома [10.17], получим A0.115) A0.116) Если сохранить первые два члена в A0.115) и A0.116), получим параксиальные приближения, и тогда полная форма A0.112) примет вид Е(а, Л2) = СJJfJj0(l, ч)ехр[**,(*sine,- ехр!iK (&-х sin •¦)]х X ехр [ ik (—*)'+»-*)¦ j dxdy, A0.117) где С7 — соответствующая комплексная постоянная. Выражение A0.117) имеет вид, который мы использовали в предыдущих параграфах. Однако, если сохранить первые три члена A0.115) и A0.1 16)l, to можно будет вычислить аберрации третьего порядка. Следует подчеркнуть, что аберрации процессов записи и восстановления волнового фронта зависят от аргумента экспоненты, содержащего г\ и г2. В обычном параксиальном приближении квадратичный экспоненциальный коэффициент р2 [например, в A0.53)] исключается при использовании формулы линзы . A0.118) Однако в непараксиалыном случае уже недостаточно использовать условие A0.118) для исключения экспоненциального члена 222
более высокого порядка. Эти неисчезающие в экспоненте члены и вызывают аберрации в голографическом изображении. Изучение аберраций можно начать с оценки фазового коэффициента Дф=1&2г2—к{Г\ в процессе запись — восстановление. После тщательных вычислений получаем kx 2„2 A0.119) где р2=х2+у*; т2=|2 + тJ; К2=1х+г\уу a M=%2klUl\. Значение поперечного увеличения М можно получить из A0.44). Сравнивая A0.119) с общей формулой аберраций линзы, Аберрации и условия их коррекции приведенной в § 5.3 [10.16], видим, что первый член A0.119) соответствует сферической аберрации; второй — коме; третий — астигматизму; четвертый — кривизне поля; а последний — ди- сторсии. Мы видим, что пять основных видов аберраций, характерных для физических линз, имеют место и в голографии. Кроме того, следует также отметить, что в голографии могут быть вычислены и аберрации более высокого порядка (т. е. выше третьего), однако здесь мы на этом останавливаться не будем. Теперь приступим к рассмотрению условий, при которых эти основные виды голографических аберраций могут быть скорректированы. С этой целью приравняем нулю каждый член в A0.119). Результаты приведены в табл. 10.1, взятой из [10.13]. Из таблицы можно, кроме того, видеть, что если мы корректируем один из видов аберраций, то при этом другие обычно не могут быть исправлены. Однако существуют два исключения, а именно: при поперечном увеличении, равном единице (М=1), все виды аберраций исчезнут, и в любом случае возможно одновременное исправление астигматизма и кривизны поля. В заключение следует отметить, что в общем случае в голо- графическом процессе как при записи, так и при восстановлении могут использоваться сферические волны. В этом общем случае аберрации третьего порядка можно определить описанным выше способом. Такое исследование было проведено Мейером [10.11]. 223 Аберрация Сферическая аберрация Кома Астигматизм и кривизна поля Дисторсия Условие коррекции К i h у ... , ТГ\17) =**:'« = '¦
Согласно этой работе, все пять основных видов аберраций можно устранить одновременно только лишь при условии, что увеличение будет равно единице. Также очевидно, что для того, чтобы увеличение было равно единице, необходимо, чтобы опорный и восстанавливающий пучки были плоскими и имели одинаковую длину волны. 10.6. Пространственно-некогерентная голография Первоначально голографический процесс рассматривался как когерентный процесс получения изображения. Однако существует несколько методов, позволяющих использовать пространственно- некогерентный источник. Впервые такой метод был предложен Мерцем и Юнгом [10.18], а позднее теория и эксперимент этого метода были развиты Ломаном [10.19], Строуком и Рестриком [10.20] и Кохраном [10.21]. В данном параграфе рассматривается метод, предложенный Кохраном. Известно, что свет, рассеиваемый точкой на некогерентно- освещенном объекте, не будет интерферировать со светом, рассеиваемым любой другой точкой этого объекта. Однако при особом устройстве оптической системы оказывается возможным расщепить световое поле каждой точки освещаемого объекта и затем вновь совместить эти участки таким образом, что образуется интерференционная картина. В результате каждая точка объекта будет записана в виде соответствующей интерференционной картины. Если теперь полученную голограмму осветить когерентным источником, то каждая отдельная картина интерференционных полос восстановится в отдельное изображение точки. Иными словами, при получении некогерентной голограммы каждая точка объекта должна иметь свой опорный пучок. На рис. 10.22 приведена диаграмма треугольного интерферометра, сконструированного Кохраном. Это устройство состоит из двух линз (Li и L2) с разными фокусными расстояниями (ft и /2). Линзы расположены на расстоянии f\+f2 Друг от друга, и их фокальные точки совмещены в точке Р, как показано на рисунке. Плоскость объекта О и плоскость регистрации Н находятся на расстоянии U от линзы L\ и на расстоянии f2 от линзы L2. Свет от плоскости О к плоскости Н может проходить двумя путями, а именно: по часовой стрелке и против часовой стрелки внутри интерферометра. Например, в первом случае свет проходит расстояние fi от плоскости О к линзе L\ за счет отражения от расщепителя пучка BS. От линзы L\ до линзы L2 световой луч проходит расстояние, равное fi+fe. От линзы jL2 к плоскости Н свет проходит расстояние f2 за счет отражения от BS. Очевидно, что благодаря такому устройству оптической системы, освещаемый объект, расположенный в плоскости О, даст изображение в плоскости Н. Видно также, что при этом изображение, получаемое на плоскости Я, будет иметь увеличение М{=—/2/fi Для случая движения по часовой стрелке. A0.120) 224
В случае движения света против часовой стрелки освещенный в плоскости О объект также образует изображение в плоскости Я. Однако увеличение в этом случае будет М2=— fi//2=l/Ali. A0.121) В качестве иллюстрации к сказанному рассмотрим одноточечный объект S, расположенный на расстоянии ? за плоскостью О. Рис. 10.22. Треугольный интерферометр, используемый для получения некогерентных голограмм: И — голограмма, М, М — зеркала, BS — расщепитель пучка Распределение комплексных амплитуд света в плоскости О, благодаря присутствию объекта S, будет ], (Ю.122) где С — комплексная постоянная, а &=2л;/Я. Из предыдущего рассуждения следует, что благодаря распределению света A0.122), в плоскости Н образуются два сферических волновых фронта с увеличением М\ и М2. Результирующее комплексное световое поле в плоскости Н является сочетанием этих двух волновых фронтов, +(*)']}. <10-123> где С\ и С2 — комплексные постоянные. Соответствующая интенсивность будет равна '(*. У) = \Ci\2+ |С2|2 + 2|С1||С2|со8[(й/2С)(Л122_М21)р2 + ф], A0.124) где р2=х2+у2; ф — фазовый угол между С] и С2, a Mi=M-12. Если в плоскости Н поместить фотопластинку для записи интерференционной картины, описываемой A0.124), то результирую- 225
щая функция амплитудного пропускания фотопластинки после обработки будет Т(х, y)=Ki+KiCos[(k/2t)) (M22_M2l)p2+<pL A0.125) где К\ и /Сг — коэффициенты пропорциональности. Можно видеть, что A0.125) описывает зонную линзу Френеля с фокусным расстоянием 1=11{М*2-М\). A0.126) После подстановки A0.120) и A0.121) в A0.126) получаем f=?№/(fW42). A0.127) Бели транспарант A0.125) осветить когерентным источником, то будут восстановлены мнимое и действительное голографические изображения. Рис. 10.23. Изображение, восстановленное с пространственно-некогерентной голограммы (с разрешения Р. Дж. Петерса) Теперь (попробуем применить нашу концепцию для более сложного случая, а именно, для случая использования множества взаимно некогерентных точечных источников. Каждый из этих источников будет создавать свою собственную интерференционную картину, которые, однако, будут некогереитны по отношению друг к Другу. Общая интенсивность равна сумме интенсивностей, создаваемых каждым точечным источником. Результирующая функция пропускания записанного транспаранта будет, таким образом, равняться сумме всех интерференционных картин. Каждый точечный источник определяет центр и фокусное расстояние зонной линзы Френеля, и, благодаря этому, будет сформировано трехмерное голографическое изображение. На рис. 10.23 ириве- 226
дена фотография восстановлееия некогерентного голографического изображения. Несмотря на свою привлекательность, на практике метод некогерентной голографии пока еще страдает целым рядом недостатков. Основной из этих недостатков заключается в том, что каждая элементарная линза Френеля образуется интерференцией двух крайне слабых по интенсивности пучков света, падающего на регистрирующую среду, в то время как в когерентной голографии световое поле от каждой точки объекта интерферирует со всем опорным пучком, падающим на фотослой. Другим недостатком этого метода является накопление уровня смещения записи волнового фронта. Таким образом, на практике некогерентную голографию удалось успешно (применить лишь к относительно небольшому числу разрешимых точечных объектов. Однако последующие исследования и разработка новых методов некогерентной голографии могут сделать перечисленные недостатки несущественными. 10.7. Отражательная голография Простая перестройка оптической системы, предназначенной для когерентной записи волнового фронта, позволяет получать восстановленные голографические изображения посредством освещения объекта некогерентным «белым» светом. Этот процесс восстановления обусловлен скорее отражением света от записанной голограммы, чем прохождением через нее. Поскольку в этом методе используется, в основном, толстый слой фотоэмульсии, то отражательная (или восстанавливаемая в белом свете) голография известна также под названием толстослойной голографии. Принцип записи волнового фронта отражательной голограммой, к описанию которого мы приступаем, аналогичен принципу, лежащему в основе цветной фотографии Липмана [10.23]. Поэтому отражательную голографию часто называют цветной голографией. Основы теории отражательной голографии были вдервые описары Ю. Н. Денисюком [10.24] в 1962 г. Однако идеи его не получили в США должного признания до 1966 г., когда появилась целая серия работ Строука и Лабери [10.25], Лина и др. [10.26] и Лейтаидр. [10.27]. В данном параграфе мы рассмотрим отражательную голографию сначала простого точечного объекта, а затем — трехмерного объекта. Для того, чтобы записать отражательную голограмму, на регистрирующую среду с противоположных сторон направляют объектную и опорную когерентные волны, как показано на рис. 10.24. Исходя из этого рисунка, мы можем записать распределение комплексных амплитуд света в фотослое и(р; k) = A exp {ik[(R + z) + р2/2(# + z)]} для A0.128) 227
а комплексное световое поле, обусловленное опорной волной, имеет вид ; k) =B exp[—ik(R+z+xsinQ)] для A0.129) где А и В — комплексные постоянные, p2=x2+y2t a k=2n/X. Соответствующая интенсивность равна, таким образом, /(р; *) = (u+v)(u+v)*= \A\*+\B\*+2\A\\B\cos{k[2(R+z) + + p2/2(R+z)+xsmQ]+q>} для -iЛг<г<0, A0.130) где ф — фазовый угол между Л и В. Из A0.130) можно видеть, что при Аг^>Л интенсивность изменяется синусоидально вдоль Рис. 10.24. Запись когерентного волнового фронта отражательной голограммы точечного объекта: «S -— монохроматический точечный источник. Наклонная монохроматическая опорная волна падает с обратной стороны фотопластинки оси z внутри эмульсии. Если эта запись волнового фронта окажется линейной по «плотности, то функцию оптической плотности записанной отражательной голограммы можно записать так: для — Дг<г<0, A0.131) где К\ и /Сг — соответствующие положительные постоянные. В фотослое, действительно, можно наблюдать целый ряд очень тонких голограмм, расположенных параллельно, которые действуют как отражающие плоскости. Поскольку на практике опорный угол 6 очень мал, расстояние между этими отражающими плоскостями равно Я/2. Если предположить, что коэффициент отражения этих тонких голограмм пропорционален плотности проявленных фотографических зерен, то отражательную функцию для всей 228
голограммы можно записать в виде Г(р; k) = K\ для-Дг<г<0, (Ю.132) где К'\ и Kf2 — соответствующие положительные постоянные. Если же голограмму, описываемую A0.132), осветить некогерентным белым светом (рис. 10.25), то сильно отражаться будет только та записывающая длина волны, которая удовлетворяет закону Брэгга [10.28]. И тогда, согласно теории Френеля—Кирх- Рис. 10.25. Восстановление действительного изображения отражательной голограммой: Я — голограмма; W — белый свет; г — действительное изображение гофа, мы можем вычислить отраженное комплексное световое поле этой длины волны Xsin6J-H2]}+C8(e)8(a, p) для — Дг<г<0, A0.133) где Ci(z), C2(z) и С3 (г)—комплексные функции г, а б (а, р)— дельта-функция Дирака. Вполне очевидно, что первый член A0.133) соответствует дифракции нулевого порядка, второй — это расходящаяся волна первого порядка, а последний — действительное голографическое изображение. Для того, чтобы восстановить мнимое изображение, отражательную голограмму следует осветить с противоположной стороны наклонным пучком белого света (рис. 10.26). Схема восстановления мнимого изображения, приведенная на этом рисунке, аналогична схеме восстановления действительного изображения на рис. 10.25. 229
Приведенные выше рассуждения справедливы и для многовол- новои записи. Пусть поле объекта и опорная волна на рис 10 24 исходят из двух когерентных световых источников с длинами волн Ki и %2. Тогда комплексное световое поле в фотослое, обусловленное двухволновым точечным источником, можно записать в виде [ «(р; ) = «,(р; |[ 1г]| (Ш134) а световое поле, обусловленное двухволновым опорным полем — в виде 2)=Biexp [—ikl(z+xsinQ)] + A0.135) ; ku fe2)= Рис. 10.26. Восстановление мнимого изображения отражательной голограммой: И — голограмма; W — белый свет; о —мнимое изображение где А и В — комплексные постоянные, а р2=*2+#2. Поскольку и и v исходят из двух независимых когерентных источников, усредненную по времени величину экспозиции Uiti*2 и и*хщ можно рассматривать как пренебрежимо малую. Тогда коэффициент отражения голограммы может быть описан выражением г to к ^) A0.136) 230
где К— коэффициент пропорциональности; At— время экспозиции; ( / ) — усредненная по времени интенсивность за время экспозиции At; ф1 и ф2 — постоянные фазовые углы. Из A0.136) видно, что эта двухволновая отражательная голограмма состоит по существу из двух видов тонких голограмм, находящихся в фотослое, причем расстояние между тонкими голограммами первого вида равно XJ2, а второго — Х2/2. Чтобы восстановить действительное изображение, многоволновую отражательную голограмму следует осветить наклонным пучком белого света, как показано на рис. 10.25. Тогда, воспользовавшись законом Брэгга и теорией Френеля—Кирхгофа, можно вычислить значение комплексного отраженного поля, которое будет равно Е{а; ku k2) = Cn(z)exp(—ikiasinQ) X + CZ2(z)8(k2; a, p), C12(z)exp(—ik2 asin0) + C22(z)exp X a, p) + A0.137) где Cik(z) — комплексные функции z. Из этого уравнения видно, что действительное изображение восстанавливается двумя длинами волн, а именно: Х\ и Я2. Тогда интенсивность изображения, обусловленная Аг, будет /r(o; kv k2) = CJ(z)dz Г Cn(z)dz J —Дг —Az 0 в остальной области, A0,138) т. е. представляет сумму интенсивностей излучений с ^ и Я2, а именно: Ir(a; ku k2)=IrAa; kx)+Ir>2(o; h), A0.139) где индекс г относится к восстановлению действительного изображения. Для восстановления мнимого изображения голограмму следует осветить наклонным пучком белого света так, как показано на рис. 10.26. Зная этот простой принцип получения отражательных голограмм точечного объекта, легко применить его и к трехмерному объекту. Заменим точечный объект S на рис. 10.24 функцией трехмерного объекта О(?, ц, ?), а длины волн поля объекта и опорного поля примем равными %\ и Я2. Тогда комплексное световое поле в фотослое, обусловленное полем объекта, можно записать в виде ; К *2)= A0.140) где So — поверхностный интеграл по функции объекта, а импульсный отклик свободного пространства. 231
Придерживаясь принятых выше предположений, мы можем записать коэффициент отражения многоцветной (т. е состоящей из света всех длин волн Ль Яг, ..., Я#) голограммы в виде K(p; 1 cos A0.141) где L л=1, 2, ..., л. Если такую многоцветную голограмму осветить некогерентным белым светом, как показано на рис. 10.25, то, применив теорию Рис. 10.27. Мнимое изображение, восстанавливаемое при освещении одноволновой отражательной голограммы белым светом Френеля—Кирхгофа, можно вывести формулу для светового поля действительного изображения A0.142) п=\ где индекс г относится к действительному изображению, а Сп (z) — комплексные функции г. Соотвественно интенсивность в этом случае будет равна /г(р; ая)= A0.143) п-\ т. е. сумме интенсивностей изображений на длинах волн hu ^2, • • -, Xjv. Аналогичным образом можно получить и мнимое голографическое изображение. 232
Можно предположить, что цвета голографического изображения будут соответствовать цветам объекта. Однако на практике оказывается, что отраженные длины волн короче записываемых. Это объясняется тем, что после процессов проявления и закрепления наблюдается усадка фотослоя. Чтобы сохранить первоначальную длину волны, необходимо предотвратить эту усадку. Существует несколько методов предотвращения усадки фотослоя после закрепления. Точное следование этим методам позволяет настолько уменьшить усадку, что сохраняются первоначальные длины волн в достаточно широком спектральном диапазоне. На рис. 10.27 приведена фотография мнимого изображения, восстановленного одноволновой отражательной голограммой при освещении ее белым светом. Анализ линейной голографии, приведенный в данной главе, основывается на теории точечных источников и линейных систем. Несмотря на то, что некоторые выражения могут показаться слишком длинными, вычисления проводились самым тщательным образом. Конечно, этот метод пригоден лишь для решения простых, требующих непосредственного решения задач. Этот метод может быть использован для определения голографического увеличения, разрешения, ширины полосы частот и т. д. наряду с методом геометрической оптики. Задачи ЮЛ. Используя A0.44), A0.46), A0.58) и A0.61): а) найдите поперечное и продольное увеличения для случая, когда голограмма освещается наклонной монохроматической плоской (а не расходящейся) волной с длиной волны Яг; Фотографическая пластинка Рис. 10.28. Схема записи голограммы б) найдите продольное и поперечное увеличения для случая, когда голограмма записывается и восстанавливается сходящимися опорным и освещающим пучками. Покажите связь между увеличениями мнимого и действительного изображений. 10.2. Предположим, что при записи некоего волнового фронта когерентный свет исходит из аргонового лазера с длиной волны 4880 А. Опорная волна исходит из расходящегося точечного источника, расположенного на расстоянии 1 м 233
от оси х фотографической пластины и 0,5 м ниже оптической оси схемы записи, как показано на рис. 10.28, а записываемый объект находится на расстоянии 0,5 м от регистрирующей апертуры. Для случая, когда записываемый транспарант (т. е. голограмма) освещается нормально падающим расходящимся светом о от гелий-неонового лазера с длиной волны 6328 А, исходящим из точечного источника, расположенного на расстоянии 0,5 м от голограммы: а) определите соответствующие поперечные и продольные увеличения действительного и мнимого изображений; б) вычислите местоположение изображений; в) найдите такое положение расходящегося точечного источника, при котором можно избежать трансляционных искажений, описываемых в § 10.2. Точечньш нонохроматический источник Тренсмрднт Убеличенная волозрант Рис. 10.29. Схема восстановления изображения с голограммы Рис. 10.30. Рисунок к задаче 10.9 10.3. Предположим, что голограмма получена при использовании расходящегося опорного пучка, а изображения восстановлены сходящимся пучком с той же длиной волны. Найдите такое местоположение расходящегося и сходящегося пучков и такое соотношение между ними, при которых поперечное увеличение будет равно единице. 10.4. Предположим, что голограмма записана так, как показано на рис. 10.14. Пусть эта голограмма будет равномерно увеличена в т раз и полученная увеличенная голограмма освещена расходящимся монохроматическим источником, как показано на рис. 10.29. Определите местоположение действительного и мнимого изображений в этом случае и их увеличения. 10.5. Пусть имеется фотопластина с высоким разрешением размером 10Х Х12 см. Определите пределы поперечного разрешения в голографическом изображении, если голографируемый объект находится на расстоянии 24 см перед фотопластиной на оптической оси схемы записи. 10.6. Предположим, что апертура записи (т. е. фотопластина) имеет форму прямоугольника с размерами 8X10 см. Центр транспаранта кругового объекта с диаметром 6 см расположен на оптической оси параллельно пластине на расстоянии 20 см от нее. Определите ширину полосы пространственных частот вдоль большой и малой осей апертуры голограммы, если при записи голограммы опорная волна имела угол 45° к большой оси фотопластинки. 10.7. Поменяв местами плоскую опорную волну и восстанавливающий расходящийся пучок на рис. 10.21, определите основные аберрации третьего порядка, а также условия их исправления. Сравните полученные результаты с A0.119) и данными табл. 10.1. 10.8. Покажите, что если расстояние между плоскостью объекта и регистрирующей апертурой достаточно велико, чтобы удовлетворить условию дифракции Фраунгофера, то записанный волновой фронт по существу является фурье-голо- граммой (т. е. голограммой соответствующего преобразования Фурье). 10.9. Покажите, что если при условиях задачи 10.8 для записи не используется опорная волна, то получаемый в результате транспарант является спектром мощности функции объекта. 234
Покажите, что если этот транспарант осветить нормально падающей монохроматической плоской волной, а прошедшее световое поле отображается в задней фокальной плоскости положительной линзы (рис. 10.30), то интенсивность полученного изображения будет пропорциональна квадрату функции автокорреляции объекта. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 10.1. D. Gabor, A New Microscope Principle, Nature, 161 A948), 777. 10.2. D. Gabor, Microscopy by Reconstructed Wavefronts, Proc. Royal Soc, ser. A, 197 A949), 454. (Рус. пер.: Габор Д. Микроскопия на основе метода восстановления волнового фронта, I. — В кн.: Строук Дж. Введение в когерентную оптику и голографию. — М.: Мир, 1967, с. 218—269.) 10.3. D. Gabor, Microscopy by Reconstructed Wavefronts, II, Proc. Phys. Soc., ser. B, 64 A951), 449. (Рус. пер.: Габор Д. Микроскопия на основе метода восстановления волнового фронта, II. — В кн.: Строук Дж. Введение в когерентную оптику и голографию. — М.: Мир, 1967, с. 270—301.) 10.4. G. L. Rogers, Gabor Diffraction Microscopy: The Hologram as a Generalized Zone Plate, Nature, 166 A950), 237. 10.5. H. M. A. El-Sum, Reconstructed Wavefront Microscopy, doctoral dissertation, Stanford University, 1952 (available from University Microfilms, Ann Arbor, Michigan.) 10.6. A. Lohmann, Optical Single-Sideband Transmission Applied to the Gabor Microscope, Opt. Acta, 3 A956), 97. 10.7. E. N. Leith and J. Upatnieks, Reconstructed Wavefront and Communication Theory, J. Opt. Soc. Am., 52 A962), 1123. 10.8. E. N. Leith and J. Upatnieks, Wavefront Reconstruction with Continuous- tone Objects, J. Opt. Soc. Am., 53 A963), 1377. 10.9. E. N. Leith and J. Upatnieks, Wavefront Reconstruction with Diffused Illumination and Three-dimensional Objects, J. Opt. Soc. Am., 54 A964), 1295. 10.10. J. B. DeVelis and G. O. Reynolds, Theory and Applications of Holography, Addison-Wesley, Reading, Mass., 1967. (Рус. пер.: Де Велис Дж., Рейнольде Дж. Голография. — М.: Воениздат, 1970.) 10.11. R. W. Meier, Magnification and Third-order Aberrations in Holography, J. Opt. Soc. Am., 55 A965), 987. 10.12. E. N. Leith, J. Upatnieks, and K. A. Haines, Microscopy by Wavefront Reconstruction, J. Opt. Soc. Am., 55 A965), 981. 10.13. J. A. Armstrong, Fresnel Holograms: Their Imaging Properties and Aberrations, IBM J. Develop., 9 A965), 171. 10.14. F. I. Diamond, Magnification and Resolution in Wavefront Reconstruction, J. Opt. Soc. Am., 57 A967), 503. 10.15. J. T. Winthrop and C. R. Wothington, X-Ray Microscopy by Successive Fourier Transformation, Phys. Letters, 15 A965), 124. 10.16. M. Born and E. Wolf, Principles of Optics, 2nd rev. ed., Pergamon Press, New York, 1964, p. 211. (Рус. пер.: Борн М., Вольф Э. Основы оптики. М., Наука, 1970.) 10.17. Н. В. Dwight, Table of Integrals and Other Mathematical Data, 3rd ed., Macmillan, New York, 1957. (Рус. пер.: Двайт Г. Б. Таблицы интегралов и другие математические формулы. — М.: Наука, 1977.) 10.18. L. Mertz and N. О. Young, Fresnel Transformations of Optics, in K. J. Ha- bell (ed.), Proceedings of the Conference on Optical Instruments and Techniques, Wiley, New York, 1963, p. 305. 10.19. A/W. Lohmann, Wavefront Reconstruction for Incoherent Objects, J. Opt. Soc. Am., 55 A965), 1555. 10.20. G. W. Stroke and R. ,C. Restrick, III. Holography with Spatially Noncoherent Light, Appl. Phys. Letters, 7 A965), 229. 10.21. G. Cochran, New Method of Making Fresnel Transforms with Incoherent Light, J. Opt.Soc. Am., 56 A966), 1513. 10.22. P. J. Peters, Incoherent Holograms with Mercury Light Source, Appl. Phys. Letters, 8 A966), 209. 233
10.23. M. G. Lippmann, La Photographie des Couleurs, Compt. Rend., 112 A891), 274. 10.24. Ю. Н. Денисюк. Об отображении оптических свойств объекта в волновом поле рассеянного им излучения. ДАН СССР, 1962, т. 144, с. 1275. 10.25. G. W. Stroke and A. E. Labeyrie, White-light Reconstruction of Holographic Images Using the Lippmann-Bragg Diffraction Effect, Phys. Letters, 20 A966), 368. 10.26. L. H. Lin et al., Multicolor Holographic Image Reconstruction with White- light Illumination, Bell System Tech. J., 45 A966), 659. 10.27. E. N. Leith et.al., Holographic Data Storage in Three-dimensional Media, Appl. Opt., 5 A966), 1303. 10.28. F. W. Sears, Optics, Addison-Wesley, Cambridge, Mass., 1949, p. 243. Глава 11 АНАЛИЗ НЕЛИНЕЙНЫХ ГОЛОГРАММ Вопросы, связанные с передаточными функциями и нелинейными эффектами в голографическом процессе, были детально рассмотрены Козма [11.1], Фрейземом и Зеленкой [11.2], Гудме- ном и Найтом [11.3] и Брингдалем и Ломаном [11.4]. Целью данной главы (основанной на работах [11.5—11.7]) является изучение нелинейных эффектов в процессе восстановления волнового фронта с точки зрения теории систем. Из предыдущих глав следует, что голограмму удобно представлять в виде «черного ящика», имеющего вход и выход. Следовательно, и изучение нелинейных эффектов в голографии можно рассматривать на основе нелинейных систем. Поскольку восстановление волнового фронта протяженного трехмерного объекта разложимо на восстановление волновых фронтов целого ряда разрешимых точечных объектов, мы начнем с изложения теории элементарной точечной голограммы, а затем обратимся к более общему случаю. 11.1. Метод пяти ординат На рис. 10.1 изображена запись волнового фронта с использованием осевой голограммы. Монохроматический точечный источник расположен на расстоянии R от регистрирующей среды, а плоская опорная волна той же длины идет слева направо по направлению к фотопластинке. Экспозицию, обусловленную взаимодействием этих двух волновых фронтов в регистрирующей среде, можно аппроксимировать A0.8) A1.1) где А и В — комплексные амплитуды точечного источника и опорной волны соответственно; ф — фазовый угол между А и В; р2= =х2+у2, &=2лД, к — длина волны, a t — время экспозиции. 236
Из характеристики амплитудного пропускания фотопластины, показанной на рис. 11.1, видно, что линейная область очень узка. Из A1.1) следует, что точка покоя (смещение) зависит от амплитуд двух волн, достигающих регистрирующей среды, т, е. Если амплитуда опорной волны значительно больше амплитуды сферической волны, т. е. если \B\>\A\/R9 то A1.1) принимает вид Е(9; *)* Lcos A1.3) Рис. 11.1. Применение метода пяти ординат для анализа нелинейных голограмм Величина экспозиции, соответствующей точке покоя, в этом случае равна EQ^\B\4 при |В|>|Л|/Я A1.4) и не зависит от \А\. Таким образам, линейная рабочая область зависимости амплитудного пропускания от интенсивности может быть обеспечена соответствующим изменением величины В, а следовательно, и EQ опорного пучка. С другой стороны, если \A\/R сравнимо или больше |5|, то поддерживать голографический процесс в пределах линейной области характеристики амплитудного пропускания трудно. В результате появятся нелинейные искажения в амплитудном пропускании, как показано на рис. 11.1. Из выражения A1.1) или из рис. 11.1 следует, что амплитудное лрсшускание голограммы точечного объекта периодично вдоль оси 237
р2. Амплитудное пропускание этой голограммы можно разложить в ряд Фурье по р2 fg A1.5) Л=1 где р (а:, у, г) — данная система координат, а ап — соответствующий коэффициент Фурье: w9*d?> «=0, 1,2... A1.6) (Без потери общности мы можем опустить фазовый угол ср.) Из A1.5) следует, что амплитудное пропускание Г(р; k) состоит из бесконечного числа линз Френеля (§ 4.5): где Т0=а0/2, Тп(р; k) = ancos^?\ п=1, 2, 3... Фокусные расстояния зонных линз, следовательно, равны fn=#/n, л=1, 2, 3,-.. A1.8) Если полученную голограмму с амплитудным пропусканием A1.7) осветить монохроматической плоской волной с длиной волны X (рис. 11.2), то комплексное световое поле позади голограммы можно определить с помощью теоремы свертки: Е (a; k) = у f T (p; k) Ef (а - р; k) dxdy, A1.9) о где — это импульсная характеристика свободного пространства; S обозначает интегрирование по всей поверхности Г(р; k)f а а (а, р, y) и p(#, у, z) —системы координат. Подставив A1.7) в A1.9), получим Е(а; *)=Jj[V.+|гя(р; VU+(<r-p; k)dxdy. (НЛО) Без потери общности мы можем предположить поверхность S бесконечно протяженной. Поскольку нас интересует восстановление шлографичеакого изображения от каждой линзы Френеля отдельно, мы будем вычислять вышеуказанный интеграл почленно 238
относительно фокусного расстояния соответствующей линзы, в результате получим A1,11) , я = 1, 2, 3, ... где Е(оп\ k)—комплексное световое поле, обусловленное одной зонной линзой Гп(р; k) с фокусным расстоянием fn\ a2n=a2n+p2n. *f, 'Действительное изображение перводо Голограмма Мнимое изображение первого порявка ^- у/. ра Яолее Высоких порядков Действи— тзльнш изображения волее поря&ков Рис. 11.2. Восстановление волнового фронта осевой нелинейной голограммой точечного объекта. Освещение плоской монохроматической волной Очевидно, что первый член A1.11) соответствует мнимому изображению (т. е. расходящемуся пучку), а второй — действительному изображению (т. е. сходящемуся пучку). Восстановленные изображения более высоких порядков лежат между действительным и мнимым изображениями первого порядка, как показано на рис. 11.2. Эти изображения более высоких порядков обусловлены нелинейностью голограммы. Степень нелинейности голограммы можно определить следующим образом: к1/2 нелинейность (в процентах) = — ¦ Х100. A1.12) 239
Анализ нелинейных голограмм аналогичен анализу, применяемому в теории нелинейных усилителей, и следовательно, для определения коэффициентов Фурье можно воспользоваться методом пяти ординат [11.8], как показано на рис. 11.1. Получим min )/6 + (Та A1.13) ОС/ Голограмма х/ Мнимое Мнимые изображения более быооких лоря&х00 ДейстЗительнд/е' изображения более высоких лоря0ко§ N Действ и - тельное изображение первого порядка Рис. 11.3. Освещение осевой нелинейной голограммы наклонной плоской монохроматической волной Очевидно, что для получения более точного результата можно использовать большее число точек. Кроме того, в случае предельных искажений голограмма может состоять из полностью прозрачных зон Френеля. Амплитудное пропускание такой голограммы имеет вид - (- 2л—1 COS A1.14) П=\ Выражение A1.14) отличается от A1.7) только коэффициентами Фурье. Можно показать, что восстановленные изображения локализуются в точках /п, которые определяются A1.8). Однако степень нелинейности оказывается несколько выше, чем в слу- 2 40
чаях неполного насыщения. С другой стороны, при совершенна линейной топографической записи интенсивность изображений более высоких порядков равна нулю. Предположим, что голограмма, описываемая A1.5), освещается: наклонной плоской монохроматической волной с длиной волны Л, как показано на рис. 11.3. Тогда согласно теории Френеля—Кирхгофа комплексное световое поле позади голограммы равно ^@ —p; k)dxdy. A1.15) Подставляя A1.5) в A1.15), находим, что Е(ап; k), обуслов- ленное Тп (р; k), в точке fn будет Е(ап; k) = -l± л=1, 2, .... A1.16> Снова узнаем в двух членах A1.16) мнимое и действительное голографическое изображение, как показано на рис. 11.3. Очевидно, что наклонное освещение не позволяет отделить восстановленные изображения первого порядка от изображений более высоких, порядков. Для этого необходимо использовать наклонную опорную- волну при записи, как будет показано в следующем параграфе. 11.2. Нелинейная голограмма с наклонным опорным пучком Для того, чтобы отделить дифракцию нулевого порядка от мнимого и действительного изображений, необходимо при записи использовать наклонную опорную волну, как показано на рис. 11.4. Результирующую экспозицию при этом можно аппроксимировать следующим образом: где Ах и В — распределения комплексных амплитуд света от точечного источника и опорного пучка соответственно; ф — фазовый угол между ними, а t — время экспозиции. Легко показать, что экспозиция, описываемая A1.17), состоит из концентрических окружностей с общим центром в точке х= =/? sin 0, у=0, а соответствующие максимальная и минимальная экспозиции имеют место в точках , я = 0, 1, 2, ... 241
Если допустить, что x=X\+R sin0, то A1.17) можно записать в виде A1.18) За исключением постоянного фазового коэффициента, A1.18) идентично A1.1). Рис. 11.4. Запись внеосевой нелинейной голограммы при использовании наклонной плоской монохроматической опорной волны: Р — фотопластинка Таким образом, используя то же рассуждение, что и в предыдущем параграфе, мы можем записать амплитудную прозрачность голограммы так: A1.19) где хя ?2> " = 0, 1, 2, Произведя затем соответствующий перенос оси х, мы можем показать, что фурье-компоненты A1.19) и A1.5) идентичны. Отсюда следует, что амплитудное пропускание Т (р; k) можно представить в виде бесконечного числа зонных линз Френеля, а именно: A1.20) ,п=\ 242
где Т0 = а0/ л=1, 2, Если эту голограмму осветить наклонной плоской монохроматической волной с длиной волны К (рис. 11.5), то распределение комплексных амплитуд света можно будет вычислить по формуле свертки ?; k)= JjT(p; k)e-ikxsinBE?(a-Pi k)dxdy. A1.21) Мнимое изображение первого Мнимые изображения более высоких порядков Действительные изображения более высоких Деиствитель- порядков мое изображение первого порядка Рис. 11.5. Восстановление изображения внеосевой нелинейной голограммы точечного объекта. Случай освещения монохроматической волной с отрицательным* углом наклона 9 Следует отметить, что угол считывания может быть отличным от 9, но в целях упрощения при восстановлении мы использовали тот же угол 0. Ив этом случае восстановление волновых фронтов, обусловленных единичными зонными линзами Френеля, можно получить путем почленного вычисления E(an; k)=Kt ехр |^[(а„- л = 1, 2, 3, ... A1.22) где /Ci и /Сг — соответствующие комплексные постоянные. 243
Как показано на рис. 11.5, серия изображений более высоких порядков лежит между передней и задней фокальными точками голограммы. Из того же рисунка видно, что правильным выбором угла наклона опорной волны 0 можно отделить действительное изображение первого порядка от всех нежелательных изображений. С другой стороны, если голограмму точечного объекта осветить плоской монохроматической волной той же длины, но с положительным углом наклона, как показано на рис. 11.6, то распределен Действительное изображение первого лорябка 2tfi& Мнимые изображения более высоких яорядков Мнимое изображение первоао б Действительные изображения более высоких порядков Рис. 11.6. Восстановление изображения с внеосевой нелинейной голограммы точечного объекта. Случай освещения плоской монохроматической волной с положительным углом наклона 6 ние комплексных амплитуд света в фокальной плоскости соответствующей зонной линзы будет иметь вид Е(ап; A) = ^1 4")sin6' =l> % 3' AL23) где К!\ и К'2 — комплексные постоянные. Используя A1.23), можно определить серию дифрагированных изображений более высоких порядков. Как и ранее, здесь возможно отделить мнимое изображение первого порядка от дифракций более высоких порядков. 244
Поскольку в большинстве голографических применений распределение комплексных амплитуд света от объектов в регистрирующей среде приблизительно однородно, то пропускание нелинейной голограммы можно записать так: Т(р; *)= A1.24) я=0 где Тп(Р'< k)=ancos{n[kxsmb-\-<p(x, у)]}, , y)]}dp, изображение *i ¦ лоряб/га изображения сдее ffd/ca/a лорябков изображение лербого лорябха Рис. П.7. Восстановление изображения внеосевой нелинейной голограммы протя» женного объекта a d — соответствующий пространственный период. Очевидно, что здесь, как и в предыдущем параграфе, фурье-компоненты могут быть определены графически. Таким образом, восстановленные изображения первого порядка можно отделить от нежелательных дифракций более высоких порядков путем* внеосевой записи волнового фронта. На рис. П.7 показано восстановление изображения с внеосевой нелинейной 245
голограммы. Из этого рисунка видно, что минимальный угол наклона опорной волны можно определить по размерам объекта и апертуры голограммы. На рис. 11.8 приведена фотография изображения нелинейной голограммы, восстановлееной пучком света от лазера. Как видно из этого рисунка, помимо двух восстановленных изображений первого порядка, вблизи нулевого порядка дифракции, расположенного в центре, имеются две серии изображений более высоких порядков. Рис. 11.8. Изображения, восстановленные с нелинейной голограммы с помощью лазерного пучка 11.3. Паразитные искажения На данном этапе мы можем вычислить искажения, обусловленные всеми нежелательными сигналами (т. е. нулевым и более высокими порядками, а также мнимым и действительным изображениями). Эти искажения мы назовем паразитными. Обратимся к рис. 11.5. Если вычислить A1.21) для t=R В(ai *)U = ; k)<rikxsinBE?(o-9; A1. то распределение комплексных амплитуд света в этом случае будет Е (*; =irехр —-г sin*e—a 4" ещ«"sin 9) Л=1 - ^р- *# sin 6 + л=2 A1.26) 246
Степень паразитных искажений D8 можно определить как от-» ношение всей нежелательной интенсивности вблизи восстановленного изображения к интенсивности самого изображения, т. е. 00 00 A1.27) при 0=0. Если нелинейные искажения отсутствуют, то при 0=0 величину паразитных искажений можно определить по формуле Z)8=[<a1/2J+a2o]/a21. Если нежелательные сигналы условно назвать шумами*), то отношение сигнал/шум можно определить так: отношение сигнал/шум =l/D8. A1.28) Легко показать, что степень искажений для случая, изображенного на рис. 11.6, определяется A1.27). Кроме того, как видно из рис. 11.5, 11.6 и 11.7, при данной конечной апертуре голограммы паразитные искажения можно свести к минимуму соответствующим выбором угла наклона опорного пучка. Следует отметить, что фурье-разложение нелинейных голограмм может представить значительные трудности, если интенсивность регистрируемого поля будет неоднородной. Однако этот метод позволяет не только получить четкое представление о том, что вызывает искажения, но и использовать простой графический способ определения поведения голограммы. В любом случае этот метод позволяет определить местоположение восстановленных изображений более высоких порядков, а также качественно определить степень нелинейных и паразитных искажений. Разумеется, анализ нелинейных голограмм можно также производить, используя точные математические соотношения между экспозицией и амплитудным пропусканием регистрирующей среды. Это можно выполнить разложением характеристики амплитудного пропускания в степенные ряды [11.1—11.4] или использовать разложение в ряд по подходящим ортогональным функциям. Однако такой метод является более сложным и его трудно использовать на практике. 11.4. Влияние изменения толщины эмульсий на восстановление волнового фронта Точное восстановление голографических изображений требуется в таких областях, как: оконтуривание, голографическая интерферометрия, микроскопия и т. д. Данный параграф будет посвящен *> Использование термина «шум» здесь неудачно, так как нежелательные сигналы детерминированы. Строго говоря, шум должен быть случайным по своей природе. 247
изучению влияния изменения толщины эмульсии на точность восстановления 'изображений [11.9]. Ниже будет представлен общий подход к изучению записи и восстановления волнового фронта на фотопластинках с неоднородной толщиной эмульсии. Мы увидим, что изменение толщины эмульсии оказывает лишь очень несущественное влияние на запись волнового фронта и значительное — на точность голографического изображения, что будет показано на упрощенном примере. Влияние на голографическую запись. Предположим, что имеется фотопластинка, у которой толщина тонкого слоя эмульсии*) Рис. 11.9. Разрез фотопластинки, показывающий изменение толщины эмульсии Рис. 11.10. Схема записи волнового фронта с использованием наклонной плоской монохроматической опорной волны распределена неравномерно по ее поверхности (рис. 11.9). В этом случае фазовая задержка, обусловленная толщиной эмульсии в точке (х, у), может быть записана в виде *,y)=k[*o+{r\-l)z(x,y)], A1.29) где z (х, у)—изменение толщины эмульсии; z0 — максимальная толщина эмульсии; г\ — показатель преломления эмульсии, a k — волновое число. Если изменение толщины эмульсии z(x, у) носит плавный характер, то соответствующее фазовое пропускание можно аппроксимировать разложением в ряд Тейлора *Р @, 0) . а? @, 0) # , 1 д2<? @, 0) ., д2у@, 0) ду2 дх 2У @, 0) дхду ду A1.30) *) Тонкий слой определяется так же, как и тонкая линза: световой луч, входящий в слой в точке (х, у) на одной стороне эмульсии, выходит из нее приблизительно в той же точке на другой ее стороне. 248
Если эта фотопластинка используется в качестве регистрирую- щей среды в схеме, представленной на рис. 11.10, то влияние изменения толщины эмульсии на рассеянный свет может быть выражено в виде: «'(*, у)=и{х, у)ехр[ир(х, у)], A1.31) v'(x9 0)=1>ехр{*[Лх8ше + ф(*э у)]}, A1.32) где и{х, у) и flexp(ifetsinO) —распределения комплексных амплитуд света, рассеиваемого от объекта, и опорной волны соответственно, без учета влияния изменения толщины эмульсии, аи — Рис. 11.11. Восстановление действительного изображения с помощью плоской монохроматической волны, имеющей отрицательный угол наклона 6 положительная действительная постоянная. Результирующая интенсивность на фотопластинке, таким образом, равна /(р; *) = [и'(*. *)+*'(*. V)W(*> y)+v'(*> </)]*= N*> У) + vu (x, у) exp (—tkx sin 8) + vu* (xt y) exp (ikx sin 0) * A1.33) Если при записи волнового фронта смещение выбрано таким, что пропускание пластинки остается всегда линейным по интенсивности, и если во время фотографического процесса не происходит поперечной усадки эмульсии, то пропускание записанной голограммы будет равно T(p;k)=K[\u(x, y)\2+v2+u(x, y)vexp(—ikx sin в)+* + vu*(xt y)exp(tft*sine)]. A1.34) Из выражения A1.33), как и из A1.34), следует, что изменение толщины эмульсии не оказало влияния на запись волнового фронта. Влияние на восстановление изображения. Если записанную голограмму A1.34) осветить плоским волновым фронтом той же длины волны, как показано на рис. 11.11, то амплитудное распре* деление комплексных амплитуд света за голограммой будет Е (a; k) = Г jT(p; k) v exp (—ikx sin 6) X X exp [ир (x, y) ] E+i (a— p; k) dxdy, A1.35) 249
где — импульсный отклик свободного пространства; / — расстояние между двумя системами координат р (х, yf z) и о (а, р, у), a 5 обозначает интегрирование по поверхности голограммы. Выражение A1.35) можно вычислить почленно в соответствии с порядком дифракции. Таким образом, при восстановлении действительного изображения комплексная амплитуда света для l=R записывается так Er(o\ k) = v2^u*(x, y)exp[i<?(x, y)]Ef(o — p; k)dxdy, AL36) где индекс г обозначает действительное изображение. Пусть комплексно-сопряженное распределение амплитуд равно а* (х, у) = f f О* F, т]) Ei+* (p - I; k) <M% A1.37) si si где 0A, г\) —функция объекта; S\ обозначает интегрирование по поверхности объекта, видимой через апертуру голограммы. Подставляя A1.37) в A1.36), получаем ^ X ехр р -А. (?х+ W) J <Мъ i exp \щ (х, у)} X Xexp Jt-^-(a2 + p2)J exp J-/ ± (ajc + py)] dxdy, A1.38) где K\ — соответствующая комплексная постоянная. С другой стороны, A1.38) можно записать так Er(a; *) = /C1ex % ехрГ/ -А. (Х2о _|- у\) j J exp [i> (л:, г/)] ехр Г—i -^ (ах + ^)] dxdy, A1.39) где G*(#o, t/o)—преобразование Фурье сопряженной функции объекта O*(g, ц). Если отсутствуют какие-либо изменения толщины эмульсии, т. е. если ф(х, г/)=0, то восстановление изображения будет однозначным Er(a; A) = /C1O*(a, р). A1.40) 250
Кроме того, если фазовая задержка выражена уравнением первой степени (т. е. идеальный клин) A1.41) то восстановление изображения также будет точным, но с поперечным смещением Er (a; к) = КгО* (а - Ibjk, р - lb%(k). A1.42) С другой стороны, если принять во внимание фазовые задержки более высоких порядков, обусловленные изменением толщины эмульсии, то не следует ожидать предельной точности восстановления изображения. Ниже будет рассмотрен упрощенный пример. Рис. 11.12. Схема записи двух точечных объектов. Случай использования плоской монохроматической опорной волны с положительным углом наклона 0 Мы увидим, что даже очень небольшие изменения толщины эмульсии могут значительно повлиять на точность восстановления изображения, и потому на практике их следует ограничивать. Упрощенный пример. Как мы уже видели, метод импульсных характеристик применим к линейной голографии, поскольку для нее справедлив принцип суперпозиции. Поэтому в данном примере влияние изменения толщины эмульсии будет рассмотрено для дискретных точечных источников. Рассмотрим запись волнового фронта от двух точечных источников, отстоящих друг от друга на расстоянии h (рис. 11.12). Если принять, что длина волны этих монохроматических точечных источников равна К, то распределение комплексных амплитуд света в системе координат (х> у) можно аппроксимировать следующим образом: У)]\, где ф(л:, у)—фазовая задержка, обусловленная изменением толщины эмульсии, а А\ и А2 — произвольные положительные постоянные. 251
Если используется плоская опорная волна (с той же длиной волны, что и у волны объекта) и, следовательно, влияние изменения толщины эмульсии выражается A1.32), то пропускание записанной фотопластинки будет A1.45) Т(р; k)= }ъ+ъ cos±hx+^[ex +^- [exp (Ш) -f ехр (—Ш)] 1 exp [if (х, у)] где Если эту голограмму осветить плоской волной с той же длиной волны (рис. 11.13), то распределение комплексных амплитуд све- га за голограммой можно определить с помощью теории Френеля—Кирхгофа, а именно: использовав A1.35). Однако вычислить *-j Рис. 11.13. Восстановление действительного изображения двух точек с помощью плоской монохроматической волны, имеющей отрицательный угол наклона 0 A1.35) обычно очень трудно, так как значение фазовой задержки ср(х, у), как правило, не задается. Для того, чтобы хоть в какой-то мере определить влияние изменения толщины эмульсии, нам придется произвести такой расчет для упрощенного случая. Аппроксимируем фазовую задержку полиномом второй степени ф(л;, у) ~Ьо + Ь1Х+Ь2у + Ь3х2+Ььу2у A1.46) где bi — произвольные действительные постоянные. Очевидно, что третий и пятый члены A1.45) соответствуют мнимым изображениям, а четвертый и шестой — действительным. 252
Поэтому, если разделить интеграл Френеля—Кирхгофа для членов реального и мнимого изображений, то мы получим +*. J ex? [-< 4- (тг—r-i Хехр [-1 А (« + -S—{- *•)] ^ J ехР Н 4 (тг~7~ *)] ^ О1-47) где К\ и #2 — соответствующие комплексные постоянные, а Sx и Sy обозначают интегрирование в направлениях х и у соответственно. Ниже без потери общности мы можем принять поверхность интегрирования S бесконечной протяженности. Из A1.47) следует, что изображения восстановятся однозначно по отношению к координатам х и у при lx=kR/(k-2Rb3), A1.48) ly=kR/(k—2Rh)t A1.49) где lx и 1У — расстояния между системой координат голограммы р(х, у) и системой координат восстановленного изображения a(a, р). Тогда при 1=1Х для интеграла по х и при 1=1У для интеграла то у выражение A1.47) примет вид Е,(о: k)=K'1b («-^-4- т *0ks (р—г 6Ok' (IL50)> где /С7! и /С72 — соответствующие комплексные постоянные. Из A1.50), или из рис. 11.13 видно, что имеет место эффект астигматизма при восстановлении изображения. Очевидно, что этот астигматизм исчезнет при 1Х=1У (т. е. при Ь3=Ьь). Квадратичный характер фазовой задержки приведет к появлению некоторого поперечного увеличения A1.51) t A1.52} где индекс г обозначает реальные изображения, а индексы п, х и. п, у — поперечное увеличение по осям х и у, 253
Продольные увеличения, обусловленные квадратичной фазовой задержкой, можно определить с помощью выражений для поперечных увеличений следующим образом: M\VtX~{M\x)\ A1.53) М'^9~{М\9)\ A1.54) Из выражений A1.53) и A1.54) можно видеть, что имеет место эффект астигматизма. Очевидно, что при Ь3=Ь^ астигматизм отсутствует. Кроме того, можно показать, что угловое увеличение восстановленного изображения не зависит от квадратичного изменения толщины эмульсии. Если учитывать изменения фазовой задержки более высоких порядков (что не входит в задачи данной книги), то можно определить гораздо более сложные искажения изображений. Описанным выше способом можно определить поперечные увеличения также и для мнимого изображения: A1.55) y AL56> Соответствующие продольные увеличения равны ,x = (M\i)\ A1.57) М°г,р,у = (М\уу. A1.58) Здесь, как и в вышеприведенном случае, астигматизм исчезает при 6з=&4. Для того, чтобы уяснить влияние изменения толщины эмульсии на голографическое изображение, можно предположить, что это изменение воспроизводит действие положительной линзы. Тогда фазовую задержку можно записать в виде A1.59) где ц—'показатель преломления эмульсии; zq — максимальная толщина эмульсии, a Ri — радиус кривизны линзы. Тогда поперечные увеличения для действительного и мнимого изображений, соответственно, будут A*^[/?/?fti)L О1-60) Предположим, что объект с поперечным размером /*=30 см голографируется на расстоянии /?=30 см от фотопластинки. Если восстановленное действительное изображение оказывается на 0,2 см короче объекта, то (при г]=1,5) радиус кривизны эмульсии равен #1=2240 см. Таким образом, на этом простом примере мы видим, что даже столь малое изменение толщины эмульсии оказывает влияние на точность восстановления изображения. •254
Задачи 11.1. Дано: Т—^-характеристика передачи к рис. 8.19; экспозиция синусоидальной решетки равна Е(х, у) = 1000+1000 cos px эрг/см2 для всех у. Требуется определить с помощью метода пяти ординат соответствующие амплитудные прозрачности более высоких порядков и степень нелинейности. 11.2. Представим такой голографический процесс, при котором комплексное- световое поле, падающее на регистрирующую апертуру от когерентно освещаемого объекта, равно и(х, у)=А(х, у) ехр [йр(*, у)], где А(х, у) однородно распределено по апертуре голограммы, а комплексное световое поле от опорного пучка равно v (*> У)=В ехр (ikx sin 6), где В — соответствующая постоянная. 1,0 ! i L s \ \ к V \ V \ v \ \ s Ы t— 0,2 25 50 75 100 125 150 Экспозиция ?, мкД*с/см 2 Рис. 11.14. Зависимость амплитудного пропускания от экспозиции При условии, что Г—^-характеристика передачи нам известна из рис. 11.14",. соотношение между объектным и опорным пучками равно 75% (т. е. Л/В= = 0,75), а экспозиция покоя ?q = 37,5 мкДж/см2, определите степень нелинейности данного голографического процесса и дифракционные эффективности для. первого, второго и третьего порядков дифракции. 11.3. Решите задачу 11.2 при Л/5=1. 11.4. Используя условия задачи 11.2 и метод пяти ординат: а) начертите приблизительный график степени нелинейности как функции* экспозиции для следующих значений отношений объектного и опорного пучков:. Л/В = 1, Л/В = 3/4, Л/В =1/2 и Л/В= 1/4; б) начертите график зависимости дифракционной эффективности дифракцшг первого порядка от экспозиции; в) объясните значение графических результатов, полученных в «а» и «б». 255
11.5. В некоторых голографических процессах (например, при получении «фурье-голограмм) амплитудное световое поле А (х, у) не может быть распределено равномерно по регистрирующей апертуре. а) Можно ли в этом случае для качественного анализа использовать описанный в § 11.1 метод пяти ординат? Укажите, в каких случаях и для чего можно использовать этот метод; б) покажите на примере, что для более точного анализа анализ нелинейных голограмм должен выполняться на циклической основе. 11.6. На рис. 11.15 приведены геометрические параметры процесса записи нелинейной голограммы. Объект О имеет высоту ht длина апертуры голограммы .равна Lx, а расстояние между объектом и голограммой R. Определите минимальный угол плоской опорной волны, при котором действительное изображение .первого порядка можно полностью отделить от дифракции более высоких порядков, а также от дифракции нулевого порядка. Рис. 11.15. Схема записи нелинейной голограммы 11.7. Предположим, что фазовую задержку фотоэмульсии можно аппроксимировать полиномом второй степени, Определите пять основных голографических аберраций методом, описанным в § 10.5, если при записи и восстановлении голограммы используются плоские волны (т. е. и опорный и освещающий пучки имеют плоский волновой фронт). СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 11.1. A. Kozma, Photographic Recording of Spatially Modulated Coherent Light, J. Opt. Soc. Am., 56 A966), 428. 11.2. A. A. Friesem and J. S. Zelenka, Effects of Film Nonlinearities in Holography, Appl. Opt., 6 A967), 1755. 11.3. J. W. Goodman and G. R. Knight, Effects of Film Nonlinearities on Wa- vefront Reconstruction Images of Diffuse Objects, J. Opt. Soc. Am., 58 A968), 1276. 11.4. O. Bryngdahl and A. Lohmann, Nonlinear Effects in Holography, J. Opt. Soc. Am., 58 A968), 1325. 11.5. F. T. S. Yu, Analysis of Nonlinear Holograms, J. Opt. Soc. Am., 58 A968), 1550. 11.6. F. T. S. Yu,. Five-Point Analysis of Nonlinear Holograms, J. Opt. Soc. Am., 59 A969), 360. 11.7. F. T. S. Yu, Off-axis Nonlinear Hologram and Spurious Distortion, Opt. Com- mun., 1 A970), 427. 11.8. F. E. Terman, Electronic and Radio Engineering, 4th ed., McGraw-Hill, New York, 1955, p. 326. 11.9. F. T. S. Yu and A. D. Gara, Effect of Emulsion Thickness Variations on Wavefront Reconstruction, J. Opt. Soc. Am., 59 A969), 1530, and Appl. Opt 10 A971), 1324. 256
Глава 12 ЛИНЕЙНАЯ ОПТИМИЗАЦИЯ В ГОЛОГРАФИИ В предыдущей главе мы рассмотрели анализ нелинейных голограмм. Данная глава посвящена линеаризации нелинейных голограмм с точки зрения нелинейных систем [12.1—12.4]. Восстановление волнового фронта используется в современной оптике достаточно широко. Этот метод применяют при исследовании и создании оптических вычислительных устройств, систем оптической памяти и связи и т. п. Поэтому исследование возможностей применения методов линейной оптимизации в голографиче- ских процессах представляется жизненно необходимым. Прежде всего мы рассмотрим возможность применений в голографии обычного метода оптимизации [12.5] и покажем, что к большинству голографических процессов, однако, этот метод практически не применим [12.6, 12.7]. Поэтому, помимо обычного процесса оптимизации, мы изложим общий метод линеаризации фотослоев и применимость последнего к голограммам простых точечных, а также более сложных объектов. И, наконец, мы рассмотрим применение этого метода в комплексной пространственной фильтрации [12.8]. 12.1. Обычная оптимизация В обычном фотографическом процессе (§ 8.1) существует только одно линейное оптимальное услозие для характеристической кривой. В данном параграфе мы попытаемся применить этот обычный метод фотографической оптимизации к голографии и увидим, что для записи волнового фронта сушеструет также практически одно линейное оптимальное условие. Однако для большинства голографических процессов этот обычный метод оптимизации не подходит. Рассмотрим обычный процесс записи всл<навого фронта, схема которого приведена на рис. 12.1. Комплексное световое поле, рассеиваемое от освещенного объекта, можно записать в виде и(х, у)=А(ху у) exp [fy(x, у)], A2.1) а поле опорной волны v{x, f/)=Bexp (ikxsine). A2.2) Тогда соответствующая интенсивность при записи волнового фронта будет /(*, у)=АЦх, у)+В2+2А(ху y)Bcos[kxsinQ-q(*> У)Ь Если запись происходит на линейном отрезке характеристической кривой (§ 8.1), то тогда амплитудное пропускание голограмм будет равно Т(х, у) = К[Цх, у)]"\ A2.3) 257
где К — постоянная, а у — наклон линейного отрезка характеристической кривой. Если голограмму, описываемую A2 3), осветить монохроматической плоской волной, то световое поче непосредственно за голограммой равно Е(х, у) = К1[А2(х9 г/)+В2 + 2Л(х, y)Bcos?(x, y)]y\ A2.4) где Ki — соответствующая положительная постоянная, а (p=lfeA;sin0—ty(x, у). С другой стороны, A2.4) можно представить в виде \ A2.5) Рис. 12.1. Обычный процесс записи волнового фронта. Объект излучает монохроматический свет, опорная волна — плоская монохроматическая Бели А и В ограничить неравенством [Л(лг, у)/В]2+2А(х, у) coscp(x, у)/В<\ дня любого (х, у), A2.6) т. е. \А(х, #)/В|<0,414, то уравнение A2.5) можно будет разложить по формуле бинома* и оно примет вид Е(х, ,) = ++(+-о (+- A2.7) 258
После разложения заключенных в квадратные скобки членов A2.7) можно записать в таком виде X«s[2,,(*, [4fE);|) '] } A2.8) Очевидно, что A2.8) можно представить так: х,у) = К% ап (у) cos [n9 (*, у)], A2.9) где an(v)—соответствующие коэффициенты. И тогда степень нелинейности голограммы A1.12) будет равна нелинеййость (в процентах) = —^ рг—-—100. A2.10) Из A2.8) можно видеть, что степень нелинейности стремится к нулю, если у стремится к 2. Таким образом, 7=2 является оптимальным условием минимума нелинейных искажений. На практике для того, чтобы получить y=2> следует использовать двухступенчатый метод, описанный в § 8.1. Вышеописанный обычный процесс линейной оптимизации оптимален в смысле минимума нелинейных искажений. В следующем параграфе, однако, мы опишем метод линейной оптимизации, который оптимален в смысле максимума интенсивности восстановленного линейной голограммой изображения в первом порядке. Иными словами, в голографическом процессе можно сочетать определенную степень нелинейности записи волнового фронта с высоким качествам восстановленного изображения. 259
12.2. Метод линейной оптимизации Кривая Т—Е фотослоя представляет собой монотонно убывающую функцию (§ 8.1), которую можно разложить в конечный степенной ряд A2.11) где Т — амплитудная прозрачность; Е— экспозиция; ап — действительные коэффициенты. Очевидно, что предельные значения амплитудного пропускания [Г@)=1 и Г(оо)=0] позволяют заключить, что N lim V Заменим теперь A2.11) его линейным приближением A2.12) Тогда для того, чтобы как можно точнее аппроксимировать нелинейный коэффициент пропускания в A2.11), необходимо надлежащим образом выбрать значения параметров Яо и %и Найдем разницу между A2.11) и A2.12), A2.13) Необходимо минимизировать интеграл (T—T+Jdxdy, A2.14) где S — означает интегрирование по поверхности фотопластинки. Определим среднее по ансамблю значение экспозиции в виде (Ея)А^Еп(х, y)dxdy, n=l, 2, 3 ЛГ. A2.15) %'s Тогда оптимальный выбор параметров >.о и Xi определяется условием ^() A2.16) 260
Решение A2.16) дает "¦» л=0 (?«)-<?>* A2.17) л=0 Соответствующее матричное представление имеет вид A2.18) 1 <?> (?> <?*> - — — N 2 а» л=0 A2.19) Уравнения A2.17) и A2.18), или A2.19), представляют собой наилучшую линейную аппроксимацию уравнения A2.12) по критерию минимума среднеквадратической ошибки, определяемой A2.14). Следует подчеркнуть, что A2.18) можно рассматривать как обобщенное пропускание первого порядка фотографического слоя (т. е. как функцию передачи первого порядка). В следующем параграфе будет изложено применение метода оптимальной линеаризации в голографии. 12.3. Оптимальная линеаризация Объект, записанный на голограмме, можно представить состоящим из большого числа бесконечно малых точечных объектов. Поэтому изучение оптимальной линеаризации можно начать с рассмотрения точечного объекта, а затем распространить полученные результаты на протяженный объект, воспользовавшись методом суперпозиции. Предположим, что имеется монохроматический точечный источник и наклонная плоская опорная волна той же длины, а схема записи представлена на рис. 11.4. Тогда интенсивность, создаваемая двумя этими волнами на регистрирующей среде, может быть аппроксимирована выражением 1(х, у) = |Л|г + |Б|2 + 2И| lB|cos[*(-g^- xsinej + f], A2.20) где А к В — комплексные амплитуды сферического и плоского волновых фронтов соответственно; \|> — фазовый угол между А и 26!
В, р2=х2'+у2; k — волновое число. Сдвинув пространственную систему координат, перепишем A2.20) в виде J A2.21) где X4=A; p / В дальнейшем для удобства написания вместо |Л| и |В| будем использовать А и В соответственно, если не будет оговорено особо. Перепишем A2.21) (^ )] A2.22) где ?=—g-Afl Тогда получим P = (Itr = t- (Л2 л=1, 2,..., iV+1, A2.23) где / — время экспозиции. Проинтегрировав A2.23) за период вдоль оси p2i [12.6], можно получить среднее по ансамблю ? (п2|(г!) A2-24) 2г=0 Значения параметров h и Я4 могут быть получены подстановкой A2.24) в A2.17) и A2.18) соответственно. Оптимальное линейное амплитудное пропускание будет, таким образом, равно N Т+(х, у) = J] an(E") + 2XJАВcos(^1Г?\ + 9у A2.25) /2 = 0 Уравнение A2.25) является линейной аппроксимацией для данных Л и В, кроме того, оно предстазляет собой наилучшую аппроксимацию уравнения A2.12) по критерию среднеквадратической ошибки, выражаемому A2.16). Более того, из A2.18) и A2.24) следует, что Х\ есть функция трех переменных, т. е. что ^i = ^i(i4, B> /). Следовательно, при постоянном значении амплитуды опорного волнового фронта В оптимальное значение Xi можно определить с помощью частных производных dXildt=O, A2.26) dXi/dA=0. A2.27) С другой стороны, если значения А и В заданы, то оптимальное значение Xi можно определить из A2.26). Переменную величину Ai, таким образом, можно рассматривать как обобщенное 262
пропускание первого порядка, или как дифракцию первого порядка голограммы точечного объекта. Следовательно, оптимальное значение Я4 является также наилучшей дифракцией -первого порядка записи волнового фронта на основе оптимальной линеаризации, определяемой A2.12) и A2.16). Если интенсивность олорной волны значительно превышает интенсивность сферической волны (что приводит к незначительным линейным искажениям), то A2.25) можно аппроксимировать Л' N Т+ (х, у) ^ ant"B™ + 2 V nantnBm- lA cos '-^- 9\ + ?\ для В > А. n-0 n—1 A2.28) Следует подчеркнуть, что при таком слабом искажении линеаризацию можно определить так, что искажения голограммы будут пренебрежимо малы. Например, кривую Т—Е фотослоя 649F (проявитель Д-19, время проявления — 5 мин), обычно используемого в голографии, можно аппроксимировать полиномом третьей степени [12.9, 12.10] 7=2 {-\)nanEn для ?>0, A2.29) /г=0 где ап — положительные действительные коэффициенты. Если входной сигнал (т. е. интенсивность) будет в этом случае таким же, как в A2.21), то получаем <E)=t(A*+B*)9 J + 2(ЛЯJ], A2.30) Отсюда находим значения величин +а3/3 (А2+В2) [ (Л 2+В2J—3 (А ВJ] A2.31) Ki=—ai+2a2t(A2 + B2)—3a3t2[{A*+B>J+ (ABJ], A2.32) которые в данном случае зависят от амплитуды Л и В входной интенсивности, а не от пространственной частоты. (В некоторых случаях они могуг зависеть и от амплитуды, и от пространственной частоты.) Тогда соответствующее оптимальное линейное пропускание будет Г+ (х, у) = а.-aj(Л2 + Б2) +а/ [(Л2 +В2J + 2(ЛВJ] - ^ ) A2.33) где ао=1. 263
При заданной амплитуде В оптимальное значение ki можно получить следующим образом: ^=0, A2.34) A2.35) Решения уравнений A2.34) и A2.35) будут соответственно: А=В, A2.36) t=2a2ll5a3B2. A2.37) Оптимальное значение %и следовательно, равно (Я,)оп=— а,+4а22/15аз, A2.38) а соответствующее оптимальное линейное пропускание (для А=В) будет Xcos {ж '"¦+*)• <12-39> С другой стороны, если значения А и В заданы, то оптимальное значение А* имеет место при Jl Ъаь (А2 При 5>Л, т. е. при малых нелинейных искажениях, A2.40) можно аппроксимировать выражением A2.41) Соответствующее оптимальное значение >i будет тогда равно (^)On^-ai+a22/3a3, A2.42) а оптимальное линейное пропускание для 5>А A2.43) В этом случае нелинейные искажения пренебрежимо малы. Используя принцип суперпозиции, можно применить рассмотренный метод оптимальной линеаризации для случая протяженного объекта, изображенного на рис. 12.1. Как обычно, амплитудное 264
распределение света от протяженного объекта в регистрирующей среде можно вычислить с помощью теории Френеля—Кирхгофа А (х, у) = f С О & т]) Е\ (р - 1; k) <Яйъ A2.44) где f С 6E» Л» ъ) и Р(*> У> 2) —системы координат: / — расстояние между системами координат; О(?, т])—функция объекта; S означает интегрирование по эффективной поверхности объекта, а А(ху у) = = \А(х, у) | exp [tt|>(Jt, у)]—комплексная световая амплитуда. Ниже для удобства обозначения вместо |Л(#, у)\ и |В| мы будем использовать соответственно А (х, у) и В. Таким образом, интенсивность записываемого волнового фронта равна 1(х, у)=АЦху у)+В2+2А(х, y)Bcos [xksin0—*ф(х9 у)], A2.45) а соответствующая n-степенная экспозиция может быть записана так: Е*(х, у) = Г[А*(х A2.46) где ф(л:, y)=xiksinQ—\\>(х, у). Вычисляя среднее по ансамблю на поверхности фотопластинки, получаем g {пЛ\уг1 ^T^W(x> У)+ВГ-гА'{х, у)В'Х r=0 S (x, y)\dxdy. A2.47) Значения параметров Xq и Xi можно получить из A2.17) и A2.18) соответственно. Решив уравнение dXi/dt=O, находим оптимальное значение Яь а следовательно, и оптимальную линеаризацию голограммы. Получить однозначное решение уравнения A2.47) довольно трудно. Однако для большинства голографических процессов амплитудное распределение света А (ху у) оказывается почти однородным по всей апертуре записи. Поэтому N («-?)!(П)'1Л'(*.. У») + ВТ-2ГИК- </о)ЯГ, A2.48) 2г=0 где А(хо, у0)—максимальное значение параметра А(ху у) на апертуре записи. Следует отметить, что A2.48) по существу идентично A2.24), относящемуся к случаю точечного объекта. 265
Кроме того, если пропускание регистрирующей среды аппроксимировать полиномом третьей степени в соответствии с A2.29), то можно получить значение параметра А,, в таком виде Xi=—а±—2a2t[A2(x0t уо)+В2]—За3ЩА2(хо, уо) + + В*]2+АЦхо, уо)В*}. A2.49) И в этом случае параметр Х± зависит от амплитуд А(хо, уо) и В записываемой интенсивности и не зависит от пространственной частоты. Соответствующее оптимальное линейное пропускание при этом будет равно Т+(х, у) =2 (-1)пап(Е») + 211А(х„ y,)Bcos[f(x, у)]. A2.50) Оптимальное значение Х\ можно получить, решив следующие два уравнения: дХг A2.51) Таким образом, мы имеем В=А(хо, уо), Оптимальное значение %и следовательно, равно (Л,1)ои=— ai+4a22/15a3) если В=А(х0, у0), а соответствующее оптимальное линейное пропускание Т+ (х, у)= 1—¦ 32а\ — 15о3 A2.52) A2.53) A2.54) A2.55) A2.56) С другой стороны, для А(хо, уъ)фВ оптимальное значение имеет место при t —¦ И2 Я2 §, у0) В* • A2.57) Для В^А(хо, г/о), т. е. при малых нелинейных искажениях, A2.57) можно аппроксимировать так A2.58) 266
Тогда соответствующее оптимальное значение Xi будет равно (hi)on^— ai+a22/3a3 при В>Л(х0, у0), A2.59) а оптимальное линейное пропускание нелинейной голограммы, следовательно, описывается выражением Т+(х, у)=\-^ ' 2a*2 ' 27а2, A2.60) В этом случае нелинейные искажения пренебрежимо малы. г. А~8 0,5 0,10 0,15 0,20 Экспозиция Е, мкДж/см* 0,25 Рис. 12.2. Зависимость дифракционной эффективности первого порядка от экспозиции Уравнения A2.53) — A2.60) по существу идентичны соответствующим уравнениям для случая точечного объекта. Тем не менее можно заключить, что для большинства процессов голографиче- ской линейной оптимизации требуется одинаковое (равное единице) соотношение между объектным и опорным пучками и соответствующая оптимальная экспозиция. На рис. 12.2 приведена экспериментально определенная зависимость дифракционной эффективности*) первого порядка от величины экспозиции для разных отношений интенсивноетей объектного и опорного пучков. В качестве регистрирующей среды использовались фотопластинки Кодак 649Т7 (Д-19; 5 мин). Из рисунка видно, что оптимальное голого а фическое изображение первого порядка получается при соотношении между объектным *) Дифракционная эффективность определяется следующим образом: дифракционная эффективность = _ выход (интенсивность голографического изображения) вход (падающая интенсивность) 267
и опорным пучками, равном единице. На рис. 12.3 представлены фотографии объемных голографичееких изображений первого порядка для разных соотношений между объектным и опорным пучками. Легко видеть, что оптимальное восстановление изображения имеет место при отношении между объектным и опорным пучками, равном единице. Рис. 12.3. Восстановленные го- лографические изображения при разных соотношениях между объектным и опорным пучками Напомним еще раз, что и в нелинейных голографичееких процессах возможно разделение голографичееких изображений первого порядка и изображений более высоких порядков (см. гл. 11). Следовательно, вместо ограничения записи линейной областью фотослоя можно получать оптимально восстановленные голографи- ческие изображения и при нелинейной регистрации. Кроме того, следует отметить, чго для большинства голографичеоких процессов гораздо более важной оказывается фазовая, а не амплитудная информация. Таким образом, пока фазовая информация сохраняется при записи волнового фронта, амплитудные искажения не сказываются на восстановленных изображениях, а, напротив, генерируют дифракционные изображения более высоких порядков. А эти дифракционные изображения более высокого порядка могут быть пространственно отделены от голографического изображения первого порядка. 12.4. Синтез оптимальных нелинейных пространственных фильтров В п. 7.3 мы выяснили, что комплексный согласованный фильтр можно синтезировать средствами когерентной оптики. Пример изготовления такого фильтра уже приводился ранее на рис. 7.10. Легко видеть, что заспись фильтра представляет собой голограмму преобразования Фурье. Поскольку сигнал при синтезе комплексного пространственного фильтра можно рассматривать как сумму 268
сигналов от большого числа разрешаемых точечных источников, преобразование Фурье сигнала можно считать суперпозицией большого числа монохроматических плоских волн. Как и в предыдущем параграфе, можно сначала провести оптимизацию про- сгой плоской волны (т. е. оптимизировать преобразование Фурье точечного сигнала), а затем перейти к более сложным сигналам. Предположим, что транспарант сигнала s(x, у) заменен монохроматическим точечным источником, расположенным в начале системы координат (х> у). Тогда интенсивность в плоскости Фурье, обусловленная точечным сигналом и опорным точечным источником, равна I(p, q)=S2 + R* + 2SRcos(x0p + <f>), A2.61) где 5 и R—световые амплитуды двух плоских волн от источника сигнала и опорного источника; ф — фазовый угол; p=,kalf и q== =k$/f — соответствующие пространственно-частотные координаты, к — волновое число, f — фокусное расстояние линзы, а (а, Р) — система координат фотопластинки. Используя метод, описанный в предыдущем параграфе, можно представить линейный оптимальный фильтр в виде #+ (р, q) = Г+ (р, q) = 2 ап (Е" (р, q)) + 2XJSR cos (xQp + ?). A2.62) Следует отметить, что А* зависит от S, R и / и его оптимальное значение можно найти из условий дЪ E, /?, t) dkt (S, R9 t) дКх E, R, t) n d§ = Ш * Ш =a Если, например, пропускание регистрирующей среды аппроксимировать полиномом третьей степени в соответствии с A2.29), то условия линейной оптимизации реализуются при 5=/?, Ь=2а2/15а3/?2. A2.64) Соответствующий оптимальный линейный пространственный фильтр тогда имеет вид При R*>S (т. е. при слабых нелинейных искажениях) оптимальный линейный фильтр преобразуется к виду если ^»5- A2-66) 269
Этот метод линейной оптимизации приложим и к более сложным нелинейным пространственным фильтрам. Комплексное световое поле от сигнала представляет собой преобразование Фурье сигнала, а именно: S (p, q) = J J s (х, у) exp [—i (рх + qy)] d'xdy, A2.67) где Для удобства обозначения в дальнейшем вместо \S(p, q)\ будем писать просто S(p> q). Интенсивность при записи фильтра можно записать так: , q)=S*(p, q)+R*+2RS(p, q)cos[x0p + <p(p, q)]. A2.68) Из A2.68) видно, что преобразование Фурье сигнала S(p, q) модулирует одномерную пространственную несущую частоту хо вдоль оси р. Соответствующее среднее по ансамблю равно ?, q)]dpdq9 A2.69) где 2 означает интегрирование по плоскости пространственных частот. На практике оказывается трудным найти однозначное решение уравнения A2.69). Однако для малых пространственно- ограниченных сигналов s(x9 у) амплитудное распределение света S(p, q) можно считать почти однородным в интересующей области пространственных частот, а именно: S(p9q)^S@, 0), A2.70) где 5@, 0) —максимальное значение S(p, q). Тогда A2.69) можно аппроксимировать выражением (Е*(р, ?)>~*»J] (ra_2"!)!(r!)a [S2@, Q)+/?r-if[KS @,0)]". A2.71) 2r=0 Так, например, если передаточную характеристику фотослоя аппроксимировать степенным рядом третьего порядка вида A2.29), то оптимальное значение A-i можно вычислить при помощи следующих уравнений: — n il^L—O — 0 dS(Q, 0) и' dR ' dt В результате получим следующее решение: /?^S@, 0), t=2a2/15a3R2'. A2.73) Как и в предыдущем случае, здесь необходимы равное единице соотношение объектного и опорного пучков и соответствующая оптимальная экспозиция. 270
12.5. Анализ обнаружения сигнала методом оптимальной нелинейной пространственной фильтрации Анализ оптимальной нелинейной пространственной фильтрации можно также начать с рассмотрения простого точечного сигнала, а затем перейти к более сложным случаям. Обратившись к A2.61), видим, что нелинейный пространственный фильтр является периодической функцией. Тогда нелинейную фильтрацию можно представить в виде = Н0 + % Нп(р, д), /2 = 1 где #о=Во/2 — уровень смещения нулевого порядка, а Нп(р, q)=Bncos[n(x0p + <{))]. A2.74) Рис. 12.4. Схема когерентной комплексной пространственной фильтрации Коэффициенты Фурье Вп можно определить по формуле */х0 Вп=-%- [ Н(р, q) cos (nxop) dp, n = 0, 1, 2... A2.75) Если нелинейный пространственный фильтр поместить в пространственно-частотную плоскость когерентной системы обработки (рис. 12.4), то комплексное световое распределение в выходной плоскости будет g ^, р) = f§ F (p9 q) Я (/7, д) ехр [-1 (р* + ?р)] dpdq, A2.76) 271
где F(p, q)—преобразование Фурье входного сигнала f(x, у). Подставив A2.74) в A2.76) и поменяв местами операции суммирования и интегрирования, получим 8 («• Р)=| Я BnF (Р> Ч) cos [n (х,р + f)] exp [-i (pa + q$] dpdq. я=0— оо A2.77) Если принять, что входной сигнал представляет собой дельта- функцию Дирака /(*, У)=Ь{х9 у), A2.78) то выходной сигнал можно записать так: /1=1 Первый член A2.79) соответствует дифракции нулевого порядка, которая локализуется в начале координат выходной плоскости; первая сумма включает в себя свертки различных порядков, а последняя представляет взаимные корреляции различных порядков. В данном случае нас не интересуют дифракция нулевого порядка и свертки, что же касается взаимных корреляций первою порядка, то именно они и используются для обнаружения сигнала. Из A2.79) следует, что взаимные корреляции более высоких порядков оказываются пространственно-разделенными в выходной плоскости. Значение /г-го порядка взаимной корреляции пропорционально соответствующей фурье-компоненте Вп> Таким образом, для получения оптимальной взаимной корреляции первого порядка необходимо использовать оптимальное значение В±. Действительно, линейная оптимизация при синтезе нелинейного пространственного фильтра в предыдущем параграфе была достигнута в результате оптимизации значения В\. Общий анализ нелинейной пространственной фильтрации для более сложного сигнала на практике провести трудно. Однако, как видно из A2.68), комплексная величина 5(р, q) промодули- рована пространственной несущей частотой х0. Для полного отделения (взаимной корреляции от дифракции нулевого порядка необходимо, чтобы пространственная несущая частота была достаточно высока и удовлетворяла условию 2, A2.80) где // и U — пространственные длины входного сигнала /(#, у) и обнаруживаемого сигнала s(x, у) соответственно вдоль оси х. Кроме 272
того, из A2.68) следует, что нелинейные искажения, обусловленные передаточной характеристикой пленки, проявляются только при амплитудной модуляции, но не при фазовой. Таким образом, нелинейный пространственный фильтр, формирующий сигнал s(x> У) у можно выразить с помощью теоремы разложения Фурье в следующем виде: Н(р, q)~Ht(p, 0 + 2 НП(Р, q). A2.81) /1=1 где #о(р, <7)=О,5До(р, q) и Нп(р, q)=Bn(p> q)cos{n[x0p + (p(p, q)]}. Пространственные фурье-комтюнвнты Вп{р, q) можно определить с помощью метода пяти ординат (§ 11.1) путем последовательного анализа пространственной несущей частоты Xq. Следует подчеркнуть, что хотя 5i(p, q) не вполне идентично S(p, q), тем не менее эти величины подобны друг другу, особенно их соответствующие обратные преобразования Фурье &-4Bi(p, <7)ехр[ир(р, q)]}~Ks(x, у), A2.82) где tF~l обозначает обратное преобразование Фурье, — — приближенное равенство и /С — произвольная постоянная. Если такой комплексный нелинейный фильтр поместить в частотную плоскость системы когерентной оптической обработки, изображенной на рис. 12.4, то выходной сигнал можно приближенно выразить таким образом fj 4) cos {n[x9p + ?(p9 01} X п=0 — оо A2.83) или n=l +2 / (x, У) * К (-x - nxt, -y), A2.84) n=l где bn(x, у)—соответствующие обратные преобразования Фурье 0,5?nexp [Up(p9 я)]- Из A2.84) видно, что первая сумма отображает соответствующие свертки, а последняя — взаимные корреляции. Если входной сигнал принять равным /(*, y)=s(*> У) +п(*> У), A2.85) 273
где s(x, у) —сигнал обнаружения, а п(х, у) —аддитивный белый гауссов шум, то члены взаимной корреляции выражения A2.85) можно записать так Р) =S f5 (х' У) + п (*> УI * Ьп (—х—пх., у). A2.86) п-\ Члены взаимной корреляции с п(х, у) и Ьп(х, у) приблизительно равны нулю, и только взаимно-корреляционный член Рис. 12.5. Сигнал, погруженный в случай- .... ..**i , ный шум bi(x, у) имеет значительное сходство с s(x, у). Таким образом, bi(x, y)~Ks(x, у), A2.87) но bn(x, y)^Ks(x, у) для пф\, A2.88) где К — произвольная постоянная. Следовательно, взаимную корреляцию A2.86) можно аппроксимировать следующим образом: #12 (*> 8) - ^ (х, у) % 6, (—л: — х0, у) ^ 5 (jc, у) % Ks (— х — jc0, — у), A2.89) а это значит, что Ri2 пропорционально автокорреляции s(x, у). Следует подчеркнуть, что хотя A2.88) всегда выполняется и справедливо на практике, однако нет необходимости требовать его выполнения, так как взаимные корреляции более высоких порядков между s(x, у) и Ьп(х, у) могут быть пространственно отделены от взаимной корреляции первого порядка. Более того, из A2.89) следует, что оптимальное обнаружение требует оптимального значения Ь±(х, у), которое можно получить методом линейной оптимизации, рассмотренным в предыдущем параграфе. 274
На рис. 12.5 и 12.6 приведен пример обнаружения сигнала на фоне случайного шума. Входной транспарант состоит из сигнала, погруженного в случайный шум (ри-с. 12.5). Результаты обнаружения сигнала для различных значений отношений сигнального и опорного пучков приведены на рис. 12.6. Для изготовления фильтра использовались фотопластинки Кодак 649F (Д-19; 5 мин). Эти фильтры синтезировались при условиях линейной оптимизации, полученных в результате интерполяции зависимости, приведенной на рис. 12.2. Из рис. 12.6 видно, что оптимальное обнаружение сигнала имеет место при отношении сигнального и опорного пучков, равном единице. Рис. 12.6. Примеры обнаружения сигнала методом комплексной пространственной фильтрации при различных соотношениях между сигнальным и опорным пучками В заключение можно сказать, что вместо того, чтобы ограничивать себя линейной областью передаточной характеристики фотослоя, можно получить оптимальный нелинейный пространственный фильтр, используя теорию систем. И хотя применение этой теории в случае сложных сигналов может оказаться затруднительным, тем не менее мы всегда можем осуществить обобщенную линейную оптимизацию. При анализе нелинейной пространственной фильтрации было показало, что сигнал обнаружения (представляемый первым порядком взаимной корреляции) может быть пространственно отделен от нежелательных корреляций более высоких порядков. Таким образом, решается проблема неоднозначности идентификации корреляции первого порядка от корреляций более высоких порядков. Действительно, как было показано, корреляции более высоких порядков обычно очень слабы. Итак, мы убедились в том, что оптимальная запись волнового 275
фронта выходит за пределы линейной области характеристической кривой. А из п. 8.3 следует, что отношение сигнал/шум и динамический диапазон в голографии отличаются от таковых при обычном фотографическом процессе. Задачи 12.1. Используя Т—^-передаточную характеристику, изображенную на рис. 11.14: а) аппроксимируйте кривую Т—Е полиномом третьего порядка, используя метод проб и ошибок; б) используя найденный в «а» полином, вычислите оптимальные экспозиции голографического процесса для следующих отношений объектного и опорного пучков: Л/Я=1, Л/?=1/2, Л/Я = 1/10 и Л/Б=1/30; в) определите соответствующие оптимальные линейные пропускания первого порядка для найденных в «б» отношений объектного и опорного пучков. 12.2. Пусть некоторый голографический процесс имеет Т—?-передаточную характеристику, найденную в задаче 12.1: а) начертите приблизительный график зависимости дифракционной эффективности первого порядка от экспозиции для следующих отношений объектного и опорного пучков: А/В=\, Л/? = 1/2, Л/5=1/10 и Л/?=1/30, используя метод пяти ординат (§ 11.1); б) исходя из полученных в «а» кривых, найдите соответствующие оптимальные экспозиции. Сравните полученные результаты с теоретически подсчитанными в задаче 12.1 величинами. 12.3. Предположим, что пропускание некоторой регистрирующей среды можно аппроксимировать нелинейным уравнением Т(Е) = l+aiE+azEs для где Е — экспозиция. Если входная экспозиция представляет собой синусоидальную решетку Е(ху у) =?0+?i cos px при любом значении уу где Ео и Е\ — произвольные постоянные, ар — пространственная частота, определите, каковы будут в этом случае пропускания первого и более высоких порядков. 12.4. Решите задачу 12.3, если входная экспозиция представляет собой случайный пространственный шум с односторонним гауссовым распределением вероятности YT / Е2 \ ( ~"с2 J Е \ ехр ( ~"с2 J при ^ ^ ® и любом значении (х> У) t где а2 — дисперсия статистики Гаусса. Определите оптимальное линейное пропускание, используя критерий минимума среднеквадратической ошибки, описываемой выражением A2.14). 12.5. Требуется синтезировать оптимальный комплексный пространственный фильтр для обнаружения сигнала, преобразование Фурье которого равно S(p9 q) exp [ир(р, q)]. Приняв S(py q) приблизительно постоянным в пределах интересующей нас шири- ны полосы пространственных частот и используя приведенную в задаче 12.1 Т—^-передаточную характеристику фотопленки фильтра: а) определите приблизительное оптимальное линейное пропускание комплексного фильтра; б) проанализируйте комплексную пространственную фильтрацию на рис. 12.4 с тем, чтобы доказать, что выходной сигнал обнаружения является, действительно, оптимальным. 276
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 12.1. R. J. Kochenberger, A Frequency Response Method for Analysis and Synthesizing Contactor Servomechanisms, Trans AIEE, 69 A950), 270. 12.2. J. Loeb, Un Criterium General de Stabilite des Servomechanismes Sieges de Phenomenes Hereditaires, Compt. Rend. 233 A951), 344. 12.3. A. Blaquiere, Extension de la Theorie de Nyquist au cas de Caracteristiques Nonlineaires, Compt. Rend. 233 A951), 345. 12.4. A. Blaquiere, Nonlinear System Analysis, Academic Press, New York, 1966, pp. 177 if. 12.5. H. W. Rose, Effect of Carrier Frequency on Quality of Reconstructed Wa- vefronts, J. Opt. Soc. Am., 55 A965), 1565. 12.6. F. T. S. Yu, Optimal Linearization in Holography, J. Opt. Soc. Am., 59 A969), 490, and Appl. Opt. 8 A969), 2483. 12.7. F. T. S. Yu, Method of Linear Optimization in the Wavefront Recording of Nonlinear Holograms, ICO Symposium on Application of Holography, Be- sangon, France, 1970. 12.8. F. T. S. Yu, Linear Optimization in the Synthesis of Nonlinear Spatial Filters, IEEE Trans. Inform. Theory, IT-17 A971), 524. 12.9. J. W. Goodman and G. R. Knight, Effects of Film Nonlinearities on Wave- front — Reconstruction Images of Diffuse Objects, J. Opt. Soc. Am., 58 A968), 1276. 12.10. O. Bryngdahl and A. Lohmann, Nonlinear Effects in Holography, J. Opt. Soc. Am., 58 A968), 1325. Глава 13 ПРИМЕНЕНИЕ ГОЛОГРАФИИ Возрожденная и усовершенствованная Лейтом и Упатниексом голография Габора нашла чрезвычайно широкое научное применение, которое не ограничилось лишь оптическими длинами волн: голографию стали использовать в микроволновом и радиочастотном диапазонах [13.1], а также в акустике [13.2, 13.3]. Для того, чтобы перечислить все существующие области применения голографии, понадобилось бы немало усилий и времени, что, к тому же, не входит в наши задачи, поэтому мы ограничимся лишь кратким обсуждением нескольких, на наш взгляд, наиболее интересных областей применения голографии в оптике. 13.1. Микроскопическое восстановление волнового фронта Изобретение голографии было обусловлено стремлением усовершенствовать электронную микроскопию. Первые работы Габора [13.4—13.6], а также Эль-Сума [13.7] были посвящены решению этой проблемы. Голографичеокая микроскопия — по крайней мере, в принципе— имеет четыре преимущества. Во-первых, можно получить гологра- фическое увеличение, записывая волновой фронт на очень короткой длине волны, а затем восстанавливая голографическое изображение с помощью более длинной волны. Во-вторых, поперечное 277
разрешение при восстановлении изображения ограничивается размерами апертуры голограммы: чем больше апертура голограммы, тем лучше разрешение. Таким образом, высокое разрешение в изображении может быть получено при больших полях зрения. В-третьих, аберрации волнового фронта в голографии можно корректировать в известных пределах з процессе записи и восстанов- Рис. 13.1. Голографическая микроскопия крыла мухи. Поперечное увеличение ~60 раз (с разрешения Е. Н. Лейта) ления, благодаря чему возможно получение лочти «свободных от аберраций изображений. В-четвертых,, возможно получение изо- бражедий с высоким продольным разрешением, <в результате чего глубина фокуса в голографической микроскопии дрстигает огромной зеличдны. Рис. 13.2. Голографическая микроскопия тестового изображения. Поперечное увеличение ~ 120 раз. Промежуток между лйнцями ~ 10 мкм (с разрешения Е. Н. Лейта) Однако в настоящее время целый ряд трудностей в практическом применении голографической микросколии еще препятствует замене ею обычной микроскопии. На рис. 13.1 и 13.2, взятых из [13.8], представлены, результаты, которых следует ожидать от использования этого метода. 278
13.2. Многоэкспозиционная голографическая интерферометрия Одним из наиболее важных и интересных применений голографии является интерферометрия. Голограммы сохраняют распределение амплитуд и фаз записываемого поля. На одной и той же голограмме можно одновременно записать два или более волновых фронта (многоэкспозиционная голография). Благодаря этому оказывается возможным получить суперпозицию двух или более голографических изображений, между которыми можно восстановить интерференционную каргину. Такая голографическая интерферометрия основывается на принципе когерентного сложения комплексных волновых полей [13.9]. Чтобы проанализировать этот процесс, предположим, что фотопластинка была последовательно топографически проэкспониро- вана N независимыми экспозициями. Если обозначить интенсивность п-к регистрации 1п(х, у), то общая экспозиция будет где tn — время /2-й экспозиции. Интенсивность 1п(х, у) можно записать в виде In(x, y) = \tin(x, y)\2+\v\*+un(x, у)о* + и*п(х, y)v, A3.2) где ип(х, у) и v — комплексные световые поля, обусловленные предметной и опорной волнами соответственно. Если эту многоэкспозиционную запись правильно сместить в линейную область Т—?-кривой фотослоя, то пропускание записанной голограммы можно представить так: Т(х, у) = Кг% [ип(х9 У)\2 + К2 + К32 ип(х, y)v* + +*«S "*«(*' y)v> о3-3) где Ki. ..4 — соответствующие положительные постоянные. Если голограмму A3.3) осветить плоской монохроматической волной и, то будет восстановлена серия мнимых изображений. Результирующее комплексное световое поле за апертурой голограммы можно записать в виде Ev(x, y) = \v\*K,2 ия(х, у), A3.4) где индекс v обозначает мнимое изображение. Из A3.4) видно, что объектные световые поля накладываются одно на другое и, таким образом, они будут интерферировать. 279
Очевидно, что если эту голограмму осветить сопряженной пло ской монохроматической волной о*, то будет восстановлена серия действительных голографических изображений. Комплексное световое поле, обусловленное этими действительными изображения ми, равно Er(x, y) = \v*\ u*n(x, у), п=\ A3.5 где индекс г обозначает действительное изображение. Эти объ ектные световые поля также будут интерферировать между собой Рис. 13.3. Двухэкспозиционная гологра- фическая интерферограмма ударной волны пули 22-го калибра, движущейся сквозь газ аргон со скоростью 1060 м/с. Голограмма получена с помощью рубинового лазера с модулированной добротностью (с разрешения Л. О. Хеф- лингера) Рис. 13.4. Двухэкспозиционнная roj- графическая интерферограмма ла^ пы накаливания. Голограмма полу чена с помощью рубинового лазер- с модулированной добротностьк (с разрешения Л. О. Хефлингера Одно из наиболее интересных применений многоэкспозиционной голографии описано у Хефлингера, Вуеркера и Брукса [13.10]. На рис. 13.3 и 13.4 приведены двухэкспозиционные голографические интерферограммы. Интерферограмма на рис. 13.3 была получена с помощью импульсного рубинового лазера с модулированное добротностью. Первый импульс (т. е. первая экспозиция) запись вает только голограмму диффузного фона, а второй импульс за писывает голограмму пули © момент ее прохождения сквозь га: (аргон) перед этим фоном. Ударная волна, создаваемая пулек вызывает изменения показателя преломления окружающего газа Таким образом, оба голографических изображения будут интер ферировать. Эта интерференционная картина в свою очередь буде" 280
описывать поведение ударной волны, создаваемой пулей. Результирующие интерференционные полосы образуют трехмерную картину. Интерферограмма рис. 13.4 была получена подобным же образом: первая экспозиция производилась с холодной нитью накаливания, а вторая — с раскаленной. Поскольку распределение газа в лампе в этих случаях разное, то восстанавливаемые голографи- ческие изображения будут интерферировать. 13.3. Усредненная по времени голографическая интерферометрия Концепцию многоэкспозиционной интерферометрии можно распространить на интерферометрию с постоянной экспозицией, которую будем называть усредненной по времени голографической интерферометрией. Принцип этого метода аналогичен многоэкспозиционной голографии, за исключением того, что в этом случае экспозиция непрерывная, а не дискретно изменяющаяся. Это значит, что в течение определенного времени экспозиции происходит запись огромного количества бесконечно малых изображений одного и того же предмета. Каждая из этих бесконечно малых субго- лолрамм дает свои собственные голографические изображения, в результате чего получается общая интерференционная картина. Впервые усредненная по времени голографическая интерферометрия была использована Пауэллом и Стетсоном для изучения вибрирующих объектов [13.11]. Рассмотрим этот метод. Пусть плоский объект расположен в системе координат g так, как показано на рис. 10.7. Если объект вибрирует в плоскости |rj, то объектная функция удовлетворяет условию O[i(t), ч@. E'@]=oUo+6'@. чо+л'(<). S'WL A3.6) где go и г|о — некоторые усредненные координаты функции объекта, a g'@> V@ и ?'@—зависящие от времени координаты, изменяющиеся относительно (go, т]о, 0). Воспользовавшись теорией Френеля — Кирхгофа, запишем результирующее комплексное световое иоле на регистрирующей среде в виде и (р; k, t) = JJ О [I @; к] Е+ [р - 1 @; k\ & (/) dn (t), A3.7) где 5 — обозначает поверхностный интеграл, а — импульсный отклик свободного пространства. 281
дет Функция пропускания усредненной по времени голограммы бу- Т(9; k) = K\ [Ир; к, k, t)v]dt, A3.8) где At — время экспозиции, а К — соответствующая положительная постоянная. Из A3.8) видно, что восстановленный волновой фронт в действительности представляет собой сумму волновых фронтов, излучаемых объектом в каждом из его положений. Поскольку Рис. 13.5. Усредненные по времени голографические интерфе- рограммы вибрирующей диафрагмы при разных модах колебаний (с разрешения Р. Л. Ра- уэлла) каждый волновой фронт и связанная с ним субголограмма когерентны со всеми остальными, то суммарное голографическое изображение будет иметь интерференционные полосы. Особый интерес представляет собой случай вибрации только вдоль оптической оси, т. е. когда 1@—П @ =0» ?@^0. Комплексное световое поле от объекта A3.7) будет тогда p; к; O = -jj- &, ч„ С(*)]exp[-Wф] X Хехр A3.9) Если голограмму A3.8) осветить монохроматическим волновым фронтом, то полученное мнимое голографическое изображение опи- 282
сывается выражением Е A; к) =C f О [|„ 7)., С (Щ ехр [-*«' ДО Ш, A3.10) О где С — комплексная постоянная, Если смещение g(t) будет мало, то A3.10) можно аппроксимировать выражением A3.11) Например, если вертикальное движение представляет собой синусоидальную вибрацию, при *<Д*, A3.12) где a (go, т)о) описывает изменения амплитуды вибрации по поверхности объекта, то решение A3.11) принимает вид Е{%\ A)=CO(g0, Чо)/о[*а(Ьь rjo)], A3ЛЗ) где /о — функция Беоселя нулевого порядка. А это значит, что результирующее голографическое изображение представляет собой объектную функцию, умноженную на функцию Бесселя нулевого порядка с максимальным значением в точке a (go, т|о)=0 Интенсивность в каждой точке результирующего голографического изображения зависит от амплитудной функции объекта a (go, *по). Несколько усредненных по времени голографических интерфе- рограмм, полученных Пауэллом и Стетсоном, приведено на рис. 13.5. Это интерферограммы вибрирующей диафрагмы. Здесь отчетливо видны моды разных порядков вибрации. Подсчитав число полос от края диафрагмы, можно определить амплитуду вибрации в любой точке. 13.4. Формирование контуров Впервые о формировании контуроз с помощью восстановления волнового фронта было сообщено Хильдебрандом и Хайнсом [13.12, 13.13]. Известно два метода формирования контуров: с помощью многих источников и с помощью многих длин волн. Формирование контуров с помощью многих источников осуществляется двумя взаимно-когерентными, но пространственно-разделенными точечными источниками. Запись волнового фронта в этом случае происходит либо при одновременном освещении объекта этими двумя когерентными источниками, либо при последовательном освещении объекта в две экспозиции. Причем и в том и в другом случае на поверхности объекта появляются интерференционные полосы. Например, на рис. 13.6 изображено такое расположение точечных источников, при котором интерференционные полосы 283
представляют собой гиперболы. Если освещенный таким образом объект записывается на пластине, ориентированной параллельно интерференционным полосам, то изменения рельефа поверхности объекта создадут контуры в голографическом изображении. Однако метод многих источников имеет тот практический недостаток, что для его применения необходимо, чтобы освещающие пучки направлялись исключительно точно. Это ограничение при- Рис. 13.6. Схема записи при формировании контуров с использованием многих источников: /, 2 — точечные источники освещения; 3 — опорный источник; О — объект; Р — фотопластинка водит к тому, что некоторые части объекта неправильной формы могут оказаться вообще не освещенными. Недостаток этот сможет быть легко устранен многоволновым методом. Если источник излучает только две длины волны, то запись волнового фронта будет состоять из двух наложенных друг на друга картин. Если эту двухволновую голограмму осветить хжшохроматическим источником, то будут (восстановлены два наложенных друг на друга изо- а) б) Рис. 13.7. Формирование контуров с использованием двухволнового метода: а -— однодлинноволновое изображение; б — двухдлинноволновое изображение (с разрешения Б. П. Хильдебранда) Сражения, едва различающиеся по местоположению и увеличению. Таким образом, имеет место интерференция, и на поверхности результирующего изображения образуются интерференционные полосы. На рис. 13.7 приведены восстановленные изображения 25-центовой монеты. Восстановленное изображение на рис. 13.7,а было 284
получено с помощью однодлинноволновой голограммы, в то время как изображение на рис. 13.7,6 восстановлено с двухдлинно- волновой голограммы. Длины волн, использовавшиеся для записи, представляли собой две спектральные линии излучения аргонового о лазера. Эти две линии отстояли друг от друга на 65 А, так что расстояние между соседними контурными линиями на выступающих частях монеты равно 0,02 мм. Контуры на поверхности объекта можно также сформировать путем изменения показателя преломления окружающей объект Рис. 13.8. Формирование контуров посредством изменения показателя преломления жидкости, окружающей объект: С — прозрачный контейнер; О — объект; Р — фотопластинка; 1 — источник освещения; 2 — опорный источник среды (рис. 13.8). В этом случае первая экспозиция производится, когда объект находится внутри прозрачного контейнера. Для второй экспозиции контейнер с предметом в его первоначальном положении наполняется соответствующей жидкостью или газом. Таким образом, оптическая длина пути изменяется, и суперпозиция волновых фронтов приводит к появлению на восстановленном изображении интерференционных полос. 13.5. Формирование изображения через случайную турбулентную среду Когерентные оптические системы можно применять для формирования изображения сквозь случайные турбулентные среды. Хорошо известно, что случайные изменения коэффициента преломления при турбулентности создают помехи при распространении света сквозь среду. Вследствие этого обычные методы формирования изображения могут претерпевать значительные искажения. Однако формирование изображения голографичеокими методами позволяет частично устранить искажения, вызываемые турбулентностью. Несколько голографических способов получения изображений через среду, вносящую случайные аберрации, было предложено Лейтом и Упатниексом [13.14], Когельником [13.15] и Гуд- маном и др. [13.16]. В данном параграфе мы кратко рассмотрим два из этих способов. Прежде всего обратимся к схеме, показанной на рис. 13.9. 285
При наличии турбулентной среды пространственный импульсный отклик изменяется и приобретает вид = Е}(Ъ; k)N(\, ft k), A3.14) где ?+z(|; k)—пространственный импульсный отклик в отсутствие турбулентности; f(?, т], ?) —система координат, a JV(g, ft k) —зависящая от времени комплексная случайная функция турбулентности. Функцию N(l, ft k) можно иначе записать так: t ft *Ы exp , ft A3.15) где |, ft &)—случайная фазовая функция. Очевидно, что 1 ft k) |^1, так как предполагается, что турбулентность имеет место в пассивной среде. Рис. 13.9. Получение голо- графического изображения через случайную турбулентную среду Распределение комплексной световой амплитуды на фотопластинке определяется, как обычно, с помощью теории Френеля — Кирхгофа: A3.16) и(р, ft ft)=ffO(|; *)?+ (p-S, ft где O(|, fe)—функция объекта; S означает интегрирование по поверхности, а р(л;, у)—выбранная система координат. Обратимся теперь к рассмотрению особого случая. Пусть очень близко от поверхности регистрирующей среды находится тонкий слой турбулентности. Распределение комплексных световых полей на регистрирующей поверхности, обусловленное световыми полями объекта и опорного источника, можно приближенно 'выразить следующим образом: ?/(Р> ft ?)~|ЛГ(р, ft Л)|ехр[й|>(р, ft *)]«о(р; А). A3-17) ^(р, ft k)*\N(p, ft *)|exp{f[fccsine + <J>(p. /; k)]}, A3.18) где «0(p; k) = ]u.(x, y)\exp[i<?(x9 y)l = 286
— распределение светового поля объекта при отсутствии турбу- лентйости. Тогда интенсивность регистрируемого волнового фронта будет /(р, t\ А)=[а(р, t\ k)+v(p,t; A)][w(p, t\ k) + +и(р,*; A)]* = |iV(p, t\ А)|2{1 + |ио(*, 0)|2+2|н(х, //)|X Xcos[A*sine+q>(*, */)]}. A3.19) Рис. 13.10. Гологра- фическое изображение, полученное сквозь среду, случайно искажающую фазу Можно показать, что в этом случае пропускание записанной голограммы имеет вид T(p; *) = /Cj X cos [kx sin , t\ k)dt = u(.t, ja» X J |iV(p, ft A3.20) где К — коэффициент пропорциональности, а А^ — время экспозиции. Если временной интеграл в A3.20) относительно «однороден» по всей записывающей апертуре, то функцию пропускания можно записать так: y)\2+2\u(x, *, y)])\N\W. A3.21) Таким образом, в этом частном случае случайная турбулентность не оказывает существенного влияния на качество изображения. 287
Характерные результаты голографирования сквозь случайную турбулентную среду приведены на рис. 13.10. Голограмма была получена в условиях, когда стационарная искажающая фазу среда (обычное оконное стекло) помещалась вблизи от записывающей апертуры. Для сравнения на рис. 13.11 приведено изображение, Рис. 13.11. Изображение, полученное обычным способом при наблюдении сквозь среду, случайно искажающую фазу полученное в результате замены регистрирующей среды обычной положительной линзой. Видим, что изображение, полученное обычным способом, значительно искажено, в то время как голографи- ческое изображение подвержено лишь слабым искажениям. Среда, случайно искажающая фазу Рис. 13.12. Получение гологра- фического изображения сквозь среду, искажающую фазу: О — функция объекта; Р — фотопластинка. Следует обратить внимание на положение плоской опорной волны Если между предметом и регистрирующей средой, как показано на рис. 13.12, помещается слой стационарной искажающей фазу среды, то результирующее комплексное световое поле, рассеиваемое искажающей средой, примет вид и (р; k) = JJ и0 <*, V) ехр [-Ц> (?', V)] ?+ (р - Г; k) Ofdif. A3.22) 288
где — распределение светового поля объекта в плоскости координат §'; ty(l'> л') — стационарная случайная фазовая функция; Si и S% обозначают интегрирование по поверхности в плоскостях координат | и |'; а Е+ц и ?+ю — соответствующие пространственные импульсные отклики от плоскости координат | до |7 и от плоскости координат §' до р. 0*(<з;/с) Среда, случайно искажающая фазу Рис. 13.13. Восстановление изображения посредством идентичной фазовой компенсации: И — голограмма; г — действительное изображение. Случай освещения плоской монохроматической волной с отрицательным 6. Искажающая фазу среда та же самая, которая использовалась в процессе получения голограммы, показанной на рис. 13.12 Если плоская опорная волна проходит минуя искажающую среду, как показано на том же рисунке, то пропускание записанной гололраммы будет Г(р; k)=K[\u\*+\v\*+uv*+u*v]t A3.23) где К—коэффициенты пропорциональности, a v=exp(ikxsinQ) — плоская опорная волна. Если описываемую A3.23) голограмму осветить наклонной монохроматической плоской волной с отрицательным 0, как показана на рис. 13.13, то можно показать, что действительное изображение на расстоянии /2 за апертурой голограммы будет пропорциональна комплексно-сопряженному волновому полю а* (а7, C')- Если ту же среду, случайно искажающую фазу, поместить в системе координат а', то на расстоянии 1\ за искажающей фазу пластинкой комплексное световое поле будет Е(а; k)=*KiO*(o\ A), A3.24) т. е. оно будет комплексно-сопряженным г функцией объекта. Фазовое искажение исчезает полностью, и формируется свободное от искажения изображение. Однако процесс голографического восстановления требует исключительно точного расположения искажающей фазу среды, в противном случае полученное изображение может оказаться не вполне свободным от искажений. 289
13.6. Когерентное оптическое распознавание объектов сквозь случайную турбулентную среду Известно, что обычный метод получения изображений дает плохие результаты, если вблизи от систем наблюдения находится среда, случайно искажающая фазу. Однако, как видно из предыдущего параграфа, эта проблема решается при использовании голографического метода получения изображений, поскольку идентичные фазовые искажения, возникающие в сигнальном и опорном полях, исчезают в процессе записи волнового фронта. На практике это означает, что около объекта, изображение которого получают, должна располагаться светлая область или точка. Однако в данном параграфе (базирующемся на [13.17, 13.18]) Рис. 13.14. Схема записи спектра объекта в дальней зоне: О — объект; Т— турбулентность; L — лазер; Р — фотопластинка мы рассмотрим, в какой степени можно осуществлять распознавание даже в том случае, если окажется, что нельзя создать требуемое опорное поле. Комплексное световое поле, рассеянное объектом и прошедшее сквозь турбулентную среду, при выполнении условий дальней зоны на рис. 13.14 можно представить в виде следующего интеграла свертки: и fa t\ k)= ff 0A; *)?+ (p-g, t\ к)(Мц, A3.25) где O(|; k)—функция объекта; EfN определяется A3.14), a S означает интегрирование по поверхности. Если принять, что расстояние / достаточно велико, то A3.25) можно представить в виде выражения Ufa t\ *)*--^- 290 -b t; k)X Xexp I"-* А С** +УП)] A3.26)
которое является преобразованием Фурье свертки функции объекта с комплексной случайной функцией N. Если турбулентность располагается вблизи от поверхности записывающей апертуры, то A3.26) можно упростить , t k) f [O(|; k)\. A3.27) Следовательно, пропускание фотопластинки можно записать в виде 7(р; k) = K\f [0(|; k)]\* j ]N(p, t; k)\4t, A3.28) где К — коэффициент пропорциональности, а А* — время экспозиции. Рис. 13.15. Схема получения автокорреляционной функции: 5 — точечный монохроматический источник; Р — записанная пленка (транспарант) Если усредненное по ансамблю время в A3.28) однородно по апертуре записи, то предыдущее уравнение можно преобразовать к выражению 7>; k)=K\N\*At\Sr[O(l; k)\\\ A3.29) которое пропорционально спектру мощности функции объекта. Если турбулентность представляет собой среду, искажающую только фазу, то A3.29) можно записать в виде Т(р; k)=KAt\&-[0&; к)] |*, A3.30) которое полностью свободно от фазовых искажений. Поскольку объект (цель) находится в дальней зоне, то спектр мощности функции объекта рассеивается по всей регистрирующей поверхности. Распознать форму объекта по записанному спектру мощности обычно трудно. Однако возможно опознать форму объекта с помощью соответствующей функции автокорреляции. Для этого регистрирующую фотопластинку освещают монохроматической плоской волной, как показано на рис. 13.15. Тогда автокорреляционную функцию записанного объекта можно получить в задней фокальной плоскости преобразующей линзы, а именно: A3.31) где о(а, Р)—система координат в задней фокальной плоскости. 291
Для сравнения влияний, оказываемых близлежащими фазовыми искажениями на автокорреляционную функцию объекта и на само изображение, полученное обычным способом, были проведены эксперименты^ использованием гелий-неонового лазера с длиной волны 6328 А. Условие дальнего поля на рис. 13.14 было создано с помощью преобразующей линзы. Оконное стекло, помещенное перед записывающей апертурой, создавало близлежащее фазовое искажение. Обычные изображения получались с помощью Рис. 13.16. Обычный метод получения изображения: «— в отсутствие среды, искажающей фазу; б — при наличии среды, искажающей фазу а) б) положительной линзы, устанавливаемой за оконным стеклом. Неискаженное и искаженное по фазе изображения приведены на рис. 13.16,а и б соответственно. В случае автокорреляционного метода спектр мощности записывался непосредственно на фотопластинке. Полученный транспарант затем подвергался преобразованию Фурье при помощи линзы, и в результате в задней фокальной плоскости получалась автокорреляционная функция. На рис. 13.17 приведены фотографии автокорреляционной функции с фазовым искажением (а) и без не- Рис. 13.17. Автокорреляционный метод: а —в отсутствие среды, искажающей фазу; б —при наличии среды, искажающей фазу а) б) го (б). Сравнение рис. 13.16,6 и 13.17,6 показывает, что автокорреляционный метод значительно менее чувствителен к фазовым искажениям, чем обычный метод получения изображений. Аналогичные эксперименты были проделаны с целым рядом других объектов различной формы, и во всех случаях не представляло труда определить связь любой искаженной автокорреляционной функции с соответствующей ей неискаженной функцией, равно как и с исходной функцией объекта. Таким образом, мы видим, что успешное устранение влияния фазовых искажений достигается скорее обнаружением соответст- 292
вующего спектра мощности объекта, а не самого объекта. И хотя не существует никакой однозначной связи между функцией объекта и соответствующим спектром мощности, тем не менее для небольшого числа различных объектов оказывается возможным распознать отдельные объекты с ломощью их автокорреляционных функций. Разумеется, такой метод исключает возможность получения исходной фазовой информации. Однако в случае сильной турбулентности фазовые искажения мешают больше, чем помогает фазовая информация. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 13.1. G. L. Tyler, The Bistatic, Continuous-Wave Radar Method for the Study of Planetary Surfaces, J. Geophys. Res., 71 A966), 1559. 13.2. R. K. Mueller and N. K. Sheridan, Sound Holograms and Optical Reconstruction, Appl. Phys. Letters, 9, A966), 328. 13.3. A. F. Metherell et al., Introduction to Acoustical Holography, J. Acoust. Soc Am., 42 A967), 733. 13.4. D. Gabor, A New Microscope Principle, Nature, 161 A948), 777. 13.5. D. Gabor, Microscopy by Reconstructed Wavefronts, Proc. Roy. Soc. ser. A, 197 A949), 454. (Рус. пер.: Габор Д. Микроскопия на основе метода восстановления волнового фронта, I. — В кн.: Строук Дж. Введение в когерентную оптику и голографию. — М.: Мир, 1967, с. 218—269.) 13.6. D. Gabor, Microscopy by Reconstructed Wavefronts, II, Proc. Phys. Soc, ser. B, 64 A951), 449. (Рус. пер.: Габор Д. Микроскопия на основе метода восстановления волнового фронта, II. — В кн.: Строук Дж. Введение в когерентную оптику и голографию. — М.: Мир, 1967, с. 270—301). 13.7. Н. М. A. El-Sum, Reconstructed Wavefront Microscopy, doctoral dissertation, Stanford University, 1952 (available from University Microfilms, Ann Arbor, Michigan). 13.8. E. M. Leith and J. Upatnieks, Microscopy by Wavefront Reconstruction, J. Opt. Soc. Am., 55 A965), 569. 13.9. D. Gabor et al., Optical Image Synthesis (Complex Amplitude Addition and Substraction) by Holographic Fourier Transformation, Phys. Letters, 18 A965), 116. 13.10. L. O. Heflinger, R. F. Wuerker, and R. E. Brooks, Holographic Interfero- metry, J. Appl. Phys., 37 A966), 642. 13.11. R. L. Powell and K. A. Stetson, Interferometric Vibration Analysis by Wavefront Reconstruction, J. Opt. Soc. Am., 55 A965), 1593. 13.12. B. P. Hildebrand and K. A. Haines, The Generation of Three-Dimensional Contour Maps by Wavefront Reconstruction, Phys. Letters, 21 A966), 422. 13.13. B. P. Hildebrand and K. A. Haines, Multiple-Wavelength and Multiple-Source Holography Applied to Contour Generation, J. Opt. Soc. Am., 57 A967), 155. 13.14. E. N. Leith and J. Upatnieks, Holographic Imagery through Diffusing Media, J. Opt. Soc. Am., 56 A966), 523. 13.15. H. Kogelnik, Holographic Image Projection through Inhomogeneous Media, Bell System Tech. J., 44 A965), 2451. 13.16. J. W. Goodman et al., Wavefront-Reconstruction Imaging through Random Media, Appl. Phys. Letters, 8 A966), 311. 13.17. F. T. S. Yu and H. W. Rose, Coherent Optical Target Recognition through a Randomly Turbulent Medium, J. Opt. Soc. Am., 59 A969), 474. 13.18. H. W. Rose, T. L. Williamson, and F. T. S. Yu, Coherent Optical Target Recognition through a Phase Distorting Medium, Appl. Opt., 10 A971), 515.
Пр иложение А Решение системы неоднородных дифференциальных уравнений Колмогорова Для того чтобы решить дифференциальные уравнения Колмогорова dPM if) —ft = _ Mq (t) PM (t) для m = M, (A. 1) dP%t{t) =-mq (t) Pm (t) + (m + 1) q (t) Pm+1 (t) для т <М (А.2) при начальных условиях Рм@) = 1, (А.З) Pw@)=0 при т<М, (А.4) удобно получить дифференциальное уравнение в частных производных для производящей функции вероятности перехода м Фт (г, 0=2 zmPm W для I z I< 1' (А'5> Уравнение (АЛ) имеет решение =expL-Arj q(t')dt' , (А.6> а при использовании начальных условий (А.З) получим t lim f ^(^Л'^О. (А.7) Поскольку производящая функция вероятности i|)m(z, 0 является функцией от z и /, ее частные производные по г и t соответственно будут S' (А-8> т=0 2j m=0 Если (А.8) и (А.9) подставить в (А.2), получим следующее дифференциальное уравнение в частных производных (АЛ0> с граничным условием фм(*> 0)=г*. 294
Для решения (АЛО) можно использовать следующую теорему. Пусть имеется дифференциальное уравнение в частных производных dt —a(z,t) Yz— {АЛ2) с граничным условием (АЛ 1). Найдем новую функцию u(z, t) такую, что решение z(t) дифференциального уравнения dz/dt+a(z, 0=0 (АЛЗ) удовлетворяет условию и(г. O=const. (АЛ4) Найдем функцию g такую, что g(z)=u(z, S), (АЛ 5) и пусть g~i(x) будет обратной функцией g(z), так что g-i(x)=z, если x = g(z). (АЛб) Тогда *»(*,/) = <*-«[«(*. О])*- (А.17) Доказательство этой теоремы можно найти в книге Сиски *>. Из (А.10) следует, что о (г, t) имеет вид a(z,t)=q(t)(l-z). (A.18) Обычное дифференциальное уравнение имеет вид dz/dt+q(t) A—г) =0. (АЛО) Его можно переписать так: dz/{\—z)+q(t)dt = O. (A.20) Интегрируя это выражение, получаем —In (I— z)+p@=const, (A.21) где р@= \q(t')dt\ 6 Таким образом, любое решение уравнения (АЛ9) будет удовлетворять условию u(z, /)=const, (A.22) если определить u(z, t) следующим образом: и(г, /)=-ln(l~z)+pW. (A.23) Чтобы решить то же уравнение для g^(x), напишем равенство x=u(z, 5)=—In (I—z)+p(S), (A.24) которое содержит в себе l_2=exp [pE)— x] (A.25) из (АЛ6), что значит ?-!(*) =z= 1-exp [p(S)-*]. (A.26) Таким образом, получаем [p(S)+ln (l-«)-p(/)]. (A.27) *) R. Syski, Introduction to Congestion Theory in Telephone Systems, Oliver and Boyd Publishing Company, London, 1960, p. 696. 295
Это можно записать в таком виде g-*[u(z, *)] = 1-A-г) exp [p(S)-p(O]. (A.28) Из (А. 17) производящая функция вероятности перехода равна, таким образом, ¦«(г, 0 —0—A—«) exp [p(S)-p(O]}*. (A.29) Используя биномиальное разложение, перепишем (А.29) в виде м Фт (х, 0-J] {MJ^)lml {1 - exp [p (S) - р (*)]}м~тг™ exp {[p (S) - р (*)] т}. (А.ЗО) Следовательно, условная вероятность Pm(t) может быть определена из (А.5) как exp {[p Если принять 5=0 и воспользоваться (А.7), то р@)=0, и тогда подстановка (А.32) в (А.31) дает (А.32) (А.ЗЗ) м Среднее значение w, т. е. т ^ш @» можно получить путем дифференцирования производящей функции вероятности перехода (А.5), т. е. м 2=1 2=1 т=0 Подставив (А.29) в (А.34), получим т=М ехр [—р (*) ]. (А.35) Аналогично второй момент Pm(t) можно получить путем повторного дифференцирования производящей функции вероятности перехода по z м S — т 2=1 т=0 2=1 dz2 (А.36) Таким образом, из (А.29) имеем (Л*_1)е-2Р«>. 2=1 Тогда второй момент равен Следовательно, дисперсия будет о* = ^_~2== Ме-Р it) (i_ e-l 296 (А.37) (А.38>
Приложение Б Теория Френеля—Кирхгофа, или принцип Гюйгенса В соответствии с принципом Гюйгенса, амплитуда, наблюдаемая в точке р' системы координат а (а, р, у) и создаваемая источником света, расположенным в другой системе координат р(#, у, z), как показано на рис. БЛ, может быть вычислена, если принять, что каждая точка источника представляет собой бесконечно малый сферический излучатель. Таким образом, можно считать, что комплексная амплитуда света E+i(p; k), обусловленная точкой р в системе координат р, представляет собой световую амплитуду неполяризованного монохроматического точечного источника и равна Ef = — AМ exp [i (kr - iot)], (Б. 1) где К, kt со — соответственно длина волны, волновое число и угловая частота точечного источника, а г — расстояние между точечным источником и точкой наблюдения, которое равно /2. (Б.2) Рис. БЛ. Координатные системы Если расстояние / между двумя системами координат считать большим по сравнению с величинами р и а, то г можно заменить на / в знаменателе (БЛ) и на свое приближение (Б.З) в экспоненте. Таким образом (БЛ) можно переписать в виде + Y - г + (°У +(i* ~2 (Б.4) где для удобства опущена экспонента, зависящая от времени. Кроме того, если точка излучения и точка наблюдения взаимозаменяемы, то комплексная световая амплитуда, наблюдаемая в системе координат р(#, у, г), будет иметь вид Ясно, что (Б.4) и (Б.5) описывают распространяющее в свободном пространстве излучение, создаваемое монохроматическим точечным источником. Они также называются импульсными откликами (импульсными характеристиками) свободного пространства. Следовательно, комплексную амплитуду, создаваемую в системе координат а монохроматической излучающей поверхностью, находящейся в системе координат р, можно записать в виде —р; (Б.6) где и (р; k) — комплексное поле монохроматической излучающей поверхности, я 2 означает поверхностный интеграл. 297
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ Аббе условие синусов 76, 77 Аберрация 99 — голографического изображения 211 условия коррекции 223 — третьего порядка 222 астигматизм 223, 253 дисторсия 223 кома 223 кривизна поля 223 сферическая 223 — хроматическая 74 Автокогерентность 86 Автокорреляция 20 Амплитуда волны 42 комплексная 43 нормализованная 54 Анализ спектральный широкополосных сигналов 136 Анализатор спектра оптический двумерный 114 одномерный многоканальный 114 Антенна бокового обзора 130 Апертура дифрагирующая 31 — круглая 56 — прямоугольная 54 — числовая 76, 77 Аппроксимация линейная оптимальная 261, 262 Астигматизм 223, 253 Бабине принцип 49 Бесселя функция 15, 16 Брэгга закон 229 Буняковского — Шварца неравенство 24 Вандер Люгта метод 120 Ван Ситтерта — Цернике теорема 84 Вектор волновой 33, 35 — Пойнтинга 35 — Умова — Пойнтинга см. вектор Пойнтинга Видность полос интерференционных 83 Винера — Хинчина теорема 19 Винера теория связи 173 Волна восстанавливающая 197 — декодирующая 197 — монохроматическая 42, 44 298 — опорная 195 наклонная 198 угол падения 198, 200 — освещающая 197, 209 — плоская 100, 196 — скалярная 42 — сферическая 101, 195 — считывающая 199 Волновое число 33, 43 Восстановление волнового фронта голограммы 197, 199, 202 «белым светом» 227 внеосевой 199, 241, 243 — нелинейной 242, 243 двухволновой 231 изображения 202 — точность 251, 252, 253 микроскопическое 277, 278 многоцветной 232 многоэкспозициониой 279, 280 осевой 197, 239, 240 — нелинейной 239, 240 отражательной 229 схема структурная 205 — изображения 174 Время экспозиции максимально допустимое 174 «Вуаль» 148 Гамма фотопленки 148 Гельмгольца уравнение 44 скалярное 9 Голограмма внеосевая 198, 199 нелинейная 241, 242 — восстановление 243, 244, 245 протяженного объекта 201 восстановление 202 пропускание амплитудное 201, 203 точечного истоника 198 восстановление 199 пропускание амплитудное 199 —, емкость информационная 169 — информация пространственная 168 фазовая 166 — многоэкспозиционная 279 восстановление 279, 280 — осевая 195, 196 нелинейная 237, 238
— восстановление 238, 239, ?40 точечного источника 196 восстановление Ю7 наклонной волной 108 пропускание амплитудное 1УУ — отражательная 227, 228 восстановление 229, 230 двухволновая точечного объекта 230 — коэффициент отражения 230 — трехмерного объекта 231 многоцветная 232 — коэффициент отражения 232 функция оптической плотности 228 — отражательная 229 — предел разрешения поперечного 213, 215 продольного 215, 216 — степень искажения 247 нелинейности 239 — увеличение поперечное 205, 206, 208 продольное 209, 211 — усредненная по времени 281 функция пропускания 282 Голография 194 — многоэкспозиционная 279 восстановление 279, 280 — оптимизация линейная 259—263 фотографическая 257 — отражательная 227 — поостранственно-некогерентная 224 — толстослойная см. голография отражательная Грина второе тождество 43 — функция 90 Гюйгенса принцип 29, 32, 39, 297 Детектор фотографический 147 Диапазон динамический фотопленки 161, 162 Дирака дельта-функция Двумерная 16 Диск Эйри см. Эйри диск Дисторсия 223 Дифракция 29 — высших порядков 239, 243, 245 — минус первого порядка 124, 197 — нулевого порядка 124, 197 — плюс первого порядка 124, 125, 197 — Фраунгофера 29, 30, 50—53 — Френеля 29, 30, 59—61 Длина когерентности 84 — смаза 187 Емкость информационная голограммы 169 канала 165 фотопленки 167 Закон Релея см Релея закон — сохранения энергии 19 Запись волнового фронта голограммы 196, 198, 201 двухволновой точечного истойика 230 нелинейной 237, 241 отражательной 227, 228 — многоцветной 230 — трехмерного объекта 231 схема структурная 205 Зернистость фотоэмульсии 152 Зоммерфельда условие излучения 89 Зона Френеля 73 Иизображение действительное 197, 200, 203 — мнимое 197, 200, 203 — точечное минимально разрешаемое 153 Инвариантность пространственная 13 Интеграл Кирхгофа см. Кирхгофа интеграл — свертки 22 — Френеля см. Френеля интеграл Интервал спектральный 139 Интенсивность 36 Интерференция волн 37 Интерферограмма 280 — голографичеекая 280, 283 — усредненная по времени 281 Интерферометр Майкельсона звездный 109 — Маха — Цен дер а 127 — Релея 125, 127 — треугольный Кохрана ?24 — Фабри —Перо 109 Интерферометрия голографическая 279 — много экспозиционная см. голография многоэкспозиционная Информация амплитудная 166 голограммы 168 — пространственная 165 голограммы 168 — фазовая 166 Искажение голограммы паразитное 246 степень искажения 247 — смешения 212 ¦- способ устранения 212 Источник взаимно-когерентный 81 — когерентный 81 — точечный 28 изотропный 42