В.И.ПОПОВ
СИСТЕМЫ ОРИЕНТАЦИИ И СТАБИЛИЗАЦИИ
КОСМИЧЕСКИХ АППАРАТОВ
ПАССИВНЫЕ И КОМБИНИРОВАННЫЕ СИСТЕМЫ
ВТОРОЕ ИЗДАНИЕ, ПЕРЕРАБОТАННОЕ
ИДОПОЛНЕННОЕ
Москва, "Машиностроение" 1986

ББК 39.65
П58
УДК 629.78.001
Рецензент д-р физ. мат. наук Ф. Л. Черноусько
Попов В. И.
Системы ориентации и стабилизации космических аппара-
аппаратов. - 2-е изд., перераб. и доп. - М.: Машиностроение, 1986. -
184 с, ил.
Рассмотрены принципы построения, основы проектирования, воп-
вопросы повышения точности и динамики систем ориентации и стабилиза-
стабилизации космических аппаратов (КА). В основном рассматриваются пассив-
пассивные и комбинированные системы стабилизации посредством вращения,
цри помощи давления солнечных лучей, а также гравитационные и газо-
газореактивные системы. При исследовании динамики учитываются упру-
упругость и тепловая деформация стабилизаторов, нелинейность характерис-
характеристик датчиков и т.п. Уделено внимание способам и устройствам демпфи-
демпфирования колебаний пассивных систем стабилизации, вопросам управле-
управления и прогнозирования движения спутника, стабилизированного враще-
вращением A-е изд., 1977 г.).
Для научных работников, занимающихся исследованием, разра-
разработкой и производством систем управления.
„ 3607000000-135 ББК 39.56
П 135-86
038 @1)-86 СТ6
© Издательство "Машиностроение", 1977 г.
© Издательство "Машиностроение", 1986 г., с изменениями

ПРЕДИСЛОВИЕ
В настоящее время происходит интенсивное освоение космического
пространства, которое ведется по широкой программе, включающей поле-
полеты как по околоземным орбитам, так и по траекториям к другим плане-
планетам Солнечной системы. Для успешного проведения научных эксперимен-
экспериментов необходимо ориентировать и стабилизировать космические аппараты
(КА) в пространстве. Решение этой задачи возложено на систему ориента-
ориентации и стабилизации, от технических и эксплуатационных характеристик
которой во многом зависит успех проводимых научных экспериментов в
космосе. В связи с этим возникает необходимость в простых, надежных,
легких, работающих в течение длительного времени с минимальными за-
затратами энергии системах ориентации и стабилизации КА.
В книге обобщаются и развиваются результаты работ автора в области
теории и практики систем ориентации и стабилизации КА, проводившихся
им с 1957 года. Использованы также другие материалы, опубликованные
в отечественной и зарубежной печати и прежде всего, монографии по сис-
системам ориентации и стабилизации КА Алексеева К. Б. и Бебенина Г. Г.,
Белецкого В. В., Каргу Л. И., Коваленко А. П., Пельпора Д. С, Раушен-
баха Б. В., Токаря Е. Н. и других авторов.
Во втором издании переработаны отдельные главы и параграфы, сде-
сделаны дополнения и исправления с учетом замечаний и советов специалис-
специалистов, использовавших в своей научной, производственной и педагогичес-
педагогической работе первое издание монографии.
Автор сердечно благодарит кандидатов технических наук Майоро-
Майорова В. А. и Янова И. О. за большую помощь, оказанную при работе над вто-
вторым изданием книги, а также выражает глубокую благодарность рецен-
рецензенту, доктору физико-математических наук, профессору Черноусь-
ко Ф. Л. за ценные советы и замечания, способствовавшие улучшению
книги.

ГЛАВА 1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ О СИСТЕМАХ ОРИЕНТАЦИИ И
СТАБИЛИЗАЦИИ КА
1.1. НАЗНАЧЕНИЕ И КЛАССИФИКАЦИЯ СИСТЕМ ОРИЕНТАЦИИ
И СТАБИЛИЗАЦИИ
Первые искусственные спутники вращались в пространстве, не имея
никакой ориентации. В связи с увеличением объема задач, возложенных на
искусственные спутники, и по мере развития космической техники воз-
возникла необходимость ориентировать и стабилизировать их во время по-
полета. Решение этой задачи возложено на систему ориентации и стабилиза-
стабилизации. Ориентированные во время полета КА имеют следующие преиму-
преимущества: 1) лучшие условия для измерений и наблюдений, проводимых
в космосе; 2) лучшие информационные свойства направленных антенн;
3) большую эффективность солнечных батарей; 4) лучшие условия для
терморегулирования и др.
Успех научно-исследовательских работ, проводимых в космическом
пространстве с помощью летательных аппаратов, во многом зависит от
технических и эксплуатационных характеристик систем ориентации и
стабилизации. Поэтому возникает необходимость в простых, надежных,
точных, легких, работающих в течение длительного времени с минималь-
минимальными затратами энергии системах ориентации и стабилизации КА. Пра-
Правильный выбор систем ориентации и стабилизации позволяет успешно
осуществлять проведение таких научных экспериментов, как возвращение
на Землю спутника или космического корабля; наблюдение за Солнцем и
исследование явлений, происходящих на нем; использование системы
ретрансляционных спутников для целей глобальной радиосвязи и телеви-
телевидения; использование спутников для метеорологических и геодезических
целей и других экспериментов в межпланетном пространстве.
Полеты КА, используемых для научных исследований и решения на-
народнохозяйственных задач, в основном не требуют выполнения сложных
поворотных маневров и прецизионной ориентации аппарата. Эффектив-
Эффективность использования таких аппаратов оценивается прежде всего временем
их активного существования.
В этой связи большой научный и практический интерес представляет
разработка пассивных и комбинированных систем ориентации и стабили-
стабилизации, основанных на использовании вращения, сил гравитационного и
магнитного полей, аэродинамических сил и сил светового давления. Сие-

темы этого класса характеризуются неограниченным ресурсом работы,
простотой, надежностью, малой массой и поэтому являются наиболее
предпочтительными. Перечисленные достоинства пассивных и комбиниро-
комбинированных систем обусловили их широкое применение.
Специалисты, занимающиеся созданием систем управления угловым
движением, в своей практической работе часто подменяют понятие "ориен-
"ориентация" понятием "стабилизация'.', хотя они не являются взаимозаменяе-
взаимозаменяемыми [68].
Ориентация — это процесс, в результате которого КА занимает опре-
определенное положение или последовательность определенных, положений^
пространстве. Как правило, система ориентации, ликвидируя большое пер-
первоначальное отклонение, совмещает связанную систему координат с опор-
опорной (базовой) системой координат; последняя задается на борту КА с по-
помощью специальных устройств и приборов и может быть либо неподвиж-
неподвижной, либо перемещаться в инерциальном пространстве.
Стабилизация — это процесс устранения неизбежно возникающих в
полете угловых отклонений связанной системы координат КА от опорной
системы координат. Система стабилизации придает летательному аппарату
способность после определенной ориентации в пространстве восстанавли-
восстанавливать свое первоначальное положение, нарушенное внутренними или внеш-
внешними возмущающими воздействиями, или сопротивляться действию воз-
возмущений.
Таким образом, система управления угловым движением КА относи-
относительно центра масс делится на две: систему ориентации, реализующую
опорную систему координат и первоначально совмещающую с ней связан-
связанную с КА систему координат, и систему стабилизации, использующую ин-
информацию системы ориентации об угловом отклонении КА от заданного
направления в пространстве и ликвидирующую с помощью различного ро-
рода устройств это отклонение. Можно сказать, что первая система управля-
управляет в пространстве положением КА "в большом", а вторая управляет поло-
положением КА в "малом", т.е. управляет аппаратом относительно положения
уже заданного системой ориентации, совмещая связанную систему коор-
координат с опорной системой. Система стабилизации и система ориентации
образуют вместе с КА сложную взаимосвязанную динамическую систему
управления угловым движением.
Кроме ориентации и стабилизации, система управления угловым дви-
движением КА выполняет также функции успокоения. Последние заключают-
заключаются в том, чтобы за короткое время погасить большие угловые скорости,
возникающие, например, в момент отделения КА от ракеты-носителя и
достигающие нескольких градусов в секунду [45J. Для гашения больших
начальных угловых скоростей и ориентации КА в пространстве'заданным
образом используются специальные системы предварительного успокое-
успокоения, которые рассматриваются в гл. 3.
Существующие и разрабатываемые в настоящее время системы ориен-
ориентации и стабилизации могут быть разделены на три основные группы: пас-
5

сивные, активные и комбинированные. Некоторые авторы [10, 50] дают
более подробную классификацию, которая основана на способах форми-
формирования управляющих моментов, особенностях датчиков информации и
схем формирования управляющих сигналов.
Пассивная система ориентации и стабилизации — это система, которая
не требует на борту КА источника энергии для своей работы. Для создания
управляющих моментов она использует физические свойства среды, окру-
окружающей КА (гравитационное или магнитное поле, солнечное давление,
аэродинамическое сопротивление), или свойство свободно вращающегося
твердого тела сохранять неподвижной в инерциальном пространстве ось
вращения. В пассивных системах не только ориентация, но и стабилизация
КА, например демпфирование собственных колебаний, достигается без
использования активных управляющих устройств.
Активная система ориентации и стабилизации — это система, которая
при выполнении своих функций нуждается в бортовых источниках энер-
энергии. Такие системы в процессе работы используют различные активные
устройства: управляемые маховики, газовые реактивные двигатели, маг-
нигоприводы, гироскопические и оптические чувствительные элементы и
т.п. Активные системы целесообразно подразделить на две подгруппы: на
системы, использующие рабочее тело (газореактивные системы), и на
системы, использующие рабочее тело (с двигателйми-маховиками, гиро-
гироскопическими испольн отельными органами с магнитоприводом и др.).
Особенности пассивных и активных систем:
а) активные системы обеспечивают высокую точность ориентации,
пассивные дают низкую точность — в этом их основной недостаток;
б) пассивные системы не расходуют энергию бортовых источников пи-
питания, а используют для создания управляющих моментов естественные
силы, действующие в условиях космического пространства; активные же
системы расходуют массу или энергию, хранящуюся или накапливаемую в
КА, например, при помощи солнечных ..батарей;
в) Пассивные системы конструктивно просты? имеют высокую надеж-
надежность и практически неограниченный срок службы, что является их дос-
достоинством. Однако простота пассивных систем обычно достигается ценой
меньшей маневренности и не всегда дает желаемую ориентацию. Активные
же системы достаточно сложны, имеют ограниченный срок службы, опре-
определяемый надежностью и ресурсом работы активных устройств (датчи-
(датчиков, преобразователей, исполнительных механизмов и т.п.) и запасом
энергии на борту;
г) активные системы могут создавать достаточно большие по величи-
величине управляющие моменты — в этом их преимущество. У пассивных систем
управляющие моменты малы по величине, поэтому к ним обычно предъяв-
предъявляются требования высокой точности начальной ориентации и малости
угловых скоростей, что является большим недостатком и в ряде случаев
ведет к ограничению области их применения;

д) активные системы имеют большое быстродействие, т.е. ориентиру-
ориентируют КА в заданном положении за короткий интервал времени, что для не-
некоторых проектов создания систем ориентации и стабилизации является
необходимым условием. Пассивные системы ориентируют космический
аппарат в заданном положении в течение продолжительного интервала
времени, но так как они рассчитаны на длительное время активного су-
существования, то для них быстродействие не имеет существенного зна-
значения;
е) пассивные системы в отличие от некоторых активных систем, на-
например, использующих газореактивные сопла, не засоряют окружающее
пространство вокруг КА отработанными веществами, которые создают
большие неудобства в работе оптических систем наблюдения.
С развитием космической техники повышаются требования к точнос-
точности, надежности, массе и ресурсам систем ориентации и стабилизации. Стро-
Строгое лимитирование запасов энергии и рабочего тела на борту КА с длитель-
длительным сроком активного существования, а также повышенные требования
к точности ориентации на некоторых участках полета приводят к тому,
что ни пассивные, ни активные системы в отдельности не отвечают всем
предъявляемым к ним требованиям.
В этом случае целесообразно применение комбинированных систем,
которые строятся из элементов пассивных и активных систем с таким рас-
расчетом, чтобы они по возможности обладали достоинствами тех и других и
не имели свойственных им в отдельности недостатков. Например, комби-
комбинированное использование любой пассивной системы с газореактивной
позволяет: а) обеспечить в течение полета КА несколько режимов работы
с различной точностью ориентации; б) создавать в определенные интер-
интервалы времени большие по величине управляющие моменты; в) иметь
больший срок службы; г) расходовать энергии значительно меньше, чем
в том случае, если бы все возложенные на систему функции выполняла
только активная система.
Комбинированные системы, представляющие собой сочетание газо-
газореактивной системы предварительного успокоения (СПУ) с пассивной
аэродинамической системой ориентации, применялись на различных спут-
спутниках серии "Космос" [15]. Здесь газореактиная система использовалась в
качестве системы предварительного успокоения, а пассивная — для даль-
дальнейшей длительной ориентации и стабилизации искусственного спутника.
Комбинированные системы ориентации и стабилизации целесообразно
использовать также для КА, состоящих из нескольких тел, каждое из ко-
которых должно ориентироваться с неодинаковой точностью в разных на-
направлениях в течение всего полета. В этих случаях для частей аппарата,
ориентируемых с низкой точностью в течение длительного времени, жела-
желательно применять пассивные системы, а для частей, ориентируемых с вы-
высокой точностью, — активные.
Если от системы ориентации и стабилизации в течение только неболь-

шого времени необходима высокая точность ориентации, а в остальное
время требуется невысокая точность, или КА вообще может бьлъ не
ориентирован, то выгодно применять комбинированные системы. В этих
случаях КА в течение всего времени существования ориентируется и
стабилизируется с низкой точностью при помощи пассивной системы и
только в моменты времени, когда требуется высокая точность, включает-
включается активная система ориентации и стабилизации. Так как КА уже грубо
ориентирован пассивной системой, то активная система быстрее и с мень-
меньшими энергетическими затратами ориентирует аппарат в заданном направ-
направлении с требуемой точностью. Здесь пассивная система как бы выполняет
функции "дежурной системы".
1Л. ОСНОВНЫЕ ТРЕБОВАНИЯ, ПРЕД ЬЯВЛЯЕМЫЕ К СИСТЕМАМ
Выбор системы ориентации и стабилизации в основном определяется
задачами, решаемыми в течение полета, и характеристиками КА. В про-
процессе проектирования систем должен быть принят во внимание ряд важ-
важных факторов [50]: 1) требования к точности ориентации и стабилизации;
2) ограничения по массе, габаритным размерам и потребляемой мощнос-
мощности; 3) требования по обеспечению надежности системы при выполнении
своих функций и возможность дублирования элементов системы; 4) прос-
простота конструкции системы и срок активного существования; 5) требова-
требования к коррекции скорости полета и стабилизации КА в процессе манев-
маневров, которые могут привести к усложнению конструкции системы;
6) конфигурация КА и общие технические требования к нему, которые
могут оказать влияние на систему в отношении типа датчиков, их поля
зрения, расположения двигателей и других элементов системы; 7) требо-
требования к угловой скорости КА в процессе управления; 8) число управляе-
управляемых степеней свободы; 9) требования к приращениям линейной скорости
в период вывода КА на орбиту; 10) взаимодействие системы ориентации
и стабилизации с подсистемами КА, которое должно быть детально изуче-
изучено в начальной стадии проектирования; 11) требования к режимам рабо-
работы системы; 12) динамическая модель КА (упругость конструкции, мо-
моменты инерции, распределение массы КА, несовпадение строительных осей
с главными центральными осями инерции и тд.).
Для большинства КА основным требованием является точность ориен-
ориентации и стабилизации. Один и тот же КА в течение полета может иметь не-
несколько режимов работы с различной точностью ориентации и стабилиза-
стабилизации. Например, на активных участках полета, где проводится коррекция
положения КА, астрономические наблюдения* или фотографирование по-
поверхности планет, требуется более высокая точность, чем на пассивных
участках.
В течение полета КА часто возникает необходимость в режиме пере-

ориентации; последний включает с заданной скоростью угловое перемеще-
перемещение корпуса КА или какой-нибудь его части из одного ориентированного
положения в другое с требуемой точностью. Наиболее важным в этом слу-
случае являются: а) время, отводимое на переориентацию, включая стабили-
стабилизацию при новой ориентации; б) рабочее тело и энергия, расходуемые в
процессе переориентации. В любом случае в режиме переориентации рас-
расход рабочего тела и энергии должен быть минимальным.
В зависимости от задач, решаемых КА, требования к точности сильно
меняются. Для некоторых задач, включающих изучение космического
пространства и метеорогические наблюдения, приемлемой является ориен-
ориентация и стабилизация аппарата с точностью 1.. .10°. Такую точность может
обеспечить пассивная система.
При решении астрономических задач требования к точности ориента-
ориентации являются более жесткими и определяются прежде всего разрешающей
способностью телескопа. Если для, фотографирования планет на космичес-
космическом аппарате используется большой телескоп, то во время экспозиции
точность его ориентации должна поддерживаться в пределах долей угловой
секунды. Такую точность ориентации можно обеспечить только с помощью
активных маховичных или гироскопических систем [36].
Ориентация панелей солнечных батарей на Солнце может быть с гру-
грубой точностью порядка 10. . .15°, в то время как сам спутник должен
ориентироваться на центр Земли с высокой точностью. Антенны спутников
связи обычно ориентируются с точностью до 1°. Требование такой точнос-
точности ориентации связано с применением на спутниках связи направленных
антенн, которые являются не только более эффективными, но и экономи-
экономически более выгодными, поскольку упрощается бортовая приемопередаю-
приемопередающая аппаратура наземных станций, не говоря уже о меньших энергетичес-
энергетических затратах при той же эффективности. Если необходимо получить изоб-
изображение, то допускаемая угловая скорость спутника в процессе стабилиза-
стабилизации может иметь решающее значение при выборе типа системы и ее проек-
проектировании. Для решения подобного рода задач, когда КА и его элементы
должны ориентироваться с различной точностью и относительно разных
опорных систем координат, целесообразно применять комбинированные
системы, в которых невысокая точность обеспечивается пассивными мето-
методами, а высокая — активными.
Между требованием высокой точности ориентации и стабилизации КА
в пространстве и другими эксплуатационными характеристиками сущест-
существуют некоторые противоречия. Высокая точность системы достигается за
счет усложнения ее конструкций и аппаратуры (измерительных и исполни-
исполнительных устройств), увеличения размеров и массы. Поэтому требовать от
системы ориентации и стабилизации предельно допустимой точности нуж-
нужно в крайне необходимых случаях. Среди прочих требований, предъявляе-
предъявляемых к системам ориентации и стабилизации, важное значение имеют на-
надежность и срок активного существования. Они определяются в основном

сложностью и энергетическими ресурсами системы и условиями, в кото-
которых она работает. При проектировании систем особое место занимают воп-
вопросы конструирования надежных и легких устройств и вопросы выбора
материалов, из которых они сделаны.
Управление в космическом пространстве существенно отличается от
управления в земных условиях. Во-первых, условия, существующие в
космосе, отличаются от земных наличием невесомости, интенсивной ра-
радиации, разрежения, близкого к абсолютному вакууму, и, следовательно,
почти полным отсутствием естественного демпфирования. Эти факторы
усложняют конструкцию элементов системы ориентации и стабилизации и
делают чрезвычайно трудоемкими и дорогостоящими их моделирование в
лабораторных условиях. Во-вторых, в космическом пространстве возму-
возмущающие моменты, действующие на летательный аппарат, очень малы и по-
поэтому обычно нет необходимости в больших по величине восстанавливаю-
восстанавливающих моментах, создаваемых системой ориентации и стабилизации. Однако
небольшие возмущающие моменты в условиях почти полного вакуума и
отсутствия естественного демпфирования оказывают существенное влия-
влияние на движение КА, особенно пассивных систем ориентации и стабилиза-
стабилизации, у которых управляющие моменты малы по величине. По этой причи-
причине приобретают особо важное значение вопросы динамики систем ориента-
ориентации и стабилизации.
Ввиду отсутствия в космических условиях естественного демпфиро-
демпфирования требуется создавать демпфирующие моменты искусственным путем
с помощью специальных устройств. В настоящее время для системы ориен-
ориентации разработаны и успешно применяются специальные устройства, кото-
которые за счет использования естественных сил окружающих полей позволя-
позволяют демпфировать колебательные движения КА [85]. От выбранных демп-
демпфирующих устройств зависят динамические характеристики и точность
пассивных систем. Вопросы демпфирования КА, стабилизируемых с по-
помощью пассивных систем, на первый взгляд, кажутся достаточно просты-
простыми. На самом же деле задача создания простых, надежных, легких и обес-
обеспечивающих высокую точность демпфирующих устройств представляет
собой сложную техническую проблему, которая имеет решающее значение
при проектировании и разработке систем ориентации и стабилизации.
1.3. ВЫБОР ОПОРНЫХ СИСТЕМ КООРДИНАТ
Одним из первых и основных вопросов при проектировании систем
ориентации и стабилизации КА является выбор в соответствии с заданны-
заданными техническими требованиями подвижных или неподвижных в инерциаль-
ном пространстве опорных (базовых) систем координат, относительно ко-
которых измеряются угловые отклонения, угловые скорости и ускорения
КА. С помощью системы ориентации и стабилизации выдерживаются в до-
10

пустимых диапазонах изменения, указанные угловые параметры между
осями опорной системы координат и осями, жестко связанными с КА.
Связанная система выбирается таким образом, чтобы оси ее совпада-
совпадали с главными центральными осями инерции КА, так как в этом случае
существенно улучшаются динамические характеристики и точность управ-
управления, упрощается запись уравнений угловых движений. Начало связанной
системы координат OXYZ располагается в центре масс КА, и в идеальном
случае ориентации оси этой системы совпадают с соответствующими ося-
осями опорной системы координат. Обычно оси связанной системы коорди-
координат расположены так, что две из них лежат в плоскости траектории ЙА,
причем ось ОХ направлена вперед вдоль его продольной оси, a OY распо-
расположена в плоскости симметрии аппарата, совпадающей с плоскостью траек-
траектории, и направлена вверх по нормали, третья ось OZ дополняет систему
координат до правой. Эти оси соответственно называют': первую — осью
крена, вторую — осью рыскания и третью — осью тангажа.
Выбор опорной системы координат во многом зависит от назначения
КА и выполняемых им задач, от характера траектории, от выбранного
принципа действия системы ориентации и стабилизации, от возможности
упрощения ее уравнений движения и уменьшения влияния внешних воз-
возмущающих моментов и от других факторов. Рассмотрим некоторые ос-
основные из них с точки зрения возможности использования в качестве
опорных систем координат при ориентации КА.
Нормальная земная система координат O0XgYgZg (рис. 1.1) с началом
в центре Земли О0 является правой ортогональной системой координат.
Направление ее осей выбирается следующим образом: ось O0Xg направле-
направлена в точку весеннего равноденствия; ось О0 Yg — вверх по местной верти-
вертикали; ось O0Zg дополняет систему до правой. Следовательно, оси O0Xg и
O0Zg находятся в плоскости экватора. Углы у и X носят название геогра-
географической широты и долготы. В этой системе координат обычно задаются
параметры орбиты КА.
Оси орбитальной системы координат OXgYgZg с началом в центре
масс О движущегося по орбите космического аппарата направлены сле-
следующим образом: ось OYg — вдоль радиуса-вектора р по местной вертика-
вертикали от центра Земли О0 к центру масс аппарата О; ось OXg — перпендику-
перпендикулярно оси OYg, лежит в плоскости орбиты и направлена в сторону полета;
ось OZg — по бинормали к орбите и образует с первыми двумя осями пра-
правую систему координат (см. рис. 1.1) *.
Используются и другие опорные системы координат, которые в дан-
данной книге рассматриваться не будут. В общем случае выбор той или иной
системы координат в качестве опорной часто является достаточно слож-
сложной задачей.
* Эту систему, согласно ГОСТ 20058-80, в дальнейшем будем называть нор-
нормальной системой координат.
11

Opffuma
Рис. 1.1. Системы координат
В спутниках для астрономических исследований в качестве опорной
выбирается инерциальная система координат. Спутники, предназначенные
для фотографирования поверхности планет, и в некоторых случаях спут-
спутники связи стабилизируются относительно местной геофизической верти-
вертикали, т.е. системы координат, связанной с центром Земли.
Если спутник стабилизируется с помощью системы гравитационной
стабилизации, то ось спутника с наименьшим моментом инерции из сооб-
соображения устойчивости движения должна быть направлена в течение всего
времени полета по местной вертикали. При таком выборе опорной систе-
системы координат упрощается запись уравнений движения, а гравитационный
момент, появляющийся при отклонении спутника от местной гравитацион-
гравитационной вертикали, является полезным восстанавливающим моментом.
Некоторые спутники специального назначения могут быть стабилизи-
стабилизированы вращением. В этом случае в качестве опорной выбирается система
координат, связанная с вектором кинетического момента вращательного
движения спутника. Такой выбор опорной системы координат позволяет
существенно упростить запись уравнений движения спутника и проведе-
те исследования динамики системы управления угловым движением.
На практике встречаются задачи, в которых КА представляют в виде
динамической модели, состоящей из нескольких твердых тел. Например,
когда на КА имеется источник питания в виде солнечных батарей, то для
12

получения максимальной энергии их необходимо стабилизировать на
Солнце, в то время как сам объект должен стабилизироваться относитель-
относительно центра Земли. Здесь необходимо использовать систему ориентации и
стабилизации, имеющую две опорные системы координат: одну — для ста-
стабилизации батарей в направлении на Солнце, а вторую — для стабилизации
аппарата относительно местной геофизической вертикали.
С другой аналогичной задачей мы встречаемся в тех случаях, когда
требуется обеспечить программное движение КА таким образом, чтобы
разворот последнего не приводил к отклонению приемной антенны от за-
заданного направления в пространстве, или когда КА и его ретрансляцион-
ретрансляционные антенны требуется ориентировать в различном направлении и с раз-
различной точностью. В таких задачах необходимо иметь две опорные систе-
системы координат.
1.4. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ КА ОТНОСИТЕЛЬНО ЦЕНТРА МАСС
Будем рассматривать КА как твердое тело, которое под действием
приложенных к нему сил совершает вращательно-поступательное движе-
движение, а именно, центр масс КА перемещается по нецодвижной в инерциаль-
ном пространстве траектории и одновременно с э^гим совершает враща-
вращательные движения относительно центра масс КА. Движение центра масс
при исследовании вопросов ориентации и стабилизации не, учитываем, так
как траектория считается заданной. Управление вращательным движением
КА осуществляется с помощью системы ориентации и стабилизации.
Для записи уравнений движения КА относительно центра масс выби-
выбираем нормальную OXgYgZg и связанную OXYZ системы координат. В за-
заданном положении равновесия КА оси связанной и нормальной систем
координат совпадают. Обе системы координат имеют начало в центре масс
КА. Положение КА относительно нормальной системы координат будет
определено, если известно положение осей OXYZ относительно OXgYgZg.
Таким образом, все отклонения КА от исходного положения опреде-
определяются отклонениями триэдра, жестко связанного с аппаратом, от триэдра
нормальной системы координат. Если в качестве опорной системы выбра-
выбрана орбитальная система координат, то положение связанных осей OXYZ
относительно OXgYgZg вполне определяется заданием трех независимых
углов (рис. 1.2) : & — угла тангажа, ф — угла рыскания и у — угла крена.
Следовательно, движение КА будет определено, когда будем знать три
угла в функции времени #(f), \p(t) и 7@ •
Движение абсолютно твердого КА относительно центра масс в связан-
связанной системе координат описывается дифференциальным уравнением в
векторной форме:
13

Рис. 1.2. Схема углов поворота при переходе от нормальной к связанной системе
координат
где ||/|| =
'XX 'ХУ 'XZ
lyy
- тензор инерции КА;
Ixx, Iyy, Izz - моменты инерции ICA относительно осей OX, OY и OZ\
Ixy>lyz у Ixz — центробежные моменты инерции КА;
со =
M =
tdy
Mx
My
Mz
— вектор мгновенной угловой скорости КА; ;
- вектор момента сил, действующих на КА.
Если оси связанной системы координат совпадают с главными цент-
центральными осями инерции КА, то уравнения движения КА относительно
центра масс в связанной системе координат принимают обычную форму
динамических уравнений Эйлера:
"~ (Jy -
М
ув;
A.1)
= - M;
zy
14

где Ix, Iy, Iz — главные центральные моменты инерции КА относительно
соответствующих осей; Мху, Муу, Mzy и Мхв,МуВ, MZB — проекции управ-
управляющего и возмущающего моментов на соответствующие оси; cjx, coy,
coz — проекции мгновенной угловой скорости КА на связанные оси.
Уравнения A.1) могут быть коротко записаны через циклический ин-
индекс следующим образом:
/7-иу+ (//+2 - //+i)<o/+r^/+2 = Щ,
где If — главные моменты инерции (It Ф12 Ф h)\Mj — проекция вектора
момента действующих на КА сил на соответствующие оси; / — цикличес-
циклический индекс (/' = 1, 2, 3).
Так как КА часто имеет симметричную форму в виде конуса или ци-
цилиндра, причем ОХ — продольная ось, то имеет место равенство 1у = Iz.
Учитывая это условие', первое уравнение движения системы A.1) упроща-
упрощается и принимает вид
1хъ>х = - Мху + Мхв.
Управляющий момент Му системы ориентации и стабилизации имеет
две составляющие Му = Мв + Л/д. Первой составляющей является восста-
восстанавливающий момент Мв, второй — демпфирующий Мд. Эти моменты соз-
создаются с помощью специальных устройств. Способы создания управляю-
управляющих и демпфирующих моментов будут рассмотрены в дальнейшем при
анализе конкретных систем ориентащш и стабилизации.
В общем случае вектор момент М сил, действующих на КА, зависит от
его положения по отношению к осям орбитальной системы координат, т.е.
от величины углов #, ф, у , угловых скоростей вращения cjx, cjy, coz и
времени t, т.е.
М = Ф(#, ф, у, CJX, GJy, U)Z9f).
Таким образом, три уравнения A.1) связывают шесть независимых
функций у, ф, #, сох, а>у, coz. Чтобы сделать задачу определенной, нужно
получить еще три уравнения искомых функций у, ф9 # при помощи кине-
кинематических уравнений, устанавливающих связь между gjx, ojy, coz, угламц
у, ф9 д и орбитальной скоростью ы0 (см. рис. 1.2) :
сох = у +
coy = i(/cost^cos7+ &siivy- o;0(cosi//sin7+ sini/zsin^cosy); A.2)
coz = ^cos^- ^/cos^sin7- o;0(cosi//cos7- sini//sindsin7).
Решая уравнения A.2) относительно величин у, ф и &, получим
7= о>х
15
- sini//sin#sin'y)]sin7>;

ф = \ [
[
coy + o;0(cos^sin7+ sini//sin#cos7r)]cos7 - A.3)
d = [cjy + OH(cos^sin7+ sini//sin#cos7)]sin7 +
+ [o;z + o;0(cosi//cos7 - sini//sin#sin7)]cos7.
т.е. движение КА описывается системой шести обыкновенных дифферен-
дифференциальных уравнений A.1) и A.3) первого порядка относительно шести
неизвестных функций о)х, со^, o>z, у, ф и #.
Когда угловые отклонения КА от заданного положения и угловые
скорости малы, кинематические соотношения A.3) упрощаются:
7=сох, y=fo>xdt,
0 = соу, или ф=$Ыуйг, A.4)
Так как по углу тангажа система орентации и стабилизации совершает
поворо! с угловой скоростью, равной скорости обращения искусственно-
искусственного спутника вокруг планеты, то можно считать, что coz является отклоне-
отклонением угловой скорости искусственного спутника вокруг оси OZ от орби-
орбитальной скорости со0.
Соответственно и динамические уравнения Эйлера A.1) с учетом A.4)
после пренебрежения произведениями скоростей как величинами второго
порядка малости, можно записать в виде
d2y
Мхв ,
MyBi A.5)
do
ZB.
Таким образом, в предположении, что угловые скорости и угловые
отклонения КА от заданной ориентации малы, движение космического ап-
аппарата на небольшом интервале времени может рассматриваться как три
независимых движения относительно соответствующих осей.
В заключение следует еще раз отметить, что приведенные здесь уравне-
уравнения движения относятся к абсолютно жесткому КА (без учета вращаю-
вращающихся внутренних масс, без учета тепловых и упругих деформаций), свя-
связанные оси координат которого направлены по главным осям инерции
космического аппарата. Случаи, когда: а) строительные оси КА (оси свя-
связанной системы координат) не совпадают с его главными центральными
16

осями инерции (гл. 4); б) К А считается не абсолютно жёстким (учитыва-
(учитывается упругость конструкции) (гл. 7 и разд. 3.4); в) тепловая деформация
КА (разд. 5.1); г) влияние вращающейся массы рассмотрено в гл. 6.
1.5. ВОЗМУЩАЮЩИЕ ВОЗДЕЙСТВИЯ
При проектировании систем ориентации и стабилизации необходимо
знать величины всех моментов, действующих на КА. К сожалению, не всег-
всегда имеется точная количественная информация о возмущающих мо-
моментах.
Возмущающие моменты возникают в результате целого ряда факто-
факторов. Приведем основные источники возмущающих моментов: 1) аэроди-
аэродинамическое сопротивление; 2) магнитное поле; 3) давление солнечных
лучей; 4) гравитационные поля Земли и небесных тел; 5) движение масс
внутри КА; 6) неравномерное вращение опорной системы координат
(эллиптичность орбиты); 7) температурные деформации элементов конст-
конструкции системы ориентации и стабилизации; 8) неточности в изготовле-
изготовлении системы ориентации и стабилизации и др.
Многие возмущающие моменты появляются как результат взаимо-
взаимодействия КА с окружающими гравитационными и магнитными полями,
солнечным давлением и атмосферой. Ясно, что лучше использовать естест-
естественные силы, создаваемые полями и атмосферой, в качестве управляю-
управляющих. В некоторых случаях оказывается возможным применять эти силы
для управления КА (см. гл. 2). В дальнейшем ограничимся только общи-
общими рассуждениями о причинах появления возмущающих моментов и для
некоторых из них дадим количественные оценки.
Аэродинамические возмущения. Экспериментально проверено, что не-
несмотря на большую разреженность верхних слоев земной атмосферы на
высоте от 130 км до 600 км, ИСЗ вследствие больших скоростей полета
испытывает действие аэродинамических сил, которые необходимо учиты-
учитывать. Возмущения от аэродинамического сопротивления не везде одинако-
одинаково по траектории полета спутника — в перигее оно значительно больше,
чем в апогее.
При несовпадении центра масс спутника с центром давления (под
центром давления понимается точка приложения равнодействующей всех
сил давления воздуха на поверхность аппарата) от аэродинамического со-
сопротивления возникает возмущающий момент, который может при низ-
низких орбитах изменить угловую ориентацию спутника. Аэродинамическая
устойчивость спутника будет иметь место только в том случае, если центр
давления находится позади центра масс. Выбором формы спутника можно
обеспечить его аэродинамическую устойчивость, но полностью устранить
возмущающий аэродинамический момент на небольших высотах очень
трудно.
17

Из курса аэродинамики известно, что момент, возникающий за счет
аэродинамического сопротивления, определяется выражением
M^^^p^Slmf, (i = x,y,z)9 A.6)
где V — скорость космического аппарата; р — массовая плотность атмос-
атмосферы в данной точке траектории; т\ — безразмерные аэродинамические
коэффициенты, определяемые экспериментально и зависящие от формы
аппарата, отношения скорости полета к скорости звука, углов атаки и
скольжения, и угловых скоростей; S и / — характерные площадь и линей-
линейный размер соответственно.
По американским данным у гравитационно стабилизированного спут-
спутника типа 963 22А" аэродинамический момент на высоте 740 км вызвал
отклонение от вертикали на 0,9°. На высоте 550 км отклонение от верти-
вертикали составляло бы около 10° [63]. В основном такое отклонение от вер-
вертикали объясняется отсутствием аэродинамической симметрии. Получение
симметричной в аэродинамическом отношении формы ИСЗ в ряде случаев
бывает затруднительно из-за особых требований к размещению антенных
и других устройств.
Для спутников на низких высотах проблему аэродинамического мо-
момента можно разрешить за счет использования дополнительных поверхнос-
поверхностей, которые уравновешивают момент, действующий относительно центра
масс спутника. Аэродинамическое сопротивление может быть использова-
использовано и для управления спутником. С этой целью к нему присоединяют спе-
специальный аэродинамический стабилизатор (см. разд. 2.4).
Магнитные возмущения. Искусственные спутники при движении по
орбите взаимодействуют с магнитным полем планеты (если оно существу-
существует) . Это взаимодействие обусловливает магнитный возмущающий момент,
который зависит от величины магнитного поля, создаваемого КА, скорос-
скорости вращения аппарата и напряженности магнитного поля планеты в точке
нахождения КА. Момент М сил, возникающих от взаимодействия внешне-
внешнего магнитного поля с напряженностью Н и собственного магнитного поля
тела, обладающего магнитным моментом гт, определяется векторным
произведением М = Рт X Я.
Одной из причин, вызывающих появление магнитного момента, явля-
является наличие токовых систем на спутнике и постоянных магнитов в прибо-
приборах. Другой причиной появления магнитного поля является намагничива-
намагничивание оболочки спутника в магнитном поле Земли. В работах [7, 24] получе-
получены формулы для этих моментов, достаточно хорошо моделирующие ис-
истинную картину.
Опыты по осуществлению гравитационной стабилизации, проведенные
на американском спутнике 963 22А", показали, что отклонение продоль-
продольной оси спутника от направления местной вертикали на высоте около
740 км под действием магнитного возмущающего момента составляло ме-
18

нее 1° [63]. Так как напряженность геомагнитного поля изменяется об-
обратно пропорционально кубу расстояния спутника от центра Земли, то на
орбите с высотой, значительно превышающей 700 км, имеют место гораз-
гораздо меньшие ошибки ориентации от магнитного возмущающего момента.
Выбором конструкции аппарата стремятся уменьшить влияние элект-
тромагнитно)го возмущающего момента или, если возможно, использовать
его для управления (см. разд. 2.2).
Возмущение от светового давления солнечных лучей. Для спутников,
летающих на орбитах до 300 км, давление от солнечных лучей ничтожно
мало по сравнению с аэродинамическим. Но уже на высотах порядка
700 км эти давления становятся сравнимыми, а на больших высотах солнеч-
солнечное давление значительно превышает аэродинамическое. Гравитационный
момент также довольно быстро уменьшается с высотой. Поэтому возму-
возмущающий момент от давления солнечных лучей имеет решающее значение
при полетах на больших высотах (свыше 2000 км), например, для стацио-
стационарных спутников и, особенно, для межпланетных космических кораблей
и спутников, движущихся по орбите вокруг Солнца [1].
Возмущающий момент, создаваемый солнечными лучами, определя-
определяется размерами и формой поверхности КА, освещаемой Солнцем, располо-
расположением центра давления по отношению к центру масс аппарата и величи-
величиной светового давления. Величина светового давления обратно пропор-
пропорциональна квадрату расстояния от Солнца, зависит от отражательной спо-
способности поверхности аппарата и вблизи Земли составляет 4,64 X 10 Н/м2
[19]. Отражательная способность тела определяется коэффициентом отра-
отражения е (для абсолютно черного е = 0, для идеального зеркала е = 1). Ве-
Величина светового давления рс на расстоянии R от центра Солнца при усло-
условии, что солнечные лучи падают на поверхность нормально, определяется
по формуле [7,19]
где с — скорость света; Ео — величина потока энергии светового давления
на расстоянии Ro от центра Солнца.
В работе [19] выведены интегральные выражения для сил и моментов,
вызываемых воздействием светового потока на различные формы поверх-
поверхности спутника. Момент от солнечного давления, действующий на КА,
можно записать в виде мс = /?с* Льд гдерс — вектор силы давления сол-
солнечных лучей; .Уц.д — расстояние от центра масс до центра давления.
Момент, возникающий от давления солнечных лучей, может быть ис-
использован для управления движением относительно центра масс КА. Что-
Чтобы получить заметную величину момента от сил светового давления, необ-
необходимо применить специальные солнечные стабилизаторы (см. разд. 2.5).
Возмущения от гравитационного поля. Взаимодействие КА, имеюще-
имеющего различные главные центральные моменты инерции, с гравитационным
19

полем тяготения планеты является причиной возникновения гравитацион-
гравитационного возмущающего момента. Этот момент значительно больше других
возмущающих моментов и может наложить жесткие требования на систе-
систему управления спутника, если ориентирование осей спутника происходит
не около вертикали, а например, относительно инерциальной системы
координат.
В тех случаях, когда угловым положением КА управляет активная
система ориентации и стабилизации, создаются управляющие моменты, ко-
которые на несколько порядков превышают значения составляющих векто-
вектора гравитационного момента. Поэтому при работающей активной системе
ориентации и стабилизации, например газореактивной, незначительные гра-
гравитационные моменты не принимаются во внимание при оценке возмуще-
возмущений. Однако в условиях космического пространства, где нет какой-либо
естественной демпфирующей среды, даже такие небольшие возмущающие
моменты, как гравитационные, при отсутствии управляющих моментов
приводят к достаточно большим угловым отклонениям КА от заданного
положения ориентации.
Гравитационные моменты могут быть использованы как полезные
восстанавливающие моменты (см. разд. 2.1).
Возмущения от движущихся масс внутри КА. В КА достаточно слож-
сложной конструкции имеется целый ряд подвижных элементов (вращающие-
(вращающиеся маховики, вибрирующие детали, циркулирующие жидкости и пр.), дви-
движение которых создает эффективные возмущающие моменты. Некоторые
из этих моментов крайне малы по своей величине, другие же. могут являть-
являться очень существенными источниками возмущения положения. Чаще все-
всего эти моменты малы по,ср звнению с внешними моментами, действующи-
действующими на конструкцию. Поэтому их влиянием в большинстве случаев пренеб-
пренебрегают. Применительно к КА такое решение вследствие чрезвычайной ма-
малости внешних возмущающих моментов может быть принято только пос-
после сравнительной оценки внутренних и внешних моментов, действующих
на аппарат.
Реактивные мрменты, возникающие от вращения масс внутри спут-
спутника, можно использовать в системе ориентации и стабилизации в качест-
качестве управляющих [1,17,36,46].
Неравномерное вращение системы координат (эксцентриситетные ко-
колебания) . Наибольшее влияние эллиптичность орбиты оказывает на грави-
гравитационно-стабилизированные спутники, так как частота соответствующего
возмущающего момента близка к собственной частоте либрационных дви-
движений системы гравитационной стабилизации. На круговой орбите собст-
собственные колебания гравитационно-устойчивого спутника с течением време-
времени затухают, и система переходит в положение устойчивого равновесия. На
эллиптической орбите равновесного положения не существует. Система со-
совершает в плоскости орбиты вынужденные (эксцентриситетные) колеба-
колебания, вызываемые неравномерностью вращения орбитальной системы коор-
20

динат. Амплитуда эксцентриситетных колебаний пропорциональна величи-
величине эксцентриситета орбиты и зависит от инерционных характеристик сис-
системы. Уравнения движения спутника на эллиптической орбите качественно
отличаются от уравнений на круговой орбите, так как их коэффициенты
будут переменными (периодическими) [7].
Рассмотрим уравнение колебания спутника в плоскости орбиты. Пусть
орбита эллиптическая с эксцентриситетом е. На углы либрации спутника
соответственно в плоскостях, перпендикулярных плоскости орбиты, ве-
величина эксцентриситета влияния не оказывает. В уравнении, характери-
характеризующем либрационное движение в плоскости орбиты, появится возмущаю-
возмущающий момент, обусловленный переменной составляющей скорости движе-
движения центра масс спутника по орбите [7]:
^=-со, A.7)
где # — угол тангажа; д — гравитационная постоянная Земли; //(/ = х,у,
z) - главные центральные моменты инерции спутника соответственно от-
относительно осей OX, OYhOZ;co — угловая скоГрость движения центра масс
спутника по орбите; R — длина радиуса-вектора спутника.
Для круговой орбиты со = 0, ц/R3 = со2 = const и, как следует из урав-
уравнения A.7), вынужденные колебания спутника отсутствуют.
Для эллиптической орбиты со Ф 0. Заменим йрзависимую переменную
в уравнении A.7), а именно, введем истинную аномалию — угол v, вместо
времени t и присоединим еще уравнения движения самого центра масс
спутника:
Р dv
R= ; — =со =
I + ecosy, dt
sfilP
Здесь P — фокальный параметр орбиты. Отсюда
f = — ; со = - 2<?sim>f;
(штрихи означают производные по v).
Подставляя A.8) и A.7) и сокращая на f, получим
+ 3 §in#cos# = 2<?sim\ A.9)
b
Это и есть искомое уравнение плоских колебаний спутника на эллип-
21

тической орбите, из которого видно, что эксцентриситетные колебания
возникают за счет составляющей 2esinv.
Рассмотрим малые плоские колебания на эллиптической орбите. Ли-
Линеаризуя уравнения A.9) в предположении, что величина эксцентриситета
е мала, получим
1Х - Iz
#" + 3— L# = 2esinv.
h
Это уравнение с достаточной точностью при малых е определяет экс-
центрисигетные колебания спутника. Из уравнения непосредственно нахо-
находится максимальное значение амплитуды вынужденных колебаний на
эллиптической орбите:
*в = ——т • A.10)
Ь
-1
Заметим, что уравнение A.7) записано без учета демпфирования. При
наличии демпфирования амплитуда колебаний будет значительно меньше,
чем по полученной формуле A.10).
При анализе экспериментальных данных движения гравитационно-
стабилизированного спутника 963 22А" установлено дополнительное
отклонение спутника от стабилизированного вертикального положения.
Для хорошо демпфированного спутника, каким является спутник
963 22 А", максимальное отклонение от вертикали равно эксцентриси-
эксцентриситету орбиты, выраженному в радианах. Например, эксцентриситетгравный
0,02, вызовет максимальное отклонение от вертикали на 1,15° [63].
Возмущения от температурной деформации элементов конструкции
системы. Возмущения от температурной деформации элементов конструк-
конструкции КА возникают в основном в гравитационно-стабилизированных спут-
спутниках, имеющих систему управления угловым положением с выдвижны-
выдвижными стержнями. В таких системах сторона стержня, обращенная к Солнцу,
нагревается до более высокой температуры, чем противоположная, в ре-
результате чего выдвижные стержни изгибаются. Соответственно главные
оси инерции спутника отклоняется от направлений, имеющих место при
идеально жестких стержнях. Тогда истинное направление прямой, которая
должна показывать центр Земли, может отклониться от направления мест-
местной вертикали на некоторый угол.
В эксперименте с гравитационным спутником 963 22А" установле-
установлено, что, когда ось штанги перпендикулярна линии спутник — Солнце,
штанга, а следовательно, и спутник имеет максимальное отклонение от
вертикального направления. Для спутника 963 22А" этот угол равен
приблизительно 5°. Хотя изгиб штанги вследствие неравномерного нагре-
нагрева не является сам по себе внешним возмущающим моментом, однако,
22

он представляет собой основную причину отклонения корпуса спутника от
направления местной вертикали [63].
Кроме установившегося постоянного отклонения штанги существует
также кратковременное ее движение, которое возникает при выходе
спутника из тени Земли в область, освещенную Солнцем. Это явление мо-
может вызвать колебания штанги и оконечной массы с их собственными час-
частотами [63].
Чтобы уменьшить до минимума ошибку ориентации, которая обуслов-
обусловлена термическим изгибом гравитационной штанги, можно использовать
короткую штангу с большим по массе грузом на конце или использовать
различные способы уменьшения теплового изгиба стабилизатора (см.
разд. 2.7).
Возмущение от неточностей в изготовлении системы ориентации и
стабилизации. Ошибки системы стабилизации в значительной степени опре-
определяются погрешностями изготовления системы. Появление погрешнос-
погрешностей изготовления вызывается следующими обстоятельствами: 1) ошибкой
в определении центра масс; 2) ошибкой в определении направлений глав-
главных динамических осей; 3) ошибкой в отсчете нуля моментов восстанав-
восстанавливающих сил. Эти ошибки имеют случайный характер. Иногда большие
осложнения возникают в связи с появлением возмущающего момента от
травления (утечки рабочего тела) газореактивной системой по причине ее
неисправности.
Таким образом, из приведенного выше материала видно, что величина
различных моментов зависит от высоты полета космического аппарата,
его формы, распределения моментов инерции, наличия специальных
устройств — гравитационных, аэродинамических и солнечных стабилиза-
стабилизаторов. Краткий сравнительный анализ основных возмущающих моментов,
действующих на КА, показывает, что величина гравитационного, магнит-
магнитного и аэродинамического моментов существенно уменьшающаяся с уве-
увеличением высоты полета, на малых высотах может быть значительно боль-
больше, чем другие моменты.
Для спутников с большой высотой полета, например стационарных,
величина момента от солнечного давления будет превалировать над други-
другими. Для межпланетных КА тем более все внешние моменты будут малы,
кроме момента от давления солнечных лучей* который будет играть ос-
осиновую роль.
При проектировании КА следует стремиться по возможности исполь-
использовать возникающие в полете моменты в качестве стабилизирующих фак-
факторов или свести к минимуму их возмущающее действие на систему управ-
управления угловыми движениями.
23

ГЛАВА 2. ПРИНЦИПЫ ПОСТРОЕНИЯ И ОСОБЕННОСТИ
ПАССИВНЫХ СИСТЕМ СТАБИЛИЗАЦИИ
2.1. ГРАВИТАЦИОННАЯ СТАБИЛИЗАЦИЯ
Эффект гравитационной стабилизации, вызванный градиентом гра-
гравитационного поля Земли, известен со времени выхода в свет A780 г.)
знаменитой работы Лагранжа о либрациях Луны, в которой были опреде-
определены условия устойчивых колебаний твердого тела при вертикальной
ориентации его продольной оси. Постоянная ориентация Луны одной сто-
стороной по отношению к Земле указывает на то, что при определенных усло-
условиях таким же способом за счет сил гравитационного поля можно ориен-
ориентировать и ИСЗ. Известно [7, 11], что твердое тело при движении в ньюто-
ньютоновском поле сил по круговой орбите под действием гравитационных мо-
моментов занимает устойчивое положение, в котором наибольшая ось эллип-
эллипсоида инерции твердого тела направлена по радиусу-вектору к орбите,
средняя ось эллипсоида - по касательной к орбите, и наименьшая ось рас-
расположена по бинормали к орбите.
Первые работы, связанные с использованием гравитационных сил для
придания искусственному спутнику определенного пространственного по-
положения, относятся к 1956 г., когда Д. Е. Охоцимским была предложена
эффективная схема стабилизации и демпфирования [33]. За последнее вре-
время появилось большое количество работ, в которых исследованы теорети-
теоретические и практические вопросы, связанные с проблемой создания систем
гравитационной стабилизации (СГС).
Требование застабилизировать спутник с помощью гравитационной
системы в заданном устойчивом положении по отношению к планете на-
накладывает ограничения на начальные углы и угловые скорости спутника
при отделении его от ракеты-носителя. Только при небольших по величине
значениях углов и угловых скоростей СГС может предотвратить вращение
спутника и обеспечить однозначное по отношению к планете устойчивое
положение. Это условие часто называют условием захвата КА [1,21].
Для уменьшения больших начальных возмущений, полученных спут-
спутником в момент отделения от ракеты-носителя, используют пассивные и
активные системы предварительного успокоения (СПУ). В качестве пас-
пассивных СПУ используются механические устройства "йо-йо" или магнит-
магнитные системы. В качестве активных можно использовать системы с магни-
топриводом или газореактивные системы. Возможны и другие принципы
построения СПУ.
Пассивное механическое устройство "йо-йо" состоит из двух масс,
прикрепленных к тросам, которые намотаны вокруг спутника. При вра-
вращении массы за счет центробежных сил натягивают тросы, сматывая их со
спутника и, тем самым, создают тормозящие моменты, противодействую-
24

щие вращению. После разматывания тросы с грузами отделяются от спут-
спутника и уносят в пространство вместе с собой часть кинетической энергии
системы. С помощью устройства "йо-йо" на искусственном спутнике
963 22А" начальная угловая скорость с 21 град/с уменьшалась до
0,105 град/с. Пассивная механическая СПУ "йо-йо" была использована на
целом ряде американских спутников.
СГС привлекают конструкторов главным образом своей простотой,
возможностью функционировать продолжительное время без расходова-
расходования энергии или рабочего тела, малой массой, низкой стоимостью и высо-
высокой надежностью работы в космических условиях. К основным недостат-
недостаткам СГС мбжно отнести небольшую точность (несколько градусов) и ма-
малую величину управляющих моментов. Для увеличения управляющих мо-
моментов системы к основному телу КА присоединяют гравитационный ста-
стабилизатор, состоящий из одной или несколько длинных тонких штанг с
грузами на концах.
Рассмотрим, каким образом возникает восстанавливающий момент у
КА, состоящего из основного тела и прикрепленной к нему длинной штан-
гй с грузом на конце. Предположим, что массы основного тела и груза
равны между собой и соединены жестким невесомым стержнем, т.е. КА
представляет собой гантель. Гантелеобразный КА движется в центральном
гравитационном поле планеты по круговой орбите с постоянной угловой
скоростью таким образом, что одна масса расположена ближе к планете,
чем другая. Так как масса, расположенная дальше от планеты, испытыва-
испытывает меньшее гравитационное притяжение и большее воздействие центробеж-
центробежных сил, чем масса, расположенная ближе к планете, то появляется мо-
момент, который стремится поставить гантель в вертикальное положение от-
относительно орбитальной системы координат. В тех случаях, когда гантеле-
гантелеобразный аппарат располагается горизонтально или вертикально, восста-
восстанавливающий момент равен нулю. При любой другой ориентации восста-
восстанавливающий момент стремится развернуть КА в вертикальное поло-
положение.
Если КА состоит из трех различных по длине гантелей, ортогонально
скрепленных между собой в середине, то гравитационные и центробежные
силы создадут вращающие моменты, которые^ будут разворачивать аппа-
аппарат и ориентировать его в орбительной системе координат так, чтобы его
наибольшая по длине гантель совпала с местной вертикалью, следующая
по длине гантель — с плоскостью орбиты и короткая гантель — с перпен-
перпендикуляром в плоскости орбиты. Таким образом, на КА с различными мо-
моментами инерции, движущийся в центральном гравитационном поле пла-
планеты по круговой орбите, действуют восстанавливающие моменты, стаби-
стабилизирующие его в нормальной системе координат. Эти моменты прибли-
приближенно определяются следующими выражениями [21]:
в плоскости тангажа G= 0, ф = 0)
М2 = — col(Ix - Iy)su\2&;
2 25

в плоскости крена (# = 0, ф = 0)
в плоскости рыскания (# =0, 7=0)
My = —o>o(/z "" /x:)sin2i//,
где Ix, Iy, Iz — моменты инерции аппарата относительно осей OX, OY и
OZ; а>о — орбитальная скорость; &, у, ф — углы тангажа, крена и рыс-
рыскания.
Из приведенных формул следует: 1) для создания значительного вос-
восстанавливающего момента необходимо увеличивать разность моментов
инерции аппарата; 2) гравитационный момент растет пропорционально си-
синусу двойного угла отклонения от положения равновесия и оказывает
меньшее влияние на более удаленный спутник, когда период обращения
по орбите весьма велик, т.е. величина со© мала. Приведенные соотношения
пригодны для решения многих вопросов, возникающих при разработке и
создании пассивных СГС, хотя и являются приближенными. Более точные
выражения для восстанавливающих моментов можно найти в работах
[1,7].
Под действием этих моментов в плоскости тангажа и крена возникают
колебания (либрационные движения) около местной вертикали, которые
будут продолжаться длительное время из-за отсутствия в космосе естест-
естественной демпфирующей среды, если не ввести успокоение искусственным
путем с помощью какого-либо устройства для рассеяния энергии. Для
демпфирования либрации используются как активные, так и пассивные
устройства. Различные СГС отличаются друг от друга прежде всего по спо-
способу подавления либрационных движений, о чем будет сказано в дальней-
дальнейшем при рассмотрении конкретных систем.
Пассивные системы, у которых восстанавливающие и демпфирующие
моменты создаются только с помощью гравитационного поля, будем на-
называть гравитационными системами; еслц же, кроме того, используется
магнитное поле, то — гравитационно-магнитными системами. Демпфирова-
Демпфирование собственных колебаний пассивной СГС относительно устойчивого по-
положения происходит за счет рассеяния механической энергии в устройстве,
соединяющем основное тело и стабилизатор, при их относительном движе-
движении. СреДи полностью пассивных гравитационных систем угловой ориен-
ориентации спутников широко известны системы типа "Вертистат", которые
предназначались в основном для спутников связи и обзора земной поверх-
поверхности [21,33,58,80].
Рассмотрим одну из возможных схем системы этого типа. Стабилиза-
Стабилизатор "Вертистата" (рис. 2.1, а) состоит из одной жестко закрепленной с
корпусом 1 спутника основной штанги 2 с грузами 3 на концах и двух
26

Возмущающие
моменты
Восстанавливающие
моменты от гравита-
гравитационных и центробежных
сил
Динамика
КА
i
ч
Пассивные
демпдуеры
ОС
ОС
А
Рис. 2.1. Системы типа "Вертистат":
а, б - принципиальные схемы; в - функциональная блок-схема
вспомогательных демпфирующих штанг 4, присоединенных к основной
штанге с помощью упруговязкого шарнира 5. Принцип действия такой
системы легко понять, рассматривая силы, действующие на гантелеобраз-
ное тело в гравитационном поле. Когда основная штанга отклоняется от
местной вертикали, то появляется гравитационный момент, под действием
которого в системе возникают либрационные движения.
Для гашения либрационного движения в системе "Вертистат" пре-
предусмотрен пассивный пружинно-демпферный механизм 5, с помощью
27

которого каждая вспомогательная штанга прикреплена к основной штанге
(к спутнику) торсионным подвесом и связана с нею демпфером. В ка-
качестве демпфера используется устройство, в основе которого лежит
вязкое трение.
При движении спутника по орбите 7 колебания коротких демпфирую-
демпфирующих штанг не совпадают по фазе с колебаниями более длинной основной
штанги, так как частоты колебаний основной и демпфирующей штанг раз-
различны по величине. Относительное движение штанг приводит в движение
вязкий демпфер, преобразующий энергию колебаний в тепло, которое рас-
рассеивается в виде излучения. Эффективность гашения либрационных дви-
движений системы определяется выбором моментов инерции штанг, жест-
жесткостью пружины и параметрами демпфера.
При разработке "Вертистата" возник целый ряд трудностей. Остано-
Остановимся на двух основных: 1) создание штанг и выдвижных устройств для
увеличения моментов инерции спутника до необходимой величины; 2)
создание подвеса и демпферов для гашения либрационных движений
системы.
Первая трудность, заключающаяся в создании длинных, простых в
конструктивном отношении и легких штанг с грузами на концах, была
преодолена достаточно легко за счет использования изобретенного и раз-
разработанного канадскими инженерами трубчатого элемента STEM (ком-
(компактное трубчатое выдвижное устройство). Трубчатый элемент представ-
представляет собой тонкую металлическую ленту, которая при выдвижении прини-
принимает трубчатую (цилиндрическую) форму.
Первоначально лента имеет форму полой трубки, но для хранения ее
распрямляют и наматывают на катушку. Потенциальная энергия упругос-
упругости, накопленная в свернутой ленте, обеспечивает необходимую движущую
силу, которая используется для разматывания катушки я формирования
трубки. После полного сматывания катушка остается на конце штанги в
качестве груза для увеличения момента инерции системы. В настоящее
время созданы и применяются как выдвижные устройства однократного
действия, которые не имеют способности к обратному сворачиванию труб-
трубки в ленту, так и выдвижные устройства многократного действия, кото-
которые позволяют выдвигать штангу на определенную длину избирать ее,
когда это необходимо [21, 22,76]. Это дает возможность изменять момен-
моменты инерции КА и осуществлять маневр, представляющий собой поворот
аппарата на 180°.
Когда спутник уже захвачен СГС, то в плоскости орбиты он будет
вращаться со скоростью 1 оборот за орбиту A об/орб). Если оказалось,
что спутник ориентирован обратной стороной, то его можно перевернуть,
сначала уменьшая, а затем увеличивая длину штанги (рис. 2.2). Приумень-
Приуменьшении длины штанги момент инерции спутника относительно оси, перпен-
перпендикулярной плоскости орбиты, уменьшается, например, до 1/10 исход-
исходного значения, вследствие чего угловая скорость увеличивается до
28

Рис. 2.2. Переворот спутника путем А в f/=/fJii/ 2
изменения длины штанги ^SHgbw^ ; "
10 об/орб на орбите. Спутник начи-
начинает вращаться быстрее и перевора-
переворачивается к Земле другой стороной.
Если в этот момент штангу снова выд-
нуть на прежнюю длину, то произой-
произойдет повторный захват спутника сис-
системой гравитационной стабилизации, после чего угловая скорость спутни-
спутника будет 1 об/орб [21]. С помощью изменения длины гравитационной
штанги были успешно проведены маневры на ряде спутников [47].
При использовании СГС возникли серьезные трудности, связанные с
деформацией штанг от неравномерного теплового нагрева солнечными
лучами. Известно, что сторона штанги, обращенная к Солнцу, нагревается
сильнее, чем противоположная, поэтому возникает перепад температур на
освещенной и теневой сторонах штанги. Это вызывает искривление штан-
штанги и приводит к достаточно большой ошибке в ориентации КА. Тепловой
изгиб необходимо учитывать особенно в тех случаях, когда спутник име-
имеет длинные выдвижные стержни. Так, для штайги из бериллиево-медного
сплава длиной 30,48 м, диаметром 1,27 см и толщиной стенки 0,0508 мм
тепловой изгиб, если продольная ось штанги перпендикулярна направле-
направлению на Солнце, составляет 4° [21]. Вопросы, связанные с повышением точ-
точности СГС за счет уменьшения теплового изгиба стабилизатора, рассмотре-
рассмотрены в разд. 2.7.
Второй трудностью при создании гравитационной системы "Вертистат"
была разработка узла успокоителей, т.е. подвесов и демпферов для вспо-
вспомогательных штанг. Узел успокоителей — наиболее ответственная часть
системы. Ввиду того, что силы, вызывающие колебания штанг, очень ма-
малы, опорные шарниры и демпфер должны иметь очень малые моменты
трогания [85].
Подвес представляет собой тормозной пружинный шарнир (рис. 2.3).
Когда катушка 1 находится в развернутом состоянии, контакт между
двумя вспомогательными демпфирующими штангами 2 и 3 осуществля-
осуществляется только через пружины 4. Пружина используется в качестве подвески
и обеспечивает восстанавливающий момент для подвижной части демпфе-
демпфера. Герметический вязкий демпфер состоит из алюминиевой торообразной
трубки, содержащей стальной шарик в вязкой жидкости 5, и внешнего
постоянного магнита 6, предназначенного для удержания шарика в жид-
жидкости и центрирования его по оси трубки магнитным полем. Алюминие-
Алюминиевая трубка связана с двумя вспомогательными штангами, а С-образный
магнит жестко скреплен с основным телом спутника.
29

Рис. 2.3. Подвес и демпфер с шариком в трубке
Относительное перемещение магнита и алюминиевой трубки при коле-
колебаниях вспомогательных штанг в гравитационном поле вызывает движе-
движение вязкой жидкости, что приводит к рассеянию энергии. Процесс рассея-
рассеяния энергии будет происходить длительное время, так как известно, что
момент демпфера с вязким трением зависит от частоты колебаний систе-
системы относительно центра масс, а частота колебаний очень мала. Хотя тео-
теоретически такой демпфер легко осуществим, однако, возникшие труднос-
трудности, связанные, в частности, с изменением коэффициента вязкости при ко-
колебаниях температуры в широких пределах, требовали проведения опы-
опытов, подтверждающих, что демпфер будет хорошо работать в реальных
условиях космоса при чрезвычайно малых значениях скоростей и сил. Лет-
но-конструкторские испытания, проведенные в США на гравитационно-ста-
гравитационно-стабилизированных спутниках OVL-5, OVL-10, OVL-86, подтвердили работо-
работоспособность демпферов с шариком в трубке, наполненной вязкой жид-
жидкостью, в условиях космического пространства. С помощью демпферов
такой конструкции на гравитационных системах типа "Вертистат" была
достигнута точность ориентации 2° [85].
Для спутников связи фирмой "Белл Телефон" была предложена сис-
система гравитационной стабилизации (см. рис. 2.1, б), отличающаяся от сис-
системы "Вертистат" в основном только узлом успокоителей, который обла-
обладает целым рядом достоинств по сравнению с рассмотренным жидкост-
жидкостным демпфером [58]. Узел успокоителей 6 представляет собой два скреп-
скрепленных между собой асимметричных кожуха, оси которых скрещиваются
под углом 90°. Вспомогательные штанги 4 вращаются около оси верхне-
верхнего кожуха, а основная штанга 2 около оси нижнего кожуха, тем самым
вспомогательные штанги имеют относительно основной две степени сво-
30

боды подобно валам в шарнире Гука. Этот узел содержит устройство упру-
упругих восстанавливающих моментов (натянутые нити с помощью пластин-
пластинчатых пружин — торсионная подвеска) и устройство для рассеивания энер-
энергии (магнитные гистерезисные демпферы — успокоители).
Успокоение осуществляется с помощью одного или нескольких пос-
постоянных магнитов, выполненных в виде стержня с П-образными полюсны-
полюсными наконечниками, в полость которых вставлено кольцо из магнитопро-
ницаемого материала [38]. Потери на магнитный гистерезис оказались эф-
эффективным способом успокоения при очень малых скоростях либрации
(того же порядка, что и скорости, отвечающие орбитальной частоте), так
как они зависят от амплитуды колебаний в значительно большей мере,
чем от частоты колебаний. В работе [2] дана методика определения пара-
параметров магнитного гистерезисного успокоителя применительно к СГС
спутников связи, а статья [85] полностью посвящена описанию конструк-
конструкции, принципов действия и сравнительному анализу пассивных демпфе-
демпферов, применяемых в СГС спутников, запущенных в США.
2.2. МАГНИТНАЯ СТАБИЛИЗАЦИЯ
В результате взаимодействия магнитных полей планеты и аппарата
возникает внешний момент, которой используется для управлВ1ия угло-
угловым положением КА. Могут быть применены как активные, так и пассив-
пассивные системы управления. В активных системах исполнительными элемен-
элементами являются электромагниты, а в пассивных — постоянные магниты.
Пассивная стабилизация КА по вектору напряженности магнитного
поля планеты оказывается весьма желательной для проведения целого ря-
ряда научных экспериментов. При пассивном способе управления постоян-
постоянный магнит жестко крепится к корпусу спутника по оси симметрии. Ис-
Искусственный спутник с пассивной магнитной стабилизацией всегда ориен-
ориентирован вдоль силовых линий магнитного поля так, что его магнитный
диполь согласуется с местным направлением магнитных силовых линий
планеты. В последнее время появилось болыуое число работ, в которых
приводятся результаты исследований возможности использования магнит-
магнитного поля Земли для ориентации и стабилизации искусственных спутни-
спутников [2,24, 53, 54].
С увеличением расстояния от поверхности Земли ее магнитное поле
сильно ослабевает (пропорционально кубу расстояния от центра Земли).
В первом приближении оно может быть достаточно точно аппроксимиро-
аппроксимировано магнитным полем диполя, ось которого проходит через центр Земли
и отклонена от ее оси вращения к плоскости земного экватора на неболь-
небольшой постоянный угол. При получении качественных оценок можно допус-
допустить, что ось диполя и ось вращения Земли практически совпадают. Это
31

Рис. 2.4. Ориентация спутника
по магнитным силовым ли-
линиям
fit
Рис. 2^. Аппроксимация петли гистерезиса
допущение является достаточно точным для рассмотрения пассивной
магнитной системы стабилизации спутника.
Силовые линии такого диполя имеют форму, показанную на рис. 2.4.
Если ось Земли 1 лежит в плоскости орбиты 4, то спутник 2, отслеживая
направление силовых линий 3 магнитного поля, совершает за один виток
два полных оборота вокруг своей оси.
Момент, возникающий за счет взимодействия магнитного поля Земли
и магнитного стержня^имеющего магнитный дипольный момент Рт, опре-
определяется уравнением М = rw Х/7, где Я — напряженность магнитного по-
поля Земли. Модуль вектора момента равен М = PmHsh\o, где о — угол меж-
между осью магнитного стержня и вектором магнитного поля Земли. Магнит-
Магнитный дипольный момент ферромагнитного стержня равен произведению
индукции В и объема стержня V: Рт = BV. Если стержень является пос-
постоянным магнитом, то его индукция приблизительно равна постоянной
величине Во и возникающий от взаимодействия постоянного магнита и
магнитного поля Земли момент равен М — HVB0smo. Этот момент исполь-
используется в качестве восстанавливающего для пассивной стабилизации поло-
положения спутника. Постоянный магнит стремится совместить свою ось с
местным направлением напряженности магнитного поля Земли [32].
При отслеживании осью симметрии спутника вектора напряженнос-
напряженности магнитного поля Земли угловая скорость движения не остается пос-
постоянной. Поэтому, если требуется ориентировать спутник точно вдоль си-
силовых линий и иметь удовлетворительные переходные процессы, то в ви-
виду неравномерности движения вектора напряженности магнитного поля
32

Земли необходимо пассивную магнитную систему стабилизации рассчи-
рассчитать с учетом не только моментов, возникающих из-за отклонения от си-
силовых линий, но и моментов, зависящих от производных отклонения, т.е.
демпфирующих моментов. Последний факт приобретает очень важное зна-
значение, так как спутники практически не имеют естественного демпфиро-
демпфирования. Демпфирование может быть получено путем использования гисте-
резисных потерь энергии в специальных ферромагнитных стержнях.
В пассивных магнитных системах стабилизации демпфирование угло-
угловых колебаний спутника осуществляется главным образом за счет исполь-
использования гистерезисного перемагничивания в стержнях из специальных
магнитных материалов с высокой магнитной проницаемостью. Их дейст-
действие основано на том, что колебания спутника уменьшаются в результате
потерь энергии на гистерезис. Потери энергии пропорциональны площади,
расположенной внутри замкнутой гистерезисной кривой намагничивания
В = /(//) (рис. 2.5). Так как гистерезисная характеристика неоднозначна,
то трудно записать аналитическое выражение для точной временной зави-
зависимости демпфированных колебаний. Наличие гистерезисного демпфиро-
демпфирования в сочетании с демпфированием, обусловленным вихревыми токами,
было подтверждено испытаниями на ряде искусственных спутниках Зем-
Земли [64].
Гистерезисные. потери энергии максимальны, если намагничивающая
сила принимает как положительные, так и отрицательные наибольшие зна-
значения. Поэтому демпфирование колебаний будет наиболее эффективным,
если стержень с высокой магнитной проницаемостью ориентирован пер-
перпендикулярно к силовым линиям, что означает также его перпендикуляр-
перпендикулярность к оси постоянного магнита [32].
Энергия гистерезисных потерь зависит от величины максимума напря-
напряженности поля, материала, геометрических размеров стержней, располо-
расположения их относительно друг друга, магнитной проницаемости стержней и,
наконец, от магнитных полей, создаваемых различной аппаратурой внутри
спутника [64]. Стержни должны быть расположены таким образом, чтобы
возникали высокие гистерезисные потери, максимально возможные при
движении в геомагнитном поле. С другой стороны, они должны создавать
минимум магнитных возмущений внутри спутника. В ряде работ даны ре-
результаты теоретических и экспериментальных исследований, позволяющие
получать конструкции, отвечающие перечисленным выше требованиям,
приводятся аналитические зависимости, при помощи которых можно рас-
рассчитать основные параметры стержней с необходимой магнитной прони-
проницаемостью.
В качестве примера рассмотрим пассивную магнитную систему стаби-
стабилизации, которая была установлена на спутниках ФРГ [32,64]. Магнитная
система управления положением спутника состоит из двух сильных пос-
постоянных магнитов и магнитопроницаемых решеток из демпфирующих
стержней, расположенных в экваториальной плоскости спутника, перпен-
33

Магнитные
моменты
Возмущающий
момент
ч
Динамика
КА
у1емптеры
*)
Рис. 2j6. Система магнитной стабилизации:
а - принципиальная схема; б - функциональная блок-схема
дикулярной оси постоянных магнитов (рис. 2.6). В полете постоянные
магниты 1 ориентируются вдоль силовых линий геомагнитного поля, а
магнитопроницаемые стержни 2 демпфируют колебания спутника за счет
гистерезисных потерь.
Неоспоримым достоинством пассивных магнитных систем является их
конструктивная простота и высокая надежность ввиду отсутствия каких-
либо подвижных частей. К их отрицательным качествам следует отнести
невысокую точность, большое время входа в рабочий режим и большую
массу постоянных магнитов и магнитопроницаемых стержней.
2.3. СТАБИЛИЗАЦИЯ ВРАЩЕНИЕМ
Пассивный метод стабилизации КА вращением получил большое прак-
практическое применение. Этот метод использован на целом ряде метеорологи-
метеорологических, связных, геофизических и других спутников серий "Пионер",
"Эксплорер", "Авангард", "Тирос", "Синком", "ATS", "ESSA" и т.д. При*
стабилизации жесткого аппарата вращением его поведение подобно сво-
свободному гироскопу, который при отсутствии возмущающих моментов
сохраняет фиксированным направление оси вращения в инерциальном
пространстве.
Применительно ко многим задачам полета в пространстве систему ста-
стабилизации К А можно существенно упростить, если использовать динами-
динамические свойства вращающегося аппарата, например, в тех случаях, когда
нужно фиксировать в инерциальном пространстве направление только од-
34

ной из осей КА. Особенно успешно ее можно использовать для КА на вы-
высоких орбитах, где относительно малы возмущающие моменты. В силу
этого за достаточно большой промежуток времени пространственная ори-
ориентация К А меняется незначительно, сохраняя практически первоначаль-
первоначальное положение.
Основным преимуществом стабилизации вращением является относи-
относительная простота конструктивного решения и вытекающие отсюда высо-
высокая степень надежности, низкая стоимость, а порой и возможность разра-
разработки систем в сжатые сроки. Поэтому не случайно, например, для первых
ИСЗ серии "Пионер", "Эксгоюрер" и их ракет-носителей, запущенных в
США, была выбрана именно стабилизация вращением, что определялось в
основном стремлением ускорить разработку системы. Хотя простота дан-
данных систем обычно достигается ценой уменьшения универсальности и свя-
связана с жестким выбором опорного направления, тем не менее стабилиза-
стабилизация вращением является, несомненно, одним из наиболее часто применяе-
применяемых методов пассивной ориентации КА.
В некоторых случаях вращение КА можно использовать для улучше-
улучшения условий работы полезной нагрузки [11]. Например, вращение спутни-
спутника "Тирос" использовалось для обзора поверхности Земли при фотосъем-
фотосъемках и наблюдений метеорологических явлений с помощью телевизионных
камер. При вращении КА более равномерно освещается Солнцем, что соз-
создает лучшие условия для работы солнечных батарей и более умеренный и
равномерный тепловой режим по всему аппарату. Последнее упрощает
конструкцию системы регулирования теплового режима. Кроме того, вра-
вращение КА создает искусственную силу тяжести, так как удаленные от оси
вращения части аппарата испытывают центробежное ускорение. Искусст-
Искусственная сила тяжести необходима прежде всего для пилотируемых косми-
космических кораблей (в основном обитаемых космических станций), а также
полезна с точки зрения конвективного охлаждения, регулирования уров-
уровня жидкости в баках и преодоления других технических трудностей.
Система управления пространственной ориентацией вращающегося
КА значительно упрощается по сравнению с системой управления КА,
имеющего трехосную стабилизацию. Причем энергетические затраты на
управление ориентацией вращающегося КА на порядок меньше, чем на
управление невращающимся аппаратом. В ряде случаев выбор метода вра-
вращения для стабилизации КА обусловлен тем, что последняя ступень раке-
ракеты-носителя стабилизирована вращением и передает свое вращение аппа-
аппарату, являющемуся для нее полезной нагрузкой.
Метод стабилизации вращением может использоваться как в "чистом"
виде, так и в комбинации с другими, пассивными или активными, метода-
методами управления, особенно для спутников с длительным сроком активного
существования. В качестве примера последних можно указать спутники
"Реле", "Синком" [60], "Телстар" [70], а из советских - спутники Земли
серии "Прогноз", ориентированные в направлении на Солнце и предназна-
35

ченные для его физических исследований. В гл. 6 исследуется трехосная
пассивная комбинированная система ориентации спутников с использова-
использованием принципов гравитации и вращения.
В общем виде схема пассивной стабилизации вращением приведена на
рис. 2.7. При длительном времени работы величина и направление вектора
кинетического момента, а следовательно, скорость вращений и ориентации
оси собственного вращения КА значительно изменяются под действием
различных возмущающих факторов. Для поддержания постоянной по ве-
величине скорости собственного вращения и изменения ориентации оси вра-
вращения используются системы управления с активными устройствами, ко-
которые требуют затрат энергии или рабочего тела. Следовательно, в целом
систему стабилизации КА вращением следует отнести к комбинирован-
комбинированным системам.
Возникающие в каждом конкретном случае вопросы построения сис-
системы стабилизации вращением и ее основных элементов требуют своего
индивидуального подхода и решения, хотя они и сводятся в основном к
следующим задачам: 1) регулирование скорости вращения; 2) демпфиро-
демпфирование нутационных колебаний; 3) прогнозирование ухода оси вращения
под действием возмущающих моментов; 4) коррекция углового положе-
положения оси вращения.
Первой особенностью, непосредственно связанной с проблемой сохра-
сохранения первоначальной ориентации, является регулирование угловой ско-
Орбита
Пассивный
демпфер
нутации
Рис. 2.7. Система стабилизации вращением:
а - принципиальная схема; б - функциональная блок-схема
1 - основное тело КА; 2 - пассивный демпфер; 3 - грузы для увеличения момен-
моментов инерции
36

рости КА. Поддержание постоянной по величине угловой скорости имеет
существенное значение, так как вследствие затухания собственного враще-
вращения КА становится менее устойчивым по отношению к одним и тем же
внешним возмущающим моментам, что в конечном счете может привести
к возникновению беспорядочных колебаний. Существует несколько ос-
основных причин, вызывающих затухание собственного вращения [70,38].
Медленное затухание скорости собственного вращения, вызываемое
в основном влиянием магнитного поля Земли, компенсировалось на спут-
спутниках различными способами. Например, на некоторых спутниках для ста-
стабилизации угловой скорости применялась активная система с газореактив-
газореактивными соплами, установленными на внешней цилиндрической поверхности
корпуса [61]. В лаборатории прикладной физики имени Джона Гопкинса
разработана для ряда спутников магнитная система стабилизации угловой
скорости [61].
Из теории движения твердого тела известно; что свободное вращение
КА будет устойчивым, если ось его вращения совпадает с главной цент-
центральной осью максимального момента инерции или минимального момен-
момента инерции. Для спутников связи ось вращения из соображения устойчи-
устойчивости движения и наилучшей направленности антенн ориентируется пер-
перпендикулярно плоскости орбиты.
Предыдущие рассуждения относятся к свободному движению жестко-
жесткого спутника. В тех случаях, когда вращающийся спутник имеет баки с
жидким топливом [72, 84] или присоединенные упругие элементы конст-
конструкции в виде солнечных батарей, антенн и т.п., условие устойчивости вра-
вращающегося КА становится более жестким: /*//> 1 + С, где 1Х — осевой, а
/ = iy = jz _ поперечный моменты инерции спутника; С — квадратичная
положительно-определенная форма параметров системы КА — жидкость.
При отсутствии внешних моментов КА будет устойчиво вращаться
вокруг оси максимального или минимального момента инерции, совершая
короткопериодические (нутационные) движения, причинами которых мо-
могут быть: 1) наличие ненулевых начальных условийчпо угловой скорости в
плоскости, перпендикулярной оси вращения; 2) несовпадение строитель-
строительных осей с главными центральными осями инерции объекта. Наглядную
геометрическую картину свободного движения дает разработанный Пуан-
со графический метод анализа, динамики вращающихся твердых тел.
При действии на КА внешних возмущающих моментов, обусловлен-
обусловленных гравитационным и магнитным полями Земли, сопротивлением атмос-
атмосферы и световым давлением, вектор кинетического момента, совершая
нутационное движение, совершает одновременно длиннопериодическое
(прецессионное) движение, медленно перемещаясь в пространстве. Под
действием внешних возмущающих моментов ось вращения КА отклоня-
отклоняется от заданного направления, поэтому возникает необходимость перио-
периодически проводить коррекцию углового положения оси вращения с по-
помощью какой-либо активной системы управления, например, газореак-
газореактивной или магнитной.
37

В промежутках между двумя коррекциями кинетический момент
(ось вращения) КА медленно прецессирует под действием внешних воз-
возмущающих моментов. При этом скорость прецессии определяется форму-
формулой со = М/1хсох, где М — проекция возмущающего момента на плоскость,
перпендикулярную оси вращения; 1Х — момент инерции КА относительно
оси ОХ; сох — угловая скорость КА относительно оси ОХ.
Медленная прецессия кинетического момента и короткопериодичес-
кое движение КА в сумме определяют ошибки ориентации, а также часто-
частоту коррекции положения оси вращения и расход рабочего тела газореак-
газореактивной системы или энергетические затраты электромагнитной системы
управления. Более подробно вопросы возмущенного движения вращаю-
вращающегося КА рассмотрены в гл. 4.
В практических случаях из-за некоторых конструктивных соображе-
соображений, а также неточного знания геометрии распределения масс спутника не
могут быть точно выполнены требования динамической симметрии КА,
а также совпадения строительных осей объекта с главными осями инер-
инерции.
Нутационные движения снижают степень надежности системы стабили-
стабилизации, вызывают ошибки в показаниях датчиков, флуктуацию передавае-
передаваемых сигналов, нарушают стабильное сканирование камер, установленных
на КА, ухудшают качество сделанных снимков и передаваемой информа-
информации, затрудняют действия экипажа и проведение стыковки и т.п. Следова-
Следовательно, нутационные колебания являются нежелательными для любого ре-
режима работы и затрудняют управление КА. Для устранения нутационных
колебаний используют активные и пассивные способы демпфирования.
Широкое распространение получили различные пассивные демпфирующие
устройства, которые исключают необходимость в специальных датчиках и
источнике энергии и обладают высокой степенью надежности.
Устройства, применяемые для демпфирования нутационных движе-
движений, основаны на использовании колебаний поля ускорений внутри КА.
Устойчивое вращение создает в аппарате стационарное поле центробежных
сил. Нутационное движение приводит к появлению осциллирующего поля
сил, накладываемого на стационарное поле. Это дополнительное поле соз-
создает в демпфере относительное движение, в процессе которого совершает-
совершается работа по преодолению сил трения, а следовательно, и диссипация
энергии [48].
В настоящее время разработано большое количество различных конст-
конструкций пассивных демпферов нутационных движений [48, 59,60, 70]. Пер-
Первый из них, представляющий собой кольцо с ртутью (Naval Ordnance Jest
Station—NOTS), был разработан в 1958 г. и установлен на спутнике "Пио-
нер-1". В дальнейшем этот демпфер был успешно испытан на многих КА.
Демпфер с поглощающей энергию нутационного движения массой в виде
грузика, скользящего по направляющим, был разработан для спутников
серии "Тирос". Для спутника "Телстар" был создан демпфер, в котором
38

внутри криволинейной, заполненной жидкостью (или газом), трубки ка-
катается шарик.
На рис. 2.8 приведена схема, поясняющая принцип действия кольце-
кольцевого демпфера [48]. Во вращающемся корпусе КА 1 устанавливается коль-
кольцеобразная полость 2, частично заполненная жидкостью (заштрихованная
часть) 3. Кольцо установлено концентрично оси вращения 4, на некотором
расстоянии Хо от центра масс КА. При нутационных колебаниях ось вра-
вращения описывает конус относительно вектора кинетического момента
(ось конуса нутации) 5 с углом раствора 0. Вследствие этого жидкость
вращается вокруг оси конуса с угловой скоростью нутации. При достаточ-
достаточно больших углах в нутационного движения неуравновешенная центро-
центробежная сила, вызванная нутацией, прижимает жидкость к стенкам полос-
полости, наиболее удаленным от оси конуса. В процессе вращения при относи-
относительном движении КА и жидкости происходит рассеяние энергии нутацион-
нутационного движения за счет сил вязкого трения жидкости.
Общим недостатком большинства демпфирующих устройств является
то, что они перестают работать при малых углах нутации. Основное достоин-
достоинство кольцевого демпфера заключается в простоте принципа его работы и
в высокой эффективности демпфирования при больших амплитудах ну-
нутации. Однако при малых углах нутации в кольцеобразной полости под
влиянием поверхностного натяжения и трения прекращается движение
жидкости относительно корпуса КА. Вследствие этого качество демпфи-
демпфирования резко ухудшается.
На синхронном спутнике "Синком" в качестве демпфера нутационных
колебаний применялось устройство, представляющее собой трубку диа-
диаметром 9,5 мм и длиной 178 мм, которая заполнена ртутью на 30% [60].
Ось трубки параллельна оси собственного вращения спутника, который
вращается с номинальной скоростью 17,3 рад/с. Общая масса демпфера не
более 4,3 кг. Из-за ограниченных размеров демпфера его резонансная час-
частота несколько превышала ожидаемую частоту нутационных колебаний.
Широкое применение получили маятни-
маятниковые демпфирующие устройства, представ-
представляющие собой сосредоточенную массу, поме-
помещенную на конце легкого жесткого стержня
и соединенную с корпусом вращающегося
КА. В зависимости от расположения стержня
и способа его присоединения к корпусу
существуют различные типы демпферов,
отличающихся конструктивным исполнением
и вытекающими отсюда незначительными
дополнительными эффектами [3, 70].
Рис. 2.8. Кольцевой демпфер
39

Наиболее распространенным демпфирующим устройством маятнико-
маятникового типа является расположенная по внешней стороне КА изогнутая труб-
трубка с движущимся внутри шариком. Энергия нутационного движения рас-
рассеивается, Переходя в тепловую энергию за счет сопротивления движению
шариков. В результате уменьшается угол нутации. При наблюдении за
спутником "Телстар", снабженным таким демпфером, не были обнаруже-
обнаружены значения угла нутации, превосходящие 0,5° [70]. Некоторые разработ-
разработки были направлены на Создание эффективных демпфирующих устройств
для крупных КА, а именно, для обитаемых вращающихся космических
станций [59].
Кроме пассивных устройств демпфирования нутационных движений
широкое применение получили активные системы демпфирования нута-
нутаций, построенные по принципу замкнутых систем автоматического регули-
регулирования. В работе [23] рассмотрены различные варианты построения сис-
систем управления вращающихся КА, дан их сравнительный анализ, показаны
преимущества и недостатки.
В процессе демпфирования нутационных колебаний уменьшается угол
раствора конуса нутации, т.е. происходит сближение оси собственного вра-
вращения с вектором кинетического момента, который под действием возму-
возмущающих моментов изменяет свое направление в инерциальном простран-
пространстве. Ось вращения, совершая прецесионные движения, отслеживает поло-
положение вектора кинетического момента и уходит от своего заданного на-
направления. Скорость ухода оси вращения возрастает со временем по экс-
экспоненциальному закону из-за экспоненциального затухания скорости вра-
вращения, обусловленного действием тормозящего момента.
Для большинства практических приложений требуется точная оценка
скорости и формы ухода оси собственного вращения, т.е. предсказание за-
закона, по которому К А стремится к новому положению. Таким образом,
новой, дополнительной проблемой, присущей только стабилизированным
вращением КА, является прогнозирование возмущенного движения
(пространственного положения) последних. Такое прогнозирование мож-
можно осуществить путем решения полных уравнений движения с учетом внут-
внутренних и внешних воздействий на электронных вычислительных машинах.
В возмущенном движении стабилизируемая ось (ось вращения) не-
непрерывно прецессирует в инерциальном пространстве, двигаясь по слож-
сложным траекториям, определяемым суммарным воздействием внешних воз-
возмущений. Вопросами исследования возмущенного движения вращающих-
вращающихся аппаратов (ротационное движение) посвящены работы [7, 66,67].
В заключение отметим, что в связи с применением метода вращения
для ориентации КА возник ряд новых теоретических и технических проб-
проблем, среди которых в качестве важнейших можно указать следующие:
1) прогнозирование возмущенного движения вращающегося КА; 2) управ-
управление положением оси вращения и комбинирование принципа вращения с
другими методами ориентации; 3) демпфирование нутационных колеба-
40

ний вращающегося КА; 4) определение ориентации КА в пространстве и
обработка результатов наблюдения его движения. Основная часть этих
вопросов рассматривается в гл. 4, 5 и 6.
2.4. АЭРОДИНАМИЧЕСКАЯ СТАБИЛИЗАЦИЯ
На высотах менее 600 км от Земли плотность атмосферы относитель-
относительно велика, поэтому аэродинамические силы, действующие на спутник, не
являются пренебрежимо малымц и могут быть использованы для созда-
создания управляющих моментов. Если центр давления аэродинамических сил
не совпадает с центром масс спутника, то появляется аэродинамический
момент, который может быть использован для ориентации и стабилизации
спутников.
Искусственный спутник обладает естественной устойчивой аэродина-
аэродинамической стабилизацией только в том случае, когда центр давления аэро-
аэродинамических сил, действующих на спутник, находится позади центра
масс, если смотреть по направлению полета. В этом случае аэродинамичес-
аэродинамический момент стремится вращать аппарат так, чтобы вектор, проведенный
из центра давления в центр масс, совпадал по направлению с вектором
скорости движения центра масс спутника. При прочих равных условиях
аэродинамический момент тем больше, чем дальше центр давления отсто-
отстоит от центра масс спутника. С целью увеличения аэродинамических сил и
удаления центра давления от центра масс спутника применяются аэродина-
аэродинамические стабилизаторы специальной формы.
Аэродинамические управляющие моменты определяются приближен-
приближенным путем, так как неизвестна точная схема взаимодействия поверхности
стабилизатора с атмосферным потоком. Кроме того, имеются существен-
существенные колебания плотности атмосферы, связанные с изменением солнечной
активности и суточным вращением атмосферы вместе с Землей.
Из аэродинамики известно, что момент, возникающий за счет аэроди-
аэродинамического сопротивления, определяется выражением [1,77].
pV2 n
а 2 (
2 /=i
где п — число поверхностей аэродинамического сопротивления у спутни-
спутника; (Ca)j — коэффициент лобового сопротивления у-й поверхности; р —
плотность атмосферы на высоте орбиты спутника; V — скорость полета
КА; Sj — лобовая площадь/-й поверхности (площадь миделя); yj — плечо
силы сопротивления /-й поверхности (расстояние от центра масс до центра
давления).
При создании системы аэродинамической стабилизации одной из ос-
основных задач, которые необходимо решать в первую очередь, является
правильный выбор формы стабилизатора. Решение этой задачи связано с
41

рядом противоречивых требований. Например, форма аэродинамического
стабилизатора должна быть такой, чтобы прежде всего обеспечить: 1) мак-
максимальный аэродинамический управляющий момент в заданном диапазоне
угловых отклонений спутника; 2) минимальную силу аэродинамического
сопротивления; 3) максимальную крутизну моментной характеристики
при углах атаки, стремящихся к нулю. Аэродинамический стабилизатор
должен удовлетворять ряду технологических и конструктивных требова-
требований: высокой точности изготовления, так как отклонение от расчетной
геометрической формы стабилизатора приводит к появлению возмущаю-
возмущающего аэродинамического момента относительно оси стабилизации про-
продольной оси симметрии КА; удобной компоновке с ракетой-носителем;
простоте и технологичности в изготовлении, высокой надежности; мини-
минимальной массе и др.
В работе [71] рассмотрены различные формы аэродинамических ста-
стабилизаторов 2 (сфера, усеченный конус, цилиндр и крестообразные плас-
пластаны) , присоединенных к корпусу спутника 1 (рис. 2.9). Анализ основ-
основных характеристик рассматриваемых стабилизаторов подтверждает, что
форма усеченного конуса, взятого в качестве аэродинамического стабили-
стабилизатора спутника, наиболее оптимальна, так как она обеспечивает высокое
значение восстанавливающего момента, минимальное значение момента
относительно оси симметрии, минимальную массу и хорошую технологич-
технологичность. При сферическом стабилизаторе (рис. 2.9, а) на спутник будет дей-
действовать момент [1]:
Л*а = CxSCTqlsina,
а при плоском стабилизаторе (рис. 2.9, г)
Afa =
1*ис. 2.9. Формы аэродинамических стабилизаторов:
а - сфера, б - усеченный конус, в - цилиндр, г - крестообразные пластины
42

ос, В
Аэродинамичес-
Аэродинамические моменты
Mi
Мч
Динамика
спутника
Пассивные
демпферы
ос1
6с
Л
Л
*)
Рис. 2.10. Система аэродинамической стабилизации:
а - принципиальная схема; б — функциональная блок-схема
где Сх - безразмерный аэродинамический коэффициент лобового сопро-
сопротивления; 5СТ — площадь миделя стабилизатора (диаметрального сечения
шара); q = — pV7* - скоростной напор; / - расстояние от центра масс
(ц.м) аппарата до центра давления (ц.д) стабилизатора; а - угол между
направлением воздушной скорости и прямой, проходящей через центр
масс аппарата и центр давления стабилизатора.
Одна из возможных схем пассивной системы аэродинамической стаби-
стабилизации приведена на рис. 2.10. При отклонении продольной оси ОХ КА от
набегающего потока 4 в системе возникают восстанавливающие моменты
по тангажу М2 и рысканию Му, которые стремятся совместить продоль-
продольную ось с вектором набегающего потока. Двустепенной пассивный демп-
демпфер 3 при относительном движении спутника 1 и стабилизатора 2 создает
по осям OZ и OY демпфирующие моменты Ма и М^ т.е. по рысканию и
тангажу.
Аэродинамическая стабилизация была применена на искусственных
спутниках "Космос-149" и "Космос-320" [15]. Благодаря небольшой вы-
высоте полета этих спутников оказалось возможным применить аэродинами-
аэродинамическую систему стабилизации, обеспечивающую трехосную ориентацию
относительно вектора набегающего потока и направления в центр Земли с
точностью 5°. Система является комбинированной и состоит из специаль-
специального аэродинамического стабилизатора в виде усеченного конуса, гиро-
демпфера и газореактивной СПУ (см. разд. 3.1). Система аэродинамичес-
аэродинамической стабилизации обладает рядом преимуществ по сравнению с широко
известными активными системами ориентации, в которых используются
газоструйные реактивные двигатели или маховики. Аэродинамическая
система не нуждается в датчиках ориентации и специальных исполнитель-
исполнительных элементах, которые обеспечивали бы управляющие моменты. Незна-
Незначительное количество электроэнергии тратится лишь на поддерэйание
постоянной угловой скорости вращения роторов гироскопов.

2.5. СОЛНЕЧНАЯ СТАБИЛИЗАЦИЯ
Стабилизация КА световым давлением солнечных луней во многом
схожа с аэродинамической стабилизацией, так как здесь тоже имеет место
аналогичная зависимость управляющих моментов от величины эффектив-
эффективной поверхности стабилизатора и взаимного расположения центра масс и
центра давления аппарата. По рравнению с влиянием аэродинамических,
магнитных и гравитационных сил влияние светового давления на неболь-
небольших высотах совершенно ничтожно. Однако с ростом высоты орбиты К А
все упомянутые моменты резко уменьшаются по величине, а моменты от
светового давления остаются практически постоянными. Для высокоор-
высокоорбитальных искусственных спутников и межпланетных КА на высотах
более 2500 км момент сил светового давления является доминирующим
моментом и увеличивается по мере приближения аппарата к Солнцу.
Для ориентации и стабилизации КА на Солнце предложен целый ряд
пассивных систем, использующих световое давление солнечных лучей
[1, 34, 35, 38]. В простейшем случае космический аппарат можно ориенти-
ориентировать на Солнце, если придать ему специальную форму, например, кони-
коническую, или нанести на него черно^эелое покрытие. Под действием солнеч-
солнечного давления, формирующего управляющий момент, КА обращается к
Солнцу одной стороной. Для увеличения управляющих моментов приме-
применяются специальные солнечные стабилизаторы с большой площадью по-
поверхности, имеющей заданные оптические характеристики. Стабилизаторы
присоединяются к корпусу КА при помощи длинных штанг. Солнечный
стабилизатор может состоять либо из одной штанги с отражателем на кон-
конце (рис. 2.11, а. . .г), либо из нескольких штанг с плоскими лопастями
(рис. 2.11, д) или с конической поверхностью на концах (рис. 2.11, е).
Момент сил светового давления солнечных лучей, действующий на
идеально отражающее тело произвольной формы, определяется выраже-
выражением [19]
M=2pofnX~r(?nJds,
S
где Ро - величина светового давления (на орбите Земли р0 = 4,63 X
X 10 Н/м2);*Г— единичный вектор нормали к элементарной площадке
ds поверхности тела; 7^— радиус-вектор площадки dsfs — единичный век-
вектор, противоположный направлению светового потока солнечных лучей.
По этой формуле можно определить восстанавливающий момент сол-
солнечного стабилизатора, изображенного на рис. 2.11, а:
М =
где S — освещенная Солнцем поверхность тела; / — длина штанги; д: —
угловое отклонение КА от вектора светового потока 50. Таким образом,
максимальный восстанавливающий момент, развиваемый стабилизатором,
44

')
Рис. 2.11. Солнечные стабилизаторы
составляет около 9,81 X 10 Н/м при длине штанги 10 м и площади яо-
пасти 10 м2.
Принцип стабилизации за счет светового давления солнечных лучей
достаточно прост. Однако осуществление на практике высказанных рядом
автором идей и предложенных схем систем солнечной стабилизации предс-
представляет собой сложную инженерную проблему, которая содержит две ос-
основные задачи: увеличение статической точности и введение демпфирова-
демпфирования. Рассмотрим указанные задачи.
При малых угловых отклонениях КА от положения равновесия мо-
момент системы солнечной стабилизации прямо пропорционален этому от-
dM
клонению М =— | = од: = кстх. Коэффициент пропорциональности или
dx
45

крутизны статической характеристики кст в положении равновесия опре-
определяет статическую точность системы солнечной стабилизации. Для боль-
большинства солнечных стабилизаторов эта крутизна имеет порядок p0Sl и в
ряде случаев является недостаточной при повышенных требованиях к точ-
точности ориентации (например, для S = 10 м2, / = 20 м имеем p0Sl = 1,62 X
X 10~5 Н-м/град). Характерной и наиболее существенной особенностью
системы солнечной стабилизации является возможность значительного
увеличения статической точности (коэффициента усиления) системы без
увеличения длины штанг и площади лопастей. В работе [38] достаточно
подробно были рассмотрены основные методы демпфирования и увели-
увеличения чувствит:ельности систем солнечной стабилизации. Здесь рассмотрим
один из них с использованием биметаллического устройства.
Покажем, что тепловое действие солнечных лучей можно использовать
не только для увеличения реактивной силы, но и для перемещения стаби-
стабилизатора относительно тела К А с помощью биметаллического устройства.
В работах [34, 35] предложено устройство для повышения точности систе-
системы солнечной стабилизации, использующее ч биметаллические пластины
(рис. 2.12). Устройство состоит из биметаллической пластины 1, соединяю-
соединяющей корпус КА 2 и солнечный стабилизатор 3, и системы затеняющих ла-
лабиринтных экранов 4, благодаря которой получаемая пластиной 1 энергия
сильно зависит от угла падения солнечных лучей. Это устройство и приме-
применено в системе солнечной стабилизации КА "Маринер-4" (США). Однако
оно имеет недостатки: 1) сравнительно небольшой угол поворота стабили-
стабилизатора, что является недостатком биметаллической пластины; 2) нерабо-
неработоспособность устройства при больших угловых отклонениях космическо-
космического аппарата от положения равновесия, что является недостатком лабиринт-
лабиринтного экрана.
Статическая характеристика системы солнечной стабилизации (см.
рис. 2.11, д) с описанным выше биметаллическим устройством показана
ММ\
7
Рис. 2.12. Солнечный стабилизатор с би- Рис. 2.13. Статическая характеристика
металлической пластиной системы
46

Рис. 2.14. Биметаллическое устройство в
виде пружины:
1 - биметаллическая пружина; 2 - ос-
основное тело КА; 3 - штанга стабили-
стабилизатора; 4 - экран
Рис. 2.15. Стабилизатор с биметалличес-
биметаллическим устройством и экраном:
1 - биметаллическая пружина; 2 - ос-
основное тело КА; 3 - штанга стабили-
стабилизатора; 4 - затеняющий экран; 5 -
дополнительный экран обратной связи
на рис. 2.13, откуда видно, что система имеет несколько устойчивых и не-
неустойчивых положений равновесия, число которых возрастает с увеличе-
увеличением крутизны статической характеристики в нуле.
Биметаллическое устройство (рис. 2.14 и 2.15) лишено указанных вы-
выше недостатков. Чтобы избавиться от недостатков, имеющихся в системе
солнечной ориентации КА "Маринер-4", в этом устройстве были сделаны
следующие усовершенствования: а) биметаллическая пластина земенена
биметаллической пружиной, что устраняет первый недостаток; б) лаби-
лабиринтный экран заменен обычным экраном, при этом потеря крутизны ста-
статической характеристики системы солнечной ориентации компенсируется
выбором параметров биметаллической пружины, что частично устраняет
второй недостаток; в) на стабилизаторе установлен дополнительный
экран отрицательной обратной связи, с помощью которого плоскость ста-
стабилизатора устанавливается перпендикулярно солнечным лучам при доста-
достаточно больших отклонениях КА от положения равновесия. Это устраняет
второй недостаток.
На рис. 2.16. показана статическая характеристика системы солнечной
стабилизации с дополнительным экраном отрицательной обратной связи
(сплошная линия) и без него (пунктирная линия).
47

Рис. 2.16. Статическая характе-
*s*^ ристика системы с дополни-
дополнительным экраном
При небольших откло-
отклонениях КА от положения
равновесия стабилизатор
поворачивается на угол кх.
Число к называется коэф-
коэффициентом биметалличес-
биметаллического устройства. Зависит
оно от параметров биметал-
биметаллической пружины и рас-
расстояния до затеняющего экрана. Коэффициент показывает, во сколько раз
увеличивается статическая точность системы солнечной стабилизации. При
этом он может быть порядка 100 и выше. Например, биметаллическое
устройство с параметрами: ширина пружинной ленты — 2 мм, толщина —
0,15 мм, диаметр намотки - 10 мм, число витков - 12, расстояние до
затеняющего экрана - 500 мм, имеет коэффициент к = 100.-
Для системы солнечной стабилизации с жестко закрепленным стабили-
стабилизатором характерно полное отсутствие демпфирования. Существуют раз-
различные пассивные способы введения демпфирования в системах солнеч-
солнечной стабилизации. Укажем два основных пассивных способа демпфиро-
демпфирования.
1. Использование для демпфирования естественного теплового изгиба
штанг стабилизатора от неравномерного нагрева солнечными лучами [38].
За счет неравномерного теплового расширения с некоторой тепловой инер-
инерцией штанга поворачивает отражатели таким образом, что силы светового
давления солнечных лучей создают демпфирующий момент. Исследованию
динамики системы солнечной стабилизации с учетом теплового изгиба ста-
стабилизатора посвящен разд. 5.1.
2. В настоящее время подробно исследованы пассивные методы введе-
введения демпфирования в системах гравитационной стабилизации посредством
упруго-вязкого шарнира (см. разд. 2.1) [85]. Эти методы применимы так-
также для систем солнечной стабилизации.
Систему солнечной стабилизации можно значительно упростить, если
использовать динамические и кинематические свойства вращающегося КА
(см. разд. 5.4 и 5.5). Эту систему следует уже рассматривав как комбина-
комбинацию двух пассивных систем: системы солнечной стабилизации и системы,
стабилизированной вращением. Комбинированная система обладает дос-
достоинствами обеих систем и лишена основного недостатка стабилизации
вращением - ухода оси вращения КА от заданного направления.
48

2.6. ГРАВИТАЦИОННО-МАГНИТНАЯ СТАБИЛИЗАЦИЯ
Пассивные гравитационно-магнитные системы стабилизации использу-
используют управляющие моменты, создаваемые гравитационным и магнитным по-
полями. В этих системах чаще всего восстанавливающие моменты создаются
гравитационным полем, а демпфирующие магнитным. Демпфирование
осуществляется пассивными устройствами (магнитные демпферы или не-
несколько ферромагнитных стержней, которые при взаимодействии с гео-
геомагнитным полем создают тормозящий момент за счет магнитных потерь
на гистерезис, вихревые токи, вязкое трение в жидкости и т.п.).
В июне 1963 г. в США был запущен искусственный спутник 963 22А",
на котором впервые была успешно применена пассивная система гравита-
гравитационно-магнитной стабилизации [21]. В момент отделения от ракеты-носи-
ракеты-носителя угловая скорость спутника приблизительно равнялась 21 рад/с. Сна-
Сначала было проведено предварительное успокоение спутника с помощью
механической системы "йо-йо", которая уменьшила скорость его враще-
вращения до 0,107 рад/с. Дальнейшее Демпфирование угловой скорости спутни-
спутника происходило за счет магнитных гистерезисных стержней. В течение 59 ч
магнитные демпфирующие стержни, расположенные перпендикулярно оси
симметрии спутника, погасили скорость до пренебрежимо малой величи-
величины. Спустя 69 ч после запуска скорость вращения спутника составляла по
данным измерений менее одного оборота за 120 мин [63].
Поскольку орбита спутника близка к полярной, то над магнитными
полюсами Земли направление местного магнитного поля совпадает с мест-
местной вертикалью. И если в это время сторона спутника, на которой отсут-
отсутствует штанга, направлена к Земле, то такие условия наиболее благоприят-
благоприятны для перехода системы в режим гравитационной стабилизации. Устано-
Установившаяся угловая скорость спутника 1,5 об/орб меньше 0,62 X 10~2 рад/с
(скорость, необходимая для захвата спутника гравитационной системой
стабилизации) и практически достаточна для безопасного выдвижения гра-
гравитационной штанги. При этом угловая скорость спутника относительно
центра*масс уменьшилась во столько раз, во сколько увеличился момент
инерции спутника после выдвижения штанги по сравнению с моментом
инерции до выдвижения.
У спутника 963 22А" момент инерции увеличивается более чем в
100 раз. Соответственно во столько же раз уменьшается и угловая ско-
скорость относительно центра масс. Это означает, что спутник практически не
вращается в инерциальном пространстве. Однако для стабилизации спут-
спутника относительно местной вертикали ему необходимо сообщить в плос-
плоскости орбиты угловую скорость 1 об/орб [21].
После выдвижения штанги спутник будет стремиться продолжить дви-
движение по орбите с неподвижной в инерциальном пространстве осью ОУ. Но
как только спутник выйдет из зоны магнитного полюса, где направление
магнитного поля совпадает с местной вертикалью, на него будет действо-
49

Рис. 2.17. Начальное движение спутника
после захвата гравитационным полем
вать восстанавливающий момент, воз-
возникающий за счет гравитационного по-
поля ЗеМли и стремящийся совместить
ось ОУ с направлением местной вер-
вертикали (рис. 2.17). При этом угрл
между местной вертикалью и осью
будет увеличиваться до тех пор, пока
гравитационный восстанавливающий
момент не сообщит спутнику в плос-
плоскости орбиты угловую скорость, рав-
равную 1 об/орб. Под действием этого
момента угол между осью ОУ и верти-
вертикалью станет уменьшаться, в резуль-
результате чего возникнут либрации спутни-
спутника в плоскости орбиты. Таким образом, происходит захват спутника СГС.
Максимальный угол отклонения 0тах оси ОУ от местной вертикали мож-
можно довольно просто рассчитать, приравнивая кинетическую энергию враща-
вращательного движения спутника, которую он должен приобрести для дости-
достижения угловой скорости 1 об/орб, к работе, совершаемой гравитацион-
гравитационным моментом за время достижения спутником максимального угла от-
отклонения [21,63].
После того как спутник захвачен системой стабилизации и уже не мо-
может перевернуться, необходимо осуществить последний этап, связанный с
демпфированием собственных колебаний (либрации) спутника относи-
относительно местной вертикали, появляющихся от начальных либрации и дейст-
действующих возмущений. Этот последний этап — демпфирование собственных
колебаний — наиболее трудная задана, которую необходимо решать для
получения требуемой точности при использовании пассивной гравитацион-
гравитационно-магнитной системы стабилизации.
Рассеяние энергии колебаний спутника 963 22А" относительно мест-
местной вертикали после раскрытия гравитационного стабилизатора осуществ-
осуществлялось с помощью сверхслабой демпфирующей пружины, прикрепленной
к концу штанги, и магнитных гистерезисных стержней. При данном спосо-
способе демпфирования колебания искусственного спутника относительно мест-
местной вертикали заставляют пружину совершать возвратно-поступательное
движение и рассеивать энергию либрации на гистерезис. Проведенные ис-
исследования показали, что пружина эффективно демпфирует колебания
спутника в плоскости орбиты и малоэффективно — в плоскости крена,
тогда как магнитные стержни малоэффективны для демпфирования дви-
движения в плоскости орбиты и наиболее эффективны для гашения колеба-
колебаний в плоскости крена [21].
50

Демпфирование колебаний спутника в значительной степени осложни-
осложнилось наличием сравнительно высокочастотных колебаний, наблюдавшихся
всякий раз, когда спутник перемещался из тени Земли в зону, освещен-
освещенную Солнцем. Причиной этих колебаний являлся чрезвычайно быстрый
нагрев штанги со стороны, обращенной к Солнцу, в результате чего на
штангу действовал импульсный момент, вызывающий колебания штанги и
спутника. Для спутника 963 22А" характерно отсутствие периодичности
колебаний. Максимальная замеченная амплитуда колебаний достигала 5°
[21]. Установившийся изгиб штанги за счет перепада температур, вслед-
вследствие неравномерного нагрева освещенной и теневой сторон штанги, до-
добавлялся к динамическому возбуждению и препятствовал более точной
ориентации спутника по вертикали.
Цель гравитационно-магнитной стабилизации спутника 963 22А"
состояла в обеспечении постоянной направленности антенны к центру Зем-
Земли в пределах 20° относительно местной вертикали. Эта цель была достиг-
достигнута, так как система пришла в рабочее состояние в течение 10 сут. и обес-
обеспечила точность ориентации 10°. Для контроля работы системы стабилиза-
стабилизации были использованы трехкомпонентные магнитометры и солнечные
датчики, установленные на спутнике [21 ].
Сложность и длительность процесса освобождения демпфирующей
пружины, значительные возмущающие моменты, возникающие при субли-
сублимации, привели к тому, что начиная со спутника 964 63А", демпфирую-
демпфирующая пружина была исключена и оставлена для демпфирования собствен-
собственных колебаний спутника лишь магнитные стержни [85].
Начиная с 1964 г., в пассивных гравитационно-магнитных системах
стабилизации широкое применение получил еще один способ рассеяния
энергии колебательного движения спутников, использующий магнитное
поле Земли. Конструкция такой системы содержит жестко закрепленный
на конце гравитационной штанги магнитный демпфер (рис. 2.18) [50]. В
этом случае он одновременно служит в качестве массы, увеличивающей
моменты инерции спутника.
На рис. 2.19 схематически изображена разработанная фирмой "Джене-
"Дженерал Электрик" конструкция сферического магнитного демпфера с вязким
трением, который состоит из двух концентрических сфер, разделенных
вязкой жидкостью 4. Внутренняя сфера 2 содержит стержневой магнит 6,
связывающий ее с магнитным полем Земли. Разъемная внешняя сфера 1,
состоящая из проводящего алюминиевого сплава типа АК-6 (АК-8), жест-
жестко соединена со штангой 7. Постоянной величины зазор между внутренней
и внешней сферами обеспечивается без механических креплений диамаг-
диамагнитным подвесом. В состав подвеса входит облицовка изнутри внешней
сферы диамагнитным материалом — висмутом 3, который отталкивается
стержневым магнитом и шестью подковообразными магнитами 5, созда-
создавая центрирующие силы, препятствующие контакту между двумя сфе-
сферами.
51

ОС
т
ОС
J3
Динамика посто-
постоянных, магнитов
Возмущающие моменты
Моменты от пос-
постоянных магнитоВ
Моменты от вихре-
вых токе В и вяз-
вязкой жидкости
г-** Динамика КА
Моменты грави-
гравитационных сил
Рис. 2.18. Гравитационная система стабилизации с магнитным демпфером:
а - принципиальная схема; б - функциональная блок-схема
1 - основное тело КА; 2 - штанга; 3 - внешняя сфера; 4 - магнит; 5 - внутрен-
внутренняя сфера
Восстанавливающий момент от гравитационного поля стремится сов-
совместить ось минимального момента инерции (продольную ось) спутника
с местной вертикалью и тем самым сообщить ему в плоскости орбиты
угловую скорость, равную орбитальной. Внешняя сфера, жестко закреп-
закрепленная на конце штанги, колеблется вместе со спутником, а внутренняя
сфера вместе с расположенным в ней стержневым магнитом взвешена в
вязкой жидкости. Свободный постоянный магнит, отслеживая вектор на-
напряженности магнитного поля Земли, перемещается относительно внеш-
внешней сферы. За одно обращение спутника по орбите постоянный магнит со-
совершает два полных оборота согласно изменению направления силовых
52

линий геомагнитного поля (см. рис. 2.4). Относительное движение спутни-
спутника и постоянного магнита обеспечивает рассеяние кинетической энергии
вращения спутника. Демпфирование возникает за счет тормозящего дей-
действия вязкой жидкости, а также вихревых токов, которые наводятся во
внешней сфере при относительном движении двух сфер.
На рис. 2.20 схематически представлена конструкция магнитного
демпферу на вихревых токах, также разработанная фирмой "Дженерал
Электрик". Вместо вязкой жидкости для диссипации энергии использует-
используется медная оболочка 4. Во внутренней сфере 3 расположено шесть постоян-
постоянных стержневых магнитов 2, соединенных в центре. Это магнитное устрой-
устройство обеспечивает сцепление с магнитным полем, диамагнитную подвеску
и создание вихревых токов для демпфирования [85]. Внешняя сфера 1
жестко соединена со штангой 5.
Параметры магнитного демпфера рекомендуется выбирать из следую-
следующих соображений: 1) обеспечение заданной допустимой длительности пе-
переходного процесса; 2) исключение увлечения внутренней сферы магнит-
магнитного демпфера во вращение вязкими силами при заданных начальных
угловых скоростях спутника; 3) ограничение ошибки ориентации спут-
спутника, обусловленной возмущающим действием демпфера; 4) выбор мас-
массы демпфера с учетом расчетных значений моментов инерции спутника
[52].
Одним из недостатков гравитационно-магнитных систем, использую-
использующих для демпфирования геомагнитное поле, является наличие ошибки
ориентации, вносимой самим магнитным демпфером. Даже при нулевой
ошибке ориентации между спутником и направлением вектора напряжен-
РИС. 2Л9. МаГНИТНЫИ ДеМПфер С ВЯЗКИМ Рис 2 20 Магнитик.» „ *«*
трением и# магнитныи демпфер на вихре-
* вых токах
53

ности магнитного поля (при совпадении направлений гравитационного и
магнитного полей) существует относительное движение из-за неоднород-
неоднородности магнитного поля. При этом часть движения в зависимости от коэф-
коэффициента демпфирования через жидкости или вихревые токи передается
спутнику [58].
Неравномерное вращение вектора напряженности геомагнитного поля
в орбитальной системе координат, передаваясь через магнитный демпфер,
вызывает возмущения в движении спутника. Эти возмущения могут выз-
вызвать незатухающие колебания спутника вблизи устойчивого положения,
но могут привести также к полной потере ориентации и возникновению
режима недемпфируемого вращения. В работе [52] исследуется возмож-
возможность существования таких режимов при плоском движении спутника с
магнитным демпфером на круговой орбите. Показано, что магнитный
демпфер работоспособен как в режиме стабилизации, так и в режиме пред-
предварительного'успокоения. Получены аналитические выражения для оцен-
оценки продолжительности переходного процесса и точности ориентации.
На экспериментальных спутниках GGSE с гравитационной магнитной
системой стабилизации максимальное отклонение от местной вертикали
не превышало 15° [47]. Все эти спутники имели одну гравитационную
штангу с магнитным демпфером на конце. Только один спутник имел
демпфер, работающий на вязкой жидкости, остальные использовали демп-
демпферы, работающие на вихревых токах. Геодезические спутники Земли
GEOS тоже имели магнитный демпфер на вихревых токах. У них полное
отклонение от вертикали не превышало 5° [85].
2.7. ПОВЫШЕНИЕ ТОЧНОСТИ СИСТЕМ ГРАВИТАЦИОННОЙ СТАБИЛИЗАЦИИ
ЗА СЧЕТ УМЕНЬШЕНИЯ ТЕПЛОВОГО ИЗГИБА СТАБИЛИЗАТОРА
Из-за одностороннего нагрева гравитационного стабилизатора солнеч-
солнечными лучами возникает перепад температур между освещенной и теневой
сторонами штанги. За счет этого гравитационный стабилизатор изгибается
и появляется ошибка ориентации КА относительно местной вертикали до
5 ° [63]. Для частного случая, когда массы спутника и груза равны, а мас-
массой штанги можно пренебречь, связь между длиной штанги /, радиусом
кривизны RKp и углом отклонения в линии визирования антенн спутника
от Гравитационной вертикали V выражается формулой (рис. 2.21).
B.1)
Угол в в градусах представляет собой ошибку ориентации КА, появив-
появившуюся вследствие неравномерного теплового нагрева штанги. Используя
результаты работы [79], по формуле B.1) определяем, что для штанги
54

Груз
Рис. 2.21. Тепловой изгиб штанги в слу-
случае, когда массы груза и основного тела
равны
Штанга . Чехол >
Рис. 722. Штанга в чехле
длиной / = 30 м при перепаде температур АТ = 3,5° ошибка ориентации
равна 0 = 2°, а при АГ= 1° ошибка равна 0 = 20'.
В первом приближении зависимость ошибки ориентации вследствие
теплового изгиба от длины штанги линейная и может быть определена по
формуле B.1). Для больших длин штанг (более 50 м) линейная зависи-
зависимость функции 0A) нарушается.
Обеспечить равномерный нагрев штанги можно следующими способа-
способами [18, 40]: а) поместить штангу в защитный чехол (рис. 2.22); б) равно-
равномерно вращать штангу (рис. 2.23); в) сделать в штанге определенным об-
образом чередующиеся отверстия; г) нанести на прозрачную штангу спе-.
циальным образом сильно поглощающее и сильно отражающее покрытия
(рис. 2.24).
Использование защитного чехла [18]. Чехол, в котором находится ци-
цилиндрическая полая штанга, служит для предохранения ее от прямого по-
попадания солнечных лучей и представляет собой тонкостенную гофрирован-
гофрированную трубку — сильфон (см. рис. 2.22). Передача солнечной тепловой энер-
энергии происходит лишь за счет лучистого теплообмена между чехлом и
штангой.
В этом разделе будут использованы следующие обозначения (см.
рис. 2.22.- 2.26): / - длина штанги и чехла; So - солнечный тепловой по-
поток; ф - угол между направлением вектора потока солнечной энергии и
нормалью к поверхности (SN = S0cosi/O;<p - угловая координата в цилинд-
цилиндрической системе; г - время; Stf 82 - толщина стенки штанги и чехла;
Т\, Т2 - температура штанги и чехла; €i, е2, е3 - степень черноты локры-
тий материалов штанги и чехла (е2, €3 - соответственно для покрытий
чехла ^наружи и изнутри); Xj, Х2 - теплопроводности материалов штанги
и чехла.
55

с
\
1
1
гт
М
•—
л '
' /'
!><
у
X
N
\^
1
П
I
i
fl
3
Рис. 2J3. Стабилизатор с вращающи- Рис. 2Л4. Штанга с двухслойным по-
миея штангами крытием
При выводе системы дифференциальных уравнений лучистого тепло-
теплообмена между чехлом и, штангой рассматривался баланс энергии элемен-
элементов чехла и штанги и был сделан ряд допущений [18]. Решения системы
дифференциальных уравнений теплообмена с учетом граничйых условий
дали возможность определить вид температурных полей чехла и штанги.
Из графика, приведенного на рис. 2.25, следует, что применение защитного
чехла значительно уменьшает перепад температур между теневой и осве-
освещенной сторонами штанги.
Практический интерес представляет зависимость максимальной раз-
разности температур штанги АГ1тах от коэффициента облученности $2\ =
= гг /г2 и степеней черноты покрытий штанги и чехла €i, е2 и е3. Так как
характер графиков, выражающих зависимость A7*i max 0Т е\ > ег > ^з> имеет
56

одинаковый вид, то подробно рассмотрим только зависимость АГ1тах =
=/(ei, </>2i), приведенную на рис. 2.26 [38].
Вращение стабилизатора. На рис. 2.23 изображена СГС, состоящая из
основного тела 1 и двух масс 2, соединенных с основным телом посредст-
посредством штанг 3, вращающихся в разные стороны. В этом случае гравитацион-
гравитационный стабилизатор с целью повышения точности за счет уменьшения тепло-
теплового изгиба имеет штанги, вращающиеся вокруг своих продольных осей в
одну сторону или поочередно, то в одну, то в другую стороны с помощью
специального привода. Вращая штангу вокруг своей оси, добиваемся рав-
равномерного температурного поля. Возможно вращение штанги вместе со
всем КА. Однако в этом случае происходит вращение вокруг оси мини-
минимального момента инерции, которое является неустойчивым при действии
возмущающих моментов [38].
Угловая скорость выбирается такой, чтобы разность температур на по-
поверхности сторон штанги, находящихся в тени и на Солнце, была пренебре-
пренебрежимо мала. Для определения времени достижения заданной разности тем-
температур может быть использована следующая формула:
B>2)
где с — теплоемкость материала; р — плотность материала; q0 — поток
падающей энергии; AT — разность температур [38].
Нанесение на стабилизатор покрытий или отверстий [38]. Первый спо-
способ уменьшения теплового изгиба штанги заключается в том, что лента из
специальной фольги наматывается с принудительным шагом h на прозрач-
275
270
265
260
255
250
245
2W
235
230
225
220
Ж
Рис. 2.25. Графики температурных полей штанги без покрытия (Tj), с серебряным
покрытием (Т/), с чехлом (Т/)
57

Рис. 2.26. График зависимости ATlmax = f(elf
0,1 0,2 0,3 0,U
ную или полупрозрачную штангу (см. рис. ? 24). Наружная поверхность
фольги имеет сильно отражающее покрытие 1, а внутренняя — сильно пог-
поглощающее 2. Вместо фольги можно использовать двухслойное покрытие
штанги, нанесенное на нее с внешней или внутренней стороны, но обяза-
обязательно по винтовой линии. Благодаря принудительному шагу солнечные
лучи проходит через стенку штанги и попадают на противоположную тене-
теневую сторону. Внутреннее — сильно поглощающее покрытие 2 усиливает
нагрев теневой стороны штанги, а внешнее - сильно отражающее покры-
покрытие 1 предохраняет обращенную к Солнцу сторону от чрезмерного пере-
58

грева. Это приводит к выравниванию температурного поля штанги. Подбо-
Подбором материала покрытий и величины принудительного шага можно добить-
добиться такого температурного поля штанги, которое не создает теплового
изгиба.
Второй способ уменьшения теплового изгиба штанги состоит в нанесе-
нанесении на нее специальным образом отверстий [86]. Отверстия расположены
по винтовым линиям по всей длине штанги и служат для пропускания сол-
солнечных лучей на теневую сторону. Внутренняя поверхность штанги зачер-
зачернена, а внешняя — отполирована или на нее нанесено сильно отражающее
покрытие. Это дает возможность более равномерно распределить тепло-
тепловую солнечную энергию между теневой и освещенной сторонами штанги.
Как и в первом способе компенсация теплового изгиба штанги заключает-
заключается в балансировке ее тепловых потоков.
Учитывая целый ряд допущений и рассматривая только стационарный
процесс, получим дифференциальное уравнение температурного поля штан-*
га для наиболее общего случая, когда штанга освещается солнечными лу-
лучами, падающими на нее под некоторым углом. Решение уравнения темпе-
температурного поля штанги должно удовлетворять не только граничному усло-
вию '•—=- I n = 0 и условию периодичности / Tidip = О, но и условию
dv * -я
несгибаемости длинной свободной штанги, имеющей в поперечном сечении
поле температур
fT^osydip^O. B.3)
о
Используя выражение B.3), определим условие компенсации тепло-
теплового изгиба штанги отдельно для первого и второго способов. Условие
компенсации теплового изгиба для первого способа, когда на Штангу на-
нанесено покрытие, имеет вид [38]
left
- агшкс —1-[\ - аш + ajl - ап )A - *с) + 2A -
- «шH - *с>п ~ Заш A - *сJA - аа )ап ] + -7A - *с) X B.4)
4
X (ао - апксаш) + —Lkcam{\ - ат(\ - аш + кс ап ) = О,
suit//
где к — эффективное значение коэффициента ослабления лучей; aOi an,
аш - коэффициенты поглощения сильно отражающего, сильно поглощаю-
поглощающего покрытий и самой поверхности штанги; кс = — = — .коэффи-
.коэффициент скважности штанги; H,h — соответственно шаг и принудительный
шаг нанесения покрытий по винтовой линии (см. рис. 2.24); F0TB - сум-
суммарная площадь, занимаемая отверстиями.

Из условия компенсации B.4) следует, что в случае прозрачной штан-
штанги с покрытиями тепловой изгиб можно полностью компенсировать, если
величина угла ф постоянна.
Во втором случае, когда на штангу нанесены отверстия, условие ком-
компенсации значительно упрощается и имеет вид
*с=^. B.5)
Из условий прочности и жесткости штанги с отверстиями, а также из
технологических соображений коэффициент скважности штанги должен
быть минимальным. Учитывая это замечание и условие компенсации тепло-
теплового изгиба B.5), получим требования, которые должны предъявляться
к внешним и внутренним покрытиям: внешнее покрытие штанги должно
иметь возможно меньший коэффициент поглощения aOi а внетреннее по-
покрытие — возможно больший коэффициент поглощения ап.
В заключение следует указать, что приведенные способы можно ис-
использовать для перекомпенсации теплового изгиба гравитационной штан-
штанги, т.е. штанга будет в этом случае изгибаться в сторону солнечных лучей.
ГЛАВА 3. ПРИНЦИПЫ ПОСТРОЕНИЯ И ДИНАМИКА
ГАЗОРЕАКТИВНЫХ СИСТЕМ ПРЕДВАРИТЕЛЬНОГО УСПОКОЕНИЯ
ДЛЯ ПАССИВНЫХ СИСТЕМ СТАБИЛИЗАЦИИ
3.1. ПРИНЦИПЫ ПОСТРОЕНИЯ ГАЗОРЕАКТИВНЫХ СИСТЕМ
Газореактивные системы используются на пассивно стабилизирован-
стабилизированных КА, так как пассивные системы ориентации и стабилизации имеют ма-
малые управляющие моменты и при больших возмущениях не могут предот-
предотвратить вращения КА. Для быстрого уменьшения больших начальных воз-
возмущений по угловой скорости и угловому отклонению, появившихся в
момент отделения аппарата, и для придания ему заданной ориентации при-
применяется активная система предварительного успокоения, управляющие
моменты которой создаются газовыми реактивными соплами.
В соплах в процессе расширения происходит превращение потенциаль-
потенциальной энергии сжатого газа в кинетическую энергию реактивной струи. За
счет реакции быстрого истечения массы газа из сопел возникает усилие, ко-
которое дает управляющий момент относительно центра масс КА. Для соз-
создания небольших по величине управляющих моментов сопла газореактив-
газореактивной системы желательно установить на максимальном расстоянии от цент-
центра масс аппарата (рис. 3.1). Основной недостаток таких систем заключает-
заключается в расходовании рабочего тела, запасы которого в полете невосполнимы.
60

Рис. 3.1. Расположение реактивных ис-
исполнительных устройств газореактивной
СПУ:
1 - сопла оси OZ\ 2 - сопла для оси
OY; 3 и 3' - сопла для оси ОХ
Для обеспечения работы газореак-
газореактивных сопел необходима специаль-
специальная система питания, включающая в
себя баллоны, клапаны, редукторы
и датчики давления, трубопроводы,
фильтры и тд. [8].
В газореактивной СПУ в качест-
качестве чувствительных элементов, реаги-
реагирующих на угловые отклонения КА могут применяться, например, сво-
свободные гироскопы или построители местной вертикали (инфракрасная
вертикаль), оптические датчики информации, а для измерения угловых
скоростей относительно строительных осей КА - гироскопические датчи-
датчики угловых скоростей (ДУСы) [55]. Сигнал с чувствительных элементов
поступает на устройство, формирующее закон управления, а затем на ис-
исполнительные устройства пневмопривода, которыми являются электро-
электромагнитные пневматические клапаны (ЭПК) и сопла.
В настоящее время различные по конструкции газореактивные систе-
системы нашли широкое применение в качестве СПУ на различных КА, стабили-
стабилизированных пассивными способами. Так, например, газореактивные систе-
системы использовались в качестве СПУ на аэродинамически стабилизирован-
стабилизированных спутниках "Космос-149" и "Космос-320" [15].
Задача СПУ, применяемой на аэродинамически стабилизированных
спутниках, состояла в снижении начальной зггловои скорости, которая пос-
после отделения от ракеты-носителя может достигать 4,1 /с [15, 33, 45], до
допустимого значения 0,1° /с за минимальный интервал времени. Разреша-
Разрешалось, чтобы продольная ось КА, которая в момент отделения спутника от
ракеты-носителя практически направлена по касательной к орбите, откло-
отклонилась не более чем на 10°. Поэтому в СПУ в качестве чувствительных эле-
элементов применялись только ДУСы, так как при гашении начальной угло-
угловой скорости оказалось возможным за счет выбора параметров СПУ угло-
угловые отклонения спутника ограничить до желаемой величины.
Структурная схема газореактивной СПУ приведена на рис. 3.2. В кор-
корпусе спутника 1 по строительным осям (крена, тангажа, рыскания) уста-
установлены ДУСы 2. Сигналы с ДУСов поступают в блок управления 3 испол-
исполнительными устройствами, которыми являются ЭПК 7. Когда ЭПК откры-
открыты, то газ поступает к регулирующим органам, т.е. к газореактивным соп-
соплам 8. Система питания пневмопривода содержит баллон с газом 4, пуско-
пусковой клапан 5 и телеметрический датчик давления 6. Каждое сопло имеет
61

2
2
J
Та
П
Рис. Э.2. Структурная схема газореактивиой СПУ для аэродинамически стабилизиро-
стабилизированных спутников
свой ЭПК. Всего пневмопривод имрет восемь реактивных сопл (четыре —
для оси крена и по два для осей тангажа и рыскания).
Для примера рассмотрим работу СПУ в канале тангажа. При наличии
угловой скорости o)z спутника один из ЭПК закрыт, а другой открыт и
создает управляющий момент Mz необходимого знака (направления).
Кргда отсутствует угловая скорость coz спутника по оси тангажа OZ или
когда величина угловой скорости меньше допустимой конечной скорости,
на два ЭПК поступают управляющие сигналы и создают противоположные
по знаку управляющие моменты в этом канале. Таким образом, газ выхо-
выходит сразу через два сопла, т.е. происходит безмоментное выдувание газа из
баллона. Принудительное безмоментное выдувание газа из баллона необ-
необходимо для того, чтобы после отключения СПУ не появилось возмущаю-
возмущающих моментов от утечек газа.
СПУ включается от блока бортовой автоматики, сигналы которого по-
подаются на включение пускового клапана S, подключение выходных цепей
ДУСов к релейному усилителю и включение реле времени в блоке 3 при
отделении спутника от ракеты-носителя. Клапан 5 открывает доступ газа к
ЭПК, управляемым по сигналам ДУСов, а реле времени по истечении за-
заданного интервада подает команду на отключение СПУ от бортового пита-
питания и выдвижение аэродинамического стабилизатора, приведение пассив-
пассивной системы в рабочее положение.
На рис. 3.3 приведена принципиальная схема газореактивной системы,
используемой на космических аппаратах, стабилизированных вращением
[8]. Такая система в основном предназначена для сообщения и стабилиза-
стабилизации скорости вращения КА вокруг заданной оси. Сжатый газ хранится на
62

борту аппарата в специальных баллонах 1 и заправляется через заправоч-
но-дренажный клапан 2. Система включается при подаче электрического
сигнала на клеммы 6 пускоотсечного клапана 5, который в период хране-
хранения герметично перекрывает доступ газа в систему. После срабатывания
клапана 5 газ через фильтр 7, устанавливаемый для предотвращения про-
проникновения в магистраль случайных посторонних частиц, поступает к
управляющим соплам 8, которые направлены в разные стороны и обычно
разнесены как можно дальше друг от друга для увеличения управляющих
моментов.
При истечении газа из сопл создаются управляющие усилия, которые
образуют пару сил, действующих на аппарат и сообщающих ему вращатель-
вращательное движение вокруг заданной оси. Контроль за давлением газа в баллоне
осуществляется с помощью датчика давления 3, с клемм 4 которого сни-
снимается соответствующее электрические напряжения. Истечение газа через
сопла происходит до полного опорожнения баллона 1. При этом как дав-
давление в баллоне, так и давление перед соплами все время уменьшается по
экспоненциальному закону. В связи с этим тяга сопел также непрерывно
уменьшается по экспоненте по мере расхода рабочего тела. Чтобы описан-
описанную систему можно было применять повторно, имеется несколько балло-
баллонов с газом, которые подключаются в заданный момент времени, и систе-
система начинает работать снова.
Рассмотренные газореактивные системы для аэродинамических спут-
спутников, стабилизированных вращением, не обеспечивают работу сопел с
постоянной тягой и не могут быть применены в системах ориентации при
Рис. 33 Схема газореактивной системы Рис. 3.4. Газореактивная система, обес-
дпя стабилизации скорости вращения печивающая постоянный управляющий
момент при многократном включении
63

многократных включениях управляющих сопел. Такое упрощение схемы
газореактивной системы за счет сокращения числа включений последова-
последовательно соединенных элементов вызвано необходимостью повышения на-
надежности реактивной системы управления.
На рис. 3.4. приведена газореактивная система, которая обеспечивает
постоянный управляющий момент при многократных включениях систе-
системы [8]. Как и в описанных выше системах, сжатый газ содержится на бор-
борту в баллоне 1. Зарядка и дренаж сжатого газа осуществляются через за-
правочно-дренажный клапан 2. Система включается в работу при подаче
электрической команды на клеммы 6 пуско-отсечного клапана 5. После
этого газ через фильтр 7 поступает к регулятору давления 8, который по-
понижает высокое давление до заданной величины и поддерживает его в оп-
определенных пределах. В системе за регулятором газ под низким давлени-
давлением по трубопроводу подводится к электромагнитным пневмоклапанам
11, установленным в соответствующих каналах стабилизации. ЭПК вклю-
включаются при подаче команд в виде электрических сигналов на клеммы 12.
При этом клапан открывается, и газ поступает в сопло 13. При истечении
газа из сопла создается постоянное по величине управляющее усилие. В
результате на КА действуют моменты, с помощью которых осуществля-
осуществляется управление положением аппарата в пространстве. Предохранительный
клапан 14 предназначен для исключения аварийной ситуации при чрезмер-
чрезмерном повышении давления газа в трубопроводе низкого давления, напри-
например, вследствие выхода из строя регулятора давления' 8. Чтобы предотвра-
предотвратить в этом случае возникновение возмущений при срабатывании предох-
предохранительного клапана за счет истечения из него сжатого газа, предусмот-
предусмотрено безмоментное выдувание газа из предохранительного клапана 14, т.е.
истечение газа в противоположные стороны через калиброванные проход-
проходные сечения. Контроль низкого давления газа в трубопроводе осуществляв
ется с помощью датчика низкого давления 9, снятием с его клемм 10
электрического сигнала. Контроль высокого давления газа в баллоне 1
осуществляется с помощью датчика высокого давления 3, снятием с его
клемм 4 электрического сигнала.
3.2. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ГАЗОРЕАКТИВНОЙ СИСТЕМЫ
Рассматривается газореактивная СПУ с достаточно большими управ-
управляющими моментами, работающая в течение небольшого отрезка времени
при малых угловых скоростях сох> ъ)у и cjz и, в основном, при небольших
угловых отклонениях у, ф и t> КА. По углу тангажа СПУ осуществляется
поворот с угловой скоростью, равной скорости обращения спутника вок-
вокруг Земли. Поэтому можно считать, что cjz является отклонением угловой
скорости спутника вокруг оси OZ от орбитальной скорости со0.
В рассматриваемом случае, когда работает СПУ, уравнения движения
64

КА существенно упрощаются, так как возмущающими моментами по срав-
сравнению с управляющими моментами от СПУ, а также членами, содержащи-
содержащими произведения угловых скоростей cjyCJz, cjxcj2, сохиу, как величинами
второго порядка малости можно пренебречь. Лианеаризация системы
уравнений A.1) в предположении, что углы и угловые скорости в процес-
процессе движения малы, а в качестве установившихся параметров движения
выбраны сохк = ь>ук = 0, cozk = <o0, приводит к разделению системы на
три независимых уравнения второго порядка, каждое из которых имеет
вид
1х=-М, C.0
где / - момент инерции относительно интересующей нас оси; х - угловое
отклонение спутника; М - управляющий момент.
Если космический аппарат представляет собой динамически симмет-
симметричное тело AУ = /2), то первое уравнение системы A.1) - движение по
крену - совпадает с уравнением C.1).
Уравнение C.1) пригодно для изучения конечного участка работы
СПУ, когда угловые скорости малы. Для первоначального участка работы
из-за достаточно больших значений угловых скоростей этим уравнением
можно Пользоваться только в качестве первого приближения.
Рассмотрим уравнения регулятора СПУ. Объединим релейные характе-
характеристики выходного каскада безынерционного усилителя и ЭПК в одну не-
нелинейную функцию Фт(а), содержащую суммарное запаздывание регуля-
регулятора т. Вид возможных эквивалентных релейных характеристик Ф(а) при-
приведен на рис. 3.5. Так как на практике часто не допускается работа СПУ в
автоколебательном режиме, то исследование динамики системы с релей-
релейной характеристикой, имеющей гистерезисную петлю (рис. 3.5, б), не при-
приводится. Оно аналогично исследованию динамики СПУ с релейной характе-
характеристикой, имеющей зону нечувствительности (рис. 3.5, а). Аргументом
функции Фт(о) служит выходное напряжение с линейного каскада усили-
усилителя. Усилитель считается идеальным. Характеристики датчиков предпола-
предполагаются нелинейными, имеющими нелинейности в виде ограничения и зон
нечувствительности. Характеристика датчика угла имеет в начале коорди-
j
т
Рис. 3.5. Релейные характе-
характеристики СПУ *
а - с зоной нечувствитель-
нечувствительности, б - с гистерезисной
петлей
,Ф(
0
7)
е б
т
-т
*)
Л
б
65

Pi ft)
Аогр
~хогр ~&г Г
/Г
-*ег хогр к
6)
Рис 3.6. Нелинейные характеристики датчиков
нат зону неоднозначности, но она, как правило, настолько мала, что ею
часто пренебрегают. Если датчик угловой скорости выбран релейным, то
можно считать, что зона неоднозначности перекрывается его зоной нечувст-
нечувствительности. Характеристики датчиков угла и угловой скорости приведе-
приведены соответственно на рис. 3.6, а и б.
Для повышения точности системы, кроме сигналов с чувствительных
элементов, на усилитель подается сигнал обратной связи, компенсирую-
компенсирующий запаздывание. В соответствии с этим запишем уравнение для выход-
выходной координаты релейной характеристики:
о = кх рх (*) + к2р2(х) + k3sign<&(o),
где ki9k2ik3 — постоянные коэффициенты; fc3sign<l>(a) — сигнал компен-.
сирующий обратной связи; символом sign обозначается функция sign4>(a) =
— ,Pi(x) — сигнал с чувствительного элемента, выдающего вели-
\Ф(а)\
чину регулируемой координаты; р2(х) - сигнал с чувствительного эле-
элемента, выдающего величину скорости изменения регулируемой коорди-
координаты.
Уравнения для рг(х) и р2(х) имеют вид:
рг(х) =
к\х- ег)
0
к" х
к"х
к л0Гр
при
при
) при
при
при
€\ *\ |ЛГ | <ч *огр,
•■^огр *^ ^ •/^огр
UK^orp»
•^огр ^х <^"~ «^огр
где к\ к" — постоянные коэффициенты; остальные обозначения указаны
на рис. 3.6.
Регулирующим воздействием в системе является управляющий мо-
момент Л/. При включении и отключении ЭПК тяга на выходе сопла нараста-
66

ет и спадает по экспоненциальному закону с некоторым постоянным за-
запаздыванием, поэтому уравнения для управляющего момента можно запи-
записать в виде
♦гсЮО] = *[<*-Те)], C.2)
где Тс — постоянная времени сопла; тс — запаздывание сопла; Afmax —
максимальный момент, создаваемый соплами.
Таким образом, регулирующий орган может быть представлен в виде
апериодического звена с запаздыванием. Однако в рассматриваемом слу-
случае переходные процессы в сопле можно не учитывать, так как сопло ма-
мало, и постоянная времени такого сопла имеет очень малую величину. ЭПК
установлен непосредственно у сопла, следовательно, запаздывание очень
мало и может быть включено в суммарное запаздывание регулятора.
Если полагать, что тяга сопла нарастает и спадает мгновенно (Тс = 0),
и не учитывать транспортное запаздывание в сопле (гс = 0), то на основа-
основании C.2) получаем
Движение одного канала в упрощенном виде может быть описано сис-
системой уравнений [37,41]:
*=-«;
Ф(а) =
k2x
m лри а > e,
О при \о\ < e,
- m приа<- а.
C.3)
Рис. 3.7. Структурная схема СПУ
67

Здесь введены обозначения: 5 - величина регулирующего воздейст-
воздействия; о - управляющая функция; т - постоянные по величине значения,
принимаемые релейной характеристикой (т = Mmax/7); ± e - величина
зоны нечувствительности регулятора. Остальные обозначения были приня-
приняты раньше.
Структурная схема СПУ, соответствующая уравнениям движения сис-
системы, приведена на рис. 3.7. На схеме введено обозначение d\dt = р.
3.3. АНАЛИЗ ДИНАМИКИ СИСТЕМЫ С УЧЕТОМ НЕЛИНЕЙНОСТИ
И ЗАПАЗДЫВАНИЯ РЕГУЛЯТОРА
Если в СПУ применяются датчики угла и угловой скорости, имеющие
ограничения, то последние можно использовать для формирования нели-
нелинейного закона управления с целью создания системы, близкой к опти-
оптимальной с точки зрения минимума расхода рабочего тела или минимума
импульса тяги [41]. Заметим, что для системы C.3) минимальный импульс
тяги, необходимый для гашения начальной угловой скорости х0:
где Р = const - тяга сопел; / - плечо (PI = Mm ax).
Для решения указанной задачи исследуем систему C.3) на фазовой
плоскости при г = к3 = 0. Вид фазовой плоскости существенно зависит от
соотношения параметров закона управления о = fcipi(x) + кгРгФ) и вели-
величины зоны нечувствительности релейной функции Ф(а)Г. Необходимо рас-
рассматривать следующие сочетания параметров:
а) р
В) "~ 6 < #1.ХоГр ~ ^2*ОГр ^ € » Г)
Вид фазовой плоскости, которая является трехлистной, приведен на
рис. 3.8. Заметим, что соотношения параметров "б" и "г" являются по су-
существу бифуркационными, так как при бесконечно малом изменении лю-
любого из параметров вид линий переключения качественно меняется. Кро-
Кроме того, в этих случаях мы встречаемся с новым интересным фактом, ког-
когда линии переключения на некоторых участках перестают быть действи-
действительно линиями и занимают определенные части фазовой плоскости (за-
(заштрихованные участки на рис. 3.8, б, г). В соответствии с C.3) линии пе-
переключения целиком лежат на листе II и, следовательно, заштрихованные
участки также относятся к листу II. Из рассмотрения фазовой плоскости
следует, что СПУ будет наиболее близкой к оптимальной по расходу рабо-
68

чего тела в случае соотношения параметров "а", "б" и "в". Действитель-
Действительно, импульс тяги при этом можно оценить неравенством
и при достаточно большом к2 он практически совпадает с минимальным
его значением.
Таким образом, используя лишь естественные ограничения датчиков и
не применяя никаких логических элементов, можно построить систему,
близкую к оптимальной по расходу рабочего тела. Следует заметить, что
при этом будет большое время регулирования. При сравнении по импуль-
импульсу тяги данной системы с системой, оптимальной по быстродействию, лег-
легко подсчитать, что для последней при е = О
т.е. импульс тяги более чем в два раза превышает минимальный.
Рассмотрим фазовую плоскость для случая "в" при т Ф О (рис. 3.9).
За счет запаздывания имеются участки наложения листов друг на друга.
Уравнения линий переключения следующие:
(Lt) x= f mr\
1 л
(L2) (к2 *" кгт)х + кгх = е - к2тт+ кгт — ;
(£з) (*2 ~ кгт)х+ кгх = е; (Z,4) * = "" р
Линии (Lj) симметричны с (Lj) относительно начала координат для/= 1,
2, 3,4. При наличии западывания в системе C.3) будут автоколебания при
любом соотношении параметров. Без учета автоколебаний импульс тяги
оценивается неравенством
А <— (*о+ 2 ° р )+ 2Рт.
I к2
Заметим, что поскольку обычно е мало, то практически следует выби-
выбирать соотношение параметров "а", так как в случае "в" должны быть на-
наложены жесткие ограничения на стабильность значений кх, к2, лгогр, хогр.
С учетом запаздывания, очевидно, условие "а" должно быть дополнено
условием
2е > тт, C.4)
так как при невыполнении C.4) изображающая точка "проскакивает" зо-
зону нечувствительности, и импульс тяги резко возрастает.
69

Рис. 3.8. Фазовые плоскости с
учетом нелинейных характерис-
характеристик датчиков:
лист I — Ф(сг) = т; лист II -
Ф(а) = 0; лист III - Ф(а) =
= — т
В установившемся движении система находится в автоколебательном
режиме, при этом х и х не достигают своих ограничений [ |л:| < хогр и
\х\ < iOrp]- Автоколебания в системе C.3) при отсутствии ограничений
датчиков подробно исследованы. Автоколебательный режим в СПУ при
наличии ограничений датчиков исследуется посредством анализа поведе-
поведения фазовых траекторий вблизи начала координат [38].
В автоколебальном режиме изображающая точка движется по предель-
предельному циклу, который с энергетической точки зрения характеризуется
скважностью к, т.е. отношением времени включения сопел Твкц за один
цикл ко времени длительности цикла Тц
— ^ВК-Ц
К — ————— ^
Так как СПУ в течение предельного цикла работает ничтожно малую часть
времени, то, как правило, всегда ТВКАХ < Гц, т.е. получается экономичен
ки выгодный цикл с небольшим расходом рабочего тела [38].
70

Рис. 3.8. Фазовая плоскость с учетом запаздывания
71

В работах [37, 41] исследована динамика газореактивной СПУ при пе-
периодически повторяющихся больших возмущениях, ликвидировать кото-
которые можно большим по величине регулирующим воздействием. По мере
уменьшения возмущений для обеспечения заданной точности в СПУ долж-
должно уменьшаться и регулирующее воздействие. Однако с уменьшением ре-
регулирующего воздействия до нуля система становится неустойчивой. По-
Поэтому с определенного момента времени регулирующее воздействие для
обеспечения устойчивости поддерживается постоянным по величине. В
СПУ ввиду нелинейностей и запаздывания в регуляторе появляются авто-
автоколебания. Для уменьшения амплитуды автоколебаний в системе предус-
предусматривается переключение закона регулирования с введением внутренней
обратной связи для компенсации запаздывания регулятора. При появле-
появлении больших возмущений специальное устройство опять включает пере-
переменное регулирующее воздействие и процесс повторяется снова.
Такая релейная газореактивная СПУ описывается системой уравнений
(при экспоненциальном уменьшении регулирующего воздействия) при
t<T
х =5; 8=№[o(t - г)];
t C.5)
Ф(о) =
д
А при о >
- А при о < ^ и Ф(ао) = - А
и при t>T
х = -«, б=Ф[а(г - т)];
о = к3х + гх мипФ, C.6)
д
при а> и Ф(ао)=:А\\
— Ах при о < —
Здесь приняты следующие обозначения: ±Л и ±Аг — постоянные по ве-
величине значения, применяемые релейной характеристикой; Д — ширина
гистерезисной петли; о — начальные условия на каждом участке припасо-
вывания при t ~ + 0; гх — выходная величина внутренней обратной связи;
а, кх, к2, к3 — положительные постоянные коэффициенты. Остальные
обозначения были указаны выше.
Структурная схема СПУ, соответствующая уравнениям движения сис-
системы при "завороженных" коэффициентах, будет аналогична схеме, при-
приведенной на рис. 3.7.
Итак, выбор двух режимов работы СПУ вызван необходимостью обес-
72

Рис. ЗЛО. Характер изменения регулирующего воз-
действия
печигь устойчивость системы и получить же-
желаемые амплитуду и частоту автоколебаний.
При очень малых значениях регулирующего
воздействия система будет неустойчивой, так
как при этих условиях она работает как
бы без регулятора. Поэтому необходимо в момент времени Т, когда уста-
установятся в системе автоколебания и регулирующее воздействие не очень
мало, изменить закон регулирования. В этот момент отключается сигнал
покоординатен (кг = 0, так как устанавливаются симметричные автоколе-
автоколебания) и подключается с целью уменьшения амплитуды автоколебаний
внутренняя обратная связь, компенсирующая запаздывание регулятора.
Кроме того, регулирующее воздействие с момента Г поддерживается пос-
постоянным по величине. Характер изменения регулирующего воздействия
приведен на рис. 3.10.
Существует неправильное представление о том, что компенсация за-
паздывайия не дает никаких преимуществ. Действительно, при почти пол-
полной компенсации запаздывания регулятор приближается к идеальному, но
при этом появляются все недостатки такого регулятора. Регулирующий
орган переключается в этом случае с очень высокой частотой. Частота эта
может стать недопустимой для данного регулятора или регулируемого
объекта. На высоких частотах может произойти срыв автоколебаний, а это
равносильно тому, что система будет работать без регулятора. Поэтому,
если теоретически запаздывание можно полностью компенсировать, то
практически это делать нецелесообразно. Надо принимать во внимание до-
допустимые рабочие частоты регулятора и регулируемого объекта и осу-
осуществлять неполную компенсацию в допустимых пределах. В работе [37]
доказано, что при возможности введения компенсирующей обратной свя-
связи нет необходимости бороться за уменьшение величины запаздывания в
регуляторе СПУ, так как часто мероприятия по уменьшению запаздыва-
запаздывания приводят к усложнению системы и повышению стоимости ее изготов-
изготовления.
3.4. ДИНАМИКА СИСТЕМЫ С УЧЕТОМ ИЗГИБНЫХ КОЛЕБАНИЙ
СТАБИЛИЗАТОРА
Во время раскрытия стабилизатора из-за действия сил Кориолиса или
механизма раскрытия грузам сообщаются начальные прогибы. В этом слу-
случае спутник будет колебаться около центра масс под действием моментов,
сообщаемых ему со стороны грузов, колеблющихся под действием сил
упругости штанг.
73

При выводе уравнений вращательного движения спутника с учетом
изгибных колебаний стабилизатора пренебрегаем распределенной массой
штанг и перемещениями грузов вследствие продольных и крутильных ко-
колебаний, учитывая перемещения грузов, связанные только с поперечными
изгибными колебаниями. Прочими возмущающими моментами пренебре-
пренебрегаем ввиду их малости по сравнению с моментами от СПУ. Не учитываем
также возмущающие силы Кориолиса, возникающие в результате взаимо-
взаимодействия переносного и относительного движений грузов [41].
Для составления дифференциальных уравнений движения спутника в
плоскости с учетом упругих деформаций штанг стабилизатора рассмотрим
кинематическую схему движения только /-й штанги с грузом (рис. 3.11).
Считаем, что центр масс системы расположен в точке О, а штанга и груз
жестко закреплены соответственно в точках Af и Bj. Если груз на /-й штан-
штанге отклонится на угол + #/, то тело спутника повернется на угол — <^. Ана-
Аналогичная кинематическая схема движений будет у системы спутник—ста-
спутник—стабилизатор, когда работает СПУ. Итак, если система спутник-стабилизатор
представляет собой спутник и п штанг с грузами на концах, fo ее можно
рассматривать, как систему с п + 1 степенями свободы. Соответственно
обобщенными координатами будут
Тогда уравнения Лагранжа вто-
второго рода имеют ввд
dt Ыр Ъ\р
d Ы _ Ы _
dt Ъф ' 9ф *
-%.(/= 1,2,..., л), C.7)
где L - функция Лагранжа (L =
= Т - U); Ти U — соответственно
кинетическая и потенциальная энер-
энергия системы; М^ - управляющий
момент СПУ; М^{ - момент сил
внутреннего трения в материале /-й
штанги.
Введем следующие обозначения
(см. рис. 3.11): OAt = а; А\Вг = /;
OBj ~ р/; щ = m - масса /-го груза;
V/ - абсолютная скорость движения
/•го груза, определяемая по
формуле
Рис. 3.11. Кинематическая схема движения системы с
учетом изгиба штанги
4 Тело спутника
74

ф, + *). C.8)
Кинетическая энергия системы спутник-стабилизатор
2 2 i= 1
где /с — момент инерции спутника.
Выражения для потенциальной энергии7-й штанги
Ц = 7Т*"*'' (зло)
где Е( = £ - модуль упругости Юнга для штанги; /,- = /- момент инерции
поперечного сечения штанги.
Подставляя выражения C.8) и C.9) в функцию Лагранжа и учитывая
(ЗЛО), получим согласно C.7) дифференциальные уравнения движения
рассматриваемой системы:
[/с + тпа2 + mnl2 + 2al X cos\j/fly -
7= 1
-тЪ (I2 + akos\ltj)$i+ mall, sini^? =- М^\
'.Г .. 1~~. (з.п)
~ m(l2 1ф) 12ф
3EJ
+ —Ь = ~Щг (/== 1,2 л).
К системе C.11) надлежит еще добавить уравнения, описывающие дина-
динамику СПУ.
Чтобы исследовать уравнения движения системы спутник—стабилиза-
спутник—стабилизатор, необходимо провести упрощение и линеаризацию. Упростим уравне-
уравнения C.11), пренебрегая моментами от сил внутреннего трения в штангах,
так как они малы по величине. Линеаризовав уравнения, полагая амплиту-
амплитуды автоколебаний малыми, получим
[7С + пт(а + 1J]1р - ml(a + 0 2 ty = M,;
/ = i
3EJ (ЗЛ2>
/я/2^ ~ w/(flr + /)* + — ^,- =0 (/=1,2,.. ., п)
Так как СПУ релейна, то управляющий момент М можно принять по-
постоянным на каждом участке припасовывания, и на этих участках можно
найти решение системы уравнений C.12). Для стабилизатора с одной штан-
штангой решение системы уравнений C.12) при начальных условиях \р = ^0»
<Р = Фо>Ф = Фопф = ^0 имеет вид
75

(Фо - Ai4/0)t+ A
ВгМл2; C.13)
ф = i//0cosco1/L+ ^
Для стабилизатора из двух штанг с грузами решение системы уравне-
уравнений C.12) при самых невыгодных начальных условиях 0 = 0О, !р = 0о,
^i = Фг = ^о и ^i = ^2 == 0 имеет вид
Фг = ^cosc^' "" Сй^; Ф2 = ^c°s^^ C^
Постоянные коэффициенты A, Ai,A2i В, Bi,C,Ci и частоты с^ и Сл;2
зависят от параметров системы спутник—стабилизатор.
Из C.13) и C.14) видно,что при выключенной СПУ (М^ = 0) после
раскрытия стабилизатора спутник при 1р0 Ф 0 будет медленно поворачи-
поворачиваться, одновременно совершая колебания с частотой, зависящей от жест-
жесткости штанг. Угловое отклонение увеличивается до тех пор, пока не будет
уравновешено гравитационным моментом. Ввиду того, что силы внутрен-
внутреннего трения в штангах ничтожно малы, гравитационно-устойчивая система
спутник—стабилизатор будет совершать медленные незатухающие колеба-
колебания под действием гравитационного момента и быстрые колебания от ка-
качающихся грузов на штангах. Нежелательные высокочастотные колеба-
щт в системе можно погасить, если ввести в штангах силы внутреннего
трения.
Для ряда конкретных значений параметров спутника и стабилизатора
на ЭВМ (в качестве примера) была численно прфштегрирована система
уравнений C.11) [41]. Сравнение результатов численного интегрирования
с аналитическим решением упрощенных уравнений показало, что частоты
и амплитуды колебаний спутника и стабилизатора в обоих случаях нракти-
чески совпадают. На ЭВМ исследовалось также влияние момента сил внут-
внутреннего трения в материале штанг и демпфирующих устройств. Демпфи-
Демпфирующий момент учитывался по формуле М, = кф. Рассеяние энергии в
штанге (£ = 0,001; 0,005; 0,01) практически не влияет на колебания сис-
системы. Если штанга оснащена демпфирующими приспособлениями (к =
= 1; 5; 10; 100), то колебания в системе затухают очень быстро, однако
спутник продолжает отклоняться от заданного положения до тех пор, по-
пока за счет гравитационного момента не наступит уравновешенное состоя-
состояние. После этого гравитационно-устойчивая система спутник—стабилиза-
спутник—стабилизатор под действием гравитационного момента будет совершать медленные
колебания. Однако амплитуда углового отклонения будет меньше благо-
благодаря введению искусственного демпфирования в штангах. Таким обра-
образом, за счет диссипации энергии при изгибных колебаниях стабилизатора
спутник на небольших интервалах времени не удается задемпфировать.
76

В уравнениях C.13) и C.14) величина управляющего момента Мф
входит с очень малым коэффициентом. Если время работы СПУ невели-
невелико и управляющий момент мал, то за время своей работы она не ока-
окажете существенного влияния на динамику спутника. Поэтому можно сде-
сделать вывод о целесообразности раскрывать стабилизатор после выключе-
выключения СПУ. Если стабилизатор не обладает достаточной жесткостью, то тем
более раскрывать его целесообразно после предварительного успокоения
спутника. О влиянии на динамику гравитационного спутника СПУ, рабо-
работающей длительное время при раскрытом стабилизаторе, следует судить
по результатам исследования полных уравнений движения C.11).
На ЭВМ было проведено исследование полных уравнений движения
изгибных колебаний системы спутник-стабилизатор с учетом работы СПУ
для выбранных параметров спутника и стабилизатора. Исследования пока-
показали, что если СПУ имеет релейную характеристику с зоной нечувствитель-
нечувствительности, то изгибные колебания системы спутник-стабилизатор можно за-
демпфировать в течение приемлемого интервала при небольших по величи-
величине управляющих моментах.
Рассмотрим динамику СПУ с учетом распределенной массы и упругос-
упругости стабилизатора. Для этого случая дифференциальные уравнения, описы-
описывающие пространственное движение упругой системы спутник—стабилиза-
спутник—стабилизатор, получены в гл. 7 [см. уравнения G.19), G.20)]. Добавим к этим уравне-
уравнениям уравнения, описывающие работу СПУ. Рассматривая только плоские
движения гравитационно-устойчивого спутника с одной штангой, получим
следующую систему дифференциальных уравнений [38]:
%ф - 2 & м #+ * АМ А
/ = 1 0{fii
C.15)
Му = Ф[а(г - г)]; а = к^+ к2ф,
. grim? . в *
гдел,•= ; А —полная работа диссипативных сил; \р= 2, <# —
Fylxfdz
угол отклонения спутника, как твердого тела, от местной вертикали;
<Pj - угол отклонения спутника от местной вертикали для /-й нормальной
формы колебаний системы; со/ - собственная частота /-и нормальной фор-
Fy
мы колебаний системы; - масса единицы длины штанги; / - длина
g
штанги.
Аналитическое исследование динамики СПУ гравитационно-устойчи-
гравитационно-устойчивого спутника с учетом распределенной массы и упругости стабилизатора
по уравнениям C.15) крайне трудно. Поэтому исследуем движение сис-
системы спутник—стабилизатор на ЭВМ, предварительно сделав ряд упроще-
упрощений: 1) ограничимся числам нормальных форм к = 2, так как колебания
77

более высоких нормальных форм слабо влияют на динамику СПУ; 2) бу-
будем считать, что датчики, установленные на теле спутника, идеально опре-
определяют угловое отклонение <р и скорость <р последнего; 3) рассмотрим
наиболее неблагоприятный случай, когда отсутствуют силы внутреннего
трения, т.е. дА/дщ = 0; 4) будем считать, что СПУ имеет идеальную релей-
релейную характеристику с запаздыванием т, Му = wysign [o(t - г)], где ту =
= \Му | — абсолютная величина управляющего момента.
В качестве примера рассмотрим систему спутник-стабилизатор, имею-
имеющую следующие основные параметры: масса тела спутника Шх =
= 14,7103 кг; масса груза т2 = 9,81 Ю3 кг; длина штанги/= Юм; рас-
расстояние между центром масс тела спутника и точкой крепления штанги к
телу спутника п\ = 2 м; расстояние между центром масс груза и точкой
крепления штанги к грузу а2 = 1 м; ту = 98,1 Н-м; £ = 9,81 -10й Н/м2;
г = 0,05 с; кх/к2 = 0,1 1/с; диаметр сечения штанги d = 0,05 м; толщина
сечения штанги б = 210~3 м. Имея основные параметры системы, опреде-
определим остальные необходимые параметры по известным формулам.
Считая, что форма тела спутника и груза цилиндрическая и масса рав-
равномерно распределена по объему, получим
ГПхпх
h з
2
h з
— 1Уо2Цкг*м И
— 3266,7 КГ'М .
Момент инерции всей системы
+ [аг
g
у FI ТП\ТП2
+ + (а^ + а2
\2g тг + m2
I m
2 w + m ^ 2
Изгибная жесткость штанги (штанга в виде
EJ =Е —
16
ч/36=48-103Н-м2.
2
+ 0
f)]2 =9,8Ь105кг-м2.
трубы):
Используя формулы, приведенные в работе [38], определяем собственные
частоты
со? = 0,75-1/с2; со2 = 7-1/с2; coj = 6000-1/с2
и коэффициент при управляющих моментах:
Ао = 5,6940^ град/ (кг-м2); Аг = ЗД410'2 град/ (кг-м2);
А2 =3,5840-3 град/ (кг-м2); Аъ =4,0-10^ град/(кг-м2).
Сравнивая коэффициенты Ах, А2 иЛ3) можно сделать вывод,что ко-
колебания высших нормальных форм (i > 2) не влияют на динамику СПУ.
78

Поэтому при исследовании целесообразно ограничиться числом нормаль-
нормальных форм и рассматривать всего две нормальные формы (не считая ну-
нулевой) .
Система уравнений C.15) с учетом указанных выше упрощений при-
примет следующий вид
Ф "~ <Pi " #2 = "
'ф2
= -А2Му\ Му =
к2ф .
- г)],
(ЗЛ6)
Исследование уравнений C.16) на ЭВМ показало, что система спут-
спутник—стабилизатор с газореактивной СПУ устойчива при некоторых огра-
ограничениях на ее параметры. Устойчивым режимом работы является автоко-
автоколебательный. Система, совершая затухающие колебания, стремится к
устойчивому предельному циклу. На рис. 3.12 приведен переходный про-
процесс в системе для выбранных параметров при времени запаздывания г =
= 0,05 с. (Показано изменение во времени угла отклонения <£, скорости ф
отклонения тела спутника от местной вертикали и управляющего vmomch-
та СПУ Му). Система, имея изгибные колебания, одновременно уходит по
углу. В дальнейшем СПУ выбирает это угловое отклонение, и в системе
появляются устойчивые автоколебания. Переходный процесс затухает за
допустимый интервал « 3,5 мин. При исследовании динамики изучалось
влияние величины времени запаздывания СПУ на устойчивость работы сис-
-8°
Рис. 3.12. Переходный процесс в СПУ
79

темы. При г < 0,02 с наблюдалась недопустимо большая частота переклю-
переключения управляющего момента СПУ.
В работе [14] рассмотрена динамика импульсной газореактивной сис-
системы ориентации жесткого КА. Однако большие размеры и конструкция
современного КА не всегда позволяет считать его твердым телом. Взаимо-
Взаимодействие импульсной системы с упругой конструкцией КА может привес-
привести к потере устойчивости. В работе [57] получены условия, которые необ-
необходимо наложить на параметры импульсной системы ориентации, чтобы
она была пригодна для управления угловым движением упругого КА:
1) для уменьшения влияния последовательности импульсов управляюще-
управляющего момента на упругие колебания КА необходимо длительность импуль-
импульсов делать равной периоду собственных колебаний упругого КА; 2) для
уменьшения амплитуды вынужденных колебаний КА (как первой, так и
второй нормальных форм) рекомендуется вводить определенные ограни-
ограничения на порядок следования и форму импульсов управляющего мо-
момента.
ГЛАВА 4. ИССЛЕДОВАНИЕ ДИНАМИКИ СПУТНИКОВ,
СТАБИЛИЗИРОВАННЫХ ВРАЩЕНИЕМ
4.1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ, СИСТЕМЫ КООРДИНАТ
И УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ
В данной главе рассматривается вращающийся спутник как о&ьект
управления, имеющий на борту специальную систему ориентации, которая
периодически включается с целью приведения оси вращения в заданное по-
положение. В связи с этим решается ограниченная задача "прогнозирования
в малом", т.е. прогнозируется движение оси вращения спутника в проме-
промежутке между двумя последовательными включениями системы ориента-
ориентации, когда можно считать, что величина отклонения оси вращения спутни-
спутника от заданного положения остается малой и не превышает 10.. .20°.
Основная задача исследования состоит в том, чтобы: 1) получить
достаточно простые уравнения, описывающие движение оси вращения в
единой форме при воздействии возмущаю!цих факторов различной приро-
природы и удобные для дальнейших исследований; 2) используя асимптотичес-
асимптотические методы, найти решение этих уравнений при суммарном воздействии
всех рассматриваемых возмущающих факторов; 3) получить достаточно
простые оценки изменения ошибки ориентации и разработать методику
расчета необходимой частоты включения системы ориентации (частоты
проведения коррекций). Зная частоту коррекций, можно рассчитать та-
такие параметры системы ориентации, как расход рабочего тела, энерго-
энергопотребление, время активной работы.
80

В отличие от классических методов решения задач прогнозирования.
[7], когд^ рассматривается движение вектора кинетического момента
спутника L в некоторой абсолютной системе координат, при данной поста-
постановке задачи более естественным является изучение движения ориентируе-
ориентируемой оси спутника ОХ в системе координат, связанной с заданным направ-
направлением ориентации Хзад. Это позволяет также с единых позиций изучать
как задачу прогнозирования, так и задачу управления. Так, например, в
системах ориентации, использующих оптические датчики информации,
именно это движение проектируется на плоскость оптического поля зре-
зрения датчиков.
При исследовании динамики спутника, стабилизированного враще-
вращением, будем использовать следующие системы координат (рис. 4.1). Вве-
Введем в рассмотрение опорную систему координат OX0Y0Z0, начало кото-
которой совпадает с центром масс спутника, а ось ОХ0 направлена вдоль тре-
требуемого (заданного) направления ориентации Л^ад- Выбор направления
Х0Cаданное направление
ориентации)
(Ось
вращения)!
z №*°cmbnn
(8 т весны) ора
б)
Ус \
в) г)
Рис. 4.1. Системы координат и основные элементы движения
81

двух других осей в случае одноосной ориентации может быть произволь-
произвольным и определяется удобством исследования. Система координат ОХ0 Y0Z0
в общем случае может быть подвижной, если вектор требуемого направле-
направления ориентации изменяется во времени, что имеет место, например, для
спутников Земли, ориентируемых в направлении на Солнце.
Со спутником свяжем две подвижные системы координат: 1) систему
Oxryrzri оси которой направлены по главным центральным осям инерции
КА; 2) систему Oxyz, оси которой направлены по строительным осям КА,
где Ох — ось вращения.
К строительным осям "привязана" различная аппаратура, установлен-
установленная на спутнике, в том числе датчики ориентации и исполнительные орга-
органы системы управлейия. Раскручивание спутника до заданной скорости
вращения осуществляется также вокруг одной из его строительных осей,
которая и является осью ориентации. В практических случаях вследствие
ряда конструктивных особенностей спутника, а также вследствие неточно-
неточного знания геометрии распределения его масс строительные оси не совпада-
совпадают в точности с главными центральными осями инерции.
Угловое положение спутника, т.е. положение его строительных осей
Ox, Оу, Oz относительно опорной системы координат OX0Y0Z0 при ука-
указанной выше постановке задачи удобно задавать с помощью системы "са-
"самолетных" углов #, ф9 у (рис. 4.1, а). Соответствующая матрица направ-
направляющих косинусов приведена в табл. 4.1. Применение таких углов при
стабилизации спутника вращением имеет ряд преимуществ по сравнению с
традиционным использованием углов Эйлера, а именно: 1) нет особеннос-
особенности в кинематических уравнениях при угле нутации в = 0; 2) углы #, ф,
у более удобны и наглядны при описании движения оси вращения при ма-
малых отклонениях, а также при описании управляющих сигналов, посту-
поступающих с оптических датчиков ориентации; 3) позволяют применить бо-
более компактную комплексную форму записи уравнений движения.
Опишем также другие используемые системы координат: CXYZ -
абсолютная система координат с началом в центре Земли С; ось CY на-
направлена вдоль оси вращения Земли, ось CZ лежит в экваториальной плос-
плоскости и направлена в точку весеннегр^цавноденствия, ось СХ дополняет
систему до правой (см. рис. 4.1, б); CXY%- вспомогательная абсолютная
(геоцентрическая) система координат, которая отличается от сидтемы
CXYZ тем, что ось С^направлена в узел орбиты спутника.
Таблица 4J
Направляющие косинусы а)
Оси
х cos\//cos# sin# — sin^costf
у sin^ sin? — sinflcos^ cost costfcosy cos^ sin? + sintfsin^ cos?
z sin\//cos7+ sintfcosi^siivy — costfsiivy cosi^ cosy — sintfsin^ siivy
82

Продолжение табл. 4.1
б)
Оси
Уп
X cos/cosn
— cosnsin/
cosw^sin/
cos/
sincj^sim
X sin/sinn
sin П sin/
X cos/cosn
Оси
Уо
Оси
YC
X
- sinwsinn + cosucosncos/
- cosnsin/
costisinn+ sin«cosncosi
X
Y
cost/ sin/
cos/
sintisin/
Y
sinttccos/3
- sm/3
- COSWcCOS/э
1
Оси f Xqq
•
sinwcsin/3
cos/3
- coswcsin/3
Yco
— cosnsinu
sin 17 sin/
cosncosM -
coswc
0
sin«c
Z
в)
— sinncosucos/
sinnsini/cos/
Z
Zco
r)
Д)
*no Pn = ~ sinn cos i
Рг\ = sinHsin/
X cos/+ cos/3sin/
P22 = sin/3cosn X
X sin/+ cos/э cos/
P13 = — cos/3cosn X
X cos/— sin/3sin/
Р2З ^ cos/3cosnsin/ -
— sin/3 cos/
*по Ръ\ - со
Оси |
sn
P32 =
— sin /3 sinn
Уп
рзз=— cos/3sinn
e)
sin (9 sin Л
cosflsinX
cos\
COS0
- sin<9
0
sin0cos\
cose со s\
- sin\
83

Oxllynzn - "перигейная" система координат с началом координат в
центре масс спутцика О; ось Ozn направлена параллельно радиусу-вектору
перигея орбиты R, ось Оуп перпендикулярна к плоскости орбиты, ось Охп
параллельна касательной в перигее орбиты и направлена в сторону движе-
движения спутника по орбите; в тех случаях, когда не учитывается эволюция
орбиты, эта система координат рассматривается в качестве неподвижной;
Ox0yoZ0 — орбитальная (подвижная) система координат; ось Oz0 направ-
направлена по текущему радиусу-вектору орбиты, оси Оу0 и Ох0 параллельны
соответственно нормали к плоскости орбиты и трансверсали (рис. 4.1, б),
Связь между этими системами координат дана в таблицах направляю-
направляющих косинусов, где использованы следующие обозначения [6]: /(i0) — на-
наклонение орбиты спутника; п — долгота восходящего узла орбиты, отсчи-
отсчитываемая от точки весеннего равноденствия; соя — угловое расстояние
перигея орбиты от линии узлов; и = соя + v\ v — истинцая аномалия.
Кроме того, при исследовании динамики спутников, стабилизируемых
вращением в направлении на Солнце, будет использоваться также подвиж-
подвижная система координат CXcYqZc, ось СХс которой направлена на Солнце,
ось CYC направлена перпендикулярно к плоскости эклиптики в сторону
вектора "вращения" Солнца, ось CZC дополняет систему до правой (см.
рис. 4.1, в). Положение системы координат CXcYqZc относительно абсо-
абсолютной системы CXYZ определяется табл. 4.1, г, где использованы обоз-
обозначения: 4 — угол наклона плоскости эклиптики к плоскости эемного
экватора; ис — угол, характеризующий положение Солнца в плоскости
эклиптики относительно точки весеннего равноденствия. Для упрощения
записи кинематических соотношений удобно использовать матрицу на-
направляющих косинусов llPiyll между осями Схп0, О>по> Czn0, получае-
получаемыми из перигейной системы координат при соя = 0 и осями СХс0,
CYc0, CZcOi получаемыми из системы координат CXCYCZC при ис = О
(табл. 4.1, д).
Все рассматриваемые системы координат являются правыми. В об-
общем случае положение опорной системы координат ОХ0 Y0Z0, связанной с
заданным направлением ориентации, относительно абсолютной системы
координат OXYZ будем характеризовать с помощью матрицы направляю-
направляющих косинусов || ац ||:
Го
Zo
X
аи
а21
031
Y
а12
а22
032
Z
023
033
а ее положение относительно перигейной системы координат — с помощью
матрицы || bfj ||. В ряде случаев направление осей OXQ, OY0,OZQ будем за-
задавать в перигейной системе координат с помощью углов 0, X в соответст-
соответствии с рис. 4.1, г, где в — угол между вектором ориентации и направлением
84

нормали к плоскости орбиты, X — угол между осью OZn и проекцией ОХ0
на плоскость орбиты [7]. Тогда матрица || Ъу || принимает вид, приведен-
приведенный в табл. 4.1, е.
Движение абсолютно жесткого спутника относительно его центра масс
в связанной (строительной) системе координат описывается уравнениями
Эйлера:
Ixxb>x ~ Ixy&y ~~ Ixz^z — ~~ ifzz ~~ lyyY^y^z ~~
Mx = Ax;
- Ixyo)x + T^co,, - Iyz<oz = - GX
- IyzCOyOOz + /xj/COj;^ + My=B
By\
+
- IXy(C0y - CO^ ) ~ IxzCOzCOy + lyz^z^X + Mz = C
CZi
где сох, o;^,, coz — проекции мгновенной угловой скорости спутника на
связанные оси; 7^, 7^, 7ZZ — моменты инерции спутника относительно
осей OX, OY, OZ (в дальнейшем будем пользоваться также сокращенной
записью осевых моментов инерции в виде: Ix, Iy, 7Z); lxyJyzJzx — центро-
центробежные моменты инерции спутника; Мх, Му, М2 — проекции суммы внеш-
внешних моментов на соответствующие оси: Af,- = Af/y + Л//в (/ = л:, yt z) M,-y,
Af,-B — проекции управляющего и возмущающего моментов соответствен-
соответственно; управляющий момент представляет собой сумму восстанавливающе-
восстанавливающего и демпфирующего моментов.
Данные уравнения необходимо дополнить системой кинематичес-
кинематических уравнений, которые для принятой системы "самолетных" углов
имеют вид:
bjycosy cjzsin7
ф = ; # = covsin7+ cozcos7; У = о>х - i/zsirn^. D.2)
cos# *^
Если связанные оси OX, OY, OZ направлены по главным центральным
осям инерции, то система D.1) упрощается и принимает вид:
if у "" fzY*y<*2 =МХ\
lyCoy - GZ - 1х)сохсо2 -Му\ D.3)
h&2 - Qx ~ 1уУ*хиУ =М*>
где 7Х, Ту, 7Z — главные центральные моменты инерции спутника относи-
относительно соответствующих осей.
Система уравнений D.1) применяется в том случае, когда строитель-
строительные оси объекта не совпадают с главными центральными осями инерции
(например, неточно известна геометрия распределения масс спутника).
Этот факт часто приходится учитывать, так как управляющие и демпфи-
демпфирующие моменты обычно создаются относительно строительных осей
объекта, датчики углового положения и угловых скоростей установлены

по строительным осям, возмущающие моменты также часто бывают опре-
определены в проекциях на строительные оси.
В дальнейшем будем считать, что центробежные моменты инерции
либо равны нулю, либо малы по сравнению с осевыми моментами инерции
^■<1, ('* /Г D.4)
Ik к
Управляющий момент Мху = Л/р за конечный отрезок времени fp рас-
раскручивает спутник вокруг оси Ох до заданнрй скорости сох = сор. Угло-
Угловые скорости coy и coz в момент окончания раскручивания равны cjyO>
o>z0. Угловая скорость достаточно велика, так что выполняются условия:
|сор ! > |со/01; D-5)
[сор | > jco/l, i=y9z. D.6)
Возмущающие моменты либо равны нулю, либо достаточно малы:
Мх=Му=М2ъ0; D.7)
Исследование динамики спутника, стабилизированного вращением,
начнем с изучения короткопериодического движения оси вращения, при-
причинами возникновения которого могут быть следующие факторы [28]:
1) наличие ненулевых начальных условий по угловой скорости в плоскос-
плоскости, перпендикулярной оси вращения, что может иметь место, например,
вследствие неидеальной работы периодически включающейся системы
ориентации; 2) наличие момента, постоянного в связанной системе коор-
координат, например, управляющего момента, момента от травления рабочего
тела газореактивной системой при отсутствии управления, возмущающе-
возмущающего момента при включении двигателей коррекции орбиты вследствие
отклонения вектора тяги от направления в центр масс спутника; 3) не-
несовпадение строительных осей спутника с его главными центральными
осями инерции.
4.2. АНАЛИЗ ДВИЖЕНИЯ ДИНАМИЧЕСКИ СИММЕТРИЧНОГО
СПУТНИКА
При изучении динамики спутника будем считать, что центр масс
спутника движется по неподвижной в абсолютном пространстве орбите.
Положим, что спутник выполнен симметричным в виде волчка, т.е.
Iy=I2=lKlx >/. D.8)
Для анализа угловых движений вращающегося спутника рассмотрим сис-
систему уравнений D.3).
86

Найдем решение системы уравнений D.3) в предположении Л// = 0.
После интегрирования первого уравнения системы D.3) для t > Гр она
примет вид:
сох = сор;
Щ - (/-/x)<Optoz=0; D.9)
Itbz - (Ix - /JojpCOy = 0.
Второе и третье уравнения системы D.9) удобно объединить в одно
уравнение в комплексной форме:
/ -—- = Ао>, D.10)
at
где со = соу + /coz;
Л = 7* ~ 7 *>р D.11)
Интегрируя уравнение D.10), получим
со = ео0ем', D.12)
где со0 — постоянная интегрирования (со0 = соуо + /coz0) (*== ^р принима-
принимаем за новое начало отсчета).
Здесь со — проекция абсолютной угловой скорости спутника на его
"экваториальную" плоскость YOZ, если ею пользоваться в качестве
плоскости комплексной переменной со. Из формулы D.12) видно, что эта
проекция описывает круг радиуса со0 с постоянной угловой скоростью А.
Вместе с этим, продольная ось объекта описывает круглый конус вокруг
вектора кинетического момента спутника. Угол раствора конуса в опреде-
определяется по формуле
у _ = /4.1 3)
А + cjp A + и
или с учетом D.11)
$_J*b+<*h _L D14)
Из формулы D.14) следует, что для уменьшения угловых отклонений
надо увеличивать угловую скорость сор и отношение моментов инерции
IX\L Если начальные скорости coyOi cozo малы, то отклонение оси враще-
вращения от своего первоначального положения во все моменты времени также
будет мало, т.е. вращение устойчиво* Это движение известно под названи-
названием регулярной прецессии вращающегося тела.
Рассмотрим случай вращения спутника вокруг оси OY. После раскру-
раскручивания при t > /p уравнения движения D.3) будут иметь вид
87

1хых = 0; Icby - (/ - Ix)uxo>z = 0,
= 0. D.15)
Интегрируя первое уравнений, получим
оох = оохо = const. D.16)
Покажем, что движение, описываемое системой уравнений D.15)^ бу-
будет неустойчивым.
Рассмотрим два возможных случая: сох0 ^ 0 и сохО = 0. При со^о ^ 0
движение неустойчиво, так как ось вращения будет поворачиваться в
плоскости Yo OZ0. При сохо = 0 будет coz = coz0 > и при cjz0 =£ 0 движение
будет неустойчивым, так как отклонение оси вращещщ неограниченно
увеличивается в плоскости Y0OX0. Итак, вращение спутника вокруг оси
OY с меньшим моментом инерции неустойчиво.
Укажем еще один возможный случай движения спутника, когда рас-
раскрученный спутник поворачивается, причем его ось вращения, оставаясь в
плоскости орбиты, непрерывно отслеживает местную вертикаль. Известно,
что если твердое тело, вращающееся около своей оси ОХ с угловой ско-
скоростью сор, осуществляет поворот около некоторой оси, образующей с
осью вращения тела угол ^, с угловой скоростью о;0, то появится гироско-
гироскопический момент, равный
Мг = Ixcopoooshnp , D.17)
стремящийся повернуть ось тела ОХ к оси сообщаемого_врзщения так,
чхобы при совпадении осей вращения векторы скоростей о;р и иH совме-
совмещались. Из формулы D.17) следует, что при заданных 1Х, сор и со0 гиро-
гироскопический момент достигает своего максимального значения при
<^ = 90°.
Отсюда можно сделать вывод, что если ось вращения спутника пово-
поворачивается, располагаясь в плоскости орбиты и отслеживая местную вер-
вертикаль, то на спутник будет действовать гироскопический момент, стремя-
стремящийся повернуть ось вращения и установить ее перпендикулярно к орби-
орбитальной плоскости C8).
В тех случаях, когда предъявляются повышенные требования к точ-
точности ориентации спутника, нутационное движение необходима демпфиро-
демпфировать с помощью специальных устройств, основанных на использовании ко-
колебаний поля ускорений внутри спутника. Поле ускорений создает в демп-
демпфере относительное движение, в процессе которого совершается работа
против сил трения [48] (см. разд. 2.3).
Рассмотрим случай, когда на спутнике имеются специальные устройс-
ва, которые создают демпфирующие моменты относительно осей OY и
OZ, пропорциональные угловым скоростям
88

где Вх > 0 — постоянная величина, зависящая от свойств и параметров
демпфирующего устройства.
В этом случае два последних уравнения системы D.3) при условиях
D.5) . . . D.8) с учетом обозначений D.11) и В = Вх /I приводятся к сис-
системе двух уравнений:
coy + Всоу + A(jOz = 0;
coz ~ Acoy + Bcoz = 0.
*
Решение системы уравнений D.18) в комплексной форме:
D.18)
D.19)
Отсюда видно, что нутационные движения будут затухать асимптоти-
асимптотически и тем быстрее, чем больше величина В.
Рассмотрим случйй, когда кроме демпфирующих моментов имеются
еще возмущающие моменты относительно осей OY и OZ, отличные от ну-
нуля, т.е. в системе уравнений D.3)
MyB(t)¥=0 и М2ъ{г)Ф0.
Если возмущающий момент в инерциальной системе координат пос-
постоянен и лежит в плоскости орбиты (ось вращения спутника перпендику-
перпендикулярна плоскости орбиты), то система уравнений D.3) после раскручива-
Щя спутника приводится к неоднородному уравнению
D.20)
где т0 =
тое
— возмущающий момент в связанной системе координат.
Решение уравнения D.20) в момент t = tx:
= (со0 -
т
В+ iA0
TTIq
В -iA0
где Ао —А + соо или Ао =
D.21)
D.22)
Из выражения D.21) видно, что угловая скорость в плоскости Y0OZ0
состоит из двух слагаемых. Первое слагаемое представляет собой перемен-
переменную составляющую, которая затухает с течением времени, второе — по-
постоянную составляющую в инерциальной системе координат, которая вы-
вызывает уход оси вращения с постоянной скоростью. Скорость ухода оси
вращения в инерциальной системе координат с учетом равенств D.22)
определяется формулой
тр
89

Эта формула показывает, что для уменьшения скорости ухода оси
вращения спутника при действии постоянного по величине возмущающего
момента необходимо увеличивать скорость вращения сор и отношение мо-
моментов инерции 1х/1.
Рассмотрим отдельно случаи совпадения и отклонения строительных
осей спутника от его главных центральных осей инерции.
4.3. ДИНАМИКА АСИММЕТРИЧНОГО СПУТНИКА ПРИ СОВПАДЕНИИ
ЕГО СТРОИТЕЛЬНЫХ И ГЛАВНЫХ ЦЕНТРАЛЬНЫХ ОСЕЙ ИНЕРЦИИ
Уравнения движения в этом случае имеют вид D.3) или
сох = kxcoycoz + тх\ (by = - куа>хо>2 + ту\
coz = k + m
где
Aix My Mz
mx = — ; my = -— ; mz = --— ,
lx Iy 1Z
Уравнения D.23) являются нелинейными (нелинейность типа произ-
произведение) .
Рассмотрим сначала последние два уравнения в предположении сох -
= сохо = const [27]. Например, будем считать, что система стабилизации
поддерживает угловую скорость постоянной. Тогда
(jjy + kyCoXQioz == my\ u)z """ /czo}XQO}y == mz. D.24)
В дальнейшем считаем, что управляющие и возмущающие моменты
My и Mz являются постоянными в связанной системе координат.
Решение системы уравнений D.24) будем искать в комплексной фор-
форме. С этой целью продифференцируем уравнения D.24)
СО у == К у С0х q COZ \ CJZ == Kz COX q СО у.
Подставив сюда выражения для coy, coz из D.24) и перейдя к комплекс-
комплексной форме записи, получим
со + k2G)xOco = ik сох0ц9 D.25)
где введены следующие обозначения:
_ • 2 Jx h
COy+lUz, - у z~ h ^
ky
г mz kz
90

Решение уравнения D.25) при начальных условиях со0 иыо^- ky(oxocozo+
+ ikzcoxocoyo + т (где т = ту + /wz) совпадает с решением системы
D.24):
со = s0
ikujxot
* <•"•>* О
D.26)
где
В тех случаях, когда осью вращения ОХ является ось среднего момента
инерции, имеем kykz < О, к = /1 к |, и, как это следует из уравнения
D.26), угловая скорость со, а следовательно, и угол прецессии при нали-
наличии Динамической асимметрии (КФ 1) неограниченно увеличивается. Если
же ось вращения является осью наибольшего или наименьшего моментов
инерции, то к будет действительным числом, и угловая скорость объекта
будет ограничена по модулю
\w% I
D.27)
где X* = тах(Х, — ).
А.
Вектор угловой скорости в этом случае совершает периодическое дви-
движение в плоскости YOZ, перпендикулярной оси стабилизации, с периодом
Т = 2п/ксохо- Годограф вектора представляет собой эллипс с полуосями
а = \s0 I, Ь = \/М$о I, центром in/k<ox0 и эксцентриситетом е = yl
(рис. 4.2). Коэффициент X* характе-
характеризует величину динамической асим-
асимметрии спутника. Для динамически
симметричного спутника X* *= 1. При
наличии динамической асимметрии,
т.е. при увеличении X* угловые ско-
скорости и, следовательно, углы прецес-
прецессии увеличиваются.
Рис. 4 2. Годограф вектора угловой ско-
скорости
U)z
91

В дальнейшем будем предполагать, что выполняются следующие
условия:
а) ось вращения ОХ не является осью среднего момента инерции;
б) поперечные моменты инерции спутника 1у, 1Х близки друг к другу,
так что X* имеет порядок 1.
в) угловая скорость ых0 достаточно велика, так что справедливы не-
неравенства
fcoof < Icojcol; Ktl, \my\9 \mz\< kcoxO.
При этих условиях, как следует из уравнения D.27), скорость прецес-
прецессии является малой величиной \со\ < |сох01-При малой прецессии
(| со i < Icjxol» \<*\ < 1) кинематические уравнения D.1) на ограничен-
ограниченном отрезке времени можно заменить приближенным уравнением (а =
= ф + /д - вектор углового отклонения стабилизируемой оси спутника)
а = сое х . D.28)
Подставив выражение D.26) в уравнение D.28) и проинтегрировав, по-
получим
[1-е 1 г—[1 - е 1.
D.29)
Таким образом, угловое движение оси вращения спутника склады-
складывается из трех периодических движений с периодами
- к)и>х0
Угловые отклонения стабилизируемой оси объекта ограничены по модулю
J D30)
Отсюда следует,что \а\ < 1,если |«о | < 1.
Неравенства D.27) и D.30) можно использовать для оценки угловой
скорости и величины отклонения спутника. Для более точной оценки
максимального отклонения стабилизируемой оси спутника от заданного
направления лучше всего воспользоваться неравенством
!а|<|ао + Л+Я+ С|+ |Л|+ [В|+ \С\,
где
_ ^о 1 + у/Т __ /То 1 - >Д _
(l^) 2 ' к 2 '
92

Годограф вектора а вписывается в окружность с центром а0 = olq + А +
+ В + С и радиусом г=|Л|+ |#|+ |С|. Типовая траектория движения
конца оси ОХ (годограф вектора а) приведена на рис. 43. Если осью вра-
вращения является ось наименьшего момента инерции, то угловые отклоне-
отклонения для прочих равных условий будут больше, чем при вращении спутни-
спутника вокруг оси наибольшего момента инерции.
В случае динамически симметричного спутника выражения D.26) и
D.29) принимают вид
D.31)
Исследуем теперь движение объекта, когда не поддерживается по-
постоянство скорости вращения. Для этого рассмотрим уравнение
(bx = kxcoycoz + mz D.32)
и будем считать, что угловые скорости о>у и со2 изменяются в соответст-
соответствии с выражением D.26). Правая часть уравнения D.32) при этом усло-
условии содержит периодическую составляющую с периодом Т = 2гт/кс^х0
mymz
и постоянную составляющую, равную (- кх £ 2 + пу.). Приращение
к ш0
скорости в течение периода Т за счет периодической составляющей равно
нулю. За счет постоянной составляющей приращение скорости:
mvmz
Д^хср = (" **ТГ + mx)t9 D.33)
к шх0
Если считать, что кх/к ненамного больше 1, что обычно выполняется, то
согласно выражению D.33) за период времени Г имеем
ку
В частности, если осью вращения ОХ является ось наибольшего момента
инерции и разность поперечных моментов инерции удовлетворяет нера-
неравенствам
\1У - IZ\<UX - Iyl My - Iz\< (Ix - /2),то кх/к<1.
93

< К
откуда
До
'*.
"хо
Рис. 43. Годограф вектора, характери-
характеризующего отклонение стабилизируемой
оси от заданного направления
При "свободном" движении, т.е.
при отсутствии возмущающих и
управляющих моментов, приращение
скорости сох за период Т равно ну-
нулю. При наличии момента максималь-
максимально возможное отклонение скорости
сох относительно начального значе-
значения G)x0 в течение периода Т можно
оценить, воспользовавшись урав-
уравнением D.32):
2тг
Таким образом, относительное изменение скорости вращения за вре-
• 2тг
мя, сравнимое с периодом Г= — , пренебрежимо мало, если выпол-
выполнены ранее, упомянутые условия а, б и в. Поэтому выражения D.26),
D.29) и D,33) могут рассматриваться как приближенное решение дина-
динамических D.3) и кинематических D.1) уравнений вращающегося спут-
спутника.
4.4. ДИНАМИКА АСИММЕТРИЧНОГО СПУТНИКА
ПРИ НЕСОВПАДЕНИИ ЕГО СТРОИТЕЛЬНЫХ ОСЕЙ
С ГЛАВНЫМИ ЦЕНТРАЛЬНЫМИ ОСЯМИ ИНЕРЦИИ
В случае асимметричного спутника при несовпадении его строитель-
строительных осей с главными'центральными осями инерции появляются центро-
центробежные моменты инерции Ixy, IyZt Izx. Однако, так как углы перекоса
эллипсоида инерции для КА, стабилизированных вращением, должны быть
малы, то будем считать, что выполняются неравенства
Этим обстоятельством воспользуемся для линеаризации динамичес
ких уравнений объекта. Из системы уравнений D.1) находим

= ~Их {Iyx ~Iyz)+ By(IxyIz
+ /«M + CzQxb ~ Ixy)l С4-34)
где A = IxIyIz - 2IxyIyzIxz - Iyt$z - IxPyz. ~ Izticy
Пренебрегая величинами более высокого порядка малости, чем hjlh,
получим
A = IxIyIz. D.35)
Допустим, что решение системы уравнений D.1) удовлетворяет не-
неравенству | о; | < | (jox |. Тогда, пренебрегая величинами третьего порядка
малости по сравнению с 1ки>1 в выражении для Ах и второго порядка ма-
малости по сравнению с Ikoj\ в выражениях для Ву и Q, получим
D.36)
Подставив значения А, Ах, Ву и С2 из выражений D.35) и D.36) в
уравнения D.34) и сделав ряд соответствующих упрощений и преобразо-
преобразований, получим
D.37)
hy
h
mz
Как и для ранее рассмотренного случая, когда совпадают строительные
и главные оси инерции объекта, исследуем последние два уравнения систе-
95

мы D.37) при условии сох = сох0 - const. Эти уравнения совпадают по
форме с уравнениями D.24) и их решение имеет вид D.26), если ввести
следующие обозначения:
ту=-^<4о + т°у; mz = 7^*0 + "*?, D.38)
ly *z
где т° = ту + /mj — внешний момент.
Для уменьшения угловой скорости прецессии стабилизируемой
оси необходимо, чтобы момент инерции спутника 1Х отличался от его
поперечных моментов инерции 1у и Iz так, чтобы коэффициент к =
= у(— " 0(— ~ 1) > был достаточно велик, т.е. выполнялись нера-
Iz 1у
1у
венства
|—1 < к9 где /, /, к = х, у, z и / т^/. Учитывая последнее, из урав-
нений D.38) получим, что \т\<кых0. Теперь из равенства D.27) следу^
ет, что | со | < | сох0 I, т.е. условия малости угловой прецессии выполняют-
выполняются. При этом изменение углов прецессии происходит в соответствии с
приближенным выражением D.29).
Оценим изменение скорости сох за период Т = 2irlkcjx0 (на отрезке
времени [О, Т]) при условии, ч-о соу и coz изменяются в соответствии с
выражением D.26). Из уравнений D.37) имеем
где е =
Отсюда при достаточно малых е/ получим оценку | —^- | < 1. При
этом приращение скорости сох за время Г при отсутствии внешних момен-
моментов равно нулю.
Таким образом, при выполнении ряда условий, гарантирующих ма-
малость углов отклонения оси вращения от заданного направления стабили-
стабилизации, движение спутника описывается приближенными выражениями
D.26) и D.29) . При несовпадении строительных осей с главными цент-
центральными осями инерции объекта движение ориентируемой оси ОХ проис-
происходит приблизительно также, как если бы главные оси инерции совпадали
со строительными осями, но к спутнику был бы приложен дополнитель-
дополнительный момент:

Решения уравнении движения D.26) и D.29) можно записать в не-
несколько иной форме, если ввести обозначения
h-b
Тогда получим
s0 = (<^уо +
тУ
е
0so
JJll. + t в. D.39)
/So I + л/Г /CJXOA+ *)^
О+[1-е ] +
к) 2
2
[1 - е 1 -
l J
Комплексный параметр в характеризует отклонение строительной оси
объекта ОХ (оси вращения) от направления его главной оси инерции.
Для динамически симметричного спутника (X = 1) и при отсутствии
внешних возмущающих моментов выражения D.39) принимают вид
ikwxOt
со = (со icod)e + i6
A + k)ojx0 I + к
При решении ряда практических задач было получено хорошее совпа-
совпадение расчетов по формулам D.39) с результатами численного интегриро-
интегрирования динамических и кинематических уравнений D.1), D.3) на ЭВМ.
97

4.5. ВОЗМУЩЕННОЕ ДВИЖЕНИЕ АСИММЕТРИЧНОГО СПУТНИКА
Рассмотрим движение спутника в центральном гравитационном поле.
Для простоты исследования выбираем в качестве основных элементов
движения величину кинетического момента L и углы р, а, 0, <р, ф (рис.4.4)
[25].
Пусть L - вектор кинетического момента спутника; / - векторная
проекция Т на плоскость орбиты; р — угол между Ти осью OYn; о — угол
меж£^у 7и осью OZn; lp — угловая скорость собственного вращения спутни-
спутника; ф — угловая скорость прецессии спутника; 0 — угол нутации (угол
между вектором L и осью OZn); ОХПу YnZn — перигейная ристема коорди-
координат; OLXL2L3 — система координат, связанная с вектором кинетического
момента: ось OL3 направлена по вектору кинетического момента Т, ось
OLX перпендикулярна OL3> лежит в плоскости YnOL3 и образует тупой
угол с осью OYn, ось OL2 дополняет систему до правой тройки. Оси свя-
связанной х системы координат OXYZ совместим с главными центральными
осями инерции спутника. Их ориентацию относительно системы коорди-
координат OLlL2L3 будем определять углами Эйлера 0, <р, ф (см. рис. 4.4).
С учетом принятых обозначений уравнения возмущенного движения
спутника в общем виде можно записать следующим образом:
о =
м2
Lsinp
г • Л • , 1 1 ч ,М2
= Z,sin0smpcos<p(— )+ (—£~
1 / L
М2
—£
L
г а, Х sin2*
= Z,COS0(
2
cos \р
[(
sine lV L
sin \p
D.40)
M2
—2
Li
Здесь Mj (j = 1, 2, 3) - составляю-
составляющие моменты внешних сил относи-
Рис. 4.4. Основные элементы движения
спутника

тельно центра инерции по осям OLj. Определение последних проведем с
учетом эволюции орбиты.
Nx = fisimcospsin(con + a) - (ftcos/+ co^sinp;
N2 = Шш cos (соп + а);
N3 = filsin/sinpsin(cjn+ a)+ (&cos/ + cbn)sinp
— дополнительные члены уравнений движения, учитывающие изменение
параметров орбиты (i — наклонение орбиты, о>п — угол, определяющий
положение перигея орбиты).
Скорости ухода линий узлов & и апсид соп могут быть рассчитаны по
формулам [66]:
а = - -pr i>cosi; соп = ^f- pEcos2i - 1), D.41)
где R3 — экваториальный радиус Земли; е = 0,001633 — постоянная, учи-
учитывающая сжатие Земли; Р = R A + е cosy) - фокальный параме*р орби-
орбиты; е — эксцентриситет орбиты; v — истинная аномалия (угол между ра-
радиусом-вектором перигея и текущим радиусом орбиты R).
Для эллиптической орбиты имеет место закон изменения v:
, D.42)
где д — гравитационная постоянная.
Равенства D.40) . . . D.42) образуют исходную систему уравнений в
оскулирующих элементах, описывающих возмущенное движение спутни-
спутника с произвольным эллипсоидом инерции с учетом эволюции орбиты. Эта
система несколько сложнее уравнений Эйлера, но она позволяет использо-
использовать приближенные методы исследования, а вместе с этим достаточно точ-
точно характеризовать качественную и количественную картины движения
спутника относительно центра масс при наличии возмущающих моментов.
В дальнейшем предполагаем, что на спутник действуют лишь силы
ньютоновского притяжения к неподвижному центру (исследование возму-
возмущенного движения под действием любых других моментов проводится
аналогична). Момент этих сил с точностью до величин порядка a/R9 где
а — максимальный линейный размер спутника; R — текущий радиус орби-
орбиты, определяется выражением
7 + AХ - 1)ЪТ2Т +
( ' ]
Здесь 7i 0" = 1, 2, 3) — направляющие косинусы радиуса-вектора R центра
масс спутника, проведенного из неподвижного центра притяжения, с глав-
главными центральными осями инерции OX, OY, OZ соответственно.
99

По самому выбору переменных уравнений D.40) ... D.43) наиболее
удобны для исследования движения при наличии быстрых вращений (слу-
(случай большой кинетической энергии вращения по сравнению с работой
внешних сил), что позволяет применить приближенные методы. Для ре-
решения данных уравнений будем использовать асимптотический метод
(метод осреднения) [9,13].
Основное внимание при этом уделяется первым трем уравнениям
системы D.40), т.е. наиболее "медленно" меняющимся параметрам дви-
движения, поскольку характер изменения остальных @, </>, ф) известен [7,
66]. Заметим также, что осреднение уравнений для "медленных" парамет-
параметров (L, р, о) в силу равенств D.40) эквивалентно осреднению соответст-
соответствующих выражений для возмущающих моментов, т.е. выделению некото-
некоторого суммарного импульса, определяющего эволюцию энергии спутника и
его положения в пространстве.
Осредняя правые части уравнений D.40) по схеме, предложенной в
работе [66], получим в первом приближении следующие значения состав-
составляющих гравитационного момента:
D 44)
где
cos20(*)= =^P- -^LL; Г= const -
величина кинетической энергии; #(&), A{fc) — полные эллиптические
интегралы второго и первого рода соответственно; к = [ —
h - Iy
277 — L 2
~у2 ji/2 < i _ модуль эллиптических функций.
Выражение для Л^р в D.44) — несколько видоизмененная форма ре-
результата, полученного в работе [66], более удобная для последующих
преобразований.
Осредненная таким образом система уравнений D.40) . . . D.42),
по-ввдимому, так же как и точная, аналитического решения не имеет, что
объясняется довольно сложной зависимостью возмущений как от пара-
параметров движения спутника, так и от характеристик орбиты. Доведение
задачи до квадратур возможно лишь в отдельных частных случаях, а для
получения более общего решения целесообразно было бы вновь восполь-
воспользоваться асимптотическими методами. Однако мы попытаемся провести
анализ другим путем. Полученные в процессе осреднения выражения воз-
возмущающих моментов по внешнему ввду имеют достаточно много общего
100

с аналогичными зависимостями для динамически симметричного спутника
(возмущенное движение последних исследовано в работе [7]). Поэтому
возможным и более наглядным в смысле физического .представления яв-
является описание вековых и периодических эффектов движения асиммет-
асимметричного спутника некоторой динамически симметричной моделью. Соот-
Соответственно, параметры этой модели должны выбираться таким образом,
чтобы основные характеристики возмущенного движения в обоих слу-
случаях были достаточно близки. Из рассмотрения невозмущенного движе-
движения симметричного твердого спутника следует, что такими параметрами
являются: /экв — эквивалентное значение момента инерции по попереч-
поперечной оси; 0ЭКВ — эквивалентное значение угла нутации. Обе величины яв-
являются некоторыми функциями констант невозмущенного движения и
инерционных характеристик асимметричного спутника. Получение вида
этих функций и оценка погрешностей замены приведены ниже.
Для возмущенного движения динамически симметричного спутника
импульс гравитационного момента определяется величинами [7]:
= - 1,5M/T3cos(a -
^ = l,5ju/T3cos2(a -
Здесь Л$Р = - Ccos20 - l)(/z - /),
где Iz — момент инерции относительно оси вращения (продольная ось);
/ — момент инерции относительно поперечной оси.
Независимое осреднение D.43) по переменной <р, которое справедли-
справедливо для 0 = 0ЭКВ = const, т.е. при развязке переменных у и 0, дает
№ = - Ccos203kb- l)[/z ~ 0,5D - ly)\. D.45)
Отсюда, сравнивая D.44) и D.45), сразу получим уравнения для выбора
параметров эквивалентной модели:
*экв = Т" (*х "** *у)\
2 D.46)
s20 = cos20(&) =*'Z
cos203KB = cos20(&) =
ЭКВ K)
где второе уравнение определяет среднее значение угла нутации в возму-
возмущенном движении несимметричного спутника. Используя D.45) и D.46),
приведем D.44) к виду
- 0,5D - /у)
2Т cos03KR
Здесь О(*)= 1,5D + /v)(cos203KB - 1)+ З4/Л— —^- ) -
L Jz
— погрешность, вносимая в "точное" возмущенное движение заменой
101

асимметричного спутника динамически симметричной моделью. Пренеб-
Пренебрежем в разложении cos203KB членами порядка к4 и введем (для большей
наглядности) соотношение
\
Тогда, опуская промежуточные выкладки, запишем
О (к) = 0,75*;? к2 Тх
(L2 - 2TIx
- IX)L2 «
D.47)
т.е. максимально возможная ошибка при произвольных параметрах эл-
эллипсоида инерции спутника не превышает величины ~ к4. Рассмотрим бо-
более подробно два практически важных частных случая, определяемых ма-
малостью к.
1. Пусть 1у - Ix = €lx\, т.е. спутник близок к динамически симметрич-
симметричному телу. При этом, как следует из D.47), с точностью порядка е2 веко-
вековые и периодические составляющие возмущений асимметричного спутни-
спутника и эквивалентной модели совпадают для любых углов нутации. Этот
факт очеввден, так как естественно предположить, что для спутника с не-
незначительной асимметрией характеристики возмущенного движения на
дрстаточна большом интервале времени близки к характеристикам движе-
движения симметричного спутника.
2. Более важным и! интересным является второй случай малости к,
соответствующий движению спутника с малыми значениями угла нутации
0. В этом случае, при уменьшении величины в согласно D.44) к стремится
к нулю и при в = 0?к = 0. Последнее означает, что для практически реали-
реализуемого движения, соответствующего полностью задемпфированным ну-
нутационным колебаниям, пространственная ориентация, скорость и форма
ухода оси вращения асимметричного спутника в гравитационном поле
Земли однозначно определяются поведением динамически симметричного
спутника, поперечный момент инерции которого при прочих равных усло-
условиях удовлетворяет соотношению:
4кв = ^ (/*-/,)• D.48)
Данный подход, как отмечалось ранее, справедлив также при анализе
возмущений любой природы. При этом можно сделать следующий обоб-
обобщающий вывод. Возмущенное движение спутника с произвольным эллип-
эллипсоидом инерции с большой степенью точности аппроксимируется возму-
возмущенным движением динамически симметричного спутника, параметры ко-
которого выбираются из соответствующих условий эквивалентности. Качест-
102

венная и количественная оценки эффектов движения закрученного асим-
асимметричного спутника в основном режиме (чистое вращение, # = 0) при
суммарном воздействии возмущений, а также для каждого в отдельности,
с учетом эволюции орбиты могут быть проведены на основе результатов,
полученных для симметричных спутников [7]. Условие эквивалентности в
этом случае сводится к простому соотношению D.48), погрешность, вно-
вносимая заменой, тождественно равна нулю.
4.6. ОРИЕНТАЦИЯ СПУТНИКОВ ЗЕМЛИ НА СОЛНЦЕ
МЕТОДОМ ВРАЩЕНИЯ
Как уже указывалось ранее, ориентация на Солнце применяется для
обеспечения нормальной работы панелей солнечных батарей, для проведе-
проведения физических исследований Солнца и околоземного космического
пространства и других целей. Требование к точности ориентации могут
быть самыми различными — от 10 ... 20° при ориентации солнечных бата-
батарей и до 1° и меньше*при физических исследованиях. В качеств^ примера
ИСЗ, использующих ориентацию методом вращения на Солнце, можно
указать серию спутников "Прогноз", запущенных в Советском Союзе, а
также ряд других спутников, запущенных за рубежом ISPM (США) [88],
"Гелиос" (ФРГ) [81] и др.
Особенность применения метода вращения к спутникам данного клас-
класса состоит в том, что вследствие годового движения Земли по орбите вок-
вокруг Солнца вектор требуемого направлений ориентации Хо вращается в
абсолютном пространстве с угловой скоростью £lc ~ 1°/сут. При этом
имеет место "уход" оси вращения от направления на Солнце как вследст-
вследствие воздействия на спутник внешних возмущающих моментов (гравита-
(гравитационных, магнитных, аэродинамических), так и вследствие "видимого
ухода" Солнца.
Для поддержания в течение длительного времени необходимой ориен-
ориентации оси вращения с заданной точностью А на спутнике обычно устанав-
устанавливается специальная активная или полупассивная система ориентации,
которая периодически включается для осуществления коррекций углово-
углового положения оси вращения. Включение системы ориентации производит-
производится в моменты времени, когда ошибка ориентации равна или больше задан-
заданной точности: i а \ > Д. В связи с этим при проектировании системы ориен-
ориентации на Солнце возникают две основные задачи, непосредственно связан-
связанные с прогнозированием возмущенного движения вращающегося КА:
1) определение необходимой частоты проведения указанных коррекций
углового' положения оси вращения NK за заданное время активного су-
существования спутника Га и 2) выбор оптимальной угловой скорости вра-
вращения со*.
Одной из важнейших задач является также задача минимизации сум-
103

марных энергетических затрат на ориентацию. Необходимые энергети-
энергетические затраты на ориентацию (расход рабочего тела газореактивной сис-
системой, либо энергопотребление полупассивной системы ориентации) за
время Га определяются из соотношения: Q = k3qNK, где к3 — коэффициент
запаса; q — затраты на одну коррекцию. Частота коррекции^ расход энер-
энергии при ориентации на Солнце зависят от многих факторов: параметров
орбиты спутника, скорости его вращения, соотношения моментов инер-
инерции, величины собственного магнитного момента спутника, времени за-
запуска, характеристик системы ориентации и других факторов. В данном
разделе излагаются сравнительно простые приемы оценки значений необ-
необходимой частоты проведения коррекций лУк, соответствующих энергети-
энергетических затрат Q, а также способы их минимизации.
Известно, что возмущенное движение вращающегося спутника разла-
разлагается на вековое движение, длиннопериодические колебания с частота-
частотами, кратными частоте его орбитального движения, и короткопериодичес-
кое движение, в основном вызываемое возмущающими моментами, пос£
тоянными или медленно изменяющимися в связанной со спутником сис-
системе координат [7]. Короткопериодическое движение рассматривалось в
предыдущих разделах данной главы. Длиннопериодические и вековые
движения возникают при действии орбитальных возмущающих моментов,
медленно изменяющихся в инерциальной системе координат. В классичес-
классических исследованиях возмущенного движения вращающегося спутника
обычно изучается движение его вектора кинетического момента относи-
относительно некоторой абсолютной системы координат (например, перигей-
ной), выбор которой определяется удобством анализа качественных явле-
явлений движения.
В нашем случае целесообразно изучать движение оси вращения непос-
непосредственно в системе координат, связанной с заданным направлением
ориентации, т.е. с направлением на Солнце. С этой целью введем в рассмот-
рассмотрение подвижную опорную систему координат OXCYCZC (см. рис. 4.1, в).
Так как предполагается, что угловое положение оси вращения периодичес-
периодически корректируется, то можно считать, что величина отклонения | а I остает-
остается малой. При этом вследствие вращения вектора Хс периодически изме-
изменяются условия, определяющие характер воздействия внешних возму-
возмущающих факторов с периодом Тс = 1 год.
Задача прогнозирования возмущенного движения вращающегося спут-
спутника, особенно при одновременном учете более чем одного возмущающе-
возмущающего фактора, является в общем случае довольно сложной, что видно также
на примере анализа, проведенного в разд. 4.5. Однако в рассматриваемой
постановке, когда требуется прогнозировать уход оси вращения непосред-
непосредственно от заданного направления ориентации, введение допущения о ма-
малости величины ошибки ориентации периодически корректируемого спут-
спутника позволяет существенно упростить задачу. Практически для всех из-
известных возмущающих факторов, действующих на спутник, приведенный
104

момент т, действующий на плоскости спутника, перпендикулярной оси
вращения, при малых 1а I в случае асимметричного КА и эллиптической
орбиты может быть представлен в следующей унифицированной (спект-
(спектральной) форме, удобной для последующего применения асимптотичес-
асимптотических методов [31]:
т, - ^f ^ [kf>U<ff * Aft + Aris)hc '<'" »>»], D.49)
где / — индекс возмущающего фактора; А}\ = SSj^'einv — комплексные
безразмерные коэффициенты, изменяющиеся с частотами, кратными ор-
орбитальной; $№"- кинематические коэффициенты, являющиеся функция-
функциями углов, определяющих заданное направление ориентации оси вращения
ОХ0 и параметров орбиты (/о>е<ь °^п)'> ^Р ~ постоянный коэффициент,
определяемый природой возмущающего фактора и имеющий размер-
размерность кинетического момента; /* = /Ср0 "" еас) — функция поперечных
моментов инерции спутника;/ср = — (Iz + Iy) - средний поперечный мо-
момент инерции; €ас = —• (/z - Iy\ a — параметр, комплексно сопряженный
с a; v — скорость изменения истинной аномалии; y =
Суммируя выражения D.49) по /, получим формулу суммарного воз-
возмущающего момента ms, имеющую аналогичную форму. Подставив выра-
выражение для тЕ и кинематическое уравнение а = сое77 - £2П в динамичес-
динамическое уравнение D.24), получим приближенное дифференциальное уравне-
уравнение, описывающее изменение комплексного параметра а, характеризую-
характеризующего изменение ошибки ориентации в подвижной опорной системе коор-
координат, при воздействии суммы возмущений:
ol — ikicjxa — ik2<.Ox(xQ =
— I s* [bfr>r) + ь\п> '><* + bi"> '>] х
/* /-=о п =о
где kl =
D.50)
[ обозначения kz и ку см. D.23) ], пп = ппу + ШП2 - угловая скорость пе-
переносного движения опорной системы координат.
Данное уравнение, содержащее периодические коэффициенты, может
рассматриваться также как комплексная форма записи двух линейных
105

дифференциальных уравнений второго порядка относительно веществен-
вещественных переменных ф и #, а = ф + /#. Его решение можно найти путем при-
применения асимптотических методов Крылова Н. М. — Боголюбова Н. Н.
[9] и, в частности, метода усреднения в форме, развитой Волосовым В. М.
[13]. Здесь ограничимся тем, что приведем приближенное дифференциаль-
дифференциальное уравнение, описывающее вековые и длиннопериодические движения,
полученное в результате усреднения D.50) по "быстрой" переменной у и
некоторых дополнительных упрощениях [31]:
a =(Q+ da + C2a)i>- пп, D.51)
щ« с, = jey>.<«; c<»> = feisip;«,-f _L-_ ,
L = Ixgjx — собственный кинетический момент вращающегося спутника.
Уравнения и приведенные ниже их решения справедливы при следую-
(л) П
щих допущениях: | а | < 1; | Яп | < со0; е0 = | 1 <^1 (отношение сред-
средою
ней орбитальной угловой скорости соо к скорости собственного вращения
спутника сох); \ej\ < I. Можно показать, что для гравитационных возму-
возмущений отношение k\\L имеет порядок, равный или выше О (е0). На осно-
основе известных данных сравнительного анализа величин реальных возму-
возмущающих моментов [7] такой же вывод можно сделать и для остальных
возмущающих факторов. Поэтому, в частности для спутников, вращаю-
вращающихся вокруг оси наибольшего момента инерции и не имеющих слишком
большой асимметрии (еас < 0,5), условие малости €/ обычно следует из
е0 <1.
Если пренебречь влиянием моментов диссипативного происхождения,
то в этом случае ReCi = 0 и выражение первого приближения для вековой
составляющей решения D.51) упрощается и при нулевых начальных усло-
условиях принимает вид
g d
£00= sino;!^ —г-A - coso^*/), D.52)
где g = C% -SS- . W2 = |Co ,2 . |co ,2. d:=gCo ^
v - истинная аномалия.
В случае мнимых значений параметра сдх тригонометрические функ-
функции от со! у переходят в гиперболические. В зависимости от соотношений
между комплексными параметрами Cj, характеризующими суммарный
возмущающий момент, выражение D.52) определяет различные типы
траекторий на комплексной плоскости, перпендикулярной заданному на-
направлению ориентации, с помощью которых аппроксимируется движение
следа оси. вращения в области мальце отклонений 1а I. В частном случае,
когда Яп = 0, это кривые второго порядка, либо прямые линии. Для сос-
106

тавляюишх длиннопериодических колебаний получим приближенное вы-
выражение:
[
пФо
<>Т -^ (v - «of). С4-53)
Пусть заданное направление ориентации Аг0 определено в перигейной
системе координат с помощью двух углов: 0 — угла между Хо и направле-
направлением перпендикуляра к плоскости орбиты спутника Yn иХ —угла,отсчи-
—угла,отсчитываемого в плоскости орбиты от радиуса-вектора центра масс спутника
в точке перигея Zn до проекции Хо на эту плоскость (см. рис. 4.1, г).
Приведем без вывода формулы коэффициентов £/, SJ"\ необходимых
для расчета С^п\ для случаев воздействия гравитационных возмущений и
возмущений, возникающих вследствие взаимодействия собственного маг-
магнитного момента спутника ВХу направленного вдоль оси вращения, с маг-
магнитным полем Земли Н:
д) гравитационные возмущения для круговой орбиты:
*тр = 3[/х - /срA + ejc)] yfijr , D.54)
2 4 2
^2> = -~sin0sin2-~e2/x; 5<~2) = — япаве2Л; 5
для других и равны 0);
б) магнитные возмущения для круговой орбиты:
/'o sin/0[cos^sin(X+ o;Tr) + /cos(X+
—sin/0cos2~e-^~w7r);
107

2 е ; D-55)
=/[cos0cos/o sin0sin/osin(X + ojn)]\
= sin/osin0e "~ l^K~~ ы*^;
) = —sin/osin0e/(X ~ W»);;
= 0.
В случае эллиптической орбиты спутника (е0 Ф 0) коэффициенты 5&п^
вычисляются через приведенные выше формулы с помощью соотношений
= Sjn) + — [$п " 1} + Sjn + 1>J. D.56)
В приведенных выражениях i = V"" 1; е — основание натуральных ло-
логарифмов; /0, е0, 120 — наклонение, эксцентриситет и долгота восходяще-
восходящего узла орбиты спутника соответственно; соя — угловое расстояние пери-
перигея орбиты от линии узлов; р - параметр орбиты; /хг - гравитационная
постоянная (для Земли); да — дипольный магнитный момент Земли.
, При ориентации оси вращения спутника Земли на Солнце углы в и
X не остаются постоянными, а изменяются в соотвеЛггвии с соотноше-
соотношениями
cos0 ^PjiCOSMc "* Р2з&ишс;
sin0sin(X+ соп) = Pncosuc ~~ Pi3sixiuc\ D.57)
sin0cos(X + ojn) ^PaiCOSMc — P33sinwc,
где мс = мс0 + ^2С^ ~ Угол положения Солнца, отсчитываемый в плоскости
эклиптики от точки весеннего равнодействия в направлении его движения
(см. рис. 4.1, в); £2С « 2-Ю" 1/с ^ 1°/сут; рц — матрица коэффициентов,
зависящих от параметров орбиты спутника (матрица перехода от осей ор-
орбитальной системы координат к осям "Солнечной" системы координат
CXCYCZC при v = и>п = мс = 0):
-sinS20cos/0
sin£2osin/o
cosl2o
-cos/3cosl20co
cos/3cos^0sin
- cos/3
sin/3cosl20su
-sin/:
s/0 ~ sin/3sim0
i0 - smi3cos/0
sin^o
sj0 + cosz3sm/0
n/0 + cos/3cos/o
>
D-58>
108

где 1Э = 23,5° - угол между плоскостью эклиптики и плоскостью земного
экватора.
Используя приведенные аналитические выражения, можно рассчитать
необходимую частоту проведения коррекций NK по следующей схеме.
Сначала выписываются оценки максимальной ошибки ориентации Аг,
появившейся за счет короткопериодического движения оси вращения
(используются формулы разд. 4.2 и 4.3) и ошибки Д2, возникающей
вследствие длиннопериодических колебаний. Верхнюю оценку А2 можно
найти, используя неравенство
D.59)
Величина угловой скорости спутника ojx должна быть выбрана так, чтобы
ошибки Аг и Д2 были существенно меньше заданной максимальной до-
допустимой ошибки ориентации Д. Затем строится семейство кривых веко-
векового движения % (у, ис0) для дискретных значений параметра ис = мс0 в
диапазоне ис0 = 0 . . . 2я и определяются значения времени "свободного"
движения оси вращения между двумя последовательными коррекциями
*к =Лмсо) в точках пересечения этих кривых с кругом допустимой ошиб-
ошибки До = (Д - Ах - Д2). Число коррекций за один год активного сущест-
существования спутника вычисляется по формуле NK = , где tK ср — вре-
^к.ср
мя между коррекциями, усредненное по параметру ис.
Во многих случаях, особенно на начальном этапе проектирования сис-
системы ориентации, для упрощения расчетов целесообразно воспользоваться
приближенной оценкой вектора скорости ухода оси вращения от направ-
направления на Солнце на различных временных интервалах и среднего значения
его модуля за годовой период, используя соотношения
Мл 2 7Г
2тгПс о
p
- среднее значение орбитальной угловой скорости спутника; g(uc) опре-
определяется из выражения D.52). Значения /0 и NK можно рассматривать
как интегральные оценки ухода оси вращения от заданного направления
ориентации.
109

В следующем разделе рассматриваются примеры оценки интегрально-
интегрального эффекта воздействия гравитационных и магнитных возмущений и "ви-
"видимого ухода" Солнца на изменение ошибки ориентации с помощью па-
параметров Jo
4.7. УХОД ОСИ ВРАЩЕНИЯ ОТ НАПРАВЛЕНИЯ НА СОЛНЦЕ
ПРИ ДЕЙСТВИИ ГРАВИТАЦИОННЫХ И МАГНИТНЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ
Влияние гравитационных возмущений. Как видно из выражения
D.54), скорость изменения ошибки ориентации в вековом движении при
гравитационных возмущениях зависит от соотношений между продоль-
продольным и поперечным моментами инерции спутника, угловой скорости его
вращения, а также от угла 0, который ось вращения образует с направле-
направлением перпендикуляра к плоскости орбиты (а именно, скорость пропор-
пропорциональна sin20 в окрестности | а | ~ 0). При ориентации на Солнце этот
угол периодически изменяется в соответствии с формулами D.57). Для
удобства анализа формулу для cos0 преобразуем к виду
cos0 = sin50sinuc#r, D.61)
где cos60 —Ргг — sim0sim3cos£2o + cos/0cos/3 ;
Р11 Р23
-——; cos^ = ——
sin б о sin 5 о
д0 — угол между плоскостью орбиты спутника и плоскостью эклиптики
(см. рис. 4.1, в).
Зависимость угла д0 и параметра ^ от параметров орбиты спутника
10, ft0 показана на рис. 4.5. Из формулы D.61) видно, что при слежении за
Солнцем ось вращения спутника движется в области, лежащей вне конуса,
описанного вокруг направления перпендикуляра к плоскости орбиты с
углом раствора (•—- 60). Подставив формулу D.61) в уравнение D.54),
получим выражения для параметров, характеризующих вековые и длинно-
периодические колебания ошибки ориентации при действии гравитацион-
гравитационных возмущений и ''уходе" Солнца, в функции параметра, характеризую-
характеризующего положение Солнца, ис = £2сг + ис0. При этом вектор скорости "веко-
"векового ухода" оси вращения от направления на Солнце изменяется в соот-
соответствии с выражением
sm250siimcr - Ц) +
^ D.62)
ПО

90
100°
270 е
Рис. 4.5. Зависимость углов б<> и ^ от параметров орбиты io и
В качестве иллюстрации на рис. 4.6 показано изменение отношения
модуля этого вектора к скорости видимого ухода Солнца 12С (т.е. к ско-
скорости изменения 1а Гв невозмущенном движении) в течшие годового пе-
периода при 6о = 45° и различных значениях параметра zr = г , характе-
4ЛС
ризующего величину гравитационных возмущений. Отсюда видно, напри-
например, что при значениях zr = 1 и ucr(f) = 90° имеет место полная компенса-
компенсация ухода Солнца за счет воздействия гравитационного момента, а при
"с.г@ = 270° скорость возрастания ошибки максимальная.
>г=2
Рис. 4.6. Изменение отклонения
различных значениях zr
180° 270°
в течение годового периода при 6О = 45" и
111

Для упрощения последующего анализа введем понятие эффективной
угловой скорости спутника <о$, определяемой из соотношения zr(o;*) = 1,
и обозначим сод; = ксо£, тогда zT(cox) = — . С учетом формул D.51) и
к
D.54) имеем
ш*= 7 , \, 2 -гЧ<! ~ е«) • D.63)
4 /х - 2/среас пср
Интеграл Jo> определяющий среднее значение I |г I, не может быть вы-
выражен через элементарные функции или канонические формы эллиптичес-
эллиптических интегралов. Однако в подынтегральном выражении,умеющем форму
Дм) = V(l fticos2u) - 6(м),' можно выделить основную часть, дающую
при интегрировании полный эллиптический интеграл второго рода E(kx), а
оставшуюся часть аппроксимировать, используя методы разложения
функций по полиномам Чебышева. В результате получим приближенное
выражение
т Itr'cp
где ki =
4sin60
2sin60
+ 4sinz60
Как показывают расчеты, удовлетворительное приближение дают уже
первые два члена данного выражения. При отсутствии возмущающих фак-
факторов (когда ошибка ориентации возникает только за счет "ухода" Солн-
Солнца), а также в случае 60 = 0 (плоскость орбиты совпадает с плоскостью
эклиптики) имеем JQ = 1. При наличии гравитационных возмущений и
So Ф 0 всегда будет Jo > 1. Из анализа выражения D.64) следует, что при
достаточно больших значениях угловой скорости спутника, удовлетворяю-
удовлетворяющих условию |сох| > <о£, приращение средней скорости ухода ориентируе-
ориентируемой оси за счет воздействия гравитационных возмущений, т.£. величина
С^о - 1) убывает приблизительно пропорционально квадрату \ох> а в об-
области малых значений |сох| < cj$ - возрастает обратно пропорционально
первой степени сох.
При выборе угловой скорости важно также учитывать энергетические
затраты системы ориентации на проведение периодических коррекций.
Так как затраты q на одну ориентацию практически пропорциональны ве-
величине ликвидируемой ошибки Ао и угловой скорости сох, то, полагая
q = кя&оъ>х и учитывая формулу D.60) для числа коррекций NKi полу-
получим соотношение для расчета энергетических затрат системы ориентации
за время, равное одному году:
Q = kdkq
112

В табл. 4.2 приведены значения функций Jo, Go = к^о и /max =
= щах для различных значений параметров д0 ик9 полученные путем
численного интегрирования выражений D.60) на ЭВМ. Из этих таблиц
видно, что для орбит, составляющих значительный угол с плоскостью
эклиптики, оптимальные значения угловой скорости находятся вблизи ве-
величины сох ~ <*>$. При этом в худшем случае, соответствующем б0 = 90°,
имеем /0 = Go = 1>22, т.е. за счет наличия гравитационных возмущений
изменение ошибки ориентации и энергетические затраты увеличиваются на
22 %. При уменьшении \сох \ < <о£ скорость ухода оси вращения быстро
возрастает при небольшом выигрыше в энергетических затратах, а при
\сох\ > <*)$ энергетические затраты начинают расти практически пропорцио-
пропорционально \сох | при не столь существенном выигрыше в точности ориентации.
Приведем числовые примеры: 1) Орбита круговая с параметрами:
h = 1000 км (высота), /0 = 65°, £10 = 0. Для спутника Земли с момента-
моментами инерции 1Х = 73,5 кгм2,1у = Iz = 49 кгм2 получим "эффективную"
угловую скорость 04$ = 71,6%, при этом б0 = 42°, /0 = Go = M• 2) Ор-
Орбита сильно вытянутая эллиптическая с параметрами hn = 550 км, е0 =
= 0,9, /о = 65°, п0 = 0. Для спутника с теми же моментами инерции получим
узловую "Скорость оо£ = 0,9°/с. Таким образом, применение метода враще-
вращения для ориентации на Солнце спутников длительного активного сущест-
существования более целесообразно в случае достаточно высоких или вытянутых
оррит, либо низковысотных орбит, лежащих вблизи плоскости эклип-
эклиптики.
Влияние магнитных возмущений. Обычно из магнитных возмущений
наиболее существенное влияние на изменение ошибки ориентации оси
вращения оказывает составляющая, возникающая при взаимодействии с
магнитным полем Земли компоненты собственного магнитного момента
спутника Вх, направленной вдоль оси его вращения. Для упрощения вы-
выкладок и удобства анализа введем вспомогательный параметр 5М, опре-
определяемый из соотношения:
3 2 3
A — —sin /q)cos/3+ —sin/0cosO0sin/3
cos5M = (ГсеНср) = 2 з 2 . D.65)
VI - —sin2/0
4
Параметр 6М физически означает угол, который составляет вектор Яср,
получаемый путем усреднения по истинной аномалии v вектора магнитной
напряженности земного диполя за орбитальный период ИСЗ, с направле-
направлением перпендикуляра к плоскости эклиптики Yc (см. рис. 4.1, в).
Используя формулы D.55) и D.65), получим следующее выражение
для комплексного параметра |м, характеризующего вековой уход оси
113

Таблица 4.2
Зависимость среднего ухода оси вращения от направления на Солнце (Jo), макси-
максимального ухода (fmax) и расхода рабочего тела (Qo) от положения орбиты F о) и
приведенной величины скорости вращения (к)
а) /0
б) /тах =
«с
к \
0,1
0,25
0,5
1
2
4
0
1
1
1
1
1
1
15°
3,30
1,47
1,013
1,002
1,001
1,001
30°
5,88
2,45
1,39
1,026
1,005
1,002
45°
7,39
3,05
1,67
1,107
1,018
1,005
60°
7,70
3,19
1,76
1,172
1,038
1,010
75°
7,12
2,98
1,70
1,207
1,055
1,014
90°
6,52
2,81
1,68
1,218
1,061
1,016
15
30"
45
60"
75"
90"
0,1
0,25
0,5
1
2
4
в) Qo
1
1
1
1
1
1
= */<>
6,0
3,0
2,0
1,2
i,i:
9,7
4,46
2,73
1,87
1,43
1,22
11,0
5,0
3,0
2,0
1,5
1,25
10,7
4,77
2,82
1,87
1,43
1,22
10,4
4,46
2,54
1,65
1,28
1,13
10,1
4,12
2,24
1,33
1,12
, 1,03
15"
30"
45"
60"
75"
90"
0,1
0,25
0,5
1
2
4
0,1
0,25
0,5
1,0
2,0
4,0
0,330
0,367
0,507
1,0
2,0
4,0
0,588
0,613 '
0,693
1,03
2,1
4,01
0,739
0,763
0,837
1,11
2,04
4,02
0,770
0,798
0,879
1,17
2,08
4,04
0,712
0,746
0,850
1,21
2,11
4,06
0,652
0,703
0,840
1,22
2,12
4,07
вращения от направления на Солнце при учете видимого движения Солнца
и магнитного возмущения:
где введены обозначения:
114

Q 90° П0° 270е
Рис. 4.7. Зависимость угла бм от параметров орбиты io и По
7;
/zosin5M
cos<Pm -
/ 3
4
/io$in6M
Зависимость угла 6М и параметра сдвига <рм от параметров орбиты
спутника /0 и £20 приведена на рис. 4.7.
Выполнив интегрирование по формуле D.60), получим выражение
для среднего значения модуля скорости ухода оси вращения (в данном
случае точное):
•cp
D.66)
zMsin6M
to,
- zMcos6MJ
— полный эллиптический интеграл второго рода. Используя вы-
выражения D.51) и D.55), параметрzM, характеризующий магнитные воз-
мущения, запишем в виде
«м
z
Семейство кривых, построенных в соответствии с выражением D.66)
для различных значений параметров zM и бм, показано на рис. 4.8. Из
рис. 4.7 и 4.8 видно, что при определенных условиях возможна частичная
115

и даже полная компенсация ошибки ориентации, возникающей вследствие
"видимого ухода" Солнца за счет магнитного момента (/0 < 1). Наилуч-
Наилучшие условия для компенсации создаются при значениях угла 5М, близких
к 0 или тг, что зависит от параметров орбиты. В частности, полная компен-
компенсация возможна для орбит с параметрами: z0 = 16,5°; £10 = 0 и /0 = 82°;
£10 = 180°. Физически это означает, что вектор Яср направлен по перпен-
перпендикуляру к плоскости эклиптики, а вектор скорости векового ухода
вследствие магнитного возмущения противоположен вектору Йс. При
этом, однако, от воздействия магнитного момента остаются длинноперио-
дические колебания оси вращения с амплитудами порядка £2с/оо0. Опти-
Оптимальные значения угловой_ скорости спутника, минимизирующие /о» ле-
лежат вблизи значений сох ~zM/cos6M.
Нетрудно видеть, что при наличии магнитных возмущений сущест-
существенное значение имеет правильный выбор направления вращения спутни-
спутника. А именно, вектор угловой скорости должен совпадать по направлению
с вектором собственного магнитного момента спутника (сохВх > 0) для
орбит, характеризующихся параметром 5М < — и иметь обратное направ-
направление (оохВх < 0) для орбит с 6М > — . В противном случае магнитные
возмущения всегда приводят к возрастанию средней ошибки ориентации.
Для создания условий компенсации "ухода" Солнца на борту спутни-
спутника можно также специально установить небольшой постоянный магнит
требуемой величины. В этом случае имеется возможность минимизации
Jo и Go за счет выбора двух величин Вх и со*.
Рис. 4.8. Зависимость среднего ухода оси вращения от направления на Солнце Jo
для различных значений параметра zM и угла 6М
116

Влияние суммы гравитационных и магнитных возмущений. Склады-
Складывая выражения D.62) и D.57), получим более общую формулу для ско-
скорости ухода оси вращения от направления на Солнце, учитывающую одно-
одновременное воздействие гравитационных и магнитных возмущений:
D.67)
i[zr sin250sin2wc.r + zMsin5Mcos(wc.r
где &рм — <рм ~ <Рг •
Для анализа целесообразно выделить угловую скорость и уменьшить
число переменных. Для этого вместо выражения D.67) рассмотрим
функцию
_ i if
>~~ —— = — « [sin250sinu + (w2cos5M -
к I 1
w2sin5Mcos(u + Д<рм)] V , D.68)
tor
где обозначено п2 = *
ох — ксох ;
со£ определяется из D.63).
При вычислении интегральных оценок /0 и Qo можно воспользовать-
воспользоваться численным интегрированием на ЭВМ, либо следующими приближенны-
приближенными формулами, полученными тем же способом, что и выражение D.64):
где
- 0,775— , при Дг
h
тг x
-h2E(k2) - 0,775 — A + 0,416&1), при Дг <0,
я А2
D.69)
Дг = 4sin250 -
hx =\(к ~ «2cos6MJ + 4sin260 + «1 sin2бMsin2^
h2 = V(k--w2cos6mJ
TAp I V | Ar j
h3 = sin250; ^i =
Таким образом, каждой паре чисел (/о» ^о)> характеризующей поло-
положение орбиты спутника, можно поставить в соответствие функции /0(к>
пг)> Go (к, и2). Путем надлежащего выбора значений параметров к, и2,
характеризующих соответственно угловую скорость и воздействие маг-
магнитного момента, можно минимизировать уход оси вращения, частоту
проведения коррекций и энергопотребление (расход рабочего тела) сис-
системы ориентации. При заданной величине п2 выбирается оптимальное
117

О 1 ? J Ч # О 1
Рис. 4.9. Графики функций Мк,п2)|Н00(к, п2)
JC
значение параметра к, а при установке на спутнике специального постоян-
постоянного магнита — оба параметра п2 и к.
Приведем числовые примеры. 1) Для орбиты с наклонением /0 -
= 23,5° и £10 = 0 (плоскость орбиты совпадает с плоскостью эклиптики)
имеем: 50 = 0, бм = 12°, Минимальное значение/0 *** 0,12 достигается при
к = - 1,03и2- 2) Для орбиты с наклонением /0 == 75° и £10 = 180° имеем:
5 о = 98°, 5М = 160°, (^ = <рм = 360° . Соответствующие функции/0 и Go
показаны на рис. 4.9. Эти функции имеют бесконечный ряд экстремумов
на плоскости параметров (п2, к), что позволяет наилучшим образом вы-
выбирать их значения. В частности, при достаточно больших значениях \п2\>
> 1 имеется возможность увеличить угловую скорость без существенного
возрастания энергопотребления. Например, рассмотрим спутник с момен-
моментами инерции 1Х = 735 кгм2, Iy = Iz = 490 кгм2 и эллиптическую орбиту
с параметрами hn = 550 км, е0 = 0,9, /0 = 75°. Полагая пг = - 2, к = 2,25,
получим угловую скорость спутника сох = 2°/с, Вх = 33400 гс.см3. При
этих условиях /0 ^ 0,32,0 ъ 0,77; необходимое число коррекций при точ-
точности ориентации Ао = 10° составляет^ = 12 коррекций в год.
Как уже указывалось выше, при выборе угловой скорости и других
параметров спутника следует также учитывать возможные амплитуды
длиннйпериодических и короткопериодических колебании оси вращения.
Амплитуды этих колебаний должны быть существенно меньше величины
заданной точности ориентации. При воздействии рассмотренных выше гра-
гравитационных и магнитных возмущений возникают длиннопериодические
колебания с частотами кратности п = 1,2 и 3 частоты орбитального движе-
движения (в случае круговых орбит имеют место только частоты кратности
п = 2), причем амплитуды этих колебаний Ап при "слежении" спутника за
Солнцем зависят от параметра мс, характеризующего относительное дви-
движение Солнца в течение годового периода. Параметры колебаний можно
вычислить, используя формулы D.53) ... D.59).
118

Хорошее представление о размахе длиннопериодических колебаний
дают вытекающие из этих формул приближенные оценки сверху для ам-
амплитуд Ап:
а) для гравитационных моментов
•eo(sin20+ sin0);
sin0;
1
1
!к 1
il
a
с
)
с
Q
I к I *л>0 *2
где0 изменяется в диапазоне ( 60) < в < (-— + 50);
б) для магнитного момента
П2 Пс 3 sin/v
А\ ^ |— | &о\\ "** — Г )>
к с*>о 4 "
go
Так как в соответствии с проведенным выше анализом векового ухо*
да оси вращения оптимальные числа \к |, |—Ц лежат в области значений
к
порядка единицы, то при надлежащем выборе углЬвой скорости спутника
амплитуды Ап имеют порядок £2с/<^о ^ 1> иными словами, такой же поря-
порядок, как отношение периода орбитального движения спутника к периоду
орбитального движения Земли. В связи с этим амплитуды длиннопериоди-
длиннопериодических колебаний следует принимать в расчет лишь при высоких требова-
требованиях к точности ориентации на Солнце.
Для уменьшения амплитуд короткопериодических колебаний оси вра-
вращения следует принимать меры по уменьшению остаточных колебаний по
компонентам угловой скорости соу, coz после окончания работы системы
ориентации, осуществляющей коррекцию. При повышенных требованиях
к точности ориентации целесообразно проводить динамическую баланси-
балансировку спутника (для уменьшения значений его центробежных моментов
инерции), а также применять пассивные демпфирующие устройства.
119

ГЛАВА 5. ИССЛЕДОВАНИЕ ДИНАМИКИ КА, СТАБИЛИЗИРОВАННОГО
ПРИ ПОМОЩИ СОЛНЕЧНЫХ ЛУЧЕЙ
5.1. ДИНАМИКА КА С УЧЕТОМ
ТЕПЛОВОГО ИЗГИБА СТАБИЛИЗАТОРА
Рассматриваемая система солнечной ориентации и стабилизации
представляет собой КА, состоящий из основного тела и солнечного стаби-
стабилизатора, который присоединен к телу при помощи штанг, В результате
неравномерного нагрева солнечными лучами штанги изгибаются. Тепло-
Тепловой изгиб штанг необходимо учитывать при исследовании динамики сис-
системы стабилизации, так как он вносит в систему демпфирование, изменяя
величину управляющего момента.
Уравнения движения. При выводе уравнений использованы следую-
следующие обозначения: 50 — солнечный тепловой поток; / — длина штанги;
дх — толщина стенки штанги; гх — средний радиус поперечного сечения
штанги; а0 — коэффициент поглощения наружного покрытия штанги;
е', е" — средние коэффициенты лучеиспускательной способности соот-
соответственно наружной и внутренней поверхности штанги; \х — эффектив-
эффективное значение теплопроводности материала штанги; <р — угловая цилинд-
цилиндрическая координата элемента штанги (отсчитывается от плоскости, про-
проходящей через вектор солнечного потока); s - текущая длина штанги
(рис. 5.1); 7/ — Угол между векторами So и as для /-й штанги; а0 — пос-
постоянная Стефана — Больцмана; аг —коэффициентлинейного расширения
материала штанги; ох — механическое напряжение в элементе штанги;
£, |о - относительное удлинение соответственно элемента и оси штанги;
Е — модуль упругости материала штанги; сх — теплоемкость материала
штанги; рх — плотность материала штанги.
Для вывода уравнений сделаем следующие допущения: 1) распреде-
распределением температуры штанги в радиальном направлении пренебрегаем,
так как, считаем, что штанга представляет собой длинную тонкостенную
цилиндрическую трубу; 2) многократного отражения энергии от внутрен-
внутренней поверхности штанги не учитываем; 3) нагревом штанги за счет соб-
собственного внутреннего лучистого теплообмена пренебрегаем, в виду ма-
малости его по сравнению с нагревом от теплопередачи по окружности;
4) изучаем плоское движение, причем плоскость теплового изгиба и век-
вектор солнечного потока лежат в плоскости движения; 5) пренебрегаем
жесткостью штанги.
Рассмотрим элемент штанги объемом r1dld{fds9 абсолютную темпера-
температуру всех точек которого считаем одинаковой и равной Г. Запишем выра-
выражение для энергии, которую получает от Солнца элемент штанги за время
#[18]:
120

Рис. 5.1. Тепловой изгиб штанги
dQc = ао5огг smyjCos*ipd<pdsdt9
где
cosy при
О при
Функция cosV введена для учета принадлежности элемента освещен-
освещенной илц теневой стороне штанги. С учетом этого выражения и сделанных
допущений уравнение теплового баланса элемента штанги имеет вид [38]:
Ъ2Т
ы
л
Подставив Г в виде
r(s,r,^)=7'1(s, 0+
(где Тг = ~- /
2
линеаризуем уравншие E.1) относительно А71:
л 2 /
ЭДГ
э2дг
АГ
Проинтегрируем выражение E.2) по у на отрезке [ - эт,
/ = о.
С учетом этого равенства и граничного условия
ЭДГ _ ЭДГ
проинтегрируем уравнение E.3) по <р на отрезке [ - эт, тг]:
ь2тх _ _i_
Э^2 тг
- Х,5,
f =0.
E.1)
E.2)
E.3)
E.4)
E.5)
121

Запишем относительное удлинение элемента штанги
ds
Умножив второе равенство на cos^, проинтегрируем по <р на отрезке
[ - 7Г, 7г] и с учетом сделанных выше допущений получим
ах f Tcosipdip = - кгi—L . E.6)
Используя это выражение и условие E.4), интегрируем уравнение E.3),
умноженное на cos^ по <р на отрезке:
-м»
. = о. E.7)
Таким образом, не решая дифференциального уравнения двумерного не-
нестационарного температурного поля штанги E.1), получили замкнутую
систему уравнений E.5) и E.7) одномерного поля.
Известно, что дважды непрерывно дифференцируемая функция
f(s, t) принимает наибольшее значение в точке (sOf t0) такой, что
f| -O;J£| =0;
bt t=t0 bs t=t0
S = So S= Sq
S = So S = Sq
Подставляя эти условия для / = 7\ в уравнение E.5), имеем сле-
следующую оценку
(ri)max<:ri =
1Г€ Oq
Для металлических штанг —£~ > eo0{Tf и уравнение E.7) примет вид
E.9)
*0 f
г — постоянная времени теплового изгиба штанги; k0 - максимальная
кривизна щтанги от теплового изгиба.
122

Дважды дифференцируя уравнение E.9) по s и подставляя в него усло-
условия {5.8) для/= Э37//Э53, получим оценку
||
Подставляя в уравнение E.9) условия E.8) для / = , получим
bs
-
Используя полученные неравенства, оценим первый член уравнения E.9).
э3т.
|/? —f|< Аг§г,ш27/!*оsuit,-I. E.11)
о S
Для штанг с гг < 10 см выполняется условие когг < 1, поэтому в силу
неравенства E.11) уравнение E.9) примет вид
Э27/ Ъу*
т —^- + L + *osiiryf = 0. E.12)
dsdt bs l
Таким образом, получили уравнение движения изогнутой оси штанги
под действием неравномерного нагрева солнечными лучами.
Рассмотрим КА, состоящий из основного тела и п штанг с плоскими
лопастями на концах, причем оси штанг лежат в плоскости движения, а
плоскости лопастей перпендикулярны ей. Пренебрегая затенением штанг
и лопастей телом КА и другими лопастями, а также зависимостью глав-
главного центрального момента инерции КА / от теплового изгиба штанг, за-
запишем уравнения плоского движения системы солнечной стабилизации
э7. э7/
т— + "^"="" *оЯП7/, 7/1 ,=0 = <*/+ х\ /= 1,2,...,л,
1х = - 2p0S Z д/sini//. | sirupi | - Л#в, E.13)
i = i
/
где я/ = d + / cosG/ ~ ^j)ds; ф( — угол между вектором солнечного по-
о
тока и плоскостью /-й лопасти (см. рис. 5.1); d — расстояние между
центром давления лопасти и точкой прикрепления штанги к последней;
ai = 7/ l^o - х, Pf = ф( - 7ils=/ ~ постоянные конструктивные углы;
х — угловое огклоншие корпуса КА от положения равновесия (см.
рис. 5.1).
Аналитическое исследование полученной системы нелинейных урав-
уравнений в частных производных затруднительно, поэтому ограничимся рас-
рассмотрением двух частных случаев: малые колебания и быстрое вращение.
123

Либрационные движения. Пусть х достаточно мало, п = 2, аг = а =
="" <*2, 0i = 0 = - 02. Тогда 7/ можно представить в виде
0> E.14)
где 7оФ) = 2arctg(e "" *°*tg — ) — решение уравнения —- + kosinyQ = О
2 ds
при граничном условии 7о@) = а. Подставляя выражение E.14) в урав-
уравнения E.13) и линеаризуя последние, получим
ЭД-у/
г
as
EЛ5)
где /со2 = 4p0Ssm2@L+ Р)а{I = г
Введем новые переменные
2w = А71 + А72; 2^ = А71 - А72,
тогда уравнения E.15) примут вид
UL1± 0; т^| =0; E.16)
as
т -^-+ — + A:0cos70w = 0; E.17)
bsbt ds
1 мв
UI-'=-^"-t- EЛ9)
Таким образом, система E.15) распалась на две замкнутые подсис-
подсистемы E.16) и E.17) ... E.19). Уравнение E.16) можно исключить из
рассмотрения.
Рассмотрим задачу вынужденных колебаний и определим т и
/ E.20)
которые обеспечивают минимум максимального подъема амплитудно-
частотной характеристики системы солнечной стабилизации при Мв =
= /mBsino;Br.
Так как установившаяся амплитуда вынужденных колебаний не за-
зависит от начальных условий для линейной системы, то примем
124

!£. =0. E.21)
Применим к уравнению E.17) преобразование Лапласа по г с учетом изоб-
изображения условия E.21):
(рт + 1) ^^ + k0cosy0Au = 0, E.22)
ds
где Лм= fue~ptdt .
о
Решая уравнение E.22) с учетом условия E.18), получим изображе-
изображение решения первой краевой задачи для гиперболического уравнения
E.17):
Ли = (Лх)ехр[ - -^-/то(?)<£]. E.23)
1 + рто
Подставим выражение E.23) в изображение условия E.19) с учетом
обозначения E.20):
[ -4" + ехр( - ~- )]Ах = - ^- ЛшсовГ. E.24)
ы 1 + рт uj
Запишем условие устойчивости решения уравнения E.24) притв=0:
\
sin ШТ2 2 > 0, E.25)
2A + П2т2)
где 12 — решение уравнения ш — = ^—j- .
Области устойчивости образуют счетное множество, однако реальная
величина теплового изгиба такова, что |Х| < 4тг. Из выражения E.25)
следует, что в этой области находится единственная граница устойчивости
X = 0, и достаточные условия устойчивости малых колебаний системы
примут вид
0<a+/J< -, 0<а<-.
2 2
Эти условия для системы солнечной стабилизации КА выполняются всег-
всегда, т.е. наличие любого теплового изгиба и тепловой инерции штанг прида-
придает системе асимптотическую устойчивость.
Перейдем к определению оптимальных параметров системы солнечной
стабилизации из условия минимума ошибки ориентации от действия гар-
гармонического возмущающего момента. Рассмотрим амплитуду вынужден-
вынужденного решения уравнения E.17):
125

AOjS) = Г"[(еХР 2 ~C0S 2 Г ) +
V } ы2 LV Г (тывJ + 1 (тывJ +1 w2
(rwB)
1
+ ехр 5 s i 1
(twbJ + 1 (тиГ + 1
Эта функция на интервале @, °°) имеет максимум при некоторой частоте
сох. Условие минимума выражения А{оох) как функции параметров т, X
приводит к следующим равенствам:
А\и>ъ=ы1=е ' ~'wB=o;1=0'
ЪА
где сох - нетривиальное решение уравнения = 0.
дсов
Анализ показывает, что полученная система уравнений имеет счетное
множество решений, одно из которых \уПТ « 1,1, гопт » 2/со, соответст-
соответствующее минимальному положительному X и удовлетворяющее условию
устойчивости E.25), является решением поставленной выше задачи. Из
условия максимума со и условия X = Хопт находим остальные оптималь-
оптимальные параметры системы: ОоПТ " 73°, /Зопт ~ 28°. При оптимальных пара-
параметрах амплитуды вынужденных колебаний (рис. 5.2) не превышает
Згав/со2. Таким образом, используя тепловой изгиб штанг солнечного
стабилизатора, можно сделать достаточно эффективное пассивное устрой-
устройство для демпфирования малых собственных колебаний КА, стабилизиро-
стабилизированного при помощи солнечных лучей.
Ротационное движение. Пусть КА, движение которого описывается
уравнениями E.13), совершает быстрое вращение со скоростьюх = совр,
Мв = 0, ко1 < 1, тогда скорость демпфирования вращения можно опре-
определить по методу усреднения [13]:
PoS(l + d) n
<*>вр = 2
где ф i = а7- + х - 01,0 / — вынужденное решение уравнения
Применяя подстановку щг = а/ + х, получим (индекс / везде опускаем)
np0S(l+ d) tr
^вр = : / sin((^ - 0)[sin((p -
Я/ — jf
где 0 =
126

Рис. 5.2. График зависимости
амплитуды вынужденных ко-
колебаний от частоты
откуда с*?вр =
Р
SnpokQ(l+ d)
где Со - —
?.7Г/
Ш0/Ш
Х5.26)
Следовательно, при любых положительных параметрах к0 и т система
демпфирует ротационное движение КА, так как agncoBp = - signcoBp,
причем скорость демпфирования вращения не зависит от расположения
штанг в плоскости вращения.
Найдем оптимальную тепловую инерцию штанг топт. Из условия мак-
максимальной скорости демпфирования вращения может быть получено
гопт = > однако эта величина топт не удовлетворяет условию мини-
минимума времени переходного процесса вследствие переменности ь^р. Для
определения оптимальной тепловой инерции из условия минимума време-
времени демпфирования вращения от скорости (coBp)i до (соврJ решим урав-
уравнение E.26) при начальном условии coBp|r=0 = (<oBp)i и найдем \"
Минимизируя это выражение, получим
/п(
(
- 1п(ывр)|
'опт
. *]• E-27)
Из последней формулы выражений E.27) видно, что минимальное
время переходного процесса слабо зависит от отношения скоростей
(wBp)j7(^BpJ (при увеличении (совр^Дсовр^ в е2 раз fmin увеличивает-
увеличивается, в V5 раз), т.е. демпфирование вращения можно осуществить в широ-
широком диапазоне скоростей. Для вращающегося спутника, наоборот, пара-
параметры следует выбирать так, чтобы уменьшить затухание угловой скорос-
скорости, как это имело место на одном из спутников серии "Эксплорер".
127

5.2. ДИНАМИКА УГЛОВОГО ДВИЖЕНИЯ
СОЛНЕЧНОГО ПАРУСА
Для создания небольшой силы тяги, действующей на КА, можно ис-
использовать солнечный парус (СП). При движении с СП необходимо ориен-
ориентировать его по отношеншо к Солнцу определенным образом в течение
длительного времени. Для этого лучше всего применить пассивную систе-
систему солнечной ориентации и стабилизации. Применение такой системы
объясняется следующими причинами: а) длительным временем работы
системы; б) большим моментом инерции СП; в) низкими требованиями
к точности ориентации; г) сравнительно большой величиной моментов
сил солнечного давления; д) возможностью использования СП в качест-
качестве солнечного руля.
В работе [38] рассматриваются некоторые пассивные системы ориен-
ориентации и стабилизации вращающихся и невращающихся СП. Предложена
простая система для ориентации СП под любым углом к Солнцу. Она сос-
состоит из СП, соединенного штангой с телом КА (рис. 5.3). Для создания
восстанавливающего момента в данном случае используется неидеальное
отражение солнечных лучей от поверхности СП и смещение центра масс
системы от плоскости СП ири помощи штанги. Изменением угла а можно
изменять угол ориентации СП:
= arctg(
1 -в/
ctga),
E.28)
где ас - коэффициент отражения СП.
Рис. 53. Пассивная система стабилиза- Рис. 5.4. Графики изменения угла ориен-
цииСП: тации и собственной частоты колеба-
1 - основное тело; 2 - штанга; 3 - сол- ний СП
нечный парус; 4 — поворотный меха-
механизм и упруго-вязкий шарнир
128

Собственная частота малых колебаний системы
/Slmpod - ac)since
о; = л/ , E.29)
1(т + тс)
где т — масса тела КА, тс — масса СП.
Графики зависимостей E.28), E.29) приведены на рис. 5.4. Видно,
что для изменения угла ориентации СП в пределах от 10 до 90° необходи-
необходимо изменять угол а в пределах от 54 до 90 , при этом собственная часто-
частота колебаний системы изменяется лишь в 1,1 раза.
Для введения демпфирования в систему можно воспользоваться не-
нежесткостью конструкции или неравномерным нагревом штанги солнеч-
солнечными лучами. Рассмотрим этот вопрос подробнее.
Для вывода уравнений плоского углового движения системы (см.
рис. 5.3) сделаем следующие предположения: 1) считаем угловые откло-
отклонения штанги вследствие нежесткости конструкций /3 и теплового изгиба в
малыми величинами; 2) пренебрегаем массой штанги и моментом инер-
инерции ?ела космического аппарата; 3) пренебрегаем колебаниями СП, так
как из уравнений математической физики известно, что собственные час-
частоты этих колебаний, определяемые формулой сок = Д#\Л*р/тс> (гДе
fik - корни функции Бесселя первого рода нулевого порядка; р - поверх-
поверхностное натяжение пленки СП), по крайней мере на два порядка больше
собственной частоты малых колебаний системы E.29).
С учетом этих предположений запишем уравнения движения в виде
ilp = 28 у р +
1 Си
ilp + 0 в =—~
2 mcl
у - 0)];
I sin(a - ф) <
70 + в = kol\ sm(pL - ip) - — cos(a - ф) X
/ R
X f[— (a - if)] + ac[sin(a + ф) - — sin^?] X
r I
E-30)
где г и R - соответственно радиусы КА и СП;
I(m + mc) s Г 0, если \х\ < 1,
т тс12 9 ] 1, если \х | > 1;

coy, 8у - соответственно частота и коэффициент затухания собственных
упругих колебаний конструкции, г, к0 (см. разд. 5.1).
Функция / введена для учета затенения штанги телом КА и освещения
штанги лучами Солнца, отраженными от СП.
Пусть система движется вблизи положения равновесия, тогда уравне-
уравнения E.30) можно линеаризовать:
гф = 2Ьур + Ц0;
Ир + 0 в = - cJf(ip -
+ -в(в - в0);
70 + в - 0О =- 2с/((р ~
где со определяется по формуле E.29);
В —
mc/sina
2c/ = kol \ [cos(« ~ — sin(a -
/ R
r I
D D ^
X / [— -——— j —. q — sin<po У >
/ sin(a + <p0) I J
>, 0O - решения системы уравнений E.30) при \р = 0 = 0 = 0.
Запишем достаточные условия устойчивости системы E.31):
г>0, 8у>0, со>0, си
0< - с< — < 1. E.32)
Из условия устойчивости E.32) следует, что тепловой изгиб штанги
должен быть отрицательным, т.е. чтобы теневая сторона штанги получала
бы больше солнечной энергии, чем освещенная. Для этого в штанге можно
сделать отверстия, расположенные по винтовым линиям [86].
Преобразуем формулу E.29)
■ sina.
mcRi m + тс
Из этого выражения видно, что собственная частота малых колебаний
системы максимальная при i = 2. Для i = 2, яс = 0,8 из условий E.32) на-
находим диапазон изменения угла ориентации СП, в котором система устой-
устойчива: 12°<<£о<9О°.
130

Из условия максимума степени устойчивости б находим оптимальные
параметры системы для двух частных случаев:
1) отсутствие упругих деформаций ,(/3 = 0)
8/9 В/и2 - 1
(С)опт~ BlJ- 1/9 ; Г°ПТ о>^(В/и>2 - 1/9)'
при этом
бтах==-у=; E.33)
2) отсутствие тепловых деформаций @ = 0)
при этом 5тах = gj.
Сравнивая это значение 5 тах со значением E.33) видим, что примене-
применение упруго-вязкого шарнира для демпфирования собственных колебаний
КА в 1,7 раза эффективнее использования отрицательного теплового изги-
изгиба штанги системы солнечной стабилизации.
> УСТОЙЧИВОСТЬ ДВИЖЕНИЯ СПУТНИКА
С УЧЕТОМ ТЕНИ ПЛАНЕТЫ
Стабилизируемый с помощью светового давления солнечных лучей
спутник некоторую часть времени будет находиться в тени планеты. При
этом отсутствие управляющего момента системы солнечной стабилизации
может привести к неустойчивому режиму. В данном разделе рассматрива-
рассматривается устойчивость плоского либрационного движения спутника с учетом
тени планеты [38].
Предположим, что во время освещения спутника Солнцем его угловое
движение описывается линейным уравнением второго порядка, а в тени
планеты отсутствуют управляющий и демпфирующий моменты системы
солнечной стабилизации, а также все возмущающие моменты. Уравнение
малых колебаний радиационно ориентированного КА запишем в виде
x + co2jc] = 0, E.34)
^0, при пТ0 + Tc<t<(n+ \)Т0;
<о - собственная частота колебаний системы; 8 - относительный коэффи-
коэффициент затухания системы; То - период обращения спутника; Тс - время
освещенности спутника Солнцем.
Систему солнечной стабилизации будем называть устойчивой,
если существует натуральное N, такое, что для любого натурального п
131

амплитуда колебаний в моменты времени п№0 не превосходит началь-
начальной, т.е.
A(nNT0)<A@), и = 1, 2,... E.35)
Из уравнения E.34) получим
A(t) = А@)е ~6Ш-МО = *@) + -11 при tЕ(О, Гс);
2тг
при
где <^(f) = arctg .
Используя эти выражения, запишем условие E.35) для nN = 1:
T£ ^^ <e 2*»Tcf E,36)
где
Для выполнения условия E.35) upnN= 1 достаточно, чтобы неравенство
E.36) выполнялось для любого ^р(Тс), в том числе для наиболее неблаго-
неблагоприятного
?G1с)=я/4+Р/2, E.37)
доставляющего максимум левой части неравенства E.36). Подставим вы-
выражение E.37) в E.36):
(sec? + tg?J <e26w74
откуда
8 > — [h(l + sin?) ~ In cos?]. E.38)
Таким образом, получим достаточное условие устойчивости системы сол-
солнечной стабилизации с учетом тени планеты.
Из условия^E.38) видно, что устойчивость системы повышается с рос-
ростом 5, со, Гс, /3. Для малого Р это условие становится наиболее жестким
6 > (То - ТС)/2ТС и выполняется лишь для высокоорбитальных спутни-
^о - Тс
ков, например, для синхронного спутника Земли ( < 0,05) [20].
тс
Найдем достаточные условия устойчивости для N = 2. Эти условия
менее жестки, так как являются необходимыми для выполнения условий
E.35) приЛг= 1. Используя неравенство E.36), запишем условие E.35)
для nN = 1 :
?? ?^} X E.39)
X [l + 2tg?sinl^(r0 + Гс)+ [2tgjrsin^(r0 + Tc
)]2\
132

Максимум левой части этого неравенства как функции от^р(Тс) имеет мак-
максимальное значение при
0, E.40)
так как при этом максимум первого сомножителя левой части неравенст-
неравенства E.39) по ^(Тс) достигается одновременно с минимумом второго со-
сомножителя и наоборот. Запишем условие E.37) с учетом E.40)
Найдем максимум левой части этого неравенства по <р(Тс)
l+4tg2/fsec2/f< е4б"гс.
Для малого /3 это условие принимает вид Ъ > ( у.
2ТС
Таким образом, при выполнении условия E.40) область устойчивос-
устойчивости системы солнечной стабилизации значительно расширяется. Однако при
незначительном отклонении параметров от оптимальных, т.е. удовлетво-
удовлетворяющих условию E.40), устойчивость системы может нарушиться. Поэто-
Поэтому условиями устойчивости для N = 2 следует пользоваться для системы
со стабильными параметрами, в противном случае необходимо использо-
использовать условие устойчивости длк N = 1.
5.4. ДИНАМИКА ВРАЩАЮЩЕГОСЯ КА
В случае когда для КА допускается достаточно большая угловая ско-
скорость вокруг одной из осей, а орбита достаточно высокая, тогда ориента-
ориентацию оси вращения на Солнце можно осуществить с помощью пассивной
системы. Эта система использует два пассивных принципа стабилизации:
вращение и световое давление солнечных лучей [38].
Введем следующие системы координат (рис. 5.5 и рис. 5.6):
OXuYnZn - перигейная система координат. Ось ОХп параллельна
касательной в перигее орбиты и направлена в сторону движения КА,ось
ОХп направлена по нормали к плоскости орбиты;
OQXgYgZg — нормальная система координат. Ее положение относи-
относительно перигейной системы координат задается углом х (рис. 5.5 и
рис. 5.7);
ОХг YjZx - система координат, связанна с вектором кинетического
момента L. Ось OZX направлена по вектору Г, ось ОХ% лежат в плоскости
{ L> So j и образует тупой угол с вектором солнечного потока ?0 • Положе-
Положение этой системы координат относительно нормальной задается углами
в, в (см. рис. 5.5);
OXYZ — система координат, связанная с главными центральными
133

Рис. 5.5. Положение перигейной OXYZ, Рис. 5.6. Положение системы координат
нормальной OXgYgZg и связанной OXYZ, связанной с главными централь-
OXxYj^x с вектором кинетического мо- ными осями инерции КА, относительно
мента L систем координат триэдра ОХ1 Yj Zj
осями инерции КА. Положение этой системы координат относительно
триэдра ОХ% YXZX задается углами Эйлера ф9ф9& (см. рис. 5.6).
Запишем уравнения движения КА около центра масс в оскулирую-
щих элементах
Lk=Mk9 к= X,Y,Z9 E.41)
где Lx =Z,(cosxsin0cosa+ sinxcosfl);
Ly = Z,sin0sina; Lz = £(cosxcos0 - sinxsin^cosa);
L — кинетический момент КА.
Выполняя дифференцирование и проектируя уравнение E.41) на оси
триэдра OX1YlZlf получим уравнения прецессионного движения КА во
вращающейся системе координат:
L(sinS6
L =Af
Zl.
E.42)
При х = 0 эти уравнения совпадают с уравнениями движения вектора /Г
относительно неподвижной системы координат [7].
Учитывая зависимость момента сил солнечного давления от расстоя-
расстояния до Солнца:
с
(где Rc — расстояние от КА до Солнца;
134
— проекции момента системы

при Rc = р9 где р — фокальный параметр орбиты КА) и используя уравне-
уравнения движения центра масс КА по эллиптической орбите [6]:
1 + ecosx
+ ecosxJ
\[7p
cosa) = mXl;
oj0L(sin0o' - cos0sina) =
(где cj0 = —г- ;д — постоянная тяготения; е — эксцентриситет орбиты).
P У
произведем замену независимой переменной в уравнениях E.42):
E.43)
где штрих означает дифференцирование по х.
Таким образом, получили незамкнутую систему нелинейных диффе-
дифференциальных уравнений, описывающих прецессионное движение системы,
т.е. движение вектора кинетического момента относительно орбитальной
системы координат.
Считая моменты инерции динамически симметричного КА постоянны-
постоянными и пренебрегая движением КА по орбите, запишем уравнения нутацион-
нутационного движения системы, т.е. движения оси Oz относительно вектора кине-
кинетического момента [7]:
E.44)
sind
= - Myictgd -
Уравнения E.42), E.44) образуют замкнутую систему уравнений
прецессионного и нутационного движений вращающегося КА вокруг цент-
центра масс. Уравнения записаны в оску-
лирующих элементах L, в, а, <р, ф9 д.
При анализе уравнений движения
используем метод осреднения [13]. За
"медленные" переменные примем I, ^^^^^j^«f "Солнце
в, о, г?, за "быстрые" - у и \jj. При по-
Рис. 5.7. Возникновение ошибки слеже-
слежения в при движении КА по орбите вок-
вокруг Солнца
135

мощи метода осреднения для малой угловой скорости движения центра
масс КА н^орбите соо из систем E.42), E.44) получим
LB =МХ1> Lsindo =:Myl;
L =M2l, L$ = Му%с(кф - МХхшф\ E.45)
1 1 • L
ф = Lcos$(- — ), ф = — ,
h lx Jx
где двойная черта означает осреднение по у и ф.
Преобразуем правые части уравнений E.45). Спроектируем единич-
единичный вектор солнечного потока на оси Ох и Оу связанной системы коор-
координат:
Sx =cos0sin<psin#+ sin0(sini//cos#sin<p -
Sy = cos0cos<psin^+ sin0 (sint//cos$cos<p+
Представим эти выражения в виде линейной комбинации гармони-
гармонических функций
Sx = cos0sin#sin<p - sin^sin2 — cos(<p - ф) -
- sin^cos2—cos(^+ ф);
+ sinflcos2 — sin((p + ф). E.46)
При достаточно общих предположениях можно считать, что проекции
на связанные оси момента от сил светового Давления солнечных лучей,
действующего на жестко закрепленный стабилизатор, линейно зависят от
проекций E.46),т.е.
v
E-47>
Для нежестко закрепленного стабилизатора коэффициенты с у есть
некоторые дифференциальные операторы сц{р). Тогда, учитывая, что
~ b//(cj)coswt;
где atjioS) = Rec//0'co), *//(w) = Imc/
Подставим выражения E.46) в E.47)
136

f sin<£ coap 1 , #
cosflsinfl \\ацф1 II II + ||6;/ф)Н II . II \ + sinflsin2 - X
-cosfo - Ф) . - . sinfo ~
x {иф П\ II J /11 - H%(* **l »
sin(<z>+
1
Проектируем это неравенство на оси триэдра OX1YiZli осредняем
по <р и ф и подставляем в уравнения E.45) :
Id =sin4~C2(<p - ^)+ cos4—
2 . 2 E.48)
L = ~ sin^C^v?);
Li? =*
где ~2С1(со) = () (
2С2(со) = д12(о;) - я21(со)+ Ьи(о;)+ Z?22(co). E.49)
Из уравнений E.48) следует, что для малых д п в прецессионное и
нутационное движения можно рассматривать раздельно, т.е. имеют место
уравнения
U =вСх(ч>+ ф)\ L6 =- tfCifa). E.50)
Таким образом, динамика КА вблизи положения равновесия вполне
определяется функцией Сх (а/).
Система E.50) асимптотически устойчива, если Сх(^+ t//) < 0,
Cito) > о.
Для жестко закрепленного солнечного стабилизатора функция Сг (со)
не зависит от со, при этом возможны следующие альтернативы: либо пре-
прецессионное движение устойчиво, а нутационное неустойчиво (Сх < 0), ли-
либо наоборот (Сх > 0), либо оба движения устойчивы, но не асимптотичес-
асимптотически (Ci = 0). Для нежестко закрепленного стабилизатора асимптотическая
устойчивость возможна за счет зависимости Сх (со). Рассмотрим эту воз-
возможность на- примере стабилизатора, закрепленного с помощью штанг,
которые могут изгибаться под действием неравномерного нагрева солнеч-
солнечными лучами.
Пусть КА представляет собой основное тело и п одинаковых штанг с
плоскими лопас!ями на концах (см. рис. 5.1). Пренебрегая изгибной жест-
жесткостью штанг и учитывая уравнение E.12), запишем уравнения изогну-
изогнутых осей штанг для вращающегося КА при малом В:
137

, i= 1,2,.. .,и;
E.51)
),
где </>,. - угол между осью ОХ и проекцией i-й штанги на плоскость Z = О,
T,yi>s,k0 (см. разд. 5.1).
Введем новые независимые переменные f ,• = f + ,
тогда уравнения E.51) примут вид
г *- + —~ = - offi
bsbti bS E.52)
7/1 s =0 =«+ esino;zr/.
Вынужденное решение уравнений E.52) будет
7/ = i4/E)coscjzff + £/(s)sincjzr/ + Q(s). E.53)
Учитывая малость в, подставляем выражение E.53) в уравнения
E.52) и с помощью метода неопределенных коэффициентов получаем
= 0;
'i + A'f+ k0 cosQBi = 0,
где штрих означает производную по s.
Решение этой системы
С, = C(s) = 2 arctg(tg у е ~ *«•),
где #(s)= f-7"/cosCE)^
1+ ГО>2 О
Подставляя выражение E.54) в E.53) приз = /, получим
2 2
t
. E.55)
Считая лопасти вполне отражающими, запишем проекцию момента
сил солнечного давления на ось ОХХ:
МХ1 = 2poS0X «ein2G,lf e 7+ /3)coscozr/, E.56)
гдед,-,/3-см. E.13).
Так как в выражении E.55) член, зависящий от времени, мал в силу
малости в, то выражение E.56) допускает линеаризацию относительно
138

этого члена. Проводя эту линеаризацию, подставим выражение E.55) в
E.56), осредним последнее по времени и разделим на в (при в Ф 0):
=:- 2ponSasin[2C([)+ 2/3]expX
r)sin-
E.57)
где а =
т sin[C@ + /3] + ~- cos[C@
0] + d.
Из выражения E.57) видно,что знак функции Сх(и2) зависит от зна-
знака сог, что дает возможность одновременно демпфировать прецесионные и
нутационные движения.
Из уравнений E.50) следует, что для положительного L система устой-
устойчива при C^coz) < 0, Сх($) > 0. Запишем эти условия устойчивости с
учетом выражения E.57) при sin[2C(/) + 2/3] > 0
sin
E.58)
где
= |coz
Нетрудно доказать, что для фиксированного Iz выражение E.57) как
функция параметра 1Х9 когда Ci(a>i) = Cx(o;2), имеет условный экстре-
экстремум при Aх)опт = 0,5/2.
Тогдац=о;2иусловия E.58) упрощаются, так как со/ = |coz|.
На рис. 5.8 показано разбиение плоскости параметров X, со,-, г, опи-
описываемое неравенством
E.58). Заштрихованные
области соответствуют
устойчивому решению. Из
условий E.58) видно, что
для того, чтобы система
солнечной стабилизации
была устойчивой для лю-
любой угловой скорости КА,
необходимо выполнение
неравенств 0 < X < 2тг и
Рис. 5.8. Области устойчивости
стабилизации КА

На практике X < 2тг. В этом случае для d < I функция Ci(coz) име-
имеет вид
тт cosasin/3sin2(a
и достигает экстремума при параметрах
(ы2т)опт = 1, «опт = &шт = arctgV « 20°, (-^W ~ Т '
3 lz L
При этом
= 0,866 РоЛ5/а* . E.59)
I
Из выражения E.59) видно, что быстродействие системы солнечной
стабилизации вращающегося КА уменьшается с увеличением угловой ско-
скорости. Известно, что быстродействие демпфера нутационных колебаний
КА, стабилизированного вращением, увеличивается с увеличением угло-
угловой скорости. Таким образом, КА, стабилизированный за счет сил свето-
светового давления солнечных лучей, следует вращать с меньшей угловой ско-
скоростью, чем КА, стабилизированный только вращением [38].
5.5. ДИНАМИКА ПАССИВНЫХ СИСТЕМ СОЛНЕЧНОЙ
СТАБИЛИЗАЦИИ УГЛОВОЙ СКОРОСТИ КА
При идеальной ориентации вращающегося КА на Солнце момент сил
светового давления по оси OZ является постоянной величиной. Под дей-
действием этого момента угловая скорость КА будет монотонно изменяться,
что нежелательно для некоторых КА. Для пассивной стабилизации угло-
угловой скорости КА со2 может быть применена: система, использующая
центробежные силы для управления "радиационным пропеллером" [75],
или система, использующая ошибку слежения оси вращения КА за на-
направлением на Солнце при движении КА по солнечной орбите [87]. Рас-
Рассмотрим динамику этих систем.
Динамика центробежного регулятора. Предположим, что а) вращаю-
вращающийся КА представляет собой основное тело, к которому упруго-вязко
крепятся две лопасти центробежного регулятора; б) вектор кинегичес-
кого момента L совпадает с осью OZ вследствие идеальной работы нута-
нутационного демпфера, установленного на теле КА, а также с вектором ?0
вследствие идеальной работы системы солнечной стабилизации; в) мо-
момент инерции лопастей много меньше моментов инерции основного тела;
г) центр давления лопасти совпадает с ее центром масс; д) размеры тела
КА малы по сравнению с размерами регулятора; е) поверхность лопасти
плоская и вполне отражает солнечные лучи.
140

С учетом этих предположений запишем: момент сил солнечного дав-
давления, действующий на йо лопасть:
Mxi = 2p0Sl cos^osin2^.;
(где ft> — угол атаки лопасти), момент от центробежных сил
Щы = ~/perwzsin2a/ E.61)
и уравнения движения системы
/zcoz=M0 - Mzl - z2,
где а/ — а* — упругое угловое отклонение i'-й лопасти; Мо — постоянный
момент сил солнечного давления, действующий на систему без центробеж-
центробежного регулятора; /рег — момент инерции лопасти относительно оси шар-
шарнира.
Предположим, что система лопасть — тело КА — лопасть совершает
движение первой нормальной формы, т.е. щ = а2 = а. Тогда, подставляя
выражения E.60), E.61) в уравнения E.62), получим
а + дуа + С0у(а - а*) = ojfsinacosa - A:CAsin2a;
wz = *Bp(*o ~ sin3а),
2poSlcos
где /:сд =
положив а = cbz = 0, получим
3/ /у0 CAo
«о = arcsinv^o > ^zo==V . E.64)
sina0cosa0
Рассматривая движение системы вблизи положения равновесия, ли-
линеаризуем систему E.63)
Аи + дуАдс + £22Да= sin2otocozOAcoz;
где Да = а. - а0;
SI2 = coj - cj|0cos2a0
Запишем условия устойчивости решения системы E.65)
141

5, >0, ft2 >0, «о, ре (О, у
Найдем оптимальные коэффициенты системы E.65) из условия мак-
максимума степени устойчивости решения системы:
(^)опт = 3£, (П2)опт = Ък2, E.66)
где/:3 = 3/:BpCoz0sin3aoCos2Ofo»
При этом максимальная степень устойчивости
5тах = *. E.67)
^ Найдем оптимальные углы щ и |30 из условий максимума функции
о>0о)
(<*о)опт = arctgv— «50°45'; (j3o)onT = arctgy—- ^35° 16',
при этом maxJ к3(а<), 0О) г ^ \JpQSl — - .
h
Из выражений E.66) и E.67) видно, что быстродействие системы
увеличивается с увеличением угловой скорости КА.
Использование ошибки слежения для стабилизации угловой скорости
КА. Метод основан на зависимости ошибки слежения, возникающей при
движении вектора So, от угловой скорости КА coz и на зависимости мо-
момента сил солнечного давления относительно оси OZ от ошибки слежения.
Таким образом, момент Mz зависит от cjz. В результате анализа [87] поло-
положения равновесия показано, что требуемыми зависимостями обладает
система поглощающе-диффузно отражающих лопастей в комбинации с
системой уголковых отражателей или поглощающе-зеркально-отражаю-
щих лопастей.
Рассмотрим динамику этого метода стабилизации угловой скорости
при движении КА по произвольной эллиптической орбите вокруг Солнца
(см. рис. 5.7). Проекции осредненного момента сил светового давления
солнечных лучей на оси триэдра ОХХ YXZX запишем в виде [87]
тХх =- A:1siri20; myi =- fc2sin20; mZl = MQ - &3sin20.
Подставляя эти моменты в уравнения E.43), получим замкнутую систему
уравнений прецессионного движения КА:
cosa) = - &isin20;
- cos0sina) = - fc2sin20; E.68)
где штрих означает производную по истинной аномалии.
142

Эта система имеет частное решение, соответствующее положению рав-
равновесия:
E.69)
1 . о
где 0О = 7/агсяпТ" ;
2 /
Таким образом, система имеет постоянную ошибку слежения, не зави-
зависящую от положшия КА на орбите, несмотря на то, что КА совершает не-
неравномерное движение по орбите.
Запишем условия устойчивости решения E.69) по первому прибли-
приближению
, В >0, — >0,l> —ft >0, AB >±k3rn26O9
Lo къ 2
у Iktcosleosindo
тле А = cos0ocosao;
L
/%/
В =
Из условий устойчивости следует, что при изменении знака нарушает-
нарушается устойчивость системы. Поэтому вращать КА следует в определенную
сторону, например, для положительных ки к2, кг устойчиво положение
Lo > 0, о0 Е (90°, 270°). Предполагая малость 0О, найдем оптимальные
параметры системы из условия максимума степени устойчивости решения
уравнений E.68):
пт * 1 Зл/соо/*о*э;(т*-) * 0,214;
при этом максимальная степень устойчивости 5тах
0,58
что соответствует постоянной времени г »
A + ecosx)
ким образом, с уменьшением угловой, скорости увеличивается точность и
быстродействие системы солнечной стабилизации вращающегося КА.
143

ГЛАВА 6. АНАЛИЗ ДИНАМИКИ
СИСТЕМЫ ТРЕХОСНОЙ СТАБИЛИЗАЦИИ
С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ПРИНЦИПОВ ГРАВИТАЦИИ И ВРАЩЕНИЯ
6.1. ОПИСАНИЕ СИСТЕМЫ
И ЕЕ ПРИНЦИП ДЕЙСТВИЯ
Для ориентации и стабилизации искусственных спутников Земли ши-
широко используются гравитационные и гравитационно-магнитные системы.
Некоторые из этих систем представляют собой КА в виде гантели, состоя-
состоящей из основного тела и выдвинутой из него штанги* с •вспомогательным
телом на конце. В результате взаимодействия такого КА с гравитацион-
гравитационным полем Земли к нему будет прикладываться гравитационный восста-
восстанавливающий момент, стремящийся совместить продольную ось аппарата
(ось наименьшего момента инерции) с радиусом-вектором, направленным
к центру Земли. Однако у гантелеобразного аппарата гравитационный мо-
момент вокруг местной вертикали отсутствует, и поэтому он будет вращать-
вращаться вокруг своей продольной оси. В некоторых проектах, чтобы избавиться
от этого вращения, предлагается использовать вертистатный вариант вы-
выполнения системы гравитационной стабилизации [33, 80].
Итак, у гантелеобразного КА за счет гравитационного восстанавливаю-
восстанавливающего момента обеспечивается стабилизация по крену и тангажу (по курсу
стабилизация отсутствует). Известно, что у вращающегося спутника, если
он закручен относительно оси наибольшего момента инерции и если ось
вращения перпендикулярна плоскости орбиты, за счет гироскопического
эффекта имеется стабилизация по курсу и крену, но отсутствует стабили-
стабилизация по тангажу. Следовательно, способ стабилизации вращением и гра-
гравитационный способ стабилизации имеют присущие им в отдельности не-
недостатки, которые можно устранить, если создать комбинированную сис-
систему, объединяющую эти два способа стабилизации.
В данной главе рассматривается одна из возможных схем такой ком-
комбинированной системы пассивной трехосной стабилизации искусственного
спутника с использованием одновременно двух принципов гироскопичес-
гироскопического, обусловленного наличием вращающегося маховика на конце штан-
штанги, и принципа стабилизации с помощью восстанавливающих гравитацион-
гравитационно-градиентных моментов [39]. В рабочем положении система изображена
на рис. 6.1. Система представляет собой КА в виде гантели, состоящей из
двух тел: основного тела 1 и вспомогательного — вращающегося махови-
маховика 2, которые соединены жесткой связью в виде штанги 3. Маховик, рас-
расположенный на конце штанги, вращается в опорах 4. В качестве опор мо-
могут быть выбраны специальные подшипники, которые успешно работают
в космосе. Возможны и другие варианты конструктивного выполнения
системы.
144

Рис. 6.1. Система трехосной стабилизации с использованием принципов гравитации
и вращения
С целью увеличения гравитационного восстанавливающего момента
штангу следует выполнять как можно большей длины. Однако при этом
возникают сложности* связанные с технологией изготовления длинной
тонкой штанги и с явлением термического изгиба штанги от неравномер-
неравномерного теплового нагрева солнечными лучами (см. разд. 2.7). Все эти фак-
факторы существенно умшьшают и без того низкую точность ориентации КА
с помощью гравитационных систем. Поэтому стремятся ограничить длину
штанги, увеличив на конце массу вспомогательного тела. Для того чтобы
повысить эффект от вспомогательного тела, на конце штанги вместе с
маховиком рекомендуется устанавливать магнитный успокоитель, рас-
рассеивающий вращательную энергию аппарата (см. разд. 2.6). Таким обра-
образом, вспомогательное тело включает в себя магнитный успокоитель и
маховик.
На рис. 6.2 показан один из возможных вариантов процесса предвари-
предварительного успокоения, ориентации и разведения вспомогательного и основ-
основного тела. При выведении КА на орбиту штанга находится в сложенном
состоянии (рис. 6.2, а). Основное и вспомогательное тела расположены
вместе как единое целое, все узлы сочленений и вращения заарретирова-
145

Рис. 62. Предварительное успокоение, ориентация и разведение вспомогательного
и основного тела
ны. После выведения на орбиту и отделения объекта от ракеты-носителя
включается газореактивная система предварительного успокоения, кото-
которая снижает начальные угловые скорости, полученные в процессе отделе-
отделения, до требуемых величин и ориентирует объект по отношению к плане-
планете (рис. 6.2, б) таким образом, чтобы вспомогательное тело находилось
вверху, а основное внизу (газореактивные СПУ рассматривались в гл. 3).
Вслед за этим маховик раскручивается до необходимой скорости и при ра-
работающей СПУ отводится от основного тела вдоль местной вертикали с
помощью штанги на определенное расстояние. Затем разарретируются все
опоры вращения, и с этого момента система находится на орбите в рабо-
рабочем положении (рис. 6.2, в).
В процессе движения КА по орбите продольная ось системы, проходя-
проходящая через центры тяжести основного и вспомогательного тел, под дейст-
действием гравитационных моментов отслеживает местную вертикаль, тем са-
самым стабилизируя КА по углам крена и тангажа. Из соображений устой-
устойчивости движения системы маховик, вращающийся с достаточно большой
скоростью, имеет наибольший момент инерции относительно оси враще-
вращения, которая перпендикулярна плоскости орбиты. Несмотря на действие
возмущающих моментов, ось вращения маховика в течение всего времени
движшия системы будет достаточно точно направлена перпендикулярно
146

плоскости орбиты, задавая тем самым КА требуемое направление по кур-
курсу и крену. Итак, данная система отличается от ранее известных систем
гравитационной стабилизации тем, что с целью обеспечения эффективной
стабилизации КА по курсу и крену, вспомогательное тело на конце штанги
содержит вращающий маховик.
6.2. ВЫВОД УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ СИСТЕМЫ
И АНАЛИЗ УПРОЩЕННЫХ УРАВНЕНИЙ
При выводе уравнений движения КА относительно центра масс ис-
используем две системы координат: 1) орбитальную Ox0y0z0 (ось Oz0 на-
направлена вдоль радиуса-вектора по.местной вертикали от центра Земли к
центру масс КА; ось Ох0 — перпендикулярна оси Oz0i лежит в плоскости
орбиты и направлена в сторону полета; ось Оу0 направлена по бинормали
к орбите так, чтобы система координат Ox0y0z0 была правой); 2) связан-
связанную со спутником систему координат Oxyz, оси которой направлены
вдоль главных центральных осей инерции КА. Положение осей Oxyz отно-
относительно орбитальной системы координат Ox0y0ZQ определяется тремя
углами: рыскания ф9 крена у и тангажа # (см. рис. 1.2).
В течение всего активного времени существования КА на него дейст-
действуют возмущающие, управляющие гравитационные и гироскопические мо-
моменты от вращающегося маховика. Во время предварительного успокое-
успокоения и в период коррекции орбиты работает активная система ориентации,
которая создает необходимый управляющий момент.
Гироскопические моменты в каналах рыскания и крена появляются
при отклонении оси вращения маховика вместе с основным телом в плос-
плоскостях, перпендикулярных плоскости орбиты, как результат взаимодей-
взаимодействия угловой скорости маховика сом с проекциями мгновенной угловой
скорости системы сох и coZi и определяются по формулам
MTZ =- LMb)x\ Mrx =LmcjZ9 F.1)
где LM = IyMcoM — кинетический момент маховика Aум — момейт инер-
инерции маховика относительно оси его вращения).
Составляющие момента Мгр гравитационных сил по связанным осям
в предположении, что размеры системы малы по сравнению с расстоянием
До притягивающего центра, определяются по следующим формулам [7]:
= 3-^(/х -Iz)y"r,
К
F.2)
147

где ix — гравитационная постоянная; R — расстояние от центра масс систе-
системы до центра притяжения (на круговой орбите ц/R3 = со1);1х,1у912 — мо-
моменты инерции системы относительно связанных осей Ox, Oy, Oz; у, у,
у" — направляющие косинусы между связанными осями и осью Oz0 орби-
орбитальной системы координат, определяемые через углы тангажа, крена и
рыскания по формулам
у = sirupcosi/' + cos«psin#sini//; F.3)
у" = cos<pcos#.
Рассматриваемая комбинированная система пассивной стабилизации,
если не учитывать изгибные колебания штанги, имеет относительно центра
масс три степени свободы. Кроме того, маховик имеет дополнительную
de
степень свободы — угол поворота в (— = сом — скорость вращения ма-
dt
ховика).
Выведем дифференциальные уравнения движения КА, используя урав-
уравнения Лагранжа второго рода:
— — - — = Мх.9 F.4)
dt Ъх bxt *l V '
где х\ — обобщенная г-я координата (хг = ф,х2 = </?,^з = &)'*L — функция
Лагранжа; L = Т - V (Т — кинетическая энергия системы; V — потен-
потенциальная энергия системы); Мх. — обобщенный момент, соответствую-
соответствующий /-й координате.
Кинетическая энергия системы равна
ПН — A 2 _i_ т 2 _l / 2\ i_ г 2 /£L СЧ
2 2
Потенциальную энергию можно записать так
f
о
или при малых отклонениях системы по углам тангажа и крена:
~/ Мутр(Ю - / Мхт?Aф. F.6)
0 0 0
Используя выражения A.3), F.1) . . . F.6), запишем функцию Лаг-
Лагранжа L. Подставив ее в уравнение Лагранжа F.4), получим дифферен-
дифференциальные уравнения, описывающие пространственное движение системы
относительно центра масс.
Эти уравнения сложные и нелинейные. Аналитическое исследование
148

полученных уравнений движения системы крайне трудно, поэтому целе-
целесообразно провести некоторые упрощения. Так как газореактивная
СПУ уменьшает начальные угловые скорости до малых величин (по-
(порядка 0,01 . . . 0,03°/с) и ориентирует КА с высокой точностью, то можно
считать углы ф, у и & малыми величинами. Если предположить, что систе-
система под действием гравитационного и гироскопического моментов совер-
совершает медленные колебания, то ф, у и $ можно считать величинами первого
порядка малости.
После пренебрежения членами второго порядка малости в случае абсо-
абсолютно жесткой штанги и круговой орбиты упрощенные уравнения движе-
движения системы соответственно в каналах рыскания, крена и тангажа прини-
принимают вид
1уф + (LM - 1уОоо)<Р + 1моооф = 0;
1х1р + Aусоо - Ьм)ф + [4D - 1у)о>1 + LMcoo]<p = 0; F.7)
Анализ упрощенных уравнений F.7) позволяет сделать вывод о вели-
величине восстанавливающих моментов, о характере движения системы и о не-
необходимости использования в системе специальных демпфирующих
устройств для быстрого гашения колебаний относительно центра масс.
Третье уравнение (движение в канале тангажа) показывает, что тан-
гажное движение системы в плоскости орбиты в первом приближении не
связано с движением по крену и рысканию, которые, как видно из первых
двух уравнений, между собой связаны. Из первых двух уравнений следу-
следует, что гироскопический момент от вращающегося маховика увеличивает
восстанавливающий гравитационный момент по крену на величину Ьмсо0у,
а по курсу создает восстанавливающий момент, равный по величине
ЬФ
Характеристическое уравнение системы F.7) имеет вид
iyP "t" Ajj^COq (/'М -*y^OjP
-LM> /xp2 + 4(/z -Iy)coo + LMco0 0
0 0 hPb + 3cjo(/x -/j
= 0. F.8)
Корни уравнения F.8) являются чисто мнимыми, поэтому нельзя су-
судить об устойчивости движения данной системы по уравнениям первого
b рассматриваемой системе после предварительного успокоения оста-
остается допустимая часть непогашенной кинетической энергии вращательного
движения, и система спутник-стабилизатор будет совершать незатухающие
колебания относительно устойчивого положения. Возможны два пути
демпфирования этих движений: за счет диссинации энергии в процессе из-
гибных и крутильных колебаний штанги и с помощью специальных демп-
149

фирующих устройств (например, упруго-вязкий шарнир, магнитный успо-
успокоитель, устройства с магнитным гистерезисным демпфером).
6.3. ДЕМПФИРОВАНИЕ КОЛЕБАНИЙ СИСТЕМЫ
ЗА СЧЕТ РАССЕИВАНИЯ ЭНЕРГИИ В УПРУГОЙ ПГГАНГЕ
Динамика космического аппарата с упругими штангами рассматрива-
рассматривалась рядом авторов. Оценим влияние упругих колебаний штанги в комби-
комбинированной системе, когда на конце штанги имеется вращающийся ма-
маховик.
Возникающие в системе гироскопические и гравитационные моменты
вызывают в штанге как изгибные колебания в двух плоскостях, так и
крутильные колебания. Корректный учет всех видов колебаний приводит
к достаточно сложной задаче, поэтому для проведения аналитических ис-
исследований максимально упростим модель.
Прежде всего будем пренебрегать распределенной массой штанги, что
снижает число степеней свободы системы до 8: две нормальные формы из-
гибных колебаний в одной плоскости, две — в другой, крутильные колеба-
колебания и три степени свободы системы как твердого тела. Частоты собствен-
собственных изгибных колебаний системы первой и второй нормальных форм без
учета массы штанги определяются выражениями [38]:
7
/2 У1г к ;Утг т2}
тг и т2 — соответственно масса основного и вспомогательного тел; I —
длина штанги; 1Х и /2 — соответственно главный центральный момент
инерции основного и вспомогательного тел относительно осей, параллель-
параллельных оси Оу, /3 = /2 - 1у м; я 1, а2 — расстояния от центра инерции основно-
основного тела и вспомогательного тела до точки крепления штанги; [EJ]y — из-
гибная жесткость штанги.
Принимая массу основного тела намного больше массы вспомогатель-
вспомогательного тела и используя выражение F.9), найдем отношение частот первой и
второй нормальных форм изгцбных колебаний системы:
ь>х = 3/3
и>\ 4т212 '
Так как m2l2 > /з, то со2 > сох и вторыми нормальными формами колеба-
150

. 63. Связь между углами О и
ний можно пренебречь. Таким образом, чис-
число степеней свободы системы уменьши-
уменьшилось до 6.
Введем дополнительные переменные <р\,
#i> ^i» представляющие собой относитель-
относительные углы поворота вспомогательного тела
вокруг осей Ox, Oy, Oz соответственно. Для
вывода дифференциальных уравнений дви-
движения системы используем уравнения Лаг-
ранжа F.4).
Гироскопический момент равен
Вспомогатель-
Вспомогательное тело
Основное
тело
МТ =LMXco
= JZ,M
Проекции этого момента на оси Ox, Oy, Oz KA, с учетом допущения о ма-
малости угловых отклонений КА, запишем в виде
Mj.x — LM(jp — ^оФ)\ Mj-y == 0*
A/f — f » (f* 1 (W
Проекции гравитационного момента находим по формулам F.2), F.3),
подставив в них вместо углов #, <р углы Ъ, у, учитывающие изгибные от-
отклонения штанги (рис. 63). Найдем связь между углами # и Ъ. Для этого
необходимо знать форму упругой линии штанги. Учет только первых нор-
нормальных форм изгибных колебаний дает возможность определить форму
упругой оси штанги - кубическая парабола. Отсюда имеем
Используя выражения F.11), определим гравитационный момент и, ли-
линеаризовав его,получим
F.12)
Далее найдем кинетическую энергию системы:
151

T--i-<7 2 T 2
2 У У
1 2 1
2 2
1 1'2 * *
2 2 3 У 3
11*2 * •
Потенциальная энергия деформированной штанги определяется из выра-
выражения
W = - ~С^? - \cfi - \С^\, F.14)
JL J, Z
где С^, С^, С^ - изгибные и крутильные жесткости штанги. Диссипатив-
ная функция (входящая в функцию Лагранжа) равна:
1 1 - 1
где к$9 ку, кф — коэффициенты диссипации энергии при упругих коле-
колебаниях.
Используя уравнения F.4) и выражения A.2), F.6), F.10) . . . F.15),
нолучим после соответствующих преобразований и линеаризации с учетом
допущения о малости угловых скоростей и отклонений следующие диффе-
дифференциальные уравнения движения системы:
-ьы)ф
+ ^ +
= 0;
+ Wi+ к+фх* C^ipi =0; F.16)
=0;
3(/z - /х)со8*+ jmiPei* (Iz - ^^^ =0;
Разделив третье уравнение системы FЛ6) на /ZM, четвертое и шестое —
на 1/9 и введя обозначения:
15?

запишем упрощенные уравнения движения системы с учетом изгибных и
^крутильных колебаний штанги с вращающимся маховиком на конце в
следующем виде
[4G,, - /z)co§ +
1 4
jrn2l2iPl + Lmcj0^i + у (/>, - 4)^о^1 =0; F.17)
Ф - oj0ip + ^1+5^^! + co^i =0;
3Q + co0^)+ Vi + 5^i + wj^t = 0;
jr 3(/z - x)oo§
3$ + #! + 6^^!+ wj^i =0;
где ^i, «pi, ^i — отклонения вспомогательного тела при упругих колеба-
колебаниях штанги в плоскостях тангажа, крена и рысканья соответственно;
cod, w^, cj^ , 5^, 5^, б^ — соответственно собственные частоты и коэффи-
коэффициенты затухания упругих колебаний во всех трех плоскостях.
Из уравнений F.17) следует, что в рассматриваемом приближении
движение в плоскости тангажа не связано с движением системы в двух
других плоскостях (последнее будем называть боковым движением). Это
позволяет рассматривать динамику тангажного и бокового движений
раздельно.
Тангажное движение. Наиболее эффективное демпфирование либра-
ционноГо движения гравитационно-устойчивого спутника может быть
достигнуто при частоте упругих колебаний порядка орбитальной угловой
скорости со0. Для этого необходимо уменьшить изгибную жесткость штан-
штанги [ЕТ\у на несколько порядков, что недопустимо, так как приводит к
соответствующему уменьшению изгибной жесткости [EJ]X и крутильной
жесткости [GJ]Z штанги, которые, в свою очередь, приводят к неустойчи-
неустойчивости бокового движения системы.
Таким образом, за счет рассеивания энергии в штанге нельзя эффек-
эффективно демпфировать либрационные движения в плоскости тангажа. Для
демпфирования этих движений применяют магнитное демпфирующее
устройство или упруго-вязкую подвеску для соединения маховика со
штангой или штанги с корпусом основного тела.
153

Боковое движение. Динамика бокового движения описывается че-
четырьмя уравнениями системы F.17). Если взять отношение частот кру-
крутильных и изгибных колебаний:
<Л [GJ)zml2
то можно заметить, что они одного порядка, так как изгибная жесткость
ленточных штанг на три порядка больше крутильной жесткости, аш2/2 >
> /3 на четыре порядка. Поэтому необходимо учитывать в равной степени
как крутильные, так и изгибные колебания в плоскости крена, т.е. анали-
анализировать систему уравнений 8-го порядка.
Рассмотрим случай, когда LM > /zcj0. Запишем характеристическое
уравнение первых четырех уравнений системы F.17) :
о
m2l2
3
р "- ojqP р + Ьфр+ со2. О
Ъсо0р Ър2 О р2 +
= 0.
В качестве нулевого приближения рассмотрим случай жесткой штанги
(со2 = oofy ->°° ). В этом случае система совершает колебания с частотами
порядка сон ~ LMj\/lxIz\ соп ~ со0. Меньше частоту cjn будем называть
частотой прецессионного движения, а большую — нутационного.
Оценим в первом приближении скорость демпфирования нутацион-
нутационных и прецессионных колебаний для случая малых б^ и 5^. Пусть р =
= - 5П + /соп. Считал, что соп ~ со0, а 5П — малая величина, и подставив р
в уравнение F.18), найдем частоту и степень затухания прецессионных ко-
колебаний:
■ F.19)
Из полученных выражений видно, что с увеличением кинетического мо-
момента маховика ухудшается демпфирование прецессионного * движения
154

вплоть до потери устойчивости. Если повысить частоту изгибных колеба-
колебаний (со£ -> °°), то формула F.19) примет вид
' F-20)
и прецессионное движение будет устойчиво для любых LM. Из выражения
F.20) следует, что при LM > /2cj0 коэффициент демпфирования прецес-
прецессионных колебаний на несколько порядков ниже орбитальной угловой
скорости, т.е. практически демпфирование будет отсутствовать.
Аналогично найдем частоту и степень затухания нутационных колеба-
колебаний, ограничиваясь случаем отсутствия изгибных колебаний (со£ ->°°);
Пусть дф = 26
где 5Д — относительный коэффициент внутреннего демпфирования. Тогда
получим
Эта функция имеет максимальное значение
($н)тах= "ТЗ
V27
Для реальных конструкций коэффициент демпфирования нутационных
колебаний имеет порядок со0, что обеспечивает приемлемое время демп-
демпфирования нутационных колебаний.
Таким образом, за счет рассеивания энергии в упругой штанге нута-
нутационные колебания можно задемпфировать, а прецессионные колебания и
либрационные движения по тангажу нельзя задемпфировать за приемле-
приемлемый интервал времени.
6.4. АНАЛИЗ ВОЗМОЖНОСТИ ДЕМПФИРОВАНИЯ КОЛЕБАНИЙ СИСТЕМЫ
С ПОМОЩЬЮ МАГНИТНОГО УСПОКОИТЕЛЯ
В качестве специального демпфирующего устройства можно использо-
использовать магнитный успокоитель, состоящий из двух концентрических сфер,
разделенных вязкой жидкостью (см. рдзд. 2.6 рис. 2.19). В рабочем поло-
155

жении система с магнитным успокоителем показана на рис. 6.2,в. Внутрен-
Внутренняя сфера содержит стержневой магнит, а внешняя жестко соединена со
штангой. Магнит при своем движении стремится следовать за силовыми
линиями магнитного поля Земли, а спутник под действием гравита-
гравитационных и гироскопических моментов удерживается вдоль осей орбиталь-
орбитальной системы координат. При колебательных движениях спутника возни-
возникает относительное вращение шара и полости, при этом на спутник дейст-
действует демпфирующий момент ЛГд, равный моменту сил вязкого трения
(влиянием вихревых токов пренебрегаем, так как демпфирующий мо-
момент в основном создается за счет вязкости жидкости и не зависит от по-
положения магнита) [52]:
#д = *д2д, F.21)
где &д — коэффициент демпфирования; о>д — угловая скорость относи-
относительного вращения сфер.
Уравнения движения спутника с маховиком и магнитным демпфером
запишем в виде
—►
^ ^ F'22)
F.23)
где L, LM, Ьц — кинетические моменты спутника, маховика и демпфера
соответственно; В^ — магнитный момент демпфера; Н — напряженность
магнитного поля Земли; Afrp и Мд — гравитациойный и демпфирующий
моменты.
Так как при наличии вращающегося маховика обычно L + LM > £д,
а угловая скорость движения магнита в вязкой жидкости не может быть
большой, то уравнение F.23) с точностью до величин высшего порядка
малости можно записать в виде
^д=Яд(&Х#), F.24)
где 0Д = ^д/^д — орт оси намагниченности демпфера. Из выражений
F.21), F.24) и соотношения —— = сод X ^ получим уравнение, опи-
описывающее движение демпфера:
Проектируя векторные уравнения F.22), F.24), F.25) на оси свя-
связанной со спутником системы координат и учитывая выражения для гра-
гравитационных момертов F.2), F.3), вектора Й в орбитальной системе
координат [52] и кинетические соотношения A.2), получим полную сис-
систему дифференциальных уравнений, описывающую движение спутника с
156

гравитационно-гироскопической стабилизацией и магнитным демпфиро-
демпфированием:
F.26)
- Iy)yy =
где (^дХ = -^ (Я, -
д
—- Hx0cos$sin\]/ + Ну 0 (cosnpcos\p -
Hz =HxOsin& -
fJi£
Hxo = -y (cos6sin/0cosM - sin6cos/0 X
R
/Llr
Hy0 =—3- (cos6cos/0 +
R
HzQ
R
- 2cos5sin/0sinM -
7 = sirn//sini/? —
у = sin^cos^ +
y" = coapcostf,
157

где и = cjof; h - наклонение орбиты; Л, - угловая скорость вращения
Земли; б — угол между осью вращения Земли и осью магнитного диполя.
Поставим задачу найти упрощенные уравнения движения. Полагая,
как и выше, углы и угловые скорости колебаний КА малыми, придем к
линейной системе уравнений вида
1х1р - Агф+ Вгы0<р = МцХ;
ё М„\ F.27)
Будем считать, что отклонение оси намагниченности демпфера от направ-
направления вектора магнитной напряженнЬсти Я являетсд малым. Это допу-
допущение основано на том, что за время предварительного успокоения, пред-
предшествующего рабочему режиму, ось намагниченности демпфер^ практи-
практически совместится с направлением вектора Я и в дальнейшем следит за
ним, испытывая лишь небольшие отклонения при колебаниях КА.
Тогда уравнение F.25) можно замшить приближенным:
d^ 1 ^ ^
где h = — — орт вектора Я, Гд = к^/В^Н — постоянная времени, с кото-
н ^
рой магнит демпфера следит за вектором Я.
Продифференцируем уравнение F.24). Принимая во внимание vF.28)
и приближенное соотношение
получим
с1Йп Л/
dt Гд
dit -t - dff"^
"+ B(hX
или в проекциях на связанные оси:
X
X -jf- + *д нг , F.29)
158
Я2

Дифференцируя далее F.27) с учетом соотношений F.29) и выражений
для НХ9 Ну, Hz из F.26), после ряда преобразований и упрощений при
Тд^о <1Дя0,5=0 придем к системе уравнений, которая может быть
записана в операторной форме следующим образом:
1) QXP24> ~
2
\){1ур2 + Я2со0)# = - *д(С2со0 - -у-р^+ F.30)
- 2С3рф+
гдезведшы обозначения:
Лх =А3 =LM - (/х - /у ^
^2 =3(/x - /z)co0; B3 =IM - (/x - Iy)u0',
_ sin2iocosK __ - 2 sin2 i*o
1 1+ 3sin2/osin2w ' 2 1+ 3sin2fosin2w '
1
- — sin2/osinw ii i
2 4sin /q sin " + cos
e =
3sin2iosin2w ' 1+ 3sin2iosin2w
/o(l + 3s
3sin2i*o
sin2/p sin 2m
_ sin /qA + 3sin и) sin2/0cos w+ cos /0
й2 — "—■ I г ; а3 = z 5
1 + 3sin 1*0 sin и 1 + 3 sin i0 sin и
3sin2/osin2w
Таким образом, получили линейную систему 9-го порядка с периоди-
периодическими коэффициентами. Рассмотрим частный случай, когда спутник
движется по полярной круговой орбите (;0 = 90°). В данном случае Сх =
= С3 =0, поэтому боковое и тангажное движения спутника разделяются и
могут быть изучены независимо. При этом в боковом движении имеют
место только свободные колебания, так как правые части соответствую-
соответствующих уравнений равны нулю; в плоскости тангажа имеют место вынужден-
вынужденные колебания, так как С2 ^ 0. Движение в плоскости тангажа в соответ-
соответствии^ F.30) описывается уравнением
+ IyP2 '
159
3sin2w

из которого видно, что в рассматриваемом приближении наличие вращаю-
вращающегося маховика не оказывает влияния на колебания спутника в плоскос-
плоскости орбиты. Коэффициенты левой части данного уравнения не зависят от
времени. Полагая коэффициент демпфирования малым и подставляя
р = - 5# + /со# в соответствующее характеристическое уравнение, по-
получим
[ут~ - i-\ *..т_ t2
ль
1у
где О (х) — О "большое" от х означает величину порядка х.
Скорость затухания начальных колебаний по тангажу можно оценить
по формулам
и* =
п
п
где п — число витков движения спутника по орбите.
В дальнейшем спутник совершает вынужденные периодические коле-
колебания, обусловленные ненулевой правой частью у равнения..Эти движения
для малых значений кц изучены в работе [51], где показано, что в устано-
установившемся движении спутник совершает колебания Относительно ориенти-
ориентированного положения. При некоторых условиях возможны также мед-
медленные (с частотой порядка орбитальной) недемпфируемые вращения.
Перейдем к анализу бокового движения спутника. Как указывалось
ранее (см. разд. 6.3), в невозмущенном движении (при отсутствии демп-
демпфирующих моментов) спутник совершает нутационные колебания с час-
частотой порядка сон ~ LM/y/IxIz и прецессионные с частотой сон ~ cj0. Из
соображений малости амплитуд начальных (недемпфированных) колеба-
колебаний КА (А Аф ~ 3 ... 6°) кинетический момент маховика должен вы-
выбираться достаточно большим, так что обычно выполняются условия
Поэтому при проведении дальнейших исследований величины llNHkn/LM
будем рассматривать как малые параметры. В связи с этим можно утверж-
утверждать, что возмущенное движение определяется малыми членами k^di9
£д^з> £д£ медленно изменяющимися во времени со скоростью порядка
орбитальной. Так как cjh > cj0, to для оценки затухания нутационных
колебаний можно применить метод замороженных коэффициентов.
Пренебрегая величинами (ka/LMJ и 1/N2 по сравнению с 1, из F.30)
получим приближенное характеристическое уравнение системы уравнений
бокового движения при условии 1Х = 1у :
160

где введены обозначения:
2 4 2
COS И + — Sin И 2
m 4 + kicos
1+
—
61 "
4(т - )
1 N
N * N ' ~ m
k£ v безразмерный коэффициент демпфирования.
Вместо et у е2 можно использовать их средние значения за орбиталь-
орбитальный период:
Применяя критерий Гурвица к уравнению F.31), найдем приближенное
условие устойчивости системы:
N> — + me1 -^2- , F.32)
ei e2
Нетрудно видеть, что при принятых допущениях относительно значений
параметров £д, N характеристическое уравнение F.31) имеет два дейст-
действительных и четыре комплексных корня, которые запишем в виде
<*i =- —; <*г =- — + «2; Лз,4=- бн ±
± /(По + ДП); а5, б = - 8П ± /(со0 + Дсо).
Подставляя эти выражения в F.31), получим
1
161
N 1
SH = т-z со0[1 + O(-r)];

лГA+
82 =0[-J-
Для оценки скорости уменьшения амплитуды нутационных колеба-
колебаний за п витков движения спутника по орбите воспользуемся парамет-
параметром 6Н:
W0
1
1+
Отсюда видно, что для увеличения скорости затухания нутационных коле-
колебаний необходимо увеличивать магнитный момент демпфера 2?д, так как
при этом уменьшаемся постоянная времени Гд = Лд/2?д#, с которой мо-
момент демпфера следит за вектором п. Требования к величине кинетичес-
кинетического момента маховика LM являются противоречивыми. С одной сторо-
стороны, отношение TV = Lm/Izcj0 необходимо увеличивать из условия устойчи-
устойчивости F.32), а также из условия ограничения амплитуд начальных недемп-
недемпфированных колебаний спутника по у и ф. Однако, начиная с некоторого
момента, дальнейшее увеличение отношения 7V будет приводить к умень-
уменьшению 65 вследствие возрастания влияния члена T^q* из-за рвста О§.
Это объясняется тем, что при увеличении скорости нутационных колеба-
колебаний сон ~ По постоянный магнит демпфера за счет вязкости жидкости
увлекается в нутационное движение КА и тем самым уменьшается его
демпфирующее воздействие.
Максимальные угловые отклонения КА в недемпфированном движе-
движении можно оценить по формулам (при &0 = ф0 = <р0 = 0):
/
~ 1)
m
Из этих неравеиств определяем Nm-m. Затем проверяем условие устойчи-
устойчивости F.32), которое при реальных значениях начальных условий <р0,
^о ~ 0,01 . . . 0,03°/с и 1^1, |^| < 3 ... 10° обьмно выполняются. Увели-
Увеличение коэффициента демпфирования кц вначале приводит к возрастанию
162

<р,р,рад
0,1
о
-0,1
,2
0,2
п
и
\ 1
-0,001
—^
п
V
9
а-
nZV
^
t-Wh
Л103С
0,1
Рис. 6.4. Переходные процессы в системе
демпфирований колебаний, однако при больших значениях £д может наб-
наблюдаться обратный эффект, что также объясняется вовлечением магнита в
нутационное движение спутника при большой вязкости жидкости. Опти-
Оптимальное значение равно к% 'opt = .
Демпфирование прецессионного движения при больших W в основном
163

определяется значениями коэффициентов при низших степенях р в харак-
характеристическом уравнении F.31), которые слабо зависят от изменения па-
параметра и = co0f. Поэтому для приближенной оценки затухания прецес-
прецессионных колебаний при больших N может быть использован параметр бп:
Таким образом, демпфирование прецессионного движения увеличивается
с ростом коэффициента кц и может существенно уменьшиться с ростом
параметра Ny начиная с некоторого N>N0.
В заключение рассмотрим конкретный пример. Пусть моменты инер-
инерции спутника в рабочем состоянии равны 1Х = 1у = 2646 кгм212 = 294 кгм .
Орбита полярная, круговая, с высотой И = 1000 км, i0 = 90°, со0 =
= 0,001 с. Магнитный момент демпфера равен Вц = 100000 А-м2,
коэффициент демпфирования кц = 1,96-10б гсм2. Начальные условия
после предварительного успокоения, выдвижения штанги и раскрутки
маховика равны $0 == ^о == <Ро = 0,0005 с, &0 = ф0 = <р0 = 0. При этих
условиях кинетический момент маховика примем равным LM =
= 9,8 кгм2 с, что соответствует N~33. Угловые скорости либрационно-
го и прецессионного движений при заданных параметрах равны со^ =
= 0,00163 с в плоскости тангажа и соп = 0,001 с в боковой плоскости,
угловая скорость нутационного движения сон = 0,011 с. Оценки макси-
максимальных отклонений в начальном, недемпфированном движении равны
& ~ 0,3 рад, ф ~ 0,2 рад. <р ~ 0,11 рад. Расчетные значения коэффициентов
затухания получаются равными5§ = 0,24; 6* = 0,47; б* = 0,15.
На рис. 6.4 приведены переходные процессы, полученные путем чис-
численного интегрирования на ЭВМ исходной (неупрощенной) системы диф-
дифференциальных уравнений F.26) для данного варианта. По результатам
интегрирования на ЭВМ коэффициенты затухания равны 6$ ~0,3;5*~Q,4;
б* ^ 0,12. Амплитуда нутационных колебаний уменьшилась в 20 раз за
~ 7 витков движения по орбите, амплитуда прецессионных колебаний в
боковой плоскости уменьшилась в 20 раз за ~ 25 витков. При этом в
плоскости тангажа установились периодические колебания с максималь-
максимальным отклонением | # |max ~ 0,06 рад.
164

ГЛАВА 7. УРАВНЕНИЯ УПРУГОГО КА
7.1- ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
И КИНЕМАТИКА ДВИЖЕНИЯ СИСТЕМЫ
Исследование динамики систем гравитационной стабилизации с уче-
учетом изгибных колебаний стабилизатора проводилось многими авторами.
В ряде работ делалось предположение о совпадении центра масс основ-
основного тела с центром масс всей системы в каждый момент времени, и при
этом не учитывались либо распределенная масса штанг, либо масса и
момент инерции грузов на конце штанг. В данной работе сделано пред-
предположение только о малости упругих деформаций штанг и об отсутствии
продольных колебаний.
Рассматривается система управления угловым положением упругого
КА, состоящего из основного тела и присоединенного к нему гравитацион-
гравитационного стабилизатора из нескольких длинных штанг с грузами на концах.
Заметим, что солнечные батареи и солнечный стабилизатор можно рас-
рассматривать аналогично штангам с грузами, если массу батареи или солнеч-
солнечного стабилизатора считать сосредоточенной величиной, расположенной на
некотором расстоянии от центра масс всей системы. Так, в общем случае
КА будет представлять собой систему деформируемых и твердых тел.
На рис. 7.1 приведена кинематическая схема движения системы с
учетом упругости штанг и вращения грузов. Показана только одна /-я
штанга с грузом. При изучении движения КА всеми возмущающими мо-
моментами пренебрегаем ввиду их малости по сравнению с моментами упру-
упругих штанг и моментами от системы управления. Введем связанную с те-
телом КА систему координат OXYZ, угловое движение которой в нормаль-
нормальной системе координат O0XgYgZg характеризуется вектором угловой ско-
скорости со. В положении равновесия аппарата обе системы координат совпа-
совпадают.
Рассмотрим п триэдров OjXjYjZj (по числу штанг /= 1, 2, ...,«),
связанных с основным телом, и триэдров OjXjYjZj, связанных с грузом
(см. рис. 7.1). Обозначим через О/ точку закрепления ;-й штанги к телу
КА; Oj - центр инерции/-го груза. Оси триэдра OjXjYjZj при недеформи-
рованной/-й штанге параллельны осям триэдра OjXjYjZj. ось OjZ/ направ-
направлена вдоль оси/'-й штанги, ось OfX/ параллельна плоскости^ = 0.
Известно, что любую форму упругой линии штанги можно предста-
представить бесконечным рядом по собственным формам колебаний. Этот ряд
сходится, поэтому в приближенном решении число форм может быть
взято конечным, равным числу к.
Для определения положения грузов # элементов штанг введем в рас-
рассмотрение обобщенные координаты qpk+ /f /(p = Q> 1, 2; / = 1, 2, . .., к)
и соответствующие им собственные формы колебаний Qpk + ^(zj), причем
165

Рис. 7.1. Схема-деформируемой системы
р = 0,1 - для поперечных колеба-
колебаний соответственно в плоскостях
у/ = 0, х/ = 0; и р = 2 - для кру-
крутильных колебаний вокруг qqylQjZj.
Продольными колебаниями штанги
пренебрегаем ввиду малости их по
сравнению с поперечными. Все обоб-
обобщенные координаты и их произ-
производные по времени считаем малы-
малыми величинами.
Положение элемента /-й штанги
относительно тела определяется
вектором [26]
G.1)
где г/ — вектор положения элемента
гх /-й штанги; р0/ = 00/ - постоянный
вектор в системе осей OXYZ;uj(zf) — вектор смещения вследствие дефор-
деформации штанги элемента, отстоящего на расстоянии zj от точки закрепле-
закрепления штанги к КА; е3/ - °РТ °си Oft.
Вектор смещения запишем в виде:
_> 1 _> к
ui == ? еР + *»/. 5 ^Рк + h №®рк + ifef)' С*2)
При недеформированной штанге центр инерции /-го груза лежит на
оси OjZj на расстоянии д/ от точки закрепления его к штанге длиной //.
Положение груза относительно тела КА определяется вектором
-►-»-►
^ = ~- + ~* = гГ • + *Г •/• + ~* + Y/Л Г7 3^
(где e^j — орт оси Hfj\7j — вектор положения центра инерции /-ого груза
соответственно при недеформированной штанге) и тремя угловыми коор-
координатами, задающими ориентацию триэдра djxfyjzj относительно триэдра
A:
», fij),
G.4)
166

Из формул G.2), G3) и G.4) определим
ш= S qafUfl 5/= 2 <^С/«; wy= S qM, G.5)
где
— символ Кронекера, т.е. б/р | 0 при i Ф р
1при/ = р
7Л. ОСНОВНЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СИСТЕМЫ
Прежде чем приступить к выводу уравнений движения КА на основа-
основании общих уравнений динамики относительного движения по методу,
предложенному в работе [26] найдем некоторые основные характеристи-
характеристики системы, используя выражения G.1) ... G.5).
1° - радиус-вектор центра инерции системы
-> 1 п ъ ~ Ц 1 п ък
г0 = - 2 {Ujttij +/ 7ju,dzf) = - 2 2 dfq ■, G.6)
где d? = Uptii + j yjUjdzj; M — масса всей системы; /и/ — масса;-го гру-
за; 7/ - погонная масса ;-й штанги.
2° — тензор инерции системы в точке О в осях координат, связанных
с телом КА,
/ п Ък а
+ fjf<bf(Erf, - гуг,)] = в; + 22 2 Л. X
О / = 1 в = 1 '
G-7)
где через Л" и QJ & обозначены тензоры в точке О9 определяемые равен-
равенствами:
167

Л; =fyf[EPlUj - ±Q>fUf + Ufpfl + mt X
Qf =
0° = 0? +Д[0/+ W/^/f - %+ / 7/X
ще в\ - тензор инерции твердого тела; 0/ - тензорч/ине£Щ!и/-го груза от-
относительно своего центра инерции в системе ocmOjXjYjZf, 0° — тензор
инерции всей системы в ее центре инерции при недеформированных штан-
штангах; Е — единичный тензор.
3° — главный кинетический момент относительного движения сис-
системы относительно центра инерции О:
п 1/ ^ ^
К°г = 2 / jidzj-n X rf + m/Jv X 7f + 0/coy) =
/=io ' '
= 22 qajG% G.8)
где G? = /7/^zp/ X[/% m;j X[5j+ 0/uf ;
r* — локальная производная вектора г;- по времени.
4° — момент кориолисовых сил инерции относительно центра инерции
системы О:
m° =-
ЗЛ " ■- - coXG?), G.9)
Б 2* <7а/BсоЛ? + со!" +
/=i «=i ' '
5° — кинетическая энергия относительного движения системы:
168

£
6° — потенциальная энергия упругих сил штанги:
тге = | 2 / [(EJ)yj{ ! ^
G10)
Здесь р, s = 0, 1, 2; а, /3 = 1, 2, . . . к, (EJ)yj n(EJ)xj - изгибная жесткость
/-й штанги соответственно в плоскостях у/ = 0 и х/ = 0 (в общем случае
может быть переменная величина); (Gf)zj — крутильная жесткость ;-й
штанги.
7° — обобщенная сила инерции поступательного движения системы
где F — вектор скорости полюса; F* — локальная производная вектора
V по времени.
8° — обобщенная сила инерции вращательного движения системы:
GЛ2)
где Gfa = / (Uf X U?)yjdzf + mfUf X Uf.
169

9° — обобщенная гироскопическая сила:
Зк . '/ Эг/ dry
1{
dry Эгу i 3wy ч Эй)/
+ m,(- X )+ (в, - -ЕШ-r- X -r-
G.13)
/
где Гв/ = / ((/? X UftydZj + т/С/" X f/
- первый инвариант тензора Of.
7.3. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ
Используя найденные динамические характеристики системы G.6)...
G.13), а также общие уравнения динамики относительного движения [26],
запишем дифференциальные уравнения движения КА с учетом деформа-
деформации штанг с грузами на концах:
w + cjX в^0 со = My - £ S ( qaf[2(Afo>
соХЛ?со)+ «f?X(F + coX V)]
2Л =,- f C-% - d«(F + coX F) +
/3 = 1 ' P/ 0 = 1 ' P '
+ со(Л;+ f Ga^fl;-)co+ 2co S ra^g,- - co(C;;+ f
7 0 = 1 w 0 = 1 w ' /3 = 1
— вектор-момент системы управления.
170

Отбрасывая члены второго порядка малости и выше и исключая ско-
скорость поЛюса F, получим уравнение движения в виде
е°*°о> = -му -Д а%гЯа/С°1 G.14)
Зк ав" Зк В 1 а п Зк '• в -а
Спроектируем уравнение G.15) на оси связанной системы координат
OXYZ:
Itti^t =~ Myt ~.2 2 2 (
3 3 3 '/
2Р6ГЗ/ Х
} G-16)
/=1,2,3 (r = x,^,z),
где /гг, /Гг/ — соответственно главные центральные моменты инерции всей
-системы и /-го груза; ||65//|| — матрица поворота триэдра OjXjYjZj отно-
относительно связанных осей OXYZ; Myt — проекции вектора управляющего
момента; Е srt — символ Леви-Чевита, определяемый следующим об-
образом:
а) ^srt == 0> если в числе индексов s, r, Г, принимающих значение из
совокупности чисел 1,2,3, имеются одинаковые;
б) €= srr = 1, если индексы s, r, t различны и расположены в порядке 1,
2, 3 или в порядке, получающемся из него круговой перестановкой
(т.е. 231,312);
в) G srt = - 1, если в следовании различных индексов s, r, r этот поря-
порядок нарушается.
Исключив в уравнении G.15) векторные величины и угловую ско-
скорость основного тела КА, получим
-52р)Х
171

x Q'p
x
X (Q-ff + blpEJxy(QlHJf + bzpGJzy X
X & ^ |
X
1
X
X
I I !^+ fl f(l-
52s)X
3 3
172

+ a, p(lp)+ 52s x
00 >e(lp)\ >, G.17)
P = 0,1,2; a=l,2,.../*;'/= 1,2,...,n.
После введший некоторых обозначений уравнения G.16) и G.17) можно
записать следующим образом:
/,,a>, =-Myt-i 1 I «,* + «, у X
/ = 1 р=0 a = l p ''
к ..
1
и 1
з ирк+ /,/ «2
(p = 0,-l,2; /=1,2,..., *;/=l,2,...,n)
/y
гдеAPil = / Ту
A )L = ^/62*+^ у 0/)e2*+/, у о,);
,-,у + /
173

If
f
1 T 1
S ™* 1 T —— 1
X Of
pk + a,j ^pk + a,j\
В полученных уравнениях движения G.18) и G.19) коэффициенты
при обобщенных координатах не зависят от времени и управляющего мо-
момента, а зависят от нормальных функций Qpk+i,j> которые в свою очередь
зависят только от параметров системы. За функции Qpk+ij можно при-
принять любые формы, описывающие форму колебаний штанги. Однако вы-
выбирать эти функции следует с учетом структуры конкретной системы.
Рассмотрим несколько случаев выбора этих функций.
В общем случае расположения штанг за функции Qpk+i,j целесообраз-
целесообразно принять нормальные формы консольно защемленной /-й штанги с гру-
грузом на конце. Для определения этих функций можно воспользоваться ра-
работами (когда р =■ 0 или 1) и [38] (когда р = 2).
В частных случаях за функции Qpk + i, j целесообразно принять нормаль-
нормальные формы свободных колебаний всей системы в плоскости Г, приведен-
приведенные к р-му виду колебаний /-й штанги. В этом случае обобщенные коор-
координаты qpk + / j не зависят от / и р, а зависят от t и /, поэтому обозначим
их через qt\.
Запишем уравнения G.18) и G.19) в новых обобщенных координа-
координатах, суммируя все уравнения, кроме первых трех, по / ир:
со,+ S 5rA/=- —Mvt\ G.20)
Dti
bi+ "tfltt = 7^7" Myt; G.2i)
r= 1,2,3; /=i,2,..., *,
П 2
174

Гп 2
// =1 р=в
= V
_ собственная частота колебаний системы
ti
i -й нормальной формы в плоскости р.
Уравнения G.20), G.21) проще уравнений G.18), G.19) и разделя-
разделяются по t на три группы. В работе [38], используя эти уравнения, сделана
попытка провести анализ динамики некоторых систем гравитационной
стабилизации.
175

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Алексеев К. Б., Бебенин Г. Г. Управление космическими летательными аппа-
аппаратами. М.: Машиностроение, 1974. 344 с.
2. Алпатов В. Г., Драновский В. И., Салтыков Ю. Д. Динамика космических ап-
аппаратов с магнитными системами управления. М.: Машиностроение, 1978. 200 с.
3. Алпер Дж. Р. Теория маятникового демпфера нутационных колебаний спут-
спутника. - Ракетная техника и космонавтика, 1965, № 3, с. 170 - 176.
4. Артюхин Ю. П., Каргу Л. И., Симаев В. Л. Системы управления космических
аппаратов, стабилизированных вращением. М.: Наука, 1979. 296 с.
5. Бажинов И. К., Почукаев В. Н. Оптимальное планирование навигационных из-
измерений в космическом полете. М.: Машиностроение, 1976. 287 с.
6. Балк М. Б. Элементы динамики космического полета. М.: Наука, 1965. 339 с.
7. Белецкий В. В. Движение искусственного спутника относительно центра масс.
М.: Наука, 1966.416 с.
8. Беляев Н. М., Уваров £. И. Расчет и проектирование реактивных систем управ-
управления КЛА. М.: Машиностроение, 1974.197 с.
9. Боголюбов Н. Н., Митропольский Ю. А. Асимптотические методы в теории
нелинейных колебаний. М.: Физматгиз, 1958.408 с.
10. Боднер В. А. Системы управления летательными аппаратами. М.: Машино-
Машиностроение, 1973.502 с.
11. Бра Д. Б. Принципы работы пассивных систем стабилизации и основные
направления исследований. - В кн.: Современное состояние механики космического
полета. М.: Наука, 1969. с. 179 - 235.
12. Вильяме Д. Д. Управление спутником "Синком". - В кн.: Автоматическое
управление космическими летательными аппаратами. М.: Наука, 1971. с. 326 - 330.
13. Волосов В. М. Усреднение в системах обыкновенных дифференциальных
уравнений. - Успехи математических наук, 1962, т. XVII, вып. 6 /108/, с. 3 - 126.
14. Гаушус Э. В., Семен ко В. П. Динамика импульсной системы управления
ориентации космического аппарата. - Космические исследования, 1969, т. VII,
вып. 5, с. 643-651.
15. Гироаэродинамическая система ориентации спутника / Гладилин В. С, Дра-
Драновский В. И., Зигунов В. Н., Салтыков Ю. Д. - В кн.: "Космическая стрела". М.:
Наука, 1974. с. 25 -29.
16. Ишлинский А. Ю. Ориентация, гироскопы и инерциальная навигация. М.:
Наука, 1976. с. 672.
17. Каргу Л. И. Системы угловой стабилизации КА. М.: Машиностроение, 1980.
с. 172.
18. Карпов Н. С, Попов В. И. Уменьшение теплового изгиба гравитационного
стабилизатора с помощью защитного чехла. - Космические исследования, 1973,
т. XI,вып. I.e. 148 - 152.
19. Карымов А. А. Определение сил и моментов сил светового давления, дейст-
действующих на тело при движении в космическом пространстве. - ПММ, 1962, т. XXVI,
вып. 5. с. 867 -876.
20. Карымов А. А. Определение времени освещенности ИСЗ Солнцем. - Косми-
Космические исследования, 1967., т. V, вып. 2, с. 298 - 301.
21. Кершнер Р. Б., Фишел Р. Е. Гравитационно-градиентная стабилизация ИСЗ. -
В кн.: Автоматическое управление космическими летательными аппаратами. М.:
Наука, 1968. с. 222 - 240.
176

22. Киселев Л. Т., Попов В. И. К вопросу проектирования автоматических вы-
выдвижных устройств ленточных штанг. - Труды МВТУ, 1973, № 162. с. 80 - 85.
23. Климов В. А., Лапыгии В. Л., Лебедев В. С. Принципы простроения систем
управления космических аппаратов, стабилизированных вращением. - В кн.: Га-
гаринские научные чтения по космонавтике и авиации 1982 г. М.: Наука, 1984,
с. 113-115.
24. Коваленко А. П. Магнитные системы управления космическими аппарата-
аппаратами. М.: Машиностроение, 1975. с. 248.
25. Локтионов В. М., Попов В. И. О возмущенном движении вращающегося
асимметричного твердого тела. - Труды МВТУ, 1973, № 162, с. 80 - 85.
26. Лурье А. И. Аналитическая механика. М.: Физматгиз, 1961. 824 с.
27. Майоров В. А., Попов В. И. Движение относительного центра-масс спутника,
стабилизированного вращением. - Космические исследования, 1973, т. XI, вып. 5.
с. 696-703.
28. Майоров В. А., Попов В. И., Янов И. О. Анализ динамики системы, исполь-
использующей гравитационно-градиентный и гироскопический принципы стабилизации. -
Космические исследования, 1980, т. XVIII. вып. 4, с. 480 - 499.
29. Майоров В. А., Попов В. И., Янов И. О. Анализ динамики системы трехос-
трехосной стабилизации, использующей гравитационные, гироскопические и магнитные
моменты. - Труды Шестых Чтений Ф. А. Цандера. Секция: Астродинамика. М., 1980,
с. 110-119.
30. Майоров В. А., Попов В. И., Янов И. О. Способ коррекции углового положе-
положения вращающегося спутника. - Труды Шестнадцатых Чтений К. Э. Циолковского.
Секция: Механика космического полета. М.: 1982. с. 26 - 32.
* 31. Майоров В. А., Попов В. И., Янов И. О. Прогнозирование ухода оси враще-
вращения ИСЗ, ориентированного на Солнце. - Труды Седьмых Чтений Ф. А. Цандлера.
Секция: Астродинамика. М., 1982, с. 118 - 123.
32. Меш Ф., Швейцер Г., Штопфкюхен К. Исследование динамики движения спут-
спутников Земли с магнитной стабилизацией углового положения. — В кн.: Автомати-
Автоматическое управление космическими летательными аппаратами. М.: Наука, 1968.
с. 148- 184.
33. Охоцимский Д. Е., Сарыч ев В. А. Система гравитационной стабилизации
искусственных спутников. - В кн.: Искусственные спутники Земли. М.: АН СССР,
1963, в. 16, с. 5 -9.
34. Патент США, КЛ. 244 - 1, № 3, 304,028.
35. Патент США, КЛ. 244 - 1, № 3, 339, 863.
36. Пельпор Д. С. Гироскопические системы ориентации и стабилизации. М.:
Машиностроение, 1982.165 с.
37. Попов В. И. Исследование одной релейной системы с изменяющимися во
времени регулирующим воздействием и переключением закона регулирования. —
В кн.: Теория и применение автоматических систем. М.: Наук$, 1964, с. 111 - 118.
38. Попов В. И. Системы ориентации и стабилизации космических аппаратов.
М.: Машиностроение, 1977.184 с.
39. Попов В. И. Система гравитационной стабилизации с вращающимся грузом
на конце штанги. - Труды Двенадцатых Чтений К. Э. Циолковского. Секция: Меха-
Механика космического полета.«М.: ИИЕТ АН СССР, 1979, с. 93 - 97.
40. Попов В. И. Возможности повышения точности систем гравитационной ста-
стабилизации за счет уменьшения теплового изгиба стабилизатора. - Труды Семнадца-
Семнадцатых Чтений К. Э. Циолковского. Секция: Проблемы ракетной и космической техни-
техники. М.: ИИЕТ АН СССР, 1983. с. 96 - 104.
41. Попов В. И., Рутковский В. Ю. Исследование динамики СПУ гравитационно-
устойчивого спутника с учетом ограничений датчиков и изгибных колебаний стаби-
стабилизатора. - В кн.: Управление движущимися объектами. М.: Наука, 1972. с. 72 - 87.
42. Попов В. И., Янов И. О. Повышение точности пассивной системы солнечной
177

ориентации КА. - Труды Пятых Чтений Ф. А. Цандера. Секция: Астродинамика,
М., 1978. с. 106-115.
43. Попов В. И., Янов И. О. Влияние импульсной системы ориентации на движе-
движение упругого КА. - В кн.: К. Э. Циолковский и научно-технический прогресс. М.:
Наука, 1982. с. 83 - 87.
44. Проблемы ориентации искусственных спутников Земли /Пер. англ. под. ред.
Сингера С. Ф. М.: Наука, 1966.452 с.
45. Разыграев А. П. Основы управления полетом космических аппаратов и ко-
кораблей. - М.: Машиностроение, 1977,472 с.
46. Раушенбах Б. В., Токарь Е. Н. Управление ориентацией космических аппара-
аппаратов. М.: Наука, 1974.600 с.
47. Реймонд ф., Уилхем П., Бил Р. Опыт работы научно-исследовательской лабо-
лаборатории ВМС США с гравитационно-ориентированными спутниками. — В кн.: Стаби-
Стабилизация искусственных спутников, М.: Мир, 1974. с. 58 - 80.
48. Рейтер Г. С, Томсон У. Т. Вращательное движение пассивных космических
аппаратов. - В кн.: Проблемы ориентации ИСЗ, М.: Наука, 1966. с. 336 - 350.
49. Саакян Л. С. Ориентация спутника в заданном направлении. - Изв. АН СССР.
Механика твердого тела, 1979, № 1. с. 11 - 18.
50. Саброф А. Е. Перспективные системы стабилизации и управление космичес-
космических аппаратов. - Вопросы ракетной техники, 1969, № 1. с. 56 - 74.
51. Садов Ю. А. Периодические движения спутника с магнитным демпфером. -
Космические исследования, 1969, т. VII, в. 1, с. 51 - 60.
52. Садов Ю. А. Быстрое вращение Спутника с магнитным демпфером. - Косми-
Космические исследования, 1970, т. VIIj, в. 4. с. 547 - 556.
53. Садов Ю. А. Быстрое вращение спутника с магнитным демпфером. 3. Учет
изменений состояния демпфера. Космические исследования, 1978, т. VIII, в. 3.
с. 345 - 352.
54. Садов Ю. А., Тетерин А. Д. Влияние упругости штанги на динамику спутника
с магнитным демпфером. М., 1980, № 2E. - 25 с. (Препринт/ИПМ АН СССР).
55. Селезнев В. П. Навигационные устройства. М.: Машиностроение, 1974. 559 с.
56. Синяков А. Н. Системы управления упругими подвижными объектами. С:
ЛГУ, 1981.200 с.
57. Солодовников В. В., Дмитриев А. Н., Фаронов В. В. Вопросы построения
систем ориентации и стабилизации. - Управление в пространстве. VI Симпозиум
ИФАК, 1974. с. 120-132.
58. Тинлинг Б. Э., Меррик В. К. Некоторые проблемы гравитационной стабили-
стабилизации ИСЗ. - В кн.: Автоматическое управление космическими летательными аппа-
аппаратами. М.: Наука, 1968, с. 207 - 221.
59. Тейлор Р. С. Пассивная маятниковая система демпфирования нутаций оби-
обитаемой вращающейся космической станции. - Ракетная техника и космонавтика,
1966, №9. с. 231-240.
60. Уиллиамс Д. Д. Моменты и датчики углового положения синхронных спутни-
спутников, стабилизированных вращением. - В кн.: Проблемы ориентации ИСЗ. М.: Наука,
1966, с. 351 -376.
61. Фишел Р. Е. Стабилизация вращением спутников. - В кн.: Автоматическое
управление космическими летательными аппаратами. М.: Наука, 1968, с. 184 - 191.
62. Фишел Р. Е. Эксперимент по проверке системы гравитационной стабилиза-
стабилизации ИСЗ. - В кн.: Управление космическими аппаратами и кораблями. М.: Наука,
1971. с. 275-291.
63. Фишел Р. Е., Мобли ф. ф. Система пассивной гравитационно-градиентной
стабилизации ИСЗ. - В кн.: Проблемы ориентации ИСЗ. М.: Наука, 1966. с. 106 - 142.
64. Фрелих Г.,Меш Ф., Швейцер Г., Штопфкюхен К. Некоторые результаты разра-
разработки пассивных магнитных систем управления положением спутника 25 А-Г\ -
В кн.: Автоматическое управление КЛА. М.: Наука, 1971. с. 299 - 322.
178

65. Хоулдэвей Р. Использование двигателей малой тяги для коррекции орбиты и
для управления ориентацией спутников. - В кн.: Навигация, наведение и оптимиза-
оптимизация управления. Труды VII Симпозиума ИФАК, т. 3, М.: Наука, 1978. с. 14 - 22.
66. Черноусько Ф. Л. О движении спутника относительно центра масс под дейст-
действием гравитационных моментов. - Прикладная математика и механика, 1963, т. 27,
вып. 3. с. 473 -483.
67. Черноусько Ф. Л., Акуленко Л. Д., Соколов Б. Н. Управление колебаниями.
М.: Наука, 1980. 384 с.
68. Чин Т. X. Ориентация и стабилизация космических кораблей (сравнительная
оценка современных систем по весу, расходуемой энергии и надежности). - Вопросы
ракетной техники, 1964, № 3. с. 3 - 15.
69. Шмидер Л. Результаты работы системы ориентации космической станции
"Гелиос - А". - В кн.: Ориентация rf стабилизация спутников. Труды VII Симпо-
Симпозиума ИФАК, т. 2, М.: Наука, 1978. с. 128 - 134.
70. Ю. Затухание собственного вращения спутника 'Телстар", успокоение и
уход оси вращения. — Вопросы ракетной техники, 1964, № 7. с. 41 - 60.
71. Яскевич Э. П. Выбор формы аэродинамического стабилизатора. - В сб.:
Космическая стрела. М.: Наука, 1974. с. 29 - 34.
72. Agrawal В. N. Stability of Spinning Spacecraft with Liquid-Filled Tanks, AIAA
Daper, 1981, N0172, 8 p.
73. Bodden J. J. Attitude Determination, Control and Navigation of Spinning Satel-
Satellite. IFAC Automatice Control in Space, Noordwijkerhout, The Niderlands, 1982,
p. 113- 118.
74. Brian T. Larman. Spacecraft Computer Rerource Margin Management. — J. Gui-
Guidance, Control and Dynamics, 1983, voL 6, N 1, p. 33 - 38.
75. Crocker M. C. Attitude Control of a Sun-Pointing Spinning Spacecraft by Means
of Solar Radiation Pressure. - J. Spacecraft and Rockets, 1970, vol. 7, N 3, p. 357 - 359.
76. Cochran J. E., Thompson J. A. Nutation Dampers vs Precession Dampers for
Asymmetric Spacecraft - J. Guidance and Control, 1980, voL 3, N 1, p. 22 - 27.
77. Coupe G. M., Witteveen P. J. The Attitude and Orbit Control System for Giotto,
ESA' s Halley Encounter Mission - IFAC Automatic Control in Space, Noordwijkerhout,
the Niderlands, 1982, p. 25 - 37.
78. Frauenhols R. B. The Use of Unbalanced Precessions as a Trajectory Control
Technique for the Pioneer Venus Missions. - J. of the Astronautical Sciences, 1980, vol.
XXVm,N2,p. 139- 165.
79. Herd G. G. Pointing Errou is Passively Stabilised Spacecraft Cansed by Thermal
Bending. - J. Spacecraft and Rockets, 1965, vol. 2, N 3, p. 416 - 418.
80. Kamm L. J. Vertistat: An Improved Satellite Orientation Device. - ARS Journal,
1962,vol.32,p.911-913.
81. Kehr J., Porsche H., Heftman K. jProblems of Extremely Long-Duration Missions
in the Inner Solar Systems: Exampl Helios. - Z.Flygwiss. Weltraumforsch. 5A981), Heft 1,
19 - 30.
' 82. McClinchey L. E. Spacecraft Attitude and Articulation Control Systems for Future
Planetary Missions. AIAA Guidance and Control Conference, 1979, Boulder, Colorado,
N.Y., 1979, p. 155 - 176.
83. Mac Naughton J. D. Unforlable Metal Structures for Spacecraft - Canadian Aero-
Aeronautics and Space Journal, 1963, vol. 9, N 4, p. 103 - 116.
84. Metzger R. A Simple Stability Criterion for Spinning Satellites with Flexible Ap-
Appendages. - Automatica, 1980, vol. 16, N3,p.' 481 - 486.
85. Passive Gravity - Gradient Libration Dampers. NASA SP-8071, February, 1971
(Демпферы колебаний в пассивных гравитационных системах ориентации. - В кн.:
"Стабилизация искусственных спутников". М.: "Мир" 1974, с. 25 - 57).
86. Rushing F. С, Simon А. В., Den ton С. J. "Unbendable" booms for gravity gradient
systems. - Space/Aeronaut, 1968, vol. 50, N 3, p. 76 - 77.
179

87. Ule L. A. Orientation of Spinning Satellites by Radiation Pressure. - AIAA, 1963,
vol. 1, p. 1575-1579.
88. Zipursky H. J. Delta V Errors Due to Attitude Correction Maneuvers of a Spinning
Spacecraft, - AIAA Paper, 1980, N 1698,10 p.
180

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 3
Г л а в а 1. Общие сведения о системах ориентации и стабилизации КА 4
1.1. Назначение и классификация систем ориентации и стабилизации ... 4
1.2. Основные требования, предъявляемые к системам g
1.3. Выбор опорных систем координат 10
1.4. Уравнения движения КА относительно центра масс 13
1.5. Возмущающие воздействия 17
Г л а в а 2. Принципы построения и особенности пассивных систем стаби-
стабилизации , 24
2.1. Гравитационная стабилизация 24
2.2. Магнитная стабилизация 31
2.3. Стабилизация вращением v 34
2.4. Аэродинамическая стабилизация 41
2.5. Солнечная стабилизация 44
2.6. Гравитационно-магнитная стабилизация 45
» 2.7. Повышение точности систем гравитационной стабилизации за счет
уменьшения теплового изгиба стабилизатора 54
Г л а в а 3. Принципы построения и динамика газореактивных систем предва-
предварительного успокоения для пассивных систем стабилизации 60
3.1. Принципы построения газореактивных систем 60
3.2. Уравнения движения газореактивной системы 64
3.3. Анализ динамики системы с учетом нелинейности и запаздывания
регулятора 68
3.4. Динамика-системы с учетом изгибных колебаний стабилизатора ... 73
Г л а в а 4. Исследование динамики спутников, стабилизированных враще-
вращением ; 80
4.1. Постановка задачи, системы координат и уравнения движения .... 80
4.2. Анализ движения динамически симметричного спутника г . . 86
4.3. Динамика асимметричного спутника при совпадении его строитель-
строительных и главных центральных осей инерции 90
4.4. Динамика асимметричного спутника при несовпадении его строи-
строительных осей с главными центральными осями инерции 94
4.5. Возмущенное движение асимметричного спутника 98
4.6. Ориентация спутников Земли на Солнце методом вращения ЮЗ
4.7. Уход оси вращения от направления на Солнце при действии грави-
гравитационных и магнитных возмущений 110
Г л а в а 5. Исследование динамики КА, стабилизированного при помощи сол-
солнечных лучей 120
5.1. Динамика КА с учетом теплового изгиба стабилизатора. ........ 120
5.2. Динамика углового движения солнечного паруса 128
5.3. Устойчивость движения спутника с учетом тени планеты 131
5.4. Динамика вращающегося КА 133
5.5. Динамика пассивных систем солнечной стабилизации угловой ско-
скорости КА -, 140
Г л а в а 6. Анализ динамики системы трехосной стабилизации с использова-
использованием принципов гравитации и вращения 144
181

6.1. Описание системы и ее принцип действия 144
6.2. Вывод уравнений движения системы и анализ упрощенных урав-
уравнений 147
6.3. Демпфирование колебаний системы за счет рассеивания энергии в
упругой штанге 150
6.4. Анализ возможности демпфирования колебаний системы с по-
помощью магнитного успокоителя 155
Г л а в а 7. Уравнения упругого КА 165
7.1. Постановка задачи и кинематика движения системы 165
7.2. Основные динамические характеристики системы 167
7.3. Уравнения движения 170
Список литературы 176
182

Вадим Иванович ПОПОВ
СИСТЕМЫ ОРИЕНТАЦИИ И СТАБИЛИЗАЦИИ КОСМИЧЕСКИХ АППАРАТОВ
Редактор Г. Б. Костина
Художественный редактор В. В. Лебедев
Технический редактор Н. В. Петрова
Корректор Л. Н. Горлова
Обложка художника А С. Вершинкин
ИБ 4877
Сдано в набор 27.05.85 г. Подписано в печать 26.12.85 г. Т-20473
Формат 60X84/16 Бумага офсетная № 2 Гарнитура Пресс Роман
Печать офсетная Усл.печ.л.10,7 Усл.кр.-отт.10,93 Уч.-изд.л. 12,02
Тираж 1620 экз. Заказ 143 Цена 1 р. 80 к.
Ордена Трудового Красного Знамени издательство "Машиностроение"
107076, Москва, Б-76, Стромынский пер., 4.
Отпечатано в Московской типографии № 9 Союзполиграфпрома
при Государственном комитете СССР по делам издательств, полиграфии
и книжной торговли 109033, Москва, Волочаевская ул., 40, с оригинал-макета,
изготовленного в издательстве Машиностроение" на наборно-пишущих машинах
183