В. И. ГИШЛАРКАЕВ
ЧИСЛО.
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ
И ИСТОРИИ
УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ
САНКТ-ПЕТЕРБУРГ •МОСКВА•КРАСНОДАР
2024

УДК 511.1
ББК 22.131я73
Г 51 Гишларкаев В. И . Число. Элементы теории и истории :
учебное пособие для вузов / В. И. Гишларкаев.
—
Санкт-
Петербург : Лань, 2024. — 1 2 4 c. — Текст : непосредственный.
ISBN 978-5 -507 -48816-2
В учебном пособии рассмотрены вопросы теории и истории действительных
чисел. Подробно анализируются названия числительных в различных языках,
предложена
схема
анализа
систем
наименований
числительных,
более
предпочтительная по сравнению с существующими. Приведены примеры систем
обозначений чисел, начиная с древнейших и заканчивая позиционными с различными
основаниями. Представлены разные формы выполнения арифметических операций как
в позиционных, так и непозиционных системах обозначений чисел. Рассмотрены
примеры применения позиционных систем к компьютерным вычислениям, релейно-
контактным схемам, решению занимательных задач. Подробно анализируются
вопросы делимости целых чисел. В рамках строгого подхода введения действительных
чисел рассмотрены последовательно понятия полугруппы, группы, полукольца, кольца,
полуполя, тела, поля, упорядоченного множества, полного упорядоченного множества,
упорядоченного поля, полного упорядоченного поля. Доказана единственность
последней структуры. Рассмотрены первые понятия аксиоматических теорий. Учебное
пособие предназначено студентам вузов, но может представлять интерес для учителей
математики.
УДК 511.1
ББК 22.131я73
Рецензенты:
Э. М . ДЖАМБЕТОВ — кандидат технических наук, доцент,
декан физико-математического факультета
Чеченского государственного педагогического университета;
Т. А . ХАМИДОВА — кандидат физико-математических наук,
зав. кафедрой математического анализа, алгебры и геометрии
Чеченского государственного университета им. А. А. Кадырова.
Обложка
П. И. ПОЛЯКОВА
© Издательство «Лань», 2024
© В. И. Гишларкаев, 2024
© Издательство «Лань», художественное
оформление, 2024

3
ОГЛАВЛЕНИЕ
ПРЕДИСЛОВИЕ ...................................................................................... 5
ГЛАВА 1. УСТНАЯ НУМЕРАЦИЯ.
СИСТЕМЫ ЗАПИСИ ЧИСЕЛ .............................................................. 7
1.1 . Начальная стадия развития счета. Устная нумерация
в современных языках. Узловые числа ................................................. 7
1.2 . Ранние письменные нумерации. Непозиционные
системы. Узловые числа........................................................................ 13
1.3 . Алфавитные системы нумерации .................................................. 17
1.4 . Позиционные системы счисления, k-ичная система,
экономичность системы ........................................................................ 18
1.5 . Схема анализа систем названий натуральных чисел ................. 23
1.6 . Различные формы выполнения арифметических
операций в 10-ичной системе ............................................................... 26
1.7 . Соизмеримые и несоизмеримые отрезки.
Рациональные и иррациональные числа ............................................. 29
1.8 . Арифметические операции в недесятичных
системах счисления................................................................................ 33
1.9 . Переход от системы с одним основанием
к системе с другим основанием ............................................................ 35
1.10. Обобщения позиционных систем счисления ............................. 37
ГЛАВА 2. ДЕЛИМОСТЬ. ИНДУКЦИЯ.
ПРИЛОЖЕНИЯ ..................................................................................... 39
2.1 . Решение различных задач с помощью систем
счисления ................................................................................................ 39
2.2 . Методы устного счета .................................................................... 46
2.3 . Пальцевый счет ............................................................................... 49
2.4 . Алгебра логики и реализация счета и логических
операций на компьютере ....................................................................... 52
2.5 . Признаки делимости ....................................................................... 61
2.6 . Признаки делимости в недесятичных системах
счисления ................................................................................................ 69
2.7 . Составные и простые числа. Решето Эратосфена ....................... 70
2.8 . Эйлерова формула произведения
∑ n−s
n
=∏(1−p
−s
)−1
p
.. ...... ....... ....... ....... ...... ....... ....... ....... ...... ....... ... 74
2.9 . Метод математической индукции ................................................. 76

4
ГЛАВА 3. НЕКОТОРЫЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ
СТРУКТУРЫ И МНОЖЕСТВО ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ
ЧИСЕЛ ..................................................................................................... 83
3.1 . Полугруппа ...................................................................................... 83
3.2 . Группа .............................................................................................. 86
3.3 . Полукольцо ...................................................................................... 89
3.4 . Кольцо .............................................................................................. 91
3.5 . Полуполе, тело ................................................................................ 95
3.6 . Поле .................................................................................................. 99
3.7 . Упорядоченность множества ....................................................... 104
3.8 . Полные линейно упорядоченные множества ............................ 107
3.9 . Упорядоченные поля .................................................................... 109
3.10. Полное упорядоченное поле ...................................................... 113
3.11. Единственность полного упорядоченного поля.
Множество действительных чисел .................................................... 118
ЛИТЕРАТУРА ...................................................................................... 122

5
ПРЕДИСЛОВИЕ
Понятие «числа» является одним из древнейших. Все народы,
обладавшие письменностью, уже имели представление о числе и ту
или иную систему обозначений для них. Числа известны каждому, но
большинству — только на интуитивном уровне. Подход к теории
действительных чисел, удовлетворяющий принятому в современной
математике уровню строгости, сложился только к концу XIX — нача-
лу XX вв. Даже, казалось бы, простой объект как натуральный ряд
появился только на весьма высокой стадии цивилизации. Потребова-
лось много веков, чтобы открыть, что пара рубашек и пара дней яв-
ляются примером числа 2: лежащий в основе уровень абстракции тут
весьма не мал. И открытие того, что 1 является числом, было труд-
ным. А 0 (ноль) является совсем недавним приобретением: ни греки,
ни римляне не имели такой цифры.
На необходимость изучения оснований арифметики первым об-
ратил внимание Лейбниц. Он настойчиво утверждал, что столь «оче-
видные истины», как 2 + 2 = 4, не менее нуждаются в доказатель-
ствах, если задуматься об определениях чисел, которые туда входят.
Он не считал, что коммутативность сложения и умножения является
само собой разумеющимся свойством. Однако не пошел дальше в
своих рассуждениях по этому вопросу, который до середины XIX в.
не получил никакого развития.
Долгая, почти 10-тысячелетняя история развития понятия «чис-
ла» свидетельствует о высоком уровне абстракции современного
определения чисел. При этом надо отметить, что оперирование с чис-
лами на бытовом уровне и сейчас идет в основном путем прямого об-
ращения к интуиции. Также имеет место обращение к интуиции и при
обучении арифметике в школе, методика которого основана на заучи-
вании правил, «обоснование» которых дается их интерпретацией, со-
ответствующей общекультурному уровню учащихся.
Понятием «числа» пронизан также весь курс математики. Реше-
ние большинства задач предполагает выдачу ответа в виде числа.
Наличие вычислительных навыков предполагается во всех экзамена-
ционных задачах. Поэтому в данной книге приводится множество
фактов из истории развития чисел, различные занимательные число-
вые задачи, приложение некоторых элементарных идей из области
чисел к конструированию вычислительных машин и компьютерным

6
вычислениям, а также другие темы, которые могут представлять ин-
терес для студентов младших курсов, учителей и знакомство с кото-
рыми будет способствовать лучшему пониманию различных вычис-
лительных процедур.
Особое место в приложениях математики занимают числовые
функции. Но сколь-нибудь полное описание свойств этих функций
невозможно без точного определения множества действительных чи-
сел. Не вдаваясь в детали, дается подробное представление о совре-
менной теории действительного числа. Это потребовало рассмотре-
ния некоторых структур математики — определения, первые свой-
ства.
К каждой теме приводятся задачи для самостоятельного реше-
ния, способствующие пониманию, закреплению, расширению теоре-
тического материала.
Пособие рассчитано на студентов младших курсов и учителей.
Нумерация теорем, замечаний, примеров, задач в каждом пара-
графе начинается с 1. При ссылке на них внутри того же параграфа
указывается этот номер, при ссылке вне этого параграфа указывается
номер параграфа и сам этот номер, разделенные точкой. Нумерация
формул, таблиц, рисунков — сквозная в каждой главе и включает но-
мер главы.
В списке литературы указан тот минимум, который непосред-
ственно повлиял на стиль изложения некоторых вопросов и исполь-
зовался как основной источник исторических фактов.
Основой для пособия послужили разработки автора, выполнен-
ные в 2017–2019 гг. в рамках работы в Институте развития образова-
ния Чеченской Республики.

7
ГЛАВА 1
УСТНАЯ НУМЕРАЦИЯ.
СИСТЕМЫ ЗАПИСИ ЧИСЕЛ
Проводится анализ названий числительных в различных языках
с акцентом на чеченский язык. Рассмотрены некоторые распростра-
ненные ошибки при анализе устной нумерации. Предложена схема
анализа систем наименований числительных, более предпочтительная
по сравнению с существующими. Приведены системы обозначений
чисел, начиная с древнейших и заканчивая позиционными с различ-
ными основаниями. Рассмотрен вопрос об «экономичности» различ-
ных позиционных систем. Представлены разные формы выполнения
арифметических операций как в позиционных, так и непозиционных
системах обозначения чисел.
1.1 . Начальная стадия развития счета.
Устная нумерация в современных языках.
Узловые числа
На ранней стадии цивилизации (каменный век, примерно 10 тыс.
лет назад) человек первоначально образовал лишь числительные
«один» и «два», имевшее смысл «много». Они имели скорее каче-
ственный характер, чем количественный, выражая различие между
одним, каким-то и двумя, многими. Древнее качественное происхож-
дение числовых понятий и особая роль числа «два» и сейчас еще вы-
являются в тех особых двоичных терминах (грамматические двоич-
ные числа), которые имеются в некоторых языках, в том числе рус-
ском, и являются следами того, что наряду с единственным и множе-
ственным числами была и промежуточная форма — форма двой-
ственного числа. Например, один брат, много братьев, но — два бра-
та. Такой же характер имеют и формы «глаза, рога, бока» и т. д .
С усложнением хозяйственной деятельности возникала необхо-
димость все больше и больше расширять числовую область. Это, в
свою очередь, содействовало дальнейшему формированию языков.
Слова этих языков выражали вполне конкретные вещи, но языки уже
имели известный запас слов для простых числовых терминов. На та-
ком уровне находились многие племена в Австралии, Америке и Аф-
рике, когда они впервые встретились с европейцами, а некоторые

8
племена и сейчас сохранили элементы того уклада жизни, так что
есть возможность понять некоторые моменты истории рассматривае-
мого вопроса на их примере.
С расширением понятия «числа» большие числа сначала образо-
вывались простым повторением уже имеющихся низших числитель-
ных. Примеры приведены в таблице 1.1.
Таблица 1.1
Названия
австралийских
племен
Названия числительных
1
2
3
4
5
6
Племя реки Мур-
рей
Энэа
Петче-
вал
Петче-
вал-энэа
Петчевал-
петчевал
—
—
Племя из бухты
Купера
Гунна Баркула
Баркула-
гуна
Баркула-
баркула
—
—
Племя камиларон Мал Булан
Гулиба
Булан-
булан
Булан-
гулиба
Гулиба-
гулиба
Племена островов
Торресова проли-
ва
Ура-
лун
Окоза
Окоза-
уралун
Окоза-
окоза
Окоза-
окоза-
уралун
Окоза-
окоза-
окоза
О числах больше 6 островитяне Торресова пролива, племя ка-
миларон и другие говорят «много-много» или «неисчислимо».
Следы того, что у древнерусских племен образование числи-
тельных остановилось на 6, а позже, с появлением понятия 7, оно
служило одновременно для обозначения неопределенной множе-
ственности, сохранилось в виде пословиц: «семеро одного не ждут»,
«у семи нянек дитя без глазу», «семь раз отмерь, один раз отрежь»,
«за семь верст киселя хлебать», «книга за семью печатями», чувство-
вать на «седьмом небе», седьмая вода на киселе и т. д . Во всех этих
выражениях «семь» означает «много».
Отсутствие числительных (за исключением 1, 2, 3, 4, 5, 6) не
означает неумение сосчитывать совокупности, состоящие более чем
из 6 предметов. Один из наблюдателей пишет об абипонах, у которых
существовали только числительные 1, 2, 3, что, собираясь на охоту,
они, уже сидя в седле, осматриваются вокруг, и если не хватает хотя
бы одной из многочисленных собак, то они принимаются звать её.
Дело в том, что число на этой стадии носило конкретный харак-
тер и воспринималось как одно из свойств совокупности предметов
наряду с другими свойствами: цветом, формой, размером и т. п .
«Счет» числами-свойствами сохранился в настоящее время у некото-
рых племен в качестве пережитка, и наблюдать за таким «счетом»
можно только при обучении детей: переход от конкретного числа к

9
абстрактному труден и сейчас в начале процесса обучения, например
дети испытывают трудность при подсчете разного характера предме-
тов. Числа-свойства встречаются и сейчас в языках некоторых народ-
ностей. У нивхов для длинных предметов существуют одни числи-
тельные, для коротких — другие, для круглых — третьи. Язык одного
из племен Британской Колумбии содержит семь различных рядов чи-
сел, употребляемых для счета: 1) неопределенных предметов;
2) плоских предметов; 3) круглых предметов; 4) людей; 5) длинных
предметов; 6) лодок; 7) мер. Следы их остались и в некоторых совре-
менных высокоразвитых языках. Так, в китайском языке между
названием предмета и числительным вставляется «тоу» — «голова»
для счета скота, «би» — «рукоятка» для счета инструментов,
«жен» — «корень» для счета веревок, ниток, поясов, «лин» — для
дроби, капель, мелких предметов. В русском языке: «6 душ детей»,
«5 штук яблок».
Следующий этап в становлении счета связан с материальными
манипуляциями откладывания, перекладывания и т. д . Яркий пример
этой стадии дает способ счета аборигенов Новой Гвинеи, описанный
Миклухо-Маклаем. «Папуас загибает один за другим пальцы руки,
причем издает определенный звук, например „бе, бе, бе, ...“ . Досчи-
тав до пяти, он говорит ибон-бе (рука). Затем загибает пальцы другой
руки, снова повторяя „бе, бе, ...“, пока не доходит до „ибон али“
(две руки). Затем он идет дальше, приговаривая „бе, бе, ...“, пока не
доходит до „самба-бе“ и „самба-али“ (одна нога, две ноги). Если
нужно считать дальше, папуас пользуется пальцами рук и ног кого-
нибудь другого».
Обычно при счете на пальцах каждый палец составляет единицу,
причем счет производится сначала на пальцах левой руки, начиная с
мизинца, и только после того как пальцы левой руки были исчерпа-
ны, счет переходит на правую руку, где он начинается с большого
пальца. Так, например, когда зулусу нужно выразить число 6, он го-
ворит «татизитура», что означает «взять большой палец руки». Для
того чтобы сообщить, что его хозяин купил 7 быков, он говорит
«у комбиле», т. е. «он указал».
Таким образом, пальцы рук и ног превратились в знаки для за-
поминания отложенного количества в «заместителей» отсчитывае-
мых предметов. Появились числа-совокупности. К примеру, из вы-
шеизложенного получаем, что у папуасов числа-совокупности — это
ибон-бе, ибон-али, самба-бе, самба-али; у зулусов — татизитура,
у комбиле.

10
У островитян Торресова пролива на человеческом теле изобра-
жаются приведенным способом числа до 33. Если пересчитываемая
совокупность имеет более 33 членов, то они прибегают к пучку пало-
чек. Пучок этот, очевидно, предназначается, не для индивидуализа-
ции чисел, а лишь для установления равночисленности двух совокуп-
ностей.
Обычно при пальцевом счете числами-совокупностями высту-
пают 5, 10, 20. Числа-совокупности явились прообразами наших уз-
ловых чисел (определение узловых чисел дается в следующих разде-
лах).
Имеются народы, у которых единицей счетного действия был
сустав пальца. Так, например, короадосы Бразилии считают тройка-
ми, по числу суставов на каждом пальце левой руки (без большого
пальца), т. е. до 12, затем каждый палец правой руки, включая боль-
шой, означает 12, благодаря чему счет продолжается до 60. Числами-
совокупностями, т. е. узловыми числами, здесь выступают 3, 12.
Кроме палочек, пальцев и суставов пальцев «заменителями» чи-
сел у разных народов выступали камешки (calculus — камешки, ис-
числение), раковины, зарубки, веревки с узлами, зерна маиса и др.
Так, племена Перу (инки, майя и др.) вели запись чисел при помощи
веревок с узелками, так называемые квипу. Веревки связывались по
четыре вместе, и к ним присоединялась пятая веревка, на которой при
помощи узлов выражалось число, являющееся суммой чисел на пер-
вых четырех веревках. Каждый узел на первых четырех веревках
означал единицу, узлы на пятой веревке, обозначающие единицы, де-
сятки и сотни в данном числе, были различной формы. У этих наро-
дов существовали специальные служащие, толковавшие населению
по узловым «записям» налоговые предписания, объявлявшие кален-
дарные даты, праздники и т. д.
Путем комбинации чисел-совокупностей образовывались все
оставшиеся числа, применявшиеся в древности. На этой стадии чис-
ловой ряд еще не мыслится однородным. Числа-совокупности, или
узловые числа, существуют в нем как некие индивидуальные остров-
ки, от которых по разные стороны располагаются оставшиеся числа.
Основную роль в их образовании играет операция сложения, иногда
операция вычитания. Так, племя йоруба из Центральной Африки
имеетследующуюсистемучисел:11=10+1,12 =10+2, ..., 15=
= 10+5,16=20–4,17=20–3,18=20–2,19=20–1.Узловыечис-
ла — 1, 10, 20. В языке кламатов из Северной Америки 26 звучит так:
«на дважды десять я кладу шесть». В русском языке числительные от
10 произносятся как соответствующее число единиц «на-десять»:

11
двенадцать (два — на-десять) и т. д . Здесь частицу «на» следует по-
нимать в смысле «положить на». Число 90 образуется в русском язы-
ке с помощью вычитания: «девяносто», т. е. «девять до ста», а не «де-
вятьдесят». В римской нумерации XVIII читается как duo de viginti,
т. е. два из двадцати.
Для перехода от приемов фиксации чисел с помощью их «заме-
стителей» к специальным символам для узловых чисел (а также и
других) надо было сделать лишь один шаг, и именно такие символы
мы обнаруживаем в пользовании в начале письменной истории, на
так называемой заре цивилизации.
Названия чисел в современных, в том числе и высокоразвитых,
языках в основном сформировались в период начальной стадии раз-
вития счета, еще задолго до письменности, а тем более до появления
позиционной десятичной (а также с любым другим основанием) си-
стемы счисления, используемой сейчас повсеместно. Поэтому назва-
ния чисел не повторяют структуру ни одной из позиционных систем.
Из этого правила нет ни одного исключения.
Основным понятием здесь является узловое число — число,
имеющее индивидуальное,
неразложимое
на
составные
(на названия других числительных) наименование. В русском
языке узловыми числами являются один, два, три, четыре, пять,
шесть, семь, восемь, девять, десять, сорок, сто, тысяча, ... В чечен-
ском — цхьаъ, шиъ, кхоъ, диъ, пхиъ, ялх, ворхI, бархI, исc, итт, ткъа,
бIе, эзар... Числа 11, 12 — не узловые как в русском, так и в чечен-
ском языках, а в английском и немецком языках 11 и 12 — узловые.
В каких-то узких областях деятельности человека устный счет
по своему построению может отличаться от общего устного счета.
Например, для счета мелких денег в чеченском языке узловыми яв-
ляются цхьаъ, шиъ, кхоъ, йиъ (копек), шай, эппаз (шай — эквивалент
5, эппаз — эквивалент 20). Как видим, для этого счета, в отличие от
общего устного счета, 6, 7, 8, 9, 10 не являются узловыми числами.
Для счета более крупных денег — цхьаъ, шиъ, кхоъ, диъ, пхиъ, ялх,
ворхI, бархI, исc (сом), туьма. Здесь уже отсутствует эквивалент 20.
В связи со сформулированным выше правилом интересна си-
стема объёмных мер, применяемая английскими виноторговцами, в
которой четко выражен принцип двоичной системы: два джилла =
полуштоф, два полуштофа = пинта, две пинты = кварта, две кварты =
потл, два потла = галлон, два галлона = пек, два пека = полубушель,
два полубушеля = бушель, два бушеля = килдеркин, два килдеркина =
баррель, два барреля = хогзхед, два хогзхеда = пайп, два пайпа = тан.
Но этот ряд названий конечен, и поэтому тут нет полной реализации

12
принципа двоичной системы; такая реализация принципиально не-
возможна.
Правда, если взять весь ряд устной нумерации в любом языке, то
локально в каких-то местах этого ряда соблюдается принцип
10-ичной системы, принцип 100-ичной, принцип 1000-ичной и то-
му подобных систем. В чеченском языке, например, в каких-то ме-
стах натурального ряда локально соблюдается дополнительно и
принцип 20-ичной системы, в русском языке — 40-ичной системы.
Такая роль узловых чисел (как правило, не меньших 10) присуща
всем языкам. К примеру, названия чисел 11–17, 201–217 на чеченском
языке—цхьаъ+итт—ворхI+итт,шибIе+цхьаъ-шибIе+ворхI+
итт. Здесь в чистом виде имеем принцип 10-ичной системы, с какими-
то оговорками для второй группы чисел — принцип 100-ичной си-
стемы. В целом по всем названиям чисел в чеченском языке 10 играет
намного более существенную роль чем другие узловые числа, ска-
жем, 20. Действительно, в системе счисления с основанием k особую
роль играют степени kl. А в чеченском языке все степени 10 (если они
имеют названия) являются узловыми, и ни одна степень 20 (кроме
самого 20) не является узловой, более того, названия степеней 20 яв-
ляются производными от названий степеней 10. Кстати, в древнерус-
ском языке
1600
402
=
носило название сорока сороков.
Отметим, что, как и в чеченском языке, в грузинском, аварском,
лакском и других кавказских языках, а также во французском языке,
20 также является узловым. На французском языке его название vingt
не является производным ни от каких других названий чисел, и в не-
которых местах натурального ряда локально соблюдается принцип
20-ичной системы: 80 — quatre-vingt (4 раза 20), 85 — quatre-vingt
cing (4 раза 20 + 5), 90 — quatre-vingt dix (4 раза 20 + 10), 99 — quatre-
vingt dix neuf (4 раза 20 + 10 + 9) и т. д. Интересно отметить, что в
датском языке слово halv-firsinds-tyve, обозначающее 70, буквально
переводится «полпути от трижды двадцать до четырежды двадцать».
В связи с вышеизложенным отметим одно заблуждение, доста-
точно широко распространенное среди людей, занимающихся как на
профессиональном, так и на любительском уровне вайнахской фило-
логией: существует устойчивое мнение, засвидетельствованное даже
в печатной форме, что у чеченцев — 20-ичная система счисления.
Приведем цитату из книги И. Ю. Алироева «Самоучитель чеченского
языка» (М.: Academia, 2003): «Во многих языках, в том числе и евро-
пейских, десятичная система счета, а в кавказских языках, в том чис-
ле чеченском, двадцатеричная система счета». При этом нет никакого

13
намёка, даже косвенного, что где-то в истории чеченцев или других
кавказских народов остался след от каких-либо письменных обозна-
чений чисел. Если автор имел в виду, учитывая неточность в назва-
нии термина, устный счет, то там нет понятия системы счисления —
ни позиционной, ни непозиционной, ни смешанной, а значит, и деся-
тичной, и двадцатеричной. Исправить приведенную цитату можно
было бы следующим образом: в кавказских языках, в том числе че-
ченском, а также во французском языке, в отличие от некоторых ев-
ропейских, число 20 является узловым числом, а число 10 (так же как
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 100, 1000) является узловым во всех кавказских
и европейских языках, число 40 является узловым в русском языке,
но не является таковым ни в одном из других языков. Если же следо-
вать «логике» вышеуказанной книги, то с таким же успехом, с каким
утверждается, что в кавказских языках 20-ичная система, можно
утверждать, что и во французском 20-ичная система, а в русском язы-
ке — 40-ичная система счисления, а в кавказских и некоторых других
языках и 10-ичная, и 20-ичная системы одновременно. Ошибки, по-
добные указанным, допускаются и в других источниках, посвящен-
ных рассматриваемому вопросу.
Это яркий пример неумения пользоваться термином. Приверженцы
такого мнения, не задумываясь над тем, а что такое система счисления, и
имея о ней не совсем осознанное представление, увидев в названии чи-
сел что-то похожее на принцип 20-ичной системы, делают совершенно
абсурдный вывод. Далее этот вывод подхватывается и «развивается».
К примеру, имеются работы по методике преподавания математики че-
ченским детям в младших классах с учетом того, что в чеченском языке
20-ичная система счисления. Проблема полностью надуманная и не
имеющая никакого отношения к способу обучения счету детей.
Приведем названия больших чисел. Они носят международный
характер и используются в большинстве стран.
Миллион — 106, миллиард — 109, триллион — 1012, квадрилли-
он — 1015, квинтиллион — 1018, секстиллион — 1021, септиллион —
1024, октиллион — 1027, нониллион — 1030.
1.2. Ранние письменные нумерации.
Непозиционные системы. Узловые числа
Разные народы древности пользовались различными принципа-
ми для обозначения чисел. Лишь один принцип применялся почти
повсеместно — это «закон убывания следования разрядов», заклю-
чающийся в том, что при написании чисел высший разряд при приня-

14
том данным народом способе чтения и письма предшествует низшим
разрядам. Нужно иметь в виду, что семитские народы и греки в древ-
нейший период писали справа налево, другие народы — слева напра-
во, третьи — по вертикали, а в пиктографической письменности
определенного порядка не было.
Введем здесь также понятие узлового числа.
Определение 1. В письменных непозиционных системах обо-
значений чисел под узловым числом понимается число, имеющее ин-
дивидуальную, неразложимую на составные запись.
Приведем таблицу с числовыми знаками древних египтян, древ-
них греков и римлян (мы воспользовались таблицами из [1], где при-
водятся 16 древних систем числовых знаков).
Таблица 1.2
Современное
обозначение
Египетские
иероглифические
Аттические
Римские
1
I
I
I
2
II
II
II
3
III
III
III
4
IIII
IIII
IV
5
III
II

V
6
III
III
I
VI
7
IIII
III
II
VII
8
IIII
IIII
 III
VIII
9
III
III
III
 IIII
IX
10


X
11
I

XI
15
III
II


XV
20


XX
30




XXX
40





XL
50





L
60



LX
70



LXX

15
Продолжение табл. 1 .2
Современ-
но е обозна-
чение
Египетские
иероглифические
Аттические
Римские
80



LXXX
90




XC
100
H
C
200
HH
CC
400
HHHH
CD
500
D
1000
X
M
104
M
105
106
107
Ω
1. Египетская система обозначений. Самым ранним, более
3000 лет до н. э ., у египтян, как и у других народов, был пиктографи-
ческий способ письма и соответственно способ обозначения чисел.
Дальнейшее развитие этого письма называется иератическим (жрече-
ским), в котором картинки (пиктограммы или иероглифы) заменяют-
ся условными знаками. Позднее возникли еще более модифициро-
ванные (упрощенные) способы, так называемые демотические письмо
и письменная нумерация. В таблице приведены иероглифические
обозначения чисел. Узловыми числами в этой системе являются еди-
ница — I, десять —  , сто — (изображение мерительной веревки,
делившейся на 100 частей), тысяча — (изображение цветка лотоса),
десять тысяч — (указательный палец), сто тысяч —
(образ голо-
вастика), миллион —
(образ удивленного человека), десять мил-
лионов — Ω (образ солнца). Остальные числа получаются вполне
единообразно при помощи только сложения, причем «разряды» убы-
вают справа налево.
2. Аттическая система. Эта нумерация применялась в Греции с
VI в. до н. э., название происходит от области Греции — Аттика со

16
столицей Афины. Узловыми числами здесь являются единица — I,
пять—,десять— ,сто—H,тысяча—X,десятьтысяч—M.
Символы эти являлись первыми буквами названий соответству-
ющих чисел: 5-  ENTE (Пенте), 10 —  EKA (дека), 100 — HEKA-
TON (гекатон), 1000 — XILIOI (ксилиой), 10 000 — μγριοι (мириой).
Числа 50, 500, 5000 изображались комбинациями узловых знаков,
остальные числа — повторением их, т. е. по аддитивному принципу.
3. Римская система. Применялась более двух с половиной ты-
сяч лет назад в Древнем Риме и используется сейчас в основном для
наименования знаменательных дат, томов, разделов и глав в книгах.
Римскими цифрами пользовались очень долго. Еще 200 лет назад в
деловых бумагах числа должны были обозначаться римскими цифра-
ми, считалось, что арабские цифры легко подделать.
В большинстве древних систем обозначений чисел применялся
аддитивный способ записи неузловых чисел. В римской же нумера-
ции, кроме операции сложения, используется также операция вычи-
тания, приблизительно так, как у йорубов (см. табл. 1.2). Здесь узло-
выми числами выступают единица — I (один палец), пять — V (рас-
крытая ладонь), пятьдесят — L, сто — C (от слова Centum — сто),
пятьсот — D (Demimille — половина тысячи), тысяча — M (Mille —
тысяча). Заметим, что X (десять) неузловое число, так как состоит из
двух сложенных ладоней V. Само начертание чисел было заимство-
вано римлянами у более ранних обитателей Италии — этрусков.
Приведенная таблица и комментарии к ней дают достаточно
полное описание трех рассмотренных систем, позволяющее записать
любое число до порядка 107 (104, 103) в египетской иероглифической
(аттической, римской) системе.
Примеры:
IIII.
1. Иероглифическая:
III—2030697.
2. Аттическая: MMXXXHHHH   IIII — 23 439.
3. Римская: MDCCCLXXVIII — 1878, MDCCCLXXIX — 1879.
Задача 1. Записать все числа от 2869 до 2879 в рассмотренных
выше системах.
Обратим внимание на следующий важный факт — узловое чис-
ло в устной нумерации может и не быть (и достаточно часто не
бывает) узловым числом в письменной системе обозначений и
наоборот. Например, в латинском языке 2 (duo), 3 (tres), 4 (quitter) —
узловые в устной нумерации, а письменные эквиваленты II, III, IV не

17
являются узловыми; 50 (quiquginta) не является узловым в устной ну-
мерации, а письменный эквивалент L — узловой.
1.3 . Алфавитные системы нумерации
Алфавитные системы нумерации впервые были применены в Гре-
ции в V в. до н. э. Во всех алфавитных системах числа от 1 до 9, все де-
сятки и сотни обозначаются индивидуальными символами при помощи
последовательности букв алфавита. В греческой нумерации над буква-
ми, обозначающими числа, ставится черта, чтобы отличить от слов.
Известны следующие алфавитные системы: ионийская, араб-
ская, еврейская, грузинская, армянская.
В качестве примера алфавитной системы приведем ионийскую
нумерацию:
1–9: α
̄
,β̄,γ
̄
,δ̄,ε
̄
,ς
̄
,ζ̄,η
̄
, θ̄;
10–90 (только десятки): ι
̄
,κ
̄
,λ̄,μ
̄
,ν
̄
,ξ̄,ο
̄
,π
̄
;
100–900 (только сотни): ρ
̄
,σ
̄
,τ
̄
,υ
̄
,Φ
̄
,Χ̄,Ψ
̄
,π;
1000–9000 (только тысячи): α
/,β/,γ/,δ/,ε
/, ς/,ζ/,η/,θ/;
10 000: M
α
;
20 000: M

.
Для облегчения сложения и вычитания служили особые табли-
цы, в которых выписывался результат сложения (вычитания) друг с
другом чисел из одной группы (единиц, десятков и т. д .) и из разных
групп. Понятно, что таблицы эти были очень обширными. В качестве
иллюстрации приведем записи из них: α
̄
ι
̄
θ̄
,α
̄
θ̄η
̄
,α
̄
η
̄
ζ̄
, в середине
стоятсуммыдвухкрайнихчисел,т.е.1109,198,187.
Задача 1. Сложить два числа τ
̄
μ
̄
γ
̄
,ψ
̄
ξ̄ε
̄
.
Решение. Выпишем сначала часть вышеупомянутых таблиц, не-
обходимую для сложения данных чисел:
/
γηε,μρξ,τ αψ(т.е.385,
40 100 60, 300 1000 700). Отсюда сумма данных двух чисел равна
α
/ρ
̄
η
̄
. Мы специально не пользовались знаком «+», так как он поя-
вился намного позже, когда уже входила в употребление десятичная
позиционная система.
Задача 2. Вычислить сумму и разность всех пар чисел из следу-
ющих четырех чисел Φ̄ π
̄
θ̄, ω
̄
ο
̄
η
̄
,χ
̄
ξ̄ζ
̄
,σ
̄
μ
̄
ς
̄
.
Для выполнения умножения составлялись таблицы умножения.
Следы алфавитной нумерации сохранились вплоть до настояще-
го времени. Так мы часто нумеруем буквами «пункты» докладов, ста-
тейит.д.

18
1.4 . Позиционные системы счисления,
k-ичная система, экономичность системы
Появление позиционной системы обозначения чисел было од-
ной из основных вех в истории культуры. Оно было не случайным,
подтверждением тому является разновременное и самостоятельное
возникновение принципа позиционной системы по крайней мере у
трех различных народов.
1. Более чем 2000 лет до н. э. в долине рек Тигр и Евфрат у ва-
вилонян.
2. В начале нашей эры у племени майя в Центральной Америке.
3. В VIII–IX вв. н . э. в Индии, причем индусская система счита-
ется родоначальницей современной нумерации.
В отличие от непозиционных систем, в которых каждую едини-
цу более высокого разряда обозначают новым символом, в позицион-
ной системе один и тот же символ имеет разные значения в зависимо-
сти от его положения. Несмотря на простоту идеи, это величайшее
открытие. Как писал Лаплас: «Мысль выражать все числа 9 знаками,
придавая им, кроме значения по форме, ещё значение по месту,
настолько проста, что именно из-за этой простоты трудно понять,
насколько она удивительна. Как нелегко было прийти к этой методе,
мы видим на примере величайших гениев греческой учености Архи-
меда и Аполлония, от которых эта мысль осталась скрытой». Во всех
трех указанных системах позиционный принцип не был доведен до
того совершенства, которое мы имеем в нашей системе счисления.
Современные обозначения чисел (и соответствующая система
счисления) появились в Европе в XII–XIII вв. благодаря итальянским
купцам, позаимствовавшим их у арабов, и переводам трудов на ла-
тинский язык арабских математиков.
Особо нужно отметить сочинение хорезмского математика Абу
Абдаллах Мухаммед ибн Муса аль-Хорезми (825 г.), в котором впер-
вые было дано описание позиционной десятичной системы счисле-
ния. Считается, что в этом сочинении впервые была введена цифра
«0» для обозначения пропущенной позиции в записи числа. Это со-
чинение появилось в Европе в переводе на латинский язык в XII в.
Заметим, что десятичная система счисления широко распространи-
лась на территории всего Арабского халифата вплоть до мусульман-
ской Испании уже с конца IX в.
Приведем историю термина, обозначающего цифру «0», пока-
зывающую, насколько сложной и непредсказуемой бывает порой ис-
тория терминов. При переводе вышеназванной книги аль-Хорезми

19
слово, обозначающее цифру «0» (sifr на арабском), было переведено
как algorismus-cipher (algorismus от имени аль-Хорезми). В дальней-
шем algorismus «выпало» и «0» назывался как cipher. В русский язык
это название перешло как цифирь; наряду с ним были неудачные по-
пытки использовать названия «низачто» и «оном» (подчеркивается
сходство с буквой «о»). С начала XVI в. в немецких руководствах
слово «цифра» получает современное значение, а слова nulla figura
(лат. никакой знак) или просто nulla означают цифру «0». Эта терми-
нология в XVI–XVII вв. распространилась по всей Европе, а также
чуть позже в России.
История с нулем — это типичная история становления термина.
Прежде чем термин будет принят научным сообществом он, как пра-
вило, проходит долгий, извилистый путь, меняясь неоднократно, и
требуется немалое количество соответствующих опубликованных ра-
бот, в которых этот термин использовался бы.
Замечание 1. В связи с вышесказанным затронем ставшую до-
статочно популярной деятельность по составлению двуязычных
(с переводом с одного языка на другой) словарей терминов, в частно-
сти математических. При этом в одном из этих языков имеется доста-
точно развитая система соответствующих терминов, а во втором язы-
ке они практически полностью отсутствуют.
Остановимся подробнее на абсурдности такой деятельности. Как
известно, слово — единица языка, служащая для называния отдель-
ного понятия. Термин — слово (или сочетание слов), являющееся
точным обозначением определенного понятия науки, техники, искус-
стваит.п.
Словарь — книга, содержащая перечень слов с толкованиями
или переводом на другой язык.
Из приведенных определений понятно, что значит словосочета-
ние «словарь терминов». Хочу обратить внимание на очевидный
факт — если утверждается, что какой-то звук является словом (или
термином) в каком-то конкретном языке, то этот звук должен произ-
носиться с определенным смыслом носителями этого языка на протя-
жении определенного времени до формулировки этого утверждения.
А теперь подумаем над тем, может ли какой-то звук, являющий-
ся словом в каком-то другом языке или не являющийся словом ни в
каком языке, быть объявлен словом в рассматриваемом языке кем-то,
если даже этот звук укладывается в рамки правил словообразования
данного языка. Несомненно, нет. Даже, если этот кто-то общепри-
знанный авторитет, он может предложить что-то в качестве слова, и
если это предложение будет принято жизнью, если оно будет упо-

20
требляться без принуждения, войдет в язык, то только тогда оно ста-
нет словом.
Таким образом, если издается словарь терминов, к примеру рус-
ско-чеченский словарь математических терминов, то слова, обозна-
ченные как термины как на чеченском, так и на русском языке, долж-
ны существовать и употребляться в указанном значении в соответ-
ствующем языке до издания этого словаря, а не единственный раз в
этом словаре автором.
Наука — это не устное творчество, и её результаты фиксируются
в письменном (электронном) виде. Для того чтобы термин установил-
ся, требуется немалое количество соответствующих работ. Нет работ в
определенной области науки — нет соответствующих терминов.
Если уж и издавать терминологические словари, то надо писать
то, что есть или что было, но по разным причинам вышло из употреб-
ления. Если иметь в виду чеченский язык, то это могли бы быть сло-
вари по фауне и флоре, по анатомии человека и животных, по сель-
скому хозяйству и другим сферам человеческой деятельности.
Считаю, что несомненную пользу системе образования в Чечен-
ской Республике принесло бы издание на чеченском языке книг для
дошкольников и учебников по математике, по дисциплине «Окружа-
ющий мир» для младших школьников. Это как раз тот путь, на кото-
ром можно выработать какой-то набор терминов по соответствую-
щим дисциплинам.
Подробное обсуждение позиционных систем счисления начнем
с десятичной системы. Общий вид записи числа в ней имеет вид:
an an−1
...a
0, где вместо a0, a1, . . . , an стоят какие-то символы из сле-
дующих 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0, причем an ≠ 0. Позиция, в которой
они стоят, имеет следующий смысл: a0 — число единиц, a1 — число
десятков, a2 — число сотен, ..., an−1
—
число (количество) 10n–1
,
an — число (количество) 10n
, т . е. если перенумеровать позиции
справа налево, то в 1-й позиции стоит символ, указывающий количе-
ство единиц, во 2-й — символ, указывающий количество десятков,
...,вn-й
—
символ, указывающий количество 10n–1
. Таким образом,
любое натуральное число z (целое положительное) в нашей системе
представляется в виде: z = an 10
n
+an−110n−1+...+a110+a0 и
записывается следующим образом: anan−1
...a
1a0. Особую роль иг-
рает здесь число 10, и это отмечено тем, что система называется деся-
тичной, а 10 является основанием этой системы.
Замечание 2. Числа a0, a1 , . . ., an являются остатками при по-
следовательном делении z = an an−1
...a
1a0 на 10: a0 — остаток при

21
делении z на 10, a1 — остаток при делении an an−1
...a
1на10,...,
an−1
—
остаток при делении anan−1 на 10. Это свойство будет ис-
пользовано при переходе от системы с одним основанием к системе с
другим.
На роль основания в позиционной системе годится любое нату-
ральное число. В частности, если возьмем за основание число 5, то
для изображения чисел потребуется 5 символов: 1, 2, 3, 4, 0. Любое
натуральное число z представляется
в виде z=bn5
n
+
+ bn−15n−1+ . . . +b15 + b0 и записывается следующим образом:
bnbn−1
...b1b0.
Точно так же k-ичная система, k ∈ N , Ν — множество нату-
ральных чисел, определяется равенством
an...a1a0 =an⋅k
n
+...+a1⋅k+a0, aj<k, an≠0. (1.1)
Например, при k = 12 получим 12-ичную систему, в ней исполь-
зуются символы 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, a, b. Элементом 12-ичной си-
стемы в современности служит счет дюжинами — первые три степе-
ни числа 12 имеют собственные названия: 1 дюжина = 12, 1 гросс =
= 12 дюжин = 144, 1 масса = 12 гроссов = 1728. Примеры записи чи-
сел в системах с разными основаниями:
(a)12 = (10)10, (b)12 = (11)10, (144)10 = (100)12 =
= (1034)5, (a6b)12 = (1523)10,
число, стоящее в нижнем индексе, является основанием системы, ес-
ли известно, в какой системе число записано, то основание не указы-
вается.
Задача 1. Записать числа, данные в ионийской и римской нуме-
рациях: Φ̄ λ
̄
θ̄, ω
̄
ο
̄
γ
̄
,χ
̄
ξ̄ε
̄
,σ
̄
μ
̄
δ̄,
MDCCCLXXVI, MDCCCLXIX, в
5-ичной, 2-ичной и 12-ичной системах счислениях.
Общепринято, что для записи в системах счисления с основани-
ем до 36 включительно в качестве знаков (цифр) используются араб-
ские цифры (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9), а затем буквы латинского алфа-
вита(a,b,c,d,e,f,g,h,I,j,k,l,m,n,o,p,q,r,s,t,u,v,w,x,y,z).При
этом a = 10, b = 11 и т. д . Основание системы в ней самой всегда за-
писывается как 10; например, в пятеричной системе счисления 10
означает число 5. Естественный порядок на натуральных числах со-
ответствует лексикографическому порядку на их представлениях в
позиционной системе счисления. Поэтому сравнивать их представле-
ния можно поразрядно, начиная со старшего разряда, до тех пор, пока
цифра в одном числе не будет больше соответствующей цифры в
другом. Например, для сравнения чисел 543 и 533 в семеричной си-

22
стеме счисления нужно сравнивать цифры в одинаковых разрядах
слева направо: 5 = 5 — результат сравнения чисел пока не определен;
4 > 3 — первое число больше (независимо от оставшихся цифр).
Задача 2. Доказать, что для записи числа x в p-ичной системе
счисления требуется [logp x] + 1 цифр, где [⋅] означает взятие целой
части числа.
В вычислительной технике система счисления с основанием p
реализуется регистрами, состоящими из наборов триггеров, каждый
из которых (т. е. каждый регистр) может принимать p различных со-
стояний, кодирующих цифры числа. При этом особое значение при-
обретает экономичность системы счисления — возможность пред-
ставления как можно большего количества чисел с использованием
как можно меньшего общего количества знаков (триггеров).
Чтобы не вдаваться в технические детали конструирования ком-
пьютеров, поясним эту мысль следующим образом. Пусть m, K ≥ 2 —
натуральные числа. Имеются пластиковые (скажем) символы.
1.
K!
2
m символов «0» и
K!
2
m символов «1» — всего K! m симво-
лов (2-ичная система).
2.
K!
3
m символов «0»,
K!
3
m символов «1»,
K!
3
m символов «2» —
всего K! m символов (3-ичная система).
К-1. (K − 1)! m символов «0», (K − 1)! m символов «1», ...,
(K − 1)! m символов «К-1» — всего K! m символов (K-ичная система).
Необходимо для каждого из перечисленных выше К-1 случаев
(К-1 систем счислений) определить число Ni (Ni относится к случаю
системы счисления с основанием i), i = 2, 3, ..., K, так, чтобы с помо-
щью указанного набора символов (своего для каждого случая) можно
было бы изобразить любое (одно) число от 0 до Ni. Заметим, что об-
щее количество символов одно и то же во всех случаях, и разумно
самой экономичной объявить ту систему с основанием j, для которой
Nj=max{N2,...,NK}.
Задача 3. Доказать, что среди всех систем счисления с основа-
нием p ∈ Ν самой экономичной в определенном выше смысле явля-
ется троичная система. После троичной экономичной являются дво-
ичная и четверичная системы (эти две системы в плане экономично-
сти одинаковы), потом — 5 -ричная, 6-ричная, 7-ричная и т. д .
Решение. Из (1.1) следует, что в k-ичной системе с помощью
m = (n + 1)k знаков можно представить любое (одно) число от 0 до
kn+1
− 1=k
m
k − 1 включительно. Рассмотрим функцию f(k) = k
m
k,
m фиксировано. Чтобы иметь возможность применить методы диф-

23
ференциального исчисления, рассмотрим эту функцию на всей чис-
ловой прямой: R, f:R→R,f(x)=x
m
x.
Очевидно, f(x) =
=e
m
lnx
x,f
′
(x)=x
m
x
1
x2
(1−lnx). Очевидно, e ∈ absmaxf. Так как
функция f(x) строго монотонно убывает на [e, +∞], то f(n) >
> f(n + 1), n = 3, 4, 5, ... Остается теперь сравнить значения функ-
ции f в точке x = 2 cо значениями в других целых точках; f(2) =
=2
m
2<3
m
3 =f(3)(таккак 23m<32m),f(2)=2
m
2=4
m
4 = f(4). Та-
ким образом, f(3) > f(2) = f(4) > f(5) > f(6) > f(7) ..., что озна-
чает требуемое.
Преимущества позиционных систем:
1) простота записи чисел, возможность записи любого числа;
2) удобство при выполнении арифметических операций.
Указанные преимущества настолько велики, что переход к по-
зиционным системам означает качественный скачок в развитии всей
цивилизации.
1.5 . Схема анализа систем названий
натуральных чисел
В публикациях, посвященных наименованиям числительных в че-
ченском языке, как профессионалов-филологов, так и любителей вай-
нахской филологии обязательно утверждается, что в чеченском языке
20-ричная система счета (счисления). Если брать более широкий спектр
работ, посвященных кавказским языкам, то встречаются и термины
«вигезимальная система» вместо 20-ичной и «децимальная» вместо
10-ичной (перевод которых на русский язык дает те же термины).
Понятие системы счисления давно имеет точное определение и
относится к письменным записям чисел. Поэтому использование их
для обозначения других понятий, а в нашем случае — это система
названий чисел (в конкретных языках), крайне нежелательно. Необ-
ходимо отличать понятие действительных (или натуральных) чисел
от систем названий чисел и от систем записи чисел.
Более приемлемым могут быть указанные выше термины с не-
большим уточнением — вигезимальная (или 20-ичная) система
наименований чисел, децимальная (или 10-ичная) система наимено-
ваний чисел. Уточнение состоит в «наименование чисел» вместо
«счета» или «счисления». Еще более правильным было бы говорить о
выполнении принципа k-ичной системы счисления при различных k.
Но проблема здесь глубже и состоит в том, что нет точного
определения используемых терминов, а смысл их, определяемый тек-

24
стом конкретной публикации, слишком размыт и может меняться от
публикации к публикации. Некоторые возможные здесь коллизии и
подходы к их разрешению, используя понятия «базис», «подсистема»,
«спорадический элемент», упомянуты, например, в статье
Г. А. Мороза «Особенности систем числительных языков Кавказа»1.
Но и при таком подходе остаются неопределенность и неточности.
К примеру, базис, подсистема могут меняться в зависимости от дли-
ны рассматриваемого «куска» натурального ряда, и спорадический
элемент достаточно размытое понятие.
Ниже предлагается некоторая схема анализа систем названий
числительных на примере чеченского языка. При этом мы исходим из
понятия узлового числа.
Будем говорить, что выполняется принцип k-ичной системы,
если k-узловое число и названия чисел вида k  l (заметим, что
они включают в себя и числа вида l  k) при каких-то l являются
производными от названия k.
Отметим, что если k — узловое число (в каком-то языке), то не
обязательно, чтобы выполнялся принцип k-ичной системы (в этом
языке). Например, 11 — узловое число в английском языке, но в этом
языке не имеет места принцип 11-ичной системы в определенном
выше смысле.
Обратим внимание и на то, что хотя ряд натуральных чисел бес-
конечен, но только конечное число их имеет названия. В любом язы-
ке можно определить натуральное М так, чтобы все натуральные
числа, меньшие М, имели бы общепринятые названия в данном язы-
ке, а натуральные числа, большие М, не имели бы (общеупотреби-
тельных) названий. Конечно, каким-то из них всегда можно дать
названия. Но эти названия будут выпадать из закономерностей дан-
ного языка. Ниже такая конечность подразумевается без упоминания.
И когда мы говорим об ограниченном подмножестве натуральных
чисел, конечном «куске» натурального ряда, то имеются в виду соб-
ственные подмножества множества {1, 2, ..., M}.
Чтобы определить, при каких k принцип k-ичной системы
выполняется сильнее, естественно исходить из следующих двух
характеристик. Первая — это количество чисел (вида k ± l) с
названиями, производными от названия узлового числа k, вто-
рая — являются или нет узловыми числами степени k. Вторая
характеристика является более значимой, так как, очевидно, ко-
1
Мороз, Г. А . Особенности систем числительных языков Кавказа // Логический анализ язы-
ка: Числовой код в разных языках и культурах / Российская акад. наук, Ин-т языкознания ;
отв. ред. Н. Д. Арутюнова. — М . : URSS : ЛЕНАНД, 2014. — С. 171–182 .

25
личество чисел, подсчитываемых в первой характеристике, зави-
сит от величины узлового числа k — во многих случаях возраста-
ет с возрастанием k. Например, для узловых чисел 10 и 1000 в рус-
ском языке в первой двадцатке тысяч наименований, содержащих
«десять», — 18 000, а содержащих «тысяча» — 19 000. Заметим так-
же, что если рассмотреть первые 30 000 чисел, то наименований с
«десять» — 27 000, а наименований с «тысяча» — 29 000. То есть
разрыв между «десять» и «тысяча» увеличивается с удлинением чис-
лового ряда, в котором проводится это сравнение. В силу указанных
закономерностей имеет смысл рассматривать первую характери-
стику для ограниченного подмножества натуральных чисел, ска-
жем, для первой сотни, или проводить анализ более подробно,
рассматривая числовые ряды различной длины. Более подробно
эту аргументацию в пользу второй характеристики мы рассмотрим
ниже на конкретном примере.
Итак, если взять весь ряд устной нумерации в любом современ-
ном языке, то в каких-то местах этого ряда соблюдается локально
принцип 10-ичной системы, принцип 100-ичной, принцип 1000-ичной
и тому подобных систем. В чеченском языке, например, в каких-то
местах натурального ряда локально соблюдается дополнительно и
принцип 20-ичной системы, в русском языке — 40-ичной системы.
Конечно, выполняемость k-ичной системы при разных k разная.
Например, принцип 20-ичной системы в чеченском языке выполняет-
ся намного сильнее, чем принцип 40-ичной системы в русском языке.
Можно сказать, что 40 — это спорадический элемент.
Чтобы сравнить масштабы выполнения принципов 10-ичной и
20-ичной систем счисления в чеченском языке, воспользуемся введен-
ными выше характеристиками выполнения принципа k-ичной систе-
мы. Можно сказать, что принцип 10-ичной системы в чеченском языке
по первой характеристике уступает принципу 20-ичной — так, к при-
меру, в названиях в первой тысячи чисел название «ткъа» (20) встре-
чается 810 раз, а название «итт» (10) — 450 раз. Но, с другой стороны,
если взять большее 20 узловое число, скажем, «бIе» (100), то оно в
первой тысяче чисел встретится 900 раз, и «большая встречаемость»
его по сравнению с «ткъа» будет увеличиваться по мере увеличения
«куска» натурального ряда, в котором проводится сравнение.
А по второму признаку 20 сильно уступает 10. Как известно, в
системе счисления с основанием k особую роль играют степени kl, а в
чеченском языке все степени 10 (если они имеют названия) являются
узловыми, и ни одна степень 20 (кроме самого 20) не является узло-
вым, более того, названия степеней 20 являются производными от

26
названий степеней 10. Кстати, в древнерусском языке
1600
402
=
но-
сило название сорока сороков (то есть это название образовано от
названия 40).
Резюмируя, приведем схему анализа систем названий натураль-
ных чисел, которая более предпочтительна по сравнению с суще-
ствующими.
1. Перечислить все узловые числа.
2. Выделить те узловые числа k, для которых в каких-то местах
натурального ряда выполняется принцип k-ичной системы счисления.
3. Определить, в какой мере для узловых чисел k из п. 2 выпол-
няется принцип k-ичной системы в соответствии с первой характери-
стикой для множеств {1, 2, 3, ..., m}, где m < M, M определено выше,
при различных m.
4. Проверить для узловых чисел k из п. 2 выполнимость и меру
выполнения 2-й характеристики.
5. Выделить одно узловое число k0 такое, что принцип k0-ичной
системы выполняется в большей степени, чем принцип k-ичной си-
стемы для любого k  k0. Если не удается выделить одно такое k0, то
выделить группу узловых чисел с наибольшей выполнимостью прин-
ципа соответствующей системы счисления.
1.6 . Различные формы выполнения
арифметических операций в 10-ичной системе
Все процедуры, предназначенные для выполнения арифметиче-
ских операций, выводятся из представления чисел в виде (1.1). Рас-
смотрим сложение столбиком. Пусть z1 = an an−1
...a
1a0, z2 =
= bmbm−1
. . . b1b0 — два числа, записанных в десятичной системе, m <
<n,l:=n−m.Положим
c0={
a0+b0,
еслиa0+b0<10
a0+b0−10, еслиa0+b0≥10
;
число d1 определим из равенства a0 + b0 = d110 + c0; заметим, что
a0+b0<20,поэтомуd1=0или1;
c1={
a1+b1+d1,
еслиa1+b1<10
a1+b1+d1−10, еслиa1+b1≥10
;
число d2 определим из равенства a1 + b1 + d1 = d210 + c1; заметим,
чтоa1+b1+d1<20,поэтомуd2=0или1;...;
cn−l={
an−l +bn−l +dn−l,
если an−l + bn−l < 10
an−l + bn−l + dn−l
− 10, еслиan−l+bn−l≥10
;

27
число dn−l+1 определим из равенства an−l + bn−l + dn−l =
= dn−l+110 + cn−l ; заметим, что an−l + bn−l + dn−l < 20, поэтому
dn−l+1 = 0 или 1. Из (1.1) следует, что при an−l+1 ≠ 9, z1 + z2 =
= an. . . an−l+2 cn−l+1cn−l
...c
1c0, где cn−l+1 = an−l+1 + dn−l , что явля-
ется обоснованием процедуры сложения в столбик.
Задача 1. Рассмотреть случай an−l +1 = 9.
Умножение в столбик: из (1.1)
z1z2 = ∑ (anbi10n + an−1bi10n−1+. . . +a1bi10 + a0bi)10i
m
i=0
.
(1.2)
Умножение на 10i эквивалентно при умножении столбиком
сдвигу на i разрядов влево, а «запоминание в уме и последующее до-
бавление к следующему разряду» эквивалентно записи выражения в
скобках под знаком суммы в (1.2) в виде cN10N+. . . +c110 + c0.
Приведем еще два способа (обоснование которых также следует
из (1.1)), широко применявшихся лет 400–600 назад.
Метод умножения решеткой. Проиллюстрируем его, умножив
числа 1375 и 74 по этому способу.
Таблица 1.3
1
3
7
5
1
0
7
2
1
4
9
3
57
0
0
4
1
2
2
8
2
04
1
7
5
0
Множимое стоит над решеткой, множитель справа написан
сверху вниз. От умножения каждой цифры множимого на каждую
цифру множителя получаются однозначные или двузначные числа;
десятки этих чисел пишутся в соответственной клетке над наклонной
чертой, единицы — под ней. Цифры произведения получают сложе-
нием чисел по наклонным полоскам решетки справа налево (с учетом
перехода в следующий высший разряд). Для приведенного примера
ответ — 101 750. Обоснование очевидно.
Метод умножения Фурье. Перемножим этим методом преды-
дущие два числа 1375 и 74.
1375
45 =20

74
2+75+74=65
---------------
6+77+34=67
101 750
6+73+14=31
3+7=10
1=1

28
Напечатанные жирным шрифтом цифры, если их выписать сни-
зу вверх, дают искомое произведение. Выписанные здесь в столбик
вычисления удобно делать в уме, сразу выписывая цифры искомого
произведения. Обоснование также очевидно.
Приведем еще один способ перемножения на примере тех же
чисел 1375 и 74, который отличается от современного только тем, что
действия начинаются с умножения на высший разряд. Этот способ
записи может иметь некое преимущество для школьников — писать
на левом крае листа, не надо рассчитывать, насколько сдвинется вле-
во столбик с цифрами.
1375
74
--------------
9625
5500
---------------
101 750
Задача 2. Перемножить приведенными тремя способами (метод
решеткой, метод Фурье и последний метод) следующие пары чисел:
5731 и 47, 125 843 и 357, 489 и 317, 3647 и 8453.
Деление уголком (столбиком). Приведем разные формы записи
деления в разных странах
Таблица 1.4
Франция, пост-
советские
страны, Испа-
ния, Бельгия
США, Велико-
британия
Германия
Нидерланды
Делитель распо-
лагается справа
от делимого, от-
деляемого от
него вертикаль-
ной чертой. Де-
ление происхо-
дит в столбик,
частное записы-
вается ниже де-
лителя и отде-
ляется о т него
горизонтальной
чертой
Делитель распо-
лагается слева о т
делимо го, отде-
ляемо го от него
вертикальной
чертой. Деление
происходит в
столбик, частное
записывается
выше делимого и
отделяется от не-
го горизонталь-
ной чертой
Делимое, делитель,
частное располо-
жены в приведен-
ной последователь-
ности в одной стро-
ке. Перед частным
стоит знак равен-
ства. Между дели-
мым и делителем
стоит знак обелюса.
Деление происхо-
дит в столбик
Делитель, дели-
мое, частное рас-
по ложены в при-
веденной последо-
вательности в од-
ной строке. Дели-
тель и делимое
разделены чер-
той /. Делимое и
частное разделены
чертой \. Деление
происходит стол-
биком

29
Продолжение та бл. 1 .4
Франция, пост-
советские
страны, Испа-
ния, Бельгия
США, Велико-
британия
Германия
Нидерланды
7656|24
–72 |319
45
–24
116
–116
0
319
24 | 7656
72
45
24
216
216
0
765624=319
72
45
24
216
216
0
24/7656\319
72
45
24
216
216
0
1.7 . Соизмеримые и несоизмеримые отрезки.
Рациональные и иррациональные числа
С теоремой Пифагора о прямоугольном треугольнике тесно свя-
зано открытие Пифагора с учениками несоизмеримых отрезков.
Напомним, что строгая теория числа появилась только в XIX в., а во
времена Пифагора числа рассматривались как характеристика длины
отрезков, с одной стороны, и как отношение двух натуральных чи-
сел — с другой. Эти два подхода эквивалентны, если любые два от-
резка соизмеримы, то есть если существует третий отрезок, который
целое число раз укладывается в первые два отрезка.
В школе Пифагора было доказано, что гипотенуза прямоугольно-
го треугольника с равными катетами несоизмерима с катетом. Это
означало, что рациональных чисел, говоря современным языком, не-
достаточно, а что такое нерациональные числа, тогда было непонятно.
Выход из создавшейся логической коллизии пифагорейцами
был предложен следующий: доказывать все числовые соотношения
геометрически. Например, равенство (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 дока-
зывалось не раскрытием скобок, а геометрически — площадь квадра-
та со стороной a + b равна сумме площадей квадрата со стороной a,
квадрата со стороной b и удвоенной площади прямоугольника со сто-
ронами a и b. В дальнейшем этот подход начал тормозить развитие
математики.
Перейдем к строгим определениям.
Общей мерой двух отрезков называется такой третий отрезок, ко-
торый содержится целое число раз в каждом из двух данных отрезков.
Если отрезки имеют общую меру, то они имеют бесконечное
множество общих мер. Одна из них больше всех остальных и называ-

30
ется наибольшей общей мерой данных отрезков. Если меньший из
двух данных отрезков содержится в большем целое число раз, то
меньший отрезок и является наибольшей общей мерой двух данных
отрезков.
Два отрезка a и b называются соизмеримыми, если они имеют
общуюмеруc: a=mc и b=nc,гдеmиn—натуральныечисла.
Соизмеримые отрезки существуют, например a = 1 м и b =
= 3 дм. Для нахождения их наибольшей общей меры отложим b на a
(3 раза) и получим в остатке отрезок d1 (1 дм), меньший отрезка b.
Остаток отложится на меньшем отрезке ровно 3 раза, т. е. b = 3d1, и в
большем отрезке a10 раз, т. е. a =3b+d1=9d1+d1=10d1, по-
этому d1 и есть наибольшая общая мера отрезков a и b.
Два отрезка называются несоизмеримыми, если они не имеют
общей меры.
Мы также будем говорить о соизмеримых и несоизмеримых
числах, имея в виду отрезки с соответствующими длинами.
Числа, соизмеримые с единицей, называются рациональными,
в противном случае — иррациональными.
Докажем существование иррациональных чисел, показав несо-
измеримость диагонали квадрата и его стороны.
Но сначала напомним теорему Пифагора. Факт, что квадрат ги-
потенузы равен сумме квадратов катетов, был известен задолго до
Пифагора в некоторых цивилизациях, в частности в вавилонской, но
доказательство этого факта впервые привел Пифагор. Согласно ле-
генде после открытия этой теоремы Пифагор принес в жертву богам
100 (по другой версии 80) быков.
Теорема Пифагора. Дан прямоугольный треугольник ABC с ка-
тетами a, b и гипотенузой c. Тогда c
2
=a
2
+b2
.
Доказательство. Не ограничивая общности, считаем a ≥ b.
На гипотенузе с строим квадрат ABB|A| со стороной c (см. рис. 1 .1).
Из B| проводим прямую параллельно AC. Продолжаем BC до
пересечения с проведенной прямой, точку пересечения обозначим
через B1. Из A\ проводим прямую параллельно BB1. B3 — точка
пересечения этой прямой с АС, а B2 — точка пересечения с прямой
B\B1. Таким образом, квадрат ABB\A\ разбился на 4 треугольника,
равных АВС, и квадрат B3CB1B2 со стороной a − b . Поэтому c 2 =
=4
1
2
ab+(a−b)2=2ab+a2−2ab+b2,т.е.c2
=a
2+b2.

31
Рис. 1 .1
Верна и обратная теорема.
Теорема, обратная к теореме Пифагора. Если положительные
числа ,,
abcтаковы, что
2
2
2
c
b
a
=
+
, то существует треугольник со
сторонами ,,
abcи он прямоугольный.
Доказательство. Выберем произвольную точку О на плоскости.
Проведем из этой точки 2 перпендикулярных луча. На одном из них
на расстоянии a от точки О выберем точку А, на другом — точку В на
расстоянии b от точки О. Тогда по теореме Пифагора AB2 = a2 + b2,
т. е. АВ = с. Таким образом, существует треугольник со сторонами
a, b, c , и он прямоугольный, а так как три стороны задают единствен-
ный треугольник (по одному из признаков равенства треугольников),
то другого треугольника, удовлетворяющего условиям теоремы, не
существует.
Этот факт использовался в строительстве при построении пря-
мого угла в некоторых древних цивилизациях (это используется так-
же и сейчас).
Докажем теперь, что диагональ квадрата несоизмерима с его
стороной.
Предположим, что сторона квадрата избрана в качестве единицы
длины, длину же диагонали обозначим через x. Тогда, согласно тео-
реме Пифагора, мы получаем: x 2 = 12 + 12 = 2. (Такое число x обо-
значают символом √2.) Если бы x было соизмеримо с единицей, то

32
можно было бы найти два таких целых числа p и q, что x =
p
q
, и тогда
мы пришли бы к равенству
p2 = 2q2.
(1.3)
Можно допустить, что дробь
p
q
несократима, иначе мы с самого
начала сократили бы ее на общий наибольший делитель чисел p и q.
С правой стороны имеется 2 в качестве множителя, и потому p2
есть четное число, и значит, само p — также четное, так как квадрат
нечетного числа есть нечетное число. В таком случае можно поло-
жить p = 2r. Тогда равенство (1.3) принимает вид 4r 2 = 2q2, или
2r2
=q
2
. Так как с левой стороны теперь имеется 2 в качестве мно-
жителя, значит, q2, а следовательно, и q — четное. Итак, p и q — чет-
ные числа, т. е. делятся на 2, а это противоречит допущению, что
дробь
p
q
несократима. Итак, равенство (1.3) невозможно, и x не может
быть рациональным числом. Иначе этот результат можно сформули-
ровать, утверждая, что √2 есть число иррациональное.
Пифагоровы числа.
Интересный вопрос из области теории чисел связан с теоремой
Пифагора. Теорема эта, как известно, алгебраически выражается ра-
венством
a2+b2=c2
,
(1.4)
где a и b — длины катетов, а c — длина гипотенузы. Проблема
разыскания всех прямоугольных треугольников, стороны которых
выражаются целыми числами, таким образом, эквивалентна проблеме
нахождения всех решений (a, b, c) в целых числах уравнения (1.4).
Каждая тройка целых чисел (a, b, c), удовлетворяющих уравне-
нию (1.4), носит название пифагоровой тройки. Все пифагоровы
тройки могут быть найдены довольно просто. Пусть целые числа a, b
и c образуют пифагорову тройку, т. е. связаны соотношением a2 +
+b2=c2
. Положим ради краткости
a
c
=x,
b
c
= y.Тогдаxиy—рацио-
нальные числа, связанные равенством x2 + y2 = 1. Из последнего ра-
венства следует
y2=(1−x)(1+x)или
y
1+x
=
1−x
y
.
Общее значение двух отношений в полученной пропорции есть
число t, которое может быть представлено как отношение двух целых
чисел u, v.

33
Можно далее написать:
y=t(1+x)и(1−x)=ty,илижеtx−y = −t,x+ty=1.
Из полученной системы уравнений немедленно следует, что x =
=
1−t 2
1+t2, y =
2t
1+t 2. Подставляя
a
c
и
b
c
вместоxиyи
u
v
вместо t, будем
иметь
a
c
=
v2−u2
u2+v2,
b
c
=
2uv
u2 +v 2 . Отсюда вытекает
a=(v2−u2)r, b =2uvr, c =(v2+u2)r,
(1.5)
где r — некоторый рациональный множитель пропорциональности.
Итак, если числа (a, b, c) образуют пифагорову тройку, то они
соответственно пропорциональны числам вида v2−u2
,2uv,u2+v2.
Обратно, легко проверить, что всякие три числа (a, b, c), опреде-
ленные равенствами вида (1.5), образуют пифагорову тройку, так как
из равенств (1.5) следует a2 = (u4 − 2u2v2 + v4)r2, b2 = (4u2v2)r2, c2
= (u4+
+2u2v2+v4)r2,такчтоa2+b2=c2
.
Этот результат сформулируем немного по-другому. Из некото-
рой пифагоровой тройки (a, b, c) легко выводится бесконечное мно-
жество других пифагоровых троек (sa, sb, sc), каково бы ни было це-
лое положительное s. Так из (3, 4, 5) получаются (6, 8, 10), (9, 12, 15)
и т. д . Такие тройки не являются существенно различными, так как
соответствуют подобным треугольникам. Мы условимся говорить о
примитивной пифагоровой тройке, если числа a, b и c не имеют
общего множителя. Можно показать, что формулы a = v2 – u2
, b =2uv,
c = u2 + + v2, где u, v — произвольные целые положительные числа
(v > u), не имеющие общих множителей и не являющиеся одновре-
менно нечетными, дают нам все примитивные пифагоровы тройки.
Вот примеры примитивных пифагоровых троек: v = 2, u = 1 (3, 4,
5),v=4,u=3(7,24,25),v=3,u=2(5,12,13),v=10,u=7(51,140,
149)ит.д.
Интересно отметить, что уравнение
k
k
k
c
b
a
=
+
при натураль-
ном
2

k в целых числах уже неразрешимо. Это утверждение, из-
вестное как великая теорема Ферма, было сформулировано Ферма в
XVII в. и доказано по прошествии более 350 лет в 1995 г.
1.8 . Арифметические операции
в недесятичных системах счисления
Для выполнения этих операций с самого начала удобно иметь
таблицы сложения и умножения. В качестве примера приведем эти
таблицы для двенадцатеричной системы.

34
Таблица 1.5
Таб лица сложения
+
12
3
456789aB
123
4
56789
a
B10
234
5
6789aB1011
345
6
789aB101112
456
7
89ab10111213
567
8
9aB1011121314
678
9
a
B101112131415
789
a
B10111213141516
89a
B1011121314151617
9aB101112131415161718
a
B10111213141516171819
B101112131415161718191a
Таблица умножения
1
2
3
4
5
6
7
8
9
a
B
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
a
B
2
2
4
6
8
a
10121416181a
3
3
6
9
1013161920232629
4
4
81014181a
2428303438
55
a
131821262b34394247
6610161a26303640465056
7
7
1219242b364148535a65
8
814202834404854606874
9
916233039465360697683
a
a
18263442505a68768492
BB1a2938475665748392a1
Задача 1. Сложить, перемножить и разделить с остатком следу-
ющие пары чисел, записанные в 12-ричной системе счисления: 5731 и
47, 125 843 и 357, 489 и 317, 8453 и 3647.
Задача 2. Составить таблицы сложения и умножения в
6-ричной, 7-ричной, 9-ричной, 11-ричной системах счислении. Сло-
жить и перемножить в соответствующей системе счисления следую-
щие пары чисел:
(125843)9 , (357)9 ; (125843)11, (357)11 ;
(5431)6, (45)6 ; (3645)7 (6453)7.

35
Задача 3. Записать числа, данные в одной системе счисления, в
другой заданной: (125 843)9 в 2-ичной, (357)9 в 3-ичной, (125 843)11
в 4-ичной, (357)11 в 5-ичной, (5431)6 в 7-ричной, (45)6 в 8-ричной,
(3645)7 в 11-ричной, (6453)7 в 12-ричной.
1.9. Переход от системы с одним основанием
к системе с другим основанием
В соответствии с Замечанием 1.4.2, чтобы число z =
= (an an−1
...a
1a0)p перевести в q-ичную систему при q < p, необхо-
димо рассмотреть остатки при последовательном делении в p-ичной
системе числа (an an−1
...a
1a0)p на число q. Точнее, эти остатки ri -е
определяются из следующих равенств: z = k0q + r0, k0 = k1q + r1, ⋯,
m
m
m
m
m
m
r
q
k
k
r
q
k
k
+
=
+
=
−
−
−
−
1
1
1
2
,
,
q
km
.
То есть z = ((⋯(((kmq +
+rm)q+rm−1)q+rm−2)⋯)q+r1)q+r0и
q
m
m
m
r
r
r
r
k
z
)
(
0
1
1
−
=
.
Если q > p, то нужно q записать в p-ичной системе и повторить
предыдущий абзац. Затем, записав полученные остатки и последнее
частное в q-ичной системе, составить из них число (как в предыду-
щем случае).
Задача 1. Число
6
)
1243
(
перевести в 5-ичную, 3-ичную,
7-ричную, 12-ричную системы счисления.
Решение.
1243|5___
5 |143|5__
34 14 |20|5_
32 314|2
23
2
23
0
Следовательно ,
(1243)6 =
= (2230)5
1243|3__
10 |253|3_
24 23 |55|3_
23 23 3 |15|3
13 23 25 13|3|3
1302323|1
0
20
Итак, (1243)6 =
= (102200)3
1243|11__
11 |113|11_
14 11 |10
113
33
33
0
Следовательно,
(1243)6 = (630)7
1243|20
120 |42|20
43 40|2
402
3
Следовательно,
(1243)6 = (223)12
Приведенный выше алгоритм применим для любых p и q. Для
каких-то конкретных значений p, q существуют упрощенные алго-
ритмы. Рассмотрим некоторые из них.
Перевод из двоичной в 8-ричную и 16-ричную системы. Пусть
дано число в двоичной системе:
z=(an...a1a0)2=an⋅k
n
+⋯+a323+a222+a1⋅2+ (1.6)

36
+a0, aj<2, an≠0.
Заметим,
что b32l + b22l−1 + b1 ⋅ 2l−2
= 2l−2(b322 + b22 +
+b1)≤7⋅2l−2
, bj < 2. Разобьем сумму из (1.6) на группы по 3 слага-
емых, начиная с конца. Получим выражение
z = ⋯ + 82(a8a7a6)2 + 8(a5a4a3)2 + (a2a1a0)2.
(1.7)
Теперь осталось перевести в 8-ричную систему триады из (1.7).
Для перевода в 16-ричную систему нужно разбить (1.6) с конца
на тетрады, а потом каждую из них перевести в 16-ричную систему.
И вообще, если нужно перевести число, записанное в q-ичной систе-
ме, в qp-ичную систему, исходное число нужно разбить с конца на
группы по p цифр и каждую из этих групп записать в qp-ичной систе-
ме.
Задача 2. Число (1110100011101010111011)2 записать в
8-ричной и 16-ричной системах.
Решение.
Разобьем
данное
число
на
триады
1 110 100 011 101 010 111 011 и переведем каждую из них в 8-ричную
систему в том же порядке, в котором они приведены: 16 435 273. Та-
ким образом, (110100011101010111011)2 = (16 435 273)8.
Чтобы перевести данное число в 16-ричную систему, разобьем
его с конца на тетрады: 11 1010 0011 1010 1011 1011. Переведем каж-
дую из них в 16-ричную систему в той же последовательности, в ко-
торой они приведены: 3a3abb. Итак, (1110100011101010111011)2 =
= (3a3abb)16.
Чтобы перевести число из 8-ричной или 16-ричной системы в
двоичную, или более обще — из qp-ичной системы в p-ичную, надо
просто приведенный алгоритм «перевернуть», т. е. достаточно каж-
дую цифру числа, записанного в qp-ичной системе, записать с помо-
щью p цифр в p-ичной системе.
Задача 3. Числа (12ab5f7cde)16, (2576347)8 перевести в двоич-
ную систему.
Решение. (12ab5f7cde)16: 1 0010 1010 1011 0101 1111
0111 1100 1101 1110. Следовательно, (12ab5f7cde)16 =
= (1001010101011010111110111110011011110)2.
(2576347)8: 10 101 111 110 011 100 111. Следовательно,
(2576347)8 = (10101111110011100111)2.
Задача 4. Число (2001112202100021200111201)3 записать в
9-ричной и 27-ричной системах. Числа (82345617563)9 и (9q5ml7jdf)27
записать в 3-ичной системе счисления.

37
1.10. Обобщения позиционных систем счисления
Известные обобщения идут в двух направлениях.
1. За основание берется не натуральное число (имеются системы
с нецелым, отрицательным и даже комплексным числом в качестве
основания).
2. Меняется множество, из которого берутся цифры.
Мы рассмотрим только так называемые симметричные (уравно-
вешенные) системы счисления. Они относятся ко 2-му типу обобще-
ний. Симметричная система с основанием k ∈ Ν, где k обязательно
нечетно, определяется следующим равенством:
an...a1a0=an⋅k
n
+⋯+a1⋅k+a0, aj<k, an≠0,
aj∈{−
k−1
2
,1−
k−1
2
,2−
k−1
2
,⋯,(k−1)−
k−1
2
}.
(1.8)
Требование нечетности основания продиктовано желанием
иметь единственность представления любого числа в виде равен-
ства (1.8). При четном основании запись в ней перестает быть одно-
значной (и цифры становятся нецелыми).
Рассмотрим подробнее случай k = 3. Множество цифр из (1.8):
{–1, 0, 1}. Для удобства записи вместо цифры –1 будем писать 1 .
Итак, множество цифр рассматриваемой системы есть { 1 , 0 1}.
В случае необходимости указания системы, в которой записано
какое-то число, для рассматриваемой системы будем в нижнем пра-
вом индексе числа писать 3. Приведем таблицы сложения и умноже-
ния.
Таблица 1.6
Таб лица сложения
Таблица умножения
+
1
0
1

1
0
1
1
11
1
0
1
1
0
1
0
1
0
1
0
0
0
0
1
0
1
11
1
1
0
1
Покажем, что любое натуральное число можно записать в этой
системе, причем единственным образом. Пусть z ∈ Ν — произволь-
но. Его можно записать единственным образом в 3-ичной системе z =
= (an. . . a1a0)3.
Пусть
aj1
=⋯=ajm
=2иal≠2 приl∉{j1,⋯,jm}=:M,0≤j1≤
≤⋯≤jm≤n.

38
Обозначим
bk:={
ak, еслиk∉M
0, еслиk∈M
k=0,1,⋯,n; ck:={
0, еслиk∉M
2, еслиk∈M
,
k=0,1,⋯,jm.
Числа bk равны или 0 или 1. Тогда
z = (bnbn−1
⋯ b1b0)3+2(3jm+3jm−1 +⋯+3j1) =
= (bnbn−1
⋯ b1b0)3 + (cjm cjm −1
⋯c
0)3.
(1.9)
Таким образом,
z = (bnbn−1
⋯ b1b0)3+11̄ 0 ⋯0
⏟
jm+1нулей
+11̄ 0 ⋯0
⏟
jm−1+1нулей
+⋯+
+11̄ 0 ⋯0
⏟
j1 +1нулей
.
Сложив эти числа в симметричной 3-ичной системе, получим,
что любое число можно представить в этой системе. Единственность
такого представления следует из единственности представления чис-
ла z в виде (1.8), а значит, и единственности представления в виде
(1.9). Осталось заметить, что сумма двух чисел, записанных в сим-
метричной 3-ичной системе, определяется в этой системе однозначно.
Замечание 1. Приведенные выше вычисления дают алгоритм
перевода числа, записанного в 3-ичной системе, в симметричную
3-ичную систему.
Задача 1. Число z =
3
)
21202
(
записать в симметричной 3-ичной
системе.
Решение. z = (1000)3 + (20202)3=
3
(1000) 110000 1100 11
+
+
+=
101111
=
.
Задача 2. Записать числа (125843)9, (357)9, (122112)3,
(357)11 в симметричной 3-ичной системе.
Симметричная 3-ичная система обладает рядом достоинств. Пе-
речислим некоторые из них.
1. Для изменения знака у представляемого числа достаточно из-
менить знаки у всех его цифр: −an. . . a1a0 = −an. . . −a
1 − a0, напри-
мер −101
̄
11̄ 1
̄
0 = 1̄011
̄
110. При представлении чисел в компьютерах
здесь нет необходимости в специальном знаковом бите.
2. Вычитание сводится к сложению со сменой знака у вычитае-
мого:
an...a1a0
− bm...b1b0=an...a1a0+−bm... −b1−b0,
например,
111̄ 01
̄
1̄10 −1
̄
1001̄ 11
̄
1̄ = 111̄01
̄
1̄10+11̄0011
̄
11=
= 11̄01
̄
001̄ 1
̄
1.

39
ГЛАВА 2
ДЕЛИМОСТЬ. ИНДУКЦИЯ. ПРИЛОЖЕНИЯ
Рассмотрены примеры применения позиционных систем к ком-
пьютерным вычислениям, релейно-контактным схемам и конструи-
рованию логических элементов ЭВМ, решению занимательных задач.
Подробно анализируются вопросы делимости целых чисел, приведе-
но большое количество признаков делимости, в том числе и в недеся-
тичных системах счисления; при их доказательстве использованы са-
мые первые методы теории сравнений. Рассмотрены алгоритм Евкли-
да и цепные дроби. Доказаны основная теорема арифметики; формула
Эйлера ζ(s)=∏(1−p
−s
)−1
p
, где ζ(s) — дзета-функция Римана,
произведение берется по всем простым p. Рассмотрено приложение
метода математической индукции к задачам теории графов, теории
многогранников.
2.1 . Решение различных задач
с помощью систем счисления
Начнем с некоторых занимательных задач, эффектно решаемых
с помощью рассмотренных систем счисления.
Задача 1. При какой системе гирь, имея их по одной, можно
взвесить всевозможные грузы до некоторого наибольшего груза, по-
мещая гири только на одну чашу весов? Подразумеваются грузы в
целое число основной единицы (грамма, например).
Задачей 1 занимались Леонард Пизанский (XIII в.), Лука Пачоли
(XV в.), Д. И . Менделеев в бытность директором Главной палаты мер
и весов.
Решение задачи 1. Пусть для определенности наибольший груз,
о котором идет речь в задаче, равен 10 000 г. Очевидно, 213 < 10 000 <
< 214 и 10 000 будет представлено 14-разрядным числом в 2-ичной си-
стеме. Поэтому с помощью 14 гирь с весами
1г,2г,4г,8г,16г,32г,64г,128г,256г,
512 г, 1024 г, 2048 г, 4096 г, 8192 г
(2.1)
можно взвесить любой целочисленный в граммах весом от 1 до
10 000 г включительно.
Рассмотрим теперь вопрос о минимальности. Меньшего количе-
ства грузов может не хватить, потому что с помощью k < 14 грузов
можно взвесить не более чем 2k – 1 < 10 000 разных весов, так как

40
каждый вес однозначно определяется ненулевым набором
)
,
,
(
1
a
ak
,
в котором каждое число ai равно 1, если i-й груз входит в этот вес, и
равно 0 в противном случае, а всего наборов из нулей и единиц дли-
ны k можно составить
k
k
2
)1
11
(
1
2=
+




.
Очевидно, что с помощью набора (2.1) можно взвесить любой
вес от 1 до (214 – 1)/2 (= 16 383) включительно. Для данного веса
10 000 г оптимальная система не является единственной: вес от 1 до
10 000 г можно измерить набором
{1, 2, 4, 8, 16, ..., 4096, А},
(2.2)
где А — любое целое число из отрезка [1809, 8192].
Действительно, с помощью первых 13 гирь из (2.1) можно отве-
сить любой вес из отрезка [1, 214 – 1 = 8191], и если
]
8192
,
1809
[
A
,
то с помощью набора (2.2) можно отвесить любой целочисленный
груз из отрезка [1, A + 8191].
Теперь легко видеть, что неединственность оптимального реше-
ния наблюдается во всех случаях, когда наибольший груз не имеет
вид 2m
–
1.
Если же максимальный груз равен 2m
–
1, то минимальная си-
стема грузов определяется однозначно. Доказательство легко прово-
дится методом математической индукции. Подробно об этом методе
мы будем говорить в следующих разделах.
Задача 2. Доказать, что в случае максимального груза в 2m
–
1
минимальная система грузов определяется однозначно.
Задача 3. Какое наименьшее количество вопросов с ответами
«да», «нет» нужно задать, чтобы определить 10-значный номер теле-
фона (набор 0000000000 также считается номером).
Задача 4. Немного усложним задачу 1, разрешив класть гири на
обе чаши весов. Какой минимальный набор гирь должен быть в этом
случае?
Частный случай задачи 4 был опубликован в книге французско-
го математика Баше де Мезириака «Сборник занимательных задач»,
изданной в 1612 г. Ею занимался и Менделеев. Задачу 4 иногда назы-
вают задачей Баше — Менделеева.
Решение задачи 4. Для удобства записи возьмем, как и в зада-
че 1, максимальный груз в 10 000 г. Очевидно,
10000=38+37+36+235+33+2,32+2=(111201202)3=
= (111001000)3 + (200202)3 = (111001000)3 + (11̄ 011
̄
11̄)3 =
= (11̄1
̄
1̄1
̄
11̄ 1
̄
11̄)3.

41
Будем использовать систему гирь
{1, 3, 9, 27, 81, 243, 729, 2187, 6561, 19 683}.
(2.3)
Груз в 10 000 г можно взвесить с помощью гирь из (2.3), положив
в чашу с грузом гири 6561, 2187, 729, 243, 27, 9, 1, а в другую чашу —
гири, соответствующие разрядам, в которых стоят 1, в данном случае
это9и19683.Любойгрузот1гдо1+3+9+27+81+243+729+
+2187+6561+19683=1+3+32+...+38+39=(310–1)/2=29524г
можно взвесить с помощью гирь из (2.3). Для этого надо записать это
число в симметричной 3-ичной системе и в чашу с грузом положить
гири, соответствующие разрядам, в которых стоит 1 , а в другую чашу
весов положить гири, соответствующие разрядам, содержащим 1. Та-
ким образом, с помощью k гирь
{1, 3l}l=1
k−1
(2.4)
можно взвесить любой целочисленный груз от 1 до
3k −1
2
(в случае, ко-
гда гири можно класть в обе чаши весов).
Докажем, что меньшего количества гирь недостаточно и пред-
ложенная система (2.4) для грузов от 1 до
3k −1
2
оптимальна. Допу-
стим, что есть система из k-1 гирь с массами g1, ... gn–1, позволяющая
взвесить любой из этих грузов. Это значит, что любое число m от 1 до
(3k – 1)/2 можно представить в виде суммы a1g1 + ⋯ +
+ak−1gk−1, ai =0,±1; i=1,⋯,k −1.Но таких сумм ровно 3k–1
,
что меньше общего числа различных грузов, равного (3k – 1)/2.
Рассмотрим вопрос о единственности минимального набора
гирь. Пусть m — максимальный вес,
3k−1
−1
2
<m≤
3k −1
2
. Рассмотрим
сначала случай
3k−1
−1
2
<m<
3k −1
2
.
С помощью первых k–1 гирь из
(2.4) можно отвесить любой вес из отрезка [1, (3k–1
–
1)/2], и если
A∈[m−
3k−1
−1
2
,
3k−1 +1
2
], то с помощью набора (2.4) можно отвесить
любой целочисленный груз из отрезка [1, A +
3k−1
−1
2
].
То есть неединственность оптимального решения наблюдается
во всех случаях, когда наибольший груз не имеет вид (3k – 1)/2.
Если же максимальный груз равен (3k – 1)/2, то минимальная си-
стема грузов определяется однозначно. Доказательство легко прово-
дится методом математической индукции.
Рассмотрим теперь некий способ угадывания карт, известный
как фокус Жергонна (Жозеф Диас Жергонн, французский математик
XIX в.), объяснение которому дается с помощью 3-ичной системы.

42
Зритель запоминает одну из 27 карт и выкладывает их в 3 стопки
по 9 карт картинками вверх (первая карта идет в первую стопку, вто-
рая — во вторую, третья — в третью, четвертая — в первую и т. д .).
Фокуснику сообщается, в какой из стопок запомненная карта, потом
стопки складываются в любом из 6 возможных вариантов (не перета-
совывая карты внутри стопок) и раскладываются снова в три равные
стопки, начиная с верхней карты, потом складываются опять, и про-
цедура повторяется в третий раз, при этом каждый раз сообщается, в
какую из стопок легла запомненная карта. После этого фокусник от-
гадывает запомненную зрителем карту.
Разгадка фокуса. Фокусник каждый из трех раз замечает, куда
легла стопка с запомненной картой — вверх (это отмечается симво-
лом 0), в середину (1), или вниз колоды (2). Пусть ai — символ, по-
лученный при i-м складывании стопок. Составляется число
(a3a2a1)3. Начиная с верхней карты колоды, отсчитывается
(a3a2a1)3 + 1 карт. Последняя из отсчитанных карт и есть запомнен-
ная.
Пусть карты перетасованы и разложены по 3 стопки, т. е. сделан
1-й шаг. Обозначим сверху вниз карты какой-нибудь из стопок буква-
ми: а, б, в, г, д, е, ё, ж, з. Карты одной из двух оставшихся стопок — и,
й,к,л,м,н,о,п,р.Икартыоставшейсястопки—с,т,у,ф,х,ц,ч,ш,ь.
Заметим, что то, какие карты окажутся в одной стопке на сле-
дующем шаге, зависит только от внутреннего расположения карт в
каждой стопке, а не от порядка расположения самих стопок. Рассмот-
рим таблицу 2.1.
Таблица 2.1
α1
А
Б
В
Г
Д
Е
ё
Ж
З
β1И
ЙКЛ
М
Н
о
П
Р
γ1С
Т
У
Ф
Х
Ц
ч
Ш
ь
α2
β2
γ2
α2
β2
γ2
α2
β2
γ2
Здесь слева от стопки выписан номер стопки, когда они на пер-
вом шаге выкладываются в колоду. При этом верхняя стопка нумеру-
ется 1, средняя — 2, нижняя — 3 .
αi,βi,γi∈{1,2,3}, αi ≠βi≠γi, i =1,2; iозначаетномершага.
Таблица 2.2
α2
{а
И
С
Г
Л
Ф
ё
О
ч}
β2{бЙ
Т
Д
М
Х
ж
П
ш}
γ2 {в
К
У
Е
Н
Ц
з
Р
ь}

43
В таблице 2.2 элементы каждой из стопок заключены в фигур-
ные скобки, чтобы подчеркнуть, что порядок этих элементов нами не
указан. Этот порядок зависит от значений α1, β1, γ1. Но очевидно, что
в каждой вновь образованной стопке элементы можно объединить в
«тройки», состоящие из трех элементов одной из предыдущих стопок,
в которых порядок следования элементов определен. А порядок са-
мих «троек» зависит от значений α1, β
1
,γ
1
.
Таблица 2.3
α2
{ё,г,а
о,л,и
ч,ф,с}
β2
{ж,д,б
п,м,й
ш,х,т}
γ2
{з,е,в
р,н,к
ь,ц,у}
α̃1
β̃
1
γ̃1
Номера этих «троек» внутри стопки (они выписаны в последней
строке таблицы 2.3) определяются следующим образом: α̃ 1 =
={
3,еслиα1=1
2,еслиα1=2
1,еслиα1=3
, аналогично определяются β̃
1, γ̃1
.
При этом каждая из трех карт любой «тройки» попадает в раз-
ные стопки при следующей (3-й) раздаче, и номер каждой из них в
соответствующей вновь образованной «тройке» в соответствующей
новой стопке равен α̃̃
1, или β̃̃
1
, или γ̃̃
1
(в соответствии с тем, какая
«тройка» рассматривается), где
α̃
̃
1={
3, если α
̃
1=1
2, если α
̃
1=2
1, если α
̃
1=3
, аналогично определяются β̃̃
1,γ
̃
̃
1.
Очевидно, α
̃
̃
1=α1,β
̃
̃
1=β1,γ̃̃
1 = γ1. Таким образом, в итоге но-
мер задуманной карты в «тройке» в соответствующей стопке равен α1
(β1
или γ
1
), если карта на 1-м шаге находилась в стопке α1 (β1
или γ
1
).
Очевидно, точно так же порядок «троек» внутри стопок, образо-
ванных на последнем шаге, определяется α2, β2, γ2. А порядок стопок
на последнем шаге задается числами α3, β3, γ3. Поэтому номер заду-
манной карты, если считать сверху вниз, есть (ζ − 1) ⋅ 9 + (ε − 1)3 +
+ δ = : n, где δ (ε и ζ) — номер стопки, где находится задуманная
карта на 1-м (2-м и 3-м) шаге, т. е. α1, или β1, или γ1 (α2, или β2, или
γ2 и α3, или β3, или γ3). Если будем нумеровать стопки не как 1, 2, 3, а
как0,1,2,тоn=(a3a2a1)3+1.

44
Рассмотрим другой вариант фокуса Жергонна, отличающийся от
приведенного способом раскладывания карт. Колода из 27 карт рас-
кладывается на 3 стопки по 9 карт каждая следующим образом:
Таблица 2.4
α2
{ё,е,а
о,н,и
ч,ц,с}
β2
{ж,д,б
п,м,й
ш,х,т}
γ2
{з,г,в
р,л,к
ь,ф,у}
α̃1
β̃
1
γ̃1
1-якартав1-юстопку,2-я —во2-ю,3-я —в3-ю,4-я —опятьв
3-ю, 5-я — во 2-ю, 6-я — в 1-ю и т. д. Одна из карт запоминается зри-
телем, и указывается стопка, в которой она находится, и все повторя-
ется еще 2 раза. Процедура угадывания здесь дословно такая же, как
и в предыдущем случае, и доказательство этой процедуры полностью
совпадает с приведенным выше доказательством за исключением
таблицы 2.3, которая заменяется таблицей 2.4 .
Задача 5. Колода из 21 карты раскладывается на 3 стопки по
7 карт каждая следующим образом: 1-я карта в 1-ю стопку, 2-я —
во2-ю,3-я —в3-ю,4-я
—
в 1-ю и т. д. Фокуснику сообщается, в ка-
кой из стопок находится запомненная карта, потом стопки складыва-
ются так, чтобы стопка с запомненной картой легла посередине (та-
ких вариантов расположения стопок — 2), не перетасовывая карты
внутри стопок, и раскладываются снова в три равные стопки, начи-
ная с верхней карты, потом складываются опять, и процедура повто-
ряется в третий раз, при этом каждый раз стопка с запомненной кар-
той кладется посередине. Доказать, что в итоге задуманная карта
окажется точно в середине колоды, т. е . на 11-м месте от любого края.
Решение. Здесь подсчет более простой, чем в предыдущем фо-
кусе. Проведем его. Пусть карты перетасованы и разложены по
3 стопки. Обозначим сверху вниз карты какой-нибудь из стопок бук-
вами: а, б, в, г, д, е, ё (обозначим эту стопку через (1.с1)), карты одной
из двух оставшихся стопок — ж, з, и, й, к, л, м (стопка (1.с2)), карты
оставшейся стопки — н, о, п, р, с, т, у (стопка (1.с3)). С точностью до
переобозначений можно считать, что задуманная карта находится
среди стопки (1.с2).
Итак, после 1-го шага будем иметь следующую последователь-
ность карт (сверху вниз): (1.с1), (1.с2), (1.с3) или (1.с3), (1.с2), (1.с1).
Рассмотрим 1-й вариант (переобозначив, получим вариант 2). После
2-й раздачи получим следующие стопки с указанным порядком сле-
дования карт в каждом из них: (2.с1): с, о, л, и, ё, г, а; (2.с2): т, п, м, й,

45
ж,д,б;(2.с3):у,р,н,к,з,е,в;(2.с1\):д,б,л,и,у,р,н;(2.с2\):е,в,м,й,
ж, с, о; (2.с3/): ё, г, а, к, з, т, п. Так как любые 3 карты, находящиеся
рядом (в одной стопке), при раздаче окажутся в разных стопках, то
карты к, з окажутся в разных стопках, карты м, й, ж — в разных стоп-
ках, карты л, и — в разных стопках.
Рассмотрим случай, когда после 2-й раздачи получаются стопки
(2.с1), (2.с2), (2.с3) (случай стопок (2.с1\), (2.с2\), (2.с3\) рассматрива-
ется аналогично. Предположим, что задуманная карта находится в
стопке (2.с3), т. е . задумана или к, или з. Тогда колода, образуемая по
сформулированным правилам, имеет вид (2.с2) (2.с3) (2.с1) или (2.с1)
(2.с3) (2.с2).
В 1-м случае после раздачи получим следующие 3 стопки:
(3.с1):ё,о,е,н,б,й,т;(3.с2):г,л,в,к,д,ж,п;(3.с3):а,и,с,з,р,д,м.
Задуманная карта находится или в (3.с2), или в (3.с3). Если это к, то
колоду формируем как (3.с1) (3.с2) (3.с3) или (3.с3) (3.с2) (3.с1).
В обоих случаях, очевидно, карта к будет лежать под номером 11. Ес-
ли задумана карта з, то колода (3.с2) (3.с3) (3.с1) или (3.с1) (3.с3)
(3.с2). В обоих случаях карта з будет лежать под номером 11.
Рассмотрим теперь фокус Люка (Эдуард Люка, французский
математик XIX в.). Лежащая в основе этого фокуса идея имеет при-
менение в криптографии.
Имеется 5 полосок бумаги, на каждой из которых написано
16 разных чисел из набора {1, 2, ..., 30, 31}. Зрителю предлагается за-
гадать число от 1 до 31 включительно. Фокусник предлагает ему ска-
зать, в каких полосках он видит задуманное число. После этого фо-
кусник мгновенно называет это число.
Понятно, суть фокуса — в наборах чисел, написанных на полос-
ках. Чтобы понять, какие наборы чисел надо выписывать на полосках,
представим числа от 1 до 31 в двоичной системе:
1, 10, 11, 100, 101, 110, 111, 1000, 1001, 1010, 1011, 1100, 1101, 1110,
1111, 10000, 10001, 10010, 10011, 10100, 10101, 10110, 10111, 11000,
11001, 11010, 11011, 11100, 11101, 11110, 11111.
Пронумеруем (в уме) полоски и в i-й (i = 1, 2, 3, 4, 5) полоске за-
пишем все числа, в двоичной записи которых на i-й позиции (считая
справа налево) стоит единица. Пусть ai равно 1, если задуманное чис-
ло находится в i-й полоске, и равно 0 в противном случае, i = 1, 2, 3,
4, 5. Очевидно, (a5a4a3a2a1)2 — задуманное число.
Для полноты изложения фокуса запишем числа для каждой из
полосок (табл. 2 .5).

46
Таблица 2.5
Числа
П
о
л
о
с
к
и
1135791113151719212325272931
22367101114151819222326273031
34567121314152021222328293031
4891011121314152425262728293031
516171819202122232425262728293031
Приведенную процедуру поиска задуманного числа можно под-
строить под какие-то прикладные задачи. Например, надо выяснить,
какая из 31 взятой пробы заражена, или удостовериться в том, что за-
раженных среди них нет. Считается, что заражено не более 1-й про-
бы. Если анализировать все пробы последовательно, то это будет
долго и дорого. Пронумеруем пробы числами от 1 до 31, нужно опре-
делить номер зараженной. Для этого в соответствии с таблицей 2.5
сольем в одну емкость часть содержимого из проб с номерами из
1-й строки, в другую — часть проб с номерами из 2-й строки и так до
5-й строки. Анализируя полученные 5 смесей, получим ответ на ис-
ходный вопрос.
Приведенная схема, очевидно, работает и для случаев, когда
рассматриваются произвольные числа, а не только 31. Скажем, если
загадывается число между 1 и 63 или 1 и 34, требуется уже 6 полосок.
Задача 6. Описать фокус Люка для случаев, когда загадывается
число между 1 и 63, 1 и 34, сформулировать процедуру поиска заду-
манного числа и обосновать её.
В случае когда имеется партия из m проб без ограничений на ко-
личество зараженных проб, где 2n−1 ≤ m ≤ 2n
, n — произвольное
число, то за n анализов, производимых по приведенной выше схеме,
можно определить, содержит или не содержит данная партия зара-
женные пробы. Этот способ может быть эффективен при массовых
проверках.
2.2 . Методы устного счета
В свое время были популярны так называемые вычислительные
фокусы, с которыми выступали эстрадные вычислители. В основе
всех этих фокусов лежали простые закономерности, позволявшие
устно производить вычисления. Навыки такого счета представляют
собой определенную ценность и в чисто практическом отношении,
так как используются как в быту, так и в процессе обучения матема-
тике школьников. Приведем некоторые простые в обращении приемы
устного счета.

47
Начнем с общих правил.
Если слагаемые (оба или одно) близки к круглым числам, то
складываем эти круглые числа и учитываем нужную поправку. Если
вычитаемое близко к круглому числу, то сначала отнимем это круг-
лое число и учитываем нужную поправку.
Если множители (оба или один) близки к круглым числам, то
умножаем эти круглые числа и учитываем нужную поправку. Если
делимое близко к круглому числу, то делим это круглое число и учи-
тываем нужную поправку.
Во многих случаях устного счета удобны следующие правила.
1. Умножение на 5 сводится к делению на 2; деление на 5 — к
умножению на 2:
___ _
α5α:2
o
=
, α:5 (α:10)2
=
, 123875 =123870:
:2=61935,176145:5=17614,5 2 =35229.Приделениикакого-то
числа на 2 (или на любое другое число) можно делить поразрядно,
если они делятся на 2 (на это число), или выделить группы разрядов,
делящихся на 2 (на это число), и разделить на 2 (на это число) по
группам.
2. При умножении на 25 удобно умножить на 100, а затем разде-
лить на 4:
1213725=1213700:4=303425.
3.Умножениена9,99,999ит.д., на11,101ит.д.:
α⋅99 ⋯9
⏟
k
= α0⋯0
⏟
k
_________
− α;132499 =132400–1324=131076;
α⋅11 =α0
____
+α, α⋅101 =α00
______
+α,132411 =
= 13240+1324=14564,1324101=132400+1324=133724.
4.Применениеформулы(a+b)(a–b)=a2
–
b2 в случаях, когда
a — круглое, b — небольшое числа:
502498=5002–22=2496.
5. Применение формулы a9
̅̅̅
⋅ α=(a⋅10+9)α=(a+1)⋅α ⋅
⋅10−α:
14397 =144 7 10–7 =10080–7 =10073.
6.Пусть a,b,l ∈{1,2,3,4,5,6,7,8,9}, тогда
al
__
⋅ b(10−l)
__________
= (a0
___
+l)⋅((b+1)0
_________
− l)=a ⋅(b+1)⋅100+
+l((b+1)−a)⋅10 −l2;7496 =96 74=7200–60
–
36 = 7104.

48
7. Извлечение кубических корней в случаях, когда корень
2-значное или 1-значное число и они извлекаются нацело. Удобно за-
помнить значение кубов чисел от 1 до 9:
13=1,23=8,33=27,43=64,53=125,63=216,
73=343,83=512,93=729.
В случаях, когда в куб возводится 1, 4, 5, 6, 9, последняя цифра
куба совпадает с самим числом. Для случаев 2, 3, 7, 8 последняя циф-
ра куба совпадает с разностью между 10 и самим числом.
Покажем на примере, как использовать сделанное наблюдение.
Извлечем кубический корень из 250 047. Последняя цифра этого чис-
ла 7, из чего следует, что последней цифрой кубического корня
должно быть 3. Чтобы обосновать процедуру нахождения первой
цифры кубического корня, проведем следующие вычисления:
(a⋅10+b)3 =a31000+300a2b+30ab2+b3≤a31000+
+A(a)+b3, где
}9,8
,
2,1{
,
2430
2700
)(
3


+
=
a
a
a
a
A
; очевидно, A(a)
при любом a не влияет на последнюю цифру числа (10a + b)3:
А(1)=5130,А(2)=15660,А(3)=31590,А(4)=52920,А(5)=79650,
А(6) = 111 780, А(7) = 149 310, А(8) = 192 240, А(9) = 240 570;
легко видеть a3 < a3 +
A(a)
1000
<(a+1)3, т.е. A(a) <((a+1)3−
−a
3)1000.
Приведенные вычисления обосновывают нижеследующие дей-
ствия. Зачеркнем последние 3 цифры куба (независимо от количества
его цифр) и рассмотрим цифры, стоящие впереди, — в нашем случае
это 250. Число 250 располагается между кубами 6 и 7. Меньшая и з
этих цифр (в нашем случае 6) и будет первой цифрой кубического
корня. Поэтому ответом будет 63.
Приведем еще один пример. Пусть нужно извлечь корень куби-
ческий из 405 224. Его последняя цифра 4 указывает, что последней
цифрой кубического корня будет 4. Зачеркивая последние 3 цифры,
получаем 405, которое лежит между кубом 7 и кубом 8. Меньшим из
этих чисел будет 7, поэтому искомым кубическим корнем будет 74.
Ограничение, чтобы корень был 2-значным или 1-значным чис-
лом, несущественно и вводится для уменьшения объема вычислений.
Способом из п. 7 можно легко извлекать корни пятой, седьмой
степеней.
Задача 1. Сформулировать и обосновать процедуры извлечения
корней 5-й, 7-й степени (когда корень 2-значное или 1-значное чис-
ло).

49
Указания. 1. Младшая цифра числа a5 совпадает с младшей
цифрой числа a.
2. Так как число a7 − a3 кратно 10, то для нахождения послед-
ней цифры можно применить тот же прием, что и при извлечении ку-
бического корня.
При попытке применить аналогичные приемы для извлечения
корней четной степени возникает затруднение при определении по-
следней цифры, так как, например, все числа, оканчивающиеся на 1,
3, 7, 9, в 4-й степени будут оканчиваться на 1.
Существует много других способов устного счета каких-то спе-
циальных сумм (например, суммы степеней последовательных нату-
ральных чисел, различные прогрессии), произведений, арифметиче-
ских выражений специального вида, основанных на соответствующих
формулах. Такого типа формулы, которые можно использовать для
быстрого счета, в достаточном количестве появятся (но уже по дру-
гим поводам) в следующих разделах.
2.3. Пальцевый счет
Как уже неоднократно отмечалось, пальцы рук (и ног у некото-
рых народов) считаются самым первым счетным инструментом древ-
него человека. Счет на пальцах широко применялся в Древнем мире и
Средневековье. В Европе в Средние века числа от 1 до 9 назывались
digiti (от лат. digitus — палец). Отсюда происходит английское слово
digit, означающее позицию в записи числа, однозначные числа и ино-
гда цифры (наряду с cipher). В «Арифметике» Магницкого (1703 г.)
числа от 1 до 9 назывались перстами.
В настоящее время счет на пальцах используется ограниченно:
арабскими и индийскими торговцами на Среднем Востоке, в европей-
ских странах — в примитивном виде детьми или в виде жестов для
отображения чисел, для убедительности в споре по мере перечисле-
ния аргументов, а также судьей в спортивных соревнованиях для от-
счета секунд.
У некоторых народов изображение чисел в виде жестов и сейчас
достаточно распространенное явление, в частности у некоторых аф-
риканских народов. Приведем в качестве примера числовые жесты у
зулусов и камба.
Таблица 2.6
Число
Зулусы
Камба
1 Вытянутый левый мизинец
Вытянутый правый указательный
палец

50
Продолжение табл. 2 .6
Число
Зулусы
Камба
2
Вытянутый мизинец и средний
палец на левой руке
Вытянутый указательный и средний
палец на правой руке
3
Вытянутый мизинец, безымян-
ный и средний пальцы левой
руки
Вытянутые указательный, средний и
безымянный пальцы правой руки
4 4 вытянутых пальца левой руки
Пары «указательный — средний» и
«безымянный — мизинец» правой
руки, сложенные в виде буквы V
5 5 вытянутых пальцев
Пальцы правой руки, сложенные в
кулак
6 Вытянутый большой палец пра-
вой руки
Взяться за левый мизинец правой
рукой
7
Вытянутый большой и указа-
тельный пальцы правой руки
Взяться за мизинец и безымянный
палец левой руки правой рукой
8
3 вытянутых пальца правой ру-
ки
Взяться за мизинец, безымянный и
средний палец левой руки правой
рукой
9 4 вытянутых пальца правой ру-
ки
Взяться за 4 пальца левой руки пра-
вой рукой
10 Вытянуть все пальцы
Сжать в кулаки пальцы обеих рук
Перейдем к вычислениям, использующим пальцы. Напомним
один из старинных способов умножения на пальцах однозначных чи-
сел от 6 до 9, применявшийся, в частности, на Руси. Он использовал-
ся купцами как вспомогательный счет при устном счёте. Первона-
чально пальцы обеих рук сжимали в кулаки. Затем на одной руке раз-
гибали столько пальцев, на сколько первый множитель превосходит
число 5, а на второй руке делали то же самое для второго множителя.
Суммарное число вытянутых пальцев умножалось на 10, потом пере-
множалось число загнутых пальцев одной руки на число загнутых
пальцев другой. Два полученных результата складывались. Символи-
чески эта процедура записывается следующим образом: ab =
= 10((a − 5)+(b− 5))+(10−a)(10−b). Конечно, этот способ
перемножения предполагает знание таблицы умножения для чисел
до 5, что является более легкой задачей, чем запомнить таблицу
умножения для чисел до 10. В те времена таблицу умножения (для
чисел до 10) не знали многие образованные люди. Например, извест-
ный английский государственный деятель, президент Королевского
общества в 1684–1686 гг. Пепис (Pepys) выучил ее после окончания
университета под руководством одного морского штурмана.

51
Систем обозначений чисел с помощью пальцев существовало
достаточно много. Особенно сильно была развита китайская система,
позволявшая показывать числа от 1 до 99999999.
Остановимся подробно на системе, имевшей широкое распро-
странение на Руси в XII–XVII вв. Условно ее можно назвать «счёт
дюжинами» (12 является узловым числом). Счет дюжинами вёлся
большим пальцем по фалангам остальных четырёх пальцев правой
руки и начинался от нижней фаланги указательного пальца, а закан-
чивался верхней фалангой мизинца. Другой вариант — от верхней
фаланги мизинца левой руки до нижней фаланги указательного паль-
ца. Если число превышало 12, то при достижении 12 считающий за-
гибал один палец на противоположной руке.
Рис. 2 .1
По достижении числа 60 (пятёрки дюжин) все пальцы руки,
фиксировавшей полные дюжины, оказывались сжатыми в кулак. Дю-
жинами до начала XX в. в России было принято считать носовые
платки, пишущие перья, набор из 12 предметов по традиции состав-
ляли ложки, вилки, ножи, а посудные сервизы и комплекты стульев и
кресел рассчитывались на 12 персон.
Рис. 2 .2

52
Но наибольшее распространение в Древней Руси получил «счёт
сороками» (узловым числом при таком счете выступает 8). Охотники
за пушным зверем в Сибири вели счет «сорочками», то есть уком-
плектованными в мешки шкурками (как правило, 40 собольих хво-
стов или 40 беличьих шкурок), которые полностью уходили на пошив
богатой шубы («сорочки», от этого слова и произошло название чис-
ла 40 в русском языке) русского боярина XVI в. Так, в таможенной
грамоте 1586 г. «сороками» были посчитаны шкурки соболей и ку-
ниц, посланные в качестве платы за ведение войны с турками от ца-
ря Фёдора Ивановича австрийскому императору Рудольфу. Методика
счёта была схожа со «счётом дюжинами», только вместо подсчёта
фаланг считали суставы пальцев (переходы между фалангами), кото-
рых было всего 8. Если число превышало 8, то при достижении 8 счи-
тающий загибал один палец на противоположной руке. По достиже-
нии числа 40 все пальцы руки, фиксировавшей полные «осьмушки»,
оказывались сжатыми в кулак.
2.4. Алгебра логики и реализация счета
и логических операций на компьютере
В основе действия современных персональных компьютеров и
всех вычислительных и коммуникационных систем лежит двоичная си-
стема счисления. Если двоичную информацию передавать при помощи
электрических сигналов, то потребуется всего два уровня напряжения.
Как правило, это более положительный (высокий) и менее положитель-
ный или даже нулевой. Чаще всего напряжение высокого уровня при-
нято рассматривать в качестве логической единицы, а напряжение низ-
кого уровня — как логический ноль. Двоичность используемой систе-
мы для обработки информации позволяет компьютеру хранить и пре-
образовывать как числа, так и значения логических переменных (кото-
рые также имеют только два значения — истину, ложь).
В основе конструирования ЭВМ лежат так называемые логиче-
ские элементы. Логические элементы работают как самостоятельные
элементы в виде микросхем малой степени интеграции, так и входят в
виде компонентов в микросхемы более высокой степени интеграции.
Основные логические элементы — вентили, триггеры, сумматоры,
переключатели. Переключатель может находиться только в двух со-
стояниях: замкнутом и разомкнутом. В первом случае ток проходит,
во втором — нет. Описывать работу таких схем очень удобно с по-
мощью алгебры логики. В зависимости от положения переключате-
лей можно получить или не получить сигналы на выходах. Вентиль

53
представляет собой логический элемент, который принимает одни
двоичные значения и выдает другие в зависимости от своей реализа-
ции. Так, например, есть вентили, реализующие логическое умноже-
ние (конъюнкцию), сложение (дизъюнкцию) и отрицание. Триггеры и
сумматоры — это относительно сложные устройства, состоящие из
более простых элементов — вентилей. Триггер способен хранить
один двоичный разряд за счет того, что может находиться в двух
устойчивых состояниях. В основном триггеры используются в реги-
страх процессора. Сумматоры широко используются в арифметико-
логических устройствах (АЛУ) процессора и выполняют суммирова-
ние двоичных разрядов.
Введем некоторые первые понятия упомянутой выше алгебры
логики. Основоположником этой теории, первоначально называв-
шейся исчислением высказываний, является Дж. Буш (1815–1864).
Интенсивные исследования в ней начались с 1938 г., когда Клод
Шеннон, будучи еще студентом Массачусетского технологического
института (США), доказал, что алгебра Буля полностью подходит для
анализа и синтеза релейных и переключательных схем.
Отдельные высказывания будем обозначать заглавными буква-
ми латинского алфавита. Если данное высказывание истинно, при-
пишем ему значение 1, если ложно — 0 . Например, А — электриче-
ский ток протекает только в замкнутой цепи, т. е . А = 1; B — темпера-
тура измеряется в метрах, B = 0. Определим действия над высказыва-
ниями.
Отрицание: отрицание высказывания А получим, если исполь-
зуем выражение «неверно, что»; отрицание высказывания А обозна-
чается через Ā (или ¬A), Ā = {неверно, что А}; очевидно, Ā̄
=A.
Конъюнкция: конъюнкция двух высказываний А и В — это но-
вое высказывание A ∧ B = {А и В}.
Дизъюнкция: дизъюнкция двух высказываний А и В — это но-
воевысказываниеA∨B={АилиВили{иАиВ}}.
Импликация: импликация двух высказываний А и В — это новое
высказываниеA→B ={изАследуетВ};очевидно,A→B=Ā∨B.
По сути, введенные операции задаются таблицами истинности.
Таблица 2.7
А
Ā
А
В
A∧B
A∨B
A→B
0
1
0
0
0
0
1
0
1
0
1
1
1
0
1
0
0
1
0
1
1
1
1
1

54
Запишем в символической форме некоторые законы логики.
1. A ∨ Ā = 1 — закон исключенного третьего: либо имеет место
высказывание А, либо высказывание Ā — третьего не дано, и поэтому
A ∨ Ā всегда истинно.
2. A ∧ Ā = 0 — закон противоречия; этот закон утверждает, что
высказывание А и Ā , т. е. А и «не А» никогда не могут иметь места
одновременно.
Легко доказываются также законы Моргана: A ∨ B = Ā ∧
∧B̄, A∧B=Ā∨B̄
.
Совсем маленькое количество введенных нами простых понятий
позволяет единообразно решать так называемые логические задачи.
Прежде чем приступить к примерам, заметим, что
Ā =1−A,A∧B=A⋅B,A∨B=A+B−A ⋅B,
A→B=1−A+A⋅B.
(2.5)
Формулы типа (2.5) позволяют описать алгебру логики как
«арифметику 0 и 1».
Задача 1. На вопрос, какая завтра будет погода, синоптик отве-
тил: 1) если не будет ветра, то будет пасмурная погода без дождя;
2) если будет дождь, то будет пасмурно и без ветра; 3) если будет
пасмурная погода, то будет дождь и не будет ветра. Так какая погода
будет завтра?
Решение. Выделим простые высказывания:
А = {ветра нет}, B = {пасмурно}, C = {дождь}. Запишем данные
задачи через А, В, С:
1)A→(B∧C̄);2)C→(B∧A);3)B→(C∧A).
Рассмотрим высказывание Е = (A → (B ∧ C))∧ (C → (B ∧ A))∧
∧ (B → (C ∧ A)). Выясним, при каких значениях А, В, С высказывание
Е истинно. Воспользуемся (2.5).
Таблица 2.8
А В С B∧C̄ B∧A C∧A A→(B∧C̄) C→(B∧A)B→(C∧A) Е
0000
0
0
1
1
1
1
0101
0
0
1
1
0
0
1000
0
0
0
1
1
0
1101
1
0
1
1
0
0
0010
0
0
1
0
1
0
0110
0
0
1
0
0
0
1010
0
1
0
0
1
0
1110
1
1
0
1
1
0

55
Такимобразом,Е =1толькоприА=0,В =0,С =0,т.е.погода
будет ветреная без дождя и не пасмурная.
Задача 2. Ученики А, Б и Г нашли в земле сосуд. Рассматривая
находку, каждый высказал по два предположения: А) это сосуд гре-
ческий и изготовлен в V в.; Б) это сосуд финикийский и изготовлен в
III в.; Г) это сосуд не греческий и изготовлен в IV в. Учитель сказал
ученикам, что каждый из них прав только в одном из двух предполо-
жений. Где и в каком веке изготовлен сосуд?
Решение. Введем следующие обозначения:
«Это сосуд греческий» — G; «Это сосуд финикийский» — F;
«Сосуд изготовлен в III в.» — V3; «Сосуд изготовлен в IV в.» — V4;
«Сосуд изготовлен в V в.» — V5.
Формализуем задачу, записав в данных обозначениях условие
задачи. Со слов учителя следует, что А прав только в чем-то одном:
или G = 1, или V5 = 1. Таким образом, тождественно истинным будет
высказывание: (G ∧ V̄
5)∨(Ḡ ∧V5) = 1. Аналогично, из слов Б и учи-
теля следует: (F ∧ V̄
3)∨(F̄∧V3)=1;аизсловГиучителя:(Ḡ∧V̄
4)∨
∨(G∧V4)=1.
Кроме того, ясно, что сосуд может быть изготовлен только в од-
ном из веков и только в одной из стран. Эти условия можно записать
так:
(V3∧V̄
4∧V̄
5)∨(V̄
3∧V4∧V̄
5)∨(V̄
3∧V̄
4∧V5)=1,
(G∧F̄)∨(Ḡ∧F)=1.
Итак, мы получили пять тождественно истинных высказываний.
Их логическое произведение
E=((G∧V̄
5)∨(Ḡ∧V5))∧((F∧V̄
3) ∨ (F̄ ∧ V3))∧((Ḡ ∧ V̄
4)∨
∨(G∧V4))∧((G∧F̄)∨(Ḡ ∧F))∧((V3∧V̄
4∧V̄
5)∨(V̄
3∧V4∧V̄
5)∨
∨ (V̄
3∧V̄
4∧V5))=:E1∧E2∧E3∧E4∧E5
также должно быть тождественно истинным высказыванием.
Выясним, при каких значениях G, F, V3, V4, V5 высказывание Е
истинно. Воспользуемся (2.5). Заметим, что здесь 25 = 32 варианта
значений для переменных и вычисление для них значений всех функ-
ций, представленных в таблице (с помощью которых построена
функция Е), — дело утомительное, к тому же в них нет необходимо-
сти — если в клетках 6–10 любой из строк встречается хотя бы один
ноль, то значение Е для этой строки равно 0. То есть мы должны
найти те значения G, F, V3, V4, V5, для которых Ei-е все равны 1.

56
Таблица 2.9
GFV3V4V5E1E2E3E4E5GFV3V4V5E1E2E3E4E5
000000
00101
0
010000
01101
0
10000
0
10101
0
11000
0
11101
0
001000
00010
0
011000
01010
0
10100
0
10010
0
11100
0
11010
0
00001
0
00110
0
010011111101110
0
100010
10110
0
GFV3V4V5E1E2E3E4E5
00011
0
01011
0
10011
0
11011
0
00111
0
01111
0
10111
0
11111
0
11001
0
11110
0
Итак, сосуд финикийский и изготовлен в V в.
Заметим, что ту же задачу можно было решить путем упроще-
ния формулы для функции Е. Для этого необходимо более подробно
рассмотреть свойства основных операций над высказываниями. Ре-
шение с помощью упрощения выражений более предпочтительно в
случаях, когда число переменных большое.
Задача 3. Вчера вечером: 1) А отправился на концерт; 2) Б про-
вела все время со своей подругой О; 3) Ч так и не увиделась с Р;
4) П побывала в кино; 5) Р посмотрела спектакль в театре; 6) кроме
названных постоянными членами той же компании были юноши Д и
Ш; 7) вместе с каждым юношей на том же виде культурных развлече-
ний присутствовала одна девушка; 8) какая-то пара посетила художе-
ственную выставку. Кто с кем был и где?

57
Задача 4. У каждого из шести людей (обозначим их U, V, W, X,
Y, Z) имеется свое увлечение. Один из них собирает насекомых (н),
другой — радиолюбитель (р), третий — филателист (ф), четвертый
коллекционирует почтовые открытки (о), пятый строит авиамодели
(а), шестой — модели электрических железных дорог (жд). Разумеет-
ся, увлечения перечислены не в том порядке, в котором назвали
«имена» людей. Профессии у всех шестерых также разные (их назо-
вем также не в том порядке, в котором назвали «имена» людей): элек-
тромонтер (э), машинист тепловоза (м), забойщик (з), токарь (т), ин-
женер (и) и врач (в). О них известно следующее.
1. U строит модели.
2. Z как-то раз пожаловался W, что не разбирается в электротех-
нике, но W ничем не смог помочь. В радиотехнике он еще кое-как
разбирается, а вот заниматься электротехникой ему никогда не при-
ходилось.
3. У X и Y ни профессия, ни «хобби» не имеют ничего общего с
железной дорогой.
4. Врач в свободное время строит модели.
5. U занимается физическим трудом.
6. X, Y и машинист тепловоза сошлись на том, что они не могли
бы насаживать букашек на булавки.
7. Профессия человека, который увлекается авиамоделизмом, не
начинается с тех букв, которые встречаются в слове «экзамен».
8. Машинист тепловоза и Y всегда отдает филателисту почтовые
марки со всех писем, которые они получают.
9. Забойщик не разбирается в радиотехнике. Когда у него испор-
тился радиоприемник, то неисправность устранил энтомолог-
любитель.
10. Z дружит с инженером.
11. Любитель строить модели электрических железных дорог
занимается умственным трудом. Определите, у кого какая профессия
и кто чем увлекается.
Приведем на ознакомительном уровне некоторые идеи приме-
нения алгебры логики в технике. На возможность технических при-
ложений булевой алгебры указывалось еще в конце XIX в. Но первая
работа по этой проблеме, как было указано выше, была опубликована
Шенноном в 1938 г. (эта была магистерская работа Шеннона 1936 г.) .
В ней излагались элементарные методы преобразования и упрощения
релейно-контактных схем, используя для этого соответствующие
преобразования алгебры логики.

58
Итак, под контактными схемами мы будем понимать электриче-
ские цепи, содержащие только контакты. Каждый контакт может
находиться в двух состояниях — разомкнут (0) и замкнут (1). Такие
цепи мы будем изображать диаграммой, на которой возле контактов
пишутся буквы (переменные). Причем значение 1 этих переменных
соответствует прохождению тока через данный контакт, а значение
0 — отсутствию тока.
Если контакты А и В соединены последовательно (рис. 2.3), то
цепь замкнута, когда оба контакта замкнуты, и разомкнута, когда хо-
тя бы один из контактов разомкнут. Ясно, что такой схеме соответ-
ствует булева функция ∧ (или в других обозначениях &).
Рис. 2 .3
Если контакты А и В соединены параллельно (рис. 2.4), то цепь
замкнута, когда хотя бы один контакт замкнут, и разомкнута, когда
оба контакта разомкнуты. Ясно, что такой схеме соответствует булева
функция ∨ (или в других обозначениях +). По аналогии можно и дру-
гим булевым функциям сопоставить контактные схемы.
Рис. 2 .4
Указанное соответствие позволяет любую булеву функцию
представить в виде контактной схемы. С другой стороны, любая кон-
тактная схема с последовательно или параллельно соединенными
контактами реализуется булевой функцией. Задача анализа контакт-
ной схемы и состоит в построении соответствующей ей булевой
функции. Например, контактная схема на рисунке 2.5, где R = Ā , реа-
лизуется булевой функцией (A ∧ (Ā ∨ B) ∧ C) ∨ (A ∧ B).
Рис. 2 .5

59
Однако поскольку одна и та же булева функция может быть вы-
ражена различными формулами, то ее реализация контактными схе-
мами неоднозначна. Всегда можно построить много различных кон-
тактных схем, соответствующих данной функции. Такие схемы назы-
вают эквивалентными. Задача синтеза контактной схемы состоит в
построении контактной схемы по заданной булевой функции, которая
может быть задана как формулой, так и таблицей. Из множества эк-
вивалентных схем путем упрощения формул выделяют наиболее про-
стую схему. Центральной проблемой синтеза контактных схем явля-
ется построение для данной булевой функции более простой схемы.
Часто эта проблема сводится к минимизации булевых функций, т. е. к
такому их представлению, в котором соответствующие формулы со-
держат минимальное количество вхождений переменных.
Задача5.Данасхема(рис.2.6),гдеR=B̄, V =C̄
.
Найти фор-
мулу, реализующую эту схему. Привести ее к минимальному виду и
построить соответствующую схему, которая является эквивалентным
упрощением данной схемы.
Рис. 2 .6
Указание. Данная схема реализуется следующей формулой:
A∨(A∨B̄)∧(B∨C̄)∨B̄ ∨C. После упрощения этой формулы соот-
ветствующая ей схема приведена на рисунке 2.7 .
Рис. 2 .7
Как указывалось выше, устройства, реализующие элементарные
булевы функции, называются логическими элементами (вентили —
реализующие наиболее простые функции и триггеры и сумматоры —
реализующие более сложные функции и состоящие из вентилей).
В схемах логические элементы изображаются в виде прямоугольни-

60
ков, внутри которых помещаются условные названия или символы
соответствующих функций.
В качестве примера основных узлов компьютера приведем схе-
му одноразрядного сумматора с двумя входами.
Таблица 2.10
Сложение чисел в двоичной системе сводится к последова-
тельному сложению соответственных разрядов по опреде-
ленному правилу. Пусть в каком-то разряде 1-го числа сто-
ит цифра А (0 или 1), а в этом же разряде 2-го числа —
цифра В (тоже 0 или 1). Обозначим через P цифру в соот-
ветствующем разряде суммы, а через Q — цифру, перено-
симую в соседний старший разряд. Тогда возможная зави-
симость между A, B, P, Q выражается в левой части табли-
цы. Очевидно,
P=(A∧B̄)∨(Ā∧B),Q =A∧B
(2.6)
ABPQ
0000
1010
0110
1101
Мы получим одноразрядный сумматор, если составим схему,
реализующую формулы (2.6). Она легко составляется (см. рис. 2 .8).
В данной схеме содержатся 6 вентилей.
Рис. 2 .8
Постараемся упростить ее. Легко проверить, что
P=A∧B∧(A∨B),Q =A∧B.
(2.7)
На рисунке 2.9 приведена схема, соответствующая (2.7). Она эк-
вивалентна схеме, приведенной на рисунке 2.8, и заметно проще.
Рис. 2 .9
Вентили — логические элементы «И», «ИЛИ», «НЕ», осуществ-
ляющие логические операции ∧, ∨, ¬, представляют собой особые

61
участки кремниевого кристалла и имеют микроскопические размеры.
Вентиль «И» имеет 2 входа и 1 выход, если на оба входа подается вы-
сокое напряжение, то на выходе получается высокое напряжение, в
остальных случаях — слабое напряжение. Вентиль «ИЛИ» имеет
2 входа и 1 выход, если на оба входа или хотя бы на 1 из входов пода-
ется высокое напряжение, то на выходе получается высокое напряже-
ние, в оставшихся случаях (на обоих входах слабое напряжение) —
слабое напряжение. Вентиль «НЕ» имеет 1 вход и 1 выход, если на
вход дается высокое (слабое) напряжение, то на выходе получается
слабое (высокое) напряжение.
2.5. Признаки делимости
Всюду далее, если не сказано противное, будем пользоваться де-
сятичной системой счисления.
Рассмотрим признаки делимости. Все они выводятся из пред-
ставления чисел в виде (1.4 .1) при k = 10. Введем некоторые опреде-
ления и обозначения. Напомним, что рассматриваются натуральные
числа и 0, через N обозначим множество натуральных чисел. Если a =
= bq, то говорят, что a является кратным b (а также и q, а b (а также
и q) — делителем a). Запись b|a означает, что b является делителем a.
Любое натуральное число n имеет два так называемых несобствен-
ных делителя 1 и n. Остальные делители числа n называются соб-
ственными.
Если даны два числа a, b  N, то, конечно, не обязательно, что-
бы b|a или a|b. Но, оказывается, что верна следующая теорема.
Теорема 1.∀a>b; a,b∈Ν,∃!r,q∈Ν,0≤r<b: a=bq+
+r.
Терминология: q — неполное частное, r — остаток.
Доказательство теоремы. Существование интуитивно очевидно,
оно следует из принципа Архимеда, строгое доказательство прово-
дится в рамках аксиоматики натуральных чисел. Докажем единствен-
ность. Допустим, что существует ещё одно такое разложение a =
= bq1+r1,т.е.a =bq1+r1=bq+r.Тогда0<|r−r1|<bивтоже
время |r − r1| = b|q − q1| ≥ b. Полученное противоречие доказывает
единственность.
Два числа a, b называются сравнимыми по модулю m ∈ Ν, если
при делении a и b на m получается один и тот же остаток; записыва-
ется это так: a ≡ b(mod m) (само это выражение называется сравне-
нием). Отношение сравнимости по модулю m обладает свойствами
рефлексивности (a ≡ a(mod m)), симметричности (если a ≡

62
≡ b(mod m), то b ≡ a(mod m)) и транзитивности (если a ≡
≡ b(mod m) и b ≡ c(mod m), то a ≡ c(mod m)). То есть отношение
сравнимости по модулю m является отношением эквивалентности.
Следовательно, множество целых чисел разбивается на классы (экви-
валентности) по отношению сравнимости по модулю m.
Рассмотрим некоторые признаки делимости целых чисел. До-
казательства их легко выводятся из формулы (1.4 .1) и простейших
свойств сравнений.
1. an an−1
⋯a
1a0 ≡ a0(mod 2).
Доказательство. an an−1
⋯a
1a0 = (an10
n−1 + an−110n−2 + ⋯ +
+ a1)10 + a0.
2. an an−1
⋯a
1a0≡(∑ ai
n
i=0 )(mod 3).
Доказательство. 10k = (9 + 1)k = ∑ Ck
k−l
9k−l
k
l=0
= 1+∑k−1
l=0 
Ck
k−l 9k−l
.
Следовательно, 10k ≡ 1(mod( 3), поэтому anan−1
⋯
a1a0 = 3(что-то)+∑ ai
n
i=0
.
3. 4|anan−1
⋯a
1a0 ⇔4|a1a0.
Доказательство. an an−1
⋯a
1a0 = (an10
n−2
+ an−110
n−3
+⋯+
+ a2)100 + a1a0.
4. an an−1
⋯a
1a0 ≡ a0(mod 5).
Доказательство. an an−1
⋯a
1a0 = (an10
n−1 + an−110n−2 + ⋯ +
+ a1)10 + a0.
5. 6|anan−1
⋯a
1a0 ⇔ (2|a0) ∧(3|∑ ai
n
i=0 ).
Доказательство. Следует из 1, 2.
6. an an−1
⋯a
1a0 ≡ (a2a1a0 − a5a4a3 + a8a7a6 − ⋯ )(mod 7).
Здесь испытуемое число разбивается на 3-разрядные блоки,
начиная с младших разрядов, и берется их знакочередующаяся сум-
ма; при этом блок, образованный старшими разрядами, может быть
короче.
Доказательство. Так как 10 ≡ 3(mod 7), то 10k ≡ 3k 
(mod7),((7+3)k =7
что-то + 3k). Поэтому 106k ≡ 36k 
(mod7),36k=(7+2)3k=7⋅(что-то)+8k=7⋅(что-то)+(7+
+1)k = 7 ⋅ (что-то) + 7 (что-то) + 1, т. е. 106k ≡ 1(mod7). Далее,
103(2k+1)
= 106k103, 1000 ≡ 6(mod 7),
поэтому
103(2k+1)
≡
≡ 6(mod 7). Таким образом, 7|(103(2k+1) + 1), 7|(106k − 1). Оче-
видно, an an−1
⋯a
1a0 = a2a1a0 + a5a4a3(103 + 1) − a5a4a3+(106 −
− 1)a8a7a6 + a8a7a6 + (109 + 1)a11a10a9 − a11a10a9 + (1012 − 1) 
 a14a13a12 + a14a13a12 + ⋯
=
7 (что-то) + a2a1a0 − a5a4a3 +
+ a8a7a6 − a11a10a9 + a14a13a12 − ⋯, откуда следует требуемое.
7. an an−1
⋯a
1a0 ≡ a2a1a0(mod 8).

63
Доказательство. an an−1
⋯a
1a0 = (an10
n−3 + an−110n−4 + ⋯ +
+ a3)1000 + a2a1a0.
8. an an−1
⋯a
1a0≡(∑ ai
n
i=0 )(mod 9).
Доказательство. 10k = (9 + 1)k = ∑ Ck
k−l
9k−l
k
l=0
=1+∑ 
k−1
l=0
Ck
k−l 9k−l
.
Следовательно, 10k ≡ 1(mod( 9), поэтому anan−1
⋯
a1a0 = 9 ⋅(что-то)+∑ ai
n
i=0
.
9. an an−1
⋯a
1a0 ≡ a0(mod 1 0).
Доказательство. Очевидно.
10. anan−1
⋯a
1a0 ≡ (∑ (−1)iai
n
i=0
)(mod 1 1).
Доказательство. Очевидно, 11|102k − 1 . Следовательно, 102k ≡
≡ 1(mod 1 1) и 102k+1 ≡ 10(mod 1 1). Поэтому 11|102k+1 + 1. Итак,
an an−1
⋯a
1a0=a0+a111−a1+a2(102−1)+a2+a3(103+1)−
−a
3+⋯+a2k(102k−1)+a2k+a2k+1(102k+1+1)−a2k+1+⋯ =
=11(что-то) + ∑ (−1)i ai
n
i=0
.
11. 12|anan−1
⋯a
1a0 ⇔ (4|a1a0) ∧ (3|∑ ai
n
i=0 ).
Доказательство. Следует из 2, 3.
12. anan−1
⋯a
1a0 ≡ (a2a1a0 − a5a4a3 + a8a7a6 − ⋯ )(mod13).
Здесь разбивка испытуемого числа и взятие суммы из «блоков»
такое же, как и в признаке делимости на 7.
Доказательство. 106k = 1003k = (7 ⋅ 13 + 9)3k = 13 ⋅ (что-то) +
+93k, 93k =(56⋅13+1)k =13 ⋅ (что-то) + 1, т.е. 106k ≡
≡ 1(mod 1 3). Далее, 103(2k+1)
= 106k ⋅ 1000, 1000 ≡ 12(mod 1 3).
Поэтому 103(2k+1)
= 12(mod 1 3). Таким образом, 13|(103(2k+1) +
+1), 13|(106k − 1). Очевидно,
0
1
1
a
a
a
an
n

−
= a2a1a0 + a5a4a3(103 +
+1) –
a5a4a3+(106
− 1)a8a7a6 + a8a7a6 + (109 + 1)a11a10a9 −
−a
11a10  a9 + (1012 − 1)a14a13a12 + a14a13a12 + ⋯ = 13(что-то) +
+ a2a1a0 − a5a4a3 + a8a7a6 − a11a10a9 + a14a13a12 − ⋯, откуда сле-
дует требуемое.
13. 14|anan−1
⋯a
1a0 ≡ (2|a0) ∧ (7|(a2a1a0 − a5a4a3 + a8a7 
a6− ⋯)).
Доказательство. Следует из 1, 6.
14. 15|an an−1
⋯a
1a0 ⇔ (3|∑ ai
n
i=0 )∧((a0=0)∨(a0 =5)).
Доказательство. Следует из 4, 2.
15. 16|an an−1
⋯a
1a0 ⇔ 16|a3a2a1a0.
Доказательство. an an−1
⋯a
1a0 = (an10
n−4 + an−110n−5 + ⋯ +
+ a4)10 000 + a3a2a1a0.
16. 1) an an−1
⋯a
1a0 ≡ (a7a6a5a4a3a2a1a0– a15a14a13a12a11a10
 a9 a8+ a23a22 a21a20a19a18a17a16 – ... )(mod17).

64
Доказательство.
1016k =1008k =(17⋅5+15)8k =17⋅(что-то) + 158k, 158k =
= (2977⋅17+16)2k =17⋅(что-то) + 162k, 162k =(17⋅15+1)k =
= 17⋅(что-то) +1, т. е. 1016k ≡ 1(mod17).
Далее, 108(2k+1) = 1016k ⋅ 108, 108 = 17 ⋅ 5 882 352 + 16.
Поэтому 108(2k+1)
≡ 16(mod 1 7). Таким образом,
17|
|(108(2k+1) + 1), 17|(1016k − 1). Очевидно, an an−1
⋯a
1a0 = a7a6
 a5a4a3a2a1a0 + a15a14a13a12a11a10a9a8(108 + 1) − a15a14a13a12
 a11a10a9a8 + a23a22a21a20a19a18a17a16(1016 − 1) + a23a22a21a20
 a19a18a17a16 +... = 17(что-то) + a7a6a5a4a3a2a1a0 – a15a14a13a12
 a11 a10 a9 a8 + a23a22a21a20a19a18 a17a16 – ..., откуда следует требу-
емое.
Приведенный признак делимости на 17 неприменим к
8-разрядным и более коротким числам. Для них можно применить
следующий признак делимости (пригодный для чисел любого разме-
ра).
2) 17|anan−1
⋯a
1a0 ⇔ 17|(|an ⋯ a2
− 5 ⋅a0|).
Пример применения. Проверим с помощью этого признака, де-
литсяличисло4025447на17:402544–35 =402509,40250–45=
=40205,4020–25=3995,399 –25=374,37–20=17,значит,
17|4025447.
Доказательство. Очевидно, достаточно доказать следующее:
17|10a+b⇔17|a−5b.
Докажем это утверждение. Пусть 17|10a + b, т. е . 17k = 10a +
+b.Тогдаb=17k−10aиa−5b =51a−85k=17(3a−5k),т.е.
17|a−5b.Пусть теперь17|a−5b, т.е. 17l=a−5b.Тогда a=
= 17l+5bи10a+b=170l+51b=17(10l+3b),т.е.17|10a+b.
17. 18|an an−1
⋯a
1a0 ⇔ (2|a0)∧(9|∑ ai
n
i=0 ).
Доказательство. Следует из 1, 8.
18. 1) anan−1
⋯a
1a0 ≡ (a8a7a6a5a4a3a2a1a0 – a17a16a15a14a13
 a12 a11 a10 a9 + a26a25a24a23 a22a21a20a19a18 – ... )(mod19).
Доказательство. 1018k = 1009k = (19 ⋅ 5 + 5)9k = 19 ⋅ (что-то) +
+ 59k, 59k =(125)3k =(19⋅6+11)3k =19 ⋅(что-то) +113k, 113k =
= 1331k=(19⋅70+1)k=19 ⋅(что-то)+1,т.е.10
18k
≡ 1(mod 1 9).
Далее, 109(2k+1)
= 1018k⋅109, 109 =19 ⋅52631578+18. Поэтому
109(2k+1)
≡ 18(mod 1 9). Таким
образом,
19|(109(2k+1) + 1),
19|(1018k − 1). Очевидно, anan−1
⋯a
1a0= a8a7a6a5a4a3a2a1a0 +
+ a17a16a15a14a13a12a11a10a9(109 + 1) − a17a16a15a14a13a12a11 
 a10 a9 + a26 a25 a24a23a22 a21a20a19a18 (1018
− 1) + a26a25a24a23

65
 a22a21a20a19a18 + ... = 19 (что-то) + a8a7a6a5a4a3a2a1a0 – a17a16
 a15a14a13a12a11a10a9 + a26a25a24a23a22a21a20a19a18 –
..., откуда
следует требуемое.
Приведенный признак делимости на 19 неприменим к
9-разрядным и более коротким числам. Для них можно применить
следующий признак делимости (пригодный для чисел любого разме-
ра).
2) 19|anan−1
⋯a
1a0⇔19|(an⋯a2+2⋅a0).
Пример применения. Проверим с помощью этого признака, де-
литсяличисло977220882на19:97722088+4=97722092,
9772209+4=9772213,977221+6=977227,97722+14=97736,
9773+12=9785,978+10=988,98+16=114,11+8=19,значит,
19|977220882.
Доказательство. Очевидно, достаточно доказать следующее:
19|10a+b⇔19|a+2b.
Докажем это утверждение. Пусть 19|10a + b, т. е . 19k = 10a +
+b. Тогда b=19k−10a и a+2b= 38k−19a=19(2k−a), т.е.
19|a+2b. Пусть теперь 19|a+2b, т.е. 19l=a+2b. Тогда a=
= 19l−2bи10a+b=190l−19b=19(10l−b),т.е.19|10a+b.
19. 20|an an−1
⋯a
1a0 ⇔ (a0 = 0)∧(2|a1).
Доказательство. Очевидно.
Задача 1. Доказать следующие признаки делимости.
1. 1) 23|an an−1
⋯a
1a0 ⇔ 23|(anan−1
⋯a
2+3⋅a1a0);
2) 23|an an−1
⋯a
1a0 ⇔ 23|(anan−1
⋯a
1+7⋅a0).
2. an an−1
⋯a
1a0 ≡ a1a0(mod 2 5).
3. 41|an an−1
⋯a
1a0 ⇔ 41|(an an−1
⋯a
1−4 ⋅a0).
4. 59|an an−1
⋯a
1a0 ⇔ 59|(an an−1
⋯a
1+6⋅a0).
5. 79|an an−1
⋯a
1a0 ⇔ 79|(an an−1
⋯a
1+8⋅a0).
6. an an−1
⋯a
1a0 ≡ (a1a0+a3a2+a5a4 + ⋯)(mod99).
7. an an−1
⋯a
1a0 ≡ (a1a0+a3a2+a5a4 + ⋯)(mod11).
Указание. Воспользоваться 6.
8. Число N = anan−1
⋯a
1a0 при делении на число d = 99...9, со-
стоящее из n девяток, дает тот же остаток, что и при делении на число
d числа, полученного из N следующим образом: число N разбивается
на n-разрядные блоки, начиная с младших разрядов, и все их склады-
вают (блок, образованный старшими разрядами, может быть короче).
9. Сформулировать и доказать признак делимости на число d =
= 11...1, состоящее из n единиц.
Указание. Воспользоваться 8.

66
10. Воспользовавшись 8, сформулировать и доказать признаки
делимости на 27, 37.
11. Воспользовавшись признаками делимости на 11, сформули-
ровать и доказать признаки делимости на 22, 33, 44, 55, 66, 88.
12. anan−1
⋯a
1a0≡(a1a0−a3a2+a5a4−a7a6+⋯)
 (mod 1 01).
13. Число N = anan−1
⋯a
1a0 при делении на число d = 10...01,
состоящее из двух единиц, занимающих самый старший и самый
младший разряды и n нулей, дает тот же остаток, что и при делении
на число d числа, полученного из N следующим образом: число N
разбивается на n + 1-разрядные блоки, начиная с младших разрядов
(блок, образованный старшими разрядами, может быть короче), и все
их складывают с чередующимися знаками (первый блок берется со
знаком «+»).
14. Воспользовавшись 13, сформулировать и доказать признаки
делимости на 77, 91, 143.
Задача2.1.Доказать 10m−3|10a+b⇔10m−3|a−(3m−
−1)b.
2. Воспользовавшись 1, получить признаки делимости на 47, 57,
67, 87, 97.
Задача 3.1.Доказать 10m+3|10a+b⇔10m+3|a+(3m+
+1)b.
2. Воспользовавшись 1, получить признаки делимости на 43, 53,
73, 83.
Задача 4. Найти остаток от деления 4444444444 на 99.
Решение. Пользуясь признаком равноостаточности при делении
на 99 (задача 1 п. 6), получим таблицу 2.11.
Таблица 2.11
Число
Остаток от де-
ления на 99 Таким образом, 44 4442 ≡ 49(mod 9 9)
44 44432 ≡ 49(mod 9 9), ... 44 44421+4k
≡
≡ 49(mod 9 9), 44 444
22+4k
≡ 25(mod 9 9),
44 44423+4k
≡ 31(mod 9 9), 44 44424+4k
≡
≡ 70(mod 9 9) k = 0,1,2, ... Поэтому
44 444215+213+212+28+27+22
≡31∙49 ∙70 ∙
31 ∙25(mod99)≡34∙97(mod99)≡
≡ 31(mod99), так как 2
15+213+212+
+28+27+22=44444
44444
44+44+4=92
9292=8464 64+84=148
 49(mod99)
4949=2401 01+24=25
2525=625
25+6=31
3131=961
61+9=70
7070=4900 00+49=49
Задача5.1.Доказать10m−1|10a+b⇔10m−1|a+m⋅b.

67
2. Воспользовавшись 1, получить признаки делимости на 29, 39,
49, 59, 69, 89.
Задача6.1.Доказать10m+1|10a+b⇔10m+1|a−m ⋅b.
2. Воспользовавшись 1, получить признаки делимости на 21, 31,
51, 61, 71, 81, 91.
Задача 7. Найти остаток от деления 123 456 78998 765 на 11.
Задача 8. Доказать, что 3105 + 4105 делится на 13, 49, 181, 379,
нонеделитсяна5и11.
Решение. Заметим, a2k+1 + b2k+1
= (a + b)∑ (−1)la2k−lbl
2k
l=0
;
Z:= 3105 + 4105 = (33)35 + (43)35. Значит, 3105 + 4105 делится на 91.
А так как 91 = 7  13, то оно делится на 13 (а также на 7). Аналогично
3105+4105 = (35)21+(45)21, 35+45 = 1267=7 181, т.е.
z
|
181 ;
3105+4105=(37)15+(47)15,37+47=18571=49379,т.е.379|z;
49|z. Найдем остаток от деления Z на 5:
4
3 ≡1(mod5), 3104 ≡
≡ 1(mod 5), 3105 ≡ 3(mod 5);
44 ≡ 1(mod 5), 4104 ≡ 1(mod 5),
4105 ≡ 4(mod 5), следовательно, z ≡ 2(mod 5). Остаток от деления Z
на 11: 35 ≡1(mod11), 3105 ≡1(mod11), 45 ≡1(mod11), 4105 ≡
≡ 1(mod 1 1), следовательно, z ≡ 2(mod 1 1).
Задача 9. Доказать, что 11|55k+1 + 45k+2 + 35k ∀k ∈ Ν.
Решение. 35 ≡1(mod11), 45 ≡1(mod11), 55 ≡1(mod11),
следовательно, 35k ≡ 1(mod 1 1), 45k+2 ≡ 5(mod 1 1), 55k+1 ≡
≡ 5(mod 1 1). Что означает требуемое.
Задача 10. Доказать 1) 13|270 + 370; 2) 11 ⋅ 31 ⋅ 61|2015 − 1;
3) 19|226k+2
+3,k =0,1,2,⋯.
Задача 11. Найти все натуральные a, для которых 10|a10 + 1.
Решение. Пусть r — это остаток при делении a на 10. Очевидно,
(10|a10 + 1) ⇔ (10|r10 + 1),
r = 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9;
25≡
≡ 2(mod10), 210 ≡4(mod10); 35 ≡3(mod10), 310 ≡9(mod10);
45≡4(mod10), 410 ≡6(mod10); 510≡5(mod10); 610≡6
(mod 1 0);
72≡9(mod10), 74 ≡ 1(mod10),
78≡1
 (mod10), 710 ≡9(mod10); 82 ≡4(mod10), 88 ≡6(mod10),
810 ≡ 4(mod 1 0); 92 ≡ 1(mod 1 0), 910 ≡ 1(mod 1 0). Следователь-
но, все натуральные числа вида a=10k+3, a =10k+7,k =
= 0,1,2, ⋯, и только они являются искомыми.
Задача 12. Найти все натуральные числа n, для которых 3|n ⋅
2
n
+1.
Задача 13. Доказать, что дробь
6n+7
10n+12
несократима при любых
натуральных n.

68
Задача 14. Существует ли такое натуральное n, что n2 + n + 1
делится на 1955?
Задача 15. При некотором натуральном n десятичная запись чи-
сел 2n и 5n начинается с одной и той же цифры. Какая это может
быть цифра?
Задача 16. Доказать, что (n − 1)2|nn−1
−1.
Решение. Заметим, что nn−1
− 1=(n−1)(nn−2+nn−3+⋯+
+n+1). Пусть R(x):=(x+1)n−2+(x+1)n−3+⋯+(x+1)+1,
R(0) = n – 1, R(x) = Qn−3(x)x + n − 1, где Qn−3(x) — многочлен сте-
пени n – 3 с целыми коэффициентами. Очевидно, n
n−1
− 1=(n−
− 1)R(n−1)=(n−1)((n−1)Qn−3(n−1)+n−1), что и требова-
лось доказать.
Задача 17. Показать, что каждое число двух следующих после-
довательностей 49, 4489, 444889, 44448889, ... ; 16, 1156, 111556,
11115556, ... является точным квадратом.
Решение. Рассмотрим 444889. Пусть
444889
2
=
a
.
Число a
оканчивается или на 3, или на 7. Чтобы определить вторую с конца
цифру числа a, возведем столбиком в квадрат числа
)3
(1
a

и
)7
(1
a

.
Дальнейшие действия очевидны.
Задача 18. Решить уравнение в целых числах x 2 + x =
= 1111111111122222222222.
Задача 19. Доказать, что нет такого числа в последовательности
11, 111, 1111, 11111, ..., которое является квадратом целого числа.
Решение. Любое число имеет один из следующих четырех видов
a0=4m, a1 =4m+1, a2 =4m+2, a3 =4m+3.Очевидно, a0
2
≡
≡ 0(mod 4), a1
2 ≡ 1(mod4), a2
2 ≡ 0(mod4), a3
2 ≡ 1(mod 4). Все чис-
ла из последовательности из условия задачи дают при делении на 4 в
остатке 3 (111 ⋯ 1
⏟
m
=111⋯1
⏟
m−2
00 + 11).
Задача 20. Доказать, что 360|n2(n2 − 1)(n2 − 4), ∀n ∈ Ν.
Задача 21. В некотором месяце 3 воскресенья пришлись на чет-
ные числа. Какой день недели был 20-го числа этого месяца?
Задача 22. В каком-то году было 53 субботы. Каким днем неде-
ли является 1 марта этого года?
Задача 23. Какое наибольшее число воскресений может быть в
году?
Задача 24. К числу 43 приписать слева и справа по одной цифре
так, чтобы полученное число делилось на 72.

69
Задача 25. Из ряда чисел 1, 2, 3, ..., 199, 200 выбрано 101 число.
Доказать, что найдутся 2 числа из выбранных такие, что одно из них
делится на другое.
Задача 26. Произведение четырех последовательных натураль-
ных чисел равно 3024. Найти эти числа.
Задача 27. Сколько цифр в 10-ичной записи числа
100
2?
Задача28.Доказать400|7+72+73+74+⋯+74k ∀k∈Ν.
Задача 29. Доказать, что для произвольного целого числа А и
любого целого P существует бесконечно много таких целых чисел x,
что(A+1)p|Ax+1.
Задача 30. Доказать (p2 + p + 1)|((p + 1)2q+1 + pq+2) ∀p, q ∈
∈Ν.
Задача31.Доказать 2n+1|15+25+35+⋯+(2n)5.
Задача 32. Доказать, что если имеется 100 натуральных чисел,
то из них всегда можно выбрать несколько (или одно) таких, что их
сумма разделится на 100.
2.6 . Признаки делимости
в недесятичных системах счисления
Признаки делимости в других системах счисления аналогичны
таковым в десятичной. В частности, в любой системе счисления (чис-
ла записаны в той системе, в которой мы работаем в данный момент):
1) число делится на 10n
, если оно оканчивается на n нулей;
2) если основание системы счисления равно k, то любое число
делится на k – 1 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится
на k – 1 без остатка;
3) если основание системы счисления нечётное, то число делит-
ся на 2, если сумма его цифр делится на 2;
4) если основание системы счисления равно k, то любое число де-
лится на k+1 тогда и только тогда, когда сумма цифр, занимающих не-
чётные места, отличается от суммы цифр на чётных местах на число,
делящееся на k+1. В частности, число делится на 11, если сумма цифр,
занимающих нечётные места, либо равна сумме цифр, занимающих
чётные места, либо отличается от неё на число, делящееся на 11;
5) если основание системы счисления делится на некоторое чис-
ло k, то любое число делится на k тогда и только тогда, когда его по-
следняя цифра делится на k. В частности, если основание системы
счисления чётное, то число делится на 2, если его последняя цифра
делится на 2.

70
2.7. Составные и простые числа.
Решето Эратосфена
Если число, большее единицы, не имеет собственных делителей,
т. е. делителей, не равных 1 и самому этому числу, то оно называется
простым.
Число, имеющее собственные делители, называется составным.
Число 1 не причисляется ни к тем, ни к другим.
Другими словами, составные числа — это числа, разлагаемые в
произведение двух меньших, а простые — те, которые не разлагаются.
Задача 1. Проверить, что числа 571 571, 999 991 — составные.
Задача 2. Доказать, что числа 4n
− 1,8
n
+ 1 являются состав-
ными при любых n > 1.
Задача 3. Доказать, (k > 1 — составное) ⇒ (число 11...11
(k единиц) — составное).
По определению составное число раскладывается в произведение
двух меньших чисел. Эти числа могут быть как простыми, так и со-
ставными. Если они составные, то их можно разложить дальше — до
тех пор, пока не останутся только простые множители. Очевидно, за
конечное число шагов мы придем к разложению, которое содержит
только простые множители. Таким образом, мы пришли к следующей
теореме.
Теорема 1. Любое натуральное число, большее 1, разлагается в
произведение простых чисел.
Задача 4. Докажите, что для числа n количество шагов оценива-
ется сверху log2 n.
Теорема 2. Простых чисел бесконечно много.
Доказательство. Предположим противное. Пусть p1, p2, ... , pn —
всепростыечисла.Тогдачислоp1⋅p2⋅...⋅pn+1неделитсянинаод-
но из этих чисел, и поэтому согласно теореме 1 имеет простой дели-
тель, отличный от любого из чисел p1, p2, ... , pn . Противоречие.
Задача 5. Доказать, что при любом целом n > 2 существует хо-
тя бы одно простое число, большее n и меньшее n!.
Задача 6. Доказать, что существует бесконечно много простых
чисел вида 3k + 2. (Указание: среди простых делителей числа вида
3k + 2 всегда найдется хотя бы одно число такого же вида.)
Задача 7. Доказать, что существует бесконечно много простых
чиселвида4k+3,атакжевида6k+5.
Если даны два числа a, b ∈ R то, конечно, не обязательно, чтобы
a|b или b|a. Но в соответствии с теоремой 2.5 .1 для любых натураль-

71
ных чисел a>b, ∃!r,q∈N,0≤r<b: a=bq+r(напомним, q
называется неполным частным, r — остатком).
Заметим, что совокупность общих делителей чисел a и b совпа-
дает с совокупностью общих делителей чисел b и r. В частности,
НОД(a, b) = НОД(b, r), где НОД(α, β) — наибольший общий делитель
чисел α, β.
Для нахождения НОД(α, β) во многих случаях бывает удобным
воспользоваться нижеследующим алгоритмом (называемым алгорит-
мом Евклида), использующим сделанное замечание.
Пусть
b
a
b
a


,
,
. Тогда в соответствии с теоремой 2.5 .1 суще-
ствуют
0<r1<b,r2<r1,r3<r2,...,rn<rn−1
такие, что
a=bq1+r1, b=r1q2+r2, r1 =r2q3+r3,...,rn−2 =
= rn−1qn + rn, rn−1 = rnqn+1.
Далее, НОД(a, b) = НОД(b, r1) = НОД(r1, r2) = ⋯ =
= НОД(rn−1, rn ).
Применяя алгоритм Евклида, найдем НОД(6188, 4709); справа
от алгоритма Евклида приведена пояснительная запись:
6188|4709
6188=47091+2479
4709|1
4709=24791+2230
4709|2479
2479=22301+249
2479|1
2230=2498+238
2479|2230
249=2381+11
2230|1
238=11 21+7
2230| 249
1992| 8
249| 238
238| 1
238| 11
22 |21
18
11
7
Но НОД(11,7) = 1. Поэтому НОД(6188, 4709) = 1.
Задача 8. Найти при помощи алгоритма Евклида НОД(525, 231),
НОД(125 847, 357), НОД(81 719, 52 003, 33 649, 30 107).
Заметим, что алгоритм Евклида позволяет также записать дробь
a
b
в виде цепной дроби:

72
a
b
= q1+
r1
b
= q1+
1
b
q1
= q1+
1
q2+
r2
r1
= q1+
1
q2+
1
r1
r2
= q1+
1
q2+
1
q3+
r3
r2
=. ..
...=q1+
1
q2+
1
q3+
1
q4+
1
q5+.
.
.
1
qn+
1
qn+1
Таким образом, получили, что любое рациональное число рас-
кладывается в конечную цепную дробь. Очевидно, любая конечная
цепная дробь — рациональное число. Свой алгоритм Евклид приду-
мал для решения задачи о соизмеримости двух отрезков (длины a и b
в данном случае, где считается a > b).
Если даны числа a1, a2 , ... an , то общим кратным называется
число, которое делится на a1, a2 , ... an; наименьшее среди положи-
тельных кратных называется наименьшим общим кратным и обозна-
чается НОК(a1, a2, ... an).
Задача 9. Доказать, что HOK(a, b) =
ab
HOD(a,b)
.
Два числа a и b называются взаимно простыми, если
НОД(a, b) = 1. Очевидно, число p — простое  оно взаимно просто
с любым числом, не равным pk.
Задача 10. Показать, что при любых целых положительных n и
k числа n и nk + 1 взаимно просты.
Лемма. 1. (НОД(a, b) = 1) ∧ (a|bc)⇒ a|c .
2. ((p — простое) ∧ (p|ab)) ⇒ ((p|a) ∨ (p|b)).
Доказательство. 1. Пусть b > a. Воспользуемся алгоритмом
Евклида: b=aq1+r1,r1<a; a=r1q2+r2, r2<r1; r1=r2q2+
+r3,r3<r2;...;rn−1 =rnqn+1+rn+1, rn+1<rn.ТаккакНОД(a,b)=
= 1, то rn+1 = 1. Отсюда bc = acq1 + cr1, следовательно, a|cr1 (так
как a|bc); ac = r1cq2 + cr2, следовательно, a|cr2 (так как a|cr1);
r1c = r2cq3 + cr3, следовательно, a|cr3 (так как a делит cr1 и cr2).
Продолжая этот процесс, получим, что a|c rn+1 , т. е . a|c.
2. Воспользоваться частью 1.
Теорема 3. Два разложения одного и того же числа на простые
множители отличаются лишь порядком сомножителей.

73
Доказательство. Пусть имеются два разложения одного и того
жечисланапростыемножители:p1⋅p2⋅...=q1⋅q2⋅...Есливних
есть общий множитель (одно из pi равно одному из qj ), сократим обе
части на этот общий множитель. Будем повторять это до тех пор, по-
ка общих множителей не останется. Если при этом сократится всё
(в обеих частях останется единица), то это означает, что исходные
разложения отличались лишь порядком множителей, как и требует
теорема. Если сократится не всё, то в обеих частях останутся какие-то
не сократившиеся множители. (Если с одной стороны сократится всё,
то получится единица, и потому с другой стороны тоже должно всё со-
кратиться.) Это противоречит лемме: если N = p1 ⋅ p2 ⋅ ... = q1 ⋅ q2 ⋅ ...
и общих множителей нет, то произведение N = q1 ⋅ q2 ⋅ ... делится на
p1 (поскольку N = p1 ⋅ ...), а ни один из сомножителей qi не делится на
p1 (простое число qi может делиться лишь на единицу и на себя, а
qi ≠ p1, так как общих множителей нет).
Теоремы 1 и 3 запишем в виде так называемой основной теоре-
мы арифметики.
Теорема (основная теорема арифметики). Любое натуральное
число
1

n
можно единственным способом представить в виде
n=p1
α1
⋅p2
α2
⋅...pk
αk
,
(2.8)
где αi — натуральные числа, а p1, p2, ... , pk — некоторая возрастаю-
щая последовательность простых чисел. Разложение (2.8) называется
каноническим.
Очевидно, эта теорема дает способ нахождения НОК и НОД
произвольного количества чисел.
Задача 11. Пусть a = p1
α1
⋅p2
α2
⋅...pk
αk
, Тогда
1. Все делители числа a суть все числа вида d = p1
α1
⋅p2
α2
⋅
⋅...pk
αk
,0≤β1≤α1,...,0≤βn≤αn.
2. НОД нескольких чисел является произведением степеней вида
Pα
, где P — общий простой делитель всех этих чисел, а  —
наименьший из показателей, с которыми P входит в их канонические
разложения.
3. НОК нескольких чисел является произведением степеней вида
Pα
, где P — простой делитель по меньшей мере одного из этих чисел,
а  — наибольший из показателей, с которыми P входит в их канони-
ческие разложения.
Задача 12. Используя (найдя) каноническое разложение, найти
НОД(6188, 4709), НОД(525, 231), НОД(81 719, 52 003, 33 649,
30 107), НОК(525, 231), НОК(1800, 3780, 8910).

74
Решето Эратосфена. Приведем простейший алгоритм поиска
всех простых чисел до некоторого целого числа n — решето Эратос-
фена. По этому алгоритму для нахождения всех простых чисел не
больше заданного n нужно выполнить следующие шаги:
1) выписать подряд все целые числа от 2 до n;
2) пусть переменная p изначально равна 2 — первому простому
числу;
3) вычеркнуть из списка все числа от 2р до n, делящиеся на р,
начиная с числа р2 (все составные числа, меньшие р2, уже будут вы-
черкнуты к этому шагу);
4) найти первое не вычеркнутое число, большее чем р, и при-
своить значению переменной р это число;
5) повторять шаги 3 и 4 до тех пор, пока р2 не станет больше,
чем п;
6) все не вычеркнутые числа в списке — простые числа.
При проведении этого алгоритма вручную бывает удобно запись
из шага 1 сделать в виде прямоугольника, близкого квадрату.
2.8. Эйлерова формула
произведения ∑ n−s
n
= ∏(1−p
−s
)−1
p
Как известно, знаменитая дзета-функция Римана ζ(s), играющая
важную роль в теории чисел, определяется равенством
ζ(s)=∑
1
ns
∞
n=1
,
s>1.
(2.9)
Легко видеть, что ряд из правой части (2.9), который при s = 1
называется гармоническим, а при остальных s — обобщенным гар-
моническим рядом, расходится при s ≤ 1. Для этого достаточно дока-
зать, что lim
k→∞
Sk=+∞,гдеSk=∑
1
n
k
n=1
—
частичная сумма гармони-
ческого ряда.
Заметим, что при s > 1 ряд (2.9) сходится. Действительно, вы-
делим последовательно группы членов:
1
3s+
1
4s
⏟
2
,
1
5s+
1
6s+
1
7s+
1
8s
⏟
22
,...,
1
(2n−1+1)s + ⋯ +
1
(2n)s
⏟
2n−1
, ... (2.10)
Очевидно,
1
(m+1)s +
1
(m+2)s+ ⋯+
1
(2m)s < m
1
ms
=
1
ms−1
.
Поэтому
суммы из (2.10) соответственно меньше членов геометрической про-
грессии:
1
2s−1
,
1
4s−1
=(
1
2s−1
)2,⋯,
1
(2n−1)s−1
=(
1
2s−1
)n−1
,⋯
сумма которой, очевидно, конечна.

75
Вернемся к гармоническому ряду. Оказывается, что его частич-
ные суммы Sk стремятся к бесконечности как ln k, точнее,
lim
k→∞
(Sk−lnk)=:C=const
(2.11)
константа C называется постоянной Эйлера. Докажем (2.11). Заме-
тим,чтоf(x):=x −ln(1+x)≥0,x>−1,причемравенстводости-
гается только при x = 0. Действительно, f
′
(x) =
x
1+x
и, следователь-
но, f(x) ↓ на (−1,0), f(x) ↑ на (0,+∞), т. е. x = 0 является един-
ственной точкой глобального (абсолютного) минимума. Поэтому
x−ln(1+x)≥0
(2.12)
при x > −1, равенство нулю достигается только при x = 0.
Рассмотрим теперь ряд
∑(1
n
−ln
n+1
n
)
∞
n=1
.
(2.13)
В силу (2.12) ln
n+1
n
=−ln
n
n+1
= −ln(1−
1
n+1
)>
1
n+1
. С другой
стороны, в силу той же формулы (2.12), ln
n+1
n
= ln(1+
1
n
)<
1
n
. По-
этому
2
1
)1
(
1
1
1
1
1
ln
1
0
n
n
n
n
n
n
n
n

+
=
+
−

+
−

. Таким образом, ряд (2.13)
сходится.
Обозначим его сумму через C . Тогда ∑ (
1
n
− (ln(n+1)−
k
n=1
−
lnn))=Sk−ln(k+1) →
k→∞
C, что означает (2.11).
После такого первоначального знакомства со свойствами обоб-
щенных гармонических рядов перейдем к одному из изящных резуль-
татов Эйлера.
Теорема. ∑
n−s
∞
n=1
=∏(1−p
−s
)−1
p
, где s > 1, а произведение
берется по всем простым числам p.
Замечание 1. Слева в формуле из теоремы стоит бесконечная
сумма по всем натуральным числам, а справа — бесконечное произ-
ведение по всем простым числам 2, 3, 5, 7, 11, ... Символ ∑, означа-
ющий суммирование, — это заглавная буква «сигма» греческого ал-
фавита, первая буква в слове “sum” (сумма). Символ ∏, означающий
произведение, — это заглавная греческая буква «пи», используемая в
этом качестве из-за слова “product” (произведение).
Ниже приводится доказательство Эйлера (опубликовано в
1737 г.), использующее аналог алгоритма решета Эратосфена (около
230 г. до н. э.).

76
Доказательство. Умножим обе части (2.9) на
1
2s:
1
2sζ(s)=∑
1
(2n)s
∞
n=1
,
s>1.
(2.14)
Из (2.9) вычтем (2.14):
(1−
1
2s)ζ(s) = 1 +
1
3s+
1
5s+
1
7s+
1
9s+
1
11s +
1
13s +
1
15s + ⋯ (2.15)
Вычитание устранило из бесконечной суммы все члены с чет-
ными числами. Первое «выжившее» число — 3. Умножим (2.15) на
1
3s
и вычтем из (2.15):
(1−
1
3s)(1 −
1
2s)ζ(s) = 1 +
1
5s+
1
7s+
1
11s +
1
13s +
1
17s+⋯
(2.16)
Из бесконечной суммы исчезли все члены, содержащие числа,
кратные 3. Первое из «выживших» чисел — это теперь 5. Умножим
(2.16) на
1
5s и вычтем из (2.16):
(1−
1
5s)(1 −
1
3s)(1 −
1
2s)ζ(s) = 1 +
1
7s+
1
11s +
1
13s +
1
17s +
1
19s+⋯
Из суммы исчезли все члены, содержащие числа, кратные 5.
Продолжая этот процесс, получим формулу
ζ(s)=∏(1−p
−s
)−1
p
,
где произведение берется по всем простым p.
Замечание 2. Совсем короткое доказательство формулы Эйлера
получается, если воспользоваться выражением для суммы геометри-
ческой прогрессии
1
1−
1
pm
=1+
1
pm+
1
p2m + ⋯ и единственностью раз-
ложения натурального числа на простые множители.
2.9. Метод математической индукции
Начнем с общих понятий. Напомним, что через N, Z, Q , R мы
обозначаем множество натуральных, целых, рациональных, действи-
тельных чисел соответственно. Мы пока строго не определили ни
один из этих классов и в своих рассмотрениях исходили из интуитив-
ных представлений о них. Ниже в этом параграфе мы дадим опреде-
ление натуральных, целых, рациональных чисел, предполагая, что
множество действительных чисел R определено. Определение R, а
также другой подход к N, Z , Q будет приведен в нижеследующих па-
раграфах.
Определение 1. Множество X ⊂ R называется индуктивным,
если(x∈X⇒x+1∈X).

77
Очевидно, пересечение любого семейства индуктивных мно-
жеств является индуктивным множеством.
Определение 2. Наименьшее индуктивное множество в R, со-
держащее 1, называется множеством натуральных чисел, а его эле-
менты — натуральными числами.
Такое множество существует, достаточно взять пересечение
всех индуктивных множеств, содержащих 1.
Из определения 2 сразу следует следующий принцип.
Принцип математической индукции.
Если подмножество E множества натуральных чисел таково,
что1∈Eивместесчисломx∈EмножествуEпринадлежитиx+1,
то E совпадает с множеством натуральных чисел.
Переформулируем этот принцип в виде, удобном для примене-
ния.
Пусть задана последовательность утверждений A1, A2, . . . , Ak , ...,
в которой:
1) первое утверждение верно (базис или база индукции);
2) из истинности An следует истинность An+1 (шаг индукции).
Тогда все утверждения Ak , k = 1,2, ..., истинны.
Иногда полезно этот принцип применять в виде, когда п. 2 заме-
няется следующим:
2 ) из истинности утверждений A1, A2, . . . , Ak следует истинность
Ak+1 (шаг индукции).
Задача 1. Методом математической индукции доказать:
1.1+2+⋯+n=
n(n+1)
2
.
2.12+22+⋯+n2=
n(n+1)(2n+1)
6
.
3. Равенство Апастамбы (индусский математик IV в. до н. э .)
13+23+⋯+n3=(1+2+⋯n)2.
Решение: при
1
=
n
равенство верно. Имеем базис индукции.
Сделаем шаг индукции — если равенство выполняется при n = k , то
оновыполняетсяиприn=k+1:
(1+2+⋯+k+(k+1))2=(1+2+⋯+k)2+2(1+2+⋯+
+k)(k+1)+(k+1)2=13+23+⋯+k3+2
k(k+1)
2
(k+1)+(k+
+1)2=13+23+⋯+k3+(k+1)3.
4. 17|25n+3 + 5n3
n+2∀n∈N.
5.n+1|n2m−1+1∀n∈N.
6. Число людей, сделавших нечетное число рукопожатий, четно.

78
7.НеравенствоБернулли:еслиα>1,то(1+α)n≥1+nα∀n∈
∈N.
8.Еслиa+
1
a
—
целое, то ak +
1
ak—целое∀k∈N.
9. Формула бинома Ньютона:
(a+b)n
=a
n
+
n
1!
an−1b +
n(n−1)
2!
an−2b2+ ⋯+
+
n(n−1)⋅...⋅2
(n−1)!
abn−1 + bn
.
Решение. Легко видеть, например, с помощью метода математи-
ческой индукции, что
(a+b)n
=Cn
0an+Cn
1an−1b + Cn
2an−2b2+ ⋯+Cn
n−1
abn−1 + Cn
n
bn
,
где через Cn
j обозначены коэффициенты при an−j bj , j =
= 0,1,2, ... , n − 1, n, определение которых является нашей целью. Оче-
видно, Cn
0=1,Cn
n
= 1 ∀n. Далее, (a + b)k+1
= (Ck
0
ak+Ck
1
ak−1b +
+Ck
2
ak−2b2 +⋯+Ck
k−1
abk−1 + Ck
kbk)⋅(a+b)=Ck
0
ak+1 + (Ck
0
+
+Ck
1
)akb +(Ck
1
+Ck
2
)ak−1
b2+⋯+(Ck
k−1
+Ck
k
)abk + Ck
k
bk+1
.
То есть Ck+1
j =Ck
j−1
+Ck
j, j =1,2,...,k.РассмотримCn
jприn=
= 1,2,3,4: C1
0
=1,C1
1
=1,C2
1
=2,C3
1
=3,C4
1
=4,C4
2
=6,C4
3
=4.
Все они удовлетворяют соотношению Cn
j=
n!
j!(n−j)!
.
Для доказатель-
ства этой формулы проведем индукцию по n. Базис индукции дока-
зан, сделаем шаг индукции, т . е . в предположении истинности по-
следней формулы докажем истинность Cn+1
k=
(n+1)!
k!(n+1−k)!
,k=
= 0,1,...,n,n+1(приk=0, n+1онаужедоказана).Итак,приk=
=1,2,...n Cn+1
k =Cn
k−1+Cn
k=
n!
(k−1)!(n+1−k) +
n!
k!(n−k)!
=
(n+1)!
k!(n+1−k)!
.
Замечание 1. Число Cn
j=
n!
j!(n−j)!
, называемое в комбинаторике
числом сочетаний из n по j, определяет количество j — подмножеств
n — множества.
10. Формула ал-Кальсали (арабский математик, приблизительно
XI в.):
14+24+⋯+n4=
1
30
(6n5+15n4+10n3−n).
Решение. Индукцией по n докажем, что ∑ Cm+r−1
r
n
m=1
= Cn+r
r+1
.
При n = 1 это соотношение очевидно (т. е. выполнен базис индук-
ции). Шаг индукции — пусть оно верно при n = k , докажем его ис-
тинностьприn=k+1:

79
∑ Cm+r−1
r
k+1
m=1
= Ck+r
r+1
+ Ck+r
r
=
(k+r )!k+(k+r)!(r+1)
(r +1)!k!
= Ck+1+r
r+1
.
Итак,
(n+4)!
5!(n−1)!
= Cn+4
5 =∑ Cm+3
4
n
m=1
=∑
m(m+1)⋅...⋅(m+3)
4!
n
m=1
=
=
1
24
∑m4
n
m=1
+
1
4
∑m3
n
m=1
+
11
24
∑m2
n
m=1
+
1
4
∑m
n
m=1
,
т.е.∑
m4
n
m=1
=
1
5
n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)−6
n2 (n+1)2
4
−
−
11n(n+1)(2n+1)
6
− 3n(n+1)=
1
30
(6n5+15n4+10n3−n).
11. Формулы Фаулхабера (1580–1635):
a)∑ n5
n
m=1
=
1
12
(2n6+6n5+5n4−n2);
b)∑ n6
n
m=1
=
1
42
(6n7+21n6+21n5−7n3+n);
c)∑ n7
n
m=1
=
1
24
(3n8+12n7+14n6−7n4+2n2).
Рассмотрим теперь примеры применения метода математиче-
ской индукции в геометрии, в частности в теории многогранников.
Вначале введем некоторые общие понятия, связанные с графом. Бу -
дем рассматривать только конечные графы. Электросхемы, схемы
транспортных коммуникаций, географические карты, структурные
формулы молекул — это все примеры графов.
Под графом  на плоскости (плоский граф) понимается некото-
рое конечное множество точек на плоскости, называемых вершина-
ми, V = {v1, ... , vk } вместе с некоторым конечным множеством E =
= {e1, . . . , el } соединяющих их ребер. При этом ребро, соединяющее
различные вершины, — это дуга кривой без самопересечения, а ребро
с началом и концом в одной вершине (петля) — это замкнутая кривая.
Ребра между собой не пересекаются.
Кривую здесь можно заменить ломаной с конечным числом зве-
ньев. Это удобно в плане обхода вопросов определения кривой. Бу -
дем рассматривать только связные графы. Граф называется связным,
если любые две его вершины можно соединить непрерывным путем,
состоящим из нескольких ребер этого графа.
Любая замкнутая ломаная разбивает плоскость на две линейно
связные области (компоненты связности), для которых эта ломаная
является границей (теорема Жордана). Весь граф  разбивает плос-
кость на какое-то количество компонентов связности, эти области
называются гранями графа. Для рассматриваемых графов одна
(и только одна) грань является неограниченной (бесконечной) обла-
стью.

80
Степенью вершины графа называется количество ребер, схо-
дящихся в этой вершине (инцидентных этой вершине). При подсчете
степени ребро-петля учитывается дважды.
Теорема 1 (формула Эйлера для графов). Пусть Г — произволь-
ный плоский граф, V , E , F — число его вершин (vertex), ребер (edge),
граней (face) соответственно. Тогда
V−E+F=2.
Доказательство. Воспользуемся индукцией по числу ребер.
Базис индукции. В случае E = 1 есть две возможности: един-
ственное ребро является петлей или дугой. В первом случае имеется
одна вершина и по теореме Жордана две грани, а во втором случае
V = 2, E = 1, F = 1. В обоих случаях формула Эйлера верна.
Шаг индукции. Предположим, что формула Эйлера верна для
любого графа, имеющего n ребер; рассмотрим граф, содержащий E =
= n + 1 ребро. Возможны два случая.
a) Так как граф связный, то для любых двух вершин графа суще-
ствует соединяющий их путь (состоящий из ребер графа). Рассмот-
рим случай, когда для любых двух вершин этот путь единственный.
В этом случае граф не содержит ни одного замкнутого контура (иначе
единственность нарушается) и число граней равно 1. Для такого гра-
фа существует (хотя бы одна) крайняя вершина, т. е. вершина степе-
ни 1. Действительно, возьмем произвольную вершину графа. Если
она не крайняя, то служит концом по крайней мере двух ребер. Прой-
дем по одному из этих ребер до второй ее вершины. Если и эта вер-
шина не крайняя, то она служит концом какого-то другого ребра;
пройдем по этому ребру до второго его конца и т. д . Так как наш граф
не содержит замкнутых контуров, мы не вернемся ни к одной из ра-
нее пройденных вершин и ввиду конечности графа в конце концов
придем к вершине степени 1. Удалив эту вершину вместе с един-
ственным ребром, имеющим ее своим концом, получим новый связ-
ный граф с E′
=n,F=F
′
=1,V
′
= V − 1, для которого по предпо-
ложению индукции формула Эйлера выполняется, т. е . 2 = V
′
−E
′
+
+F′
= V −1 −(E−1)+F,чтоитребовалось.
b) Существуют две вершины, соединимые более чем одним пу-
тем. В таком случае существует замкнутый контур, содержащий эти
две вершины. Удалим одно из ребер (без вершин) из этого контура.
При этом получаемый граф будет связным, число граней уменьшится
на 1 (в соответствии с теоремой Жордана), а число вершин осталось
прежним. Для полученного графа верна формула Эйлера (предполо-
жение индукции), значит, она верна и для исходного графа.

81
Формула Эйлера верна и для простых многогранников, при
этом, как и раньше, V , E , F — соответственно число вершин, ребер,
граней многогранника. Напомним, что под многогранником в эле-
ментарной геометрии подразумевается область в 3-мерном простран-
стве, ограниченная поверхностью, состоящей из конечного числа
граней, имеющих форму многоугольников. В случае выпуклых мно-
гогранников их можно рассматривать как пересечение полупро-
странств (ограниченных плоскостями), если это пересечение ограни-
чено. Наиболее известны правильные многогранники. Встречаются в
большом количестве различные эквивалентные определения их. При-
ведем одно из них: выпуклый многогранник называется правиль-
ным, если все его двугранные углы равны, а все грани — равные
правильные многоугольники. Многогранник называется простым,
если в нем нет «дыр», т. е. посредством непрерывной деформации его
поверхность может быть переведена в сферу. Что в строгой формули-
ровке означает, что поверхность простого многогранника гомео-
морфна сфере.
Впервые формула Эйлера появилась (без доказательства) у Де-
карта, который первоначально считал, что она является характери-
стическим свойством правильных многогранников, то есть верна для
правильных многогранников, а в случае неправильных многогранни-
ков неверна. Вскоре Декарт понял, что эта формула верна и для ка-
ких-то неправильных многогранников, но развивать данную тему не
стал.
Итак, рассмотрим простой многогранник, непрерывными де-
формациями переведем его в сферу, получим некий связный граф на
сфере. Берем произвольную точку на сфере O, не лежащую ни на од-
ном ребре (т. е . внутреннюю точку какой-то грани), O
′
—
точка, диа-
метрально противоположная O, через O′
проведем касательную к рас-
сматриваемой сфере плоскость и на эту плоскость спроецируем точки
сферы с помощью центральной проекции с центром в O (такая проек-
ция называется стереографической). В результате получим связный
плоский граф с теми же значениями V, E , F (при этом сферическая
грань, содержащая O, переходит в неограниченную грань на плоско-
сти). Таким образом, получаем формулу Эйлера и для простых мно-
гогранников.
Задача о рукопожатиях, приведенная выше, становится совсем
очевидной, если рассматривать ее в терминах графов. Приведем про-
стые свойства графов, следствием которых является утверждение
упомянутой задачи.

82
1. Сумма степеней вершин любого графа равна удвоенному чис-
лу его ребер: ∑ deg( v)
v∈V
= 2|E|. Действительно, подсчет числа ре-
бер в каждой вершине и суммирование этих чисел равносильно учету
каждого ребра дважды.
2. Число нечетных вершин любого графа четно. Действительно,
сумма степеней четных вершин четна, и в силу предыдущего свой-
ства сумма степеней нечетных вершин должна быть четной, а это
возможно только тогда, когда (сумма степеней) нечетных вершин
четно(а).
В начале данного раздела в связи с принципом математической
индукции мы определили множество натуральных чисел Ν (в пред-
положении, что определено множество действительных чисел R). Да-
дим теперь определения целых (Z) и рациональных (Q) чисел.
Определение 3. Объединение множества натуральных чисел,
множества чисел, противоположных натуральным числам, и нуля
называется множеством целых чисел и обозначается символом Z.
Слово «противоположный» понимается здесь в смысле группы
(R, +), которая определена ниже. Числа, противоположные натураль-
ным, называются отрицательными целыми числами.
Отрицательные числа (не только целые) впервые начали исполь-
зоваться в VI в. н . э . индусами. Введение их было вызвано исследова-
ниями (в том числе и систематизацией) алгебраических уравнений
первой и второй степеней. Отрицательные числа в Европе стали из-
вестны из арабских источников в XV в. Но восприятие их шло с
большим трудом. Например, в «Мыслях» Паскаля (известный ита-
льянский физик, математик, 1623–1662 гг., его именем назван закон в
гидростатике) написано: «Я знаю людей, которые никак не могут по-
нять, что если из нуля вычесть 4, то получится 0». Его современник
Антуан Арно (1612–1697), занимавшийся математикой, приводит
следующий «довод» против отрицательных чисел: «...соотношение
−1 : 1 = 1 : − 1 не может выполняться, так как –1 меньше, чем 1. Ведь
меньшее число не может относиться к большему так же, как большее
к меньшему».
Определение 4. Числа вида m ⋅ n
−1
, где m, n ∈ Z, называются
рациональными.
Число n−1
—
это число, противоположное n в группе (R\{0}, ) .
Перейдем теперь к строгому изложению первоначальных сведе-
ний по некоторым структурам математики.

83
ГЛАВА 3
НЕКОТОРЫЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ
И МНОЖЕСТВО ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
Основная цель данной главы — это строгое определение множе-
ства действительных чисел. Для этого последовательно рассмотрены
понятия полугруппы, группы, полукольца, кольца, полуполя, тела,
поля, упорядоченного множества, полного упорядоченного множе-
ства, упорядоченного поля, полного упорядоченного поля, которое и
определяется как множество действительных чисел. Доказана един-
ственность последней структуры. Рассмотрены первые понятия акси-
оматических теорий — непротиворечивость, категоричность, полно-
та, модель. Затронуты вопросы продолжения поля действительных
чисел R, приводится теорема Фробениуса об изоморфности конечно-
мерного расширения R либо R, либо полю комплексных чисел (при
этом «теряется» упорядоченность), либо телу кватернионов (при этом
«теряется» коммутативность умножения).
3.1 . Полугруппа
Пусть X — какое-то множество, множество X × X упорядочен-
ных пар (x, y), где x, y ∈ X, называется декартовым (или прямым)
произведением X на себя.
Говорят, что на X введена структура полугруппы, если задано
отображение ∗ : X × X → X , обладающее свойством ассоциативности:
(a∗b)∗c=a∗(b∗c),
где d ∗ fозначает образ элемента (d, f) отображения ∗. Множе-
ство X с отображением ∗ называется полугруппой и обозначается
символом (X,∗).
В выражениях вида a1 ∗ ... ∗ an результат не зависит от способа
расставления скобок. Это легко устанавливается индукцией по n.
При n = 3 имеем саму аксиому ассоциативности. Предположим, что
n > 3 и что для числа элементов < n утверждение верно. Достаточно
показать, что
(a1∗...∗ak)∗(ak+1∗...∗an)=
= (a1∗...∗al)∗(al+1∗...∗an)∀k,l,1≤k,l≤n−1.
(3.1)

84
Заметим, расстановка скобок внутри скобок из (3.1) несуще-
ственна в силу предположения индукции. В частности, a1 ∗ ... ∗ ak =
=(...((a1∗a2)∗a3)... ∗ak−1)∗ak.
Еслиk=n−1,то(a1∗...∗an−1)∗an=(...((a1∗a2)∗a3)... ∗
∗an−1)∗an. Еслижеk<n−1,то(a1∗...∗ak)∗(ak+1∗...∗an)=
=(a1∗...∗ak)∗((ak+1∗...∗an−1)∗an)=((a1∗...∗ak)∗(ak+1∗...∗
∗ an−1)) ∗ an=(...((a1 ∗ a2) ∗ a3)... ∗ an−1) ∗ an. То есть в обоих слу-
чаях получается один и тот же результат. К этому же результату при-
водится и правая часть равенства (3.1).
Если∃e∈X:e∗a=a∗e=a∀a∈X,тоeназываетсяедини-
цей (или нейтральным элементом) полугруппы, а сама полугруппа
называется полугруппой с единицей или моноидом.
Единица e единственна: если e′
—
другой единичный элемент,
то e′
=e
′
∗e=e.
Элемент l ∈ X называется левым (правым) нейтральным эле-
ментом или левой единицей (правой единицей), если l ∗ a = a∀a ∈
∈ X (a ∗ l = a∀a ∈ X). Заметим, что приведенное выше доказатель-
ство единственности единицы (нейтрального элемента) для левой
(правой) единицы уже, очевидно, не проходит. Более того, можно
привести примеры полугрупп, в которых левых (правых) единиц бо-
лее одного. Например, на произвольном множестве X введем бинар-
ную операцию (т. е. отображение из X × X в X) «∗» равенством x ∗
∗y =y∀x,y∈X.Тогда(X,∗)— полугруппа и любой элемент из X
является левой единицей. Если положить x ∗ y = x ∀x, y ∈ X, то (X,∗)
также полугруппа и любой элемент из X нейтрален справа. Если
множество X содержит более одного элемента, то в обоих случаях
нейтральный элемент (единица) отсутствует.
Примеры.
1. Аддитивная полугруппа натуральных чисел: (N, +), здесь су-
ществует нейтральный элемент e = 0.
2. Мультипликативная полугруппа натуральных чисел (N,⋅) ,
здесь также существует нейтральный элемент e = 1.
3. Пусть aΔb : = HOD(a, b). Тогда (N, Δ) — полугруппа, еди-
ничный элемент отсутствует.
4. Пусть a∇b : = HOK(a, b). Тогда (N, ∇) — полугруппа с еди-
ницейe=1.
5. Пусть
∀x,y∈R x∧y:=min{x,y}, x∨y:=max{x,y}.
Тогда ∀M ⊂ R (M,∧), (M,∨) — полугруппы, (Ν,∨) — полугруппа с
единицей.

85
6. Пусть M — произвольное множество. Тогда (P(M),∪), (P(M),∩),
где P(M) — множество всех подмножеств множества M, являются мо-
ноидами. Причем, единичным элементом для первой из них является пу-
стое множество, для второй — само множество M.
7. Пусть X — произвольное множество, T(X) : = {φ : X → X| φ
определено на всем X} — множество всех преобразований множества
X; (T(X),∘), где (φ ∘ ψ)(x) : = φ(ψ(x)), является моноидом, e(x) = x .
Отметим, что не предполагается, что ∀φ ∈ T(X) обязательно φ(X) =
= X, φ может быть и не сюръективным. Эта полугруппа называется
полной полугруппой преобразований (или симметрической полу-
группой) на X.
Полугруппа (X,∗) называется коммутативной (абелевой), если
a∗b=b∗a∀a,b∈X.
Все полугруппы из 1–6 коммутативны. Полная полугруппа пре-
образований не коммутативна.
Рассмотрим полную полугруппу преобразований на R. Функции
φ(x) = 2x, ψ(x) =
1
2
x обладают следующим свойством: φ ∘ ψ = ψ ∘
∘ φ = e. В таком случае говорят, что φ и ψ обратные друг к другу
элементы.
Более точно, элемент a моноида (M,∗, e) называется обрати-
мым, если
∃b∈M:a∗b=e=b∗a.
Обратный к a элемент обозначается через a−1
.
Обратный элемент, в случае его существования, единствен.
Действительно, если наряду с b обратным к a является и элемент d ,
тоb=(d∗a)∗b=d∗(a∗b)=d.
Заметим, что в полной полугруппе преобразований на R есть как
обратимые элементы, так и необратимые, как , например, φ(x) =
= √x2(x3 − 1)
3
. В моноидах из 1, 2, 4, 5, 6 ни один элемент необра-
тим (за исключением единичного элемента).
Пусть (X,∗) — произвольная полугруппа. Порядок действий в
выражении a1 ∗ ... ∗ an указывается, как известно, с помощью скобок.
Из свойства ассоциативности операции следует, что результат в этом
выражении не зависит от способа расстановки скобок, так что можно
их и не ставить. Доказательство проводится индукцией по n.
Введем понятие изоморфизма, служащее для выявления «одина-
ковости» математических структур. Пусть (S,∘), (T,∗) — полугруп-
пы. Они называются изоморфными, если ∃ биекция φ : S → T такая,

86
что φ(x ∘ y) = φ(x) ∗ φ(y). При этом φ — изоморфизм (S,∘) на (T,∗),
φ−1
—
изоморфизм (T,∗) на (S,∘).
Заметим, что при изоморфизме единица переходит в единицу.
Теорема 1. Для любой полугруппы существует некоторая полу-
группа преобразований, изоморфная ей.
Доказательство. Пусть (S,∗) — произвольная полугруппа. По
ней построим некоторую полугруппу преобразований. С точностью
до переобозначений можем считать, что символ 1 ∉ S. Положим X : =
= S∪{1}.Продолжим бинарную операцию «» на все X: a∗1 =1∗
∗a=a∀a∈S, 1∗1=1;(X,∗)—полугруппаи1-единицавней.
Определим∀a∈Sотображениеa↦fa(x):=a∗x∀x∈X,оче-
видно, fa(x) ∈ T(X). Пусть F : = {fa : a ∈ S}, F — подполугруппа в
T(X). Действительно, F ⊂ T(X) и осталось доказать, что ∀a, b ∈
∈S∃c∈S:fa∘fb=fc.
Проведем соответствующие выкладки:
(fa ∘ fb)(x)=fa(fb(x)) =a ∗(b∗x) =fa∗b(x),т.е.
b
a
c

=
.
Отображение φ : S → F , определяемое соотношением S эa ↦
φ
fa∈
∈ T(X), является изоморфизмом: а) φ — биекция; инъективность
φ:(a≠b)⇒(fa≠fb),т.е.∃x∈X:a∗x≠b∗x,можновзять
1
=
x
(вот где понадобилась 1), сюръективность следует из построения F.
Осталось доказать, что φ сохраняет операции: ∀a, b ∈
∈Sφ(a∗b)=φ(a)∘φ(b), т. е. fa∗b(x) =(fa ∘ fb)(x), а это уже до-
казано.
3.2. Группа
Определение 1. Моноид, все элементы которого обратимы,
называется группой.
Число элементов в конечной группе называется порядком
группы. Группы, содержащие бесконечное число элементов, назы-
ваются бесконечными группами.
Задача 1. Пусть (G,∗) — группа. Доказать, что e−1
=
= e, (a−1)−1
=a,(a1∗...∗an)
−1
=an
−1
∗...∗a1
−1
.
Задача 2. Пусть am:=a∗...∗a
⏟
m
.
Тогда (am )
−1
= (a−1)m
=
=: a−m
,a
m
∗a
n
=a
m+n
, (am)
n
=a
mn
.
По определению g0 = e .
Задача3.Вгруппе(G,∗)решитьуравненияa∗x =b, y∗a =b.
Приведем теперь другое эквивалентное определение группы.
Определение 2. Полугруппа (G,∗) называется группой, если
1)∃e∈G:e∗a=a∀a∈Gи2)∀a∈G∃b∈G:b∗a=e;

87
то есть существует левый нейтральный элемент и для любого элемен-
та группы существует левый обратный элемент.
Очевидно, из определения 1 следует определение 2. Докажем
обратное, т. е. левый нейтральный элемент из определения 2 является
нейтральным элементом, а левый обратный — обратным.
Действительно, ∀a ∈ G ∃a−1 ∈ G : a−1
∗a=e, отсюда (a−1
∗
∗a)∗a
−1
=e∗a
−1
=a
−1
. Напомним, что a−1
—
левый обратный к
a, e — левая единица. Обозначим через (a−1)−1 левый обратный к
a−1
.
Тогда (a−1)−1
∗ (a−1
∗a)∗a
−1
= (a−1)−1
∗a
−1
=e.Тоесть
aa−1
= e и левый обратный является также и правым обратным, т. е.
является обратным.
Далее, a∗e=a∗a
−1
∗a=e∗a=a, т.е. e является также
правой единицей, а значит, единицей.
Примеры.
1. Аддитивные группы целых чисел (Z, +), рациональных чисел
(Q, +), вещественных чисел (R, +). Во всех трех случаях нейтральным
элементом (единицей) является 0, элемент, обратный a, равен –a .
2. Мультипликативные группы рациональных чисел без нуля
(Q\{0},⋅), действительных чисел без нуля (R\{0},⋅) .
3.ПустьPr={f:R→R|f(x)=
ax+b
cx+d
; a,b,c,d∈R; ad−bc≠
≠ 0}. Тогда (Pr,∘) , где «∘» — знак композиции функций, является
группой. Элементами этой группы являются так называемые дробно-
линейные функции.
4. Пусть M — произвольное множество, (2M , Δ) — группа, где
симметрическая разность Δ определяется равенством ∀A, B ∈
∈2MAΔB:=(A∪B)\(A∩B).
5. Пусть X — произвольное множество, Tr(X) : = {φ : X → X| φ —
биекция X} — множество всех взаимно однозначных преобразований
множества X, т. е. инъективных и сюръективных отображений, опре-
деленных на всем X. Тогда (Tr(X),∘), где (φ ∘ ψ)(x) : = φ(ψ(x)), явля-
ется группой, e(x) = x . Эта группа называется группой преобразова-
ний (или симметрической группой) на X. В случае, когда X конечно,
вместо преобразование часто говорят перестановка (или подстанов-
ка).
6. Пусть в примере из примера 4 X — это плоскость. Считая, что
на ней введена система координат, множество точек на плоскости
можно поставить во взаимно однозначное соответствие с множеством
пар чисел. Итак, считаем X = R2. Рассмотрим множество всех аф-
финных преобразований на R2, то есть таких преобразований, кото-
рые точке с координатами (x, y) ставят в соответствие точку с коор-

88
динатами (a1x+b1y+c1, a2x+b2y+c2), где ai,bi,ci, i =1,2 —
заданные числа, причем
0
1
2
2
1

−
b
a
b
a
.
Легко видеть, что аффинное
преобразование есть композиция сдвига и линейного преобразования.
Это множество относительно операции композиции образует груп-
пу — группу аффинных преобразований.
Рассмотрим подробнее перестановки, т. е. пример 5 в случае, ко-
гда X конечно. Так как природа его элементов нам несущественна, то
будем считать, что X = {1,2, ... , n}. При этом (Tr(X),∘) обозначается
Sn и называется симметрической группой степени n. Элементы Sn
удобно изображать в виде (a1, a2, ... , an), где ai ∈ {1,2, ... , n},i =
= 1,2,...,n; ai≠aj приi≠j.Этазаписьозначаетотображениеi↦
↦ ai, i = 1, ... , n. Отсюда очевидно, что CardSn = n!.
Пусть (G,∗) — группа и H ⊂ G. Если (H,∗) является группой, то
она называется подгруппой G.
ПодгруппаH⊂G—собственная,еслиH≠eиH≠G.
Задача 4. Пересечение любого семейства подгрупп группы яв-
ляется подгруппой.
Пусть S — какое-то подмножество в G , через < S > обозначает-
ся минимальная подгруппа, содержащая S. Очевидно, < S >=∩ H,
где пересечение берется по всем подгруппам H ⊂ G, содержащим S.
При этом < S > называется подгруппой, порожденной множеством
S, а S — множеством образующих подгруппы < S >. Каждая группа
порождается какой-нибудь системой образующих.
Задача5.<S>={e,t1∗t2∗...∗tn, n=1,2,...|(ti∈S)∨
∨ (ti
−1
∈S),1≤i≤n}.
Группа, порожденная одним элементом, называется цикличе-
ской.
7. Группа (Z, +) — циклическая.
Пусть g ∈ G, число ordg: = min{ n|gn
= e} в случае его суще-
ствования называется порядком элемента g. Если указанный мини-
мум не достигается, то говорят, что g имеет бесконечный порядок.
Задача6.ПустьG—группа.Тогда∀a∈Gorda=Card<a>
(через CardG обозначается порядок группы G).
Задача7.Пустьa,b∈G—группаиab=ba,orda=n,ordb=
=m,НОД
1
),(
=
b
a
. Тогда<a,b>=<ab>иCard<ab>=nm.
Задача 8. Конечная группа G является циклической ⇔ в G су-
ществует элемент порядка CardG.
Задача 9. Элемент gk является образующим в группе < g >⇔
⇔НОД(k, ordg) = 1.

89
Теорема 1. (Кэли) Любая конечная группа G порядка n изо-
морфна некоторой подгруппе симметрической группы Sn .
Доказательство. Считаем (без ограничения общности), что Sn —
множество биекций G на себя. Для любого a ∈ G определим отобра-
жениеLa:G→Gформулойg↦
La
ag.Таккак(ag=ad⇒a−1(ag)=
=a
−1(ad) ⇒ (a−1a)g = (a−1a)d ⇒ g = d), то La — биективное
отображение, обратное к нему: La
−1
= La −1 ; единицей является Le . Да-
лее, Lab(g) = (ab)g = a(bg) = La(Lbg), т. е. Lab = La ∘ Lb. Значит,
(M,∘) — группа, где M : = {La2
,..., Lan
},a1=e,a2,...,an—всеэле-
менты группы G. Эта группа является подгруппой в Sn (не обязатель-
но собственная), отображение L : G → Sn , задаваемое формулой
a↦La
L
∈ M, является изоморфизмом.
Пусть (G,∗) и (H,∘) — группы. Отображение f : G → H называ-
ется гомоморфизмом, если ∀a, b ∈ G f(a ∗ b) = f(a) ∘ f(b). Инъек-
тивный гомоморфизм называется мономорфизмом, сюръектив-
ный — эпиморфизмом. Очевидно, изоморфизм — это биективный
гомоморфизм.
Задача 10. Пусть f : G → H гомоморфизм групп. Доказать, что:
1) единица группы G переходит в единицу группы H;
2) ∀a ∈ G f(a−1) = (f(a))−1 и f(an) = (f(a))n;
3)f— мономорфизм ⇔{e}=Kerf:={g∈G:f(g)=h}, где
e — единица G, h — единица H;
4) композиция гомоморфизмов — гомоморфизм;
5) ∀a ∈ G ordf(a)|orda;
6) если f — изоморфизм, то orda = ordf(a);
7) циклические группы одного порядка изоморфны.
Понятие группы введено в математику Лагранжем (1770 г.).
Термин “group” впервые употребил Галуа в своем письме к Шевалье
перед дуэлью. Окончательно этот термин утвердился после работ Кэ-
ли (1854 г.). Аксиоматика теории групп, колец, полей в основном бы-
ла завершена к 1930-м гг .
3.3. Полукольцо
Пусть H — какое-то непустое множество. Говорят, что на H вве-
дена структура полукольца, если заданы два отображения ⊕ : H ×
× H → H (сложение) и ⊗ : H × H → H (умножение), удовлетворяю-
щие условиям:
1) (H,⊕) — коммутативный моноид, его нейтральный элемент
будем называть нулем и обозначать как «0»;

90
2) (H,⊗) — полугруппа;
3) умножение дистрибутивно относительно сложения: (∀a, b , c ∈
∈H(a⊕b)⊗c =a⊗c⊕b⊗c— правая дистрибутивность) и
(∀a,b,c∈Hc⊗(a⊕b)=c⊗a⊕c⊗b— левая дистрибутив-
ность);
4) мультипликативное свойство нуля
∀a∈Ha⊗0=0⊗a=0.
Принята следующая терминология: (H,⊕) — аддитивная по-
лугруппа полукольца, (H,⊗) — мультипликативная полугруппа
полукольца; если (H,⊗) — моноид, то говорят, что
),,
(

H
—
по-
лукольцо с единицей. Если операция умножения ⊗ коммутативна,
то полукольцо называется коммутативным. Если a ⊕ a = a ∀a ∈ H ,
то полукольцо H идемпотентно.
Обратим внимание на то, что в силу мультипликативного свой-
ства ноль не может служить единицей (т. е. единица всегда отлич-
на от нуля).
Примеры.
1. (N0, +,⋅), где N0 : = N ∪ {0}, — полукольцо с единицей, 1 яв-
ляется единицей, число 0 является нулем.
2. Полукольцо полиномов с натуральными коэффициентами,
т.е.функцийизRвRвидаa0+a1x+⋯+anx
n
, ai∈N0,n∈N0,с
обычными сложением и умножением. Это коммутативное полуколь-
цо с единицей. Нулем является 0, единицей является 1.
3.(R+∪{+∞},min,+), где R+:={x∈R:x≥0}, a⊕b=
= min{ a, b}, a ⊗ b = a + b, является коммутативным кольцом с ну-
лем «+∞» и единицей 0. Оно также идемпотентно.
4. ([a, b], max, min) — коммутативное и идемпотентное полу-
кольцо с нулем a и единицей b.
5. Пусть M — произвольное множество, (2M ,∪, ∩) — коммута-
тивное идемпотентное полукольцо с единицей M и пустым множе-
ством 0
̶
в качестве нуля, где объединение и пересечение рассматри-
ваются как сложение и умножение соответственно.
Полукольцо называется мультипликативно сократимым, если
∀a,b,c∈H((a⊗c=b⊗c)∧c≠0)⇒a=b),
и аддитивно сократимым, если
∀a,b,c∈H((a⊕c=b⊕c))⇒a=b).
Полукольца из примеров 1, 2 и мультипликативны и аддитивно
сократимы; полукольцо из 3 не является аддитивно сократимым, но

91
мультипликативно сократимо; полукольца из 4 и 5 не являются ни
аддитивно, ни мультипликативно сократимыми.
Задача 1. Доказать, что нижеследующие множества с введен-
ными на них бинарными операциями являются полукольцами, найти
нули и единицы, исследовать на коммутативность, идемпотентность
и сократимость: (N0, +,⋅), (Q+, +,⋅), (R+, +,⋅),
)
max,
,
(0

N
,
)
max,
,
(

+
Q
,
)
max,
,
(

+
R
,
)
max,
],1
,
0
([

, (HX,+
̇
,×), где «+», «⋅» — обычные сложение
и умножение чисел; X — произвольное непустое множество,
(H,⊕,⊗) — произвольное полукольцо, H X : = {f : X → H}, операции
«+
̇
» и «×» определяются равенствами (f+
̇
g)(x) = f(x) ⊕ g(x) и
(f × g)(x) = f(x) ⊗ g(x).
3.4. Кольцо
Полукольцо, у которого аддитивная полугруппа является груп-
пой, называется кольцом. Более подробно.
Пусть на непустом множестве K заданы две бинарные операции
(бинарная операция — это отображение из K × K в K) «⊕» (сложе-
ние) и «⊗» (умножение), удовлетворяющие условиям:
1) (K,⊕) — абелева группа;
2) (K,⊗) — полугруппа;
3) дистрибутивность умножения по сложению:
∀a,b,c∈K(a⊕b)⊗c=a⊗c⊕b⊗c,
c⊗(a⊕b)=c⊗a⊕c⊗b,
(K,⊕,⊗) называется кольцом, (K,⊕) — аддитивная группа кольца,
(K,⊗) — мультипликативная полугруппа кольца. Если (K,⊗) — мо-
ноид, то говорят, что (K,⊕,⊗) — кольцо с единицей.
Заметим, что здесь отсутствует требование мультипликативного
свойства нуля, присутствующее в определении полукольца. В случае
кольца оно следует из приведенных выше аксиом 1–3 .
Теорема 1 (мультипликативное свойство нуля). Если в кольце
один из сомножителей равен нулю, то и все произведение равно ну-
лю. Обратное неверно, т. е. если a ⋅ b = 0, то отсюда, вообще говоря,
не следует, что (a = 0)∨(b=0).
Доказательство.
a⊗0⊕a⊗0=a⊗(0⊕0)=a⊗0,
(3.2)
так как (K,⊕) — группа, то существует −(a ⊗ 0), добавим его к обе-
им частям равенства (3.2), получим a ⋅ 0 = 0. Аналогично 0 ⋅ a = 0.

92
Обратное утверждение, верное для кольца действительных чи-
сел, выполняется не для всех колец. Пример: (Z2, +,⋅), где (a, b) +
+(c,d)=(a+ c,b+d), (a,b)⋅(c,d)=(ac,bd), является кольцом.
При этом (a,0)⋅(0,b)=(0,0) ∀a,b.
Не выполняется это свойство и для кольца вычетов по модулю m
при составных m.
Заметим, что если (K,⊕) не является группой, то из
b
b
b=

не
следует, вообще говоря, что b = 0. Например, в примере 4 из п. 3 .1
8∇8 : = 8, а нейтральным элементом является 1.
Примеры.
1. (Z, +,⋅), (Q, +,⋅), (R, +,⋅) — кольца, число 1 является едини-
цей для них; число 0 является нейтральным элементом в аддитивной
группе для всех трех колец. Для первого кольца обратимыми являют-
ся только 1 и –1, в оставшихся двух кольцах обратимы уже все нену-
левые элементы.
2. Пусть n ∈ Ν\{1}. Тогда (nZ, +,⋅) — кольцо без единицы.
3. Вещественные числа вида a + b√2, a , b ∈ Q с обычными
сложением и умножением образуют кольцо, а множество чисел вида
a+b√2
3
, a, b ∈ Q не образует кольцо.
4. Кольцо функций. Пусть X — произвольное множество,
(K,⊕,⊗) — произвольное кольцо, K X : = {f : X → K} — множество
отображений, определенных на всем X со значениями в K (заметим,
что в случае конечности множеств X и K, CardK X = (CardK)CardX ).
Тогда (K X, +,⋅), где операции «+» и « ⋅ » определяются равенствами
(f + g)(x) = f(x) ⊕ g(x) и (fg)(x) = f(x) ⊗ g(x), является коль-
цом.
5. Кольцо полиномов с коэффициентами из R, т. е. функций из R
вRвидаa0+a1x+⋯+anx
n
с обычными сложением и умножени-
ем.
6. Множество Z2 образует кольцо, если операции определены по
формулам:
(a,b)+(c,d)=(a+b,c+d), (a,b)⋅(c,d)=(ac−
− bd,cb+ad).
7. Пусть M — произвольное множество, (2M , Δ,∩) — кольцо с
единицей, где симметрическая разность и пересечение рассматрива-
ются как сложение и умножение соответственно.
8. Введем понятие кольца множеств (используемое в теории ме-
ры). Пусть X — непустое произвольное множество.
((2X ⊃ R — кольцо множеств) =
def
= ({A,B}⊂R⇒(A∪B∈R)∧(A\B∈R)).

93
Введем семейство Rχ функций χA : X → {0,1}, A ∈ R, формулой
χA(x) = {
1, еслиx∈A
0, еслиx∉A
∀A ∈ R. Тогда (R — кольцо множеств ⇔
Rχ — кольцо).
9. Кольцо вычетов. Напомним понятие сравнимости двух чисел
по модулю m из п.2.5:a≡b(modm) =
def
m|a − b . Как указывалось
выше, соотношение сравнимости является отношением эквивалент-
ности и Z разбивается на непересекающиеся классы эквивалентно-
сти. Классов будет m, и каждый класс состоит из чисел, дающих при
делении на m в остатке определенное число. А именно — класс,
определяемый числом 0 (в этот класс входят все числа, делящиеся
на m), класс, определяемый числом 1 (все числа, дающие при делении
на m в остатке 1) и так далее до класса, определяемого числом m − 1 .
Разбиение какого-то множества X на классы эквивалентности относи-
тельно какого-то отношения эквивалентности «~» называется фак-
тор-множеством X относительно «~» и обозначается X|~. Введем на
Z|≡m (фактор-множество Z относительно отношения сравнения по
модулю m) структуру кольца. Заметим, Z|≡m = {0̄ , 1̄ , ... m − 1}, где
черта над числом означает класс, который оно представляет. Очевид-
но,
(a≡b(modm))∧(c≡d(modm))⇒(a+c ≡b+d(modm))∧
∧ (ac ≡ bd(mod m)).
Это дает возможность определить операции сложения и умно-
жения: a
̄
+b̄=a+b,a
̄
b̄ = ab. Таблицы этих операций
k̄+l̄ = {k+l,
еслиk+l<m
k+l−m, еслиk+l≥m
;
k̄
⋅l
̄
={
k⋅l,
еслиk⋅l<m
k⋅l −m ⋅q, еслиm⋅q≤k⋅l<m⋅(q+1)
.
Очевидно, (Z|≡m , +) — абелева группа, (Z|≡m ,⋅) — коммута-
тивная полугруппа с нейтральным элементом 1 . Легко проверяется и
дистрибутивность умножения по сложению. Таким образом, класс
вычетов по модулю m является коммутативным кольцом с единицей.
Это кольцо будем обозначать через m
Z.
Подмножество кольца K называется подкольцом, если оно само
является кольцом при тех же операциях сложения и умножения, ко-
торые определены в K.

94
Задача 1. L — подкольцо в K ⇔((x,y∈L)⇒(x−y∈L)∧
∧(xy∈L)).
Ненулевой элемент a кольца K называется:
1)делителемнуля,если∃b∈K,b≠0:(ab=0∨ba=0);
2) нильпотентным элементом, если ∃n ∈ N : an
=0.
Заметим, что нильпотентный элемент обязательно делитель ну-
ля. Обратное, вообще говоря, неверно.
10. (Mn , +,⋅) — кольцо матриц n × n с обычными сложением и
умножением матриц, нулевой элемент-матрица, в которой все эле-
менты равны числу 0, единичный элемент-матрица, в которой на глав-
ной диагонали стоят числа 1, а вне — числа 0. Пусть A ∈ (Mn, +,⋅) —
матрица, у которой на главной диагонали и ниже стоят 0, а выше
главной диагонали — произвольные числа. Тогда An
=0.
11. Кольцо Zmсодержит делители нуля ⇔ m — составное число.
Если m = m1m2, то, очевидно, m
̄
1⋅m
̄
2=m
̄
=0̄
.
Докажем теперь (⇒): пусть m — простое и k̄ ≠ 0̄
. Проводя по-
следовательно деление с остатком (алгоритм Евклида), получим
m=k0r0+k1,k0=k1r1+k2,k1=k2r2+k3, ...,kl=kl+1rl+1+
+ kl+2, kl+1 = kl+2rl+2 + 1,
гдеm>k=k0>k1>k2>⋯>kl+2>1.
Отсюда
k1=m−k0r0, k2=k0−k1r1,k3=k1−k2r2, ..., kl+2=kl−
− kl+1rl+1 , 1 = kl+1 − kl+2rl+2 . Подставим во второе равенство вме-
сто k1 равное ему выражение m − k0r0, затем в третье равенство под-
ставим вместо k2 полученное выражение и т. д . Получим, что
∃s,t∈Z:mt+ks=1.
Перейдя к классам вычетов, получим m
̄
t
̄
+k̄s
̄
=1̄
.
Ноm
̄
=0̄
,
поэтому k̄ s
̄
=1̄,т.е.s
̄
∈ Zm является элементом, обратным к k . Так
как делители нуля не могут быть обратимыми, то m
Z при простом m
не содержит делителей нуля.
Кольцо называется целостным, если дополнительно к аксиомам
кольца требовать коммутативность умножения и отсутствие делите-
лей нуля. Целостные кольца иногда называют областями целостно-
сти. Кольцо (Z, +,⋅) из примера 1 является целостным кольцом (но не
является полем, см. п . 3 .6). Кольцо Zm из примера 9 при составных m
не является целостным, но при простых m (см. пример 11) целостное
(в этом случае m
Z — поле, см. п. 3.6).

95
Понятие кольца введено Дедекиндом (1879 г.) под названием
«порядок». Термин “ring” предложил Гильберт (1897 г.) в одной из
своих алгебраических работ.
3.5 . Полуполе, тело
Полуполе — это коммутативное полукольцо с единицей
(не равное нулю) такое, что его любой ненулевой элемент обратим по
отношению к умножению. Более подробно.
1. (H,⊕) — коммутативный моноид, его нейтральный элемент
будем называть нулем и обозначать как «0».
2. (H,⊗) — коммутативный моноид, (H\{0},⊗) — группа.
3. Умножение дистрибутивно относительно сложения:
(∀a,b,c ∈H(a⊕b)⊗c =a⊗c⊕b⊗c— правая дистрибу-
тивность) и(∀a,b,c∈Hc⊗(a⊕b)=c⊗a⊕c⊗b— левая дис-
трибутивность).
Примерами полуполей являются (R+ , +,⋅), (Q+ , +,⋅), (R− , +,∗) ,
(Q−,+,∗),гдеa∗b=a|b|.
Идемпотентные полуполя, т. е. коммутативное идемпотентное
полукольцо с единицей (наряду с идемпотентными кольцами), явля-
ются одним из главных объектов исследования так называемого
идемпотентного анализа (или тропической математики), имеющей
приложения к квантовой механике.
Важную роль играет также алгебраическая структура, называе-
мая телом. Тело — это кольцо с единицей, в котором каждый нену-
левой элемент обратим относительно умножения.
Приведем важный пример тела, которое не является полем, —
тело кватернионов.
ПустьH ={(x,y,z,t):x,y,z,t∈R}.Введем наэтом множестве
бинарные операции сложение («+») и умножение («*»). Для лю-
бых qi = (xi, yi, zi, ti), i = 1,2 определим сумму
q1+q2=(x1+x2,y1+y2,z1+z2,t1+t2).
Очевидно,
),
(+
H — абелева группа с нулем
)0,0
,
0,0(
.
Определим умножение:
q1∗q2=((x1x2−y1y2−z1z2
− t1t2), (x1y2 + y1x2 + z1t2 −
− t1z2),(x1z2 − y1t2 + z1x2 + t1y2),(x1t2 + y1z2 − z1y2 +
+ t1x2)).
(3.3)
Непосредственно проверяется, что умножение ассоциативно.
Легко видеть, что единицей является
)0,0
,
0,1(
, будем обозначать ее

96
как 1. Ниже мы иногда будем пропускать знак «*» при перемноже-
нии.
Громоздкость формулы (3.3) может создать впечатление неесте-
ственности такого определения. Более удобным при вычислениях яв-
ляется другая форма записи кватернионов, которая как бы обобщает
форму записи комплексных чисел z = x + iy с мнимой единицей
i, i 2 = −1 . При этом водятся символы i, j, k для обозначения кватер-
нионов (0,1,0,0), (0,0,1,0), (0,0,0,1) соответственно. Очевидно,
i2=j2=k2=−1,(т.е.
)0,0
,
0,1
(−
),ij= −ji=k,jk= −kj=i,
ki= −ik=j.
Заметим, что уже в этих соотношениях проявляется некоммута-
тивность умножения. Указанные выше связи между 1, i , j, k удобно
записать в виде таблицы умножения.
Таблица 3.1
*
IJK
I–1K
–j
J–k
–1
I
KJ–i
–1
Теперь, чтобы получить q1 ∗ q2 (q1 + q2), достаточно перемно-
жить (сложить) x1+y1i+z1j+t1k и x2+y2i+z2j+t2k какобыч-
ные полиномы с учетом таблицы 3.1 .
Так же легко получается и левая и правая дистрибутивность.
Если в записи кватерниона x + yi + zj + tk числа y, z, t все рав-
ны нулю, то получаем действительные числа, если же z, t оба равны
нулю — то комплексные числа.
Осталось доказать, что каждый ненулевой кватернион имеет об-
ратный, т. е.
∀q∈H,q≠0,∃q−1 ∈H:q−1
∗q=q∗q
−1
=1.
В связи с невыполнением коммутативности умножения кватер-
нионов введем следующие определения.
Пусть a, b — произвольные кватернионы и b ≠ 0. Кватернион c
называется правым частным от деления a на b, если bc = a и d,
называется левым частным, если db = a.
Прежде чем пытаться найти обратный кватернион к данному,
рассмотрим более широкий вопрос: как найти левое, правое частные?
К примеру, найдем правое частное c = x + yi + zj + tk от деления
a=x1+y1i+z1j+t1k на b=x2+y2i+z2j+t2k. Из равенства

97
(x2+y2i+z2j+t2k)(x+yi+zj+tk)=x1+y1i+z1j+t1k полу-
чим систему
{x2x−y2y−z2z −t2t=x1
y2x+x2y−t2z+z2t=y1
z2x+t2y+x2z−y2t=z1
t2x−z2y+y2z+x2t=t1
.
(3.4)
Из этой линейной системы найдем x, y , z, t. Аналогично для ле-
вого частного получим систему:
{x2x−y2y−z2z −t2t=x1
y2x+x2y+t2z−z2t=y1
z2x−t2y+x2z−y2t=z1
t2x+z2y−y2z+x2t=t1
.
(3.5)
Вопрос, который сразу же возникает, — это вопрос о разреши-
мости систем (3.2) и (3.3) в общем случае. Для ответа на этот вопрос
можно воспользоваться альтернативой Фредгольма в конечномерном
случае, сводящей этот вопрос к тому, равен или не равен нулю детер-
минант матрицы системы (3.2) (и (3.3)), или же воспользоваться тео-
ремой Кронекера — Капелли, сводящий этот вопрос к вычислению
ранга матрицы системы и расширенной матрицы. Оба эти подхода не
дают простого решения в общем случае. Но, оказывается, что их ре-
шения выписываются совсем просто после решения частного случая,
когда a = 1. В этом случае левое и правое частные называются ле-
вым и правым обратными. У кватернионов они совпадают, т. е.
каждый ненулевой кватернион имеет обратный.
Чтобы показать это, нам удобно будет ввести понятие модуля
кватерниона, важное и само по себе. Для кватерниона q = α + βi +
+γj + δk сопряженным называется кватернион q
̄
= α−βi−γj−δk.
Непосредственно проверяется q1q2 = q
̄
2q
̄
1, а также qq
̄
= α2+β2+
+γ2 + δ2 (следовательно, q
̄
q=qq
̄
) Так же как и для комплексных чи-
сел, модуль q определяется равенством |q| = √α2 + β2 + γ2 + δ2
.
Итак, рассмотрим систему, определяющую правый обратный
{x2x−y2y−z2z −t2t=1
y2x+x2y−t2z+z2t=0
z2x+t2y+x2z−y2t=0
t2x−z2y+y2z+x2t=0
.
Легко видеть, что
x=
x2
x2
2+y2
2+z2
2 +t2
2,y=
−y2
x2
2 +y2
2+z2
2 +t2
2,z=
−z2
x2
2+y2
2+z2
2+t2
2,
t=
−t2
x2
2 +y2
2+z2
2 +t2
2.

98
Эти же x, y , z , t, очевидно, являются решением системы, опреде-
ляющей левый обратный.
Итак, если q=α+βi+γj+δk,q≠0, то q−1
=
α−βi−γj−δk
α2+β2+γ2+δ2,
т. е., как и в случае комплексных чисел, q
−1
=
q
̄
|q|2.
Еслиbc=a,топравоечастноеc=b
−1
a, b ≠ 0, левое частное
b=ac
−1
, c≠0.
Задача 1. Найти все корни уравнения q2 + 1 = 0 в теле кватер-
нионов.
Заметим, что действительные числа можно рассматривать как
результат введения структуры поля над точками прямой, комплекс-
ные числа — результат введения структуры поля над точками плос-
кости. Над точками 3-мерного пространства пытался ввести структу-
ру поля ирландский математик Гамильтон. Попытки были неудачны-
ми, и он от точек 3-мерного пространства переключился на точки
4-мерного пространства. Здесь попытки увенчались успехом, чуть
другим, чем предполагалось вначале, — пришлось пожертвовать
коммутативностью умножения, в результате в 1843 г. появились ква-
тернионы (отметим, что Гаусс открыл кватернионы в 1819 г., но не
опубликовал свои результаты на эту тему). Позже немецким матема-
тиком Фробениусом было доказано, что не существует способа
умножения точек 3-мерного пространства, удовлетворяющего требо-
ваниям ассоциативности, дистрибутивности относительно покоорди-
натного сложения, возможности деления на ненулевые элементы. Бо-
лее того, он указал все случаи, когда можно ввести такое умножение.
Этих случаев три: в размерности 1 (действительные числа), в размер-
ности 2 (комплексные числа) и в размерности 4 (кватернионы).
Кватернионы используются в прикладных вопросах при постро-
ении различных преобразований 3-мерного пространств.
Приведем точную формулировку теоремы Фробениуса в совре-
менной терминологии. Для этого нам понадобится понятие векторно-
го пространства. Пусть F — произвольное поле, V — произвольное
множество, задано отображение +
̇
:V×V→V, (V,+
̇
) — абелева
группа, задано отображение : F × V → V со свойствами унитарности
1⋅v =v∀v∈Vиассоциативностиα(βv)=(αβ)v∀α,β∈F,v∈V,а
бинарная операция +
̇
(сложение) и внешняя бинарная операция ⋅
(умножение) связаны законами дистрибутивности α(v+
̇
w)=
= αv+
̇
αw, (α+ β)w=αw+
̇
βw ∀α,β∈F;v,w∈V, здесь +—
бинарная операция сложения в F. При этом (V, +
̇
,⋅) называется век-
торным пространством над полем F.

99
Теорема (Фробениус, 1877 г.) . Пусть V — тело, содержащее в
качестве подтела тело R действительных чисел, причем (cx)y =
= x(cy) ∀c ∈R;x,y ∈V, а аддитивная группа (V,+) является ко-
нечномерным векторным пространством над R (т. е . V является ал-
геброй над полем R). Тогда V изоморфно либо телу действительных
чисел R, либо телу комплексных чисел, либо телу кватернионов.
Замечание. Пусть dimV =n+1, а {1,i1,+ ⋯,in} —базис в V.
Тогда любой элемент из V записывается в виде x = x0 + x1i1 + ⋯ +
+ xnin, где x0, x1
,...x
n
∈ R — координаты x, и умножение в V можно
задать, задав таблицу умножения для базисных элементов {1, i1 +
+⋯ , in}.
3.6. Поле
Поле — это полуполе с аддитивной абелевой группой вместо
аддитивного моноида. Другими словами, поле — это коммутативное
тело, т. е . поле — это кольцо с единицей (в силу мультипликативного
свойства нуля единица не может равняться нулю), в котором каждый
ненулевой элемент обратим относительно умножения. Более подроб-
но.
Пусть на непустом множестве F заданы две бинарные операции
«⊕» (сложение) и «⊗» (умножение), удовлетворяющие условиям:
1) (F,⊕) — абелева группа, его нейтральный элемент будем
называть нулем и обозначать как «0»;
2) (F,⊗) — коммутативный моноид, (F\0,⊗) — группа;
3) дистрибутивность умножения по сложению: ∀a, b, c ∈
∈F((a⊕b)⊗c=a⊗c⊕b⊗c)⋀(c⊗(a⊕b)=c⊗a⊕c⊗
⊗ b).
Тогда (F,⊕,⊗) называется полем, (F,⊕) — аддитивная группа
поля, (F,⊗) — мультипликативная группа поля.
Через −a будем обозначать элемент, обратный к a относительно
сложения; назовем его противоположным к a. Через b−1
обознача-
ется, как и раньше, элемент, обратный к b ≠ 0 относительно умноже-
ния.
Сразу отметим, что в поле не содержатся делители нуля. Дей-
ствительно,еслиa⊗b=0,a≠0,b≠0,тоa⊗b⊗b−1
= 0⊗b−1
,
т.е.a=0.
Всякое уравнение вида a ⊗ x = b, a ≠ 0, в поле однозначно
разрешимо. Очевидно, x = a
− 1 ⊗ b (см. ниже свойство 9 из списка
простых свойств поля).

100
Отметим также, что любое поле содержит не менее двух эле-
ментов.
Теорема 1. Кольцо Zm — поле ⇔ m — простое число.
Доказательство. Если Zm — поле, то m не может быть состав-
ным, иначе в Zm будут содержаться делители нуля (см. пример 3.4 .11).
Если m — простое, то ∀k̄ ≠ 0 , существует обратный по умножению
элемент (см. пример 3.4 .11, где приведен алгоритм нахождения обрат-
ного элемента).
Другие примеры полей. Относительно обычных операций сло-
жения и умножения поле образуют:
1) множества Q, R, C;
2) множество действительных чисел вида x + y√2, где x , y ∈ Q;
множество действительных чисел вида x + y √2
3
+z√4
3
,гдеx,y,z∈Q;
3) множество комплексных чисел вида x + yi, где x, y ∈ Q;
множество всевозможных сумм вида a1z1 + a2z2 + ⋯ + an zn , где
ai ∈ R, zi -е — комплексные корни из 1.
Приведем некоторые простые, но важные свойства поля, непосред-
ственно вытекающие из аксиом поля. Всюду ниже для краткости записи
знаки ⊕ и ⊗ заменены на + и ⋅ соответственно; знак умножения в слу-
чаях, не вызывающих недоразумения, иногда будет опускаться.
1.Ввыраженияхвидаa1+⋯+an и a1⋅...⋅anрезультатнеза-
висит от способа расставления скобок (доказательство в п. 3.1).
2. В поле существует ровно один нейтральный элемент относи-
тельно сложения «0» (ноль) и ровно один нейтральный элемент отно-
сительно умножения «1» (единица) (доказательство в п. 3.1).
3. Для каждого элемента поля существует ровно один противо-
положный (т. е. обратный относительно сложения) элемент, и для
каждого ненулевого элемента существует ровно один обратный отно-
сительно умножения элемент (доказательство в п. 3.1).
4. Элемент, противоположный сумме, есть сумма элементов,
противоположных слагаемым. Элемент, обратный произведению
ненулевых элементов, есть произведение их обратных. Доказатель-
ство:
∀a1,a2∈F 0=a1+(−a1)+a2+(−a2)=
= a1+a2+(−a1)+(−a2)
в силу ассоциативности и коммутативности. В силу единственности
обратного элемента −(a1 + a2) = (−a1) + (−a2). В случае умноже-
ния доказательство аналогично.
5.∀a∈F −(−a)=aи ∀0≠a∈F (a−1)−1
=a.
Доказательство: так как −(−a)+(−a) =0 и (−a)+a = 0 и
противоположный элемент единствен, то −( −a) = a . Аналогично для

101
умножения. Обозначения: выражение b + (−a) записывают также в
виде b − a . Этой более короткой записи мы, как правило, и будем
придерживаться.
6. Мультипликативное свойство нуля. Если в произведении один
из сомножителей равен 0, то и все произведение равно 0 (доказатель-
ство в п. 3.4).
7.(−1)⋅a = −a. Доказательство: 0=0 ⋅a =(−1+1)⋅a =
= (−1)⋅a+a,следовательно, −a =(−1)⋅a.
8. ( −a)b = −(ab). Доказательство
(−a)b = (−1)ab =
= (−1)(ab) = −(ab).
9. ab = (−a)(−b). Доказательство: 0 = (−1) ⋅ 0 = (−1) ⋅ (−1 +
+1)=(−1)⋅(−1)+(−1)⋅1, так как (−1)⋅1 = −1, а противопо-
ложным к (−1) является 1, то (−1) ⋅ (−1) = 1; (−a)(−b) = (−1) ⋅ a ⋅
⋅ (−1)⋅b =(−1)⋅(−1)⋅a ⋅b=1⋅a ⋅b=ab.
10.a≠0.Тогдаab=ac⇔b=c.Доказательство.(⇐)—оче-
видно.Докажем(⇒):изab=acследуетab−ac =0,т.е.a(b−c)=
= 0, а так как a не является делителем нуля (как и любой ненулевой
элемент поля), то b − c = 0, b = c . (Это свойство выполняется в лю-
бом целостном кольце.)
11. Уравнение a + x = b имеет в F единственное решение x =
= b − a. Уравнение ax = b имеет в F единственное решение x =
= ba−1
. Доказательство:еслиa+x=b,то(−a)+a+x=(−a)+b,
т.е.x =b+(−a),иливдругойзаписиx =b −a. Аналогичнореша-
ется второе уравнение.
Теорема 2. Всякое конечное (т. е. с конечным числом элементов)
содержащее более одного элемента целостное кольцо r является по-
лем.
Доказательство. Достаточно доказать обратимость любого нену-
левого элемента. Пусть a ≠ 0 — произвольный элемент данного
кольца r. Рассмотрим отображение A : r → r, задаваемое формулой
Ax = a ⋅ x ∀x ∈ r. В силу свойства 9 оператор A инъективен. Пред-
положим, что он не сюръективен, т. е. Im A является собственным
подмножеством r. Но оператор A устанавливает биекцию между r и
Im A, а это невозможно для конечного множества r. Поэтому Im A =
= r,т.е.A:r→r—биекция,т.е.∀b∈r∃q∈r:aq=b;взявb=1,
получим обратимость a.
Теорема 3 (Веддернберн, 1905 г.) Всякое конечное тело являет-
ся полем.
То есть в случае конечного тела коммутативность является след-
ствием других аксиом.

102
Для элементов поля произведение ab−1 (b ≠ 0) записывают
также в виде дроби
a
b
. Перечислим некоторые правила действий над
дробями, следующие сразу же из определения дробей.
1.
a
b
=
c
d
⇔ ad = bc ; b, d ≠ 0. Доказательство очевидно — до-
статочно умножить первое равенство на bd, второе — на d−1b−1 и
воспользоваться коммутативностью и ассоциативностью умножения.
2.
a
b
+
c
d
=
ad+bc
bd
; b, d ≠ 0. Доказательство: рассмотрим уравне-
ния bx = a и dy = c . Единственными решениями их являются x =
a
b
иy=
c
d
. Из этих уравнений: dbx = da, bdy = bc, складывая полу-
ченные два равенства, получим bd(x + y) = da + bc, отсюда x + y =
=
da+bc
bd
.
3.
−
a
b
=
−a
b
=
a
−b
,
b≠0. В соответствии с п. 2
a
b
+
−a
b
=
=
ab+(−a)b
b2
=
b(a−a)
b2 = 0. Аналогично
a
b
+
a
−b
= 0. Осталось учесть
единственность противоположного элемента.
4.
a
b
⋅
c
d
=
ac
bd
; b, d ≠ 0. Это равенство является следствием
коммутативности и ассоциативности умножения.
5.(
a
b
)−1
=
b
a
,
a, b ≠ 0. Это равенство следует из свойств 4, 5 из
списка простых свойств.
Подводя итог по первоначальным терминам, еще раз напомним
некоторые обозначения (табл. 3.2).
Таблица 3.2
Мультипликативна я запись Аддитивная запись
Операция
a⊗b,a∗b,a⋅b,ab,a∘b
a⊕b,a+
̇
b,a+b
Единица
1,e,id
0
Обратный элемент
a−1
−a
Кратный
an
na
Кратный обратный
a−n
−na
Применение обратного
ab −1
,
a
b
a−b
Приведем важную конструкцию, позволяющую по целостному
кольцу построить поле, называемое полем частных кольца.
ПустьK—целостноекольцо,M ={(a,b):a,b∈K,b≠0}.Рас-
смотрим на M отношение (a, b) ~( c, d) ⇔ ad = bc. Оно является от-
ношением эквивалентности, т. е. для него выполняются рефлексив-
ность (a, b) ~( a, b), симметричность (a, b) ~( c, d) ⇒ (c, d) ~( a, b),

103
транзитивность
((a,b)~(c,d))∧((c,d)~(e,f)) ⇒(a,b)~(e,f),
(действительно, ad = bc и cf = ed, значит, acdf = bcde и
(a, b) ~( e, f)). Следовательно, множество M разбивается на классы
(эквивалентности) по отношению к ~. Это множество классов обозна-
чается M|~ и называется фактор-множеством. Элементы M|~ будем
обозначать как
a
b
, т.е.
a
b
—
это класс эквивалентности, определяемый
парой (a, b); вместо
a
1
допускается краткая запись a.
Введем на полученном фактор-множестве операции сложения
(+) и умножения (⋅), превращающие его в поле. В этом случае они как
минимум должны удовлетворять свойствам 2, 4 для дробей. Эти ра-
венства (2 и 4) мы и возьмем за определение операций сложения и
умножения:
a
b
+
c
d
=
ad+bc
bd
;
a
b
⋅
c
d
=
ac
bd
; b, d ≠ 0. Только надо иметь
в виду, что если в свойствах 1–5 символом
a
b
обозначен элемент
ab−1 из K, то здесь
a
b
означает класс, определяемый упорядоченной
парой (a, b). Для корректности надо доказать, что результат не зави-
сит от выбора представителей в этих классах. Докажем это.
((a, b) ~( a′
,b
′
))∧((c,d)~(c′
,d
′
)) ⇒ (ab′
=a
′
b) ∧ (cd′
=c
′
d),
т. е. ab′dd
′
=a
′
bdd′
, cd′bb
′
=c
′
dbb′
.
Сложив эти равенства, полу-
чим
(ad + cb)b′d
′
= (a′d
′
+ c′b
′
)bd,
т. е.(a,b)+(c,d)~(a′
,b
′
)+(c′
,d
′
).
Аналогично доказывается и случай умножения. Из доказанной
независимости следует, что при сложении и умножении классов
можно складывать и перемножать по произвольному представителю
каждого класса — полученный результат определяет искомый класс.
Коммутативность и ассоциативность введенных сложения и
умножения очевидны. Роль нулевого элемента играет класс
0
b
,аеди-
ничного — класс
b
b
прилюбом0≠b∈K.Такжевернысвойства3,5
(о противоположной дроби и обратной дроби) когда
a
b
—
это класс,
определяемый парой (a, b). Легко доказываются и законы дистрибу-
тивности. Полученное поле частных целостного кольца K будем обо-
значать K̄
.
Так же как и для определенных нами других структур (группа,
кольцо и др.), вводится понятие подполя. Подмножество P ⊂ F назы-
вается подполем поля (F, +,⋅), если (P, +,⋅) само является полем; при
этом F называется расширением поля P. Поле, не содержащее под-

104
полей, называется простым. Простым, например, является поле
Zp, p — простое число. Действительно, всякое подполе Fp вместе с
мультипликативной единицей 1 содержит также элементы 1 + 1, 1 +
+1+1,... и поэтомусовпадаетсZp.
Совсем просто доказывается, что любое поле является вектор-
ным пространством над всяким своим подполем.
Теорема 4. Пусть F — произвольное поле. Тогда или поле F не
имеет ни одного подполя, отличного от самого себя (т. е . F — про-
стое поле), или F содержит одно и только одно простое поле F0, и это
подполе F0 изоморфно либо Q (т. е. существует биекция из F0 в Q, со-
храняющая обе операции), либо Zp для некоторого простого p.
Доказательство.
1. Единственность. Если F′
,F
′′
— простые подполя в F, то F′ ∩
∩ F′′ также поле (непустое, так как 0,1 содержатся в нем), а это про-
тиворечит простоте F′ и F′′
.
2. Существование. Рассмотрим отображение f : Z → F , опреде-
ленное равенством f(n) = n1. Так как s1 + t1 = (s + t)1, (s1)(t1) =
= (st)1, то f является гомоморфизмом. Если ord1 в (F, +) равен ∞,
то, очевидно, f — изоморфизм и дроби
s1
t1
образуют поле F0, изо-
морфное Q; оно и будет простым подполем в F. Если же ord1 = m <
< ∞, то отображение f ∗ : k̄ = {k}m ↦ f (k) будет изоморфным вло-
жением Zm → F . При простом m = p в этом случае получаем суще-
ствование простого подполя, которое изоморфно Zp .
Из приведенной теоремы видна важность вводимого ниже поня-
тия характеристики поля. Характеристикой поля F называется число
charF:={
0, iford1=∞
ord1, if ord1 < ∞
,
где ord1 — это порядок мультипликативной единицы 1 в аддитивной
группе (F, +) (заметим, что в мультипликативной группе (F,⋅), оче-
видно, ord1 = 1).
Не менее важное значение характеристики поля проявится при
рассмотрении свойств упорядоченного поля.
3.7. Упорядоченность множества
Пусть X, Y — произвольные множества. Любое подмножество
R ⊂ X × Yназывается отношением (на X × Y). В случае X = Y это
отношение называется бинарным. Вместо (x, y) ∈ R часто пишут
xRy и говорят, что х связан с y отношением  .

105
Любую функцию можно рассматривать как отношение.
Отношение  называется функциональным, если ((xRy1) ∧
∧ (xRy2)) ⇒ (y1 = y2).
Таким образом, здесь мы имеем определение функции только
через одно понятие множества, а не через два понятия множества и
«правила», как это обычно делается.
Использованное нами неоднократно отношение эквивалентно-
сти есть бинарное отношение на X, определяемое как подмножество
R~ ⊂ X 2, подчиненное следующим условиям.
1.Рефлексивность:Δ: ={(a,b)∈X2:a =b}⊂R~, множествоΔ
называется диагональю X2.
2. Симметричность: (a, b) ∈ R~ ⇒ (b, a) ∈ R~
.
3. Транзитивность: ((a, b) ∈ R~) ∧((b, c) ∈ R~) ⇒(a, c) ∈ R~
.
Пусть M — произвольное множество, X = 2
M
—
множество под-
множеств M. Определим бинарное отношение на X: ARB : = (A ⊂ B),
т. е. определяется R ⊂ X2 условием: (A,B) ⊂ R ⇔ A ⊂ B. Это отно-
шение обладает следующими свойствами.
1. Рефлексивность: ARA.
2. Транзитивность: ((ARB) ∧ ((BRC)) ⇒ (ARC).
3. Антисимметричность: (ARB) ∧ (BRA) ⇒ A = B .
Заметим, что не всякие A, B ⊂ X связаны отношением R.
Любое бинарное отношение на произвольном множестве X, об-
ладающее свойствами рефлексивности, транзитивности, антисиммет-
ричности называется отношением частичного порядка. Если кроме
этих трех свойств выполнено условие
∀x ∈ X,∀b∈X ((aRb)∨(bRa))
т. е. любые два элемента из X связаны отношением R, то отношение
R называется отношением порядка, а (X, R) — линейно упорядо-
ченным, по аналогии с наглядным образом числовой прямой R, на
которой действует отношение «≤» между любой парой чисел.
Для обозначения не только на R, но и на произвольном множе-
стве отношения частичного порядка (или просто порядка) применяет-
ся символ «≤».
Определим теперь отношение (частичного) строгого порядка
«<» на множестве X, на котором определено отношение (частичного)
порядка «≤»:
a<b≝(a≤b)∧(a≠b).
(3.6)
Другими словами, частичный строгий порядок удовлетворяет
двум аксиомам — транзитивности и асимметричности ((a < b) ⇒

106
⇒ ¬(b < a)). Если же на X задан строгий порядок «<», то отноше-
ние, определенное как
a≤b≝(a<b)∨(a=b),
является порядком. Иногда «≤» называется нестрогим порядком,
чтобы подчеркнуть, что рассматриваемый порядок не является стро-
гим.
Из аксиом порядка и определения строгого порядка в линейно
упорядоченном множестве непосредственно следует, что ∀x, y ∈ X
всегда имеет место в точности одно из соотношений: x < y, x =
=y,y<x.
Легко доказываются следующие соотношения:
1)((x<y)∧(y≤z))⇒x<z;2)((x≤z)∧(y<z))⇒x<z.
Доказательство. 1) В силу транзитивности
(((x<y)∧(y≤z))⇔((x≤y)∧(y≤z)∧(x≠y)))⇒x≤z.
Осталось доказать x ≠ z. В противном случае:
(((z≤y)∧(y<z))⇔((z≤y)∧(y≤z)∧(y≠z))).
Отсюда, в силу антисимметричности, (y = z) ∧ (y ≠ z). Проти-
воречие.
2) По аксиоме транзитивности
(((x≤y)∧(y<z))⇔((x≤y)∧(y≤z)∧(y≠z)))⇒x≤z.
Осталось доказать x ≠ z. Повторяются выкладки из предыдуще-
го пункта.
Пусть Mи M′
—
два частично упорядоченных множества и отоб-
ражениеf:M→M
′
биективно и сохраняет порядок, т. е. если a ≤ b
для a, b ∈ M, то f(a) ≤ f(b) (в M′). Тогда f называется изоморфиз-
мом Mи M′
.
Если нас интересует не природа элементов множества, а только
имеющаяся в нем частичная упорядоченность, то два изоморфных
между собой частично упорядоченных множества можно рассматри-
вать как тождественные. Отношение изоморфности между частично
упорядоченными множествами представляет собой отношение экви-
валентности на какой-то (произвольной) совокупности частично упо-
рядоченных множеств, поэтому эту совокупность можно разбить на
классы изоморфных между собой множеств с частичным порядком.
Пусть (X, ≤) — частично упорядоченное множество. Тогда:
1) ∀a, b ∈ X имеет место только одно из следующих соотноше-
ний:a<b; a=b;b<a; aиbнесравнимы;

107
2) (a ∈ X — минимальный (максимальный) элемент X)
: = (∀b ∈ X) имеет место только одно из следующих соотношений
a≤b(b≤a);aиbнесравнимы;
3) (a ∈ X — наименьший (наибольший) элемент X)≔ (∀b ∈
∈Xa≤b(b≤a)).
В случае линейно упорядоченного множества понятия «мини-
мальный» (максимальный) и «наименьший» (наибольший) совпадают.
Очевидным образом из аксиом рефлексивности и антисимметричности
следует, что минимальный, максимальный, наименьший, наибольший
элементы единственны в случае их существования. В случае линейной
упорядоченности X минимальный (максимальный) элемент обознача-
ется
minX (maxX). То есть (a = maxX) ≔ ((a ∈ X)⋀(∀x ∈
∈X(x≤a))),(a=minX)≔((a∈X)⋀(∀x∈X(a≤x))).
4) (α ∈ X ограничивает сверху (снизу) непустое подмножество
A⊂X)≔(a≤α(α≤a)∀a∈A). При этом A называется ограни-
ченным сверху (снизу), а  — верхней границей или мажорантой
(нижней границей или минорантой) множества A.
5) (s ∈ X — верхняя грань (или точная верхняя граница)
множества A⊂X):= (∀x∈A((x≤s)⋀(∀s<s∃x∈A(s<x)));обо-
значение: s = supA. (i ∈ X — нижняя грань (точная нижняя грани-
ца)множестваA⊂X):=(∀x∈A((i≤x)⋀(∀i:i<i∃x∈A(x<i)));
обозначение: i = infA. То есть верхняя (нижняя) грань — это
наименьший (наибольший) из элементов, ограничивающих множество
Х сверху (снизу). Верхняя и нижняя грани единственны в случае их
существования (см. 3).
3.8. Полные линейно упорядоченные множества
Пусть (X, ≤) — линейно упорядоченное множество, A, B — не-
пустые подмножества X. Введем обозначение: A ≤ B, если a ≤
≤ b ∀a ∈ A, b ∈ B. Элемент x ∈ X разделяет произвольные множе-
ства A, B ⊂ X, если A ≤ x ≤ B. Очевидно, если выполнено последнее
двойное неравенство, то A ≤ B. Линейно упорядоченное множество
называется полным, если в нем выполняется аксиома полноты.
Аксиома полноты. ((∅≠A,∅≠B⊂X)∧(A≤B))⇒∃c∈
∈X:A≤c≤B.
Всюду ниже, если не оговорено противное, линейно упорядо-
ченные множества будем называть также упорядоченными множе-
ствами (пропуская при этом слово «линейно»).

108
Теорема 1. Линейно упорядоченное множество полно ⇔ любое
его ограниченное сверху (снизу) непустое подмножество имеет и
притом единственную верхнюю (нижнюю) грань.
Доказательство. 1 . (⇒). Единственность и нижней и верхней гра-
ней нам известна из п. 3.7. Осталось доказать существование. Пусть
(X, ≤) — линейно упорядоченное множество, ∅ ≠ A ⊂ X ограничено
сверху. Рассмотрим множество B ≔ {b ∈ X: ∀a ∈ A(a ≤ b)} — мно-
жество верхних границ A. По условию, A ≠ ∅ и так как A ограничено
сверху, то B ≠∅.Тогда в силу аксиомы полноты ∃c ∈X:∀a ∈A,∀b∈
∈ B(a ≤ c ≤ b). Таким образом, элемент c является мажорантой A и
минорантой B. Как мажоранта A элемент c ∈ B, но как миноранта
Bэлементc = minB = supX.
Аналогично доказывается существование нижней грани.
2. (⇐). Прежде всего заметим, что если верхняя (нижняя) грань
существует, то, как уже упоминалось, она единственна. Пусть A — про-
извольное непустое ограниченное сверху подмножество. Рассмотрим
множество верхних границ для A: B ≔ {b ∈ X: ∀a ∈ A(a ≤ b)}. Тогда
∀∅≠M⊂X:A≤MверноM⊂B.Нопоусловию∃c∈X:c=minB,
азначит,A≤c≤M.
Аналогично рассматривается случай нижней грани.
Задача 1. Рассмотрим (Q, ≤) — множество рациональных чисел
с обычным неравенством. Доказать, что это упорядоченное множе-
ство неполно. Указание: доказать, что множество {x ∈ Q: x 2 ≤ 2} не
имеет верхней грани (в Q).
Множество [a,b]:={α∈X:a≤α≤b}, определенное для a≤
≤ b, a ≠ b, называется отрезком. Интервалом ]a, b[ называется
[a, b]{a, b}, полуинтервалами — [a, b[ : = [a, b]{b}, ]a, b] : = [a, b]{b}.
Пусть {Xi} — последовательность каких-то множеств, она называется
последовательностью вложенных множеств, если X1 ⊃ X2 ⊃ ⋯ ⊃
⊃Xn⊃⋯.
Лемма о вложенных отрезках (принцип Коши — Кантора).
Пусть {Ii}1
∞
последовательность вложенных отрезков в линейно упо-
рядоченном множестве X. Тогда ∃c ∈ X: c ∈ Ii ∀i .
Доказательство. Пусть m > n, Im =: [am, bm], In =: [an, bn]. То-
гдаam≤bn(впротивномслучаеan≤bn<am≤bm, т.е.In∩Im =
= ∅, что противоречит с вложенностью Im ⊃ In . Поэтому, обозначив
A={ak,k∈N},B ={bk,k∈N},получимA≤B,A≠∅,B≠∅.Поак-
сиоме полноты ∃c ∈X:A≤ c≤B, что означает, что c ∈Ii∀i.
Из леммы о вложенных отрезках не следует аксиома полноты,
соответствующий пример будет приведен ниже. В упорядоченных

109
полях, о которых говорится в следующем параграфе, можно сформу-
лировать так называемую аксиому (или принцип) Архимеда, посту-
лирующий, что если имеются две величины, a и b, и a меньше b, то
взяв a слагаемым достаточное число раз, можно превзойти b. Впер-
вые этот постулат был сформулирован Евдоксом, положившим его в
основу своего метода исчерпания — метода нахождения площадей
фигур, объемов тел, длин дуг с помощью аналога современных инте-
гральных сумм Римана и Дарбу. У Евдокса имеется какое-то количе-
ство результатов применения этого метода, но наибольших результа-
тов с помощью метода исчерпания достиг Архимед. Для рассматри-
ваемого нами круга вопросов принцип Архимеда важен тем, что при
его выполнении из принципа вложенных отрезков следует аксиома
полноты. Более подробно эти вопросы рассматриваются ниже.
Отметим, что в нестандартном анализе аксиома Архимеда не
выполняется.
3.9. Упорядоченные поля
Поле (F, +,∙), на котором задана структура порядка «≤» (т. е.
F — линейно упорядоченное множество), называется упорядочен-
ным полем (F, +,⋅, ≤), если выполнены следующие две аксиомы, свя-
зывающие порядок с аддитивной и мультипликативной операциями:
1.(x,y,z∈F)⇒((x≤y)⇒(x+z≤y+z)) — монотонность
сложения;
2.(x,y∈F)⇒((0≤x)∧(0≤y)⇒(0≤xy))— монотонность
умножения.
Формулой (3.6) определяется отношение строгого порядка на F.
Простейшие свойства.
1. Связь между порядком и сложением: a)(x < y) ⇒ (x + z <
<y+z), b)(0<x)⇒(−x<0);(x<0)⇒(0<−x), c)((x≤y)∧
∧(z≤w))⇒(x+z≤y+w),d)((x≤y)∧(z<w))⇒(x+z<y+
+ w).
Доказательство. а) Из определения строгого неравенства (3.6) и
аксиомы монотонности сложения имеем ((x < y) ⇒ (x ≤ y) ⇒
⇒(x+ z)≤(y+z)).Остаетсядоказать,что x+z≠y+z.Предпо-
ложив противное, получим ((x+z=y+z)⇒x=(y+z)−z =y,
противоречие;b)всилу а) имеем ((0<x)⇒0+(−x)<x+(−x)=
= 0;((x<0)⇒0=x+(−x)<0+(−x)= −x.
Задача 1. а) Доказать свойства b)–с); доказать, что, если в скоб-
ке левой части утверждений 1.b) стоит нестрогое неравенство, то
следствием его также будет нестрогое неравенство в правой части.

110
2. Связь между порядком и умножением:
a)((0<x)∧(0<y)⇒(0<x⋅y));
b)((x<0)∧(y<0)⇒(0<x⋅y));
c)((x<0)∧(0<y)⇒(x⋅y<0));
d)((x<y)∧(0<z)⇒(x⋅z<y⋅z));
e)((x<y)∧(z<0)⇒(y⋅z<x⋅z)).
Доказательство. a) Из определения строгого неравенства (3.6) и
аксиомы монотонности для умножения следует 0 ≤ xy. Так как в по-
ле не содержатся делители нуля (см. п . 3 .6), то отсюда 0 < xy (так как
x≠0,y≠0,тоxy≠0).
b) Из 1. b) следует (0 < −x) ∧ (0 < −y), поэтому в соответ-
ствии с предыдущим пунктом 0 < (−x )(−y). Отсюда, согласно свой-
ству9изп.3.6,0<xy.
c)((x<0)∧(0<y)⇒(0<−x)∧(0<y)⇒(0<(−x)y)⇒
⇒(0<((−1)x)y)⇒(0<(−1)(xy))⇒(0<−(xy))⇒(xy<0),
здесь воспользовались свойством 7 из п. 3 .6.
d)Из1.a)x+(−x)<y+(−x),0<y+(−x);из a)0<yz+
+(−x)z;изсвойства8изп.3.60<yz+(−(xy));из1.a) xy<yz+
+(−(xy))+xy=yz.
Задача 2. a) Доказать свойство e); b) доказать, что если в одной
из скобок левой части утверждений 2. a − 2 . e стоит нестрогое нера-
венство, то следствием его также будет нестрогое неравенство в пра-
вой части.
3. Другие свойства.
a) 0 < 1. Доказательство. Из определения поля 1 ∈ F\{0}, т. е.
1≠0.Предположим,что1<0.Тогдаиз2.b)0<1⋅1 =1,чтопро-
тиворечит нашему предположению. А так как имеются всего три воз-
можности (1 < 0, 1 = 0, 0 < 1), первые две из которых, как мы уже
показали, не могут иметь место, то остается только 0 < 1.
b)(0 < x) ⇒ (0 < x −1). Доказательство. Из определения поля
x−1∈F\{0},т.е.x
−1 ≠ 0. Предположим, что x−1 < 0, тогда в силу
2.c) x−1x < 0, т. е. 1 < 0. Противоречие. Значит, 0 < x−1 (так как
x−1 ≠ 0).
c)((0<x)∧(x <y)⇒(0<y−1)∧(y−1 < x−1). Доказатель-
ство. В силу транзитивности строгого порядка 0 < y и, следователь-
но,0<y−1
. В силу единственности обратного элемента (см. п . 19)
y−1 ≠ x−1 (иначе, y = x). Предположим, что x−1 < y−1
. Таккак0<
<xyвсилу2.a),товсилу2.d)x−1xy<y−1xy,т.е.y<x.Проти-
воречие.

111
d)b<a⇔0<a−b.Доказательство.(⇒).Всилу1.a)b−b<
<a−b.(⇐).Всилу1.a)0+b<a−b+b.
Элемент a называется положительным, если 0 < a, он называ-
ется отрицательным, если a < 0.
e) F — упорядоченное поле ⇒ charF = 0. Доказательство. Так
как0<1,товсилу1.d)0<1+1+⋯+1
⏟
n
= :n1∀n∈N,азначит,
порядок 1 в аддитивной группе (F, +) равен ∞.
Заметим, что из этого свойства следует, что упорядоченное по-
ле бесконечно (т. е . конечные поля нельзя упорядочить).
Также не все бесконечные поля можно упорядочить. Напри-
мер, поле комплексных чисел C. Действительно, если на C введен ка-
кой-то порядок «≤», то так как i ≠ 0, то должно выполняться одно из
условий — или 0 < i , или i < 0. В этих обоих случаях в соответствии
с2a),2b)0<i2,ноi2= −1,асогласно3a),(0+i0=)0<1(=1+
+ i0) и поэтому в соответствии с 1b) −1 < 0, противоречие.
Определим теперь так называемые инфинитезимальные эле-
менты. Пусть a, b ∈ F и 0 < a, 0 < b. Элемент a называется беско-
нечно малым (б. м .) относительно b (при этом b — бесконечно
большим (б. б .) относительно a), если
∀n∈Nna<b,
(3.7)
напомним, что na означает по обозначению a + a + ⋯ + a
⏟
n
. Умножив
(1) на b−1
, получим
∀n∈Nn
a
b
<1,
(3.8)
напомним, что
a
b
означает по обозначению ab−1
. Таким образом, из
(3.7) следует, что
a
b
б. м . к 1. Очевидно также, что из (3.8) следует
(3.7).Тоестьaб.м.кb⇔
a
b
б.м.к1.Любойб.м.илиб.б.элемент
называется инфинитезимальным.
Говорят, что упорядоченное поле архимедово, если в нем нет
инфинитезимальных элементов. Более подробно: упорядоченное поле
называется архимедовым, если в нем выполняется аксиома Архимеда.
АксиомаАрхимеда.∀0<a∈F ∀0<b∈F ∃n∈N:b<na.
Примеры архимедовых полей будут приведены в следующем
параграфе.
Пример упорядоченного неархимедова поля. Приводимое
ниже поле мы будем называть полем рациональных функций. Пусть

112
F={R(x)=
anx
n
+⋯+a1x+a0
bmx m+⋯+b1x+b0
; ai , bi ∈ R} — множество рациональных
функций; в качестве «+» и «⋅» возьмем обычные сложение и умноже-
ние. Введем строгий порядок «≺» на (F, +,⋅):
g ≺ f : = в некоторой окрестности +∞ выполнено неравенство
0<f(x)−g(x),
где «<» — обычное неравенство в R.
Задача 3. Проверить, что (F, +,⋅, ≺) — упорядоченное поле с
единицей E(x) ≡ 1 и с функцией, тождественно равной нулю в каче-
стве 0.
Очевидно, nE(x) ≺ I(x) ∀n ∈ N, где функция I(x) определяется
равенством I(x) = x . То есть поле (F, +,⋅, ≺) неархимедово.
Задача 4. Пусть Q(√n) ={a+b√n| a,b ∈Q}, n ∈ N, фиксиро-
вано. В качестве сложения «+» и умножения «⋅» на Q(√n) возьмем
обычные сложение и умножение для действительных чисел, а отноше-
ние порядка введем по правилу (a+b√n≺c+d√n):=((b≤d)∨
∨ ((b = d) ∧ (a ≤ c))), где «≤» обычный порядок на R. Доказать, что
(Q(√n), +,⋅, ≺) — упорядоченное неархимедово поле.
Натуральными элементами поля (F, +,⋅) с единицей 1 будем
называть элементы F вида 1+1+⋯+1
⏟
n
= :n1∀n∈N;NF—мно-
жество натуральных элементов поля (F, +,⋅, ).
Теорема. Упорядоченное поле (F, +,⋅, ≤) — архимедово ⇔
⇔∀0<b∈F ∃n1∈NF:b<n1.
Доказательство. (⇒) — очевидно. Докажем (⇐). Пусть a, b ∈
∈F,0<a, 0<b.Тогда∃n1∈NF:ba−1<n1.Тоестьb<n1⋅a =
= (1+1+⋯+1)
⏟
n
⋅a=na.
Любой натуральный элемент или элемент, обратный к нату-
ральному, или нулевой, называется целым элементом поля (F, +,⋅);
ZF : = NF ∪ (−NF) ∪ {0} — множество целых элементов поля (F, +,⋅).
Очевидно, ZF с индуцированным сложением и умножением есть
кольцо с единицей.
Элементы вида
a
b
:=a⋅b
−1
, где a∈ZF,b∈NF, называются ра-
циональными элементами; QF — множество рациональных элемен-
тов поля (F, +,⋅).
Модуль
элемента
x определяется
равенством
|x|:=
={
x
if0<x
−x ifx<0
.
Для модуля выполняется неравенство треуголь-
ника|a+b|≤|a|+|b|.Таккак∀a∈Fa≤|a|,−a≤|a|,тоa+b≤

113
≤|a+b|, −(a+b)≤|a+b|.Если0<a+b,тоa+b=|a+b|,ес-
ли же a+b<0, то −(a+b)=|a+b|.Поэтому сучетом того, что
((a ≤ |a|) ∧ (b ≤ |b|) ⇒ (a + b ≤ |a + b|)), получаем неравенство
треугольника.
Введем понятие длины |I| отрезка I = [a, b], полуинтервала I =
= [a, b[или I = ]a, b], интервала I = ]a, b[, введенных в п. 3.8 для ли-
нейно упорядоченных множеств: |I| = |b − a|.
3.10. Полное упорядоченное поле
Упорядоченное поле, в котором выполняется аксиома полноты,
называется полным упорядоченным полем.
Теорема. В полном упорядоченном поле (F, +,⋅, ≤) выполняется
принцип Архимеда.
Доказательство. Предположим противное, т. е. ∃0 < b ∈ F : n1 ≤
≤ b ∀n1 ∈ NF . Поэтому в соответствии с теоремой 3.8.1 ∃ sup NF =: c .
Из определения 3.7.5 верхней грани следует, что ∃m ∈ N: m1 ∈
∈(c−
1
1+1
,c).Нотогдаc<m1+1(таккакc−
1
1+1
<m1ивсоот-
ветствии со свойством дробей 3.6 .2 c −
1
1+1
+1=c+
(1+1)−1
1+1
=c+
+
1
1+1
< m1 + 1). Противоречие.
Ниже через R будем обозначать произвольное упорядоченное
полное поле. Множество натуральных элементов NR не ограниче-
но сверху.
Действительно, если NR ограничено сверху, то в силу полноты
∃b= supNR ∈R, т. е. n ≤b∀n∈NR. Тогда в силу определения верх-
ней грани ∃m∈NR:b−1<m. Но в силу3.9.1.а b<m+1∈NR.
Противоречие.
В случае неполного поля это неверно. Например. В неархимедо-
вом упорядоченном поле (F, +,⋅, ≺) из п. 3 .9 множество натуральных
элементов NF ограничено сверху (элементом I(x)). Поле (F, +,⋅, ≺)
неполно (хотя бы потому, что принцип Архимеда в нем не выполня-
ется), а значит, верхняя грань у ограниченного сверху множества мо-
жет отсутствовать и рассуждения, проведенные для NR , здесь не про-
ходят.
Точно так же получаем, что ZR не ограничено ни сверху, ни
снизу,т. е.supZR = +∞, infZR = −∞.
Пусть∅≠A⊂NR.Тогда∃m:=infA∈A(т.е.вAсуществует
минимальный элемент).

114
Действительно, A ограничена снизу, так как A ≤ {1}. Из полно-
ты R ∃a:=infA∈R. Если a∉A, то (k>a∀k∈A)∧(∃m0∈
∈A:a<m0<m0+1).Изопределения нижнейграни ∃m1∈A:a<
<m1<m0. То есть получили, что a<m1<m0<a+1или0<
< m0 − m1 < 1, где m0 , m1 ∈ A, что невозможно в силу определения
натуральных элементов.
Точно так же доказывается, что если A ⊂ ZR — непустое огра-
ниченное сверху (снизу) подмножество целых элементов поля R, то в
множестве A существует наибольший (наименьший) элемент. Поэто-
му∀x∈R∃m∈ZR:m≤x<m+1.Этотцелыйэлементобозначает-
ся [x] и называется целой частью элемента x.
Множество рациональных элементов QR плотно в R, т. е. ∀a < b
изR∃q∈QR:a<q<b.
Действительно, пусть a,b∈Rи a<b.Тогда0<b−a (свой-
ство 3.9.3.d), 0 <
1
b−a
(свойство 3.9 . 3 . b). В силу принципа Архимеда
∃n∈NR:
1
b−a
<n,т.е.
1
n
< b − a (свойство 3.9. 3. c),
1
n
+a<b(свой-
ство 3.9.1.a).Но тогда[an]≤an<[an]+1ипоэтомуq:=
[an]+1
n
>
>
an
n
=a,q=
[an]+1
n
≤
an+1
n
=a+
1
n
<b,т.е.a<q<b.
Для натуральных элементов n1: = 1 + 1 + ⋯ + 1
⏟
n
будем пользо-
ваться также просто значком n.
Если на полном упорядоченном множестве ввести согласован-
ную структуру поля, то принцип Коши — Кантора можно сформули-
ровать в более расширенном виде. Итак, в R верна следующая лемма.
Лемма о вложенных отрезках (принцип Коши — Кантора).
Пусть {Ii}1
+∞
— последовательность вложенных отрезков в полном
упорядоченном поле R, индекс i пробегает всё NR , начиная с 1. Тогда
∃с∈X: c∈Ii∀i∈NR.Если,крометого,∀ε>0изR∃k∈NR:|Ik|<
< ε, то c — единственная общая точка всех отрезков Ii .
Доказательство. Непустота пересечения вложенных отрезков
уже доказана. Осталось доказать единственность точки пересечения в
случае выполнения дополнительных условий. Предположим против-
ное, т. е. ∃c1 ≠ c2: {c1, c2} ⊂∩ Ii, тогда |c1 − c2| ≤ |Ii|, противоречие с
тем,что∀ε>0изR∃k∈NR:|Ik|<ε.
Лемма о конечном покрытии (принцип Бореля — Лебега).
В любой системе интервалов, покрывающей отрезок, имеется конеч-
ная подсистема, покрывающая этот отрезок.

115
Доказательство. Пусть отрезок I1 = [a, b], a < b (здесь 1 —
это единица рассматриваемого нами полного упорядоченного поля
R), покрыт какой-то системой S интервалов. Если I1 не допускает ко-
нечного подпокрытия, то этого же не допускает хотя бы один из двух
отрезков [a,
a+b
1+1
],[
a+b
1+1
, b] (очевидно, a <
a+b
1+1
,
a+b
1+1
< b), обозначим его
через I2 (2 ∈ NR). Повторяя этот процесс, получим систему вложен-
ных отрезков {Ii} i ∈ NR . Очевидно, |Ii | =
b−a
2i−1
.
Теперь воспользуемся
принципом Архимеда, согласно которому ∀ε > 0 ∃n ∈ NR : b − a ≤
≤ nε, т. е. |Ii| ≤ ε, начиная с некоторого i. Воспользовавшись прин-
ципом Коши — Кантора, получим ∃! c ∈∩ Ii . Но так как система S
покрывает весь исходный отрезок (в том числе и элемент c), то
∃]α,β[∈S:c∈]α,β[. Пусть ε:=min{c−α,β −c}. При достаточно
большом n длина |In| < ε, и поэтому он покрывается ]α, β[. Противо-
речие.
Любой интервал, содержащий данный элемент, называется
окрестностью этого элемента. Элемент p упорядоченного полного
поля R называется предельным для множества X ⊂ R, если окрест-
ность этого элемента содержит бесконечное число элементов из X.
Лемма о предельной точке (принцип Больцано — Вейер-
штрасса). Всякое бесконечное ограниченное множество X из R имеет
по крайней мере одну предельную точку.
Доказательство. Так как X ограничено, то ∃I = [a, b] ⊂ R|X ⊂ I.
Пусть никакая точка из I не является предельной для X. Система S =
= {U(x)|x ∈ I}, где U(x) — какая-то окрестность элемента x, содер-
жащая только конечное число элементов из X или вообще их не со-
держащая, является системой интервалов, покрывающих I. По прин-
ципу Бореля — Лебега извлекаем из S конечное подпокрытие I. В си-
лу бесконечности X какой-то интервал из этого конечного подпокры-
тия должен содержать бесконечное число элементов из X. Противо-
речие с предположением.
Заметим, что данное выше определение предельного элемента
эквивалентно тому, что в любой окрестности элемента p есть по
крайней мере один, не совпадающий с p элемент множества X.
Используя это замечание, докажем, что в любом упорядоченном
поле (F, +,⋅, ≤), в котором выполняется принцип Больцано — Вейер-
штрасса, будет выполняться и аксиома полноты.
Докажем сначала, что будет выполняться принцип Архимеда.
Предположим противное, т. е. ∃b > 0: m < b∀m ∈ NF . Получается,
что NF бесконечно и ограничено. Согласно принципу Больцано —

116
Вейерштрасса ∃p ∈ F и p — предельный элемент для NF . Поэтому
длявсехдостаточнобольшихm∈NF0<p−m<1.Отсюда,всилу
свойства 3.9.1. a 0 < p − (m + 1) < 1 − 1 . Получаем противоречие.
Пусть непустые A, B ⊂ F и A ≤ B. Если один из них конечен, то
в нем существует как минимальный, так и максимальный элемент.
Если конечно A, то ∃a ∈ A: a = max A. Очевидно, a разделяет множе-
ства A и B. Если конечно B, то элемент b = min B из B разделяет A
и B. Так что в этих случаях и без требования принципа Больцано —
Вейерштрасса аксиома полноты выполняется. Рассмотрим теперь
случай, когда и A и B бесконечны. Если в B существует минималь-
ный элемент b = min B, то в качестве разделяющего элемента можно
взять b. Точно так же, если в A существует максимальный элемент, то
он будет разделять A и B.
Рассмотрим теперь случай, когда A и B оба бесконечны и в A
нет максимального элемента, а в B нет минимального элемента.
Пусть b0 — произвольный элемент из B. Введем множество C : =
=⋃
[b′
, b0]
b′∈B,b′<b
.
Возьмем произвольный ε0 > 0 так, чтобы b0 −
− ε0 ∈ C (такое ε0 всегда существует, так как в C отсутствует мини-
мальный элемент). По принципу Архимеда ∃n ∈ NF :(b0 − nε ∉ C) ∧
∧ (b0 − (n − 1)ε ∈ C). Берем произвольный элемент b1 ∈ (b0 −
− nε,b0−(n−1)ε)∩Cипроизвольныйε1>0так,чтобыb1−ε1∈
∈ C и повторяем предыдущий процесс. И так далее. В результате по-
лучим бесконечную ограниченную последовательность {bi}i=0
+∞
,
(i∈
∈ NF). Её предельный элемент, который ∃ в соответствии с принци-
пом Больцано — Вейерштрасса, обозначим через p ∈ F . Очевидно, в
силу построения элемент p разделяет A и C , а значит, A и B.
Таким образом, доказана следующая цепочка:
(Аксиома полноты) ⇒ ((Принцип Коши — Кантора) ∧
∧ (Принцип Архимеда)) ⇒ (Принцип Бореля — Лебега) ⇒ (Прин-
цип Больцано — Вейерштрасса) ⇒ (Аксиома полноты).
То есть если вместо аксиомы полноты в аксиоматике полного
упорядоченного поля взять принцип Коши — Кантора вместе с прин-
ципом Архимеда, или принцип Бореля — Лебега, или принцип Боль-
цано — Вейерштрасса, то получится равносильная прежней система
аксиом. Как доказано в п. 3 .8, если заменить аксиому полноты на
предположение о существовании верхней (нижней) грани, то также
получится система аксиом, равносильная прежней (принцип верхней
(нижней) грани).
Заметим, что только из одного принципа Коши — Кантора (при
наличии всех аксиом упорядоченного поля) аксиома полноты не сле-

117
дует. Соответствующий пример будет приведен ниже. Сначала введем
важные понятия. Напомним, что через F , или более подробно (F, +,⋅, ≤),
мы обозначили какое-то (произвольное) упорядоченное поле.
Последовательность {xn } ⊂ F называется фундаментальной,
если∀ε>0изF∃N∈NF:∀n,m≥N|xn−xm|<ε.Очевидно,если
какая-то фундаментальная последовательность в F имеет пре-
дельный элемент, то он единствен. Поле (F, +,⋅, ≤) называется пол-
ным в смысле Коши, если в нем всякая фундаментальная последо-
вательность имеет в F (т. е. принадлежащий F) предельный элемент.
Теорема. Упорядоченное поле (F, +,⋅, ≤) полно в смысле Коши
⇔ в нем выполняется принцип Коши — Кантора: ((({Ii}1
+∞
последова-
тельность вложенных отрезков в упорядоченном поле F , индекс i
пробегает NF, начиная с 1)(∀ε > 0 из F∃k ∈ NF: |Ik| < ε))(∃! точка
c ∈∩ Ii)).
Лемма. В произвольном упорядоченном поле (F, +,⋅, ≤) нулевой
элемент 0 является предельным в F .
Доказательство. Предположим противное. Тогда ∃α < 0, β > 0:
интервал]α, β[содержит только 0. Но из свойств упорядоченного поля
следует, что 0 <
β
2
<β,т.е.
β
2
∈ ]α, β[. Противоречие.
Доказательство теоремы. (⇒) Пусть I1: = [α1, β1] ⊃ I2 : =
= [α2, β2] ⊃ ⋯ — вложенные друг в друга отрезки, причем ∀ε > 0 из
F ∃k ∈ NF : |Ik| < ε. Последовательность {xk }1
+∞
середин этих отрез-
ков фундаментальна, и потому существует предельный элемент p ∈ F
этой последовательности. Если ∃j: p ∉ [αj , βj], то в силу вложенности
отрезков p ∉ [αk , βk]∀k ≥ j, но это противоречит с тем, что в любой
окрестности p содержится бесконечное число членов последователь-
ности {xk }1
+∞
.
Докажем теперь (⇐). Пусть {xk }1
+∞
—
фундаментальная после-
довательность. В силу леммы существует последовательность {εi}1
+∞
,
для которой 0 < ε1 < ε2 < ⋯ и 0 является предельным элементом.
В силу фундаментальности {xk }1
+∞
∃n1: |xn1
− xn|<
ε1
2
∀n>n1, ...,
∃nj : |xnj
− xn|<
εj
2
∀n > nj , ... Рассмотрим отрезки [xnj
− εj,xnj+
+ εj ]. Они вложены друг в друга, и их длины стремятся к нулю (для
последовательности длин элемент 0 является предельным). Поэтому
∃!c∈∩[xnj
− εj, xnj
− εj ]. Очевидно, элемент c является предельным
в последовательности {xnj }, а значит, и для всей последовательности
{xk }1
+∞
.

118
Любое упорядоченное поле можно при помощи классов экви-
валентности фундаментальных последовательностей расширить до
упорядоченного поля, полного в смысле Коши, т. е. до поля, в ко-
тором каждая фундаментальная последовательность сходится. Такое
расширение назовем пополнением по Коши.
Теперь обещанный пример неполного упорядоченного поля,
полного в смысле Коши.
Поле рациональных функций, введенное в п. 3 .9, пополним по
Коши. В полученном при этом упорядоченном поле будет выпол-
няться принцип Коши — Кантора, но не будет выполняться принцип
Архимеда (хотя бы потому, что множество натуральных элементом в
нем ограничено), следовательно, не будет выполняться аксиома пол-
ноты.
3.11. Единственность полного упорядоченного поля.
Множество действительных чисел
В предыдущих параграфах мы рассмотрели вопросы изоморф-
ности различных структур. Например, для случая полугрупп мы
определили изоморфизм между двумя полугруппами (S,∘), (T,∗) как
биекцию φ:(S,∘) → (T,∗), сохраняющую операции, т. е. φ(x ∘ y) =
= φ(x) ∗ φ(y). Вообще, изоморфизм определяется для множеств,
наделенных некоторой структурой, и является биекцией между двумя
такими множествами, сохраняющей их структуру.
Пусть (F, +, ⋅ , ≤), (Φ, ⊕, ∗, ≺) — упорядоченные поля. Они
называются изоморфными, если  биекция φ:(F, +, ⋅, ≤) → (Φ, ⊕,
∗, ≺), сохраняющая аддитивную и мультипликативную операции и
упорядоченность, т. е. ∀a,b∈F φ(a+b)=φ(a)⊕φ(b),φ(a ⋅b)=
= φ(a) ∗ φ(b), и если
b
a ,тоφ(a)≺φ(b).
Из свойства сохранения аддитивной операции сразу же следует,
что при изоморфизме ноль переходит в ноль, а из свойства сохране-
ния мультипликативной операции следует, что единица переходит в
единицу, и из сохранения упорядоченности следует, что сохраняются
верхние и нижние грани: φ(sup A) = sup φ (A), φ(inf A) = inf φ (A).
Теорема. Полное упорядоченное поле единственно с точностью
до изоморфизма.
Доказательство. Пусть (F, +, ⋅, ≤) и (Φ, ⊕, ∗, ≺) — два пол-
ных упорядоченных поля с единицами 1F , 1Φ и нулями 0F , 0Φ соот-
ветственно. Определим изоморфизм φ: F → Φ . В силу вышесказанно-
го мы обязательно должны положить 1F ↦
φ
1Φ,0F↦
φ
0Φ.Атаккакφ

119
должен сохранять операции, то n1F ↦
φ
n1Φ ∀n1F ∈ NF . При этом,
очевидно, a ≤ b, a, b ∈ NF, φ(a) ≺φ(b) (у элементов из F в индексе
мы иногда не будем указывать поле F, в отличие от элементов поля
Φ, для которых в нижнем индексе всегда будем указывать Φ).
Так как 0Φ = φ(0)=φ(−1+1)=φ(−1)⊕φ(1), то φ(−1)=
= −1Φ. Учитывая, что −x = (−1)x, x ∈ F, получим φ(−x) = −φ(x).
То есть, φ — биекция из ZF в ZΦ , сохраняющая операции (в силу при-
веденного построения φ) и порядок (что проверяется непосредствен-
но).
Продолжим теперь отображение φ с ZF на QF формулой φ (a
b
)=
=
φ(a)
φ(b)
.
Так как 1Φ =φ(b⋅b
− 1) = φ(b) ∗ φ(b−1), то φ(b−1) =
= (φ(b))−1
. Поэтому φ(a
b
)=
φ(a)
φ(b)
и φ: QF → QΦ — изоморфизм.
Пусть C — произвольный нерациональный элемент F . Чтобы
поставить ему в соответствие элемент из Φ, мы воспользуемся лем-
мой о вложенных отрезках. По принципу Архимеда ∀εF > 0 ∃n ∈
∈ NF:
1
εF
< n. Отсюда по свойству 3.9.3. c
1
n
< εF . В силу плотности
рациональных элементов получим, что
∀n∈NF∃qn
1,qn
2∈QF:(c−
1
n
<qn
1<c)∧(c<qn
2<c+
1
n
).
Отрезки In = [qn
1
,qn
2],n=1,2,... вложеныдругвдруга и их
длины стремятся к нулю. В поле Φ рассмотрим систему отрезков
InΦ
′
= [θnΦ
1 ,θnΦ
2 ], nΦ =1Φ,2Φ,..., гдеθnΦ
i =φ(qn
i ). Они вложены друг
в друга и их длины стремятся к нулю, так как в соответствии с по-
строением отображения φ имеем
φ(a
b
)−φ(c
d
)=
φ(a)
φ(b)
−
φ(c)
φ(d)
=
φ(a)φ(d)−φ(c)φ(b)
φ(b)φ(d)
=
φ(ad−cb)
φ(bd)
= φ(ad−cb
bd
),
гдеa,b,c,d∈NF.Тоесть
∀q1
,q
2
∈ QF |φ(q1) − φ(q2)| = |φ(q1
−q
2)|,
и поэтому если |q1 − q2| <
1
n
, то |φ(q1) − φ(q2)| <
1
φ(n)
=
1
n1Φ
.
Таким образом, ∃! CΦ
′
∈∩ In
′
. Этот элемент CΦ
′
мы и поставим в
соответствие C: φ(C) = CΦ
′
.
Сохранение операций и упорядоченности для φ: F → Φ следует
из соответствующих свойств для рациональных элементов. Инъек-
тивность φ очевидна. Сюръективность легко доказывается методом от
противного.

120
Определение. Множеством действительных чисел называется
полное упорядоченное поле (любое), а элементы этого поля называ-
ются действительными числами.
Как доказано выше, система аксиом полного упорядоченного
поля, определяющая множество действительных чисел, категорична,
то есть любые две модели действительных чисел изоморфны.
Реализация множества действительных чисел в десятичной си-
стеме счисления обозначается R, числа в других системах счисления
являются другими моделями множества действительных чисел, суще-
ствуют и отличные от них модели действительных чисел. Как уже
доказано, все они изоморфны между собой.
Кроме вопроса о категоричности, т. е. единственности с точно-
стью до изоморфизма, относительно любой системы аксиом сразу же
возникают еще два вопроса. Во-первых, совместны ли эти аксиомы,
т. е. существует ли модель для этой системы. Это вопрос о непроти-
воречивости аксиоматики. В других терминах это означает, что ни
для какого утверждения A, сформулированного в рамках рассматри-
ваемой аксиоматической системы, само утверждение A и его отрица-
ние ¬A не могут быть одновременно истинными.
И второй вопрос, носящий по сравнению с непротиворечиво-
стью и категоричностью более технический характер, но возникаю-
щий при построении любой системы аксиом, — вопрос о независи-
мости системы аксиом, т. е. невозможность доказательства ни одной
из них исходя из оставшихся аксиом.
Положительный ответ на вопрос о непротиворечивости системы
аксиом, имеющей только бесконечные модели, как правило, носит
условный характер, т. е. данная аксиоматика непротиворечива, если
непротиворечива какая-то (известная) теория (построенная на другой
аксиоматике). Для доказательства строится модель системы аксиом
исследуемой теории в терминах известной теории. Если бы исследуе-
мая теория содержала противоречащие друг другу теоремы A и ¬A, то
эти теоремы превратились бы в построенной модели в два истинных и
противоречащих друг другу утверждения A∗ и ¬A
∗
известной теории,
что невозможно в предположении, что эта известная теория непроти-
воречива. Например, неевклидова геометрия непротиворечива, если
непротиворечива евклидова геометрия — доказательством является,
например, модель Клейна неевклидовой геометрии на евклидовой
плоскости.
В случае аксиоматики, допускающей модель, которая является
конечным множеством, отсутствие противоречия можно проверить
непосредственно. И здесь можно говорить не об условной, а об абсо-

121
лютной непротиворечивости. Например, теория групп непротиворе-
чива, так как ее моделью служит одноэлементное множество {e} с
операцией«∗»иприэтомe∗e=e.
В отношении действительных чисел вопрос о непротиворечиво-
сти решается следующим образом (при этом мы получаем одну из
моделей действительных чисел): исходя из принятой аксиоматики
теории множеств, строится множество натуральных, затем множество
целых, затем множество рациональных и, наконец, множество всех
действительных чисел. Таким образом, теория действительных чи-
сел непротиворечива, если непротиворечива теория множеств.
Отметим, что в приведенной выше цепочке целые числа по натураль-
ным определяются так же, как в п. 3 .10, а при построении рациональ-
ных чисел используется конструкция поля частных кольца, приве-
денная в п. 3.6.
Подробно ознакомиться с построением модели действительных
чисел можно по любому более или менее полному курсу числовых си-
стем.

122
ЛИТЕРАТУРА
1. Башмакова, И. Г . Происхождение систем счисления // Энцик-
лопедия
элементарной
математики /
И. Г. Башмакова,
А. П. Юшкевич. —
М. : Гос. изд-во технико-теоретической лит.,
1951. — Кн. 1.
2. Депман, И. Я . История арифметики. —
М. : Просвещение,
1965.
3. Гашков, С. Б. Занимательная компьютерная арифметика. —
М. : ЛИБРИКОМ, 2015.
4. Элементы математики в задачах / Т. И . Голенищева-Кутузова,
А. Д. Казанцев, Ю. Г . Кудряшов [и др.]. —
М. : МЦНМО, 2010.
—
Ч. 1–2.
5. Зорич, В. А. Математический анализ. —
М. : Наука, 1981. —
Ч. 1.
6. Кострикин, А. И . Введение в алгебру. — М . : Наука, 1977.
7. Миклухо-Маклай, Н. Н . Путешествия. — М. ; Л., 1940. — Т . 1.
8. Тэйлор, Э. Первобытная культура. — М., 1939.

Ваха Исаевич ГИШЛАРКАЕВ
ЧИСЛО.
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ И ИСТОРИИ
УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ
Зав. редакцией
физико-математической литературы О. Е. Гайнутдинова
Ответственный редактор Е. Р . Губарева
Подготовка макета Э. М . Фахретдинова
Корректор Т. А. Кошелева
Выпускающий Е. С. Шумская
ЛР No 065466 от 21.10.97
Гигиенический сертификат 78.01 .10 .953.П.1028 от 14.04 .2016 г. ,
выдан ЦГСЭН в СПб
Издательство « ЛАНЬ»
lan@lanbook.ru; www.lanbook.com
196105, Санкт-Петербург, пр. Ю . Гагарина, д. 1, лит. А .
Тел./факс: (812) 336-25-09, 412-92-72.
Бесплатный звонок по России: 8-800-700-40-71
Подписано в печать 16.02.24.
Бумага офсетная. Гарнитура Школьная. Формат 84108 1/32.
Печать офсетная/цифровая. Усл. п. л . 6 ,51. Тираж 30 экз.
Заказ No 195-24.
Отпечатано в полном соответствии
с качеством предоставленного оригинал-макетав АО «Т8 Издательские Технологии».
109316, г. Москва, Волгоградский пр., д. 42 , к. 5 .