/
Текст
Министерство образования и науки Украины
Днепропетровский национальный университет
Пнтак И.А.
ПРОЕКТИРОВАНИЕ СИСТЕМ ОРИЕН ГАНИИ И СТАВИЛИЗА НИ И
КОСМИЧЕСКИХ АППАРАТОВ
Учебное пособие для студентов специальности
' Автоматика и управление в технических системах"
2005
УДК 629.783.062.2
Рецензенты
д-р техн наук, проф. Ю.Д.Шептун
канд. техн, наук В.М.Морозов
Пятак И.А.
1199 Проектирование систем ориентации и стабилизации космических
аппаратов Уч. пособ. для стул спей. Автоматика и управление в
технических системах.-Днепропетровск.: Вид-во Дшпропетровського
ушверситету, 2005.-60 с.
Учебное пособие посвящено изложению основ динамики ориентации
КЛ и методов контроля ориентации по измерениям, выполненным к процессе
орбитального полета. Содержание соответствует конспекту курса лекций,
которые читались в течение ряда лет для студентов специальности
“Автоматика и управление в технических системах" Может быть
использовано в качестве вводного курса при специализации и области
проектирования системы управления КА.
Рекомендовано Ученым советом Физико-технического институт»
Днепропетровского национального университет» в качестве учебного пособия для
специальности “Автоматика и управление в технических системах” (протокол >>7 от 20
апреля 2005г)
Друкарня ДНУ, вул Паукова 5, м Дшпропетровськ, 49050
Зам N? 1019 1ираж 50 примгрниюв
С Пятак И. А ,2005
3
СОДЕРЖАНИЕ
Использованные сокращения 6
1. Задачи ориентации 6
2. Виды ориентации КА 7
3. Системы координат 9
4. Построение матриц перехода между системами координат 10
5. Математические принципы числового представления ориентации КА 13
6. Динамика ориентации КА 17
6.1 Вывод динамических уравнений 17
6.2 Интегрирование динамических уравнений 19
6.3 Динамика КА с маховиками 20
6.4 Устойчивость движения вращающегося КА 22
6.4.1 Метод оценки устойчивости 22
6.4.2 Исследование устойчивости 24
6.5 Динамика ориентации КА, ориентированного в ОСК
6.6 Моменты сил. действующих на КА в полете
6.6.1 Гравитационный момент 27
6.6.2 Условия равновесия гравитационной системы ориентации 28
6.6.3 Моменты от магнитного поля 30
6.6.4 Аэродинамический момент 32
6.6.5 Момент сил от давления солнечных лучей 35
6.6.6 Моменты прочих сил 35
7 Методы оценивания параметров ориентации по измерениям 36
7.1 Классификация алгоритмов определения ориентации КА 36
7.2 Вычисление направлений базовых векторов 38
7.2.1 Вычисление времени, юлианской даты и звездного времени 38
7.2.2 Вычисление направления вектора геомагнитного поля 40
7.2.3 Вычисление направления солнечного вектора 44
7.3 Датчики определения ориентации 47
7.3.1 Классификация базовых измеряемых векторов 47
7.3.2 Неподвижные базовые векторы 48
7.3.3 Подвижные базовые векторы 50
7.3.4 Геометрические характеристики измеряемых датчиками
параметров 52
7.4 Локальный алгоритм определения ориентации 52
7.5 Статистические принципы определения параметров движения 54
7.5.1 Уравнения статистической оценки 54
7.5.2 Статистический алгоритм определения ориентации
по двум типам векторов 56
Список рекомендованной литературы 59
Приложение
Таблица коэффициентов геомагнитного поля (модель МАП-85) 60
Рис. I Общий вид КА *СЫ-1М*
Гравитационная
6
Использованные сокращения
АСК
ВИНС
ГКБЮ
ВУ
дзз
дмв
ИУС
КА
МПЗ
ОСК
PH
СК
сек
Абсолютная (инерциальная) система координат
Бссплатформенная инерциальная нави1ационная система
Государственное конструкторское бюро “Южное”
Вычислительное устройство
Дистанционное зондирование Земли
Декретное московское'^ремя
Измеритель угловых скоростей
Космический аппарат
Магнитное поле Земли
Орбитальная система координат
Ракета-носитель
Система координат
Связанная система координат
I ЗАДАЧИ ОРИЕНТАЦИИ
В настоящем курсе рассматриваются вопросы обеспечения ориента-
ции космического аппарата (КА), т.е заданного закона движения относи-
тельно центра масс.
Космический аппарат, если рассматривать его как свободное твердое
тело, обладает шестью степенями свободы: гремя поступательного движе-
ния и тремя вращательного (ориентацией). Само понятие "ориентация КА”
включает два смысла: • осуществление действий по ориентированию КА.
т е. по обеспечению заданного направления его осей; - ориентация как со-
стояние направлений осей КА. В соответствии с этим, формулируются две
основные задачи: управление ориентацией КА И анализ ориентации (ожи-
даемой и достигнутой).
Целью управления ориентацией является обеспечение условий рабо-
ты полезной нагрузки (направления осей исследовательской аппаратуры на
объекты на Земле или в космическом пространстве), связной аппаратуры
(направление бортовых антенн на пункты связи), системы энергопитания
(оптимальное ориентирование солнечной батареи относительно направле-
ния на Солнце) и т.п. При проектировании системы управления произво-
дится математическое моделирование процесса ориентации, оценка ожи-
даемых характеристик ее и выбор на основании результатов параметров
системы.
Целью анализа достигнутой ориентации на основании информации,
полученной в процессе полета, является определение степени выполнения
требований к точности ориентации, определение необходимых корректи-
рующих воздействий для системы управления, пространственная привязка
выполненных измерений с учетом фактического направления осей КА
7
Поставленная -задача решается с учетом особенности условий, в ко-
торых находится КА. Особенностью динамики ориентации является ма-
лость сил и моментов, действующих в полете Образно говоря, на практике
это воплощает давнюю мечту человечества о “вечном движении", так как
характер движения свободно движущегося КА не меняется на протяжении
длительных промежутков времени (недели и месяцы)
2 ВИДЫ ОРИЕНТАЦИИ КА
• У 1 г
При рассмотрении вопросов движения КА относительно центра масс
аппараты подразделяют на неориентированные и ориентированные
Неориентированные КА ориентируются и движутся вокруг центра
масс произвольным образом в результате случайных воздействий начат,
ных возмущений при отделении от ракеты-носителя и моментов внешних
сил Неориентированными являлись первые искусственные спутники Зсм-
ли, а также вновь разрабатываемые КА. если выполняемые ими функции
нс связаны с ориентацией. Для некоторых задач, не требующих ориента
нии, достаточно обеспечить ограничение угловых скоростей КА. В этом
случае на борту необходимо установить систему демпфирования; обычно
такие системы основаны на взаимодействии с магнитным полем Земли
(МПЗ) Следующим подвидом являются вращающиеся КА. В соответствии
с законом сохранения кинетического момента такие КА совершают пре
цессионное движение вокруг оси. неподвижно ориентированной в инерци
альном пространстве
Ориентированными называются КА, у которых обеспечивается пол
держание направление сватанных с корпусом осей относительно какой
либо базовой системы координат при помощи приборов системы ориента
ции Системы ориентации можно подразделить на следующие четыре пол
группы
I) Активные К ним относятся системы, работа которых связана с
расходом (энергии или рабочего тела): - маховичные, - с реактивными дни
т атслями, и т.п Ориентация разрабатываемою в настоящее время спутника
т•,induct в точном режиме осуществляется при помощи четырех маховн
ков
2) Пассивные Ориентация КА осуществляется путем использования
моментов внешних сил - градиента силы тяжести (гравитационная систс
ма), МПЗ, аэродинамических сил и т.п. Так, на серии запушенных ГК1»Ю
спутников системы “Океан-О1”, спутнике "Сгч-1" и ряде других для обес
печения ориентации выдвигалась гравитационная штанга На спутниках
“Космос-149, -320” (“Космическая стрела") ориентация осуществлялась с
помощью аэродинамического стабилизатора, аналогичного оперению
стрелы Управление ориентацией запущенного 17.07.1999 спутника “Оке-
ан-О" производилось путем поворота панели солнечной батареи, что при
водило к изменению момента от аэродинамических сил и от давления сол-
нечной радиации. На запушенном 21.11.2000 с российским участием швед-
ском наноспутнике "MUNTN” был установлен постоянный магнит, и спут-
ник ориентировался по вектору МПЗ
3) Полуактивныс. Ориентация осуществляется путем взаимодействия
с внешними источниками управляющего момента, с некоторой затратой
энергии. В настоящее время большое распространение получило управле-
ние ориентацией путем включения по заданному алгоритму магнитных ка-
тушек, взаимодействующих с вектором МПЗ. Такая система установлена
на КА “Morok-Tubsat" (Марокко, запушен 10.12.2001 PH “Зенит-2” как по-
путный груз). Ориентация спутника Xorok Tufcat в дежурном режиме про-
изводится только с помощью магнитных катушек.
4) Комбинированные Объединяют одновременно активный и пас-
сивный способы Так, на разрабатываемом ГКБЮ (при участии Днепро-
петровского национального университета по npoipaMMe “Молодежный
спутник") КА “Микроспутник” с гравитационной системой ориентации
для обеспечения ориентации по курсу используется силовой гироскоп с
осью вращения, перпендикулярной плоскости орбиты
Приведенная классификация носит несколько условный характер, и
на практике применяются системы ориентации, использующие элементы
нескольких перечисленных систем (в разных режимах или одновременно).
Значительное число КА движутся по околокруговым орбитам; в ча-
стности, для спутников дистанционного зондирования Земли (ДЗЗ) счита-
ется наиболее подходящей высота полета порядка 650 км. Угловая ско-
рость орбитального полета <о. (называемая еще средним движением п) вы-
числяется как #>, = . Здесь а - большая полуось орбиты, для круговой
орбиты а-г,ф - радиус круговой орбиты; р=398602 км'/с2 - гравитационная
постоянная Земли (p=gr, где g - ускорение свободного падения на рас-
стоянии г от центра Земли).
Соответственно, период обращения по орбите Т^,= —. Так, для ор-
биты высотой h=650 км над поверхностью Земли, радиусом
r4,=R»+h=7021KM угловая скорость ш. =-0,001073176 '/с=0.0614885<’/,=О,О6°/с.
(Здесь R,=6371 км -радиус Земли при представлении ее сферой). Это зна-
чение часто используется в качестве базовой величины при оценке харак-
теристик системы управления искусственного спутника Земли
Основная эволюция такой орбиты связана с изменением долготы
восходящего узла Q. Для орбиты с величинами наклонения i и большой
JR V"
полуоси а скорость эволюции определяется как Q = -IO|— cosfi)
k • )
[’/сутки].
Из (формулы видно, что у орбит с наклонением i<90° (на восходящей
ветви витка, при движении с юга на север, спутник смещается к востоку)
восходящий узел смещается в западном направлении, против вращения
Земли, а при наклонении i>90’ - в восточном направлении Известно, что
9
видимое годовое движение Солнца по эклиптике также происходит в вос-
точном направлении со средней скоростью 360”/365,2422 суток = 0,9856
'/сутки. Можно вычислить, что у орбиты с наклонением 98“ эволюция вос-
ходящего узла также равна этой величине и, следовательно, положение
плоскости орбиты относительно направления на Солнце остается прибли-
зительно постоянным. Это приводит к тому, что спутник будет наблюдать-
ся с земной поверхности в одно и то же местное (солнечное) время и что
наблюдение со спутника подстилающей земной поверхности также будет
осуществляться при одной и той же угловой высоте Солнца (при одних и
тех же условиях освещенности). Такая орбита называется солнечно-
синхронной и считается наиболее подходящей для спутников дистанцион-
ного зондирования Земли и создаст удобства с точки зрения загрузки на-
земного сегмента космической системы.
3 СИСТЕМЫ КООРДИНАТ
При проектировании систем ориентации используются следующие
ортогональные системы координат (СК).
0) Приборные СК, связанные с направлением осей различных прибо-
ров. установленных на КА.
1) Связанная система координат ССК При нормальной ориентации
КА оси х, у, z этой системы близки к одноименным осям ОСК.
2) Орбитальная система координат ОСК. Начало ее находится в цен-
тре масс КА; ось х0 направлена по трансверсали (перпендикулярно к ради-
ус-вектору KA-центр Земли в сторону полета), ось у„ направлена по би-
нормали (перпендикулярно к плоскости орбиты, по вектору орбитальной
угловой скорости), ось z„ направлена по радиус-вектору в зенит.
3) Абсолютная (инерциальная, или 2-я экваториальная) система ко-
ординат АСК. Начало ее находится в центре Земли; ось х, направлена к
очку весеннего равноденствия, ось z, направлена по оси мира (по оси
вращения Земли) к северному полюсу, ось у, дополняет систему до праной
4) Гринвичская система координат ГСК Начало ее находится в цен-
тре Земли, ось х, направлена и точку пересечения земного экватора с
Г ринвччеким меридианом, ось z, направлена по оси вращения Земли к се-
верному полюсу, ось у, дополняет систему до правой. Оси xg, у, ГСК, свя-
занные с Землей, участвуют в суточном вращении и поворачиваются вме-
сте с ней против часовой стрелки, если смотреть с северного полюса, с уг-
ловой скоростью (0,-2л/Т,„ где Ти-86164.09 с - продолжительность звезд-
ных суток.
Следует иметь в виду, что с течением времени долгота точки весен-
него равноденствия меняется (примерно на 50" в год), и при проведении
точных расчетов необходимо указывать эпоху - момент времени, к кото-
рому относятся положения базовых точек отсчета (например, экватор и
равноденствие эпохи 1950,0).
10
Орбитальная система координат связана с движением центра масс по
орбите Указанная система является основной базовой, позволяющей на-
дежно осуществлять прямой и обратный пересчет рассматриваемых векто-
ров в другие системы Точность знания направления осей ОСК обеспечи-
вается заданием значений элементов орбиты КА
Выбор в качестве базовой ОСК связан с тем, что обычно большинст-
во околоземных КА осуществляют исследование объектов, находящихся
на земной поверхности и/или передают информацию через антенны, на-
правленные на Землю. Кроме того, значительное число КА используют
пассивную гравитационную систему ориентации, создающую управляю-
щие моменты за счет градиента земного гравитационного поля. Все эти
аппараты ориентируются в ОСК
Вместо ОСК возможно применение топоцснтрической СК с началом
в центре масс КА и осями, направленными по касательной к земным мери-
диану, параллели и радиусу
Другими базовыми системами координат могут быть, например,
инерциальная (КА Коронас-И типа АУОС-СМ с ориентацией на Солнце,
запущенный в 1994г., или межпланетные КА).
4 ПОСТРОЕНИЕ МАТРИЦ ПЕРЕХОДА МЕЖДУ
СИСТЕМАМИ КООРДИНАТ
Матрица М перехода от системы "I” к системе ”2" обозначается как
М2|. Принцип построения матриц поясняется на примере построения мат-
рицы перехода от АСК к ГСК. Исходное положение ГСК относительно
АСК характеризуется звезйны.н временем So- часовым углом точки весен-
него равноденствия в среднюю гринвичскую полночь (углом, отсчитанным
от Гринвичского меридиана против вращения Земли, т е к западу).
Способ определения звездного времени опи-
сан в разд. 7.2.1. Текущий угол s в момею
времени по Гринвичу определяется как s =
Sq+ ш, Ц— (см. рис. 3).Переход АСК-ГСК осу-
у, шествляется путем поворота осей x,y,z, на
' угол s вокруг оси z,, матрица перехода М,,
_______________у. строится следующим образом:
- 7 в верхней строке нал матрицей записыва
/ ются обозначения исходных осей: x«y.z,;
/ слева от матрицы в столбец записываются
х, ' обозначения осей результирующей системы
Рис. 3 внутри матрицы на пересечении строк и
столбцов записываются выражения для ко-
11
синусов углов между соответствующими осями. Косинусы между ортого-
нальными осями равны нулю; оси 2,-г,, вокруг которой совершается пово-
рот, соответствует косинус, равный единице-
y.
zf
I «.
costs)
-sm(s)
о
У.
sin(s)
СО5<5)
О
2,
о
о
1
(1)
Элемент матрицы М, стоящий на пересечении i й строки, j-ro столб-
ца, обозначается как m,r
Если поворот совершается путем последовательных поворотов на
углы а,, а2, Лу, то матрица перехода М2! вычисляется через посредство со-
ставления отдельных матриц т|(О|), ш^аД ш3(а3) и перемножения их в
пой же последовательности, считая справа налево:
Мл- m3(aj) m2(a2)m,(ai).
При необходимости выполнения перехода в обратном направлении
соответствующая матрица определяется путем транспонирования исход-
ной, т.е.
Мц= Мл’, причем M2|T-[m3(a3) m2(a2) mXai)]’-mi(a.)' m2(a2)' m3(a3)V
Последовательность поворотов в общем случае не коммутативна, т.е.
при изменении порядка задания углов сц, а2, а3 результирующая матрица
также изменился. Последовательность не имеет существенного значения,
только если углы достаточно малы, когда при замене sin(a)=a снижение
точности считается допустимым.
Положение ССК относительно ОСК характеризуется углами Эйлера
- прецессии у, нутации 8, собственного вращения <р (рис. 4).
определяется
МЕ
Матрица перехода
М, т,(ф) т2(Э) п1((у), где
cost у) sin(y) fl
n»t —| sin(y) cost у) 0;m2=k)
0
о
о
оск—сск
О
COS(»)
- sin(8)
О
sin(9)
costS)
; ni,=
| costo)
I- s«X4>)
О
sm(4>)
cost»)
О
как
О
О
(2)
и обозначая sa=sin(a), ca=cos(a)
cycy-sycSsy sycy-tcyc8cy s8 syJ
ME= l-cy sy-sy c8 cy -sys»*cy cS ср s8 сад.
sys 8 - cy s 8 c 8
Положение ССК относительно ОСК может характеризоваться также
углами Крылова - курса у, тангажа 8, крена <р (рис. 5); матрица перехода
Мк ОСК—ССК определяется как Мк=тп3(ф) т2(9) т1(у), где
costal)
ШгС sinty)
О
sm(v)
cost у)
О
(И
о;
т2=
cos( 8) 0 -sin(S> 1
; m}- О
stn(8) 0 oos(8)| |0
о
О
О
cost у)
Sin(v)
о
suit у)
exist у)
и матрица Мк имеет вид
12
Положение ОСК относительно АСК характеризуется долготой вос-
ходящего узла от линии весеннего равноденствия ft, наклонением орбиты
i, аргументом широты КА и (рис. 6); матрица перехода С АСК—»ОСК оп-
ределяется как
Х|
Рис. 6
13
С ci(ti)C}(i)C|(12). где
сткТЯ) sirUQ) 0 ') 0 0 । sin(u) (i - oos|u)j
Ср-! sin(O) cus<Q) 0,;Cj=IO sm(i) cus(i) |. Cj=l 0 1
0 0 1,0 CUS(i) smll); |C<SS4U) 0 Sintu)
su cQ cu a sQ
C= si sQ
cu cO - su ci sQ
- su SQ + CU CI cW CU'Sil
• si eft ci
cu sQ.su ci cQ su si
(4)
Положение ОСК может также определяться относительно I СК. В
этом случае вместо долготы восходящего утла 12 задается к., - долгота вос-
ходящего узла относительно Гринвича на момент времени I: матрица пере-
хода вычисляется аналогично С, с подстановкой вместо 12
5 МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПРИНЦИПЫ ЧИСЛОВОГ О
ПРЕДСТАВ ЛЕНИН ОРИЕНТАЦИИ КА
Ориентация КА однозначно определяется либо тремя углами ориен-
тации (Эйлера. Крылова или подобными им), либо соответствующей им
матрицей эти представления эквивалентны. Составленная из направ
1ЯЮЩЧХ косинусов матрица ориентации '1 является ортэнормированной
Это означает, что она обладает следующими свойствами
I) ее определитель dell М )= I;
2) модуль каждой сгроки/столбца ранен единице: Ут I
I ',2.3, 1= 1.2.3;
3) скалярное произведение любой нары стрик/столбцоя равно ну-
I 3
лю '^m/in 0; Vm, /пт -0; к,1=1,23; к*1;
» • г*
4) каждый элемент т„ равен своему алгебраическому лопните-
пню mt| 13,, l ie алгебраическое дополнение D, вычисляется как otipric
литель минора - матрицы образованной вычеркиванием из исходной Mai
рицы М 1-й строки и j-ro столбца, умноженный на (-1
В друюй форме но можно выразить следующим образом. Матрица
ориентации М. .. описывающая переход ОСК-ССК. имеет вид
>. У. к I
м 'Ч, I»,; Л!
VW,( тп,, ГП-,
z in., тп
14
где х, у, г и хо, уо. А>. как и ранее, обозначают наименования осей
ССК и ОСК, а значения mt), ij= 1,2,3 являются величинами косинусов углов
между соответствующими осями Поэтому строки матрицы М,„ представ-
ляют собой векторы ортогональных осей координатной системы ССК в
ОСК; аналогично, столбцы М<о представляют векторы ОСК в ССК В част-
ности, если направление какого-либо вектора, например, оптической оси
прибора, совпадает с одной из осей ССК, то его направление н ОСК можно
сразу определить по виду матрицы Мс„ без проведения дополнительных
вычислений Например, если линия визирования установленного на КА
прибора направлена в надир, т е по оси -Z ССК. то вектор визирования в
ОСК имеет вид
-mJ2 -mu)T.
В результате, рассматривая строки или столбцы матрицы как векто-
ры R,, К,, R,, используя правило векторного произведения, это свойство
можно выразить R,*R,=R„ Ry*Rt R2XR» R,
Приведенные свойства могут оказаться полезными для повышения
точности вычисления, если матрица М определяется, например, по резуль-
татам численного интегрирования Накопление погрешности на большом
числе шагов приводит к получению неортонормированной матрицы М.
Используя условия ортонормированносги (их всего 6, таким образом, в
матрице из 9 элементов только 3 элемента независимы), можно провести
корректировку матрицы и на основании этого снизить вычислительные по-
грешности.
Матрица ориентации М«, описывает переход от базовой (орбиталь-
ной) системы координат к связанной. Согласно теореме Эйлера, этот пере-
ход может быть представлен как поворот системы координат вокруг неко-
торой неподвижной оси V. В теории матриц доказывается, что положение
оси поворота как собственного вектора V, соответствующего собственно-
му числу Л, может быть определено путем решения матричного уравнения
(M-KE)V^O, где Е - единичная матрица. Из грех возможных решений ис-
комый собственный вектор V соответствует значению собственного числа
Х“1. Поэтому возможно представление ориентации КА через параметры
угла поворота B = arccos
m 11 ♦ al jj "Ь m,, I
вокруг оси V, определяемой на-
правляющими косинусами
у.»го» v,= mi>~”*>i • v.= mai ~т.ц
2sin(o) ’ 2sin(0) ' 2ят(в)
Поскольку переход от исходной к результирующей системе коорди-
нат происходит путем поворота вокруг оси V, ее направляющие косинусы
Vi, Vj, v> одинаковы в обеих системах.
С вектором собственного поворота связывается представление ори-
ентации параметрами Родрига-Гамильтона (кватернионами) Кватернион А
определяется как
15
Л={Хо X, Х3 XjJ (пи® »1*яя| (5)
Это определение может быть представлено как A={scalar,( vector)),
где scalar S= Хо, vector V={k, X3 Xj}.
Он удовлетворяет условию нормированное™
Va+X’i+Vj+lV*!. (6)
Представление ориентации кватернионом также эквивалентно пер-
вым двум (представлениям ушами или матрицей). Матрица поворота М по
заданному кватерниону Л определяется
[X'. + Xi-Xi-Xi 2(Х,Х,*Х,Х,)
М* 2(Х,Х1-Х^.,) xi-xi+xi-xi
гй.х. + х.х,) г^х.хл)
как
2(X,X,-X^,)
2(х,х,+х,х,) ,
х*0 - х’ - xi + x’t
(7)
а кватернион по заданным углам Эйлера у (прецессия), v (нутация),
Ф (собственное вращение) вычисляется как
9f 9, У • *1)
COS COS • cos-----sin-9 sin ~ V
2\ 2 2 2 2 J
sin S (cos -* cos — ♦ sin - * sin — I
A= 6 2 2 2 2<-
9f Ф. <₽ . Ф, у )
sin cos • sin -sin-’cos - 1
2 X, 2 2 2 2)
9f 9. V 9, ф''
cos cor - sin — + sin ’ cos
Г 2 2 2 2j|
Если заданы три системы координат А, В и С, то матрицы перехода
между ними представляются как М<_А-Мсв Мвл- Обозначим элементы со-
ответствующих им кватернионов как
^вл~(Х<| X| Х3 kj); Лсв“{Х‘о Х'| Х”3 k‘j); Асл={Х"0 Х"| Х'?
Х’з).
Операция получения кватерниона ЛСА для поворота, соответствую
щего последовательным поворотам от А к В, а от него - к С, условно обо-
значается: АСа-АсвоЛнх
Умножение двух кватернионов ЛвЛ={лс Х| X- Хз}=(5|Л|}, Л( В-(Х’(|
X'i Х'3 X’j}={S3,V3} выполняется следующим образом:
AcBoABA-(S3*Sl-V/Vl.S-/VI3Sl’V3tV,xV,).
Здесь V3*V, - скалярное произведение векторов V3, Vt; V3xV| - их
векторное произведение; Sj’V,, Si*Vj - произведения числа на вектор,
S3*S| - произведение двух чисел.
Далее рассматриваются особенности вычисления этого преобразова-
ния Введем обозначение MQ дтя четырехмерной кватернионной матрицы,
а для минора ее первого элемента - векторного ядра Mv:
16
М<;
(линии внутри матрицы Mq обозначают разбиение се на блоки)
Тогда кватернион Лсд перехода от системы А к системе С вычисля-
ете» в соответствии с известными правилами умножения (•') матрицы М<?
на вектор ЛВА как произведение ЛСа= Мо ЛВд, где MQ матрица, образо-
ванная из кватерниона Лсв(Х’)-
Этот же переход может быть выполнен по-другому, как Лсд М q*
Лев. где М*о равна матрице М9(Х) с транспонированным векторным
M*Q=
ядром, т.е.
-А, -А, -А,
~А, -А,
-А, А„ А,
А, -А, А.
Матрица M*q называется трансмутированной кватернионной матри-
цей.
Отсюда следует, что порядок перемножения кватернионов можно
изменять, даже если порядок перемножения соответствующих матриц, в
общем, изменять нельзя. Следовательно
Л<д- Mq- ЛвА - M*Q Лев (здесь М9 =ЛЛСв(Х')), а М'<> = ф(ЛВА(Х))).
Это свойство можно распространить на произведение трех кяатер-
пионов
Лод Мон>с) М<лсв» Лвд_ Mqyxз М (xbj) Л<в= М озва) М<хос) ЛсВ-
В общем случае М,Л|Х|) М q<ba)= М <х*а>'М<хм)' Перестановочное
свойство можно распространить и на произведение любого числа кватер-
нионов
Характеристики поворота, выполняемого как последовательность
зруппы поворотов, вычисляются через произведение матриц или кватер-
нионов. описывающих каждый отдельный поворот. В случае изменения
одного из промежуточных поворотов необходимо производить вычисление
всей цепи произведений заново. Преимуществом использования описания
кватернионами является возможность представить суммарный поворот как
произведение единого кватерниона, соответствующего постоянным значе-
ниям поворотов, на кватернионы от меняющихся поворотов. Перестано-
вочное свойство позволяет выделить из группы поворотов постоянную
часть и не повторять вычислений для нее. Это дает возможность сократить
количество потребных вычислительных операций
[1о1решность ортонормированносги кватерниона, возникающую при
накоплении вычислительных погрешностей, можно устранить простым де-
лением на квадратный корень из суммы квадратов его элементов Это вы-
полнить значительно проще, чем ортонорм ировать матрицу направляющих
косинусов.
17
6 ДИНАМИКА ОРИЕНТАЦИИ КА
6.1 Вымол динамических уравнений
Динамика научает движение механических систем в связи с причи-
нами, вызвавшими это движение.
При исследовании динамики КЛ рассматривают два типа движений:
центра масс (движение по орбите, орбитальное движение) и вокруг центра
масс (ориентация). Считается, что в первом приближении для околокруго-
вых орбит эти два движения могут рассматриваться независимо друг от
друга
Тем не менее, существуют ситуации, когда связью этих движений
нельзя пренебрегать даже в первом приближении. Так, если эллипсоид
инерции КА отличается от сферического, а отношение его осей достигает
двух, орбитальное движение начинает существенно сказываться на момен-
тах сил, возмущающих ориентацию На этом, в частности, основывается
принцип гравитационной системы ориентации Другой пример • КА. со-
стоящий из нескольких тел, соединенных жесткой или упругой связью (в
том числе тросами). Манипулируя этой связью, можно одновременно
управлять обоими типами движений.
Рассматривается движение КА в инерциальном пространстве. Со-
гласно теореме об изменении кинетического момента К. являющейся ана-
логом 2-го закона Ньютона для вращательного движения.
dt
где М, - вектор внешних моментов сил (или просто моментов).
K,=J,<o. - произведение тензора инерции КА на вектор угловой ско-
рости в АСК.
Элементами тензора инерции твердого тела S являются главные цен-
тральные моменты инерции А= |(у! + В~ j(z' tx!)dm,
* »
C=j(x1*y!)dm и центробежные моменты инерции D- Jyz dm
К »
Е= jzx dm, F= Jxy dm
» s
Введением матрицы перехода A АСК-ССК формула (8) выражается в
ССК следующим образом: <о=Аа»,; J=AJ,A’; К- А.1,зиа = АК,.
Поскольку ориентация КА и вместе с нею и матрица А меняются,
изменение во времени кинетического момента в инерциальном простран-
стве будет носить сложный вид; проще выразить их в проекции на оси
ССК. Используя теорему об относительной производной вектора г в
движущейся системе координат, вращающейся с угловой скоростью <ов.
IX
устанавливающую связь с абсолютной производной вектора — - + <а„ х г,
можно записать
— <ш«К-М (9)
Л
Вектор <о=(ак озу оз,)’ угловых скоростей в уравнении (9), спроекти-
рованный на оси ССК, носит название квазискоростей Расписывая (9) в
скалярном виде:
К « J,
J
ю.
J„ о>,
1„о», +•!„<“, ♦
(Ю)
Ш X к
o>, (J„u, + ♦ •!„<“«) *1.,“’. + *«“,)
m,(Ja«, ♦ J„“>, >J,«>,)-<a,(J„<o, ♦ + J„<»1)
(ID
После подстановки в выражение (9) получаем динамическое уравне-
ние Эйлера; более простой вид в скалярной форме оно приобретает, если
оси ССК совпадают с главными осями эллипсоида инерции КА:
J„<b, +<в,&>,(!„ -J„) = пз,.
J„o>, +<e,<u,(J„ =
(12)
l„o>, + «o,»,(Jw -J„)=m,.
Система (12) интегрируется в квадратурах только если
если же моменты не равны иулю, интегрирование может быть выполнено
численными методами. В результате определяется зависимость от времени
значений угловых скоростей ы„ шу, ш, в проекциях на оси ССК. Угловое
положение КА определяется значениями углов осей ССК относительно
осей какой-либо базовой СК Знание ориентации КА может понадобиться
также и для интегрирования системы (3), так как чаше всего значения
моментов тж, ту, т, также зависят от углов ориентации. Связь между
углами и угловыми скоростями устанавливается с помощью
кинематических соотношений Ниже приводится вывод соотношений в
форме Эйлера.
Переход от базовой инерциальной СК х. у, z, к ССК осуществляется
путем последовательного поворота на три угла Эйлера: прецессии у вокру!
оси z., нутации 9 вокруг промежуточной оси N, собственного вращения <р
вокруг оси г (см разд. 4, рис. 4, заменяя индексы “о” ОСК на "а” АСК).
Проекции производных v.9,<> на оси xyz ССК легко определить,
воспользовавшись выражением матрицы углов Эйлера (разд. 4). Правило
проектирования производных от углов ф.Э.ч». векторы которых направле-
19
ны по осям z,, N и z соответственно, основано на использовании
элементов матрицы МЕ (2), например:
cos( ZMi,X)=COS(Z„x)=Mf:(l,3]^Mn(8) sm(o).
Отсюда:
и т.д
«, = v * sin(S)* sin(«p) + Э * со$(ф),
®, « 4i*sm(8)*cosfo)-8’ып(ф)1
a, = V*cos(S) + o
Это выражение удобно представить в матричной форме
мп(8)$ш(ф) со$(ф) 6 <v
sin(8)cos(o) -sin(o) 0*8.
cost 8) 0
готовых
(13)
Ф
ш,
со,
“<
Эта формула выражает кинематические соотношения между квази-
скоростями и производными от углов ориентации в форме Эйлера.
Далее выводится аналогичное соотношение для элементов матрицы
ориентации Рассмотрим три системы координат: 1) ССК, 2) ОСК, 3) АСК;
матрицы перехода между ними А,, Очевидно, что Аи-АцА».
0
—со.
В соответствии с теоремой Эйлера, А = йл, где ш
О
*
<о,
О
кососимметрическая матрица от вектора квазискоростей u=(w, u»v w,}’.
Производная: А„ = (AUAJ4)-A.jA,, ♦ А„А„ - <oAuAu. Умножая это
dt
выражение с правой стороны на А,,'1, получаем Au - -AMAuAjJ + A„Aj;
‘ 4 )2А„ 4 A(J А2, |; А> 8= А(1 А „А- ® А,,, А ,,А„ - —®о, здесь <й,,
кососимметрическая матрица от вектора орбитальной угловой скорости
<1>в, тогда А„ = ®ОА „; отсюда: А„ - А 12®и - ®А„.
(14)
Полученная формула (14) связи производной от девяти элементов
матрицы ориентации Ац с угловыми скоростями ССК носит название ки-
нематических соотношений Пуассона.
Кинематические соотношения в кватернионной форме имеют вид
А = ’ Л»и; в квазискоростях
2Л = Л»ш-®«Л.
(15)
6.2 Интегрирование динамических уравнений
При численном интегрировании на ЭВМ системы дифференциаль-
ных уравнений ее необходимо предварительно привести к форме Коши,
представив в виде системы первого порядка:
a? = f<4)'
di
20
Динамические уравнения (12) и кинематические соотношения (13)
Эйлера после преобразования к форме Коши приобретают следующий вид:
<о, = —(т. -1„ )];
й, = — |m, <u,<u.(J„ - J„ )|,
<Ь, х — |ш, - ш.ш.П
Ч» = —' [и, smf<(>) + ci>( cos(<p)l
sui(9)
9 = <o, cos4o)-<i>, sin(v). (16)
<j> = 0», - V cost 9)
В результате интегрирования системы (16) определяются значения
углов и угловых скоростей на интервале времен (t„, t„).
При практической реализации процесса решения возможно прекра-
щение решения, если угол 0 приближается к кулю, поскольку в знаменате-
ле 4-го уравнения находится sin(O). Обычно при программировании учиты-
вается такой случай и предусматриваются обходные операции, если |0|<€,
где € - заданное для сравнения малое число
При задании кинематических соотношений ч форме Пуассона (14)
по затруднение исключается, так как вычисление А1} = А,,»,,-ЙА,, связа-
но только с операциями перемножения, деление не используется. Правда,
размерность интегрируемой системы становится равной 12, вместо 6 у со-
отношений Эйлера, что увеличивает затраты вычислительных ресурсов С
другой стороны, полученную избыточность системы можно использовать
для повышения точности численного интегрирования, на основе условий
ортогональности матрицы Ац.
При задании кинематических соотношений в форме кватернионов
(15) количество инте(рируемых уравнений становится почти минималь-
ным, равным 7 (3 динамических уравнения и 4 уравнения для кватернио-
нов). В этой системе уравнений отсутствуют особые точки, а одно уравне-
ние (6) связи элементов кватерниона дает возможность повысить точность
численного инте1рирования. В настоящее время такая форма представле-
ния переменных считается наиболее подходящей для использования в ма-
тематическом обеспечении БЦВМ для прогноза ориентации КА в реальном
масштабе времени при ограниченных ресурсах вычислительных средств
6.3 Динамика КА с маховиками
Рассматривается динамика КА, на борту которого находятся махови-
ки Направления осей вращения маховиков совпадают с главными осями
инерции КА и осями ССК. Суммарный момент инерции КА J вычисляется
21
как сумма проекций моментов инерции его жесткого корпуса J„ J,, и
моментов инерции нсвращаюшихся (“замороженных") маховиков J,', Jv’,
J/, а кинетический момент К системы “корпус КА + маховики” - с учетом
проекций оз,, w, угловых скоростей КА с "замороженными" маховика-
ми, к которым добавляются кинетические моменты от скоростей вращения
маховиков Q,, О,,
К-
J.O., ♦ <>,)
+ix)i
+J,(w, ♦ O, )|
J
ЛЧ
Подставляем выражения кинетического момента и момента инерции
в векторное динамическое уравнение Эйлера (9) +о>хК = М и расписы-
dt
паем его по проекциям. Уравнение для проекции на ось х имеет вид:
преобразуем:
J, 1 ♦ <u,O),[(jt - J,))= Мм -J, - (W, +о», )+a>,a>,J, ♦ Q.coJ, -u> u>,J,;
dt dt
после преобразования это уравнение, а также для проекций на оси у, z
приобретают вид:
j. +<>>.«>,Ю,+j.) О, <Н= м< -J. -*(я. ♦»,)чп.в> - ;
J, <^2- + ">,u>>KJ> +Г.)-0,+^.Й=М, J, d(n, +e>,)»j,n,<o, -
J. + J,)-(j, ♦),)]= M,-J, d (П, 4<U,)+J,Q,<b, - J,0.(0, .
В этих уравнениях M., М,, М, - проекции момента внешних сил.
Представляя отдельные слагаемые уравнений в виде элементов вектора,
можно записать
!Н,
H-J'ft = Н.
|н,
- кинетический момент маховиков,
dt
1/(0. 40.,
dt ' ‘ 1 dt
J, —(n,+m,)|
‘dt * ‘'I
- момент углового ускорения маховиков.
(17)
(18)
22
М
®хН
I .O.m, -J,Я, to
(19)
- гироскопический момент от вращающихся маховиков
В результате векторное динамическое уравнение Эйлера может быть
записано как
d— »u«K = M>M М =-(~<<о«Н|. (20)
Здесь момент внутренних сил от вращения маховиков Сле-
дует отметить особенность рассмотренной системы “корпус КА + махови-
ки", заключающуюся в том, что движение масс внутри корпуса (вращение
маховиков) не приводит к изменению инерционных характеристик систе-
мы. Такая система называется гиростатом. К таким системам относятся
конструкции, включающие тела вращения, вращающиеся вокруг непод-
вижных осей, замкнутые контуры движения жидких или газообразных
масс (внутри крупных КА организуются контуры циркуляции теплоноси-
теля для обеспечения теплового режима аппаратуры), и т.п
6.4 Устойчивость движения вращающегося КА
6.4.1 Метод оценки устойчивости
Интегрируя дифференциальные уравнения, описывающие ориента-
цию КА, для заданных начальных условий и действующих моментов сил,
можно определить значения углов ориентации на интервале интегрирова-
ния. Полученные значения могут быть использованы для анализа выпол-
нения требований по точности ориентации, эффективности системы
управления и т.п Поскольку на практике численные величины параметров
КА и моментов сил, как правило, отличаются от заложенных в расчет, ста-
вится вопрос о том. насколько изменятся результаты интарнрования при
изменении (в малом) параметров системы и об общности полученного ре-
шения Эта задача решается методами теории устойчивости. Возможны
два вида реакции системы на отклонения параметров I) влияние малых
отклонений параметров на состояние системы со временем падает; такая
система относится к устойчивым; 2) либо отклонение состояния системы
растет, система неустойчива (К этому классу относятся, в частности, сто-
хастические и хаотические системы, теория которых активно разрабатыва-
ется в последнее время)
А.М. Ляпунов в 1892 г. создал теорию устойчивости любых систем,
описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями (ранее
были работы Рауса и Гурвица по устойчивости стационарных линейных
систем). Он дал следующее определение: система называется устойчивой,
если при всех Oto отклонение возмущенного движения от невозмущенного
сколь угодно мало при достаточно малых начальных возмущениях в мо-
23
мент to, система называется асимптотически устойчивой, если отклонение
возмущенного движения от нсвозмушенного стремится к нулю при t—•<»
(5, с. 240]. Более формальное определение: невозмущенное движение x°(t)
пшывается устойчивым по Ляпунову, если для любого положительного
числа с, как бы мало оно ни было, можно указать положительное число 6,
такое, что из неравенства ||Дх(«о)||<£ следует при t>to неравенство ||Дх(t)||<5.
[7, с. 94].
Дифференциальное уравнение линеаризованной системы автомати-
ческого управления регулируемой величиной y(t), при управляющем g(t) и
возмущающем £(t) воздействиях имеет вид
(аор" + a.p*' +a^ip + a,)y(t)- (bopm + bip"”' + ...+bm.lp+b„,)g(t) + ^t). (20a)
Здесь p= означает оператор дифференцирования, а коэффициенты
di
a<j. . .a„, bo...b„ для стационарной линейной системы представляют собой
постоянные величины.
11роцесс регулирования определяется решением дифференциального
уравнения (20а) как сумма двух решений - частного решения неоднород-
ного уравнения с правой частью и общего решения уравнения без правой
части:
+ УобиАО-
Первое слагаемое называется вынужденным решением y/t), второе -
переходной составляющей y„(t). Характер переходных процессов в системе
определяется видом левой части представленного дифференциального
уравнения (20а) Система является устойчивой, если с течением времени
при I—н» переходная составляющая будет стремиться к нулю. Для опреде-
ления ее необходимо решить уравнение (20а) без правой части:
аорп + а|р*' ♦ +a.ip+ a„ = 0. (20b)
Общее решение ищется в виде y(t) = Се4".
Дифференцируя это выражение п раз и подставляя в (20b), получаем
после сокращения на общий множитель Се*
а^б" + aiS*"1 ♦...+аП|5 + а« = 0.
Полученное алгебраическое уравнение называется характеристиче-
ским; корни его 5| ... 5„ определяют характер переходного процесса в сис-
теме. Поскольку по виду характеристическое уравнение от 5 совпадает с
уравнением (20b) от р, можно рассматривать в качестве характеристиче-
ского уравнения левую часть исходного дифференциального, приравнен-
ную нулю, с условием, что буква р=5 означает некоторое комплексное
число, являющееся корнем характеристического уравнения.
Отсюда следует схема анализа устойчивости рассматриваемой сис-
темы. Необходимо составить ее дифференциальное уравнение, записать
соответствующее ему алгебраическое характеристическое уравнение и ис-
следовать его корни. Система является устойчивой, если вещественные
части корней (вещественных или комплексных) оказываются отрицатель-
ными
6.4.2 Исследование устойчивости
Для ряда задач целесообразно применять ориентацию КА путем
придания ему вращения вокруг некоторой оси с угловой скоростью, доста-
точной для стабилизации этого направления в течение заданного времени
(Например, при включении двигателя для выхода на более высокую или
низкую орбиту, или для проведения обеспечения направления научной ап-
паратуры дзя астрономических исследований в течение длительного ин-
тервала времени). Даже при малости внешних моментов в направлении, не
совпадающем с осью вращения, нс исключен переворот спутника • переход
к вращению относительно другой оси, при сохранении направления векто-
ра кинетического момента в инерциальном пространстве Ниже следует
вывод условий устойчивости вращения
Рассмозрим динамические уравнения Эйлера (12):
J„O>, + “,«>, (J„ _1„)= пз,
♦«,<»,()„-J„) = m, .
J„ui. + ) = m,
at в у' yy w ' <
Предположим, что вращение происходит вокруг оси z, так что »
<д„ со,, и произведением можно пренебречь. Также предполагается,
что возмущающие моменты достаточно малы, и т„ ту, т, =0. Дифферен-
циальные уравнения вращающегося КА приобретают вид
)„<», *в»,в»,()ж -)„) = &.
J„<i>, -JW) = O,
J „и,-О
Из третьего уравнения следует, что так как )„/0, <», =0. то w,=const
(при условии отсутствия внешних моментов); обозначим w,=Q. Подстав-
ляя выражение о>, в первое и второе уравнения, дифференцируя первое
уравнение и подставляя ш, во второе уравнение, получаем
*0» -J.Jfl'w, =0.
Характеристическое уравнение, соответствующее полученному,
имеет вил
(20с)
-j.) .
или - ——о > о
М.
Отсюда следует, что для выполнения этого условия необходимо
J„-J„>0; откуда вытекает условие:
(21)
либо
J£2-J„<0; )уу-)«>0; откуда вытекает условие:
25
Jo<J«. J„- (22)
Если же вращение происходит вокруг оси у, для которой величина
момента инерции занимает промежуточное положение между J„ и Ja,
так что (А, » со,, со,, и произведением ш,*ш, можно пренебречь, то повто-
ряя предыдущие рассуждения, можно получить характеристическое урав-
нение в следующем виде
(20d)
Решениями уравнений (20с) и (20d) являются соответственно
„«(О-р.,0ЕцК2.
Первое решение соответствует колебательному процессу с периодом
Тj~) (Устойчивое положение), второе - росту (неубыва-
нию) отклонения - неустойчивое положение.
В результате можно сделать следующий вывод: устойчивое неуправ-
ляемое вращение КА возможно только вокруг главных центральных осей
инерции с наибольшим или наименьшим значением момента инерции.
Физической причиной, обуславливающей переворот спутника в слу-
чае неустойчивости, являются как внешние возмушаюшие моменты, так и
внутренние моменты, возникающие вследствие деформаций злементов
конструкции при несовпадении вектора кинетического момента с главны-
ми центральными осями тензора инерции.
6.5 Динамика ориентации КА, ориентированного в ОСК
Значительная часть ИСЗ ориентируется таким образом, что оси их
ССК близки к направлениям соответствующих осей ОСК и, соответствен-
но, вращаются вместе с ними в процессе орбитального движения с угловой
скоростью шо. Положение осей ССК относительно ОСК характеризуется
углами Крылова (в его трудах эта система именуется корабельной систе-
мой) Применение углов Крылова обусловлено тем, что при малых поворо-
тах ССК относительно ОСК значения углов меняются, не претерпевая раз-
рывов (Как указано в предыдущем разделе, система углов Эйлера имеет
свойство разрыва при приближении угла 9 к нулю).
Переход от ОСК к ССК с помощью углов Крылова осуществляется в
последовательности: курс у, тангаж 9, крен <р; матрица перехода Мк (3)
приведена в разд. 4. Производные от этих углов представляют собой угло-
вые скорости ф,9.ф и проектируются на оси в соответствии с последова-
тельностью поворотов, как указано на рисунке 5. Поскольку при движении
по орбите ОСК вращается вокруг оси ув, угловая скорость орбитального
движения <оо проектируется на эту ось. Используя элементы матрицы Мц
ОСК-ССК, можно записать выражения проекций на оси ССК скоростей
изменения углов:
26
о», = ф-ф,ып(9)*о>..*яп(ф):
». ф*sin(«p)*cos(9)+ 8*cos(4>)+w,*a»(v)*cos(<₽).
«а, I -sin(9) О I яп(ф)
I». -- sin(a)»«>s(9) соМФ) 0 соффГсоМФ))
I “
к»,, с<и(ф)*сояЭ> -ягИф) 0 -соффТягИфИ
о), = v* cos(9)* cos(<p) - 9 • sin(<p)- <u.‘ cos(v)’ sin(<p)
Эти выражения удобно представить в матричном виде:
1*1
Is:
1Г.1
(23)
Поскольку основной задачей системы управления при данном типе
ориентации является поддержание близости ССК к ОСК, углы ф, 9, ф и
угловые скорости ф.9.ф считаются малыми, ввиду чего допустимо заме-
нить синусы углов просто углами, а произведением двух из перечисленных
величин пренебречь. Тогда
«, *ф;
(24)
<rt, »ф-а,,В
Подставляем выражения ш„, Шу, ш, (24) в динамические уравнения
Эйлера (12):
(Ф + «».*•«.*)♦(»+•>. Х*- ® .♦ XJ - J,.)“ m,;
J(э - «_)♦ (ф - »>гфХф ♦ w.vX) « “Зм )ж и»,.
J J* - “ Л - “ Л) Иф+W. V ♦ ». X* ч -J..) m,
После преобразования система приобретает вид:
Ф♦ »л- -j «м/ ч>♦й.'ф = у*-;
9 + (25)
(Поскольку рассматривается движение по околокруговой орбите, его
угловая скорость считается постоянной, м.=0, поэтому члены с <Ь. вы-
черкнуты).
Рассматривая полученную систему (25), можно придти к следующим
заключениям.
Первое уравнение, выражающее ускорение по креиу ф. зависит от
скорости по курсу ф; в последнем уравнении ускорение по курсу ф зави-
сит от скорости по крену ф. Связь уравнений для ф и ф возникает вслед-
ствие угловой скорости поворота ОСК вокруг оси у„ что вызывает гиро-
скопический эффект в виде перекрестных связей. Движение по тангажу
происходит независимо от прочих движений.
27
Данная система выведена для условий малости углов ориентации и
пренебрежения их произведениями На самом деле будут наблюдаться свя-
зи между всеми тремя каналами ориентации, однако величины этих связей
значительно меньше, и в первом приближении их можно не учитывать.
Наличие перекрестных связей является существенным фактором при
проектировании систем управления ориентацией. Так, у спутника с грави-
тационной системой ориентации необходимо введение дополнительных
систем, обеспечивающих демпфирование колебаний по трем каналам. Бла-
годаря связи между креном и рысканьем достаточно установить только два
демпфера вместо трех, создавая демпфирующие моменты относительно
оси, перпендикулярной плоскости орбиты, и относительно любой оси в
плоскости орбиты.
6.6 Моменты сил, действующих на КА в полете
6.6.1 Гравитационный момент
Причиной возникновения гравитационного момента, действующего
на протяженное тело, находящееся в окрестности притягивающего центра
(планеты, обладающей гравитационным потенциалом), является централь-
ный характер поля тяготения, т.е. то, что силы тяготения, действующие на
разнесенные точки тела, непараллельны между собой и исходят' из единого
центра (математического центра гравитационного потенциала) Поэтому
при вычислении основной составляющей гравитационного момента притя-
гивающее тело рассматривают как материальную точку, в которой сосре-
доточена вся его масса. (Неправильно объяснять природу момента конеч-
ными размерами притягивающего тела и аномалиями гравитационного по-
ля Возникающие из-за этого эффекты имеют более высокий порядок ма-
лости, по сравнению с основным гравитационным моментом)
Вводится совпадающая с орбитальной связанная с телом S правая
система координат Ох„ у„ д, с ортами i, j, к и началом в центре масс тела О
Соответственно ось Оуо направлена по продолжению радиус-вектора, со-
единяющего центр притяжения С с началом О, а ось Охо располагается в
мгновенной орбитальной плоскости. Гравитационный момент, действую-
щий на тело S. равен
Mr,= jp>dG, где р - радиус-вектор некоторой элементарной массы
S
материального тела. dG - вектор силы тяжести, действующий на эту
элементарную массу. Отсюда dG--g-C -dm. Здесь g - ускорение силы
тяжести на поверхности планеты, г - радиус-вектор элементарной массы
dm относительно центра тяготения С, rg - удаление поверхности планеты
от центра С. Введя радиус- вектор центра масс тела S относительно С,
можно написать рxr = рx(jr„ +р) = rjp* j), а учитывая, что |р|«г„ и можно
28
но написать pxr = px(jr„ <-р) = г„(рх j), а учитывая, что |р|«г„ и можно при-
менить разложение в ряд (itx)' «1 + Зх, отсюда следует
- [ fe. \P
’ I 3*
, После подстановки значения dG за-
писывается выражение Мф=
j J(p«ЗЪпт ♦ 3g \ J(jpXp - j)lm Так как на-
чало радиус-векторов р совпадает с центром масс тела S,
|(р» j)dm - fpdmx j-0, первое слагаемое исключается, откуда
k jp,p,dm-i jp.p.dni , где p-gr(: - гравитационная
(26)
^п>=7 ^.(P’jbn 3^
постоянная планеты. Таким образом, проекции гравитационного момента
на оси 1 риедра ОХоУоД, будут равны
М^о=0; М^кМ^-З^.
В результате можно записать выражения гравитационного момента в
проекциях на оси ССК в функции от величин главных центральных мо-
ментов инерции А, В, С и элементов матрицы А ОСК-ССК
М^З^С-В).,,.,,; M,W-3^(A М^-З^В-А).,,.,,.
(27)
Для примера можно вычислить значения гравитационного момента
применительно к микроспугиику с моментами инерции (с округлением) J„
J„ 4 кгс»м»с2;]ы ж0,3 кгс*м’с2, высота орбиты 650 км. Для него “ =ш^
= l.lSHio"6 1/с2 Тогда, (обозначая, как прежде, sa=sin(a), ca=cos(a))
(0J 4)‘1ГГ-1 27И ..
-6(4-03)».,
о
-1.278,0 sp^cp’c1^
1.278,. ’(-^с«»сГ) кгс.м
0
М-,-3’ 1,1517,о
6.6.2 Условия равновесия гравитационной системы ориентации
Рассматривается случай спутника типа гантели, т.е. с вытянутой
вдоль радиус-вектора компоновкой; для него J,=JV Вектор внешнего гра-
витационного момента, действующего на КА, имеет вид
'.-I,
«о
(28)
9
29
Выражение вектора момента (28) подставляется в уравнения (23) ди-
намики КА, ориентированного в ОСК:
J. ♦ < (J„ ~ Л, )- «А.0 . - * 0
(29)
Составляется соответствующее полученной системе дифференци
альных уравнений характеристическое уравнение; составляя определитель
полученной системы и приравнивая его нулю:
kp’-4®.:0„-3„) -J„+J„)p
-о».()ж ~J„ ♦)„)₽ J.p' ♦».!(J„ ”3«)
0 0
0
0
(30)
-J„)
Характеристическое уравнение, полученное после раскрытия опре-
делителя (30), имеет вид:
[JVTpJ+3wc2(Jvl-JtI)](J„J„p<+w02[-4J„(Ju-Jl7)+J„(J„-J„H(\,-Jn+-lw)''jp:-
4m04(J„-J^XJ„-Ju))< (31)
Уравнение не содержит нечетных степеней, что указывает на отсут-
ствие демпфирования в системе. Следовательно, угловые движения КА
под действием гравитационного момента не могут быть асимптотически
устойчивы. Однако при соответствующем выборе моментов инерции КА
будет находиться на границе колебательной неустойчивости, т.е. аппарат
будет совершать незатухающие гармонические колебания около положе-
ния равновесия с амплитудой, зависящей от начальных условий. Так как в
этом случае КА с определенной точностью (в пределах амплитуды колеба-
ний) поддерживает требуемую ориентацию в пространстве, условие его
реализации принято называть условием устойчивости. Математически ус-
ловие устойчивости означает, что характеристическое уравнение (31)
должно иметь три пары чисто мнимых корней. Далее проводится исследо-
вание по правилу решения квадратного уравнения ах:+Ьх+с“0;
- b ± Vb’-Чвс
2а
Уравнение (3!) представляет произведение двух сомножителей и
может быть представлено как два уравнения:
Jwpa+3w,2(J„-Juy-O; (32)
(33)
Уравнение (32) описывает движение КА в канале тангажа. Для обес-
печения устойчивости этого движения в указанном выше смысле необхо-
димо и достаточно, чтобы выполнялось неравенство
Уравнение (33) описывает связанные между собой движения по уг-
лам крена и рысканья. Для выполнения условия устойчивости необходимо.
30
чтобы коэффициенты этого уравнения были положительными. Свободный
член уравнения будет положительным в случае совместного выполнения
неравенств или Jn<Ja; Объединяя неравенства для
каналов крена и рысканья с неравенством по тангажу, можно получить два
результирующие условия:
(*)
(35)
Если моменты КА удовлетворяют условию (34), то коэффициент при
р' в уравнении (32) также будет положительным. Следовательно, это усло-
вие является необходимым условием устойчивости. Чтобы биквадратное
уравнение (33) имело две пары чисто мнимых корней, соответствующее
квадратное уравнение должно иметь только действительные отрицатель-
ные корни. Это возможно, если дискриминант уравнения (33) будет боль-
ше нуля Исследование достаточности условия (34) для устойчивой стаби-
лизации показало, что оно всегда выполняется
Физически это условие означает, что гравитационный момент стре-
мится сориентировать КА так, чтобы ось наименьшего момента инерции
совпала с местной вертикалью, ось наибольшего момента инерции - с пер-
пендикуляром к плоскости орбиты (с бинормалью) и ось промежуточного
момента инерции - с направлением движения, перпендикулярным первым
двум (с трансверсалью). Таким образом, обеспечивается трехосная ориен-
тация КА в ОСК. При отклонении осей ССК от ОСК гравитационный мо-
мент будет оказывать восстанавливающее действие. Для реализации соот-
ношения моментов инерции в соответствии с условием (34) на КА уста-
навливают гравитационный стабилизатор (стержень с грузом на конце,
выдвигаемый после выхода КА на орбиту) Спутники такой конструкции
изображены на рис. I и 2.
Анализ возможности устойчивой стабилизации при моментах инер-
ции. удовлетворяющих условию (35), показывает, что она обеспечивается
лишь в определенной ограниченной области значений моментов инерции.
Значения моментов инерции при этом должны быть довольно близкими.
Эффективность такой стабилизации будет очень низкой. Поэтому условие
(35) можно рассматривать как вспомогательное и использовать тогда, ко-
гда ориентация КА обеспечивается другими методами, например, актив-
ными. В этом случае не всегда окажется возможным обеспечить условие
(34). Однако в любых условиях желательно, чтобы гравитационный мо-
мент не только не нарушал ориентацию КА, но и в какой-то мере способ-
ствовал ей. В такой обстановке условие (35) может оказаться полезным
6.6.4 Моменты от магнитного поля
На динамику спутника влияют моменты сил от взаимодействия соб-
ственного магнитного поля КА с геомагнитным полем. Механический мо-
31
мент Мм,„ действующий на магнит с магнитным моментом L, иаходяший-
। я и магнитном поле с индукцией В. определяется как
M-..=LXB
Магнитные явления характеризуются следующими векторными па-
I' 1ме1рвми (в некоторых случаях рассматривается только модуль вектора).
Магнитный поток Ф имеет величину 1 вебер (Вб), если при убывании
попжа до нуля в сцепленной с ним цепи сопротивлением I ом через проводник
Н|юкпдит заряд I Кл (или при убывании потока за 1 секунду до нуля а сиеплен-
кгм
<«>П цепи индуцируется напряжение I В). Размерность: Вб
. и
Магнитная индукция В имеет величину I тесла (Т, Тл), если магнит-
ный поток через поперечное сечение I м: равен I Вб. Размерность:
П-ф
iih <нлой 1/п ампер Размерность: Н^- j
Обычно принято пользоваться величиной нанотесла. I
«1 и-10* Тл В системе CGSM магнитная индукция измеряется в гауссах, )
I. 104*Тл; 1Гс-10*нТл.
Напряженность поля Н в середине длинного соленоида с равномерно
1«м нрелеленной обмоткой с числом витков п/1м (на метр длины соленои-
ла), имеет величину 1 ампер на метр (А/м, А/m), если по обмотке проходит
. Соответствие между двумя ха-
рлктеристиками: 1 А/м 4я* 102 нТл=1256,637 нТл В системе CGSM на-
пряженность поля измеряется в эрстедах (Э), I Э=1 Гс.
Магнитный момент Рт контура с током определяется как Pm-l*S
|я*м ) Для магнитного диполя магнитный момент определяется через ве-
иичину механического момента Мие, [Нм] (здесь Н - сила в ньютонах),
игНствующего на этот диполь при нахождении его в магнитном поле с век-
н>ром напряженности Н. причем угол между векторами М.,,. Н равен а:
и
" |Н| мп(а)
Нм
м кг
Нм
[Вб м]; может также задаваться в
М
единицах CGSM, причем I ед. CGSM=IO ' а м‘
Модуль магнитного момента диполя Земли равен 8,1 ю'6
м кг
С: а
'8,1 ю'4 [Вб м]
Выражение потенциала земного диполя в точке с геомагнитной ши-
ротой (угловое расстояние от магнитного экватора) 11= соф), где
0=9О*-ф. - дополнение до геомагнитной широты, г - расстояние до центра
Земли. Проекции вектора индукции на оси z, (направлена по земному ра-
диусу к центру Земли) и х, (по касательной к магнитному меридиану, к се-'
верному геомагнитному полюсу, ортогонально г,) определяются как про-1
•вводные от потенциала по этим направлениям;
at. ar г' «'• |ах-г aej г’ ' •'
Вектор индукции имеет вид
|-мп(в.)
Вт-0 ; (36)
Г |2 соа(е.)
модуль его
T-2^Ji+3co*:(eJ. (37)
Более детальное описание моделей геомагнитного поля приведено в
разделе 7.2.2.
Рассмотрим малый спутник, на котором для целей управления уста-
новлены магнитные катушки с магнитным моментом Pm=20 I M . Макси-
мальный обеспечиваемый механический момент на орбите высотой 650 км
(радиусом 7021 км):
0.11„“—м
М„. Ж,=РЖ*В, = ------5-------20а м; =4,77Ню * кг м над эква-
9.81 “ 7021* „’м*
тором, над полюсом: «>„«=2 м, = 9,54281О’5 кгм.
В формуле коэффициент 9,81 м/с’ предназначен для получения ре-
зультата в кгм (без него - в Н м).
Предполагается, что собственный магнитный момент этого спутника
от остаточного намагничивания (магнитнотвердая составляющая) достига-
ет Р,„=500 ед. CGSM=0,5 а м’. Определить обусловленный этим возму-
щающий момент.
... нм'-КГ
0.81|0 —р м
Мтк>с---------E-J---O.Sa m:=1,19283io* кгм: MewnaMt“238567,0*KrM.
9.81“-7021* и’м’
6.6.3 Аэродинамический момент
Возникает в результате взаимодействия корпуса КА с потоком сво-
бодных молекул в верхних слоях атмосферы. Условие свободномолеку-
лярного потока связано с тем, что длина свободного пробега молекул су-
щественно больше радиуса молекулы. Основной момент обусловлен дей-
33
< юигм аэродинамической силы сопротивления при несовпадении положе-
.... ueirrpa масс КА с центром давления от аэродинамических сил.
Взаимодействие молекул разреженной среды с корпусом КА может
нм, if. двоякий характер: 1) упругое соударение с зеркальным отражением,
> либо молекула ‘ прилипает”, отдаст энергию движения корпусу и уходит
hi него с тепловой скоростью. Тепловая скорость невелика, поэтому коли-
нч том движения от ухода можно пренебречь Вторая схема лучше опи-
• IHH I наблюдаемое движение КА, но при точных расчетах необходимо
. ин ынать соотношение обоих процессов.
Действующая на элемент dS поверхности движущегося с коемнче
। *пй скоростью V космического аппарата сила dF определяется как
dF=-c qcos 6 * dS; (38)
здесь q“ скоростной напор внешней среды (остатков атмосфе-
ры)) плотностью р;
е - угол между плоскостью элемента dS и вектором скорости
п<« опюсительно внешней среды;
V вектор скорости зела в системе координат, принятой за ба-
1нвуи>,
с - коэффициент, равный 2.
Тогда аэродинамический момент, действующий от площадки dS.
1ИЮННОЙ радиус-вектором г с центром масс тела, определяется как
<1М.г-dF, а полный момент равен
Jr X dF .
г
Интегрирование проводится по той части поверхности S космиче
• юно аппарата, которая омывается набегающим потоком в процессе дви-
«< пня Ниже приводится пример вычисления аэродинамического момента,
к п< myioutero на тело в форме сферы, у которой центр масс О смешен от-
Н1«.нтельно геометрического центра А и соединен с точкой А радиус-
14 к юром г* Радиус-вектор, соединяющий элементарную площадку (IS на
.мыкаемой набегающим потоком поверхности сферы обозначается rs, а
। <1сг1нняюший ее с центром масс - г. Тогда г»гА+г$;
MAip= |(гА + г,)х dF • гд х JdF + fr, i dF ; в силу симметрии рассматривас-
> • >
мой формы второй интеграл равен нулю, а первый представляет собой
< уммарную силу аэродинамического сопротивления Q= JcF; тогда М4Ч,=
Цгд Омываемой поверхностью является полусфера, на которую действу
34
t V
ет набс1ающий поток; тогда Q=-jc q cose — <1Ч;так как e - это угол между
векторами V и г$, можно написать Q=-cqSo -, где So - площадь сечения
сферы большим кругом.
Отсюда следует, что аэродинамическая сила, действующая на тело
сложной формы, может быть вычислена путем подстановки в качестве S
площади сечения тела “в свету” перпендикулярно вектору V, те. площади,
получаемой проектированием тела на перпендикулярную вектору V по-
верхность С этим, в частности, связан метод определения численной ве-
личины S, основанный на измерении площади тени, отбрасываемой телом
при освещении его удаленным источником света.
Для оценки аэродинамического момента, действующего на реальный
КА, форму тела обычно представляют состоящей из нескольких частей;
так, действующий на микроспутник момент равен сумме моментов от кор-
пуса, гравитационной штанги и груза на этой штанге Действующий на
корпус момент вычисляется как
M.=,(m+c>'r)q (39)
Здесь m=(mM rn, m,)' - вектор моментных коэффициентов, их раз-
мерность [м’|;
с=(с, с, ct)’ - вектор силовых коэффициентов, их размерность
|м:|,
Г"(г, г» G)’ - радиус-вектор, соединяющий начало системы
координат корпуса с центром масс микроспутника, его размерность [м].
pV*
2
Ч
- скоростной напор, его размерность [кг/м2] определя-
ется размерностями входящих в выражение элементов:
плотность атмосферы p=nvv - частное от деления массы пт на
объем v; размерности в технической системе единиц:
[кгс2/м/м2];
линейная скорость V {м/с].
Полученный в результате перемножения момент М, имеет размер-
ность |кгм].
Векторы коэффициентов тис вычисляются путем разделения по-
верхности корпуса на элементарные площадки и суммирования создавае-
мых ими сил и моментов. Значения тис зависят от направления набе-
гающего потока, поэтому они выдаются таблично в виде функции от углов
разворота КА. Плотность атмосферы также задается таблично в виде зави-
симости от высоты над поверхностью Земли и индекса солнечной активно-
сти в документе ГОСТ 25645.115-84.
35
6.6.3 Момент сил от давления солнечных лучей
Величина светового давления равна отношению потока световой
•нергии Е к скорости света с. Поток энергии Е изменяется обратно про-
порционально квадрату расстояния R от источника света, поэтому фор-
Е fR V
мула светового давления имеет вид: рс,= — — , где Ео - поток энергии Е
с I R /
иле расстояния Ro.
Взаимодействие солнечного излучения с поверхностью КА во мно-
нзм аналогично взаимодействию молекул разреженной газовой среды с его
корпусом. В зависимости от коэффициента отражения и возможны два
< пособа взаимодействия: при £о=0 (абсолютно черное тело) эффект анало-
1ичеи абсолютно неупругому удару, а при Ео=1 - упругому соударению
I и-ркальному отражению). Для реальных тел доля упругих и иеупругих со-
уллрений определяется в зависимости от их величины £«.
Вектор светового давления, падающего на элементарную площадку
IN под углом v к нормали, определяется выражением df=e„ p,. cos udS;
inrcb e„ - вектор направления светового излучения. Момент от светового
пленения равен Мс,= jrxdf. Здесь S - поверхность аппарата, на которую
Я
нечаст излучение. Если источником излучения является Солнце, то прини-
ммгтся величина солнечного напора рс=2,36ю’ кг/м!. Тогда в качестве Ro
Ги-рут среднее расстояние от Солнца до орбиты Земли (149,6io6 км).
Для точных расчетов следует принимать во внимание годовое изме-
нгнис расстояния Земли от Солнца, обусловленное эксцентриситетом зем-
но II орбиты е,. Тогда отношение расстояний в афелии и перигелии
|«/(.-(1+е,У(1-е,); для е,-О,01675 (г^г,Г= 1,0693. Таким образом, разница
>килигает 7%; для возмушаюших моментов, вычисляемых с большим до-
пуском. она малочувствительна, однако при расчете баланса системы энер-
। «питания (солнечная постоянная на уровне орбиты Земли составляет 1360
ih/m') необходимо учитывать сезонные изменения мощности.
6.6.4 Моменты прочих сил
К их числу относятся силы, обусловленные действием источников
случайного характера: удары микрометеоритов; истечение (или утечки) га-
1Я из корпуса КА; работа механических устройств, связанная с перемеще-
нием масс на КА, последнее может также привести к изменению магнит-
ного момента КА. Влияние этих моментов может учитываться в рамках
вероятностной модели динамики.
36
в I
7 МЕТОДЫ ОЦЕНИВАНИЯ ПАРАМЕТРОВ ОРИЕНТАЦИИ ПО
ИЗМЕРЕНИЯМ
7.1 Классификация алгоритмов определения ориентации КА
Ориентацию, или пространственное положение осей КА, находяше- 1
гос я в полете, можно установить на основании бортовых измерений на- I
правлений нескольких базовых векторов (например, солнечного, геомаг-
нитного поля, на центр Земли).
В ходе решения задач определения ориентации практически устано-
вилось разделение принципов измерения и обработки на локальные и ин-
тегральные (такая терминология использована в работах Отделения при-
кладной математики Математического института нм. Стеклова в работах,
посвященных обработке информации первых спутников). Локальные алго-
ритмы осуществляют определение ориентации в один момент времени по
системе измерений базовых векторов, выполненных одновременно. Инте-
гральные алгоритмы решают задачу по системе измерений, произведенных
на временнбм интервале В последнем случае измерения используются для
определения параметров математической модели, описывающей закон из-
менения ориентации во времени, а знание этой модели позволяет вычис-
лять ориентацию в конкретные моменты времени
Локальные методы требуют для своей реализации наличия, как ми-
нимум, измерений двух неколлинеарных векторов, причем, во избежание
потери точности, угол между ними должен быть достаточно большим. С
другой стороны, эти методы более просты и обеспечивают надежную
оценку, не зависящую от выбора адекватной модели ориентации. Опреде-
ление ориентации по измерениям положения группы звезд астрономиче-
скими визирами производится локальным методом и позволяет получить
высокую точность решения. Это позволяет гарантировать результат при
любом характере ориентации КА.
Интегральные методы позволяют использовать неодновременные
измерения разнородных видов измеряемых параметров (в том числе не
полный вектор, а только одну его проекцию, значения угловых скоростей).
Возможно решение по измерениям, позволяющим получить ответ только
на временнбм интервале (например, по одному вектору геомагнитного по-
ля). Особенное применение такой подход приобрел для смежной задачи
определения орбит КА Как известно, орбита КА характеризуется шестью
независимыми параметрами, а наземные средства измерения орбит, как
правило, малопараметрические; чаше всего измеряются радиальная даль-
ность и/или радиальная скорость (один или два параметра). По результатам
таких измерений на интервале радиовидимости продолжительностью 5...7
37
минут обеспечивается однозначное определение орбиты с приемлемой
ПУЧНОСТЬЮ
Используемые на практике алгоритмы определения ориентации КА
«емсгую основаны на объединении указанных двух подходов
Решение задачи определения ориентации по данным измерений
1-1 проводиться как при наземной обработке, так и непосредственно на
»|•»у КА В первом случае в распоряжении обработчика сразу оказывается
ми. <нв измерений, выполненных в течение некоторого интервала времени,
|<>Т»'даниый в сеансе связи KA-Земля, и естественно проводить его обра-
'ику как единого целого, с использованием приемов сглаживания для по-
|<|.щ|сния точности оценок Такой режим принято называть обработкой
....юй выборки. Если решение проводится на борту, обработка может
"I" пилиться в темпе поступления новых измерений В этом случае каждое
и- ! и измерение используется для уточнения опенки, выполненной по ре-
п iciutaM прежних измерений Этот режим называется фильтрацией
•1'н шлрация позволяет немедленно обнаруживать изменения динамики КА
и...ч печить управление в реальном времени
Современные КА оборудуются бесплатформениыми инерциальными
ii.inni анионными системами (БИКС), включающими измерители угловой
корости (ИУС) и вычислительное устройство (ВУ). Такая система осуще-
ini'ici построение осей связанной системы координат и выдает положе-
.... осей КА как отклонение от этой системы Применительно к КА с
I lII 1< шдача определения ориентации по данным датчиковых измерений
। и.шя к корректировке ухода направления осей инерциальной системы
(’ точки зрения решения задачи определения ориентации можно
и*.... следующую классификацию типов ориентации КА.
I Неориентированные, с .ираниченными угловыми скоростями.
Чип к.-ние таких КА, обусловленное влиянием случайных возмущений, не
ч- 'ni l быть описано обычными дифференциальными уравнениями Опре-
и и нне ориентации рационально производить с использованием локаль-
ны« методов, либо интегральных, с кинематической моделью и ограниче-
нием пременнбго интервала действия модели
2 Неориентированные вращающиеся КА Практика показала, что
н|Н1 угловой скорости вращения более 1.3% движение надежно описыва-
ет моделью регулярной прецессии. Определение ориентации осуществ-
ил тся на основании интегральных методов, с минимальным количеством
к 'меряемых параметрон (недостаточным для локальных методов).
3 Ориентированная с пассивной системой ориентации Движение
мп*с| быть описано динамическими уравнениями, а определение орисн-
ищни выполнено интегральными методами.
4 Ориентированные с активной системой ориентации. В ряде случа-
ев непрерывное управление переменно во времени и закон сто реализации
38
зависит от ряда случайных воздействий. В этих условиях построение де-
терминированной модели затруднительно, и решение задачи производится
методами, учитывающими случайный шум в модели динамики
В других случаях управление осуществляется путем подачи им-
пульсных воздействий в неопределенные моменты времени (например,
срабатывание сопел ГРС в момент выполнения различных условий и т.п.).
Здесь возможно применение не только локальных, но и интегральных ме-
тодов на интервале между последовательными срабатываниями.
На серии КА (“Космос-816,913“ и далее) с гравитационной системой
ориентации в процессе полета осуществлялся отстрел (отброс) элементов
конструкции, оказывающий импульсное возмущение на работу системы.
Для определения ориентации в этот момент и направления движения от-
брошенных элементов был разработан интегральный метол, основанный
на введении двух кинематических моделей, стыкующихся в момент от-
стрела.
7.2 Вычисление направлений базовых векторов
7.2.1 Вычисление времени, юлианской даты и звездною време-
ни
Положение базовых векторов вычисляется на заданное время; точ-
ность расчета зависит также и от точности системы отсчета времени. Вре-
мя в течение суток отсчитывается в шкале всемирного времени UT (Uni-
versal Time). Это местное солнечное время на |рннвичском (или гринич-
ском) меридиане, определяемое вращением Земли. Отечественные балли-
стические данные обычно выдаются в шкале декретного московского вре-
мени (ДМВ), которое на Зь= 10800* опережает гринвичское. Положение
гринвичского меридиана отсчитывается от начальной точки абсолютной
(инерциальной) системы координат - точки весеннего равноденствия
Вследствие предварения равноденствий движения этой точки (порядка
50" в год), а также других причин, происходит изменение равномерного
течения временнбй шкалы, что влияет на вычисление координат КА и по-
ложения базовых векторов
Неравномерность вращения Земли была замечена еще в 1695 году,
когда Эдмунд Галлей, анализируя затмения, происходившие в древние
времена, пришел к выводу, что движение Луны вокруг Земли ускоряется
(удивительно, что этот вывод удалось сделагь, несмотря на отсутствие в то
время возможности точных часовых измерений). В настоящее время отме-
чены три вида изменений в скорости вращения Земли: 1) вековые измене
ния вследствие действия солнечных и лунных приливов, вследствие чего
продолжительность земных суток увеличивается на 1,5 мс за столетие, а
длительность года на 0,5 секунды; 2) нерегулярные изменения из-за раз-
личия скоростей вращения жидкого ядра и твердой мантии Земли, вслед-
ствие чего продолжительность суток может измениться на 4 мс за десяти-
летие, 3) сезонные вариации из-за сезонных изменений в мировом океане и
воздушных массах, Земля вращается медленнее весной и быстрее - осе-
39
ИЫ*< колебания продол ж и гель ноет и суток достигают 1,2 мс. Колебания
|||>л1>>1 п < периодом 14 месяцев к пределах окружности радиусом 8 м вызы-
(•*1 И1менсние географических координа! точек темной поверхности и
««и iii.hu времени в них
Поэтому в 1952 году было введено >фемеридное время ЕТ равно-
ч> |м1.и- и|*емя ньютоновской механики, которое используется для состав-
ни» 1.ИИ1И11 положения небесных тел. Оно основано на скорости враще-
ния ii млн в XIX веке, и к 1952 году между Е I и UT накопилась разница 30
lloi «ильку UT создано для обеспечения повседневной деятельности че-
)|||н-чг< гва и исходит из видимого положения Солнца, в XX веке начали
••Ининк, корректировку его Вначале корректировали длительность секун-
hi но же по средам (т.е. в середине недели) стали изменять само время, с
1‘Hiii । ua.i изменение проводилось раз в месяц. В 1972 году была введена
Hi и мл координированного всемирного времени UTC (Universal Time Со-
iilHiaied) Эго время равномерное, в случае необходимости, в полночь 31
|1»4П|>» и/или 30 июня производится коррекция его на одну секунду. По-
и. Н1НЙ par коррекция проводилась 31 декабря 1999 гола, и разность UT-
I Н рвана 32 С Равномерность UTC обеспечивается на основе усреднения
нпк.ияний восьмидесяти атомных часов, находящихся в 24 странах мина
1»>|
II настоящее время в разрабатываемую документацию для КА закда-
II riiut и использование шкалы UTC
И|мснение параметров, определяющих взаимное положение Зем и и
п>'Н*| пых тел (в том числе и искусственных), зависит от истекшего интср-
г । ii । времени, определяемого датой. Поскольку параметры расчета даi
।' > и । и месяцы имеют непостоянные длительности, что усложняет расче-
| | ингервала между двумя датами, введена дополнительная равномерная
10.111 ни юлианский счет дней. Юлианский счет дней представляет со-
н нгнрерывный счет дней от 1ринвичского Среднего полудня 1 января
I'lli ли н э Значения юлианской даты JD на данную календарную мож-
<| । найти из специальных таблиц, приводимых в “Астрономических еже-
iihhknx"; в компьютерных программах удобно использовать, например,
ii ш и иную формулу [10, 13]
и > it'l ( l46l*(G>480O+E((M-14)/12))/4+E(367*(M-2-E((M-l4)/12)*l2yi2h
I (3»E((G+4900rE((M-14)/12))/100)/4-32075. (40)
laecbG, М, d -значения календарного года, месяца и даты соагветсгвенно,
I.(•) оператор вычисления целой части от выражения, находящего-
« в круглых скобках
Примеры вычисления юлианских дат: 1.06.1971 JD=244IIO4;
I 01 1976 JD-2442900; 1 01 2004 Ю-2453006; 1 >0 2008 JD=245474I;
Переход от АСК к ГСК выпозняется через вычисление звездного
времени s - долготы гринвичского меридиана от линии весны на мо-
ими времени t (секунд) ДМВ на текущую дату (год G, месяц М, день d)
Для этой календарной даты вычисляется дата в юлианских столетиях
D,=(JD-JDo-O,5)/36525,
39
пью, колебания продолжительности суток достигают 1,2 мс. Колебания
полюса с периодом 14 месяцев в пределах окружности радиусом 8 м вызы-
вает изменение географических координат точек земной поверхности и
местного времени в них
Поэтому в 1952 году было введено тфсмсридное время ЕТ равно-
мерное время ньютоновской механики, которое используется для состав-
ления таблиц положения небесных тел. Оно основано на скорости краше-
ния Земли в XIX веке, и к 1952 году между ЕТ и UT накопилась разница 30
с Поскольку ПТ создано для обеспечения повседневной деятельности че-
ловечества и исходи! из видимого положения Солнца, и XX веке начали
вводить корректировку его. Вначале корректировали длительность секун-
ды, позже по средам (т е в середине недели , стали изменять само время, с
1960 года изменение проводилось раз в месяц. В 1972 году была введена
система координированного всемирного времени UTC (Universal l ime Co-
ordinated). Это время равномерное, в случае необходимости, в полночь 31
декабря и/или 30 июня производится коррекция его на одну секунду. По-
следний раз коррекция проводилась 31 декабря 1999 юла. и разность UT-
UTC равна 32 с Равномерность UTC обеспечивается на основе усреднения
показаний восьмидесяти атомных часов, находящихся в 24 странах мипа
(12].
В настоящее время в разрабатываемую документацию для КА закла-
дывается использование шкалы UTC
Изменение параметров, определяющих взаимное положение Зем ;н и
небесных тел (в том числе и искусственных), зависит от истекшего интер-
вала времени, определяемого датой Поскольку параметры расчета дат
годы и месяцы имеют непостоянные длительности, что усложняет расче-
ты интервала между двумя лагами, введена дополнительная равномерная
шкала дат юлианский счет дней. Юлианский счет дней представляет со-
бой непрерывный счет дней от гринвичского среднего полудня 1 января
4713 г. до н.э. Значения юлианской даты JD па данную календарную мож-
но найти из специальных таблиц, приводимых в “Астрономических еже-
годниках"; в компьютерных программах удобно использовать, например,
следующую формулу [10, 13]
JD=d+E(146!*(Gr4800+E((M-l4)/l2))/4+E(367*(M-2-E((M-14)/l2)*12)>'12h
E(3*E((G+49OQ+E((M-14)/12)yi00)/4-32075. (40)
Здесь G, М, d -значения календарного года, месяца и даты соответственно;
Е(*) - оператор вычисления целой части от выражения, находящего-
ся в круглых скобках
Примеры вычисления юлианских дат: 1.06.1971 JD“2441104;
1 05 1976 JD’2442900, I 01 2004 JD=2453006; 1 10.2008 JD-2454741;
Переход от ACK к ГСК выполняется через вычисление звездного
времени s - долготы гринвичского меридиана от линии весны П,р на мо-
мент времени t (секунд) ДМВ на текущую дату (год G, месяц М, день d).
Для этой календарной даты вычисляется дата в юлианских столетиях
Dj=(JD-JDo-O,5)/36525,
40
где 36525 - продолжительность в сутках юлианского столетия,
JD0'=2415020 - юлианская лата начала эпохи (1900, янв. 0, 12*); вы-
читаемое 0,5 вводится для перехода к гринвичской полночи
Далее вычисляется звездное время на начало по Гринвичу текущих
суток
$=1.7399368931356+Dj*(628,331950990909+0,6755878064,0-5*D,);
и искомая долгота О,? на время I:
Пл,=5+1,0027379093*(1-10800)»2«х/86400.
7.2.2 Вычисление направления вектора геома1Э1итною поля
Реальное магнитное поле Земли (МПЗ) наиболее точно представля-
ется разложением в ряд по полиномам Лежандра по 6 или 10 гармоникам
Выражение проекций вектора МПЗ в МСК на касательную к мери-
диану в северном направлении хю. к параллели в восточном направлении
ув, и на радиус-вектор к центру Земли z„ для точки околоземного про-
странства с географической долготой X, дополнением 0 до географической
широты <р: 0- 90°-<р и расстоянием до центра Земли г имеет вид
Н™ ' £ L (&>mcos + h«n's‘n mXXJVr)"'2 R,m(cos 0);
n-< B.U1
Ни« = Z Ё (&”sin «Л- h„mcos mXXm/sin vXRM"’2 P„m(cos0);
П-l —О
(41)
H™ = £ Ё (n+lXgr’cos mX ’ h/bin nuXR/r)"” PBn’ (cos 0).
a-l •»-©
Здесь g,,"’. h„m - коэффициенты модели поля, R - радиус Земли (Далее
по тексту индексом п обозначается число гармоник в разложении, имею-
щее значение 10).
Значения полиномов Лежандра PBm(cos0), R^cos O)=c'P„'"(cos0)/<')0
вычисляются по следующим формулам:
P,"(cos(e) = (2п - !)»• /-—---яп - 0 •' Ус.'”" «и—“ 0;
С'”л* » -С'”" С"*"1 2*fc -1). с<м1 в ..
‘ (2*k + 2)(2*n-2*k-l) ’ *
£„,«2npMm>l, Ео=1; (2*п-1)!!ж1еЗф5...(2*п-1);
R/Xcos 0)= m ‘ctglOJP,"
— (n mXn*m + l)P^*
В используемую программу вычисления параметров поля в заданной
точке (“синтеза МПЗ") по 10 гармоникам подставлены коэффициенты мо-
дели поля kg,, kh,, i=1..65. Эта модель, относящаяся к эпохе 1985,0 (ян-
варь,О, 1985), носит название МАП-85 Поэтому рабочие значения коэф-
фициентов g7 „ h*, вычисляются путем пересчета к заданной текущей дате
41
i‘l {id, год, id2= месяц, idj= номер дня в месяце} с учетом коэффициентов
искового хода dg,, dh„ i= 1 .65 как
. kg.-dg.*(((id j'30+( id2-1))/12 * id, -1985);
h:.=kh,+dh,*(((idJ/3O+(id2-l)yi2+id,.|985).
Таблица коэффициентов модели поля МАП 85 (261 числа) вынесена
и приложение. В ней первый и второй элементы служебные признаки,
ни-гий - количество коэффициентов одного вида (65), далее послелова-
гсльно приведены по 65 элементов kg,, kh,. dg,, dh.
Вычисленные значения проекций поля {Н,„. Н,„. Н^,} на оси МСК
ч„ уя Ъ* далее пересчитываются к осям ОСК х„ уо д, как
IH ! jc^A.) МША ) ,Н I
IH^I |sin(A,) -cos(A,)
Здесь »ie(A,)» co^—; с<»(А,) = Ji-зш(А,).
схуМф)
Если abs(cos(4>))<>o \ то sin( A2)=0; и cosfA,^!
Основная часть поля (-95%) может быть описана значительно более
простой дипольной моделью. Согласно этой модели, МПЗ обуславливается
наличием внутри Земли магнитного диполя (воображаемого прямолнней
ного магнита, проходящего через центр Земли, концы которого близки к
положению земных магнитных полюсов). Положение этого диполя харак-
теризуется наклоном к земной оси (или углом между магнитным и земным
жваторами) м и долготой восходящего узла магнитного экватора Ха, от-
считываемой от Гринвичского меридиана Принимается, что i,, 11,5е.
20° Магнитный момент диполя пз4 составляет 0.8110'* вб м. Размерность
небера ((кг м:>(а c’)J.
Магнитному диполю ставится в соответствие дипольная система
координат ДСК с началом в середине диполя (и в центре Земли). Оси ДСК
расположены следующим образом: ось х^ лежит в плоскости земного эква-
тора и направлена в восходящий узел магнитного экватора, ось перпен-
дикулярна к плоскости магнитного экватора, ось yd дополняет систему до
правой. Положение точки задается магнитной широтой относительно
плоекзхлн магнитного экватора, м ап t иг ной лолгогой X. относительно восхо-
дящего узла магнитного экватора и расстоянием от центра 'Земли г.
Для определения магнитных координат точки, положение которой
задано в какой-либо другой системе, строится матрица перехода от
гринвичской системы к дипольной. Переход от гринвичской системы ко-
ординат x,y,z, к дипольной xdyaZj осуществляется путем последовательных
поворотов на угол X,, вокруг оси z*. на угол ij вокруг оси х, (рис. 7) Метол
построения матрицы описан в разд. 4. поэтому здесь без дополнительных
пояснений представлены соответствующие поворотам матрицы.
42
т1(>ЧУА—XaVtZa):*'1
У<
г.
x, У, zi
cos(X4) sin(Xd) О
-sin(K4) cos(X4) О *
О О I
*« У< »,
/ X Я« 1 0 0
•n:(xdyiz,-»xdylfz<)): *
у4 О cos(id) sindj
zd О -sin(id) cosO„)
Искомая матрица перехода вычисляется как Mdg=m2 mi, и вектор Га
направляющих косинусов радиус-вектора КА в ДСК определяется кек
rd=Me.re. Сферические координаты - геомагнитная широта и геомаг-
нитная долгота к, этого вектора определяются из выражений
<р. ж arcsm(rdI) •= arctanfti, / Jl-r^ );
k, = arccos(r<h/sin(<|>.,)); if r^ <0 then k«:=- k«.
либо k, = arctan(rM /г„); if rdM <0 then k.:= k, + 180°
(здесь r4l означает z-й элемент вектора га, и тл)-
В выражения для к» включен логический оператор, позволяющий
определить величину к. в пределах(0, 2х), тогда как обычные процедуры
arccos или arctan дают ответ в пределах (0, л).
Точке, находящейся в геомагнитном поле, ставится в соответствие
магнитная система координат МСК с началом в этой точке. Оси МСК рас-
положены следующим образом: ось хи направлена по касательной к маг
нитному меридиану к северному магнитному полюсу, ось направлена к
43
центру Земли, ось у. направлена гю касательной к магнитной параллели и
пополняет систему до правой.
Вектор В. напряженности МПЗ в этой точке к проекциях на оси
МСК, и функции от дополнения 0м=9Ов-ф. к геомагнитной широте <р. опре-
деляется как (36):
I-since.)
= 0 •
|2 cos(0.)
Переход от магнитной системы координат МСК xmy„zm к диполь-
ной Хаул осуществляется путем последовательных поворотов на угол
Фт+ЭД“ вокруг оси у., на угол Zm вокруг оси (рис. 8). Матрица перехода
вычисляется как num,, где соответствующие этим поворотам матри-
цы имеют вид
X. У» 2-
•XjymZrf) . - s«n(<P„ ) 0 0 1 -cosro„) 0
*4 cos(<>„) 0 -яп(ф.)
»• У. *.|
. 1 х< m. (Xjy^ — Xjydzd): саМЧ.) -sm(Z„) 0
Уг мп(Ч> cos(A„) 0
0 0 1
Значение вектора В, напряженности МПЗ в ДСК определяется как
В,, в гринвичской В,М81,*В1Г-МО/ *В„, и т.д.
В северном магнитном полушарии z-я составляющая положительна
и направлена к Земле (соответственно, в южном - в зенит); составляющая,
перпендикулярная плоскости магнитного меридиана, всегда равна нулю.
При задании радиуса г в метрах вычисленное значение вектора на-
пряженности имеет размерность нТл. Пример: г=667КЮ0 м, <₽,=60°
(0,=ЗО*); вектор
136421
Вт= 0 иТл.
|47258
Определение числовых значений параметров модели геомагнитного
поля
С древних времен магнитное поле Земли, наряду с небесными све-
тилами, являлось основным источником данных для осуществления нави-
гации мореплавания, дальних путешествий, прокладки торговых путей, а
также для геодезического обеспечения строительных работ Известные ма-
тематические описания моделей МПЗ относятся к первой трети 19-го века.
44
Представленный здесь математический аппарат был разработан К -Ф Га-
уссом в 1838 году; значения коэффициентов базировались на измерениях,
выполненных в 12 точках Земли. По мерс развития сети специальных маг-
нитных обсерваторий, возможности для проведения таких измерений и их
количество сущеетвенно возросли Новым словом стала установка магни-
тометров на борту искусственного спутника Земли. Впервые это было
осуществлено на 3-м советском спутнике, выведенном на орбиту 15.08.58 г.
В дальнейшем магнитные съемки, выполненные спутниками “Космос-26, -
49, 321” (два последних были разработаны ГКБЮ), стали основой для соз-
дания и уточнения глобальных моделей МПЗ Необходимость периодиче-
ского уточнения моделей обусловлена, в частности, эволюцией геомагнит-
ного поля со временем. Представленная здесь система коэффициентов мо-
дели МАП-83 вычислена по результатам съемки, выполненной спутником
“Магсат” (США) 5-6 ноября 1979 года. В 2000 году глобальная съемка по-
вторена датским спутником Oersted В настоящее время новый цикл съе-
мок проводится запущенным 15.07.2000 с российского космодрома Пле-
сецк германским миниспутником CHAMP (Challenging Mintsatellite Payload
for Geophysical Research and Application - “Миниспугниковая полезная на-
грузка, бросающая вызов, для геофизических приложений”).
7.2-3 Вычисление направления солнечного вектора
Положение Солнца в АСК на заданную дату Dt (дата, месяц, год) вы-
числяется по формулам, относящимися к эпохе Epoch (1900, янв 0, 12ь).
Ар|ументом формул является интервал времени То (целых суток), истек-
ший от начала эпохи к оцениваемому моменту. Интервал определяется че-
рез вычисление юлианских дат: Te=JD(Dt)-JD(Epoch).
Для определения направления солнечного вектора на заданный мо-
мент времени t (секунд от начала суток ДМВ) вычисляются грин-
вичское время to=t-10800 и значение аномалии Земли, отсчитываемой от
линии весны
M'j = 99°,69098 + 36000°,768925 Т, + 0°,38708 Ю"’-ТД
где Т„ = (То + V86400V36525 - количество юлианских столетий, ис-
текших от эпохи 1900,0 до оцениваемого момента.
Долгота перигелия земной орбиты
я, = IOl°13'l5"-t 6189",03 T„+ 1",63 ТД
эксцентриситет земной орбиты
е, = 0,0167504 - 0,000041 8 Ти,
средняя аномалия Земли, отсчитываемая от перигелия
М, *=м;-х„
истинная аномалия ’Земли (гелиоцентрический угол, отсчитываемый от
земного перигелия) вычисляется путем использования разложения в ряд
зависимости истинной аномалии от средней:
И, = М, + (2e-0,25e’)sin М, + l,25sin 2М,-е1,
гелиоцентрическое расстояние Земли от линии весны
П “ *.♦ Пъ
45
ирсумент широты солнечного вектора в геоцентрической системе коорди
НЯ1
U, = п - л (я-3,1415926536).
Вектор направляющих косинусов солнечного вектора
к нормальной геоцентрической системе координат):
CO5IU.)
S, sin(U,) COS(£,) ,
IsinfU,) »in(e,)
в ACK (2-й эк
(42)
। Ki, 23°27’ - наклонение эклиптики к плоскости земного экватора
Вычисленный таким образом вектор S, далее пересчитывается к осям
। Н К как
Если требования к точности не очень высокие, можно воспольэо-
ич1ься предложенным Ньюкомом в 1895 г. представлением параметров
>1ин»ения Солнца в виде тригонометрических рядов.
Согласно этой теории, истинная долгота Солнца вычисляется как
U, t ^(а, sin(<p, +а>, d))/3600, (43)
где Lcp - средняя долгота Солнца;
а», <р„ 01, соответственно амплитуда, фаза и частота изменения по-
н|ы|юк, приведенные в таблице Значения угловых величин L. I.. UP, а,, «>„
S а, ф>
1 6896 303,92 0,9856
2 72 247,9 1,9712
X 7,2 202,2 0,9025
4 £5 2(11.4 12,191
ПТ- 5,5 272,4 1,2331
6 4.8 226,1 0,6165
Средняя долгота Солнца вычисляется как ЦрН.+О,9856473 d,
Здесь d - время в долях суток;
1„ - начальное значение средней долготы Солнца, 1,=226,6491.
Время в долях суток вычисляется по формуле
d -d' *-(t,,-h)/24+t^/l 440*W86406.
здесь d1 - относительное время,
t,i. t,j. Цт - текущее время (часы, минуты, секунды), гринвич-
< кое или поясное;
h - разность между местным поясным временем и гринвич-
ским (вводится, если t„ отсчитывается не в гринвичской шкале)
Относительное время вычисляется как d'^J^-J^,,
где Jd • юлианская дата, к которой относится решение,
Jd„ - начальная юлианская лата; Jd»=2447107,5 - это юлиан-
i кая дата календарной даты 8 11.1987, 0h в полночь по Гринвичу.
46
Оценка условий освещенности КА
При проведении работ, связанных с учетом направления солнечного
вектора, необходима оценка освсщснносзи КА, тс. не находится ли он и
тени Земли. Задача решается с использованием следующей |еометричс-
ской схемы.
На рис 9 изображены расположенные в одной плоскости сечение
земного шара радиусом R, вектор направления на Солнце S, вектор г на-
правления на КА, находящийся на расстоянии г от центра Земли; штрихов-
кой обозначена тень от Земли, ложащаяся на орбиту. Из геометрической
схемы можно вывести условие попадания КА в тень:
(rS) <-cos(a,); (44)
здесь cos(a,)=/fusin'(a,); sin(a,)eR/r.
Сeрелина и i-jxhm
Рис 9
Рис. 10
Определение продолжительности тени (участка орбиты, занятого
тенью)
На рис 10 представлен вид единичной сферы, на которой нанесено
положение плоскости орбиты, наклоненной на угол i к плоскости экватора
Перпендикулярно к плоскости орбиты находится вектор момента количе-
ства движения L; солнечный вектор S занимает произвольное положение.
Строится вспомогательная СК x(yiZ| таким образом, что
yi"(L*S); xi=(yi * L)=( L * S) « L, zt=L.
47
Вводится обозначение: угол L,S=y. Положение КА в плоскости <>р
HHiu обозначаете* радиус-вектором г и характеризуется углом и. отсчи-
। «иным от оси Х|(проекция солнечного вектора S на плоскость орбиты)
I <и пн «качения векторов г и S в С'К х ,у,z( имеют вид:
г =jsin(u) ; S=i О
; 0 1соз(т)
Отсюда: rS sm(y)*cos(u).
Приравнивая зто выражение к условию (44). можно определить зна
.......... соотвстствуюшего границе тени угла и, отклонения от оси -х, в
....... кости орбиты
или
cos( ti, I cos( a, )/s in(y),
. . Jtr-R‘
cos(u.) ---------.
r*sm(y)
(45)
(45a>
7J Датчики определения ориентации
7J.I Классификация базовых измеряемых векюров
Определение ориентации осуществляется на основании измерения
>>11опыми приборами датчиками ориентаций! - направлений базовых
HiKinpoB. Базовыми векторами являются векторы направлений внешних по
И1ПЦ1СНИЮ к КА физических полей (например, геомагнитного. зравитаци-
ннню, положений звезд). Па блок-схеме приведена примерная классифи-
иания применяемых и потенциально применимых для определения ориен-
। ><нин ба зовых векторов
Класс и фикация базовых измеряемых векторов
4Х
С ним перечнем связаны типы разрабатываемых датчиков Основ-
ное ратечение базовых векторов сделано по их положению относительно
ОСК: неподвижные (или малоподвижные) и подвижные Ниже приводится
дальнейшее их подробное подразделение.
7.3.2 Неподвижные базовые векторы
ПоосиХп
Обычно это направление связано с направлением скорости полета,
для околокруговых орбит близким к оси Хо. Околоземное космическое
пространство, в котором происходит движение спутника, представляет со-
бой разреженные ионизированные слои атмосферы Датчик направления,
выполнен в форме стакана, установленного открытым конном по полету.
Внутри стакана на дне расположена система изолированных один от дру-
гого электродов В зависимости от отклонения оси X спутника от направ-
ления полета набегающий поток ионов, проникая через отверстие стакана,
оселаст на определенных электродах и создаст на них дополнительный
электрический потенциал. На этом принципе основана работа ионного
датчика угла курса ИДУК, позволяющего определить углы тангажа и курса
при небольших отклонениях (порядка 5°).
Направление можно определить с помощью датчика малых ускоре-
ний Работа датчика основана на использовании пробного тела - свободно
перемещающейся малой массы, находящейся внутри прибора Поскольку
спутник испытывает аэродинамическое торможение, направленное проти-
воположно вектору орбитальной скорости, пробное тело будет смешаться
в направлении полета. Перемещение тела отслеживается и ограничивается
системой электростатического подвешивания, управляющий сигнал с ко-
торой характеризует искомое направление
По оси Yc
Это направление связано с вектором орбитальной угловой ско,ю-
С1и. Спутник, одна ось которого ориентируется на Землю, обладает допол-
нительным кинетическим моментом от вращения вокруг оси Yo при обра
шепни его по орбите. Это направление может быть определено путем ис-
пользования гироскопического эффекта с помощью измерителей угловой
скорости (механических либо оптико-волоконных гироскопов)
По оси Zv
Это направление на центр Земли, которое определяется с помощью
датчика вертикали
Работа инфракрасного датчика основана на измерении термочувст
витсльным элементом - болометром теплового излучения, поступающего с
заданного направления Тепловая картина Земли, видимая со спутника
представляет собой диск, окруженный концентрическими кольцами, сот-
49
»стствующими близким значениям температуры земной атмосферы (для
одинаковых высот или, что то же самое, расстояний от края диска). Пово-
рачивая вектор визирования чувствительного элемента в отвесной плоско-
> г и, направленной к Земле, можно определить направления на зону одина-
ковой температуры с двух противоположных краев земного диска. Биссек-
«риса угла между этими лвумя направлениями лежит в плоскости, прохо-
1чшей через центр Земли и перпендикулярной плоскости визирования В
результате аналогичного визирования в другой отвесной плоскости, не
'«опадающей с первой, строятся другая биссектриса и вторая плоскость,
проходящая через центр Земли; вектор направления на центр определяется
и «к линия пересечения двух плоскостей. Построенный на представленном
принципе сечения Земли отвесными плоскостями датчик носит название
и.пчика секущей вертикали
На КК (космическом корабле) “Восток”, на котором совершил по-
ил Гагарин, был установлен инфракрасный датчик вертикали сканирую-
щего типа. У этого прибора визирующий луч вращается вокруг отвесной
линии, двигаясь по поверхности конуса с углом полураствора, равным уг-
ннюму размеру видимого земного диска. При точной ориентации выдастся
||<1сзоянный выходной сигнал При отклонении спутника по углам тангажа
««'или крена выходной сигнал представляет периодический процесс, фаза и
1мплитуда колебаний которого однозначно связана с величинами этих уг-
лов
Датчики вертикали представленного типа настраиваются на олре-
кленную высоту, с тем, чтобы в зону визирования попадал край видимого
к-много диска; для эллиптических орбит, на которых высота полета меня-
йся, это вносит определенные затруднения. Кроме того, при попадании
• олнца в поле видимости (при нахождении Солнца у края земного диска)
р.юота датчика прерывается
Другой принцип определения направления на центр Земли основы-
паегся на измерении расстояний от спутника до земной поверхности пуч-
ком лучей (3 или 4 луча), расположенных внутри телесного угла порядка
нескольких градусов Измерение производится путем радио- или лазерной
юкации с борта спутника, Разности измеренных длин лучей харакгеризу-
ип отклонение осей спутника от вертикали, величина отклонения опреле-
ияется путем решения геометрической задачи
Для повышения точности результата в показания приборов могут
и носиться поправки, учитывающие несферичность Земли, распределение
«емпсратур в атмосфере, зависимость отражения лучей локаторов от ха
рактера поверхности (твердая почва или облака) и т.п.
Описанные принципы определяют вертикаль как направление на
«еометрический центр видимой Земли. Можно вертикаль определять но
«раиитацнонному полю. При установке датчика малых ускорений в точке
«путнике с иным расстоянием от центра Земли, чем центр масс спутника,
и«меренное направление ускорения совпадает с направлением на центр
«равитационного поля. Такой принцип может быть реализован только если
50
датчик устанавливается на вертикальной штанге достаточной длины, а его
чувствительность выше, чем величина гравитационного градиента на этой
длине
7.33 Подвижные базовые векторы
Вектрр геомагнитного поля Определение направления производит-
ся с помощью магнитометров феррозондового типа (fluxgate
magnetometer) Феррозонд представляет собой сердечник из специального
магнитного материала (типа пермаллоя), на котором намотаны две катуш-
ки. Одна катушка записывается переменным напряжением (частотой по-
рядка 3..5 Кгц). В силу особенностей гистерезисных свойств магнитного
материала, амплитуда второй гармоники индуцированного во второй об-
мотке напряжения пропорциональна величине проекции вектора внешнего
магнитного поля на ось сердечника Измерительная головка магнитометра
содержит три расположенные ортогонально феррозонда и позволяет по ре-
зультатам измерения трех проекций определить значение вектора геомаг-
нитного поля в ССК. Существуют также магнитометры, работа которых
основана на других принципах, однако для задачи определения ориентации
КА преимущественно используются приборы феррозондового типа.
При диапазоне измерений проекций МПЗ в пределах ±50000 нТл,
погрешность составляет от 100 до единиц нТл у разных типов магнитомет-
ров, т е. точность определения направления вектора может быть весьма
высокой. С другой стороны, измерения установленного на КА магнито-
метра представляют сумму МПЗ и помех от собственного магнитного поля
КА, достигающих сотен нТл и более Если не принимать специальных мер
по уменьшению величины помех при проектировании спутника, они могут
существенно снизить качество магнитометрической информации. (Поэто-
му нс всегда есть смысл повышать точность магнитометра). В ходе прове-
дения математической обработки возможно несколько повысить точность
таких измерений.
Космический ориентир. Такими являются Солнце и звезды.
Солнечный датчик представляет собой надежный прибор, благода-
ря большому потоку энергии, излучаемому Солнцем Для грубого опреде-
ления нахождения Солнца в данном направлении достаточно установить
фотопреобразоватсль (пластинку - элемент солнечной батареи), прикры-
тый непрозрачным экраном с небольшим отверстием. По такой схеме осу-
ществлен солнечный датчик КА Moroc-Tubsat Другим примером солнеч-
ного датчика, осуществленного по такому принципу, является прибор 54К
Он представляет собой головку в форме сферического сегмента, на по-
верхности которого в разных местах выполнены отверстия с расположен-
ными под ними фотопреобраэователями Для обеспечения возможности
определения положения Солнца и разных направлениях, на КА устанавли-
вается несколько таких головок, с тем, чтобы их поля зрения перекрывали
полную сферу. Более высокую точность Н1мерения позволяет получить
51
и«|*1ик щелевого типа. В непрозрачном экране прорезана узкая щель; сол-
печные лучи, проникая сквозь щель в виде узкой линии, попадают на по-
верхность с матрицей фотопреобразова гелей, комбинация сигналов с кото-
рых позволяет определить направление на Солнце в плоскости, перпепди-
• уиярной линии щели. Для определения двух углов, характеризующих вск-
iop направления на Солнце, головка датчика содержит пару описанных
V (ройств. у которых щели расположены перпендикулярно друг другу
Имеющий такую конструкцию датчик АКПС (автономный контроль поло-
«вниа Солнца) имеет точность измерений Г Поле зрения каждой головки
ни ишляет 90° *90"; шесть головок, установленные с разных сторон КА,
1Ю1ИОНЯЮТ получать информацию при любом положении Солнца относи*
|| '<1.но ССК.
Звездный датчик включает объектив, проектирующий изображение
i n 1ка звездного неба на матрицу чувствительных элементов. Поскольку
нн п|ы видны в виде точек бесконечно малого размера, изображение звез-
||.। на матрице занимает один пиксель, и точность измерения направления
iiHHika к узловому размеру пикселя, тс. может быть достаточно высокой.
Лю» определения ориенгании необходимо сравнить измеренное положение
ни ты (в приборной системе координат) с заданным в каталоге положени-
ем по 2-й экваториальной системе Это может быть выполнено только по-
। <tr опознания звезды - идентификации ее из числа множества звезд, дос-
тупных для наблюдения звездным датчиком. (Доступность для наблюде-
ния определяется соотношением яркости звезды и чувствительности
••• итого датчика). Необходимо выполнить опознание для условий произ-
пиньной ориентации КА, т.е. пересмотреть звезды, расположенные на пол-
11иП небесной сфере. Задача решается путем одновременного наблюдения
н»< кольких звезд и опознания создаваемого ими контура. Астрономиче-
► 1Я система индикации положения КА “Океан-1" включала 4 визира, ка-
*||ый из которых выдавал направление на одну звезду. С учетом ограни-
1ГННОЙ чувствительности датчика и возможной засветки одной из головок
। । нищем наиболее вероятно было наблюдение двух звезд. Опознание осу-
ши (шлялось путем перебора всех возможных попарных сочетаний в ката-
ние из 400 звезд и поиска из них пары с угловым расстоянием, наиболее
и in (ким к измеренному В качестве другого примера можно привести
компактный автономный звездный датчик" производства компании
Vi.lrm Визир этого прибора имеет угол зрения 25®, одновременно в поле
(рения могут наблюдаться до 10 звезд вплоть до 5,5 звездной величины
(News Prospace.-1997-№41.-Р. 17-20) В запоминающем устройстве прибо-
г>( имеется каталог известных положений звезд В этом каталоге вся небес-
НК4 сфера разделена на секторы с угловым размером, равным полю зрения
кн (нра В общем случае, при отсутствии предварительных сведений о ве-
pultHoR ориентации, осуществляется поочередный перебор всего каталога.
• с секторам Опознание производится при совпадении звездного контура,
наблюдаемого визиром, с аналогичным контуром, входящим в один из
I «‘К(оров.
52
При определении ориентации по наблюдениям опознанных звезд
они рассмазриваются как опознанные космические ориентиры. При отсут-
ствии каталога и опознания зги наблюдения могут быть использованы, ес-
ли повторно наблюдать одни и тс же звезды. В этом случае из трех необ-
ходимых углов ориентации можно определить только два.
Наземный ориентир. Рассматривая полученное со спутника изо-
бражение подстилающей поверхности, содержащее ориентиры (точки) с
известными координатами (“реперы”, “маяки") и решая геометрическую
задачу, можно определить ориентацию. При отсутствии на снимке извест-
ных ориентиров по результатам повторного наблюдения одних и тех же
точек снимка с неизвестными координатами также можно полностью оп-
ределить ориентацию (в отличие от неизвестных космических ориенти-
ров). В фотограмметрии это решение называется определением элементов
внешнего ориентирования стереопар
7.3.4 Геометрические характеристики измеряемых датчиками
параметров
Анализ конструкций различных датчиков показывает, что все мно-
гообразие измеряемых ими параметров может быть сведено к двум про-
стым геометрическим схемам. Базовый измеряемый вектор V может быть
охарактеризован: !) проекциями V„ V,, V, на оси связанной с прибором
прямоугольной системы координат, 2) либо углами а. р, у между проек-
циями вектора V на плоскости связанной с прибором системы координат, и
осями X, Y, Z этой системы (рис 11 на следующей странице). Измерения
первого вида производит трехосный феррозондовый магнитометр Изме-
рения второго вида выполняет упомянутый солнечный датчик АКПС (из
трех углов а, р, у одновременно измеряются только два, этого достаточно,
чтобы установить направление вектора). При использовании для опреде-
ления ориентации фото (или телевизионного) изображения звездного неба
или подстилающей земной поверхности геометрическая схема измерений
также может быть сведена ко второму виду Иногда измерения датчика
представляют собой комбинацию этих двух видов. Так, измеритель коор-
динат Солнца, установленный на микроспутнике, измеряет прямое восхо-
ждение а (измеряемый параметр второго вила) и склонение б (sin 6 cos S,
измеряемый парамстр первого вида) солнечного вектора
7.4 Локальный алгоритм определения ориентации
Для получения оценки ориентации КА необходимо измерить в ССК
пару неколлинеарных нормированных векторов S и Н и вычислить их тео-
ретические значения So и Но - в ОСК Вводится промежуточная система
координат (ПСК) UVW (рис. 12) с осями, расположенными следующим
образом:
ось U - по вектору S;
ось W - ортогонально векторам S, Н.
53
ось V- ортогонально осям U, W с тем, чтобы оси U, V, W составля-
ли правую тройку Орты осей ПСК в ССК определяются как
L S, V=S*H<S/|S«H<S|; W ^S’H/|S*Hi,
где (*)- символ векторного произведения, a fS*H| - символ вычис-
ления модуля соответствующего векторного произведения, и т.д.
Ортогональная матрица В перехода ПСК-ССК имеет вид
В- |U:V:W|. (46)
Здесь В - матрица, построенная из векторов-столбцов U, V, W.
Аналогично можно построить выражение для осей ПСК в ОСК на
'•.не расчета векторов S<„ IL,
U0=S„; V.-S.xHo»SJ|S<1xH.«S.|; Wo=So«H</SoxHj.
a no ним - матрицу В перехода ПСК-ОСК:
H=IUo:V0:W (47)
Отождествляя осн ПСК, построенной по измеренным и расчетным
векторам, можно записать выражение для искомой матрицы М перехода
(И К-ССК:
М=В*ВО (48)
Полученная оценка (48) матрицы М в настоящем случае построена
при следующих условиях:
- совмещение векторов S и So.
- совмещение плоскости S, Н с плоскостью S„ Н„.
Погрешности измерения векторов S и II и расчета теоретических
пылений Я, и Но приводят к неравенству углов l_S,H и L.SO,H„ и к несов-
падению между собой векторов Н и Н„. Величина этого несовпадения мо-
жет служить критерием точности вычисленных углов ориентации
54
Рассматривая числовое значение матрицы М (48) как выражение
поворота на углы Крылова или Эйлера, можно по ней вычислить искомые
величины этих углов Для этого необходимо, основываясь на формульной
записи матрицы (2 или 3), вычислить обратные тригонометрические функ-
ции от се элементов, зависящих от соответствующих углов.
Поскольку при измерении направления векторов неизбежны
погрешности, результирующая оценка ориентации также будет выполнена
с погрешностью, зависящей от точности измерения 5 и от угла между
векторами а, зависимость имеет вил tg A=lg S/sin а Если 6= Г, различным
величинам а соответствуют следующие значения ошибки ориентации
«>* -1 90 60 По 20 15 10 5
La* L9_ 1,15 12,0 2,92 Lp7 6r28 11,3 1
7.5 Статистические принципы определения параметров движения
7.5.1 Уравнения статистической оценки
Определение навигационных параметров Q-{4i Я™1 положения КА
по данным измерений h, .h„ (N >m) является статистической задачей то-
чечного оценивания. Качество решения - определения вектора параметров
Q характеризуется функцией правдоподобия
Uh, hN; qi- .q,,) (49)
- плотностью вероятности выборки измерений
Решением задачи является метод максимального правдоподобия,
основанный на определении такой системы параметров, которая обеспечи-
вает максимум плотности вероятности выборки. Ниже в качестве предпо-
ложения закладывается гипотеза о нормальном характере распределения
погрешностей измерений навигационной аппаратуры Основной предпо-
сылкой для этого являются условия центральной предельной теоремы тео-
рии вероятностей Она гласит, что при выполнении определенных условий
функция распределения суммы индивидуально малых случайных величин
с ростом числа слагаемых сходится к нормальной функции распределения
В данном случае эти условия сводятся к требованию, чтобы на результат
измерения оказывало влияние множество (теоретически бесконечное) по-
мех, помехи независимы друг от друга в разных исходах и никакая из них
не оказывает преобладающего влияния по сравнению с другой. Практика
обработки навигационных измерений КА показывает, что эти условия
обычно выполняются при адекватном описании моделью физического
процесса и отсутствии (надежном исключении) аномальных измерений
Плотность распределения многомерного нормального закона для
погрешностей массива измерений II (h, hN) с корреляционной матрицей
К и вектором математических ожиданий М {mt<O) т,„(<?)}имеет вил
fIhr(2n) wdet(K) ,,?exp{-l/2(H M(Q)y К' (H-M(Q))}. (50)
55
Оценка метода максимума правдоподобия (ММП) определяется как
такая, которая обеспечивает максимум функции правдоподобия (50) через
решение уравнения
<'ln L(Q, И, . hN)/<3qk=0; k=),m. (51)
Входящее в (51) выражение L для случая линейной зависимости
H(Q) = A*Q имеет вид
In L“ -N/2»ln(2it)-l/2 ln(det КЦ/2 R, (52)
где
R= 1 f К’',У.УГ I I K'', (h,-A.QXhj-A,Q). (53)
Здесь A„ А, означает вектор-строку, образованную соответственно
из i-й или j-й строки матрицы A (N*m).
Выражение (52) достигает максимума при минимизации квадратич-
ной формы R (53), т.е.
R- (H-AQ)’ IC1 (H-AQ) -» min, (54)
и уравнения правдоподобия (51) приобретают вид
<3R/5qk = 0; k=l,m.
либо, в скалярной форме
I KK’„(h,.V a/q^K'^h.-J a/q,)]; k=l,m (55)
.-1 н t,l ы
где а,ь - соответствующий элемент матрицы А.
Решение системы (55) имеет вид
Ат К ' Н - А1 К ' AQ=0,
откуда следует выражение для искомой оценки
Q = (A’К 'А) ’АТК ’Н. (56)
Для случая некоррелированных измерений корреляционная матри-
ца К становится диагональной, и (56) выражает условие метода наимень-
ших квадратов (МНК) в том виде, в котором он впервые был предложен
Гауссом. Ранее в литературе, в частности, посвященной определению ор-
бит, минимизацию выражений общих квадратичных форм (53) именовали
методом максимального правдоподобия. Однако в дальнейшем, ввиду то-
го. что от одной квадратичной формы к другой можно перейти простым
линейным преобразованием, оба варианта объединили под общим назва
МММ МНК (14, с. 202-203]
Решение (56) широко используется при решении всевозможны»
статистических задач, в частности задач космической баллистики. С дру-
гой стороны, отмечено, что опенки МНК оказываются неустойчивыми к
нарушениям нормальности распределения и особенно уязвимыми - к ано
мальным выбросам Разработанные разнообразные робастные алгоритмы
оценки, как правило, связаны с конкретным видом измерений и в значи-
тельной степени носят элемент произвола по отношению к реальным из-
мерениям неизвестного типа (в отличие от измерений, полученных в про-
цессе моделирования) Применяемые далее способы решения разнообраз-
ных задач по данным реальных измерений основываются на предваритель-
ном просмотре выборки, идентификации и исключении аномальных иэме-
56
рений и последующем определении параметров в соответствии с уравне-
нием (56).
7.5.2 Статистический алгортм определения ориентации но
двум типам векторов
Рассматривается процесс определения ориентации КА по измерени-
ям двух векторов И, S, выполненных магнитометром и солнечным датчи-
ком на интервале времени [t... <«| На момент времени t (t„ <t< t.i ориенга
цию можно описать разложением в степенной ряд следующего вида
V=qn+qu г * q,.» г".
v=q2.*q«-T*qn Г*. .q».„r";
v=qn+qTi *4q» t2* q^ A
где т Это разложение датес представляется в матричной форме
3 **
где Q - матрица коэффициентов полинома размерностью |3*( I *п>[.
К - вектор степенной функции: R= {I т г ... г"}'. Определение
ориентации производится в итерационном цикле На первом таге этого
цикла элементы матрицы Q задаются нулевыми, на последующих
итерациях используется значение Q, получаемое на предыдущих итерациях.
Производится вычисление матрицы А перехода от орбитальной сис-
темы координат к связанной как А а, а2 а,, где
cos(v) suXxO 0 cos(<9> 0 -sm(.9y I О (I
Bi= sin(v) соЦц>) 0, B2= 0 1 0 , »j=|0 coM«>)
0 0 I sin(.9> 0 cos(<9) 0 -sin(p) cos(pl)
и расчетные значения измеряемых векторов в связанной системе
Н, = АН„
Sp = AS».
В соответствии с разд 7.3.4, расчетными значениями измеряемых
параметров магнитометра являются элементы вектора Нр.
Расчётные значения измеряемых параметров солнечного датчика -
углов а. 0. у - определяются как
а» = Arctg S>p/S,p, sign cos dp sign
Pp = Arctg S'p/Sy»; sign cos 0» sign S^;
yp = Arctg S^'Sjpi sign cos yp sign
Во избежание переполнения регистров арифметического устройства
ПЭВМ при выполнении деления (что возможно при достаточно близком
расположении вектора направления на Солнце к одной из осей связанной
системы координат) предусматривается обход этой операции и засылка
больших чисел в качестве результата (что приведёт в дальнейшем к
исключению этого параметра из обработки), как только соответствующий
направляющий косинус станет меньше заданного малого числа 10"
57
Вычисляется вектор Ah отклонений измеренных значений
измеряемых параметров от расчётных:
Ah
N • число моментов измерений.
Если элементы вектора Ah Да, Др, Ду, соответствующие измерениям
солнечного датчика, превосходят 180°, таким элементам присваиваются
новые значения
Ла Ла - sign(Aa) 360°,
Ар, Ду - аналогично.
Вычисляются матрицы частных производных от матрицы ориентации
Л по углам у, Э, ч>
ад/а ф =•, в2-ал,/а у; ад/аэ=а3 а»г/аэаА/аФ^аа^афЯгЯь
здесь составляющие матриц частных производных имеют вил:
О
cos(o>
-stn<<p)
If «1г -ЯП(ф) L-COS(W) о COS(V) - sinfv) 0 Of II «1® -sin(S) 0 cos(S) II
0 cos(J 0 >) 0 - 0 sin( 9)
< оставляется матрица " параметров по углам ориент W1 /, частных произвол ании эн,/Эф эн,/а» ан,/а» эн,/Эф ан,/а» ан,/Эф ан,/Эф ан,/аэ ан,/аф Эа/Оф Да/as Эа/Эф ap/Эф ap/as гэр/rXp Эу/Лу ду/Э8 НЫХ
|0
О
- МП(Ф)
-cos(q>)
от измеряемых
измерений магнитометра для
Векторы-столбцы производных от
матрицы W| вычисляются как
ан/аф = ад/аф н„; ан/аэ - ал/аз но. ан/а» • ал/Эф-н,,
Векторы-столбцы производных от измерений солнечного датчика
определяются как
aa/Py I /(I -(SJ2)(cSy/<>S,-cSA\S>),
ар/ду = i/0-<s,)’)(as.A> ^-as/av-sj,
ау/ау = i'(i-<S02)(as^vs,-asI/av s,),
где as»/av и т.п - элементы вектора aS/дф = ад/Эф So ;
58
векторы-столбцы производных по углам Э и <р определяются
аналогично.
Вектор ЛЬ сравнивается с вектором допускаемых отклонений ЛЬ, с
целью выявления аномальных измерений Элементы вектора ЛЬ,
превосходящие по абсолютной величине соответствующие элементы
вектора ЛЬ,, обнуляются; обнуляются также соответствующие им строки
матрицы W|, чем достигается исключение их из обработки
Матрица частных производных W от измеряемых параметров по
матрице коэффициентов полиномов Q вычисляется путём умножения
каждого элемента матрицы W, на вектор R и имеет размерность
(6*3(1 +п)).
В ходе перебора N моментов измерений составляется матричное
уравнение метода наименьших квадратов
aq’=' ZW.T к»' W.T1 v w.r
где Кь - корреляционная матрица погрешностей измерительных каналов
датчиков.
После проведения вычислительных операций определяется вектор AQ'
и вносятся поправки в матрицу Q по формуле
Q = Q + ЛОЧц.
где AQ - матрица, составленная из элементов вектора Д(/,
к, - коэффициент, используемый для улучшения сходимости.
После этого все перечисленные действия повторяются с улучшенным
значением матрицы Q до тех пор, пока
S.- Z hq,|>-|Su],
1-1
где Aq - элементы вектора AQ1,
[Su] - допуск на сходимость.
Значение коэффициента к, в ходе решения задаётся равным 0,7-0,8,
после достижения устойчиво сходящегося решения (Su<=0.1) ему
присваивается значение к,- I, что позволяет ускорить получение
окончательного результата
На первой итерации элементы вектора допускаемых отклонений ЛЬ,
задаются исходя из расчетных значений предельной погрешности каждою
канала датчиковых средств; при последующих итерациях они вычисляются
как
(ДМ,e ooO,kd,
где а, - среднеквадратическая ошибка j-ro измерительного канала,
kd - коэффициент (порядка 3).
59
СПИСОК РЕКОМЕНДОВАННОЙ ЛИТЕРА IУРЫ
Основная литература
I Алексеев К Б . Бебенин Г.Г. Управление космическим летител!.
ным аппаратом.-М.гМашиностроение, 1964-402 с.1/ Изд второе, испр и
доп ,-М. Машиностроение, 1974.-340 с.
2. Раушснбах Б.В., Токарь Е.Н. Управление ориентацией космиче-
ских аппаратов.-М Наука Глав ред физ -мат лит-ры. 1974.-600 с.
3. Коваленко А.11 Магнитные системы управления космическими
летательными аппаратами.-М Машиностроение, 1975.-248 с.
Дополнительная литература
4 Бесскерский В А., Попов Е.П. Теория систем автоматического ре
гулирования Изд. второе, испр и доп - М. Наука. Глав рсд физ-мат лит-
ры. 1972.-768 с.
5. Основы автоматического управления Изд второе, испр. и
доп./Под рсд В С. Пугачева - М Наука Глав ред физ.-мат лит-ры, 1968
680 с.
6 Справочник по теории автоматического управления/Под ред А. А
Красовского -М :Наука. Глав. ред. физ.-мат. лит-ры, 1987.-712 с
7. Справочное руководство по небесной механике и астродинами-
ке/Пол ред Г.Н Дубошина- М Наука Глав рел физ-мат лит-ры, 1971,-
584 с. /Изд. второе, испр. и доп -1976.-864 с
8 Павловський М.А.. Горбуши В.П , Клименко ОМ. Системи
керування обертальним рухом косм!чних апараззв Пиручник,-
Киав :Наукова думка, 1997.-200 с.
9. Лебедев Д.В , Ткаченко А И Информационно-алгоритмические
аспекты управления подвижными объектами -Киев. Паукова думка. 2000,-
312с.
10 Spacecraft attitude determination and control Astrophysics and Space
science libr./ Edited by James R Wertz.-Dordrecht -Holland :D.Riedel Publ Co
1980.-Vol. 73-P 858
11. Джемс Б Скарборо Гироскоп. Теория и применения.-М Изл-во
иностр, л-ры, 1961.-248 с.
12 Д. Хауз Гринвичское время и открытие долготы -М Мир 1983
240 с
13. Пятак И.А. Календарные расчеты на калькуляторс//Программ|1ые
продукты и системы -М 4988 -.>2-3-С 140-144
14. Эльясберг П.Е. Определение движения по результатам измере-
ний - М. Наука Глав. рсд. физ -мат лит-ры, 1976.-416 с.
60
Приложение
Таблица коэффициентов геомагнитного пола (модель МАП-85)
11 ризнак. 100 число lap МОНИ к число коэ< Ьфиниентон одного ни да ^~Г ~Т~ -Г~ Т"
0 0 65 0
298770 3045 0 1691 0 13000 2208 0 1244 0 834 0 <Н7 О >
IWJ и
780 0 363 0 -426 0 1690 -215 0 356 0 253 0 -94 0 161 0 -48 0
52 0 65 0 50 0 -1860 40 17 0 -102 0 75 0 -61 0 2 0
24 0 -6 0 4 0 90 00 21 0 60 00 -но’ -9 0 -11)
20 40 40 -6 0 50 100 1 0 12 0 9 0
•10 70 20 -50 -40 -40 20 -5 0 -2 0 5 II
30 1 0 2 0 30 00
Коэффициенты kh
00 5497 0 00 2191 0 309 0 00 •3120 284 0 296 0 0 0
233.0 00 -250 0 -160 68 0 900 298J)_ 69 0 0.0 -50 0 47 0 40 148 0 20 0 -155 0 00 -750 -82 0 jso .’< 6
-1 0 23 0 170 -21 0 •6 0 00 70 -21 0 50 •25 0
II 0 120 •160 -100 00 •21 0 16 0 190 -5 0 6 0
90 100 -6 0 J0 00 1 0 0 0 30 60 -10
Чо -1 0 4 0 00 •6 0
Коэффициенты искового хода dg >•
23 2 10 0 -13 7 3 4 г70 5 1 -4.6 •0 6 0 1
-06 -7 8 -1.4 -68 1.3 0 1 -1 5 -3.2 0 1 -06 •05
1 4 -0 3 1 7 Г06 00 0.9 1 2 02
08 10 04 -0 5 -0 1 07 00 0 3 04 -0 3
-ОЗ Г0 1 -0 5 -0 8 00 00 00 00 00 00
00 00 00 00 00 00 00 00 00 оо
00 00 00 00 00
Коэффициенты векового хода dh
00 -24 5 00 -115 •202 00 53 23 -10 8 00
3 8 2.2 2.5 09 00 0 1 -0.2 -0 1 06 00
00 -0 4 • 1 1 -08 -2.3 0 5 -0 1 00 02 1 0
1 1 1 9 03 02 0.9 00 0 1 •10 0 1 -08
02 •0.8 -0 1 1 3 0 0 00 00 00 00 оо
00 00 00 00 00 оо 00 Fob 00 0 0
0.0 0 0 6.0 00 0 0