АКАДЕМИЯ НАУК УКРАИНСКОЙ ССР
ИНСТИТУТ МЕХАНИКИ
А. И. СТРЕЛЬБИЦКАЯ
ПРЕДЕЛЬНОЕ
СОСТОЯНИЕ РАМ
ИЗ ТОНКОСТЕННЫХ СТЕРЖНЕЙ
ПРИ ИЗГИБЕ С КРУЧЕНИЕМ
Сканировал и обрабатывал
Лукин А. О.

6.05 + 6С1
С84
В монографии исследована работа одноконтурных рам из
тонкостенных металлических стержней в условиях изгиба и при
изгибе с кручением и предлагаются методы расчета их по пре¬
дельному состоянию. Изучено пластическое состояние тонкостен¬
ных профилей при сложном сопротивлении, вызываемом двухос¬
ным изгибом, кручением и растяжением, и получены конечные
отношения между силовыми компонентами. Установлена несу¬
щая способность простых рам при изгибе от действия вертикаль¬
ной и горизонтальной нагрузок в плоскости рамы. Рассмотрено
предельное состояние рам при изгибе с кручением для основных
видов нагрузки на ригеле, приложенной параллельно плоскости
рамы или перпендикулярно ее плоскости с эксцентриситетом от¬
носительно центра изгиба профиля. Предложены формулы для
определения предельной нагрузки с учетом влияния соотношения
длин стержней рамы, характера нагрузки, а также величины
эксцентриситета ее приложения. Проведено сравнение с расчетом
по упругому состоянию.
Предназначена для научных и инженерно-технических работ¬
ников, занятых в области авиастроения, машиностроения, вагоно¬
строения, судостроения и других областях техники, а также мо¬
жет быть полезна для студентов и аспирантов вузов соответ¬
ствующих специальностей.
Ответственный редактор
академик АН УССР Ф. П. Белянкин
Киевская книжная типография № 5
осударственного комитета Совета Министров УССР по печати.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение			 . * . .	5
Глава I. Некоторые зависимости между силовыми компонентами
в предельном состоянии тонкостенных профилей
1.	Основные положения расчета	 10
2.	Предельное состояние швеллера в условиях изгиба, кручения и рас¬
тяжения 	14
3.	Несущая способность симметричного сечения с учетом тех же воз¬
действий 	 . . ,	23
4.	Швеллерный профиль при двухосном изгибе с кручением	....	28
5.	Косой изгиб с кручением двутавра	37
6.	Определение пластических моментов сопротивления тонкостенных
стержней, подверженных двухосному изгибу с кручением	....	44
7.	Предельные нагрузки стержней при изгибе и кручении	с учетом
касательных напряжений	61
Глава II. Несущая способность простых рам при изгибе
8.	Принятые предпосылки	71
9.	Двухшарнирные рамы при вертикальной нагрузке	74
10.	Расчет двухшарнирных рам на горизонтальную нагрузку	...	79
11.	Предельное состояние жестко заделанных рам, вызванное верти¬
кальными силами. Рама переменного сечения	85
12.	Действие горизонтальных сил в бесшарнирных рамах	95
13.	Анализ полученных результатов	102
Глава III. Изгиб с кручением одноконтурных рам при нагрузке
на ригеле, параллельной плоскости рамы
14.	Расчетные предпосылки	105
15.	Деформационные и силовые факторы, выраженные через начальные
параметры. Уравнение равновесия бимоментов в	узле	107
16.	Формулы для расчета рам из тонкостенных стержней по методу
сил	111
17.	Величины напряжений в раме с равномерно распределенной на¬
грузкой <7	  114
18.	Предельное состояние рамы	121
19.	Изменение эксцентриситета приложения нагрузки	130
20.	Влияние отношения пролета и высоты рамы на величину пре¬
дельной нагрузки при сосредоточенной силе Р	134
21.	Сопоставление с результатами расчета по упругому состоянию .	145
3

Глава IV. Расчет одноконтурных рам при нагрузке на ригеле,
перпендикулярной плоскости рамы
22.	Общие положения	150
23.	Расчет рам из тонкостенных стержней по методу перемещений .	152
24.	Формулы для установления предельной	нагрузки	161
25.	Порядок перехода сечений рамы с сосредоточенной силой Р на
ригеле в пластическое состояние	167
26.	Несущая способность рамы в зависимости от соотношения длин
ее стержней	182
27.	Влияние эксцентриситета приложения	нагрузки	187
28.	Рама с равномерно распределенной внецентренной нагрузкой ц
на ригеле	191
29.	Сосредоточенный крутящий момент Мк посередине пролета рамы 202
30.	Равномерно распределенная крутящая нагрузка т на ригеле рамы 208
31.	Сравнение величин предельной и допускаемой нагрузок .... 214
Приложение. Расчетные формулы и таблицы	.	220
Литература	 .	250

ВВЕДЕНИЕ
Технический прогресс в области авиастроения, машиностроения,
судовых конструкций, вагоностроения, промышленного строи¬
тельства и других отраслей техники характеризуется широким
применением тонкостенных металлоконструкций в виде стержневых
систем, пластин, оболочек и их сочетания.
Обеспечение надежной работы таких конструкций при одно¬
временном снижении их веса является одной из актуальных задач,
стоящих перед механиками.
Для выявления действительных запасов прочности тонкостен¬
ных конструкций необходимы теоретические и экспериментальные
исследования их работы за пределом упругости (с учетом свойств
материала, из которого они изготовлены), а также установление
их несущей способности. Это послужит основанием для создания
эффективных методов расчета указанных конструкций и приведет
к экономии металла.
В развитие фундаментальных трудов В. 3. Власова [17],
Н. И. Безухова [5, 6], А. А. Гвоздева [19], А. А. Ильюшина [34],
И. М. Рабиновича [58, 59] в настоящее время издано достаточное
количество работ по теоретическому и экспериментальному ис¬
следованиям металлических конструкций из тонкостенных стер¬
жней, работающих при сложном сопротивлении.
Большинство работ относится к изучению упругого состояния
тонкостенных стержней и рамных конструкций. Много исследова¬
ний посвящено методам расчета стальных рам при изгибе (без
кручения) в упруго-пластическом и предельном состояниях. Весьма
мало данных имеется по исследованию рам из тонкостенных стер¬
жней при изгибе с кручением в пластической области.
Теория и методы расчета рам из тонкостенных стержней в упру¬
гой стадии нашли отражение в ряде монографий и статей: Д. В. Бы¬
чкова [11], Б. Н. Горбунова и А. И. Стрельбицкой [25 — 27],
Д. В. Вайнберга, В. Г. Чудновского [14], А. А. Уманского [84—86],
Н. И. Карякина [38], Р. И. Малкиной [43], Ю. Ц. Остроменцкого
[50], Л. Н. Ставраки [73], И. В. Урбана [88], А. А. Попова [55] и др.

В 1943 г. в Институте строительной механики АН УССР про¬
ведено испытание на перекос реальной конструкции рамы автопри¬
цепа из швеллеров, подтвердившее теоретические положения рас¬
чета рам из тонкостенных профилей в пределах упругости 125].
Теоретические и экспериментальные исследования рам приме¬
нительно к автомобилестроению изложены в работах: Н. Ф. Бочаро¬
ва [9], Д. Б. Гельфгата и В. А. Ошнокова [20], С. И. Котляра [40],
П. И. Сорокина [71, 72] и др. На основании этих исследований авто¬
ры устанавливают наиболее напряженные сечения конструкции
при разных воздействиях и дают полезные рекомендации расчет¬
ного и конструктивного характера.
Большое количество теоретических работ посвящено предель¬
ному состоянию (несущей способности) рамных конструкций при
изгибе.
Первые работы в этой области появляются в период 1931—
1939 гг. К ним относятся исследования К. СНгктапп [98, 99],
Н. В1е1сЬ [95], Н. Д. Жудина [31, 32], Н. И. Безухова [5],
А. И. Стрельбицкой [75], О. Со1оппеШ [96], Л. И. Маламента [42]
и других авторов, где рассматриваются рамы из идеально-пласти¬
ческой стали, нагруженные силами в их плоскости. Предельным
состоянием системы считается выравнивание моментов (или напря¬
жений) в местах появления пластических шарниров.
Позднее публикуют работы И. В. Давидов [28, 29], <1. Р. Вакег
[91, 92], А. АУ. Непйгу [102], П. Г. Бычков [13], Н. 3. ОгеепЬег§
и Ш. Рга§ег [101], С. П. Метелкин [45], Б. Ф. Бочков [10], 2. 5о-
Ьо1ка [115] и многие другие наши и зарубежные авторы. Несомнен¬
ный интерес представляет монография В. О. Ыеа1 [108, 48], где
изложены существующие методы расчета рам с учетом пласти¬
ческих свойств материала на основании большой библиографии
работ иностранных авторов.
Для проверки теоретических положений выполнен ряд экспери¬
ментальных исследований упруго-пластического и предельного
состояний металлических рам при изгибе. Опытами занимались
К. СНгктапп [98], Л. И. Маламент [42], В. М. Наумович [46],
П. Г. Бычков [13], Г. И. Розенблат [66], Е. И. Беленя [7], С.О. 5сЫ1-
Пп§, Р. \У. 5сЬи1г, Ь. 5. ВеесИе [113] и другие исследователи, испы¬
тавшие статически определимые и статически неопределимые рамы
при нагрузках силами в их плоскости. Результаты испытаний под¬
твердили наличие запасов прочности в конструкциях (в особен¬
ности статически неопределимых), которые не учитываются при
расчете рам по упругой стадии их работы.
В области исследования рамных систем при изгибе с кручением
за пределом упругости сделано очень немного.
В работе А. В. Чечетова [90] выполнен расчет рамы современ¬
ного цельнометаллического вагона в упруго-пластической стадии.
Рама рассмотрена при статической нагрузке, перпендикулярной
6

плоскости рамы, как система опирающихся концами на жесткий
контур перекрестных балок с обшивкой. Автором предложена ме¬
тодика расчета для установления зависимости между силой и де¬
формацией в упруго-пластическом состоянии рамы, а также для
определения предельной нагрузки.
Предельное состояние одноконтурных рам из тонкостенных
профилей при нагрузке с эксцентриситетом, действующей парал¬
лельно или перпендикулярно плоскости рамы, рассмотрено в ста¬
тьях А. И. Стрельбицкой [76—82]. При этом исследовано влияние
соотношения длин ригеля и опорных стержней рамы, которое
обусловливает схему предельного состояния, на величину пре¬
дельной нагрузки.
Р. О. Нос1§е и К. Запкагапагауапап [104] провели пластический
расчет балки квадратного сечения, подвергнутой двухосному из¬
гибу с кручением при учете жестко-пластической диаграммы на¬
пряжений — деформаций.
На основании приближенного условия пластичности (пред¬
ставленного кусочно линейной аппроксимацией) ими установлена
предельная нагрузка для Г-образной рамы квадратного сечения
с жестко защемленными концами, нагруженной посредине верхнего
стержня произвольно наклоненной силой. Предельная нагрузка
получена для нескольких комбинаций изгибающих и крутящего
моментов.
А. В. Геммерлингом, В. И. Трофимовым, И. Е. Милейковским
и Е. Е. Кочерговой [21] проведены в ЦНИПС экспериментальные
и теоретические исследования работы рамных каркасов,
а также испытания стальных рамных узлов разной конструкции.
Опыты велись как в упругой области, так и за пределами упругости
до исчерпания несущей способности конструкции.
Из приведенного краткого обзора исследований видно, что во¬
просы расчета рамных конструкций за пределом упругости при
совместном действии изгиба и кручения разработаны недостаточно.
Необходимо проведение дальнейших теоретических и экспери¬
ментальных исследований упруго-пластического и предельного со¬
стояний рам и их элементов при разных нагрузках, вызывающих
изгиб с кручением.
Предлагаемая работа посвящена исследованию предельного со¬
стояния одноконтурных рам из тонкостенных стержней, находя¬
щихся в условиях изгиба с кручением.
Рассмотрено действие нагрузки на ригеле, приложенной с
эксцентриситетом относительно центра изгиба профиля параллельно
или перпендикулярно плоскости рамы. Даны расчетные формулы
для определения величины предельной нагрузки в разных случаях,
причем учитываются характер нагрузки, влияние величины эксцен¬
триситета, а также влияние соотношения длин элементов рамы на
ее несущую способность.

Предлагаемый метод расчета основан на методе предельного
равновесия [19], где напряжения рассматриваются вне связи их
с деформациями, и базируется на некоторых предпосылках, со¬
гласующихся с реальной работой конструкции. В частности, со¬
отношение между силовыми компонентами за пределом упругости
принимается таким же, как при появлении текучести. Это избав¬
ляет от необходимости применять дополнительные уравнения
равновесия, связанные с деформациями, и весьма упрощает ре¬
шение.
Все рассмотренные вопросы доведены до числовых результатов,
графиков и таблиц, что дает возможность непосредственно при¬
менить последние на практике. Размерности величин даны в новой
системе единиц «СИ», причем числовые значения для силовых фак¬
торов и напряжений приведены с точностью до 1—2%.
Во введении кратко излагается состояние вопроса.
Глава I содержит основные положения расчета по предельному
состоянию тонкостенных стержней открытого профиля. В ней пред¬
лагаются конечные соотношения между силовыми компонентами,
вызывающими нормальные напряжения, для швеллерного и дву¬
таврового сечений в условиях двухосного изгиба, кручения и ра¬
стяжения. При этом учитываются разные пределы текучести полок
и стенки указанных профилей.
Подробно рассмотрено напряженное состояние двутавра и швел¬
лера при косом изгибе с кручением. На основании теоретических
данных составлены числовые расчеты по предельному состоянию и
проведено сопоставление с расчетом в пределах упругости. Ис¬
следовано влияние касательных напряжений на величину пре¬
дельной нагрузки тонкостенных стержней при поперечном изгибе
с кручением, сопровождаемое числовыми данными для жестко
защемленных элементов конструкций.
Глава II посвящена установлению несущей способности про¬
стых рам при изгибе. Предельным состоянием системы считается
образование п + 1 пластических шарниров в наиболее напряжен¬
ных ее сечениях (п — степень статической неопределимости рамы).
Расчет проводится с помощью выравнивания эпюры моментов или
эпюры напряжений в местах появления пластических шарниров.
Рассмотрены двухшарнирные и бесшарнирные рамы при дей¬
ствии вертикальной или горизонтальной нагрузки. Проведено
сравнение с расчетом по упругому состоянию для рам с сосредо¬
точенной силой и равномерно распределенной нагрузкой при раз¬
ных соотношениях длин ригеля и стоек рамы.
В главе III приводится расчет одноконтурных рам из тонкостен¬
ных стержней при совместном действии изгиба и кручения. Рас¬
смотрены рамы с нагрузкой на ригеле, приложенной параллельно
плоскости рамы и имеющей эксцентриситет относительно центра
изгиба сечения. На основании расчета в упругом состоянии с
8

применением метода сил определены наиболее напряженные сече¬
ния конструкции. Предложена методика и даны формулы для на¬
хождения предельной нагрузки рамы с учетом образования трех
пластических сечений в ригеле либо одного сечения в ригеле и
двух сечений в верхних концах стоек.
Установлены числовые величины предельной нагрузки для рам
двутаврового сечения с равномерно распределенной нагрузкой и с
сосредоточенной силой в пролете при разных соотношениях длин
ригеля и стоек. Исследовано влияние восьми таких соотношений на
несущую способность рамы, а также влияние эксцентриситета при¬
ложения нагрузки. Полученные результаты сопоставлены с дан¬
ными расчета по упругому состоянию.
В главе IV исследовано предельное состояние одноконтурных
рам из тонкостенных стержней при изгибе с кручением, вызывае¬
мым перпендикулярной плоскости рамы нагрузкой либо крутящими
моментами. Нагрузка приложена с эксцентриситетом относительно
центра изгиба сечения. Предложены формулы для определения
предельной нагрузки рамы с учетом разных соотношений длин ее
стержней, что обусловливает схему предельного состояния. После¬
довательность перехода сечений рамы в пластическое состояние
установлена по величинам напряжений, найденным из расчета в
пределах упругости с применением метода перемещений.
Рассмотрены рамы швеллерного сечения при таких случаях
загружения ригеля: а) сосредоточенная сила посередине ригеля;
б) равномерно распределенная нагрузка по всему пролету; в) со¬
средоточенный крутящий момент в средней части пролета; г) кру¬
тящая нагрузка, равномерно распределенная на ригеле.
В этих случаях изучено влияние соотношения длин стержней
рамы на ее несущую способность сначала для постоянного пролета,
а затем для постоянной длины опорных стержней. Для всех слу¬
чаев сопоставлены величины предельной и допускаемой нагрузок.
Книга сопровождается приложением в виде расчетных формул
и таблиц и библиографией из 120 наименований.
Автор приносит глубокую благодарность академику АН УССР
Ф. П. Белянкину и заведующему Кафедрой строительной меха¬
ники КИСИ профессору Д. В. Вайнбергу, высказавшим свои
замечания при ознакомлении с рукописью. Автор выражает искрен¬
нюю признательность инженерам Г. И. Евсеенко и Р. И. Рыбако¬
вой за ценную помощь в проведении вычислений, а также сотруд¬
никам А. К. Ивановой и С. И. Кобец за активное участие в офор¬
млении работы.

ГЛАВА I
НЕКОТОРЫЕ ЗАВИСИМОСТИ МЕЖДУ СИЛОВЫМИ
КОМПОНЕНТАМИ В ПРЕДЕЛЬНОМ СОСТОЯНИИ
ТОНКОСТЕННЫХ ПРОФИЛЕЙ
1. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ РАСЧЕТА
Предлагаемый метод расчета конструкций из тонкостенных
стержней по предельному состоянию основан на методе предель¬
ного равновесия [19], где напряжения рассматриваются вне связи
с деформациями. Задаваясь видом предельных эпюр напряжений,
мы находим зависимости между внутренними силовыми компонен¬
тами для сечений, перешедших в пластическое состояние.
Для установления несущей способности конструкции в целом
необходимо решить систему уравнений, состоящую из указанных
зависимостей (условий пластичности) для отдельных сечений и
дополнительного уравнения или уравнений, составляемых из усло¬
вий равновесия.
При расчете принимаем следующие предпосылки.
1.	Контур поперечного сечения считается недеформируемым в
своей плоскости, но депланирующим по секториальному закону.
2.	Пользуемся упрощенной диаграммой напряжений — дефор¬
маций материала, состоящей из наклонной и горизонтальной прямых
и предусматривающей стали с ясно выраженной площадкой теку¬
чести (рис. 1).
3.	Условие пластичности в данной точке принимаем по энерге¬
тической теории.
4.	Предельным состоянием профиля считаем распространение
текучести по всему сечению, причем распределение нормальных
и касательных напряжений предполагается в виде прямоуголь¬
ников.
5.	Предельным состоянием конструкции считается переход в
пластическое состояние определенного количества сечений, после
10

чего нормальная ее работа нарушается (исчерпание несущей способ¬
ности конструкций, связанное с устойчивостью, здесь не иссле¬
дуем).
6.	Рассматриваем простое нагружение [34], т. е. пропорцио¬
нальное возрастание всех силовых компонентов от нуля до пре¬
дельной величины.
7.	Соотношение между силовыми компонентами за пределом
упругости для стержня рамы принимаем таким же, как и при по¬
явлении текучести. Основанием для
этого допущения являются: простое
1 б, Г
очертание рассматриваемых рам, ког¬
да трудно ожидать существенного
/
перераспределения напряжений от
/
отдельных силовых компонентов, и
Д
/
■ " 1
положение, что распространение теку¬
/
о
-
чести по сечению вызывается наличи-
К
1
!
ем нескольких факторов, из которых

каждый в отдельности предельного
_ ь __
состояния не достигает.
В общем случае сложного сопро-	Рис- р
гивления тонкостенного стержня с
открытым контуром предельное состояние сечения характери¬
зуется наличием следующих факторов: нормальной силы Я, из¬
гибающих моментов Мх и Му, действующих в главных плоскостях
сечения, соответствующих моментам поперечных сил С1У и (3*, би¬
момента В, сен-венанова крутящего момента Я и изгибно-крутя-
щего момента М^.
Указанные силовые компоненты в предельном состоянии се¬
чения будут связаны некоторой зависимостью
Для получения этой зависимости необходимо составить восемь
уравнений, соответствующих условиям равновесия, и решить их
совместно с условием пластичности.
Уравнения равновесия имеют вид:
(Я, Мх, Му, (2У1 (}х, В, Я, Мш) = 1 .
(1.1)
Р
Р
(1.2)
(1.3)
Р
Р
Р
11

Условие пластичности материала по энергетической теории для
прямоугольных осей координат выражается уравнением
4	- ау>2 + (°У - агТ + (°г -	+ 3^ + Х2уг + Х2х) = О2 ,
(1.4)
где ох, вуУ аг — нормальные напряжения в данной точке; хху, хуг>
Хгх — касательные напряжения в этой точке; сгт — предел текучести
при растяжении. Материал стержня предполагается несжимаемым
О* = 0,5).
Для тонкостенного стержня при ах = оу = хху = 0 уравнение
(1.4) приобретает вид
+ Зт2 =	,	(1.5)
где т = Ух2 + х2х — касательное напряжение, направленное вдоль
контура поперечного сечения.
Компоненты, входящие в выражения (1.2), вызывают нормаль¬
ные напряжения а, а силы и моменты, входящие в выражения
(1.3), — касательные напряжения т. Из четырех уравнений (1.2)
можно определить а, из четырех уравнений (1.3) — т и подставить
эти значения в условие пластичности (1.5).
Распределение нормальных и касательных напряжений по сече¬
нию зависит от материала, закрепления стержня, характера на¬
грузки и определяется соотношением между силовыми компонен¬
тами, которое может быть разным. Как и в упругом состоянии,
вид предельных эпюр напряжений будет зависеть от преобладания
изгиба или кручения, наличия или отсутствия продольной (нор¬
мальной) силы и т. п. Если рассматривается простое нагружение,
где все действующие компоненты возрастают пропорционально
одному параметру, число вариантов, очевидно, будет ограниченным.
При решении задачи учитываем, что нейтральные оси сечения
в предельном состоянии будут смещены по сравнению с аналогич¬
ными осями в упругом состоянии. Следуя А. Р. Ржаницыну [64]
считаем, что количество нулевых пластических точек эпюры на¬
пряжений в предельном состоянии профиля не может превышать
числа нулевых точек в упругой стадии его работы, причем на каж¬
дом прямолинейном участке может быть только одна нулевая точка.
(Нулевой пластической точкой в предельной эпюре напряжений,
состоящей из прямоугольников, называем точку, где эпюра на¬
пряжений меняет знак).
Нормальные напряжения. В уравнения (1.2), которые вклю¬
чают нормальные напряжения, следует ввести несколько пара¬
метров (и, й, V и др.), обозначающих смещения нулевых пласти¬
ческих точек в предельном состоянии сечения от совместного дей¬
ствия силовых факторов ЛГ, Мх, Му, В. Это смещение удобно зафи¬
12

ксировать по отношению к главным осям сечения либо по отноше¬
нию к соответствующим нейтральным осям сечения в упругом со¬
стоянии, наконец по отношению к нейтральным осям в предельном
состоянии, вызванном одним из рассматриваемых факторов. Из¬
меняя величины параметров, можно варьировать вид предельной
эпюры нормальных напряжений.
Решение уравнений (1.2) путем исключения назначенных пара¬
метров дает зависимость между рассматриваемыми силовыми фак¬
торами. При наличии четырех силовых компонентов и трех пара¬
метров для обычных профилей (двутавра, швеллера) получим
уравнение восьмой степени относительно а. При наличии трех
компонентов и трех параметров (в результате их исключения)
приходим к уравнению четвертой степени относительно а. Указан¬
ные уравнения включают определенные коэффициенты, представ¬
ляющие комбинации силовых компонентов и зависящие от формы
поперечного сечения.
Чем меньше количество компонентов, а следовательно, и число
назначаемых параметров, тем проще будет зависимость между
этими компонентами в предельном состоянии. Такая зависимость
очень упрощается при отсутствии продольной силы N.
Конечное соотношение между двумя силовыми компонентами,
вызывающими нормальные напряжения, при наличии одного пара¬
метра представляет квадратное уравнение относительно а.
Касательные напряжения. Обратимся к уравнениям (1.3), вклю¬
чающим касательные напряжения от совместного действия сило¬
вых факторов Ну 0,у, С}х, Ма. В зависимости от преобладания из¬
гиба или кручения соотношение между этими факторами может
быть разным.
Рассмотрим общий случай изгиба и кручения, когда наиболь¬
шую величину имеют касательные напряжения тн, соответствующие
свободному кручению. Необходимо помнить, что при кручении в
формулы для расчета тонкостенных стержней входят только ка¬
сательные напряжения, параллельные длинной стороне полоски
профиля. Для получения полного крутящего момента достаточно
удвоить момент внутренних сил, даваемый указанными напряже¬
ниями. Этим учитываются напряжения в другом направлении.
В рассматриваемом случае касательные напряжения от сен-
венанова крутящего момента Я, одинаковые по длине полоски
профиля складываются с касательными напряжениями от попе¬
речных сил С1У, <3* и изгибно-крутящего момента Мщ, имеющими
в упругом состоянии разную величину по длине полоски. Вслед¬
ствие этого при сложении (приведении) напряжений нейтраль¬
ная ось полоски должна переместиться по некоторой кривой
линии.
В предельном состоянии в виду тонкостенности профиля прини¬
маем смещение нейтральной оси (относительно средней линии
13

полоски) одинаковым по толщине полоски на всей ее длине. Это дает
возможность обозначить указанное смещение одним параметром
(например, г\) и весьма упрощает решение.
Таким образом, для отдельной полоски предельная эпюра каса¬
тельных напряжений составится из двух прямоугольников по
толщине сечения с нейтральной осью, смещенной на некоторую
постоянную величину. Смещение нейтральной оси эпюры каса¬
тельных напряжений может быть принято разным для разных
полосок профиля либо одинаковым по всему контуру.
При использовании изложенного решение уравнений (1.3) для
определения касательного напряжения сводится к решению ква¬
дратного уравнения относительно т, где коэффициенты содержат
силовые факторы и зависят от формы поперечного сечения.
В развитие приведенных положений рассмотрены некоторые за¬
дачи, помещенные далее.
2. ПРЕДЕЛЬНОЕ СОСТОЯНИЕ ШВЕЛЛЕРА В УСЛОВИЯХ ИЗГИБА,
КРУЧЕНИЯ И РАСТЯЖЕНИЯ
Основной случай. Исследуем предельное состояние швеллерного
профиля при совместном действии двухосного изгиба, кручения и
растяжения и найдем зависимость между силовыми компонентами,
вызывающими нормальные напряжения. Влияния касательных на¬
пряжений не учитываем.
Как уже указывалось, распределение напряжений по сечению
зависит от закрепления стержня, направления нагрузки, а также
от соотношения между силовыми компонентами.
Рассмотрим случай, когда составляющие нагрузки направлены,
как показано на рис. 2, а—г. Там же даны эпюрь* нормальных
напряжений в упругой стадии работы сечения раздельно от мо¬
ментов Мх и М1Р изгибающих в двух главных плоскостях, бимо¬
мента В и продольной силы N. Растяжение обозначено знаком
«+», а сжатие знаком «—». Продольная сила, распределенная
равномерно по всему сечению, принята растягивающей. Как обычно,
к, Ь, 6П, 6С — размеры поперечного сечения.
Эпюры упругих напряжений дают основание рассматривать
суммарную эпюру нормальных напряжений в предельном состоя¬
нии швеллера согласно рис. 2, д. Соответствующая ей эпюра сек-
ториальных площадей со представлена на рис. 2, е. Параметрами и,
й, V обозначены смещения нулевых пластических точек в полках
и стенке профиля относительно главных осей сечения. Координаты
ах и ау полюса А0 для построения эпюры со предполагаются изве¬
стными. Учитываются разные пределы текучести полок атп и
стенки атс профиля, как это имеет место в прокатных профилях.
Пользуясь рис. 2, д, находим выражения для силовых компо¬
нентов.
14

Изгибающий момент относительно оси х
Мх = | оус1Г = отпЬп-^-1х0 + и — ф — х0 — и)] —
ТР
к
— атп6п 17 I— (*о + Ф + Ф —х0 — а)] +
4- а а
1 тс с
44Ч-4М4-
Н/2 —
^-+»)
= ат^п^(2дГо — ^ + ы + <*) + °ТА — У*) *	■“
Рис. 2.
Изгибающий момент относительно оси у
М
- С *я№ = *т\ ро ^ -
/,	ч /Ь —х0 — и.
— ф—х0 — и) I	^
- сг б
тп п
, *0
М 2
15

(ь — х0 — й) ( -—§		 + й
4- а 6
‘ тс с.
+ 0|(—*о) —
-1-2 -°)(-*о)
(2-2)
(при подстановке чисел величина Му получится отрицательной).
Выражение бимомента в общем случае, когда полюс для отсчета
секториальных площадей не лежит на оси симметрии (имеет коор¬
динаты ах и ау), а нулевые точки эпюры со не совпадают с нулевыми
точками эпюры напряжений (рис. 2, е):
х0-\-и
2
— {Ь — х0 — и)
+ а\[х0 + и
Ь — хп — и
-сттА {(*<> + <*)
—
А
2
х0 + ё\
2 )
+
— {Ь — х 0 — й)
Ь — х о
— аг\-2~ %\ +
-°») (*о
+ ё +
1 (к
-)]}+“те«А ((4+“) [«,—®+4-(4+о)]—
—2 <»„—>■•
1_
2
=
атьпн (2хо — Ь + и + ё) + атсбс
А2
+
+ °тп6Л [2^ (и — ё) — 2х0 (и —ё) — (и2 — й2)] +
+ 2атс6Аауц + атп6п А [А2 — (х0 + и)2 — (х0 + ё)2].	(2.3)
Напомним, что секториальной площадью какой-нибудь точки
профиля называется удвоенная площадь, образованная радиусом-
вектором из полюса А о при вращении этого радиуса вдоль контура
от начальной точки И0 (где со = 0) до рассматриваемой точки И
(рис. 3). Секториальная площадь определяется по формуле
со = ^ гйз,	(2.4)
$
16

где г — перпендикуляр из полюса А0 на касательную к контуру в
точке О.
Секториальную площадь считаем положительной при вращении
радиуса-вектора против часовой стрелки. Для перемножения эпюр
а и со пользуемся, например, правилом Ве¬
рещагина (секториальную координату со для
отдельных отрезков профиля принимаем про¬
тив центра тяжести соответствующей площади
эпюры су).
Если главная нулевая точка эпюры со на
стенке швеллера совпадает с нулевой точкой
на стенке эпюры напряжений, то в выраже¬
нии бимомента несколько изменятся второй
и третий члены:
в = ах атпМ (2*0 — ь + и + й) + атс6с — у2
+
+ сттА (2а^ {и — й) + ау [— 2*0 (и — й) — (и2 — &)]} +
+ 2аЛаУ + атА 4162 ~ (хо + “)2 — (хо + Ф2] •	(2-5)
Нормальная сила как сумма проекций всех сил на ось г, пер¬
пендикулярную площади сечения:
N =
айР = <гтп6п [*0 + и — (Ь — *0 — и)—(х0 + й) +
Р
+ Ф — *0 — Л)] + сгтсбс
= 2атп6п (и-0) + 2атс6со.	(2.6)
Уравнения (2.1), (2.2), (2.3) и (2.6) представляют систему с че¬
тырьмя неизвестными. Неизвестными являются три параметра и,
й, V и значение предельной нагрузки, через которую можно выра¬
зить силовые компоненты Мх, Му, В, N.
Решение уравнений. Решение полученных уравнений ведем
так, чтобы исключив все параметры, найти зависимость между
силовыми компонентами в предельном состоянии сечения.
Из уравнения (2.6)
V =
N
2а 6
тс с
а 8
тп п
а 8
тс с
(и — й)
(2.7)
Подставляя это выражение в уравнения (2.2) и (2.3) и обращая
внимание на то, что в формулу бимомента входят выражения Мх
2—1338
17

и Му, запишем систему уравнений в виде
Мх = отпЬпН (2х0 — Ь + и + ф + атсбс ^	;
Му = — М;0 + 2х0атпЬп (и — й) + <гтп6п (и2 — й2);
в = мхах — (Л*, + ^0) аи + Ыахау +
+ ^тА ~2	— (х° + и)2—(*о + А] >
^ = 2(ТтА (И — <9 + АА0 •
Если вместо уравнения (2.3) воспользоваться уравнением (2.5),
получим аналогичную систему, которая будет отличаться от (2.8)
только третьим членом в выражении бимомента (вместо + Махау
будет + Л^а*а).
Вычитая третье из второго уравнения системы (2.8), а затем
складывая их, находим:
и = — х0 ±	~2—	;
(1 =—хо =Ь |//^ ~2	>
(2.9)
где
/?Т =
в - Мхах + (Му + Л^0) а9 - Ыахау _ о* _ Му + Л^0 /о | т
,	&1-	2 б • (^19)
ТП П
о 6 Н
тп п
Из уравнений (2.7) и (2.9) получим а, представленное через си¬
ловые компоненты:
V —
N
2а Л
тс с
сттА
а б
тс с
51т
(2.11)
Подстановка и, й и V2 в первое уравнение системы (2.8) дает
зависимость между четырьмя силовыми факторами (Мх, Му, В, Щ
в предельном состоянии швеллера
%_2 Т (АТ' + 8' + ]/+
|/ т—■)г' + 8'Т]/А
4а а б
ТП ТС с
ат б
тс с
18

(2.12)
Т2
О б2
тп п
О б
тс с
/12
а б262
ТП П
а б
тс с
После двукратного возведения в квадрат выражения (2.12)
для освобождения от радикалов приходим к уравнению восьмой
степени относительно величины предельной нагрузки.
ук ®
у\
[X
X
ь
а
Рис. 4.
Полученные уравнения соответствуют случаю приложения внеш¬
ней нагрузки, когда эпюра напряжений от момента Му имеет поло¬
жительные знаки слева от оси у и отрицательные справа.
При изменении знаков напряжений от момента Му (рис. 4, а)
изменятся знаки у суммарной эпюры напряжений в предельном
состоянии. Отрезок V эпюры на стенке швеллера и полюс А0 могут
переместиться вверх (рис. 4, 6, в).
В этом случае выражения для силовых компонентов имеют вид
МХ = атп6пн (2х0-Ь + и + а) + <гтс6с (д -	;
Му = А (“* - <*2) + 2<ГтА*0У ;	(2 13)
В = Мхах + (Му + ^о) ау — Махау +
+ атА 4[&2—+ «)2 — <хо + <*)2];
М = 2от6п(и-<1)-2ок6ео.
После решения уравнений предельная зависимость между сило-
2*	19

выми компонентами запишется по формуле (2.12), где выражение
/?2 будет отличаться знаками от #1, а выражение $2 совпадет с 5* •'
. В- Мхах - (М + Кх0)ау-Ыахау	М + Мх0
=	ГТЙ		 52 = 2о~д • (2Л4)
ТП П	ТПП
Частные случаи. Если в рассмотренных двух случаях напряже¬
ния от изгибающего момента Му
>У
ит
—
+
X
>
3.
бтс
-
о
Рис
бимомента В, взаимно противо¬
положные по знаку в одной из полок швеллера, будут приблизи¬
тельно одинаковой величины, то нулевая точка суммарной эпюры
напряжений в этой полке исчезнет (рис. 5). Тогда становится по¬
стоянным либо параметр й = Ь — х0, либо параметр и=Ь — х0
и первоначальная система уравнений упрощается.
Так, при й = Ь — х0 (рис. 5, а), система уравнений (2.8) примет
вид
Мх = атАЛ (*0 + «)+СТтс 6с(д -;
м„ = — отпб„ 1(Ь - я/ - и2] - 2атс6сх0о;	(2 15)
В = Мхах — (Му + Мхо) ау + Махау — атпдп 4 (х0 + «)2;
М = 2втп6п(и-Ь + х0) + 2отсд^,
а при и = Ь — х0 (рис. 5,6) система (2.13) выразится так:
Мх = отпЬпН (х0 + (!) + атЬс - н2) ;
20

Мг, = СТтА [(6 — *о)2 — <**] + 2<гтсбЛУ;
к	(2-16)
В = мхах + (му + ^о) а, —	— СТТА ~2 К + ^)2;
^ = 2(ТтА (Ь — Х0 — й)— 2сттсбсу.
В формулы (2.15) так же, как и в (2.16), входят четыре силовых
фактора и два параметра.
Рассмотрим систему уравнений (2.16). В данном случае
V =
й = -х 0±|/ ^--Д2*-$*2;
2а 6
(2.17)
где /?2 и 3*2 выражаются формулами (2.14).
Приведем систему уравнений (2.16) к одной зависимости между
силовыми компонентами путем подстановки параметров (I и V.
М а Л
— +
тп п(-Д2-$2) +
№
о Ь
ТС с
4(У а 6
тс тп с
щр
°л
+
,	3 атп , 2	°ТС гр _ атп Iр	N \ Г*	.
+	1_Г У --/?2-52.
ТС С	ТП	ТС С 1	ТП 7	*
(2.18)
Здесь
^,“2ЬпЬ+-^6^-,
№
Т = 6 —.
*с с 4
(2.19)
После возведения в квадрат получим уравнение четвертой степе¬
ни относительно величины предельной нагрузки
Л/4
16а2 а2 62
ТП тс с
+ Ч2Ипг+Л*<;й+5:>
тп тс с
6262
+
а 62
+ <л*>2 + [ъППГ - - 2*Г - 2 ^ ^	+ 5*> +
N тп тс с	ТС с /	тс с
а2 62	„	. а 62
+ 2ЛЯ + Р\ (#2 + 52) + Л^б2 +
а2 62
тс с
а2 62
ТС с
а2 62
_1_ Р2	^2. ^2	_ О
+ ^ а2 62	2
ТС С
(2.20)
21

Здесь
М, <т М .
*-тгУЧЯ2+5‘2)
'■'тп	^тл л
СТтА
Е =
и 82
и тп П /2
2 ай
тс с
(2.21)
Решение рассматриваемой системы уравнений (2.16) можно вести
другим путем, исключая сначала параметр А, а затем V (или на¬
оборот).
После исключения А и А2 получим два уравнения:
-'-г+ “
2 а.
-б (Но + у2);
/?2 + 52 +
N
2а 6
ТП п
2 Ь
N
2а 6
ТП п
(2.22)
а 6
ТС с
а 6
тп п
■(»*)
V <*А/
О2 62
тс с
0*6*
ТП п
где Тх — пластический момент сопротивления сечения относи¬
тельно оси х с учетом разных пределов текучести полок и стенки
О Ь2
тп
(2.23)
Определяя V и V2 из первого уравнения (2.22) и подставляя во
второе, находим предельную зависимость между Мх, Му, В и N
для швеллера в виде
Мг а 62	*
1Г-Гт№+« +
тп тс с
N
2а й
ТС С
Л-
2а„
СТтЛ 2
й /~й2	атп
2 ± I/ 4	атс6с
Мх	т* , ЛГЙ
<т	У* + 2а
= г;.
(2.24)
Возведение этой зависимости в квадрат приводит к уравнению,
одинаковому с (2.20).
Таким образом, наличие двух параметров (если эпюра нормаль¬
ных напряжений вызвана четырьмя компонентами) дает только
одно определенное соотношение между силовыми компонентами,
представляющее уравнение четвертой степени относительно ве¬
личины предельной нагрузки или относительно напряжения ат.
22

В расчетной практике встречается ряд комбинаций между си¬
ловыми факторами, вызывающими нормальные напряжения.
При наличии изгибающего момента МХу бимомента В и нормаль¬
ной силы N эпюра напряжений в предельном состоянии швеллера
аналогична эпюре на рис. 2, д. Этому случаю соответствуют урав¬
нения
МХ = атпбпЛ (2х0 — Ь + и + ё) + атс6с (д -	;
В = Мхах ~ (Му + Щ ау + Ыахау +
+ "ТА 4[62 -	+ “)2 - (*о + ^;	(2-25)
N = 2атп6п (и — й) + 2сттс6су;
= сттА (“2 — <*2) — 2(ТтА*оу = 0 •
Здесь Му — изгибающий момент относительно оси у — отсут¬
ствует, а выражение Му, равное нулю, используется как добавоч¬
ное уравнение для определения неизвестных.
В результате решения уравнений (2.25) находим зависимость
(2.12), где вместо 51* будет стоять величина 5*, равная .	.
^°тп°п
Таким же способом можно рассмотреть и другие комбинации
силовых факторов. Двухосный изгиб с кручением швеллера при
учете факторов Мх, Му, В будет исследован отдельно.
3.	НЕСУЩАЯ СПОСОБНОСТЬ СИММЕТРИЧНОГО СЕЧЕНИЯ
С УЧЕТОМ ТЕХ ЖЕ ВОЗДЕЙСТВИИ
Основные случаи. Аналогично предыдущему рассмотрим пре¬
дельное состояние симметричного относительно двух главных осей
двутавра при одновременном действии изгибающих в двух пло¬
скостях моментов Мх, Му, бимомента В и продольной силы N и
установим зависимость (зависимости) между ними.
От перечисленных факторов на рис. 6, а — г даны эпюры нор¬
мальных напряжений в упругом состоянии сечения. На рис. 6, д
показано суммарное распределение напряжений в предельном
состоянии профиля, если напряжения от момента Му больше со¬
ответствующих напряжений от бимомента В, а на рис. 6, е> если
влияние бимомента больше. Рис. 6, ж представляет эпюру секто-
риальных площадей, построенную из полюса А0 на пересечении
осей симметрии.
Как и в швеллере, пределы текучести полок атп и стенки сгтс
приняты разными. Параметры и> й и V обозначают смещения нуле¬
23

вых точек эпюр в полках и стенке относительно главных осей се¬
чения.
Запишем выражения силовых компонентов согласно рис. 6, д
(а2 > о©):
см:
т.
У>
\Щ У |
1®,
13^
[Р*
X
^1
5 1
1
0
.к
X
\У
ти*
■п
+
^0
X
>1
н-
. 1
-
1
и 6/ ^
я-
+
X
>»
V,
тс/ ,
1
-
\
с
Ло
у
®
е
Рис. 6.
О/Л
сЛС
мх = <7ТП6ПЛ (и + О) + атсбс т - у:
к2
Я = сттАу (-м2 + <*2);
N = 2атпбп (и — О) + 2атс6сУ.
Рис. 6, е (а2 < а^) соответствует такая система уравнений:
Мх = °тАА (« + <9 + <гтс6с ^ - V2'! ;
му = <утьп(“2-#)>
(3.1)
24

(3.2)
о	х А (Ьг „
в-<’™в>Т Т-“
^ = 2атА (и — й) + 2отевсо.
-и-б„
А
Рис. 7.
У
ГА
"аА
гаг
1^1®
>х
А]
5
Рис. 8.
-Ог
_р^
При й = —, когда напряжения от момента и бимомента
примерно одинаковы (а2 ^ а©), нулевой точки эпюры напряжений
в нижней полке двутавра не будет (рис. 7), и обе системы уравне¬
ний принимают вид:
м- = атАЛ (!- + “) + сттА (1-
— у2 |;
б (
и2 —
\
Ч
к
(Ь*
и*
'~2
4 “
— и
(3.3)
N.
2<ТтА (“ — -2 ) +2<ТтА°
В отличие от швеллера в двутавровом профиле изменение зна¬
ков напряжений от момента Му сопровождается изменением зна¬
ков от бимомента В (рис. 8, а, б).
При этом эпюры напряжений в предельном состоянии профиля
будут отличаться от эпюр на рисунках 6, д, е и 7 положением
нулевых пластических точек. Нулевые точки в верхней полке
переместятся влево. В нижней полке нулевая точка переместится
в первом случае вправо, во втором — влево, а в третьем — будет
отсутствовать.
25

Системы уравнений, соответствующие этим случаям, будут от¬
личаться от систем (3.1), (3.2) и (3.3) только знаками в выраже¬
ниях Му и В.
На рис. 8, в представлена эпюра напряжений для первого
случая (сг2 > сТщ) при изменении знака напряжений от момента
Му и бимомента. Этой эпюре соответствует следующая система
уравнений:
Мх = °тЬпН (“ + Ф + атс6с (д —^ ;
к	<3-4)
5 = сгтА у(«2 —^2);
N = 2сгтп6п (и — с1) + 2сттс6со .
Решение уравнений. Решаем полученные уравнения таким же
путем, как и для швеллера.
Обратимся к системе уравнений (3.1). Из второго и третьего
уравнений этой системы
и = ±	— %з + *53; ^ 'р/Г+ 53,	(3.5)
где
Я3 =
В .	« Му
'тпЫ 9	3~ ^
(3.6)
Параметр V определим из четвертого уравнения, учитывая (3.5):
V =
N
2ат б
тс с
О б
тп п
а б
тс с
	 Вз + *53
+ ^?3 + $3
)•
(3.7)
Подставляя и, й и ьг в первое уравнение системы (3.1), находим
зависимость между силовыми компонентами в предельном состоя¬
нии двутаврового сечения:
М о 62	/ Гр	 Гр	\
7Г + 27ГЬ8>*и (]/\-Я3 + 83+]/Ьт + Я3 + 33 +
ТП	ТС С	V	г	'
"4 +	+ $3 | Т
+
ТП	~тс~с
Чпатсбс"
ЛА
~ь2
а.„А\±1/ т_/?з+5зТ
26

(3-8)
Т-
2а б2
О б
тс с
/
	 Яз + 5.) (	+ #3 + 53 ) —
о и* а б262
	 тс 5	'(■		 ТП П
~ а с 4 2а 6
ТП	тс с
Зависимость (3.8) после освобождения от корней дает уравнение
восьмой степени относительно величины предельной нагрузки.
Выполним решение уравнений (3.3), когда нулевая точка эпюры
напряжений в нижней полке двутавра отсутствует. Решив эти
уравнения путем исключения параметров й и V, получим
м,	(М,	2В	Щ
а ' 2а 6 \а в к аб
ТП	тс с \ ТП	ТП	ТП п
А^2
2а2б
ТП п
+
+ {ё + Г2
И ,	, /"л2	Отп (Мх	М ^
2±1/4 а б о 1х	2а
г	ТС С \ ТП	ТП /
где
р2 = 6пь + -^ бсА; П = \ьн + ^ вс^
л2
= 71,,
(3.9)
(3.10)
После возведения в квадрат
та2 №о
ТП
16а4 а2 б а2 а„ \	2 1 ст „ 2а
Ык
ТП
М.
+
Л^т (1_ атг	Л 2№-т (Мг Ык\
+ ^с+а-г^	^2_
ТП ТС \	ТП	7	ТП ТС ' ТП	ТП ✓
м
. а
тс \ гп
Здесь
о л/ / а \ а
^2уи,с-^г2 (Тхс + ^т; + -
ТП	'	тс >
+ п-Рг[т„ + а^т^ = 0.
пГ^ 2В N
с 1- *^тп
^ I р2 ,
2атп 1 2
тп
(3.11)
ЛГ а б„ г ЛТ
V = — + тп
а 1 2а б . „
ТП	ТС С 1- ТП
л л 1^2 + — ЬМ
°тпЬ СТтА V °тп °
к
]‘
(3.12)
На основании изложенного нетрудно перейти к определению
27

возможных конечных соотношений для двутавра между тремя сило¬
выми компонентами..
4.	ШВЕЛЛЕРНЫЙ ПРОФИЛЬ ПРИ ДВУХОСНОМ
ИЗГИБЕ С КРУЧЕНИЕМ
Рассмотрим предельное состояние швеллера при совместном
действии двухосного изгиба и кручения, вызываемом компонентами
Мх, Му, В. Продольная сила отсутствует (Ы = 0).
Такое состояние стержня может быть вызвано внешней нагруз¬
кой, приложенной к полке швеллера под углом а к одной из глав-
&
Ао О у
'и.
Е
Ц.т.
(I Г
Рис. 9.
ных осей сечения, например к оси у. Нагрузка имеет эксцентри¬
ситет е относительно центра изгиба сечения (полюса А0 для постро¬
ения, эпюры секториальных площадей).
Исследуем случаи: когда внешняя нагрузка на верхней полке
швеллера направлена вниз от стенки профиля и когда она направ¬
лена вниз к стенке профиля. В обоих случаях проследим измене-
зт
ние угла наклона внешней силы с осью у от 0 до — рад. При этом
суммарная эпюра нормальных напряжений в сечении может иметь
либо три нулевых точки (когда горизонтальная составляющая силы
мала), либо две. Две точки возникают в стенке и в одной из полок
профиля, если углы наклона невелики, или только в полках, если
углы наклона большие.
Общий случай. Обратимся к общему случаю, когда эпюра нор¬
мальных напряжений имеет три нулевых точки. На рис. 9, а пока¬
зана эпюра нормальных напряжений в предельном состоянии
профиля, если сила Р направлена от стенки швеллера, а на рис. 9, б,
если направление силы пересекает стенку. Как и ранее, параметры
28

и, (1 и V представляют расстояния нулевых пластических точек до
главных осей сечения у их. Учитываются разные пределы теку¬
чести полок и стенки швеллера.
В соответствии с рис. 9, а с увеличением угла наклона силы
эксцентриситет ее приложения все время имеет один знак и выра¬
жается формулой
е=е1=ехсо$а+еу$та= ^ах + "?Г ^ С05а +	+ ау^ зта, (4.1)
где ах — расстояние от полюса А0 до оси стенки; ау — расстояние
от полюса Л 0 до оси х.
Согласно рис. 9, б с увеличением угла наклона силы эксцентри¬
ситет ее приложения уменьшается, может перейти через нуль, а
затем будет увеличиваться, имея противоположный знак.
е = е2 = ех соз а — еу зт а = (ах	^- \ соз а —	— ау \ зт а.
Пользуясь рис. 9, находим .следующие выражения для силовых
компонентов Мх, Муу В:
Последнее уравнение отвечает условию равновесия, по кото¬
рому продольная сила N в сечении равна нулю.
В выражениях Му, б, N верхние знаки соответствуют рис. 9, а,
а нижние — рис. 9, 6.
Мы получили две системы четырех уравнений, из которых на¬
ходим зависимости между силовыми компонентами, исключая ве¬
личины и> (1 и V,
В обоих случаях
(4.2)
Мх—оТПЬпН (2х0—Ь+и+й)+ схтсбс^ ^	V2
Му = сгтпбп (^	с^) 2атс Ьсх<р\
В = Мхах + Муау + Сттпбп — \Ь2 — (х0 -1- и)2 — (х0 + й)2|;
(4.3)
N = 2атп6п (и — Л) ± 2<гтАа — о.
(4.4)
29

= Т^(±/^-К + 8Т /
Подстановка величин (4.4) в первое уравнение (4.3) дает
— дпЬН■
ОтпОпЬ2
ОтА
где при направлении силы от стенки швеллера
о _ п _ В — М*а* + МУаУ . с _ о
А — А1 — 	 . «,	> 0—0!
а при направлении ее к стенке
В — Мхах — Муау
Ми
Д=/?2 =
ОупЬпН
3 = 5, =
2атп6п’
Му
2сттпбп
(4.5)
(4.6)
(4.7)
Формулу (4.5) можно получить также из уравнения (2.12), по¬
лагая в нем N = 0.
Выразим силовые компоненты через момент М при косом изгибе
и угол а наклона внешней силы с осью у:
Мх = М соз а; Му = М зт а;
В = Мхеху ± МувуУ = Меу.
(4.8)
Верхние знаки относятся к первому случаю (рис. 9, а), а ниж¬
ние— ко второму (рис. 9, б); е—эксцентриситет приложения на¬
грузки относительно полюса А0 принимается либо по формуле
(4.1), либо по формуле (4.2); у — коэффициент при бимоменте, за¬
висящий от вида нагрузки, длины стержня и закрепления его кон¬
цов [78].
Вводя выражения (4.8) в формулу (4.5), получим
(4.9)
30

причем в первом случае
а во втором случае
Если в зависимости (4.9) освободиться от радикалов, приходим
к уравнению четвертой степени относительно величины —, в ко¬
торую входит предельная нагрузка. Проще, однако, решать это
уравнение путем подстановок в том виде, как оно записано.
Небольшие углы наклона силы. При отсутствии нулевой пла¬
стической точки эпюры напряжений в одной из полок швеллера,
т. е. при наличии двух параметров (и, V или V, й) системы уравне¬
ний (4.3) упрощаются.
Если сила направлена от стенки Л = Ь — х0 (рис. 5, а), то
первая система преобразуется к виду
а если сила направлена к стенке и = Ь — х0 (рис. 5,6), то вто¬
рая система запишется так:
Му = атпбп [и2 — ф — х0)2] — 2огтс6сХ0у;
в = Мхах — Муау — атпбп у (*о •+ и)2;
N = 2атпбп (и — Ь -|- х$) -}- 2о,тсбс^ = О,
(4.12)
31

Му = атпбп [ф — х0)2 — <Р] + 2атс6сХ(Р\
к
В — Л1х@х ~Ь Муау сгтп6п (х0 4" ^О2»
N = 2атпбп ф — х0 — (1) — 2атсбсУ = 0.
(4.13)
Решаем полученные системы уравнений аналогично предыду¬
щему, а именно, определяем параметры и, V или у, й из трех по¬
следних уравнений и подставляем в первое.
В обоих случаях между тремя силовыми компонентами в предель¬
ном состоянии швеллера будет зависимость
^ + ^(-я±$)=рл47г1/~ т-*±5==
СГ-гп атсОс	0ХсОс \	2
__0тс. №	3 ОУпбпб2
—0ТП с 4	2 стхсбс
(4.14)
где и 5 выражаются формулами (4.6) и (4.7), а Р± — формулой
(2.19). Верхние знаки при 5 относятся к направлению силы от стен¬
ки швеллера, а нижние справедливы, когда сила направлена к стенке.
После возведения зависимости (4.14) в квадрат
Мх
0ТП
^тпбп
СГтсбс
(-Я±5)
2
+ 2
М*
Отп
гг А2
Отп°п
0тсбс
<-Я±5)
Е +
+ Е2 — //:1СТтпбп^^2
о,
где Е представляет постоянную величину:
3 оупбпЬ2 <т
Е =
2^2	_ Нг
4
ЬС'Е-.
(4.15)
(4.16)
2 Отсбс
Заменяя силовые компоненты через момент М и угол а накло¬
на внешней силы по формулам (4.8), получим
М*0* + 2—2 + Е2 — ^4х^Мг-У=0,	(4.17)
П		0ТП	^ \ 0тсОс
откуда в первом случае согласно рис. 5, а
М
1_
"<П
-2,±/ *_<«(*-*
и во втором случае (рис. 5,6)
(4.18)
(4-1Ч
32

Здесь
Ох = соз а + -тп^п Сх, 02 — соз а +
&ТсОп
гг А2
°ТП°П .
_ х' и*'
О'тгО с
г' = 0'Е-т{Р'Щсс
С1 и О2 находим из выражений (4.10) и (4.11).
(4.20)
10.
б
Таким образом, при наличии трех компонентов и двух пара¬
метров величина предельной нагрузки определяется из квадратного
уравнения.
Отметим, что формулы (4.18) и (4.19) дают несколько завышен¬
ные значения предельной нагрузки для малых углов наклона
(0	по сравнению с формулой (4.9). Хорошее совпадение
по указанным формулам получается для углов наклона ~
Большие углы наклона силы. При больших наклонах внешней
силы эпюра нормальных напряжений изменится и будет иметь
нулевые пластические точки (две) только в полках (рис. 10, а, б).
Согласно рис. 10 справедливы следующие системы уравнений:
Мх =	сгТпбпк (— и
Му = ± сгтибп [— (Ь — х0)2 — хо + и2 + а2] 4= сгтАЛ*0;
(4.21)
р.
В = Мхах Муйу Мхх0 0тП6п ~2	^2)»
N = ± 2атпбп (2х0 — и — й — Ь) ± о1СЬсН = 0.
3—1338
33

Верхние знаки соответствуют направлению силы от стенки швеллера,
а нижние — к его стенке.
Системы уравнений (4.21) имеют несколько решений. Для на¬
хождения необходимых нам зависимостей в первом случае исклю¬
чаем параметр а во втором — параметр и, для чего в системах
(4.21) комбинируем первое уравнение с четвертым, а второе с тре¬
тьим:
^ _ 4б> (— # ± 5) + 2 — д„Н I Ь
атп	0тп
^тс8ск
2атпбп
= 2Ьпк2Ту, (4.22)
где Ту—пластический момент сопротивления швеллера относитель¬
но оси у с учетом разных пределов текучести полок и стенки;
ЬпЪк •
Л *2*2
^ТС^С к
„2
отп
4бп
(4.23)
Подставляя в формулу (4.22) значения силовых компонентов по
формулам (4.8), приходим к квадратному уравнению относительно
М
величины —:
СГтп
М2 2
-к- соз2а —
<Ьп
4М8пк
&ТП
К — 2Ьпк2Ту = 0.
Отсюда при направлении силы от стенки швеллера
УИ_ = ^бпй.	к\ . т'л
Отп со5 а \ со5 а V соз2 а 2бп /
и при направлении силы к стенке
(4.24)
М
причем
а
тп
Кг = Сгбик -
соз а
~2~
28^ / _К2_ , -I /~ К% Ту]
соз а \Соз а V соз2 а 2бп у
отсЬсН \
2<Хгп6п у
/Сг —
соз а
~2~
Ь
(4.25)
\
2атп8п)
(4.26)
а остальные обозначения известны из предыдущего.
Формулы (4.24) и (4.25), как и следовало ожидать, дают завы-
М
шенные значения — для малых углов наклона силы в промежут¬
ок!!
ке от нуля до рад и очень хорошо совпадающие с формулой
(4.9)	значения для остальных углов.
34

Поперечный изгиб с кручением. Если внешняя сила приложе¬
на перпендикулярно полке швеллера (рис. И), горизонтальная
составляющая силы отсутствует (Му = 0). Тогда в системе урав¬
нений (4.3) й=и, у=0, и мы получим два уравнения, соответствую¬
щие поперечному изгибу с кручением [78]:
к2
Мх = 0ТП6пк (2х0 — Ь + 2и) + аТсбс
г ь2
В = Мхах + сгтпбпк 2	(х0 + и)2 .
(4.27)
Исключая (х0 + и), находим зависимость между Мх и В в пре¬
дельном состоянии сечения:
Мгх
4отпТ о)бп к
, В-МХР'
ОтпТ/а
(4.28)
Здесь Ты — секториальный пластический момент сопротивления
швеллера с учетом разных пределов текучести полок и стенки:
а через О' обозначено
гу		к отс 6С к
и * ~2 у
(4.29)
(4.30)
Зависимость (4.28) вытекает также из формулы (4.9) при а = 0.
Косой изгиб швеллера. Если сила приложена в центре изгиба
швеллера, то кручения не будет (В = 0) и мы приходим к чистому
косому изгибу профиля (рис. 12).
з*
35

С учетом разных пределов текучести полок и стенки для на¬
правления силы согласно рис. 12, а
Мх = (Ттпбпй (дс0 +'«) + сттс6с — V2
Мд = сттпбп [ы2 — (Ь — х0)2] — 2сттсбсх0у;
ЛГ = 0; 6 — *0 — и— ^фо = 0,
(4.31)
или для направления силы согласно рис. 12,6
Мх = О’тпЙпЛ (х0 Л) СТтс^с У2
Му = атпбп [{Ь — л:0)2 — №) + 2атсбсл:оУ;
N = о-, ь—хо—а— —^V = ^.
0ТП Фп
(4.32)
Зависимость между Мх и Му в предельном состоянии сечения
Мх±М
Отп (Утп
у<^пК_+^ь„р(ь± /-р±мЛг=т’Х' (4 33)
п (Утс Ос 01С 0С \	\	ОтпОп '
где верхние знаки перед Му относятся к рис. 12, а, а нижние — к
рис. 12, б; Рг и Тх выражаются формулами (2.19) и (2.23):
Рг = 26„6 + ^бсй; Т'х = 6ПМ + ^бс
После возведения в квадрат, подстановки значений Мх и Му по
формулам (4.8) и решения уравнений (4.33) относительно величины
М
получим
0хп
Г = М	_1_
<гтп	Ь2
— е±'|/' (р-1*(е1-р\ь^%
*	V	Отс бс
Здесь
(4.34)
(4.35)
/	атп бп . с, 2отпбп&2 атс А й2
1	= соза	— 5Ш а;	^	— бс—;
атс бс	и атсбс атп 4
/О	 т ц , ^1 °тпбп • л
О — ЬЕ0 + — -у-2* 5Ш а.
О-гс^с	.
На рис. 13 показаны эпюры напряжений в упругом и пластиче¬
ском состояниях швеллера, когда сила приложена в центре из¬
гиба перпендикулярно плоскости стенки.
36

Определим момент сопротивления \Ру2 при появлении теку¬
чести в крайнем волокне полок (точка 2 профиля), записав по
рис. 13, а изгибающий момент относительно оси у
Му= 2
д $ПХ0
О’тп^п
Ь—х о
з-<&
— *о)|
а =
&тпХр
Ь — х0
+ абсЛ (— -с0);
(4.36)
г
±
0 1
гг|
I] 1±.
-б,с
б /7 2
-
б
&ТП
Рис. 13.
После подстановки а и деления всего выражения на <гтп
М	1(9	I
V* = ^п=	У б" К + (Ь- *о)3] + йсЦ[.	(4.37)
Момент сопротивления в точке 1 профиля при рассматриваемой
нагрузке будет большим:
=	(4.38)
Л0
Для определения пластического момента сопротивления Т' швел¬
лера относительно оси у воспользуемся двумя уравнениями (рис. 13,6):
Му = 2сГтпбп ^и2—2х0и-\-Ьх0—	—атс6сНх0\
(4.39)
N = 2атпбп (— Ь + 2а) + отсЬсН = О,
откуда, исключая и, получим формулу (4.23).
5.	КОСОЙ ИЗГИБ С КРУЧЕНИЕМ ДВУТАВРА
Общий случай. Обратимся к двухосному изгибу и кручению
двутаврового стержня, вызываемым нагрузкой посредине полки
профиля, наклоненной под углом а к оси у. Силовыми факторами,
связанными с нормальными напряжениями, являются изгибающие
моменты МХ9 Му и бимомент В.
37

На рис. 14 представлены эпюры нормальных напряжений в пре¬
дельном состоянии сечения при направлении внешней силы слева
направо и при ее направлении справа налево. Так как сечение имеет
две оси симметрии, то, очевидно, оба случая дадут одинаковые ко¬
нечные результаты.
Укажем, что при косом изгибе с кручением симметричного дву¬
тавра в упругом его состоянии нулевая точка эпюры нормальных
напряжений в стенке находится посередине высоты стенки (у = 0).
В предельном состоянии для соблюдения условий, по которым
напряжение в каждой точке должно быть равно пределу текучести,
а площадь растянутой зоны сечения должна равняться площади
сжатой зоны (2 2 = 0), указанная нулевая точка, по-видимому,
переместится.
Как и ранее, параметры и, & и V обозначают расстояния от нуле¬
вых пластических точек в полках и стенке профиля до главных
осей сечения.
Принимая полюс для отсчета секториальных площадей в центре
симметрии профиля, в обоих случаях имеем
У
а
5
Рис. 14.
4
(5.1)
В = Т атпбп у (и2 — <ру,
N = 2атп6п (и — й) + 2атс6са = 0.
38

Верхние знаки в уравнениях Му и В относятся к рис. 14, а, а ниж¬
ние — к рис. 14, б.
Решаем систему уравнений (5.1) с учетом верхних знаков путем
определения параметров й, и и о, а затем их исключения:
и = ± |//Л	+ *$3; й = ±	+ Яз + *53;	(5.2)
ь=
Отп^п
СГ-гсбс
(и-й) =
~~ъ^{±]/'т~1*з + 8зТ}/Гт+1*з + 83)’	(53)
е
п _ В О __ Му
3 атпбпА’ °3 2атпбп*
Зависимость между силовыми компонентами в предельном состо¬
янии двутавра
Мх | 2 ^тп^п *
Отп СТтсбс
5з ^	^		К3 + 53 +	— + 7?3 + 53
(т-*»+5>)(
, п I С \ 	 ^ТС X
4+/?з+53 - —бсТ-
2/2
20тс^с
(5.4)
Формула (5.4) вытекает также из выражения (3.8) при N = 0.
Для двутавра силовые факторы Мх, Му, В можно записать через
момент М при косом изгибе и угол а наклона внешней силы так:
Мх = М С05 а; Му = М зш а;
В = 0 ± Муеуу = Меу,
(5.5)
где е — эксцентриситет приложения нагрузки принимаем положи¬
тельным, если закручивание происходит по часовой стрелке, и
отрицательным, если закручивание происходит против часовой
стрелки
к .	к .	/с
е = ех = — 51П а; е = е2 = — у 5Ш а»	(5.6)
аналогично предыдущему через у обозначен коэффициент при бимо¬
менте, учитывающий вид нагрузки, длину стержня и закрепление
его концов.
39

Подставляя (5.5) в (5.4), имеем
Формула (5.7) представляет уравнение четвертой степени отно-
М
сительно величины — и его рекомендуется решать с помощью по-
СГтп
следовательных подстановок, не освобождаясь от радикалов.
тс
С изменением угла наклона а от 0 до рад увеличивается его
синус и уменьшается косинус, поэтому при некоторых углах на¬
клона первый член уравнения (5.7) становится отрицательным.
Из двух знаков, стоящих перед корнями, нужно выбрать знак «—»,
когда первый член положительный, и знак «+», когда первый член
отрицательный.
Решение системы уравнений (5.1) с учетом нижних знаков
после подстановки соответствующих величин Мх> Му и е приводит
также к уравнению (5.7).
Приближенное решение. При отсутствии нулевой пластической
точки эпюры напряжений в одной из полок двутавра, например в
нижней (см. рис. 7), в системах уравнений (5.1) параметр й будет
равен Тогда
N = 2(тТп6п |и —~Ь 2<Хгс$с^ — 0.
40

В обоих случаях зависимость между силовыми компонентами в
предельном состоянии двутаврового профиля следующая:
М
Ж
| Птпип
(Хтп О,
(Т #3 ± 53) =Р ?2
Отсбс \
-4- Т Яз ± $з =
°ТСЛ I * ЬЬ атпь1ь2
~отпс 4+п2 2<тхс6с
(5.10)
Верхние знаки справедливы для направления силы слева направо,
а нижние — для ее направления справа налево; Р2 соответствует
выражению (ЗЛО):
р2 = ьпь + ^ьсн.
Оти
Возведение (5Л0) в квадрат дает
Мх , 0ТП6П
0ТП
+ 2
причем (2 является постоянной величиной:
С2 =
Ртпдп ь2
О тс 6 С 2
н
к*
<2 + <22 =
(5.11)
(5.12)
Подставляя в выражение (5Л1) силовые компоненты Мх, М*,, В
по формулам (5.5), имеем
№02 + 2м_1 + Ф_ьцр	о,
2	Птп	4 \ атсос
2
С>тп
откуда в обоих случаях направления силы
Здесь
(5.13)
(5.14)
°“С03а+^;с>=нк“+й”вг(-е‘1’-|-8|п“) <515>
либо
41

0 “ “5 “ +	= С03 “ + Й 5У (ад “ Т 5‘"
причем
или
(5.16)
Так как эксцентриситеты ех и е2, согласно формуле (5.6), имеют
противоположные знаки, то окончательный результат получается
одинаковым.
Поперечный изгиб двутавра. Когда внешняя сила станет в
плоскости оси у(а = 0), изгибающий момент Му и бимомент равны
:ЕНл
ис
Ь
2
А
Рис. 16.
нулю. Полагая в уравнениях (5.1) й = и = и V = 0, получим
одно уравнение, соответствующее поперечному изгибу профиля:
к2
Мх = отпдпЬН + огтсйс .	(5.17)
Такой же результат дает формула (5.7), где нужно принять а =0.
Предельная эпюра напряжений для этого случая показана на
рис. 15.
Косой изгиб. Если сила приложена в центре изгиба двутавра,
то бимомент отсутствует. Принимая в (5.1) и = (1 и V = 0, получим
два уравнения для чистого косого изгиба стержня (рис. 16).
На рис. 16, аУб изображены два случая распределения напря¬
жений в сечении двутавра, отвечающие разному характеру приложе¬
ния внешней силы Р. Этим случаям соответствуют уравнения, учи¬
тывающие разные пределы текучести полок и стенки профиля:
42

мх = 2атпЬпки + сттс6с —.
Му = ±стхпбп(^—2и?\.
(5.18)
Исключая параметр и, находим зависимость между моментами
Мх и Му в предельном состоянии сечения:
(Мх-агсТхс)2±
втп* хп
Му
отТ у
= 1,
(5.19)
где верхние знаки относятся к рис. 16, а, а нижние — к рис. 16,6;
пластические моменты сопротивления Тхп, Тхс, и Ту для двутавра
имеют выражения:
Ь2	Ь2
Тхп = ЬпЬк-, 7\С = 6С-;	= 6П—.	(5.20)
Зависимость (5.19) после подстановки Мх и Му по формулам
(5.5)	можно написать в виде
М~ 2М
а? „	<?тп соз а
— Тхс — Ьпк? (§ а
0>тп
тс гр2	гр 2
* А"С	I хт\
0.
(5.21)
Отсюда находим единое выражение пластического момента сопро¬
тивления двутавра при косом изгибе или формулу для определения
предельной нагрузки
где
Т
М
Отп
1
соз а
А±
' ПГ*^	| /Р2
*• хс "т" •* хп
А=^Тхс-дпк° 1§ а.
аТп
(5.22)
(5.23)
Формула (5.22) получается также из выражения (5.7), если в
нем положить у = 0 и решить квадратное уравнение относительно
М
Для больших углов наклона силы при нахождении стенки
двутавра в упругом состоянии пластический момент сопротивле¬
ния сечения определяем по формулам работы [78]:
гр М Мх	1 Г х и я к2 иш 1
От огхп соз а соз а	6 (6/2 + «) ]
или
7 =
к
6а соз а
(ат — 6/2) (126па + 6С6).
(5.24)
43

Здесь величину т рекомендуется принимать равной 5, а параметр
а определяется из кубического уравнения
т2 +	^ + 2а2т (к а — Ь) + ак а ^к — Ь^ —
-ШМ6° = 0'	<5-25)
решаемого по формулам Кардана.
Укажем, что при одинаковых пределах текучести полок и стен¬
ки профиля отношение их пределов текучести будет равно еди¬
нице и запись всех предлагаемых формул (гл. I, 2—5) для швеллера
и двутавра упростится.
6.	ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЛАСТИЧЕСКИХ МОМЕНТОВ СОПРОТИВЛЕНИЯ
ТОНКОСТЕННЫХ СТЕРЖНЕЙ, ПОДВЕРЖЕННЫХ ДВУХОСНОМУ
ИЗГИБУ С КРУЧЕНИЕМ
Приведем некоторые расчеты по предельному состоянию швел¬
лерного и двутаврового стержней при двухосном изгибе с круче¬
нием и сопоставим результаты с рас¬
четом по упругому состоянию.
Рассмотрим стержни на двух опо¬
рах длиною / при равномерно распре¬
деленной нагрузке <7 в пролете, при¬
ложенной посередине полки профиля
под углом наклона а к главной оси
у (рис. 17).
Геометрические характеристики се¬
чений. Определим геометрические ха¬
рактеристики сечений в упругом и пластическом состояниях.
Площадь сечения
Р = 26пЬ + 6ск.	(6.1)
I
Рис. 17.
Моменты инерции:
для швеллера
1Х = ^УЧР = Ь п
ЬН2
с 12 ’
1 у | хЧР = бп [ф — *0)3 + х3] + Ьфх2;
(6.2)
44

Ао =
= |тЧР = 6п-^ |\б -ах)3 + а\ + ~ |-а2х |;
Р
/й = а^- = -« + АЗс,
где х0 — расстояние от центра тяжести до оси стенки швеллера и
ах — координата центра изгиба до оси стенки (в пределах упругости)
_бп
Х0 ~ р
36 62
б1,. „ ^
4 )' х 66п6 + 6с/1
(6-3)
для двутавра
/ = 6
662
/I3
63
'щ=б
п 2
Л263
+ бс 12 ’ !у 6п й •
п^-; /, = ^-(2663 + ^3).
(6.4)
Моменты сопротивления:
‘ для швеллера (точка 1 — место присоединения полки к стенке, точ¬
ка 2 — край полки)
у\
ш =
™ ©1
Й7
* зс
*
~ Н/2
= А =
М1
*0
х0 { 3
№ о
_ 1у
У2
Ь —
'©
_ бпЛ
ахН/2
3°*
ТВ' „ _
и
И' ©2 —
Н/2 (6 -
* Л# .
с б •
Г,
©1
Ь — ах
(6-5)
Г,= -5^- = -^-(2662 + й62);
для двутавра
/	А2	/	А2
117 = _” - = 6 6/1-1-6—• 07 = у — 6 — •
*	Н/2	"	+ с 6 ’	*	6/2 п 3 ’
(6.6)
45

Й7 =	1(0 - = б • № = ~й =	Г2662 4- й621
«	6Л/4	6 ’ ^ бмакс 3 ^*°п + л<У-
Здесь аш и ад — коэффициенты Фёппля, зависящие от формы
поперечного сечения и принимаемые для швеллера аш= 1,12, а для
двутавра ад = 1,31.
Изгибно-крутильная характеристика
(6'7)
(полагаем отношение модулей упругости -^- = 0,381); для стержня
на двух опорах с равномерно распределенной нагрузкой коэффициент
8
у = р =
кЧ2 сЬ-^-
(6.8)
где / — пролет стержня.
Пластические моменты сопротивления профилей с учетом разных
пределов текучести полок и стенки:
для швеллера
М	о и*
Т = —— = Ь Ьк 4—— б П
х о	п а
4 1
М 1 (	а	а2 б2 /»2
Г = —^- = 4 6П62 + -^ 6с6Л
" СТтп	2 V П	СТтп С	< бп 4 У
Т Вт	Н (к А2 , °тс . Ьк	°2ТС % А* \
т<о=^- = т б"6	—^б-тб;;
ТП	Х	ТП	ТПП	'
•7’» = ^“Т‘(2“« + Т^И')
или, принимая во внимание, что тт
а	а
= -2™ и т =—^
1/з тс уТ
та =	( 266!
•? + — Ай*);
П </п	7
для двутавра
М	о
Т=—^-= ЬЬк + -=•
* а п ~
к2	Л4	А2
. гр   уг   & ^ .
а п с 4 ’ у ~ <гтп п 2 ’
тп	ТП
(6.9)
(6.10)
46

в.
■ = в.
нь2
а
	 'Г 	 	д
4	’	*	2
(6.11)
Величины коэффициентов аш и ад для предельного состояния
профиля не установлены. Приближенно они могут быть взяты та¬
кими же, как в пределах упругости.
Запишем формулы для моментов сопротивления швеллера и дву¬
тавра при двухосном изгибе с кручением в упругом состоянии.
Рис. 18.
Обратимся к сечению посередине рассматриваемого стержня на
двух опорах (см. рис. 17).
В случае двухосного изгиба с кручением нормальные напряже¬
ния по концам полок двутаврового, а также швеллерного профилей
будут разными.
При направлении силы вниз и ориентировке ее слева направо
напряжения в точках /, 2, 3, 4 швеллера (рис. 18) и двутавра
(рис. 19) имеют вид:
_	Мх	Му	В	__	.; /	С05 а	51П а	еу	\
а1~~ г;-	+	;:
Мх	Му	В	_ . Г	С05 а	5Ш а	зу	\
+	+	_ ( Ж~ + "Ж7 + Ж7);
/с
_ Мх	Му	В	_	., / со$ а	зт а	еу	\	'
03 “	Ж7 + Ж7	_	\~Ж	+1);
_ Мх Му В __ АЛ ( со5 а , зш а еу \
+ + 2/*
Здесь Й7Х, Ц7^ь №^2, 1^а)Ь й^со2 — моменты сопротивления, опре¬
деляемые для швеллера по формулам (6.5), а для двутавра (№*,
УРу = ^у\ = ^2, №<» = 1^(01 = П^со2) —по формулам (6.6); М — мо¬
мент при косом изгибе; е — эксцентриситет приложения нагрузки,
получаемый из выражений (4.1) или (5.6); у—коэффициент при
47

бимоменте, связанный с формой поперечного сечения, видом нагрузки
и закреплением концов стержня.
Как показывают экспериментальные данные [83], в швеллере
для малых углов наклона силы наиболее напряженной будет
точка 1 (левый конец верхней полки), а для больших — точка 2
Рис. 19.
(правый конец полки). В двутавре наиболее опасной для всех углов
наклона остается точка /.
Запишем выражение ог в виде
— М
о! = -^1С05 а +	51П а + №хй^1*у), (6.13)
где знак «—» показывает, что в точке 1 волокно сжато.
Поделив М на и перенеся моменты сопротивления в правую
часть равенства, получим момент сопротивления при двухосном из¬
гибе с кручением
и71 = М!_ =			 (6,4)
1	соз а +	зш а + ЧРхЧ7ищ К )
(укажем, что выражение зависит также от длины стержня, так
как сюда входит величина у).
Момент сопротивления в точке 2 исследуемых профилей
= М_=		 (6
02	—	СОЗ а +	51 п а + №х№у2еу '	'
Аналогично находим моменты сопротивления в точках 3 и 4.
Если ориентировка внешней силы изменится и при направле¬
нии вниз сила будет ориентирована справа налево (рис. 20), то
напряжения в точках /, 2, 3, 4 швеллера и двутавра запишутся так:
Мх Му __ В
01 - Ц7Х +	“ М
соз а
ЖГ
зта еу \
48

Рис. 20.
Здесь перед членом с бимоментом стоят два знака, из которых
для швеллера берем верхний знак, а для двутавра справедлив ниж¬
ний знак. В первом случае наиболее напряженными будут точки 3
и 2 профиля, а во втором — точка 2.
В соответствии с формулами (6.16) нетрудно составить выраже¬
ния моментов сопротивления и для данной ориентировки нагрузки.
Приведем выражения для моментов сопротивления в точках 5,
2 и 4\
= М_= 		.
3	(У3	УРу1УР(0\ С05 а + ^1^(01 51П а ± \Рх№у[еу ’
ш _ м 		„ 17,
2 ~ <72	— Г ^0)2 С05 а — и^Га>2 5Ш а ±	’
™ м
4“ <т4	Г^0)2СО5а —	’
где все обозначения известны из предыдущего.
Когда углы наклона таковы, что направление внешней силы
проходит слева от центра изгиба профиля, то у эпюры напряжений
4—1338
49

от бимомента изменятся знаки (рис. 20). В формулах (6.16) —
(6.17)	это изменение знаков будет учтено величиной е, которая
станет отрицательной.
Используя выражения (6.1) — (6.11), найдем числовые вели¬
чины геометрических характеристик швеллерного и двутаврового
стержней, которые рассматриваем как тонкостенные.
Примем следующие размеры поперечного сечения швеллера:
к = 18,9 см; Ь = 6,95 см; 6С = 0,7 см; Ьп= 1,1 см, а размеры
поперечного сечения двутавра к = 18,86 см; Ь = 10 см; 6С = 0,7 см;
6П = 1,14 см. Пролет стержней / = 300 см.
В обоих случаях учитываем разные пределы текучести стали
полок и стенки профиля: атп = 2400 дан/см2, атс= 2600 дан/см2.
Результаты вычислений при этих данных:
Швеллер	Двутавр
1,
см ,
>Х’
см4 ,
'С
см4
см6 .
см4
Л,
см~]
V
К’
см3 .
V? о, см3 .
■
^0)2’ см* ’
№а, СМ3	.
Х0у см
(Ттп, дан/см2
атс, дан/см:2
Тх> см* .
Г, см* .
Гм, см* .
Т.щ см3 .
а
1759.3
147,2
9187.3
9,327
0,01967
0,206
186,17
79,141
28,92
360,07
228,75 ‘
9,74
1,86
212,21
53.03
431,23
15.04
2,70
300
2418,8
190.0
16896,0
15,76
0,01885
0,221
256.50
38.00
358,34
15,39
2400	“
2600
282,44
57.00
537.51
23,58
0
Далее по формулам (6.14), (6.15) и (6.17) вычислены упругие
моменты сопротивления № в наиболее напряженных точках швелле¬
ра и двутавра при двухосном изгибе с кручением. Эти значения
приведены в табл. 1, 2 и 5.
При небольших углах наклона нагрузки(0—	моменты
сопротивления швеллера меньше в месте присоединения полки
стенке, а при больших углах наклона	] — на краю полки.
50

Следовательно, зона появления текучести в данном профиле будет
зависеть от угла наклона внешней нагрузки.
Определим пластические моменты сопротивления Т швеллер¬
ного и двутаврового профилей при двухосном изгибе с кручением,
применяя формулы гл. I, 4, 5.
Входящие в формулы координаты ах и ау полюса для отсчета
секториальных площадей и коэффициенты у для рассматриваемых
профилей заимствуем из расчета в упругом состоянии, что идет
в запас прочности. Учитываем разные пределы текучести полок и
стенки профиля.
Вычисления проводим для углов наклона силы а = 0,
оо 1о
«ГС зт зх зх зх 5зх ЗХ
12 9 Т* "6“’ Т’ “3~’ Т2 ’ ~2раб-
Швеллерный стержень. Пластические моменты сопротивления
швеллера получены в двух случаях: когда внешняя нагрузка д
направлена вниз от стенки профиля и когда ее направление пере¬
секает стенку.
При вычислении использована формула (4.9) с применением
в первом случае выражений (4.10) и (4.1), а во втором — выраже¬
ний (4.11) и (4.2). Уравнение (4.9) решалось в том виде, как оно
записано, путем последовательных подстановок. Перед вторым и
третьим членами принят знак«—».
Далее в зависимости от изменения угла наклона а установлено
изменение силовых компонентов (отнесенных к пределу текучести полок)
Мх
о
тп
И
, а также изменения параметров и, й, V, что
вычислено по формулам (4.8), (4.6) и (4.4).
Числовые значения при направлении нагрузки вниз от стенки
профиля помещены в табл. 1, а при направлении нагрузки вниз к
его стенке — в табл. 2.
В табл. 1 и 2 приведено отношение причем из двух значе¬
ний сюда входит меньшее.
Величины пластических и упругих моментов сопротивления
швеллера в зависимости от угла наклона внешней нагрузки для
двух рассмотренных случаев ее направления показаны на рис. 21.
Здесь кривые аи б относятся к пластическим моментам сопротивле¬
ния, а тонкие кривые и пунктир — к упругим.
Результаты показывают, что направление силы к стенке профи¬
ля дает большие величины Т и, следовательно, является более
рациональным при двухосном изгибе с кручением, чем направление
ее от стенки.
Кривые Ту а для всех углов наклона силы располагаются выше
соответствующих кривых а, причем расчет по предельному со-
4*
51

Таблица 1
а, рад
е1, см
А
*>1
Ту см3
Гх,
см3
1^2, см3
Т
Г
0
6,00
1,225
0,0704
0,0704
174,1
113,6
31403,6
1,53
л
36
6,80
1,194
0,0223
0,1016
164,4
96,69
263,9
1,70
л
18
7,55
1,154
—0,0260
0,1322
149,6
84,67
132,8
1,77
л
12
8,24
1,106
—0,0740
0,1615
132,8
75,88
89,36
1,75
л
~9
8,87
1,049
—0,1213
0,1896
116,4
69,22
67,72
1,72
л
6"
9,92
0,911
—0,2131
0,2414
89,81
60,08
46,36
1,94
л
Т
10,92
0,655
—0,3378
0,3049
65,73
52,69
32,80
2,00
л
т
11,18
0,354
—0,4395
0,3478
53,17
49,93
24,79
1,98
5л
12
10,68
0,0285
—0,5113
0,3669
46,70
50,74
24,02
1,94
л
~2
9,45
—0,299
—0,5482
0,3609
43,97
55,43
23,21
1,89
а, рад
М
	X
^тп
^тп
в
^тп
а
5х
и, см
с1у см
V, СМ
0
174,1
0
215,2
— 12,26
0
4,17
4,17
0
л
36
163,7
—14,34
230,3
—10,19
— 6,52
3,41
4,53
1,62
л
18
147,4
—26,03
232,8
—7,94
—11,83
2,64
4,77
3,08
л;
12
128,3
—34,40
225,5
—5,81
— 15,63
1,93
4,89
4,30
л
1Г
109,4
—39,81
212,7
—3,98
— 18,09
1,31
4,94
5,27
л
~6
77,78
—44,91
183,5
— 1,27
—20,41
0,38
4,91
6,57
л
т
46,47
—46,47
147,9
1,08
—21,12
—0,46
4,79
7,62
л
“3
26,59
—46,05
122,5
2,44
—20,93
—0,98
4,67
8,19
5л
12
12,10
—45,11
102,8
3,37
—20,51
—1,34
4,57
8,56
л
~2
0
—43,97
85,60
4,12
'—19,99
— 1,64
4,47
8,86
52

Таблица 2
а, рад
е2, ел*
Л2
с2
Т, см3
Г3, смз
Г4, см3
Т
Г
0
6,00
1,225
0,0704
0,0704
174,1
113,6
—31403,6
1,53
я
36
5,15
1,246
0,0387
0,1179
177,2
106,4
—433,9
1,67
я
18
4,27
1,258
0,00658
0,1647
173,4
100,7
—218,9
1,72
я
12
3,35
1,260
—0,0255
0,2100
164,8
96,37
—147,5
1,71
я
9“
2,41
1,253
—0,0572
0,2537
153,3
93,04
—111,8
1,65
я
6"
0,47
1,210
—0,1195
0,3351
128,8
88,98
—76,56
1,68
я
Т
—2,44
1,077
—0,2054
0,4373
99,75
88,22
—54,19
1,84
я
"3
—5,18
0,871
—0,2774
0,5100
81,82
93,79
—44,27
1,85
5я
12
—7,58
0,606
—0,3304
0,5478
71,67
108,0
—39,70
1,81
ю| а
—9,45
0,299
—0,3609
0,5482
66,73
138,3
—38,36
1,74
а, рад
°тп
5
°тп
В
°тп
К*
и, см
й, см
у, см
0
174,1
0
215,2
— 12,26
0
4,17
4,17
0
я
36
176,5
15,45
188,1
— 13,88
7,02
4,85
3,71
—1,66
я
18
170,8
30,17
152,4
—14,85
13,71
5,40
3,17
—3,24
я
12
159,2
42,68
113,7
—15,21
19,40
5,81
2,61
—4,64
я
9~
144,1
52,43
76,04
—15,06
23,83
6,08
2,06
—5,83
я
6"
111,5
64,40
12,50
—13,88
29,27
6,34
1,10
—7,61
я
Т
70,52
70,52
—50,12
—11,57
32,06
6,37
0,054
—9,17
я
У
40,91
70,86
—87,38
—9,52
32,21
6,26
—0,65
—10,02
5я
12
18,56
69,23
—111,8
—7,79
31,47
6,10
-1,17
—10,55
я
~2
0
66,73
—129,9
—6,25
30,33
5,93
1
—1,60
[
— 10,93
53

стоянию для швеллера наиболее выгоден для больших углов накло¬
на ^ в пределах ~	~ рад^ по сравнению с расчетом в пределах
упругости.
На рис. 22 и 23, по данным табл. 1, продемонстрировано изме-
Мх	Му	В
нение силовых компонентов 	, 	, 	и параметров и, • й,
°тп	атп	°тп
V в зависимости от угла наклона а.
В рассмотренном случае с увеличением угла наклона значения
силовых компонентов Мх и В уменьшаются, а значения компонента
Му — растут. Для всех углов наклона параметры й и V сохраняют
один знак, а параметр и меняет знак. Это значит, что при малых
углах и располагается справа от оси г/, а при больших — пере¬
ходит влево от нее.
Представляет интерес определение величин пластических мо¬
ментов сопротивления по приближенным формулам, учитывающим
наличие двух пластических точек в эпюре нормальных напряже¬
ний профиля, и сравнение этих данных с результатами расчета
по формуле (4.9), где учитываются три точки.
Такие вычисления для направления внешней силы вниз от
стенки швеллера проведены по уравнениям (4.18),	(4.24) и поме¬
54

щены в табл. 3, а для направления силы вниз, к стенке швеллера —
по уравнениям (4.19), (4.25) и даны в табл. 4.
Сопоставление полученных величин представлено на рис. 24.
Сплошными линиями нанесены пластические моменты сопротив¬
ления по данным табл. 1 и 2, пунктирными — величины Т со¬
гласно формулам (4.18) и (4.19) и штрих-пунктиром — значения Т9
найденные по уравнениям (4.24) и (4.25).
Наглядно видно, что приближенные формулы дают завышенные
(заниженные) значения моментов сопротивления только для не-
.	я я
больших углов наклона, в промежутке от нуля до	по
55

Таблица 3
а, рад
6?!, СЖ
с
г.
а
Кг
Г, см3 по формулам
°1
(4.18)
(4.24)
0
6,00
0,0704
1,112
— 11,74
1,246
194,6
262,4
я
36
6,80
0,0223
1,032
28,78
0,248
174,1
215,6
я
18
7,55
—0,0260
0,944
69,19
—0,755
153,7
177,4
я
12
8,24
—0,0740
0,848
108,9
— 1,748
134,5
147,3
я
9"
8,87
—0,1213
0,746
147,7
—2,726
117,2
123,9
я
Т
9,92
—0,2131
0,526
221,9
—4,619
90,23
91,97
я
т
10,92
—0,3378
0,168
319,9
—7,176
65,93
66,17
я
3“
11,18
—0,4395
—0,201
396,1
—9,247
53,25
53,27
5я
1У
10,68
—0,5113
—0,557
445,4
— 10,69
46,73
46,73
я
У
9,45
—0,5482
—0,875
464,2
—11,38
43,97
44,03
Таблица 4
а, рад
е2, сж
О,
°2
?2
к2
Г, см3 по формулам
(4.19)
(4.25)
0
6,00
0,0704
1,112
— 11,74
1,246
194,6
262,4
я
36
5,15
0,0387
1,058
14,95
0,587
181,5
231,0
я
18
4,27
0,00658
0,995
41,60
—0,0777
168,8
203,9
я
12
3,35
—0,0255
0,925
67,82
—0,740
156,7
180,9
я
Т
2,41
—0,0572
0,849
94,33
—1,395
144,5
161,2
я
6"
0,47
—0,1195
0,675
142,6
—2,672
123,8
130,3
я
т
—2,44
—0,2054
0,379
207,8
—4,424
98,44
99,76
я
"з
—5,18
—0,2774
0,0575
258,8
—5,875
81,68
81,87
5л
12
—7,58
—0,3304
—0,268
292,2
—6,926
71,75
71,76
я
"2
—9,45
—0,3609
—0,576
305,6
—7,482
66,78
66,95
56

сравнению с уравнением (4.9). Весьма хорошее совпадение по всем
формулам получается для остальных углов.
Двутавровый стержень. Ввиду симметрии двутаврового про¬
филя ориентировка силы, приложенной посередине его верхней
полки (слева направо или справа налево), не играет роли и приво¬
дит к одинаковым результатам. Достаточно рассмотреть один слу¬
чай, например направление силы слева направо.
Аналогично предыдущему найдем пластические моменты сопро¬
тивления двутавра при двухосном изгибе с кручением по формуле
(5.7)	с использованием выражений (5.8). Уравнение (5.7) решаем
путем нескольких проб, не освобождаясь от радикалов, так, чтобы
под корнями оставались положительные числовые значения. Если
первый член уравнения для больших углов наклона становится
отрицательным, перед вторым и третьим членами ставим знак «-г».
Силовые компоненты, поделенные на предел текучести полок,
■	, ——, 	определяем из выражении (5.5), а параметры щ
^тп ^тп ^тп
йу V—из равенств (5.2).
Результаты вычислений помещены в табл. 5 и показаны на
рис. 25, 26 и 27 в зависимости от изменения угла наклона а.
57

Таблица 5
а, рад
е3, см
^3
С3
А,
Т, см3
(Г, см3
Т
Г
0
0
1
0
0
282,4
256,5
1,10
я
36 '
0,82
0,865
—0,0467
—0,0298
238,9
149,6
1,60
я
Те”
1,64
0,723
—0,0932
—0,0595
200,3
106,0
1,89
я
ТГ
2,44
0,577
—0,1387
—0,0885
166,3
82,73
2,01
я
ТГ
3,23
0,426
—0,1832
—0,1169
135,8
68,24
1,99
я
ТГ
4,72
0,114
—0,2678
—0,1708
93,30
51,44
1,81
я
ТГ
6,67
—0,356
—0,3786
—0,2416
66,00
39,26
1,68
я
ТГ
8,17
—0,802
—0,4637
—0,2959
53,90
33,59
1,60
5я
ТГ
9,11
—1,193
—0,5173
—0,3300
48,30
31,20
1,55
я
“2"
9,43
— 1,503
—0,5355
—0,3417
46,60
31,12
1,50
м
М„
В
А,
а, рад
X
У
а, см
й, см
V, СМ
^тп
^тп
^тп
0
282,4
0
0
0
0
5,00
5,00
0
я
36"
237,9
—20,83
43,40
2,02
—9,14
3,72
4,23
0,76
я
78
197,3
—34,85
72,63
3,38
—15,28
2,52
3,62
1,66
я
ТГ
160,7
—43,07
89,75
4,17
— 18,89
1,39
3,21
2,73
я
7Г
127,7
—46,45
96,81
4,50
—20,37
0,35
3,02
4,02
я
ТГ
80,80
—46,65
97,22
4,52
—20,46
0,13
3,01
4,33
я
тг
46,66
—46,66
97,24
4,52
—20,47
0,11
3,01
4,36
я
ТГ
26,95
—46,68
97,27
4,52
—20,47
0,057
3,01
4,44
5я
ТГ
12,51
—46,66
97,23
4,52
—20,46
0,12
3,01
4,35
я
ТГ
0
—46,60
97,12
4,52
—20,44
0,21
3,01
4,21
58

На рис. 25 кривая Т = / (а) располагается значительно выше
кривой Ц7 = /(а). Таким образом, для двутавра расчет по предель¬
ному состоянию приводит к наибольшей экономии для малых углов
наклона в границах от до рад.
оо о
59

Таблица б
а, рад
со
С3
Сз
2з
Ту см3
по формуле
(5.14)
0
0
0
1
—89,25
282,4
я
36
0,82
—0,0467
0,916
—46,91
251,1
я
18
1,64
—0,0932
0,825
—4,092
213,7
я
12
2,44
—0,1387
0,728
38,51
173,6
я
"9"
3,23
—0,1832
0,626
80,83
136,4
я
“6“
4,72
—0,2678
0,407
163,5
86,01
я
Т
6,67
—0,3786
0,0581
277,4
52,89
я
Т“
8,17
—‘0,4637
—0,295
372,5
39,23
5я
12
9,11
—0,5173
—0,628
442,1
32,72
я
"2“
9,43
—0,5355
1
—0,918
481,6
29,70
Примечание: /7а=25>70 см2; (3=89,25 см*.
60

Значения пластических моментов сопротивления двутавра, на¬
несенные пунктирной линией, вычислены в табл. 6 по приближен¬
ной формуле (5.14) с учетом наличия двух пластических точек в
эпюре напряжений сечения. В отличие от швеллера эта формула
дает достаточно хорошее совпадение с уравнением (5.7) для малых
углов наклона в пределах от 0 до рад и существенное расхо¬
ждение с ним (заниженные значения) для остальных углов.
7.	ПРЕДЕЛЬНЫЕ НАГРУЗКИ СТЕРЖНЕЙ ПРИ ИЗГИБЕ И КРУЧЕНИИ
С УЧЕТОМ КАСАТЕЛЬНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ
Теоретические положения. Расчет тонкостенных стержней по
предельному состоянию предусматривает установление опасных
сечений по длине стержня, где происходит выравнивание приве¬
денных напряжений, и затем нахождение величины предельной
нагрузки.
Для каждого из сечений, перешедших в пластическое состояние,
необходимо записать зависимость между внутренними силовыми
компонентами, а затем выразить величины этих компонентов через
пролет и нагрузку стержня с учетом его закрепления. Решение по¬
лученного уравнения для статически определимых стержней (или
системы уравнений для статически неопределимых стержней) от¬
носительно действующей нагрузки дает возможность определить
величину предельной нагрузки.
Рассмотрим предельное состояние двутавровых и швеллерных
профилей при изгибе с кручением, вызванное совместным действием
изгибающего момента МХУ поперечной силы ф, бимомента Я, кру¬
тящего момента при свободном кручении Я и изгибно-крутящего
момента М0.
Предельным состоянием поперечного сечения считаем распро¬
странение текучести по всему сечению, причем распределение
нормальных и касательных напряжений принимаем в виде прямо¬
угольников [78]. Условие пластичности в каждой точке сечения
принято по энергетической теории. Гипотезы, обычные для расчета
тонкостенных стержней [17], остаются в силе.
При этих предпосылках конечное соотношение между пятью
действующими силовыми компонентами (МХу 0,, В, Я, Мц) получено
[78] в виде
(В — ОМх)2 [ (В — ОМхУ МЦВ — ЭМ^ М\
2Т\р + V щр 1 лстр	+
3 Я2
2 Т%
1	гр 3
* й
*- +
2 Н ^
(Мш — <3ах)2
Ыг2
+
(7.1)
61

3 С2 (Л1(о	О.йх)2,
Тй ~2к	ЬН2
— гг2
Здесь Т& — секториальный пластический момент сопротивле¬
ния сечения; Тл—пластический момент сопротивления при сво¬
бодном кручении; С, Э, К — постоянные величины, зависящие
от формы поперечного сечения; ах— координата центра изгиба,
являющегося полюсом для построения эпюры секториальных пло¬
щадей; ат—предел текучести материала при растяжении.
Перечисленные величины имеют следующие выражения:
для двутавра
Тш = *и
НЬ2
4
; ^ = у(2^ + Лб2); С = 8п/г;
т
р =
2 С
• Г
’ 1 хс
х . г/- 1 Тхс г „ п,
- бс 4 , а: - 1 4СГ^ , —0;
(7.2)
для швеллера
С = 6пй; 0=а,—1- +
-|пг); г« = 4 « + «;)•
ЬСН ьг _ ,	26п62
6„8 ’ А	* 4бп6 + бсй
(7.3)
В сечениях однопролетных стержней, где изгибающий момент
Мх и бимомент В имеют максимальные значения, крутящий момент
при свободном кручении в большинстве случаев равен нулю.
При Н = 0 уравнение (7.1) примет вид
{В-РМ^	(В — РМху М\ (В — 7Ж)2~
2Т1К2	у	4 Т^с4	+ 4СГщ/С3
М3 3 Г (З2 {Мш-С1ах)*
4СТЛ + Та[ 2к^~	ЬН2
(7.4)
Бимомент и изгибно-крутящий момент можно выразить через из¬
гибающий момент и поперечную силу следующим образом:
В = Мхеу; Мю = <2еур
(7.5)
где 0— эксцентриситет приложения нагрузки относительно центра
изгиба, а у и у1 — коэффициенты, связанные с В и и меняю¬
щиеся в зависимости от вида нагрузки и закрепления концов стержня.
Подставляя выражения (7.5) в уравнение (7.4) и поделив его обе
части на а*, получим
62

здесь
(7.6)
М
2
х
а
2
т
Яу +
1,
(еу — Р)2 Г1 Г
2Т1К2 [ ^ V
1 +
_1_
2 к
+
ТШК
С(еу — 0)2
(еъ — а*)21
ЬН2
+
1
4СТаК
(7.7)
Выражая Мх и (} в наиболее напряженном сечении (сечениях)
через нагрузку и пролет стержня, в зависимости от условий за¬
крепления, находим формулы для определения предельной нагрузки
с учетом четырех факторов.
Например, для консольного стержня с сосредоточенной силой
на конце нужно принять
МХ = Р1; (2 = Р; у = а- У1= 1.	(7.8)
В табл. 7 помещены полученные указанным путем формулы для
шести случаев . однопролетных стержней при сосредоточенной
и равномерно распределенной нагрузках. Здесь 5 имеет пос¬
тоянную величину, так как для рассмотренных случаев ух =
= 1, а Ру будет меняться с изменением коэффициента у. Чи¬
словую величину этого коэффициента приближенно можно при¬
нять из упругого расчета.
Величины коэффициентов у и уг в наиболее напряженных се¬
чениях рассмотренных стержней, равные а, (5, г\ и т. д., приведены
в работе [78] для значений Ы от 0 до 20 (к — изгибно-крутильная
х ар актер исти ка).
Для получения формул в первых четырех случаях (табл. 7),
достаточно решить одно уравнение.
В случае стержня на двух опорах с равномерно распределенной
нагрузкой по всей длине в среднем, наиболее напряженном, се¬
чении (2 = Л!© = 0.
Для жестко защемленного стержня с равномерно распределен¬
ной нагрузкой по всему пролету, где предельное состояние харак¬
теризуется образованием трех пластических шарниров, нужно за¬
писать условие пластичности для пролетного и опорного сечений.
Кроме того, нужно воспользоваться дополнительным уравнением,
представляющим зависимость между изгибающими моментами в
этих сечениях. Выражение предельной нагрузки определится в
результате решения трех уравнений. В таблице обозначено
/=-ге + дг-	(79>
63

Таблица 7
Схема балки
и нагрузка
Выражение предельной нагрузки с учетом
Мх, В, (}у,
и В
только
М„
только
в
У та +8
р = .
4сг„
Ут$ + 45
р =
8сгт
]/ /^+165
2ог,
<7 =
'	4 5
— ±
2/ *
/ Ла
4%
/ ЛЛ
V—(^2——)1
V 4У* рДле
2°т А
1Гак
8сгт
		I д
/2 ЛД
/
4 М
8Л4Т
2Л4Т
72“
16сУт ^
^2 Л2у+о
3
8МТ
I®-
/еа
4^
1е р
8Д
т
/гт]
2^_
/2еЯ
16АГ,
8^
/2ф,
16В,
14
(2у+е)
64

Если влиянием поперечной силы и изгибно-крутящего момента
пренебречь ((2 = М& = 0), то зависимость (7.4) приобретает вид [78]
М\ В — РМХ
4ст?С7УС
(7.10)
откуда после замены В через Мхеу и решения квадратного уравне-
Мх
ния относительно находим
0 — еч+]/Г
(Э — е у)г +
тшк
>
А.
(7.11)
Здесь величины С, О, К и имеют выражения согласно фор¬
мулам (7.2) и (7.3). Коэффициент у, как уже указывалось, изме¬
няется в зависимости от вида нагрузки и закрепления концов
стержня.
Формула (7.11) преобразуется в выражения предельной на¬
грузки, помещенные во втором столбце табл, 7.
При отсутствии кручения, когда эксцентриситет приложения
внешней нагрузки равен нулю (е = 0), из уравнения (7.11)
М	к2
~йГ = Ь*ЬН + 5с Т > или М* =	= Мт. (7.12)
Т
# По формуле (7.12) определены предельные величины Рт и дт
в третьем столбце табл. 7. Наконец, в четвертом столбце этой таб¬
лицы записаны выражения предельной нагрузки при отсутствии
изгиба и наличии только кручения. Вт= ат Т& обозначает величину
предельного бимомента.
Определение предельной нагрузки для жестко защемленных
стержней. Пользуясь выведенными формулами, определим вели¬
чину предельной нагрузки для жестко защемленных двутавровых
и швеллерных стержней с сосредоточенной силой Р посередине
пролета, приложенной с эксцентриситетом е.
Сопоставим величины предельной нагрузки, найденные по
формуле (7.4), учитывающей наличие нормальных и касательных
напряжений, и по формуле (7.11), учитывающей только нормаль¬
ные напряжения.
Вычисления проведем для прокатных стержней длиной / = 100,
200 и 600 см при эксцентриситетах е приложения нагрузки отно¬
сительно центра изгиба, равных 0, 1,5, 10, 15, 20 и 25 см.
Двутавровые стержни. Примем сечение стержня из двутав¬
ра с размерами к = 18,86 см\ 6=10 см\ 6С = 0,7 см\ 6П=1,14 см.
При этих данных получим следующие расчетные величины по
формулам (7.2):
5—1338
65

Та = 537,51 см4; Та = 17,62 сж3; С = 21,50 сж2;
Тхс = 62,25 сж3; Э = 1,4476 сж; /С = 0,9162; а* = 0.
Пластический момент сопротивления относительно оси х и момен¬
ты инерции сечения при кручении определяются из выражений:
Г* = 6ПМ + 6С-^;	(7.13)
1 /»263
/^|(2563 + Й63); /Ш = 6П-^-,	(7.14)
откуда
Тх = 277,25 см3; 1а = 12,033 см4; /*> = 16895,7 см6.
Изгибно-крутильная характеристика
0'ШШ7-"'01647 '*"'
Для жестко защемленного двутаврового стержня с сосредоточен¬
ной силой посередине пролета при / = 100 см и к1 = 1,647
■у = Т] =
4
сЬ
Ы
2
и, и Ы
Ы зЬ—2~
4(1,3591 — 1)
1,647-0,9205
0,9474.
Соответственно при I = 200 см и к1 = 3,294 т) = 0,8221;
при / = 600 см и Ы = 9,882 т) = 0,3990.
Величину предельной нагрузки Р, отнесенную к пределу текуче¬
сти от, находим с учетом четырех факторов (Мх, <2, В, Мш) по
формуле (см. табл. 7)
«т УРРп+ 165 ’
где Рц и 5 выражаются формулами (7.7), а вместо у подставляется
коэффициент т).
Укажем, что в выражении для /?л перед корнем нужно брать
знак «—» при малых эксцентриситетах приложения нагрузки, когда
разность (ег\ — О) отрицательна. Коэффициент у,, связанный с из-
гибно-крутящим моментом Ма, в рассматриваемом случае равен еди¬
нице, а координата центра изгиба ах равна нулю.
Результаты вычислений для двутавровых стержней с тремя раз¬
ными отношениями их длины I к полной высоте к0 сечения при
шести заданных эксцентриситетах е сведены в табл. 8. Величины
66

Таблица 8
/
н0
е, см
Л
Р
	дл
ат
только Мх
я двутавра с
мх, в
учетом
Мх, В, (},
ч,
Снижение,
%
0
22,180
22,180
17,786
19,81
1
18,274
15,522
15,06
5
8,662
8,231
4,98
5
10
0,9474
4,536
4,432
2,29
15
2,985
2,936
1,64
20
2,211
2,179
1,45
25
1,752
1,729
1,31
0
11,090
11,090
10,392
6,29
1
9,378
8,941
4,66
5
4,840
4,761
1,63
10
10
0,8221
2,615
2,594
0,80
15
1,730
1,720
0,58
20
1,282
1,276
0,47
25
1,015
1,011
0,39
0
3,697
3,697
3,668
0,78
1
3,410
3,388
0,65
5
2,448
2,438
0,41
30
10
0,3990
1,650
1,644
0,36
15
1,180
1,177
0,25
20
0,898
0,896
0,22
25
0,717
0,716
0,14
Р
	 в зависимости от е нанесены в виде сплошных кривых на
рис. 28 (а—стержень / = 100 см с отношением -г- = 5; б — стер-
«о
жень / = 200 см с = 10; в — стержень / = 600 см с ~ = 30).
Аналогично для рассмотренного случая найдены значения — при
ат
учете только нормальных напряжений от двух факторов (Мх и В)
по формуле
а I Лч’
(7Л6)
где Ач определяется из уравнения (7.11) при у = т).
5*
67

Полученные величины приведены в табл. 8, а соответствующие
кривые показаны пунктиром на рис. 28.
При отсутствии кручения (В = 0) находим (см. табл. 7)
О'т
*ТХ, (7.17)
а при отсутствии изгиба
(М, = 0)
ах /т]
(7.18)
Швеллерные стер¬
жни. Рассмотрим стер¬
жни из швеллера: к =
= 18,9 см; Ь — 6,95 см;
8с = 0,7 см; 6П = 1,1 см.
По формулам (7.3) и
(7.13) находим
Тю = 421,29 см4;
Та = 13,04 см3;
С = 20,79 см2;
ах = 2,426 см;
И = 0,4544 см;
К = I; Тх = 207,0 см3.
Моменты инерции швеллера при кручении
/, = Т(2М2+Ав*);
Ьлк?Ь3 (ЗЬпЬ + 28ск)
12 6ЬаЬ + 6сй ’
(7.19)
после подстановки чисел
1 а = 8,328 см4;	/<а = 9187,2 слв,
а изгибно-крутильная характеристика
к =
8,328
9187,2
=0,01858 ел!
Для жестко защемленного швеллерного стержня с сосредоточенной
силой посередине пролета при / = 100 см и к1 = 1,858

V = Л =
4
СЬ«-,)
,,. ы
л/зп —
4(1,4635—1)
1,858-1,0685
0,9339.
Соответственно при / = 200 см и ^/=3,716 г)= 0,7859,
а при / = 600сл« и ^/=11,148 т) = 0,3561.
Таблица 9
/
Л0
е, см
Л
Р
	для швеллера с учетом
°т
Снижение,
%
только Мх
мх,в
мх, в, <Э,
0
16,562
16,562
13,732
17,09
1
13,464
11,882
11,75
5
6,492
6,275
3,34
5
10
0,9339
3,577
3,513
1,79
15
2,422
2,385
1,53
20
1,822
1,797
1,37
25
1,458
1,438
1,37
0
8,281
8,281
7,847
5,24
1
6,956
6,706
3,59
5
3,679
3,638
1,11
10
Ю
0,7859
2,097
2,084
0,62
15
1,432
1,425
0,49
20
1,081
1,076
0,46
25
0,866
0,862
0,46
0
2,760
2,760
2,743
0,62
1
2,551
2,538
0,51
5
1,867
1,861
0,32
30
10
0,3561
1,310
1,307
0,25
15
0,974
0,972
0,25
20
0,764
0,762
0,25
25
0,623
0,622
0,25
Аналогично предыдущему величины предельной нагрузки Р,
поделенные на предел текучести ат, вычислялись для швеллера
по формуле (7.15), где учитывается влияние нормальных и каса¬
тельных напряжений, и по формуле (7.16), учитывающей только
нормальные напряжения (табл. 9). Соответствующие кривые на¬
несены на рис. 29 в первом случае сплошными линиями, а во вто¬
ром — пунктиром. Обозначения кривых на рис. 29 такие же, как
и на рис. 28.
69

Результаты, полученные для двутавровых и швеллерных стер¬
жней, показывают, что с увеличением эксцентриситета е величина
предельной нагрузки значительно снижается, причем это сниже¬
ние проявляется резко при малых эксцентриситетах приложения
нагрузки (1 — 10 см) и
менее резко — при даль¬
нейшем их увеличении
(10—25 см). Для е=5 см
в стержнях с соотноше¬
нием ~ = 5и тг=10(/=
К	Но
= 100 см и / = 200 см)
такое снижение дости¬
гает— 50%. В стержнях
с т~ =30 уменьшение пре-
п0
дельной нагрузки с ро¬
стом эксцентриситета от¬
носительно небольшое.
Сравнение кривых,
найденных с учетом нор¬
мальных и касательных
напряжений (сплошные
линии) и с учетом лишь
О 5 Ю 15	20 е.см нормальных напряжений
Рис. 29.	(пунктирные линии),
приводит к выводу, что
влияние поперечной силы 0, и изгибно-крутящего момента Мш не¬
велико. Это влияние ощутимо только в коротких стержнях при
небольших эксцентриситетах, а затем с увеличением е сплошные
и пунктирные линии практически сливаются (рис. 28 и 29).
Сопоставление процентов снижения предельной нагрузки для
двутавровых и швеллерных стержней, найденной с учетом четырех
факторов (МХ1 В, <2, Ми) и с учетом двух факторов (Мх, В), показы-
Р
вает, что влияние касательных напряжении на величину — в
(Ух
двутавровых стержнях несколько больше, чем в швеллерных.

ГЛАВА и
НЕСУЩАЯ СПОСОБНОСТЬ ПРОСТЫХ РАМ ПРИ ИЗГИБЕ *
8.	ПРИНЯТЫЕ ПРЕДПОСЫЛКИ
В настоящей главе рассматривается предельное состояние
одноконтурных рамных систем при изгибе. Исследована работа
простых двухшарнирных и жестко закрепленных рам, подвер¬
женных действию вертикальной или горизонтальной нагрузок
в плоскости рамы. Выведены расчетные формулы для определения
предельной нагрузки рамы. Проведено сравнение с расчетом по
упругой стадии, показывающее, что в ряде случаев применение
метода, учитывающего пластические деформации, дает значитель¬
ную экономию металла.
В основу положена упрощенная диаграмма напряжений — де¬
формаций Прандтля (см. рис. 1), состоящая из наклонной и гори¬
зонтальной прямых, где упрочнение материала не учитывается.
Напряжения и усилия в соответствии с методом предельного равно¬
весия [19], рассматриваются вне связи их с деформациями.
Предельным состоянием профиля считается распространение
текучести по всему сечению, а предельным состоянием рамы —
образование п + 1 пластических шарниров, где п степень статиче¬
ской неопределимости системы.
Влияние касательных напряжений не принимается во внимание.
Зависимость между изгибающим моментом М и продольной
силой N в предельном состоянии сечения для тонкостенных дву¬
таврового и швеллерного профилей приобретает вид
М А/2
^7 + ^ал=1’	(8Л)
* В этой главе частично использован материал, опубликованный автором
в работе «Розрахунок простих рам при пластичних деформащях», Вид-во АН
УРСР, К., 1937.
71

или
(8.2)
М Ы* т
<ут + 4ст2бс *’
где ат — предел текучести металла при растяжении; Тх — пласти¬
ческий момент сопротивления относительно оси х, который для дву¬
тавра и швеллера имеет одинаковое выражение
Тх = \ы, + Ь^.	(8.3)
Здесь к, 6, 6с, 6п—размеры поперечного сечения согласно
рис. 30.
Для стержня прямоугольного сечения Ьхй соответственно
М А/2
°т + 4а1ь ~~
(8.4)
где Т — пластический момент сопротивления прямоугольника;
^ ьа2
(8.5)
Рассмотрение одноконтурных рам при изгибе за пределом упру¬
гости проведено на базе методов К- СНгктапп [98, 99] и Н. В1е1сЬ
[95]. Решение по обоим методам заключается в выравнивании
моментов (при постоянном сечении стержней конструкции) или
напряжений (при переменном их сечении) в местах появления пла¬
стических шарниров.
Спгкшапп производит выравнивание эпюры моментов стати¬
чески определимой системы проведением замыкающей линии таким
путем, чтобы предельная эпюра моментов отвечала условиям равно¬
весия. Остальные расчетные величины находятся из условий ста¬
тики.
«,В1е1сЬ выравнивает эпюру моментов (или напряжений) ста¬
тически неопределимой системы. Для выравнивания он пользуется
эпюрой самонапряжений, которая соответствует остаточным дефор¬
мациям и зависит от степени статической неопределимости системы.
При наличии лишних закреплений эпюра самонапряжений воз¬
можна также в результате перемещения опоры, изменения темпе¬
ратуры и т. п.
Исследование [75] показывает, что предельная эпюра моментов
зависит от характера нагрузки, от степени статической неопреде¬
лимости системы и от формы поперечного сечения конструкции.
Выбор системы для выравнивания не влияет на получение конечных
результатов, т. е. предельная эпюра моментов рамы окажется
одинаковой, будет ли при данной нагрузке произведено выравнива-
72

ние для статически определимой системы или для статически не¬
определимой. Таким образом, при постоянной нагрузке замыкаю¬
щая линия эквивалентна линии самонапряжений.
Для двухшарнирной прямоугольной рамы, где имеется только
одна лишняя неизвестная, эпюра самонапряжений может быть
только одного вида. Она располагается внутри контура со знаком
«—» или снаружи со знаком
У
а а
,$п
и. т.
а
и.и
4
Ц.т.
Рис. 30.
«+» и на ригеле горизонта¬
льна.
Эпюра самонапряжений
для прямоугольной жестко за¬
крепленной рамы будет иметь
разный вид вследствие того,
что самонапряженное состоя¬
ние зависит от трех неизвест¬
ных, соотношение между ко¬
торыми может быть различ¬
ным.
Прийдя к выводу о тож¬
дественности методов Спгк-
тапп и В1е1сЬ при постоянной нагрузке, считаем, что наиболее прос¬
тым решением является выравнивание эпюры статически определи¬
мой системы, так как в данном случае не требуется предваритель¬
ного решения задачи в упругом состоянии. Выравнивание удоб¬
но производить при помощи эпюры самонапряжений для заданной
статически неопределимой системы. Другими словами ординаты
эпюры самонапряжений должны быть выбраны таким путем, что¬
бы, после их сложения с эпюрой от нагрузки для основной (ста¬
тически определимой) системы, моменты или напряжения в опа¬
сных сечениях выравнивались.
Выравнивание моментов в месте появления пластических шар¬
ниров выражается формулой
\М1 + М1\ <МТ,	(8-6)
где М1 — величина момента в точке I от внешней нагрузки для ста¬
тически определимой системы; Мь — момент эпюры самонапряже¬
ний в том же месте для заданной статически неопределимой си¬
стемы; Мт — предельное значение момента.
При разном сечении стержней рамы выравнивание напряжений
можно представить в виде
I О; + о. | < стт.	(8.7)
Здесь а. — напряжение в точке I от внешней нагрузки, сг. — на¬
пряжение, вызванное наличием неизвестных в состоянии самонапря¬
жений; а—предел текучести материала.
73

Для выяснения влияния характера нагрузки нами исследованы
сначала двухшарнирные, а затем жестко заделанные рамы отдельно
при вертикальной и горизонтальной нагрузках.
9.	ДВУХШАРНИРНЫЕ РАМЫ ПРИ ВЕРТИКАЛЬНОЙ НАГРУЗКЕ
Рассмотрим предельное состояние двухшарнирной рамы постоян¬
ного сечения при вертикальной нагрузке, вызывающей появление
п + 2 пластических шарниров (рис. 31, а, в). Шарниры образуются
Рис. 31.
в пролете и на опорах ригеля. Опорные моменты ригеля, благо¬
даря их равенству
МС = МВ,	(9.1)
достигают предельного состояния одновременно.
Как будет показано далее, влияние продольных сил ригеля
и стоек рамы при вертикальной нагрузке весьма невелико по сравне¬
нию с влиянием изгибающего момента, поэтому в большинстве слу¬
чаев продольными силами можно пренебречь. При этой предпо¬
сылке пластический расчет рамы заключается в выравнивании
моментов в трех сечениях ригеля.
Простейшим решением является выравнивание моментов у
основной системы (рис. 31, б), которая имеет эпюру моментов только
74

на ригеле (например, рама с одной шарнирной и другой Катковой
опорами). Такая эпюра эквивалентна эпюре моментов для балки на
двух опорах.
Общая формула расчетного момента в предельном состоянии
Мт=^~,	(9.2)
где М0 — максимальная ордината эпюры моментов от предельной
нагрузки.
Величина Мт достигается в трех сечениях ригеля — в пролете
и на опорах — и не зависит от соотношения длин ригеля — /р и
стойки /с рамы (рис. 31, г).
Продольные силы N и поперечные силы О, определяются из
условий статики (рис. 32).
На основании указанных положений мы получили формулы
для пластического расчета двухшарнирных рам в разных случаях
вертикальной нагрузки. Формулы сведены в табл. I приложения.
Таблица дает предельное значение момента МТ1 расстояние х ма¬
ксимального момента в пролете от левой опоры, значения опорных
моментов ригеля Мс и М0у величины горизонтальных НА = Нв и
вертикальных УА, Ув реакций.
Сравнение данных пластического и упругого расчетов. Сравни¬
вая расчетные величины пластического и упругого моментов двух¬
шарнирной рамы при вертикальной нагрузке, примем во внимание,
что на величину упругого момента влияет соотношение длин ри¬
геля и стойки.
В зависимости от принятых значений /р и /с меняется распре¬
деление величин между положительными и отрицательными мо¬
ментами на ригеле для статически неопределимой системы, кото¬
рые в сумме дают постоянную ординату М0. С увеличением проле¬
та положительный момент ригеля уменьшается относительно отри¬
цательных моментов в углах рамы.
75

Сравнение величин пластического и упругого моментов при¬
ведено в табл. 10 для рам с наиболее употребляемыми соотноше¬
ниями /р и /с при сосредоточенной силе Р и равномерно распреде¬
ленной нагрузке д на ригеле. Указанные соотношения взяты в пре¬
делах от /р = 3 /с до /р = 0,33 /с. Разность дана в процентах,
причем за единицу принята величина пластического момента.
Таблица 10
Соот¬
ноше¬
ние
'р
1с
Сосредоточенная сила Р
посередине ригеля
Равномерно распределенная
нагрузка д на ригеле
Пластиче¬
ский момент
М*
Упругие моменты
Разность, %
Пластиче¬
ский момент
М
Упругие моменты
Разность, %
мв
^//2
Щ/2
3
2
1,5
1
0,67
0,5
0,33
р-т-
—0,82'
—0,75
—0,69 /
—0,60 } Р—5
—0,50 8
-0,43
—0,33
1.18'»
1,25
1.31 1*
1,40> Р-~
1,50 8
1,57
1,67,
18
25
31
40
50
57
67
I2
д—^~
4 16
—1,10 ^
—1,00
—0,92 /2
-М° Ктг
—0,68 I6
—0,58
-0,44
0,90 1
1,00
1,08 /2
1 ’20 ^”ПГ
1,32 16
1,42
1,56
—10**
0
8
20
32
42
56
* В таблице помещена не предельная величина пластического момента Мт ,
Мт
а М =	 для того, чтобы рассматриваемые величины удобнее было сравнивать.
пт
** При соотношении /р = 3 /с с пластическим сравнивается отрицательный
упругий момент Мв, величина которого больше, чем 2.
Результаты показывают, что во всех случаях пластический мо¬
мент меньше упругого, и только для /р = 2 /с при равномерно
распределенной нагрузке ^ их величины одинаковы. Наибольшая
разность получается в рамах с меньшим значением
/с
Сравнение величин продольной силы для тех же случаев на¬
грузки приведено в табл. 11. За единицу принята величина про¬
дольной силы в пластическом состоянии. Из таблицы видно, что
продольная сила ригеля Л^р по пластическому расчету больше,
чем по упругому, и разность между этими значениями увеличива-
/Р
ется с уменьшением соотношения -у-.
I с
Разность в процентах для продольной силы ригеля равна раз¬
ности в процентах при сравнении величин моментов, но во втором
случае — в сторону уменьшения, а для А/р — в сторону увели¬
чения. Продольные силы стоек в обоих случаях одинаковы.
76

Таблица 11
С.оот-
Сосредоточенная сила Р
посередине ригеля
Равномерно распределенная
нагрузка д на ригеле
ноше-
Продольная сила
к
Продольная сила
ние
/
стойки
ригеля
§
стойки
ригеля
§
р
к
« к
н са
О VI
2 о
*=3 и)
С в*
К
СО
и
Он
с
к к
Н со
и чй
2 о
^ о>
С 3*
упругая
н
и чр
О о4*
К
а ь.
я К
Н й
о 3
2 о
С V
со
и
ё:
а
>>
я к
Ь Я
у м
2 о
§ *
упругая
л
н
О Хр
О
Я
со -
со О.
Рн ^
3
2
1,5
1
0,67
0,5
0,33
1
р
Р1р
0,32
0,75
0,69
0,60
0,50
0,43
0,33
Р1Р
18
25
31
40
50
57
67
Я-
'Р
а Ч
1,10
1,00
0,92
0,80
0,68
0,58
0,44
ч
-10*
0
8
20
32
42
56
(
2
«с
«с
1
2
дшс
* Знак «—» показывает,. что при /р=3/с продольная сила ригеля в плас¬
тическом состоянии меньше, чем при упругом расчете (в остальных случаях
она больше).
Напомним, что эти данные относятся к расчету по упрощенной
диаграмме напряжений — деформаций, которая не учитывает упроч¬
нения материала.
Числовой пример. Для сравнения с упругим расчетом при подборе сечений
приведем числовой пример расчета рамы, нагруженной равномерно распределен¬
ной вертикальной нагрузкой д на ригеле (рис. 33).
Рис. 33.	Рис. 34.
Примем: д =10 кн/пог-м, /р = 1С = 6 м; /р = /с = /; предел текучести стали
ат = 2400 дан/см2; аД0П = 1400 дан/см2.
Пользуясь формулами табл. I приложения, находим величину предельного
момента
дЛ 20-62
^Т==~ИГ = " 16'-' =45 КН'М	(9-3)
77

и расчетную эпюру моментов согласно рис. 33.
Продольная сила ригеля
М,
45
Л/п = Н А = Нв = -Л = -г- =7,5 кн
и продольная сила стоек
(9.4)
*с = Уа
20-6
—2— = 60 кн.
(9.5)
формуле (8.2) при N = Nс
. Мг , "с .
450000
— -• .4.
°Т * 4°2А
2400 у
60002
4-240020,65
= 187^2,4=189,4 смК (9.6)
Пользуясь табл. XI, находим I № 20 с пластическим моментом сопротив¬
ления Тх = 208,7 см3. Для этого номера момент сопротивления относительно
оси х, площадь поперечного сечения и вес 1 пог»м следующие: иРж=184 см3,
Р = 26,8 см2 и д = 21,0 кг (см. табл. XVII).
Подбираем сечение рамы по упругому расчету
„	2* + 1 . <	2-1 -м
"макс— 2/г 4" 3	8	“2-14-3
10-62
~8~“
27 /е«*л*;
(9.7)
ТУ
с
2
10-6
—2— = 30 кн,
где к =
/Л
р‘с
'Л
при заданных величинах равно единице.
Подстановка величин (9.7) в формулу сложного сопротивления для I № 20
дает напряжение
М N 270 000	3000
Г* ^ Р ~	184	^ 26,8
1467ф112=1579 дан/см*. (9.8)
что превышает адоп = 1400 дан/см2 на 12,8%.
Переходим к следующему большему номеру двутавра № 20а с величинами
№хг= 203 см3; Р = 28,9 см2; § = 22,7 кг. Тогда получим напряжение
а
270 000	3000
203	^ 28,9
1330 -ф- 104 = 1434 дан/см2я\400 дан/см2.
(9.9)
Превышение веса материала по сравнению с пластическим расчетом —
1,7 кг/псг-м. Экономия для рассмотренного случая составляет 8,1%.
Числовые результаты показывают весьма незначительное влияние продоль¬
ной силы.
Следует отметить, что в использованной формуле (8.2) не учтен
коэффициент продольного изгиба <р, который увеличивает зна-
78

чение члена с продольной силой. СНгкшапп [98] рекомендует в слу¬
чае необходимости принимать ф таким же, как по упругому ра¬
счету. В приведенном примере для принятых размеров рамы и
преобладающего значения момента продольный изгиб можно не
учитывать.
Отметим, что влияние Ыс значительно возрастает при распо¬
ложении силы Р вблизи стойки.
Комбинация вертикальных нагрузок (рис. 34). Здесь ход ра¬
счета остается таким же. Делим пополам максимальный момент
эпюры основной системы (или нагруженного ригеля), который на¬
ходим как сумму моментов от заданных нагрузок. В зависимости
от числовых величин Л4макс может быть посередине пролета, в се¬
чении под силой или между этими сечениями.
Продольные силы (реакции) определяются из условий статики.
10.	РАСЧЕТ ДВУХШАРНИРНЫХ РАМ НА ГОРИЗОНТАЛЬНУЮ
НАГРУЗКУ
Предельное состояние двухшарнирнои рамы постоянного се¬
чения при горизонтальной нагрузке характеризуется появлением
п + 1, т. е. двух пластических
шарниров, ини возникают в тех
местах (при /р = /с = /), где ве¬
личины упругой эпюры момен¬
тов наибольшие.
При действии горизонталь¬
ной нагрузки справедливы та¬
кие условия равновесия гори¬
зонтальных сил и моментов
(рис. 35):
К0-НА-НВ = 0;
мс = нА1с-я0(1с-а0у,
М0 = -,
'в1 с	(Ю1)
где Я0 — равнодействующая горизонтальных сил; й0 — расстоя¬
ние от равнодействующей до линии опор.
Отсюда выводится уравнение равновесия опорных моментов
ригеля
Мс-Мо = Кйй0,	(10.2)
куда моменты нужно подставлять с их знаками.
При пластическом расчете будем пользоваться формулой (10.2),
а для эпюры самонапряжений — формулой
79

мс — мв = 0.	(10.3)
Горизонтальная нагрузка /? приложена в любом месте стой¬
ки (рис. 36, а). Исходя из появления пластических шарниров в
местах наибольших моментов упругой эпюры, выравниваем момент
нагруженной стойки против силы Мя (положительный) с верхним
Рис. 36.
моментом правой стойки — Мв (отрицательным). Продольные силы
стоек ^ — Л^л = Л^п =	^ имеют одинаковую величину, но отли¬
чаются знаками. Разным знакам Ыл и Л^п соответствуют только разные
знаки наибольших напряжений в предельной эпюре напряжений се¬
чения, поэтому все предпосылки относительно выравнивания момен¬
тов остаются в силе.
Представим ход решения в виде отдельных этапов.
1.	Находим предельную нагрузку
Ят = лтЯ.	(10.4)
2.	Определяем упругую эпюру моментов для основной системы
(статически определимая рама с левой шарнирной и правой Катко¬
вой опорами), показанную на рис. 36, б.
3.	Проводим эпюру самонапряжений в середине контура рамы
80

(рис. 36, в) так, чтобы выравнять моменты против силы и в точке О.
Назовем их в предельном состоянии М4 и М2>
М4 = \М2\=МТ,	(10.5)
причем обозначим ординату эпюры самонапряжений на ригеле
через г и определим ее величину. Согласно принятому правилу
знаков она будет отрицательной.
Равенство моментов М4 = \М2\ по рис. 36, в дает
Мн-у-\г\ = \г\,	(10.6)
а подстановка Мк = Ят<1 приводит к выражению
ЯЖ
\г\=4~+]-=—М2 = М1=Мт.	(10.7)
Из уравнения (10.3) находим Мс = М3,
ЯШ ЯШ
м3 = Ягй -мт = я,а - -фру- = уфу- (ш.8)
4.	Определяем горизонтальные и вертикальные реакции, кото¬
рые являются продольными силами ригеля и стоек:
Мт
Ув =
-Уа = *с =
нА = нт-нв,
К-4
(10.9)
/
Эпюра моментов в предельном состоянии рамы показана на
рис. 36, г.
Изложенное решение для горизонтальной сосредоточенной на¬
грузки является наиболее простым. Оно состоит в выравнивании
моментов статически определимой системы при помощи эпюры са¬
монапряжений по В1е1сЬ [95].
Такие же результаты получим, выравнивая эпюру моментов
статически неопределимой системы. Будем рассматривать ее состо¬
ящей из эпюры от распора Н и эпюры от нагрузки Я. В этом случае
ординаты эпюры самонапряжений на ригеле будут иметь мень¬
шую величину:
гх = г — Мн,	(10.10)
где г— величина эпюры самонапряжений на ригеле при выравни¬
вании моментов основной системы; Мн — значение эпюры моментов
ригеля для основной системы от распора.
6—1338
81

Такие же величины (10.7) и (10.8) получаются при решении
по СНгктапп [98, 99], так как предпосылки расчета в обоих слу¬
чаях аналогичны. Приведем ход решения в интерпретации СНгк-
шапп, на что нам придется ссылаться далее.
При действии горизонтальной нагрузки СНгктапп распреде¬
ляет эпюру моментов основной системы так: из эпюры нагруженной
стойки он выделяет эпюру моментов стойки Мо, найденную как
для балки на двух опорах, и откладывает ее с внешней стороны
контура. Эпюра моментов ригеля откладывается с внешней стороны
ригеля в виде треугольника тпп' (рис. 37). Замыкающая прохо¬
дит параллельно линии п — п\ т. е. имеет постоянный наклон
под углом а. Величина угла а (как видно из эпюры на рис. 37)
определяется отношением
тп
I
р
(10.11)
Эпюра выше замыкающей по условию имеет знак « + », а ниже
замыкающей — знак« —». Для того чтобы привести предельную
эпюру к обыкновенному виду, эпюру, образованную замыкающей,
нужно «перевернуть».
Обратимся к нашему случаю нагружения, когда должны быть
равными моменты Мя и М&, т. е. М4 и М*г Определим величину
МТ аналитически.
Пользуясь условием (10.2) и рассматривая момент против силы
как сумму двух величин (см. рис. 37), выравниваемые моменты
представим в виде
=	|М2| = Ятс1-М3.	(10.12)
* Выравнивать опорные моменты ригеля М3=1М2\ в данном случае было
бы неправильно, потому что момент левой стойки против силы # получился
бы больше предельного.
82

Из подобия треугольников х = -у-М3. Тогда равенство момен-
тов = | М21 запишется так:
откуда
Ктса
~Г
з
—	— ма,
(1с-с) =
№ .
М, = М4 = -М2 = ял-м3 =
д+ /с
(10.13)
(10.14)
Решение по Спгктапп при одинаковых конечных результатах
несколько усложнено наличием замыкающей по сравнению с реше¬
нием, приведенным на рис. 36.
Если рама нагружена сосредоточенной силой вверху стойки
(рис. 38), то упругая эпюра моментов имеет одинаковые значения
в углах рамы.
Для того чтобы получить предельную эпюру моментов, доста¬
точно увеличить все ординаты упругой эпюры в пт раз (при ат =
= 2400 дан/см2):
мт^.	(10.15)
Заметим, что сосредоточенную силу вверху стойки можно рас¬
сматривать, как частный случай силы в любом месте стойки. Фор¬
мулы (10.7) и (10.8) после подстановки & = /с приводятся к виду,
аналогичному (10.15).
Соотношение /р и /с рамы на величину расчетных моментов по
пластическому способу так же, как и по упругому, не влияет.
Для расчета по предельному состоянию двухшарнирных рам в
наиболее употребляемых случаях горизонтальной нагрузки вы¬
ведены формулы, помещенные в табл. II приложения, где даны
предельное значение момента МТ9 расстояние у максимального
момента стойки до линии опор, значения моментов Мс и Мо, ве¬
личины горизонтальных #4, Нв и вертикальных — V а = У в
реакций.
, Следует отметить, что в случае равномерно распределенной
нагрузки на стойке максимальные моменты эпюры нагруженной
стойки для основной системы и статически неопределимой зани¬
мают по высоте разные положения. Таким образом, нужно найти
не только величину Мт, но и сечение стойки, в котором действует
этот момент.
Исследование показывает, что положение пластического шар¬
нира не совпадает ни с одним из указанных двух положений, а
83
6*

находится немного ниже, чем Мыакс по упругому расчету. Поэтому
при выравнивании моментов принимаем, что Мт стойки находится
на неизвестном пока расстоянии у от опоры А:
Мт = М0-\- -Н-Мс.	(10.16)
С
Величина у определяется из производной от составленного вы¬
ражения, которую нужно приравнять нулю.
Определив Мт и учитывая, что \М0\ = МТ9 находим величину
момента Мс из уравнения (10.2).
Формулы табл. II показывают, что соотношение длин ригеля
и стоек рамы не влияет на значения расчетных моментов, но отра¬
жается на величине продольных сил стоек.
Сравнение величин М и N по пластическому и упругому ра¬
счетам. Сравнение величин упругого и пластического моментов для
принятых соотношений /р и /с при сосредоточенной горизонтальной
силе приведено в табл. 12. В табл. 13 дано сравнение продольных
2	/
сил. Расстояние силы до опоры А взято равным А = — /с и А =
О	о
Таблица 12
Сосредоточенная сила Я на стойке на расстоянии от опоры
Соот¬
ноше¬
ние
'с
л-1
2
и
Пласти¬
ческий
момент
М
Упругий
момент про¬
тив силы
мк
Разность,
%
Пластиче¬
ский момент
М
Упругий
момент про¬
тив силы
щ
Разность,
%
3
0,650
8
0,820
9,0
2
0,643
7
0,814
8,5
1
о.б на
0,630
‘ Ш
5
0,75 ка
0,804
7,0
0,5
0,613
2
0,790
5,0
0,33
0,6051
1
0,785]
4,5
Результаты показывают, что для рассмотренных соотношений
/р и /с при пластическом решении расчетные моменты меньше, а
продольная сила больше, чем по упругому расчету. Разность между
упругими и пластическими величинами в противоположность верти¬
кальной нагрузке уменьшается с уменьшением /р. Величина этой
разности значительно меньше, чем при вертикальной нагрузке.
Кроме того, указанная разность зависит еще от соотношения А
и /с: с увеличением А — она уменьшается. При А = /с пластиче¬
ский и упругий моменты так же, как и продольные силы, одинаковы.
84

Таблица 13
Сосредоточенная сила 7? на стойке на расстоянии от опоры
Соот¬
ноше¬
ние
'Р
'с
. 2
й=ъ1*
Продольная сила
я
§:
я
н
<-> Ч=>
О сЧ
Я
а ь
ай:
Продольная сила
к
§
я
ь
О чо
О О''
Я
яЗ Ь.
стойки
ригеля
стойки
ригеля
я я
Н стз
У я
Ч о)
С V
я
са
и
Си
К
>>
я к
Н са
2 *
С Я
упругая
я к
Г» я
о
§ 8
<1)
Я Я
я
я
и
>>
си
с
>>
я к
н <я
у Я
2 о
Я си
п я
упругая
3
2
1
0,5
0,33
ч
1
о,б к4-
1с
0,524
0,535
0,555
0,580
0,592)
. к А.
12,5
11,0
7,5
3,3
1,2
к
1
&
0,75/г-р
0,555
0,556
0,590
0,626
0,648)
ч
26,0
25,7
21.4
16.5
13.5
11. ПРЕДЕЛЬНОЕ СОСТОЯНИЕ ЖЕСТКО ЗАДЕЛАННЫХ РАМ,
ВЫЗВАННОЕ ВЕРТИКАЛЬНЫМИ СИЛАМИ. РАМА ПЕРЕМЕННОГО
СЕЧЕНИЯ
Предельным состоянием рамы с тремя лишними неизвестными
нужно считать образование п + 1, т. е. четырех, а при вертикаль¬
ной нагрузке — пяти пластических шарниров.
Для того чтобы предложить самый простой способ решения (вы¬
равнивание эпюры моментов, исходя из количества пластических
сечений), сравним методы СНгктапп [98, 99] и В1е1сЬ [95] приме¬
нительно к расчету жестко защемленных рам.
Рассмотрим, как влияет степень статической неопределимости
на выведенные положения для двухшарнирных рам. Уже отмеча¬
лось, что для рамы постоянного сечения при нагрузке определен¬
ного вида размещение пластических шарниров, а отсюда и эпюра
предельного состояния являются вполне определенными. Эпюра
предельного состояния может видоизменяться, если сечение эле¬
ментов конструкции переменное, например, можно задаться какой-
либо расчетной эпюрой моментов и по ней подобрать размеры и се¬
чения рамы так, чтобы п + 1 или п + 2 сечения являлись пол¬
ностью использованными.
Сравним пластический расчет бесшарнирной рамы с упругим
расчетом по «методу сил». В последнем случае имеем эпюру момен¬
тов нагрузочного состояния и три (по числу неизвестных) эпюры
моментов единичного состояния. После определения величин не¬
известных сумма четырех эпюр дает расчетную эпюру моментов.
При пластическом расчете предельную эпюру моментов будем
рассматривать как сумму двух эпюр: эпюры моментов статически
определимой системы от нагрузки и эпюры самонапряжений, ко-
85

торая представляет собой комбинацию трех эпюр, соответствующих
эпюрам от неизвестных. Эта комбинация подбирается так, чтобы
выравнять моменты основной системы в местах появления пласти¬
ческих шарниров и соблюсти условия равновесия.
Следовательно, эпюра самонапряжений жестко защемленной
рамы может иметь разнообразный вид, так как она зависит от трех
неизвестных, соотношение между которыми может быть разным.
Поясним это иначе. Пусть нужно построить эпюру моментов
от смещения правой опоры жестко защемленной рамы, где имеется
три неизвестных: вертикальная
сила V, горизонтальная Н и мо¬
мент М (рис. 39). Эти силы сводят¬
ся к одной силе Я, действующей по
оси Ь — с, параллельной направ¬
лению равнодействующей сил V и
Н и находящейся на расстоянии
а от правой опоры. Тогда ординаты
эпюры моментов для рамы будут
пропорциональны плечу силы Я
от линии Ь—с до рассматриваемо¬
го сечения.
Если ось Ь — с пересекает кон¬
тур рамы, эпюра моментов (само¬
напряжений) получается разных
знаков. В местах пересечения зна¬
чение момента равно нулю. Та¬
ким образом, в зависимости от по¬
ложения силы Я, эпюра самонапряжений может быть одного знака
(внутри или снаружи контура рамы) или разных знаков.
Вид эпюры самонапряжений определяется выбором основной
системы. Для любой новой основной системы, где эпюра нагрузоч¬
ного состояния принимает иной вид, эпюра самонапряжений будет
соответственно иного типа. Значит, расчетную эпюру моментов
можно получить разными способами.
При решении двухшарнирных рам изменялась только величина
ординат эпюры самонапряжений в зависимости от основной си¬
стемы; в жестко защемленных рамах изменяется и сам вид эпюры.
У Спгкшапп линии самонапряжений соответствует замыкающая
линия, которая также должна учитывать условия равновесия.
Ранее было показано, что выбор системы для расчета как ста¬
тически определимой, так и статически неопределимой приводит
к одинаковым окончательным результатам. Безразлично, вырав¬
нивать ли сразу эпюру основной системы или сначала сложить
ее с эпюрой от неизвестных и получить упругое решение, а затем
выравнять эту суммарную эпюру, подбирая соответствующее зна¬
чение эпюры самонапряжений.
86

Следовательно, принцип решения двухшарнирных и жестко
заделанных рам одинаков, а тогда методы СНгктапп и В1е1сЬ не
должны давать расхождения и при расчете бесшарнирных рам.
При вертикальной нагрузке распор жестко защемленной пря¬
моугольной рамы
НА=НВ.	(11.1)
Для моментов в углах рамы, принимая моменты МА и Мв внизу
стоек положительными (рис. 40, а), получим зависимости
МС = МА- На1с;	Мв=Мв- На1с.	(11.2)
Отсюда выводится следующее условие равновесия:
МС-МА + МВ-МВ= 0,	(11.3)
куда моменты нужно подставлять с их знаками.
Между моментами самонапряженного состояния (рис. 41) су¬
ществует такая же зависимость, обусловленная равновесием гори¬
зонтальных сил:
МС-МА + МВ-МВ = 0.	(11.4)
Так как предельная эпюра моментов представляет сумму упру¬
гой эпюры и эпюры самонапряжений, то она тоже будет отвечать
условию (11.3).
При действии вертикальной нагрузки выравниваем сначала
пролетный и опорные моменты ригеля. Для предельного состояния
всей рамы необходимо образование четвертого пластического шар¬
нира. Если принять его внизу стойки АС, то из уравнения (11.3)
получим такую же величину момента внизу стойки ВО. Таким
образом, предельное состояние жестко защемленной рамы от вер¬
тикальной нагрузки характеризуется наличием п + 2, т. е. пяти
пластических шарниров. Моменты внизу стоек будут одинаковой
величины*.
Принимая за расчетное состояние системы — предельное со¬
стояние, назначаем величину Мл и Мв равной предельному мо¬
менту Мт. Теоретически предельная величина моментов стоек не
будет одинаковой с моментами ригеля, так как продольные силы
ригеля и стоек разные. Исследование показывает, что разность
эта настолько невелика, что в практических расчетах ее можно
не учитывать.
* Значение моментов внизу стоек не определяется ни из уравнения (11.3),
ни из уравнения (11.4), потому что при одинаковой величине эти моменты
удовлетворяют любым значениям. Очевидно, что после достижения пре¬
дельного состояния верхними моментами, моменты внизу стоек могут изме¬
няться в пределах от ~ до Мт.
87

Если рассматривать «предпредельное» состояние рамы, т. е.
время образования трех пластических шарниров в ригеле, значе¬
ние моментов внизу стоек может быть меньшим.
Пользуясь в качестве основной системы любой статически опре¬
делимой системой, или статически неопределимой, находим вели¬
тм1Ш1мш|||
б
чину предельного момента 7ИТ,
который аналогично предыду¬
щему определится формулой (9.2)
Мг = ^,	(11.5)
где Л40 — наибольшая ордината
эпюры моментов ригеля, как для
простой балки.
Из изложенного видно, что
расчет жестко защемленных рам
при вертикальной нагрузке по
сути аналогичен расчету для
двухшарнирных. Разница за¬
ключается только в моментах
внизу стоек Мл и Мв, которые
в двухшарнирных рамах равны
нулю.
Соотношение /р и /с на ве¬
личине Мт не отражается. Оно
может влиять только на очеред-
Мрр - моп
мс
$—^
Мп
- /ТЧ На	Не
** А	)
Рис. 41.
М*
ность образования пластических шарниров.
Порядок образования пластических шарниров. Рассмотрим раму,
нагруженную равномерно распределенной нагрузкой # на ригеле
(рис. 40).
При /р < /с момент упругой эпюры посередине ригеля больше,
чем моменты в углах рамы, которые, в свою очередь, больше, чем
моменты внизу стоек. Поэтому порядок появления пластических
шарниров соответствует цифрам на рис. 40, а.
88

При /р > /с моменты в углах рамы станут большими, чем момент
посередине ригеля, и тогда они перейдут в предельное состояние
раньше (см. рис. 40, б).
При соотношении /р = 1,5 /с пролетный и опорные моменты ри¬
геля будут иметь одинаковую величину (абсолютную) и, следова¬
тельно, достигнут предельного значения одновременно (рис. 40, в).
В этом случае эпюру предельного состояния можно считать ана¬
логичной упругой эпюре моментов ригеля, увеличенной в пт раз.
На рис. 42 приведен числовой пример расчета бесшарнирной
рамы, нагруженной сосредоточенной силой Р = 10 кн на ригеле.
Рама постоянного сечения (/р = /с = /) имеет размеры /р = /с =
= 6 м. Сила Р приложена к ригелю на расстоянии а = 2 м от
левой стойки (рис. 42, а).
Выравнивание моментов показано для статически определимой
(рис. 42, б) и статически неопределимой (рис. 42, в) систем, что
позволяет видеть разницу в эпюре самонапряжений в одном и в
другом случаях. Эпюры самонапряжений нанесены пунктиром.
Окончательный результат в обоих случаях одинаков.
На основании изложенного составлены формулы для расчета
89

жестко защемленных рам при вертикальной нагрузке, приведенные
в табл. III приложения.
Сравнение с упругим расчетом. Результаты показывают, что
пластический момент меньше, а продольная сила ригеля больше,
чем при упругом расчете (табл. 14). Наибольшее расхождение между
этими величинами наблюдается в рамах с соотношением /р =
= 0,33 /с. Разность между упругим и пластическим моментами в
жестко защемленных рамах меньше, чем в двухшарнирных. Это
объясняется тем, что пластический момент в обоих случаях по¬
стоянен, а максимальный упругий для двухшарнирных рам —
имеет большую величину.
Таблица 14
Соот¬
ноше¬
Сосредоточенная сила Р
посередине ригеля
Равномерно распределенная
нагрузка д на ригеле
ние
/
Пласти¬
Упругий
Л
н
Пласти¬
Упругие
моменты
я
н
р
'с
ческий
момент
М
момент
под силой
^1/ 2
о
я
со
Он
ческий
момент
М
мв
М1/2
о
я
со
3
2
1,5
1,0
0,67
0,5
0,33
4
1,14]
1,20
1,25 п /0
1,3з| р~~
1,43 й
1,50
1,60)
14
20
25
33
43
50
60
I2
<7_Р_
4 16
—	1,14)
—	1,07
—	1,00 /2
—0,89} <7_Р.
—0,76 16
—0,67
-0,53,
0,86
0,93
1,00 /2
1 >111 Я^г-
1,24 I6
1,33
1,47
—14
— 7
0
И
24
33
47
Расхождение между продольными силами в жестко защемлен¬
ных рамах (табл. 15) получается большим.
Таблица 15
Соот¬
ноше¬
ние
1р
К
Сосредоточенная сила Р
посередине ригеля
Равномерно распределенная
нагрузка д на ригеле
Продольная сила
К
§
Я
Н
О
Я
8ь.
ай;
Продольная сила
я
§
я
н
у
О о4-1
Я
8 ь.
а^
стойки
ригеля
стойки
ригеля
к к
У я
2 о
с я
я
03
и
>.
си
Я
я я
Н со
а я
2 а
Ч о
с я
упругая
Й к
ь СО
у я
2 *
Ч О)
С Я
я
со
и,
>>
си
с
к я
Н со
о «
2 о
Ч а>
С Я
упругая
3
2
1,5
1,0
0,67
о.,5
0,33
1
<
э
2
2Р/р
8/с
1,290
1,200
1,025 Р/.
1,000} яг-
0,855
0,750
0,600)
35.5
40
48,7
50
57,2
62.5
70
Я~
2
2
16
1,710]
1,600
1,500 /2
1,335 * *
1,140 16/с
1,000
0,795^
14,5
20
25
33.2
43.2
50
60.2
90

В общем случае пластический расчет жестко защемленных рам
при вертикальной нагрузке по сравнению с упругим расчетом дает
меньшую экономию металла, чем расчет двухшарнирных рам.
Рама переменного сечения. Исследуем предельное состояние
одноконтурной бесшарнирной рамы с разным сечением ригеля и
стоек при вертикальной нагрузке.
Рассмотрим раму прямоугольного сечения, где жесткость ригеля
вдвое больше, чем жесткость стоек /р = 2/с, пролет рамы равен
ее высоте /р = /с, толщина стерж-
/
ней & = ширина стойки йс=
1р п	ь
=2-20". ^ама нагРУжена сосредото¬
ченной силой Р посередине ригеля и
(рис. 43).
При заданном сечении ригеля
и стоек моменты сопротивления
стержней рамы разные, а также
будут разными изгибающие мо-
менты в пластической стадии. Рас¬
чет рамы по предельному состоя¬
нию будет заключаться в выравнивании напряжений в местах
появления пластических шарниров, а затем в определении пре¬
дельной нагрузки.
Порядок появления пластических шарниров установим на ос¬
новании эпюры напряжений в упругой стадии.
Моменты инерции ригеля и стойки:
Ш Ь
/77777?
В
Рис. 43.
'Р =
Ьй3
р .
12 ’
Ьй3
С
ИГ’
(П.6)
Принимая во внимание, что / = 2/с, находим высоту ригеля
й3 = 2й3с, или йр = 1,26йс,
а далее площади сечения ригеля и стойки:
/ 1,26/
п	7 п
20
1,26/2
1200 ’
60 20
Моменты сопротивления в упругом состоянии:
/
М\
Ц7 = —Р.
Р 6
/„ \2	1,59/з
1 96 —I — —-	В.-
60-6 V ’	20 / ~~ 144000’
(11.7)
/ /
Р =Ьй =	= .
<1
1200'
(11.8)
(11.9)
91

_ ^	*Р (ЧУ
6	60-6 V 20.У
3
144000*
По формулам для упругого расчета жестко защемленной рамы
с сосредоточенной силой посередине ригеля [35], [85] имеем
* = = 2;
II
с р
„	3Р/
Мр —	Р.
'р/2	16 '
ЗР/
ЛГ = Я =
32/
Р
МР=МР =М' =М^ =
Р/,
16
(П.Ю)
мс„ = Р/р
32
Напряжения в отдельных точках рамы находим по известной
формуле
^ ' М (11.11)
а = 7-±
Г
Величины напряжений посередине ригеля и по концам ригеля и
стоек:
N м?	3Р1	1200 ЗР/ 144000
„р _ _1	. У%/2 _ 	Р		 4	Р
%/2 Рр + Гр 32/с ■ 1,26/2 +	16	1,59/*
= 89	+ 16 981	= 17 070
*р	*р	р
Л/ МБ ЗР 1200	( Р/ 144 000 \
°с °о /-р	32	1,26/2	\	16	1,59/з /
= 89 ^ + 5660-^- = 5749 ^-;	(11.12)
р	р	*р
р _ Л/с	Мс _ Р 1200	/	Р/р 144000	\	_
°с - аЬ - ^	гс - 2	‘ /2	V 16	' /з	У
= 600 ^ + 9000	= 9600
Р	Р	Р
р „ N. № _Р 1200 Р/р 14 400 _
ал “ °в ~ р +	2	/2	+ 32 '	/3
с	с	р	р
= 600	+ 4500 -р = 5100
^Р	Р	Р
92

Распределение моментов и эпюра напряжений в упругой стадии
работы рамы показаны на рис. 44.
Нагрузку рамы при появлении текучести в сечении под силой
определим из выражения
о? = 17 070
Р/2
/2Р
(11.13)
По эпюре напряжений заключаем, что пластические шарниры
возникают: сперва посередине ригеля под силой, затем вверху стоек
и наконец внизу стоек. Будем выравнивать напряжения в трех
сечениях вверху рамы, а напряжения внизу стоек назначаем та¬
кой же величины (сгт).
При распространении текучести справедлива зависимость между
моментом и продольной силой согласно формуле (8.4):
для ригеля
тР =
Мр , N1 _
от 1 4а2тЬ ’
(11.14)
для стойки
Мс N1
Тс =
а 40^6 ’
т т
(11.15)
где величины пластических моментов сопротивления ригеля и стой¬
ки для рассматриваемой рамы
Ы\ 1,59/з
у 	Р_	Р .
р 4	96000’
и 2С	/з
96000'
(11.16)
Принимая во внимание, что в предельном состоянии рамы мо¬
менты вверху и внизу стоек должны быть одинаковы, т. е. нуле-
1С
вая точка эпюры моментов стоики находится на расстоянии —,
93

получим
-м\ = мсс = М1 = -ятА; яр = Ят;
(11.17)
М? + |Л*'|=Л40 = ^Е_;	Яс=^.
Здесь Ят — распор рамы в предельном состоянии; Рт — величина
предельной нагрузки; М0 — момент под силой для основной сис¬
темы.
При этих значениях уравнения (11.14) и (11.15) приобретают вид:
рт/Р
4сг
Нт1с
2сг
Т=Н.
т 2сг
+
+
Рт
Ят .
4о\Ь '
16 о1Ь
(11.18)
Исключая Ят, приходим к уравнению 4-й степени относительно
предельной нагрузки, поделенной на предел текучести <хт:
-й- - 4-16 Ь (2Г - 6/’> + А 646”у! =
'"Т	'‘т	т
= 256 Ь2 [(Тр + Тс) ы\ — Г*].	(!1 -!9)
В результате решения уравнения, принимая <гт = 2400 дан!см2,
находим: Рт = 93 223 дан\ Яс = 46 612 дан и далее Яр = Ят =
= 17 925 дам; М? = 8 605 980дан- сж; = —5 377 500дан-см.
Эпюра моментов в предельном состоянии дана на рис. 45.
Подставляя полученные значения моментов и сил в уравнения
пластичности (11.14) и (11.15) для ригеля и стойки и получая
Т
р
8 605 980	17 9252
2400	+4-2400М0
= 3586+ 1,4 = 3587,4 см3-,
(—5 377 500)
2400
46 6122
4-2400М0
(11.20)
= 2241 + 9,4 = 2250,4 см3,
видим, что величина членов, включающих продольные силы, пре¬
небрежимо мала по сравнению с членами, куда входят моменты.
Если продольными силами ригеля и стойки пренебречь, т. е.
в уравнениях (11.18) положить последние члены равными нулю,
имеем
^!г=т,+т*	<п-21>
т
94

откуда
Рт = 93 240 дан; Нт = 18 000 дан;
А«? = атГр = 2400-
М1 = —оТ = —2400*
1,59«6003
96 000
6003
96 000
8 586 000 5 ан-см; (11.22)
— 5 400 000 дан • см.
Сравнивая числовые значения предельной нагрузки, распора и
изгибающих моментов в первом и во втором случаях, приходим к
выводу, что влияние продольных
сил для рассмотренной рамы весь¬
ма невелико и их можно не учиты¬
вать.
Пластический расчет рамы пе¬
ременного сечения при вертикаль¬
ной нагрузке можно провести так¬
же без эпюры напряжений, поль¬
зуясь непосредственно эпюрой
моментов для основной системы
(продольных сил не учитываем).
При этом максимальный момент
М0 ригеля будем делить не попо¬
лам, как для рамы постоянной
жесткости, а в отношении вели¬
чин пластических моментов сопротивления ригеля Тр и стойки Тс.
Моменты внизу стоек принимаем такой же величины, как и в верх¬
них сечениях.
Следовательно, для рассмотренной рамы
Л4т = х; М?= 1,59 л:;	(11.23)
Л4? + Мт = 2,59л; =	- 13 986 000 дан-см.
Отсюда
= 5 400 000 дан* см; УИ? = 8 586 000 дан • см.
Предлагаемое решение является достаточно простым.
Таким образом, расчет рамы переменной жесткости можно
вести двумя способами: путем выравнивания наибольших напря¬
жений и путем выравнивания моментов упругой эпюры так, чтобы
поделить их в отношении пластических моментов сопротивления
ригеля и стоек.
12.	ДЕЙСТВИЕ ГОРИЗОНТАЛЬНЫХ СИЛ В БЕСШАРНИРНЫХ РАМАХ
При расчете жестко защемленных рам на горизонтальную
нагрузку предлагается строить эпюру моментов путем проб.
Сначала нужно построить соответствующие эпюры моментов для
95

поперечно нагруженных элементов, как для простых балок, с кото¬
рых и начинаем производить выравнивание.
Для двухшарнирных рам при горизонтальной нагрузке наклон
замыкающей был постоянным (эпюра самонапряжений соответ¬
ствует одному неизвестному), т. е. определялся наклоном эпюры
моментов на ригеле для основной системы. Максимальная орди¬
ната тп = 1Ы распределялась между двумя моментами Мс и Мй
в углах рамы (см. рис. 37).
В жестко защемленных рамах величина Ш будет распреде¬
ляться между четырьмя моментами стоек, значение которых (мо¬
ментов) может быть разнообразным, поэтому наклон замыкающей
выбирается произвольно, а эпюра самонапряжений получается
разного типа.
Рассмотрим жестко защемленную раму с горизонтальной на¬
грузкой приложенной к стойке на высоте й от линии опор
(рис. 46). Для горизонтальных реакций имеем зависимость
НА + Нв = я,	(12.1)
а для угловых моментов справедливы равенства:
МС=МА + На1с - Н (1С - ау9 -Ма = -Мв + нв1с, (12.2)
откуда
МВ = МВ + Нв1с = Мй + (К-НА) /с.
Здесь направление реакций Нл и Нв учтено, а моменты при¬
няты с их знаками.
Перенеся моменты в левую часть и сложив уравнения (2.12),
получим условие равновесия моментов в случае действия гори¬
зонтальных сил
Мс — МА + Мв — Мв = ш.	(12.3)
При этом эпюра самонапряжений отвечает условию (11.4).
Предельное состояние рассматриваемой жестко защемленной
рамы наступит с образованием четырех пластических шарниров.
Порядок их образования проследим по упругой эпюре моментов
(рис. 46). Шарниры возникнут сначала в точке Л, затем в точ¬
ке В, далее против силы и наконец в точке И. Следовательно,
в предельном состоянии будем выравнивать четыре момента
стоек:
-МА = М.В=МК = -М0 = МТ	(12.4)
(в стойках продольные силы, имея одинаковую величину, отли¬
чаются только знаком).
Тогда в расчетной эпюре моментов будут две неизвестных ве¬
,96

личины: предельный момент Мт и момент в левом угду рамы Мс•
Для нахождения их составим два уравнения.
Уравнение (12.3) при условии (12.4) примет вид:
Мс + ЗМт = Ш.	(12.5)
Выражая момент стойки против силы через момент Л40, как для
простой балки, и моменты в предельном состоянии по концам стой¬
ки АС: внизу МА = —Мт и вверху Мс (рис. 47), получим постоян¬
ное выражение для любой основной системы, выбранной для расчета
мн = Мт = М0 + .4- (Мт + Мс) - мт,
с
ИЛИ
М0-2Мт + -^-Мс + ^-Мт = 0.	(12.6)
При этом, в зависимости от выбора расчетной системы, должны
изменяться ординаты и вид эпюры самонапряжений.
На рис. 48 показано решение для шести видов системы, приня¬
той для выравнивания моментов: рама с одной шарнирной, а дру¬
гой Катковой опорами; рама с тремя шарнирами; ломаная кон¬
соль; две Г-образных консоли; трехшарнирная рама; рама с же¬
стко заделанными стойками. Задаваясь выравниванием четырех
моментов и пользуясь разными эпюрами самонапряжений, при¬
ходим к одной и той же эпюре предельного состояния, для которой
уравнения (12.5) и (12.6) постоянны. Рассматривая стойку АС, в
каждом отдельном случае получаем эпюру моментов по рис. 47.
Действительно, можно написать такие уравнения:
согласно рис, 48, а
Мт = М0 + ±- МТ — Мт		 (Мс — мт),	(а)
С	с
7—1338
97

а

что при Мс = М°вц—Мс приводит к выражению (12.6);
согласно рис. 48, б
мт = м0 + ~ м°Асн - Мт - у- (МТ-Мг - мс),
с	с
что при Мс = Мс дает выражение (12.6);
согласно рис. 48, в
(б)
мт = м0 + ~м™-мс\
(М-Мс),
(в)
(г)
что при Мс = М°сн — Мс аналогично уравнению (а);
согласно рис. 48, г
Мт = м0 +	+ М1пр)-Мт-^(МА + мс),
с	с
ИЛИ
М0 - 2Мт + ^Мг + у-Л1с = О,
сс	с
что также совпадает с уравнением (12.6).
Моменты в зависимостях (а), (б), (в) и (г) взяты по абсолютной
величине.
Ординаты эпюры самонапряжений определяются из выражений:
МА = -Мт- мв = мт- мс = м™-мс, Ма = -мт, (а')
МА = \М™\-МТ-, МВ = МТ- Мс = Мс; Мс = -Мт; (б')
МА = — Мт\ мв = мт; МС=М™-МС\ мв = М™ + Мт;
(<0
Мд = I МГ I - /И; Мв = Мт Мв; МС = М™-МС:
М0 = МУ"Р + Мт.
Решение уравнений (12.5) и (12.6) дает:
(г’)
шк
Мг	мв ма 2(4 + 1)
МГ = Ш-Ш=-1Г
Ш (24 — /с)
(12.7)
с_*'~ —т	2 (й + у
Эпюра предельного состояния приведена на рис. 49.
7*
99

Продольные силы находим из предельной эпюры моментов,
пользуясь условиями статики:
2Л1
Мв-Мв
I
-г-"'
Знак «—» показывает направление влево относительно ИВ.
ув =
мс-мв
I
Мс + мг
I
= ы_
Ул =
Мв-мс
МТ-МС
I
(12.8)
(12.9)
= — N.
В частном случае, когда сила приложена вверху стойки, т. е.
й — /с, выражения для Мт и Мс по (12.7) принимают вид:
= = (12.10)
Как показывают формулы (12.7) и (12.10), расчетная эпюра
моментов не зависит от соотношения длин ригеля и стоек рамы.
Порядок образования пластических шарниров также не изменяется
потому, что при разных соотношениях /р и /с (в пределах употреб¬
ляемых) моменты упругой эпюры внизу стоек остаются большими,
чем в верхних углах рамы.
Расчетные формулы для жестко защемленных рам при гори¬
зонтальной нагрузке даны в табл. IV приложения.
При составлении формул для равномерно распределенной на¬
грузки на стойке рамы принято во внимание, что упругий расчет
(в зависимости от соотношения /р и /с) дает разную величину момен¬
тов вверху и внизу стоек, от чего зависит положение МмаКс нагру¬
женной стойки, а в пластическом решении величина Мт и положе¬
ние ее по высоте стойки не зависит от пролета рамы. Моменты Мт и
Мс в предельном состоянии стойки АС определяются величиной /с
и нагрузкой и в связи с этим постоянны.
Расстояние у предельного момента стойки до линии опор опре¬
деляем для бесшарнирной рамы по формуле
У =
2 Мт
~я7Г’
(12.11)
100

причем это значение совпадает с соответствующей величиной для
двухшарнирной рамы при горизонтальной равномерно распреде¬
ленной нагрузке на стойке:
Н,
У =
(12.12)
Таблица 16
Сосредоточенная сила /? на стойке на расстоянии от опоры
Соот¬
ноше¬
ние
'р
'с
А
- 2 /
з 1°
<*=А. /с
3 с
Пластичес¬
кий момент
М
Упругий
момент
мА
Разность,
°/о
Пластичес¬
кий момент
М
Упругий
момент
мА
Разность
%
3
—0,492
64
—0,713
90
2
—0,475
58
—0,704
88
1
о,з яа
—0,450
50
0,375 Яй
—о,т:яа
83
0,5
—0,430
43
—0,673
79
0,33
—0,420
40
—0,6651
77
Таблица 17
Соот¬
ноше¬
ние
Ь_
I,
Сосредоточенная сила /? на стойке на расстоянии от опоры А = ^ / с
Продольная сила
стойки
ригеля
г'алиисть, уо для
пласти¬
ческая
упругая
пласти¬
ческая
упругая
А
А
А
0,222
0,250
А
А
0,412
0,422
А
68
64
31
30
0,7Я -г-
0,286
%Т~
0,6/? -1-
0,444
59
26
0,308
0,471
56
21,5
0,31б]
0,489
55
18,5
3
2
1
0,5
0,33
Соот-
Сосредоточенная сила /? на стойке на расстоянии от опоры А = ^
ноше¬
ние
Продольная сила
Разность, % для
'Р
стойки
ригеля
и
пласти¬
ческая
упругая
пласти¬
ческая
упругая
а
А
3
2
А
0,1111
0,125! а
А
0,246
0,256
А
82
80
67
66
1
0,625/? у-
0,143 Я-7-
0,1541 'р
0,75/? -т-
0,278
«т:
77
63
0,5
0,306
75
59
0,33
0,158'
0,322]
74
57
101

Как показывают формулы табл. II и IV, во втором случае Мт в два
раза больше, чем в первом, и потому величина у в обоих случаях
одинакова.
Сравнение с величинами по упругому расчету. Такое сравнение
проведено в табл. 16 и 17 для случая бесшарнирной рамы с сосре-
,	2 / л'
доточенной силой на стоике при а = ^ /с и а = у.
Из табл. 16 и 17 видно, что у жестко защемленных рам расхож¬
дение между упругими и пластическими величинами значительно
больше, чем у двухшарнирных. Оно увеличивается с увеличением
/р и уменьшением А. В противоположность двухшарнирным ра¬
мам при сосредоточенной силе вверху стойки (А = /с) вид эпюры
моментов в предельном состоянии отличается от вида эпюры в упру¬
гой стадии.
Приходим к выводу, что при горизонтальной нагрузке расчет
жестко защемленных рам по пластическому способу дает большую
экономию материала, чем расчет двухшарнирных рам.
13.	АНАЛИЗ ПОЛУЧЕННЫХ РЕЗУЛЬТАТОВ
После сопоставления методов К. Спгктапп [98] и Н. В1е1сЬ
[95], которые при постоянной нагрузке оказались тождественными,
нами рассмотрены некоторые случаи нагружения двухшарнирных
и жестко заделанных рам. На основании полученных результатов
подведем краткие итоги.
Двухшарнирные рамы. При вертикальной нагрузке предельное
состояние двухшарнирной рамы наступает с появлением трех пла¬
стических шарниров в верхней ее части. Решения упругой задачи
не требуется и, если пренебречь влиянием продольных сил, расчет
сводится к выравниванию эпюры моментов для основной системы,
которую проще всего выбрать в виде рамы с одной шарнирной, а
другой Катковой опорами. Эпюра моментов для такой рамы будет
только на ригеле и строится она, как для простой балки.
Влияние продольной силы ригеля на величину предельной
нагрузки по сравнению с моментом весьма невелико. Влияние про¬
дольных сил стоек также невелико, но увеличивается в рамах с
небольшими пролетами, где значение момента уменьшается.
При горизонтальной нагрузке предельное состояние рамы ха¬
рактеризуется образованием двух шарниров. Решение ведется для
статически определимой системы. В зависимости от приложения
нагрузки нужно выравнивать пролетный момент стойки с отри¬
цательным моментом в правом углу рамы или два опорных момента
ригеля.
Влияние продольных сил стоек с уменьшением соотношения
/р
1с
возрастает и остается
значительнее, чем влияние
про-
102

дольных сил ригеля. Соотношение /р и /с рамы на величине пре¬
дельного момента не отражается.
Для расчета двухшарнирных рам выведены формулы, помещен¬
ные в табл. I и II.
При комбинации вертикальных нагрузок применимы те же по¬
ложения, что и для одного вида нагрузки. Выравнивание моментов
выполняется по суммарной эпюре для статически определимой
системы.
Сравнение полученных результатов с упругим расчетом пока¬
зывает, что пластический расчет двухшарнирных рам дает больше
экономии металла при вертикальной нагрузке, чем при горизон¬
тальной.
При вертикальной нагрузке расхождение между упругими и
пластическими величинами увеличивается с уменьшением пролета
рамы, а при горизонтальной нагрузке, наоборот,.— с увеличением
пролета.
Таким образом, расхождение, которое дает пластический ра¬
счет, зависит и от соотношения длин ригеля и стоек и от вида на¬
грузки. Наибольшая экономия при пластическом расчете Двух¬
шарнирных рам достигается для высоких рам при вертикальной
нагрузке.
Жестко защемленные рамы. Разница в расчете двухшарнирных
и жестко защемленных рам заключается в том, что эпюра самонапря-
жений для двухшарнирной рамы будет всегда одного типа, а для
бесшарнирной она может иметь различный вид.
При действии вертикальной нагрузки предельное состояние
рамы наступает с образованием пяти пластических шарниров.
Если влияния продольных сил не учитывать, то наиболее простым
решением является выравнивание эпюры моментов статически опре¬
делимой системы.
Пользуясь эпюрой самонапряжений, выравниваем три мо¬
мента нагруженного ригеля, который рассматриваем как балку
на двух опорах. Образование трех пластических шарниров в верх¬
ней части рамы характеризует «предпредельное» состояние системы.
Предельным состоянием системы будет наличие пластических шар¬
ниров также внизу стоек. Эти моменты определяются из уравнений
равновесия и имеют одинаковую величину Ма=Мв = Мт.
При таких условиях значение предельного момента не зависит
от соотношения размеров рамы, которые, однако, будут влиять
на порядок образования пластических шарниров.
Влияние продольных сил ригеля больше, чем в двухшарнирных
рамах, но по сравнению с величиной момента незначительное. Оно
растет с увеличением нагрузки и увеличением пролета рамы
(уменьшением длины стоек).
Влияние продольных сил стоек увеличивается с увеличением
нагрузки и уменьшением пролета. Если внешняя сосредоточенная
103

сила расположена вблизи одной из стоек, то продольная сила этой
стойки заметно возрастает. Тогда значение предельного момента
стойки нужно определять с учетом продольной силы по формуле
(8.2).
Расчет рамы переменной жесткости при вертикальной нагрузке
проводится путем выравнивания эпюры напряжений либо назна¬
чения моментов в предельном состоянии рамы так, чтобы эпюра
моментов ригеля для основной системы была поделена в отношении
пластических моментов сопротивления ригеля и стоек. В боль¬
шинстве случаев влияние продольных сил невелико и его можно не
учитывать.
При действии горизонтальной нагрузки для получения пре¬
дельного состояния рамы следует выравнивать четыре наиболь¬
ших момента стоек. Порядок появления пластических шарниров
можно проследить по упругой эпюре моментов. Прежде всего пре¬
дельного значения достигают моменты внизу стоек, имеющие са¬
мую большую величину. Выражение предельного момента опре¬
деляется из условия (12.6).
Влияние продольных сил по сравнению с моментом незначи¬
тельно. В зависимости от приложения нагрузки большее влияние
могут оказать продольные силы ригеля или продольные силы стоек.
Аналогично предыдущему, влияние продольных сил ригеля уве¬
личивается с увеличением пролета и уменьшением рамы, влияние
продольных сил стоек увеличивается с уменьшением /р и увели¬
чением /с.
Небольшое значение продольной силы объясняется типом рам
(в прямоугольных рамах N вообще невелико) и отсутствием слу¬
чаев, когда сосредоточенная сила находится на ригеле вблизи угла
рамы.
Для расчета бесшарнирных рам получены формулы, сведенные
в табл. III и IV.
Анализ сравнения с упругим расчетом приводит к выводу, что
в жестко защемленных рамах при вертикальной нагрузке пласти¬
ческий расчет наиболее выгоден для высоких рам (/р < /с)‘> ПРИ
горизонтальной нагрузке, наоборот, наибольшая экономия дости¬
гается в рамах с большим пролетом (/р > /с).
В зависимости от заделки стоек наиболее экономичными явля¬
ются: при вертикальной нагрузке — двухшарнирные рамы, а при
горизонтальной нагрузке — жестко заделанные.

ГЛАВА III
ИЗГИБ С КРУЧЕНИЕМ ОДНОКОНТУРНЫХ РАМ
ПРИ НАГРУЗКЕ НА РИГЕЛЕ, ПАРАЛЛЕЛЬНОЙ
ПЛОСКОСТИ РАМЫ
14.	РАСЧЕТНЫЕ ПРЕДПОСЫЛКИ
Как уже указывалось во введении, достаточное количество тео¬
ретических и экспериментальных исследований относится к работе
металлических рам при изгибе (без кручения) за пределом упру¬
гости. Расчет рам по предельному состоянию при совместном дейст¬
вии изгиба и кручения, несмотря на актуальность вопроса, в лите¬
ратуре почти не освещен.
В настоящей главе устанавливается несущая способность одно¬
контурных рам из тонкостенных стержней при изгибе с кручением
и предлагаются приближенные методы расчета их по предельному
состоянию. Рассматриваются прямоугольные бесшарнирные рамы
при действии нагрузки на ригеле, параллельной плоскости рамы
и приложенной с эксцентриситетом относительно центра изгиба
сечения (рис. 50).
Для решения задачи следует найти наиболее напряженные се¬
чения рамы, которые перейдут в пластическое состояние. Для
каждого из таких сечений нужно записать условие пластичности
или зависимость между действующими в этом сечении силовыми
компонентами. Несущая способность рамы определится в резуль¬
тате решения системы уравнений, состоящей из условий пластич¬
ности для отдельных сечений с наличием текучести, и вспомогатель¬
ных уравнений, составляемых из условий равновесия.
Количество сечений рамы, где распространилась текучесть,
и порядок их образования будут зависеть от условий закрепления
конструкции и характера приложенной нагрузки, а также со¬
отношения длин ригеля и стоек
105

В одноконтурных рамах, вследствие их простого очертания,
трудно ожидать перераспределения напряжений в упруго-пласти¬
ческой стадии по сравнению с упругим состоянием при прочих
одинаковых условиях. Поэтому сечения, в которых впоследствие
м7
> мт
Предпосылки, обычные для расчета тонкостенных стержней и
изложенные в гл. I, 1, остаются в силе.
Ориентируем оси координат следующим образом: ось г явля¬
ется продольной осью ригеля и направлена слева направо, ось у
служит продольной осью стойки, а ось х выходит из плоскости
рамы.
При нагрузках согласно рис. 50 в ригеле рамы возникают из¬
гибающий в плоскости рамы момент Мх, бимомент Б, сен-венанов
крутящий момент Я, продольная сила Яр, равная распору рамы.
На стойку будут действовать изгибающие моменты Мх (в плоскости
рамы) и Мг (из плоскости рамы), бимомент Б, продольная сила
Яс, равная вертикальной реакции рамы (рис. 51). Укажем, что
крутящий момент Я ригеля является изгибающим моментом Мг
для стойки из плоскости рамы.
Влиянием поперечных сил С1У, С}х и изгибно-крутящего момента
Мы в виду незначительных напряжений, которые они вызывают,
можно пренебречь.
В рассматриваемых случаях нагрузки изгиб ригеля и основной
изгиб стоек рамы происходит в плоскости рамы, поэтому сечение
ее стержней следует ориентировать так, чтобы изгиб имел место
в плоскости наибольшей жесткости профиля. На рис. 52 показано
такое расположение стержней для рам двутаврового и швеллерного
сечений.
На рис. 53 даны знаки напряжений от МХу Б, Мг и N в сече¬
ниях ригеля и стоек рамы из двутавра при нагрузке на ригеле,
приложенной параллельно плоскости рамы с эксцентриситетом
106

{рис. 51). Нагрузка создает закручивание по часовой стрелке, если
смотреть на ригель с правой стороны рамы. Знаком « + » обозна¬
чено растяжение.
При построении эпюр моментов и бимоментов по длине стерж¬
ней соблюдаем такие правила: эпюры изгибающих моментов от¬
кладываем со стороны растянутого волокна; величины бимоментов
со знаком « + » для левого конца стержня откладываем снаружи
гШт
а-о
6-5
6-Ь
■I:
;2*
“-1—1
т*
;т'
НН
_1_ .
“Т“ "
-±.
- —ч— -
•:н
%
—1
Рис. 53.
рамы, а для правого конца стержня внутри рамы (при определении
левого и правого конца стержня наблюдатель становится снаружи
рамы). Эпюры крутящих моментов имеют такие же знаки, как
эпюры поперечных сил: на левом конце стержня знак « + », а на
правом — « — ».
15.	ДЕФОРМАЦИОННЫЕ И СИЛОВЫЕ ФАКТОРЫ, ВЫРАЖЕННЫЕ
ЧЕРЕЗ НАЧАЛЬНЫЕ ПАРАМЕТРЫ. УРАВНЕНИЕ РАВНОВЕСИЯ
БИМОМЕНТОВ В УЗЛЕ
Очередность перехода сечений в пластическое состояние уста¬
навливаем на основании величин напряжений в сечениях рамы.
Для определения напряжений пользуемся расчетом рамы в упру¬
гой стадии ее работы согласно теории рам из тонкостенных стерж¬
ней [26].
Расчет одноконтурных бесшарнирных рам при внецентренной
нагрузке на ригеле, параллельной плоскости рамы, показывает,
что при использовании метода сил получаются независимые уравне¬
ния для определения основных лишних и дополнительных неизве¬
стных.
К основным неизвестным относятся моменты и силы, а к допол¬
нительным — бимоменты. Вместо бимоментов в качестве допол¬
нительных неизвестных удобно принимать также депланации в
узлах рамы, так как их будет меньше, чем бимоментов. При этом
величины бимоментов по концам стержней будут несколько мень¬
шими, чем при кручении стержней с жестко заделанными концами.
107

Обратимся к системе уравнений В. 3. Власова [17] для дефор¬
мационных и силовых факторов тонкостенного стержня, выражен¬
ных через начальные параметры, которая получена им в результате
интегрирования дифференциального уравнения кручения
Е1/У-ШаГ-т=0.	(15Л)
Крутящая нагрузка т расположена на части стержня (рис. 54).
Рис. 54.	Рис. 55.
При наших знаках и обозначениях [26], когда
система уравнений принимает вид:
п п	Вл ии АЙ ,,	1,ч,
&= ел - ~ь—б/" (1 - сь кг)~ ~тг{кг ~зЬ кг) +
а	й
+ 6 — зЬ к {г — /) —	[1 — сЬ к (г — /)] —
- -щ- [к (г - 0 - зН к (г - 01 + щ ; {у К* - О)2- (г - 0?1 -
— сЬ к (г— ^) + сЬ к (г — 0) |;	(15.3)
х = я сН к — -тА— зЬ кг	— (1 — сН кг)
л	О и	Ый
108

•	Кк	Мк
+ х сЪк(г — () — ргт— зЬ к (г — I) + ~у- [ 1 — сЬ к (г — 0] —
и1а
~ШГ ^	— ^ + $ь к (г — **) — §Ь & (г — /х)];	(15.4)
01,	м:
В = х„ —г~ зЬ йг — Вл сЬ кг	т— зЬ кг -+-
л к	л	к
•	•	/Мк
-+- х зЬ й (г — () — В сЬ к (г — 0	зЬ к (г — 0 +
+ ^[сЬй(г —/х) —сЬй (г — 4)1;	(15.5)
МК = —М*—МК +т((2 — (1).	(15.6)
Здесь 0, х, В, Мк — угол закручивания, депланация, бимомент
и крутящий момент; 0л, хл, Вл, Л1* — те же изгибно-крутильные
факторы в начальном сечении; 0, х, В, Мк — сосредоточенные
изгибно-крутильные факторы по длине стержня; т— равномерно рас¬
пределенная крутящая нагрузка на части стержня; /, 1Ъ 4 — рассто¬
яния от начала координат до сосредоточенных факторов; г—теку¬
щая координата; / — пролет стержня.
Для первого участка стержня согласно рис. 54 члена с т не
будет; для второго участка нужно положить (г—/2) = 0; при
равномерно распределенной нагрузке т по всей длине стержня
полагаем 1Х = 0 и (г — 4) = 0 (очевидно для этого к члену ^2 —
следует придать +г— г).
Уравнение равновесия бимоментов в узле рамы. При расчете
по методу сил в рамах, показанных на рис. 50, будет одно дополни¬
тельное неизвестное—депланация в верхнем узле х2 =—х3. В
виду симметрии рамы и нагрузки депланация в точке 5 равна нулю,
а в точках 1 и 4 стоек она отсутствует.
Для определения неизвестного х2 воспользуемся уравнением
равновесия в узле рамы. Такое уравнение для узла п, когда центр
узла совпадает с центром изгиба сходящихся в узле стержней,
имеет вид [26]:
2е- =2[0'
сЬ й/	_	1
а к зЬ к1Кп а к зЬ й/
X/ ±
сЬ Ы — 1
йзН й/
(р)
=0
(15.7)
Здесь 01 й — жесткость стержня при кручении; хл, х. — депла-
109

нации по концам стержня; — крутящий момент, действующий
на концы стержней, сходящихся в узле, причем знак «+» у пред¬
последнего члена относится к стержням А и В, а знак «—» к
стержням С и И (рис. 55). Последний член уравнения является
функцией нагрузки, действующей в пролете стержня.
Выведем уравнение равновесия бимоментов в верхнем узле
рамы в случае загружения ее ригеля равномерно распределенной
крутящей нагрузкой интенсивностью т по всей длине.
Из уравнений (15.3) — (15.6), если, кроме т, другие сосредо¬
точенные факторы отсутствуют (0 = х = В = Мк = 0), то для
правого конца стержня при г = I получим
-Ш7 <1 - СЬИ) (И -зЬ И) +
^--сНИ + 1);	(15.8)
\ = илсЬ& —	+ ^-(1 —сЪЩ — (Ш — зЬ&); (15.9)
01,	К	т
Вп = хл зЬ Ы — Вя сЬ Ы	зЬ Ы + (сЬ Ы — 1); (15.10)
М* = — М1 + т1.	(15.11)
Выразим бимоменты по концам стержня через депланации и
крутящие моменты.
Из уравнения (15.9)
01,
В = .	* (х сЬ Ы — х) —
л &з1Ш ' л	п/
Мл (ей Ы — 1)
&зй Ы
а из уравнения (15.10) и формулы (15.12)
т (Ы — зН Ы)
к2 зй Ы ’
(15.12)
В
п
01а
к зй Ы
(хп ей Ы
МЦсЪЫ— 1)
&зй&/
т (зй Ы — Ы сЬ Ы)
к2	зН Ы
(15.13)
На основании выражений (15.12) и (15.13) запишем уравнение
равновесия бимоментов в узле 2:
В2 — В21	В25 — 0,	(15.14)
но

или
сЬ Ы
а к зЬ к1
— 0
21
сЪк1— 1 \
к зЬ Ы	у 21
М1х 4-
сЬ к1 \
/гзЬ Ы /25Х2
— О —
сЪ Ы — 1
к$Ъ. Ы
МК25-
/25
т (Ы — зЬ6/)
к2	зЬ Ы
(15.15)
Перед членом с М2$ стоит знак « — », так как стержень 2—5
соответствует стержню О (см. рис. 55).
Уравнение (15.15) служит для определения депланации в узле
2 рамы, нагруженной равномерно распределенной крутящей на¬
грузкой т на ригеле.
Если внешняя нагрузка, приложенная с эксцентриситетом, или
крутящие моменты на длине стержня 2—5 отсутствуют, то послед¬
ний член уравнения (15.7) обращается в нуль.
Уравнения системы (15.8) — (15.11) можно решить также отно¬
сительно деформационных факторов.
Из выражений (15.10) и (15.11)
01 й%
Л
зЬ Ы
В „к сЬ к1
л	5
^ зЬ Ы
— М„ — т1 +
т (сЬ Ы— 1)
~к зЬ Ы ’
(15.16)
а из выражений (15.9), (15.11) и (15.12)
В„ксЪ.к1 В к	т ШзЬб/ — сЬй/+1)
^-Мп-т/+1Г^	ш	'.
(15.17)
0/Л, =
зЬ Ы
зЬ Ы
Уравнение (15.8) и зависимость (15.16) дают
тР
01 н (К — еп) = Ю — вп —
а ' п	л'	п	II	л 1 О
(15.18)
16.	ФОРМУЛЫ ДЛЯ РАСЧЕТА РАМ ИЗ ТОНКОСТЕННЫХ
СТЕРЖНЕЙ ПО МЕТОДУ СИЛ
Основная система. При расчете одноконтурных рам по методу
сил в качестве основной системы удобно принимать две ломаных
консоли, для чего разрезаем раму по оси симметрии (сечение 5).
Сечение тонкостенного стержня с недеформируемым контуром
в условиях пространственной работы имеет семь степеней свободы:
в плоскости сечения — три линейных перемещения вдоль осей
координат, из плоскости сечения — три угла поворота относи¬
тельно координатных осей и депланацию сечения по секториаль-
ному закону.
111

Соответственно семи компонентам перемещения при разрезе
тонкостенного стержня действие одной части на другую следует
заменить семью силовыми факторами: тремя силами (продольной
и двумя проекциями поперечной силы), тремя моментами (изгиба¬
ющими в двух главных плоскостях и крутящим) и бимоментом.
Основные лишние неизвестные принимаем в виде трех момен¬
тов и трех сил. Во многих случаях вследствие симметрии рамы анти¬
симметричные неизвестные в разрезе, к которым относятся крутя¬
щий момент и поперечные силы, равны нулю. Останутся неизве¬
стные — изгибающие в плоскости и из плоскости рамы моменты
Хъ Х2 и продольная сила Хв в ригеле.
В качестве дополнительного неизвестного принимаем депла-
нацию х в верхнем узле рамы.
От лишних неизвестных и от внешней нагрузки нужно построить
эпюры изгибающих и крутящих моментов. При наличии симметрии
можно рассматривать только одну половину рамы.
При расчете принимаем во внимание, что, кроме основного
изгиба в плоскости рамы, стойка испытывает изгиб из плоскости
рамы, вызываемый крутящим моментом ригеля
Мг = М15*	(16.1)
Основные неизвестные и моменты. Система уравнений для опре¬
деления основных неизвестных (симметричных) включает три урав¬
нения:
Х{Ьп + Х2612 + Х3Ь{3 + в1р = 0;
* А, + Х2ва + Х3623 + 62р = 0;	(16.2)
^1б3! + ^2Й32 + *Аз + Й3р = °‘
В рассматриваемых нами случаях некоторые коэффициенты будут
равны нулю, 612 = 623 = 62р = 0, и тогда система уравнений упро¬
щается:
Х,бп + Х3613 + б1р — 0;
^2^22 =	^1^31 + Х3633 + 63р = 0.
(16.3)
Коэффициенты 6 в уравнениях вычисляем по формуле Мора,
которая для рам из тонкостенных стержней открытого контура
имеет вид [11]:
6
т
ЕР
йг +
МхпМ*
Е1Х
муЖ
Е*.
112

I	I
(16.4)
Здесь первый член выражает работу нормальных сил, два по¬
следующих — работу вертикальных и горизонтальных изгибаю¬
щих моментов, четвертый — работу крутящих моментов и, нако¬
нец, пятый — работу бимомента внутренних сил состояния п на
перемещениях состояния I.
Влиянием поперечных сил при изгибе {&у и С}х) и изгибно-кру-
тящего момента при стесненном кручении (Л^) на перемещения
можно пренебречь. В большинстве случаев в рамах можно пре¬
небречь также влиянием продольных сил.
При симметрии рамы и нагрузки коэффициенты б вычисляем
для половины рамы, т. е. заранее сокращаем уравнения на вели¬
чину 2.
После решения уравнений изгибающие моменты в раме находим
по формуле
где Мь М2, Мп — моменты единичных состояний рамы; Мр — мо¬
мент нагрузочного состояния; Хъ Х2, Хп — величины неизве¬
стных.
Вследствие разделения уравнений для основных неизвестных
и дополнительного неизвестного многие данные можно получить
непосредственно по имеющимся в справочниках формулам для
расчета рам на изгиб (см. [35, 85]).
Дополнительное неизвестное кп — депланацию в верхнем узле
рамы — определяем по формуле (15.15), подставляя сюда соот¬
ветствующие крутящие моменты для основной статически опре¬
делимой системы.
Полная величина депланации в узле 2 рамы выразится фор¬
мулой
гдех2Р — депланация от внешней нагрузки; хь х2,	— депланации
от основных неизвестных.
Бимоменты по концам стержней находим по формулам (15.6)
и (15.7), причем входящие сюда крутящие моменты берем для ста¬
тически неопределимой системы.
Получив величины изгибающих и крутящих моментов и бимо¬
ментов, находим приведенное напряжение с учетом нормальных и
касательных напряжений из условия
м = Мр + МхХг + М2Х2 + ... + М Хл,	(16.5)
апр =У°2 + Зт2>
(16.7)
8—1338
113

(16.8)
где нормальное напряжение посередине ригеля рамы
ГГ _ Л/р Мъ2 . Вь2
52 - Р + -г ’
а нормальные напряжения вверху и внизу стоек
	 Л/с 1 Л^21 | Л^г . ^21,
21 _ 7 + Г* ■*' Ц7г +	*
(16.9)
	Л/с , М12 . Л^г I ^12
12 _ Л1 + Г* + 1Р* +	■
Касательное напряжение т определяем от сен-венанова крутя¬
щего момента, принимая его равным полному крутящему моменту,
что идет в запас прочности:
Я Мк
(16.10)
17.	ВЕЛИЧИНЫ НАПРЯЖЕНИИ В РАМЕ С РАВНОМЕРНО
РАСПРЕДЕЛЕННОЙ НАГРУЗКОЙ?
Покажем ход расчета рамы из тонкостенных стержней в упру¬
гом состоянии для жестко защемленной рамы с равномерно
распределенной внецентренной нагрузкой # на ригеле. Рассчиты¬
ваем раму по методу сил.
Рама состоит из стержней двутаврового сечения, ориентирован¬
ных, как показано на рис. 52. Общие размеры рамы: пролет
/р = 600 см9 высота стоек /с = 600 см, причем жесткости ригеля
I
и стоек одинаковы /р = /с. Размеры поперечного сечения к0= ~ =
= 20 см; Ь = 10 см; 8с = 6п = 1 см.
Геометрические характеристики двутавра. Площадь поперечного
сечения
р = 2ЬпЬ+6ск = 2-Ы0 + 1-19 = 39 см2.	(17.1)
Моменты сопротивления:
к2	192
= 6пЬк + 6С^- = 1.10.19 + 1 ~ = 250,2 см3;
о	о
К2	Ю2
№г = \Уу =	= Ь^ = 33,3 сж3;
114
(17.2)

№ = -1(266* + нь1) = 1(2 - ю -1 + ю-1) = 13-° см3>
о	о
й2	102
^(0 = М = М9 = 316,7 см*.
о	о
Моменты инерции:
(17.3)
/а = у (2й6„ + Н63с) = 1 (2-10-13 + 19-13) = 13,0 см*;
,	_ 1 * 192 • Ю3
/(О - Оп 24	24
= 15041,7 см*.
В формуле для 1а коэффициент а, зависящий от формы попе¬
речного сечения, принимаем равным единице.
Изгибно-крутильная характеристика
Для стержня 2—1 (/с = 600 см)
Ыс = 0,01815*600 = 10,89; з!Шс = 26818,585 = с Ьй/С;
Определение основных неизвестных и моментов. Строим эпюры
изгибающих и крутящих моментов от лишних неизвестных и от
внешней нагрузки для основной системы, выбранной в виде двух
ломаных консолей (рис. 56).
Крутящий момент от внешней нагрузки на стержне 2—5 на¬
ходим из выражения
для стержня
= 0,01815-300 = 5,445; зЬ 115,796;
сЬ к^ = 115,801.
8*
115

(17.5)
Мк = ^(|_2),
где г — расстояние от узла 2.
При этом крутящие моменты в точках 2 и 5
Рис. 56.
Крутящий момент на конце 2 стержня 2—5 является изгиба¬
ющим моментом из плоскости рамы для стержня 2—/:
Мг-=17б-| = 300<7<?.
Выражение изгибающего момента от внешней нагрузки на стер¬
жне 2—5
Миз=-| (-^-г)3,	(17.7)
откуда изгибающие моменты в точках 2 и 5 основной системы
М25=	Ш’=	300’= 45 000<7;	М52 = 0.	(17.8)
Пользуясь эпюрами на рис. 56, вычисляем по формуле Мора
(16.4) коэффициенты б (продольную силу не учитываем):
_ 1-300-1	1-600-1	900
11 “ Е1Х + Е1Х ~ 2377Е ’
600-600-1 _ 18-104 .
2Е1Х ~ 237ТЕ ’
600-600 2 600 _7200-1О4
2	' 3 ' Е1Х
116
'зз
2377Е ’
(17.9)

• 45 ООО?
300-1
•45 ООО?
315-105? ,
2377Е ’
. 600-1
6,_ =	^— 4Ь 1кя>?-
1V
Е1Х
3 Е1Х
з р
600-600
2Е1Х
(— 45000?)=
81-108?
2377Е
(коэффициент 622 не вычисляем, так как Х2 = 0).
После подстановки найденных величин в уравнения (16.3) и
соответствующего сокращения
Хх + 200Х3 — 35-103? = 0;
Хх + 400Х3 — 45 • 103? = 0.
(17.10)
Решение уравнений дает Хх =25 000?; Х3 = 50?.
Изгибающие моменты в раме находим по формуле (16.5):
Л412=Мр+М1Х1+Л13Х3= — 45 000?+1 • 25 000?+600- 50?= 10000?;
М21 = Л425 = Мр + Л4хХх = — 45 000? + 1-25 000?=20 000?; (17.11)
М52 = М1Х1 = 1-25 000? = 25 000?.
Дополнительное неизвестное и бимоменты. Подставляя числовые
значения в уравнение (15.15) равновесия бимоментов в узле 2, нахо¬
дим
13,00-26 818,585	26818,585— 1	.к
0,01815-26818,585 *2 + 0,01815-26 818,585 Л*21 +
13,00-115,801	(115,801 — 1)	„
+ 0,01815-115,796 *2	0,01815-115,796 ",25 +
(5,445 — 115,796)
+ де 0,018152-115,796
= 0
(17.12)
или
1432,53700х2 + 55,0944Л^, — 54,6229А^5 — 2893,3142^ = 0,
откуда
Ох2 = — 0,03846Л421 + 0,03813^5 + 2,0196^.	(17.13)
При определении депланации подставляем в уравнение (17.13)
крутящие моменты для основной статически определимой системы
(см. рис. 56). От неизвестных, которые не вызывают крутящих мо¬
ментов, депланация равна нулю.
117

Депланация от внешней нагрузки
Ох2р = 0 + 0,03813^ — ^-^ + 2,0196<7е = — 9,4194*76 (17.14)
и полная величина депланации в узле 2
*2 = *2Р + *2Х2 = — 9,4194?-^- +0.	(17.15)
Определим бимоменты по концам стержней рамы, пользуясь фор¬
мулами (15.12) и (15.13). Входящие сюда крутящие моменты берем
для статически неопределимой системы, а именно:
Мм = М%1 = М*2 = 0;	М%5 = — ^ ~2~
С1а	13,00 (—9,4194?*)
В12 = ВЛ=0——0 + 0= — 0,01815-26818,5850 _
= 0,2516*76;	(17.16)
01А сЬ к1
В21 = Вп= -+
■XX
0—0+0=
13,00-26818,585 (— 9,-4194^)	апл**.пт^ /1-71-74
“	0701815-26818.5850	 6746,6777«г, (17.17)
в _В -О/	Л /и;5 (сНИ-1) ,
В25~ВЛ 01йк±.Ы Х2 0	%	зЬ &	+
е (Ы — 8Ь Щ	13,00-115,801 (— 9,4194*7*?)
+ дк2 зЬ Ы
0,01815-115,7960
(17.18)
,	600(115,801 — 1) ,	(5,445— 115,796)
+ ^2-0,01815-115,796 + де 0,018152-115,796	67 6,60 Че>
В№ — Бп — 0 -
01а
М*5 (сЬ Ы— 1)	,
Лп	1	1 п	1
к&Ък1 2 к
зЬ/г/
е (зЬ Ы — Ы сЬ Ы)	13,00 (— 9,420*7*?)
+ дк2 зЬ Ы ~	0,01815-115,7960 +
600	(115,801 — 1)	115,796-5,445-115,801
+ де 2	0,01815-115,796 + д6 0.018152-115,796	~
= 2949,0634<7е.	(17.19)
ИЗ

Эпюры изгибающих моментов, крутящих моментов и бимомен¬
тов в упругом состоянии показаны на рис. 57.
Величины напряжений. Имея значения моментов и бимоментов,
установим при эксцентриситете приложения нагрузки е = 4 см
величины напряжений, которые укажут порядок перехода сече¬
ний рамы в пластическое состояние.
Посередине ригеля согласно формуле (16.8) напряжения
°52 = § ч + Ч +1^7 я = 1’282(? + "’920? + 37*247? =
= 138,45?.	(17.20;
Напряжения в опорных сечениях ригеля с учетом крутящего
момента как приведенное напряжение по формуле (16.7) ^величину
крутящего момента принимаем равной Я = Мк = ?^'| будут
°25 —
50	. 20 000
26 986 \2 , / 1200 \2 ооп_.
9 1 +(-[7о'<7 1 = 230>78(?-
39’’ 1 250,27 ' 316,7
(17.21)
Напряжения вверху и внизу стоек находим по формулам (16.9):
300	, 20000	, 1200	. 26 986 7КООл , 7ооадл .
021 _ 39 4 + 250,2 д + 33,3Я + 316,7 4	7,692<7 + 7 >9 Я +
+ 36,036? + 85,2 10? = 208,88?.
119

0x2 —
300
39
(17.22)
10000 л , 1200	, 1,0064	7 АОО/т . „ ОАО/7 ,
■ 9 + оа о Я + о,с п ■ 9 = 7,692? + 39,968? +
250,2 * 1 33,3 * 1 316,7
+ 36,036? + 0,00318? = 83,70?.
Числовые данные показывают, что первым перейдет в пластиче¬
ское состояние опорное сечение ригеля, затем сечения вверху стоек
и далее сечение посередине пролета рамы. Величины в числах иллю¬
стрируют влияние каждого фактора на величину общего на¬
пряжения.
Аналогично изложенному найдем значения напряжений при
эксцентриситетах приложения нагрузки е = 0, 2, 6, 8 и 10 см,
оставляя те же размеры рамы, т. е. соотношение длин ригеля и.
стоек ~ = 1.
1с
Таблица 18
х°
Х2
<*5
°25
СГ21
е, см
0
132,15
48,22)
55,65
31,67
2
150,77
120,99
116,28
49,69
4
6
ае
—9,4193^-
169,40
188,02
Я
208,251
297,50 \я
176,90
237,53
Я
67,71
85,73
8
206,65
387,37
298,15
103,75
10
225,27.1
477,50;
358,761
121,76)
0
101,20
81,22]
87,63]
47,66)
2
119,83
147,39
148,25
65,68
4
6
ае
—9,4193-^г
138,45
157,07
Я
230,78
318,14
Я
208,88
269,50
■я
83,70
101,72
8
175,70
406,91
330,12
119,74
10
194,32]
496,33]
390,75]
137,76)
0
79,82
121,32]
118,37
63,03)
2
98,43
183,40
180,12
94,93
4
6
ае
—9,1699-^-
117,05
135,66
Я
262,97
348,26
Я
241,88
303,63
Я
126,82
158,72
8
154,27
435,91
365,38
190,61
10
172,89]
524,75]
427,13
222,51)
120

Далее проведем расчет рам также при соотношениях ~ = 0,33*
/с
и = 6 для всех шести эксцентриситетов. Полученные величины
1с
депланаций х° и напряжений помещены в табл. 18.
Из табл. 18 видно, что величины напряжений зависят как от
соотношения -у- рамы, так и от величины эксцентриситета е. Наи-
Iс
большие напряжения для всех эксцентриситетов ^ кроме е = 2 см,
= 0,33 ] получаются в опорных сечениях ригеля. При е = 0 для
1р
/с
соотношений -^=0,33 и -у- —1 напряжения посередине пролета
1с
1с
выше, чем на опорах.
Проведенное исследование рамы приводит к следующим вы¬
водам.
Как показывают величины напряжений из расчета в упругой
стадии, предельным состоянием рамы при внецентренной равно¬
мерно распределенной нагрузке на ригеле, параллельной пло¬
скости рамы, в большинстве случаев следует считать переход в
пластическое состояние трех сечений ригеля.
В зависимости от соотношения длины пролета к высоте рамы
в первую очередь текучесть может распространиться в сечении по¬
середине ригеля, а затем в опорных его сечениях = 0,33;
у- = 1 ) и, наоборот, первыми могут перейти в пластическое состо¬
яние сечения на опорах, а затем в пролете ригеля
= 6
18.	ПРЕДЕЛЬНОЕ СОСТОЯНИЕ РАМЫ
Предыдущие исследования рам при изгибе от вертикальной на¬
грузки в плоскости рамы [5, 31, 75, 98] показывают, что предельное
состояние одноконтурных двухшарнирных и бесшарнирных рам
наступает с образованием п + 2 пластических шарниров, где п —
степень статической неопределимости рамы. В бесшарнирных ра¬
мах появление пластических шарниров в ригеле и в углах рамы
фактически уже решает несущую способность системы, так как
вслед за этим переходят в пластическое состояние сечения внизу
стоек.
121

4
Предельным состоянием бесшарнирной рамы при нагрузке с
эксцентриситетом на ригеле, параллельной плоскости рамы, также
можно считать переход в пластическое состояние наиболее на¬
пряженного сечения ригеля и двух сечений в углах рамы.
Если учитывать конструктивные утолщения в углах рамы, то
предельное состояние системы будет характеризоваться появле¬
нием трех пластических сечений в ригеле (рис. 58, а) либо пласти¬
ческого сечения в ригеле и двух
сечений в верхних концах сто¬
ек (рис. 58, б).
В этих случаях определим
предельную нагрузку бесшарни-
рных прямоугольных рам при
параллельной плоскости рамы
нагрузке, приложенной с экс¬
центриситетом относительно
центра изгиба сечения и при
той же нагрузке, приложенной
центрально.
Найдем зависимость между силовыми компонентами в пре¬
дельном состоянии сечения ригеля, а затем сечения стойки рамы.
Если пренебречь влиянием поперечных сил 0,у, С}х и изгибно-
крутящего момента то в конечные соотношения войдут такие
факторы: (Л1ж, в> ^ т = 1;
(18.1)
(Мя, Мг, В, Ыс) = 1.
В обоих случаях составим выражения для силовых компонентов
и решим их совместно с условием пластичности
Рис. 58.
а2 + Зт2 = о2
(18.2)
Рассмотрим рамы из стержней двутаврового профиля.
Ригель рамы. Учитывая распределение упругих нормальных
напряжений от МХУ В и N и касательных напряжений от Я, а также
принятые выше предпосылки, получим эпюры напряжений в пре¬
дельном состоянии сечения согласно рис. 59. Параметрами иу й
и V обозначено смещение нейтральных осей в полках и стенке дву¬
тавра относительно главных осей сечения.
Пользуясь рис. 59, а, б находим такие выражения для силовых
компонентов [см. также систему уравнений (3.2)]:
МХ = ^пн (и + ф + <7бс	— V2] ;
Му = сг6п (и2 — <Р) = 0;
= 2а6п (и-с1) + 2абсу;	(18.3)
122

Я = а6п^-
Н (Ъ2
— ы2 — <Р
Я=у(26б2+Л62).
Здесь Му — изгибающий момент относительно оси у — в ригеле
отсутствует, а выражение Му используется как добавочное урав¬
нение для определения неизвестных параметров. Аналогично пре¬
дыдущему при нахождении бимомента секториальная площадь
2
X
©
3?
/°е
!-р:|с\|
Рис. 59.
считается положительной, если радиус-вектор поворачивается про¬
тив часовой стрелки. Выражение сен-венанова крутящего момента
Н получено как удвоенный момент касательных напряжений, па¬
раллельных длине полосок профиля.
Решение системы уравнений (18.3) совместно с условием пла¬
стичности (18.2) дает зависимость между МХу Б, Л^р и Н в предель¬
ном состоянии сечения ригеля:
К , МЛ ,	1 (М2 му
32о$2С **" 40^6 С ^ 2а2С Vх 8
Тс	тс	Т '
+
где Нт — предельный крутящий момент при свободном кручении;
нт = ХтТа = тт ^ (2662 + Л62);	(18.5)
Гщ — секториальный пластический момент сопротивления; С, И и
123

К — постоянные величины, зависящие от формы поперечного сечения
и определяемые для двутавра по формулам (7.2) гл. 1;
Т _ А №.
(0 	 °П	,
С — бпй;
о = ьЛ.
86„’
.5,
К = 1-
_б|^_
16б„62
(18.6)
_б7 Стойка рамы. Кроме изгиба в плоскости
наибольшей жесткости сечения, стойка рамы
испытывает изгиб в плоскости наименьшей
его жесткости от крутящего момента ригеля
(изгиб из плоскости рамы).
При наличии четырех компонентов МХУ Мгу
В, Ыс, вызывающих нормальные напряжения,
рассмотрим эпюру напряжений в предельном
состоянии верхнего сечения стойки соглас¬
но рис. 60. Нулевая точка эпюры в одной из
Рис. 60.	полок двутавра отсутствует, так как напря¬
жения от М2 и В имеют здесь разные знаки.
На основании указанной эпюры составим следующие уравне¬
ния для силовых факторов:
~б,
Мх — ОтЬпН [ —	(I ) СГт6с (		V
Мг = стт6п ^ - й*^ ;
(18.7)
#с = ат6п (Ь — 2(1) + 2сттбсУ.
После решения уравнений (18.7) путем исключения параметров
(1 и V находим конечное соотношение между четырьмя компонентами,
действующими в рассматриваемом сечении стойки:
№
От 2сттбс
М;
,2В N1
+ Н +2от6п
+
+
Ыс — От/72
2от
А + / н‘-^{т~°'т‘ +
N СН
= ТХ. (18.8)
Здесь Тх — пластический момент сопротивления сечения относи¬
тельно главной оси х9 пересекающей стенку профиля, а
124

Р2 — бп6 ~Ь 8сй.
(18.9)
Система уравнений (18.7) близка к системе (3.3), отвечающей
наличию четырех силовых компонентов, вызывающих нормальные
напряжения, и отсутствию нулевой точки в нижней полке двутавра.
Конечное соотношение (18.8) соответствует соотношению (3.9).
Из уравнений (18.4) и (18.8) можно получить соответствующие
зависимости между тремя и двумя силовыми компонентами в пре¬
дельном состоянии двутавра [78].
Как показывают предыдущие исследования [75], влияние про¬
дольных сил ригеля и стоек при изгибе П-образных рам очень не¬
велико. В большинстве случаев ими можно пренебречь, что зна¬
чительно упрощает решение.
При N = 0 после преобразований уравнение (18.4) сводится
к виду
Выражение (18.10) получено нами ранее при рассмотрении из¬
гиба с кручением двутавровых и швеллерных балок [78].
Перейдем к определению предельной нагрузки рамы, не учи¬
тывая влияния продольных и поперечных сил.
Образование трех пластических сечений в ригеле (рис. 58, а).
Если сила приложена с эксцентриситетом относительно центра
изгиба профиля, для определения предельной нагрузки рамы ре¬
шаем следующие уравнения.
Условие пластичности для наиболее напряженного сечения ри¬
геля, где действуют изгибающий момент Мпр, бимомент Вп? и сен-ве-
нанов крутящий момент Япр:
(18.10)
а зависимость (18.8) принимает вид:
(Бпр-РЛ4пр)2
2 а2тТ1К2
+
(18.12)
125

Условие пластичности для опорного сечения, вызываемое такими
же тремя факторами (Моп, Воп, Ноп),
(Воп-РМопу
2о2тТ1К2
[■*/
1 +
ЛОУС
С(В„ — ОМоа)я.
+
м2
+
Ао2СТфК ‘ о\т1
ш1п = 1
(18.13)
Зависимость между пролетным и опорным изгибающими момен¬
тами ригеля
МПр-НМоп|=М0,	(18.14)
причем М0 — наибольший момент ригеля для основной системы
(рама с одной шарнирной, а другой Катковой опорами).
Решаем уравнение (18.12) относительно Л4пр, а уравнение (18.13)
относительно Моп:
Л4Пр — От
1
уп;
(18.15)
Моп — От г— ,
Уо.
(18,16)
где
и
В^_^
м,
пр
2ГХ
[V
1 +
тл
с1к~°'2
+
+
1
,	ЖР
' л /г2
пр
4 СТЛ	Т2аМ\
(18.17)
0 =
Вою
Мо
■р
27щ/С2
ГУ
+
так
+
+
1
4СТа,К
ЗЯоп
тЖп
(18.18)
Подставляя выражения (18.15) и (18.16) в уравнение (18.14), по¬
лучим
м°=0'Уй + 7Ц)-	<18Л9)
Величину М0 выражаем через пролет и нагрузку рамы в зави-
126

3	Н	3	н
симости от вида нагрузки. Отношения	и при-
УИПр 1У1 пр Моп	/Иоп
нимаем из расчета в упругом состоянии.
Если крутящий момент в пролете ригеля отсутствует, уравнение*
(18.12) упрощается и приобретает вид согласно (7.10), а пролетный
момент записывается формулой
Мпр = отА,	(18.20)
где А соответствует выражению (7.11):
А = -2С[^-0) + 2
пр
/ сг{к~■
О + С7УС. (18.21)'
Подстановка выражений (18.20) и (18.16) в уравнение (18.14)
дает
М0 = от(а + ^=У	(18.22)
При отсутствии эксцентриситета приложения нагрузки (В=Н=0)
уравнения (18.12) — (18.14) принимают вид:
к2
Мпр 	 <Тт б пЬк -(- бс —- ) 	 СГтТ;
Мои — СГТТх\ МПр -)“ I Моп | — Мд»
Решая эти уравнения, находим
М0 = 2отТх.
(18.23)
(18.24)
Если при центральном приложении нагрузки учесть продольную
силу в ригеле, условия пластичности для пролетного и опорного его-
сечений запишутся так (см. гл. II, 8):
К
4сх?ГА
+
4см А
Принимая во внимание, что
(18.25), (18.26) и (18.14) получим
М0 = 2атТх ( 1
Продольную силу ригеля в предельном состоянии можно выра¬
зить следующим образом:
Мп р . в
ОгТх ~ 1'
(18.25)
II
(18.26)
Л^пр — Nоп — Л^р,
из выражений
1 ^ V
ао1тл )
(18.27)
127

N Р
■Л^ОП
~Г ~ 2г ’
(18.28)
где г — расстояние от ригеля до нулевой точки эпюры моментов
стойки.
Подстановка величины Яр в уравнение (18.27) и решение его
относительно Л40 дает формулу для определения предельной на¬
грузки:
М0 = 4сгт [— б сг2 + УдУ+ ТхьУ].	(18.29)
В бесшарнирной раме с нагрузкой на ригеле принимаем нуле¬
вую точку предельной эпюры моментов стойки посередине стойки:
г =	(18.30)
Наличие пластического сечения в ригеле и двух таких же се¬
чений в верхних концах стоек (рис. 58, б). Рассмотрим внецент-
ренное приложение нагрузки. В ряде случаев, в зависимости от
соотношения длин ригеля и стоек, предельное состояние рамы
может наступить с появлением пластического шарнира в ригеле
и двух шарниров в верхних концах стоек. Тогда условие пластич¬
ности для сечения в пролете ригеля при наличии трех силовых фак¬
торов Мр, Вру Яр будет соответствовать уравнению (18.12), а при
наличии двух факторов Мр и Вр— уравнению (7.10).
Условие пластичности для сечения вверху стойки вызывается
изгибающими в двух плоскостях моментами М*, М2 = Ноп и бимо¬
ментом В. Это условие для двутаврового профиля выражается
уравнением (18.11).
Зависимость между пролетным моментом ригеля и моментом
вверху стойки остается согласно уравнению (18.14).
Решая уравнения (18.11) относительно М*, получим
Мх = ат —,	(18.31)
где
±
'V Тх
У=1
2ЬСУ
бп
2ЬЖ
— Тх
/У1 + Тх-^
.. , 2В
Мг + 1Г
(18.32)
Формула для определения предельной нагрузки с учетом действия
128

трех силовых факторов в ригеле (Мр, Вр, #р) записывается так:
м°= Стт (то + у) ’	(18-33)
а с учетом двух факторов в ригеле Мр, Вр, т. е. при решении урав¬
нений (7.10), (18.11) и (18.14) в виде
М0 = оАА + у\.	(18.34)
Отношение величин, вызванных кручением, к величинам, обус¬
ловленным изгибом, принимаем из расчета в упругой стадии. Вы¬
ражение М0 подставляется в зависимости от характера нагрузки.
Обратимся к случаю центрального приложения нагрузки. Если
продольную силу вообще не учитывать Л^р = УУС = 0, то величина
предельной нагрузки определится из уравнения (18.24). С учетом
продольной силы в ригеле и стойке рамы для расчета воспользуемся
уравнениями (18.25) и (18.26), где NПр Ф Л^п.
Мс
Полагая Мпр = Ыр =	, а Л^оп = Л/с и решая указанные урав¬
нения с условием (18.14), имеем
или
Мо = т	1_
от х 46сг2
Тх-
N1
4ст?6с
+ тх-
N1
4 Охбс
(18.35)
я4	N1
1б045с	°г
2бс
бсг2 + Тх (Тх — 86сг2) = 0,
(18.36)
где NС = VА — вертикальная реакция рамы.
Таким образом, в данном случае величина предельной нагрузки
находится из уравнения четвертой степени.
Если продольной силой в ригеле пренебречь, а продольную силу
в стойке учитывать (Л^р = 0; МСФ 0), зависимость (18.25) прини¬
мает вид:
—ф = 1.	(18.37)
От! х
В результате решения уравнений (18.37), (18.26) и (18.14) полу-
лучим квадратное уравнение относительно величины предельной
нагрузки:
К
40т6с
+ ~= 2 Тх.
От
(18.38)
Числовые величины предельной нагрузки рамы, в зависимости
от эксцентриситета приложения нагрузки и от соотношения длин
ригеля и стойки, определим далее.
9—1338
129

19. ИЗМЕНЕНИЕ ЭКСЦЕНТРИСИТЕТА ПРИЛОЖЕНИЯ НАГРУЗКИ
На основании изложенного определим величину предельной
нагрузки для рассмотренной рамы (гл. 111,17), нагруженной равно¬
мерно распределенной нагрузкой <7 на ригеле с эксцентриситетом е.
Величину эксцентриситета будем менять в пределах от 0 до 10 см
через 2 см.
Напомним, что длины ригеля и стоек приняты /р = 1С = 600 см,
а рама выполнена из стержней двутаврового сечения, имеющего раз¬
меры: Н0 = 20 см\ Ь = \0 см\ 6С = бп = 1 см\ предел текучести
стали ат = 2400 дан/см2.
При отсутствии эксцентриситета (е = 0) для вычисления пре¬
дельной нагрузки пользуемся формулой (18.24), если продольной
силы не учитывать, и формулами (18.29), (18.36) либо зависимостью
(18.38), учитывающими продольную силу.
При распространении текучести в трех сечениях ригеля величина
предельной нагрузки из выражения (18.24), когда	= 09
<7Т = <гт ^ Тх = 2400 • ^ 280,25 = 29,893 дан/см,	(19.1)
6002
а по формуле (18.29) при г = 300 см (Мр ф 0; Мс = 0)
—Т(-в'+/^)=
= 2400-
32-3002
6002
12 +
280,25-1 \ _
3002
29,870 дан/см.
(19.2)
При наличии пластического сечения в ригеле и двух пластиче-
/»
из
ских сечении в верхних концах стоек \^с =д~ и Л40 = <7
уравнения (18.36)
+ 64<72 4 (г2 - ^ ) + 128^ 4- 6сг2 + 256ГЖ (Тх - 8бсг2) = 0.
атос	ат V ^°с/
(19.3)
Подставляя сюда 1Р = 600 см, г = 300 см и Тх = 280,25 см3, нахо¬
дим величину
<7= 29,699 дан/см.
Наконец, из уравнения (18.38) при Ыр — 0 и Л^с = <7 имеем
* = <Гх(-вс+ |/ 6* + ^*^) =
130

= 2400
-1 +
32-280,25-1
6002
= 29,712 дан/см.
(19.4)
Числовые результаты сведены в табл. 19, где даны также раз¬
ности в деканьютонах на сантиметр и в процентах по отношению к
величине предельной нагрузки <7 = 29,893 дан/см, найденной без
учета нормальных сил.
Далее по тем же
р	р[
формулам при N0 = — и М0 =
нами по¬
считаны величины предельной нагрузки для аналогичной рамы, на¬
груженной сосредоточенной силой Р посередине пролета. Результаты
помещены также в табл. 19.
Таблица 19
По
фор-
муле
г
<7, дан/см
Разность,
Р, дан
Разность,
дан/см
%
дан
%
(18.24)
(29,893
(8968
_
(18.29)
1с
„ 129,870
0,023
0,08
р |8961
7
0,08
(18.38)
о
—129,712
0,181
0,61
'т— 8954
14
0,16
(18.36)
А
(29,699
0,194
0,65
8950
18
0,20
Во всех случаях разница меньше одного процента. Это показы¬
вает, что влияние продольных сил в рассматриваемых рамах весьма
незначительно.
Отметим, что влияние продольной силы ригеля меньше, чем про¬
дольной силы стоек, однако влияние Ир увеличивается в рамах с
большим отношением
/р
/с в
Принимая во внимание полученные результаты, определим пре¬
дельную нагрузку <7, приложенную к ригелю рамы с эксцентри¬
ситетом е, без учета продольных сил.
Рассмотрим случай образования трех пластических сечений в ри-
/2
геле, применяя формулу (18.22). Учитывая, что Л10 = ^-^-, имеем
о
(19.5)
где А и <3 определяются из выражений (18.21) и (18.18). В фор¬
муле (18.18) величину крутящего момента на опоре принимаем рав¬
ной полному крутящему моменту:
Но
= Мк = де
(19.6)
9*
131

что идет в запас прочности. Крутящий момент посередине пролета
равен нулю.
В упругом состоянии значения пролетного и опорного бимо¬
ментов в ригеле согласно выражениям (17.19) и (17.18) и пролет¬
ного и опорного изгибающих моментов по формулам (17.11) при¬
ведены в табл. 20. В таблице также даны аналогичные величины
для случая рамы, нагруженной сосредоточенной силой Р посередине
ригеля с эксцентриситетом е. Кроме того, для сравнения в обоих
случаях нагрузки помещены величины пролетных и опорных би¬
моментов и моментов для жестко защемленной двутавровой балки
/ = 600 см.
Таблица 20
Нагру¬
жаемая
система
ц, Р
Моп
^пр
Вой
^гтр
Вой
Кр
моп
Равномерно распределенная нагрузка д в пролете
Рама
1 25000 д
1—20000 д
1 2949 де
| — 6747 де
1 0,1180 е
1 0,3374 е
Балка
1 15000 д
[—30000 д
1 2900 де
I —13500 де
I 0,1933 е
1 0,4500 е
Сосредоточенная сила
Р посередине пролета
Рама
100 Р
—50 Р
Ре
54,859-2-
Ре
—27,311-2-
0,2743 е
0,2731 е
Балка
75 Р
—75 Р
Ре
54,6 ~2~
-54,6 ^
0,3640. е
0,3640 е
Данные табл. 20 показывают, что при равномерно распределен-
В
ной нагрузке отношение величин на опоре как в раме, так и в
балке, выше чем в пролете. При сосредоточенной силе они одина¬
ковы.
По сравнению с бимоментами в жестко защемленных балках в
обоих случаях пролетные бимоменты рамы весьма близки по вели¬
чине к пролетным бимоментам балки, а опорные бимоменты рамы
примерно в два раза меньше, чем для балки.
Пролетный и опорный изгибающие моменты в рамах, давая по
абсолютной величине такую же сумму, как и в балках, перераспре¬
деляются по сравнению с моментом балок, становясь в пролете
рамы большими, а на опоре меньшими, чем в балках.
Числовые значения постоянных величин для двутавра по фор¬
мулам (7.2) равны
НЬ2	102
тт =	Ы9-^-=475 см4;
132

Та = у (2662 + йб2) = у (2-10- I2 + 19-12) = 19,5 см3-
С — бпЛ =1-19=19 см2;
й2 192	Т оп 94
Т — Ь — — 1 • — — 90 25 ли3- Л —	— уи’^°
*с	°с 4	4	у^эсж, /9	2С — 2-19
(19-7)
= 2,375 см\
'С = ‘-4^7=1-4« = 0^ «■-*
^2 = М + бсй = 1 -10 + 1-19 = 29 см2.
Дальнейшие вычисления для рам с -р- = 1 помещены в табл. 21
*С
Кривая зависимости д от е приведена на рис. 61.
Таблица 21
е, см
^пр
Вой
А
<Э-104
Я
<7, дан!см
МПр
Кп
0
0
0
280,2500
0,1273
0,01246
29,89
1
0,1180
0,3374
273,6798
0,1638
0,01157
27,77
2
0,2359
0,6747
267,1974
0,2391
0,01048
25,15
4
0,4718
1,3494
254,4926
0,5094
0,008769
21,05
6
0,7078
2,0240
242,1540
0,9441
0,007667
18,40
8
0,9437
2,6987
230,2132
1,1445
0,006965
16,72
10
1,1796
3,3734
218,6860
2,0030
0,006430
15,43
Результаты показывают, что с увеличением эксцентриситета г
приложения нагрузки наблюдается значительное снижение предель-
133

ной нагрузки, достигающее в рамах с = 1 при е = Ь = 10 см
/с
приблизительно 50%.
20.	ВЛИЯНИЕ ОТНОШЕНИЯ ПРОЛЕТА И ВЫСОТЫ РАМЫ НА
ВЕЛИЧИНУ ПРЕДЕЛЬНОЙ НАГРУЗКИ ПРИ СОСРЕДОТОЧЕННОЙ
СИЛЕ Р
Исследуем влияние соотношения длин ригеля и стойки ~ на
величину предельной нагрузки прямоугольных бесшарнирных рам
при внецентренной (относительно центра изгиба сечения) сосредо¬
точенной силе Р на ригеле, прило¬
женной параллельно плоскости рамы.
Рамы выполнены из двутавра с раз¬
мерами, указанными ранее (гл. III,
17).
Изменение длины стоек. Пролет
рамы примем постоянным, равным
600 см, а высоту стоек будем изме¬
нять так, чтобы получилось восемь от-
нв	1
т— ношений -р: 0,25; 0,33; 0,5; 1; 2; 6;
12; 24.
Предельным состоянием рассмат¬
риваемых рам считаем переход в плас¬
тическое состояние сечения посередине ригеля и двух сечений в
верхних концах стоек (см. рис. 58,6).
Для этого случая пользуемся формулой (18.34), которая учи¬
тывает наличие двух силовых факторов в пролете ригеля и трех
Р1
факторов в верхнем сечении стойки. При М0 =
р-^а!{А + у)-	(20Л)
Здесь величины А, ^ я V находятся из уравнений (18.21) и
(18.32), а соотношения бимоментов и крутящих моментов к изги¬
бающим моментам принимаются из расчета рамы в упругом со¬
стоянии.
Как уже указывалось, при расчете рамы на изгиб с кручением
в упругой стадии с использованием метода сил получаются неза¬
висимые уравнения для определения неизвестных от изгиба и не¬
известных, связанных с кручением.
Расчет рамы на изгиб производим по известным формулам [35],
где обозначения соответствуют рис. 62:
134

(20.2)
= ЗйрМ
р 8 1с 12 + V/’
р 4	2 + г ’
*с = ^;
Р/о
р/р
М1 _Л*4	8	12 +V)’
М2 = Л+ = -+-р
1
1
V =
4 \ 2 V
/п /с
/с /о
Результаты вычисления продольных сил и изгибающих моментов
„ /Р
для рассматриваемых восьми соотношении -у- рамы приведены в
табл. 22.
Таблица 22
/
Г
р
'с
/с, см
лр
‘с
V
Nс
МР
м2 = м3
м1 =
М4
0,25
2400
4
0,01561
125,0 1
—25,0
12,5
0,33
1800
3
0,025
120,0
—30,0
15,0
0,5
1200
2
0,047
112,5
—37,5
18,75
1
600
1
1
0,125
100,0
—50,0
25,0
2
300
0,5
1
6
0,30
Р
0,5Р
90,0
Р
—60,0
Р
30,0
Р
6
100
2,07
80,8
—69,2
34,6
12
50
1
12
2,16
78,0
—72,0
36,0
24
25
1
24
4,40
76,53
—73,47
36,735
Расчет на кручение, т. е. в данном случае определение депла-
нации в узлах 2 и 3 рамы и нахождение величин бимоментов по кон¬
цам стержней, проводим по формулам (гл. III, 15 и 16).
При сосредоточенной силе Р посередине ригеля, приложенной
с эксцентриситетом е (см. рис. 51), уравнение (15.7) равновесия
бимоментов в узле 2 принимает вид:
где реактивный крутящий момент в ригеле от внешней нагрузки
135

мк25 = -
Ре
2 '
Бимоменты определяются по формулам:
п — ^л (к сЬк1	х 1 4- (с^ ^ д^к.
й ^ $Ь к1 Хл СП М п)+ бзНй/
Б
П
бзй к1
(х„ сЬ Ы — хл) +
(сЬ& — 1)
АзЬ Ы
мКп.
(20.4)
(20.5)
Числовые значения депланаций и бимоментов приведены в табл. 23.
Таблица 23
*р
'с
/с, см
к
ыс
зЬ к1с
сЬ к1с
0,25
2400
0,01815
43,56
4138048-1011
4138048-10П
0,33
1800
0,01815
32,67
7730322-1О7
7730322-1О7
0,5
1200
0,01815
21,78
1438410249
1438410249
1
600
0,01815
10,89
26818,585
26818,585
2
300
0,01815
5,445
115,796
115,801
6
100
0,01815
1,815
2,9891
3,1520
12
50
0,01815
0,908
1,03801
1,44134
24
25
0,01815
0,454
0,46976
1,10484
‘с
%2
вр =
^52
&25 — ~~
‘ ^21
&12
0,25
—0,038130
54,859
27,311
0,65-10~18
1
0,33
—0,038130
54,859
27,311
0,27-10—11
0,5
—0,038130
Рй
54,859
Ре
27,311
Ре
0,18-10—7
Р(
1
—0,0381301-^-
54,859
- о
27,311
■ о
0,0102
[ О
2
—0,038129
&
54,859
А
27,311
0,2358
6
—0,037119
54,852
28,035
8,8945
12
—0,031927
54,820
31,754
22,030
24
—0,022751
\
54,764
38,327
34,689
Соответствующие этим данным напряжения, вычисленные в
четырех сечениях рамы по формуле (16.7) при е = 6 см, помещены
в табл. 24. Они соответствуют схеме предельного состояния, когда
текучесть распространилась в сечении посередине ригеля и в верх¬
них сечениях стоек (рис. 63).
Сравнение величин напряжений в упругом состоянии при со¬
средоточенной силе Р, параллельной плоскости рамы, показывает,,
136

Таблица 24
1с
Напряжения
Схема
предельного
состояния
<*5
®25
&21
<*1
0,25
1,020
1
0,538
0,601
0,424
0,33
1,000
0,551
0,616
0,427
Текучесть
0,5
0,970
0,572
0,640
0,433
посередине
1
0,920
Р
0,609
Р
0,679
. Р
0,443
■ Р
ригеля и в
2
0,880
0,640
0,712
0,453
верхних се¬
6
0,843
0,674
0,749
0,507
чениях стоек
12
0,831
0,712
0,788
0,597
24
0,825
0,769
0,847
I
0,693
что для рассмотренных отношений
/р
/с
наибольшими являются на¬
пряжения посередине ригеля, а затем в углах рамы. Поэтому во
всех случаях предельное состояние будет вызвано наличием трех
пластических сечений в верхней части рамы, и для определения
предельной нагрузки справедлива формула (20.1). В эту формулу
входят постоянные величины, уже вычисленные согласно (19.7).
Для каждого из рассматриваемых соотношений рамы нахо¬
дим величины предельной нагрузки ^значения — ^ при шести
центриситетах приложения нагрузки: е = 0; 2; 4; 6; 8; 10 см.
экс-
137

Результаты вычислений для = 0,33; 0,5; 1; 6 приведены в
/с
р
табл. 25 и отложены на рис. 63 в виде четырех кривых — , е.
от
Р I
На рис. 64 эти данные представлены в виде кривых — , -у-.
Ох /с
Таблица 25
г, си
6Р
Въ\
л
V
МР
м2,
IР
—^•=0,33
0
0
0
280,250
280,250
1
3,737
2
0,457
0,910
255,268
224,604
0,9354
3,303
4
0,914
1,821
231,675
162,573
0,8708
2,789
6
1,371
2,731
209,623
96,675
0,8063
2,197
8
1,829
3,641
189,242
42,253
0,7417
1,641
10
2,286
4,552
170,620
18,349
0,6771
1,318
0
0
0
280,250
280,250
1
3,737
2
0,488
0,728
253,650
236,248
0,9483
3,352
4
0,975
1,457
228,643
188,110
0,8967
2,923
6
1,463
2,185
205,410
136,341
0,8450
2,445
8
1,951
2,913
184,101
83,964
0,7933
1,933
10
2,438
3,641
164,812
'р
42,249
0,7417
1,479
0
0
0
'с
280,250
: 1
280,250
1
3,737
2
0,549
0,546
250,433
247,636
0,9613
3,387
4
1,097
1,092
222,662
212,698
0,9225
3,022
6
1,646
1,639
197,188
175,457
0,8838
2,638
8
2,194
2,185
174,201
136,294
0.8450
2,237
10
2,743
2,731
153,797
96,676
0,8063
1,825
0
0
0
280,250
280,250
1
3,737
2
0,679
0,405
243,645
256,435
0,9714
3,384
4
1,358
0,810
210,267
231,371
0,9429
3,038
6
2,037
1,215
180,554
205,037
0,9143
2,699
8
2,715
1,621
154,764
177,457
0,8858
2,368
10
3,394
2,026
132,895
148,797
0,8572
2,043
Л 38

Следует заметить, что для малого отношения -р =0,25 числовые
данные незначительно отличаются от величин при соотношении
у- = 0,33, а для больших соотношений -у- = 12 и у- = 24 от зна-
1С	/с	/с
чений, полученных при -р = 6.
/с
Результаты показывают, что в одноконтурных бесшарнирных ра¬
мах с нагрузкой на ригеле, параллельной плоскости рамы, при по¬
стоянной длине пролета (/р = сопз1), но разных отношениях -р ,
предельная нагрузка будет меньше для рам с меньшим отношением
-р . Это можно объяснить тем, что пролетные моменты ригеля в
высоких рамах увеличиваются и, следовательно, достигают предель¬
ной величины раньше, чем в рамах с таким же пролетом, но малой
длиной стоек.
С увеличением эксцентриситета е величина предельной нагрузки
значительно снижается, составляя для -р = 1 при е = Ь = 10 см
и
приблизительно 50% от предельного значения нагрузки, когда е=0,
а для соотношения —■ = 0,33 — еще меньше.
/с
Как видно из рис. 64, при одном и том же эксцентриситете пре¬
дельная нагрузка заметно ниже в рамах с небольшими отношениями
/р
/с
-р и практически стабилизируется уже при -р = 2.
1с
Таблица 26
'р
'с
Стойка
Ригель
—— по формулам
3
V
(У-104
А
(18.33)
(18.34)
0,25
60,740
0,7675
0,2675
212,184
1,817
1,942
0,5
136,341
0,8450
0,2931
205,410
2,307
2,445
1
175,457
0,8838
0,3282
197,188
2,487
2,638
2
194,340
0,9031
0,3669
189,241
2,535
2,696
6
205,037
0,9143
0,4156
180,554
2,529
2,699
24
209,125
0,9187
0,4437
176,102
2,518
2,692
В табл. 26 для постоянного е = 6 см
разных соотношениях -р, посчитанные по
/с
Р
даны величины — при
От
формуле (18.33), кото-
139

рая учитывает крутящий момент в среднем сечении ригеля, и по
формуле (18.34), не учитывающей этого момента. Полученные дан¬
ные нанесены также на рис. 64 в координатах —,
1р_
/с
Как и следовало ожидать, при учете крутящего момента в
среднем сечении ригеля предельная нагрузка получается несколько
меньшей, чем при неучете его (для е = 6 см, примерно, на 5—6%).
Изменение пролета. Аналогично предыдущему исследуем раму
из стержней двутаврового профиля с сосредоточенной силой Р по¬
середине ригеля, приложенной параллельно плоскости рамы. Рас¬
сматривая сечение двутавра как тонкостенное, принимаем следую¬
щие его размеры: к = 18,86 см; Ь = 10 см; 6С = 0,70 см; 6П =
= 1,14 см. Высоту стойки считаем постоянной /с = 600 см = сопз!,
а пролет рамы изменяем так, чтобы получить следующие восемь
отношений длин ригеля и стойки: 0,25; 0,33; 0,5; 1; 1,5; 2; 3; 4.
Предельным состоянием рамы считаем распространение теку¬
чести в среднем сечении ригеля и в двух сечениях наверху стоек.
Для установления предельной нагрузки используем зависимость
(18.33), учитывающую действие трех силовых факторов в ригеле
(Л4Р, Бр, Яр) и трех силовых факторов в стойке (М& М2, В). Эта
зависимость принимает вид:
р-Ь(?о + у)-	<2°'6)
где V выражается формулой (18.17), а / и V — формулами (18.32).
Расчет рамы в пределах упругости проводим по методу сил.
Величины продольных сил и изгибающих моментов, найден¬
ные по формулам (20.2), помещены в табл. 27. С увеличением от¬
ношения ~ в отличие от случая, когда /р = сопз1, в данном случае
/с
(1С = со.пз!) изгибающие моменты посередине ригеля растут. Весьма
интенсивно растут моменты в узлах и у заделки рамы.
Числовые значения депланаций и бимоментов определены из
уравнений (20.3) — (20.5) и приведены в табл. 28. С увеличением
1с
абсолютные значения депланаций увеличиваются.
В табл. 29 даны величины напряжений, найденные по формуле
(16.7)	при постоянном е = 6 см (схема предельного состояния
такая же, как и в табл. 24). Наиболее напряженным для всех со-
. I*	,
отношении —г является сечение о.
/с
Предельная нагрузка рамы вычислена согласно формуле (20.6)
. к
для каждого из восьми соотношении -у при следующих эксцентри-
с
ситетах е приложения нагрузки: 0, 2, 4, 6, 8, 10 см.
140

Таблица 27
/
/п
р
'с
/р, СМ
р
1с
V
*с
Мр
$
и
«
0,25
150
4
0,01561
31,25
—6,25 1
3,125
0,33
200
3
0,025
40
— 10
5
0,5
300
2
0,047
56,25
— 18,75
9,375
1
600
1
1
0,125
0,5Р
100
—50
25
1,5
900
2
ТГ
0,211
Р
140,625
Р
—84,375 |
\р
42,19
Р
2
1200
0,5
1
3
0,300
180
—120
60
3
1800
0,482
257,143
— 192,857
96,43
4
2400
1
4
0,666 »
333,33
—266,67 1
133,33 ,
Таблица 28
1р
'с
к
"р
2
*2
&52
&25 — “
” ^21
&12
0,25
1,235
—0,019343
43,057
1
15,268
1
0,001560'
0,33
1,647
—0,025071
49,020
19,789
0,002022
0,5
2,471
—0,032236
55,586
25,444
0,002600
1
0,01647
4,941
—0,037913
Ре
60,283,
Ре
29,925
Ре
0,003058
|
щ.
1,5
7,412
—0,038415
~2
60,680
2
30,321
2
0,003098
2
2
9,882
—0,038458
60,713
30,355
0,003101
3
14,823
—0,038461
60,716
30,358
0,003102
4
19,764
—0,0384611
60,716)
30,3581
0,003102*
Таблица 29
1Р
‘с
Напряжения
<75
<^25
<721
<71
0,25
0,482
0,370х,
0,409
О.ЗбО1
0,33
0,566
0,395
0,441
0,352
0,5
0,684
0,443
0,497
0,357
1
0,895
р
0,559
р
0,624
[ р
0,381
^ р
1,5
1,056
г
0,674
г
0,743
г
0,416
г
2
1,210
0,797
0,869
0,460
3
1,511
1,061
1,136
0,567
4
1,^
1,337,
1,414
0,688
)
141

Таблица 30
е, сл*
вр
&21
6М04
V
М2\
I р
у-=0,25
0
0
0
0,1301
277,251
1
14,787
2
1,378
2,443
0,3283
89,251
0,6587
8,267
4
2,756
4,886
0,8012
19,835
0,3175
4,645
6
4,133
7,329
1,5797
—0,916
—0,0238
3,147
8
5,511
9,772
2,6865
— 10,072
—0,3651
2,363
10
6,889
12,214
4,1344
—15,154
—0,7063
1,884
1р
'с
=0,33
0
0
0
0,1301
277,251
1
11,09а
2
1,226
1,979
0,2756
128,440
0,7477
7,245
4
2,451
3,958
0,5997
44,357
0,4954
4,374
6
3,677
5,937
1,1249
13,405
0,2431
2,989
8
4,902
7,916
1,8692
—0,363
—0,0093
2,245
10
6,128
9,895
2,8439
—7,899
—0,2616
1,79а
'с_
:0,5
0
0
0
0,1301
277,251
1
7,39а
2
0,988
1,357
0,2255
179,276
0,8394
5,656
4
1,976
2,714
0,4166
97,102
0,6788
3,973
6
2,965
4,071
0,7156
48,954
0,5182
2,836
8
3,953
5,428
1,1334
24,041
0,3576
2,149
10
4,941
6,785
1,6784
10,124
0,1971
1,714
0
0
0
0,1301
277,251
1
3,697
2
0,603
0,599
0,1759
235,849
0,9320
3,277
4
1,206
1,197
0,2521
194,087
0,8641
2,825
6
1,808
1,796
0,3615
154,213
0,7961
2,40а
8
2,411
2,394
0,5069
118,84Ь
0,7281
2,025
10
3,014
2,993
0,6910
89,775
0,6601
1,709-
'р
'с
1,5
а
0
0
0,1301
277,251
1
2,464
2
0,432
0,359
0,1598
252,619
0,9593
2,282
4
0,863
0,719
0,2046
227,597
0,9186
2,084
6
1,295
1,078
0,2655
202,564
0,8780
1,888
8
1,726
1,437
0,3435
178,011
0,8373
1,703
10
2,158
1,797
0,4395
154,510
0,7966
1,532
142

Продолжение табл. 3 О
е, см
вр
В2\
СМ О4
V
мр
Ми
_Р
сгт
— =2
0
0
0
0,1301
277,251
1
1,848
2
0,337
0,253
0,1521
259,976
0,9714
1,747
4
0,675
0,506
0,1831
242,455
0,9428
1,636
6
1,012
0,759
0,2237
224,814
0,9141
1,525
8
1,349
1,012
0,2743
207,183
0,8855
1,416
10
1,686
1,265
0,3355
189,740
0,8569
1,314
-т~=з
0
0
0
0,1301
277,251
1
1,232
2
0,236
0,157
0,1445
266,529
0,9822
1,188
4
0,472
0,315
0,1634
255,705
0,9644
1,139
6
0,708
0,472
0,1867
244,791
0,9466
1,089
8
0,944
0,630
0,2148
233,827
0,9287
1,039
10
1,181
0,787
0,2478
222,834
0,9109
0,990
-=4
0
0
0
0,1301
277,251
1
2
0,182
0,114
0,1409
269,513
0,9871
4
0,364
0,228
0,1542
261,709
0,9742
6
0,546
0,342
0,1702
253,860
0,9614
8
0,729
0,455
0,1890
245,964
0,9485
10
0,911
0,569
0,2105
238,042
0,9356
0,924
0,899
0,872
0,844
0,816
0,787
Результаты вычислений даны в табл. 30 и нанесены на рис. 65*
Р	Р	I
в виде кривых —, е, а на рис. 66 — в виде кривых —, _р_ф
°т	ат	1С
Графики показывают, что в рассматриваемых рамах с увеличе-
/
нием -у- (при /с = сопз!) величина предельной нагрузки снижается.
с
Такое снижение происходит весьма интенсивно при небольших экс¬
центриситетах приложения нагрузки (0—4 см) и менее интенсивно—
при остальных эксцентриситетах (4—10 см).
При одном и том же эксцентриситете предельная нагрузка ниже
143

для рам с большим соотношением ~-9 но уже для рам с -р =
с	с
= 3 все кривые сливаются в одну линию (см. рис. 66).
С ростом эксцентриситета несущая способность рамы значитель-
/
но уменьшается для малых соотношений (0,25; 0,33; 0,5) и поч-
с
ти не изменяется для остальных соотношений.
Выводы. Кратко подведем итоги исследования предельного со¬
стояния одноконтурных бесшарнирных рам тонкостенного про¬
филя при изгибе и кручении, вызываемыми нагрузкой на ригеле,
параллельной плоскости рамы.
1.	Предельное состояние рассматриваемых рам так же, как и
при изгибе, характеризуется переходом в пластическое состояние
наиболее напряженного сечения ригеля и сечений в верхних углах
рамы. Это объясняется тем, что максимальные нормальные напря¬
жения от изгибающего момента и бимомента совпадают. В зави¬
симости от соотношения длин ригеля и стоек текучесть может
появиться сперва в пролете, а затем на опорах, и наоборот.
2.	Влияние продольной силы для рассмотренного типа рам
уменьшает величину предельной нагрузки на десятые доли про¬
цента, поэтому в практических расчетах это влияние можно не
учитывать, что весьма упрощает расчетные формулы.
144

3.	Соотношение длин стержней рамы существенно влияет на
ее несущую способность.
При нагрузке сосредоточенной силой посередине ригеля нами
рассмотрены две разновидности соотношений длин ригеля и стоек:
а)	пролет рамы постоянен (/р = сопз!), а высота ее меняется;
б)	высота рамы постоянна (/с = сопз!), а изменяется ее пролет.
Эти случаи дают разные результаты.
Исследование влияния отношения
/Р
-у на величину предельной
1с
нагрузки показывает, что с увеличением указанного соотношения
при /р = сопз! несущая способность рамы увеличивается, а при
/с = сопз! уменьшается. В первом случае это происходит потому,
что пролетные моменты ригеля в высоких рамах велики и, сле¬
довательно, достигают предельного состояния раньше, чем в рамах
с таким же пролетом, но меньшей длиной стоек. Во втором случае
работа рамы весьма походит на работу балки, где с увеличением
пролета несущая способность ее падает.
4.	В обоих случаях с увеличением эксцентриситета е приложе¬
ния нагрузки несущая способность рамы значительно снижается.
Такое снижение проявляется более резко для рам с малыми со¬
отношениями длин ригеля и стоек. При одном и том же эксцентри¬
ситете предельная нагрузка рамы практически стабилизируется
„ /Р
для соотношении ~
Iс
= 2 и выше.
5.	Неучет сен-венанова крутящего момента в пролете рамы
несколько повышает величину предельной нагрузки. Для рам дву¬
таврового сечения с /р = /с при сосредоточенной силе Р на ригеле
и эксцентриситете е = 6 см это повышение составляет — 5—6%.
21.	СОПОСТАВЛЕНИЕ С РЕЗУЛЬТАТАМИ РАСЧЕТА
ПО УПРУГОМУ состоянию
Сравним величины предельной нагрузки рамы и нагрузки при
допускаемом напряжении в опасном ее сечении для рамы с сосре¬
доточенной силой Р посередине ригеля, приложенной с эксцентри¬
ситетом е.
Сравним также величину предельной нагрузки с нагрузкой,
соответствующей появлению текучести в указанном сечении рамы
(предел упругой работы).
Обратимся к рассмотренным случаям, когда принимался посто¬
янным пролет рамы (/р =сопз!), а изменялась ее высота, и когда
оставалась постоянной длина стоек (/с = сопз!), а длина ригеля
менялась.
Для получения предельной нагрузки Р воспользуемся данными
табл. 25 и 30, где полагаем предел текучести стали ат=2400 дан/см2.
10—1338
145

Например, по табл. 30 (/с = сопз!) для ~ — 3 при е=6 см имеем
— = 1,089; Р = 1,089от = 1,089-2400 = 2614 дан. (21.1)
Допускаемую нагрузку Рдоп находим, применяя формулу для
нормальных напряжений в среднем сечении ригеля:
М . В
адоп т • т
(21.2)
и ссютветствующие величины изгибающего момента и бимомента из
расчета рамы в упругом состоянии (см. табл. 27 и 28).
Принимая допускаемое напряжение стали равным адоп =
/
= 1600 дан)см2, для рамы с -^ = 3 и ^ = 6 см (сечение 5 ригеля)
•'г*
получим
_	_ 257,1Р
05-адоп- 256,5
60,72 р е
358,3^ 2
1.511Р,
(21.3)
откуда
Рдоп = ■ЩТ = тйт = 1059 дан•	(21 -4)
Разность между нагрузками (21.1) и (21.4), отнесенная
шей величине,
(2614— 1059) 100
2614
59,5%.
к боль-
(21.5)
Нагрузку при появлении текучести, обозначенную нами Рф. т,
определим, используя значения напряжений по формуле (16.7),
учитывающей нормальные и касательные напряжения:
а
ф.т
+ 3
Мк
) - (21.6)
Приравнивая напряжение при появлении текучести (Хф.т пре¬
делу текучести стали сгт = 2400 дан/см2, находим величину на¬
грузки, вызывающей фибровую текучесть в опасном сечении рамы.
При данных, использованных выше, будем иметь
а = а
ф.т
257,1 Р
256,5
+
60",72 Ре
358,3 2
2
+3
Ре \2
2-11,74 )
2400
1,574
= 1525 дан.
1,574Р
(21.7)
(21.8)
146

Таблица 31
Раз¬
ность,
%
ЮЮ0О00О5-НСОЮ
аГ 00* СО ^ со
■^ююююююю
04
СО
Раз¬
ность,
%
1Я 1Д N04 4^ —N СО'
-н со" СО 00 СО оГ —« О
ЮЮЮЮЮ^^СО
Р-Рф.т<
дан
00СО^(МСО1—*тГО
О1"-а)04т*«с0С0С0
СОООСО^Г'-СОт^О)
0404СОСОСОСОСОСО
я
К
с;
о
СО
н
О, «
Г
О СО —|ЮЮЬО)0
00 СО СО 1Л СО О) ОО СО
ООООООСО^Г^ОГ^
СО СО СО СО 04 —< —
&—•
Р, дан
—нСООО—100004^
сог^юсоо-с^-смст»
СОСЧООСО^^СОО
^•ЮЮСОСООСОСО
1
а,"
СО^СОО —0^0
Ю N О СО СО Ю '—1 041
Ю-ООМО00О
Г— О- О Ю ^ СО 04 04
04^100000)^0)
^0)т*<соо)0)сосо
О)—«^СОСОСОСОЮ
—Г04 0401 04 04 04 04
а,|сГ
N0)500001005^
00 СО О 00 04 00
—<0 00^00100 00
СО 04 04 04^ —< —< —< О
о?
С0О^ГО)Г'-Г"-00^
Ю О N О (М ^ ОО СО
СО^^СОС^ОООООО
0404040404040404
1
Н
о?
т^ООЮЮСОСОЮО
сосо^оо)соо40)
0СОО) ГГОООЮ 04
СО СО 04 04 04 —« —< —•
о
45
а,
11 1
н н
•о* »в«
ь о
'0000000^1"-
04 О 1>- 04 00 СО ^
00050)00000000
—« —« О О О О О О
II
Н
4
ь
Ю О) Ю ОО Ю ОО ^
Ю—1—<О)'^00Р-'СО
СО1>-00О)-нС4Ю00
о о о о" —Г —Г ^ —Г
Разность,
%
СОГ^-ОЮОГ^004
СОО)—<04—<00)00
ООЬЫ^ЬСОСО
Л
&
со
СО
а,
ососоосооюсо
СО О Ю О СО СО О) со
Ю00000ЮЮ
С
о, а
1
О,
04С00)0404ОГ-Ю
0)Ьгч0)Ю00ОЮ
ООО4 1С0ЮСО^н
8
аГ5
1 *>
о-
СО Г— Г^- 04 СО 00 Ю —<
СО-^СОГ^—1СОЮ^
04 СО г)< О) О СО Ю—
^ ^ ^ СО СО 04 —» •
Р, дан
*ч СО ОО О 00 04 т}*
СО^СОсОЬ-О-040)
С0 04 00С0^^С0О
^ Ю Ю СО СО СО О СО
§
сС
СО0 О — О т}< со
ЮЬО0СО0-О4
Ю — ОО Ю СО со О
4^Г-СОЮ^С00404
Чьн
(NN10 0000^ т>
тГО)т*<сОО)0)СОСО
—1 04 04 04 04 04 04 04
°'|ьн
N05000000)^
^ 00 СО О ОО 04 00 ''З*
— 0)00^00 10 000
СО 04 04 04 ——* — ——• О
а;
«
с
о
оГ
0)00)0)00 00100)
СОО'ФСО—<0)04С0
Ю СО СО N 00 00 О) О
1
I
О.
О N О) ОО Ю 04 О) Ю
04 04 СО СО •—1 04 Ю ОО
СО 00 СО I4— Ю СО О СО
СО 04 04 —< —< —| —1
ю
Ь
0.
иэ
&
0,
II
И
§:
0
ОООООСО-Ю
04 О Г"- 04 00 СО 04
000)0)00000000
—<—<000000
II
С
§
‘О40^Ю0О—00'
00 СО ОО О) Ю —< ^ О
^Ю0ОО 004 Ю 00
ОООО—«
0-1 о
^ г
Ю СО
04 СО Ю
ООО—<04004^
—| 04
^сь|^а
Ю СО
04 СО Ю Ю
ООО —< —Го4СО^»
10*
147

(21.9)
В этом случае разность между нагрузками (21.1) и (21.8)
(2614— 1525) 100
2614
41,7%.
Аналогично изложенному посчитаны величины предельной и
допускаемой нагрузок, а также нагрузки при появлении теку¬
чести для рам с /с = соп$1. Для рам с /р = сопз1 указанные на¬
грузки вычислены без учета касательных напряжений.
Сравнение этих величин для всех рассмотренных соотношений
/р
/с
при постоянном эксцентриситете е = 6 см дано в табл. 31 и 32
(схема предельного состояния соответствует распространению те¬
кучести посередине ригеля и в верхних сечениях стоек).
Таблица 33
е, см
°Д0П ^5
РД0П’ дан
р
°т
Ру дан
Р—Р
ДОП’
дан
Разность,
%
0,450
3556
3,737
8969
5413
60,4
0,623
2568
3,352
8045
5477
68,1
0,796
р
2010
2,923
7015
5005
71,3
0,970
> г
1649
2,445
5868
4219
71,9
1,143
1400
1,933
4639
3239
69,8
1,316]
1216
1,479
3550
2334
65,7
0
0,400'
4000
3,737
8969
4969
55,4
2
0,573
2792
3,387
8129
5337
65,7
4
0,746
р
2145
3,022
7253
5108
70,4
6
0,920
► г
1739
2,638
6331
4592
72,5
8
1,093
1464
2,237
5369
3905
72,7
10
1,266]
1264
1,825
4380
3116
71,1
0
0,360]
4444
3,737
8969
4525
50,5
2
0,533
3002
3,393
8143
5141
63,1
4
0,706
р
2266
3,046
7310
5044
69,0
6
0,880
■ г
1818
2,696
6470
4652
71,9
8
1,053
1519
2,343
5623
4104
73,0
10
1,2261
1305
1,988
4771
3466
72,6
148

В табл. 31 отражены рамы с постоянным пролетом. Числовые
значения показывают, что разность в процентах между предельной и
допускаемой нагрузками достаточно высока (находится в пределах
66,3—72,5%) и мало изменяется с изменением соотношения у-.
Разность между предельной нагрузкой и нагрузкой при появ¬
лении текучести составляет 49,5—58,8%.
В табл. 32 помещены аналогичные данные для рам с постоянной
длиной стоек. Здесь все разности в процентах несколько ниже
предыдущих: в первом случае они составляют 56,0—69%, а во
втором — 36,3—58,2%.
Наибольшие разности в процентах как в табл. 31, так и в
табл. 32, отвечают соотношению у- = 1.
/с
В табл. 33 для рам с /р = сопз! приведено сравнение предель¬
ной и допускаемой нагрузок в зависимости от изменения эксцен¬
триситета е приложения силы (взяты три соотношения -у = 0,5; 1;
/с
2). Значение е изменяется в пределах от нуля до 10 см через каж¬
дые 2 см. Схема предельного состояния та же, что и в табл. 24.
Результаты показывают, что наибольшее расхождение в вели¬
чинах Р и Рдоп наблюдается при эксцентриситетах е = 6 и 8 см.
I
С увеличением отношения -у- влияние эксцентриситета СКаЗЫВае-
^о
тся больше. Так, для = 2 (при изменении е от 0 до 10 см) изме¬
нение разности в процентах между рассматриваемыми нагрузками
составляет от 50,5 до 73%.
Аналогичные данные получаются для рам с /с = сопз{.

ГЛАВА IV
РАСЧЕТ ОДНОКОНТУРНЫХ РАМ ПРИ НАГРУЗКЕ
НА РИГЕЛЕ, ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОЙ ПЛОСКОСТИ РАМЫ
22.	ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ
Большое распространение в авиастроении, судостроении, тран¬
спортном машиностроении и других областях техники приобрели
конструкции из тонкостенных стержней, подвергающиеся совме¬
стному действию изгиба и кручения от нагрузок из плоскости кон¬
струкции. Методы расчета таких систем в пластической области
почти не разработаны.
Глава IV посвящена исследованию сложного сопротивления и
установлению несущей способности металлических одноконтурных
рам из тонкостенных стержней при нагрузке их силами, перпенди¬
кулярными плоскости рамы, а также крутящими моментами
(рис. 67). Нагрузка приложена с эксцентриситетом относительно
центра изгиба профиля.
Как и ранее, предлагаемое решение задачи основывается на
методе предельного равновесия [19], где напряжения рассматрива¬
ются вне связи их с деформациями. Задаваясь видом предельных
эпюр напряжений и используя условие пластичности по энергети¬
ческой теории, получаем зависимость между внутренними сило¬
выми компонентами для сечения, перешедшего в пластическое со¬
стояние.
Для установления несущей способности конструкции в целом
и определения предельной нагрузки необходимо решить систему
уравнений, куда входят указанные зависимости для отдельных се¬
чений, а также дополнительное уравнение (уравнения), соответ¬
ствующее условиям равновесия. При рассмотрении задачи поль¬
зуемся предпосылками, изложенными в гл. I, 1. Вопросы устой¬
чивости в работе не освещаются.
150

Расположение наиболее напряженных сечений рамы находим
из предварительного расчета заданной конструкции в упругом со¬
стоянии.
В указанных на рис. 67 рамах их стержни в точках / и 4 же¬
стко закреплены, а в узлах 2 и 3 соединены фасонками. При этом
внешняя нагрузка вызывает изгиб и кручение стержней, и работа
рамы характеризуется наличием пяти силовых компонентов: из¬
гибающего из плоскости рамы момента М, бимомента В, сен-вена-
нова крутящего момента Я, поперечной силы 0, и изгибно-крутя-
щего момента Мы. Влияние последних двух факторов в большин¬
стве случаев невелико.
От перечисленных факторов в закреплении рамы возникнут пер¬
пендикулярные плоскости рамы реакции и /?4, реактивные мо¬
менты М, изгибающие раму из ее плоскости, крутящие моменты
Мк и бимоменты В. Продольные силы в стержнях и в закреплении
рамы отсутствуют.
Поперечные сечения стержней, обычно типа двутавра или
швеллера, рационально ориентировать так, чтобы изгиб происхо¬
дил в плоскости наибольшей жесткости профиля. На рис. 68, а
показана такая ориентировка стержней для рамы двутаврового
сечения, а на рис. 68, б — для рамы из швеллера.
Для удобства построения эпюр моментов и бимоментов изобра¬
жаем раму в горизонтальном положении; при построении придер¬
живаемся правила знаков, изложенного в гл. III, 14.
Систему координат располагаем так, что оси х и г являются
продольными осями стержней, а ось у выходит из плоскости рамы.
151

23.	РАСЧЕТ РАМ ИЗ ТОНКОСТЕННЫХ СТЕРЖНЕЙ ПО МЕТОДУ
ПЕРЕМЕЩЕНИЙ
Для установления наиболее напряженных сечений рамы от
рассматриваемой нагрузки проводим расчет ее в упругой стадии
работы, используя метод перемещений [26], [58].
При расчете рам по этому методу за неизвестные принимаются
перемещения узлов. В общем случае в узле рамы из тонкостенных
стержней будет семь неизвестных: три
угла поворота X, У, 2, относительно
координатных осей, три линейных пе¬
ремещения Ь, М, N и депланация уз¬
ла х (перекручивание фасонок).
Вследствие симметрии рамы и
нагрузки число неизвестных умень¬
шается, причем некоторые перемеще¬
ния равны друг другу или равны
нулю. Продольными деформациями
стержней пренебрегаем.
Сначала предполагаем, что все уз¬
лы рамы неподвижны (основной сис¬
темой служит рама с заделанными
против смещений, поворотов и деп-
ланаций узлами), т. е. все стержни
работают от нагрузок между узлами, как балки с жестко заделан¬
ными концами, отчего в узлах возникают реактивные силы, момен¬
ты и бимоменты. Обозначим их через X", У, 2, 1, М, X, В. Вдейст-
вительности же узлы имеют упругие перемещения, вызывающие
действующие на концы стержней силы X, У, 2, Ь, М, X, В.
В каждом узле должно соблюдаться равновесие суммы сил,
передающихся узлу стержнями в предположении жесткой заделки
их концов, суммы сил, вызываемых упругими перемещениями
узлов, и внешних сил, приложенных к узлу рамы.
Система уравнений для узла 2 рамы, где сходятся стержни
2 — 1 и 2 — 5, при отсутствии продольных усилий имеет вид:
ЕГ = 0;	(^^&Ы2-22121) + У23 = 0-,
%Ь = 0;	(- зл/2 + 222/21) + 4, = 0;
Рис. 68.
(23.1)
5)м = о; (о/,±)и х, + (ои ^ * + (^)/. + А.-*
152

I В = 0 ;
к2 +
+
01а
а-г)
ё
к2
23
+Б2з—0.
Здесь N2 — линейное перемещение вдоль оси у (из плоскости
рамы); Х2у 22— углы поворота относительно координатных осей; х2—
депланацияузла; Е1Ху Е1г—жесткости стержня при изгибе; 01а—жест¬
кость стержня при кручении; I — расчетная длина стержня; /, @у р, г,
5 — коэффициенты, обусловленные кручением; знаки в уравнениях
соответствуют знакам, принятым в работе [26].
Система уравнений (23.1) распадается на две независимых части
относительно неизвестных Х2, 2Ъ Х2 и х2; после решения уравне¬
ний находим их выражения:
Х2 =
Р
12\
ЪЕ1г
(У 2 3^21 +
л
1.5^-гз);
*2
— М.22С2	В22Р2 >
А2С2 — Р\
%2 = —
2Е1г
(У23^21 + 2Ь2
М22Р2	523Л2
А2С2 — Р2
(23.2)
Коэффициенты /, §, р, г, з для каждого стержня определяем
по формулам
/ = (Ы сН Ы — зЬ Ы);	§ = 2 + Ы зЬ Ы — 2 сЬ Ы ;
(23.4)
р = сЪЫ — 1; г = (зЬ Ы — Щ\ 8 = к зЬ Ы,
где к — изгибно-крутильная характеристика;
к=уГт-	(23-5)
Определение реактивных факторов. Формулы для реактивных
АЛЛА
факторов У23, /^з, М23у В23 зависят от характера нагрузки и опре¬
деляются из уравнений В. 3. Власова [17] для деформационных и
153

силовых факторов, выраженных через начальные параметры. Такие
уравнения в наших обозначениях приведены в гл. III, 15.
Определим реактивные факторы Вл и для случая нагрузки
жестко защемленного стержня двумя силами, приложенными с экс¬
центриситетом е (рис. 69).
В этом случае граничные условия
при 2 = 0 ел = 0; е; = О;
при 2 = 1 0П = 0; 0'п = 0.
(23.6)
2щ
✓
Р А
г
г
О
а
0
с
Рис. 69.
Рис. 70.
Из уравнений (15.3) и (15.4) для деформационных факторов, учи¬
тывая граничные условия, получим
Влк (1 — сЬ Ы) + Ь„ (к1 — зЬ к1) + Рге [к (/ — ах) — зЬ к (/ — ах)]
+ Р2е [к (I — а2) — зЬ к (/ — а2)] = 0,
(23.7)
— Влк зЬ Ы + Ьл (1 — сЬ к1) + Рхе [1 — сЬ к (/ — ах)] +
4- /у [1 — сЬ к (/ — Оз)] = 0.
Исключая отсюда крутящий момент Ьл, имеем
Вл = -Хе(к1— зЬ к1) {Рх [ 1 — сЬ к (I — ах)] + Рг [ 1 — сЬ к (/ — а2)]} —
к§
-1е(1-сЬк1){Р1[(1-а1)к-$Ьк(1~а1)] +
+ Ра [к (I — а2) — зЬ к (/ — а2)]},	(23.8)
где
ё = (1 _ сЬ Ы)2 + зЬ Ы (Ы — зЬ Ы) = 2 + к1 зЬ Ы—2сЬ Ы. (23.9)
После исключения из уравнений (23.7) бимомента Вл
Ьп = — — (1— сЬй/){Р1[1— сЬ к (1-а^ + Р^Х— сЪк(1 — а3)]}—
154

— зЬ Ы {Рх [к (I — ях) — зЬ к (I — ях)] +
§
+ Р2 [к (I — я2) — зЬ к (I — я2)]}.
(23.10)
При одинаковых силах Рг = Р2 = Р, приложенных с эксцентри-
/	2
ситетом в третях пролета, когда ях = -— = я; я2 = —- / = 2я; Зя =
3	о
= / (рис. 70), уравнения (23.8) и (23.10) упрощаются:
Вл = ~ [(Ы — зЬ Ы) (2 — сЬ к2а — сЬ ка) —
— (1 — сЬ к[)(к1 — зЬ к2а — зЬ ка)];	(23.11)
Ьл = — ^ [(1 — сЬ Ы) (2 — сН к2а — сН ка) +
+ зЬ Ы (Ы — зЬ к2а — зЬ ка)].
Используя формулы для гиперболических функций (см. спра¬
вочник [85]), после преобразований получим
(сЬ^--сЬ^)
Л ре\ 2	6 /	Л
Вл = Згз=,^	 	Ц Ья=М13 =
, ы
зЬт
— Ре. (23.12)
Если две сосредоточенных силы приложены в четвертях пролета,
, Ы	,Ы
сп — — сН -р
Ре 2	4
Бл = Т	ы	; 1» = ~Ре-	(23.13)
В случае действия на стержень одной силы на расстоянии аг
от начала координат в уравнениях (23.8) и (23.10) члены с Р2 об¬
ращаются в нуль:
Ре
Вл = ^\(Ы — зЬ Щ [1 — сЬ к (/ — ах)] —
— (1 — сЬ к[)[к(1 — ах) — зЬ к (/ — а^]} ;
Дя = —— {(1—сЫЫ)[1—сЬЛ(/ —Ях)] +
+ зЬ Ы [к (I — Ях) — зЬ к (/ — Ях)]}.
(23.14)
155

Когда сила Р приложена посередине пролета, т. е. аг = вы-
ражения бимомента и крутящего момента в начальном сечении при¬
водятся к виду:
Вл — В2з
(23.15)
Определим также реактивные факторы Вл и Ьл для жестко
защемленного стержня с равномерно распределенной нагрузкой ц,
приложенной с эксцентриситетом е на части пролета (рис. 71).
Из уравнений (15.3) и (15.4), учитывая граничные условия
(23.6), имеем
Влк (1 — сЬ Ы) + и (Ы - зЬ Щ + <7 ±	[- (I - 4)2 +
+ (/ — 4)2] + сН к (/ — 4) — сН к (I — 4)| = 0,
(23.16)
— Влк5Ък1 + Ьл(1 — сЪкГ) + ?-|-[А(4 — 4)+
+ зН к (I — 4) — зЬ к (I — 4)] - 0,
откуда
Вл = ящ |(Ы — зЬ Щ [к (4 — 4) + зЬ к (I — 4) —
— &Ък(1 — 4)] — (1— сЬ6/)| — ^-(/ — 4)2 +
+ у (/ - 4 Т + сЬ к{1- 4) - сЬ к (I - 4) 1};	(23.17)
156

Ьл=—д^- ^1 _ сЬ Ы) [к (/2 — 4) + зЬ к (/ — (2) —
— зЬ к (/ — 4)] + зЬ к1
к?
к2
Н—2" — 4)2 “Ь *-Ь А: (/ — 4) — сЬ к (I — 4)
Когда равномерно распределенная нагрузка <7 приложена в
I	2
средней трети пролета (рис. 72), а именно 4 = -д- = с; 4 = -д / =
— 2с; 3с =/, уравнения (23.17) после преобразований запишутся
так:
Вл — ^
, Ы п ,Ы
е , з-л-г-2*4
Й2
„ .Л/
2зЬт
; 1л = -9^-.	(23.18)
Аналогично для той же нагрузки <7 посередине пролета на про-
/,	1	*	3 Л
тяжении половины его длины I 4 =	4 =	/
(Ы ,Ы п ,кГ
тсКт-25Ь7
В. = яж'	И	^ ^ =	(23-19)
2зЬ
Ы
При равномерно распределенной нагрузке <7 по всему пролету в
уравнениях (15.3) — (15.6) полагаем (г— 4) = 0 и 4 = 0. Получим
Вл = ч~\(к1 — $Ък1)* — (1— сЪк1)(^- + 1—с Ьк1
к2§
' кё[_
Ьл = —ду \ (1—сЬ*/)(& —зЬАО + зЫИ + 1—сЬЫ
или
Вл 	 9
(
ик1
сЬ —
е | Ы
2
к2 1 2
,ы
5ЬТ
-1 |; и = -де±.
(23.20)
(23.21)
Если з рассмотренных случаях момент от приложенных сил
157

будет закручивать против часовой стрелки, то Вл и 7,л нужно за¬
писать с обратными знаками.
В табл. V приложения даны формулы для четырех реактивных
факторов У23, Г23, М23у &2з в разных случаях нагрузки рамы:
1) сосредоточенная сила Р посередине ригеля, приложенная с экс¬
центриситетом относительно центра изгиба профиля; 2) равномерно
распределенная по всему пролету нагрузка <7, приложенная с экс¬
центриситетом; 3) сосредоточенный крутящий момент Мк посере¬
дине пролета; 4) крутящая нагрузка т, равномерно распределен¬
ная на ригеле; 5) две сосредоточенные силы Р, приложенные с экс¬
центриситетом в третях пролета; 6) равномерно распределенная
эксцентричная нагрузка <7 в средней трети пролета; 7) два сосре¬
доточенных крутящих момента Мк в третях ригеля; 8) равномерно
распределенная крутящая нагрузка т в средней части пролета.
Выражения усилий, моментов и бимоментов. Подставляем зна¬
чения неизвестных Х2, 22, Х2, х2 в отдельные части уравнений
(23.1), соответствующие стержням 2—1 и 2—5, что дает величины
усилий, моментов и бимоментов, действующих на концы стержней
в узле 2.
Необходимо учитывать, что крутящий момент стержня 2—3
изгибает стержень 2—/, а изгибающий момент первого из них
является крутящим для второго.
Стержень 2—1:
= Т № -ад;
*21
мъ = (о и хз + (си х2;
0	рт
мп=^Ц-гы, + 222121)-
12\
М№«),* + (№т).'-
Стержень 2 — 3 (ригель):
Г23 = К23; Л& = Д»;
9 р I	А
М2з =	—- Х2 + М23;
^23
в23 =	х2+в23.
1	& ]гз
Крутящие моменты, изгибающие моменты и бимоменты для сече¬
(23.22)
(23.23)
158

ния 1 стержня 2—1 и сечения 5 стержня 2—3 рассчитываем по сле¬
дующим формулам (наши знаки и обозначения):
К12 = /?; ЛЯ2 = —Ми; М12 = -(М21 + У21/21);
б12 = с/й(|-л:2 + -^х2);
(23.24)
М*2 = — -Л^23 4" ^1 ; 4452 = — (^Л423 ' - К23	Р%;
01, I п и и /п	/_
или
552 — —
0/<*х2
Г
к&к^
М1з(сЬ^В-
—д
23 '
Здесь /? — вертикальная реакция у заделки; У7!,	— чле¬
ны, добавляемые к уравнениям (23.24) для крутящего момента м^,
изгибающего момента Мъ2 и бимомента В52 в точке 5 от сосредото¬
ченных внешних факторов на стержне 2—5; при этом Рг и Р3—
части крутящего момента и бимомента определяются по формулам
(15.3)	— (15.6), а Р2 определяется как изгибающий момент в точке
5 от внешней нагрузки на стержне 2—5; /р/2 — половина длины
стержня /23.
Например, для случая равномерно распределенной нагрузки д
на ригеле
К = Я^\ Р1 = т(г — ^) = де^\
(23.25)
/ / Р	т
Ря==ч~2~Ё^<1~§’	= ^-[1 —сЬй(2 —^)] =
е
1—
Выражение вертикальной реакции в зависимости от нагрузки
и выражения Ръ Р2, Р3 для восьми случаев нагрузки рамы сведены
в табл. 34. Член Р3 — часть бимомента от внешней нагрузки на
стержне 2—5 — вводится в уравнение со знаком, противополож¬
ным знаку члена, включающего реактивный крутящий момент
и в начальном сечении.
159

Определяем приведенные напряжения в сечениях 1 и 2 стержня
-1 ив сечениях 2 и 5 ригеля 2—3 из выражения
°пр = 1/Го* + Зт*
-VI
м
г,
±
в_
(23.26)
Так как напряжения от бимомента по концам полок двутавра имеют
разные знаки, а в точках А и Б швеллера (рис.
73) — разные знаки и величину, под радикалом
из двух значений первого члена берем большее.
Очевидно напряжения в сечениях рамы бу¬
дут связаны с соотношением длин ее стержней
и в зависимости от этого может быть несколь¬
ко схем предельного состояния (рис. 74).
В рамах с длинными опорными стержнями
(/р < /) несущая способность исчерпывается с
распространением текучести в двух сечениях
вблизи закрепления рамы, где напряжения
наибольшие.
В рамах с одинаковой длиной ригеля и опорных стержней
(/р = /) предельное состояние системы может быть вызвано
Таблица 34
Вид
нагрузки
Я
Гг
Рг
^3
1(Р)
р
2
0
0
0
2(4)
я!р
2
<
8
з (лу
0
0
0
0
4 (т)
0
м 1Р
0
5 (Р, Р)
р
Ре
РТ
Т5ЬкТ
® (^част)
41Р
6
«т
<
72
7 (Мк, Мк)
0
мк
0
тл4
8 (тчаст)
0
т -~
0
0
Н'-Лк^)
160

наличием текучести в среднем сечении ригеля и в сечениях
опорных стержней у заделки.
С увеличением длины ригеля (/р > /) предельное состояние
рамы будет связано с переходом в пластическое состояние трех
сечений ригеля или с одновременным охватом текучестью сечений
странение текучести по концам опорных стержней вызывается в
основном кручением, а не изгибом.
24.	ФОРМУЛЫ ДЛЯ УСТАНОВЛЕНИЯ ПРЕДЕЛЬНОЙ НАГРУЗКИ
Определение наиболее напряженных сечений рамы позволяет
установить схему ее предельного состояния. Нужно найти располо¬
жение сечений, перешедших в пластическое состояние, и рассма¬
тривать то наименьшее их количество, которое достаточно для вы¬
ведения из строя всей конструкции.
Для каждого из таких сечений необходимо записать условие
пластичности, т. е. составить предельную зависимость между си¬
ловыми факторами, действующими в сечении. Решение полученной
системы совместно с уравнением (уравнениями) равновесия дает
возможность установить предельную нагрузку рамы.
При решении задачи пользуемся предпосылками, изложенными
в гл. I, 1.
Условие пластичности
для тонкостенного профиля типа швеллера или двутавра при учете
пяти силовых компонентов получено нами [78] в виде формулы (7.1).
Если влиянием поперечной силы 0 и изгибно-крутящего момента
пренебречь, уравнение (7.1) упрощается:
ригеля и опорных стержней. При больших значениях
у распро-
<т2 + Зт2 = а2
(24.1)
11-1338
161

(В — ОМ)2 /~{в — ому	М2 (В—ОМ)2
2а2ЛК2 ± V 40+ ЛТ1С1<3 +
, М2 ■	,3 (Мк)2
+ 4а2ТыСК + а\Ц ~ 1 '	(24‘2)
Дополнительные уравнения составляем из условий равновесия,
вырезая части рамы и рассматривая действие внешних и внутрен¬
них моментов (сил), приложенных к отрезанной части. Места раз¬
резов обусловливаются схемой предельного состояния.
Рассмотрим случай нагружения рамы сосредоточенной силой
Р посередине ригеля, приложенной с эксцентриситетом е и вызы¬
вающей изгиб с кручением стержней рамы. Здесь следует говорить
о двух основных схемах предельного состояния, относя к первой
рамы с /р < /, а ко второй — рамы с /р > /.
При /р < I предельное состояние системы наступает с распрос¬
транением текучести в двух сечениях у заделки опорных стержней
/
(см. рис. 74,а). Когда	0, то раму можно рассматривать, как
две консольных балки, соединенные на свободном конце поперечи¬
ной.
При /р > / несущая способность системы характеризуется пере¬
ходом в пластическое состояние трех сечений ригеля (см. рис. 74,в).
Когда -2 оо, то раму можно рассматривать, как однопролетную
балку на двух опорах.
В первом случае (/р < /), вырезая стержень 1 — 2 (рис. 75, а)
и записывая сумму изгибающих моментов относительно точки 2,
получим
ЦМ2 = 0; —Ш + М12 — М21 = О
162

или
Мп = Щ + М21,
(24.3)
где /? — реакция у заделки от внешней нагрузки; / — расчетная дли¬
на стержня 1—2\ М12 и М21— изгибающие моменты по концам
стержня.
Момент М21 можно выразить через реакцию # и эксцентриситет
е приложения нагрузки относительно центра изгиба сечения так:
М21=Це.	(24.4)
Следовательно, момент у заделки одноконтурной рамы при на¬
грузке на ригеле, перпендикулярной плоскости рамы, рассматри¬
вается состоящим из двух частей: постоянного момента по всей
длине стойки, который является крутящим моментом ригеля, и
момента у жесткой заделки, определяемого для стойки, как для
консольной балки.
Во втором случае (/р > /) для ригеля рамы (стержень 2 — 3) по¬
лучим зависимость между пролетным и опорным изгибающими мо¬
ментами (рис. 75, б):
М$2 4" I Л4з5 I = М0,	(24.5)
где М0 — максимальный момент ригеля, как для балки на двух
опорах.
Рассматривая равновесие узла 2 рамы (рис. 75, в), определим
зависимости между изгибающими и крутящими моментами: при
проектировании векторов моментов на продольную ось ригеля
находим
Мы — М25 = 0,	(24.6)
а при проектировании на продольную ось стойки
— Л421 + М2к5 = 0.	(24.7)
Уравнения (24.6) и (24.7) будут справедливы, и равновесие
в узле 2 соблюдено при условии приведения изгибающих и крутя¬
щих моментов либо к осям через центр тяжести, либо к осям через
центр изгиба.
Если расчетная длина стержней назначена по осям через цен¬
тры изгиба профиля, а величины изгибающих и крутящих момен¬
тов, отнесенные к осям через центры изгиба, нужно привести к
осям через центры тяжести, то можно пользоваться следующими
формулами приведения (имеется в виду рама из стержней швел¬
лерного сечения, ориентированных согласно рис. 68, а, при сосре¬
доточенной силе посередине ригеля).
Зависимость между ординатами изгибающих моментов стержня
2—1, соответствующих центру изгиба и центру тяжести сечения
11*
163

ригеля имеет вид:
М21ц.т.= М2|ц.и.^- =М2, ц.„. ^/2+	;	(24.8)
зависимость между ординатами изгибающих моментов ригеля,
расположенных против центра изгиба и центра тяжести сечения
стержня 2—1:
ц.т— Л^25ц.и“Ь 2 -у^ (их + х0),
(24.9)
где ет — эксцентриситет приложения нагрузки относительно центра
тяжести, е — эксцентриситет приложения нагрузки относительно
центра изгиба, а М0 — максимальный момент ригеля, как для
балки на двух опорах, имеющей пролет /р.
Аналогично, для приведения крутящих моментов к осям через
центр тяжести сечения получим
М
Ц.т.= М%1 Ц.И.+ 2	(ах + лг0);
(24.10)
М25ц.т. =Л425ц.и~ А1о5 ц.и. ^	^ •
Для наглядности на рис. 76 стержень 2—1 и половина ригеля
рамы развернуты в одну прямую.
Переходим к формулам для определения предельной нагрузки
рамы.
В случае рам с /Р < / (см. рис. 74), когда предельное состояние
характеризуется распространением текучести у заделки опорных
стержней, решаем условие пластичности (24.2), записанное для
сечения /, с уравнениями (24.3) и (24.4).
164

Определяя из условия пластичности Л412, находим реакцию /?
у заделки:
М12 УА’ *	(1 + е)УЛг
(24.11)
где
Л =
О	\2
^>12	'
м1
я
2Т1К*
Г*/7
Так
с1к-°'2
+
,	1	, 3 (МЪ)*
^АСТоК^т* М\2 ’
(24.12)
Для получения предельной нагрузки выражение К подставляем
в зависимости от вида нагрузки.
В случае рам с /р > / (см. рис. 74), когда предельное состояние
связано с переходом в пластическое состояние трех сечений ригеля,
решение задачи совпадает с изложенным в гл. III, 18. Нужно со¬
ставить условия пластичности по формуле (24.2) для сечений 5 и 2
ригеля и решить их совместно с уравнением (24.5). Из условий пла¬
стичности для сечений 5 и 2 имеем
Мм =
От
Уй
м„
От
УЪ'
(24.13)
Подставляя эти выражения в зависимость (24.5), находим фор¬
мулу для определения предельной нагрузки:
	1	 3 (М^2)2 .
4С7УС Т2М2 '
<2 =
в
м.
25
—д
25
2Т1к2
1+-
Т*К
В25
М25
й
(24.15)
+
165

+ 4С7оХ
(24.16)
3 (М2К5)2 .
тЖь ’
момент М0 подставляется в зависимости от вида нагрузки, а кру¬
тящий момент в ригеле
Щ2 = М1ь = Пе.	(24.17)
Выражения (24.14) — (24.16) аналогичны выражениям (18.17)—
(18.19).
Рассмотрим нагружение рамы сосредоточенным крутящим мо¬
ментом на ригеле (рис. 77, а). Здесь в зависимости от соотношения
длин стержней могут быть также несколько схем предельного со¬
стояния, из которых основными следует считать распространение
текучести в трех сечениях ригеля (рис. 77, б) и переход в пласти¬
ческое состояние четырех сечений опорных стержней (рис. 77, в).
Для каждой схемы составляем два условия пластичности в
соответствии с формулой (24.2) и уравнение равновесия.
Например, для первой схемы при наличии текучести в трех се¬
чениях ригеля уравнение равновесия может быть записано так:
Л42К5 + |^52| =МК
(24.18)
где М25 и М52 — крутящие моменты, возникшие в рассматриваемых
сечениях от внешнего крутящего момента Мк.
Формула для определения предельной нагрузки имеет вид:
Мк
От
Здесь
В2
Мк
‘г‘ 25
	О
м,
25
мк25 у
■V,
2 т/-2
2 ТЖ
_ 1 ,
1
Уйг'
'У
М\5
-4- 3
(24.19)
7УС
'{к-0! ]
+
4СТШК (М2К5)2
гр 2	>
* а
(24.20)
166

в.
мк
— Б
52
Мм \2
М1г
2г2к2
с~
1±-»/' 1+-
I
В
52
+
м
— о
52
+
М|>
. + -1
4С7УС (Л&)2	71
Аналогичным путем получены формулы для некоторых других
схем предельного состояния, зависящих как от вида нагрузки, так
и от соотношения длин стержней рамы.
Такие формулы для четырех случаев нагрузки рамы (сосредото¬
ченная сила Р посередине ригеля, приложенная с эксцентрисите¬
том е; равномерно распределенная по всему пролету нагрузка <7,
имеющая эксцентриситет е; сосредоточенный крутящий момент Мк
на середине ригеля; равномерно распределенная по всему пролету
крутящая нагрузка т) помещены в табл. VI—X приложения.
В табл. VI—IX для определенного вида нагрузки рамы даны
уравнения равновесия и формулы для нахождения предельной
нагрузки в соответствии со схемой предельного состояния. В табл. X
приведены выражения Л, Аъ V, Уъ <2, С}ъ V, 11ъ входящие в ука¬
занные уравнения.
Пластические моменты сопротивления Т^, Та и коэффициенты
С, О, /С зависят от формы поперечного сечения стержней и для
двутавра и швеллера определяются по формулам (7.2) и (7.3).
25.	ПОРЯДОК ПЕРЕХОДА СЕЧЕНИЙ РАМЫ С СОСРЕДОТОЧЕННОЙ
СИЛОЙ Р НА РИГЕЛЕ В ПЛАСТИЧЕСКОЕ СОСТОЯНИЕ
Определим напряжения в упругой стадии работы рамы из тон¬
костенных стержней, пользуясь формулами (гл. IV, 23).
Рассмотрим прямоугольную раму с жестко закрепленными кон¬
цами при сосредоточенной силе Р посередине ригеля, приложенной
перпендикулярно плоскости рамы с эксцентриситетом е относи¬
тельно центра изгиба сечения (рис. 78).
Рама состоит из стержней швеллерного профиля, соединенных
в узлах 2 и 3 жесткими фасонками. Сечение рассматриваем как
тонкостенное, без учета уклонов полок и закруглений профиля,
с такими размерами: Н — 18,9 см; Ь = 6,95 см; 6С = 0,7 см;
6П = 1,1 см.
Определим величины напряжений для разных соотношений длин
ригеля /р и опорных стержней I рамы, принимая эксцентриситет
приложения нагрузки постоянным е = ах + ■— (где ах — расстояние
от центра изгиба до оси стенки профиля; Ь—ширина полки).
167

Рассчитаем раму со следующими соотношениями длин ее стер¬
жней: у = 0,25; 0,5; 1; 2; 4; 6; 8; 12, причем сначала оставляем
пролет рамы постоянным (/р = 300 см = сопз!), а длину опорных
стержней соответственно изменяем, а затем меняем пролет рамы,
сохраняя постоянной длину опорных стержней (/ = 300 см = сопз{).
Выполняем расчет рамы в упругом состоянии по методу пере¬
мещений [26, 27], принимая расчетную длину стержней по осям
центров изгиба, а центры узлов — в точках пересечения этих осей.
Геометрические характеристики сечения. Геометрические характе¬
ристики швеллера, входящие в уравнения гл. IV, 23, определим по
известным формулам.
Площадь сечения
Р = 26ПЬ + 6СН = 2-1,1 -6,95 + 0,7-18,9 = 28,52 см2. (25.1)
Расстояние от оси стенки до центра тяжести профиля
хо =
1,1
28,52
6,952
0,72
4
= 1,86 см;
расстояние от оси стенки до центра изгиба
Збпб2 _	3-1,1-6,95я
а*~66пЬ + ЬсН “6.1,1 -6,95 + 0,7-18,9
(25.2)
2,70 см; (25.3)
168

эксцентриситет приложения нагрузки
и	а ос
е = ах +	= 2,70 +	= 6,18 см.	(25.4)
Моменты сопротивления сечения:
при изгибе в плоскости наибольшей жесткости
д И?	18 О2
И7г = Гя = бпЫг + -^- = 1,1- 6,95* 18,9 + 0,7 —= 186,2 см3;
6
при свободном кручении
(25.5)
ИТ, = -1 (2662 + Лб2) = 2. (2.6,95- 1,1* + 18,9-0,72) = 8,69 см3;
при стесненном кручении (в точках А и Б профиля)
(25.6)
	 бпА
ма~ ~з^Г
(6 — а,)3 + а3 +
6С к
бп 2
1,1-18,9
3-2,70
0 7 18 О
(6,95 — 2,70)3 + 2,703 +	'/о	2,702
нт«б = нти
ах
1,1-2
360,07-2,70
= 360,07 сж4;
(25.7)
6—а* 6,95 — 2,70
= 228,75 см*.
Моменты инерции сечения с учетом расположения осей в узле 2
(рис. 78):
для стержня 2 — 1
, а Ьк? к3 , .6,95-18,92 , 0,7-18,93	,
/г = бп -у- + бс “12-= 1,1  	2—— +	12 	= 1759 см ’
(25.8)
1У = |-бп[(^-^)3 + X3] + Ьскх1 = ~ 1,1 [(6,95 - 1,86)3 +1,863] +
+ 0,7-18,9-1,862= 147,2 см*;
для стержня 2 — 3
1Х = 1759 см4; 1У = 147,2 см4.	(25.9)
Моменты инерции при кручении:
/„ = у (26б3 + Абр = 4- (2- 6,95-1,13 + 18,9-0,73) = 8,33 см*,
(25.10)
169

X
Ьпк2Ь3 (Збп6 + 26сй) _ 1,1-18,92-6,95®
12 ' 66п6 + 6с/1 ~ 12
X
(3- 1,1-6,95 + 2-0,7- 18,9)
6-1,1-6,95 + 0,7-18,9
= 9187,2 сме\
изгибно-крутильная характеристика
к-]/'ж = ]/Г°’ЯШ- = ||'0|В	<25-“>
Изменение длины опорных стержней. Числовые величины коэф¬
фициентов §■, /, р, г, 5 находим по формулам (23.4) для всех рас¬
сматриваемых соотношений ~~.
Для стержня 2 — 3 при /р = 300 см и к1р=0,01858*300 =5,574
получим $\\ШР = 131,741; сЬ Ыр = 131,745;
8 - 472,834; / = 32433,1; р = 130,745;	12)
г = 6790,47; 5 = 2,44775.
Величины коэффициентов для стержня 2 — 1 приведены в
табл. 35.
Таблица 35
'р
1
/,
см
/
8
Р
г
5
0,25
1200
2758577•10»
4884762-1О4
240675-1О4
129535-106
4472-104
0,50
600
18959203
317551
34711,4
1867670
644,957
1
300
32433,1
472,834
130,745
6790,47
2,44775
2
150
786,875
8,23990
7,14690
285,161
0,150225
4
75
58,7012
0,357610
1,13950
26,7611
0,035155
6
50
15,6668
0,065637
0,46350
7,50807
0,019853
8
37,5
6,37290
0,020310
0,25290
3,11083
0,014030
12
25
1,84177
0,003902
0,11010
0,910753
0,008964
Числовые значения реактивных факторов от рассматриваемой
нагрузки согласно формулам табл. V:
вертикальная реакция от силы Р и крутящий момент
л	р	А	.	Р	А 1 ЯР
К23 =	; Ь*3 = Р у =	’2	= 3,09Р;	(25.13)
изгибающий момент и бимомент
м.
Р1р _	300
8 8
37,5Р;
(25.14)
170

6,18(8,1469 — 1)Р
2-0,01858-8,0853
— 147,01Р.
Л
В,
Ре
(а-х-1)
Рассмотрим подробнее одно из промежуточных соотношений длин
стержней рамы -у = 2. Для этого соотношения система уравнений
(23.1) приобретает вид:
0,00625422^2 — 0,469067Е23 = — 0,5Р;
— 0,469067^ + 46,9067Е2а - — 3,09Р;
11,7846ЕХ2 + 2,75274Ещ = 37,5Р;	(25'15)
2,75274ЯХ2 + 475,195Рх2 = 147.01Р.
Относительно неизвестных полученная система распадается на
две независимых части. В результате решения уравнений находим
величины неизвестных (умноженные на Е):
ЕЫ2 - — 339,546Р; ЕХ2 = 3,11407Р;
Е22 = — 3,46133Р; Ек2 = 0,29132Р.
(25.16)
Подставляя эти значения в соответствующие стержням 2 — 1 и
2—5 части уравнений (23.1), получим величины усилий, действую¬
щих на концы стержней.
Для стержня 2 — 1 по формулам (23.22)
#12 = Уп = Щг- (2ЛГ2 - ад = 6^9 [2 (—339.546Р) -
— (—3.46133Р) 150]= —0,5Р;
ор?	о.17^0
ма1 =	(- ЗЛГ2 + 2ад =	[- 3 (- 339.546Р) +
+ 2 (— 3,46133Р) 150] = — 3,09Р;	(25.17)
М2К, = 01а(^Х2+^^= 0,381 • 8,33 ^ А^^-3,11407Р+
+ ^аш-°-29132'>) = 0-982Р;
#21 = 01 л (|-+ 7 ) = °>381 •8-33 (^990' 3’11407Р +
171

+ ^Ш-°'29,32',) = 96’865Р
Для стержня 2—3 по формулам (23.23)
К23 = Г25 - 0,5Я; Мк2з = и = 3,09Р;
—
2Е1х X I 11	2 •1759
-г-х2 + ж25-
3,11407Р — 37,5Р = — 0.982Р;
(25.18)
В2з = 01 л	\ х2 + В25 = 0,381 • 8,33 ( 32433:1 ~в790,47 ] х
§ I “ '	'	'	\	472,834
X 0,29132Р — 147,01Р = — 96.865Р.
Изгибающие моменты, крутящие моменты и бимоменты для се¬
чений 1 стержня 2 — 1 и сечения 5 стержня 2 — 3 рассчитываем по
формулам (23.24):
М12 = — (М21 + УМ = — (— 3.09Р — 0,5Р-150) = 78.09Р;
Л4?2=—М, = —0,982Р;
В\2 — 01д ( — Х.2 Н	х2
8
8
7 14090
0,381-8,33 ( ооо^а 3.11407Р +
8,23990
+ ^ШГ°’29,32Р) = 40’5тР'
М-52 —  [	"ЬУ23Х^ )
(— 0,982Р) +0,5Р
300
(25.19)
= —74.018Р;
]-
7И52= — М2кз= — 3.09Р;
п	01/1	/	\ и &23 о и ^23
В52 —	(— х2) эй —^	°2з со 2
Л1гз	Ы,з _
к	2	~
0,381-8,33
0,01858
(— 0,29132Р) 8,0853 — (— 96.865Р) 8,1469 •
3,09Р
0,01858
8,0853 = — 153Д63Р-
Подсчет ординат эпюры бимоментов на протяжении ригеля 2 —3
и на длине стержня 2 — 1 производился по формуле, имеющейся в
работе [И]:
В^В^З^+В^+В.,
зЬ М
зЬ Ы
(25.20)
172

где Вл и Вб — бимоменты по концам стержня АБ статически неоп¬
ределимой системы; В0 — бимомент от внешней нагрузки на стержне
АБ, как для балки.на двух опорах (статически определимой).
Выражения В0 для четырех случаев нагрузки стержня 2—3
даны в табл. 36. Для стержня 2—/, где внешняя нагрузка отсут¬
ствует, последний член уравнения (25.20) равен нулю (В0 = 0).
Таблица 36
Нагрузка
Р
Я
мК
т
Во
Ре зЬ кг
е
«ж
Лк(т~гУ
К зЬ кг
т
к*
Г
1 о
ог
аг
1
2 к , Ы
сЬ у
1
о
з*
2к , к1
сЬт
.Ы
сЬТ ]
Значения бимоментов вычислялись для г = 30; 60; 90; 120
и 150 см. Ввиду симметрии рамы и нагрузки рассматривалась по¬
ловина ригеля. Вычисления для нагрузки рамы сосредоточенной
силой Р при соотношении ■— =	= 2 приведены в табл. 37.
I	101)
Они иллюстрированы рис. 79.
Таблица 37
Ригель 2—3
2, СМ
В 23 — #32
зЬ к(1—г)
°23 зШ
зЬ&2
Вза зШ
В0
В
30
60
90
120
150
—96,86 Р
—55,49)
—31,76
—	18,19 Р
—	10,40
—5,945
—0,431
—1,001
—1,888 Р
—3,379
—5,945
11,97
27,78
52,41 Р
93,83
165,1
—43,95
—4,98
32,33 Р
80,04
153,2
2, СМ
Стержень 2—1
в12
#21
вЩ1-
-2)
зЬ кг
г?
В
5 Ш
Й21 зШ
30
—23,06
7,023
—16,04
60
—12,88
16,30
3,419
90
—40,57 Р
96,86 Р
—6,828
Р
30,76
Р
23,93
Р
120
—2,942
55,06
52,12
150
0
96,86
96,86
173

Полученные эпюры изгибающих моментов, крутящих моментов
и бимоментов показаны на рис. 80 (бимоменты отложены в плоскости
рамы).
Напряжения в сечениях рамы. При рассматриваемой нагрузке
рамы из швеллера, ориентированного согласно рис. 78, учтем знаки
напряжений в некоторых сечениях рамы отдельно от изгибающего
момента и бимомента.
На рис. 78 изображены такие знаки для сечений ригеля 5 и 2
и для сечения опорного стержня 2—/, причем на профиль смотрим
со стороны острия продольной оси стержня. Знаком « + » обозна¬
чено растяжение.
Суммарные приведенные напряжения находим с учетом каса¬
тельных напряжений по формуле (23.26). Эта формула для сечений
исследуемой рамы записывается так:
стержень 2—1
Рис. 79.
(25.21)
174

ригель 2 — 3
(25.22)
В швеллере напряжения от бимомента у обушка (точка А) и на
( В
конце полки (точка Б) имеют разные знаки и величину [ +	— ;
у ™ соа
В \
— IV/— I • Поэтому под радикалом из двух значений первого члена
и/0)6 )
берем большее.
Подставляя числовые значения, получим:
в сечении 1 стержня 2 — 1
®1а —
78.09Р
186,2
40,57Р \2	/ 0,982Р
360,1 у+С^ 8,69
2= 0.567Р;
в сечении 2 стержня 2 — /
(7е
°2б
3,09Р	96,86Р
186,2	1 228,75
в сечении 2 ригеля
0Р
и2б
0.982Р
186,2
96.86Р \2	/ 3,09Р \2
228,75 ) + \ 8,69 )
в сечении 5 ригеля
Оба
74.02Р
186,2
+
153,16Р
360,1
2
I +з
3,09Р \2
8,69 )
0.745Р;
1.028Р.
Как показывают числовые результаты, в прямоугольных рамах
с соотношением = 2 при нагрузке на ригеле силой, перпенди¬
кулярной плоскости рамы, наиболее напряженными являются три
175

Неизвестные	 I Крутящие моменты, дан-см
о
СО
Ю-нЬМОООО
Г'-СОГ'-ООСОМОО—'
О^СОФЮЬ^О
ООООСМт^Г-СО
<2
СОСОСОО<МГ^^СО
С3000О5<М<МСОСГ>Ю
0>^СГ)С0Г^Г-С0Ю
С0С005^ча0О00(М
—• о со 05 со 05 со <м
^^СО(М-нООО
©О©©©©©©*
><
—«^Ю^СОЮЮОО
О500СО—«N-0500 00
сососососм<мсмсм
N
<М О 05 СО
005^СО-нЩСО^
г^-оооосос^^г^-г^
N —1 —1 —< —« СО Ю М
- м со со СО ^ со со
СО -	05 ^ (М —'
о <м со - -- --
СМЮ — СООООО
I I I I I I I I
С<1 — СО СО N СО ^
-СО ^ СО О N
05 (М -Ю —< СО — 05
05 00 Г“- ‘ООСОСЧ
^ N(0 05	- -(МО
(ООСОСО^^ -	-
-ч(М<МСО^<—«СО(М
I I I I I I II
ооооюо^ю
ОООЮМОСОС^
(М со СО ^
ОО^Мт^СОООСМ
т
аз
00
00
03
М СО СО СО N СО —< СО
ООЮОО^ЮОООЮ
ЮЮ«3«сООС501^-СО
ЮЮЮЮЮ'^^'^
^0 СИО N05 00)
СЧ Ю СО 00 05 СО ^ 00
Ю N^0 N-1 ОО
N■N•0005—<00^10
СО 05
^ N 05 00 со
—1 СО Ю —I Ю - -
о со - - - -о N
- -05 О О Ю <М СО
Т^ОО — ^N05 — —
I I I I I I I I
СОт^С^(МГ^ОО(МО^
0500СООСОСЧООО»
Ю —I N СМ	—«
Ь-СО^ООСОСМООО
О -ч СО 05 СО N —	-
------ -СО
0000<МТ^'1''~—'
I I I II I I I
05 05 О»
00005 05 05^05
- - -о Ю О 00 ю
СО СО СО -	--	--
О О Ю 00 О 00 —1 10
СО СО-н N ^ (^ СЧ <4
I I
ОО—«<М^СООО<М
176

3.09 Р-
сечения ригеля. Первым в пластическое состояние перейдет сече¬
ние 5 посередине ригеля, а затем сечения 2 и 3 возле узлов рамы.
Аналогично изложенному исследуем работу рамы для осталь¬
ных рассматриваемых соотношений длин ее стержней. Напомним,
что пролет рамы оставляем постоян¬
ным (/р = 300 см = сопз1), а длину
опорных стержней соответственно из¬
меняем. Величина эксцентриситета
приложения нагрузки относительно
центра изгиба во всех случаях оди¬
накова ^ = 6,18 см (сила приложена
посередине полки швеллера).
Результаты вычислений даны в
табл.-38. В таблице помещены величи¬
ны неизвестных 5Л^2, Е22, ЕХ2, Ек2,
выраженных через нагрузку Я, а затем
величины крутящих моментов (М*2 =
= М2и М2$= М52), изгибающих момен¬
тов (М12, М2ь М25, М52) и бимомен¬
тов (В12, В21 = — В25, В52) также в
выражении через нагрузку.
Для наглядности изменение вели¬
чин моментов и бимоментов в сече¬
ниях 1 и 5 рамы в зависимости от со-
/Р
отношения -у- представлено в виде кри¬
вых (рис. 81 и 82). Видно, что в сече¬
нии 1 с увеличением бимомента В12 происходит уменьшение изги¬
бающего момента УИ12, т. е. их отношение непрерывно изменяется.
В сечении 5, где бимомент и изгибающий момент уменьшаются
одновременно, их отношение меняется очень мало.
Для всех заданных соотношений рамы по формулам (25.21)
и (25.22) посчитаны напряжения в сечениях 1 и 2 опорного стержня
2—1 и в сечениях 2 и 5 ригеля. Величины напряжений сведены
в табл. 39.
Результаты показывают, что для одного и того же вида на¬
грузки напряжения имеют разную величину в зависимости от со¬
отношения длин стержней рамы. В связи с этим может быть не¬
сколько схем предельного состояния. К схеме а отнесем распростра¬
нение текучести в двух сечениях опорных стержней у заделки;
схемой б назовем переход в пластическое состояние сечения посе¬
редине ригеля и сечений опорных стержней у заделки; схема в —
распространение текучести в трех сечениях ригеля; схема г — на¬
личие текучести в четырех сечениях опорных стержней (см. рис. 74).
12—1338
177

Необходимо получить значение предельной нагрузки по всем
схемам и для данного соотношения -у- выбрать наименьшее ее
значение.
Изменение пролета. Для рамы с сосредоточенной силой в проле¬
те при постоянной длине опорных стержней, I = 300 см = сот*,
рассмотрим следующие соотношения: —у- = 0,25; 0,33; 0,5; 1; 1,5;
2; 3; 4; 6; 8.
Числовые значения коэффициентов /, §, р, г, 5 для стержня
178

Таблица 39
*р
1
Напряжения
Схема
предельного
состояния
(рис. 74)
°21
<?25
сг5
0,25
3,250
0,346
0,698>
1,0381
1„
0,50
1,652
0,357
0,703
1,037
Г
1
0,880
0,388
0,715
1,034
б
2
0,567
0,482
0,745
1,028
3
0,563
•Р
0,603
Р
0,773
Р
1,021
■Р
\в
4
0,667
0,747
0,794
1,015
1
6
1,029
1,111
0,825
1,003
1
8
1,501
1,564
0,843
0,990
\г
12
2,686
2,692
1
0,853
0,963
1
2— 1 соответствуют величинам (25.12). Числовые величины тех же
коэффициентов для стержня 2 — 3 помещены в табл. 40.
Л	Л
Реактивные факторы М23у В23 в узле 2 рамы от сосредоточен-
Таблица 40
1р
1
1р, см
зШр
сШр
/
0,25
75
1,3935
1,8914
2,1395
58,6647
0,33
100
1,858
3,1275
3,2834
160,014
0,50
150
2,787
8,0853
8,1469
786,873
1
300
5,574
131,741
131,745
32433,05
1,5
450
8,361
2138,5
2138,5
847228
2
600
11,148
34712,4
34712,4
18959203
3
900
16,722
9146364
9146364
773946-10*
4
1200
22,296
240990-10*
240990* Ю4
276218-107
6
1800
33,444
167312-10®
167312*10°
292157-101а
8
2400
44,592
116152-101*
116152.101*
272513-Ю17
*Р
1
8
Р
Г
5
0,25
0,357610
1,1395
26,7976
0,0351422
0,33
1,24410
2,2834
68,3262
0,581090
0,50
8,23990
7,1469
285,161
0,150225
1
472,834
130,747
6790,47
2,44775
1,5
13605,0
2137,5
114647
39,7333
2
317551
34711,4
1867670
644,956
3
134653-10»
914636-10
492268-10»
169939
4
489114-105
240990-10*
129704-10®
447760-102
6
526096-1010
167312-10»
900495-1010
310866-107
8
494715-1015
116152-101*
625145-1015
215810 • 101а
12*
179

ной силы посередине ригеля при изменении длины пролета будут
разными для всех соотношений -у- (табл. 41).
Таблица 41
1
/р, см
Гг з
^23
1гг
&23
0,25
75
—9,375
—55,7211
0,33
100
— 12,5
—72,135
0,50
150
-18,75
—100,20
1
300
—37,5
— 147,01
1,5
450
0,5 Р
—56,25
, р
3,09 Р
— 161,30
, Р
2
600
—75,0
—165,05
Г
3
900
—112,5
•
— 166,23
4
1200
— 150
—166,30
6
1800
—225
— 166,31
8
2400
—300
—166,31
Вычисленные аналогично предыдущему величины неизвестных,
изгибающих и крутящих моментов, а также бимоментов для всех
рассматриваемых отношений -у- даны в табл. 43. С изменением -у-
(при I = сопз{) в сечении 1 изгибающий момент М12 остается по¬
стоянным, а бимомент В12 растет; в сечении 5 изгибающий момент
М52 и бимомент В52 увеличиваются.
В табл. 42 помещены напряжения в четырех сечениях рамы,
найденные по формулам (25.21) и (25.22). В данном случае можно
рассматривать две схемы предельного состояния, которые в соот¬
ветствии с предыдущим названы схемами а и б.
Таблица 42
1
Напряжения
Схема
предельного
состояния
(рис. 74)
01
^21
025
05
0,25
0,837
0,125
0,6251
0,6971
1
1
0,33
0.844
0,172
0,635
0,737
\а
0,50
0,856
0,254
0,659
0,819
1
\
1
0,880
0,388
0,715
1,034
1,5
0,895
п
0,434
п
0,737
о
1,223
1 Р
2
0,910
• Г
0,457
• Г
0,748
• Г
1,405
,р
3
0,951
0,497
0,764
1,776
б
4
1,010
0,556
0,786
2,157
6
1,192
0,737
0,853
2,933
8
1,468
1,010
1,010
3,718
180

Неизвестные	Крутящие моменты, дан*см
5
5
«5
X
N
8
^СОЮ т^сОМО
ОЮЮ0ЬЮООО5^-н
О^СЧКССШОО ОС^О
“Ч-чСМСО^Ю^^ОСО
ООООООО*-нСМС0
"Н СО Ш о 05 ^ (М со-< СО
00 Ю СО 05 Г'» ^ *—• СО СО ^
сг>о—•аэаэ^нсоеосо—•
005 СМС75 00ЮСО СООСТ)
*—' Ю ^ со 05 СО ^ М
1—'^нСМСОСОСОСОСО-^О
оооооооооо
СГ> СО 00
—' ОО	СО СО
г^’—' ОО N СО Ю (О (М
^^ОЮЮСОООГ^Г^О
О) 10 00 СО СО 05 О* 00 ОО *—•
^СОГ^^-нОЮЬО^
О О о" СО N 00* О М
^СЧЮ-нО
—' см
О,
о
сз
00
СО
СО
а
СО
н
5
я
1
а»
2
о
2
со
СО
см
I
юооооооооо
г^-оюоюооооо
<со^соа)счоо^
—' —< см
ООО-1гн(Мс0т}<СО00
05
а
05
05
05
СМСООО^ОО^Ю
Ю О СО СО СО N СО О
СО^ООО^СОСМСО
г^ю “ “ “ “ “ ~
- “СМ ■'Ф СО ю со со
О СМ Ю СО СО СО СО
00 00
о о
со со
СООсОт^СГэГ^^—нООГ^-
СОСМ^СОСООГ^ООООО
СОСООСМ—нОО»—'Г^СМСМ
СО 05 г** СО со “ “ “ “
-**“““	СМ ^
Г^Т^СОСОСОГ^О^СОГ^
СМСОЮООСПСГ)—
СООСОООООСТ)^^
ООСОО’-'СО^СЛ^
-нЬ СМ^^ОСОЮ
СОЮО-СО^^СООО
СМЮ	-
“ “ — СТ> ^ 05 *-н 00
ЮС^"»—«смсм^ю
СО СО
00 о
ОО СО
Г- СО
о ^
т}«
ст> ^
^ ю
со 00
5я
ЮСОСО^СМ—'СОСГ5
^СОСО^-чОЭГ'-СТ)
Г^СМО^СМООСГ>СО
СМ СО
“ “СМ 05	00 СО
N^^^0)0^0)
СО Г"*-* —<СМСМ^Ю
I I
ЬСОЮ^СОСМО
ОЮЮСО N0 00 0^-«
о^смг-союооосмо
^-НСМСО^Ю1^“НОСО
ОООО^ООО—'СМСО
II II II II I I
ю со о
СМ СО Ю
ООО’-ч»—«СМСО^СО ОО
181

26.	НЕСУЩАЯ СПОСОБНОСТЬ РАМЫ В ЗАВИСИМОСТИ
ОТ СООТНОШЕНИЯ ДЛИН ЕЕ СТЕРЖНЕЙ
Пользуясь формулами гл. IV, 24, вычислим предельную на¬
грузку для рам с разным соотношением длин ригеля и опорных
стержней при сосредоточенной силе Р посередине пролета, перпен¬
дикулярной плоскости рамы. Числовые данные возьмем для рас¬
смотренной в гл. IV, 25 рамы из швеллера:
й=18,9сж;	6=6,95сж; 6с = 0,7 см\ 6п= 1,1 см\
ах = 2,70 см\ х0 = 1,86 см\ е = 6,18 см\ ет = 1,62 см.
При этих данных пластические моменты сопротивления швел¬
лера при кручении и величины коэффициентов С, И и К согласно
формулам (7.3)
Т,л=^( 1,1-6,95а + 0,7 6’95'18’9 --•Г;1?:9*.■ 1 = 421,29см*;
1,1-16
Тй = ~2 (2-6,95-1,12 + 18,9-0,72) = 13,04сл3
(26.1)
(в выражении Тй коэффициент аш принимаем равным единице);
С = 1,1-18,9 = 20,79 ом2;
В = 2,7-	+ 0,^18>9 = 0,725 см; К = 1.
(26.2)
Изменение длины опорных стержней. Как и в упругой стадии,
исследуем следующие соотношения
0,25; 0,5; 1; 2; 4; 6; 8;
12, причем пролет рамы принимается постоянным (/р = 300 см).
В соответствии с величинами напряжений (см. табл. 39) рассмотрим
четыре схемы предельного состояния (рис. 83).
Схема а. Предельную нагрузку для рам при распростране¬
нии текучести в двух сечениях у заделки опорных стержней опре¬
деляем из выражения
Р __	2
ат	(I + е) /А ’
(26.3)
где А находится по формулам табл. X приложения. Входящие сюда
Вп	М\2
отношения . и -тг- заимствуем из расчета в пределах уп-
М12	М12
ругости (см. табл. 38). Перед корнем принимаем знак «+».
182

Результаты вычислений для восьми рассматриваемых соотно-
/.
шений помещены в табл. 44.
Для схемы а в последнем столбце табл. 44 приведены значения
Рт
—, полученные без учета кручения в сечениях у заделки рамы по
Т
формуле
Я 2	(	к2 \
—	— 6М + 6 — .	(26.4)
сгт / + в \ п с 4 )	'	’
Величины -— и —— в зависимости от — рамы отложены на
сг	ат	/
Т	Т
рис. 83 в виде кривой а и прямой аг. Сравнение этих величин по¬
казывает, какую роль играет кручение с уменьшением длины опор¬
ных стержней.
Таким образом, для рассмотренной схемы а с увеличением отно-
/
шения -у- предельная нагрузка рамы сначала увеличивается, для
I
соотношений, близких к -у- = 3, достигает максимума, а затем
уменьшается.
Схема б. При переходе в пластическое состояние сечения по¬
середине ригеля и сечений опорных стержней у заделки величина
183.

Таблица 44
1
Р |
Рт 1
Р
1
/+е, см
12
Ж*
А
М*1
0,25
1206,18
0,0001244
0,3922-Ю-4
0,265
0,343
0,50
606,18
0,0005312
0,3885-10-4
0,529
0,683
1
306,18
0,002463
0,3728-10-4
1,070
1,352
2
156,18
0,01258
0,3406-1О-4
2,194
2,651
3
106,18
0,03296
0,5236-10-4
2,603
3,899
4
81,18
0,06479
0,1185-10_3
2,262
5,100
6
56,18
0,1680
0,5860-10-3
1,470
7,369
8
43,68
0,3288
0,2090-10-2
1,001
9,478
12
31,18
0,8384
1,303-10—2
0,562
13,278
'Р
1
■^12
мк
т\2
ж
Мк
т12
Л
*}•
0,25
53,467
8041,2
2,080
2536,1
1,476
0,50
53,665
1882,6
2,078
137,69
1,476
1
52,096
406,07
2,075
6,148
1,480
2
41,314
79,521
2,069
0,2154
1,498
4
26,669
15,434
2,081
0,02822
1,536
6
20,252
5,951
2,119
0,02076
1,525
8
16,829
3,042
2,179
0,01933
1,498
12
12,932
1,193
2,366
0,01854
1,417
'Р
1
^25
Л*25
Мк
т25
М2 5
Ж2
^52
Я
и • ю4
^1*
0,25
1003,2
41,20
0,04124
35,605
0,8166
1,478
0,50
481,74
19,19
0,04129
7,8013
0,8170
1,480
1
221,01
8,196
0,04141
1,4584
0,8179
1,485
2
98,635
3,147
0,04175
0,2288
0,8217
1,499
4
44,856
1,175
0,04270
0,03538
0,8383
1,527
6
27,837
0,6547
0,04397
0,01178
0,8662
1,556
8
19,554
0,4304
0,04556
0,005322
0,9050
1,584
12
11,559
0,2364
0,04990
0,001703
1,022
1,642
1
б12
Ми
В 21
М21
Ж
Мъ
0,25
0,006649
24,350
0,02427
0,003211
0,237
0,50
0,02851
25,100
0,05210
0,003452
0,478
1
0,1283
26,964
0,1220
0,004199
0,989
2
0,5195
31,346
0,3178
0,007123
2,127
3
1,066
35,168
0,5663
0,01240
2,584
4
1,728
38,178
0,8511
0,02074
2,259
6
3,403
42,521
1,528
0,05107
1,475
8
5,533
45,437
2,324
0,1066
1,003
12
10,84
48,893
4,230
0,3287
0,562
184

— определяется по формуле
т
р_
а
_4_
I
1
+
УАг УУ
4г>
(26.5)
где выражения Ах и V даны в табл. X.
Полученные результаты записаны также в табл. 44, а величины
предельной нагрузки, почти одинаковые для всех соотношений
/р
I ’
нанесены на рис. 83 в виде кривой б.
Схема в. Несущая способность системы характеризуется
распространением текучести в трех сечениях ригеля. В этом случае
предельная нагрузка вычисляется по формуле
К \ У о.	Уу
г)
(26.6)
(выражения С} и V см. в табл. X).
Соответствующие данные помещены в табл. 44, кривая в пре¬
дельных нагрузок мало отличается от кривой б.
По схемам бив для первых трех соотношений (0,25; 0,5; 1) и
для последних двух (8; 12) величины предельной нагрузки полу¬
чаются значительно более высокими, чем по схеме а.
Схема г. При наличии текучести в четырех сечениях опор¬
ных стержней пользуемся формулой
Р_ = _2 /_1	1 \
от ~ I \ УА	УV )
(26.7)
которая дает значения предельной нагрузки, близкие к значениям
по формуле (26.3). На рис. 83 они представлены кривой г, а в виде
чисел — в табл. 44 (выражения А и V в табл. X).
Итак, рассмотрение четырех схем предельного состояния рамы
дало четыре кривых предельной нагрузки, которые разделяются
на две пары, близкие по характеру и расположению: кривые а и г,
а затем кривые бив. Кривые пересекаются. Предельной нагрузкой
/Р
рамы для данного соотношения у
из нескольких нагрузок (то¬
чек), соответствующих этому соотношению, нужно считать наи¬
меньшую.
Изучение влияния соотношения длин ригеля и опорных стерж¬
ней (/р = сопз!) на величину предельной нагрузки рамы при со¬
средоточенной силе Р на ригеле показывает, что с увеличением
I
предельная нагрузка изменяется неравномерно. Для малых
185

значении
(0,25-1)
предельная нагрузка интенсивно увели¬
чивается, для средних значений (2—6) она имеет почти стабильные
величины и для больших значений (8—12) происходит новое ее
снижение.
Изменение пролета. При изменении длины пролета и постоян¬
ной длине опорных стержней (/ = 300 см = сопз1), как и в
гл. IV, 25, рассматриваем десять соотношений (от 0,25 до 8). Со¬
гласно величинам напряжений в табл. 43 нужно исследовать две
схемы предельного состояния, соответствующие предыдущим схе¬
мам а и б.
Для определения предельной нагрузки пользуемся формулами
(26.3), (26.5) и табл. X. Соотношения между компонентами, вызы¬
вающими изгиб, и компонентами, связанными с кручением, уста¬
навливаем из упругого расчета на основании данных табл. 43.
Таблица 45
/р, см
/+е, см
^12_
мк
__12
^12
МК
т12
А-104
0,25
0,33
0,50
1
5
75
100
150
300
450
600
900
1200
1800
2400
306,18
0,0342
0,0494
0,0766
0,128
0,160
0,191
0,272
0,384
0,705
1,152
0,000658
0,000949
0,00147
0,00246
0,00305
0,00363
0,00515
0,00724
0,0132
0,0216
51,981
52.014
52.015
52,183
52,315
52,495
52,842
53,067
53,303
53,409
0,3607
0,3594
0,3569
0,3529
0,3503
0,3479
0,3420
0,3347
0,3188
0,3182
1,088
1,090
1,093
1,100
1,104
1,108
1,117
1,129
1.157
1.158
1
М1%
К2
Д-,2
м52
Щ>2
м52
Аг
Ц
0,25
1521,01
4,329
0,166
83,437
0,6079-10~3
2,170
0,33
1053,61
3,925
0,124
39,887
0,3509-10-3
2,142
0,50
678,89
3,275
0,0829
16,456
0,1869-10-3
1,957
1
406,72
2,075
0,0414
5,834
0,7666-1О-4
1,529
1,5
327,61
1,459
0,0276
3,760
0,5139-10-4
1,245
2
275,24
1,109
0,0207
2,637
0,4090-10-4
1,047
3
194,28
0,741
0,0138
1,291
0,3189-10-4
0,793
4
138,04
0,556
0,0103
0,6377
0,3265-10-4
0,588
6
75,647
0,371
0,00690
0,1824
0,3423-10-4
0,385
8
46,377
0,279
0,00518
0,0918
0,3526-10-4
0,286
186

Результаты вычислений предельной нагрузки по обеим схемам
приведены в табл. 45, а величины — в зависимости от соотноше-
(Тт
ния — показаны на рис. 84 в виде кривых а и б.
В отличие от предыдущего предельная нагрузка по схеме а,
т. е. при распространении текучести в двух сечениях опорных
стержней у заделки рамы, имеет почти одинаковые значения для
всех соотношений. Величины — по схеме б, т. е. при переходе в
(Тх
пластическое состояние сечения ригеля в точке 5 и двух сечений у
заделки, все время уменьшаются.
Следовательно, для рам с сосредоточенной силой Р на ригеле
/Р
с увеличением соотношения в случае постоянной длины опорных
стержней (/ = сопз!) предельная нагрузка изменяется так: для
малых соотношений (0,25—1,5) она несколько увеличивается,
а для остальных соотношений (2—8) довольно резко падает.
27.	ВЛИЯНИЕ ЭКСЦЕНТРИСИТЕТА ПРИЛОЖЕНИЯ НАГРУЗКИ
Представляет интерес определить величины предельной нагруз¬
ки в зависимости от эксцентриситета ее приложения для рассмо¬
тренных одноконтурных рам из швеллера с силой Р на ригеле,
перпендикулярной плоскости рамы.
187

Таблица 46
а.
Он
м
-0,018459 .
0,031667
0,081793
0,183045
0,291320
0,382550
0,482800
<м
ю
со
СО 00 00
СО О О -4 СО о
05 СО О - - ~
СО - - -СО оо 0©
- ^ 05 05 ЬО 05 ^
О СМ ^ 05 -н —1 СМ
1 1 1 1 1 1
ОЭ
1
II
й
ССЭ
Он
1
м
а,
00(М-|0[^СОгГ
^ N О со О 05 СО
со ^ со а> ^ см сп
00 О- СО СО ^ 05 СО
’-н О О
СО N.
00 О СМ СО тр N
1—| СО Ю 00 ОО
СО 00 СО СО СО СМ Ю
СО О 05 -н -н
СО СО СО со со со со
а,
Он
<М
<м
N
СОГ"- —' ОО СО СО
00 ^ СО СО 05 СМ
N О СО ОО ■—' ОО "М4
05 тр 00 СО СО СО СМ
^ СМ СМ СО ^ Ю СО
СО СО СО СО СО СО СО
«Г
^ СМ 05 -^ N. СО 0©
N(N50(0 10 10^
СО N 0О О О *-<
Он
1 II И II
а.
О)
-319,784
-322,982
-326,179
-332,579
-339,546
-345,366
-351,762
* II
зГ
05
ю О
о о —• см со ^ ю
^ с\)
Он
1 II II 1 1
ю
<0?
Он
05 N10 ОСООО
о- ю —< - - -
- - - N. о
СО N 10 05 СО
5
II
^ <м
. 00 СО СМ
СО О- О оо 00 СО—«
—н СМ ^ СО 05 СМ ю
О О О О О г-н
О С^1 СТ) —| (М
1 1 1 1 II
Он
<М
СО 05 СМ СМ N. 05
00 Г'- Ю СО О I4-
ю
о.
<
т^| т^| Т3 ‘ СО СО
NN NN NN N
<4*
05
ю о
1 II 1 1 1 1
о сТ—« см со ^ ю
О,
а,
ю
С*
5
^ 1—| 00 СО СМ
СО N0 00 00 СО-н
*—' СМ ’М4 СО 05 СМ 1-0
ю
с?
ьГ
со
1
О О О О О ^ «
1 II 1 1 1 1
Он
й
05
<
ОО^СМСО^Ю
1 1 1 1 1 1
10
С*
Он
ю
(М
Он
о
:€
05
ю о
Ю Ю со ^ 00 05 о
N. N. О» N. N. Г4- ОО
СМ
00
3
00
«и
О гн сч ^ ОО о
<*>
О —• СМ ^ СО оо О
188

Проведем вычисления для промежуточного соотношения длины
ригеля к длине опорных стержней,
равного у
Ш - 2. Эксцен-
триситет приложения нагрузки будем изменять в границах от О
до 10 см, принимая е = 0; 2; 4; 6,18 (или ^); 8 и 10 см.
Аналогично предыдущему (гл. IV,25) при расчете рамы в упру¬
гом состоянии используем метод перемещений. Для указанного со¬
отношения числовые величины реактивных факторов и неизвестных,
а также изгибающих и крутящих моментов и бимоментов помещены
в табл. 46.
Соответствующие этому случаю величины напряжений в четы¬
рех сечениях рамы даны в табл. 47. Сравнивая полученные напря¬
жения для всех эксцентриситетов, заключаем, что здесь также воз¬
никает несколько схем предельного состояния: схемы а, б ив.
Рассмотрим эти схемы.
Таблица 47
е, см
Напряжения
Схема
предель¬
ного со¬
стояния
(рис. 85)
СТ1
СТ21
в 25
вь
0
0,423
0,0191
0,0146
0,416
а
1
0,442
0,0989
0,127
0,480
2
0,464
0,171
0,246
0,574
\б
4
0,512
Р
0,320
Р
0,482
Р
0,782
Р
1
6,18
0,567
0,481
0,735
1,021
1
8
0,615
0,583
0,961
1,237
\в
10
0,672
0,723
1,199
1,472
)
Пластические моменты сопротивления Та, и постоянные ве¬
личины С, В9 К, связанные с формой поперечного сечения, заим¬
ствуем из выражений (26.1) — (26.2).
Предельную нагрузку по схемам а, б, в определяем из выраже¬
ний (26.3), (26.5) и (26.6), используя также формулы табл. X.
р
Числовые величины Р даны в табл. 48, а зависимости — , е
(7Т
нанесены на рис. 85 в виде трех кривых. Предельной нагрузкой из
трех значений, соответствующих данному эксцентриситету, счи¬
таем наименьшее.
Результаты показывают, что для рам с сосредоточенной силой
на ригеле, перпендикулярной плоскости рамы, изменение эксцен¬
триситета приложения силы значительно влияет на несущую спо¬
собность системы.
189

Таблица 48
е, см
1+е, см
^12
2
Мк
т\2
м12
Л-104
0
150
0,08989
0,001783
0,2160
2,869
1
151
0,1619
0,003588
0,2246
2,794
2
152
0,2328
0,005371
0,2349
2,715
4
154
0,3719
0,008868
0,2579
2,558
6,18
156,18
0,5195
0,01258
0,2884
2,384
8
158
0,6396
0,01559
0,3177
2,246
10
160
0,7685
0,01884
0,3536
2,102
е> см
^12
т\2
мк
т12
|В631
|Л*и|
Аг
и
V}*
0
50,426
560,54
0,005209
6,7866
0,2075-10-4
2,932
1
45,109
278,70
0,3273
1,7447
0,2471-10-4
2,692
2
43,337
186,18
0,6609
0,8142
0,3091-10-4
2,41-2
4
41,945
112,77
1,332
0,3279
0,5011 • 10—4
1,906
6,18
41,309
79,513
2,070
0,1823
0,8205-10-4
1,503
8
41,015
64,123
2,689
1,1306
0,1185-Ю-3
1,262
10
40,796
53,086
3,376
0,09964
0,1690-Ю-3
1,068
е, см
\В№\
\М»\
Мк
М25
^52
я
^26
Мм
0
23,76
0
0
0,003047
3,169
1
67,70
1,846
0,006691
0,08545
2,728
2
82,07
2,450
0,01341
0,1475
2,433
4
93,47
2,929
0,02691
0,1999
1,913
6,18
98,63
3,146
0,04175
0,2286
1,500
8
101,06
3,247
0,05422
0,2427
1,253
10
102,70
3,318
0,06804
0,2529
1,052
С увеличением эксцентриситета предельная нагрузка рамы
снижается.
Аналогично изложенному исследовано влияние эксцентриситета
/р
для рамы с прежними данными и с тем же соотношением -у, но
при большей длине стержней -у
600
300
= 2. В последнем случае
190

\ь
I а
V
6^
5
*0	2	4	6.18 в
Рис. 85.
при повторении характера кривых, соответствующих отдельным
схемам предельного состояния, величины предельной нагрузки ока¬
зались меньшими.
28.	РАМА С РАВНОМЕРНО РАСПРЕДЕЛЕННОЙ ВНЕЦЕНТРЕННОЙ
НАГРУЗКОЙ ^ НА РИГЕЛЕ
Исследуем влияние характера нагрузки на несущую способность
рассматриваемых бесшарнирных рам.
Пользуясь предложенными формулами (гл. IV, 23 и 24), рас¬
считаем одноконтурную раму при равномерно распределенной на¬
грузке ^ на ригеле, приложенной перпендикулярно плоскости рамы
с эксцентриситетом относительно центра изгиба профиля (рис. 86).
Как и ранее, примем раму из стержней швеллерного сечения,
рассматриваемых без учета уклонов полок и закруглений с такими
размерами: к = 18,9 см\ Ь = 6,95 см; бс = 0,7 см\ бп =1,1 см.
Предыдущее исследование показало, что схемы предельного
состояния рамы зависят от соотношения длин ее стержней и вели¬
чины эксцентриситета. Исследуем работу системы для восьми раз¬
ных соотношений длин ригеля и опорных стержней
0,5; 1; 2; 4; 6; 8; 12, причем сначала изменяем длину опорных
стержней (при /р = 300 см = сопз!), а затем изменяем пролет
рамы (при / = 300 см = сопз!). Во всех случаях нагрузка <7 при¬
ложена посередине полки швеллера, поэтому эксцентриситет ее
приложения остается одинаковым (е = ах + ^).
Для установления величин напряжений в упругом состоянии
выполняем расчет рамы по методу перемещений, принимая ра¬
счетную длину стержней по осям центров изгиба.
191

Геометрические характеристики швеллера согласно данным
гл. IV, 25 имеют следующие величины:
/Г = /2 = 1759 см4: Й?ГГ = И?2 = 186,2 сж3; *0 = 1,86 см;
1У = 147,2см4; И?* = 8,69см3; ах = 2у7см; к = 0,018581)
1й = 8,33 см4;	= 360,1 см; еци = 6,18 см;
/а = 9187 см;	= 228,8 см; ецт = 1,62 см.
Пролет рамы /р = сопз!. Значения коэффициентов §•, р, г, 5, свя¬
занных с кручением, принимаем по табл. 35 для восьми рассмат¬
риваемых длин опорных стержней;
для ригеля они соответствуют от-
I
ношению -у- = 1.
Величины реактивных факторов
при равномерно распределенной на¬
грузке ? на ригеле согласно форму¬
лам табл. V приложения равны:
л	/	300
^23 = ? -у = ~2~ Я = 150?;
300
^23 = Я~тг = 6,18 ~2- Я = 927?;
л	/2	3002
М23 = -?1|- = --12-?=-7500?;	(28.2)
Пользуясь формулами (23.2) — (23.3), находим неизвестные, а за¬
тем из выражений (23.22) — (23.25) — усилия, изгибающие, крутя¬
щие моменты и бимоменты, действующие по концам стержней в
узле 2, в сечении 1 стержня 2 — / и сечении 5 стержня 2—5.
Так, для промежуточного соотношения -у = 2 величины неиз¬
вестных:
ЕЫ2 = — 101 864*7; ЕХ2 = 621,353?;
Е22 = — 1038,40?; Ещ = 64,5215?.	(28.3)
л	е1
192

Для стержня 2 — / по формулам (23.22)
А. 17ССО
У 21 = - 150з-[2(— 101 864(7) —(— 1038,40(7) 150] = — 150(7;
МШ1 =
К = 0,381 • 8,33 (-Д- 621,353 ? +
+ 8^64'52,5«Н13'563*
О.17КО
--■у50° [—3 (— 101 864(7) + 2 (— 1038,40(7) 150]
В,. = 0,381.8,33 (-УЦ5- 621,353,+
(28.4)
-927(7;
+ 53ШГ 64,5215'') = 21265’4"-
Для стержня 2 — 3 по формулам (23.23)
У23 — У2з — 150 (7; М2з = /-2з	927 ?;
9.17е»*}
Мы =	300	621,353(7— 7500(7 = — 213,563(7;	(28.5)
гз =0,381 -8,33 ( 32433472,834790~)64>5215? ~ 3237°’7Я =
= —21265,4(7.
Для стержней 2 — 1 и 2 — 3 по формулам (23.24)
К12 = 7? = — 150(7; Мл2 = — М21 = — 213,563(7;
М12 = — (—927(7— 150(7- 150) = 23 427(7;
Д12 = 0,381- 8,33	621,353(7 +
8,23990
\
+Цш64-5215<') = 8797-07‘';
М5К2 = - 927(7 + -’18о30° (7 = 0;
(28.6)
М52 = -^_ 213,563? + 150?+^-д = -11036,4?;
13—1338
193

О ЯЯ1 Я 33
ВЬ2 = "о 01858 8’0853‘64,5215? - (— 21265,4*/) 8,1469 -
927?
-8,0853-
6,18?
(1 —8,1469) =— 13093,1^.
0,01858	0,018582
Эпюры изгибающих моментов, крутящих моментов и бимомен¬
тов для отношения ~ = 2 показаны на рис. 87.
Результаты вычислений для всех рассматриваемых соотноше¬
ний у приведены в табл. 49, где величины неизвестных даны уве¬
личенными в Е раз (модуль сдвига О принят равным 0,381 Е).
Изменение моментов и бимоментов в зависимости от соотноше-
/Р
ния у имеет такой же характер, как и в случае рамы с сосредото¬
ченной силой посередине ригеля. В сечении 1 опорного стержня
с уменьшением изгибающего момента бимомент увеличивается, а
в сечении 5 ригеля эти два фактора незначительно уменьшаются.
Определяем приведенные напряжения в четырех сечениях рамы
по формулам (25.21) — (25.22) и из полученных для данного се¬
чения величин берем большую. Результаты вычислений для всех
рассмотренных отношений помещены в табл. 50.
Сравнение величин напряжений показывает, что при равномер¬
но распределенной нагрузке ? на ригеле рамы (при /р = сопз!)
возникают такие схемы предельного состояния: а—переход в
пластическое состояние двух сечений опорных стержней у заделки
194

Неизвестные	I Крутящие моменты, дан-см
г-
см
О)
«3
5
(МСОСМСОЮЮО—«
(М 05 О - ' -	-	-	-
-	- -СО 05 МОЮ
СО^с^—«СОг-«СО^
~*СООО(МЮОЮГ^
0)^^100(0^00
00О5Г>-^н<МСО^ч<М
"Ф О —« СЧ 00 00 05 05
ООООЮО^^ю
	-СО
—« ОО —' ^ ОО О -
05 ОО ОО СО СО С4! »—1 СО
><
СОО^СООЮ^О
ооооьюом^оо
-нЮЮСООМО^
ООСОСМ—'—«С005Ю
СОСОООМОЮОО
СО со ОО Ю Ю) ю ^
N
а>00—«ОСОЮ—«00
- -ю ^ со ^« <м со
О Ю - -со 05 СМ СМ
СО со Ю ОО -	00
О СО О СО о см -	-
(МЮ О ОЬ СООО
СО—'СО*-*<М—«Г'-СО
I I
I I
о
со со	—« —н ^ со
СМ —« Г" ^	•> 05 Ю СО
ОО 05 СО ^	-	- 00
05 ^ —' 00 Г''- —• 05	-
^ СО	^ —' СО 00
05СЧ050С0 1МООО
СО (^ —« ’—' ^	« СО
II II II I I
3
ооооюог-ю
оооюмосоо
СМ СО СО г-н
ОО«-ч(М^С000(М
03
00
I
03
03
СОСОт^—^СОСМТ^Т^
*-н“ <» тр СО Ю —“ о“
N0100)0000 1^00
СОСОт)«ОЮ-« 05 СО
СОСОСОСОСМСМ — —«
7Т777ТТТ
05 05 05 т*« —« <М О 05
—< ^ (М ю" со" СО Ю СО
СО СО (М СО ’—' N СО N
ЮОСОМООСОЮЬ
СОС^ОО-^ЮОООСМ
—' «—'—« СМ СМ СМ СО СО
—«Ю^Г-СМО^СМ
—< ^ —« о - - - -
00	-	-	-»-н 00 СО
-ОЮГ^СМО)—«со
СМООС^050—«смю
ьосммоою^
оо^^соо—«смсчсо
ООгнО^ЮЮ^О)
СО Ю 00 со" О 1^ оГ ^
СО —« СО СО ОО СО ’—«О
СМ (М —« о со см ю
—'—«’—«—«000500
777777 I I
(МСОСЧСОЮЮСО—«
(N050
- - -СО О) (МОЮ
СО т*« <М —«СО—«СО«^
—«СООО(МЮОЮГ^
I I I I 1777
г^
см
05
О- г^.
смсмсмсмь-г^-смг"*.
05 05 05 ^ —« (М Ю N
ООЮСОСМ^ЮСО
0005^СМ—«ООСОт^
ОО’-'СМ’^'СОООСМ
13*
195

рамы; д — распространение текучести в четырех сечениях рамы
(по концам ригеля и в сечениях у заделки); е — распространение
текучести в двух сечениях по концам ригеля и двух сечениях опор-
Таблица 50
/
Напряжения
Схема
предельного
состояния
(рис. 88)
<*1
ст21
п25
<*5
0,25
974,110
плъъ
198,407
98,296
]
0,50
493,601
79,880
199,185
98,023
а
1
259,042
86,619
201,199
97,341
)
2
156,158
106,771
206,311
95,631
д
4
156,069
Я
163,599
Я
214,915
■ Я
92,170
е
6
225,833
240,223
220,249
88,816
I
8
322,706
335,066
223,283
85,387
Г
12
557,891
564,508
1
224,992
78,193
,
1
ных стержней у узлов 2 и 3\ г — переход в пластическое состояние
четырех сечений рамы — по концам опорных стержней. Указан¬
ные схемы изображены в табл. VII приложения, а также на рис. 88.
Для каждой схемы составляем условия пластичности согласно
формуле (24.2) для сечений, охваченных текучестью, и уравнение
196

равновесия. В результате решения этих уравнений находим форму¬
лу для определения предельной нагрузки.
В табл. VII против каждой схемы даны уравнения равновесия
и формула для нахождения предельной нагрузки. Входящие сюда
величины Аъ А, С1Ъ V, V помещены в табл. X.
Таблица 51
*р
1
/+е, см
•^1,
М, 2
А
*}•
Ят \
——
0,25
1206,18
0,004824
0,3925-10-4
0,0008822
0,001144
0,50
606,18
0,02068
0,3898-1О-4
0,001762
0,002277
1
306,18
0,09309
0,3781-10-4
0,003541
0,004507
2
156,18
0,3755
0,3480-10—4
0,007235
0,008836
4
81,18
1,234
0,7434-10-4
0,009522
0,01700
6
56,18
2,397
0,0314-10-2
0,006694
0,02456
8
43,68
3,849
0,1067-10-2
0,004671
0,03159
12
31,18
7,390
0,6382-10-2
0,002675
0,04426
К
1
М'|2
^25
Мя
«1
*)•
К
Щз
м12
0,25
0,8963-1О-4
17,866
0,01750
0,01944
0,0008469
0,50
0,3844-10_3
18,412
0,03766
0,01954
0,001700
1
0,001786
19,766
0,08845
0,01983
0,003456
2
0,009116
22,940
0,2304
0,02057
0,007224
4
0,04677
27,849
0,6144
0,02189
0,009709
6
0,1202
30,931
1,092
0,02283
0,006642
8
0,2336
32,972
1,651
0,02348
0,004283
12
0,5869
35,358
2,961
0,02435
0,001629
1Р
1
Щх
МЯ1
V
*}•
м21
0,25
17,866
0,01750
0,001717
0,01683
0,0007527
0,50
18,412
0,03766
0,001845
0,01636
0,001521
1
19,766
0,08845
0,002237
0,01518
0,003144
2
22,940
0,2304
0,003773
0,01250
0,006811
4
27,849
0,6144
0,01086
0,008792
0,009456
6
30,931
1,092
0,02624
0,006877
0,006701
8
32,972
1,651
0,05400
0,005823
0,004678
12
35,358
2,961
0,1615
0,004784
0,002874
197

Напомним, что в предлагаемых формулах отношение величин,
обусловленных кручением, к величинам, вызванным изгибом, при¬
нимается из расчета для упругого состояния рамы.
По формулам табл. VII и X вычисляем предельную нагрузку
рассматриваемой рамы для восьми соотношений длин ее стержней.
Из выражений (26.1) — (26.2)
^ = 421, 29см4; Тл = 13,04 см3; Тх = 207,0 см3;
С = 20,79 см2; О = 0,725см; К = 1.
(28.7)
Дальнейшие вычисления для четырех описанных схем приве¬
дены в табл. 51. Величины предельной нагрузки всюду поделены
на предел текучести ат.
В последнем столбце табл. 51 для схемы а даны значения —,
от
полученные без учета кручения рамы по формуле
Ят_
ст
/р {1 + е)
ьпьн + бс
И2 '
(28.8)
Найденные результаты представлены на рис. 88 в виде четырех
(}	?Г>	О Рт А)
кривых у-
О
-у и прямой —,
/	От
1Р_
/.*
Последняя показывает, что круче¬
ние значительно понижает величину предельной нагрузки.
Три схемы предельного состояния а, д и г дают кривые, распо¬
ложенные весьма близко друг от друга, а схема е — кривую, ухо¬
дящую от них при малых соотношениях
I *
Из нескольких нагру¬
зок, соответствующих данному соотношению, предельной нагруз¬
кой считаем наименьшую.
Следовательно, при равномерно распределенной нагрузке р на
ригеле рамы с увеличением величина предельной нагрузки
изменяется по разным законам. При небольших соотношениях
(0,25—4) она интенсивно растет, достигает максимума, а затем
при остальных рассматриваемых соотношениях (4—12) достаточно
резко спадает.
Длина опорного стержня I = сот*. Исследуем аналогично пре¬
дыдущему изменение напряжений в упругом состоянии рамы с
равномерно распределенной нагрузкой р в пролете, а далее изме¬
нение величины предельной нагрузки при постоянной длине опор¬
ных стержней (/ = 300 см = соп$1) и изменении пролета так,
чтобы получилось девять соотношений у (от 0,25 до 6).
Числовые величины коэффициентов /, р, г, 5 для ригеля 2—3
198

заимствуем из табл. 40, а для стержня 2—1 они соответствуют
значениям при у- = 1 этой же таблицы.
Реактивные факторы в узле 2 рамы (от равномерно распределен¬
ной нагрузки на ригеле) по формулам табл. V приведены в табл. 52
. /Р
для всех соотношении -у.
Таблица 52
'р
1
V см
м23
Л
^23
К
0,25
75
37,51
—468,751
231,751
—280,181 1
0,33
100
50
—833,34
309
—4876,09
0,5
150
75
— 1875
463,5
— 10316,6
1
300
150
—7500
927
—32370,7
1,5
450
225
Я
—16875
Я
1390,5
• Я
—56971,0
Я
2
600
300
—30000
1854
1
—81885,9
3
900
450
—67500
2781
— 131775
4
1200
600
— 120000
3708
— 181667
6
1800
900
—270000)
5562
—281452
Расчет рассматриваемых рам в упругом состоянии помещен в
табл. 54, куда входят величины неизвестных, а также величины из¬
гибающих и крутящих моментов и бимоментов. При этом исполь¬
зованы формулы (23.2) — (23.3) и (23.22) — (23.25). С изменением
соотношения у- все моменты и бимоменты увеличиваются.
По данным табл. 54 определены напряжения, сведенные в
табл. 53 и позволяющие рассматривать три схемы предельного
состояния: а, д и б. Эти схемы показаны на рис. 89.
Таблица 53
'Р
1
Напряжения
Схема
предельного
состояния
(рис. 89)
<*1
а21
<?25
<?5
0,25
62,4021
6,6681
46,4961
12,731
1
0,33
83,658
12,137
62,438
17,924
0,5
127,297
27,448
95,399
34,106
1
259,042
86,616
201,198
97,344
а, д
1,5
394,418
Я
153,887
■я
311,520
■я
180,500
Я
2
533,386
225,013
422,722
288,616
3
826,899
382,295
654,844
560,429
1
4
1107,565
569,078
896,819
1145,322
1
1 А
6
1563,920
1046,881
1431,536
2210,764
Г
199

Неизвестные	I Крутящие моменты, дан • см
00 о ю о
-	- - - — ^-н0О(М
*-н 05 СО Г*— 05 Ю ОО О СО
СООССС^СООО ьыл
СМСО^СП — — (МСОЮ
«5
О со
Ю
со о
см
С0М00ЮОО1О
СО л ж л л л л
-Ю СО СО I4- 05
ТСЮЮОЮОО
СО т*« СО	ОО ОО 05
05 СО СО	О ^
СО -
I м I I :: I I
00 СМ СО <М —< 00
СО СМ — О - - - -СМ
ООО - - О 00 Ю СО —
- -соспто^осо
ЮСП<М00~н<МЮО5<М
— — ’^СО’—'05005СО
СОСМСОГ^ОООООСО
ОЮСО—'Г^СО^ОО
ОО ^ СП СО -	-	-	-	-
Ю -	-	050ЮЮ
'"Ф050С'- —
Ю — СМОО— —СОСО^
ю см см оо — см
Ю СМ 00	-	-	-	05
- - -СМ — О Ю —
СО^—
СМСОСПСОГ^ОО^Г^О
<МСО^ОО(М^О-н^н
^НСМЮ-НСО^ОО^СМ
— спсог^-соооспсо
СО О 00 — ю -	- -о
о СО -	-	-1-0 Г'- СО ОО
- -Ю Ю 00 СО СМ ю о
СОООКСОЮГ^ЬОО
СО — СМСМСОСОООСМСО
<МЮ — "ФОО^-нСМЮ —
><
Сц
г^споо^со — сп^
СО ОО	— Ю -	•* о
юоюю - -ОО СМ —
ОО ^ СП -00 СМ СМ СП ОО
00	- -СМ СО — Ю со
- СО 00 СО — ОГ^ О СО
05 (М С^- СО <М Ю —«	—«
Ю 05
СО —
о -
-о
00
СП см
СО
^ О 05 00
СО -	- -Ю N.
-оо <М —' О О ОО
ОМОЮ^ N0:0
— ю о о о
СМ — СМ тГ — СМ ^
I I I II I I I I
N
т*«
Г— 00
00 -
00 СО
СП со
О! -Н
Ю^СОСМЮОО
мос^о - - -
- - - -со см со
I"- Ю СО — 00 00 Г*-
05 05 05 05 05 05 о
СП СП СП 05 — Ю СО
— со ю г-- — — см
I I
ОО СМ СО СМ-
СО (М —I о - - -
ООО - -СП ОО ю
- -СО(МЮЮт*«
Ю СП (М 00 — см ю
00
-(М
СО —
СП со
о см
I I I I I I I I I
СО 05 СМ С
ООСМт^С СП ОО СП Г
О СО СЮ N СОЮ [
Ю — СО СМ СО '
N СО Ю ’—' ОО ОО С'"- С
05С0СЛ05 — ЮсО*-
— <м со Г". — — см с
I I
I
5Ю О
- - - — ^ — ОО <м
5 СО N С5 Ю ОО О СО
5 со (М СО 00 ^ Г^- Ю
) ^ СП — — СМ СО ю
юоооооооо
г^оюоюоооо
— — со^соспсмоо
05 тг о
СМСПт^Г'-О^Г-О —
ОООСОСМСПЮ^-СОТ^
^ СО О 05 ОО ОО Ю ^н
—	ЮСОЮОО—СОС''- —
—	— <Мт*«СОСП — —<(М
000—^1— МСОт^СО
200

Таблица 55
'р
/
1 + е,см
'р
^12
щ2
Л*и
м12
0,25
75
0,02291
0,0004407
0,01397
0,33
100
0,03335
0,0006415
0,01050
0,50
150
0,05228
0,001005
0,007026
1
300
0,09309
0,001786
0,003542
1,5
306,18
450
0,1210
0,002316
0,002378
2
600
0,1474
0,002812
0,001795
3
900
0,2085
0,003957
0,001213
4
1200
0,3004
0,005676
0,0009273
6
1800
0,6482
0,01032
0,0002622
'Р
В2Ъ
Л425
А
<21
—1*
1
МК
т25
°Т /
0,25
5,280
0,02183
0,3887-10-4
0,01780
0,01359
0,33
7,641
0,03176
0,3875-1О-4
0,01797
0,01021
0,50
11,862
0,05001
0,3842-10—4
0,01843
0,006843
1
19,766
0,08845
0,3781-10-4
0,01983
0,003456
1,5
23,547
0,1148
0,3727-10~4
0,02074
0,002323
2
25,804
0,1392
0,3682-10-4
0,02136
0,001755
3
28,927
0,1960
0,3583-10-4
0,02229
0,001188
4
31,677
0,2685
0,3446-10-4
0,02323 |
0,0009101
6
95,127
0,4696
0,1916•10 3
0,02125
0,0002599
'Р
1
в12
м12
Щ2
&52
л
6М04
*1‘
Л4К
т\2
Мьг
0,25
51,984
2269,2
7,585
200,55
1,920
0,1028
0,33
51,995
1558,9
3,271
94,211
0,8386
0,08745
0,50
52,021
994,98
2,533
38,073
0,6246
0,04505
1
52,124
559,96
1,205
11,876
0,3531
0,01499
1,5
52,262
431,77
0,6502
6,971
0,2950
0,007289
2
52,414
355,68
0,3890
4,681
0,3313
0,003872
3
52,700
252,75
0,1773
2,206
0,3638
0,001644
4
52,926
176,17
0,08773
1,087
0,3785
0,001055
6
62,831
96,931
0,04449
0,2893
0,3926
1
0,0003987
1
201

Величины предельной нагрузки, вычисленные по формулам
табл. VII и X, записаны в табл. 55 и отложены в виде кривых на
рис. 89. Кривые а ид сливаются в одну кривую, которая и дает
. /Р
наименьшую предельную нагрузку для всех соотношении у, в то
время как кривая по схеме б располагается выше.
29.	СОСРЕДОТОЧЕННЫЙ КРУТЯЩИЙ МОМЕНТ Мк ПОСЕРЕДИНЕ
ПРОЛЕТА РАМЫ
Рассмотрим одноконтурную бесшарнирную раму при сосредо¬
точенном крутящем моменте Мк посередине ригеля (рис. 90) и уста¬
новим ее несущую способность в зависимости от соотношения длин
ригеля и опорных стержней.
При крутящей нагрузке на ригеле, вызывающей кручение и
изгиб стержней рамы, работа системы характеризуется наличием
четырех силовых компонентов: бимомента 5, изгибающего из пло¬
202

скости рамы момента М и общего крутящего момента Л1К, включа¬
ющего сен-венанов крутящий момент Н и изгибно-крутящий мо¬
мент Ма. Поперечная и продоль¬
ная силы в стержнях и в закреп¬
лении рамы отсутствуют.
Все расчетные предпосылки,
использованные ранее, остаются
в силе. Раму принимаем из стерж¬
ней швеллерного профиля, кото¬
рый считается тонкостенным и име¬
ет размеры: к = 18,9см; Ь=6,95см;
6С = 0,7 см\ бп = 1,1 см.
Рассчитываем раму при восьми разных соотношениях длин ее
стержней = 0,25; 0,5; 1; 2; 4; 6; 8; 12. Сначала оставляем про¬
лет рамы постоянным (/р = 300 см = сопз!), а затем сохраняем
постоянной длину опорных стержней (/ = 300 см = сопз1).
Находим величины напряжений в упругом состоянии рамы,
используя метод перемещений. Геометрические характеристики се¬
чения соответствуют величинам (28.1).
Пролет рамы не изменяется. При постоянном пролете рамы
значения коэффициентов /, §, ру г, 5 справедливы по табл. 35.
Величины реактивных факторов при сосредоточенном крутя¬
щем моменте МК на ригеле рамы по формулам табл. V равны:
Л	Л
0» ^23 —0,5МК;
(29.1)
Мк (8,1469— 1)
2 0,01858- 8,0853
23,7873Л4к.
Результаты дальнейших вычислений помещены в табл. 56.
Изменение моментов и бимоментов в сечениях 1 и 5 рамы в
зависимости от соотношения у показано на рис. 91. В
сечении 1
изгибающий момент постоянен (Л412 = 0,5 Л4К), а бимомент В12
растет, изменяясь по кривой; в сечении 5 увеличивается изгибаю¬
щий момент Л452, в то время как бимомент В52 почти не изменяется.
В табл. 57 приведены напряжения в четырех сечениях рамы,
вычисленные по формулам (25.21) — (25.22). В рассматриваемом
случае возможны следующие схемы предельного состояния: в —
распространение текучести в трех сечениях ригеля; ж — переход
в пластическое состояние сечения посередине ригеля и сечений опор-
203

Неизвестные	| Крутящие моменты, дан-см
3
ю
о"
00—'Оэ^чСООЭ—<^СО—<
ЮООт*<СООЭС'Н>'-СО—« —•
о<мсо^со<моосоо<м
чМЮСОСО^т^ЮЮЮ
ОООч^СО^ЮМЭ
ОООООООООч
со ст> г>- о> —< а> о со оо ^
СО^МЮСОСОСОЮОСО
ОООСО<МО>т1«СЧ<МсОЮ
^^ОчрнГчмМПО
СОЮСОЮ^СОСОММ-ч
оооооооооо
о о" о о" о о о о о* о
><
со
ОО О N
ЮчОООЮЮООгСЮ
СЧЮ—«ООСООО^СЧООО
О ^ЮООООСО>ч(ч^ч
0505Ю^<М^Ч<МС^01Г-
о—< т*« —< О СЛ 00 СО СП
ООО-чСЧМС0^(0 00
оооооооооо
о о о" о о о О о" О*4 о
I I I И I I I I I
N
м^сч а^чсою со
ЛчЮМОООЮМО)0
ОЮМЛМчЮчЮО
Ч1О(М0Т}<СООМ0Ч
—'ОЮС400—
тм^оо^смс^—«о
СО—'ОООООООО
оооо'оооооо
I I I I I I I I I I
§
О тМО
МСОт^^ЮЮЮ^
сою—«оосм-^сосо
СОСОСПГ'-—«СП—<Ю
~—< МЛМО^чЮ
^	•«	-—' Т^Г^ЮСО
О —• <М
СЧЮ—<СО—«ООО
о
СО 00
СО <М
00 00
О 00
О 00
—• о
гг тип?
оооооюооюю
ОООЮОГ^СОЮ -О!
СЧ СО СО —1 —'	г^
чч	СО
О О—1 <М со т!« ю со 00 сч
ар
Я
05
03
Ю *ч СО со СО ^ Ю 05 Ю
ОСООООС^-ООСЧ^СЧсОО
-Ч^Ь^ЮМС^ЮСОО
О^ОООСОЮ^СОМ-ч
I I
ЮСО 05СО 1^СОЮ СОО
^^МОЗ^-СОСМ N0)00
СОСОООЮООООООО
—«тТ-СМ—<СОООСО—'СПЮ
^^СО^СО^ООООО
Г^-ООООО—I—1СМО—«см
СОСМС-СЧСОСЧЮСМ^ОО
О Г^- С- СО СЧ С*- —«г^^о
СОСМГ^ Г^СОЮ^Т^СЧ N
ю сч ^ о ст> ^со ^ о
О—«С'сГюО-^ООООООО
00—'О-чСОО^ч-^СО—Ч
ЮОО^СООМЬСО^ч^ч
ОСМСОГ^СОСЧООСООС^
ЧМЮСОСО^^ЮЮЮ
О О О —I СЧ СО^т*« юьо
О 0~ О О 0~ О О О 0~ -ч
00чО^нС0 0)>ч^<Оч
ЮООт^СООСЧС^СО—|—|
©СЧСОГ^СОСМООСООСМ
чМЮСОСО^тСЮЮЮ
ОООчС^СО^ЮЬО
о о о о о о о сГ сГ —Г
I I I! I I 1 I I I
5
ю
ю
о
ю о
ю
ОО*-чСЯС0тгЮС000СЧ
204

ных стержней возле узлов 2 и 3; г — наличие текучести в четырех
сечениях опорных стержней.
В соответствии с описанными схемами находим предельную
нагрузку рамы по формулам табл. VIII и X. Как и ранее, отноше¬
ние величин, обусловленных кручением, к величинам, вызванным
В.
дансм1
25
М.
дансм
1.0
0.5
О
Таблица 57
/
Напряжения
Схема
предельного
состояния
(рис. 92)
<*1
021
°25
<7б
0,25
0,00476
0,0557
0,113
0,148
0,50
0,00760
0,0574
0,113
0,148
1
1
0,0149
0,0617
0,115
0,148
1
2
0,0346
0,0742
0,119
0,147
} в
3
0,0551 |
1 м
0,0893
ал
0,123
0,146
|
4
0,0754 1
■ мк
0,106
• Мк
0,1251 к
0,145
мк
5
0,0957
0,123
0,127
0,145
1
)
6
0,116
0,140
0,128
0,143
ж
8
0,153
0,174
0,130
0,142
ь
12
0,211
0,229
0,130
0,141
Iе
изгибом, принимаем из расчета по упругому состоянию. Величины
предельной нагрузки для удобства поделены на предел текучести сгт.
205

Полученные результаты помещены в табл. 58 и показаны на
ПО	МК /р
рис. 92 в виде трех кривых	, у, из которых каждая соот-
(Тт /
ветствует определенной схеме предельного состояния. Для дан¬
ного соотношения предельной нагрузкой считаем наименьшую.
Таблица 58
'р
В2Ъ
Щъ ^52
Л
Мк )
/
Щь
Щь ~ Л15к2
VI
0,25
0,50
1
2
4
6
8
12
24,269
24,929
26,565
30,320
35,613
38,375
39,819
41,016
0,02117
0,04562
0,1070
0,2746
0,6846
1,107
1,500
2,104
0,02095
0,02113
0,02159
0,02276
0,02461
0,02566
0,02622
0,02668
0,03196
0,03191
0,03177
0,03145
0,03094
0,03064
0,03044
0,03027
12,504
12,477
12,419
12,291
12,081
11,968
11,917
11,892
'Р
/
М2Х
^52
~Щ2
V
Мк
°т
| ж
0,25
0,50
1
2
3
4
6
8
12
24,269
24,929
26,565
30,320
33,395
35,613
38,375
39,819
41,016
50,437
50,356
50,157
49,695
49,317
49,045
48,705
48,528
48,381
0,003188
0,003393
0,004020
0,006321
0,01003
0,01519
0,02967
0,04838
0,08732
23,305
22,767
21,385
18,225
15,653
13,812
11,522
10,286
9,141
'Р
1
^12
Щ2
к2 _ МЪ
М{2
А
мк
°т
1г
0,25
1,139
0,02117
0,4220-10-4
171,65
0,50
2,455
0,04562
0,9718-10“4
118,61
1
5,556
0,1070
0,3860-10-3
66,664
2
10,947
0,2746
0,1974-10-2
35,086
4
15,914
0,6846
0,9628-10-2
18,309
5
16,883
0,8974
1,574-10—2
14,748
6
17,289
1,107
2,323-10-2
12,369
8
16,849
1,500
4,123-Ю-2
9,469
12
12,160
2,104
7,891-10-2
6,944
206

Итак, при сосредоточенном крутящем моменте Мк посередине
/Р
ригеля рамы с увеличением соотношения ~ величина предельной
нагрузки уменьшается, причем
	Г-
\ \
Сршсопз1 \
б
Ш &
5о	%	з	1
С
Рис. 92.
для небольших соотношений
(0,25—4) уменьшение постепен¬
ное, а для остальных соотно¬
шений (4—12) оно происходит
достаточно интенсивно.
Таблица 59
1
Напряжения
Схема
предельного
состояния
(рис. 93)
<*1
^21
с» 25
Оъ
0,25
0,00588
0,0200
0,101
0,114 1
1
!
0,33
0,00748
0,0275
0,103
0,121
0,50
0,0103
0,0414
0,106
0,142
1
0,0149
0,0617
0,115
0,148
1,5
0,0161 \МХ
0,0667
• к
0,118
мк
0,153
к
• в
2
0,0165
0,0691
\ л
0,119
0,154
3
0,0166
0,0695
0,119
0,154
4
0,0166
0,0696
0,119
0,154
6
0,0166 ,
0,0696
0,119
0,154
;
Длина опорных стержней не меняется. Аналогично предыду¬
щему исследуем раму с сосредоточенным крутящим моментом на
ригеле при девяти соотношениях (от 0,25 до 6).
Для расчета рамы в упругом состоянии пользуемся формулами
(гл. IV, 23 и 25), а также данными табл. 40. Этот расчет показывает,
что с увеличением соотношения крутящие моменты и бимоменты
увеличиваются.
207

Соответствующие значения напряжений записаны в табл. 59
и для всех соотношений вызывают распространение текучести в
трех сечениях ригеля, т. е. дают одну схему в предельного со¬
стояния.
Предельная нагрузка, вычисленная по формулам табл. VIII
и X, сведена в табл. 60 и отложена в виде кривой на рис. 93.
Таблица 60
'р
1
^25
Щъ Мб2
Щъ ~ Щ,2
&52
Мк
т52
<?1
Ух
м« 1.
стт 1
0,25
7,912
0,03165
25,710
0,01799
0,02136
14,302
0,33
11,253
0,04535
31,605
0,01835
0,02326
13,943
0,50
17,176
0,06920
39,555
0,01930
0,02643
13,353
1
26,565
0,1070
50,156
0,02159
0,03177
12,419
1,5
29,238
0,1177
52,926
0,02243
0,03337
12,154
2
29,922
0,1204
53,620
0,02265
0,03379
12,085
3
30,132
0,1211
53,800
0,02273
0,03389
12,068
4
30,152
0,1210
54,000
0,02273
0,03400
12,062
6
30,294
0,1207
54,000
0,02278
0,03401
12,053
30. РАВНОМЕРНО РАСПРЕДЕЛЕННАЯ КРУТЯЩАЯ НАГРУЗКА т
НА РИГЕЛЕ РАМЫ
Установим предельное состояние рамы для часто встречающе¬
гося на практике случая равномерно распределенной крутящей на¬
грузки т на ригеле (рис. 94).
При указанной нагрузке действуют такие силовые факторы:
бимомент В, изгибающий момент М и общий крутящий момент
УИК, состоящий из компонентов Н и Мш.
Исследуем одноконтурную раму из швеллера с теми же попе¬
речными размерами и с такими же соотношениями длин ее стерж¬
ней, какие рассмотрены в преды¬
дущих расчетах. Используем все
предпосылки, изложенные ранее.
Пролет рамы постоянный. Для
выполнения расчета рамы в уп¬
ругом состоянии применяем форму¬
лы и таблицы (гл. IV, 23 и 25).
Величины реактивных факторов
при равномерно распределенной
крутящей нагрузке т на ригеле по формулам табл. V равны:
л л	л пг1 300т
У23 = ^23 = 0;	//2з = —2~ ~ —2	=
208

т ( 5,574	8,1469
0.018582 ^	2	' 8,0853
1
)
(ЗОЛ)
5237,97т.
Величины неизвестных, изгибающих моментов, крутящих мо¬
ментов и бимоментов даны в табл. 61. Характер изменения их в
зависимости от соотношения у походит на таковой при сосредо¬
точенном крутящем моменте посередине ригеля.
На рис. 95 показаны эпюры моментов и бимоментов для проме
жуточного соотношения длин стержней у = 2.
В соответствии с данными табл. 61 вычислены напряжения в
четырех сечениях рамы, помещенные в табл. 62.
Напряжения показывают, что при равномерно распределенной
крутящей нагрузке т на ригеле следует учитывать такие две схемы
предельного состояния: е — наличие текучести в двух сечениях
ригеля и в двух сечениях опорных стержней возле узлов 2 и 5;
г — переход в пластическое состояние четырех сечений опорных
стержней. Такие схемы уже встречались для рамы с равномерно
распределенной нагрузкой д в пролете.
14—1338
209

Таблица 61
3
5
<8
я
н
*г
5
о
ю
С9
Ю
со
2213.30
2204.30
2182.30
2131,50
2090.00
2060.00
2022,71
2003,10
1986,87
X
Ф
м
;й
1 II И И II
О
о
<.
Ф
<§
3
К
ф
2
о
2
5
ю
а?
1
II
г-1
0?
5
5
ш
к
н
о-
*
II
«а
1
^ОЬ-^СО^СМЮт}*
*т-нООГ^-
ОСМГ'-СО^-Г^О^СО
СО СМ С"- СМ СО - - -
соо * * « ио ^
- '-нОМЮОИОСО
С^Ю-НСОЮ Ь-н-нСЧ
2671,981
2744,71
2924,82
3338,18
3676,75
3921.05
4225,08
4384.06
4515,84
X
5
(М
СООО^ N^00 00 010
ООЮОГ'-Г^-СМОСОЮ
ОСХЭСОСОО—>Ю
ООт^т^ОГ^ЮСЭОСОСГ)
- - *> *0 со 00 05 1-11
г^т^сО^ - - - - -
N
осГ
1
125,439]
270,247
611,667
1205,22
1555,13
1752,18
1903,47
1855,05
1338,77
5
ф
3
X
н
о
ф
ш
со
X
1М
><
сц
—0,198749 1
—0,428313
— 1,00435
—2,57828
—4,44947 ■
—6,42733
—10,3961
—14,0863
—19,7561
еч
€
5
Г'-ОО-С'-СО^СМЮ^
<001^
О (М N СО NN О) ■—'СО
СО СМ Г^. СМ •—> СО - ^ ~
СОО - - - - — Ю —<
- ж •—* О СМ Ю СМ О СО
смю—.союг^—<см
2
со
а?
X
с»
N
ЬЦ
102,331
51,1654
25,5827
12,7914
8,52757
6,39568
4,26379
3,19784
2,13189
«
3
X
ф
ю
=€
СОГ^^т^Г^-*——«ОСГ^
ОСМ^СОС^-Г-О —<СО
СО СМ Г'- СМ —< СО - - -
СОО - - 			 Ю —•
- -*-н о (М Ю СМ со СО
СМ Ю —' СО Ю Г'	' — СМ
11М1М11
2
о
2
1 1 1 1 1 1 1 II
1
1
СО0^нЮО)ООЮЮФ
- - тМО 1^- СО СГ> СГ> ОО
00 СО -СОСОООЮЮ'Ф
О ^ - - - -О СО
СО СО СО 05 СО О СО •> «
^ЮООЮМСООФСО
СО - СО О ^ СМ *-• Ю СМ
II II II 1 II
ф
к
а
Я
X
о
к
со
X
€
8
8
7
/, СМ
Ю
ОООООЮО^Ю
ОООЮОМОСОСЧ
СМ СО СО ^ ^
е«
5
5
о
ю
ю о
смио
О О*4^ см со т*< со оо см
ю о
см ю
оо^смсо^сооосм
210

Таблица 62
1р
1
Напряжения
Схема
предельного
состояния
(рис. 96)
<?1
°21
<?25
(Уь
0,25
1,244
12,4931
32,0921
9,6621
0,50
1,850
12,841
32,204
9,607
1
3,433
13,790
32,490
9,475
2
7,498
16,533
33,196
9,154
1
1 /%
3
12,002
т
19,823
т
33,810
т
8,855 \т
к
г в
4
16,511
23,401
34,261
8,598
6
25,434
31,014
34,800
8,186
8
33,725
38,506
35,039
7,868
12
46,451
50,540
35,154
7,440»
г
Предельную нагрузку для полученных схем определяем по фор¬
мулам табл. IX и X, принимая прежние предпосылки. Результаты
/71	/
вычислений даны в табл. 63 и нанесены в виде кривых —, -у
О х /
рис. 96.
Таблица 63
на
'р
1
^25 ^21
м25 _ м«2
01
т 1
1
МК2Ъ мл м\2
0,25
17,813
0,01554
0,01943
0,1046
0,50
18,298
0,03348
0,01952
0,1021
1
19,499
0,07852
0,01977
0,09558
2
22,255
0,2016
0,02040
0,08064
4
26,140
0,5025
0,02140
0,05971
6
28,167
0,8127
0,02196
0,04888
8
29,227
1,101
0,02226
0,04305
12
30,106
1,545
0,02251
0,03760
'Р
В\2
А
1Л102
т |
——> г
1
м12
ат 1
0,25
0,836
0,3425-1О-4
0,1706
0,6503
0,50
1,802
0,6561 • 10—4
0,1816
0,4898
1
4,078
2,220 • 10-4
0,2151
0,2956
2
8,035
0,1073-Ю-2
0,3385
0,1590
3
10,368
0,2713-10-2
0,5379
0,1094
4
11,681
0,5186-10-2
0,8151
0,08321
6
12,690
1,251 • 10-2
1,595
0,05621
8
12,367
2,221 • 10-2
2,602
0,04308
12
8,925
4,251 • 10~2
4,700
0,03154
14*
211

Кривые имеют общую точку для соотношения у = 8. Пре¬
дельная нагрузка для предшествующих этому соотношений
(0,25—8) принимается по кривой е, а для последующих отношений
(8—12) — по кривой
Таким образом, для рассма¬
триваемого случая с увеличе-
Длина опорных стержней постоянна. Определим напряжения
и величину предельной нагрузки для рамы с равномерно распре¬
деленной крутящей нагрузкой т на ригеле при изменении пролета
и постоянной длине опорных стержней (/ = сопз!).
Ход расчета системы в упругом состоянии по методу переме-
Таблица 64
1
Напряжения
Схема
предельного
состояния
(рис. 97)
<*1
^21
°25
<*5
0,25
0,353
I
1,075
7,5231
1,472
1
0,33
0,577
1,954
10,102
2,866
0,50
1,159
4,326
15,435
4,917
1
3,433
13,790
32,490
9,474
1,5
5,902
т
24,134
[ т
50,154
\ т
11,472
т
1
[ е
2
8,392
34,568
1
67,951
12,156
1
3
13,366
55,441
103,646
12,363
4
18,331
77,371
139,384
12,303
6
26,955
112,724 !
1
213,266
12,112
212

Таблица 65
'р
1
^25 ^21
я
и
<?х
V
т I
“*}'
0,25
5,258
0,02445
0,01779
0,2472-10-3
0,9480
0,33
7,607
0,03065
0,01796
0,3379-10-3
0,6187
0,50
11,791
0,04750
0,01842.
0,7856-10-3
0,2871
1
19,499
0,07852
0,01977
0,2151 -10“2
0,09557
1,5
22,949
0,0924
0,02059
0,2989-10-2
0,05614
2
24,742
0,0995
0,02107
0,3481 -10—2
0,03974
3
26,540
0,1066
0,02159
0,4011 -10—2
0,02511
4
27,438
0,1101
0,02186
0,4362-10-2
0,01826
6
29,462
0,1135
0,02248
0,4913-10-2
0,01163
щений аналогичен предыдущему. Числовые величины напряжений
представлены в табл. 64. Они вызывают переход в пластическое
состояние двух сечений опорных стержней и двух сечений ригеля
согласно схеме е.
Значения предельной нагрузки записаны в табл. 65 и отложены
на рис. 97 в виде кривой.
Результаты показывают, что при малых соотношениях
/р
/
вели¬
чина предельной нагрузки резко падает, а затем кривая выпрямля¬
ется, приближаясь к оси х.
Краткие выводы. Проведенное исследование показывает, что
несущая способность одноконтурных рам из тонкостенных стерж¬
ней при нагрузке, перпендикулярной плоскости рамы и при кру¬
тящей нагрузке, зависит от ряда факторов. К ним относятся: вид
нагрузки, соотношение длин стержней рамы, величина эксцентри¬
ситета приложения сил.
В настоящей главе рассмотрено четыре вида нагрузки рамы
при ряде соотношений (0,25—12) длин ее стержней, причем для каж¬
дого вида нагрузки изучено два случая изменения соотношения -р
пролет рамы постоянен (/р = сопз1); постоянна длина опорных
стержней (/ = сопз!).
1.	При нагрузке силами предельное состояние рамы с длинными
опорными стержнями определяется в основном изгибом этих стерж¬
ней и наступает с распространением текучести в сечениях у задел¬
ки. С
/Р
увеличением соотношения схемы предельного состояния
рам изменяются. Несущая способность системы будет зависеть от
213

перехода в пластическое состояние сечений ригеля или от одно¬
временного охвата текучестью сечений ригеля и опорных стержней.
Схемами предельного состояния рамы при нагрузке крутящими
моментами являются: наличие текучести в трех сечениях ригеля
либо в сечениях ригеля и опорных стержней возле узлов, либо
только в четырех сечениях опорных стержней.
При нагрузке силами получается больше схем предельного со¬
стояния, чем при нагрузке крутящими моментами.
2.	Для рам с сосредоточенной силой Р и равномерно распреде-
/
ленной нагрузкой <7 на ригеле с увеличением соотношения —у-
(при /р = сопз!) величина предельной нагрузки сперва растет, а за¬
тем уменьшается. При малых соотношениях ~~ рост нагрузки про¬
исходит достаточно интенсивно, а при средних — предельная нагруз¬
ка системы увеличивается постепенно. Наибольшие ее значения со¬
ответствуют отношениям 2 — 6.
Для рам с крутящей нагрузкой на ригеле (/р = сопз!) с ростом
/Р
соотношения -у- величина предельной нагрузки все время снижа¬
ется.
При постоянной длине опорных стержней (/ = сопз!) для всех
рассмотренных случаев нагрузки наблюдается уменьшение ее
предельной величины с увеличением пролета рамы.
Более подробное описание результатов применительно к опре¬
деленному виду нагрузки дано в конце отдельных расчетов.
3.	Изменение эксцентриситета приложения нагрузки в иссле¬
дованных рамах также отражается на схеме предельного состояния
и существенно влияет на несущую способность системы. С увели¬
чением эксцентриситета предельная нагрузка рамы снижается.
31. СРАВНЕНИЕ ВЕЛИЧИН ПРЕДЕЛЬНОЙ И ДОПУСКАЕМОЙ
НАГРУЗОК
Сопоставим данные, полученные по расчету в упругой стадии
работы рамы и по расчету в предельном ее состоянии для четырех
рассмотренных случаев нагрузки рамы, когда принималась по¬
стоянной длина ригеля (/р = сопз!) и сохранялась постоянной
длина опорных стержней (/ = сопз!).
Сравним величины предельной нагрузки и нагрузки, отвеча¬
ющей допускаемому напряжению в наиболее напряженном сече¬
нии рамы.
Как отмечалось ранее, из нескольких значений предельной наг-
214

рузки, соответствующих разным схемам предельного состояния, для
I
данного соотношения -у- выбираем наименьшее.
При сосредоточенном крутящем моменте Мк посередине ригеля
(/р = соп$1) для соотношения -у- = 6 наименьшее значение предель¬
ной нагрузки дает схема ж. Обращаясь к данным табл. 55 и при¬
нимая предел текучести стали сгт = 2400 дан/см2у имеем
М
-Л- = 11,522; Мк = 11,522-2400 = 27653 дан-см. (31.1)
Допускаемую крутящую нагрузку Мкдоп находим из расчета в
упругом состоянии, пользуясь формулой для нормальных напря¬
жений:
М . В	/01
адоп ~ ур =Ь ~ур »	(31.2)
где в правой части уравнения из двух значений берем большее, а
в левой части адоп принимаем равным допускаемому напряжению
для стали 1600 дан/см2.
Для сосредоточенного момента на ригеле и соотношения ~ = 6
из двух сечений 2 и 5 (см. схему ж) наиболее напряженным яв¬
ляется сечение 5. Подставляя числовые величины для точки Б это¬
го сечения в формулу (31.2), получим
откуда
а5 =
0,5536МК	24,35Л4К
186,2 + 228,8
= О, юзм
к доп»
(31.3)
М
К доп
адоп
0,103
1600
0Л03
15 534 5ам-сж.
(31.4)
Разность между нагрузками (31.1) и (31.4), отнесенная к боль¬
шей величине,
(27 653—15534) 100
27 653
43,8%
(31.5)
Аналогично получены данные для всех соотношений
т при
четырех рассмотренных случаях нагрузок. Результаты сравнения
помещены в табл. 66 и 67 для рам с постоянным пролетом и в табл.
68 и 69 для рам с постоянной длиной опорных стержней.
Рассмотрим полученные результаты для рам с /р = сопз1.
При нагрузках силами и при нагрузках крутящими моментами
215

получается разный характер изменения разности в процентах
между предельной и допускаемыми нагрузками для исследуемых
соотношений длин ригеля и опорных стержней.
Расчет рам по предельному состоянию, нагруженных сосредо¬
точенной силой Р и равномерно распределенной нагрузкой ^ на
ригеле (табл. 66), для малых соотношений —■ (0,25—1) дает весьма
небольшое преимущество по сравнению с расчетом по допускаемым
напряжениям.
Таблица 66
*р
1
Схема
предель¬
ного со¬
стояния
адоп
р
'доп»
дан
р
Р, дан
Р—Р
Доп»
дан
Разность,
%
0,25
)
о1=3,250
492,3
0,237
568,8
76,5
13,4
0,50
г
а1=1,652
968,5
0,478
1147,0
178,5
15,6
1
1
а1=0,877
1824
0,989
2374
550
23,2
2
б
а5=0,823
V Р
1944
1,498
3595
1651
45,9
4
в
05=0,807
Г Г
1983
1,527
3665
1682
45,9
6
\п
=0,416
3846
1,470
3528
—318
—9,0
8
)а
о^ =0,453
3532
1,001
2402
—ИЗО
—47,0
12
г
а2=0,677 |
1
2363
0,562
1349
— 1014
—75,2
Схема
1р
предель¬
гг
*7доп»
я
э Я;
Я ^7доп»
Разность,
1
ного со¬
идоп
дан/ см
ат
дан/см
дан/см
%
стояния
0,25
1
01=974,11
1,643
0,0007527
1,806
0,163
9,0
0,50
о1=493,55
3,242
0,001521
3,650
0,408
11,2
1
г
а,=258,53
6,189
0,003144
7,546
1,357
18,0
2
)
0!=15О,25
10,65
0,006811
16,35
5,70
34,9
4
е
02=109,77
Я
14,58
0,008792
21,10
6,52
30,9
6
1
о1=101 ,35
15,79
0,006642
15,94
0,15
0,9
8
\д
ох= 105,22
15,21
0,004283
10,28
—4,93
—48,0
12
1
0!=125,95 ,
12,70
0,001629
3,91
—8,79
—224,8
Для соотношений (2—4) такое преимущество очевидно, так как
по сравнению с расчетом по допускаемым напряжениям разность
доходит до 46% (при нагрузке Р) и до 35% (при нагрузке <7). Для
больших соотношений (6—12) полученные данные в основном отри¬
цательны, т. е. расчет по предельному состоянию выгоды не дает.
Расчет рам по предельному состоянию при крутящей нагрузке
(табл. 67) более выгоден, чем для рам, нагруженных силами. Для
всех соотношений
кроме
I
= 12 разности в процентах очень
216

высокие и устойчивые. С увеличением отношения у эти разности
постепенно снижаются.
Таблица 67
'р
Схема
пределы
а
доп»
к
мк,
1
1
Раз¬
ность,
/
ного со¬
стояния
доп
дан•см
дан-см
К ДОП '
дан•см
%
0,25
05=0,110
14545
12,504
30010
15465
51,5
0,50
о5=0,110
14545
12,477
29945
15400
51,4
1
> в
сг5=0,110
14545
12,419
29806
15261
51,2
2
сг5=0,108
шк
14815
12,291
29498
14683
49,8
4
о5=0,105
15238
12,081
28994
13756
47,4
6
ж
05=0,103
15534
11,522
27653
12119
43,8
8
1 р
02=0,0897
17837
9,469
22726
4889
21,5
12
[
02=0,0923
17335
6,944
16666
—669
—4,0
'Р
1
Схема
Раз¬
предель¬
ного со¬
°доп
^2
«доп .*«
т
~°7
т,
дан
«-«доп-
дан
ность,
%
стояния
0,25
11,666
137,2
0,10460
251,0
113,8
45,3
0,50
11,969
133,7
0,10210
245,0
111,3
45,4
1
12,720
125,8
0,09558
229,4
103,6
45,2
2
е
14,428.
110,9
0,08064
193,5
82,6
42,7
4
16,732
171
95,63
0,05971
143,3
47,67
33,3
6
17,811
89,83
0,04888
117,3
27,47
23,4
8
19,967
80,13
0,04305
103,3
23,17
22,4
12
г
20,543
77,89
0,03154
75,7
—2,19
-2,9
По сравнению с расчетом по допускаемым напряжениям раз¬
ности изменяются от 51 до 21% (при сосредоточенном крутящем
моменте Мк) и от 45 до 22% (при равномерно распределенной кру¬
тящей нагрузке т).
Переходим к анализу результатов для рам с I = сопз!.
В отличие от рам с постоянным пролетом, здесь характер из¬
менения разностей в процентах между предельной и допускаемой
нагрузками одинаков для рам, нагруженных силами, и для рам,
нагруженных крутящими моментами. С увеличением отношения
/Р
у указанные разности в основном увеличиваются.
Расчет рам по предельному состоянию при сосредоточенной
силе Р и равномерно распределенной нагрузке ^ по сравнению
с расчетом по допускаемым напряжениям (табл. 68) дает ощутимую
выгоду, которая в первом случае доходит до 50%, а во втором —
до 33%.
217

Таблица 68
'р
Схема
предель-
о
р
'доп’
р
Р,
Р—Р
ДОП ’
Раз¬
ность,
/
ного со-
Доп
дан
дан
дан
%
стояния
0,25
а, =0,8371
1912
1,088
2611
699
26,8
0,33
ах=0,843
1898
1,090
2616
718
27,4
0,50
а
^=0,855
1871
1,093
2623
752
28,7
1
сг1=0,877
1824
1,100
2640
816
30,9
1,5
^=0,890
\р
1798
1,104
2650
852
32,2
2
(т5=1,263
1267
1,047
2513
1246
49,6
3
, б
05=1,666
960,4
0,793
1903
942,6
49,5
4
о5=2,067
774,1
0,588
1411
636,9
45,1
6
о5=2,868
)
557,9
0,385
924
366,1
39,6
1
Схема
предель¬
ного со¬
стояния
°доп ®
1
?ДОП’
дан/см
Я
о
Я>
дан/см
Я *7доп ’
дан/см
Раз¬
ность,
%
0,25
1
62,395
25,64
0,013590
32,62
6,98
21,4
0,33
83,636
19,13
0,010210
24,50
5,37
21,9
0,50
127,21
12,58
0,006843
16,42
3,84
23,4
1
258,53
6,189
0,003456
8,294
2,105
25,4
1,5
д
393,14
► Я
4,070
0,002323
5,575
1,505
27,0
2
530,90
3,014
0,001755
4,212
1,198
28,4
3
819,73
1,952
0,001188
2,851
0,899
31,5
4
1089,6
1,468
0,0009101
2,184
0,716
32,8
6
1500,5 ]
1,066
0,0002599
0,624
—0,442
—70,8
Аналогично рамам с постоянным пролетом расчет по предель¬
ному состоянию при крутящей нагрузке (табл. 69) дает более вы¬
сокие показатели, чем для рам, нагруженных силами. С увеличе¬
нием отношения
/р
/
разности между предельной и допускаемой
нагрузками растут, изменяясь от 17 до 53% (при сосредоточенном
крутящем моменте Мк) и от 18 до 50% (при равномерно распреде¬
ленной крутящей нагрузке т).
Кратко резюмируя изложенное, отметим: расчет рам по пре¬
дельному состоянию при нагрузке, перпендикулярной плоскости
рамы, и при крутящих моментах дает существенную выгоду по
сравнению с расчетом по упругой стадии работы системы. Разность
в процентах между предельной и допускаемой нагрузками зависит
от вида нагрузки и от соотношения длин стержней рамы. В неко¬
торых случаях такая разность достигает 50%.
В зависимости от вида нагрузки расчет рам по предельному
состоянию приводит к лучшим показателям для крутящих моментов,
а затем для сил. Преимущество при сосредоточенных нагрузках
больше, чем при равномерно распределенных.
21а

Т а б л и ц а 69
1Р
Схема
предель-
0 т,
а*
доп ’
мк
мк,
А*к-

Раз¬
ность,
1
ного со¬
стояния
доп
дан•см
дан• см
К ДОП ’
дан•см
%
0,25
0,0562 1
28470
14,302
34325
5855
17,1
0,33
0,0690
23188
13,943
33463
10275
30,7
0,50
0,0862
18561
13,353
32047
13486
42,1
1
0,1100
14545
12,419
29806
15261
51,2
1,5
•9
0,1160
мк
13793
12,154
29170
15377
52,7
2
0,1170
13675
12,085
29004
15329
52,9
3
0,1180
13559
12,068
28963
15404
53,2
4
0,1180
13559
12,062
28949
15390
53,2
6
0,1180
13559
12,053
28927
15368
53,1
'Р
Схема
предель¬
0 =
о
А
^доп»
т
т,
«-'Ядоп-
Раз¬
ность,
1
ного со¬
стояния
ДОП
&
дан
°т
дан
дан
%
0,25
0,8581
1865,0
0,94800
2275,0
410,0
18,0
0,33
1,654
967,4
0,61870
1485,0
517,6
34,9
0,50
3,846
416,0
0,28710
689,0
273,0
39,6
1
12,720
125,8
0,09557
229,4
103,6
45,2
1,5
- е
22,457
• т
71,25
0,05614
134,70
63,45
47,1
2
32,281
49,56
0,03974
95,38
45,82
48,0
3
51,942
30,80
0,02511
60,26
29,46
48,9
4
71,598
22,35
0,01826
43,82
21,47
49,0
6
115,34
13,87
0,01163
27,91
14,04
50,3
В зависимости от соотношения длин ригеля и опорных стержней
расчет рам по предельному состоянию наиболее выгоден (при на¬
грузке силами) для у в пределах 2—4, а при нагрузке момен¬
тами — для малых соотношений, когда /р = сопз1, и для больших
соотношений, когда I = сопз1.

ПРИЛОЖЕНИЕ
РАСЧЕТНЫЕ ФОРМУЛЫ И ТАБЛИЦЫ
Формулы для расчета по предельному состоянию
одноконтурных рам при изгибе
В табл. I, II, III, IV для двухшарнирных и жестко заделанных
рам на основании положений главы II предлагаются расчетные
формулы при вертикальной и горизонтальной нагрузках.
Табл. I и III относятся к вертикальной нагрузке на ригеле
рамы. В табл. I для двухшарнирных, а в табл. III для жестко за¬
деланных рам рассмотрены несколько разных случаев нагрузки.
Для этих случаев даны: предельное значение изгибающего момента
Мх = Мг в пролете, расстояние х указанного момента до левой
стойки, значения опорных моментов Мс = Мо ригеля, значения
моментов МА = Мв внизу стоек (для бесшарнирных рам), выраже¬
ния горизонтальных (НА = Нв) и вертикальных (V л, У в) реакций.
Табл. II и IV составлены для горизонтальной нагрузки рамы.
В табл. II для двухшарнирных, а в табл. IV для бесшарнирных
рам помещены по пять разных случаев нагрузки левой стойки
рамы. Соответственно приведены: предельное значение Му = Мт
изгибающего момента стойки, расстояние у этого момента до линии
опор, значения моментов Мс , М0 в углах рамы, значения момен¬
тов— МА = Мв внизу стоек (для бесшарнирных рам), выражения
горизонтальных (НА, Нв) и вертикальных (— VА = Vв) реакций.
Вспомогательные формулы для расчета рам при изгибе
с кручением в упругом состоянии
В табл. V помещены выражения реактивных факторов для
нагруженного стержня 2—3 (У23 — вертикальная реакция, Ь23—
крутящий момент, М23 — изгибающий момент, В23— бимомент) при
упругом расчете одноконтурных рам по методу перемещений с на¬
грузкой силами, перпендикулярными плоскости рамы, или крутя¬
щими моментами.
220

Формулы для расчета рам при изгибе с кручением
в предельном состоянии
Табл. VI, VII, VIII, IX, X содержат уравнения равновесия и
формулы для нахождения предельной нагрузки рамы при изгибе
с кручением в соответствии со схемой предельного состояния. Рас¬
смотрены четыре случая нагрузки ригеля рамы, которые отражены
в табл. VI—IX. В табл. X приведены выражения для А, Аъ V,
]/1, (2, (Зь V, 1)ъ входящие в расчетные формулы, а также для Т&,
Та, О, К и ах (для двутавра и швеллера).
Пластические моменты сопротивления двутавров и швеллеров
при изгибе и кручении
Табл. XI и XII для двутавров и швеллеров по ГОСТ 8239 — 56
и ГОСТ 8240—56 включают числовые величины пластических мо¬
ментов сопротивления Тх и Ту относительно главных осей х и у,
секториального пластического момента сопротивления Тш и пла¬
стического момента сопротивления при свободном кручении Та.
Для швеллера дается также значение координаты ах центра изгиба
до оси стенки в предельном состоянии.
При выводе формул принята диаграмма напряжений—деформа¬
ций с горизонтальной площадкой текучести, а предельным состоя¬
нием профиля считается распространение текучести по всему се¬
чению. Для упрощения вычислений уклоны полок и закругления
профиля не учитывались.
Вычисления проводились по формулам:
для двутавра (рис. А)
(а)
для швеллера (рис. Б)
№2
221

Рис. А.
Формула Ту2 применяется для швеллеров, где площадь полок
меньше площади стенки 21(Ъ — д) < сИгу т. е. нейтральная ось в
предельном состоянии сечения находится в пределах стенки.
Пластические моменты сопротивления Та посчитаны без коэф¬
фициентов Феппля, зависящих от формы поперечного сечения,
так как в предельном состоянии рассматриваемых сечений такие
коэффициенты не установлены. Приближенно они могут быть
приняты из упругого расчета: для двутавра ад = 1,31, для швел¬
лера аш = 1,12.
Все найденные величины приведены с точностью до четырех и
пяти значущих цифр. Последняя цифра округлена.
222

Моменты сопротивления двутавров и швеллеров
при изгибе и кручении в упругом состоянии
В табл. XIII и XIV для двутавров и швеллеров по ГОСТ 8239—56
и 8240—56 приведены числовые величины моментов сопротивления
№х и У/у относительно главных осей х и у, секториального момента
сопротивления И?© (для швеллера —	момента сопротивле¬
ния при свободном кручении V/ & и координаты центра изгиба а.
Вычисления проводились без учета уклонов полок и закругле¬
ний профиля по известным формулам для упругого состояния
тонкостенных профилей.
Пластические моменты сопротивления двутавров и швеллеров
при косом изгибе
Табл. XV и XVI относятся к пластическим моментам сопротив¬
ления Т двутавров и швеллеров по ГОСТ 8239 — 56 и 8240 — 56
при косом изгибе. Вычисления выполнены для углов наклона внеш¬
ней нагрузки к главной оси у, равных
« л л л л
а = и’ ~36’ 18’ 12’ Т’
~т и г рад. Для этих же углов определены числовые значе-
о 4	1
ния моментов сопротивления IV в упругом состоянии и даны ко-
Т
эффициенты к, представляющие отношение величин
223

Пластические моменты сопротивления для двутавра находились
по формулам гл. I, 5, когда атп = атс:
я
при углах наклона —^
я
18’
я я
12’ "9
(рис. В, б):
где
((к—()2
4 соз а
сР т2
I2 + (к — /)2	]’
(в)
при углах наклона
я
"6
и -2. (рис. В,
«)
(й—*),(ат_Ь\\\21а + а(к — /)]•
6а соз а \	2 1	4	'
(д)
Здесь а определяется из кубического уравнения:
2а3 [ т2 +	] + 2а2т [(к — () а — Ь\ 4-
+ а(к — () а
тй
Ы
(к-()
йЬ
П(
(А-0**6 “ = 0,	(е)
а значение т принято равным пяти.
Для швеллера (рис. Г) величины Т находились из уравнений
(гл. I, 4) при отп = атс:
224

где
2 й*
т = ч*{-° + ]/~ °г~и
1 = со8а — -^ эта; = 2 ^(ь —^—
0 = Ш о + -^ зт а; ^ = 2/^6 —	) + й (Н — /).
(ж)
(з)
Моменты сопротивления в упругом состоянии рассматриваемых
профилей определялись по формуле
_
Г*згаа + Г, сое а’	(И)
куда нужно подставлять 47х и 47 у— обычные моменты сопротивле¬
ния двутавра и швеллера относительно осей х и у.
Входящие в формулы тригонометрические величины приняты
с точностью до трех знаков после запятой.
При вычислениях так же, как и в предыдущих таблицах, укло¬
ны полок и закругления профиля не учитывались, что несколько
превышает соответствующие величины, посчитанные с учетом укло¬
нов полок и закруглений.
Балки двутавровые по ГОСТ 8239—56 и швеллеры
по ГОСТ 8240—56
Табл. XVII и XVIII заимствованы из сортамента прокатных
сталей и служат для опцеделения веса 1 пог. метра, площади се¬
чения и других характеристик упругого состояния двутавров и
швеллеров по ГОСТ 8239—56 и 8240—56 (с учетом изменений от
28.XI 1959 г.).
15—1338
225

Таблица I
226

Таблица II
15*
227

Таблица III
Нагрузка и предель¬
ная эпюра моментов
=М,
II
*
II
5
=мв
II
= Нг
-Л*г
К
2МГ
X
РТЬ
'р
'р
-мт
К
2МТ
X
Рг
2
2
-мт
м
2МТ
мт
X
~2~
~2~
—мт
мт
2Щ
X
1,5РТ
1,5РТ
-мт
мт
2МТ
■
2/рХ.
Ятс
2/р Х
X (26^-с)
Х(2а^-с)
-К
мт
2МТ
X
Рт'р
3
3
228

Таблица IV
Нагрузка и пре¬
дельная эпюра
моментов
му = мт
Мп
—м0=
=-МА-
-мя
н.
-IV
к С
~
7^7]
У
7
^-т гг
Л
Ж61
А.
7
^-т ?
7
0.73/„
'о +
Ч4/с('с*
0,558/.
*т<«с
2(й + /с)
ЯтУ^с
2(# + /с)
X
(/с »)
2 (# + О
X
:М)
м ^
МТ = —
кта — з мт
</т/?
•ЗМТ
<7тс2
■ ЗЛ1Т
Рт//*с
4(^^/с) ~
Х^с—У +
+
РЛ
X)
рХ
змт
Л*т
2МТ
2М.
*т-Ъ
Мг
м.
Мт
яХ~~н в
Ятс~НВ
рХ
-я,
2М.
17
2Л1
2 М,
Г
2/И,
2М
.Л4С-Л40
мс-м»
М. — М
О
1п
229

Таблица V
230

Продолжение табл. V
Вид нагрузки
Реактивные факторы
Л
Уп
Л
^23
Л
М23
Л
^23
1 4
/ п
2!лх ^ ^ I3
0
мк
0
/ К ка\
Л*к \сЪ~2 сЬ_2")
1 4
/ т //
0
т-г
0
. М--т)
кг Ы
2$Ь
О
Таблица VI
231

Продолжение табл. VI.
ш
1 м2, | + М52 = М0;
Е- =А/_!_ + _Ц
°т 1Р 1/0 уи 1
М12 — | М211 = Я1',
' = 	ц.
°т 1\ул уу)
Таблица VII
? 4
//р ^ т/Р
Мп = Я(1+еу, Я = /|-;
/ /
<? 2
= 1р(1 + е) У А
/'/
М12 - | М25 | = /?/;
±__2_( 1 1 \
От V уоГ/
/•/
^25 + 1 1 =
0т е1р \К<Зх уу)
232

Продолжение табл. VII
/• т
М1ш-\Ми\=Я11
±=±(±	Ц
от V \Уа у у)
/2
1^121+^52=^0=	Щ=Ц-’
От *Р \У'А1 уц I
Т а б л и ц а VIII
Г	4
233

Таблица IX
%ъсСсссссс '
Величины
Расчетные формулы
к-°Г
2Т2К2
К
1 +
Т„,К
(Ъ~в)'
,	1	, 3(М«2)*
+ 4СТЦК + ?Х2
&и	д ^12 \2
щ2 щ2)
2Т%Кг
["/‘Чм]
М:
12
\-^г
4СТтК(М*12)г А
№_1г,± /~ 1	^ 1, |
2Г-К- [ |/ ЧМ] ■
3(Л%,)»
'
5»	^ ' Г! , Г1 + _[ш«_
I у
+
М2
4СТш/С(М^2)* Т
234

Продолжение табл. X
Величины
Расчетные формулы
а
.	1	3(М2К5)*
^СТтК+ Т\м\,
4 СТщК(ЩьУ
1	3(^2)*
4СТ к + т1м2
»	1 ат52
м?
52
4СГюА:(Л15к2)2
3
3_
1 л
Величины
Для двутавра
Для швеллера
Т„
. А6*
°п 2
А Л а . , АА б^А=> \
4 +6с 2 бп16 У
Т4
1(2^+/,6^)
1(26б2 + Лб2)
я
/I2
8С * ^ =
Ь 6~Л
°* 2 + 6П8 ’ С “ б"Й
к
, «сЛа
64СГЮ
л:= 1
°х
0
26„6*
46и& + 6СЛ
235
П.Ьа1

Таблица XI
Балки двутавровые по ГОСТ 8239—56
Обозначения:
к—высота профиля;
Ь—ширина полки;
Л—толщина стенки;
1?—средняя толщина полки;
Тх и Ту — пластические моменты сопротивления
■■ относительно осей х и у\
7^ — секториальный пластический момент
сопротивления;
Тд — пластический момент сопротивления
при свободном кручении
№ .
про¬
филя
Размеры, мм
Пластические моменты сопротивления
Н
Ь
а
1
Тх, см3
Ту см3
та, см*
Тф см3
10
100
55
4,5
7,2
46,44
10,89
50,53
3,791
12
120
64
4,8
7,3
67,90
14,95
84,25
4,709
14
140
73
4,9
7,5
94,05
19,98
132,39
5,697
16
160
81
5,0
7,8
125,12
25,59
194,72
6,831
18
180
90
5,1
8,1
162,99
32,81
281,96
8,141
18 а
180
100
5,1
8,3
180,10
41,50
356,28
9,122
20
200
100
5,2
8,4
208,67
42,00
402,36
9,64
20 а
200
110
5,2
8,6
228,69
52,03
497,93
10,726
22
220
110
5,4
8,7
262,49
52,64
556,09
11,41
22 а
220
120
5,4
8,9
285,62
64,08
676,36
12,58
24
240
115
5,6
9,5
326,20
62,82
723,99
13,99
24 а
240
125
5,6
9,8
356,18
76,56
881,23
15,61
27
270
125
6,0
9,8
420,30
76,56
996,08
16,69
27 а
270
135
6,0
10,2
458,99
92,95
1207,4
18,72
30
300
135
6,5
10,2
535,53
92,95
1346,8
20,17
30а
300
145
6,5
10,7
584,85
112,48
1627,1
22,71
33
330
140
7,0
11,2
677,74
109,76
1749,6
25,37
36
360
145
7,5
12,3
846,80
129,30
2247,9
31,72
40
400
155
8,0
13,0
1079,3
156,16
3021,7
38,58
45
450
160
8,6
14,2
1398,5
181,76
3960,6
48,38
50
500
170
9,5
15,2
1810,9
219,64
5324,1
61,15
55
550
180
10,3
16,5
2317,4
267,30
7130,2
77,30
60
600
190
П,1
17,8
2909,6
321,29
9352,8
96,07
65
650
200
12,0
19,2
3616,0
384,00 12111
119,15
70
700
210
13,0
20,8
4466,0
458,64 15575
148,25
70 а
700
210
15,0
24,0
5120,7
529,20 17887
197,01
70 6
700
210
И,5
28,2
5952,9
621,81 20887
269,87
236

Таблица XII
Швеллеры по ГОСТ 8240—56
Обозначения:
Н—высота профиля;
Ь—ширина полки;
толщина стенки;
/—средняя толщина полки;
ТхиТу — пластические моменты сопротивления
у относительно осей х и у;
Тф — секториальный пластический момент
сопротивления;
Тд —пластический момент сопротивления
при свободном кручении;
ах — координата центра изгиба до оси стенки
в предельном состоянии.
8
80
40
4,5
7,4
26,21
10
100
46
4,5
7,6
40,33
12
120
52
4,8
7,8
58,51
14
140
58
4,9
8,1
80,66
14а
140
62
4,9
8,7
89,14
16
160
64
5,0
8,4
107,04
16а
160
68
5,0
9,0
117,52
18
180
70
5,1
8,7
137,93
18 а
180
74
5,1
9,3
150,58
20
200
76
5,2
9,0
173,60
20 а
200
80
5,2
9,7
189,95
22
220
82
5,4
9,5
218,40
22 а
220
87
5,4
10,2
239,82
24
240
90
5,6-
10,0
274,62
24 а
240
95
5,6
10,7
299,82
27
270
95
6,0
10,5
351,69
30
300
100
6,5
11,0
443,29
33
330
105
7,0
11,7
555,30
36
360
110
7,5
12,6
691,37
40
400
115
8,0
13,5
877,93
ах ,см
1,215
1,340
1,461
1.667
1,840
2,044
2,272
2,250
2,481
2,458
2,691
2.667
2,911
2,879
3,171
3,184
3,478
87,20
947,59
14,81
3,279
102,26
1255,6
17,81
3,356
120,45
1647,9
21,69
3,455
142,49
2145,1
26,64
3,574
167,30
2837,7
32,60
3,661
№
про¬
филя
Размеры, мм
Пластические моменты сопротивления
Г,, см3 Ги, см3 Тш, см* Тй, см3
5
50
32
4,4
7,0
11,00
5,288
9,369
1,876
6,5
65
36
4,4
7,2
17,74
7,288
17,29
2,312
9,636
28,70
2,802
13,53
51,33
3,463
18,30
84,77
4,310
24,00
28,64
130,99
154,39
5,228
6,084
30,64
36,12
192,55
224,16
6,234
7,193
38,29
44,65
272,20
313,60
7,333
8,400
46,99
54,73
372,87
428,64
8,528
9,855
57,94
68,27
506,83
589,40
10,23
11,83
73,44
85,41
700,50
805,55
12,33
14,15
237

Таблица XIII
Балки двутавровые по ГОСТ 8239—56
Обозначения:
Н—высота профиля;
Ъ—ширина полки;
й—толщина стенки;
Л—средняя толщина полки;
47х и \7и — моменты сопротивления относительно
осей х и у;
Х7(0 — секториальный момент сопротивления;
47 д — момент сопротивления при свободном
кручении.
N0
Размеры, мм
Моменты сопротивления
про¬
филя
Н
Ь
(1
1
\УГ см3
№уУ см3
и?©, см4
№а, см3
10
100
55
4.5
7,2
43,21
7,260
33,69
2,527
12
120
64
4,8
7,3
62,81
9,967
56,16
3,139
14
140
73
4,9
7,5
86,88
13,32
88,26
3,798
16
160
81
5,0
7,8
115,46
17,06
129,82
4,554
18
180
90
5,1
8,1
150,43
21,87
187,97
5,427
18а
180
100
5,1
8,3
167,57
27,67
237,52
6,081
20
200
100
5,2
8,4
192,76
28,00
268,24
6,431
20 а
200
110
5,2
8,6
212,81
34,69
331,95
7,149
22
220
110
5,4
8,7
242,40
35,09
370,73
7,604
22 а
220
120
5,4
8,9
265,56
42,72
450,91
8,389
24
240
115
5,6
9,5
301,41
41,88
482,66
9,329
24 а
240
125
5,6
9,8
331,45
51,04
587,49
10,41
27
270
125
6,0
9,8
386,45
51,04
664,05
11,13
27 а
270
135
6,0
10,2
425,24
61,97
804,93
12,48
30
300
135
6,5
10,2
490,04
61,97
897,87
13,45
30 а
300
145
6,5
10,7
539,52
74,99
1084,7
15,14
33
330
140
7,0
11,2
618,45
73,17
1166,4
16,91
36
360
145
7,5
12,3
771,24
86,20
1498,6
21,14
40
400
155
8,0
13,0
979,50
104,11
2014,5
25,72
45
450
160
8,6
14,2
1262,4
121,17
2640,4
32,25
50
500
170
9,5
15,2
1624,9
146,43
3549,4
40,77
55
550
180
10,3
16,5
2073,1
178,20
4753,5
51,54
60
600
190
11,1
17,8
2596,1
214,19
6235,2
64,04
65
650
200
12,0
19,2
3218,1
256,00
8074,2
79,43
70
700
210
13,0
20,8
3966,3
305,76
10384
98,83
70 а
700
210
15,0
24,0
4549,5
352,80
11925
131,34
70 6
700
210
17,5
28,2
5294,7
414,54
13924
179,91
238

Швеллеры по ГОСТ 8240—56
Таблица XIV
Об означения:
Л—высота профиля;
Ь—ширина полки;
й—толщина стенки;
средняя толщина полки;
ХРх и V/ц — моменты сопротивления относительно
у осей х и у;
— секториальный момент сопротивления;
УУд — момент сопротивления при свободном
кручении;
а — координата центра изгиба до оси стенки
		в упругом состоянии.
№
Размеры, мм
Моменты сопротивления
про¬
филя
Н
ь
Л
г
Н^, см3
исм?
и^со, см*
Г* см3
а, см
5
50
32
4,4
7,0
10,33
3,049
5,489
1,251
1,294
6,5
65
36
4,4
7,2
16,52
4,135
9,971
1,541
1,439
8
80
40
4,5
7,4
24,23
5,401
16,34
1,868
1,580
10
100
46
4,5
7,6
37,13
7,535
28,99
2,308
1,810
12
120
52
4,8
7,8
53,48
10,11
47,26
2,874
2,013
14
140
58
4,9
8,1
73,56
13,23
72,74
3,485
2,241
14а
140
62
4,9
8,7
82,10
15,97
87,28
4,056
2,467
16
160
64
5,0
8,4
97,47
}
16,88
106,64
4,156
2,471
16а
160
68
5,0
9,0
108,02
20,09
126,25
4,795
2,699
18
180
70
5,1
8,7
125,46
21,07
150,48
4,889
2,702
18 а
180
74
5,1
9,3
138,20.
24,79
176,13
5,600
2,932
20
200
76
5,2
9,0
157,79
25,86
205,88
5,685
2,935
20 а
200
80
5,2
9,7
174,26
30,37
240,57
6,570
3,173
22
220
82
5,4
9,5
198,46
31,88
279,73
6,817
3,168
22 а
220
87
5,4
10,2
220,01
37,88
330,81
7,886
3,456
24
240
90
5,6
10,0
249,93
40,44
387,65
8,218
3,499
24 а
240
95
5,6
10,7
275,29
47,45
452,80
9,434
3,788
27
270
95
6,0
10,5
318,02
47,89
518,70
9,876
3,626
30
300
100
6,5
11,0
398,05
56,21
679,67
11,87
3,738
33
330
105
7,0
11,7
496,20
66,36
885,49
14,46
3,866
36
360
110
7,5
12,6
615,94
78,70
1147,6
17,76
4,011
40
400
115
3,0
13,5
778,35
92,75
1508,1
21,73
4,130
239

Таблица XV
Балки двутавровые по ГОСТ 8239—56
Обозначения:
Н—высота профиля;
Ь—ширина полки;
^—толщина стенки;
(—средняя толщина полки;
Г—пластический момент сопротивления при косом изгибе;
№—момент сопротивления при косом изгибе в упругом
состоянии;
. Т
к— '	- —отношение момент ов сопротивления.
N°
Размеры, мм
0
я/36
про¬
филя
к
Ь
а
г
Тх> см3
№х, см3
Ту см3
см3
к
10
100
55
4,5
7,2
46,44
43,21
40,13
28,52
1,41
12
120
64
4,8
7,3
67,89
62,81
58,26
40,64
1,43
14
140
73
4,9
7,5
94,05
86,88
80,30
55,53
1,45
16
160
81
5,0
7,8
125,12
115,46
106,21
72,79
1,46
18
180
90
5,1
8,1
162,99
150,43
137,97
94,27
1,46
18 а
180
100
5,1
8,3
180,10
167,57
155,21
109,94
1,41
20
200
100
5,2
8,4
208,67
192,76
176,55
120,75
1,46
20 а
200
110
5,2
8,6
228,69
212,81
196,68
139,00
1,41
22
220
110
5,4
8,7
262,49
242,40
221,98
151,65
1,46
22 а
220
120
5,4
8,9
285,62
265,56
245,20
172,66
1,42
24
240
115
5,6
9,5
326,20
301,41
273,79
185,64
1,47
24 а
240
125
5,6
9,8
356,18
331,45
303,54
212,16
1,43
27
270
125
6,0
9,8.
420,30
386,45
350,15
233,33
1,50
27 а
270
135
6,0
10,2
458,99
425,24
388,12
266,71
1,46
30
300
135
6,5
10,2
535,53
490,04
443,29
290,72
1,52
30 а
300
145
6,5
10,7
584,85
539,52
491,22
332,34
1,48
33
330
140
7,0
11,2
677,74
618,45
554,15
356,87
1,55
36
360
145
7,5
12,3
846,80
771,24
684,53
434,22
1,58
40
400
155
8,0
13,0
1079,3
979,50
864,11
539,25
1,60
45
450
160
8,6
14,2
1398,5
1262,4
1095,1
662,85
1,65
50
500
170
9,5
15,2
1810,9
1624,9
1399,3
827,47
1,69
55
550
180
10,3
16,5
2317,4
2073,1
1770,3
1031,2
1,72
60
600
190
11,1
17,8
2909,6
2596,1
2199,8
1264,6
1,74
65
650
200
12,0
19,2
3616,0
3218,1
2708,2
1538,2
1,76
70
700 '
210
13,0
20,8
4466,0
3966,3
3316,6
1864,6
1,78
70 а
700
210
15,0
24,0
5120,7
4549,5
3808,9
2145,5
1,78
70 б
700
210
17,5
28,2
5952,9
5294,7
4438»2
2509,6
1,77
240-

Продолжение табл. XV
№
про¬
филя
я/18
я/12
я/9
7\ см3
Г, см3
к
Т, см3
И7, см3
к
Ту см3
Г, см3
к
10
34,77
21,38
1,63
30,22
17,23
1,75
26,42
14,52
1,82
12
50,08
30,18
1,66
43,17
24,18
1,79
37,43
20,29
1,84
14
68,66
40,99
1,68
58,86
32,72
1,80
50,77
27,40
1,85
16
90,25
53,39
1,69
76,89
42,46
1,81
65,95
35,47
1,86
18
116,90
68,95
1,70
99,32
54,75
1,81
84,99
45,69
1,86
18 а ,
134,11
82,19
1,63
116,25
66,11
1,76
101,39
55,65
1,82
20
149,54
88,31
1,69
127,02
70,12
1,81
108,70
58,51
1,86
20 а
169,58
103,68
1,64
146,70
83,29
1,76
127,73
70,04
1,82
22
187,92
110,84
1,70
159,53
87,98
1,81
136,44
73,40
1,86
22 а
211,02
128,50
1,64
182,19
103,09
1,77
158,32
86,62
1,83
24
230,02
134,72
1,71
193,87
106,50
1,82
164,81
88,61
1,86
24 а
259,28
156,72
1,65
222,28
125,18
1,78
191,98
104,86
1,83
27
291,67
167,85
1,74
243,63
132,03
1,85
205,34
109,50
1,88
27 а
328,70
195,15
1,68
279,31
155,00
1,80
239,21
129,37
1,85
30
366,47
207,55
1,77
303,59
162,57
1,87
253,85
134,45
1,89
30 а
412,88
241,19
1,71
348,05
190,68
1,83
295,81
158,66
1,86
33
452,01
251,85
1,79
369,54
196,02
1,89
305,46
161,45
1,89
36
551,51
303,43
1,82
445,55
234,90
1,90
364,66
192,82
1,89
40
688,47
373,56
1,84
549,95
287,85
1,91
445,70
235,59
1,89
45
850,90
451,21
1,89
663,37
344,51
1,93
527,10
280,34
1,88
50
1069,2
557,25
1,92
819,05
423,13
1,94
641,12
343,15
1,87
55
1334,3
688,91
1,94
1008,5
521,00
1,94
781,22
421,48
1,85
60
1637,3
839,09
1,95
1222,6
632,40
1,93
938,17
510,52
1,84
65
1992,1
1014,4
1,96
1470,3
762,26
1,93
1118,4
614,24
1,82
70
2413,7
1223,4
1,97
1763,2
916,91
1,92
1331,0
737,72
1,80
70 а
2777,7
1409,0
1,97
2033,1
1056,6
1,92
1537,0
850,34
1,81
70 б 3247,3
16—1338
1650,8
1,97
2385,3
1238,8
1,93
1808,7
997,46
1,81
241

Продолжение табл. XV
№
про¬
филя
я/6
я/4
я/2
Т, см3
УТ, см3
к
Ту см3
см3
к
Ту, см3
'ИТу, см3
10
19,68
11,25
1,75
14,73
8,792
1,68
10,89
7,260
12
27,36
15,64
1,75
20,31
12,17
1,67
14,95
9,967
14
36,78
21,05
1,75
27,20
16,34
1,66
19,98
13,32
16
47,73
27,17
1,76
34,90
21,02
1,66
25,59
17,06
18
18 а
60,93
75,21
34,94
43,03
1.74
1.75
44,77
56,18
27,01
33,59
1,66
1,67
32,81
41,50
21,87
27,67
20
20 а
77,86
94,47
44,74
54,10
1.74
1.75
57,31
70,48
34,58
42,19
1,66
1,67
42,00
52,03
28,00
34,69
22
22 а
97,69
116,65
56,11
66,82
1.74
1.75
71,84
86,88
43,36
52,05
1,66
1,67
52,64
64,08
35,09
42,72
24
24 а
117,13
140,18
67,51
80,59
1.74
1.74
85,88
104,07
52,01
62,56
1.65
1.66
62,82
76,56
41,88
51,04
27
27 а
143,67
171,84
83,08
98,96
1.73
1.74
104,94
126,74
63,77
76,50
1.65
1.66
76,56
92,95
51,04
61,97
30
30 а
175,41
208,08
101,66
120,88
1,73
1,72
127,46
153,40
77,81
93,12
1.64
1.65
92,95
112,48
61,97
74,99
33
208,45
121,46
1,72
150,73
92,55
1,63
109,76
73,17
36
246,19
144,44
1,70
177,81
109,67
1,62
129,30
86,20
40
298,88
175,85
1,70
215,28
133,11
1,62
156,16
104,11
45
350,31
207,80
1,69
251,21
156,38
1,61
181,76
121,17
50
425,05
253,32
1,68
304,16
189,99
1,60
219,64
146,43
55
518,42
310,22
1,67
370,57
232,10
1,60
267,30
178,20
60
624,20
374,82
1,67
445,69
279,87
1,59
321,29
214,19
65
747,06
450,00
1,66
534,18
335,41
1,59
384,00
256,00
70
70 а
70 б
893,31
1030.3
1210.3
539,49
622,05
730,08
1,66
1,66
1,66
643,16
735,03
863,25
401,52
463,10
543,76
1,60
1.59
1.59
458,64
529,20
621,81
305,76
352,80
414,54
242

Таблица XVI
Швеллеры по ГОСТ 8240—56
Обозначения:
к — высота профиля;
Ь — ширина полки;
й — толщина стенки;
I — средняя толщина полки;
Г — пластический момент сопротивления при ко¬
сом изгибе;
И? — момент сопротивления при косом изгибе
в упругом состоянии;
. г
к = —	отношение моментов сопротивления.
N°
Размеры, мм
0
я/36
про¬
филя
к
Ь
а
1
Тх, см3
Н?х, см3
Ту см3
П7, см3
к
5
50
32
4,4
7,0
11,00
10,33
10,31
7,996
1,29
6,5
65
36
4,4
7,2
17,74
16,52
16,41
12,29
1,34
8
80
40
4,5
7,4
26,21
24,23
23,99
17,47
1,37
10
100
46
4,5
7,6
40,33
37,13
36,57
26,04
1,40
12
120
52
4,8
7,8
58,51
53,48
52,67
36,70
1,44
14
140
58
4,9
8,1
80,66
73,56
72,18
49,68
1,45
14 а
140
62
4,9
8,7
89,14
82,10
80,43
56,84
1,42
16
160
64
5,0
8,4
107,04
97,47
95,35
65,00
1,47
16а
160
68
5,0
9,0
117,52
108,02
105,49
73,73
1,43
18
180
70
5,1
8,7
137,93
125,46
122,38
82,81
1,48
18а
180
74
5,1
9,3
150,58
138,20
134,59
93,24
1,44
20
200
76
5,2
9,0
173,60
157,79
153,52
103,26
1,49
20 а
200
80
5,2
9,7
189,95
174,26
169,16
116,46
1,45
22
220
82
5,4
9,5
218,40
198,46
192,61
128,96
1,49
22 а
220
87
5,4
10,2
239,82
220,01
213,23
146,44
1,46
24
240
90
5,6
10,0
274,62
249,93
242,38
162,84
1,49
24 а
240
95
5,6
10,7
299,82
275,29
266,58
183,29
1,45
27
270
95
6,0
10,5
351,69
318,02
307,51
201,90
1,52
30
300
100
6,5
11,0
443,29
398,05
384,30
246,70
1,56
33
330
105
7,0
11,7
555,30
496,20
477,65
301,09
1,59
36
360
110
7,5
12,6
691,37
615,94
590,46
366,97
1,61
40
16*
400
115
8,0
13,5
877,93
778,35
741,25
450,49
1,65
243

Продолжение табл. XVI
№
про¬
филя
я/18
я/12
я/9
Т, см9
47, см3
к
Т, см3
47, см3
к
Т, см3
47, см3
к
5
9,635
6,559
1,47
8,998
5,602
1,61
8,409
4,921
1,71
6,5
14,97
9,831
1,52
13,87
8,255
1,68
12,75
7,162
1,78
8
21,79
13,72
1,59
19,76
11,39
1,73
17,95
9,794
1,83
10
32,84
20,15
1,63
29,44
16,56
1,78
26,45
14,14
1,87
12
46,90
28,07
1,67
41,67
22,89
1,82
37,13
19,45
1,91
14
14 а
63,83
71,81
37.68
43.68
1,69
1,64
56,32
63,98
30,58
35,73
1,84
1,79
49,88
57,17
25,89
30,43
1,93
1,88
16
16а
83,84
93,60
48,98
56,24
1,71
1,66
73,57
82,89
39,59
45,79
1,86
1,81
64,84
73,68
33,44
38,87
1,94
1,90
18
18а
107,12
118,81
62,08
70,68
1,73
1,68
93,57
104,69
50,03
57,34
1,87
1,83
82,14
92,63
42,16
48,55
1,95
1,91
20
20 а
133,85
148,67
77,09
87,86
1,74
1,69
116,48
130,44
61,96
71,06
1,88
1,84
101,92
115,01
52,13
60,04
1,96
1,92
22
22 а
167,37
187,04
95,95
110,25
1,74
1,70
145,19
163,81
76,96
89,07
1,89
1,84
126,71
144,20
64,66
75,18
1,96
1,92
24
24 а
210,82
233,85
121,31
138,02
1,74
1,69
183,06
204,80
97,38
111,51
1,88
1,84
159,91
180,30
81,85
94,14
1,95
1,92
27
264,51
148,57
1,78
227,19
118,40
1,92
196,59
99,03
1,99
30
327,17
179,53
1,82
278,15
142,15
1,96
238,56
118,40
2,01
33
402,78 :
217,06
1,86
339,29
170,95
1,98
288,75
141,88
2,04
36
493,61 :
262,46
1,88
412,43 205,79
2,00
348,70
170,31
2,05
40
611,05 318,32
1,92
503,97 247,92
2,03
421,76
204,29
2,06
244

Продолжение табл. XVI
№
я/6
я/4
я/2
про¬
филя
Т, см3
1Р, см3
к
Г, см3
Г, СМ3
к
Ту см3
у у, см3
5
7,412
4,035
1,84
6,372
3,330
1,91
5,288
3,049
6,5
10,92
5,768
1,89
9,094
4,677
1,94
7,288
4,135
8
15,05
7,794
1,93
12,27
6,247
1,96
9,636
5,401
10
21,78
11,15
1,95
17,47
8,859
1,97
13,53
7,535
12
30,18
15,23
1,98
23,87
12,03
1,98
18,30
10,11
14
14 а
40,17
46,74
20,18
23,89
1,99
1,96
31,52
37,24
15,86
18,91
1,99
1,97
24,00
28,64
13,23
15,97
16
16 а
51,85
59,74
25,97
30,38
2,00
1,97
40,43
47,24
20,35
23,96
1,99
1,97
30,64
36,12
16,88
20,09
18
18а
65,32
74,63
32,65
37,82
2,00
1,97
50,71
58,67
25,52
29,73
1,99
1,97
38,29
44,65
21,07
24,79
20
20 а
78,04
92,18
40,28
46,66
1,94
1,98
62,42
72,17
31,42
36,58
1,99
1,97
46,99
54,73
25,86
30,37
22
22 а
99,95
115,34
49,88
58,36
2,00
1,98
77,12
90,16
38,85
45,71
1,99
1,97
57,94
68,27
31.88
37.88
24
24 а
126,37
144,25
63,18
73,08
2,00
1,97
97,65
112,81
49.24	“
57.24
1,98
1,97
73,44
85,41
40.44
47.45
27
153,21
75,96
2,02
116,98
58,87
1,99
87,20
47,89
30
183,53
90,33
2,03
138,53
69,67
1,99
102,26
56,21
33
219,74
107,76
2,04
164,40
82,79
1,99
120,45
66,36
36
263,14
128,88
2,04
195,57
98,71
1,98
142,49
78,70
40
314,08
153,77
2,04
231,18
117,22
1,97
167,30
92,75
245

>
03
я
5
4
О
оз
н
>»
§
со
ю
I
03
СО
Н
О
О
5 «
к 5 8
&а§ I
&§* а
з ° 8 з
н и К
н я й
я « 5 о
о 2 И >.
ЗОЙ®
о 2 Н 4
иг?
^ 12 «О
2
со
о
о.
со
св
н
>»
со
ч
^ к
ш
к >>
18
Ш
см
оо
ю
о
00 см
р^ см
Р^ о
а,
со
со
ю
00 —
О СО
см ю
— см
см см
см см
03
см
=5з
гь ”.
гр
ь-
ю
ю
гр 00
— см
со со
1
^ о
СО
00
^Ш|
гр
00 СМ
СО 00
00 Гр
— см
см см
см со
а>
у
оз
оз
03
СО
СО
о
а» ^
р-
г-
00
см гр
ю ю
Р- СО
к
**-* со
У-*
см
гр
ю
00 —
— ю
ю о
ч
— см
ч
2
я
к
СО
о-
00
со
гр оо
к
х "к
СО 3
СО
со
со"
см"
-"оз"
Гр Гр
— со
ч
а>
ю
СМ
со
гр
СО
оо 00
о —
со гр
а>
3
СО
00
СО
р^
см —
00 Р*-
СО СМ
я
О
оо
р-
ю
гг ю
см со
— см
о
я
гр
гр
ю"
со
р-~ г-Г
оо оо"
Оз" Оэ"
оз
С
и
о-
~ оэ
&Г 5
оз"
00
03
СО 03
Гр СО
СМ гр
СО
ю
00
о
гр ю
00 О
СО Ю
— см
см см
00
о
см
со
о о
о о
о о
03
ю
р-
р^
03 СО
гр СО
Ю оз
-ч 5
со
ю
00
СМ гр
00 О
Ю р'-
— см
см см
л
Ч
Ч <я
се
5 ^
О
ь-
гр
см
гр Гр
00 ОЗ
СО 00
Я
5? ^
•*—1
0
си ^
СМ
гр
р^
о
СО Ю
СО 00
о см
ч
С
V +
8 ^
см
см см
см см
со со
ю
ю
ю ю
см
со
СО
со
СО СО
Гр гр
гр гр
Ю
ю
ю ю
р^
р"-"
00
00
озоз
оз 03
о о
см
со
ю
оо
— со
Гр со
Р" оз
Р-
Р^
Р--"
1>Г
ос оо
00 00
00 00
(
2*
1
а*
а>
ю
00
оз
о
см см
Гр гр
г
*сз
со
се
а
V
гр
ч«
ю
ю ю
ю ю
ио Ю
ю
гр
СО
о о
о о
о о
«сз
ю
СО
р^
оо
03 О
о —
— см
— —
— —
о
о
о
о
о о
о о
о о
.4
о
см
гр
СО
оо оо
о о
см см
— —
см см
см см
СО
гр
ю
р-
03
гр 03
О Р-
О 00
а>
СП
*м <\з
оз
со
ю
00 03
— см
Гр ю
С
’—1
г-г
—1
— —
см см
см см
• К
се
се
се
%
1 § •
о
см
гр
СО
оо оо
о о
см см
с •&
— —
см см
см см
246

Г- СО
гг О
о ю
05
05
ю
<м
СО
гг
о
г^
гг —' 05
СО со
Ю 00
СО 05
Г--
00
о
см
гГ
СО
Г'-
05 О О
СМ (М
сч см
СМ <м
(М
(М
со
со
со
СО
со
со
СО гг ^
Ю СО
ю о
05 —'
05
05
гГ
—< о
05 О
05
Ю
__
см
о
О 05 СО
СО гГ
ГГ Ю
гг со
Ю
1>-
00
О
см
ю
00
со оь
1—1
«—I
СМ СОСО
00 О
о г—
СО
05
СО
СО
О
о
О
о
ООО
05 СО
со со
со СО
СО
о
гг
ю
СМ
СО гГ —«
<М
см со
СО гТ
ГГ
ю
СО
00
О
СО
Г"-
см
СМ 05
см со со
СО 00
СО
О 05
—' <м
см см
00 <М
СО 05
<м см
339
423
540
669
905
1150
1450
о
о
оо
ООО
СО Ю ГГ
СМ Ю 05
(М СМ см
Г--
05 *-н
СМ СО
со ю
ю
со
<м
о
о
05
00
N10^
05 о"
1—1 1—1
(М <М
СО
гг
со
00
о
см
СО
ю
Г'- о о
—1
—'
гЧ
(М
см
СМ
см
СМ <М <М
05 Г^
00 —•
см со
—<
о
СО гг
СМ 00
Г" —'
гг Ю
597
743
947
1220
1570
2000
2510
3120
ООО
гГ со —1
00 СО О
СОгГЮ
о о
о о
о о
О
о
о
о
О
о
о
о
ООО
СО о
—' о
00 00
гГ
ОО
со
ю
05
ю
ю
о
о о^-
гг 00
о ю
о^
ОО
СО
05
гГ
СМ
гГ
гг
СО N00
СО СО
ю ю
Г"-
05
СО
00
Г-
05
ю
ю
гг СМ ю
—н
1—1
см
СО
ю
О
СО Ю ^
1—«
—-1 1—< ^Ч
34,8
37,5
40.2
43.2
46,5
49,9
53,8
61,9
71,4
о
со
00
97,6
гг
132
153
СО СМ гг
^ О со
-Ч СМ СМ
ю ю
гГ гГ
гГ гГ
юю
ю
со
СО
оо
05
ООО
Ю Ю
о" о"
^ —н
см см
со
гг
ю
со
ь-
00
о
см
гг гГ гГ
1—1 —1
1—1 ^
1—' '
1—'
I—1
I—1
—<
1—<
см
см
см см (М
Ю 00
00 см
см ^
см
со
о
см
см
10
00
см
00 о <м
стГстГ
оГ о
о" о
_г
см
СО
гГ
ю
СО
05
О гг оо"
-Н —1
Т”1
1
’ '
<м <м см
СО СО
о о
10 ю
о
ю
о
СО
ю
со
-н
О
оою
ю ю
со ссГ
со" со*4
Г-"
00
00
05*
о
-и**
см"
СОЮГ'-
1—1 -Н —Н
ю ю
ю ю
ю ю
о
ю
ю
О
о
о
о
о
ООО
-Н <м
СМ СО
СО гГ
гг
ГГ
ю
со
г*-
00
05
о
1—1 Т—< —1
^ —н
—1 -Ч
”4
см
СМ СМ (М
о о
о о
о о
о
о
о
о
о
о
О
о
ООО
гг гГ
г- г-
о о
со
СО
о
ю
о
ю
о
ю
ООО
СМ см
см см
СО СО
СО
со
гг
гг
ю
ю
со
СО
27.3
29.4
31,5
33,9
36,5
39,2
42,2
48,6
56,1
65,2
76,8
89,8
104
120
00 00 гГ
СО Ю 00
СС1
гГ гТ
с«
N. N.
СО
о о
со
СО
о
ю
о
ю
о
ю
03 \о
ООО
<м <м
см см
СО СО
со
со
ГГ
гГ
ю
ю
СО
со
1^0
247

Швеллеры по ГОСТ 8240—56
>
х
сз
Я
53
Ч
ХО
СО
Н
а
2
ф к я
I в'
«и
Я 2 Ф я
* § * 5
а о I 2.
а а а
| I
а § о
_	и	х	а
со	о	О.	|
О ?|о
Е	1	I	I
О < л *«
1=1 5
V 8
« я н
О 4, Си Г сЗ
СО
ГГ
та»
та»
Й к Ь 5 _
« * $ * ^
а
см
со
гг
Ю
СО 00
■*»
ю
00
ОЗ
г^-
со
о т*
о
о
со
1Ю
г- оо
•
о
—
—
—
— т-~
ю
оо
ю
СО
<М
Г-.
со
г-
та»
ю
О СО
^ «о
«
О)
о
<м
со
со
00
—< со
о
о
СО
Г--
00
та*
<м
та» ю
к
ю
00
см
о
ю
ч
3
В
*-ч оо
<м
со
та* ю
оз
ю
о
со
та»
со
00
7 со
ЕГ
« з*
ю
ОЗ
со
о
ОЗ
о ю
ч
со с^
<м
см
та» та»
со
<м
та«
со
оз
00
88
0)
3
оз
ю
ОЗ
г-
т« §
,-Г
<м
со*
со
та*~
ю ю
я
о
н
о
03
со
1
~ т
о
та*
°0
со
<М 00
си
Ц7
™ X
СМ
03**
ю
<м
та*
о*
СО
с
и
<м
со
ю
1>* о-
00
СО
та*_
~ »*
С^Г
сю
03
та*
та*
»—» ю
« 2
<м
та»
00
о
оз та»
^ 5
СО
та* ю
(
со
00
о
' еГ
& К „м
ю
оз
оз
со
СО о
►2 <я
с а-
? 8ь 5
V Я ^ ^
со"
00
о*
со
ю гтГ
ю
ю
ю
V.
см
<м
<м
со
со
со со
ю
ю
С*
со
СО
СО
С"»
г>Г
00 оо
1
о
см
та»
СО
оо
'**
о-"
о-~
I"-
00 оо
3
и-и
си
та»
та»
Ю
ю
оо
03 03
*«
«»
Си
та»
та»
та»"
та*
та**
та» та»
<м
СО
о
СО
<м
00 (М
«о
со
со
та*
та»
ю
Ю СО
о
ю
о
о
о
о о
»е
ю
со
00
о
см
та» та»
та»
о
ю
ОЗ
00
ОЗ
о
ю
т*
СО СО
2У'к-гои х ээд
т*
10
г^Г
00
о*
<М СО
. в
ю
СО
о ч
В' 3
ю
со
00
о
см
та» та»
С »8»
т—' ^
248

о о
со
Г'- оо
—• со
СМ Г'-
см
05
оо
Ю
00 О
05 —
о см
см ^
Т*< СО
ю
ю
СО
1^
чч см
—' СМ
см см
см см
см см
см
см
см
см
см
Г- -ч
00
ою
г- ю
о оо
со
о
со
00 о
о ’-ч
см со
СО Ю
СО Г-
ь-
00
05
см
см
см см
см см
см см
см см
см
см
см
со
со
00 ^
о о
ю см
о
СО СМ
со
со
оо
г-
СО со
г> о
о ^
ю о
’—' г-
1"-
со
1—1
со
чч ч-1
~ см
см см
СМ СО
со со
со
ю
СО
СО 00	О
со оо
со ю
СО 05
ч-1 г-
00
см
1^
о
со
см
со г-
00 О
со
Ю 00
о ю
со
см
’-ч
чч чч
’-Ч 1—1
см см
см
со
ю
СО
чч ^
00 —
00 05
^ 05
05 со
г- ю
О-ч
05 -ч
00
Т}«
о
ю ю
СО г-
00 05
’-ч см
со ю
см
00
ю
1—1 1—1
’-Ч 1—1
см
см
со
СМ 05
^ СМ
г- ю
05 05
со ^
ом со
о —<
00 05
Г- 00
05
см
14^
СО со"
гчГ
оо оо
оо оо"
05" 05"
о
см
со
ю
’-ч
’-ч
’-ч
СО СО
~ч СМ
см г-
см см
смю
00
г-
05 О
СМ СО
Ю СО
05 *—•
тг со
о
00
00
о
СО
чч
ч-1 чч
чн 1—1
ч СМ
см см
со
со
СО
СО
о о
о о
о о
о о
о
о
о
о
о
^ см
05 05
см
—■ со
О 00
со
оо
см
см
Г- 00
Оч
Ю со
’-Ч со
05 ’-ч
00
05
00
см
'"Ч ”4
' чч
см см
см со
ю
Г'-
о
ю
ЧЧ Ю
см
^ см
I4- 00
СО 05
см
ю
ю
ю
00 05
о см
со ю
СО оо
о см
ю"
о"
СО
со
_
см см
см см
см см
со со
СО
ТГ
ю
со
ю ю
ю ю
ю
со со
со со
гг ^
ю
ю
со
со
ю ю
ю ю
ю ю
00 00
С5 05
05 05
о о
о о
*—•
см
со
ю
’—н *“Ч
I-1 ^“1
чч
Ч”1
’-ч
•-Ч
^ о
г- со
О
ю см
о
ю
о
со
ю
оо" 05
ОО 05
05 05
а> о
о о
о
сч
СО
*-ч
*-ч
о о
—■ 1—1
см см
со со
о
ю
о
ю
о
ю ю
ю ю
ю ю
ю ю
ю ю
СО
СО
г^-
1^.
00
^ 00
СО со
о ^
со о
ь- оо
СМ Г'-
00 00
ою
05 05
95
о
о
105
о
ю
о о
о о
о о
о о
о о
о
о
о
о
о
СО СО
00 00
о о
СМ СМ
о
СО
СО
о
1—1 1-4
ЧЧ ’-Ч
см см
СМ см
см см
см
со
СО
СО
14.2
15.3
16.3
17.4
18,4
19,8
21,0
22,6
24,0
25,8
27,7
00
СО
36,5
41,9
48,3
со
СО
со
СО
со
СО СО
оооо
о о
см см
С"
о
СО
со
о
^ 1—•
^Ч 1Н
см см
см см
см см
<м
со
СО
со
24&

ЛИТЕРАТУРА
1.	Ададуров Р. А., Напряжения и деформации в цилиндри¬
ческой оболочке с жесткими поперечными сечениями, ДАН СССР, т. ЬХП,
1948, № 2.
2.	Балдин В. А., Гольденблат И. И., Расчет строитель¬
ных конструкций по предельным состояниям, под ред. Келдыша В. М.,
М.—Л., Госстройиздат, 1951.
3.	Б а л о в н е в Г. Г., К определению рациональных форм гнутых
профилей для рамных конструкций, Строительная механика и расчет со¬
оружений, 1960, № 1.
4.	Б а л о в н е в Г. Г., О несущей способности тонкостенных гну¬
тых профилей при изгибе с кручением, «Известия высших учебных заведе¬
ний, Машиностроение», 1961, № 2.
5.	Б е з у х о в Н. И., Основы теории сооружений, материал ко¬
торых не следует закону Гука, Труды Московского автомобильнодорожно¬
го ин-та, сб. 4, М., Гострансиздат, 1936.
6.	Безухов Н. И., Введение в теорию упругости и пластич¬
ности, М.—Л., Стройиздат, 1950; Теория упругости и пластичности, М.,
Гостехиздат, 1953.
7.	Б е л е н я Е. И., Предельные состояния поперечных рам одно¬
этажных промышленных зданий, ЦНИИСК АСиА СССР, Научное сообще¬
ние, вып. 6, М., Госстройиздат, 1958.
8.	Богуславский П. Е., Металлические конструкции грузо-
подъемных машин и сооружений, М., Машгиз, 1961.
9.	Бочаров Н. Ф., Расчет автомобильных рам на прочность,
сборник «Автомобиль» под ред. А. А. Липгарта, МВТУ, вып. 61, М., Маш¬
гиз, 1955.
10.	Б о ч к о в Б. Ф., Упруго-пластический изгиб рам, Труды Горь¬
ковского политехнического ин-та, т. XIV, вып. 10, 1960.
11.	Бычков Д. В., Расчет балочных и рамных систем из тонко¬
стенных элементов, М., Стройиздат, 1948; Строительная механика стержне¬
вых тонкостенных конструкций, М., Госстройиздат, 1962.
12.	Бычков Д. В., Формулы и графики для расчета рам, М.—Л.,
Стройиздат, 1950.
13.	Бычков П. Г., Несущая способность металлической двух¬
этажной рамы, сб. «Исследования по теории сооружений», вып. V, М.—Л.,
Госстройиздат, 1951.
14.	В а й н б е р г Д. В., Ч у д н о в с к и й В. Г., Пространствен¬
ные рамные каркасы инженерных сооружений, Киев—Львов, Гостехиздат,
1948.
15.	В а с и л е н к о А. М., Расчет пространственных ферм крановых
конструкций на кручение, К., Изд-во АН УССР, 1951.
250

16.	Виноградов А. И., Об определении упруго-пластических
перемещений в стержневых системах, Труды Харьковского ин-та инженеров
ж-д. транспорта, вып. 26, 1956.
17.	Власов В. 3., Тонкостенные упругие стержни, М.—Л., Строй-
издат Наркомстроя, 1940; Изд. 2, М., Физматгиз, 1959.
18.	В л а с о в В. 3., Строительная механика тонкостенных про¬
странственных систем, М., Стройиздат, 1949; Тонкостенные пространствен¬
ные системы, М., Госстрой из дат, 1958.
19.	Г в о з д е в А. А., Расчет несущей способности конструкций
по методу предельного равновесия, М., Стройиздат, 1949.
20.	Г е л ь ф г а т Д. Б., О ш н о к о в В. А., Рамы грузовых авто¬
мобилей, М., Машгиз, 1959.
21. Г е м м е р л и н г А. В., Т р о ф'и м о в В. И., Милейков-
ский И. Е., Кочергова Е. Е., Исследование рдботы рамных
конструкций, ЦНИПС, Научное сообщение, вып. 21, М., Госстройиздат, 1955.
22.	Геммерлинг А. В., Несущая способность стержневых
стальных конструкций, ЦНИИСК, М., Госстройиздат, 1958.
23.	Под редакцией Геммерлинга А. В., Расчет конструкций,
работающих в упруго-пластической стадии, Труды ЦНИИСК АСиА СССР,
М., Госстройиздат, 1961.
24.	Г л у ш к о в Г. С., Е г о р о в И. Р., Ермолов В. В.,
Формулы для расчета рам (справочное пособие), М., Госстройиздат, 1958;
Формулы для расчета неразрезных балок и рам, М., Машгиз, 1960.
25.	Горбунов Б. Н., Стрельбицкая А. И., Приближен¬
ные методы расчета вагонных рам из тонкостенных стержней, М., Машгиз,
1946; Расчет вагонных рам из тонкостенных профилей, К., Изд-во АН УССР,
1947.
26.	Г о р б у н о в	Б.	Н.,	Стрельбицкая	А.	И., Теория
рам из тонкостенных стержней, М.—Л., Гостехиздат, 1948.
27.	Г о р б у н о в	Б.	Н.,	Стрельбицкая	А.	И., Расчет
прочности тонкостенных стержневых систем, Сб. «Расчет пространственных
конструкций», вып. I, М., Машстройиздат, 1950.
28.	Давидов И. В., Некоторые вопросы расчета рам по пре¬
дельному состоянию, Труды Харьковского инженерно-строительного ин-та,
вып. II, 1949.
29.	Давидов И. , В., Определение предельной вертикальной на¬
грузки для многопролетных многоярусных рам, Труды Харьковского ин¬
женерно-строительного ин-та, вып. 5, 1957.
30.	Д ж а н е л и д з е Г. Ю., П а н о в к о Я. Г., Статика упругих
тонкостенных стержней, Л.—М., ОГИЗ, Гостехиздат, 1948.
31.	Ж у Д и н Н. Д., Расчет стальных конструкций с учетом пласти¬
ческих деформаций, Сборник трудов Киевского строительного ин-та, вып.
II, Харьков — Киев, Гостехиздат, 1935.
32.	Ж у Д 1 н М. Д., Пластичш деформаци в стальних конструкц1ях,
ч. 1, Основи розрахунку, К., Вид-во ВУАН, 1935.
33.	3 а в р и е в К. С., Некоторые вопросы теории пластичности,
Труды Ин-та строительного дела АН Грузинской ССР, т. IV, 1953.
34.	И л ь ю ш и н А. А., Пластичность, М.—Л., Гостехиздат, 1948.
35.	Инженерные сооружения, т. 1,	Л., Машстройиздат, 1950.
36.	К а з а з а е в В. Н., Предельные состояния рам, Автореферат
канд. диссертации, Ленинградский ин-т инженеров ж.-д. транспорта, 1960.
37.	К а н С. Н., Пановко Я. Г., Элементы строительной ме¬
ханики тонкостенных конструкций, М., Оборонгиз, 1949; Изд. 2, М., Обо-
ронгиз, 1952.
38.	Карякин Н. И., Основы расчета тонкостенных конструкций
на кручение, МПС — СССР, Белорусский ин-т инженеров ж.-д. транспорта,
Гомель, 1955; Основы расчета тонкостенных конструкций, М., Госиздат
«Высшая школа», 1960.
251

39.	К а ч а н о в Л. М., Основы теории пластичности, М., Гостех-
издат, 1956.
40.	К о т л я р С. И., Экспериментальное исследование моделей
автомобильных рам при статических нагрузках, сб. «Исследование кузовов
и рам автомобилей», НАМИ, вып. 58, М., Машгиз, 1950.
41.	Куприянов В. В., Методика расчета рамных конструкций
из упруго-пластического материала, сб. ЦНИИСК АСиА СССР «Вопросы
теории пластичности и прочности строительных конструкций», М., Гос¬
строй издат, 1961.
42.	М а л а м е н т Л. И., Исследование работы металлических рам
в упруго-пластической стадии, Сборник статей ЦНИПС «Расчет металличе¬
ских конструкций с учетом пластических деформаций», М.—Л., Госстрой-
издат, 1938.
43.	М а л к и н а Р. Л., Расчет балочных и рамных систем из тонко¬
стенных элементов методом последовательных приближений, «Вопросы стро¬
ительной механики», Труды Уральского политехнического ин-та, сб. 54,
1955.
44.	М е ж л у м я н Р. А., Изгиб и кручение тонкостенных цилин¬
дрических оболочек за пределом упругости, «Прикладная математика и
механика», т. XIV, вып. III, 1950.
45.	Метелкин С. П., Метод расчета опорных рам в упруго-пла¬
стической стадии работы, Труды Московского химико-технологического
ин-та, вып. XVIII, 1954.
46.	Н а у м о в и ч В. М., К вопросу расчета плоских рам за пре¬
делом упругости, Сборник трудов Московского инженерно-строительного
ин-та, № 2, М.—Л., Госстрой издат, 1939.
47.	Н и к и ф о р о в С. Н., Теория упругости и пластичности, М.,
Госстрой издат, 1955.
48.	Н^и л Б. Г., Расчет конструкций с учетом пластических свойств
материалов, М., Госстрой издат, 1961 (перевод с английского).
49.	Нормы и технические условия проектирования стальных кон¬
струкций (Н и ТУ 121—55), М., Госстрой издат, 1955.
50.	Остроменцкий Ю. Ц., Расчет неплоских балочных и рам¬
ных систем из тонкостенных элементов, Труды Московского ин-та инж.
гор. строительства, сб. 8, М., Госстройиздат, 1958.
51.	П а й к о в М. М., Исследование предельного состояния сталь¬
ной рамы одноэтажного промышленного здания, Ростовский н/Дону ин¬
женерно-строительный ин-т, М., Госстройиздат, 1957.
52.	П а н о в к о Я. Г., О предельных состояниях цилиндрических
тонкостенных конструкций, Сб. «Расчет пространственных конструкций»,
вып. II, М.—Л., Госстройиздат, 1951.
53.	П и н а д ж я н В. В., Некоторые вопросы предельного состоя¬
ния сжатых элементов стальных конструкций, Ереван, Изд-во АН Армян¬
ской ССР, 1956.
54.	Пономарев С. Д., Бидерман В. Л., Л и х а р е в К. К.,
Макушин В. М., Малинин Н. Н., Феодосьев В. И.,
Расчеты на прочность в машиностроении, т. I, М., Машгиз, 1956; том II,
М., Машгиз, 1958.
55.	П о п о в А. А., Изгиб и кручение тонкостенных стержней рам
вагонных тележек, Труды Всесоюзного научн -иссл. ин-та железнодорож¬
ного транспорта, вып. 139, М., Трансжелдориздат, 1957.
56.	П о с п е л о в А. Д., Упруго-пластические деформации балок
и рам, М., Изд. Арт. академии, 1957.
57.	П р а г е р В., Проблемы теории пластичности, М., Физматгиз,
1958 (перевод с немецкого).
58.	Р а б и н о в и ч И. М., Курс строительной механики стержневых
систем, ч. 1, М.—Л., Стройиздат, 1950; ч. II, М., Стройиздат, 1954.
252

59.	Р а б и н о в и ч И. М., Основы строительной механики стержне¬
вых систем, М., Госстройиздат, 1960.
60.	Под редакцией Рабиновича И. М., Сборник статей-обзоров
«Строительная механика в СССР 1917—1957», М., Госстройиздат, 1957.
61.	Р а е вс к а я Е. А., Теоретическая оценка несущей способности
двутавровых балок при одновременном изгибе и кручении, сб. «Исследования
по теории сооружений», вып. 7, М., Госстройиздат, 1957.
62.	Р а е в с к а я Е. А., Экспериментальное исследование несущей
способности двутавровых балок при одновременном изгибе и кручении,
Сборник научных работ Московского ин-та народного хозяйства, вып. 15,
ч. II, 1959.
63.	Ржаницын А. Р., Сложное сопротивление тонкостенных
профилей с недеформируемым контуром в пределах и за пределом упругости,
Сборник статей ЦНИПС «Труды лаборатории строительной механики»,
М.—Л., Стройиздат Наркомстроя, 1942.
64.	Ржаницын А. Р., Расчет сооружений с учетом пластических
свойств материалов, М., Стройвоенмориздат, 1949; Изд. 2, М., Госстрой¬
издат, 1954.
65.	Под редакцией Р ж а н и ц ы н а А. Р., Сборник статей ЦНИПС
«Исследования по вопросам строительной механики и теории пластичнос¬
ти», М., Госстройиздат, 1956.
66.	Р о з е н б л а т Г. И., Экспериментальное исследование работы
стальных рам за пределами упругости, Сборник трудов МИСИ, М., Гос¬
стройиздат, 1954, № 8.
67.	Р о з е н б л а т Г. И., Применение метода деформаций к расчету
рам за пределом упругости, Сб. «Исследования по теории сооружений»,
вип. 7, М., Госстройиздат, 1957.
68.	С а в и н Г. Н., Концентрация напряжений около бтверстий, М., Гос-
техиздат, 1951.
69.	С о б о т к а 3., Предельное состояние рамных конструкций
(Гранично състояние на носеща способност на рамковите конструкции),
Строителство, 8, София, 1961, № 2.
70.	С о к о л о в с к и й В. В., Теория пластичности, Изд-во АН СССР,
1946; Изд. 2, М.—Л., Гостехиздат, 1950.
71.	С о р о к 1 н П. I., Про деяю сшвв1дношення геометричних роз-
М1р1в перер131в рам з тонкоспнних стержшв, «Прикладна мехашка», т. III,
вып. 2, 1957.
72.	Сорокин П. И., Теоретическое и экспериментальное исследо¬
вание напряженного состояния автомобильных рам, Труды КАДИ, Сборник
4, К., Госстройиздат УССР, 1960.
73.	С т а в р а к и Л. Н., Расчет прочности пространственных кар¬
касов из тонкостенных стержней открытого симметричного профиля, сб.
«Расчет пространственных конструкций», вып. II, М.—Л., Госстройиздат,
1951.
74.	С т р е л е ц к и й Н. С., Гениев А. Н. и др., Стальные
конструкции, М., Госстройиздат, 1952.
75.	Стрельбицька О. I., Розрахунок простих рам при пла-
стичних деформащях, К., Вид-во АН УРСР, 1937.
76.	Стрельбицька О. I., Граничний стан одноконтурных рам
при вертикальному позацентровому навантаженш на ригеле ДАН УРСР,
1955,	№ 5.
77.	С т р е л ь б и ц ь к а О. I., Граничне навантаження однокон-
турних рам при дп сили, перпендикулярноУ до площини рами, ДАН УРСР,
1956,	№ 4.
78.	Стрельбицкая А. И., Исследование прочности тонко¬
стенных стержней за пределом упругости, К., Изд-во АН УССР, 1958.
79.	С т р е л ь б и ц ь к а О. I., Вплив кручения на величину гра¬
ничного навантаження в безшаршрних рамах, ДАН УРСР, 1958, № 9.
253

80.	С т р е л ь б и ц ь к а О. I., Пластичний згин 1 кручения рами в
залежност1 В1Д зм1ни довжини и стоят в, «Прикладна мехашка», т. VII,
вип. 3, 1961.
81.	С т р е л ь б и ц ь к а О. I., Розрахунок рам за граничним станом
при згин1 з кручениям, «Прикладна мехашка», т. VII, вип. 6, 1961.
82.	С т р е л ь б и ц ь к а О. I., Граничний стан рам з тонкостшних
проф1Л1в при крутячому навантаженш, «Прикладна мехашка», т. VIII,
вип. 6, 1962.
83.	Стрельбицька О. I.,	6 в с е е н к о' Г. I., Двов1Сний
згин з кручениям тонкост1нних стержшв за границею пружностБ ДАН УРСР,
1962, № 10.
84.	У м а н с к и й А. А., Пространственные системы, М., Строй-
издат, 1948.
85.	Под редакцией У м а н с к о г о А. А., Справочник проектиров¬
щика расчетно-теоретический, М., Госстройиздат, 1960.
86.	Уманский А. А., Строительная механика самолета, М.,
Оборонгиз, 1961.
87.	У н к с о в Е. П., Инженерная теория пластичности, Изд. 2,
М., Машгиз, 1959.
88.	У р б а н И. В., Теория расчета стержневых тонкостенных кон¬
струкций, М., Трансжелдориздат, 1955.
89.	Ф е о ф а н о в А. Ф., Строительная механика тонкостенных кон¬
струкций, М., Оборонгиз, 1958.
90.	Ч е ч е т о в А. В., Методика исследования рамы цельнометал¬
лического вагона в упруго-пластической стадии, Труды Брянского ин-та
транспортного машиностроения, вып. XVII, 1957.
91.	Вакег Л. Р., ТЬе Без^п о! 5{ее1 Ргашез, 51гис1ига1 Еп&теег,
Vо1. 27, N0 10, (Ос1оЬег), 1949.
92.	Вакег Л. Р. апЛ Ногпе М. Р., Ыечу Ме1ЬоЛз т 1Ье Апа1уз1з
ап(1 Без^п о! 51гис1игез т 1Ье Р1азИс Рап^е, Вгй. Ше1Лт& <1., 1, N0 7, 1954.
93.	В е е с! 1 е Б. 5., Р1азБс Оез^п о! 51ее1 Ргашез, Ые\у Уогк — Боп-
Лоп, 1958.
94.	ВеззеП .1. Р., ТЬеогу о! Е1азПс, Р1азЧс апс! Сгеер Оё1огта-
Иопз, Л. Арр1. МесЬ., уоБ 25, N0 4, 1958.
95.	В 1 е 1 с Ь Н., убег (Не Ветеззип^ з^аБзсЬ ипЪезНтпйег 51аЫ-
1га^\уегке ип!ег ВегйскзтЫЛ&ипб Лез е1азИ5сЬ-р1а51;15сЬеп УегЬаНепз Лез Ваи-
з1о11ез, Вашп^етеиг, Н. 19/20, 1932.
96.	Со1 оппеШ С., ОёГогтаЧопз р1аз^иез е! 1е (Итепз10ппе-
теп! Лез зуз^ётез Ьурегз1а^иез, Б’озза^иге тёЫПдие, N0 7—8, 1938.
97.	П г 1 з с о 1 1	С., В е е Л 1 е Б., ТЬе Р1аз1лс ВеЬауюиг о! 51ги-
с{ига1 МешЬегз апЛ Ргашез, АУе1Лш& Л., 36, N0 6, 1957.
98.	С 1 г к ш а п п К., Вешеззип^ уоп КаЬтеп1га&\уегкеп ип!ег 2и&-
гипЛе1е§ип& ешез ЫеаЬр^зНзсЬеп 51аЬ1ез, 51гЬ. Лег АкаЛ. ^ПззепзсЬ. т
Шеп, Н. 9 и. 10, В. 140, 1931.
99.	О 1 г к ш а п п К., уЬег Л1е Аизипгкип^ Лег «5е1Ъз1Ы11е» Лез Ваи-
з1аЫез т гаЬшепагБ&еп 31аЪчуегкеп, Оег 51аЫЬаи, Н. 16, 1932.
100.	С о о Л 1 е г Л. ЬБ, НоЛ&е Р. С., Е1аз1;1сйу апЛ Р1азЧсЦу,
уо1. 1 о! а Зепез оГ Зигуёуз т АррНеЛ Ма^ЬетаБсз, Ые\у Уогк — БопЛоп,
1958.
101.	СгеепЬег^Н. Л., Рга^ег ^У., Оп Б1гш1: Без^п о! Веашз
апЛ Ргашез, Ргос. Ат. Зое. С1уП Еп^., 77, 5ерага1е N0 59, 1951.
102.	Н е п Л г у А. )У., Ап 1пуезИ§а1юп о! 1Ье 31геп§1;Ь о! СегЫп
\Уе1ЛеЛ РогЫ Ргашез т КеШюп 4о 1Ье Р1азИс Ме1ЬоЛ о! Оез1§п, 51гис1ига1
Ещ*теег, N0 12, 1950.
103.	Н 1 § & 1 п з Т. К., Р1азБ1с Оез^п ш 51ее1 — а Рго^гезз Керог!,
Л. Воз1оп Зое. С1уП Ещ*., 45, N0 3, 1958.
104.	НоЛ&е Р. О., Запкагапагауапап К., ТЬе Пе1егш1-
паНоп о! ЗаГе БоаЛз о! Веашз ЗиЬ]ес1еЛ 1о СошЫпеЛ ТшзПпб апЛ В1ах1а1
254

ВепсНп^ МотепГз, .1. Арр1. МесЬ., уо1. 26, 5ег. Е, N0 3, ЗерГетЪег, 1959
105.	Ноте М. К., А МотепГ 01зГпЬиГюп МеГЬос! Гог ГЬе Апа1уз1з
апс! Эез^п оГ ЗГгисГигез Ьу ГЬе Р1азПс ТЬеогу, Ргос. 1пз1. СлуП Еп&., 3 (РагГ 3),
51, 1954.
106.	Маззоппе! СЬ., Е1аГ асГие1 с!е 1а ^ие5Г^оп с!и сНтепзюппе-
теп! р1а51^ие Ьез оззаГигез еп ас1ег Ноих, Ааег (Ве1&.), 24, N0 6, 1959.
107.	N а с1 а 1 А., ТЬеогу оГ Р1о>у апс! РгасГиге оГ ЗоПЬз, уо1. 1, Ыечу
Уогк, ТогопГо апс! Топс1оп, 1950.
108.	N е а 1 В. <3., ТЬе Р1азИс МеГЬоЬз оГ 5ГгисГига1 Апа1уз15, Ые\у
Уогк, 1пс., XI, 1956.
109.	N е 1 з о п Н. М., ^ г 1 § Ь 1: О. Т., Б о 1 р Ь 1 п I. ^., Эе-
топзГгаПопз оГ Р1азПс ВеЬауюиг оГ 51;ее1 Егагпез, Ргос. Ат. Зое. СлуП Еп&.,
уо1. 83, N0 ЕМ4, 1957.
110.	Р г а § ег Ш., ЫтИ Апа1уз15 апс! Оез1&п, Л. Ат. СопсгеГе 1пз1.,
25, N0 4, 1953.
111.	к и I ес к 1 .1., ^уГггута1о^с копзГгиксзЧ аепкозаеппусЬ, Ро1зка
АкаЬегша Ыаик, 1пзГу1и1 РоНзГадуоу^усЬ РгоЫеточу ТесЬп1к1, ^агзха^а,
1957.
112.	5 а ^ у е г Н. А., Е1 аз!1-Р1 азИс Оез^п оГ 5т&1е-5рап Веатз
ап<3 Ргатез, Ргос. Ат. 5ос. С1уП Еп&., 81, N0 851, 1955.
113.	ЗсЫШпб С. О.,	5 с Ь и Г 2 Р. Ш., В е е <П е Ь. 5.,
ВеЬауюиг оГ \Уе1с1ес1 5т§1езрап Ргатез ип<3ег СотЫпес! ЬоасПпб, ШеЫт^
^.9 35, N0 5, 1956.
114.	ЗЬепкег Ь., Апа1уз1з оГ ВиНсНпд Ргатез Ьу ЫтП: Оез^п,
Еп&. Л. (Сапате, МопГгеа1), уо1. 36, N0 3, МагсЬ, 1953.
115.	5 о Ь о Г к а 2., ТЬеопе р1азПсИу а тегшсЬ ЗГауи ЗГауеЪтсЬ
КопзГгикс1, РгаЬа, 1955.
116.	Тапака Н., Тга^азГЬегесЬпип^ зМГег КаЬтеп ипГег ВегйскзР
сЬП^ип^ уоп ЬапбзкгаЙеп, Ваир1апип& ипс! ВаиГесЬтк, N0 11, 478, 1958.
117. Т 1 т о з Ь е п к о 5.‘ Р., ТЬеогу оГ ВепсНп&, Тогзюп апс! Виск-
Пп& оГ ТЫп-угаПес! МетЬегз оГ Ореп Сгозз-зесПоп, СоИесТеб Рарегз оГ 5. Р. ТР
тозЬепко, МсОга\у-НП1, Ые^у Уогк — ТогопГо — ЬопЬоп, 1953.
118.	Торгас1зо§1ои А., Веес11е Ь., ^ оЬ пзГоп В., Соп-
песГюпз Гог ^е1с!ес1 СопПпиоиз РогГа1 Ргатез, Ше1с1т& Л., Зи1у, 1951.
119.	У а п ^ С., В е е с! 1 е Ь., Г о Ь пз I о п В., Ше1с1ес1 СопПпиоиз
Ргатез апЬ ТЬе1г СотропепГз, ^еЫт^ ,1., ,1и1у, 1951.
120. 2 1 Г Г 1 е О. Н. апс! 5 т 1 I Ь А. А., Зоте 5Гее1 ЗГгисГига!
Ргатез, Оез^пес! оп Р1азИс ТЬеогу, Ргос. 1пзГ. СлуП Еп&., Раг1 3, 4, 1955.

Александра Ивановна Стрельбицкая
Предельное состояние рам из тонкостенных
стержней при изгибе с кручением
Печатается по постановлению ученого совета
Института механики АН УССР
Редактор издательства Т. А. Филатова
Художественный редактор И. П. Антонюк
Оформление художника С. М. Габовича
Технический редактор Н. П. Рахлина
Корректор В. А. Литоркина
БФ 04969. За к. № 1338. Изд. № 39. Тираж 2540.
Формат бумаги бОхЭО'Ае. Печ. физ. листов 16.0.
Условн. печ. листов 16,0. Учетно-изд. листов 14,84.
Подписано к печати 25.IX. 1964 г. Цена 94 коп.
Т. п. 1964, поз. 137.
Издательство «Наукова думка», Киев, Репина, 3.
Киевская книжная типография № 5 Государствен¬
ного Совета Министров УССР по печати, Киев,
Репина, 4.