" * .Д. агницкий
пинмичкигв
1 1
UR88

ББК 22.161.7 22.311 22.318
Магницкий Николай Александрович
Теория динамического хаоса. — М.: ЛЕНАНД, 2011.
-320 с.
В настоящей монографии изложена универсальная бифуркационная теория
динамического хаоса во всех нелинейных системах дифференциальных уравнений:
диссипативных и консервативных, автономных и неавтономных, обыкновенных,
с частными производными и с запаздывающим аргументом, описывающих
многочисленные сложные природные, научно-технические и социально-экономические
явления и процессы. Решена проблема топологической структуры нерегулярных
аттракторов диссипативных систем, разработана бифуркационная теория
динамического хаоса в консервативных и гамильтоновых системах, создана
бифуркационная теория пространственно-временного хаоса и турбулентности в системах
уравнений с частными производными.
Все аналитические результаты и выводы подтверждены численными
расчетами и проиллюстрированы многочисленными примерами реальных моделей
физических, химических, биологических, экономических и социальных систем
и процессов.
Книга предназначена для научных работников, аспирантов и студентов
старших курсов, интересующихся проблемами хаотической динамики и устройством
окружающего нас сложного нелинейного мира.
ООО «ЛЕНАНД».
Формат 60x90/16. Уч.-изд. л. 22. Зак. № 1000
Отпечатано в ООО «Чебоксарская типография №1».
428019, г. Чебоксары, пр. И. Яковлева, 15.
ISBN 978-5-9710-0409-7
© Институт системного анализа
РАН, 2011
© Н. А. Магницкий, 2011
ДИСТРИБЬЮТОР научной
И УЧЕБНОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
URSS
E-mail: URSS@URSS.ru
Тел./факс (многоканальный):
+ 7 (499)724-25-45
Каталог изданий в Интернете:
http://URSS.ru
111
10297 ID 123839
9 "785971 0040971
Все права защищены. Никакая часть настоящей книги не может быть воспроизведена или
передана в какой бы то ни было форме и какими бы то ни было средствами, будь то
электронные или механические, включая фотокопирование и запись на магнитный носитель,
а также размещение в Интернете, если на то нет письменного разрешения владельцев.

Оглавление
Предисловие 7
Введение 9
Глава 1. Системы обыкновенных
дифференциальных уравнений и их основные бифуркации .13
1.1. Основные определения и теоремы 13
1.1.1. Поля направлений и их интегральные кривые 13
1.1.2. Векторные поля, дифференциальные уравнения,
интегральные и фазовые кривые 13
1.1.3. Теоремы существования и единственности решений 14
1.1.4. Теорема о дифференцируемой зависимости решений от
начальных условий и параметров. Уравнения в вариациях . 16
1.1.5. Диссииативные и консервативные системы уравнений 17
1.1.6. Численные методы решения систем дифференциальных
уравнений 18
1.1.7. Некорректность численных методов решения систем
дифференциальных уравнений 19
1.2. Особые точки и их инвариантные многообразия 20
1.2.1. Особые точки систем дифференциальных уравнений 2U
1.2.2. Устойчивость особых точек и стационарных решений 21
1.2.3. Инвариантные многообразия 23
1.2.4. Особые точки линейных векторных нолей 24
1.2.5. Сепаратрисы особых точек. Гомоклинические и
гетероклинические траектории. Сепаратрисные контуры ... 27
1.3. Периодические и непериодические решения,
предельные циклы и инвариантные торы 29
1.3.1. Периодические решения 29
1.3.2. Предельные циклы 29
1.3.3. Отображение Пуанкаре 32
1.3.4. Инвариантные торы 35
L3.5. Непериодические решения. Показатели Ляпунова 37
1.4. Аттракторы автономных диссипативных систем
дифференциальных уравнений 43
1.4.1. Основные определения 43
1.4.2. Регулярные аттракторы диссипативных систем
дифференциальных уравнений 45
1.4.3. Сингулярные аттракторы диссипативных систем
дифференциальных уравнений 48

4
ОГЛАВЛЕНИЕ
1.5. Основные локальные бифуркации в нелинейных
системах дифференциальных уравнений 52
1.5.1. Структурная устойчивость и бифуркации 52
1.5.2. Бифуркации устойчивых особых точек 56
1.5.3. Бифуркации устойчивых предельных циклов 63
1.5.4. Бифуркации устойчивых двумерных торов 76
1.6. Нелокальные бифуркации в нелинейных системах
дифференциальных уравнений 80
1.6.1. Бифуркации гомоклинических сепаратрисных контуров 81
1.6.2. Бифуркации гетероклинических сепаратрисных контуров .. 87
1.6.3. Приближенный метод нахождения гомоклинических
и гетероклинических контуров особых точек 91
1.6.4. Каскады бифуркаций. Сценарии перехода к хаосу 96
1.6.5. Бифуркации сингулярных аттракторов 101
Глава 2. Теория динамического хаоса в нелинейных
диссипативных системах ОДУ 104
2.1. Хаотическая динамика одномерных унимодальных
отображений 105
2.1.1. Гладкие одномерные отображения 105
2.1.2. Теория ФШМ рождения циклов и сингулярных аттракторов
в одномерных унимодальных отображениях 109
2.2. Динамический хаос в двумерных неавтономных
диссипативных системах ОДУ 113
2.2.1. Особые точки типа ротор двумерных неавтономных систем 114
2.2.2. Топологическая структура сепаратрисиой поверхности
неустойчивого ротора 117
2.2.3. Сценарий перехода к хаосу и свойства сингулярных
аттракторов 125
2.2.4. Динамический хаос в некоторых классических двумерных
неавтономных системах 130
2.3. Динамический хаос в трехмерных автономных
диссипативных системах ОДУ 136
2.3.1. Сингулярные циклы трехмерных автономных систем 137
2.3.2. Топологическая структура сепаратрисиой поверхности
сингулярного цикла *. 140
2.3.3. Сценарий перехода к хаосу и свойства сингулярных
аттракторов 143
2.3.4. Некоторые примеры трехмерных автономных систем
с сингулярными аттракторами 149
2.3.5. Примеры классических трехмерных авторюмных систем
с сингулярными аттракторами 156

ОГЛАВЛЕНИЕ
5
2.4. Динамический хаос в логистических моделях
социодинамики 164
2.4.1. Логистические модели социодинамики ч 164
2.4.2. Регулярная динамика в логистических системах ОДУ 167
2.4.3. Логистические системы социодинамики
с хаотической динамикой 172
2.5. Динамический хаос в многомерных диссипативных
системах ОДУ 178
2.5.1. Переход к хаосу через субгармонический каскад
бифуркаций устойчивых циклов 178
2.5.2. Переход к хаосу через субгармонический каскад
бифуркаций устойчивых двумерных торов 179
2.5.3. Динамический хаос в бесконечномерных системах ОДУ ... 181
Глава 3- Динамический хаос в гамильтоновых и
консервативных системах 184
3.1. Бифуркационный подход к анализу гамильтоновых
и консервативных систем 185
3.1.1. Теоретические основы бифуркационного подхода 187
3.1.2. Субгармонический каскад бифуркаций в консервативных
и гамильтоновых системах 189
3.1.3. Нелокальный эффект размножения циклов и торов
в окрестности сепаратрисы невозмущештой системы 190
3.1.4. Гетероклинические сепаратрисные многообразия
консервативных и гамильтоновых систем 194
3.2. Динамический хаос в гамильтоновых системах
с полутора степенями свободы 197
3.2.1. Консервативное обобщенное уравнение Матьс 197
3.2.2. Простейшая гиперболическая неавтономная
консервативная система 203
3.2.3. Консервативное уравнение Дюффипга-Холмса /. «207
3.2.4. Стандартный пример маятника с колеблющейся
точкой подвеса 212
3.3. Динамический хаос в гамильтоновых системах
с двумя степенями свободы 217
3.3.1. Обобщенная гамильтонова система Матье 218
3.3.2. Система уравнений Хеноиа-Хейлеса 224
3.3.3. Система уравнений Янга-Миллса-Хиггса 229
3.4. Динамический хаос в сложных гамильтоновых
и консервативных системах 237
3.4.1. Консервативная трехмерная система , 238
3.4.2, Гамильтонова система с двумя с половиной
степенями свободы 239

6
ОГЛАВЛЕНИЕ
3.4.3. Гамильтонова система с тремя степенями свободы 245
Глава 4. Пространственно-временной хаос
в нелинейных системах уравнений
с частными производными 253
4.1. Регулярная динамика и диффузионный хаос
в системах уравнений «реакция-диффузия» 254
4.1.1. Бифуркации Тьюринга и Андронова—Хопфа
в модели брюсселятора 255
4.1.2. Диффузионный хаос в модели брюсселятора
в кольцевой области 258
4.1.3. Диффузионный хаос в модели брюсселятора на отрезке ... 260
4.1.4. Бегущие волны, импульсы и диффузионный хаос
в возбудимых средах 262
4.2. Пространственно-временной хаос
в автоколебательных активных средах 265
4.2.1. Сценарий перехода к хаосу в системе маломодовых
аппроксимаций уравнения Курамото-Цузуки 268
4.2.2. Переход к хаосу в пространстве коэффициентов Фурье 272
4.2.3. Переход к хаосу в фазовом пространстве решений 275
4.2.4. Бегущие волны и пространственно-временной хаос
в автоколебательных средах 281
4.2.5. Спиральные волны и пространственно-временной хаос
в двумерных автоколебательных средах 286
4.3. Пространственно-временной хаос и проблема
турбулентности 291
4.3.1. Переход к турбулентности в задаче
движения жидкости с уступа 293
4.3.2. Переход к турбулентности в конвекции Рэлея-Бенара 300
Список литературы
310

Елене
Предисловие
В монографии представлена в основном законченная
бифуркационная теория динамического хаоса в нелинейных системах
дифференциальных уравнений, включая автономные и неавтономные, диссипа-
тивные и консервативные нелинейные системы обыкновенных
дифференциальных уравнений, уравнений с частными производными и с
запаздывающим аргументом. Следствием теории является
существование единого универсального механизма самоорганизации в широком
круге математических моделей, имеющих приложения во многих
областях науки и техники и описывающих многочисленные физические,
химические, биологические, экономические и социальные природные
и общественные явления и процессы. Таким образом, речь идет об
открытии и описании единого универсального механизма устройства
окружающего нас бесконечно сложного и разнообразного
нелинейного мира. Все теоретические положения и результаты получены в
течение последних нескольких лет исключительно автором, его
сотрудниками и учениками и подтверждены многочисленными примерами,
иллюстрациями и численными расчетами.
Книга состоит из четырех глав. В первой вводной главе
излагаются основные понятия, определения и теоремы теории обыкновенных
дифференциальных уравнений, необходимые для понимания
материала, представленного в последующих главах. Даны описания и
примеры основных бифуркаций особых точек, предельных циклов, торов и
нерегулярных (сингулярных) аттракторов нелинейных систем
обыкновенных дифференциальных уравнений. Особое внимание уделено
малоизученным нелокальным бифуркациям гомоклинических и гетеро-
клиническйх контуров, а также различным каскадам бифуркаций как
регулярных так и сингулярных аттракторов.
Во второй главе монографии представлена бифуркационная теория
динамического хаоса в нелинейных диссипативиых системах
обыкновенных дифференциальных уравнений. На мЕюгочисленных примерах
как модельных, так и широко известных двумерных неавтономных
систем с периодическими коэффициентами, трехмерных, многомерных
и бесконечномерных автономных систем показано, что во всех этих
системах существует один универсальный бифуркационный сценарий
перехода к хаосу через каскад бифуркаций Фейгенбаума удвоения
периода устойчивых циклов или торов, затем через субгармонический
каскад бифуркаций Шарковского устойчивых циклов или торов
любого периода вплоть до цикла (тора) периода три. и затем через го-
моклинический или гетероклинический каскад бифуркаций
Магницкого устойчивых циклов (торов), сходящихся к гомоклиническим или

8
ПРЕДИСЛОВИЕ
гетероклиническим контурам особых точек и циклов и к другим се-
паратрисным многообразиям. Объяснены механизмы формирования
сингулярных аттракторов и решена основная теоретическая проблема
хаотической динамики нелинейных систем дифференциальных
уравнений, состоящая в выяснении топологической структуры
многообразия, на котором располагаются без самопересечений все регулярные и
сингулярные аттракторы нелинейной системы в соответствии с
порядком Шарковского и гомоклиническим порядком.
В третьей главе монографии изложен разработанный автором
новый бифуркационный подход к анализу хаотической динамики не
только гамильтоновых, но и любых консервативных систем нелинейных
дифференциальных уравнений. Подход состоит в рассмотрении
расширенной диссипативной системы уравнений и анализе бифуркаций
ее решений при стремлении параметра диссипации к нулю.
Разработанным методом проведен анализ нескольких типичных возмущенных
гамильтоновых систем с полутора, двумя, двумя с половиной и тремя
степенями свободы, а также просто консервативных, но не
гамильтоновых, систем. На основе полученных результатов сделан вывод о том,
что большинство положений классической гамильтоиовой механики не
выполняется для рассмотренных типичных гамильтоновых систем и
что существующие в этих системах торы не являются торами невозму-
щенпых систем ни при какой величине возмущения. А переход к хаосу
в любой гамильтоиовой и любой просто консервативной системе
происходит не через разрушение некоторых торов невозмущепной системы,
а наоборот, через каскады бифуркаций рождения новых торов и
сингулярных сспаратриспых многообразий в соответствии с универсальной
теорией ФШМ (Фсйгснбаума—Шарковского—Магницкого), развитой
во второй главе монографии изначально для диссипативиых систем.
Четвертая глава монографии посвящена анализу сценариев
перехода к пространственно-временному хаосу в нелинейных системах
уравнений с частными производными. Рассмотрены системы уравнений
типа «реакция-диффузия» и системы, описывающие автоколебательные
и возбудимые среды. Проанализирован также переход от
ламинарного режима к турбулентному в задачах движения вязкой несжимаемой
жидкости. Показано, что во всех этих сложных нелинейных
системах уравнений с частными производными переход к пространственно-
временному хаосу также происходит в соответствии с одним
универсальным сценарием ФШМ через субгармонический каскад
бифуркаций устойчивых циклов и двумерных или многомерных торов.
Автор выражает признательность С.В.Емельянову, С.К.Коровину
и Ю.С.Попкову за полезные обсуждения затрагиваемых в книге
вопросов, а также своим сотрудникам и ученикам А.В.Дериову,
А.Д.Дубровскому, Н.М.Евстигнееву, Д.А.Калошину, Т.В.Карамышевой, О.И.Ряб-
кову, С.В.Сидорову, А.А.Треблеру, отдельные результаты которых
вошли в настоящую монографию.

Введение
Одним из основных научных достижений конца XX - начала XXI
века безусловно можно назвать стремительное развитие нелинейной
науки - нелинейной и хаотической динамики. Оказалось, что
нелинейность существует повсюду, она вездесуща, многолика и неисчерпаемо
разнообразна. За такими, как казалось на первый взгляд, разными по
своей природе научными, техническими и социально-экономическими
процессами и явлениями, как спонтанное появление упорядоченности в
колебательных физических и радиотехнических системах, химических
реакциях и открытых гидродинамических системах, в задачах физики
плазмы и игре на валютных рынках, в нелинейной оптике и динамике
популяций, в работе кровеносной системы человека и динамике
макроэкономических показателей, в распространении импульсов по
нервному волокну и формировании общественного мнения, удалось увидеть
общие черты и механизмы. Их описание было дано с помощью
близких моделей и одних и тех же математических структур - нелинейных
дифференциальных уравнений. Возникли понятия простых
притягивающих множеств в фазовом пространстве - регулярных аттракторов,
простейшим из которых - особым точкам - соответствуют
стационарные, не меняющиеся со временем структуры, более сложным -
предельным циклам и инвариантным торам - различные периодические,
квазипериодические и волновые режимы. Принципиальным оказалось
наличие диссинативиых процессов (вязкости, диффузии,
теплопроводности) . Они позволяли изучаемым системам независимо от начальных
условий формировать со временем одни и те же распределения
переменных, которые стали называть диссипативными структурами.
Математическим аппаратом нелинейной динамики на этом этапе ее
развития были качественная теория и теория бифуркаций нелинейных
систем дифференциальных уравнений.
Однако вскоре выяснилось, что многие нелинейные природные и
социальные процессы и явления не описываются регулярными
аттракторами или простыми диссипативными структурами, а их
математические модели допускают значительно более сложные нерегулярные
решения, названные динамическим хаосом, и значительно более
сложные притягивающие множества в фазовом пространстве, названные
нерегулярными аттракторами. Нерегулярные во времени и
неоднородные по пространственным переменным решения нелинейных систем
дифференциальных уравнений с частными производными стали
называть пространственно-временным и, в частности, диффузионным
хаосом.
Современная теория хаоса состоит из трех практически не
связанных между собой разделов науки, обладающих своими
собственными приемами и методами исследования: динамический хаос в
диссинативиых системах, близкие траектории которых вне зависимости от
начальных условий стремятся со временем к некоторому одному ре-

10
ВВЕДЕНИЕ
гулярпому или нерегулярному аттрактору; динамический хаос в
консервативных и гамильтоповых системах, близкие траектории которых
не стремятся к одному аттрактору, а решения существенно зависят
от конкретных начальных условий; и квантовый хаос в квантовоме-
ханических системах, в которых в силу принципа неопределенности
понятие близких траекторий вообще отсутствует. Первые два вида
динамического хаоса относятся к процессам, происходящим в макромире,
последний - квантовый хаос - к явлениям микромира.
Ключевым свойством динамического хаоса в диссипативных
системах с нерегулярными аттракторами оказалась чувствительность к
начальным данным - притяжение двух бесконечно близких траекторий
к некоторой ограниченной области фазового пространства и затем их
быстрое разбегание за конечное время на конечное расстояние внутри
этой области. Тем же свойством быстрого разбегания двух бесконечно
близких траекторий за конечное время на конечное расстояние внутри
некоторой ограниченной области фазового пространства или во всем
фазовом пространстве обладают и консервативные (гамильтоновы)
системы. Будущее для таких систем является принципиально
непрогнозируемым, а прошлое - невоспроизводимым. Наличие буквально всюду
диссипативных и консервативных систем с такими областями
поставило вопрос об адекватности применения траекторного подхода и
вообще дифференциальных уравнений к описанию сложных природных
явлений и общественных процессов. По мнению выдающегося ученого
современности, лауреата Нобелевской премии И. Р. Пригожий а.
высказанному автору настоящей книги несколько лет назад в личной беседе,
объяснение тому, что из себя представляют нерегулярные аттракторы
диссипативных систем, пе может быть дано в рамках траекторного
подхода; это может быть сделано только в рамках новой математики,
которая будет создана новым гением уровня Ньютона или Лейбница.
Кажущаяся невозможность описания нерегулярных аттракторов
нелинейных диссипативных систем методами качественной теории
дифференциальных уравнений и теории бифуркаций привела к тому, что
в современной литературе появилось более двадцати различных
определений нерегулярных аттракторов: странный, хаотический,
стохастический, квазиаттрактор, аттрактор типа Лоренца и т.д. Для их
описания и для описания динамического хаоса в консервативных и гамиль-
тоновых системах стали применяться методы теории возмущений, а
также геометрические и вероятностные методы. Однако, эти подходы
не привели к пониманию существа хаотических процессов,
происходящих в нелинейных диссипативных и консервативных системах
обыкновенных дифференциальных уравнений. Тем более это относится к
нелинейным системам уравнений с частными производными, один из
видов пространственно-временного хаоса в которых - турбулентность
- не удалось описать никакими методами современной математики на
протяжении всего двадцатого столетия, несмотря на многочисленные
усилия. В связи с этим проблема турбулентности была включена в чис-

ВВЕДЕНИЕ
11
ло семи математических проблем тысячелетия [127). Еще печальнее
обстоит дело с описанием и пониманием квантовомеханических
хаотических процессов в микромире, к которым, как считает современная
физика, не применимы законы динамики, действующие в
макромире. Современное описание микромира состоит из набора не
связанных друг с другом геометрических, алгебраических и стохастических
линейных теорий, подогнанных под данные натурных экспериментов.
Такой подход, господствующий в современной науке на протяжении
последних ста лет не привел ни к появлению единой
фундаментальной теории объединительного характера, ни к пониманию существа
происходящих в микромире процессов.
Целью настоящей монографии является доказать и показать
читателю, что существует один единственный вид динамического хаоса
во всех нелинейных системах дифференциальных уравнений: дисси-
пативных и консервативных, автономных и неавтономных,
обыкновенных, с частными производными и с запаздывающим аргументом.
И этот единственный вид динамического хаоса может быть успешно
описан в рамках траекторного подхода методами качественной теории
дифференциальных уравнений и теории бифуркаций в нелинейных
системах дифференциальных уравнений, а именно, универсальной
бифуркационной теорией ФШМ (Фейгенбаума—Шарковского-
Магницкого). Для этого в монографии строго обосновано и на
многочисленных примерах моделей различных физических, химических,
биологических, экономических и социальных систем и процессов убедительно
продемонстрировано, что в любой нелинейной диссипативной системе
макромира усложнение динамики решений идет в соответствии с
одним единственным универсальным сценарием через каскады
бифуркаций регулярных аттракторов: каскад бифуркаций Фейгенбаума
удвоения периода исходного регулярного аттрактора (цикла, тора), затем
через субгармонический каскад бифуркаций Шарковского рождения
регулярных аттракторов (циклов, торов) любого периода вплоть до
периода три, затем через гомоклинический (гетероклинический) каскад
бифуркаций Магницкого рождения регулярных аттракторов (циклов,
торов) в соответствии с гомоклиническим или гетероклиническим
порядком.
Доказано, что нерегулярными аттракторами нелинейных дисси-
пативных систем являются исключительно сингулярные аттракторы,
существующие в точках накопления значений бифуркационного
параметра и являющиеся пределами каскадов бифуркаций регулярных
аттракторов. Решена исключительно важная и паи сложнейшая
проблема топологической структуры сингулярных аттракторов.
Показано также, что все названные выше каскады бифуркаций существуют
и в консервативных и, в частности, гамильтоновых системах, так как
любая консервативная система является пределом последовательности
расширенных диссипативных систем при стремлении параметра
диссипации к нулю, который в данном случае может рассматриваться как

12
ВВЕДЕНИЕ
бифуркационный параметр. На этой основе разработана новая
бифуркационная теория динамического хаоса в консервативных и, в
частности, гамильтоновых системах.
Установлено также, что переход к пространственно-временному
хаосу в различных автоколебательных и возбудимых средах,
описываемых нелинейными системами дифференциальных уравнений с
частными производными, также происходит в соответствии с
бифуркационными сценариями теории ФШМ. И, наконец, найдено несколько
возможных сценариев перехода от ламинарного режима к турбулентному
в пространственно трехмерных задачах движения вязкой
несжимаемой жидкости с уступа и в конвекции Рэлея-Бенара. Показано, что
все найденные сценарии также не выходят за рамки единой
универсальной бифуркационной теории ФШМ. Таким образом, результатом
настоящей книги является вывод о том, что весь окружающий нас
бесконечно сложный и бесконечно разнообразный нелинейный макромир
устроен по единым законам, и это законы нелинейной динамики,
качественной теории нелинейных систем дифференциальных уравнений
и теории бифуркаций в этих системах.
Что касается процессов, происходящих в микромире, то и они, по
мнению автора, могут быть успешно описаны нелинейными системами
дифференциальных уравнений и их бифуркациями. Первые
результаты в этом направлении получены автором в [73. 163], где из
нелинейных уравнений динамики физического вакуума (эфира) выведены
все основные уравнения и формулы классической электродинамики,
квантовой теории поля и теории гравитации, причем сняты основные
противоречия квантовой механики, такие, например, как бесконечная
энергия и масса точечного заряда. Но эти вопросы требуют написания
отдельной монографии и в данной книге не рассматриваются.

Глава 1
Системы обыкновенных
дифференциальных уравнений и их
основные бифуркации
В этой главе дай краткий обзор основных понятий и теорем
общего характера теории обыкновенных дифференциальных уравнений,
необходимых для понимания материала, излагаемого в последующих
главах. Более подробное изложение представленных в данной главе
результатов можно найти в работах, которые указаны в списке
цитируемой литературы.
1.1. Основные определения и теоремы
1.1.1. Поля направлений и их интегральные кривые
Рассмотрим вещественное конечномерное линейное пространство
Ят. Полем направлений в области М пространства Rm называется
соответствие, которое каждой точке х Е М сопоставляет проходящую
через х прямую.
Определение. Интегральной кривой поля направлений
называется кривая, которая в каждой своей точке касается направления поля
в этой точке.
1.1.2. Векторные поля, дифференциальные уравнения,
интегральные и фазовые кривые
Векторным полем F, заданным в области М пространства Rm,
называется соответствие, сопоставляющее каждой точке х € М
приложенный к пей вектор F пространства Rm .
Системой дифференциальных уравнений, соответствующей
векторному полю F, называется система
x=F{x), хе МСГ, (1.1)
где точка над буквой означает дифференцирование по t. Область М
называется фазовым пространством системы, а прямое произведение
I х М - расширенным фазовым пространством, где / - интервал
вещественной оси времени t.

14 ГЛАВА 1. СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Система (1.1) называется также автономной системой
обыкновенных дифференциальных уравнений. Неавтономной называется
система, правая часть которой зависит также и от t:
х = F(x, t)y х е М с Дт, t е I С R. (1.2)
Семейством обыкновенных дифференциальных уравнений
называется множество систем уравнений вида
х = F(x, t, /i), xeM cRm, /x g L с Rk, t e I c Я, (1.3)
заданных в фазовом пространстве М векторными полями F,
зависящими от координат векторов системных параметров /х, лежащих в
области L пространства Rk.
Именно автономные семейства (1.3) обыкновенных
дифференциальных уравнений
х = F(x, /х), жбМсГ, /i e L с Д\ tel cR,
задаваемые семействами векторных полей F(x, /x) и представляющие
наибольший интерес с точки зрения различных приложений, являются
основным объектом изучения настоящей книги.
Определение. Решением системы дифференциальных уравнений
(1.2) называется дифференцируемое отображение х : I —► М
интервала / вещественной оси t в фазовое пространство, если для любого
г £ I выполнено соотношение
х{т) = F{x{t),t).
Определение. Интегральной кривой системы
дифференциальных уравнений называется график ее решения, а фазовой кривой -
проекция интегральной кривой на фазовое пространство вдоль оси t.
Примеры интегральных и фазовых кривых изображены на рис. 1.1.
Фазовые кривые часто также называют траекториями решений
системы дифференциальных уравнений.
В дальнейшем нас будут интересовать только неограниченные
временные интервалы I = [0, оо) и / — (—оо,оо). При этом всегда будем
полагать, что начальный момент времени to = 0.
1.1.3. Теоремы существования и единственности решений
Дифференцируемым называется векторное поле с
дифференцируемыми компонентами. Полем класса Сг называется поле с
компонентами, имеющими непрерывные производные всех порядков, не
превосходящих г.

1.1. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ТЕОРЕМЫ
15
Рис. 1.1: Проекции отрезка интегральной кривой и спирали с шагом т на
фазовую плоскость (х,у) в виде отрезка (а) и замкнутой кривой (б)
Теорема 1.1 ([41,88,117]). Через каждую точку расширенного
фазового пространства дифференцируемого векторного поля проходит
одна и только одна интегральная кривая соответствующей системы
дифференциальных уравнений с вещественным временем.
Условие гладкости правой части в сформулированной теореме
может быть ослаблено.
Определение. Отображение / : М —► N. Me Rm, N € Rn
удовлетворяет условию Липшица, если существует такая положительная
константа д, что
\\f(x1)-f(x2)\\<q\\x1-x2\\
для всех х\ е М, Х2 £ М.
Теорема 1.2 ([41.88,117]). Пусть правая часть системы
уравнений (1.2) непрерывна в некоторой области IxM пространства J?m+l
и удовлетворяет в ней условию Липшица по х с одной и той же
константой q. Тогда через каждую точку области I x M расширенного
фазового пространства проходит одна и только одна интегральная
кривая системы уравнений (1.2).
Если правая часть системы (1.2) только непрерывна, то и тогда
через каждую точку расширенного фазового пространства проходит
хотя бы одна интегральная кривая. Единственность при этом может
быть нарушена, что видно из примера уравнения х = 2Ж1/2, имеющего
интегральные кривые (£,0) и (i,*2), проходящие через точку (0,0).
В силу сформулированных выше теорем задание начального
условия в начальный момент времени х(0) = х$ однозначно определяет
решение системы дифференциальных уравнений в любой момент
времени t : x(t) = (р1(хо). Задача нахождения решения системы
дифференциальных уравнений, удовлетворяющего заданному начальному
условию, называется задачей Коши. Отображение ipl является
отображением фазового пространства М в себя и называется фазовым по-

16 ГЛАВА 1. СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
током. Любая область G фазового пространства под воздействием
фазового потока переходит за время t в некоторую другую область
Gt = <р*{в).
1.1.4. Теорема о дифференцируемой зависимости решений
от начальных условий и параметров. Уравнения в вариациях
Пусть / - дифференцируемое отображение области М
пространства Rm в область N пространства i?n. Производной отображения f
в точке хо называется главная линейная часть отображения / в точке
Хо} т.е. линейный оператор А : Rm —* Rn такой, что
f(x) - f(x0) = A(x - хо) + о(\\х - xq\\).
В координатах (х\..... хт) и (у1?..., уп) отображение / записывается
в виде вектор-функции у = f(x) = (fi(x),...,fn(x)). Матрица
оператора А в координатах (#. у) - это матрица Якоби вектор-функции /.
т.е.
А = дх^' А = ^ij^ **' = дх'^Х0)'
Теорема 1.3 ([41]). Пусть семейство дифференциальных
уравнений (1.3) задано векторными полями F(x, £, f.i), непрерывными в
некоторой области пространства Rfc+m+1 вместе со своими
производными dF/дх и dF/dfi. Тогда решение ip семейства (1.3) с начальным
условием </?(0,/i) = х непрерывно дифференцируемо по х и \i. Если
зависимость поля F от параметров \i лишь непрерывная, то и
зависимость решения от параметров непрерывна.
Уравнения для производных решения по начальным условиям и
параметрам выписываются явным образом. Обозначим через (р$ решение
системы (1.2) с начальным условием <£$(0) = £. Фиксируем £ = х и
положим
При каждом t линейный оператор X(t) действует из Rm в Rm. Из (1.2)
следует, что операторнозначная функция X(t) удовлетворяет
следующему уравнению в вариациях:
X(t) = A(t)X(t), где A(t) = Ц(¥>,Ю,«).
Э^о - линейное однородное неавтономное дифференциальное
уравнение, причем Х(0) -единичная матрица.
Выпишем теперь уравнение в вариациях для производной решения
семейства (1.3) по параметрам. Пусть <р^%а - решение семейства (1.3)

1.1. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ТЕОРЕМЫ
17
с начальным условием </?£(0, а) = f. Фиксируем £ = ж, и положим
При каждом t линейный оператор Y(t) действует из Rk в Rm. Из
(1.3) следует, что операторнозначная функция Y(t) удовлетворяет
следующему уравнению в вариациях:
Y(t) = A(t)Y(t) + b(t),
где
dF dF
A(t) = g^^U/i), b(t) = —(v>tHtl(t),t,n).
Это - линейное неоднородное неавтономное дифференциальное
уравнение, причем У(0) = 0.
1.1.5. Диссипативные и консервативные системы
уравнений
Обозначим через V(ttt) евклидов объем области Fit = <рь(£1а)
фазового пространства, получающейся при сдвиге в течение времени
t всех точек некоторой начальной области По вдоль фазовых кривых
автономной системы дифференциальных уравнений (1.1). Тогда
изменение объема V(ftt) удовлетворяет уравнению
^> = J <bvF(x)dx, где divF(x) = £) |£
т/ fc = l
(х)
- сумма диагональных элементов оператора dF/дх , a dx - евклидов
элемент объема.
Определение. Система уравнений (1.1) называется
консервативной, если объем произвольной области фазового пространства не
меняется со временем, и диссипативлой, если объем некоторой области
фазового пространства со временем уменьшается.
Таким образом, если всюду в фазовом пространстве divF(x) = О,
то система сохраняет объем и является консервативной. Если же су^
ществует область фазового пространства, в которой dWF(x) < О, то
система (1.1) - диссипативна в этой области.
В дальнейшем нас будут интересовать проблемы хаотической
динамики как диссипативных, так и консервативных систем
дифференциальных уравнений, включая автономные и неавтономные системы
обыкновенных дифференциальных уравнений, уравнений с частными
производными и с запаздывающим аргументом.

18 ГЛАВА 1. СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
1.1.6. Численные методы решения систем
дифференциальных уравнений
Решение задачи Коши для автономной нелинейной системы
обыкновенных дифференциальных уравнений вида (1.1) только в
исключительных случаях может быть найдено в явном виде. Интегрирование
таких систем требует, как правило, аппроксимации решения
различными линейными функциями на последовательных малых отрезках
времени (шагах) длительности т. Самым распространенным методом
такой аппроксимации является метод Рунге-Кутта 4-го порядка,
дающий при малых г разностные уравнения, аппроксимирующие решения
с точностью 0(т4).
Заметим, что стандартные оценки точности приближенных
решений совпадают, как правило, с оценками точности аппроксимации и
существенно зависят от длины временного интервала Т, на котором
решается система дифференциальных уравнений. Например, в [98]
дана оценка точности решения в методе Рунге-Кутта 4-го порядка
в виде ||я(£п) — уп|| = СТехр(скТ)г4, где а и С - некоторые
постоянные. Однако, такая оценка точности приближенного решения является
абсолютно неудовлетворительной при численном анализе различных
аттракторов нелинейных систем, так как при этом необходимо решать
уравнения на больших временных интервалах. В связи с этим часто
возникают вопросы о том, существуют ли реально в нелинейных
системах дифференциальных уравнений те эффекты, которые получены
при их численном решении даже методами высокого порядка
точности.
Положительные ответы на эти вопросы даны в работах [35,100].
В [35] доказано, что аттракторы разностных схем для обыкновенных
дифференциальргых уравнений и уравнений с частными производными
приближаются а истинным аттракторам нелинейных систем
дифференциальных уравнений при стремлении параметров дискретизации к
нулю. В [100] получена оценка устойчивости численного
интегрирования систем дифференциальных уравнений, имеющих асимптотически
орбиталыю устойчивые периодические решения, в виде
\\x{tn) - Уп\\ < C\\x(tQ) - уо II + 0(тк-х)С, 0<t<T* Ci/r.
Таким образом, при интегрировании систем дифференциальных
уравнений с устойчивым периодическим решением численным методом к-
ого (к > 2) порядка аппроксимации с шагом т на интервале времени
О < t < Т « С\/т численное решение имеет точность 0(тк~1).
Полученная оценка погрешности разностной схемы интегрирования не
содержит экспоненциально растущего со временем множителя. Более
того, показано, что при интегрировании системы на конечном
фиксировавшем промежутке времени оценка погрешности схемы имеет
порядок аппроксимации метода 0(тк). То есть, можно с уверенностью
утверждать, что все аттракторы, представленные в настоящей книге

1.1. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ТЕОРЕМЫ
19
и полученные численно методом Рунге-Кутта 4-го порядка, на
самом деле являются достаточно точными аппроксимациями истинных
аттракторов, существующих в нелинейных системах
дифференциальных уравнений.
1.1.7. Некорректность численных методов решения систем
дифференциальных уравнений
При численном решении нелинейных систем дифференциальных
уравнений, обладающих сложной нерегулярной динамикой, большой
проблемой становится некорректность решаемой задачи. Суть
проблемы состоит в следующем. Любой метод численного решения
дифференциального уравнения требует аппроксимации тем или иным
способом производной функции, известной лишь приближенно в узлах
некоторой сетки. Задача вычисления производной от неточно
заданной функции является классической некорректной задачей [ПО].
Малым погрешностям в задании функции могут соответствовать большие
погрешности в вычислении ее производной, т.е. нет непрерывной
зависимости производной от функции. Пусть, например, погрешность в
задании функции имеет вид m~l sinmH. Погрешность в вычислении
производной при этом будет т cosm2t. Следовательно, при т —> оо
погрешность функции в равномерной метрике неограниченно убывает, в
то время как погрешность производной в той же метрике
неограниченно растет.
Некорректность вычисления производной х (tn) сеточной
функции x(t) приводит к тому, что шаг сетки г не может быть выбран
произвольно малым, а должен определяться погрешностью в
вычислении самой функции. Действительно, пусть значения функции x(t)
в точках tn+i и tn нам известны с точностью 5, т.е. нам заданы
значения 2М+1 и уп, такие что \x{tn+i) - yn+i! < <*» И*п) ~ Уп\ < £.
Тогда точность замены производной х (tn) приближенной формулой,
например, {уп+л - Уп)/т, равна не 0(т), а 0(т) + 26/т. Погрешность
при этом состоит из двух частей: погрешности метода
аппроксимации производной 0(т) и неустранимой погрешности 25/т, связанной
с погрешностью вычисления самой функции. При г —» 0
неустранимая погрешность, очевидно, неограниченно возрастает. Оптимальным
в данном случае является выбор шага сетки г = 0(61^2). Такой способ
выбора оптимального шага называется регуляризацией по шагу.
Покажем, что аналогичный эффект имеет место и при численном
решении задачи Коши для системы обыкновенных
дифференциальных уравнений вида (1.1), например, методом Рунге-Кутта 4-го
порядка. Пусть yn+i = yn + Tf(yn). Обозначим через yn-x{tn) = 6п ошибку
в вычислении значения решения x(t) в точке tn. Тогда 5n+i —
Sn + rf(xn + e6n)Sn-(xnjhl-xn)+Tf(xn)) где \в\ < 1. Так как точность
аппроксимации метода равна 0(т4), то |£n+if < \&п\ • \1+тЬ\+Кт4, где
L = ff(xn + 65n). Очевидно, что если г —* 0, то <Jn+i ~> <5П, и суммарная

20 ГЛАВА 1. СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
погрешность со временем может только нарастать от шага к шагу. В
то же время если — 1/т < L < 0, то можно добиться значительного
уменьшения ошибки при выборе оптимального шага,
минимизирующего оценку погрешности.
Ниже в работе будут продемонстрированы многочисленные
примеры конкретных систем нелинейных обыкновенных
дифференциальных уравнений, обладающих сложной динамикой, в которых при
малом шаге наблюдается якобы хаотическое поведение траекторий, а при
некотором разумном шаге - устойчивый предельный цикл. Самый
яркий пример - знаменитая система уравнений Лоренца [155], в которой
так называемый эффект перемежаемости [14] является
исключительно следствием ошибок в вычислениях, связанных с некорректностью
решаемой задачи [52,59]. .
Из всего сказанного про численные методы решения нелинейных
систем дифференциальных уравнений можно сделать следующий
вывод. Если численное решение нелинейной системы дифференциальных
уравнений сходится к некоторому численному регулярному
аттрактору (точке, циклу, тору), то найденный численно аттрактор является
достаточно точным приближением к истинному аттрактору
рассматриваемой нелинейной системы. Если же численная траектория
хаотически блуждает в некоторой ограниченной области фазового
пространства, то это еще не значит, что система имеет нерегулярный
(хаотический) аттрактор. В этом случае система может также иметь
регулярный, но более сложный аттрактор, витки которого расположены
достаточно близко друг к другу, что приводит к прыжкам
численной траектории по виткам аттрактора в случайные моменты времени
вследствие ошибок в вычислениях, связанных с некорректностью
решаемой задачи. Эти ошибки во многих случаях могут быть устранены
варьированием шага интегрирования. Но надо помнить, что в случаях
совсем сложных мпоговитковых регулярных аттракторов с достаточно
малым расстоянием между витками даже выбор оптимального шага
интегрирования не может привести к устранению численных ошибок.
Такие регулярные аттракторы принципиально не могут быть
обнаружены никакими численными методами.
1.2. Особые точки и их инвариантные
многообразия
1.2.1. Особые точки систем дифференциальных уравнений
Особая точка (неподвижная точка, положение равновесия,
стационарная точка, точка покоя) системы дифференциальных уравнений
(1.1) - это особая точка соответствующего векторного поля F(x).

1.2. ОСОБЫЕ ТОЧКИ И ИХ ИНВАРИАНТНЫЕ МНОГООБРАЗИЯ 21
Определение. Особая точка векторного поля - это точка
фазового пространства, в которой вектор поля обращается в нуль.
Пусть хо - особая точка дифференцируемого векторного поля F(x),
являющегося правой частью автономной системы уравнений (1.1), а
dF/dx - производная отображения F. Система линейных
дифференциальных уравнений
■ л л dF( ^
у = Ау, где Л=—(жо), У = х - х0
называется линеаризацией системы (1.1) в особой точке Xq, поле Ау
- линейной частью поля F в точке жо, а Л - оператор этой линейной
части или оператор линеаризации.
Определение. Особая точка векторного поля называется
невырожденной, если оператор линейной части поля в этой точке
невырожден.
Определение. Особая точка системы дифференциальных
уравнений (1.1) называется гиперболической, если ни одно собственное
значение оператора линейной части поля в этой точке не лежит на
мнимой оси.
Определение. Две системы дифференциальных уравнений (или,
что то же самое - два векторных поля) топологически эквивалентны
в окрестности особых точек, если существует гомеоморфизм
(взаимно однозначное и взаимно непрерывное отображение), переводящий
особую точку первой системы и траектории, лежащие в некоторой ее
окрестности, в особую точку и траектории второй системы с
сохранением ориентации траекторий.
Теорема 1.4 (теорема Гробмана-Хартмана [15,117]). Непрерывно
дифференцируемое векторное поле с гиперболической особой точкой
в некоторой окрестности этой точки топологически эквивалентно
своей линейной части.
Из сформулированной теоремы в частности вытекает, что
качественное поведение решений автономной системы дифференциальных
уравнений (1.1) в окрестности гиперболической особой точки
полиостью определяется поведением решений системы линейных
дифференциальных уравнений с постоянным оператором (матрицей) линейной
части поля в этой точке.
1.2.2. Устойчивость особых точек и стационарных решений
Особая точка (неподвижная точка, положение равновесия)
автономной системы дифференциальных уравнений называется
устойчивой (асимптотически устойчивой), если устойчиво (асимптотически
устойчиво) тождественно равное ей стационарное решение этой
системы.

22 ГЛАВА 1. СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Определение. Стационарное решение автономной системы
дифференциальных уравнений (решение, тождественно равное особой
точке) называется устойчивым по Ляпунову, если все решения этой
системы с начальными условиями из достаточно малой окрестности
указанной особой точки определены на всей положительной полуоси времени
и равномерно по времени сходятся к исследуемому
стационарному решению при стремлении начального условия к указанной особой
точке.
Другими словами, стационарное решение xq системы (1.1)
устойчиво по Ляпунову, если для любого е > 0 существует 5 > 0. такое
что для всех решений x(t) системы (1.1) из \\х(0) — xq\\ < S следует
\\x(t) — xq\\ < е для всех t > 0.
Определение. Стационарное решение автономной системы
уравнений (1.1) называется асимптотически устойчивым, если оно
устойчиво по Ляпунову и, кроме того, все решения x(t) системы (1.1) с
достаточно близкими к исследуемой особой точке начальными
условиями \\х(0) — хо\\ < 5 стремятся к ней при t —» оо т.е. \\x(t) — хо\\ —> 0
при t —¥ оо.
Если в условиях асимптотической устойчивости стремление
решений системы уравнений (1.1) к особой точке экспоненциально, т.е.
\\x(t) —Xq\\ < оехр(—7*) с некоторыми положительными постоянными
с и 7, то стационарное решение хо системы (1.1) называется
экспоненциально асимптотически устойчивым.
Устойчивость (и асимптотическая устойчивость) стационарных
решений (особых точек) - локальное свойство векторного поля,
задающего систему дифференциальных уравнений. Просто стремление
решений к положению равновесия при t —> оо не является локальным
свойством и недостаточно для асимптотической устойчивости.
Теорема 1.5 (теорема Ляпунова об устойчивости по первому
приближению [77]). Если оператор линеаризации А дифференцируемого
векторного поля F(x) системы (1.1) в особой точке имеет
собственные значения только с отрицательной вещественной частью, то
эта особая точка асимптотически устойчива. Если одно из
собственных значений оператора линеаризации А имеет положительную
вещественную часть, то особая точка не устойчива по Ляпунову.
Из теоремы Ляпунова вытекает, что устойчивая гиперболическая
особая точка всегда экспоненциально асимптотически устойчива.
Определение. Дифференцируемая функция V(x) называется
функцией Ляпунова для особой точки xq векторного поля F(x),
если она удовлетворяет следующим условиям:
— функция V определена в некоторой окрестности точки xq и имеет
в этой окрестности строгий локальный минимум;
— производная функции V вдоль векторного поля F в некоторой

1.2. ОСОБЫЕ ТОЧКИ И ИХ ИНВАРИАНТНЫЕ МНОГООБРАЗИЯ 23
окрестности точки х'о неположительна, т.е.
dtY( ' t^dxk dt t^dxk K ' ~
к—I «=1
Теорема 1.6 ([77]). Особая точка дифференцируемого
векторного поля, для которой существует функция Ляпунова, устойчива.
1.2.3. Инвариантные многообразия
Подмножество G фазового пространства называется
инвариантным по отношению к фазовому потоку <рь множеством или просто
инвариантным множеством, если для всех допустимых t имеет
место ipl{G) = G. Многообразием называется подмножество G евклидова
пространства R7ny имеющее в каждой своей точке единственную
касательную гиперплоскость. В этом случае говорят, что G гладко вложено
в Rm. Если множество G гладко вложено в фазовое пространство М
системы дифференциальных уравнений, то говорят, что G является
подмногообразием фазового пространства.
Определение. Инвариантное многообразие векторного поля и
соответствующей системы дифференциальных уравнений - это такое
подмногообразие фазового пространства, которое в каждой своей
точке касается вектора поля.
Рассмотрим линейный оператор А : Rm -* Rm. Пространство Rm
распадается в прямую сумму трех подпространств:
Rm =TS ®Ти® Тс,
Все три подпространства в правой части равенства инвариантны
относительно оператора А. Спектр ограничения А на Ts лежит в открытой
левой полуплоскости, ограничения А на Ти - в правой полуплоскости
и ограничения А на Тс - на мнимой оси. Для оператора А,
являющегося оператором линеаризации векторного поля F уравнения (1.1) в
гиперболической особой точке, Тс = {()}.
Теорема 1.7 (теорема Адамара-Перрона [78]). Пусть F есть СТ -
гладкое векторное поле с гиперболической нулевой особой точкой и
линейной частью Ах в нуле, Ts и Ти - подпространства,
соответствующие оператору А. Тогда система дифференциальных
уравнений имеет два СТ-гладких инвариантных относительно F
многообразия Ws и Wu} проходящих через ноль и касающихся в нуле
подпространств Ts и Ти соответственно. Решения с начальными
условиями на Ws (Wu) экспоненциально стремятся к нулю при t -* +oo (t —>
—со).
Ws называется устойчивым, a Wu - неустойчивым инвариантным
многообразием нулевой особой точки.

24 ГЛАВА 1. СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Теорема 1.8 (теорема о центральном многообразии [78,117,118]).
Если в условиях предыдущей теоремы оператор А имеет
собственные значения также и на мнимой оси, т.е. Тс ф {0}, то система
дифференциальных уравнений (1.1) имеет третье Сг~х -гладкое
инвариантное многообразие Wc, проходящее через ноль и касающееся в
нуле подпространства Тс.
Многообразие Wc называется центральным многообразием, а
подпространство Ts ® Ти - подпространством гиперболических
переменных. Поведение фазовых кривых на многообразии Wc определяется
нелинейными членами.
Рис. 1.2: Устойчивое, неустойчивое и центральное многообразия линейной
системы (а) и нелинейной системы (б)
Схематически инвариантные подпространства и многообразия
особых точек изображены на рис. 1.2. Принятые для них обозначения
ясны из сформулированных выше теорем: s - stable, и - unstable, с -
center.
Во многих случаях при исследовании локальной топологии
нелинейного векторного поля и соответствующей системы
дифференциальных уравнений в окрестности особой точки важно знать только
ограничение этого поля на центральное многообразие [78Д18]. Однако, как
будет показано ниже, этого оказывается совершенно недостаточно для
получения глобальной топологической картины, которая определяется
именно гиперболическими переменными.
1.2.4. Особые точки линейных векторных полей
Любая автономная система линейных дифференциальных
уравнений, задаваемая линейным векторным полем, имеет в окрестности
особой точки вид
У^Лу. (1.4)

1.2. ОСОБЫЕ ТОЧКИ И ИХ ИНВАРИАНТНЫЕ МНОГООБРАЗИЯ 25
Тип особой точки и характер поведения решений системы (1.4) в
окрестности особой точки определяются собственными значениями
линейного оператора А.
седло
~чг
Л,>0
Ла<0
Л<0
Х7>0
JK
седло
устойчивость J
определяется ~""*|
нелинейными |
Рис. 1.3: Классификация особых точек линейных двумерных автономных
систем
На вещественной плоскости невырожденная особая точка бывает
одного из следующих четырех типов: седло, узел, фокус, центр.
Собственные значения Хг и Лг линейного оператора А в этом случае
определяются формулой
\i.2 = \(tiA±VD),
где D = (trА)2 — 4 det Л, tr^l - след матрицы Л, т.е. сумма ее
диагональных элементов, a det^ - определитель матрицы А. Области,

26 ГЛАВА 1. СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
занимаемые при этом различными типами особых точек уравнения
(1.4) в плоскости (det A tiA), представлены на рис.1.3. В случае D = О
дикритический узел соответствует скалярной матрице А = ЛЬ1, где Е
- единичная матрица, а вырожденный узел - матрице, подобной
двумерной жордановой клетке.
Условие det A = 0 определяет линию вырожденных особых точек,
среди которых можно выделить вырожденный плоский седло-узел,
имеющий, как правило, один узловой и два седловых сектора.
Невырожденные седло, узел и фокус являются гиперболическими особыми
точками. Поэтому, как следует из теоремы Гробмана-Хартмана, все
изображенные на рис. 1.3 картинки, кроме центра, сохраняются при
малых возмущениях линейной системы (1.4). Кроме того, седло
всегда неустойчиво, а узел и фокус могут быть как устойчивыми (экспо-
ненциально асимптотически), так и неустойчивыми в зависимости от
знака вещественных частей собственных значений матрицы А. Фокус
всегда имеет либо двумерное устойчивое W8, либо двумерное
неустойчивое Wu инвариантное многообразие.
Рис. 1.4: Особые точки хо типа седло-узел
В трехмерном вещественном пространстве существуют более
сложные гиперболические особые точки, являющиеся комбинациями седла
с узлом или фокусом, сохраняющиеся при малых возмущениях
линейной системы и называемые, соответственно, седло-узлом (рис. 1.4)
и седло-фокусом (рис. 1.5). Седло-узел и седло-фокус всегда
неустойчивы. Они имеют одномерное устойчивое и двумерное неустойчивое
многообразия (или наоборот). Как будет показано ниже, именно эти
особые точки могут играть важную роль в образовании сложной
нерегулярной динамики в нелинейных системах обыкновенных
дифференциальных уравнений.

1.2. ОСОБЫЕ ТОЧКИ И ИХ ИНВАРИАНТНЫЕ МНОГООБРАЗИЯ 27
Рис. 1.5: Особые точки хо типа седло-фокус
Но существенно более важную роль в зарождении и развитии
сложной нерегулярной динамики и в образовании хаотических
аттракторов любых нелинейных: систем дифференциальных уравнений играют
особые точки типа ротор двумерных неавтономных линейных систем
обыкновенных дифференциальных уравнений с периодическими
коэффициентами. Каноническая форма ротора была найдена автором в
[58] (см. также [59,60]). Это линейная двумерная вещественная
неавтономная система с нулевой особой точкой вида
01+Й2 + О01 ~/32)cosujt t (01-02)smut-u
иг = wi + г U2)
(01 - 02) smut + lu 0i + 02 - (01 - 0г) cosvi
u2 = щ ч г u2
с 2 7г/^-периодическими коэффициентами и произвольными
вещественными постоянными 0i и 02. Траектории системы с ротором всегда
вращаются вокруг ротора. Кроме того, устойчивый ротор обладает
одновременно свойствами устойчивого узла и фокуса, а неустойчивый
- свойствами фокуса и седла, имея одномерное устойчивое и
одномерное неустойчивое многообразия. Роль ротора в формировании
хаотической динамики нелинейных систем дифференциальных уравнений
подробно рассмотрена в п. 2.2.1 главы 2.
1.2.5. Сепаратрисы особых точек. Гомоклинические и ге-
тероклинические траектории. Сепаратрисные контуры
Траектория автономной системы обыкновенных
дифференциальных уравнений называется сепаратрисой особой точки, если она
стремится к особой точке либо при t — * 4-со, либо при t —+ — со.

28 ГЛАВА 1. СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Одномерные инвариантные устойчивые (неустойчивые)
многообразия особых точек состоят из самой особой точки и двух входящих в
нее (исходящих из нее) сепаратрис. Многомерные инвариантные
многообразия особых точек иногда также называют сепаратрисными
поверхностями.
Гомоклинической траекторией (петлей сепаратрисы) особой точки
называется траектория (фазовая кривая), стремящаяся к особой точке
как при t —у +оо, так и при t —► — со.
Гомоклиническая траектория принадлежит пересечению
устойчивого инвариантного Ws и неустойчивого инвариантного Wu
многообразий особой точки.
Гетероклинической траекторией называется траектория,
принадлежащая пересечению устойчивого инвариантного многообразия
одной особой точки с неустойчивым инвариантным многообразием
другой особой точки и стремящаяся при t —♦ +оо к первой особой точке,
а при t —► — оо ко второй особой точке.
Сепаратрисным контуром называется замкнутая (в фазовом
пространстве) кривая (цикл), состоящая из нескольких сепаратрис,
соединяющих особые точки.
В двумерных системах с невырожденными особыми точками
возможны только гомоклинические траектории седел и произвольные ге-
тероклинические траектории и сепаратрисные контуры, соединяющие
седла, узлы и фокусы (рис. 1.6).
а) ^ б) ^
Рис. 1.6: Гомоклинический (а) и гетероклинический (б) контуры
Рассмотрим пример системы па плоскости, имеющей при
различных значениях параметра как гомоклинические, так и гетероклиниче-
ские траектории
х = у, у = 7 — sinх.
Последняя система при 7 = 0 имеет сёдла в точках (±7г,0) и центр
в точке (0,0). Две гетероклииические траектории, соединяющие
седла, находятся прямым интегрированием системы методом разделе-
х
ния переменных. Они удовлетворяют уравнению у2 = 4 cos2 -. При
О < 7 < 1 система имеет центр в точке (#i,0) и седло в точке (#2,0),
где х\ = arcsin7, #2 = тг — х\. Интегрируя систему, найдем, что петля

1.3. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЦИКЛЫ И ИНВАРИАНТНЫЕ ТОРЫ 29
сепаратрисы седла удовлетворяет уравнению
у = 27^ 4- 4 cos" — — С, где С = 27^2 + 4 cos —.
В трехмерных системах с невырожденными особыми точками
возможны петли сепаратрис как седло-узлов, так и седло-фокусов, а
также различные гетероклинические траектории и состоящие из них
замкнутые сепаратрисиые контуры. Примеры таких контуров
приведены в п. 1.6.2. В двумерных неавтономных системах существуют гомо-
клинические петли сепаратрис роторов.
1.3. Периодические и непериодические решения,
предельные циклы и инвариантные торы
1.3.1. Периодические решения
Решение x(t) автономной системы дифференциальных уравнений
(1.1) называется периодическим решением, если существует
постоянная Т, такая что x(t + Т) = x(t) для всех t. Минимальное такое
значение Т называется периодом решения x(t), а само решение x(t) - Т-
периодическим.
Фазовая кривая (траектория) периодического решения системы (1.1)
является замкнутой и называется циклом. Обратно, любой цикл
(замкнутая фазовая кривая) системы (1.1) определяет периодическое
решение системы с некоторым периодом.
Теория циклов, развитая, в основном, в трудах А. Пуанкаре,
дает возможность математически описать эволюцию огромного класса
природных явлений и социально-экономических процессов,
заключающуюся в установлении со временем периодических режимов их
функционирования или поведения.
1.3.2. Предельные циклы
Замкнутые траектории систем дифференциальных уравнений
могут быть изолированными и неизолированными.
Определение. Предельным циклом автономной системы
обыкновенных дифференциальных уравнений (1.1) называется ее
изолированная замкнутая траектория.
Неизолированные замкнутые траектории, существующие,
например, в окрестности особой точки типа центр, не представляют
интереса для теории двумерных диссипативпых систем дифференциальных
уравнений, так как они не являются предельными траекториями в том
смысле, что для каждой такой траектории не существует ее
окрестности, из которой все другие траектории стремятся к ней либо при

30 ГЛАВА 1. СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
t —► +00, либо при t —► — 00. Однако, неизолированные замкнутые
траектории, играют существенную роль в теории диссипативных систем
дифференциальных уравнений большей, чем два, размерности, когда
аттракторами таких систем являются двумерные или многомерные
торы, а также в теории консервативных и, в частности, гамильтоновых
систем.
Определение. Предельный цикл называется орбиталъно
асимптотически устойчивым (или просто устойчивым), если для сколь
угодно малой его окрестности £/, все траектории, начинающиеся в
достаточно малой его окрестности, не выходят со временем из U и
неограниченно приближаются к циклу при t —> +00.
Исследование предельного цикла на устойчивость может быть
проведено с использованием теории Флоке. Пусть xo(t) - Т-периодическое
решение системы (1.1), представленное в фазовой плоскости своим
предельным циклом. Линеаризуя систему (1.1) на ее периодическом
решении аналогично тому, как это сделано в п. 1.2.1, получим
линейную неавтономную систему обыкновенных дифференциальных
уравнений
8F
y = A(t)y, где A(t) = —(*0(0) (1-5)
с Т-периодичсской матрицей A(t) и y(t) = x(t) - xo(t).
Теорема 1.9 (теорема Флоке [41,116]). Каждое фундаментальное
матричное решение линейной системы (1.5) с периодическими
вещественными коэффициентами представимо в виде Y(t) = P(t) exp(Bt),
где P{t) - некоторая Т-периодическая комплексная матрица, а В -
некоторая постоянная комплексная матрица, причем существует
обратимая действительная матрица С такая, что С = ехр(ВТ).
Матрица С, называемая матрицей монодромии, единственным
образом определяется периодической матрицей A(t). Ее собственные
значения Xi называются мультипликаторами линейной системы (1.5)
или мультипликаторами цикла, по которому система (1.5)
построена. Собственные значения а* матрицы В называются показателями
Флоке. Их вещественные части также определяются однозначно, а
мнимые части определяются с точностью до слагаемого 2тгк/Т.
Очевидно, что Xi = ехр(агГ), а С = У(Т), если У(0) - единичная матрица.
Действительная неособая матрица С не обязана иметь
действительный логарифм, т.е. не всегда существует действительная
матрица В. такая что С = ехр(БТ). Примером является матрица С,
имеющая простой отрицательный мультипликатор. Однако матрица С2
уже всегда имеет действительный логарифм. Поэтому каждое
действительное фундаментальное матричное решение линейной системы
(1.5) с Т-периодическими коэффициентами представимо в виде Y(t) =
P(t)exp(Bt)> где P(t) - некоторая действительная 2Г-периодическая
матрица, аБ- некоторая постоянная действительная матрица такая,
что С2 = ехр(2£Т) = ехр(2БГ).

1.3. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЦИКЛЫ И ИНВАРИАНТНЫЕ ТОРЫ 31
По значениям мультипликаторов цикла или показателей Флоке
линейной неавтономной системы (1.5) первого приближения можно
сделать вывод об устойчивости периодического решения xo(t)
нелинейной автономной системы (1.1).
Теорема 1.10 ([41]). Один простой мультипликатор цикла
всегда имеет значение +1, соответствующий показатель Флоке равен
нулю. Если один показатель Флоке равен нулю, а все остальные п — 1
показателей имеют отрицательные вещественные части (или все
мультипликаторы цикла, кроме единичного, имеют модули,
меньшие 1, то есть лежат внутри единичного круга плоскости
комплексного переменного), то периодическое решение xo(t) системы (1.1)
устойчиво (асимптотически орбитально устойчиво). Если же
хотя бы один показатель Флоке имеет положительную вещественную
часть (или мультипликатор цикла лежит вне единичного круга),
то периодическое решение xo(t) системы (1.1) неустойчиво.
Можно показать [41], что в условиях сформулированной теоремы
периодическое решение Xo(t) не только устойчиво, но каждое
решение x(t), лежащее вблизи его траектории, обладает асимптотической
фазой, т.е. существует постоянная с такая, что
Km \\x(t) - x0(t + с)\\ =0.
i—♦oo
Нетрудно видеть, что производная y(t) = io(t) исходного
периодического решения нелинейной автономной системы (1.1) является
одним из решений линейной неавтономной системы (1.5), так как
У = ^ = ^(*о(*))*о(0 = A(t)y(t).
Поэтому единичный мультипликатор цикла соответствует
собственному вектору матрицы монодромии, касающемуся цикла. Он связан с
движением вдоль цикла и не влияет на его устойчивость. Устойчивый
и неустойчивый предельные циклы изображены на рис. 1.7 (а,б).
Периодическое решение не может быть асимптотически
устойчивым, так как решения с начальными условиями в разных точках
цикла не сближаются при t —* +оо.
Определение. Предельный цикл называется гиперболическим,
если он не имеет мультипликаторов, лежащих на единичной
окружности, кроме одного, равного +1 (имеется ровно один показатель Флоке
с нулевой вещественной частью, равный нулю).
Определение. Предельный цикл называется невырожденным,
если он не имеет мультипликаторов, равных +1, кроме одного (имеется
ровно один простой нулевой показатель Флоке, но могут быть
ненулевые показатели Флоке с нулевыми вещественными частями).

32 ГЛАВА 1. СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Рис. 1.7: Устойчивый (а), неустойчивый (б) и седловой (в) предельные
циклы
Определение. Предельный цикл, имеющий мультипликаторы
внутри и на границе единичного круга, называется полуустойчивым.
Полуустойчивый предельный цикл в трехмерном случае имеет
мультипликаторы, равные {|Ai| < 1, -|-1, (As| = 1}-
Определение. Гиперболический предельный цикл, для которого
показатели Флоке имеют как отрицательные, так и положительные
вещественные части (или мультипликаторы лежат как внутри, так и
вне единичной окружности) называется седловым. Понятие седлового
цикла определено для размерности фазового пространства т > 2. При
т = 3 седловой предельный цикл имеет мультипликаторы, равные
{|Ai|<l, +1, |А2|>1}.
Для седлового предельного цикла автономной системы
обыкновенных дифференциальных уравнений одни фазовые кривые,
находящиеся вблизи седловой траектории, стремятся к ней (наматываются на
нее) при t —► +оо, образуя ее устойчивое инвариантное многообразие
Ws, а другие - сматываются с нее, образуя ее неустойчивое
инвариантное многообразие Wu (рис. 1.7в).
Приведенное выше определение гиперболического предельного
цикла соответствует определению, данному в работе [36], и естественным
образом обобщает понятие гиперболической особой точки. Из этого
определения в частности следует, что устойчивый цикл также
является гиперболическим. Заметим, однако, что в литературе, посвященной
теории гиперболических динамических систем, часто
гиперболическими циклами называются именно седловые в нашем определении
предельные циклы,
1.3.3. Отображение Пуанкаре
Кроме вычисления показателей Флоке существует и другой метод
изучения качественного поведения решений автономных систем
обыкновенных дифференциальных уравнений в окрестности предельного
цикла - построение отображения Пуанкаре и исследование свойств

1.3. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЦИКЛЫ И ИНВАРИАНТНЫЕ ТОРЫ 33
Рис. 1.8: Неподвижная точка (а), цикл (б) и седловая точка (в)
отображения Пуанкаре с соответствующим ей седловым предельным циклом
этого отображения в окрестности его неподвижной точки. Основной
смысл использования отображения Пуанкаре для анализа динамики
систем дифференциальных уравнений состоит в том, что при
переходе к отображению размерность изучаемой системы уменьшается на
единицу.
Пусть 7 ~ предельный цикл, соответствующий Т-периодическому
решению Xo(t) автономной системы (1.1). Проведем через некоторую
точку х* замкнутой кривой -у (га — 1)-мерную секущую
гиперповерхность S трансверсально 7, т.е. так, чтобы касательный к кривой 7 B
точке х* вектор не лежал в S. Так как кривая 7 является фазовой
кривой Т-периодического решения, то траектория, стартующая в точке х*.
за время Т вернется в эту же точку. Любая другая траектория,
стартующая из некоторой точки ж, лежащей в окрестности U С S точки ж*,
вернется и пересечет S в том же направлении в точке Р(х), лежащей
в окрестности V С S точки х* (рис. 1.8а). Локальный диффеоморфизм
Р : U —► V, т.е. взаимно однозначное отображение, дифференцируемое
вместе с обратным, называется отображением Пуанкаре или
отображением первого возвращения.
Так как Р(х*) = х*, то точка х* является неподвижной точкой
отображения Пуанкаре. Циклу отображения Пуанкаре порядка п (или п-
кратному циклу) соответствует последовательность точек х\, хч, ■ •-, #п,
удовлетворяющих условиям (рис. 1.86)
х2 = P(xi), хз = Р{хг), ..., xi --= Р(хп).
Определение. Неподвижная точка х* отображения Р(х)
устойчива, если существует ее окрестность U такая, что все итерации
отображения Р, начинающиеся в этой окрестности, сходятся к неподвижной
точке, т.е. если хо Е U и Xk+i = P{xk), k = 0,1,..., то Xk —> х* при
к —> ос.
Так как отображение Пуанкаре дифференцируемо, то его можно
линеаризовать в его неподвижной точке
ЭР
Р(х) - х* = А(х - хт) + о(||я; - х*||), где А = DxP(x*) = -57(3?*).

34 ГЛАВА 1. СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Линейный оператор А имеет ранг, равный т — 1. При выборе
соответствующей гиперповерхности 5, перпендикулярной вектору,
касательному к циклу 7 B точке х*, и системы координат, один из ортов
которой совпадает с касательным к циклу вектором, матрица
оператора А будет иметь размерность (т — 1) х (т — 1).
Как и в случае систем дифференциальных уравнений отображение
Р{х) может быть консервативным, т.е. сохранять фазовый объем, и
диссипативным - сжимать фазовый объем.
Определение. Отображение Р{х) называется консервативным в
области В С М , если | det DxP(x)\ = 1 для всех х 6 В. Если же
для всех х € В имеет место | det ДсР(:г)| < 1 то отображение Р{х)
называется диссипативным в области В С М.
Устойчивость неподвижной точки отображения Р(х) определяется
собственными значениями матрицы А.
Теорема 1.11 ([124]). Если все т — 1 собственных значений а^
матрицы А лежат внутри единичного круга плоскости комплексного
переменного, т.е. |а^| < 1, то неподвижная точка х* отображения
Р(х) устойчива; если же среди собственных значений аь имеется
хотя бы одно оц с \аЛ > 1, то неподвижная точка отображения
Р{х) неустойчива.
Естественно все приведенные выше определения и теоремы
переносятся без изменений па любые дифференцируемые многомерные
отображения Р(х) : Rm —► Яш. Устойчивой (неустойчивой) неподвижной
точке отображения Пуанкаре соответствует устойчивый
(неустойчивый) цикл соответствующей системы дифференциальных уравнений,
а седловой точке, имеющей собственные значения оператора линейной
части, лежащие как внутри, так и вне единичного круга плоскости
комплексного переменного, соответствует седловой предельный цикл
(рис. 1.8в).
К сожалению, при изучении конкретных систем
дифференциальных уравнений построение отображения Пуанкаре и его производной
возможно только численно. С другой стороны, результаты,
полученные для абстрактных (т — 1)-мериых отображений, совсем
необязательно должны переноситься на m-мерные системы обыкновенных
дифференциальных уравнений. Другими словами, к настоящему времени
не решена даже проблема возможности восстановления системы
дифференциальных уравнений по ее отображению Пуанкаре, и очень
сомнительно, чтобы сделать это оказалось проще, чем провести полное
качественное исследование самой системы дифференциальных
уравнений. Кроме того, как будет показано ниже, существует универсальный
сценарий перехода к хаосу в любых нелинейных системах
дифференциальных уравнений, и этот сценарий аналогичен сценарию перехода
к хаосу в результате бифуркаций в непрерывных одномерных
унимодальных отображениях. Поэтому более интересным и важным
является анализ именно одномерных непрерывных отображений и их связи
с нелинейными системами дифференциальных уравнений. Эта связь

1.3. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЦИКЛЫ И ИНВАРИАНТНЫЕ ТОРЫ 35
реализуется не через отображение Пуанкаре, а через переход к
некоторому (т — 1)-мерному (двумерному в трехмерном случае)
подпространству, вращающемуся трансверсально циклу, и в котором циклу
соответствует особая точка тина ротор в некотором его двумерном
подпространстве.
Вместе с тем. сечение Пуанкаре и другие сечения фазового
пространства, проведенные трансверсально траекториям
рассматриваемой системы дифференциальных уравнений, являются незаменимым
инструментом визуализации и анализа как многомерных диссипатив-
иых и консервативных систем обыкновенных дифференциальных
уравнений, так и бесконечномерных систем дифференциальных уравнений
с частными производными.
1.3.4. Инвариантные торы
В системах дифференциальных уравнений Т-периодическое
движение по циклу является одним из наиболее простых движений и
характеризуется наличием одной частоты и> = 2тг/Т. Значительно более
сложным является многочастотный режим движения,
характеризующийся наличием нескольких независимых частот lji, ...,u;n. Движение
в таком режиме можно представить как движение по поверхности го-
мерного инвариантного тора, задаваемого углами Qti(t) = а^ +и$} i =
1, п (рис. 1.9а). Размерность m фазового пространства при этом
должна быть не меньше, чем п + 1.
Рис. 1.9: Двумерный инвариантный тор (а) и квазипериодический режим
движения на нем (б)
Поведение траекторий системы на поверхности тора существенно
зависит от соотношения между частотами Ui, i = l,...,n. В случае,
например, п = 2 движение по двумерному тору будет
периодическим тогда и только тогда, когда отношение частот рационально, т.е.
wi/^2 - k/m, где k,m G N. При этом Т = -к{к/и\ + га/а^) и,
следовательно, &i(T) = аю+LUiT = aio+27rfc, ааг(Т) — Q20+^2^ = a2o+27rm,
т.е. углы ai и а.?, задают одну и ту же точку на поверхности тора и
поэтому за время Т траектория возвращается в исходную точку.

36 ГЛАВА 1. СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
В случае когда частоты и)\ и U2 несоизмеримы, т.е. их отношение
иррационально, фазовая траектория никогда не замкнется и с
течением времени будет проходить сколь угодно близко к любой заданной
точке на поверхности тора. В этом случае фазовая кривая образует
всюду плотную обмотку тора, а такое движение называется квазипе-
риодическим.
Периодическое и квазипериодическое движение по тору удобно
наглядно представлять отображением Пуанкаре на секущей
гиперповерхности 5. проведенной трансверсально к поверхности тора. При
этом периодическое движение будет представлено в S конечным
числом точек, последовательно переходящих друг в друга под
воздействием отображения Пуанкаре, а квазипериодическое - бесконечным
множеством точек, плотно заполняющих некоторую замкнутую кривую
(рис. 1.96).
Периодические и квазипериодические движения по многомерным
инвариантным торам возникают естественным образом в
консервативных и, в частности, гамильтоиовых системах. При этом необходимо
различать резонансные и нерезонансные торы.
Определение. Инвариантный тор размерности п > 2 называется
резонансным, если существуют некоторые не все равные нулю целые
числа ki, такие что
п
53 kit* = 0.
В случае полностью интегрируемой гамильтоновой системы все
фазовое пространство можно представить в виде совокупности
вложенных друг в друга резонансных и иерезонансных торов, так что
каждый тор пс является ни изолированным, ни предельным. В случае же
не полностью интегрируемой гамильтоновой системы движение
происходит по сложным многомерным торам различного периода и по
сингулярным тороидальным аттракторам, являясь отличным как от
периодического, так и от квазипериодического. В любом случае торы
в консервативных и гамильтоиовых системах не являются
предельными множествами и не могут быть устойчивыми.
Напротив, в диссипативных системах, именно устойчивые торы во
многих случаях играют существенную роль, причем в системах
размерности больше трех присутствуют, как будет показано ниже на
многочисленных примерах, двумерные и многомерные торы
произвольного периода по одной из частот или по всем частотам одновременно.
Например, сечение двумерного тора периода два по внешней частоте
двумерной плоскостью будет иметь вид цикла удвоенного периода (см.
рис.2.336 главы 2).
Определение. Инвариантный тор называется устойчивым, если
для сколь угодно малой его окрестности С/, все траектории,
начинающиеся в достаточно малой его окрестности, не выходят со временем из
U и неограниченно приближаются к тору при t —♦ +оо.

1.3. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЦИКЛЫ И ИНВАРИАНТНЫЕ ТОРЫ 37
Аналитические методы анализа устойчивости инвариантных торов
диссипативных систем нелинейных дифференциальных уравнений в
настоящее время практически не разработаны. Однако, существует
достаточно хорошо зарекомендовавший себя метод численного
анализа как диссипативных. так и консервативных систем на предмет
присутствия в них торов произвольной размерности. Метод состоит в
проведении секущей гиперповерхности S трансверсально
траекториям системы и в анализе проекции этого сечения на одно из двумерных
подпространств. Наличие в проекции устойчивой замкнутой кривой
некоторого периода свидетельствует о существовании в исходной
системе двумерного тора этого же периода по соответствующей
(внешней или внутренней) частоте. При наличии в проекции нерегулярного
аттрактора ( некоторой полностью заштрихованной области) можно
взять второе сечение первой секущей гиперповерхности и рассмотреть
его проекцию на одно из двумерных подпространств. Наличие в
новой проекции устойчивой замкнутой кривой некоторого периода будет
свидетельствовать о существовании в исходной системе трехмерного
тора этого же периода по соответствующей частоте.
1.3.5. Непериодические решения. Показатели Ляпунова
Понятия устойчивости, сформулированные выше для
стационарных и периодических решений, естественным образом переносятся на
произвольные решения автономной системы обыкновенных
дифференциальных уравнений (1.1).
Определение. Решение xo(t) автономной системы обыкновенных
дифференциальных уравнений (1.1) называется устойчивым по
Ляпунову, если все решения этой системы с начальными условиями из
достаточно малой окрестности начального условия указанного
решения определены на всей положительной полуоси времени и равномерно
по времени сходятся к исследуемому решению при стремлении
начального условия к начальному условию указанного решения.
Другими словами, решение xo(t) системы (1.1) устойчиво по
Ляпунову, если для любого е > О существует S > О, такое что для всех
решений x(t) системы (1.1) из условия ||ж(0) — жо(0)|| < ^ следует
\\x(t) - Xo(t)\\ < б для всех t > 0.
Определение. Решение xo(t) автономной системы
дифференциальных уравнений (1.1) называется асимптотически устойчивым^
если оно устойчиво по Ляпунову и, кроме того, все решения x(t)
системы (1.1) с достаточно близкими к исследуемому решению
начальными условиями \\х(0) — #о(0)|] < $ стремятся к нему при t —► oot т.е.
\\x(t) — xo(t)\\ —► 0 при t —* со.
Если в условиях асимптотической устойчивости стремление
решений системы уравнений (1.1) к исследуемому решению xo(t)
экспоненциально, т.е. \\x(t) — X()(t)\\ < сехр(— *yt) с некоторыми
положительными постоянными с и 7, то решение xo(t) системы (1.1) называется

38 ГЛАВА 1. СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
экспоненциально асимптотически устойчивым.
Некоторые виды асимптотической, но не экспоненциально
асимптотической устойчивости (степенной и дробно-экспоненциальной
устойчивости) исследованы автором в [72].
Для исследования устойчивости решения xo(t) системы (1.1)
линеаризуем ее на этом решении аналогично тому, как это сделано в п. 1.2.1
и п. 1.3.2, и получим линейную неавтономную систему обыкновенных
дифференциальных уравнений
OF
у = A(t)y, где A(t) = -^Ы*)), (1.6)
a y(t) = x(t) — xo(t). В данном случае линейный оператор A[t) может
иметь матрицу с произвольными 01раничепными на полуоси 0 < t < оо
элементами.
Рассмотрим решение y(i) линейной системы (1.6) и определим для
него показатель Ляпунова Х(у) по формуле
t—*oo t
Определение. Показателями Ляпунова или
характеристическими показателями решения xo(t) нелинейной системы (1.1)
называются показатели линей во независимых решений линейной системы (1.6),
линеаризованной на решении xo{t).
В частном случае, когда Xo(i) = хо - стационарное решение,
оператор линейной части имеет постоянную матрицу A(t) = А. При этом
фундаментальная матрица решений линейной системы (1.6) имеет вид
Y(t) = exp(At). Без ограничения общности будем считать, что
матрица А имеет жордаиову форму. Следовательно, каждой ее жордановой
клетке порядка к с собственным значением Л соответствует цепочка
из к решений линейной системы вида
!/<(*) = ^ (&_, + tfc_2 + . . . + J—fr), i = 1, . . . , fc,
где £o _ собственный, a £j - присоединенные векторы собственного
значения Л. Для каждого из решений цепочки его показатель Ляпунова
\(Уг), очевидно, равен ReA. Таким образом, линейная система (1.6)
с постоянной матрицей А имеет т показателей Ляпунова с учетом
их кратностей, совпадающих с вещественными частями собственных
значений матрицы Л. Кратность каждого показателя определяется
порядком соответствующей ему жордановой клетки. В силу теоремы
Ляпунова об устойчивости па первому приближению стационарное
решение (особая точка) системы (1.1) асимптотически устойчиво, если все
показатели Ляпунова линейной системы первого приближения
отрицательны.

1.3. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЦИКЛЫ И ИНВАРИАНТНЫЕ ТОРЫ 39
В другом важном частном случае, когда xo(t) является
периодическим решением автономной системы (1.1), показатели Ляпунова
совпадают с вещественными частями показателей Флокс, что следует
из представления фундаментальной матрицы решений в виде Y(t) =
P(t)exp(Bt) с периодической и, следовательно, ограниченной
матрицей P(t). Система также имеет га показателей с учетом их кратиостей,
которые определяются порядками жордановых клеток матрицы В.
В общем случае линейная неавтономная система (1.6) и,
соответственно, решение xo(t) нелинейной системы (1.1) имеет т показателей
Ат < Aw-j < ... < А2 < Ai,
среди которых могут быть и кратные. Показатели в этом случае уже не
являются вещественными частями собственных значений какой-либо
постоянной матрицы, в том числе и матрицы А(оо), если даже
соответствующий предел существует. Показатель Ai называется старшим
характеристическим показателем системы (1.6) и обозначается через
Л. Нетрудно показать, что
1п|М0И
Л = sup lim
Определение. Линейная неавтономная система (1.6) с
вещественными коэффициентами называется правильной, если сумма се
показателей Ляпунова совпадает со средним значением следа матрицы A(t),
который в свою очередь совпадает с дивергенцией векторного поля,
т.е.
У^А^ = lim - / trA(s)ds = lim - / ^awt($)*fo = trA(t) =
t
= lim - / divF(xo(s))ds.
t-^00 t J
0
Для правильных систем имеет место обобщенная теорема Ляпунова
об устойчивости по первому приближению.
Теорема 1.12 ([15]). Пусть решение xo{t) системы
обыкновенных дифференциальных уравнений (1.2) таково, что разность y(t) =
x(t) — xo(t) удовлетворяет уравнению
y = A(t)y + f{y,t)4
\\f(y,t)\\ < K\\y\\q,
пейная система первого приблисисения у = A(t)y правильная и имеет
8F
где A(t) = ^{x0(t)ft), \\f{yj)\\ < К\\у\\*, q > 1. Тогда, если ли

40 ГЛАВА 1. СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
отрицательный старший характеристический показатель А. то
решение xo{t) системы (1.2) асимптотически устойчиво. Если
показатель Л > 0, то решение xo{t) системы (1.2) неустойчиво.
Существуют многочисленные обобщения сформулированной
теоремы, связанные, в основном, с обобщением понятия старшего
характеристического показателя Л. Так в [15] рассмотрено понятие верхнего
центрального показателя, в [25] - понятие генерального показателя. В
[72] автором введено понятие характеристической функции A(t)
линейной системы (1.6), обобщающее как понятие старшего
характеристического показателя, так и понятие верхнего центрального
показателя. Отрицательность характеристической функции обеспечивает
асимптотическую устойчивость решения xo(t) системы (1.2) без
требования правильности линейной системы первого приближения и без
требования отрицательности старшего характеристического
показателя (он может равняться нулю).
Однако, теория асимптотической устойчивости решений системы
(1.1), основанная на отрицательности старшего характеристического
показателя линейной системы первого приближения (1.6), совершенно
не годится для описания процессов, происходящих в нелинейных
системах дифференциальных уравнений с хаотической динамикой. Это
было ясно еще из теории показателей Ляпунова, в которой были
построены примеры систем, имеющих наиболее сложные как
устойчивые, так и неустойчивые решения в случае равенства нулю старшего
характеристического показателя [15,72]. Но наиболее очевидно этот
факт вытекает из следующей теоремы.
Теорема 1.13 ([116]). Если траектория автономной системы
обыкновенных дифференциальных уравнений (1.1) остается в ограничен-
ной области и не стремится к особой точке при t —► со, то по
крайней мере один показатель Ляпунова линеаризованной на этом
решении системы равен нулю.
Из формулировки этой теоремы и из ее доказательства следует, что
любой отличный от особой точки регулярный аттрактор (цикл, тор)
нелинейной системы, также как и любой ее нерегулярный аттрактор
состоят из траекторий, каждая из которых имеет нулевой показатель
Ляпунова, соответствующий направлению, касательному к
траектории. Поэтому старший характеристический показатель при движении
по любой такой траектории необходимо должен быть
неотрицательным.
Определение. Траектория ограниченного решения автономной
системы (1.1) называется орбитально асимптотически устойчивой
(или просто устойчивой), если решение имеет один нулевой и все
остальные отрицательные показатели Ляпунова.
Таким образом, если один из показателей Ляпунова системы,
линеаризованной на периодическом решении, равен нулю, а все
остальные показатели отрицательны, то предельный цикл устойчив. Нулевой

1.3. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЦИКЛЫ И ИНВАРИАНТНЫЕ ТОРЫ 41
Рис. 1.10: В случае предельного цикла (а) и инвариантного тора (б) равны
нулю показатели Ляпунова, отвечающие соответственно направлениям е-2. и
показатель соответствует направлению, касательному к циклу (рис.
1.10а).
Определение. Траектория ограниченного решения автономной
системы (1.1) называется гиперболической, если линеаризованная на
этом решении система (1.6) имеет ровно один простой нулевой
показатель Ляпунова.
Последнее определение, очевидно, обобщает введенные ранее
понятия гиперболической особой точки и гиперболического предельного
цикла.
Определение. Гиперболическая траектория решения автономной
системы (1.1), имеющего как положительные, так и отрицательные
показатели Ляпунова, называется седловой.
Для седловой траектории автономной системы обыкновенных
дифференциальных уравнений также как и для седлового предельного
цикла можно определить ее устойчивое инвариантное многообразие
Ws и ее неустойчивое инвариантное многообразие Wu .
По аналогии с периодическими решениями естественно было бы
назвать траекторию произвольного ограниченного решения автономной
системы (1.1) полуустойчивой, если решение имеет кратный нулевой
старший характеристический показатель. Цикл с такими
показателями в трехмерном случае является траекторией периодического
движения на торе, т.е. принадлежит регулярному аттрактору (см. п. 1.4.2).
Такое движение неустойчиво в смысле орбитальной асимптотической
устойчивости, но устойчиво по Ляпунову. Произвольное же
непериодическое ограниченное решение с такими показателями может быть
неустойчивым также и по Ляпунову, но устойчивым по отношению к
некоторому семейству решений. Поэтому дадим два следующих
определения для различных видов ограниченных траекторий с кратными
нулевыми старшими характеристическими показателями.
Определение. Траектория ограниченного решения автономной
системы (1.1) называется полуустойчивой, если она имеет кратный

42 ГЛАВА 1. СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
пулевой старший характеристический показатель и является
устойчивой но Ляпунову.
Определение. Траектория ограниченного решения автономной
системы (1.1) называется почти устойчивой, если она имеет
кратный нулевой старший характеристический показатель и существует ее
окрестность такая, что почти все траектории системы, начинающиеся
в этой окрестности, стремятся к ней при t —► оо.
Кроме полуустойчивых непериодических траекторий в нелинейных
автономных системах дифференциальных уравнений (1.1) могут
существовать неустойчивые непериодические траектории со старшим
нулевым характеристическим показателем, т.е. неустойчивые, но не
гиперболические и не седловые траектории. Ясно, что любая такая
траектория также должна иметь кратный старший нулевой
характеристический показатель. В противном случае она бы была асимптотически
орбиталыю устойчивой.
Если траектория периодического или квазииериодического
решения xo(t) системы (1.1) лежит на инвариантном га-мерном торе, то
такое решение не может быть асимптотически устойчивым, так как
решения с начальными условиями в разных точках тора не
сближаются при t —* +оо. При этом га показателей линеаризованной на
таком решении системы, соответствующие направлениям в касательной
к поверхности тора гиперплоскости, будут равняться нулю (рис. 1.106).
Сам тор будет устойчивым, если все остальные показатели Ляпунова
отрицательны. Так как любая периодическая или квазипериодическая
траектория на поверхности устойчивого тора устойчива по Ляпунову,
то, имея кратный нулевой старший характеристический показатель,
она является полуустойчивой траекторией.
Любое ограниченное непериодическое решение автономной
системы (1.1) также не может быть асимптотически устойчивым, так как
один из его показателей, отвечающий за касательное к траектории
направление, обязан равняться нулю. Вместе с тем, если траектория
ограниченного непериодического решения не лежит на поверхности
инвариантного тора, т.е. решение не является также и
квазипериодическим, то ничто не запрещает реализоваться случаю, когда решение
имеет кратный нулевой старший характеристический показатель и
является почти устойчивым, но неустойчивым по Ляпунову и,
следовательно, не является полуустойчивым.
Ниже в главе 2 будет показано, что любой простой сингулярный
аттрактор трехмерной нелинейной диссипативиой системы
обыкновенных дифференциальных уравнений является почти устойчивой
непериодической траекторией, не лежащей на двумерном инвариантном
торе, но имеющей один отрицательный и два нулевых показателя
Ляпунова. В этом случае почти устойчивая непериодическая траектория
является почти асимптотически орбитально устойчивой траекторией,
т.е. множество траекторий системы, не стремящихся к данной
траектории, имеет нулевую меру. Вместе с тем, будет также показано, что

1.4. АТТРАКТОРЫ АВТОНОМНЫХ ДИССИПАТИВНЫХ СИСТЕМ 43
любой сложный сингулярный аттрактор содержит бесконечное число
неустойчивых непериодических траекторий с нулевым старшим
характеристическим показателем.
В заключение отметим одно важное свойство диссипативных
систем автономных дифференциальных уравнений, вытекающее из
условия правильности системы (1.6), линеаризованной на решении,
лежащем в области диссипативиости. Так как вдоль такого решения
дивергенция векторного поля отрицательна, то сумма показателей Ляпунова
линеаризованной на этом решении системы (1.6) также отрицательна.
т.е.
m
$>*<о.
1.4. Аттракторы автономных диссипативных систем
дифференциальных уравнений
1.4.1. Основные определения
Как уже отмечалось выше, основным отличительным свойством
диссипативной автономной системы обыкновенных
дифференциальных уравнений является сокращение со временем ее фазового объема.
В итоге при /J —» оо все решения такой системы или часть решений
неограниченно приближаются к некоторому компактному
(замкнутому и ограниченному) подмножеству В фазового пространства М,
называемому аттрактором. Тем самым аттрактор содержит «множество
установившихся режимов» системы.
Определение. Компактное инвариантное относительно потока \р1
множество В С М называется притягивающим множеством, если
для него-существует окрестность £/ (открытое множество, содержащее
замыкание Б), такая что для почти всех х 6 С/, ц>ь{х) —* В при t —► оо
(т.е. dist((/?*(x), В) = inf ||<р*(ж) — у|1 —> 0 при t —> оо).
Наибольшее множество U, удовлетворяющее этому определению,
называется областью притяжения В.
В традиционном определении притягивающего множества [76]
слова «для всех» заменены на слова «для почти всех». В противном
случае даже простейший аттрактор Фейгенбаума (см. главу 2) не
удовлетворял бы определению притягивающего множества.
Не все притягивающие множества являются аттракторами, а
только те из них, которые обладают свойством неразложимости на два
отдельных компактных инвариантных подмножества. Приведем
наиболее популярное на сегодняшний день определение аттрактора.
Определение. Аттрактором называется неразложимое
притягивающее множество.

44 ГЛАВА 1. СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Однако, такое определение аттрактора обладает многими
существенными недостатками. Оно ничего не говорит о структуре
аттрактора, не указывает признаков, по которым можно классифицировать
различные аттракторы и определить вид и свойства конкретного
аттрактора в анализируемой диссипативной системе нелинейных
дифференциальных уравнений.
В современной литературе можно найти более двадцати
определений аттракторов, отражающих их различные свойства (странный,
хаотический, стохастический, квазиаттрактор, аттрактор типа Лоренца
и др.) Это связано в первую очередь с тем, что до сих пор нет единой
точки зрения на то, что из себя представляют и как устроены
сложные (нерегулярные) аттракторы. Точка зрения автора данной книги
по этой проблеме, подтвержденная примерами всех без исключений
рассмотренных в настоящей книге нелинейных диссипативных систем
обыкновенных дифференциальных уравнений, уравнений с частными
производными и с запаздывающим аргументом, состоит в следующем.
Все происходящее в нелинейных системах дифференциальных
уравнений должно описываться бифуркациями траекторий в фазовом
пространстве системы. Поэтому, все аттракторы нелинейных
диссипативных систем можно разбить на два класса: простые (регулярные) и
сложные (нерегулярные) аттракторы. К регулярным аттракторам
относятся гладкие подмногообразия фазового пространства. Это -
особые точки, предельные циклы и инвариантные торы произвольной
размерности и произвольного конечного периода. Заметим, что каждый
более сложный регулярный аттрактор рождается в результате
бифуркации (Андронова—Хопфа или удвоения периода) из более простого
регулярного аттрактора. Все нерегулярные аттракторы являются
сингулярными, то есть это особые компактные подмногообразия фазового
пространства, являющиеся пределами каскадов бифуркаций удвоения
периода или гомоклинических (гетероклииических) каскадов
бифуркаций различных регулярных аттракторов. Никаких других
аттракторов в нелинейных диссипативных системах дифференциальных
уравнений не существует.
Простейшим сингулярным аттрактором нелинейной системы
дифференциальных уравнений является аттрактор Фейгенбаума
трехмерной автономной системы, то есть первая непериодическая почти
устойчивая траектория системы, являющаяся пределом каскада
бифуркаций удвоения периодов устойчивых циклов.
Как следует из теоремы Пуанкаре-Бендиксона ([41]), в двумерном
случае (на плоскости) автономная система нелинейных
дифференциальных уравнений может иметь только простейшие регулярные
аттракторы устойчивые особые точки и простые предельные циклы.
Следовательно, сложные регулярные аттракторы (торы и сложные
предельные циклы удвоенного и более периодов) и сингулярные
аттракторы автономная система нелинейных дифференциальных
уравнений может иметь только в случае размерности фазового простран-

1.4. АТТРАКТОРЫ АВТОНОМНЫХ ДИССИПАТИВНЫХ СИСТЕМ 45
ства 7п > 3. Как следует из примеров главы 2, трехмерные автономные
системы уже могут иметь устойчивые предельные циклы любого
периода, циклические сингулярные аттракторы любой сложности и
простые устойчивые двумерные торы. А, как следует из примера главы
4, четырехмерные автономные системы уже могут иметь устойчивые
двумерные торы любого периода, тороидальные сингулярные
двумерные аттракторы любой сложности и простые устойчивые трехмерные
торы и т.д.
Диссипативная система дифференциальных уравнений может иметь
как конечное, так и бесконечное число различных аттракторов. Все
начальные точки в фазовом пространстве, кроме множества меры нуль,
лежат в области притяжения одного из них.
Во многих случаях аттрактор найти не удается, но важно знать,
существует ли он. Для этого используется понятие поглощающего
множества.
Определение. Компактное инвариантное множество G С М
называется поглощающим, если существует его окрестность £/, такая что
все траектории, начинающиеся в [/, за конечное время входят в G и
остаются там навсегда.
Можно показать, что система, обладающая поглощающим
множеством G, имеет также и аттрактор В.
1.4.2. Регулярные аттракторы диссипативных систем
дифференциальных уравнений
В современной литературе нет строгого определения регуляррюсти
аттрактора. Интуитивно это понятие связано с достаточной
простотой поведения решений систем дифференциальных уравнений на
таком аттракторе и с достаточной гладкостью самого аттрактора.
Регулярными аттракторами принято считать устойчивые (асимптотически
устойчивые) особые точки, устойчивые (орбитально асимптотически
устойчивые) предельные циклы и устойчивые инвариантные торы. Все
эти аттракторы являются гладкими подмногообразиями фазового
пространства (например, предельный цикл и двумерный инвариантный
тор - это, соответственно, одномерное и двумерное подмногообразия).
Динамика систем с такими аттракторами не является хаотической, а
со временем выходит на стационарный, периодический или
квазипериодический режимы. Главное - это то, что решения систем с простыми
(регулярными) аттракторами глобально устойчивы по отношению к
малым возмущениям, что означает их глобальную предсказуемость.
Действительно, устойчивость решений системы с асимптотически
устойчивой особой точкой следует из определения асимптотической
устойчивости. Устойчивость решений системы с асимптотически
орбитально устойчивым предельным циклом следует из устойчивости
решений с начальными условиями, принадлежащими циклу.
Устойчивость решений системы с устойчивым инвариантным тором
произвольной размерности и конечного периода следует из устойчивости

46 ГЛАВА 1. СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
периодического или квазипериодического движения на таком торе.
Устойчивость периодического движения на торе очевидна. При
квазипериодическом движении с течением времени фазовая траектория
равномерно и плотно покрывает поверхность тора. Но действие
фазового потока фь на малую область Qo, принадлежащую, например,
поверхности простого двумерного инвариантного тора, сводится просто
к перемещению Q,q по поверхности тора (рис. 1.96). Следовательно, как
и в случае периодического движения, любые две близкие в начальный
момент траектории остаются близкими и во все последующие моменты
времени.
Однако, необходимо заметить, что численно отличить
квазипериодическое движение по многомерному тору малого периода и
квазипериодическое движение по двумерному тору большого периода от
хаотического движения представляется практически невозможным.
Можно показать, что при квазипериодическом движении в системе
дифференциальных уравнений по ее инвариантному тору В С М
относительное время, проведенное фазовой траекторией внутри любой
области П С В , равно относительному объему этой области в Б и не
зависит от выбора начальных условий. Движение, обладающее таким
свойством, называется эргодическим.
Определить тип регулярного аттрактора, к которому принадлежит
исследуемая траектория системы, позволяют в некоторой степени
показатели Ляпунова системы первого приближения, линеаризованной
на этой траектории. Если все показатели отрицательны, то траектория
- аттрактор, являющийся устойчивой особой точкой (узел или фокус).
Если один (старший) показатель равен нулю, а все остальные
показатели отрицательны, то траектория является устойчивым предельным
циклом. Если п показателей Ляпунова равны нулю, а все остальные
т — п показателей отрицательны, то траектория скорее всего лежит на
инвариантном устойчивом n-мериом торе. В последнем случае ничто
также не запрещает траектории принадлежать сингулярному
аттрактору, то есть быть почти устойчивой непериодической траекторией,
лежащей на некотором инвариантном компактном п-мерном
многообразии, отличном от n-мерного тора (см. главу 2).
Кроме того, так как показатели Ляпунова могут быть найдены
только численно, а приближенное вычисление решений системы
дифференциальных уравнений на ее сложном регулярном аттракторе
(устойчивом цикле большого периода, устойчивом торе большой
размерности или большого периода) является сильно некорректной задачей,
то доверять найденным численно показателям Ляпунова можно
далеко не всегда. В частности, из положительности найденного численно
показателя Ляпунова неправомерно делать вывод о наличия в
системе хаотической динамики при данных значениях параметров. На
самом деле в этом случае система имеет, как правило, либо устойчивый
предельный цикл или тор большого периода, либо простой
сингулярный аттрактор. В любом из этих случаев старший характеристиче-

1.4. АТТРАКТОРЫ АВТОНОМНЫХ ДИССИПАТИВНЫХ СИСТЕМ 47
ский показатель теоретически обязан быть равным нулю. Численная
положительность старшего характеристического показателя является
исключительно следствием ошибок в вычислениях из-за прыжков
численной траектории в случайные моменты времени по виткам истинной
сложной траектории, расположенным близко друг к другу в фазовом
пространстве системы. Теоретически старший характеристический
показатель может быть больше нуля только в исключительных случаях
движения точно по седловому циклу системы.
Следствием точно таких же численных ошибок является
утверждение некоторых авторов о существовании в различных нелинейных
системах дифференциальных уравнений сценариев перехода к хаосу
через так называемую перемежаемость. Классический пример -
обнаружение перемежаемости в знаменитой системе уравнений Лоренца при
тех значениях параметров, при которых система на самом деле имеет
устойчивый предельный цикл (подробно см. в [52,59]).
Таким образом, по мнению автора, существует единственный
способ реального обнаружения достаточно простых регулярных
аттракторов в нелинейных системах дифференциальных уравнений - это
анализ устойчивых кривых в проекциях сечений Пуанкаре и других
сечений, трансверсальиых траекториям системы. Современными
методами, основанными на вычислениях показателей Ляпунова и
фрактальной размерности, сложные регулярные аттракторы обнаружить
практически невозможно. Более того, очевидно, что при любой
точности вычислений в системе с сингулярным аттрактором никогда не
удастся обнаружить бесконечное число наиболее сложных регулярных
аттракторов, лежащих в окрестности сингулярного аттрактора.
Отметим также, что в современной литературе принято считать,
следуя работе [96], что устойчивые инвариантные торы размерности
п > 2 как правило разрушаются под воздействием всегда
присутствующих в системе возмущений. Кроме того, считается, что возникновению
режима движения с большим числом несоизмеримых частот
препятствует явление синхронизации колебаний [3]. Синхронизация
заключается в том, что в многомерных системах колебания с
независимыми частотами сложным образом влияют друг на друга, что приводит
к исчезновению квазипериодического и установлению периодического
режима движения с соизмеримыми частотами, т.е. предельному
циклу на торе. Однако, примеры нелинейных систем дифференциальных
уравнений с частными производными, приведенные в главе 4
настоящей книги, показывают, что появление многомерного инвариантного
устойчивого тора в фазовом пространстве диссипативной автономной
нелинейной системы дифференциальных уравнений является
обычным делом. Устойчивые трехмерные инвариантные торы обнаружены
в уравнении Курамото-Цузуки (Гинзбурга-Ландау), в задаче течения
вязкой несжимаемой жидкости с уступа и в конвекции Рэлея-Беиара.
Есть все основания считать, что в этих задачах существуют также
устойчивые торы большей, чем три, размерности.

48 ГЛАВА 1. СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
1.4.3. Сингулярные аттракторы диссипативных систем
дифференциальных уравнений
Как следует из результатов, полученных ниже в главах 2-4
настоящей книги, переход к хаотической динамике во всех без
исключения автономных и неавтономных, диссипативных и консервативных
нелинейных системах обыкновенных дифференциальных уравнений,
уравнений с частными производными и с запаздывающим
аргументом происходит в соответствии с одним универсальным
бифуркационным сценарием, начинающимся каскадом бифуркаций удвоения
периода Фейгенбаума и продолжающимся субгармоническим каскадом
бифуркаций Шарковского и гомоклиническим каскадом бифуркаций
Магницкого устойчивых циклов или торов. Внутри
субгармонического и гомоклинического каскадов в результате седло-узловых
бифуркаций происходит рождение циклов (торов) любого периода, с
которыми затем происходят каскады бифуркаций удвоения периода
Фейгенбаума и гомоклинические (гетероклинические) каскады вплоть до
образования при некоторых значениях параметров сингулярных
непериодических аттракторов. Поэтому, по мнению автора, в нелинейных
диссипативных системах дифференциальных уравнений не
существует никаких других нерегулярных аттракторов, кроме сингулярных, то
есть особых компактных подмногообразий фазового пространства,
являющихся пределами каскадов бифуркаций удвоения периода и го-
моклинических (гетероклинических) каскадов различных регулярных
аттракторов.
Геометрически следует различать простые сингулярные
аттракторы, являющиеся пределами каскадов бифуркаций удвоения периода
различных регулярных аттракторов, и сложные сингулярные
аттракторы, являющиеся пределами гомоклинических (гетероклинических)
каскадов бифуркаций регулярных аттракторов. Простой сингулярный
аттрактор является почти устойчивой непериодической траекторией
с кратным нулевым старшим характеристическим показателем.
Сложный сингулярный аттрактор является семейством траекторий, среди
которых нет устойчивых траекторий, но есть гомоклинический или ге-
тероклинический сепаратрисный контур, бесконечное число
неустойчивых седловых периодических траекторий и бесконечное число
непериодических неустойчивых траекторий с кратным нулевым старшим
характеристическим показателем.
Каскады бифуркаций регулярных аттракторов, а также простые и
сложные сингулярные аттракторы существуют уже в итерациях
нелинейных одномерных унимодальных отображений. Простейшим
примером такого простого сингулярного аттрактора является аттрактор
Фейгенбаума одномерного унимодального логистического
отображения
Яп+i =МЯп(1-Еп), а?е[0;1] (1.7)
при некотором \х = /ioo (см. главу 2). Наиболее сложным примером

1.4. АТТРАКТОРЫ АВТОНОМНЫХ ДИССИПАТИВНЫХ СИСТЕМ 49
такого сложного сингулярного аттрактора является аттрактор того
же логистического отображения (1.7) при /л = 4.
Как правило, нелинейная система дифференциальных уравнений
имеет бесконечное число сингулярных аттракторов различной
сложности, занимающих различные по плотности области фазового
пространства, которые обладают геометрической (масштабной)
инвариантностью. То есть, увеличенная часть аттрактора оказывается
подобной всему аттрактору. Говорят, что в этом случае множество является
фракталом, то есть обладает фрактальной структурой и имеет
фрактальную размерность [164].
Простейшим примером фрактала является канторово совершенное
множество, схема построения которого приведена на рис. 1.11.
Разделим отрезок [0; 1] на три равные части и вырежем среднюю из них -
интервал (1/3; 2/3). С каждым из оставшихся отрезков поступим
таким же образом, и эту процедуру повторим бесконечное число раз.
На первом этапе построения мы будем иметь два отрезка длиной 1/3
каждый, на втором - четыре длиной 1/9 каждый и т.д.
N
0 1/3 2/3 1
I 1 1 1 1
О 1/3 2/3 1
I 1 1 1 I 1 1 1 2
О 1/9 2/9 1/3 2/3 1/9 8/9 1
Ь+-Н Ь+-Н h-b-H г-Ь+Н 4
О 1
\-\ М Н Н \Ч \-\ HHS
Рис. 1.11: Построение канторова множества
На k-ом этапе мы будем иметь 2к не связанных друг с другом
отрезков длиной (1/3)* каждый. В пределе при к —> оо на отрезке останется
множество точек, называемое канторовым множеством. Это
множество нигде не плотно на отрезке, т.е. не содержит ни одного интервала
сколь угодно малой длины. Но оно замкнуто и плотно в себе, т.е. не
содержит изолированных точек, и, следовательно, является
совершенным множеством. Более того, канторово множество имеет мощность
континуума, но нулевую борелевскую меру. В последнем легко
убедиться, подсчитав сумму длин всех вырезанных отрезков:
i-1/3+2/9+4/27 + ... = if;(l)'=T^3 = ..
Аг=0 '

50 ГЛАВА 1. СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Непосредственным обобщением каиторова множества на плоский и
пространственный случай являются ковер и куб Серпинъского [50,124].
Нетрудно видеть, что если на каждом шаге из оставшихся отрезков
мы будем вырезать не третью, а q-ю часть, то полученное в
результате множество также будет иметь борелевскую меру нуль для любого
0 < q < 1. Однако при различных значениях q эти множества,
очевидно, будут существенно различаться. Следовательно, для их
измерения нужны другие количественные характеристики, не совпадающие
с обычной мерой.
Существует несколько определений размерности множеств,
обладающих фрактальной структурой: хаусдорфова размерность, емкость
множества, вероятностная размерность, энтропийная размерность и
т.д. [3]. Дадим определение наиболее распространенной размерности -
емкости или фрактальной размерности множества, наиболее часто
используемой количественной характеристики фрактальных множеств.
Рассмотрим в m-мериом фазовом пространстве М динамической
системы некоторое множество В. Покроем это множество т-мерными
кубиками со стороной е так, чтобы эти кубики содержали все точки
множества В. Пусть N(e) - минимальное число таких кубиков,
необходимых для покрытия В. Если существует предел
то этот предел dp (В) называется емкостью или фрактальной
размерностью множества В.
Покажем, что фрактальная размерность регулярных аттракторов
диссипативных систем дифференциальных уравнений равна целому
числу и совпадает с их обычной топологической размерностью.
Действительно, обозначим через d = 1,2,3 топологические размерности
одномерных, двумерных и трехмерных компактных подмногообразий
трехмерного евклидова пространства. Так как количество кубиков со
стороной е, необходимое для покрытия единичного отрезка,
пропорционально 1/е, для покрытия единичной квадрата -- 1/е2, а для
покрытия единичного объема - 1/е3, то для каждого d число кубиков,
необходимое для покрытия компактного подмногообразия
размерности d, равно N(e) = Ce~d, где С - некоторая постоянная. Подставляя
N(e) в формулу (1.8), получим, что dp — d, т.е. фрактальная
размерность компактных подмногообразий евклидова пространства
совпадает с их топологической размерностью. Следовательно, фрактальная
размерность устойчивого предельного цикла конечного периода
равна единице, а устойчивого инвариантного тора конечного периода —
двум.
Однако для множеств, обладающих масштабно-инвариантной
структурой, фрактальная размерность может иметь дробное значение.
Покажем это на примере рассмотренного выше канторова множества В.

1.4. АТТРАКТОРЫ АВТОНОМНЫХ ДИССИПАТИВНЫХ СИСТЕМ 51
Рассмотрим последовательность е* ~ (1/3)* —* 0 при к —► ос. Из
построения канторова множества следует, что для любого к (номер этапа
построения) канторово множество покрывается N(k) = 2к отрезками
длины 6fe = (1/3)* каждый. Тогда из (1.8) следует, что
dF(B) = lim л , : \ = 11т :—гг = ;—г ^ 0.631.
v ; k-^oo ln(l/efc) fe^oo In 3fc In 3
Вместе с тем, нетрудно видеть, что процесс построения
сингулярных аттракторов существенно отличается от процесса построения
канторова множества. В то время как при построении канторова
множества происходит уменьшение размерности исходного множества
(единичного отрезка) при сохранении его мощности на каждом шаге, то
при построении аттрактора Фейгенбаума отображения (1.7) в
результате каскада бифуркаций удвоения периода происходит процесс
увеличения мощности множества при сохранении его нулевой размерности
на каждом шаге. Поэтому, приведенная в [124] оценка сверху
фрактальной размерности аттрактора Фейгенбаума логистического
отображения (1.7) в виде dp « 0.543 представляется сильно завышенной.
Как следует из результатов главы 2, уже в логистическом
отображении (1.7) существует бесконечное число простых сингулярных
аттракторов, фрактальная размерность которых должна равняться
фрактальной размерности аттрактора Фейгенбаума. Кроме того,
существует бесконечное число сложных сингулярных аттракторов,
отличающихся борелевской мерой (то есть занимающих различные
подобласти единичного отрезка), но имеющих одинаковую фрактальную
размерность. Поэтому, использование понятия фрактальной
размерности для классификации сингулярных аттракторов является не совсем
удачным
Вследствие невозможности в настоящее время и в любом
отдаленном будущем производить вычисления решений нелинейных систем
дифференциальных уравнений с абсолютной точностью, обнаружить
сингулярный аттрактор и определить порядок его сложности
принципиально невозможно. Всегда численная траектория будет находиться
в некоторой окрестности сингулярного аттрактора, содержащей
бесконечное число регулярных аттракторов различного большого
периода. На экране монитора это всегда будет выглядеть как некоторая
заштрихованная область фазового пространства, а численное
значение старшего характеристического показателя Ляпунова всегда будет
положительным. Поэтому, по мнению автора, существует
единственный способ приближенного обнаружения сингулярного аттрактора в
нелинейных системах дифференциальных уравнений и определения
его места в бесконечной иерархии неустойчивостей в системе - это
обнаружение и анализ лежащих в его окрестности достаточно простых
регулярных аттракторов посредством анализа устойчивых кривых в
проекциях сечений Пуанкаре и других сечений, трансверсальных тра-

52 ГЛАВА 1. СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
екториям системы. Именно этот метод использован в книге при
анализе хаотической динамики всех нелинейных систем дифференциальных
уравнений.
1.5. Основные локальные бифуркации в
нелинейных системах дифференциальных
уравнений
Изучим теперь свойства семейства систем дифференциальных
уравнений по отношению к возмущениям векторного поля F.
1.5.1. Структурная устойчивость и бифуркации
Понятие структурной устойчивости (грубости) векторного поля
или задаваемой им системы дифференциальных уравнений было
предложено А.А. Андроновым и Л.С. Понтрягиным [2]. Оно требует
определений возмущения векторного поля и топологической
эквивалентности векторных полей.
Определение. Возмущением амплитуды е векторного поля
F(x) G С1 будем называть любое векторное поле Fi (х) 6 С1, для
которого существует компактное множество К. вне которого F\(x) =
~ F(x), а на К
\\F(.x) - ВД|| < е и \\d{F(x) - ^(х))/9х|| < е [143].
Определение. Две системы дифференциальных уравнений (или,
что то же самое - два векторных поля) топологически эквивалентны,
если существует гомеоморфизм фазового пространства одной
системы на фазовое пространство второй системы, переводящий
ориентированные траектории первой системы в ориентированные траектории
второй системы.
Данное определение является определением глобальной
топологической эквивалентности, справедливой во всем фазовом пространстве.
Оно естественным образом обобщает определение локальной
топологической эквивалентности векторных полей (систем дифференциальных
уравнений) в окрестностях их особых точек (см. п. 1.2.1). Заметим, что
в случае топологической эквивалентности векторных полей
направление времени вдоль эквивалентных траекторий должно сохраняться, но
масштаб времени может изменяться. Так что движения, например, по
эквивалентным циклам могут происходить, вообще говоря, с разными
периодами.
Определение. Гладкое векторное поле F(x) (или
дифференциальное уравнение (1.1)), заданное на гладком компактном многообразии
М, называется структурно устойчивым, если существует t > 0,
такое что все возмущения -F\(x) амплитуды, меньшей б, топологически
эквивалентны F(x).

1.5. ЛОКАЛЬНЫЕ БИФУРКАЦИИ В НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАХ 53
Теорема 1.14 ([2.5).) Структурно устойчивые векторные поля
образуют открытое всюду плотное множество в пространстве всех
непрерывно дифференцируемых векторных полей на двумерном
компактном многообразии.
Следовательно, структурно устойчивые векторные поля
заполняют целые области в пространстве всех нолей, и в любой окрестности
любого структурно неустойчивого поля можно указать поле,
являющееся структурно устойчивым. Таким образом, структурная
устойчивость является типичным свойством или случаем общего положения
для двумерных векторных полей. В этом случае можно ожидать, что
всегда присутствующие погрешности в определении векторных полей
не приведут к изменению качественной картины решений задаваемых
этими полями систем дифференциальных уравнений.
Необходимые и достаточные условия структурной устойчивости
двумерных автономных систем дифференциальных уравнений дает
следующая теорема.
Теорема 1.15 ([12]). Система дифференциальных уравнений (1-1)
структурно устойчива (глобально структурно устойчива) на
двумерном компактном многообразии М тогда и только тогда, когда:
1) число особых точек конечно и все они являются
гиперболическими; 2) число предельных циклов конечно и все они невырождены; 3) в
М нет седловых связок, т.е. сепаратрис, идущих из седла в седло.
Выполнение первых двух условий теоремы обеспечивает в силу
теоремы Гробмана-Хартмана локальную структурную устойчивость
системы дифференциальных уравнений в окрестностях гиперболических
особых точек и невырожденных предельных циклов, а дополнительное
условие отсутствия седловых гомоклинических и гетероклинических
траекторий является уже достаточным в двумерном случае
условием для обеспечения глобальной структурной устойчивости системы в
целом.
Для систем более высокой, чем два. размерности перечисленные
в теореме условия с заменой невырожденных циклов на
гиперболические также являются необходимыми условиями глобальной
структурной устойчивости, так как при невыполнении первых двух условий
система не будет не только глобально, но даже и локально структурно
устойчивой, а любая седловая связка разрушается малым шевелением
векторного поля. Но. к сожалению, эти условия не являются
достаточными для глобальной структурной устойчивости систем высокой
(более двух) размерности. Более того, для таких систем множество
структурно устойчивых векторных полей не является всюду плотным
в пространстве всех непрерывно дифференцируемых векторных полей,
т.е в этом пространстве существуют области, свободные от структурно
устойчивых векторных полей, и, следовательно, типичным свойством
является структурная неустойчивость. Пример такой области для
полей на трехмерном торе впервые построен Смейлом (см. [107,178]).
Ниже будет показано, что в пространстве трехмерных автономных си-

54 ГЛАВА 1. СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
стем обыкновенных дифференциальных уравнений в любых
окрестностях значений параметров, при которых системы обладают гомоклини-
ческими или гетероклиническими траекториями, могут существовать
одновременно как структурно устойчивые, так и структурно
неустойчивые системы. Поэтому типичность свойства в данном случае должна
определяться мерой или размерностью множества систем,
обладающих этим свойством.
Структурная устойчивость систем дифференциальных уравнений
является устойчивостью по отношению к произвольным малым
гладким возмущениям векторных полей. Однако системы
дифференциальных уравнений, получающиеся из различных приложений, всегда
содержат то или иное число системных параметров. Поэтому с точки
зрения приложений более естественным и интересным является анализ
устойчивости систем дифференциальных уравнений по отношению к
более узкому классу возмущений — произвольным малым
возмущениям параметров таких систем. В этом случае само пространство
параметров можно интерпретировать как конечномерное пространство
систем дифференциальных уравнений некоторого специального вида,
а возмущение конкретной системы — как некоторое возмущение ее
параметров.
Теория бифуркаций систем дифференциальных уравнений,
берущая свое начало в работах А. Пуанкаре, описывает качественные,
скачкообразные изменения фазовых портретов систем дифференциальных
уравнений при непрерывном, плавном изменении их параметров.
Значения параметров, при которых происходят эти качественные
изменения фазовых портретов, называются бифуркационными значениями
или точками бифуркации.
Всюду в дальнейшем за исключением случаев, когда это будет
оговорено особо, мы будем рассматривать гладкое семейство
нелинейных автономных систем обыкновенных дифференциальных
уравнений
А = Лж,/х), xeMcR™, neLcRk, FeC°°, (1.9)
заданных в фазовом пространстве М гладкими векторными полями F,
зависящими от координат векторов системных параметров //, лежащих
в области L пространства Rk.
Определение. Векторное поле F(z,/io) системы (1.9) (или
дифференциальное уравнение (1.9)), назовем грубым, если существует
окрестность U С L вектора /io, такая что для всех \х 6 U векторные
поля F(x,ii) топологически эквивалентны векторному полю F(x, /io).
В соответствии с данным определением точками бифуркации
являются те и только те совокупности значений параметров, при которых
система является негрубой, т.е. при которых отсутствует непрерывная
зависимость фазового портрета системы от ее параметров. Заметим,
что в некоторых работах понятие грубости отождествляется с
понятием структурной устойчивости векторного поля и соответствующего

1.5. ЛОКАЛЬНЫЕ БИФУРКАЦИИ В НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАХ 55
ему дифференциального уравнения [87]. Мы же будем использовать
термин грубости системы только для обозначения ее устойчивости по
отношению к более узкому, но вместе с тем более важному, семейству
возмущений векторных полей — параметрическим возмущениям.
Предположим, что в пространстве параметров нет областей,
заполненных исключительно негрубыми системами вида (1.9). Тогда
полное качественное исследование семейства систем (1.9) сводится к
установлению разбиения пространства параметров на области с
одинаковой (грубой) качественной структурой и к установлению этой
качественной структуры. Разбиение пространства параметров на грубые
области и разделяющие их (к — 1)-мерные пленки, соответствующие
негрубым системам, называется бифуркационной диаграммой.
Пленки являются (k — 1)-мерными гладкими поверхностями в
пространстве параметров. Они определяются одним условием Gi(^u) = 0 с
градиентом, не равным нулю. Поэтому говорят, что бифуркация,
связанная с протыканием пленки вектором бифуркационных параметров,
имеет коразмерность 1. Трансверсальным пересечением двух пленок
является гладкая поверхность размерности к — 2, задаваемая двумя
условиями G\ (ju) = 0 и С?2(/а) " 0. Бифуркация, связанная с
прохождением вектора бифуркационных параметров через такую поверхность,
залолненную негрубыми системами, имеет коразмерность 2. Вообще
говорят, что бифуркация имеет коразмерность гс, если она связана с
прохождением вектора бифуркационных параметров через гладкую
поверхность размерности к — п. являющуюся трансверсальным
пересечением п гладких гиперповерхностей, задаваемых п условиями и
заполненных негрубыми системами.
Таким образом, коразмерность бифуркации показывает, от
скольких параметров должна зависеть система дифференциальных
уравнений, чтобы бифуркация была для нее типичной. Чем выше
коразмерность, тем более нетипичной будет бифуркация. В трехмерном
пространстве параметров, которое будет представлять для нас
наибольший интерес, бифуркация коразмерности 1 будет происходить на
некоторой гладкой двумерной поверхности, коразмерности 2 — на линии,
а коразмерности 3 — в точке.
Часто, кроме бифуркационных диаграмм семейства систем в
пространстве параметров, используют для наглядности представления так
называемые фазопараметрические диаграммы. В этом случае по
одним координатным осям откладывают значения параметров, а по
другим - динамические переменные или связанные с ними величины.
Получается поверхность, точки которой соответствуют определенным
динамическим режимам семейства систем, меняющимся при изменении
параметров.
Так как структурно устойчивые векторные поля заполняют
области в пространстве всех полей, то они заполняют области и в
конечномерном пространстве параметров. Следовательно, структурно
устойчивые поля являются грубыми. Из этого следует, что кандидатами в

56 ГЛАВА 1. СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
точки бифуркации являются в первую очередь те значения
параметров до, при которых векторное поле F(x.jjlq) имеет негиперболические
особые точки, негиперболические циклы или сепаратрисные контуры.
Поскольку грубость как частный случай структурной устойчивости
может быть как локальной, так и нелокальной (глобальной), то
бифуркации также могут быть локальными и нелокальными. К
локальным бифуркациям относятся бифуркации негиперболических особых
точек, циклов и торов, которые приводят к локальному качественному
изменению фазового портрета системы. К нелокальным бифуркациям,
нелокально меняющим фазовый портрет системы, относятся, как
правило, бифуркации сепаратрисных контуров и нерегулярных
аттракторов.
Среди локальных бифуркаций наиболее интересными с точки
зрения различных приложений являются бифуркации устойчивых
предельных множеств (регулярных аттракторов), так как они приводят
к изменениям наблюдаемых в реальных экспериментах
установившихся режимов. Бифуркации аттракторов принято разделять на мягкие
(внутренние) и жесткие (кризисы аттракторов). Мягкие бифуркации
приводят к топологическим изменениям самих аттракторов, но не
приводят к их исчезновению. Жесткие бифуркации приводят к
исчезновению аттракторов.
Рассмотрим сначала наиболее простые локальные бифуркации
регулярных аттракторов, имеющие коразмерность 1. Для анализа таких
бифуркаций достаточно рассмотреть семейство систем
дифференциальных уравнений (1.9), имеющее одномерное пространство
параметров, в котором эти бифуркации являются точечными. Итак, пусть
значение /х = 0 является бифуркационным значением параметра /л, то
есть именно при этом значении параметра качественно меняется
фазовый портрет семейства систем дифференциальных уравнений (1.9).
Пусть системы из семейства (1.9) при всех значениях параметра /г,
лежащих в некоторой окрестности U бифуркационного значения
параметра /1 = 0, имеют своими решениями либо особые точки
(положения равновесия или стационарные точки) xo{fi), либо предельные
циклы xo{t, //), либо инвариантные двумерные торы, устойчивые при
всех fi < 0. Опишем основные бифуркации, которые могут
происходить в этих случаях в семействе систем (1.9) при переходе параметра
через значение \л = 0.
1.5.2. Бифуркации устойчивых особых точек
Особая (стационарная) точка или положение равновесия однопара-
метрического семейства систем (1.9) удовлетворяет, очевидно, условию
F{x^i),\x) — 0. Поэтому, линеаризуя семейство (1.9) в окрестности
особой точки, получим зависящую от параметра систему
обыкновенных дифференциальных уравнений
8F
y = A(v)y+0(\y\2), A(^ = DxF(x0(^^) = ^(xo(u)^), (1.10)

1.5. ЛОКАЛЬНЫЕ БИФУРКАЦИИ В НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАХ 57
где y(t) = x(t)~£o(/i). Вектор у =• 0 является решением системы (1.10)
для всех /i6f/.
Бифуркации, связанные с потерей устойчивости особой точки
семейства (1.9), могут произойти при переходе параметра через
значение, при котором точка является негиперболической. Рассмотрим два
основных, наиболее часто встречающихся в приложениях случая: одно
собственное значение матрицы А(0) равно нулю или два комплексно
сопряженных собственных значения матрицы Л(0) лежат на мнимой
оси, а все остальные собственные значения имеют отрицательные
вещественные части. Можно показать, используя теорему о центральном
многообразии [78,118], что бифуркации, приводящие к потере
устойчивости особой точки семейства (1.9), определяются исключительно
теми координатами системы (1.10), которые соответствуют
собственным значениям матрицы Л(0), лежащим на мнимой оси. Систему
уравнений, записанную в этих координатах, обычно называют нормальной
формой семейства (1.9) в окрестности особой точки. Наиболее
распространены следующие четыре типа бифуркаций.
У\
б)
в)
Рис. 1.12: Фазопараметрические диаграммы бифуркаций:
транскритической (а), типа седло-узел с одновременным исчезновением (б) и рождением
(в) устойчивой и неустойчивой особых точек
1. Транскритическая бифуркация (бифуркация обмена
устойчивостью). Бифуркация имеет нормальную форму
y = fiy + y2 или (%у = цу-у2)-
Нетрудно видеть, что два стационарных решения у = 0 и у = — /J (у =
/х) сосуществуют вместе и обмениваются устойчивостью при переходе
параметра через бифуркационное значение /i = 0 (рис. 1.12а).
Бифуркация является мягкой.
Чтобы получить аналог бифуркации для систем с фазовым
пространством большей размерности необходимо к рассмотренному
вещественному собственному значению матрицы линеаризации,
отвечающему за бифуркацию, добавить соответствующее количество
собственных значений с отрицательными вещественными частями и
проинтерпретировать переход между получившимися особыми точками. Так

58 ГЛАВА 1. СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
аналогом траискритической бифуркации для двумерных систем
дифференциальных уравнений является бифуркация, при которой
устойчивый узел становится седлом, а седло становится устойчивым
узлом.
В случае размерности пространства больше двух в результате
рассмотренной бифуркации устойчивый узел или устойчивый фокус
становятся седло-узлом или седло-фокусом, а седло-узел или седло-фокус
— устойчивыми узлом или фокусом.
2. Седло-узловая бифуркация. Эта бифуркация имеет не очень
удачное название, которое связано исключительно с ее интерпретацией
в двумерном фазовом пространстве — рождением вырожденного
плоского седло-узла. Такой седло-узел не надо путать с невырожденным
седло-узлом трехмерного пространства, о котором будет идти речь в
описании бифуркации типа вилки.
Нормальная форма седло-узловой бифуркации имеет вид
у = /х + у2.
Последнее уравнение при \х < 0 имеет два стационарных решения
j/12 — ±y/—jj,, одно из которых является асимптотически устойчивым,
а другое — нет. При j.t = 0 оба решения сливаются в одно
стационарное решение у = 0, являющееся асимптотически устойчивым
(неустойчивым) для траекторий, начинающихся слева (справа) от нуля. При
/i > 0 уравнение не имеет особых точек, и, следовательно,
аттрактор исчезает, т.е. рассмотренная бифуркация является кризисом (рис.
1.126).
Рис. 1.13: Седло-узловая бифуркация на плоскости
Как уже отмечено выше, аналогом этой бифуркации для
двумерных систем дифференциальных уравнений является бифуркация, при
которой имеющиеся в системе при /i < 0 устойчивые узел и седло (рис.
1.13а) сливаются при д = 0в вырожденную особую точку -
вырожденный седло-узел (рис. 1.136), разрушающийся при \х > 0 (рис. 1.13в).
В случае размерности пространства больше двух в результате
рассмотренной бифуркации устойчивый узел и седло-узел (невырожден-
j
~\

1.5. ЛОКАЛЬНЫЕ БИФУРКАЦИИ В НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАХ 59
ный) сливаются при /х = 0в вырожденную особую точку, исчезающую
при \i > 0.
Большое значение имеет также обратная седло-узловая
бифуркация с нормальной формой
при которой происходит одновременное рождение устойчивой и
неустойчивой особых точек или устойчивого узла и седла (рис. 1.12в и 1.13).
3. Бифуркация типа вилки. Существуют два вида этой
бифуркации: надкритическая и подкритическая, имеющие
нормальные формы
У = М-У3 и у = }лу + у3.
В случае надкритической бифуркации стационарные решения имеют
вид: у = 0 и у 12 = ±у/Ц (последние два решения определены только
при /£ > 0). Устойчивое стационарное решение, становясь
неустойчивым, порождает два других устойчивых стационарных решения (рис.
1.14а). Бифуркация также является мягкой.
И
jil
б)
Рис. 1.14: Фазопараметрические диаграммы бифуркаций типа вилки: а
надкритической и б - подкритической
Аналогом этой бифуркации для двумерных систем
дифференциальных уравнений является бифуркация, при которой устойчивый узел
становится седлом, в окрестности которого симметрично рождаются
два новых устойчивых узла (рис. 1.15). В случае размерности
пространства больше двух в результате рассмотренной бифуркации
устойчивый узел становится седло-уз лом, а родившиеся в его окрестности
устойчивые особые точки могут быть не только узлами, но и фокусами,
т.е иметь наряду с одним отрицательным вещественным собственным
значением матрицы линеаризации еще два комплексно сопряженных
собственных значения с отрицательными вещественными частями.

60 ГЛАВА 1. СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Рис. 1.15: Бифуркация типа вилки на плоскости: а - два устойчивых узла
и седло после бифуркации; б - один устойчивый узел до бифуркации
Бифуркация типа вилки имеет место, например, в знаменитой
трехмерной диссипативной системе уравнений Лоренца
х = а(у - х), у — х(г — z) — у, z — xy- bz>
при переходе параметра г через значение г = 1 [52,59] и во многих
других нелинейных системах дифференциальных уравнений, включая
консервативные системы. В последнем случае эллиптическая особая
точка становится седловой, порождая две другие эллиптические
особые точки (см. главу 3).
В случае подкритической бифуркации стационарные решения
имеют вид: у = 0 и 2/12 = ±\/"~М (последние два решения
определены только при \х < 0). Таким образом, устойчивое стационарное
решение (узел) становится неустойчивым (седлом, седло-узлом, седло-
фокусом), а вместе с этим исчезают два других неустойчивых
стационарных решения (седла, седло-узла, седло-фокуса). Бифуркация
является кризисом.
4. Бифуркация Андронова—Хопфа (бифуркация
рождения цикла). Рассмотренные выше три бифуркации соответствуют
случаю, когда при возрастании значений параметра \i ровно одно
вещественное собственное значение матрицы A([i) переходит при \i = 0
слева направо через мнимую ось плоскости комплексного переменного
вдоль вещественной оси, а все остальные собственные значения имеют
отрицательные вещественные части, т.е. остаются в левой
полуплоскости. Бифуркация Андронова—Хопфа соответствует случаю, когда
при возрастании значений параметра /jl два комплексно сопряженных
собственных значения \i ± iv матрицы A(fi) переходят при \х — 0
слева направо через мнимую ось плоскости комплексного переменного, а
все остальные собственные значения имеют при этом отрицательные
вещественные части [78,118].
Существуют два вида бифуркации Андронова—Хопфа: мягкая или
суперкритическая бифуркация и жесткая или субкритическая бифур-'

1.5. ЛОКАЛЬНЫЕ БИФУРКАЦИИ В НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАХ 61
кация. Суперкритическая бифуркация имеет нормальную форму
111 = Wi - »У2 - {у\ + 2/2)2/i> ц и)
Уч = vyi + №i - [у\ + 2/1)2/2 9
что эквивалентно более компактной записи у = (fi + г^)у — 2/Ы2
относительно комплексной переменной у = у\ Л- iy2-
Решение системы (1.11) можно записать в виде:
2/1 (t) = u(t) cos vt, yiit) — u(t) sin vt,
где функция u(t) удовлетворяет уравнению -и = ци — и3. Поэтому, как
нетрудно видеть, при \i < 0 система имеет единственное устойчивое
стационарное решение - фокус у\ = у2 = 0 (или и = 0). При /i = 0
нулевое решение также является устойчивым фокусом, так как при
этом u(t) = (с + 2£)-1/2 —> 0, £ —> оо. При \х > 0 помимо неустойчивого
фокуса - стационарного решения у\ = у2 = 0 в системе существует и
другое решение yi(t) = y/Jlcosist, y2{t) = ^//Isini^. Для этого решения
У\ + 2/г = М> откуда следует, что его траектория на фазовой плоскости
(yii У2) является предельным циклом — окружностью с радиусом V//I
(рис. 1.16а). Более того, предельный цикл является устойчивым, что
следует из устойчивости особой точки и = yfji уравнения й •= /ш — и3.
Таким образом, в результате мягкой или суперкритической
бифуркации Андронова—Хопфа происходит смена устойчивости особой
точки, сопровождающаяся рождением из нее устойчивого предельного
цикла, амплитуда которого пропорциональна д/Д, а период Т « 2л/is
при /х —► 0.
Эта бифуркация играет важную роль в теории нелинейных
систем дифференциальных уравнений и как самостоятельный
математический объект, присутствующий практически во всех классических
системах с нерегулярной динамикой, таких как системы Лоренца, Рес-
слера
х = -у - г, у = х + ау, z = Ь + z(x - /i),
Чуа (Chua)
x = fj\y- h{x)}, y = x-y + z, z = -0y,
и многие другие [3,9,12,14,51,59,65,83,103,116,131,132,144,161,171], так
и как отправная точка различных каскадов бифуркаций перехода к
хаосу (см. главу 2).
Заметим, что только условия на собственные значения матрицы
А(0) не обеспечивают наличия в системе мягкой бифуркации
Андронова-Хопфа. Дополнительным достаточным условием является
наличие в системе устойчивого фокуса не только при /л < 0, но и при \х = О,
что выполнено для рассмотренной выше нормальной формы
бифуркации. Если особая точка является центром при /х = 0, то при тех

62 ГЛАВА 1. СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
а) \ б)
Рис. 1.16: Два вида бифуркаций Андронова—Хопфа на плоскости: а -
суперкритическая и б - субкритическая
же условиях на собственные значения матрицы А(0) может либо не
рождаться предельного цикла вовсе, что имеет место в системе
х = (fi + 1)х - 2ху + х3, у = -2у + 2ж2,
либо происходить одновременная смена устойчивости как
стационарной точки, так и окружающего ее предельного цикла. Последняя
бифуркация, например, наряду с бифуркацией Андронова—Хопфа,
является отправной точкой сценария перехода к хаосу в системе
уравнений Магницкого
x = bx{(l-a)z-5y), у = х{1 - (1 -6)y + az), z = a(y-dx),
описывающей поведение макропоказателей рыночной экономики [54,59].

1.5. ЛОКАЛЬНЫЕ БИФУРКАЦИИ В НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАХ 63
Субкритическая (жесткая) бифуркация Андропова—Хопфа имеет
нормальную форму
2/1 = №\ ~ vyi + {Уг + у1)у\ ,
2/2 = УУ\ ■+- /лу2 + (У? + у1)У2-
Решение системы можно записать в виде:
у\ (t) = u(i) cos vt, y2{t) = u(t) sin i/t.
где функция u{t) удовлетворяет уравнению и = /ш + и3. Поэтому
при /i < 0 система имеет устойчивое стационарное решение -
фокус у\ = уч = 0 или (и = 0) и неустойчивый предельный цикл:
2/i (t) = y/jicos vt, 2/2(£) = ^//xsini/t. При /i > 0 предельный цикл
влипает в нулевое решение, которое при этом становится неустойчивым
фокусом. При этом происходит исчезновение аттрактора, и,
следовательно, бифуркация является кризисом (рис. 1.166).
Мягкая бифуркация Андропова - Хопфа имеет место и в общем
случае любой размерности пространства т > 2 и даже в
бесконечномерном случае [118]. В случае жесткой бифуркации следует говорить
об исчезновении седлового предельного цикла.
5. Бифуркация рождения цикла удвоенного периода. Эта
бифуркация происходит в нелинейных неавтономных двумерных
системах с устойчивыми особыми точками типа ротор. Если матрица
линеаризации такой системы в особой точке имеет Т-периодические
коэффициенты, то в результате бифуркации ротор становится
неустойчивым, и вокруг него рождается простой устойчивый предельный цикл
периода 2Т.
Бифуркация рождения из ротора устойчивого цикла удвоенного
периода является одной из основных бифуркаций в нелинейных
системах дифференциальных уравнений всех типов. Эта бифуркация
является началом всех каскадов бифуркаций во всех нелинейных системах,
так как именно она приводит к рождению цикла удвоенного периода
вокруг простого цикла автономной трехмерной системы. Подробно
изложение теории особой точки типа ротор дано в п. 2.2.1 главы 2.
1.5.3. Бифуркации устойчивых предельных циклов
В случае, когда предельный цикл xo(t,ii), имеющий период Т,
является решением семейства уравнений (1.9) при всех \i 6 /У, то,
линеаризуя семейство (1.9) на цикле, получим зависящую от параметра
систему неавтономных обыкновенных дифференциальных уравнений
с периодической матрицей линейной части
у = A(t, fj)y + 0(|2/|2), A{t, fi) = DxF{xq{1, м), м), (1-12)
где 'j(t) = x{t) — xQ(t, /x), a A(t + T, /i) = A(t, /z). При этом вектор у = 0
является решением системы (1.12) для всех /i GU.

64 ГЛАВА 1. СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Как следует из теории Флоке [41.116,117], каждое
фундаментальное матричное решение линейной системы с периодическими
коэффициентами
у - A(t, ц)у. A(t + Tr/i) = A(t: ft) (1.13)
представимо в виде Y(t, и) = Р(£, ii)U{t, /i), где Р(£, /i) — некоторая,
вообще говоря, комплексная Т-периодическая матрица, а матрица U(t:fi)
= exp(B(fj,)t) является фундаментальной матрицей линейной системы
уравнений с постоянными, вообще говоря, комплексными
коэффициентами
u = B(ii)u{i) (1.14)
Преобразование Р(£./л), таким образом, осуществляет приведение
линейной системы (1.13) с периодическими коэффициентами к линейной
системе (1.14) с постоянными коэффициентами. Как было отмечено
в п. 1.3.2. настоящей главы устойчивость (неустойчивость)
периодического решения определяется собственными значениями матрицы В —
показателями Флоке исходного цикла или, что равносильно,
собственными значениями действительной матрицы С = ехр(ВТ) -
мультипликаторами цикла. Так как цикл устойчив при всех \х < О, то один
показатель Флоке равен нулю, а все остальные m — 1 показателей
имеют отрицательные вещественные части (один простой мультипликатор
имеет значение -Ь1, а все остальные мультипликаторы имеют модули,
меньшие 1, то есть лежат внутри единичного круга плоскости
комплексного переменного).
Следовательно, бифуркации, связанные с потерей устойчивости
периодического решения семейства (1.9), могут произойти лишь в тех
случаях, когда при /х = 0 один или несколько показателей Флоке из
m — 1 пересекают мнимую ось слева направо или, что равносильно,
один или несколько мультипликаторов, лежащих внутри
единичного круга при /i < 0, пересекают единичную окружность при ji = 0.
Бифуркации циклов могут иметь место, очевидно, только в системах
уравнений размерности m > 1.
Можно показать, используя теорему о центральном многообразии
[78,118], что, как и в случае особой точки, бифуркации, приводящие к
потере устойчивости периодического решения семейства (1.9),
определяются исключительно теми координатами системы (1.14),
которые соответствуют собственным значениям матрицы В(0), лежащим
на мнимой оси. Систему уравнений, записанную в этих координатах,
назовем нормальной формой семейства (1.9) в окрестности
периодического решения.
Определение нормальной формы и, соответственно, вида
происходящей бифуркации периодического решения, является чрезвычайно
сложной задачей. Заменой переменных y{t) = Q(t, /i)z(£) с Т-периоди-
ческой матрицей Q(t> f.t) ее решение может быть упрощено переходом
к системе координат, связанной с циклом. В такой системе одним из
координатных векторов является вектор #о(£)3 касательный к циклу,

1.5. ЛОКАЛЬНЫЕ БИФУРКАЦИИ В НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАХ 65
другим - вектор цикла xo(t). Так как мультипликатор цикла,
соответствующий вектору Хо(£)> всегда равен единице, а показатель Флоке
- нулю и не является бифуркационным, то координаты нормальной
формы заведомо лежат в гиперплоскости 5*, трансверсальной
вектору #о(0> и задаваемой последними т — 1 компонентами вектора z(t).
Обозначим этот вектор, имеющий на единицу меньшую размерность,
чем исходный вектор y{t) линеаризованной на цикле системы (1.13),
через v(t). Вектор v(t) удовлетворяет системе т— 1 линейных
дифференциальных уравнений
v{t) = D{t,p)v{t), (1.15)
где действительная матрица D(t, /л) получается из действительной
матрицы
G(£, /х) = Q-1 A(t, /x)Q(t, /i) - Q"1 (t9 iL)Q{t> fi)
вычеркиванием ее первой строки и первого столбца. Система (1.15)
имеет те же показатели Флоке, за исключением нулевого, что и
исходная линеаризованная система (1.13).
Возможны два принципиально различных случая: случай
постоянной матрицы D(t,ii) = D(n) и случай переменной Т-периодической
матрицы D(t,fi). Первый случай означает, что матрицы Q(t,fi) —
Р(£, /i) и G(i, /4) = B(fi) действительны, а показателями Флоке
цикла, отличными от нулевого, являются собственные значения матрицы
D(n). Другими словами, первый случай означает, что переход
преобразованием Q(i,/i) к системе координат, связанной с циклом, уже
осуществляет приведение системы (1.13) с периодическими
коэффициентами к системе с постоянными вещественными коэффициентами.
Вектор z(t) в этом случае совпадает с вектором u(t) в (1.14), а
компонентами вектора v(t) являются последние т — 1 компонент вектора
u(t). Во втором случае имеет место более сложная ситуация.
Рассмотрим сначала случай постоянной матрицы D(t, /i) = D(ii). В
этом случае типичная бифуркация цикла происходит при переходе
либо одного вещественного собственного значения, либо двух комплексно
сопряженных собственных значений матрицы D(fi) через мнимую ось.
При этом все остальные собственные значения должны иметь
отрицательные вещественные части. Этому случаю соответствуют четыре
основные, наиболее часто встречаюпщеся в приложениях, бифуркации
предельных циклов.
1. Бифуркация рождения пары устойчивых замкнутых
траекторий. Пусть при /i < 0 в системе существует устойчивый цикл
£о(£,/л), один мультипликатор которого равен 4-1, а все остальные
мультипликаторы лежат внутри единичного круга. При переходе
значений параметра \х через точку /i = 0 один простой мультипликатор
цикла переходит через точку 4-1 единичной окружности, что
соответствует пересечению мнимой оси одним простым вещественным
показателем Флоке линеаризованной системы (1.13) или одним веществен-

66 ГЛАВА 1. СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
ным собственным значением матрицы D (/х). Поэтому нормальная
форма такой бифуркации цикла совпадает с одномерной нормальной
формой бифуркации особой точки типа вилки: й = \ш — и3. Циклу,
очевидно, соответствует нулевое решение этого уравнения.
В результате бифуркации цикл xo(t,fi) теряет устойчивость (но не
исчезает), и одновременно рядом с ним на расстоянии Щ2 = ±у^ в на~
правлении собственного вектора, соответствующего показателю,
проходящему через мнимую ось, рождается пара устойчивых предельных
циклов. На рис. 1.17 родившиеся циклы лежат в параллельных
исходному циклу плоскостях, так как вектор и направлен вертикально.
Возможен и другой случай, когда вектор и лежит в плоскости
исходного цикла. Тогда родившиеся циклы будут лежать в той же плоскости
- один внутри исходного цикла, а другой вне его.
с2
С/ i I
ju<0 s^^>.M>0
Рис 1.17: Рождение из устойчивого цикла (а) двух других устойчивых
циклов (б) (бифуркация вилки предельных циклов)
В случае размерности фазового пространства т > 2, цикл,
потерявший устойчивость, становится седловым. Бифуркация является
мягкой. В качестве примера рассмотрим систему трех
дифференциальных уравнений
±г = -VX2 - X2Xz + (/i + 1)(1 — х\- х\)х\,
±2 = УХ\ + XiXs + (М + 1)(1 — х\ - х\)Х2, (1.16)
хз = М#з - х\>
Система (1.16) имеет своим решением особую точку О = (0,0,0)т.
устойчивую при /а < — 1. При /х > — 1 из нее в результате бифуркации
Андронова—Хопфа рождается устойчивый предельный цикл xq (t) =
= (cosi4,sinf£,0)T, лежащий в плоскости переменных {х\,Х2).
Дальнейшее исследование системы (1.16) проведем описанным выше мето-

1.5. ЛОКАЛЬНЫЕ БИФУРКАЦИИ В НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАХ 67
дом. Линеаризованная на цикле система примет вид:
2/1 = -22/i(m -f- l)cos2^ - y2{v + (/i +■ l)sin2i/i) - y3sin^ + /i,
2/2 = Ui(v - (/i + l)sin2z/£) — 2y2(ft-\- 1) sin2 vt + уз cos vt + /2,
Уз = M2/3 - 2/з>
где разложения функций /1(2/1,2/2) и /2(2/1,2/2) в ряды в точке (0,0)
начинаются с членов второго порядка. Заменой переменных y(t) =
■= Q(*)z(0 с 27г/г/ — периодической матрицей
(—vsinvt cosvt 0\
i/cosi/i smut О]
0 0 \)
перейдем к системе, записанной в связанных с циклом координатах:
Z\ = Z3/V + fl{Zl,Z2),
z2 = -2{ii + l)z2 + f2(zu z2),
Линейная часть последней системы имеет действительную
постоянную матрицу G(t,/i) = G(fi) = B(ii) с пулевым первым столбцом,
т.е. координата z\ однозначно определяется координатами z2 и гз
системы, лежащими в плоскости 5, перпендикулярной плоскости цикла.
Поэтому устойчивость цикла и его возможные бифуркации
определяются исключительно двумерной системой уравнений
й2 = -2(/г+ 1)и2 + /2(и2,щ),
из = /хи3 -^з>
записанной в координатах и2 = z2 и и$ = zs с диагональной
матрицей D(ii) = diag(—2(/i + l),/i). Заметим, что диагональные элементы
матрицы D(ii) являются показателями Флоке предельного цикла
исходной системы (1.16).
Так как циклу системы (1.16) соответствует нулевая особая точка
системы (1.17), то цикл является устойчивым в интервале
изменения параметра — 1 < /i < 0. При /х > 0 нулевая особая точка
системы (1.17) и, соответственно, цикл системы (1.16) становятся
неустойчивыми. Происходит рождение двух новых устойчивых особых точек
^з = zs = уз — #з — :^у/№ системы (1.17), лежащих на отрезке,
перпендикулярном плоскости цикла. Этому соответствует рождение двух
устойчивых циклов, лежащих в параллельных плоскости исходного
цикла плоскостях па расстоянии ±^/Д от нее.
Бифуркация рождения из одного устойчивого цикла двух других
устойчивых циклов предваряет субгармонический и гомоклинический

68 ГЛАВА 1. СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
каскады бифуркаций рождения устойчивых циклов в системе Лоренца
[52,53,59].
2. Транскритическая (обмена устойчивостью между
циклами) бифуркация. В этом случае при \х < О наряду с устойчивым
циклом Xo(t, /i) в системе (1.9) существует также и неустойчивый (сед-
ловой) цикл X\(tsii)y лежащий на расстоянии и = fi от устойчивого
цикла в направлении собственного вектора, соответствующего
показателю Флоке устойчивого цикла (простому вещественному
собственному значению матрицы D(fi)): проходящему через мнимую ось. При
переходе значений параметра /х через точку \i — 0 один простой
мультипликатор цикла, соответствующий указанному показателю Флоке,
переходит через точку +1 единичной окружности, а циклы
обмениваются устойчивостью - устойчивый цикл Xo(t, /x) становится
неустойчивым (седловым), а неустойчивый (седловой) цикл #i(£, /i) -
устойчивым (рис. 1.18).
N
I
м< о м= о м> о
Рис. 1.18: Бифуркация обмена устойчивостью между циклами
Нормальная форма такой бифуркации цикла совпадает с
одномерной нормальной формой транскритической бифуркации особой точки:
й = рьи — и2 (на рис. 1.18 направление вектора и совпадает с
вертикалью). Бифуркация является мягкой. Если направление вектора
и совпадает с горизонталью, то при этом оба цикла должны лежать
в одной плоскости (один внутри другого). В результате бифуркации
внутренний устойчивый, например, цикл становится неустойчивым, а
внешний неустойчивый - устойчивым циклом.
В качестве примера рассмотрим систему трех дифференциальных
уравнений
ii = -vx2 - хъхг + (// 4-1)(1 - х\ - x%)xi,
±2 = VX\ -г Х\Хъ + (/X + 1)(1 - х\ - х\)х2, {^-Щ
ж3 = № - х\,

1.5. ЛОКАЛЬНЫЕ БИФУРКАЦИИ В НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАХ 69
отличающуюся от системы (1.16) только третьим уравнением. При
— 1 < j.l < 0 система (1.18) кроме устойчивого предельного цикла
Xo(t) = (cosut, smist, 0)T, лежащего в плоскости переменных (#1,2:2),
имеет также неустойчивый предельный цикл х\ (t) = (cos vt, sin id, fj,) ,
лежащий на расстоянии \i от него по оси хз- При \х > 0
происходит обмен устойчивостью между циклами. Заметим, что описанным
в предыдущем пункте методом анализ устойчивости цикла системы
(1.18) сводится к анализу устойчивости нулевой особой точки
двумерной системы
й2 = -2(/i + l)u2 + /2(^2, u3),
из = /ш3 - и\
с диагональной матрицей линейной части (показателями Флоке
исходного цикла Xo(t)) D(ii) = diag(-2(/i+ 1 ),£*)■
3. Бифуркация исчезновения (рождения) пары замкнутых
траекторий. В этом случае при /i < 0 наряду с устойчивым циклом
xo(t,fi) в системе (1.9) существует также и неустойчивый седловой
цикл xi(t, //). При возрастании значений параметра \i эти циклы
сближаются друг с другом и при /х = 0 сливаются в один вырожденный
цикл. При /х > 0 оба цикла исчезают (рис. 1.19). Поэтому нормаль-
пая форма такой бифуркации цикла совпадает с одномерной
нормальной формой седло-узловой бифуркации особой точки: й = /х + и2 (на
рис. 1.19 направление вектора и совпадает с вертикалью). Бифуркация
является жесткой (кризисом). Как и в случае предыдущих
бифуркаций циклы могут лежать в одной плоскости один внутри другого.
В качестве примера рассмотрим систему трех дифференциальных
уравнений
±i = -VX2 - х2хз + (А*"*" 1)(1 ~х\ ~ х\)х\*
±2 = УХ\ +Х\Х$ + (j.L + 1)(1 - х\ ~х\)Х2, (1-19)
хз = /х + я?§,
отличающуюся только третьим уравнением от систем (1.16) и (1.18).
При —1 < /х < 0 система (1.19) кроме устойчивого предельного цикла
xo{t) = (cos(^ — у/—/i)£, sin(j/ — у/—/i)£, y^—д)т, лежащего в плоскости
хз = — у/—Ц% имеет также и неустойчивый предельный цикл X\(t) =
= (cos(i/ + у'—/x)t, sin(^ + y/—ii)t, у/—/i)T, лежащий на расстоянии
2y/—fj, от него в плоскости #з = \/ М- Заметим, что движение по
циклам происходит с разными частотами. При \i = 0 оба цикла сливаются,
образуя лежащий в плоскости Хз = 0 неустойчивый цикл, исчезающий
при /а > 0. Анализ устойчивости цикла системы (1.19) также сводится
к анализу устойчивости пулевой особой точки двумерной системы
U2 = -2(/X-bl)u2 + /2(U2,U3), (120)
U3-fi + u\.

70 ГЛАВА 1. СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Рис. 1.19: Седло-узловая бифуркация предельных циклов
Если рассмотреть процесс изменения параметра /i от больших
значений к меньшим, то описываемая бифуркация означает, что при \х =
0 внезапно возникает замкнутая траектория (цикл), которая при
дальнейшем уменьшении значений параметра расщепляется на две
замкнутые траектории, одна из которых устойчивая, а другая — нет. Другими
словами, происходит внезапное одновременное рождение устойчивого
и седлового предельных циклов. Каскад бифуркаций этого типа,
порождающих бесконечную последовательность пар различных
устойчивых и седловых циклов субгармонического и гомок.шшического
каскадов бифуркаций, можно наблюдать в системе Лоренца [52,53,59] и
практически во всех других нелинейных системах дифференциальных
уравнений с хаотической динамикой.
4. Бифуркация рождения (гибели) двумерного тора. Эта
бифуркация может произойти только в фазовом пространстве
размерности т > 2. Она связана с переходом при fi = 0 двух комплексно
сопряженных мультипликаторов исходного предельного цикла жо(£./х),
имеющего период Т, через точки ехр(±г</>), 0 < if < я\ единичной
окружности или, что равносильно, с переходом двух комплексно
сопряженных показателей Флоке цикла (собственных значений матрицы
£)(/i) системы (1.15)) через точки ±iy>/T мнимой оси плоскости
комплексного переменного. Бифуркация является частным случаем
бифуркации Андропова—Хопфа в гиперплоскости 5, трансверсалыюй к

1.5. ЛОКАЛЬНЫЕ БИФУРКАЦИИ В НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАХ 71
исходному циклу, и имеет нормальную форму
гц = /лиг - —и2 - {и\ + и\)щ,
^2 = ~Щ + /Ш2 ~ {и\ + V%)U2.
При этом цикл Xo(t, fi) теряет устойчивость (но не исчезает), и
одновременно возникает новое устойчивое движение по двумерному тору
Т2, задаваемому основной частотой исходного цикла и>о = 2п/Т и
частотой ы\ — (р/Т = uJoip/27r родившегося в результате бифуркации
цикла u(t) = л/Дехр(г(/?/Т) (рис. 1.20).
Рис. 1.20: Бифуркация рождения двумерного тора из предельного цикла
Со: а - траектория на торе в окрестности потерявшего устойчивость цикла
Со; б - эргодический тор; в - резонанс на торе
Величина, равная отношению между частотами в — uji/luq = <р/2-к.
называется числом вращения на торе Т2. Если число вращения
рационально, т.е. 9 = p/q, где qnp < q/2 - целые положительные числа, то
родившееся устойчивое движение на торе будет периодическим. Если
же число вращения иррационально, то фазовая кривая родившегося
устойчивого движения образует всюду плотную обмотку тора (см. п.
1.3.4 настоящей главы). Родившийся тор является устойчивым в том
смысле, что любая траектория системы стремится к некоторой
траектории, расположенной на торе, с некоторой своей асимптотической
фазой.
При дальнейшем увеличении значений параметра /i фазовый
портрет системы будет качественно меняться, демонстрируя переходы от
фгодического движения на торе к режимам резонансов.

72 ГЛАВА 1. СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
В качестве примера рассмотрим систему трех дифференциальных
уравнений
Х\ — —VX2 - Х2Хз — 2X1^3 — /i(l - х\ — х\)Х\,
х2 = vx\ + х\хъ - 2х2х3 - /i(l - я? — х\)х2, (1.21)
жз = 2/ляз - х§ + я? -Н ж2 - 1.
Система (1.21) имеет предельный цикл x${t) = (cosi/£, sin*4, 0)T,
лежащий в плоскости переменных (rci, Ж2). Линеаризованная на цикле
система имеет вид:
2/1 = 2yi/i cos2 z>£—y2(y —/i sin 2^t)—Уз (sin z/i+2 cos vt) + fi,
тЬ=У1(^+/^п2^)Н~2у2/18т2 f£+2/3(cos^£ —2sin^£) + /2, (1.22)
Уз = 2j/i cos i/t -f 2y2 sin i/ifc + 2/iy3 - y%,
где разложения функций Д (г/i, у2) и /2(yi, у2) в ряды в точке (0,0)
начинаются с членов второго порядка. Заменой y(t) = Q(t)z(t) с 2tt/i/-
периодической матрицей Q(t), описанной в п. 1, приведем систему
(1.22) к связанным с циклом координатам
z2 = 2\xz2 - 2z3 + h&u zi),
zs = 2z2 -f 2(jlzx — z\.
Анализ устойчивости цикла сводится к анализу устойчивости
нулевой особой точки двумерной системы
й2 = 2[ш2 - 2ii3 + д{и2,иъ),
из =■ 2и2 + 2циз — Щ)
матрица D(fj,) линейной части которой имеет комплексно
сопряженные собственные значения 2/i ± 2г. Следовательно, при /х < 0 нулевая
особая точка системы (1.23) и цикл xo(t) системы (1.21) устойчивы.
При /i > 0 в системе (1.23) в результате бифуркации Андропова—
Хопфа рождается устойчивый предельный цикл периода Т « 7Г, что
соответствует рождению устойчивого двумерного тора с частотами,
приближенно равными v и 2, в системе (1.21). Четкие переходы от
резонансных к нерезонаисным торам можно наблюдать в системе (1.21)
при малых /2>0и варьировании параметра v.
Бифуркацию рождения устойчивого тора из цикла можно
наблюдать также при некоторых значениях параметров в комплексной
системе уравнений Лоренца [20,55,59,65].
Рассмотренная бифуркация рождения устойчивого тора Г2
является суперкритической (мягкой) бифуркацией. Наряду с ней, как и в

1.5. ЛОКАЛЬНЫЕ БИФУРКАЦИИ В НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАХ 73
случае бифуркации Андронова—Хопфа. может происходить также и
субкритическая (жесткая) бифуркация. В этом случае при \х < 0
система имеет устойчивый цикл, лежащий внутри неустойчивого тора. При
[х > 0 тор влипает в устойчивый цикл, который после этого становится
неустойчивым. Происходит исчезновение аттрактора, и.
следовательно, бифуркация является кризисом.
Рассмотрим теперь случай переменной Т-периодической матрицы
D(t,ii) в (1.15). Этот случай означает, что переход преобразованием
Q(£,/z) к системе координат, связанной с циклом, осуществляет
приведение системы (1.12) с периодическими коэффициентами к
системе (1.15) меньшей размерности, но имеющей также Т-периодические
вещественные коэффициенты. В этом случае, как следует из
теоремы Флоке, фундаментальное матричное решение линейной системы
(1.15) представимо в виде V(tyfi) = R(t,fi)exp(E(fj,)t), где R{t,f.i) -
некоторая Т- периодическая комплексная матрица, a E(fi) -
некоторая постоянная комплексная матрица, собственные значения которой
являются показателями Флоке исходного цикла. Мы рассмотрим
наиболее интересный и важный с точки зрения различных приложений
случай бифуркации удвоения периода цикла, которому соответствует
переход при \ь = 0 одного комплексного собственного значения
матрицы E(/i) через мнимую ось. При этом все остальные собственные
значения должны иметь отрицательные вещественные части.
5. Бифуркация удвоения периода цикла. Эта бифуркация
может произойти только в фазовом пространстве размерности т > 2.
Она связана с переходом через мнимую ось слева направо одного
комплексного показателя Флоке a(/i) исходного цикла zo(i,/i) при \х — 0.
При этом соответствующий вещественный мультипликатор цикла при
ji = 0 имеет вид: Л = ехр(а(0)7^) = ехр(иг) = — 1.
Но с другой стороны, что тоже следует из теоремы Флоке,
фундаментальное матричное решение линейной системы (1.13) представимо
в виде произведения некоторой 2Х-периодической вещественной
матрицы на вещественную матрицу exp(#(/i)£), одно собственное
значение которой выходит при а — 0 из единичного круга через точку +1.
Следовательно, переход одного комплексного показателя Флоке
цикла xo(t.fi), имеющего период Т. через мнимую ось, что эквивалентно
переходу мультипликатора цикла через точку -1 единичной
окружности, означает, что цикл #o(£5a0 теряет устойчивость (но не исчезает),
и одновременно возникает другой устойчивый цикл, имеющий ту же
амплитуду и удвоенный период 2Т (рис. 1.21).
В качестве примера рассмотрим систему трех дифференциальных
уравнений
Х\ = —VX2 - VX\Xz/2 — ({fl - 1)Х\ + 1)(1 — х\ — х\),
±2 = vxi -f 2ж3(1 - */ж2/4) - (fx - 1)^2(1 ~ х\~ х\), (1.24)
±з - 2(/i - 1 - £1)2:3 + fa + v/A){x\ + х\- 1).

74 ГЛАВА 1. СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Система (1.24) имеет предельный цикл xo(t) = (cosvt, sin*4, 0)T,
Рис. 1.21: Суперкритическая бифуркация удвоения периода цикла: Со -
исходный цикл; С ~ цикл удвоенного периода после бифуркации
лежащий в плоскости переменных (х 1,2:2). Линеаризованная на цикле
система имеет вид:
Уг — 2yi((/i - l)cosvt + l)cosvt+
+ 2/2(((/v - 1) cos ut + 1)2 sin ut - u) - y3 ^ cos ut + /1 (2/1, y2f 2/3),
2/2 = 2/i(^+(/i- 1) sin 2*4)+
+ 2j/2(/л - 1) sin2 1/* + 2y3(l - ^ sini/J) + /2(2/1,2/2,2/з),
2/3 = 2щ j + sin *4) cos i44-
+ 22/г(т + sin ut) sint/t 4- 2г/3(^ - 1 - cos ut) 4- /3(2/1,2/2,2/з),
где разложения функций /1(2/1,2/2,2/3), /2(2/1,2/2,2/3) и /з(2/ь2/2,2/з) в
ряды в точке (0,0,0) начинаются с членов второго порядка. Заменой
Z/W = Q(t)z{i) с 27г/^-периодической матрицей (2(0> описанной в п.1,

1.5. ЛОКАЛЬНЫЕ БИФУРКАЦИИ В НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАХ 75
приведем последнюю систему к связанным с циклом координатам
2 2-
i\ = —Z2sinut H—z^cosut + /1(21,2:2,2:3),
и и
i2 = 2(/л- 1 + cosut)z2 + {2smut- -)za + /2(21,225 23) >
i3 = (2sinvt+ -z)z2 + 2(// - 1 -cosut)z3 + /3(2:1,2:2,2:3).
Анализ устойчивости цикла сводится к анализу устойчивости
нулевого решения линейной двумерной системы
U2 = 2(yu — 1 + cos vt)u2 4- (2 sin ut — —)из
2 (1-25)
из = (2 sin ut + — )ti2 + 2(/i — 1 — cos^t)^.
Матрица D(t. fi) коэффициентов системы (1.25) является 27г/г/-перио-
дической матрицей. Нетрудно убедиться в том, что система (1.25)
является частным случаем нормальной формы неавтономной двумерной
системы с нулевой особой точкой типа ротор, рассмотренной в п. 1.2.4.
Непосредственной подстановкой можно убедиться в том, что система
(1.25) имеет фундаментальную матрицу решений вида
ut
cosy
. ut
sin —
2
. vt\
— sin —
2
ut
cos-;
/exp(2/i£)
4 °
\
0
ехр(2(д
2)t)J ' (L26)
Следовательно, при /i < 0 нулевое решение системы (1.25) и,
соответственно, цикл xo(t) системы (1.24) устойчивы. При /1>0в системе
(1.24) появляется устойчивое решение с частотой и/2 или же с
удвоенным периодом 4k/и. Выражение (1.26) является представлением
решения линейной системы с 27г/^-периодической матрицей D(t,fi) в
виде произведения 47г/^-периодической вещественной матрицы на
вещественную матрицу exp(#(/i)£), одно собственное значение которой
выходит из единичного круга при \х = 0 через точку +1. Для того,
чтобы перейти к представлению Флоке, запишем решение (1.26) в виде
произведения 27г/1/-периодической комплексной матрицы на
комплексную матрицу exip(E(fi)t)
2 . 2г
■ e~xvt 1 + е
— I /е<2"+4П* 0 \
2г
Диагональные элементы матрицы E(fx): ги/2 + 2/х и iu/2 -f 2{j.i — 2)
являются показателями Флоке цикла xo(t) системы (1.24). При /х = О

76 ГЛАВА 1. СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
первый из них переходит слева направо через мнимую ось, а второй
остается в левой полуплоскости. Соответствующий первому
показателю Флоке мультипликатор равен
А = ехр((2М+у)^)=ехр(^+г7г).
При /х = 0 он, очевидно, пересекает границу единичной окружности
в точке -1. Второй мультипликатор при этом равен — ехр(—Ък/и) и
остается лежащим на вещественной оси внутри единичного круга.
Бифуркация удвоения периода цикла играет основополагающую
роль в процессе формирования сингулярных аттракторов и
хаотической динамики в нелинейных системах дифференциальных уравнений.
Она начинает бесконечный каскад бифуркаций удвоения периода,
открытый впервые М.Фейгенбаумом [114,137] и ведущий к
возникновению простейшего нерегулярного (сингулярного) аттрактора -
аттрактора Фейгенбаума. Ее можно наблюдать во всех классических
трехмерных хаотических системах нелинейных дифференциальных
уравнений, таких как системы Лоренца, Ресслера, Чуа, Магницкого и
многие другие. Она обнаружена также и практически во всех
нелинейных автономных и неавтономных, диссипативных и консервативных
системах обыкновенных дифференциальных уравнений,
дифференциальных уравнений с частными производными и с запаздывающим
аргументом (см. подробнее в гл. 2-4).
1.5.4. Бифуркации устойчивых двумерных торов
Определение нормальной формы и, соответственно, вида
происходящих на торе бифуркаций, является еще более сложной задачей, чем
аналогичная задача для устойчивых предельных циклов. В то время
как для анализа бифуркаций предельных циклов существует пусть не
вполне конструктивная, но фундаментальная основа в виде теории
показателей Флоке, какая-либо теория бифуркаций устойчивых
двумерных торов в настоящее время практически отсутствует. Рассмотрим
один из возможных подходов к построению такой теории.
Предположим, что устойчивый двумерный тор Т2 семейства систем
(1.9) был рожден в результате рассмотренной в предыдущем пункте
бифуркации Андропова—Хопфа устойчивого Т-периодического
предельного цикла xo(t). Это значит, что линеаризованная на цикле
система (1.12) заменой переменных y(i) = Q(t, }J>)z(t) с Т-периодической
матрицей Q(t, /i) сводится к системе гп — 1 порядка, записанной в
системе координат, связанной с циклом. В такой системе, напомним, одним
из координатных векторов является вектор Xa(t), касательный к
циклу? другим - вектор цикла xq (t). Так как мультипликатор цикла,
соответствующий вектору жо(£)) всегда равен единице, а показатель Флоке
— нулю и не является бифуркационным, то координаты нормальной
формы образовавшегося двумерного тора заведомо лежат в
гиперплоскости 5, трансверсальной вектору £о(*) и задаваемой последними т— 1

1.5. ЛОКАЛЬНЫЕ БИФУРКАЦИИ В НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАХ 77
компонентами вектора z(t). Этот вектор, который мы обозначим через
г>(£), удовлетворяет системе т — 1 дифференциальных уравнений
0(0 = D(t, [t)v(t) + P{vy у) (1.27)
где разложение вектор-функции Р(г>, /*) в ряд но степеням v в нуле
начинается с членов второго порядка, а Т- пери одическая матрица D(t. /z)
получается из матрицы
G{t,n)y = Q-l(tiH)A(t>p)Q(t>») - Q~\^y)Q{t^)
вычеркиванием ее первой строки и первого столбца.
Рождение устойчивого двумерного тора Т2 в системе (1.9)
является следствием рождения устойчивого цикла vo(t) в системе (1.27)
в результате бифуркации Андропова—Хопфа (см. п.1.5.3 и пример в
нем). Рассматривая теперь систему (1.27) как новую исходную
систему типа (1.9), имеющую на единицу меньшую размерность и
обладающую устойчивым предельным циклом, мы можем применить к ней
теорию показателей Флоке, изложенную в п. 1.3.2 и теорию
бифуркаций циклов, изложенную в п. 1.5.3. Ясно, что бифуркации цикла Vo(0
системы (1.27) приводят к соответствующим бифуркациям
двумерного тора Т2 системы (1.9). Таким образом, возможны следующие
пять типов бифуркаций устойчивых двумерных торов нелинейных
автономных систем дифференциальных уравнений.
1. Бифуркация рождения пары устойчивых двумерных
торов (бифуркация вилки). В этом случае при // < 0 в системе (1.27)
существует устойчивый цикл uo(£5/i)5 один мультипликатор которого
равен +1, а все остальные мультипликаторы лежат внутри
единичного круга. При переходе значений параметра /х через точку /i = 0
один простой мультипликатор цикла переходит через точку -И
единичной окружности, что соответствует пересечению мнимой оси одним
простым вещественным показателем Флоке линеаризованной на цикле
системы. Поэтому нормальная форма такой бифуркации двумерного
тора совпадает с одномерной нормальной формой бифуркации особой
точки типа вилки: й = /ш — и3. Тору, очевидно, соответствует нулевое
решение этого уравнения.
В результате бифуркации двумерный тор Т2 теряет устойчивость
(но не исчезает), и одновременно рядом с ним на расстоянии
Wi2 = ±y/ji от него (внутри и вне его в трехмерном случае) в
направлении собственного вектора, соответствующего показателю цикла
i'o(t, /i), проходящему через мнимую ось, рождается пара устойчивых
двумерных торов. Бифуркация является мягкой.
2. Транскритическая (обмена устойчивостью между
торами) бифуркация. В этом случае при // < 0 наряду с устойчивым
двумерным тором Т$ системы (1.9) и соответствующим ему
устойчивым циклом г>о(£, /л) системы (1.27) существует также и неустойчивый

78 ГЛАВА 1. СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
(седловой) двумерный тор Т2 системы (1.9) и соответствующий ему
седловой цикл vi(tyfi) системы (1.27), лежащий на расстоянии и = /х
внутри него. При переходе значений параметра \i через точку \i — О
один простой мультипликатор цикла vo(t, /i) переходит через точку +1
единичной окружности, а торы обмениваются устойчивостью.
Устойчивый внешний тор Tq и, соответственно, устойчивый цикл Vo(t,n)
становятся неустойчивыми (седловыми), а неустойчивый внутренний
(седловой) тор Т2 и, соответственно, неустойчивый (седловой) цикл
vi(t,}i) — устойчивыми.
Нормальная форма такой бифуркации двумерного тора
совпадает с одномерной нормальной формой транскритической бифуркации
особой точки: и = \хи — и2. Бифуркация является мягкой.
3. Бифуркация исчезновения (рождения) пары двумерных
торов. В этом случае при /i < 0 наряду с устойчивым двумерным
тором Т$ системы (1.9) и соответствующим ему устойчивым циклом
Vo(t,fJi) системы (1.27) существует также и неустойчивый (седловой)
двумерный тор Т2 системы (1.9) и соответствующий ему седловой
цикл vi(t,fj,) системы (1.27). При возрастании значений параметра /i
эти торы сближаются друг с другом и при /i = 0 сливаются в один
вырожденный тор. При /i > 0 оба тора исчезают. Поэтому
нормальная форма такой бифуркации устойчивого двумерного тора совпадает
с одномерной нормальной формой седло-узловой бифуркации особой
точки: и = fi + u2. Бифуркация является жесткой (кризисом).
Если рассмотреть процесс изменения параметра а от больших
значений к меньшим, то описываемая бифуркация означает, что при
/./, = 0 внезапно рождается двумерный тор, который при дальнейшем
уменьшении значений параметра расщепляется на два тора, один из
которых устойчивый, а другой — нет. Другими словами, происходит
внезапное одновременное рождение устойчивого и седлового
двумерных торов, расположенных один внутри другого.
4. Бифуркация рождения (гибели) трехмерного тора. Эта
бифуркация может произойти только в фазовом пространстве
размерности га > 3. Она связана с одновременным переходом при /х = О
двух комплексно сопряженных мультипликаторов цикла vo(t< ji)
системы (1.27) через единичную окружность, что эквивалентно переходу
двух комплексно сопряженных показателей Флоке цикла t?o(£, /i)
слева направо через мнимую ось. При этом цикл Vo(t,n) системы (1.27)
теряет устойчивость (но не исчезает), и одновременно вокруг него
возникает двумерный тор Т2 в результате бифуркации Андронова—
Хопфа в гиперплоскости 5, трансверсальной к циклу. Одновременно
в системе (1.9) рождается, очевидно, устойчивый трехмерный тор Т3,
а существовавший до этого в системе двумерный тор Т2 становится
неустойчивым, но не исчезает. В зависимости от соотношения частот
вращения по циклам исходного двумерного тора и по родившемуся в
гиперплоскости S циклу, движение по возникшему трехмерному
устойчивому тору может быть либо периодическим, либо квазипериодиче-

1.5. ЛОКАЛЬНЫЕ БИФУРКАЦИИ В НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАХ 79
ским. В первом случае любая траектория на торе замкнута, во втором,
эргодическом случае любое движение по тору имеет незамкнутую
траекторию, всюду плотно заполняющую поверхность тора.
При дальнейшем увеличении значений параметра [i фазовый
портрет системы будет качественно меняться, демонстрируя переходы от
квазипериодического движения на торе к режимам резонансов.
Рассмотренная бифуркация рождения устойчивого тора Т3
является суперкритической (мягкой) бифуркацией. Наряду с ней, как и
в случае бифуркации двумерного тора, может происходить также и
субкритическая (жесткая) бифуркация. В этом случае при \х < 0
система имеет устойчивый двумерный тор, лежащий внутри
неустойчивого трехмерного тора. При /х > 0 неустойчивый трехмерный тор
влипает в устойчивый двухмерный тор, который после этого становится
неустойчивым. Происходит исчезновение аттрактора, и,
следовательно, бифуркация является кризисом.
5. Бифуркация удвоения периода двумерного тора. Эта
бифуркация также может произойти только в фазовом пространстве
размерности т > 3. Она связана с переходом через мнимую ось
слева направо одного комплексного показателя Флоке цикла vo(t,n)
системы (1.27) при jx = 0. При этом соответствующий вещественный
мультипликатор цикла при /i = 0 проходит через точку -1 единичной
окружности. Цикл Vo(tyfi) системы (1.27) теряет устойчивость (но
не исчезает), и одновременно в системе возникает другой устойчивый
цикл, имеющий ту же амплитуду и удвоенный период. Очевидно, при
этом двумерный тор Т2 исходной системы (1.9) теряет устойчивость
(но не исчезает), и одновременно с этим в системе (1.9) рождается
устойчивый двумерный тор, имеющий удвоенный период по одной из
частот. В результате такой бифуркации происходит удвоение
поверхности тора внутри ограниченного объема фазового пространства. При
этом тор остается двумерным.
Бифуркацию рождения устойчивого двумерного тора удвоенного
периода можно наблюдать при некоторых значениях параметров в
комплексной (пятимериой) системе уравнений Лоренца [55,59,61] и во
многих нелинейных системах дифференциальных уравнений с
частными производными (см. главу 4).
Рассмотренные выше локальные однопараметрические
бифуркации регулярных аттракторов являются основными бифуркациями,
происходящими в нелинейных системах дифференциальных уравнений,
хотя их значение в усложнении динамики систем и переходе к
хаотическим режимам, а также их частота появления в разных системах
существенно различаются. Наиболее редко встречающейся в нелинейных
системах дифференциальных уравнений является трапскритическая
бифуркация. Чаще встречаются бифуркации вилки и Андронова—
Хопфа, но они не порождают каскадов бифуркаций, ведущих к
образованию сингулярных (хаотических) аттракторов. По крайней
мере таких каскадов обнаружить не удалось ни в одной из рассмотрен-

80 ГЛАВА 1. СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
ных в следующих главах книги систем. Можно лишь с уверенностью
утверждать, что существуют нелинейных системы
дифференциальных уравнений, в которых происходят три последовательные
бифуркации Андропова—Хопфа с образованием устойчивого трехмерного тора.
Вопрос о том, может ли при этом в системе родиться четырехмерный
тор, остается пока открытым.
Двумя ключевыми бифуркациями, порождающими все
обнаруженные в нелинейных системах дифференциальных уравнений каскады
бифуркаций, ведущих к образованию сингулярных аттракторов,
являются седло-узловая бифуркация и бифуркация удвоения периода.
Именно эти две бифуркации участвуют в универсальном сценарии
перехода к хаосу в соответствии с теорией Фейгенбаума—Шарковского—
Магницкого через каскад бифуркаций удвоения периода, затем
субгармонический и гомоклинический каскады бифуркаций (см. п. 1.6 и
главу 2).
Кроме рассмотренных основных локальных однопараметрических
бифуркаций в нелинейных системах дифференциальных уравнений
могут происходить и некоторые более сложные двухпараметрические
локальные бифуркации устойчивых циклов и торов, такие, например,
как бифуркация складки и бифуркация сборки [7,21,89]; или
бифуркации, связанные с различными случаями вырождения
мультипликаторов линейных систем первого приближения на циклах, или с резонан-
сами частот рождающихся торов [6]. Такие бифуркации могут иметь
коразмерность 2 и выше в пространстве параметров, однако пока не
обнаружено, играют ли эти сложные бифуркации какую-либо роль в
сценариях перехода к хаосу в нелинейных системах
дифференциальных уравнений.
1.6. Нелокальные бифуркации в нелинейных
системах дифференциальных уравнений
Кроме рассмотренных выше в предыдущем разделе наиболее
распространенных локальных бифуркаций особых точек, циклов и торов
в нелинейных системах дифференциальных уравнений существуют
более сложные и малоизученные нелокальные бифуркации гомоклиниче-
ских и гетероклинических контуров, являющихся сепаратрисами сед-
ловых предельных множеств — тех же особых точек, циклов и торов.
Такие бифуркации не приводят к локальным топологическим
изменениям самих седловых предельных множеств, но оказывают
решающее влияние на нелокальное изменение динамики системы в
областях фазового пространства, охватывающих предельные множества,
соединенные сепаратрисиыми контурами. Бифуркации такого типа,
носящие названия гомоклиническая бабочка, бифуркация точка-цикл,
гомоклиническая петля сепаратрисы седло-фокуса и гетероклиниче-
ская бабочка присутствуют, например, в знаменитой системе
уравнений Лоренца. В нелинейных системах дифференциальных уравнений

1.6. НЕЛОКАЛЬНЫЕ БИФУРКАЦИИ В НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАХ 81
могут происходить также нелокальные бифуркации сингулярных
аттракторов, рождающихся в результате каскадов мягких бифуркаций
регулярных аттракторов.
Анализ нелокальных бифуркаций сепаратрисных контуров и
сингулярных аттракторов является значительно более сложной задачей
по сравнению с анализом бифуркаций регулярных аттракторов. Дело
в том, что. во-первых, такие бифуркации могут иметь коразмерность,
большую, чем 1. Во-вторых, что самое главное, в современной
качественной теории дифференциальных уравнений и теории
динамических систем практически полностью отсутствуют методы определения
коразмерности (количества и вида условий) таких бифуркаций, а
также аналитические и численные методы нахождения бифуркационных
поверхностей (пленок) для таких бифуркаций в пространстве
параметров. Некоторые оригинальные приемы, разработанные автором в
этом направлении, представлены в п. 1.6.3.
1.6.1. Бифуркации гомоклинических сепаратрисных
контуров
В настоящее время в какой-то степени изученными являются
только бифуркации гомоклинических контуров особых точек. Бифуркации
более сложных контуров на сегодняшний день практически не
исследованы ни теоретически, ни экспериментально. Рассмотрим некоторые
наиболее важные с нашей точки зрения бифуркации.
1. Петля сепаратрисы седловой особой точки. Эта
бифуркация возможна в фазовой плоскости при т = 2. Пусть имеется седловая
особая точка О системы (1.9) с вещественными собственными
значениями матрицы линеаризации в ней Xi(fi) < 0 и Аг(//) > 0. Пусть
устойчивое Ws и неустойчивое Wu одномерные многообразия особой
точки при увеличении значений параметра fi < 0 сближаются, а при
ji = 0 касаются друг друга. В момент касания происходит бифуркация
и образуется особая двоякоасимптотическая траектория , называемая
петлей сепаратрисы седла (рис. 1.22а).
Петля сепаратрисы седла является негрубым образованием и при
fi > 0 она разрушается. Если седловая величина сг(/х) = А](/х) -f Аг(/-0
отрицательна при ji = 0, т.е. сг(0) < 0, то петля устойчива, и при ее
разрушении в сторону А (рис. 1.22а) из нее рождается устойчивый
предельный цикл (рис. 1.226). При разрушении петли в сторону В цикл не
рождается. Если <г(0) > 0, то петля неустойчива, и при ее разрушении
из нее может родиться только неустойчивый цикл.
Рассмотренная в обратном порядке бифуркация образования петли
сепаратрисы седла может означать кризис аттрактора - устойчивого
предельного цикла в результате его касания седла . При приближении
к точке бифуркации длина периодической орбиты остается
ограниченной, в то время как ее период стремится к бесконечности.

82 ГЛАВА 1. СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Рис. 1.22: Бифуркация образования петли сепаратрисы седла: а - момент
бифуркации; б - после бифуркации
2. Петля сенаратрисы вырожденного двумерного седло-
узла. Эта бифуркация также возможна в фазовой плоскости при т =
= 2, Пусть при jjl < 0 в системе (1.9) существуют дне особые
точки: седло 0\ и устойчивый узел Оъ, причем неустойчивые
сепаратрисы седла, замыкаясь на узел, образуют сепаратрисный контур (рис.
1.23а).
■) б) в)
Рис. 1.23: Бифуркация образования петли сепаратрисы седло-узла
В точке бифуркации при /i = 0 происходит образование негрубого
состояния равновесия — вырожденного седло-узла, имеющего гомо-
клииическую петлю сепаратрисы Г (рис. 1.236). При fi > 0 седло-узел
разрушается, а из петли сепаратрисы рождается устойчивый
предельный цикл (рис. 1.23в).
Рассмотренная в обратном порядке данная бифуркация может
означать кризис аттрактора - устойчивого предельного цикла в
результате образования на нем вырожденного седло-узла. При приближении к
точке бифуркации длина периодической орбиты остается
ограниченной, в то время как ее период стремится к бесконечности.
3. Петля сепаратрисы седло-узла. Эта бифуркация
возможна только в фазовом пространстве размерности т > 2. Пусть имеет-

1.6. НЕЛОКАЛЬНЫЕ БИФУРКАЦИИ В НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАХ 83
ся особая точка О системы (1.9) типа седло-узел с вещественными
собственными значениями матрицы линеаризации в ней, такими что
АД/г) < 0, г = 1,...,т — 1, a Xm(fi) > 0. Пусть одна из сепаратрис
неустойчивого одномерного многообразия Wu особой точки при
увеличении значений параметра \i < 0 сближается с устойчивым т — 1-
мерным многообразием W8 и при /i = 0 касается его. В момент касания
происходит бифуркация и образуется особая двоякоасимптотическая
траектория Г, называемая петлей сепаратрисы седло-узла (рис. 1.24
а).
Петля сепаратрисы седло-узла также является негрубым
образованием и при \i > 0 она разрушается. Если седловая величина
(j(fi) = Xm(fi) + max Xi
i=l,...,m —1
отрицательна при \i = 0, т.е. сг(0) < 0, то петля устойчива, и при
ее разрушении из нее может родиться устойчивый предельный цикл
аналогично тому, как это имеет место в случае петли сепаратрисы
седла. Если сг(0) > 0, то петля неустойчива, и при ее разрушении из
нее может родиться только неустойчивый предельный цикл.
Рис. 1.24: Петля сепаратрисы седло-узла (а) и вырожденного седло-узла
(б)
Рассмотренная в обратном порядке бифуркация образования петли
сепаратрисы седло-узла может означать кризис аттрактора —
устойчивого предельного цикла в результате его касания седло-узла . При
приближении к точке бифуркации длина периодической орбиты
остается ограниченной, в то время как ее период стремится к
бесконечности.
4. Петля сепаратрисы вырожденного седло-узла. Эта
бифуркация также возможна только в фазовом пространстве размерности

84 ГЛАВА 1. СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
т > 2. Пусгь при \i < 0 в системе (1.9) существуют две особые
точки: седло-узел Oi, имеющий одномерное неустойчивое многообразие,
и устойчивый узел 0<ь, причем неустойчивые сепаратрисы седло-узла,
замыкаясь на узел, образуют сепаратрисный контур. В точке
бифуркации при fi = 0 происходит образование негрубого состояния
равновесия — вырожденного седло-узла, имеющего гомоклиническую петлю
сепаратрисы Г (рис. 1.246). При \i > 0 вырожденный седло-узел
разрушается, а из петли сепаратрисы может родиться устойчивый
предельный цикл .
Рассмотренная в обратном порядке данная бифуркация может
означать кризис аттрактора — устойчивого предельного цикла в
результате образования на нем вырожденного седло-узла. При приближении к
точке бифуркации длина периодической орбиты остается
ограниченной, в то время как ее период стремится к бесконечности.
5. Гомоклиническая бабочка. Эта бифуркация также
возможна только в фазовом пространстве размерности т > 2. Пусть
имеется особая точка О системы (1.9) типа седло-узел с вещественными
собствеииыми значениями матрицы линеаризации в ней, такими что
АЦ/i) <0, г = 1,...5га — 1, a Am(/i) > 0. Пусть обе сепаратрисы
неустойчивого одномерного многообразия Wu особой точки при увеличении
значений параметра \i < 0 сближаются с устойчивым (га — 1)-мерным
многообразием W3 и при \i = 0 касаются его. В момент касания
происходит бифуркация и образуется особый сепаратрисный контур,
состоящий из двух двоякоасимптотических траекторий, называемый го-
моклинической бабочкой (рис. 1.25).
Рис. 1.25: Гомоклиническая бабочка трехмерного седло-узла в проекциях
на плоскости (х,у) (а) и (x,z) (б)
Гомоклиническая бабочка также является негрубым образованием
и при /4 > 0 она может разрушиться с образованием предельного
цикла в виде восьмерки. Бифуркация такого типа характерна для систем
с симметрией. Она является одной из основных бифуркаций в уже
неоднократно упоминавшейся знаменитой системе уравнений
Лоренца. Принято считать, что именно она является первопричиной жест-

1.6. НЕЛОКАЛЬНЫЕ БИФУРКАЦИИ В НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАХ 85
кого рождения хаотического аттрактора Лоренца. Исследованию этой
проблемы посвящено огромное количество работ (см. [24,122,144,155,
173,176,180,183,191,192]), смысл которых сводится к попыткам
построения в окрестности сепаратрисного контура инвариантного множества
подковы Смейла с фрактальной структурой, дробной размерностью и
положительным показателем Ляпунова. Эти попытки до сих пор
успеха в понимании природы аттрактора Лоренца не принесли по той
простой причине, что в системе Лоренца, как и во всех других нелинейных
системах дифференциальных уравнений, переход к хаотичеснбй
динамике происходит в соответствии с теорией ФШМ, но только не при
увеличении, а при уменьшении значений параметра г из
бесконечности (подробно см. в [38,52,53,59] и в п. 2.3.5 главы 2 настоящей книги.).
В связи с этим, в системе Лоренца не существует аттрактора
Лоренца, а существует бесконечное число различных сингулярных
аттракторов, многие из которых топологически значительно более сложные,
чем классический аттрактор Лоренца, традиционно рассматриваемый
при значениях параметров а = 10,6 = 8/3, г = 28. Топологические
свойства всех сингулярных аттракторов системы Лоренца вытекают
из теорем общей теории сингулярных аттракторов,
сформулированных и доказанных во второй главе книги.
6. Петля сепаратрисы седло-фокуса. Эта бифуркация также
возможна только в фазовом пространстве размерности т > 2. Пусть
имеется особая точка О системы (1.9) типа седло-фокус с одним
вещественным собственным значением Х(р) > 0 и двумя комплексно
сопряженными собственными значениями р(р) ± ш(р) с р < 0. Пусть
при р = 0 в системе (1.9) образуется петля сепаратрисы седло-фокуса
Г. Что произойдет при р > 0 зависит от того, в каком направлении
пойдут сепаратрисы седло-фокуса после разрушения петли и какова
первая седловая величина <г\(р) ~ р(р) + А(^). Если <7i(0) < 0, то из
петли может родиться устойчивый предельный цикл аналогично
рождению цикла из петли сепаратрисы седло-узла. Если <7i(0) > 0, то в
окрестности петли в момент ее существования, а также при ее
разрушении имеется сложная структура фазовых траекторий,
предположительно состоящая из счетного множества периодических траекторий
и континуума непериодических траекторий, включая по крайней мере
счетное число различных сингулярных аттракторов.
Следовательно, в системе с гомоклинич*еской петлей
сепаратрисы седло-фокуса и в окрестности такой петли возможно присутствие
сложной хаотической динамики. Этот вывод может быть сделан также
из теоремы Шильникова, в которой доказано наличие подковы Смейла
в системе (1.9) с петлей сепаратрисы седло-фокуса при <ti(0) > 0 (см.
[123]). Однако, существование в системе в окрестности сепаратрисного
контура инвариантного множества подковы Смейла, конечно, может
быть следствием сложной хаотической динамики, но никак не может
быть механизмом образования такой динамики в системе, так как
точно такая же хаотическая динамика в полном соответствии с бифурка-

86 ГЛАВА 1. СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Рис. 1.26: Проекции петли сепаратрисы седло-фокуса в системе Лоренца
на плоскости (х,у)(а) и (ж,г)(б)
ционной теорией ФШМ существует и в системах без гомоклинических
контуров особых точек и даже вообще без самих особых точек (см.
пример 1 в п.2.3.4. главы 2).
Аналогичная ситуация получается, если рассматривать систему с
гомоклинической петлей седло-фокуса, имеющего одномерное
устойчивое и двумерное неустойчивое многообразия. Этот случай
сводится к предыдущему обращением времени. Условием присутствия
сложной хаотической динамики в этом случае является неравенство р(0) <
| А(0) |. Именно этот случай изображен на рис. 1.26, где представлены
проекции гомоклинической петли сепаратрисы седло-фокуса в системе
Лоренца в координатах (#, у = х) и (#, z) (см. [56,59]).
7. Петли сепаратрис ротора и сингулярного седлового
цикла. Эти связанные между собой бифуркации открыты автором при
изучении каскадов бифуркаций особой точки типа ротор и
сингулярного седлового цикла в двумерных неавтономных и трехмерных
автономных системах обыкновенных дифференциальных уравнений.
Сепаратриса ротора, раскручиваясь вокруг него, затем возвращается в
него под определенным углом. Сепаратриса соответствующего ротору
седлового сингулярного цикла трехмерной автономной системы,
раскручиваясь от цикла по листу Мебиуса, затем возвращается к циклу
вдоль содержащей его двумерной поверхности (рис. 1.27).
Петли сепаратрис ротора и сингулярного седлового цикла
являются негрубыми образованиями. В любой их окрестности может
наблюдаться сложная нерегулярная динамика траекторий при наличии
бесконечного числа неустойчивых и устойчивых предельных циклов и
непериодических сингулярных аттракторов (см. п.2.3.4 главы 2).

1.6. НЕЛОКАЛЬНЫЕ БИФУРКАЦИИ В НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАХ 87
Рис. 1.27: Петля сепаратрисы ротора (а) и соответствующего ему
сингулярного цикла (б,в)
1.6.2. Бифуркации гетероклинических сепаратрисных
контуров
В отличие от бифуркаций гомоклинических сепаратрисных
контуров, бифуркации гетероклинических контуров в фазовом
пространстве размерности т > 2 в настоящее время практически не
исследованы даже в том случае, когда они соединяют различные особые
точки системы обыкновенных дифференциальных уравнений.
Поэтому изложенные в этом пункте факты, касающиеся бифуркаций
гетероклинических контуров в системах большой размерности, опираются
исключительно на результаты численных экспериментов. Рассмотрим
некоторые наиболее важные с нашей точки зрения бифуркации
гетероклинических контуров.
1. Сепаратриса, идущая из седла в седло. Эта бифуркация
возможна в фазовой плоскости при т = 2. Пусть имеются две седло-
вые особые точки О и 0\ системы (1.9) с вещественными
собственными значениями матрицы линеаризации в них, имеющими разные
знаки. Пусть неустойчивое одномерное многообразие Wu особой
точки и устойчивое одномерное многообразие W* особой точки 0\ при
увеличении значений параметра \i < 0 сближаются, а при ц = 0
касаются друг друга. В момент касания происходит бифуркация и
образуется особая гетероклиническая траектория Г, называемая
сепаратрисой, идущей из седла в седло (рис. 1.28а).
Такой сепаратрисиый контур является негрубым образованием и
при \х > 0 просто разрушается двумя возможными путями,
изображенными на рис. 1.286,в. Заметим, что в двумерном случае могут
существовать также сепаратрисы седел, стремящиеся в одну сторону к
узлу, фокусу или предельному циклу, но такие сепаратрисные копту-

88 ГЛАВА 1. СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Рис. 1.28: Бифуркация сепаратрисы, идущей из седла в седло
ры являются грубыми и их вид не меняется при малых изменениях
значений системных параметров [12].
2. Сепаратрисный контур, соединяющий седло-узел с седло-
фокусом. Эта бифуркация возможна только в фазовом пространстве
размерности т > 2. Пусть в системе (1.9) имеются две особые
точки типа седло-узел и седло-фокус, одна из которых имеет одномерное
устойчивое Ws и (т — 1)-мерное неустойчивое Wu многообразия, а
другая, наоборот, имеет одномерное неустойчивое Wu и (га — 1)-мергюе
устойчивое Ws многообразия. Пусть одна из двух сепаратрис
одномерного устойчивого многообразия первой особой точки при увеличении
значений параметра fi < 0 сближается с сепаратрисой одномерного
неустойчивого многообразия второй особой точки и при \i — 0
касается его. Одновременно, одна из сепаратрис неустойчивого многообразия
первой особой точки касается устойчивого многообразия второй особой
точки. В момент касания происходит бифуркация и образуется
особый гетероклинический замкнутый контур, связывающий седло-узел
с седло-фокусом (рис. 1.29а). Численные эксперименты, проведенные
с системой Лоренца, показывают, что такой сепаратрисный контур
является нсгрубым образованием и что в любой его окрестности может
наблюдаться сложная нерегулярная динамика траекторий при
наличии бесконечного числа неустойчивых и устойчивых предельных
циклов (см. [59]).
3. Сепаратрисный контур, соединяющий седло-фокус с
седло-фокусом. Эта бифуркация также возможна только в
фазовом пространстве размерности т > 2. Пусть в системе (1.9) имеются
две особые точки типа седло-фокус, одна из которых имеет
одномерное устойчивое Ws и (т — 1)-мерное неустойчивое Wu многообразия,
а другая также имеет одномерное устойчивое W3 и (т — 1)-мерное
неустойчивое Wu многообразия. Пусть одна из двух сепаратрис
одномерного устойчивого многообразия первой особой точки при
увеличении значений параметра fi < О сближается с неустойчивым
многообразием второй особой точки и при /i = 0 касается его. Одновременно,
одна из двух сепаратрис одномерного устойчивого многообразия
второй особой точки сближается с неустойчивым многообразием первой
особой точки и при \i = 0 касается его. В момент касания происхо-

1.6. НЕЛОКАЛЬНЫЕ БИФУРКАЦИИ В НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАХ 89
Рис. 1.29: Гетероклинические сепаратрисные контуры, связывающие седло-
узел с седло-фокусом (а) и седло-фокус с седло-фокусом (б)
дит бифуркация и образуется особый гетероклинический замкнутый
контур, связывающий два седло-фокуса (рис. 1.296). Численные
эксперименты, проведенные с системой Лоренца, показывают, что такой
сепаратрисный контур является негрубым образованием и что в любой
его окрестности может наблюдаться сложная нерегулярная динамика
траекторий при наличии бесконечного числа неустойчивых и
устойчивых предельных циклов (см. [59]).
4. Бифуркация точка-цикл. Эта бифуркация также возможна
только в фазовом пространстве размерности т > 2. Пусть в
системе (1.9) имеются две особые точки типа седло-узел и седло-фокус.
Пусть седло-фокус имеет одномерное устойчивое Ws и (т — 1)-мерное
неустойчивое Wu многообразия, а седло-узел, наоборот, имеет
одномерное неустойчивое Wu и (т — 1)-мериое устойчивое Ws
многообразия. Пусть при \i < 0 в системе существует неустойчивый цикл,
делающий один виток в окрестности седло-узла и возрастающее при росте
значений параметра /г количество витков п вокруг седло-фокуса, так
что п —♦ оо при \i -► 0. Тогда при ц = U возможна следующая
бифуркация: цикл влипает в седло-узел и одновременно рождается седловой
цикл вокруг седло-фокуса. Другими словами, из исходного цикла при
fi = 0 рождается сепаратрисный контур, состоящий из двух
сепаратрис седло-узла, одна из которых стремится к родившемуся вокруг
седло-фокуса новому циклу при t —> -Ьоо, а другая — при t —► — оо
(рис. 1.30а).
Эта бифуркация также существует в системе Лоренца. Численные
эксперименты, проведенные с системой, показывают, что описанный
выше сепаратрисный контур является негрубым образованием и что в
любой его окрестности есть периодические траектории.

90 ГЛАВА 1. СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Рис. 1.30: Бифуркации точка-цикл (а) и гетероклиническая бабочка(б)
5. Гетероклиническая бабочка. Этот гетероклинический
контур является наиболее сложным из контуров, существующих в
трехмерных нелинейных системах дифференциальных уравнений, так как
он имеет коразмерность 2 в пространстве параметров. Пусть в системе
(1.9) размерности т > 2 имеются три особые точки: два седло-фокуса
и один седло-узел. Пусть оба седло-узла имеют одномерные
устойчивые IVs и (т — 1)-мерные неустойчивые Wu многообразия, а седло-узел
имеет одномерное неустойчивое Wu и (m — 1)-мергюе устойчивое W8
многообразия. Пусть одна из двух сепаратрис одномерного
неустойчивого многообразия седло-узла при увеличении значений параметра
ц < 0 сближается с одномерным устойчивым многообразием одного
седло-фокуса и при ц = 0 касается его. Одновременно вторая
сепаратриса одномерного неустойчивого многообразия седло-узла
сближается с одномерным устойчивым многообразием второго седло-фокуса и
при \х = 0 касается его. Пусть одновременно с этим по одной из
сепаратрис неустойчивых многообразий каждого седло-фокуса касаются при
ц = 0 устойчивого многообразия седло-узла. В момент касания
происходит бифуркация и образуется особый гетероклинический замкнутый
контур, связывающий седло-узел с двумя седло-фокусами (рис. 1.306).
По аналогии с гомоклинической бабочкой и исходя из вида
образовавшегося гстероклинического контура, назовем такую бифуркацию
гетероклинической бабочкой. Численные эксперименты, проведенные
с системой Лоренца, показывают, что такой сепаратрисный контур
является негрубым образованием и что в любой его окрестности
наблюдается сложная нерегулярная динамика траекторий при наличии
бесконечного числа неустойчивых и устойчивых предельных циклов (см.
[59] и п.2.3.4 главы 2). Бифуркационное множество является
одномерной кривой в трехмерном пространстве параметров системы Лоренца.

1.6. НЕЛОКАЛЬНЫЕ БИФУРКАЦИИ В НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАХ 91
1.6.3. Приближенный метод нахождения гомоклинических
и гетероклинических контуров особых точек
Гомоклинические и гетероклинические контуры особых точек
играют важную роль в формировании нерегулярных аттракторов
нелинейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений. С этой
точки зрения решение проблемы нахождения в пространстве параметров
бифуркационных поверхностей и кривых существования в семействе
систем (1.9) гомоклинических петель сепаратрис и гетероклинических
контуров особых точек имеет, несомненно, большое значение. Ранее
аналитически решить подобную задачу удалось только для петли
сепаратрисы кусочно-линейной системы Чуа [23]. В работах Г.Леонова
[47] и X. Чена [130] найдено необходимое и достаточное условие
За > 2Ъ + 1
существования третьего параметра г в системе уравнений Лоренца,
при котором система с тройкой параметров (а. Ь. г) имеет гомокли-
ническую петлю сепаратрисы седло-узла.
В работе [56] автором предложен оригинальный метод
приближенного нахождения бифуркационных поверхностей (кривых) в
пространстве параметров и определения их коразмерности для следующих се-
паратрисных контуров особых точек: гетероклинический контур,
соединяющий два седло-узла, два седло-фокуса или седло-узел с седло-
фокусом; гомоклипическая петля сепаратрисы седло-фокуса; гомо-
клиническая петля сепаратрисы седло-узла, гомоклиническая и гете-
роклиническая бабочка. Предполагается, что при всех значениях
параметров из области U С J?* для особых точек семейства (1.9)
выполнены условия теоремы Гробмана-Хартмана, так что сепаратрисы,
входящие в особые точки вдоль их устойчивых многообразий и
выходящие из них вдоль их неустойчивых многообразий, существуют.
Проблема состоит в приближенном нахождении тех значений
параметров, при которых эти сепаратрисы образуют замкнутые контуры в
фазовом пространстве. В книге [59] и в главе 2 настоящей книги
описанная ниже методика проиллюстрированы примерами определения
всех указанных контуров для системы Лоренца.
1. Гетероклинические контуры седло-узлов и
седло-фокусов. Пусть особая точка ж(/х) семейства (1.9) является седло-узлом
или седло-фокусом, имеющим одномерное устойчивое Ws и (п — 1)-
мерное неустойчивое Wu многообразия, а особая точка £(ц) семейства
(1.9) является седло-узлом или седло-фокусом, имеющим, наоборот,
одномерное неустойчивое Wu и (п — 1)-мерное устойчивое Ws
многообразия. При этом матрица Якоби правой части системы (1.9)
имеет ровно одно отрицательное вещественное собственное значений Л в
точке x(/i) и ровно одно положительное вещественное собственное
значение v в точке x(fi). Задача состоит в нахождении бифуркационной
поверхности S в пространстве параметров Rk такой, что при любом

92 ГЛАВА 1. СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
значении \i € S сепаратриса, входящая в особую точку x(fi) семейства
(1.9) при t —► — оо вдоль ее одномерного неустойчивого многообразия,
входит также в особую точку a?Qu) семейства (1.9) при t —> -foo вдоль
ее одномерного устойчивого многообразия.
Запишем уравнения системы (1.9) в виде
ij{t) = fj{x,H), j = l,...,m. (1.28)
Выберем одну из координат, имеющую наиболее простую правую часть
в окрестности особых точек х~(ц) и £(//), например, х\. Вычислим
производные dxj/dxi в особой точке, например, х(//), воспользовавшись
для этого разложением в этой точке правых частей системы (1.28):
™ dfj(x,p) dxijx)
i=\ dxt dx! •_r— n 9Qx
z=i dxi dx\
Легко видеть, что если система (1.28) приведена к виду fi(x,{i) = x<i
(то есть х\ = £2), то вектор у с координатами yj = dxj/dxi, j = l,m,
является решением системы нелинейных уравнений
m
^2% = 5ZaJ|2/|» •?= 1? • • • 'т? (1#3°)
где dji элементы матрицы Якоби правой части системы (1.28),
вычисленные в особой точке. Из (1.30) следует, что
Лу - у2у
и, следовательно, значение У2 = dx*ijdx\ является собственным
значением матрицы линеаризации системы (1.28) в особой точке.
Примем у2 = Л в точке xQi) и у2 = и в точке x(fi). Остальные величины
j)j, j = 3,...,гс, однозначно определим из системы уравнений (1.30).
Заметим, что если какие-либо величины yj окажутся равными нулю в
какой-либо особой точке, то это потребует дополнительного
разложения правых частей в ряд Тейлора в этой особой точке до получения
отличных от нуля производных некоторого порядка.
Выпустим теперь из окрестности особой точки х{у) системы (1.28)
траекторию вдоль ее неустойчивого многообразия так, что она будет
иметь в каждой проекции (xi, Xj) тангенс угла наклона к оси х\
отрезка, соединяющего начальную и особую точки, равный г/j. С этой целью
для любой сколь угодно малой величины е > 0 рассмотрим значение
x\(Q) = 2?i(/i) + e координаты х\, сколь угодно близкое к значению
этой координаты в особой точке x{ji). Остальные координаты
начальной точки примем равными Xj(0) = x3(fi) + yjE. Другими словами,
dxj(x)
dx\
x->x /! (Ж, fl)

1.6. НЕЛОКАЛЬНЫЕ БИФУРКАЦИИ В НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАХ 93
решая систему (1.28) с указанными начальными условиями, мы
получаем траекторию x+{t) системы, сколь угодно близкую к сепаратрисе,
исходящей из особой точки х(/г). Аналогично, выпускаем из
окрестности особой точки af(/i) траекторию x~(t)< сколь угодно близкую к
сепаратрисе, решая в обратном времени систему (1.28) с
начальными условиями #i(0) = xi(fi) + e, Xj(Q) = Xj(fjb) + у^е, j = 2,3,...,m.
Теперь нам необходимо сшить траектории x'v(t) и x~(t). Точку
сшивки можно выбрать достаточно произвольно, например, это могут быть
точки пересечения проекциями траекторий x+(t) и x~~(t) в плоскости
(zi5#2) оси xi, то есть точки X|"(f*") и x~[(t~) такие, что x^lt^) = О
и ж^(£~) = 0. При этом однозначно определяются моменты t+ и Г
пересечения оси х\ проекциями этих траекторий и соответствующие
этим моментам концы проекций полу траекторий х^ и xj, j = 3,..., m.
Тогда для получения кривой, приближенно совпадающей с гетерокли-
иическим контуром системы (1.28), необходимо и достаточно решить
систему т — 1 уравнений относительно к параметров
lim £i"(£+,/i,e) = Нтж^(*~,/л,е),
е^° е^° _ (1.31)
l\mx?(t+,ti,e) = lim х- (t ,д, e),j = 3,m.
Теорема 1.16. В случае общего положения система (1.28) не
имеет в пространстве параметров значений соответствующих гетеро-
клиническим контурам особых точек, связывающих их одномерные
многообразия при к < т — 1. В противном случае бифуркационная
поверхность гетероклинических контуров особых точек, связывающих
их одномерные многообразия, имеет в пространстве параметров
коразмерность т— 1 и определяется с любой точностью при численном
решении системы уравнений (1.31) для некоторого е > 0.
Таким образом, при к = т— 1 в пространстве параметров
существует только единственная точка, соответствующая гетероклиническому
контуру указанного вида, при к = т - часть линии, при к > т + 1 -
часть поверхности, имеющая размерность к — т + 1.
2. Гомоклиническая петля сепаратрисы седло-фокуса. Пусть
особая точка аГ(/х) семейства (1.9) является седло-фокусом, имеющим
двумерное неустойчивое многообразие Wu и (m — 2)-мерное
устойчивое многообразие W3. При этом матрица Якоби правой части
системы (1.9) имеет в особой точке два комплексно сопряженных
собственных значения Аг и Аз с положительными вещественными частями и
остальные т - 2 вещественных отрицательных собственных значения
Ai, A4,..., Am. Задача состоит в нахождении бифуркационной
поверхности S в пространстве параметров Rk такой, что при любых /i G S
сепаратриса, входящая при закручивании в особую точку х (д)
семейства (1.9) при t —> — со вдоль ее двумерного неустойчивого
многообразия, входит также в эту же особую точку if (//) семейства (1.9) при
t —> -Ьоо вдоль ее (ш — 2)-мерного устойчивого многообразия.

94 ГЛАВА 1. СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Рассмотрим сначала случай т = 3, то есть случай
одномерного устойчивого многообразия седло-фокуса х(ц). Аналогично случаю,
рассмотренному выше, найдем вектор производных в особой точке
yj = dxj/dxi, j = 1, 2,3 так, что у2 = Xi < 0. Выпустим из
окрестности особой точки Щц) в обратном времени траекторию x~(t)y сколь
угодно близкую к сепаратрисе так, что она будет иметь в проекциях
(xiy х2) и (xi, хз) тангенс угла наклона в начальной точке сколь угодно
мало отличающийся от значения у2 = \\. Для этого решаем систему
(1.28) в обратном времени с начальными условиями £i(0) = ~х\{ц) +е,
Xj(0) — Xj(ji) 4- yjS, j — 2. 3, где е - любое сколь угодно малое
положительное число. Останавливаем расчет траектории x~{i) в момент
времени £~. когда ее проекция в плоскости {х\,х2) пересечет ось xi,
то есть когда х2 (t~) = 0.
Для того, чтобы найти траекторию £^(£), сколь угодно близкую к
сепаратрисе, исходящей в прямом времени из седло-фокуса х(//),
приведем матрицу линеаризации системы (1.28) невырожденным
преобразованием к виду
/а -0 0\
В = С~1АС = [в а 0 ,
\0 0 Ai/
где Ai < 0. А2 = а + г/3, Аз = <* — i{3, a > 0.
В координатах z = C~l{x —~x(fi)) особая точка z — 0 имеет
одномерное устойчивое многообразие^ касательное к оси z<$, и
двумерное неустойчивое многообразие, касательное к плоскости (zy, z2). Для
любого е > 0 существует семейство начальных условий z\q = ecosip,
£20 = esinp, zso = 0, зависящих от произвольной фазы <р, но лежащих
на одном расстоянии е от особой точки. Этим начальным условиям
соответствует семейство траекторий x+(t,ip), выпущенных в прямом
времени из точек
/е cos <p\
х(0) = x(/i) + С I e sin ф I .
V о )
Каждая из таких траекторий аппроксимирует сколь угодно близко
одну из сепаратрис седло-фокуса х(^). Выберем теперь фазу <р(е,д) так,
чтобы xj~(£+) = x~(t~)y где f+ — момент времени, когда проекция
траектории xY'(t) в плоскости \[xi,x2) пересекает ось х\, то есть кода
х2^) = 0. Тогда для получения петли сепаратрисы седло-фокуса в
случае т = 3 необходимо и достаточно решить только одно уравнение
относительно набора параметров, а именно
Ит х£ (t+1 р, е) — Нтжз(Г,//,£). (1.32)
Следовательно, в этом случае бифуркация образования петли
сепаратрисы седло-фокуса имеет коразмерность 1, то есть является к — 1-
мерной поверхностью в пространстве параметров.

1.6. НЕЛОКАЛЬНЫЕ БИФУРКАЦИИ В НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАХ 95
Теперь нетрудно видеть, что при т > 3 коразмерность
бифуркации образования петли сепаратрисы седло-фокуса также равна 1, так
как существует (т — 3)-мерное семейство сепаратрис, входящих при
t —> +оо в особую точку вдоль ее (т — 2)-мерного устойчивого
многообразия. То есть имеется в наличии еще т — 3 свободных параметра,
необходимые для замыкания траекторий х+(£) и x~{t) во всех
проекциях (xj.Xj), j = 4.m. Таким образом, имеет место следующая
Теорема 1.17. Гомоклииическая петля сепаратрисы седло-фокуса
имеет в пространстве параметров коразмерность 1, а ее
бифуркационная поверхность является частью (к — I)-мерной
гиперповерхности и определяется приближенно численным решением уравнения
(1.32) при некотором е > 0.
3. Гомоклиническая петля сепаратрисы седло-узла. Пусть
особая точка х{ц) семейства (1.9) является седло-узлом, имеющим
одномерное неустойчивое многообразие Wu и (т — 1)-мерное
устойчивое многообразие Ws. При этом матрица Якоби правой части
системы (1.9) имеет в особой точке одно положительное собственное
значение V2 и т — 1 отрицательных вещественных собственных
значений z/i, г/3)-")^ш- Задача состоит в нахождении бифуркационной
поверхности S в пространстве параметров Rk такой, что при любом
значении /j, € S сепаратриса, входящая в особую точку ж(д) семейства
(1.9) при t —» —со вдоль ее одномерного неустойчивого многообразия,
входит также в ту же особую точку х(рь) семейства (1.9) при t —> -hoo
вдоль ее (т — 1)-мерного устойчивого многообразия.
Рассмотрим сначала случай т = 2, то есть случай одномерного
устойчивого многообразия седло-узла х(рь), которое в этом случае
является просто седлом. Аналогично изложенному выше найдем
значения производной у2 = dx^jdxx в особой точке. При этом очевидно,
существуют два значения у£ — ъ>2 > 0 и t/^" = щ < 0. являющихся
вещественными собственными значениями матрицы Якоби правой части
системы (1.9) в особой точке.
Выпустим из окрестности особой точки x(fi) в прямом времени
траекторию x^(t), сколь угодно близкую к сепаратрисе таким
образом, чтобы она имела в плоскости (^i,^) тангенс угла наклона к оси
х\ в начальной точке, сколь угодно мало отличающийся от значения
V2 — ^2 > 0. Для этого решаем систему (1.28) в прямом времени с
i гачальными условиями
х\ (0) = xi (/г) + е, х2(0) = 52(/i) -г Уг"е,
где е — сколь угодно малое положительное число. Вычисление
траектории х+{£) прекращаем в момент £+, при котором х*(Г*~) = 0.
Аналогично, выпустим из особой точки x(fi) в обратном времени траекторию
.г~(£), сколь угодно близкую к сепаратрисе так, что она будет иметь в
плоскости (xi, X2) тангенс угла наклона в начальной точке, сколь
угодно мало отличающийся от значения у^ = v\ < 0. Для этого решаем

96 ГЛАВА 1. СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
систему (1.28) в обратном времени с начальными условиями
xi (0) = xi (/i) + е, х2(0) = х2(/х) + yje,
где 6 — сколь угодно малое положительное число. Вычисление
траектории x~(t) прекращаем в момент £~~, при котором а^~(£~) = 0.
Необходимым и достаточным условием существования петли сепаратрисы
является выполнение одного равенства
lim жГ(г+./л,е) = lim x7(t~,ti,e) (1.33)
относительно семейства параметров \i. Таким образом, в случае т = 2
бифуркация образования петли сепаратрисы седла имеет
коразмерность 1, то есть является (к — 1)-мерной гиперповерхностью в
пространстве параметров.
Нетрудно видеть, что при т > 2 коразмерность бифуркации
образования петли сепаратрисы седло-узла также равна 1, так как
существует (т — 2)-мерное семейство сепаратрис, входящих при t —> +оо
в особую точку вдоль ее (т — 1)-мерного устойчивого многообразия.
Иными словами, имеется еще т — 2 свободных параметров,
необходимых для замыкания траекторий x+(t) и x~(t) во всех проекциях
(x\4Xj), j = 3,m. Таким образом, имеет место следующая
Теорема 1.18. Гомоклиническая петля сепаратрисы седло-узла
имеет в пространстве параметров коразмерность 1, а ее
бифуркационная поверхность является частью (к — I)-мерной
гиперповерхности и определяется с любой точностью приближенным решением
уравнения (1.33) при некотором е > 0.
1.6.4. Каскады бифуркаций. Сценарии перехода к хаосу
В нелинейных динамических системах, описываемых как
обыкновенными дифференциальными уравнениями, так и уравнениями в
частных производных существуют последовательности (каскады)
бифуркаций, приводящие к возникновению сложных, хаотических режимов
поведения. Они получили название сценариев перехода к хаосу.
Рассмотрим наиболее важные и типичные из этих сценариев.
1. Каскад бифуркаций удвоения периода. Сценарий Фей-
генбаума. Этот сценарий, которому соответствует бесконечный
каскад бифуркаций удвоения периода рождающихся устойчивых
предельных циклов или устойчивых торов, является универсальным и самым
распространенным сценарием перехода к хаосу в нелинейных системах
дифференциальных уравнений. Он присутствует, например, в
гидродинамической модели Лоренца и в гипотетических моделях
химических реакций Ресслера, в электротехнической модели Чуа и в модели
кроветворения Мэкки-Гласса , в макроэкономической модели
Магницкого и в моделях различных биологических и экосистем (см. главу,

1.6. НЕЛОКАЛЬНЫЕ БИФУРКАЦИИ В НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАХ 97
2). Именно этот каскад, ведущий к возникновению первого и
самого простого сингулярного аттрактора-аттрактора Фейгенбаума (рис.
1.31), является начальной стадией других, более сложных каскадов
бифуркаций, ведущих к возникновению более сложных сингулярных
аттракторов. Кроме того, пока только для сценария Фейгенбаума
удалось доказать некоторые универсальные свойства последовательности
значений бифуркационного параметра /in —* j.Loo,n —> оо, при
которых происходят очередные бифуркации удвоения периода циклов или
торов (см. главу 2).
Рис. 1.31: Устойчивые циклы периода два (а), периода четыре (б) и
аттрактор Фейгенбаума (в) в системе Ресслера
Многочисленные примеры каскадов бифуркаций удвоения
периода в конкретных нелинейных автономных и неавтономных, диссипа-
тивных и консервативных системах обыкновевшых
дифференциальных уравнений и уравнений с частными производными рассмотрены в
следующих главах книги. Строгая теория перехода к хаосу в
нелинейных системах дифференциальных уравнений через каскад
бифуркаций удвоения периода Фейгенбаума изложена во второй главе книги.
2. Субгармонический каскад бифуркаций. Сценарий Шар-
ковского. Иногда в научной литературе субгармоническим каскадом
называется каскад бифуркаций удвоения периода Фейгенбаума [14].
Мы же, чтобы разделить понятия субгармонического каскада и каскад
да удвоения периода, характеризуем этим термином значительно более
сложный каскад бифуркаций рождения устойчивых циклов или торов
любого периода, начальной стадией которого является каскад
Фейгенбаума. Как правило, каскад бифуркаций удвоения периода,
описанный выше, имеет свое продолжение. При дальнейшем увеличении
значений бифуркационного параметра fi > /^ в системе происходит
рождение устойчивых предельных циклов или торов любого периода
и соответствии со сценарием, найденным Шарковским [120]. Им было
доказано, что существует отношение, которое упорядочивает циклы
непрерывных одномерных унимодальных отображений по величинам

98 ГЛАВА 1. СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
их периодов следующим образом:
К 2 < 22 < 23 • • • < 22 - 7 < 22 ■ 5 < 22 • 3 • • •
•■■<2-7<2-5<2-3---<9<7<5<3. (1.34)
Первое соотношение в этом ряду означает, что если одномерное
непрерывное отображение имеет цикл удвоенного периода, то оно имеет и
простой цикл. Самым сложным в этом ряду является цикл периода
три. Существование такого цикла означает также и существование
любого цикла любого периода из ряда (1.34).
Рис. 1.32: Устойчивые циклы периода три в системах Ресслера (а), Лоренца
(б).Чуа(в)
Оказалось, что во всех нелинейных системах дифференциальных
уравнений всех типов без исключений усложнение динамики после
каскада бифуркаций удвоения периода Фейгенбаума происходит именно в
соответствии с субгармоническим каскадом бифуркаций Шарковско-
го. Многочисленные примеры субгармонических каскадов
бифуркаций в конкретных нелинейных системах дифференциальных
уравнений рассмотрены в следующих главах книги. Строгая теория перехода
к хаосу в нелинейных системах дифференциальных уравнений через
субгармонический каскад бифуркаций изложена во второй главе
книги. Основной характерной чертой каскада является наличие в системе
устойчивого предельного цикла или тора периода три. На рис. 1.32
показаны устойчивые циклы периода три, найденные при
соответствующих значениях бифуркационных параметров в системах Ресслера,
Лоренца и Чуа.
Субгармонический каскад бифуркаций устойчивых циклов (торов)
порождает бесконечное число циклических (тороидальных) субгармо1
иических сингулярных аттракторов, являющихся значительно более
сложными аттракторами, чем простейший аттрактор Фейгенбаума.
Каждый из таких аттракторов порождается каскадом бифуркаций

1.6. НЕЛОКАЛЬНЫЕ БИФУРКАЦИИ В НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАХ 99
удвоения периода некоторого устойчивого цикла из порядка (1.34).
родившегося в свою очередь в результате соответствующей седло-узловой
бифуркации. На рис. 1.33 показаны циклические субгармонические
сингулярные аттракторы систем Ресслера, Лоренца и Чуа.
Рис. 1.33: Циклические субгармонические сингулярные аттракторы в
системах Ресслера (а), Лоренца (б) и Чуа (в)
3. Гомоклинический каскад бифуркаций. Сценарий
Магницкого. Во многих нелинейных системах дифференциальных
уравнений процесс усложнения режимов поведения решений не
заканчивается рождением устойчивого цикла (тора) периода три, завершающего
субгармонический каскад бифуркаций Шарковского, а продолжается
каскадом бифуркаций рождения устойчивых гомоклинических (или
гетероклинических) циклов (или торов), сходящихся к
существующему в системе гомоклиническому или гетероклииическому контуру —
петле сепаратрисы ротора, петле сепаратрисы седло-фокуса или петле
сепаратрисы сингулярного цикла и др. Последовательность
устойчивых циклов, порождающих двойной гомоклинический каскад
бифуркаций впервые была обнаружена автором в системе Лоренца в работах
[52,53]. Причем было показано, что в системе Лоренца при различных
совокупностях значений системных параметров может существовать
как неполный двойной гомоклинический каскад бифуркаций,
состоящий из конечного числа пар устойчивых гомоклинических циклов,
так и полный двойной гомоклинический каскад бифуркаций,
состоящий из бесконечного числа пар устойчивых гомоклинических циклов.
В первом случае в системе рождаются классические сингулярные
аттракторы, обладающие «глазами», во втором - сингулярные
аттракторы в окрестности петли сепаратрисы седло-фокуса, не имеющие глаз
(см. рис. 1.34 и п.2.3.5 главы 2).
Первыми циклами гомоклииического каскада являются цикл
периода два в каскаде Фейгенбаума и цикл периода три в каскаде Шарков-
ского. Многочисленные примеры гомоклинических и гетероклиниче-

1QQ ГЛАВА 1. СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Рис. 1.34: Проекции на плоскость (и,ь) главных осей одного из
классических сингулярных аттракторов в системе Лоренца (а) и сингулярного
аттрактора в окрестности сепаратрисного контура системы Лоренца (б)
ских каскадов бифуркаций в конкретных нелинейных системах
дифференциальных уравнений рассмотрены в следующих главах книги.
Строгая теория перехода к хаосу в нелинейных системах
дифференциальных уравнений через гомоклинический каскад бифуркаций,
следующий за субгармоническим каскадом, изложена во второй главе книги.
4. Каскад бифуркаций Андронова—Хопфа. Сценарий
Ландау. В середине XX века Л.Ландау [46] и независимо от него Э.Хопф
[149] выдвинули гипотезу, согласно которой хаотическая динамика дис-
сипативиых систем есть не что иное, как движение по
инвариантному тору большой размерности, рождающемуся в результате каскада
бифуркаций Андропова—Хопфа. В результате первой такой
бифуркации происходит рождение устойчивого предельного цикла, в
результате второй — рождение инвариантного двумерного тора.
Дальнейшее изменение значений бифуркационного параметра может привести
к последовательности бифуркаций, в результате которых в фазовом
пространстве возникают устойчивые инвариантные торы все
возрастающей размерности. В конечном счете происходит переход к
сложному квазипериодическому движению с к несоизмеримыми частотами,
которое при больших к будет выглядеть хаотическим.
В настоящее время в нескольких нелинейных системах
дифференциальных уравнений с частными производными нами обнаружены
каскады из трех бифуркаций Андронова—Хопфа с образованием
устойчивого трехмерного тора и дальнейшими бифуркациями этого тора,
вид которых пока удалось установить только в одном варианте
пространственно трехмерной конвекции Рэлея-Бенара вязкой
несжимаемой жидкости. Произошла бифуркация удвоения периода трехмерного
тора. Дальнейшие бифуркации не удалось обнаружить из-за большой
сложности численного решения такой задачи (см. главу 4). Этими би-

1.6. НЕЛОКАЛЬНЫЕ БИФУРКАЦИИ В НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАХ 101
фуркациями могут быть только либо дальнейший каскад бифуркаций
трехмерного тора по одной из частот, либо следующие бифуркации
Андронова—Хопфа, ведущие к рождению устойчивых торов большей
размерности. Таким образом, вполне вероятно, что сценарий Ландау
может реализоваться в сложных нелинейных системах
дифференциальных уравнений с частными производными, таких, например, как
многомерная система уравнений Навье-Стокса или многомерное
уравнение Гинзбурга-Ландау.
5. Сценарии Рюэля-Такенса и Помо-Манневиля. В
современной литературе является очень модным объяснять природу
динамического хаоса в нелинейных системах дифференциальных
уравнений сценариями Рюэля-Такенса через разрушение трехмерного тора с
появлением странного аттрактора и сценарием Помо-Манневиля
перехода к хаосу через перемежаемость, хотя нет ни одного достоверного
примера ни одной системы уравнений, где бы эти сценарии работали.
Как уже отмечено выше, устойчивые трехмерные торы существуют в
многомерных нелинейных системах и не разрушаются, а бифурцируют
с образованием более сложных структур. Наличие странного
аттрактора не удалось доказать ни для одной системы дифференциальных
уравнений, включая систему Лоренца. Перемежаемость же просто
является ошибкой вычислений (см. [59,65]).
Все рассмотренные в настоящей книге многочисленные примеры
нелинейных систем дифференциальных уравнений всех типов
свидетельствуют о том, что никаких других сценариев перехода в них к
хаосу, кроме каскадов бифуркаций, нет и. по всей видимости, быть не
может. Развитие хаотической динамики в любой системе всегда
начинается каскадом удвоения периода Фейгенбаума некоторого регулярного
аттрактора (устойчивого цикла или тора), всегда продолжается (если
продолжается) субгармоническим каскадом бифуркаций Шарковского
и, если продолжается, то всегда гомоклиническим или гетероклиниче-
ским каскадом бифуркаций. Но эти три каскада не исчерпывают всей
сложности хаотической динамики в нелинейных системах
дифференциальных уравнений. Как показывают примеры главы 2, дальнейшее
усложнение динамики решений может происходить и за
гомоклиническим каскадом бифуркаций, и частично вместо гомоклинического
каскада при отсутствии в системе гомоклинических или гетерокли-
нических сенаратрисных контуров. Поэтому излагаемая в настоящей
книге теория ФШМ (Фейгенбаума—Шарковского—Магницкого)
описывает только основную, очень важную, но начальную стадию
перехода к динамическому хаосу в нелинейных системах дифференциальных
уравнений.
1.6.5. Бифуркации сингулярных аттракторов
Как уже неоднократно отмечалось выше, точка зрения автора
настоящей книги, полностью совпадающая с результатами
многочисленных численных экспериментов, заключается в том. что в нелинейных

102 ГЛАВА 1. СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
системах дифференциальных уравнений не существует никаких
других нерегулярных аттракторов, кроме сингулярных. Сингулярные
аттракторы - это негрубые образования, рождающиеся в результате
каскадов бифуркаций удвоения периода и гомоклинических и гетерокли-
нических каскадов бифуркаций регулярных аттракторов. Так как в
любой окрестности точки существования сингулярного аттрактора в
пространстве параметров существует бесконечное число точек
существования различных регулярных аттракторов, а в процессе каскадов
бифуркаций сложность сингулярных аттракторов возрастает, то их
типичными бифуркациями являются следующие бифуркации.
1. Бифуркация образования регулярного аттрактора
(устойчивого цикла). Пусть значение параметра /i = 0 является
точкой накопления некоторого бесконечного каскада значений
параметра //п < 0, в которых происходят бифуркации устойчивых циклов
семейства (1.9), так что \in —* 0 при п —► со. Тогда при \i = 0
система (1.9) имеет негрубый сингулярный аттрактор. Очевидно, что при
малом возмущении параметра fj в область отрицательных значений
может произойти одна из бесконечного количества бифуркаций
образования некоторого устойчивого цикла. При малом возмущении
параметра в область положительных значений может также произойти
одна из бесконечного количества бифуркаций образования некоторого
устойчивого цикла некоторого другого бесконечного каскада
бифуркаций. Простейшим сингулярным аттрактором такого типа является
аттрактор Фейгенбаума.
2. Бифуркация образования регулярного аттрактора
(устойчивого тора). Пусть значение параметра \i = 0 является
точкой накопления некоторого бесконечного каскада значений параметра
fin < 0, в которых происходят бифуркации удвоения периодов
устойчивых торов семейства (1.9) по одной из частот, так что jin —* 0 при
п —* оо. Тогда при \i — 0 система (1.9) имеет негрубый сингулярный
тороидальный аттрактор. Очевидно, что при малом возмущении
параметра \i в область отрицательных значений может произойти одна из
бесконечного числа бифуркаций образования некоторого устойчивого
тора некоторого периода.
3. Бифуркация образования сингулярного аттрактора.
Пусть, как в первом случае, значение параметра /i = 0 является
точкой накопления некоторого бесконечного каскада значений параметра
\in < 0, в которых происходят бифуркации устойчивых циклов (торов)
семейства (1.9), так что \in —> 0 при п —> ос. Тогда при /г = О система
(1.9) имеет негрубый сингулярный аттрактор (например, аттрактор
Фейгенбаума). При малом возмущении параметра \х в область
положительных значений наряду с бифуркацией образования некоторого
устойчивого цикла (тора) может также произойти одна из бифуркаций
образования некоторого другого сингулярного аттрактора, если
возмущенное значение параметра будет являться точкой накопления неко-

1.6. НЕЛОКАЛЬНЫЕ БИФУРКАЦИИ В НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАХ 103
торого другого бесконечного каскада бифуркаций устойчивых циклов
(торов).
4. Бифуркация связанности. Эта бифуркация состоит в
усложнении топологической структуры сингулярных аттракторов
посредством соединения ветвей сепаратрисного дерева Фейгенбаума с
образованием гетероклинических сепаратрисных складок, формирующих
бесконечно складчатое сепаратрисное многообразие, имеющее в
сечении Пуанкаре вид гетероклинического сепаратрисного зигзага [70].
Открытие автором существования такого инвариантного
сепаратрисного многообразия (двумерного в трехмерном случае), содержащего
все регулярные и сингулярные аттракторы системы, решает наислож-
пейшую многолетнюю проблему топологической структуры
нерегулярных (сингулярных) аттракторов нелинейных систем
дифференциальных уравнений.
Формирование сепаратрисного зигзага начинается с окрестности
вершины дерева Фейгенбаума и внешне выглядит как объединение
частей одного сингулярного аттрактора, причем это объединение
происходит в точках бифуркаций гомоклинических сепаратрисных контуров
и в порядке, обратном порядку каскада бифуркаций удвоения
периода Фейгенбаума, приведшему к рождению аттрактора Фейгенбаума и
формированию сепаратрисного дерева Фейгенбаума. Примерами
бифуркации связанности является объединение частей сингулярного
аттрактора в момент существования гомоклинической петли
сепаратрисы неподвижной точки логистического отображения (см. и. 2.1.2.
главы 2) или объединение двух лент сингулярного аттрактора в любой
трехмерной автономной нелинейной диссипативной системе в момент
существования гомоклинической петли сепаратрисы исходного
сингулярного цикла (см. пример 1 в п. 2.3.4 главы 2).
5. Бифуркация объединения сингулярных аттракторов.
Подобно объединению частей одного сингулярного аттрактора в
семействе систем (1.9) может также происходить и объединение двух
различных сингулярных аттракторов в точках бифуркаций
гетероклинических сепаратрисных контуров. Такая бифуркация характерна для
систем с несколькими особыми точками типа седло-фокус. В
частности ее можно наблюдать при некоторых значениях системных
параметров в системе уравнений Лоренца, когда происходит слияние двух лент
двух субгармонических сингулярных аттракторов, образовавшихся
вокруг двух седло-фокусов системы, в один сингулярный аттрактор,
охватывающий пространственную область вокруг обеих особых точек.
Рассмотренные выше возможные бифуркации сингулярных
аттракторов семейства систем нелинейных обыкновенных
дифференциальных уравнений (1.9) опираются на большой фактический материал,
приведенный в следующих главах книги, и на изложенную во второй
главе строгую математическую теорию сингулярных аттракторов.

Глава 2
Теория динамического хаоса в
нелинейных диссипативных системах
обыкновенных дифференциальных
уравнений (ОДУ)
В настоящей главе представлена теория динамического хаоса в
нелинейных диссипативных системах обыкновенных
дифференциальных уравнений, являющаяся, по существу, теорией сингулярных
аттракторов нелинейных систем дифференциальных уравнений. На
многочисленных примерах двумерных неавтономных систем с
периодическими коэффициентами, трехмерных, многомерных и
бесконечномерных автономных систем показано, что во всех этих системах
существует один универсальный бифуркационный сценарий перехода к хаосу
через каскад бифуркаций Фейгенбаума удвоения периода устойчивых
циклов или торов, затем через субгармонический каскад бифуркаций
Шарковского устойчивых циклов или торов любого периода вплоть
до цикла (тора) периода три, и затем через гомоклинический или ге-
тероклинический каскад бифуркаций Магницкого устойчивых циклов
(торов), сходящихся к гомоклиническим или гетероклиническим
контурам особых точек и циклов и к другим сепаратриспым
многообразиям.
Давно и хорошо известно, что в одномерных унимодальных
отображениях реализуется сценарий перехода к хаосу через
субгармонический каскад бифуркаций Шарковского, включающий в себя каскад
бифуркаций удвоения периода Фейгенбаума ([114,120,121, 133,134,137,
150,153]). В настоящей главе показано, что этот каскад
продолжается в одномерных унимодальных отображениях циклами гомоклиниче-
ского каскада, сходящимися к петле сепаратрисы неподвижной точки
отображения. Следовательно, универсальный бифуркационный
механизм теории ФШМ рождения сингулярных аттракторов работает уже
в одномерных унимодальных отображениях. Установлено также, что
ключевым элементом теории сингулярных аттракторов и
естественным мостом между одномерными отображениями и трехмерными
автономными системами обыкновенных дифференциальных уравнений
являются двумерные неавтономные системы с особой точкой типа
ротор, открытой автором в [58,60]. Анализ хаотической динамики систем
с ротором дал возможность объяснить природу и принципы
формирования сингулярных аттракторов любых нелинейных систем
дифференциальных уравнений. Доказано, что сингулярные аттракторы
существуют только в точках накопления значений бифуркационного па-

2.1. ХАОС В ОДНОМЕРНЫХ УНИМОДАЛЬНЫХ ОТОБРАЖЕНИЯХ 105
раметра, являясь почти устойчивыми непериодическими
траекториями или многообразиями, предельными к каскадам бифуркаций
удвоения периода и гомоклиническим (гетероклиническим) каскадам
бифуркаций регулярных аттракторов.
В настоящей главе решена также наитруднейшая, основная, на наш
взгляд, проблема хаотической динамики нелинейных систем
дифференциальных уравнений, которая состоит в выяснении топологической
структуры многообразия, на котором располагаются без
самопересечений все регулярные и сингулярные аттракторы нелинейной системы
в соответствии с порядком Шарковского и гомоклиническим
порядком. Для неавтономных двумерных систем с ротором и трехмерных
автономных систем найдено представление такого многообразия в
виде бесконечнолистного (складчатого) двумерного гетероклинического
сепаратрисного многообразия, натянутого на листы Мёбиуса,
соединяющие различные циклы из каскада удвоения периода Фейгенбаума,
субгармонического и гомоклинического каскадов [70].
Доказано, что в трехмерном случае любой простой сингулярный
аттрактор (почти устойчивая непериодическая траектория) имеет
нулевой старший характеристический показатель. В пространстве
большей размерности траектория, лежащая на простом сингулярном
аттракторе, также имеет нулевой старший характеристический
показатель. Получение численно любого другого результата является, как
правило, следствием размазывания численной траектории по
некоторой ограниченной области в результате некорректности решаемой
задачи, и только в исключительных случаях, соответствующих наличию
в системе гомоклинического или гетероклинического контура, может
отражать реальную ситуацию.
Полученные в главе теоретические результаты подтверждены
многочисленными примерами как модельных, так и широко известных
автономных и неавтономных, многомерных и бесконечномерных
нелинейных диссипативных систем обыкновенных дифференциальных
уравнений.
2.1. Хаотическая динамика одномерных
унимодальных отображений
2.1.1. Гладкие одномерные отображения
Рассмотрим динамическую систему с дискретным временем,
заданную на интервале IcR и зависящую от скалярного параметра ц,
xn^ = f{xn,fi), xn е/СЙ, /€0\ п~0,1,2,... (2.1)
Непрерывно дифференцируемое отображение f : I —> I является
одномерным и имеет наглядную геометрическую интерпретацию, так как

106
ГЛАВА 2. ТЕОРИЯ ДИНАМИЧЕСКОГО ХАОСА
может быть графически представлено в координатах (хп, xn+i). В этом
случае с помощью диаграммы Ламерея легко находятся его
неподвижные точки, которые лежат на пересечении графика хп+\ = f(xn,fj,)
и биссектрисы xn+i = хп (рис. 2.1).
Рис. 2.1: Диаграмма Ламерея некоторого одномерного отображения /.
Неподвижная точка х* неустойчива, точка х\ устойчива
Для одномерных отображений устойчивость неподвижной точки
определяется значением модуля производной отображения в этой
точке. Если в точке х* величина |/'(:r*,/i)| < 1, то неподвижная точка х*
устойчива и является притягивающей точкой. Если же {/'(я*.^)! > 1,
то неподвижная точка неустойчива. Данное условие является
достаточным. Необходимым и достаточным условием устойчивости
неподвижной точки одномерного отображения / € С°(/,/) является
неравенство f2(x) > х при х < х* и f2(x) < х при х > х* [121].
Если одномерное отображение /:/—»/ строго монотонно, то оно
обратимо, а динамическая система на интервале I устроена достаточно
просто. В случае, когда функция строго монотонно возрастает,
каждая траектория уравнения (2.1) сходится к одной из неподвижных
точек. Таким образом, имеет место разбиение всего интервала на области
устойчивости устойчивых неподвижных точек, ограниченные
неустойчивыми неподвижными точками.
Бифуркации в динамической системе с монотонно возрастающей
функцией обусловлены либо изменением характера устойчивости
неподвижных точек, либо их рождением (исчезновением). В связи с этим

2.1. ХАОС В ОДНОМЕРНЫХ УНИМОДАЛЬНЫХ ОТОБРАЖЕНИЯХ 107
отметим два случая, являющихся аналогами бифуркаций циклов в
нелинейных системах дифференциальных уравнений. В первом
случае график функции f(x) касается биссектрисы хп+\ = хп (кривая 2
па рис. 2.2а). Эта ситуация соответствует бифуркации точечного
отображения, в результате которой происходит либо слияние и
исчезновение устойчивой и неустойчивой неподвижных точек, если переход
осуществляется от кривой 1 к кривой 3, либо, наоборот, происходит
рождение двух новых неподвижных точек (устойчивой и неустойчивой),
если переход происходит от кривой 3 к кривой 1. Данная бифуркация
является полным аналогом седло-узловой бифуркации в нелинейных
системах дифференциальных уравнений.
Во втором случае неподвижная точка функции f(x) совпадает с
точкой перегиба этой функции (кривая 2 на рис. 2.26). В этом случае в
результате бифуркации происходит смена устойчивости неподвижной
точки и рождение (или исчезновение) двух других неподвижных
точек. Если, например, первоначально устойчивая неподвижная точка
Xq вследствие бифуркации теряет устойчивость при переходе от
кривой 3 к кривой 1, то при этом рождается пара новых устойчивых точек
х\ и^. Переход в обратную сторону от кривой 1 к кривой 3
соответствует бифуркации исчезновения двух устойчивых неподвижных
точек и изменению состояния равновесия с неустойчивого на
устойчивое третьей неподвижной точки xj. Эта бифуркация является полным
аналогом бифуркации типа вилки в нелинейных системах
дифференциальных уравнений.
Рис. 2.2: а) Одновременное рождение (исчезновение) неустойчивой х* и
устойчивой х\ неподвижных точек; б) изменение устойчивости одной
неподвижной точки Xq и одновременное рождение (исчезновение) пары
устойчивых неподвижных точек х\ и х\
В том случае, когда функция f(x) строго монотонно убывает, то

108 ГЛАВА 2. ТЕОРИЯ ДИНАМИЧЕСКОГО ХАОСА
есть f'(x) < 0, вторая итерация f2{x) = fof(x) имеет положительную
производную
f'(x) = (/ о f(x))' = /'(/(*)) ■ /'(*) > 0,
так как оба сомножителя в последнем выражении отрицательны.
Следовательно, /2 является строго монотонно возрастающей функцией.
При этом весь интервал I разбивается на область притяжения непо-
|*л+1
/
ш
<«•->
*и+1
\А
Ш
я.
V
±=^и
\ I
я)
Рис. 2.3: Бифуркация потери устойчивости неподвижной точки х* в случае
отображения с монотонно убывающей функцией f(x) (а) и рождение при
этом цикла периода 2 (б)
движпой точки х*, если последняя устойчива, и области притяжения
циклов периода 2. Это разбиение по существу определяет и тип
бифуркаций в динамической системе с монотонно убывающей
функцией: либо изменение характера устойчивости неподвижной точки ж*,
вследствие чего происходит рождение или исчезновение цикла
периода 2 (рис. 2.3), либо рождение (исчезновение) пары циклов периода 2
без изменения состояния неподвижной точки х*.
В первом случае при потере устойчивости неподвижной точки
должно, очевидно, выполняться условие /'(ж*) = — 1. Таким образом, эта
бифуркация точечных отображений полностью аналогична
бифуркации рождения цикла удвоенного периода в нелинейных системах
обыкновенных дифференциальных уравнений при прохождении
мультипликатора цикла через точку -1 единичной окружности.
Для того, чтобы динамическая система, описываемая одномерным
точечным отображением, могла быть устроена более сложно,
необходимо, чтобы отображение / : I —* /, было немонотонным. Это
позволит осуществить возвращение некоторых точек в начальное положение
и, следовательно, получить периодические точки с любым периодом,
а не только с периодом 1 или 2, как в случаях монотонно
возрастающей или монотонно убывающей функции f{x). Сложное поведение

2.1. ХАОС В ОДНОМЕРНЫХ УНИМОДАЛЬНЫХ ОТОБРАЖЕНИЯХ 109
динамической системы с немонотонной функцией обусловлено
неоднозначностью обратного отображения. Немонотонное, в частности,
унимодальное отображение может иметь бесчисленное множество циклов
различной кратности и несчетное множество непериодических
траекторий.
2.1.2. Теория ФП1М рождения циклов и сингулярных
аттракторов в одномерных унимодальных отображениях
Дадим краткое изложение теории хаоса в одномерных
унимодальных отображениях. Подробное доказательство утверждений
настоящего пункта можно найти в |59].
Изучение свойств логистического точечного отображения
/(ж,//) = fix(l-x), х € [О, 1], /1 £ [1, 4], (2.2)
привело М.Фейгенбаума к пониманию механизма удвоения периода
его циклов и к уравнению для определения значений параметра //,
при которых происходят бифуркации удвоения периода. Впоследствии
оказалось, что сложное хаотическое поведение одномерной
динамической системы не связано со своеобразием логистического отображения
и имеет место во всех разностных уравнениях первого порядка вида
хпм1 = f(xn.fi)t в которых при соответствующем выборе масштаба
одномерное отображение / : I *-+ 1 является унимодальным, то есть
имеет на заданном интервале / единственный экстремум. Обратное
отображение /~1 имеет при этом на интервале / две ветви.
Рассматривая отображение (2.2) на интервале х € [0, 1], Фейген-
баум установил, что существует бесконечная последовательность
значений //„ параметра /i, сходящаяся со скоростью геометрической
прогрессии со знаменателем 1/д и 1/4.67 к значению /i^ « 3.57, в
которых происходят бифуркации удвоения периода циклов логистического
отображения. То есть при всех значениях параметра ц,п < /i < /in-f i
уравнение (2.2) имеет единственный регулярный аттрактор -
устойчивый цикл перида 2п и набор неустойчивых циклов всех периодов 2fc, k
- 0,...,11-1.
Таким образом, первый наиболее простой и маломощный
сингулярный аттрактор, рождающийся в унимодальном одномерном
отображении при завершении каскада бифуркаций удвоения периода Фей-
гепбаума. состоит из точек, в любой окрестности каждой из которых
содержатся точки, принадлежащие какому-либо неустойчивому циклу
периода 2п,п > 0. Этот аттрактор носит имя Фейгенбаума. Он
является, очевидно, вшгде не плотным множеством точек на отрезке.
В случае логистического отображения (2.2) аттрактор
Фейгенбаума существует при значении параметра /^оо » 3.57. Однако само
логистическое отображение определено на отрезке х G [0,1] при всех
значения параметра // < 4. Ответ на вопрос, что происходит с
траекториями логистического и любого другого унимодального отобра-

110
ГЛАВА 2. ТЕОРИЯ ДИНАМИЧЕСКОГО ХАОСА
жения при значениях параметра /i > /Zoo, дает знаменитая теорема
А.Шарковского.
Из этой теоремы, переоткрытой Ли и Йорке [153], следует, что
усложнение структуры циклов итераций одномерных унимодальных
отображений, как правило, не заканчивается каскадом бифуркаций
Фейгенбаума и аттрактором Фейгенбаума, а продолжается некоторым
другим, более сложным каскадом бифуркаций в соответствии с
порядком, установленным Шарковским в своей теореме.
Определение. Порядком Шарковского называется упорядочение
в множестве натуральных чисел, имеющее вид
1 < 2 < 22 < 23 < • • • < 22 • 7 < 22 • 5 < 22 ■ 3 < • • •
••■<2-7<2-5<2-3<---<9<7<]5<3. (2.3)
Теорема 2.1. (теорема Шарковского [120]) Если непрерывное
отображение I —> I имеет цикл периода п, то оно имеет таксисе циклы
каждого порядка к такого, что k < n в смысле порядка (2.3).
Следствие. Если отображение f имеет цикл периода 3, то оно
имеет циклы всех периодов.
В теореме Шарковского ничего не говорится об устойчивости
циклов одновременно сосуществующих в одномерных унимодальных
непрерывных отображениях в соответствии с порядком (2.3). Однако,
многочисленные примеры, в том числе и пример логистического
отображения (2.2), показывают, что рождение различных устойчивых циклов
одномерного унимодального отображения /(ж, /г) при изменении
значений некоторого бифуркационного параметра ji происходит именно,
в последовательности, задаваемой порядком (2.3). Сначала при //о <
/i < //oo происходит каскад бифуркаций удвоения периода
изначально устойчивого простого цикла, заканчивающийся рождением
аттрактора Фейгенбаума. Затем происходит рождение устойчивых циклов
в соответствии с порядком Шарковского. Следовательно, каскад
бифуркаций Фейгенбаума происходит также в соответствии с порядком
Шарковского и является начальной стадией полного
субгармонического каскада, описываемого этим порядком.
Весь интервал изменения значений параметра \i при \х > //^
состоит из бесконечного числа подинтервалов (окон) периодичности
Ма < №> < ДОа+ъ разделенных изолированными значениями параметра
да, при которых отображение имеет простые сингулярные аттракторы
- почти устойчивые непериодические траектории, являющиеся
предельными к каскадам бифуркаций удвоения периода основных циклов
периода 2lk соответствующих окон периодичности в порядке
Шарковского. При этом отображение имеет также неустойчивые циклы всех
периодов, удовлетворяющих условию т < 2lk.
В случае логистического отображения (2.2) самое большое окно
периодичности имеет цикл периода три (рис. 2.4), рождающийся в
результате седло-узловой (касательной) бифуркации при значении \i «

2.1. ХАОС В ОДНОМЕРНЫХ УНИМОДАЛЬНЫХ ОТОБРАЖЕНИЯХ 111
Рис. 2.4: Полная бифуркационная диаграмма логистического отображения
при \х < 4
3.828. Следовательно, субгармонический каскад бифуркаций Шарков-
ского также не покрывает всю область изменения значений
бифуркационного параметра \i < 4 в случае логистического отображения.
За субгармоническим каскадом Шарковского лежит гомоклиниче-
ский каскад бифуркаций, открытый автором сначала в нелинейных
системах обыкновенных дифференциальных уравнений [52,53], а затем
обнаруженный в логистическом и других унимодальных
отображениях. Гомоклинический каскад бифуркаций состоит из
последовательного рождения устойчивых гомоклинических циклов периода п,
сходящихся к гомоклиническому контуру (как правило, к петле
сепаратрисы седло-фокуса в нелинейных системах дифференциальных
уравнений и петле сепаратрисы неподвижной точки в одномерных
отображениях). Родившиеся до этого и ставшие неустойчивыми циклы и
непериодические траектории остаются в системе, поэтому динамика
унимодального отображения в окрестности гомоклинического
контура является наиболее сложной. Первыми циклами гомоклинического
каскада являются самый простой цикл периода два каскада Фейген-
баума и самый сложный цикл периода три каскада Шарковского. В
логистическом отображении устойчивый гомоклинический цикл
периода четыре существует, например, при //. = 3.9603, а .петля сепаратрисы
неподвижной точки х = 0 существует при \х = 4, что полностью
покрывает всю область изменения значений бифуркационного параметра.
С ростом значений параметра при /л > у^ возрастает сложность
сингулярных непериодических аттракторов, так как. во-первых, рас-

112
ГЛАВА 2. ТЕОРИЯ ДИНАМИЧЕСКОГО ХАОСА
тет количество присутствующих в системе неустойчивых циклов и
ставших неустойчивыми непериодических траекторий. Во-вторых,
происходят бифуркации связанности, в результате чего непериодические
траектории до момента рождения устойчивого цикла периода 3 • 2п и
все сингулярные аттракторы, порожденные субгармоническим
каскадом бифуркаций этого цикла, лежат во множестве, состоящем из 2п
отрезков. Например, траектории, порождающие устойчивый цикл
периода 6 = 3-2 при pi « 3.6265, и все сингулярные аттракторы этого
цикла, существующие при fi > 3.633, принадлежат множеству,
состоящему из двух отрезков. Траектории, порождающие цикл периода три,
и все сингулярные аттракторы этого цикла принадлежат всему
единичному отрезку. Отметим, что цикл периода три, порожденный
циклом периода 6, существует в отображении (2.2) при fi « 3.634, а цикл
периода три, порожденный циклом периода три - при ji и 3.8538.
Как показывает более детальный анализ логистического
отображения, каждый субгармонический каскад на цикле периода L внутри
каскада Шарковского не заканчивается циклом периода 3L, а
продолжается своим гомоклиническим каскадом, причем бифуркация
связанности происходит именно в точке завершения гомоклинического каскада
сложным сингулярным аттрактором, не являющимся траекторией и
не содержащим устойчивых траекторий, но состоящим из
гомоклинического сепаратрисного контура и бесконечного числа неустойчивых
периодических и непериодических траекторий. Для цикла периода 3,
например, это значение параметра fi « 3.85682. Бифуркация
связанности двух отрезков в один единичный отрезок происходит в
логистическом отображении, очевидно, в точке существования гомоклинической
петли сепаратрисы неподвижной точки ж* = 1 — 1//г при \х и 3.677.
Таким образом, кроме бесконечного набора значений параметра
А* > А*оо, при которых в логистическом отображении (2.2)
существуют простые сингулярные аттракторы, имеется еще бесконечный
набор значений параметра, при которых отображение (2.2) имеет
сложные сингулярные аттракторы. Самым сложным из сложных
сингулярных аттракторов отображения (2.2) является аттрактор при \i =
4, совпадающий, по всей видимости, со всем отрезком. Более
простым примером является сложный сингулярный аттрактор при fi «
3.85682, порожденный циклом периода три и состоящий из трех
отрезков. В окрестности сложного сингулярного аттрактора
отображение (2.2) имеет наиболее сложную нерегулярную динамику.
Итак, в одномерных унимодальных отображениях при различных
значениях параметра могут существовать устойчивые периодические
(регулярные) аттракторы и непериодические простые и сложные
сингулярные аттракторы, причем все такие аттракторы рождаются в
результате каскадов мягких бифуркаций (седло-узловой и удвоения
периода) в порядке, определяемом теорией Фейгенбаума—Шарковского—
Магницкого.

2.2. ХАОС В ДВУМЕРНЫХ НЕАВТОНОМНЫХ СИСТЕМАХ 113
2.2. Динамический хаос в двумерных неавтономных
диссипативных системах обыкновенных
дифференциальных уравнений (ОДУ)
В предыдущем разделе главы 2 показано, что переход к хаосу при
изменении значений системного параметра в одномерных
непрерывных унимодальных отображениях происходит в соответствии с одним
универсальных сценарием. Этот сценарий начинается каскадом Фей-
генбаума бифуркаций удвоения периода устойчивых циклов и
продолжается субгармоническим каскадом бифуркаций Шарковского
рождения устойчивых циклов любого периода вплоть до цикла периода
три и затем гомоклиническим каскадом бифуркаций устойчивых
циклов, сходящихся к гомоклиническому контуру - петле сепаратрисы
неподвижной точки. При этом при любом значении системного
параметра унимодальное отображение имеет либо регулярный
аттрактор (устойчивый цикл любого периода), либо простой сингулярный
аттрактор, являющийся почти устойчивой непериодической
траекторией, предельной к каскаду бифуркаций удвоепия периода одного из
основных циклов в порядке Шарковского или гомоклиническом
порядке, либо сложный сингулярный аттрактор.
В настоящем разделе рассмотрены двумерные неавтономные
системы обыкновенных дифференциальных уравнений и представлена
теория особой точки типа ротор для таких систем. Эта теория
устанавливает связь между одномерными унимодальными отображениями
и двумерными неавтономными системами дифференциальных
уравнений. Она позволяет применить теорию Фейгенбаума—Шарковского—
Магницкого для описания динамического хаоса в дифференциальных
уравнениях и показать, что двумерные неавтономные системы с
особыми точками типа ротор имеют тот же самый универсальный
сценарий перехода к хаосу, что и одномерные унимодальные непрерывные
отображения. А аттракторами в таких системах являются
исключительно либо регулярные аттракторы (устойчивые предельные циклы
любой сложности и любого периода), либо простые сингулярные
аттракторы, являющиеся почти устойчивыми непериодическими
траекториями, либо сложные сингулярные аттракторы, состоящие из сепа-
ратрисных контуров, неустойчивых седловых периодических
траекторий и непериодических неустойчивых траекторий с нулевым старшим
характеристическим показателем.
Мы показываем, что особой точке типа ротор неавтономной
двумерной системы обыкновенных дифференциальных уравнений
соответствует сингулярный цикл трехмерного многообразия решений
четырехмерной автономной системы, и что все сингулярные аттракторы
неавтономной двумерной системы обыкновенных дифференциальных
уравнений с особой точкой типа ротор лежат р. замыкании некоторой
двумерной сепаратрисной поверхности этого сингулярного цикла,
изначально являющейся листом Мёбиуса вокруг этого цикла. Для этого

114
ГЛАВА 2. ТЕОРИЯ ДИНАМИЧЕСКОГО ХАОСА
мы решаем проблему, которую можно назвать основной проблемой
хаотической динамики нелинейных систем дифференциальных
уравнений, и которая состоит в том, чтобы выяснить, каким образом
происходит усложнение границы сепаратрисной поверхности исходного
сингулярного цикла автономной системы при росте значений системного
параметра и как па ней происходит образование бесконечного
числа регулярных и сингулярных аттракторов системы в соответствии
с определенным порядком (порядком Шарковского или гомоклиниче-
ским порядком).
Заметим, что наиболее простое представление двумерного
многообразия в трехмерном пространстве, на котором можно расположить
без самопересечений все циклы в порядке Шарковского и сингулярные
аттракторы дано в [140] в виде ветвящегося многообразия с
использованием теоремы Бирмана-Вильямса и принципов символической
динамики. Однако, такое многообразие обязано иметь склейку, что делает
его приемлемым для объяснения хаотической структуры полу потоков,
но при попытке перенести эти результаты на потоки мы сразу
наталкиваемся па противоречие с теоремой существования и единственности
решений автономных систем дифференциальных уравнений.
Следовательно, приведенное в [140] представление нельзя признать
удовлетворительным.
В настоящем разделе получено представление сепаратрисной
поверхности соответствующего ротору сингулярного цикла
четырехмерной автономной системы в виде бесконечиолистного (складчатого)
двумерного гетероклинического сепаратрисного многообразия,
натянутого па листы Мёбиуса, соединяющие различные циклы из каскада
удвоения периода Фсйгенбаума и следующих за ним каскадов. Показано,
каким образом и почему на этом многообразии располагаются циклы
в субгармоническом и гомоклипическом порядке в случае достаточно
сильной диссипации в системе, и выяснены причины нарушения этого
порядка в системах с малой диссипацией и в системах с большой
частотой вращения траектории по исходному сингулярному циклу. Все
аналитические результаты проиллюстрированы численными
расчетами и рисунками как для модельных, так и для классических
двумерных нелинейных диссипативиых систем обыкновенных
дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами.
2.2.1. Особые точки типа ротор двумерных неавтономных
систем
Рассмотрим зависящее от скалярного параметра ft гладкое
семейство двумерных вещественных нелинейных неавтономных систем
обыкновенных дифференциальных уравнений
и = D(t,fi)u{t) + H(u, ty /i), tf(0, i, /i) = 0, (2.4)
с особой точкой О(0.0), имеющее T(fi) -периодическую матрицу D(i, /i)
главной линейной части в особой точке и нелинейную часть Н(и, £,//),

2.2. ХАОС В ДВУМЕРНЫХ НЕАВТОНОМНЫХ СИСТЕМАХ 115
разложение которой по компонентам вектора u(t) в особой точке
начинается с членов второго порядка и имеет ограниченные
коэффициенты.
Из теории Флоке следует, что фундаментальное матричное
решение линейной части
u = D{t,n)u{t) (2.5)
системы (2.4) представимо в виде £/(£,//) = Р(£,/х)ев^*, где Р(£,//) -
некоторая Т- периодическая комплексная матрица, а В (/л) - некоторая
постоянная комплексная матрица, собственные значения которой
являются показателями Флоке линейной системы (2.5) с Т-периодически-
ми коэффициентами. Принципиально важным является то, что
система (2.5) может иметь различные комплексные, но не комплексно
сопряженные показатели Флоке а\(ц) и a2(/i). Действительно, из
теории Флоке также следует, что фундаментальное матричное решение
линейной системы (2.5) представимо в виде произведения
U(t,n) = R{t,n)eEW = R(t^)dmg(e^^\ eA^') (2.6)
вещественной 2Т-периодической матрицы R(t, /i) на диагональную
вещественную матрицу еЕ^г. Тогда, очевидно, Reai (/*) = 0i (/х), Кео>2(ц)
= 02(/л), Ima2(/i) = Imai(/x) + 27rfc, a fl(J,/i) = P(t,/i)eamQl^, то есть
вещественные части показателей Флоке линейной системы (2.5) могут
быть различными, а мнимые части при этом совпадают или
отличаются на величину 2kк.
Определение. Особую точку двумерной неавтономной
вещественной системы (2.4) с периодической главной линейной частью, имеющей
комплексные показатели Флоке с одинаковыми мнимыми и
различными вещественными частями, назовем ротором.
Рассмотренная особая точка не имеет аналогов среди особых точек
двумерных автономных вещественных систем. Ее название
отражает непременное вращение траекторий системы вокруг особой точки,
однако механизм этого вращения отличается от механизма вращения
траекторий автономной системы вокруг особой точки типа фокус. В
последнем случае особая точка имеет двумерное устойчивое либо
двумерное неустойчивое многообразие. Ротор может иметь одномерное
устойчивое и одномерное неустойчивое многообразия, обладая
одновременно свойствами фокуса и седла.
Каноническая форма ротора была найдена автором в [58,60,65]. Это
линейная двумерная вещественная неавтономная система с нулевой
особой точкой
01+02 + 001 -P2)cosu>t (0i-0г) sine*;*-w
ui = ui + it2,
1 l (2.7)
(01 - 02) Sin Ujt + W 01 + 02 - (01 - 02) COSCjt
U>2 = Щ + U2,

116
ГЛАВА 2. ТЕОРИЯ ДИНАМИЧЕСКОГО ХАОСА
и с 2тг/и?-периодическими коэффициентами. В (2.7) 0\ и /Зг -
произвольные вещественные постоянные. Сделаем замену переменных
u{t) = R(t)v(t) =\ Jt J \ v(t). (2.8)
Тогда v(t) = Ev(t), где матрица
//3i+#2 + (/3i -flQcoso;* (A -/?2)sin^-a;
E = R~l(t) [ (ft-ft)smart+ w 0i+fo-(fa-02)caaut \ R^
—Я_1(£)Я(г) - постоянная диагональная вещественная матрица, т.е.
£ = diag(/?i,/32). Таким образом фундаментальная матрица U(t)
системы (2.7) имеет вещественное представление вида (2.8)
U[t) = R(t)eEt = I * J \Гп lt ) , (2.9)
являющееся представлением решения линейной системы (2.7) с 2тт/и-
периодической матрицей в виде произведения 47г/иь периодической
вещественной матрицы удвоенного периода на вещественную
диагональную матрицу exp(Et). Для того, чтобы перейти к представлению
Флоке, запишем (2.9) в виде произведения 27г/и;-периодической
комплексной матрицы на комплексную матрицу eBt
(1 + e~iujt 1 - e~iuJt \
Ult)-\~ М- \(е№М 0 \
и{ ' ~~ 1 - e~iut 1 + e~iu)t ! ^ 0 e(/32-hiu>/2)tJ ■
V 2% 2 /
Диагональные комплексные элементы а\ — /3\ + iu/2 и «2 = р2 + го;/2
матрицы В являются показателями Флоке исходной линейной
неавтономной системы (2.7), их мнимые части совпадают. Следовательно,
нулевая особая точка системы (2.7) является ротором, причем ввиду
произвольности величин ft и ft саму систему (2.7) можно считать
канонической формой особой точки шипа ротор. Мультипликаторы
ротора, т.е. соответствующие показателям Флоке вещественные муль-.
типликаторы системы (2.7) равны
Л, . „p((ft + f )£) . е*р(^ + „) - -«,№), , = 1,,

2.2. ХАОС В ДВУМЕРНЫХ НЕАВТОНОМНЫХ СИСТЕМАХ 117
Вернемся к нелинейной системе (2.4). Так как заменой
переменных u(t) = R(t,fi)v(t) система (2.4) сводится к системе с постоянной
диагональной матрицей главной линейной части В(/х), то из теоремы
Ляпунова об устойчивости по первому приближению следует, что если
вещественные части показателей Флоке линейной системы (2.5)
отрицательны, то ротор устойчив (асимптотически устойчив), в противном
случае, когда одна из вещественных частей положительна, - ротор
неустойчив и имеет одномерное устойчивое и одномерное
неустойчивое многообразия. В случае устойчивости ротора его
мультипликаторы, очевидно, лежат на отрицательной части вещественной оси внутри
единичного круга.
Заметим, что если при \i = 0 ротор системы (2.4) теряет
устойчивость, то 2Т- периодическое устойчивое решение рождается вокруг
ротора в результате бифуркации, связанной с пересечением одного из
его показателей Флоке мнимой оси слева направо или, что
равносильно, с пересечением единичной окружности в точке -1 одним из
мультипликаторов, лежащих на отрицательной части вещественной оси
внутри единичного круга при fi < 0. При этом второй показатель Флоке
остается лежащим в левой полуплоскости, т.е. второй мультипликатор
остается лежащим на отрицательной части вещественной оси внутри
единичного круга.
2.2.2. Топологическая структура сепаратрисной
поверхности неустойчивого ротора
Пусть ротор системы (2.7) является неустойчивым, так что /?i >
0, fa < 0. Перейдем от системы (2.7) к автономной четырехмерной
системе
и = и + v,
у := (Pi-h)Q + "u + 0i + fo-(0i-fo)p
(2.10)
р = -uq, q = up,
трехмерное многообразие решений которой задается условием p2-\-q2 =
1. Так как система (2.7) имеет фундаментальную матрицу решений
(2.9), то нетрудно видеть, что неустойчивому ротору системы (2.7)
соответствует неустойчивый сингулярный цикл единичного радиуса
системы (2.10), лежащий в плоскости переменных (p,q), имеющий
единичный мультипликатор и два других вещественных отрицательных
мультипликатора Xj = ехрЦ/З, + ^f)2—) =* "*ехР(^г'Ь 3 — *-2,
лежащих внутри и вне единичного круга плоскости комплексного
переменного. Цикл обладает неустойчивым и устойчивым сепаратрисны-
ми двумерными многообразиями в виде двух трансверсальных листов
Мёбиуса: и = rcos(<^/2), v = rsin(<p/2), p = coe(^)T q = sin(<p); и =

118
ГЛАВА 2. ТЕОРИЯ ДИНАМИЧЕСКОГО ХАОСА
—rsin(<£>/2), v = rcos(ip/2), р =■ cos(ip). q = sin(<p); 0 < г, 0 < tp < 47г.
Таким образом, все траектории линейной системы (2.10) прижимаются
вдоль устойчивого листа Мёбиуса к ее неустойчивому листу и,
раскручиваясь вдоль него, уходят на бесконечность.
Дальнейшее рассмотрение продолжим на примере простейшей
нелинейной системы с главной линейной частью вида (2.10), являющейся
наглядным примером, иллюстрирующим процесс усложнения
неустойчивого двумерного сепаратрисного многообразия соответствующего
ротору цикла при увеличении значений бифуркационного параметра:
и =-- (2(/х - Ь) + 2Ьр)и + (2bq - ш/2)ь - v2, ft .
v = (2bq + ш/2)и + (2(/i - b) - 2bp)v. l ' ;
p = -wg, 9 = wp,
где 6 > 0, 0 < дг < fr, P\ = 2^ > 0, /?2 = 2/x - 4b < 0. Параметр \i
в системе (2.11) является бифуркационным, а параметр b отвечает за
величину диссипации. При малых b и малых /i система является слабо
диссипативной. при больших b и малых fi - сильно диссипативной.
Кроме того, при /i = b система (2.11) является консервативной.
Как правило, все известные диссипативные системы нелинейных
дифференциальных уравнений являются сильно диссипативными, что
в течение мношх десятилетий не давало возможности рассмотреть
структуру их нерегулярных аттракторов даже с применением самой
современной вычислительной техники. Последнее обстоятельство
способствовало появлению в научной литературе многочисленных
определений нерегулярных аттракторов, якобы отличающихся своей
топологической структурой (странный, хаотический, стохастический,
гиперболический, квазиаттрактор, аттрактор типа Лоренца и др.).
Проиллюстрируем это обстоятельство на примере системы (2.11) с сильной
диссипацией при 6 = 1, подробно рассмотренной автором в [58,60,161]:
и = 2(/i - 1 + cosшЬ)и+ (2sincj£ — uj/2)v — v2, . .
v = (2 smust + uj/2)u + 2(fi — 1 — cosu)t)v.
Укажем некоторые решения из каскада бифуркаций удвоения
периода и гомоклинического каскада бифуркаций, которые наблюдаются
при численном интегрировании системы (2.12) в процессе изменения
параметра \i при ш — 4. Исходный простой цикл сохраняет
устойчивость до значения ji « 0.0972. В области значений \i € (0.0972,0.1105)
является устойчивым цикл периода 2, при значении /х = 0.112
наблюдается цикл периода 4, при \i = 0.11363 - цикл периода 8, при
fi = 0.11405 - цикл периода 16 и т.д. Каскад бифуркаций удвоения
периода завершается образованием аттрактора Фейгенбаума при \i и
0.1143. Далее при увеличении значений параметра ji в системе
рождаются устойчивые периодические решения, следующие согласно
порядку Шарковского. Так при значении \i = 0.11451 наблюдается цикл

2.2. ХАОС В ДВУМЕРНЫХ НЕАВТОНОМНЫХ СИСТЕМАХ 119
Рис. 2.5: Цикл периода два (а) при \х — 0.0975; цикл периода три (б)
при (л = 0.1225; сингулярный аттрактор при /а = 0.1245 (в) и циклы С±,Сь
гомоклинического каскада при \х — 0.1278(г) и /а — 0.12976(д) в системе
(2.12)
периода 12 = 3 • 22, при fi = 0.1159 - цикл периода 6 = 3-2, при
fi = 0.11794 - цикл периода 7, при // = 0.11908 - цикл периода 5, а
при значении ft « 0.1222 рождается цикл периода 3. При ft » 0.12282
происходит удвоение периода этого цикла, и дальнейшее увеличение
значений параметра ft приводит к появлению аттрактора Фейгенбау-
ма на цикле периода 3. При значении \i и 0.1245 можно наблюдать
один из сингулярных аттракторов в каскаде Шарковского (см. рис.
2.5). Дальнейшее увеличение значений параметра fi приводит к
появлению периодических решений гомоклинического каскада: при
значении fi = 0.127795 наблюдается цикл 64, при значении \i = 0.12976
- цикл Сб, а при fi = 0.13055 - цикл С§ и т.д. вплоть до рождения
гомоклинического контура - петли сепаратрисы ротора при значении
//«0.13115.
Мы видим, что в случае сильной диссипации при росте значений
параметра fi > 0 система (2.11) имеет не только полный
субгармонический каскад бифуркаций в соответствии с порядком Шарковского,
но и продолжающий его полный гомоклинический каскад
бифуркаций циклов, сходящихся к гомоклинической петле сепаратрисы
ротора в переменных (u, v). Причина этого становится ясной из рис.2.6а,
на котором изображено сечение Пуанкаре q = 0,р > 0 сингулярного
аттрактора системы (2.12) при fi = 0.12, лежащего между циклами
периода пять и периода три в порядке Шарковского. График
сечения практически совпадает с графиком одномерного унимодального
отображения отрезка в себя, которое обладает вышеперечисленными
каскадами бифуркаций.
Проекция на плоскость (р,и) соответствующего сечению меюгоо6-
разия сингулярного аттрактора представлена на рис.2.66. Создается
впечатление, что это двумерная лента, нижняя часть которой,
вращаясь вдоль исходного цикла, переходит за оборот вокруг него без
перекрутки в верхнюю ее часть, а та, в свою очередь, переходит за

120
ГЛАВА 2. ТЕОРИЯ ДИНАМИЧЕСКОГО ХАОСА
Рис. 2.6: Проекция сечения Пуанкаре q = 0,р > 0 решений системы (2.12)
при (л = 0.12 (а) и проекция на плоскость (р, и) соответствующего сечению
многообразия сингулярного аттрактора (б)
следующий оборот в нижнюю часть с перекруткой на 180 градусов.
Но при этом, во избежание противоречия с теоремой единственности
решений систем дифференциальных уравнений, две ветви верхней
части обязаны перейти также в две ветви нижней части, которые можно
обнаружить уже при десятикратном увеличении масштаба рис.2.6а.
Но тогда и верхняя часть графика сечения на рис.2.6а должна
состоять из двух ветвей, что обязывает его нижнюю часть состоять уже
из четырех ветвей и т.д. Следовательно, инвариантное многообразие
нерегулярного аттрактора, изображенное на рис.2.6а,б, обязано быть
двумерной бесконечполистной складчатой поверхностью. В то же
время вторую складку в верхней части графика на рис.2.6а не удается
обнаружить даже при 10000 кратном увеличении масштаба рисунка, что
не дает возможности составить правильное заключение о
топологической структуре инвариантного многообразия сингулярного аттрактора
и причинах возникновения такой структуры.
Наша гипотеза состоит в том, что любой нерегулярный
аттрактор любой нелинейной системы дифференциальных уравнений
является сингулярным аттрактором в смысле теории ФШМ, а граница
сепаратрисной поверхности исходного сингулярного цикла, которой
принадлежат любой сингулярный и регулярный аттракторы, а также
любой неустойчивый сингулярный цикл, является двумерным
бесконечно складчатым гетероклиническим сепаратрисным многообразием,
структура которого не видна исключительно из-за сильной
диссипации системы. Исходя из данной гипотезы, топологическую структуру
любого сингулярного аттрактора можно наглядно представить,
анализируя сечения Пуанкаре трехмерного многообразия решений системы

2.2. ХАОС В ДВУМЕРНЫХ НЕАВТОНОМНЫХ СИСТЕМАХ 121
(2.11) в случае её малой диссипации. При этом складки двумерного ге-
тероклинического сепаратрисного многообразия должны быть
отчетливо видны на экране монитора. Как будет показано ниже,
величина частоты вращения uj также существенно влияет на формирование
сепаратрисного многообразия. При малой диссипации и достаточно
больших значениях частоты вращения ш в системе возможно
рождение исключительно регулярных аттракторов в окрестности исходного
сингулярного цикла при достаточно малых положительных значениях
бифуркационного параметра ц > 0. Поэтому, для правильного
понимания топологической структуры искомого сепаратрисного
многообразия необходимо проанализировать систему (2.11) в случае её малой
диссипации и при небольших значениях частоты вращения uj.
Итак, рассмотрим, что происходит с аттракторами системы (2.11)
при росте значений бифуркационного параметра ц в случае b = 0.05,
uj — 0.8. При малых //, > 0 в системе (2.11) рождается устойчивый
цикл удвоенного периода, являющийся границей неустойчивого листа
Мёбиуса (неустойчивого двумерного многообразия) исходного
единичного сингулярного цикла р2 + q2 = 1. В проекции на двумерное
подпространство (и, v) - это простой цикл периода 47г. Этот цикл сначала
имеет два мультипликатора, лежащие на положительной части
вещественной оси внутри единичного круга и двигающиеся навстречу друг
другу при росте значений параметра /i. Затем мультипликаторы
сталкиваются, становятся комплексно сопряженными и продолжают
двигаться по положительной и отрицательной полуокружностям внутри
единичного круга в сторону отрицательной части вещественной оси.
При этом неустойчивый лист Мёбиуса исходного сингулярного цикла
превращается в сложный свиток вокруг устойчивого цикла удвоенного
периода. Частота оборотов траектории на свитке вокруг цикла
удвоенного периода определяется частотой uj и мнимой частью комплексно
сопряженных мультипликаторов. Поэтому приближение
мультипликаторов к отрицательной части вещественной оси ведет к сплющиванию
свитка в одном из направлений и его вырождению в устойчивый лист
Мёбиуса вокруг устойчивого цикла удвоенного периода.
Далее мультипликаторы цикла начинают двигаться вдоль
отрицательной части вещественной оси в противоположных направлениях,
что приводит к появлению у цикла удвоенного периода двух
устойчивых двумерных многообразий в виде двух трансверсальных листов
Мёбиуса. Тем самым цикл удвоенного периода становится
сингулярным устойчивым циклом, ему также соответствует устойчивая особая
точка типа ротор в некотором трансверсальном к нему и вращающемся
вокруг него двумерном многообразии. Далее в момент пересечения
одним из мультипликаторов единичного круга в точке -1 (при fi и 0.0147)
цикл удвоенного периода становится неустойчивым сингулярным
циклом, имея два трансверсальных листа Мёбиуса в качестве своих
устойчивого и неустойчивого многообразий. А границей его
неустойчивого многообразия является родившийся при этом устойчивый узловой

122
ГЛАВА 2. ТЕОРИЯ ДИНАМИЧЕСКОГО ХАОСА
цикл учетверенного периода, который в свою очередь является циклом
удвоенного периода вокруг простого цикла периода 47Г в проекции на
двумерное подпространство (и, г?). Тем самым мы пришли к исходной
ситуации только относительно сингулярного цикла удвоенного
периода. Аттрактором (регулярным) при этом является цикл учетверенного
периода, являющийся границей гетероклинического двумерного
многообразия, состоящего из исходного неустойчивого сингулярного
цикла, его неустойчивого инвариантного многообразия (листа Мёбиуса),
соединяющего исходный цикл с неустойчивым сингулярным циклом
удвоенного периода и являющегося одновременно его устойчивым
инвариантным многообразием, неустойчивого сингулярного цикла
удвоенного периода и его неустойчивого двумерного инвариантного
многообразия (опять же листа Мёбиуса), соединяющего этот цикл с
устойчивым узловым циклом учетверенного периода.
Описанный здесь процесс образования гетероклинического сепара-
трисного многообразия может быть представлен аналитически и
наглядно продемонстрирован посредством решения системы уравнений
и = (-Ъ - (q + fj)q/2)u + ((а - /х - ш)/2 + (а + p)p/2)v,
v = ((/х - а + ш)/2 + (а + ф/2)и + (-Ъ + (а + /i)g/2)v, * ' ]
р = — ujq, q — tup.
Так как решение системы (2.13) может быть представлено в виде
то исходный цикл р2 Л- q2 = 1 системы (2.13) имеет мультипликаторы:
ехр((-Ь± vW) + ¥)£) = ехр(^) ехр(гтг(1 Т Ц=^)). Поэто-
му, при &>0,а>0и/х = —0.2Бш2/а = —а исходный цикл является
устойчивым узловым циклом, его мультипликаторы совпадают и
лежат на положительной части вещественной оси внутри единичного
круга (можно взять, например, ш = 1,а = 0.5). При —0.25с»;2 < a/i< 0
комплексно сопряженные мультипликаторы цикла двигаются по
положительной и отрицательной полуокружностям внутри единичного
круга в сторону отрицательной части вещественной оси, на которую
они попадают, сливаясь, при // = 0. При этом цикл становится
сингулярным устойчивым циклом, имея два устойчивых инвариантных
двумерных многообразия (листа Мёбиуса) в интервале изменения
значений параметра 0 < ol\i < b2. При ol\i — b2 один из мультипликаторов
цикла пресекает единичную окружность в точке —1, и цикл
становится сингулярным неустойчивым циклом с двумерным устойчивым
и двумерным неустойчивым инвариантными многообразиями в виде

2.2. ХАОС В ДВУМЕРНЫХ НЕАВТОНОМНЫХ СИСТЕМАХ 123
соответствующих листов Мёбиуса. Если добавить во второе
уравнение системы (2ЛЗ) нелинейное слагаемое — и4, то при afi > b2
границей неустойчивого листа Мёбиуса исходного сингулярного цикла будет
устойчивый узловой цикл удвоенного периода, мультипликаторы
которого двигаются навстречу друг другу вдоль положительной части
вещественной оси внутри единичного круга, и т.д.
Вернемся к системе (2.11). Каскад бифуркаций удвоения периода
Фейгеибаума продолжает до бесконечности процесс построения
двумерного гетероклииического сепаратрисного многообразия,
состоящего из листов Мёбиуса, соединяющих последовательно неустойчивые
сингулярные циклы каскада. Полученную в сечении Пуанкаре
исходного цикла самоподобную сепаратрисиую фигуру назовем сепаратрис-
ным деревом Фейгеибаума [70]. Через вершину дерева Фейгеибаума и
через концы всех его ветвей проходит непериодическая почти
устойчивая траектория (равенство нулю старшего характеристического
показателя будет доказано ниже), в любой окрестности которой лежат
сингулярные неустойчивые циклы из каскада Фейгеибаума. Это -
аттрактор Фейгеибаума - первый и самый простой из бесконечного
семейства сингулярных аттракторов.
Наряду с сепаратрисными ветвями, соединяющими неустойчивые
сингулярные циклы каскада Фейгеибаума, дерево Фейгеибаума имеет
также устойчивые односторонние сепаратрисные ветви, только
входящие в циклы. При дальнейшем увеличении значений
бифуркационного параметра fi эти ветви начинают замыкаться друг на друга
с образованием гетероклинических сепаратрисиых складок,
проходящих через рождающиеся посредством седло-узловых бифуркаций
различные устойчивые (узловые и сингулярные) и неустойчивые (седло-
вые и сингулярные) циклы из субгармонического каскада
бифуркаций Шарковского. На сепаратрисах вновь образованных сингулярных
циклов рождаются свои деревья Фейгеибаума, в вершинах которых
лежат свои более сложные сингулярные аттракторы. Таким образом
формируется бесконечно складчатое сепаратрисное двумерное
многообразие, сечение Пуанкаре которого мы назовем гетероклиническим
сепаратрисным зигзагом [70], представленным на рис.2.7а.
Формирование сепаратрисного зигзага начинается с окрестности
вершины дерева Фейгеибаума. Две ветви одной складки в сечении
Пуанкаре в окрестности вершины дерева отображаются в его правый
нижний угол, который в свою очередь отображается в левый нижний
угол и затем опять в окрестность вершины дерева уже в две складки и
т.д. Так как любая окрестность вершины дерева Фейгеибаума подобна
самому дереву, то образование в окрестности вершины дерева складки,
лежащей на сепаратрисе цикла периода 2П, при больших п выглядит
в сечении Пуанкаре как набор 2" отрезков, лежащих на графике
одномерного унимодального отображения, но только с четко выраженными
загнутыми углами в верхней и в нижней частях. Поэтому даже в
системах с малой диссипацией происходит рождение циклов до периода

124
ГЛАВА 2. ТЕОРИЯ ДИНАМИЧЕСКОГО ХАОСА
3 х 2" в порядке Шарковского. При увеличении значений параметра
\i сепаратрисные складки появляются у циклов каскада Фейгенбаума
с меньшими номерами, что внешне выглядит как слияние отрезков в
сечении Пуанкаре и интерпретируется обычно как слияние
аттракторов в результате бифуркации связанности. При сильной диссипации в
системе все сепаратрисные складки всех циклов каскада
Фейгенбаума сжаты практически в одномерное унимодальное отображение (см.
рис.2.6а). Поэтому в такой системе реализуется полный
субгармонический каскад бифуркаций рождения всех циклов из порядка
Шарковского.
Рис. 2.7: Проекция на плоскость (v,u) сечения Пуанкаре q = 0,р > О
решений системы (2.11) при Ъ = 0.05. ш = 0.8, \х = 0.02 (а) и проекция
на плоскость (v,u) соответствующего сечению многообразия сингулярного
аттрактора (б)
Далее следует образование сепаратрисных складок, примыкающих
к неустойчивому инвариантному многообразию исходного
сингулярного цикла. При сильной диссипации в системе, эти складки также
практически ложатся на график одномерного унимодального
отображения, что приводит к реализации в такой системе также и полного го-
моклинического каскада бифуркаций (например, в системе (2.11) при
Ъ = 1,cj = 4). Однако при слабой диссипации складки,
соответствующие меньшим номерам циклов из каскада Фейгенбаума и, тем более,
из гомоклинического каскада, уже находятся на значительном
расстоянии друг от друга (см. рис.2.7, сделанный в случае системы (2.11)
с 6 = 0.05. cj = 0.8). При этом сечение Пуанкаре решений системы
(гетероклинический сепаратрисный зигзаг) уже не является близким
к графику одномерного унимодального отображения, что приводит к
нарушению порядка Шарковского в его правой части. То есть циклы
периодов 7, 5, 3 могут вообще отсутствовать в системе, но могут также

2.2. ХАОС В ДВУМЕРНЫХ НЕАВТОНОМНЫХ СИСТЕМАХ 125
существовать устойчивыми как одновременно с каскадами
бифуркаций какого-либо другого цикла, так и без них. Так, например, система
(2.11) при Ъ = 0.05, а; = 1.5 имеет одновременно два устойчивых цикла
периодов один и три (например, при fi = 0.0355).
Итак, любой регулярный аттрактор двумерной неавтономной
системы о собой точкой типа ротор и с линейной частью вида (2.7)
является устойчивым циклом, траектория которого проходит либо
через точки, лежащие на складках гетероклинического сепаратрисного
зигзага, либо через концы ветвей конечного дерева Фейгенбаума,
построенного на таком цикле. Любой неустойчивый цикл системы
является неустойчивым сингулярным циклом, проходящим через точки,
соединяющие соседние сепаратрисы гетероклинического зигзага.
Любой нерегулярный аттрактор является сингулярным, т.е. он является
либо почти устойчивой непериодической траекторией, проходящей
через концы ветвей какого-либо бесконечного дерева Фейгенбаума
(простой сингулярный аттрактор), либо это семейство неустойчивых
периодических и непериодических траекторий, проходящих через точки
всех сепаратрис бесконечно листного сепаратрисного зигзага в случае
отсутствия в системе устойчивых траекторий (сложный сингулярный
аттрактор).
Любая траектория системы из области притяжения сепаратрисного
зигзага сначала притягивается к нему вдоль ближайшего устойчивого
листа Мёбиуса, а затем, прижимаясь к неустойчивым листам,
пробегает вдоль них, стремясь либо к устойчивому циклу, либо к
сингулярному аттрактору в зависимости оттого, какой из аттракторов имеется
в системе при данном значении бифуркационного параметра. Поэтому
для любого родившегося ранее неустойчивого цикла системы и любой
его окрестности всегда найдется траектория из двумерного
неустойчивого многообразия соответствующего ротору исходного сингулярного
цикла, попадающая в эту окрестность.
2.2.3. Сценарий перехода к хаосу и свойства сингулярных
аттракторов
Результаты, полученные в предыдущем пункте, дают возможность
сформулировать и доказать несколько теорем о сценариях перехода
к динамическому хаосу в двумерных неавтономных нелинейных дис-
сипативных системах обыкновенных дифференциальных уравнений с
особыми точками типа ротор и о свойствах регулярных и сингулярных
аттракторов таких систем.
Теорема 2.2. В однопараметрическом семействе неавтономных
двумерных систем обыкновенных дифференциальных уравнений (2.4)
с нулевой особой точкой типа ротор при возрастании
положительных значений бифуркационного параметра \i реализуется сценарий
перехода к хаосу, начинающийся каскадом бифуркаций Фейгенбаума
удвоения периода соответствующего ротору сингулярного
предельного цикла автономной четырехмерной системы и продолжающийся

126
ГЛАВА 2. ТЕОРИЯ ДИНАМИЧЕСКОГО ХАОСА
субгармоническим каскадом бифуркаций рождения устойчивых
циклов любого периода в соответствии с порядком Шарковского и гомо-
клиническим порядком. Аттракторами семейства систем
являются исключительно регулярные или сингулярные аттракторы, причем
глубина каскадов бифуркаций и, соответственно, сложность
регулярных и сингулярных аттракторов зависит от частоты вращения
и величины диссипации.
Доказательство теоремы вытекает из проведенного в предыдущем
разделе главы подробного анализа возможных бифуркаций в
семействе систем (2.4), показывающего, что даже в системах с малой
диссипацией окрестность вершины сепаратрисного дерева Фейгенбаума
имеет вид графика одномерного унимодального отображения.
Следовательно, переход к хаосу в семействе систем (2.4) всегда будет
происходить в соответствии с начальными стадиями сценария ФШМ.
Следствие. Существует бесконечное множество интервалов
значений параметра ji, при которых семейство систем (2.4) имеет
регулярные аттракторы (асимптотически орбитально устойчивые
периодические траектории пусть даже очень большого периода).
Простые сингулярные аттракторы (почти устойчивые непериодические
траектории, предельные к каскадам бифуркаций удвоения периода
основных циклов в порядке Шарковского или гомоклиническом порядке)
семейство систем (2.4) имеет в бесконечном числе точек накопления
значений системного параметра.
Простейшим из таких аттракторов является, очевидно, аттрактор
Фейгенбаума - первый непериодический аттрактор, существующий в
семействе систем (2.4) при fi = fi^, где значение ^со соответствует
пределу последовательности значений параметра рь, при которых про- •
исходят бифуркации удвоения периода соответствующего ротору
исходного сингулярного цикла.
Установим теперь аналитически несколько важных свойств
регулярных и сингулярных аттракторов двумерных неавтономных
нелинейных диссипативиых систем обыкновенных дифференциальных
уравнений с особыми точками типа ротор. Итак, пусть особая точка (0,0)
при всех 0 < \i < \i* является неустойчивым ротором неавтономной
двумерной системы (2.4) с T(fi) - периодической матрицей линейной
части jD(£,/j) и показателями в\ > 0, /32 < 0.
Лемма 2.1 При любом О < fi < fi* сепаратрисами ротора u(t. ф),
0 < (р < 2Т, стремящимися к нему при t —» — оо, являются решения
системы интегральных уравнений Вольтерра 2-го рода
t
+ R{t + ip./t) f е^К-т) R~1(t + <p, ii)H(u(t), т + р, ц)ёт. (2.15)
— оо

2.2. ХАОС В ДВУМЕРНЫХ НЕАВТОНОМНЫХ СИСТЕМАХ L27
Доказательство. Искомыми сепаратрисами ротора будут те и
только те решения системы (2.4), для которых при некотором ip имеет место
и(£) —► О при t —> — оо. Из представления (2.6) следует, что общее
решение системы уравнений (2.4) в плоскости {u\,U2) может быть записано
в виде
t
+ Я(*+ ¥>,/*) I еЕМЬ-тУ>ВГ1{т + ч>,11)Н{и(т),т + ч>,№т, (2.16)
-ОО
где Ci и Сг - произвольные постоянные. Так как /З2Ы) < О ПРИ всех
О < // < д*, то из условия и(£) —► 0 при £ —> — 00 необходимо
следует, что C<i = 0. Далее, ввиду вращения вектора u(t) вокруг ротора
можно считать без ограничения общности, что С\ > О, но при этом
интервал изменения фазы, охватывающий всю область определения
сспаратрисной поверхности ротора (или соответствующего ему
сингулярного цикла автономной четырехмерной системы) будет 0 < </? < 2Т.
Представим теперь C\^lt как е013, где s = t + (InC\)/f3\ —t-\-a. и
перепишем систему уравнений (2.16) в виде
u(s - а) = R(s - а + <р) I Q J +
+ Д(а-а + <р) / е£;(5-г/)Д"1(т/-а + ^)Я(?/(7/-а),г?-а + (р)сг?7,
—со
опустив параметр \i. Из последнего представления ввиду 2Т-периодич-
пости функции R следует, что при Съ = 0 решение tt(£) системы (2.16)
с константой С\ > 0 и фазой 0 < (р < 2'Г в момшт t является также и
решением системы (2.15) с фазой (ip — a) mod (22'), взятым в момент
s = t + а. Таким образом, без ограничения общности можно положить
it (2.16) С\ = 1, Съ — 0. Следовательно, сепаратрисная поверхность
неустойчивого ротора семейства систем (2.4) состоит из решений
двумерной системы интегральных уравнений (2.15) при всех 0 < <р < 27\
Лемма доказана.
Следствие. Так как все функции непрерывно дифференцируемы
по всем своим аргументам и, следовательно, непрерывно
дифференцируемы по фазе (р, то построенная в лемме 2.1 сепаратрисная
поверхность ротора двумерной неавтономной системы (сингулярного
цикла четырехмерной автономной системы) является его
непрерывно дифференцируемым двумерным инвариантным неустойчивым мно-

128
ГЛАВА 2. ТЕОРИЯ ДИНАМИЧЕСКОГО ХАОСА
гообразием Wu (двумерным инвариантным неустойчивым
подмногообразием трехмерного многообразия решений четырехмерной
автономной системы).
Докажем, что все циклы, регулярные и сингулярные аттракторы
семейства систем (2.4) при изменении значений бифуркационного
параметра принадлежат замыканию G двумерного инвариантного
неустойчивого многообразия Wu ротора.
Теорема 2.3. Любой регулярный аттрактор (устойчивый
предельный цикл), любой неустойчивый цикл и любой сингулярный
аттрактор семейства систем (2.4) при всех 0 < \i < //* принадлеэюат
двумерному многообразию G - замыканию двумерного
неустойчивого инвариантного многообразия Wu исходного неустойчивого ротора
(0,0).
Доказательство. Рассмотрим сначала произвольное
периодическое устойчивое или неустойчивое решение u(t) системы (2.4) при
некотором 0 < ji < fi* . Ему соответствует замкнутая траектория
периодического решения y(t) четырехмерной автономной системы, лежащая в
трехмерном многообразии ее решений. Пусть некоторая точка уо этой
траектории не принадлежит многообразию G, т.е. dist(2/o,G) > 0.
Выберем последовательность моментов времени tn —> оо при п —> оо
такую, что y{tn) = уо- и, следовательно, dist(y(tn), G) = const > 0. Но
с другой стороны, любое решение системы (2.4), в частности, цикл
y(t), является решением системы интегральных уравнений (2.16). Так
как /?2(а0 < 0, то при t —► оо оно стремится к некоторому решению
системы (2.16) с константой Съ = 0, и некоторой константой С\. Но
любое такое решение системы (2.16), как было показано в лемме 2.1,4
можно представить как решение системы (2.15) с некоторой другой
фазой и взятое в некоторый другой момент времени, то есть
предельное решение является одной из сепаратрис ротора. Поэтому, для любой
траектории семейства систем (2.4) всегда найдется сепаратриса
исходного неустойчивого ротора, которая принадлежит G и
притягивается к этой траектории. Следовательно, должно выполняться условие
dist(y(/„),G) —► 0 при п —> оо. Полученное противоречие доказывает,
что любой цикл принадлежит многообразию G.
Из доказанного также вытекает, что и любой простой
сингулярный аттрактор принадлежит многообразию G. так как он содержит
в любой своей окрестности принадлежащий G неустойчивый
предельный цикл. Ясно также, что и любой сложный сингулярный аттрактор
принадлежит многообразию G, так как он состоит из
принадлежащих G неустойчивых циклов, сепаратрисного контура, в любой своей
окрестности содержащего принадлежащие G неустойчивые циклы, и
неустойчивых непериодических траекторий с нулевым старшим
характеристическим показателем, в любой своей окрестности содержащих
принадлежащие G неустойчивые предельные циклы. Теорема
доказана.
Топологическая структура замыкания G двумерного неустойчиво-

2.2. ХАОС В ДВУМЕРНЫХ НЕАВТОНОМНЫХ СИСТЕМАХ 129
го сепаратрисного многообразия Wu неустойчивого ротора была
выяснена в предыдущем пункте настоящего раздела главы - в сечении
Пуанкаре это бесконечно складчатый гетероклинический сепаратрис-
ный зигзаг, натянутый на сепаратрисное дерево каскада Фейгенбаума
и деревья других следующих за ним каскадов.
Доказанная теорема имеет принципиальное значение для
понимания существа хаотических процессов, происходящих в двумерных
неавтономных системах нелинейных обыкновенных дифференциальных
уравнений с особыми точками типа ротор. Из нее вытекают два
важных следствия.
Следствие 1. Любой простой сингулярный аттрактор
семейства систем (2.4) имеет один отрицательный и два нулевых
показателя Ляпунова и является почти устойчивой непериодической
траекторией.
Доказательство. Любым простым сингулярным аттрактором
семейства систем (2.4) является непериодическая траектория,
предельная к последовательности траекторий циклов некоторого каскада
бифуркаций удвоения периода. Сама траектория и все сходящиеся к ней
траектории неустойчивых циклов принадлежат двумерному
бесконечно складчатому гетероклиническому многообразию G. Поэтому
отрицательный показатель Ляпунова простого сингулярного аттрактора
связан с движением в трансверсалыюм к поверхности G направлении,
а один из нулевых показателей связан, естественно, с движением вдоль
самой траектории. Третий показатель Ляпунова также является
нулевым, потому что, с одной стороны, он не может быть
положительным, так как в этом случае положительный показатель имели бы и
устойчивые циклы, существующие в системе при любых меньших
значениях бифуркационного параметра и лежащие в любой окрестности
непериодической траектории простого сингулярного аттрактора, что
невозможно. С другой стороны, третий показатель Ляпунова простого
сингулярного аттрактора не может быть также и отрицательным, так
как в любой окрестности его непериодической траектории
существуют не притягивающиеся к ней траектории (неустойчивые предельные
циклы). Множество таких траекторий счетно и, следовательно,
непериодическая траектория простого сингулярного аттрактора является
почти устойчивой траекторией. Следствие доказано.
Следствие 2. Фрактальная размерность любого простого
сингулярного аттрактора семейства систем (2.4) не может быть больше
двух.
Доказательство. Любой простой сингулярный аттрактор В
является почти устойчивой непериодической траекторией. Поэтому его
сечение Пуанкаре представляет собой набор отдельных точек на гетеро-
клииическом сепаратрисном зигзаге, полученных в результате каскада
бифуркаций удвоения периода одномерного унимодального
отображения. Следовательно, его фрактальная размерность ровно на единицу
превосходит фрактальную размерность аттрактора Фейгенбаума одно-

130
ГЛАВА 2. ТЕОРИЯ ДИНАМИЧЕСКОГО ХАОСА
мерного унимодального отображения, что не может быть больше двух.
Более того, очевидно, что йр{В) = 1 + dp(F), где dp(F) -
фрактальная размерность аттрактора Фейгенбаума одномерного унимодального
отображения.
Сложнее обстоит дело с фрактальной размерностью и
показателями Ляпунова траекторий системы (2.4), лежащих на сложном
сингулярном аттракторе. Такой аттрактор содержит седловые циклы с
различными положительными показателями Ляпунова, а его
фрактальная размерность на единицу больше фрактальной размерности всего
гетероклинического сепаратрисного зигзага или некоторых его частей
в сечении Пуанкаре. Следовательно, проблема сводится к вычислению
фрактальной размерности сепаратрисного зигзага (рис. 2.6а или 2.7а)
па плоскости. Не исключено, что эта размерность может оказаться
больше единицы. В таком случае фрактальная размерность сложного
сингулярного аттрактора может оказаться больше двух. Эта проблема
требует дополнительного исследования.
Как показывает пример системы (2.12) при Ь = 1.ш — 4,// > 0.13115
и другие примеры, субгармонический каскад бифуркаций Шарковско-
го и гомоклинический каскад бифуркаций не исчерпывают всей
сложности перехода к хаосу в двумерных неавтономных системах
обыкновенных дифференциальных уравнений с особыми точками типа ротор.
При дальнейшем росте значений бифуркационного параметра
происходит дальнейшее усложнение структуры гетероклинического
сепаратрисного зигзага, сопровождающееся появлением на нем дополнитель-
ных сепаратрисных складок.
2.2.4. Динамический хаос в некоторых классических
двумерных неавтономных системах
В настоящем разделе рассмотрены четыре классических
нелинейных неавтономных диссипативных дифференциальных уравнения
второго порядка с периодическими коэффициентами: уравнение
Дюффинга-Холмса, модифицированное уравнение Матье, уравнение Крокета
и уравнение Краснощекова. Показано, что все эти уравнения имеют
один и тот же описанный в предыдущих разделах главы
универсальный сценарий перехода к хаосу в соответствии с теорией Фейгенбаума—
Шарковского—Магницкого.
Уравнение Дюффинга—Холмса. Обыкновенное
дифференциальное уравнение второго порядка
x + kx-x + iix3 = /о cos Ш (2.17)
с некоторыми константами к > 0, //, /о и Я называется уравнением
Дюффинга-Холмса [143]. Оно получено при модификации уравнения
Дюффинга
х + кх + си2х + fix3 = /о cos Ш, (2.18)

2.2. ХАОС В ДВУМЕРНЫХ НЕАВТОНОМНЫХ СИСТЕМАХ 131
в котором восстанавливающая сила f(x) является монотонной
нелинейной функцией f(x) = —и>2х — /лхг*. Кубическая нелинейность в
уравнении Дюффинга существенно расширяет спектр его
периодических решений по сравнению с соответствующим линейным
уравнением. В частности, в уравнении (2.18) возможны гармонические
колебания х = А{ш) cos fit с амплитудой, зависящей от частоты.
Субгармонические колебания с частотой Q/гг, где п — натуральное число, также
могут быть реализованы в уравнении Дюффинга для к — 0 [22].
Однако, в классическом уравнении Дюффинга нет решений с хаотическими
колебаниями.
Изменение функции восстанавливающей силы f(x) с монотонной
па немонотонную f(x) = х — //ж3 приводит к появлению хаотических
колебаний. Мы рассмотрим сценарий перехода к хаосу для одного из
периодических решений уравнения (2.17). Перепишем уравнение (2.17)
в виде двумерной неавтономной системы
х = У, у = х — ку — \хх + /о cos Ш.
(2.19)
В системе (2.19) при фиксированных значениях параметров к =
0.1, /о = 2, ft = 1 в области изменения параметра \i G (2.455, 4.235)
существует устойчивый сингулярный предельный цикл. Вид этого
цикла в фазовом пространстве переменных показан на рис. 2.8а. При
шачении ji « 4.235 происходит бифуркация удвоения периода
сингулярного цикла (см. рис. 2.86). Это дает начало каскаду бифуркаций
Фейгенбаума удвоения периода устойчивых предельных циклов. Так,
Рис. 2.8: Исходный сингулярный цикл (а), цикл периода 2 (б) при /х = 5.0,
мттрактор Фейгенбаума (в) при \i = 5.808, цикл периода 6 из
субгармонического каскада (г) при /х = 5.95 и сингулярный субгармонический
аттрактор (д) в неавтономной двумерной системе Дюффинга-Холмса (2.19) при
//. == 6.Q53
цикл периода 4 наблюдается в системе (2.19) при значении параметра
// е [5.59,5.759], цикл периода 8 при \i = 5.78, цикл периода 16 при
// — 5.801 и т.д. Сингулярный аттрактор Фейгенбаума рождается в
системе при \i = Доо % 5.808 (рис. 2.8в). Дальнейшие численные ис-
глодования показывают, что другие устойчивые циклы появляются в

132
ГЛАВА 2. ТЕОРИЯ ДИНАМИЧЕСКОГО ХАОСА
системе (2.19) при /4 > /ioc в соответствии с порядком Шарковского. В
частности, можно наблюдать цикл периода 22 = 2 ■ 11 при /л = 5.813.
цикл периода 12 = 3-22 при // = 5.828, цикл периода 6 = 2-3 (рис. 2.8г)
при ii € [5.9,5.933]. Однако, субгармонический каскад бифуркаций
является неполным в системе (2.19) и, поэтому, нерегулярный аттрактор,
представленный на рис. 2.8д, является неполным субгармоническим
сингулярным аттрактором.
В заключение обратим внимание на то, что система (2.19) не
изменяется при изменении знаков переменных х и у. Следовательно,
вместе с решениями, которые показаны на рис. 2.8, существуют и другие
решения системы (2.19), являющиеся симметричными к решениям,
показанным на рис. 2.8 относительно начала координат.
Уравнение Матье. Уравнение Матье
х + (5 + е cosut)x = 0 (2.20)
в отличие от уравнения Дюффинга имеет периодические
коэффициенты. Модифицированное уравнение Матье [22]
£ + /г± + (6 + ecosvt)x + ax3 = 0 (2.21)
отличается от уравнения (2.20) присутствием коэффициента трения
\i > 0 и нелинейного кубического члена. В теории колебаний,
решения уравнения (2.21) исследованы при малых значениях параметров
/i, e, a [22]. Показано, что присутствие нелинейности приводит к
ограничению амплитуды колебаний, а вязкое трение стабилизирует систем
му в том смысле, что при увеличении значений параметра \х область
пространства параметров, в которой положение равновесия
является асимптотически устойчивым, также увеличивается. В то же время
область существования колебательных режимов уменьшается, а при
// > 0.5 колебания вообще отсутствуют.
Исследуем численно поведение решений уравнения (2.21),
представив его в виде неавтономной двумерной системы
я = У> у ——(S-\-ecosut)x — fiy — ах3. (2.22)
При фиксированных значениях параметров S = 4, е = 14, и =
2, а = 1, система (2.22) имеет асимптотически устойчивое нулевое
решение для значений параметра \i > 2.46. Устойчивый
сингулярный цикл с частотой и/2 рождается в системе (2.22) при fi и 2.46.
Этот сингулярный цикл порождает каскад бифуркаций удвоения
периода Фейгенбаума. В частности можно наблюдать цикл периода 2 при
fi € [1.1425,1.3375], цикл периода 4 при // = 1.130, цикл периода 8 при
fi » 1.1184. цикл периода 16 при \i — 1.1156 и т.д. Каскад бифуркаций
удвоения периода заканчивается формированием аттрактора
Фейгенбаума при значении параметра \i « 1.1140 (рис. 2.9в).

2.2. ХАОС В ДВУМЕРНЫХ НЕАВТОНОМНЫХ СИСТЕМАХ 133
Рис. 2.9: Сингулярный цикл (а) при ji — 2, цикл периода 2 (б) при \i = 1.2,
аттрактор Фейгенбаума (в) при /л = 1.1140, цикл периода 3 (г) при /i =
1.0588 и полный субгармонический аттрактор (д) при /х = 1.050 в двумерной
неавтономной системе Матье (2.22)
При дальнейшем уменьшении коэффициента трения ^, устойчивые
периодические решения появляются в системе (2.22) в соответствии с
порядком Шарковского. Например, устойчивый цикл периода 9
существует при значения \i = 1.08395, устойчивый цикл периода 7 — при
fi = 1.08005, устойчивый цикл периода 5 — при \х — 1.067.
Существование устойчивого цикла периода 3 при значении \i = 1.0588
завершает полный субгармонический каскад бифуркаций Шарковского.
Отметим, что цикл периода 3 порождает в системе Матье его собственный
полный субгармонический каскад бифуркаций, подтверждением чего
служит существование цикла периода 2 для этого цикла при \х = 1.055
и цикла периода 3 для этого цикла при \i = 1.051. Полный
субгармонический сингулярный аттрактор существует в системе (2.22) при
/х« 1.050 (рис. 2.9д).
Вид системы (2.22) не меняется с изменением знаков переменных х
и у. Поэтому система (2.22) имеет также решения, которые являются
симметричными к рассмотренному выше семейству решений
относительно начала координат.
Система уравнений Крокета. Неавтономная двумерная система
х = у, у = —цу — a sin х — /3sh\(x - u>t), (2.23)
представленная в [14], моделирует вращательные колебания магнита
во внешнем магнитном поле в присутствии трения. Параметр \i
определяет величину трения при движении в окружающей среде. Согласно
[14], система (2.23) была предназначена для исследования зависимости
поведения нелинейного параметрического маятника от значения
коэффициента трения. Поэтому мы также численно исследуем зависимость
решений системы (2.23) от значений параметра // при фиксированных
значениях других параметров а — 1.15, /? = 1, ы = 1.
Система (2.23) является диссипативной системой при /t > 0 и,
кроме того, она обладает колебательными решениями с частотой ш при

134
ГЛАВА 2. ТЕОРИЯ ДИНАМИЧЕСКОГО ХАОСА
\i » 1. Частота таких колебаний равна частоте вынуждающей силы.
При указанных выше фиксированных значениях параметров а. 8 и
со период этих колебаний является постоянным при уменьшении
значений параметра \i до значения fi и 0.625, при котором происходит
бифуркация удвоения периода колебаний. При меньших значениях
параметра \i в системе имеет место каскад бифуркаций удвоения периода
Фейгенбаума. Так, цикл периода 4 наблюдается в системе при
значении \i — 0.5622, цикл периода 8 — при /i = 0.5548, цикл периода 16
— при fi = 0.5527. Каскад бифуркаций удвоения периода завершается
формированием сингулярного аттрактора Фейгенбаума при значении
Рис. 2.L0: Сингулярный цикл (а) при /х = 1, цикл удвоенного периода (б)
при fi = 0.6, аттрактор Фейгенбаума (в) при fi = 0.5518, цикл периода 3
(i) при /i = 0.515 и полный субгармонический сингулярный аттрактор (д) в
системе Крокета (2.23) при \i = 0.510
Каскад бифуркаций удвоения периода продолжается
субгармоническим каскадом бифуркаций рождения устойчивых циклов любого
периода согласно порядку Шарковского. Так, цикл периода 6 = 2-3
можно наблюдать в системе Крокета при \х = 0.54525, цикл периода
9 — при fi = 0.53855, цикл периода 5 — при \i = 0.5334 и цикл
периода 3 — при \i = 0.515 (рис. 2.Юг). Рождающийся затем полный
субгармонический сингулярный аттрактор показан на (рис. 2.10д).
Уравнение Краснощекова. Рассмотрим пелинейное
неавтономное уравнение второго порядка
~[(l + aiCos(tb>i* + <^i))2i] +iax =
= -д(1 + #i cos(cji£ + <pi))(I — 6*2^2 cos(u^t + ^2)) sinx (2.24)
с периодическими коэффициентами и с ограниченной нелинейной
функцией sin ж. Вывод уравнения (2.24) осуществлен П.С. Краснощековым,
обратившим внимание автора на существование у этого уравнения
сложной нерегулярной динамики. Перепишем уравнение (2.24) в
виде двумерной неавтономной системы

2.2. ХАОС В ДВУМЕРНЫХ НЕАВТОНОМНЫХ СИСТЕМАХ 135
. 92{t) . j
Легко видеть, что условие
2fli(*)gi(t)-ji
fl?(0 l
2gi(t)gi(t)-fi<0
(2.25)
(2.26)
определяет значения параметра ji : \i > 2|1 — Qfi||oiit>i|, для которых
система (2.25) является диссипативной. Система (2.25) имеет
семейство особых (неподвижных) точек Ofc(7rfc,0), к Е Z. которые
являются асимптотически устойчивыми при больших значений параметра /i.
При потере устойчивости этих точек в их окрестностях рождаются
устойчивые предельные циклы, которые находятся под влиянием
фактически всех параметров уравнения (2.24). Численные исследования
показали, что все эти циклы являются сингулярными циклами.
Для примера рассмотрим эволюцию решений системы (2.25) в
окрестности точки (0,0) при фиксированных значениях параметров: а\ =
0.8, а<1 = 3, ш\ = Ш2 = 2, pi = 0, <р2 = 1 и при уменьшении значений
параметра \х. Точка (0, 0) теряет устойчивость в результате
бифуркации Андронова-Хопфа при значения параметра ц « 5.74. и при этом
рождается устойчивый сингулярный цикл (рис. 2.11а). Этот цикл
генерирует каскад Фейгенбаума бифуркаций удвоения периода. Так, цикл
периода 2 можно наблюдать при значении параметра \х = 4.17, цикл
периода 4 — при // = 4.155, цикл периода 8 — при /л = 4.1532, цикл
периода 16 — при \i = 4.1526 и т.д. Каскад заканчивается
формированием сингулярного аттрактора Фейгенбаума при значении параметра
//«4.1524 (рис. 2. Ив).
Рис. 2.11: Сингулярный цикл (а) при /i = 4.2, цикл периода 2(6) при \i —
4.17, аттрактор Фейгенбаума (в) при fi = 4.1524, цикл периода 3 (г) при /i =
4.05 и полный субгармонический сингулярный аттрактор (д) при \i = 4.04 в
системе Краснощекова (2.25)
Дальнейшее уменьшение значений параметра \х приводит к
реализации полного субгармонического каскада бифуркаций Шарковского
рождения устойчивых циклов в соответствии с порядком (2.3). Это

136
ГЛАВА 2. ТЕОРИЯ ДИНАМИЧЕСКОГО ХАОСА
подтверждается существованием устойчивого цикла периода 6 для
значения параметра /х = 4.148, устойчивого цикла периода 5 при \х =
4.0895 и устойчивого цикла периода 3 при \х = 4.05. Рождающийся
затем в системе (2.25) полный субгармонический сингулярный аттрактор
показан на рис. 2.11д.
2,3, Динамический хаос в трехмерных автономных
диссипативных системах обыкновенных
дифференциальных уравнений (ОДУ)
В монографии [59] и учебном пособии [63] подробно исследован
сценарий перехода к хаосу при изменении значений системного параметра
в широком классе трехмерных автономных нелинейных
диссипативных систем обыкновенных дифференциальных уравнений,
включающем все классические хаотические системы уравнений, такие как
гидродинамическая система Лоренца, химическая система Ресслера,
электротехническая система Чуа, макроэкономическая система
Магницкого и многие другие. Показано, что этот единственный универсальный
сценарий перехода к хаосу начинается каскадом бифуркаций Фейген-
баума удвоения периода исходного устойчивого сингулярного цикла,
продолжается субгармоническим каскадом бифуркаций Шарковского
рождения устойчивых циклов любого периода вплоть до цикла
периода три и, при наличии в системе петли сепаратрисы седло-фокуса
или гетероклинического контура, - гомоклиническим или гетерокли-
иическим каскадом бифуркаций Магницкого устойчивых циклов,
сходящихся к гомоклиническому или гетероклиническому сепаратрисно-
му контуру. Другими словами, переход к хаосу в трехмерных
автономных диссипативных системах обыкновенных дифференциальных
уравнений происходит точно таким же образом, как и в двумерных
неавтономных диссипативных системах, т.е. в полном соответствии с
теорией ФШМ. Ни наличие в системе положительного показателя
Ляпунова, ни наличие петли сепаратрисы седло-узла или седло-фокуса,
ни наличие самого седло-узла или седло-фокуса, не являются
необходимыми условиями существования в нелинейной диссипативной
автономной системе обыкновенных дифференциальных уравнений
хаотической динамики.
В настоящем разделе главы дано теоретическое обоснование
указанного универсального сценария перехода к динамическому хаосу в
трехмерных нелинейных диссипативных автономных системах
обыкновенных дифференциальных уравнений. Показано, что в основе
сценария лежит бифуркация, в результате которой изначально
устойчивый сингулярный предельный цикл, обладающий комплексными, но
не комплексно сопряженными показателями Флоке, становится
сингулярным седловым циклом, порождая при этом устойчивый цикл
удвоенного периода, лежащий на листе Мёбиуса вокруг исходного
сингулярного цикла. При этом исходному сингулярному циклу трехмерной

2.3. ХАОС В ТРЕХМЕРНЫХ АВТОНОМНЫХ СИСТЕМАХ 137
автономной системы соответствует нулевая особая точка типа ротор
двумерной неавтономной системы с периодическими
коэффициентами, координаты которой вращаются вместе с траекторией исходного
цикла трансверсально ему.
Это дает возможность применить теорию динамического хаоса в
двумерных неавтономных системах с особыми точками типа ротор,
разработанную автором и представленную в разделе 2.2 настоящей
главы, к описанию начальных стадий перехода к хаосу в трехмерных
автономных диссипативных системах обыкновенных
дифференциальных уравнений. Доказано, что любой из рождающихся аттракторов
трехмерной автономной диссипативной системы (периодический,
простой сингулярный, являющийся почти устойчивой непериодической
траекторией, или сложный сингулярный, состоящий из сепаратрис-
пого контура, неустойчивых периодических траекторий и
непериодических неустойчивых траекторий с нулевым старшим
характеристическим показателем) лежит на некотором двумерном бесконечнолистном
складчатом гетероклиническом сепаратрисном многообразии,
являющимся замыканием двумерного инвариантного неустойчивого
многообразия (сепаратрисной поверхности) исходного сингулярного седло-
вого цикла. Доказано, что это гетероклиническое сепаратрисное
многообразие натянуто на листы Мёбиуса, соединяющие различные
циклы из каскада удвоения периода Фейгенбаума и следующих за ним
каскадов. Показано, каким образом и почему на этом многообразии
располагаются циклы в субгармоническом и гомоклиническом
порядке в случае достаточно сильной диссипации в системе, и выяснены
причины нарушения этого порядка в системах с малой диссипацией
и в системах с большой частотой вращения траектории по исходному
сингулярному циклу трехмерной автономной системы.
Доказано, что любой простой сингулярный аттрактор, простейшим
из которых является сингулярный аттрактор Фейгенбаума, не имеет
положительного показателя Ляпунова, т. е. является почти устойчивой
непериодической траекторией, а хаотическая динамика в автономной
трехмерной системе возникает благодаря сдвигу фаз между
траекториями, образующими сепаратриспую поверхность исходного
сингулярного седлового цикла.
Все аналитические результаты подтверждены соответствующими
модельными примерами трехмерных автономных диссипативных
систем обыкновенных дифференциальных уравнений и
многочисленными примерами классических трехмерных автономных систем,
описывающих различные сложные нелинейные природные и
социально-экономические процессы и явления.
2.3.1. Сингулярные циклы трехмерных автономных систем
Рассмотрим гладкое семейство нелинейных автономных систем
обыкновенных дифференциальных уравнений

138
ГЛАВА 2. ТЕОРИЯ ДИНАМИЧЕСКОГО ХАОСА
х = F(x,fi), х € М С Д3, а* € / С Я, F б С°°, (2.27)
заданных в трехмерном фазовом пространстве М гладкими
векторными полями F, зависящими от значений скалярного системного
параметра /I, лежащих в интервале / вещественной прямой R. Пусть
предельный цикл xo(t,ii), имеюший период Г = Т(^.)ц является
решением семейства систем (2.27) при всех \х е /. Линеаризуя семейство
(2.27) в окрестности цикла, получим зависящую от параметра систему
неавтономных обыкновенных дифференциальных уравнений с
периодической матрицей линейной части
y = A(t,Li)y + 0(\y\2), A(tjfi) = {-^(x0(t^),ii)}, t,j = 1,2,3, (2.28)
где y(t) = x(t) — xo(tj /i), a A(t + T,fj,) — A(t,ii). При этом вектор у = О
является решением системы (2.28) для всех \х Е /.
Как следует из теории Флоке, каждое фундаментальное матричное
решение линейной системы с периодическими коэффициентами
у = A{t, /х)у, A{t + Т, /х) = A(t, /i) (2.29)
представимо в виде Y(£, //) = Р(£, fi)V(t) //), где P(£, //) - некоторая,
вообще говоря, комплексная Т-периодическая матрица, а матрица V(£, да)
= ев(м)£ является фундаментальной матрицей решений линейной
системы уравнений с постоянными, в общем случае, комплексными
коэффициентами.
Преобразование P(£,/i), таким образом, осуществляет приведение
линейной системы (2.29) с периодическими коэффициентами к
линейной системе с постоянными коэффициентами. При этом устойчивость
(неустойчивость) периодического решения определяется
собственными значениями матрицы В - показателями Флоке исходного цикла
или, что равносильно, собственными значениями действительной
матрицы С = евт - мультипликаторами цикла. Один показатель
Флоке, соответствующий движению вдоль цикла, всегда равен нулю. Если
цикл устойчив при \х < 0, то остальные два показателя имеют
отрицательные вещественные части (один простой мультипликатор имеет
значение -И, а два других мультипликатора имеют модули, меньшие
1, то есть лежат внутри единичного круга плоскости комплексного
переменного).
Пусть при \i = 0 цикл теряет устойчивость в результате
бифуркации, связанной с пересечением одного из показателей Флоке мнимоА
оси слева направо или, что равносильно, с пересечением единичной
окружности одним из мультипликаторов, лежащих при \i < 0 внутри
единичного круга. Заменой переменных y(t) = Q(t,fi)z(t)b где Q(t,/4)
Т-периодическая матрица, упростим анализ системы (2.28) переходом
к системе координат, связанной с циклом. В такой системе одним из

2.3. ХЛОС В ТРЕХМЕРНЫХ АВТОНОМНЫХ СИСТЕМАХ 139
координатных векторов является вектор Xo(t)} касательный к циклу, а
два других вектора лежат в плоскости 5, трансверсалыюй циклу.
Циклу соответствует точка (0,0,0). Так как мультипликатор цикла,
соответствующий вектору ±о(£), всегда равен единице, а показатель Флоке
- нулю и не является бифуркационным, то координаты нормальной
формы бифуркации заведомо лежат в плоскости S, задаваемой
последними двумя координатами вектора z(t). Поэтому, не ограничивая
общности, будем считать первую компоненту вектора z(t)
тождественно равной нулю. Тогда анализ возможных бифуркаций цикла сводится
к анализу в плоскости S решений двумерной системы
дифференциальных уравнений
u{t) = D{t, ii)u(t) 4- Я (u, Q{t, д), /х) (2.30)
относительно второй и третьей компонент вектора z(t), где
матрица D(t,fi) получается из матрицы L(t7fi) = Q~l{t,ix)A{t,ii)Q{t,ii) ~
Q~1(t, ii)Q{t, ii) вычеркиванием ее первой строки и первого нулевого
столбца, а разложение функции Н по компонентам вектора u{t) в
особой точке О(0,0) системы (2.30), соответствующей циклу, начинается
с членов второго порядка. Линейная часть системы (2.30) имеет те же
показатели Флоке, за исключением нулевого, что и линеаризованная
система (2.28).
Возможны два принципиально различных случая: случай
постоянной матрицы D(t, д) — D(fj,) и случай переменной Т-периодической
матрицы £(£, и). Первый случай означает, что матрицы Q(t, и) = P{t, fi)
и L(t,//) = B(fjt) действительны, а показателями Флоке цикла,
отличными от нулевого, являются собственные значения матрицы £>(//).
Другими словами, переход с помощью преобразования Q(£,//) к
системе координат, связанной с циклом, уже осуществляет приведение
системы (2.29) с периодическими коэффициентами к системе с
постоянными вещественными коэффициентами. В этом случае бифуркации
цикла соответствует либо переход одного вещественного
собственного значения, либо двух комплексно сопряженных собственных
значений матрицы D{ix) через мнимую ось слева направо (переход одного
мультипликатора через точку 4-1 единичной окружности либо двух
комплексно сопряженных мультипликаторов через единичную
окружность). В результате такой бифуркации либо рождается пара новых
устойчивых предельных циклов, либо происходит обмен
устойчивостью между циклами, либо цикл исчезает вместе с таким же
неустойчивым циклом, либо из цикла рождается устойчивый двумерный тор.
Соответствующая циклу нулевая особая точка двумерной автономной
системы (2.30) в плоскости S1, трансверсальной циклу, при fi < 0
является устойчивым узлом или фокусом, а при \х > 0 - неустойчивым
фокусом или седлом, имеющим одномерное устойчивое и
одномерное неустойчивое многообразия. Такой цикл называется регулярным
устойчивым циклом, а рождающийся из него в результате какой-либо

140
ГЛАВА 2. ТЕОРИЯ ДИНАМИЧЕСКОГО ХАОСА
из описанных выше бифуркаций седловой цикл называется
регулярным седловым циклом [58,60]. В любом случае бифуркации такого
цикла не приводят к появлению хаотической динамики в трехмерных
системах обыкновенных дифференциальных уравнений.
В случае переменной Т-периодической матрицы D{t,ii) имеет место
существенно более сложная ситуация. Этот случай означает, что
переход преобразованием Q(t, ц) к системе координат, связанной с циклом,
осуществляет приведение системы (2.28) с периодическими
коэффициентами к системе (2.30) меньшей размерности, но имеющей также
Т-периодические вещественные коэффициенты. В этом случае,
нулевая особая точка 0(0,0), двумерной неавтономной системы (2.30)
является ротором, а его показатели Флоке, совпадающие в данном
случае с показателями Флоке исходного цикла автономной трехмерной
системы, являются комплексными, но не комплексно сопряженными
числами с одинаковыми мнимыми частями. Устойчивый цикл,
имеющий такие показатели Флоке, называется сингулярным устойчивым
циклом. Бифуркации сингулярного цикла хо(£,/х) соответствует
переход через мнимую ось слева направо одного его комплексного
показателя Флоке oji(//) при \i = 0. Рождающийся при этом седловой цикл
называется сингулярным седловым циклом [58,60}. При этом
соответствующий вещественный мультипликатор цикла при р, = 0 имеет вид
Л = еа1(0)Г = егтг = _1<
2.3.2. Топологическая структура сепаратрисной
поверхности сингулярного цикла
При переходе параметра ji через бифуркационное значение \i = 0*
исходный сингулярный устойчивый цикл xo(t. у) системы (2.27)
становится сингулярным седловым циклом, а нулевая особая точка О
системы (2.30), соответствующая исходному сингулярному циклу,
становится неустойчивым ротором. Сингулярный цикл, естественно,
имеет при этом двумерное инвариантное неустойчивое многообразие Wu.
Структура этого многообразия локально достаточно проста, но
глобально может быть чрезвычайно сложной. Так как преобразованием
(2.8) система (2.30) сводится к системе, особая точка которой
является локально седлом, имеющим одномерное инвариантное неустойчивое
многообразие, то последнее многообразие локально вращается в
плоскости S вокруг ротора с периодом 2Т\ Одновременно оно вращается
вместе с плоскостью S в трехмерном фазовом пространстве М с
периодом Т, описывая тем самым, как нетрудно видеть, лист Мёбиуса. Фазы
этих двух вращений (по циклу и вокруг цикла) однозначно связаны.
Поэтому рождение в двумерной плоскости S вокруг неустойчивого;
ротора О простого устойчивого цикла удвоенного периода, не имеющего
самопересечений, означает рождение из сингулярного исходного цикла
xo(t) автономной трехмерной системы устойчивого цикла удвоенного
периода. Этот цикл удвоенного периода принадлежит листу Мёбиуса
вокруг исходного цикла - замыканию неустойчивого инвариантного

2.3. ХАОС В ТРЕХМЕРНЫХ АВТОНОМНЫХ СИСТЕМАХ 141
многообразия Wu. Сепаратрисы исходного цикла, раскручиваясь по
листу Мёбиуса, стремятся к родившемуся устойчивому циклу
удвоенного периода.
Для выяснения топологической структуры поверхности G ~
замыкания двумерного неустойчивого инвариантного многообразия Wu
исходного сингулярного цикла трехмерной автономной системы при всех
значениях бифуркационного параметра заметим, что в силу
проведенной невырожденной замены переменных трехмерное пространство,
содержащее исходный сингулярный цикл, диффеоморфно трехмерному
многообразию четырехмерной автономной системы с линейной частью
вида (2.10) и с некоторым условием, задающим движение на плоскости
по простому циклу периода Т. То есть, все сказанное в предыдущем
разделе главы относительно неавтономных двумерных диссипативных
систем с особыми точками типа ротор полностью переносится на
автономные трехмерные диссипативные системы с сингулярными циклами.
Следовательно, замыканием сепаратрисной поверхности
сингулярного цикла трехмерной автономной диссипативной системы
является бесконечно складчатое двумерное гетероклиническое сепаратриспое
многообразие, натянутое на листы Мёбиуса, соединяющие различные
циклы из каскада удвоения периода Фейгенбаума. Сечение этого
двумерного многообразия плоскостью, трансверсальной исходному
сингулярному циклу, должно иметь вид гетсроклинического сепаратрисного
зигзага, изображенного на рис.2.7 предыдущего раздела главы для
автономной четырехмерной системы (2.11) в сечении q = 0,р > 0 цикла,
соответствующего ротору неавтономной двумерной системы.
В качестве примера рассмотрим автономную трехмерную систему
вида
х = —шу - ujxz/2 — ((//. — b)x + Ь)(1 — х2 - у2),
у = их + 2{Ь - шу/4)г - (/х - Ъ)у(1 - х2 - у2), (2.31)
z = 2(v-b- bx)z - (by + w/4)(l -x2 - у2).
Система (2.31) имеет предельный цикл Xo(t) — (cosu£,siniutf,0) ,
лежащий в плоскости переменных (х,у) и имеющий период 2tt/uj.
Линеаризуя систему (2.31) на цикле относительно отклонений от цикла
У1»2/2» Уз и делая замену y(t) = Q(t)z{t) с 27r/u; - периодической
матрицей Q(t) = (±о(*)»жо(*)» (0,0,1)т), получим в трансверсальных циклу
вращающихся координатах систему уравнений
г2 = (2(/z - Ь) Н- 2bcosa>t)z2 + {2bsmut - u/2)z3,
z3 = {2bsmu;t-\-uj/2)z2 + (2(/i - b) - 2bcosut)z3.
Система (2.32) совпадает с линейной частью рассмотренной в
предыдущем разделе главы системы (2.11), при этом касательная к
циклу координата имеет вид z\ = (\-2b/uj)smujt)z2 + ((2b/uj)cosujt)z3 и

142
ГЛАВА 2. ТЕОРИЯ ДИНАМИЧЕСКОГО ХАОСА
не влияет на формирование динамики решений в окрестности цикла.
Следовательно, гетероклиническое сепаратрисное многообразие,
формирующееся вокруг цикла системы (2.31) при росте значений
бифуркационного параметра ръ имеет ту же структуру, что и
гетероклиническое сепаратрисное многообразие особой точки типа ротор и должно
выглядеть в сечении Пуанкаре как гетероклинический сепаратрисный
зигзаг. Сечение Пуанкаре (у ~ —0.1, х < 0) решений системы (2.31)
в случае малой диссипации b = 0.08 и небольшой частоты вращения
траектории по циклу ш = 1 представлено на рис.2.12а.
Рис. 2.12: Сечение Пуанкаре у = — 0.1,2 < 0 решений трехмерной
автономной системы (2.31) при b = 0.08, ш ~ 1, /х = 0.051 (а) и проекция на
плоскость (x,z) соответствующего сечению сингулярного аттрактора (б)
Итак, любой регулярный аттрактор трехмерной автономной дисси-
пативной системы с исходным сингулярным циклом является
устойчивым предельным циклом, траектория которого проходит либо
через точки, лежащие на складках гетероклинического сепаратрисного
зигзага, либо через концы ветвей какого-либо конечного дерева Фей-
генбаума, построенного на таком цикле. Любой неустойчивый цикл
системы является неустойчивым сингулярным циклом, проходящим
через точки, соединяющие соседние сепаратрисы
гетероклинического зигзага. Любой нерегулярный аттрактор является сингулярным.
Простой сингулярный аттрактор является почти устойчивой
непериодической траекторией, проходящей через концы ветвей какого-либо
бесконечного дерева Фейгенбаума. Любая траектория системы из
области притяжения сепаратрисного зигзага сначала притягивается к
нему вдоль ближайшего устойчивого листа Мёбиуса, а затем,
прижимаясь к неустойчивым листам, пробегает вдоль них, стремясь либо к
устойчивому циклу, либо к сингулярному аттрактору, в зависимости
от того, какой из аттракторов имеется в системе при данном значении

2.3. ХАОС В ТРЕХМЕРНЫХ АВТОНОМНЫХ СИСТЕМАХ 143
бифуркационного параметра. Поэтому для любого родившегося ранее
неустойчивого цикла системы и любой его окрестности всегда
найдется траектория из двумерного неустойчивого многообразия исходного
сингулярного цикла, попадающая в эту окрестность.
2.3.3. Сценарий перехода к хаосу и свойства сингулярных
аттракторов
Результаты, полученные при исследовании сценария перехода к
хаосу и свойств сингулярных аттракторов неавтономных двумерных
систем с особыми точками типа ротор, а также результаты,
полученные в предыдущих пунктах данного раздела главы, дают возможность
сформулировать и доказать несколько теорем о сценариях перехода
к динамическому хаосу в трехмерных автономных нелинейных дис-
сипативных системах обыкновенных дифференциальных уравнений с
сингулярными циклами и о свойствах регулярных и сингулярных
аттракторов таких систем.
Теорема 2.4. Пусть в семействе автономных трехмерных
систем обыкновенных дифференциальных уравнений (2.27) при ц = О
происходит бифуркация удвоения периода устойчивого при \х < О
сингулярного цикла. Тогда в семействе систем (2.27) при
возрастании положительных значений бифуркационного параметра \х
реализуется сценарий перехода к хаосу, начинающийся каскадом
бифуркаций Фейгенбаума удвоения периода исходного сингулярного цикла
и продолжающийся субгармоническим каскадом бифуркаций
рождения устойчивых циклов любого периода в соответствии с порядком
Шарковского и гомоклипическим либо гетероклиническим порядком.
Аттракторами семейства систем являются исключительно
регулярные или сингулярные аттракторы, причем глубина каскадов
бифуркаций и, соответственно, слооюность регулярных и сингулярных
аттракторов зависит от величины диссипации и частоты вращения
траектории по исходному сингулярному циклу.
Доказательство теоремы вытекает из теоремы 2.2, определяющей
порядок перехода к хаосу в двумерных неавтономных системах
дифференциальных уравнений с особыми точками типа ротор, и из
диффеоморфизма, установленного между трехмерным пространством
решений трехмерной автономной системы с сингулярным циклом и
трехмерным многообразием решений четырехмерной автономной системы
с сингулярным циклом, соответствующим ротору двумерной
неавтономной системы. При этом циклу периода к двумерной неавтономной
системы соответствует цикл периода 2к трехмерной автономной
системы.
Следствие. Существует бесконечное множество интервалов
значений параметра и, при которых семейство систем (2.27)
имеет регулярные аттракторы (асимптотически орбитально
устойчивые периодические траектории пусть даже очень большого периода).

144
ГЛАВА 2. ТЕОРИЯ ДИНАМИЧЕСКОГО ХАОСА
Семейство систем (2.27) имеет простые сингулярные аттракторы
(непериодические почти устойчивые траектории) в бесконечном
числе точек накопления различных бесконечных субкаскадов бифуркаций
удвоения периода различных циклов из субгармонического и следую-
т,их за ним каскадов бифуркаций.
Простейшим из простых сингулярных аттракторов является,
очевидно, аттрактор Фейгенбаума — первый непериодический аттрактор,
существующий в семействе систем (2.27) при \х = /Хо©, где значение /Хоо
соответствует пределу последовательности значений параметра jx, при
которых происходят бифуркации удвоения периода исходного цикла.
Установим теперь аналитически несколько важных свойств
регулярных и сингулярных аттракторов трехмерных автономных
нелинейных диссипативных систем обыкновенных дифференциальных
уравнений с сингулярными циклами. Итак, пусть сингулярный предельный
цикл хо(Ь,ц) периода Т является устойчивым решением семейства
систем (2.27) при всех /х < 0, а при /х = 0 происходит рассмотренная
выше бифуркация удвоения его периода. На самом деле предельный
цикл описывается не одной траекторией жо(£, ах), а бесконечным
семейством таких траекторий xo(t + <ру /х), зависящих от фазы tp.
Изложенным выше методом перейдем к анализу решений семейства двумерных
неавтономных систем (2.30) с Т-периодической матрицей D(t + ip, /х)
в плоскости 5, вращающейся трансверсально к исходному циклу. При
этом матрица Q в (2.30) также зависит от аргумента t -f (р. Пусть
особая точка (0,0) неавтономной системы (2.30) является неустойчивым
ротором при всех 0 < /х < д* с показателями 0\ > 0, 02 < 0..
Лемма 2.2. При любом 0 < /х < /х* траектории x(t + ^, /х) =
xo(t-\-(p,fj,)+Q(t + (p,ii)(0, ui(t), U2(t))T системы (2.27) итолькоони
при всех 0 < у) < 2Т являются сепаратрисами сингулярного цикла
xo(t, у), стремящимися к нему при t —> -оо, где вектор u(t) является
решением системы интегральных уравнений Вольтерра 2-го рода
u(t) = R(t^ip)fi)r 0 J +
t
—ОО
(2.33)
Доказательство. Так как любое решение автономной системы
стремится к циклу с некоторой асимптотической фазой, то искомыми
сепаратрисами цикла будут те и только те решения системы (2.27).
порожденные решениями u(t) семейства (2.30), для которых при
некотором кр имеет место u{i) —> 0 при t —» —оо. Из представления (2.6)
следует, что общее решение системы уравнений (2.30) в плоскости S

2.3. ХАОС В ТРЕХМЕРНЫХ АВТОНОМНЫХ СИСТЕМАХ 145
может быть записано в виде
«(0-Д(« + ^М)е1г(',,,(§) +
t
+ R(t + ip,м) f ев(^('-т)Д-Х(т + v>,/*)Я(«(т),Q(r + V,мМ^т,
— оо
(2.34)
где С\ и С2 - произвольные постоянные. Так как /?2(м) < 0 при всех
О < (л < /х*, то из условия u(t) —> 0 при £ —> -оо необходимо следует,
что Сг = 0. Далее, ввиду вращения вектора u(t) вокруг ротора можно
считать без ограничения общности, что С\ > 0, но при этом интервал
изменения фазы, охватывающий всю область определения сепаратрис-
ной поверхности цикла будет 0 < <р < 2Т. Представим теперь C\e^lt
как e&lS, где s = t + (lnCi)//3i = £ + а, и перепишем систему уравнений
(2.34) в виде
u(s - а) = Я(з - а + <^>) ( 0 I +
+ R(s-a + v) [ eEl—4)R-l(ri-a + (p)H(u(ri-a),Q(ri-a + <p))dri,
— ОО
опустив параметр \х. Из последнего представления ввиду
Г-периодичности функции Q и 2Т-периодичности функции R следует, что при
Сг = 0 решение u{t) системы (2.34) с константой С\ > 0 и
фазой 0 < (р < 2Т в момент £ является также и решением системы
(2.33) с фазой (ф - a) mod (2Г), взятым в момент s = t + а.
Таким образом, без ограничения общности можно положить в (2.34)
С\ = 1, Сг = 0. Следовательно, сепаратрисная поверхность
сингулярного цикла xo(tyfi) семейства систем (2.27) состоит из решений,
порожденных решениями двумерной системы интегральных уравнений
(2.33) при всех 0 < <р < 2Т. Лемма доказана.
Следствие. Так как все функции непрерывно дифференцируемы
по всем своим аргументам % следовательно, непрерывно
дифференцируемы по фазе (р} то построенная в лемме 2.2 сепаратрисная
поверхность сингулярного цикла является его непрерывно
дифференцируемым двумерным инвариантным неустойчивым многообразием
Wu.
Замечание. Результат леммы 2.2 и выводы следствия к ней
остаются, очевидно, справедливыми и в общем случае, когда координата
z\ Ф 0 в преобразовании x(t + р, /х) = x0(t + ¥?, ц) + Q(t + <p, fi)z(t). При
этом двумерная сепаратрисная поверхность будет задаваться
решениями системы трех интегральных уравнений Вольтерра 2-го рода.

146
ГЛАВА 2. ТЕОРИЯ ДИНАМИЧЕСКОГО ХАОСА
Докажем теперь, что все циклы, регулярные и сингулярные
аттракторы семейства систем (2.27) при изменении значений
бифуркационного параметра принадлежат замыканию G двумерного
инвариантного неустойчивого многообразия Wu исходного сингулярного цикла
Теорема 2.5. Любой регулярный аттрактор (устойчивый
предельный цикл), любой неустойчивый цикл и любой сингулярный
аттрактор семейства систем (2.27) в трехмерном фазовом
пространстве при всех 0 < (л < /л* принадлежат двумерному многообразию G
- замыканию двумерного неустойчивого инвариантного многообразия
Wu исходного сингулярного цикла xo(t,fd).
Доказательство. Рассмотрим сначала произвольное
периодическое устойчивое или неустойчивое решение x(t) системы (2.27) при
некотором 0 < /i < д* . Пусть некоторая точка xq его замкнутой в
фазовом пространстве М траектории не принадлежит многообразию
G, т.е. dist(xo,G) > 0. Выберем последовательность моментов
времени tn —* оо при п —► со такую, что x(tn) = яо, и, следовательно,
dist(rr(tn),G) = const > 0. Но с другой стороны, любое решение
системы (2.27), в частности, цикл x(t). порождено одним из решений
двумерной неавтономной системы (2.30), имеющим вид (2.34). Так
как /?2(а0 < 0, то при t —► оо оно стремится к некоторому решению
системы (2.34) с константой Сч = 0, и некоторой константой С\. Но
любое такое решение системы (2.34), как было показано в лемме 2.2,
можно представить как решение системы (2.33) с некоторой другой
фазой и взятое в некоторый другой момент времени. Поэтому, для
любой траектории семейства систем (2.27) всегда найдется сепаратриса
исходного сингулярного цикла xo(t,fj,), которая принадлежит
поверхности G и притягивается к этой траектории. Следовательно, должно
выполняться условие dist(x(tn), G) —> 0 при п —> оо. Полученное
противоречие доказывает, что любой цикл принадлежит многообразию
G.
Из доказанного также вытекает, что и любой простой
сингулярный аттрактор принадлежит многообразию G, так как он содержит
в любой своей окрестности принадлежащий G неустойчивый
предельный цикл. Ясно также, что и любой сложный сингулярный аттрактор
принадлежит многообразию G, так как он состоит из
принадлежащих G неустойчивых циклов, сепаратрисного контура, в любой своей
окрестности содержащего принадлежащие G неустойчивые циклы, и
неустойчивых непериодических траекторий с нулевым старшим
характеристическим показателем, в любой своей окрестности содержащих
принадлежащие G неустойчивые предельные циклы. Теорема
доказана.
Топологическая структура замыкания G двумерного неустойчивого
сепаратрисного многообразия Wu исходного неустойчивого
сингулярного цикла xo(t,{i) была выяснена в предыдущем пункте настоящего
раздела главы - в сечении Пуанкаре это бесконечно складчатый ге-

2.3. ХАОС В ТРЕХМЕРНЫХ АВТОНОМНЫХ СИСТЕМАХ 147
тероклинический сепаратрисный зигзаг, натянутый на сепаратрисиое
дерево каскада Фейгенбаума и деревья других следующих за ним
каскадов.
Доказанная теорема имеет принципиальное значение для
понимания существа хаотических процессов, происходящих в трехмерных
автономных нелинейных диссипативных системах обыкновенных
дифференциальных уравнений. Из нее вытекают два важных следствия.
Следствие 1. Любой простой сингулярный аттрактор
семейства автономных трехмерных систем (2.27) имеет один
отрицательный и два нулевых показателя Ляпунова и является почти
устойчивой непериодической траекторией.
Доказательство. Любой простой сингулярный аттрактор
семейства автономных трехмерных систем (2.27) является
непериодической траекторией, предельной к последовательности траекторий
циклов некоторого каскада бифуркаций удвоения периода. Сама
непериодическая траектория и все сходящиеся к ней траектории
неустойчивых циклов принадлежат двумерному бесконечно складчатому ге-
тероклиническому многообразию G. Поэтому отрицательный
показатель Ляпунова простого сингулярного аттрактора связан с
движением в трансверсальном поверхности G направлении, а один из нулевых
показателей связан, естественно, с движением вдоль самой
траектории. Третий показатель Ляпунова также является нулевым, потому
что, с одной стороны, он не может быть положительным, так как в
этом случае положительный показатель имели бы и устойчивые
циклы, существующие в системе при любых меньших значениях
бифуркационного параметра, что невозможно. С другой стороны, третий
показатель Ляпунова не может быть также и отрицательным, так как
в любой окрестности непериодической траектории простого
сингулярного аттрактора существуют не притягивающиеся к ней траектории
(неустойчивые предельные циклы).
Следствие 2. Фрактальная размерность любого простого
сингулярного аттрактора семейства трехмерных автономных систем
(2.27) не может быть больше двух.
Доказательство. Любой простой сингулярный аттрактор В
является почти устойчивой непериодической траекторией. Поэтому его
сечение Пуанкаре представляет собой набор отдельных точек на гетеро-
клиническом сепаратрисном зигзаге, полученных в результате каскада
бифуркаций удвоения периода одномерного унимодального
отображения. Следовательно, его фрактальная размерность ровно на единицу
превосходит фрактальную размерность аттрактора Фейгенбаума
одномерного унимодального отображения, что не может быть больше двух.
Более того, очевидно, что dp{B) = 1 + dp{F), где dp{F) -
фрактальная размерность аттрактора Фейгенбаума одномерного унимодального
отображения.
Сложнее обстоит дело с фрактальной размерностью и
показателями Ляпунова траекторий трехмерных автономных систем (2.27), ле-

148
ГЛАВА 2. ТЕОРИЯ ДИНАМИЧЕСКОГО ХАОСА
жащих на сложном сингулярном аттракторе. Такой аттрактор
содержит седловые циклы с различными положительными показателями
Ляпунова, а его фрактальная размерность на единицу больше
фрактальной размерности всего гетероклинического сепаратрисного
зигзага или некоторых его частей в сечении Пуанкаре. Следовательно,
проблема сводится! к вычислению фрактальной размерности
сепаратрисного зигзага (рис. 2.12а) на плоскости. Не исключено, что эта
размерность может оказаться больше единицы. В таком случае
фрактальная размерность сложного сингулярного аттрактора может оказаться
больше двух. Как и в случае неавтономных двумерных систем, эта
проблема требует дополнительного исследования.
Как показывают рассмотренные ниже в настоящей главе
многочисленные примеры, субгармонический каскад бифуркаций Шарковско-
го и следующий за ним гомоклинический каскад бифуркаций циклов,
сходящихся к петле сепаратрисы исходного сингулярного цикла,
существуют практически во всех трехмерных автономных диссипативных
системах обыкновенных дифференциальных уравнений с
сингулярными циклами. Во многих системах существует также и следующий за
ними гомоклинический каскад бифуркаций циклов, сходящихся к
петле сепаратрисы особой точки системы. Однако, эти каскады
бифуркаций не исчерпывают всей сложности перехода к хаосу в таких
системах. Также как и в неавтономных двумерных системах с особыми
точками типа ротор при дальнейшем росте значений
бифуркационного параметра происходит усложнение структуры
гетероклинического сепаратрисного зигзага, сопровождающееся появлением на нем
дополнительных сепаратрисных складок. Этот процесс сопровождается
рождением циклов более сложных каскадов бифуркаций, изученных
только в отдельных случаях.
В трехмерной автономной системе с особой точкой типа седло-
фокус реализуется, как правило, полный или неполный
гомоклинический каскад бифуркаций циклов, сходящихся к петле сепаратрисы
седло-фокуса. Этот каскад бифуркаций завершает каскад бифуркаций
удвоения периода Фейгенбаума и субгармонический каскад
бифуркаций Шарковского. Поэтому неудивительно, что именно в окрестности
петли сепаратрисы седло-фокуса наблюдается одно из наиболее
сложных поведений траекторий трехмерных автономных диссипативных
систем, что постулирует теорема Шильникова [123,43]. Вместе с тем,
очевидно, что еще более сложные циклы и сингулярные аттракторы
могут существовать в трехмерной автономной диссипативной системе
обыкновенных дифференциальных уравнений даже при полном
отсутствии в ней каких-либо особых точек, но при наличии, естественно,
сингулярного цикла. Примеры таких трехмерных систем с особыми
точками и без них, но имеющих сложные сепаратрисные
многообразия сингулярных циклов, рассмотрены в следующем пункте настоящей
главы.

2.3. ХАОС В ТРЕХМЕРНЫХ АВТОНОМНЫХ СИСТЕМАХ 149
2.3.4. Некоторые примеры трехмерных автономных систем
с сингулярными аттракторами
Так как уравнения циклов конкретных нелинейных систем
обыкновенных дифференциальных уравнений могут быть известны
только в исключительных случаях, то при анализе таких систем
основная трудность состоит в построении преобразования x(t -f <р, и) =
— xo{t + <р,у) + Q(t + ip,fi)z(t) и в переходе с его помощью к
системе координат, связанной с циклом. Первый из рассмотренных ниже
трех примеров допускает построение такого преобразования в явном
виде с вектором z(t) = (О, ui(t), U2(t))T. Поэтому он является полной
наглядной иллюстрацией всей изложенной выше теории образования
сингулярных аттракторов трехмерных нелинейных автономных дис-
сипативных систем обыкновенных дифференциальных уравнений и их
связи с неавтономными двумерными системами. Система из второго
примера имеет полный гомоклинический каскад бифуркаций циклов,
сходящихся к петле сепаратрисы особой точки типа седло-фокус,
третий пример - пример системы (2.31) дает возможность сравнить
двумерные гетероклинические сепаратрисные многообразия системы при
разных значениях величины диссипации и частоты вращения
траекторий.
Пример 1. Рассмотрим автономную систему трех
дифференциальных уравнений
±1 = -UJX2 + X\h{Xi,X2ipL,u)i
х2 = шх\ + x2h{xux2,yL,u), (2.35)
хз = (x2+uj/4)((x1 + xl) - 1) + 2(//-1 -a?i)z3,
где
Н(хих2ф,и) = ((/х - 1)^/х? + х\ + х\)(х\ + х\ - 1) + (2х2 - с;/2)х3.
При ц < 1 система (2.35) имеет особую точку (0,0,о;/8(// — 1)) и
предельный цикл xo{tyfi) = (coscjt,sino;i, 0)T, лежащий в плоскости
переменных (х\^х2) и имеющий период Т = 2n/uj. Сделаем замену
переменных
x(t + y7,/x) = XO(t + ^./i)+Q(t + y7,/x)(01 Ui(t), U2(t))T
с 27г/с«;-периодической матрицей Q(t + <р, /х):
(—usinujt cos art 0\
ucosut smut 0 .
О 0 \)
Во избежание длинных выкладок фазу ip в дальнейших вычислениях
будем опускать. Указанной заменой приведем систему (2.35) к связан-

150 ГЛАВА 2. ТЕОРИЯ ДИНАМИЧЕСКОГО ХАОСА
ным с циклом координатам, т.е. непосредственно к двумерной
неавтономной системе (2.4) с 27г/о;-периодическими коэффициентами
ui=2(/z—l+cosujt)ui + (2sinu;f— u/2)u2 + h\(u} £,о;,д),
U2 = [2smut+uj/2)ui+2(fj, — l--cosu;t)u2+h2(u,t,uJ,iJ,}, v*" ;
гдеи = (wi, u2)T,
hi = (// — l-\-cosu;t)((2ui-\-ii()2+i^) + ((2ui -\-4)smut—uj/2)uiU2:
hi = (2 sinut + (it] 4-1) sinut + ш/4)и\ — 2uiu2 cosu)t.
Главная линейная часть системы (2.36) совпадает с главной
линейной частью системы с ротором и имеет форму (2,7) с (3\ = 2д и
02 = 2fi — 4. Следовательно, при /х < 0 нулевое решение системы (2.36)
и, соответственно, цикл xo(t) системы (2.35) устойчивы. При /i > Ов
системе (2.36) появляется устойчивое решение с частотой и/2 или же
с удвоенным периодом 4n/oj.
Комплексные числа а\ = iuj/2 -j- 2ji и ач = ги/2 Н- 2/х — 4 являются
показателями Флоке цикла xo(t) исходной системы (2.35). При ц = 0
первый из них переходит слева направо через мнимую ось, а второй
остается в левой полуплоскости. Соответствующие показателям Флоке
мультипликаторы равны:
Ai = ехр((го;/2 4- 2fi)27r/uj) = ехр(г*7г -f 47Г/хДи>),
А2 = exp((iuj/2 + 2/x - 4)27r/w) = ехр(пг + 47г(// - 2)/ш).
При \i =. 0 первый мультипликатор, очевидно, пересекает границу
единичной окружности в точке —1. Второй мультипликатор при этом
равен — ехр(—87г/о;) и остается лежащим на вещественной оси внутри
единичного круга. Таким образом, при переходе бифуркационного
параметра \i через значение \i\ = 0 сингулярный устойчивый цикл xo(t)
системы (2.35) становится сингулярным седловым циклом, а вокруг
него рождается устойчивый цикл удвоенного периода. Особая точка
0(0,0) двумерной неавтономной системы (2.36) является ротором.
Все дальнейшие бифуркации цикла можно наблюдать как в
трехмерном фазовом пространстве переменных (#i, жг, жз), так и в
плоскости 5 переменных (1*1,1*2), вращающейся вместе с траекторией цикла.
Интегрируя систему (2.35) методом Рунге-Кутта4-го порядка,
нетрудно установить, что при росте положительных значений параметра \i
при фиксированном значении параметра и) в системе (2.35) сначала
реализуется каскад бифуркаций Фейгенбаума удвоения периода
исходного устойчивого предельного цикла, затем - субгармонический
каскад бифуркаций рождения устойчивых циклов любого периода в
соответствии с порядком Шарковского. Так, например, при d = 4 в
системе (2.35) рождается устойчивый цикл учетверенного периода при
/i2 ъ 0.079, периода 8 - при ^ и 0.0917, периода 16 - при /i4 « 0.095,

2.3. ХАОС В ТРЕХМЕРНЫХ АВТОНОМНЫХ СИСТЕМАХ 151
периода 32 - при ц$ « 0.0951, периода 64 - при ^ « 0.09517. Значение
lioo, соответствующее пределу последовательности значений
параметра /I, при которых происходят бифуркации удвоения периода
исходного цикла, приближенно равно, очевидно, 0.0952. Здесь в системе (2.35)
рождается аттрактор Фейгенбаума. При ц « 0.09523 в системе (2.35)
уже имеется устойчивый цикл периода 80, что соответствует циклу
5-24 в порядке Шарковского, при ц « 0.09526 - устойчивый цикл
периода 48 = 3-24. Цикл периода 20 = 5-22 рождается при /j, « 0.0962, цикл
периода 12 = 3 ■ 22 рождается при ji « 0.0969, цикл периода 10 = 5 ■ 2
- при ц « 0.09986, цикл периода 6 - при /j, и 0.10295. Рождение
последнего цикла означает рождение устойчивого цикла периода три в
порядке Шарковского в плоскости 5 переменных (иьиг) (рис.2.13).
Рис. 2.13: Проекция цикла периода 4 системы (2.35) и цикл периода 2
системы (2.36) при /л — 0.08 (а); проекция цикла периода 6 системы (2.35) и
цикл периода 3 системы (2.36) при \х = 0.103 (б); сингулярные аттракторы
системы (2.35) и (2.36) при /х = 0.108 (в); сингулярные аттракторы системы
(2.35) и (2.36) при (1 = 0.114 (г)
Субгармонический и гомоклинический каскады бифуркаций
заканчиваются в системе (2.36) при \i « 0.1132, когда глаза сингулярных
аттракторов системы (2.36) в плоскости S стремятся к нулю. Система
(2.35) при этом имеет гомоклиническую петлю сепаратрисы исходного
сингулярного цикла (рис.2.14).
При дальнейшем увеличении значений бифуркационного
параметра \i в трехмерной автономной системе (2.35) реализуется неполный
субгармонический каскад бифуркаций рождения устойчивых циклов
в соответствии с порядком Шарковского. При \i = 0.118 в системе
можно наблюдать устойчивый цикл периода семь, а при \х = 0,1222 -
цикл периода пять. Затем идет сложный каскад бифуркаций циклов,
сходящихся к гомоклиническому контуру - петле сепаратрисы особой

152
ГЛАВА 2. ТЕОРИЯ ДИНАМИЧЕСКОГО ХАОСА
Рис. 2.14: Петля сепаратрисы ротора системы (2.36) (а) и соответствующая
ей петля сепаратрисы исходного сингулярного цикла xo(t) системы (2.35)
при /« = 0.1132, ш = 4 (б)
точки при j.i « 0.1276. Соответствующий этому значению параметра
гетероклшшческий сепаратрисный зигзаг системы (2.35) изображен
на рис.2.15 (а). Сама особая точка, как легко установить, является в
данном случае седло-фокусом с одномерным устойчивым и
двумерным неустойчивым многообразиями, так как матрица линеаризации
системы (2.35) в ней имеет собственные значения:
А1 = 20*-1)<0>Ча-щз1)±й-.
Заметим, что добавлением нелинейного члена — (хз)2 в третье
уравнение системы (2.35) нетрудно получить систему, вообще не имеющую
особых точек в интервале 0 < \х < 2, ш = 4, но в то же время имеющую
тот же сценарий перехода к хаосу, что и в системе (2.35). Этот пример
показывает, что именно сингулярные циклы, а не особые точки
автономных систем порождают в них хаотическую динамику.
Существование особых точек может вести только к появлению гомоклинических
или гетероклинических каскадов бифуркаций.
Пример 2. В качестве второго примера рассмотрим систему
обыкновенных дифференциальных уравнений
Х\ = j.hX\ — ШХ2 — х\х\у
&2 = ^^1 + Д#2 " %\^2^3* (2.37)
±3 = Ж? + %2 + Xl - axS,

2.3. ХАОС В ТРЕХМЕРНЫХ АВТОНОМНЫХ СИСТЕМАХ 153
Рис. 2.15: Гетероклинические сепаратрисные зигзаги в сечении хъ = О
системы (2.35) (а) при ш = 4 и ц = 0.1276 и системы (2.37) (б) при и = 1,
ст = 5 и у, = 0.0289659
зависящую от трех системных параметров /х, и > 0 и а > 0.
Система (2.37) по своим характеристикам более близка к реальным
автономным системам обыкновенных дифференциальных уравнений, чем
модельная система (2.35). Она имеет нулевую особую точку,
являющуюся устойчивым фокусом при /i < 0, и седло-фокусом с одномерным
устойчивым и двумерным неустойчивым многообразиями при ц > 0.
Одновременно при \i > 0 в системе (2.37) в результате бифуркации
Андронова—Хопфа рождается устойчивый сингулярный предельный
цикл, характеристики которого нам неизвестны. Такие системы
обладают наиболее простыми сепаратрисными поверхностями своих
сингулярных циклов.
х2
г*1
а)
Рис. 2.16: Исходный сингулярный цикл (а), цикл периода 2 (б) при
fi — 0.025, аттрактор Фейгенбаума (в) при fi = 0.026581, цикл периода 3
субгармонического каскада (г) при \i = 0.0276 и цикл Cq гомоклинического
каскада (д) при /i = 0.028571 в автономной трехмерной системе (2.37)

154
ГЛАВА 2. ТЕОРИЯ ДИНАМИЧЕСКОГО ХАОСА
Интегрируя систему (2.37) методом Рунге-Кутта 4-го порядка,
нетрудно установить, что при росте положительных значений
параметра до при фиксированных значениях параметров ш и а в системе
(2.37), как и в системе (2.35). сначала реализуется каскад
бифуркаций Фейгенбаума удвоения периода родившегося устойчивого
предельного цикла, а затем - субгармонический каскад бифуркаций рождения
устойчивых циклов любого периода в соответствии с порядком Шар-
ковского. Так, например, при и; = 1, а = 5, в системе (2.37)
рождается устойчивый цикл удвоенного периода при ц\ « 0.02445,
учетверенного периода - при дог ~ 0.02618, периода 8 - при доз w 0.0265,
периода 16 - при дол » 0.02657, периода 32 - при //5 ~ 0.02658,
периода 64 - при fiQ и 0.0265805. Значение Дооо, соответствующее пределу
последовательности значений параметра до, при которых происходят
бифуркации удвоения периода исходного цикла, приближенно равно
0.026581. Здесь в системе (2.37) рождается аттрактор Фейгенбаума.
При до « 0.0265829 в системе (2.37) уже имеется устойчивый цикл
периода 48. что соответствует циклу 3 • 24 в порядке Шарковского.
Цикл периода 12 = 3 • 22 рождается при до « 0.026623, цикл периода
10 = 5 ■ 2 - при до и 0.0267, цикл периода 6 - при до « 0.02678. Цикл
Сз периода три, завершающий субгармонический каскад бифуркаций
Шарковского, рождается при до « 0.0276.
При дальнейшем увеличении значений параметра до в системе (2.37)
реализуется полный гомоклинический каскад бифуркаций рождения
устойчивых циклов, сходящихся к гомоклиническому контуру (рис.2.16).
Цикл С\ периода четыре гомоклинического каскада рождается при
до и 0.02814, цикл С5 - при до « 0.02841, цикл С6 - при до и 0.028571
и т.д. Гомоклинический контур в системе (2.37) существует при до —
до* « 0.0289659 (u; = 1, а = 5) (рис.2.15(6)).
Пример 3. Покажем, что усложнение динамики решений в
трехмерной автономной системе, имеющей полный субгармонический
каскад бифуркаций, может происходить не только через гомоклинический
или гетероклинический каскады бифуркаций. Для этого рассмотрим
систему (2.31) при b = 1,lj = 4. то есть при больших значениях
параметра диссипации и достаточно больших значениях частоты вращения
траектории на исходном сингулярном цикле.
При росте положительных значений параметра до в системе (2.31),
как и в системах (2.35) и (2.37), сначала реализуется каскад
бифуркаций Фейгенбаума удвоения периода родившегося устойчивого
предельного цикла, а затем - субгармонический каскад бифуркаций рождения
устойчивых циклов любого периода в соответствии с порядком
Шарковского. Так, в системе (2.31) рождается устойчивый цикл
учетверенного периода при ДО2 ~ 0.1685, периода 8 - при доз ~ 0.195, периода
16 - при до4 « 0.2, периода 32 - при Доб ~ 0.2009. Значение /±oo5
соответствующее пределу последовательности значений параметра до, при
которых происходят бифуркации удвоения периода исходного цикла,
приближенно равно 0.2012. Здесь в системе (2.31) рождается аттрак-

2.3. ХАОС В ТРЕХМЕРНЫХ АВТОНОМНЫХ СИСТЕМАХ 155
Рис. 2.17: Исходный сингулярный цикл (а), цикл периода 2 (б) при /х = 0.1,
аттрактор Фейгенбаума (в) при /х = 0.2012, цикл периода 6
субгармонического каскада (г) при /i = 0.214 и один из сингулярных аттракторов (д) при
/1 = 0.217 в автономной трехмерной системе (2.31)
тор Фейгенбаума. При \i и 0.2098 в системе (2.31) уже имеется
устойчивый цикл периода 10 = 5 ■ 2 в порядке Шарковского, при ц « 0.214
- цикл периода 6, а при /х ~ 0.251 - цикл периода 3, завершающий
субгармонический каскад бифуркаций (рис.2.17). Петля сепаратрисы
исходного сингулярного цикла существует в системе при //« 0.221
Рис. 2.18: Проекция инвариантной поверхности сингулярного аттрактора
системы (2.31) (а) и соответствующий ей сепаратрисный гетероклинический
зигзаг (б) в сечении у — 0 при 6 = 1,о; = 4и/х = 0.41
При дальнейшем увеличении значений параметра \х в системе (2.31)
реализуется отличный от гомоклинического каскад бифуркаций
устойчивых циклов, сопровождающийся существенным усложнением
инвариантной поверхности сингулярных аттракторов (рис. 2.18).
Рассмотренные примеры показывают, что в трехмерных
автономных системах обыкновенных дифференциальных уравнений возможно
существование значительно более структурно сложных сингулярных
аттракторов, чем рассмотренные ниже аттракторы известных класси-

156
ГЛАВА 2. ТЕОРИЯ ДИНАМИЧЕСКОГО ХАОСА
ческих систем, включая системы Лоренца, Ресслера, Чуа и др.
2.3.5. Примеры классических трехмерных автономных
систем с сингулярными аттракторами
В этом пункте сначала кратко рассмотрены классические
трехмерные автономные хаотические диссипативные системы Лоренца,
Ресслера, Чуа, Магницкого, подробно проанализированные в [59].
Показано, что переход к динамическому хаосу во всех этих системах,
описывающих процессы и явления из разных областей науки, происходит
в соответствии с рассмотренным выше единым универсальным
сценарием Фейгенбаума—Шарковского—Магницкого (ФШМ). Все
классические системы имеют все устойчивые циклы и сингулярные
аттракторы из субгармонического каскада бифуркаций Шарковского. Более
того, все они обладают полным или неполным гомоклиническим
каскадом бифуркаций. Для системы Лоренца представлены
бифуркационные диаграммы, опубликованные ранее только в журнальной
литературе. Рассмотрены также некоторые другие модели трехмерных
автономных диссипативных систем, описывающих реальные физические,
химические, биологические и социально-экономические процессы.
Показано, что все эти системы также обладают сценарием перехода к
динамическому хаосу в соответствии с теорией ФШМ.
Итак, рассмотрим:
систему уравнений Лоренца [155]
х = а(у - ж), y = x(r-z)-y, z = xy- bz, (2.38)
моделирующую движение жидкости в конвекции Рэлея-Бенара;
систему уравнений Ресслера [171},
х = -у - z, у = х + ау, z = b + z(x - /i), (2.39)
являющуюся моделью некоторой гипотетической химической реакции;
систему уравнений Чуа [131],
х = ц[у - h{x)\, y = x-y + z, z = -0y, (2.40)
моделирующую электротехническую колебательную цепь с
нелинейным сопротивлением, где
{bx + a + byx < -1,
-ах, \х\ < 1,
Ьх — а — Ь,х > 1,
а, Ь. (5. ц - параметры, принятые для удобства положительными; и
систему уравнении Магницкого [54.59]
х = Ьх((1 - a)z - 5у)< у — х(1 - (1 - д)у + <rz), z = a(y - dx), (2.41)

2.3. ХАОС В ТРЕХМЕРНЫХ АВТОНОМНЫХ СИСТЕМАХ 157
моделирующую поведение макропоказателей рыночной экономики.
Для наглядности получаемых результатов иногда бывает удобно
привести систему уравнений Лоренца линейной невырожденной
заменой переменных
х = и + v, а(у — х) = Ххи 4- Аг^, z = z
(2.42)
к главным осям плоскости z = 0 и использовать запись уравнений
системы в переменных (u, v,z) (подробно см. в [59]):
й = Ait/ Ч-
v = X2v -
az{u + v)
А2 - Ai
az(u + v)
A2 — Ai
(2.43)
где при г > 1 и а > О
Ai =
аЛ-
4*4*
+ <г(г-1)<0,
А2
= -Z±l + yJi^L+a{r-l)>0,
Некоторые важные устойчивые циклы и сингулярные
субгармонические аттракторы в соответствии с порядком Шарковского, а также
некоторые устойчивые гомоклинические и гетероклинические циклы
и сингулярные гомоклинические и гетероклинические аттракторы
систем (2.38)-(2.43) представлены на рис. 2,19-2.24.
Рис. 2.19: Проекции сингулярного цикла (а) при г = 300, цикла периода
два (б) при г = 244, аттрактора Фейгенбаума (в) при г = 233, цикла периода
три (г) при г = 226 и одного из субгармонических сингулярных аттракторов
(д) при г = 220 в системе Лоренца (2.38) при Ь = 8/3, а = 10.5

158
ГЛАВА 2. ТЕОРИЯ ДИНАМИЧЕСКОГО ХАОСА
Рис. 2.20: Проекции гомоклинических циклов С\ (а) при г = 107.75 и С\ (б)
при г = 55.66, гомоклинической петли сепаратрисы седло-фокуса (в) при т =
33.21926 и полного двойного гомоклинического сингулярного аттрактора (г)
при т = 33.2189 в системе Лоренца (2.38), (2.43) при Ь = 8/3, о = 10.5
Рис. 2.21: Исходный сингулярный цикл (а) при /л = 1.7, цикл периода
четыре (б) при /х = 2.3, аттрактор Фейгенбаума (в) при /а « 2.33, цикл
периода три (г) при /л = 2.446 и один из более сложных субгармонических
сингулярных аттракторов (д) при /а = 2.5 в системе Ресслера (2.39) при
а = 0.5, Ь = 0.75
Таким образом, во всех рассмотренных классических автономных
трехмерных системах обыкновенных дифференциальных уравнений в
процессе перехода к хаосу рождаются, как правило, полные или
неполные субгармонические, гомоклинические или гетероклинические
аттракторы. В связи с этим весьма актуальной становится задача
нахождения гомоклинических и гетероклинических контуров (петель
сепаратрис) в пространстве параметров системы. Эффективный метод
нахождения таких контуров предложен автором в [56]. Этим
методом в [38,56,59] найдены для системы Лоренца (2.38)
гетероклинические контуры, соединяющие седло-узел с седло-фокусами,
гомоклинические петли сепаратрис седло-фокусов и гомоклиническая петля
сепаратрисы седло-узла (гомоклиническая бабочка). Кроме этого
система Лоренца имеет гетероклинический контур, связывающий два
седло-фокуса, гетероклинический контур, связывающий седло-узел с

2.3. ХАОС В ТРЕХМЕРНЫХ АВТОНОМНЫХ СИСТЕМАХ 159
Рис. 2,22: Проекции исходных сингулярных циклов (а) при /х = 5.7,
циклов периода 4 (б) при /х = 6.04, аттракторов Фейгенбаума (в) при
/х — 6.07,циклов периода 3 (г) при /х = 6.14 и субгармонических сингулярных
аттракторов (д) при ц — 6.16 в системе Чуа (2.40) при а = 1/7, Ь = 2/7, /3 = 9
Рис. 2.23: Проекции трех гетероклинических циклов Сц (а) при /х = 6.34,
Сзз (б) при (л = 6.39, С77 (в) при /х = 6.522 и гетероклинического
сингулярного аттрактора (двойной завиток) (г) при /х = 6.66 в системе Чуа (2.40)
при а = 1/7, Ь = 2/7,0 = 9
Рис. 2.24: Проекции исходного сингулярного цикла (а) при а = 0.25,
цикла периода 2(6) при а — 0.266, аттрактора Фейгенбаума (в) при а = 0.278,
цикла периода 3 (г) при сг = 0.284 и сложного субгармонического
сингулярного аттрактора (д) при сг = 0.283 в системе Магницкого (2.41) при
а = 7,Ъ = 0.4, d = 1.17, S = 0.65

160
ГЛАВА 2. ТЕОРИЯ ДИНАМИЧЕСКОГО ХАОСА
двумя седло-фокусами и гетероклинические контуры, определяющие
в системе бифуркацию «точка-цикл» и связывающие седло-узел с
двумя седловыми циклами. Представленный на (рис. 2.256) гетероклипи-
ческий контур, связывающий седло-узел О системы Лоренца (2.38) с
двумя седло-фокусами Oi и Ог (при Ь = 8/3 найдены значения а =
10.167293, г ^ 30.8681.), является предельным случаем
гетероклинических' контуров, связывающих седло-фокусы 0\ и 0-2 (при Ь = 8/3, а =
15 найдено значение г « 73.637366; рис.2.25а), а также гомоклиничс-
ских петель сепаратрис седло-фокусов 0\ и 0<i (при Ь = 8/3, а = 10.5
найдено значение г « 33.21926; рис.2.20в).
а) б)
Рис. 2.25: Проекции гетероклинических контуров в системе Лоренца (2.38),
связывающих два седло-фокуса (а) при Ь = 8/3, а — 15, г == 73.637366 и"
седло-узел с двумя седло-фокусами (гетероклиническая бабочка) (б) при Ь =
8/3, а = 10.167293, г = 30.8681.
Развитая автором в [56] методика нахождения гомоклипических и
гетероклинических контуров особых точек нелинейных систем
обыкновенных дифференциальных уравнений дала возможность построить
численно бифуркационные поверхности всех рассмотренных выше
бифуркаций (кроме бифуркации точка-цикл) в пространстве
параметров (<т, Ь, г) системы Лоренца. Впервые построение бифуркационной
поверхности существования гомоклинической бабочки было
осуществлено в работе [39]. При нахождении этой поверхности, как и
ожидалось, подтвердилось неравенство Леонова-Чена [47,130] За > 26 -f 1
- необходимое и достаточное условие существования значения
параметра г, при котором система Лоренца имеет две гомоклииическис
петли сепаратрис седло-узла. По аналогии с названием этого гомокли-
нического контура назовем сепаратрисный гетероклинический контур,
соединяющий седло-узел с двумя седло-фокусами и изображенный на
рис.2.256, гетероклинической бабочкой.
На рис. 2.26 изображена почти полная (без бифуркации «точка-
цикл») бифуркационная диаграмма нелокальных бифуркаций, суще-

2.3. ХАОС В ТРЕХМЕРНЫХ АВТОНОМНЫХ СИСТЕМАХ 1G1
Рис. 2.26: Si - бифуркационная поверхность существования гомоклини-
ческой бабочки; S2 - бифуркационная поверхность существования гомокли-
нических петель сепаратрис седло-фокусов 0\ и О2; Sz - бифуркационная
поверхность существования гетероклинических контуров седло-фокусов 0\
и Ог\ С - кривая существования гетероклинической бабочки, т.е гетерокли-
нического контура, соединяющего седло-узел с двумя седло-фокусами 0\
и О2; L - прямая классических параметров системы Лоренца
ствующих в системе Лоренца, - это представление в пространстве
параметров (а, 6, г) всех кривых и поверхностей, описанных отдельно в
предыдущих работах автора, на одной диаграмме относительно друг
друга [38]. Ниже всего располагается поверхность S\ существования
в системе гомоклинической бабочки. Чуть выше S\ располагается, не
касаясь и не пересекая ее, кривая С - кривая существования
гетероклинических контуров, соединяющих седло-фокусы Oi и Оъ с седло-узлом
О. От кривой С отходят две полуповерхности 52 и 5з, где 5г лежит
в пространстве параметров выше 5з и является полуповерхностью
существования гомоклинических петель сепаратрис седло-фокусов 0\ и
Ог, а 5з - полуповерхностью существования гетероклинического
контура, соединяющего седло-фокусы 0\ и О2. Прямая L на данной
диаграмме представляет собой прямую классических параметрон системы

162
ГЛАВА 2. ТЕОРИЯ ДИНАМИЧЕСКОГО ХАОСА
о — 10, Ь = 8/3. Можно видеть, что она пересекает только лишь
бифуркационную поверхность Si существования гомоклинической бабочки
при г « 13.926 и проходит очень близко к кривой С существования ге-
тероклшшческих контуров седло-фокусов и седло-узла. Так как L не
пересекается ни с одной из бифуркационных полуповерхностей #2 и
64. это еще раз доказывает, что при классических значениях
параметров переход к хаосу осуществляется через неполный двойной гомокли-
нический каскад. При этом все рождающиеся в системе сингулярные
аттракторы имеют «глаза», размер которых определяется
расстоянием до прямой L. Таким образом, полная бифуркационная диаграмма
показывает, что при значениях параметров а = 10,6 = 8/3 поведение
траекторий и системе не самое сложное, так как в ней не
существуют ни гомоклиническис петли сепаратрис седло-фокусов, ни гетеро-
клипические контуры седло-фокусов, ни гетероклинические контуры,
соединяющие седло-узел с седло-фокусами.
В монографиях [59,161] и многочисленных статьях детально
рассмотрены некоторые другие хаотические трехмерные нелинейные
системы обыкновенных дифференциальных уравнений, такие как:
система В ал лиса [185]
х = fiy — ах> y — xz — y, z = 1 — ху — z,
описывающая колебания температуры в приэкваториальных областях
мирового океана;
система Simple [86] «
4=1 + да, у = х-у, z = l-xy,
моделирующая некоторый автоколебательный диссипативный процесс;
система Анищенко-Астахова [3]
х = тх + у — жг, у = —я, z = —gz + х(а;)а;2,
моделирующая электронный автоколебательный генератор с
инерционной нелинейностью, где х{%) ~~ функция Хевисайда;
система Рабиновича-Фабриканта [94]
х = y(z - 1 + х2) + ах, у = x(3z + 1 - х2) + ay, z = -2z(fi + ху),
моделирующая распространение волн в периодически неоднородной
нелинейной оптической среде;
система Пиковского-Рабиновича-Трахтенгерца [92]
х = —fix + By — yz, у = вх — vy + xz, z — —5z + xy,

Д.З. ХАОС В ТРЕХМЕРНЫХ АВТОНОМНЫХ СИСТЕМАХ 163
моделирующая параметрическое возбуждение волн в магнитоактив-
пой плазме;
система Свирежева [99]
х = ж(-0.1 - а(-с + x + y + z)- у/{Ъ + х)), у = у(-0.2 4- х/(Ъ + х)~
-z/(5 + j/)),i = z(-0.2-hy/(5 + y)),
описывающая экологическую модель трофической цепи длины три;
система Вольтерра-Гаузе [141,104]
х = а(1 - Хх/а)х - Ьхку, у = dxky -су- eypz, z = -(fyp - g)z,
описывающая модель сообщества из двух хищников и одной жертвы;
система Апонина [86]
X = х(а — х — 6у — Az), у = y{b — x — y — l0z))7 z = z(l — 0.25x-4y + z),
описывающая конкуренцию двух жертв и одного хищника;
система Агуреева [1]
х = ay(Z — z) — bz(x — X), у = cxz — d(Z — z)(y — У), i = e(x — y),
описывающая модель конкуренции двух автомобильных перевозчиков;
система Чумакова [119]
.г = fci(l - х - у)2 - к2х2 - к3х2у, у = fc4(l -х-у)2- къу2 - к3х2у
- ke{z)y, i = с(у(1 - г) - az(l -х- у)),
моделирующая динамику неоднородных каталитических реакций;
система Спротта [181,182]
i = У» y = x + z, z = z + 3y2;
система Чена [129,194]
х = а(у — х), у = (с — а)х — xz 4- су, z = ху — bz;
система Лиу [154,182]
х = ах + diyz, у = by + d^xz, z = cz + d$xy\

164
ГЛАВА 2. ТЕОРИЯ ДИНАМИЧЕСКОГО ХАОСА
система Рюклиджа [172,182]
х = ах -by -yz, у = ж, z = -z + у2]
система Генезио-Тези [139]
х = у, у = z) z == — ex — by — az 4- х2.
Непосредственно к системе уравнений Лоренца (2.38) сводится в
простейшей постановке и задача об исследовании динамики лазера [116].
Все эти системы имеют один и тот же универсальный сценарий
перехода к динамическому хаосу через субгармонический и затем го-
моклинический или гетероклинический каскады бифуркаций
устойчивых циклов в соответствии с теорией ФШМ.
2.4. Динамический хаос в логистических моделях
социодинамики
2.4.1. Логистические модели социодинамики
Рассмотрим предложенные В.Вайдлихом простейшие
логистические математические модели социодинамики, при создании которых
использовался макроскопический подход, основанный на
«полуколичественных рассуждениях» [188,189]. К числу несомненных достоинств
данной группы моделей следует отнести наглядность, их прозрачность
для понимания, а также тот факт, что они могут быть применены для
качественного описания весьма широкого круга
социально-экономических процессов.
Введем макропеременные, которые будут характеризовать
состояние некоторой социальной системы. Для начала будем рассматривать
эти макропеременные абстрактно, полиостью пренебрегая их
конкретным содержанием. На данном этапе для нас важно лишь то, что этим
переменным может быть приписано некое реальное смысловое
содержание, они могут быть определены количественно любым способом
и принимают непрерывные положительные значения. Будем полагать
также, что эти макропеременные могут взаимодействовать друг с
другом, а так как они «оторваны от реальной жизни», то и их
взаимодействие может быть описано численно, без выяснения и учета
социальных механизмов взаимовлияния.
Вполне естественно предположить, что макропеременные могут
влиять друг на друга по-разному: к примеру, переменная х может как
увеличивать значение переменной у, так и наоборот, уменьшать его.
Разумеется, степень влияния переменной х на переменную у будет зависеть
от численных значений этих переменных. Более того, сам характер

2.4. ХАОС В МОДЕЛЯХ СОЦИОДИНАМИКИ
И>5
воздействия переменной х на переменную у (поддержание или
подавление) может изменяться и зависеть от величины х. Макроперемеиная
х может - в зависимости от собственной амплитуды - переключаться
с подавления переменной у на поддержание, и наоборот.
Будем называть переменную х кооперативной по отношению к
переменной у, если х стремится увеличить значение у при больших
собственных значениях и уменьшить при малых. Иными словами,
кооперативная переменная стремится сравнять значение другой
переменной, на которую она действует, со своим собственным значением. Но
возможен и другой вариант: переменная х будет подавлять
переменную у в том случае, если значение х велико, и усиливать, если х -
мало. Следовательно, переменная х стремится противопоставить
величину переменной у своей собственной величине. В этом случае будем
называть переменную х антагонистической по отношению к у.
Подобный характер взаимодействия - кооперативный или
антагонистический - довольно часто встречается в социальных системах, и,
следовательно, данный подход (конечно, памятуя о том, что он
существенно идеализирован) можно применять для описания весьма
широкого круга явлений.
Будем рассматривать две переменные х и у, которые оказывают
друг на друга кооперативное или антагонистическое воздействие.
Причем вполне естественно, что переменная х может, к примеру,
оказывать кооперативное воздействие па переменную у и в то же время
переменная у может оказывать антагонистическое влияние на х. Более
того, предполагая, что переменные х и у самонасыщающиеся,
получим, что наиболее простым типом уравнений, способных содержать
взаимодействия кооперативного или антагонистического типа и
самонасыщение, скорее всего, являются логистические уравнения
dx dy
— = x[a(y)s - х], — = #(ф-у], (2.44)
где г - безразмерное время, s - регулируемый параметр,
характеризующий степень влияния макропеременных друг на друга, а а(у), Ь(х)
- функции влияния, обусловливающие кооперативный или
антагонистический характер взаимодействия макропеременных. Эти функции
В. Вайдлих предлагает выбрать в следующем виде:
если воздействие у на х кооперативное, то
«(») = {
о- < 0, 0 < у < ys
а+ > 0, ys < у < оо,
если воздействие у на х антагонистическое, то
f а_ < 0, ys<y< ос
в(»)а8\«+>0, —• (2'46)
О < у < ув.

166
ГЛАВА 2. ТЕОРИЯ ДИНАМИЧЕСКОГО ХАОСА
Соответственно, если переменная х оказывает кооперативное
влияние на у, то
Ь(х) = К>о,
О < х < xs
Xg < Х < 00,
и в случае антагонистического взаимодействия х и у:
(2.47)
./ v Г Ь- < 0, :rs < z < оо .„ .
6(x) = k>o, <-— (2'48)
О < Ж < Ж5
Очевидно, что при 2/я воздействие у на х переключается с
подавления на поддержание согласно (2.45) или (2.46), а при xs воздействие
х на у также; переключается с подавления на поддержание согласно
(2.47) или (2.48). Нетрудно заметить, что возможны четыре варианта
взаимодействия макропеременных между собой:
1) церемонная х оказывает кооперативное воздействие на у,
переменная ;// кооперативно действует на х;
2) переменная х оказывает антагонистическое воздействие на у,
переменна» у антагонистично действует на х\
\\) переменная х оказывает кооперативное воздействие на у,
переменная у антагонистично действует на х\
4) переменная х оказывает антагонистическое воздействие на у,
переменная у кооперативно действует на х.
В случае «симметричного» характера взаимодействия (случаи 1
и 2) система очень быстро приходит (в зависимости от начальных
условий) к одному из двух состояний равновесия, которые
являются устойчивыми узлами. В «асимметричных» случаях (3 и 4)
изображающая точка движется по фазовой плоскости квазициклично, с
течением мремепи приближаясь к устойчивому фокусу (xs, ys)y причем
«интенсивность скручивания» фазовой траектории определяется
параметром системы s: чем больше s, тем медленнее затухают колебания,
и при s —> оо наблюдаются периодические незатухающие колебания (в
какой-то мерс, я является аналогом добротности в колебательном
контуре с потерями).
Примером качественной интерпретации модели может служить
взаимодействие народа и правительства, где х - степень воздействия на
управление государством и демократического соучастия народа в этом
процессе, а у - степень силы и власти правительства.
Но стоит заметить, что нелинейные модели социодинамики Вай-
длиха сильно идеализированы: при описании явлений, происходящих
в обществе, учитываются лишь два наиболее существенных по
мнению их автора фактора. Но это оказывается совершенно
недостаточным для описания многих экономических и социальных явлений, так
как более сложные регулярные периодические режимы и хаотическая
динамика могут наблюдаться только в фазовом пространстве
размерности не меньше трех. В связи с этим Д.И.Трубецковым [112] пред-

2.4. ХАОС В МОДЕЛЯХ СОЦИОДИНАМИКИ 107
ложено рассматривать три переменные ж j и z, которые оказывают
друг на друга кооперативное или антагонистическое воздействие. При
этом система логистических эволюционных уравнений социодинамики
Вайдлиха-Трубецкова принимает вид
х = [а(у, z)s - х]х, у = [Ь(я, z)s - у]у, z = [c(x, y)s - z]z. (2.49)
В работе [75] показано, что в общем случае в системе уравнений
(2.49) можно выбрать
а(у, z) = а\ arctg(y - ух) + а2 arctg(z - zx),
b(x, z) = Ь\ arctg(a; - xy) + b2 arctg(z - zy), (2.50)
c{xy y) = ci arctg(z - xz) + c2 arctg(y - yz),
где жу, жг, уж, т/г ? ^я, ^у _ точки переключения функций влияния
а(у, z), b(x,z), c(x,y), при пересечении которых происходит
изменение характера взаимодействия макропеременных (с подавления на
усиление или наоборот).
К нелинейным логистическим системам вида (2.49)-(2.50)
приводят многочисленные модели социально-экономического и общественно-
политического развития. Среди них можно назвать модель
эволюционирующего рынка ценных бумаг, модель макроэкономического
развития, модель формирования общественного мнения и многие другие
модели [74,75,112]. Поэтому исследование динамики решений таких
систем представляет несомненный интерес.
Цель настоящего раздела главы заключается в анализе
устойчивости стационарных и регулярных периодических решений
логистической системы (2.49)-(2.50) общего вида, а также в исследовании
возможных сценариев развития в такой системе нерегулярной
хаотической динамики, являющейся отражением социально-экономического
или общественно-политического хаоса. Для аналитического анализа
устойчивости стационарных и простых периодических решений
использован аппарат теории устойчивости Ляпунова и теории
бифуркации рождения цикла Андронова—Хопфа. Анализ сложной
нерегулярной и хаотической динамики в системе (2.49)-(2.50) проведем»
численными методами для конкретных систем с использованием аппарата
универсальной теории динамического хаоса Фейгенбаума-
Шаркоиского— Магницкого (теории ФШМ). Первые результаты в этом
направлении получены Ю.Н.Магницким в работах [74,75].
2.4.2. Регулярная динамика в логистических системах ОДУ
Настоящий пункт посвящен анализу регулярной динамики в
нелинейных моделях Вайдлиха - Трубецкова, то есть анализу
устойчивости стационарных и регулярных периодических решений системы
трех нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений (2.49)

168
ГЛАВА 2. ТЕОРИЯ ДИНАМИЧЕСКОГО ХАОСА
с правыми частями логистического типа и функциями влияния,
имеющими вид (2.50). Как уже отмечалось выше, к нелинейным
логистическим системам вида (2.49)-(2.50) приводят многочисленные модели
социодинамики, однако, пи аналитический анализ регулярной
динамики решений таких систем, ни тем более анализ их нерегулярной и
хаотической динамики до последнего времени проведен не был.
Нетрудно видеть, что система (2.49) может иметь восемь особых
точек (стационарных состояний): О0(0,0,0), 0i(x%O,O), O2(0, ту*, 0),
Оз(0,0,**), О4(**,уЛ0), Об(**,0,*Ч, Ов(0,»♦,*•), 07(x*,2/V), где
х* > 0, у* > 0, z* > 0 по смыслу рассматриваемых моделей.
Нулевую особую точку система (2.49) имеет всегда, а наличие остальных
особых точек обусловлено видом функций влияния в (2.50). Так,
например, система (2.49) имеет особую точку 0\ только если
уравнение a(0,0)s — х* = 0 имеет решение, т.е. в случае а(0,0) > 0.
Аналогичные условия 6(0,0) > 0 и с(0,0) > 0 необходимы для
существования особых точек 02 и 0з- Для существования особых точек О4,
05 и Об необходимо существование положительных решений систем
уравнений a(y*,0)s — х* =0, b(x*,0)s — у* = 0; a(0,z*)s — х* = 0,
c(x*>0)s - z* = 0 и b(0,2*)s - у* = 0, c(0,y*)s — z* = 0
соответственно. И наконец, система (2.49) имеет особую точку Oj только в случае
наличия положительного решения системы трех алгебраических
уравнений a(y*,z*)s - х* = 0, b(z*,z*)s - у* = 0, с(ж*,г/*)з - z* = 0.
Для исследования устойчивости особых точек вычислим якобиан
правой части системы уравнений (2.49)
/a(y,z)s-2x ay(y,z)sx az(y%z)sx \
J=( bx{x,z)sy b{x,z)s-2y bz(xiz)sy .
\ cx0r,2/)sz Cy(x,y)52; c{x,y)s-2z)
Лемма 2.3 Нулевая особая точка Oq системы (2.49)
асимптотически устойчива, если а(0,0) < 0, 6(0,0) < 0 гл с(0,0) < 0. i&vm хотя
бы одна из этих величин положительна, то нулевая особая точка
неустойчива по Ляпунову.
Доказательство. Якобиан правой части системы (2.49) в
нулевой особой точке является диагональной матрицей с диагональными
элементами a(0,0)s, b(0,0)s, c(0,0)s. Следовательно, эти же элементы
являются собственными значениями матрицы Якоби в нулевой особой
точке. Так как 5 > 0, то справедливость леммы сразу же вытекает из
теоремы Ляпунова об устойчивости по первому приближению.
Лемма 2.4. Особые точки Oi, O24 Оз системы (2.49)
асимптотически устойчивы, если соответственно 6(ж*,0) < 0 и с(ж*,0) < 0;
а(у*,0) < 0 и с(0,2/*) < 0; a(Q,z*) < 0 и Ь(0,г*) < 0. Если хотя бы
одна из этих величин положительна, то соответствующая особая
точка системы (2.49) неустойчива по Ляпунову.
Доказательство. Рассмотрим, например, особую точку 0\. Яко-

2.4. ХАОС В МОДЕЛЯХ СОЦИОДИНАМИКИ
169
биан правой части системы (2.49) в этой особой точке имеет вид
/-х* ay(0,0)sz* az(0,0)sx*
J = 0 b{x*,0)s О
\ 0 0 ф*,0)в
Поэтому собственными значениями матрицы Якоби в этой особой
точке являются величины —z*, b(x*,0)s, c(x*,Q)s. Так как s > 0 и ж* > 0,
то справедливость леммы опять вытекает из теоремы Ляпунова об
устойчивости по первому приближению. Для других особых точек Оч
и Оз доказательство леммы проводится аналогично.
Лемма 2.5. Особые точки О4, 05, 06 системы (2.49)
асимптотически устойчивы, если соответственно с(ж*,у*) <0и ау(у*,0)у* <
а(у*,0), Ьх(х*,0)х* < Ь(ж*,0); b(x\z*) <0u a*(0,2*)z* < а(0,г*),
c*(z*,0)z* <ф*,0); о(у*,2*) <0 ubz(0,z*)z* <b(0,z*), су(0,у*)2/* <
< с(0, у*), #а/ш хотя 6w одна ш величин с(х*,у*), b(x*,z*): a(y*,z*)
положительна, то соответствующая особая точка системы (2.49)
неустойчива по Ляпунову.
Доказательство. Рассмотрим, например, особую точку 04-
Якобиан правой части системы (2.49) в этой особой точке имеет вид
(-хм ay(y*}0)sx* az(y*,0)sx*\
Ьх(х\0)ау* ' -у* bz(x\0)sy*\.
О 0 с{х\у*)з J
Поэтому собственными значениями матрицы Якоби в этой особой
точке являются величина с(х* >y*)s и корни характеристического
уравнения
Л2 + А(ж* + у*) + n:V(l - s2ay{y*,0)bx{x\0)) = 0.
Если выполнены условия ay(2/*,0)y* < a(y*,0) и bx(x*,0)x* < b(z*,0),
то, учитьгеая, что a(y*,0)s = х*, b(x*,0)s = у*, получаем неравенство
s2ay{y*,tybx(x*,0) < 1. Последнее условие обеспечивает
отрицательность вещественных частей корней характеристического уравнения.
Справедливость леммы теперь вытекает из условия с(х*,у*) < 0 и
теоремы Ляпунова об устойчивости по первому приближению. Для
других особых точек 05 и 06 доказательство леммы проводится
аналогично.
Следствие. Пусть в (2.50) xyi xZ) yx> yZ) zXi zy равны нулю.
Тогда особые точки О4, Os> 06 системы (2.49) асимптотически
устойчивы, если соответственно, с(х*,у*) < 0, 6(x*,z*) < 0, a(?/*,z*) < 0.
Если хотя бы одна из этих величин положительна, то
соответствующая особая точка системы (2.49) неустойчива по Ляпунову.
Доказательство следствия, например, для точки О4 вытекает из
того факта, что в его условиях неравенства ау(у*>0)у* < а(у*,0) и
bx(x*,Q)x* < b(x*,0) автоматически выполнены в силу вогнутости и
положительности функций а(у, 0) = а\ arctgy и Ь[х, 0) = b\ arctgx при
у > 0 и х > 0.

170
ГЛАВА 2. ТЕОРИЯ ДИНАМИЧЕСКОГО ХАОСА
Лемма 2.6 Особая точка Oj системы (2.49) асимптотически
устойчива, если ay(y*,z*)y* < a(y~:z*)/2 и az(y*,z*)z~ < a(y*.z*)/2:
bx(x*,z*)x* < b(x\z*)/2 и bz{x*,z*)z* < b(x*,z*)/2\ сх(х*,у*)х* <
c{x*,y*)/2 и су(х*,у*)у* < фЛт/*)/2.
Доказательство. Якобиан правой части системы (2.49) в особой
точке Or имеет вид
/ -ж* ay(y*,z*)sx* az{y*,z*)sx*\
J= [bx(x*,z*)sy* -у* Ъя(х\г*)зу* ) .
\cx(x*,y*)sz* cy(x*,y*)sz* -г* /
Выпишем характеристическое уравнение для нахождения собственных
значений якобиана в точке Oj\
АЧА2(хЧуЧ2*)+А(ж*у*(1-ЛуЬ,)+х*2*(1-52агС1)+г^*(1-Лу6г))
+x*y*z*(l - s2(aybx + azcx + cybz + azcybzs + aycxbzs)) = 0. (2.51)
Согласно критерию Рауса-Гурвица, корни последнего уравнения
имеют отрицательные вещественные части, если d\ — (х* + у* + z*) >
0. d3 = x*y*z*(l - s2(aybx + azcx -f- cybz + azcybzs + aycxbzs)) > 0 и
d\d2 = d](x*y*{\ - s2aybx) + x*z*(l - s2azcx) + z*y*(l - s2cybz)) > d3.
Выполнение первого неравенства очевидно. Далее, из условий леммы
и условий существования особой точки O-j следует, что все двойные
произведения частных производных не превосходят величины l/(4s2),
а все тройные произведения - величины l/(8s3). Так, например, ауЬх <
a(y*,z*)b(x*,z*)/(4:y*x*) = x*y*/(4s2y*x*) == l/(4s2). Следовательно,
d3 > x*y*z*(l - 3/4 - 2/8) = 0, a dxd2 > x*y*z9(l - s2aybx + 1 -
s2azcx + 1 - s2cybz) > x*y*z*(l — s2aybx - s2azcx - s2cybz) > d3. Таким
образом, корни характеристического уравнения имеют отрицательные
вещественные части, что обеспечивает асимптотическую устойчивость
особой точки Oi n силу теоремы Ляпунова об устойчивости по первому
приближению. Лемма доказана.
Если при определенном наборе значений параметров системы
уравнений (2.49) все существующие в ней особые точки неустойчивы, т.е.
являются неустойчивыми узлами, седло-узлами или седло-фокусами,
то, как показано в работах [59,65,161,162], динамика системы может
быть сколь угодно сложной регулярной или нерегулярной
(хаотической). Однако, наличие в нелинейной системе обыкновенных
дифференциальных уравнений особых точек не является необходимым
условием существования в ней нерегулярной динамики. Необходимым
условием является наличие исходного сингулярного цикла, которым может
(но не обязан) быть цикл, родившийся из особой точки в результате
мягкой бифуркации Андронова-Хопфа. Именно такой цикл является,
как правило, отправной точкой сценария Фейгенбаума—Шарковского—
Магницкого (ФШМ-сценария) перехода к хаосу в нелинейных
системах дифференциальных уравнений через субгармонический и затем

2.4. ХАОС В МОДЕЛЯХ СОЦИОДИНАМИКИ
171
гомоклинический или гетероклинический каскады бифуркаций
устойчивых предельных циклов. Поэтому несомненный интерес
представляет выяснение условий, при которых в системе (2.49) может произойти
бифуркация Андронова-Хопфа.
Теорема 2.6. Пусть функции влияния в системе уравнений (2.49),
(2.50) заданы, и в некотором интервале изменения значений
параметра s система (2.49) имеет особую точку O-j, в которой
выполнены следующие условия ау (у*, z*)y* < a(y*,z*) uaz(y*.z*)z* < a(y*,z*);
bx(x*,z*)x* < b(x*,z*) ubz(x*,z*)z* < b(x*,z*)] cx(x*,y*)x* < c(x*,y*)
и су(х*>у*)у* < c(x*<y*). Тогда значение параметра s*. при котором
в системе происходит мягкое рождение предельного цикла из особой
точки От в результате бифуркации Андронова-Хопфа,
удовлетворяет системе трех алгебраических уравнений относительно
переменных ж", у*, s:
а{у* ,с(х* ,y*)s)s = x*]b{x* ,c(x* ,y*)s)s = у*]
d} (x*,y*,s)d2(x%y\s) = d3{x\ у*, s),
2<?edi, c?2, с?з " коэффициенты характеристического полинома (2.51)
при z* = c(x*.y*)s. При этом амплитуда рождающегося
периодического решения равна 0{\/{s — 5*)), а его период -(27г/У32)(1 + 0(s —
Доказательство. Из условия существования особой точки О-r
следует, что a(y*.c(x*.y*)s)s = ж*, &(#*, c(x*,y*)s)s = у*, а
характеристическое уравнение для определения собственных значений матрицы
Якоби, вычисленной в этой точке, имеет вид (2.51). Из условий
теоремы и условий существования особой точки O-j следует, что все
двойные произведения частных производных меньше величины l/(s2), a
все тройные произведения - меньше величины l/(s3). Следовательно,
d2{x*,y*X) = x*y*(l-s2aybx)+x*z*{l-s2azcx)+z*y*(l-s2cybz)) > 0.
В точке бифуркации Андронова-Хопфа 5* ровно два комплексно -
сопряженных собственных значения матрицы Якоби переходят через
мнимую ось слева направо, а третье вещественное собственное
значение остается в левой полуплоскости. Это означает, что в точке
бифуркации корни характеристического уравнения (2.51) имеют вид Ai < 0,
А2,з = ±го;, причем величина ш определяет частоту рождающихся
периодических колебаний [78,118]. Следовательно, характеристическое
уравнение (2.51) в точке бифуркации представимо в виде (А — Ai)(A —
ш)(\+ш) = 0. Раскрывая скобки в последнем равенстве и приводя
подобные члены, найдем, что Ai = -d\ = — (x*+y* + z*) < 0, ш2 = &г > 0,
—Aicj2 — d\di = d3. Для завершения доказательства теоремы остается
заметить, что в соответствии с теорией бифуркации Андропова-Хопфа
при s > s* амплитуда родившегося цикла пропорциональна величине
0{yj{s -s*)) [78,118]. Теорема доказана.

172
ГЛАВА 2. ТЕОРИЯ ДИНАМИЧЕСКОГО ХАОСА
Замечание. В доказанной теореме в качестве бифуркационного
параметра может выступать не только параметр 5, но также и
другие параметры, задающие вид функций влияния в (2.50). Это могут
быть параметры а^, Ъ{, с^, г = 1,2, а также точки переключения
^yi XZ) Ухч Uzi 2n Zy
Кроме мягкого рождения устойчивого цикла в результате
бифуркации Андронова-Хопфа в нелинейных системах обыкновенных
дифференциальных уравнений может произойти жесткое рождение
устойчивого и неустойчивого циклов в результате седло-узловой
бифуркации и жесткое рождение устойчивого цикла в результате его обмена
устойчивостью с особой точкой. Методы аналитического анализа этих
бифуркаций в настоящее время еще недостаточно разработаны, однако
численные эксперименты показывают, что все указанные бифуркации
имеют место в системе логистических уравнений (2.49). Более того,
переход к динамическому хаосу в нелинейных логистических моделях
происходит, как и во всех других нелинейных системах обыкновенных
дифференциальных уравнений, в соответствии с единым
универсальным ФШМ-сценарием через субгармонический и затем гомоклиниче-
ский каскады бифуркаций устойчивых предельных циклов, что
продемонстрировано в следующем пункте настоящего раздела главы.
2.4.3. Логистические системы социодинамики с
хаотической динамикой
Рассмотрим несколько примеров логистических систем вида (2.49)-
(2.50), обладающих хаотической динамикой. В качестве первого
примера рассмотрим модель эволюционирующего рынка ценных бумаг
[112]. В этой модели макропеременными являются: z - количество
ценных бумаг (например, акций), х - спрос на акции (количество акций,
которое желает приобрести население в данный момент времени) и
у - предложение акций. Естественно предположить, что с
увеличением цены акций спрос на них уменьшается, а предложение, наоборот,
увеличивается, что говорит об антагонистическом воздействии
переменной z на переменную х и кооперативном воздействии z на у. В то
же время при большом спросе на акции (х велико), цена на них
растет, а при большом предложении (у велико) - падает, т.е. х
кооперативно воздействует на переменную z, тогда как у является
антагонистической переменной по отношению к z. Разумно также считать,
что взаимодействие переменных х и у носит взаимно
антагонистический характер, что обусловливается прежде всего психологическими
причинами. Установленный характер взаимосвязей между
макропеременными приводит к модели вида (2.49), в которой
а(у, z) = - arctgQ/ - у*) - arctg(z - г*),
b(x, z) = - arctg(x - x*) + arctg(z - z*), (2.52)
c(x, у) = arctg(x - ж*) - arctg(y -?/*)•

2.4. ХАОС В МОДЕЛЯХ СОЦИОДИНАМИКИ 173
Зафиксируем в модели (2.49), (2.52) значения параметров л:# = 4.5,
у* = 2, z* = 4.1 и рассмотрим качественные изменения се
фазового портрета при увеличении значений параметра s, который можно
рассматривать как меру активности населения на рынке ценных
бумаг. При малых s < 1.02 в фазовом пространстве существует
устойчивая особая точка Oi(x*y0,0), что можно интерпретировать как
отсутствие на рынке акций определенного вида и предложения по ним.
При увеличении s особая точка 0\ теряет устойчивость, и в
интервале 1.02 < s < 3.8 устойчивой становится особая точка Os(x*y0, 2*),
что можно интерпретировать как появление на рынке акций
определенного вида, но отсутствие предложения на их продажу. В интервале
3.8 < s < 6.78 устойчивой особой точкой в модели (2.49), (2.52)
является точка Ог(х*,у*, г*), что соответствует установлению некоторого
устойчивого соотношения между спросом, предложением и ценой на
акции. При увеличении значений параметра s особая точка Оч теряет
устойчивость, становясь седло-фокусом, и в результате бифуркации
Андронова-Хопфа в системе (2,49), (2.52) рождается устойчивый
предельный цикл (рис.2.27а). Дальнейшее увеличение параметра s
приводит к каскаду бифуркаций Фейгенбаума удвоения его периода (см.
рис.2.276,в), который заканчивается рождением аттрактора
Фейгенбаума при s » 13.25 (рис.2.27г).
JLjLJkJk
4 у 4 л у 4 у 4 у
а) б) в) г)
Рис. 2.27: Исходный сингулярный цикл (а), цикл удвоенного периода
(б), цикл учетверенного периода (в) и аттрактор Фейгенбаума (г) в
системе (2.49),(2.52).
Каскад Фейгенбаума продолжается субгармоническим каскадом
бифуркаций Шарковского рождения устойчивых циклов любого
периода вплоть до цикла периода три при s = 21.2 (рис.2.286). Дальнейшее
увеличение параметра s приводит к гомоклиническому каскаду
бифуркаций устойчивых циклов, сходящихся к гомоклиническому контуру -
петле сепаратрисы седло-фокуса. Во всех точках накопления значений
параметра s в системе (2.49), (2.52) существуют сингулярные
аттракторы - непериодические полуустойчивые траектории, являющиеся
пределами последовательностей циклов различных каскадов бифуркаций
удвоения периода Фейгенбаума. Один из таких аттракторов изображен
на рис.2.28в. На рис.2.28г показан один из гомоклинических циклов,

174 ГЛАВА 2. ТЕОРИЯ ДИНАМИЧЕСКОГО ХАОСА
Рис. 2.28: Цикл периода пять (а), три (б), сингулярный субгармонический
аттрактор (в) и гомоклинический цикл (г) в системе (2.49), (2.52)
существующих за каскадом Шарковского.
Таким образом, в модели эволюционирующего рынка ценных бумаг
Вайдлиха -Трубецкова существует не один гипотетический странный
аттрактор, как это постулируется в работе [112], а бесконечное число
различных сингулярных аттракторов, соответствующих
бесконечному числу точек накопления значений параметра s внутри
субгармонического и гомоклинического каскадов бифуркаций. При всех других
значениях параметра s в модели существуют регулярные аттракторы
- устойчивые периодические траектории пусть даже очень большого
периода. Переход к хаотическим колебаниям в модели (2.49), (2.52)
при увеличении значений параметра s происходит в полном
соответствии с теорией ФШМ, т.е. через каскад бифуркаций удвоения
периода, субгармонический и гомоклинический каскады мягких
бифуркаций устойчивых предельных циклов.
Заметим, что параметр s можно рассматривать как меру
активности населения на рынке ценных бумаг. Малые значения s
соответствуют нормальной, спокойной жизни фондового рынка, средние-
повышенной активности, а большие - ажиотажу на фондовом рынке и,
возможно, его краху. При малых s в системе происходят затухающие
колебания и, по завершении переходного процесса, устанавливается
некоторое соотношение между спросом, предложением и ценой. При
увеличении значений параметра s в системе возникают периодические
колебания, которым можно дать следующее объяснение. Пусть в
некоторый момент времени х велико, а у и z малы, т.е. существует
большой спрос на акции, цена и предложение которых на рынке невелики.
Так как спрос велик, а предложение мало, то цена на акции начинает
расти, что приводит к уменьшению спроса и увеличению
предложения. Последнее непременно приводит к уменьшению цены на акции.
При большом предложении и малом спросе цена на акции оказывается
настолько малой, что приводит к уменьшению предложения и
стимулирует рост спроса, после чего все повторяется сначала. Важно
отметить, что описанная ситуация, в зависимости от параметров, может
повторяться не буквально, а лишь в общих чертах (в случае хаотиче-

2.4. ХАОС В МОДЕЛЯХ СОЦИОДИНАМИКИ
175
ской динамики), что не только не противоречит здравому смыслу, но
и кажется вполне соответствующим действительности.
В качестве второго примера рассмогрим модель
макроэкономического развития, предложенную в работе [74]. Рассматривается мял-
имодействие трех групп населения, имеющих различные социально-
экономические интересы: народ, предприниматели (бизнес) и
государство (власть). Их влияние (вес) характеризуется соответственно
переменными х, у и z. Характер взаимосвязей между макроперемениыми
может быть различным, что определяется конкретным общественным
устройством. Рассмотрим ситуацию, характерную для России конца
прошлого века, когда предприниматели были антагонистически
настроены как по отношению к народу, так и по отношению к
государству, народ в свою очередь был настроен антагонистически к
предпринимателям и кооперативно к государству, а государство -
антагонистически к народу, но кооперативно к предпринимателям. При таком
характере взаимодействия между макропеременными получим модель
макроэкономического развития вида (2.49), (2.52). Как показано выше,
система (2.49), (2.52) при некоторых соотношениях между ее
параметрами обладает полным каскадом бифуркаций ФШМ-сценария
перехода к хаотическому режиму поведения - социально-экономическому
хаосу, что было характерно для России конца двадцатого столетия.
Но в ВТ-модели макроэкономического развития возможен и
другой сценарий перехода к хаотическому режиму поведения.
Зафиксируем значение параметра s = 10, что соответствует наличию в
системе (2.49), (2.52) устойчивого периодического решения. Будем
уменьшать значения параметра z* - точки переключения функций влияния
власти на бизнес и народ. Это означает, что даже слабое государство
оказывает поддержку исключительно бизнесу и безразлично к нуждам
народа. При этом система (2.49), (2.52) обладает полным субгармони-
Рис. 2.29: Проекции исходного сингулярного цикла (а), цикла удвоенного
периода (б), субгармонического сингулярного аттрактора (в), цикла периода
три (г) и одного из гомоклинических циклов (д) в системе (2.49), (2.52)
ческим и гомоклиническим каскадами бифуркаций перехода к
хаотическому режиму поведения (рис. 2.29), после чего при z* < 1.54
система переходит в устойчивый стационарный режим, соответствующий

176
ГЛАВА 2. ТЕОРИЯ ДИНАМИЧЕСКОГО ХАОСА
устойчивой особой точке 02(0,2/*, 0). Следовательно, такое поведение
власти ведет через социально-экономический хаос к ее же
собственному уничтожению и к вымиранию народа.
Интересно отмстить, что если отношение государства к народу и
народа к предпринимателям станет кооперативным, то модель
макроэкономического развития примет вид (2.49) с
а(2/. z) = - arctg(y - 2/*) + arctg(z - г*),
Ь(я, z) - arctg(x - х*) + arctg(z - zm), (2.53)
c(x, у) = arctg(x - я.) - arctg(y - 2/*).
Эта ситуация характерна для современной России начала XXI в.,
когда в деятельности государства стали появляться элементы
социальной политики. В этом случае хаотическая динамика в системе
отсутствует. При s = 10, х* = 4.5, 2/* = 2, z* = 4.1 система (2.49), (2.53)
имеет устойчивую особую точку Оо(0,0,0), что означает
невозможность существования экономической системы, в которой бизнес не
оказывает поддержки ни власти, ни народу. Однако при росте значений
параметра 2/* в системе сначала появляется устойчивая особая точка
Oi(a;*,0,0) при 2/* > z*, затем -- Об(х*,0,г*) при 2/* > х* > z*> а
потом - периодическое решение в результате жесткой бифуркации смены
устойчивости точки и цикла.
Но наиболее благоприятная ситуация в модели
макроэкономического развития складывается в случае, если все макропеременные
всегда кооперативно настроены по отношению друг к другу. При этом
модель макроэкономического развития принимает вид (2.49) с
o(j/, z) = arctg(2/ - у*) + arctg(z - z*),
Ь(х, z) = arctg(a; - ж*) + arctg(z - z*), (2.54)
c(x,y) = arctg(x - x*) + arctg(2/ - y*)
и у* = xm = z* = 0. Нетрудно показать, что в этом случае в
системе (2.49), (2.54) существует единственная устойчивая особая точка
07(x*,y*,z*) с достаточно большими значениями макропеременных,
обеспечивая хороший устойчивый уровень экономического развития.
Рассмотрим теперь модель формирования общественного мнения
[112]. Пусть существуют две партии, имеющие различные позиции по
каким-либо вопросам. Пусть х и z - влиятельность или "вес"
каждой партии, а у - "вес" группы людей, не поддерживающих ни ту,
ни другую позицию. Очевидно, что отношения между партиями и
политически пассивной частью населения взаимно антагонистические:
чем больше людей согласны с той или иной позицией, тем меньше
численность людей, не имеющих определенного мнения, и наоборот.
Партии же могут оказывать друг на друга как кооперативное, так и
антагонистическое влияние. Рассмотрим случай, когда переменная z

2.4. ХАОС В МОДЕЛЯХ СОЦИОДИНАМИКИ
177
является антагонистической по отношению к переменной х, а
переменная х является кооперативной по отношению к переменной z. В этом
случае модель формирования общественного мнения может быть
записана в виде (2.49) с
а>(у>z) = ~ vrctg(y - у*) + а2 arctg(2 - г*)}
b(x, z) = - arctg(x - х*) — arctg(z - г*),
с{х,у) = arctg(x - х») - arctg(y - у*),
(2.55)
где коэффициент аг < — 1 отражает степень активности партии х и
вербовке своих сторонников при уменьшении численности
конкурирующей партии z. При s = 15, х* = у* = z* = 5 к а,2 = — 1в системе
уравнений (2.49), (2.55) существуют одновременно три устойчивые особые
точки 0з(О,2/*,О), О4(х*,2/*,0) и 05(х*,0,£*)« Поэтому в
зависимости от начальных условий либо обе партии полностью теряют своих и
так немногочисленных сторонников в случае изначальной пассивности
большей части населения, либо одна из партий (z) полностью
прекращает существование в случае своей изначальной немногочисленности,
либо все население оказывается вовлеченным в политическую
деятельность в случае большого веса изначально политически активной ча-
сти населения. Пусть теперь значение а 2 уменьшается, что означает,
Рис. 2.30: Проекции цикла удвоенного периода (а), цикла учетверенного
периода (б), аттрактора Фейгенбаума (в), цикла периода пять (г) и одного
из гомоклинических сингулярных аттракторов (д) в системе (2.49), (2.55)
что партия х начинает более интенсивно вербовать себе сторонников
при уменьшении численности партии z в то время как партия z
также продолжает активно действовать при росте численности партии х.
В этом случае в системе сначала рождается устойчивая особая
точка 07(я*,2/*,2*), затем - устойчивый сингулярный цикл в результате
жесткой смены устойчивости точки и цикла. Эти ситуации
соответствуют устойчивому стационарному или устойчивому колебательному
регулярному (нормальному) состоянию общественно-политической
системы. При меньших значениях параметра а<ь система (2.49), (2.55)
обладает полным каскадом бифуркаций ФШМ-сценария переходи Л

178 ГЛАВА 2. ТЕОРИЯ ДИНАМИЧЕСКОГО ХАОСА
хаотическому режиму поведения - общественно -политическому
хаосу, создаваемому чрезмерной активностью конкурирующих партий
(рис.2.30).
Таким образом, установлено, что трехмерные нелинейные
автономные системы обыкновенных дифференциальных уравнений
логистического типа общего вида, описывающие широкий круг социально -
экономических и общественно -- политических процессов и явлений,
также обладают хаотической динамикой и что переход к хаосу в
таких системах происходит в соответствии с универсальным
сценарием Фейгенбаума—Шарковского—Магницкого через субгармонический
и затем гомоклииический каскады бифуркаций устойчивых
предельных циклов. Численно обнаружены и проинтерпретированы ФШМ-
сценарии перехода к социально- экономическому и общественно -
политическому хаосу в социодипамических логистических моделях
макроэкономического развития, эволюционирующего рынка ценных бумаг
и формирования общественного мнения.
2.5. Динамический хаос в многомерных
диссипативных системах обыкновенных
дифференциальных уравнений (ОДУ)
2.5.1. Переход к хаосу через субгармонический каскад
бифуркаций устойчивых циклов
Покажем, что рассмотренный выше универсальный сценарий
Фейгенбаума—Шарковского -Магницкого перехода к динамическому
хаосу через субгармонический и затем гомоклииический каскады
бифуркаций устойчивых предельных циклов имеет место также и в
четырехмерных автономных нелинейных диссипативных системах
обыкновенных дифференциальных уравнений. В качестве примера рассмотрим
систему Рикитаки (Rikitaki)
х -- —их 4- yz, у = —\iy + хщ z = 1 — ху — bz, и = 1 — ху — си, (2.56)
моделирующую динамику изменения магнитных полюсов Земли [441.
Аналогично сценарию рождения двойных гомоклинических
сингулярных аттракторов в системе Лоренца, система (2.56) имеет все
устойчивые циклы и сингулярные аттракторы из субгармонического
каскада бифуркаций Шарковского и из неполного двойного гомокли-
нического каскада бифуркаций Магницкого (см. в деталях [59,65]).
Причем каскады бифуркаций имеют место как при уменьшении
значений параметра ц < 2.3, так и при увеличении значений параметра
и > 0.1 при Ь — 0.004, с = 0.002. Некоторые наиболее важные
устойчивые циклы и сингулярные субгармонические и гомоклинические
аттракторы представлены на рис. 2.3Ь2.32,

2.5. ХАОС В МНОГОМЕРНЫХ СИСТЕМАХ ОДУ
179
Рис. 2.31: Проекции исходного сингулярного цикла (а) при /i = 0.47, цикла
периода 2 (б) при ц, = 0.49, аттрактора Фейгенбаума (в) при \х = 0.493,
простого (г) при \х — 0.498, и двойного (д) при /х = 0.505 субгармонического
сингулярного аттрактора в системе Рикитаки (2.56) при Ъ = 0.004, с = 0.002
Рис. 2.32: Проекции двух гомоклинических циклов (а),(б) при \х = 0.61 и
ц = 0.6787, и неполного двойного гомоклинического сингулярного
аттрактора (в),(г),(д) при /1 = 1 в системе Рикитаки (2.56) при b = 0.004, с = 0.002
2.5.2. Переход к хаосу через субгармонический каскад
бифуркаций устойчивых двумерных торов
Покажем, что в многомерных нелинейных системах обыкновенных
дифференциальных уравнений существует сценарий перехода к
динамическому хаосу через субгармонический каскад бифуркаций
устойчивых двумерных торов произвольного периода по одной из частот в
соответствии с порядком Шарковского (2.3). Механизм такого каскада
бифуркаций имеет ту же природу, что и рассмотренный выше
механизм субгармонического каскада бифуркаций устойчивых циклов, и,
следовательно, полностью укладывается в рамки универсальной
теории динамического хаоса Фейгенбаума—Шарковского—Магницкого.
Такой сценарий перехода к хаосу имеет место, например, в комплексной
системе уравнений Лоренца
X = -aX+aY, Y = -XZ+rX-aY, Z = -bZ+(X*Y+XY*)/2, (2.57)
записанной относительно двух комплексных переменных X = х\ +
ix2, Y = т/1 4- iy2 и одной действительной переменной Z, и имеющей

180
ГЛАВА 2. ТЕОРИЯ ДИНАМИЧЕСКОГО ХАОСА
вещественные параметры 6, сг и комплексные параметры г = г\ + и*2 и
а = 1 - ie [20].
Положим е = 0. Тогда при Г2 = 0 динамика системы (2.57)
эквивалентна динамике классической трехмерной системы уравнений
Лоренца (2.38), так как пятимерное пространство решений системы (2.57)
разбивается на трехмерные пространства Лоренца, задаваемые
фиксированными начальными условиями (подробнее см. в (59]). Но, как
показано в п.2.3.5, трехмерная система Лоренца имеет наиболее
сложную хаотическую динамику в окрестности гетероклинической петли
сепаратрис, соединяющих седло-узел с двумя седло-фокусами, а также
гомоклинических петель сепаратрис седло-фокусов. Последнее имеет
место, например, при Ь = 8/3, сг = 10.5, Г\ w 33.21926. А при
значениях параметров Ь = 8/3, сг = 10.5, п. = 33.2189 трехмерная система
Лоренца (2.38) имеет один из наиболее сложных полных двойных
гомоклинических сингулярных аттракторов.
Рис. 2.33: Проекции сечения плоскостью Х2 = 0 исходного сингулярно-,
го устойчивого инвариантного двумерного тора (а) при гг = 1.001,
торов периода два (б) при гг = 0.6015, три (в) при тч = 0.351 и
одного из субгармонических сингулярных тороидальных аттракторов (г) при
гг = 0.25 в пятимериой комплексной системе уравнений Лоренца (2.57)
при Ь = 8/3, а = 10.5, п - 33.2189, е = 0
При таких значениях параметров Ь. сг, г\ и уменьшении значений
параметра гг в пятимерной системе (2.57) сначала в результате
бифуркации Андронова—Хопфа из устойчивого цикла рождается
устойчивый инвариантный двумерный тор. Затем он становится
сингулярным, и в результате бифуркации удвоения периода из него рождается
двумерный тор удвоенного периода по его внешней частоте. Эта
бифуркация является началом каскада бифуркаций удвоения периода
Фейгенбаума. Затем, при дальнейшем уменьшении значений
бифуркационного параметра Г2, в комплексной системе уравнений Лоренца
(2.57) реализуется весь субгармонический каскад бифуркаций
рождения инвариантных устойчивых двумерных торов любого периода в со-
оответствии с порядком Шарковского (2.3). На рис. 2.33 изображены
проекции сечения плоскостью Х2 = 0 исходного сингулярного
устойчивого инвариантного тора, торов периода два и три и одного из субгар-

2.5. ХАОС В МНОГОМЕРНЫХ СИСТЕМАХ ОДУ
181
монических сингулярных тороидальных аттракторов (подробнее см. в
[59]).
Рассмотренный пример показывает, что рождение трехмерного
тора из двумерного тора в результате бифуркации Андронова—Хопфа
не является необходимым условием генерации хаотической
динамики в многомерных нелинейных диссинативных системах
дифференциальных уравнений. Более естественным является переход к хаосу
через универсальный каскад бифуркаций Фейгенбаума—Шарковского—
Магницкого двумерных инвариантных торов по одной из частот с
последовательным образованием бесконечного числа двумерных
тороидальных сингулярных аттракторов.
Размерность фазового пространства в рассмотренном примере
равна пяти, а минимальной размерностью фазового пространства, в
котором возможен субгармонический каскад бифуркаций двумерных
торов, равна четырем. Первый пример четырехмерной системы
обыкновенных дифференциальных уравнений, обладающей
субгармоническим и гомоклиническим каскадами бифуркаций двумерных торов,
построен в п. 4.2.4 главы 4 настоящей книги.
2.5.3. Динамический хаос в бесконечномерных системах
ОДУ
Покажем, что универсальная теория Фейгенбаума—Шарковского—
Магницкого (ФШМ) описывает переход к динамическому хаосу также
и в бесконечномерных нелинейных диссипативных системах
обыкновенных дифференциальных уравнений. Примером такой системы
является широко известное уравнение Мэкки-Гласса с запаздывающим
аргументом, описывающее процесс кроветворения в организме
человека [157]:
*._„(«,+ A£!!(*ZI> (2.58)
w 6n+xn(t-r) " }
В уравнении Мэкки-Гласса запаздывание т является
бифуркационным параметром, то есть при его изменении происходит
усложнение структуры аттракторов уравнения (2.58) вплоть до
возникновения в нем хаотической динамики. Простые регулярные аттракторы,
такие как устойчивые стационарные состояния и периодические
решения, можно наблюдать непосредственно при численном
интегрировании уравнения (2.58), например, методом Рунге-Кутта 4-го порядка.
Однако для анализа более сложных регулярных и, тем более,
нерегулярных аттракторов уравнения (2.58) требуется переход к какому-
либо конечномерному фазовому пространству. Одной из возможностей
такого перехода является представление уравнения (2.58) в виде
конечномерной системы обыкновенных дифференциальных уравнений.
Для этого поделим интервал [—т; 0] на т одинаковых частей и
обозначим
ОЕГе(О) = з/о, хь(-г) = Ут, xt{-ir/m) = yiy i = l,m-l,

182
ГЛАВА 2. ТЕОРИЯ ДИНАМИЧЕСКОГО ХАОСА
где £*(#) = x(t 4- $). Тогда, используя, например, разностную
аппроксимацию производной, получим
2/о = /o(j/o, J/m,r), yi = (т/т)(од_1 - у,-), г = T~m.
Таким образом, уравнение (2.58) сводится к (m-Н )-мерной системе
обыкновенных дифференциальных уравнений
y = F(yir)i (2.59)
вектор-решение которой у = (yo(t), yi(t),..., ym(t)) определяет вектор-
функцию
[m], - . (2/i-i - Уг)т -тх -r(t - 1) .
r m m
Каждая координата этой вектор-функции линейно
аппроксимирует функцию Xti'd) на отрезке длиной h = tf7;_i — ${ по двум
значениям функции в узлах у^ и y^i с погрешностью, не превышающей
0(h2) [98]. Очевидно, что при достаточно высоком порядке т
функция ipi{fl) будет сколь угодно мало отличаться от Xt($) на отрезке
[—т;0]. При этом решению x(t) уравнения (2.58) соответствуют
значения координаты yo(t) системы (2.59), а траектории в расширенном
фазовом пространстве R х С[-т;0] уравнения (2.58) соответствует
траектория в фазовом пространстве i?m+1 системы (2.59).
Рассмотрим следующие значения параметров в уравнении (2.58):
а = 1, /Зо = 0 == 2, п — 10. Для данных значений параметров и
О < т < 0.4708 уравнение (2.58) имеет стационарное устойчивое
решение х = 2. При т = 0.4708 происходит бифуркация рождения
устойчивого периодического решения (или, в расширенном фазовом
пространстве - предельного цикла), а при дальнейшем увеличении г
наблюдаются бифуркации удвоения периода. Так при т га 1.32
рождается устойчивый цикл удвоенного периода, при т га 1.57 -
учетверенного периода и т.д. При этом каждая следующая бифуркация приводит
к потере устойчивости предыдущего цикла. При т > 1.608 решения
уравнения (2.58) имеют хаотическое поведение. Затем при значении
параметра т га 1.677 рождается цикл периода 6, при значении т га 1.766
- цикл периода 5, при т га 1.874 - цикл периода 3.
При аппроксимации уравнения (2.58) 20-ти мерной системой
обыкновенных дифференциальных уравнений (2.59) и рассмотрении
проекций фазовых портретов различных аттракторов последней системы на
плоскость (уо, уш) было установлено, что и в системе (2.59) при росте
значений параметра т реализуется субгармонический каскад
бифуркаций устойчивых циклов, причем начальные бифуркационные значения
параметра для системы (2.59) и уравнения (2.58) практически
совпадают. Так, например, устойчивый цикл в системе (2.59) рождается

2.5. ХАОС В МНОГОМЕРНЫХ СИСТЕМАХ ОДУ
183
в результате бифуркации Андронова—Хопфа при т « 0.47, цикл
удвоенного периода - при т « 1.32, а цикл учетверенного периода - при
т и 1.57. Практически совпадают также и значения параметра, г, при
которых в системе (2.59) и в уравнении (2.58) наблюдаются и
другие устойчивые периодические решения, рождающиеся в результате
бифуркаций различных сингулярных аттракторов.
Рис. 2.34: Проекции исходного сингулярного цикла (а) при г = 0.745, цикла
периода два (б) при г = 1.4, аттрактора Фейгенбаума (в) при т =■ 1.6, цикла
периода три (г) при г — 1.874 и одного из субгармонических сингулярных
аттракторов (д) при т = 1.9 в уравнении Мэкки-Гласса (2.58) при а = 1, во —
Таким образом, можно сделать иьпюд о том, что одним из
возможных сценариев перехода к хаосу и системах уравнений с
запаздывающим аргументом, а также в бесконечномерных нелинейных дис-
сипативных системах обыкновенных дифференциальных уравнений,
является рассмотренный в настоящей главе у пи нереальный сценарий
перехода к хаосу в трехмерных нелинейных диссипативпых системах
обыкновенных дифференциальных уравнений через каскад
бифуркаций Фейгенбаума удвоения периода устойчивых циклон и затем через
субгармонический каскад бифуркаций рождения устойчивых циклов
любого периода в соответствии с порядком Шарковского (2.3).
Проекции некоторых основных устойчивых циклов и сингулярных
аттракторов уравнения Мэкки-Гласса представлены па рис. 2.34. Вопрос о том,
возможен ли переход к хаосу в системах уравнений с запаздывающим
аргументом через субгармонический каскад бифуркаций двумерных
или многомерных торов, остается пока открытым.

Глава 3
Динамический хаос в гамильтоновых
и консервативных системах
Современная классическая теория гамильтоновых систем сводит
проблему анализа динамики таких систем к проблеме их
интегрируемости, т.е. к проблеме построения канонического преобразования,
сводящего систему к переменным действие-угол, в которых, как принято
считать, движение происходит по поверхности га-мерного тора и
является периодическим или квазипериодическим. Любая
неинтегрируем ая нелинейная гамильтонова система рассматривается как
возмущение интегрируемой системы, а анализ ее динамики сводится к
выяснению вопроса о разрушении или неразрушении торов невозмущенной
системы в зависимости от величины приложенного возмущения.
Постановку последней задачи принято называть, следуя А.Пуанкаре
[91], основной задачей классической гамильтоновой механики, в
решении которой за последние сто лет достигнуты, как принято считать,
следующие существенные результаты [8,17,34,42,48,49,80,81,111]:
— установлено теорией Колмогорова—Арнольда—Мозера (КAM),
что при некоторых условиях большинство из нерезонансных торов
невозмущенной системы не разрушаются при достаточно малых
возмущениях и продолжают существовать в возмущенной системе;
— в случае систем с двумя степенями свободы глобальная устойчив
вость сохраняется, так как стохастические слои вокруг разрушенных
двумерных торов остаются зажатыми в узких щелях между
неразрушенными инвариантными торами;
— в случае систем с тремя и более степенями свободы даже в
случае малых возмущений траектории могут двигаться по всей доступной
энергетической поверхности, образуя сложную хаотическую
структуру, называемую паутиной Арнольда;
— разрушение резонансных торов невозмущенной системы
приводит к появлению так называемых островов в возмущенной системе -
последовательности гиперболических особых точек (траекторий),
соединенных сепаратрисами (сепаратрисными поверхностями), внутри
которых расположены эллиптические особые точки (траектории);
— в соответствии с предыдущими утверждениями хаотическая
динамика в возмущенной гамильтоновой системе объясняется эффектом
расщепления сепаратрисы, при котором инвариантные многообразия
особой гиперболической траектории возмущенной системы начинают
пересекаться, образуя сложную запутанную хаотическую сеть,
называемую гомоклиническим или гетероклиническим сплетением.
В настоящей главе монографии рассмотрен совершенно иной,
бифуркационный подход к анализу хаотической динамики не только га-

3.1. БИФУРКАЦИОННЫЙ ПОДХОД
L85
мильтоновых, но и любых консервативных систем нелинейных
дифференциальных уравнений. Применяемый автором метод анализа
решений любой гамильтоновой (и любой консервативной) системы с
заданным интегралом состоит в рассмотрении аппроксимирующей ее
расширенной двухпараметрической диссипативной системы уравнений,
устойчивые решения (аттракторы) которой являются сколь угодно
точными приближениями к решениям исходной гамильтоновой
(консервативной) системы. Аттракторы (устойчивые циклы, торы и
сингулярные аттракторы) расширенной диссипативной системы ищутся
численными методами с использованием результатов универсальной
теории Фейгенбаума— Шарковского—Магницкого (теории ФШМ),
развитой изначально для нелинейных диссипативных систем
дифференциальных уравнений и подробно рассмотренной во второй главе
монографии. Заключительным этапом применения предложенного метода
является обязательная окончательная проверка существования
близкого решения (эллиптического цикла, тора) в исходной гамильтоновой
или консервативной системе. Строгим доказательством
существования искомого периодического решения гамильтоновой
(консервативной) системы является его стабилизация одним из методов,
предложенных автором в [59,158-161].
В настоящей главе бифуркационный подход применен к анализу
нескольких типичных возмущенных гамильтоновых систем с
полутора, двумя, двумя с половиной и тремя степенями свободы, а также
просто консервативных систем, включая некоторые классические
системы. Полученные результаты позволяют автору утверждать, что
большинство из перечисленных выше положений классической
гамильтоновой механики не выполняется для рассмотренных типичных гамиль-
тоновых систем и что существующие в этих системах торы не
являются торами невозмущенных систем ни при какой величине возмущения.
А переход к хаосу в любой такой системе происходит не через
разрушение некоторых торов невозмущенной системы, а, наоборот, через
каскады седло-узловых бифуркаций, приводящих к эффекту
размножения циклов и торов в окрестностях сепаратрис системы, и через
каскады бифуркаций рождения регулярных и сингулярных
аттракторов в расширенной диссипативной системе при стремлении параметра
диссипации к нулю в соответствии с универсальной теорией ФШМ.
3.1. Бифуркационный подход к анализу
гамильтоновых и консервативных систем
Сформулируем несколько основных положений новой
неклассической бифуркационной концепции динамики не только гамильтоновых,
но и любых консервативных систем как предельного случая динамики
диссипативных систем. Предлагаемая концепция объединяет единым

186 ГЛАВА 3. ХАОС В КОНСЕРВАТИВНЫХ СИСТЕМАХ
бифуркационным подходом все виды нелинейных систем
обыкновенных дифференциальных уравнений, включая автономные и
неавтономные, диссипативные и консервативные, конечномерные и
бесконечномерные системы при любых значениях величины возмущения
последних. В рамках такой бифуркационной концепции:
— нулевое значение величины возмущения в общем случае является
бифуркационным значением, вследствие чего поставленная Пуанкаре
задача становится неадекватной реальной ситуации, а применение к
таким системам методов теории возмущений возможно только в
некоторых исключительных случаях;
— двумерные и многомерные торы возмущенной гамильтоновой (и
любой консервативной) системы - это торы вокруг её основных
эллиптических циклов, образованные областями устойчивости близких
устойчивых циклов соответствующей расширенной диссипативной
системы при стремлении параметра диссипации к нулю и,
следовательно, имеют совершенно иную природу и отличаются от торов
невозмущенных систем классической гамильтоновой механики, являющихся
по определению декартовыми произведениями нескольких циклов, а
не торами вокруг циклов;
— усложнение динамики при росте величины возмущения в
любой гамильтоновой (консервативной) системе начинает происходить не
в результате расщепления сепаратрисы, а в результате нелокального
эффекта размножения циклов и торов в окрестностях касания
различных систем торов по сепартрисным поверхностям гиперболических
траекторий (циклов), при этом происходит рождение более сложных
торов вокруг более сложных эллиптических циклов системы,
близких к устойчивым циклам соответствующей расширенной
диссипативной системы, рожденным в результате седло-узловых бифуркаций при
стремлении параметра диссипации к нулю;
— области устойчивости сложных циклов диссипативной
расширенной системы не обязаны порождать исключительно торы
возмущенной гамильтоновой (консервативной) системы вокруг ее сложных
циклов, поэтому движение в возмущенной гамильтоновой
(консервативной) системе может происходить не только по обмоткам двумерных
торов, но также и по лентам Мёбиуса и другим более сложным
двумерным бесконечно складчатым гетероклиническим сепаратрисным
многообразиям, характерным для нелинейных диссипативных систем
с малой диссипацией;
— при достаточно больших значениях величины возмущения
переход к хаосу в гамильтоповых и консервативных системах происходит
не через разрушение некоторых торов невозмущенной системы, а в
соответствии с универсальной теорией ФШМ через каскады бифуркаций
рождения торов вокруг эллиптических циклов, предельных к
устойчивым циклам расширенных диссипативных систем при стремлении
параметра диссипации к нулю.
Таким образом, предлагаемая новая неклассическая бифуркацион-

3.1. БИФУРКАЦИОННЫЙ ПОДХОД Ш
ная концепция развития динамического хаоса в гамильтоиоиых п
консервативных системах, опирающаяся на приведенный ниже большом
фактический материал, является следствием трех бифуркационных
эффектов, характерных для диссипативных систем, но действии кото
рых распространяется и на консервативные системы при стремлении
параметра диссипации к нулю. Это: 1) универсальная теория ФШМ;
2) нелокальный эффект размножения циклов в диссипативной
системе в результате каскада седло-узловых бифуркаций, переходящий и
нелокальный эффект размножения циклов и торов в консервативной
возмущенной системе в окрестности сепаратрисы невозмущенной
системы; 3) расщепление бесконечно складчатого гетероклинического сс-
наратрисного многообразия (гетероклинического зигзага)
расширенной диссипативной системы при стремлении параметра диссипации к
нулю с нарушением порядка Шарковского в правой его части и
следующего за ним гомоклипического порядка, приводящим к рождению
отдельных устойчивых циклов из этого порядка, области
устойчивости которых переходят в торы консервативной системы вокруг этих
циклов.
3.1.1. Теоретические основы бифуркационного подхода
Рассмотрим в общем случае нелинейную консервативную систему
обыкновенных дифференциальных уравнений с гладкой правой
частью
x = f(x),xeRn, divf{x) = Q, (3.1)
переменные которой связаны некоторым уравнением
Щхи...,хп)=е. (3.2)
Любая гамильтонова система является частным случаем системы (3.1)
(3.2) при четном значении величины размерности п и при заданном
интеграле движения (3.2), порождающем систему уравнений (3.1).
Движение в системе (3.1) происходит вп-Ь мерном
подпространстве, задаваемом уравнением (3.2). Наша задача состоит в
построении аппроксимирующей расширенной двухпараметрической
диссипативной системы уравнений, устойчивые решения (аттракторы)
которой являются сколь угодно точными приближениями к решениям
исходной консервативной системы (3.1)-(3.2).
Теорема 3.1. [66,69] Пусть двухпараметрическая система
обыкновенных дифференциальных уравнений
х = g(x, e, /i), xeRn, (3.3)
обладает следующими свойствами: 1) решения системы (3.1)-(3.2) и
только они являются решениями системы (3.3) с начальными
условиями Н(хю,..., хпо) = е при /i = 0; 2) при всех /i > 0 система (3.3)

188 ГЛАВА 3. ХАОС В КОНСЕРВАТИВНЫХ СИСТЕМАХ
является диссипативной на своих решениях, лежащих в
окрестностях решений системы (3.1)-(3.2). Тогда аттракторы
диссипативной системы (3.3) при малых ц > 0 являются сколь угодно точными
аппроксимациями решений консервативной системы (ЗЛ)-(3.2).
Доказательство. Пусть С - цикл консервативной системы (3.1)-
(3.2) и См - устойчивый цикл (аттрактор) диссипативной системы (3.3).
Возьмем хо 6 С и решение Xo{t) системы (3.1)-(3.2) с начальным
условием хо(0) = хо. Траектория xo(t) совпадает с циклом С. Рассмотрим
теперь решение х^{1) диссипативной системы (3.3) с начальным
условием Хц(0) = xq. Так как при малых /i точка xq лежит в области
диссипативности системы (3.3), то решение x^{t) системы (3.3) с
начальным условием 3^(0) = xq стремится к аттрактору (устойчивому
циклу) С^ системы (3.3). При малых \х > 0 решения xo[t) и x^{t)
близки на интервалах времени, превышающих величины периодов циклов
С и См по теореме о непрерывной зависимости решений от параметров
в правой части. На больших интервалах времени вплоть до
бесконечности они остаются близкими, так как решение х,,.(£) остается в
области устойчивости цикла Сц диссипативной системы (3.3). Но так как
траекторией решения xq(1) системы (3.1) является цикл С, а
предельной траекторией к решению x^{t) системы (3.3) является цикл С^, то
при достаточно малых \х > 0 устойчивый цикл См диссипативной
системы (3.3) является сколь угодно точной аппроксимацией искомого
цикла консервативной системы (3.1)-(3.2). Аналогично
доказывается, что устойчивые торы и сингулярные аттракторы диссипативной
системы (3.3) при малых /i > 0 являются сколь угодно точными
аппроксимациями соответствующих торов и сингулярных хаотических
траекторий консервативной системы (3.1)-(3.2). В соответствии с ре-'
зультатами теории ФШМ других аттракторов диссипативная система
не имеет. Теорема доказана.
В соответствии с сформулированной теоремой при малых \х > 0
решения системы (3.3) с начальными условиями Н(хю,... ,жпо) = £
являются сколь угодно близкими к решениям консервативной
системы (3.1)-(3.2). Но так как система (3.3) является диссипативной на
этих решениях, то либо сами эти решения (в случае их
устойчивости), либо порождающие» их каскады бифуркаций устойчивых
решений в соответствии с ФШМ-сценарием могут быть определены сколь
угодно точно посредством прямого численного решения системы (3.3)
при фиксированном е и при малых \х > 0. Если при этом
некоторое решение (например, цикл) системы (3.3) остается устойчивым при
всех fi > 0, то его область устойчивости порождает семейство
решений (как правило, семейство торов вокруг этого цикла) при \i — 0,
что дает возможность найти любой тор в исходной консервативной
системе (3.1)-(3.2). Каскады бифуркаций устойчивых циклов,
порождающие бесконечно складчатые гетероклинические сепаратрисные
поверхности, на которых лежат сингулярные аттракторы диссипативной
системы (3.3), дают возможность представить приближенно сложное

3.1. БИФУРКАЦИОННЫЙ ПОДХОД
189
хаотическое множество консервативной системы (3.1)-(3.2), и которое
переходит бесконечнолистная складчатая гетероклиническая сепара-
трисная поверхность диссипативной системы (3.3) при /2 = 0.
Итак, для применения предлагаемого подхода к анализу
консервативных и, в частности, гамильтоновых систем надо сначала
построить расширенную систему, удовлетворяющую свойствам 1) и 2). Затем
для каждого е > 0 найти численно все устойчивые решения и
каскады их бифуркаций в соответствии с ФШМ-сценарием в диссипативной
системе (3.3) при стремлении \х к нулю, стартуя с различных
начальных условий, удовлетворяющих равенству (3.2). Области устойчивости
найденных простых регулярных решений (простых циклов)
сформируют при /i = 0 все регулярные решения (торы) исходной
консервативной системы (3.1)-(3.2), а области устойчивости сложных циклов и
сингулярных аттракторов - хаотические решения. Этим же методом в
области параметров е > 0, /л > 0 могут быть построены
бифуркационные диаграммы всех бифуркаций, существующих в двухпараметриче-
ской расширенной диссипативной системе (3.3) и гладко переходящих
в бифуркации консервативной системы (3.1)-(3.2) на границе \х = 0.
3.1.2. Субгармонический каскад бифуркаций в
консервативных и гамильтоновых системах
Из теоретических положений бифуркационного подхода к анализу
гамильтоновых и любых консервативных систем следует, что при
достаточно больших значениях параметра е > 0 переход к хаотической
динамике в системе (3.1)-(3.2) происходит в соответствии с
универсальным сценарием Фейгер1баума—Шарковского—Магницкого (ФШМ) и
что бифуркационную диаграмму этого сценария можно получить
предельным переходом при \х —> 0 из аналогичной бифуркационной
диаграммы двухпараметрической расширенной диссипативной системы (3.3).
Проиллюстрируем это положение на примере классического
консервативного уравнения Крокета:
х + a sin я 4- еъ\п{х — ivt) = 0, (3.4)
моделирующего вращательные колебания магнита во внешнем
магнитном поле в отсутствии трения [14]. Нетрудно видеть, что,
уравнение (3.4) эквивалентно четырехмерной консервативной (не гамиль-
тоновой) автономной системе уравнений
^ — У^ У — —{<* + г) sin х 4- z cos ж,
(3.5)
z = иг, г = —ujz
с условием Н = z2-\-r2 = e2, zq = z(0) = 0. Расширенная диссипативная
система для системы (3.5) будет иметь вид
* = 3/i У = -АФ- (a-f r) sin ж+ 2 cos ж,
(о.о)
z = от, г = — utz.

190
ГЛАВА 3. ХАОС В КОНСЕРВАТИВНЫХ СИСТЕМАХ
Система (3.6) удовлетворяет условиям теоремы 3.1, так как
дивергенция ее правой части на решениях системы (3.5) равна — ji и,
следовательно, отрицательна при всех /i > 0. Нетрудно проверить
численно, что двухпараметрическая система (3.6) с начальными условиями
zq = z(0) = 0, го = г(0) = £ имеет субгармонический каскад бифурка^
ций при каждом значении параметра е > 0 и при уменьшении
значений параметра \х. Для каждого цикла каскада в плоскости
параметров (e,/i) можно построить монотонно возрастающую
бифуркационную кривую \х{е) рождения данного цикла. Граничные значения этих
кривых при fj, = 0 являются бифуркационными значениями
субгармонического каскада бифуркаций консервативной системы Крокета (3.5)
по параметру е > 0.
Рис. 3.1: Проекции на плоскость (х, у) простого цикла (а) при е = 0.45, уо =
— 1.455, цикла периода два (б) при е = 0.48, т/о = —1.18 и цикла периода
четыре (в) при е = 0.497, уо = —1.15 в консервативной системе Крокета
(3.5) при а = и> = 1
На рис. 3.1 представлены найденные описанным выше методом
начальные циклы субгармонического каскада бифуркаций
консервативной системы Крокета (3.5) с начальным условием хо = х(0) = 0 при
росте значений параметра е.
3.1.3. Нелокальный эффект размножения циклов и торов
в окрестности сепаратрисы невозмущенной системы
Из теоретических положений бифуркационного подхода к
анализу гамильтоновых и любых консервативных систем следует, что при
малых значениях параметра е > 0 переход к хаотической динамике в
системе (3.1)-(3.2) происходит в соответствии с нелокальным
эффектом размножения циклов и торов в окрестности сепаратрисы
невозмущенной консервативной системы. Проиллюстрируем это положение
также на примере консервативного уравнения Крокета (3.4),
записанного в виде автономной четырехмерной консервативной системы (3.5),
имеющей расширенную диссипативную систему (3.6) .

3.1. БИФУРКАЦИОННЫЙ ПОДХОД 191
Решения систем (3.5),(3.6) удобно наблюдать в координатах (sin .т, у)
При этом все гетероклинические сепаратрисные контуры,
соединяющие гиперболические особые точки 7Г -{- 2ктг. к — 0, ±1, ±2,... нслО'шу-
щенной системы (3.5) при £ = 0в координатах (ж, у), изображаются
двумя гомоклиническими сепаратрисными контурами точки (0,0) и
координатах (s'mx,y), лежащими в верхней и нижней полуплоскостях.
Любая периодическая траектория невозмущенной системы, лежащая в
плоскости (ж, у) над (под) замкнутым гетероклиническим сепаратрис-
ным контуром вблизи него переходит в координатах (sinж, у) в цикл,
лежащий в верхней (нижней) полуплоскости внутри сепаратрисного
контура (внутренний цикл) в окрестности точки (0,0). И наоборот,
любой цикл невозмущенной системы (3.5), проходящий через точку
(а:о.О) при 7г/2 < xq < тг изображается в координатах (sin х,у) циклом
вокруг сепаратрисного контура (внешний цикл) в окрестности точки
(0,0). Поэтому все траектории возмущенной системы (3.5). лежащие в
окрестности сепаратрисного контура невозмущенной системы, можно
наблюдать и анализировать на одном рисунке в координатах (sin ж, у).
Традиционно принято считать, следуя А.Пуанкаре, что наличие
в невозмущенной системе (3.5) гетероклинических контуров
(сепаратрис), соединяющих гиперболические особые точки, сопровождается
эффектом расщепления сепаратрисы гиперболического
периодического решения возмущенной системы при е > 0 с образованием
пересекающимися сепаратрисными поверхностями сложной запутанной ге-
тероклинической структуры [8,17,42,49,80,111]. Покажем, что ничего
подобного в системе (3.5) не происходит ни при малых, ни при
больших величинах возмущения е > 0, а иллюзия хаотического движения
создается исключительно нелокальным эффектом размножения
циклов и торов в окрестности замкнутого гетероклинического контура
невозмущенной системы [67,69].
Если следовать доказательству теоремы о расщеплении
сепаратрисы, то при малых е > 0 в окрестности гиперболического 2tt/cj -
периодического решения х = у = 0 невозмущеиной системы (3.5)
существует 27г/с«; - периодическое гиперболическое решение
возмущенной системы, сепаратрисные поверхности которого и образуют гете-
роклиническую структуру. Но чем ближе к точкам (±7г,0) в
плоскости (а;, у) находится начальная точка периодического решения системы
(3.5), тем медленнее происходит движение вдоль траектории. Поэтому
начальная точка 2тг/и> ~ периодического решения должна
находиться достаточно далеко от гетероклинического сепаратрисного контура
невозмущенной системы и близко к точке 27г/с«; - периодического
эллиптического цикла невозмущенной системы. В окрестности >ке
гетероклинического сепаратрисного контура невозмущенной системы в
проекции на плоскость (ж, у) могут лежать только 2тгк/и -
периодические решения возмущенной системы при к > 1. Поэтому,
существующее в возмущенной системе 27г/и> - периодическое решение не обязано
быть гиперболическим, а его сепаратрисные поверхности не должны

192 ГЛАВА 3. ХАОС В КОНСЕРВАТИВНЫХ СИСТЕМАХ
оказывать какое-либо влияние на динамику возмущенной системы в
окрестности сепаратрисного контура невозмущенной системы. Эта
динамика определяется движением по сложным торам вокруг сложных
2-кк/и) - периодических эллиптических циклов возмущенной системы
при к > 1. Касание этих торов происходит по гиперболическим 2жк/и>
- циклам.
Кроме того, так как в окрестностях гиперболических циклов
движение траектории замедляется, то это ведет к образованию в этих
окрестностях новых еще более сложных эллиптических и
гиперболических циклов и соответствующих им торов возмущенной системы.
Следовательно, рост области хаотического движения в возмущенной
системе (3.5) при росте значений параметра е объясняется не
эффектом расщепления сепаратрисы, а нелокальным эффектом
размножения гиперболических и эллиптических циклов, а также торов вокруг
эллиптических циклов. Более простые циклы рождаются достаточно
далеко от сепаратрисных поверхностей гиперболических
периодических решений, а более сложные - вблизи этих поверхностей. Рождение
циклов происходит в результате седло-узловых бифуркаций в
расширенной диссипативной системе, причем области устойчивости
устойчивых циклов переходят при нулевой диссипации в торы консервативной
(гамильтоновой) системы вокруг ее эллиптических циклов, в которые
переходят сами устойчивые циклы.
Все сказанное подтверждается численным анализом решений
консервативной (3.5) и расширенной диссипативной (3.6) систем Крокета
при фиксированных значениях параметров е = 0.01, а = uj = 1 и при
стремлении параметра \х к нулю. Нетрудно установить численно, что
при малых е = 0.01 топология консервативной возмущенной
системы (3.5) определяется основными торами вокруг основных циклов
системы и более сложными торами вокруг сложных эллиптических
циклов в окрестности гетероклииического сепаратрисного контура
невозмущенной системы, родившихся изначально устойчивыми в
диссипативной системе (3.6). В число основных циклов входят внутренние и
внешние циклы невозмущенной системы, в координатах (sinж,у), а
также циклы С* возмущенной системы (3.5) вокруг центров (2&тг,0)
невозмущениой системы. Циклы С* можно наблюдать в координатах
(sin ж, у) в окрестности пулевой особой точки.
Проекции на плоскость (sin x, у) некоторых сложных
эллиптических циклов консервативной системы (3.5), лежащие в окрестности
сепаратрисного контура невозмущенной системы и порождающие в ней
хаотическую динамику, представлены на рис. 3.2. Рис.3.2а
демонстрирует саму хаотическую динамику в консервативной системе (3.5) в
окрестности сепаратрисного контура невозмущенной системы при е =
0.01, соответствующую большинству начальных условий. На рис.3.26
показаны: сепаратрисный контур невозмущенной системы (3.5), два
внешних эллиптических цикла, имеющие периоды 47г и 567Г,
найденные предложенным методом при у$ = 0,т*о = e, xq « ±2.7906 и при

3.1. БИФУРКАЦИОННЫЙ ПОДХОД
193
2/о = 0.1115,7-0 = £,Жо» ±2.8281, соответственно; и внутренний цикл
периода 26тг, найденный при уо = 0.154, го = — е, Хо = я-.
Эллиптический внешний цикл периода 47Г в полном соответствии с теорией
лежит значительно дальше от сепаратрисного контура невозмущш-
ной системы в проекции на плоскость (sinж, у), чем эллиптический
цикл периода 56тг. Наблюдаемая даже при таком малом значении
параметра е псевдохаотическая динамика в окрестности гетероклиничо-
ского сепаратрисного контура невозмущенной системы (3.5) является
следствием скачков траектории по найденным и, возможно, другим,
необнаруженным сложным многооборотным торам вокруг сложных
эллиптических циклов вследствие ошибок вычислений. Наличие узких
тороидальных многооборотных трубочек вокруг найденных сложных
эллиптических циклов также легко подтверждается при численном
интегрировании консервативной системы (3.5). На рис.3.2в представлена
проекция сложного эллиптического цикла периода 567Г на плоскость
(sin a;, z).
Таким образом, хаотическая динамика в возмущенной
консервативной системе Крокета, появляющаяся при малых возмущениях в
окрестности сепаратрисного контура невозмущенной системы и
изображенная на рис.3.2а, порождается не эффектом расщепления
сепаратрисы, а нелокальным эффектом размножения циклов и тороп. Ниже
в разделах 3.2 и 3.3 будет показано, что этот же эффект имеет место
и во многих других гамильтоновых и консервативных системах.
Рис. 3.2: Хаотическая динамика в системе (3.5) в окрестности
сепаратрисного контура невозмущенной системы при е = 0.01 (а); проекции на
плоскость (sinж,у): сепаратрисного контура невозмущенной системы, двух
внешних эллиптических циклов периода 47г при уо = 0, го = £,#о w ±2.7906
и 5б7г при уо = 0.1115, го = е,жо w ±2.8281 и одного из внутренних
циклов периода 267Г при уо = 0.154, го = — е,Хо = 7г(б); проекция на плоскость
(sinж,-г) сложного внешнего эллиптического цикла периода 5б7г (в).

194 ГЛАВА 3. ХАОС В КОНСЕРВАТИВНЫХ СИСТЕМАХ
3.1.4. Гетероклинические сепаратрисные многообразия
консервативных и гамильтоновых систем
В предыдущем пункте теоретически обосновано, а в следующих
параграфах настоящей главы продемонстрировано на многочисленных
примерах гамильтоновых систем с полутора, двумя и тремя
степенями свободы, а также на примерах просто консервативных, но не
гамильтоновых систем, что динамика любой такой системы
является предельным случаем динамики расширенной диссипативной
системы со слабой диссипацией при стремлении параметра диссипации к
нулю. Области устойчивости циклов такой системы при нулевой
диссипации переходят в торы консервативной (гамильтоиовой) системы
вокруг ее эллиптических циклов, в которые переходят сами
устойчивые циклы. При этом торы консервативной (гамильтоиовой) системы
касаются по гиперболическим циклам, в которые переходят седловые
циклы расширенной диссипативной системы. Таким образом, каскад
седло-узловых бифуркаций в расширенной диссипативной системе,
заключающийся в одновременном рождении устойчивых и седловых
циклов, приводит к образованию в консервативной (гамильтоиовой)
системе гетероклинического сепаратрисного многообразия,
натянутого на сложные многооборотные гиперболические циклы системы. В
сечении Пуанкаре это выглядит как семейство гиперболических особых
точек, соединенных сспаратрисными контурами. Эта картина при
любом сдвиге в начальных условиях переходит в набор так называемых
островов (точек в сечении Пуанкаре, образующих замкнутые кривые
вокруг витков эллиптического цикла), что свидетельствует о
бифуркационном, а не резонансном характере их происхождения в
гамильтоновых и консервативных системах.
С ростом числа витков гиперболических и эллиптических циклов
увеличивается количество, по уменьшается размер островов,
окружающих эллиптические циклы. То есть растет число витков и сложность
торов вокруг эллиптических циклов. Это приводит к образованию
первого и самого сложного гетероклинического сепаратрисного
многообразия и, следовательно, хаотической динамики, в окрестности
исходного гиперболического цикла консервативной (гамильтоиовой) системы
из-за невозможности точного вычисления любым численным методом
траектории в окрестности такого многообразия. Ввиду нелокальности
эффекта размножения циклов и торов следующие более простые
гетероклинические сепаратрисные многообразия более высоких порядков
появляются при росте значений бифуркационного параметра не только
в окрестностях гиперболических циклов и гетероклинических сепара-
трисных многообразий более низких предшествующих порядков, но и
на значительном расстоянии от них.
Проиллюстрируем это положение также на примере
консервативного уравнения Крокета (3.4), записанного в виде автономной
четырехмерной консервативной системы (3.5), имеющей расширенную дис-
сипативную систему (3.6). На рис.3.3а представлено сечение Пуанкаре

3.1. БИФУРКАЦИОННЫЙ ПОДХОД
195
решений консервативной системы Крокета (3.5) при е = 0.2
плоскостью (z = 0, г = е) в области, лежащей внутри замкнутого сепаря-
трисного контура невозмущенной системы и далекой от
гиперболических особых точек невозмущенной системы (±7г. 0). При этом вокруг
картинки, представленной на рис.3.3а, существует не изображенная
на рисунке область хаотического движения, порожденная при малых
е > 0 эффектом размножения циклов и торов вокруг исходного сс-
паратрисного контура невозмущенной системы, соединяющего точки
(±тг.О).
В полном соответствии с разработанной теорией, вокруг
эллиптического цикла первого порядка, найденного в возмущенной системе
при (хо = 0,уо ~ -"1-11)» в неи существуют эллиптические и
гиперболические циклы второго порядка периода 67Г при (xq = 0, уо яз —.73)
и 2б7Г при (xq = 0. yn ~ —1.708). Вокруг эллиптических циклов мы
видим двумерные торы (островки), касающиеся по гиперболическим
циклам. В окрестности гиперболического цикла второго порядка
существуют эллиптические и гиперболические циклы третьего порядка
периода 6б7г при (я0 = 0,у0 ~ —1-74) и 927Г при (х0 = 0, уо « .13).
Последний более сложный цикл лежит ближе к сепаратрисной
поверхности гиперболического цикла второго порядка. Еще ближе к этой
поверхности расположены еще более сложные эллиптические и
гиперболические циклы и порожденные ими торы. Однако, их обнаружение
численными методами уже невозможно вследствие ошибок в
вычислениях, что приводит к видимости хаотической динамики в окрестности
сепаратрисы гиперболического цикла второго порядка периода 2б7г.
z = 0 '
•i|
У
X
в)
= 0
1
У
X
б)
Рис. 3.3: Проекция на плоскость (х,у) сечения Пуанкаре (z = 0, г — е)
решений консервативной системы Крокета (3,5) при е = 0.2 (а); развитие
и усложнение гетероклинического сепаратрисного зигзага в диссипативной
расширенной системе Крокета (3.6), близкой к консервативной, при е = 0.55
и /i = 0.1415(6), /i = 0.138(b)

196 ГЛАВА 3. ХАОС В КОНСЕРВАТИВНЫХ СИСТЕМАХ
Рассмотренные выше гетероклииические сепаратрисные
многообразия гамильтоиовых и консервативных систем натянуты на
гиперболические циклы, порожденные совместно с эллиптическими циклами
каскадами седло-узловых бифуркаций в расширенных диссипативных
системах. Но, как следует из теории, при достаточно больших
значениях параметра возмущения е > 0 в расширенных диссипативных
системах существуют и другие каскады бифуркаций в соответствии
со сценарием ФШМ. Эти каскады бифуркаций порождают
рассмотренные во второй главе бесконечно складчатые сепаратрисные
гетероклииические многообразия, имеющие в сечении Пуанкаре вид ге-
тероклипического сепаратрисного зигзага. Эти многообразия,
натянутые на неустойчивые сингулярные циклы ФШМ- каскада диссипатив-
ной системы, переходят при нулевой диссипации в еще более сложные
сепаратрисные многообразия консервативной (гамильтоновой)
системы, движение траекторий по которым воспринимается как
хаотическая динамика. При этом происходит растяжение гармошки
бесконечно складчатого сепаратрисного зигзага на некоторую область
фазового пространства системы. В оставшейся части фазового пространства
могут одновременно сосуществовать со своими областями
устойчивости устойчивые циклы из правой части субгармонического и гомокли-
нического каскадов бифуркаций. Поэтому становится понятным,
почему порядок чередования торов в консервативных (гамильтоиовых)
системах может отличаться от порядка Шарковского, существующего
в системах с сильной диссипацией. Понятно также, почему в
гамильтоиовых и консервативных системах одновременно с областями
хаотической динамики, порожденными сепаратрисными гетероклиническими
многообразиями, могут сосуществовать различные торы вокруг
эллиптических циклов.
Развитие и усложнение гстсроклииичсского сепаратрисного зигзага
в диссииативиой расширенной системе Крокета (3.6), близкой к
консервативной системе (3.5), представлено на рис.3.3(6,в) при е = 0.55.
При уменьшении значений параметра диссипации \х в системе (3.6)
наблюдается субгармонический каскад бифуркаций, порождающий гете-
роклииический ссиаратриспый зигзаг, изображенный на рис.3.36 при
\х = 0.1415. При значениях параметра \х < 0.138 гармошка гетеро-
клинического сепаратрисного зигзага начинает охватывать все
фазовое пространство системы, сливаясь с гетероклиническим сепаратрис-
ным многообразием, натянутым на гиперболические циклы из каскада
седло-узловых бифуркаций. Это приводит к хаотической динамике в
расширенной диссипативпой системе (3.6) во всем фазовом
пространстве при всех меньших значениях параметра \i и, соответствеино, при
/i = 0, что соответствует консервативному случаю системы
Крокета (3.5). Значительно более сложные и интересные гетероклинические
сепаратрисные зигзаги, существующие в расширенных диссипативных
системах, близких к гамильтоновым и просто консервативным
системам, рассмотрены в следующих разделах настоящей главы.

3.2. СИСТЕМЫ С ПОЛУТОРА СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ 1!)7
3.2. Динамический хаос в гамильтоновых системах
с полутора степенями свободы
Гамильтоновой системой с полутора степенями свободы
называется двумерная консервативная система дифференциальных уравнений
с периодическими коэффициентами или с периодической правой
частью. На самом деле любая такая система является четырехмерной
автономной консервативной (не гамильтоновой) системой. Одним из
примеров такой системы является рассмотренная в предыдущем
разделе главы консервативная система уравнений Крокета (3.5). В
настоящем разделе главы рассмотрено несколько примеров классических
возмущенных так называемых гамильтоновых систем с полутора
степенями свободы. Показано, что в любой из рассмотренных
эквивалентных четырехмерных автономных консервативных возмущенных
систем все основные двумерные торы являются либо торами вокруг
нескольких основных эллиптических циклов системы, не являющихся
циклами невозмущенной системы, либо торами вокруг циклов
невозмущенной системы, либо переходными торами. В основе усложнения
динамики возмущенной гамильтоновой системы с полутора степенями
свободы лежит эффект размножения циклов и торов в
консервативной четырехмерной автономной возмущенной системе в окрестностях
сепаратрис гиперболических особых точек невозмущенной системы,
что не имеет ничего общего с механизмом расщепления сепаратрисы в
классической гамильтоновой механике. При достаточно больших
значениях величины возмущения усложнение динамики в возмущенных
гамильтоновых системах с полутора степенями свободы
продолжается через субгармонический и гомоклинический каскады бифуркаций
в соответствии с теорией ФШМ. Наличие при этом в системе
сложных гетероклинических сепаратрисных многообразий одновременно с
тороидальными областями вокруг эллиптических циклов приводит к
одновременному существованию в системе областей локальной
устойчивости, а также глобальной и локальной неустойчивости решений
даже при достаточно малых значениях величины возмущения.
3.2.1 Консервативное обобщенное уравнение Матье
Продемонстрируем применение изложенного выше подхода к
анализу консервативного обобщенного уравнения Матье
х = -{5-\--ycost)x-x3, (3.7)
которое эквивалентно не гамильтоновой системе с двумя степенями
свободы, как принято считать в современной литературе, а автономной
консервативной четырехмерной системе
я = 2/> У = — (8 + z)x — ж3, z = r, f ——z (3.8)

198 ГЛАВА 3. ХАОС В КОНСЕРВАТИВНЫХ СИСТЕМАХ
с интегралом движения
H(z,r) = (z2 + r2)/2 = e, e = (7)2/2 (3.9)
и начальными условиями zq = 7 = (2е)1/<2, tq = 0. Расширенная
диссипативная двухпараметрическая система в данном случае может
иметь вид
£ = 2/, У == —(<Н- z)x — х3 — fiy, z = г, г ——z. (3.10)
Нетрудно видеть, что система (3.10) удовлетворяет условиям 1) и 2)
теоремы 3.1, так как дивергенция ее правой части на решениях
системы (3.8) равна —// и, следовательно, отрицательна при всех /а > 0.
Проанализируем численно влияние величин параметров е и \i на
динамику системы (3.10) при фиксированном значении параметра S = 1.
Полученные результаты представим в проекциях сечения г = 0 на
плоскость (х,у) и сечения х = 0 на плоскость (г, у).
При малых е > 0 хаотическая динамика в консервативной
системе (3.8) отсутствует, а топология системы определяется основными
торами вокруг основных циклов системы, в число которых входят циклы
невозмущенной системы и эллиптические циклы С\ и Сг периода 27г,
родившиеся изначально устойчивыми в диссипативной системе (3.10),
а также переходными торами Т, осуществляющими переход от торов
вокруг циклов невозмущеиной системы к парам торов вокруг
эллиптических циклов С\ и Сг (рис. 3.4а,б для е = 0.125). Заметим, что из
проекции сечения х — 0 на плоскость (г, у) (рис. 3.46) наглядно видно;
что в возмущенной системе могут сохраняться не торы
невозмущенной системы, которые в данном случае вообще отсутствуют, а
только некоторые торы вокруг циклов невозмущеиной системы
достаточно большого радиуса. Остальные торы, существующие в системе (3.8)
при е > 0, не имеют никакого отношения к решениям
невозмущенной системы при е = 0, какими бы ни были эти решения, так как они
изображались бы горизонтальными отрезками у = const. Ниже мы
покажем, что этот общий принцип справедлив и для гамильтоновых
систем, и, следовательно, усложнение динамики в этих системах не
может объясняться и определяться разрушением торов
невозмущеиной системы, даже если они и существуют. Здесь уместно говорить
только о сохранении при некоторых условиях некоторых торов вокруг
некоторых циклов невозмущеиной системы.
Заметим также, что в полном соответствии с изложенной выше
теорией эллиптические циклы С\ и Сч периода 27г системы (3.8)
находятся на значительном расстоянии от гиперболического цикла х = у = 0
периода 27г.
При значении е = 0.3 ситуация заметно усложняется. Теперь
топология системы (3.8) определяется основными торами системы (т.е.
торами вокруг циклов невозмущеиной системы и парами торов вокруг

3.2. СИСТЕМЫ С ПОЛУТОРА СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ 199
Рис. 3.4: Проекции сечений г = 0их = 0 системы (3.8) при т/о = го = 0 и:
е = 0.125, хо = 1, 0.82945, 0.42, ±0.4028, ±0.36, ±0.33, ±0.3 (а,б); е = 0.3, х0
-0.85, 0.55, 0.5419, ±0.45, ±0.4 (в,г)
эллиптических циклов С\ и Сг), переходными торами и набором
торов вокруг сложных эллиптических циклов, касающихся друг друга по
гиперболическим циклам. Эти циклы рождаются парами (устойчивый
и неустойчивый) в диссипативной системе (3.10) в результате седло-
узловой бифуркации при уменьшении значений параметра // до пуля.
Хаотическая динамика в системе пока отсутствует, хотя движение но
торам вокруг сложных циклов легко может быть принято за
хаотическое, если, например, наблюдать его в сечении Пуанкаре (рис. 3.4в,г).
Псевдохаос, возникший в окрестности сепаратрисы и объясняемый в
классической гамильтоновой механике ее расщеплением, не является
гомоклиническим хаосом, а всего лишь следствием ошибок
вычислений из-за неустойчивости решаемой задачи в окрестности
гиперболического цикла х = у = 0. Эффект расщепления сепаратрисы создают
точки, лежащие в сечении Пуанкаре на поверхностях торов,
обмотки которых расположены, переплетаясь, вокруг различных сложных
циклов, образовавшихся парами в диссипативной системе (3.10) в
результате седло-узловых бифуркаций при \х > 0. Некоторые из таких
сложных циклов, обнаруженные предложенным методом,
представлены на рис. 3.5а.б,в. Два цикла периодов 367Г и 807Г, внутренних по
отношению к сепаратрисе гиперболического цикла х = у * 0,
представлены, соответственно, на рис. 3.5а,б. Внешний цикл периода 787Г
представлен на рис. 3.5в. На рис. 3.5г представлены проекции
основных эллиптических циклов С\ и Сг периода 27г на плоскость (х,у).
Наблюдаемый в системе (3.8) при е = 0.3 эффект размножения
циклов и торов в окрестности сепаратрисы гиперболической траектории
подробно описан автором в работе [67].
При значении е = 0.5 ситуация становится еще более сложной. Как
и в предыдущем случае, топология системы (3.8) определяется торами
вокруг циклов невозмущенной системы, парами торов вокруг
эллиптических циклов С\ и Сг, переходными торами и набором торов во-

200 ГЛАВА 3. ХАОС В КОНСЕРВАТИВНЫХ СИСТЕМАХ
Рис. 3.5: Проекции на плоскость (х, у) циклов системы (3.8) при е — 0.3,
Уо = го = 0 и хо =0.54137 (а), х0 =-0.01374 (б), х0 = ±0.368 (г), а также
х0 = 0, уо = 0.0577(b)
круг циклов, родившихся изначально устойчивыми в диссипативнои
системе (ЗЛО) при уменьшении значений параметра \i до нуля. Два из
этих циклов и некоторые (возможно, не все) из окружающих их торов,
обнаруженные предложенным в главе методом, показаны на рис. 3.6.
Внешний цикл (рис. З.бв) имеет период 227Г, а внутренний (рис. З.бг) -
период 147Г. Кроме того, на рис. 3.6а,б изображены сечения двумерных
торов, существующих в системе (3.8) вокруг внешнего
эллиптического цикла периода 227т и внутренних эллиптических циклов периодов
107Г, 127Г и 147Г. В полном соответствии с теорией циклы больших
периодов располагаются ближе к сепаратрисе гиперболического цикла
х = у = 0.
Рис. 3.6: Проекции сечений г = 0 и х = 0 системы (3.8) при е = 0.5,
уо = го = 0 и: хо =0.88, 0.67, ±0.6274, ±0.6145, ±0.569, ±0.5, ±0.445 (а,б);
проекции на плоскость (ж, у) циклов системы (3.8) при е = 0.5, го = 0. хо
=0, уо = 0.465(b) и уо = 0, х0 = 0.6251 (г).
Вместе с тем фазовое пространство системы (3.8) содержит на пер-

3.2. СИСТЕМЫ С ПОЛУТОРА СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ 201
вый взгляд значительную область хаотического движения. Однако,
есть все основания полагать, что хаос, изображенный на рис. 3.6а,б,
является псевдохаосом, так как он не порожден каскадами бифуркаций
устойчивых циклов диссипативной системы, а является скорее ис.иго
следствием ошибок вычислений траектории на поверхностях сложных
многооборотных переплетающихся торов вокруг сложных
эллиптических циклов типа изображенных на рис. 3.5а,б,в и рис. 3.6в,г и
порожденных эффектом размножения циклов и торов. Хаотическая
область на рис. 3.6а,б содержит сложное гетероклиническое сепаратрис-
ное многообразие, натянутое на сложные многооборотные
гиперболические циклы системы. При этом, очевидно, система (3.8) содержит
как области локальной устойчивости вокруг эллиптических циклов,
так и области глобальной неустойчивости в окрестности гетероклини-
ческого сепаратрисного многообразия.
Заметим, что под хаосом (истинным хаосом) в соответствии с
универсальной теорией ФШМ мы понимаем состояние системы, при
котором она имеет сингулярные аттракторы, т.е. непериодические
траектории, предельные к какому-либо бесконечному каскаду бифуркаций
удвоения периода устойчивых предельных циклов. Наличие в системе
сложных циклов с большими, но конечными периодами, мы
характеризуем как ложный хаос или псевдохаос, несмотря на то, что различить
эти виды хаоса численно практически невозможно. Сложные
эллиптические циклы и двумерные торы вокруг них (острова в сечениях
Пуанкаре) рождаются в полном соответствии с теорией ближе к сепа-
ратрисной поверхности гиперболического цикла х = у = 0, а простые
- ближе к основным эллиптическим циклам С\ и Сг-
При значении е = 8 консервативная система (3.8) несомненно
обладает хаотической динамикой, так как при уменьшении значений
параметра \i в диссипативной системе (3.10) циклы С\ и Сг
претерпевают субгармонический и гомоклинический каскады бифуркаций в
полном соответствии с теорией ФШМ, рождая бесконечное число
регулярных и сингулярных аттракторов в своих двумерных бесконечно
складчатых гетероклинических сепаратрисных многообразиях (гете-
роклинических сепаратрисных зигзагах). Затем происходит слияние
двух лент (сепаратрисных многообразий) сингулярных аттракторов,
и при [I » 0.65 рождается симметричный устойчивый цикл, с которым
также происходит весь субгармонический каскад бифуркаций. Затем
происходит несколько каскадов самоорганизации устойчивых циклов,
когда более сложный цикл сначала двоится, потом с каждым из
рожденных циклов происходит свой субгармонический каскад
бифуркаций, затем слияние двух лент образовавшихся сингулярных
аттракторов и рождение одного симметричного более простого устойчивого
цикла. Все циклы всех каскадов, становясь неустойчивыми, не
исчезают, а переходят в решения консервативной системы (3.8) при ц = 0.
Этот процесс продолжается до рождения двух симметричных про- .
стых устойчивых циклов Ei и E<i при \х и 0.05. Циклы Е\ и Еч оста-

202 ГЛАВА 3. ХАОС В КОНСЕРВАТИВНЫХ СИСТЕМАХ
ются устойчивыми в системе (3.10) при всех \i > 0, а их области
устойчивости становятся торами консервативной системы (3.8) при \х = 0
(рис. 3.7а,б,в). При /х « 0.025 в диссипативной системе рождаются
дополнительно устойчивые циклы D\ и D2, которые сосуществуют
вместе с устойчивыми циклами Е\ и £"2, но. в отличие от них, не
порождают торов консервативной системы, а претерпевают субгармонические
каскады бифуркаций, создавая свои гетероклинические сепаратрис-
ные зигзаги, содержащие бесконечное множество неустойчивых
циклов и неустойчивых непериодических траекторий. Заметим, что
бифуркация удвоения периода основных циклов С\ и С2 с образованием
устойчивых циклов Е\ и £*2 (рис. 3.76,в) происходит значительно
раньше при е = 1.41, /а « 0.001. Это свидетельствует о том, что острова в
консервативных системах могут появляться в результате обычных
бифуркаций и, в частности, в результате бифуркации удвоения периода.
Рис. 3.7: Проекции сечений г = 0 и х = 0 системы (3.8) при е = 8, т/о =
го = 0, х'о --2.1, ±1.77, ±1.69, 1.45 (а,б); проекция цикла Ei системы (3.8)
при xq = —1.65(b); устойчивый цикл С\ утроенного периода системы (3.10)
при /i, = 0.712(г), порождающий хаос в системе (3.8)
Таким образом, топология консервативной системы (3.8) при е = 8
определяется торами вокруг циклов невозмущенной системы, торами
вокруг циклов, родившихся и оставшихся устойчивыми в
диссипативной системе (3.10) при всех значениях параметра// > 0, и областью
хаотического движения, содержащей все циклы и непериодические
траектории, родившиеся изначально устойчивыми в диссипативной
системе (3.10) при \х > 0 и потерявшие устойчивость в результате какого-
либо субгармонического или гомоклинического каскада бифуркаций в
соответствии с теорией ФШМ. Устойчивый цикл С\ утроенного
периода из субгармонического каскада Шарковского, порождающий
хаотическую динамику как в диссипативной системе (3.10), так и в
консервативной системе (3.8), изображен на рис. 3.7г. Изображение устойчивого
цикла £>2 периода три можно найти в работах [64,65].

3.2. СИСТЕМЫ С ПОЛУТОРА СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ 203
3.2.2. Простейшая гиперболическая неавтономная
консервативная система
Рассмотрим неавтономную консервативную двумерную систему
обыкновенных дифференциальных уравнений
i = S/i У = (l + ecost)x-x3 (3.11)
Невозмущениая система (3.11) имеет в плоскости (х, у) две гомоклини-
ческие петли сепаратрис седловой особой точки (0,0) вокруг особых
точек О* = (±1,0), являющихся центрами невозмущенной системы.
Поэтому, как принято считать, следуя А.Пуанкаре, наличие в системе
(3.11) возмущения е > 0 должно сопровождаться эффектом
расщепления сепаратрисы с образованием пересекающимися сепаратрисными
поверхностями возмущенной системы сложной запутанной гомокли-
нической структуры в окрестности гомоклинического контура
невозмущенной системы в проекции на плоскость (ж, у) [17,42.48,49.80,111].
Покажем, что ничего подобного в системе (3.11) не происходит ни при
малых, пи при достаточно больших величинах возмущения е > 0.
Нетрудно видеть, что система (3.11) эквивалентна четырехмерной
консервативной (не гамильтоновой) автономной системе уравнений
* = </> y=(l + z)x-x3, z = v, r = -z (3.12)
с условиями Н — z2 + r2 = e2, z0 = z(0) — е. Расширенной диссипатив-
ной системой для системы (3.12) является система
* = #> У = (1 + z)x - я3 - М2Л z = r, f = -z (3.13)
Если следовать доказательству теоремы о расщеплении сепаратрисы,
то при малых е > 0 в окрестности гиперболического 2ж -
периодического решения х = у = 0 невозмущенной системы (3.12)
существует 27Г - периодическое гиперболическое решение возмущенной
системы, сепаратрисные поверхности которого и образуют гомоклиниче-
скую структуру. Но чем ближе к началу координат в плоскости (х, у)
находится начальная точка периодического решения системы (3.12),
тем медленнее происходит движение вдоль траектории. Поэтому
начальная точка 2л" - периодического решения должна находиться
достаточно далеко от сепаратрисного контура невозмущенной системы
и близко к точке 27Г - периодического эллиптического цикла
невозмущенной системы. В окрестности же сепаратрисного контура
невозмущенной системы в проекции на плоскость (х, у) могут лежать только
2ттк - периодические решения возмущенной системы при к > 1.
Поэтому, существующее в возмущенной системе 27Г - периодическое решение
не обязано быть гиперболическим, а его сепаратрисные поверхности не
должны оказывать какое-либо влияние на динамику возмущенной
системы в окрестности сепаратрисного контура невозмущенной системы.

204 ГЛАВА 3. ХАОС В КОНСЕРВАТИВНЫХ СИСТЕМАХ
Эта динамика должна определяться движением по сложным торам
вокруг сложных 27Г& - периодических эллиптических циклов
возмущенной системы при к > 1. Кроме того, чем ближе в плоскости {х,у)
находится начальная точка периодического решения системы (3.12) к
центрам 0± = (±1,0) невозмущенной системы, тем также медленнее
происходит движение вдоль траектории. Поэтому 27Г - периодические
решения системы (3.12) обязаны существовать также и в окрестностях
особых точек 0±. Все сказанное подтверждается проведенными в
настоящем разделе главы численными расчетами для консервативной
системы уравнений (3.12).
Итак, рассмотрим консервативную систему (3.12) при различных
фиксированных значениях параметра е > 0. При малых значениях
е топология консервативной системы (3.12) определяется основными
торами вокруг основных циклов системы (в число которых входят
внутренние циклы невозмущенной системы вокруг ее особых точек
0х = (±1,0), внешние циклы невозмущенной системы вокруг ее се-
паратрисного контура и 2п - периодические циклы С± возмущенной
системы (3.12) вокруг ее особых точек 0±), а также более сложными
торами вокруг более сложных эллиптических циклов в окрестности
сепаратрисного контура невозмущенной системы. Последние сложные
циклы аппроксимируются устойчивыми циклами расширенной дисси-
пативной системы и могут быть приближенно найдены ее решением
при малых значениях величины диссипации ц. На рис.3.8
представлены проекции внешнего и правого внутреннего по отношению к сепа-
ратрисиому контуру невозмущенной системы эллиптических циклов
системы (3.12) при е = 0.00001. Внешний цикл имеет период 287Г, а
внутренний - 267Г. Вместе с тем возмущенная система (3.12) имеет два
правых и два левых внутренних цикла периода 27Г, лежащих далеко от
сепаратрисного контура исвозмущеииой системы в проекции на
плоскость (ж, у): эллиптические при уо = 0, zq = £,Хо и ±0.257 и
гиперболические при ?/о = 0, го = — е, xq « ±0.259. Недалеко от
сепаратрисного контура пенозмущсшюй системы в проекции на плоскость (х, у)
находятся два правых и два левых внутренних цикла периода 47г:
эллиптические при уо = 0, Z{) = —е, хо « ±0.01057 и гиперболические при
уо = 0, zq = е,хо « ±0.01055. Эти циклы имеют такой же вид, как и в
системе Дюффинга-Холмса (см. п.3.2.3, рис. 3.11в,г). Эллиптические
27Г - периодические циклы С^ возмущенной системы (2.12) вокруг ее
особых точек 0± можно найти при уо = го = 0 и хо = ±1.00001.
По каждому из гиперболических 27Г - периодических циклов
происходит касание трех торов возмущенной системы, два из которых
являются торами вокруг внутренних циклов невозмущешюй системы,
а третий - тор вокруг 2к - периодического эллиптического цикла,
касающийся также и сам себя.
При значении параметра возмущения е = 0.01 ситуация заметно
усложняется. Теперь топология системы (3.12) определяется
основными торами системы (т.е. торами вокруг циклов невозмущенной систе-

3.2. СИСТЕМЫ С ПОЛУТОРА СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ 205
Рис. 3.8: Проекции сложных эллиптических циклов системы (3.12) в
окрестности сепаратрисного контура невозмущенной системы при е =
0.00001: одного из внешних циклов при т/о = 0, г0 = е,жо — 1-41421097(а,б) и
одного из внутренних циклов при уо = 0, zo = е,х0 = 1.41419305(в,г).
мы и парами торов вокруг циклов С*), переходными торами и набором
торов вокруг сложных эллиптических циклов, родившихся изначально
устойчивыми в диссипативной системе (3.13) при уменьшении
значений параметра \i до нуля. Движение траектории по поверхностям
таких сложных миогооборотиых торов, проекции которых расположены
в окрестности сепаратрисы иевозмущепной системы, создает иллюзию
хаотического движения, хорошо наблюдаемого в различных сечениях
(рис. 3.9а). Так как в окрестности сепаратрисы невозмущенной
системы расположены, переплетаясь и, по всей видимости, касаясь друг
друга, различные системы многооборотных сложных торов
(внутренние по отношению к сепаратрисному контуру, внешние и смешанные),
то глобальная устойчивость решений системы (3.12) сохраняться не
может.
Некоторые сложные эллиптические циклы консервативной
системы (3.12), порождающие сложные торы и обнаруженные
предложенным методом, представлены на рис. 3.9б,в,г. Внешний цикл имеет
период 367Г, а внутренний - 24тг. Эллиптические и гиперболические
внутренние циклы периода 27г также существуют в возмущенной системе
и могут быть приближенно найдены при у0 = 0,zo = е, х0 « ±0.2545
(эллиптические) и уо = 0, zo = — s,xq w ±0.2614 (гиперболические).
Заметим, что при е = 0.01 эллиптические 27г - циклы С±
возмущенной системы (3.12) вокруг ее особых точек О* можно найти при
Уо = ^о = 0ижо = ±1.01. Таким образом, никакого расщеплении се-
паратрисной поверхности 27Г - периодического решения возмущенной
системы (3.12) не происходит, так как этим решением при го = £
является эллиптический, а не гиперболический 27Г - цикл возмущенной
системы, лежащий, к тому же, достаточно далеко от сепаратрисного
контура невозмущенной системы в проекции на плоскость (ж, у). Дина-

206 ГЛАВА 3. ХАОС В КОНСЕРВАТИВНЫХ СИСТЕМАХ
Рис. 3.9: Проекция сечения г = 0 системы (3.12) при г — 0.01, т/о = го = 0 и
х0 -1.5, 1.47, 1.455, 1.448, 1.44, ±0.116, ±0.1399, ±0.18, ±0.23, ±0.6, ±0.9 (а);
проекции циклов системы (3.12) на плоскости (х, у) и (х, г)при е = 0.01, уо =
го = 0 и хо = 1.4495 (сложный внешний цикл) (б, в); хо = 0.09417(правый
внутренний цикл) (б, г)
мический хаос в окрестности еепаратрисного контура невозмущенной
системы (3.12) определяется прыжками траектории в результате
ошибок вычислений по поверхностям сложных многооборотных
двумерных торов вокруг эллиптических 2/кк - циклов возмущенной системы
при некоторых к > 1. Касание торов происходит по гиперболическим
2ттк - циклам. Кроме того, так как в окрестностях гиперболических
циклов движение траектории замедляется, то это ведет к
образованию в этих окрестностях новых еще более сложных эллиптических
и гиперболических циклов и соответствующих им торов возмущенной
системы. Следовательно, рост области псевдохаотического движения в
возмущенной системе (3.12) при росте значений параметра е
объясняется не эффектом расщепления сепаратрисы, а нелокальным
эффектом размножения гиперболических и эллиптических циклов, а также
торов вокруг эллиптических циклов. Более простые циклы
рождаются достаточно далеко от сспаратрисиых поверхностей гиперболических
периодических решений, а более сложные - вблизи этих поверхностей.
При значении е = 1.5 консервативная система (3.12) несомненно
обладает хаотической динамикой, так как при уменьшении значений
параметра \i в диссипативиой системе (3.13) происходят
субгармонические каскады бифуркаций в полном соответствии с теорией ФШМ,
рождая бесконечное число регулярных и сингулярных аттракторов
в своих двумерных бесконечно складчатых гетероклинических сепа-
ратрисных многообразиях (гетероклинических сепаратрисных
зигзагах). Затем при \х я* 0.251 происходит слияние двух лент
(сепаратрисных многообразий) сингулярных аттракторов, сопровождающееся
образованием единого гетероклинического еепаратрисного зигзага. При
дальнейшем уменьшении значений параметра ft происходит развитие и

3.2. СИСТЕМЫ С ПОЛУТОРА СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ 207
усложнение гетероклииического сепаратрисного зигзага,
сопровождающееся растяжением его гармошки на все фазовое пространство
консервативной системы (3.12) при fj, = 0. На рис.3.10 показаны
гармошки бесконечно складчатых гетероклинических сепаратрисных
зигзагов в сечении Пуанкаре г = 0, z > 0 диссипативной системы (3.13) при
е = 1.5, ii = 0.25(a) и \i = 0.04(6).
Рис. 3.10: Проекции на плоскость (х,у) сечения Пуанкаре г = 0,z > 0
диссипативной системы (3.13) при е = 1.5 и ц, = 0.24(a), ц, = 0.04(6).
3.2.3. Консервативное уравнение Дюффинга-Холмса
Запишем консервативное уравнение Дюффинга-Холмса в виде
неавтономной двумерной консервативной системы обыкновенных
дифференциальных уравнений
я = 2А у — Sx — х3-\-ecosLot (3-14)
Невозмущенная система (3.14) имеет в плоскости (х,у) две гомокли-
нические петли сепаратрис седловой особой точки (0,0). Поэтому, как
принято считать, наличие в системе (3.14) возмущения е > 0 должно
сопровождаться эффектом расщепления сепаратрисы
гиперболического периодического решения возмущенной системы с образованием
пересекающимися сепаратрисными поверхностями сложной запутанной
гомоклинической структуры [17,42,48,49.80,111]. Покажем, что ничего
подобного в системе (3.14) не происходит ни при малых, ни при
больших величинах возмущения е > 0, а иллюзия хаотического движения
создается, как и в системах (3.5),(3.8),(3.11), эффектом размножения
циклов и торов в окрестности сепаратрисы невозмущенной системы в
проекции на плоскость (х, у).
Нетрудно видеть, что, как и рассмотренные выше консервативные
системы, система (3.14) эквивалентна четырехмерной консервативной
(не гамильтоновой) автономной системе уравнений
я = 2/> У = 8х — х'л + z, z = иг, г = -wz (3.15)

208 ГЛАВА 3. ХАОС В КОНСЕРВАТИВНЫХ СИСТЕМАХ
с условиями Я = z2 + г2 = £2, zo = г(О) = е.
Чтобы понять, что на самом деле происходит в системе (3.15) при
различных значениях величины приложенного возмущения,
рассмотрим наряду с ней расширенную диссипативную систему
£ = 2/? у = 6х — х3 + z — fly, z = u>r, t—-u)z (3.16)
и проанализируем численно переход от решений диссипативной
системы (3.16) к решениям консервативной системы (3.15) при
фиксированных значениях параметров е, 5 = cj = 1 и при стремлении параметра
диссипации /х к нулю.
При малых е > 0 хаотическая динамика в консервативной
системе (3.15) отсутствует, а топология системы определяется основными
торами вокруг основных циклов системы, в число которых входят
внутренние циклы невозмущеиной системы вокруг ее особых точек
0± = (±1,0), внешние циклы невозмущеиной системы вокруг
сепаратрисного контура и 27Г - циклы С* возмущенной системы (3.15)
вокруг се особых точек а также более сложными торами вокруг
более сложных эллиптических циклов в окрестности сепаратрисного
контура, родившихся изначально устойчивыми в расширенной
диссипативной системе (3.16). На рис.3.11 представлены проекции на
плоскости (ж, г) и (ж, у) внешнего и правого внутреннего по отношению к
сепаратрисному контуру невозмущенной системы эллиптических
циклов системы (3.15) при е = 0.00001. Внешний цикл имеет период 267Г,
а внутренний - 47Г. Вместе с тем возмущенная система (3.15), как и
система (3.12), имеет два правых и два левых внутренних цикла периода
27г, лежащие далеко от сепаратрисного контура невозмущенной
системы в проекции на плоскость (х, у): эллиптические при уо = 0,2о =
±е, xq « ±0.258 и гиперболические при уо = 0, Zq = =F£, xq « ±0.258.
f
•I
1
6)
h
и
*)
r
Рис. 3.11: Проекции сложных эллиптических циклов системы (3.15) в
окрестности сепаратрисного контура невозмущенной системы при е =
0.00001: одного из внешних циклов при уо = 0, zo = £,жо = 1.41423264 (а, б)
и одного из внутренних циклов при уо = 0, zq = — е,жо = 0.01058 (в, г).

3.2. СИСТЕМЫ С ПОЛУТОРА СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ 209
При значении параметра возмущения е = 0.01 ситуация заметно
усложняется. Теперь топология системы (3.15) определяется
основными торами системы (т.е. торами вокруг циклов невозмущенной
системы и парами торов вокруг циклов С~). переходными торами и набором
торов вокруг сложных эллиптических циклов, родившихся
изначально устойчивыми в диссипативной системе (3.16) при уменьшении
значений параметра \х до нуля. Движение траектории по поверхностям
таких сложных многооборотных торов, расположенных в окрестности
сепаратрисного контура невозмущенной системы в проекции на
плоскость (х,?/), создает, как и в случаях консервативной обобщенной
системы уравнений Матье и консервативной системы Крокета, иллюзию
хаотического движения, хорошо наблюдаемого в различных сечениях
Пуанкаре (рис. 3.12а,б).
Рис. 3.12: Проекции сечений г = 0 и у = 0 системы (3.12) при е = 0.01,
т/о = го = 0 и хо =1.9, 1.795, 1.77. 1.73, 1.5, 1.432, ±1.382(г0 = Тс),
±1.363(зо = =R0, ±1.3(2o = =F£j, ±1.2, ±1.05, ±0.992(торы вокруг циклов
Са:)(а,б); проекции циклов системы (3.12) на плоскость (х,у) при е = 0.01.
у0 = го = 0 и xq =- "1.71 (внешний цикл), xq = 1.42805 (сложный внешний
цикл), xq — ±1.371(2о = ^£)(два внутренних цикла)(в); проекция внешнего
сложного цикла на плоскость (х.г)(г)
Некоторые простые и сложные эллиптические циклы
консервативной системы (3.15) при е = 0.01, порождающие торы и изображенные
на рис. 3.12а,б, обнаружены предложенным методом при уо — го = 0
и хо — 1.711 (внешний 2тт - цикл), Хо = 1.42805 (сложный внешний
227Г - цикл), Хо = ±1.371(2о = =рс) (два внутренних 18тг - цикла).
Эллиптические циклы С* возмущенной системы (3.15) вокруг ее
особых точек О* можно найти при уо = Го = 0 и xq == ±1.01 (го — ±е).
Гиперболический внешний 2тт - цикл обнаружен при ,уо = го = 0 и
хо = 1.705(zo = —е). Проекции па плоскости (х,у) и (х,г) внешних
эллиптических 27Г и 227Г- циклов и двух внутренних эллиптических
187Г - циклов возмущенной консервативной системы (3.15)
представлены на рис. 3.12в,г. Так как в окрестности сепаратрисного контура

210 ГЛАВА 3. ХАОС В КОНСЕРВАТИВНЫХ СИСТЕМАХ
невозмущенной системы расположены, переплетаясь и касаясь друг
друга, различные системы многооборотных сложных торов
(внутренние по отношению к сепаратрисному контуру, внешние и смешанные),
то глобальная устойчивость решений системы (3.15) сохраняться не
может.
Аналогичная ситуация имеет место в системе (3.15) при е — 0.12,
(S = l, w = 4hc нелинейным членом вида — 2х3. Именно этот случай
рассмотрен в качестве примера якобы расщепления сепаратрисы в
работе [17]. Но, как показывают численные расчеты, ничего подобного в
системе (3.15) не происходит и при этих значениях параметров, а
иллюзия хаотического движения в окрестности сепаратрисного контура
певозмущенной системы создастся, как и во всех предыдущих
случаях, наличием сложных миогооборотных торов, расположенных вокруг
эллиптических циклов системы. В данном случае некоторые простые
и сложные эллиптические циклы консервативной системы (3.15)
обнаружены предложенным методом при уо = го = 0 и: xq - 1.041
(сложный внешний 107Г - цикл, zq = е), хо = 1.0179 (внешний 77г/2 - цикл,
zo = —е), хо = ±0.885(zo = ±е)(два внутренних 37г/2 - цикла). Два
эллиптических цикла C,=t основного периода Т = 27г/и; = 7г/2
обнаружены в системе (3.15) при xq ~ ±0.7156(2:о = ±е) (подробнее см. в
[67,69]).
При значении параметра возмущения е = 1 система (3.15) уже
обладает хаотической динамикой в смысле теории ФШМ. В этом
нетрудно убедиться, устремив параметр \х в диссипативной расширенной
системе (3.16) к нулю. При \i » 1.39, происходит бифуркация удвоения
периода каждого из сингулярных предельных циклов С±, что
дает начало каскаду Фейгснбаума бифуркаций удвоения периода.
Данный каскад бифуркаций завершается рождением двух сингулярных
аттракторов Фейгснбаума, вид которых показан в работе [64]. При
дальнейшем уменьшении значений параметра /i начинается каскад
бифуркаций рождения устойчивых циклов с периодами согласно
порядку Шарковского. При j.l и 1.23 происходит объединение двух лент
аттракторов (двух двумерных бесконечно складчатых гетероклиниче-
ских сепаратриспых многообразий) и образуются новые устойчивые
циклы гомоклипического каскада аналогично тому, как это
происходит в знаменитой системе Лоренца [59]. Так при /i = 0.98
наблюдается симметричный цикл Си, который порождает бифуркацией
типа вилки два несимметричных цикла С^, каждый из которых
начинает свой каскад бифуркаций удвоения периода,
заканчивающийся образованием своего сингулярного аттрактора Фейгенбаума. Затем
опять происходит слияние двух лент сингулярных аттракторов, и при
/i ~ 0.85 рождаются устойчивые циклы Cf (см. рис. в [61]),
начинающие гомоклииический каскад бифуркаций. При значении \.i и 0.6
образуется устойчивый цикл Е (рис. 3.13в), который остается
устойчивым при всех значениях параметра \х > 0 и не дает возможности
численно проследить эволюцию циклов гомоклинического каскада при

3.2. СИСТЕМЫ С ПОЛУТОРА СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ 211
меньших значениях параметра \х. При /i и 0.05 в диссипативпой
системе (3.16) рождаются еще два устойчивых цикла D^, порождающие
при меньших значениях параметра \х свои циклы удвоенного периода
(рис. 3.13г). При /i = 0.001 в диссипативной системе (3.16) в
окрестности цикла Е рождается более сложный цикл Ei, который также
остается устойчивым при всех значениях параметра /i > 0. При \х = 0
система становится консервативной, а области устойчивости цикла Е,
циклов D* удвоенного периода и цикла Е\ заполняются торами
консервативной системы вокруг этих циклов. Оставшаяся область
хаотического движения заполняется бесконечным множеством
неустойчивых циклов и их предельных непериодических сингулярных
траекторий, порожденных каскадами бифуркаций исходных сингулярных
циклов С* (рис. 3.13а,б).
Рис. 3.13: Проекции сечений г = 0 и у = 0 системы (3.15) при е = 1,
Уо = го = 0 и xq =2.6, 2.13, 2.05, 1.85(острова вокруг цикла Е±), ±0.84(>го =
±е)(торы вокруг циклов D± удвоенного периода) (а,б); проекции циклов
системы (3.15) на плоскость (я, у) при т/о = го = 0 и хо — 1.975 (цикл Е)(ъ),
хо = 0.76 (цикл D* удвоенного периода) (г)
Таким образом, топология консервативной системы (3.15) при е = 1
определяется торами вокруг циклов невозмущенной системы при
достаточно больших по модулю начальных значениях \xq\, торами вокруг
циклов Е) циклов D± удвоенного периода и цикла Е\у родившихся
изначально и оставшихся устойчивыми в диссипативной системе (3.16)
при всех [А > 0, и областью хаотического движения, состоящей из
бесконечного множества неустойчивых циклов и их предельных
сингулярных непериодических траекторий, порожденных циклами Cf±.
В работе [28] построена бифуркационная диаграмма двухпарамет-
рической системы уравнений (3.16) в пространстве параметров (£,/i).
Все циклы субгармонического каскада бифуркаций вплоть до цикла
периода три, устойчивые в диссипативной системе (3.16) при
некоторых (е,ц > 0), продолжены в плоскости параметров (е,д)
модифицированным методом стабилизации Магницкого [59] вплоть до значения

212 ГЛАВА 3. ХАОС В КОНСЕРВАТИВНЫХ СИСТЕМАХ
\х = 0, при котором система становится консервативной. Таким
образом, доказано существование в консервативном уравнений Дюффиига-
Холмса (3.14) полного субгармонического каскада бифуркаций Шар-
ковского циклов любого периода в соответствии с порядком Шарков-
ского.
Как и во всех рассмотренных выше случаях так называемых га-
ми льтоновых систем с полутора степенями свободы, механизм
образования хаотической динамики в консервативном уравнении Дюффинга-
Холмса объясняется не теорией К AM, а нелокальным эффектом
размножения циклов и торов и теорией ФШМ, причем постулируемая
теорией К AM глобальная устойчивость в системе также отсутствует.
3.2.4. Стандартный пример маятника с колеблющейся
точкой подвеса
Рассмотрим стандартный модельный пример маятника с
вертикально периодически колеблющейся точкой подвеса, то есть систему с
гамильтонианом
H(x,y,t,e) — у2/2 + (и;2 + £ cos t) cos х (3.17)
Этот пример часто используется в современной литературе по
классической гамильтоновой механике для обоснования существования
эффекта расщепления сепаратрисы [17,111]. Однако, проведенными
выше рассуждениями нетрудно доказать, что никакого расщепления
сепаратрисы в системе с гамильтонианом (3.17) не происходит, а
существующая в системе хаотическая динамика является, как и во всех
рассмотренных выше консервативных системах, следствием
существования сложных многооборотиых переплетающихся торов в окрестности
сепаратрисы иевозмущсиной системы в проекции на плоскость (ж, у).
Запишем уравнения системы с гамильтонианом (3.17) в виде
четырехмерной консервативной системы уравнений
&^У-> У = (^2 + г) sin ж, z = r, г =—z (3.18)
с условиями Н = z2 + г2 = e2,zq = z(0) = е. Чтобы понять, что
на самом деле происходит в системе (3.18) при различных значениях
величины приложенного возмущения е > О, рассмотрим наряду с ней
расширенную диссипативиую систему
£ = У, у = (и2 + z) smx — fiy, z = r, f = — z (3.19)
и проанализируем численно переход от решений диссипативиой
системы (3.19) к решениям консервативной системы (3.18) при
фиксированных значениях параметров е, и = 1 и при стремлении параметра \х
к нулю. Решения систем (3.18) и (3.19) удобно наблюдать в
координатах (sinx, у). При этом все гетероклинические сепаратрисные контуры,

3.2. СИСТЕМЫ С ПОЛУТОРА СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ 213
соединяющие особые точки 2к7г,к = О, =Ы, ±2,... невозмущеннои
системы (3.18) в координатах (х. у) изображаются двумя гомоклииичс-
скими сепаратрисными контурами точки (0,0) в координатах (sin ж, у),
лежащими в верхней и нижней полуплоскостях. Любая периодическая
траектория невозмущенной системы, лежащая в плоскости (ж, у) над
(под) сепаратрисным контуром вблизи него переходит в координатах
(sin ж, у) в цикл, лежащий в окрестности начала координат в верхней
(нижней) полуплоскости внутри сепаратрисного контура (внутренний
цикл). И наоборот, любой цикл невозмущеннои системы (3.18),
проходящий через точку (a?o,0) при 0 < xq < 7г/2 изображается в
координатах (sin х, у) в окрестности начала координат циклом вокруг
сепаратрисного контура (внешний цикл). Поэтому все траектории
возмущенной системы (3.18), лежащие в окрестности любой из сепаратрис
невозмущенной системы, можно наблюдать и анализировать на одном
рисунке в координатах (sinx,y).
Рис. 3.14: Проекции сложных циклов системы (3.18) в окрестности
сепаратрисного контура невозмущенной системы при е = 0.0001: одного из
внешних циклов при уо * 0, zq = — e,xq = 0.01494(а,б) и одного из внутренних
циклов приуо = 0.015.20 = е>хо = 0(в,г).
При малых е = 0.0001 топология консервативной возмущенной
системы (3.18) определяется основными торами вокруг основных
циклов системы и более сложными торами вокруг сложных
эллиптических циклов в окрестности сепаратрисного контура невозмущенной
системы, родившихся изначально устойчивыми в диссипативной
системе (3.19). В число основных циклов входят внутренние и внешние
циклы невозмущенной системы, а также циклы С* возмущенной
системы (3.18) вокруг центров ((2fc + l)7r, 0) невозмущенной системы.
Внешние эллиптический и гиперболический 87г - циклы системы (3.18)
можно наблюдать при х0 « 0.01494,20 = !Ре,уа = 0 (рис. 3.14а,б).
Внутренние эллиптический и гиперболический 4тг - циклы системы (3.18)
можно наблюдать при xq = 0, zq = ±е. уо и 0.015 (рис. 3.14в,г). Циклы
С~ возмущенной системы периода 27Г можно наблюдать в координатах
(sin х.у) в малой окрестности нулевой особой точки либо в окрестно-

214 ГЛАВА 3. ХАОС В КОНСЕРВАТИВНЫХ СИСТЕМАХ
стях точек ((2к + 1)7г,0). При значениях хо = 0.zQ = £,гу0 » 0.02158
можно наблюдать 187Г - периодический эллиптический цикл системы
(3.18). При значениях xq = 0, zq = ^е, уъ » 0.3404 можно наблюдать 27г
- периодические эллиптический и гиперболический циклы. Проекции
некоторых сложных эллиптических циклов системы (3.18), лежащие
в окрестности сепаратрисного контура певозмущенной системы,
представлены на рис. 3.14. Заметим, что псевдохаотическая динамика в
системе (3.18) наблюдается даже при малых е = 0.0001.
При значении параметра возмущения е = 0.01 ситуация заметно
усложняется. Теперь топология системы (3.18) определяется
основными торами системы (т.е. торами вокруг внешних и внутренних циклов
невозмущенной системы и парами торов вокруг циклов С^),
переходными торами и набором торов вокруг сложных циклов, родившихся
изначально устойчивыми в диссипативной системе (3.19) при
уменьшении значений параметра /л до нуля. Движение траектории по
поверхностям таких сложных многооборотных торов, расположенных в
окрестности сепаратрисы певозмущенной системы создает, как и в случаях
консервативной обобщенной системы уравнений Матье и уравнений
Дюффинга-Холмса и Крокета, иллюзию хаотического движения,
хорошо наблюдаемого в различных сечениях (рис. 3.15а,б). Проекции
некоторых сложных эллиптических циклов консервативной системы (3.18),
порождающих сложные торы и обнаруженных предложенным
методом (внешнего 447Г - периодического при xq = 0.144, уо =" 0 и двух
внутренних 207Г - периодических при хо = 0, уо = ±0.489(zo = ~е))>
представлены на рис.3.15в,г,д.
smx
Рис. 3.15: Проекции сечений г = 0иу = 0 системы (3.18) при е = 0.01,
г0 = 0: г/о = 0, х0 -0.67, 0.575, 0.505, 0.425 и х0 = 0, ?/о=±0.6, ±0.499
и ±0.474(2:о = — £)(а,б); проекции циклов системы (3.18) на плоскость
(smx,у) при 7'0 = 0: уо = 0, хо = 0.352 и ж0 = 0, уо ~ ±0.34(zo =
—е)(в); уо = 0, хо = 0.144 и хо = 0, уо = ±0.489(zo = -e)(r); проекция
последнего внутреннего цикла периода 207Г на плоскость (япа;,г)(д).
Таким образом, как и во всех рассмотренных выше гамильтоно-

3.2. СИСТЕМЫ С ПОЛУТОРА СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ 215
вых системах с полутора степенями свободы (консервативных
четырехмерных автономных системах), механизм образования хаотической
динамики в задаче движения маятника с колеблющейся точкой
подвеса в окрестности сепаратрисного контура невозмущенной системы
описывается не расщеплением сепаратрисы, а наличием в
возмущенной системе сложных многооборотных переплетающихся торов вокруг
сложных 27Г&, к > 1 - периодических эллиптических предельных
циклов, проекции которых на плоскость (х,у) лежат в окрестности
сепаратрисного контура. Так как различные системы многооборотных
сложных торов (внутренние по отношению к сепаратрисному
контуру, внешние и смешанные) расположены в окрестности сепаратрисы
невозмущепной системы, переплетаясь и касаясь друг друга, то
глобальная устойчивость решений системы (3.18) сохраняться пе может.
При значении параметра возмущения е = 2 система (3.18) уже
обладает хаотической динамикой в смысле теории ФШМ. В этом
нетрудно убедиться, устремив параметр д в диссипативной расширенной
системе (3.19) к пулю. При д « 0.38, происходит бифуркация удвоения
периода каждого из сингулярных устойчивых предельных циклов С*,
что дает начало каскаду Фейгеибаума бифуркаций удвоения периода.
Данный каскад бифуркаций завершается рождением двух
сингулярных аттракторов Фейгеибаума при \х яа 0.348. При дальнейшем
уменьшении значений параметра \х начинается каскад бифуркаций
рождения устойчивых циклов с периодами согласно порядку Шарковского.
Циклы периода пять, например, можно наблюдать при /х = 0.3428.
При /i ~ 0.34 начинаются два гомоклипических каскада бифуркаций,
затем, как и в других системах, происходит слияние двух лент
сингулярных аттракторов (двух двумерных бесконечно складчатых гетсро-
клинических сепаратрис! 1ых многообразий), после чего процесс
образования новых устойчивых циклов продолжается на единой
бесконечно складчатой гетерокли ни ческой сспаратрисной поверхности.
При значении /i fa 0.096 в диссипативной системе рождаются два
устойчивых цикла Е± (рис. ЗЛбв), которые остаются устойчивыми при
всех значениях параметра ft > 0, порождая вокруг себя торы
консервативной системы (3.18) при \х — 0; а также более сложные циклы
(рис. 3.16г) и торы вокруг них. При fi = 0.04 в диссипативной
системе (3.19) рождаются еще два устойчивых цикла, которые также
остаются устойчивыми при всех меньших значениях параметра /i > 0,
порождая вокруг себя торы консервативной системы (3.18) при /л = 0.
Кроме того, при малых д > 0 в диссипативной системе (3.19)
рождаются и другие сложные устойчивые циклы, порождающие сложные
многооборотные торы консервативной системы (3.18) при д = 0. Так,
например, циклы консервативной системы (3.18), представленные на
рис. 3.16д, рождаются устойчивыми в диссипативной системе (3.19)
при \х » 0.000008.
Таким образом, топология гамильтоиовой системы (3.18) при е = 2
определяется торами вокруг циклов псвозмущенной системы при до-

216 ГЛАВА 3. ХАОС В КОНСЕРВАТИВНЫХ СИСТЕМАХ
Рис. 3.16: Проекции сечений г = 0 и sinx=0 системы (3.18) при е = 2,
г0 = 0,-го = -с и z0 = 0, уо=±3.8, ±3.55, ±3.5, ±3.11, 2.425, ±2.35, ±2.21,
±0.45(а,б); проекции сложных циклов системы (3.18) на плоскость (sin ж, у)
при е = 2, го = 0,го = -е, жо=0и|/о- -2.14(d), у0=-1.825(г),у0=±3.0887(д)
статочно больших по модулю начальных значениях ?/о> торами
вокруг циклов Е* и некоторых других циклов, родившихся изначально
и оставшихся устойчивыми в диссипативной системе (3.19) при всех
меньших значениях /i > 0, и областью хаотического движения,
состоящей из бесконечного множества неустойчивых циклов и их
предельных непериодических траекторий, порожденных каскадами
бифуркаций циклов С± и некоторых других циклов расширенной
диссипативной системы (рис. 3.16а,б).
(
г=0
sinx
а)
Рис. 3.17: Проекции на плоскость (sin ж, у) сечения Пуанкаре г = 0,2 > 0
диссипативной системы (3.19) при е = 2 и д = 0.337(a), /х = 0.33 (б) и
/1 = 0.29(b)
Развитие и усложнение гетероклинического сепаратрисного
зигзага в диссипативной расширенной системе (3.19) при уменьшении
значений параметра \х < 0.34 сопровождается растяжением его гармош-
t У
т
г=0
г*0
sinx
А
б)
•inx

3.3. ГАМИЛЬТОНОВЫ СИСТЕМЫ С ДВУМЯ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ 217
ки на большую часть фазового пространства консервативной системы
(3.18). На рис.3.17 показаны гармошки бесконечно складчатых гстеро-
клинических сепаратрисных зигзагов в сечении Пуанкаре г = 0, z > О
диссипативной системы (3.19) при е = 2, /л = 0.337(a). /г = 0.33 (б) и
^ = 0.29(b).
Как и в случаях обобщенного консервативного уравнения Матьс.
уравнения Крокета и уравнения Дюффинга -Холмса, механизм
образования хаотической динамики в задаче движения маятника с
колеблющейся точкой подвеса объясняется не теорией К AM, а эффектом
размножения циклов и торов в окрестности сепаратрисного контура
невозмущенной системы и теорией ФШМ.
3.3. Динамический хаос в гамильтоновых системах
с двумя степенями свободы
Гамильтонова система с двумя степенями свободы является
четырехмерной автономной консервативной системой, все уравнения
которой могут быть выражены через функцию Н(х,у. z.r) всех четырех
переменных следующим образом :
х = ЭН/ду, у = -дН/дх, z = дН/дт, т = -dH/dz.
Легко показать, что в этом случае функция Н(х. у,г,г),
называемая гамильтонианом, сохраняет снос значение вдоль траекторий
системы, т.е. Н(х, у, г, г) = const. В современной литературе любую
возмущенную гамильтопову систему с двумя степенями свободы
принято представлять в виде системы с возмущенным гамильтонианом
H(x,y,z,r) = Ho(x.y,z,r) + eHi(x,y,z,r) и малым параметром
возмущения б, причем система с псиозмущенным гамильтонианом Но(х: у. г, г)
интегрируется в явном виде. Ее решениями являются траектории двух-
частотных движений по обмоткам двумерных торов. Тогда задача
анализа динамики решений возмущенной системы традиционно сводится
к выяснению вопроса о разрушении или неразрушении торов
невозмущенной системы в зависимости от величины приложенного
возмущения.
В настоящем разделе главы изложен совершенно иной,
бифуркационный подход к решению поставленной задачи анализа динамики
решений возмущенной гамильтоновой системы с двумя степенями
свободы, причем величина возмущения может быть произвольной. Как и
в случае систем с полутора степенями свободы, применяемый метод
анализа решений любой гамильтоновой системы с двумя степенями
свободы состоит в рассмотрении аппроксимирующей ее расширенной
двухпараметрической диссипативной системы уравнений, устойчивые
решения (аттракторы) которой являются сколь угодно точными
приближениями к решениям исходной гамильтоновой системы.
Аттракторы (устойчивые циклы и сингулярные аттракторы) расширенной
диссипативной системы ищутся численными методами с использованием

218 ГЛАВА 3. ХАОС В КОНСЕРВАТИВНЫХ СИСТЕМАХ
результатов универсальной теории ФШМ, При таком подходе гамиль-
тоновы системы с двумя степенями свободы также как и гамильтоно-
вы системы с полутора степенями свободы являются четырехмерными
автономными консервативными системами с одним заданным
условием связи на их переменные. Разница заключается только в том, что в
первом случае условие накладывается на все четыре переменные, а во
втором - только на две.
В настоящем параграфе рассмотрено несколько примеров
возмущенных гамильтоновых систем с двумя степенями свободы. Показано,
что в любой из рассмотренных систем точно так же, как и в любой
гамильтоиовой системе с полутора степенями свободы, все основные
двумерные торы являются либо торами вокруг нескольких основных
эллиптических циклов системы, не являющихся циклами
невозмущенной системы, либо торами вокруг циклов невозмущенной системы,
либо переходными торами. Переход к хаосу в любой такой системе
происходит не через разрушение некоторых торов невозмущенной системы,
а через каскады седло-узловых бифуркаций, приводящих к
нелокальному эффекту размножения циклов и торов в окрестностях сепаратрис
гиперболических периодических траекторий системы, и через каскады
бифуркаций рождения циклов и сингулярных траекторий в
расширенной нелинейной диссипативной системе при стремлении параметра
диссипации к нулю в соответствии с универсальной теорией ФШМ.
Родившиеся в расширенной диссипативной системе циклы,
устойчивые при всех отличных от нуля значениях величины диссипации,
переходят в эллиптические циклы гамильтоиовой системы при нулевой
диссипации, а их области устойчивости переходят в торы
гамильтоиовой системы вокруг этих циклов, касающиеся по гиперболическим
циклам. Наличие при этом в системе сложных гетероклинических се-
паратрисиых многообразий одновременно с тороидальными областями
вокруг эллиптических циклов приводит к одновременному
существованию в системе областей локальной устойчивости, а также
глобальной и локальной неустойчивости решений даже при достаточно малых
значениях величины возмущения.
3.3.1 Обобщенная гамильтонова система Матье
Небольшим изменением консервативной системы (3.8),
эквивалентной консервативному обобщенному уравнению Матье, сведем ее к
гамильтоиовой системе с двумя степенями свободы и покажем, что для
этой гамильтоиовой системы остаются справедливыми все результаты,
полученные выше для консервативной системы (3.8).
Добавим в четвертое уравнение системы (3.8) слагаемое —ж2/2 и
получим гамильтоиову систему с двумя степенями свободы
х = у, y=-(5+z)x-x3, z = r, r = -z~x2/2 (3.20)
и с гамильтонианом
Н(х, у, z, г) = (5х2 + у2 + z2 + г2)/2 + zx2/2 -f ж4/4 = е. (3.21)

3.3. ГАМИЛЬТОНОВЫ СИСТЕМЫ С ДВУМЯ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ 219
Расширенная диссипативная двухпараметрическая система в
данном случае может иметь вид
х = у:у = -(5 + z)x-x3 -{iy,z = r,r = -z~x2/2 + (е -Н(х,у,z,r))r.
(3.22)
Дивергенция правой части системы (3.22) на решениях системы (3.20)
равна — \i~г2 и, следовательно, отрицательна при всех \х > 0, а
расширенная диссипативная двухпараметрическая система уравнений (3.22)
удовлетворяет условиям 1) и 2) теоремы 3.1.
Проанализируем численно влияние величин параметров е и \х на
динамику системы (3.22) при фиксированном значении параметра 6 =
1. При малых е > 0 хаотическая динамика в гамильтоновой
системе (3.20) отсутствует, а топология системы как и в случае системы (3.8)
определяется основными торами системы, в число которых входят
торы вокруг основного эллиптического цикла А и пары торов вокруг
основных эллиптических циклов С\ и Сг, родившихся изначально
устойчивыми в диссипативной системе (3.22) при \х > 0; и переходными
торами Т, осуществляющими переход от торов вокруг основного цикла
системы А к парам торов вокруг основных циклов С± и С^ (рис. 3.18а,б
для в = 0.125). Важно отметить, что в случае консервативной
системы (3.8)-(3.9) ее основными циклами являются циклы С\, Съ и циклы
невозмущенной системы (z = г = 0), лежащие в плоскости (ж, у) при
е = 0. В случае же гамильтоновой системы (3.20)-(3.21) ее основными
циклами являются циклы С\, Сг и цикл Л, лежащий на
энергетической поверхности в окрестности плоскости (х,у) и при любом е > 0
не являющийся циклом певозму щепной системы. За невозмущенную
систему в данном случае принято считать систему с гамильтонианом
(3.21) за вычетом слагаемого zx2/2.
Рис. 3.18: Проекции сечений г = 0их = 0 системы (3.20) при xq = zq = 0
и: е = 0.125, 2/0=0.49, 0.39, 0.3813, 0.381, ±0.37, ±0.3, ±0.265 (а,б); £ = 0.5, уо
=0.97, 0.9, 0.75, 0.7301, ±0.7197, ±0.714, ±0.702, ±0.674, ±0.59, ±0.48 (в,г)
При е = 0.125 основной цикл А системы (3.20) может быть найден
приближенно ее интегрированием с начальными условиями xq = tq =

220 ГЛАВА 3. ХАОС В КОНСЕРВАТИВНЫХ СИСТЕМАХ
0, ]уо = 0.4945, а при е = 0.005 - с начальными условиями xq = r^ =
0)2/о = 0.099945. Торы системы (3.21) вокруг основных эллиптических
циклов С\ и Сч и переходные торы касаются по сепаратриспым
поверхностям гиперболического периодического решения х = у = 0. Таким
образом, как и в случае консервативной системы (3.8), торы,
существующие в гамильтоповой системе (3.20) при любом е > 0, не имеют
никакого отношения к классическим торам невозмущенной системы,
которые должны изображаться на рис. 3.186 горизонтальными
отрезками у = const. Следовательно, вопреки утверждениям теории КАМ,
торы возмущенной системы (3.20) не являются торами из числа торов
невозмущсшюй системы пи при каком е > 0, а усложнение
динамики возмущенной системы (3.20) при увеличении значений параметра е
не является следствием разрушения некоторых торов невозмущенной
системы.
При больших значениях параметра е ситуация заметно
усложняется. Теперь топология системы (3.20) определяется основными торами
системы ( т.е. торами вокруг основных циклов системы), переходными
торами и набором торов вокруг более сложных эллиптических циклов,
появившихся в окрестности сепаратрисной поверхности
гиперболического периодического решения х = у = 0 и вне этой окрестности в
результате нелокального эффекта размножения циклов и торов. Все
сложные эллиптические циклы рождаются изначально устойчивыми
в диссипативной системе (3.22) при уменьшении значений параметра
\х до нуля. Хаотическая динамика в системе пока отсутствует, хотя
движение по торам вокруг сложных циклов легко может быть
принято за хаотическое, если, например, наблюдать его в сечениях г = 0 и
х = 0, показанных на рис. 3.18в,г при е = 0.5. Псевдохаос, возникший
в окрестности сепаратрисной поверхности цикла х = у = 0, не
является гомоклииическим хаосом, а всего лишь следствием ошибок
вычислений из-за неустойчивости решаемой задачи. Эффект хаотичности
создают точки, лежащие в сечениях на поверхностях торов, обмотки
которых расположены, переплетаясь, вокруг различных сложных
эллиптических циклов, которые имеют тот же вид, что и сложные циклы
системы (3.8) (см. рис. 3.5,3.6).
При значении £ = 1 ситуация становится еще более сложной. Как
и в предыдущем случае, топология системы (3.20) определяется
торами вокруг основных циклов системы, переходными торами и набором
торов вокруг более сложных эллиптических циклов, родившихся
изначально устойчивыми в диссипативной системе (3.22) при
уменьшении значений параметра \х до нуля вследствие нелокального
эффекта размножения циклов и торов (рис. 3.19а,б). Вместе с тем фазовое
пространство системы (3.20) содержит на первый взгляд
значительную область хаотического движения. Однако, есть все основания
полагать, что хаос, изображенный на рис. 3.19а,б является псевдохаосом,
так как он не порожден каскадами бифуркаций устойчивых циклов
диссипативной системы, а является либо следствием ошибок вычисле-

3.3. ГАМИЛЬТОНОВЫ СИСТЕМЫ С ДВУМЯ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ 221
Рис. 3.19: Проекции сечений г = 0 и х = 0 системы (3.20) при s = 1, xq =
г0 = 0 и у0 =1.41, 1.24, 1.21, ±1.13, 1.11, 1.088, 1.01, ±0.875, ±0.7, ±0.52(а,б);
проекция сложного цикла системы (3.20) при е = 1 ,хо = го = 0, уо = 0.87(b)
ний траектории на поверхностях сложных многооборотных
переплетающихся торов, образованных областями устойчивости сложных
циклов (рис. 3.19в), либо порожден двумерными бесконечно
складчатыми гетероклиническими сепаратрисными многообразиями
сингулярных циклов диссипативной системы (3.22), не переходящими в торы
вокруг этих циклов при /i = 0.
При значении е = 4 гамильтонова система (3.20) несомненно
обладает хаотической динамикой, так как при уменьшении значений
параметра \х в диссипативной системе (3.22) циклы С\ и Сг претерпевают
субгармонический и гомоклинический каскады бифуркаций в полном
соответствии с теорией ФШМ, рождая бесконечное число регулярных
и сингулярных аттракторов в замыканиях своих сепаратрисыых
поверхностей. Затем происходит слияние двух лент (двумерных
гетероклинических бесконечно складчатых сепаратрисных многообразий)
сингулярных аттракторов, и рождаются новые симметричные
устойчивые циклы, с которыми также происходят субгармонические
каскады бифуркаций. Все циклы всех каскадов и сингулярные
аттракторы, становясь неустойчивыми, не исчезают, а переходят в решения
гамильтоиовой системы при /л = 0, а гармошки их гетероклинических
сепаратрисных многообразий, растягиваясь, заполняют фазовое
пространство гамильтоиовой системы. При /i ~ 0.05 рождается
симметричный устойчивый цикл Ел порождающий бифуркацией типа вилки
при /i и 0.03 два симметричных цикла Е\ и Е-}, которые остаются
устойчивыми в системе (3.22) при всех меньших значениях
параметра диссипации /i > 0 и порождают вокруг себя торы гамильтоиовой
системы (3.20) при \х — 0 (рис. 3.20а,б,в).
Таким образом, точно так же, как и в консервативной системе (3.8),
топология гамильтоиовой системы (3.20) при е = 4 определяется
торами вокруг основных циклов системы, торами вокруг циклов, родив-

222
ГЛАВА 3. ХАОС В КОНСЕРВАТИВНЫХ СИСТЕМАХ
Рис. 3.20: Проекции сечений г = 0 и х = 0 системы (3.20) при е = 4,
хо = Z[) = 0 и т/о = 2.8, 2.545, 2.54, ±1(zq — -1) (а,б); проекция цикла Е\
системы (3.20) при е = 4(в); проекция цикла учетверенного периода из каскада
Фейгенбаума в системе (3.22) при д = 0.192(г)
шихся и оставшихся устойчивыми в диссипативной системе (3.22) при
всех значениях параметра \х > 0, и областью хаотического движения,
содержащей гетероклииические сепаратрисные многообразия всех
гиперболических циклов, а также сингулярных циклов и
непериодических траекторий, родившихся изначально устойчивыми в
диссипативной системе (3.22) при \х > 0 и потерявшие устойчивость в результате
какого-либо субгармонического или гомоклинического каскада
бифуркаций в соответствии с теорией ФШМ.
Заметим, что в некоторых случаях при 5 Ф 1 в системе (3.20)
возможно движение по некоторым торам вокруг циклов одного из
осцилляторов невозмущенной системы. Поэтому может создастся
впечатление, что теория КАМ пс работает в рассмотренном случае 6 = 1 только
потому, что отношение частот при движении по торам невозмущенной
системы в окрестности начала координат равно единице, то есть
является рациональным числом. Но это не так. Нетрудно проверить, что
точно такая же ситуация (гиперболичность периодического решения
х = у = 0) имеет место даже при малых е = 0.01 и при S = 0.3, то
есть когда отношение частот иррационально. Вместе с тем при том же
е = 0.01 и при 8 = 4/9, то есть, когда отношение частот рационально
и равно 2/3, цикл х = у = 0 является эллиптическим в гамильтоно-
вой системе (3.20). В этом случае действительно можно говорить, но
только не о сохранении торов певозмущеннои системы в возмущенной
системе, а о движении траектории возмущенной системы по торам
вокруг циклов z = г = 0 невозмущенной системы. То есть, устойчивость
решений при переходе от невозмущенной системы к возмущенной в
некотором смысле будет сохраняться в проекции на плоскость (х,у).
Следовательно, основную и решающую роль в сохранении
устойчивости решений при переходе от невозмущенной системы к возму-

3.3. ГАМИЛЬТОНОВЫ СИСТЕМЫ С ДВУМЯ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ 223
щенной играет отсутствие гиперболичности периодического решения
х = у = 0. И это никак не связано с рациональностью или
иррациональностью отношения частот при движении по различным
осцилляторам невозмущенной системы. Это связано исключительно с
бифуркациями, которые могут происходить в трехпарамстрической
расширенной диссипативиой системе (3.22) при стремлении параметра
диссипации к нулю. При фиксированном параметре е можно построить
бифуркационную картину в зависимости от двух параметров (8, fi). В
пределе при у. —> 0 получим бифуркационную картину в гамильтоню-
вой системе (3.20) относителыю параметра 5.
Проделав указанную процедуру с расширенной диссипативиой
системой (3.22) при е = 0.01, найдем, что цикл х = у = 0 гамильто-
иовой системы (3.20) является эллиптическим циклом в интервалах
0.3181 < 8 < 0.9984 и 1.0083 < 8. При переходе 8 через значение
1.0083 вниз или через значение 0.9984 вверх в гамильтоновой
системе (3.20) происходит бифуркация типа вилки эллиптического цикла
х = у = 0 как предельный случай этой бифуркации в расширенной
диссипативиой системе при /х —► 0. При этом цикл х = у = 0
становится гиперболическим, а в его окрестности рождаются два основных
эллиптических цикла С\ и Сг, неоднократно упоминавшиеся ранее.
Образовавшиеся торы вокруг этих циклов касаются по
гиперболическому циклу х = у - 0. При переходе 8 через значение 0.3181 вниз в
гамильтоновой системе (3.20) происходит бифуркация удвоения
периода эллиптического цикла х = у = 0. При этом сам цикл х = у = 0
становится гиперболическим, а в его окрестности рождается
эллиптический цикл удвоенного периода, тор вокруг которого касается сам
себя по гиперболическому циклу х = у = 0. Все эти бифуркационные
процессы, естественно, зависят от соотношения параметров 8 и е, но
не зависят от соотношения частот при движении по торам певозму-
щенной системы.
Рассмотрим случай 8 = 0.5. при котором цикл х = у = 0
гамильтоновой системы (3.20) является эллиптическим циклом при достаточно
малых е = 0.01. В этом случае при росте значений параметра е в его
окрестности не происходит развития хаотической динамики. Однако,
вне его окрестности в результате седло- узловой бифуркации
рождаются эллиптический и гиперболический циклы периода четыре, хорошо
наблюдаемые при е = 0.1. При этом тор вокруг эллиптического цикла
периода четыре касается сам себя по гиперболическому циклу и
касается тора вокруг эллиптического цикла х = у = 0 по сепаратрисной
поверхности гиперболического цикла.
При дальнейшем росте значений параметра е происходит развитие
и усложнение хаотической динамики в системе (3.20) через
размножение циклов и торов в окрестности сепаратрисы гиперболического
цикла. Затем при е % 0.185 происходит бифуркация удвоения периода
эллиптического цикла х = у = 0, дающая начало различным
каскадам бифуркаций удвоения периода и субгармоническим каскадам

224 ГЛАВА 3. ХАОС В КОНСЕРВАТИВНЫХ СИСТЕМАХ
Рис. 3.21: Проекции на плоскость (ж, у) сечения Пуанкаре г = 0 и z > О
диссипативной системы (3.22) при 6 = 0.5, е = 1 и \i — 0.029(a), \i = 0.01(6)
бифуркаций, порождая бесконечно складчатые гетероклинические се-
паратрисные многообразия как в расширенной диссипативной системе
(3.22), так и в близкой к ней гамильтоновой системе (3.20). Развитие
и усложнение гетероклинического сепаратрисного зигзага в
диссипативной расширенной системе (3.22) при е — 1, сопровождающееся
растяжением его гармошки на фазовое пространство гамильтоновой
системы (3.20) представлено на рис. 3.21.
3.3.2. Система уравнений Хенона-Хейлеса.
Применим развитый выше подход к анализу решений классической
гамильтоновой системы уравнений Хенона-Хейлеса, часто
используемой в современной литературе по гамильтоновой механике в качестве
примера, якобы подтверждающего справедливость теории К AM [48].
Система уравнений Хенона-Хейлеса имеет вид
х = у, у = — х — 2xz, z = г, г = — z — х2 + z2 (3.23)
с гамильтонианом
Я(ж, у, z, т) = (х2 + y2 + z2 + г2)/2 + x2z - z3/3 = е. (3.24)
Гамильтониан (3.23) принято представлять в виде суммы
невозмущенной части и возмущения, состоящего из слагаемого x2z. При этом
переход к хаотической динамике в системе (3.23) при росте значений
параметра е принято объяснять в соответствии с теорией К AM
разрушением торов невозмущенной системы [48].
Чтобы понять, что на самом деле происходит в системе Хенона-
Хейлеса при росте значений параметра е, построим для нее
расширенную двухпараметрическую диссипативную систему уравнений
ё = 2/. У = -{\^-2z)xJr(e-H{x,y,z,r))yi г = г, г = -z-x2+z2~ixr.
(3.25)

3.3. ГАМИЛЬТОНОВЫ СИСТЕМЫ С ДВУМЯ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ 225
Нетрудно видеть, что система (3.25) удовлетворяет условиям 1) и 2)
теоремы 3.1, так как дивергенция ее правой части на решениях
системы (3.23) равна —/i — у* и, следовательно, отрицательна при всех
/1>0.
Рассмотрим переход от решений диссипативной системы (3.25) к
решениям гамильтоновой системы (3.23) при фиксированных
значениях параметра е> используя непрерывную зависимость решений
диссипативной системы (3.25) от параметра /i при стремлении \х к нулю.
Значения параметра е, как и в классическом случае, будем брать
равными 1/24, 1/12, 1/8 и 1/6 [48].
При малых значениях е = 1/24 и при достаточно больших
значениях параметра ji « 0.02 в системе (3.25) существуют две пары
симметричных друг другу устойчивых циклов В\, Вч, и Ci, C2, остающихся
устойчивыми при всех значениях параметра /i > 0. Эти циклы
порождают вокруг себя торы гамильтоновой системы при \х = 0. Это совсем
не видно в проекции на плоскость (г, г) сечения х = 0 (рис. 3.22а),
представленной в многочисленной современной литературе по гамиль-
тоновым системам (см.[48], с.67), но зато отчетливо видно в проекции
(ж, г) сечения у = 0 (рис. 3.226). В проекции последнего сечения
замкнутые кривые, принадлежащие обмоткам торов вокруг
эллиптических циклов С\ и С*2, лежат по диагоналям, а замкнутые кривые,
принадлежащие обмоткам торов вокруг эллиптических циклов Si, £3,
пересекают ось г = 0. Кроме того, плоскость х == у — 0 является
двумерным устойчивым многообразием начала координат в диссипативной
системе (3.25) при всех /i > 0, что порождает в этой плоскости
вырожденный цикл гамильтоновой системы (3.23) при /i = 0. Этим циклом
является внешняя замкнутая кривая в координатах (г, г) на рис. 3.22а
или вертикальный отрезок в координатах (я, г) на рис. 3.226.
Двумерное неустойчивое многообразие начала координат в диссипативной
системе (3.25) переходит в набор торов гамильтоновой системы (3.23)
при \i = 0, прилегающих к вырожденному циклу (х = у — 0) системы
(рис. 3.226), но не являющихся торами вокруг этого цикла!
Хаотическая динамика в гамильтоновой системе (3.23) при е = 1/24
отсутствует, а топология системы определяется основными торами, в
число которых входят пары торов вокруг основных эллиптических
циклов системы В\^ B<i и Ci, C2, родившихся изначально в
диссипативной системе (3.25), и торами Т, прилегающими к вырожденному
циклу (х = у = 0) системы и осуществляющими переход от этого
цикла к парам торов вокруг основных циклов j5i, Д2 и Ci, Сч* Касание
всех торов системы (3.23) происходит по сепаратрисным поверхностям
гиперболического периодического решения. Заметим, что из проекции
сечения у = 0 на плоскость (ж, г) (рис. 3.226) наглядно видно, что все
торы, существующие в гамильтоновой системе Хенона-Хсйлеса (3.23)
при е > 0, как и во всех других рассмотренных выше случаях, не
имеют никакого отношения к решениям невозмущениой системы, которые
в данном случае даже торами не являются.

226 ГЛАВА 3. ХАОС В КОНСЕРВАТИВНЫХ СИСТЕМАХ
Рис. 3.22: Проекции сечений х = 0 и у = 0 системы (3.23) при хо = О,
s = 1/24 и: z0 = 0, г0 = 0.28867, 0.288, ±0.283061, ±0.282, ±0.25, ±0.185,
±0.155; го = 0,*0 = 0.1,0.16(а,б); х0 = 0, е = 1/12 и: z0 = 0,г0 =0.408, 0.4,
0.3987, 0.395 (здесь и далее ±т/0), 0.36, 0.273, 0.25, 0.22, 0.21; г0 = 0, z0 =
0.1,0.16,0.24 (в,г)
Рис. 3.23: Проекции основных циклов системы (3.23) при е = 1/12: J3i,
Б2 при хо = zq = 0, го = 0.204(a); Ci, Сг при хо = го = 0, 2о = 0.255(6);
проекции одного из сложных циклов при хо = го = 0, zo = —0.066(в,г)
При значении е = 1/12 ситуация заметно усложняется. Теперь
топология системы (3.23) определяется основными торами (т.е. парами
торов вокруг основных эллиптических циклов системы В\, В^, и Ci,
С2), торами Т, прилегающими к вырожденному циклу (х = у = 0)
системы и набором торов вокруг более сложных эллиптических циклов,
появившихся в окрестности сепаратрисной поверхности
гиперболического периодического решения и вне этой окрестности в результате
нелокального эффекта размножения циклов и торов. Все сложные
эллиптические циклы рождаются изначально устойчивыми в диссипа-
тивной системе (3.25) при уменьшении значений параметра fi до нуля.
Хаотическая динамика в системе пока отсутствует, хотя движение по
торам вокруг сложных циклов, образовавшихся в окрестностях каса-

3.3. ГАМИЛЬТОНОВЫ СИСТЕМЫ С ДВУМЯ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ 227
ния основных торов, опять же легко может быть принято за
хаотическое, если наблюдать его в сечениях, представленных на рис. 3.22»,г.
Заметим, что рис. 3.22,в отличается от аналогичного рисунка,
приведенного в работе [48], наличием обнаруженных предложенным
методом сложных эллиптических циклов и лежащих вокруг них тором по
только в окрестностях касания основных торов. Проекции основных
циклов В\, i?2> С\, С2 и нескольких сложных циклов, существующих
в системе (3.23) при е = 1/12, представлены на рис. 3.23 и рис. 3.24а.
Рис. 3.24: Проекция сложного цикла системы (3.23) при е ~ 1/12, xq = О,
zo=-0.0074, го =0.1234(a); проекции сечений х — 0 и у — 0 системы (3.23) при
е = 1/8 и: го = 0,г0 = 0.673648, 0.665, 0.608,0.591 (здесь и далее ±у0), 0.58,
0.463, 0.4, 0.33, 0.04903, -0.4348, -0.4342; z0 = 0,r0=0.26, 0.28 и г0 =0.294, z0=
0.095, 0.099, 0.12(6,в); проекция сложного цикла системы (3.23) при е — 1/8,
х0 = го = 0, го = -0.0131 (г)
При значении е = 1/8 ситуация становится еще более сложной.
Как и в предыдущем случае, топология системы (3.23)
определяется парами торов вокруг основных эллиптических циклов системы В\,
Во, и Ci, C2, торами Т, прилегающими к вырожденному циклу (х =
у = 0) системы и набором торов вокруг более сложных эллиптических
циклов, родившихся изначально устойчивыми в диссипативной
системе (3.25) при уменьшении значений параметра /i до нуля (рис. 3.246,в).
Некоторые из найденных в гамильтоновой системе сложных циклов
представлены на рис. 3.24г и рис. 3.25. Вместе с тем фазовое
пространство системы (3.23) содержит на первый взгляд значительную область
хаотического движения. Однако, есть все основания полагать, что
хаос, изображенный на рис. 3.246,в, является псевдохаосом, так как он не
порожден каскадами бифуркаций устойчивых циклов диссипативной
системы, а является, как и во всех предыдущих рассмотренных
системах, либо следствием ошибок вычислений траектории на поверхностях
сложных многооборотных переплетающихся торов, образованных
областями устойчивости сложных циклов, либо порожден гетсроклини-
ческими сепаратрисными многообразиями сложных гиперболических

228 ГЛАВА 3. ХАОС В КОНСЕРВАТИВНЫХ СИСТЕМАХ
Рис. 3.25: Проекции сложных циклов системы (3.23) при е = 1/8, хо = 0 и
г0 = 0,г0 = -0.42305(уо < 0)(а); г0 = 0,г0 = -0.4338(6); r0=0.294,z0 =0.13(в);
г0 = 0,г0 = 0.0515(г)
циклов диссипативной системы (3.25), не переходящих в торы вокруг
этих циклов при /i = 0.
При максимальном значении параметра е = 1/6 удалось
обнаружить еще несколько бифуркаций, принимающих участие в
усложнении динамики гамильтоновой системы (3.23). Это бифуркации
рождения циклов удвоенного периода из основных эллиптических циклов
Bi, i?2 и Ci, Сг при изменении параметра е от 1/8 до 1/6. При этом
циклы удвоенного периода основных циклов С\ и Сч остаются
устойчивыми в диссипативной системе (3.25) при е = 1/6 и \х > 0, порождая
вокруг себя торы гамильтоновой системы при fj, = 0 (рис. 3.26а,б).
Рис. 3.26: Проекции сечений х = 0 и у = 0 системы (3.23) при е — 1/6,
хо = го = 0, zo =0.02, 0.04, 0.09 (±уо)(а,б); проекции сложных циклов
системы (3.23) при е = 1/6, хо = го = 0 и z0 =0Л1(в), z0 =0.021(у0 < 0)(г)
Таким образом, при е = 1/6 топология гамильтоновой системы (3.23)
определяется парами торов вокруг основных эллиптических циклов С\
и Сч удвоенного периода, набором торов вокруг более сложных эллип-

3.3. ГАМИЛЬТОНОВЫ СИСТЕМЫ С ДВУМЯ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ 229
тических циклов, родившихся изначально устойчивыми в диссипатив-
ной системе (3.25) при уменьшении значений параметра \х до нуля и
областью нерегулярной динамики (рис. 3.26а,б). Вопрос о том,
является ли последняя область областью хаотического поведения системы
Хенона-Хейлеса, остается открытым, так как пока не удалось
обнаружить бесконечных каскадов бифуркаций каких-либо циклов,
ведущих к возникновению сингулярных аттракторов и гетероклинических
сепаратрисных зигзагов. Численные результаты, представленные па
рис. 3.26а,б, являются, скорее всего, следствием ошибок вычислений
траектории на поверхностях сложных многооборотных
переплетающихся торов, образованных областями устойчивости сложных циклов
и родившихся в результате эффекта размножения циклов и торов.
3.3.3. Система уравнений Янга-Миллса-Хиггса
Анализ хаотической динамики классических неабелевых
калибровочных полей Янга-Миллса считается чрезвычайно важным с точки
зрения решения знаменитой проблемы конфайнмента (невылетания
цветных объектов) в квантовой хромодинамике (КХД), что, в свою
очередь, играет ключевую роль в построении Стандартной модели
физики элементарных частиц [79,142]. Неслучайно, в связи с этим,
проблема решения уравнений Янга-Миллса входит в настоящее время в
число семи математических проблем тысячелетия, сформулированных
Институтом математики Клэя [127]. Система уравнений Янга-Миллса
чрезвычайно сложна, так как представляет собой в общем случае
систему из восемнадцати нелинейных уравнений с частными
производными. Рассмотрение однородных, зависящих только от времени полей
Янга-Миллса приводит к гамильтоновой системе уравнений с девятью
степенями свободы, анализ решений которой также является
чрезвычайно сложной задачей.
В настоящем разделе главы рассмотрен переход к хаосу в
наиболее простом случае гамильтоновой системы однородных полей Янга-
Миллса с двумя степенями свободы в присутствии механизма Хиггса,
обладающей, тем не менее, всеми характерными чертами и
особенностями, присущими консервативным и гамильтоновым хаотическим
системам нелинейных дифференциальных уравнений, рассмотренным в
предыдущих разделах главы. Показано, что, как и во всех
рассмотренных ранее случаях, структура решений гамильтоновой системы
уравнений Янга-Миллса-Хиггса полностью определяется каскадами
бифуркаций циклов расширенной диссипативной системы при
стремлении параметра диссипации к нулю. Рождающиеся в результате
каскадов бифуркаций устойчивые циклы диссипативной системы
переходят в эллиптические циклы гамильтоновой системы, а их области
устойчивости - в торы вокруг этих эллиптических циклов. Касание
образовавшихся торов консервативной системы происходит по
гиперболическим циклам, в которые переходят соответствующие
неустойчивые циклы расширенной диссипативной системы, рождающиеся в ней

230 ГЛАВА 3. ХАОС В КОНСЕРВАТИВНЫХ СИСТЕМАХ
либо вместе с устойчивыми циклами в результате седло-узловой
бифуркации, либо при потере устойчивости цикла в результате
бифуркации типа вилки или бифуркации удвоения периода. В окрестностях се-
паратрисных поверхностей гиперболических циклов происходит
образование новых более сложных гиперболических и эллиптических
циклов в соответствии с нелокальным эффектом размножения циклов и
торов в консервативной системе. Показано, что именно последний
эффект играет ключевую роль в системе уравнений Янга-Миллса-Хиггса
на начальной стадии перехода от регулярного движения к
хаотическому.
Пространственно однородные поля Янга-Миллса с двумя
степенями свободы в безразмерных переменных описываются гамильтоновой
системой обыкновенных дифференциальных уравнений
х + xz2 = 0, z + zx2 = 0 (3.26)
с гамильтонианом
Н = (х2 + i2)/2 + x2z2/2. (3.27)
Как уже отмечено в [79], система (3.26) совершает периодические
колебания вдоль осей симметрии х = ±z по закону эллиптического
косинуса. Это решение системы (3.26) является крайне неустойчивым,
но может быть найдено аналитически. В [79] утверждается о наличии
в системе (3.26) других крайне неустойчивых периодических
решений, найденных, правда, исключительно численными методами. Более
того, проведенные на ЭВМ численные расчеты (см. в [79]) показали
полную хаотичность поведения решений системы (3.26), о чем
свидетельствует плотное заполнение некоторой области в плоскости (z, z)
проекциями точек пересечения практически произвольной траектории
системы (3.26) с плоскостью Пуанкаре х = 0, у > 0.
Для выяснения природы динамического хаоса в системе уравнений
Янга-Миллса (3.26), рассмотрим ее обобщение, учитывающее
взаимодействие калибровочного поля с так называемым Хиггсовским
вакуумом [79]. Гамильтониан такого взаимодействия имеет вид
Я = {х2 + £2)/2 + x2z2/2 + v(x2 + г2)/2, (3.28)
а соответствующая ему система уравнений движения имеет вид
х + х{у + z2) = 0, z + z{y + х2) = 0. (3.29)
Ясно, что при фиксированных значениях полной энергии системы
уравнений Янга-Миллса-Хиггса (3.29) и малых значениях и ее решения
должны вести себя хаотически аналогично решениям системы
уравнений Янга-Миллса (3.26). Однако, при достаточно больших значениях
и решения системы (3.29) должны вести себя регулярно, так как в этом

3.3. ГАМИЛЬТОНОВЫ СИСТЕМЫ С ДВУМЯ СТЕПЕНЯМИ С1Ю1ЮДЫ 231
случае влияние члена х2у2/2 в гамильтониане (3.28) может быть
сделано сколь угодно малым. Всюду в дальнейших исследованиях будем
считать Н = 1.
Перейдем к четырехмерному фазовому пространству системы (3.29)
с координатами х. у = я, z, г = z:
х = У* y=—x(v + z2), z = r, f = -z(u + x2). (3.30)
Нетрудно видеть, что система (3.30) имеет четыре основных набора
периодических решений, которым соответствуют в фазовом
пространстве четыре основных замкнутых траектории (цикла):
Сх : z = г = 0, у2 + их2 = 2; Cz : х = у = 0, г2 + иг2 = 2;
С* : z = ±х,у2 + их2+хА/2 = 1.
Циклу Сх соответствует периодическое решение х(t) = y/2/usm(y/ut-\-
tp). Аналогичное периодическое решение z(t) = y/2/vsm(y/vt+tp)
соответствует циклу Cz. Найдем аналитические выражения для
периодических решений, соответствующих циклам С^г = ±ж, решив систему
уравнений
х — у, у = -х(и + х2) (3.31)
с начальными условиями х(0) = 0.я(0) = 1. Система (3.31)
эквивалентна уравнению второго порядка
х 4- их + х3 = 0,
решая которое, получаем
л 5 П" Г du t
± = у/1-их2 -х4/2, / ■ = = -=.
Jo y/2 - 2ии2 - и4 у/2
Представляя интеграл в последнем выражении в виде
Г* da _ 1 Г/2 (19
Jo у/(и2 + а2)(Ъ2 - и2) ~~ V^T¥ J* y/l-k2sm2e''
где а2 = у/и2 + 2 + и, b2 = \/u2 +2 - и, к = b/y/a2 + b2, cos (p = х/Ь,
получим окончательно
я:(0 = Ъсп{К(к) - y/(a2 + b2)/2t), $.32)
где сп()- эллиптический косинус Якоби, а К(к)- полный
эллиптический интеграл первого рода. Нетрудно видеть, что выражение (3.32)
при I/ —► со стремится к x(t) = cos(7r/2 — y/vt)/>Jv = sm{y/ut)/\/v. В
другом предельном случае при и —- 0 получим периодические решения.

232 ГЛАВА 3. ХАОС В КОНСЕРВАТИВНЫХ СИСТЕМАХ
задающие циклы С* системы уравнений Янга-Миллса (3.26) в виде:
x(t) = (2)^4сп(К{1/уД) - (2)1'Ч\ z = ±х.
Для численного исследования сценария перехода к хаосу в системе
уравнений Яига-Миллса-Хиггса (3.30) при и —► 0 применим подход,
предложенный и развитый автором в разделе 3.1 настоящей главы.
Будем аппроксимировать эллиптические циклы гамильтоповой
системы (3.30) устойчивыми циклами расширенной диссипативной
системы, а двумерные торы вокруг эллиптических циклов системы (3.30)
- областями устойчивости соответствующих устойчивых циклов
расширенной диссипативной системы. В качестве одной из возможных
расширенных диссипативпых систем рассмотрим систему
* = ЗА У= -x{y+z2)-yiy, z = г+(1-Я(ж, у, z, r))z, r = -z(v+x2),
(3.33)
где гамильтониан Н задастся выражением (3.28) с заменой в нем х =
Итак, рассмотрим гамильтоиову систему (3.30) при трех
различных фиксированных значениях параметра и = 2,1,0.55. При больших
значениях параметра v = 2 топология гамильтоповой системы (3.30)
определяется основными торами вокруг четырех основных
эллиптических циклов системы Сх, Cz и С± (рис. 3.27а). Нетрудно численно
убедиться в том, что в расширенной диссипативной системе (3.33) при
всех малых значениях величины параметра диссипации \i > 0 имеются
три устойчивые цикла, переходящие в эллиптические циклы Cz и С*
гамильтоновой системы (3.30) при /i = 0 и один неустойчивый цикл,
переходящий также в эллиптический цикл Сх гамильтоновой системы
(3.30) при /2 = 0. Области устойчивости (и неустойчивости) этих
циклов переходят в двумерные торы гамильтоновой системы (3.30) вокруг
ее эллиптических циклов, а касание образовавшихся торов
происходит по двум гиперболическим циклам D^, которые являются
пределами неустойчивых седловых циклов расширенной диссипативной
системы при \х —* 0, родившихся в диссипативной системе одновременно
с устойчивыми циклами С* в результате седло-узловой бифуркации
при \i « 0.08. Циклам D^ гамильтоновой системы (3.30) соответствуют
начальные условия у(0) = z(0) — 0,ж(0) и ±0.6864269. Аналитические
выражения для циклов D^ получить пока не удалось.
На рис. 3.27а представлены проекции на плоскость (ж, у) сечений
плоскостью z = 0 двумерных торов гамильтоновой системы (3.30)
вокруг ее четырех основных эллиптических циклов Сх, Cz и С . Циклу
Cz соответствует в проекции точка (0,0), циклу Сх - внешний
контур рисунка, циклам С* - две эллиптические точки, лежащие на оси
у, причем каждой из двух точек в проекции соответствуют две
точки пересечения плоскостью z = 0 двух циклов С±. Гиперболическим
циклам D± соответствуют на рис. 3.27а лежащие на оси х две точки
пересечения сепаратрис (проекций сечений сепаратрисных
поверхностей, по которым происходит касание различных двумерных торов).

3.3. ГАМИЛЬТОНОВЫ СИСТЕМЫ С ДВУМЯ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ 233
Рис. 3.27: Проекции сечения плоскостью z = 0 двумерных торов
системы (3.30): вокруг ее основных эллиптических циклов при v = 2, хо = zo = 0 и
уо = 1.4142,1.35,1.33795,1.33,1.3,1.2,1.1,1.02,0.4,0.2,0.03(a); вокруг
основных и более сложных эллиптических циклов при i/ = 1, х0 = ^о = 0 и
т/о = 1.4142, 1.37, 1.3524, 1.335, 1.318, 1.31, 1.305, 1.25, 1.2, 1.02, 0.5499, 0.5384,
0.52, 0.508, 0.4, 0.2, 0.03 (б). Проекция одного из сложных эллиптических
циклов системы (3.30) при v = 1, xq = zq = 0, т/о = 0.53872(b)
Причем каждой из двух точек в проекции соответствуют две точки
пересечения плоскостью z = 0 двух циклов D±. Заметим, что циклы
С^, определяющие, в основном, динамику системы (3.30), существуют
в ней и являются отличными от циклов Сх, Cz при любых и > 0.
Поэтому проведенный выше анализ динамики решений системы (3.30) при
достаточно больших значениях параметра и не может быть
осуществлен методами теории возмущений, исходя из решений невозмущенной
системы, получающейся из (3.30) отбрасыванием кубических членов.
При значении параметра возмущения и = 1 ситуация заметно
усложняется. Теперь топология системы (3.30) определяется основными
торами системы (т.е. торами вокруг четырех основных эллиптических
циклов Сх, Cz и С^) и набором торов вокруг более сложных
эллиптических циклов, родившихся изначально устойчивыми в диссипатив-
ной системе (3.33) при уменьшении значений параметра \i до нуля в
результате седло-узловых бифуркаций. Причем, вследствие
нелокального эффекта размножения циклов и торов, более сложные
многооборотные циклы и торы рождаются в окрестностях сепаратрисных
поверхностей гиперболических циклов D±) а менее сложные - вне этих
окрестностей. Движение траектории по поверхностям таких сложных
многооборотных торов, расположенных в окрестностях сепаратрисных
поверхностей гиперболических циклов, создает иллюзию
хаотического движения, хорошо наблюдаемого в различных сечениях системы
(рис. 3.276). Касание различных витков сложных торов происходит по
гиперболическим циклам, родившимся в диссипативной системе
совместно с устойчивыми циклами в результате седло-узловых бифур-

234 ГЛАВА 3. ХАОС В КОНСЕРВАТИВНЫХ СИСТЕМАХ
каций. Так как в окрестностях сепаратрисных поверхностей
гиперболических циклов системы расположены, переплетаясь и касаясь друг
друга, различные системы многооборотных сложных торов
(внутренние по отношению к сепаратрисному контуру, внешние и смешанные),
то глобальная устойчивость решений системы (3.30) сохраняться не
может. Проекция одного из сложных эллиптических циклов гамиль-
тоиовой системы (3.30), порождающего сложный многооборотный тор
системы и обнаруженного предложенным методом, представлена на
рис. 3.27в.
Таким образом, динамический хаос в окрестностях сепаратрисных
поверхностей гиперболических циклов D* системы (3.30)
определяется прыжками траектории в результате ошибок вычислений по
поверхностям сложных многооборотиых двумерных торов вокруг
эллиптических циклов системы. Касание торов происходит по гиперболическим
циклам. Кроме того, так как в окрестностях гиперболических циклов
движение траектории замедляется, то это ведет к образованию в этих
окрестностях новых еще более сложных эллиптических и
гиперболических циклов и соответствующих им двумерных торов. Следовательно,
на начальном этапе перехода к хаосу рост области хаотического
движения в системе (3.30) при уменьшении значений параметра и
объясняется, как и в других гамильтоновых и консервативных системах,
нелокальным эффектом размножения гиперболических и эллиптических
циклов, а также торов вокруг эллиптических циклов. Более простые
циклы рождаются достаточно далеко от сепаратрисных поверхностей
гиперболических периодических решений, а более сложные - вблизи
этих поверхностей.
Вместе с тем пример системы (3.30) показывает, что
гиперболические и эллиптические циклы гамильтоновой или консервативной
системы могут являться предельным случаем устойчивых и седловых
циклов расширенной диссипативиой системы, родившихся не только
в результате седло-узловых бифуркаций, но также и в результате
бифуркации типа вилки. Так при и и 0.594 в диссипативиой
расширенной системе (3.33) при \i —> 0 устойчивый цикл Cz теряет
устойчивость в результате бифуркации типа вилки, становясь седловым, а
в его окрестности рождаются два устойчивых цикла Cf,
переходящие в эллиптические циклы гамильтоновой системы (3.30) при \х = 0.
Возникающие вокруг этих двух эллиптических циклов торы касаются
по ставшему гиперболическим циклу Cz. To же самое происходит с
циклом Сх при v w 0.594 в модифицированной расширенной
диссипативиой системе со слагаемым (1 - H(x)y:zyr))x в первом уравнении
и вычитаемым — fir - в четвертом. Он также теряет устойчивость при
\i —+ 0 в результате бифуркации типа вилки, становясь седловым, а в
его окрестности рождаются два устойчивых цикла С!*:, переходящие
в эллиптические циклы гамильтоновой системы (3.30) при fi = 0.
Возникающие вокруг этих двух эллиптических циклов торы касаются по
ставшему гиперболическим циклу Сх,

3.3. ГАМИЛЬТОНОВЫ СИСТЕМЫ С ДВУМЯ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ 235
Рис. 3.28: Проекция сечения плоскостью z = 0 двумерных торов
системы (3.30) вокруг ее основных и сложных эллиптических циклов при и = 0.55,
х0 = г0 = 0 и т/о = 1.41421, 1.41, 1.3503, 1.349, ±1.3396, 1.32, 1.14, 1.09, 1.04,
1.02, 0.42, 0.395, 0.3665, ±0.35, ±0.3 (а). Проекции двух сложных
эллиптических циклов системы (3.30) при v = 0.55, хо = го = 0, т/о = 0.8205(6) и
т/о = 0.4235(b)
Все это хорошо видно на рис.3.28а при v = 0.55. При этом
значении параметра и родившиеся в результате бифуркации типа вилки в
расширенных диссипатинмых системах при /л « 0.224 эллиптические
циклы Cf и С* гамильтоиопой системы (З.ЗО) расположены
достаточно далеко от породишиих их гиперболических циклов Cz и Сх. На
рис.3.28а представлены проекции на плоскость (ж, у) сечений
плоскостью z = 0 двумерных торов гамильтоновой системы (З.ЗО) вокруг ее
шести основных эллиптических циклов С*, С* и С±.
Гиперболическому циклу Cz соответствует п проекции точка (0,0), гиперболическому
циклу Сх - внешний контур рисунка, эллиптическим циклам С* -
две эллиптические точки, лежащие на оси у, причем каждой из двух
точек в проекции соответствуют две точки пересечения плоскостью
z = 0 двух циклов С*. Эллиптическим циклам Cf1 соответствуют
лежащие на оси у в окрестности нуля две эллиптические точки, а
эллиптическим циклам С* соответствуют лежащие на оси х в окрестностях
внешнего контура две эллиптические точки. При этом каждой из
последних четырех эллиптических точек в проекции на плоскость (ж, у)
соответствуют две точки пересечения плоскостью z — 0 каждого из
четырех эллиптических циклов С^, С^, а каждому замкнутому контуру
вокруг каждой эллиптической точки соответствуют два контура в
сечении двумерного тора вокруг соответствующего эллиптического
цикла плоскостью z = 0. Чтобы наглядно увидеть это, достаточно взять
проекцию сечения тора плоскостью, отличной от плоскости z = 0,
например z = 0.2. Гиперболические циклы уже совсем скрыты на
рис. 3.28а хаотической динамикой, порожденной в их окрестностях
эффектом размножения гиперболических и эллиптических циклов и

236 ГЛАВА 3. ХАОС В КОНСЕРВАТИВНЫХ СИСТЕМАХ
торов вокруг эллиптических циклов. Этот же эффект, как видно из
рис. 3.28а, в полной мере уже работает и в окрестностях ставших
гиперболическими циклов Cz и Сх. Проекции двух сложных
эллиптических циклов гамильтоновой системы (3.30) при v = 0.55, лежащих
в хаотической области и в окрестности гиперболического цикла Cz,
представлены на рис. 3.286 и рис. 3.28в соответственно.
Как показывают многочисленные примеры гамильтоновых и
просто консервативных систем, рассмотренные в настоящей главе,
дальнейшее усложнение динамики решений системы (3.30) при
уменьшении значений параметра v должно происходить не только посредством
размножения эллиптических и гиперболических циклов и торов, но
также и посредством каскада бифуркаций удвоения периода циклов
и субгармонического каскада бифуркаций. И такие каскады
бифуркаций обнаружены и в гамильтоновой системе (3.30), и в ее расширенной
диссипативиой системе (3.33). Впервые это сделано в работе [179]. В
работе [97] осуществлена стабилизация неустойчивых циклов системы
(3.30) модифицированным методом Магницкого [59]. Начальные
циклы каскада бифуркаций удвоения периода цикла С+, представлены на
рис. 3.29.
Рис. 3.29: Проекции циклов гамильтоновой системы (3.30) на плоскость
(х,у): исходного цикла С+ при v — 0.73(a), цикла удвоенного периода при
v — 0.6(6) и учетверенного периода при v = 0.534(b)
Таким образом, в гамильтоновой системе однородных полей Янга-
Миллса-Хиггса с двумя степенями свободы при уменьшении значений
параметра v происходит переход от регулярного движения к
хаотическому. При этом, как и во всех других гамильтоновых и
консервативных системах уравнений, на начальной стадии этого перехода
ключевую роль играет нелокальный эффект размножения
гиперболических и эллиптических циклов и торов вокруг эллиптических циклов
в окрестностях сепаратрисных поверхностей гиперболических циклов.
Новые эллиптические и гиперболические циклы системы
рождаются устойчивыми и седловыми в расширенной диссипативиой системе

3.4. СЛОЖНЫЕ ГАМИЛЬТОНОВЫ И КОНСЕРВАТИВНЫЕ СИСТЕМЫ 237
уравнений не только в результате седло-узловой бифуркации, но также»
и в результате бифуркации типа вилки. При дальнейшем уменьшении
значений параметра v происходит развитие и усложнение хаотической
динамики в системе через рождение бесконечно складчатых гетеро-
клинических сепаратрисных многообразий, натянутых на сепаратрие-
ные деревья Фейгенбаума, как в расширенной диссипативной
системе (3.33), так и в близкой к ней гамильтоновой системе (3.30).
Гармошки соответствующих гетероклинических сепаратрисных зигзагом
заполняют все фазовое пространство системы, однако ограниченная
точность численных методов не позволяет проследить этот процесс до
значения v = 0, соответствующего исходной системе уравнений Янга-
Миллса (3.26). В связи с этим остается открытым вопрос,
существуют ли в системе уравнений Янга-Миллса (3.26) эллиптические
циклы, или же все решения являются либо гиперболическими циклами,
либо неустойчивыми сингулярными непериодическими траекториями
(бывшими сингулярными аттракторами расширенной диссипативной
системы (3.33) при некоторых значениях параметров и > 0 и \х > 0).
3.4. Динамический хаос в сложных гамильтоновых
и консервативных системах
В настоящем разделе рассмотрены сложные консервативные
системы, не являющиеся гамильтоиовыми системами с полутора или
двумя степенями свободы. К ним относятся консервативная трехмерная
система, гамильтонова система с тремя степенями свободы и так
называемая гамильтонова система с двумя с половиной степенями
свободы. Показано, что в любой из рассмотренных систем, как и во всех
рассмотренных ранее гамильтоновых и консервативных системах, все
основные двумерные и трехмерные торы являются либо торами вокруг
нескольких основных эллиптических циклов системы, не являющихся
циклами невозмущенной системы, либо торами вокруг циклов
невозмущенной системы, либо переходными торами. В основе усложнения
динамики любой такой системы с ростом значений величины
возмущения лежит эффект размножения циклов и торов в окрестностях
сепаратрис гиперболических циклов системы. При достаточно больших
значениях величины возмущения усложнение динамики во всех
рассмотренных сложных возмущенных гамильтоновых и консервативных
системах, как и в гамильтоновых системах с полутора и двумя
степенями свободы, продолжается через субгармонический и гомоклини-
ческий или гетероклинический каскады бифуркаций в соответствии с
теорией ФШМ. Наличие при этом в системах сложных
гетероклинических сепаратрисных многообразий одновременно с тороидальными
областями вокруг эллиптических циклов приводит к одновременному
существованию в системах областей локальной устойчивости, а также
глобальной и локальной неустойчивости решений даже при достаточно

238 ГЛАВА 3. ХАОС В КОНСЕРВАТИВНЫХ СИСТЕМАХ
малых значениях величины возмущения. В гамильтоновых системах с
тремя степенями свободы может наблюдаться как глобальная, так и
локальная неустойчивость траекторий даже при достаточно больших
значениях параметра возмущения. Другими словами, как локальная,
так и глобальная устойчивость и неустойчивость решений
консервативных систем определяется наличием в них тех или иных каскадов
бифуркаций и не связана ни с числом степеней свободы гамильтоно-
вой системы, как утверждает теория К AM, ни даже с тем, является
ли система гамильтоновой или просто консервативной.
3.4.1. Консервативная трехмерная система
Покажем, что рассмотренный выше механизм появления
хаотической динамики в возмущенной консервативной системе в окрестности
сепаратрисного контура гиперболической особой точки
невозмущенной системы в результате нелокального эффекта размножения
гиперболических и эллиптических циклов не является прерогативой
исключительно так называемых гамильтоновых систем с полутора
степенями свободы, а имеет место и в трехмерных консервативных системах.
Рассмотрим трехмерную консервативную систему
дифференциальных уравнений
х = у, у = -х + 2eyz, z = 1 - у2 - ez2. (3.34)
При е = 0 невозмущенная система (3.34) имеет сепаратрисный ге-
тероклинический контур (х = у = 0, —оо < z < oo), а движение идет
по двумерным торам вокруг эллиптического цикла (х = л/2 cost, у =
—\/2smt,z = (sin2t)/2). При е > 0 сепаратрисным контуром
возмущенной системы становится отрезок (х = у = 0, — 1/\Д£) < z <
I/\J(e)), а движение в окрестности сепаратрисного контура
происходит по двумерному тору вокруг родившегося почти 2-к -
периодического основного эллиптического цикла. Сепаратрисный контур системы
(3.34) является границей тора, а сам основной эллиптический цикл
возмущенной системы (3.34), являясь осью тора, лежит достаточно
далеко от этой границы (сепаратрисного контура). При е = 0,01,
например, основной эллиптический цикл системы (3.34) периода почти
27г можно наблюдать при у0 = zq = 0, xq = 1.4088 (рис. 3.30а).
При росте значений параметра возмущения е в системе (3.34)
начинает проявляться нелокальный эффект размножения гиперболических
и эллиптических циклов. Все новые рождающиеся циклы (кроме
основного) обязаны иметь период почти 2-irk при к > 1, причем
эллиптические циклы большего периода располагаются ближе к сепаратрисному
контуру, а лежащие вокруг них торы имеют меньший диаметр
сечения. Так, например, при е = 0.1 основной эллиптический цикл системы
(3.34) периода почти 2тг можно наблюдать при уо'= zq = 0, xq = 1.363.
Кроме того, ближе к сепаратрисному контуру при уо = zq = 0, хо =
0.865 можно наблюдать эллиптический 5-ти оборотный цикл периода

3.4. СЛОЖНЫЕ ГАМИЛЬТОНОВЫ И КОНСЕРВАТИВНЫЕ СИСТЕМЫ 239
* z
Рис. 3.30: Сечения у = 0 системы (3.34) при е = 0.01(a) и е = 0.1(6).
Проекции сложных циклов системы (3.34) при е = 0.1, zo = уо = 0 и хо =
0.865(b), хо = 0.47(г)
почти 107Г, а при уо = zq = 0, xq = 0.47 -эллиптический 29-ти
оборотный цикл периода почти 587Г (рис. 3.30б,в,г).
Таким образом, иа примере простой консервативной трехмерной
системы с гетероклииическим сспаратрисиым контуром показано, что
эффект размножения гиперболических и эллиптических циклов не
связан исключительно с гамильтоновыми системами, а имеет место
и для просто консервативных систем. То есть во всех консервативных
системах, включая гамильтоповы, усложнение динамики при росте
величины возмущения происходит иа начальном этапе именно в
результате данного нелокального эффекта размножения гиперболических и
эллиптических циклов и окружающих их торов.
3.4.2. Гамильтонова система с двумя с половиной
степенями свободы
Принято считать, что в случае систем с полутора и двумя
степенями свободы сохранение энергии ограничивает разбегание траекторий
по всей энергетической поверхности, а в случае систем с двумя с
половиной и более степенями свободы траектории образуют в фазовом
пространстве единую всюду плотную сеть, называемую паутиной
Арнольда [8,42,49]. Траектории при этом, как считается, за достаточно
большое время охватывают всю энергетическую поверхность
системы, подходя сколь угодно близко к любой ее точке. О неадекватности
первой части приведенного выше утверждения реальной ситуации,
характерной для гамильтоновых систем с полутора и двумя степенями
свободы, свидетельствуют все примеры, рассмотренные в предыдущих
параграфах настоящей главы. Это вытекает из того, что хаотическая
динамика в консервативных системах не является следствием резо-

240 ГЛАВА 3. ХАОС В КОНСЕРВАТИВНЫХ СИСТЕМАХ
наисов частот торов иевозмущенной системы, а является следствием
бесконечных каскадов бифуркаций образования новых эллиптических
и гиперболических циклов, не являющихся циклами невозмущепной
системы. При этом гармошка сепаратрисного гетероклинического
зигзага может растянуться на все фазовое пространство системы (на всю
энергетическую поверхность), и этот процесс никак не связан с торами
невозмущеДюй системы и с их резонансами.
Покажем теперь, что и вторая часть приведенного выше
утверждения не соответствует реальной ситуации, и что в гамильтоновых
системах с двумя с половиной, тремя и более степенями свободы, а также
в просто консервативных многомерных системах даже при больших
возмущениях траектории не обязаны охватывать всю энергетическую
поверхность. То есть, в многомерных консервативных системах, точно
так же как и в маломерных, усложнение динамики и ее хаотизация
является не следствием разрушения торов невозмущенной системы в
результате резонаисов их частот, а следствием бесконечных каскадов
бифуркаций рождения новых эллиптических и гиперболических
циклов, не являющихся циклами нсвозмущенной системы. При этом на
энергетической поверхности многомерной гамильтоновой системы
даже при больших значениях параметра возмущения могут
одновременно существовать области с регулярной, с локальной хаотической и с
глобальной хаотической динамикой.
Рассмотрим систему, состоящую из двух нелинейных
осцилляторов со слабой периодической нелинейной связью. Гамильтониан этой
системы имеет вид
Я = (х2 + х2 + х4/2 + z2 + z2 + z4/2)/2 + exz cos t. (3.35)
Гамильтониану (3.35) соответствует так называемая гамильтонова
система с двумя с половиной степенями свободы, то есть
четырехмерная система обыкновенных дифференциальных уравнений с
периодическими коэффициентами
х = у, у = —х — х3 — ez cos t.
. з / (3-36)
z = г, г = —z — z — excost.
Невозмущенный гамильтониан в (3.35) при е = 0 описывает два
независимых одинаковых нелинейных осциллятора с
сохраняющимися энергиями Ех и Ez и частотами ojx и wz, зависящими от уровней
энергий. Очевидно, что шх = ojz при Ех = Ez. Поэтому пространство
решений невозмущенной (е = 0) системы (3.36) содержит двумерное
подпространство, задаваемое начальными условиями zo = хо, vq = уо5
на котором частоты осцилляторов всюду совпадают. То есть, в
терминах теории возмущений, всюду на этом подпространстве движение
в иевозмущенной системе (3.36) происходит по резонансным торам и,
как следует из теории КАМ, в возмущенной системе (3.36) при любом

3.4. СЛОЖНЫЕ ГАМИЛЬТОНОВЫ И КОНСЕРВАТИВНЫЕ СИСТЕМЫ 241
возмущении е > О должна наблюдаться хаотическая динамика.
Покажем, что ничего подобного в системе (3.36) не происходит ни при
малых, ни даже при больших значениях параметра возмущения.
Обозначив е cos t = и, получим из (3.36) консервативную
шестимерную автономную систему обыкновенных дифференциальных
уравнений
х = У) у = —х — x's — zu, z = г,
. , . . (3-37)
г = — z — z' — хи, и = v, v = —и
с условием связи Н = и2 + v2 = е2, и(0) = е, v(0) = 0.
Расширенная диссипативная двухпараметрическая система в
данном случае может иметь вид
i = У, y = -x-x3-zu-fj,y, z = r,
з . . (6.6b)
т — —z — z — хи — fir, и = v, v = — и
Дивергенция правой части системы (3.38) равна — 2fi и,
следовательно, отрицательна при всех ft > 0, а расширенная диссипативная
двухпараметрическая система уравнений (3.38) удовлетворяет
условиям 1) и 2) теоремы 3.1. Проанализируем численно влияние величии
параметров гидна динамику системы (3.38) и рассмотрим
предельный переход к консервативной системе (3.37) при fi —> 0.
Нетрудно видеть, что решения консервативной системы (3.37)с
начальными условиями zo = Хо,го = 2/о являются решениями
четырехмерной консервативной системы
х = 2/« у = -х - х3 — хи, и = г>, v = — и. (3.39)
Правая часть последней системы совпадает с правой частью
рассмотренной выше обобщенной консервативной системы уравнений Матье
(3.8) при 5=1. Поэтому при любых значениях параметра е > 0 в
консервативной системе (3.37) существуют эллиптические циклы С\
и С*2 периода 27Г, не являющиеся циклами невозмущенной системы и
лежащие в четырехмерном подпространстве, задаваемом начальными
условиями zq = Xo,ro = ?/о. При малых е > 0 топология системы
в этом подпространстве определяется, как и в случае системы (3.8),
основными двумерными торами, в число которых входят торы вокруг
основных циклов С\ и Сг, и переходными торами Т,
осуществляющими переход от торов вокруг основных циклов С\ и Сч к торам вокруг
циклов невозмущениой системы. На рис.3.31а изображена проекция
на плоскость (х,у) сечения v = 0 траекторий системы (3.37) с
начальными условиями zq = Xq^q = 7/o> лежащих на двумерных торах при
£ = 0.1.
Еще два основных цикла существуют в консервативной системе
(3.37) в подпространстве решений, задаваемом начальными услови-

242
ГЛАВА 3. ХАОС В КОНСЕРВАТИВНЫХ СИСТЕМАХ
Рис. 3.31: Проекции сечения v = 0 системы (3.37) на плоскость (х. у) при
е = 0.1, го = уо = 0, zo = 0.2,0.106,0.1012,±0.065,±0.05, ±0.03 и z0 = х0 (а),
2о = жо -г 0.1 (б): проекция сечения и = 0, 2 = —х системы (3.37) при е — 0.1,
г0 = уо = 0, z0 = zo + 0.1 их0 = 0.2,0.106,0.0939,0.065, 0.03 (в)
ями zo = — Х{). tq = —г/о. В этом случае решения консервативной
системы (3.37) являются решениями четырехмерной консервативной
системы
i = У, У = — # — #3 + яи, й = v, v = —и. (3.40)
Вис указанных выше четырехмерных подпространств движение в
системе (3.37) происходит по трехмерным торам, сечение v = 0 которых
в проекции на плоскость (х, у) при е = 0.1 представлено на рис,3.316.
То, что это именно трехмерные торы, подтверждается сечением
второго порядка z = — х сечения v — 0, проекция которого на плоскость
(х. у) представлена на рис.3.31в. Таким образом, при достаточно
малых значениях параметра е хаотическая динамика в консервативной
системе (3.37) вообще отсутствует, а движение происходит по
двумерным и трехмерным торам вокруг циклов, не являющихся циклами
невозмущенной системы.
При значении параметра е == 1 ситуация заметно усложняется.
Теперь топология решений системы (3.37) с начальными условиями
2о = £о,П) = 2/о определяется основными торами системы (т.е.
торами вокруг основных циклов системы), переходными торами и набором
торов вокруг более сложных эллиптических циклов, появившихся в
окрестности сепаратриспой поверхности гиперболического
периодического решения Xq == уо = 0 и вне этой окрестности в резульгате^нело-
кального эффекта размножения циклов и торов. Все сложные
внутренние и внешние эллиптические циклы аналогичны циклам систем
(3.8) и (3.20), изображенным на рис.3.5. рис.3.6 и рис.3.19в.
Хаотическая динамика в системе пока отсутствует, хотя движение по торам
вокруг сложных циклов, образовавшихся в окрестности сепаратрисы
гиперболического цикла, легко может быть принято за хаотическое
(рис. 3.32а).

3.4. СЛОЖНЫЕ ГАМИЛЬТОНОВЫ И КОНСЕРВАТИВНЫЕ СИСТЕМЫ 243
Рис. 3.32: Проекции сечения v = 0 системы (3.37) на плоскость (х, у) при
е = 1, го = 2/о = 0, z0 = жо, яо = :Ь0.47,±0.53.±0.569, ±0.614, ±0.63(хаос),
и жо = zq = 0, го = 2/о, 2/о = 0.4257,0.55. 0.69, 0.73,0.77,0.9(а); х0 = 0.го =
2/о + 0.1,% = хо - 0.1, 2/о = 0.3(хаос),0.7,0.9 (б)
Таким образом, установлен факт наличия четырехмерного
подпространства пятимерного фазового пространства консервативной
системы (3.37). в котором даже при достаточно больших значениях
параметра е хаотическая динамика вообще отсутствует, а при е = 1
наблюдается исключительно локальный псевдохаос, в то время как для
решений системы (3.37), не удовлетворяющих условиям z0 = ж0, го = Уо
или zo = —XQ.ro = — Уо? наблюдается либо сложная глобальная
нерегулярная (хаотическая) динамика, либо движение происходит по
трехмерным торам (рис.3.326). Хаотическая динамика наблюдается,
естественно, в окрестности тех начальных условий го = xn,rn = уо> при
которых решения лежат на поверхностях касающихся двумерных
торов системы (3.39) или близки к ним (окрестность сепаратрисы на
рис. 3.31а). Вне этих окрестностей траектории консервативной
системы (3.37) двигаются по поверхностям трехмерных торов вокруг
двумерных торов системы (3.39). Некоторые из таких трехмерных торов
представлены на рис. 3.326.
Из рис. 3.326 видно, что при е = I область существования
трехмерных торов окружена областью глобального хаотического поведения,
траекторий системы (3.37). Таким образом, мы приходим к
установлению следующего важного факта одновременного существования в
системе (3.37) при е = 1 областей регулярного движения по двумерным
торам вокруг основных циклов системы, областей регулярного
движения по трехмерным торам вокруг упомянутых выше двумерных торов,
областей локального хаотического поведения траекторий системы в
четырехмерном подпространстве пятимерного фазового пространства и
областей глобального хаотического поведения траекторий системы в
остальной части фазового пространства.
При значении е = 1.8 консервативная система (3.37) несомненно

244 ГЛАВА 3. ХАОС В КОНСЕРВАТИВНЫХ СИСТЕМАХ
обладает хаотической динамикой даже на решениях системы (3.39),
так как при уменьшении значений параметра \х в диссипативной
системе (3.38) циклы С\ и Сг претерпевают начальные стадии
субгармонического каскада бифуркации, рождая сложные гетероклинические
сепаратрисные многообразия в четырехмерном подпространстве
решений консервативной системы (3.37), являющихся решениями системы
(3.39). Однако, хаотическая динамика решений системы (3.37)
является локальной даже внутри этого четырехмерного подпространства
решений и ограничена областью регулярных движений по двумерным
торам (см. рис.3.33а). Отметим также, что для решений
консервативной системы (3.37), ис удовлетворяющих условиям zo = Xq1 го = Уо или
zq = —xq, го = — уо> наряду со сложной глобальной нерегулярной
(хаотической) динамикой наблюдаются области регулярного движения по
трехмерным торам даже при таких относительно больших значениях
параметра возмущения (рис. 3.336).
Рис. 3.33: Проекции сечения v = 0 системы (3.37) на плоскость (ж, у) при
g = 1.8, го = 2/о = 0, zo = хо = ±0.43 и хо = 2о = 0,го = уо, Уо = 1.61,2.15,
2.4, 3.0,4.03(а); х0 = -z0 = 1.2,г0 = Уо = 1.36 и х0 = z0 + 0.4 = 0.1, у0 -
го 4- 0.8 = 2.14 (б)
Таким образом, топология консервативной системы (3.37) с двумя
с половиной степенями свободы определяется двумерными торами
вокруг основных циклов системы, трехмерными торами вокруг
двумерных торов, двумерными и трехмерными торами вокруг циклов,
родившихся и оставшихся устойчивыми в диссипативной системе (3.38)
при всех значениях параметра //, > 0, а также областью хаотического
движения, содержащей гетероклинические сепаратрисные
многообразия, натянутые на гиперболические циклы системы, и все циклы и
непериодические траектории, родившиеся изначально устойчивыми в
диссипативной системе (3.38) при /х > 0 и потерявшие устойчивость в

3.4. СЛОЖНЫЕ ГАМИЛЬТОНОВЫ И КОНСЕРВАТИВНЫЕ СИСТЕМЫ 245
результате субгармонических, гомоклинических или каких-либо более
сложных каскадов бифуркаций в соответствии с теорией ФШМ.
В консервативной системе (3.37) даже при достаточно больших
значениях параметра е = 1.8 одновременно существуют области
регулярного движения по двумерным торам вокруг основных циклов системы,
области регулярного движения по трехмерным торам вокруг
упомянутых выше двумерных торов, области локального хаотического
поведения траекторий системы в четырехмерном подпространстве
пятимерного фазового пространства и области глобального хаотического
поведения траекторий системы в остальной части фазового
пространства. Все торы системы не являются торами невозмущенной системы,
а рождаются в результате различных бифуркаций.
3.4.3. Гамильтонова система с тремя степенями свободы
Небольшим усложнением гамильтоновой системы (3.20) с двумя
степенями свободы преобразуем ее к гамильтоновой системе с тремя
степенями свободы и покажем, что для такой гамильтоновой системы
остаются справедливыми все основные результаты, полученные ранее
для рассмотренных выше гамильтоновых и консервативных систем.
Добавим в четвертое уравнение системы (3.20) слагаемое —и2/2 и
еще одну степень свободы в переменных (и, г?), аналогичную
обобщенному консервативному уравнению Матье (3.8). Получим гамильтонову
систему с тремя степенями свободы, имеющую вид
х = у, y = -(5 + z)x-x3, z = r, u = v,
f=-z-x2/2-u2/2, v = -(i + zju-u3
и гамильтониан Н = H(x, у, z, r, и, v):
Н = ((Jx2+y2+z2+r2+7t/2+v2)/2+z{x2W)/2+{х4+и4)/4 = е. (3.42)
Расширенная диссипативная двухпараметрическая система в
данном случае может иметь вид
я = 2/, У = ~(S + z)x-xz - fxy, z = r, u = v.
г = -г - х2/2 - и2/2 + (е - H)r, v = -(7 + z)u — и3 - fiv
Дивергенция правой части системы (3.43) на решениях системы
(3.41)-(3.42) равна —2/4 — г2 и, следовательно, отрицательна при всех
/i > 0, а расширенная диссипативная двухпараметрическая система
уравнений (3.43) удовлетворяет условиям 1) и 2) теоремы 3.1.
Проанализируем численно влияние величин параметров е и /i на
динамику системы (3.43) при фиксированных значениях параметров
S = 7 = 1. Рассмотрим случай малых е и пока только два достаточно
больших значения параметра е : е = 1 и £ = 3. Нетрудно видеть,

246 ГЛАВА 3. ХАОС В КОНСЕРВАТИВНЫХ СИСТЕМАХ
что решения гамильтоновой системы (3.41)с начальными условиями
^о = so? vo ~ Уо являются решениями четырехмерной консервативной,
но не гамильтоновой системы
х = т/, у = — (5 + z)x — х3, z = ryr = —z — x2. (3.44)
Правая часть последней системы с точностью до множителя при х2 в
последнем уравнении совпадает с правой частью рассмотренной выше
системы (3.20). Поэтому при малых значениях параметра е < 0.5
хаотическая динамика в гамильтоновой системе (3.41) на части решений
с начальными условиями Uq = xq , vq = уо отсутствует, а топология
системы как и в случае системы (3.20) определяется основными торами
системы, в число которых входят торы вокруг основного цикла А и
пары торов вокруг основных циклов С\ и Сг, родившихся изначально
устойчивыми в диссипативиой системе (3.43) при \х > 0; и
переходными торами Т, осуществляющими переход от торов вокруг основного
цикла системы А к парам торов вокруг основных циклов С\ и С^. Все
основные циклы системы (3.41), как и основные циклы системы (3.20),
не являются циклами невозмущенной системы, то есть здесь, как и в
системе (3.20), параметр е является бифуркационным.
При значении параметра е = 1 ситуация заметно усложняется.
Теперь топология решений системы (3.41) с начальными условиями
Щ = яоз^о = Уо определяется основными торами системами (т.е.
торами вокруг основных циклов системы), переходными торами и
набором торов вокруг более сложных эллиптических циклов, появившихся
в окрестности сепаратрисной поверхности гиперболического
периодического решения и вне этой окрестности в результате нелокального
эффекта размножения циклов и торов. Все сложные эллиптические
циклы рождаются изначально устойчивыми в диссипативиой
системе (3.43) с теми же начальными условиями при уменьшении значений
параметра /л до нуля. Хаотическая динамика в системе пока
отсутствует, хотя движение по торам вокруг сложных циклов легко может
быть принято за хаотическое (рис. 3.34а,б при е = 1). Псевдохаос,
возникший в окрестности гиперболического цикла x~y = u = v = 0, не
является гомоклииическим хаосом, а всего лишь следствием ошибок
вычислений из-за неустойчивости решаемой задачи. Эффект
хаотичности создают точки, лежащие в сечении Пуанкаре на поверхностях
торов, обмотки которых расположены, переплетаясь, вокруг
различных сложных эллиптических циклов, образовавшихся вследствие
эффекта размножения циклов и торов и имеющих тот же вид, что и
сложные циклы систем (3.8) и (3.20). Два таких цикла представлешд
на рис. 3.34в,г.
Таким образом, установлен факт наличия четырехмерного
подпространства пятимерной энергетической поверхности гамильтоновой
системы (3.41), в котором даже при достаточно больших значениях
параметра е хаотическая динамика вообще отсутствует, а при е = 1
наблюдается исключительно локальный псевдохаос, в то время к^к

3.4. СЛОЖНЫЕ ГАМИЛЬТОНОВЫ И КОНСЕРВАТИВНЫЕ СИСТЕМЫ 247
Рис. 3.34: Проекции сечений г = 0 и у = 0 системы (3.41) при е = 1,
ио = х0,^о = 2/о, *о = %о = 0 и у0 = 0.001,±0.07,±0.12,±0.2, ±0.36,±0.62.
0.93? 0.98, уо = ±0.7 иж0 = тОЛ5,у0 = ±0.64 и х0 = q=0.22(a,6); проекции
сложных циклов системы (3.41) при е — 1, ио = яо, уо = т/о и уо = 0,жо ==
0.094.зд = 0.996(b); у0 = 0.91368,х0 = 0,г0 = -0.1261 (г)
для других решении системы (3.41), не удовлетворяющих условиям
v>o — xo-vo = Уо, даже при е = 0.01 в системе (3.41) наблюдается
сложная нерегулярная (хаотическая) динамика. Это, естественно,
происходит в окрестности тех начальных условий щ = Жо?Ъ'о = 2/о, при
которых решения лежат на поверхностях касающихся двумерных
торов системы (3.44) или близки к ним (окрестность сепаратрисы на
рис. 3.34а,б).
Рассмотрим теперь, что происходит вне окрестностей касающихся
двумерных торов системы (3.44) при е = 1. Численные расчеты
показывают, что вне этих окрестностей траектории гамильтоновой
системы (3.41) двигаются по поверхностям трехмерных торов вокруг
двумерных торов системы (3.41). Некоторые из таких трехмерных торов
представлены на рис. 3.35а,в и рис. 3.36. Видно, что трехмерные торы
аналогично двухмерным торам могут образовывать острова (торы
второго порядка), но, как уже отмечалось выше, эти образования, никак
не связаны с резоиансами частот на торах певозмущенной системы,
хотя могут быть связаны с резонансами частот на торах первого
порядка, родившихся уже в возмущенной системе в результате различных
бифуркаций. В этом может состоять механизм нелокального
эффекта размножения циклов и торов при наличии в системе сепаратрис
гиперболических траекторий, но этот вопрос требует дополнигелы-ю-
го исследования. Типичный резонанс на трехмерном торе представлен
на рис. З.Збв.
Из рис. 3.356 видно, что при е = 1 область существования
трехмерных торов окружена областью глобального хаотического поведения
траекторий системы (3.41). Таким образом, мы приходим к
установлению следующего важного факта одновременного существования в га-

248 ГЛАВА 3. ХАОС В КОНСЕРВАТИВНЫХ СИСТЕМАХ
-*
Ч «.*
f • v»0
Л,
•)
J r«v«0
'ft П
■ W
«)
вЧ4
."' л
• \и
У
r«v"0
•-О.
Рис. 3.35: Проекции сечений коразмерности 1 и 2 системы (3.41) при е = 1,
ио = хо - 0.15, Vo = Уо + 0.15, Zo = хо = 0 и уо = 0.64 (a), 0.67(b); проекция
сечения коразмерности 2 системы (3.41) при е = 1г ио — хо — 0.15, ио ==
уо + 0.15, zo = хо = 0 и уо = 0.302, 0.42, 0.5503, 0.64, 0.67(6)
г-0
в)
Рис. 3.36: Проекции трехмерного тора системы (3.41)(а) и его сечений
коразмерности 1 и 2 при е = 1, ио = хо — 0.15, vo = уо + 0.15, £о = хо = 0 и
уо = 0.42 (б); проекция сечения трехмерного тора системы (3.41) при е = 1,
ио = хо — 0.15, г>о = уо + 0.15, zq = хо = 0 и уо = 0.5503 (резонанс (в))
мильтоновой системе (3.41) при е = 1 областей регулярного движения
по двумерным торам вокруг основных циклов системы,, областей
регулярного движения по трехмерным торам вокруг упомянутых выше
двумерных торов, областей локального хаотического поведения
траекторий системы в четырехмерном подпространстве пятимерной
энергетической поверхности и областей глобального хаотического поведения
траекторий системы в остальной части энергетической поверхности.
При значении е = 3 гамильтонова система (3.41) несомненно
обладает хаотической динамикой даже на решениях системы (3.44), так как
при уменьшении значений параметра ц в диссипативной системе (3.43)
циклы С\ и Сг претерпевают субгармонический и гомоклинический

3.4. СЛОЖНЫЕ ГАМИЛЬТОНОВЫ И КОНСЕРВАТИВНЫЕ СИСТЕМЫ 249
каскады бифуркаций в полном соответствии с теорией ФШМ, рождая
бесконечное число регулярных и сингулярных аттракторов в
замыканиях своих сепаратрисных поверхностей. Затем происходит слияние
двух лент бесконечно складчатых гетероклинических сепаратрисных
двумерных многообразий, порожденных сингулярными циклами С\ и
С*2- В замыкании единого гетероклинического сепаратрисного
многообразия рождаются новые симметричные устойчивые циклы, с
которыми также происходят субгармонические каскады бифуркаций. Все
циклы всех каскадов и сингулярные аттракторы, становясь
неустойчивыми, не исчезают, а переходят в решения гамильтоновой системы
при \х = 0.
Рис. 3.37: Проекции сечений г = 0иу = 0 системы (3.41) при е = 3, uq =
x0>vo = т/о, zo = хо = 0 и у0 = 0.001, 1.725,±1.715; уо = 0 и х0 = ±1.729zz0 =
—3.126 (а,б); проекции циклов системы (3.41) при е = 3, щ = ffoiito = J/o и
Уо = 0,ж0 = 1.729,20 = -3.13475 (в); у0 = 1.7155,х0 = 0,2о = 0.06 (г)
При (л рз 0.04 рождаются два симметричных устойчивых цикла Е\ и
Ео* которые остаются устойчивыми в системе (3.43) при всех меньших
значениях параметра \х > 0 и, становясь эллиптическими циклами,
порождают вокруг себя торы гамильтоновой системы (3.41) при /х = 0,
лежащие в подпространстве решений системы (3.44) (рис. 3.37а,б,в).
При /i « 0.0005 рождается устойчивый цикл Fx который также
остается устойчивым в системе (3.43) при всех меньших значениях параметра
\х > 0, образуя вокруг себя тор гамильтоновой системы (3.41) при \i =
0, лежащий в подпространстве решений системы (3.44) (рис. 3.37г).
Заметим, что все обнаруженные в системе (3.41) при е = 3 двумерные
торы лежат в подпространстве решений консервативной системы (3.44),
трехмерных торов в системе (3.41) при е = 3 пока обнаружить не
удалось. В остальной области энергетической поверхности наблюдается
хаотическое поведение траекторий, но тем не менее и в данном случае
можно говорить о локальном и глобальном хаосе, так как траектории
с начальными условиями щ = xq^vq = Vo остаются в подпространстве
решений консервативной системы (3.44) и не заполняют всей энерге-

250 ГЛАВА 3. ХАОС В КОНСЕРВАТИВНЫХ СИСТЕМАХ
тической поверхности гамильтоновой системы (3.41).
Таким образом, топология гамильтоновой системы (3.41) с тремя
степенями свободы определяется двумерными торами вокруг
основных циклов системы, трехмерными торами вокруг двумерных торов,
двумерными и трехмерными торами вокруг циклов, родившихся и
оставшихся устойчивыми в диссипативгюй системе (3.43) при всех
значениях параметра /i > 0, а также областью хаотического движения,
содержащей гетсроклииические сепаратрисные многообразия,
натянутые на гиперболические циклы системы, и все циклы и
непериодические траектории, родившиеся изначально устойчивыми в диссипатив-
ной системе (3.43) при /i > 0 и потерявшие устойчивость в результате
субгармонических, гомоклинических или каких-либо более сложных
каскадов бифуркаций в соответствии с теорией ФШМ. В системе (3.41)
даже при достаточно больших значениях параметра е = 1
одновременно существуют области регулярного движения по двумерным торам
вокруг основных циклов системы, области регулярного движения по
трехмерным торам вокруг упомянутых выше двумерных торов,
области локального хаотического поведения траекторий системы в
четырехмерном подпространстве пятимерной энергетической поверхности
и области глобального хаотического поведения траекторий системы в
остальной части энергетической поверхности. Все торы системы, как
и во всех рассмотренных ранее случаях, не являются торами
невозмущенной системы, а рождаются в результате различных бифуркаций.
Рис. 3.38: Проекции сингулярного аттрактора системы (3.43) и его сечен^ия
г = 0 при е = 3, ио — zo,fo — 2/о и \i = 0.125 (а,б); проекции сечений г — 0
сингулярных аттракторов системы (3.43) при в = 3, ио = хо, vq = уо и
fi = 0.095 (в), д = 0.05 (г)
Кроме того, обнаружены резоиансы на трехмерном торе и
показано, что острова вокруг трехмерных торов (торы второго порядка)
не связаны с этими резонансами, а также являются следствием
различных бифуркаций в системе. И, наконец, установлено, что глобаль-

3.4. СЛОЖНЫЕ ГАМИЛЬТОНОВЫ И КОНСЕРВАТИВНЫЕ СИСТЕМЫ 251
ный хаос в системе является не следствием разрушения каких-то
мифических торов невозмущенной системы, как трактует это явление
современная классическая гамильтонова механика, а исключительно
следствием усложнением гетероклинического бесконечно
складчатого сепаратрисиого многообразия расширенной диссипативной системы
(3.43) при стремлении параметра диссипации \х к нулю.
Соответствующие гетероклинические сепаратрисные зигзаги в проекции на
плоскость (ж, у) сечения г = 0 пространства решений расширенной
диссипативной системы (3.43) при е = 3, uq — xq, vq = 2/о3 М = 0.125,
fi = 0.095 и \х = 0.05 представлены на рис.3.386,в,г.
Заметим, что переход к хаосу в соответствии с теорией ФШМ
может происходить также и каскадами бифуркаций устойчивых
двумерных торов, что, в принципе, возможно в гамильтоновых системах с
двумя с половиной, тремя и более степенями свободы, но в
рассмотренной системе такие каскады пока обнаружить не удалось.
На основе проведенных численных расчетов для трехмерных и
четырехмерных консервативных систем, а также гамильтоновых систем
с полутора, двумя, двумя с половиной и тремя степенями свободы
показано, что во всех этих системах:
а) при малых значениях параметра возмущения хаотическая
динамика отсутствует, а движение идет но основным двумерным или
трехмерным торам вокруг основных циклов системы и переходным торам,
причем в случае гамильтоновых систем эти торы не явл5потся торами
невозмущенной системы;
б) при увеличении значений параметра возмущения никакого
разрушения торов нсвозмущеппой системы и расщепления сепаратрисы
не происходит; движение идет по основным торам вокруг основных
циклов системы, переходным торам и набору сложных
многооборотных переплетающихся торов вокруг более сложных эллиптических
циклов, родившихся изначально устойчивыми в расширенной
диссипативной системе при уменьшении значений параметра диссипации до
нуля вследствие нелокального эффекта размножения циклов и торов;
видимость хаотичности создают точки, лежащие в сечениях Пуанкаре
на поверхностях сложных торов, образованных областями
устойчивости и неустойчивости сложных циклов диссипативной системы;
в) при достаточно больших значениях параметра возмущения
хаотическая динамика в возмущенной системе присутствует, но
переход к хаосу происходит не через разрушение двумерных или
многомерных торов невозмущеииой системы, а, наоборот, через рождение
сложных двумерных и многомерных торов из областей устойчивости
вокруг сложных циклов расширенной диссипативной системы и
через бесконечные каскады бифуркаций рождения новых сложных
эллиптических и гиперболических циклов и сингулярных траекторий и
натянутых на них бесконечно складчатых гетероклинических сепара-
трисиых многообразий в соответствии с теорией ФШМ.

252
ГЛАВА 3. ХАОС В КОНСЕРВАТИВНЫХ СИСТЕМАХ
Остается открытым вопрос об условиях применимости теории
возмущений для анализа гамильтоновых и консервативных систем.
Очевидно, что поставленная А.Пуанкаре задача является далеко не
основной проблемой гамильтоновой механики и, тем более, механики
консервативных систем, а теория возмущений в этих системах, как
правило, не работает. И если уж применять к таким системам теорию
возмущений, то искать нужно не условия, при которых классические
торы невозмущенной системы сохраняются в возмущенной системе,
что, как видно из рассмотренных выше примеров, является не совсем
корректным, а условия существования торов вокруг некоторых циклов
одного из невозмущеииых нелинейных осцилляторов под воздействием
возмущения в виде других взаимодействующих нелинейных
осцилляторов.
Либо должно быть пересмотрено само понятие невозмущенной
системы и, соответственно, понятие тора иевозмущенной системы. Как
видно из всех рассмотренных в главе примеров, торы возмущенных
гамильтоновых и просто консервативных систем являются либо
торами вокруг эллиптических циклов, рожденных в результате
различных бифуркаций в системе (седло-узловой, удвоения периода и типа
вилки), либо торами, рожденными из цикла в результате бифуркации
Андронова-Хопфа. Очевидно, торы невозмущенных систем
классической гамильтоновой механики, понимаемые как декартово
произведение двух окружностей, этим условиям не удовлетворяют.

Глава 4
Пространственно-временной хаос
в нелинейных системах уравнений
с частными производными
Рассмотренные в предыдущих главах книги нелинейные системы
обыкновенных дифференциальных уравнений, подчиняющиеся
единому универсальному бифуркационному сценарию перехода к
динамическому хаосу в соответствии с теорией ФШМ, являются во многих
случаях конечномерными аппроксимациями бесконечномерных систем
дифференциальных уравнений с частными производными.
Подтверждением сказанного является классическая система уравнений
Лоренца, полученная методом Галеркина в виде конечномерных
аппроксимаций систем уравнений в частных производных Навье-Стокса,
неразрывности и теплопроводности [14,124,155,174]. Поэтому естественно
предположить, что сложные регулярные и нерегулярные режимы
поведения решений присущи не только конечномерным, но также и
бесконечномерным нелинейным системам дифференциальных уравнений
с частными производными, и что переход к таким режимам также
должен осуществляться каскадами бифуркаций устойчивых циклов и
торов в соответствии с универсальным сценарием теорией ФШМ.
В настоящее время теория динамического или пространственно-
временного хаоса в бесконечномерных нелинейных системах
дифференциальных уравнений практически не разработана. Среди
немногих результатов, полученных в этом направлении, следует выделить
результаты А. Самарского, С. Курдюмова и их учеников о
возникновении нестационарных, пространственно неоднородных
непериодических решений (диффузионного хаоса) в уравнении Курамото-Цузуки,
описывающем поведение решений системы уравнений
«реакция-диффузия» в окрестности ее стационарного однородного состояния [9-11].
Ряд результатов, касающихся сценариев перехода к пространственно-
временному хаосу в системах уравнений «реакция-диффузия», в
уравнении Курамото-Цузуки, в системе уравнений Навье-Стокса, а также
сценариев возникновения экономических циклов и кризисов в
распределенной системе уравнений рыночной экономики получен недавно
автором с учениками в работах [26,27,29-32,40,54,59,61,101-103].
Настоящая глава книги посвящена анализу сценариев перехода к
пространственно-временному хаосу в системах уравнений «реакция-
диффузия», в системах уравнений, описывающих автоколебательные и
возбудимые среды, в пространственно одномерном и двумерном
уравнении Курамото-Цузуки (Гинзбурга-Ландау) и в системе уравнений

254 ГЛАВА 4. ПРОСТРАНСТВЕННО-ВРЕМЕННОЙ ХАОС
Навье-Стокса, описывающих переход от ламинарного режима к
турбулентному в задачах движения вязкой несжимаемой жидкости.
Показано, что во всех этих сложных нелинейных системах уравнений с
частными производными переход к пространственно-временному
хаосу также происходит в соответствии с одним универсальным
сценарием ФШМ через субгармонический каскад бифуркаций устойчивых
циклов и двумерных или многомерных торов.
4.1. Регулярная динамика и диффузионный хаос в
системах уравнений «реакция-диффузия»
Большой класс физических, химических и биологических сред,
широко изучающихся нелинейной и хаотической динамикой,
описывается системой уравнений с частными производными типа «реакция-
диффузия»
щ = Diuxx + /(u,v,/x),
vt = D2vxx + д{щ v, ц), (4.1)
О <х<1,
зависящих от векторного, в общем случае, параметра /.i. В системах
вида (4.1) по одной из переменных существует, как правило,
положительная обратная связь. Такая переменная называется активатором.
Вторая переменная, которая замедляет нарастание (развитие)
активатора, называется ингибитором.
При изучении систем уравнений «реакция-диффузия» наибольший
интерес представляет анализ таких краевых задач, для которых при
всех значениях скалярного системного параметра \х < цо система (4.1)
имеет устойчивое стационарное и однородное по пространству решение
(U,V), называемое термодинамической ветвью. При /л > /ло
термодинамическая ветвь теряет устойчивость, а поведение решений
определяется спектром линеаризованной на термодинамической ветви краевой
задачи в окрестности точки бифуркации /*о-
Если при значении \х — jiq у линеаризованной на решении (С/, К)„э&а-
дачи одно простое собственное значение оператора линеаризации прб-
ходит через нуль, а остальной спектр остается лежащим в левой
полуплоскости то в системе возникают пространственно-неоднородные
стационарные решения (стационарные диссипативные структуры).
Такая бифуркация впервые была обнаружена А.Тьюрингом при
исследовании математической модели морфогенеза и носит его имя [184].
Если при ft = fiQ у линеаризованной на термодинамической ветви
задачи два комплексно сопряженных собственных значения оператора
линеаризации проходят слева направо через мнимую ось, а
остальной спектр остается лежащим в левой полуплоскости, то происходит

4.1. ХАОС В СИСТЕМАХ РЕАКЦИЯ-ДИФФУЗИЯ 255
бифуркация рождения цикла Андронова—Хопфа [78,118]. В этом
случае при /х > цо термодинамическая ветвь теряет устойчивость, а точки
отрезка [0, /] начинают совершать периодические колебания.
Бифуркации Тьюринга и Андронова—Хопфа имеет очевидные аналоги среди
рассмотренных в главе 1 бифуркаций особых точек нелинейных
систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Это бифуркация
типа вилки и бифуркация рождения устойчивого цикла.
4.1.1. Бифуркации Тьюринга и Андронова—-Хопфа в
модели брюсселятора
Рассмотрим бифуркации Тьюринга и Андронова—Хопфа более
подробно на примере первой краевой задачи для классической системы
уравнений вида (4.1), предложенной впервые брюссельской школой
II. Пригожиыа в качестве модели некоторой автокаталитической
химической реакции с диффузией и названной брюсселятором [118,152].
Доказательства теорем общего вида со сведением бесконечномерной
системы уравнений (4.1) на двумерное или одномерное центральное
многообразие можно найти в работах [78, 118].
Рассматриваемая на отрезке [0, /], система уравнений брюсселятора
имеет вид
щ = Diuxx + А - (fi + l)u + uV
vt = D2vxx + jiu - u2v,
0 < x < L
Нетрудно видеть, что стационарным пространственно однородным
решением (термодинамической ветвью) системы (4.2) является решение
и = Л, v = \ifА. Поэтому первая краевая задача для брюсселятора
должна удовлетворять граничным условиям
u(0, t) = u(Z, t) = A, v(0, t) = v{l, t) = ji/A. (4.3)
Линеаризуем задачу (4.2) - (4.3) на термодинамической ветви,
положив р = и — Л, q = v — JJ./A. Получим
Vt = DiPxx + (/х - 1)р + A2q + h[p.q),
Qt = D2qxx ~ \ip- A q~ /i(p, q)
с граничными условиями u(0,t) — u(l,t) = v(0,t) — v(l,t) - 0, где
ft(P> ч) = (/V^)P2 + 2Лр<? + p2q.
Оператор линейной части системы (4.4), действующий в
пространстве Соболева Н2[0У1] с нулевыми граничными значениями, можно
представить в виде L = К + DA, где
(4.2)

256 ГЛАВА 4. ПРОСТРАНСТВЕННО-ВРЕМЕННОЙ ХАОС
Оператор Д имеет собственные значения —-к2п2/12 (п = 1,2...),
отвечающие собственным функциям sin(7rnx/0. Разложим по этим
функциям компоненты собственного вектора \Р оператора L, отвечающего
его собственному числу Л. Тогда
W = (К + DA)^ - ХФ
или
Следовательно,
|*-^ч(г)-л(й). —.».-
Поэтому собственные числа оператора L являются собственными чис-
лами матриц Gn = К ^r~D<> которые в свою очередь удовлетворяют
уравнениям Л2 — trGnA + detGn = 0, где
2 2
tvGn^fi-l-A2~~-(Dl fZ)2),
det Gn = A2 + ^(A2A + D2 + ^J-i?ii?2 " /xJ52).
Для того, чтобы при некотором значении \х произошла
бифуркация рождения цикла, необходимо, чтобы имелась пара чисто мнимых
собственных значений Л = гс^, ш > 0. То есть для одной из матриц Gn
ее след должен обратиться в нуль, а определитель при этом должен
оставаться положительным. При этом все другие собственные
значения оператора L должны иметь отрицательные вещественные части.
Другими словами, при некотором п = т необходимо должно
выполняться равенство
H=l + A*+7^(D1+D2).
Если т > 1, то найдется п < т такое, что
тг2
trGn = (m2 - n2) — {Dl + D2) > 0.
Тогда по крайней мере одно собственное значение оператора L,
соответствующее этому номеру п, будет иметь положительную
вещественную часть. Следовательно, необходимо т = 1 и
7Г2

4.1. ХАОС В СИСТЕМАХ РЕ АКЦИЯ-ДИФФУЗИЯ 257
При этом
^П2 , а0,ъ ^ ч 7Г2
detGn = A2 + -1^(A2(Dl - D2) + ^D2{n2Dx - D, - D2)).
Из последнего выражения нетрудно заключить, что если
коэффициенты диффузии Di и D2 системы (4.2) удовлетворяют условию
Di> D2 + -2-{D2/A)2, то detGri > detGi = u% > А2 для всех n > 1.
Таким образом, условия теоремы Андронова—Хопфа на спектр
оператора L выполнены при ji = цо. Более детальный анализ
показывает [118], что рождающиеся при этом устойчивые периодические
пространственно неоднородные решения системы (4.2) имеют следующие
асимптотические представления при малых е = (/i — fio)1^2:
u{x,t) = A + eo,osoj{e)t -sin — + 0(e2),
^(ж,£) = -г + e~f cosu{e)tsm — +e8smu(e)t • sin — + 0(e2),
где ш{е) — o>o(l + 0(e2)), 7 и 6 - некоторые постоянные, а вид
пространственных гармоник определяется краевыми условиями задачи,
т.е. в данном случае собственными функциями оператора А при п = 1.
Точки отрезка совершают колебания с одинаковой частотой и
постоянным градиентом фазы. Создается эффект бегущей по отрезку
«волны». Заметим, что при малых коэффициентах диффузии условие
рождения в системе (4.2) периодических решений может быть грубо
записано в виде D\ > D2 , что можно интерпретировать как
взаимодействие в брюсселяторе далыюдействующего активатора и
короткодействующего ингибитора.
Изменение характера граничных условий существенно меняет вид
рождающихся в результате бифуркации Андронова—Хопфа
периодических решений системы (4.2). Так, например, если рассмотреть
вторую краевую задачу для отрезка с граничными условиями
ux(0,0 = ux{l,t) = v.(0,t) = vx(l,t) = 0, (4.5)
то собственными функциями оператора А будут уже функции
cos(7rra//), п = 0,1,2..., а наименьшим собственным значением - ноль.
Поэтому бифуркационным значением параметра \i будет величина
fio = 1 + Л2, а рождающиеся при fi > jiq в случае D\ > D2
периодические решения будут пространственно однородными.
Рассмотрим опять первую краевую задачу для системы (4.2). Для
того чтобы при некотором значении параметра \х в системе произошла
бифуркация Тьюринга, необходимо, чтобы для одной из матриц Gn
ее определитель обратился в нуль, а след матрицы при этом должен
оставаться отрицательным. При этом все другие собственные
значения оператора L должны иметь отрицательные вещественные части.

258 ГЛАВА 4. ПРОСТРАНСТВЕННО-ВРЕМЕННОЙ ХАОС
Поэтому следы всех матриц Gn должны быть отрицательными, откуда
вытекает, что \i < ^* = l+A2+(7r2/i2)CDi+#2)« Пусть fi = /х*-0, 0 > 0.
Тогда
г2„2
detGn = A4^(A2(D1-D2) + 7^D2(n2D1-Dl-D2)+eD2y
Обозначим
»п = ~, а = Л2(£>! - £>2) - ^D2(DX + £>2) + <Ш2.
Тогда det Gn = D\D2yft + ат/п + Л2. Поэтому надлежащим выбором
значения величины а < 0 можно добиться того, что при некоторых
в > 0 и т > 1 будет выполнено равенство detGm = 0, a detGn > 0
при всех пфт. Таким образом, условия теоремы Тьюринга на спектр
оператора L будут выполнены при \х = \iq = /i* — в. Более детальный
анализ показывает, что рождающиеся при этом устойчивые
пространственно неоднородные диссипативиые структуры системы (4.2) имеют
следующие асимптотические представления при малых е — {ji — £*о)1/2:
/ \ • 7Г7ПХ _^ , оч
и{х,г) — A + £sm— hO(e ),
Ф> t) = 4 + О(е) sin —г- + О(е-),
где вид пространственной структуры также определяется краевыми
условиями задачи. Заметим, что при малых коэффициентах диффузии
условие рождения в системе (4.2) стационарных неоднородных
пространственных структур может быть грубо записано в виде D\ < D2,
что можно интерпретировать в этом случае как взаимодействие
короткодействующего активатора и далыюдействующего ингибитора.
4.1.2. Диффузионный хаос в модели брюсселятора в
кольцевой области
Проведенный выше простой линейный анализ системы (4.2) уже
наглядно демонстрирует сложность систем типа «реакция-диффузия»,
на поведение решений которых существенное влияние оказывают
значения коэффициентов диффузии и соотношение между ними, форма
пространственной области и ее размеры, а также вид граничных
условий. При бифуркации термодинамической ветви в таких системах
может наблюдаться рождение периодических пространственно
однородных и неоднородных решений и стационарных диссипативных
структур. Численные эксперименты показывают, что при дальнейшем
увеличении значений бифуркационного параметра в системах «реакция-
диффузия» наблюдаются также и пространственно неоднородные
непериодические решения - диффузионный хаос.

4.1. ХАОС В СИСТЕМАХ РЕАКЦИЯ-ДИФФУЗИЯ 259
Рассмотрим здесь только один аспект этой сложной проблемы —
рождение хаотических режимов в системе (4.2) при увеличении
параметра I - длины пространственной области. Тот факт, что сложность
решений системы (4.2) при увеличении длины пространственной
области должна возрастать, уже вытекает из проведенного выше
линейного анализа. При увеличении / уменьшается частота и,
следовательно, растет период и сложность рождающихся периодических решений,
растет также величина га и, следовательно, сложность рождающихся
стационарных диссипативиых структур. Кроме того, для разложения
решения в ряд Фурье с заданной точностью требуется большее число
гармоник, и, следовательно, возрастает размерность любой
конечномерной аппроксимации бесконечномерной системы (4.2).
В результате численных экспериментов, проведенных в работе [26]
со второй краевой задачей в кольце для системы (4.2). удалось
обнаружить несколько типов аттракторов при различных значениях длины
области /. Сначала после потери устойчивости термодинамической
ветви наблюдались пространственно однородные колебания. При
увеличении / колебания становились пространственно неоднородными, однако
проекции траекторий конечномерной сеточной системы обыкновенных
дифференциальных уравнений, аппроксимирующей систему (4.2), на
двумерную плоскость оставались замкнутыми кривыми. При
дальнейшем увеличении длины области образовывался устойчивый
двумерный тор, заполняемый траекторией всюду плотно (рис.4.1а). Проекция
его сечения Пуанкаре па двумерную плоскость имела вид замкнутой
кривой. При больших значениях / возникали аттракторы, имеющие
более сложную структуру, что свидетельствовало о наличии в системе
(4.2) диффузионного хаоса (рис.4.16).
Рис. 4.1: Устойчивые двумерные торы (а) и более сложные решения (б) в
модели брюсселятора
Таким образом, изложенное в настоящем пункте дает основания

260 ГЛАВА 4. ПРОСТРАНСТВЕННО-ВРЕМЕННОЙ ХАОС
утверждать о наличии сложных нестационарных непериодических
решений (диффузионного хаоса) в системах уравнений
реакция-диффузия вида (4.1). Есть также веские основания предположить, что в
сценарии перехода к хаосу участвуют двумерные торы и, вполне
вероятно, весь субгармонический каскад бифуркаций двумерных торов
подобно тому, как это имеет место в пятимерной системе уравнений
Лоренца (см. п.2.5.2) и в рассмотренной в следующем пункте модели
брюсселятора на отрезке.
4.1.3. Диффузионный хаос в модели брюсселятора на
отрезке
В настоящем пункте, следуя работе [103], рассмотрим сценарий
перехода к диффузионному хаосу в модели брюсселятора на отрезке
и покажем, что этот переход осуществляется в полном соответствии
со сценарием Фейгенбаума—Шарковского—Магницкого через
субгармонический каскад бифуркаций устойчивых предельных циклов или
устойчивых двумерных торов.
Сначала рассмотрим первую краевую задачу для системы
уравнений (4.2)-(4.3) на отрезке длины I = тг при значении параметра А = 2
и различных коэффициентах диффузии. В случае D\ -- 0.04 > D^ =
0.01 и при значении бифуркационного параметра /io = 5.05 в
задаче (4.2)-(4.3) в результате бифуркации Андронова—Хопфа рождается
пространственно-неоднородное периодическое решение. Это
периодическое решение представлено в фазовом пространстве системы в виде
замкнутой кривой (предельного цикла). Цикл сохраняет устойчивость
до значения бифуркационного параметра \i « 5.43, при котором в
результате повторной бифуркации Андронова—Хопфа из него
рождается устойчивый двумерный тор. Тор существует до значения параметра
/i « 6, а при дальнейшем увеличении значений параметра \х тор
исчезает с образованием стационарной устойчивой диссипативной
структуры.
Для других значений коэффициентов диффузии D\ = 0.15 < D<i =
0.3 в первой краевой задаче для системы уравнений (4.2)-(4.3) имеет
место другой сценарий перехода к диффузионному хаосу через каскад
бифуркаций удвоения периода устойчивых предельных циклов.
Устойчивое пространственно-неоднородное периодическое решение
(устойчивый предельный цикл) рождается в задаче (4.2)-(4.3) в
результате бифуркации Андронова—Хопфа при значении параметра \х = 5.45
(рис. 4.2а). Он остается устойчивым до значения /i « 6.11. Устойчивый
цикл удвоенного периода (рис. 4.26) существует в диапазоне изменения
значений бифуркационного параметра \i € [6.12,6.57]. цикл периода 4
можно наблюдать при fi = 6.58, цикл периода 8 - при \х = 6.587 и т.д.
Каскад бифуркаций удвоения периода заканчивается формированием
сингулярного циклического аттрактора Фейгенбаума при ji « 6.5905
(рис. 4.2в).

4.1. ХАОС В СИСТЕМАХ РЕАКЦИЯ-ДИФФУЗИЯ
261
Рис. 4.2: Сингулярный цикл (а) при fi = 6, цикл удвоенного периода (б)
при fi = 6.4, аттрактор Фейгенбаума (в) при fx = 6.5905, цикл периода 5 (г)
из каскада Шарковского при /z = 6.825 и субгармонический циклический
аттрактор (д) в первой краевой задаче (4.2)-(4.3)
При [i > 6.591 в первой краевой задаче (4.2)-(4.3) можно наблюдать
устойчивые предельные циклы, имеющие периоды в соответствии с
порядком Шарковского. Например, устойчивый предельный цикл
периода 6 = 3-2 существует в задаче при //, = 6.64, периода 7 - при
/i = 6.765, периода 5 - при \i = 6.825 (рис. 4.2г). При данных
значениях коэффициентов диффузии субгармонический каскад
бифуркаций прерывается появлением устойчивой стационарной диссипативиой
структуры при \х » 6.90.
Рассмотрим теперь вторую краевую задачу для системы
уравнений (4.2) с граничными условиями (4.5) на концах отрезка длины
I = 7Г. При 0 < А < 3 и различных коэффициентах диффузии
хаотическая динамика во второй краевой задаче не наблюдается. Но
при А = 3 и при D\ = 0.04, D2 = 0.01 в задаче (4.2),(4.5)
рождается устойчивый двумерный тор при значении бифуркационного
параметра fi « 10.06. Родившийся тор претерпевает две
последовательные бифуркации удвоения периода по внутренней (основной) частоте
при fi « 10.1224 и fi ps 10.14687. Однако, при значении А = 3, каскад
бифуркаций удвоения периода двумерных торов в задаче (4.2),(4.5)
является неполным. Двумерный инвариантный тор периода четыре
по внутренней частоте бифурцирует обратно в двумерный
инвариантный тор периода два при значении /х « 10.156 и затем бифурцирует в
простой двумерный инвариантный тор при fi « 10.16.
Сингулярные тороидальные аттракторы были обнаружены во
второй краевой задаче для модели брюсселятора (4.2),(4.5) при значении
А = 4 и при коэффициентах диффузии D\ = 0.1, D2 = 0.02. При таких
фиксированных значениях параметров и при длине отрезка / = 7Г в
задаче (4.2),(4.5) существует устойчивый предельный цикл в диапазоне
изменения значений бифуркационного параметра fi E (17.00, 17.06).

262 ГЛАВА 4. ПРОСТРАНСТВЕННО-ВРЕМЕННОЙ ХАОС
При /i « 17.06 в фазовом пространстве задачи (4.2),(4.5) рождается
устойчивый двумерный инвариантный тор (рис. 4.3а). Этот тор
остается устойчивым до значения \х w 17.07392, при котором происходит
бифуркация удвоения его периода по внутренней частоте (рис. 4.36).
Далее установлено существование в задаче (4.2),(4.5) устойчивых
двумерных торов периодов 4 и 8 по внутренней частоте при значениях
бифуркационного параметра д = 17.076 и /л « 17.0798 соотвегствеи-
но. При значении параметра /i « 17.0801, во второй краевой
задаче (4.2),(4.5) существует сингулярный тороидальный аттрактор Фей-
гепбаума, сформированный как предел каскада бифуркаций
удвоения периода по внутренней частоте двумерных инвариантных торов
(рис. 4.3г).
d
а)
т
т
О)
т
—►
т
—»-
оо
в)
Рис. 4.3: Проекции сечения Пуанкаре и(1/2) = 0 на плоскость (г*(0), v(l/2)):
двумерного инвариантного тора (а), двумерного тора удвоенного периода по
внутренней частоте (б), двумерного тора периода 4 по внутренней частоте
(в), сингулярного тороидального аттрактора Фейгенбаума (г) во второй
краевой задаче (4.2), (4.5)
4.1.4. Бегущие волны, импульсы и диффузионный хаос в
возбудимых средах
Частным случаем систем уравнений «реакция-диффузия»
являются системы уравнений типа ФитцХью-Нагумо, описывающие
нелинейные процессы, происходящие в так называемых возбудимых
средах. Это - распространение импульсов в нервном волокне и
сердечной мышце [95,126,138,148,193], а также различные виды
автокаталитических химических реакций [166,168,195]. Основным свойством,
характеризующим класс возбудимых сред, является медленная
диффузия одной переменной в системе уравнений «реакция-диффузия» (4.1)
по сравнению с другой переменной. Поэтому система уравнений типа
ФитцХыо-Нагумо может быть записана в следующем общем виде
щ = Duxx + /(и, г;, /i), vt = д(и, v, /i),
(4.6)

4.1. ХАОС В СИСТЕМАХ РЕ АКЦИЯ-ДИФФУЗИЯ 263
где параметр ft в общем случае является вектором. Хорошо
известно, что в системах вида (4.6) в одномерном пространственном случае
могут существовать волны переключения, бегущие волны и бегущие
импульсы, диссипативные пространственно неоднородные
стационарные структуры, а также нерегулярные непериодические
нестационарные структуры, называемые иногда биологической (или химической)
турбулентностью.
Анализ регулярных решений системы (4.6) на прямой может быть
проведен заменой £ = х — ct и переходом к трехмерной системе
обыкновенных дифференциальных уравнений
й = 1Л У= ~{су + /(и,1Л/л))/Д i> = -g(u,v,n)/c, (4.7)
где производная берется по переменной £. При этом волна
переключения в системе (4.6) описывается сепаратрисой системы (4.7). идущей
из ее одной особой точки в другую особую точку, а бегущие волны и
бегущий импульс системы (4.6) описываются предельными циклами и
петлей сепаратрисы особой точки системы (4.7). Покажем, что
диффузионный хаос (турбулентность) в системе уравнений типа ФитцХыо-
Нагумо (4.6) описывается сингулярными аттракторами системы
обыкновенных дифференциальных уравнений (4.7) в соответствии с
теорией Фейгеибаума—Шарковского—Магницкого. Для этого, как
следует из общей теории сингулярных аттракторов диссипативиых систем
обыкновенных дифференциальных уравнений, рассмотренной в главе
2 настоящей книги, достаточно выбрать функции f(u, v, ц) и д(и, v, fi)
таким образом, чтобы система уравнений (4.7) имела особую точку
типа седло-фокус, а также субгармонический и гомоклинический
каскады бифуркаций сингулярных циклов, порожденных этой особой
точкой.
Рассмотрим один частный случай систем уравнений (4.6)-(4.7) с
нелинейностями вида
/(u, v.fi) = — (и — 1)(и - Sv)/c, g(u,v,(i) = arctg(au) — v, (4.8)
где параметр е является малым параметром. Заметим, что система
уравнений (4.6) с полиномиальной по переменным (u,v) функцией
f(u, г?,//) и функцией g(u,v.fi), именощей при каждом v конечные
предельные значения при и —> ±оо, описывает некоторые виды
автокаталитических химических реакций [195]. Нетрудно видеть, что
система (4.7)-(4.8) при любых значениях параметров имеет особую точку
О(0,0,0). Кроме того, при а > 1/5 система уравнений (4.7)-(4.8) имеет
еще две симметричные особые точки 0±(iu^.O, ±гц/(5). где значение
и* является положительным решением уравнения 5arctg(au*) = и*.
Следовательно, система уравнений (4.7)-(4.8) может иметь при
различных значениях параметров D, а, 5, е, с субгармонические, гомоклини-
ческие и гетероклинические каскады бифуркаций устойчивых циклов,
сходящихся к гомоклиническим и гетероклииическим сепаратрисным

264 ГЛАВА 4. ПРОСТРАНСТВЕННО-ВРЕМЕННОЙ ХАОС
контурам особых точек. Любой такой субгармонический, гомоклини-
ческий или гетероклинический каскад бифуркаций содержит
бесконечное число различных сингулярных аттракторов системы
обыкновенных дифференциальных уравнений (4.7) и, соответственно,
бесконечное число различных непериодических нестационарных
пространственно неоднородных (хаотических, турбулентных) режимов
поведения решений исходной системы уравнений типа ФитцХыо-Нагумо
(4.6).
Наибольший интерес, естественно, представляет случай, когда
бифуркационным параметром является параметр с, не входящий явно
в систему уравнений (4.6) и являющийся величиной скорости
распространения возмущений вдоль оси х. Этот случай означает, что система
уравнений типа ФитцХыо-Нагумо (4.6) с фиксированными
параметрами может иметь бесконечное число различных автоволновых решений
произвольного периода, бегущих вдоль пространственной оси с
различными скоростями, а также бесконечное число различных режимов
пространственно-временного (диффузионного) хаоса.
Проиллюстрируем последнее утверждение примером системы уравнений (4.7)-(4.8)
с фиксированными значениями параметров D — 1,а = 2,5 = 6,е =
0.195. При этих значениях параметров нулевая особая точка О системы
(4.7)-(4.8) является устойчивым фокусом при с > y/l + (аб — 1)/(1 — е)
£з 3.83. При меньших значениях параметра с из нулевой особой точки
в результате бифуркации Андронова—Хопфа рождается предельный
цикл, который остается устойчивым до с « 2.9635. Сама особая точка
О становится седло-фокусом. При дальнейшем уменьшении значений
параметра с в системе (4.7)-(4.8) реализуется каскад бифуркаций Фей-
генбаума удвоения периода устойчивых предельных циклов вплоть до
образования первого сингулярного аттрактора - аттрактора Фейген-
баума при с « 2.874 (рис.4.4).
Рис. 4.4: Сингулярный цикл при с = 3 (а), цикл удвоенного периода при
с = 2.9 (б), цикл периода 4 при с = 2.88 (в), цикл периода 8 при с = 2.875 (г)
и аттрактор Фейгенбаума при с = 2.874 (д) в системе уравнений (4.7)-(4.8)
При дальнейшем уменьшении значений параметра с в системе (4.7)-
(4.8) реализуется полный субгармонический каскад бифуркаций устой-

4.2. ХАОС В АВТОКОЛЕБАТЕЛЬНЫХ АКТИВНЫХ СРЕДАХ 265
чивых циклов в соответствии с порядком Шарковского и затем
неполный гомоклинический каскад бифуркаций устойчивых циклов,
сходящихся к гомоклини чес кому контуру - петле сепаратрисы седло-фокуса
О (рис.4.5). Однако, самой петли сепаратрисы седло-фокуса при
данных значениях параметров в системе (4.7)-(4.8) не существует. Для па-
хождения поверхности существования петли сепаратрисы седло-фокуса
в многомерном пространстве параметров системы (4.7)-(4.8) можно
воспользоваться методом, разработанным автором и описанным в
работах [56,59]. Примеры отыскания этим методом поверхностей и
кривых существования гомоклинических и гетероклииических контуров в
системе уравнений Лоренца рассмотрены в главе 2 настоящей книги.
Рис. 4.5: Один из субгармонических сингулярных аттракторов при с =
2.863(a) и циклы периодов 5 при с = 2.8505(6) и 3 при с = 2.838(b) из
каскада Шарковского; гомоклинические циклы периодов 4 при с = 2.816(г)
и 5 при с = 2.8073 (д) из гомоклинического каскада в системе уравнений
(4.7Н4.8)
4.2. Пространственно-временной хаос в
автоколебательных активных средах
В работе [151] показано, что любое решение системы уравнений
реакция-диффузия (4.1), рождающееся в окрестности
термодинамической ветви в результате ее бифуркации при \х > /io? может быть
выражено через комплекснозначную функцию W(t,t),
удовлетворяющую уравнению
WT = W + (1 + id )Wrr - (1 + ic2)W\W\2, (4.9)
где г = ex, т = £2£, с\ и С2 - действительные постоянные, значения
которых определяются коэффициентами диффузии Di, L>2>
функциями f(u,v,fi), g{u,vyfi) и их производными, вычисленными на
термодинамической ветви, а е = (ц - /^о)1//2 - малый параметр.
Уравнение (4.9), называемое уравнением Курамото-Цузуки или завися-
щим от времени уравнением Гинзбурга-Ландау, играет важную роль

266 ГЛАВА 4. ПРОСТРАНСТВЕННО-ВРЕМЕННОЙ ХАОС
в изучении и понимании процессов, происходящих в нелинейных дис-
сипативных средах диффузионного типа. Непосредственной
подстановкой легко убедиться в том, что для произвольной фазы *р
функция W(r) = ехр(—г(с2Т + ф)) является однородным по пространству
решением уравнения (4.9). Следовательно, каждый элемент среды
(4.9) совершает в установившемся режиме гармонические колебания
с частотой С2, причем этот режим является устойчивым в некоторой
большой области изменения параметров с\ и с^- Такие среды принято
называть автоколебательными.
Для нахождения пространственно неоднородных решений
уравнения (4.9) обычно рассматривается вторая краевая задача для этого
уравнения на отрезке. В цикле работ А.Самарского, С.Курдюмова и
их учеников [9-11] показано, что в некоторой области изменения
параметров с\ и С2 устойчивым является автомодельное решение вида
W(r,r) — F(r)exp(i(u>T + a(r)). Если a(r) = fcr, то колебания
соседних элементов происходят с постоянным сдвигом по фазе, что
соответствует движению по пространству фазовой волны. В
двумерном случае уравнение (4.9) имеет решения в виде ведущих центров-
последователыюсти разбегающихся концентрических фазовых волн,
и спиральных воли. Были также установлены области изменения
параметров с\ и С2, в которых вторая краевая задача для уравнения
(4.9) на отрезке [О, R] имеет нестационарные, непериодические,
неоднородные по пространству решения - пространственно-временной или
диффузионный хаос.
Идея авторов работ [ 10,11] объяснить природу таких
нерегулярных решений уравнения (4.9) состояла в использовании галеркинских
маломодовых аппроксимаций для сведения уравнения (4.9) к более
простой трехмерной системе обыкновенных дифференциальных
уравнений с последующим анализом хаотической динамики полученной
таким образом трехмерной системы. Было показано, что когда
длина отрезка невелика (R ~ 7г), так что коэффициенты Фурье решений
быстро убывают с ростом их номера, то между решениями исходного
уравнения (4.9) и двухмодоиой (трехмерной) системой обыкновенных
дифференциальных уравнений есть не только качественное, но в
некоторых случаях и количественное соответствие. Причем это относится
не только к простейшим регулярным (периодическим) решениям, но
и к нерегулярным аттракторам, и к сценариям их возникновения при
изменении параметров с\ и С2. Такой подход позволил сначала найти
область динамического хаоса в упрощенной трехмерной системе
обыкновенных дифференциальных уравнений, а затем достаточно просто
обнаружить и область пространственно-временного хаоса в уравнении
Курамото-Цузуки (Гинзбурга-Ландау) (4.9).
Однако, были найдены только области существования устойчивых
особых точек, простых устойчивых циклов и циклов удвоенного
периода в пространстве параметров (ci,C2) упрощенной трехмерной
системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Все более сложные

4.2. ХАОС В АВТОКОЛЕБАТЕЛЬНЫХ АКТИВНЫХ СРКДЛХ 267
регулярные (периодические) и нерегулярные аттракторы упрощенной
трехмерной системы были просто отнесены к одному классу, а к
областям существования сложных решений из этого класса были
отнесены все оставшиеся области пространства параметров. Поэтому подход,
предложенный в работах |9-11], не дает возможности объяснить
механизмы и определить сценарии возникновения хаотической динамики
как в упрощенной трехмерной системе обыкновенных
дифференциальных уравнений, так и, тем более, в исходном уравнении Курамото-
Цузуки (Гинзбурга-Ландау) (4.9). Кроме того, не была решена
основная проблема соотношения между пространственно-временным
хаосом в системах уравнений с частными производными диффузионного
типа и динамическим хаосом в диссипативных системах
обыкновенных дифференциальных уравнений.
Как доказано и на многочисленных примерах продемонстрировано
во второй главе настоящей книги, все трехмерные нелинейные дисси-
пативиые системы обыкновенных дифференциальных уравнений
имеют единый универсальный сценарий перехода к хаосу через каскад
Фейгенбаума бифуркаций удвоения периода устойчивых предельных
циклов, затем через субгармонический каскад бифуркаций Шарков-
ского рождения циклов любого периода вплоть до цикла периода три,
и затем через гомоклинический каскад бифуркаций Магницкого
рождения устойчивых циклов, стремящихся к гомоклиническим контурам
особых точек или периодических решений. По и системах
обыкновенных дифференциальных уравнений большей размерности сценарии
перехода к хаосу содержат двумерные устойчивые торы и, возможно,
полные или неполные субгармонические и гомоклииические каскады
бифуркаций двумерных торов по одной из частот или по обеим
частотам одновременно аналогично тому, как это имеет место в пятимерной
комплексной системе уравнений Лоренца (см. главу 2). Поэтому
существуют веские основания сомневаться в корректности переноса
результатов, справедливых для маломодовых (трехмерных) систем
обыкновенных дифференциальных уравнений на бесконечномерные системы
уравнений с частными производными.
В следующих разделах главы на основе проведенных численных
исследований показано, что переход к хаосу в системе маломодовых
аппроксимаций для уравнения Курамото-Цузуки (Гинзбурга-Ландау)
происходит через субгармонический каскад бифуркаций устойчивых
предельных циклов. Однако переход к пространственно-временному
хаосу в фазовом пространстве решений уравнения Курамото-Цузуки
происходит через субгармонический каскад бифуркаций устойчивых
двумерных инвариантных торов не только по внутренней (основной)
и внешней частотам, но и по обеим частотам одновременно. Оба
сценария находятся в полном соответствии с теорией ФШМ (Фейгенбаума—
Шарковского—Магницкого), представленной во второй главе
настоящей книги.

268 ГЛАВА 4. ПРОСТРАНСТВЕННО-ВРЕМЕННОЙ ХАОС
4.2.1. Сценарий перехода к хаосу в системе маломодовых
аппроксимаций уравнения Курамото-Цузуки
Следуя работе [9], рассмотрим вторую краевую задачу для
уравнения Курамото-Цузуки (Гинзбурга-Ландау)
Wt = W + {l+ id)Wxx - (1 + ic2)W\W\2,
^(0,0 = ^(1,0=0, W(x,0) = WQ{x), 0<x<l, 0<t<oo ( ' J
с комплекснозиачной функцией W = W(x> t) = u(xyt) + iv{xyi).
Используя метод маломодовых галеркинских аппроксимаций,
W{x,t) ъ £1/2(t)exp(iei(t)) + r}1/2(t)exp(ie2(t))coskx, /с = тг/i,
сведем бесконечномерную краевую задачу (4.10) к значительно более
простой трехмерной системе нелинейных обыкновенных
дифференциальных уравнений
i = Ч - Щ£ + V)~ ^(cos в + с2 sin 0),
7] = 2т? - 2ту(2£ + Зт//4) - 2f t/(cos 0 - С2 sin0) - 2fc2r/, (4.11)
в == с2(2£ - т?/2) + (2f + г?) sin (9 + с2(2£ - г?) cos/9 + 2cifc2
относительно переменных £, 77 и в = 02 — #i, обладающей хаотической
динамикой.
Покажем, что все нерегулярные аттракторы трехмерной системы
(4.11) являются сингулярными аттракторами и что переход к хаосу в
системе (4.11) маломодовых аппроксимаций также происходит в
соответствии с теорией ФШМ через каскад бифуркаций удвоения периода
устойчивых циклов, затем через субгармонический каскад
бифуркаций устойчивых циклов вплоть до цикла периода три и затем через
гомоклинический каскад бифуркаций.
Действительно, положим, например, к = 1, с\ = 1.3 и рассмотрим
сценарий перехода к хаосу в системе (4.11) при изменении значений
параметра с2. Аттракторы системы (4.11) будем наблюдать в трехмерном
фазовом пространстве с координатами х = £cos#, у = £sin0, z = rj.
Интегрируя систему (4.11) методом Рунге-Кутта четвертого
порядка нетрудно установить, что при уменьшении отрицательных
значений параметра с2 в системе (4.11), как и во всех других хаотических
системах дифференциальных уравнений, сначала реализуется каскад
Фейгенбаума бифуркаций удвоения периода сингулярного
устойчивого предельного цикла, существующего в системе, например, при с2 =
-5. Затем реализуется субгармонический каскад бифуркаций
рождения циклов любого периода в соответствии с порядком Шарковского.
Устойчивый цикл удвоенного периода рождается в системе (4.11) при
с2 » —6.782, учетверенного периода - при с2 « -7.92, периода 8 - при
с2 « —8.15, периода 16 - при с2 & -8.2, периода 32 - при с2 « —8.21,

4.2. ХАОС В АВТОКОЛЕБАТЕЛЬНЫХ АКТИВНЫХ СРЕДАХ 269
Рис. 4.6: Сингулярный исходный цикл (а), цикл периода два (б), аттрактор
Фейгенбаума (в), цикл периода три (г) и один из сложных субгармонических
сингулярных аттракторов (д) в упрощенной трехмерной системе (4.11) при
с\ = 1.3 и уменьшении отрицательных значений параметра с?
периода 64 - при сг « —8.211. Аттрактор Фейгенбаума существует в
системе (4.11) при сг ~ —8.2111 (рис. 4.6).
При сг « —8.2155 в системе (4.11) уже существует устойчивый цикл
периода 40, что соответствует циклу периода 5 • 23 в каскаде Шарков-
ского. Цикл периода 20 = 5 • 22 рождается при Сч та —8.2509, цикл
периода 14 = 7 • 2 - при С2 ~ -8.2754, цикл периода 10 = 5 • 2 - при
Сч » -8.2949, цикл периода 6 = 3*2- при Сг « -8.348. Рождение
последнего цикла в системе (4.11) означает рождение устойчивого цикла
периода три в некотором двумерном многообразии, трансверсальном
исходному циклу. При С2 ъ —8.564 в системе (4.11) рождается
устойчивый цикл периода 7, при С2 ~ —8.668 - устойчивый цикл периода 5 и
при сг ~ —9.0 - устойчивый цикл периода 3 (рис. 4.6г). Все родившиеся
циклы претерпевают свои собственные каскады бифуркаций удвоения
периода Фейгенбаума.
Важно отметить, что в трехмерном фазовом пространстве (#, у, z)
системы (4.11) при некоторых значениях параметров может
существовать одновременно несколько устойчивых сингулярных циклов со
своими областями притяжения. Каждый такой цикл может порождать
свои собственные каскады бифуркаций и свое семейство полных или
неполных сингулярных субгармонических аттракторов. Фиксируем,
например, значение параметра С2 = 9.0 и будем менять значения
параметра с\. Нетрудно установить, что существующий в системе (4.11)
устойчивый цикл периода три при с\ = 1.3 является порождением
субгармонического каскада бифуркаций изначально устойчивого
сингулярного цикла при уменьшении значений параметра с\ от
значения С\ = 1.43. Проекция этого исходного сингулярного цикла на
плоскость (у, z) делает четыре оборота вокруг некоторого условного
центра. Устойчивый цикл периода 8 рождается в системе при с\ « 1.425,
устойчивый цикл периода 6 - при с\ и 1.366, устойчивый цикл
периода 5 - при с\ & 1.33. При Ci и 1.282 в системе (4.11) рождается другой
устойчивый цикл периода 6, являющийся циклом удвоенного перио-

270 ГЛАВА 4. ПРОСТРАНСТВЕННО-ВРЕМЕННОЙ ХАОС
да по отношению к циклу периода 3. При дальнейшем уменьшении
значений параметра с\ имеет место каскад бифуркаций удвоения его
периода.
Вместе с тем при увеличении значений параметра с\ от значения
с\ « 1.21 в системе (4.11) реализуется другой субгармонический
каскад бифуркаций, начинающийся простым устойчивым сингулярным
циклом. Область притяжения этого цикла содержит, например,
начальную точку £ = 0.1, 7] = 0.01, 9 = —0.2. Каскад продолжается
устойчивым циклом удвоенного периода при с\ и 1.215,
учетверенного периода при с\ « 1.232, периода 8 - при с\ и 1.237, периода
16 - при с\ ~ 1.2375 и т.д. Аттрактор Фейгенбаума рождается здесь
при значении с\ та 1.238. Далее, устойчивый цикл периода 6
рождается в системе при с\ и 1.2415, устойчивый цикл периода 5 - при
с\ « 1.252, новый устойчивый цикл периода 3 - при с\ « 1.255. В
области 1.26 < с\ < 1.28, существует большое число сингулярных
аттракторов, лежащих за каскадом Шарковского, но являющихся
предельными для своих каскадов бифуркаций устойчивых циклов.
Некоторые из таких циклов периодов 22, 14, и 12 удалось обнаружить при
значениях параметра с\ — 1.268, с\ = 1.273 и с\ = 1.279
соответственно. Сингулярный аттрактор системы (4.11) при с\ = 1.27 изображен на
рис. 4.7а. Заметим, что при с\ = 1.21 в окрестности исходного
устойчивого сингулярного цикла рассматриваемого каскада лежит другой
устойчивый цикл удвоенного периода, области притяжения которого
принадлежит, например, точка £ = 0.1, ц ~ 0.01, в = 0. Этот цикл не
порождает сингулярных аттракторов.
а) б)
Рис. 4.7: Сингулярные аттракторы системы (4.11) в координатах (х,у,г)
при с2 = -9.0 и а = 1.27 (а), а = 1.57 (б)
Третий субгармонический каскад бифуркаций порождает
устойчивый при с\ = 1.43 цикл, но уже при росте значений параметра с\.
Здесь устойчивый цикл удвоенного периода рождается при с\ « 1.52,
учетверенного периода - при с\ « 1.5581 и т.д. Семейство
сингулярных субгармонических аттракторов, порожденных этим циклом, мож-

4,2. ХАОС В АВТОКОЛЕБАТЕЛЬНЫХ АКТИВНЫХ СРЕДАХ 271
но наблюдать в области 1.56 < С\ < 1.59 (см. рис. 4.76). Четвертый и
пятый субгармонические каскады бифуркаций порождают два
устойчивые при С\ = 1.81 цикла как при уменьшении, так и при увеличении
значений параметра С\. Области притяжения первого цикла
принадлежит, например, начальная точка £ = 0.1, rj = 0.01, 9 •= 20. Устойчивый
цикл удвоенного периода рождается здесь при с\ « 1.802,
учетверенного периода - при С\ w 1.7875 и т.д. Семейство сингулярных
субгармонических аттракторов системы (4.11), порожденных этим циклом,
можно наблюдать в области 1.76 < с\ < 1.77. В области притяжения
второго цикла лежит, например, точка £ = 0.1, ц = 0.01, в = —0.2.
Здесь устойчивый цикл удвоенного периода рождается при С\ ~ 10.35,
учетверенного периода - при с\ рз 11.67 и т.д. Семейство сингулярных
субгармонических аттракторов, порожденных этим циклом, можно
наблюдать в области 12 < с\ < 15. Сингулярные аттракторы системы
(4.11) при С2 = —9.0, с\ = 1.765 и ci = 13 представлены на рис. 4.8.
Сингулярные аттракторы системы (4.11) при некоторых других
значениях параметров С\ и сг изображены на рис. 4.9.
Рис. 4.8: Сингулярные аттракторы системы (4Л1) при значениях
параметров: с2 = -9.0; а = 1.765 (а); с\ = 13(6)
Полученные выше результаты свидетельствуют о том, что в
трехмерной маломодовой системе галеркинских аппроксимаций для
уравнения Курамото-Цузуки (Гинзбурга-Ландау) сценарии перехода к
хаосу не отличаются от единого универсального сценария перехода к
хаосу в нелинейных диссипативных системах обыкновенных
дифференциальных уравнений, рассмотренного и теоретически обоснованного
в главе 2 настоящей книги. Тем не менее, это не позволяет сделать
однозначный вывод об идентичности механизма хаотической
динамики в бесконечномерной системе уравнений с частными производными
(4.10) и в трехмерной системе ее маломодовых аппроксимаций (4.11),
рассмотренной в настоящем пункте. Эта проблема требует
дополнительного исследования, которое будет проведено в следующих пунктах
настоящего раздела данной главы.

272 ГЛАВА 4. ПРОСТРАНСТВЕННО-ВРЕМЕННОЙ ХАОС
Т *
fL
а)
Рис. 4.9: Сингулярные аттракторы системы (4.11) при значениях
параметров: ci = 1.4125, с2 = -11.5 (а); а = 1.512, с2 = -10 (б)
4.2.2 Переход к хаосу в пространстве коэффициентов
Фурье
Маломодовые аппроксимации решения W(x,t) = u(x.t) + iv(x,t)
уравнения Курамото-Цузуки (Гинзбурга-Ландау) основаны на
разложении решения в ряд Фурье по собственным функциям
рассматриваемой краевой задачи. Для второй краевой задачи (4.10) это разложение
имеет вид
и(х, 0 = 5Z ^0 cos "Т"1 v(Xy ^ ^ И bm W cos
7П=0
т=0
тгтх
(4.12)
Так как коэффициенты Фурье быстро убывают с ростом их номера,
то для построения системы маломодовых аппроксимаций
используются только первые гармоники разложения (4.12), т.е.
(u(x,t)\ ^ (a0(t)\
\bo(t))
+
\bx(t))
cos kx, к =
Г
(4.13)
Подставляя (4.13) в систему (4.10) и пренебрегая всеми
членами разложения, содержащими гармоники cos—-—, т > 1, получим
систему обыкновенных дифференциальных уравнений относительно
переменных ао(£), ui(*), &о(0> и М*)- Система (4.11) получается в
результате использования подстановок pf(t) = а?(£) + Ь?(£), г = 0,1,..., и
f = Ро, rf = р?, 0 » <ро — <£i, где а* = р^ cos <р;, 6* = р* sin<р;. Таким
образом, упрощенная система (4.11) описывает решения не второй краевой
задачи (4.10), а некоторой конечномерной системы уравнений в
пространстве коэффициентов Фурье. С этой точки зрения система (4.11)
подобна хорошо известной системе Лоренца трех нелинейных
обыкновенных дифференциальных уравнений. В этой связи заметим, что

4.2. ХАОС В АВТОКОЛЕБАТЕЛЬНЫХ АКТИВНЫХ СРЕДАХ 273
переход к хаосу в расширенной пятимерной системе Лоренца
происходит через каскады бифуркаций двумерных инвариантных торов по
внешней частоте, а не через каскады бифуркаций предельных циклон.
Сценарий перехода к хаосу в пятимергюй системе Лоренца проще, чем
сценарий перехода к хаосу в трехмерной системе в том смысле, что ом
состоит только из каскада бифуркаций удвоения периода и
субгармонического каскада бифуркаций инвариантных двумерных торов.
Поэтому представляется необходимым рассмотреть сценарий перехода к
хаосу во всем пространстве коэффициентов Фурье, не сводя задачу к
упрощенной маломодовой (трехмерной) системе обыкновенных
дифференциальных уравнений вида (4.11).
Для этого коэффициенты Фурье вычислялись по формулам
(ao(t)\ _ I f (Ф, t)\ . fam(t)\ _ 2 у fu(x, t)\ жтх
Wt)) ~ l J [v(x, t)) **' [bm(t)J ~ i J [y(x, t)) «* I d1'm > °
0 0
с использованием значений функций u(x,t) и v(x,t)} полученных при
численном решении второй краевой задачи (4.10) для уравнения Ку-
рамото - Цузуки на отрезке [0,/]. Вторая краевая задача решалась с
помощью чисто неявной разностной схемы методом матричной
прогонки. Такая численная схема имеет второй порядок аппроксимации по
временной и пространственной переменным. Задание граничных
условий также обеспечивает второй порядок аппроксимации по
пространственной переменной. Величина шага интегрирования по времени
была принята равной г = 0.005, шаг по пространственной переменной
определялся числом точек п = 30 разбиения отрезка [0,/]. Для
исследования сценария перехода к хаосу в пространстве коэффициентов
Фурье были выбраны переменные pi = \/af + bf, а решения
рассматривались в проекции на плоскость (ро, р\).
Сравним решения, полученные в п. 4.2.1 для упрощенной
маломодовой системы (4.11), с решениями исходной второй краевой
задачи (4.10), представленными в пространстве коэффициентов Фурье.
Для этого возьмем то же самое значение параметра с\ = 1.3 и
рассмотрим сценарий перехода к хаосу при уменьшении параметра С2 в
области отрицательных значений. При значениях параметра сг Е (—1.8,0)
система (4.11) имеет устойчивую особую точку (£ = 1,7/ = 0), а
задача (4.10) имеет пространственно однородное периодическое
решение. Этому состоянию задачи (4.10) соответствует неподвижная точка
(ро> 0, 0,..., 0) в пространстве коэффициентов Фурье. В фазовом
пространстве переменных (u, v) для этого же интервала изменения
параметра С2 траектория представляет собой окружность, что
свидетельствует об одинаковой амплитуде колебаний переменных u(t) и v(t).
При значении параметра С2 » —1.81 в задаче (4.10) наблюдается
бифуркация, в результате которой однородное периодическое решение
теряет устойчивость, и рождается другое устойчивое решение, неод-

274 ГЛАВА 4. ПРОСТРАНСТВЕННО-ВРЕМЕННОЙ ХАОС
нородное по пространству и периодическое по времени. В
пространстве коэффициентов Фурье этой бифуркации соответствует потеря
устойчивости неподвижной точки (ро,0, 0 0) и появление другой
неподвижной точки с отличными от нуля значениями переменных р^.
С этой неподвижной точкой в пространстве коэффициентов Фурье
связана круговая орбита в проекции (и(хо), v(xq)) фазового пространства,
где хо G [0, /]. Круговая орбита свидетельствует об одинаковой
амплитуде колебаний переменных u(t) и v(t) в любом сечении отрезка. Таким
образом, после потери устойчивости однородного периодического
решения в задаче (4.10) рождается другое устойчивое неоднородное, но
периодическое по времени и пространству решение.
Это неоднородное по пространству решение остается устойчивым
при уменьшении значений параметра сч до значения сч ~ —2.66, при
котором в проекции на плоскость (po,Pi) отмечается рождение
предельного цикла. При значении сч ~ —4.617 происходит бифуркация,
начинающая каскад бифуркаций удвоения периода Фейгенбаума. Так,
при значении сч = —4.8 наблюдается цикл учетверенного периода, при
С2 = —4.815 - цикл периода 8, при сч = —4.820 - цикл периода 16 и т.д.
Каскад бифуркаций удвоения периода завершается аттрактором
Фейгенбаума при значении параметра сч « —4.8225 (рис. 4.10).
Р\
\Р\
а)
Ро
б)
Р\
Ро
Р\
в)
Ро
Рй
Рис. 4.10: Проекции цикла периода два (а), аттрактора Фейгенбаума (б),
цикла периода три (и) и одного из субгармонических сингулярных
аттракторов (г) в многомерной системе коэффициентов Фурье для. уравнения Ку-
рамото-Цузуки (4.10) при ci = 1.3 и уменьшении значений параметра С2
При меньших значениях параметра сч решения в пространстве
коэффициентов Фурье имеют сложный хаотический характер. Однако
существование решения с периодом 5 при значении сч = —4.894 и
решения с периодом 3 при сч = --4.955 свидетельствует о наличии в
задаче (4.10) субгармонического каскада бифуркаций Шарковского.
Причем эти же циклы с периодами 3 и 5 снова наблюдаются при
значениях параметра Сг = —5.20 и сч — —5.26, соответственно. Последнее
обстоятельство свидетельствует о том, что в пространстве
коэффициентов Фурье задачи (4.10), как и в трехмерных диссипативных
системах обыкновенных дифференциальных уравнений, существует точка
накопления, т.е. такое значение бифуркационного параметра, при
котором сингулярный аттрактор имеет наиболее сложную структуру. По

4.2. ХАОС В АВТОКОЛЕБАТЕЛЬНЫХ АКТИВНЫХ СРЕДАХ 275
обе стороны от точки накопления, как показано в [39], сценарий
образования хаотического аттрактора одинаков. При уменьшении
значений параметра са происходит упрощение решений задачи (4.10) в
обратном каскаду Фейгенбаума—Шарковского порядке вплоть до
появления устойчивой неподвижной точки при значении С2 « -6.42,
Таким образом, результаты, полученные в пространствах
одинаковых переменных относительно упрощенной системы (4.11) и исходной
задачи (4.10) для уравнения Курамото-Цузуки (Гинзбурга-Ландау),
позволяют сделать следующие важные выводы. Во-первых, переход
к хаотическому поведению в задаче (4.10) для решений в
пространстве коэффициентов Фурье осуществляется по тому же сценарию, что
и в нелинейных диссипативных системах, описываемых
обыкновенными дифференциальными уравнениями, а именно через каскад
бифуркаций Фейгенбаума удвоения периода циклов и далее через
субгармонический каскад бифуркаций рождения устойчивых циклов
согласно порядку Шарковского. Во-вторых, имеются существенные
количественные расхождения между значениями бифуркационных
параметров каскадов бифуркаций рождения устойчивых циклов в системе
маломодового приближения (4.11) и в решении задачи (4.10) в
пространстве коэффициентов Фурье.
4.2.3. Переход к хаосу в фазовом пространстве решений
Рассмотрим теперь сценарий образования хаотических режимов во
второй краевой задаче для уравнения Курамото-Цузуки (Гинзбурга-
Ландау) (4.10) в фазовом пространстве переменных (u,v). Для
этого используем сечение Пуанкаре данного пространства плоскостью
и(1/2) = 0 и рассмотрим его проекцию на координаты (u(0).v(l/2)).
В качестве фиксированного параметра снова выберем значение С\ —
1.3 и будем варьировать параметр сг в той же области, которая
была описана выше в п. 4.2.2. Начальные условия для решения второй
краевой задачи (4.10) примем однородными.
Снова отметим, что в диапазоне С2 € [—1.8,0] вторая краевая
задача (4.10) имеет пространственно однородное периодическое
решение с одинаковой амплитудой колебаний переменных u(x,t) и v{xA).
При значении параметра С2 » —1.81 это однородное решение теряет
устойчивость и рождается другое устойчивое периодическое, но уже
неоднородное решение также с одинаковой амплитудой колебаний по
переменным u{x,t) и v(x, t) в каждой точке отрезка. При значении
с'2 ~ —2.66 периодическое неоднородное решение также становится
неустойчивым, и в задаче (4.10) рождается устойчивый двумерный
инвариантный тор, что подтверждается построением сечения Пуанкаре.
При значении сг w -3.549 происходит бифуркация рождения
двумерного инвариантного тора удвоенного периода по основной
(внутренней) частоте.
Отметим, что при значении с<ь = —4.8, соответствующем циклу
периода 4 в координатах (/?o3pi)j проекция сечения Пуанкаре указывает

276 ГЛАВА 4. ПРОСТРАНСТВЕННО-ВРЕМЕННОЙ ХАОС
на существование в задаче (4.10) двумерного инвариантного
устойчивого тора с периодом 2 и по внутренней, и по внешней частоте
(рис. 4.11а). Далее при значении сг =* —4.815 наблюдается
двумерный инвариантный тор, имеющий период 2 по внутренней частоте и
период 4 по внешней частоте, при значении сг = —4.820 -
двумерный инвариантный тор с периодом 2 по внутренней частоте и с
периодом 8 по внешней частоте. Таким образом, для задачи (4.10) имеет
место каскад бифуркаций удвоения периода по внешней частоте
двумерных инвариантных торов, имеющих период 2 по внутренней частоте.
Этот каскад завершается образованием тороидального сингулярного
аттрактора Фейгенбаума при значении параметра сг w —4.8225,
которое соответствует появлению аттрактора Фейгенбаума и в
пространстве коэффициентов Фурье. Вид аттрактора Фейгенбаума в проекции
сечении и{1/2) = 0, в точке (ci,C2) = (1.3,-4.8225) представлен на
рис. 4.116. Более того, при тех же значениях параметров сг = —4.894
и С2 = —4.955, при которых в п. 4.2.2 отмечены циклы периодов
соответственно 5 и 3 в пространстве коэффициентов Фурье, в сечении
Пуанкаре фазового пространства наблюдаются двумерные
инвариантные торы, имеющие периоды 5 и 3 по внешней частоте и период 2 по
основной внутренней частоте (рис. 4.11в). Существование устойчивых
двумерных инвариантных торов с периодами 5 и 3 свидетельствует о
наличии субгармонического каскада бифуркаций двумерных
инвариантных торов в сценарии перехода к хаосу во второй краевой
задаче для уравнения Курамото-Цузуки (4.10). Вид сингулярного
субгармонического тороидального аттрактора с периодом 2 по внутренней
частоте, т.е. сингулярного аттрактора, образовавшегося в результате
субгармонического согласно порядку Шарковского каскада
бифуркаций двумерных инвариантных торов, имеющих период 2 по внутренней
частоте, показан на рис. 4.11г при значении сг = —5.05.
Анализ решений второй краевой задачи (4.10) при меньших
отрицательных значениях параметра сч показывает, что по основной
внутренней частоте также существует каскад бифуркаций удвоения
периода двумерных торов. Так, при значении с^ = —5.79 двумерный тор в
сечении Пуанкаре имеет уже период 4 по основной (внутренней)
частоте (рис. 4.12а), и при дальнейшем уменьшении значений параметра
сг начинается каскад бифуркаций удвоения его периода по внешней
частоте. Так при значении сг = —5.838 этот тор имеет период 2 по
внешней частоте, при сг = —5.840 - период 4 по внешней частоте и
т.д. Аттрактор Фейгепбаума по внешней частоте данного двумерного
тора периода 4 по внутренней частоте существует при сг = —5.843
(рис. 4.126). При значении параметра с^ = —5.8589 данный тор имеет
период 3 по внешней частоте (рис. 4.12в), что снова свидетельствует о
наличии субгармонического каскада бифуркаций двумерных торов по
внешней частоте в сценарии перехода к хаотическому режиму,
который наблюдается в задаче (4.10), например, при значении параметра
с2 « -5.8605.

4.2. ХАОС В АВТОКОЛЕБАТЕЛЬНЫХ АКТИВНЫХ СРЕДАХ 277
Рис. 4.11: Проекции сечения Пуанкаре и(1/2) = 0 на координатную
плоскость (и(0),г>(//2)) при значении параметра а = 1.3: двумерный тор
периода 2 по внутренней частоте и периода 2 по внешней частоте при сг = —4.8
(а), аттрактор Фейгенбаума на двумерном торе периода 2 по внутренней
частоте при С2 = —4.8225 (б), двумерной тор периода 2 по внутренней частоте
и периода 3 по внешней частоте при съ = —4.955(b), сингулярный аттрактор
на двумерном торе периода 2 по внутренней частоте при сг = —5.05(г)
Приведенные выше результаты показывают, что во второй краевой
задаче для уравнения Курамото-Цузуки (Гинзбурга-Ландау) (4.10)
возможно существование субгармонического каскада бифуркаций
рождения двумерных торов как по внешней, так и по внутренней частоте.
И такой каскад обнаружен при фиксированном значении параметра
с\ = 2.5 и уменьшении параметра сг в области отрицательных
значений. В диапазоне сч G [-1.85,0] вторая краевая задача (4.10) имеет
однородное периодическое решение с одинаковой амплитудой колебаний
переменных и(хЛ) и v(x,t). При значении параметра oi и —1.851 это
однородное решение теряет устойчивость, и рождается другое
устойчивое периодическое по времени и неоднородное по пространству
решение, которому соответствует одинаковая амплитуда колебаний
переменных и(хо)Ь) и v(xo,t), в каждой точке отрезка Хо £ [0,/]. При
значении c<i и —2.803 периодическое неоднородное решение также
становится неустойчивым, и в задаче (4.10) появляется устойчивый
двумерный инвариантный тор, что подтверждается сечением Пуанкаре.
При значении сч « —3.134 происходит бифуркация удвоения периода
этого двумерного тора по основной (внутренней) частоте.

278 ГЛАВА 4. ПРОСТРАНСТВЕННО-ВРЕМЕННОЙ ХАОС
<S
a) \S
■ЩП)
^ЁУ
<щ
б) \^
х^у
<^
в) X/
^=у
t ^2)
<С=
г) С/
v-fc>
^—
V U(0)
->
Рис. 4.12: Проекции сечения Пуанкаре и(1/2) = 0 на координатную
плоскость (u(0),v(l/2)) при значении параметра с\ = 1.3: двумерный тор
периода 4 по внутренней частоте при сг = —5.79(a), аттрактор Фейгенбаума по
внешней частоте на двумерном торе периода 4 по внутренней частоте при
С2 = -5.843(6), двумерной тор периода 4 по внутренней частоте и
периода 3 по внешней частоте при съ = —5.85888(b), сингулярный аттрактор на
двумерном торе периода 4 по внутренней частоте при сг = —5.8605(г)
Данная бифуркация дает начало каскаду бифуркаций удвоения
периода двумерных инвариантных торов по внутренней частоте. Так,
при значениях c*i G [—3.6186, —3.537] решением задачи (4.10) является
двумерный инвариантный тор учетверенного по внутренней частоте
периода, при С2 Е [-3.6409, —3.6187] - тор периода 8 по внутренней
частоте, при сг G [—3.64623, —3.6410] - тор периода 16 по внутренней
частоте и т.д. Каскад бифуркаций удвоения периода двумерных
торов по внутренней частоте завершается образованием тороидального
аттрактора Фейгенбаума при значении с<ь » —3.655 (рис. 4.13в). При
дальнейшем уменьшении значений параметра Сг в задаче (4.10)
реализуется субгармонический каскад бифуркаций двумерных торов по
внутренней частоте в соответствии с порядком Шарковского с
образованием различных сингулярных тороидальных аттракторов, один из
которых изображен на рис. 4.13г при сг = —3.75.
На рис. 4.14 представлена бифуркационная диаграмма
существования различных субгармонических каскадов бифуркаций двумерных
инвариантных торов второй краевой задачи для уравнения Курамото-
Цузуки (Гинзбурга-Ландау) (4.10) в пространстве параметров (ci,C2).

4.2. ХАОС В АВТОКОЛЕБАТЕЛЬНЫХ АКТИВНЫХ СРЕДАХ 279
Рис. 4.13: Проекции сечения Пуанкаре и(1/2) = 0 на координатную
плоскость (и(0),г;(//2)) при значении параметра а = 2.5: двумерные
торы по внутренней частоте: периода 4 при а = —3.6 (а), периода 8 при
сч = —3.635(6), аттрактор Фейгенбаума при ог = —3.655 (в), сингулярный
тороидальный аттрактор при С2 = —3.75(г)
-8
-10
2 4 6 С,
~1 i 1 1 ♦
тор Г0
о
тор Т{
тор Т2
тор Т3
тор ТА
Рис. 4.14: Бифуркационная диаграмма решений второй краевой
задачи (4.10) для уравнения Курамото-Цузуки (Гинзбурга-Ландау) на отрезке
1 = тг.

280 ГЛАВА 4. ПРОСТРАНСТВЕННО-ВРЕМЕННОЙ ХАОС
По существу на рис. 4.14 изображено разбиение плоскости
параметров (ci, сг) на области с различными решениями задачи (4.10). Кривая
Lq разделяет области существования периодического однородного
решения (область Dq) и периодического пространственно неоднородного
решения (область D\). На множестве значений (С1.С2) 6 L\ имеет
место бифуркация рождения простых двумерных инвариантных торов.
Пунктирными линиями в области D2 показаны множества значений
параметров с\ и С2, соответствующих бифуркациям удвоения
периода двумерных инвариантных торов по внутренней частоте.
Множество значений параметров, лежащих правее точки А, соответствует
завершению полного каскада бифуркаций удвоения периода тора То
по внутренней частоте, а в точках, лежащих на кривой L<i левее
точки А, регулярные тороидальные аттракторы образуются в результате
неполных каскадов удвоения периода торов как по внутренней, так и
по внешней частоте. В области Da имеет место устойчивый двумерный
тор Т\ другого вида, который порождает каскад бифуркаций удвоения
периода этого тора также по внутренней частоте. Таким образом,
сингулярные аттракторы, лежащие в той части области D^y которая
расположена между областями D<i к D^, порождены субгармоническими
каскадами бифуркаций рождения устойчивых двумерных
инвариантных торов, кратность периода по внутренней частоте которых
определяется порядком Шарковского. Сингулярные аттракторы, лежащие
ниже области D4, порождены субгармоническими каскадами
бифуркаций по внешней частоте торов 2~2, Тз, Та. устойчивых,
соответственно, в областях Dry) Dq и Dj. Пунктирными кривыми в области Dy
обозначены множества значений параметров с\ и С2, соответствующих
каскаду бифуркаций удвоения периода по внешней частоте тора Та.
Результаты численных исследований решений второй краевой
задачи (4.10) для уравнения Курамото-Цузуки (Гинзбурга-Ландау) в
пространстве коэффициентов Фурье как для маломодового приближения,
так и для неупрощенной системы, а также в бесконечномерном
пространстве фазовых переменных данного уравнения позволяют сделать
следующие выводы.
1) Переход к хаотическим режимам в уравнении Курамото-Цузуки
(Гинзбурга-Ландау) основан на тех же бифуркационных механизмах,
которые имеют место в нелинейных диссипативных системах
обыкновенных дифференциальных уравнений (см. главу 2). А именно, для
решений в пространстве коэффициентов Фурье независимо от того,
является ли система упрощенной или нет - это каскады бифуркаций
удвоения периода циклов (каскады Фейгенбаума) и субгармонические
каскады бифуркаций циклов согласно порядку Шарковского, а для
решений в фазовом бесконечномерном пространстве - это каскады
бифуркаций Фейгенбаума и субгармонические каскады бифуркаций
двумерных инвариантных торов. Причем установлено, что каскады
увеличения кратности периодов инвариантных торов происходят как по
внутренней, так и по внешней частоте.

4.2. ХАОС В АВТОКОЛЕБАТЕЛЬНЫХ АКТИВНЫХ СРЕДАХ 281
2) Неправомерным является использование трехмерных маломо-
довых аппроксимаций для описания пространственно-временного
хаоса в уравнениях диффузионного типа. В трехмерных маломодоных
системах сингулярные аттракторы порождаются исключительно
бифуркациями предельных циклов, в то время как в соответствующих
им диффузионных уравнениях образование сингулярных аттракторов
обусловлено каскадами бифуркаций по меньшей мере двумерных
инвариантных торов. Кроме того, соответствующие бифуркационные
диаграммы решений имеют существенные различия.
3) Несмотря на то, что бифуркационные диаграммы решений
уравнения Курамото-Цузуки (Гинзбурга-Ландау) в фазовом пространстве
и в пространстве коэффициентов Фурье частично совпадают, тем не
менее использование пространства коэффициентов Фурье даже
достаточно большой размерности для описания пространственно-временного
хаоса в системах уравнений с частными производными является также
неправомерным, так как сингулярные аттракторы в нем, как и в
трехмерном случае, порождаются исключительно каскадами бифуркаций
предельных циклов, а не двумерных инвариантных торов.
4.2.4. Бегущие волны и пространственно-временной хаос в
автоколебательных средах
В пункте 4.1.4 настоящей главы были рассмотрены общие
механизмы образования бегущих волн, импульсов и диффузионного
хаоса в нелинейных возбудимых средах. Показано, что система
уравнений в частных производных, описывающая возбудимую среду, может
быть сведена автомодельной заменой переменных £ = х — ct к
трехмерной нелинейной системе обыкновенных дифференциальных
уравнений. При этом бегущие волны, бегущий импульс и диффузионный
хаос возбудимой среды описываются, соответственно, предельными
циклами, петлей сепаратрисы особой точки и сингулярными
аттракторами полученной трехмерной системы. Аналогичные вопросы
образования бегущих волн и пространственно-временного хаоса в
автоколебательных активных средах, описываемых, в частности, уравнением
Курамото-Цузуки (Гинзбурга-Ландау), в настоящее время
практически не исследованы. Проблема состоит в том, что уравнения
автоколебательной среды автомодельной заменой переменных £ = х — ct
сводятся к четырехмерной нелинейной системе обыкновенных
дифференциальных уравнений, в которой уже может не быть петель сепаратрис
особых точек и, соответственно, субгармонических и гомоклииических
каскадов бифуркаций предельных циклов, сходящихся к таким особым
точкам.
Покажем на примере уравнения Курамото-Цузуки
(Гинзбурга-Ландау), что в случае автоколебательных активных сред роль каскадов
бифуркаций предельных циклов, сходящихся к петле сепаратрисы особой
точки, играют каскады бифуркаций двумерных торов четырехмерной
системы обыкновенных дифференциальных уравнений, сходящихся к

282 ГЛАВА 4. ПРОСТРАНСТВЕННО-ВРЕМЕННОЙ ХАОС
особой двумерной гомоклинической структуре, являющейся
декартовым произведением особого предельного цикла на петлю
сепаратрисы особой точки. При этом четырехмерная система имеет
бесконечное число субгармонических и гомоклинических тороидальных
сингулярных аттракторов, порождающих пространственно-временной хаос
в исходной автоколебательной системе уравнений с частными
производными. Решения четырехмерной системы, задающие движение по
особой гомоклинической структуре, стремятся к периодическому
особому решению при £ —* ±оо. Таким образом, образование бегущих
волн и пространственно-временного хаоса в автоколебательных
активных средах также описывается универсальной бифуркационной
теорией Фейгспбаума—Шарковского—Магницкого.
Запишем задачу Коши на прямой для уравнения Курамото-Цузуки
(Гинзбурга-Ландау) с комплсксиозначной функцией W(x, t) = и(х, £)+
iv(x,t) в виде системы двух параболических уравнений с
вещественными переметшымии u(x,t) и у(хЛ)
щ = и + ихх - civxx - (и - c2v)(u2 + г>2),
1/1 = 1/ + сщхх + vxx - {с2и + v){u2 + v2), (4.14)
—оо < х < оо, и(х, 0) = ito(ff), v(xi 0) = ио(ж)? 0 < t < со.
Будем искать решение системы (4.14) в виде бегущей волны и(ж, t) =
и(х — ct), v(x, t) = v(x — ct). Введем автомодельную переменную
£ = х — ct и запишем систему уравнений (4.14) в виде системы двух
обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка
—ей = и + и — c\'v — (и — C2v)(u2 + гг2),
—cv = v + Ciu + г) — (с2и + v)(u + ir),
где производные берутся по переменной £. Разрешая теперь систему
(4.15) относительно вторых производных й u v и переходя к фазовым
переменным и, й = z, v, г) = г, получим четырехмерную систему
обыкновенных дифференциальных уравнений
й = z,
z = (-u-cz- ci{v + cr) + ((cic2 + l)w + (ci - с2)г>)(и2 + u2))/(l + cf),
U = Г,
r = (ci(u + cz) - v- cr + ((c2 — ci)u+ (C1C2 + 1)г>)(и2 + v2))/(l + c2).
(4.16)
Наибольший интерес, как и в случае возбудимых сред,
представляет наличие в системе (4.16) каскадов бифуркаций по параметру с,
не входящему явно в систему уравнений (4.14) и являющемуся
величиной скорости распространения возмущений вдоль пространственной

4.2. ХАОС В АВТОКОЛЕБАТЕЛЬНЫХ АКТИВНЫХ СРЕДАХ 283
оси х. Этот случай означает, что система уравнений
автоколебательной среды типа уравнения Курамото-Цузуки (Гинзбурга-Ландау) с
фиксированными параметрами ci и С2 может иметь бесконечное
число различных автоволновых решений произвольного периода, бегущих
вдоль пространственной оси с различными скоростями, а также
бесконечное число различных режимов пространственно-временного хаоса.
Проиллюстрируем последнее утверждение примером системы
уравнений (4.16) с фиксированными значениями параметров с\ = 2,С2 =
—0.1. При этих значениях параметров особое периодическое решение
и = kcos(a^v = fceinfaO-a = (С+ ^ " ^ ~ ^.fc = f(l-a*)
2(ci - с2)
системы (4.15)- (4.16) является устойчивым предельным циклом при
с > 1.306. При меньших значениях параметра с из особого
периодического решения в результате бифуркации Андропова--Хопфа
рождается устойчивый двумерный тор, который остается устойчивым до
с « 1.14. При дальнейшем уменьшении значений параметра с в системе
(4.16) реализуется каскад бифуркаций Фсйгсибаума удвоения периода
устойчивых двумерных торов по внешней частоте вплоть до
образования первого сингулярного тороидального аттрактора - аттрактора
Фейгеибаума при с « 1.1027. На рис, 4.15 представлены проекции па
плоскость (г. v) сечения Пуанкаре и = 0, z < 0 двумерного
инвариантного тора системы (4.16) при с = 1.15, двумерного тора периода два
по внешней частоте при с = 1.115, двумерного тора периода четыре
по внешней частоте при с = 1.105, двумерного тора периода восемь по
внешней частоте при с =- 1.104 и сингулярного тороидального
аттрактора Фейгенбаума при с = 1.1027.
Рис. 4.15: Проекции сечения Пуанкаре и = 0, z < 0: исходного сингулярного
двумерного тора системы (4.16) при с— 1.15 (а), тора удвоенного периода
по внешней частоте при с = 1.115 (б), тора периода 4 при с = 1.105 (в),
тора периода 8 при с = 1.104 (г) и тороидального сингулярного аттрактора
Фейгенбаума при с = 1.1027 (д)

284 ГЛАВА 4. ПРОСТРАНСТВЕННО-ВРЕМЕННОЙ ХАОС
При дальнейшем уменьшении значений параметра с в системе (4.16)
реализуется полный субгармонический каскад бифуркаций
устойчивых двумерных торов в соответствии с порядком Шарковского и затем
гомоклипический каскад бифуркаций устойчивых торов, сходящихся
к особой гомоклинической структуре, являющейся декартовым
произведением исходного особого предельного цикла на петлю сепаратрисы
особой точки. На рис. 4.16 представлены проекции на плоскость (ryv)
сечения Пуанкаре и = 0, z < 0 двумерных инвариантных торов
системы (4.16) из каскада Шарковского периодов пять и три при с = 1.093 и
с = 1.0875, соответственно, тороидального аттрактора Фейгенбаума на
торе периода три при с = 1.0854, тора периода четыре из
гомоклинического каскада бифуркаций при с = 1.0749 и одного из сингулярных
гомоклипических тороидальных аттракторов, лежащих в окрестности
особой гомоклинической структуры при с = 1,074.
Рис. 4.16: Проекции сечения Пуанкаре и = 0, z < 0: двумерных торов
системы (4.16) из каскада Шарковского периодов пять и три при с = 1.093
(а) и с = 1.0875 (б); тороидального аттрактора Фейгенбаума на торе периода
три при с — 1.0854(b), тора периода четыре из гомоклинического каскада
при с = 1.0749 (г)и одного из сингулярных гомоклинических тороидальных
аттрактороп, лежащих в окрестности особой гомоклинической структуры
при с = 1.074(д)
Заметим, что система уравнений (4.16) является первой
четырехмерной системой обыкновенных дифференциальных уравнений, в
которой установлено наличие перехода к хаосу в соответствии с
универсальным бифуркационным сценарием Фейгенбаума—Шарковского—
Магницкого через субгармонический и гомоклипический каскады
бифуркаций рождения устойчивых двумерных инвариантных торов.
Размерность четыре является минимальной размерностью фазового
пространства, которая теоретически допускает возможность
существования каскадов бифуркаций двумерных торов. Ранее такой сценарий
перехода к хаосу был установлен только для пятимерных (комплексная
система Лоренца) и многомерных нелинейных систем обыкновенных
дифференциальных уравнений, а также для систем
дифференциальных уравнений с частными производными, имеющими формально
бесконечномерное фазовое пространство.

4.2. ХАОС В АВТОКОЛЕБАТЕЛЬНЫХ АКТИВНЫХ СРЕДАХ 285
Существование бегущих волн произвольного периода и
пространственно-временного хаоса является, по всей видимости, характерной
чертой автоколебательных активных сред, описываемых
параболическими системами нелинейных дифференциальных уравнений с частными
производными. В работе [101] рассмотрена модель так называемых
открытых течений в трубах и каналах. Уравнения модели представляют
собой обобщение рассмотренного выше уравнения Курамото-Цузуки
(Гинзбурга-Ландау) на случай учета переноса
Wt = W-nWx + (l + iCl)Wxx - (1 + ic2)W\W\2,
- оо < х < оо, W(x, 0) = Wq(x). 0 < t < оо,
(4.17)
где W(x,t) = u(x,t) + iv(xyt) - комплекснозначная функция.
В работе [101] проведен аналогичный рассмотренному выше
анализ образования бегущих волн и пространственно-временного хаоса в
уравнении (4.17) при значениях параметров с\ = 2.5, сг = 0.2,/х = 2.
Введением автомодельной переменной £ = х — ct уравнение (4.17)
сведено к четырехмерной нелинейной системе обыкновенных
дифференциальных уравнений, для которой численно обнаружен сценарий
перехода к хаосу через субгармонический и гомоклииический каскады
бифуркаций рождения устойчивых двумерных инвариантных торов
при уменьшении значений бифуркационного параметра с. На рис. 4.17
изображены проекции сечений Пуанкаре и = 0,гь < 0 на плоскость
[г = v, v) некоторых характерных торов и сингулярных тороидальных
аттракторов четырехмерной системы обыкновенных
дифференциальных уравнений, полученной из уравнения (4.17).
Рис. 4.17: Проекции сечения Пуанкаре и » 0, й < 0 торов системы
(4.17): двумерного тора периода два (а), тороидального аттрактора
Фейгенбаума (б), двумерного тора периода три (в), одного из
сингулярных гомоклинических тороидальных аттракторов (г) и особой го-
моклинической тороидальной структуры (д)

286 ГЛАВА 4. ПРОСТРАНСТВЕННО-ВРЕМЕННОЙ ХАОС
4.2.5, Спиральные волны и пространственно-временной
хаос в двумерных автоколебательных средах
Рассмотрим вторую краевую задачу для уравнения Курамото-Цузуки
(Гинзбурга-Ландау) в пространственно двумерной области:
Wt = W + {l + ici)(Wxx + Wvy) - (1 + ic2) \W\* W,
Q^x^l,0^y^l, W{x, y, 0) = W0{x, y) (4.18)
Wx(0,y,t) = Wx{l.y,t) = Wy(x^,t) = Wy(x,l,t) = Q
с комплекснозиачпой функцией W = W(x, у, t) = u(x, y, t) + гг>(ж, ?/, t).
Хорошо известно [9], что решениями задачи (4.18) могут быть плоские
волны, концентрические расходящиеся фазовые волны (пейсмекеры),
а также спиральные волны, то есть функции вида
W = Я(г)е*"Жа(г)+*та*\ х = г cos <р, у = г sin 99.
Решения с m = 1 соответствуют одиовитковым спиральным волнам, с
т > 1 - многовитковым. Спиральные волны принято изображать на
плоскости (х,у) двумя видами областей, в одной из которых
(заштрихованной) и(х, у, t) = Re W(x, у. t) > 0, а в другой (незаштрихованной)
- и(х: у. t) = Re W(x, у, t) < 0. Известно также, что в некоторых
областях изменения значений параметров (с1,сг) количество спиральных
волн начинает увеличиваться, что приводит в конечном итоге к их
разрушению и к установлению в активной автоколебательной среде,
описываемой уравнением (4.18), хаотических или турбулентных
режимов.
Покажем, что механизмом образования спиральных волн и
турбулентных режимов (пространственно-временного хаоса) в краевой
задаче (4.18) для двумерного уравнения Курамото-Цузуки (Гинзбурга-
Ландау) являются субгармонические и гомоклинические каскады
бифуркаций двумерных и, возможно, многомерных торов в
бесконечномерном фазовом пространстве переменных (г/, г?), что также
является следствием универсальной бифуркационной теории Фейгенбаума—
Шар ковского—Магницкого.
Численный метод установления наличия в пространственно
двумерной краевой задаче (4.18) инвариантных торов любой
размерности и произвольного периода не отличается от метода,
разработанного с этой же целью для пространственно одномерной краевой задачи
(4.10). Для этого необходимо рассмотреть две точки (xi,t/i) и (^2,2/2)
из области определения переменных и четырехмерное
подпространство {у{х\,у\), у{х2,уъ), и(х\,у\),и{х2,У2)) бесконечномерного
фазового пространства решений задачи (4.18). Затем взять сечение этого
четырехмерного подпространства плоскостью, например, u(x\,yi) = 0
и рассмотреть проекцию этого сечения на плоскость координат,
например, {у(х1,у{),и(х2,У2))- Получение в проекции замкнутой кривой

4.2. ХАОС В АВТОКОЛЕБАТЕЛЬНЫХ АКТИВНЫХ СРЕДАХ 287
некоторого периода является следствием существования в
четырехмерном подпространстве решений двумерного тора этого же
периода. Если замкнутая кривая того же периода существует в проекции
для произвольных четырех точек из некоторой подобласти двумерной
плоскости переменных (я, у), то можно говорить о существовании в
этой подобласти двумерного тора данного периода. Форма кривой при
этом может, естественно, меняться. Очевидно, что точкам в проекции
соответствуют предельные циклы в фазовом пространстве.
Наиболее сложным и интересным случаем является наличие в
проекции некоторой заштрихованной области. Здесь возможны два
варианта. Первый вариант состоит в рассмотрении второго сечения, па-
пример, v(x2,V2) = 0. Если при этом в проекции получится замкнутая
кривая некоторого периода, то можно утверждать о наличии в
четырехмерном подпространстве решений трехмерного тора этого же
периода. Если же в проекции будет опять наблюдаться заштрихованная
область, то необходимо будет рассматривать уже три точки в
плоскости переменных {х, у) и проекции сечения соответствующего им
шестимерного подпространства фазового пространства для установления
возможного наличия в нем либо четырехмерного тора, либо
сингулярного аттрактора из каскада бифуркаций трехмерных торов. Второй
вариант заключается в том, что заштрихованная область в первом
сечении - это сингулярный аттрактор из каскада бифуркаций
двумерных торов. В этом случае необходимо найти несколько устойчивых
двумерных торов, характерных для субгармонического и гомоклини-
ческого каскадов, например, торы периода два и четыре из каскада
Фейгенбаума, торы периодов пять и три из каскада Шарковского.
В работе [40] изложенным методом проведен подробный анализ
решений второй краевой задачи (4.18) при различных значениях
параметров (ci,C2). Установлена связь между спиральными волнами и
различными устойчивыми торами в фазовом пространстве решений.
Найдены области значений параметров (сьСг), при которых задача
(4.18) имеет одну спиральную волну и соответствующий ей
двумерный тор во всем фазовом пространстве решений для всех значений
переменных (х, у). Определены также области значений параметров
(с\,с2), при которых задача (4.18) имеет различные сосуществующие
друг с другом спиральные волны и соответствующие им двумерные
торы в разных подпространствах фазового пространства решений для
различных областей значений переменных (х,у). Найдены также
области значений параметров (ci,C2), при которых задача (4.18)
имеет в фазовом пространстве решений устойчивые трехмерные торы и
более сложные решения, соответствующие развитию и образованию
пространственно-временного хаоса.
Зафиксируем значения параметров с\ = 0.5,/ = 2 и будем решать
численно при различных отрицательных значениях параметра с2
вторую краевую задачу (4.18) с начальными условиями

288 ГЛАВА 4. ПРОСТРАНСТВЕННО-ВРЕМЕННОЙ ХАОС
Wo = uq + ivq = 0.1 Yj cos
—г— cos -у- [1 + г/(т + 1)],
(4.19)
771,71=0
Спиральные волны в плоскости (ж, у) появляются при с2 ~ —0.65
(рис. 4.18). При больших значениях параметра сч решениями задачи
(4.18) являются плоские волны, которые изображены в левых частях
рис. 4.18а и рис. 4.186 и которым соответствуют предельные циклы в
фазовом пространстве задачи.
а)
Рис. 4.18: Спиральные волны в плоскости (ж, у) при с\ — 0.5, сг = —0.675(a)
и а = 0.5, с2 = -0.68(6)
Рассмотрим проекции сечений и(х\,у\) — 0 на плоскости
координат {v(xi.yi),u(x2,y2)) Для четырех пар точек (x\,yi) и (а^.г/з),
лежащих в окрестностях центров четырех спиральных волн, показанных
на рис. 4.186: 1) хг = 1.22,?/! = 0.36, х2 = 1.24, у2 = 0.36; 2) хг =
1.24,7/1 = 1.16, я2 = 1.26,t/2 = 1-16; 3) xi =--- 1.22,j/i = 1.8**2 =
1.24,?/2 = 1-8; 4) xi = 1.66, yi = 1.42, х2 =* 1 -66,2/2 = 1.4.
Соответствующие двумерные проекции сечений четырехмерных фазовых
подпространств изображены на рис. 4.19а-г. Рис. 4.19 указывает на то.
что спиральным волнам, изображенным на рис. 4.18, соответствуют
устойчивые двумерные инвариантные торы в фазовом пространстве
решений задачи (4.18). Причем сечения, изображенные на рис. 4.19,
являются сечениями разных торов, так как при выборе точек (xi,t/i)
и (х2,у2) из окрестпостей разных спиральных волн ни одной
замкнутой траектории в сечениях получить не удалось.
При дальнейшем уменьшении отрицательных значений параметра
с2 происходит усложнение структуры спиральньтх волн и
соответствующих им решений в фазовом пространстве краевой задачи (4.18). На
рис. 4.20а показана картина спиральных волн на плоскости (х, у) при

4.2. ХАОС В АВТОКОЛЕБАТЕЛЬНЫХ АКТИВНЫХ СРЕДАХ 289
0
«&мЛ> /]
«V
б)
«Оь.л)'
л
N.
8)
0
г)
^ ^С*|..
0
Г-v "Оз^)
в)
*(*!.*,)
0
Рис. 4,19: Проекции сечений и{х\,у\) = 0 четырехмерных фазовых
подпространств в окрестностях центров четырех спиральных волн 1-4 при
а = 0.5, с2 = -0.68 (а)-(г)
значении С2 = —0.7, а на рис. 4.206 показана в увеличенном масштабе
проекция одной из двух частей сечения и{х\,у{) = 0 на плоскость
координат (v(xi)yi),u(x'2,y2)) для двух точек из окрестности центра
спиральной волны наибольшего радиуса из рис. 4.20а,
Видно, что окрестности центра спиральной волны наибольшего
радиуса из рис. 4.20а соответствует в фазовом пространстве решений
сложный двумерный тор периода три из субгармонического каскада
Шарковского.
Далее выберем точки (zi,2/i) и (#2,2/2), лежаЩие в окрестности
центра другой спиральной волны из рис. 4.20а: х\ = 1.48, у\ = 0.46, x<i =
1.5, уч = 0.46. На рис. 4.20в показана проекция на плоскость {v[x\, yi),
и(х2,У2)) сечения четырехмерного фазового подпространства
соответствующих этим точкам решений задачи (4.18) плоскостью u(xi,yi) =
0. Проекция представляет собой заштрихованную кольцеобразную
область. Но, если теперь взять второе сечение плоскостью и{х2*У2) =
—28 трехмерного пространства точек, полученных после проведения
первого сечения, то в координатных осях {v{xi,yi),v(x2,y2)) получим
две замкнутые кривые. Эти кривые свидетельствуют о существовании
трехмерного тора в фазовом подпространстве решений в окрестности
центра второй спиральной волны. При выборе точек (#i,yi) и (#2-2/2)
в окрестностях центров других спиральных волн, в соответствующих
им фазовых подпространствах решений были найдены более сложные
решения, чем трехмерный тор. К сожалению, современные численные

290 ГЛАВА 4. ПРОСТРАНСТВЕННО-ВРЕМЕННОЙ ХАОС
Рис. 4.20: Спиральные волны в плоскости (ж, у) при с\ = 0.5, сг = —0.7(a)
и проекции частей сечений четырехмерного фазового подпространства
решений задачи (4.18) в точках xi = 0.8, yi = 0.9, #2 = 0.8,2/2 = 0.94(6) и
xi = 1.48, yi = 0.46, х2 = 1.5, у2 = 0.46(b)
методы и возможности персональных компьютеров не позволили
точно установить, являются ли эти более сложные решения торами
большей, чем три, размерности, трехмерными торами различных периодов
или сингулярными субгармоническими тороидальными аттракторами.
При дальнейшем уменьшении значений параметра сг количество
спиральных волн на плоскости (ж. у) увеличивается. При значениях
параметров с\ = 0.5, а = —0.8 и выборе пар точек (х\*у\) и (^2,2/2)
из окрестностей центров всех спиральных волн были получены
решения одного вида, более сложные, чем трехмерный тор. При значениях
параметров с\ = 0.5, С2 = —0.9 на плоскости (ж, г/) уже нет
устойчивых спиральных волн, а в проекциях сечения u(xi,y\) = 0 любого
четырехмерного подпространства фазового пространства решений
наблюдается сплошной пространственно-временной хаотический режим
(рис. 4.21). Можно предположить, что на самом деле этот
турбулентный режим представляет собой движение по образовавшемуся в
фазовом пространстве решений множеству мелких торов разных
размерностей и разных периодов, включая различные тороидальные
сингулярные аттракторы. Из-за малости этих торов, близости из
взаимного расположения и ограниченности возможностей численного расчета
траектория решения вследствие ошибок в вычислениях
перескакивает с одних торов на другие в случайные моменты времени, создавая
видимость пространственно-временного хаоса. И хотя пока точно не
удалось установить, каскады бифуркаций торов какой именно
размерности ведут к образованию хаотических режимов, тем не менее,
проведенные в [40] численные расчеты позволяют с определенностью
утверждать, что сценарий перехода к пространственно-временному
хаосу в автоколебательных активных средах в любом случае происходит

4.3. ХАОС И ТУРБУЛЕНТНОСТЬ
291
Рис. 4.21: Пространственно-временной хаос при с\ = 0.5, сг = —0.9 в
плоскости (ж, у) (а) и в проекции сечения четырехмерного фазового
подпространства решений задачи (4.18) (б)
в соответствии с универсальной бифуркационной теорией Фейгенбаума—
Шарковского—Магницкого.
4.3. Пространственно-временной хаос и проблема
турбулентности
Возникнув более ста лет назад, проблема турбулентности,
заключающаяся в объяснении природы случайного движения нелинейной
сплошной среды и нахождении способов ее самосогласованного
описания, остается и сейчас одной из самых притягательных и
интригующих проблем классической физики. Проблема турбулентности
названа институтом математики Клэя одной из семи математических
проблем тысячелетия [127] и находится также в списке
сформулированных С.Смейлом 18 наиболее значимых математических проблем XXI
века [108]. Главным в проблеме турбулентности - неупорядоченного
хаотического движения нелинейной сплошной среды - был и
остается вопрос о ее природе, т.е. причинах и механизмах возникновения
пространственно-временного хаоса.
В разное время было предложено несколько моделей,
претендовавших на объяснение механизмов возникновения турбулентности в
нелинейных сплошных средах, но каждый раз довольно быстро
выяснялась их несостоятельность. Наиболее долгоживущей оказалась модель
Лаидау-Хопфа [46,149], представлявшая возникновение
турбулентности как бесконечный или очень большой каскад последовательных
бифуркаций Андронова—Хопфа, ведущих к возникновению
квазипериодического движения с бесконечным или очень большим набором

292 ГЛАВА 4. ПРОСТРАНСТВЕННО-ВРЕМЕННОЙ ХАОС
несоизмеримых частот. Однако, эта модель не нашла подтверждения
в экспериментах с гидродинамической турбулентностью (см. [14,116]).
Эксперименты по конвекции жидкости показали, что она переходит в
турбулентное состояние либо следуя сценарию Фейгеибаума удвоения
периода основного периодического движения, либо спектр мощности
после появления первых двух частот становится сплошным. Для
объяснения последнего явления Рюэлем и Такенсом был предложен
сценарий, в соответствии с которым родившееся после третьей бифуркации
Андропова- Хонфа движение на трехмерном торе является
неустойчивым и разрушается, переходя в движение на странном аттракторе
[96,167].
Сценарий Ргоэля-Такепса возникновения турбулентности в
нелинейных сплошных средах считался предпочтительным до
последнего времени, пока в цикле работ автора настоящей книги и его
учеников не был обнаружен и теоретически обоснован и многократно
численно подтвержден единый универсальный механизм перехода к
пространственно-временному хаосу в системах уравнений с частными
производными по сценарию Фейгеибаума—Шарковского—Магницкого
через субгармонический и гомоклинический каскады бифуркаций
устойчивых двумерных торов [29-32,40,55,59,61,103]. Как следует из
предыдущих разделов настоящей главы, этот сценарий имеет место и в
системе уравнений брюсселятора с диффузией, и в уравнении Курамото-
Цузуки (зависящем от времени уравнении Гинзбурга-Ландау), и в
уравнениях многих других автоколебательных и возбудимых сред.
Более того, во многих системах были обнаружены устойчивые
трехмерные торы и дальнейшие каскады бифуркаций этих торов, хотя
характер таких бифуркаций не удавалось установить длительное время
ввиду чрезвычайной сложности численного решения таких задач.
Понятно также, что с точки зрения развиваемого в настоящей книге
единого бифуркационного подхода к обоснованию хаотической динамики
в любых нелинейных системах дифференциальных уравнений, никак
не противоречит универсальному сценарию ФШМ и переход к хаосу
через субгармонический и гомоклинический каскады бифуркаций не
только устойчивых трехмерных, но и многомерных торов, хотя такие
переходы в реальных рассмотренных выше системах обнаружить пока
не удалось.
В настоящей главе предложен оригинальный метод анализа
движения вязкой несжимаемой жидкости при переходе к турбулентному
режиму па примере численного решения трехмерной
пространственной задачи течения жидкости с уступа при различных значениях числа
Рейиольдса и трехмерной пространственной конвекции Рэлея-Бенара
при различных значениях числа Рэлея. Показано, что на начальных
стадиях развитие турбулентности в обеих задачачах может
происходить по различным бифуркационным сценариям, но во всех случаях в
соответствии с теорией ФШМ: а) через субгармонический каскад
бифуркаций устойчивых циклов; б) рождение устойчивого двумерного

4.3. ХАОС И ТУРБУЛЕНТНОСТЬ
293
тора и затем через субгармонический каскад бифуркаций устойчивых
двумерных торов; в) рождение устойчивого трехмерного тора и затем
через субгармонический каскад бифуркаций устойчивых трехмерных
торов. Таким образом, по всей видимости, любой конечный каскад
бифуркаций Андропова—Хопфа из сценария Ландау-Хопфа может
являться начальной стадией перехода к пространственно-временному
хаосу (турбулентности) в сложных пространственно многомерных
нелинейных системах уравнений с частными производными.
4.3.1. Переход к турбулентности в задаче движения
жидкости с уступа
Следуя работам [29,32], рассмотрим переход течения вязкой
несжимаемой жидкости от ламинарного к турбулентному режиму в
зависимости от значений безразмерного числа Рейнольдса (критерия
подобия) R в известной задаче течения жидкости в прямоугольном канале
с уступом, широко представленной в литературе (125,169,190].
Прямоугольный канал по длине делится на две неравные части L1 и L2. Обе
части канала имеют равную ширину W, но в месте соединения двух
частей высота Н первого канала меньше высоты второго на величину
h. Таким образом, при течении жидкости в канале от внешней
границы первой части к внешней границе второй части на стыке каналов
образуется ступенька высотой Ь, которая формирует во второй части
канала зону отрывного течения за уступом. Выбраны следующие
геометрические размеры задачи: Ll=5.0, L2=10.0, W—3.5; Н=0.9; h=0.6.
Рассматривается несжимаемая жидкость с плотностью 1.0 и
кинематической вязкостью 1.011 • 10~°м2/с. Внешние силы отсутствуют.
Переходный режим изучается путем анализа данных скоростей течения
жидкости в фиксированных точках во второй части канала и
построения фазовых портретов и сечений Пуанкаре.
Основная принятая в [29,32] и поддерживаемая большинством
исследователей гипотеза состоит в том, что турбулентное течение
развивается из ламинарного и все масштабы течения от макромасштабов до
масштабов диссипации энергии движения в тепло описываются
уравнениями Навьс-Стокса.
Рассмотрим начально-краевую задачу в случае трехмерных по
пространству эволюционных уравнений Навье-Стокса для движения
вязкой несжимаемой жидкости в канале с уступом в следующем
классическом виде [109]: найти вектор-функцию скорости V : О, х [0,Т] —> R3
и скалярную функцию давления р : 11 х [0, Г] —> Я1 такие, что
8V 1
_ = -(7.V)y-Vp+-VV в Q = nx(0,T), (4.20)
divV = 0 в Q, (4.21)
BV
V = 0 па дП0 х (0,Г), V = f(x) на ЯП, х (0,Г), ~ = 0 па дП2 х (0,Г),
(4.22)

294 ГЛАВА 4. ПРОСТРАНСТВЕННО-ВРЕМЕННОЙ ХАОС
V(x,0) =-- V0{x) на ft, (4.23)
где Q, - ограниченная область решения с границей dQ=dQoU dfliUdQ.2,
Т - время. R = VLjv - число Рейнольдса, составленное по
характерному масштабу движения аналогично с принятыми в литературе
обозначениями [125,169,190], v - кинематическая вязкость несжимаемой
жидкости, а пространственный масштаб L для данной задачи
определяется как L = 2WH/(W-rH). Граничное условие на входной границе
afii задается классическим ламинарным решением Пуазейля [32,125]
без внесения каких-либо возмущений. Начальное условие в £2 задается
путем нахождения решения задачи для ламинарного режима течения
при числе Рейнольдса R--400.
Метод решения. В связи со сложностью и нелинейностью
системы уравнений (4.20) для численного решения начально-краевой
задачи (4.20) - (4.23) в [29,32] применялся метод расщепления на
структурированной сетке кубов, предложенный в [13]. Аппроксимация
выполнялась с использованием метода конечного объема, что позволило
рассматривать уравнения (4.20)- (4.21) в интегральной форме законов
сохранения. Для коррекции давления использовался метод предиктор-
корректор. Упрощенно схему расщепления можно представить в
следующем виде:
V1 - Vn
L. = -{Vn • V)Vn.
V — V' 1
At R
3. V2p = — решение уравнения Пуассона.
4. VP+1 = V — AtVp, где в - индекс внутренней итерации по шагам
3 и 4 в предположении, что divV"5+1 = 0.
Здесь V и V - скорость на промежуточных шагах при переходе
с п-ого на п + 1 слой, Vn - скорость на га-ом слое. Пусть в
начальный момент времени известно, например, из начальных условий
значение вектор-функции V и функции р во всей области расчета, причем
вектор-функция V солепоидальна в Л. На первом шаге схемы
решается уравнение переноса (невязкое уравнение Бюргерса), на втором -
уравнение диффузионного типа для учета диффузии. Шаги 1 и 2 не
удовлетворяют условию соленоидальности вектор-функции У,
поэтому на четвертом шаге значения V подправляются с учетом давления,
вычисленного на шаге 3 с помощью уравнения Пуассона при условии
соленоидальности V. Шаги 3 и 4 формируют дополнительную
итерацию, которая обеспечивает полностью соленоидальное векторное поле
скоростей на шаге 5. Для разрешения пространственных переменных
используются схемы высокого порядка аппроксимации: шестого для
уравнения Пуассона при коррекции давления и восьмого для осталь-

4.3. ХАОС И ТУРБУЛЕНТНОСТЬ
295
иых линейных производных. Невязка для всех итерационных
процессов составляла е = 1 • 10~12. Для нелинейных конвективных членов
уравнения Навье-Стокса применялись комбинации WENO-5 схемы с
локальным TVD-ограничителем SuperBee [32]. Для интегрирования по
времени применялся четырехстадийиый TVD метод Рунге-Кутта, па
первом шаге схемы расщепления - явный, а на втором - неявный:
V? = V?, Vl = V?-ajAm(Vj-1+s), j = l,...,m, V?+1=VT,
где 9ft - оператор в сеточном пространстве, 5 = 0 соответствует явной
схеме, а 6 — 1- неявной. Четвертый порядок по времени
обеспечивает достаточную точность расчета для детального анализа переходных
режимов течения жидкости.
Для прямого численного моделирования необходимо задать
четкие границы размеров сетки и шага по времени с целью вместить все
масштабы течения при расчете. Построение изолиний значений
минимального масштаба Колмогорова позволило точно определить размер
К сетки, необходимый для разрешения всех возможных масштабов
течения для заданного числа Рейнольдса. Учитывая, что исследуется
переход от ламинарного течения к турбулентному, число Рейнольдса
ограничивается значением 1000, тогда К ~ 250000 элементов.
Измельчение сетки выполнено неравномерно с уменьшением размеров
элементов ближе к твердой стенке - это позволяет корректно воспроизвести
пограничный слой. Шаг по времени принят равным 0.0025. Линейный
размер элемента варьируется от 0.005 до 0.015.
Сходимость в пространстве L% данного метода имеет порядок 5,
т.е. скорость уменьшения ошибки во времени между двумя соседними
переменными в дискретном пространстве уменьшается в 5 раз, что
свидетельствует о хорошей точности численного метода.
Для верификации схемы проведено большое количество
проверочных расчетов с целью сопоставления результатов с результатами,
имеющимися в литературе [125,169,190]. Результаты показали, что
максимальное отклонение не превышает 1% для численных результатов
других авторов и 3.5% для физических экспериментов [32]. Более
детальное описание используемого численного метода и результатов
верификации изложено в работе [32].
Задача решалась на двух 8 ядерных компьютерах. Обычно для
получения сходимости порядка невязки е требовалось 14-16 часов
машинного времени. Для получения более надежных результатов
установление решения и его сходимость к устойчивому режиму
происходила в течение суток машинного времени. Таким образом, каждое
полученное решение задачи (4.20) - (4.23) при фиксированном числе
Рейнольдса - это некоторый аттрактор системы в ее бесконечномерном
фазовом пространстве. Для анализа и наглядного представления
найденных аттракторов использовался метод сечения Пуанкаре.
Результаты. Для выяснения сценария перехода к
турбулентности в нелинейной бесконечномерной диссипативиой системе (4.20)-

296 ГЛАВА 4. ПРОСТРАНСТВЕННО-ВРЕМЕННОЙ ХАОС
(4.23) необходимо знать распределение вектор-функции скорости V
— (Vx, Vy, Vz)T во времени внутри области П. С этой целью в
пяти различных точках внутри области П были получены данные вида
V(t,i), г = 1,2,3,4,5 в установившемся режиме для
последовательности возрастающих значений числа Рейнольдса. Начальное
значение числа Рейнольдса было взято равным 100, при котором получено
устойчивое ламинарное течение в £1. Ламинарному течению
соответствует неподвижная устойчивая точка в каждом из пяти
рассмотренных трехмерных подпространств с координатами (VX: Vy)Vz)
бесконечномерного фазового пространства задачи, что соответствует наличию
неподвижной устойчивой точки в самом бесконечномерном фазовом
пространстве. Увеличение числа Рейнольдса постепенно увеличивает
зону рециркуляции за ступенькой, при этом режим течения остается
ламинарным вплоть до R = 737.
При дальнейшем увеличении параметра Л, решение задачи (4.20)
- (4.23) в Г2 становится периодическим во времени. В каждом
трехмерном фазовом подпространстве из каждой устойчивой неподвижной
точки рождается свой устойчивый предельный цикл, что
соответствует рождению цикла из неподвижной точки в бесконечномерном
фазовом пространстве задачи (4.20) - (4.23). Этот цикл лежит во всем
бесконечномерном пространстве и не лежит ни в каком его
конечномерном подпространстве. В рассматриваемых пяти точках в области
П получены проекции этого цикла на различные трехмерные
Подпространства решений. Ниже на рисунках приведены результаты для двух
из пяти точек: Р4> лежащей в области П за уступом в конце области
по координате жив центре области по координатам у и z\ и Ps,
лежащей в области £1 за уступом в конце области по координате жив
углу области по координатам у и z. Проекция цикла на трехмерное
подпространство точки Р4 показана на рис. 4.22а.
Рис. 4.22: Проекции решения на трехмерное фазовое подпространство
{Vx,Vy,Vz) в точке Ра при значениях числа Рейнольдса R = 850(a) и
R = 851 (б); проекция сечения трехмерного фазового Подпространства в
точке Pj плоскостью Vz = 0 при R = 851 (в)

4.3. ХАОС И ТУРБУЛЕНТНОСТЬ
297
Рис. 4.23: Проекция решения на трехмерное фазовое подпространство
(Ух^Уу^Уг) в точке Ра при значении числа Рейнольдса R = 882 (а)и
проекция сечения этого решения плоскостью Vz = 0(6)
Численными расчетами установлено, что при значении числа
Рейнольдса R > 850 цикл, имеющийся в фазовом пространстве задачи
(4.20) - (4.23), теряет устойчивость в результате бифуркации Андроно-
ва-Хопфа, порождая двумерный инвариантный тор (рис. 4.226). При
этом важно отметить, что этот тор находится во всем
бесконечномерном фазовом пространстве, т.е. тор обнаруживается во всех пробных
точках Рг. Это связано, скорее всего, с условием несжимаемости,
поскольку все возмущения передаются одновременно во все стороны
через градиент давления. Проекция сечения Vz = 0 родившегося тора на
плоскость (Vx,Vy) показана на (рис. 4.22в).
Рис. 4.24: Рождение трехмерного тора в проекции сечения плоскостью Vz =
О трехмерного фазового подпространства решений в точке Ра при значениях
числа Рейнольдса R = 883(a) и R = 883.5(6)

298 ГЛАВА 4. ПРОСТРАНСТВЕННО-ВРЕМЕННОЙ ХАОС
При дальнейшем увеличении значений числа Рейнольдса
происходит существенное усложнение конфигурации двумерного тора в
фазовом пространстве, что видно из рис. 4.23 для значения R = 882. При
R « 883 двумерный тор становится неустойчивым, порождая
устойчивый трехмерный тор, проекции сечения Vz = 0 которого на плоскость
04» Vy) в точке Р4 при R = 883 и R = 883.5 показаны на (рис. 4.24а,б).
Опять же важно отметить, что устойчивый трехмерный тор
рождается во всем бесконечномерном фазовом пространстве задачи (4.20)
- (4.23), а в отдельных точках Р$ можно видеть только его проекции на
разные трехмерные подпространства. Для анализа родившегося
трехмерного тора и его последующих бифуркаций необходимо как
минимум четырехмерное фазовое подпространство решений. То есть к трем
координатам вектора скорости в какой-либо точке области П
необходимо добавить еще одну какую-либо координату вектора скорости в
другой точке. Для наглядности возьмем три координаты вектора
скорости в точке Р$ и добавим координату VZ{P^) в точке Р4. На рис. 4.25
изображены, соответственно, проекция устойчивого трехмерного тора
в четырехмерном фазовом подпространстве решений на трехмерное
подпространство в точке Р$ при R = 883 и проекция на плоскость
{VZ) Vy) его трехмерного сечения плоскостью Vx = (Vxmax + T4min)/2.
Рис. 4.25: Проекция решения на трехмерное фазовое подпространство
{VxiVy*Vz) в точке Ръ (а) и проекция на плоскость (Vz>Vy) сечения
трехмерного ТОра ПЛОСКОСТЬЮ Vx = (Vxmax + 14min)/2 При R = 883(6)
То, что на рис. 4.25а изображена проекция именно трехмерного
устойчивого тора, подтверждается рис. 4.26а, на котором изображена
проекция на плоскость {Vz(P4),Vy) сечения первого трехмерного
сечения четырехмерного фазового подпространства решений плоскостью
Vz — 0.005. Во втором сечении получены замкнутые кривые, откуда
вытекает существование устойчивого трехмерного тора в проекции
решений на трехмерное фазовое подпространство точки Р*> при R = 883,
и. соответственно, существование при этом значении числа Рейнольд-

4.3. ХАОС И ТУРБУЛЕНТНОСТЬ
299
са устойчивого трехмерного тора во всем бесконечномерном фазовом
пространстве начально-краевой задачи (4.20) - (4.23).
Выяснение дальнейшего усложнения трехмерного тора при
увеличении значений числа Реймольдса потребовало нескольких месяцев
расчетов и вычисления нескольких сот гигабайт данных на каждую
точку из области П для выбора подходящих для анализа сечений.
Оказалось, что уже при R = 883.8 трехмерный инвариантный тор
теряет устойчивость и через бифуркацию удвоения периода
переходит в устойчивый трехмерный тор удвоенного периода. Это видно из
рис. 4.266, на котором изображена проекция на плоскость {Уг(Рл)^ Vy)
сечения первого трехмерного сечения четырехмерного фазового
подпространства плоскостью Vz — 0.005. Последние результаты
получены исключительно при использовании графических процессорных
ускорителей поскольку мощностей центрального процессора уже
было недостаточно для получения результатов в обозримое время.
у
4.1
0
у
-Л2
''Ч-Ъ
v
О
«V
Рис. 4.26: Проекции второго сечения плоскостью 14 = 0.005 первого
трехмерного сечения в точке Р*> при R — 883 (а) и R — 883.8 (б)
Дальнейшее исследование данной начально-краевой задачи крайне
затруднительно ввиду необходимости проведения длительных
расчетов и повышения точности численных методов. Так, уже при R = 890
второе сечение трехмерного подпространства первого сечения
представляет собой плотное затемненное облако с выраженными областями
притяжения, что очень похоже на сингулярный тороидальный
аттрактор Фейгенбаума, завершающий каскад бифуркаций удвоения периода
устойчивых трехмерных торов.
Таким образом, можно заключить, что ламииарио-турбулентный
переход в задаче течения жидкости с уступа происходит через
рождение устойчивого трехмерного тора в результате
последовательности трех бифуркаций Андронова—Хопфа, и затем через каскад
бифуркаций удвоения периода устойчивых трехмерных торов. То есть,
в полном соответствии с универсальным бифуркационным сценарием

300 ГЛАВА 4. ПРОСТРАНСТВЕННО-ВРЕМЕННОЙ ХАОС
теории ФШМ. Необходимо отметить, что в данной задаче сценарий
Рюэля-Такенса по образованию и мгновенному разрушению
трехмерного тора не обнаружен. Трехмерный тор при R = 883 остается
устойчивым и не разрушается на любом интервале времени.
4.3.2 Переход к турбулентности в конвекции Рэлея-Бенара
В предыдущем разделе настоящей главы на примере численного
решения задачи движения жидкости с уступа показано, что в задачах
движения вязкой несжимаемой жидкости переход от ламинарного
течения к турбулентному может происходить через каскад бифуркаций
удвоения периода устойчивых трехмерных торов. Покажем, что
такой механизм перехода к турбулентности в задачах движения вязкой
несжимаемой жидкости является далеко не единственным
механизмом, и что существуют задачи, в которых переход от ламинарного
движения к турбулентному осуществляется как через каскад бифуркаций
устойчивых двумерных торов, так и через каскад бифуркаций
устойчивых предельных циклов в полном соответствии с теорией ФШМ.
С этой целью рассмотрим задачу возникновения
гидродинамической турбулентности вязкой несжимаемой подогреваемой жидкости в
конвекции Рэлея-Бенара. Следуя работам [18,19,115,187],
предполагаем, что значения коэффициентов динамической вязкости v и
теплового расширения /3 изменяются мало в расчетной области, а плотность
жидкости не зависит от гидродинамического и гидростатического
давления, но зависит линейно от изменения температуры :
р = Ро(1-/3(Т-Го)), (4.24)
где р - плотность жидкости, Т- температура жидкости, (ро»Zo)-
средние (опорные) значения плотности и температуры жидкости. Таким
образом, все параметры состояния жидкости считаются постоянными
кроме плотности для силы Архимеда (благодаря которой и наступает
режим свободной конвекции). Также считаем пренебрежимо малым
тепловыделение из-за вязкой диссипации. Тогда подставляя (4.24) в
уравнения Навье-Стокса для несжимаемой жидкости, учитывая
перенос температуры как перенос пассивного скаляра и направляя вектор
гравитации как д = (0,0, — д)т, получим уравнения, связывающие
вектор скорости V = (Vx, Vy, VZ)T, давление р и температуру жидкости в
виде: V ■ V = 0,
™ + (у . V)V = -^ + uV2V + д/3{Т ~ То), ^ + (V • V)T = XV2T,
ot ро ot
где х~ коэффициент температуропроводности жидкости, д -ускорение
свободного падения. Перевод последних уравнений в безразмерную
форму можно выполнить несколькими путями. Первый- это принять

4.3. ХАОС И ТУРБУЛЕНТНОСТЬ
301
масштаб времени т, связанный с диффузией температуро про подпоет и
по слою жидкости h. в котором изначально задан градиент
температуры, т.е. т = h2 jx\ единицей изменения температуры будет разница
температур AT в слое приложения градиента температуры. Второй
путь получения безразмерного решения - это ввести временной
масштаб г как перенос количества движения вязкостным членом
уравнения в виде т ■=■ h2/и. При выборе масштаба времени как г = h2/\
'гонения в большей степени подвержены температурной конвекции, тогда
как для медленно изменяющихся течений (при плавных изменениях
параметров) выбирается временной масштаб т = h2/v.
Выберем в качестве масштаба измерения времени т = h2 /v,
масштаба измерения длины - ft, скорости - v/h, давления - pov2/h2,
температуры -AT. Тогда можно сформулировать в следующем виде в
безразмерных величинах начально-краевую задачу конвекции Рэлея-
Беиара в приближении Буссинеска в случае вязкой несжимаемой
жидкости в ограниченной области П, заданной в форме куба со стороной
основания h.
Требуется найти вектор-функцию скорости V : ft х [0,т] —> R3,
скалярные функции давления р : ft х [0,т] —* R1 и температуры Т :
ft х [0, т] —> R1 такие, что
|K = -(y.v)V-Vp + V2V+g(T-T0)-( 0 ) в Q,
ВТ 1
= -(y-V)T+— V2T в Q = Qx(0,t), t<r
at- rr
(4.25)
divV = 0 в Q, (4.26)
dT
V = 0,—=0 на dn0x(QJt),V = 0,T = f(x)n8.dSl1x(Q,t)9 (4.27)
on
V(x, 0) = 0, T(x. 0) = To па dft, (4.28)
где dft - граница области П, t - время; Т - температура жидкости,
То - средняя температура жидкости, Pr = v/x ~ число Праидтля,
Ra = [gf3(Ts — To)h3]/(ux) - число Рэлея; h - высота области ft между
ее верхней и нижней границами dfti; dfto - боковая граница области;
Ts - перепад температур на dft\.
В связи со сложностью и нелинейностью рассматриваемой системы
уравнений для решения начально-краевой задачи (4.25)-(4.28)
применяются численные методы. Область расчета ft согласно модели в
физическом эксперименте [187] имеет вид куба со стороной основания
10см, на границе области dft\ температура сверху задана равной 0,
а снизу равной 1. Решение задачи (4.25)-(4.28) проводилось при
фиксированных числах Праидтля и Рэлея. Результаты анализировались

302 ГЛАВА 4. ПРОСТРАНСТВЕННО-ВРЕМЕННОЙ ХАОС
в фазовом пространстве системы в проекциях на трехмерные
подпространства и = Vx, v = Vy, w == Vz в некоторых заданных точках области
решения Пив проекциях сечений Пуанкаре и = 0 на плоскости (v,w).
Метод решения. Для численного решения задачи (4.25)-(4.28)
область П покрывается связанной сетью кубов. Общее число кубов
определяется из условия моделирования турбулентных режимов
таким образом, что наименьший размер вихря должен быть разрешен
как минимум четырьмя элементами сетки.
Численный метод, применяемый для решения задачи (4.25)-(4.28)
в заданной геометрии, основан на численном методе, разработанном
Н.Евстигнеевым и описанном в [32] для задачи течения вязкой
несжимаемой жидкости с уступа. Схема расчета основана на методе
расщепления по физическим процессам следующего вида:
1. V' -Vй = -At(Vn ■ V)Vn + ^(Tn - Го)(0,0,1)г;
2. V -V = At\72V;
3. V2p = -V • V^/At]
4. V®*l = V — AtVp, is предположении, чтоУ ■ V&+1 = 0:
5 Vn+i = yfl+i.
6. T' -Tn = -At{Vn+l • У)ГП;
7. Tn+1 - T' = AtV2Tn+l/Pr.
На первом шаге вычисляется конвективная часть уравнения Навье-
Стокса по явной численной схеме. На втором шаге используется
неявная схема для расчета диффузионных членов уравнений (4.25)-(4.28) .
На третьем шаге решается уравнение Пуассона для нахождения
давления из условия солеиоидалыюсти вектор-функции скорости.
Внутренняя итерация по шагам 3 и 4 необходима для достижения
тождественного выполнения закона сохранения массы. На пятом шаге вектор-
функция скорости подправляется с учетом условия div(V) = 0. На
шестом шаге рассчитывается конвективный перенос температуры с
помощью явной схемы, а па седьмом - диффузионный перенос
температуры.
Решение расщепленной задачи выполняется путем введения
пространственной и временной дискретизации. Пространственная
дискретизация выполнена с применением метода конечного объема
повышенной точности ко всем пространственным дифференциальным
операторам. Метод построен таким образом, чтобы обеспечивать
консервативность и монотонность аппроксимации в ft и при этом
обеспечивать повышенный порядок аппроксимации. Детальное описание
численного метода дано в [32]. Для разрешения нелинейных
конвективных членов применяется реконструкция переменных на основе
комбинации WENO-5 и WENO-9 схем с локальным TVD-ограничителем

4.3. ХАОС И ТУРБУЛЕНТНОСТЬ
303
SuperBee [32], в результате чего точность аппроксимации
пространственных дифференциальных операторов на шагах 1 и 6 составляет
шестой порядок. Для всех других производных применяется
аппроксимация с восьмым порядком точности для переменных, относящихся
к скорости и температуре, и с шестым порядком точности для
переменных, относящихся к давлению. Разница в порядке аппроксимации
между скоростью и давлением позволяет избавиться от периодической
неустойчивости, вызванной высоким порядком аппроксимации
давления [32]. Невязка при решении уравнения Пуассона на шаге 3
составляет 1.0 • Ю-12. Для интегрирования по времени на шагах 1,2 и 6,7
использован метод Рунге-Кутта восьмого порядка точности,
позволяющий проводить детальные исследования начально-краевых задач для
уравнений Навье-Стокса.
Проверка метода. В первую очередь были проведены оценочные
расчеты, целью которых являлось определение количества К
дискретных элементов, необходимых для прямого численного моделирования.
После решения ряда начально-краевых задач было определено, что
оптимальное значение К = 124000 при Ra < 5.0-106 и Рг < 3.0.
Дальнейшее увеличение К не влияло на результаты. Таким образом, размеры
одного расчетного элемента были выбраны как 0.0025м в центре
расчетной области, 0.0001м около стенок (для разрешения пограничного
слоя), шаг по времени - О.ОООбсек.
Далее была проведена проверка численного метода. Вначале была
найдена классическая прямоугольная структура ячейки Бенара для
Рг = 1.0 и Ra = 2.0 ■ 105, что полностью соответствует
физическому эксперименту в [115]. Расчет был произведен для геометрии,
аналогичной работе [187]. Отличие результатов составило не больше 1-2
процентов. Ламинарно-турбулентный переход для проверки
численного метода был рассчитан в кубической области. Моделирование было
проведено для Ra < 5.0 • 10€ и Рг < 3.0 с последующим построением
зависимостей кинетической энергии турбулентности от масштаба
движения. В результате получен характерный график, имеющий
асимптотику в инвариантной области мелких масштабов движения
(больших волновых чисел) близкую к известному закону А.Н.Колмогорова
" — 5/3". Исследовав тестовые задачи и сопоставив их с данными
расчетов и физическими экспериментами других авторов можно сказать,
что разработанный численный метод адекватен и корректно решает
начально-краевую задачу для (4.25)-(4.28) в пределах Ra < 5.0 ■ 106 и
Рг < 3.0.
Результаты. Для анализа полученных результатов использован
метод построения фазовых портретов и сечений Пуанкаре
траектории решения в каждом трехмерном подпространстве скоростей
бесконечномерного фазового пространства решений задачи в отдельных
точках (ж, т/, z) области О,. Для этого внутри кубической области
расчета было выбрано пять точек с декартовыми координатами: Р\ =
(0.5,0.5,0.5); Р2 = (0.4,0.5,0.5); Р3 = (0.5,0.8,0.5); Р4 = (0.8,0.5,2/3);

304 ГЛАВА 4. ПРОСТРАНСТВЕННО-ВРЕМЕННОЙ ХАОС
Рз = (0.16,0,167.0.1) в относительных величинах к единичным
длинам по каждому направлению. Расчеты выполнялись при различных
значениях чисел Рэлея и Прандтля, которые являются
бифуркационными параметрами для рассматриваемой задачи. Каждая серия
расчетов проводилась при фиксированном значении числа Рг и увели»
чивающемся значении числа Ra, отсчитывающемся от значения Ra
при ламинарном режиме течения. Ламинарному течению, очевидно,
соответствует неподвижная устойчивая точка в каждом трехмерном
подпространстве бесконечномерного фазового пространства с
координатами (VXi Vy> Vz). Было выполнено несколько расчетных серий, три
из которых представлены в книге.
Первая серия расчетов. Значение числа Прандтля Рг = 1.86666.
При Ra < 2.5-10* наблюдается ламинарное стационарное течение
во всей области. Ламинарному течению соответствует неподвижная
устойчивая точка в каждом трехмерном подпространстве, что
соответствует наличию неподвижной устойчивой точки в самом
бесконечномерном фазовом пространстве. При Ra = 2.5 • 105 в каждом
трехмерном фазовом подпространстве из каждой устойчивой неподвижной
точки рождается свой устойчивый предельный цикл, что
соответствует рождению цикла из неподвижной точки в результате бифуркации
Андронова—Хопфа в бесконечномерном фазовом пространстве. Этот
цикл лежит во всем бесконечномерном фазовом пространстве, и не
лежит ни в каком из трехмерных подпространств. При увеличении
значений числа Рэлея периодическая траектория цикла теряет устойчивость
при Ra = 2.6782 ■ 105 в результате второй бифуркации Андропова—
Хопфа с образованием устойчивого двумерного инвариантного тора.
Проекция самого двумерного тора на фазовое подпространство
скоростей точки Pi и проекция его сечения Vx = 0 на плоскость с
координатами (Vz, Vy) показана на рис. 4.27.
0.2
0.1
ъ
•<и
-0.2
0.04 0.0
б)
Рис. 4.27: Проекция двумерного тора на фазовое подпространство
скоростей в точке Pi (а) и его сечение плоскостью Vx = 0(6) при Ra = 2.6782 ■ 105,
Рг= 1.86666.

4.3. ХАОС И ТУРБУЛЕНТНОСТЬ
305
Рис. 4.28: Проекция двумерного тора удвоенного периода на фазовое
подпространство скоростей в точке Pi (а) и его сечение плоскостью Vx = 0(6)
при Ra = 2.76785817 . 105, Рг = 1.86666.
При дальнейшем увеличении значений числа Рэлея происходит
последовательное рождение устойчивого двумерного тора удвоенного
периода (рис. 4.28) при Ra == 2.76785817-105 и, далее, двумерного
устойчивого тора учетверенного периода при значении Ra — 2.913322521-Ю5
(рис. 4.29).
Рис. 4.29: Проекция двумерного тора учетверенного периода на фазовое
подпространство скоростей в точке Pi (а) и его нижнее сечение Пуанкаре
плоскостью Vx = 0(6) при Ra = 2.913322521 • 1055 Рг = 1.86666.
Аналогичные результаты получены для других точек области,
включая точку Р$л лежащую в угловой подобласти пограислойиых решений.
Во всех точках при одних и тех же значениях чисел Рэлея и Прандт-
ля обнаружены последовательные бифуркации рождения устойчивых
двумерных торов, устойчивых двумерных торов удвоенного и
учетверенного периодов в полном соответствии со сценарием ФШМ.

306 ГЛАВА 4. ПРОСТРАНСТВЕННО-ВРЕМЕННОЙ ХАОС
Вторая серия расчетов. Значение числа Праидтля принято Рг =
1.6129. При Ra = 1.361 ■ 106 в фазовом пространстве рождается
устойчивый цикл, проекция которого на двумерное фазовое
подпространство (Vz*Vy) точки Pi изображена на рис. 4.30а. Дальнейшее
увеличение значений числа Рэлея приводит к рождению последовательно
циклов удвоенного и учетверенного периодов. Затем, при Ra = 1.365 •
106 в результате бифуркации Андронова—Хопфа происходит
рождение устойчивого двумерного инвариантного тора из цикла
учетверенного периода. Проекция родившегося двумерного тора на двумерное
фазовое подпространство (Vz, Vy) точки Pi изображена на рис. 4.306, а
0.4
0J
0.2
0.0
-0.1
V,
0.0
0.4
0.3
0.2
0.1
0.0
а)
-0.1
_! 1 J
• v. °-°
б)
Рис. 4.30: Проекции на плоскость (Vz, Vy) фазового подпространства
скоростей в точке Pi цикла при Ra = 1.361 • 106(а) и двумерного инвариантного
тора при Ra = 1.365 ■ Ю6(б); Рг = 1.6129
-
0.3-
.
0.2-
1
0.1-
\
-
1
"=■
/
0.1
-0.2
-0.4
-0.3
V,
-0.2
а)
0.0
0.1
V*
б)
Рис. 4.31: Сечения плоскостью Vx = 0 двумерного тора в фазовом
подпространстве скоростей в точке Pi при Ra = 1.365 • 106(а); и тора периода два
в фазовом подпространстве скоростей в точке Рз при Ra = 1.36905 ■ 106(б);
Рг- 1.6129.

4.3. ХАОС И ТУРБУЛЕНТНОСТЬ
307
проекция на плоскость (Vz. Vy) сечения этого двумерного тора в
трехмерном фазовом подпространстве (Vx, Vy,Vz) плоскостью Vx = 0
изображена на рис. 4.3] а.
При дальнейшем увеличении значений числа Рэлея в фазовом
пространстве начально-краевой задачи (4.25)-(4.28) рождается
устойчивый инвариантный тор периода два при Ra = 1.36905 • 10°. Наиболее
наглядно процесс рождения двумерного тора периода два происходит
в точке Рз. На рис. 4.316 изображена проекция на плоскость (Vz,Vy)
сечения этого двумерного тора периода два в трехмерном фазовом
подпространстве (Vx, Vy, Vz) точки 1\\ плоскостью Vx = 0. Таким образом,
в данной серии расчетов каскад бифуркаций удвоения периода
устойчивых предельных циклов прерывается бифуркацией Андронов а-Хоп-
фа рождения устойчивого двумерного тора и затем продолжается
каскадом бифуркаций удвоения периода устойчивых двумерных торов.
Третья серия расчетов. Значение числа Прандтля принято
равным Рг = 1.354839. Первая бифуркация происходит в фазовом
пространстве при Ra = 1.286 • 106 . При этом устойчивая стационарная
точка, соответствующая ламинарному режиму, становится
неустойчивой и из нее в результате бифуркации Андропова—Хопфа рождается
устойчивый предельный цикл, изображенный на рис. 4.32а.
0.4
0.2-1
0.1-1
-0.2
V.
0.4
0.2
0,1
-0.2
0.1
V,
0,0
0.1
в)
Рис. 4.32: Проекции на плоскость (VXi Vy) фазового подпространства
скоростей в точке Pi устойчивого цикла при Ra = 1.286 • 106(а) и цикла
удвоенного периода при Ra = 1.296 ■ 106(б); Рг = L.354839
Дальнейшее увеличение значений числа Рэлея приводит к
полному субгармоническому каскаду бифуркаций устойчивых циклов в
соответствии с порядком Шарковского. Так при Ra = 1.296 ■ 106 в задаче
(4.25)-(4.28) рождается устойчивый цикл периода два, изображенный
на рис. 4.326. при Ra = 1.306 ■ 106 рождается устойчивый цикл
периода пять из каскада Шарковского (рис. 4.33а), а при Ra = 1.308 • 106
-- устойчивый цикл периода три (рис. 4.336). Это означает в
соответствии с теоремой Шарковского, что при этих значениях чисел Рэлея

308 ГЛАВА 4. ПРОСТРАНСТВЕННО-ВРЕМЕННОЙ ХАОС
411 4.М . II Vi ДО *Д *l M Ve II
Рис. 4.33: Проекции на плоскость (VXiVy) фазового подпространства
скоростей в точке Pi устойчивого цикла периода пять при Ra = 1.306 • 106(а) и
устойчивого цикла периода три при Ra = 1.308 • 106(б); Рг = 1.354839
и Прандтля в начально-краевой задаче (4.25)-(4.28) конвекции Рэлея-
Беиара кроме устойчивого цикла периода три существуют
неустойчивые циклы всех периодов. В этой серии расчетов формирование
двумерного инвариантного тора ни в каком из трехмерных фазовых
подпространств обнаружено не было.
Таким образом, можно заключить, что при анализе ламинарио-
турбулентпого перехода в начально-краевой задаче конвекции Рэлея-
Бснара вязкой несжимаемой жидкости усложнение динамики
решений может происходить практически всеми возможными
бифуркационными сценариями теории ФШМ в зависимости от значения числа
Прандтля, т.е. от отношения коэффициентов вязкости и
температуропроводности жидкости: а) через субгармонический каскад
бифуркаций устойчивых циклов; б) через несколько бифуркаций Андронова—
Хопфа по сценарию Ландау и затем через субгармонический каскад
бифуркаций устойчивых двумерных или многомерных торов; в)
через несколько первых бифуркаций рождения устойчивых циклов в
соответствии с субгармоническим каскадом теории ФШМ, затем
через несколько бифуркаций Андронова—Хопфа рождения из
последнего цикла сложного n-мерного устойчивого тора, и затем опять через
субгармонический каскад бифуркаций устойчивых n-мерных торов. В
любом случае переход к пространственно-временному хаосу
(турбулентности) осуществляется через бифуркационный механизм
рождения в бесконечномерном фазовом пространстве задачи сложных
регулярных или простых и сложных сингулярных аттракторов в полном
соответствии с теорией ФШМ.
В заключение приведем изображение реального потока в
трехмерном физическом пространстве, который соответствует циклу
периода три в фазовом пространстве начально-краевой задачи конвекции
Рэлея-Бенара (рис. 4.34). Из рисунка следует, что сложному турбу-

4.3. ХАОС И ТУРБУЛЕНТНОСТЬ 309
лентному на вид течению вязкой несжимаемой жидкости в реальном
физическом пространстве может соответствовать на самом деле
регулярное движение по одному из сложных регулярных аттракторов в
фазовом пространстве решений нелинейной системы
дифференциальных уравнений, описывающих такое течение.
Рис. 4.34: Трехмерный поток, соответствующий циклу периода три в
фазовом пространстве скоростей при Ra = 1.308 ■ 106, Рг = 1.354839

Список литературы
1. Агуреев И,Е. Применение теории Фейгеибаума— Шарковского—
Магницкого для анализа модели конкуренции двух
автомобильных перевозчиков // Труды ИСА РАН, 2008, т.ЗЗ, в.12, с. 159-175.
2. Андропов А.А., Поптрягин Л.С. Грубые системы // Докл. АН
СССР, 1937, 14, с. 247-251.
3. Атщенко В. С, Вадивасова Т.Е., Астахов В.В, Нелинейная
динамика хаотических и стохастических систем. - Саратов, 1999,
368 с.
4. Аносов Д.В. Геодезические потоки на замкнутых римановых
многообразиях отрицательной кривизны. - Тр. Мат. ин-та им. В.А.
Стеклова. 1967, 90, 210 с.
5. Арнольд В.И. Дополнительные главы теории обыкновенных
дифференциальных уравнений.- М.: Наука, 1978, 304 с.
6. Арнольд В.И., Афраймович В.С, Илъяшенко Ю.С.} Шильников
Л.П. Теория бифуркаций. - Кн.: Современные проблемы
математики. Фундаментальные направления, т. 5. - М.: ВИНИТИ. 1986,
с. 5-218.
7. Арнольд В.И. Теория катастроф. - Кн.: Современные проблемы
математики. Фундаментальные направления, т. 5. М.: ВИНИТИ,
1986, с. 219-284. Отдельное издание: 5-е изд. М.: URSS, 2009.
8. Арнолг>д В.И., Козлов В.В., Нейштадт А.И. Математические
аспекты классической и небесной механики. - Кн.: Современные
проблемы математики. Фундаментальные направления, т. 3. -
М.: ВИНИТИ, 1985, с. 5-304. Отдельное издание: 3-е изд. М.:
URSS, 2009.
9. Ахромеева Т.С, Курдюмов СП., Малинецкий Г.Г., Самарский
А. А. Нестационарные структуры и диффузионный хаос- М.:
Наука, 1992, 541 с.
10. Ахромеева Т.С., Курдюмов СП., Малинецкий Г.Г. Самарский
А.А. О классификации решений системы нелинейных
диффузионных уравнений в окрестности точки бифуркации.
Современные проблемы математики. Итоги науки и техники, т. 28. - М.:
ВИНИТИ, 1986, с. 207-313.
11. Ахромеева Т.С, Курдюмов СП.7 Малинецкий Г.Г. Самарский
А.А. Двухкомпонентные динамические системы в окрестности
точки бифуркации. Математическое моделирование. - М.: Наука,
1986. с. 7-59.
12. Баутин Н.Н., Леонтович Е.А. Методы и приемы качественного
исследования динамических систем на плоскости. - М.: Наука,
1990, 488 с.
13. Белоцерковский О.М., Опарин A.M., Чечеткин В.М.
Турбулентность. Новые подходы. - М. Наука, 2003, 288 с.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
311
14. Берже П., Полю И., Видалъ К. Порядок в хаосе. - М.: Меркурий
Пресс, 2000. 366 с.
15. Былое Б.Ф., Виноград Р.Э., Гробман Д.М., Немыцкий В.В.
Теория показателей Ляпунова. - М.:, 1966, 576 с.
16. Гарел Д., Гарел О. Колебательные химические реакции. М.:
Мир, 1986, 250 с.
17. Гельфрейх В.Г., Лазуткин В.Ф. Расщепление сепаратрис: теория
возмущений, экспоненциальная малость // Успехи
математических наук, 2001, т.56, 3(339), с. 79-142.
18. Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М. Конвективная устойчивость
несжимаемой жидкости. - М.: Наука, 1972, 392 с.
19. Гетлинг А.В. Конвекция Рэлея-Бенара. М.: URSS. 1999, 248 с.
20. Гиббон Дж. Дисперсионные неустойчивости в нелинейных
системах: вещественные и комплексные уравнения Лорейна. - Кн.:
Синергетика. - М.: Мир, 1984. с. 164-179.
21. Гилмор Р. Прикладная теория катастроф. Т.1 - М.: Мир. 1984,
350 с.
22. Горяченко В.Д. Элементы теории колебаний. - М.: Высшая
школа, 2001, 395 с.
23. Грибов А.Ф., Крищенко А. П. Аналитические условия
существования гомоклинической петли в цепях Чуа. - Сб. Нелинейная
динамика и управление. Вып. 1: под ред. СВ. Емельянова, С.К.
Коровина. - М.: Физматлит, 2001, с. 263-268.
24. Гукенхеймер Дж. Странный, странный аттрактор. - Кн.: Мар-
сден Дж., Мак-Кракен М. Бифуркация рождения цикла и ее
приложения. Гл. 12. - М.: Мир, 1980. с. 284-293.
25. Далецкий Ю.Л., Крейн М.Г. Устойчивость решений
дифференциальных уравнений в банаховом пространстве. - М.: Наука, 1970.
534 с.
26. Дернов А. В. Регулярная динамика и диффузионный хаос в
модели брюсселятора // Дифференц. уравнения, 2001, т. 37, №11,
с. 1554-1556.
27. Дернов А.В.j Магницкий II.А. О переходе к хаосу в одной
неклассической системе уравнений «реакция-диффузия» // Дифференц.
уравнения, 2005, т.41, № 12, с. 1675-1679.
28. Дубровский А.Д. Природа хаоса в консервативных и диссипатив-
ных системах осциллятора Дюффинга-Холмса // Дифференц.
уравнения. 2010. т.46, № 11. с. 1652-1656.
29. Евстигнеев II. М., Магницкий Н.А., Сидоров СВ. О природе
турбулентности в задаче движения жидкости за уступом //
Дифференц. уравнения. 2009, т.45, № 1, с. 69-73.
30. Евстигнеев Н.М.7 Магницкий II.А., Сидоров СВ. О природе
турбулентности в конвекции Рэлея-Бенара // Дифференц.
уравнения. 2009. т.45, № 6, с. 890-893.
31. Евстигнеев Н.М., Магницкий Н.А. О возможных сценариях
перехода к турбулентности в конвекции Рэлея-Бенара // Доклады
РАН, 2010, т.433, № 3. с. 318-322.

312
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
32. Евстигнеев Н.М., Магницкий Н.А., Сидоров СВ. Новый
подход к объяснению природы турбулентности вязкой несжимаемой
жидкости // Труды ИСА РАН, 2008, т.ЗЗ, в. 12, с. 49-65.
33. Заславский Г.М. Стохастичность динамических систем. - М.:
Наука, 1984, 272 с.
34. Заславский Г.М,, Сагдеев Р.З. Введение в нелинейную физику:
от маятника до турбулентности и хаоса.-М.: Наука, 1988, 368 с.
35. Ипатова В.М. О равномерных аттракторах явных
аппроксимаций // Диффсренц. уравнения, 2011, т.47, № 4, с. 574-583.
36. Итоги науки и техники. Современные проблемы математики.
Фундаментальные направления. Динамические системы. - М.:
ВИНИТИ, 1985, т.1, 243 с, т.23 312 с.
37. Калошин Д. Л., Магницкий Н. А., Сидоров СВ. О некоторых
особенностях перехода к хаосу в системе уравнений Лоренца. Сб.
Нелинейная динамика и управление. Вып. 3: под ред. СВ.
Емельянова, С.К. Коровина.- М.: Физматлит, 2003, с. 99-106.
38. Калошин Д. А., Магницкий Н.А. Полная бифуркационная
диаграмма нелокальных бифуркаций особых точек в системе
Лоренца. - Сб. Нелинейная динамика и управление. Вып. 6: под ред.
СВ. Емельянова, С.К. Коровина.- М: Физматлит, 2008, с. 219-
228.
39. Калошин Д.А. О построении бифуркационной поверхности гомо-
клииической бабочки в системе Лоренца // Дифференц.
уравнения, 2003, т.39, № 11, с. 1564-1565
40. Карамышева Т.В. Спиральные волны и диффузионный хаос в
уравнении Курамото-Цузуки // Труды ИСА РАН. Динамика
неоднородных систем, 2010, т. 53, в. 14, с. 31-45.
41. Коддингтон Э.А., Левинсон Н. Теория обыкновенных
дифференциальных уравнений.- М.: ИЛ, 1958, 474 с; 3-е изд. М.:
Издательство ЛКИ/URSS, 2010.
42. Козлов В.В. Симметрии, топология и резонансы в гамильтоновой
механике. - Ижевск: Удм. Гос. Ун-т, 1995, 432 с.
43. Кузнецов СП. Динамический хаос.-М.: Физматлит, 2001, 296 с.
44. Кук A.j Роберте П. Система двухдискового динамо Рикитаки.
Странные аттракторы. - М.: Мир, 1981, с. 164-192.
45. Ланда П.С. Нелинейные колебания и волны. - М.: Наука, 1997,
496 с; 2-е изд. М.: Книжный дом «Либроком»/1Л188, 2010.
46. Ландау Л.Д. К проблеме турбулентности // ДАН СССР, 1944,
т.44, с. 339-342.
47. Леонов Г.А. Об оценке параметров бифуркации петли сепарати-
сы седла системы Лоренца // Диффсренц. уравнения, 1988, т.24,
№ 6, с. 972-977.
48. Лихтенберг А., Либерман М. Регулярная и стохастическая
динамика. - М.: Меркурий-ПРЕСС, 2000, 528 с.
49. Лоскутов А.Ю. Динамический хаос. Системы классической
механики // Успехи физических наук, 2007, т.177, 9, с. 990-1015.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
313
50. Лоскутов А.Ю., Михайлов А.С Введение в синергетику. - М.:
Наука, 1990, 272 с.
51. Магницкий Н.А. Бифуркация Хопфа в системе Ресслера // Диф-
фереиц. уравнения, 1995, т. 31, № 3. с. 538-541.
52. Магницкий Н.А.. Сидоров СВ. Новый взгляд на аттрактор
Лоренца // Дифференц. уравнения, 2001, т.37. №11, с.1494-1506.
53. Магницкий Н.А.7 Сидоров СВ. Переход к хаосу в системе
Лоренца через полный двойной гомоклипический каскад бифуркаций.
- Сб. Нелинейная динамика и управление. Вып. 2: под ред. СВ.
Емельянова, С.К. Коровина.-М.: Физматлит. 2002, с. 179-194.
54. Магницкий Н.А., Сидоров СВ. Распределенная модель
саморазвивающейся рыночной экономики. - Сб. Нелинейная динамика и
управление. Вып. 2: под ред. СВ. Емельянова, С.К. Коровина.-
М.: Физматлит, 2002, с. 243-262.
55. Магницкий Н.А., Сидоров СВ. О переходе к хаосу в нелинейных
динамических системах через субгармонический каскад
бифуркаций двумерных торов // Дифференц. уравнения, 2002, т.38, №
12, с. 1606-1610.
56. Магницкий Н.А., Сидоров СВ. О нахождении гомоклинических
и гетероклинических контуров особых точек нелинейных систем
обыкновенных дифференциальных уравнений // Дифференц.
уравнения, 2003, т. 39, № 11, с. 1511-1520.
57. Магницкий Н.А., Сидоров СВ. О сценариях перехода к хаосу
в нелинейных динамических системах, описываемых
обыкновенными дифференциальными уравнениями. - Сб. Нелинейная
динамика и управление. Вып. 3: под ред. СВ. Емельянова, С.К.
Коровина. - М.:Физматлит, 2003, с. 73-98.
58. Магницкий Н.А. О природе хаотических аттракторов
нелинейных диссииативных систем обыкновенных дифференциальных
уравнений. - Сб. Нелинейная динамика и управление. Вып. 4:
под ред. СВ. Емельянова, СК. Коровина. - М.:Физматлит, 2004,
с.37-58.
59. Магницкий Н.А., Сидоров СВ. Новые методы хаотической
динамики. - М.: URSS, 2004, 318 с.
60. Магницкий Н.А., Сидоров СВ. Особые точки типа ротор
неавтономных систем дифференциальных уравнений и их роль в
образовании сингулярных аттракторов нелинейных автономных
систем // Дифференц. уравнения, 2004, т.40, № 11, с.1500-1514.
61. Магницкий Н.А., Сидоров СВ. О переходе к диффузионному
хаосу через субгармонический каскад бифуркаций двумерных
торов // Дифференц. уравнения, 2005, т.41, № 11, с. 1550-1558.
62. Магницкий Н.А., Сидоров СВ. Динамический хаос в двумерных
неавтономных нелинейных системах о.д.у. // Дифференц.
уравнения, 2006, т.42, № 11, с. 1507-1514.
€3. Магницкий Н.А. Хаотическая динамика нелинейных диссипатив-
ных систем обыкновенных дифференциальных уравнений. - М.:
МАКС ПРЕСС, 2006, 156 с.

314
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
64. Магницкий Н.А., Сидоров СВ. Применение теории Фейгенбаума—
Шарковского—Магницкого к анализу гамильтоновых систем //
Дифференц. уравнения, 2007, т. 43, № 11, с. 1474-1479.
65. Магницкий Н.А. Универсальная теория динамического и
пространственно-временного хаоса в сложных системах // Динамика
сложных систем. 2007, т.1. № 1, с. 18-39.
66. Магницкий Н.А. Новый подход к анализу гамильтоновых и
консервативных систем // Дифференц. уравнения, 2008, т.44, № 12,
с. 1618-1627.
67. Магницкий Н.А. О природе динамического хаоса в окрестности
сепаратрисы консервативной системы // Дифференц. уравнения,
2009. т.45, № 5, с. 647-654.
68. Магницкий Н.А. Хаотическая динамика однородных полей Янга-
Миллса с двумя степенями свободы // Дифференц. уравнения,
2009, т.45, № 12, с. 1698-1703.
69. Магницкий Н.А. Неклассический подход к анализу
гамильтоновых и консервативных систем. - Сб. Нелинейная динамика и
управление. Вып.7: под ред. Емельянова СВ., Коровина С.К.-
М.: Физматлит, 2010, с. 95-126.
70. Магницкий Н.А. О топологической структуре сингулярных
аттракторов нелинейных систем дифференциальных уравнений //
Дифференц. уравнения, 2010, т.46, № 11, с. 1551-1560.
71. Магницкий Н.А., Огинова Ю.В. Исследование сценария перехода
к хаосу в модели экологической системы // Труды ИСА РАН,
т. 14. - М.: КомКнига/URSS, 2005, с. 190-197.
72. Магницкий Н.А. Асимптотические методы анализа
нестационарных управляемых систем. - М.: Наука, 1992. 160 с.
73. Магницкий Н.А. Математическая теория физического вакуума.
- М.: Институт микроэкономики, 2010, 24 с.
74. Магницкий Ю.Н. Регулярная и хаотическая динамика в
нелинейных системах дифференциальных уравнений типа Вайдлиха-
Трубецкова // Дифференц. уравнения, 2007. т. 43, № 12, с. 1618-
1625.
75. Магницкий Ю.Н. О сценарии перехода к хаосу в одной
нелинейной модели Вайдлиха -Трубецкова // Труды ИСА РАН, 2007, т.
29, в. 11. с. 42-46.
76. Малинецкий Г.Г., Потапов А.Б. Современные проблемы
нелинейной динамики. - М.: URSS, 2000, 336 с.
77. Малкин И.Г. Теория устойчивости движения. - М.: Наука, 1966,
530 с: 3-е изд. М.: URSS, 2010.
78. МарсдепДж.) Мак-Кракен М. Бифуркация рождения цикла и ее
приложения. - М.: Мир, 1980, 368 с.
79. Матиняи С. Г. Динамический хаос неабелевых калибровочных
полей //Физика элементарных частиц и атомного ядра, 1985,
т.16, в.З, с. 522-550.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
315
80. Мельников В.К. Об устойчивости центра при периодических по
времени возмущениях // Труды Моск. Матем. Общества, 1963,
т. 12, 3. с. 3-52.
81. Мозер Ю. Лекции о гамильтоиовых системах. - М.: Мир, 1973.
166 с.
82. Неймарк Ю.И.. Лайда П.С. Стохастические и хаотические
колебания. - М.: Наука, 1987, 422 с; 2-е изд. М.: Книжный дом
«Либрокомэ/URSS, 2009.
83. Николае Г., Пригожий И. Самоорганизация в неравновесных
системах. - М.: Мир, 1979, 512 с.
84. Пригожий И., Стпенгерс И. Время, хаос, квант. 7-е изд. М.:
Книжный дом «Либроком^/URSS, 2009.
85. Нитецки 3. Введение в дифференциальную динамику. - М.: Мир,
1975, 302 с.
86. Новиков М.Д., Павлов Б.М. Об одной нелинейной модели со
сложной динамикой //Вестник МГУ, сер. «Вычисл. матем, и
кибернетика», 2000, JY* 2, с.3-7.
87. Палис Ж., Ди Мелу В. Геометрическая теория динамических
систем. - М.: Мир, 1986, 302 с.
88. Понтрягин Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения.
- М.; Наука, 1982, 331 с.
89. Постои Т., Стюарт И. Теория катастроф и ее приложения. -
М.: Мир, 1980, 608 с.
90. Пригожий if., Стенгерс И. Порядок из хаоса. Новый диалог
человека с природой. - М.: Прогресс, 1986, 432 с; 6-е изд. М.:
Издательство ЛКИ/URSS, 2008. 232 с.
91. Пуанкаре А. Избранные труды. Т.1. Новые методы небесной
механики. - М.: Наука, 1971, 772 с.
92. Рабинович М.И. Стохастические автоколебания и турбулентность
// Успехи физических паук, 1978, т. 125, в.1, с. 123-177.
93. Рабинович М.И., Трубецков Д.И. Введение в теорию колебаний
и волн. - М., 2000, 560 с.
94. Рабинович М.И., Фабрикант А.Л. Стохастическая
автомодуляция волн в неравновесных средах // ЖЭТФ, 1979. т. 77, с. 617-
629.
95. Резииченко Г.Ю. Математические модели в биофизике и
экологии. - Ижевск: Институт компьют. исследований, 2006, 184 с.
96. Рюэль Д., Такенс Ф. О природе турбулентности. Странные
аттракторы. - М.: Мир, 1981, с. 117-151.
97. Рябков О.И. Об исследовании седло-узловых бифуркаций и
бифуркаций вилки методом стабилизации Магницкого //
Дифферент уравнения, 2010, т.46, № 11, с. 1657-1661.
98. Самарский А.А. Гулип А.В. Численные методы. - М.: Наука,
1989, 430 с.
99. Свирежев Ю.М. Нелинейные волны, диссипативиые структуры
и катастрофы в экологии. - М.: Наука, 1987, 368 с.

316
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
100. Сидоров СВ. Об устойчивости численного моделирования
периодических решений в нелинейных дифференциальных
уравнениях // Труды ИСА РАН, 2007, т.29, в. 11, с. 78-84.
101. Сидоров СВ. О хаотической динамике в решениях вида бегущей
волны // Труды ИСА РАН, 2008, т.ЗЗ, в. 12. с. 176-184.
102. Сидоров СВ. Бегущие волны и динамический хаос в активных
средах: численное исследование // Дифференц. уравнения, 2009,
т.45, №. 2, с. 250-254.
103. Сидоров СВ. Диффузионный хаос в модели брюсселятора //
Труды ИСА РАН. Динамика неоднородных систем, 2006, в. 10,
с. 91-97.
104. Сидоров СВ. Появление хаотических решений в модели Вольтер-
ра-Гаузе // Труды ИСА РАН, 2006, т.25, с. 218-222.
105. Синай Я. Г. Современные проблемы эргодической теории. - М.:
Физматлит, 1995, 202 с.
106. Сипай Я.Г. Динамические системы с упругими отображениями.
Эргодические свойства рассеивающих биллиардов // Успехи
математических наук, 1970, т. 25, № 2, с. 141-192.
107. Смейл С Дифференцируемые динамические системы // Успехи
мат. наук, 1970, т.25, № 1, с. 113-185.
108. Смейл С. Математические проблемы следующего столетия. - Кн.:
Современные проблемы хаоса и нелинейности. -- Ижевск: ИКИ,
2002, с. 280-303.
109. Темам Р. Уравнения Навье-Стокса. Теория и численный анализ.-
М.: Мир, 1981, 408 с.
ПО. Тихонов А.Н.. Арсении В.Я. Методы решения некорректных
задач. - М.: Наука. 1979, 285 с.
111. Трещев Д.В. Гамильтоиова механика. - М.: МИАН, 2006, 64 с.
112. Трубецков Д.И. Введение в синергетику. Хаос и структуры. -- М.:
URSS, 2010, 240 с.
113. Турбулентность. Принципы и применения. Пер. с англ. Под ред.
У.Фроста, Т.Моулдеиа. - М.: Мир, 1980, 535 с.
114. Фейгенбаум М. Универсальность в поведении нелинейных систем
// УФН: 1983, т. 141, в. 2, с. 343-374.
115. Фрик П.Г. Турбулентность. Подходы и модели. Институт
компьютерных исследований. - Ижевск, 2003, 292 с.
116. Хакен Г. Синергетика. - М.: Мир, 1985, 423 с.
117. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. - М.:
Мир, 1970, 720 с.
118. Хэссард Б.} Казаринов Н., Вэн И. Теория и приложения
бифуркации рождения цикла. - М.: Мир. 1985, 280 с.
119. Чумаков Г.А. Математические вопросы моделирования
автоколебаний скорости гетерогенной каталитической реакции. I // Си-
бирск. Матем. Журнал, 2005, т. 46, № 5, с. 1179-1189.
120. Шарковский А.Н. Сосуществование циклов непрерывного
преобразования прямой в себя // Укр. матем. журнал, 1964, № 1, с.
61-71.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
317
121. Шарковский А.Н,} Майстренко Ю.А., Романенко Ю.Е.
Разностные уравнения и их приложения. - Киев: Наукова думка, 1986,
280 с.
122. Шильников Л.П. Теория бифуркаций и модель Лоренца. - Кн.:
Марсден Дж., Мак-Краксп М. Бифуркация рождения цикла и ее
приложения. Добавление II. - М.: Мир, 1980, с. 317-335.
123. Шильников Л.П. К вопросу о структуре расширенной
окрестности грубого состояния равновесия типа седло-фокус // Матем.
сб., 1970, 81(123), № 1, с. 92-103.
124. Шустер Г. Детерминированный хаос: введение. - М.: Мир, 1988,
240 с.
125. Armaly B.F., Durst F., Pereira C.F., Shonung В. Experimental and
theoretical investigation of backward-facing step flow // J. Fluid
Mechanics, 1983, 127, p. 473.
126. Biktashev V.N. Dissipation of excitation of wave fronts // Phys. Rev.
Lett., 2002, 89(16), p. 168102.
127. Carlson J., Jaffe A. and Wiles A. The Millennium Prize Problems.
- Clay Mathematics Inst., Cambridge, Massachusetts, 2006, 165 p.
128. Chen G., Dong X. From chaos to order: perspectives, methodologies
and applications. - World Scientific, Singapore, 1998, 743 p.
129. Chen G., Ueta T. Yet another chaotic attractor // Int. J. Bifurcation
and Chaos, 1999, v. 9, p. 1465-1466.
130. Chen X. Lorcnz equations. Part I: Existence and nonexistence of
homoclinic orbits // SIAM J. Math. Anal., 1996, v. 27, 4, p. 1057-
1069.
131. Chua L.O., Kornuro M., Matsumoto T. The double scroll family //
IEEE Trans. Circuits and Syst. CAS-33, 1986, pt.1,2, p. 1073-1118.
132. Chua's circuit: A paradigm for chaos. Ed. by Madan R.N.-Singapore:
World scientific, 1993.
133. Collet P., Eckmann J.P., Lanford O.E. Universal properties of maps
of an interval // Comm. Math. Phys., 1980, v. 76, p. 211-254.
134. Eckmann J.P., Ruelle D. Ergodic theory of chaos and strange attrac-
tors // Rev. Mod. Phys., 1985, v. 57, 3, p. 617-656.
135. Ershov S.V., Malinetsky G.G. and Rusmaikin A.A. A generalized
two-disk dynamo model // Geophys. Astrophys. Fluid. Dynamics,
1989, v. 47, p. 251-277.
136. Evstigneev N. M., Magnitskii N.A.} Sidorov S. V. Nonlinear dynamics
of laminar-turbulent transition in three dimensional Rayleigh-Bcnard
convection // Comm. Nonlin. Science. Numer. Simul., Elsevier, 2010,
v. 15, p. 2851-2859.
137. Feigenbaum M.J. Universal behavior in nonlinear systems // Los
Alamos. Sci., 1980, v.l, 1, p. 4-27.
138. FitzHugh R.A. Impulses and physiological states in theoretical model
of nerve membrane // Biophys. J., 1961, 1, p. 445-466.
139. Genesio R., Tesi A. Harmonic balance methods for the analysis of
chaotic dynamics in nonlinear systems // Automatica, 1992, v.28, 3,
p. 531-548.

318
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
140. Gilmore R., Lefranc M. The topology of chaos. - NY: Wiley. 2002,
495 p.
141. Ginoux J.-M., Rossetto B.< Jamet J.-L. Chaos in three-dimensional
Volterra-Gausc model of predator-prey type // Int. Journ. Bifurcation
and Chaos, 2005. v.15, 5, p. 1689-1708.
142. Goldfain E. Bifurcations and pattern formation in particle physics:
An introductory study // European Physic Letters, 2008, 82, p.
11001.
143. Guckenheirner J. and Holmes P. Nonlinear oscillations, dynamical
systems and bifurcations of vector fields. - N.-Y.: Springer, 1983,
453 p.
144. Guckenheirner J. and Williams R.F. Structural stability of Lorenz
Attractors // Publ. Math. IHES, 1979, v. 50, p. 59-72.
145. Henon M. A two-dimensional mapping with a strange attract or //
Comm. Math. Phys., 1976, v. 50, p. 69.
146. Hirsch M. and Smole S. Differential equations, dynamical systems
and linear algebra. - N.-YM Academic Press, 1974, 358 p.
147. Hirsch M. W.} Smale S. and Devaney R. L. Differential Equations.
- Amsterdam, Elsevier, 2004, 417 p.
148. Hodgkin A.L.} Huxley A.F. A quantitative description of membrane
current and its application conduction and excitation in nerve // J.
Physiol., 1952, 117, p. 500-504.
149. Hopf E. A mathematical example displaying the features of turbulence
// Comm. Pure Appl. Math.? 1948, v.l, p. 303-322.
150. Jakobson M. V. Absolutely continuous measures for one parameter
families of one-dimensional maps // Comm. Math. Phys., 1981, v.
81, p. 39-88.
151. Kuramoto K, Tsuzuki T. On the formation of dissipative structures
in reaction-diffusion systems // Progr. Thcor. Phys., 1975, v. 54, 3,
p. 687-699.
152. Lefever Д.. Prigogine L Symmetry-breaking instabilities in dissipative
systems // J. Chem. Phys., 1968, 48, p. 1695-1700.
153. Li T.Y.. Yorke J. A. Period three implies chaos // Amer. Math.
Monthly, 1975,v. 82, 10, p. 982-985.
154. Liu W.B., Chen G. A new chaotic system and its generation // Int.
J. of Bifurcation and Chaos. 2003, v. 13. p. 261-267.
155. Lorenz E. N. Deterministic Nonperiodic Flow //J. Atmos. Sci., 1963,
v. 20. p. 130-141.
156. Machta J. Power low decay of correlation in a billiard problem// J.
of Stat Phys., 1983, v. 32, 3. p. 555-564.
157. Mackey M., Glass L. Oscillations and chaos in physiological control
systems // Science, 1977, v. 197, p. 287-289.
158. Magnitskii N.A. Stabilization of unstable periodic orbits of chaotic
maps jI Computers Math. Applic, 1997, v. 34, 2-4, p. 369-372.
159. Magnitskii N.A., Sidorov S.V. Nonlinear Dynamics on the Life and
Social Science. IOS Press, NATO Science Scries. Ser. A. Life Science,
2001, v.320, p. 33-44.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
319
160. Magnitskii N.A., Sidorov S. V. Actual Problems of Chaotic Dynamics
in Dissipative Systems of Nonlinear Ordinary Differential Equations
// Dynamics of Nongenerous Systems, ISA RAS* 2004, 7, p. 5-41
161. Magnitskii N.A., Sidorov S.V. New methods for chaotic dynamics
(monograph). - Singapore, World Scientific, 2006, 363 p.
162. Magnitskii N.A. Universal theory of dynamical chaos in dissipative
systems of differential equations // Comm. Nonlin. Science. Numer.
Simul., Elsevier, 2008, 13, p. 416-433.
163. Magnitskii N.A. Mathematical theory of physical vacuum // Comm.
Nonlin. Science. Numer. Simul., Elsevier, 2011,16, 6, p. 2438-2444.
164. Mandelbrot B. The fractal geometry of Nature. ■- Freeman, San
Francisco, 1983.
165. Manneville P. and Porneau Y. Different ways to turbulence in
dissipative dynamical systems // Physica, 1980, v. ID, p. 219.
166. Merkin J.H., Petrov V., Scott S.K., Showalter K. Wave-Induced
Chemical Chaos // Phys. Rev. Letters, 1996, v.76, 3, p.546-549.
167. Newhouse S.f Ruelle D.} Takens F, Occurrence of strange axiom A
attractors near quasi-periodic flows on Tm, m > 3 // Comm. Math,
Phys., 1979, v. 64, 1, p. 35-40.
168. Nishiura Y., Ueyama D. Self-replication, self-destruction and spatio-
temporal chaos in the Gray-Skott model // Forma., 2000, v,15, p.
281-289.
169. Rani H.P., Sheu T.W.H. Nonlinear dynamics in a backward-facing
step flow // J. Physics of Fluids, 2006, 18, p. 084101-14.
170. Robinson С Dynamical Systems, 2nd ed.- N.-Y., CRC Press, 1995.
171. Rossler O.E, An equation for continuous chaos // Phys. Lett. A,
1976, v. 57, 5, p. 397-398.
172. Rucklidge A.M. Chaos in models of double convection // J. Fluid
Mech., 1992, v. 237, p. 209-229.
173. Rychlik M. Lorenz attractors through a SlnTnikov-type bifurcation,
Part 1. Ergodic theory of dynamical systems, 1989, 10, p. 793-821.
174. Saltzman B. Finite amplitude free convection as an initial value
problem // J. Atmos. Sci., 1981, 19, p. 329.
175. ShiVnikov L.P. Chua's circuit: rigorous results and future problems
// Int. J. Bifurcation and Chaos, 1994, v. 4, 3, p. 488-519.
176. ShiVnikov A.L., ShiVnikov L.P., Turaev D.V. Normal forms and
Lorenz attractors // Int. J. Bifurcation and Chaos, 1993, v. 3, 5,
p. 1123-1139.
177. Shinbort Т., Grebogi C.f Yorke J.A. Using small perturbations to
control chaos // Nature, v. 363, 3, 1993, p. 411-417.
178. Smale S. Structurally stable systems are not dense. Amer, J. Math..
1966, v. 88, p. 491-496.
179. Sohos G., Bountis Т., Polymilis H. Is the Hamiltonian // = (x2 +
y2-\-x2y7)/2 Completely Chaotic? // Nuovo Cimento, 1989, Vol. 104
B, N. 3, p. 339-352.
180. Sparrou C. The Lorenz equations; Bifurcations, chaos and strange
attractors.- N.-Y., Springer Verlag, 1982, 269 p.

320
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
181. Sprott J.C. Some simple chaotic flows // Phys. Rev. E, 1994, 50, 2,
p. 647-650.
182. Trebler A. A. On cascades of bifurcations leading to chaos in several
nonlinear dissipative systems of ODEs // Comm. Nonlin. Science.
Numer. Simul., Elsevier, 2010, v. 15, 10, p. 2974-2986.
183. Tucker W. A rigorous ODE solver and Smale's 14th problem //
Found. Comput. Math,, 2002, p. 53-117.
184. Turing A. On the chemical basic of morphogenesis // Phil. Trans.
Roy. Soc. London, 1952, Ser. A, 237, p. 37-52.
185. Vallis G.K. Conceptual models of El Nino // J. Geophys. Res., 1988,
v. 93, p. 13979-13991.
186. Vallis G. K. A chaotic dynamical system// Science, 1986, v.232, p.
243-245.
187. Wang C., Liu J.-G., and Johnston H. Analysis of a fourth order
finite difference method for incompressible Boussincsq equations //
J. Numer. Math., 2002, 91, p. 543-576.
188. Weidlich W. Stability and cyclicity in social systems // Behavioral
Science, 1988, v. 33, p. 241.
189. Weidlich W. Physics and social science - the approach of synergetics
//' Phys. Rep., 1991, v. 204, 1, p. 1-169.
190. Williams P,T.} Baker A,J. Numerical simulation of laminar flow
over a three-dimensional backward-facing step // Int. J Numerical
Methods in Fluids, 1997, 24, 11, p. 1159-1183.
191. Williams R.F. The structure of the Lorenz attractors // Publ. Math.
IHES, 1979, 50, p. 321-347.
192. Yorke J.A., Yorke E.G. Metastable chaos: the transition to sustained
chaos oscillations in a model of Lorenz// J. Stat. Phys., 1979, 21, p.
263-277.
193. Zeeman E. C. Differential equations for the heartbeat and nerve
impulses. Mathematical Institute, Univer. of Warvick, Coventry. 1972
194. Zhou T.S,, Chen G. Classification of chaos in 3-D autonomous
quadratic systems // Int. J. of Bifurcation and Chaos, 2006, v. 16, 9,
p. 2459-2479.
195. Zimmermann M.G., Firle S.O., Natiello M.A. et al Pulse bifurcation
and transition to spatio-temporal chaos in an excitable reaction-
diffusion model // Physica D., 1997, v.110, p. 92-104.