Текст
Ю. А. Захаров
ПРОЕКТИРОВАНИЕ
МЕЖОРБИТАЛЬНЫХ
КОСМИЧЕСКИХ
АППАРАТОВ
Ю. А. ЗАХАРОВ
ПРОЕКТИРОВАНИЕ
МЕЖОРБИТАЛЬНЫХ
КОСМИЧЕСКИХ АППАРАТОВ
ВЫБОР ТРАЕКТОРИЙ
И ПРОЕКТНЫХ ПАРАМЕТРОВ
МОСКВА «МАШИНОСТРОЕНИЕ» 1984
ББК 39.62
3-38
УДК 629.78
Рецензент А. И. Беляков
Захаров Ю. А.
3-38 Проектирование межорбитальных космических аппаратов;:
— М.: Машиностроение, 1984.— 176 с., ил.
60 к.
Изложены основы теории проектирования межорбитальных космических аппаратов
(МКА) с двигателями большой и малой тяги. Рассмотрены методы выбора оптималь-
ных проектных параметров МКА, управления его двигательной установкой и траек-
торий полета. /
Для инженеров, работающих в области проектирования и механики полета кос-
мических аппаратов.
3607000000-63 ББК 39.6?
3 --------------- 63-84
038(01 )-84 6Т6
Юрий Александрович Захаров
ПРОЕКТИРОВАНИЕ МЕЖОРБИТАЛЬНЫХ КОСМИЧЕСКИХ АППАРАТОВ
Выбор траекторий и проектных параметров
✓
Редакторы Г. Б. Костина и Г, П. Филипповская
Художественный редактор В. В. Лебедев
Обложка художника Л. С. Вендрова
Технический редактор Н. В. Тимофеенко
Корректор Н. И. Шарунина
ИБ № 3561
Сдано в набор 02.12.83. Подписано в печать 28.09.84. Т-1884!^
Формат 60X90716. Бумага типографская № 3. Гарнитура литературная?
Печать высокая. Усл. печ. л. 11,0. Усл. кр.-отт. 11,25. Уч.-цзд. л. 11,79:
Тираж 1500 экз. Заказ 4537. Цена 60 к.
Ордена Трудового Красного Знамени издательство «Машиностроение»,-
____________________107076, Москва, Стромынский пер., 4._______________
Серпуховская типография Упрполиграфиздата Мособлисполкома
© Издательство «Машиностроение», 1984 г.
ПРЕДИСЛОВИЕ
Одна из важнейших проблем современной эпохи практического
освоения космического пространства связана с изменением орбит—
межорбитальными перелетами космических аппаратов (КА). Эф-
фективность интенсивно развивающейся в настоящее время ракет-
но-космической техники в значительной степени определяется спо-
собностью космических аппаратов выполнять определенную сово-
купность орбитальных маневров, основной целью которых является
доставка полезных грузов на заданные орбиты (транспортные пе-
ревозки).
Теоретической основой изучения проблемы межорбитальных
полетов является новый раздел механики — механика космичес-
кого полета [26, 70]. Одной из главных задач, рассматриваемых в
этом разделе механики, является задача совместного выбора оп-
тимальных проектных параметров космического аппарата, опти-
мального управления его двигательной установкой и оптимальных
траекторий полета, удовлетворяющих заданным требованиям и ог-
раничениям, которую в дальнейшем будем называть задачей оп-
тимального проектирования КА (в литературе при рассмотрении
указанного круга вопросов используется также термин баллисти-
ческое проектирование [68, 89, 99, 119]). Среди требований, предъя-
вляемых к межорбитальному КА, главным является требование
доставки заданного полезного груза в заданную область космиче-
ского пространства с минимальными затратами средств на транс-
портировку. Это требование оказывает определяющее влияние на
компоновку и управление космическим аппаратом, с ним неиз-
менно связана постановка задачи проектирования в плане опти-
мизации траектории движения, управления и проектных парамет-
ров двигательной установки и КА. В настоящее время в механи-
ке космического полета сложились два основных направления ис-
следования КА: с двигателями большой тяги и с двигателями ма-
лой тяги [26].
В первом случае исследуют механику полета КА в основном с
химическими ЖРД. Характерными особенностями таких КА яв-
ляются, как правило, высокая и умеренная - тяговооруженность
(отношение тяги к массе КА) и, как следствие, малая продолжи-
тельность активных участков по сравнению с полным временем
полета. Другое направление связано с изучением механики поле-
та КА в основном с электроракетными двигателями (ЭРД). Для
этих двигателей характерны весьма низкий уровень тяговооружен-
ности и значительная протяженность активных участков, зачастую
занимающих все время полета.
Трудности решения задачи проектирования межорбитального
КА во многом определяются тем, что она включает в себя задачу
проектирования орбит, т. е. построения орбит с заданными напе-
ред свойствами [34, 70]. Математические задачи проектирования
орбит КА в большинстве своем сводятся к решению нелинейных
двухточечных или многоточечных краевых задач для систем обык-
3
новенных дифференциальных уравнений со всеми вытекающими
отсюда трудностями. Не случайно проблема проектирования орбит
считается одной из наиболее сложных в механике космического
полета.
Библиография работ, посвященных оптимизации траекторий
космических аппаратов, в настоящее время насчитывает уже свы-
ше тысячи наименований и включает основополагающие
работы А. Ю. Ишлинского, А. А. Космодемьянского, Д. Е. Охоцим-
ского, Т. М. Энеева, Дж. Лейтмана, А. Миеле, Д. Ф. Лоудена,
Дж. Брейкуэлла, П. Контенсу, не утратившие своего значения до
сих пор, и многих других авторов у нас в стране и за рубежом.
К настоящему времени опубликован ряд фундаментальных моно-
графий [1, 25, 26, 37, 41,50,52,60,66,69,75,77,78,86,99,129 идр.].
В механике полета с двигателями большой тяги благодаря ис-
пользованию так называемой импульсной аппроксимации активных
участков траектории было допустимо в первом приближении пре-
небрежение массой двигателя, и задача оптимизации проекта
КА сводилась к определению минимальных затрат топлива на со-
вершение заданного космического маневра. Согласно формуле Ци-
олковского последняя задача сводится к минимизации простого
кинематического параметра, так называемой характеристикой ско-
рости, что требует только проектирования оптимальных траекто-
рий с указанием на них моментов и направления приложения им-
пульсов тяги. Однако в механике полета с двигателями малой
тяги, где роль массы двигательной установки существенна, потре-
бовался более глубокий подход, основанный на детальном описа-
нии физических характеристик двигательной установки и внешних
условий полета и на совместном рассмотрении проблем выбора
оптимальных проектных параметров КА и двигательной установ-
ки, с одной стороны, и оптимального управления двигателем и оп-
тимальной траектории полета — с другой (25, 26, 70]. Работы по-
следних лет показали плодотворность аналогичного подхода и к
проблемам оптимизации проекта КА с двигателями большой тяги,
например, при выборе оптимальной тяговооруженности для ряда
маневров. В формировании указанного подхода большую роль
сыграли монографии [25, 26]. В этих работах впервые получили
развитие принципы системного подхода к проектированию КА и
корректного разделения общей проблемы оптимизации на парамет- .
рическую (проектную) и динамическую (траекторную) части,
оказавшие определяющее влияние на формирование методологии
механики космического полета.
В данной книге сделана попытка дать с позиций указанного
системного подхода анализ еще недостаточно изученной пробле-
мы оптимального проектирования межорбитальных КА с различ-!
мыми типами двигателей. Обсуждается общая постановка задачи
проектирования с учетом характерного для межорбитальных КА
многоцелевого применения, состоящего в обеспечении некоторой
совокупности маневров по доставке заданного полезного груза на
заданные орбиты. Выполнено разделение задачи на параметриче-
4;
скую и динамическую части, соответствующее традиционному в
конструкторском бюро (КБ) разделению проектантов на разра-
ботчиков КА и двигателя и специалистов по механике полета. Рас-
смотрены методы решения параметрической и динамической задач
для нерегулируемых двигателей большой и малой тяги, представ-
ляющих в настоящее время наибольший практический интерес, по-
скольку эффективное регулирование тяги остается пока нерешен-
ной технической проблемой.
В книге изложен конструктивный подход к оптимизации траек-
торий с конечной (неимпульсной) тягой, позволивший разрабо-
тать эффективные методы их расчета. Подход основан на непре-
рывном численном продолжении импульсного решения краевой ва-
риационной задачи оптимального перелета по параметрам двига-
тельной установки — уровню тяговооруженности и скорости исте-
чения реактивной струи.
Разработаны универсальные схемы продолжения решений кра-
евой задачи, положенные в основу математического обеспечения
диалоговой системы проектирования орбит с конечной тягой
(ДИСИПО). С помощью ДИСИПО в регулярном режиме решен
ряд трудных краевых задач оптимальных перелетов КА с двигате-
лями большой и малой тяги, некоторые из которых приведены
в книге.
Благодаря постоянному усложнению задач механики космичес-
кого полета современных КА в настоящее время важное значение
приобретают общие подходы и методы, позволяющие разрабаты-
вать эффективные алгоритмы решения конкретных практических
задач. Поэтому в книге большое внимание уделяется теоретиче-
ским и методическим вопросам. В ней систематизированы и обоб-
щены результаты выполненных в последнее время исследований у
нас в стране и за рубежом, значительная часть которых доступна
читателю только в виде журнальных публикаций. Рассмотренные
в книге задачи механики космического полета не только иллюст-
рируют эффективность изложенных методов, но и имеют самостоя-
тельное практическое значение.
Автор считает своим приятным долгом выразить глубокую
признательность В. П. Мишину, по инициативе которого была на-
писана эта книга, М. С. Константинову за многолетнюю поддерж-
ку исследований, а также И. К. Бажинову, В. К. Безвербому,
В. А. Егорову, В. В. Ивашкину, В. А. Ильину, Л. М. Калашникову,
Б. М. Панкратову, Б. П. Перелыгину, Н. В. Толяренко, Г. Г. Федо-
тову, Ф. Л. Черноусько, Д. Н. .Щеверову за обсуждение вопросов,
затронутых в книге. Особую благодарность автор приносит рецен-
зенту книги А. И. Белякову за сделанные им предложения и за-
мечания. Автор будет также весьма признателен читателям, кото-
рые пришлют свои критические замечания и пожелания по этой
книге.
Глава 1. ОБЩАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ И МЕТОДЫ
ОПТИМИЗАЦИИ ПРОЕКТНЫХ ПАРАМЕТРОВ,
ЗАКОНОВ УПРАВЛЕНИЯ И ТРАЕКТОРИИ
ЛЕТАТЕЛЬНЫХ АППАРАТОВ
1.1. НЕКОТОРЫЕ ПРОБЛЕМЫ АВТОМАТИЗАЦИИ
ПРОЕКТИРОВАНИЯ ЛЕТАТЕЛЬНЫХ АППАРАТОВ
Проблема выбора проектных решений летательных аппаратов
находится в русле общих идей теории принятия решений — науки
о принятии решений в любых областях человеческой деятельности
[73]. В то же время она наполнена специфическим содержанием,
определяемым, в частности, тем, что объект исследования — мно-
гоцелевая динамическая система, характеризуемая многообразием
выполняемых задач, функционирующая в разнообразных условиях.
Это обстоятельство находит свое отражение в математических мо-
делях проектирования ЛА: описание моделей, например, часто
включает систему дифференциальных уравнений движений. По-
этому в общем случае проблема проектирования ЛА включает в
себя проблему построения оптимальных программ полета аппара-
та (управления).
На современном этапе развития теории принятия решений, ког-
да ее аппарат опирается на широкое использование ЭВМ, а сис-
тема моделей превратилась в сложную и развитую систему, эта
теория стала называться системным анализом [73]. Истоки систем-
ного анализа, его методических концепций лежат в тех дисципли-
нах, которые занимаются проблемами принятия решений — тео-
рии исследования операций и общей теории управления.
Перспективной областью приложения идей и методов системно-
го анализа в настоящее время является проблема автоматизации
проектирования и создания систем автоматизированного проекти-
рования. (САПР) сложных объектов, в частности, летательных ап-
паратов [73]. Потребность в подобных системах объясняется су-
щественным усложнением объектов проектирования. Такие объек-
ты, как современные летательные аппараты, ЭВМ, промышленно-
производственные комплексы и т. п. по своей природе настолько
сложны, чю традиционные методы проектирования не обеспечива-
ют приемлемых сроков проектирования, качества и надежности.
Естественно, это приводит к чрезвычайной дороговизне объектов и
преждевременному устареванию. Поэтому весьма актуальным стал
вопрос совершенствования всей технологии и методов проектирова-
ния. Успехи последних лет в развитии теории принятия решений,
методов оптимизации в сочетании с использованием тех возмож-
ностей, которые представляют современные ЭВМ, позволяют на-
деяться на успешное решение этой проблемы [103].
Стержневым вопросом автоматизации проектирования являет-
ся проблема автоматизации начального этапа проектирования, так
называемого аванпроектирования. В этой проблеме наиболее труд-
6
ным и ответственным является выбор альтернативных вариантов
при завязке проекта (как иногда говорят, при формировании об-
лика изделия). Последствия принятых здесь ошибочных решений
уже не могут быть исправлены на последующих стадиях проекти-
рования и создания изделия. Начальный этап проектирования —
как раз та область, где современная методология, применение пе-
редовых методов анализа, могут компенсировать относительную
слабость вычислительной техники [73].
Развитие математических методов, повышение мощности вычис-
лительных машин позволили значительно расширить круг решае-
мых при проектировании задач. Однако не только математика слу-
жит инструментом анализа проектируемого изделия. Хорошо из-
вестно, что с помощью одних строгих математических методов уда-
ется решать только относительно простые возникающие на прак-
тике задачи. Постепенно пришло понимание того факта, что
будущее теории проектирования сложных объектов как приклад-
ной науки в значительной степени определяется тем, насколько
хорошо мы научимся объединять математический формализм и
неформальное мышление, использующее возможности человеческо-
го мозга [71]. Сейчас стало понятным, что этот факт отражает
прежде всего сложность процесса проектирования образцов совре-
менной техники. Создаваемые во всем мире системы автоматизи-
рованного проектирования призваны обеспечить сочетание матема-
тического формализма с неформальным методами, использующими
интуицию, опыт и просто талант человека.
Сегодня считается общепризнанным, что система автоматизиро-
ванного проектирования — некоторая специальная диалоговая си-
стема, что диалог человек — ЭВМ должен занимать центральное
место в процессе поиска наилучших проектных решений изделия.
Однако, как отмечается в [73], еще встречается мнение о том, что
организация диалога не содержит научной проблематики и сво-
дится прежде всего к решению чисто технических вопросов созда-
ния специальных терминальных устройств и хорошего математиче-
ского обеспечения — пакетов прикладных программ для решения
проектных задач (создание специализированного математического
обеспечения действительно представляет сложную задачу и требу-
ет многих лет упорной работы многочисленных коллективов высо-
кой квалификации). Это глубокая ошибка, устранение которой
совершенно необходимо для создания эффективных систем автома-
тизированного проектирования. Действительно, в условиях высо-
кой размерности решаемых в САПР задач нетрудно показать не-
обходимость наличия рационального и экономичного способа ор-
ганизации поиска наилучшего варианта проектируемого изделия.
По существу, это означает необходимость создания специальной
системы правил и алгоритмов, которые и составят основу новой
технологии автоматизированного проектирования сложных техни-
ческих объектов. Разработка такой технологии уже начата во мно-
гих конструкторских бюро и проектных организациях совместными
усилиями инженеров-проектировщиков и математиков, и в этой об-
Z
ласти уже достигнуты определенные успехи [103]. Выяснена иерар-
хическая структура задач проектирования. Разработаны и сис-
темно реализованы так называемые системы формирования облика
технических изделий в различных отраслях промышленности. Во
многих КБ созданы диалоговые системы, анализирующие техниче-
ское задание и синтезирующие эффективное множество альтерна-
тивных вариантов проекта. Эти системы позволяют учесть опыт,
накопленный в проектировании конкретных объектов, учесть сов-
ременную технологию их изготовления. Эти системы постоянно со-
вершенствуются, расширяются, повышается их эффективность. По-
ложительным свойством этих систем является возможность созда-
вать библиотеки перспективных проектов и вести исследования по
выявлению основных закономерностей и принципов проектирова-
ния объектов данного класса.
Иерархическая структура задач проектирования порождает
свои специфические проблемы (согласование уровней, корректность
агрегирования и т. д.), которые могут быть решены лишь с прив-
лечением современной математики и ЭВМ. Работы в области автома-
зации проектирования уже стимулировали теоретические исследо-
вания по математической теории проектирования сложных объек-
тов, обладающих собственной спецификой и собственным матема-
тическим аппаратом [11, 16, 32, 57, 58, 73, 84, 85, 95, 98 и др.].
Рассмотрим вариант многоуравневой модели оптимального проек-
тирования сложных объектов, развиваемый в [57, 58, 107].
1.2. МНОГОУРОВНЕВЫЕ МОДЕЛИ ОПТИМАЛЬНОГО
ПРОЕКТИРОВАНИЯ
Весь процесс проектирования как процесс принятия решения
удобно условно представить в виде последовательности трех эта-
пов: «внешнее» проектирование, «формирование облика» техничес-
кой системы и «внутреннее» проектирование [57]. Основной зада-
чей внешнего проектирования является конкретизация целей и
задач, которые должна решать система, и представление требова-
ний к основным характеристикам и качествам системы, обеспечи-
вающим достижение этих целей. Задача внутреннего проектирова-
ния состоит в реализации (в виде комплекса устройств, узлов, аг-
регатов, представляющих в целом самую систему) основных кон-
структивных параметров системы, придающих ей требуемые каче-
ства. Этап «формирования облика» служит для увязки требова-
ний «внешнего» проектирования с технологическими и конструк-
торскими возможностями «внутреннего» проектирования. Важней-
шей задачей этапа «формирования облика» является генерирова-
ние на уровне основных конструктивных параметров множества
альтернативных вариантов проектируемого изделия, с одной сто-
роны, учитывающего возможности «внутреннего» проектирования^
с другой стороны, удовлетворяющего с учетом этих возможностей
требованиям «внешнего» проектирования. Иными словами, на эта-
fl
пе «формирования облика» строится множество реальных вариан-
тов проекта, среди которых следует искать вариант, реализующий:
цели, поставленные на уровне «внешнего» проектирования. Роль
этого этапа исключительно важна при проектировании действи-
тельно сложных технических изделий, какими являются летатель-
ные аппараты. Для достаточно простых технических устройств все
три вышеназванных этапа могут воссоединиться в один этап опти-
мизации облика данного устройства.
Задача оптимального проектирования технической системы час-
то трактуется как некоторая оптимизационная проблема и сводит-
ся к отысканию значений конструктивных параметров системы, ко-
торые доставляют экстремум некоторому функционалу качества
(критерию эффективности). Язык оптимизации здесь оказывается’
естественным и удобным, поскольку обладает достаточно большой
степенью общности, а методы оптимизации достаточно развиты, на
вовсе не единственно возможны [73]. Например, развиваемый в
[95] подход к проектированию сложных технических систем в ис-
ходных посылках не использует идею оптимизации (более того,,
отвергает!), однако существенно использует ее в предложенном
методе проектирования, основанном на рассмотрении оптимизаци-
онной задачи типа минимакса. Следует также указать, что оптими-
зационные постановки совершенствуются и обогащаются новыми
идеями в стремлении наиболее полно удовлетворить требованиям?
на проектирование современной техники. Так, в проектировании
летательных аппаратов в конце 60-х годов получили развитие ме-
тоды многоцелевой оптимизации, явившиеся обобщением традици-
онных методов одноцелевой оптимизации и позволяющие строить
более содержательные модели проектирования с учетом многооб-
разия выполняемых ЛА задач.
Если обозначить через уб£лг°, где Еп — евклидово прост-
ранство размерности п, вектор конструктивных (проектных) пара-
метров технич-еской системы, то, пренебрегая неопределенными*
факторами, которые появляются в ходе проектирования, матема1-
тически задача проектирования может состоять в нахождении оп-
тимальных проектов у* таких, что
у* е arg max Fo (у0); (1.1)?
Уо е го
arg max Fo (yQ) =(y 6 У0С1 £'Vo| Fo (y0)= maxFo (y') ).
yoG^o y'exo
Здесь Fo — целевой функционал (критерий эффективности), ко-
торый стремятся максимизировать; Уо—множество технически ре-
ализуемых проектов системы. Выбор координат вектора у0 и мно-
жества Уо производится с учетом накопленного опыта проектиро-
вания систем аналогичного назначения. Множество Уо реализуемых,
технических систем обычно задается некоторой системой ограниче-
ний, вытекающих как из физических законов функционирования^,
так и из достигнутого уровня развития соответствующей области
9
техники и технологическими возможностями промышленности. На-
пример, в проектировании летательных аппаратов Уо описывает
разнообразие компоновок ЛА.
Если существует векторный критерий эффективности
Wo (у) = (Wl0(y), . . , ^о°(у), то обычно задача проектирова-
ния сводится к построению множества Парето
n(W0, Уо). (1.2)
Здесь П (Wo, Уо) — множество эффективных (неулучша-
омых) проектов из Уо по совокупности частных критериев
...» (вектор у* называют эффективным, если для
любого у€У0 из Wq (у) > Wq (у*) для любого i следует
^о(у) = Го (у*)).
Заметим, что принцип Парето играет важную роль в автоматиза-
ции проектирования. В настоящее время непрерывно растет значе-
ние методов эффективного анализа множеств Парето, построение
которых относится к числу важных и трудных задач численного
анализа [73].
Задача (1.1) есть типичная задача оптимизации, и, казалось
•бы, основные проблемы проектирования заключаются в описании
Уо, выборе Fo и применении соответствующих методов поиска экст-
ремума. В настоящее время такой подход к проектированию весь-
ма распространен, однако он приводит к успеху только в случае
относительно простых технических систем. Для сложных современ-
ных технических систем, таких, как летательный аппарат, задачи
(1.1.), (1.2) слишком сложны ввиду высокой размерности No векто-
ра уо, сложности критериев Fo и 1Г0, чтобы их можно было решить
современными методами на существующих ЭВМ. Постепенно при-
шло понимание того факта, что проектирование сложных техни-
ческих систем, и в частности, создание систем автоматизированно-
го проектирования, должно основываться на иных принципах.
Один из возможных подходов, реализуемых сейчас в САПР, со-
стоит в сведении задач (1.1), (1.2) к иерархии задач проектирова-
ния. Оказалось, что построение иерархии задач, отраженное в КБ
в иерархии конструкторов и подразделений, весьма полезно и для
САПР. В {58,107] предложен вариант иерархической схемы процес-
са проектирования. Опишем эту схему.
Введем следующие обозначения:
У*+1 = fh+i(y/J,
Kfc+i = fft-t-i(Kft) = {yh+i — к+1(Ул) | Ул€ V\),
тде
уле ENk, Nk+i<Nk, fe=0, 1, . . . , m-l,
m — число уровней агрегирования.
Каждый вектор у^+ь который назовем вектором агрегиро-
ванных конструктивных параметров (/г-|-1)-го уровня, получа-
ло
ется из yh агрегированием при помощи вектор-функции fh+i
и дает более целостное, чем ул, представление о проектируе-
мой системе, так как Nk+i < Nh. Каждому уровню агрегиро-
вания соответствует свой глобальный Fk+t(yk±i) или вектор-
ный критерий (lTi+i (ул+i) ...., (Ул+i) )• Например, дви-
гатель современного летательного аппарата представляет
весьма сложную техническую систему, описываемую векто-
ром у0 значительной размерности. Вектор yL может представ-
лять собой всего несколько основных параметров, таких, на-
пример, как тяга двигателя, тяговооруженность, удельный
импульс, эквивалентных у0 по основным тяговым характери-
стикам. Критериями Fo и Fi могут служить значения массы
летательного аппарата, вычисленные с учетом различных по
степени детализации описаний у0 и yt соответственно.
После выполнения всех этапов агрегирования задачу проекти-
рования можно свести к решению следующего рекуррентного урав-
нения процесса проектирования:
Pfc = arg max Fh(yh); (1.3)
У А б f
Pm = arg max FTO(y),
ym^Ym
где fft+i (Pfe+i) — полный прообраз множества Pk+i cz Kft+. при
отображении f *_|_1: Yk —> Yfe+i, k=m— 1, m —2, . . .,1,0.
Если на каждом уровне агрегирования конструктивных пара-
метров присутствует векторный критерий эффективности Wk, про-
цесс проектирования описывается следующей рекуррентной зави-
симостью:
ПЛ=П (Wft, ГГ+1(ПЛ+,)); (1.4)
Пт-П (Wm, Ут).
Под решением задачи проектирования подразумевается множе-
ство Ро или По- Это означает, что следует либо проанализировать
все проекты, соответствующие уо^-Ро или По, либо прибегнуть к
дополнительным соображениям, позволяющим сузить эти множе-
ства, например, выбрать проект минимальной стоимости. Заметим,
что решение уравнений (1.3), (1.4) требует применения методов
глобальной оптимизации и представляет собой самостоятельную
проблему.
Суть решения уравнений проектирования (1.3), (1.4) состоит в
в постепенном отборе, приводящем к сокращению числа вариантов
проекта, подвергаемых детализации при переходе от одного уров-
ня проектирования к другому, более низкому. При удачном под-
боре критериев и агрегирования (например, если критерии Fk
высокого уровня — легко вычислимые функции, a Pk при k^kQ—
конечные множества с небольшим числом элементов) задачи (1.3),
(1.4) могут быть решены на современных ЭВМ. Процесс решения
11
уравнений (1.3), (1.4) можно трактовать как процесс синтеза тех-
нической системы.
Можно условно считать, что 6-й уровень агрегирования соот-
ветствует 6-й ступени в иерархии конструкторов в КБ. Часто век-
тор агрегированных конструктивных параметров m-го уровня
соответствует представлениям генерального конструктора о проек-
тируемой системе.
Совершенно очевидно, что в общем случае при произволь-
но выбранных fft, Fk, Wfe множества Ро и По могут не содер-
жать ни одного решения задачи оптимального проектирова-
ния (1.1), (1.2). Следовательно, агрегирование и критерии
должны быть определенным способом согласованы. Напри-
мер, в [58] вводится следующее определение. Критерии F =
=(F0,...» Fm) и агрегирование f = (fb ...» М называют£я со~
гласованными, если для любых векторов х,
таких,_что F/t+i(x)>/?A+i(y), ye fr+i(y), найдется точка х С
€ ffeji (х), для которой Ffe(x) >Ffe(y).
Условия согласования содержательно интерпретируют тог
факт, что модели проектирования на нижних уровнях должны
быть более точными, чем на верхних: проекты х и у, сравнимые
на (6+1)-м уровне иерархии, могут быть так детализированы на
6-м уровне, что результат сравнения не изменится. Это означает,,
что конструкторы би (6+1)-го уровней имеют примерно одинако-
вые представления о том, что такое «хорошая» техническая систе-
ма.
Несложно показать, что если F и f согласованы, то
P0 = arg max FQ (у0).
Уиб Ко
Таким образом, построение согласованных критериев и агреги-
рования при создании САПР представляет собой важную задачу,,
решаемую совместными усилиями конструкторов и математиков.
Укажем также на трудности решения уравнений (1.3), (1.4), вклю-
чающих решение экстремальных и обратных задач.По сути дела,.
(1.3) есть лексикографическая задача оптимизации [107], в кото-
рой на каждом шаге решается соответствующее уравнение дезагре-
гирования yft+1 = fA+i (yfe). Известно, что подобные задачи неустой-
чивы по отношению к погрешностям в исходной информации и в
вычислениях [105]. Вопросы устойчивости в процессах проектиро-
вания (1.3), (1.4) являются весьма актуальными при создании?
САПР, поскольку на практике никогда точно не известны множест-
ва Ykf а имеются лишь некоторые их аппроксимации. Поэтому ме-
тод решения задачи проектирования (1.1), (1.2), основанный на
сведении ее к уравнениям (1.3), (1.4), должен базироваться на
приближенных исходных данных, т. е. возникает проблема регуля-
ризации.
Далее необходимо отметить, что в описанном процессе про-
ектирования нигде явно не учитывался тот факт, что любая слож-
12
Бая техническая система при достаточно подробном описании час-
то рассматривается как состоящая из подсистем, проектирование
каждой из которых ведется в значительной степени независимо.
Формально это должно выразиться в том, что векторы ул, функции
ffe при будут иметь блочную структуру. Критерии эффектив-
ности подсистем на разных уровнях агрегирования обязаны быть
некоторым образом согласованными с критериями эффективности
системы в целом. Поэтому задача создания развитых САПР слож-
ных технических объектов, в частности, летательных аппаратов,
вероятно, потребует разработки методов решения уравнений типа
(1.3), (1.4) с блочной структурой.
1.3. МНОГОЦЕЛЕВАЯ ОПТИМИЗАЦИЯ ЛЕТАТЕЛЬНЫХ
АППАРАТОВ В УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ
По своему основному назначению ЛА является динамической
системой, состояние которой при выполнении маневра (летной опе-
рации) описывается системой обыкновенных дифференциальных
уравнений.
= f(q, у, и, х, t); q(/o) = qo, (1.5)
at
= Чл
Эффективность выполнения маневра будем характеризовать
критерием локальной эффективности
Лу, u, х), (1.6)
где t — текущее время; q — вектор фазовых координат, х — век-
тор неконтролируемых (проектантом) параметров, влияющих на
качество функционирования ЛА; у — вектор проектных парамет-
ров ЛА (с математической точки зрения вектор постоянных по вре-
мени управляющих параметров, выбираемых проектантом); и(/) —
законы управления ЛА (вектор управляющих функций), обеспечи-
вающие решение задачи (выполнение маневра), поставленной пе-
ред ЛА.
Под проектными параметрами ЛА здесь понимаются величины,
наиболее полно и обобщенно характеризующие летательный аппа-
рат, его схему, форму, массу и т. д., которые проектант может вы-
бирать. Программная траектория ЛА определяется его проектными
параметрами и программными законами управления (закон на-
правления вектора тяги, величины тяги и т. д.). Принципиальным
является то обстоятельство, что после принятия решения о вопло-
щении проекта в жизнь изменить проектные параметры ЛА очень
сложно и дорого, в отличие от функций управления, программы
полета, которые могут быть относительно несложно изменены.
В случае многоцелевого ЛА, призванного выполнять серию манев-
ров, программа управления вообще может определяться непосред-
13
ственно перед выполнением конкретного маневра. Для многоцеле-
вого ЛА может также оказаться целесообразным введение пара-
метров настройки, которые условно могут быть отнесены к управ-
лению. Параметры настройки отражают возможность изменения
отдельных характеристик ЛА перед выполнением очередной летной
операции. К таким параметрам можно отнести, например, массу
заправленного топлива во внутренних и подвесных баках.
Под маневром, или летной операцией, понимается перелет ЛА
из начального положения q0 в конечное qy, начинающийся в мо-
мент времени tQ и заканчивающийся в момент //. Маневр задается
набором величин, определяющих q$, q/, /о, а также рядом дру-
гих параметров, входящих, например, в правые части уравнений
(1.5). Совокупность этих величин составляет вектор параметров
маневра хА.
При полете по заданному маршруту ЛА обычно выполняет ряд.
специальных требований (заданий), определяемых его функцио-
нальным назначением (например, доставка полезной нагрузки за-
данной массы). Эти требования будем характеризовать вектором
параметров хв,_ объединение которого с вектором параметров ма-
невра ха образует вектор параметров задачи хс= (хА, хв). Задача,,
таким образом, полностью характеризуется указанием маневра и
заданий на перелет. В общем случае перед ЛА ставится задача
обслуживания серии маневров и задач, параметры которых обра-
зуют диапазоны (множества) маневров ХА и задач Хс. Векторы
параметров маневра и задачи существенно влияют на критерий эф-
фективности F и составляют особый класс неконтролируемых па-
раметров. Следует подчеркнуть, что введение в модель диапазонов
маневров и задач отражает многоцелевую особенность ЛА.
В общем случае вектор неконтролируемых параметров х можно
представить в виде совокупности векторов хАу хв и вектора прочих
неконтролируемых параметров xD, включающего, например, век-
тор удельных характеристик ЛА:
х= (ха, Хв, хв).
Уравнения (1.5), (1.6) определят математическую модель ЛА,,
если будет указано, что проектант стремится увеличивать или
уменьшать Fy и что возможные значения векторов параметров у, х
и законов управления и и фазовых координат q находятся в соот-
ветствующих областях Y, X, U, Q, известных проектанту. При этом
следует остановиться особо на построении законов (программ) уп-
равления.
Специфика выбора программы управления у в рассматриваемой
задаче состоит в том, что ее формирование (и реализация) про-
исходит в условиях, когда параметры у и х можно считать точна
известными (ЛА спроектирован, очередная задача определена).
Поэтому программа полностью определяется набором вектора’
проектных параметров ЛА у, вектора параметров задач хс и век-
тора прочих неконтролируемых параметров xD и находится как оп-
14
тимальное управление uopt(f) из решения вариационной задачи
при фиксированных у, х(у, x=fixe)
maxF(y, u, х)
u6U (1.7>
х, у = fixe
при выполнении связей (1.5). После'решения задачи (1.7) функ-
ционал (1.6) становится функцией параметров у и х
F(y, uopt, х) = F(y, х). (1.8>
Задачу (1.7) называют динамической частью задачи проектиро-
вания (или просто динамической задачей).
В отдельных случаях выбор программы управления не зависит
от Хо, а иногда и от хв. Для этого достаточна возможность пред-
ставления критерия эффективности в виде
Г (у, X, Fi(y, и, Ха)), 0-9>
где F — строго монотонная (например, монотонно возрастающая)
функция F\ как параметра при фиксированных параметрах у, х.
В итоге вариационная задача (1.7) заменяется на следующую:.
max Л (У, и, хА) = Л (у, ха).
иб" (1.10)^
У, ха = fixe
Функцию Fj(y, ха) при и = и°Рг назовем характеристикой затрат^
на выполнение маневра хА, или проектно-динамической функцией.
Для вычисления критерия эффективности F не обязательно знать
программу управления и, достаточно лишь иметь функцию затрат
Л (у, хА) во всем диапазоне Ха. Поэтому целесообразно, если это
возможно, заранее определять эту функцию на сетке параметров
у и Ха из решения динамической задачи (1.10) до решения общей
задачи проектирования. Этот прием можно рекомендовать в том
случае, если удается так сформулировать динамическую задачу
(1.10), что размерность аргумента функции Л (у, хА) не превыша-
ет 2—3-х.
Целью проектирования является выбор проектантом такого век-
тора параметров ЛА у (проектное решение), при котором крите-
рий эффективности принимает наибольшее (или наименьшее) воз-
можное значение. Программа управления и при выполнении ЛА
конкретного задания хс находится всякий раз из решения динами-
ческой задачи (1.7.) Для многоцелевого ЛА существенным являет-
ся требование выполнения всего заданного диапазона задач Хс,
Для удовлетворения последнего требования необходимо существо-
вание решения вариационной задачи (1.7) для принятого проект-
ного решения у = fixe во всем заданном множестве неконтролируе-
мых параметров X. Указанному требованию можно дать следую-
15-
щую интерпретацию. Многообразие возможностей ЛА в одном
маневре можно охарактеризовать так называемой областью (мно-
жеством) достижимых задач d(y), выделяющей в пространстве
параметров задач Хс совокупность тех заданий, каждое из кото-
рых может быть выполнено ЛА в одной летной операции. Тогда
возможность выполнения некоторой задачи хс определится усло-
вием xced(y), а всего множества задач Xc^d(у), т. е. в виде
покрытия множества Хс областью d(y). Изучение множеств дости-
жимых задач оказалось весьма плодотворным при исследовании
различных задач проектирования, поэтому в последнее время на-
чалось систематическое исследование возможностей построения
множеств достижимости.
Для пояснения построенной модели рассмотрим задачу анализа проекта
разгонного блока, осуществляющего перевод КА с одной орбиты спут-
ника на другую орбиту в окрестности Земли. Параметрами ЛА можно считать
количество ступеней разгонного блока, характеристики двигателя и конструкций
ступеней и т. д. Размерность вектора у в зависимости от детализации разработ-
ки может быть различной. Например, для разгонного блока с ЖРД в качестве
параметров двигателя могут быть выбраны тяга и удельный импульс, или, более
точно, тяга, давление в камере сгорания, степень расширения газов в сопле и
т. д. К неконтролируемым параметрам х можно отнести (на определенном уров-
не системы) удельные характеристики двигателей и конструкции ступеней, а
также параметры маневров и задач. Параметрами маневров являются элементы
начальной и конечной орбит перелета, время перелета, дата начала перелета. По-
лезный груз КА, доставляемый блоком на конечную орбиту, совместно с пара-
метрами маневров, образует вектор параметров задач хс. Множества парамет-
ров маневров и задач, обслуживаемых разгонным блоком, образуют диапазоны
маневров ХА и задач Хс. Критерием эффективности F выполнения задачи мо-
гут служить стоимость выполнения задач С или стартовая масса блока /л0, взя-
тые с обратным знаком (если предполагается максимизация критерия эффектив-
ности). Указанные критерии эффективности являются строго монотонной функ-
цией массы потребного топлива тт (при фиксированных проектных параметрах
блока), которая поэтому может быть принята за характеристику затрат на пере-
плет Fi (у, хс)с=Щт(у» х). Оптимальные программы углов тангажа и рыскания,
законы включения — выключения и регулирования двигателя находятся из ус-
ловия минимизации расхода топлива на перелет.
Для разгонного блока с химическим двигателем допущение импульсной ап-
проксимации активных участков полета и пренебрежение гравитационными (и
всякими другими) потерями позволяют считать характеристику затрат функцией
только параметров маневров Г1(ха)=/п (ха), что существенно упрощает ди-
намическую часть задачи анализа проекта такого аппарата. Однако рассмот-
ренные допущения являются некорректными для разгонного блока (буксира) с
электроракетным двигателем. В этом случае недопустимо пренебре-
жение гравитационными потерями, которые достигают значительной величины и
часто существенно зависят от проектных параметров буксира (тяговооруженно-
*сти, скорости истечения движителя и др.). Это обстоятельство приводит к ус-
ложнению динамической задачи и определяет во многом специфику задачи вы-
бора проектных решений аппаратов с двигателями малой тяги.
Рассмотрим подробнее неконтролируемые параметры в крите-
рии эффективности (1.6).
Неконтролируемые параметры, исходя из информированности о
них проектанта, можно разделить на три группы [22].
1. Фиксированные параметры х1, значения которых известны
проектанту.
16
2. Случайные параметры х11 с известными законами распреде-
ления.
3. Неопределенные параметры хш, относительно которых из-
вестен только диапазон изменения, внутри которого они находят-
ся, или область, в которой находятся законы распределения (для
случайных параметров с неизвестным законом).
Неопределенные факторы, в свою очередь, можно разбить на
три подгруппы:
а) природные неопределенности, появляющиеся из-за недоста-
точной изученности каких-либо процессов или величин;
б) неопределенные факторы, отражающие нечеткость знания
цели проектирования или критерия эффективности;
в) неопределенные факторы, появляющиеся из-за действия
«противника», который преследует свою цель и обладает своими
средствами (своими управляющими параметрами).
Примером неопределенности первого типа является неопреде-
ленность удельных характеристик ЛА и его подсистем (например,
двигательной установки). Действительно, вектор удельных харак-
теристик ха, как правило, на начальных стадиях проектирования
известен с большой долей неопределенности.
Примером неопределенности второго типа является неопреде-
ленность в выборе критерия оценки проекта (на определенном
уровне системы) космического буксира, курсирующего по несколь-
ким, в частности, двум маршрутам.
Наличие случайностей и неопредленностей, неизбежно при-
сутствующих в реальном процессе проектирования, и Составляет
существо современной модели проектирования ЛА, причем, введе-
ние неопределенностей является сравнительно новым элементом,
выходящим за пределы ставших уже традиционными случайно-
стей.
Выбор конкретного проектного решения ЛА у в условиях слу-
чайностей и неопределенностей не позволяет однозначно опреде-
лить его эффективность, так как последняя является функцией
неизвестных проектанту неконтролируемых параметров. В этих ус-
ловиях сведения об эффективности проектного решения у, которые
может дать (прогнозировать) проектант, являются сведениями о
поведении этой функции F(y, х).
Однако сделать вывод об удовлетворительности принятого про-
ектного решения по поведению функции трудно и для проектанта
возникает проблема построения единого (обобщенного) критерия
эффективности, или критерия оптимальности проектных решений
ЛА.
В условиях неопределенности говорить об оптимизации (макси-
мизации или минимизации) функции F (у, х) по у не имеет смысла,
так как для разных значений параметра х ее максимум (минимум)
будет достигаться при различных значениях у и и. Более того, со-
временная теория игр, являющаяся основой математической теории,
исследования операций, «фактически указала на отсутствие единого
и объективного понятия оптимальности» [21]. В условиях неопреде-
2-4537 17
ленности естественнее поэтому пользоваться термином «рациональ-
ный выбор» и указывать каждый раз смысл этой рациональности
и условия, в которых тот или иной выбор заслуживает термина «оп-
тимальный». Здесь уместно привести следующее тривиальное ут-
верждение: не делая никаких предположений относительно выбора
неконтролируемых параметров х и области их определения, проек-
тант не может сформулировать никаких мотивов относительно вы-
бора проектного решения у.
Какие же существуют общие принципы формирования рацио-
нального выбора в условиях неопределенности? В теории исследо-
вания операций рассматриваются следующие принципы, основан-
ные на стремлении уменьшить неопределенность в получаемых ре-
зультатах и превратить проблему принятия решений в условиях
неопределенности в строгую математическую задачу (21, 22].
Первый принцип состоит во введении нового критерия эффек-
тивности F'. Заменой F на F' (разумным образом связанный с
F) можно попытаться уменьшить неопределенность в модели про-
ектирования ЛА, т. е. уменьшить число существенных перемен-
ных х.
Например, для многоцелевого ЛА в случае полной ин-
формированности проектанта о множестве выполняемых за-
даний Хс, заданного в виде программы полетов дискретной
совокупностью векторов Z=l, . . . , п, целесообразно
объединить локальные критерии в единый (интегральный}
критерий эффективности, определенный на всем множестве
Хс как сумма эффективности выполнения единичных заданий
(у, Хс)=2 ^(У. Хс). d m
хсехс
Интегральная форма показателя эффективности (1.11) при его
формировании на основе приведенных затрат предопределяет пере-
нос стоимости ЛА частично на себестоимость каждой его летной
операции, а это, как известно [93], приводит к необходимости опре-
деления себестоимости одной летной операции с помощью пред-
варительно установленных показателей измерения затрат на одну
летную операцию. Благодаря этому часто в качестве функции ло-
кальной эффективности используются функции вида
/•(у, х)=с(у)хс, (1.12)
где с—удельная себестоимость единицы компоненты xkc за-
дания, в качестве которой обычно принимают час полета,,
единицу полезной нагрузки и т. д.
Второй принцип выбора рациональных проектных решений
ЛА заключается в стремлении к максимальному увеличению
и использованию информированности проектанта о неконтро-
лируемых параметрах х. Несомненно, неопределенность мо-
дели проектирования ЛА уменьшается с сужением диапазона
18
(множества) X, а также с переходом неконтролируемых пара-
метров из одной группы в другую по схеме х1П—>хп—>х!.
Например, сам факт фиксации случайности х11 считается не-
которой информацией, которая должна дать лучшие резуль-
таты, чем неопределенность. В этом случае при оценке эф-
фективности проектных решений ЛА обычно используют
следующие два приема.
Учитывая, что случайные параметры с заданной доверительной
вероятностью могут быть приравнены к неопределенным парамет-
рам, изменяющимся внутри некоторых доверительных границ, мно-
жество X заменяется на меньшее множество Х\ так, что вероят-
ность P[xeXJ>l—fl, где В достаточно мало. Очевидно, случай-
ность здесь по существу не отличается от неопределенностей.
Другой путь основан на изменении критерия эффективности.
В настоящее время обычно такое изменение состоит в замене
критерия математическим ожиданием, т. е. используется осредне-
ние критерия по случайностям. Следует отметить, что введение
осреднения всегда связано с известным риском. Однако при мно-
гократном выполнении маневра (решении задачи, поставленной
перед ЛА) такой риск зачастую считается вполне допустимым.
Осредненный критерий будем обозначать через F.
Если неконтролируемый параметр х есть вектор независимых
случайных параметров х11= (хь...,хл), осредненный критерий опти-
мальности проектных решений ЛА имеет вид
F(y) " г • • р(у>XW,(X)) • • dfh(xk)- (1ЛЗ)
Здесь fi(Xi) — закон распределения величины Для случая
зависимых Xi используется более общая запись F в виде
fe-мерного интеграла Стилтьеса по вероятностной мере.
Для того, чтобы составить представление о величине риска в
каждом отдельном случае, можно, кроме математического ожида-
ния критерия эффективности, оценивать также и его дисперсию
(или среднее квадратическое отклонение).
После осреднения (1.13) получается модель проектирования
без случайных параметров, а сложность оценки оптимальности
проектного решения ЛА целиком определяется сложностью записи
критерия эффективности (1.13), содержащего, как правило, много-
кратные интегралы.
В результате для случайных неконтролируемых параметров за-
дача выбора проектных решений ЛА сводится к задаче оптимиза-
ции
maxF(y). ' (I.U)
Третий принцип выбора рациональных проектных решений ЛА
заключается в очень часто используемой на практике той или иной
фиксации неконтролируемых параметров в виде так называемого
2* 19
расчетного случая х*. Этот расчетный случай находится обычно
как среднее значение X, а задача проектирования приводится к
обычной задаче оптимизации
max У7 (у, х*), (1.15)
у е у
причем фиксированные параметры х* в функции F можно опус-
тить. К сожалению, как показано в [16, 84], использование таких
простых правил определения расчетного случая зачастую неоправ-
дано. В этих работах, исходя из такого определения расчетного
случая, при котором решение задачи (1.15) соответствует решению
задачи с критерием (1.11), показано, что если размерность мно-
жества параметров ЛА У превосходит размерность множества X,
то определение эквивалентной расчетной точки принципиально
невозможно.
Разумное уменьшение числа принимаемых во внимание неоп-
ределенных параметров хш является целесообразным и даже не-
избежным этапом. Такой способ именуется обычно методом тес-
тов, а сам выбор учитываемых параметров х1П, как правило, про-
изводится с помощью экспертных процедур (оценок).
Четвертый и очень существенный принцип выбора рациональ-
ных проектных решений ЛА состоит в стремлении получить устой-
чивые решения, понимание которых варьируется весьма широко.
Здесь необходимо выделить принцип гарантированного результата,
лежащий в основе современной теории принятия решений [21, 22,
73] и призывающий проектанта при недостаточной информирован-
ности базироваться на рассмотрении наихудших значений неконт-
ролируемых параметров. Такое поведение проектанта является про-
явлением осторожности и представляется естественным хотя бы
уже потому, что он не имеет права взять на себя решение, подвер-
гающее риску весь проект — таких прав проектанту обычно не
предоставляется. Если же эта осторожность приводит в каком-то
смысле к неудовлетворительным («пессимистичным») результатам,
то это стимулирует увеличение информированности проектанта
о неконтролируемых параметрах и, возможно, потребует внесения
элементов риска в проектное решение (например, использование
того или иного осреднения У7 (у, х) по х). Принципиальным ока-
зывается то обстоятельство, что принцип гарантированного ре-
зультата позволяет получить предельные оценки ЛА, представля-
ющие объективный результат анализа, не зависящий от гипотез
информированности.
Если о неконтролируемом параметре х ничего не известно, кро-
ме его области изменения X (т. е. это неопределенный параметр
хш, то единственной гарантированной оценкой проектного реше-
ния ЛА является
F (у) = min F (у, х), (1.16)
х € -X
причем в определении множества X необходимо учесть всю ин-
формацию проектанта об х.
20
Часто при оценке оптимальности проектных решений ЛА в ус-
ловиях неопределенности используют так называемые функции аб-
солютного проигрыша (неоптимальности)
р(у, X) = Fmax(x) — F(у, х) (1.17)
и относительного
р(у, х) = [Fmax(x) — F(y, X)]/Fmax(x), (1.18)
где /?тах(х) = max F(y, х) — максимально возможное (предель-
У£Г
ное) значение критерия эффективности'при х = fixe („идеаль-
ней проектное решение ЛА для фиксированного значения
неконтролируемого параметра х).
Оценкой оптимальности проектного решения ЛА в этом случае
будет величина максимального проигрыша «идеальному» проектно-
му решению
F(y) =max р(у, х). (1.19)
х € А'
В общем случае, когда вектор неконтролируемых параметров
включает вектор независимых случайных параметров х11 и вектор
неопределенных параметров хш, объединенный критерий эффек-
тивности или критерий оптимальности проектных решений ЛА бу-
дет иметь вид
F(y) == min Г F(yf x)df(xIJ) = min F(y, x). (1.20)
xHi ex J xni ex
Следует отметить, что всегда имеет место [22]
min F(y, х) > min F(y, х). (121)
хП1бХ xin.xiiex
Правая часть этого неравенства может трактоваться как гаран-
тированная оценка значения (1.13) при неизвестных dfi(xi), кото-
рые могут быть, в частности, произвольными ступенчатыми функ-
циями.
Таким образом, увеличение информированности о х (знание за-
конов распределения) приводит к определенному увеличению ожи-
даемой эффективности проектного решения ЛА (при новом, одна-
ко, толковании критерия эффективности).
Окончательно задача выбора проектных решений ЛА сводится
к максимину
max min F\y, х) == max F(y), (1.22)
yerxin€X Уег
а для оценки в форме (1.19) к минимаксу
min max р(у, х) = min р(у) (1.23)
у € у х1Н е х у е у
21
Рис. 1.1. Функции неоптимальнос-
ти проектных решений ЛА при раз-
личных методах выбора проектных
решений:
/ — критерий минимаксной неопти-
мальности; 2 — оптимизация расчет-
ного случая; 3 — максиминный кри-
терий
(в общем случае все максиму-
мы и минимумы должны быть
заменены на sup и inf соответ-
ственно). Заметим, что мак-
симин и минимакс можно рас-
сматривать как задачу оптими-
зации функций F(y) и р(у). К
сожалению, аналитическая при-
рода этих функций обычно бы-
вает очень сложна. Даже если
F(y, х)—многократно диффе-
ренцируемая функция, то от-
носительно ?(у) можно утвер-
ждать только дифференциру-
емость по направлению. В пос-
леднее время к методам отыс-
кания экстремумов функций
вида ?(у), 7>(У) привлечено
внимание математиков, и в
этой области получен ряд важ-
ных результатов [30].
Рис. 1.1 дает некоторое представление о результатах оптими-
зации проектных решений ЛА в условиях неопределенности по кри-
териям (1.15), (1.22), (1.23). На рисунке показаны типичные функ-
ции неоптимальности проектных решений ЛА, полученных по этим
критериям, при одномерном множестве X, представляющем отре-
зок х+]. Видно, что использование критериев (1.15) и (1.22)
приводит к значительному росту неоптимальности проектного ре-
шения ЛА по сравнению с «идеальным» проектом на границах
диапазона i[x~, х+], в то время как критерий (1.23) дает проектные
решения, наиболее устойчивые в условиях неопределенности ис-
ходных данных. Поэтому часто на практике предпочтительным
оказывается использование критерия минимаксной неоптимально-
сти (1.23), несмотря на усложнение алгоритмов решения, связан-
ное с вычислением функции р(у).
Изложенные задачи выбора проектных решений ЛА связаны с
оптимизацией параметров одного типа ЛА. С расширением диапа-
зона задач Хс целесообразно поставить более общую задачу со-
вместной оптимизации нескольких типов ЛА, оптимальным обра-
зом перераспределяющих между собой задания из множества Хс.
Это так называемые задачи выбора типажа летательных аппара-
тов (117].
Рассмотрим систему А летательных аппаратов, представ’
ляющую собой совокупность т типов ЛА, каждый из кото’
рых характеризуется вектором проектных параметров yf, а
также общим количеством (серийностью) sh /=1, . . . , т.
Таким образом, тип ЛА можно представить в виде у/ = (Уь
22
sj, а систему А как объединение типов A = Uy/- На значения
/=1
т и Si могут быть наложены различные ограничения, опре-
деляемые, например, ограниченными возможностями произ-
водства. Требование выполнения всех заданий Хс системой
А можно интерпретировать в виде покрытия множества Хс
областями достижимости всех типов ЛА:
ХсС U d(y{). (1.24)
i = m
Универсальный характер системы ЛА органически связан с
другим важным свойством — специализацией, которая вызвана
естественным стремлением повысить эффективность выполнения
каждого задания. Одним из путей повышения эффективности яв-
ляется применение ЛА f-го типа не на всей его области достижи-
мых заданий d(z/i), а на более узкой области специализации Di.
Очевидны следующие соотношения:
DiC]Df Q, i + j, i, /=1, . . , m, (1.25)
m
UA = Xc, (1.26)
i = 1
Di CZ d(yi).
В работе [84] для выделения на множестве Хс областей
специализации Д предложено использовать целочисленную и
однозначную распределяющую функцию Е(х), присваивающую
каждому заданию хс€Хс номер соответствующего типа ЛА
системы А, т. е.
Di={xc:D(xc)=i}, (1.27)
z = l, . . . . т.
Фиксированная тройка {Хс, A, D(xc)] задает конкретную
многоцелевую систему ЛА, а условия (1.25) . . . (1.27) уста-
навливают связь между множеством заданий Хс и параметрами
системы А: количеством типов ЛА т, серийностью s, каждого
типа ЛА, параметрами уг и эксплуатационными режимами |и(/)].
Структура этих условий сохраняется и в случае более детальных
математических моделей функционирования системы ЛА, учиты-
вающих, например, кратность использования и базирование от-
дельных ЛА,, динамику поступления заданий и т. д.
На основании изложенного показатель эффективности системы
ЛА при интегральном способе оценки типа (1.11) может быть пред-
ставлен в виде
т т
Еъ (Хс, А, Е(хс)) = F(Уь = 2 Ъ(У<’ О'28)
*=1 *с €
23
едг
Fi(yi,Dt)= 2 F(yit xc, Si). (1.29)
XC6 dz
При использовании максиминной оценки типа (1.22) операцию
суммирования по области Di в (1.28), (1.29) следует заменить на
поиск глобального минимума, а при оценке (1.23)—максимума
функции неоптимальности. Заметим, что функция локальной эф-
фективности в этом случае зависит также от количества (серийно-
сти) ЛА Sir необходимого для выполнения всей совокупности за-
даний из области Di. Потребная серийность, а значит и функция
локальной эффективности, зависит от всей совокупности управле-
ний {и (/)} в летных операциях, реализующих все задания D^.
серийного производства ЛА затраты на один экземпляр убывают
с увеличением серии (свойство «обучаемости»)
dFtds < 0, d^Flds* > 0. (1.30)
Задача оптимизации системы многоцелевых ЛА
min Fe(A, Ac, £(хс)) (1.31)
Д. Е (хс)
в связи с возможностью двоякого представления критерия эффек-
тивности (1.28) позволяет рассматривать алгоритмы оптимизации,
основанные либо на непосредственном вычислении для каждого
типа ЛА показателя Ft(y^ Di), либо на использовании исходной
характеристики — функции локальной эффективности F(yi,xc,Si).
Специфические ограничения типа покрытий (1.26) приводят к по-
явлению комбинаторной задачи оптимального распределения мно-
жества Хс на области специализации Dit i= 1,..., т при решении за-
дачи (1.31). Несложно показать, что в оптимальной многоцелевой
системе {Хс, А, £(хс)} каждый ее элемент у; обеспечивает мини-
мум показателя эффективности Л (Уь Di), а оптимальная сово-
купность областей специализации Di является решением _задачи
оптимального распределения для совокупности элементов {у?}.
Это позволяет разделить задачу оптимизации (1.31) на задачу
оптимального распределения и иг задач оптимизации параметров
Уг каждого типа ЛА с диапазоном задач Di и решать их на основе
итерационной процедуры улучшения (84]. Причем сложность со-
ответствующих алгоритмов во многом определяется трудоемкостью
решения задачи оптимального распределения. Заметим, что для
произвольного задания ХсеХс при заданных параметрах, например*
двух типов ЛА yi ц yj нельзя сразу указать к какой области спе-
циализации отнести это задание, Di или Dj, так как функции ло-
кальной эффективности, которые для этого необходимо сравнить,
зависят от серийности Si и s,, т. е. областей Di и Dj. Ответить на
этот вопрос можно с помощью следующего итерационного алгоритм
ма, сходимость которого при некоторых условиях доказана в [7]<
24
Задаемся нулевым приближением для серийности ЛА системы,,
например, в виде
$Гх=Мб/(уг)П*с), / = 1,. . .,/п, (1.32)
где (X) — серийность z-ro типа ЛА с областью специализа-
ции X. Далее, решаем задачу оптимального распределения
при заданной серийности, которая в этом случае тривиальна
Е(хс) | F(yk, хс, sh) < F(yif хс, s^,
(1.33>
z, k=l, . . . , zn.
Затем уточняем значение серийности для скорректированных та-
ким образом областей специализации Di и продолжаем этот про-
цесс до тех пор, пока значения потребной серийности не переста-
нут уточняться.
Достаточно просто решается задача оптимального распределе-
ния в случае, если можно с некоторым приближением считать по-
казатель эффективности ЛА на области специализации ЛСУг, Di)
не зависящим явно от конкретных заданий из области специали-
зации Di, а только от серийности ЛА, которая определяется об-
ластью De
Fi(yi, Di)= Fi(yif s^. (1.34>
В этом случае обычно
^У^.>0 a8F(y- s)-<0. (1.35)
дз ’ dsa
Разобьем множество Хс на ряд
областей (рис. 1.2).
1. Области у,-, определяемые
условием Ti = A’c\U d(yj), т. е.
i+i
области, где возможно примене-
ние лишь одного типа ЛА уг.
Здесь решение задачи оптималь-
ного распределения очевидно:
Ё(хс € 7г) = i.
Рис. 1.2. Области специализации,
системы ЛА
2. Области, альтернативные в «узком» смысле, где возможна
применение лишь некоторых двух типов ЛА:
3. Области
U dk.
i
£1.36)}
Л dh /С[1, . . . , zn],
(1.37)
альтернативные в «широком» смысле, где возможно применение
более двух типов ЛА.
25
либо их допустимые множества были открытыми. Ракетодинамика
же имела дело с качественно другой проблемой; управление и(/)
зачастую должно было принадлежать замкнутым множествам, от-
ражающим естественные технические ограничения. Так, тяга ра-
кетного двигателя принципиально ограничена некоторым пределом,,
определяемым конструкцией двигателя
Р(0< Ртах. (1.40).
Благодаря этой особенности непосредственное использование
хорошо развитых методов вариационного исчисления было невоз-
можно. Тем Не менее ряд конкретных задач удалось решить с по-
мощью искусственного приема перехода к открытой области из-
менения управлений. Эта операция состоит в замене управления
и(/) функцией другого, неограниченного управления w(t). Напри-
мер, для ограничений типа (1.40) можно произвести замену уп-
равления
Р= -^-(Ц-соэку), (1.41)
при этом на величину w не накладываются ограничения типа не-
равенств.
Определяющую роль в развитии теории оптимального управле-
ния сыграло открытие принципа максимума Л. С. Понтрягина,
позволяющего с помощью множителей Лагранжа свести задачу оп-
тимального управления к некоторой специальной краевой задаче*
для системы обыкновенных дифференциальных уравнений и спра-
ведливого для любых замкнутых областей управления, в частности,
для тех, которые нельзя «раскрыть» с помощью приемов типа
(1.41). Именно с формулировкой принципа максимума произошла
определенная канонизация языка и методов, и окончательно офор-
милась современная теория управления [72].
Рассмотрим управляемую динамическую систему (например,,
летательный аппарат, если его рассматривать как механическую'
систему с конечным числом степеней свободы), поведение которой
описывается обыкновенными дифференциальными уравнениями в
нормальной векторной форме
q = f(q,u, U). (1.42)
Здесь q — и-мерный фазовый вектор, § — ^-мерный вектор
возмущений (неконтролируемых переменных), который может быть
случайным с заданным статистическим описанием, либо неопреде-
ленным с заданной областью изменения, точка означает диффе-
ренцирование по времени t. Вектор-функция и(/) размерности;
носит название управления или управляющего вектора.
Рассмотрим детерминированную ситуацию, когда возмущения;
отсутствуют (g = 0). Задача состоит в том, чтобы выбрать вектор
управления и(0 из заданной области
(1.43J
28'
так, чтобы удовлетворить следующим граничным условиям.
= 0 (1.44)
W <= т < 2п + 1
и минимизировать функционал (критерий качества) типа
Лч(М> to, tf), (1.45)
где tQ и tj — соответственно, начальный и конечный момент времени.
На изменение фазовых координат также могут быть наложены
ограничения (фазовые):
qeQ. (1.46)
Если в правую часть уравнения (1.42) входит случайная век-
тор-функция g(OeG(Z), то и процесс изменения фазового вектора
q(<) оказывается случайным, т. е. нельзя формулировать цель уп-
равления (1.44), (1.45) в детерминированной форме. В этом слу-
чае общей задачей теории управления оказывается задача управ-
ления случайным (стохастическим) процессом. Такая задача в об-
щей постановке оказывается чрезвычайно сложной, и в теории уп-
равления разработаны разнообразные приемы ее упрощения.
Обычно стремятся свести анализ реальных стохастических систем
к последовательному исследованию ряда детерминированных задач.
Одним из важнейших эвристических приемов современной теории
управления является так называемая схема двухэтапной оптими-
зации, разделяющая процесс управления на два последовательных
этапа — выбор программы и построение механизма реализации этой
программы (обратной связи) [72, 73].
Для широкого класса задач управления, в которых возмущения
считаются малыми, решение детерминированной задачи оптималь-
ного уравнения (1.42) ... (1.46) при |=0 должно давать удовлетво-
рительное первое приближение. Траектория q(/), являющаяся ре-
шением этой задачи, называется программной траекторией, а уп-
равление и(/), которое ее реализует, называется программным
(или оптимальным) управлением. Однако действующие в реаль-
ном полете возмущения всегда отклонят' ЛА от расчетной програм-
мной траектории. Поэтому ЛА всегда имеет дополнительную сис-
тему управления, задача которой заключается в корректировке
непредусмотренных заранее случайных воздействий. Эту дополни-
тельную корректирующую систему часто называют автопилотом.
Поскольку реальная траектория q(/) и управление и(/) в силу
предположения о малости случайных _возмущений мало отлича-
ются от своих программных значений q(/) и u(Z), величины
Z = q(0 — V = u(7) — u(t) (1.47)
можно считать того же порядка малости что и g.
Общая схема двухэтапной оптимизации такова. На первом эта-
пе выбирается программное управление. Это позволяет выбрать
29
программную траекторию, которая обеспечивает достижение за-
данной цели при отсутствии внешних возмущений с минимальными
затратами ресурса, а на втором этапе определяются параметры
автопилота (обратная связь v(Z, q)), обеспечивающего при задан-
ном ресурсе максимально возможную точность достижения цели.
1.4.2. Расчет оптимальных программ
Расчет программных траекторий, т. е. решение задач оптималь-
ного управления (1.42)...(1.46), превратился в настоящее время в
большое и развитое направление теории управления. Методы рас-
чета оптимальных программ принято условно разделять на два клас-
са. Первые имеют своим истоком идеи спуска (в частности, гра-
диентного) и называются прямыми, вторые основаны на использо-
вании условий оптимальности, обычно необходимых (непрямые
методы). К прямым относятся, в частности, методы, использующие
тот или иной способ редукции вариационной задачи (1.42)...(1.46)
к конечномерной задаче. Переход к разностной аппроксимации за-
дачи и замена ее тем или иным вариантом задачи нелинейного-
программирования позволяют широко использовать библиотеку
стандартных программ ЭВМ. Поэтому эти методы получили в по-
следнее время особенно большое распространение. Однако, если
точность задачи требует большого числа интервалов разностной,
аппроксимации, то даже в тех случаях, когда размерность фазово-
го вектора невелика, задача математического программирования
оказывается чрезвычайно трудоемкой. Такая ситуация типична
для задач динамики полета ЛА. В подобных случаях особенна
ощущается необходимость в качественно других методах решения
задачи оптимального управления. Таковыми являются методы, ис-
пользующие условия оптимальности. В теории численных методов
расчета оптимальных программ особая роль принадлежит прин-
ципу максимума Понтрягина.
Принцип максимума есть условие первого порядка, необходи-
мое, но недостаточное для оптимальности управления. Это значит,,
что, вообще говоря, он дает множество решений задачи
(1.42)...(1.46), называемых стационарными. Согласно принципу
максимума оптимальное управление выбирается из условия
u = arg max H(q, u, p, t), (1.48>
U 6
где используются функция Гамильтона (гамильтониан)
Я = p'ffq, u, t) (1.49)
и вектор сопряженных переменных р^£", удовлетворяющий со-
пряженной системе уравнений
р = —Hq. (1.50)
30
Исходную систему (4.3) можно записать в гамильтоновой форме
q = Нр. (1.51>
Здесь запись типа Hq = (Hi)' представляет собой вектор-столбец
частных производных скалярной функции Н, ’ — символ транспо-
нирования.
Функции H(t) ир(/) должны быть непрерывны в точках, где-
управления u(t) имеют разрывы (так называемые точки переклю-
чения). Кроме того, они должны удовлетворять условиям транс-
версальности
р(/о) = А(4)’> (1.52)»
Я(/О) = -Л; (1.53>
P(tf) = —(1.54}
H(tf)=Jtf, (1.55).
где J обозначает расширенный функционал
J = / + p'W. (1.56>
Здесь у, — постоянный вектор множителей Лагранжа
Если U — открытое множество, то из (1.48) следуют условия:
//а=0, (1.57)
Ни — неположительно определенная матрица, (1.58}
где запись типа №=(4^' означает матрицу вторых частных
производных скалярной функции Н.
Кроме того, условие (1.48) требует такого выбора и из (1.57),.
чтобы Н достигало абсолютного максимума.
В распространенном случае автономного гамильтониана Н из
соотношения
H=Ht (1.59).
следует первый интеграл стационарной траектории
Н= const. (1.60)
Сравнение (1.59) с (1.50) позволяет рассматривать ~Н как пере-
менную, сопряженную с t.
Для учета возникающих в практических задачах различного-
рода ограничений принцип максимума был обобщен на случай за-
дач с фазовыми ограничениями типа (1.46), с промежуточными
условиями, ступенчатых систем управления и т. д. 12, 5, 15, 54, 87.
106,118,42].
Условие (1.48) или (1.57), (1.58) позволяет выразить управле-
ние как функцию q, р и /:
u = u(q, р, t). (1-61>
зь-
программную траекторию, которая обеспечивает достижение за-
данной цели при отсутствии внешних возмущений с минимальными
затратами ресурса, а на втором этапе определяются параметры
автопилота (обратная связь v(t q)), обеспечивающего при задан-
ном ресурсе максимально возможную точность достижения цели.
1.4.2. Расчет оптимальных программ
Расчет программных траекторий, т. е. решение задач оптималь-
ного управления (1.42)...(1.46), превратился в настоящее время в
большое и развитое направление теории управления. Методы рас-
чета оптимальных программ принято условно разделять на два клас-
са. Первые имеют своим истоком идеи спуска (в частности, гра-
диентного) и называются прямыми, вторые основаны на использо-
вании условий оптимальности, обычно необходимых (непрямые
методы). К прямым относятся, в частности, методы, использующие
тот или иной способ редукции вариационной задачи (1.42)...(1.46)
к конечномерной задаче. Переход к разностной аппроксимации за-
дачи и замена ее тем или иным вариантом задачи нелинейного
программирования позволяют широко использовать библиотеку
стандартных программ ЭВМ. Поэтому эти методы получили в по-
следнее время особенно большое распространение. Однако, если:
точность задачи требует большого числа интервалов разностной,
аппроксимации, то даже в тех случаях, когда размерность фазово-
го вектора невелика, задача математического программирования
оказывается чрезвычайно трудоемкой. Такая ситуация типична
для задач динамики полета ЛА. В подобных случаях особенна
ощущается необходимость в качественно других методах решения-
задачи оптимального управления. Таковыми являются методы, ис-
пользующие условия оптимальности. В теории численных методов*
расчета оптимальных программ особая роль принадлежит прин-
ципу максимума Понтрягина.
Принцип максимума есть условие первого порядка, необходи-
мое, но недостаточное для оптимальности управления. Это значит^
что, вообще говоря, он дает множество решений задачи
(1.42)...(1.46), называемых стационарными. Согласно принципу
максимума оптимальное управление выбирается из условия
u = arg max H(q, u, p, t), (1.48>
u 6 U
где используются функция Гамильтона (гамильтониан)
Н = p'ffq, u, t) (1.49)
и вектор сопряженных переменных р^Еп, удовлетворяющий со-
пряженной системе уравнений
Р = — Hq. (1.50)
30
Исходную систему (4.3) можно записать в гамильтоновой форме
q = Нр. (1.51>
Здесь запись типа Hq=(H^Y представляет собой вектор-столбец,
частных производных скалярной функции Н, ' — символ транспо-
нирования.
Функции H(t) ир(/) должны быть непрерывны в точках, где'
управления u(t) имеют разрывы (так называемые точки переклю-
чения). Кроме того, они должны удовлетворять условиям транс-
версальности
р(/0) = (1.52>
^('о)=~Л0; (1.53)
p(tf) = (1.54}
(1.55}
где J обозначает расширенный функционал
J = Z + g'W. (1.56}
Здесь ц — постоянный вектор множителей Лагранжа
Если U — открытое множество, то из (1.48) следуют условия:
(1.57)
Ни — неположительно определенная матрица, (1.58}
где запись типа Нр^^Н^' означает матрицу вторых частных
производных скалярной функции //.
Кроме того, условие (1.48) требует такого выбора и из (1.57),.
чтобы Н достигало абсолютного максимума.
В распространенном случае автономного гамильтониана Н из
соотношения
H=Ht (1.59),
следует первый интеграл стационарной траектории
//= const. (1.60)
Сравнение (1.59) с (1.50) позволяет рассматривать ~Н как пере-
менную, сопряженную с t.
Для учета возникающих в практических задачах различного'
рода ограничений принцип максимума был обобщен на случай за-
дач с фазовыми ограничениями типа (1.46), с промежуточными
условиями, ступенчатых систем управления и т. д. (2, 5, 15, 54, 87,
106, 118, 42].
Условие (1.48) или (1.57), (1.58) позволяет выразить управле-
ние как функцию q, р и t:
и = и(Ч Р> 0- (1.61}
ЗВ
Подставляя (1.61) в уравнения (1.50), (1.51), получим следу-
ющую систему уравнений порядка 2п для n-мерных вектор-функ-
щий q(t) и р(/) (так называемая П-система Понтрягина):
q = f(q, р, t);
Р = Ф(Ч, Р, 0-
(1.62)
Формально система (1.62) замыкается 2п + 2 + т краевыми
условиями: т граничных условий (1.44), 2п + 2 условий трансвер-
сальности (1.52)... (1.55) на левом и правом концах траектории.
Множество решений П-системы определяется заданием, например,
Р(М» я(^о), И, tQ, tf, т. е. имеет размерность 2n + 2 + m. Наличие
указанных краевых условий формально делает выбор однозначным,
т. е. однозначно определяет искомую оптимальную траекторию
q(Z). Обычно условия на границе задаются в разделенном виде
W(g(Q, to, q(tf), tf) =
W0(q(/0), t0) -
tf).
(1.63)
Wo€£',
Тогда в начальный момент tQ для параметров q(70), р(7о), to,
р0 имеется n-f 1. условие трансверсальности (1.52), (1.53) и I
начальных условий (1.63), т. е. всего п неизвестных. Обозна-
чим через v соответствующий вектор. Часто на практике фазо-
вый вектор q(/0) и t0 бывают заданы, поэтому вектор v обычно
отождествляют, с р (to). Для упрощения последующего изложения
будем придерживаться этого же предположения. Из-за однороднос-
ти по р П-системы масштаб переменной р произволен. Одно из
условий трансверсальности фиксирует его на конце траектории.
Однако это условие может быть снято и заменено условием на
масштаб (так называемое условие нормировки) в момент to без
изменения траектории. В
Рис. 1.3. Схема перелета КА
результате, число начальных неизвестных
не превосходит п—1.
Таким образом, принцип максиму-
ма позволяет непосредственно свести
задачу отыскания оптимальной прог-
раммы к двухточечной краевой зада-
че для системы обыкновенных диф-
ференциальных уравнений (при нали-
чии фазовых ограничений и промежу-
точных условий получаются многото-
чечные краевые задачи). При этом
составление дифференциальных урав-
нений, выражающих необходимые ус-
ловия оптимальности (П-система), яв-
ляется первым, чрезвычайно важным
этапом в решении практических задач.
32
Рассмотрим, например, задачу об оптимальном перелете кос-
мического аппарата в произвольном гравитационном поле (рис 1.3).
Уравнения движения центра масс космического аппарата М в
инерциальной системе координат Oxyz под действием реактивной
тяги в гравитационном поле имеют вид
г = V, (1.64)
V = q(r, t) + — е;
tn
т = — q,
где т— масса КА; г, V — радиус-вектор и вектор скорости
КА; Р — вектор тяги: Р=Ре, е — единичный вектор ориента-
ции тяги; q — массовый секундный расход рабочего тела;
g(r, t)- вектор ускорения от гравитационных сил. Система
(1.64) для пространственного движения имеет порядок 7.
Управление движением осуществляется с помощью вектора
реактивной тяги Р, создание которой связано с расходом массы
топлива через двигатель. С указанными параметрами Р(/) и q(t)
связан зависимый параметр скорости истечения реактивной струи
W=P/q. (1.65)
Тягу, приходящуюся на единицу весового расхода, характеризует
отношение Руд = W/gQ (go— гравитационное ускорение на поверх-
ности Земли), имеющее размерность времени. Величину Руд при-
нято называть удельным импульсом двигателя.
Тяга и расход могут меняться в некоторых пределах внутри
области управления U, определяемой возможностями регулирова-
ния двигателя. В приложениях часто рассматривается случай дви-
гателя постоянной скорости истечения. В этом случае скорость
W считается постоянной, а расход q, а с ним и тяга, могут изме-
ниться в некоторых пределах. Обычно полагают, что область уп-
равления по тяге Р — отрезок
0< РСЛпах. (1.66)
Под перелетом КА понимается переход из начального t0, г0, Vo
в конечное состояние f/, Гу, V/, которое может быть задано как пол-
ностью (задачи встречи), так и частично (задача перехода). Из
всего многообразия перелетных орбит надлежит выбрать наилуч-
шую, или оптимальную. Под оптимальной часто понимают траек-
торию с минимальным расходом топлива или с максимальным зна-
чением конечной массы КА
I = (1.67)
Таким образом, задача оптимального управления состоит в вы-
боре управлений P(t), e(Z), удовлетворяющих заданным ограниче-
ниям и обеспечивающих перелет КА с минимальным расходом топ-
лива.
а-4537
33
Применим к рассмотренной задаче принцип максимума.
Запишем гамильтониан
И - p/V+pVg+ — ( P’ve —
/И \
и сопряженную систему
i»r= — g/ рк ;
рк=— рг;
(1.68>
(1.69>
Р
Рт~ —Г е Ру-
т3
Здесь векторы pr, ру и скаляр рт — сопряженные переменные, со-
ответствующие г, V, иг, gr — матрица частных производных от
компонент ускорения g (г, t) по декартовым координатам КА.
Условие максимума гамильтониана по управлению е, Р дает
eopt= ри /|ру|,
& > 0;
(1.70>
opt
р
1 max,
о,
если
если
£<0;
(1-71)
О < T’opt < Лпах, если k = О на
где k= |pvl—----------функция переключения.
Следовательно, оптимальное направление тяги совпадает с со-
пряженным вектором ру. Этот вектор, играющий важную роль в
теории оптимальных космических перелетов, был назван Д. Ф. Лоу-
деном базисом-вектором (primer-vector). Управление тягой релей-
ного типа, когда двигатель работает либо на режиме макси-
мальной тяги, либо выключен (участки пассивного полета),
за исключением вырожденного (особого) случая, когда 6=0
на некотором отрезке времени [h, t^\. В этом случае опти-
мальная тяга непосредственно не определяется из принципа
максимума, имеем так называемый режим особого управления. Для
определения тяги можно последовательно дифференцировать урав-
нение k = 0 по ^всилу систем (1.64), (1.69) до тех пор, пока в выра-
жение dnkldtn не войдет тяга явно Р. В рассматриваемой задаче
п = 4. В кеплеровском поле построены примеры особых дуг (пер-
вые из них — Д. Ф. Лоуденом), многие из них оказались неопти-
мальны. В общем случае, по-видимому, участки особого управ-
ления могут включаться в состав оптимальной траектории.
В результате построение оптимального перелета КА сведено
с помощью принципа максимума к решению краевой задачи для
систем уравнений (1.64), (1.69) и уравнений (1.70), (1.71). Поря-
док систем (1.64), (1.69) равен 14. Если начальное и конечное
состояния КА заданы полностью, то решение краевой задачи мо-
34
жет состоять, например, в нахождении сопряженных переменных
Pv, Pr, Pm в начальный момент времени tQ. Из уловия трансвер-
сальности (1.54) следует, что для траектории минимального расхо-
да топлива
= (1.72)
Это условие устанавливает естественный масшабный множитель
для нормализации сопряженных переменных. Однако при решении
краевой задачи удобнее вести условие нормировки на начальный
сопряженный вектор, например:
|ри|=1, (1.73)
что позволяет уменьшить число неизвестных на 1. После решения
краевой задачи масштаб может быть изменен с (1.73) на (1.72).
Иногда удобнее интегрировать П-систему в обратном направлении,
подбирая значения ру, рг в конечный момент времени и используя
условие нормировки (1.72).
Из изложенного становится понятным, что проблема расчета
оптимальных программ, по-видимому, не была столь сложной, если
бы существовали надежные методы решения краевых задач для
П-систем, на основе которых можно было бы создать пакеты прик-
ладных программ для ЭВМ. К сожалению, здесь встретились зна-
чительные трудности, преодолеть которые пока не удалось. Дело
заключается в следующем. Необходимые признаки оптимальности,
выражаемые дифференциальными уравнениями П-системы, опреде-
ляют внутренние свойства оптимальных движений, задавая их ло-
кальное поведение в окрестности каждой точки на данной траек-
тории. Поэтому каждое оптимальное движение развертывается во
времени совершенно определенным образом, отталкиваясь от на-
чальных условий q(Z0) и р(/0). Иными словами, величины р (Л>) оп-
ределяют по условиям принципа максимума направление в фазо-
вом пространстве, в котором уходит оптимальная траектория q(Z)
из точки q(/o). Трудность состоит в том, чтобы выбрать величины
которые обеспечивают точное «прицеливание» оптимального
движения в заданное конечное состояние q(//), причем, как пра-
вило, невозможно получить явную зависимость между величинами
р(/0) и q(Zf) вследствие неинтегрируемости в замкнутой форме
дифференциальных уравнений задачи. Наиболее распространен-
ным и наименее организованным приемом решения краевых задач
является метод подбора (зачастую слепого) начальных значений
Р (Лэ) (метод пристрелки) 1[72, 106, 27]. Этот метод обладает боль-
шой общностью, однако трудно исполним в случае систем доста-
точно высокого порядка. Тем не менее, не учитывать этот метод
нельзя, потому что с привлечением дополнительных соображений,
в том числе промежуточных оценок результатов, он оказывается
весьма эффективным, если удается понять характер зависимости
оптимальных движений от начальных значений р(/0).
Предположим, что задан начальный вектор р(/0) =р0, формально
дополняющий П-систему до задачи Коши. Процедурой численного
3* 35
интегрирования траектории q(f) устанавливается функциональная
зависимость вектора рассогласования на правом конце траектории
Ф(ро) =q(^)-q/, (1.74)
где q/ — заданные граничные условия, от вектора ро. Теперь реше-
ние краевой задачи для П-системы сводится к решению системы
нелинейных уравнений
Ф(ро)=О (1.75)
с достаточно сложным определением функциональной зависи-
мости Ф(ро).
Наиболее надежным общим методом решения систем нелиней-
ных уравнений является метод Ньютона и его модификации, для
которых существуют пакеты прикладных программ. Имея некото-
рое приближение р°„ ищем поправку бр0 так, чтобы
Ф(Ро + «Ро) Ф(Р?) + Фро(Р°о) «Ро = 0, (1.76)
т. е. 6ро = -Ф;о1Ф(Р^). Тогда следующее приближение ро
будет
Pi=Po—Ф^Ф(Ро)- (1.77)
Модификации метода Ньютона основаны на введении в (1.77)
скалярного множителя а, не превосходящего 1 [72]:
Pj=P°o — аФ;о'Ф(Р0п). (1.78)
причем выбор а связан, например, с требованием
min || ф(р° - аФ-1 Ф (р®)) || (1.79)
а
при подходящем определении нормы | |Ф| |.
К сожалению, практическая реализация изложенной схемы со-
пряжена с рядом трудностей. Дело в том, что функциональная за-
висимость Ф(р0) реализуется с помощью решения задачи Коши.
В ряде случаев отображение Ф(ро) может не быть взаимно одно-
значным, кроме того, может не выполняться условие единственно-
сти решения задачи Коши для П-системы, например, при наличии
разрывов в функции (1.61), которые могут лишить описанную про-
цедуру решения краевой задачи всяких шансов на успех [106].
Но, по-видимому, самым неприятным моментом является чрезвы-
чайно «капризный» характер зависимости Ф(р0), связанный с не-
устойчивостью решения з.адачи Коши (как отмечается в [73], эта
задача в силу особенностей систем (1.50), (1.51) всегда неустой-
чивая). Малые отклонения начальных значений р0 от тех, которые
должны быть в окончательном решении, приводят к «диким» тра-
екториям и большим, нерегулярным изменениям величины Ф(ро).
ПЬэтому реализация любых численных процедур метода пристрел-
36
ки требует тщательного предварительного анализа, позволяющего
выбрать «хорошее» начальное приближение, т. е. такое приближе-
ние, которое гарантирует сходимость метода Ньютона. Однако
следует заметить, что использование каких-либо содержательных
соображений с целью нахождения такого начального приближения
для вектора р0 весьма затруднительно даже в тех задачах, где под-
бор разумного приближения в терминах управляющей функции
u(Z) достаточно прост. Это связано с тем, что сопряженные пере-
менные не имеют ясного физического смысла. Поэтому, возможно,
единственным выходом является решение задачи в некоторой уп-
рощенной постановке, допускающей относительно регулярное реше-
ние. На наш взгляд, конструктивные пути здесь могут быть наме-
чены с использованием методов продолжения (или методов вло-
жения), сравнительно давно используемых для исследования раз-
личных математических задач. Основная идея методов продолже-
ния довольно проста: решение исходной задачи заменяется реше-
нием аналогичной, но менее сложной задачи. Это решение «про-
должается» до достижения условий первоначальной задачи.
Рассмотрим вновь задачу о перелете КА в произвольном гравитационном по-
ле. Известно, что для ряда упрощенных, или модельных гравитационных полей
задача допускает аналитическое решение. Используя это обстоятельство, можно
наметить следующую схему решения задачи. Включим исходную П-систему
(1.64)л (1.69) в однопараметрическое семейство П-систем с параметром т:
Р
г = V; V= ------ е +G(/) + T[g(r, /) — G(/)]; m =—q\ (1.80)
m
pv = —PH Pr =— Tg/pv-
При значении параметра т=1 получаем исходную систему (1.64), (1.69). Здесь
через G (t) обозначен полином по времени, аппроксимирующий g(r, t). Его
можно получить разложением g (г, t) в ряд Тейлора по времени в начальной
точке t0. При т=0 система (1.80) приводится к уравнениям
Р
г = V; V = — е4- 0(0; (1-81)
т
Pv = —рг; рг = О,
допускающим интегрирование в замкнутом виде [39]. Решение задачи (1.81)
обычно служит хорошим Приближением к решению исходной системы (1.64),
Решение краевой задачи для П-системы (1.80) сводится к решению системы
нелинейных уравнений
Ф (Ро« О = 0, (1.82)
зависящих от параметра, т. При т=1 решение (1.82) соответствует исходной
краевой задаче, а при т=0 — упрощенной (1.81). Если р0(т) — непрерывное
решение системы (1.82) на отрезке [0,1], то можно перейти от приближенного
решения ро(т=О) к искомому р0(т=1) по траектории р0(т). Предполагая су-
ществование и непрерывность соответствующих производных, такой переход мо-
жно совершить, решая систему
(1 р _.
77=-фЛ фг (1.83)
37
При расчетах на ЭВМ обычно используются дискретные варианты метода про-
должения. Для этого отрезок 0^т^1 делится на М частей (необязательно рав-
ных) и решается последовательность из М краевых задач для точек разбиения
отрезка тг, i=l..., М. При этом каждый раз в качестве начального приближе-
ния используется решение предыдущей краевой задачи. Исходное решение со-
ответствует известному решению при т=0. Если шаг разбиения отрезка доста-
точно мал, можно предположить, что po(ti_i) попадает в область сходимости
метода Ньютона при нахождении ро(т<)- Можно повысить эффективность процес-
са1, используя, например, следующее выражение для начального приближения в
i-й краевой задаче:
Ро (V) = Р (\-1) - Фр' Фг - Tz-1), (184)
основанное на конечно-разностной аппроксимации (1.83). Для улучшения на-
чальной оценки Ро (тг) можно также использовать экстраполяцию данных из
предыдущих краевых задач.
Возвращаясь к обсуждению решения краевых задач методом
Ньютона (1.78), остановимся на вычислении матрицы частных про-
изводных Фр,0. Наиболее распространенным способом вычисления
этой матрицы, учитывая неявный способ задания функции Ф(р0),
является численное дифференцирование, основанное на конечно-
разностном способе вычисления производной. Этот способ требует
дополнительного (и—1) -кратного интегрирования задачи Коши для
П-системы (по числу неизвестных). Учитывая возможности совре-
менных ЭВМ, это обстоятельство не следует считать существен-
ным. Однако недостатком конечно-разностного метода является
подчас невысокая точность вычисления градиентов, ухудшающая
сходимость метода Ньютона. В этом случае матрица производных
ФРо может быть получена с помощью системы уравнений в вариа-
циях. Обозначая через 6q(£), Sp(O изохронные возмущения (ва-
риации) векторов q(0 и р(/) и линеаризуя П-систему Понтрягина,
запишем систему уравнений в возмущениях (вариациях)
6q=^6q + Н“ би; (1.85)
бр = — Нр бр — Hq бр — //"би; (1.86)
#“би +Нри Ь$+Няи бр=О. (1.87)
Все коэффициенты в (1.85)... (1.87) вычисляются на номинальной
траектории.
Соотношение (1.87) соответствует случаю открытого множест-
ва /7, к которому можно свести задачу, используя замену управ-
ления типа (1.41). При наличии разрывов в управлении u(Z) не-
обходимо также учесть возмущения моментов разрыва. Действи-
тельно, если такой разрыв происходит на номинальной траектории
при t=ti, то он произойдет на близкой возмущенной траектории
при t=ti+'s(ti). Понятно, что на интервале (^, Л + $(М] изо-
хронная вариация в управлении и будет с необходимостью конеч-
ной. Один из способов, позволяющий тем не менее вернуться к
слабым (малым) вариациям, состоит в замене этого конечного
38
приращения б-функцией Дирака, которая вызывает разрыв в изо-
хронных возмущениях состояния 6q [2]. Если управление релейного
типа, т. е. принимает лишь предельные значения, то его вариация
равна нулю, а возмущаются лишь моменты переключения.
При наличии разрывов в управлении система (1.85) ...(1.87)
дополняется уравнением для сдвигов s(ti) моментов переключе-
ний (2]:
s(/f)= |[tt₽('i+O) - HP{tt - 0)]6р(/г±0) +
+ [Н< (tt + 0) - НО — 0)1 8 q (/г + 0)}/D (/,), (1.88)
где
D(ti)= H‘(ti - 0) - //'('.+ 0)+Wi4- 0)^(/г-0) -
-№(^+0)Яр(^-0), (1.89)
я уравнениями для скачка возмущений состояния и сопряженных
переменных
6q(r<4-O)-6ql(/i-O)=[/yp(//— 0)-
_/^ + 0)]s(Q; (1.90)
бр (^ 4 0) - 6р(/г - 0)= [^(А + 0) -
-^^-О)]^^). (1.91)
В случае граничных условий типа (1.44) или (1.63) необходимо
также добавить уравнения для возмущений граничных условий
л условий трансверсальности.
Столбцы матрицы частных производных ФРо можно получить
при n-кратном интегрировании возмущенной системы (1.85)...
(1.91), последовательно полагая каждую из компонент бро равной
1, а другие компоненты равными нулю.
Подобная процедура получения матрицы ФР0 не является до-
статочно оправданной с точки зрения компактности и простоты
реализации программы на ЭВМ, поскольку для этого необходимо
иметь подпрограмму интегрирования весьма громоздкой линейной
системы уравнений изохронных возмущений (1.85)...(1.91). Тем
не менее в случаях, когда конечно-разностный метод дает неудов-
летворительные результаты, этот метод может оказаться необходи-
мым. Кроме того, как будет показано ниже, интегрирование урав-
нений изохронных возмущений может быть полезным для сужде-
ния об оптимальности траектории при отыскании сопряженных то-
чек.
Остановимся теперь на вопросе об оптимальности решений
-краевых задач для П-систем. Хорошо известно, что принцип мак-
симума дает для относительной оптимальности траектории необхо-
димые, но недостаточные условия. Следовательно, он допускает
более широкое множество решений, называемых стационарными,
которые соответствуют не только искомым локальным минимумам,
но и максимумам и седловым точкам в функциональном простран-
39
стве. Иногда из физических соображений можно установить суще-
ствование минимума так, что если принцип максимума допускает
единственное решение, то это решение будет действительно опти-
мальным. Однако в некоторых практических задачах единствен-
ность либо не имеет места, либо не может быть легко проверена
(в последней главе будет приведен пример задачи с бесконечным
множеством стационарных траекторий). Поэтому оптимальность
решения П-системы в общем случае не может быть гарантирована.
С целью получения метода, который бы позволял гарантировать
одной из экстремалей характер относительного минимума, были
развиты на основе теории второй вариации классического вариа-
ционного исчисления два подхода, формально различные, но сво-
димые один к другому: критерий второй вариации и отыскание со-
пряженных точек [13]. Исключая редкий случай равенства нулю
второй вариации и при выполнении некоторых других довольно ма-
ло ограничивающих условий, каждый из этих подходов вместе с
принципом максимума образуют необходимые и достаточные усло-
вия сильной оптимальности. Однако эти подходы имели ограничен-
ный практический интерес, поскольку не позволяли учесть ограни-
ченность области управления U и наличие точек разрывов (пере-
ключений) управления. В работе [2] было предложено обобщение
указанных подходов на случай ограниченных разрывных управле-
ний, т. е. до того же уровня общности, что и принцип максимума.
Поскольку отыскание сопряженных точек проще практически,,
остановимся на этом подходе. Если управления являются непре-
рывными и свободными от ограничений, то сопряженная точка со-
ответствует обращению в нуль определителя фундаментальной
матрицы решений возмущенных уравнений состояния (1.85). В ра-
боте [2] показано, что при наличии разрывов в управлении сопря-
женная точка соответствует изменению знака определителя, причем
фундаментальная матрица решений имеет разрыв в точках пере-
ключения. Таким образом, суждение об оптимальности решения
П-системы может быть вынесено при интегрировании уравнений в
возмущениях (1.85) ... (1.91) для построения фундаментальной
системы Q(/), состоящей из п линейно независимых решений
возмущенных уравнений состояния 6q, и проверке знака опреде-
лителя Q.
Завершая рассмотрение задачи построения оптимальных про-
грамм, основанное на принципе максимума, отметим, что трудно-
сти решения краевых задач для П-систем привели к разработка
большой группы прямых методов, таких как метод градиентов, со-
пряженных градиентов, метод вторых вариаций, методы, основан-
ные на сведении задачи оптимального управления к задаче нелиней-
ного программирования [15, 69, 72, 73, 106, 112]. Отметим также ме-
тод квазилинеаризации, основанный на принципе максимума [10,.
72]. Тем не менее, непрямой метод оптимального управления, осно-
ванный на решении краевых задач для П-систем Понтрягина,,
представляет большой интерес и имеет практическое значение..
Наиболее точные численные решения, например, вариационных за-
40
дач механики космического пблета связаны именно с решением со-
ответствующих П-систем [26, 63]. В последней главе будет изложен,
один эффективный метод решения рассмотренной выше краевой
задачи оптимального перелета КА в гравитационном поле (1.64),
(1.69), использующий метод продолжения.
1.4.3. Построение обратной связи
Определение оптимальной программы по схеме двухэтапной
оптимизации — лишь первый шаг проектирования системы управ-
ления. Благодаря действию различных возмущений действитель-
ная траектория ЛА отличается от ее номинальной (программной)
траектории. Это отличие может быть вызвано случайными, неоп-
ределенными или игнорируемыми при математической формули-
ровке задачи факторами в модели движения (1.42). Например, в'
рассмотренной в предыдущем разделе задаче о перелете КА в гра-
витационном поле такими возмущениями могут быть отклонение
действительного гравитационного поля от принятой модели, откло-
нения от номинальных характеристик двигателя (массовый расход,,
скорость истечения реактивной струи) и др.
Для того чтобы ЛА, несмотря на возмущения, выполнил задан-
ный маневр, номинальный закон управления, имеющий характер
программного управления и(/), должен быть изменен в зависи-
мости от реального движения ЛА:
u = u(q, /), (1.92>
что приводит к замыканию системы и возникновению обратной:
связи. Задачу построения управления (1.92) называют задачей
синтеза управления или задачей проектирования оператора обрат-
ной связи (1.92). В общем случае эта задача гораздо труднее зада-
чи программного управления, поэтому обычно на практике исполь-
зуются различные приближенные подходы к ее решению.
Впервые потребность построения законов управления с обрат-
ной связью возникла в связи с развитием ракетно-космической
техники, поэтому первоначальные методы создавались исключи-
тельно для этих задач. Наиболее ранним и простейшим из них яв-
ляется такой способ управления, при котором возвращение на но-
минальную траекторию происходит за минимальное время, вопрос
об оптимальности полученных траекторий даже не ставился. В ме-
тоде управления по скорости вычисляют, исходя из действительно-
го положения, баллистическую траекторию, проходящую через,
цель. Разность между вектором скорости для полученной таким
образом траектории и действительным вектором скорости ЛА да-
ет тот вектор скорости, который надо отработать системе управ-
ления. Здесь также не минимизируется потребление топлива, кро-
ме того, конечная скорость ЛА должна иметь возможность изме-
няться в широком диапазоне.
Наиболее перспективные методы заключаются в построении
оптимальных (в некотором смысле) законов управления, исходя
41
из измеренного состояния ЛА. Измеренное текущее состояние ЛА
рассматривается как совокупность новых начальных условий для
некоторой оптимальной траектории, близкой к номинальной. При
этом вычисления должны выполняться быстро, чтобы давать кор-
рекции управления с частотой, отвечающей требуемой точности
конечных условий. Принципиально здесь возможны два подхода.
Можно в каждой точке траектории, в которой измеряется сос-
тояние ЛА, решать полную задачу оптимизации управления, на-
пример, задачу (1.42)...(1.46). Ясно, что такой подход обладает
'большой гибкостью по отношению к изменениям цели маневра,
однако очевидны и трудности его реализации. В то же время нуж-
но указать, что при итерационном решении возникающей при этом
задачи оптимального управления можно ожидать быстрой сходи-
мости, поскольку при условии малости возмущения номинальная
траектория, как правило, является хорошим начальным прибли-
жением.
Другой подход основан на приближенном решении задачи оп-
тимального управления с помощью линейных дифференциальных
уравнений в возмущениях (1.85)...(1.91), описывающих семейство
траекторий, оптимальных до второго порядка и близких к номи-
нальной оптимальной траектории (управление по соседним экст-
ремалям). Решение линейной краевой задачи (оно проводится без
итераций) позволяет установить явную линейную связь между
.коррекциями управления и возмущениями в начальных и конеч-
ных условиях с помощью так называемых матриц коррекции, кото-
рые находятся для достаточного числа точек траектории и хранят-
ся в памяти бортовой ЭВМ. В случае значительных внешних воз-
мущений, когда использование линеаризации необосновано, мат-
рицы коррекции можно вычислять не для одной, а для целого се-
мейства номинальных траекторий так, чтобы действительная тра-
ектория была достаточно близка хотя бы к одной траектории из
этого семейства. Изложенный подход разрабатывался в [133, 148]
для случая непрерывных неограниченных управлений. В работе
[2] он обобщен на случай ограниченных и разрывных управлений.
Пусть действительная начальная точка траектории ЛА пол учи-
.ла малое отклонение от номинальной начальной точки
6q(M =«Чо, (1.93)
з конечная цель маневра сместилась на вектор
6q(^) =dqA (1.94)
'Предположим, что векторы 6q0 и 6q/ могут быть точно измерены,
*т. е. известны (не рассматривается задача о фильтрации шумов
измерений).
Предполагая малость введенных отклонений, можно поста-
вить задачу построения соседней оптимальной траектории, удов-
летворяющей линеаризованным дифференциальным уравнениям в
^возмущениях (1.85)...(1.91). Можно показать, что построенные та-
42
ким образом возмущения (коррекции) управления би(/) и траек-
тория 6q(Z) минимизируют функционал (1.45) с точностью до чле-
нов второго порядка малости по 6q, би.
Несложно показать, что уравнения (1.85)...(1.91) полностью
определяют искомую корректирующую поправку к закону управ-
ления би (0- Действительно, проинтегрируем 2п раз систему
(1.85) ...(1.91) от tf до t0, полагая последовательно каждую из ком-
понент векторов p(tf) и ^q(tf) равной единице, а остальные нулю
(тем самым определяем фундаментальную матрицу Х(<)). В силу
линейности и однородности системы результат можно представить
в виде
’8q(0
.бр(О .
^qp (О Xqq (/) 8 Р/
Хрр (0 . &Ч/.
(1.95)
6u(/)=[Yp(7)
Yg(0]
8Р/
_6q/.
(1.96)
В точках переключений управлений сдвиг времен и соответствую-
щие разрывы изохронных возмущений 6q и бр вычисляются по
(1.88)...(1.91) (напомним, что в действительности это означает, что
конечные возмущения управлений на отрезке (Л-, ^-t-s(A)],
вде ti номинальный момент переключения, заменены б-функцией
Дирака, действующей при t=ti на возмущенный вектор скорости
системы). В результате получаем
*('/) = [SpfMSqW
8Р/1 ,
mJ
(1.97)
Поскольку номинальная траектория оптимальна, матрица,
Хдр будет неособой на всем интервале tf) по условию отсут-
ствия сопряженных тойек, рассмотренному выше. Допуская также,
что начальная точка не является сопряженной с конечной точкой
(это возможно в редком случае равенства нулю второй вариации),
из уравнения (1.95) получим
бр/= [ХчД'о)Г'[ вЧо-*„(/о) И/]; (1-98)
бр» = 'Хрд(^о) Go)] 16qo +
+ {Xp?(Q - Хрр(/0)[Х„(QJ-1ХВД(/О)} 8q/. (1.99)
Окончательно, уравнения (1.96) и (1.97) дают искомые поправ-
ки для величины и моментов переключения управления. Несложно
видеть, что этот закон управления является управлением с обрат-
ной связью. Действительно, для этого достаточно в условии (1.93)
считать точку to текущей точкой и измерять вектор отклонений
iq(Z), чтобы получить синтез управления.
43
В случае, если граничные условия задачи имеют вид (1.44) или
(1.63), к системе (1.85)...(1.91) необходимо добавить уравнения
для возмущений граничных условий и условий трансверсально-
сти [2].
В работах [2, 141, 165] рассмотрено весьма полезное усовер-
шенствование изложенной схемы управления, основанное на ис-
пользовании- понятия времени достижения цели (time—to—go),
предложенного в [149]. Идея усовершенствования состоит в вычис-
лении возмущений не для одного и того же момента времени на
номинальной и действительной траектории, а так, чтобы время, ко-
торое остается до конечного момента, было одинаковым на обеих
траекториях. Вводится время т на действительной траектории и t—
на номинальной, причем соответствие между т и t устанавливает-
ся соотношением т/—r=tf—t. При наличии пёреключений в управ-
лении удобнее рассматривать время достижения только до следую-
щего момента переключения, что приводит при ^[тг-i, тг] к со-
отношению
Z_Zo=T_T()_s(/.). (1.Ю0>
Тогда корректирующее управление определяется в виде
и(т) = и(0 + би(О, (1.101>
т._т=/._/ + 5(/д (1.102)
причем расчет 6и(0 и s(ti) ведется по соотношениям (1.96)...
(1.99), в которых полагается
6q = q(T)-q(0. (1-ЮЗ>
Численное моделирование, выполненное в указанных работах,,
показывает значительные преимущества метода времени достиже-
ния по сравнению с методом номинального времени как по расхо-
ду топлива на управление, так и по конечной точности, а также по
требованиям к памяти бортовой ЭВМ.
Глава. 2. ИССЛЕДОВАНИЕ ЗАДАЧИ ВЫБОРА ПРОЕКТНЫХ
РЕШЕНИИ МЕЖОРБИТАЛЬНОГО КОСМИЧЕСКОГО
АППАРАТА С НЕРЕГУЛИРУЕМЫМ ДВИГАТЕЛЕМ
2.1. ВВЕДЕНИЕ И ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Современный этап космических исследований отличается по-
стоянным возрастанием массы выводимых и транспортируемых в
космическом пространстве искусственных объектов научного и на-
роднохозяйственного назначения. Это приводит к необходимости
постоянного совершенствования космических средств межорби-
тальной транспортировки. Помимо уже используемых в настоящее
время маневрирующих КА, исследуются и разрабатываются раз-
44
Рис. 2.1. Межорбитальный космический аппарат
с ЖРД (жН2 — жидкий водород; жО2 — жид-
кий кислород):
1 — силовая алюминиевая балка; 2 — система
управления; 3 — многослойная тепловая изоля-
ция; 4 —ферма из углеродоэпоксидных коничес-
ких труб; 5 — топливные элементы, система над-
дува и подачи топлива; 6 — четыре двигателя
тягой 89 кН
личные проекты межорбитальных косми
ческих аппаратов, или космических
’буксиров [167, 108, 136, 144, 158, 162, 166].
Предполагается, что в этих проектах бу-
дут использоваться как традиционные
двигатели на химическом топливе, так и
перспективные ядерные ракетные двига-
тели и электроракетные двигатели. В
работе [67] рассмотрен проект межорби-
тального корабля (МОК), базирующе-
гося в космосе и предназначенного для
транспортировки грузов между низкой
околоземной орбитой и геостационарной орбитой (рис. 2.1.). МОК
•состоит из двух сферических баков, фермы из углеродоэпоксидных
труб и четырех двигателей ЖРД с удельным импульсом Руд=476с,
работающих на топливе жидкий кислород — жидкий водород.
При стартовой массе МОК 182 т (сухая масса около 5 т) полез-
ная нагрузка, доставляемая на геостационарную орбиту, равна
50 т.
Благодаря ряду достоинств, таких как высокий удельный им-
пульс, возможность гибкой отработки программ орбитального ма-
неврирования, малое загрязнение окружающей космической сре-
ды, можно ожидать в будущем достаточно широкое приме-
нение ЭРД, особенно в тех операциях, где высока по-
требная энергетика маневров, а располагаемое время этих
операций достаточно продолжительно. В работах [130,
131] рассмотрен проект универсальной космической ступени SEPS
с солнечной электроракетной двигательной установкой (СЭРД)
(рис. 2.2), предназначаемой для осуществления в период до 1990 г.
многочисленных высокоэнергетических межпланетных и межор-
битальных полетов, таких как встреча с кометой, встреча с асте-
роидами, выведение на орбиту искусственного спутника Сатурна,
полеты на геостационарную орбиту и др. Основными элементами
SEPS являются солнечные панели размером 4X31 м и мощностью
13 кВт каждая и двигательная установка, состоящая из шести —
восьми ионных ЭРД. Предполагается использование разрабатыва-
емого в настоящее время ионного ртутного ЭРД диаметром 30 см
с ионизацией рабочего тела электронным ударом. Такой двигатель
имеет удельный импульс 3100 с, тягу 130 МН, КПД около 734b1 и
45
1
Рис. 2.2. Универсальная космическая ступень SEPS:
1 — панели солнечных батарей; 2 — полезная нагрузка; 3 — зонд для исследо-
вания кометы Галлея; 4 — штанга магнитометра; 5 — остронаправленная ан-
тенна; 6 — силовая рама; 7 — двигательный отсек; 8 — отсек научной аппара-
туры
ресурс не менее 15000 ч [151]. Первым возможным применением
SEPS рассматривается полет к кометам Галлея и Темпля 2 летом
1985 г. [130, 167]. Проекция гелиоцентрической траектории на плос-
кость эклиптики показана на рис. 2.3. При стартовой массе SEPS
около 28 т полезная нагрузка составляет около 700 кг. Предпола-
гается, что запуск SEPS будет производиться с околоземной орби-
ты с помощью межорбитального аппарата с ЖРД.
В работах [108, 157—159] обсуждается проект космического
буксира с электроракетной двигательной установкой, использующей
энергетический модуль, выключаю-
щий ядерный реактор на быстрых
нейтронах с защитой, термоэмисси-
Рис. 2.3. Схема облета двух комет:
1 — старт с орбиты Земли 1.8.85 г.; 2 —
пролет кометы Галлея 28.11.85 г.; 3 —
траектория перелета SEPS; 4 — встреча с
кометой Темпль 2 18.7.88 г.; 5 — положе-
ние перигелия орбиты Темпль 2 (17.9.88 г.);
6 — завершение программы полета; 7 —
положение перигелия орбиты Галлея
(9.2.86 г.)
46
онный или термоэлектрический преобразователь, радиатор-излуча-
тель на тепловых трубках (рис. 2.4). Общее представление о воз-
можностях ЭРД по сравнению с традиционными ЖРД при иссле-
Рис. 2.4. Космический буксир с ЭРД:
1 — антенна; 2 — полезная нагрузка; 3 — вспомогательный .излучатель преоб-
разователя энергии; 4 — энергопреобразователь; 5 — основной излучатель; 6—
канал низковольтного кабеля; 7 — ионные двигатели; 8 — силовая защита ш
несущая конструкция; 9 — защита; 10 — реактор
довании Солнечной системы можно получить из рис. 2.5 (157], где
представлены оценки величины полезной нагрузки, доставляемой
на орбиты небесных тел КА с ЖРД, СЭРД (SEPS) и ЭРД мощ-
ностью 100 и 200 кВт с удельными массами 30 и 40 кг/кВт. Тех-
нологический уровень ЭРД соответ-
ствует оценкам для периода
1985—90 гг. Видно, что эффектив-
ность применения ЭРД наиболее
сильно проявляется в высокоэнерге-
тических полетах к самым отдален-
ным планетам Солнечной системы.
Рассмотрим задачу выбора про-
ектных решений многоцелевого
(универсального) космического бук-
сира с двигателем большой или ма-
лой тяги. К выбираемым проектным
параметрам относятся тяга и масса
двигательной установки, скорость
истечения рабочей струи из двига-
теля, расход рабочего тела, мощ-
ность и ресурс двигателя, масса топ-
ливного отсека, масса конструктив-
ных элементов и т. д. Рассматрива-
ется случай нерегулируемой двига-
тельной установки. Нерегулируе-
Рис. 2.5. Возможности КА с
различными типами двигателей при
исследовании Солнечной системы
47
мым называется двигатель, работающий по следующей схеме: он
:может быть либо включен, тогда тяга Р, расход q (а также ско-
рость истечения №) постоянны, либо выключен (тогда тяга Р и
расход q равны нулю). Характеристиками программы полета не-
регулируемого двигателя являются длительности активных (т. е.
с включенным двигателем) и пассивных участков траектории, за-
коны направления тяги на активных участках.
Математические модели космического буксира с нерегулируе-
мой двигательной установкой весьма схожи для двигателей боль-
шой и малой тяги и различаются в основном уровнем тяговоору-
женности (отношение тяги к массе КА) и скоростью истечения ре-
активной струи. Это обстоятельство позволяет подойти к исследо-
ванию задачи проектирования для обоих классов двигательных сис-
тем с единых позиций и рассматривать их параллельно, оговари-
вая всякий раз особенности и соответствующие различия. Здесь ос-
тановимся на главных особенностях. Во-первых, для современного
уровня разработки ЭРД характерны весьма большие значения
удельной массы двигательной установки и, как следствие, малые
значения реактивного ускорения. Наоборот, для двигателей ЖРД
характерен достаточно высокий уровень развиваемого ускорения
КА и малая удельная масса. Во-вторых, в случае ЖРД скорость
истечения выбирается близкой к максимально достижимой для
рассматриваемого топлива исходя из практической возможности
создания двигателя, в то время как для ЭРД скорость истечения
является существенно оптимизируемым параметром, выбор кото-
рого производится в достаточно широком диапазоне.
Эффективность космического буксира как универсального (мно-
тоцелевого) элемента транспортной системы обычно анализирует-
ся на конкретной совокупности перелетов, или модельной про-
грамме транспортировки (диапазон выполняемых задач). Предпо-
лагается заданной программа транспортных перевозок (диапазон
задач), характеризующаяся параметрами отдельных рейсов, выпол-
няемых буксиром: массой транспортируемой полезной нагрузки,
маршрутом перелета типа «орбита—орбита» и временем перелета.
Задачей проектирования является определение основных про-
ектных параметров космического буксира, обеспечивающих вы-
полнение всего заданного диапазона задач и максимизирующих
выбранный критерий эффективности, зависящий в общем случае
от проектных параметров аппарата, удельных характеристик, зако-
нов управления и диапазона выполняемых задач.
В качестве критериев эффективности используются массовые
и стоимостные характеристики проекта: эффективность выполнения
отдельной задачи характеризуется величиной стартовой массы
буксира или стоимостью выполнения задачи, а эффективность вы-
полнения всего диапазона задач — величиной суммарной нагруз-
ки, выводимой на низкую базовую орбиту с Земли для выполнения
всей программы перевозок или стоимостью выполнения всего диа-
пазона задач до выработки ресурса аппарата. Использование в
качестве критериев эффективности массовых характеристик проекта
48
является традиционным для механики космического полета [26].
Это обусловлено высокой стоимостью выведения космических ап-
паратов с поверхности Земли на околоземную орбиту с помощью
ракет-носителей.
Применение стоимостных критериев было ограничено из-за от-
сутствия до последнего времени в литературе достоверных стои-
мостных зависимостей. Следует также указать на то, что исполь-
зование массовых критериев позволяет детально проанализировать
влияние основных проектных параметров буксира на его тран-
спортные возможности, поскольку массовые характеристики явля-
ются непосредственным выходом проектного анализа. Тем не ме-
нее использование стоимостных критериев как критериев более вы-
сокого уровня является целесообразным и даже необходимым ша-
гом при исследовании перспектив применения новых типов двига-
тельных систем.
Многоцелевое применение космического буксира приводит к
разделению проектных параметров и законов управления космиче-
ского буксира на две группы — универсальных (неизменных от
маневра к маневру) и адаптирующихся к условиям применения.
Законы управления (программа полета) формируются индивиду-
ально для каждой задачи из заданного диапазона, а проектные
параметры, такие как тяга и скорость истечения реактивной струи
двигателя, постоянны для всех маневров. Ряд параметров КА, на-
пример, масса заправляемого топлива во внутренних и подвесных
баках, масса полезной нагрузки изменяются (настраиваются) от
маневра к маневру. Если диапазон задач, решаемых буксиром, до-
статочно широк, может оказаться целесообразным выбор несколь-
ких типов двигателей (или ступенчато регулируемого движителя
ЭРД, параметры которого могут меняться от маневра к маневру)
или буксиров, которые совместно обеспечивают выполнение задан-
ного диапазона задач с высокой эффективностью, перераспределяя
задачи между собой оптимальным образом.
В соответствии с делением проектных параметров и законов
управления на две группы общая задача проектирования много-
целевого летательного аппарата разбивается на основе принципов
корректного разделения на динамическую и параметрическую
части.
Динамическая задача состоит в определении оптимальной про-
граммы управления летательного аппарата при фиксированных
проектных параметрах ЛА и параметрах выполняемого маневра.
Ее решением является зависимость характеристики затрат на вы-
полнение маневра от параметров аппарата и параметров маневра.
Решение динамической задачи, т. е. определение характерис-
тики^затрат на всем рассматриваемом диапазоне задач позволяет
перейти к заключительной параметрической задаче, т. е. определе-
нию оптимального проекта многоцелевого ЛА. В зависимости от
информированности, проектанта о вероятности возникновения тех
или иных эксплуатационных ситуаций (частоте выполнения задач
из заданного диапазона и т. д.) и удельных характеристик ЛА и
4—4537 49
его систем практическое применение имеют два подхода к выбору
проектных решений ЛА, использующие интегральные или мини-
максные критерии и основанные на детерминированной, вероятно-
стной и гарантированной оценках проекта. Соответственно, пара-
метрическая задача формулируется в детерминированной, статис-
тической или минимаксной постановке.
Специфические сложности исследования и оптимизации проек-
та многоцелевого космического буксира во многом связаны с уче-
том диапазона выполняемых задач. Чтобы представить трудности
в разработке алгоритмов оптимизации проекта многоцелевого ЛА,,
достаточно указать, что задача оптимизации проекта одноцелево-
го аппарата, т. е. аппарата, предназначенного для выполнения
одного маневра, используется при минимаксном анализе проекта
многоцелевого ЛА как своего рода «стандартная операция».
Необходимо особо подчеркнуть сложность динамической задачи,
которая в общем случае приводит к необходимости решения це-
лой серии вариационных задач оптимального перелета КА в гра-
витационном поле. Если для аппаратов с большой тягой благода-
ря использованию так называемой импульсной аппроксимации
удается во многих случаях построить приближенное решение ди-
намической задачи, то для аппаратов с малой тягой зачастую
приходится иметь дело с трудными нелинейными краевыми зада-
чами оптимальных перелетов с конечной тягой.
Проблема выбора проектных решений многоцелевого (универ-
сального) аппарата с двигателем малой тяги впервые получила
свое развитие в работах (25, 26, 84]. Однако большинство резуль-
татов до настоящего времени получено для так называемого иде-
ального двигателя малой тяги (в этом случае характеристика за-
трат на перелет не зависит от проектных параметров аппарата
и анализ проектных решений обычно проводится без решения ди-
намической задачи, а диапазон маневров представляет собой пред-
полагаемый диапазон изменения характеристики затрат). В слу-
чае нерегулируемого двигателя решение задачи наталкивается на
существенные трудности, связанные с усложнением модели проек-
тирования (возрастает размерность и усложняется структура диа-
пазона маневров) и трудоемкостью решения динамической части
анализа проекта. Отдельные результаты, полученные в указанных
работах, основаны на использовании ряда упрощающих предпо-
ложений, не отражающих полностью специфику задачи проектиро-
вания многоцелевого буксира.
2.2. МОДЕЛЬ КОСМИЧЕСКОГО БУКСИРА
С НЕРЕГУЛИРУЕМЫМ ДВИГАТЕЛЕМ
Исходным при постановке задачи выбора проектных решений яв-
ляется уравнение масс космического буксира с нерегулируемым
двигателем перед выполнением очередного рейса (задачи), запи-
сываемое в относительном виде
Нп.н = 1— ИДУ — Нт — Нт.о — Рпр, (2.1)
50
где |лп.н=/пп.н/т0 - относительная полезная нагрузка рейса;
Нду= /ПдуМо, Нт= '«т/'По» Нт.о= /Ит.о//Ио> Нпр= ОТпр//П0 — ОТНОСИ-
тельные массы двигательной установки, топлива, топливного
отсека и прочих элементов конструкции; т0—стартовая
масса буксира на низкой базовой орбите у Земли перед оче-
редным рейсом; 11ду = ТдуА^= 7дУ.р—масса двигательной ус-
тановки (постоянная для всех рейсов), пропорциональная либо
электрической мощности N, вырабатываемой источником энер-
гии (ЭРД), либо тяге Р (ЖРД,); mT=q7p — масса топ-
лива, пропорциональная времени работы двигателя при вы-
полнении рейса Тр (заправляется перед каждым рейсом и
полностью вырабатывается за рейс); тт,0 = уто тТ — масса топлив-
ного отсека, пропорциональная массе топлива; /пПр = 7пр1/пду4-
+Тпр2,77о~ масса прочих элементов конструкции; уду, тт.о,
Tnpi> Тпр2 — удельные массы двигательной установки, топлив-
ного отсека и прочих элементов конструкции; тп.н — полез-
ная нагрузка, доставляемая за один рейс с базовой орбиты
у Земли на конечную орбиту.
Все расчеты удобно проводить в безразмерных перемен-
ных. Масштабом расстояния может быть принят радиус г0 на-
чальной базовой орбиты у Земли, скорости —скорость V на,
этой орбите 1/=1<Нгр/го> ускорения—ускорение силы тяготе-
ния на этой орбите g= Нгр/Го> времени — величина Т0/2к =
= г„Уг0/ртр, -где То — период обращения на базовой орбите,
Ртр — гравитационная постоянная Земли.
Используя два независимых параметра нерегулируемой дви-
гательной установки — начальное ускорение от тяги ао=Р/то и
скорость истечения реактивной струи W, получим
изрд=25Г^.; (2,2)
Нт= (2.3)
где т] — тяговый коэффициент полезного действия движителя
(ЭРД), представляемый обычно в виде произведения т1=;т]энТ1м,
где т|эя — энергетический КПД, т|м — коэффициент использования
рабочего тела [24].
Тогда уравнение (2.1) можно переписать в йиде
И.,.- 1- (И-Т.„) - А Тг(| + ТтJ - Тпи. (2.4)
Заметим, что модель масс (2.4) зависит от отношения -ЬЗД-х
Т/
X (1 +Тпц)> поэтому для простоты записи можно полагать
4* 51
Г^кГ/квт
Рис. 2.6. Зависимость
удельной массы двига-
тельной установки ЭРД
от электрической мощно-
сти энергоустановки (точ-
ки соответствуют харак-
теристикам созданных
или проектируемых энер-
гоустановок)
Рис. 2.7. Зависимость
КПД ионного ЭРД от
удельного импульса
ТпР2 = Tnp, (1 + ТпР1)= ТДу- Вектор удельных характерис-
тик имеет вид х<х=(тду> Тт.о» ТпР)-
В общем случае удельные характеристики являются функциями
выбираемых параметров двигателя и апцарата, например, тДуД =
= Тду(^> т), где г — ресурс двигательной установки, а так-
же зависят от типа двигателя, конструктивно-компоновочной
схемы двигателя, баков и отсеков КА, характеристик применяемых
материалов, компонентов топлив и т. д. При определении удель-
ных массовых характеристик буксира возможны два подхода —
составление специальных математических моделей проектирования
отсеков и двигателя (т. е. использование двухуровневой модели
проектирования ЛА) и расчет на основании обработки статисти-
ческих данных. На рис. 2.6 показана характерная зависимость
удельной массы электроракетной двигательной установки от элек-
трической мощности источника энергии [150], а на рис. 2.7 зависи-
мость КПД ионного движителя от удельного импульса [159].
За основные проектные параметры космического буксира с
нерегулируемым двигателем можно принять мощность N (ЭРД)
или тягу Р (ЖРД) и скорость истечения реактивной струи
W или удельный импульс Руд.
Поскольку стартовая масса буксира меняется от рейса к рейсу,
а неизменной остается лишь масса двигательной установки, удоб-
но использовать следующую запись модели масс буксира, поделив
(2.4) на цду
₽=(1-Тпр)а-(1+7т.0)т-1, (2.5)
где а=т0//пду — стартовый параметр; Р=/пп.я//иду— параметр
загрузки буксира; 7= — параметр заправки буксира.
Входящие в правую часть (2.5) параметры несложно преобра-
зовать, используя (2.2), (2.3):
а —
2^ .
ТдувО^
(2.6)
52
(2.7)
__ T\L
T= Тду
В общем случае рейс (задачу) будем характеризовать па-
раметрами начальной qQ и конечной орбит буксира, време-
нем перелета Т и величиной полезной нагрузки /пп.н, достав-
ляемой на конечную орбиту. Совокупность этих величин со-
ставляет вектор параметров рейса (задачи) хс = (Qo, q/9 Т,
и маневра ха (</о, Т'). Космический буксир является по сво-
ему назначению многоцелевым ЛА, обслуживающим серию
маневров и задач, параметры которых образуют диапазоны
маневров Ха и задач Хс. Зачастую многоцелевое использова-
ние буксира предполагает замкнутость маршрутов перелета:
после доставки полезного груза /пхпп на заданную орбиту qf
буксир возвращается с полезным грузом тп\ н обратно на ба-
зовую орбиту д0 у Земли, где готовится к выполнению оче-
редного рейса. В этом случае название орбиты qf конечной
является условным, а в задание на перелет входят две вели-
чины полезного груза: и т2пп. Во всех дальнейших рас-
четах для определенности полагалось ^н= ^п.н= ГПпп'
Эффективность выполнения буксиром задачи хс может быть
оценена стоимостью транспортировки
Сс = С0+Сб/д + Ст + Спр, (2.8)
которая в основном определяется стоимостями собственно
буксира Сб (/п6, N, Руд, т, /пт.о, /ппр), топлива Ст(/ит) и доставки
буксира и топлива с'Земли на базовую орбиту С0(/иб, тт), а
также прочими затратами Спр. В (2.8) стоимость буксира час-
тично переносится на себестоимость каждого рейса, причем
в качестве показателя измерения затрат на один рейс будем
использовать время работы двигателя в полете, определяющее
расходование ресурса двигательной установки
д=т/Ти. (2.9)
Прочие затраты как независящие от параметров буксира можно в
дальнейшем опустить.
Обычно все стоимости принимаются пропорциональными соот-
ветствующим массам, мощностям и т. д., либо некоторым простым
функциям от этих параметров; при этом коэффициенты пропорцио-
нальности имеют смысл удельных стоимостей (см., например, стои-
мостные модели ЭРД в работе [156]).
Рассмотрим простейшую модель стоимости для буксира с ЭРД,
которая может быть при необходимости детализирована. В этом
случае в первом приближении можно отождествить стоимость
буксира со стоимостью двигательной установки
С*ДУ /Яду, (2.10)
53
кроме того, приняв тт0= тпр= О,
Ст=ст тт; (211)
С0=с9(тг+тДу/п), (2.12)
где Сду, ст, cQ — удельные стоимости двигательной установки,
топлива и выведения .на базовую орбиту с Земли соответст-
венно.
Так как масса полезного груза при выполнении задачи Хс за-
дается, удобно от стоимости выполнения задачи (2.9) перейти к
стоимости транспортировки единицы полезного груза
С = Сс//Ип.ч= (Сду + С0)/(П Р) + (ст +- с0) т/₽ =
= (еду + c0)S, (2.13)
где введен коэффициент стоимости
S= -1--hvi; (2.14)
л? Г
v=(cT + <?0)/(<?ду + с0). (2.15)
Так как задача на минимум с (или Сс) эквивалентна задаче на
минимум относительного параметра S, в качестве критерия эффек-
тивности задачи можно использовать величину —S, если предпо-
лагается максимизация критерия эффективности.
Наряду со стоимостными критериями при оценке проекта кос-
мического буксира используются также массовые характеристики
проекта. Критерием эффективности выполнения задачи хс может
быть принята величина относительной полезной нагрузки рейса
|хп.н. При заданной величине полезной нагрузки тп.н этот критерий
соответствует минимизации стартовой массы буксира /п0. Формаль-
но максимизация цп.н соответствует минимизации S при значениях
и и v в (2.15), (2.14), равных единице, когда удельные стоимости
двигателя и топлива равны между собой. В этом случае
Sn=i= —-------1. (2.16)
Iх п.н
Заметим, что для ЭРД величина v может заметно отличаться от
единицы (156]. При v = 0 минимизация S отвечает максимизации
коэффициента загрузки буксира 0, т. е. минимизации мощности
(тяги) двигателя.
Таким образом, в качестве универсального критерия эффектив-
ности выполнения задачи может быть принята относительная ве-
личина 5 при соответствующих значениях параметра v.
Остановимся на взаимосвязи удельных характеристик в стои-
мостной и массовой моделях. Типичная зависимость удельной сто-
54
имости двигателя от его удельной массы показана на рис. 2.8.
Видно, что на отрезке 1т, ijy] удельная стоимость монотонно
уменьшается (например, в результате применения более дешевых
материалов и технологии производства) до минимального значе-
ния сду, а затем начинает расти вместе с удельной массой. Поэ-
тому при оптимизации проекта по стоимостному критерию следует
учитывать возможность варьирования массовых- удельных харак-
теристик на отрезке [7дУ, ?Jy] при Гду > еду .
Можно показать, что при фиксирован-
ных параметрах двигательной установки
задача о минимуме стоимости Сс или стар-
товой массы т0 сводится к задаче о мак-
симуме конечной массы КА или минимуме
массы рабочего вещества /пт, что эквива-
лентно минимизации времени работы дви-
гателя Т(л. Поэтому время работы двига-
теля может быть принято за характеристи-
ку затрат F]\y, хА) на выполнение манев-
ра хА, введенную в разд. 1.3, и определя-
ется из решения динамической задачи —
вариационной задачи типа (1.10):
Рис. 2.8. Взаимосвязь
удельной массы и удель-
ной стоимости
^=8; (0)=0; (Т)= min;
Г = V; г(0) = г0; г(Т) = г,; (2.17)
V =------------- е + g; V(0) = Vo; V(7) = Vz.
«о
Здесь г, V — фазовые координаты буксира (радиус-вектор и
скорость центра масс аппарата); б, е — управляющие функции
(релейная функция включения-выключения двигателя, принимаю-
щая значение 1, когда двигатель включен, и 0, когда выключен, и
единичный вектор тяги); g=g(r, t) —вектор ускорения от гравита-
ционных сил.
В вариационной задаче (2.17) требуется определить оптималь-
ные программы управления буксира е(/) и при перелете по
заданному маршруту q0=(r0, Vo), Ч/=(г/, V/) за заданное время
Т, минимизирующие время работы двигателя T\i. Это требование
при фиксированных параметрах буксира cto и W соответствует ми-
нимуму расхода топлива и максимуму относительной полезной
нагрузки jin.H и минимуму коэффициента стоимости 5. Решение
(2.17) удобно проводить в безразмерных переменных, используя,
например, масштабы величин, введенные выше.
С точки зрения механики космического полета определяющее
влияние на решение задачи (2.17) оказывает величина реактив-
ного ускорения КА по сравнению с местным гравитационным уско-
55
рением, т. е. безразмерное реактивное ускорение. Верхний предел
реактивного ускорения определяется удельной массой двигателя и
не может превысить величины 1/Тду • Для двигателей большой
тяги (точнее, большого ускорения от тяги) характерны низкие
значения удельной массы и реактивное ускорение, сравнимое с
гравитационным ускорением на поверхности Земли gQ. Для двига-
телей малой тяги (малого ускорения), например ЭРД, значения
удельной массы весьма велики (по крайней мере на современном
уровне разработки таких двигательных систем) и значения раз-
виваемого ими ускорения на несколько порядков меньше, чем go-
Следует однако отметить, что вдали от гравитирующих тел, напри-
мер, на гелиоцентрическом участке межпланетного перелета, реак-
тивное ускорение КА с ЭРД может быть сравнимым с местным
гравитационным ускорением, например, от Солнца. В этом случае
безразмерное реактивное ускорение ЭРД в задаче (2.17) имеет
порядок, обычный для двигателей большой тяги.
Решением динамической задачи (2.17) является функция мини-
мальных затрат, или проектно-динамическая функция:
ТГ-Ти(а0, W, q0,qy, 7), (2-18)
определенная на диапазоне маневров Ха для параметров буксира
а0 и W7, представляющих практический интерес. Существенно, что
характеристика затрат не зависит от параметра задачи /ип.н и
удельной массы двигателя уду, что повышает ее универсальность.
Результаты численных и аналитических решений, полученных
в механике космического полета, позволяют судить о свойствах
функции минимальных затрат (2.18), полезных для дальнейшего.
Функция Т |i (а0) — монотонно убывающая, гладкая, выпуклая
вниз, определенная на полубесконечном интервале, [До,»], где
aQ соответствует перелету без выключения двигателя (рис. 2.9):
< 0; > 0; W, q0, q/( Т = fixe.
daQ да^
При межорбитальных перелетах в центральном ньютоновском
поле со свободным (незаданным) угловым перемещением функция
7р.(7)( при фиксированных а0, ?о, — монотонно убывающая,
выпуклая вниз, определенная на интервале [Т“,оо], где 7~
соответствует перелету без выключения двигателя Ту. (а0) = Т~
(рис. 2.10). График функции Т ц (7) содержит участки постоянных
значений 7 р., которые предшествуют появлению нового активного
участка полета с работающим двигателем по мере роста длитель-
ности перелета. Начало участка постоянного Ту. соответствует ми-
нимальному времени работы двигателя и оптимальному времени пе-
релета для траектории с соответствующим числом активных участ-
ков. С ростом 7->°° число активных участков также стремится к
бесконечности, при этом траектория представляет последователь-
ность двух типов оскулирующих кеплеровских орбит, одна из ко-
торых содержит бесконечно малые активные участки с тягой, ка-
56
бодным угловым перемещением
сательной к орбите, в районе перицентра, а другая — в районе апо-
центра. Гравитационные потери в этом случае стремятся к нулюг
а затраты топлива — к нижнему пределу, достигаемому при беско-
нечно большой тяге двигателя, когда активные участки заменя-
ются мгновенными импульсами скорости. В работах (144, 162, 163}
рассматривается схема перелета на стационарную орбиту, исполь-
зующая восемь включений двигателя в перигее.
В дальнейшем часто будет использоваться частный вид зави-
симости (2.18), получаемый при рассмотрении динамической задачи
(2.17) на максимальное быстродействие (минимальное время пере-
лета), когда T=7\i=min:
T'min = Т (Яо, W, Чо>Ч/)« (2.19)*
Заметим, что перелеты без выключения двигателя выгодны при*
использовании ЭРД для полетов в околоземном и окололунном
космическом пространстве, когда траектория носит характер мно-
говитковой спирали и незначительная экономия топлива за счет
выключения двигателя не оправдывается увеличением времени
выполнения рейса. Укажем также на возможное априорное требо-
вание об отсутствии выключений двигателя при выполнении рейса..
В качестве характеристики затрат на перелет можно исполь-
зовать величину характеристической скорости маневра
т
bV=^a(C)dt, (2.20)
о
которая связана с Ту, формулой Циолковского:
AV=_JFln (1- . (2.21)
57
Затраты топлива на выполнение маневра выражаются зависи-
мостью
/пт= mQ (1- exp (- ДУ/IF)). (2.22)
Удобство применения AV связано с тем, что для двигате-
лей большой тяги ее величина оказывается весьма близкой
импульсной характеристической скорости ДУИ, соответствую-
щей импульсному приложению тяги (Р—> сю, Ур,0), когда
характеристическая скорость равна сумме величин импульсов
скорости на траектории.
В работе [92] показано, что отличие характеристической скорос-
ти от импульсной, обусловленное ограниченностью тяги и протя-
женностью активных участков (так называемые гравитационные
потери скорости), может быть выражено для каждого импульса
скорости следующей приближенной зависимостью
Д|/гр= Д/И^/6Т2, (2.23)
где Т — период обращения по круговой орбите радиуса г,
равного расстоянию точки приложения импульса от центра
притяжения.
Подставляя значение Тр из (2.21), получим
дугР= А^р i1-ехр (- <2-24>
F 24<Zq г3
или приближенно
Ду = ^2(АГи)!.., (2.25)
24л2 V3
где V, g — скорость и гравитационное ускорение на круговой ор-
бите радиуса г.
Из (2.23) видно, что наибольшее влияние на гравитационные
потери скорости оказывают расстояние КА от центра притяжения,
величина импульса ДУИ и начальное реактивное ускорение а0, при-
чем потери растут с ростом ДУИ и уменьшением г и а0. Увеличение
скорости истечения несколько увеличивает гравитационные потери
за счет увеличения времени работы двигателя. Из (2.25) видно, что
на величину гравитационных потерь по существу оказывает влия-
ние безразмерное значение реактивного ускорения, выраженное в
долях g.
В работе {94] численными расчетами показано, что при време-
нах работы двигателя, не превышающих величины 772л, зависи-
мость (2.23) позволяет определить гравитационные потери с точ-
ностью не менее 5% при постоянном на всем активном участке
законе ориентации тяги. Использование линейного закона ориен-
тации тяги приводит к уменьшению гравитационных потерь при-
мерно в 2 раза.
В общем случае гравитационные потери необходимо определять
для каждого импульса на траектории КА. Следует однако иметь
53
ввиду, что величиной потерь для некоторых импульсов можно пре*
небречь, если они осуществляются на значительном расстоянии
от притягивающего центра или при существенно большей величи-
не реактивного ускорения, обусловленной выработкой топлива на
предыдущих включениях двигателя. Например, при перелете на
стационарную орбиту по эллипсу Гомана с приложением двух им-
пульсов в перигее и апогее переходного эллипса гравитационные
потери скорости при втором включении двигателя составляют
около 0,1;% от потерь при первом включении.
С уменьшением величины реактивного ускорения характеристи-
ческая скорость маневра все заметнее отличается от импульсной
скорости и для двигателей малой тяги не имеет ничего общего
с ней, отличаясь от нее в 1,5...2,5 раза в зависимости от энергона-
пряженности маневра. На рис. 2.11 показана типичная зависимость
потребной характеристической скорости от величины начального
реактивного ускорения на приме-
ре маневра перелета с низкой
околоземной орбиты высотой
400 км на стационарную орбиту
[163]. Значения характеристичес-
кой скорости соответствуют опти-
мальным временам перелета (при
данной величине а0) при различ-
ном числе включений двигателя
в перигее (рассмотрены 1, 2, 4, и
8 включений). Видно, что, начи-
ная с некоторого, характерного
для каждого числа включений
двигателя, значения а0, происхо-
дит резкий рост гравитационных
потерь. Например, при одноАм
включении двигателя в перигее
(обычный^ гомановский перелет)
величина а0 составляет примерно
O,2go, а при восьми включениях
— около 0,02 g0. При ao>O,5go
Рис. 2.11. Зависимость характе-
ристической скорости маневра от
начального реактивного ускорения
для перелета на стационарную
орбиту (цифрами на кривых обоз-
начено время перелета, ч)
все схемы перелета ' дают практически одинаковые значе-
ния ДУ. Использование многоимпульсных схем перелета по-
зволяет перейти на малые начальные ускорения порядка 0,05...
O,2go без существенного роста гравитационных потерь, что приво-
дит к улучшению характеристик межорбитальных аппаратов с
ЖРД за счет уменьшения массы двигателя, конструктивно-сило-
вых элементов и полезной нагрузки, улучшения динамики аппарата.
С уменьшением а0 до значений порядка 0,001 и менее (диапазон
двигателей малой тяги) затраты характеристической скорости ста-
новятся весьма близкими для схем с различным (но Небольшим)
числом включений двигателя, и здесь выгодным становится исполь-
зовать траектории без выключения двигателя, т. е. без пассивных
59
участков полета. Видно, что для двигателей малой тяги величина
ДУ незначительно изменяется с уменьшением а0 и может прини-
маться в первом приближении постоянной.
Решение динамической задачи (2.18) или (2.19) во всем рас-
сматриваемом диапазоне параметров маневра (<7о, qf, Т) и букси-
ра (а0, позволяет перейти к определению массовых и стои-
мостных характеристик проекта буксира. В связи с этим большое
практическое значение имеет создание «библиотеки» аппроксима-
ционных зависимостей (2.18), (2.19) для всех практически интерес-
ных маневров в механике космического полета. Для двигателей
большой тяги во многих случаях может быть использовано приб-
лиженное выражение для гравитационных потерь в виде (2.23).
Поэтому в механике полета с большой тягой наибольшее значение
имеет построение оптимальных импульсных перелетов, т. е. опре-
деление импульсной составляющей характеристической скорости
АУИ. Для двигателей малой тяги известно немного решений
динамической задачи (2.18), (2.19), большинство из них получено
обработкой массовых расчетов на ЭВМ задачи (2.17), в отдельных
случаях использование метода осреднения позволило получить
приближенное аналитическое решение (63, 122]. В последней главе
представлена приближенная зависимость (2.19) для маневра пере-
лета с малой тягой между орбитами ИСЗ и ИСЛ.
Если в уравнение масс (2.4) или (2.5) подставить решение ди-
намической задачи (2.18), (2.19), то оно по существу превращает-
ся по терминологии В. Ф. Болховитинова [14] в уравнение сущест-
вования буксира, которое служит основой исследования его тран-
спортных возможностей. Уравнение существования позволяет пост-
роить следующие важные для проектных исследований зависимо-
сти:
-а = <х(а0, Г, ха); (2.26)
Р = Р(а0, W, T.qo.qy, ха); (2.27}
7=у (а0, W, Т, q0, q/( ха); (2.28)
Р,п.н = Р'п.н («о, W, Т, q0, qy, Ха); (2.29)
S=S(a0, W, Т, q0, qy, xe). (2.30)
Рассмотрим некоторые свойства зависимостей (2.26) . . .
... (2 30), используемые в дальнейшем. Пусть фиксированы
параметры маневра q0, q^ время перелета, скорость истечения
W и удельные характеристики КА хя. В этом случае зависи-
мости (2.26) . . (2.30) являются только функцией начального
реактивного ускорения а0, а время работы двигателя опреде-
ляется из решения динамической задачи (2.18). Прежде всего,
функции определены на отрезках [а7, йо"], [Tj7> Л> причем
7’и(Оо)=7'; 7'и(а+)=Т1Г; Р(а+)=Нп.н(оф)=0. (2.31)
60
Функция у(а0) аналогична Т^(а0), поскольку отличается от
нее на постоянный множитель. Функция а(а0) обратно про-
порциональна величине а0. На рис. 2.12 представлены два ха-
рактерных типа зависимостей (2.27), (2 29), (2.30). Кривые 1
соответствуют монотонным функциям Р(а0), Нп.н(«о), (а0) или
Р(ГИ), Рп.нСГу.), SfTy.), а кривые 2 — немонотонным, достигаю-
щим экстремума внутри отрезков [а^, а+], [7^, Т]. Если мак-
Рис. 2.12. Два характерных типа зависимостей ₽(ао),
Р(Т’ц), Вп.н (^о)> l\i.H(7p) и S(a0), S(7\x) (параметры W, Т
и граничные условия маневра фиксированы)
симум достигается во внутренней точке ag отрезка [а“,
то в ней выполняется условие, которое несложно получить
из (2.5):
ЭТ.. 1—Тпо W
—-------------— -V- (2.32)
да0 1 + 7т.о йо
Интересно, что величина не зависит от удельной массы
двигателя тду. Практический смысл, очевидно, имеет только
убывающая ветвь зависимости 0(ао)= WnH (или возрас-
ту
тающая 0(7^)), поскольку на возрастающей ветви 0(ао) обес-
печивается перевозка тех же значений полезной нагрузки
/ип.н(л0\ но с большим расходом топлива. Указанный эффект
и условие (2.32) при 7т.о=7пр=0 были впервые отмечены в ра-
боте [26]. Таким образом, решение динамической задачи до-
статочно строить в области
дТу,
да0
1—7пр 1Г
Ч* 7т.о й0
(2.33)
61
(2.34)
Например, для маневра перелета на стационарную орбиту с
одним включением двигателя в перигее (плоский перелет с началь-
ной орбиты высотой 200 км со временем перелета, равным времени
перелета по эллипсу Гомана) при удельном импульсе Руд=400 с
величина ao~O,O6go, при этом время работы двигателя Т$ состав-
ляет только четвертую часть всего полетного времени. Для гелио-
центрического участка перелета с малой тягой к Юпитеру длитель-
ностью 440 сут при Руд = 6000 с безразмерная величина —0,182
в единицах гравитационного ускорения Солнца на орбите Земли,
время работы двигателя при этом около 350 сут. Аналогично, если
максимум цп.и также достигается внутри области определения, то
в точке максимума я’опн выполняется условие, следующее из (2.4):
=W Г (1 +ь.о)?У тдуГ
d<h О + Тг.о^о L № 2*1
Величина Допн существенно зависит от уду, причем ^оп н/^Тду<
< 0. Можно показать, что если на отрезке , а+] выпол-
няется условие (2.33), то заведомо выполнится и (2.34), при-
чем <7оп н > Яо(Г|1п н < Обратное утверждение неверно.
Можно показать также, что минимум параметра стоимости S
внутри области определения достигается на отрезке [а%,
аоп,н] пли п’опн] (если условие (2.33) не выполнено). На-
помним, что при v=l минимум S соответствует максимуму
Р'п.н, а при v=0 минимум S соответствует максимуму (J.
Маневры, характеризующиеся монотонными зависимостями В (а0)г
Цп.н(ао), S(a0), будем условно называть «быстрыми». Для быстрых
маневров интересное свойство приобретают траектории без выклю-
чения двигателя (1\х=Т). На этих траекториях, во-первых, дости-
гается максимум параметра загрузки р — тп.нМду, т. е. при задан-
ной мощности (тяге) двигательной установки доставляется макси-
мальный полезный груз. Во-вторых, имеет место максимум отно-
сительной полезной нагрузки |Лп.н = ^п.нМо, т. е. при заданной мас-
се полезного груза обеспечивается минимум стартовой массы ап-
парата. В-третьих, достигается минимум параметра стоимости
S = C/mn.H, т. е. при заданной массе полезного груза обеспечивает-
ся минимум стоимости транспортировки. Несложно видеть, что до-
статочным условием «быстрого» маневра является монотонность,
зависимости цп.п(«о).
Рассмотрим условия, при которых маневр становится быстрым.
Прежде всего для этого необходимо, чтобы на отрезке а+] за-
висимость 0(яо) была монотонной. Численные исследования, про-
веданные для межорбитальных переходов в центральном ньюто-
новском поле, показали, что, по-видимому, для всякого маневра,
требующего два импульса скорости при неограниченной тяге дви-
гателя,^ ростом скорости истечения W, начиная с некоторого зна-
чения о/, соответствующего классу двигателей малой тяги, зави-
62
симость р(а0) становится монотонной на [а”, я+]. Например, в рас-
смотренном выше примере перелета на стационарную орбиту ве-
личина Руд составляет около 2000 с, а при полете на Юпитер —
около 9000 с. Величина W определяется конкретными пара-
метрами маневра и временем перелета. Исследования показа-
ли, что с ростом времени перелета и переходом к многовитковым
траекториям величина W монотонно уменьшается, а с ростом энер-
гонапряженности маневра (например, с увеличением радиуса ко-
нечной круговой орбиты) растет. При значениях скорости истече-
ния, меньших W (и охватывающих класс двигателей большой тя-
ги), использование траекторий межорбитального перехода без вы-
ключения двигателя теряет практический смысл.
Что касается зависимости Цп.н(^о), то ее вид (при условии мо-
нотонности 0(ао)) зависит от величины удельной массы двигателя
Тду, так как при уду —> 0 всегда можно сделать эту зависимость
немонотонной.
Поскольку величина уду для двигателей малой тяги велика,
можно сделать вывод, что быстрые маневры характерны для этих
двигателей, особенно при многовитковых траекториях, типичных
для околоземных перелетов.
Для быстрых маневров с малой тягой без выключения двигате-
ля зависимости (2.26)...(2.30) при фиксированныхqQ, qy, хх прини-
мают вид
а=а(7’, W)' (2.35)
₽=₽(?, W); (2.36>
7 = 1 (Т, W); (2.37}
Ип.н=Нп.н(7', wy (2.38}
S=S(T, wy (2.39)
причем величина реактивного ускорения определяется из решения
динамической задачи (2.19). Параметр п из (2.9)
п= —
Т
(2.40)
в дальнейшем будет часто использоваться для буксира с малой
тягой вместо длительности рейса Г, с которой он связан обратно
пропорциональной зависимостью.
На рис. 2.13 приведены зависимости ₽(п), ?(п) для буксира,
совершающего перелеты между орбитой ИСЗ, ИСЛ и обратно и
называемого в дальнейшем для краткости лунным буксиром (Тду =
=5 кг/кВт, т=20000 ч). При этом использовалось решение дина-
мической задачи (2.19), полученное в последней главе. Функция
Р(п) обращается в нуль (так же как и Цп.н(п)) при некотором
n*=n*(№, qOi qf, ха). На рис. 2.14 представлена зависимость
Нп.к(п) при различных значениях Руд. Огибающая кривых
63*
Рис. 2.13. Зависимости р (п),
7 (и) для лунного буксира:
-----— параметр загрузки 0;
----- — параметр заправки 7
для лунного буксира
^п.н (п) при Руд=Нхе соответствует оптимальным значениям удель-
ного импульса (или скорости истечения), определяемым из задачи
оптимизации
ir°P‘=argmax Нп.н(1Г, q0, У/, ", •**), (2.41)
ir
решение которой в функции длительности рейса представлено на
рис. 2.15. Там же показаны значения удельного импульса, при кото-
рых полезная нагрузка, доставляемая буксиром, обращается в
нуль. Свойства функции 3(п), показанной на -рис. 2.16, анало-
гичны свойствам функции 1/р,п.н. Здесь также существует опти-
мальное значение W, определяемое из условия
IF0₽t=argmax S(1F, q0, q,, n, xa). (2.42)
Рис. 2.15. Оптимальные значе-
ния удельного импульса
Рис. 2.16. Зависимость S(n)
для лунного буксира
64
Выбор проектных решений одноцелевого буксира с двигателем
малой тяги, т. е. буксира, предназначенного для выполнения конк
ретной задачи хс — (Чо, Ял Т, тпн) при заданных удельных харак-
теристиках ха может быть основан на решении задачи оптимизации
max |1п.н (я0, W9 q0, qz, Г, ха) (2.43)
а0, W 9
ИЛИ
max S (а0, W, q0, Ч/, Л х а), (2.44)
т. е. сводится к нахождению условного экстремума функции (2.4)
или (2.14) трех (а0, W, Ти) или двух (aQ, W) переменных при нали-
чии связи (2.18) или (2.19). Для двигателей большой тяги скорость
истечения W обычно принимается предельной, а решение динами-
ческой задачи типа (2.19) не используется. Поскольку удельные
характеристики ха в общем случае зависят от абсолютных значе-
ний выбираемых параметров (например, тяги Р или мощности N),
то решение задач (2.43), (2.44) приходится проводить методом по-
следовательных приближений.
Решение проектных задач (2.43), (2.44) удобно проводить при
наличии приближенного аналитического представления решения
динамической задачи (2.18), (2.19). Для двигателей большой тя-
ги такое приближенное решение может быть основано на аппрок-
симации гравитационных потерь типа (2.24), (2.25).
Рассмотрим задачу разгона КА с опорной орбиты с одним вклю-
чением двигателя. В этом случае решение проектной задачи (2.43),
основанное на (2.25), дается следующим приближенным выраже-
нием для безразмерного начального реактивного ускорения, выра-
женного в единицах гравитационного ускорения на опорной орби-
те:
г uv.). / (2Л5)
L 12у2Ц7 \ /]
Использование нескольких включений двигателя в перигее оскули-
рующей орбиты позволяет уменьшить гравитационные потери (при
одинаковом уровне ао), в результате оптимальные значения а0
монотонно уменьшаются с ростом числа включений двигателя,
стремясь к нулю при бесконечно большом их числе (время пере-
лета при этом также бесконечно велико). Поэтому для двигателей
большой тяги оптимальное значение а0 зависит от числа включе-
ний двигателя, т. е. от принятой схемы маневра. Например, в ра-
боте (163] показано, что в случае кислородно-водородного ЖРД
при перелетах на стационарную орбиту с одним включением дви-
гателя в перигее значения а0 должны быть не менее O,22go, в то
время как для восьми включений двигателя оптимальное значение
4zo~O,O8 go.
Решение (2.45) может быть использовано и для траекторий со
многими включениями двигателя, если гравитационные потери при
последующих включениях двигателя невелики и ими можно пре-
5—4537 65
небречь. Изложенный подход используется в работе [94], там же
приведены результаты параметрических исследований задачи.
Для двигателей малой тяги часто рассматривают решение
проектных задач (2.43), (2.44) для быстрых маневров без выклю-
чения двигателя, когда решение динамической задачи выражено
зависимостью (2.19). В этом случае величина реактивного уско-
рения определяется при заданном времени перелета Т из (2.19)
и задача сводится к оптимизации скорости истечения W. Если пре-
небречь влиянием W на время перелета Г, то из (2.4) следует
приближенное значение оптимальной скорости истечения:
1Г= 1/-^- =41,5 1/-П£УТ] ,
Г Иду Г Тду кг/кВт (2.46)
которое дает хорошую точность при AV/W<1. При
Штулингер [121] предложил использовать другую формулу:
JF=1/-^L. (2.47)
V lay
Ценность выражений (2.46), (2.47) состоит том, что они наглядно
характеризуют зависимость оптимальной скорости истечения от вре-
мени перелета и удельной массы двигателя малой тяги.
Проведенный выше на примере лунного буксира анализ зави-
симостей (2.35)...(2.39) позволяет судить о свойствах решений
проектной задачи для двигателей малой тяги. Например, с увели-
чением длительности перелета Т монотонно уменьшаются началь-
ное реактивное ускорение п0, мощность двигательной установки А\
стартовая масса буксира mQi стоимость доставки единицы полезно-
го груза и монотонно растет скорость истечения реактивной струи.
Это связано с тем, что, как было показано выше, характеристи-
ческая скорость маневра с малой тягой (речь идет о многовитко-
вых траекториях, например, при околоземных перелетах) весьма
мало изменяется с увеличением длительности перелета. Поэтому
увеличение времени полета позволяет использовать двигатель
меньшей мощности (и более легкий) при незначительном измене-
нии массы потребного топлива.
Анализ рис. 2.13...2.16 позволяет провести оперативное графи-
ческое решение проектных задач (2.43), (2.44) для лунного букси-
ра с малой тягой.
2.3. УЧЕТ УГЛОВОГО ДВИЖЕНИЯ
Особенностью перелетов КА с двигателем малой тяги может
явиться создание искусственной тяжести (ИТ) на борту аппарата
путем его вращения вокруг одной из связанных осей (рис. 2.17).
В этом случае традиционная модель (2.17) движения механики
космического полета, в которой аппарат рассматривается как
66
4
Рис. 2.17. Пилотируемый КА с ЭРД с искусственной гравитацией [1501:
1 — реактор; 2 — отсек экипажа; 3 — ионные движители; 4 —ось собственно-
го вращения КА
материальная точка переменной массы, не позволяет выделить
действительно рациональные режимы движения {44].
Если двигатель жестко закреплен относительно корпуса аппа-
рата, направление тяги естественно связать с направлением оси
вращения и для осуществления программного разворота вектора
тяги необходимо разворачивать КА с помощью управляющих мо-
ментов. Однако вращающийся аппарат представляет собой ги-
роскопическую систему, для разворота которой необходимо рас-
полагать значительным управляющим моментом. Поэтому для вра-
щающихся аппаратов необходимо определять проектные парамет-
ры, законы управления и траектории движения из решения проект-
ной задачи в новой постановке с учетом движения КА относитель-
но центра масс и ограниченности управляющих моментов.
В работе [44] на основании асимптотических свойств углового
движения вращающихся КА предложена упрощенная модель дви-
жения, в которой КА рассматривается как материальная точка
переменной массы с ограниченной угловой скоростью вектора тяги.
Массовое уравнение КА с ИТ с учетом массы системы
ориентации тс,0 принимает вид
Нп.н=1 ИДУ Нт Нт.о Нс.о Нпр, (2.48)
где Нс.о=^с.о/^о — относительная масса системы ориентации.
Единичный вектор тяги е(£) является уже не управлением, а
новой фазовой координатой. В состав управления теперь входит
угловая скорость поворота вектора тяги со (/)» которая представля-
ет собой угловую скорость управляемой прецессии вращающегося
КА и является существенно ограниченной величиной (в случае не-
5* 67
ограниченной величины <о приходим к традиционной постановке
динамической задачи (2.17))
О < ® < “о- (2.49)
На изменение направления угловой скорости вектора тяги ог-
раничения не накладываются. Систему управления угловым дви-
жением считаем также нерегулируемой, т. е. величина угловой
скорости соо и расход системы ориентации qCp не изменяются в
процессе полета, а в состав управления входят функция включе-
ния— выключения it (t) (л=1 при со=й)0 и к =0 при ©=0) и
направление угловой скорости вращения вектора тяги
k(O(|k(/)|=l).
За характеристику затрат Fi(xa, у) на выполнение маневра
хА в этом случае может быть принято приведенное время работы
маршевых двигателей Т|л и двигателей системы ориентации Т*
=Т1лЧ-ХТе, (2.50)
где X — отношение расходов системы ориентации и маршевых
двигателей, которое определяется из решения динамической за-
дачи [43]
is =|8]4-irX; tz (0)=0; Ts =/б (T)=min;
г = V; г(0) = г0; г(Т) = гу;
V= — е + g; V(0) = Vo; V(T) = Vz; (2.51)
e = лсоок X e; e(0) = e0; e(T) = e/;
a0, И17, OJo> k=fixe; 8 (/)= +1 или 0, к(/)=1
или 0, | k (£) | = 1.
Здесь г, V, e — фазовые координаты буксира (радиус-вектор,
скорость центра масс аппарата, единичный вектор направления тя-
ги); б, л, к — управляющие функции (функция включения — выклю-
чения и реверса маршевого двигателя, функция включения —вык-
лючения системы ориентации и направление угловой скорости вра-
щения вектора тяги \k(t) | s= 1).
В вариационной задаче (2.51) требуется определить оптималь-
ные программы управления буксиром к(/), б(/), л(/) при переле-
те по заданному маршруту q0= (го, Vo, во), q/ = (г/, V/, в/)
за заданное время Т, минимизирующие приведенное время работы
маршевых двигателей и двигателей системы ориентации Те. Это
требование при фиксированных параметрах буксира а0, W, <о0 и
X соответствует минимуму расхода топлива и максимуму полезной
нагрузки рп.н.
68
Решением динамической задачи (2.51) является функция зат-
рат
= (а0, W, о)о, X, q0, Ч/, Г), (2.52)
определенная на диапазоне маневров ХА для параметров буксира
а0, <оо, К представляющих практический интерес. Характеристи-
ка затрат не зависит от параметра задачи /пп.н и является универ-
сальной для всех типов нерегулируемых двигателей и систем ори-
ентации. В отличие от задачи (2.17) динамическая задача (2.51) со-
держит четыре проектных параметра буксира, поэтому построение
функции затрат (2.52) в этом случае сопряжено со значительными
вычислительными трудностями.
Анализ возможных типов систем ориентации вращающегося КА
и их весовых соотношений проведен в работе [43].
Рассмотрим области применения вариационной задачи (2.51).
Коэффициент X, по существу, характеризует степень влияния
углового движения аппарата на оптимизацию траектории КА. При
Х<1 затраты на разворот КА невелики и ими можно пренебречь
(как это и предполагается обычно в механике космического полета
с малой тягой [26]). С ростом % затраты на угловое движение ста-
новятся сравнимыми с затратами на разгон центра масс КА, и оп-
тимальные траектории аппарата необходимо искать из решения за-
дачи (2.51). При Х>1 затраты на разворот становятся существен-
но больше, чем на разгон аппарата. В этом случае оптимальными
становятся траектории, на большей части которых направление
тяги оказывается постоянным в инерциальном пространстве.
В работе [44] с помощью принципа максимума исследована
структура оптимальной траектории вращающегося аппарата и по-
казано наличие в ее составе участков так называемого особого уп-
равления угловым движением. Интересно, что в рамках рассмат-
риваемой модели движения существование особого управления
более типично, чем его отсутствие. С помощью необходимого ус-
ловия оптимальности особого управления [20] показано, что особые
экстремали (особые по управлению угловым движением) с рабо-
тающим двигателем являются экстремалями традиционной моде-
ли, в которой движение аппарата исследуется как движение ма-
териальной точки без ограничения на угловую скорость вектора
тяги [44].
Особенности движения вращающихся аппаратов с малой тягой
проанализированы на примере маневра набора параболической
скорости в центральном поле, являющегося обязательным при осу-
ществлении межпланетного перелета [44]. Здесь найдено прибли-
женное аналитическое решение задачи синтеза оптимального уп-
равления угловым движением КА. В результате обработки числен-
ных расчетов на ЭВМ получена аппроксимационная зависимость
для времени набора параболической скорости под действием тяги
постоянного направления в инерциальном пространстве с ревер-
69
сом тяги дважды на каждом обороте вокруг Земли (в (44] показы-
вается рациональность таких режимов управления для аппаратов
с ИТ):
Т= 1-0,9133 Va0
Q / 4 Г —
1 —'——/1 — 0,9133 /а0
ЛП7 I ’ Г °
. (2.53)
Ошибка определения времени разгона по (2.53) не превышает 2%.
Зависимость (2.53) была использована в работе [43] при расчете
межпланетного перелета с ИТ вместо формул В. Н. Лебедева
[63] традиционно используемых для расчета припланетных участ-
ков перелета. Анализ (2.53) показывает, что время разгона аппа-
рата с ИТ возрастает примерно в 1,5 раза по сравнению с разго-
ном с тягой тангенциального направления.
Резкое возрастание энергетических затрат на припланетных
участках перелета с искусственной тяжестью приводит к целе-
сообразности комбинации двигателей большой и малой тяги, ко-
гда двигатели большой тяги используются в окрестности Земли
на участке разгона [43].
2.4. МНОГОЦЕЛЕВАЯ ОСОБЕННОСТЬ КОСМИЧЕСКОГО
БУКСИРА
Отличительной особенностью космических буксиров является
возможность их многоцелевого использования для транспортных
перелетов типа «орбита — орбита».
Пусть буксир совершает п рейсов {х£}, Z=l, . . , п(хс =
= (Чо, Ч/> Т, гпп.н)) до выработки ресурса двигательной уста-
новки т и доставляет на заданные орбиты суммарную полез-
ную нагрузку т„н= 2тп.н» где номер рейса.
Эффективность выполнения буксиром всей программы перево-
зок может быть оценена стоимостью транспортировки С, которая
определяется себестоимостью каждого рейса программы (2.8).
Для рассмотренной в разд. 2.2 простейшей модели стоимости
С—Со + Сб+Ст 4-Спр,
(2.54)
где Со=сот^— стоимость выведения на базовую орбиту с Зем-
ли суммарной нагрузки mf= т6 4- т? для выполнения всей
программы перевозок; Сб=сду/иду — затраты на разработку,
производство и эксплуатацию космического буксира; CT=cTzn^
— стоимость суммарного запаса рабочего вещества
1=1
ьпр— прочие затраты, не зависящие от массовых параметров
аппарата, которые в дальнейшем можно опустить.
70
Так как суммарная полезная нагрузкафиксирована,
перейдем от стоимости выполнения программы (2.54) к средней
стоимости доставки единицы полезного груза:
с=С1т1н=(сю+г0)/ РЕ +(<\+<ч>) ТЕ /РЕ (2-55)
и введем суммарные коэффициенты загрузки и заправки
₽Е = тп.н//Пду=2 Рг; (2.56)
Z = 1
7s = /Пт 1таУ = 2 Ть (2-57)
4=1
где pf, Ti — соответственно коэффициенты загрузки и заправ-
ки буксира для i-го рейса.
Вводится суммарный коэффициент стоимости
V 1 -у13
s-=T.+’7 <2-58>
(v определяется выражением (2.15)), связанный с с линейной
зависимостью
с=(сду + Co)S^ • (2.59)
Так как задача на минимум Ss эквивалентна задаче на ми-
нимум с, в качестве критерия эффективности выполнения
программы (х'с), /=1, ...» /г может быть принята величина
-SE.
Наряду с оценкой проекта космического буксира по затратам
на выполнение программы транспортировки целесообразной может
оказаться также оценка проекта по суммарной нагрузке т%,
выводимой на базовую орбиту с Земли для выполнения всей про-
граммы перевозок. Критерием эффективности при этом может быть
принята величина суммарной относительной полезной нагрузки.
(2.60)
Разделив числитель и знаменатель в (2.60) на /Иду—неизменную
от рейса к рейсу массу двигательной установки буксира, получим
(2-61)
71
Рассмотрим случай, когда буксир с двигателем малой тяги
курсирует по одному маршруту (qQf 9/=fixe), причем используются
«быстрые» перелеты без выключения двигателя. Численный анализ
показал, что при отсутствии ограничений на длительность отдель-
ных рейсов и фиксированном числе рейсов оптимальными с точки
зрения максимизации н будут рейсы одинаковой продолжи-
тельности
Т\=х/п, /=1, . . . , и. (2.62)
Тогда вместо (2.61) имеем
^.н=--------у -- > (2.63)
1-!Хду
где р*п.н, иду — соответственно относительная полезная нагруз-
ка и относительная масса двигательной установки для одного
рейса длительностью Tt (2.62).
В то же время чувствительность цЕн к длительности рейсов (при
n = fixe) оказалась невысокой. Например, для лунного буксира, со-
вершающего два рейса длительностью 9500 и 500 ч (оптимальное
сочетание 5000 и 5000 ч), снижение цЕн по сравнению с оптималь-
ным не превышает 0,5% при Тду=8 кг/кВт.
Учитывая сказанное, в дальнейшем цЕн при полете по одному
маршруту всюду рассчитывается по формуле (2.63), т. е. исполь-
зуются рейсы одинаковой продолжительности. В этом случае дли-
тельность рейса Т и количество рейсов ц до выработки ресурса
буксира связаны однозначно зависимостью (2.62). При этом 0s =
=«0, 7е =пу и SE=S, где S определяется по (2.14).
Свойства функции цЕн(п) (2.63) и ц.п.н(«) аналогичны. Нап-
ример, функция цЕн (п) — монотонно убывающая, откуда следу-
ет вывод: максимальная суммарная полезная нагрузка (а также
минимальная стоимость доставки единицы полезного груза) реа-
лизуется при одном рейсе (его длительность равна ресурсу двига-
тельной установки).
Оптимальное значение скорости истечения движителя, напри-
мер, по массовому критерию определяется из решения задачи
W7°p‘=arg шах |хЕн (IT, q0, q/, п, ха). (2.64)
На рис. 2.18 и 2.19 представлены зависимости оптимальных значе-
ний и Руд от числа рейсов при различных значениях удельной
массы двигательной установки лунного буксира (т=20000 ч). Вид-
но, что увеличение числа рейсов существенно снижает суммарную
эффективность транспортных операций буксира. На рис. 2.20, ил-
люстрирующем задачу (2.64), показана зависимость |i^H от удель-
ного импульса движителя лунного буксира при различном числе
рейсов, обозначенном цифрами на кривых. На рис. 2.21 показана
72
Рис, 2.18. Зависимость ц „H(n) Для
лунного буксира
Рис. 2.19. Оптимальные значении
удельного импульса
I
Рис. 2.20. Зависимость р„ н от
удельного импульса движителя
Рис. 2.21. Зависимость оптималь-
ного удельного импульса от числа
рейсов при фиксированной длитель-
ности рейса
зависимость оптимального значения удельного импульса Руд дви-
гателя лунного буксира от числа рейсов при фиксированной дли-
тельности рейса (Г = 80 сут). С ростом числа рейсов W стремится
к предельному значению 1Г, определяемому из условия
W=arg max Ип н • (2.65)
О' 1 (*ду
При п=1 ЦпН = рп.ни решения задач (2.41) и (2.64) совпадают.
Таким образом, значение 1ГП, полученное с учетом всей програм-
мы перевозок, больше, чем полученное для одного рейса:
> Wlt (2.66}
73.
причем это различие существенно. Это позволяет сделать вывод о
том, что учет всей программы транспортировки существенно меня-
ет представление об оптимальных проектных решениях буксира.
Рассмотрим задачу выбора проектных решений буксира, кур-
сирующего по одному маршруту (qo, q/=fixe) и перевозящего за
п рейсов суммарную полезную нагрузку т%я при заданных
удельных характеристиках ха.
' Схема решения задачи следующая. Сначала из решения задачи
(2.42) или (2.64) определяется оптимальная скорость истечения
движителя W, а затем находится масса двигательной установки
7Иду = /Пп.н/₽2 (№, Чо, ЧЛ tl, Ха). (2.67)
Как всегда при решении параметрической задачи предполагается,
что известно, например, приближенное решение динамической за-
дачи (2.19) при (q0, Ч/, и) = fixe.
Следует отметить, что условие (2.66) приводит к следующему:
,V„ > Nlf (2.68)
т. е. двигательная установка оптимального буксира, многократно
выполняющего задачу хс, имеет большие мощность N и скорость
истечения W по сравнению с оптимальным аппаратом, выполняю-
щим один рейс xc=(qo, Ч/, Т=%1п, тп,п=т^н/п).
В результате возрастает стартовая масса буксира при выпол-
нении очередного рейса
то>т'о, (2.69)
•что, однако, позволяет уменьшить суммарный грузопоток на базо-
вую орбиту с Земли за счет экономии топлива, потребного для ор-
ганизации всей программы перевозок.
На рис. 2.22.... 2.25 представлены результаты решения проект-
ных задач со стоимостным критерием для лунного буксира, курси-
рующего между орбитами ИСЗ и ИСЛ (уду = 3 кг/кВт, т = 20000 ч).
На рис. 2.22, 2.23 показаны оптимальные параметры двигательной
установки в функции числа рейсов, совершаемых буксиром. Циф-
ры на кривых означают величину параметра v, причем при г = 1
решение задачи соответствует массовому критерию. Видно, что с
уменьшением параметра v уменьшаются оптимальные значения
скорости истечения, а также мощности и массы двигательной уста-
новки:
отду>/га5у> (2.70)
Рис. 2.24, 2.25 характеризуют изменение массовых и стоимостных
характеристик проекта при переходе от массового критерия (v = l)
к стоимостному (v<l).
Рис. 2.22... 2.25 позволяют провести оперативное графическое
решение проектных задач для лунного буксира.
74
Рис. 2.22. Оптимальные значения
удельного импульса лунного буксира
Рис. 2.23. Оптимальная относи-
тельная масса двигательной установ-
ки лунного буксира
Рис. 2.24. Оптимальные значения
суммарной относительной полезной
нагрузки лунного буксира
Рис; 2.25. Оптимальные значения
коэффициента стоимости
2.5. УЧЕТ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ УДЕЛЬНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК
До сих пор при решении проектных задач предполагалось, что
вектор параметров рейса Хс = (Чо, Ч/, Г, игп.н) или программа пе-
ревозок {хгс}, i=l,..., л и удельные характеристики аппарата
Ха фиксированы и известны проектанту (так называемый расчет-
ный случай). Однако зачастую достоверное определение расчетно-
го случая оказывается затруднительным. Например, удельная мас-
са двигательной установки, обобщенно характеризующая ее со-
вершенство, как правило, известна на начальных стадиях проекти-
рования буксира с большой долей неопределенности. Это обстоя-
тельство может привести к необходимости рассматривать параметр
ха в модели проектирования как неконтролируемый и использо-
вать методы выбора проектных решений ЛА в условиях неопреде-
ленности, рассмотренные в разд, 1,3,
75
Пусть, например, о параметре тду известно лишь, что его
значение заключено на отрезке [тду, ТдУ 1» т- е- Тду — неопре-
деленный параметр. Рассмотрим задачу выбора проектных
решений буксира с малой тягой, курсирующего по одному
маршруту q0, q/ = fixe (используются „быстрые" перелеты без
выключения двигателя) и перевозящего за п рейсов суммарную
полезную нагрузку, не меньшую Использование в по-
становке задачи условия „не меньше" обусловлено тем, что
при фиксированных параметрах буксира (N, W) величина сум-
марной полезной нагрузки т?и является''функцией параметра
7ЛУ. Поэтому в условиях неопределенности этого параметра
естественно потребовать, чтобы буксир обеспечивал (гаранти-
ровал) некоторый минимальный уровень грузопотока т^р.
Критерием эффективности программы перевозок хс =
=(Чо» Ч/, п, mfy) примем суммарную относительную полезную
нагрузку |*£н. Если бы удельная масса двигательной установ-
ки ТдУ была точно известна, то параметры буксира можно
было бы определить из решения задачи, рассмотренной в
предыдущем разделе, и обеспечить тем самым максимальное
значение критерия эффективности р.^н. При этом различным
значениям параметра тду соответствуют и различные решения
проектной задачи. Введем функцию относительного проигры-
ша (1.18) — функцию неоптимальности:
р(^> ТДУ)=[^ТХ(Тду) - ^.н(^ Тду) УИп.Г'СТду)» (2.71>
определяющую степень неоптимальности буксира (Af, U7) при
значении удельной массы двигателя, равном тду, по сравне-
нию с буксиром, оптимальным для этого значения тду. Тогда,,
согласно принципу гарантированного результата, за оценку
эффективности проектного решения буксира можно принять-
максимальную во всем диапазоне [ТдУ; Тду] степень неопти-
мальности буксира
шах р(Г, ТдУ) (2.72)
Тду е I. Тду’ Тду]
и проектная задача приводится к минимаксу
min max р(№, тлу)= niin р(Ю, (2.73)
W с Г - + 1 " IF ' '
Тду 6 I Тду’ Тду]
решение которого, благодаря свойству выпуклости функции
p(U7, ТдУ), дает следующее условие оптимальности проектного
решения буксира:
Р (W, TJy)= Р (W, Tjy)- (2.74)
76
Условие (2.74) можно переписать в виде
Нп.н > Тду)
Нп.н(Г. йу)
1*п.нах( Тду)
^rhty)
(2.75)
Решение проектной задачи состоит в следующем. Сначала из
уравнения (2.75) определяется скорость истечения движителя W,
а затем из условия обеспечения грузопотока заданного уровня на-
ходится масса двигательной установки
тду = max [mnSrHa₽/₽E (IF, тду)]=
Тду е [ Тду. Тду] (2.76)
= /nnEraP/pS(lF, Т+ ).
На рис. 2.26 показан выбор
удельного импульса Ру*р дви-
гателя лунного буксира, совер-
шающего 15 рейсов длительно-
стью 55,6 сут каждый. Диапазон
изменения параметра уду 2 . .
... 8 кг/кВт. Из рисунка вид-
но, что на отрезке [уду, ?+у]
существует точка чг$, которую
можно принять в качестве рас-
четной, так как значение ско-
рости истечения, полученное
из решения задачи (2.64) при
ТгдаР, совпадает с решением
уравнения (2.75). Однако ее по-
ложение можно определить толь-
ко после решения проектной за-
дачи (2.73). Интересно, что ис-
пользование для отыскания рас-
четного случая известного прави-
ла «средней точки» (ТдУ=(ТдУ 4-
+ ?Jy)/2) приводит к ошибке в ве-
личине удельного импульса более
25% и значительной неоптималь-
Рис. 2.26. Выбор удельного им-
пульса ЭРД в условиях неопре-
деленности его удельной массы
ности в районе yjy. Таким образом, анализ рис. 2.26 подтверж-
дает сделанный в разд. 1.3 вывод о том, что применение принци-
па гарантированного результата позволяет определить проектные
решения, наиболее устойчивые в условиях неопределенности ис-
ходных данных.
77
2.6. МОДЕЛИ ДИАПАЗОНОВ МАНЕВРОВ И ЗАДАЧ
Другой важный класс неконтролируемых параметров .в рас-
сматриваемой модели проектирования космического буксира обра-
зуют параметры маневра хА и задач Хс. Как уже отмечалось, кос-
мический буксир является многоцелевым ЛА, предназначенным
для обслуживания целого диапазона маршрутов (например, базо-
вая орбита (БО) ИСЗ — орбита ИСЛ—БО ИСЗ, БО ИСЗ — ста-
ционарная орбита — БО ИСЗ и т. д.), при полетах по которым
к буксиру предъявляются требования по величине полезного груза
и времени его доставки. Эти требования характеризуются вектора-
ми параметров маневров хА = (Чо, Ч/, Т) и задач Хс= (хА, mnjI), ко-
торые образуют некоторые фиксированные множества ХА и Хс,
названные диапазонами маневров и задач соответственно. Выде-
ление вектора хА из Хс вызвано соображениями удобства, так как
решение динамической задачи (2.18) или (2.19) зависит именно
от этой составляющей вектора параметров задачи хс.
Множество Хс может быть задано либо дискретной совокуп-
ностью векторов {х с}, i=l,..., п (программой транспортных пе-
ревозок буксира) как в разделе 2.3, либо границей континуаль-
ного множества Г (Хс), когда векторы хА и Хс могут принимать
любые значения из множеств ХА и Хс с известной частотой рА(хА)
и Рс(хс) (вероятностная мера на множествах ХА и Хс) или с не-
известной. При известных рА(хА) и рс(хс) векторы хА и хс явля-
ются случайными неконтролируемыми параметрами в модели про-
ектирования, в противном случае неопределенными. При заданной
программе транспортных перевозок {хр, /=--=1,..., п векторы хА
и хс являются по существу фиксированными неконтролируемыми
параметрами.
Диапазоны ХА и Хс отличаются, как правило, сложной струк-
турой, часто это многосвязные или дискретные множества. Как от-
мечалось в разд. 1.3, принципиальным для методов выбора про-
ектных решений буксира оказывается вопрос о размерности этих
множеств, так как увеличение размерности множества Хс приво-
дит к существенному усложнению вычислительных алгоритмов оп-
тимизации проектных решений. Размерность вектора параметров
рейса хс=(Чо, Чл Л тп.н) зависит от размерности векторов
Чо и Ч/, определяющих начальную и конечную орбиты буксира, и
может достигать значительной величины. В этих условиях можно
рекомендовать применение дискретного набора из наиболее целе-
сообразных для использования маршрутов, характеризующихся
векторами (4q, Чу), гДе — номер маршрута (6= 1,...,/). В этом
случае диапазоны маневров и задач представляют множества век-
торов хА= (fe, Т) и Xc=(xiA, тп.н), т. е. имеют размерности два и
три соответственно, и их можно записать в виде {Д, Т} и {Д, Т>
Мп.и). Для быстрых перелетов с малой тягой без выключения дви-
гателя вместо длительности рейса Т будем, как и в предыдущих
разделах, использовать параметр п, связанный с Т зависимостью
n = x/Tf где т — ресурс двигательной установки буксира.
78
На каждом маршруте с номером k диапазон маневров од-
номерный, представляет собой диапазон длительностей рейсов,
и часто может быть отрезком вида [Т*, Tt], = , I).
Диапазон задач (рейсов) для каждого маршрута X* можно-
представить, например, в виде прямого произведения диапа-
зона маневров и диапазона полезных нагрузок [/Т, Tt] X
X ]/«п7н k, *], т. е. в виде прямоугольника на плоскости
(7^— /пп.н) Для ^-го маршрута.
Такие модели диапазонов маневров и задач могут быть
записаны в виде
ХА = |(й, Т):Т€ [Тй, Tt], k= 1, . . . , Z}i (2.77>
Хс = ((k, Т, /ип.н): (Т, гПп.я) € [Т/;, Th ] X
X ]<«ГН k, k ], *=1, . - , /)• (2.78>
Наряду с континуальной моделью множеств XA и Xc использу-
ются также дискретные модели вида
ХА = (О, П):/е= 1, . . . 1=1, . . . , pj; (2.79>
Хс={(*, П, = г = 1, • • • , pj- (2.80)
В этом случае диапазон задач на £-ом маршруте представляет на-
бор из pk точек на плоскости (Т—
Если бы характеристика затрат на выполнение маневра Л(ха,-
у) не зависела от параметров двигательной установки и аппара-
та, то ее было бы удобно использовать в качестве единственного
параметра маневра, при этом размерность множества ХА равня-
лась бы единице, а Хс — двум. Для двигателей большой тяги в-
качестве параметра маневра удобно использовать величину им-
пульсной характеристической скорости, поскольку она не зависит
от параметров двигателя и (в то же время дает результаты, весь-
ма близкие к истинным по затратам топлива. Использование же
аппроксимационного представления гравитационных потерь в
функции параметров КА и двигателя типа (2.24) позволяет по им-
пульсной скорости определить характеристику затрат на выпол-
нение маневра Л(ха, у). В настоящее время решено большое чис-
ло задач космического полета в импульсной постановке, поэтому
определение диапазона импульсных характеристических скоростей,
как правило, не вызывает затруднений. В случае двигателей малой
тяги, как отмечалось выше, затраты характеристической скорости
для многовитковых траекторий перелета слабо зависят от парамет-
ров двигателя и аппарата, а также времени полета, поэтому в пер-
вом приближении характеристическая скорость может быть также-
принята 1в качестве единственного параметра маневра. Следует
только подчеркнуть, что для двигателей малой тяги величина ха-
79-
рактеристической скорости существенно отличается от импульсной
скорости для того же маневра. Отметим также, что принципиаль-
но для двигателей малой тяги можно определить характеристику
затрат Fi (ха, у), используя предельное значение характеристиче-
ской скорости маневра при ао-+О и приближенное аппроксимаци-
онное представление для изменения гравитационных потерь с ро-
стом величины реактивного ускорения. В этом случае в качестве
•единственного параметра маневра можно использовать величину
предельной характеристической скорости по аналогии с импульс-
ной скоростью для двигателей большой тяги.
2.7. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ ВЫБОРА
ПРОЕКТНЫХ РЕШЕНИЙ МНОГОЦЕЛЕВОГО
КОСМИЧЕСКОГО БУКСИРА
Оценка оптимальности проектных решений космического бук-
сира и окончательные математические формулировки проектной
задачи существенно зависят от объема и достоверности располага-
емой проектантом информации о диапазонах маневров и задач.
Это обусловлено тем, что содержание и конкретное значение ин-
формации, получаемой проектантом, определяет класс допустимых
проектных решений ЛА и во многом определяет выбор критериев
оптимальности. Поэтому только четкая фиксация (ожидающейся
информации, степени ее достоверности и путей увеличения создает
правильное представление о трудностях и способах выбора проект-
ных решений многоцелевого космического буксира. В настоящем
разделе на основе методов выбора проектных решений летатель-
ных аппаратов в условиях неопределенности, рассмотренных в гл. 1,
формулируются и обсуждаются различные постановки проект-
ной задачи в зависимости от степени информированности проек-
танта о неконтролируемых параметрах модели КА, в качестве ко-
торых рассматриваются параметры маневров и задач, а также
удельные характеристики двигательной установки и КА.
Рассмотрим задачу выбора проектных решений многоцелевого
космического буксира с нерегулируемым двигателем, предназна-
ченного для выполнения заданного диапазона задач Хс. Вектор
параметров задачи имеет вид Хс=(Л, Т, тп.н), где k — номер мар-
шрута перелета, Т —длительность рейса, /ип.н — величина достав-
ляемой полезной нагрузки (для двигателей малой тяги вместо
Т будем использовать параметр п = х!Т, где т — ресурс двигатель-
ной установки), и может принимать любые значения из множества
Хс. Критерий эффективности выполнения задачи может быть за-
писан в виде
F(y, k, Т, ха), (2.81)
причем в качестве функции F могут использоваться стоимостные
или массовые характеристики проекта, например, стартовая мас-
са буксира т0 (относительная полезная нагрузка цц.н) или стои-
мость доставки единицы полезного груза с (коэффициент стоимо-
сти S), взятые с обратным знаком.
80
Здесь у= (N, W) — проектные параметры буксира — мощ-
ность (или тяга для двигателей большой тяги) двигательной уста-
новки и скорость истечения реактивной струи двигателя: х= (хс,
Ха) = (k, Т, тп.н, Ха) — неконтролируемые параметры, где ха—
вектор удельных характеристик, которые могут быть фиксиро-
ванными, случайными или неопределенными.
Программа управления буксира и —(6(/), е(/)} при выполне-
нии рейса ха=(&, Т) определяется из решения динамической за-
дачи (2.17), причем для вычисления критерия эффективности
(2.81) не обязательно знать программу управления «(/), доста-
точно лишь иметь решение динамической задачи в виде зависи-
мости (2.18) характеристики затрат (время работы двигателя на
траектории Т р ) от проектных параметров буксира у и парамет-
ров маневров хА во всем рассматриваемом диапазоне Ха^А’а,
Уе У.
В зависимости от информированности проектанта о неконтро-
лируемых параметрах в критерии эффективности (2.81) рассмот-
рим различные постановки задачи выбора проектных решений
космического буксира с нерегулируемым двигателем, которые ре-
комендуется использовать на начальных стадиях проектирования,
когда особенно важен учет предполагаемого диапазона задач, а
удельные характеристики двигательной установки и КА известны
с большой долей неопределенности.
Фиксированные неконтролируемые параметры х1. Если аппа-
рат предназначается для выполнения определенной задачи хс, а
удельные характеристики точно известны, т. е. неконтролируемые
параметры являются фиксированными, то проектное решение та-
кого буксира находится из проектных задач, рассмотренных в
разд. 2.2:
Лпах(х) = max F(y, х). (2.82)
yer
Такое проектное решение буксира у будем называть идеальным
(оптимальным) для данного значения неконтролируемого пара-
метра х.
Рассмотрим теперь выбор проектных решений многоцелевого
(универсального) буксира, выполняющего диапазон задач Хс.
Пусть, например, проектанту задана программа транспортных
перевозок в виде совокупности рейсов {хр, /=1,..., п, выполня-
емых буксиром до выработки ресурса двигательной установки. В
этом случае параметры задач программы являются фиксиро-
ванными неконтролируемыми параметрами, и, как указывалось в
разд. 1.3, целесообразно объединить локальные критерии отдель-
ных задач (2.81) в единый (интегральный) критерий эффективно-
сти, определенный на всем множестве Хс, как сумма эффективно-
стей выполнения единичных заданий программы:
/'s (У, Хс) =2 F(y, х). (2.83)
хс £
6-4537
81
Таким образом, при полной информированности проектанта о
программе транспортировки в качестве критерия эффективности
используется стоимость всей программы транспортировки (сум-
марный коэффициент стоимости SE(2.58)) или суммарная нагруз-
ка, выводимая на базовую орбиту с Земли для выполнения всей
программы перевозок (суммарная относительная полезная наг-
рузка цЕн (2.60)), взятая с обратным знаком. Формирование кри-
териев типа (2.83) было рассмотрено в разд. 2.4.
Случайные неконтролируемые параметры х11. Пусть проектан-
ту известны: диапазон задач Хс и нормированная частота выпол-
нения задач рс(*с) (вероятностная мера в пространстве парамет-
ров задач). В этом случае параметры задачи хс являются слу-
чайными неконтролируемыми параметрами и, согласно результа-
там гл. 1, для оценки оптимальности проектного решения букси-
ра может использоваться осреднение критерия (2.81):
F(y) = J Pc (хс) F (У, xc)dxc, (2.84)
*с
причем удельные характеристики предполагаются фиксированны-
ми. Величина (С.84) представляет собой математическое ожида-
ние (среднее значение) функции F(y, Хс), приходящееся на один
рейс из диапазона Хс.
Неопределенные неконтролируемые параметры хш. Часто на
начальной стадии проектирования характер распределения задач
на множестве Хс, т. е. функция рс(*с) бывает неизвестна. В этом
случае параметры задачи хс являются неопределенными некон-
тролируемыми параметрами и используется гарантированная
оценка оптимальности проектного решения буксира в виде
F(y) = max р(у, хс) = р(у), (2.85)
где введена функция неоптимальности (1.18)
р(у, Хс) = [Лпах(Хс) — F(y, Xc)]/Fmax(Xc), (2.86)
которая определяет степень неоптимальности проектного решения
универсального буксира у, выполняющего задачу Хс, по сравне-
нию с идеальным проектным решением буксира для задачи (2.82).
В общем случае, когда, например, удельная масса двига-
тельной установки тду также является неопределенным пара-
метром, принимающим значения на отрезке Ха = [тдУ, Тду],
вместо (2.86) запишем
?(у) = max max р(у, хс, х«) = р(у). (2.87)
ха с ха хс е хс v
Функцию р(у) будем называть функцией максимальной неопти-
мальности проектного решения буксира у на диапазонах задач Хс
и удельных характеристик Ха.
82
Пусть теперь параметр задачи хс является случайным, а7ду
— неопределенным. Тогда критерий оптимальности проектного ре-
шения буксира принимает вид
?(у) =max f pc (xc) p (у, xc, *a)dxc =
ха6Ха J
= max p(y, xa),
ха £
(2.88)
где p(у, ха) — среднее значение функции неоптимальности на
диапазоне задач Хс.
Основываясь на построенных критериях оптимальности, сфор-
мулируем теперь проектную задачу для многоцелевого буксира с
нерегулируемым двигателем в виде определения оптимальности
проектного решения буксира.
Проектное решение у оптимально для диапазона задач Хс, ес-
ли:
1) буксир может выполнить любую задачу диапазона Хс\
2) критерий оптимальности проектного решения максимален,
например;
max 2 хс), (2.89)
у е y хсе хс
либо максимальная степень неоптимальности проектного решения
минимальна, например,
min max max р(у, хс, ха), (2.90)
у 6 y ха е ха * с хс
Или
min max р (у, ха). (2 91)
у е у ха е ха ' '
Проектные задачи типа (2.89) используются в том случае, ес-
ли известна достоверно программа транспортных перевозок букси-
ра. Проектная задача типа (2.90) формализует выбор проектных
решений буксира без знания характера распределения задач на
множестве Хс, что может оказаться удобным на ранних стадиях
проектирования. Решение задачи оптимизации (2.90) обеспечивает
выполнение любой задачи из предполагаемого диапазона и поз-
воляет гарантировать, что степень неоптимальности выбранного
проектного решения ЛА не будет превышать полученной оценки
при любом распределении задач и разбросе удельных характе-
ристик.
6» 83
Глава 3. ОПТИМИЗАЦИЯ МНОГОЦЕЛЕВОГО
КОСМИЧЕСКОГО БУКСИРА С ДВИГАТЕЛЕМ
МАЛОЙ ТЯГИ
После описания математической модели и постановки проект-
ных задач для многоцелевого космического буксира с нерегулируе-
мым двигателем, а также решения динамической задачи, для ис-
следуемого диапазона маневров возникает задача непосредствен-
ной оптимизации проектных решений буксира.
Будем рассматривать проектные задачи (2.89)... (2.91) как
задачи отыскания экстремума некоторой функции Ф проектных
параметров буксира при наличии ограничений. В качестве функ-
ции Ф при этом выступают критерии оптимальности проектных ре-
шений космического буксира (2.83) ... (2.88). Некоторые методы
оптимизации функций указанного типа предложены в работах (26,
84]. Специфические сложности в разработке методов оптимизации
функции Ф во многом связаны со сложностью ее вычисления, обус-
ловленной наличием диапазона задач Хс (напомним, что если ди-
апазон задач состоит из единственного элемента Хс, то решение
проектной задачи является обычной задачей оптимизации одноце-
левого ЛА). Если параметры задач являются случайными, то
сложность соответствующих расчетов определяется необходимо-
стью вычисления интегралов вида (2.84), если неопределенными,
то необходимостью нахождения глобального максимума (2.87) или
(2.88). Дополнительные трудности в разработке методов оптими-
зации функции Ф связаны с учетом специфических ограничений
в форме требования реализации буксиром заданного диапазона
задач Хс.
В настоящей главе изложены методы решения проектных задач
для многоцелевого космического буксира, с помощью которых ре-
шен ряд задач оптимизации проектных решений буксира с двига-
телем малой тяги.
3.1. ОБЛАСТЬ ДОСТИЖИМЫХ ЗАДАЧ
Для конкретного проектного решения космического буксира
у= (N, №)=fixe диапазон задач, реализуемых буксиром на &-ом
маршруте, представляет собой область достижимых задач d(y)
на плоскости (Т—тп.н) или (п—тп.н), ограниченную линией
(п) (рис. 3.1), уравнение которой согласно (2.27) и реше-
ния динамической задачи (2.18) может быть представлено в виде
Щ™нх(га)=/Пду max р(а0, W, k, п, ха) = (3.1)
k aQ
=7Пду pmax(lF, k, п, ха); /Иду, W, k, ха = fixe :
В- дальнейшем эту линию будем называть линией действия бук-
сира на k-ом маршруте.
84
Линия действия полностью определяется проектными парамет-
рами буксира /иду, W (для определенного маршрута и удель-
ных характеристик ха ) и может использоваться при выборе про-
ектных решений, так как этот выбор сводится по существу к. на-
хождению наилучшей линии действия буксира. Следует также от-
метить, что проектный параметр тду = уду N входит в урав-
нение линии действия (3.1) линейно, что упрощает решение про-
ектной задачи и повышает ее универсальность (в случае, если
удельная масса двигателя принимается постоянной). Если по оси
ординат рис. 3.1 отложить вместо массы полезной нагрузки тп.н
параметр загрузки р = тп.н/тду то, очевидно, вид линии дейст-
вия не будет зависеть от мощности двигательной установки N и
полностью будет определяться скоростью истечения движителя W.
Исследование свойств функции (2.27) для маневров в цент-
ральном поле со свободным угловым перемещением показывает,
что линия действия (п) — монотонно убывающая, выпук-
лая вниз, приходит в нуль при некотором значении n* = n*(U7, k,
ха), характеризующем предельные возможности буксира по вре-
мени перелета, причем
< 0; < 0.
*тду
В общем случае линия действия может состоять из двух качест-
венно отличных участков /—II и II—III (см. рис. 3.1). Один из
них II—III прилегает к точке (1, тп.н ) и соответствует траекто-
риям без выключения двигателя Т^=Т, т. е. решению динамичес-
кой задачи на максимальное быстродействие (2.19). На другом
участке /—II выгодным становится выключение двигателя на тра-
ектории. В этом случае максимум в (3.1) достигается при Тр.<Т,
причем для перелета с 0тах (т. е. на линии действия буксира) вы-
полняется условие (2.32).
На рис. 3.2 представлены линии действия трех буксиров, поме-
ченные цифрами 1, 2 и 3, и диапазон задач Хс в виде прямо-
(3.2)
Рис. 3.1. Область достижимых
задач и линия действия буксира
на k-м маршруте
ния действия буксира на £-ом
маршруте
85
угольника [п , n+]X[/nilH, /п+н] на fe-ом маршруте. Отметим, что
использование понятия линии действия буксира позволяет полу-
чить естественное графическое условие реализации буксиром лю-
бой задачи диапазона Хс (т. е. выполнения требования Xc<^d(y)):
диапазон задач на каждом маршруте £=1,.„, I должен ле-
жать ниже линии действия буксира на этом маршруте (т. е. «пок-
рываться» линией действия). Из трех линий действия, показан-
ных на рис. 3.2, лишь первая удовлетворяет этому условию и реа-
лизует весь диапазон задач Хс. По положению точки пересечения
линий действия с осью абсцисс можно судить о величине скорос-
ти истечения движителя (при условии одинаковых удельных ха-
рактеристик буксира). Например, на рис. 3.2 точки п* и п* сов-
падают, а точка п*3 лежит левее них. Поэтому скорости истече-
ния Wi и W2 равны между собой, a W3 больше Wi и W2 (см. ус-
ловие (3.2)). Так как линия действия 1 лежит выше линии дейст-
вия 2, то, очевидно, мощность двигательной установки первого
буксира больше, чем у второго.
Пусть диапазон задач буксира представляет собой единствен-
ную точку на плоскости (п—тп.н), т. е. буксир выполняет одну
задачу хс. Посмотрим, проходит ли линия действия оптимального
буксира через эту точку или лежит выше нее. Для этого обратим-
ся к свойствам зависимостей (2.27), (2.29), (2.30), рассмотренных
в разд. 2.2. Линия действия (оптимального буксира может пройти
через точку, отвечающую задаче Хс, только в том случае, если
маневр является «быстрым» согласно данному в разд. 2.2 опреде-
лению, т. е. зависимости 0(ао), Цп.н(ао), S(a0) монотонные при
7, W, & = fixe. Этот случай характерен для двигателей малой тяги,
при этом линия действия отвечает перелетам без выключения
двигателя, при которых достигается максимум параметра загрузки
р, относительной полезной нагрузки цп.н и минимум параметра
стоимости S.
Маневры с двигателями большой тяги, как правило, не могут
быть «быстрыми», поэтому для них линия действия не проходит
через точку, отвечающую задаче хс. Следует однако указать, что
этот вывод сделан в предположении, что нет ограничения на вели-
чину заправки топливом буксира, т. е. используются либо подвес-
ные баки, либо топливный отсек имеет достаточный объем. Для
буксира с малой тягой топливный отсек занимает небольшую до-
лю в общем балансе масс, поскольку благодаря высокому удель-
ному импульсу для него требуются относительно небольшие массы
рабочего тела, обладающего к тому же, как правило, высокой
удельной массой. Поэтому сделанное предположение об отсутст-
вии ограничений на заправку буксира с малой тягой естественно.
Для буксира с большой тягой, наоборот, топливный отсек является
определяющим в компоновке аппарата. Поэтому объем топливного
отсека оптимального буксира будет в точности соответствовать за-
правке топливом при выполнении задачи Хс. Благодаря этому линия
86
действия буксира с двигателем большой тяги пройдет через точку,
отвечающую задаче хс. Это обусловлено ограничением на величину
заправки топлива, а не энергетическими возможностями двигателя.
Использованием подвесных баков можно всегда «поднять» линию
действия буксира с большой тягой и расширить его транспортные
возможности.
3.2. ВЫБОР ПРОЕКТНЫХ РЕШЕНИИ ПРИ ПОЛНОЙ ИНФОРМАЦИИ
О ПРОГРАММЕ ТРАНСПОРТИРОВКИ
Опишем метод выбора проектных решений многоцелевого бук-
сира при полной информации о программе транспортных перево-
зок, которая задается совокупностью рейсов, выполняемых букси-
ром. Предположим, для определенности, что буксир с малой тя-
гой будет использоваться для доставки автоматических зондов к I
планетам Солнечной системы, причем на каждую из них предпо-
лагается осуществить Si(i= 1,..., I) пусков, т. е. всего потребуется
i
аппаратов. Заданы массы зондов (полезных нагрузок)
z=i
mz н и время перелета Ti для каждой планеты (дата старта выби-
рается оптимальной). Таким образом, программа полетов П ха-
рактеризуется следующей совокупностью параметров: П = {/, Si9
тп.к9 Модель масс буксира при старте к i-и планете предста-
вим в виде
«;=₽»+ъ + тт.01+ + 1; T+ = max7b (3.3)
где а/ = ^//пду —стартовый параметр; !₽г= wzH/m4y — параметр
загрузки; ^ = гп'/ягду— параметр заправки; m^9 — стартовая
масса буксира и масса топлива; ^дУ = ТдУ(М, W, r)Af(Af, W, т —
мощность, скорость истечения и ресурс двигательной установки);
7то7+^=/ит.о//лду (/7zT.o, Тто — масса и удельная масса топливного
отсека).
Из (3.3) видно, что топливный отсек рассчитывается на макси-
мальную заправку топливом.
Затраты на выполнение программы транспортировки П опреде-
ляются стоимостями буксиров Сб, суммарного топлива Ст, а также
стоимостью доставки ступеней и топлива с Земли на базовую ор-
биту Со аналогично (2.54)
С=С0+Сб + Ст. (3.4)
В частности, для линейной модели стоимости, рассмотренной
в разд. 2.4, критерий (3.4) может быть приведен к виду
С’ = /Пп.н(^Ду + ^о)5Е -(^Ду + ^о)2 (3.5)
/=1
где
87
Si='₽r+v^'; <з-б>
l
= 2 S« ,* = (Ст + ^/(СдУ T-C0).
i=l
Таким образом, для линейной модели стоимости в качестве
критерия оптимальности выполнения программы П может быть
принят параметр S2. Отметим, что при v=l минимизация S2 эк-
вивалента минимизации суммарного грузопотока на базовую орбиту
с Земли для выполнения всей программы П. При v = 0 минимиза-
ция S2 эквивалентна минимизации мощности двигательной уста-
новки для заданной программы П.
Решение рассматриваемой проектной задачи может быть вы-
полнено с помощью следующего алгоритма.
1. Строим аппроксимационное решение динамической задачи
(2.18) для всех рейсов программы П
7^=Т£(й‘о, W, kb ТУ), / = I. (3.7)
2. Задаем нулевое приближение проектных параметров N, W, т.
3. Определяем минимально допустимую величину а‘о для каж-
дого рейса из условия __
^(4)=т. (3.8)
4. Определяем
Тду=Тду(^ W’ х)> Р;(Л/)=отп.н/Тду N’ г=1>- • > l-
5. Проверяем предварительное условие реализации буксиром
всех задач программы П
Pi(^XP/ = max h - (1 + Тто) Т(-1]. (3.9)
flo>ao
Если (3.9) не выполняется, увеличиваем N и возвращаемся на
п. 4.
6. Определяем максимальную заправку топливом у+=
=шах у, (ао)= 7;(ао), где а'оесть решение уравнения (йо > йо):
i
“i(«o> — — 1=₽Л^)- (3.10)
7. Окончательно проверяем условие реализации с учетом уни-
версального топливного отсека
Рг (Ю + Тт.о 7+ < Рг+ (N, 7Т 0 =0)= max (а, — у, —1), (3 щ
*о> а‘о
i=l,..., I, i^j.
Если (3,11) не выполняется, увеличиваем N и возвращаемся на
п. 4,
88
8. Определяем alQ из решения уравнения (ао >
аЛ^)-Ь(^)-Тт.0Т+-1=₽ЛЛ/), z = l, ...J, (3.12)
а затем T[i(ao), тг(ао), ai(#o), по зависимостям
(2.6), (2.7).
9. Уменьшаем W и определяем минимально допустимую (пре-
дельную) мощность двигательной установки, при которой хотя бы
на одном маршруте достигается предельная загрузка буксира
W~(№, т)=шах (max н/[₽+ (АГ, ут 0 =
=0 - Тт.о т+ (ЛПЬ (^’))- (3.1 з>
10. С помощью процедуры одномерного поиска определяем оп-
тимальную мощность У:
tfopt(jF, T)=argmin C(V, 1Г, т, Tf(AZ, Г, т)). (3.14*)'
N> N~~
11. Изменяем W, xf используя один из методов безусловной ми-
нимизации, полагаем, например, N = N~ и возвращаемся на п. 3.
Изложенный алгоритм, за исключением динамического блока
(п. 1), который требует разработки специальных алгоритмов, рас-
смотренных в последней главе, основан на использовании проце-
дур одномерного (по и JV) и двухмерного поисков (W, т) (в
общем случае можно также выбирать удельную стоимость двига-
теля, так как тду= (сду)). Алгоритм обеспечивает выбор уни-
версального топливного отсека и автоматическое выполнение (см.
пп. 5...9) специфических ограничений в форме требования реали-
зации буксиром любого рейса из заданной программы П. Наряду
с оптимальными Af, W, Ру т, ао, /иду, /ит.о, т? алгоритм дает
также предельные характеристики двигательной установки N~„
P-=2N~/W (минимально допустимые мощность и тяга) и полез-
ной нагрузки mn+H=₽z1’Тду/V (максимальная транспортируемая по-
лезная нагрузка на Z-м маршруте). Для двигателей малой тяги
возможно решение N = N~ (например, если все рейсы программы
«быстрые»). Алгоритм может быть использован и для двигателей
большой тяги, однако в этом случае он существенно упрощается,
так как для двигателей большой тяги p°pt>p- и обычно можно
не проверять условия реализации и не определять Р“ Пункты
5...9 алгоритма сводятся тогда к определению универсального
топливного отсека (п. 6).
Приведем упрощенный вариант алгоритма для случая, когда
удельная масса двигателя принимается постоянной тду = const,
ресурс двигателя не учитывается, а топливный отсек выбирается
для каждого рейса (неуниверсальный), либо его массой можно
пренебречь.
89
1. Строим решения динамической задачи (3.7)
2. Задаем нулевое приближение W.
3. Определяем для каждого рейса предельную возможную за-
грузку буксира
=тах рг (<$• (3.15)
"о
В случае «быстрых» перелетов предельная загрузка определя-
ется на траекториях без выключения двигателя Р/*’ = р<(ао) =
=Pi(Ffi =Гр. В противном случае предельная загрузка отве-
чает условию (2.32).
4. Находим предельную мощность двигательной установки
Л;_(Г)=тахт‘пн/-Гду р+, / = 1, . . ., I. (3.16)
i
5. С помощью процедуры одномерной оптимизации определяем
оптимальную мощность, например, для линейной модели стоимо-
сти
№₽‘(^)=<н/тду Popt;
Popt= arg min Ss(p£, W), (3.17)
CH.?
где
₽- =/п£н/ТдуЛГ.
Если все рейсы программы „быстрые*, то ЛРР(=Л/“.
6. Изменяем величину W, используя один из методов одномер-
ной оптимизации, и возвращаемся к п. 3.
С помощью изложенного алгоритма были проведены расчеты
на ЭВМ при широких вариациях программы П полетов буксира с
электроракетным двигателем к планетам Солнечной системы. В
табл. 3.1, 3.2 представлены результаты оптимизации для одного
гипотетического варианта программы П и удельных характеристик
буксира, выполняющего полеты к пяти планетам Солнечной систе-
мы, орбиты которых предполагались круговыми и компланарны-
ми. Решение динамической задачи (а0) для ряда значений W,
отмеченных цифрами на кривых, представлено на рис. 3.3. На рис.
3,4, а...в показаны примеры гелиоцентрических траекторий переле-
та к планетам, которые были получены при решении динамичес-
кой задачи с помощью диалоговой системы проектирования орбит
с конечной тягой, описанной в последней главе. Стрелки на траек-
тории обозначают направление тяги, крестиками отмечены начало
и конец активных участков, окружности означают орбиты Земли и
планеты, в центре которых находится Солнце. Все маневры в пред-
ставленном варианте «быстрые», поэтому решение задачи отвечает
условию #=ЛН. Поясним некоторые обозначения в таблице: Т —
время гелиоцентрического участка перелета к планете (предпо-
лагается фиксированным), Тз — время раскрутки у Земли, ТПл —
90
Таблица 3;1
Удельные характеристики Характеристики буксира
ТДУ кг/кВт ^эн YT.O V иду W°P‘ ss 3s п.н s Y s tn rp z*
1 0,7 0,95 0,1 1,0 1,62 1,62 8,42 1,11 27,14 44 16,04 26,01 1
Таблица 3.2
Планета солнечной системы Программа П | Характеристики траектории и буксира
si т п.н Т Тз ^пл T-2/Ts шт + + тТ .0 Y ^п.н т + п.н тду
Марс 5 4 2 2 0,54 0,21 1 0,449 1,15 0,64 2,47 0,592 4,0 1,96 4,24
Юпитер 3 4 7,6 2,93 0,66 2,92 0,58 0,364 2,72 1,52 2,47 0,480 6,84 1,47 14,68
Сатурн 2 3 9 4,47 0,58 1,39 0,59 0,416 2,69 1.51 1,85 0,410 4,0 1,70 13,55
Уран 2 2 13 4,94 0,49 0,61 0,43 0,495 2,52 1,41 1,23 0,325 3,47 1,28 15,02
Нептун 2 1 18 4,09 0,38 0,69 0,27 0,636 2,16 1,21 0,62 0,210 3,94 0,67 20,0
время скрутки у планеты (Т3 и Тая рассчитываются по формулам
работы [63]), 7V —время работы двигателя на гелиоцентрическом
участке, Те =Т+Тз + Тпл — суммарное время перелета, а0 — вели-
чина реактивного ускорения в начале гелиоцентрического участка
перелета, m+u — максимальная величина полезного груза, кото-
Рис. 3.4. Гелиоцентрический участок межпланетного перелета с малой тягой:
а — перелет к Юпитеру; б — перелет К Сатурну; в — перелет к Урану
92
рую за заданное время может доставить электроракетная ступень
к планете, /пду, W — параметры ступени, оптимальной Для по-
лета к данной планете (неуниверсальной), i*— номер планеты
из программы П, полет к которой является наиболее энергонапря-
женным (полет к планете происходит без выключения двигателя).
Все величины (кроме тду) на рис. 3.3. и в таблице безразмер-
Зависимость
оптимальности
истечения
Рис. 3.5.
критерия
от скорости
ные: масштабом массы служит масса полезного груза в одном из
полетов (t = 5), масштабом скорости истечения — 29,76 км/с, мас-
штабом времени—58,1 сут, масштабом ускорения—0,597-10_2м/с2.
На рис. 3.5 показана зависимость кри-
г» S
терия оптимальности о от величины
скорости истечения W для одного из ва-
риантов программы П. Рис. 3.6, 3.7 ил-
люстрируют зависимость оптимальных
параметров электроракетной ступени от
величины коэффициента v. При v=l кри-
терием оптимальности служит суммар-
ный грузопоток с Земли на базовую ор-
биту, а при v = 0 — мощность двигатель-
ной установки.
В работе |[159] характеристики много-
целевого ЭРД определялись для наибо-
лее энергетичного перелета к Нептуну и
затем уточнялись при перелетах к более
близким планетам, т. е. по существу задача сводилась к оптими-
зации расчетного случая, в качестве которого рассматривался
самый энергонапряженный маневр.
3.3. ВЫБОР ПРОЕКТНЫХ РЕШЕНИЙ ПРИ НЕПОЛНОЙ
ИНФОРМАЦИИ О ПРОГРАММЕ ТРАНСПОРТИРОВКИ
Рассмотрим задачу выбора * проектных решений многоцелевого
буксира при неполной информации о программе транспортных пе-
ревозок. Для двигателей малой тяги часто рассматривают частное
Рис. 3.6. Зависимость опти-
мальных скорости истечения и
массы двигательной установки
от параметра v
Рис. 3.7. Зависимость
потребного топлива от
параметра v
93
решение динамической задачи (2.19), соответствующее быстрым
перелетам без выключения двигателя. В этом случае все задачи
реализуются на каждом маршруте на линии действия буксира. По-
скольку на начальной стадии проектирования достоверные сведе-
ния о диапазоне задач Хс, как правило, отсутствуют, обычно мож-
но предположить, что буксир должен обеспечить транспортировку
полезной нагрузки, не меньшей некоторого минимального (гаран-
тированного) уровня /п™р (л) на £-м маршруте (£=!,..., I)
для заданного диапазона маневров Ла = (й, п}. Тогда функция не-
оптимальности проектного решения буксира (2.86) определяется
на линии действия буксира и приводится к виду
р (/V, W, k, п, тп.н, ха) = p(lF, k, л, ха)=
1 _ г (HZ, k, П, Ха) (3.18)
П, Ха)
и не зависит от мощности двигательной установки N. Поэтому про-
ектные параметры буксира N и W определяются раздельно. Снача-
ла находится скорость истечения движителя из решения проектной
задачи типа (2.90)
mln max р (IF, k, n), (3.19)
w k.nex.
A
а затем из условия обеспечения грузопотока заданного уровня
масса двигательной установки
/лДу= max [.'Пп*нРА (л)/р ( W, k, л)]. (3 20)
А
Последнее условие означает, что линия гарантированного
грузопотока тгпа^(п) на каждом маршруте лежит ниже линии
действия буксира и по крайней мере на одном маршруте име-
ет с ней хотя бы одну общую точку (в этой точке выполня-
ется условие (3.20)). При mTa? (л)=лг^р =const вместо (3.20) с
учетом свойств функции Р(л) (см. рис. 2.13)) получим
отду=шах /Р (IF, k, nt)]- (3.21)
Перейдем к решению проектной задачи (3.19), которую можно
рассматривать как обобщение задач (2.41), (2.42), (2.64) на слу-
чай многоцелевого буксира в условиях неполной информации о
программе трнспортировки.
Рассмотрим случай /=1, когда буксир курсирует по одному
маршруту. Диапазон маневров (2.77) в этом случае одномерный и
представляет собой отрезок [п~, п+], причем особыми точками
(точками локального максимума функции неоптимальности (3.18))
с учетом выпуклости функции р(И7, л) являются граничные точки
94
п- и п+. При отсутствии ограничений на скорость истечения дви-
жителя решение проектной задачи (3.19) удовлетворяет условию
баланса неоптимальностей в активных точках П” и п+ (т. е. в точ-
ках, в которых достигается абсолютный максимум функции (3.8))
p(IF, п-)=р(1Г, n+)=p, (3.22)
или
п ) _ ^тах (п )
W л+) - Fma*(n+) * ( }
На рис. 3.8 показан выбор из условия (3.23) удельного импуль-
са Р™? движителя лунного буксира, универсального для диапа-
зона рейсов 5... 50 (т = 20000 ч, уду =3 кг/кВт). В качестве функ-
ции эффективности F используется суммарная относительная по-
лезная нагрузка ц£н, определяемая выражением (2.63). Видно,
что функция неоптимальности достигает максимума на границах
диапазона рейсов (п-, п+], т. е. при минимальном п~ и максималь-
ном п+ числе рейсов, совершаемых буксиром. В первом случае
длительность рейсов максимальная Т=%1пг (энергетически наи-
менее напряженный перелет), во втором — минимальная Т=х/п+-
(энергетически наиболее напряженный перелет). Таким образом,
максимальная неоптимальность проектного решения достигается на
Рис. 3.8. Графическое определе-
ние удельного импульса движителя,
универсального для диапазона рей-
сов
Рис. 3.9. Графическое определение
удельного импульса универсального
движителя со ступенчатым регулиро-
ванием скорости истечения
9&
предельных по энергонапряженности маневрах из заданного диа-
пазона, а условие (3.22) следует рассматривать как выравнивание
неоптимальностей на этих маневрах.
Из рис. 3.8 видно, что на отрезке [п~ и п+] существует точка
пгар, в которой функция неоптимальности обращается в нуль. Поэ-
тому эту точку можно принять в качестве расчетной (заменяющей
диапазон [п~, п+]), так как решение уравнения (3.23) совпадает с
«идеальным» решением для этой точки, определяемым из проект-
ной задачи (2.64). Однако практическое использование этой рас-
четной точки невозможно, так как ее положение можно определить
только после решения уравнения (3.23). Характерно, что использо-
вание в качестве расчетной средней точки диапазона п*= (п~+п+)/2
приводит к отличию в величине удельного импульса более 40% и
значительному росту неоптимальности в области энергонапряжен-
ных перелетов так что при п^>48 маневр становится невыпол-
нимым (см. пунктирные кривые рис. 3.8). Анализ рис. 3.8 подтверж-
дает сформулированное в гл. 1 положение о том, что применение
принципа гарантированного результата позволяет определить про-
ектные решения аппарата, наиболее устойчивые в условиях неоп-
ределенности исходных данных.
В случае достаточно широкого диапазона рейсов [п~, п+] для
снижения неоптимальности проектного решения буксира целесо-
образно использование движителя со ступенчатым регулировани-
ем скорости истечения. Такое регулирование может быть реализо-
вано перенастройкой движителя с одного уровня скорости истече-
ния на другой, либо использованием нескольких разнонастроенных
(сменных) движителей, поскольку эффективное регулирование
скорости истечения остается пока нерешенной технической проб-
лемой. Пусть движитель допускает со ступеней регулирования.
Тогда скорости истечения ..., характеризующие со уровней
регулирования (предполагается для определенности ТГ1>^2>--
...>U7w), определяются из решения проектной задачи
min max min р(1К-, п), (3.24)
U/у П /=1...и>
где учитывается то обстоятельство, что для каждого рейса исполь-
зуется тот уровень скорости истечения Wj, который обеспечивает
наименьшую степень неоптимальности. Решение задачи (3.24) за-
дается системой уравнений в форме баланса неоптимальностей,
аналогичных (3.22)
РСИ^, я°)=р(1Г1, «') = . . . =Р(Wj,
=p(Wj, п^)= . . . =Р(Щ, п“)=р. (3.25)
Пй—П~, Пш = п+, j = l, . . . , СО.
Здесь п°, — параметры рейса, разделяющие диапазон рей-
сов ;[п~, п+] на области применения (специализации) D,=
= [nJ-1, tv] со скоростей истечения НТ),..., Wa>. Область приме-
нения Dj представляет собой диапазон рейсов «•’], для кото-
96
рого скорость истечения Wj имеет наименьшую неоптимальность
по сравнению с остальными уровнями. На рис. 3.9 показан выбор
удельного импульса двухступенчатого движителя лунного буксира.
Видно, что степень неоптимальности двухступенчатого движителя
ртах значительно меньше, чем в случае нерегулируемого движите-
ля (см. рис. 3.8), что объясняется лучшей аппроксимацией двух-
ступенчатой функцией «идеальной» зависимости РУд1(п), получен-
ной из решения задачи (2.64).
Система (3.25) является рекуррентной и ее решение удобно
сводить к определению максимальной неоптимальности движителя
р следующим образом. Задаемся значением р = р0. Для этого зна-
чения р находим по точке п~ скорость истечения первого уровня
W7! и далее точку п1, определяющую диапазон применения Di
этого уровня. Затем по точке п1 как начальной для диапазона
Рис. 3.10. Графическое определение удельного импульса универсального дви-
жителя с помощью линий уровня функции неоптимальности:
а — нерегулируемый двигатель; б — двигатель с двумя уровнями скорости ис-
течения
применения следующего уровня скорости истечения определяем
W2 и п2 и т. д., пока не найдем скорость истечения W^n верхнюю
границу диапазона применения со-го уровня. Если/гй¥=п+, необходи-
мо изменить принятое значение р = ро и повторить вычисления, до-
биваясь сведения к нулю невязки [nw, п+].
Указанный алгоритм может быть реализован графически в ви-
де так называемого алгоритма «вписывания лестниц» [84], если
предварительно построить линии уровня функции р(№, п) (или
р(Руд, п)) в координатах п, 1Г(РУД), имеющие в виду ее унимо-
дальности две ветви. Решение основано на построении «лестни-
цы» (рис. 3.10), все вершины которой лежат на двух линиях
р(1Г, п)=Ь, причем начальная вершина пересекается прямой
п = П“, а конечная вершина — прямой п = п+, число ступеней
лестницы равно числу уровней регулирования скорости истечения.
Очевидно, что координаты вершин лестницы определяют опти-
мальные границы п-’-1, nJ областей применения £>Д/= 1,..., со) и
оптимальный ряд Wifпометка b линии уровня р(№, п) —
степень неоптимальности движителя.
7-4537 97
На рис. 3.11, 3.12 представлены линии уровня функции р(Руд,
га) для движителей лунного и стационарного буксиров, совершаю-
щих полеты на лунную и стационарную орбиту. В качестве функ-
ции эффективности F используется суммарная относительная по-
лезная нагрузка p„H, определяемая выражением (2.63) (т=
=20000ч,Тду =3 кг/кВт). Пометки на линиях уровня определяют
значение функции неоптимальности р(Руд, п), линии уровня име-
Рис. 3.11. Линии уровня функции неоптимальности для движителя лунного
буксира
Рис. 3.12, Линии уровня функции неоптимальности для движителя стацио-
нарного буксира
98
ют две ветви, лежащие по разные стороны от линии с пометкой
0. Эта линйя соответствует «идеальной» зависимости Руд1 (п), по-
лученной из решения задачи (2.64), определяющей значение
удельного импульса, оптимальное для фиксированного числа рей-
сов.
Пусть теперь буксир курсирует по нескольким маршрутам
(/>1). Диапазон маневров (2.77) представляет в этом случае на-
бор отрезков [«”, л+], 6=1,...,/ и решение проектной задачи
(3.19) удовлетворяет условию баланса неоптимальности в актив-
ных точках п~ и
P(IP, Р, n~)=p(W, q, (3.26)
причем активные точки п~ и (нижняя и верхняя границы диа-
пазонов рейсов на р-м и р-м маршрутах) соответствуют предель-
ным по энергонапряженности перелетам из всего диапазона ма-
невров Ха- Практика численных расчетов показала, что парамет-
ры п~ и п+обычно соответствуют рейсам, для которых «идеаль-
ное» значение скорости истечения полученное из решения
задачи (2.64), является соответственно максимальным и минималь-
ным во всем диапазоне маневров Ха. Если существует несколько
«подозрительных» точек, в которых «идеальные» значения скорос-
ти истечения близки по величине, следует решить несколько за-
дач типа (3.26) для каждой из них, а затем выбрать то реше-
ние, которое дает минимальное значение неоптимальности движи-
теля.
Решение уравнения (3.26) удобно проводить графически с ис-
пользованием рис. 3.11, 3.12. На рис. 3.13 показан выбор удель-
ного импульса универсального движителя лунно-стационарного
буксира, курсирующего по двум маршрутам (/=2). Анализ зави-
симости Р°* (^> га) показывает, что в данном случае р=1, q=2.
В случае ступенчато-регулируемого движителя проектная за-
дача имеет вид
min max min р(1Г/, k, п), (3.27)
Wj k,n j=l.....а> J
причем наряду с рядом уровней скорости истечения ITi,..., од-
новременно определяются и области их применения
4], k, . . . , I), j=l, . . . , co.
Решение задачи (3.27) задается системой уравнений в форме ба-
ланса неоптимальностей, аналогичных (3.25), (3.26)
Р(Ри qlt . =P(U7y, pJt п1-')=
= р(яу, qj, . • =p(iFw, «“J=p;
p(W7, k, k, n'k); (3.28)
7*
99
BOO
п°—п~, п“ =п+
Pi Pi9 q<*
причем активные точки п! }, /=1,..., © соответствуют пре-
дельным по. энергонапряженности перелетам из области примене-
ния Dj = {Df=[n'k~l, n'k], k=l.О, для которых «идеальная» ско-
рость истечения И7°р*, определяемая из решения задачи (2.64) г
принимает предельные на Dj значения.
Решение системы (3.28) основано, как и для системы (3.25),
на итерационном определении неоптимальности системы р.
На рис. 3. 14 показан выбор удельного импульса двухступенча-
того движителя лунно-стационарного буксира. Активными точками
в данном случае являются пр, п\ и п+, причем на роль актив-
ной средней точки претендовали две: п} и л|.
Выбор скорости истечения движителя в условиях неопределен-
ности его удельной массы основан на решении проектной задачи
типа (2.90)
mln max max p(lF, k, n, xa). (3.29)
w xa e xa k, n g xA
Рассмотрим случай /=1 (перелеты по одному маршруту).
Тогда решение (3.29) удовлетворяет условию баланса неопти-
мальностей в активных точках (п~, у-у) и (и+, у+у):
р(1^, п~, Tjy)=p(lF, и+, т+у)=р. (3.30)
На рис. 3.15 показана
функция неоптимальности
движителя лунного букси-
ра, выбранного из условия
(3.30) (тду € [3; 5] кг/кВт).
Пунктиром показаны ли-
нии уровня функции р(п,
7ДУ), в том числе линия
нулевой неоптимальности
р=(). Видно, что функция
неоптимальности быстро
возрастает в районе актив-
ной точки (30.5).
Пусть далее буксир кур-
сирует по I маршрутам. В
этом случае для решения проектной задачи
условие баланса неоптимальностей
Рис. 3.15. Графическое определе-
ние удельного импульса в условиях
неопределенности удельной массы
движителя
(3.29) выполняется
р(№, р, п~, ТдУ)=р(№, q, п+, 1+у), (3.31)
где (р, 7дУ) и (q, п+, у+у) активные точки на р-м и д-м
маршрутах.
101
Решение полученных уравнений баланса неоптимальностей мо-
жет быть проведено графически с использованием зависимостей
р(1Г, k, п, ТдУ), типа представленных на рис. 3.11, 3.12. Одновре-
менно может быть решена и обратная задача: определение диапа-
зона маневров при заданной скорости истечения движителя, реа-
лизуемых буксиром со степенью неоптимальности, не превышаю-
щей заданной.
Глава 4. ОПТИМИЗАЦИЯ МЕЖОРБИТАЛЬНЫХ ПЕРЕЛЕТОВ
КОСМИЧЕСКИХ АППАРАТОВ
4.1. СОВРЕМЕННОЕ СОСТОЯНИЕ ВОПРОСА
Современные космические исследования предъявляют все воз-
растающие требования к баллистическому проектированию и обе-
спечению маневров космических аппаратов. Баллистичесг^й блок
развитой системы автоматизированного проектирования межорби-
тальных космических аппаратов должен обеспечить оперативный
анализ и выбор оптимальных траекторий перелетов, т. е. проекти-
рование орбит. Методической основой при этом выступает теория
оптимизации космических маневров, или оптимального маневриро-
вания КА. Эта теория находится на стыке практики космических
исследований, прикладной небесной механики и математической
теории оптимального управления. Практика полетов космических
аппаратов ставит перед теорией все новые задачи, некоторые из
которых оказались настолько трудными, что до сих пор не нашли
полного решения. В общем случае перехода между орбитами в гра-
витационном поле оптимальная траектория может быть определе-
на лишь численными методами на ЭВМ. Поэтому, имея в виду за-
дачу построения методического обеспечения динамического блока
автоматизированной системы проектирования, следует отметить
важность разработки эффективных численных методов оптимиза-
ции маневров КА.
Обычно большая часть космического полета протекает в грави-
тационном поле, близком к центральному ньютоновскому. Поэтому
анализ движения в таком гравитационном поле имеет важное прак-
тическое и теоретическое значение.
По-видимому, исторически одной из первых задач оптимизации космических
траекторий следует считать определение переходов между орбитами в цент-
ральном ньютоновском поле с минимальным расходом топлива.
Наиболее важная для практики постановка этой задачи посвящена слу-
чаю двигателя ограниченной тяги и постоянной скорости истечения. В свою
очередь в рамках этой модели существует гипотетический предельный случай,
соответствующий неограниченной сверху величине тяги двигателя. Этот слу-
чай основан на сформулированной К. Э. Циолковским в 1903 г. гипотезе о
допустимости рассмотрения участков работы реактивного двигателя, использую-
щего химическую реакцию горения, как участков импульсного приращения ско-
рости, и приводит к так называемым импульсным решениям задачи о переходе
между орбитами, когда вектор скорости скачком меняет свою величину в неко-
торых характерных точках перелетной орбиты (тачках импульсного приложения
102
тяги). Первые фундаментальные работы по формализации рассматриваемой за-
дачи переходов между орбитами были выполнены в 50-х и начале 60-х гг.
Д. Ф. Лоуденом, вследствие чего эту задачу иногда называют его именем.
В 1925 г. В. Гоманом была опубликована работа [146], в которой описа-
но построение оптимальной траектории двухимпульсного перехода между дву-
мя компланарными круговыми орбитами в виде полуэллипса, касающегося в
перицентре и апоцентре начальной и конечной орбит. Эллиптическая переходная
орбита, отвечающая указанному перелету, получила название эллипса Гомана (в
настоящее время стало известно, что этот перелет встречается в рукописных
работах Ф. А. Цандера, датированных 1921—1923 гг. [114]). Однако оконча-
тельно его место среди оптимальных решений было выявлено лишь к началу
60-х гг^ В 1954 г. А: Штернфельд [120] и в 1959 г, Хёлкер и Зилберт [145]
и Эдельбаум [139] предложили использовать при достаточно больших значениях
отношения радиусов начальной г0 и конечной г/ орбит трехимпульспый перелет,
названный биэллиптическим.
Траектория биэллиптического перелета между компланарными круговыми
•орбитами состоит из двух полуэллипсов, один из которых касателен к внут-
ренней орбите, а другой к внешней, причем эти полуэллипсы соединяются в об-
щем апоцентре, в котором КА сообщается дополнительный импульс. Все апси-
дальныс точки эллипсов расположены на одной прямой, проходящей через центр
тяготения. Если отношение радиусов орбит г//г0> 11,94, то биэллиптический
перелет мо.жет быть выгоднее гомановского при достаточном удалении общего
.апоцентра переходных эллипсов. Абсолютно оптимальная траектория биэллипти-
ческого перелета соответствует параболическим переходным орбитам, когда бес-
конечно малый промежуточный импульс прикладывается на бесконечности (бипа-
раболический переход). Следует, однако, отметить, что максимальный относи-
тельный выигрыш в характеристической скорости при переходе от гомановского
перелета к биэллиптическому составляет примерно 10,% и достигается при очень
-больших значениях апоцептрического расстояния переходных орбит и времени
перелета.
Любой переход между орбитами в центральном ньютоновском поле может
быть выполнен с помощью двух импульсов. Причем, если задано время пере-
хода, а» также положение начальной и конечной точек перелета на двух орби-
тах, то соответствующая двухточечная краевая задача определения переходной
•орбиты есть известная задача Ламберта классической небесной механики. В этом
случае существует единственная (или иногда несколько) кеплеровская траек-
тория, удовлетворяющая заданным условиям, т. е. отсутствует задача оптими-
зации (или она сводится к конечному выбору). В целом ряде практически важ-
ных случаев построенная на основании решения задачи Ламберта двухимпульс-
ная траектория является и оптимальной траекторией. Поэтому решение задачи
Ламберта находит большое применение и составляет основу задач выведения
космических аппаратов к цели, межпланетных перелетов [17, 18, 41, 60, 99,
125, 128].
Различными авторами предложены многочисленные методы решения задачи
Ламберта, отличающиеся формой уравнения для времени перелета и выбором
независимой переменной, используемой в итерационном цикле для определения
параметров переходной орбиты (отметим эффективный алгоритм Р. Бэттина
[18]). Если считать время перелета свободным и выбирать его оптимальным из
условия минимизации суммы импульсных приращений скорости в начале и кон-
це перехода, то можно свести задачу о двухимпульсном перелете к алгебраи-
ческому уравнению восьмого порядка. Анализ действительных кор-
ней полинома восьмой степени показывает, что существуют две переходные ор-
биты, которые являются локально оптимальными. Одна из них реализует гло-
бальный оптимум.
В некоторых случаях имеют место гиперболические переходные орбиты
[65]. Если наряду со временем перелета между заданными точками на двух кеп-
леровских орбитах оптимальным выбирается также угол между радиусами на-
чальной и конечной точек перелета (т. е. рассматривается перелет между за-
данными точками на свободно-ориентированных орбитах), то двухимпульсный
перелет определяется аналитически [111].
ЮЗ
Однако двухимпульсные траектории в общем случае не являются опти-
мальными. Существуют многочисленные примеры, когда введение дополнитель-
ных промежуточных (внутренних по времени) импульсов позволяет построить
более экономичную схему перелета. Рассмотрим, например, переход между дву-
мя орбитами с малым углом некомпланарности между ними, причем граничные
точки перехода выберем примерна диаметрально противоположными и вдали от
общей линии узлов граничных орбит. В этом случае плоскость орбиты перехо-
да наклонена почти на угол 90° по отношению к плоскостям начальной и ко-
нечной арбит. Затраты топлива для такой орбиты перехода значительны и мо-
гут быть существенно уменьшены обращением к трехимпульсной схеме пере-
лета.
На рис. 4.1 [83, 155] представлены зоны предполагаемой оптимальности
двухимпульсных перелетов Земля — Марс на плоскости «время перелета Т —
угловая дальность <р» (орбиты Земли и Марса предполагаются компланарными
круговыми с отношением радиусов г//г0 = *1,52). Пунктирная кривая соответст-
Рис. 4.1. Зоны предполагаемой
оптимальности двухимпульсных
перелетов между круговыми ком-
планарными орбитами
, о йипараболический
' переход
ои —
ЦО —L
20
Три импульса
Два импульса
0 0,08Ц 0,5 1
roh
Рис. 4.2. Зоны оптимальных
перелетов между круговыми
некомпланарными орбитами
60,2°
вует границе зоны, если пренебречь влиянием массы планет (обычный межор*-
битальный переход), точка Н соответствует гомановскому' перелету. Видно, что
благодаря значительному влиянию планет на гиперболических припланетных
участках траектории зона возможной оптимальности двухимпульсного перелета
расширяется.
Если рассмотреть переход со свободным временем между круговыми орби-
тами с произвольным наклонением (начальная и конечная точки перехода выби-
раются оптимальными), то здесь возможны переходы трех типов: двухимпульс-
ные, трехимпульсные и через бесконечность (бипараболические). На рте. 4.2
показаны соответствующие области оптимальных переходов в зависимости от
отношения радиусов орбит Го/>7 и взаимного наклонения орбит i [154J. На
рис. 4.3 показан оптимальный трехимпульсный перелет между круговыми орби-
тами равных радиусов, плоскости которых накло-
________ иены относительно друг друга под углом 36°
Z j. ' (123]. Первый импульс превращает круговую ор-
X биту в эллиптическую, несколько изменяя при
этом взаимное наклонение орбит. Второй импульс
(fX. изменяет только наклонение орбит, а последний
\) импульс, аналогичный первому, обеспечивает пе-
реход на круговую орбиту.
Рис. 4.3. Оптимальный
биэллиптический перелет
между одинаковыми круго-
выми орбитами с взаимным
наклонением плоскостей ор-
бит 36°
Рассмотренный перелет представляет собой
обобщение биэллиптического перелета, когда все
импульсы направлены под прямым углом к ради-
усу-вектору и отделены друг от друга углом в
180° (в точках перигея и апогея). В отличие
от перелета между компланарными орбитами S'
данном случае оптимальное расстояние до апо-
гея промежуточной орбиты конечное (при рав-
104
ных радиусах орбит), если взаимное наклонение не слишком велико. Если вели-
чина апогея переходной орбиты выбирается оптимальной, то при малых наклонени-
ях орбит трехимпульсный перелет всегда выгоднее, чем одноимпульсный. Если на-
клонение орбит превышает 60,185°, то для всех отношений радиусов начальной г0 и;
конечной rf орбит оптимальны переходы через бесконечность. Трехимпульсные
переходы оптимальны только при достаточно больших углах наклонения и/или
при отношении радиусов, близких к 1. Интересно, что при углах наклонения,,
больших 45°, затраты топлива на переход уменьшаются при уменьшении отноше-
ния радиусов r^lrf. В этом случае проще перейти на более отдаленную, чем
соседнюю орбиту. Двухимпульсные переходы по обобщенной орбите Гомана
занимают наиболее интересную для практики область параметров: г$1ч =
= 1...0,1, 1^10°. Интересно, что для случая перехода, при г0/г/= 0,1505, i =
= 37,54° все схемы переходов реализуют равные значения затрат топлива (точ-
ка L на рис. 4.2).
Отметим одну особенность импульсных переходов между орбитами со
свободным временем и оптимальным выбором точек отправления и прибытия на
орбиту. В этом случае любой импульс скорости всегда может быть разложен
на произвольное число меньших импульсов, прикладываемых в одной и той же
точке траектории подле выполнения полного оборота по пассивному оскулирую-
щему эллипсу. Иными словами, в оптимальную траекторию может быть вклю-
чено произвольное число оскулирующих орбит. Поэтому при переходе со сво-
бодным временем задача не имеет однозначного решения (можно говорить лишь-
о минимальном времени и числе импульсов без промежуточных оскулирующих
орбит). Этого можно избежать, исключив из задачи время (традиционно «не-
удобная» переменная в небесной механике) и используя в качестве аргумен-
та характеристическую скорость AV, а в качестве переменных состояния элемен-
ты кеплеровской орбиты. При этом направление сообщения импульсов скорости
и угловая переменная, определяющая положение КА на орбите в момент сооб-
щения импульсов, являются параметрами управления. Этот переход, предло-
женный Брейкуэллом if 134] и Контенсу [137], оказался весьма плодотворным^
при исследовании переходов со свободным временем.
Несмотря на усилия большой группы исследователей во всем мире и пе-
прекращающийся поток публикаций, насчитывающий уже свыше 1000 наимено-
ваний, до сих пор для общего случая перехода между орбитами в центральном
ньютоновском поле неизвестно потребное количество импульсов, а также явля-
ется ли решение импульсным (имеются в виду участки промежуточной тяги —
сингулярные спирали Лоудена). Однако существует аппроксимационная теорема
Нейштадта [161], показывающая, что любое оптимальное решение проблемы'
Лоудена может быть достаточно точно аппроксимировано конечным числом им-
пульсов. Этот результат показывает возможность замены сингулярных дуг ко-
нечным числом импульсов. Однако до сих пор неизвестно число импульсов, по-
требное для получе^я близкого к оптимальному расходу топлива при замене
сингулярных дуг.
В настоящее время уже имеются примеры оптимальных сингулярных дуг
для компланарных траекторий с фиксированным временем [91, 155].
Наибольший интерес исследователей привлекает задача перелета между
фиксированными в пространстве эллиптическими орбитами, когда время перехо-
да, число импульсов и точки отправления и прибытия КА на конечных орбитах
не заданы. В этом случае решение задачи обеспечивает абсолютный минимум
характеристической скорости ДУ при переходе между эллиптическими орбитами.
В середине 60-х гг. было установлено, что режим непрерывной работы двигате-
ля в этом случае не является оптимальным (т. е. отсутствуют участки промежу-
точной тяги) и решение является импульсным, причем используются только эл-
липтические и параболические переходные орбиты [154, 155]. Если эллиптиче-
ские орбиты компланарны, то выход КА из плоскости орбиты неоптимален, т. е.
перелет плоский [154]. Наиболее исследованным в настоящее время является
компланарный перелет. Здесь существуют четыре возможные схемы перехода:
одноимпульсная, двухимпульсная, трехимпульсная и через бесконечность (бипа-
раболический перелет). Одноимпульсный переход всегда выполняется в ближай-
шем к фокусу пересечении. Двухимпульсные переходы наиболее распространены^,
причем, если один импульс ускоряющий, то он всегда первый. Трехимпульсные
105-
переходы со свободным временем реализуются нечасто, причем для их опти-
мальности должны выполняться следующие (недостаточные) условия [152]:
4- .X.S . ) max г у г ) <0,2873;
ai аъ J ‘ *
^ + ^>1,7127;
0 < |Н <22°;
тах (Гх,, га,) / min (''к,, гП1) > 21,
ггде через е, а, Га, гп (с нижними индексами) обозначены значения эксцентриси-
тета, большой полуоси, радиуса в апогее и радиуса в перигее начальной и ко-
нечной орбит, Асо — угол между линиями апсид.
Бипараболические перелеты используют два бесконечно малых импульса,
прикладываемых на бесконечности, и два конечных импульса, прикладываемых
л перицентрах начальной и конечной орбит. Они оптимальны только в тех слу-
чаях, когда начальная и конечная орбиты сильно различаются радиусами пери-
гея, углом между линиями апсид или наклонениями.
Маршалом было высказано предположение о том, что конечные четырех-
импульсные; переходы в задаче со свободным временем всегда неоптимальны.
В работе Мойера [74] путем численного построения поля экстремалей в прост-
ранстве параметров орбит (была построено около 650 экстремалей) это предпо-
ложение опровергнуть не удалось. Практически полное исследование компла-
нарного перелета со свободным временем между эллиптическими орбитами вы-
полнено Смоллом [96, 97]. Благодаря удачному введению специального прост-
ранства параметров, ему удалось численно построить поверхность переключения,
с помощью которой несложно построить экстремали в фазовом пространстве.
Смолл окончательно установил, что в компланарном случае конечные четырех-
щмпульсные траектории всегда неоптимальны.
Маршалом же было введено понятие «угла приложения», в который заклю-
чен оптимальный угол ориентации вектора тяги в задаче со свободным време-
нем. Оказалось, что тяга прикладывается в довольна узком диапазоне углов,
^всегда расположенном между направлениями местной горизонтали и местной
касательной. Угол приложения всегда меньше 12,5° и имеет верхний 7тах и
^нижний 7т!п пределы. Предельные значения используются только в случае
импульсной тяги. Имеют место соотношения
llraax—Train! 12 ,5°; . |Tmax Train!/® <0,2;
iTmaxI <26,6,
тде 0 — угол между касательной к траектории и трансверсалью; т также от-
считывается от трансверсали.
При рассмотрении переходов между близкими орбитами модель центрального
.ньютоновского поля может быть линеаризована. Нейштадтом было показано
[160], что в этом случае оптимальный переход может быть выполнен с числом
импульсов, не превышающим числа фазовых ограничений на конечной орбите.
Интересно, что в рамка!х линейной модели в ряде случаев один и тог же опти-
'мальный расход топлива может быть реализован при различном сочетании им-
пульсов и даже при непрерывной работе двигателя независимо от уровня тя-
ти.
Таким обра/зом, в линейной модели в пространственном случае требуется
самое большее шесть импульсов и в плоском четыре. При незаданном положе-
нии на конечной орбите требуется на один импульс меньше. В задачах, где вы-
держивание скорости не требуется, число импульсов равна размерности фазово-
го пространства при фиксированном времени и на единицу меньше при свободном
406
времени. Оптимальные перелеты в линейных моделях гравитационных полей
рассматривались в работах Г. Е. Кузмака [52], Марека [155] и др. Они име-
ют важное приложение в задачах коррекции и терминального управления.
Для получения практически реализуемых оптимальных перелетов в ряде
-случаев оказывается необходимым ввести фазовые ограничения. При движении
КА расстояние г (/) до центра притяжения не должно быть меньше некоторой
величины rmin, т. е. r(t) тем самым учитывается конечность размеров
планет. Иногда необходимо бывает ввести и верхнее ограничение Плах»
чтобы не допустить слишком большого удаления КА от планеты, а также кос-
венно ограничить время маневра. Задача оптимальных перелетов с учетом фа-
зовых ограничений исследуется в работе [50], в которой получено решение за-
дачи оптимальных перелетов между компланарными свободно-ориентированными
орбитами при ограничениях на расстояние от центра тяготения. Общее ^число
импульсов в данной задаче не превышает четырех. Структура траекторий сле-
дующая: в начальной и конечной точках траектории сообщаются обычно гра-
ничные неапсидальные импульсы, остальные (внутренние) импульсы всегда ап-
сидальные. При рассмотрении перелета из точки, заданной радиусом-вектором
и вектрром скорости, на свободно-ориентированную эллиптическую орбиту число
импульсов может доходить до пяти [51].
Значительно менее исследована задача многоимпульсных перелетов с фик-
сированным временем, которая требует численного решения. Используя распро-
страненное Лайоном и Хэнделсменом [61] на неоптимальные траектории оп-
ределение базиса-вектора Лоудена, Ежевски и Розендаал [38] разработали эф-
фективный метод построения многоимпульсных перелетов с фиксированным вре-
менем, основанный на итерационном улучшении исходной (неоптимальной) тра-
ектории, удовлетворяющей граничным условиям, с помощью информации, до-
ставляемой сопряженной системой (базисом-вектором).
Если верхний предел тяги ограничен (т. е. рассматривается реальный дви-
гатель ограниченной тяги), то импульс тяги заменяется участком полета с ра-
ботающим двигателем (активные дуги траектории). Исследование оптимальных
траекторий с ограниченной тягой представляет собой существенно более слож-
ную задачу по сравнению с исследованием импульсных траекторий. В ряде ра-
бот проводится оценка ухудшения характеристик, связанного с использованием
конечной тяги вместо импульсной.
Это ухудшение обусловлено воздействием градиента гравитационного поля
и непостоянством направления тяги на протяжении активных участков. В ра-
боте [92] показано, что если А/ — время работы двигателя на активной дуге,
соответствующее импульсному приращению скорости, и Г — период обращения
круговой орбиты па расстоянии от притягивающего центра, соответствующем
точке приложения импульса, то относительные потери в характеристической ско-
рости хорошо аппроксимируются выражением л2 А/2/6 Т2, если время работы
двигателя не превосходит величины порядка Т/2л. Таким образом, эта оценка
справедлива лишь для двигателей большой тяги и не годится для двигателей
малой тяги с протяженными активными участками.
При расчете геоцентрических перелетов с малой тягой, представляющих со-
бой многовитковые траектории вокруг Земли, эффективным является примене-
ние метода осреднения. С целью оценки затрат топлива на перелет в ряде слу-
чаев удается выполнить осреднение аналитически, если учитывать в уравнениях
движения только силу тяги двигателя [63, 122]. Однако, если требуется более
детальный анализ, многие эффекты возмущений становится трудно описать в
простой аналитической форме (зональные гармоники гравитационного поля Зем-
ли, возмущения, создаваемые Луной и Солнцем, эффекты уменьшения мощности
солнечных батарей ЭРД при прохождении КА через радиационные пояса и по-
тери мощности на затененных участках орбиты), и тогда удобно проводить чис-
ленное осреднение, которое может оказаться хорошей промежуточной ступенью
между аналитическим решением, описывающим только эффекты малой тяги, и
полным численным интегрированием [4, 147, 164].
Определенные возможности оптимизации траекторий с малой тягой появи-
лись с разработкой в 60-х г. В. В. Белецким и В. А. Егоровым так называемо-
107
го «метода транспортирующих траекторий», идея которого принадлежит Т. М.
Энееву |8]. Однако этот метод разрабатывался для случая идеально регули-
руемого двигателя малой тяги, имеющего ограниченный практический интерес.
Как всякий метод, основанный на линеаризации, метод транспортирующих тра-
екторий обладает ограниченной точностью и дает удовлетворительные резуль-
таты в относительно узкой области маневров (например, угловая дальность пе-
релета не должна превышать 220°).
Рис. 4.4. Гелиоцентрическая траектория
перелета с малой тягой к Юпитеру
Поскольку гравитационные потери растут с увеличением импульса тяги, за-
меняемого участком полета с работающим двигателем, принципиально они всег-
да могут быть уменьшены, если разложить импульс скорости и заменяющую его-
активную дугу траектории на некоторое число меньших импульсов и активных
дуг, прикладываемых после выполнения дополнительного оборота по пассивному
оскулирующему эллипсу. Гравитационные потери монотонно стремятся к нулю-
с ростом числа промежуточных оскулирующих орбит, так что расход топлива
при ограниченной тяге принципиально всегда может быть сделан сколь угодно
близким к минимальному расходу, отвечающему импульсной работе двигателя,,
однако при этом время перелета стремится к бесконечности. Поэтому на прак-
тике обычно ограничиваются несколькими активными участками (в работах
[144, 162, 163], например, описаны схемы перелета на стационарную орбиту с
числом включений двигателя от двух до девяти). В рамках каждой схемы пе-
релета с определенным числом активных участков существует локально-оптималь-
ный перелет, соответствующий оптимальному распределению длительностей ак-
тивных участков и оптимальному времени перелета. На рис. 4.4 показана гелио-
центрическая траектория перелета на Юпитер с малой тягой, использующая
два активных участка при разгоне с
орбиты Земли, рассчитанная с по-
мощью диалоговой системы проекти-
рования орбит с конечной тягой,
onncaHHQft в последней главе. Ор-
биты Земли и Юпитера круговые
компланарные, стрелки на перелет-
ной траектории обозначают на-
правление тяги, крестиками отмече-
ны начало и конец активных участ-
ков. Представленная траектория
является локально-оптимальной в
рамках рассмотренной схемы пере-
лета. Направление тяги на актив-
ных участках близко к направле-
нию касательной к траектории. При
величине реактивного ускорения,
составляющего одну десятую часть
гравитационного ускорения Солн-
ца на орбите Земли, время пере-
лета составляет около 1780 сут,
длительности активных участков
соответственно 85, 100 и 113 сут.
Всякая импульсная траектория мо-
жет рассматриваться как предельная
для последовательности траекторий с конечной тягой при стремлении последней к
бесконечности. Смысл понятия стремления к пределу был математически уточ-
нен Нейштадтом [161]. Впервые условия оптимальности импульсных перелетов
были выведены Лоуденом именно с использованием такого перехода к пределу
из условий оптимальности с конечной тягой. Однако этот переход может быть
использован и для построения оптимальных перелетов с конечной тягой по из-
вестному импульсному решению, нахождение которого представляет собой бо-
лее простую задачу. В работе [52] решение задачи с конечной тягой на ос-
нове известного импульсного решения названо обратной импульсной аппрок-
симацией. Приближенное решение задачи обратной импульсной аппроксимации
для двигателей большой тяги рассматривалось в работах [52, 56, 92, 109, 127].
Импульсное решение может быть эффективно использовано при решении зада-
108
чи оптимального перелета с конечной тягой непрямыми методами оптимального
управления. В этом случае определение оптимального перелета сводится к не-
линейной двухточечной краевой задаче для системы обыкновенных дифферен-
циальных уравнений (П — системы Понтрягина), решение которой возможно,
как отмечалось в разд. 1.4.2, только при наличии «хорошего» первого прибли-
жения для начальных значений сопряженных переменных. Пайне в 1964 г. [81],
по-видимому, впервые предложил использовать для первоначальной оценки им-
пульсный сопряженный вектор, и эта возможность была успешно численна про-
верена Хэнделсменом два года спустя [ИЗ]. Вместо того, чтобы использовать
импульсный сопряженный вектор в качестве начальной оценки сопряженного
вектора при конечной тяге, в работах [56, 109] предложено искать решение для
такого вектора в виде ряда по степеням 1/а0 и \/W, где ,W — начальное
реактивное ускорение и скорость истечения реактивной струи. Члены «нулевого»
порядка в этом разложении соответствуют импульсному сопряженному вектору.
Опыт численных расчетов на ЭВМ, однако, показал, что рассмотренные под-
ходы обладают сходимостью только при достаточна высоких уровнях тяги,
когда траектория ма/ло отличается от импульсной, а также при времени пере-
лета, не превышающем некоторого предела, определяемого параметрами манев-
ра. Поэтому непосредственное использование импульсного сопряженного вектора
в общем случае не обеспечивает сходимости краевой задачи. Исследования пока-
зали, что решение задачи оптимального перелета с конечной тягой тем не ме-
нее может быть эффективно выполнено на основе известной импульсной траек-
тории путем решения последовательности специальным образом построенных
краевых задач.
Сущность разработанного метода состоит в замене исходной задачи опти-
мального перелета и соответствующей ей двухточечной краевой задачи более
простой, вспомогательной задачей, для которой мы умеем находить решение,
используя которое методом продолжения можно постепенно осуществить пе-
реход к искомому решению через последовательность промежуточных краевых
задач.
Предложенная общая схема — метод построения последовательности двух-
точечных краевых задач — основана на идее включения решаемой задачи в
многопараметрическое семейство задач, таких, что при некотором значении
параметров решение известно. В этом случае, используя непрерывность траек-
тории решений краевой задачи в зависимости от параметров и двигаясь вдоль этой
траектории от известной начальной точки, можно получить решение исходной
краевой задачи. Метод по своей сути близок к методу возмущений, который
широко используется для исследования свойств различных математических за-
дач, в частности, задач математической физики, задач оптимизации [62]. Это
объясняется тем, что часто относительно просто получить приближенное реше-
ние.
Однако методы возмущений позволяют исследовать локальные свойства
решений, так как основаны на малых возмущениях параметров задачи. В то
же время предлагаемый метод примыкает к методу регуляризации [105], ко-
торый формально моркно также отнести к методам возмущений, так как с его
помощью исследуются решения специально возмущенных задач, которые при
определенных условиях сходятся к решению исходной задачи. Однако цент-
ральное место в методах регуляризации занимает обоснование устойчивости по
отношению к различным ошибкам и не рассматривается вопрос о непрерывной
зависимости решения от параметра регуляризации во всей области задания
параметра.
Формально рассматриваемый метод примыкает к известному приему реше-
ния системы нелинейных уравнений — методу продолжения [76]. Этот метод
основан на введении в уравнения дополнительного параметра, такого, что при
значении параметра, равном 1, расширенная система сводится к исходной, а
при параметре, равном 0, — к некоторой простой системе, решение которой
легко найти. Свойство непрерывной зависимости решения (если такое имеется)
расширенной системы от параметра позволяет предложить конструктивный ме-
тод его нахождения, а наличие дифференцируемости упрощает этот процесс.
Следует, однако, заметить, что в общем случае не существует гарантии, что ре-
109
шение может быть продолжено для всех значений параметра от 0 до 1 или„
если такое продолжение возможно на всем интервале, что оно приведет к же-
лаемому решению, когда решений имеется несколько.
На основе описанной общей схемы разработал метод построения последова-
тельности двухточечных краевых задач оптимальных перелетов с конечной тя-
гой. В качестве основных параметров продолжения решений краевой задачи ис-
пользуются уровень тяги и скорость истечения двигателя и время перелета..
Наряду с основными параметрами продолжения в ряде случаев целесообразно-
использовать дополнительные, такие как угловая дальность перелета, отдель-
ные параметры начальной и конечной орбит (радиус орбиты, компоненты ско-
рости, наклонение орбиты и т. д.), а также параметры, характеризующие грави-
тационное поле. В качестве исходного всегда рассматривается некоторое им-
пульсное решение, выбранное специальным образом.
Следует отметить, что метод продолжения по параметру неоднократно ус-
пешно применялся при решении различных задач оптимизации траекторий. В
работе [50] при оптимизации многоимпульсных перелетов со свободным вре-
менем между фиксированными орбитами при ограничениях на расстояние КА
до центра тяготения используется продолжение решений краевой задачи по дол-
готе перицентра конечной орбиты. В качестве исходного (опорного по термино-
логии работы [50]) принимается решение для свободно-ориентированных ор-
бит, или некоторые другие достаточно простые траектории перехода, получаемые
аналитически или численно. Продолжение решений краевой задачи перелета с
малой тягой по параметрам двигателя и параметрам маневра использовалось в
работе [88], а также в работе [26] при построении аппроксимационных зави-
симостей решений динамической задачи (2.18) для межпланетных перелетов на
Марс и Венеру, однако исходное приближение выбиралось методом пристрелки,
(импульсное решение не использовалось).
Рассмотренный метод оптимизации траекторий межорбитальных перелетов с
конечной тягой был. положен в основу математического обеспечения диалоговой
системы автоматизированного проектирования орбит, позволяющей в диалого-
вом режиме осуществлять построение цепочки краевых задач, приводящих к ре-
шению поставленной задачи оптимального перелета. Опыт эксплуатации диало-
говой системы на малой ЭВМ СМ-4 показал эффективность изложенного подхо-
да к построению оптимальных перелетов с конечной тягой, основанного на ис-
пользовании импульсных траекторий, построение которых во многих практичес-
ки интересных случаях может быть выполнено достаточно просто.
4.2. НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ ОПТИМАЛЬНОСТИ
КОСМИЧЕСКОГО МАНЕВРА
Рассмотрим задачу оптимального перелета КА с двигателем по-
стоянной скорости истечения в гравитационном поле с минималь-
ным расходом топлива. Управляемое движение КА как материаль-
ной точки относительно невращающейся декартовой системы коор-
динат с центром в центре масс Земли или другого небесного тела
описывается системой дифференциальных уравнений
— =у
dt ’
^7 = g(r, t) + —е; (4.1>
at т
dm_______P_
~dt =
110
Здесь t — время; г — радиус-вектор аппарата относительно нача-
ла системы координат; V — вектор скорости КА; т — масса КА;.
g(r, t) — вектор гравитационного ускорения; Р — модуль вектора
тяги; е — единичный вектор ориентации тяги (Ре — вектор тя-
ги); W — скорость истечения реактивной струи.
Управление КА осуществляется с помощью тяги ограниченной
величины
0<Р<Ргаах; (4.2>
скорость истечения предполагается постоянной. Область изменения,
единичного вектора направления тяги определяется возможностя-
ми системы ориентации, часто предполагается, что возможны лю-
бые направления е, тогда единственное ограничение имеет вид:
|е|=1. (4.3>
Таким образом, движение КА определяется комплексом фазо-
вых координат г, V, т, имеющим размерность 7. Иногда в систему
(4.1) добавляют уравнение
— = 1, (4.4>
dt v '
чтобы формально получить автономную систему.
Маневр КА представляет собой, например, перелет из началь-
ной точки в момент to с заданными граничными условиями
r(/0)=r0; V(/0)=V0 (4.5>
и условием на стартовую массу КА
т(/0)=ттг0 (4.6>
в конечную точку в момент tf
r(tf) = г/; V(0) = Vf. (4.7>
Расход топлива на перелет должен быть минимальным, что эк-
вивалентно максимизации конечной массы КА
/= —mf — — т (tf) -*mtn. (4.8>
Поскольку расход топлива связан однозначно формулой Циол-
ковского с величиной характеристической скорости AV маневра,
вместо массы КА можно использовать характеристическую ско-
рость
“ = Д1/(го)=0; ДК (/,)-> min, (4.9>
at т
а также время работы двигателя на траектории Гц, как это сде-
лано в динамической задаче- (2.17). Несложно видеть, что рассмат-
риваемая задача оптимального перелета представляет собой не
что иное как динамическую часть общей задачи проектирования
межорбитального КА, рассмотренную в разд. 2.2.
НВ
В общем случае вместо начального условия (4.6) целесообразно
использовать более общее (на это указывается также в работах
[26, 50]).
^о< ^oax’ (4.10)
т. е. выбирать оптимальное значение стартовой массы КА. Дейст-
вительно, это следует из проведенного в разд. 2.2 анализа реше-
ний динамической задачи и свойств функции р(а0). Если маневр
не является «быстрым», то зависимость Р(а0) немонотонная, т. е.
•с уменьшением aQ (и с ростом т0) ниже (выше) определенного
предела a§(/ng), полезная нагрузка тп.и начинает уменьшать-
ся. Поэтому, если маневр не является быстрым, при заданных
параметрах двигателя Р и W существует оптимальное значение
стартовой массы, при которой полезная нагрузка максимальная.
Для оптимальности траектории КА г(/), V(Z), m(t) и управле-
ния P(t), е(/) в соответствии с принципом максимума необходимо
существование таких сопряженных вектор-функций ру(/), р//) и
функции рт (/), что на оптимальной траектории управление мак-
симизирует гамильтониан
tf=p/V+pFg+ -fce- (4.11)
т \ w J
а сопряженные переменные являются непрерывными и удовлетво-
ряют уравнениям
Рг=-И/Ри; Pv = — р/,
тде gr — матрица частных производных от компонент ускорения
g(r, t) по декартовым координатам точки , символ
транспонирования.
В случае, если гравитационное поле не зависит от времени
g=g(r), задача имеет первый интеграл
H=h=const, (4.13)
причем константа h, взятая с обратным знаком, может рассмат-
риваться как сопряженный множитель, связанный с t согласно
0.4)
Л=-Л. (4.14)
Если t0 и (или) tf не заданы, то для оптимальной траектории
Н=0. (4.15)
При движении в произвольном центральном поле из сфериче-
ской симметрии следует векторный интепрал
М = г X Pr + V X py=const. (4.16)
112
Максимизируя гамильтониан по управлению (см. разд. 1.4.2),
при условии (4.2), (4.3) определим
е = pv/|pv|, (4.17)
Р=
7^шах> если k О,
О, если k < 0;
О «С Р Рта, если
Л=0,
(4-18)
k = lpyl “ ZLF"’ (4.19)
т. е. тяга направлена вдоль базис-вектора ру.
Функцию k часто называют функцией переключения, поскольку она
определяет режим работы двигателя. Д. Ф. Лоуден [66], рассмат-
ривая в качестве управления массовый расход q=P/W, записывал
функцию переключения в виде
k = — |pv| - Рт- (4.20)
т
В этом случае функция переключения удовлетворяет уравнению
dk=W_ _£|_М_ V'vVr , (4 21)
dt т dt т |рк |
При использовании вместо массы КА характеристической скорос-
ти функция переключения имеет вид
k = |ру| +P±V, (4.22)
причем сопряженная переменная р
связана с рт зависимостью
(4-23)
и удовлетворяет уравнению
На рис. 4.5 показаны типичные за- Рис. 4.5. Типичный закон
изменения тяги Р (t)
висимости pv(Z), —РД1/(0 И Р(/)для
траектории, состоящей из последовательности участков полета
с максимальной и нулевой тягой.
В соответствии с принципом максимума граничное условие, от-
вечающее за функционал задачи (4.8) или (4.9), после нормиров-
ки можно записать в виде
^(^) = 1, (4.25)
8-4537
113
или
— !•
(4.26)
Кроме того, если т0 < /и™ах, то
Рт (А>)“0-
Функции трт и — p±v неубывающие
(4.27)
Л (трт) dp&v Q
dt dt
(4-28)
и на всех дугах максимальной тяги
|Pv| >0.
(4.29)
Аналогично разд. 1.4.2 задача оптимального перелета сводит-
ся к нелинейной двухточечной краевой задаче для системы (4.1),
(4.12), (4.17) ... (4.19) 14-го порядка. Для маневра перелета между
заданными точками (го, Vo) и (г/, V/) за фиксированное время неиз-
вестным является начальный сопряженный вектор po=(pv(/o),
Pr(^o). Рт(^о)), размерность которого равна семи. Поскольку реше-
ние сопряженной системы (4.12) определяется с точностью до
произвольного масштаба, число неизвестных может всегда быть
уменьшено на единицу использованием вместо условия нормиров-
ки (4.25), например, следующего:
|pv(A>) | = 1-
(4.30)
Если to и (или) tf не фиксированы, то на оптимальной траекто-
рии выполняется условие (4.15), что позволяет еще на единицу
уменьшить число неизвестных.
Если < параметры начального и (или) конечного состояния
(г0, Vo, to) и (г/, V/, tf) частично не заданы или должны принадле-
жать некоторым многообразиям, необходимо использовать условия
трансверсальности (1.52)...(1.55). Исключая постоянный вектор
множителей Лагранжа ц, всегда число неизвестных можно сде-
лать не превосходящим шести, а в задачах со свободным време-
нем — пяти.
Условия трансверсальности можно записать в виде
[8m— р/бг — р^ 5У-ртЬт + НЬ1]^0,
(4.31>
где вариации tit, бг, 6V находятся с учетом заданных многообра-
зий в начале и конце траектории. Если стартовая масса то фик-
сирована, с учетом pm(tf) = l получаем
[Р/ бг + р'ибУ-Я8^=0.
(4.32)
В задаче встречи предполагается заданным движение пассив-
ного КА rh(t) как функция времени. Если значение скорости
встречи не задано, тогда из условия (4.32), ру(/у) = 0 и
114
Р(0)=0. Если начальные условия имеют вид (4.5), а время пере-
лета tf свободное, из (4.32) следует
Рг, «г,-Я, 8^-0, (4.33)
причем бг/ = Nkf 8 tf, где Nkf — скорость пассивного КА,
откуда с учетом (4.11) получим
P7(Vz-VA/)=0, (4.34)
т. е. в момент встречи сопряженный вектор рг перпендикулярен
вектору относительной скорости.
Если необходимо, чтобы в конечный момент КА имел скорость
цели Vk(t), тогда
Prz 6гу +р^ 6V, — HfZ tf=0, (4.35)
причем бг/ =Vkf 5tf, 6V/=gz 6//, откуда получим
(4.36)
Учитывая (4.11), имеем
/.Lfe\=0, (4.37)
\т )f
при этом либо Р/=0 (встреча была достигнута раньше момента
tf), либо kf = O, и момент встречи соответствует переключению ре-
жима двигателя с максимальной тяги на нулевую, т. е. моменту
выключения двигателя.
В задаче перехода между орбитами в гравитационном поле
g(r), независящем от времени, когда точки отправления и прибы-
тия на орбитах выбираются оптимальными, из (2.32) имеем
Р7 V/ + p'Vf gz = 0;
Pr0V»+ Py„go = 0,
откуда следует
Если время перелета свободное, /7=0, тогда
(4.38)
(4.39)
(4.40)
(4.41)
т. е. граничные точки либо принадлежат участкам пассивного дви-
жения, либо отвечают моменту включения (при to) или выключе-
ния (при tf) двигателя.
На рис. 4.6 показана типичная зависимость функции переклю-
чения по времени полета для перехода между орбитами со свобод-
ным временем с двумя активными участками, разделенными пас-
в* 115
сивным участком полета. Зависимость рис. 4.6 соответствует оп-
тимальному плоскому перелету между низкой околоземной орби-
той высотой 200 км и стационарной орбитой (рис. 4.7) с постоян-
ным реактивным ускорением a=O,2go, построенному с помощью
диалоговой системы проектирования орбит с конечной тягой. Вре-
мя на рис. 4.6 выражено в безразмерных единицах (масштаб вре-
мени около 14 мин).
Рис. 4.7. Траектория перелета ме-
жду низкой околоземной и стацио-
нарной орбитами
Рис. 4.6. Типичный закон измене-
ния функции переключения k(t) для
маневра со свободным временем и
оптимальным выбором точек отправ-
ления и прибытия на орбитах
Обычно космический маневр совершается в гравитационном по-
ле, близком к центральному ньютоновскому. Для этого поля
е(г)=^г, (4.42)
где цГр — гравитационная постоянная центрального тела. На участ-
ке пассивного полета траектория будет кеплеровской дугой. Соп-
ряженную систему можно в этом случае записать в виде
dpr _ Ргр Ру- Зр-Гр(ру,г)
dt г3
-^- = -рг; (4-43)
На пассивных участках полета система (4.43) интегрируется.
Это следует из того, что дифференциальные уравнения (4.43) для
Мб
pr, pv совпадают с уравнениями для вариаций —6V, бг соответст-
венно (ввиду симметричности матрицы гравитационного градиен-
та), а последние интегрируются на кеплеровских дугах при Р=0.
Поэтому все интегралы и решения сопряженной системы могут
быть выведены из интегралов и решений основной системы уравне-
ний, а в качестве фундаментальных систем решений уравнений
для сопряженных переменных могут использоваться известные ре-
шения для уравнений в вариациях [17, 116].
Решение системы (4.43) на кеплеровской дуге можно предста-
вить в виде [142]
pv=X,V +l2Xr +i(rxV)xX3+ rX(Vx%3)+M2r — 3V/); (4.44)
Pr = xi + + VX(X3XV) +
Г3
Pro / Зр-гл t Г \
+ -4— х(гхх3) + v----------—);
г8 \ г3 )
Pm=PAV=COnst»
где векторные Х2, Хз и скалярные -М, м параметры — константы
интегрирования. Кроме того, на кеплеровской дуге имеют
место интегралы
ft=X4(v2-
L = (г X V)XX2 + |Vx(rXV)— х 13 — Mr X V; (4.45)
b= MV2-2g/r)-X2'(rxV) 4- ДУрд,,.
Пусть (X, p, v), (£, »), C) — проекции векторов ру и рг соот-
ветственно на оси подвижной орбитальной системы координат
— радиус, трансверсаль, нормаль к плоскости движения. Для
непрямолинейного движения составляющие (X, р, v), (5, ц, {)
векторов ру, рг определяются следующими выражениями
Д. Ф. Лоудена (при е > 0):
Х=Аcos&4-Bеsln&4-C/= — (1/ -?—Vt— 1) +
е \ V Ртр /
+Я 1/ Vr4-CZ;
V Ртр
Р =- Asin & 4-В(14- еcos&) + р~Л!8!п& 4-С/ =.
Ц-е cos &
s_ i/ZZ A + Г) vr + в 1/ZZ V/4- D L. + C/;
e Г Ргр \ P} V Игр P
117
v=(l+ecos &)-1 (E cosft+F sin ft);
^sinft-D _ R+CK ;
14- e cos ft
»]=--^₽ [—A(e + cosft)4-D^sin&4-C cos&];
p Vp
где
C=— [—Esin»+(e+cos»)/7];
p Vp
/=z p(7-e^) k(2r —3VrF) — pcosft], 7=/-r„;
y_ ctgft 14-e cos ft j__
e(14-ecosft) e sin ft
=------5---Г — 3eVt t + p sin & fl + —'ll;
/>(1-г2) [ r \ PJ
„ e sin2 ft —cos ft / a
д=---------------------------cosec o=
e sin ft (14- e cos ft)2 e
(4.46)
» Зе у —(14- e2 yj r sin & yp (1—e2).
В приведенных выражениях А, В, C, D, Е, F — постоянные ин-
тегрирования на данной пассивной дуге; р, е — фокальный пара-
метр и эксцентриситет орбиты; О — истинная аномалия; Vr, Vt —
радиальная и трансверсальная компоненты скорости; Тп — время
прохождения перицентра. Постоянная С связана с постоянной pt
(см. формулу (2.14)) выражением
Pl=e JiC. (4.47)
При оптимизации пространственного перелета численными ме-
тодами уравнения краевой задачи удобно записывать в прямо-
угольной декартовой системе координат Oxyz с началом в притяги-
вающем центре.
Уравнения движения КА в проекциях на эти оси имеют вид
— = Vx'< dt х dt y — • dt г'
dVx =_ dt Игр* , P r* m ex'i
dVy =3 dt НгрУ P r9 m ey; (4.48)
418
dt r* m ‘
Уравнения для сопряженных векторов рг й рг в коорди-
натной форме имеют вид
dPVy Лру
ST- P'S dt ~ Р'у' dt ~ P'z>
dPrr HrpPv , ЗрГрХ
' 4, = Г* ' <P>- Г) ’ (4’49)
‘Pr, . . dt r8 r' r* ’
“P'z _ WVz 34z dt гз r6 ’
где
г = Улг+у2 + 2*; (4.50)
Риг=/,кЛ+^уУ+РгЛ’ (4.51)
(4.52)
ex. y,z —
Здесь нижние индексы у переменных означают проекции со-
ответствующих векторов на оси х, у, г-
Если движение КА близко к некоторой (опорной) плоскости, ча-
сто записывают уравнения движения в цилиндрической системе
координат Orqz, при этом плоскость Ог<р совпадает с опорной плос-
костью, ось z перпендикулярна к ней.
Уравнения движения КА в проекциях на радиальное, трансвер-
сальное (в опорной плоскости) и нормальное направления имеют
вид
. —=у-
dt ” dt г ' dt г’
дл +Л (4.53)
dt г р8 т
4X1=— VpV‘ | Р
dt rm
^z
dt
-^- + Xe
p8 fl*
г,
119
где
Р = p^+z2;
(4.54)
(4.55)
Уравнения для переменных, сопряженных кг, <р, г, запишутся в
виде
£г= ~^(Р*— VrPvt+ VtPvf} +
Prp Pyr 3p.rpr
p5
। 1 гр ^Уг _
Р3
di
dPz —. игр Pyz
dt
dpvf V/
-tr=-Pr+ -LPV-
dt
dpv
Г3
3-^L(pVrr+pvzy,
₽5
^P^tPv-VrPvtY
(4.56)
При этом режим работы двигателя определяется с помощью
соотношений (4.18), (4.19).
Решение конкретных задач иногда удобно провести в других
переменных, нежели в декартовых или цилиндрических. Для этого
может понадобиться замена переменных типа точечного преобра-
зования, автономного по
х=Х(х); {хг = Х4(х„. . . , хя), г=1, . . . , я), (4.57)
где тильдой отмечены переменные после преобразования. В
предположении невырожденности существует и обратное пре-
образование
х=Х(х). (4.58)
Сопряженные переменные меняются при преобразовании
(4.57) следующим образом [50, 82] >
I] <4к”
/=1 '
120
или в матричном виде
р = В'pi (4.60}
Отсюда получаем
р = (В-‘)'р, (4.61)
или
п
(4,62>
I— 1 I
где матрицы В= (—1 и В-1 = ( есть матрицы частных
) I дх )
производных для прямого и обратного преобразований (4.57),
(4.58).
При преобразовании декартовых координат уравнения (4.61)
принимают вид
~ dr' , dV' , dm ..
Pl= — Рг H-------Pv + ^Z-Pm- (463)
dxj dxj dxj
Пусть преобразование координат состоит в повороте декарто-
вой системы О х у z, которому отвечает матрица В. Тогда
~г = Вг; (4.64)
V = BV, (4.65)
где г, V — радиус-вектор и скорость в новой системе координат.
Сопряженные переменные меняются следующим образом
Рг = в рг; (4.66)
рг = Bpv, (4.67)
т. е. рг, Pv являются обычными векторами в декартовой системе
координат.
Поворот системы координат используется, например, при рас-
смотрении векторов pv, рг в орбитальной системе координат.
Анализ движения КА в центральном поле иногда удобно прово-
дить в смешанной системе координат (г, Vr, Vt, и, i, Q),
в которой координатами являются расстояние до притягивающего
центра г, трансверсальная Vt и радиальная Vr компоненты скоро-
сти, аргумент широты и, наклонение i и долгота восходящего узла
оскулирующей орбиты й. В этом случае преобразование (4.57)
имеет вид
г = г (г, и, i, Q);
(4.68)
V = V(«, i,Q,Vt,Vr).
Радиальная, трансверсальная и бинормальная компоненты век-
торов pv и рг в орбитальной системе координат выражаются через
сопряженные переменные смешанной системы координат следую-
щим образом [50]:
Ргг;
Н= Ру^
12)
Г — cos/Ри + Рп
V = ----------------
sin i
sin u+Pt cos u /Vt;
(4.69)
l=Pr> ^(VtPv—VrPvt+PuVr-,
r — cos I pu+pa
C ------------------(cos и 4-
I sin i
4- e cos o>) 4- pi (sin и 4- e sin «>) /p.
<4.3. ПЕРЕЛЕТЫ С ИМПУЛЬСНОЙ ТЯГОЙ
Движением с импульсной тягой называют такое идеализирован-
ное движение КА, при котором верхний предел тяги не ограничен
•Ртах=00 и допускаются скачки вектора скорости. Такое движение
называют импульсным, а мгновенные скачки скорости — импуль-
сами скорости. Радиус-вектор при сообщении импульса скорости
остается неизменным. Если КА в момент времени ti сообщается
жмпульс скорости lAV^AVi еь то
+ 0) = V(/f — 0) + АУ,е; (4.70)
г (h + 0) - r(ti — 0).
Импульс скорости есть предел дуги максимальной тяги
Р(0 = Ртах> • ti tf"
три
Рт„-*оо, t7-+tb bti=t+— (4.71)
e(t)—* eit m(tt) —► m(it+0), m(t7)-+m(ti—0).
Импульс скорости связан с мгновенным расходом массы
AVt = W In w(/i~0) , (4.72)
т (О 4* 0)
м ли
m (t{ +0) = m (ti — 0) exp (— AVtl W). (4.73)
Необходимые условия оптимальности импульсных траекторий
-могут быть получены либо из условий оптимальности с конечной
тягой, либо непосредственно из рассмотрения задачи оптимально-
го управления с импульсным управлением и разрывными фазовы-
ми координатами (26, 50, 52, 66]. Следуя Д. Ф. Лоудену и исполь-
зуя первый путь, оптимальную импульсную траекторию можно рас-
сматривать как предел при Ртах-*00 оптимальной траектории с
конечной тягой, считая, что каждый импульс является пределом
122
дуги максимальной тяги. Поскольку уравнения для сопряженных
переменных рг, рю (4.12) не зависят от тяги явно, они не изменяют-
ся и в окрестности точки сообщения импульса. При
из равномерной ограниченности правых частей этих уравнений
следует, что сопряженные векторы pr, pv непрерывны в точках со-
общения импульса. Переменная рт будет разрывна в точке сооб-
щения импульса.
Из непрерывности вектора pv и условия (4.17) следует, что им-
пульс скорости направлен вдоль сопряженного вектора
AVj = AV.-Pv (МИРИМ I. (4-74)
т. e. если под е(Л) понимать единичный вектор, направленный
вдоль импульса AV,, то соотношение (4.17) справедливо и в им-
пульсном случае. На границах внутреннего участка максимальной
тяги, не совпадающего с началом или концом всей траектории,
Л(<Г) =Л(//')=0. Поскольку точке сообщения внутрен-
него импульса функция переключения непрерывна
Л(/<-О)=Л(Л+О), (4.75)
откуда можно получить
(трт)Ч-о = (трт),/+0 = (mpm)tl . (4.76)
В импульсном случае на всей траектории величина трт посто-
янна, т. е. имеет место интеграл
трт = const > 0, (4.77)
а интеграл (2.13).на открытом интервале (/0, 0) имеет следующий
вид:
p/V + Pyg = ft = const. (4.78)
В центральном ньютоновском поле имеет место также интег-
рал {81]
PvV — 2г'рг + 3ht 4- AVpAv=6=const. (4.79)
Если импульс сообщается в начале (или конце) траектории^
то
*(tf)=W)=0; (4.80)
(£*),;+-р7^- («о
Условия (4.81) могут быть получены формальным переходом к
пределу в интеграле (4.13) с учетом (4.78), их можно записать в
следующем виде, аналогичном полученному в работе [81]:
(— k \ = - A Vo = АУо -fob ; (4.82)
'‘о dt К. |
123
На всей траектории
Л(/)<0, (4.83)
и модуль базис-вектора [ру| в точках сообщения импульсов tf
достигает максимума, постоянного на всей траектории
|Pv(Ml = max |ру(/)| = = const. (4.84}
t W
Если использовать условие нормировки трт/ W=l, тогда
Pv(ti) = 1, (4.85>
т. е. в точках сообщения импульса базис-вектор является единич-
ным вектором вдоль импульса тяги.
В случае многоимпульсной траектории с N импульсами из-
(4.85) следуют равенства
|Pv(Ml =|Рг('8)|= - • • = 1М'»)1 = • • •
• • • = |Pv(^)|= max |pv(0|= 1. (4.86)
Последнее условие вместе с уравнениями движения и уравнениями
для сопряженных переменных последовательно связывает фазовый
и сопряженный векторы в точках сообщения импульсов и сущест-
венно используется при нахождении оптимального решения.
В импульсном случае переменные рт и pw можно исключить
из рассмотрения вследствие равенства mpm/W=l и интеграла,,
следующего из (4.23), (4.77)
РДи = const =—1. (4.87)
Однако они, конечно, будут неявно входить в условия опти-
мальности через основное условие (4.84). Величина характеристи-
ческой скорости непосредственно выражается как сумма величин
импульсных приращений скорости.
В моменты внутренних по времени перелета импульсов
Ру (^i)| / ' \ л /л оо\
---------L = (Pv P^ = °’ (4-88>
t. e. векторы py и pr ортогональны в точке сообщения импульса.
Если импульс сообщается в начале или в конце траектории, то
(PyPr)^>°: (PyPr)'z<°. (4.89)
причем равенство в (4.89) имеет место только в том случае, если
рассматривается задача перехода между орбитами при оптималь-
ном выборе точек отправления и прибытия и свободном времени
124
перелета, т. е. когда находится абсо-
лютно оптимальный перелет между
орбитами. В этом случае граничные
точки ничем не отличаются от внут-
ренних.
На рис. 4.8 показаны типичные за-
висимости ру(/), —рЛу(0 и P(t) для
импульсной траектории, включающей
два импульса (один из них внутрен-
ний) и два пассивных участка (один
из них граничный). Рис. 4.9, 4.10 ил-
люстрируют поведение функции пере-
ключения При Ртах*^00, когда
Рис. 4.8. Типичные зави-
симости Ру(0> —Рду (0»
P(t) для импульсной тра-
ектории
функция k(t) из показанной на
рис. 4.9, а, 4.10, а непрерывно перехо-
дит в показанную на рис. 4.9, б,
4.10, б. На обоих рисунках первый и
третий импульсы граничные, а второй
внутренний, но на рис. 4.10 все импульсы внутреннего типа.
В отличие от случая конечной тяги решение краевой задачи
оптимального импульсного перелета сводится к определению не
только начального сопряженного вектора рг(^о), Рг(^о), Рт(^о),нюи
скачков сопряженной переменной pm(ti) в моменты сообщения
импульсов скорости ДУ<(/=1,..., N), т. е. по существу краевая за-
дача является многоточечной. Это связано с импульсным характе-
М к
Рис. 4.9. Зависимость k(t) для конечной и импульсной тяги
ром управления (управление определяется в классе векторных
S-функций Дирака) и разрывностью фазовых координат. Сопряжен-
ная переменная рт может быть исключена из рассмотрения за
счет нормировки (4.85), при этом вместо скачков pm(ti) следует
рассматривать величину импульсного приращения скорости ДУг-
(f= 1,..., N), Задавшись оптимальными значениями pr(/0), Pv(Aj)
и ДУг (/= 1,... ,У), можно построить оптимальный перелет, решая
систему (4.1), (4.12) и определяя управление из (4.74), (4.86).
Рис. 4.10. Зависимость k(t) для конечной и импульсной тяги в случае им-
пульсов внутреннего типа
125
Нейштадт в работе [161] показал, что всякое решение краевой
задачи импульсного перелета с фиксированным временем может
рассматриваться как предельное решение для последовательности
краевых задач с конечной тягой при неограниченном возрастании
последней, т. е.
р_>оо:ру(/)^ри(/); рг(/)-ри(/);
-1: г (0 - Г:и(0; V(0 -> (4.90>
VH(/); AV(O - ДУ„(0.
где индекс «и» отвечает импульсному решению.
Если решение краевой задачи импульсного перелета единствен-
ное, то всякое решение с конечной тягой может рассматриваться
как промежуточное в последовательности решений краевых задач с
неограниченно возрастающей тягой, сходящихся к этому импульс-
ному решению. Отмеченное свойство решений краевых задач слу-
жит основой эффективных методов построения оптимальных пере-
летов с конечной тягой, рассматриваемых в следующей главе.
Отметим существенность предположения в (4.90) о фиксиро-
ванном времени перелета. Действительно, рассмотрим случай аб-
солютно оптимального перелета с импульсной тягой между орби-
тами в центральном ньютоновском поле, когда время перелета, а
также точки отправления и прибытия на орбитах выбираются оп-
тимальными. Если импульс скорости сообщается в начальной точ-
ке траектории, то в ней выполняются условия внутреннего импуль-
са (4.88)
р'/оРГо=:12И =0, (4.91>
dt
кроме того
// = /i = 0. (4.92>
В этом случае начальный импульс скорости (как и любой дру-
гой) можно всегда разложить на произвольное число меньших
импульсов, прикладываемых в одной и той же точке траектории
после выполнения полного оборота по пассивному оскулирующему
эллипсу. Условие (4.85) будет по-прежнему выполняться в точке со-
общения импульсов с учетом движения по промежуточным оску-
лирующим орбитам. В результате в оптимальную траекторию мо-
жет быть включено произвольное число промежуточных орбит без
изменения расхода топлива. Поэтому в рассматриваемом случае
решение краевой задачи неоднозначно по времени полета, и обыч-
но под решением понимают перелет без включения оскулирующих
орбит, соответствующий минимальному времени полета и числу
импульсов скорости. Следует подчеркнуть, что начальные значения
p£(Q> Р" (М являются одинаковыми для всех схем перелета.
126
Что касается перелета с конечной тягой, то, как отмечалось &
разд. 4.1, включение промежуточных орбит в состав траектории и
введение дополнительных активых участков позволяют уменьшить
гравитационные потери и расход топлива, причем последний мо-
жет быть сделан сколь угодно близким к расходу топлива при им-
пульсной тяге, правда, при бесконечно большом числе промежу-
точных орбит и времени полета. В рамках каждой схемы перелета*
с определенным числом и последовательностью промежуточных ор-
бит и активных участков существует локально-оптимальный пере-
лет с конечной тягой, отвечающий оптимальному распределению
длительностей активных участков и оптимальному времени пере-
лета, зависящим от уровня тяги двигателя. Для таких перелетов^
выполняются условия оптимальности (4.92) и
fe(to)=*(tz)=O, (4.93У
которым удовлетворяет бесконечный возрастающий ряд времен*
T’opt (i=l,..., оо), соответствующий длительностям локально-опти-
мальных перелетов. Условие (4.93) означает, что локально-опти-
мальный перелет начинается и кончается в момент естественного*
переключения, т. е. функция переключения имеет вид, аналогич-
ный изображенному на рис. 4.6 для траектории с двумя активными
участками и на рис. 4.10, а с тремя.
При возрастании тяги Р-^оо перелет с конечной тягой перехо-
дит согласно (4.90) в соответствующий импульсный перелет с
определенным числом промежуточных пассивных орбит. При этом*
начальные значения сопряженных переменных pv(t0), Pr(t0) для
всех схем перелета стремятся к одним и тем же импульсным значе-
р” (to) , p“(t0). Поэтому абсолютно оптимальное импульсное ре-
шение может рассматриваться как вырожденное, если использо-
вать аналогию с ветвлением решений нелинейных дифференциаль-
ных уравнений в окрестности вырожденного нулевого приближе-
ния (19], поскольку начальный импульсный сопряженный вектор
p£(t0), ZP” (to) является порождающим для всех траекторий с
конечной тягой с произвольным числом промежуточных орбит и:
временем полета.
Среди этих траекторий следует выделить ряд локально-опти-
мальных перелетов с возрастающими временами полета ToPt(t=lr
... ,оо), которые можно рассматривать принадлежащими разным
ветвям решений краевой задачи с конечной тягой при условиях
(4.92), (4.93), каждое из которых сходится при Р-»оо к началь-
ному импульсному сопряженному вектору p^(t0), P" (to) - В со-
ответствии с теорией ветвления решений [19], по-видимому, для
каждой из указанных ветвей решений краевой задачи начальный
сопряженный вектор может быть представлен в окрестности им-
пульсного вектора в виде ряда не только по степеням параметра
8=1/^, где q — массовый расход рабочего тела через двигатель,,
но и по степеням корней из параметра е. Как отмечается в рабо-
те [75], поскольку проблема ветвления оптимальных решений раз-
127
работана недостаточно, представляется важным решение конкрет-
ных задач с вырожденным нулевым приближением и определение
ветвей оптимального решения. Примеры решения подобных задач
рассмотрены в последующей главе.
Решение многоточечной краевой задачи оптимального много-
импульсного перелета представляет в общем случае трудную проб-
лему. При ее решении в качестве параметров, определяющих тра-
екторию, могут быть, например, выбраны сопряженные векторы
pv(^o), Рг(^о), импульсы скорости A Vi (i= 1,..., 2V), моменты времени
Zi(i=2,..., N—1) (предполагаем, что/1 = /0, tN=tf). Число неизвест-
ных параметров и заданных граничных условий (4.7) и условий оп-
тимальности (4.74), (4.86), (4.88) равны 4N + 4. Имея полную сис-
тему условий оптимальности, можно построить краевую задачу для
определения указанных параметров. При этом параметры можно
определять все сразу в рамках единой краевой задачи. Для пере-
лета в центральном ньютоновском поле уравнения движения и
сопряженная система на участках пассивного полета между им-
пульсами тяги интегрируются. Поэтому решение краевой задачи
в этом случае может быть найдено из системы конечных соотно-
шений, полученных с помощью интегралов фазовой и сопряженной
систем на каждой кеплеровской дуге, условий оптимальности и
граничных условий.
Другой подход основан на разбиении краевой задачи на основ-
ную, в которой определяется начальный сопряженный вектор
pv (/о), Рг(^о), и вспомогательные краевые задачи, решаемые после-
довательно по участкам между соседними импульсами и в которых
определяются моменты ..., N—1) из условия (4.88) и им-
пульсы AVf(i=l,..., N—1) из условий (4.74), (4.86). После реше-
ния краевой задачи необходимо проверить выполнение условия
максимума базис-вектора |ру(0 |<1 на всей траектории.
Практическое решение краевой задачи требует определения
хорошего начального приближения. В качестве такого приближе-
ния может быть выбрано оптимальное решение при упрощенных
краевых условиях, например, при рассмотрении перелета между
свободно-ориентированными орбитами со свободным временем,
когда решение может быть найдено относительно просто. Используя
затем метод продолжения, можно перейти от начального решения
к искомому. Такой прием используется в работе [50] при оптими-
зации многоимпульсных перелетов между фиксированными орби-
тами при ограничениях на максимальное и минимальное удаление
КА от притягивающего центра со свободным временем.
Другой подход, предложенный в работах [61, 38], основан на
использовании сопряженной системы для последовательного
улучшения начального приближения в фазовом пространстве в
виде некоторой траектории, относительно которой предполагается
близость к оптимальному решению, так что в пределе получается
траектория и соответствующий ей сопряженный вектор, удовлет-
воряющие рассмотренным условиям оптимальности, т. е. решение
краевой задачи. Таким образом, условия оптимальности в процес-
се
се решения не выполняются (они выполняются только для най-
денного решения), что упрощает вычислительный алгоритм.
Подход основан на распространении понятия базис-вектора на
неоптимальные импульсные траектории. Вектор ру на неоптималь-
ной траектории означает то, что и на оптимальной траекто-
рии: вектор ру есть решение сопряженной системы (4.12),
удовлетворяющее в точках сообщения импульсов условиям
(4.86), т. е. вектор ру(/г) (i=l,...,V) есть единичный вектор в нап-
равлении импульса скорости. Несложно показать, что задание век-
торов ру(/г) и ру(/г+0 на концах i-й пассивной дуги ^импульсной
траектории полностью определяет решение сопряженной системы.
Действительно, поскольку дифференциальные уравнения для ба-
зис-вектора ру и его производной ру (или —рг) совпадают с урав-
нениями для вариаций 6г, 6V соответственно, базис-вектор и его
производная преобразуются аналогично вариациям положения и
скорости Pv(0 . Рк(0 . = Ф(^, t0) pv(^o) . pv(^o) . 9 (4.94)
- dr (t) dr (t)
Ф(<, to) dr Co) av Co) (4.95)
где =
av C) dV C)
__ dr (U avco)
есть переходная матрица состояния.
Переходная матрица может быть получена либо интегрирова-
нием уравнений пассивного движения в вариациях, либо числен-
ным дифференцированием. В кеплеровском поле переходная мат-
рица выражается аналитически [17, 61, 116].
На любой двухимпульсной траектории (или любом двухимпуль-
сном участке Af-импульсной траектории) базис-вектор имеет гра-
ничные условия
Pv„ = AV0/ |AV0|, pV/= AV// |AV/|. (4.96)
Тогда, если матрица dr(t)/dV(t0) невырожденная, из (4.94)
можно найти начальное значение производной базис-вектора:
Зная величины рКо, pVo и Ф(/, t0), можно найти зависимость
базис-вектора от времени
= <4-98>
Можно другим способом найти базис-вектор на кеплеровской
дуге между двумя импульсами, используя аналитическое выраже-
ний для сопряженных переменных (4.46). Для этого достаточно
9—4537 129
определить шесть констант интегрирования Лоудена, которые на»
ходят из системы линейных алгебраических уравнений, выражаю-
щих условия (4.96).
При соединении решений на различных пассивных дугах мно-
гоимпульсной траектории вектор ру остается непрерывен, а его
производная в общем случае (на неоптимальной траектории) мо-
жет претерпевать разрыв в точках приложения импульсов.
На рис. 4.11 показаны типичные зависимости базис-вектора по
времени.
Рис. 4.11. Типичные зависимости базис-вектора по времени:
а — оптимальная двухимпульсная траектория; б, в — неоп-
тимальные двухимпульсные траектории; г — неоптимальная
трехимпульсная траектория
Оказывается, что исследуя базис-вектор на неоптимальной
траектории, можно установить способ улучшения исходной траек-
тории и приближения ее к оптимальной. В работе [38] предложена
следующая процедура построения оптимального решения.
1. Для заданных начального и конечного граничных условий
(4.5), (4.7) и времени перелета решается задача Ламберта и опре-
деляется двухимпульсное опорное решение.
2. С помощью соотношений (4.96), (4.97), (4.98) определя-
ются величины pVo, pV/, pVo и изменение базис-вектора по
времени.
3. Исследуется изменение базис-вектора по времени. Если
где-либо между начальным и конечным моментами времени ве-
личина | ру (/) | превосходит единицу, то двухимпульсная траекто-
рия не является оптимальной и нужно добавить третий импульс
в момент (см. рис. 4.11, б), где модуль базис-вектора |ру(/)|
достигает максимума, и сместить вектор положения на величину
6rm = cA-*Pvm/[Pvml,
где
А= ЭУ (tm) / dr (tm) \-1 _ dV(tm) / dr (tm) \-1 .
dV{tf) \ dV (tf) ) dV(t0) \dV(tQ) ) ’
130
с — представляет собой величину дополнительного импульса, ко-
торая должна быть достаточно малой.
4. Решаются две задачи Ламберта: для перелета из начально-
го положения в положение, Гщ+'бг^ со временем перехода —/о и
из положения rm+brm в конечное со временем tf—fyn- Это дает
неоптимальную трехимпульсную траекторию, которую можно улуч-
шить, используя градиентные или квазиньютоновские (например,
метод Дэвидона — Флетчера — Пауэлла) методы минимизации
суммарного импульса скорости на траектории по переменным гт и
tm. Градиенты вычисляются с помощью сопряженной системы
дЬУ
dim
d^v - +
-Ру Ру ,
rvm rvnv
иг т
= -(P^vi-p-v;)
(4.100)
где индексы— и + относятся к моментам непосредственно до и
после промежуточного импульса. Все величины в (4.100) можно
найти в результате решения задачи Ламберта и применения соот-
ношений (4.96) ...(4.98).
5. Проверяется характер изменения по времени базис-вектора
для полученной таким образом траектории. Если необходимые
условия оптимальности выполняются, то решение найдено. В про-
тивном случае добавляется еще один импульс и итерационный
процесс повторяется.
Поскольку изложенный метод является по существу градиент-
ным, он обеспечивает сходимость к локально-оптимальной много-
импульсной траектории из любой начальной траектории, удовлет-
воряющей граничным условиям. При этом не исключается сущест-
вование других решений. Поэтому целесообразно проводить реше-
ние задачи, используя различные начальные приближения, в том
числе многоимпульсные.
4.4. ПОПРАВКИ ПЕРВОГО ПОРЯДКА К ИМПУЛЬСНОМУ РЕШЕНИЮ
ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОГО ПЕРЕЛЕТА
Рассмотрим определение поправок первого порядка к решению
краевой задачи оптимального импульсного перелета при исследо-
вании краевой задачи с конечной тягой. Поправки представляют
собой первый член разложений в ряды Тейлора фазовых и сопря-
женных переменных в окрестности импульсного решения относи-
тельно значения €=1/^=0, где q — массовый расход рабочего те-
ла.
Задача получения поправок для импульсных решений рассмат-
ривалась в работах (56, 109, 127]. В работе [109] задача решалась
при постоянном значении P/q, а в работе [56] использовалось раз-
ложение по двум параметрам — начальному реактивному ускоре-
нию и скорости истечения реактивной струи. В работе [127] так жё
как и здесь использовалось разложение по q.
9* 131
Предполагается, что для каждого положительного значения в
в некоторой окрестности нуля существует решение краевой задачи
r(0, V(0, pv(0, Pr(0, k(t),m(t),
it, t~N, t~, tt (1=2, . . . , TV—1),
где t~, ft — начальный и конечный моменты времени полета
по Z-й активной дуге траектории (считаем, что tT=t0, t^= tf).
Пусть
г”(е)= г[1Г(&), е]; rt (е) = г[/+ (е), е];
rt=dr/de, r~=r~-j-t^Vr и т. д.
Кроме того, примем
е(/, е) = e[pr(Z, б)], g(Z, е) = g[Z(е), r(Z, е)] и т. п.
Предположим, что граничные условия имеют вид (4.5) —
(4.7). Тогда, например 17(e) = гЛ V/(e) V/ есть тождества
относительно е. Значит г/е(е) = О, г/ее(е) = О и т. д. Если
связать производные параметров в начале и конце активного
и пассивного участков, т. е. величины г~(0)<? r+(0), r~j есг~
VA, ft и ti+i.i и т. д., то всегда можно условия типа гд(0)=
=0 выразить в виде линейного уравнения относительно не-
известных производных ру0, pvt> гс»(0) и т. д. Записывая
аналогично и другие граничные условия, можно получить
полную систему линейных уравнений, из которой находятся
неизвестные производные. Тогда, вычислив один раз Pv0e(0),
можно производить уточнение импульсной величины началь-
ного базис-вектора, добавляя поправку первого порядка
еру0е(0). Аналитическая связь производных параметров в на-
чале и конце активных и пассивных участков траектории по-
лучена в работе [127].
Обозначим ^tt—tt—1~ и &mt= mt— т~. Поскольку
Дтп; =—ЬЩг, имеем соотношение Д/,,(0)=— Д/и, (0).
Производные для участков пассивного полета можно опреде-
лить с помощью соотношений типа
v'+. + -^7- (ri-tfV) +
(4.101)
Поскольку функция переключения удовлетворяет условиям
(в) = /?Д_1 (в) =s 0, имеем следующее соотношение:
р~' р~ ______о+'р+ =0. (4.102)
132
Интегрирование уравнений движения (4.1) и сопряженной си-
стемы (4.12) на активных участках приводит к следующим выра-
жениям для производных приращений переменных при е = 0:
Дг,е(0)=— Дт( V~ — а+ е,;
AV и (0)= w — mT
ml mf
+ AVfeft — A/Higi + aT et.; (4.103)
APvft (0)=AWi p,., Apr,-. (0) = AmiQi; ДА-Л (О)=С^Д Ц;
A^z« (0)= t/f (A/nfz«^ — m.} bm^) + 2Д 7г(/,е+2а<~6//г;
m, mf
где
a+ = bVitn+ +bmt W’, ar = bVtmr 4-Д/пгЦ7;
В случае внутреннего импульса Лг = [/{=Д^Л = 0 и для.по-
лучения поправок первого порядка предпочтительнее исполь-
зовать условие litt = 0, которое представляется в виде
—Р ’ Р“ —р_'р_ =------— (р_ р-+р~ Qi). (4.104)
PVit PViyrit AJ/j VHri 1 ri VVi
Для каждого внутреннего импульса имеют место условия
(4.102), (4.104) и при полете по /-й активной дуге используют-
ся два неизвестных параметра ГЦ и A/nze.
В работе (127] получены поправки первого порядка в задаче
встречи, когда скорость на правом конце траектории не задается.
В этом случае импульсная траектория содержит один импульс в
начальный момент, а траектория с конечной тягой содержит ак-
тивный и пассивный участки. Здесь рассмотрим более общую двух-
точечную краевую задачу с фиксированным временем и граничны-
ми условиями (4.5) — (4.7) при условии, что траектория состоит
из начального и конечного активных участков, разделенных пас-
сивным. В этом случае исходная двухимпульсная траектория мо-
жет быть получена из решения задачи Ламберта, а соответствую-
щий ей базис-вектор и его производная'—из соотношений (4.96)...
(4.98).
Используя условие нормировки р^, pVo =1, получим
р7,'р?1е=°- ° (4-105)
133
Поскольку должно быть гуе=О, следовательно,
42-(ri-/itVib)+ ^(Vlt-^ugi) + 67 V2 + Дг2е = 0,
дг0 д Ио
(4.106)
откуда, учитывая (4.3) и /?==//—Д6> при 8=Э получим
dry дг/ Г
-«Г 7—Pv0+^7- —“j?
дг0 dVo [ «Г
^iepVo4-AI/0p- —
v le
-°Г(1-РгоР^)Рго ]-а2+Ргу=0-
Согласно условию (4.102)
Рй’Р7, =РуМ ’ (4Л08)
V4 v2e VI V 1е
или с учетом (4.103) при е=0
Р^РЕ2е= PVo Рго + Дт3 Р;уР7 (4.109)
Из условия V/e =0 аналогично (4.106) получим
dVy dVf Г г .
-р-+ [- 7Гл'"“Р‘- +А' “р7.- (4.110)
-<!r(1-iv.Pr.)P'.
—(Д/п2 Д/П1е — ) рЕ +
mz те2
+ р-РуЛу) ри2- аг (1-Pv, Руу) р7= °-
Несложно видеть, что условия (4.105), (4.107), (4.109), (4.110)
образуют систему линейных уравнений, коэффициенты которой
вычисляются на импульной траектории (при е = 0). Полученную
систему можно разрешить относительно неизвестных производных
Д/Пн, Дт2е, р-t=PyOt, р+ =Рг/е-
Это позволяет определить точную
поправку первого порядка к импульсному расходу топлива на тра-
ектории с двигателем большой тяги е(Дт1с +Д/п2£), т. е. прибли-
женно аналитически решить динамическую задачу для заданного
маневра.
Кроме того, можно использовать линейную коррекцию началь-
ного импульсного базис-вектора epv0£ при решении краевой зада-
чи оптимального перелета с конечной тягой на основе импульс-
ного решения. При этом дополнительно необходимо найти про-
134
изводную pvOs для коррекции сопряженного вектора
используя условие (4.94) в виде
dr* дгf
Рк,= ----- Pvo+ Pvo •
> dr, dV0
В результате получим
• = ( drf
Рк°г \ дУ„
, - dPvf
pro —---Рко>
(4.1П)
tiff
(ДУн + Д/И, gi) — — Руое
д Vo аго
(4.112)
Глава 5. ОПТИМИЗАЦИЯ МЕЖОРБИТАЛЬНЫХ
ПЕРЕЛЕТОВ С КОНЕЧНОЙ ТЯГОЙ
5.1. ДИАЛОГОВЫЙ МЕТОД ПРОЕКТИРОВАНИЯ ОРБИТ
С КОНЕЧНОЙ ТЯГОЙ
Рассматриваемый метод численного построения на ЭВМ опти-
мальных траекторий межорбитальных космических аппаратов ос-
нован на непрерывном продолжении, начиная с импульсного слу*
чая, решений краевой задачи оптимального перелета с конечной
тягой (4.1), (4.12), (4.17)...(4.19) по параметрам двигательной ус-
тановки— тяге Р (или начальному ускорению от тяги а^ = Р/т^) и
скорости истечения реактивной струи W, а также времени перелета
Т и параметрам маневра, например, угловой дальности перелета.
Таким образом, удается обойти непосредственное решение сложной
нелинейной краевой задачи оптимального перелета и находить его в
результате построения специальным образом организованной пос-
ледовательности частных краевых задач, причем так, что решение
каждой предыдущей задачи составляет «хорошее» нулевое прибли*
жение для последующей задачи.
В основе метода лежит идея включения траектории с конечной
тягой в последовательность сходящихся к импульсной траекторий
при неограниченном возрастании величины тяги. Построив импуль-
сное решение задачи, используя, например, стандартные методы
нелинейного программирования, можно от него перейти к решению
задачи с конечной тягой, используя продолжение по параметрам
двигателя.
Исследования, однако, показали, что в ряде случаев продолже-
ние решений краевой задачи по параметрам двигателя становится
неэффективным из-за ухудшения или отсутствия сходимости кра-
евой задачи. Это явление наблюдается при построении траекто-
рий, функция переключения которых имеет вид, изображенный на
рис. 4.10. Такие траектории, как отмечалось в разд. 4.4, отвечают
абсолютно оптимальным перелетам между орбитами, когда время
135
перелета, а также точки отправления и прибытия на орбитах вы-
бираются оптимальными. В этом случае выполняются условия оп-
тимальности (4.93), (4.92), которым удовлетворяет бесконечный
возрастающий ряд времен 7oPt 0 = 1, - • , °°), отвечающий дли-
тельностям локально-оптимальных перелетов с возрастающим чи-
слом включений двигателя и расходом топлива, монотонно при-
ближающимся к случаю импульсной тяги. Каждый локальный оп-
тимум соответствует определенному числу и последовательности
активных участков полета и промежуточных оскулирующих орбит
и принадлежит разным ветвям решений краевой задачи оптималь-
ного перелета с условиями (4.93), (4.92), сходящимися при Р->°° к
начальному импульсному сопряженному вектору р”(£0), Р”(^о)-
Учитывая неединственность продолжения начального импульсного
сопряженного вектора, отвечающего абсолютно оптимальному ре-
шению задачи перелета между орбитами, это решение может рас-
сматриваться как вырожденное. Численное продолжение импульс-
ных решений задачи перелета по параметрам двигателя в пределах
некоторой окрестности абсолютно оптимального перелета невоз-
можно из-за плохой сходимости краевой задачи.
Оказалось, что это связано с вырожденностью матрицы част-
ных производных вектора рассогласования на правом конце тра-
ектории по начальным значениям сопряженных переменных Фр> ►
Однако за счет уменьшения времени перелета от опти-
мального на некоторую величину, которая зависит от па-
параметров исходных орбит, можно добиться хорошей сходимости
краевой задачи при продолжении решений по параметрам дви-
гателя. С уменьшением времени перелета от оптимального функция
переключения на траектории постепенно приобретает вид, изобра-
женный на рис. 4.9. В результате, используя продолжение импуль-
сного решения по параметрам двигателя в области сравнительно
небольших длительностей перелета и продолжая затем решение
краевой задачи по времени выполнения маневра (такое продолже-
ние оказывается устойчивым), можно построить решение заданной
задачи оптимального перелета.
Опыт численных расчетов на ЭВМ показал также целесообраз-
ность применения в ряде случаев при оптимизации конкретных
перелетов продолжения решений краевых задач по отдельным па-
раметрам маневра, например, по угловой дальности перелета, на-
клонению орбит и т. д.
Пусть требуется построить оптимальный перелет {Го,_у0, г/»
V/} за заданное время Т при фиксированных значениях Oq и W,
соответствующих, для определенности, двигателям малой тяги и
многовитковым траекториям перелета. Эта задача может быть ре-
шена, например, с помощью следующего алгоритма продолжения.
1. Задается некоторое время перелета Topt. Здесь ToPt—
оптимальное время импульсного перелета (предполагается конеч-
ным), отвечающее условию (4.92), Г* — время перелета» ограни-
чивающее сверху диапазон времен с высокой скоростью сходи-
136
мости краевой задачи при продолжении решения по параметрам
двигателя. Если времена T“pt и Т* неизвестны заранее для задан-
ного маневра {r0, Vo, ^7, V/}, то выбор удовлетворительного приб-
лижения 1\ всегда может быть сделан экспериментально методом
проб. Строится, например, с помощью решения задачи Ламберта
или методов нелинейного программирования оптимальная импуль-
сная траектория, соответствующая времени перелета Т\. По най-
денной траектории определяется сопряженный вектор р“(/), р“(/)
с использованием переходной матрицы и соотношений (4.94) ...
(4.98). Далее проверяется выполнение условия максимума базис-
вектора /рг(0/^1, что позволяет окончательно установить опти-
мальность найденной импульсной траектории. Если отмеченное
условие не выполняется, неоптимальная исходная траектория мо-
жет быть улучшена, например, с помощью алгоритма, изложенно-
го в разд. 4.3. В результате применения указанного алгоритма оп-
ределяется импульсная траектория, удовлетворяющая условиям
оптимальности.
2. Задаются достаточно большие, но конечные значения а^, а
величину W удобно положить W=°°f т. е. рассматривать перелет
с постоянным ускорением a(t) = aQ. Ступенчато уменьшая величи-
ну а0, продолжаем решение краевой задачи от импульсного случая
до решения, соответствующего перелету без выключения двигателя,
когда время работы двигателя равно времени перелета Т. При
каждом ступенчатом изменении величины а0 краевая задача реша-
ется итерационным методом, например, методом Ньютона, причем
в качестве начального приближения сопряженного вектора исполь-
зуется решение для предыдущего значения а0. Для улучшения схо-
димости краевой задачи и увеличения шага продолжения пара-
метра а0 может быть использована линейная или квадратичная
коррекция начального приближением путем численного построе-
ния соответствующей аппроксимации сопряженного вектора в ок-
рестности базовых (ступенчато изменяемых) значений параметра
Ою- При высоких уровнях тяги поправки к импульсному решению
могут быть найдены аналитически (см. разд. 4.4).
3. Строится продолжение по параметру ао (или по времени
перелета Т) решений краевой задачи без выключения двигателя
до заданного значения реактивного ускорения ао. Поскольку за-
данная величина предполагается малой (двигатель малой тя-
ги), диапазон изменения а0 может оказаться достаточно большим.
Однако следует заметить, что продолжение решений краевой за-
дачи без выключения двигателя допускает относительно большой
шаг изменения параметров продолжения ввиду отсутствия разры-
вов управления на траектории. Поэтому, учитывая возможности
современных ЭВМ, такое продолжение может быть выполнено при1
умеренных затратах машинного_времени.
4. При заданной величине а0 строится продолжение решений
краевой задачи без выключения двигателя по скорости истечения
до значения W.
13т
5. Если полученное в п. 4 время ^герелета с непрерывно рабо-
тающим двигателем Т=Тр,при и W окажется больше заданно-
го Т, то решение поставленной задачи не существует (т. е. не-
возможен перелет за заданное время с данными параметрами дви-
гательной установки). Если это время оказывается меньше задан-
ного Т, то строится продолжение решений краевой задачи по вре-
мени перелета до_достижения Т. На этом построение оптималь-
ного перелета ta0, W, Т, г0, Vo, г^, VJ закончено.
В случае двигателей большой тяги (или малой тяги при рас-
смотрении гелиоцентрических участков межпланетного перелета,
где ускорение двигателя малой тяги сравнимо с гравитационным
ускорением от Солнца) алгоритм продолжения существенно упро-
щается, поскольку в этом случае траектории перелета с конечной
тягой зачастую мало отличаются от импульсных.
Для двигателей большой тяги отпадает надобность в п. 3 ал-
горитма, а в п. 2 продолжение импульсного решения по парамет-
ру а0 выполняется до заданной величины а0. При этом поправки к
импульсному сопряженному вектору можно определять аналитиче-
ски согласно разд. 4.4.
При решении конкретных задач межорбитальных перелетов
.могут использоваться различные модификации изложенной схемы
построения последовательности двухточечных краевых задач, при-
водящих к искомому оптимальному передету. Такие модификации
должны учитывать специфику решаемой задачи и быть направле-
ны на поиск наиболее рациональной схемы продолжения решений
краевых задач. При этом может возникнуть целесообразность ис-
пользования дополнительных параметров продолжения, например,
угловой дальности перелета, положений точек отправления и при-
бытия на исходных орбитах и др. Выбор схемы и параметров
продолжения, шага продолжения по параметрам и способа кор-
рекции начального сопряженного вектора, анализ сходимости кра-
евой задачи удобно проводить в диалоговом режиме решения за-
дачи оптимального перелета на ЭВМ.
В результате применения изложенного метода наряду с ис-
комой оптимальной траекторией получается целое семейство «по-
рождающих» траекторий, нахождение которых позволяет пост-
роить регулярную процедуру решения трудной двухточечной крае-
вой задачи оптимального перелета с конечной тягой. Указанное
семейство позволяет проследить связь оптимальной траектории
с конечной тягой с соответствующей импульсной, решить вопрос
о существовании решения, который для траекторий с конечной тя-
гой может быть нетривиальным. Необходимо также отметить, что
нахождение семейства траекторий может оказаться необходимым
этапом исследования задачи межорбитального перелета при опре-
делении характеристики затрат на выполнение маневра и постро-
ении проектно-динамической функции (2.18), которая является
шажной выходной характеристикой динамической части общей за-
дачи проектирования межорбитальных космических аппаратов.
138
Поэтому для построения проектно-динамической функции целесо-
образно использовать рассмотренные выше схемы продолжения и
их модификации.
Численное моделирование на ЭВМ
тимизации траекторий с конечной
изложенного подхода к оп-
тягой в центральном ньютонов-
ском поле показало его эффек-
тивность. Разработанные схемы
построения последовательности
двухточечных краевых задач оп-
тимальных перелетов были реа-
лизованы в виде диалоговой сис-
темы проектирования орбит с ко-
нечной тягой (ДИСИПО), позво-
ляющей в диалоговом режиме
•осуществлять построение цепочки
краевых задач, приводящей к ре-
шению поставленной задачи
(рис. 5.1). Эксплуатация ДИ-
СИПО на малой ЭВМ СМ-4 позч
волила накопить значительный
опыт построения оптимальных
траекторий и решить ряд труд-
ных краевых задач как с боль-
шой, так и с малой тягой. Нап-
ример, рассчитывались опти-
мальные траектории со многими
активными участками, а также
>с уровнем реактивного ускоре-
ния порядка 10“3 и менее безраз-
мерных единиц, соответствующие
многооборотным траекториям.
Отношение радиусов орбит при
расчетах перелетов между кру-
говыми орбитами варьировалось
ют 1 до 60. Характерно, что все
решения были получены в регу-
лярном режиме, т. е. без исполь-
зования какого бы то ни было
«слепого» подбора значений на-
чального сопряженного вектора.
В настоящее время можно го-
ворить о регулярном решении
при полной автоматизации вы-
Вход |
блок исходных данных
Задание исходных данных :
параметры начальной и конеч-
ной орбит перелета, время
перелета, уровень тяги,
скорость истечения
__________-L- .
блок анализа задачи ;
выбор схемы продолжения
и режима работы системы
(диалоговый или автомати-
ческий)
I
блок импульсного
решения
Построение исходной импульс-
ной траектории и соответ-
ствующего ей сопряженного
вектора;
анализ оптимальности
импульсной траектории
L —
блок конечной тяги |
Задание параметров продолже -
ния в диалоговом или авто -
матическом режиме;
построение коррекции началь-
ного сопряженного вектора;
решение двухточечной
краевой задачи;
проверка условия окончания
Выход
числительного алгоритма для
траектории перехода с двумя ак-
тивными участками между за-
данными положениями на гранич-
Рис. 5.1. Структурная схема
диалоговой системы автомати-
зированного проектирования
орбит
139
вых орбитах за заданное время. В этом случае импульсное решение'
определяется однозначно (без оптимизации) из задачи Ламберта.
Далее строится соответствующий импульсный сопряженный век-
тор, проверяется условие оптимальности двухимпульсного реше-
ния и, если условие оптимальности выполнено, продолжается ре-
шение краевой задачи по уровню тяги, скорости истечения, а так-
же, возможно, времени перелета. Такое решение имеет важное
приложение в различных задачах оптимальных перелетов в цент-
ральном ньютоновском поле.
Однако область возможного применения развитого метода су-
щественно шире. С помощью ДИСИПО в диалоговом режиме мож-
но исследовать практически любые траектории перелетов с конеч-
ной тягой, выбирая всякий раз рациональную .схему продолжения
решений краевой задачи и подходящую импульсную траекторию.
Эта особенность ДИСИПО как исследовательской системы делает
ее весьма эффективным инструментом решения задач оптимизации
траекторий с конечной тягой. Нет сомнения, что использование
идеи непрерывного продолжения решений двухточечных краевых
задач оптимизации космических маневров может дать еще немало-
глубоких результатов и интересных решений в теории оптималь-
ных перелетов, играющей роль в практике космических исследова-
ний.
5.2. ОПТИМИЗАЦИЯ КОМПЛАНАРНОГО МЕЖОРБИТАЛЬНОГО
ПЕРЕЛЕТА С КОНЕЧНОЙ ТЯГОЙ
Плоское движение КА в полярных координатах в центральном!
ньютоновском поле описывается уравнениями
/|л=3; г=м; <р=—;
а08 о , V2 1
i =------2-----cos В J-----------;
, «о , 1 г Г2 ’
(5.1>
а0Ъ . о uv
V = -------5------ sin В---------.
, , г
Здесь г, <р — полярные координаты; и, v — радиальная и
трансверсальная компоненты скорости; ty. — текущее время рабо-
ты двигателя; [} — угол между радиусом-вектором и вектором ре-
активного ускорения; 6 — функция включения — выключения
двигателя, принимающая значение 1, если двигатель включен, и О,
если выключен; ао — начальное реактивное ускорение; W — ско-
рость истечения реактивной струи.
Уравнения (5.1) записаны в безразмерных переменных. За еди-
ницу расстояния выбирается некоторый характерный радиус г,
140
(например, радиус начальной круговой орбиты), за единицу ско-
рости и ускорения — круговая скорость V*= VЦгр/r* и гравита-
ционное ускорение g‘* = |irp/^2 на расстоянии г* от притягивающего
центра, за единицу времени величина Т*/2л: = г*угг*/|1Гр, где Г* —
период обращения по круговой орбите радиуса г*; цГр — гравитаци-
онная постоянная.
Требуется определить оптимальное управление р(/), 6(/), ми-
нимизирующее конечное значение t\x(T) = 7^ при удовлетворении
заданных краевых условий для г, <р, ut v, которые записываются
в соответствии с рассматриваемым динамическим маневром. На-
чальные значения для <р и t могут быть приняты нулевыми, тогда
время перелета Т совпадает с конечным временем tf = T.
Используя принцип максимума, запишем уравнения для сопря-
женных переменных
Р,г=~—^----------УЛ+Л; ₽.=»;
W (1— —
\ w Ч
Pu= — Pr+Pv—\ Pv= ~(Pvu~~%Puv~ Pv)
г г
и гамильтониан системы
^=P«-—+Pr‘i — pv — + Pu(— — —}+^k. (5.3)
Г г \ г г2 /
Из условия максимума гамильтониана находим оптимальное
управление
sin PoPt=.——— ; V Pl+Pv cos popt= Pu . (5-4)
V P2u+P%
«opt= y(l+ signfe); k=p^ + Др 1— — t 1 W “ fP2u+Pl> (5.5)
где k — функция переключения.
Система (5.1) ... (5.5) обладает двумя первыми интегралами
Рф=соп8Г, ff=h=const, (5.6)
поскольку угол ф и время t не входят явно в правые части урав-
нений.
Для перелетов без выключения двигателя 6(/)=1, Ту. = Т, по-
рядок системы (5.1), (5.2) можно понизить за счет исключения
ty. и pt рассматривая задачу на максимальное быстродействие.
В этом случае единственным управлением является ₽(/).
141
Согласно принципу максимума конечное значение сопряженной
переменной р(^ должно быть неположительно
Д<?(Г)<0, (5.7>
причем равенство в (5.7) отвечает перелету без выключения двига-
теля
Применение формализма Л. С. Понтрягина сводит задачу
плоского межорбитального перелета к нелинейной двухточечной
краевой задаче для системы (5.1) ... (5.6) 10 порядка. Для пере-
лета между заданными граничными точками (го, и0, и ry, vQr
Ufr <ру) за фиксированное время Т неизвестными параметрами кра-
евой задачи являются начальные значения сопряженных перемен-
ных Pr, pu, Pv, рФ, Р/^ Поскольку решение сопряженной системы
(5.2) определяется с. точностью до произвольного множителя,,
число неизвестных может быть уменьшено за счет условия норми-
ровки
/ ^(0) + рДО) =1. (5.8}
Возможно использование также других условий нормировки. При
этом следует только помнить, что при расчете маневров, для ко-
торых значение, например, сопряженной переменной pi в началь-
ный момент близко к нулю, остальные импульсы становятся неог-
раниченными, если использовать нормировку рг(0) = 1.
Для межорбитального перелета со свободной угловой даль-
ностью фу=ор1 имеет место интеграл рФ=0 и число неизвестных
в краевой задаче уменьшается до трех. Еще на единицу уменьша-
ется число неизвестных в задаче со свободным временем переле-
та. В этом случае постоянная интеграла (5.3) равна нулю (Я=0)
и его можно использовать для определения одной из сопряжен-
ных переменных в начальный момент. Для перелетов без выключе-
ния двигателя число неизвестных начальных переменных не пре^
восходит трех, поскольку переменная pt[L может не рассматривать-
ся. При этом время перелета не задано (минимизируется). Соп-
ряженную переменную pt{X в этом случае несложно определить
после решения краевой задачи с помощью граничного условия
р, (Т)=0. При этом, если необходимо использовать полученный
сопряженный вектор при решении задачи с выключением двигате-
ля (например, в качестве нулевого приближения), необходимо вы-
честь из найденного значения р«и(0) величину 6min=niin£(/), пред-
ставляющую собой минимальное значение функции переключения
(5.5) на траектории, которое в общем случае может быть отлична
от нуля (на это впервые указано я работе [26»]).
При итерационном решении краевой задачи оптимального пе-
релета необходимо вычислять матрицу частных производных фазо-
вых координат на правом конце траектории по начальным значе-
ниям сопряженных переменных. Ее можно найти либо численным
дифференцированием, либо построением фундаментальной систе-
142
мы решений уравнений в вариациях (изохронных возмущениях)»
(4.46)... (4.48)
Sr=ow, 8<р= — — — 8 г, 8/ц=0,
г г2
8«=- f£l_Z\sr+ — 8о+-----------------X
X COS popt 8 --— sin popt вр,
* • UV ъ V * и * ,
8-и =;— or-------о и----------8у +
Г2 г г
X -----а°-0-.- cosPOp(6p,
-!^8“ + (^-/’»-^ + 7г)8”, 8^=0’
Ч = - "‘"'Z V + - (5.9>
(>-^'н)
______а0 8opt_Pu^Pu+Pv^ Pv
W(i~w't^ V Pu+P2v
*PaSPr+^Pv~ ^PV*r -I"
х • s Pv 2v s I и s /2v
bPv=--------—bPu. + fbpv + [—Pu —
-2Lp +P*\br-2 ^-lv + ^Ъи.
r2 rv ’ f2 j Г ' Г
143
Вариация управления определяется в результате варьирования
соотношения (5.4).
80 =
Py^ Ри Ри^Ру
/ Ри + P2V
(5.10)
Поскольку управление 6(0 релейного типа, его вариация рав-
на нулю, а возмущаются только моменты переключения tit в ко-
торых функция переключения обращается в нуль. Возмущения мо-
ментов переключения определяются из условия (1.88)
/ (sin 3opt) Ь ри + (cos ₽Opt) *Pv •
dj— / a0
I 1——
+ 8/^ +
r\ _ a0 ( „ ~
2J — - - - | — PrPu
/ 4 Яо , \ Z о о \
j V P2u + Pv k
(5.И)
-^PuPv- ^ + 7-^.
В моменты переключения 0 вариации 8а, 8 v, 8/[X, bpt пре-
терпевают скачки
8 и (0 + 0)=8 и (ti - 0) + е —-------------------(cos 0opt)s-,
8 v (t( + 0)=8 v (ti — 0) -J- e-—-----(sin 0opt) /с |2)
1-— t
Xff S'
8^(0+O)=8^(0-O)+CSf,
* Ли (0+0)= 8 Ли - 0) - e ——--------- yf Pl + Pl sit
Г / Ял \x
где 8=1 при переходе от активного участка к пассивному и
е=—1 в противном случае.
Как отмечалось в разд. 1.4, в действительности это означает,
что конечные возмущения тяги на интервале [0, /+$<] заменены
6-функцией Дирака, действующей в номинальный момент переклю-
чения ti на возмущенный вектор скорости системы.
Построение фундаментальной системы решений уравнений в ва-
риациях интегрированием системы (5.9) ...(5.12) в обратном вре-
144
мени от момента Т до 0 и вычисление знака определителя фунда*
ментальной матрицы для проверки отсутствия сопряженных точек,
которые соответствуют изменению знака определителя (см. разд.
1.4), позволяют судить о локальной оптимальности решения крае-
вой задачи оптимального перелета.
С помощью диалоговой системы проектирования орбит, описан-
ной в разд. 5.1, были выполнены многочисленные расчеты компла-
нарных межорбитальных перелетов между круговыми и эллипти-
ческими орбитами с двигателями большой и малой тяги.
Рассмотрим задачу межорбитальнюго перелета с конечной тягой
между круговыми компланарными орбитами, представляющую
практический интерес. В этом случае параметрами маневра явля-
ются радиусы начальной г0 и конечной орбит /7, угловая дальность
Ф/ и время Т перелета, а проектно-динамическая функция (2.18)
имеет вид
ГГ=ГДа0, W, rQt rf9 Ф/, Г). (5.13)
Линии уровня этой функции Г|л(Ф/, T)=const при фиксированных
а0, г0, г/ на плоскости фу, Т представляют собой линии равных
(минимально возможных) затрат топлива на перелет, т. е. совпа-
дают с линиями mT = const. Знание этих линий может потребовать-
ся при построении проектно-динамической функции (5.13).
На рис. 5.2 представлены типичные линии уровня функции
Ти(фу, г), которые строились с помощью ДИСИПО. Видно, что ли-
нии уровня покрывают область'плоскости Фу, Т, ограниченную ли-
нией 7’|л = Т, соответствующей перелетам без выключения двигате-
Рис. 5.2. Схема линий уровня функции (кр/, Т) и границы ее области оп-
ределения
10-4537
145
ля. Если обозначить через Т=Г(фу) уравнение указанной границы
Тр = Т допустимой области, то при любых а0>0, W<°° функция
Г (фу) (которая может быть и многозначной) определена на беско-
нечном интервале фу^ (—°0,00), ограничена и имеет асимптоты [26]
Г(фу)<Г/а0, vT/6(—оо, ос),
НтГ(ф/)=11*т Г (фу)== W/a0. (5.14)
Ограниченность Г (фу) следует из необходимости выполнения
условия неотрицательности конечной массы. Сколь угодно большие
по модулю угловые расстояния могут быть пройдены за конечное
время при условии, что траектория подойдет очень близко к грави-
тационному центру и совершит вокруг него необходимое число
оборотов (при этом время каждого оборота может быть сделано
сколь угодно малым). Однако для входа в близкую окрестность
гравитационного центра и выхода из нее требуется весьма боль-
шое реактивное ускорение, которое может быть получено, когда
текущая масса аппарата станет достаточно малой (в пределе — ну-
левой). Если ао-^00, то из (5.14) следует, что граница Г(фу)_>0 рав-
номерна относительно фу, в результате становится достижима вся
полуплоскость Т>0.
Допустим, что для некоторой точки (ф0, То) плоскости фу, Т
найдена оптимальная траектория и время работы двигателя Г®.
Тогда несложно показать [26, 143], что любая точка этой плос-
кости внутри угла («клина») с вершиной в точке (ф0, То), обра-
зованного лучами с наклонами *arctg (1/соо) и arctg (1/соу), дости-
жима, причем оптимальное время работы двигателя не превосхо-
дит там величины (рис. 5.3). Здесь фо и шу — угловые скорос-
ти движения по внутренней и внешней круговым орбитам. Дейст-
вительно, траекторию, отвечающую точке (соо, Л>), можно «прод-
лить» без изменения Г и, добавив в начале и (или) в конце участ-
ки пассивного движения по граничным круговым орбитам из ус-
ловия получения заданных значений (фу, Т). Естественно, что
оптимальная траектория для полученной точки (фу, Т) будет не
хуже построенной таким образом. Отсюда следует неограничен-
ность в сторону пропорционального возрастания фу и Т области
определения функции Гр, (фу, Т), а также оценка наклонов линий
уровня этой функции. Если обоз-
начить через Т=Г1(фу, с) нижние
ветви линий уровня Тр (фу, Т)=с,
а через Т=Гг(фу, с) — верхние
ветви, то
d ri/^ Ф/ < 1/шо’, д Г2/д фу > шу,
(5.15>
иначе получится противоречие с
тем фактором, что функциям Тр (фу>
Т) дает оптимальные (минималь-
ные) затраты.
Рис. 5.3. Образующий клин
с вершиной в точке (ф0, Т 0)
146
Точки A, СА, AC, CZA, CAC и т. д. соответствуют локально-оп-
тимальным решениям краевой задачи по времени и угловой даль-
ности перелета (при отсутствии пассивных участков движения на
начальной и конечной круговых орбитах). Для этих решений вы-
полняются условия оптимальности (4.92), (4.93), которым удовлет-
воряет ряд {<p/fpt, 7?pt}, i=l,...,°° локально-оптимальных значений
угловой дальности и времени перелета. Каждый локальный опта-'
мум отвечает определенной схеме перелета с заданным числом и
последовательностью активных участков и промежуточных оску-
лирующих эллиптических орбит и принадлежит разным ветвям ре-
шений краевой задачи оптимального перелета с конечной тягой с
условиями (4.92), (4.93), сходящимся при Р->°° к начальному
импульсному сопряженному вектору р“(0), (0).
Введение дополнительных включений двигателя с пассивным
полетом по промежуточной орбите позволяет уменьшить гравита-
ционные потери и приблизить расход топлива (с ростом числа
включений) к расходу в случае импульсной тяги.
Анализ функции переключения локально-оптимальных траекто-
рий показывает, что по отношению к большой оси эллипса на пас-
сивном участке полета точки включения и выключения двигателя
расположены симметрично или асимметрично. Поэтому соответст-
вующие локально-оптимальные траектории удобно классифициро-
вать по виду и числу промежуточных пассивных участков, следую-
щих за активными. Если буквой А обозначить асимметричный пас-
сивный участок, а буквой С — симметричный, то обозначение,
например, САС на рис. 5.2 соответствует траектории с тремя пас-
сивными и четырьмя активными участками, причем второй пассив-
ный участок— асимметричный.
Асимметричный пассивный участок присутствует всегда, при-
чем в единственном числе. Его положение относительно симмет-
ричных участков произвольное. Поэтому в рамках схемы с п ак-
тивными участками (т. е. с п—1 пассивными участками) существу-
ет п—1 локально-оптимальных траекторий, различающихся по по-
ложению асимметричного участка. Каждый симметричный участок
отвечает, очевидно, введению промежуточной орбиты в состав
траектории и дополнительному включению двигателя при разгоне
с начальной или выведении на конечную орбиты.
При перелете на внешнюю орбиту гравитационные потери на-
иболее велики при разгоне с начальной орбиты, поэтому введение
симметричных пассивных участков выгоднее в начале траектории,
т. е. перед асимметричным участком.
Траектория А (см. рис. 5.2) отвечает квазигомановскому пере-
лету без промежуточных орбит с двумя активными участками, раз-
деленными асимметричным пассивным (при этот перелет пе-
реходит в двухимпульсный гомановский перелет). Два луча, исхо-
дящие из »А с наклонами 1Доо и 1/сэ/, образуют гомановский
клин, внутри которого расположены все локально-оптимальные пе-
релеты. Квазигомановский перелет может рассматриваться как
10* 147
порождающий для всех траекторий внутри клина, поскольку их
удобно строить с помощью ДИСИПО непрерывным продолжением
перелета А по параметрам <q>f и Т.
Точки А, АС, СА и т. д., как видно из рис. 5.2, являются нижни-
ми (порождающими) вершинами параллелограммов, стороны ко-
торых параллельны осям клина. Траектории, отвечающие точкам,
лежащим внутри параллелограммов, эквивалентны по Ту. траек-
ториям, соответствующим нижним вершинам, и получаются из них
простым добавлением начальных и (или) конечных пассивных уча-
стков полета по круговым орбитам из условия получения заданных
(фл Т).
Линии уровня функции Т[л(ф/, Т) внутри гомановского клина
заполняют «зазоры» между изоэнергетическими параллелограм-
мами, преломляясь на паре дуг, соединяющих их верхние и нижние
вершины. Одна из этих дуг соответствует траекториям перелета с
локально-оптимальной угловой дальностью, а другая — с локально
оптимальным временем перелета.
Аналогично точки дуги АВ отвечают перелетам ic локально-оп-
тимальной угловой дальностью, а дугиА£>— с локально-оптималь-
ным временем перелета. Касательные к линиям уровня функции
Тр (фу, Т) на этих дугах соответственно горизонтальная и верти-
кальная.
С удалением от вершины клина А параллелограммы несколько
увеличиваются в размерах, а зазор между ними уменьшается. С
ростом тяги (увеличением а0) зазор между параллелограммами
уменьшается и при исчезает — параллелограммы плотно за-
полняют гомановский клин. В этом случае все траектории гома-
новского клина получаются из гомановского перелета необходимым
добавлением начального и конечного пассивных участков полета
по круговым орбитам.
Точка пересечения дуг АВ и AD отвечает первому локально-
оптимальному или кв(азигомановскому перелету А с двумя актив-
ными участками. На существование такого перелета указывалось
в работе [143]. Заметим, что с уменьшением реактивного ускоре-
ния aQ число активных участков, отвечающих первому локально-
оптимальному перелету, образующему порождающий клин, посте-
пенно растет (перелет А сменяет СА и т. д.). Например, при пере-
лете между орбитами с отношением радиусов, равным 5, ускорени-
ем ao~O,O3g, где g— гравитационное ускорение на начальной ор-
бите, первый локальный оптимум уже отвечает переходу СА. В ра-
боте [26] было высказано предположение, что точка пересечения
дуг АВ и AD лежит в бесконечности, и область локально-опти-
мальных перелетов (гомановский клин) не исследовалась.
Отметим также, что в литературе до настоящего времени воп-
рос об оптимальности решений краевой задачи с конечной тягой,
удовлетворяющих условиям оптимальности времени и угловой
дальности перелета (4.92), (4.93), оставался до конца неясным.
По-видимому, впервые в работе [2] высказано предположение, что
среди бесконечного множества решений указанной краевой задачи
148
перелета между круговыми орбитами относительный оптимум рас-
хода топлива достигается лишь на траекториях с единственным
асимметричным участком пассивного полета. В обоснование такого
предположения была предпринята проверка оптимальности ряда
численных решений краевой задачи с помощью критерия второй
вариации (отсутствия сопряженных точек на траектории). Настоя-
щее исследование позволяет окончательно установить локальную
оптимальность рассмотренных перелетов с промежуточными оску-
лирующими орбитами и дополнительными активными участками.
Некоторое представление о характере оптимальных траекторий
плоских перелетов между круговыми орбитами и программах ори-
ентации тяги на активных участках можно получить из рассмот-
рения рис. 5.4...5.7, построенных с помощью ДИСИПО. Начало и
конец активных участков отме-
чены крестиками, на них ________
стрелками показано направле-
ние вектора тяги. Рис. 5.4 отно-
сится к перелету между низкой 1 / \
околоземной и стационарной / \
орбитами с двигателем боль- / \
шой тяги (см. рис. 4.7). Изоб- I
раженная на нем траектория / vLjr '
отвечает квазигомановскому / 1 .
перелету, величина постоянно- \ Ч / /
го реактивного ускорения сос- \ I /
тавляет 0.1 g*, где g*— гра- -\ \ /
витационное ускорение на на- \ /
чальной орбите высотой 200 \\
км над Землей. Локально-оп-
тимальная схема перелета
СА с тремя активными участ- Рис. 5.4. Траектория перелета на
ками на Юпитер с малой тя- стационарную орбиту
гой показана на рис. 4.4.
Следующие траектории относятся к гелиоцентрическому участ-
ку перелета на Марс с малой тягой (орбиты Земли и Марса вокруг
Солнца предполагаются круговыми компланарными) и отвечают
различным сочетаниям параметров перелета <ру и Т (обозначены
цифрами на рисунках, причем Т в безразмерных величинах, мас-
штаб времени равен 58.1 сут) при постоянном реактивном ускоре-
нии ao=O,2g*, где g* — гравитационное ускорение от Солнца на
орбите Земли.
На рис. 5.5,а...г показаны траектории без выключения двигате-
ля, которые могут быть весьма причудливыми. На рис. 5.6, а.., г
показаны траектории с двумя активными участками, причем пер-
вый из них отвечает квазигомановскому перелету, а на втором
траектория включает участок пассивного движения на начальной
орбите (его начало помечено штрихом). Рис. 5.7, а... в представля-
ют траектории с тремя и четырьмя активными участками полета.
На рис. 5.8 представлена зависимость от отношения радиусов
орбит гу/го времени перелета Т* (отнесенного к длительности го-
149
в) г)
Рис. 5.5. Траектории перелета на Марс без выключения двигателя:
а — ф/=128°, 7=3,0; б — <р/ = 208о; 7=4,0 ; в — ф,= 193,6е, 7=10,5; г —
- ф/=450°; 7 = 5,4
мановского перелета), ограничивающего сверху диапазон дли-
тельностей перелета с высокой скоростью сходимости краевой за-
дачи при продолжении импульсного решения по величине реактив-
ного ускорения ао при W=°° (см. предыдущий раздел). Зависи-
мость отражает реальный опыт эксплуатации ДИСИПО и отвечает
перелетам со свободной угловой дальностью. При выборе времени
перелета, не превосходящим Т#, продолжение импульсного реше-
ния выполняется с небольшим числом шагов по параметру йо и
итераций при решении краевой задачи.
В табл. 5.1 показаны ступенчатое изменение величины а0 в
единицах гравитационного ускорения на начальной орбите и чис-
ло итераций краевой задачи для трех примеров продолжения им-
пульсного решения с отношением радиусов круговых орбит г//г0,
равным 1.52, 5,2 и 10. Для первого значения йо (максимального)
в качестве нулевого приближения используются импульсные сопря-
150
в) •)
Рис. 5.6. Траектории перелета на Марс с двумя активными участками:
в —т,=202°, Т=5,0; б — <p/ = 226°, 7’ = 5,0; в — <р/=258°, Т=4,8;
г — <р/=199°, Г=6,9
Таблица 5.1
№ варианта 7/г« г/7ом До Число итераций
1 1,52 0,8 0,3 5
2 5,2 0,45 5 7
1 7
0,6 5
0,4 5
0,3 4
3 10 0,27 10 14
5 9
2 14
1 12
151
Рис. 5.7. Траектории переле-
та на Марс с тремя и четырь-
мя активными участками:
а — ф/ = 217°, Т=5,9; б —
фу = 258°, 7*=5,1; в—ф/ =
= 550°; Т= 10,15
женные переменные р"(0), />„(0), р”(0) и постоянная интеграла.
(5.6) йи(рФ = 0). Коррекция начального приближения при ступен-
чатом изменении а0
Рис. 5.8. Верхняя гра-
ница диапазона длитель-
ностей перелета с высо-
кой скоростью сходимос-
ти краевой задачи при
продолжении импульсно-
го решения
в рассмотренных примерах не применялась.
Видно, что при г//г0=1,52 имеет место хо-
рошая сходимость при использовании им-
пульсного приближения для решения крае-
вой задачи при ао = О,3.
Решение краевых задач проводилось с
помощью итерационного алгоритма, исполь-
зующего схему метода минимизации пере-
менной метрики ранга I (НО]. Вычислитель-
ная схема алгоритма следующая. Задается
нулевое приближение для сопряженных пе-
ременных в начальный момент времени
р9. Вычисляется матрица частных произ-
водных краевых условий Ф(Рг) по началь-
ным значениям сопряженных переменных
Фр<. Полагается Н° = Ф^/- Далее для
15?
(5.16).
(5.17>
(5.18>
A =0,1, . . . вычисляются новые значения
р*+,= Рн $н*ф(р*),
где $ определяется, например, из условия
||ф(р*+,)|| < ||ф(р?)||.
Затем уточняется значение матрицы Н:
Hft+1 = Hft . (Др-н*дФ)др'н* .
Др'Н*ДФ
Аф = ф(рг*+1) — ф(р*)> kp=pk+'— р*,
и итерационный процесс продолжается до удовлетворения крае-
вых условий с заданной точностью. Через определенное число ите-
раций можно для исключения накопления ошибок перезадавать
матрицу Н, вновь вычисляя обратную матрицу частных производ-
ных Ф~’. В примерах табл. 5.1 матрица Ф^’ вычислялась один
раз на первом шаге алгоритма. Расчеты оптимальных перелетов с
помощью ДИСИПО показали, что рассмотренный алгоритм прак-
тически не уступает традиционному методу Ньютона по числу ите-
раций, однако существенно превосходит его во времени счета,
так как не требует расчета производных на каждой итерации.
С помощью ДИСИПО была предпринята проверка известной
формулы для безразмерной характеристической скорости при пере-
летах между круговыми наклонными орбитами с малой тягой бе»
выключения двигателя на траектории, полученной методом осред-
нения в работах [63, 122]
(5.19>
где Ai — угол между плоскостями орбит, радиус начальной орби-
ты положен равным 1, a AV выражена в единицах скорости на
начальной орбите.
В случае компланарного перелета (Ai=0) формула (5.19) при-
нимает вид
AV=1------Ь-. (5.20),
Уч
При этом время перелета определяется соотношением
Т= Х[1- ехр(Д1//1Г)].
(5.21)»
153
На рис. 5.9 показана относительная погрешность времени пере-
лета, вычисленного по (5.20), (5.21), в зависимости от величины
4io в единицах гравитационного ускорения на начальной орбите для
двух значений отношения радиусов орбит г^г^. Видно, что с ростом
□о погрешность растет, причем аналитическое решение дает зани-
женное значение времени перелета, что обусловлено ростом грави-
тационных потерь на траекториях без выключения двигателя (тра-
ектория все сильнее отличается от квазикругового движения, ко-
торое предполагается в методе осреднения). Таким образом, соот-
ношение (5.20) дает предельное (минимальное) значение характе-
ристической скорости для траекторий перелета без выключения
Рис. 5.9. Погрешность вычис-
ления времени перелета с по-
мощью соотношений (2.20), (2.21)
Рис. 5.10. Типичная зависимость 0(0
для плоского перелета на стационарную
орбиту с малой тягой
двигателя, соответствующее условию л0->0 и квазикруговому дви-
жению. Заметим, что при а0<0,001 (двигатель малой тяги) вели-
чина AV может приниматься практически постоянной. На рис. 5.10
показана типичная зависимость угла между радиусом-вектором и
тягой 0(/) для многовитковой плоской траектории перелета на ста-
ционарную орбиту (отношение радиусов орбит г//г0=6,42) без
выключения двигателя при aQ = 0,005 (масштаб по оси времени
около 14 мин).
$.3. ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ ДИНАМИЧЕСКОЙ ЗАДАЧИ
ДЛЯ ЛУННОГО БУКСИРА С МАЛОЙ ТЯГОЙ
•Пространственнную траекторию перелета буксира с малой тя-
той между орбитами ИСЗ и ИСЛ удобно представить состоящей
из следующих характерных участков (рис. 5.11):
/ — участок многовиткового разгона с круговой базовой орбиты
у Земли — участок геоцентрического разгона. На этом участке ап-
парату сообщается скорость, которая обеспечивает достижение Лу-
ны;
II — промежуточный участок, названный участком согласова-
ния (А и В — точки стыковки участков). Здесь обеспечивается сты-
ковка (согласование) геоцентрического и селеноцентрического уча-
154
•ст ко в. Точка В лежит на сфере согласования, радиус которой
?*<Рс.д> где Рс.д-РаДиус сферы действия Луны;
III — участок селеноцентрического торможения.
На рис. 5.11 движение на этом участке показано в селеноцент-
рической системе координат.
На этом участке происходит торможение относительной скоро-
сти аппарата и обеспечиваются заданные параметры конечной ор-
биты спутника Луны.
Две спирали — раскручи-
вающаяся относительно
Земли и скручивающаяся
относительно Луны — пред-
ставляют собой основные
составные части траектории
перелета Земля — Луна с
малой тягой. Число витков
спиралей хорошо представ-
ляется формулой, получен-
ной для маневра набора па-
раболической скорости с ма-
лой тягой в работе [9]
/г=О,О4/ао, (5.22)
где По — безразмерное на-
5.11. Схема перелета лунного бук-
сира с малой тягой
чальное реактивное ускоре- рНс.
ние участка в единицах гра-
витационных ускорений на
орбитах ИСЗ и ИСЛ соответственно.
Движение на участках I и II изучается в геоцентрической сис-
теме координат, а на участке III — в селеноцентрической системе.
Длительность геоцентрического участка составляет примерно 80%
времени всего полета. Расчет движения удобно проводить в без-
размерных переменных. За характерный линейный размер г* на
первых двух участках полета принимается радиус базовой орбиты
у Земли Гисз, а на третьем участке — радиус конечной орбиты
ИСЛ Гисл. Характерные время скорость V», ускорение g* вы-
бираются следующими:
(5.23)
е — LIE.
ь * ~ '2
где р.гр — гравитационная постоянная притягивающего центра
(для участков I и II — Земля, для участка III — Луна). Физи-
ческий смысл введенных масштабов поясняется в разд. 5.2.
Предполагается, что нерегулируемый двигатель малой тяги ра-
ботает непрерывно, т. е. выключения двигателя не предусматрива-
ются.
Расчет участка геоцентрического разгона удобно проводить ин-
тегрированием уравнений движения в оскулирующих переменных.
155
При этом может быть использована несингулярная система орби-
тальных элементов, так называемых равноденственных элементов
Х1,...,Хб (135]. Равноденственные элементы орбиты определяются
через классические в виде
Xi=h =/ р/ргр; x2=ex=<?cos(Q-|-a>);
x8=ey=esin(Q-ba>); x4=zx=tg-~cosQ: (5.24}
x5=Ty=tg — sinQ; xe=F=Qft,
2
где p — фокальный параметр; e — эксцентриситет; © — угловое
расстояние перицентра; i — наклонение; Q — долгота восходяще-
го узла; б', F — истинные аномалия и долгота.
Уравнения движения в элементах xlt...,x6 имеют вид [147]
Xi—G4zz^, х2 == G2 zZf4” &t "Ь* ^4 flz,
X8=G5<z,-4,*G6<z^4*G7tij"; х4=08яг; (5.25}
X5=GgZZ^, Xg ="]/”рГр h & +G10az,
где
Gx= r ; G2—h sinF\ G3=/i[cosF4-l(«x+cos^)];:
V ^rp
G4= —h^ey (ix sin F—iy cosF); Gs=— AcosF;
Ge=h [sin F+%, (ey 4-sin F)];
G1=h^eJt(ixsinF— i cosF);
h $ cos F
1 + cos I '
hb$\nF
(ja=---------;
1+ cos i
GlQ=h I sin ?— iy cos
g=(] +^xcosF+^y sin F)-1; r=h2e.
Здесь ar, at, a2'—проекции реактивного и возмущающего уско-
рений аппарата на направление радиуса-вектора, на перпендику-
лярное к нему в плоскости орбиты (трансверсальное) и на перпен-
дикулярное к плоскости орбиты.
Для сокращения времени интегрирования системы (5.25) удоб-
но использовать метод осреднения [4, 63, 132, 147]. Средняя ско-
рость изменения орбитальных элементов за один оборот КА по ор-
бите определяется выражением
t + T
Х= JL xdt, (5.26)
t
где Т — орбитальный период, который можно выразить через сред-
нее значение большой полуоси а за время Т:
156
V к (5 27)
Выражая dt через истинную долготу F, окончательно получим
F+2«
х=— С (1-4-еу)8/2^ . (5.28)
%* J (1 + ех cos еу sin ^)2
Элементы кеплеровской орбиты считаются постоянными в ин-
тервале осредняющего интегрирования по переменной F и могут
быть вынесены за знак интеграла. Таким образом, движение счи-
тается невозмущенным в интервале осредняющего интегрирования,
причем истинная аномалия изменяется в соответствии с уравнени-
ем Кеплера. Интегрирование в (5.28), как правило, проводится
численно, например, с помощью гауссовых квадратур. Аналитичес-
кое осреднение может быть выполнено в исключительных случаях
[63, 122]. Если же требуется более детальный анализ, многие воз-
мущения становятся трудно описать в простой аналитической фор-
ме, тогда численное осреднение позволяет значительно сократить
время расчета по сравнению с интегрированием полной системы
(5.25). Интегрирование осредненных уравнений (5.28) может про-
водиться с шагом по времени в несколько суток [147, 164]. При
этом учет нескольких возмущающих сил является не более слож-
ной задачей, чем моделирование только одного возмущения.
Оптимальные законы ориентации вектора реактивного ускоре-
ния при геоцентрических перелетах КА с малой тягой могут быть
найдены с помощью непрямого метода оптимального управления.
Например, в работах [147, 164] задача геоцентрического перелета
с помощью принципа максимума сводится к краевой задаче для
«осредненных уравнений движения и сопряженных переменных, ко-
торая решается методом пристрелки. При этом шаг интегрирова-
ния осредненных уравнений составляет от 3 до 6 суток. Другой
подход основан на аппроксимации направления вектора тяги не-
которыми рациональными законами с последующим определением
свободных параметров этих законов. Например, в работе [132]
единичный вектор направления тяги задается в виде
е=£т1/|£т1|, (5.29)
где L — матрица (ЗХп) направляющих косинусов набора из п ра-
циональных (базовых) законов ориентации тяги; т] — единичный
вектор (размерности п) весов указанных законов.
В работе [132] используется набор из пяти базовых законов,
представляемых матрицей
(cos ft sin ft 0 0 —cos ft \
sin ft cos ft 0 0 sin ft | * (5.30)
0 0 sign [cos (tn 4-ft)] sign [sin ((04-ft) 0 /
157
где & — истинная аномалия. Вектор представляется в виде
Ч\==и1\и\, (5.31}
где и аппроксимируется линейной функцией времени, параметры
которой определяются из условия удовлетворения заданных гра-
ничных условий и минимума времени перелета.
На рис. 5.12 показаны изменение большой полуоси и наклоне-
ния орбиты при перелете с низкой околоземной орбиты высотой
300 км и наклонением 28,5° на стационарную орбиту (Руд—3800 с;
W= 12,033 кВт; /и0 = 2139,6 кг) [132]. На рис. 5.13 представлены уг-
лы, образуемые вектором тяги с трансверсальным направлением в
Рис. 5.12. Изменение большой полуоси, (а) и наклонения орбиты (б) при пе-
релете на стационарную орбиту
плоскости орбиты т (0 и с плоскостью орбиты a(t) в начале и
конце перелета. На рис. 5.12 и 5.13 кривые 1 получены в работе
[132], а кривые 2 — в работе [164]. Разрывный характер зависи-
мости а(/) для кривой 1 объясняется выбором базовых законов
(5.30). Отличие времен перелета в двух вариантах составляет око-
ло 3%.
Анализ задачи перелета лунного буксира с малой тягой, про-
веденный в работе (45], показал, что на участках геоцентрического
разгона I и селеноцентрического торможения III (см. рис. 5.11)
рациональным оказывается использование трансверсальной ориен-
тации тяги в мгновенной плоскости орбиты. При этом необходимое
Рис. 5.13. Законы
ориентации вектора тяги
лета
в начале (а) и конце (б) пере-
158
изменение положения плоскости орбиты буксира с помощью дви-
гателя малой тяги энергетически выгодно выполнять на участке
согласования.
Участок согласования представляет собой пространственный
маневр КА с малой тягой с оптимальным законом управления ори-
ентацией тяги, определяемым из условий оптимальности стыковки
участков I и III в результате решения задачи согласования. Зада-
ча согласования решалась с помощью принципа максимума (45].
При этом уравнения движения и сопряженные переменные записы-
вались в цилиндрической системе координат (см. формулы (4.53)...
(4.56) с опорной плоскостью, совпадающей с плоскостью орбиты
Луны. При стыковке участков на сфере согласования, лежащей
внутри сферы действия Луны, учитывалось также притяжение КА
Луной.
Анализ показал, что положение точки А стыковки участков Г
и II слабо влияет на энергетические затраты на перелет, и протя-
женность участка согласования достаточно принимать в пределах
одного — двух последних оборотов КА вокруг Земли перед дости-
жением орбиты Луны.
Чтобы при торможении трансверсальной тягой на участке се-
леноцентрического торможения III достичь круговой орбиты ИСЛ
заданного радиуса, вектор скорости КА в начальный момент на
сфере согласования должен иметь вполне определенное значение
(в селеноцентрической системе координат). Решая обратную зада-
чу, т. е. интегрируя уравнения плоского разгона (5.1) с трансвер-
сальной тягой (р = 90°) с конечной орбиты ИСЛ до сферы согла-
сования (с отрицательным расходом массы ^<0), можно найти
радиальную и трансверсальную компоненты этого вектора, а так-
же время торможения. Для решения задачи согласования строятся
аппроксимационные зависимости указанных параметров от величи-
ны реактивного ускорения на сфере согласования и скорости ис-
течения. Интересно, что при величине ао=1О~4 (в единицах грави-
тационного ускорения на начальной орбите ИСЗ) вход в сферу
действия Луны происходит примерно с параболической (относи-
тельно Луны) скоростью.
Остановимся на выборе сферы согласования. Можно выделить
три случая с последовательно повышающейся точностью расчета
траектории.
В первом случае используется так называемая нулевая стыков-
ка участков II и III. При этом участок согласования заканчивается
выходом на орбиту Луны (влияние последней не учитывается)^
участок /// представляет собой скрутку у Луны с начальной пара-
болической скоростью. Нулевая стыковка традиционно использу-
ется в механике полета с малой тягой при исследовании межпла-
нетных траекторий.
Во втором случае р* = рс.д, и на участке согласования возмож-
но не учитывать притяжение Луны.
В третьем случае используется сфера согласования радиуса
Р* <Рс.д, причем на участке согласования учитывается притяжение
15»
-Луны, что позволяет повысить точность расчета траектории. Одна-
ко при этом возрастает трудоемкость расчета участка согласова-
ния из-за необходимости учета притяжения Луны.
Метод сферы действия и его модификации широко используют-
ся при исследовании перелета к Луне с большой тягой [37, 52],
при этом движение КА описывается конечными соотношениями за-
дачи двух тел. В задаче перелета к Луне с малой тягой использо-
вание упрощенных способов стыковки участков геоцентрического и
селеноцентрического движений позволяет лишь упростить уравне-
ния движения и граничные условия, понизив тем самым трудо-
емкость решения соответствующей краевой задачи с дифференци-
альными связями. Сравнение методов сферы действия (р*=рс.д)
и нулевой стыковки в задаче перелета лунного буксира с малой тя-
гой показало, что использование нулевой стыковки приводит к за-
вышению энергетических затрат на перелет примерно на 3%.
Рис. 5.14, 5.15 дают некоторое представление об оптимальных
траекториях на участке согласования при Оо=10“3 и Руд=6000 с.
Рис. 5.14. Траектории плоского перелета с различными способами стыковки
участков геоцентрического и селеноцентрического движения
На участках геоцентрического разгона I и селеноцентрического
торможения III условно показаны последний и первый витки спи-
ралевидной траектории соответственно. Движение на участке III
показано в селеноцентрической системе координат. Направление
вектора тяги на участке согласования показано стрелками. На
внутренних участках используется тяга трансверсального направ-
ления (разгоняющая на участке I и тормозящая на участке III)
на рисунках не показана. Угловое положение Луны в начале уча-
стка согласования, а также положение точки стыковки на сфере со-
160
гласования выбирались оптимальными, соответствующими мини-
мальному времени движения на участке согласования.
На рис. 5.14, а показана оптимальная плоская траектория пере-
лета с нулевой стыковкой участков геоцентрического и селеноцент-
рического движения. Рис. 5.14, б отвечает стыковке на сфере дейст-
вия Луны, а рис. 5.16, в — на сфере согласования радиуса р#=рс.д./2
При решении краевой задачи удобным оказалось постепенное
уменьшение сферы согласования с использованием значений на-
чальных сопряженных переменных, полученных при большем значе-
нии р*. При р* = рс.д в качестве начального приближения использо-
валось решение, полученное при нулевой стыковке участков. При ре-
шении задачи согласования с учетом притяжения Луны (р*<рс.д)
хорошую точность показал прием решения краевой задачи с упро-
щенной сопряженной системой, в которой отбрасывались члены,
учитывающие влияние Луны (наиболее громоздкие).
На рис. 5.15 показана прост-
ранственная траектория на участ-
ке согласования,который начина-
ется на линии узлов орбиты бук-
сира в плоскости орбиты Луны и
заканчивается выходом в плос-
кость орбиты Луны (конечная ор-
бита ИСЛ лежит в этой плос-
кости). Угол между плоскостями
орбит буксира и Луны Ai в на-
чале участка согласования равен
24°. На рис. 5.15, а показана про-
екция траектории полета на
опорную плоскость (плоскость
орбиты Луны), а на рис. 5.17, б
— изменение безразмерной вели-
чины вылета буксира из опорной
плоскости z(t). Стыковка участ-
ков происходит на сфере дейст-
вия Луны.
Численные исследования показали, что точки входа в сферу
действия Луны траекторий с малой тягой без выключения двига-
теля сосредоточены вблизи луча Земля—Луна. В случае простран-
ственного перелета узость пучка траекторий на сфере действия
позволяет реализовать весь диапазон наклонений конечной орбиты
ИСЛ незначительным смещением точки входа буксира в сферу
действия Луны. Анализ решений задачи согласования с различными
значениями р* показал удовлетворительную точность метода сты-
ковки участков на сфере действия Луны, что позволяет рекомен-
довать его (наряду с методом нулевой Стыковки) для проведения
расчетов перелета лунного буксира с малой тягой.
Обработкой численных результатов массовых расчетов на ЭВМ
траекторий перелета лунного буксира с малой тягой при учете
притяжения КА Землей и Луной получены следующие соотноше-
41-4537 161
ния для безразмерного времени перелета между орбитами ИСЗ и:
ИСЛ без выключения двигателя:
Г=Т1+Т2; Тж=— [1—ехр(—ДУ/ТГ)|,
а0
А=4,3981 + 1,65381g </0+O,2O14(lg о0)2, (5.32>
Т,- 0,7555 VX) Г1 - - °'7555 'V~“ ].
I. J
gin/j_^o.r )
Здесь а0> № — безразмерные начальное реактивное ускорение
буксира и скорость истечения в единицах геоцентрического участ-
ка [см. (5.23)]; Т2 — время движения на геоцентрическом
(участки I и II) и селеноцентрическом (участок III) этапах поле-
та; 7? — безразмерный радиус орбиты Луны (около 58.5); Дг —
изменение наклонения орбиты буксира на участке согласования;
k — поправочный коэффициент; W — реактивное ускорение-
в начале селеноцентрического участка полета и скорость истече-
ния в единицах селеноцентрического участка; f"1, 1^, V*11 и g*,.
gi11— единицы измерения времени, скорости и ускорения на гео-
центрическом и селеноцентрическом участках соответственно, оп-
ределяемые согласно (5.23).
Структура формул (5.32) отвечает характеру нулевой стыковки
участков геоцентрического и селеноцентрического движения (Т2—
время скрутки у Луны с нулевой начальной энергией [63]). Однако
это сделано для упрощения структуры аппроксимационных фор-
мул, которые получены обработкой результатов расчета траекторий
со стыковкой участков на сфере действия Луны. Конечная орбита
ИСЛ предполагалась лежащей в плоскости орбиты Луны, когда
Дг представляет собой угол между плоскостями орбит буксира и
Луны в начале участка согласования. Однако формулы (5.32) мо-
жно приближенно использовать и для других случаев ориентации
орбиты ИСЛ, тогда Д/ представляет собой потребное изменение
наклонения орбиты буксира на участке согласования. Случай
Ai=0 отвечает плоскому перелету. Погрешность расчета времени
перелета лунного буксира с малой тягой по зависимостям (5.32)
составляет около 5%.
162
При исследовании плоского участка
происходит в плоскости орбиты Луны)
движения в безразмерном виде с учетом
Луной имеют
согласования (движение
уравнения управляемого
притяжения КА Землей и
du
~dt
v + -----------------cos Р +
г cos (ф — фл ) - г cos (ф - фл ) .
+*"------------г----------—Тё-----------------
^=- — 4---------------‘-i------sin₽ —
dt r ^0 x
(5.33)
— kji
7? sin (ф — фл) sin (ф — фл) ,
-----------------Г ^Л-------------’
Р3 л2
d <р _v
~dt ~~г'
Здесь R — безразмерный радиус орбиты Луны;- р — расстоя-
ние Луна — КА; г, <р — полярные координаты КА; <рл — поляр-
ный угол Луны (фл — <рло + ы /, где со^— угловая скорость обра-
щения Луны, равная 13, 176 градус/сут); щи — радиальная и
трасверсальная компоненты скорости КА; t — время, отсчитыва-
емое от начала участка согласования; То — время движения на
участке геоцентрического разгона; а0 — начальное реактивное
ускорение на базовой орбите у Земли; W — скорость истечения
реактивной струи; р — угол между радиусом-вектором и вектором
реактивного ускорения kj\ = 1/81,3 — отношение гравитационных
постоянных Луны и Земли. Масштабы величин такие же, как и на
участке геоцентрического разгона.
Для р имеет место соотношение
р2 = r2 + R2 — 2r R cos (ф — фл ). (5.34)
Так как начальное ускорение aQ определяется на базовой орби-
те у Земли, то в начале участка согласования величина реактив-
ного ускорения равна
«/=0= —-------- (5.35)
,21 т •
W Т°
Начальными условиями для системы (5.33) являются парамет-
ры движения в конце участка геоцентрического разгона
f = 0: r=fi; и=щ\ v = vi; ф = 0; фл = фло; (5.36)
11
163
При входе КА в сферу согласования при t=T скорость аппара-
та пересчитывается в селеноцентрическую полярную систему коор-
динат:
м=—и cos (<%.+ /)sin(a+j)—ил sin /;
v = — и sin(a+/)— v cos(a+/) + рл cos/, (5.37)
где и и v — радиальная и трансверсальная компоненты скорости
КА в селеноцентрической системе координат; ол — скорость Луны;
/ — угол между направлениями Луна — Земля и Луна — КА,
знак угла совпадает со знаком угла а=<р—<рл.
Конечными условиями для участка согласования, обеспечиваю-
щими выведение КА на участок селеноцентрического торможения
трансверсальной тягой, будут следующие:
/=7': р=рй; «=«*(а*, W); v= + v* (а», Г), (5.38)
где р#— радиус сферы согласования; us(a.}., W) и ов(ая., W)— ап-
проксимационные зависимости для радиальной и трансверсальной
компонент скорости КА на сфере согласования при торможении
трансверсальной тягой; — реактивное ускорение на сфере сог-
ласования; W — скорость истечения реактивной струи.
Знак плюс в третьем условии (5.38) соответствует прямому нап-
равлению скрутки у Луны, минус — обратному.
Для задачи оптимального управления на минимальное время пере-
лета Земля — Луна (двигатель работает без выключения) задача
согласования состоит в определении управления р(/) такого, чтобы
решение системы (5.33) с граничными условиями (5.36), (5.38)
обеспечивало минимум оставшегося времени полета, что, как мож-
но показать, эквивалентно минимизации времени полета на участ-
ке соглавосания Т.
Используя принцип максимума, получаем уравнения для соп-
ряженных переменных
dpr. v , /и2 2 \ „ uv , .
V- 7? \^~ 7^)~Pv~^ +kjl Фг’
^=-Pr + Pv~\ (5.39)
-~ — ~p\PvU 2Puv Р<?У>
at '
=ь Фф,
dt
где Фг, Фф— возмущающие функции, обусловленные притяжени-
ем Луны (здесь не приводятся для краткости). Ввиду однороднос-
ти системы (5.39) начальное значение одного из импульсов, напри-
мер рР) можно считать известным.
164
Закон оптимального управления имеет вид
sin₽= —----------; cosp= —£ц——. (5.40)
V Pu + Pv V Pu+Pv
Кроме того, при t = T необходимо удовлетворить одному усло-
вию трансверсальности, использование которого, однако, оказалось
затруднительным ввиду его громоздкости. Поэтому для решения
задачи использовался следующий прием. Решалась последователь-
ность краевых задач (5.33), (5.36), (5.38), (5.39), (5.40) с фикси-
рованным временем перелета Т (краевая задача сводилась к под-
бору трех значений начальных сопряженных переменных рг(0),
Ри(0), р„(0), удовлетворяющих (5.38). Время для каждой следу-
ющей краевой задачи принималось меньшим на величину ДТ. Ис-
комое решение получалось как предельное решение с минимально
возможным временем перелета при ЛТ—*0. Расчеты показали эф-
фективность предлагаемого приема, причем были выявлены два
класса предельных последовательностей, соответствующие случаям
Р* (0) = + 1;рф (0)=—1.
При решении задачи согласования выбирается оптимальное по-
ложение Луны в начале участка согласования <рлРо . Оказалось,
opt
что допускаются значительные отклонения от <рло ' смещение по-
ложения Луны от оптимального на ±20° приводит к увеличению
энергетических затрат на перелет менее, чем на 1,5%.
При использовании нулевой стыковки участков геоцентрическо-
го и селеноцентрического движения конечные условия для участка
согласования имеют вид
t=T;. r=R; ы=0; v=vn (5.41)
и условие трансверсальности тривиально
Р<₽(Т)=0. (5.42)
Для безразмерного минимального времени плоского перелета
Земля — Луна обработкой численных расчетов на ЭВМ траекторий
перелета получено следующее соотношение
т=т\+т2,
7\— — (1 — 0,7555 Va^\ Г1----(1г.°_1-75Г5>/ао)_
1 \ 7 . 2W
k = 4,7237+1,8172 1 g <z0+0,2185 (1g а0)2,
где время Т2 определяется аналогично (5.32).
В заключение остановимся на применении непрямого метода
оптимального управления для расчета геоцентрических перелетов
КА с малой тягой с помощью метода осреднения. При этом для
построения осредненной П-системы Понтрягина обычно использу-
ется следующий прием, справедливый для широкого класса прак-
тических задач: сначала осредняется функция Гамильтона Н, а
затем используется гамильтонова форма записи уравнений, в ко-
торой в качестве функции Н берется ее осредненное значение [73].
165
Расчет геоцентрических перелетов с малой тягой удобно прово-
дить интегрированием уравнений движения в оскулирующих пере-
менных, например, (5.24), (5.25). Осредненная система при этом
имеет вид (5.28). Уравнения для сопряженных переменных могут
быть получены с помощью осредненного гамильтониана Н:
Pi~— — , * = 1, . . ., 5; /?в=0; H = const, (5.44)
oxi
где
F+2k
Н = — Г (l-e2x~e2y}3/iH'dF , (5.45)
J (1+ ex cos P + ev sin f)2
F
причем функция Гамильтона H' вычисляется при условии
Рв=А= 0, (5.46)
где р6 — переменная, сопряженная с F. Изложенный подход ис-
пользовался при расчете траекторий с малой тягой в работах [122,
147, 155, 164].
Отметим, что рассматриваемая задача управляемого движения
с малой тягой может быть приведена к стандартной системе с
вращающейся фазой и частотой, сильно зависящей от медленного
вектора. Общий метод исследования возникающей здесь нелиней-
ной задачи оптимального управления развит в работе1), где дан
строгий вывод осредненной краевой задачи первого приближения и
подробно проанализирована структура решений краевой задачи,
допускающей много решений.
Некоторое представление о точности расчета траекторий гео-
центрических перелетов с малой тягой методом осреднения можно
получить из табл. 5.2. [147], где представлены значения большой
полуоси а, эксцентриситета е, наклонения орбиты I, а также трех
значений сопряженных переменных в конце перелета, рассчитан-
ные методом осреднения и интегрированием полной, (неосреднен-
ной) П-системы Понтрягина. Начальные условия интегрирования
принимались одинаковыми, уро-
вень начального реактивного ус-
корения 10~4g, где g — гравита-
ционное ускорение на поверхнос-
ти Земли, время полета 47,03 сут.
Заданные конечные условия пере-
лета равны ау = 42164 км, ву=О,
if=0. Применение метода осред-
нения позволило в рассматривае-
мом примере сократить в 30 раз
время расчета на ЭВМ при при-
емлемой точности.
Д., Соколов Б. Н. Управление колебани-
ями. М.: Наука, 1980. 383 с.
166
Таблица 5.2
Параметр Метод осреднения Интегриро- вание пол- ной систе- мы
а/ 42167,3 42469,6
е/ 0,00014 0,00245
if, градус 0,0005 0,1195
Pit 0,1349 0,1323
P2f —0,3760 —0,3799
Pit —1,843 —1,843
0 Черноусько Ф. Л., Акуленко Л.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Алексеев К. Б., Бебенин Г. Г., Ярошевский В. А. Маневрирование кос-
мических аппаратов. М.: Машиностроение, 1970. 232 с<
2. Анрион Р. Теория второй вариации и ее приложения в оптимальном уп-
равлении. М.: Наука, 1979. 208 с.
3. Аппазов Р. Ф., Лавров С. С., Мишин В. П. Баллистика управляемых ра-
кет дальнего действия. М.: Наука. 1966. 308 с.
4. Апхофф. Метод численного осреднения для расчета орбит. — Ракетная
техника и космонавтика, 1973, т. 11, № И, с. 69—75.
5. Ащепков Л. Т. Оптимальное управление системой с промежуточными ус-
ловиями. — Прикладная математика и механика, 1981, т. 45, вып. 2, с. 215—222.
6. Базара М., Шетти К. Нелийнейное программирование. Теория и алгорит-
мы. М.: Мир, 1982, 583 с.
7. Баранов С. К. Методология и алгоритмы оптимизации системы самолетов
на основе многоцелевого подхода — В кн.: Методология системных исследова-
ний. Тезисы докладов 1 Всесоюзной школы молодых ученых. М., 1981,
ВНИИСИ, с. 13.
8. Белецкий В. В., Егоров В. А. Межпланетные полеты с двигателями пос-
тоянной мощности. — Космические исследования, 1964, т. II, Xs В, с. 360—392.
9. Белецкий В. В., Егоров В. А. Разгон космического аппарата в сфере
действия планеты. — Космические исследования, 1964, т. II, № 3, с. 392—407.
10. Беллман Р., Калаба Р. Квазилинеаризация и нелинейные задачи.
М.: Мир, 1968. 183 с.
П.Береснев В. Л., Гимади Э. X., Дементьев В. Т. Экспериментальные за-
дачи стандартизации. Новосибирск: Наука, 1978. 333 с.
12. Беттс. Оптимальная смена орбиты за счет трехразового включения дви-
гателя.— Ракетная техника и космонавтика, 1977, т. 15, Xs 6, с. 416—120.
13. Блисс Г. А. Лекция по вариационному исчислению. М.: ИЛ, 1950. 347 с.
14. Болховитинов В. Ф. Пути развития летательных аппаратов. М.: Оборон-
тиз, 1962, 130 с.
15. Брайсон А., Хо Ю-Ши. Прикладная теория оптимального управления. М.:
Мир, 1972. 544 с.
16. Брусов В. С. Системный анализ и автоматизированное проектирование
летательных аппаратов. М.(: МАИ, 1982. 80 с.
47. Бэттин Р. Наведение в космосе. М.: Машиностроение, 1966. 447 с.
18. Бэттин Р. Новый подход к задаче Ламберта. — Ракетная техника и кос-
монавтика, 1977, т. 15, № 5, с. 122—129.
,19. Вайнберг М. М., Треногин В. А. Теория ветвления решений нелинейных
уравнений. М.: Наука, 1969. 527 с.
20. Габасов Р., Кириллова Ф. М. Особые оптимальные управления. М.:
Наука, 1973. 256 с.
21. Гермейер Ю. Б. Игры с непротивоположнымн интересами. М.: Наука,
1973. 256 с.
22. Гермейер Ю. Б. Введение в теорию исследования операций. М.: Наука,
1971. 383 с.
23. Гобец, Долл. Обзор импульсных траекторий — Ракетная техника и кос-
монавтика, 1969, т. 7, Xs 5, с. 3—46.
24. Гришин С. Д., Лесков Л. В., Козлов Н. П. Электрические ракетные
двигатели. М.: Машиностроение, 1975. 271 с.
167
25. Гродзовский Г. Л., Иванов Ю. Н., Токарев В. В. Механика космическо-
го полета с малой тягой. М.: Наука, 1966. 680 с.
26. Гродзовский Г. Л., Иванов Ю. И., Токарев В. В. Механика космическо-
го полета. Проблемы оптимизации. М.: Наука, 1975, 703 с.
27. Гурман В. И. Об оптимальных траекториях реактивного аппарата в
центральном поле. — Космические исследования, 1965, т. III вып. 3, с. 368 —
373.
28. Гурман В. И. Об оптимальных переходах между компланарными эллип-
тическими орбитами в центральном поле. — Космические исследования, 1966,
т. IV, вып. 1, с. 26—39.
29. Гурман В. И. К вопросу об оптимальности особых режимов движения
ракет в центральном поле. — Космические исследования, 1966, т. IV, вып. 4,
с. 499—509.
30. Демьянов В. Ф., Малоземов В, Н. Введение в минимакс. М.: Наука,
1972. 368 с.
31. Дмитриевский А. А., Лысенко Л. Н. Прикладные задачи теории опти-
мального управления движением беспилотных летательных аппаратов. М.: Ма-
шиностроение, 1978 г. 328 с.
32. Дмитровский А. Е., Федоров В. В. Проектирование систем с блочной
структурой. — Техническая кибернетика, 1981, № 3, с. 26—31.
33. Дракин И. И. Основы проектирования беспилотных летательных аппа-
ратов с учетом экономической эффективности. М.: Машиностроение, 1973.224 с.
34. Дубошин Г. Н., Охоцимский Д. Е. Некоторые проблемы астродинамики
и небесной механики. — Космические исследования, 1963, т. I, вып. 2, с. 195—
208.
35. Дубошин Г. Н. Небесная механика. Основные задачи и методы. М.г
Наука, 1968. 800 с.
36. Евтушенко Ю. Г. Методы решения экстремальных задач и их при-
менение в системах оптимизации. М.: Наука, 1982. 432 с.
37, Егоров В. А., Гусев Л. И. Динамика перелетов между Землей и Луной..
М.: Наука, 1980. 543 с.
38. Ежевски, Розендаал. Эффективный метод расчета оптимальных ^им-
пульсных траекторий полета в космическом пространстве.—Ракетная техника
и космонавтика, 1968, т. 6, № 11, с. 138—145. ~ " --
39. Ежевски, Штольц. Аналитическое решение задачи расчета траекторий
при постоянной тяге и Минимизации расхода топлива. — Ракетная техника и кос-
монавтика, 1970, т. 8, № 7, с. 56—62.
40. Ежевски. Оптимальные аналитические траектории с V активными уча-
стками. — Ракетная техника и космонавтика, 1973, т. 11, № 10, с.. 15—20'.
41. Ермилов Ю. А., Иванова Е. Е., Пантюшин С. В. Управление сближени-
ем космических аппаратов. М.: Наука, 1977. 448 с.
42. Захаров Г. К. Оптимизация ступенчатых систем управления. — Автома-
тика и телемеханика, 1981, с. 131 —141.
43. Захаров Ю. А., Константинов М. С. Оптимизация схемы замкнутого
пилотируемого перелета аппарата с двигателем ограниченной мощности. — В
кн.: Ф. А. Цандер и современная космонавтика, М.: Наука, 1976, с. 166—172.
44. Захаров Ю. А., Иванов Р. К. Учет движения аппарата вокруг центра
масс в механике «космического полета с малой тягой. — Труды IX Чтений
К. Э. Циолковского. Секция «Механика космического полета». М.: 1975, с. 103—
118.
45. Захаров Юч А. Пространственная задача перелета к Луне с малой тя-
гой. — Труды XII Чтений К. Э. Циолковского. Секция «Механика космического
полета». М.: ИИЕТ АН СССР, 1979, с. 10—16.
46. Захаров Ю. А. О задаче выбора многоцелевого летательного аппарата!
для выполнения программы транспортных . перевозок. — Труды XIII Чтений
К Э. Циолковского. Секция «Проблемы ракетной и космической техники». М.:
1979; с. 104—109.
47. Захаров Ю. А. К оптимальному проектированию многоцелевого межор-
битального буксира с нерегулируемым двигателем. — Труды XIV Чтений
К. Э. Циолковского. Секция «Механики космического полета». М.: 1980. с. 69—
74.
168
48. Захаров Ю. А. К регулярному алгоритму оптимизации траекторий с:
постоянной тягой в центральном поле. — Труды XV Чтений К. Э. Циолковского.
Секция «Механика космического полета». М.: ИИЕТ АН СССР. 1981. с. 101—
106.
49. Захаров Ю. А. К теории оптимизации космических маневров с ограни-
«енной тягой в центральном ньютоновском поле. — Труды XVI Чтении
К. Э. Циолковского. Секция «Механика космического полета». М.: ИИЕТ
АН СССР, 1982, с. 7—12.
50. Ивашкин В. В. Оптимизация космических маневров при ограничениях
на расстояния до планет. М.: Наука, 1975. 392 с.
51. Ивашкин В. В., Скороходов А. П. Оптимальные многоимпульсные пере-
леты космического аппарата из точки на орбиту. — Космические исследования
1978, т. 16, вып. 2, с. 208—216.
52. Ильин В. А., Кузмак Г. Е. Оптимальные перелеты космических аппара-
тов с двигателями большой тяги. М.: Наука, 1976. 744 с.
53. Керн, Гринвуд. Минимизация расхода топлива при ограниченной вели-
чине тяги для траекторий перехода между компланарными эллиптическими ор-
битами. — Ракетная техника и космонавтика, 1970, т. 8, № 10, с 45—53.
54. Кожевников Ю. В. Статистическая оптимизация летательных аппаратов^.
М.: Машиностроение, 1978. 173 с.
55. Константинов М. С. Методы математического программирования в про-
ектировании летательных аппаратов. М.: Машиностроение, 1975, 164 с. /
56. Корнхаузер, Лайон, Хазельригг. Аналитическое решение для космичес-
ких траекторий с постоянной тягой, с участком оптимального пассивного полета
и с минимальным расходом топлива. — Ракетная техника и космонавтика, 1971,.
т. 9, № 7, с. 24—31.
57. Краснощеков П. С., Морозов В. В., Федоров! В. В. Декомпозиция в за-
дачах проектирования. — Техническая кибернетика, 1979, №2, с. 7—17.
58. Краснощеков П. С., Морозов В. В., Федоров В. В. Последовательное
агрегирование в задачах внутреннего проектирования технических систем. —
Техническая кибернетика, 1979, № 5, с. 5—12.
59. Кротов В. Ф., Гурман В. И. Методы и задачи оптимального управления..
М.: Наука, 1973. 446 с.
60. Кубасов В. И., Дашков А. А. Межпланетные полеты. М.: Машиностро-
ение, 1979. 272 с.
61. Лайон, Хэнделсмен. Базис-вектор для импульсных траекторий с закреп-
ленным временем полета. — Ракетная техника и космонавтика, 1968, т. 6, № 1,.
с. 153—160.
62. Ларин Р. М. Применение метода возмущений для решения задач опти-
мизации.— Управляемые системы, 1981, вып. 21, с. 33—44.
63. Лебедев В. Н. Расчет движения космического аппарата с малой тягой
М.: ВЦ АН СССР, ,1968, вып. 5, 108 с.
64. Летов А. М. Динамика полета и управления. М.: Наука, 1969. 359 с.
65. Ли.. Исследование двухимпульсных орбитальных перелетов. — Ракетная-
техника и космонавтика, 1964, т. 2, № 10, с. 120—129.
66. Лоуден Д. Ф. Оптимальные траектории для космической навигации,-
Мир, 1966, 152 с.
67. Макконочи И. О., Редер Дж. Дж., Брайен Э. П. Проект межорбиталь-
ного корабля, базирующегося в космосе. — Ракетная техника и космонавтика^
1981, с. 19, № 2, с. 93—96.
68. Максимов Г. Ю. Теоретические основы разработки космических аппа-
ратов М..: Наука, 1980, 320 с.
69. Методы оптимизации с приложениями к механике космического поле-
та /Под ред. Дж. Лейтмана. М.: Наука, 1965,. 538 с.
70. Механика космического полета. /Гродзовский Г. Л., Охоцимский Д. Е.„
Белецкий В. В. и др. В кн.: Механика в СССР за 50 лет. Т. I. М.: Наука,,
1968. с. 192 — 319.
71. Моисеев Н. Н., Ушаков И. А. Работы по исследованию операций в
СССР. — Техническая кибернетика, 1974, №3, с. 7—18.
169
72. Моисеев Н. Н. Элементы теории оптимальных систем. М.: Наука, 1975.
S26 с.
73. Моисеев Н. Н. Математические задачи системного анализа. М.: Наука,
1981. 487 с.
74. Мойер. Численный обзор траекторий импульсного перехода типа «эл-
липс-эллипс». — Ракетная техника и космонавтика, 1971, т. 9, № 2, с. 183—185.
75. Новоселов В. С. Аналитическая теория оптимизации в гравитационных
полях. Л.: ЛГУ, 1972. 318 с.
76. Ортега Дж., Рейнболт В. Итерационные методы решения нелинейных
систем уравнений со многими неизвестными. М.: Мир, 1975. 558 с.
77. Основы теории полета космических аппаратов /Под ред. Г. С. Нарима-
нова и М. К. Тихонравова. М.: Машиностроение, 1972. 608.
78. Основы теории полета и элементы проектирования искусственных спут-
ников Земли /Под ред. М. К- Тихонравова. М.: Машиностроение, 1974. 331 с. -
79. Охоцимский Д. Е. К теории движения ракет. — Прикладная математика
и механика, 1946, X, вып. 2, с. 251—272.
80. Охоцимский Д. Е., Энеев Т. М. Некоторые вариационные задачи, свя-
занные с запуском искусственного спутника Земли.— Успехи физических наук,
1957, т. 63 вып. 1а, с. 5—32.
81. Пайне. Константы движения для оптимальных активных траекторий в
центральном силовом поле. — Ракетная техника и космонавтика, 1964, т. 2,
№ 11, с. 162—167.
82. Пауэрс, Тэпли. Применение канонических преобразований при анализе
оптимальных траекторий. — Ракетная техника и космонавтика, 1969, т. 7, № 3,
е. 14—21.
83. Пельтье. Некоторые импульсные траектории встречи и их возможная
оптимальность. — Ракетная техника и космонавтика, 1972, т. 10, №4, с. 93—102.
84. Пиявский С. А., Брусов В. С., Хвилон Е. А. Оптимизация параметров
многоцелевых летательных аппаратов. М.: Машиностроение, 1974. 168 с.
85. Подиновский В. В., Ногин В. Д. Парето-оптимальные решения много-
критериальных задач. М.: Наука, 1982. 254 с.
86. Пономарев В. М. Теория управления движением космических аппаратов.
М.: Наука, 1965. 456 с.
87. Понтрягин Л. С., Болтянский В. Г., Гамкрелидзе Р. В. Математическая
теория оптимальных процессов. М.: Наука, 1969. 384 с.
88. Потапов А. М., Соловьев Ц. В. Оптимизация траекторий полета к пла-
нетам с двигателями малой тяги. — Космические исследования, 1974, т. XII, № 3,
с. 360—367.
89. Проектирование и испытание баллистических ракет. /Под. ред. В. И. Вар-
фоломеева и М. И. Копытрва. М.: Воениздат, 1970. 391 с.
90. Пшеничный Б. Н., Данилин Ю. А. Численные методы в экстремальных
задачах. М.: Наука, 1975. 320 с.
91. Роббинс. Оптимальность активных участков промежуточной тяги тра-
екторий ракеты. — Ракетная техника и космонавтика, 1965, т. 3, № 6, с. 139—
145.
92. Роббинс. Аналитическое исследование импульсной аппроксимации. — Ра-
кетная техника и космонавтика. 1966, с. 4, № 8, с„ 134—143.
93. Саркисян С. А., Минаев Э. С. Экономическая оценка летательных аппа-
ратов. М.: Машиностроение, 1972. 179 с.
94. Сафранович В. Ф. Эмдин Л. М. Маршевые двигатели космических ап-
паратов. М.: Машиностроение, 1980. 240 с.
95. Сиразетдинов Т. К. Сложные системы и задача аналитического проек-
тирования.— Изв. Вузов, Авиационная техника, 1980, № 4, с. 59—64; 1981, № 2,
с. 51—55.
96. Смолл. Минимальные Af-импульсные переходы между эллиптическими
орбитами со свободным временем перехода. — Ракетная техника ц космонавтика,
1971, т. 9, № 4, с. 64—71.
97. Смолл. Глобальный оптимум в задаче компланарного межорбитального
перехода. — Ракетная техника и космонавтика, 1977, т. 15, № 9, с. 11—19.
170
98. Современное состояние теории исследования операций /Под ред.
Н. Н. Моисеева. М.: Наука, 1979. 464 с.
99. Соловьев Ц. В., Тарасов Е. В. Прогнозирование межпланетных полетов.
М.: Машиностроение, 1973. 400 с.
100. Справочное руководство по небесной механике и астродинамике /Под
ред. Г. Н. Дубошииа. М.: Наука, 1976. 862 с.
101. Тарасов Е. В. Алгоритм оптимального проектирования летательного ап-
парата. М.: Машиностроение, 1970. 364 с.
102. Творческое наследие академика С. П. Королева. Избранные труды и
документы /Под ред. М. В. Келдыша. М.: Наука, 1980, 591 с.
103. Техническая кибернетика: от съезда к съезду. — Техническая киберне-
тика, 1981, № 1, с. 3—13.
104. Титов Г. С., Иванов В. А., Горьков В. Л. Межорбитальные и локаль-
ные маневры космических аппаратов. М.: Машиностроение, 1982. 247 с.
105. Тихонов А. Н., Арсенин В. Я. Методы решения некорректных задач.
М.: Наука, 1974. 288 с.
106. Федоренко Р. П. Приближенное решение задач оптимального управле-
ния. М.: Наука, 1978. 487 с.
107. Федоров В. В. Об устойчивости процесса проектирования. — ЖВМ и
МФ, 1980, т. 20, № 2, с. 306—315.
108.. Филлипс В. М. Электроядерная энергетическая установка для полетов
к планетам солнечной системы. — Ракетная техника и космонавтика, 1981, т. 19,
№2, с. 106—113.
109. Хазельригг, Лайон. Аналитическое определение сопряженного вектора
для оптимальных траекторий космического полета. — Ракетная техника и кос-
монавтика, 1970, № 10, т. 8, с. 171—181.
НО. Химмельблау Д. Прикладное нелинейное программирование. М.: Мир,
1975. 534. с.
111. Хориер. Оптимальный двухимпульсиый переход между произвольными
компланарными орбитами. — Ракетная техника, 1962, № 1, с. 116—118.
112. Хофер Э., Лундерштедт Р. Численные методы оптимизации. М.: Маши-
ностроение, 1981. 192 с.
113. Хэнделсмен. Оптимальные траектории полета в безвоздушном простран-
ств^ с постоянной тягой при использовании импульсных траекторий в качестве
начальных приближений — Ракетная техника и космонавтика, 1966, т. 4, №6,
с. 151—158.
114. Цандер Ф. А. К вопросу об исследованиях Ф. А. Цандера в области
космических траекторий и публикации его работ. — В кн.: Ф. А. Цандер и сов-
ременная космонавтика, М.: Наука, 1976, с. 49—56.
115. Циолковский К. Э. Собр. соч., т„ И. М.: АН СССР, 1954, 456 с.
116. Чарный В. И. Об изохронных производных. — ИСЗ, 1963, вып. 16,
с. 226—237.
117. Чуев Ю. В., Спехова Г. П. Технические задачи исследования операций.
М.: Советское радио, 1971. 244 с.
118. Шахвердян С. В. К решению задач оптимизации с ограничениями.—
Прикладная математика и механика, 1981, т. 45, вып. 5, с. 823—832.
119. Шеверов Д. Н. Проектирование беспилотных летательных аппаратов.
М.: Машиностроение, 1978. 264 с.
120. Штернфельд А. А. Искусственные спутники. М.: Гостехиздат, 1958,
.296 с.
121. Штулингер Э. Ионные двигатели для космических полетов. М.: Воениз-
дат, 1966. 344 с.
122. Эдельбаум Т. Требования к силовой установке для управляемых спут-
ников. — Ракетная техника, 19QT, № 8, с. 40—52.
123. Эдельбаум Т. Оптимальные задачи в механике полета маневрирующих
космических аппаратов — В кн.: Современное состояние механики космического
полета /Под ред. П.^ Б. Ричардса. М.: Наука, 1969, с. 162—178.
124. Эдельбаум, Пайне. Пятый и шестой интегралы для оптимальных траек-
торий в центральном поле. — Ракетная техника и космонавтика, 1970. т. 8.‘
№ 7, с. 21—25.
171
125. Эльясберг П. Е. Введение в теорию полета искусственных спутников
Земли. М.: Наука, 1965. 540 с.
126. Эндрюс, Гринлиф. Поправки первого порядка к приближенным реше-
ниям двухточечных краевых задач. — Ракетная техника и космонавтика, 1973,
т. 11, № П, с. 76—80.
127. Эндрюс. Импульсные решения первого порядка. — Ракетная техника
и космонавтика, 1977, т. 15, № 4, с. 21—23.
128. Эскобал П. Методы определения орбит. М.: Мир, 1970. 472 с.
129. Эскобал П. Методы астродинамики. М.: Мир, 1971. 341 с.
130. Atkins К. L. The ion drive program: comet rendezvous issues for SEPS
developers.—AIAA paper, 1979, № 2066, p. 1—6.
131. Austin R. E., Kisko W. Solar electric propulsion system (SEPS) prog-
ram plans and system description.— AIAA paper, 1979, № 2119, p. 1—3.
132. Bahls D. L., Paris S. W. A simplified method for obtaining near mini-
mum time low thrust transfers,—Advances in the astronautical sciences: Astro-
dynamics 1979, vol. 40, Univelt, San Diego, 1980, p. 749 —764.
133. Breakwell J. V., Speyer J. L., Bryson A. E. Optimization and- control
of nonlinear systems using the second variation.—SIAM Journal on control, 1, 1963,
p. 193 — 223.
134. Breakwell J. V. Minimum — impulse transfer.—Progress in Astronautics
and Aeronautics: Celestial mechanics and Astrodynamics, vol. 14, Academic Press,
New York, 1964, p. 583.
135. Broucke R. A., Cefola P. J. On the equinoctial orbital elements.— Ce-
lestial mechanics, 1972, vol. 5, p. 303 — 310.
136. Caluori V. A., Saxton D. R. Orbital transfer vehicle — an overview.—
J. of the British Interplanetary Society, 1981, vol. 34, p. 171 — 174.
137. Contensou P. Etude theorique des trajectoires optimales dans un champ
de gravitation.—Application au cas d’un centre d’attraction unique. Astronaut.
Acta, 1962, v. 8, p. 134.
138. Eckel K. G. Optimal impulsive transfer with time constraint.—Astronaut.
Acta, 1982, vol. 9, № 3, p. 139 - 146.
139. Edelbautn T. Some extensions of she Hohmann Transfer maneuver.—
ARS J., 1959, vol. 29, № 11, p. 864 — 865.
140. Edelbaum T. How many impulses.—Astronautics and Aeronautics, 1967,.
vol. 5, jVs 11, c. 64 — 69.
141. Foerster R. E., Flugge-Lotz I. Neighboring optimal feedback control
of multi-input nonlinear dynamical systems using discontinuous control.— J. of
Optimization Theory and Applications, 8, 1971, p. 367 — 395.
142. Gravier J. P., Marchal CM Culp R. D. Optimal Impulsive Transfers
Between Real Planetary Orbits. — Journal of optimization Theory and applicati-
ons, 1975, vol. 15, № 5, p. 587 — 604.
143. Handelsman M. Some Necessary Conditions for Optimal fixedtime Po-
wered Transfers with Multiple Coasts and Thrusts between Circualar Orbits.—
Astronautica Acta, 1968, vol. 13, NO. 5 — 6, p. 497 — 505.
144. Heald P. A. OTV evolution to the 1990 s.—AIAA paper, 1980, № 1212,
p. 1—4.
145. Hoelker R. E., Silber R. The bi — elliptical transfer between coplanar
circular Orbits. — Proc. 4th Symposium Ballistic Missile and Spase Technology
Los Angeles, 1959.
146. Hohmann W. Die Erreichbarkeit der Himmelskorper, Munich. 1925.
Русский перевод: Досягаемость небесных тел. — В кн.: Рынин Н. А. Теория
космического полета. М.: АН СССР, 1932. 358 с.
147. Jasper Т. Р. Low thrust trajectory analysis for the geosynchronous mis-
sion.—AIAA paper, 1973, № 1072, p. 9.
148. Kelley H. J. Guidance theory and extremal fields.— IEEE Transactions
on Automatic Control, AC—7, 1952, p. 75 — 82.
17?
149. Kelley H. J. An optimal guidance approximation theory.— IEEE Trans-
actions on Automatic Control, AC —9, 1964, p. 375 —380.
150. Loeb H. W. Electric propulsion for manned space flights of the future.
— AIAA paper, 1981, № 707, p. 1—8.
151. Maloy J. E., Dulgeroff C. R., Roeschel R. L. Characteristics of 30-cm
mercury ion thrusters.—AIAA paper, 1981, № 715, p. 1—13.
152. Marchal C. Transferts optimaux entre orbites elliptiques coplanaires
(duree indifferente).—Astronaut. Acta, 1965, 11, pp. 432 — 445.
153. Marchal C. Transferts optimaux entre orbites elliptiques (duree indiffe-
rente).—Communication at the 16th IAF Congress (Athens, 1965)/Editor M.
LUNC, Astrodynamics, Gauthier — Villars, Paris, 1966, p. 263.
154. Marchal C. Synthese des resultats analytiques sur les transferts optimaux
entre orbites Kepleriennes (duree indifferente).—Communication at the Colloquium
advanced problems and method for space flight optimization (Liege, 1967) Editor
B. FRAEIJS de VEUBEKE, Advance problems and method for space flight opti-
mization, Pergamon, Oxford, 1969, pp. 91 — 156.
155. Marec J.-P , Optimal space trajectories. Elsevier, Amsterdam, 1979,
p. 329.
156. Masek T. D., Ward I. W., Rawlin V. K. Economics of ion propulsion
for large space systems.— AIAA paper, 1978, № 698, p. 1—18.
157. Mondt J. F., Stapfer G„ Hsien T. Nuclear power source for electric
propulsion.—AIAA paper, 1979, № 2088, p. 1—8.
158. Mondt J. F Multimission NEP system for outer planet exploration missi-
ons.—AIAA paper, 1981, № 698, p. 1—10,
159. Nagorski R. P„ Boain R. J. An evaluation of nuclear electric propul-
sion for planetary exploration missions.—AIAA paper, 1981, № 705, p. 1—15.
“ 160. Neustadt L. W. Optimization, a moment problem and nonlinear prog-
ramming.—SIAM J. on control, 1964, vol. 2, no. 1, p. 33 — 53.
161. Neustadt L. W. A general theory of minimum-fuel space trajectories.—
SIAM J. on Control, 1966, vol. 3, № 2, p. 317 —356.
162. Pipes W. E. Propulsion technology in the 1980’s to support space
missions to the year 2000.—AIAA paper, 1980, № 1216, p. 1—8.
163. Ruppe H. O. Space transportation system: upper stage possibilities.—
Astronautica Acta, 1981, vol. 8, № 11—12, p. 1227— 1236.
164. Sackett L. L., Edelbaum T. N. Optimal high—and low-thrust geocentric
transfer.—AIAA paper, 1974, № 793, p. 10.
165. Speyer J. L., Bryson A. E. A neighboring optimum feedback control
scheme based on estimated time —to —go with application to re-entry flight
paths.—AIAA Journal, 6, 1968, p. 769 — 776.
166. Stott O., Hempsell M. The European space tug: a reappraisal.—J. of
the British Interplanetary Society, 1981« vol. 34, p. 294 — 298.
167; Wood L. J., Krinik A. C. Navigation accuracy analyses for tow comet
rendevous missions using ion drive.—AIAA paper, 1980, № 1684, p. 1—10.
ОГЛАВЛЕНИЕ Стр.
Предисловие ....................................................... 3
Глава 1. Общая постановка задачи и методы оптимизации проектных па-
раметров, законов управления и траекторий летательных аппа-
ратов .............................................................. 6
1.1. Некоторые проблемы автоматизации проектирования летатель-
ных аппаратов .......................................... 6-
1.2. Многоуровневые модели оптимального проектирования ....... 8.
1.3. Многоцелевая оптимизация летательных аппаратов в условиях
неопределенности ............................................ 13
1.4. Методы оптимального управления в проектировании ЛА...... 27
1.4.1. Двухэтапная оптимизация режимов движения ЛА...... 27
1.4.2. Расчет оптимальных программ ..................... 30-
1.4.3. Построение обратной связи ........................ 41
Глава 2. Исследование задачи выбора проектных решений межорбиталь-
ного космического аппарата с нерегулируемым двигателем ............ 44
2.1. Введение и постановка задачи ........................... 44
2.2. Модель космического буксира с нерегулируемым двигателем 50
2.3 Учет углового движения .................................. 66
2.4. Многоцелевая особенность космического буксира .......... 70
2.5. Учет неопределенности удельных характеристик ........... 75.
2.6. Модели диапазонов маневров и задач ..................... 78,
2.7. Математическая постановка задачи выбора проектных реше-
ний многоцелевого космического буксира ................ 80
Глава 3. Оптимизация многоцелевого космического буксира с двигателем
малой тяги ................................................ 84
3.1. Область достижимых задач .............................. 84
3.2. Выбор проектных решений при полной информации о про-
грамме транспортировки .................L................... 87
3.3. Выбор проектных решений при неполной информации о про-
грамме транспортировки ..................................... 93
Глава. 4. Оптимизация межорбитальных перелетов космических аппаратов 102
4.1. Современное состояние вопроса .......................... 102.’
4.2. Необходимые условия оптимальности космического маневра . ПО
4.3. Перелеты с импульсной тягой ............................ 122
4.4. Поправки первого порядка к импульсному решению задачи
оптимального перелета ...................................... 131
Глава 5. Оптимизация межорбитальных перелетов с конечной тягой..... 135<
5.1. Диалоговый метод проектирования орбит с конечной тягой 13S
5.2. Оптимизация компланарного межорбитального перелета с ко-
нечной тягой ......................................... 140’
5.3. Приближенное решение динамической задачи для лунного
буксира с малой тягой..................................... 154
Список литературы ................................................. 167
174
УВАЖАЕМЫЕ ЧИТАТЕЛИ!
В 1986 году издательство «Машиностроение»
выпустит в свет следующие книги для специалистов,
работающих в области космонавтики
Баллистика и навигация космических аппаратов: Учебник для технических
вузов (А. И. Гузенко, А. А. Дмитриевский, Н. М. Иванов и др.
Изложены теоретичёские основы качественного анализа возмущенного и не-
возмущенного движений, определения траекторий и орбит космических аппара-
тов (КА). Рассмотрены типовые задачи навигационного обеспечения космичес-
кого полета, решаемые с использованием баллистики. Освещены вопросы разра-
ботки алгоритмов навигационного определения состояния КА при наведении и
выполнении ракетодииамических и аэродинамических маневров, в том числе при’
межпланетных перелетах, выполнении спуска в атмосфере Земли и других пла-
нет, а также при реализации встречи на орбите. Книга является логическим про-
должением учебника «Баллистика и навигация ракет».
Конструкция и проектирование космических летательных аппаратов: Учебник,
для авиационных техникумов (Н. И. Паничкин, Ю. В. Слепушкин, В. П. Шин-
кин и др.
Изложены основные понятия космонавтики, принципы проектирования, кон-
струирования и отработки частей ракетно-космического комплекса. Поскольку
вопросы проектирования КЛА тесно связаны с выбором проектных параметров,
ракетно-космической системы (РКС), то в учебнике приводятся необходимые
сведения по проектно-конструкторской разработке РКС. Описаны цели и задачи
освоения космического пространства, определены проектные характеристики ра-
кетно-космических систем. Рассмотрены различные конструктивно-силовые схе-
мы, нагрузки и дан. расчет на прочность. Приведены основы конструирования
отсеков и агрегатов космических летательных аппаратов и наиболее типичных,
узлов КЛА. Изложены сведения об экспериментальной отработке конструкций
и наземной эксплуатации космических летательных аппаратов.
Малоземов В. В., Рожнов В. Ф., Правецкий В. Н. Системы жизнеобеспече-
ния экипажей летательных аппаратов: Учебник для авиационных вузов.
Изложены основы эргономических, математических и технических принципов-
разработки и создания систем обеспечения жизнедеятельности (СОЖ) экипажей,
летательных аппаратов (ЛА). Рассмотрены особенности применения и функцио-
нирования СОЖ. Даны основы математического моделирования систем, иден-
тификации математических моделей, оптимизации при выборе проектных пара-
метров и особенности автоматизированного проектирования.
Попов В. И. Системы ориентации и стабилизации космических аппаратов.
Изложены принципы построения, основы проектирования, вопросы повыше-
ния точности, а также динамика систем ориентации и стабилизации космичес-
ких аппаратов (КА). Основное внимание уделено пассивным и комбинирован-
ным системам стабилизации вращением, при помощи давления солнечных лучей,
гравитационным и газореактивным системам. При исследовании динамики систем
учитывается упругость и тепловая деформация стабилизаторов, нелинейность
характеристик датчиков и т. п.. Рассмотрены способы и устройства демфирова-
ния колебаний пассивных систем стабилизации, вопросы управления движением
спутника, стабилизированного вращением, и его прогнозирования. Второе из-
дание (1-е изд. 1977 г.) переработано и дополнено новыми материалами.
Для научных работников и специалистов, занимающихся разработкой и соз-
данием систем управления КА.
Автоматизированные обучающие системы профессиональной подготовки опе-
раторов летательных аппаратов /В. В. Шукшунов, Л. С. Демин, Ю. Г. Жуков-
ский и др.
Рассмотрены вопросы разработки и проектирования автоматизированных
обучающих систем (АОС). На базе анализа эргатических систем пилотируемых
космических аппаратов и современных самолетов, а также процесса обучения
космонавтов и летчиков, обосновывается роль АОС как важнейшего средства
интенсификации этого процесса. Описаны основные принципы построения АОС».
175
обеспечивающих не только теоретическую подготовку операторов, но и приоб-
ретение ими профессиональных навыков.
Для инженерно-технических работников, специализирующихся в области под-
готовки операторов летательных аппаратов и других сложных систем.
Глушко А. А. Космические системы жизнеобеспечения (биофизические осно-
вы проектирования и испытания).
Изложены биофизические принципы проектирования и испытания космичес-
ких систем жизнеобеспечения пилотируемых космических аппаратов и специали-
зированных модулей и связанные с ними задачи сохранения и коррекции мета-
болизма и работоспособности, водно-солевого и теплового гемеостазиса космо-
навтов. Проанализированы кинетика и термодинамика, структура и топография
тепло-, влаго-, энергообмена человека, обусловленные воздействием гомеостати-
ческих потенциалов различной физической природы.
Для научных работников, занимающихся проблемами жизнеобеспечения в
космосе и работающих над созданием космических систем жизнеобеспечения.
Дегтярев Г. Л., Сиразетдинов Т. К. Теоретические основы оптимального
управления упругими летательными аппаратами.
В книге упругий летательный аппарат (ЛА) впервые рассматривается как
объект с распределенными параметрами. Приведены конкретные модели урав-
нений движения и уравнений измерения состояния ЛА. Сформулированы задачи
синтеза оптимального управления как в детерминированных, так и в стохасти-
ческой постановках при полной и неполной информации. Предложены методы
синтеза оптимального управления упругими ЛА при неполной информации и ме-
тоды оценки состояния динамических систем с распределенными параметрами.
Приведены решения ряда задач синтеза управления и результаты численного
моделирования.
Для инженерно-технических работников, специализирующихся в области уп-
равления ЛА.