П 13Ь
ОРДЕНА
ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ
МОСКОВСКИЙ
ИНЖЕНЕРНО-СТРОИТЕЛЬНЫЙ
ИНСТИТУТ ИМ. В. В. КУЙБЫШЕВА
НАУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ
ИНСТИТУТ ПО СТРОИТЕЛЬСТВУ
МИНИСТЕРСТВА СТРОИТЕЛЬСТВА
ОСНОВЫ НОВОГО МЕТОДА
РАСЧЕТА ФУНДАМЕНТОВ
НА УПРУГОМ ОСНОВАНИИ
2	ПРИ ПОМОЩИ ДВУХ
£ КОЭФФИЦИЕНТОВ ПОСТЕЛИ
ГО
П. Л. ПАСТЕРНАК
преф, д-р техн, наук
__	_- i, ijLJ -ц> т-ТТ~ 	-	" *г-
|  Ipres .Деаярп^’МеэоегГ
:'«з '
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
ЛИТЕРАТУРЫ ПО СТРОИТЕЛЬСТВУ И АРХИТЕКТУРЕ
Москва—J954
Научный редактор — доц. канд. техн, наук Р. И Трепененков
Б брошюре изложены основы расчета фундаментов на упругом
основании ио методу двух коэффициентов постели; приведен крити-
ческий анализ литературы по данному вопросу и рассмотрены оо>
беяноста методики экспериментального определения новых расчетных
характеристик.
Книга рассчитана кз научных работников, аспирантов и инжене-
ров -проектировщиков.
ВВЕДЕНИЕ
Большая жесткость железобетона на изгиб и -скалывание обу-
словила появление в конце прошлого века так называемых пло-
ских фундаментов в виде отдельных лент, ленточных ростверков,
массивных и ребристых плит. Большим достоинством фундамен-
тов этого вида является возможность при сравнительно неболь-
шой их высоте надежно передавать на небольшой глубине даже
на грунты малой несущей способности значительные распределен-
ные и сосредоточенные нагрузки и выравнивать практически неиз-
бежные при отдельных фундаментах неравномерные осадки.
Такие фундаменты рассматривают обычно как лежащие на
упругом основании. Однако несмотря на исключительное значение
таких фундаментов для -строительства гражданских и промышлен-
ных зданий и инженерных- сооружений, следует признать, что пока
не 'Существует методов расчёта, отвечающих достаточно близко
их действительной работе и обеспечивающих надежность кон-
струкции при минимальной затрате материалов.
В настоящее время существуют четыре метода расчета плоских
фундаментов, — в частности ленточных.
Первый метод сводится к уравновешиванию внешних
нагрузок и отпора грунта, который принимается распределенным
в продольном и поперечном направлениях по линейному за-
кону (рис. 1, а). Этот простой метод легко распространить и на
случаи, когда фундамент покоится на грунтах .неоднородных в го-
ризонтальных направлениях, т. е. обладающих разными осадоч-
ными характеристиками (рис. 1,6). Для этого достаточно при-
вести площадь основания ленты или плиты к одному модулю де-
формации (или коэффициенту постели) подобно тому, как это
делается при расчете железобетонных сечений по рабочим стадиям
или при расчете стержней на устойчивость за пределом пропор-
циональности.
Второй метод (Винклера) основан на довольно неопреде-
ленном понятии коэффициента постели. Характерная для этого
метода эпюра распределения напряжений в грунте приведена на
3
грунта
рис. 2» Расчеты отдельных лент по этому методу <в условиях пло-
ской или пространственной задачи не отличаются друг от друга.
Т рет.ий и четвертый методы рассматривают грунты на
основе теории упругости изотропного твердого тела; при этом
основание рассматривается как упругое полупространство или
упругая полуплоскость.
Первые два метода обладают общим недостатком, который за-
ключается в том, что внешние нагрузки распределяются на грунт
•только в пределах площади подошвы фундамента. Это положение
не отвечает наблюдениям, по которым грунт оседает, а следова-
тельно, напряжен и за пределами фундамента.
Кроме того, в случае сосредоточенных нагрузок первый метод
неэкономичен, так как приводит к сильно преувеличенным значе-
4
ниям изгибающих моментов; первый метод допустим в качестве
первого приближения только для расчета коротких и жестких лент
и плит, а также в случаях, когда само сооружение обладает боль-
шой жесткостью (железобетонные бункеры, силосы, плотины
и т. д.).
Другим серьезным недостатком второго метода является не-
определенность величины коэффициента постели, который зависит
от размеров и формы пробного «штампа: при одинаковой интенсив-
ности равномерно распределенной нагрузки коэффициент постели
получается тем ’ больше, чем меньше площадь штампа и чем
больше отношение его периметра к площади подошвы. Основной
причиной этой неопределенности коэффициента постели можно
считать наличие по периметру штампа разгружающих срезываю-
щих усилий, которые при расчете по этому методу не учитываются
(рис. 3).
Методы расчета плоских фундаментов на упругом основании
в виде упругой полуплоскости и упругого полупространства, цели-
ком разработанные советскими учеными (Г. Э. Проктор,
Н. М. Герсеванов, М. И. Горбунов-Посадов, Б. Н. Жсмочкин
и др.), по сравнению с первыми двумя методами несомненно про-
грессивны и обладают тем преимуществом, что в соответствии
с действительными свойствами грунтов учитывают распределение
нагрузки и за пределами фундамента. Но эти модели естествен-
ных грунтов обладают в то же время и серьезными недостатками,
к которым относятся следующие.
Рис. 3
1.	В упругом полупространстве при любой, даже ничтожно ма-
лой нагрузке, в грунте по контуру фундамента возникают теорети-
чески бесконечно большие -напряжения.
Такое же явление имеет место у концов балки, лежащей на
упругом основании в виде полуплоскости.
С этим свойством расчетной «модели нельзя мириться не только
для случая обычных (сыпучих), но даже и для случая скальных
5
Рис. 4. Распределение напряжений в грунте
У—по теории упругого полупространства; 2— при расчете
по методу Б. Н. Жемочкнна
Рис. S Распределение
напряжений в мало
связном грунте
/-•по данным опытов; 2— по
теории упругого полупро-
странства
грунтов. Этот серьезный недостаток не обнаруживается в явном
виде лишь вследствие «невозможности строгого решения интегро-
дифференциального уравнения контактной -задачи, к которому
приводится расчет ленты, лежащей на упругом полупространстве.
Однако, с другой стороны, приближенные
методы решения этого уравнения приводят
к преувеличенным значениям изгибающих
моментов и, таким образом, к перерасходу
материалов, в частности металла. Так, на-
пример, по «методу стерженьков» (Б. Н. Ж-е-
мочкин) пространственная задача прибли-
женно приводится к плоской, так как в по-
перечном направлении распределение отпора
грунта считается равномерным; это приво-
дит к концентрации отпора грунта только у
концов ленты, а не по всему ее контуру и,
таким образом, к преувеличению -положи-
тельных изгибающих моментов (рис. 4).
2.	В малосвязных или совсем несвязных
грунтах распределение напряжений под же-
стким штампом, по данным отечественных и
зарубежных опытов-, совершенно не отвечает
теории упругого полупространства (рис. 5).
3.	Модули сжимаемости и коэффициенты
Пуассона для естественных грунтов также трудно поддаются
определению, как и коэффициенты постели, поскольку они также
зависят от целого ряда факторов.
4. При расчете по методу упругого полупространства и упругой
полуплоскости использование линий влияния невозможно, что яв-
ляется одной из причин слабого распространения этого метода
в практике проектирования плоских фундаментов.
б
Перечисленные недостатки методов, построенных- на использо-
вании свойств упругой (полуплоскости и упругого полупростран-
ства, привели к тому, что большинство инженеров-проектировщи-
ков продолжают рассчитывать плоские фундаменты по старым
(первому к второму) методам, которые при всех своих недостат-
ках значительно проще и позволяют пользоваться обычным аппа-
ратом строительной механики.
Все вышесказанное убеждает в необходимости критического
пересмотра существующих методов расчета плоских фундаментов
в целях создания новых методов расчета, объединяющих в себе
преимущества и одновременно не страдающих недостатками ста-
рых методов.
В настоящей работе излагаются в краткой форме основные
положения нового метода расчета фундаментов на упругом осно-
вании с двумя коэффициентами постели, приводятся основные
дифференциальные уравнения и предлагается методика экспери-
ментального определения новых упругих характеристик грунтов
1 О результате своих исследований мы впервые сообщили в докладах на
совещании по фундаментам в МИСИ им. В. В. Куйбышева в мае 1953 г. и на
заседании совета Научно-исследовательского института по строительству
б. Минмашстроя в сентябре 1953 г.
ГЛАВА I
НОВЫЙ ЗАКОН ДЕФОРМАЦИЙ И РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
НАГРУЗОК НА ГОРИЗОНТАЛЬНОЙ ПОВЕРХНОСТИ
ОДНОРОДНЫХ ЕСТЕСТВЕННЫХ ГРУНТОВ
ПОД НАГРУЗКОЙ
Если участок горизонтальной поверхности естественного грун-
та ж только плотной, но и сыпучей (песок, галька) или мало-
связной (суглинки и др.) породы нагрузить непосредственно- или
через распределительную плиту сосредоточенной или произвольно
распределенной нагрузкой, то в результате осадки образуется
криволинейная осадочная поверхность, называемая «осадочной
лункой», которая распространяется и за пределы нагруженной
области (рис. 6). По мере удаления от нагруженного участка
осадки постепенно затухают. Чем плотнее грунт, тем меньше осад-
ки, но тем -больше -зона их распространения.
В известных для каждого грунта пределах можно без большой
погрешности принять, что осадки являются линейной функцией
нагрузок, т. е. считать грунт на поверхности линейно деформи-
руемым
д=су w
Рис. 6
1 В малоплотных грунтах с большим коэффициентом пористости линейная
зависимость между деформациями и напряжениями будет иметь место только
после предварительного уплотнения грунта.
8
При расчете фундаментов по методу упругого полупростран-
ства уравнение меридиана осадочной лунки, возникающей от дей-
ствия сосредоточенной нагрузки N и имеющей вид оболочки вра-
щения, принимается по гиперболическому закону Буссинеска:
где w— осадка;
х — длина радиуса-вектора (расстояние рассматриваемой
точки от точки приложения силы N);
Е()—модуль деформаций грунта;
v — коэффициент Пуассона.
Этот закон распределения, справедливый для упругого одно-
родного изотропного полупространства, необходимо заменить для
случая несвязных или малосвязных грунтов другим законом, луч-
ше отвечающим свойствам таких грунтов.
К построению такого закона можно* прийти следующим, обра-
зом. Наблюдаемая криволинейность осадочной лунки приводит
к мысли, что несущая способность грунта в вертикальнохм направ-
лении обусловливается не только его сопротивлением вертикаль-
ным осадкам, но также и сопротивлением сдвигу или вращению
линейных элементов горизонтальной поверхности грунта.
Впервые метод расчета конструкций, лежащих на сплошном
упруго оседающем и упруго вращающемся двухмерном основа-
нии был разработан автором в 1937 г. и опубликован в 1940 г. L
Л. И. Манвелов дал при помощи метода начальных парамет-
ров решение для коротких балок, лежащих на таком же основа-
нии, с двумя характеристиками. В настоящей работе остано-
вимся в основном на пространственной задаче.
Упругие деформации и напряжения изотропного упругого тела
и, в частности, упругие осадки полупространства, выражаются
через модуль упругости и коэффициент Пуассона.
Мы считаем, что упругие характеристики такой неоднородной
в разных направлениях среды, как естественные грунты (особенно
сыпучие и малосвязные), следует задавать в интегральной форме,
т. е. н а п о в е р х н о с т и, и не меньше чем через 2 коэффициента
постели. Первый коэффициент постели — коэффициент сжатия,
измеряемый в кг,/см3 или т/м3, связывает интенсивность вертикаль-
ного отпора грунта а с его осадкой w простой формулой:
о = Cxw.	(2)
Совершенно не з а в и с и м ы й‘о т G второй коэффи-
циент постели С2—коэффициент сдвига1 2, измеряемый в кг/см
1 Сборник трудов Московского инженерно-строительного института
им. В. В. Куйбышева, № 4, Стройиздат, 1940.
2 Для упругой полуплоскости или упругого полупространства имеем ана-
логично две независимые характеристики Е и .
9
или т/м, дает возможность выразить интенсивность вертикальной
силы сдвига I (или изгибающего момента) в виде произведения С2
на производную осадки в соответствующем направлении:
(3)
с»тп силы сдвига появляются и в сыпучих и малосвязных грун-
тах вследствие зацепления и внутреннего трения между части-
цами грунта. На рис. 7 изображена в разрезе модель грунта, обла-
дающего двумя коэффициентах^ постели.
Будем называть грунт одно-
родным в горизонтальных на-
правлениях, если Ci и С2 по-
стоянные, независимо от поло-
жения рассматриваемой точки
на рассматриваемой горизон-
тальной поверхности и от на-
правления х.
По формуле (2) получается
впечатление, что первый коэф-
фициент постели Ci ничем не
отличается от обычного коэф-
фициента постели по теории
Винклера. Но это совсем не так,
поскольку уточнение характера
рис 7	работы грунта в результате вве-
дения второго коэффициента
постели С2 коренным образом
изменяет и характер первого коэффициента постели Съ освобож-
дая его от указанных выше недостатков коэффициента постели
по Винклеру. В отличие от обычного коэффициента постели,
который невозможно- определить достоверно, за исключением
случаев. когда основанием служит жидкость или весьма рыхлый
грунт, как, например, свеженасыпной, коэффициенты Сх и С2, как
показано в дальнейшем, легко определяются путем простых вы-
числений на основе несложных экспериментов в полевых условиях.
а)	Дифференциальные уравнения осадочной поверхности
грунта в прямоугольных координатах
яри непосредственном нагружении
Дифференциальное уравнение осадочной поверхности в прямо-
уголькых координатах можно непосредственно составить, исходя
из условия равновесия элементарного вертикального столбика
грунта сечением dx dy, где dx — dy — 1 (рис. 8);

/ d2w , d2w
где p — интенсивность нагрузки.
(4)
ду2 j ~~P ~ 0
10
Если упругую осадку w рассмат-
ривать как функцию невещественных
координат
где
то уравнение (4) приводится к виду
V2w—w = -^-e	(4а)
Величину $, измеряемую в см или
в м, можно назвать линейной ха-
рактеристикой грунта.
Для незагруженных участков
грунта (р = 0) дифференциальное
уравнение (4а) становится однород-
ным.
Самым простым способом решения дифференциального урав-
нения (4а) является замена его системой пятичленных симметрич-
ных уравнений для сетки с прямоугольными или, проще, -квадрат-
ными клетками.
В рассматриваемом случае — при отсутствии нечетных произ-
водных — этот способ вместе с тем и очень точен.
Рассмотрим этот способ для случая нагружения грунта равно-
мерно распределенной нагрузкой на квадратной площадке. Огра-
ничимся довольно редкой квадратной сеткой, которая внутри на-
груженного квадратного участка дает осадку в четырех сим-
метрично расположенных точках 1 (рис. 9).
За пределами нагруженного участка условимся рассматри-
вать в качестве неизвестных . упругие осадки пяти узлов сетки
2—6, так как по мере удаления от места загружения осадки весьма
быстро затухают, и поэтому сетку можно обрывать уже на третьих
или четвертых узлах (считая от границы ‘загруженного участка)
в обоих главных направлениях, принимая при этом осадки в край-
них узлах сетки равными нулю или осадкам предыдущих узлов.
Для каждого узла сетки (рис. 10) дифференциальное уравне-
ние (4) заменяется линейным пятичленным уравнением вида:
(4-Ь X2)	— wk+i — 'Wk+z — wk+3— wft+4+ = 0,	(5)
4	a
где X=——
a — сторона квадратной клетки;
k — номер узла.
И
За пределами нагруженного участка, грузовой член отсут-
ствует.
Для случая, приведенного на рис. 9, получаем шесть пятичлен-
ных уравнений, которые вследствие их симметрии относительно
главной диагонали метут быть записаны в сокращенном виде и
решены при помощи сокращенного логарифма Гаусса (табл. 1).
Таблица 1
1 Уравнение			W3	w4	w5	we	Грузовые члены
(1)	х» , + “	— 1					X2
. (2)		3-М2		1	—1			0
(3)	i	1		2 + X2		—1		0
(4) ч			।	X2 2 + T	-1		0
(5)	1				3+ X2	—1	0
 (6)	i					, X2 l+T	0
При этом для точек 1, 4 и 6, лежащих на диагональных осях
симметрии сетки, необходимо в целях сохранения симметрии
матрицы уравнений относительно главной диагонали коэффи-
циенты и грузовые члены делить на 2.
б)	Деформация грунта от сосредоточенной нагрузки
При нагружении грунта одной сосредоточенной силой N оса-
дочная лунка имеет -вид поверхности вращения с меридианом,
дифференциальное уравнение которого является однородным диф-
ференциальным уравнением второго' порядка в обыкновенных про-
изводных, так как в плоскостях меридианов, являющихся для
лунки плоскостями симметрии, скалывающие напряжения не
возникают.
Это уравнение можно получить преобразованием однородного
дифференциального уравнения (4а) в полярные координаты:
d2w !	1 dw । 1 d2w
+	‘ dy>2
Учитывая, что в рассматриваемом случае
d2w __n
dw2 ~U’
получаем для меридиана осадочной лунки обыкновенное диффе-
ренциальное уравнение:
d2w . 1 dw
----------------------------‘7QJ =
d&	‘
Вводя дифференциальный оператор
__ d2w 1 dw
можно уравнение (7) представить в сокращенной форме:
D2ew — = 0.
(7а)
Уравнение (7) можно составить и непосредственно как усло-
вие равновесия элемента грунта единичной 'ширины и длины,
заключенного между двумя меридианами осадочной лунки, про-
веденными под углом = 1 (рис. 11):
— [С2 (х^'У — Qxw] =0.
Л*
(76)
После дифференцирования и деления уравнения (76) на Сь
учитывая, 4tos2 == и x = получаем уравнение (7), кото-
рое является дифференциальным уравнением Бесселя мнимого
13
аргумента (Ес нулевым индексом *. Решение уравнения (7) может
быть написано в виде:
w = АКй Н- В1й.
Рис. 11
Из двух существующих частных решений уравнения в данном
случае годится только решение второго .рода /<0(ср которое для
х—- ? = и принимает бесконечно большое значение, а с увеличе-
нием •приведенного радиуса вектора i до бесконечности весьма
быстро затухает до куля. Решение первого рода /е наоборот,
от нулевого значения гари х = Е = 0 весьма быстро нарастает до
бесконечности и поэтому в рассматриваемом случае непригодно2.
В результате уравнение меридиана осадочной поверхности вра-
щения, возникающей при действии сосредоточенной силы N, при-
нимает простой вид:
ге» = ЛК0(£1.	(8)
Постоянную интегрирования А можно определить из условия
равновесия вертикальных нагрузок, а именно: величина силы У
/ п \
+ 11 — —- | w — 0.
1 Обычное дифференциальное уравнение Бесселя с индексом п имеет вид:
1 dw
+~Г" "Ts 1 к ег /
Если вещественный аргумент £ заменить -мнимым аргументом Ц и умно-
жить уравнение на — 1, то получим:
d2w 1 dw
+T’~di
, п2\
1	Г“0:
при уравнение приводится к уравнению (7).
2 См. таблицу приложения.
14
должна 'быть равна Сгкратному объему осадочной лунки, рас-
пространяющейся от начала координат (под нагрузкой) до бес-
конечности, т. е.:
2к ос
N = СгА J f Ко (?) xdxd<? =
О о
ОО	оо
=J к0 (?) we=2кс2д J к0 (?) ?d?.	(9)
о	о
Входящий в уравнение (9) определенный интеграл (статиче-
ский (момент площади функции Ко относительно начала коорди-
нат) определяется по известной формуле теории цилиндрических
функций:
j к„ (?) ?n+W?=- Kn+i (?) ?я+1,
так что
©о
J^(?)w?=[-^(?)?]0”.
О
Верхний предел этого выражения равен нулю, а нижний —
единице, следовательно,
©о
Jk0(?)W? = i.	(Н)
Подставляя значение интеграла по формуле (11) в условие (9),
получаем постоянную интегрирования
л____
2кС2 »
после подстановки которой в уравнение (8) находим
•—&*!«>•	С 2)
Трансцендентная функция /Со -при % = $s = 0 равна бесконеч-
ности, а при х = £s = со равна нулю, т. е. имеет те же самые крае-
вые значения, что и осадочная поверхность Буссинеска в теории
упругого полупространства. Существенная разница заключается
в том, что по теории упругого полупространства затухание оса-
док происходит несравненно медленнее, чем по уравнению (12).
Иначе говоря, в модели упругого полупространства распределяю-
щая способность такого материала, как естественный малосвяз-
ный грунт, сильно преувеличивается. Законы распределения
осадок по закону Буссинеска и по закону цилиндрической функ-
ции /Со для s — 0,5 и s — 1 изображены на рис. 12 L
1 При построении кривых принято
1—^2
W ---—- 1 И
дг---- = 1,
2лС2
так как величина 'множителей при N не влияет на длину зоны распределения
нагрузки.
15
Фактическая длина распределения нагрузки еще меньше \ так
как для большинства грунтов величина
доводимому, значительно меньше единицы.
Рис- 12. Распределение осадок
7—по гиперболе Буссинеска; 2— по закону функции Ко
при различных значениях 5
Рассматривая формулу (12) как уравнение поверхности влия-
ния для осадок, можно получить максимальную осадку w0, возни-
кающую при нагрузке р, равномерно распределенной по площади
круга радиусом г (рис. 13):
?.о	~
= ScZП Кй = -S? [ J -
0 0	'о
©о
-j'/CofW];	(13)
р
Со
или по формулам (10) и (11)
^ = -^[1-^0,
1 Строго математически длина распределения при любой величине s <J 1
всегда бесконечно велика. Однако затухание осадок происходит настолько
быстро, что практически длину зоны распределения нагрузки можно всегда
рассматривать как конечную, весьма небольшой «протяженности.
16
Рис. 13
где	.
О
Например, при г = 0,5 м
и C2/G = V4.
гл г	ъ	0,5	1
s 0,5, Cq	0 5 ' *
и
^0==-^ [1-1-0,61 =
=°’4-fr
т. е. на 60% меньше, чем по
теории Винклера.
ГЛАВА II
РАСЧЕТ ЖЕСТКИХ ФУНДАМЕНТОВ.
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТОВ
ПОСТЕЛИ Ci и С2
1. КРУГЛЫЕ ФУНДАМЕНТЫ
Рассмотрим имеющий для дальнейшего большое значение
жесткий круглый фундамент-штамп, находящийся под действием
вертикальной нагрузки N, приложенной-с эксцентриситетом и
вызывающей в грунте под штампом только сжимающие напряже-
ния (рис. 14). Учитывая, что грунт согласно' .предположению счи-
тается линейно' дефор-мируемым, можно, внецентренную нагрузку
N заменить центральной нагрузкой N и моментом М = e0N и каж-
дый из этих -случаев нагружения рассматривать отдельно. Как
показано ниже, эти две задачи решаются строго при помощи
цилиндрических функций второго рода мнимого аргумента с нуле-
вым и единичным индексами. Таким образом, при заданных коэф-
фициентах постели С] и С2 можно определить расчетом ожидае-
мую осадку w0 в центре штампа и его угол поворота % или, на-
оборот, что особо существенно, по измеренным краевым деформа-
циям грунта под жестким штампом вычислить Ci и С2.
а)	Осевая нагрузка N
постоянна и равняется
При действии осевой нагрузки (рис. 15) все точки грунта под
жестким штампом оседают на одну и ту же величину wQ. При этом
интенсивность отпора грунта под штампом вследствие отсутствия
„ / dw d2w
скалывающих усилии	=
°гр = С!^0-
17
{реп л:
2-282
Рис. 15
Общий вид уравнения меридиана осадочной поверхности вра-
щения -за пределами штампа должен быть, очевидно, тот же са-
мый, что и в случае одной сосредоточенной силы, расположенной
непосредственно на грунте в центре штампа, иначе говоря, урав-
нение (8) сохраняет -силу.
Постоянная интегрирования в этом случае определяется из
условия:
= АКй ($0),
где —и г — радиус штампа.
•S
Следовательно:
л.-
/<о(ео)
и
®.' = дао^Ж.	(14)
Ло (£о)
Полная, величина отпора грунта, уравновешивающая нагруз-
ку N складывается из двух частей:
да Л'шт — отпор грунта под штампом, а — отпор грунта
лунки за пределами штампа.
Первое слагаемое, определяется формулой
А/’шт =	U5)
Величина N„ может быть вычислена как Сгкратный объем
осадочной лунки за пределами штампа. Это видно из дифферен-
циального уравнения (7), если его проинтегрировать по окруж-
ности и но радиусу-вектору:
18
о So
-fa,-s!c>T>-	<16>
Следовательно:
N = Л^шт + Кл = ^w0C1 Гг2 + 2s2
- rr~ni с2Г' Ге 2 1 2^1 (go) go
-Tt^oS G % +
Ад (go) Sol
Mo) J
(17)
Величины Ко и К\ при известных С(, С2, s = у и g0 = у
могут быть ’получены по таблице приложения. После этого по
уравнению (17) вычисляются осадка Wo штампа и напряжение
грунта под штампом
%=C1w0<-^-.	(17а)
б)	Нагрузка изгибающим моментом М
При действии изгибающего момента в плоскости одного из
меридианов штампа осадочная лунка под штампом образует два
конгруентных полуцилиадрических клина, а за пределами штам-
па— две конгруентные криволинейные поверхности, расположен-
ные обратно симметрично по отношению к нейтральной оси. Внеш-
ний момент М уравновешивается суммой двух моментов, обра-
зуемых напряжениями в грунте под штампом и срезывающими
усилиями в грунте по периметру штампа (рис. 16):
ж-ЯЛД.
Первый момент по элементарной теории изгиба равен:
=	(18)
где а0 — упругий угол поворота штампа.
Второй момент может быть вычислен как эквивалентный ем)
момент двух Cj-кратных полуобъемов осадочной лунки вн(
штампа, образующих пару.
В данном случае уравнение поверхности лунки также может
быть точно получено в полярных координатах, несмотря на то, что
лунка уже не является поверхностью вращения, так как скалы-
вающие напряжения в грунте появляются не только в кольцевых,
но и в меридиональных сечениях грунта.
Для получения уравнения поверхности лунки необходимо исхо-
дить из общего дифференциального уравнения осадочной поверх-
2*
19
кости в полярных координатах в частных производных по фор-
муле (6).:
д2ж .1 dw . 1 d2w	Л
&2 + г ’ as +	~w ” °»
где S = — .
О
Рис. 16
Если угол ср отсчитывать от (нейтральной оси, то переменная
краевая упругая осадка грунта по периметру штампа
'a7KP = ra0Sin'f-	(19)
Поэтому решение дифференциального уравнения (6) следует
искать в виде
w = о sin <р,	(20)
и оно сокращается в дифференциальное уравнение второго
порядка в обыкновенных производных
+4')<г'==0’	(21)
т. е. дифференциальное, уравнение Бесселя мнимого аргумента z;
с индексом 1.
Решение .этого уравнения также имеет вид затухающей цилин-
дрической функции второго рода:
г’ = Га°Ое)-	(22)
Следовательно, точное уравнение осадочной поверхности вне
штампа в полярных координатах при действии на штамп изгибаю-
щего момента М имеет вид:
®==±ra«^sin?’
(23)
где © изменяется от 0 до
Теперь момент поперечных сил, возникающих в грунте по пери-
метру штампа, можно записать в виде двойного интеграла, пред-
ставляющего собой статический момент двух Ci-кратных полу-
объемов обратно симметричной осадочной лунки вне штампа отно-
сительно нейтральной оси:
/Ил = 2С\ J J wx1 sin vdxdф =
О г
Л со
-2^)~ J J (?) х2 sin2 ^dx=
О г
=J К' <‘> ™ - 'м'Йг I - к> (£)р с -
So
= 7ura0s3C1 .	(24)
Следовательно,
ж=/ишт + л1л=^к +
Величины Ki и ^2 при известных
(U
могут быть получены по таблице, приведенной в приложении.
После этого по уравнению (25) можно определить угол поворота
штампа и максимальное краевое напряжение грунта.
°гр = /'аоС1
М	4М
IV	W3 •
Уравнения (17) и (25) дают возможность решить и обратную
задачу: по измеренной осевой осадке и углу поворота штампа
вследствие действия нагрузки N, приложенной к нему с эксцентри-
ситетом е0, определить для разных грунтов коэффициенты постели
С] и С %.
21
Действительно, если уравнение (25) разделить на уравнение
(17) и учесть, что
„„	_	+ W> v, ~ ___ К>2 — W1
*•^0	2	И 0Cq	2^.	>
где к/2 и rsj — краевые осадки штампа (рис 14), то после преоб-
разования получим следующее уравнение:
0.25.-МЫ. .
е0 Wz-JrWi __—/(? )	(96)
1	 е<Ло(ад
Это уравнение, трансцендентное относительно' Ел, решается для
каждой пары измеренных краевых осадок w2, u>i штампа, возни-
кающих в результате приложения к нему нагрузки /7 с эксцентри-
ситетом ап. Значения можно получить непосредственно при
помощи таблицы приложения, в которой приведены значения/) £0)
или при помощи графика, приведенного на рис. 17._____
’-г	f. Г	Г Г Со
После определения ч=—получаем s=—=|/ -~и из урав-
нения (17) или (25) находим а затем C2 = C1s2.
Опыты для определения величин С\ и С2 должны быть постав-
лены для разных видов грунтов в широких масштабах в лабора-
торных. я главным образом в полевых условиях. При испытании
необходимо загружать серии жестких штампов разных диаметров
{d = 50 -‘-250 см), варьируя эксцентриситет и величину нагрузки.
Если статистическая обработка результатов опытных нагружений
выявит достаточную устойчивость коэффициентов Q и С2 для
грунтов разных видов, то это будет самой надежной проверкой
предлагаемой теории. Раздельное определение коэффициентов С\
и С2 чисто экспериментальным путем едва ли возможно. Так же
трудно заранее предугадать численные значения этих коэффи-
циентов, так как нельзя, но нашему мнению переносить на есте-
ственные и особенно малосвязные грунты обычные представления
теории упругости твердого изотропного тела. Имея для разных
видов грунтов коэффициенты Сх и С2, можно -составить и решить
с достаточной для практических целей точностью дифференциаль-
ные уравнения, получаемые.при расчете жестких и гибких фунда-
ментов, встречающихся в проектной практике.
2.	КОЛЬЦЕВЫЕ ФУНДАМЕНТЫ
Жесткие кольцевые фундаменты (рис. 18) довольно часто
встречаются в сооружениях башенного типа (градирни, водона-
порные башни, дымовые трубы и т. д.).
Постоянная и полезная вертикальная нагрузка, действующая
на такие фундаменты, обычно располагается симметрично и при-
водится к равнодействую-
щей N, совпадающей с
.вертикальной осью фунда-
мента.
Кольцевой фундамент
должен быть рассчитан на
эту нагрузку N и, кроме
того, на внешний момент
М, возникающий обыкно-
венно от действия ветра.
Для определения осад-
ки wQ от N и угла поворо-
та % от М и соответствую-
щих напряжений в грунте
необходимо в данном слу-
чае пользоваться не толь-
ко затухающими, но и
возрастающими с увеличе-
нием радиуса вектора ре-
шениями дифференциаль-
ного уравнения Бесселя.
Очевидно, что участие
грунта в восприятии внеш-
них нагрузок N и М за
пределами внешнего круга
/ t \	^*2 \
выражается
Рис. 18
23
только через функции Ко, Ki и К2, затухающие с -нарастанием
радиуса-вектора, т. е. необходимо использовать формулы (16) и
(24). И, наоборот, внутри фундамента ( В <) напряжения
в грунте затухают по направлению к центру и для этой области
необходимо пользоваться решениями первого рода 10, Ц, 12 (функ-
ции, возрастающие с увеличением радиуса-вектора).
Аналогично формулам (16) и (24) решение для внутренней
области можно написать непосредственно, заменяя функции вто-
рою рода соответствующими функциями I первого рода:
^ = 2^^;	(27)
М/ = Jzr1a0s3Cl ,
где.	(28)
равнение (17) преобразуется к виду:
N ~	| (г2 -	+ 2s’-
равнение (17а) —к ваду:
а
о —
С0 Л
рГ < °0’
(29)
(30)
где — напряжение в гручте, подсчитанное без учета
пределами фундамента, и
2s*	ГД^)^
Т* 9 о
грунта за
Р1
4 (51)
к\ (е2> е21
Ко(е2)
отпора
(31)
Уравнение (25)
приводится к уравнению:
М — ка0Сг
.4	4
2	Г1
4
s3
£2 ^2 (Ез)
Л (£1)


г4 г4
, Г2 — Г1
1 л Рг,
4
из которого получаем угол поворота %, после чего краевые на-
пряжения в грунте от изгиба определяются по формуле:
з -j- aor2Ci.
24
При расчете кольцевых фундаментов отпор грунта за преде-
лами фундамента сказывается особенно сильно, как это видно из
следующего примера:
г г = 4 м- г2 = 5 ж; -£л=0,25; s = 0,5; ^ = 8;	= 10.
Пользуясь таблицей приложения, получаем по формуле (31):
2 /8-400	10-1,865 \ _ J ,
р1 ~ 1 + 4-9 427,6 + 1,778 J ~ 1 '
+	(7,49+ 10,5) ^2,
т. е. напряжение в грунте от осевой нагрузки уменьшается в дан-
ном случае почти в 2 раза. Такое же уменьшение краевых напря-
жений наблюдается в случае действия изгибающего момента, так
как по формуле (32)
1
8
р2 = 1 Ч j----------------
-4-(625 —256)
/4-64-327	5-100-2,151 \	2
400	+	1,86
3.	ПРЯМОУГОЛЬНЫЕ ФУНДАМЕНТЫ
Для определения равномерной упругой осадки w0 и равномер-
ного давления на грунт под фундаментом а =	< ~р~ от
осевой нагрузки в нашем распоряжении имеется дифференциаль-
ное уравнение (4) меридиана осадочной лунки за пределами фун-
дамента:
£)2w — w — 0,
где w ==/(£, т))Д =
и условие равновесия
В данном случае, как и при решении уравнения осадочной по-
верхности от единичного загружения, задача решается проще и
точнее (чем каким-либо другим способом) численным способом
сетки.
Рассмотрим дв<а случая: 1) фундаменты расположены на таком
•большом взаимном расстоянии, что напряжения под ними не на-
кладываются, и 2) фундаменты сближены и при определении
напряжений необходимо учитывать влияние соседних фунда-
ментов.
Случай 1. Краевые условия для случая 1 (рис. 19) следующие:
в точках сетки, расположенных по контуру фундамента, w — wQ—
— const, а в бесконечности w = 0.
25
Рис. 19
Вследствие весьма быстрого затухания осадок можно ограни-
читься составлением систем пятичленных симметричных уравне-
ний для узлов сетки, удаленных от оси фундамента на 3 —4 клетки.
Для случая, изображенного на рис. 19, при стороне квадрат-
ного фундамента, равной удвоенной ширине клетки, получим си-
стему двенадцати пятичленных уравнений, приведенную в табл. 2.
Для сохранения симметрии .матрицы уравнений относительно
главной диагонали необходимо уравнения для точек, лежащих на
осях симметрии А, Б и В, делить на 2.
После определения упругих осадок xv.. х12 для точек сетки
14-12 при = 1 напряжение в грунте под фундаментом находим
из условия равновесия нагрузки N и отпора грунта:
-g— —	р,	(о2)
откуда	о =	,	(33)
гд£ р — 1	и Ол — объем восьмой части лунки вне фун-
дамедаа, который можно высчитать как сумму объемов косо отсе-
ченных трехгранных призм с основанием cAlz, перпендикулярным
и .ребрам, т. е.
р 1 -ф 4/з" 1 -ф ‘-4 -ф «2 -ф 4/з*з ~Ь 2 (х4 -ф хБ) ф Зх6 ф Х7 ф
Ф 2'Xg -ф Зх9 Х1о фЗхП ~ф VjX12 .	(34)
26
Таблица 2
Уравнение	(1)	(2)	(3)	0)	(5)	(6)	(7)	(8)	(9)	(10)	(11)	(12)	Грузовые члены от
(1)	2 + 0.5Х3	-0,5		— 1									-0,5
(2)		2 + 0,5Х2	— 0,5		— 1								0
(3)			1.5 + 0.5Х2			-1							0
(4)				4 + Х2	-1		— 1						-1
(5)					4 + Х2	-1		-1					0
(6)						з + ха			-1				0
(7)							2 + 0,5Х’	-1					0
(8)								4+Х3	-1	-1			0
(9)									з + хз		-1		0
(10)										2+0.5Х2	-1		0
(П)											3-1-Х2	-1	0
(12)					1	1		|		1 1 »	1	1 + 0.5Х3	1 0
Случай 2. Одинаковые квадратные фундаменты -шириной 2 а,
с одинаковыми осевыми нагрузками N расположены на одинако-
вых расстояниях 6 а друг от друга в главных направлениях х и у
(рис. 20).
Учитывая симметрию осадочной лунки относительно осей, по-
казанных на рис. 20, получаем при сетке из 36 квадратных клеток
систему из семи симметричных пятичленных уравнений (табл. 3).
В целях сохранения симметрии матрицы уравнений относи-
тельно главной диагонали, необходимой для решения их при по-
мощи сокращенного логарифма Гаусса, следует уравнения для
точек 4S 5, 6, лежащих на осях -симметрии А, Б, В, делить на 2,
уравнение для точки 2, лежащей на пересечении осей Л и В, на
4. а уравнение для точки 7, лежащей на пересечении четырех осей
симметрии Б, В, Г и Д, — на 8.
После отыскания решений	этих уравнений от о>о=1
напряжения в грунте вод фундаментом определяются из уравне-
ния:
N
°” *2Р 9
где Ь — 2а и
р = I + 4/з * 1 + 7з (х2 "Ь у1) 4~ xi + 2х3 х4 4~ у-5 + Х6-	(35)
При этом часть нагрузки N, которая воспринимается срезы-
вающими усилиями по периметру фундамента, определяется как
Рис. 20
С^кратный объем осадочной лунки за пределами фундамента,
который складывается из объемов трехгранных косо отсеченных
№
призм с площадью основания .
Таким же образом можно определить угол поворота и напря-
жения под подошвой фундамента при действии на него изгибаю-
щего момента, расположенного в вертикальной плоскости.
Таблица 3
Уравнение	(1)	(2)	(3)	(4)	(5)	(6)	(7)	Грузовые члены от wc—1
О)	’*4	-0,5	— 1					— 0,5
(2)		1 • х’		-0,5				0
(3)			4 + X»	— 1	-1			0
(4)				„ Xs 2+ —		-0,5		0
(5)					„ Xs 2+—	-1		0
(6)						„ X2 2+ —	-0,5	0
(7)						•	0,5 4--^- О	0
ГЛАВА IJI
РАСЧЕТ ГИБКИХ ФУНДАМЕНТНЫХ ПЛИТ И ЛЕНТОЧНЫХ
ФУНДАМЕНТОВ НА ТРЕХМЕРНОМ УПРУГОМ ОСНОВАНИИ
1.	ПРЯМОУГОЛЬНЫЕ плиты
Дифференциальное уравнение для гибкой плиты, лежащей на
упругом основании, можно составить непосредственно как условие
совместного равновесия (при проектировании усилий на верти-
каль) элементарного столбика грунта с размерами сечения
dx = dy —Л, лежащего на -нем элемента плиты тех же размеров
в плане (рис. 21) и действующей на элемент плиты внешней
нагрузки р.
Для этого к уравнению (4), выражающему равновесие усилий,
действующих на элементарный столбик грунта, необходимо приба-
вить упругую вертикальную силу, направленную снизу вверх, воз-
29
кивающую вследствие изгиба и кручения элемента плиты, имею-
щую размерность в kzJcm2 или т/м2, и величину
EJ .
Г=^г- V
£,з
о — толщина плиты;
V* — бигармонический дифференциальный оператор:
4 __ X 2д*	-4- 64
dxi ‘ дх2ду* ду* *
Рис. 21
В результате, без каких-либо дополнительных выводов, полу-
чаем искомое дифференциальное уравнение в виде:
+ С^=р.
(36)
После деления на Ct и введения понятия первой линейной ха-
рактеристики
4 Г 4EJ 4 Г 4EJ
Si~y (i-v^G -у ct ’
(37)
наряду с ранее введенным понятием второй линейной характери-
стики 1
получаем
~~ \>4w — $|?2 *та 4- w =	.	(38)
ТГ	С J
При постоянной цилиндрической жесткости плиты УД°б-
EJ
нее оперировать не с абсолютными, а с -кратными проги-
бами. В этом случае, сохраняя условно прежнее обозначение w,
получаем в окончательном виде:
si
— V4w “	4- w = —p.	(39)
Это уравнение может быть решено для случая прямоугольных
плит при помощи двойных тригонометрических рядов, одинарных
гиперболо-тригонометрических рядов или приближенно вариа-
ционными или численными методами, например, при помощи три-
надцатичленных симметричных разностных уравнений по типу
использованных выше пятичленных уравнений.
2.	КРУГЛЫЕ И КОЛЬЦЕВЫЕ ПЛИТЫ
Круглые и кольцевые плиты встречаются в днищах круглых
резервуаров, в фундаментах водонапорных башен, дымовых труб
и тому подобных сооружений.
Преобразуя уравнение (39) в полярные координаты и учиты-
d2w
вая, что = 0, получаем непосредственно для меридиана оса-
дочной упругой поверхности плиты -следующее обыкновенное диф-
ференциальное уравнение четвертого порядка:
л	И
-^-О2£)2та —slD^w + та = ~т~Р,
4	2	1	4 * ’
(40)
где
гу?	d2w .	1 dw
Difw —	4------ -т—
dx2 1 х dx -
1 При рассмотрении непосредственного нагружения грунта появляется
только одна характеристика s =	; в плитах и балках на упругом осно-
4 Г 4EJ
вании появляется еще другая характеристика т/ , которую вследствие
г Сд
ее большей значимости в дифференциальных уравнениях мы назвали первой
характеристикой Si; при этом характеристику s называем второй и обозна-
чаем через s2.
31
Уравнения (39) и (40) отличаются от дифференциальных
уравнений таких же плит при расчете по Винклеру наличием
в однородном‘Уравнении среднего члена.
3.	ЛЕНТОЧНЫЕ ФУНДАМЕНТЫ ПРИ ПРОИЗВОЛЬНОЙ НАГРУЗКЕ
Точный расчет ленточных фундаментов, лежащих на трехмер-
ном основании, работающем по схеме упругого полупространства
и г,о предлагаемой схеме, невозможен или во всяком случае свя-
зан с весьма большими трудностями. Все существующие прибли-
женные методы приводят двухмерную задачу к одномерной, по-
скольку изгиб ленты в продольном направлении рассматривается
независимо от изгиба ее ь поперечном направлении. Так были,
изгфимер, рассчитаны коробчатые фундаменты высотных зданий
Москвы.
При этом одни сторонники модели упругого полупространства
(М. И. Горбунов-Посадов) принимают распределение отпора
грунта з поперечном направлении как для недеформируемого
штампа, т. е. с бесконечно большими пиками по краям; другие
(Б. Н. /Кемочкин) считают отпор равномерно распределен-
ным в поперечном направлении. То и другое допущение не отве-
чает действительности, так как железобетонные ленты обыкно-
венно проектируются с тавровым поперечным сечением, имеющим
более или менее гибкие свесы (рис. 22).
Ленты фактически являются ортотропными конструкциями на
упругом основании, так как в продольном и поперечном направ-
Рис. 22
лениях жесткость их различна, а кроме того, в поперечном на-
правлении жесткость изменяется даже скачкообразно.
Для приближенного расчета ленты, лежащей на упругом осно-
вании с двумя коэффициентами постели Сг и С2, примем также
приближенно, что лента в поперечном направлении не деформи-
руема, т. е. будем считать отпор -грунта под лентой распределен-
ным в этом направлении равномерно. Вместе с тем из принятой
модели следует, что грунт передает на ленту не только у торцов,
но и по продольным бортам по всей ее длине поперечные силы
переменной интенсивности. При этом точное определение продоль-
ных бортовых срезывающих сил Т на 11 пог. м возможно только,
если ленту рассчитывать как ортотропную плиту на упругом
основании.
Если приближенно принять, что очертание осадочной лунки в
поперечном направлении зависит только от у и подчиняется за-
кинув
У х Яо(Чо) ’
(41)
у	ь
где -п=~;	= —
02	eg
и ^—осадка ленты переменная вдоль
оси х, но постоянная в поперечном направлении, то тогда по-
перечная сила
г—ричм» (42>
Теперь дифференциальное уравнение изгиба ленты можно со-
ставить как обыкновенное дифференциальное уравнение четвер-
того порядка, выражающее условие равновесия (при проектиро-
вании усилий на вертикаль) элемента ленты длиной dx = 1 и
шириной 26:
EJ^w - 26С2#'+
J Ко (Г,) dTt
________
При введении обозначений
+ 26C,lf+^
v — p.	(43)
J.0____________
26 Ко(тю) ~a> 260	4 ’
= 4	(43a)
уравнение преобразуется к виду :
4
Р
Г ®,v - s2^" + v = 260" •
J- 282
Удобнее ввести в расчет £/л-кратные осадки;, обозначая
EJxv w, имеем окончательно:
— s%w" + w = р,	(44)
т. е. то же самое дифференциальное уравнение, как и для балки
на сплошном двухмерном упруго оседающем и упруго вращаю-
щемся основании, выведенное автором в 1937 г.
Длинные и короткие ленты, лежащие на таком основании, под-
робно рассмотрены в работах автора1 и Л. И. Манвелова.
то
14з значений для J ’ 'Приведенных в таблице при-
Чо
ложения, гвидно, что эта величина с нарастанием приближается
к единице. Поэтому коэффициент, учитывающий приближенно
пространственную работу грунта
v _ I . s f
1 2b J /С0(чо) ’
Чо
можно заменить более простым
*=1+^Г-	(45а)
В следующей главе- будет показано, что этот более простой
коэффициент отвечает характеру работы грунта в поперечном
направлении ленты в условиях двухмерной задачи.
ГЛАВА IV
РАСЧЕТ ЖЕСТКИХ И ГИБКИХ ЛЕНТОЧНЫХ
ФУНДАМЕНТОВ НА ДВУХМЕРНОМ
УПРУГОМ ОСНОВАНИИ
Б качестве двухмерного основания для балок, поясов -и т. п.
могут служить каменные, бетонные или деревянные стены; длин-
ные подпорные стенки, «плотины и тому подобные конструкции, на-
ходящиеся под действием бокового давления земли или воды и
собственного веса, тоже можно рассматривать как конструкции
на двухмерном упругом основании. Жесткие -и гибкие балки на та-
ком основании также можно рассчитывать, принимая два коэф-
фициента постели Ci и С2.
! Сборник трудов Московского инженерно-строительного института
нм. В. В. Куйбышева, № 4, Стройиздат, 1940.
34
1.	ЗАКОН ДЕФОРМАЦИИ ГОРИЗОНТАЛЬНОЙ ПОВЕРХНОСТИ
ДВУХМЕРНОГО ОСНОВАНИЯ ПРИ СОСРЕДОТОЧЕННОЙ НАГРУЗКЕ
Из схемы рис. 23 видно, что дифференциальное уравнение (7)
для этого случая упрощается и приводится к виду:
w" — w — 0,	(46)
где	^’=/(?); £=-у-; s =
Затухающее решение этого уравнения будет
w — Ае~1.	(46а)
Постоянная интегрирования А определяется опять из условия,
что С|-кратный объем лунки должен равняться сосредоточенной
нагрузке N:
со	ею
N = 2АСг b J е~Чх = 2ACxsb J = 2A C^b,	(47)
о	о
откуда
м
A - аьс-, 	<47’)
Подставляя А в уравнение (46a), получаем уравнение осадок:
<48’
Линия влияния упругих осадок образуется из двух кривых
для N—1, представленных уравнением (48), симметрично рас-
положенных относительно вертикальной оси л = 5 = 0. Следует
особо отметить, что осадка двухмерного упругого основания при-
нимает под нагрузкой W конечное значение
Максимальная осадка участка двухмерного основания шири-
ной b — 1 и длиной 2а при равномерном нагружении его полу-
чается равной
з«
35
Л‘.	Со
w0 = -%-	f e~W- =	(1 - е-Ъ),	(49)
где <0	— в
С 1
Например, при а = 0,5 м и = характеристика s —
и ь осадка уменьшается по сравнению с осад
кой при расчете по Винклеру на ЮОе”1 — 36%.
2.	ЖЕСТКАЯ БАЛКА ПОД ДЕЙСТВИЕМ ЭКСЦЕНТРИЧНО
ПРИЛОЖЕННОЙ НАГРУЗКИ
Общая схема балки приведена на рис. 24. Будем рассматривать
раздельно действие осевой нагрузки N и момента М =. ei}N. Для
первого случая (рис, 25), приравнивая величину N сумме отпоров
грунта под балкой и за ее пределами, при величине заштрихован-
ной площади вертикального сечения односторонней призматиче-
ской лунки.
ео	оо
F = J e~^dx = wos [ e~zd£ = wos,
о	6
получаем
N = 2w0C36 (a + s).	(50)
Для составления условия равновесия между внешним момен-
том М и моментами отпора грунта под балкой и за ее пределами
(рис. 26) имеем:
*4^;
(°1/
Мл — 2Cla0abs (а + s),
так что
М = N$q = ЯС^аЬ 4- s (я 4- s) j .	(52)
При составлении этого уравнения надо иметь в виду, что мо-
мент срезывающих усилий, развиваемых грунтом по торцам жест-
кой балки, равен моменту Сркратных объемов осадочной лунки
за пределами балки и что центр тяжести этих объемов находится
на расстояниях
s’ f e~4d^
Хо = ---°—-------- $	(53)
s J
о
от торцов балки.
36
При заданных значениях С\ и
С2 и известном s можно на ос-
новании формул (50) и (52) оп-
ределить краевые напряжения
или осадки грунта по формуле:
01,2 =	± аоаС! =
7V
s
+ и
Рис- 24
ggN
3s (а ч- s)
a2
(54)
где F и W —’ площадь и момент
сопротивления прямоугольной
площади подошвы основания.
Вместе с тем формулы (50) и (52)
служат и для экспериментального
определения коэффициентов пос-
тели С} и С2 двухмерного осно-
вания.
Деля уравнение (52) на урав-
нение (50), получаем уравнение
второго порядка для определе-
ния s:
JL = eQ = а°
к 0
w0
Г «2
3
M=Ne.
из которого, обозначая
v W2-- Wl >
находим
s = е2 + 2ае —	а)
(55)
37
После этого из уравнения (50) находим
3.	ГИБКИЕ БАЛКИ
Имея коэффициенты постели С\ и С2, можно непосредственно
написать дифференциальное уравнение для прогиба v балки как
условие равновесия ее элемента шириной b и длиной dx — 1 сов-
местно с подстилающим столбиком грунта:
Ыб^ — bC2v" + ЬС^ = р**.	(57)
Вводя обозначения:
4
Г' г	С) С2
Ej6v — w; -j- — -щ- и s2 —	,
где .$j и s2 —* первая и вторая линейные характеристики балки на
упругом основании, получаем
s4	S4
-Л- z&w —	4- w = р ~ **	(58)
Общее решение уравнения (58) можно написать в виде:
w — Ахе~~ъ cos ф2 + Ate~f‘ sin <р2 + A3ef‘ cos <р2, +
si
+ A 4ef‘ s in <p2 + — p,	(59)
где
=	?2=-^-P2;
-----------r--------------------- (60)
Полученное решение действительно только при s2<Csb что в
большинстве случаев и имеет место. Это же решение справедливо
без изменений и для уравнения (44), т. е. для приближенного
расчета балки, лежащей на трехмерном упругом основании. Раз-
’ Ci и С2 можно определить как и в случае трехмерного основания непо-
средственным измерением осадок и вычислением площади криволинейной
части лунки.
** Уравнения (57) и (58) можно написать и непосредственно, как частные
случаи уравнений (39) и (44).
38
ница только в том, что линейные характеристики Si и s2 имеют
несколько другой вид, чем в случае двухмерного упругого осно-
вания.
Как и при расчете балок по Винклеру, удобно и для балок
с двумя характеристиками ввести понятия длинных (бесконечно
длинных), коротких и жестких балок.
В длинных балках нагрузка должна располагаться не ближе,
чем на расстояниях
а =	~ 2,54-3,05!	(61)
от концов балки, а при концевой нагрузке длина балки должна
быть равна или 'больше указанной величины.
Жесткие балки и плиты, работающие в условиях трех- и двух-
мерного упругого основания, рассмотрены выше.
Решения для длинных балок находятся с достаточной для
практических целей точностью при помощи только двух первых
затухающих интегралов:
и A2w2,	(62)
где	== е-?1 cos <р2 и	sin
и следующих четырех уравнений («строк»):
w = —q = A1w1 + A2w2;
81
siw'	(pA “ PA) — (Р«Л1 + РИг)
5>‘' = -5?Ж=[(р2-р|)Л1-2р1р2А2]®1 + [2р1р2А1 +
+ (Pi — pD A]
4 s?	4 Г	1
4-q=^-(m'+o=4—=
= — (? A + Р2Л) ®1 + (p2^2 — pA) ®2-
В этих уравнениях w'y w" и w'"— производные EJ-кратного
прогиба по х, a q и t обозначают соответственно интенсивность
вертикальных давлений и срезывающих усилий, передаваемых на
грунт, отнесенную на всю ширину балки. Начало координат рас-
положено произвольно.
Последнее уравнение, при помощи которого определяется по-
перечная сила в произвольном сечении балки, выражает условие
моментного равновесия всех усилий, действующих на элемент
балки и грунта длиной dx = 1.
Рассмотрим наиболее характерные частные случаи.
39
а) Односторонняя краевая нагрузка Qo
Выбирая начало координат под нагрузкой, получаем краевые
условия для х — 0:
Л1 = 0 и Q = -Qo;
при ЭТОМ	$3
Подставляя эти значения постоянных интегрирования
решение (63), получаем
sj л
® = “ q = QQ
P1W2
Р2
б) Односторонний концевой момент
этом случае из краевых
условий Qo = 0; М — Мо находим
. уИ<>
1 +2(-?
1 +2(v“
(66)
2
2
40
и уравнение (63) имеет следующие решения:
s,
W = —? = +М,
(67)
в) Коэффициенты влияния краевой упругой деформации
(ЕЛкратные значения)
Выражения, выделенные в уравнениях (65) и (67) для w и
w' фигурными скобками дают следующие величины.
- 1) Краевой угол поворота от 7И0 = 1:
Pi________
«л =
(68а)
2) Краевой угол поворота от Qo = 1 или равную ему по вели-
чине краевую осадку от Ж = 1:
Sj	J
aI2 = tz21 = g-'	уТ" •	(686)
1 +2 НЧ
\ si )
3) Краевая осадка от Qo = 1:
5з
ак — ~2~ • Ч 2 •	(68в)
1+г(-5г1
Равенство значений а12 и а21, получаемых из уравнений (65)
и (67), служит проверкой правильности выведенных формул.
Для случая, когда C2 = S2 = 0, т. е. для длинной балки при
расчете по Винклеру
41
и коэффициенты влияния принимают весьма простые значения
tZjj = s*9 <Xj2=:=: ^2i ~ ~2 ’ ^22 === 2 ’	(68г)
ранее выведенные в работах автора.
Формулы (68) значительно упрощают расчет упруго заделан-
ных балок, а также рамных конструкций, лежащих на упругом
основании с одной и двумя характеристиками.
г)	Сосредоточенная нагрузка Qo = 1, действующая на длинную
балку на расстоянии от краев, превышающем 2,54-3si
Принимая начало координат под грузом, имеем
симметрии для л: = 0:
= к2 —	= 0; wt — 1; iso — 0.
Поперечная сила справа от груза
Q = —<^-
При этих краевых условиях
-±0. А -
8pi Vo, Л2~ 8р,
вследствие
4
1 -
и решение имеет вид:
•$1 Qo^l / UL
” = ~ ? = -8-
«-=4- «=--^
4j2	4
Г>- So rWi
W1 _______ U>2
Pl	?2
f о \ 9
w2
Pl Р2
(69)
2
I
д)	Изгибающий момент Af0, действующий на длинную балку,
на расстояниях от ее концов, превышающих 2,5—3 .$1
По условиям обратной симметрии и на основании закона
взаимности перемещений имеем для х — 0: w — 0 и М =4—
(непосредственно справа от точки приложения Л40).
Используя эти краевые условия, находим
s2
/ч = 0 и Д2= -v-i- Af0,
1	2 4pjp2 °’
42
и для правой половины балки решение принимает вид:
Определяемые формулами (69) и (70) эпюры прогибов w,
углов поворота w' и усилий М и Q являются линиями влияния
для Qo = 1 и Л10 =-1.
Из этих же формул получаем непосредственно коэффициенты
влияния упругой деформации балки для сечений, лежащих на
расстояниях от концов, превышающих 2,5 — 3sj:
^12 —а21=0 И «22=	•	(71)
При помощи уравнений (69) и (70) также легко убедиться,
что деформации и усилия от нагрузок, достаточно удаленных от
концов длинной балки, сравнительно мало отличаются от соответ-
ствующих величин, вычисленных при учете только первой харак-
теристики Si упругого основания.
Действительно’, упругая осадка ш и изгибающий момент в
сечении балки под грузом в -у раз меньше, чем при расчете по
Винклеру. Например, если-^- = 0,5 то — = -..-2__ ^0,9, т. е.
$1	Р у 1,25
разница не превышает 10%.
Другое дело, если длинная балка несет нагрузку на конце. На-
пример, из первого уравнения (65) видно, что краевая осадка
под грузом Qo при-учете s2 уменьшается в 1--------------— раз>
1+21-Г-"
\ 5> I
и при том же отношении -^-=0,5 разница составляет 25%.
Еще разительнее уменьшение максимального изгибающего мо-
мента.
На рис. 27 и 28 изображены эпюры q, t, М и Q для длинной
балки при действии сосредоточенной нагрузки на конце и в про-
межуточном сечении, при
0,5. Для сравнения показаны
также эпюры q, М и Q для случая s2 = 0, т. е. при расчете по
Винклеру.
43
с ?-----------------------------------------------------------1
777757777') ?птт ИЛП! и in iнт тггтиггптт ттитп
1 ill III I ШтГШтттгпдм»---
Рис. 27. Эпюры р, q, tt М и Q
для длинной балки; нагрузка
приложена к концу балки
s2: «1 — 0,5
7—эпюры для балки при расчете по
методу двух коэффициентов постели С, и
Са; 2—эпюры при расчете по Винклеру
^77777777777/7777777777777777777777777/ 777777У//7/77777777/7 777/77/// /// /.//У,
Рис. 28. Эпюры р, g, t, М, Q для длинной балки; нагрузка приложена
в среднем сечении; $2 • $1 = 0,5
/—эпюры для балки при расчете по методу двух коэффициентов постели Ct и Са;
2-эпюры при расчете по Винклеру
е)	Короткая и длинная балка при расположении нагрузок
на расстоянии от конца меньше чем 2,5 4-3si
Если на ленту действует группа нагрузок, то наиболее нагляд-
ным, простым и достаточно точным способом расчета является
метод компенсирующих нагрузок, предложенный для балки на
упругом основании по Винклеру впервые Клишевичем. Про-
должим ленту влево и вправо до бесконечности. При помощи
линий влияния для изгибающего момента М и поперечной
силы Q по формулам (69) и (70) определим графически или
аналитически усилия Мъ Qj и М2, Q2, возникающие в сечениях
бесконечно длинной балки, соответствующих концам заданной
ленты.
Кроме того, построим при помощи линий влияния эпюры де-
формаций и усилий в -бесконечно длинной балке на участке задан-
ной ленты.
Для того чтобы получить окончательные эпюры усилий
и деформаций для заданной ленты, например, эпюру из-
гибающих моментов, необходимо наложить на эпюру беско-
нечно длинной балки эпюры изгибающих моментов, возникаю-
щих в правых и левых полубесконечных балках от краевых на-
грузок — Afj, — Qi, —М2, —Q2, получаемых по уравнениям (65)
и (67).
Если длина заданной ленты больше 2,5 ~ 3sb т. е. если ком-
пенсирующие нагрузки, прикладываемые к одному из концов, не
влияют на другой, то на этом процесс определения окончательных
эпюр и заканчивается.
Если заданная лента короткая, то от —А4Ь —Qb приложенных
к левому концу, на правом конце появляются усилия Л12*, Q2*»
а от усилий —М2, —Q2, приложенных к правому концу, на левом
возникают соответственно усилия AG*, Qi*.
Возникновение новых усилий Af2*, Q2*, АЛ*, Ch* требует по-
вторения проделанной операции с переменой знака до тех пор,
пока усилиями, возникающими на другом конце, можно будет
вследствие их малости пренебречь.
Учитывая, что при расчете фундаментных лент не следует
предъявлять требований особо большой точности вследствие ус-
ловности самих предпосылок метода (например, коэффициентов
постели Сь С2 и т. д.) в большинстве случаев можно довольство-
ваться приложением только первой группы компенсирующих кра-
евых нагрузок. Компенсирующими нагрузками второго порядка
можно пренебрегать, если они по величине не превышают Чы
основных.
Точное решение для короткой балки с двумя характеристиками
может быть дано для любого расположения сосредоточенных и
распределенных нагрузок при помощи метода начальных пара-
метров.
45
ж) Короткая балка, симметрично нагруженная по концам
двумя разными сосредоточенными силами Qo или моментами 7И0
При симметричной -нагрузке удобно принять начало координат
в середине балки и пользоваться гиперболическими функциями.
Вводя обозначения
== ch ^cos^;
= sh cpj sin o>2;
^3 = sh cf»! cos cp2;
— ch cpj sin ©о/
получаем следующее общее решение:
•w —----А2 ra2;
4

(72)
si ®
SIC’"
>	2	Л XI А О	1.1/-	- х< *	•	• -
Qd’Q
= - SjM = Aj [(pi - pl) Wj - 2p)P2w2] +
4- A2 [(p? — pl) w2 + 2p1p2'ay)];
4
9
2
4s|
S1
-+- A2 (pfcc'4 — p,a.'3)-
Если ввести дополнительные обозначения
•> _ р4 . 1 ____ Рг^
Л1	, Л2------->
Si
где I — половина длины балки,
?i1 = chX1cosA2; ’
^2 —shXjsin Х2;
,y3==shX1 cos Х2;
^4 = ch Xj sin Х2
(73)
(74)
и
9
sin 2X
D = pjl + 2(—Y
то постоянные интегрирования определяются по следующим
мулам.
1} В случае загружения балки по концам равными силами Qo’-
л _n S1 (Pl- Pl) ^2 + 2₽! Р2 и1 .
Л1~Чо 2	D	’
фор-
45
Ai=„Qoi.jd^pibi. (?5)
2) В случае загружения балки по концам равными момен-
тами 7И0:
Д2 = ^1 Р^ + Р^.,	(76)
Подставляя значения постоянных интегрирования в уравнение
(73), получаем ЕД-кратные значения коэффициентов влияния
краевых упругих деформаций при симметричной нагрузке:
ch 2Лг — cos 2Л2
ai\ = 5i Pi Ра	’
2
S1 Р2 sh 2Xj — р! sin 2X2
ci2-°2i— 2	5	;
^22---
3
5i ch 27. 4- cos 2)2
— p< pQ ---------------------
2 ri	D
Если s2 = 0 и, следовательно, pj — p2 = 1, формулы (77) пре-
образуются в коэффициенты влияния краевых деформаций сим-
метрично нагруженной балки при расчете по Винклеру, выведен-
ные автором в .1926 г. в его «Статической теории балок и плит
на упругом основании» и получившие распространение как при
расчете фундаментов на упругом основании, так и при расчете
резервуаров, тонкостенных покрытий и пр.
ГЛАВА V
КРИТИЧЕСКИЙ ОБЗОР ЛИТЕРАТУРЫ
1.	Дифференциальное уравнение (58) для балки, лежащей на
двухмерном упругом основании, с двумя характеристиками и его
решение для разных случаев нагружения было впервые предло-
жено автором в 1937 г. в докладе на первой научно-исследова-
тельской конференции. МИСИ им. В. В. Куйбышева под названием
«Теория балки на сплошном упруго вращающемся и упруго осе-
дающем основании». Дальнейшее развитие этой теории, т. е. ис-
пользование метода начальных параметров для решения корот-
ких балок на -упругом основании с двумя характеристиками, ее
распространение на криволинейные балки (с тремя характери-
стиками), разработка таблиц для функций Wj 4-коэффициен-
тов влияния и т. п. в зависимости от величины параметра —-- ,
дано в упоминавшейся выше работе Л. И. Манвелова- под
47
названием: «Прямолинейные и круговые балки на сплошном
упруго оседающем и упруго вращающемся основании».
Указанные работы почти не получили отражения в последую-
щих трудах других (авторов по расчету балок на упругом осно-
вании \
Это объясняется, невидимому, тем, что в работах автора и
Л. И. Манвелова в качестве упругого основания рассматривалась
надземная железобетонная или металлическая конструкция, а не
естественный грунт.
Однако ясно, что упруго оседающее и упруго вращающееся
сплошное основание, предложенное автором раньше, тождест-
венно с моделью упругого основания, принятой >в настоящей ра-
боте, так как интенсивность т изгибающих моментов, передавае-
мых на грунт, пропорциональная первой производной упругой
осадки w, тождественна с интенсивностью t передаваемых на
грунт срезывающих усилий. Таким образом и получены исходные
положения предлагаемой новой теории балок и плит на двух- и
трехмерном естественном основании:
„	,	„ dw
arp = C.W И £гр = С2 — .
2.	После окончания настоящей работы мы с особым интересом
познакомились со- статьей М. М. Филоненко-Бородича «Простей-
шая модель упругого основания, способная распределить на-
грузку» 1 2. В этой работе рассматриваются только балки, лежащие
•на двухмерном упругом основании. В начале своей статьи, имею-
щей, несомненно, значение для истории развития теории балок на
упругом основании М. М. Филоненко-Бородич, не оста.Н1авлив1аясь
на допустимости модели упругой полуплоскости и упругого полу-
пространства для естественных и особенно малосвязных грунтов,
предлагает более простую в расчетном отношении модель, сохра-
няя вместе с тем обычный коэффициент постели. Для того чтобы в
условиях плоской задачи нагрузка распределялась и за предела-
ми нагруженного участка, модель грунта образуется из пружин,
соединенных в верхних концах при помощи нерастяжимой гори-
зонтально расположенной нити,* концы которой неподвижно за-
креплены вне основания.
При нагружении такой модели-кривая ее вертикальных про-
гибов имеет вид веревочной кривой, дифференциальное уравне-
ние которой может быть написано в виде2:
- Kv = Яс,	(78)
17'1 И. Горбунов-Посадов, Балки и .плиты на упругом основании;
3. К Куз недоев, Расчет балок, лежащих на упругом основании, и др.
2 МЭМЙИТ, Юбилейный сборник научно-исследовательских трудов
кафедр института за 1945 г.; обозначения приняты по цитируемой работе.
48
где U — постоянная горизонтальная проекция растягивающего
усилия нити,
К=СХ и q^ = p.
Это уравнение тождественно с приведенным выше дифферен-
циальным уравнением (4) поверхности упругой осадочной лунки
в условиях плоской задачи, если только горизонтальный распор Н
приравнять нашему второму коэффициенту постели С2.
Идею проф. Филоненко-Бородича можно расширить, распро-
странив модель и на трехмерное упругое основание, если нагру-
жение пружин производить через тонкую нерастяжимую мем-
брану или веревочную сетку, натянутую во всех направлениях
одинаковым горизонтальным распором Н.
Дифференциальное уравнение поверхности осадочной лунки
для этого случая можно написать в виде
H\2<v -- K<v = qb,	(79)
Приравнивая опять Н = С2, получаем уравнение (4).
Таким образом, для устранения недостатков, свойственных ги-
потезе Винклера, нет необходимости прибегать к столь искус-
ственной, хотя и оригинальной расчетной модели. Для учета рас-
пределяющих свойств грунта при расчете фундаментов гораздо
проще- и нагляднее учесть, кроме-сжимающих, еще-и реально
возникающие в грунте сдвигающие усилия, как
это сделано в настоящей работе.
3.	В. 3. Власов в «Строительной механике тонкостенных про-
странственных систем» 1 останавливается весьма кратко на про-
блеме расчета балки и плиты, лежащих на двух- и трехмерном
упругом основании. В. 3. Власов принимает упругое основание в
виде стенки или плиты, неподвижно закрепленных во всех на-
правлениях по их нижним граням, т. е. основание рассматривается
как однослойное, конечной высоты Ло (рис. 29).
Для составления дифференциальных уравнений прогибов ба-
лок и плит, лежащих на таком основании, В. 3. Власов исходит
из своего общего вариационного метода приведения трех- и двух-
мерных задач теории упругости к двух- и одномерным и из основ-
ных констант теории упругости (модуль упругости £0, коэффи-
циент Пуассона и модуль сдвига С?о= ——).
2(14- ^о)
Решая контактную задачу о взаимодействии фундамента и ос-
нования, В. 3. Власов оставляет в качестве неизвестной функции
одну только вертикальную осадку с. Получаемые в результате
дифференциальные уравнения для v должны поэтому являться
частными случаями наших более общих уравнений и могут быть
1 В. 3. Власов, Строительная механика тонкостенных пространственных
систем, Стройиздат, 1949, § 29.
4-282
49

-7

1.....................I	, л. . ..
7ГГ7777г777?////'27г772Х77>'//и7>’77/7
Рис. 29
как таковые получены проще и непосредственно, без общего ва-
риационного метода.
Первый коэффициент постели С\ получается как вертикальная
нагрузка столбика*.основания высотой Ло и сечением единичной
площади, вызывающая на поверхности грунта осадку v = 1. При
этом формулу для Ci можно написать непосредственно в виде об-
ратного значения упругих укорочений указанного столбика вслед-
ствие вертикального напряжения 04 = 1, с учетом влияния попе-
речных напряжений о2 = с3= 1 а именно:
а)	для двухмерного основания:
 — £°
1 ’
б)	для трехмерного основания:
___
й0(1-2^
(80)
Второй коэффициент постели С2 является интенсивностью
силы сдвига на поверхности основания вследствие единичного пе-
/	\ dv ,
рекс-са (угла поворота)--=1 для двухмерного основания или
dx
dv -
—1 для трехмерного основания.
дх
Перекос элементарного столбика на высоте у, считая от ниж-
неи неподвижной грани основания, по закону Гука равен
/г0 ‘
Соответствующее скалывающее напряжение
г у ~ £о ,у
0 hQ~2 (1 + v0) Ло ’
(81)
Как известно из сопротивления материалов, перекос от задан-
ной поперечной силы или, наоборот, поперечную силу, вызываю-
щую заданный перекос, можно вычислить, приравнивая внешнюю
50	'
работу (в данном случае работу сил сдвига С2 при единичном пе-
рекосе) внутренней работе скалывающих напряжений:
 1 _ £о [У2с1У _ £о.Ло
2’1~ 2(1+^)J Л2 — 6(l + v0)-
о 0
При этом формула (82) справедлива для двух- и трехмерного
однослойного основания.
Имея эти частные значения для G и С2, можно сразу написать
дифференциальное уравнение для балки, лежащей на однослой-
ном двухмерном основании.
р I ~.1V___£0 ^0 I	£0^	„	/оо\
6(1 +	Ло(1 —Л) V Р’
которое, как показано выше, можно представить в более удобной
для решения форме:
4	4
-yWv— s^iv" + w = -у- р,	(84)
где
w = E6J6v,
У-F О-
V
V2)
о/

ъ
s2 = O,41/zo-j/f^o.
Для случая плиты, лежащей на трехмерном однослойном ос-
(Новации, уравнение имеет вид:
12(1 — Я v 6(1 +
или в сокращенной форме:
4	4
о	S1
^4^ — s^2fw +	~
---------^=/7	(85)
(1-2>о2)Ло	и	к
где

^1 =
W—---------
12(1 — >2)
4 / £(1-2$ 4
,76]/ —
-°-4X,W
4. Н. Н. Леонтьев в своей работе «Приложение вариацион-
ного-метода В. 3. Власова к расчету фундаментов гидротехниче-
S2
4*
51
ских сооружений» приводит подробный вывод дифференциальных
уравнений балок и плит на однослойном двух- и трехмерном
основаниях, исходя по примеру. В. 3. Власова, из основных
положений теории упругости. Особо подробно в этой работе
разбираются решения длинных, коротких и жестких балок на
однослойном двухмерном основании, разработанные независимо'
от работ автора и Л. И. Манвелова. Кроме того, Н. Н. Леонтьев
сделал в своей работе попытку решить задачу расчета балки и
плиты, лежащих на двухслойном плоском и пространственном
основании при разной толщине слоев hb h2t модулях упругости
£-2 в коэффициентах Пуассона 'о и v2.
Однако общий вариационный метод оказался при этом прак-
тически мало пригодным: в первом случае получено дифференци-
альное уравнение шестого порядка, а во втором — даже диффе-
ренвиальнре уравнение в частных производных восьмого порядка.
Совершенно очевидно, что независимо от числа линейно де-
формируемых слоев при определении упругой линии балки или
упругой поверхности плиты всегда можно прийти, пользуясь двумя
коэффициентами постели С} и С2, к дифференциальным уравне-
ниям четвертого порядка такого же типа, как приведенные в на-
стоящей работе.
Действительно, для случая трехмерного двухслойного основа-
ния (рис. 30) формула для определения может быть непосред-
ственно записана в виде:
1
М	^2
(86)
Для случая двухмерного основания коэффициенты при vj и
равны единице.
Интенсивность С2 сдвигающей силы, вызывающей перекос
v', ~1 на поверхности грунта, получ'ается, как и прежде, из ус-
ловия равенства внешней работы сил С2 на перекосе v'i = 1 и
внутренней работы скалывающих напряжений:
i"1
^2 Г
2 (1 + v2)J
о
(87)
где х — переменная величина горизонтальных ординат в эпю-
ре вертикальных смещений и перекосов вследствие
== — 1 • В этой эпюре
<y2 = ^ = C1^(l-2vl)	(88)
или, подставляя Ct из формулы (86),
52
где
Рис. 30
®2 = ^ =
. 1-2^ А.
Ех 1 - 2'4 л2 ‘
(889
Производя интегрирование уравнения (87), получаем оконча-
тельно:

1 Г EJh
6(1 +Х)2	(1 +Vj)
^2^2 1
1 + vsJ
(3 _|_ 3Х + Х2) _|_
(89)
Имея Ci и С2, составляем непосредственно по уравнениям (36)
и (39) дифференциальное уравнение четвертого порядка для
плиты, лежащей на двухслойном основании.
Аналогичное уравнение для балки, лежащей на двухслойном
двухмерном основании, получается, если Сь С2 и р умножить на
ширину балки Ь, а в формуле (88) коэффициент при > принять
равным единице.
Следует обратить внимание на то, что Сх и С2 для случаев
одно- и многослойного основания имеют, как это и должно иметь
место, размерность соответственно кг/см? и кг/см.
Таким образом, выявлена связь между настоящей и прежними
работами автора и некоторыми работами других авторов по ана-
логичным вопросам. Нам мыслится, что во всех случаях, когда
упругим основанием является малосвязный естественный грунт,
следует всегда отдать предпочтение непосредственному экспери-
ментальному определению С} и С2 по методу, изложенному -в на-
стоящей работе.
Таблица функций $
ПРИЛОЖЕНИЕ
i 5 1			«	1		л©’	j			1	£ 1 e"
	Л®	ад)	Л©			ад	1 ла		
0,0	1,0000	оо	0,0000	ОО	0,0000	оо	ОО	0,0000	1,00000
0,2	1,0100	1,7527	0,1005	4.7760	0,0050	49,5124	1,8437	0,5841	0,81870
0,4	1,0404	1,1145	0,2040	2,1844	0,0203	12,0363	1,2986	0,6686	0,67030
0,6	1,0920	0,7775	0,3137	1,3028	0,0464	5,1203	1,0296	0,7188	0,54880
0,8	1,1665	0,5653	0,4329	0,8618	0,0844	2,7198	0,8719	0,7537	0,44933
1,0	1,2661	0,4210	0,5652	0.6019	0.1357	1.6248	0,7642	0,7800	0.36788
1,2	1,3937	0,3185	0,7147	0,4346	0,2026	1,0428	0,6870	0,8003	0,30119
1,4	1,5534	0,2437	0,8861	0,3208	0,2875	0,7020	0,6294	0,8165	0,24660
1,6	1,7500	0,1880	1,0848	0,2406	0,3940	0,4887	0,5845	0,8308	0,20190
1.8	1,9896	0,1459	1,3172	0,1826	0,5260	0,3488	0,5485	0,8428	0,16530
2,0	2,2796	0,11390	1,5906	0,13990	0,6890	0,25380	0,5193	0,8527	0,13534
2,2	2,6291	0,08927	1,9141	0,10790	0,8891	0,18740	0,4953	0,8616	0,11080
2,4	3,0493	0,07022	2,2981	0,08372	1,1342	0,13999	0,4747	0,8691	0,09072
2,6	3,5533	0,05540	2,7554	0.06528	1.4337	0,10560	0,4575	0,8761	0,07427
2.8	4,1573	0,04382	3,3011	0,05111	1,7994	0,08033	0,4420	0,8824	0,06081
3,0	4,8808	0,03474	3,9534	0,04016	2,2452	0,06151	0,4295	0,8869	0,04979
3,2	5,7472	0,02759	4,7343	0,03164	2,7883	0,04740	0,4183	0,8935	0,04076
3,4	6,7848	0,02196	5,6701	0,02500	3,4495	0,03666	0,4083	0,8975	0,03337
3,6	8,0277	0.01750	6,7927	0.01980	 4,2540	0,02850	0,3990	0,9112	0,02732
3,8	9,5169	0,01397	8,1404	0,01571	5,2325	0,02223	0,3911	0,9054	0,02237
4.0	11,3020	0,011160	9,7595	0012480	6,4222	0,017400	0,3839	0,9092	0,01832
4,2	13,4420	0,008927	11.7060	0,009938	7,8684	0,013660	0,3773	0.9126	0,01500
4,4	16,0100	0,007149	14,0460	0,007923	9,6258	0,010750	0,3713	0,9156	0,01228
4,6	19.0930	0,005730	16,8630	0,006325	11,7611	0,008480	0,3659	0,9185	0,01005
4,8	22,7940	0,004597	20,2530	0,005055	14,3550	0,006704	0,3610	0,9211	0,00823

Продолжение
с		ад)	ад	ад		ад	/Г.)		
5,0	27,2400	0,003691	24.336	0,004045	17,5056	0,005309	0,3563	0,9236	0,00674
5,2	32,5840	0,002966	29,254	0,003239	21,3319	0,004212	0,3522	0,9258	0,00586
5,4	39,0090	0,002385	35,184	0,002597	25,9784	0,003347	0,3483	0,9279	0,00452
5,6	46,7380	0,001918	42,328	0,002083	31,6203	0,002662	0,3446	0,9303	0,00370
5,8	56,0380	0,001544	50,946	0,001673	38,4704	0,002121	0,3411	0,9323	0,00303
6,0	67,2340	0,0012440	61,342	0,0013440	46,7871	0,001692	0,3381	0,9339	0,00248
6,2	80,7180	0.0010030	73.886	0,0010810	56,8820	0,001352	0,3352	0,9356	0,00203
6,4	96,9620	0,0008083	89,026	0,0008693	69,1410	0,001080	0,3318	0,9373	0,00166
6,6	116,5400	0,0006520	107,300	0,0007000	84,0280	0,000864	0,3298	0,9389	0,00136
6,8	140,1400	0,0005262	129,380	0,0005636	102,0900	0,000692	0,3273	0,9403	9,00111
7,0	168,5900	0,0004248	!	156,04	0,0004542	124,01	0,0005546	0,3252	0,9418	0,00091
7,2	202,9200	0,0003431	188,25	0,0003662	150,62	0,0004448	0,3231	0,9430	0,00075
7,4	244,3400	0,0002772	227,17	0,0002953	182,94	0,0003570	0,3210	0,9443	0,00061
7,6	!	294,3300	0,0002240	274,22	0,0002383	222,15	0,0002867	0,ЗЮ0	0,9457	0,00050
7,8	354,6800	0,0001811	331,10	0,0001924	269,79	0,0002304	0,3171	0,9469	0,00041
8,0	427,5600	0,00014650	399,87	0,00015540	327,59	0,00018530	0,3155	0,9477	0,00034
8,2	515,5900	0,00011850	483,05	0,00012550	397,77	0,00014910	0,3138	0,9489	0,00028
8,4	621,9400	0,00009588	583,66	0,00010140	482,97	0,00012000	0,3123	0,9500	0,00022
8,6	750,4600	0,00007761	705.38	0,00008200	586,39	0,00009668	0,3107	0,9510	0,00018
8,8	905,8000	0,00006283	8*2,66	0,00006631	711,99	0,00007790	0,3093	0,9520	0,00015
9,0	1093,6000	0,00005088	1 030,90	0,00005364	854,53	0,00006280	0,3079	0,9529	0,00012
9,2	1320,7000	0,00004121	1 246,70	0,00004340	1 049,70	0,00005064	0,3066	0,9539	0,00010
9,4	1595,3000	0,00003339	1 507,90	0,00003512	1 274,40	0,00004086	0,3054	0,9546	0,00008
9,6	1927,5000	0,00002706	1 824,10	0,00002843	1 547,50	0,00003298	0,3043	0,9554	0,00007
9,8	2329,4000	0,00002193	2 207,10	0,00002302	1 878,90	0,00002663	0,3031	0,9563	0,00006
10,0	2815,7000	0,00001778	2 671,0000	0,00001865	2 281,5000	0,00002151	0,3020	0,9570	0,00005
ОГЛАВЛЕНИЕ
Стр.
Введение ........................................... 3
Глава I. Новый закон деформаций и распределения нагру-
зок на горизонтальной поверхности однородных естест-
венных грунтов под нагрузкой..................... 8
Г л а в а II. Расчет жестких фундаментов. Экспериментальное
определение коэффициентов постели Сг и С2....... 17
1.	Круглые фундаменты............................ —
2.	Кольцевые фундаменты........................  23
3.	Прямоугольные фундаменты....................  25
Глава III. Расчет гибких фундаментных плит и ленточ-
ных фундаментов на трехмерном упругом основании .	29
1.	Прямоугольные плиты.......................  .	—
2.	Круглые и кольцевые плиты.................... 31
3.	Ленточные фундаменты при произвольной нагрузке 32
Глава IV. Расчет жестких и гибких ленточных фунда-
ментов на двухмерном упругом основании...........34
1.	Закон деформации горизонтальной поверхности двух-
мерного основания при сосредоточенной нагрузке .	35
2.	Жесткая балка под действием эксцентрично прило-
женной нагрузки.................'............... 36
3	Гибкие балки ................................. 38
Глава V. Критический обзор литературы...............47
Приложение. Таблица функций 8...................... 54
Петр Леонтьевич Пастернак
ОСНОВЫ НОВОГО МЕТОДА РАСЧЕТА ФУНДАМЕНТОВ
НА УПРУГОМ ОСНОВАНИИ ПРИ ПОМОЩИ
ДВУХ КОЭФФИЦИЕНТОВ ПОСТЕЛИ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
ЛИТЕРАТУРЫ ПО СТРОИТЕЛЬСТВУ И АРХИТЕКТУРЕ
« * *
Редактор издательства канд. техн, наук Г. И. Бердичевский
Технический редактор А. М. Токер
Сдано в набор 5/Ш-1954 г.	Подп. к печ. 15/VII-1954 г.	Т-03098
Бумага 60х92Ч16=1,75 бум. л.-3,5 печ. л. (3,35 уч.-изд. л.)	Изд. № УПЫ47.
Тираж 5000 экз. Заказ 282. Цена 2 р. 35 к.
Типография № 2 Гос. издательства литературы по строительству н архитектуре,
Ленинград, Бульвар Профсоюзов, 4.