/
Автор: Никольский С.М.
Теги: анализ математика математический анализ дифференциальные уравнения
Год: 1983
Текст
> м ииколикий
К У ГС
МАТЕМАТИЧЕСКОГО
АНАЛИЗА
П
С. М. НИКОЛЬСКИЙ
КУРС
МАТЕМАТИЧЕСКОГО
АНАЛИЗА
Том II
Издание третье,
переработанное и дополненное
Допущено Министерством, высшего
и среднего специального образования СССР
качестве учебника для студенток физических
и механико-математических специальностей
высших учебных заведений.
22.16
И М
УДК 517
Никольский С. М. Курс математического анализа, т. II: Учебник,—
3-е изд., ис])сра.б. и доиолы.— М.: Наука. Главная редакция физико-матема-
физико-математической литературы, 1083.
Учебник для студентов физических и мохапико-математичестгх специ-
специальностей вузов. Написан на основе курса лекций, читаемого автором в
Московском физико-техническом институте. Фактически принят кап учет-
учетное пособие в некоторых втузах с повышенной программой по математике.
Второй том содержит кратные интегралы, теорию поля, ряды Фурье
и интеграл Фурье, обобщенные функции, дифференцируемые^ многообразия,
дифференциальные формы, .интеграл Лебега — Стилтьеса.
При подготовке 3-го издания в книге сделаны существенные измене-
изменения и дополнения.
Рис. 50.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие ко второму изданию Ч
Предисловие к третьему изданию 8
Глава 12. Кратные интегралы , •. . О
§ 12.1. Введение . . • !>
§ 12.2. Кнадрирусмьте по Жордаиу множества И
§ 12 3. Важные примеры ккадрирусмых по Жордапу множеств 18
§ 12.4. Кще один критерий измеримости множества. Полярные
координаты . . .' ¦ 19
§ 12.5. Измеримые по Жордапу трехмерные и и-мерные мно-
множества . , 20
§ 12.6. Понятно кратного интеграла « • 24
§ 12.7. Верхняя и нижняя интегральные суммы. Основная
теорема . . , . ¦ . 27
§ 12.8. Интегрируемость непрерывной функции на замкнутом
измеримом множестве. Другие критерии М
§ 12.0. Множество лебеговой меры нудь • .'>4
^ 1.2.10. Доказательство теоремы Лебега, Интегрируемость и огра-
ограниченность функции ...,...•¦.. ЗС
§ 12.11. Свойства кратных интегралов .,.-.... 3(
§ 12.12. Сведение кратного интеграла к интегралам по отдель-
отдельным переменным ....'.• 4!
§ 12.13. Непрерывность интеграла по параметру , , 47
§ '12.14. Геометрическая интерпретация знака определителя . . 4;>
§ 12.15. Замена переменных в кратном интеграле. Простейшнй
случай ,..,,....•,,,.• 51
§ 12.16. Замена переменных в кратном интеграле .... 53
§ 12.17. Доказательство леммы 1 § 12.16. ГО
§ 12.1'S. Полярные координаты в плоскости Е9
.§ 12.19. Полярные и цилиндрические координаты п lijtocipaHcrne (Я
§ 12.20. Общие свойства непрерывных операций (!)
§ 12.21. Дополнение к теореме о замене переменных в кратном
интеграле ,.,,,,.,.,• . . < СА
§ 12.22. Несобственный интеграл с особенностями вдоль границы
области. Замена переменных ГО
§ 12.23. Площадь поверхности 0^
4 ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава 13. Теерия поля. Дифференцировали) и интегрирование во
параметру. Несобственные интегралы , , , 75
§ 13.1. Криволинейный интеграл первого рода , » , , 75
§ 13.2. Нримминейный интеграл второго рода 76
§ 13.3. Поле потенциала 79
§ 13.4. Ориентация плоской области ........ St>
§ 13.5. Формула Грина. Выражение площади через криволиней-
криволинейный интеграл 87
§ 13.6. Интеграл по поверхности первого рода i . , . . 90
§ 13.7. Ориентация поверхностей ¦ 9Н
§ 13.8. Интеграл по ориентированной плоской области ... 97
§ 13.9. Поток вектора через ориентированную поверхность . . 99
§ 13.10. Дивергенция. Теорема Гаусса — Острограцского . . . 102
§ 13.11. Ротор вектора. Формула Стокса 109-
§ 13.12. Дифференцирование интеграла по параметру » . . 113
§ 13.13. Несобственный интеграл , . i 115
§ 13.14. Равномерная сходимость несобственного интеграла . . 122
§ 13.15. Равномерно сходящийся интеграл для неограниченной
области 128
§ 13.16. Равномерно сходящийся интеграл с переменной особой
точкой ¦....,.<.. 134
Глава 14. Линейные нормированные пространства. Ортогональные
системы , • ,_».... 142
§ 14.1. Пространство С непрерывных функций , 142
§ 14.2. Пространства L', Lp, L я. lp , , < . . . . . » 144
§ 14.3. Пространство L\(L^ . ...» ...... 148
§ 14.4. Приближение финитными функциями ...... 151
§ 14.5. Сведения из теории линейпых множеств и линейных
нормированных пространств . . • 157
§ 14.6. Ортогональная система в пространстве со скалярным
произведением ....•.<¦>.<>. 164
§ 14.7. Ортогонализация системы . ,.,»,,.. 175
§ 14.8. Свойства пространств L'2(Q) и L2(Q) . . < . . . 178
§ 14.9. Полпота системы функций в С, L2 и L'(L^, L) . 180"
Глава 15. Ряды Фурье. Приближение функций полиномами . . 182
§ 15.1. Предварительные сведения 182
§ 15.2. Сумма Дирихле 188
§ 15.3. Формулы для остатка ряда Фурье , , , . . . . 191
§ 15.4. Леммы об осцилляции . ¦ - 193
§ 15.5. Критерии сходимости рядов Фурье. Полнота тригономе-
тригонометрической системы функций . . . . , . • . . 197
§ 15.6. Комплексная форма записи ряда Фурье . . . . • 205
ОГЛАВЛЕНИЕ 5
§ 15.7. Дифференцирование и интегрирование рядов Фурье . . 207
§ 15.8. Оценка остатка ряда Фурье .•....,.. 210
§ 15.9. Явление Гиббса 211
§ 15.10. Сумма Фейера . • « 215
§ 15.11. Сведения из теории многомерных рядов Фурье . , . 218
§ 15.12. Алгебраические многочлены. Многочлены Чебышева' . < 228
§ 15.13. Теорема' Всйерштрасса ... . ..«•... 229
§ 15.14. Многочлены Лежандра ... • ....... 230
Глава 16. Интеграл Фурье. Обобщенные функции 233
§ 16.1. Понятие интеграла Фурье 233
§ 16.2. Лемма об изменении порядка интегрирования . . . 236
,§ 16.3. Сходимость простого интеграла Фурье к порождающей
его функции ¦ 237
§ 16.4. Преобразование Фурье. Повторный интеграл Фурье. Ко-
Косинус и синус преобразования Фурье . . . . , . 239
§ 46.5. Производная и преобразование Фурье 244
§ 16.6. Пространство S 245
§ 16.7. Пространство 5' обобщенных функций . . . . > 250
§ 16.8. Многомерные интегралы Фурье и обобщенные функции 259
§ 16.9,- Ступенчатые финитные функции. Квадратические при-
приближения . > , , 267
§ 16.10.- Теорема Плаишереля. Оценка сходимости простого ин-
интеграла • , 272
§ 16.11. Обобщенные периодические функции .,.»,, 277
Глава 17. Дифференцируемые многообразия и дифференциальные
формы , , , , , 284
§ 17.1. Дифференцируемые многообразия . . . 284
§ 17.2. Край дифференцируемого многообразия и его ориента-
ориентация 294
§ 17.3. Дифференциальные формы . 305
§ 17.4. Формула Стокса 315
Глава 18. Дополнительные сведения , 321
§ 18.1. Обобщенное неравенство Минковского 321
§ 18.2. Усреднение функции по Соболеву 323
§ 18.3. Свертка , 327
§ 18.4. Разбиение единицы , , »......-. 330
Глава 19. Интеграл Лебега , , 333
§ 19.1. Мера Лебега , , ¦...., 333
§ 19.2. Измеримые функции . . . • . 343
§ 19.3. Интеграл Лебега , , , , 350
ОГЛАВЛЕНИИ
§ 10.4. Интеграл Лебега па неограниченном множестве . . . Г'Я7
§ 10.5. Обобщенная производная по Соболеву ,.'... ';(.W
§ 10.6. Пространство обобщенных функций />'..... W3
§ 10.7. Неполнота пространства L'p , 4Ой
5 Ю.8. Обобщите меры Жордана • . . . 408
S Ю.О. Интеграл Гнмапа — Ствлтьоса , . . ¦ . . . . -Ш
5 10.10. Интеграл Стилтьеса ¦ 414
§ 10.11. Обобщенный интеграл Лебега . 422
§ 10.12. Иптеграл Лебега — Стплтьеса ¦ . . 42о
§ 19.13. Продолжение функции. Теорема Вейерштрасса , . . 431
л а в а 20. Линейные операторы н функционалы 435
§ 20.1. Линейные операторы 435
I 20.2. Линейные функционалы ¦ . . . . 437
§ 20.3. Сопряженное пространство 437
§ 20.4. Линейный функционал в пространство С непрерывных
функций 4Л7
§ 20.5. Линейный функционал в пространств L интегрируемых
функций . ; 4'ii
§ 20.0. Линейный функционал в гильбертовом пространстве . . '\'Z
Трсдметный указатель 145
ПРЕДИСЛОВИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ
Во втором издании тома II добавлены параграфы 19.8—19.12,
посвященные интегралам Стилтьеса, Римана.— Стилтьеса, Ле-
Лебега— Стильтьеса. Некоторым изменениям подверглись §§ 12.13,
13.8, 13.14, 13.15, 13.16, 15.3, 15.9, 16.3.
Кроме лиц, уже отмеченных в предисловиях к тому I, я бла-
благодарю Р. В. Гамкрелидае за полезное для меня обсуждение от-
отдельных глав книги. Я благодарю также А. II. Вейссепберга и
Е. Л. Эигелсона, обративших мое внимание на некоторые неточ-
неточности в 1-м издании книги.
1075 г, С. М. Никольский
ПРЕДИСЛОВИЕ К ТРЕТЬЕМУ ИЗДАНИЮ
В третьем издании тома II сделаны изменения и добавления
в § 12.13, 13.8, 15.3, 15.4, 16.4, 19.3 (п. 22). В частности, в
§ 12.13 дано более простое доказательство непрерывности ин-
интеграла по параметру, которое сообщил мне О. В. Бесов. В § 16.4
разобрано много примеров на преобразовании Фурье. Я взял эти
примеры из сборника задач и упражнений по математическому
анализу Б. П. Демидовича («Наука», 1972).
1982 г. С. М. Никольский
Глава 12
КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
§ 12.1. Введение
Пусть в трехмерном пространстве, в котором определена пря-
прямоугольная система координат (х, у, г), задана непрерывная по-
поверхность
z = /«?)= /(*, у) ((?=(i,y)eQ),
где Q есть некоторое ограниченное (двумерное) множество, для
которого возможно определить понятие его площади (двумерной
меры*)). В качестве Q может быть взят круг, прямоугольник,
эллипс и т. д. Будем считать, что функция fix, у) положитель-
положительна, и поставим задачу: требуется определить объем тела, ограни-
ограниченного сверху нашей поверхностью, снизу плоскостью z = 0 и
с боков цилиндрической поверхностью, проходящей через грани-
границу ч плоского множества Q, с образующей, параллельной оси z.
Искомый объем естественно определить следующим образом.
Разделим Q па конечное число частей
Q,, ..., Q*, A)
перекрывающихся между собой разве что цр своим границам.
Однако эти части должны быть такими, чтобы можно было опре-
определить их площади (двумерные меры), которые мы обозначим
соответственно через mQt, ..., mQN.
Введем понятие диаметра множества А — это есть точная
верхняя грань
d(A)= sup \P'-P"\.
Р',Р"<=А
В каждой части Qs выберем по произвольной точке Qj =
— (?л *Ы 0 = 1, ..., iV) и составим сумму
которую естественно считать приближенным выражением иског
мого объема V. Надо думать, что приближение V « VK будет тем
более точным, чем меньшими будут диаметры d(Qj) частей Q,.
*) См. далее § 12.2.
Ю ГЛ. 12. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Поэтому естественно объел нашего тела определить как предел
суммы B)
lira 2/(<?i)mQ, C)
dS2) 2=1
когда максимальный диаметр частичных множеств разбиения A)
стремится к пулю, если, конечно, этот предел существует и ра-
равен одному и тому же числу независимо от способа последова-
последовательного разбиения Q.
Можно отвлечься от задачи о нахождении объема тела и
смотреть па выражение C) как на некоторую операцию, которая
производится над функцией /, определенной на fi. Эта операция
называется операцией двойного интегрирования по Роману
функции у на множестве п, а ее результат — определенным
двойным интегралом (Римана) от У на Q, обозначаемым так:
IV
У = Ит 2 / № m®i = И / (*, y)dzdy=\f (<?) dQ = f /<КЭ.
raaxii(Qj)-»o 3=1 Q ц ' n
Пусть теперь в трехмерном пространство, где определена пря-
прямоугольная система координат (ж, у, г), задано тело Q (множе-
(множество) с неравномерно распределенной в нем массой с плотностью
распределения \i(x, у, z) — \.i(Q) (Q = (х, у, z) e Q). Требуется
определить общую массу тела Q.
Чтобы решить эту задачу, естественно произвести разбиетшо
Q на части Qlf ..., QK, объемы (трехмерные меры) которых
(л предположении,'что они существуют) пусть будут mQi, ...
..., niQK, выбрать произвольным образом в кагкдой части по точ-
точке (.Qj = (xj, f/j( 2j) e Qj) и считать, что искомая масса равна
Д/= lim '2 (*(^
Снова па выражение D) можно смотреть как на определен-
определенную операцию над функцией ц, заданной теперь па трехмерном
множестве Q. Эта операция па этот раз называется операцией
тройного интегрирования (по Риману), а результат ее — опреде-
определенным тройным интегралом (Римана), обозначаемым так:
М = lira 2 l-i (Qi) ™&j = f и (Q) dQ - j' f f ц (*, j/, г) da; dy dz.
mastd(SJj)-»o ' ' H Q *
В этом же духе определяется понятие п-кратного интеграла
Римана.
Мы увидим, что часть теории кратного интегрирования, со-
содержащая теоремы существования п теоремы об аддитивных
свойствах интеграла, может быть изложена совершенно анало-
аналогично как в одномерном, так и в п-мерном случае. Однако в тео-
§ 12.2. КВАДРИРУЕМЫЕ ПО ЖОРДАНУ МНОЖЕСТВА { {
рии кратных интегралов возникают трудности, которых ire было
у нас при изложении теории однократных интегралов.
Дело в том, что однократный интеграл Римана мы определи-
определили для очень простого множества — отрезка [а, Ь], который
дробился снова.на отрезки. Никаких трудностей в определении
длины {одномерной меры) отрезков не возникало. Между тем в
случае двойных и вообще /г-кратных интегралов область интег-
интегрирования Q приходится делить иа части с криволинейными
границами и возникает вопрос об общем определении понятия
площади или вообще /i-мерной меры этих частей. Конечно, этот
вопрос возник бы п при п = 1, если бы мы определяли интеграл
Римана не на отрезке, а на более или менее сложном одномер-
одномерном множестве.
В связи с этим появляется необходимость в четком определе-
определении понятия меры множества и выяснении ее свойств. Поэтому
мы начинаем эту главу с изложения теории меры по Жордану,
органически связанной с теорией интеграла Римана. На основе
этой теории затем излагается теория кратного интеграла. Важ-
Важным методом в этой последней является тот факт, что вычисле-
вычисление кратных интегралов может быть сведено к вычислению
однократных по каждой переменной в отдельности, что дает воз-
возможность применять во многих случаях теорему Ньютона —
Лейбница.
§ 12.2. Квадрируемые по Жордану множества
Рассмотрим плоскость /? = /?2, где задана вполне определен-
определенная прямоугольная система координат (х, у), которую мы обозна*
чнм той же буквой R.
Ту же плоскость в другой, повернутой системе координат
(|, rj) мы будем обозначать через R'.
Простейшим множеством на R мы будем считать прямоуголь-
прямоугольник А. Аналитически его можно определить следующим образом:
существует такая прямоугольная система координат й', в кото-
которой А определяется как множество точек (|, т])г удовлетворяю-
удовлетворяющих неравенствам
ау<1<аг, Ь,<ц<Ъ2, A)
где <Zj < й2, &i < &2. Система координат R' обладает тем свой-
свойством, что стороны А параллельны ее осям. Чтобы подчеркнуть,
что стороны А параллельны осям системы Я', мы будем писать
Д = Ад./. Заметим, что мы считаем Д замкнутыми множествами.
Мы вводим еще понятие элементарной фигуры о. Множество
о <= R мы называем элементарной фигурой, если оно есть (теоре-
(теоретико-множественная) сумма конечного числа прямоугольников
A<=Rt которые могут пересекаться только по частям своих гра-
12 ГЛ. 12. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
ниц. Площадь Ы двумерной фигуры о определяется как сумма
площадей прямоугольников Д, из которых состоит о.
Фигура а может быть бесконечным числом способов представ-
представлена как конечная сумма прямоугольников Д. Однако площадь
|д| не зависит от способа представления. Это утверждение дока-
доказывается средствами" элементарной геометрии. Мы не будем на
этом останавливаться.
Пустое множество также считается фигурой, и мера его счи-
считается равной нулю.
Определяя прямоугольник при помощи неравенств A), мы
считали «1 < а2, bi < Ъг. Таким образом, мы не будем считать от-
отдельные точки ила отрезки прямоугольниками — в этом не будет
надобности при изложении данной теории.
Среди фигур о мы выделим такие, что все прямоугольники
Д, из которых они состоят, суть А = Дн, т. е. они имеют сторо-
стороны, параллельные осям системы координат R. Такие фигуры мы
будем обозначать символом оя.
Отметим ряд свойств фигур о. Доказательства их элементар-
элементарны, и мы не будем на них останавливаться.
а) Если OiC:o2, то loil < lo2l.
б) Сумма (теоретико-множественная) фигур oR и aR есть фи-
фигура Or, и выполняется неравенство
г и
Оно обращается в равенство, если oR и oR пересекаются разве
что по части их граним.
Г II ' I If ^ .
. в) Разность Or—сгя двух фигур oR, aR не осязательно есть
замкнутее множество, поэтому она не обязательно есть фигура.
Она может стать фигурой (пустой), лишь если eRaoR или если
0"н и 0д не пересекаются. No замыкание oR — aR есть всегда фи-
фигура, и при этом выполняется неравенство
|од —ад|>|ан| —|(гд|. C)
Оно обращается в равенство,, если oR cz ал.
г) Если фигуру ая рассечь прямой, параллельной одной из
осей R, те она разделится'на две фигуры oR и aR.
К 8ТИМ евэйствам нам придется еще добавить два, одно из
которых основано на понятии сетки.
Зададим натуральное числе N и построим два семейства пря-
прямых: х = Ш и y = lh (Л = 2-", k, Z = 0, ±1, ±2, ...). Оба семей-
семейства определяют прямоугольную сетку SN, разбивающую R на
квадраты Ah со сторонами длины h, параллельными осям R. При
переходе от сетки SN к сетке SN+l каждый квадрат сетки SN
делится на четыре равных квадрата.
§ 12.2. КВАДРИРУЕМЫЕ ПО ЖОР ДАНУ МНОЖЕСТВА
13
Пусть G <= Л — произвольное непустое ограниченное множе-
множество. Обозначим через gjw(G) = ww фигуру, состоящую из тех
квадратов Дл сетки SN, которые полностью входят в G, и через
^„(G) = cow — фигуру, состоящую из тех квадратов Д„ сетки SN,
каждый из которых содержит хотя бы одну точку множества G
(рис. 12.1). Может, в частности, случиться, что о>*г есть пустое
множество, не мы условились считать такое множество фигурой
(имеющей меру, равную нулю).
г -
у
N:
i
"j
I
—
V
\
—
у
\
J
\
A
-
+
--I
f
11
i
j.
-г
/
/
f
1
-
1
1
/
к
r-J
-.
ч
(
I
3
¦ «
" j
1
Гис. 12.1.
Очевидно, что
Рис. 12.2.
где iV и iV' — произвольные натуральные числа. Отсюда следует,
чю существуют конечные пределы
mfi
mfi = lim |
mfi ^
¦ lim | o)j
Число m,iG называется внутренней {двумерной) мерой Жор-
Жордана множества G, а число mfi называется внешней {двумер-
{двумерной) мерой Жордана множества G, Слово «Жордана» мы не все-
всегда будем добавлять в целях краткости. В этом параграфе мы
не всегда будем также в целях краткости добавлять слово «дву-
«двумерный». Всюду в этом параграфе будет идти речь о двумерных
мерах по Жордану.
Мы доказали, что произвольное ограниченное множество
G <= R имеет внутреннюю и внешнюю жордаповы меры_ тп& и
meG, удовлетворяющие неравенству m,G «? meG.
Если для множества G с R mfG = meG = mG, то G называет-
называется измеримым по Жордану и число mG называют жордановой
двумерной мерой G. Двумерное (только двумерпое) измеримое
по Жордану мнбжество называют также квадрируемым.
Теперь мы можем сформулировать нужное нам свойство фи-
фигур о: 1
54 ГЛ. 12. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
д) Фигура о {состоящая из прямоугольников, как угодно по*
еернутых по отношению к системе координат Н) есть измеримое
по Жордану множество. При этом ma = lol.
Па рис. 12.2 изображены фигура о и еще две фигуры о' и
о" со сторонами, параллельными соответствующим сторонам а,
такие, что о'с о с о". Ясно, что для данной фигуры о и дан-
лого е >0 можно указать две фигуры а' и а" такие, что выпол-
выполняются условия:
1) а'с о с о",
2) 1о-1о'Ке,
3) точки границ о' и о" отстоят от любой точки границы а
на расстоянии, большем некоторого положительного числа а.
Если_ теперь в системе координат R взять сетку SN, где
V2A = У2 • 2~N < а, то а" — о' содержит любой квадрат сетки, по-
покрывающей хотя бы одну точку границы а. Поэтому сумма пло-
площадей всех квадратов сетки S, покрывающих границу а, не пре-
превышает I о" — а', | = | ст" | — | а' | -< ё. Отсюда следует, что
|Sw(a)|-|©w(o)|<8, B)
я так как z как угодно мало, и | ww (a) |^ )a|^ |сзя (с) |, то
т^а = теа — та = I a I.
Докажем следующие равенства, выражающие различные эк-
нивалептпые определения внутренней и внешней мер ограничен-
ограниченного множества G:
mfi = lim'j @^ (G) \ = sup | a>N (C) | = sup | an | = sup | a |, C)
meG = lira | ©ДГ (G) | = inf 17oN (G) | = inf | oR | = inf | a |. D)
Первое равенство в C) есть уже данное выше определение
tniG. Оно дает эффективный способ получения fri»6r. Однако оно
связано с исходной системой координат R, потому что сетка свя-
связана с /?.
Второе равенство очевидно, так как величина |(flN(G)\ воз-
возрастает вместе с N.
Так как (oN(G) есть в то же время некоторая фигура Он, а стя
есть некоторая а, то очевидно, что
sup | <% (G) | < sup |огд К sup | а |. E)
N ~ G G
С другой стороны, если о с G есть произвольная фигура и
к > 0, то в силу измеримости о мозкно указать N настолько»
большим, что
§ 12.2. КВЛДРИРУЕМЫЕ 110 ЖОРДАНУ МНОЖЕСТВА 15
Отсюда sup la! «S m,G + e и в силу произвольности е
оСв
sup|a|<mfG. (С.)
G
Из E) и F) следуют третье и четвертое равенства C) (первые
два уже доказаны).
Последний член в C) показывает, что внутренняя мера m,G
инвариантна относительно любой системы координат, т. е. она
не зависит от системы координат R, в которой она рассматри-
рассматривается.
Аналогично доказываются равенства D).
Из равенств C), D) легко следует
JI е м м а 1. Для того чтобы множество G было измеримым,
необходимо и достаточно, чтобы для любого е>0 существовали
две фигуры а и о(а cGco) такие, что \о\ —¦ \о| <;в.
При этом можно считать, что а = aR, a = о„.
Действительно, если множество измеримо ий- заданная си-
система координат, то найдутся такие a = ов cz G и а = оя ^> G, что
Наоборот, из того, что о с G с о, следует, что j о | ^ тп-fi ^ meG ^
>^|о|, а если \о\ — |о|<;е,то meG — m;G < е, и вследствие про-
произвольности е > 0-
tneG = niiG.
Из леммы 1 следует, что измеримое множество ограничено.
Лемма 2. Для того чтобы множество G было измеримым
по Жордану, необходимой достаточно, чтобы его граница Г име-
имела жорданову {плоскую) меру нуль, т. е. для всякого е>0
должна найтись покрывающая Г фигура о0, имеющая меру
loot <e.
Доказательство. Пусть множество G измеримо. Тогда
для всякого е > 0 (см. рис. 12.1) найдутся две фигуры о'- = Оц
и о" = a"R, такие, что о' czG ао"- и | о" | — | а' \ < е. Всегда мо;к-
ло считать, что точки границы Г множества G не лежат на гра-
границе о", так же как на границе а'. Если бы это было для взя-*
тых о' и а" не так, то можно фигуру а" увеличить (раздать),
1\ а' уменьшить в направлении оси х и оси у, однако настолько,
чтобы панисашгое неравенство осталось не нарушенным. Тогда
очевидно, что
Гсо"-а'сс"-о' = а, и Ш = la"I - |о'Ке,
т. е. удалось покрыть Г фигурой сь, имеющей площадь, мень-
меньшую чем е.
16 ГЛ. 12. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Наоборот, пусть для любого е>0 можно указать покрываю-
покрывающую Г фигуру (см. рис. 12.1) oe = Or, | а0 | < е. Можно считать,
что Г не имеет общих точек с границей о0. Если это не так для
выбранной фигуры, то ее можно дополнительно раздать, сохра-
сохранив неравенство \а„\ < е.
Положим o"=G + o и a' = G —о0. Нетрудно видеть, что
а' и о" суть фигуры (см. рис. 12.1) и притом о' = oR, a" = аГ{,
о' cGcz а", а" — о' — а0 и \о" I — lo'l = |ао1 < е. Это показывает,
что G — измеримое множество.
Лемма 3. Сумма двух множеств Gt и G2, имеющих жорда-
нову .меру нуль, в свою очередь имеет жорданову меру нуль.
Действительно, по условию для всякого е > 0 существуют
фигурыод и Or такие, что GrZ^G-l, g"r^dG2 и |о"й|<Ге/2, | oft <
< е/2. Тогда фигура oR = Оц -J- ок будет обладать свойствами
Лемма 4. Вместе с G и С, с: G есть множество жордано-
еой меры нуль.
Лемма очевидна.
Теорема 1. 7?сли два множества Gt w G2 измеримы по
Жордану, то измеримы по Жордану также их сумма, разность
и пересечение.
Доказательство. Будем обозначать через Т(Е) границу
множества Е. Имеют место легко проверяемые теоретико-мно-
теоретико-множественные вложения
Так как Gt и G2 измеримы, то по лемме 2 mT(Gi) =0,
mT(Gz) ¦= 0. Но тогда по лемме 3 правые части написашшх вло-
вложений имеют меру нуль, по лемме 4 и левые части имеют меру
нуль. Отсюда, применяя снова лемму 2, получим, что множества,
указанные в теореме, измеримы.
Лемма 5. Если измеримое по Жордану множество G рас-
рассечь на две части G, и G2 при помощи куска кривой L (в част-
частности прямой), имеющей жарданову меру нуль, то каждая часть
в свою очередь измерима по Жордану.
Доказательство. Очевидно, что
откуда па основании предыдущих лемм следует утверждение.
Таким образом, если G есть измеримое по Жордану множе~
с.тво, то любая сетка SN {связанная с любой системой коорди-
§ 12.2. КВАДРИРУЕМЫВ ПО ШОРДАНУ МНОЖЕСТВА П
нат R) дробит G на части, каждая из которых измерима по
Жордану. Диаметр каждой из этих частей не превышает
У 2 2~". Таким образом, при N -+¦ оо диаметры частей равномерно
стремятся к нулю.
Отметим еще одно свойство фигур о.
е) Если фигуру а подвергнуть в R операции сдвига или вра-
вращения, то получим фигуру о' и loi = io'l.
С помощью этого свойства и того факта, что при сдвиге и
вращении соотношение вложения А<^В сохраняется, следует
Лемма 6. Если G% есть множество, полученное из изме-
измеримого множества G <= R посредством сдвига или вращения его
е R, то G# — измеримое множество и mG = mG%.
Пример. Приведем пример неквадрируемого (не измеримого в дву-
двумерном смысле) множества. Пусть G — не пустое открытое ограниченное
множество и Е — множество всех его рациональных точек, т. е. имеющих
рациональные координаты (х, у). Очевидно, что <в«(?) есть пустое множе-
множество для любого натурального N и rrii(E) = 0. С другой стороны, пусть точка
х° е G, тогда найдется невырожденный прямоугольник А, принадлежа-
принадлежащий G и содержащий х°. Очевидно, что <un(E) zd Д, |и>лгОЕ)| ^ 1Д| > 0,
ШеЕ ^ |Д| > 0.
Таким образом, т{Е < тп,Е и Е — неквадрируемое множество.
Докажем аддитивное свойство жордановой меры.
Теорема 2. Если множества Gt и Gz измеримы по Жор-
Жордану и имеют общие точки, принадлежащие разве что их грани-
границам, то их (измеримая по теореме 1) сумма имеет меру, равную
сумме их мер:
G)
Доказательство. Зададим е>0 и подберем фигуры
г I rr ft / I и и
Oi = ffi.H, en = tfi.ui аг = а2,д, °2 — o<i,r такие, что
» « i n
Oi С От, d Оь 02 CZ Сг2С a2i
mGx — e<|ai|<|a'i|<mG1 -f e, \'\\l\
Положим о' — aI -\-o2, о" = o1 --f a2. Очевидно, что о' и о" —фи-
—фигуры, при этом о' сг d + Gi с о" и
I^Kl^l + l^l. \o'\ = Wt\ + \a',\. (8)
Равенство в (8) справедливо потому, что o^ и а2 вместе с
Gt и G2 пересекаются разве что по своим границам.
Теперь очевидно, что
l - е) + (mGa - s)< |ai| + lei] = |с' |< »»,((?! +
<i»,.(C1 + G2)<; |a'|< Idl| + |aj |< (mG! + e) -f (mG2 + e),
откуда в силу произвольности е > 0 следует* G).
¦13 ГЛ. 12. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Теорема 3. Если G, и Gz измеримы по Жордащ и С,с
<= Gt, то
(9)
Доказательство. Измеримость G2 — Gi доказана в тео-
теореме 1, поэтому измеримое множество G2 распадается на два
непересекающиеся измеримые множества: G2 = G, + (G2 — G,).
По тогда равенство (9) следует из предыдущей теоремы.
3 12.3. Важные примеры квадрируемых tio Жордапу множеств
Пусть функция fix) неотрицательна на отрезке [о, b] и ин-
интегрируема (в частности, непрерывна) на нем. Обозначим через
Г ее график — множество всех точек ix, fix)), где a^x^b,
ir через Q — множество всех точек ix, у) плоскости, для которых
.выполняются неравенства
a<x<b, 6^ у < fix).
Теорема 1. Множество Q измеримо и его мера ideijMep-
мая) равна
ь
mil = J / (х) dx =-1,
а
В самом деле, п силу интегрируемости / па [а, Ь] для любого
г> 0 найдется разбиение И отрезка [а, Ь] такое, что
где SB и Sr — соответствующие R нижняя и верхняя интеграль-
интегральные суммы фупкщш /, равные площадям фигур, первая из ко-
которых принадлежит Q, а вторая содержит Q.
Это доказывает теорему.
Теорема 2. Непрерывная (.плоская) кривая Г на плоско-
плоскости х, у, проектируемая взаимно однозначно на отрезок [а, Ь]
некоторой прямой L, есть множество точек, имеющее двумерную
меру нуль.
В самом деле, можно считать, что Г находится но одну сто-
сторону от прямой L, иначе в качестве L можно взять другую ей
параллельную прямую, удовлетворяющую этим свойствам. По-
Построим прямоугольную систему координат х, у с осью х, совпа-
совпадающей с L. Тогда Г будет графиком некоторой непрерывной
функции fix) на отрезке [а, Ь].
Множество Q, определенное для / как в теореме 1, па осно-
основании этой теоремы измеримо, а Г как часть границы Q имеет
двумерную меру нуль.
Теорема 3. Плоское ограниченное множество Q измеримо
(в двухмерном смысле), если его граница состоит из конечного
§ 12.4. ЕЩЕ ОДИН КРИТЕРИЙ ИЗМЕРИМОСТИ МНОЖЕСТВА 1QI
числа точек и кусков непрерывных кривых, каждый из которых
проектируется взаимно однозначно на одну из осей прямоуголь-
прямоугольной системы координат.
В самом деле, граница множества Q есть сумма конечного
числа множеств, имеющих двумерную меру нуль.
Заметим, что гладкий кусок кривой Г x = (f(t), y = ty(t)
(«<(<&) (ф' и \j/ непрерывны и cp'2 + ij/2>0) всегда можно
разбить на конечное число частей, проектирующихся па одну из '
«сей координат. Ведь (см. § 6.5) каждую точку t е= [а, Ы можно
покрыть интервалом W,t") (в случае t = a или t=b — полуин-
полуинтервалом) таким, что соответствующая ему часть нашей гладкой
кривой проектируется на одну из осей, а на основании леммы
Бореля среди этих интервалов можно выбрать конечпое их чис-
число, все ;ке покрывающих отрезок {а, Ь]. Другое доказательство
того факта, что гладкий кусок кривой имеет двумерную меру
нуль, см. в § 12.5, теорема 3.
В заключение отметим, что произвольная плоская непрерыв-
непрерывная кривая может и не иметь двумерной меры нуль. Вспомним
о кривой Пеано, точки которой заполняют квадрат (см. § 6.5)»
§ 12.4. Еще один критерий измеримости множества.
Полярные координаты
Внутреннюю и внешнюю меры ограниченного множества Q можно еще
определить так:
т.п= sup тп', т Q= inf mQ', A)
u'cii e B'^Q
где Of ¦ обозначает произвольное измеримое множество, в первом случае
принадлежащее п, а во втором — содержащее п. В самом деле, с одной
стороны,
m.Q = sup | а К sup mil' = I,
1 сс« fi'CQ
потому что фигуры а измеримы, а с другой стороны, если 8> 0 п п' —i
такое измеримое множество, что Q'czQ и /—е< mQ', то найдется также
осп', так что тп' < |а|+е. Следовательно, / — 2е < |с| ^ т(&, н
«следствие произвольности е имеет место / ^ mtu. Мы доказали первое
равенство A). Подобным образом доказывается п второе.
Из A), очевидно, следует: для того чтобы множество Q было измери-
измеримым, необходимо и достаточно, чтобы, каково бы ни было е > 0, нашлись-,
два измеримых множества Q' и Q" таких, что Q' с Q с Й" и mQ" —
— mQ' < e. . '
Площадь (двумерная жордаиова мера) фигуры Q, ограниченной поляр-
полярными лучами 6 = Oi, Э = Э2 @1 < 6г) и кривой Г, определяемой в поляр-
полярных координатах непрерывной функцией р =/@), равна (см. § 10.1 и воп-
вопрос, поставленный там)
el
20 ГЯ. 12. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Покажем, что mfi = S. В самом дело, произвольный круговой сектор есть
измеримое множество, потому что его граница есть непрерывная кусочно
гладкая кривая. Далее, из существования интеграла B) следует, что для
всякого 8>0 пайдется такое разбиепие отрезка [9i, O2I, что соответству-
соответствующая ему верхняя интегральная сумма отличается от нижней менее чей
на 8. Но верхпяя сумма есть мера суммы конечного числа круговых секто-
секторов, содержащих Q, а нижняя есть мера суммы конечного числа круговых
секторов, содержащихся в Q. Это и доказывает наше утверждение в
силу A).
§ 12.5. Измеримые по Жордану
трехмерные и и-мерные множества
Теория, изложенная в предыдущих параграфах, легко пере-
переносится на случай любого числа измерений п = 1, 2, 3, ...
¦ Остановим пока наше внимание на случае трех измерений.
В этом случав мы вводим в качестве простейших фигур замкну-
замкнутые прямоугольники (параллелепипеды) и обозначаем их сим-
символами Д. Теперь уже в качестве меры Д рассматривается объ-
объем Л, т. е. число |Д|, равное произведению длин трех ребер Д
(ширины, длины, высоты). Рассматриваются только невырожден-
невырожденные прямоугольники, у которых все три ребра положительны.
Вводим понятие фигуры а как множества точек, представ-
представляющего собой конечную сумму прямоугольников Л, которые
могут пересекаться только по частям своих границ.
Объем \а\ фигуры о определяется как сумма объемов 1Д1
прямоугольников Д, из которых она состоит. Пустое множество
считается фигурой с объемом, равным нулю.
Если R' есть какая-либо прямоугольная система координат,
то прямоугольники и фигуры с ребрами, параллельными осям
R', обозначаем еще через Дд< и ctr^. Вводим в /?=/?» для каждо-
каждого натурального числа N сеть SN, образуемую тремя семействами
плоскостей
х = kh, y = lh, z = mh (h = 2~", к, I, т = 0, ±1, ±2, ...).
Сеть 5,v разбивает пространство R на кубы Л» с ребрами дли-
длины h, параллельными осям координат. Определяем для любого
ограниченного множества GczR множество а>нШ) как сумму тех
Дл, которые полностью принадлежат G, и множество ojw(G) как
сумму всех тех кубов Д„, каждый из которых содержит в себе
хотя бы одну точку из G.
Аналогично § 12.2 внешнюю и внутреннюю меры G опреде-
определяем как пределы монотонных последовательностей
mfi == lim I «w \G) |, mfi = lim | и„ (G) I
л называем множеством G измеримым по Жордану в трехмер-
трехмерном смысле, если niiG = mtG — mG. Число mG называется жор-
дановой трехмерной мерой G.
§ 12.5. ИЗМЕРИМЫЕ ТРЕХМЕРНЫЕ И n-МЕРНЫЕ МНОЖЕСТВА 21
Свойства трехмерной меры совершенно аналогичны свойствам
двумерной меры, изложенным в § 12.2. Чтвоы убедиться в этом,
нужно только проверить справедливость свойств а) — е) фигур а,
теперь уже трехмерных. Это проверяется элементарными сред-
средствами. Теоремы в § 12.2 были доказаны исключительно на ос-
основе свойств а) — е), поэтому эти утверждения верны и в трех-
трехмерном случае. Несколько видоизменяется только лемма 5 из
§ 12.2. В трехмерном случае она гласит:
Лемм а. Если измеримое множество G cr R рассечь на чисти
при помощи конечного числа поверхностей, имеющих (трехмер-
(трехмерную) меру нуль, то эти части будут измеримы (в трехмерном
смысле).
Изложенная теория по аналогии переносится на и-мерпый
случай,-где и есть любое натуральное число (ге=1, 2, ...). Те-
Теперь уже R = Rn есть n-мерное действительное пространство то-
точек х = (ж1, ..., хп). Мы считаем, что R также обозначает опре-
определенную прямоугольную систему координат R(xu ..., х„). Мож-
Можно в R ввести другую прямоугольную систему координат
/?'(?,; ..., !„). Формулы преобразования R**R' записываются
при помощи равенств (ортогональных преобразований^
Й
По определению множество Дс/? называется прямоугольным
параллелепипедом, если можно указать такую прямоугольную си-
систему координат R'(%i, ..., |„) и такие пары чисел а, < bt (/ =»
= 1, .,,., п), что Д = iaj «S |, «S &,; / = 1, ..., п).
Нетрудно показать, что указанная система координат R' (для
данного А) единственна, п-мерный объем А определяется как
число
| Д
3—1
Естественно говорить в этом случае, что А имеет ребра, па-
параллельные осям координат системы R', и писать А == Ад/. Эле-
Элементарная фигура о в R определяется как конечная сумма пря-
прямоугольных параллелепипедов А, пересекающихся разве что по
своим границам, а мера а-—как число \а\, равное сумме мер
указанных Д.
Пустое множество в Rn считается фигурой, имеющей «-мер-
«-мерный объем, равный пулю.
Вводится также для каждого натурального N сеть 5№ как п
семейств плоскостей
X) = k,h (/ = 1, .... и; Л-= 2-*; Л, = 0, ±1, ±2, ...),
22 ГЛ. 12, КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
разбивающих Я„ на n-мерпые кубы
Если G — ограниченное множество в Я, то по определению
множество cow(G) есть теоретико-множественная сумма кубов А/.,
полностью содержащихся в G, и множество й>м(О есть сумма
кубов А,.,, каждый из которых содеришт хотя бы одну точку
х е= G. Очевидно, что существуют пределы монотонных последо-
последовательностей
lim [(.о^ (G) | = mfi, lim j o7lY (G) | = meG,
которые и называются соответственно внутренней и внешней п->
мерными мерами G по Жордану.
Далее, множество G называется измеримым по Жордану в
смысле п-мерной меры, если для него miG = meG = mG, Число
rnG называется п-мерной мерой G по Жордану.
Теория re-мерной меры но Жордану полностью аналогична
теории двухмерной меры, изложенной в § 12.2. Чтобы убедиться
в этом, надо только проверить справедливость свойств а)-~ е)
для «-мерных фигур о. Это несколько кропотливо, но может
быть выполнено по аналогии с тем, как это делается в трехмер*
лом случае.
Следующая теорема обобщает теорему 2 §^ 12.3.
Теорема 1. Поверхность S
(Q=(xt, ..., я»-,)е=Л) .
в п-мерном пространстве, где } — непрерывная функция на замк-
замкнутом ограниченном множестве А, имеет п-мерную меру нуль.
Доказательство. Так как функция / равномерно непре->
рывиа на Л, то для любого г >0 найдется 6 >0 такое, что
)!< е, 1<?-<?'!<«; <?, <?'^Л.
Рассечем ЯЛ сеткой
Xi = ah, ccj = 0, ±1, ±2, ...; i = 1, ..., п - 1,
Хп = кг, & = 0, ±i, ±2, ...
па равные прямоугольники А (прямоугольные параллелепипеды).
Высота каждого А (в направлении хп) равна е, а основаиие А'
(проекция А па Rn-i(xh ..., xn-i)) есть куб со стороной h, по-
подобранной так, чтобы его диаметр был меньше б. Тем самым
сетка рассекает Rn-i на кубы А'. Так как Л ограничено, то Л
содержится в некотором (п — 1)-мерпом кубе, п общая мера ку-
кубов А', содержащих в себе точки Л, «е превышает некоторую,
константу М. Рассмотрим один из таких кубов А'. Среди прямо-
прямоугольников А, имеющих его своей проекцией, может быть, оче-
очевидно, не более чем три, содержащих в себе точки поверхно»
§ 12.5. ИЗМЕРИМЫЕ ТРЕХМЕРНЫЕ И n-МЕРНЫЕ МНОЖЕСТВА . 23
сти S. Их общий объем не превышает Зе1Д'|, где |Д'1 есть
(п — 1)-мерная мера А'. Ио тогда общий объем кубов Д, покры-
покрывающих S, не превышает ЗвЖ, то есть может быть сделан как
угодно малым.
П р л м е р. Пусть в прямоугольной системе координат R задан прямо-
прямоугольный параллелепипед Д со сторонами, параллельными осям другой
прямоугольной системы В'. Пусть S — одна из его граней. Она проектиру-
проектируется взаимно однозначно на одно из (п— 1)-мерных координатных под-
подпространств, для определенности пусть это будет подпространство (хи ...
,.., *n-i), и описывается линейной функцией (непрерывной) впда хп =
п—Х
— 2 djXp заданной на некотором ограниченном замкнутом множестве. По
j=i
теореме 1 mS — 0. Так как Д имеет конечное число граней, то Д есть из-
измеримое множество.
Теорема 2. Открытое ограниченное не пустое множество G в прост-
пространстве Rn = Л можно представить как сумму счетного числа кубов:
(замкнутых, с ребрами, параллельными осям координат), пересекающихся
попарно разве что по своим границам. При атом
(хотя G может и не быть измеримым по Жордану, см. § 19.7).
Доказательство. Последовательность сеток SN (N = 1, 2, ...)
определяет (замкнутые) фигуры
Так как G — открытое, то любая точка х° может быть покрыта открытым
кубом Д с: G с центром в пей. Но тогда при достаточно большом TV куб
сетки SN, содержащий х°, будет принадлежать Д, следовательно, и G, тем
самым он войдет в фигуру (ow(G). Это показывает, что имеет место ра-
равенство
(<M3(G) — №2(G)> + ...
Перенумеруем кубы со,(С), если они есть, дальше последующими номерами
перенумеруем кубы замыкания cu2(G)—a>i(G), затем кубы замыкания
tiK(G) — юг(G) и т. д. В результате получим последовательность Д<, Дг, ...
такую, ч7о выполняется A). Она бесконечна потому, что при любом m
m
замкнутое множество 2 Дй отлично от содержащего его ограпичеппого
1
открытого множества G.
оо
Далее, ?!l \ I = ^х 1J1n ^ = mfi-
Теорема 3. Поверхность S (m-мерная, т < п)
х{ = ф,(«) = ф*(«1. .... ит) (( = 1, ..., п; ией), C)
еде ф( непрерывны вместе со своими частными производными на Q
24 ГЛ. 12. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
(замыкании ограниченного т-мерного открытого выпуклого множества),'
имеет п-мерную меру нуль.
Доказательство. Пусть
аи,
на Q (i=l, ..., п; )' — 1, ..,, пг).
Пространство точек и = (и\, ..., um) обозначим через flm, а простран-
пространство точек X — («1, ..,, х„) —через Д„. Разрежем Дт и Дл прямоугольны-
прямоугольными сетками па кубики с длинами ребер соответственно А и g. Поместим Я
в куб Д с: Дт с гранями, принадлежащими граням сетки Дт. _
Пусть и= (и,, ..., ит) есть точка определенного кубика ш сетки •/?„
и и' = (щ, ..., ит) —другая точка этого кубака. Пусть точки х= (ж(, ...
. . . ,хп), x' = (x'v ..., х'п^ па поверхности S соответствуют при помощи
уравнений C) точкам ц, и' е о>.
Иа основании теоремы о среднем (см. § 7.13, A2))
~^7 J ("'s ~u$
Kmh.
Здесь ( ) 1 обозначает, что в ( ) подставлена некоторая промежу-
промежуточная точка между и и и'.
Будем считать, что g = Kmh.
Тогда, если х попала в некоторый кубик о сетки Д„, то точка х' будет,
очевидно, принадлежать либо тому же кубику о, либо одному из соседних
с ним' кубиков сетки Дп. Количество таких возможных кубиков не превы-
превышает 3". Общий их объем равен
3"?" = CmK)nhn.
Но количество всех кубиков и сг Д равно |Д|//гш, где |Д| есть то-мер-
иый объем Д. Поэтому общий объем покрывающих пашу поверхность 5
кубиков о равен
Мы видим, что при m <С п эта величина стремится к вулю при h ->- 0.
Это показывает, что для всякого « > 0 можно указать такое Л, что для
него общий «-мерный объем кубиков, покрывающих S будет меньшим, чем
е > 0, и, следовательно, mS = 0.
§ 12.6. Понятие кратного интеграла
Определим это понятие в гс-мерпом случае. Специально в-
двух- и трехмерном случае оно уже вводилось в § 12.1 схема-
схематически.
Пусть R — Rn есть n-мерное евклидово пространство точек
х = (ж,, ..., хп), QcfiB — измеримое (следовательно, ограничен-
ограниченное) множество и на Q задана функция }(Р) (PeQ), .
Введем разбиение О па частичные множества, т. е. предста-
представим Q в виде суммы
Q = Q, + ... + Qw A)
конечного числа измеримых в и-мерном смысле но Жордану
множеств Qj, которые могут попарно пересекаться только по ча-
§ 12.6. ПОНЯТИЕ КРАТНОГО ИНТЕГРАЛА 2ri
стям своих грапиц. Различные разбиения Я мы будем обозна-
обозначать символами р, р', ...
В каждом частичном множестве Ял (/ = 1, .,., N) разбиения р
выберем произвольную точку Pt^Qj а составим интегральную
сумму (по Риману):
N
B)
где mQj — мера Жордана множества Я}.
Надо иметь в виду, что 5Р зависит от функции /, способа
разбиения Я на части и выбора точек Р, в каждом из частичных
множеств Qi) разбиения.
Обозначим через б максимальный диаметр множеств fijS
6 = б(р) = max d (Qj).
По определению предел
N
lim 2 / (Pj) m% = I C)
6->i) 3=1
интегральной суммы / называется определенным (п-кратным)
интегралом в смысле Римана от функции / по множеству Я.
Таким образом, определенным интегралом от функции f по
множеству Q называют предел, к которому стремится ее инте-
интегральная сумма, соответствующая переменному разбиению Я,
когда максимальный диаметр частичных множеств разбиения
стремится к нулю (независимо от выбора точек Pj^Q.,).
Как обычно в анализе, это определение можно понимать в
двух (эквивалентных) смыслах: на языке е, 6 и на языке после-
последовательностей.
На языке в, б оно формулируется так:
Интегралом Римана от функции f no множеству Q называю/-
число 1, удовлетворяющее следующему свойству: для всякого
е>0 должно найтись такое б > 0, зависящее от г, что, каково
бы ни было ра-збиепие Q на части Q, с диаметрами, меньшими
чем. б, и каков бы ни был выбор точек Pj^Q} (/=1,2,3, ..., п),
выполняется н-еравенство:
Л'
:е. D)
На я:гыке последовательностей оно формулируется так:
Интеграл Римана от функции / по множеству Я есть предел.
к которому стремится любая последовательность интегральных
сумм S9h функции /, соответствующих разбиениям р* (к —
= 1, 2, ...), со стремящимся к нулю максимальным диаметрам
26 ГЛ. 12. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
8fc частичных множеств:
f (вк-*0). E)
Сейчас уже заметим, что если определенная на измеримом
множестве Q функция f ограничена и если для нее при некото-
некоторой вполне определенной последовательности разбиений рл суще-
существует предел E), равный I, не зависящий от выбора точек Pfe
s Qjt то этого, как будет доказано в дальнейшем, достаточно для
того, чтобы сказать, что существует интеграл от f на Q, рав-
равный I, т. е. тогда автоматически выполняется равенство E),
какова бы ни была последовательность разбиений р{, р2, ¦.., для
которой 6\->0 (см. § 12.7, теорема 2, 2)).
Напомним, что в § 12.2 (после леммы 5) было показало, что
измеримое множество всегда можно разбить па части, имеющие
диаметры, меньшие наперед заданного е > 0.
Интеграл Римана от "функции / по Q, если он существует,
обозначается так:
f JP. F)
В этом случае говорят еще, что / интегрируема по Риману па Q.
Высказанное выше условие римановой интегрируемости / на
Q можно выразить еще на языке признака Копти: для всякого
е > 0 существует такое б > 0, зависящее от е, что для любых
двух разбиений р' и р" множества Q на части с диаметрами
частичных множеств, меньшими б, имеет место неравенство
pe — <V|<e.
re-кратный интеграл от / на множестве Q записывают еще
так:
/ = J ... j / (xu ...txn) dxx ... dxn,
j
и
Дто обозначение удобно потому, что, как мы увидим в дальней-
дальнейшем, вычисление кратного интеграла сводится к вычислению
соответствующих однократных интегралов в отдельности по Х\,
Хг, ..., Хп.
Если функция /(Р) =А = const па измеримом множестве Q, то
се интегральная сумма равна числу
N
3=1
ise зависящему от способа разбиения Q на части. Поэтому
G)
g 12.7. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ СУММЫ. ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА 2 Г
Отметим еще, что если Q имеет жордапову меру нуль (тО. =
= 0), то
N
\fdQ= lim 2 / (Pj) mQj = lim 0 = 0
fo maxrf(Q)o il niaxi(Qjo
для любой конечной на Q функции /, даже если она не ограниче-
ограничена. Таким образом, из интегрируемости / па Q не всегда следует
ограниченность / на Q. При исследовании функции f, определен-
определенной на произвольном измеримом множестве Q, мы (см. сноску па
стр. 38) заранее будем предполагать, что она ограничена на Q.
.Впрочем, если Q — открытое измеримое множество, то из инте-
интегрируемости функции } па Q следует ограниченность ее на Q (см.
далее § 12.10).
В будущем, чтобы избежать лишних слов, согласимся, что если
про функцию / мы будем говорить, что она интегрируема по Ри-
маиу на множестве Q с: Rn, то этим будет подразумеваться, что Ы
есть измеримое в «-мерном смысле по Шордапу множество. Это
соглашение вполне естественно, так как определение интеграла
по Риману па О тесно связано с измеримостью Q по Шордану.
§ 12.7. Верхняя и нижняя интегральные суммы.
Основная теорема
Пусть R есть n-мерпое пространство. При первом чтении чита-
читатель может считать, что п — 2 или п = 3, но рассуждения и фор-
формулировки в этом параграфе вполне аналогичны и при любом
натуральном п, в том числе и при и = 1.
Пусть задано измеримое (следовательно, ограниченное) по
/Кордапу (в. w-мерном смысле) множество Q, па котором опре-
определена ограниченная функция:
Множество Q может быть разбито на части (измеримые но
Шордану и пересекающиеся разве что по своим границам) различ-
различными способами. Пусть р и р' — два такие разбиения:
Q = Qx -[- ... -1- QiV, Q = Q[ + ... + Q'N,
Условимся говорить, что р' есть продолжение р, и писать рс
ср', если любое частичное множествоЯ/( (А' — 1, . . ., Л") разбие-
разбиения р' есть часть одного из частичных множеств Q, разбиения р.
Иначе говоря, разбиение р' получается из р, если некоторые мно-
множества Q, разбиения р в свою очередь разбить на конечное число
частей
28 ГЛ. 12. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Таким образом, разбиение р' состоит из слагаемых кратной
суммы
jv Ц
2=211 Qjk A)
Зададим разбиение р. Ему соответствует интегральная суммь
функции /
(Pj^Qj). Мы будем пользоваться как первой, так и второй приве-
приведенными записями 5р.
Положим
Mi = sup / (Р), mi = inf j(P),
PeQj PsQj
Sp = 2 -Л/j'reOj, 5р = 2 mjmQj.
p "" p
Суммы 5Р, 5р называются соответственно верхней и низ/спей ин-
интегральными суммами функции / (соответствующими разбив'
нию р).
Для произвольной точки Pj s Qj справедливы неравенства m; sg
^ /(Pj) scAfj (у = 1, ..., iV). Поэтому, учитывая, что mQ}X),
имеем
TUjWiuj < jiPJmQ, «S M.mQj,
откуда
5P < 5P < ffp. B)
Таким образом, любая (независимо от выбора точек Pj) инте-
интегральная сумма функции /, соответствующая разбиению р, нахо-
находится между ее нижней и верхней интегральными суммами, соот-
соответствующими тому оке разбиению р.
Другое важное свойство верхних и нижних сумм заключается
в том, что если pcz p', то имеют место неравенства
sP < sp, < sp, < s0. C)
Второе из них уже доказано.
Чтобы убедиться в справедливости, например, третьего нера-
неравенства, запишем Sp, в виде
_ N Ц
SP> = S S
где
MjA= sup
g 12.7, ИНТЕГРАЛЬНЫЕ СУММЫ. ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА 2»
Для сравнения сумму 5Р можно записать подобным образом:
j=l 3=1 h=l i=l A=l
Теперь ясно, что Spi^.S^, потому что из вложения Qft<=Qj сле-
следует что Л/й < М).
Пусть теперь р, и р2 — разбиения О и p=!pi + p2 есть новое
разбиение, полученное наложением р4 на р2. Тогда р есть продол-
продолжение pi и р2 и
_Pl ^ _р ^ р ^ Р2*
Таким образом,
^Р1<^ра, D)
каковы бы ни были разбиения pt и р2.
Если зафиксировать р2 и менять произвольно pi (которое мы
желаем обозначить через р), то получим
2
~ р ~
А теперь, варьируя разбиения р2 (обозначаемые через р), получим
Числа /(/) = / и /(/) = / называются соответственно верхним
и нижним интегралами функции / на Q. Из приведенных рассуж-
рассуждений следует, что для произвольной ограниченной на Q функций
нижний и верхний интегралы на Q существуют.
Докажем важную теорему.
Теорема 1 (основная). Пусть QczR есть измеримое
множество (г. е. измеримое в п-мерном смысле, по Жордану), на
котором определена ограниченная функция /(|/(жI <-Ю.
Тогда следующие утверждения эпвивалентны:
1) 7 = 7;
2) для всякого е > 0 найдется такое разбиение р, что
5fp-_5p<e; E)
3) для всякого е > 0 найдется б > 0 такое, что для всех раз-
разбиений р с диаметрами d(Qj)<6 имеет место неравенство E);
4) существует интеграл
/. (б)
'а
При этом I — 1 = Т.
?,0 ГЛ. 12. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ.
Здесь, конечно, подразумевается, что / и / — нижний и верх-
верхний интегралы от / на G, а 5,„ Sr — нижняя и верхняя интеграль-
интегральные суммы /, соответствующие разбиению р.
Эту теорему можно перефразировать так: для того чтобы су-
существовал интеграл от f па ?1, необходимо и достаточно выпол-
выполнение одного из условий 1)—3). При этом величина интеграла
равна I ~ I.
Доказательство. О-+--2). Для любого е найдутся раз-
разбиения pt и р2 такие, что
Тогда для р = р, + р2
i —т < ?pi < ^о < ^р <^р. <7 +-г»
.откуда it.-? 1) следует E), т. е. 2).
2) -»- 1). Пусть р — ра:)бие:гие, для которого верно (Г»), Тогда
в силу неравенств SQ ^ / < / =S S0 имеет место Т — I < г. Но в > О
как угодно малое число, а/и/- определенные числа, не завися-
зависящие от е, поэтому I — I.
4) -»¦ 3). Пусть существует интеграл (f>). Из определения инте-
интеграла следует, что для всякого е>0 можно указать такое 6 > О,
что для любого разбиения р, у которого d@j)<6, имеют мести
неравенства
N
I <
каковы бы ни были точки Pj e О,, Отсюда, беря верхнюю и ниж-
нижнюю грани вкоднщей в эти неравенства суммы но Pj^iij, ho-
лучим
следовательно, справедливо 3).
3) -»- 2) — это тривиально.
2)-»-3). Это-самая нетривиальная часть теоремы, утвержда-
утверждающая, что если для любого е > 0 найдется зависящее от него
разбиение р*.'
для которого .9Ps — ?0* < е, то также найдется 5>0 такое, что
для всех разбиений (> с diii,) < 6 выполняется неравеистио E).
§ 12.7. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ СУММЫ. ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА 31
Обозначим через Г* объединение всех граничных точек Q3-,
каково бы ни было / = 1, ..., N. Оно имеет меру нуль ( Qj изме-
измеримы), и потому можно определить фигуру о', покрывающую
Г*> такую, что \а'\ <г/2К. Введем еще новую фигуру с, содер-
жащую строго внутри себя а', но такую, что 1о| <г/2К.
Пусть б > 0 есть настолько малое положительное число, что
расстояние между любыми двумя точками границ а и о' больше,
чем б. Тем-более расстояние любой точки Г^, до границы о боль-
больше, чем б.
Зададим какое-нибудь разбиение р, на которое наложено един-
бтвенпое условие, что все его ¦ластичные множества ю имеют диа-
диаметр d(w)<6 (нам удобно будет их писать без индексов, так же
как соответствующие им т и М).-Имеем
Sp — Sp = 21' {М — т) пгю -f- 2" Ш — т) тю»
где сумма 2 распространена на все частичные множества со раз-
разбиения р, каждое из Которых содержит в себе одну из точек Г*.
Так как d(co) < б, то все такие со с: о и их общая мера не превы-
превышает та < е/2К. Поэтому
М — т) та < 1К 2 тсо < 2К -^- = г.
Сумму 2 запишем в виде кратной суммы 2 =22\
i '
2! обозначает сумму слагаемых 2 '¦» соответствующих частич-
частичным множествам со разбиения р, попавшим полностью в частичное-
множество Qj старого разбиения р*. Имеем
2" (М — т) тою = 2 2* (М — т) т1° <
< 2 (М* - т*) 21 ты < 2(^t - ml) mQ* < г,
i
Поэтому 5Р — iSp < 2s для всех разбиений р с d(co) < S, т. е. имеет
место 3).
, 3) -*¦ 4). Пусть имеет место 3). Тогда, как уже доказано, имеет
место и 1). Зададим е > 0 и подберем б > 0 так, как указано в
о). Тогда для разбиений р, о которых говорится в 3),
р. G)
Отсюда, полагая /= 1 — Т, получим
|2l (8)
т. "в. / есть интеграл от / па Q. Мы доказали 4).
Теорема полностью доказана.
32 ГЛ. 12. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Теорема 2. Пусть задана последовательность разбиений
(к = 1,2, ...) измеримого множества Q,
(* = 1, 2, ...), (9)
3=1
со стремящимся к нулю максимальным диаметром бк частичных
множеств.
Если для некоторой ограниченной на Q функции fix) выпол-
выполняется одно из условий
0, A0)
2) lim2/(^)mQ? = / (SjesQ?), A1)
ft-»» j
3) lim SPft (/) = lim Sp (/) = /, A2)
A-»0O fc-K»
ro это влечет существование интеграла от f на Q.
Наоборот, существование интеграла от f на Q влечет выполне-
выполнение условий 1), 2), 3).
Существования одного только из пределов 3) недостаточно для
существования интеграла от f на Q.
Доказательство этой теоремы полностью аналогично доказа-
доказательству одномерной теоремы 2 в § 9.4.
Теорема 3. Пусть задана последовательность разбиений
(9) измеримого множества Q с 6Рй = maxd(Q,).—*¦§.Тогда сумма
i
мер
i
тех частей разбиения, которые прилегают к границе Г области Q
(Qj содержат точки Г), стремится к нулю при к -*¦ °°.
Доказательство. Зададим е > 0 и подберем покрываю-
покрывающую Г фигуру о такую, что \о\ < е. Раздадим а по направлениям
всех осей координат, по так, чтобы новая фигура а' => в имела ме-
меру lo'l < е. Обозпачим через ц расстояние между границами а' и
о. Найдется кв такое, что 6()ft < ц для к > к„. Для таких к частич-
частичные множества Qj, прилегающие к Г, принадлежат о', т. е.
Теорема 4. Определенный интеграл от ограниченной на из-
измеримом множестве Q функции / можно определить как предел
lim 5
§ 12.8. ИНТЕГРИРУЕМОСТЬ НЕПРЕРЫВНОЙ ФУНКЦИИ 33
для какой-нибудь (одной!) последовательности разбиений (9) с
6Pft—>-О,где интегральные суммы распространены только на час-
частичные множества Qj, не прилегающие к Г.
В самом деле, часть интегральной суммы, приходящаяся на
частицы Qj, прилегающие к Г, оценивается в силу предыдущей
теоремы следующим образом:
i з
§ 12.8. Интегрируемость непрерывной функция
на замкнутом измеримом множестве. Другие критерии
Теорема 1.. Функция f(P), непрерывная на замкнутом из-
измеримом по Жордану множестве Q, интегрируема по Риману
на Q.
Доказательство. Так как множество Q измеримо, то оно
ограничено. Кроме того, оно замкнуто, поэтому непрерывная на Q
функция / равномерно непрерывна на Q. Это значит, что для лю-
любого е>0 существует такое 6>0, что если P't P" eQ и
|Р"-Р'|<6, то 1/(Р")-/(Р')|<е/
N
Пусть р есть произвольное разбиение й = 2 ^j на измеримые
части с диаметром d(Qj) < б и пусть, как всегда, М) = sup/ (x),
m.j = inf / (х). Тогда
Q
j
Mj-m^ sup [/(P")_/(P')]<e,
P',p"eQj
потому что расстояние между любыми точками Р\ P"efij. не
превышает по условию б. Следовательно,
Sp — Sp =
Так как т| > 0 может быть как угодно малым, то по основной
теореме интеграл от / на Q существует.
Теорема -2. Функция /, ограниченная
на измеримом замкнутом множестве Q и
непрерывная на Q, за исключением точек,
образующих множество А меры нуль, интег-
интегрируема на Q.
Например, если функция / ограничена на
плоском замкнутом множестве Q, имеющем
гладкую границу (см. рис. 12.3) и, кроме Рис- 12.3.
того, непрерывна на Q, за исключением изо-
изолированной точки О и гладкой дуги -у» то-/ интегрируема на Q.-
Д-оказательство. Пусть е>0 и сг =э Л — открытая (без
границы) фигура такая, что \а\ < е. Тогда Q —а есть измеримое
24 ГЛ. 12. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
замкнутое множество, на котором / непрерывна, следовательно,
интегрируема. Произведем разбиение р' множества Q — а: О — о =
= Qi Н-...+QN так, чтобы Sp> — Sp/<ie, и определим разбиение
р множества Q: й = Й4 + .,. + Qw + oQ. Положив М — sup / (х),
т = inf / (х), получим
?р _ Sp - (Sp, — 5Р>) + (М — т)т (аи) < е -f 2#е = ц
(K>\f(x)\, xsfi),
где т] может быть как угодно малым. Но тогда согласно свой-
свойству 2) основной теоремы / интегрируема па Q.
Оказывается, что теорему 2 можно обобщить, считая, что мно-
множество Л имеет лебегову меру нуль (вместо жордановой, как мы
считали; см. ниже § 12.9).
В такой более общей формулировке теорема 2 становится
окончательной, потому что имеет место
Теорема (Лебега). Для того чтобы ограниченная на изме-
измеримом по Жордану замкнутом множестве Q функция /(х) была-
интегрируемой па Q, необходимо и достоточно, чтобы она была
непрерывной на Q, за исключением множества точек, имеющих
Лебегову меру нуль.
Пример. Рассмотрим функцию if (х, у) = sin — па полуоткрытом
прямоугольнике Д' = {0 <' х, у < я/2}. Чтобы применить к ней теорему 2,'
будем рассуждать так. Доопределим гр на отрезке 0 ^ х <: я/2 оси х и от-
отрезке 0 <: у jg; Л/2 оси у какими-нибудь значениями, однако ограниченны-
ограниченными в совокупности. Продолженная таким образом на замкнутый прямо-
прямоугольник Д = Д' функция г|з ограничена на Д и непрерывна всюду на Д,
за исключение^ множества (состоящего из указанных двух отрезков) жор-
жордановой двумерной меры нуль. Но тогда но теореме 2 существует пн-
теград
J J f {х, у) dx dy = J f i|> (x, y) dx dy
Д Д'
(см. далее § 12.11, теорема 1 и следствие из нее),
§ 12.9. Множество лебеговой меры нуль *)
Произвольный открытый прямоугольный параллелепипед (пря-
(прямоугольник)
Д = {п) < Xj < bj-, 7 = 1, ..., п)
в n-мерном пространстве /? называют еще интервалом (е /?).
*) Сведения, излагаемые в этом параграфе, содержатся в § 19.1,
§ 12.0. МНОЖЕСТВО ЛЕБЕГОВОЙ МЕРЫ НУЛЬ 35
Объем (n-мерная мера) А равен
Д
3=1
потому что замкнутый прямоугольник отличается от соответству-
соответствующего открытого на множество меры (га-мерной) нуль.
По определению множество Е имеет лебегову меру нуль, если
для любого е > 0 можно указать конечное или счетное число ин-
интервалов Д\ Д2, ..., покрывающих Е {Е cz 2Aft), сумма объемов
которых меньше е: 2р | < в.
Лемма 1. Сумма конечного или счетного числа множеств
Е\ *Ег, ..., каждое из которых имеет лебегову меру нуль, имеет
в свою очередь лебегову меру нуль.
В самом деле, зададим е > 0 и покроем наши множества сле-
следующим образом: Ек покроем счетной (или конечной) системой
интервалов A*, Ek cz 2 А* таких, что 2I Aj | < e/2fe (к = 1, 2, ...).
з i
Так как интервалы Aj (;', к — 1, 2, ...) можно заново перенуме-
перенумеровать и все они покрывают Е = 2 Eh и сумма их объемов мень-
меньше е = 2(е/2 ), то в силу произвольности е множество Е име-
h
ет лебегову меру нуль.
Если множество Е имеет жорданову меру нуль, т.о это значит,
что для всякого е > 0 его можно. покрыть конечным числом ин-
интервалов с общим объемом, меньшим чем е. Следовательно, Е
имеет также лебегову меру нуль. Этим объясняется, что мы поль-
пользуемся одним и тем же обозначением {тЕ = 0) для жордановой и
лебеговой меры. Впрочем, мы определили здесь только весьма
частный случай меры Лебега, именно меры Лебега нуль.
Следует, однако, отметить, что множество может иметь лебе-
лебегову меру нуль и в то же время не быть измеримым по Жордану.
Например, множество рациональных чисел, содержащихся в от-
отрезке [0, 1], имеет лебегову меру нуль, так как оно счетно. Но
оно не измеримо (в одномерном смысле) по Жордану — верхпяя
жорданова его мера равна 1, а нижняя — нулю.
Отметим, что если множество F замкнуто, ограничено и имеет
лебегову меру нуль, то для любого е > 0 можно указать „счетную
систему покрывающих F интервалов, общий объем которых мень-
меньше, чем е >0. Но согласно лемме Бореля в силу ограниченности
и замкнутости F в этом покрытии можно оставить конечное число
интервалов, все же покрывающих F. Их общий объем тем более
меньше^ чем е. Но тогда F измеримо по Жордану. Мы доказали
следующую лемму:
Лемма 2. Замкнутое, ограниченное можество лебеговой меры
нуль измеримо по Жордану и имеет, таким образом, жорданову
меру нуль.
36 ГЛ. 12. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
§ 12.10. Доказательство теоремы Лебега.
Интегрируемость и ограниченность функции
В § 7.10 было введено понятие колебания (о(х) (<о(х) ^ 0) функции /
на множестве Q в точке х е О, и замечено, что (§ 7.10, теорема 5) функции
непрерывна в точке тогда'и только тогда, когда ее колебание в этой точ-
точке равно нулю (ш(х) =0). Таким образом, в точке разрыва функции ее
колебание — заведомо положительная величина. Обозначим через Е\ мно-
множество всех точек х е fi, где колебание / не менее X > 0 (м(х) ^ X).
Ваяшо отметить, что если п — замкнутое множество, то. Ех — множеств!),
замкнутое при любом К (см. § 7.10, теорема 6).
Доказательство достаточности условия теоремы. Пусть
функция / ограничена па замкнутом измеримом множестве Q,
|/(х)|<Я (хе=О), A)
и множество Е ее точек разрыва имеет лебегову мору пуль (Еап).
Будем предполагать, что тО > 0, иначе утверждение тривиально. За-
Зададим е > 0, и пусть X > 0 удовлетворяет неравенству iXmQ < e.
Так как лебегова мера тЕ = 0, то и лебегова мера тЕ% — 0 при любом
А. >» 0. Но Ех замкнуто и ограничено, поэтому и жорданова мера тЕ\ = 0.
По тогда для любого е > 0 можно указать покрывающее Ех множество С,
представляющее собой конечную систему интервалов меры \G\ < e/4ff.
G есть открытое измеримое множество, и так как множество Q замкнуто
и ограничено, то п можно записать в виде суммы непересекающихся изме-
измеримых по Жордану множеств Q = й4 + fi", где Qi = GO, Q" = Q — G,
mui s?T \G\ < e/4K и Q" к тому же — замкнутое ограниченное множество.
Во всех точках п" паша функция имеет колебание, меньшее, чем Я. Но
тогда, согласно теореме 3 § 7.10, можно указать такое б > 0, что'наковы бы
пи были точки Р, Р' е Q", такие, что \Р — Р'\ < б, имеет место |/(Р) —
— f(P')\ < 2Л.. Произведем разбиение Q" на части fi" = 2 ^ диаметра.
2
меньшего, чем число б. Эти части вместе с уже определенным выше мно-
множеством Qi образуют разбиение р всего множества Q. Для него, очевидно,
имеют место оценки
N
IK
3=2
Следовательно, в силу произвольности е на основании основной теоремы
функция / интегрируема на Q.
Доказательство необходимости условия теоремы. Пусть
функция /ограничена на замкнутом измеримом множестве Q и интегри-
интегрируема на нем. Тогда, согласно основной теореме, для любых е > 0 и X > 0
можно указать такое разбиение р множества Q, что (пояснения ниже)
еХ > Sp - Sp = 2 (мг ~ mi) mQi > 2' (Mi ~ mi) mQi > X S' mQr B)
Сумма 2" распространена только на те слагаемые, которые соответствуют
множествам Qj, содержащим в себе хотя бы одну внутреннюю точку Р
из Ex. Такую точку можно покрыть принадлежащим к Q, шаром F« с цент-
$ 12.10. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ ЛЕБЕГА 87
ром в ней, и поэтому выполняются неравенства
МЬ= sup /(x),, щ. = Ы
Из B) после сокращения на Я. полупим неравенства
где 2 % содержит в себе толки Z?*, каждая маг которых — внутренняя по
отношению к какому-нибудь из множеств п) разбиения р. Остальные точ-
точки Е*., не попавшие в 2 ^j> могут оказаться только на границах множеств
Oj 0 = 1, ..., N), имеющих общую меру нуль. Таким образом, для любых
Я, > 0 и е > 0 тЕ\ < е, т. е. тЕ% = 0. Но множество всех точек разрыва /
можно записать-в виде
Е = 2 ?i/ft'
и так как тпЕцк = 0 (& = 1, 2, ...), то и тгаВ = 0.
Необходимость условия теоремы доказана.
Введем следующее полезное определение. Будем говорить, что мно-
множество Qcrfi удовлетворяет свойству (А), если оно измеримо и если для
любого е > 0 можно указать разбиение ?2=2% па измеримые части
h
положительной меры (тп > 0) с диаметром d(Qj) <. е.
Произвольное открытое измеримое множество Q обладает свойст-
свойством (А).
В сэмом деле, прямоугольная сетка с кубиками Д диаметра, меньшего
е > 0, разрезает О на непустые измеримые части Qj. Пусть Qj есть часть
Д, х° с: Qj a Q, тогда найдется шар V 0 с центром в хс, содержащийся
в Q, и пересечение V 0 А .с Q^. Но легко видеть, что мера m(V 0Д^ > 0.
Конечно, вместе с открытым измеримым множеством Q обладает свой-
свойством (А) и его замыкание Q.
Прямоугольник, круг, эллипс (точнее, его внутренность) — все это при-
примеры двумерных множеств, обладающих свойством (А). Примерами одно-
одномерных множеств со свойством (А) могут служить отрезок, конечная сис-
система отрезков, интервал, а примерами трехмерных множеств со свойством
(А) — шар, куб, фигура, эллипсоид,
•гор.
С другой стороны, плоское мно-
множество Q, изображенное на рис. 12.4,
состоящее из круга о и отрезка
[0, 2] на осп х, не обладает свойст-
свойством (А). Оно измеримо, потому что
его граница состоит из конечного
числа гладких кусков. Однако, на-
например, при е <С 1/2 нельзя i2 раз-
разбить на измеримые (в' двухмерном Рис
смысле) части положительной меры
с диаметром, меньшим чем е.
Теорема 1. Функция /, интегрируемая на множестве Я со свойст-
свойством \А), ограничена на Q.
В самом деле, зададим б > 0 и возьмем разбиение р множества Q на
части Qj (j = 1-, .,., N) положительной меры с бр = max d (Qj) < 6, Пусй.
i
38 ГЛ. 12. КРАТН"Р ИНТЕГРАЛЫ
функция / неограничена на Q; тогда она неограничен^ по крайней мере на
одном из множеств О у— пусть на fli. Соответствующую интегральную сум-
сумму запишем в виде
N
5р = / (Рк) mQt + 2 / (Р)) mOj. C)
j=a
N
При данном р и фиксированных pt (j = 2, ..., re —1) сумма ^ / (р^) тей{
j
постоянна, а величина /(pt)mQi при произвольном измеиении pi в преде-
пределах Й( не ограничена (ведь mQi > 0). Но тогда иптегральная сумма S№
не ограничена. Это показывает, что S№ для указанных р и бр ->• 0 (при лю-
любых pj e 0^!) не может стремиться ни к какому конечному пределу, и, сле-
следовательно, наша функция / не интегрируема на Q (ср. с теоремой 1 § 9.2.).
Для множеств, обладающих свойством (А), теорему Лебега можно,
очевидно, сформулировать следующим образом:
Теорема 2. Пусть Q ее^ь замкнутое множество, обладающее свой-
свойством (А). Для того чтобы определенная на Q функция f была интегриру-
интегрируемой на Q, необходимо и. достаточно, чтобы она была ограниченной на Q
и непрерывной на О, аа исключением точек множества лебеговой меры
пуль,
§ 12.11, Свойства кратных интегралов
Теорема 1. Если функция f ограничена и интегрируема на
O = Q +Q", где О' и О" измеримы и пересекаются разве что
по своим границам, то она также интегрируема на О' и О", и на-
наоборот. При этом*)
f fdx == \fd-x -f f fdx. A)
Q Q' Q"
Берем произвольную последовательность разбиений pk (&=•!,
2, ...) множества О, содержащих в себе границы О' и О". Они
индуцируют на О', О," разбиенияph и pft. Дальше надо рассуж-
рассуждать в точности так те, как при доказательстве одномерной тео-
теоремы 1 из § 9.7, только теперь роль отрезков [а, с], [с, Ь] играют
множества О' и Q".
Следствие. Если ограниченную и интегрируемую на О
функцию f видоизменить на любом множестве ?cQ, имеющем
жорданову меру нуль, так что видоизмененная функция /i оста-
останется ограниченной на Q, то Д будет интегрируемой на Q и
*) Для неограниченных / равенство A) может нарушиться. Например,
если / = 0 на а (рис. 12.4) и / = х~1 на полуинтервале f == @, 2] оси х,
то j I fdxdy— j I fdx dy=O. Но j | fdxdy не существует.
o+v
§ 12.H. СВОЙСТВА КРАТНЫХ ИНТЕГРАЛОВ 89
В самом деле, Q — Е измеримо вместе с Q, поэтому / интегри-
интегрируема на п — Е, кроме того,
J
Е Е
Но тогда /, интегрируема на Q и
\fidQ= J /xdQ -Ь J /idQ = f fdu -f ( /dfl = \ fd?i.
Q QE E QE В Ь
Q-E E ,Q—E
В силу этого утверждения, если функция / ограничена на не-
незамкнутом измеримом множестве Q и интегрируема на нем, то
пишут
J/dx= f/dx,
хотя функция f могла не быть определенной на Q — О. Ведь все
равно, если бы / была определена на Q — Q тйк, что совокупность
ее значений ш Й-Q ограничена, то интегралы от / на Q и Q
совпадают.
Теорема 2. Если /(х) и ф-(х) — ограниченные интегрируе-
интегрируемые на Й функции и с — постоянная, то функции
1) fix) ± ф(х), 2) с/(х), 3) |/(х)|, 4) /(х)<р(х), 5) 1//(х),
ide |/(x)| > d > 0, интегрируемы на Q. При этом
\dx, B)
a q
f с/ dx = с \ / dx. C)
п а
Заметим, что факт интегрируемости указанных функций непос-
непосредственно следует из теоремы Лебега, если принять во внимание,
'1то лебегова мера суммы двух множеств, имеющих лебегову м&ру
нуль, очевидно, в свою очередь равна нулю.
Равенства B) и C) доказываются вполне аналогично тому,
как это делалось в теореме 2 § 9.7, Существование интегралов от
функций 1)—5) можно доказать и не прибегая к теореме Лебега,
аналогично тому, как это было сделано в указанной одномерной
теореме.
Теорема 3. Если функции /,, /2 и ф ограничены и интегри-
интегрируемы на Q и
/,</>)</,(/>), «р(Р)> 0 (PeQ), D)
го
Jj E)
40 ГЛ. 12. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
В частности, если
, <p{P)>0, F)
где Л и В — постоянные, го
A J Ф dP < f /ф dP < В f ф d/\ G)
м п/>м некотором С
f /Ф d/' = С f ф dP {A < С< В), (8)
U U
Доказательство. Из D) следует, что
откуда для любого разбиения р множества Q
Переходя к пределу при б -»¦ 0, где б — максимальный диаметр
частичных мноя:еств разбиения р, получим E).
Равенство (8) называют георемой о среднем для кратного ин-
интеграла.
Примечание. Если Q — связное измеримое замкнутое мно-
множество и функция / непрерывна на Q, то
где Q — некоторая точка Q.
В самом деле, из непрерывности / на замкнутом измеримом
множестве Q следует, что / интегрируема на й, кроме того, суще-
существуют на Q точки (?i и Qz, в которых / достигает соответственно
минимума и максимума (на О):
min / (Р) = / (<?0 = A, max/ (Р) = / (Qt) = В,
РЕЙ PS-Q
В силу связности Q существует находящаяся в Q непрерывная
кривая Р = P(t) = {ф,(<), . .., ф„(Ш {tt =S t^ ti), соединяющая
точки Qi=P(ti)i и Qz — Pitz), Непрерывная на отрезке U,, t±]
функция
z = f(P(t)) = /(ф,С*), ,.., ф„Ш) = -фС*> [«,<<< У
принимает для некоторого to^[ti, tj значение tf(t,)) = f(Q) — С,
где Q = P(ta).
Теорема 4. Для ограниченной интегрируемой на Q функции
f выполняются неравенства
\\fdx <f |./|йх<А'тЙ |/Г=8ир|/(х)|). (9)
% 12.12. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПО ОТДЕЛЬНЫМ ПЕРЕМЕННЫМ 41
В самом деле, интегрируемость if\ доказана в теореме 2. Кро-
Кроме того,
-|/(x)l</(x)=s!/(x)| (xe=Q),
откуда
Отметим, что в неравенстве (9) недостаточно предполагать ин-
интегрируемость 1/(х)| (см. замечание в конце § 9.7).
§ 12.12. Сведение кратного интеграла
к интегралам по отдельным переменным
На основании доказываемых ниже теорем вычисление кратно-
кратного интеграла сводится к последовательному интегрированию во
отдельным переменным xt, хг, х3, ...
Те о рам а 1. Пусть в плоскости переменных (u, v) аадан
прямоугольник А = {a =S и ^ Ъ; с sS v =S d) = [a, b] X ic, d]r и функ-
функция f(u, v) ограничена и интегрируема на нем. Тогда имеют место
равенства^
(u,v)dul A)
a \e J с \a )
где выражение
d
\f(u,v)dv B)
надо понимать как интеграл Рижана по v при фиксированном и
если он существует, если же он не существует,— то как произ-
произвольное число, 'находящееся между нижним и верхним интегра-
интегралами функции^ f{u, и) по це(с, dl. Интеграл по и на la, Ы во
втором члене в A) существует в смысле Римана.
Если читатель ознакомился с § 12.10, то он знает, что прямо-
прямоугольник Д есть множество, удовлетворяющее свойству Ы), и сле-
следовательно, на самом деле из интегрируемости / на А следует ее
ограниченность на Д.
Если не только существует кратный интеграл от / по А, но и
существует интеграл B) при любом и, то второй член в цепи A)
надо понимать как результат риманова интегрирования / сначала
по v, а затем по и.
Аналогичное утверждение имеет место для- третьего члена
цепи A).
Доказательство. Для лю§ого ие [а, Ь] будем рассматри-
рассматривать /(it, v) как функцию от v на [с, d]. Ола ограничена, и сле-
следовательно, для нее существуют нижний и верхний интегралы
Ни) «? Пи) (я ?? и ^ Ь). Пусть Ф(и) — какая-либо функция, удов-
42 ГЛ. 12. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
летворяющая неравенствам Ни) ^ Ф(«) < 1(и) (а ^ и ^ Ь). Надо
доказать, что Ф(ы) интегрируема на [а, Ь] и имеет интеграл, рав-
равный кратному интегралу от / по Д. Для этого достаточно (см,
теорему 2 § 9.4) произвести разбиение г отрезка [а, Ь] на равныо
части а = м0 < и, < ... < щ = b, h = u( — и,_, ~(.Ь — a)/N и. пока-
показать существование предела
N *
Нт5г(Ф) = Ига ЗФ(Б{)Ь= [Ф(и)**== f f/dudi; C)
при любом выборе |< <= [и,--», wj (/ = 1, ..., iV).
Разделим еще отрезок lc, d3 на /V равных частей c = vt<
< Vt <...< Vf, = d, k = Vj — Vj-t = (d — c)/iV разбиением р. Это
приводит к разбиению прямоугольника Д па равные прямоуголь-
прямоугольники Дй = [и,_1, м(] X [fj_i, г;*] и к верхней и нижней суммам /
на Д:
^гхр (/) = hk 2 2 М'и- -Srxp (/) = АЛ 2 S n»u.
i 3 - i i
Так как
и аналогично
то
-W/X 2 ф (Si) a < &xp (/)•
Но по условию /- интегрируема на А, поэтому существуют пре-
пределы
lim SrK() (/) -= lim SrXp (/) = W du dv.
Поэтому существует предел C), и мы доказали первое равенство
A). Второе доказывается аналогично.
Рассмотрим теперь n-мерпый прямоугольник Л = {а,,.< xs < Ь/,
/=1, ..., п}. Обозначим через Д' проекцию Д на коэрдинатное
подпространство точек и = (я,, ..., хт): Д' = {щ ^ xs ^bf, j == 1, ...
,,., m) A ^ m < n), и через Д" — проекцию Д на координатное
подпространство точек v=(arm+i, м>> х„); Д" = {я, ^х, < Ь;;
j — т + 1Г ,,., п}. Будем писать
х-(u, v)r Д=Д'ХД".
Имеет место теорема, обобщающая теорему 1:
Теорема 2. Пусть функция /(i,, ..., хп) = /(и, v) интегри-
интегрируема на прямоугольнике Д = Д'ХД" (uei', veA"). Тогда
§ 12.12. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПО ОТДЕЛЬНЫМ ПЕРЕМЕННЫМ 43
справедливо равенство
f Г/(u, v)dudv= fdu f/(u, v)rfv, D)
Л Д' Д"
где выражение \ /(и, v) dv wado понимать как интеграл Римана
Д"
no v п/ш фиксированном и шш, если о« we существует, как про-
произвольное число между нижним и верхним интегралом от /(и, v)
по уеД", Интеграл по и на А' в правой части D) существует
в смысле Римана. Если, в частности, кроме условия теоремы, из-
известно, что функция /(и, v) интегрируема по уеД" для любого
и'е'Д', то правая часть. D) без всяких оговорок есть результат
последовательного интегрирования f no Риману сначала по уеД",
а затем по цеД'.
Доказательство совершенно аналогично доказательству
теоремы 1. Производится разбиение г (m-мерного) прямоугольни-
прямоугольника А' на Nm равных прямоугольников Ai, А2, ...с то-мерными
мерами
и разбиение (n — т)-мерного прямоугольника А" на Nn~m равных
прямоугольников Ах, Л2, •... с (п — тп)-мерными мерами
|А''|п-т . , (bm+l ~ am+l) - • • (bn — ап)
g = | Aj 1 = hm+1..... К = — ^^ .
В результате естественным образом получается разбиение
гХр
22
j i
Ему соответствуют верхняя и нижняя суммы SrXp (/) = g% S
i i
^хр(/) = %22^»>
~ i 1
Функция Ф(и) определяется как_любая функция, удовлетво-
удовлетворяющая неравенствам Ли) ^ Ф(и) ^ /(и), где /(и) и /(и) — ниж-
нижний и верхний интегралы от /(u, v)no уеД",
Дальше мы должны рассуждать, как при доказательстве пре-
предыдущей теоремы, заменяя там ?$ е [и^ъ иД на %г е At«
Теорема 3. Пусть функция /(х) = /(х,, ..., хп) не только
интегрируема на прямоугольнике А, но каково бы ни было нату-
натуральное к = 1, ..., п — 1 и при любых^ допустимых (хи ..., х^)
она интегрируема по- А" — проекции Д «а подпространство
44 ГЛ.. 12. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
и* = (#»+!, ..., хп). Тогда имеет место равенство (А = {а; ^ х, «S Ъ))
ьг ь? ъп
J ... j / dxL ... dxn = J dxL | dx2 ... j / (xlf ..., xn) dxn,
Д
где интегралы в правой части понимаются в смысле Римана,
В самом деле, применяя предыдущую теорему последователь-
последовательно, получим
J / dx =• J dxt J / (xL, u1) du' = j d^i j й^г j / (x, x2, u2) du2 == ...
A «! Л' Oj a% да
i= J dxL .,. J / (xlt ..., a;,,) dxn, E)
В общем случае сведение иычисления кратных интегралов к
последовательному интегрированию по каждой переменней в от-
отдельности основывается на лемме, доказываемой ниже.
Пусть Q — ограниченное множество. Обозначим через е( его
проекцию на ось х,. В частности, если Q — область, то et—ин-
et—интервал, а если Q — замыкание области, то et — отрезок la, b], где
а •=• mina^, b = max xt, x = ix{, ..., xn). Обозначим еще через fi (,
?
сечейие Й плоскостью ж, =??, т. е. множество точек вида (^?, хг,
...,xn)eQ.
Лемма. Справедливо равенство
J • • • j /ixu ..->xn)dxl...dxn= \ dxx j /A,,/s xn)dxz...dxri,
F)
всегда верное, если f ограничена на Q, et — измеримое одномерное
множество и интегралы) ...J и j {для любого л^ее,) имеют
а ах
смысл.
Доказательство. Поместим Q в некоторый п-мерный
прямоугольник А = lalt bj X А', где А' = {а> < Xj < bs; j —
= 2,.,., п). Это возможно, потому что Q измеримо, следователь-
следовательно, ограничено.
Продолжим функцию / с Q па А, положив
_ If па Q,
' f " 10 на А - О.
§ 12.12. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПО ОТДЕЛЬНЫМ ПЕРЕМЕННЫМ 45
Теперь имеем (пояснения ниже)
J f(x) dx = J /(x)dx= j <ц j J(Xu Хг Xn) dx2... dxn =,
Q Л Oj. Д'
i (• (*
Первое равенство в этой цепи верно в силу того, что й и Л
измеримы, / = 0наЛ — Q, и/ интегрируема на А.
Второе -г- по теореме 2. Ведь, кроме того, что функция / инте-
интегрируема на Й, она при фиксированных допустимых xt как функ-
функция от (х2, ..., хп) интегрируема по Qxv следовательно, и на А',
потому что она равна нулю вне QXu
Третье равенство верно, потому что ei измеримо, /==0 для
Xi е= d и для Xi е еи когда (ж2, ..., х„) е пХ1,
Пример 1. Площадь 5 эллипса W: ~Т+~Т ^ *• (а, Ь>0)
а Ъ
(рис. 12.5)' вычисляется следующим образом (пояснения ниже) |
3"
ьУгЦ^Щ а г.
S = Г Г idx dy = Г dx \ dy = Г 26 1/ 1 — -^
W V
dx
Первое равенство в этой цепи следует из того, что W — измеримве в
двумерном смысле множество, ведь его граница — гладкая кривая.
Рис. 12.5.
Рис. 12.6.
Второе — из доказанной выше леммы. Ведь [—а, а] есть измеримая
проекция W на ось х, и сечение Wx эллипса прямой параллельной оси г/,
проходящей через точку х е [а, 6], есть отрезок [—6)'1 — (я2/*»2),
46 ГЛ. 12. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
6yi — (z2/a2) ], т. е. измеримое в одномерном смысле множество, на котором
функция, равная 1, интегрируема.
Пример 2. На рис. 12.6 изображено замкнутое множество Й с гра-
границей Г, состоящей из двух кусочно гладких замкнутых контуров и точ-
точки. Q, таким образом, измеримое в двумерном смысле. Его проекция на
ось х есть отрезок [а, Ь]. Любое его сечение Qx прямой, параллельной
оси у, проходящей.через точку же [а, Ь], есть отрезок или система двух
•трезков, или точка,— все измеримые в одномерном смысле замкнутые мно-
множества. Пеэтому если f(x, у) непрерывна на Q, то она интегрируема на D
и на любом указанном сечении Qx, и к / применима доказанная лемма
ь
f Г Г Г
J J J J
Й a Qx
Теперь мы можем попытаться применить пашу лемму н вну-
внутреннему интегралу правой части F).
Пусть ez(x) есть проекция сечения QXl на ось х2, a Q „ —
сечение ((п— 1)-мерного множества) QXl плоскостью х2 = х\. Тогда
(x)<ix = jrfx1 j dx2 j f(xux2,x3, ...,xn)dx3 ... dxn,
если все множества QXlx2 (хг (= e2 (хг)) измеримы в/ге-2)-мерном
смысле, а функция f(xu хг, х3, ..., хп) от (х3, ,.., хп) интегрируе-
интегрируема на Qxl3c2.
Продолжив этот процесс до конца, получим
j / dx = J dxx j dx% j dx3 ... j / {xu ...,х„) dxn.
п «1 e2(*l) 4(xl<xi) *п(*Ь-"<хП-\)
G)
Все множества еи е2(х{), ..., en(xu ..., xn-i) одномерны и
предполагаются измеримыми, кроме того, предполагается, что ин-
интеграл в левой части G), а также все внутренние интегралы в
правой, существуют.
х2 v2 z2
Пример 3. Объем IQI эллипсоида Q: ~y + "Т + т < 1 (а, Ь, с > 0)
а Ъ с"
может быть вычислен следующим образом (пояснения ниже):
Q = f f f dx dy dz= f dx | dydz= [dx f dy I" dz=
h -a hx -a b-yi V
a bVl-(«2/a2)
= j dx f 2c Vl - (x2/a2) - (y 2/68) dy =
V
§ 12.13. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ИНТЕГРАЛА ПО ПАРАМЕТРУ
47
Ъс
НИ)
arcsin
-
Мпозкество Q измеримо, ведь граница Г состоит из двух непрерывных
кусков поверхности
каждый из которых проектируется взаимно однозначно на замкнутое огра-
ограниченное множество плоскости х, у.
Измеримыми п замкнутыми являются также сечения Q плоскостями
и прямыми, параллельными осями координат соответственно в двумерном
и одномерном смысле, ведь они, «ели они не пусты, представляют собой
при сечении плоскостями эллипсы или точки, а при сечении прямыми —
отрезки или точки.
Таким образом, функция 1 интегрируема на Q и на всех указанных
сочениях Q, и равенство G) применимо.
Если функция fix, у) ограничена и непрерывна на А = [а, 61-Х
X [с, d] за исключением конечного числа точек, то для нее на
основании теоремы 1 имеет место
ъ а
J j / (х, y)dxdy = \dx]i (x, у) dy,
Д ас
потому что для любого х е [а; Ь] функция fix, у) по у ограниче-
ограничена и имеет на [с, d] разве что конечное число точек разрыва,
следовательно, интегрируема на [с, d].
В частности, если fix, у) = <pix)tyiy) и функции ф(ж) и tyiy)
ограничены и имеют конечное число точек разрыва соответ-
соответственно на отрезках [а, Ь], [с, d], то
Ь d Ь d
j j Ф (х) а|> (у) dx dy =. j dx j ф {x) a|> (y) dx dy = J ф (x) dx J
Д ос о о
Распространение этих фдктов на многомерный случай не пред-
представляет труда.
§ 12.13. Непрерывность интеграла по параметру
Рассмотрим интеграл
F(\) = F(xlt ...,xm) = f ... \f(xv ...,xm;yu ..., y^dy^ . .dyn-
(i)
48 ГЛ. 12. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
где О — измеримое множество «-мерного пространства точек у =
= (#i» • ¦ ч #п), а функция fix, у) интегрируема по у на п. Тогда
интеграл A) еет-ь функция F от точки х.
Следующая теорема дает критерий непрерывности Fix).
Теорема 1. Если функция fix, у) непрерывна на множе-
множестве
GXQ (xsG, yeQ) B)
in + m)-мерного пространства точек (х, у) = ix,, ,,,, хт;
У и • • •, уп), где G и Q — замкнутые ограниченные множества в
соответствующих пространствах точек х и у, то интеграл A)
(г. е. Fix)) есть непрерывная функция от хе G.
Доказательство. Обозначим через юF, /) модуль не-
непрерывности функции / на. множестве B). Так как носледнее
замкнуто и ограничено, а функция / непрерывна на нем, то
ш(б, /) -*- 0 (б -»- 0). Поэтому для х, х е G
|F (х') - F(x) | = || [/(х\ у) - /(х, у)] dy <
и теорема доказана.
Теперь рассмотрим интеграл, обобщающий A) только в слу-
случае, когда у есть переменное число (не вектор):
4*1 xm) *(x)
= j f(xu .. .,xm;y)dy = j" f(x,y)dy (xe=G), C)
Ф(«x' Ф(х)
и докажем теорему.
Теорема 2. Если функция /(х, у) непрерывна на множе-
множестве Н точек (х, у) == ixi, ,,,, xm\ у) {m + 1)-мерного простран-
пространства, определяемых неравенствами ф(х) < у ^ t|;(x) (x e G), где
ф(х) и \|;(х) — непрерывные функции на замкГнутом ограниченном
пг-мерном множестве G точек х= ixu ,,,, xm), то функция Fix)
непрерывна на G.
Доказательство. Подстановка
dy ¦
приводит интеграл C) к виду
F (х) = ft (х) - Ф (ж)] j / (х, ф (х) + t [t|> (x) - Ф (х)]) Л. D)
S 12.14. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ ЗНАКА ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ 49
Но tj:(x) — <р(х) — непрерывная функция на G, а интеграл в
D) тоже есть непрерывная функция от xe'G, что следует из
теоремы 1. Ведь подынтегральная функция есть непрерывная
функция от (х, f)sGXL0, U. Следовательно, /Чх) непрерывна
на G.
Пример. Пусть на единичном шаре ш задана непрерывная функция
f(x, у, г). Интеграл от нее по со равен
+1 Vl-xt l/l—зс2—j/2
[jd(S>= [dx f dy f f(x,y,z)dz.
Виутрзнний интеграл F(x,y)= j f (x, y, z) dz есть функ-
ция F от (х, у), определенная на круге о: хг + уг ^ 1. Она непрерывна
на о. Действительно, / непрерывна на замкнутом шаре ш; поверхности, его-
ограничивающие, z = —yi — х2 — у2 и г = У1 — г2 — у2 (х2 + J/2 ^ 1), опи-
описываются непрерывными на круге о функциями. Непрерывность F на о вы-
вытекает из доказанной теоремы. Таким образом,
F(x,y)dy
Интеграл Ф (х) = | ^ (х, г/) йг/ в свою очередь есть непре-
непрерывная функция от ie [—1, +1] на основании этой же теоремы. Действи-
Действительно, F(x, у) непрерывна на круге о (замкнутом ограниченном множе-
множестве точек х, у), а кривые у = —fl — х2, у = yi — х2 (—1 sg x sg 1), огра-
ограничивающие о, непрерывны, По теореме Ф(х) непрерывна на [—1, +1].
§ 12.14. Геометрическая интерпретация знака определителя
, Зададим в плоскости прямоугольную систему координат
(хь хг), как на рис. 12.7 и 12.8.
Мы предполагаем для определенности, что положительное на-
направление оси хг получается из положительного направления
оси Xi поворотом оси Xi на угол 90° против часовой стрелки
(рис. 12.9). Зададим два не равных нулю вектора а = (я4, а»)г
b => (bi, Ъг), выходящих из нулевой точки, с определителем
, ъ,.
% К
A)
Если А > 0, то чтобы получить направление вектора Ь, нужно
повернуть (против часовой стрелки) а на угол, меньший чем я.
ГЛ. 12. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
а если Д < 0, то это связано с поворотом на угол, больший чем л.
В самом деле, очевидно, что а=Ы(созф„ sinqh) и Ъ =
*= 1Ы(созф2, sin-фг), где ф|, фа — углы, образованные соответствен-
соответственно векторами a, be осью х, откуда А = Ы • 1Ы sin (ф2 — q>i)«
х.
Рис. 12.8.
Рис. 12.9.
Рассмотрим теперь трехмерное пространство, где задана пря-
прямоугольная система координат Кхи хг, xz) и три вектора а =
•=¦ («I, а2, а3), Ь = (Ь,, Ь2, Ьц), с = (с,, с2, с,) с определителем
?=0.
Пусть 1, = A, 0, 0), 12 = @, 1, 0), i\, = @, 0, 1) —орты осей хц
хг, х3. Их определитель
= 1 (>0).
Если А > @, то можно определить три непрерывные вектор^
-функции
a{t) = (a,U), a2(f), a5U)),
1
0
0
0
1
0
0
0
1
такие, что будут удовлетворяться условия
а@)=а, p(O)=b, y(O) = c, a(l) = ii,
я при этом для любого ?е [0, 1] определитель
t (t) a2 (t) a3 (t)
,(') P,(«) P,W >0. B)
L№ V,(*) V,@
Если же А < 0, то невозможно построить три непрерывных
вектор-функции с указанными свойствами.
§ 12.15. ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ В КРАТНОМ ИНТЕГРАЛЕ 51
В случае Д > 0 говорят, что упорядоченная тройка векторов
а, Ь, с ориентирована так же, как тройка it, i2, is, в то время как
в случае Д < 0 тройка, а, Ь, с ориентирована противоположно
ориентации тройки i,, i2, is.
Подобная характеристика A-го и 2-го случаев) может быть
дана и для пар векторов a, b на плоскости (см. еще далее § 13.8).
Чтобы обосновать сказанное, начнем с того, что на протяжении отрез-
отрезка времени [О, 1/4] непрерывно деформируем векторы а, Ь, с, не изменяя
их направления, так, чтобы в результате получились три единичных вектора.
Иначе говоря, вводим вектор-фупкции a(t) = <р(/)а, ($(?)= i|5(?)b, i(t) =
~%{t)e, где ф, 1|з, / — непрерывные положительные на [0, 1/4] функции,
удовлетворяющие условиям
X (х) = 1 с I-
Пусть L есть плоскость векторов а и Ь. Оставляя векторы ее A/4) и
7A/4) постоянными на протяжении отрезка времени [1/4, 1/2], поворачи-
поворачиваем вектор РA/4) в плоскости L на кратчайший угол до положения, пер-
перпендикулярного вектору
«A/4) =
Теперь при фиксированных векторах «A/2), РA/2), поворачиваем в те-
течение времени t <= [1/2, 3/4]» на кратчайший угол только вектор ^ до поло-
положения, перпендикулярного плоскости L. В результате векторы а C/4),
CC/4), 7C/4) образуют репер взаимно перпендикулярных единичных век-
векторов. Теперь на протяжении отрезка времени [3/4, 1] вращаем этот репер
как твердое тело так, чтобы векторы «A), CA), соответственно, совпали
с ортами ii, i2. Тогда, очевидно,
«A) = it, p(i) = i2, yA) = ±i3.
При этом будет знак «+», если Д > 0, и знак «—», если Д < 0. Ведь наш
процесс описывается непрерывными не компланарными векторами «(г)»
P(')i Т('). Для которых определитель Д(<) (составленный по образцу B)) не-
неравен нулю при любом «<= [0, 1]. Но тогда знаки Д@) = Д и ДA) совпада-
совпадают, что возможно лишь, если f(l) = i3 при Д > 0 и "f(l) = ~h при Д < 0.
§ 12.15. Замена переменных в кратном интеграле.
Простейший случай
Покажем, как видоизменяется интеграл
(х'и х'2) dx[dx'2, A)
если в нем произвести замену переменных
Xi = ах-, + Ъа
[D= г
= 0). B)
Будем считать, что Q' — область с непрерывной кусочно глад-
гладкой границей Г' (рис. 12.10).
Преобразование, обратное к B), отображает Q' на некоторую
область Q плоскости (xit x2) с кусочно гладкой границей Г
52-
ГЛ. 12. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
(рис. 12.11), и ua Q определена функция
Р(хи хг) = fiaXi + Ьхг, cxi + dxz) ({xlt x2
Введем на плоскости {хи хг) прямоугольную сетку со сторо-
сторонами квадратов- Д длины Ъ. Она отображается при помощи урав-
дений B), вообще говоря, в косоугольную сетку, делящую
О'
Г
/
f
\
Рис. 12.10.
Рис. 12.11.
плоскость (хъ х2) па равные параллелограммы Л' (образы Д),
имеющие площадь
\* bd\,
C)
Тем самым определены разбиения р, р' соответственно областей
Q, Q'.
Имеем
,)sA)( D)
Мы считаем, что вторая сумма в этой цепи распространена толь-
только на полные квадраты Д <= Q, соответственно первая — на соот-
соответствующие им «полные» параллелограммы Д' (см. теорему 4
§ 12.7). Переходя к пределу в D) при h -*¦ 0, получим формулу
а',
J J F(xu xt)\D\
IDi
В этом рассуждении можно считать, что функция / непрерыв-
непрерывна на О', и тогда функция F будет непрерывной на р, и оба
интеграла E) существуют, а выше доказан факт равенства E).
Достаточно, впрочем, считать, что функция / интегрируема на
{ 12.16. ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ В КРАТНОМ ИНТЕГРАЛЕ 53
Q', и тогда первая сумма в D) имеет предел, когда d(A') -*¦ О,
что автоматически влечет существование равного ему предела
второй суммы, когда й(Д) ->¦ 0, т. е, существование второго ин-
интеграла E), равного первому,
В следующем параграфе дана более общая формула.
§ 12.16. Замена переменных в кратном интеграле
Теорема 1. Пусть в п-мерном пространстве R точек х»=
*= {хи ..., хп) задана измеримая область Q и рассматривается еще
другое п-мерное пространство R' точек х' ={х', ...,х'п), а в нем
измеримая область Q'.
Предположим, что точки х^й переходят в точки х' е п' при
помощи отображения {операции)
^ = ф^(х) = ф;-{ж1( ...,х„) (/ = 1, ...,гс;хе=й), A)
которое мы будем еще обозначать так;
х'-Лх. A')
Мы будем предполагать, что операция А обладает следую-
следующими свойствами:
1) Она взаимно однозначно отображает Q на Q' *)s
Q**Q' B)
{взаимно однозначное соответствие при отображении А между
точками границ Q и Q' не требуется).
2) Функции фДх) непрерывны и имеют на Q непрерывные
частные производные с якобианом **)
"' дхп
•*• д.гп
C)
д(Рп
Пусть, далее, задана интегрируемая на Q' функция
/{х') = /(^i, ..., хп),
преобразующаяся при помощи подстановок A) в функцию
/[ф1(х), ..., ф„(х)] (хей). D)
*) Можно заранее не предполагать, что Q' есть область. Это следует
из. непрерывности Ах на Q и B) (см. далее § 12.20, теорема 3).
**) На знак D(x) никаких условий не накладывается. Однако на самом
деле условия теоремы автоматически влекут либо неравенство D(x) ^ О
всюду на Й, либо неравенство ?>(х) ^0 всюду на Й (см. § 12.21),
54 ГЛ. 12. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Тогда имеет место формула замены переменных в кратном
интеграле
$f(x')dx'~]F(x)\D(x)\dx
Q' Q
(утверждающая существование интеграла в правой части E) и
равенство E)).
В частности, еслиУрункция fix') непрерывна на Q', то непре-
непрерывна также функция F на Q и оба интеграла в E) существуют,
а формула E) утверждает их равенство.
Трудность теоремы заключается в лемме, которая будет дока-
доказана в § 12.17. Мы ее сформулируем и сразу же покажем, как
с ее помощью доказывается равенство E).
Лемма 1. Пусть выполняются условия теоремы и Д с: Q
есть произвольный куб с ребром h, а А' — А(&) —его образ на
Q' при помощи операции А. Тогда имеет место равенство
|Д'| «= Ш(х)| |Д1 + 0(/inft>(/i)), F)
где Z)(x) — значение якобиана D в одной из точек хеД,а
(V)
о {h) e sup (fl^ (h),
U=i n
<t>ii (h) =» sup
|х-у|<Л
x.yeQ
dtp. —
(модуль непрерывности ^— на Q) и константа С, входящая в Ot
не зависит от А (г. е. от h и положения Д на Q).
Важно заметить, что так как частные производные -^- по ус-
условию теоремы непрерывны на ограниченном замкнутом множе-
множестве Q, то их модули непрерывности й>«Ш ->- 0 (h-*¦ 0), но
тогда и
*- 0 (h -> 0). (8)
Поэтому остаточный член в формуле F) удовлетворяет неравен-
неравенству
'|((ЮI CKMh)ihX (h-+0) (9)
и притом равномерно относительно х -*¦ Q, потому что правая
часть (9) не зависит or x e Q. Что касается первого члена правой
части F), то он равен
т. е.
S 12.16. ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ В КРАТНОМ ИНТЕГРАЛЕ
55
Из этого равенства, в частности, следует, что для любого iefi
имеет место равенство (х е Д <= Q)
(isQ),
A0)
показывающее, что величина \D(x)\ с точностью до бесконечно
малых о A), h -*¦ 0, есть коэффициент увеличения элементарного
объема, сконцентрированного возле точки х при преобразовании
его посредством операции А,
А
(
-
s
й
1
1
J
Рис. 12.12.
Рис. 12.13.
Разобьем Q ft-сеткой, состоящей из кубов с ребрами длины h
(рис. 12.12). Часть сетки, содержащаяся в Q, при помощи опера-
операции А переходит в криволинейную сетку поверхностей, разбива-
разбивающую Q' на измеримые части (рис. 12.13) (см. теорему 3, § 12.5).
Обозначим через А полные кубы сетки, входящие вместе со
своими границами в Q. При помощи операции А открытое ядро А
переходит в открытое ядро Д', а граница А — в границу А' (фор-
(формально это утверждение требует доказательства, см. § 12.20, тео-
теорему 3 и замечание к ней). При этом, если h -»¦ 0, то максималь-
максимальный диаметр частичных множеств соответствующего разбиения
Й' стремится к нулю, потому что в преобразовании A) функции
<р,-(х) равномерно непрерывны на Q.
На основании леммы 1
2/(О]АЧ = 2^(*)(|Д(хI|А| + 0(<о(й)Лп)), A1)
где А'=Л(Д), сумма распространена па все Д, а /(к7) и F(x),
Жх) обозначают значения /, F, D соответственно в одной из то-
точек Д' или Д. Из A1) после перехода к пределу при h ->- 0 полу-
получим равенство E). В самом деле, входящая в О константа С —
одна и та же для всех слагаемых правой части (И), поэтому,
учитывая ограниченность F на Q (|Л < К)
2 F (х) О (со (h) (hn ) | < КСю (ft) 21Д
(А) 1QI
(h
56 ГЛ, 12, КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Далее, в силу интегрируемости / на Q'
2/<)|| 2/()||
Л-»о тах|Д'|-»о q
Но тогда существует равный этому интегралу предел
2= ( F{x)\D(x)\dx.
h-*o a
Таким образом, существует интеграл от F(,x)\D(\)\ на Q. Итак,,
формула E) доказана.
§ 12.17. Доказательство леммы 1 § 12.16
Все рассуждения проведем в двумерном случае
*; = ч^to,*,) а = 1,2). A)
В n-мерном случае, как будет видно, они совершенно аналогичны.
Итак, пусть А = [х\<.хг<х\-\-к; i == 1, 2}*)— квадрат PAtCA2
(рис. 12.14) и А' — его образ — криволинейный параллелограмм
Р'А'гС'А'ъ (рис. 12.15). А' есть область, граница ее -у' есть образ
X,,
\
с
»--—
с \
А> /,
О'
Рис. 12.14.
Рис. 12.15.
при помощи А границы ч квадрата А (см. § 12.20, теорема 3). На-
Например, сторона А, имеющая уравнение хг = х\, имеет в каче-
качестве' своего образа кривую
определяемую непрерывно дифференцируемыми функциями па-
раме*тра х, **)'. Мы не называем эту кривую гладкой, потому что
не исключаем, что для какого-либо значения xt частные пр'оиз-
*) В n-мерном случае Д = (ж? < ж; < ж? + й; t = 1, ..., п].
**) В и-мерноы случае кусок границы Д', соответствующей грани
xj = .»"> определяется уравнениями xi = ф^ (^j» ... > xj—\< xQp xi+v • • •' xn)
(i = l, ...,")¦
§ 12.17. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ЛЕММЫ i § 12.16 57
иодпые -j^-(#i, #г) и -^-\хих\) могут одновременно равняться
нулю. Все же она имеет меру нуль (см. теорему 3 § 12.5).
Нам предстоит доказать равенство
|Д'| = |?>(х°)| |Д| + 0(А*ю(Л)), B)
где константа в О ije зависит от х° е Q. Но тогда это равенство
верно при замене в нем х° на произвольную точку х <= Д *).
В силу непрерывной дифференцируемости ц>( имеем
(Г)
где ( ) обозначает результат подстановки в ( ) некоторой
определенной точки х = {хи хг) е Д.
Наряду с отображением A), которое записано еще в виде A'),
мы рассматриваем линейпое преобразование х" ¦=» А*\,
(It* 1
С'постоянными коэффициентами! I -«-M —результат подстановки
V \ хз /о
п ~- точки х° , отображающее Д на некоторый параллело-
. "xj I
грамм Д" с границей 7 "• Стороны Д", прилегающие к точке х0',
суть (приложенные к х0') векторы
Длина их
Оценим расстояние между точками х' и х", соответствующи-
соответствующими одной и той же точке х^Д, Из равенства
/ //
Xi — Хг =
*) В отлу § 12.10, G) имеем \\D(x)\ — \D(x«){\ <g |D(x) — D(x") |
C(/|2) 2C(fe)
58
ГЛ. 12. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
следует (см. A0), § 7.10)*)
\x"i — x'i I < » ( /§ h) h + to ( /2 /г) h < 4co (/г) /г, E)
I V'I v' 1 "I/ ( ~." '~. \2 1 / ^ \2 *** i?,^ ^A\ Л 1 /?i\
I X X ^ — |/ ^ьб ^1/ ~r \*^2 "— *^2У ^5 ^^* \*W ^ == Л* yOj
Таким образом, точка х' находится внутри круга с центром
в х" радиуса К.
Опишем из каждой точки х" е ^ " (границы А") кружок vX"
радиуса К. Объединение всех ty, соответствующих всем ге^
обозначим через е. Если параллело-
параллелограмм А" не слишком скошен, то
полечим картину, как на рис. 12.16.
Множество е имеет вид рамки с
закругленными ' внешними углами г
внутри нее имеется параллелограмм
А" — е. Круг Vy», где у" —центр
параллелограмма А", полностью со-
содержится в А" — е. Так как центр у
квадрата А при помощи А* перехо-
переходит в у", то у' с: v!t'i cz A" — е.
Обозначим через Hi высоту А",
перпендикулярную г-й стороне (дли-
(длины aji: i = 1, 2). Изображенная
на рис. 12.16 картина во всяком
место, если
Рис. 12.16.
случае будет иметь
Ht>AX
G)
Площадь рамки е не превышает, очевидно, сумму площадей че-
четырех кружков радиуса %, описанных из угловых точек f" как
из центров, плюс сумму площадей прямоугольников высоты 2Я с
основаниями, равными длинам сторон параллелограммов А".
Следовательно **),
2
22
{h).
(8)
L
кон-
кон(фг> ~a~L ограничены на Q, поэтому и at, и шШ!|, где К
станта, не зависящая от h и положения А на Q.
Так как Y содержится в рамке е и А' является ограниченным
множеством (функции срч непрерывны, следовательно, ограничены
на Ш, то интуитивно ясно, что
д'-есД'сД"+е. (9)
*) В «-мерном случае в правых частях E), F) вместо чисел 4, 6 мезк-
ио взять соответственно п (~[/п -\-1), У ге3 (~\/п -\-1J.
**) В и-мерном случае в правой части будет K<u(h)hn,
в 12.18. ПОЛЯРНЫЕ КООРДИНАТЫ В ПЛОСКОСТИ 59
Ниже мы докажем это утверждение аккуратно, а сейчас восполь-
воспользуемся им, чтобы оценить |Д'|.
Из (9) вытекает, что |А'| «=>|Д"| + 6|е|(-1 <6 *3 1).
Следовательно, в силу (8) и учитывая, что площадь паралле-
параллелограмма Д" равна абсолютной величине определителя, состав-
составленного по векторам, определяющим его стороны, подучим
где константа в О не зависит от х° и h.
Докажем (9). Вложение Д"—есД' следует из того, что Д"—е заве-
заведомо содержит одну точку у'е4' и ни одной граничной точки Л', ведь
все граничные точки Д' содержатся в е. Если бы в Д" — е нашлась точка z,
tie принадлежащая Д', то отрезок y'as (соединяющий точку /еД' с точ-
точкой z <= Д') содержал бы в себе граничную точку Д'.
Вложение же Д' с: Д" + е вытекает из следующих соображений. Допу-
Допустим, что существует точка z'eA'- (Д" + е). Выпустим из центра Д" луч,
проходящий через z', и будем двигаться из ъ' по этому лучу в бесконеч-
бесконечность. Так как Д' — ограниченное множество (функции <pi и фа ограничены
на Д), то мы обязательно должны наткнуться на точку "f (границы Д').
Но этого не может быть, потому что Y cz e.
Но еще надо рассмотреть случай, когда для некоторого i =» 1, 2
имеет место неравенство
Н,<И A0)
(в частности, если Dix") = 0 и параллелограмм Д" вырождается).
Тогда в силу A0), F), (8) имеем
1 |Д'| - \D{x")W\ = I |Д'| - |Д"| I < |Д'1 +-|Д «3
<A Д " 1 +Ы) + IД" I = 21Д " I + И < 2а<Л#1 + И «3
Поэтому |Д'1 - \D{x")\hz = O(h2a{h)), и верно B).
Итак, во всех возможных случаях имеет место равенство B).
При этом константа С, входящая в остаток правой его части, не
зависит от h и х° s Q. Из примечаний, которые делались попут-
попутно, видно, что доказательство в общем случае п совершенно ана-
аналогично,
§ 12.18. Полярные координаты в плоскости
Система уравнений
х = pcos 8, у = р sin 8 A)
осуществляет преобразование полярных координат в декартовы.
Правые части A) — непрерывно дифференцируемые функции с
якобианом
п — П(Х'У) — I cos 9 sin е I _ п --> п /9\
D (р, 0) — I — Р sin 9 р cos 61 ~ Р ^ ' W
60
ГЛ. 12. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Введем чисто формально новую плоскость с декартовой систе-
системой (р, 6) и принадлежащую ей область
Л={р>0, 0<6< 2я}.
C)
Очевидно, преобразование A) взаимно однозначно отображает Л
на Л' —плоскость ху без луча 6 = 0. К тому же па Л якобиан
Пусть в плоскости х, у задана произвольная измеримая (в дву-
двумерном смысле) область, а на ее замыкании — непрерывная функ-
функция }{х, у). Выкинем из этой области точки луча 8 = 0, если они
есть, и оставшееся множество обозначим через Q'. Будем считать,
что О,' есть область или сумма конечного числа непересекающих-
непересекающихся попарно областей. Множеству п' соответствует в силу A) не-
некоторое множество Q <= Л (которое предполагается измеримым),
Q =*± Q'. Справедливо равенство
J j / (х, у) dx dy = \ ] / (р cos 0, р sin 6) р dp dQ, (А)
Q' п
что мы находимся в условиях теоремы о замене перемен-
переменных в кратном интеграле (/
непрерывна па Q', преобразо-
преобразование A) непрерывно диффе-
дифференцируемо па п с якобианом
р >0 и Q =** Q').
В полученной формуле D)
можно теперь заменить Й, Q'
соответственно па их замыка-
замыкания Q, Q', потому что этим
добавляются только множества
двумерной меры.нуль.
Если область Q имеет вид
сектора, ограниченного лучами
и непрерывной кривой р ==
Рис. 12.17.
е = е2(в| < е2 =
то
; е, + 2я)
J j / (х, у) dx dy = J dQ J / (p cos 8, p sin 0) p dp.
E)
Впрочем, формулу D) можно получить из естественных геометри-
геометрических соображений, не прибегая к искусственной декартовой
плоскости (р, 8). Плоскость х, у разбиваем на элементарные фи-
фигуры близкими концентрическими окружностями и выходящими
из нулевой точки лучами (рис. 12.17). Площадь каждой такой
элементарной фигуры (возле точки (р, 6)) или, как говорят, эле-
элемент шгощади в полярных координатах, равна с точностью до
бесконечно Малых высшего порядка AS ~ p dp dQ. Поэтому, если
§ 12.19. ПОЛЯРНЫЕ П ЦИЛИНДРЙЧ. КООРДИНАТЫ В ПРОСТРАНСТВЕ 61
наш интеграл просуммировать по этим элементам, то получим
lira 2 /iPjAp Ae = Г f / (Р, 9) р dp dQ.
Пример:
Л 2Я
dy = J j e^p ф J9 = я (*"' - 1).
Замечание. Операция A) непрерывна на замыкании Л
области Л = {0<р<1; 0 < Э < 2я} и устанавливает взаимно
однозначное соответствие Л ** Л', но при этом взаимно однознач-
однозначного соответствия между границами Л и Л' нет (см. теорему 1Г
§ 12.16).
§ 12.19. Полярные и цилиндрические координаты
в пространстве
Система уравнений
х = р cos G cos ф,- у = р cos 8 sin q>, z = p sin 8
A)
осуществляет переход от полярных координат в пространстве к
декартовым (рис. 12.48). Здесь р — расстояние точки Р(х, у, z)
до начала -координат (полюса полярной
системы), 6 — угол между радиус-векто-
радиус-вектором р точки Р и его проекцией на пло-
плоскость (х, у), ср — угол между указанной
проекцией и положительным направлени-
направлением оси х. Его отсчитывают в том направ-
направлении, в котором надо вращать вокруг
оси z положительно направленную ось х,
чтобы прийти к положительно направ-
направленной оси у кратчайшим путем.
Функции справа в A) непрерывно
дифференцируемы с якобианом
D (х v z) . Рис- 12.18.
^ 4^ 9 B)
Введем формально новое трехмерное пространство с декарто-
декартовой системой координат (р, 6, ф) и в нем открытое множество
C)
Преобразования A) взаимно однозначно отображают Л на Л',
т. е. на пространство xyz с выкинутой полуплоскостью ф = О
(множеством точек (х, 0, z), где х 3= 0):
Л ** Л'. D)
62 ГЛ. 12. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Пусть теперь в пространстве xyz задана произвольная изме-
измеримая в трехмерном смысле область, а на ее замыкании — не-
непрерывная функция fix, у, z). Выкинем из этой области точки
полуплоскости ф = 0 и оставшееся множество обозначим через
Q'. Будем считать, что Q' есть область или сумма конечного чис-
числа непересекающихся попарно областей. Множеству Q' соответ-
соответствует в силу D) некоторое множество Q <= Л, которое мы будем
предполагать измеримым.
Справедливо равенство
J J J / (х, y,z)dxdy dz = j j j F (p, 9, <p) p2 cos 8 dp dQ dq>, E)
O'
тде
Fip, 8, ф) = /(p cos 8 cos ф, p cos 8 gin tp, p sin 8), F)
потому что мы находимся в условиях теоремы о замене перемен-
переменных в кратном интеграле. _
Теперь в E) можно при желании заменить Q, Q' на Q, Q' по-
потому, что эти множества отличаются соответственно на множества
трехмерной меры пуль.
Пусть о есть поверхность, описываемая в полярных коорди-
координатах функцией p = i|}(9, ф)((8, ф)есо), непрерывной на замыка-
замыкании области со, и пусть Q — трехмерная измеримая область про-
пространства ix, у, z), ограниченная поверхностью о и конической
поверхностью, лучи которой выходят из нулевой точки и опира-
опираются на а. Тогда для непрерывной на Q функции fix, у, z) имеет
место
J ) J / dx dy dz = \ \ dQ dtp \ Fp2 cos 9 dp.
h <a о
В частности, если со соответствует всей единичной сфере, то по-
последний интеграл равен
я/2 2Я г|)(Э,ф)
dq> J
j J J Fp2dp.
—Я/2
Чтобы наглядно получить элемент объема
в полярных координатах, рассечем простран-
пространство на малые части концентрическими ша-
шаровыми поверхностями с центром в полярном
полюсе (точке р = 0) плоскостями, проходя-
Рис. 12.19. щими через ось z, и круговыми коническими
поверхностями, имеющими своей осью ось z.
Полученные ячейки имеют объем, равный с точностью до
бесконечно малых высшего порядка A.v ~ p2cos QdpdQdqi, где
(р, 9, ф) — одна из точек ячейки.
§ 12.20. ОБЩИЕ СВОЙСТВА НЕПРЕРЫВНЫХ ОПЕРАЦИЙ 63
Замечание. Операция A) непрерывна на замыкании Л
области Л = @ < р < 1, —я/2 < 9 < я/2, 0 < ф < 2я) и устанав-
устанавливает взаимно однозначное соответствие Л =** Л', Однако при
этом нет взаимпо однозначного соответствия точек границ Л и Л'.
Цилиндрические координаты (р, 6, z) связаны с декартовыми
координатами {$, у, z) равенствами (см. рис. 12.19)
х = р cos ф, у = р sin ф, z = z. G)
Здесь р — расстояние от проекции точки А = (я, у, z) на плоскость
(х, у), до начала декартовой системы, а ф — угол радиус-вектора
указанной проекции с осью х. Якобиан преобразования G) равен
Щх,у,г) _
§ 12.20. Общие свойства непрерывных операций
Ниже мы будем изучать операцию
х'= Ах, х— (xv ..., zm)<= fieri?, x' = (x'v ..., x'n)e fi' c= R',
приводящую во взаимно однозначное соответствие Q<±?!' некоторые мно-
множества QczR и Q' с: R'.
Таким образом, существует обратная операция (х = А~1х' (х'еЙ')).
Условимся в обозначениях. Если некоторая точка fi' обозначена через
х', то это значит, что х' = Ах (хей); е' = Ае, гдее с: Q; ах, ах, — шары
в R, соответственно в Я', с центрами в точках х (ei?), х' (ей'),
Теорема 1. Если операция А отображает непрерывно и взаимно од-
однозначно замкнутое ограниченное множество F на множество F', то F' то-
тоже ограничено и замкнуто ы обратная операция А~1 непрерывна на F'.
В самом деле, пусть х,еГ A=1,2,...), у(ей' п х^ ->- у0. Тогда
существует подпоследовательность х. и точка х0 е F (ограниченность и
замкнутость Л) такая, что х, ->- х0, и в силу непрерывности А на F име-
имеет место х, = Лх, -+¦ AxQ. Следовательно, у0 == Лх0 и F' — замкнутое мно-
множество. Оно ограничено, иначе существовала бы последовательность хг с
| х; j ->- оо, что невозможно, потому что для некоторой подпоследователь-
подпоследовательности х. и пекоторой точки х0 е F должно было бы быть ^х -> Ах ¦
Пусть теперь х[, \'й <= F' (I = 1, 2, ...) и х\ -*¦ х'0_ Если бы точка
Xj не стремилась к Хо, то нашлись бы подпоследовательность х{ и точка
х* ф х0 (ограниченность и замкнутость Fi) такие, что х; -+х* (к ->оо),
по тогда х, -t-Axx, и так как х; ->-Лх0, то Лх0 = Лх*, и вследст-
вследствие предположенной взаимной однозначности получили бы xfl = х„, что
противоречит сделанному предположению.
Теорема 2. В предположениях георемы 1 образ (ох)' шара ах cF
содержит в себе некотоцый шар ах,, г. е. если g с F — открытое множест-
множество (или область), то открыто также и множество g' (соответственно
область).
64 ГЛ. 12. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Эта глубокая теорема (Брауэра) приводится без доказательства. Дока-
Доказательство можно найти в книге: В. Гуревич и Г. Волмен, Теория
размерности, ИЛ, 1948, стр. 64.
В случае, когда А — непрерывно дифференцируемая операция с не рав-
равным нулю на g якобианом, эта теорема доказана в § 7.18.
Теорема 3. Пусть Q — область, и непрерывная на Q операция *' —
= Ах приводит во взаимно однозначное соответствие множества Q и Q':
Й**?2' (sfe!l,i'E!J').
Тогда
1) если g а й — ограниченная область и gczQ, то g имеет непустую
границу к; при этом g' — область, а ее граница есть Y<
2) если gczQ — произвольная область, то g'— также область; в част-
частности, Й' — область. Взаимно однозначного соответствия между границами
g и g', в частности, между границами Q и- Q' может и не быть (см. за-
замечания в конце §§ 12.18 и 12.19).
Так как по условию утверждения 1) непрерывная операция А взаимно
однозначно отображает замкнутые ограниченные мпожества Ч, g+ ч соот-
соответственно на множества к', g' + к', то последние по теореме 1 тоже огра-
ограничены и замкнуты, a g' как образ области gcg + ] по теореме 2
есть область. Очевидно, граница g' принадлежит if'. G другой стороны, ес-
если v' a Q' есть шар с центром в х '0 е if', то на основании сказанного
его прообраз v есть область, содержащая х е ^. Но тогда v' содержит в
себе точки, принадлежащие и не принадлежащие g', потому что v содержит
точки, принадлежащие и не принадлежащие g. Мы доказали, что if' ость
граница g'.
Пусть теперь g czQ — произвольная область (пе требуется ее ограни-
ограниченность и принадлежность § области Q}), х0 е g' п ах cz g— открытый
шар (ограниченная область) такой, что с с: g. По доказанному (о х Y есть
область, содержащая, таким Образом, в себе некоторый шар а ,,т, е. g'.—
открытое множество. Связность g' вытекает из связности g и непрерыв-
непрерывности Ах.
Замечание. Пусть выполняются условия теоремы § 12.16 о замене
переменных в кратном интеграле. Тогда имеют место утверждения:
1) Если Д — (замкнутый) куб, содержащийся в Я, то его открытое яд-
ядро отображается операцией А на открытое ядро Д', а граница Д — на гра-
границу Д' (см. теорему 3, утверждение 1)).
2) Множество Q0={.D(x)=0} не содержит в себе ни одного куба,
потому что если бы некоторый куб А с Qo, то его открытое ядро отображалось
бы операцией А на непустое открытое множество, поэтому |Д'| > 0, но,
с другой стороны, | Д'| = \ |?>(x)|dx=0, и получилось бы противоречие.
д
§ 12.21. Дополнение к теореме о замене переменных
в кратном интеграле
Пусть выполняются условия теоремы .§ 12.16, тогда пе существует па-
пары точек у,геЙ таких, что D(y) > 0, D(z) < 0.
Будем рассуждать от противного. Предположим, что такие точки су-
существуют, тогда существует и куб Дсй, где происходит перемена зна-
знака у D.
Чтобы доказать это, соединим у и z непрерывной кривой Сей. Каж-
Каждую точку С покроем принадлежащим Q открытым кубом (о ребрами, па-
параллельными осям!) с центром в ной. Среди этих кубов оставим конечное
§ 12.21. ДОПОЛНЕНИЕ К ТЕОРЕМЕ О ЗАМЕНЕ ПЕРЕМЕННЫХ
65
число все же покрывающих С. Перенумеруем их Ai, Д2, ..., Aw так, чтобы
их центры следовали друг за другом вдоль ориентированной от у до z кри-
кривой С. Один из них обязательно удовлетворяет высказанному утвержде-
утверждению. В самом дело, если iia Ai имеет место перемена знака, то утверждение
доказано. Если это не так, то пусть для определенности D (х) $= 0 на Ai
и пусть к — наибольшее среди /, для которых D(x) ^ О па Д( (/= 1, ...
..., к); тогда на &h+i может быть либо перемена знака D(x), либо D(x)s^0.
Но последнее невозможно, потому что • на непустом прямоугольнике
Aj,Aft+i было бы D(x) 5з 0 (см. замечание 2, § 12.20). Утверждение до-
доказано.
Если внутри прямоугольника А имеет место перемена знака, т. е. су-
существуют внутренние в Д точки у) z, для которых D(y) > 0, D(z) < 0,, то
эти точки всегда можно считать находящимися на одной из плоскостей
Xj = а при некотором числе а.
В самом деле, определим состоящие из внутренних точек А кубы А',
А" с центрами соответственно в у, г так, что D(x) > 0 на А' и D{k) < 0
па А". Пусть нижняя и верхняя в направлении х4 грани А' будут ц = «i,
х\ = а2 («l < Иг). Тогда, допуская, что высказанное утверждение невер-
неверно, придется заключить, что D(x) ^0 на прямоугольнике А„ „ , состоя-
состоящем из всех точек хе4, у которых ai ^ Х{ ^ аг. Кроме того, D(x) ^ 0
для всех точек хеД, принадлежащих прямоугольнику П с образующей,
параллельной оси xi, опирающемуся на А". Но,тогда D(x) =0 на непустом
пересечении ПДа а , содержащем в себе куб, что невозможно (см. заме-
замечание 2, § 12.20). На рис. 12.20 изображен плоский "случай, где х' соответ-
соответствует точке у, а х" — точке z.
Рис. 12.20.
Рис. 12.21,
Перемены знака, о которой идет речь, вообще не может быть.
Рассмотрим двумерный открытый прямоугольник А (рис. 12.21).
Ориентированный от а до b отрезок [а, Ь] делит прямоугольник А на
два открытых прямоугольника А = Ai + Д2. При помощи операции А отре-
отрезок [а, 6] переходит • в ориентированный кусок непрерывной кривой *) а',
Ъ', разрезающий А' на две области Л и Q (рис. 12.22).
Таким образом, либо 1) Д2 = Л, либо 2) Л2 = Q. Но если допустить,
что верно 1), то это противоречит неравенству D(z) •< 0, в силу которого
точки Да, близкие к z, должны при помощи операции А перейти в точки,
находящиеся слева от ориентированной кривой а'Ь' по ее ходу, откуда бы
следовало 2).
*) Определяющие кусок кривой а'Ь' функции х1 = <р (xlt r2), г^ ¦=
¦= i|5(^i, х2) от х2 непрерывны вместе со своими первыми производными.
Последние могут одновременно в некоторых точках хг быть равными нулю,
но это не влияет на ход дальнейших рассуждений.
ее
ГЛ. 12. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Наоборот, 2) противоречит неравенству D(y) > 0, в силу которого точ-
ни Аг, близкие к г, переходят при преобразовании А в точки, находящиеся
справа по ходу кривой а'Ь'.
Этим наше утверждение в двумерном случае доказано.
В трехмерном случае Д есть трехмерный прямоугольник (прямоуголь-
(прямоугольный параллелепипед). Роль направленного отрезка [а, Ь] играет теперь
прямоугольная площадка о, вырезаемая из А
плоскостью х\ = а, а разрезает Д на две части
с открытыми ядрами Ai и Лг. Ориентируем о.
Этим каждый гладкий замкнутый контур Гс j
получит определенное направление обхода,
и в этом смысле а' будет тоже соответственно
ориентирована. Однако в точках о, где О(х) =
= 0, нормаль может и не существовать, и при-
принятое определение ориентированности полно-
полностью неприменимо к о . Пусть О (у) > 0, D{z) <
< 0, где у, z — внутренние точки А, лежащие
на о. На нормалях в точках у', г' <= а' к a' b.\j
выберем соответственно точки у", г" так, чтобы
векторы у'у", z'z" (без начальных точек) пол-
ностью принадлежали Л'. Эти последние вместо
с малыми, содержащими у', ж', ориентирован-
ориентированными площадками О' /, cz,czo' образуют штопоры. Штопор, выходящий
»э у', преобразованием А~1 переводится в одноименный (D(y) > 0),
а выходящий из z'— в разноименный' (D(z) < 0). Выходит, что Л, имеет
вблизи у и z точки, лежащие по разные стороны от о, что невоз-
невозможно.
А'
О'
р 19 22
и ' ' '
§ 12.22. Несобственный интеграл с особенностями
вдоль границы области. Замена переменных
Лемма 1. Пусть задана последовательность открытых множеств Q[,
г, из. ... Тогда Я =
есть открытое множество.
1
Действительно, если точка s'eQ, то найдется к. при котором х° s йь
Но Qh—открытое множество, и потому найдется шар V с центром в х°,
содержащийся в Q&, следовательно, п в Я.
Лемма 2. При условиях леммы 1, если еще Qt а Яг с Qa с:..., то,
каково бы ни было замкнутое ограниченное множество Fc Q, найдется
такое к, при котором F cz Q,),.
Действительно, если бы это было не так, то для любого k = 1, 2, ... на-
нашлась бы точка х&, принадлежащая F, но не принадлежащая Я*. Так как
F — ограниченное замкнутое множество, то из принадлежащей ему после-
последовательности {xft} можно выделить подпоследовательность [xh\< сходя-
сходящуюся в некоторой точке xQ
(xh-
Q
Но
F с й, следователь-
следовательно, xQ e Qk при некотором ка. Так как пн открыто, то найдется шар V
с центром в х°, принадлежащий Sfe'. Но шару V принадлежат точки а\
|»ри достаточно больших ;'. Возьмем одну из них с к) > к0 для нее хь. $з
eVcQj с Я^., и мы пришли к противоречию.
Лемма 3. При условиях леммы 2, если еще Я it Я* измеримы, то
lim 1Я, | = 1Я|. A)
В 12.22. НЕСОБСТВЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ. ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ GT
Доказательство. Очевидно, | Qft j < | fih, j < | Q | (к ^ к'). С дру-
другой стороны, для любого е >0 можно указать замкнутое измеримое мно-
множество F с Q такое, что \F\ > |Q| — е. В качестве F можно, например,
взять фигуру, состоящую из кубиков Д cr Q достаточно густой прямоуголь-
прямоугольной сетки. Согласно лемме 2 найдется кв, для которого FcQfe . Для него
| Q ] — е < | F | < I Q/( I < | Qfe | (fe ;> *0), и равенство A) доказано.
Определение. Если па области Q (не обязательно измеримой) за-
задана функция /(х), непрерывная, но неограниченная, то несобственным
интегралом от /(х) но Q назовем предел
lim f/(x)dx = f/dx,
j / (x) dx = j j
если он существует, где {Qj,} — проиввольная последовательность измери-
измеримых областей, обладающих следующим свойством:
Qk d Q, Qx с: Q2 с: .,,, Q = 2 Q,t- <:i>
Область Qt, имеют гладкие (кусочно гладкие границы).
Предел считается существующим, если он есть одно и то же число для
любой указанной последовательности {Q/,}. Конечно, для неотрицательной
на Q функции /(х), если предел B) существует для одной указанной по-
последовательности {Qk}, то он существует и для другой (Qh} и равен ему,
потому что, каково бы ни было А,-, найдется по лемме 2 такое / = ЦА), чта
Ой с Q'p и потому
откуда следует, что предел B) по последовательности {Qft} не превышает
такой предел по последовательности [Qlt}, но тогда и наоборот, потому что
рассуждения можно обратить.
Теорема. Пусть преобразование
х = ф(и, v),
_ ((«, i>)sQ)« D)
непрерывно дифференцируемое на замыкании Q измеримой области с яко-
якобианом
дщ дер
ди дм
D{u, v)= фО ((и, p).sD),
ди dv
отображает взаимно однозначно Q на Й':
и на Q' задана непрерывная, но неограниченная функция f{x, у) такая,
однако, что функция
F(u, v)[D(u, v)\ = /[(р(«, v), i|)(u, у)]|?>(и, у)|
равномерно непрерывна на О, г. е. может быть продолжена по непрерывно-
непрерывности на II.
€8 ГЛ. 12. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Тогда имеет место равенство
Г f / (х, у) dx dy=\\p (и, v) 1 D (и, v) | du dp, E)
Й' Q
гбе интеграл слева — несобственный в смысле введенного выше определен
пия.
Доказательство. Зададим произвольную последовательность обла-»
стей {Qh}, удовлетворяющих условиям C) (где надо всюду над Q поста-
поставить штрихи). Ей соответствует последовательность областей {Q»,}, которые
в силу свойств непрерывных в обе стороны отображений тоже удовлетворя-
удовлетворяют условиям C).
Имеем
(А=1, 2,...) F)
в силу основной теоремы о замене переменных (ведь / непрерывна на
1\), но (см. лемму 3)
(u, «О I D (и, v) | du dp - j I" F {и, v) | D (u, r) | du
dv
f [ /¦'(«. r) | Z> (it, !>)|rfudi>
M | Q — «fc | -+- 0 (/c -*- oo)
Af > | /'- (u, i-) В (ц, r)| ((u, r) s П),
м поэтому правая часть F) сходится к правой части (Г>). Но тогда и левая
часть F) сходится к тому же числу, независимо от выбора последователь-
последовательности {Qj,)i Теорема доказана.
Заметим, что в силу свойств отображения D) (с якобианом, не равным
нулю на Q!) гладкая (кусочно гладкая) граница Qft переходит в глад-
мую (кусочно гладкую) границу Q*, что обеспечивает измеримость Qk.
Примеры см. в § 12.23, в частности, пример 1.
§ 12.23. Площадь поверхности
Зададим в трехмерном пространстве R, где определена пря-
прямоугольная система координат (х, у, г); поверхность S, описывае-
описываемую уравнением
*~/(аг, у) ((*, y)^U). A)
Мы предполагаем, что G есть измеримая открытая область, а
функция / имеет непрерывные частные производные
Р ~ Ох ' J ву
па U (см. § 7.11).
Согласно определению, введенному в § 7.19, паша поверхность
есть гладкий кусок, проектируемый на плоскость z — 0.
§ 12.23. ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТИ С9
Произведем разбиение G- па конечное число измеримых
(в двумерном смысле) частей G — G, + G2 + ... + GN, пересекаю-
пересекающихся попарно разве что по своим границам. Пусть {xj, уз) —
произвольная точка Gs (j — i,...., N). Ей соответствует точка
Pj^Sc координатами (х},У), /,), где /,- = f(xh i/j). В точке Pi про-
проведем плоскость Lh касательную к S.
Обозначим через es кусок Lj {ej с: Lj), проекцией которого на
плоскость z = О служит множество Gi. Площадь е3 обозначим че-
через le.,1.
По определению площадью поверхности S называется предел
|5|= ню 2ki|.
Косинус острого угла нормали щ к S в точке Р^ с осью z (см.
§7.5, A3)) равен cos(mj, z) = l/ Vl + pf -j- $|, где квадратный
корень взят со знаком «+», a pJ? gj обозначают результаты под-
подстановки в р, q значений х» у,. Мера Gj равна IG,I~= lejl cos (ns, z),
N
3=1
f f .
. B)-
Мы получили формулу площади поверхности, заданной в явном
виде A).
Покажем, как преобразуется интеграл B), если сделать в нем
подстановку _
х — ц>(и, v), у = \Sp(u, v) ((u, rfeQ), C)
приводящую во взаимно однозначное соответствие измеримые об-
области Q и G в предположении, что ср и л|? непрерывно дифферен-
дифференцируемы на Q и якобиан
Положим z = /(ф, i{>) = x^wt у)- На основании теоремы-о заме-
замене переменных в кратном интеграле получим равенство (см.
§ 7.26, D))
;
; {
70 ГЛ. 12. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
из которого следует, что площадь поверхности S выражается фор-
формулой
du dv „
uXrB|rfH&/. E)
Отметим равенсттю
где
^, fl.r Д.г fli/ (hi , г5з г)г
(>u Ov du dv du dv
Формула E) может служить основанием для определения по-
понятия площади поверхности, заданной параметрически, не обя-
обязательно проектирующейся в целом на одну из плоскостей ко-
координат.
Пусть задана гладкая поверхность 5:
г = ф(ц, y)i + ij:(«, v)j + %(и, v)k
(|ruXr,,l >0, (и, v) efi **S), (G)
где Q — измеримая область плоскости параметров (и, v), а ф, ¦>];, %
имеют непрерывные частные производные на Q. Знак Q ^ S ука^
зывает на тот факт, что равенство F) устанавливает взаимно од-
однозначное соответствие между точками Q и S.
Так как Q — измеримое множество, то оно ограничено и по-
потому имеет не пустую границу -у. Она отображается при помощи
равенства F) на край Г = S — S нашей поверхности. Мы не тре-
требуем, чтобы отображение *у па Г было взаимно однозначным. Име-
Имеется много важных примеров, когда этого нет (см. примори
ниже).
По определению назовем площадью S (или S) величину
rBXrr|dUdi». G)
Перечислим ряд свойств интеграла G), показывающих естест-
естественность введенного определения.
§ 12.23. ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТИ 71
1) Величина ISI инвариантна относительно допустимых пре-
преобразований параметров, т. е., если
и = Ш\ v'), v = ц(и', v') ((u\ v') sQ'* Q),
где X, \x непрерывно дифференцируемы на Q' и
2) Пусть поверхность 5 проектируется на плоскость z = 0.
Точнее, пусть равенства
у), у = if(it, у) (Q^Gs^j)) (8)
устанавливают взаимно однозначное соответствие между изме-
измеримыми областями Q и G с якобианом
D(x, ;,
О (и, v)
=5*0. (9)
Тогда для функция z =/(х, у)'=%Ы(х, у), у (ж, у)) ((ж, y)&G),
тде и(ж, у), f(а;, гу) — решения уравнений (8), в случае, если она
имеет не только непрерывные (как это следует из теоремы о не-
неявных функциях), но и равномерно непрерывные на G производ-
df df
иые р = —х—, д = —х—, имеет место" равенство
\S\ = [ f |ruXrV|dudw= \ \ Vi + P'+q'dxdy, A0)
Оно уже было доказано выше (си. E)).
Таким образом, новое определение площади поверхности сов-
совпадает с исходным определением, если имеет место ситуация, воз-
возможная для последнего.
Заметим, что если бы свойство равномерной непрерывности р
и q на G не соблюдалось, а р и q были ¦ только непрерывными
и ограниченными на G, то все равно выполнялось бы равенство
A0), потому что все условия для замены переменных в интеграле
и в этом случае соблюдаются.
Больше того, если р и q непрерывны, но неограничены на G
(в то время как функции ср, ф, имеют непрерывные частные про-
72 ГЛ. 12. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
изводные па Я), то все равно равенство A0). остается верным, ес-
если понимать интеграл в его правой части в несобственном смыс-
смысле (см. § 12.22).
3) Если со есть произвольное открытое измеримое множество, содержа-
содержащееся в fi((ocfi), то соответствующая часть S(i») нашей гладкой поверх-
поверхности, определенная равенством
г (и, v) =q>i + i|>j + xk ((и, у) е=ш**6'(&>)), A1)
-есть в свою очередь гладкая поверхность, площадь которой равна
|uX iv\dudv. A2)
0)
Но интеграл справа в A2) имеет также смысл для произвольного из-
измеримого подмножества ас(!. Естественно считать, что ого величина есть
площадь части ?(со) гладкой поверхности S, описываемой вектор-функцией
(И).
Очевидно, что _
и, в частности, _
\5\ = |S(n)| = |5(Й)| = |5|. A3)
Итак, па поверхности (множестве) S можно различать некоторые ее ча-
части 5(ш), которые соответствуют при помощи равенства A1) всевозмож-
всевозможным измеримым подмножеством ш ей. Каждой такой части можно припи-
приписать неотрицательной число |S(m)|, площадь 5(ш), определяемую иитегра-
лом A2). Эта зависимость (числа от подмножества) 6"(о>) к.тому же обла-
обладает аддитивным свойством:
|S(wj + o>2)| = |S(o»i)! -f |S(o>2)|-,
если Mi и «г пересекаются разве что по своим границам.
Величина |?(«>)-| является конкретным примером важного в матема-
математике понятия аддитивной функции множества. С одним таким примером —
мерой (измеримого) множества — мы оперируем давно.
Выражение dS — |ru X г, \du dv называется дифференциальным
элементом поверхности S. Площадь части S, соответствующей из-
изменению и от и до и + du и v от v до v + dv, равна
и+(/и v+dv
If • • . .
J |r« X rv\dudv = |ru X rv\u=..ldudv=^
и v 'C=T1
• *
= A Гм X г„ I -)- e) du dv — dS + о (du dv) (du, dv-*-Q).
Во втором равенстве этой цепи применена теорема о среднем,
в третьем в выражении lruXrJ заменепа точка (?, я) на (и, v)
за счет прибавления слагаемого е, которое в силу непрерывности
функции |г„ X г„| стремится к нулю при du, dv -у 0.
Таким"образом, dS можно определить как (единственную!) ве-
величину вида A du dv, где А не зависит от du и dv, отличающую-
отличающуюся от Д5 на o(dudv) (du, dv-^-O).
I 12.23. ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТИ 73.
Пример 1. Площадь шаровой поверхности. Уравнения
х = cos 9 cos ф, у = cos 0 sin ср, г = sin 0 (|ге X гф] ~ cos 0),
Q = {о < ф < 2я, —я/2 < 6 < я/2} A4)
определяют гладкую поверхность S — часть шара радиуса 1 с центром в ну-
нулевой точке, из которого выброшен меридиан ср = 0, 191 ^ я/2. Условия
F) здесь выполняются. В частности, имеет место взаимно однозначное со-
соответствие Я <* S. Одпако уравнения A4) пе устанавливают взаимно одно-
япачного соответствия между f = Q — Q и Г = 5 — S. Край Г поверхности
S есть указанный выше меридиан. Каждому из его концов в силу равенств
A4) соответствует бесконечное множество точек 1, заполняющих противо-
противоположные стороны Q, а каждой прочей точке Г соответствует нард точек •*,
лежащих на других противоположных сторонах f.
Поверхность единичного шара есть замыкание 3 поверхности S, опи-
описанной параметрически уравнениями A4). На основании формулы G)
Я'2
| J| = 1 s | = J f | cos 61 dQ dy = 2n-2 j cos 6 <ZG = in.
а и
Заметим, что площадь поверхности нашего единичного шара 3 можно
рассматривать как сумму площадей восьми конгруэнтных кусков, выреза-
вырезаемых из 5 координатными плоскостями. Один из них с, находящийся в поло-
иштельном октанте, описывается непрерывной функцией z = +У1 — ж2 — г/2
(я, у ^ 0, ж2 + у2 sg 1) с неограниченными частными производными'
— х2 - у\
р = —х/]'1 — х*-у\ q = —j//yi — х2 - у
Мы уже отмечали, что в этом случае можно вычислять площадь а по
формуле B) площади поверхности в декартовых координатах, понимая, од-
одпако, интеграл в несобственном смысле (см. конец § 13.13, замечание 1):
(f Vi + P* + gzdxd<j = \im Г Г
22 22
dx
х > 0, j, > 0.
Формулу для элемента площади сферической поверхности радиуса R
можно усмотреть из геометрических соображений. Сеть близких друг к дру-
другу меридианов и параллелей разрезает нашу шаровую поверхность S на
элементарные частицы. Площадь \S такой частицы, близкой к точке Л =
= (R, 6, ф) .F>0), может быть, очевидно, оценена следующим образом:
R cos F + dQ)dyR dd < Д5 < R cos G АрД d9.
Отсюда @ <
AS = R2 cos 9' d(f dQ •= Я2 cos 6 d<p d0 + d<po (dd) (dQ -* 0).
Пример 2. Площадь поверхности тора
х = (b + a cos 0) cos ф, у = a sin 0 @ < a < b),
z= (Ь + ecosG) втф (| Гц X''о | = e(b + «eos9) > 0). A5)
Чтобы воспользоваться приведенными выше_рассуждениями, придется эту
поверхность рассматривать как замыкание Т гладкой поверхности Т, опи-
описываемой уравнениями A5), где @, ф) пробегает область Q— {О<0,
у < 2я}.
7.4 - ГЛ. 12. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
В этом случае соотношения F) и сопровождающие их условия лепре*
рывной дифференцируомости будут выполняться, если считать Т = S, по-
поэтому
| г | = | Г | = Г dcp а (Ь -|- a cos 0) dO -= 2 ля Bл6 -J- 0) == 4л2я6. .
о о
Пример 3. Рассмотрим круговой цилиндр радиуса R и высоты //. Его
боковую поверхность обозначим через а, а ос площадь через |о|. Разре-
Разрежем о равностоящими плоскостями, перпендикулярными оси цилиндра так,
чтобы соседние плоскости находились на расстоянии, равном TI/N3. Эти пло-
плоскости пересекают о по окружностям 6'0, Clt ..., С а, которые мы перену-
перенумеровали по порядку снизу вверх по направлению оси. Окружность Со раз-
разделим равноотстоящими точками на 2N равных частей. Эти toiiui мы тоже
перенумеруем в порядке их следования по Со, кроме того, через каждую и:»
них проведем образующую нашей цилиндрической поверхности с, которая
пересечет окружности Ch в некоторых точках. Полученные точки на Ск
мы тоже занумеруем, руководствуясь правилом, что точки всех С*, лежащий
на одной и той же образующей, имеют один и тот же номер. Теперь на ок-
окружностях Ch с четными к оставим только точки с четными номерами, а па
окружностях Ch с нечетными к — только точки с нечетными номерами.
В результате на поверхности а нанесено некоторое конечное число точек.
Каждые три соседние такие точки являются вершинами некоторого тре-
треугольника Д, а вся совокупность последних образует некоторую многогран-
многогранную поверхность о>, вписанную в о. Чтобы не было недоразумений, отме-
отметим, что две из любых трех точек суть соседние точки, лежащие на Ch, a
третья лежит на Са +i или Ck-\ и образующая, к которой она принадлежит,
находится между (в меньшем центральном углу) образующими, к которым
принадлежат первые две точки.
Число треугольников Д, очевидно, равно 2N • N3 = 2/V4, площадь жо
каждого Д равна
Д | « i-2sin % R yiC' (l - cos-)' + (¦$¦)'- 1 ЛЯ i{l?)*> eN"
{N-+oo, e>0).
Но тогда
\aN\> ctN<N-3 = CiN,
несмотря на то что при N-*¦ °° диаметр Д стремится к нулю.
Мы видим, что площадь поверхности нельзя определять как предел
площади вписанной в нее многогранной поверхности со стремящимся к пу-
пулю максимальным диаметром ее грани. Такое определение неэффективно
даже для очень простых, поверхностей.
Глава 13
ТЕОРИЯ ПОЛЯ. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ
И ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПО ПАРАМЕТРУ.
НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
§ 13.1. Криволинейный интеграл первого рода
Пусть в трехмерном пространстве Е, где определена прямо-
прямоугольная система координат (х, у, z), задана непрерывная кусочно
гладкая кривая Г
@<s<A), A)
где параметром служит длина дуги s. Таким образом, функции
<р, •$, х непрерывны на [О, Л] и отрезок [О, Л] можно разбить на
конечное число частей 0 = sa < s{ < ... < sN •= Л так, что на каж-
каждом (замкнутом) частичном отрезке [sh sj+l\ функции ф, ф, %
имеют непрерывные производные, удовлетворяющие условию
ф'(«J + if>'(sJ + %'isJ = 1, B)
считая, что в концевых точках s3, s1+i они понимаются соответ-
соответственно как правая и левая производные. Кривая Г соответствен-
соответственно делится па конечное число гладких кусков Г=2.^. Пусть
1
еще на Г или на некотором множестве, содержащем Г, задана
функция Fix, у, z), непрерывная на каждом гладком куске Т},
у. е. функция F((p(s), i{)(s), %Ы), если имеет разрывы, то только
в точках &j и притом первого рода.
По определению, выражение
J F (х, y,z)ds=)F (Ф (s), ф (s), х (*)) ds C)
г о
называется криволинейным интегралом первого рода от функции
F вдоль кривой Г (или по Г).
Левая часть C) есть обозначение криволинейного интеграла
первого рода, а правая показывает, как его надо вычислять — это
обычный риманов интеграл. Например, если кривая Г обладает
массой с плотностью распределения, равной Fix, у, z) в точках
{х, }, z) s Г, то общая масса кривой вычисляется посредством ин-
интеграла C).
Пусть гладкая кривая Г задана через произвольный параметр
76 ГЛ. 13. ТЕОРИЯ ПОЛЯ
где, таким образом, q>i, i)),, Xi ~ непрерывно дифференцируемые
функции, удовлетворяющие условию фх + % 4~ Xi >0 на [а, Ь].
Параметр t выражается через длину дуги s кривой Г при помо-
помощи некоторой функции t — X(s), О^в^Л, имеющей не равную
нулю непрерывную производную. Следовательно,
д
J F {х, у, z) ds = ) F (ф (.?), я|) (s), % (s)) ds «
Г (')
i)
- j" F (фх (О, Ф, @, Xi @) /ф! @а -т- Ч1! (О* -I- xi (*У dt,
ш
Кривую Г можно также задать уравнениями а: —ф(Л —s),
у = 1|)(Л — s), z — %(A — s) (O^s^'A)-, но величина интеграла C)
от этого не меняется:
л о
\ F (ф (А — s), г() (Л — к), % (Л — s)) ds = —} F((q(s'), t|i(.v'), x(s'))dn' =
'о л
Л
Таким образом, криволинейный интеграл первого рода но Г
не зависит от ориентации Г.
§ 13.2. Криволинейный интеграл второго рода
Пусть в пространстве Е, где определена прямоугольная систе-
система координат (х, у, z), задана ориентированная непрерывная ку-
кусочно гладкая кривая Г с начальной точкой Ао и конечной А,.
Если кривая замкнута, то /1, совпадает с А„. Пусть
ar = q>(s), t/ = *|>(s), z^%is) (Q^s^A) A)
— уравнения Г, где s — длина дуги Г (см. § 10.3). При этом
значению s = 0 соответствует точка А„, а значению s = Л — точка
At и возрастанию s соответствует ориентация Г.
В каждой внутренней (не угловой) точке А любого гладкого
куска Г тогда однозначно определен единичный вектор т, каса-
касательный к Г (в направлении возрастания s).
Пусть, кроме того, на Г или на некотором открытом множество
Q, содержащем Г, задано поле непрерывного вектора (или задан
вектор)
а = Р(х, у, z)i + Q(x, у, z)j + R(x, у, z)k,
где, таким образом, P,Q, Н — непрерывные функции па Г (или Ш,
§ 13.2. КРИВОЛИНЕЙНЫЙ ИНТЕГРАЛ ВТОРОГО РОДА 77
По определению криволинейным интегралом от вектора а
едолъ ориентированной кривой Г называется величина
J (a ds) *=\{Pdx + Qdy + R dz) = f (ax) ds = j" (at) ds, B)
Первый и второй члены в B) — это обозначения криволинейного
интеграла от а по Г, а третий и четвертый являются его опреде-
определением и указывают, как его вычислить. Функция (ат), вообще
говоря, кусочно непрерывна с разрывами первого рода в угловых:
точках Г. Третий член есть интеграл первого рода от нее по Г.
Мы считаем ds = т ds, где, таким образом, ds есть вектор, имею-
имеющий длину ds и направление т. Это объясняет обозначение кри-
криволинейного интеграла, выражаемое первым членом в B).
Если Г_ — та же кривая, но с противоположной ориентацией,
то единичный вектор ее касательной равен —т, поэтому J (a ds) =
г-
*= — J (a ds). Так как cos (т, х) = q>' (s), cos (т, у) = ф' (.?),
г
cos (т, г) — х' (s), то криволинейный интеграл B) может быть
еаписан в виде
] (a ds) =¦ ] {Р cos (т, х) -f Q cos (т, у) -f- R cos (т, г)} ds =»
г
[Р (ф (s), г|з (s), х (•?)) Ф' (s) -I- <? (Ф (s), г}; (s), x (s)) -ф' (s) +
о
где правая часть представляет собой обычный определенный ин-
интеграл.
Ориентированную гладкую кривую Г можно задать при помо-
помощи некоторого параметра t посредством уравнений
где t — X(s) — функция, имеющая на [О, Л] непрерывную произ-
производную k'(s)>0. Тогда интеграл. B) будет вычисляться по фор-
формуле
f (a ds) = J [Р (ф1 (О, Ч>! (*), Xi @) Ф1W +
Т 'о
+ Q (Ф1 (9,,Ч>1 @, Xi @) *i@ + R (Ф1 @. *i @. Xi @) xi (*)] *. E)
78 ГЛ. 13. ТЕОРИЯ ПОЛЯ
Мы произвели замену переменной s на t в определенном ин-
интеграле, стоящем справа в C). В силу этой замены, например,
Второе выражение в B) считается удобным обозначением кри-
нелинейного интеграла от а по ориентированной кривой Г. Его
еще называют криволинейным интегралом второго рода. Оно пе
только обозначает этот интеграл, но и указывает, что надо сде-
сделать, чтобы его вычислить. Нужно кривую Г записать в виде
уравнений D) с параметром t, возрастающим соответ-
соответственно ориентации Г, положить в указанном выражении
х = фх B), ..., dx = ф1 (t) dt, ... и вычислить оиределешшй инте-
интеграл от полученной функции от t по отрезку [t0, To].
Ориентированную кривую Г можно рассматривать как сумму
двух ориентированных кривых Г], Г2, соответствующих изменению
параметра s па отрезках [0, s$], [«.,., A] @<s*<A). Тогда, оче-
очевидно
\(Pdx + Qdy + R dz) =
г
= J (P dx + Q dy -I- Ii dz) -|- j (P dx + Q dy -f R dz),
Если ориентированный контур Г замкнут, то взятый вдоль
него криволинейный интеграл от а называют еще циркуляцией
вектора а по Г.
Бывает так, что имеется несколько ориентированных кривых
С,, ..., Ст, вовсе не связанных друг с другом, и удобно обозна-
обозначить через С — Ci + ... + Ст их объединение — тоже ориентирован-
ориентированную кривую. Тогда по определению считают, что криволинейный
мнтеграл от а по С равен сумме криволинейных интегралов от о
«о Ch:
Формула E) верна ire только для гладкой, но и для кусочно
гладкой непрерывной кривой D). Ведь тогда Г есть конечпая
сумма гладких ориентированных кусков Г,-, соответствующих от-
отрезкам [Sj, s1+i] или Uh tj+i\ изменения дуги s или параметра t.
Поэтому
* Т
N *3+1 ТО
1
где под интегралом справа подразумевается такое же выражение,
как под интегралом справа в E).
§ 13.3 ПОЛЕ ПОТЕНЦИАЛА 79
Наконец, заметим, что если а есть поле некоторой силы, то
интеграл (криволинейный) от а по Г есть, очевидно, работа а
вдоль ориентированного пути Г.
§ 13.3. Поле потенциала
Очень важным случаем поля вектора а является тот, когда иа
области G, где задано поле, существует функция Uix, у, z), име-
имеющая непрерывные частные производные, для которых выполпя-
ются равенства
дх ' ду х dz v '
Такую функцию U называют потенциальной функцией вектора а.
Говорят еще (см. § 7.-6), что вектор а есть градиент функции [/,
и пишут
grad U — -г- > + -т- j + -г- к = а.
ь дх ду * ' dz
Докажем теорему.
Теорема 1. Пусть на области GcE задано поле вектора а,
непрерывного на G, Следующие утверждения эквивалентны:
1 Существует на G однозначная функция V == Щх, у, z), име-
имеющая непрерывные частные производные, для которой на G вы-
выполняется равенство grad U = а.
2) Интеграл от а по любому замкнутому непрерывному кусоч-
кусочно гладкому контуру С, принадлежащему к G, равен нулю',
j (a rfs) = 0.
с
3) Если А а — определенная фиксированная точка G, то инте-
интеграл Г (a tls) no любой ориентированной кусочно гладкой кри-
кривой Саоа с G с началом в Аа и с концом в А зависит от Аа и А,
по не зависит от ее формы. Таким образом, при фиксированной
точке Ло
(п /7qS — Т/ 1 А\ — Т' ('v* it f\
Функция V(x, у, г) есть потенциальная функция вектора а на
G (однозначная). Она отличается от V на константу.
Доказательство. Из утверждения 1) следует 3). В самом
деле, пусть иа G существует функция V, потенциальная для и.
Зададим на G определенную точку А„ — (х0, у о, г0) и" перемен-
переменную точку А = {х, у, г). Соединил! 4, с 4 непрерывной кусочно
80 ГЛ. 13. ТЕОРИЯ ПОЛЯ
гладкой кривой С — Саол, определенной уравнениями
у =
Таким образом, значениям 4 и f параметра т соответствуют
точки А о и А.
Если подставить в U вместо х, у, ъ соответственно функции ф,
¦ф, %, то U будет непрерывной кусочно гладкой функцией от т.
На основании теоремы о производной сложной функции в точках
гладкости С (где С имеет касательную)
dx ~~ Ox dx ' ду dx *" 0z dx '
Отсюда следует, что
с
(Pdx + Qdy + Edz) = j^ dx =
с ч
- U (Ф (t), ф @, X @) ~ ^ (Ф (fo), * (*o), X («o» =*
= f/ (x, y,z)-U (x0, y0, z0) = U(A)-U (Ao) = F D),
т. е. криволинейный интеграл при фиксированной точке А„ зави-
зависит только от положения точки A eG, но не от пути, по которому
она достигается из точки Ао.
Наоборот, из 3) следует 1). В самом деле, зададим фиксиро-
фиксированную точку Ao^G. Пусть известно, что. данное поле вектора а
таково, что криволинейный интеграл по любой кусочно гладкой
кривой, соединяющей Ао с произвольной точкой А <= G, не зави-
зависит от этой кривой, а зависит только от точки А.. Таким образом,
существует функция V(A) такая, что
j {Pdx + Qdy + Rdz) = V(A) = V (x, у, z).
Caoa
Чтобы доказать, что—^ — Р в точке А = (х, г/, z), принадле-
принадлежащей G, будем рассуждать следующим образом. В пределах об-
области G проведем отрезок АгАи параллельный оси х, где Аг =
— (х2, у, z), Ai = (х, у. z), x^^x^Xi. Соединим Ао с Аг =
= ^2, Уь z,) произвольной непрерывной, кусочно гладкой, ориен-
ориентированной в направлении от А„ к Аг кривой С4 и обозначим
через С отрезок А,гА, ориентированный от Аг к А е A2At. Тогда
С = Ct + C (рис. 13.1) и
V (х, У1, zk) =-- f (Pdx + Qdy + Bdz) + f P dx, A)
cx 'c
так как очевидно, что j Q dy = \ R dz — 0.
§43.3. ПОЛЕ ПОТЕНЦИАЛА
81
Кривая Сг в дальнейшем рассуждении не будет изменяться,
и потому первый интеграл в правой части A) можно считать кон-
константой, которую мы обозначим через К. Таким образом,
И,
§P{t,y,z)dt.
Функция Р непрерывна, в частности,
av -
непрерывна по х, поэтому -^ =
~Р(х, у, z) и мы доказали нужное ра-
равенство. Аналогично доказываются ра-
равенства
Рис. 13.1.
строя специальные, соединяющие точки Ао и Аи кривые, закавы-
закавычивающиеся при подходе к At отрезками, в первом случае парал-
параллельными оси у, и во втором — оси г.. Мы доказали 1) при U = V.
Эквивалентность 2) и 3) тривиальна. В самом деле, пусть
имеет место 2) и С = CAqA, С" — СЛоА —два принадлежащих к
G пути, соединяющих точки А„ и А. Тогда С + С_ —замкнутый
контур и
с_
С"
т. е. выполняется 3). Наоборот, если имеет место 3) и С с G —
замкнутьга контур, то, представив его в виде суммы С = С + С"
каких-либо контуров, получим
с_
так как С" и С- соединяют одну и ту же пару точек.
Если определенный на открытом множестве G вектор
является не только непрерывным, но и имеет непрерывные част-
частные производные, то имеет смысл вектор
9R 0Q\. . ( дР дЯ\ . , ( dQ дР\.
ду dz I ' \ dz дх j * \ дх ду )
называемый ротором вектора а.
Если для вектора а выполняется одно из утверждений 2) или
3) предыдущей теоремы, то на основании этой теоремы на G
?2 ГЛ. 13. ТЕОРИЯ ПОЛЯ
можно определить однозначную (потенциальную) функцию
U{x, у, z), имеющую непрерывные частные производные, таи что
ди _ р ди _ п аи - и
!ы~^> ~ду~ ~ V) ~Л ш
В таком случае, если функции Р, Q, R имеют па G непрерыв-
непрерывные частные производные, "То U имеет непрерывные частные про-
производные второго порядка и имеют место равенства
Л2. _ J1L — Л-Е. — ?lL - О
i)x (h/ дх 0у Оу Их '
_ «
r)R OQ _ в'-U
О у t>z i)y <)z дг дц
вр ва = а*(т о2с ^
dz Ox i)z dx Ox Oz
Мы пришли к следующей теореме.
Теорема 2.Если поле вектора а, имеющего на открытом
множестве G непрерывные частные производные, обладает тем
свойством, что для любого ориентированного кусочно гладкого
замкнутого контура С <= G
f (a da) = 0, B)
с
то
rot а = 0 ип G. (?>}
Обратная теорема для произвольного, пусть даже спя.чного,
множества G, не верна. Но она верна во всяком случае, если G =
= {а4 =? х ^ bt, а2 ^ у ^ Ьг, а3 <'z s? W есть прямоугольный парал-
параллелепипед). В этом случае для определенного на G непрерывно
дифференцируемого вектора а, имеющего rot a = 0, эффективно
строится его потенциал по формуле
U (х, у, г) -= J /' (г;., уц, г0) du + J Q (.г, г?, г0) dy +
2
+ J /?(.r, i/,i;)rfi;-f f/r(xo, Уо, г«) (A,у,г)еС), D)
где (.Го, ?/.,, z0) e С — произвольная фиксированная точка и
Uixu, у„, ли) — произвольная константа. В самом деле (пояспения
шике),
аи п. . , f on ' . . , , f дП
— = Р (.т, г/0, г0) -1- —- (л, r, ?0) ofy -•- ¦— (х, у, ш) dw =
§ 13.3. ПОЛЕ ПОТЕНЦИАЛА gj
= Р (*, у0, Ч) -Ь J -^ (#» у. г0) йу + j -^ (х, у, u;) dw =*
vo zo
= Р (х, у0, Zo) + [Р (х, У, Zo) — Р (Ж, у0, 20)] +
+ [Р (х, у, г) - Р (х, у, го)] = Р (х, у, г)„
где мы применили формулу Ньютопа — Лейбница, свойство C),
и, кроме того, дифференцирование под знаком интеграла. То, что
последнее в данном случае законно, будет обосновапо позже
(в § 13.12). Аналогично доказывается, что-^— = Q, -д— = R. Та-
Таким образом, grad U = а и, следовательно, выполняются равенства
B) для любого ориентированного (замкнутого) контура C<=G.
Заметим, что правая часть D) без последнего члена представ-
представляет собой криволинейный интеграл от вектора вдоль трехзвенной
ломаной.
Но имеет место более общая
Теорема 3. Пусть область G односвязна, т. е. такова, что
любой принадлежащий ей kijcohho гладкий контур можно стянуть
в точку Р" cz G так,, что в процессе стягивания*) он будет нахо-
находиться в G. Тогда из того, что определенный на G непрерывно
дифференцируемый вектор а имеет rot а = 0, следует выполнение
равенства B) для любого ориентированного замкнутого контура
Доказательство ниже. Таким образом, из теоремы 3 следует
существование определенной на G однозначной функции, по-
потенциальной для вектора а на G.
Область, находящаяся между двумя концентрическими шаро-
яыми поверхностями, удовлетворяет условию теоремы, между тем
как область, представляющая собой все пространство без оси z,
не удовлетворяет этому условию, и в этом последнем случае
можно указать пример (см. ниже) поля вектора, для которого
теорема 3 не верна.
В дальнейшем будут доказаны теоремы Грина и Стокса. При-
мепение их приводит к неполному доказательству теоремы 3 и уж
во всяком случае может служить неплохим наводящим соображе-
соображением справедливости этой теоремы (см. замечание в конце
§ 13.11).
Все понятия и теоремы, о которых была речь выше, легко
переносятся на плоский случай. В плоскости Е рассматриваются
произвольные кусочно гладкие ориентированные кривые
х = ф), у = ф) (a^t^b; а< Ъ),
*) Математическое описание понятия «стягивание в одну точку» дается
в конце этого параграфа мелким шрифтом.
Si ГЛ. 13. ТЕОРИЯ ПОЛЯ
принадлежащие заданной области G. Ha G задается попе непре-
непрерывного вектора а = Р{х, y)i + Q{x, y)\.
Криволинейный интеграл от а по кривой С определяется в
точности так же, как в трехмерном случае. Его можно рассматри-
рассматривать как частный случай § 13.2, C), полагая
Д^О, Р^Р{х,у) и Q = Q(x,y).
Таким образом,
ъ
- J {Р [ф @. Ч> @1 ч>' @ + Q [ф @. Ч> @1 *' @)dt.
а
Теперь уже потенциальная функция U вектора а, если она суще-
существует на G, есть однозначная определенная на G функция U •=*
«= U(x, у) от двух переменных. Ее градиент
, тт аи . . аи .
gracl и = — 1 -4- -г~ ] == а.
6 Ох Оу
Пример 1. Вектор а с компонентами
имеет непрерывные частные производные на области G, представляющей
собой плоскость с выкинутой нулевой точкой. Легко проверить, кроме того,
что rot а = 0 на G. Область G не удовлетворяет условию теоремы 3, и сама
теорема в данном случав неверна.
В самом деле, введем область G*, полученную из плоскости (х, у) вы-
выкидыванием из нее отрицательного луча х < 0 оси х. На G* согласно тео-
теореме 3 существует функция U с grad V = а. Ее можно определить в пере-
переменной точке (х, у), например, как криволинейный интеграл от а по лю-
любому пути С cz G*, соединяющему фиксированную точку, пусть A,0) с (х, у);
— ;/ dx -|- .г dij
U (х, у) =
х* + У"
Однако эта функция не может быть продолжена с G* на всю плоскость
к, чтобы она была там однозначной иГпёпрерывной.
В самом деле, значение U(x, у) в произвольной точке (cos 0, sin в) е
G* окружности радиуса 1 с центром в нулевой точке равно
U (cos 9, sin 9) = С d9 = 9.
Чтобы прийти в точку (—1, 0) (лежащую на выкинутом луче), мы мо-
можем двигаться по нашей окружности, увеличивая 9 (До л или уменьшая (?
до —п. В первом случае предельное значение V будет равно т%, а во вто-
втором —я, т. е. функция U не может быть продолжена" нужным образом на
всю плоскость.
Так как произвольная потенциальная для ц на G функция должна от*
личаться от рассмотренной функции U(х, у) на постоянную, то доказано,
5 13.3. ПОЛЕ ПОТЕНЦИАЛА
что вообще пе существует определенпой на G однозначной функции, кото-
которая была бы потенциальной для вектора а (всюду на G).
Мы сознательно провели сравнительно длинное рассуждение, чтобы
обосновать это утверждение. Его можно заменить следующим, более крат-
кратким. Существуют замкнутые, принадлежащие к G гладкие контуры такие,
что интегралы от нашего вектора а по ним не равны нулю. Например, та-
таким контуром является окружность радиуса 1 с центром в нулевой точке—
•in
для нее j (ads) = \ dQ = 2л. Но тогда на G не может.быть определена
с о
однозначная функция V, потенциальная для а (всюду на G!), потому что
существование такой функции противоречило бы теореме 1.
Доказательство теоремы. 3. Оно основано на том, что она
верна, если G есть куб.
Зададим произвольный замкнутый кусочно гладкий контур Г с: G:
ф(О)=ерA), 4.@) =
"). О < и <
Х@)=хA)«
Здесь параметр и пробегает отрезок [0, 1] что, очевидно, не уменьшает общ-
общности. Тот факт, что контур Г указанным в теореме 3 образом стягивается
в точку, описывается так: существует поверхность S czG, описываемая
функциями
Ф@,о =
t, t),
E)
непрерывными на треугольнике Д и кусочно гладкими ло. и на [0, t] и
такими, что
t,
Так как S ограничена и замкнута, G открыто hScG, to найдется чис-
число d > 0 такое, что, какова бы ни была точка А е S, любой покрывающий
ее куб с ребром длины d припадлежит G.
Будем обозначать через а кубы, принадлежащие G.
Будем говорит, что множество е' cz S есть образ множества е с: Д,
если е' есть совокупность точек, полученных
как отображения точек е при помощи трех
функций E).
Рассечем Д прямоугольной сетки
(рис. 13.2), настолько густой, чтобы образы
полученных частиц помещались в кубах а с
ребром d.
Образ нижнего треугольника AiB,0 при-
принадлежит некотерому а. Так как образы то-
точек А\ и В\ совпадают, т. е. есть одна точка
S. то образ отрезка AtB\ есть замкнутая ку-
кусочно гладкая кривая САВ принадлежа-
принадлежащая кубу о. поэтому
(a rfs) - 0. F)
Рис. 13.2.
0
%
7
и
Ориентируем согласованно все частицы (их две) между А1В1 и А2В2 (см.
рис, 13.2). Интеграл по образу этого сложного контура равен сумме интег-
?6 ГЛ. 13. ТЕОРИЯ ПОЛЯ
ралов ео образам границ отдельных указанных частиц, каждый из которых
равен нулю. Но интегралы по отрезкам, по которым соседние частицы гра-
граничат, компенсируют друг друга, кроме того, имеет место F) и равенство
J - I
Сд^, св1в.л
потому что образы А\Аъ и В\В% совпадают.
Поэтому I = 0. Рассуждая аналогично, по индукции мы получим,
=0
...,ЛГ),
и так как СА^В = Г, то I (a ds) = 0, что и требовалось
доказать.
§ 13.4. Ориентация плоской области
В плоскости можно задать две прямоугольные системы коорди-
координат, изображенные на рис. 13.3 и 13.4.
Они существенно отличны друг от друга в том смысле, что
невозможно, передвигая обе геометрические системы в плоскости
как твердые тела, совместить их так, чтобы одновременно совпали
положительные направления их осей х и положительпые направ-
направления их осей у.
х
Рис. 13.3.
Рис. 13.4.
Зададим в обеих системах кооординат круги с центром в точ-
точках 0. На окружностях кругов зададим положительные направле-
направления обхода так, что, двигаясь по ним, проходится кратчайшее
расстояние от положительного направления оси х до положитель-
положительного направления оси у (четверть окружности, а не три четверти).
В случае системы, изображенной на рис. 13.3, для этого придется
g 13.5. ФОРМУЛА ГРИНА 87
бзять направление обхода круга против часовой стрелки, а в слу-
случае рис. 13.4 — по часовой стрелке.
В первом случае, двигаясь по окружности в положительном
направлении, мы оставляем внутренние точки обходимого круга
слева, а во втором случае — справа. Это обстоятельство дает осно-
основание для дальнейших обобщений.
Пусть задана область Q с кусочно гладкой границей С, которая
может состоять из конечного числа замкнутых, самонепересека-
самонепересекающихся контуров, так что Q находится внутри одного из пих и
вне остальных. Зададим на С направление обхода так, чтобы при
движении по С в этом направлении область оставалась слева (см.
рис. 13.3). Такое направление обхода в случае первой системы
называется положительным, а противоположное — отрицательным.
Если область Q задана во второй системе, положительное направ-
направление соответствует такому обходу, что при этом область остает-
остается справа (см. рис. 13.4).
§ 13.5. Формула Грина*). Выражение площади
через криволинейный интеграл
Для достаточно общих плоских областей Q с положительно
ориентированной границей Г'справедлива формула
называемая формулой Грина. Здесь пре™т1ЛТга™аг1"'С1 ™ Р- ^—,
дР -
-т— непрерывны на И.
Докажем формулу Грина для прямоугольника (рис. 13.5)
A=-{a<x<b; c<y<d).
д
rt
fj[Q(b,y)-Q(a,y)]dy*=n + $\Q{x,y)dy = $Q[x,y)dy,
г
§)*i*,y)dx = $ P[x,y)dx,
\ ГАВ/ Г
л формула A) доказана.
*) Д. Грин A793—1841)—английский математик. Другой вывод фор-
формулы Грина см. § 13.10.
88
ГЛ. 13. ТЕОРИЯ ПОЛЯ
Докажем теперь A) для области ю, изображенной па рис. 13.6,,
где дуга А С описывается непрерывной строго возрастающей па
\а,Ъ] функцией у — %(х). Обратную к ней фупкцию обозначим
через х¦— ц(у) (с < у «? d).
У
а
с
0
А
д
a t
С
в
5 i
У
A
с
и
а/
!
О А
Р,
В
Рис. 13.5.
Рис. 13.6.
Имеем
J J ^dx dy = J \Q (b, y)-Q (|i (у), у)] dy
Vbc ?ac
= f ^ (ж'
u с ct
+ 1
Г
(*)) - P{x, e)\ dx
откуда и следует A).
Если повернуть область © как твердое тело вокруг пачала
координат на угол я/2, я, Зя/2, оставив систему координат не-
иеизменной, то мы получим еще три множества, которые вместе
с о мы будем называть множествами типа а>. Заодно будем вся-
всякий прямоугольник называть областью типа &. По аналогии дока-
аывается, что формула Грина имеет место для любого множества
типа (о.
Справедлива
Теорема. Пусть область Q с непрерывной кусочно гладкой
границей Г обладает тем свойством, что ее замыкание Q может
быть разрезано прямыми, параллельными осям координат (х, у),
на конечное число частей, каждая us которых есть область типа а.
Тогда для Й справедлива формула Грина.
§ 13.5. ФОРМУЛА ГРИНА
Доказательство. Пусть Q = 2wfe есть разбиение ?1 на
части типа ю и пусть Г* обозначает положительпо ориентирован-
ориентированный контур соА. Тогда, в силу того, что для областей ык формула
Грина верпа, получим
N
- N
= 2 J
Q dy).
Поясним последнее равенство. Общая граница С всех ык со-
состоит из Г и суммы конечного числа отрезков, каждый из котормк
принадлежит О и служит границей
двух соседних областей типа ы. При
этом отрезок обходится два раза в про-
противоположных направлениях, и поэто-
поэтому криволинейные интегралы, соответ-
соответствующие этим обходам, компенсируют
друг друга. Остается только интеграл
но Г.
На рисунке 13.7 изображена об-
область (двухсвязная), разбитая на ко-
конечное число областей типа б>. р
0
/
О
(
\
•Л
Замечание. На практике часто приходится иметь- дело с формулой
Грина в том случае, когда функции Р и Q непрерывны на п, а ик частныо
dQ дР
производные-д^- и -^—непрерывны только на Q, и тогда обычно формула
Грипа A) верна, только кратный интеграл в ее левой части надо понимать
в несобственном смысле. Пусть в качестве примера Q есть круг х2 + у2 =
= 1. Обозначим через Qe концентрический с ним круг х2 + у2 =
= A.— еJ (е > 0) с границей Гв (окружностью радиуса 1-е). Тогда в
силу уже доказанного
-1+8
-Ji)d*d»
J
-1+e
У 1 У1
—l-He
1-е
1-8
{~ /(
1 -
-l+e
Так как Р(ж, у) и Q(x, у) равномерно непрерывны на Q, то правая часть
B) при е-*-0 стремится к пределу, равному результату подстановки в нее
8 = 0, но тогда и левая, часть стремится к пределу к несобственному
90 ГЛ. 13. ТЕОРИЯ ПОЛЯ
кратному интегралу (с особенностями на Г, см. § 13.13, замечание 1)j
Пусть Q есть плоская область, к которой применима формула
Грина и Г — положительно ориентированная ее граница. Тогда
площадь Я равна
г о
что следует иа формулы Грина, если положить в ней Р = —у,
Из формулы C), очевидно, следует равенство
±§(xdy-ydx)=±\u\, D)
тде плюс соответствует случаю, когда контур Г ориентирован
положительно'(Г = Г+), а минус —когда контур Г ориентирован
отрицательно (Г = Г_).
Пример. Площадь эллипса, точнее, площадь внутренности эллип-
еа, заданного параметрически уравнениями х = a cos 6, у = b sin 6, 0 «3
^ 0 < 2я, равна
2Л 2JI
| Q | = L Г [a cos е Ь cos 6 — Ь sin 9 (— a sin Щ] dQ = — \ dQ = nab.
и о
§ 13.6. Интеграл по поверхности первого рода
Пусть гладкая поверхность 5 определяется уравнениями
tin, v) = cpi + i|5J + xk ((ii,»)efi't5, ]гцХг„|>0), A)
где ?2 — измеримая область и ср, if, % — непрерывно дифференци-
дифференцируемые на {2 функции.
Пусть, далее, на S или в окрестности S задана непрерывная
функция Fix, у, z).
Интегралом первого рода функции F по поверхности S назы-
называется выражение
] F (x, y,z)ds= \ F (ср (u, v), тр (и, v), % (и, v)) \ ти х г„ | du dv. B)
s a
Слева в B) стоит обозначение интеграла первого рода от
функции F по S, а справа — его определение. Чтобы вычислить
:>тот интеграл, надо в выражение слева подставить вместо .г, у,
г соответственно функции ср(м, и), гр(и, v), %iu, v) и считать, что
§ 13.6. ИНТЕГРАЛ ПО ПОВЕРХНОСТИ ПЕРВОГО РОДА. <J|
<ls — Iru Xrv\dudv — дифференциальный элемент поверхности S
(см. § 12.23).
Очевидно, если бы S представляла собой материальную по-
поверхность с плотностью распределения массы, равной
р = Fix, у, z) «= Fiffiu, v), -ф(«, v), %Ы, v)),
то при помощи интеграла A) вычислялась бы масса поверхно-
поверхности S.
Если поверхность S задана при помощи другой пары пара-
параметров iii', v') s a':
г = <р1(м', v'H + ^iu', v'Vi+xM', v')k,
где
и = %iu, v'), v = a(ii', i-'), (a', v') e ft'
— непрерывно дифференцируемые функции, устанавливающие
взаимно однозначное соответствие
(it, v) ^^ iu', v')
с якобианом
D(u', v'\ , n . .
то формула A) остается инвариантной.
В самом деле, замена переменных iu, v) па iu'', i/) в иите-
грале A) приводит к выражению
\ F ds = f F (Ф) (и1, у'), 1|зх (и', и'), Xl (у/, у')) | ru,xv | du'dv',
В Q'
потому что
D (и, v)
D (и', v')
„ / / D (у, z) D (и, у) у ID (z, x) V (и, v) Y* , (D ix<!/) D ("' И \2
у \?»(u,f) ' D(u',v') j ~*~\D(u, v) D(u',v'))~T~\D(u,i>)D(u',v')J
Если гладкая поверхность S определяется уравнением z =*
¦= fix, у) Их, y)^G), где / непрерывна вместе со своими част-
частными производными первого порядка на G, то можно считать,
что она задана параметрически через параметры х, у\
х = х, у = у, z = /U, у). C)
Тогда
= ?, 9 =
92 ГЛ. 13. ТЕОРИЯ ПОЛЯ
и, следовательно,
J F {х, y,z)ds = §F (х, у, f (x, у)) Vl + p'+fdz dy, D>
s a
Замечание. Если поверхность — гладкая, т. е. описывается
параметрически уравнениями A) с указанными там свойствами
функций ф, 1)з, х и в то же время описывается уравнением вида
C), те часто функция z •=/(#, у) непрерывна на G, но ее част-
частные производные непрерывны только на G и неограничеиы при
подходе к границе G. Например, такое явление имеет место при
вычислении интеграла от F по верхнему полушарию, В этом
случае формула D) для интеграла от F по 5 остается верной, но
интеграл в правой ее части надо понимать в несобственном смы-
смысле (см. § 13.13, замечание).
Интеграл по поверхности S (первого рода) функции F можно
определить еще и следующим образом.
Разобьем Q на измеримые части, пересекающиеся попарно
разве что по своим границам. Каждой части Q) соответствует
определенный кусок Sj поверхности S. Пусть Aj — {xj, yj, Zj) —
ироизвольная точка на S]. Составляем сумму
где \S}\ — площадь S} {см. § 12.23). Предел ее-равен интегралу
от F no S:
lim J!lF(A))\Si\ = §F{x,y,z)dS. E)
maxd(Bj)-»o 2=1 S
В самом деле, пусть А} = (хи yh zj) и х, — q>t«j, uj), q>j =
= iJ)(uj, Vj), Zj = x(»j. vj,
} = i, ..., N, (aH DjleQj,
Тогда
UN = 2 F <Ai) 1-KuX r, | du dv <= 2 F (A,) ^ | Qi | =
4=1 " Q i=l
''*. X) I'«
где знак I Ь обозначает, что в I ! подставлена точка А,, а ]я^
«сть возникающее при применении теоремы о среднем число
§ 13.7. ОРИЕНТАЦИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ
.Mj—см. ниже). Ведь очевидно, что (К> \F(A)\)
3=1
< К 2 (М, — rrij) I Qj |-> 0, max d(Qj)-> 0,
» • • •
j s= вир |гихг„|, mj— inf |г„Хг„|,
()eQ (»)eQ
§ 13.7. Ориентация поверхностей
В трехмерном пространстве имеются две существенно раз-
различные прямоугольные системы координат, изображенные на
рис. 13.8 и 13.9. Отличие их друг от друга заключается в том,
что невозможно осуществить, такое движение одной из систем,
чтобы в результате его оказались совмещенными точки 0 и од-
одноименные положительные полуоси х, у, z обеих систем.
Первую систему (рис. 13.8) называют правой, вторую
(рис. 13.9) — левой. Если смотреть снизу вверх вдоль положи-
положительной оси z, то для совмещения положительной оси х с поло-
положительной осью у в кратчайшем направлении в случае рис. 13.8
нужно вращать ось х в плоскости х, у слева направо, а в случае
рис. 13.9 — справа налево (против часовой стрелки).
х
Рис. 13.8.
Рис. 13.9.
С каждой из рассматриваемых двух систем естественно свя->
зать «штопор» — комбинацию, состоящую из единичного, направ-
направленного в положительном направлении оси z вектора и перпен-
перпендикулярного к оси z кружка (головки штопора), на границе ко-
которого (окружности) задано направление обхода от оси х к оси
у в кратчайшем направлении.
Если в случае рис. 13.8 считать, что ось z есть ось винта
(штопора), скрепленного с головкой и имеющего «правую нарез-
нарезку», то вращая головку в направлении стрелки, мы заставим
штопор двигаться в направлении положительной оси г. Того же
эффекта мы достигнем в случае рис. 13.9, если ось z будет осью,
винта, имеющего левую нарезку.
ГЛ. i3. ТЕОРИЯ ПОЛЯ
Головка может быть искривлена, т. е. может представлять со-
собой кусок гладкой поверхности, не обязательно плоской, но та-
такой, что ось z есть нормаль к этому куску в точке 0. И в этом
случае комбинация из такой головки, на которой задано направ-
направление обхода, и единичной нормали образует штопор — правый
или левый.
Наконец, можно представить себе такой штопор (правый или
левый) с нормальным вектором, идущим в произвольном направ-
направлении, не обязательно совпадающим с осью z. Для дальнейше-
дальнейшего будет важно представить себе следующую конструкцию.
Пусть в трехмерном пространстве задана прямоугольная систему
координат (правая или левая) и ориентированная поверхность 6'.
Таким образом, из каждой точки Р е S выпущена единичная
пормаль п(Р), непрерывно зависящая от Р. Шар V{P) достаточ-
достаточно малого радиуса с центром в точке Р высекает из поверхности
S некоторый связный кусок о(Р), содержащий точку Р. На кон-
контуре (на краю) f(P) этого куска определим направление обход-л
так, чтобы вектор п(Р) и кусок а{Р) образовали штопор, ориен-
ориентированный так же, как данная система координат, т. е. если
сисема координат — правая (левая), то и штопор должен быть
правым (левым).
Рис. 13.10.
Рис. 13.11.
Если поверхность S имеет край Г, то созданная конструкция
естественным образом приводит к определенному направлении»
обхода на Г (рис. 13.10). Обратим, например, внимание на точ-
точку А контура Г. В ней направления обхода по Г и по замкнуто-
замкнутому искривленному принадлежащему S кружочку ч совпадают.
Если бы данная поверхность была ориентирована противо-
противоположным образом, а система координат осталась прежней, т»
определенные выше направления обхода нужно было бы заме-
заменить на противоположные.
На рис. 13.11 нарисована ориентированная поверхность с кра-
краем, состоящим из двух замкнутых гладких кривых Г, и \\.
§ 13.7. ОРИЕНТАЦИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ
95
Отметим еще следующий факт. Пусть ориентированная глад-
ипя поверхность 5 разрезана на две ориентированные так же по-
поверхности Su S2 гладкой дугой h (рис. 13.12). Тогда направления
сбхода контуров S, и 52 вдоль дуги h противоположны.
Это замечание будет руководящим для того, чтобы правильно
определить понятие ориентированной кусочно гладкой поверх-
поверхности.
If
У
Рис. 13.12.
Рис. 13.13.
Кусочно гладкая поверхность S называется ориентированной?
гели каждый из ее гладких кусков ориентирован и возникающие
при этом направления обхода контуров этих кусков согласованы
г. том смысле, что вдоль каждой дуги, где два таких контура
совпадают, направления их о.бхода противоположны.
На рис. 13.13 нарисован куб, поверхность которого ориенти-
ориентирована при помощи ее внешней нормали.
Малые куски ориентированной поверхности (элементы по-
поверхности) удобно считать векторами.
Пусть 5 есть ориентированная гладкая поверхность, таким
«бразом, из каждой точки A <s S выпущена единичная нормаль
п(А) к S в А, непрерывно зависящая от А. Пусть а есть гладкий
кусок S. Будем считать, что о есть вектор, скалярная величина
которого равна площади Ы куска о, а направление определяет-
определяется вектором п(А), где А есть какая-либо точка о. Таким образом,
o=lolnU).
Этим, конечно, вектор о однозначно не определен. Однако,
если диаметр die) мал, то направление п(А) не выходит за пре-
пределы некоторого малого конуса, и если о есть переменный кусок,
постоянно содержащий фиксированную точку А„, то, очевидно,
п(А) -*• пС40) (d(a)-*•()), где d(a) есть диаметр о, независимо от
того, как выбиралась точка А ^ а для каждого о.
Дифференциальный элемент ориентированной поверхности S.
о точке A^S естественно считать вектором dS = n(A)dS, кото-
который, таким образом, равен произведению дифференциального
86 ГЛ. 13. ТЕОРИЯ ПОЛЯ
элемента площади S в точке А на вектор единичной нормали
п{А), определяющей ориентацию S.
Если S задана уравнением
r = r(u, v) = фЦ-'ф]+хк ((и, v)esU),
то п{А) определяется одним из двух равенств
4^ A)
"\,Хг„
и dS = |ги X rjdu dv. Отсюда
rfS = ±(ru X rv)du dv. B)
В дальнейшем мы будем считать, что в A), B) выбран знак
«+». Этого-всегда можно достигнуть, поменяв в случае необхо-
необходимости местами параметры и и v. Мы этим хотим сказать, что
если задана определенная ориентированная гладкая поверхность
S, то всегда можно считать, что она описывается такой вектор-
функцией г == г(ц, v), что единичная нормаль п{А) (A^S),
определяющая ориентацию S, выражается равенством
А C)
v соответственно
dS = (*„ X r,,)du dv. D)
Если мы хотим, чтобы в этих выражениях при преобразова-
преобразовании параметров (и, v) в параметры (uL, v') не появился знак ми-
минус, то нужно, чтобы якобиан преобразования ¦ . , "¦, ¦ был
положительным. Действительно,
. _ Р(„,г). + Р(г,х) ^D(x,y)v
D(u,v),j \D(u,v)J ^\O(u,v)l
, (
D («', i;') J i- ?» (и', г') Kj D(u,v)
• (y, z) \2 . / D (z, x) f , { D (x, !/)
D(u',v')\
I
в 13.8. ИНТЕГРАЛ ПО ОРИЕНТИРОВАННОЙ ПЛОСКОЙ ОБЛАСТИ 97
Тлким образом, .формула C) (со знаком «+»!) для единич-
единичной нормали п(А) (а. вместе с ней и формула D)) инвариантна
только по отношению к преобразованиям параметров, имеющим
положительный якобиан. Поэтому следует рекомендовать преоб-
преобразования с положительным якобианом.
Однако иногда мы вынуждены рассматривать преобразования
с отрицательным якобианом. Тогда надо следить за правиль-
правильностью пинков.
Формальные основы ориентации поверхностей (многообразий)
и их краен даны в §§ 17.1 и 17.2.
§ 13.8. Интеграл по ориентированной плоской области
Пусть в плоскости, где задана прямоугольная система коор-
координат х, у, определена область G с кусочно гладкой границей Г
и на Г задано направление обхода. Ориентированную таким об-
разом область G обозначим через G+. или G- в зависимости от
ТОЮ, ориентирован ли контур Г положительно или отрицательно.
Пусть теперь на G задана интегрируемая функция fix, у).
Введем понятие интеграла от f no ориентированной области.
Имей но, положим
] / dx dy = J / dx dy = — J f dx dy,
G+ G G_
Полезность этих определений можно видеть из следующего
факта. Зададим две плоскости, где заданы прямоугольные систе-
системы координат х, у и ж', у', одинаково ориентированные. Пусть
G обозначает ориентированную область плоскости х, у с кусочно
гладкой (ориентированной) границей Г и пусть непрерывно диф-
-форе]щируемое преобразование
ж' = ф(ж, у), у' = $(х, у) ((х, y)^U) A)
отображает взаимно однозначно область G на область G' плоско-
плоскости х', у' и Г на границу Г' области G'. Будем предполагать,
что якобиан
При этом преобразовании обход Г индуцирует на Г' вполне
определенный обход и G' можно считать ориентированной об-
областью.
Если D > 0, то при переходе от Г к Г' ориентация Г не ме-
меняется. Если же D < 0, то обходы Г и Г' противоположны.
Докажем это утверждение в предположении, что ф дважды
непрерывно дифференцируема. Пусть ориентированный контур
Г определяется кусочно гладкими непрерывными функциями
z — X(s), у = u,(s), 0 ^ s ^ s0, тогда соответствующий (тоже
ориентированный) контур Г' определяется функциями х =
= ср(ЯЫ, |i(s)), у' = -ф(АЫ, iiis)), 0 «? s < So.
98
ГЛ. 13. ТЕОРИЯ ПОЛЯ
Будем для определенности считать, что контур Г' ориентиро-
ориентирован положительно, тогда (пояснения ниже)
«о
g (Я («), fl
g (X (*), |i (*)) |/ (S)] dS =
В предпоследнем равенстве применена формула Грина, в си-
силу, которой перед кратным интегралом надо поставить +, если
окажется, что Г ориентировано положительно, или —, если Г
ориентировано отрицательно. Но это выражение в целом поло-
положительно, что может быть, лишь если D > 0 и Г ориентировано
положительно или fl<0 и Г ориентировано отрицательно. Надо
учесть, что _ = —.
Из сказанного следует, что для любой функции f(x, у), непре-
непрерывной на замыкании G ориентированной измеримой области Gv
где G' обозначает соответствующую G ориентированную область.
В этой формуле замены переменных якобиан не пишется под
знаком абсолютной величины.
а"/
а'
Рис. 13.14.
Рис. 13.15.
Остановимся еще на связи ориентации Г со знаком D. В пря-
прямоугольной системе координат х, у зададим два неколлжнеарных
вектора а' = (d, a2) и a" = (ci, a2). Если определитель
Д =
g 13.9. ПОТОК ВЕКТОРА ЧЕРЕЗ ОРИЕНТИРОВАННУЮ ПОВЕРХНОСТЬ 99
положителен (см. § 12.14), то это указывает на тот-• факт,' что
система а', а" ориентирована так же, как оси ж, у (рис. 13.14К
Если же Д<0, то система а', а" ориентирована противополож-
противоположно (рис. 13.15).
Преобразование A) отображает прямоугольную сетку плоско-
плоскости х, у в криволинейную (рис. 13.16—13.18). При этом могут
иметь место два характерных случая отображений, изображен-
изображенных на рис. 13.17 и на рис. 13.18.
Рис. 13.16.
Рис. 13.17.
Рис. 13.18.
Квадрат ABCD переходит в криволинейный параллелограмм
A'B'C'D', вектор АВ переходит с точностью до бесконечно ма-
лых высшего порядка в касательную к дуге А'В' в точке А',
1дх' ду'\ *
определяемую вектором
,
а вектор AD — в касатель-
касательств/ л I /9х' ди'\
иую к дуге А и в точке А , определяемую вектором 1-^-, -т-1.
Если определитель D' = '' > 0, то расположение этих
U (X, у)
векторов будет таким, как на рис. 13.17, а это приводит к
тому, что направления обхода у ABCD и A'B'C'D' совпадают,
а следовательно, и обхода Г и Г'.
Если же D' < 0, то расположение касательных векторов к
А'В' и A'D' друг к другу меняется на противоположное, что
влечет за собой (рис. 13.18) тот факт, что обходы у Г и Г" де-
делаются противоположными.
Аналогично определяются интегралы для областей G+ и G-,
определенных на других "координатных плоскостях yz, zx.
§ 13.9. Поток вектора через ориентированную поверхность
В трехмерном пространстве R, о прямоугольной системой
координат х, у, z, дана облавть Я и на ней определено поле не-
непрерывного вектора
U у, z)=
100 ГЛ. 13. ТЕОРИЯ ПОЛЯ
В Н задана ориентированная гладкая поверхность S*
r = r(u, v) =q>i + i|)j + %к ((в, v) e Q, \'Iu XrJ > 0), A)
где Q — измеримая область в плоскости параметров (a, v) и <р,
¦ф., х — непрерывно дифференцируемые на И функции.
Будем считать, что единичная нормаль к S* определяется
векторным равенством (см. сказанное в связи с § 13.7, A), C))
Тогда косинусы углов п = п(Л) с осями х, у, % выражаются ра-
равенствами
D(y,z) , . D(z,x)
D(x,y) .. 1 B)
(, MS \Лг ! If f
Tl* Z) :=:= X .-, г. X ^^
' ' D(u,uY
Будем еще обозначать через S ту же поверхность, по не ори-
ориентированную — с нес снята ориентация.
Потоком вектора а через ориентированную поверхность S*
иазывается интеграл (первого рода) по S
J (a dS*) = j (an) dS C)
s s
от скалярного произведения
(an) = P cos (re, x) + Q cos (re, y) + R cos (re, z),
вектора а поля и единичной нормали п, определяющей ориеп-
. тацию 5*.
Так как (an) есть непрерывная функция от точки А е S, то
интеграл C) первого рода по S имеет смысл (см. § 13.6).
Например, пусть в иоле // имеет место стационарное течение
жидкости, так что скорость ее а в какой-либо точке А е Я зави-
зависит от А, но не зависит от времени. Поток ее скорости через
ориентированную поверхность S* есть количество ее, проходя-
проходящее в единицу времени через S в том же направлении, в кото-
котором ориентирована S.
Справедливо равенство
\ (an) dS — | (Р cos (re, x) -f Q cos (n, y) + R cos (re, z)) ds =
s s
D (w, v) D (w, v) D (u,
§ 13.9. ПОТОК ВИКТОРА ЧЕРЕЗ ОРИЕНТИРОВАННУЮ ПОВЕРХНОСТЬ Ю1
где в правой части стоит обычный кратный интеграл по G, в ко-
котором в Р, Q и R надо поставить вместо х, у, z соответственно
функции ф, i|), % от и, v. Это равенство следует из B) и форму-
формулы § 13.6, C).
Часто удобно вычислить интеграл D) в декартовых координа-
координатах. Покажем, к каким вычислениям это приводит в предполо-
предположении, что гладкий кусок S поверхности взаимно однозначно
проектируется на измеримые части всех трех плоскостей коор-
координат. Многие гладкие поверхности можно разбить на конечное
число таких кусков.
Итак, пусть гладкий кусок S описывается любой из трех
функций
x=ft(y, z)
y = Uz, x)
Uy,
((z,
z = /,(*, y) ((*,
D')
D")
D'")
непрерывных соответственно на проекциях S па плоскости х = О,
у' = 0, z = 0 и имеющих непрерывные частные производные, во-
вообще говоря, только на открытых измери-
измеримых ядрах Sx, Sy, Sz этих проекций (т. е. па
проекциях без их границ).
Обозначим еще через S%, Sy, Sz соответ-
соответствующие ориентированные проекции ориен-
ориентированной поверхности S* на плоскости
х — 0, у = 0, z = 0. Обход контура S* оп-
определяет при проектировании соответству-
соответствующий обход площадок Sx, Sy, Sz (см.
рис. 13.19). Нормаль п к S образует угол с
осью z, косинус которого равен
Рис. 13.19.
cos (п, z) =
^ дх> 1 ду
где надо взять «+» или « —» в зависимости от ориентации 5*,
Имеем (см. § 13.6, E))
Г Г
J R cos (n, z)dS= J R (х, у., /3 \х, у)) —^
я я г 1
(+1)
:Х
X /l + Рг + (fdxdy = ± ) П (х, у, /3 {х, у)) dx dy =*
К
= j Л (ж, у, /3 (х, у)) da; dy = J R{x,y,z) dx dy, E)
Sz
S*
где предпоследний интеграл взят по ориентированной площадке
•Ь'г (см. § 13.8). Что касается последнего интеграла в этой цепи,
102 гл. 13. теория поля
то его надо рассматривать как обозначение предпоследнего. Это
так называемый интеграл второго рода. Чтобы его вычислить,
надо подставить /з(^, у) вместо z и проинтегрировать по ориен-
ориентированной проекции Sz- Из § 13.8 мы знаем, что ) = ± )
где надо взять «+» или «—» в зависимости от того, будет ли
о*
площадка ог ориентирована положительно или отрицательно.
Аналогичные рассуждения могут быть проведены и в отноше-
отношении остальных двух интегралов (рис. 13.19):
j R cos (re, x) dS = j P (Д (у, z), у, z) dy dz = [ P (x, y, z) dy dz,
s „• s*
J Q cos (re, y)dS = J Q (x, /2 B, x), z\dz dx = [ Q (x, y, 2) dz dx.
s * s*
sy
Мы доказали, что поток вектора а через ориентированную
поверхность 5*, определяемую нормалью п, может быть вычис-
вычислен по формуле
f (an) dS = J {P {x, y,z)dy dz -|- Q (х, у, z) dz dx -f R (x, y, z) dx dy).
s s*
E)
Если поверхность 5* может быть разрезана на конечное чис-
число частей, S* = 2^^, каждая из которых проектируется на
все три координатные плоскости, то чтобы вычислить поток а
через S*, можно вычислить потоки а через каждый из кусков
Sk указанным способом и сложить их.
Шаровая поверхность с центром в нулевой точке естественно
разрезывается плоскостями координат на 8 кусков, обладающих
указанным свойством. Тор, рассмотренный в примере 3 § 7.20,
разрезывается на шестнадцать таких кусков плоскостями коор-
координат и еще цилиндрической круговой поверхностью радиуса Ъ
с осью, идущей по оси у.
§ 13.10. Дивергенция. Теорема Гаусса — Остроградского*)
Пусть Е есть пространство, где задана прямоугольная систе-
система координат х, у, z, G с: R — область с кусочно гладкой грани-
границей S и на G определено поле вектора
а(х, у, z) = Pi + Q} + Rk ((x, у, z)<^G~). A)
„ , n „ D dP dQ dR
Мы будем предполагать, что г,(/,п,^-,т-,-г непрерывны
па G, откуда следует, что для вектора а имеет смысл непрерыв-
*) К. Ф. Гаусс A777—1855) — выдающийся немецкий математик. Ост-
Остроградский — см. § 8.7,
13.10. ДИВЕРГЕНЦИЯ. ТЕОРЕМА ГАУССА — ОСТРОГРАДСКОГО
103
ная функция
,. дР , dQ . dR
div a = -—h^ + т
Ох ду ' dz
¦G),
B)
йазываемая дивергенцией вектора а.
Будем считать, что поверхность S ориентирована при помощи
единичной нормали п, направленной во внешность G.
Целью нашей будет доказать равенство
j div a dG = \ (an) dS
C)
Лх,у)
Z'A,Cx,tf)
при некоторых дополнительных условиях, налагаемых на G. Это
равенство называдат формулой Гаусса — Остроградского по име-
имени математиков, ее доказавших.
Формула Гаусса — Остроградского говорит, что объемный ин-
интеграл от дивергенции вектора по области G равен потоку вектора
через границу этой области,
ориентированную в направле-
направлении ее внешней нормали.
Начнем с того, что рассмот-
рассмотрим область Л, изображенную
на рис. 13.20, которую мы бу-
будем называть элементарной Иг-
областью. Сверху и снизу Л ог-
ограничена поверхностями о, и о2
(с кусочно гладкими краями),
определяемыми соответственно
уравнениями
z = li(.x, у), z = l2(x, у),
КЛх, у)^1г(х, у) ((г|/)бЛ
где Л2 — плоская область с (кусочно гладкой) границей f, а Хи
Кг непрерывны на Аг и имеют непрерывные частные произ-
производные на открытом множестве Л,. С боков Л ограничена ци-
цилиндрической поверхностью о* с направляющей ^ и образующей
dаралдельной оси z.
Пусть S* есть граница Л, ориентированная при помощи
внешней к Л нормали. Тем самым нижний и верхний куски
°i, °г) так же как боковая поверхность о* области Л, соответ-
соответственно ориентированы. Для области Л имеют место равенства
(пояснения ниже)
Иг
= j j {Я (x, у, K2 (x, у)) - R (x, у, Ях (х, у))} dx dy
Рис. 13.20.
104 ГЛ. 13. ТЕОРИЯ ПОЛЯ
J J R ({x, y, k2 (x, y)) dx dy + J [R (x, y, lt {x,
al,z
= $$R(x,y,z)dxdy. D)
's*
Нормаль n к ollo2 образует с осью z соответственно тупой й
острый углы, поэтому проекции oltZ,a2z кускои о1уаг на
плоскость z = 0 ориентированы первая отрицательно, а вторая
положительно. Это обосновывает переход от третьего члена цени
D) чК четвертому. К сумме, составляющей четвертый член, мож-
можно формально добавить интеграл
'а*
равный пулю, потому что cos (и, z) = 0 вдоль о*. Но тогда полу-
полученная сумма трех интегралов равна интегралу, стоящему в ка-
качестве последнего члена цепи D) (потоку вектора @, 0, R) че-
через 5*).
Этим мы доказали теорему Гаусса — Остроградского для эле-
элементарной //г-области и вектора @, 0, R).
Назовем теперь область G 7/г-областьто, если ее замыкание
G можно разрезать на конечное число замыканий элементарных
/Д-областей:
_ N _
G = 2 Gk
так, что нижние и верхние куски границы .Gh суть части ориен-
ориентированной границы S* области G, и докажем, что для G я век-
вектора @, 0, R) тоже справедлива теорема Гаусса — Остроград-
Остроградского.
В самом деле, обозначим соответственно через Stth, 52, * ниж-
нижние и верхние куски границ Gh и через Sh — боковые' куски Gh.
Тогда (иояснения ниже)
J Oz
h=1 Gh
N / С Г
2/ J R(x,y,z)dxdy+ \ R{?1y1
S2,h
+ j R (x, У, z) dx dy\=\ R (x, y, z) dx dy,
* I s*
sft /
потому что итгтегралы по «S;,, очевидно, равны нулю, а куски
?i,ft и «^2,к либо составляют в совокупности поверхность S*,
§ 13.10. ДИВЕРГЕНЦИЯ. ТЕОРЕМА ГАУССА — ОСТРОГРАДСКОГО Ю5
либо, если это не так, то множество
JV N
О = S* — 2j Sl,h — Zj <^2,й
1 1
есть часть 5*, нормаль в любой топке которой перпендикулярна
оси z. Но тогда интеграл по о равен пулю.
По аналогии можно ввести понятия //.«-области и //„-области.
Например, //^-область обладает тем свойством, что ее замыкание
можно разрезать на конечное число замыканий элементарных
//х-областей. Элементарная же //^-область определяется так же,
как элементарная //2-область, только роль z теперь играет х. По
аналогии доказывается, что для /Лгобласти G имеет место ра-
равенство
S*
т. е. формула Гаусса — Остроградского для вектора (Р, 0, 0),
а для //^-области G — формула
S*
Если теперь G есть одновременно Нх, Ну и //2-область, то
для нее, очевидно, верпа теорема Гаусса — Остроградского для
произвольного непрерывно дифференцируемого на G вектора
а = (Р, Q, Ю, т. е. верпо равенство
с
дР , дП . dR\ , , ,
т- + -г- + т" Idx dlJ dz =
= j f (P {x, y, z) dy dz + Q (x, y, z) dz dx + R (x, y, z) dx dy), E)
j f
где интеграл справа есть интеграл по поверхности S*, ориенти-
ориентированной внешней нормалью к G.
Если в формуле Гаусса — Остроградского положить Р = х,
Q = у, R = z, то получим выражение для объема области G:
s*
через интеграл по ее ориентированной (внешней нормалью) гра-
границе S*.
Области, с которыми приходится обычно иметь дело, являют-
являются одновременно IJX, Hy и //2-областями.
Пример 1. Шар х2 + у2 + z2 ^: 1 есть #2-область, даже элементарная
//г-область, потому что вся его внутренность ограничена двумя лежащими
друг над другом гладкими на х2 + у2 < 1 поверхностями z = yi — х2 — у\
106 ГЛ. 13. ТЕОРИЯ ПОЛЯ
z —= — У1 — хг — уг, непрерывными на замкнутом круге хг + уг ^ 1, имею-
имеющем гладкую границу. Очевидно, шар есть также Нх и //^-области.
Пример 2. Возьмем тор Т, полученный вращением заданного в пло-
плоскости (х, у) круга {х — by+ у2 = а2 @ < а < 6) - вокруг оси у. Чтобы
убедиться в том, что Т есть //„-область, достаточно поверхность Т разде-
разделить на две части плоскостью я, г. Далее, плоскости х — Ь — а, я = а — Ь
рассекают Т на четыре элементарные //2-области, а плоскости z — Ь — а,
г = а — Ъ — на четыре элементарные //^-области.
Формула. Гаусса — Остроградского преобразует объемный ин-
интеграл в интеграл по поверхности. В следующем параграфе дока-
доказывается формула Стокса, при помощи которой при определен-
определенных условиях интеграл по поверхности преобразуется в криволи-
криволинейный интеграл.
Чтобы выяснить физическое значение понятия дивергенции,
будем считать, что в G пмеет место стационарное течение жидко-
жидкости, скорость которой в произвольной точке (х, у, z) равна а =
= а(х, у, z). Зададим произвольную, но фиксированную точку
А = (х, y,z)^G и окружим ее шаром V,<^G радиуса е > 0.
Пусть Se есть его граница (шаровая поверхность), ориентирован-
ориентированная посредством внешней нормали. Тогда па основании формулы
Гаусса — Остроградского
) J (a ds) = J j J div a dx dy dz.
Левая часть этого равенства выражает количество жидкости, вы-
вытекающее из V'г (вовне St) за единицу времени.
Применяя к правой его части теорему о среднем, получим
ds) = |Ve|divall F)
где lFtl есть объем Vn а а, — скорость жидкости в некоторой точ-
точке из Vc. Разделив обе части полученного равенства на \V,\ и пе-
перейдя к пределу при е -*¦ 0, получим, в силу непрерывности div a,
что существует предел, равный дивергенции а:
div а = lim
е-ю
уг-т \ \ (a ds) G)
в точке (х, у, z). Таким образом, diva представляет собой произ-
производительность источников, непрерывно распределенных по G, а
точке А = (х, у, z). Если в точке А (или всюду на G) diva = 0,
то это значит, что в-А (или всюду на G) производительность ис-
источников равна пулю. Если div a < 0, то это означает, что на са-
самом деле в соответствующей точке имеет место сток.
Из физических соображений ясно, что div а есть инвариант от-
относительно любых преобразований прямоугольных координат: Но
это заключение можно сделать и на основании математических со-
§ 13.10. ДИВЕРГЕНЦИЯ. ТЕОРЕМА ГАУССА — ОСТРОГРАДСКОГО Ю7
ображений, если учесть, что поток вектора через поверхность Sz
есть инвариант.
Этим доказано, что если одно и то же поле вектора определя-
определяется в двух прямоугольных системах координат (я, у, z),
(х', у', г') соответственно функциями
> у, z)i + Q(x, у, z)] + R(x, у, z)k =
= РМ', У, z')U + Qt(x', у', z'^ + RAx', у'
то в одной и той же точке
дР 4 dQ 4 dR dP ^ R
iv а - дР 4- dQ 4- dR - dPi 4- ^ 4- dR*
Конечно, это утверждение можно доказать непосредственно, не
прибегая к теореме Гаусса — Остроградского.
Дивергенцию а можно рассматривать еще как (символическое)
скалярное произведение оператора v Гамильтона па вектор а:
diva = Va=^ + ^ + ^.
дх ду dz
С этой точки зрения указанную инвариантность можно дока-
доказать следующим образом. -^ и а — векторы, а скалярное произве-
произведение двух векторов инвариантно относительно преобразований
прямоугольных координат, поэтому этим свойством обладает и ди-
дивергенция va.
Формулу Гаусса — Остроградского можно записать в плоском
случае, когда G есть область в плоскости (х, у) и а(х, у) =
= Р(х, y)i + Q(x, y)j — определенное па ней поле. Если п(А) есть
внешняя нормаль к кусочно гладкому контуру Г области G
(А е Г), то имеет место равенство
где ds — дифференциал дуги Г.
Если считать, что направление касательной в точке контура Г
совпадает с положительным направлением обхода по Г, вдоль ко-
которого исчисляется также длина дуги контура Г, то
cos (re, x) = cos (T, y) = -?, cos (re, у) =* — cos (T, х) =» — ¦?
Поэтому (an)ds = Р dy — Q dx,
Я (ё +1)'""-W-<?«*>•
G Г
Если в этой формуле заменить соответственно Р, Q. на Q, —Р,
то мы придем к формуле Грина, которая уже была получена в
§ 13.5.
108 гл. 13. теория поля
Пусть G есть ограниченная область с гладкой дважды непрерывно диф-
дифференцируемой границей S ж Gk — часть G, ограниченная поверхность А>\,
точки которой отстоят от 5 по направлению нормали к S на расстоянии
X > 0 (см. § 7.25). Пусть еще задано поле вектора а, непрерывного на G
и имеющего непрерывные частные производные на G. Вблизи границы G
последние могут быть неограниченными. Будем считать, что область Gk при
достаточно малом X удовлетворяет требованиям, которые предъявляются
к областям, чтобы для них была верна "теорема Гаусса — Остроградского.
Покажем, что в этом случае формула Гаусса — Остроградского (х =
= (ал, хг, х3))
J divadx = | (an) ds (8)
G S
остается верной, если ее левую часть понимать в следующем несабственном
смысле:
\divadx=lim ] div a dx.
(9)
Что касается правой части (8), то это есть обычный интеграл второго рода
по гладкой ориентированной в сторону внешней нормали поверхности S,
потому что вектор а непрерывен на S.
В самом деле, на основании уже доказанной теоремы Гаусса — Остро-
Остроградского
) div a dx = ) (an) dsx @ < X < ц),
A0)
где )i достаточно мало, потому что S\ при достаточно малом X есть гладкая
поверхность (§ 7.25), а вектор а не только непрерывен на Cj,, но и имеет
там непрерывные частные производные.
Покажем, что
lim j (an>ds^= j (an) ds, A1)
откуда в силу A0) следует (8) и (9) в предположении, что S можно раа-
рс-зать на конечное число элементарных гладких кусков:
JV
S = уу. A2)'
1—1
Соответственно, Sk разрезается на куски:
JV
где 5^ состоит из точек G, лежащих на нормалях к S' на расстоянии X
до S'. Пусть S' определяется равенством z = f(x, у), (х, у) ей. Тогда де-
декартовы координаты (|, ц, ?) точек <s[ определяются уравнениями
' ? = ф(ж, г/, X), r\=ty(x, y,X), 1 = %(х, у, X) (х, у) е= Q,
где Q — замыкание плоской ограниченной области с кусочно гладкой гра-
границей, а ф, 1|з, х — непрерывно дифференцируемые функции от (х, у, X),
описывающие на 0 ^ Я ^ ц при достаточно малом р. гладкую поверхность
$1.. Эффективные выражения этих функций см. § 7.25 E), п = 3, t = X.
§ 13.11. РОТОР ВЕКТОРА. ФОРМУЛА СТОКСА Ю9
Тогда имеем (пояснения ниже)
( '*x *„)
л л р а(г хг) с
(nn)dS\ =+ \ \ -р 7~dxdV-+\ (an)rfs
A4)
1 4 k
,,) J+ D(x,y) '
где в a = a(g, r), ?) надо g, т), ? заменить соответствешгочфунщиями (р,
i|), х- В самом деле, под интегралом во втором члене A4) стоит непрерывная
функция от (х, у, X) на замкнутом ограниченном множестве (х, у) е Й,
О sC X ^ ft, и можно переходить к пределу при X ->- 0 под знаком интеграла
(см. § 12.13, теорема 1). Подобные факты имеют место, если Sk проектиру-
проектируется взаимно однозначно на плоскость х = 0 или у = 0. Из A4), A2) и
A3) следует (9) и (8).
§ 13.11. Ротор вектора. Формула Стокса*)
Пусть в некоторой области пространства R задано поле непре-
непрерывно дифференцируемого вектора
я = Р{х, у, z)i + Q(x, у, z)j + R(x, у, z)k.
Готор вектора а
(dR dQ\..(dP dR\.,(9Q дР \ .
rot a = -х т- 1+1 —, т~ ] + I-г ч~ 1 к.
уду dz ] ' у 0z дх }' ' удх ду J
Его можно рассматривать как векторное произведение оператора
Гамильтона V и вектора а:
Из векторной алгебры известно, что векторное произведение
двух векторов есть аксиальный вектор, т. е. оно инвариантно от-
относительно преобразований прямоугольных систем координат, име-
имеющих одну и ту же ориентацию, т. е. таких, что правая система
переходит в правую, а левая — в левую. Но мы знаем (см. § 7.6),
что символ v можно рассматривать как вектор, потому что его
д д д ..
компоненты -~—, -г—, -^ преобразовываются при переходе от пря-
прямоугольной системы (х, у, z) к другой прямоугольной системе
(х', у', г') по тем же правилам, по которым преобразовываются
компоненты обычных векторов. Поэтому rot а = V X а есть акси-
аксиальный вектор, т. е. инвариантный относительно преобразований
прямоугольных систем координат, не меняющих их ориентацию.
Следовательно, мы можем, не вычисляя, сказать, что если наш
вектор а имеет в повой (также ориентированной) прямоугольной
*) Д. Стоке A819—1903) — английский физик и математик.
410 гл. 13. теория поля
системе координат компоненты
a«W, у', z')i' + Qt{x', у', *')}' +Д,(*', yf,
fo имеет место тождество
Q еР
\ ду' dz' J1
Вг' Ьх'
где i', j', k' — единичные орты в системе (х', у', z').
Нам предстоит обосновать формулу Стокса *)
J J
J (n rot a) ds c= J (a dl), A)
выражающую, что поток вектора rota через ориентированную по-
поверхность S* равен циркуляции а по контуру Г этой поверхно-
поверхности, ориентированному соответственно ориентации S*.
Начнем с доказательства теоремы Стокса для гладкого куска,
взаимно однозначно проектируемого на все три координатные
плоскости.
Зададим ориентированный гладкий кусок S* поверхности с ку-
кусочно гладким краем Г, который можно записать тремя способами:
z = fix, у) (х, y)^Sz, ? = <р(г/, z) iy, z)^Sx,
у — i|)(z, х) (z, х) <s Sv.
Предполагается, таким образом, что любое из этих уравнений раз-
разрешается относительно любой из переменных, а функции /, ф, ф
непрерывно дифференцируемы на соответствующих проекциях S
на координатные плоскости.
Имеем
<„ rot a) ^ = J j* {(|f - -|f
cos
{y{Y}
Выберем в правой части B) члены, содержащие Р. Тогда (по-
(пояснения ниже)
€"cos (re'г) ~ It cos (w'»)}ds
= - Я[w + & w)cos (n'2) & = -1 Lt
*) Мы считаем, что S* означает ориентированную посредством нор-
нормали п поверхность S. Левая часть A) есть интеграл по поверхности
1-го рода.
§ 13.11. РОТОР ВЕКТОРА. ФОРМУЛА СТОКСА
(P (x,y,f {x, y)))dx = \P [q, («), !|) (*), / (Ф (*), ф («))] Ф' (*) ds =,
о
г г
¦= I " (ф (s)> ^ (*)i X (s)) ф' E) ^s = I P (xt У> z) &х- C)
Из пропорции
д7: -^ ^1— 1) = cos (n, я): cos (n, у): cos (n, z)
следует, что
cos (re, у) = — — cos (n, z),
cos (n'z) ~" it cos
что влечет первое равенство в цепи C). Второе равенство см.
§ 13.9, E). Третье равенство следует из формулы Грина.
Последние три равенства в цепи C) справедливы, если счи-
считать, что ориентированный контур Г определяется кусочно глад-
гладкими функциями х = ф($), у = i|)(s), z = %{s), 0 ^ s ^ s9.
Первые две ид этих функций в свою очередь определяют IV-^-t
проекцию Г на плоскость z = 0, соответственно ориентированную.
Надо учесть, что Г есть край поверхности S, определяемой равен-
равенством z = f(x, у), и потому %Ы = f(q>(s), i|Ks)), 0 ^ s ^ s0.
По аналогии доказывается, что
s г
IJ ("?"cos ^w' ^ ~ "й"cos ^n' y^Jds = JR ^x;Vi Z^dz' ^
s г
Из (З), D), E) следует формула Стокса A).
Мы доказали теорему Стокса для куска ориентированной по-
поверхности, одновременно проектирующегося на все три плоско-
плоскости координат. Имеется еще один важный простой случай, кото-
который непосредственно не охвачен нашими рассмотрениями. Мы
имеем в виду тот случай, когда а* есть кусок, принадлежащий не-
некоторой плоскости, параллельной одной из осей координат. Для
такого куска теорема Стокса тоже верна. В этом можно убедиться
непосредственными вычислениями, подобными C). Но можно рас-
рассуждать так. Интегралы, входящие в формулу Стокса, инвариант-
инвариантны относительно преобразований прямоугольных координат, не
меняющих ориентацию последних. Всегда можно подобрать пре-
преобразование этого типа так, что а* будет проектироваться на лю-
,бую из плоскостей координат новой системы. А в этом случае те-
теорема доказана.
112 ГЛ. 13. ТЕОРИЯ ПОЛЯ
Формула Стокса остается верной для любой ориентированной
поверхности S* с кусочно гладким краем Г, которую можно раз-
разбить при помощи кусочно гладких линий на конечное число глад-
гладких кусков, проектирующихся на все три плоскости координат.
В самом деле, пусть S* — ах -\- а2 + ... + <*/v есть такое раз-
разбиение и пусть Г\, ..., TN — соответственно ориентированные
контуру ст1} .. .,Oiv. Тогда, согласно доказанному выше,
JV JY
j J(rotado) = 2 j j(rotada) = 2 f (ads) = j(ads),
S J=l crj 3=1 г^ Г
потому что части интегралов j (/ = 1, ..., iV), берущихся вдоль
г)
внутренних кусков Г^ (не принадлежащих Г), проходятся два ра-
раза в противоположном направлении и дают эффект, равный нулю.
Ориентированная поверхность, которую можно разбить на ко-
конечное число треугольников (плоских), называется полиэдральной
поверхностью и представляет собой пример простейшей поверхно-
поверхности, к которой применима формула Стокса.
Сделаем еще одно замечание. Пусть о"е обозначает круглую
определенным образом ориентированную площадку с центром в
точке А = (х, у, z) радиуса е с ориентирующим ее единичным
вектором пи Y« — ее ориентированный контур. Согласно формуле
Стокса
J (a dS) .== J (п rot a) das = \ rotna das
v8 trs °e
где rotn а есть скалярная функция, равная проекции rot а на па-
правление n, a rotn а! есть значение этой функции в некоторой
средней точке оЕ. Отсюда следует, что значение функции rotn а в
точке А равно
rotna = Ншг-Ц 1 (adS), F)
Те
где при предельном переходе при е -*- 0 предполагается, что век-
вектор п — неизменный. В любой правой (левой) системе координат
правая часть F) есть одпо и то же число. Однако при замене пра-
правой системы на левую и неизменном п направление обхода оЕ из-
изменяется на противоположное, что влечет изменение знака в пра-
правой части F). Таким образов мы снова, но другим путем, убеди-
убедились в инвариантности rot а относительно преобразований прямо-
прямоугольных координат, сохраняющих ориентацию последних.
Замечание. Пусть на области Q задано поле непрерывно
дифференцируемого вектора а такого, что rota = 0. Если на замк-
замкнутом контуре Г с: Q можно натянуть гладкую ориентированную
§ 13.12. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ИНТЕГРАЛА ПО ПАРАМЕТРУ ЦЗ
поверхность с (ориентированным) краем Г, то согласно теореме
Стокса интеграл от а по Г равен
f(adl)=: JJ(nrota)d?=0
Это утверждение может служить основанием для доказательст-
доказательства теоремы 3 § 13.3. Но и на этом пути не избежать сложных
рассуждений, потому что надо иметь в виду, что в любой области
'существуют замкнутые (заузливающиеся) контуры, на которые
невозможно натянуть гладкую поверхность.
§ 13'. 12. Дифференцирование интеграла по параметру
Начнем с того, что докажем равенство
), A)
где предполагается, что Q — замкнутое измеримое множество про-
пространства точек y = (j/i, ..., ут), а / и — непрерывны на мшк
жестве Н = [а, ЙХО (ж е [а, Ъ\, у е Q).
В частности, если Q есть отрезок [с, <Л, то формула A) имеет
вид
п d
± (Г)
в предположении, что / и -^ непрерывны па [а, Ы X lc, d]r
В самом деле, пусть
тогда
F (x + h) — F (x) Г 1 ,,, . , . , , .. ,
I — = J x [/(ж + h, y) - f{x, y)] dy =
ft-*0, 0 < G < 1),
a
потому что
114 ГЛ. 13. ТЕОРИЯ ПОЛЯ
где ю °»^rl— модуль непрерывности -т- на (замкнутом огра-
ограниченном) множестве //.
Формулу A) мы теперь обобщим, однако считая, что fix, у)
есть функция от двух переменных чисел х, у.
Рассмотрим интеграл
F{x) = f f(xfy)dy (а<*<6), B)
Ф(х)
где функции ф и ty удовлетворяют неравенству ор(х) ^ ф(х) (а <
< х =61 Ъ) и непрерывно дифференцируемы, а функция fix, у) от
числовых переменных х, у непрерывна вместе со своей частной
производной -^ на множестве точек (х, у) (см. еще § 7.11), удов-
удовлетворяющих неравенствам ф(#) =^ у ^ г^Сх), а^х^ Ь. Покажем,
что функция Fix) имеет производную на [а, Ы, определяемую по
формуле
F (х) = / (я, * (ж)) я]/ (х) - / (х, Ф (*)) Ф' (ж) + J ± f (x, у) dy. C>
Для этого введем вспомогательную функцию
D)
задашгую на множестве II точек (.г, м, v) определяемом неравен-
неравенствами (fix) ^ и < i; < o|)(;r) (а ^ л; < 6).
Функцию z = Fix) можно рассматривать как сложную функ-
функцию z = 4>ix, и, v), u=tfix), v = tyix) ia^x^b), и ее производ-
производную можно вычислить по известной формуле
F » = 1^ = 1>Г+1^Ф(Х)+ lU-.^Ht E)
где в правой части надо положить и = ф(дг), г; = \|з(а;).
Однако надо убедиться в том, что частные производные от Ф —
непрерывные функции от ix, и, v), и выразить их через /, ф, \)з.
Так как fix, у) непрерывна по у, то в силу теоремы о произ-
производной по верхнему и нижнему пределу интеграла из D) следует
¦^ = f{x,v),-^ = -f(x,u), F)
л при этом правые части F) в силу непрерывности / непрерыв-
непрерывны по ix, и, v), соответственно и левые.
§ 13.13. НЕСОБСТВЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ Ц5
Так как -^ непрерывна по условию, то в силу A)
jf(x,y)dy G)
(см., впрочем, замечание ниже). Далее, можно формально считать,
что -g-/ (x, у) — у (х, и, v; у) есть функция от переменных
(х, и, v; у). Она, очевидно, зависит непрерывно от этих перемен-
переменных, а и и v можно считать функциями от (х, и, v):
и = К(х, ц, у), v = n(x, и, у), (х, и, i;)e//,
тоже, очевидно, непрерывными. Поэтому в этих обозначениях
\i(x,u,v)
(?Ф (* .
-—- = I у (х, и, v; v) dii.
Ox J . • v ' ' ' "' d
Следовательно, -^ есть непрерывная функция от (х, и, v) (см.
§ 12.13, теорему 2).
Мы обосновали равенство E).
Подстановка F) и G) в E) и замена и = ц>(х), v=ty(x) при-
приводит к формуле C).
Замечание. Равенство G), строго говоря, доказано только в точках
(х0, и0, i>o), для которых
< «о < i>o < 'Ф (ч) ¦ (8)^
В этом случае можно указать достаточно малое число б > 0 такое, что пря-
прямоугольник {\х— то| < б, щ =g; у ^ ve) будет принадлежать области опре-
определения /(ж, у). Это дает возможность применить формулу A) (при с = и0,
d = ус). Если ио = ф(жо) или vo = ур(хо), то такого прямоугольника может
и не быть при любом б > 0. Однако правая часть G) имеет смысл и не-
непрерывна для всех точек [х, и, v) замкнутого множества Н, поэтому част-
ная производная , определенная только для точек (т0, u0, v0) вида
дх
(8), продолжается непрерывно на все множество Н, если ее положить,рав-
положить,равной правой части G). Этим определяется обобщенная производная ¦ на
Н. Теорема о производной сложной функции для обобщенных в этом смыс-
смысле частных производных верна (см. § 7.11).
§ 13.13. Несобственный интеграл
Пусть G есть открытое измеримое множество re-мерного прост-
пространства и точка х° е U.
Обозначим через о(е) = {|х — х°| ^ е) шар (замкнутый с цент-
центром в х* радиуса е > 0) и введем множество (открытое) Gt = G —
()
116 гл. 13. теория поля
Согласимся говорить, что интеграл
<*х A)
имеет единственную особенность в х", если функция / определена
на G, не ограничена па G, но ограничена и интегрируема на Ge,
как бы ни было мало е > 0.
Подчеркнем, что если интеграл A) имеет (единственную) осо-
особенность в точке х°, то подынтегральная функция fix) не инте-
интегрируема по Риману, ведь она не ограничена "йа измеримом от-
открытом множестве G (см. теорему 1 § 12.10 и выше).
Если интеграл A) имеет единственную особенность в точке х°,
то говорят, что он существует как несобственный интеграл, если,
существует предел
lim [ / (х) dx = j / (х) dx.
При этом мы теперь уже приписываем выражению A) число, рав-
равное этому пределу — несобственному интегралу от / по G.
Так как при 0 < 6i < б2
то на основании условия Коши существования предела несобст-
несобственный интеграл B) при описанных выше условиях существует
в том и только том случае, если для всякого е > 0 найдется б > 0
такое, что для любых б4, б2, где 0 < б], б2 < б,
Отсюда ясно, что если ?1 есть произвольное открытое измеримое
множество, содержащее в себе точку х° и Gt = QG, то интегралы
|/Aхи J fdx одновременно оба существуют или одновременно
оба не существуют (рис. 13.21 и 13.22), потому что условие Коши
для них одно и то же. .
Обратимся к одномерному случаю. Пусть на интервале (одно-
ь
мерном) (а, Ъ) задана функция fix) такая, что интеграл j / {x) dx
а
имеет единственную особенность в точке х" <s [а, Ъ].
Если х" — а или х°'=Ъ, то введенное здесь определение несоб-
несобственного интеграла есть обычное его определение, с которым мы
уже знакомы (см. § 9.12). Однако, если х° ^ (а, Ь), т. е'. х" — внут-
внутренняя точка отрезка [а, Ы, то согласно введенному здесь опреде-
§ 13.13. НЕСОБСТВЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
117
пению несобственный интеграл считается существующим, если су-
ществуед предел
/хо-а ь v ь
lim j fdx+ j
C)
Но это есть определение одномерного интеграла (по Коши) в
смысле главного значения (см.. конец § 9.16), а не обычного (ри-
манова) несобственного интеграла, в силу которого требуется
существование пределов каждого из интегралов слева в C) при
в-н-0.
Имеет место очевидное равенство
D)
(Af (х) + By (х)) dx = A J / (х) dx + В j Ф (х)
(А я В — постоянные), которое, как обычно, надо читать так: вме-
вместе с несобственными интегралами в правой части равенства D)
существует также несобственный интеграл в левой его части, рав-
равный правой части D).
Рис. 13.21.
Рис. 13.22.
Если функция ./ неотрицательна на G, то предел B), конеч-
конечный или бесконечный, всегда существует, потому что выражение
под знаком предела при монотонном стремлении е к нулю не
убывает.
В случае конечного предела принято писать:
а в случае бесконечного
fdx< оо,
j f dx — оо.
G
Ясно, что для.неотрицательной функции одной переменной при
х" е (я, Ъ) определения интеграла в смысЛе главного значения и
несобственного риманова интегралов совпадают — из существовав
US ГЛ. 13. ТЕОРИЯ ПОЛЯ
ния предела суммы слева в C) следует существование пределов
каждого из двух слагаемых этой суммы.
Можно еще, очевидно, сказать, что несобственный интеграл от
неотрицательной на G описанной выше функции существует тог-
тогда и только тогда, когда выражение под знаком предела в B) ог-
ограничено константой М, не зависящей от г > 0.
Можно дать еще одно эквивалентное определение: несобственный интег-
интеграл по G от неотрицательной функции с единственной особенностью в точке
х" е G есть предел "~"
[jdx= lim [ fdx, E)
G П-*°° G-Kn
где %„ —области, обладающие следующими свойствами:
1) х°еЯ„,
2) лп id An + ii
3) диаметр d(An)-»-0 (га-*-сю).
Если на G заданы две неотрицательные функции / и ср, инте-
интегралы от которых имеют единственную особенность в х°, и fix) =Si
< q>(x) (x e G), то для любого е > 0
J / dx ^ J ф dx.
Обе части этого неравенства монотонно возрастают при убывании
е, поэтому после перехода к пределу при е -> 0 получим нера-
неравенство
j / dx < f ф dx, F)
G G
члены которого могут быть конечными и бесконечными. Из конеч-
конечности интеграла справа в F) следует конечность интеграла слева,
а из бесконечности интеграла слева в F) следует бесконечность
интеграла справа.
Интеграл A), имеющий единственную особенность в копечной
точке х°, называется абсолютно сходящимся, если сходится инте-
интеграл
J|/|dx<oo G)
G
от абсолютной величины /(х). Если интеграл A) абсолютно схо-
сходится, то он сходится, потому что из G) следует, что для любого
t > 0 найдется такое б > 0, что
8>
J fdx
о < 6Х < б2 < б.
Пример 1. Рассмотрим интеграл
§ 13.13. НЕСОБСТВЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ 119
где г = V х\ + ... ¦+- Жд и Q — единичный шар в n-мерном пространстве с
центром в начале координат.
При а > 0 (8) есть, очевидно, несобственный интеграл с единственяой
особенностью в нулевой точке. Его величина определяется как предел
Г dx Р rfx
) -зг = hm -5-
К . ^ е-»о X г
а
Переход к полярным координатам
Х1 = Г COS ф1,
Х2 = Г Sin ф! СО» фг,
Жп_1 = г sin Ф1 sin фг ... sin фп-гсов фп-ь
х„ = г sin ф| sin ф2 ... sin ф„_2 sin q>n-i
с якобианом
/ = rn~l sin Ф^'~2 sin ф?~3 ... sin фп_г
приводит к равенству
1
/ =anlim [rn-a-1dr, (9)
е->0 J
8
где о„ = 2я"/2/Г(га/2) есть площадь поверхности сферы единичного шара
в re-мерном пространстве.
Из (9) следует, что
1а < оо, если a < re,
ia = оо, если а ^ п.
Этот пример можно обобщить, рассматривая интеграл
ВШЁ!, A0)
где ф — непрерывная функция на Q. Положим
М = max | ф (х) |.
При а. < п
) а ^ М \ ~~а < °°»
a r Q г
т. е. интеграл A0) абсолютно сходится.
Пусть теперь а ^ п и | ф @) | > 0, Тогда существует шар с» с центром
| Ф @) I
в нулевой точке, настолько малый, что на нем | ф (х) | > ^ = т > 0.
Поэтому
Г 'ф(х) , Г1 ф (*) 1 , . Г 1
A) <В СО
и, следовательно, интеграл A0) при а ^ п расходится.
120 гл. «3. теория поля
Понятие кратпого интеграла в смысле Лимана определяется
для измеримой, следовательно, ограниченной области. Если об-
область пеограничена, то при известных условиях можно ввести
понятие несобственного интеграла.
Пусть в и-мерном пространстве задано неограниченное мно-
множество G, обладающее тем свойством, что любой тер <a(R) с
центром в нулевой точке и радиуса R пересекается с G по изме-
измеримому множеству G(R) = G<n(R). Пусть, далее, па G определена
функция /(х), интегрируемая на G(R) для любого R. В этом слу-
случае будем говорить, что / имеет единственную особенность в бес-
бесконечно удаленной точке (или' на бесконечности), и определим
несобственный интеграл от / на G как предел
Hm f fdx = f/dx. A1)
Я"*00 G(R) G
Все, что мы говорили о несобственном интеграле с единствен-
единственной особенностью в конечной точке x°j можно повторить с по-
понятными видоизменениями для несобственного интеграла, имею-
имеющего единственную особенность па бесконечности. Нет необходи-
необходимости этЪ делать.
Пример 2. Интеграл
Г dx Г dx
I = \ —-= lim ——
« J ra R^oo J Га
г>1 1<г<Я
с помощью введения полярных координат сводится к выражению
я ( о„
7_ = «г lim 1' г»-» dr = GГ=^'' а > «•
Наконец, может быть более общий случай, когда замыкание
области G, где задана функция /, может быть разбито на конеч-
конечное число попарно пересекающихся разве что по своим границам
замыканий открытых множеств
? = ?, + ...+.?„. A2)
При этом каждый из интегралов ) / dx имеет единственную
Gj
особенность (особую точку xj), и если G неограничена, то только
один из них имеет в качестве особой точки бесконечно удален-
удаленную. Кроме того, все точки х3 различны.
Несобстеепиый интеграл от / на G определяется как сумма
=.2j/dG. A3)
Если хотя бы один интеграл, входящий в эту сумму, расхо-
расходится, то интеграл слева в A3) считается расходящимся. Нодоб-
§ 13.13. НЕСОБСТВЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ 121
ным образом этот последний считается абсолютно сходящимся
тогда и только тогда, когда абсолютно сходятся все интегралы,
входящие в сумму A3).
Мы не будем приводить простые рассуждения, показывающие,
что сделанное определение приводит к результату (числу), неза-
независимому от возможных способов разбиения G на части.
С dx
1 ——, где Л „
С dx
Пример 3. Очевидно, что интеграл 1 ——, где Л „—все п-морное
пространство, расходится при яюбом действительном а.
Пример 4. Интеграл
О О
можно определить как продел
/= lira f f e-^-^dx dy = lim f e~x%dx f e'^dy = \ e'^dx) ,
iV->oo J J JV-mo J J • U I
0 0 0 0 \0 /
где несобственный интеграл от одной перемепной справа сходится. Но если
Q(N) есть четверть круга из первого'квадранта с центром в начальной точ-
точке радиуса N и (р, 6) — полярные координаты точек плоскости, то
Я/2 N
\ [
/
= lira Г ("е-е2рф<Ю= lim ( dQ-\- [e~^d (p«) = ¦?—tr = -?-.
/ =
Л'-»оо
Й (iV)
Отсюда
Пример 5. Функция ty(x), равная e 'x' в точках х = (xu .,., xn)
с иррациональными координатами и —е~'х' в остальных точках «-мер-
«-мерного пространства Rn, не является абсолютно интегрируемой, несмотря на-
то что интеграл
I" < оо
сходится. Ведь \j)(x) всюду разрывна на Rn.
Упражнение Проверить, сводя вопрос к полярным координатам,
что для фундаментального решения уравнения теплопроводности v (§ 7.7,
упражнение)
оо оо оо
J j j vdxdydz=i (to>t).
— оо ¦—оо —оо
Замечание. Пусть ограниченная область Q имеет дважды
непрерывно, дифференцируемую гладкую границу S. Обозначим
через S), принадлежащую Q поверхность, отстоящую но направ-
122 ГЛ. 13. ТЕОРИЯ ПОЛЯ
лению внутренних нормалей к S на расстоянии Х>0 (см. § 7.25),
и пусть Их с: Q — область с границей Sx.
Если на Q задана неограниченная функция fix), но интегри-
интегрируемая на Qx при любом достаточно малом X > 0, то можно опре-
определить несобственный интеграл от / на Q как предел
[ / (х) dx = lim [ / (х) dx,
если он существует.
На основе этого определения можно ввести также понятие аб-
абсолютно сходящегося интеграла.
Данное определение несобственного интеграла для функции,
имеющей особенности вдоль границы области, но идее соответ-
соответствует определению B), рассматриваемому в этом параграфе. Бо-
Более жесткое определение было дано в § 12.22. Для неотрицатель-
неотрицательной функции оба они для указанной здесь области, конечно, сов-
совпадают. Но данное определение является более общим, потому
что можно показать, что если интеграл в смысле § 12.22 сходится,
то он сходится абсолютно. Данное определение уже применялось
при выводе обобщенной теоремы Гаусса — Остроградского (см. ко-
конец § 13.5, §§ 13.6, 13.10).
§ 13.14. Равномерная сходимость несобственного интеграла
Пусть Q с: Rm и D <= Rn — множества т- и re-мерных про-
пространств, a D, кроме того, измерима. Пусть еще у° е Z) и ив обо-
обозначает открытый шар радиуса б с центром в у0.
Рассмотрим интеграл
F(x)=f/(x, y)dy (xe=Q), A)
b
имеющий единственную особенность в точке у0. Таким образом,
fix, у) неограничен^ по у на D, однако ограничена и интегрируе-
интегрируема на Z)\(DC при любом б > 0. По определению интеграл A) рав-
равномерно сходится относительно xgQ, если он сходится для любо-
любого х е Q и для любого е > 0 можно указать б0 > 0 такое, что при
любом б, удовлетворяющем неравенствам 0 < б < 60, имеет место
)
J / (*> У) dy
<e B)
для любого s?fi. Здесь важно, что б0 (и 6) не зависит от
Введем для положительного б > 0 интеграл
f{*,y)dy,
§ 13.14. РАВНОМЕРНАЯ СХОДИМОСТЬ НЕСОБСТВЕННОГО ИНТЕГРАЛА 123
очевидно, не имеющий особенностей. Неравенство B) можно пе-
переписать так:
и мы получим, что для любого е > 0 можно подобрать такое б»,
что для всех б, удовлетворяющих неравенствам 0 < б < бв, и лю-
любых х ^ Q
\F(x)-FtU)\<a.
Но это свойство, как мы знаем, выражает, что
lim Fn (х) = F (х) равномерно на й C)
б->о
Очевидно, и наоборот — из C) следует B).
Таким образом, равенство C) можно рассматривать как другое
эквивалентное определение равномерной сходимости интеграла A)
на Q.
Справедлива теорема. _ _
Теорема 1. Если функция fix, у) непрерывна на QXD, за
исключением точек (х, у"), и интеграл A) равномерно сходится
относительно xefi^ то он есть непрерывная функция от хей.
Доказательство. Из условия теоремы следует, что функ-
функция fix, у) непрерывна в точках (х, у), принадлежащих замкнуто-
замкнутому ограниченному множеству
Q X (Z) W, D)
где D\(x>t, к тому же измеримо.
Поэтому функции 1'\(к) непрерывны на Q (см. теорему 1
§ 12.13). Кроме того, Fdx) -*¦ Fix) при б -*¦ 0 равномерно на Q. Но
тогда на основании теоремы 2 § 11.7 функция Fix) непрерывна
на Q.
Правда, эта теорема была доказана для последовательности
функций {/„}, зависящих от натурального параметра п, но она,
очевидно, верна и доказательство ее аналогично, если считать, что
п непрерывно стремится к некоторому чисйгу п0.
Теорема 2. При условиях теоремы 1 и если Q измеримо
(в Rm), функцию FXx):
J E)
можно интегрировать по Q под знаком интеграла:
(x,y)ax. F)
Доказательство. Из доказательства теоремы 1 мы знаем,
что при условиях этой теоремы функции Ftix) и Fix) непрерывны
124 ГЛ. 13. ТЕОРИЯ ПОЛЯ
на й и ^е(х) ->• Fix), б -*¦ О равномерно на Q. Это значит, что
осей
Но тогда
потому что
, в-*0,
G)
(8)
\Fb{x)dx-\F{x)dx
и а
Из G) следует:
I ау 1 / (х, у) ах =
. (9)
/(x,
u h a d
что доказывает равенство F).
Первое равенство в цени A0) при любом б > 0 представляет
собой обычную перестановку интегралов по х и у для функции
/(х, у) непрерывной на замкнутом измеримом множестве й X
ХШ\ив) (см. § 12.12).
Заметим, что интеграл по у в правой части F) есть несобствен-
несобственный интеграл с единственной особой точкой у0 е Q. Существование
его доказано.
Т е о р е м а 3. Пусть G есть открытое измеримое множество про-
пространства /?„, j'eG м [а, Ъ] — отрезок изменения числовой пере-
переменной х. Пусть, далее, функция fix, у) непрерывна и имеет не-
непрерывную частную производную '~х всюду на множестве [а, Ъ\ X
XG (же [а, Ы, yeG), за исключением, быть может, точек вида
(х, у"), в окрестности которых fix, у) вообще неограничена.
Тогда, если интеграл
сходится и интеграл
равномерно сходится относительно i
номерно сходится на la, b] и
(И)
A2)
[а, Ъ\, те интеграл A1) рав-
равA3)
§ 13.14. РАВНОМЕРНАЯ СХОДИМОСТЬ НЕСОБСТВЕННОГО ИНТЕГРАЛА 125
т. е. законно дифференцировать F под знаком интеграла:
A4)
G G
Доказательство этой теоремы основано на следующей теореме,
которая уже была доказана (см. § 11.8, теорема 3).
Теорема 4. Пусть задана последовательность непрерывно
дифференцируемых на отрезке la, Ы функций Snix) in= I, 2, ...),
сходящаяся по крайней мере в одной точке этого отрезка, и
пусть последовательность производных Sn (х) равномерно на [а, Ь]
сходится к некоторой функции (fix). Тогда последовательность
{Snix)} сходится во всех точках [а, Ъ\ и притом равномерно на
\а, Ъ] к некоторой непрерывно дифференцируемой функции Six)
В этой формулировке на самом деле можно считать, что п
стремится непрерывно к некоторому числу па или пробегая по-
последовательность чисел nh.
Доказательство теоремы 3. Для S > 0 положим
G\e6
Тогда (см. § 13.12)
д
4 df П\
потому что / и —JJ- непрерывны на Сг\ю5.
По условию для некоторого х
Ft(x) -> Fix), fi -* 0, х^[а, b]. A5)
Кроме того, в силу равномерной сходимости интеграла A2),
равномерно на fa, Ы.
Из A5) и A6) па основании теоремы 4 следует, что Fix)
имеет на [а, Ь] производную, равную Ftix).
Во всех доказанных теоремах существенную роль играло
свойство несобственного интеграла быть равномерно сходящимся
относительно параметра. Если это свойство не имеет места, то
интеграл называется неравномерно сходящимся относительно па-
параметра. Для неравномерно сходящихся интегралов, вообще го-
говоря, указанные три теоремы не верны.
Важным критерием равномерной сходимости интеграла яв-
является критерий Вейерштрасса. Его можно сформулировать в ви-
виде следующей теоремы:
Теорема 5. Пусть интеграл A) имеет особенность в точке
у° ^ D для всех xefi. Пусть, кроме того, существует неотрща-
126 ГЛ. 13. ТЕОРИЯ ПОЛЯ
тельнаА функция ф(у) такая, что
|/(х, уI <ф(у) для всех (х, у)ейХД ,A7)
и при этом несобственный интеграл
°° A8)
Ъ
существует. Тогда интеграл A) равномерно сходится относитель-
относительно xeG.
Доказательство. Из A8) следует, что для любого е>0
можно указать такое б0 > 0, что
f ф(у)<*У<« @ <«<«,),
где о)« — шар с центром в у0 радиуса б. Поэтому в силу A7)
J / (х, У) dy < J Ф (у) ^У < е
для всех хеС. Теорема доказана.
Пример 1. Интеграл
1
w-J
ха~Чх (а > 0) A9)
существует для любых а > 0. При а > 0 он, если имеет, то единственную
особую точку х = 0. Точнее, при 0 <а < 1 точка ж = 0 — особая, а ири
о^1 на отрезке [0, 1] подынтегральная функция непрерывна и интеграл
никаких особенностей не имеет. Но при исследовании остатка интеграла
на равномерную сходимость можно не думать о том, является ли точка
х = 0 на самом деле особой или нет. Здесь важно только знать, что если
существует у интеграла особая точка, то она есть х = 0.
Остаток интеграла, соответствующий точке х = 0, равен
б
Для произвольного е > 0 невозможно подобрать, б > 0 так, чтобы остаток
был меньшим е для всех а > 0, потому что при любом фиксированном
б lim (ба/а) = оо (а > 0). Поэтому интеграл A9) сходится неравномерно
относительно а > 0. Очевидно также, что он неравномерно сходится отно-
относительно а е @, аа), где «о — произвольное фиксированное положительное
число.
Однако на полупрямой оо SJ а < оо (а0 >0), и тем более на конечном
отрезке [я0, <»[], интеграл A9) сходится равномерно, что может быть дока-
доказано с помощью признака Вейерштрасса. В самом деле, если аа ^ а, то на
отрезке [О, S], где 0 < б < 1, ха~* < ж"» , а интеграл
х"" dx < оо
сходится.
9 13.i4. РАВНОМЕРНАЯ СХОДИМОСТЬ НЕСОБСТВЕННОГО ИНТЕГРАЛА 127-
Функция \|>(«) непрерывна для всех а > 0. В самом деле, зададим про-
произвольное an > 0, и пусть
0 < а, < «о < н2.
Подынтегральная функция ха~1 = ($(х, а) непрерывна па прямоугольнике
Д = {0 ^ х ^ 1, а\ ^ о ^ а2}, за исключением, быть может, точек с х — 0,
интеграл A9) равномерно сходится относительно ае [«i, «г]. Тогда на ос-
основании теоремы 1 ф(я) непрерывна на [«i, e2] и, в частности, в точке а —
= а«.
Если а > 0, то справедлива формула
1 1
ф' (а) = Г ^ г"-1^ = Г х0'1 In or dx. B0)
о а
Снова, если мы хотим се проверить для а = аа > 0, подбираем числа oi,
а2 такие, ято 0 < а\ < о0 < «2, и, чтобы применить теорему 3, убеждаемся
в равномерной сходимости интеграла B0) относительно ое [аи а2]. Здесь
удобно применить признак Вейерштрасса.
Так как НтхЧпг = 0 (А > 0) и функция хЧп я непрерывна на @, 1],
то существует положительная константа С такая, что |а:Чпа:|^С @ <
< х ^ 1). Поэтому при 0 < X < о, на отрезке [0, 1]
| х"'1 In х | = | хй-*-V In х | < С*"-*-1 < С/1"*, а е= [а^ а2],
интеграл справа в B0) равномерно сходится, так как интеграл
c^^dx <оо
о
сходится. Если еще учесть, что функция -^ ха~г = ха~1 In x непрерыв-
непрерывна на прямоугольнике [0, 1] X \л\, а2], за исключением, быть может, точек
@, в), то в силу теоремы 3 равенство B0) верно.
Пример 2. Бэта-фу н к ц и я. Функция
1
В (а, Ь) = f х"-1 A — хN dx B1)
о
называется бэта-функцией. Интеграл B1), если имеет осооенпости, то толь-
только в точках х = О.и х = 1. Поэтому при изучении равномерной сходимости
этого интеграла удобно разложить его на два интеграла:
1/2
В^а, Ь)= j х0-1 A - г)»'1 dx,
о
1
В2(а, Ь)= I" ха~х A - хI'1 dx.
1/2
Интеграл Si,, если имеет особую точку, то при х = 0. Он сходится при
а > 0 и любом Ь, потому что
1/2 1/2
f х"-1 {I - х)*-1 dx ^ Мь J ^а-^х<«., Л/&= max (l-a-N,
О 0 6<х<
423 ГЛ. 13. ТЕОРИЯ ПОЛЯ
и расходится при аг? 0, потому что
1/2 1/2
f х0-1 A — х)ь~х <fa > т. Г ха~Чх =а>, т. = min A — жM > 0.
Аналогично интеграл Вг(о, Ь) сходится при 6>0 и расходится при
b ^ 0. Поэтому бэта-функция имеет смысл только при а > 0 и Ь > 0.
Чтобы показать, что В\(а, Ь) непрерывна (относительно (а, 6)) в точ-
точке (ао, bo) (во > 0, Ьо > 0), определим прямоугольник А = {а-[ ^ а ^ аг\
b{ ^ b ^ 62} (ai, &i > 0), строго внутри которого находится точка (аа, &„).
Остаток иитограла можно оценить следующим образом:
6 б а
х*-1 (( _ х)Ъ-1 dx < M
О II
Можно для любого е > 0 указать такое бо > 0, что для 0 < 6 <
т. е. интеграл, определяющий В\(а, Ь), равномерно сходится относительно
(о, 6) е Д:
6
-^l — x)b~ldx<e.
для любых (а, Ь) е А и 0 < б < бо, и так как под интегралом стоит непре-
непрерывная функция от (х, а, Ь), х > 0, (а, 6) е= А, то Hi непрерывна в точке
(«о, Ьг,). Аналогично устанавливается непрерывность tf2(a, t>).
Имеет место
1 1
xa-1lux(i-x)b-1dx @<я,Ь),
так как оба интеграла, входящие в это равенство, сходятся, второй же ин-
интеграл, как нетрудно показать, равномерно сходится в достаточно малой ок-
окрестности точки а, и, кроме того, подынтегральная функция в правой части
равенства непрерывна относительно (х, я), ;sa исключением точек @, а).
Легко установить, рассуждая аналогично, что существует непрерывная па
[а, Ь] (я, Ъ > 0) частная производная
h \ = I Xй'1 In'1 x(l- x)b~l W A - х) dx
о
при любых к, I = 0, 1, ...
§ 13.15. Равномерно сходящийся интеграл
для неограниченной области
Будем рассматривать интеграл
F{x)=\fiiL,y)dy (xeG) A)
D
§ 13.15. ИНТЕГРАЛ ДЛЯ НК0ГРА1ШЧ1ШП0Й ОБЛАСТИ 129
на неограниченной области D такой, что при любом xgG ou
имеет бесконечно удаленную точку в качестве единственной осо-
особой точки. Говорят, что интеграл A) равномерно сходится отно-
относительно xsG, если он сходится для всех хеС, и для любого
е>0 можно указать не зависящее от х достаточно большое 1{9
такое, что для любого R, удовлетворяющего неравенству R > /«<,,
где (On — шар радиуса R с центром в пулевой точке.
Если функция fix, у) непрерывна па G X D и интеграл A)
равномерно сходится относительно хеС, то функция Fix) не-
непрерывна па G. Если, кроме того, G — измеримое множество, то
имеет место равенство
j V (х) dx = J dx J / (x, у) dy = J dy f / (x, y) dx. B)
Если теперь х есть числовая переменная, пробегающая отре-
отрезок {а, Ы, и fix, у) непрерывна вместе со своей частной произ-
4юдной-^т- на \а, b] X D, интеграл A) сходится, а интеграл
I)
равномерно сходится относительно х^[а, 1>], то V {х) = 1'\(.х)
или
C)
Наконец, если для нашей функции fix, у) выполняется не-
равенство |/(х, у)| ^(f(y)(xeG) и существует несобственный ип-
'теграл \ ф (у) dy, то интеграл A) сходится для любого хеС и
и
притом равномерно (признак Вейерштрасса).
Указанные утверждения аналогичны соответствующим теоре-
теоремам 1—4 предыдущего параграфа. Они и доказываются совер-
совершенно аналогично. Вообще эти утверждения аналогичны соот-
соответствующим теоремам о непрерывности, интегрируемости и диф-
ферендируемости равномерно сходящихся рядов функций. Их
можно доказать единым образом, вводя более общие несобствен-
несобственные интегралы (Стилтьеса), содержащие в себе как частные слу-
случаи, с одной стороны, рассматриваемые здесь интегралы, а с
другой — бесконечные ряды.
130 ГЛ. 13. ТЕОРИЯ ПОЛЯ
П р и м е р 1. Г а м м а - ф у п к ц и я. Интеграл
ос
Г (а) = j xa-h~xdx D)
о
называется гамма-функцией или эйлеровым интегралом первого рода. Он
имеет особую точку х = оо, при 0 < а < 1 еще особую точку х = 0. Поэто-
Поэтому при исследовании его свойств удобно разложить его на два интеграла:
1 °°
Г {а) = j xaTle-xdx + j xa-le--xdx = cPj (a) -J- <f2 (a).
o. l
Первый иптеграл равпомерно сходится для всех а 3* До > 0, каково
бы ни было положительное число а0. В самом деле,
°
и так как интеграл
1
то наше утверждение вытекает, из критерия Вейерштрасса. Относительно
всех а > 0 первый интеграл сходится неравномерно, потому что при лю-
любом б < 1
в в
Г x*-4-*dx > m \ ха~^х = -^1
J J а
(о -v 0), m = rain e~
и, таким образом, невозможно для любого s > 0 подобрать такое б, чтобы
остаток первого интеграла был меньше е для всех а > 0.
Второй интеграл, очевидно, сходится для любого действительного а.
Если ао — любое число, то для а ^ а0
и так как
оо
Г а„-1 _г ,
I х ° е dx < оо,
1
то по критерию Вейерштрасса второй пптеграл равномерно сходится для
всех а ^ а0. Однако он не сходится равномерно для всех а, потому что
для N > 1 и а > 1
ОО (X)
Г xa~xe-xdx > Л'0 \ e~xdx = Na~h~N -> оо (а -> оо)
2V Л"
при любом фиксированном N.
Во всяком случае, доказано, что если а0 > 0, то на отрезке [яь е-]
@ < Я1 < й0 < ajjk изменения а оба интеграла q>i (а) п фг-(а) равпомерно
сходятся и в силу очевидных непрерывных свойств подынтегральной функ-
функции гамма-функция непрерывна в а0 (для любых а0 > 0).
§ 13.15. ИНТЕГРАЛ ДЛЯ НЕОГРАНИЧЕННОЙ ОБЛАСТИ 131
Легко проверяется, что интеграл
оо . оо
Г -^ ха-хе~хд[х = { Xй'1 In xe~xdx E)
о " о
распадается на два интеграла (от 0 до 1 и от 1 до оо), равномерно схо-
сходящихся на любом отрезке (at, аг) изменения а, где at > 0, откуда в си-
силу непрерывности при х > 0 подынтегрального выражения E)
оо
Г' (о) = (" Xй In xe~xdx,
о
Подобным образом доказывается, что
оо
r(h)(a)-= §xa-1(lnx)ke-sdx
О Ч
и, таким образом, Г (о) бесконечно дифференцируема (а > 0). На самом
деле это аналитическая функция от а.
Заметим, что при а > 1 .
Г (я) = Г ха-\-Чх = lim - ха~\-х + (а — 1) Г ха-\-Чх\ =.
о N^°°[ ° о J
= (а.- 1) Г (а - 1). F)
Поэтому при а = п натуральном
оо
Г (п + 1) = «Г (п) = п(п — 1) Г (п—1)=... = п!ГA) = и! f e~xdx = nl, G)
о
откуда видно, что гамма-функцию естественно рассматривать как обобще-
обобщение факториала.
II р и м е р 2. Интеграл
А (X) = Г-^i Л: (- оо < Я< оо) (8)
о
имеет особенности в бескопечпо удаленных точках (ж = ±оо) и сходится
для любого указанного А. Однако он сходится равномерно на множестве
Яо < |Я| < оо (А,о > 0) и неравномерно на отрезке [0, 10]. В самом деле,
при к > 0 его остаточный член
» п\ Г sin Л.г , sin \х ,,. . Г si
„ (Я) = dx = \ __ d (Хх) = —
J ж .) Ял J
lim < —.
М Л!?
(т м , оо
__ COS 2 __ Г COSZ ^ I _ COS NX _ f*
z J ¦ z*. j NX J
cos j
132 гл. 13. теория поля
откуда
Л'Я
и (для ко s^ к < оо)
т. с. для любого е > 0 можно указать такое Nn, что \RN(k) | < е для- всех
N > iV0, каково бы ни было X е [ко, «>). С другой стороны, не может быть
неравенства
dz
<е
при фиксированном, пусть очень большом, N и для всех Яе fO, ко]г
где е > 0—любое наперед заданное число. Ведь при фиксированном Л' и
Я ->¦ 0 левая часть этого неравенства стремится к (см. нижд A0)) ин-
интегралу
Г sin;
J Т
.dz>0.
и
Ммеют место равенства
f А, 1>0,
Л(к)~1 О, К----0,
I- ^, X < 0-
"Чтобы убедиться в этом, при к ф 0 надо сделать в интеграле (8) подета-
иоику и = Ях.
Интеграл (8) равномерно сходится для Яе [iV, Л''], где 0 < N < JV',
поэтому, учитывая, что под интегралом стоит непрерывная функция от
(к, х) е [N, N'] X [0, оо), получим
Г ак Гein ь </« = Г & Г в8пЯу dk = (* с
Мы считаем здесь, что функция ~ Нравна Я при и = 0, и тогда очевпд-
u
по, что функция S1"/>r. .= s>" x х от (к, х) непрерывна в любой точк»
(Я, 0), где Яе [0, оо).
Равенство (9) верно и при JV = 0, хотя оно пока не доказано, потому
что интеграл (8) сходится неравномерно па [0, Л7']. Но его можно получить
переходом к пределу в (9) при N -*¦ 0, что законно — ведь разность между
значением при Лг = 0 интеграла, стоящего справа в (9), и значением его.
для какого-либо N равна
ее 1.9^ оо . о ™
\ «-сое** dx ^ 2 l_ dx + 2 ^_ dx = ^ {N] .-. % (лг
§ 13.15. ИНТЕГРАЛ ДЛЯ НЕОГРАНИЧЕННОЙ ОБЛАСТИ 133
При асом lim i|)i(A7) = i|ii@) = 0 в силу непрерывности функции
л-»о
a~3sin24r-TB точках (N, х) е= [0, 1] X [0, 1] (теорема 1 §12.13) и
Jimi|j2(A') = фг(О) — 0 в силу непрерывности этой функции в точках
оо
(Лг, х) е [0, 1] X [1, °°1 " равномерной сходимости интеграла \ относи-
относительно N<= [0, 11 (см. § 13.15).
Ксли положить в (Я) N = О, N' = 1 и учесть, что слева в (9) интеграл
ло х равен А, то получим
sm 2
—
2
Пример 3. Докажем равенство
/(«) = Г е~х2 cos so: i/jr = 3lfl e 4 (— оо < s < оо). (И)
о
В самом деле,
/' (s) = — е~х х sin sx dx. A2)
о
Дифференцирование под знаком интеграла здесь законно, потому что не-
несобственные интегралы (.11), A2) подчиняются признаку Вейерштрасса
е cos sx
2
I s^ e , I e x rfx < oo,
о
DO
a: sin sj; | ^ xe~x , I xe~*"dx < oo,
Н|>омс того, подынтегральные функции в A1), A2) непрерывны по (*, х),
s е= (—оо, оо), л; е [0, оо).
Интегрируя A2) по частям, получим
Г (к) = -L e-x* sin sx
2.)
' cos sx dx — — / (s).
Мы получили для / = /(*) дифференциальное уравнение
134 ГЛ. 13. ТЕОРИЯ ПОЛЯ
решив которое, приняв во внимание, что
о
(см. § 13.14, пример 4), получим
Т. 6. A1).
Пример 4. Справедливо равенство
--
хе~х" sin sx dx да ' п se *
4
о
J
(указание: проинтегрировать по частям интеграл и воспользоваться равен-
равенством: A1)).
Упражнения.
1. Проверить, что иптеграл (Пуаосопа для верхней полуплоскости)
(XI
;/<Й
где ф(() —граничная интегрируемая на любом коиечпом отрезке функция,
равномерно сходится вместе со своими частными производными на любом
ограниченном замкнутом множестве точек (х, у), принадлежащем верхней
полуплоскости • (у > 0!). Доказать, что U—гармоническая в верхней по-
полуплоскости функция. Учесть, что yl(x2 + y2) есть гармоническая функция
для хг + уг > 0.
2. Проверить, что интеграл (Пуассона для круга)
?/(p,9)=—Г Р (г-Э)ф(ОЛ
л J
(см. § 11.8, пример 3), где <р@ — периода 2я интегрируемая па периоде
функция, равномерно сходится на любом кру_ге р < Ро (Ро < 1) вместе
со своими частными производными (по р и 0).
§ 13.16. Равномерно сходящийся интеграл
с переменной особой точкой
В §§ 13.14, 13.15 мы рассматривали несобственный интеграл
F(x)~$f(x,y)dy (xsQ) A)
D
с фиксированной особой точкой у", не изменяющейся при изме~
нении х. В общем случае особая точка зависит от х (у° = а(х)).
Например, это явление имеет место в случае объемного
§ 13.16. ИНТЕГРАЛ С ПЕРЕМЕННОЙ ОСОБОЙ ТОЧКОЙ 135
потенциала
JjLW?y (xeSjRn), B)
где функция \.i непрерывна на D — замыкании измеримой обла-
области D. Здесь
а(х) = х при хеД
а если х ^ 25, то интеграл вовсе не имеет особенностей.
Вот еще пример — логарифмический потенциал, представля-
представляющий собой криволипейный интеграл
х — \?\1 %i)i
где С — гладкий самопепересекающиися контур в плоскости xt,
хг, %(%) — непрерывная функция на С, s — длина дуги С и
Подобным примером может также служить потенциал простого
слоя
Интеграл D) взят по гладкой поверхности S, принадлежащей
трехмерному пространству точек х = (xh a:2, xs). Обычно S есть
граница некоторой ограниченной области, А, — непрерывная функ-
функция, заданная на S, г — расстояние от точки х до точки u^S,
по которой производится интегрирование.
Ниже мы исследуем несобственный интеграл с переменной
особой точкой следующего вида:
Д ^ Q E)
где Q <= /?„ — некоторая область, Z) — измеримая область, при-
принадлежащая другому, вообще m-мерному пространству A<го<
«? n, D <= /?m), a(x, u^— непрерывная функция от xsfi, иеД
а у = у(и) — непрерывно дифференцируемое отображение ueD
в у е )?„, описывающее кусок S m-мерного дифференцируемого
многообразия в Rn (см. § 17.1). Наконец, K{z) = K(zit ..., zn) —
13G ГЛ. 13. ТПОРИЯ ПОЛЯ
функция от ze Rn, непрерывная всюду, за исключением точки
z = 0, в окрестности которой К ыеограыичепа.
Интегралы B), C), D) суть частные случаи интеграла E).
По определению будем говорить, что интеграл E) равномер-
равномерно сходится на й, если для любого е > 0 можно указать такое
в > 0, что *)
| \К(х — у (и)) а (ж, и) |йи<е для всех xeQ, F)
I
Здесь интегрирование производится по всем u e 23, для кото-
которых выполняется неравенство внизу. Конечно, может случиться,
что точка х находится настолько далеко от многообразия S, что
множество указанных и — пустое, и тогда интеграл в F) равен
нулю.
Например, интеграл B) равномерно сходится, потому что
Aц(уI <Ж, уеД; здесь у = и, и, (у) = а(х, у), КЫ) = \i\-%)
Г 1МУI d <м Г _Jl> =M Г _%<e, G)
\х-у\<Ь 1Х У| |x-i/|<e ' У1 М<6 ' У
если б при избранном е достаточно мало. Равномерную сходи-
сходимость интегралов C), D) см. ниже.
Теорема 1. Если интеграл E) с указанными там условиями
сходится равномерно на й, то он сходится и абсолютно и F —
непрерывная фунщия от х на Q.
Доказательство. Зададим е > 0 и подберем б > 0 гак,
чтобы выполнялось неравенство
tf(x —y(u))a|du<e (ieQ). (8)
Затем, чтобы доказать непрерывность F в х",- положим
1'(х) = 1<\Ы) + *Ух),
где
*',(х)= j K(x-y{u))adu,
|x°-J/(u)|<26
/-3(х)= j K(x-y(u))adu
|x°-y(u)!>26- •
(интегралы распространены па це5, для которых выполняется
неравенство внизу).
На шаре V, заданном неравенством Ix,—х°|<6 функция Рг
непрерывна, потому что интеграл, определяющий h\, берется по
*) Интеграл F) берется по открытому множеству и во всяком случао
определен корректно в смысле Лебега (см. гл, 19).
§ 13.16: ИНТЕГРАЛ С ПЕРЕМЕННОЙ ОСОБОЙ ТОЧКОЙ 137
замкнутому измеримому множеству & точек и, а подынтеграль-
подынтегральная функция от (х, и) е V X S" непрерывна вместо с функцией
К(х — у (и)). Ведь
д
Далее F, удовлетворяет па V неравенству
Шх)\<г.
Ведь если
|х-х°|<6, \\°-уЫ)\ <2б,
то
\х-у(и)\ <3б.
По тогда F, согласно лемме 1 § 11.7, непрерывна па шаре
\х — хв\ < б.
Интеграл E) абсолютно сходится вместе с интегралом F).
Из теоремы 1 и сказанного об объемном потенциале B) сле-
следует, что он есть непрерывная функция О1.хей„,
Теорема 2. Справедливо равенство
- j К (х - у (и)) и. (и) du = j JL К (х - у (и)) |1 (и) du, A0)
3 D D j
где и.(и) и ядро К{х), так же как продифференцированное ядро
удовлетворяют условиям, изложенным выше (в связи с E)),
а |д,(и) — функция, непрерывная па D.
При т = 1 нредполпгается, что ядро К(х) непрерывно тшггке
п при х = 0.
Доказательство этой теоремы основывается на следующей
лемме:
Лемма 1. Пусть \\,(х), Fix), /%(ж)@ < б < б0) — функции,
поданные па интервале (а, Ъ) и хо^(а, Ь). При этом Fb{x) не-
непрерывно дифференцируемы, i|;U) непрерывна и выполняются
свойства
Ft{x)-*-F{x), б-* 0, хе(а,Ю, A1)
и для любого е > 0 найдется б0 > 0 такое, что
|Fi(*)-4>(*)l<e A2)
для всех х, б, удовлетворяющих1 неравенствам
U--a:o|<6o, б<б0. A3)
Тогда
F'(xt) = ifUo),
138 ГЛ. 13. ТЕОРИЯ ПОЛЯ
иначе говоря,
[film F6 (x))'' = lim F'6 (*„). A4')
Доказательство леммы 1. Так как $(х) непрерывна,
то из A2) следует, что для любого е > 0 найдется б0 такое, что
I F't (х) - у (х0) |<| F'b (x) -y(x)\ + |i|> (х) -!>(*,) | <| + | = е
для б, z, удовлетввряющих A3)*
Это показывает, что
lim F'b{x)=*$(xt). A5)
в-»0,к->эсо
Далее, вследствие непрерывной дифферепцируемости Ft{x),
при любых указанных: б
^6 (*) = F6 (х0) + (ж - х0) F'6 (Xo + Q(x~xg)) @ < 6 < 1),
и в силу A5)
*'{Х)-"'Ы = F'6 (х0 + 0 (х - *.)) ^ ^ (-о),
х -*¦ х0, 6 -*• 0.
Таким образом, для любого е > 0 найдется ба > 0 такое, что
для х, 6, удовлетворяющих A3),
Теперь для указанных х перейдем к пределу при б -*¦ 0:
IX — Хц I ^ О.
Этим мы доказали A4).
Примечание. Свойство A2) естественно назвать свойством
локальной равномерной сходимости F^ (x) к г|) (х) (б -*- 0) в точ-
точке Хц. Если заменить в условии леммы 1 это свойство более силь-
сильным — равномерной сходимостью F^ (x) к i|) (x) на Q, то получа-
получаем уже известную нам теорему 4 § 13.14.
Доказательство теоремы 2. Докажем равенство A0)
для точки
„ ,, р= о
Положим
F6(x)= J Я(х-у(и))ц(и)Л1, A6)
= J ~^(х-у(и))и(и)Йи. A7)
§ 13.16. ИНТЕГГАЛ С ПЕРЕМЕННОЙ ОСОБОЙ ТОЧКОЙ 139
Мы уже знаем, что для
|х-х°|<6, |х°-у(и)!>26
имеет место неравенство
показывающее, что подынтегральные функции в A6), A7) не-
непрерывны по х, и. Ведь ядра К и -^- = К\ имеют особенность
только в нулевой точке пространства Rn. Итак, функции Fa (x) и
—— F(, (x) непрерывны для
|х-х°|<6
и дифференцирование под знаком интеграла в A7) законно.
Для любого х е Q существуют также предельные функции
Ию F6 (х) = \ К (х - у (и)) ц (и) dn = F (х),
e-»o b
f) С д
Нш -^- F6 (х) == J — К (х — у (и)) ц (и) Йи = г|> (х).
Они непрерывны на основании теоремы 1. В силу условий,
наложенных на Ки для любого е > 0 найдется б0 > 0 такое, что
<е
|х°-УA1}|<26
для х, S, удовлетворяющих A3).
Мы видим, что функции Ft(x), рассматриваемые как функции
от xt при фиксированных
удовлетворяют условиям леммы 1, и потому
-?т(х°)=г|;(х«).
Мы доказали A0) для любого
Интеграл справа в A0) есть функция, непрерывная от х
на Q, таким образом, равномерно непрерывная на Q. Но тогда
доказанное для xgQ равенство A0) можно распространить и
на остальные точки х, если понимать частные производные в
обобщенном смысле (см. § 7.11).
140
ГЛ. 13, ТЕОРИЯ ПОЛЯ
Пример 1. При Л < п — 1 объемный потенциал B) законно диффе-
дифференцировать под знаком интеграла:
A8)
Здесь наряду с установленными выше фактами, из которых вытекало,
что /'"(х) — непрерывная функции, следует учесть, что подынтегральная
функция в A8) имеет вид E) (К(х — у) = |х — у\-1~'\ т = п, у(и)=у)
со всеми свойствами, которые там отмечались, и интеграл A8) равномерно
сходится, потому что
|х-у|<6
JL
<е
lx-y|<a
для достаточно малого б.
Л р ии-ер 2. Логарифмический потенциал C) есть непрерывная функ-
функция от х= (х\, xz). При х <^ С это следует из простейшей теоремы о не-
непрерывности интеграла по параметру. Поэтому интересно доказать непре-
непрерывность Ф(х) в точках хбС Пусть х°еС, не нарушая общности, можно
считать, что х° = @, 0) — начало координат, и при этом в начале коордп-
наг касательная к С совпадает с осью xi. Интеграл C) представим в виде
суммы интегралов по С\ и С2:
F (х) = j Ц A) In у ds + j |л (I) 1» 7 ds<
где d — малый кусок С, содержащий в себе нулевую точку, а
С- 2 = С — С-1.
Ясно, что интеграл по Сг непрерывен в нулевой точке, так как вблизи нее
ггодынтегральпая функция не имеет особенностей. Будем считать, что ду-
дуга Ci настолько мала, что ее уравнение можно записать в явном виде:
Интеграл
, (x) In — ds =
r
In.
I/ (,,; _ g \2 _j. / r _ ;
(I»)
очевидно, вида E) (u = xj, та—1, и==2). Его равномерная сходимость
относительно точек (.ri, хг), принадлежащих некоторому шару V с центром
в нулевой точке вытекает из следующих оценок (М 5= IMIi) It |?i| < a):
In
где 6 достаточно мало.
§ 13.16. 1ШТКГРЛЛ С ПЕРЕМЕННОЙ ОСОБОЙ ТОЧКОЙ 141
Пример 3. Непрерывность потенциала простого слоя D) в точке
.х° е S мон:ет быть установлена следующим образом. Не нарушая общно-
общности, считаем, что х° = @, 0, 0) есть нулевая точка н при этом плоскость
хг — 0 — касательная в пей к S. Больше того, как выше, рассматриваем
.интеграл
ih (х) = \ 1 —
где 6з =/(lii Ег). описывающая Си~ непрерывно дифференцируемая функ-
функция на некоторой области о нлоскости (gt, |г). Это интеграл тииа E). Era
равномерная сходимость следует из Того, что соответствующий интеграл,
распространенный на точки (|i, |2), Для которых выполняется неравенелм
1{*i-h)-+{*t-UJ + {xi-hJ < 6,
ле пренышает
л,
я
,-
1/
V
е.
Глава 14
ЛИНЕЙНЫЕ НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА.
ОРТОГОНАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ
§ 14.1. Пространство С непрерывных функций
Перед чтением, этого параграфа рекомендуем еще раз про-
прочесть §§ 6.1, 6.2 и 6.3. К этому мы сделаем добавление о нолно-
те пространства.
Пусть Е есть линейное .нормированное пространство и по-
последовательность элементов х„ е Е, сходится к элементу х е Е.
Тогда для любого е > 0 можно указать такое N > 0, что выпол-
выполняется неравенство
Поэтому, если п, т> N, то
i| ^№ -^^ JI , м II ^^ вТ" | ^^ у IT ^^^^ II ЧТ" ^f II | II *^f ^^ || ^^^^ I _ П
\\ YI ' "WI ]| II "-ft ~~** ~ " ~~ ТП || ^^^ || "Л ~~~* л || *^ |[ Л "^^ -"-TTt I ^**^ >) "Г" л Ь»
И мы доказали: если последовательность элементов х„ е ?"
сходится. к некоторому элементу х е Е, то она удовлетворяет
условию Коши: для любого е > 0 можно указать такое iV, что
выполняется неравенство IIх„ — xjl <e (re, m>N).
Обратное утверждение, вообще говоря, неверно. Имеются при-
примеры таких линейных нормированных пространств, что в них
можно указать последовательности элементов {х„}, удовлетворя-
удовлетворяющие условию Коши, но не сходящиеся к какому-либо элемен-
элементу Е. С такими пространствами в будущем мы познакомимся
(см. § 19.7), а сейчас сделаем следующее определение.
По определению линейное нормированное пространство Е на-
называется полным, если любая принадлежащая Е последователь-
последовательность {х„}, удовлетворяющая условию Коши, сходится к некото-
некоторому элементу х е Е.
Полное линейное нормированное пространство называют еще
банаховым пространством *).
Один частный пример банахова пространства нам хорошо
известен. Это есть пространство Rt действительных чисел.
Пространство С. Пусть Q есть замкнутое ограниченное мно-
множество пространства Rn. Совокупность всех непрерывных на Q
*) С. Банах A892—1945) — польский математик, внесший большой
вклад в изучение нормированных пространств.
§ 14.1. ПРОСТРАНСТВО С НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ 143
действительных (комплексных*)) функций / = /(х) (ieQ) обо-
обозначают символом C = C(Q). При этом каждой функции /sC
приводят в соответствие число
[| / ||с = max | / (х) | A)
— норму f в метрике (пространства) С.
Пространство ¦ С непрерывных (на Q) функций есть линейное
нормированное действительное (комплексное) пространство с ну-
нулевым элементом 8 = 8(х) = 0.
В самом деле, С есть линейное действительное (комплексное)
множество (см. § 6.1). Кроме того (см. § 6.3),
1) Н/Aс^0 и из равенства 11/Нс = 0 следует, что /==0;
2) На/11С = max la/(x)| = lal max l/(x)| = |а|Н/Пс;
а ' а
3) И/+ фИс = max |/(х) + ф(х)| < max |/(х)| + max |ф(х)! =<
а я a
= ll/llc + 11ф11с.
По определению A) для функций /, Д, /2, ,,» из С имеют
место равенства
II/ - /А = max |/(х) - Д(х) I (к = 1, 2, ...). .B)
х=й
Если правая часть B) стремится к нулю при &->°°, то это зна-
значит (см. § 11.7), что последовательность функций {Д} равномер-
равномерно сходится к / па Q. Таким образом,' сходимость последователь-
последовательности функций в пространстве (метрике) С эквивалентна равно-
равномерной ее сходимости на Q.
Пусть теперь последовательность функций Д е С удовлетво-
удовлетворяет (в метрике С) условию Коши, т. е. для любого е > 0 най-
найдется такое N, что
е > ИД — Л"с = max iД(х) — /,(х) I
Q
для всех /с, 1>N. Тогда, как было доказано в § 11.7, последо-
последовательность {fk) равномерно, а следовательно, и по норме в- С
сходится к некоторой функции / е С:
IIД - /11С = max I Д(х) - /(х) | -*- 0, ft ->-«».
а
Таким образом, из того, что последовательность функций
fK^C удовлетворяет условию Коши, следует, что существует
функция / «г С, к которой эта последовательность сходится в мет-
метрике С, т, е.
lim Д = / (в метрике С).
*) Комплексная непрерывная функция определяется равенством /(х) =
= ф (х) _+ ?г|з (х),. где ip и f действительные непрерывные функции. Следо-
Следовательно, max |/(x) | — max (<p2(x) + ^2(х)'I/2,
144 ГЛ. 14. ЛИИНЙПОЕ НОРМИРОВАНИЕ ПРОСТРАНСТВА
Мы доказали, что С есть линейное нормированное полное про-
пространство, т. е. банахово пространство.
§ 14.2. Пространства L , LP,L и 1Р
Пусть Ос/?„ — открытое множество. Через V — Z/(Q) мы
обозначим совокупность {пространство) функций / (действитель-
(действительных или комплексных), абсолютно интегрируемых па Q в рима-
иовом, вообще говоря, не собственном смысле *). Норма /е//
определяется как интеграл
A)
а
Если /«= <р + г'ф — комплексная функция, то
\\f\dx= '
а а
Тем самым автоматически предполагается, что Q — измери-
измеримое (по Жордапу) множество, если оно ограничено, а если но
ограничено, то Q — локально измеримое мпо;кество, т. е. такое,
что измеримы множества со О, где го с Нп — произвольный шар.
Но можно еще рассматривать пространство L = L(Q) изме-
измеримых в лебеговом смысле на Q функций /, имеющих конечную
норму A), где интеграл понимается в смысле Лебега (см.
гл. 19)**).
Многие факты, которые мы будем получать для функций
/ «s L', верны или верны с небольшими видоизменениями и для-
функций /ei. В ряде случаев по этому поводу мы будем делать
краткие замечания без доказательств со ссылкой на гл. 19.
Раз уж мы назвали интеграл A) нормой-, то нулевым элемен-
элементом в ***) L'(L) придется считать любую функцию G = 6(х), для
которой
fle(x)|dx=O. B)
й
Функция 0(.г) Ез 0 есть пример такой функции, но не един-
единственный (см. ниже теорему 1). В пространстве L'(Q)(L(Q)), не
различаются функции /4(ж) и }2(х), отличающиеся на 0(х). Как
функции они тождественно не равны на Q, но они определяют
один и тот же элемент пространства L'(Q) (Д =/2).
•) Если / е L', то интеграл \ / dx имеет конечное число особен^
постой (см. § 13.13), а ] |/|Жс<оо.
а
**) В этом случае Q вообще измеримо или локально измеримо по Ле-
Лебегу.
¦¦*) / е V (L) обозначает, что / е L' или /Ei,
§ l'i.2. ПРОСТРАНСТВА//, L/(, 1, и lp 145
Покажем, что L'(Q) (L(Q)) есть лииейиое множество и интег-
интеграл A) удовлетворяет всем свойствам нормы. В самом доле,
1) H/lli. !> 0, а нз равенства \'f\\L = 0 следует, что / —0;
2) если / е //(i) и а — число, то и af^L'(L) и выполняется
равенство
я а
3) если /,ipe L'iD, то и / + ср е L'{L) и
||/ + Ф|ь= J I/(х) + Ф (х) | dx < f 1 /(х) 1 rfx + J 1 ф(х) j dx =,
Если /, fl: /2, .;. е= L'(L), то
II / - Л ||l == f I / (x) - /л (x) | dx (Л - 1, 2, ...). C)
u
Сходимость fk~*-f в метрике L, таким образом, эквивалентна
стремлению к нулю интеграла в правой части C). В этом случае
еще говорят, что jh стремится к / в среднем на О, (см. § 0.3).
Однако пространство L' не полно. Полным является простран-
пространство L = L{Q) функций, интегрируемых (суммируемых) по Лебе-
Лебегу на п (см. § 19.3, свойство 20 и § 19.7).
Теорема 1. Пусть 0 = 6(х)еЬ'(й). Для того чтобы выполнялось
равенство
\ | 0 (х) | dx = 0, D)
Q
необходимо и достаточно, чтобы 0 (х) =0 во всех точках множества О' с: Q,
где 0(х) непрерывна.
Доказательство. Допустим, что выполняется равенство D) и су-
существует точка х°е Q' непрерывности 0 такая, что |6(х°) | > 0. Сущее г пу-
пуст тогда шар со с О с центром в х°, на котором 19 (х) | > ц > 0, и тогда
получилось бы противоречие с D):
j | 0 (х) | dx > ] | G (х) | dx > 11 [ со | > 0.
Пусть теперь 0 е //(Q) п 8(х) ==0 для всех х е Q'.~
Определим множество Qe, полученное выкидыванием нз Q конечного
числа шаров радиуса е > 0 с центром пособых точках интеграла j 6 (x)rfx
а
и ныкндывяпием шюпшостп шара радиуса 1/в с центром в нулевой точке.
По теореме Лебега Q\Q' имеет лебегову меру пуль, поэтому Q' плот-
плотно n Q, и нижний интеграл, а следовательно, п сам интеграл по Qe от
|0(х)|, ранги нулю. Поэтому
(" I 0 (х) dx ¦ - lim f | 8 (x) \dx --= 0.
448 ГЛ. 14. ЛИНЕЙНОЕ НОРМИРОВАНИЕ ПРОСТРАНСТВА
В лебеговом случае теореме 1 соответствует следующее утверждение
(см. § 19.3 свойства 1 и 16):
Пусть 6 = 9(х) е L(Q). Для того чтобы имело место равенство D),
где интеграл понимается в смысле Лебега, необходимо и достаточно что-
чтобы функция 8(х) была равна нулю почти всюду на Q.
Пространства 1Р и L . Пусть число р удовлетворяет неравен-
неравенствам 1 sc р < оо. По определению последовательность а = {а*,} чисел
(действительных или комплексных) принадлежит пространству 1Р, если
конечна норма
/ оо \ 1/р
¦ < оо. E)
По определении также функция /(х) (действительная или комплексная),
определенная на области QcRn, принадлежит пространству l' (Q) (l^(Q) =
= L (Q)J, если интеграл от / на й имеет копечное число особенностей и
норма
конечна. Рассматривают также пространство LP(Q) измеримых по Лебегу
на Q функций с конечным лебеговым интегралом (В) (см. гл. 19).
Пусть ф(и), ф (у) (и, v ^ 0) — пепрерывпые функции, равпые нулю со-
ответственпо при и = 0, v = 0, строго возрастающие и взаимно обратпые.
Рассматривая графики этих функций в плоскости (и, v), легко убедить-
убедиться в справедливости неравенства
ab sgO(a) +Ч'(Ъ) (а, Ь 3*0),
о о
которое" обращается в равенство, лишь если ср(а) = Ъ,
р рщ р, р()
В случае, когда <р (и) = иа, г|) (у) = гА'а | a > 0, l+a = p, — -f — =l],
получим
~" Р Ч "'
откуда следует, что если
то
а также если / (х) е= b'p (Q) (?р (й)), Ф (х) eijffl, (Lq (Q))/ то
Г1/(х)<р(х)Ых<у j" i / (x) P dx +1 j"l9(x)|« rfs.
(S)
ч .)
а
§ 14.2. ПРОСТРАНСТВА 'L', L L и 1р 147
Если применить G) к последовательностям (||а||г ijb||; > 0\
то получим
или
1/р I оо \1/9
где можно, очевидно, теперь считать также, что один или оба из множите-
множителей справа равны нулю.
Аналогично применение (8) к функциям
IIl (й)' И Ч> Ц(о) > °) приводит к неравенству
Ц(
или неравенству
верному и если один из множителей справа или оба равны нулю.
Неравенства (9), A0) называются неравенствами Гёлъдера*). В слу-
случае р = 1 первое из них называется неравенством Коши, а второе — нера-
неравенством Буняковского**) (см. § 6.2, G), (9)).
Если a, bg lv, то
(р—1)/р/ °° \1/р
где мы применили неравенство Гёльдера к каждому слагаемому второго-
члена цепи. Отсюда
1/р ,- оо \1/Р ¦ / <*> \1/р
') О. Л. Гельдер A859—1937) —немецкий математик.
) В. Я. Буняковский A804—1889) — русский математик, академик.
148 гл. п. лпшжгое нормировании пространства
Аналогично
1 / + т I" л yp-l)/" 1711 /1" rfxV* + (f i, ,p л\*">1
или
A2)
Неравенства (II), A2) называются не/таснсишми Щипковского*).
Соотношения G) — A2) выражают также утверждение: вместо с пра-
правыми частями неравенств конечны и левые. Из них следует, что /
Z (L )— линейные комплексные или действительные нормированные про-
пространства.
Выражения E), F) суть банаховы нормы (см. § 0.3), потому что они
наряду с A1), A2) обладают свойствами
где К — произвольное число, и из равенств || а ||, =~|1Л1/- ~ 0 следует, что
а •-= 0 («»,= 0), а /(х)=0 в точках непрерывности (в лебеговой же тео-
рнп почти всюду).
Таким образом, 1р и L (L ) —нормированные пространства. Нулевой
элемент в 1Р есть последовательность нулей (nft =0, к = 1, 2, ...), нулевой
элемент в L есть функция 0 (х) е L , равная пулю в ее точках непре-
непрерывности, нулевой же элемент в Ьр есть функция, почти всюду в смысла
лебеговой меры равная нулю.
Отметим, что челн / <= L (Q) (J>р (й)), где Q — ограниченное (изме-
(измеримое) множество, то /<=?'(?!) (L{Q)) и имеет место неравенство (см. AU)
при ф = 1)
'f I / (х) | dx = f I / (x) -1 1 dx < I Q |1/ч f \ I / (x) |" dx\llP
</)<оо, -j -|--i- =
Пространства / , Л (/у ) при р == 2 обладают особыми свойствами —
в них можно ввести скалярное произведение. С этой точки арония они спе-
специально изучаются в § Н.З и еще в § 14.6 (пример 1), где, в частности,
доказывается, что 12 — полное пространство. Совершенно аналогично можно
доказать, что 1Р при любом р есть тоже полное пространство.
§ 14.8. Пространство ?2(^2)
Пусть G есть измеримое (ограниченное) множество и L2 r{G) —
совокупность всевозможных интегрируемых по Риману на G
функций (комплексных или действительных). Очевидно, Ьг, ДО
*) Г. Мишшвскли A861—1909) — иемс-цкпц математик и физик.
$ 1'..3. ПРОСТРАНСТВО Lt (l.,) 149
есть линейное (комплексное или действительное) множество. Лю-
Любым принадлежащим к L2iT(G) функциям ф, if можно привести
в соответствие число
(ф, t) = (Ф, 4>)с = J Ф (х) V 00 dx, A)
G
представляющее собой обычный риманов (собственный) интеграл.
Оно удовлетворяет трем свойствам скалярного произведения (см.
§ G.2). В самом деле, для ф, г|;, %е Li>r{G)
f -ф dx = (I3. ф)с,
2) ф Рф, хф, Х Р*, %,
3) (ф, ф)в ^ 0 и из равенства (ф, ф)в = 0 следует, что ф(х) =
== 0(х) (см. § 14.2 42)), где 0 — интегрируемая по Риману функ-
функция, интеграл от квадрата модуля которой равен нулю. Но тогда,
пак было показано в § 6.2 для любых двух функций ф, \\~ еа
<s L2>r(G) имеет место неравенство
; , cp (x) гр (x) I dx < l\ | ф (x) |2 dx Г ( \ | гр (x) |2 dx ) , B)
G \b J \b )
Пусть теперь Й есть открытое множество, может быть неог-
неограниченное, но такое, что пересечение его с любым шаром есть
измеримое множество. Обозначим через L2 — L2 (Q) совокупность
определенных на й комплексных или действительных функций
jf, интегралы от которых J / dx, если имеют, то конечное число
с,
особенностей, причем |/(x)|2eL'(Q)=^L' (см. § 14.2).
Зададим две произвольные функции ф,г|5еЬ3(Й), Введем
множество Q8 (е > 0), которое получается из Q выкидыванием из
него конечной системы шаров радиуса е с центрами в точках, где
интегралы от ф и гр пой имеют особенности, и, если й неограниче-
]!о, выкидыванием также шара 1x1 5== &""'. Если интегралы от ф и
¦ф вовсе не имеют особых точек, то считаем йе = й.
Таким образом, ср, гр е ?2 Дйе) при любом е > 0 и
С I Ф (х) Ф (х) Ux < ( ( I ф (х) |а dxY12 (\ | гр (х) |2 dxV'2 <
fie \"г / \Ое 7
и так как е>0 произвольно, то существует интеграл*)
f | Ф (х)
*) Это неравенство следует также из § 14.2 A0) при р = 2, но здесь
оно доказано совершенно другим путем.
150 ГЛ. 14. ЛИНЕЙНОЕ НОРМИРОВАНИЕ ПРОСТРАНСТВА
Мы доказали, что если Ф, 'ф &L2(Q), то <рф е L' (Q) и выпол-
выполняется, неравенство C). Таким образом, для любых ф, ty e L2(Q}
имеет смысл интеграл (абсолютно сходящийся)
(х)^(х)^х, D)
понимаемый в римановом, вообще несобственном, смысле. Легко
проверяется, что он удовлетворяет трем свойствам скалярного
произведения, если считать, что нулевой элемент есть функция
в = 6 (х) е Ьг, для которой
\ | 6 (х) |2 dx = 0
(см. предыдущий параграф).
Теперь можно, как это пояснено в §§ 6.2, 6.3, ввести для
функций /eLj норму
с которой Х2 становится нормированным пространством. Если
последовательность функций fh s L2 сходится по норме к функ-
функции / е L2, то это значит, что
Говорят в этом случае, что последовательность {fk) сходится
к } на Q в смысле среднего квадратического.
Пространство L2 (так же как L') не полно. Полным является
пространство L2 = L2(Q) измеримых по Лебегу на Q функций
с интегрируемым по Лебегу квадратом их модуля. Пространство
Ьг называют гильбертовым пространством в честь Гильберта
A862—1943), одного из крупнейших немецких математиков.
Конечно, пространство L2 более совершенно, чем L2, но опе-
оперирование с Lz требует знания интеграла Лебега. С другой сто-
стороны, Ьг охватывает достаточно широкий! класс функций, часто
только и нужных.
Заметим, что если функция /eL8 (Q) и Q ограничено, то
/eL'(Q) (см. § 14.2, (Ш. Например, функция х~а е= L't @,1) с:
с: L' @,1), если а < 1/2. При выполнении неравенств 1/2 < а <
< 1 функция х~а не принадлежит к L2@, 1), но принадлежит к
/ДО,-1). Далее,ж~а€Е/-4A,оо), если а > 1/2, но ага«=/Д1, «),
только если а > 1.
§ 14.4. ПРИБЛИЖЕНИЕ ФИНИТНЫМИ ФУНКЦИЯМИ 151
§ 14.4. Приближение финитными функциями
Носителем функции ф(х) называется замыкание множества
точек х, гдб ф(х) Ф 0.
Функция ф(х) называется финитной в открытом множестве
Q <= ДП| если она определена на Д„ и имеет ограниченный носи-
носитель F, принадлежащий к Q(F с: Q). Ограниченный носитель F
часто называют компактным носителем, подчеркивая этим назва-
названием, что из всякой последовательности точек х*е?сй„ можно
выделить подпоследовательность, сходящуюся к некоторой точке
Функцию ф(х) мы будем называть кусочно постоянной, если
•существует конечная система не пересекающихся попарно пря-
прямоугольников (прямоугольных параллелепипедов с ребрами, па-
параллельными осями координат), на каждом из которых <р посто-
постоянна и, кроме того, ф = 0 вне этих прямоугольников. Эти прямо-
прямоугольники Д могут быть замкнутыми, открытыми и полуоткры-
полуоткрытыми (одна грань Д может принадлежать, а другая не принадле-
принадлежать к А).
Очевидно, кусочно постоянная функция финитна в Д„.
Справедлива
Теорема 1. Для всякой функции f^Lp(Q)iLviQ)) и вся-
всякого ,е>0 найдется финитная в О кусочно постоянная или не-
непрерывная*) функция ф такая, что
j | / (х) — ф (х) |р dx < ё A ^ р < оо). A)
h
Доказательство теоремы 1 мы поясним сначала на графиках
в случае р = 1 и когда функция fix) задана на оси х.
На рис. 14.1, а изображена функция /, имеющая особенности
в точках —°°, 0, + °°, которую мы будем считать принадлежащей
//(—oot.oo). При достаточно малом 6>0 и большом N для функ-
функции г|з(х), изображенной на том же рис. 14.1, а жирной линией,
справедливо
На (—N, —б), (б, N) функция fix) = i|;(.r) изображена непрерыв-
непрерывной, но она может быть и разрывной, однако интегрируемой,, для
нее можно указать ступенчатую функцию %ix) с конечным чис-
числом ступенек такую, что
*) Непрерывная можно заменить на бесконечно Дифференцируемая,
см. свойство 4 § 18.2.
152
ГЛ. 14. ЛИНЕЙНОЕ НОРМИРОВАНИЕ ПРОСТРАНСТВА
Остается приблизить %(х) непрерывной финитной функцией ф(х).>
Это сделано на рис. 14.1, б.
Формальное доказательство теоремы 1 следует из приводимых
ниже теорем 2, 3, 4 *).
Теорема 2. Функцию /eLp(Q), 1<^<оо(см. § 14.2,
14.3) можно приблизить в своей метрике Lv Ш) (с любой сте-
степенью точности) ограниченной функцией \J;eLp(Q) с компакт-
компактным носителем.
Доказательство. Если Q — ограниченное множество и / ограни-
ограничена па нем, то можно ваять if = /•
В противном случае интеграл j f dx имеет особио точки. Пусть Q,t
и
(i) > 0) есть множество (ограниченное), получаемое из Q выки-дывапием
из него конечной системы шаров (замкнутых) радиуса ц с центрами в осо-
[>
бых точках интеграла \ / dx п, если Q неограничепо, выкидыванием еще
шара |х| 5s т)
Положим
на
на
— Й.,
*) 'Георема 1 в случае L (следовательно, и V) вытекает из § 19.3 (свой-
(свойство 18), а в случае LP — из § 18.2 (свойство 4) и доказываемой ниже тео-
теоремы 4.
§ 14.4. ПРШ'.ЛШКШШЕ ФИНИТНЫМИ ФУНКЦИЯМИ }5Л
Очевидно, г|) есть ограниченная на ft функция с компактным • носите-
носителем, принадлежащая и L (Q) и, кроме того, при достаточно малом ц
I" «. B)
Теорема 3. Интегрируемую по Роману на открытом множестве И
функцию f можно приблизить с любой степенью точности в метрике LP(Q)
кусочно постоянной финитной в Q функцией ф, удовлетворяющей нера-
неравенству
Bup|/(x)|, C)
если f действительна, и неравенству
|ф(х)|^2Я, D)
если f комплексна.
Доказательство. Пусть пока / — действительная функция. Так
как оыа интегрируема на Q, то для произвольного е > 0 можно указать
прямоугольную А-сетку такую, что нижняя интегральная сумма /, распро-
распространенная на кубы &j (; =• 1, ..., Л') сетки, полностью принадлежащие
к Q, отличается от интеграла j / dx менее чем иа е;
Ъ
N
2Lmj\Aj\<~, тпу-^ inf /(x).
а 1
с
J
а
Определим кусочно постоянную функцию (очевидпо, удовлетворяю-
удовлетворяющую C)):
Inij на А},
О вне _2j ^j = G
(чтобы ф была однозначной, можно определить ее па открытых гаи полу-
полуоткрытых Д). Ясно, что ф(х) имеет носитель, принадлежащий к G, и что
выполняется неравенство C). Учитывая, что ф(х) =dg f(x) на G, получим
f | / (х) - ф (х) | dx = J (/ (х) - ф (х)) dx + • J | / | dx ~
и a ft-G
2 "'" 2 '
если шаг h сетки взять достаточно малым, чтобы выполнилось неравенство
J (|/|-/)dx<2 J |/|dx<-|,
ft-G Й-G
Это возможно, потому что / ограничена на Q, а мера \Q — G\ может быть
«деляна как угодно милой при достаточно малом h.
Мы доказали теорему для действительной функции / и метрики L(Q),
докажем ее теперь в случае приближения действительной функции в
/;р('-!) A < р < оо). Для зтого, пользуясь ужу доказанным для заданного
154 ГЛ. 14. ЛИНЕЙНОЕ НОРМИРОВАНИЕ ПРОСТРАНСТВА"
е > 0, подберем кусочно постояпную функцию ф с носителем в Я, удовлет-
удовлетворяющую неравенству C), так, чтобы
/Г \ VP о
М | / (X) - ф (X) | dx \ <
Но тогда (см. § 14.2 A0))
[|/-ф|^х = [|/-ф|1/Р|/_ф|(р2-
h a
./г., , , \i/p / г . , ,и+1 , \(р-1)/р _^
*^~ I \ I / — ф dx 1 I \ | / — <р |p+1 dx \ ^
< " ,^и ( f W+l «*Г1)/Р - -
\S3
и теорема доказана и в случае L (Q).
Если / = /i + if г — комплексная функция, удовлетворяющая условиям
теоремы, то ее действительная и мнимая компоненты ft и /2 тоже удовлет-
удовлетворяют этим условиям. Но для последних уже доказано существование ку-
кусочно постоянных действительных функций ф^ фг, соответственно пх при-
приближающих (в метрике Lv(il)). Но тогда функция <р = ф! + кр2, очевидно,
кусочно постоянная и финитная в Q, приближает /, и выполняется нера-
.венство D).
Теорема 4. Кусочно постоянную функцию /(х) с носителем Q мож-
можно приблизить (с любой' степенью точности) в метрике LP(Q) непрерыв-
непрерывной функции ф(х), финитной в открытом ядре Q.
Заметим, что, согласно определению кусочно постоянной функции, Q есть
сумма конечного числа прямоугольников со -сторонами, параллельными осям
координат.
Доказательство. Докажем сначала теорему для простейшей ку-
кусочно постоянной функции f(x), равной числу тп на прямоугольнике Д it
нулю вне его. Пусть Д' с Д" а Д — прямоугольники, имеющие тот же
центр, что и Д. Введем непрерывную функцию
На л-' <5>
вне Д ,
линейную на Д" — Д' вдоль лучей, выходящих из центра Д.
Ясно, что фд(х) (а вместе с ней и ф(х) =гофд(х)) есть непрерывная
финитная в открытом ядре Д функция. Ясно также, что для всякого е > 0
можно указать прямоугольник Д', а вместе с ним и Д", настолько близкий
к Д, что
| / (х) - ф (х) р dx\VV < e.
В общем случае кусочно постоянную функцию /(х), равную соответ-
соответственно числам ?й), ..., mN на некоторых непересекающихся (открытых
или полуоткрытых) прямоугольниках Дь ..., Д», можно представить в ви-
виде суммы
§ 14.4. ПРИБЛИЖЕНИЕ ФИНИТНЫМИ ФУНКЦИЯМИ 155
функций, где
fl, хеД,
По доказанному для любого е > 0 можно указать непрерывные финитные
в открытых ядрах А^ функции ф& (х) такие, что
По функция
<р (х) = 2 <fh (х)
1
1гепред[>1вна и финитна в открытом ядре 2 ^ь и
1
С
= J 1/-
а это и требовалось доказать.
Это рассуждение одинаково как для действительных, так и для комп-
комплексных функций.
Итак, в частности, доказано, что всякую функцию |elp(й) можно
приблизить в соответствующей метрике кусочно постоянной функцией
вида
тк
0
на
вне
\
N
2
(ь =
V
1,
...,ЛГ),
1
V л F)
О вне 2V
где Л» — кубы, попарно ие пересекающиеся между собой.
Каждая кусочно постоянная функция есть одна из семейства функций
Ф(х) =/(х; х', ..., хл', iii, ..., Плг, ти ..., mN),
зависящих от N векторных параметров а:1, ..., х" и 2N числовых парамет-
параметров T|i, ..., T]/v; ти ..., mN, где хк — центры кубов, г)* — длины их сторон,
a mh—числа в равенстве F). Легко видеть, что если уже имеется при-
приближение
функции / при помощи некоторой функции ф1 из указанного семейства, то
всегда можно в последнем взять другую функцию ф, определяемую рацио-
рациональными параметрами, так мало отличающимися от прежних, что
Но тогда для любой функции / е L' (Q) и для любого е > 0 можно
указать кусочно постоянную функцию ф, определяемую рациональными
156 ГЛ. 14. ЛИНЕЙНОЕ НОРМИРОВАНИЕ ПРОСТРАНСТВА
параметрами и приближающую / в метрике L'p (Q) с точностью до s:
y/P<8.
][(> все такие функции <р (определяемые рациональными параметрами) мож-
можно перенумеровать — их счетное множество.
Мы доказали принципиально важную теорему:
Теорема 5. В пространстве Л (Q) (? (Q)) существует счетная
последовательность (кусочно постоянных) функций цн(х), фг(х), фз(х), ...
таких, что какова бы ни была функция / (х) е Lp(Q) и каково бы ни было
с > 0, найдется такой элемент ф/, (х) этой последовательности, что
Факт, который описывается в теореме 5, вполне аналогичен следующе-
следующему факту: во множестве всех действительных (комплексных) чисел можно
указать принадлежащее к нему всюду плотное (см. § 14.5) в нем счетное
множество рациональных действительных (соответственно комплексных с
рациональными компонентами,) чисел.
Теорема 6. Пусть задана функция / е/^,(й) (LP(Q)).
Если Q — часть R,, — R, то будем считать, что j продолжена на 11,
полагая / = 0 вне Q. Тогда A < р < °°)
Y/P-J-0, t->0. (8>.
Доказательство. Функция /, продолжающая, как указа-
указано л теореме, функцию / е Lp (Q) (Lp (Щ), принадлежит, оче-
очевидно, к Lp — Lp (/?) (Lp = Lp (R)), и потому к ней^применима
т(>орема 1. Зададим е > 0 и подберем непрерывную финитную в.
Нп функцию (р такую, что
Носитель ф — ограниченное множество Fczg'<=g, где g' и g —
некоторые концентрические шары радиусов р' < р. Функция ф
иенрерывна )ia замкнутом ограниченном шаре g и потому равно-
равномерно непрерывна на не.м. Обозначим через (х', х" eg)
toF)= sup
\х'-х"\ <б
модуль непрерывности <р на g.
5 14.5. ЛИНЕЙНОЕ МНОЖЕСТВО И НОРМИРОВАННОЕ ПРОСТРАНСТВО 157
Тогда получим [\g'\ — мера g')
( [ | / (X + t) - / (X) |" dxY" < /1 | / (X + t) - ф (X + t) I" dxV* +
если только 8 достаточно мало.
§ 14.5. Сведения из теории линейных множеств
и линейных нормированных пространств
Пусть Е — линейное множеству (комплексное или действитель-
действительное, см. § 6.1). Всякое множество Еи принадлежащее Е и содер-
содержащее вместе с элементом х элемент ах, где а — произвольное
число (соответственно комплексное, действительное), п вместе с
элементами х, у их сумму х + у, очевидно, есть в свою очередь
линейное множество.
Конечная система элементов х,, .-.., xn e E называется линей-
линейно независимой, если из равенства
~Г4- + « г = ft
следует, что a-, = 0 (/' = 1, ..., п). В противном случае эта система
называется линейно зависимой.
Линейное множество Е' называется конечномерным, и при том
п-мерпым, если в нем имеется система из п линейно независимых
элементов хи • ¦ •, ?«, я всякая система ни п+ 1 элементов линей-
линейно зависима. Легко видеть, что в этом случае любой элемент
хе?' единственным образом выражается в виде суммы
п
где cik (к = 1, ..., п) — некоторые числа (комплексные, действи-
действительные).
Можно показать, что и, наоборот, если система элементов
х,, ..., х„ линейно независима, го линейное множество Е' элемен-
элементов вида{\) n-мерно. Для этого достаточно установить, что вся-
всякие n+i элементов Е' образуют линейно зависимую систему.'
Система функций
1, х, х2, ..., xn~i (a^x^zb) B)
линейно независима в пространстве С(а, Ь), потому что нулевым
элементом в С{а, Ь) является функция, тождественно равная
158 ГЛ. 14. ЛИНЕЙНОЕ НОРМИРОВАНИЕ ПРОСТРАНСТВА
нулю на Га, Ь], а. из равенства
п-1
2 акХъ 5Е= 0 (а < х < Ъ) C)
о
следует, что а<, = а4 = ...== а„_, = 0.
В пространствах Lv (a, b) система B) также линейно незави-
ri-l
сима, потому что для того, чтобы сумма 2j ahxk была нулевым
о
элементом, пеобходимо п достаточно выполнение равенства
и
1
п-1
2 «ft**
da: = 0,
из которого, вследствие непрерывности (см. теорему 1, § 14.2) по-
подынтегральной функции, следует C) и потому равенство нулю
всех а, (/ = 0, 1, ..., п — 1).
Поэтому совокупность всех многочленов Рп-^х) (а^х^Ь)
данной степени*) га —1 есть линейное га-мерное множество>в
С(а, Ь) и Lp(a, b).
Линейное множество Е называется бесконечномерным, если в
нем можно найти линейно независимую систему х,, ..., х„ эле-
элементов, как бы ни было велико га. Последовательность элементов
xt, x2, xs, ... D)
называется линейно независимой, если любая ее подсистема, со-
состоящая из конечного числа элементов, линейно независима. Та-
Такую (бесконечную)- последовательность мы будем называть еще
счетной линейно независимой системой элементов.
В бесконечномерном линейном множестве Е существуют счет-
счетные линейно независимые системы элементов, В самом деле, лю-
любой элемент х, ?* G образует линейно независимую систему, со-
состоящую из одного элемента. Его будем считать первым элемен-
элементом последовательности D), которую мы построим по индукция.
Допустим, что в Е уже обнаружена линейно независимая система
Xj, ..., х„. E)
Вследствие бесконечномерное™ Е существует в Е элемент xn+i,
образующий вместе с элементами E) линейно независимую систе-
систему, так как в противном случае любой элемент хе? мог бы быть
п
представлен в виде х = 2jafex?n гДе % — числа, и множество эле-
ft=i
п
¦VI -
ментов вида 2и аьхь содержало бы только п линейно независи-
1
мых элементов.
*) Точнее, степени пе выше п — 1.
§ 14.5. ЛИНЕЙНОЕ МНОЖЕСТВО И НОРМИРОВАННОЕ ПРОСТРАНСТВО 159
Продолжая этот процесс неограниченно, получим последова-
последовательность D), очевидно, линейно независимую. Надо учесть, что
если выхватить из последовательности D) любые п элементов
xhv ..., xhn (kt<zk2<l ... <.кп), то они образуют линейно неза-
независимую систему; это следует из независимости более широкой
системы xlf х2, ..., хкп.
Последовательность функций, 1, х, х2, ... может служить при-.
мером счетной линейно независимой системы в С(а, Ь) и Ьр (а, ЪУ.
Цусть теперь Е есть линейное нормированное пространство.
Множество G <=¦ Е называется плотным в Е, если для любого эле-
элемента хе? и любого положительного в >0 найдется в G эле-
элемент у, для которого
Их'- yll < е.
В силу этого определения на основании теоремы 1 § -14.4 мно-
множество непрерывных (даже бесконечно дифференцируемых) фи-
финитных в Я функций плотно в Ьр (Я) (и в LP(Q)), также как
плотно в этих пространствах множество кусочно постоянных
функций1, имеющих носитель в Я.
Вот еще пример. Функцию ф, заданную на отрезке [а, Ь), на-
называется полигональной, если она непрерывна на этом отрезке
(ф<=С(а, Ь)) и существует такое разбиение последнего, что на
каждом его частичном отрезке <р — линейная функция. Для лю-
любой функции / е С{а, Ь) в силу ее равномерной непрерывности
для любого е > 0 можно указать такую полигональную функцию
ф(х), что
II / - ф \\с(а,ь) = max | / (х) — ф (х) | < е.
Следовательно, полигональные функции, определенные па
[а, Ы, образуют плотное в С(а, Ь) множество.
Пространство Е называется сепарабельным или счетномер-
ным, если оно бесконечномерно и существует счетное плотное в
нем множество. Пространство С(а, Ь) сепарабельно (см. ниже
упражнения).
В силу теоремы 5 § 14.4 (бесконечномерные) пространства
Lp (Q) (Lp/ (Я)) сепарабельны, потому что они содержат в се-
себе счетное плотное в них множество кусочно постоянных функ-
функций (см. ниже упражнение 5).
Множество М <^Е называется полным в Е, если совокупность
п
всевозможных линейных комбинаций вида2аА> гДе aft — чис-
1
ла, aXi — элементы М, образуют множество, плотное в Е.
Теорема 1. Если в Е имеется счетная по-лная в Е линейно
независимая система элементов xt, х2, х8, ..., то Е сепарабельно.
too
ГЛ. 14. ЛИНЕЙНОЕ НОРМИРОВАНИЕ ПРОСТРАНСТВА
В самом деле, Е бесконечномерно, потому что в Е имеется
линейно независимая система элементов Xi, ..., х„, состоящая из
п элементов, каково бы ни было натуральное п.
п
Далее, множество М' сумм 2jrkxk, где п—произвольное па-
1
туральное число, a rk Gг=1, ..., п) — произвольные рациональ-
рациональные числа, счетно (эти суммы можио перенумеровать). С другой
стороны, для любого элемента хе? и всякого е>0 в силу плотт
п
лости М в Е можно указать такую сумму ]?
что
—-2"***< "!Ь
а теперь можно взять рациональные числа. гк, настолько близкие
к соответствующим а», что
2
К -- max |]хл
1<>;>тому
и нам удалось любой элемент хе? приблизить (аппроксимиро-
(аппроксимирован.) некоторым элементом из счетного множества М' с любой
наперед заданной точностью. Это доказывает сепарабельность Е.
Верна также обратная
Теорема 2. Если пространство Е 'сепарабельно, то в нем
имеется счетная линейно независимая система элементов, пол-
полная в Е.
В самом деле, если Е сепарабельно, то имеется счетная после-
последовательность, плотная в нем. Тем более можно считать, что эта
последовательность полная и Е.
Но из полной счетной системы элементов xf, x2, ... всегда
можно выделить (вообще говоря, ие единственную) линейно неза-
независимую последовательность элементов, образующих в свою оче-
очередь полную систему.
Например, подпоследовательность
удовлетворяет этому свойству, если индексы п,, пг, ... опреде-
определить следующим образом. Пусть пх есть наименьший индекс п,
для которого х„ Ф д. Элемент х„х образует линейно независимую
§ 14.5. ЛИНЕЙНОЕ МНОЖЕСТВО И НОРМИРОВАННОЕ ПРОСТРАНСТВО 161
систему, состоящую из одного элемента. Далее, если индексы
»i, ..., пк определены, то nh+i определяется как наименьшее на-
натуральное п, для которого элементы х^, ..., хПк, x»ft+1 образуют
линейно независимую систему. Важно, что при каждом к суще-
существует такое nk+i, т. е. конструируемая линейно независимая си-
система (С) бесконечна (счетна).
В самом деле, нусть при некотором к не существует *nk+i. По-
Положим Zi = xnj, ..., zh = xnfe. Тогда система
Zi, ..., zft, G)
где к фиксировано, будет обладать свойствами:
1) система G) линейно независима;
2) для любого элемента хе?и любого е>0 найдутся такие
числа <zi, ..., а*, что
х — 2 а;2з < е- (8)
Справедлива
Лемма 1. Из свойств 1) и 2) следует, что каждому элемен-
элементу хе? соответствует система чисел $и ..., $h (единственная),
для которой
Но тогда Е есть и-мерноё пространство, и мы пришли в про-
противоречие с предположением, что Е счетномерно.
Лемма 1 особенно просто доказывается в случае, если Е есть
линейное пространство со скалярным произведением (см. теоре-
теорему 3, § 14.7). В дальнейшем нам понадобится именно этот случай.
Доказательство леммы 1 базируется на следующей самой по
себе интересной лемме.
Лемма 2. Если система элементов yi, ..., уп, принадлежащих Е,
линейно независима, то существует положительное число X > 0 такое, что
для любой системы чисел он, ..., а„ (X вообще зависит от п).
Доказательство. Введем функцию
п II
Ф (а) = Ф (а1( ..., ап) =
2 «л
от п псременпых, определенную на всем ге-мерпом пространстве Rn. Она
непрерывна:
J Ф (а) — Ф (а0) | =--
1
2
162
ГЛ. 14. ЛИНЕЙНОЕ НОРМИРОВАНИЕ ПРОСТРАНСТВЛ
ГДО
Кроме того, функция Ф в силу линейной независимости системы элемен-
элементов у!, ..., у„ положительна, каковы бы ни были числа cti, ..., <х„, за ис-
исключением того случая, когда ai = .. .= ая — 0. Введем еще в Rn мно-
множество Л точек а = (аь ..., а„), координаты которых удовлетворяют ра-
равенству
Л ограничено, так как координаты -его точек удовлетворяют неравенству
Кроме того, оно замкнуто (см. пример 5, § 7.9). Поэтому функция Ф(а)
достигает на множестве А в некоторой его точке а0 своего минимума:
А, = Ф (a0) = mm Ф (а).
аел
При этом % > 0, потому что точки оеЛ заведомо не пулевые. Итак, имеет
место неравенство
0<Я,<
A0)
какова бы ни была точка а= (а*, ..., а„) еЛ. Мы, таким образом, дока-
доказали неравенство (9) в частном случае, когда a e Л.
Докажем теперь, что оно верно для любой точки a e Я„. В самом деле,
если « = 0@, ..., 0), то (9) тривиально. Пусть «=5^0. Введем иовуш точку
Очевидно, [1 <= Л, так как
и потому в силу A0)
Л
откуда следует (9).
Лемма 1 вытекает из следующих рассуя>дешш. Пусть хей.
Если допустить, что элементы
х, zt, ..., zn (И)
образуют линейно независимую систему, то на основании леммы 2
11.5. ЛИНЕЙНОЕ МНОЖЕСТВО И НОРМИРОВАННОЕ ПРОСТРАНСТВО
для люоых чисел
X —
По это противоречит условию леммы 1, в силу которого при е <^ А,
можно указать систему чисел at, ..., а„, для которой выполняется
неравенство (8). Поэтому система A1) линейно зависима и. су-
существуют числа с, си .,., с„, одновременно не равные нулю, для
которых
сх + CiZ4 + ... + спгп = 0.
В таком случае с Ф 0, так как иначе система 7Ч, ..., z,, была бы
линейно зависимой; поэтому
и лемма 1 доказана.
Заметим, что имеет место в известном смысле обратное (У)
неравенство,
р П
1 * 3=1
К = max llyjll.
где, таким образом, К не зависит от а= (а,, ..., а„).
Объединяя неравенства (9) п A2), получим (для линейно пе-
¦яависимой системы у(, ..., у„) дтза неравенства
3=1
A3)
где константы Ct и Сг (С{ ~ X, Сг — К) не зависят от a = (ab ...
....,а„). Однако надо иметь в виду, что константы С\ п С2 зави-
зависят от нормы, которая введена в пространстве Е,
Упражпен и я.
Доказать следующие утверждения:
1. Множество всех определенных па [я, Ь] полигональных функций П',
графики которых имеют угловые точки с рациональными координатами,
счетно.
2. Каковы бы пи были непрерывная на [а, Ь] функция j{x) и е > 0,
найдется функция <р е ГГ такая, что
Это свойство говорит, что П' плотно в С (о, Ъ). Если еще учесть, что в
164 ГЛ. 14, ЛИНЕЙНОЕ НОРМИРОВАНИЕ ПРОСТРАНСТВА
С (а, Ь) имеется счетная линейно независимая система функций 1, х, х2,...,
то С (а, Ь) сепарабельно.
3. П' плотно в Lp (a, b) (ip (я, fc)).
Воспользоваться тем, что непрерывные финитные в (а, Ь) функции об-
образуют множество, плотное в этих пространствах, а также результатом
предыдущего примера 2.
А. Пространства C'(Q), h'p (Q) (Lp (Q)) (Q — открытое множество) бес-
бесконечномерны. Рассмотреть последовательность принадлежащих к Q по-
попарно непересекающихся кубов Aj, Да, Д3, Д^, ... и их характеристических
функций (в случае С(Я)—функций вида § 14.4, E), при этом Q огра-
ограничено)
A на А
( па Д* <*=*'2'-).
§ 14.6. Ортогональная система в пространстве
со скалярным произведением
Пусть // есть линейное (комплексное или действительное) мно-
множество элементов ф, 1|з, /, ..., где введено скалярное произведение
(ф, if) (ф, фе//), подчиняющееся, таким образом, свойствам
1)—3) скалярного произведения (см. § 6.2).
Сначала наши рассуждения будут относиться к произвольно-
произвольному не обязательно полному пространству со скалярным произве-
произведением, каким является, как мы знаем, пространство L2{Q).
Элемент ере// называется нормальным, если ИфН =(ф, фI/2 = 1.
Два элемента ф, г|эе// называются ортогональными (друг к
другу), если (ф, ф) = 0.
Система элементов
фи ф», фз, ... (О
(конечная или бесконечная) называется ортогональной, если ее
элементы — не нулевые (имеют положительную норму) и попарно
ортогональны.
Наконец, система A) называется ортогональной и нормальной
или ортонормированной, если
@, кф1,
т. е. она ортогональна и каждый ее элемент имеет единичную
норму.
Всякая конечная ортогональная система ф,, ,.., ф^ линейно
независима в Н, т, е. из того, что
где ah — числа, следует, что все ак = 0. В самом деле, если по-
помножить обе части этого равенства скалярно на ф( A = 1, ..., N),
§ 14,6. ОРТОГОНАЛЬНАЯ СИСТЕМА 165
то на основании линейных свойств скалярного произведения
получим
N \
2 а*Фй. Фг =¦¦ ai (фь Фг) =
1 /
и так как (<р,, <р',) > 0, то а, = О (Z = 1, ..., п).
Если /eff- произвольный элемент, то число
ПГ-ШГ (/' Vh) (ft = 1, 2, ...)
называется коэффициентом Фурье / относительно элемента
ортогональной системы A).
Ряд
оо
Ц2
ft II
(порождаемый элементом /ей) называется рядом Фурье, эле-
элемента / /го ортогональной системе A) (в честь французского ма-
математика Ж. Б. Фурье A768—1830), которому принадлежат пер-
первые фундаментальные исследования, относящиеся к представле-
представлению функций тригонометрическими рядами).
Если система A) ортонормирована, то Нф^И ¦= 1 (k — l, 2, ...)
и ряд Фурье /ей записывается еще проще:
оо
/~2</,Ф*)ф*. C)
1
Коэффициентами Фурье в этом случае являются числа (/, ф„).
В дальнейшем мы будем рассматривать только ортонормирован-
ные системы (Ik Переход от них. к произвольным ортогональным
системам носит технический характер.
Отметим уже сейчас, что тригонометрические функции
-у-, cos х, sin я, cos 2x, sin2a;, ...
образуют ортогональную систему в пространстве Ь2ф, 2п) (или
Li@, 2я)) функций с интегрируемым квадратом модуля на [0, 2я].
Ряды Фурье по этой конкретной системе будут специально изу-
изучаться нами в гл. 15. Пространство Ь2 @, 2я) (L2 @, 2я)) есть
частный случай линейного пространства Н со скалярным произ-
произведением, и все результаты, которые мы получим в этой главе
для 11, соответственно переносятся на Ьг @, л) (L2 @, 2я)).
Итак, пусть задана ортоиормированная система элементов A)
в Н. Зададим еще элемент / е // и поставим задачу: требуется
среди всевозможных чисел аи аг, ..., а» (комплексных или дей-
действительных соответственно в комплексном или действительном
166
ГЛ. 14. ЛИНЕЙНОЕ НОРМИРОВАНИЕ ПРОСТРАНСТВА
пространстве //) найти такие, для которых норма
л
/-2<
обращается в минимум.
Имеем
= / — 2
ь, / — 2
/, п *S* \~~ (f \ U г/ A "~ W -I- ^ I n I2
1 1
= </,/)+ 21«I - (/, фО I2 - 2 I /, Фг \г> (/,-/) - 21 (/, Ф11J. E)
При этом оценка справа достигается, очевидно, для чисел
а, = (/, Ф,) A = 1, 2, ..., N)
и только для них. Эти числа (/, ф;) мы назвали коэффициентами
Фурье элемента / относительно элементов ф, ортопормпровашшй
системы.
Полученный результат можно записать в виде цепи равенств:
ak
- 2|(/,ФЛ)|2
1/2
F)
Первый член этой цепи EN(f)u есть обозначение минимума по
ah, записанного во втором члене. Его называют наилучшим при-
приближением элемента /е// (в метрике Н) при помощи линейных
N
комбинаций вида ^айфй, где ak— произвольные числа (комплекс-
1
кые, соответственно действительные). Третий член цепи выражает,
что наилучшее приближение достигается, когда числа ak явля-
являются коэффициентами Фурье / относительно ер*, т. е. при ак —
— (/, фА). Наконец, последний, четвертый член дает явное выра-
выражение для наилучшего приближения / через (/, /) и коэффициен-
коэффициенты Фурье if, yh) (к=1, ..., N).
Ясно, что EN(j)H>0, так как это числи есть минимум неотри-
неотрицательной нормы. Ясно также, что Z?*(/)h не возрастает при воз-
возрастании N. Это видно из последнего члена формулы F), но это
видно и из второго члена:
IN || JV+1 II
/ — -2j°vpfc ^ mln / — 2л'
1 ак U 1
§ 14.6. ОРТОГОНАЛЬНАЯ СИСТЕМА 167
N N+1
потому что еумма 2 есть частный случай суммы 2 ПРП
Из сказанного следует, что для любого элемента / е // суще-
существует предел
ЛТ->оо
= "I/ (/, /) - 2I (/, Фь) I2 = Hm I / - S (/, ФО ФьI > 0, G)
' 1 JV-.K.II h=l ||
В частности, отсюда следует, что ряд, состоящий из квадратов
модулей коэффициентов элемента /efl, сходится и выполняется
неравенство
оо
2|(/, Ф„)|2 <(/,/), (8)
1
называемое неравенством Парсеваля для элемента /.
Термин неравенство здесь употребляется в том смысле, что
утверждается, что левая часть (8) пе превышает правую. На са-
самом деле может оказаться, что для тех или иных элементов /,
а может быть и для~ всех соотношение (8) есть точное равенство.
Тогда оно называется равенством Парсеваля*).
Условимся говорить, что ряд
и0 + и^ + ц2 + '...
элементов ukе Я сходится в метрике Н к элементу /е}], если
для его n-ii суммы sn(^H)
sn — u0+Ui + ...-+ ип (п — 1, 2, ...)
имеет место соотношение
При этом пишут
оо
t = "о + Щ + Щ + ... = 2 % (9)
о
и говорят, что / есть сумма ряда, сходящегося к / в метрике Н.
Допустим, что в равенствах G) для данного элемента / случи-
случилось, что 1 = 0. Разберемся, что тогда выражает равенство нулю
остальных трех членов G).
1) Равенство нулю второго члена G) может быть эквивалент-
эквивалентно выражено на следующем языке: для любого г > 0 можно
*) М. Парсеваль — французский математик, получивший это неравен-*
ство в 1805 г. для тригоиометрических систем.
168 ГЛ. 14. ЛИНЕЙНОЕ НОРМИРОВАНИЕ ПРОСТРАНСТВА
указать такое No и числассх, ..., сздп, что
< в. A0)
¦о
N.
В самом деле, если указанные числа No, ay, ..., ос^о найдены,
то зафиксируем No и возьмем минимум левой «части по ак. Тогда
получим
в > E»(j)H > Е„Ц)Я Ш > No),
т. в. EN(f) -+0 (N -+¦ °°). Наоборот, из этого последнего свойства
следует, что для любого е > 0 можно указать N такое, что
/ — 2«ft<p>J К =f (/
2) Равенство нулю третьего" члена G) выражает, что для рас->
сматриваемого элемента / имеет место точное равенство Пар-
севаля.
3) Равенство же нулю четвертого члена G) выражает, что ряд
Фурье / по системе F) сходится к / в смысле метрики, опреде-
определенной в Я.
Так как свойства 1), 2), 3) могут иметь место только одновре*
менно, то выполнение одного из них для какого-нибудь элемента
влечет за собой выполнение двух'остальных.
Напомним, что свойство 1), если оно выполняется для всех
элементов / е Н, выражает (см. § 14.5), что система элементов cpi,
Фг, фз, ... полна в //.
Из сказанного как следствие вытекает следующая важная
Теорема 1. Для того чтобы ортонормированная система
элементов ф(, ф2, фз, ... была полной в Н, необходимо и доста*
точно выполнение одного из следующих условий:.
а) Ряд Фурье произвольного элемента f^H
¦сходится к / в метрике И (и в этом соотношении можно заменить
~ на =, см. (9)).
б) Для каждого элемента /еЯ имеет место равенство Пар-
севаля:
Отметим лемму:
Лемма 1. Пусть имеет место равенство
f = щ + Mi + иг + ...,
§ 14.6. ОРТОГОНАЛЬНАЯ СИСТЕМА 163
где f, uke H и ряд сходится в метрике П{к /). Тогда для любого
элемента v е //
(/, v) = (uc, v) + (и„ v) + (u2, v) +'...,
где, таким образом, числовой ряд справа сходится к (/, и),
В самом деле,
JV | / JV
(/,")-2 («*,«
о
Следствие. Если ряд
/ = 2<vp*. (Н)
г<5е ocft — числа, а фи ф2, ... — ортонорМированная система, сходит*
ся в метрике Н к некоторому элементу / е //, го числа -а, — ке-
обходимо коэффициенты Фурье /:
а.~(/,Ф.) (*«=1,2, ...), A2)
г. е. разложение / в указанный ряд единственно.
Действительно, если умножить скалярно члены обеих частей
равенства A1) на ф„, то на основании леммы 1 получим A2).
Теорема 2. Если ортогональная и нормальная система A)
полна в Н, то для любых двух элементов /, tpefl имеет место
числовое равенство
оо
(/» ф) = 2 (/, фй) (ф, Фя) A3)
где, таким образом, ряд справа сходится к числу (/, ф).
В самом деле, из полноты системы A) на основании теоре-
теоремы 1 следует, что ряд
/ = 2(/,Ф*)<Р* A4)
сходится к / в метрике Н. Теперь A3) получается из A4), если
скалярно умножить все члены левой и правой частей A4) на ф:
(/, ф) = 2 (А Фа) (ф*. ф) = 2 (/, ф*) (Ф. Фа).
1 1
Что законно в силу леммы 1.
Равенство A3) содержит в себе, в частности, при f =
равенство Парсеваля.
170 ГЛ. 14. ЛИНЕЙНОЕ НОРМИРОВАНИЕ ПРОСТРАНСТВА
Введем еще определение. Ортонормированная система A)
замкнута, если из того, что для элемента (fetf выполняются
равенства
(ф, ф,)=0 (fc = l, 2, ...), A5)
следует, что "§ есть нулевой элемент Жг|) = 0).
Из равенства Парсеваля для полной системы вытекает
Теорема 3. Из полноты ортонормированной системы сле-
следует ее замкнутость.
Все утверждения, доказанные в этом параграфе выше, верпы
как для полного, так и не полного*) пространства //. В частно-
частности, они верны для "пространства L2(Q), которое, как мы зна-
знаем, не полно.
Ниже" мы приводим ряд утверждений, где от II требуется
полнота.
Итак, пусть II есть полное линейное бесконечномерное про-
пространство со скалярным произведением — гильбертово простран-
пространство (таким является пространство />2(Q)).
Теорема 4. Ряд по ортонормированой системе
где
оо
2KF<°°, (ic.)
сходится в метрике II к некоторому элементу ц> е //,
Доказательство. Пусть
п
1
В силу сходимости ряда A6) для всякого е >0 найдется та-
такое N, что для п > N и всякого р
п+р п+р
. 2 ^ VI I |2 VI
П+\ I+1
Это показывает, что последовательность элементов sn e II удов-
удовлетворяет условию Коши и вследствие полноты II существует
элемент ф^Я, к которому эта последовательность сходится (в
метрике II), что и доказывает теорему.
Теорема 5. Ряд Фурье
I „
I sn+p —
A7)
1
произвольного' элемента j е // сходится (в метрике Н) к некого*
*) Полная система в Я и полпое пространство Н — разные вещи. На-
Например, система cpi, может быть полной в неполном пространство //,
§ 14.6. ОРТОГОНАЛЬНАЯ СИСТЕМА 171
рому элементу феЯ ii при этом элемент } — ф ортогонален ко
всем (fh:
(/-Ф, фй)=0 (fc = l, 2, ...).
Доказательство. Согласно неравенству Парсеваля ряд
2 К/, ф/,I2 <(/,/)
1
сходится. Поэтому в силу предыдущей теоремы ряд A7) сходит-
сходится к некоторому элементу ф^Я:
Итак,
/ — ср = / — 2 (/, Фа) фй,
где справа стоит ряд, сходящийся в метрике Н. Помножим ска-
лярно все члены последнего равенства на элемент ф». Тогда по-
получим
(/ - ф, Ф.) = (/, Ф.) -•(/, Ф.) = 0 (s = 1, 2, ...),
Утвернсдение доказано.
Докажем обратную теорему к теореме 3 (при условии пол-
полноты Н).
Теорема 6. Если Н полно, то из замкнутости, оргонорми-
рованной системы A) следует её полнота.
Доказательство. Пусть система A) замкнута, но не пол-
полна. Тогда на основании -теоремы 1 должен найтись элемент
/е// такой, что его ряд Фурье не сходится к нему. Но он схо-
сходится, как было доказано выше, к некоторому элементу феЯ,
и элемент / — ф ортогонален ко всем ц>к (к = 1, 2, ...). Но вслед-
вследствие замкнутости системы в таком случае / — ф = 0, т. е. / = ф,
и мы пришли к противоречию.
Пример 1. h обозначает множество последовательностей
o = (ai, a», ...)
(комплексных или дествительных) чисел, для которых конечна
норма
' \1/2
Если ае?2 и 3= (Pi, (Ь, ...) е/г, то при любом натуральном п (см.
§ 6.2, (9)).
I \1/2 / п \1/2
B)
поэтому ряд (a, P)=2ajPj абсолютно сходится.
1
172 ГЛ. 14. ЛИНЕЙНОЕ НОРМИРОВАНИЕ ПРОСТРАНСТВА
Легко проверяется, что (а, fl) подчиняется условиям 1), 2), 3) скаляр-
скалярного произведения, порождающего норму A8) (см. § 6.2) с нулевым эле-
элементом в = @, 0, 0, ...). Следовательно, 1%— линейное пространство со ска-
скалярным произведением. Оно к тому ж'е полно и бесконечномерно, таким об-
образом, гильбертово. В самом деле, пусть дана последовательность элемен-
элементов Kft = (aj, d\, ,..jei8 (A=l, 2, ...), удовлетворяющая условию Ко-
ши, т. е. для всякого е > 0 найдется N такое, что
Следовательно, при любом/ etj-xxj (fe-*oo), и мы полумили числовую по-
последовательность а = (а», а,г, ...). Она принадлежит к h, потому что
каково бы ни было натуральное п. Поэтому
1/2
2Kjn = II «fe — «|| (*>ЛГ). A9)
Таким образом, а* — и е ^; но а* е ^, поэтому и а е ^- Наконец, неравенст-
неравенство A9) говорит, что наша последовательность элементов а1, а2, а3, ... схо-
сходится к а е h в метрике 1г. Этим полнота /г доказана.
Определим в 12 элементы (множество их счетно)
в» = @,0 0, 1,0,0,...) (к = 1,2, ...),
где 1 стоит на к-ы месте, а на остальных мостах стоят пули. Опи образуют
ортогональную и нормальную (следовательно, линейно независимую) сис-
систему:
(е\е<),= 6„; (Л, 1 = 1,2,...).
Если a == (он, аг, аз, ...)—произвольный элемент из h, то, очевидно,
aA=(a, е") (А = 1, 2, ...)
где ряд справа сходится к а в метрике h, так как
|«-2(«. еЛ)еА| = |@,0,...,0,а^+1,а^+2, ...)|| =
kl/2
/ сю
2 I %
\W+1
Мы видим, что произвольный элемент a e ^ разлагается в сходящийся
к пему в метрике h ряд Фурье по элементам ортогональной и нормальной
системы {е*}. Таким образом, система {efe} полна в 1г.
Теорема 7. Пусть в линейном пространстве Н со скаляр-
скалярным произведением имеется полная ортонормированная система
элементов (бесконечная)
Фи фг, фз, ... B0)
§ 14.6. ОРТОГОНАЛЬНАЯ СИСТЕМА 173
и каждый элемент f^H разложен в ряд Фурье по этой системе:
2 B1)
а* = (/,Ф*) (А = 1,2,...), B2)
сходящийся к / в метрике И (см. теорему 1). Тогда, если Н пол-
полно, то равенство B1) осуществляет взаимно однозначное соот-
соответствие / ~ а = (at, a2, ...) между элементами И и 12, изоморф-
изоморфное относительно операций сложения, умножения на число и
скалярного произведения, т. е. v если / ~ а, ер ~ р, то / + ф ~
~a + P, c/~ca,
(/, Ф)н = 2«& = («, Р)(,. B3)
Если же Н не полно, то B1) осуществляет соответствие {линей-
{линейное и изоморфное) между II и 1г, где 12 — некоторое линейное
не полное подпространство 1г, однако такое, что замыкание 1г
есть 12 (/2 = О-
Доказательство. Операцию B1), приводящую в соответ-
соответствие каждому элементу / е Н числовую последовательность а =
= (cci, a2, ...), обозначим через А, при этом в силу полноты си-
системы B0) имеет место равенство Парсеваля {Af = a e /2)
Очевидно, А — линейная операция:
{с — числа, /, ф^Д). Больше того, на основании теоремы 2 име-
имеет место равенство B3), более общее, чем B4).
Двум разным элементам /', /" е # при помощи операции А
соответствуют разные элементы a', a" e|2i так как из равен-
равенства Af = Af" —а следует, что A(f — /")=6, и тогда ряд Фу-
Фурье /'—/" по системе B0) имеет вид
/' - Г = 0 • q>, + 0 • <р, + ...
Он в силу полноты системы B0) должешхходиться в метрике И
к /' - /", но тогда /' - /" = 8, т. е. /' = Г.
Пусть теперь Н — полное пространство. Зададим произволь-
произвольный элемент а — (а4) а2, ...)&1г и составим формально ряд
оо
B5)
В силу сходимости ряда 21 al \ < °° и полноты II (теорема А\
i
174 ГЛ. 14. ЛИНЕЙНОЕ НОРМИРОВАНИЕ ПРОСТРАНСТВА
существует элемент ф е # (единственный), к которому ряд B5)
сходится:
оо
ф = _? 0:,^, (Л>)
1
Ряд B6) есть ряд Фурье ф (см. следствие к лемме 1).
Мы доказали, что каков бы ни был элемент a <s /,? существу-
существует единственный элемент ф е // такой, что Л ф = а. Это свойство
вместе с уже установленными выше свойствами А можно резю-
резюмировать так: если // полно, то операция А устанавливает вза-
взаимно однозначное соответствие II ч* /2, изоморфное относительно
операций сложения, умножения па число и скалярного произве-
произведения. Этим доказана первая часть утверждения теоремы 7.
Пусть теперь // не полно. Обозначим через 1% образ II при
помощи операции А\1% = АН). На основании доказанного выше
А устанавливает взаимно однозначное соответствие Н зФ 12, изо-
изоморфное относительно сложения, умножения па число и скаляр-
скалярного произведения.
В II имеется последовательность элементов /', /2, f, ..., удов-
удовлетворяющая условию Коши, но не. сходящаяся в Н к какому бы
то пи было элементу из II. Имеем, что для любого е > 0 выпол-
выполняется неравенство
для всех к, l> N при достаточно большом N, показывающее, что
образы ak — Ар удовлетворяют условию Коши в метрике число-
числовых последовательностей h. Но пространство h полно, поэтому
существует элемент аеB такой, что |ос — сс''||( —*¦ 0 (к—*- оо). При
этом среди элементов, принадлежащих к II, яе может существо-
существовать элемента /, для которого бы Af = а, ведь если бы он суще-
существовал, то было бы
j a — a''||;2 =|/ — /*||л-»-0 (/с->оо),
и мы пришли бы к противоречию с предположением.
Это показывает, что h есть не полное пространство. Но за-
замыкание h есть li{h — l-i)r потому что, каков бы ни был эле-
элемент a = (cd, a2, ...) «s ?2) элементы a" = (alt a2, ..., aN, 0, 0,...)
при любом N принадлежат к 1% и в то же время | ос — осл'|/ —>-
—>-0 (N —*¦ оо)(сс№ е 12 потому, что суммы Saftff'hs H¦> ведь <рAбз
1
е Я, а Н — линейное множество). -
Этим доказано и второе утверждение теоремы.
Пример 2. Пусть ДьД'а, Дз, ... — кубы, принадлежащие к Q и пере-
пересекающиеся попарно разве что ро своим границам, и пусть
§ 14.7. ОРТОГОНАЛИЗАЦИЯ СИСТЕМЫ 175
где
х<=Д,,
;
Система B7), очевидно, ортогональная и нормальная, по не полная в L% (Q)
A1 Lz(Q)\), потому что, например, ряд Фурье функции
ji|>(x) на Дх,
/(Х)==| 0 вне Дх,
где \$ (х) — функция непрерывная, тождественно не равиая никакой посто-
постоянной, имеет вид
B8)
и правая часть B8) вовсе по сходится в смысле среднего квадритического
к левой.
§ 14.7. Ортогонализация системы
Теорема 1. Пусть в действительном линейном простран-
пространстве И со скалярным произведением задана линейно независи-
независимая система элементов
1|>1, ^2, tyt, ... A)
Существует и притом единственная, с точностью до знаков орто-
ортогональная и нормальная система элементов
фь фг, фз, ..., B)
принадлежащих II, обладающая следующим свойством:
При любом натуральном к
к-Х^'% W^O), C)
и, наоборот,
Ф*=?й% (fr#o), D)
еде Щ \ р) — числа (действительные).
Если система A) конечна и состоит из п элементов, то и ор~
гогональная система B) обладает этим свойством.
Выражение «единственная система ф(, ф2, ... с точностью до
знаков» надо понимать в том смысле, что если система B), удов-
удовлетворяющая условиям теоремы, найдена и если все фА помно-
помножить на бл = ±1, где знаки ± могут зависеть от к, то получен-
полученные системы, снова удовлетворяют условиям теоремы, но ника-
никаких других удовлетворяющих условиям теоремы систем нет,
17C
ГЛ. 14. ЛИНЕЙНОЕ НОРМИРОВАНИЕ ПРОСТРАНСТВА
Доказательство. Элемент г^ образует по условию ли-
линейно независимую систему-, состоящую из одного элемента,
и потому
Л11 (I/20
так как должно быть фг =
Тогда и i|)i = «11)ф1, где
ilh, fcpj
= ± ||л|)х|
1, то р^1' =
(=? 0).
| ф1 |||х|| 0). „Этим утверждение
доказано при /с = 1.
Пусть теперь известно, что можно построить ортогональную
и нормальную систему элементов фм ..., cpft и притом единствен-
единственным образом с точностью до знака, так что выполняются равен-
равенства C) и D). Покажем, что эту систему можно пополнить эле-
элементом срь-и и притом единственным образом с точностью до
знака так, что полученная система q)i, ..., фй+1 будет ортогональ-
ортогональной и нормальной и будет удовлетворять условиям C) и D), где
надо заменить к на к + 1.
Искомый элемент фд+1 должен иметь вид
h+i ft
E)
Во втором равенстве мы заменили ifi, ..., tyh на равные им ли-
линейные комбинации из ф,- с индексами / «? к, затем привели по-
подобные при одинаковых ф^. Это возможно потому, что утвержде-
утверждение верно при к. По условию элемент фй+) должен быть ортого-
ортогональным ко всем ф* (s = 1, ..., к); поэтому должно быть
^ h+l, ф«) + Та = 0 E = 1,..., к).
(фк+1, Ф.) =
Но тогда, подставляя
получим
ft
— 2 (
Элемент
= Itft+i — 2 (tft+i. ф;) ф^
3=1
не может быть нулевым, потому что иначе элемент \J5ft+i был бы
линейной комбинацией из элементов ф; (/= 1, ..., к); но тогда
на основании уже доказанного при к элемент т!рк+1 был бы также
линейной комбинацией из элементов \|з3- (;' = 1, ..., к), что проти-
противоречило бы линейной независимости системы i^, .,., %_!.
Итак,
Это позволяет удовлетворить требованию Il<pft+IM = 1, в силу кото-
§ 14.7. ОРТОГОНАЛИЗАЦИЯ СИСТЕМЫ 177
рого число P/j+i определяется с точностью до знака:
Рй+1 = ±
Теорема доказана.
Процесс, при помощи которого строилась ортогопальная и
нормальная система B), в указанном выше смысле эквивалент-
пая линейно независимой системе A), называется процессом ор~
тогонализации (системы A)).
Теорема' 2. Системы элементов из Н
Фи фа, фз, ... F)
и
г|)н Ь, Ъ, ••• G)
связанные при любом к — \, 2, ... соотношениями C) и D), од-
одновременно полны или же не полны в Н.
Здесь // можно считать произвольным нормированным про-
пространством, в котором может и не быть определено скалярное
произведение.
В самом деле, пусть система F) полна в Я и / — произволь-
произвольный элемент Н. Тогда для любого 8 > 0 найдется сумма вида
JV
2аьФй, (8)
1
где <xh — числа, такая, что
Но в силу равенств D) сумма (8) есть некая сумма вида
РА,
где Рь — числа, поэтому система G) полна в //.
Аналогично доказывается с помощью равенств C), что пол-
полнота системы G) влечет полноту системы F).
Теорема 3. Пусть Н есть пространство со,скалярным произведением,
обладающее следующим свойством: существует в Н линейно независимая
система элементов
¦Фи Фа •••,*« (9)
такая, что, каковы бы ни были элементы f^H и положительное число б
> 0, найдутся (зависящие от г) числа аь ..., ап такие, что
A0)
178 ГЛ. 14. ЛИНЕЙНОЕ НОРМИРОВАНИЕ ПРОСТРАНСТВА
Тогда найдутся'также числа fii, ..., р"„ такие, что
/ = |РЛ, (И)
т. е. И есть п-мерное пространство.
Доказательство. Ортогонализуем систему (9) и в результате по-
получим ортогональную и нормальную систему
Ф,, ...,<Рп. A2)
Очевидпо, что для всяких элемента /е//и числа 8 > 0 найдутся чис-
числа яь ..., ап такие, что
п
е>
/-2efc4>fcb/-2(/,<ph)<pJ' (is)
где второе неравенство написано в силу минимального свойства ортогональ-
ортогональной » нормальной системы (см. § 14.6, F)). Но третий член в цепи A3)
не зависит от е, которое произвольно. Поэтому он равен нулю, т. е.
Чтобы получить (И), остается только <pft в A4) заменить па соответствую-
соответствующие линейные комбинации из ф*.
Таким образом, мы доказали лемму 1 § 14.5 в предположении, что Е —>
пространство со скалярным произведением.
§ 14.8. Свойства пространств L2 (Q) й L% (Q)
Пространство L% (Q) было определено как пространство
функций fix) таких, что их интегралы )/(x)dx, если имеют, то
h
конечное число особых точек, и так, что норма
/
конечна. Так как в этом определении интеграл мы понимаем
в римановском (вообще несобственном) смысле, то пространство
L,(Q) не полно (§ 19.7). Однако пространство ^2(Q) обла-
обладает многими свойствами, которым обладает гильбертово (пол-
(полное) пространство LZ(Q), определение которого базируется на
понятии интеграла Лебега. Перечислим основные из этих свойств,
хотя почти обо всех них мы уже говорили.
1) Для любых двух функций /, ф е L2 (Q) имеет смысл ска-
скалярное произведение
(/. Ф) = [/ф<*х.
а
порождающее норму A).
§ 14.8. СВОЙСТВА ПРОСТРАНСТВ ?2(Q) и La (й) 179
2) В L2 (Q) имеется счетная система функций
Мх), Я,,(х), Я,,(х), ... B)
(кусочно постоянных с рациональными параметрами), шготцая в.
L't (Й)" (Lt (Й)) (теорема 5, § 14.4).
3) Ьг (Й) — -бесконечномерное пространство; в нем имеется
бесконечная линейно независимая система функций (например,,
характеристических функций кубов Д с: Q? см. пример 2, § 14.6),
4) Благодаря свойствам 2), 3) пространство L2(Q) называ-
называется сепарабельным (счетномерыым). Из сепарабельности прост-
пространства ?2 (й) следует, что из системы' B) (плотной в L2(Q)}
можно выбросить некоторые элементы так, что оставшаяся си-
система
1|5,(х), \|32Ы, 1|K(Х), ... C)
будет линейно независимой и полпой в Ьг (Q) (см. доказатель-
доказательство теоремы 2, § 14.5).
5) Полную линейно независимую систему C) можно ортого-
нализировать и получить снова полную в L2{Q), но уже ортого-
ортогональную и нормальную счетную систему функций
<Pi(x), <р2Ы, ф3(х), ... D>
(теоремы 1 и 2, § 14.7). Это показывает существование в Ь2 ()
полной ортогональной и нормальной системы функций. На самом
деле таких систем имеется бесконечное множество, подобно тому
как в трехмерном евклидовом пространстве имеется бесконечное
число троек попарно перпендикулярных единичных векторов.
С некоторыми такими важными системами мы еще будем
иметь дело.
6) Всякую функцию /g4(Q) можно разложить в ряд Фу-
Фурье по ортогональной и нормальной системе D)
сходящийся вследствие ее полноты к fix) в смысле среднего-
квадратического. При этом числа (коэффициенты Фурье /)
а» = (/, ф») E)
подчиняются равенству Парсеваля
(/,/) = 2К12<°° (б>
1
(теорема 1, § 14.6).
180 ГЛ. 14. ЛИНЕЙНОЕ НОРМИРОВАНИЕ ПРОСТРАНСТВА
Равенства E) устанавливают взаимно однозначное соответ-
соответствие
L't (О) ч* l't G)
между функциями / е ?2.(^) и числовыми последовательностя-
последовательностями а = («!, а2, ...) е l2 cz Z2, где Z2 есть некоторое не полное ли-
линейное подпространство 1г. При этом соответствие G) есть изомор-
изоморфизм относительно операций сложения, умножения на число и
скалярного произведения (теорема 7, § 14.6).
В силу изоморфизма G) неполному пространству Ьг{0) со-
соответствует тоже не полное подпространство /г с: 12. Однако за-
замыкание l-z есть l.2\h — h)-
Сделаем теперь соответствующие замечания относительно
пространства L2(Q) функций, квадраты модулей которых интег-
интегрируемы па Q в лебеговом смысле.
Как уже отмечалось выше, Z,2(Q) есть линейное полное про-
пространство со скалярным произведением. Кусочно постоянные
функции с рациональными параметрами (см. § 14.4) образуют в
L2(Q) плотное множество, так же как они образуют плотное мно-
множество в Z/2(Q). Но тогда ортогональная и нормальная система
<4) является полной не только в ?2(?2), по и в L2(Q).
Теперь па основании теоремы 7 § 14.6 можно сказать, что
равенства E) устанавливают взаимно однозначное и изоморфное
(относительно операций сложения, умножения на число и ска-
скалярного произведения) соответствие
L,(Q) *«= h (8)
между элементами L2(Q) и всеми элементами 12. Далее, замыка-
замыкание Ь2 (Q) в метрике L2(Q) есть L2(S2), потому что если / есть
произвольная функция из L2(Q), то ей в силу изоморфизма (8)
соответствует элемент а = (а*, а2, • ¦ •) s h и
N
/(х) —2jaft<Pft(x)
= S|aft|a->0 (Л'->оо), (9)
N + l
где суммы 2алФье -^2 (й), а интеграл (9) понимается в лебе-
1
1
говом смысле.
§ 14.9. Полнота системы функций в С, L% и V {Ьг, L)
Теорема. Пусть Q—"открытое измеримое (ограниченное)
множество.
1) Если система функций
Фи фа, фз, •¦•
§ 14,9. ПОЛНОТА СИСТЕМЫ ФУНКЦИЙ В С, Ь% и V (L2, L)
181
полна в С(п), то она полна и в L2(Q). 2) Если же она полна
в Z/2(Q), то полна и в L'{Q).
Доказательство. Имеют место очевидные неравенства
N
1
4
44>h (x)
N
1
г
dx
dx
Vl/2
<v
r i [
max
X
/-
/(x) —
JV
1
2«
1
2 >
J
Wh (x)
л/а
I'
- A)
B)
(cm. § 14.2 A3)). Первое из них верно в предположении, что фй,
f^C(Q), а второе — что ф4, /et2(Q)(i2).
Если система срй полна в C(fi)(L2(Q) или L2(Q)), то най-
дется конечная сумма 2jO,h(ph, для которой правая часть в A)
1
(соответственно в B)) меньше е. Но тогда и левая меньше е.
Упражнение.
1. Доказать более общее утверждение: если система A) полна в C(Q),
то и в Lp (Q) A <; р < оо), • если же она полна в ь'рГ (Q) и 1 ^ р < р' <
< оо, то полна также в Lp(Q), где Q — измеримое (ограниченное) множе-
множество.
Глава 15
РЯДЫ ФУРЬЕ. ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ ПОЛИНОМАМИ
§ 15.1. Предварительные сведения
Система тригонометрических функций
j, cos х, sin x, cos 2х, sin Зх, ... A)
ортогональна па отрезке [0,2л], т. е. интеграл на [0, 2л] от про-
произведения двух разных функций этой системы равен нулю. Ото
вытекает из равенств
2Л
J cos kx cos lx dx = О (к ф Z, А:, Ь = 0,1, . ..),
о
2л
j sin kx sin lx dx = 0 (кф I, к, I = 1, 2, ...),
n
J cos fe sin lx dx = 0 (/« = 0,1, ...; I — 1, 2, ...),
0
2Л 2Л
J cos2 /от йл; == J sin2 kx dx — л (к = 1, 2, ...),
о.
о
Эта глава посвящена теории тригонометрических рядов и во-
вопросам приближения функций тригонометрическими полиномами.
Функция fix) называется периодической периода 2<а > 0, если
она определена-на всей действительной оси и для всякого х удов-
удовлетворяет условию
fix + 2а) = fix).
Если для такой функции. существует интеграл (собственный или
несобственный)
. о
g 15.1. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
183
то, каково бы ни было действительное число а,
а-Ь2о) 2(i)
j f(x)dx=] f{x)dx.
B)
Это видно из рис. 15.1: одинаково затушеваиные площади-равны.
У,,
ш
О а-2кю2ш 2кш a 2(kti)m а*2ш х
Рис. 15.1.
Но это можно доказать формально. Существует едипственпое на-
натуральное число к такое, что. 2ка> ^ а < 2(/с + 1)<д и, очевидно,
a+2B
j f(x)dx= J f (х — 2Ы) dx = \ f{z)dz,
a a a—2fto)
t2B а+20) а—2йи
J f (x)dx = \ f(x — 2 (к -i- i) a) dx — \ f (z) dz.
,2№+1)ш 2(Л+1)и О
Складывая эти равенства, получим B).
Очень часто в случае функций периода 2ш пригодится упот-
употреблять равенство
2га ,20)
О О
где х может быть любым значением. Действительно, воспользо-
воспользовавшись B), имеем
20) 2A)—X 2@
^ f (t-г-х) dt = \ f{z)dz=\f (t) dt.
о —х о
Это равенство будет часто употребляться без пояснепий.
Функции системы A) являются периодическими периода 2я.
При это^г функции 1, cosх, cos2x, ... — четные и функции sinx,
sin 2x, ... — нечетные.
Для четных функций fix)
ъ ъ
\ f(x)dx=2$f {x) dx
-в о
184 ГЛ. 15. РЯДЫ ФУРЬЕ. ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ ПОЛИНОМАМИ
и для нечетных
ь
\ / {х) dx = О,
-ь
Сумма вида
п
Тп (х) — -— 4- 2d (a/i cos ^х
1
где ah, bk — постоянные числа, называется тригонометрическим
полиномом порядка (или степени) п.
Тригонометрические полиномы мы будем считать простейшими
периодическими функциями периода 2л. Ими мы будем прибли-
приближать другие более или менее произвольные функции периода 2л.
Функцию fix) периода 2<о можно заменить функцией F(u) =
= /(мш/л) периода 2л с помощью подстановки х=иа/п, прибли-
приблизить эту вторую функцию некоторым тригонометрическим поли-
полиномом F(u) ~ ТпЫ) и затем вернуться к переменной х:
Условимся о некоторых обозначениях и терминологии. С(а, Ь)
есть (§ 14.1) пространство (класс) непрерывных на отрезке [а,Ъ\
функций / с нормой
1/||с(а.ь)= max
Ь
С* есть пространство (масс) функций /, непрерывных на дей-
действительной оси и имеющих период 2л, с нормой
|/||с* = max \f{x)\ = max
+
(а — произвольное действительное число).
Функцию /еС* можно считать принадлежащей С@, 2л) (С* с:'
сС@,2л)), рассматривая ее только па отрезке [0,2л]. Однако
при этом получается не всякая фупкция пространства С@,2л),
а такая, что ее значения на концах периода равны между собой:
C)
Наоборот, функция /еС@, 2л), удовлетворяющая условию C),
после периодического продолжения с периодом 2л превращается
в функцию класса С*.
L'* есть пространство (класс) функций периода 2л, которые,
если их рассматривать на отрезке [0, 2л], принадлежат к L'{0, 2л)
с нормой (см. § 14.2)
= | \fW\dX,
0
§ 15.1. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ 185
Про функцию fix) s U* еще говорят, что она периодическая
(периода 2я), абсолютно интегрируемая (на периоде) функция.
Напомним, что функция /е L'iO, 2л), если ее интеграл
2Л
\f{x)dx D)
существует по Риману или имеет конечное число особых точек
и сходится в несобственном смысле абсолютно (см. § 9.16). L%
есть пространство (класс) функций / периода 2я, которые если их
рассматривать на отрезке [0, 2я], принадлежат к Ь2@, 2я) с нор-
нормой (см. § 14.3)
Про функцию / (х) е Ь% говорят еще, что она периодическая
(периода 2л) функция с интегрируемым квадратом модуля (на
периоде) или еще, в действительном случае, с интегрируемым
квадратом. Напомним, что функция /eij @, 2л) интегрируема по
Риману на [0, 2л] или, если ее интеграл D) имеет конечное число
особых точек, то квадрат ее модуля интегрируем в несобственном
смысле. Подчеркнем еще, что L2 czL (см. § 14.2, A3)).
В теории рядов Фурье еще более естественно рассматривать
классы (пространства) L* и L2 функций периода 2л, принадле-
принадлежащих лебеговым пространствам L@,2л) и соответственно
L2@, 2я).
Читатель уже заметил, что в наших обозначениях звездочка
указывает на периодичность (с периодом 2л) функций, составля-
составляющих класс.
Функции / указанных классов могут быть действительными
и комплексными функциями fix) = ф(я) + ity(x) от одной перемен-
переменной х, поэтому, например, мы говорим «квадрат модуля» функции,
а не просто «квадрат функции», что только в действительном слу-
случае одно и то же.
Система тригонометрических функций A) ортогональна и, как
мы узнаем в дальнейшем, полна в L2 \L2) (и даже в С*). Каж-
Каждой функции / е L2* (Lz) можно привести в соответствие ее ряд
Фурье (см. § 14.6, B)) по системе A)
f(x) ~-?¦ + ^{ (ahcoskx + bhsin кх), E)
180 ГЛ.. 15. РЯДЫ ФУРЬЕ. ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ ПОЛИНОМАМИ
где
osAfd* {к = 0,1, ...),• F)
Ьк = М /(i) sin /rf df (ft — 1, 2, .. .). G)
п
2Я
М
о
Отдельные функции -~, (а{ cos x + b^ sin х), (я2 cos2.r -t- Ъг sin 2x), ...,
входящие в правую часть E) при условиях F), G), называются
членами ряда Фурье функции f (гармониками /).
Заметим, что коэффициенты Фурье ak и bh (см. F) и G)>
имеют на самом деле смысл не только для функций / е L*, .по
и для функций /si'* (вообще f^L*). Ведь функции cos кх,-
sinkx ограничены, а функции /е//* абсолютно интегрируемы,
но тогда "pi интегралы, определяющие коэффициенты Фурье /е
esL'@, 2л), абсолютно сходятся:
2Л 2Я
| / (х) cos kx \dx^. \ | / (х) | <?г,
о
|/(;r)sinb;|<2a:< | \f{x)\dx.
Поэтому, имея в виду большую общность, мы будем по вол-
агожности рассматривать разложения в ряды Фурье функций,
принадлежащих L'*(L*).
Итак, каждой функции /ei'* (вообще f^L*) соответствует
ее ряд Фурье, независимо от того, сходится он в каких-либо точ-
точках х или нет. Существенно заметить, что если функцию /ei'*
видоизменить, прибавив к ней пулевую в L'*{L*) функцию Q(x),
т. е. такую, что
'2Л
j" | е (х) \dz = o,
о
например, видоизменить в конечном числе точек, то это не изме-
изменяет коэффициенты Фурье /-, а следовательно, и сам ряд Фурье
функции /. Совокупность коэффициентов Фурье функции называ-
называется ее спектром. Многие колебательные процессы (колебания)
в физике и технике описываются периодическими функциями,
пообще периода ш, и тогда и есть время, а y = F(u) есть ордината
колеблющейся точки, силы, скорости, силы тока, ... Если F есть
тригонометрический полином, то
Кcos ^ +bh sm it u I= т + 2* Акcos
§ 15.1. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
187
где Ah = у а\ -f- Ь|, а ф/4 определяются из уравнений a4 = cos(:pfi,
Ьй = sin фь О =С ф& < 2я.
В физике говорят, что колебательный процесс y = F{u) распа-
распадается ¦ на простейшие колебательные процессы — гармонические
колебания {гармоники)
л / &Я \ /о\
Ah cos —и — фП- (о)
\w 1
Гармоника (8) имеет частоту /с, амплитуду Ак и пачальпук»
фазу фй. На рис. 15.2 изображены три периодические периода 2л
г о I \ • si и 2.г , „ .. \ гт / ч
функции: о2 \х) = sin х ^— (сплошной линией), о3 \х)-— sin x —
sin 2х , sin З.г , . о 1 \
2 ! о— (пунктиром) и о4 (ж) = sin х — ... —
(точками).
Рис. 15.2.
Для больших ?г график суимы
схематически (не точно) ц-зображеп на рис. 15.3, что паводит па
мысль, и это будет в дальнейшем обосновано, что предельнаи
функция
S{x) = lim Sn(x) A0)
есть периодическая (периода 2л) фушшия, определяемая равеп-
стиамп
S(x) = x {-л<х<я), 5(.п) = 0. A1)
188
ГЛ, 15. РЯДЫ ФУРЬЕ. ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ ПОЛИНОМАМИ
Функция Six) разрывна в точках xh = Bk + 1)я, и потому
последователыюсть непрерывных функций {Sn(x)) не может рав-
равномерно сходиться к Six), но она все же равномерно сходится на
любом отрезке [а, Ь], принадлежащем интервалу (—л, л), вообще
любому отрезку оси х, принадлежащему интервалу, на котором
Six) имеет непрерывную производную (см. § 15.5).
Рис. 15.3.
На рис. 15.3 еще показано, что график Sn(x) возле точек хк
разрыва предельной функции Six) делает всплески. Это харак-
характерное явление для точек разрыва первого рода предельной ку-
кусочно гладкой функции, называемое явлением Гиббса, будет изу-
изучаться в § 15.9.
§ 15.2. Сумма Дирихле
Пусть задана функция /ei'* (вообще L*) и пусть
оо
/ (х) ~ ~Y + 2+ (flft C0S ^Х "^ ^h S*n ^ ^)
есть ее ряд Фурье, где, таким образом,
' (I) cos ktdt (к = 0,1,2, .. .),
bh = - \f (*) sin kt dt (k = 1,2, ...).
§ 15.2. СУММА ДИРИХЛЕ 18Г?
Частичная п-я сумма этого ряда может быть преобразована так:
п
Sn (я) = -т? + 2 (aft cos ^x + ^а sin &я) =
i
2П п 2Я
— J_ 1 / (I) dt + 2 - 1 / @ (cos ^cos ^ж +sin kt sin Аж) * —
О * О
2П
2П / п ¦> 2П
Tij' ЙЧ-2cos*('-*) /W^ = ^j Dn(t-x)f(t)dt, B)
о
где (см. § 8.2, A6))
1 v«- i «"("+!¦)*
Dn (х) ~ % ~^~ 2d C0S 2 —* ^
i s'n2"
Мы получили компактное выражение' для п-й суммы Фурье
функции fix):
)и (и) f {х -\- и) du. D)
В последнем равенстве мы воспользовались периодичностью под-
интегральной функции.
Интеграл D) называется интегралом Дирихле порядка п, а по-
полипом Dnix) — ядром Дирихле порядка п. Заметим, что при лю-
любом х и п = 0, 1, 2, ...
2Я 2П 1 п \ 2Я
о
i-^dt==i, E)
потому что
2л
J cos A (t — x)dt = j cos ktdt = O (k = 1, 2, .. .)•
о о
В последнем равенстве использована периодичность (период 2л)
функции cos И и тот факт, что она ортогональна на отрезке [0, 2л]
к функции, тождественно равной единице.
В лебеговой теории две функции из L*, равные почти всюду,
имеют один и тот же" ряд Фурье, т. е. одни и те же соответству-
соответствующие коэффициенты Фурье.
Всякий ряд вида
со
у -1 • 2 (Kfe cos kx + Р& sin hx), F)
1
190 ГЛ. 15. РЯДЫ ФУРЬЕ. ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ ПОЛИНОМАМИ
аде ак, Р* — постоянные числа (коэффициенты ряда), называется
тригонометрическим рядом.
Тригонометрический ряд становится рядом Фурье только тог-
тогда, когда существует функция / s L*, коэффициентами Фурье
которой являются соответственно числа ак, Ьк (ак = ак, Ък = р\).
Например, если установлено, что ряд F) сходится в смысле сред-
среднего квадрат ческого на [0,2л] к некоторой функции / gI2* (или
L%), то он есть ряд Фурье этой функции (см. следствие леммы
!, § 14.6).
Произведение двух четных или двух нечетных функций есть
•функция четная, в то время как произведение четной па нечет-
нечетную функцию есть функция нечетная. Поэтому, если функция
/eZ/* (или L*) —четная, то ее ряд Фурье имеет вид
2Л
a&==lj f {t) cos ktdt
потому что ее коэффициенты Ьк = 0, а если она печетиая, то со
ряд Фурье имеет вид
h = -\ f(t) sin ktdt
i '
потому что тогда ее коэффициенты ак = 0.
Если коэффициенты а», Ьк суммы Фурье n-го порядка функции f(x)
периода. 2л вычислить приближенно по формуле прямоугольников (см.
§ 10.6), разделяя период на 2га + 1 равных частой точками
2лк
*ft= 2^fT (А==0'1-' ••••2"). G)
го получим сумму
Sn (/, x) = -у- + 2^ («Ln) соз кх + Ь[п> sin kx),
2
1
2П
T 2d f (*i) coskxi
2
51 ; () lk {k = °' 1' * • •' n)'
замечательную тем, что она есть тригонометрический полипом порядка п,
интерполирующий / в узлах G). Таким образом,
/(*») =5п(/,хЛ U = 0, 1, .... 2»),
§ 15.3. ФОРМУЛЫ ДЛЯ ОСТАТКА РЯДА ФУРЬЕ 191
Легко проверить это утверждение, если учесть, что
2
2л+ 1 2 C0S kxi C0S lxi =
T 2. Sin kxi Si" ljrJ = 6«.
2 -VI
2„ i I Za sin ^j^'08 lxj ~ ° (ft, i = 0, 1, ..., га)..
}=0
§ 15.3. Формулы для остатка ряда Фурье
Для функции /е!'* (вообще L*) из формул D) и E) преды-
предыдущего параграфа следует, что
2Л
Sn (*)-/(*) = -| J Аг (") [/(* + «) ~ /И] <fe =,
О
я
= ^ §'Dn(u)Auf(x)du, (I)
—я
ГДО
()Ы B)
(разность / в точке х с шагом ш.
В этих преобразованиях мы воспользовались периодичностью
] юдынтегральной функции.
Равенство A) дает выражение для остаточного члена ряда
Фурье. Выяснение вопроса, сходится или нет ряд Фурье функции
/ в данной точке х к ее значению fix), и связанные с этим вопро-
вопросом оценки сходимости сводятся к исследованию поведения ин-
интеграла A) При П -> °°.
Зададим положительное число г\, удовлетворяющее неравен-
неравенствам 0 < т) *? я, и введем для удобства -две функции
!*(«)=
—, I и I <ть
" C)
0 ^||^
192
ГЛ. 15. РЯДЫ ФУРЬЕ. ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУЩЩИЙ ПОЛИНОМАМИ
Очевидно, — = [л (u) + v (u), — я< и < я, поэтому
г, , , sin пм , 1 sin пи , / 1 1". • .
Dn (и) = + -» cos nu = \- 1 sin пи 4-
"ч' и ' 2 и ' I им1 '
где g (и) = v (ы) +
Отметим неравенства
¦п- cos дм = (д. (u.) sin ми + ? (и) sin raw -\- у cos ди, E)
1 1
и - 2 tg у
и
2и tg y
( —Я < М < л),
показывающие, что функция g{u) ограничена на (—я, к). Кроме
того, она принадлежит, очевидно, к L'{—л, я). Мы будем считать
«е продолженной « периодом 2я на всю действительную ось.
Таким образом, g (и) s L^ и ограниченная функция.
Из A) и B) следует равенство
Sn (х) — / (х) = — I — Ди/ (х) du 4- Р« I
F)
-n
где
Pn (x) - — ) g (u) sin пиДи/ (з;) du + -^ j cos nuAu/ (x) da. G)
-я -я
В § 15.4 (замечание З) будет показано, что если функция
1^.Ь\, то
рп(х) = оA), п-+оо (8)
для любого х, где fix) конечна и Оаже равномерно на любом
отрезке [а, Ы1 где функция fix) ограничена.
Но тогда справедлива следующая важная лемма.
Лемма. Если функция /et, и ц — произвольное число,
удовлетворяющее неравенствам 0 < т) ^ и, то
(9)
-п
§ 15.4. ЛЕММЫ ОБ ОСЦИЛЛЯЦИИ
193
(см. B)) для любого х, где fix) конечна, и притом равномерно на
любом отрезке la, Ь], где функция fix) ограничена.
Для фиксированной точки х формула (9) всегда верна, лишь
бы функция / была определена в этой точке. Для того ¦чтобы
угшать, стремится ли при П-+» к нулю разность Sn(x) — fix) в
этой точке, мы должны исследовать" первый (главный) член
ь правой части (9). Второй ¦член уже стремится к нулю.
Если известно, что на некотором отрезке [а, Ь] наша функ-
функция 7 ограничена, то вопрос о том, будет ли Sn{x) стремиться к
J(x) при п -*- °° на этом отрезке или его части равномерно, зави-,
сит от решения этого вопроса для главного члена части (9),
потому что второй член уже стремится к нулю и притом равно-
равномерно на [я, Ь].
Конечно, если функция / неограничепа на отрезке la, Ы, то
она разрывна где-то на нем и ряд Фурье /, если и сходится на
la, Ы к /, то заведомо неравномерно. Ведь его члены — равномер-
равномерно непрерывные на (—°°, °°) функции.
Остановимся еще на важном свойстве рядов Фурье, называ-
называемом принципом локализации. Если мы хотим узнать, сходится
или нет ряд Фурье данной функции /е L'*{L*) на отрезке la', Ъ'],
достаточно знать ее свойства на каком-нибудь отрезке la, b],
строго внутри себя содержащем [а', Ъ']. В самом деле, положим
rj = min {а' — а, Ъ — Ь'}. Тогда для точек х е la', Ь'\, для которых
мы хотим исследовать сходимость ряда Фурье,, подынтегральное
выражение в правой части (9) зависит от значений / только на
la, b] (ведь если ie[a', b'] и 0< [u| < r|, Tq х, х+и,
х— и е la, &]).
§ 15.4. Леммы об осцилляции
Пусть функция /et'(- oof oo) (вообще L{— <»f oo))) тогда
при любом действительном X
cos Xx dx
dxt
dx.
A)
С
\ / (x) sin Xx dx
J
-oo
В самом деле,
tX) (SO
I / (x) sin Xx dx = / f и + -^- j sin X f u + -^- j du =
-oo —oa
oo . oo
iniii «w == — /(x 4- — | sin Xx dx.
194 ГЛ. 15. РЯДЫ ФУРЬЕ. ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ ПОЛИНОМАМИ
Поэтому
]"/(*) si
sin he dx
/(а:)-
sin
Для косинуса рассуждение аналогично.
Лемма 1. Пусть /ei!(-«, °°) (ила ? (— °°, «>)), g — огра~
ничейная измеримая (на любом отрезке) функция i\g(x)\ < k).
1огда
lim J cos Xu g (u) f (x 4- u) du = 0,
A-*oo __00
00
lira j sin Ku g (u) f (x -f- u) du ~ 0
B)
равномерно относительно х, принадлежащих к любому отрезку
[а, Ь].
В частности,
оо
lira j cos kuf (x -f и) du = 0,
lim J sin kuf (x -j- u)du = 0.
Доказательство. Отметим, что paBeHcfBa. C) непосред-
непосредственно следуют из неравенств A) и теоремы 6 § 14.4.
Чтобы доказать B), зададим е > 0 и подберем непрерывную»
финитную функцию ср(ц) ei'(- °°, «») такую, что
D)
(см. теорему 1, § 14.4 и рис. 14.1, а) и представим .интеграл B>
в виде
cos Ы g (и
E)
где
оо
JA = j cos Ku g (u) [f {x + u) — cp (x 4- и)] йщ
— OO
OO
/2 = J cos hit § (и) ф (x -\- a) dut
§ 15.4.'ЛЕММЫ ОБ ОСЦИЛЛЯЦИИ 195
Но если считать, что Jj*(u)| < К, |ф(ц)| < Ки то для всех х
F)
и (в силу A)) при X > Ко, где Яо достаточно велико,
г I ^ 1
G)
Из E), F), G) следует первое равенство B) и притом равно-
равномерно относительно ie[a, Ы.
Аналогично доказывается второе равенство B).
Лемма 2. Равенства B) остаются верными в предположе-
предположении, что fe=L'(L), a g(u) = g(a, и) — ограниченная функция
(\g(a, и)\ < К, a(<a<a2), непрерывно зависящая от (а, и), где
а — параметр. При этом они выполняются равномерно отно-
относительно а е [а„ а2) и х^[а, Ь], где {а, Ь]—произв»аьный
отрезок.
Лемма эта'доказывается так же, как лемма 1. Надо учесть,
что в правой части G) для х е [а, Ъ\ в силу финитности ф
можно вместо интеграла
написать
j j s v1* -t- я У sv
—00
JV
О/ \
g (м + -у-1— ^ (w) ^u при достаточно большом /V, и тогда
¦JV
N
1
g a, м + т" ~ ё(а> и)
рпиномсрпо относительно ae(ah аг], так как функция g(a, u\
]раш11)мерно непрерывна на [<хи aj X [— N, /Vl.
196 ГЛ. 15. РЯДЫ ФУРЬЕ. ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ ПОЛИНОМАМИ
Замечание 1. Все утверждения^ доказанные выше в этом
параграфе, остаются верными, если считать, что функции fag —
периодические периода 2я, принадлежащие ¦?*, (или ?#), а ин-
интегралы взяты по периоду. Теперь уже, впрочем, надо считать,
что переменная А пробегает натуральные числа (А = 1, 2, 3, ...),
чтобы функции cos Ax, sin Ах были периодическими. Конечно,
функцию ф в D) можно взять периодической периода 2я (не
обязательно финитной на периоде).
Ниже формулируются эти утверждения для периодических
функций. В верности их читатель убедится, заменив всюду в при-
оо Л
веденных выше рассуждениях J на J
— оо —ir.
Для функции /ei, выполняются неравенства
л
I.
cos Яаг
я
dx, A')
Лемма 1'. Пусть /, jei, {или ?#) w, кроме того, g огра-
ограничена и измерима на [—я, nJ. Тогда
?™ 1 si°n Аи « («О / (* + «О <*« = О (Я. = 1,2,...) B')
равномерно относительно всех ie<- °°, °°).
В частности, коэффициенты Фурье ah, bh функции f стремятся
к нулю при к -*¦ °°:
л
lim ah = lim— I f (t) cos ktdt —О,
—я
л
lim 6ft = lim — I / (fy sin kt dt = 0.
—я
Замечание 2. Верен также аналог леммы 2, где надо
считать, что функция g(a, и) принадлежит по а к L# (L) и не-
непрерывна по (а, и), где as [a,, a2J.
Замечание 3. Равенство (8) § 15.3 теперь вытекает из
следующих соображений.
Представим первое слагаемое правой части G) § 15.3 под-
подробнее;
л л
— I g (и) sin nuAuf (x)du = — \ g (и) sin rcu/ (x -f u) du —
—л —я
я
г*
rp- g (w) sin пи du. (8)
§ 15.5. СХОДИМОСТЬ РЯДОВ ФУРЬЕ 197
Первый интеграл правой части (8) стремится к нулю при п -*¦ °°
равномерно относительно z^i— °°, °°) на основании B'-). Второй
интеграл на том же основании стремится к нулю для таких х,
для которых fix) — конечное число; при этом это стремление к
нулю равномерно на любом отрезке изменения х, на котором
функция / ограничена. Аналогичные утверждения имеют место
и для второго слагаемого правой части G) § 15.3.
. Этим доказано, что р„(х) -*¦ 0 при п -*¦ <*> для любого х, для
которого fix) конечна и притом равномерно на любом отрезке, на
котором f ограничена.
Заметим еще, что если функция f^.L2 (или Ь%), то тот
факт, что ее коэффициенты Фурье ak, bh стремятся к нулю, сле-
следует" из неравенства Парсеваля
Стремление к нулю интеграла C), соответствующего, напри-
например синусу, можно объяснить следующим образом. Несмотря на
то, что функция / е t'*(L*) может иметь много, даже (в случае
Л)' бесконечное число разрывов, она все же обладает многими
свойствами непрерывных функций. Это проявляется в доказанных
выше леммах об осцилляции. Множитель sin %x изгибает график
fix) в график, состоящий из волн. Каждая из них состоит из двух
полуволн, которые в среднем хорошо компенсируют друг друга
при интегрировании. Результат компенсации налицо! интеграл
C) стремится к нулю при к -*¦ °°.
§ 15.5. Критерии сходимости рядов Фурье.
Полнота тригонометрической системы функций
По определению функция fix) удовлетворяет на отрезке [а, Ь]
(интервале (а, Ь)), условию Липшица степени а @<а<1), если
для любых х, х е [а, Ъ\ На, Ь)) выполняется неравенство
\fix')-fix)\<M\x'~x\a,
гдо М не зависит от х, х . При а = 1 в этом случае просто гово-
говорят, что / удовлетворяет условию Липшица.
Ксли, например, / — непрерывная и кусочно гладкая на [а, Ы,
то Она удовлетворяет условию Липшица" на [а, Ь], потому что
|/(*')-/(*)! =
Если функция / имеет на интервале (а, Ь) ограниченную про-
водпую (i/'i =5 М) и непрерывна на la, 61, то и в этом случае
198 ГЛ. 15. РЯДЫ ФУРЬЕ. ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ ПОЛИНОМАМИ
мы, применяя теорему Лагранжа, получим
\}(х') - /(*)] = \f'(l)(x'-x)\ < М\х' -x\, I e U, х')
и убедимся, что / удовлетворяет на [а, Ь\ условию Липшица.
Функция Ixh @<a^l) удовлетворяет-условию Липшица
степени а на всей действительной оси (тем более на любом от-
отрезке), потому что, если считать, что 0< 1x1 < \х'\ и \х'/х\ —t,
1 < t < oo, то ПОЛУЧИМ
При а = 1 это неравенство очевидно. При а < 1 это видно из того,
что функция от t в его левой части имеет предел, равный нулю
при t -»-* 1 и равный 1 Ъри t -*¦ °°, и она имеет положительную про-
производную на A, я0) и, таким образом, она возрастает на A, °°)*).
Теврема 1. Пусть функция /ei'* {или L*) и, кроме того,
она удовлетворяет условию Липшица степени а на отрезке [а, Ь]
(в частности, если f — непрерывная кусочно гладкая на la, b]).
Тогда, каковы бы ни были а', Ь', удовлетворяющие неравенствам
а< а' <Ъ' <Ь, ряд Фурье f сходится на la', b'] к / и притом
равномерно.
Доказательство. Пусть б = min la'—а, Ь—Ъ'} и 0<г|<б,
л. Тогда для х е [а', Ь'] и 0< Ы < ц точки х, х + и принадле-
принадлежат [а, Ъ] и потому
\( u)-f(x)\ <M\u\«. A)
При найденном т] воспользуемся формулой § 15.3, (9):
Sn (х) - / (х) = — f sin пи f(x + u)~f <r) du + o A), n -> oo
—T)
имеющей место равномерно относительно ie[e, Ы. Тогда для
любого е >0 равномерно для всех х^ la', Ь'\ получим в силу A)
оценку
-1
где г\ выбрано так, чтобы выполнялось неравенство 2Мг\а/ла <
< е/2 и затем N взято настолько большим, чтобы | о A) | < -^
при n>N. Теорема доказана.
*) В случае \х\ = \х'\ имеем \х'\а— |х|" = 0< \
g 15.5. СХОДИМОСТЬ РЯДОВ ФУРЬН 199
Теорема 2. Если функция f^C* — непрерывная и кусоч-
кусочно гладкая на действительной оси, то ее ряд Фурье сходится
к ней на всей действительной оси и притом равномерно.
В самом деле, на отрезке [—е, 2я + е], где е > 0, /.— непре-
непрерывная и кусочно гладкая и потому ряд ее Фурье по предыдущей
теореме равномерно сходится к ней на [0, 2л], следовательно,
вследствие периодичности / и членов ряда, и на всей действитель-
действительной оси.
Те.орема 3 (Вей е р ш т р а се а). Системы функций
1, cos х, sin x, cos 2х, sin 2x, ..., C)
1, cos x, cos 2x, ..., (<?>
sin я, sin2a;, ..., E)
полны соответственно
1) в пространстве С*,
2) в подпространстве С* четных функций, а также в С@, я),
3) в подпространстве С* нечетных функций, а также в классе
функций, принадлежащих С@, я) и удовлетворяющих условию
/@) = /(я) = 0.
Доказательство. В самом деле, пусть / — произвольная
функция класса С*. Она равномерно непрерывна на отрезке
[—я, я] и имеет период 2я. Поэтому для любого е >0 можно
указать полигональную функцию И(х) периода 2я такую, что
|/(х)-П(х)|<! F)
для всех х. При этом, если / — четная или нечетная функция, то
можно сделать так, что и ТКх) будет соответственно четная или
нечетная. Например, если точки графика / с абсциссами Xj = jht
j = 0, ±1, ±2, ..., h = n/N, где N — достаточно большое натураль-
лое число, соединить отрезками, то получим ломаную, описывае-
описываемую нужной функцией П(х). Функция П(х) удовлетворяет усло-
условиям предыдущей теоремы • потому и-я ее сумма Фурье при до-
достаточно большом п удовлетворяет неравенству
| П (х) — Sn (x) | < -|- для всех х, G)
При этом, если Шя) — четная или. нечетная функция, то и Sn(x}
воответствешю обладает одним из этих свойств.
Из F) и G) следует, что |/(ж) — Sn(x)\ < e для всех х. Это
доказывает теорему, потому что Sn(x) — тригонометрический по-
полином — конечная линейная комбинация из функций соответ-
соответственно систем C), D), E). Отметим, что Sn есть сумма Фурье
ме /, а II.
200
ГЛ. 15. РЯДЫ ФУРЬЕ. ПРИБЛИЖЕНИЙ ФУНКЦИЙ ПОЛИНОМАМИ
Это утверждение не противоречит тому факту, что существу*
ют функции f^C*, ряды Фурье которых в отдельных точках
расходятся (см. по этому поводу замечание в конце этого па-
параграфа).
Надо еще иметь в виду, что если непрерывную на [0, л] (при-
(принадлежащую С@, л)) функцию продолжить четным образом, а за-
затем периодически с периодом 2л продолжить на действительную
ось, то получим четную функцию класса С*. Если же функцию,
непрерывную на [0, л], удовлетворяющую условию /@) = /(л) = 0,
продолжить нечетным образом, а затем периодически, то получим
нечетную функцию класса С*.
Заметим, что из теоремы 3 следует, что для любой непрерыв-
непрерывной периода 2л функции f (f^C*) существует равномерно схо-
сходящаяся к ней (на действительной оси) последовательность три~
гонометрических полиномов Тп(х) (п = 1, 2, ...), откуда следует,
что функция f представима в виде равномерно сходящегося к ней
ряда тригонометрических полиномов
f (х) = 2 Qk (х), <?0 = То, Qh = Tk
о
= l, 2,...).
Теорема 4. Ряд Фурье функции /eLg* {вообще L*) схо-
сходится к ней в смысле среднего квадратичного на периоде.
Доказательство. В самом деле, по предыдущей теореме
система C) тригонометрических функций полна в С*. Тем более
она полна в L2 (см. теорему § 14.9). Но тогда теорема верна на
основании теоремы 1 § 14.6 из общей теории ортогональных
рядов.
В силу той же теоремы для полной ортогональной и нормаль-
мальной системы тригонометрических функций § 15.1, A) выпол-
выполняется равенство Парсеваля
\2dx
1
2л
или
\fdx
— Г
— J
sin nt dt
\°h?),
(8)
ft—1
какова бы ни была функция /
is
(или, более общо,
§ 15.5. СХОДИМОСТЬ РЯДОВ ФУРЬЕ 201
Пример 1. Функция ty(x) периода 2я, определяемая равенством*)
~2~^~' °<*<2"' (9)
0, * = 0,
очевидно, принадлежит L'*. Ее ряд Фурье имеет вид
потому что она нечетная, а
л
[ == (к = i 2 )
л
2 f it— t
= 7Tj 2
Любой отрезок [а', Ь'], не содержащий в себе точки Xh — 2/ся (к = О,
±1, ±2, ...), содержится строго внутри некоторого другого отрезка [а, Ь]
(а < а' < 6' < 6), обладающего этим же свойством, и при этом па [а, 6]
функция ф непрерывна вместе со своей производной, следовательно,— глад-
гладкая. Но тогда на основании теоремы 1 ряд Фурье A0) функции ij) сходится
к ней равномерно на [а, Ь']. Он, таким образом, сходится в любой точке
г ф 2Атс (к = 0, ±1, ±2, ...). Но и в этих исключительных точках 2/ся он
тоже сходится к ij), ведь в них г|) = 0, так же как равны нулю все члены"
ряда A0). Однако равномерной сходимости в любых окрестностях точек
Xh = 2kn не может быть.
Кроме того, очевидно, что if e L2 , и потому па основании теоремы 4
ряд Фурье A0) функции ij) сходится к ij) в смысле среднего квадратического
на [—л, л]:
" п
sin kx
I
dx-*0 (n-t-oo)
Функция ^(z) представляет собой простейшую разрывную периода 2я
функцию, имеющую единственную точку разрыва (на периоде) первого ро-
рода. Ее скачок в точке разрыва равен ij)@ + 0) — i})@ — 0) = п.
Очевидно, функция ^|)(х.— хо), график которой сдвинут на величину
.Гц в направлении оси х, имеет разрывы в точках хо + 2fcrc (к = 0, ±1,
±2, ...) со скачками, равными л. Она разлагается в тригонометрический
ряд
XI sin klx — хЛ х^ !(— sin кхЛ cos кх
i|) (х — х0) = > ^ 21 = > i У- cOs А:ж +
sin
который является ее рядом Фурье, потому что он сходится в смысле сред-
среднего квадратичного к ty(x — хо) на @, 2я) (см. следствие леммы 1 § 14.6).
*) Функция 1|>(ж) и функция S (х), о которой говорилось в § 15.1 (см.
§ 15.1, (И)), связаны равенством — i|> {х) = -трS (х — я), поэтому гра-
1
фнки —1|) и -тг S и их частных сумм Фурье получаются один из другого
иднигом на л.
202 ГЛ. 15. РЯДЫ ФУРЬЕ, ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЯ ПОЛИНОМАМИ
Замечание. Функция г|з дает нам интересный пример
функции, ряд Фурье которой сходится к ней не только в ее" точ-
точках непрерывности, но и в ее точках разрыва.
Следующая теорема дает общий класс функций, ряды Фурье
которых сходятся к ним в их точках разрыва.
Теорема 5. Пусть функция f^L'* (L*) — кусочно гладкая
на отрезке la, b] и имеет на этом отрезке единственную точку
разрыва х <= (а, Ъ). Тогда ряд Фурье / сходится в то^ке хь к сред-
среднему арифметическому правого и левого пределов в этой точке:
bh sin kx0), A1)
Доказательство. Так как /—кусочно гладкая на отрез-
отрезке [а, Ь] функция и точка Хц — внутренняя точка этого отрезка,
то конечные пределы /(а:0 + 0) и /(а:0 —0) существуют, рудем счи-
считать, что выполняется равенство
/W-T^o-OJ + ZOeo + O)].
Иначе можно видоизменить / в х„ так, чтобы это равенство вы-
выполнилось, что, как мы знаем, не изменяет коэффициенты Фурье
функции /, а следовательно, и ее ряд Фурье.
Положим
Ф Vх) — / (х) у \х — хй)-
На основании свойств функции
= 2 "~ * ^ °''
/fa-0)+/fa + 0)
— 2 — / v^o)-
Поэтому ф(ж0) = ф(аг0 — 0) = ф^о +0). Это показывает, что функ-
функция ф непрерывна в точке х0, и так как она есть разность ку-
кусочно гладких на la, b] функций, непрерывных вне точки х„, то
она кусочно гладкая и непрерывная на la, b), но тогда, как мы
знаем, п-я сумма 5^(ф, ха) функции ф в точке х* стремится при
п -*¦ оо к ф(х,,) и так как 5„(/, х„) = 5„(ф, ха), то
lim Sn (/, х0) = lim S» (ф, х0) = ф (х0) = / (а:0),
что и требовалось доказать.
§ 15.5. СХОДИМОСТЬ РЯДОВ ФУРЬЕ 203
Ряд Фурье функции /, описанной в теореме 5 со скачкой в точке х ±=
= х°, хотя и сходится в этой точке и ее окрестности, но медленно и притом
неравномерно. Ряд же Фурье (р(х) сходится лучше и уже во всяком слу-
случае равномерно в некоторой окрестности i°. С другой стороны, функция
aty(x — x0) выражается очень простой формулой, и быть может, даже не
будет необходимости разлагать ее в ряд Фурье. Во всяком случае, ряд
Фурье функции i|> очень хорошо изучен в специальной литературе.
Отметим некоторые факты, относящиеся к вопросу о сходимо-
сходимости и расходимости рядов Фурье.
А. Н. Колмогоров *) привел пример функции, принадлежащей
лебегову классу L*, ряд Фурье которой расходится всюду на дей-
действительной оси.
Карлсон**) показал, что какова бы ни была функция, при-
принадлежащая лебегову классу Ьг, ее ряд Фурье сходится к ней
почти всюду. Так как C*czL2, то это утверждение Карлсона
имеет место и для всякой непрерывной на действительной
оси функции периода 2я. Утверждение Карлсона верно и для
функций / е L* A< р < оо)***).
С другой стороны, известны (Дюбуа Реймон, Фейер) примеры
непрерывных периодических функций /(/sC*), ряды Фурье ко-
которых расходятся на множестве всех рациональных точек. Они
показывают, что если про функцию / известно только, что она не-
непрерывна, то этого не достаточно, чтобы сказать, что ее ряд
Фурье сходится. Для сходимости нужно наложить на / еще не-
некоторые добавочные условия. В доказанных выше теоремах та-
таким добавочным условием было условие Липшица степени а.
В других более изысканных теориях это условие заменяется на
более слабые достаточные признаки.
Полученные выше свойства рядов Фурье функций периода 2л
автоматически переносятся на.ряды функций периода 2<о:
= "Г + 2 (а* cos 17 х +
sin IT
cos
A3)
*) А. Н. Колмогоров (родился.в 1903 г.)—выдающийся советский ма-
математик, академик.
**) Карлсон Л. А. Е.— выдающийся современный шведский математик,
***) Это доказал американский математик Р. Хант.
204 ГЛ. 15. РЯДЫ ФУРЬЕ. ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ ПОЛИНОМАМИ
Таким образом, если функция /eL'@, 2©) (L@, 2©)) периода
2© и удовлетворяет на отрезке la, Ь] условию Липшица степени
а @<ос<1), то ее ряд Фурье A3) сходится к ней равномерно
на любом отрезке la', b'] <=¦ {a, b), если же / — кусочно гладкая
па [а, Ь], то в точках х ее разрыва, принадлежащих (а,1 Ь), ее ряд
Фурье сходится к у У (х + 0) + f (х — 0)],
Наконец, заметим, что если функция у = fix) описывает физи-
физическое колебание, представляющее собой сумму конечного или
бесконечного числа некоторых гармонических колебаний, соот-
соответствующих частотам к = 0, ±1, ..., то к-е колебание uh (x) =
кп . . кп
= uk cos — х -J- bk sin — ж можно легко получить, учитывая, что
числа ah, bk суть коэффициенты Фурье /, вычисляемые по форму-
формулам A3). С другой стороны, эти колебания uhix) можно, как из~
вестно, физически получить из данного сложного, реального коле~
бания у = fix) при помощи специальных физических приспособ-
приспособлений — резонаторов, и при этом соответствующие практические
результаты хорошо согласуются с математическими.
Примеры. Приведенные здесь функции имеют период 2л,
оо
s 4 i \ • /II \ z < \ 4 ~S? sin Bfc +1) х
1. / (х) = sign х (| x |< л), / (х) = _ > j. , \ ' .
2. /2(*) = *(|*|<я), /,(*) = 2
3- /з(^) —четная функции, равная п ~ х на [0, я],.
2 V< cos BA + 1) Д
4. fi{x) —четная функция, равная 1 в @, h) и равная нулю в (h, я),
О < h < я,
Я
1 , XI (smkh
5- /5(г) —непрерывная четная функция, равная нулю в Bh, л), 0 <
Ц я/2, равная 1 при х = 0 и линейная в @, 2А),
[
^—1
Упражнение. Выяснить, на каких отрезка^ или, может быть, на
всей действительной оси сходятся равномерно ряды из примеров 1—5.
5 156. КОМПЛЕКСНАЯ ФОРМА ЗАПИСИ РЯДА ФУРЬЕ 205
§ 15.6. Комплексная форма записи ряда Фурье
Пусть ak и bh — коэффициенты Фурье функции f е //* (или
L*). На основании формулы Эйлера
«& cos кх -f- 6ft sin кх =
gikx I g—jfcx ^iftx e—ihx
где
«b-ift
h
Отсюда
2Jt 2Я
if 1 Г
cA = 5— ) (cos />;? — i sin /«) / (it) dt — -5—
о о
2Л 2Л
c-s ^ 4t J (cos kt + г sin ftt) ^ (^ df = 27Г i" ^ (г)e№<* '
о о
и, таким образом, числа
e~l dt (к = 0, ± 1, ± 2, ...) B)
0
вычисляются по единой формуле для всех к (в том число и к = О,
)
Важно заметить, что если / — действительная функция, то ah
и bh действительны, а числа ch и с-к, хотя вообще и комплексны,
по взаимно сопряжены:
с-к = ск. C)
Наоборот, попарная комплексная сопряженность ск и с-к вле-
влечет за собой, очевидно, действительность коэффициентов Фурье
ак и Ък функции /, а если это имеет место для всех к = 0, 1, . ..,
то и действительность /.
В самом деле, если, например»/е L2*, то ряд Фурье / сходит-
сходится к / в смысле среднего квадратического. Но если его члены дей-
действительны, то и fix) — действительная функция. В общем случае
/е L'*, этот факт следует из теоремы 2 § 15.11.
Очевидно, п-я сумма ряда Фурье / может быть записана
в виде
п
sn (*) = -у- + 2(а"cos кх +Ък sin кх) =
206 ГЛ. 15. РЯДЫ ФУРЬЕ. ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ ПОЛИНОМАМИ
а сам ряд Фурье / — в виде ряда
оо
/ (х) ~ -^- + 2 (ak cos кх '
1
sin
с двумя входами.
Мы будем говорить, что ряд E) сходится-для данного значе-
значения х, если существует предел
lim %cheikx
П-»оо — п
Таким образом, мы будем понимать сходимость ряда в правой
части E) в смысле главного значения. Ведь можно было бы счи-
считать его сходящимся, если существует предел
lim S ckeihx,
n,m-*oo —m
когда тип неограниченно возрастают независимо друг от друга.
Функции (комплексные!)
^eihx (Л = 0,±1,±2, ...) F)
образуют ортогональную и нормальную систему на отрезке
[0, 2л], потому что
2л 2л
Так как тригонометрические функции cos кх, sin кх (к = 0, 1„
2, ...) образуют полную систему в С*, тем более в L\, L* (тео-
(теорема. 3, § 15.5), то это же свойство имеет место и для системы
егкх (д, _Q) ±^ ±2) ,..), потому что
cos кх= 4 {ет + e~ihx), sin кх = ±-{eihx - e~ikx).
Числа ch, определяемые формулами B), являются коэффициен-
коэффициентами Фурье f относительно функций eik* (см. § 14.6B)).
Из сказанного следует, что ряд
/(*)~ 2 <*«'*",
—оо
полученный в E) из обычного тригонометрического ряда Фурьег
есть сам по себе ряд Фурье функции f no функциям е**. Его на-
называют тригонометрическим рядом Фурье функции f в комплекс-
комплексной форме.
§ 15.7. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ РЯДОВ ФУРЬЕ 207
В силу полноты системы F) в ?2 для любой функции /sLj
нмеет место равенство Парсеваля
о —'
или
2Я
-к I2. G)
§ 15.7. Дифференцирование и интегрирование рядов Фурье
Пусть fix) есть непрерывная кусочно гладкая функция *) пе-
периода 2%. К ее ненулевым коэффициентам Фурье можно приме-
применить формулу интегрирования по частям:
2Я
(А = ± 1, ± 2, ...), A)
где
2Я
Ck = ^J/'(*)e"iM^. B)
о
Мы воспользовались периодичностью функций fit) ж eiht, в си-
силу которой
Производная fit) есть кусочно непрерывная периода 2л
функция, возможно, разрывная с конечным числом разрывов пер-
первого рода на периоде. Она конечна, принадлежит L'* и для нее
имеют смысл числа с^ — комплексные коэффициенты Фурье /'.
Если функция fix) периода 2л непрерывна и имеет непрерыв-
непрерывную кусочно гладкую производную порядка I— 1, то процесс A)
интегрирования по частям можно провести I раз. В результате
получим равенство
где
о
-—коэффициенты Фурье f-'Kx)—производной от / порядка I.
*) Или, более общо, пусть функция / периода 2л абсолютно непрерыв-
непрерывна на любом отрезке (см. § 19.5, A1)).
208 ГЛ. 15. РЯДЫ ФУРЬЕ. ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ ПОЛИНОМАМИ
Имеет место важная теорема.
Теорема 1. Если ряд Фурье непрерывной периода 2л ку-
кусочно гладкой функции*)
f (х) = 2 cke** D)
почленно продифференцировать, то получится ряд Фурье ее про-
производной
n*)~2'^e1*"=2'(iu)e*eW0C. E)
— ОО —00
Здесь 2' обозначает, что в ряде нет пулевого коэффициента.
Доказательство. В самом деле, fix) — вообще кусочно
непрерывная функция, имеющая разрывы там, где / имеет разры-
разрывы производной, но в точках х, разрыва /' существуют пределы
/' Or, ±0). Такая функция может быть разложена в ряд Фурье
/'(*)~24*lte, F)
возможно, и не сходящийся к пей во многих точках. При этом
2Л
потому что / — непрерывная функция периода 2л. С другой сто-
стороны, для всех к ?= 0 имеет место равенство A), и поэтому из F)
следует E). Ряд D) равномерно сходится к fix) на основании
теоремы 2 § 15.5.
Теорема 2. Если ряд Фурье кусочно непрерывной функции
(с разрывами первого рода\)
Ф(*)~24е1ля (С;=0) G)
проинтегрировать почленно (считая, что интеграл от eih* равен
(i/c)~Vte), то получим равномерно сходящийся ряд Фурье непре-
непрерывной кусочно гладкой функции
2Я со
heihx, (8)
=±'l, ±2,...),
*) Теорема верна для абсолютно непрерывной периода 2л функции
(§ 19.5, A1)). Ее ряд Фурье равномерно сходится к ней, как это доказыва-
доказывается в более полных курсах рядов Фурье.
§ i5.7, ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ РЯДОВ ФУРЬЕ 20Е>
где
х
/ (х) = J ф (о аи (9>
о
В самом деле, в силу (9) по теореме Ньютона — Лейбница
функция fix) — непрерывная и кусочно гладкая на [0, 2я]. Кроме=
того,
/Bя)-/@) = |ф(9Л =0,
о о
потому что
2Я
о
и, следовательно, ряд Фурье / равномерно сходится к /, откуда
следует (8). С другой стороны, правая часть (8) может быть в си-
силу A) рассматриваема как результат указанного почленного-
интегрирования правой части G).
Заметим, что на основании теоремы 2, § 15.5 ряд Фурье ку-
кусочно гладкой функции / е С* сходится к ней на всей действи-
действительной оси и притом равномерно. Поэтому в (8) написан знак
равенства. Что же касается функции fix), то она кусочно непре-
непрерывна (на отрезке [0, 2л]). Ее ряд Фурье может расходиться
(см. § 15.5 перед A2)). Поэтому в E) нанисан знак ~.
Замечание. Теоремы 1 и 2 значительно расширяют в случае рядов
Фурье известные читателю из общей теории рядов критерии законности
почленного их дифференцирования и интегрирования. Но возможно и даль-
дальнейшее расширение этих критериев, не только с помощью аппарата интег-
интеграла Лебега, "но и еще путем введения понятия обобщенной функции (см.
далее § 16.ll).
Упражнение 1. Доказать, что если функция f(x) периода 2я име-
имеет непрерывную кусочно гладкую производную /<'-'> (ж) порядка (/ —1),т»
се можно представить в виде
п
% , 1
где
м cos,
«¦M-S \ 2/ '-'•«•->•
Упражнение 2. Пользуясь тем, что
I sin feu
1 к
и, таким образом, Bi(u) = (и — я)/2 @ < и < 2я), показать, что при любом
I — 1, 2, 3, ... Bt(u) на отрезке [0, 2л] представляет .собой многочлен сте-
степени I такой, что интеграл от него по [0, 2я] равен пулю и В (+1 = — B[t
Эти многочлены называются многочленами Бернулли.
210 ГЛ. 15. РЯДЫ ФУРЬЕ. ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ ПОЛИНОМАМИ
§15.8. Оценка остатка ряда Фурье-
Теорема 1. Пусть функция f периода 2я имеет на всей
оси непрерывную кусочно гладкую производную fl~l) порядка
I— 1, а ее производная /<() подчиняется неравенству
\ A)
Тогда уклонение функции fix) от ее (N—D-й суммы Фурье
оценивается следующим образом:
(оо \1/2
(ЛГ — 1)
Доказательство. Из условия теоремы следует, что ряд
¦Фурье функции fix) сходится к ней на действительной оси. От-
Отклонение fix) от Sx-iix) может быть записано в виде
f(x)-SN.1(x) =
»*) | Щ iV* Щ ?\»] C)
где ск — комплексные коэффициенты Фурье /, выраженные затем
(в третьем члене цепи) через коэффициенты Фурье с^ производ-
производной fl) согласно формуле C) предыдущего параграфа.
Если учесть, что
|в'**1 = 1
(ведь х — действительное), и равенство Парсеваля для /(", то
1'2 / оо \1/2
\ N
^/2 / оо \1/2
и мы получили первую оценку в B). Вторая же более грубая
-оценка вытекает из неравенства
3 Х*1 ~ ^-1 (N - if'
iY—1
§ 15.9. ЯВЛЕНИЕ ГИББСА 211
Замечание. Оценка B) при тех же рассуждениях остается
верной в предположении, что периодическая функция fix) имеет
абсолютно непрерывную производную порядка / — 1 и (почти
всюду) производную порядка I, удовлетворяющую неравенству
A), где интеграл понимается в смысле Лебега (см. сноски к тео--
ремам 1, 2 предыдущего параграфа).
Заметим, что можно доказать оценку
\f()()\^
и к
где С — константа, не зависящая от п, но это потребовало бы бо-
более сложных рассуждений.
Упражнение. Показать, ограничившись для простоты случаем, ког-
когда I делится на 4, что первая оценка в B) — точная.
Указание. Из C) при х = 0 следует
/ @) - Я„ @) = ^
n+1 *•
и первое, так же как второе, неравенства D) достижимы, если числа с У*
подобрать пропорциональными соответственно ijk1 (см. замечание после
§ 6.2, (8)).
§ 15.9. Явление Гиббса
Функция
равная
°°
я — х V1 sin kx
2
на интервале @, л), имеет п-ю частную сумму
sin i
Для нее при 0 < х ^л имеет место (пояснения ниже)
* sin [га + -йг 1 t S л р .
\ z ' ,, I sin nt ,, . 1 I . j. i sinni j, .
dt = \ dt + -n- V cos nf dt = I —-— dt -j--
о 2 sin -5- 0 2 tg -5- о о
212 ГЛ. 15. РЯДЫ ФУРЬЕ. ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ ПОЛИНОМАМИ
X XX
+ J sin nt f —Ц- - -уЛ Л + i- Г cos ntdt=[ ~± dt+o A)
(га-* oo) D)
равномерпо относительно ле@, л). Пояснения требует только
оценка второго и третьего слагаемого в предпоследнем члене це-
цели. Например, второе слагаемое можно записать в виде
X
Ап = | sin nt g (t) dt =>
о
+ — \dt
a njn
n n
«= -n- 1 sin nt g (t) dt r- sii
о
J_
2
iiln
откуда A^@1 =? M, git) = 0 вне (О, я), см. § 15.3, G))
ос
л Л I -*"•*' -*- "^ 71 /Г \ ^ "" 71 /Г г -*
E)
где правая часть не зависит от х е @, л), поэтому левая стремится
к нулю равномерно относительно указанных х.
Положив теперь4 в D) х = л/и и перейдя к пределу при га -> «>,
получим (пояснения ниже)
л
sin { ,. я .„.
о
(см. ниже (9), A2)). Между тем
•ф @ + 0) = lim л ~ж = -^-, G)
Ж"» О
Вычисления показывают, что отношение
л
~ = ^ГТО) = 4 J-^ *= 1,089490 ...
— (i|)@ + 0)—1|)@ —0)) ч^|' 0 t
(8)
§ 15.9. ЯВЛЕНИЕ ГИББСА 213
Тот факт, что это отношение больше 1 (а не равно 1), на-
называют явлением Гибб,са.
На рис. 15.3 изображен схематический график фупкции /(#)=>
=—tyix — л) и ее п-й частной суммы- Snix). На [—л+ 6, л — 61,
где б > 0, при достаточно большом п функция Snix) колеб-
колеблется вблизи fix). Ведь Sn{x) -+• fix) при п -*¦ <» равномерно па
этом отрезке. С другой стороны, вблизи х — п график Snix) резко
отклоняется от fix) кверху — это и есть явление Гиббса. Затем он
резко опускается к точке х = л на оси х. На отрезке [—л, 0]
имеет место подобное явление.
Надо иметь в виду, что и для произвольной функции /е!*,
непрерывной вместе со своей производной на полуинтервалах
[а, х°), (х°, Ы, имеющей вместе со своей производной разрыв пер-
первого рода в х", имеет место подобное явление в окрестности точ-
точки х". Это вытекает из возможности представления функции /
в виде суммы fix) = fiix) + fzix), где /i — непрерывная*) кусочно
тладкая на [а, Ь], а /гС^) =—Мх — xo)i гДе и —скачок /. Ряд
Фурье /i сходится к'/i равномерно на la', b'] <= (a, b), функция же
/г есть всего лишь сдвинутая и умноженная на постоянную функ-
функция ip. Для нее (а следовательно, и для /) имеет место явление
Гиббса с тем же отношением (8)
d+
= A f smj, dt
где теперь
d+ (,о) = цт L U + JL) _ /(^ + о) + /(х»-оI
п-+оо
a Sn — сумма Фурье /.
Явление Гиббса, так же как ряды Фурье, надо рассматривать
как явление природы, да оно и обнаружено впервые чисто эмпи-
эмпирическим путем (Д. Ч. Гиббсом, американским физиком-теорети-
физиком-теоретиком A839-1903)).
Справедливы равенства
ОО 00
я Г sin х j Г / sin ж\2 , ,т
T = J —& = J(— **. (9)
о о
Второе из них см. § 13.15 (8), A0) (АA) = А), а первое можно
получить из следующих соображений. Полагая в D) х = л и учи-
учитывая, что ф„(л) =0 (см. C)), будем иметь
sin nt j, , ,,. Г sin x
t
Г sin x , , . .,
——-dx (ra-voo), A0)
*) Точнее, /i имеет, быть может, устранимые разрывы.
214 ГЛ. 15. РЯДЫ ФУРЬЕ. ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ ПОЛИНОМАМИ
и.так как здесь первый член не зависит от га, то и получим пер-
первое равенство (9).
Интеграл справа в A0) можно еще записать в виде ряда
<» №+1)я л
I sin x , чг-ч ( sin x , _ ^ I sin (kn -f- u) du
J x ~ 2d J я ~ jidJ kn-]- и ~
О 0 hn 0 0
(-!)«,,, fl^j^^j-. A1)
Ясно, что числа я* неотрицательны и убывают к пулю, поэтому
справа в (И) стоит ряд Лейбница.
В частности, отсюда следует, что
о
Примечание. Функция
X ПХ
, , ч Г sin nt ,, \ sin и j /4O4
К (x) = J —j— dt = J —— du A3)
о о
достигает в точке л/n своего максимума, равного d+ (см. F)), на
[0, оо).
В самом деле, подынтегральная функция во втором интеграле
непрерывна и положительна на интервале и е @, л), и потому
hn(z) строго возрастает на отрезке [0, я/га]. С другой стороны,
Я,Дл/«) >кп{х) для х> л/п, потому что в этом случае
j
n/n h=1 кл
(к„ — наибольшее натуральное, для которого (А +1) я< лж). Ведь
слагаемые этой суммы последовательно меняют знак, уменьшаясь
по абсолютной величине, и при этом первое из них отрицательное,
В заключение докажем равенство
Шпг|эп (х) = d+l
П-»оо
х->0
выражающее, что 1) для любой последовательности значений
Хп -*¦ 0 предел limi|3n (х„),если он существует, не превышает d+ и
«п->0
2) существует такая последовательность х„ -*¦ 0, лля которой этот
предел равен d+.
§ 15.10. СУММАФЕЙЕРА 215
Как мы знаем, утверждение 2) верно при
утверждение же 1) следует из неравенств (см. D))
¦ф„(а;п) ^ Хп{хп) + оA) < d+ + оA) -> 0 (п -
§ 15.10. Сумма Фейера
В § 15.5 было отмечено, что существуют примеры лепрерыв-
пых периода.2л функций / (/еС*)- ряды Фурье которых расхо-
расходятся в отдельных точках или даже в точках наперед заданного
счетного множества, например, во всех рациональных точках.
В связи с этим приобретает большое значение тот факт, что ряд
Фурье произвольной функции /еС* суммируется к ней методом
средних арифметических и притом равномерно на всей действи-
действительной оси (см. § 11.10).
Зададим функцию / е U* (вообще L*) и составим для пее ряд
Фурье
/ (х) ~ _^2_ -f- ^ (ah cos kx + 6ft sin kx),
2 i
о
2Я
о
Пусть
сов ktdt (к = 0, 1, ....),
= -i-| f{t) sin ktdt (k--= 1, 2, ...).
о
n
sn = -j- + 2*(ак cos kx +bk sin to)
an = _[1}
— п-я средняя арифметическая сумма Фурье функции /.
Первой нашей задачей будет получить компактное выражение
для а„. Имеем
{in п 2я
гя
О й=1 О
216 ГЛ. 15. РЯДЫ ФУРЬЕ. ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ ПОЛИНОМАМИ
Отделяя мнимую часть в равенстве
л Лх х .х
ft=O 1 С ~Ч lJ
е — е
получим
п _-_2и +
х
Поэтому
п
• 2sin-^- о
и мы получили
где
В последнем равенстве D) мы воспользовались периодичностью-
подинтегральной функции.
Функция о„(ж) называется суммой Фейера порядка п, а функ-
функция Fn(x) — ядром Фейера порядка п в честь венгерского мате-
математика Фейера A880—1959). Легко видеть, что
п
Рп {X) = -у + 2j „+1 COS АХ. F)
Поэтому сумму о„(а:) можно еще записать так:
п
оп (х) = 5l+% ^±±=±(ah cos kx + bh sin кх), G)
§ 15.10. СУММА ФЕЙЕРА 217
Отметим следующие свойства ядра Fn(x):
1) Fn(x) — неотрицательный, четный тригонометрический поли-
полином порядка п (см. E) и F));
2) i-jFn(*)«fc = -!JV* = 1 (8)
в о
(см. F), учесть ортогональность cos кх {к = 1, #«., п) к единице);
л я
3) j>» (х) dx <y^q-T) f
j
j>» (х) dx <y^qT) f Thr= Г д.
в в (sin у) 2 (га + 1I sin у j
На основании свойства 2) отклонение о„(^) от /(а:) выражается
формулой
~ / №] dt
+ *)-/(*)] Л. (9)
В последнем равенстве мы воспользовались периодичностью под-
интегральной функции.
Докажем теорему.
Теорема 1 (Фейера). Для любой непрерывной [на дей-
действительной оси) периода 2л функции fix) (r. e. f^C*) ее сумма
Фейера порядка п равномерно стремится к ней при п -*¦ <», т. е.
.11/-о„11С(о,2я, = max I/(ж)-а„Ы -*¦ 0 (»-*-«>).. A0)
Доказательство. Пусть <в(б) обозначает модуль непре-
непрерывности функции /. Это непрерывная функция от б (см. § 7.10,
пример 2). Тогда в силу (9) и свойств 1), 2), 3)
К > (ait),
если б взято достаточно малым, чтобы со(б) < е/2, а затем п» на-
настолько большим, чтобы второе слагаемое в предыдущем члене
цепи было при п > щ меньшим е/2,
218 ГЛ. 15. РЯДЫ ФУРЬЕ. ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ ПОЛИНОМАМИ
Отметим еще теоремы 2 и 5 следующего § 15.11, в которых
даны (в n-мерном случае) еще другие свойства сумм Фейера,
важные для теории рядов Фурье.
Мы уже отмечали выше, что средние арифметические число-
числового" ряда могут стремиться к пределу, в то время как сам ряд.
может расходиться. Это явление как раз имеет место для рядов
Фурье непрерывных функций. Существует непрерывная функция,,
ряд Фурье которой расходится на любом заданном счетном мно-
множестве, например, на множестве всех рациональных точек. Одна-
Однако это не мешает тому, как мы видели, что средние арифметиче-
арифметические суммы Фурье для любой непрерывной функции / сходятся
к / и даже равномерно.
Заметим, что из теоремы Фейера следует полнота системы три-
тригонометрических функций
1, cos %, sin а;, ... A2)
в С*. Ведь если f<=C* и е > 0, то найдется п такое, что выпол-
выполняется неравенство A1), где сДя) —тригонометрический полином,.
т. е. конечная линейная комбинация из функций системы A2).
§ 15.11. Сведения из теории многомерных рядов Фурье
Функции
п
,, \n/i eikx, к = (й„ .. ., кп); кх = ^ *W
kj=O, ±1, ±2, ...; / = 0 n, A)
имеют период 2я по каждой из переменных xj. -
Они ортогональны и нормальны на кубе (n-мерном периоде)
А*={— л<аг3<л;/=1, ...,п} B)
(или любом кубе со сторонами длины 2л), потому что
— 71 — JT
Ведь если к ФI, то найдется /, для которого к^ — ^ФО, и тогда
а если к = I, то под всеми интегралами в произведении стоит еди-
единица.
Ясно, что система A) счетна.
§ 15.11. СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ МНОГОМЕРНЫХ РЯДОВ ФУРЬЕ 219
Введем классы (комплексных или действительных) функций
периода 2л (по каждой переменной X]), определенных на Rn.
С* —"класс непрерывных функций с нормой
1/||с* = тах|/(х)|.
X
L* — класс интегрируемых (по Лебегу) на периоде А* функ-
функций с нормой
f/||L. = ]\f(x)\dx.
д*
L2 — класс функций, измеримых по Лебегу и имеющих ипте-
грируемый (по Лебегу) квадрат модуля на периоде с нормой
Ряд Фурье в комплексной форме функции f e L* имеет вид
/(x)~2^ikx,. C)
где сумма распространена на всевозможные целочислепные век-
векторы k = (Ai, ..., kn) (fcj = 0, ±1, ±2, ...; ; = 1, ..., п).
Числа ck суть коэффициенты Фурье /. N-я сумма Фурье / за-
записывается в виде
2 «""""-*"•¦¦ 2 «""¦'lrt
^ N
~ fU^iv(*j —«j)/(t)dt, E)
гдо
IV
Dn (и) = у + ? cos ки
1
¦— N-я сумма Дирихле.
Многомерный аналог iV-й суммы Фейера имеет вид
a)du, F)
я" •) ¦ - - . я>. j ¦ ¦ - -
д* д* .
sin —s—- <'
Sin -rr
220 ГЛ. 15. РЯДЫ ФУРЬЕ. ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ ПОЛИНОМАМИ
Пусть
Де = {|и,-| sS е; } = 1, ..., п),
тогда (Фя(и) > 0)
Dw(ii)du = l, (8)
д*
-i f <Dw(u)du
Я А А
дд
А А
д*-де
Ведь плоскости, продолжающие грани Де, рассекают Д*— Авна
конечное число прямоугольников (прямоугольных параллелепипе-
параллелепипедов с ребрами, параллельными осям координат), на каждом из
которых хотя бы одна координата Uj0 удовлетворяет неравенству
Uj01 ^ е, поэтому, если интеграл от Ф^йи записать в виде произ-
произведения интегралов от Fn(uj)duj, то один из множителей, соответ-
соответствующий / = /о, стремится при N -*¦ °° к нулю, в то время как
остальные (они положительны) ие превышают 1 (см. в § 15.10
свойства 1)—3) ядра Fn).
Докажем теорему, обобщающую на re-мерный случай теоре-
теорему 1 § 15.10.
Теорема 1, Для функции /еС*
где On есть ее N-я сумма Фейера /.
Доказательство. Учитывая G) —(9), получим (соF) — мо-
модуль непрерывности /)
1
Д*
д*
J ^
д6 д*-дв
<«B6 /n) + -Jr J
Д
Д*-Дб
Сначала выбираем б так, чтобы иBбУп) < е/2B6Тп — диа-
диаметр До), а затем достаточно большое No, чтобы второе слагае-
слагаемое в предпоследнем члене цепи оказалось меньшим, чем е/2..
5 15.H. СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ МНОГОМЕРНЫХ РЯДОВ ФУРЬЕ 221
Теорема 2. Для функции /е?*
1/ - ctjv Ць, = j|/(x)-oJV(x)ldx->0 {N-+oo),
л*
где ow — сумма Фейера f порядка N.
Действительно (пояснения ниже),
—
31
д*
д*
Флг(и)Я(и)^и->-0, iV->oo, A0)
д*
где
к (u) = j | / (х + и) - / (х) | dx
д*
— функция периода 2я,. непрерывная (см. ниже) и равная нулю-
при и = 0. Для нее по теореме 1 последний интеграл в цепи A0)
стремится К/нулю при N-*¦<*>. Ведь этот интеграл есть значение
в нулевой точке iV-й суммы Фейера А (и).
Во втором соотношении в цепи A0) мы заменили порядок
интегрирования — это законно, потому что в теории интеграла
Лебега доказывается, что интегралы от неотрицательных измери-
измеримых функций, взятые последовательно по разным переменным,
можно менять местами, не меняя результат (теорема Фубинк
§ 19.3, свойство 19).
Непрерывность А(и) вытекает из следующих рассуждений:
J/(x+u)-/(x + u«)|Ac->0 (u-vu°).
д*
Последнее соотношение (стремление к нулю) следует из теоре-
теоремы 6 § 14.4, где надо считать, что / = 0 вне некоторого конеч-
конечного достаточно большого куба, содержащего в себе концентри-
концентрический с ним куб Д*.
Теорема 3. Система функций A) полна в С* (следователь-
(следовательно, в L* и L*, см. § 14.9).
Это следует из теоремы 1,. если учесть, что при любом Лг сум~
ма Фейера о>(х) есть сумма вида
2 akeikx = TN (x) A1)
(aft — числа), т. е. конечная линейная комбинация из функций
системы A) (тригонометрический полином порядка- N), Ведь од~
222 ГЛ. 15. РЯДЫ ФУРЬЕ. ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ ПОЛИНОМАМИ
номерное ядро Фейера можно записать в виде (см. § 15.10, F))
Fn (x) =i-
откуда видно, что ядро Ф;у (t — х) = Ц F^ (tj — Xj) есть тригоно-
тригонометрический полином по х порядка N с векторным параметром t.
Умножение Q)nit — x) на fit) и интегрирование по параметру
te Д* (см. F)) приводит в свою очередь к тригонометрическому
полиному от х порядка N.
Теорема 4. Ряд Фурье C) функции /е!8 сходится к f
в смысле среднего квадратического {L2 (Д*)).
Это Следует из полноты в Ьг ортогональной и нормальной
яа Д* системы функций A) и из теоремы 1 § 14.6 общей тео-
теории ортогональных рядов.
Всякий ряд вида
S/.,Jbx {4?\
{ch — числа), распространенный на всевозможные целочислен-
целочисленные векторы к, называется тригонометрическим рядом (в комп-
комплексной форме).
Теорема 5. Если ряд A2) есть ряд Фурье некоторой функ-
функции /, принадлежащей L*, то эта функция единственная с точ-
точностью до множества меры нуль.
В самом деле, пусть A2) есть ряд Фурье функции / е L*.
Тогда
1
' д*
Этим для любого N определяется однозначно сумма Фейера
о>(/, х) нашей функции /, так как ядро этой суммы Ф„(и) есть
вполне определенная линейная комбинация из функций
е~гки( | к} | <[ N). По теореме 2 сьДх) стремится при iV->oo к
fix) в смысле L (Д*). Но этим функция / определяется с точ-
точностью до множества меры нуль.
В конце § 15.5 уже отмечалась теорема Колмогорова, утвер-
утверждающая существование функции /0 е L* от одной переменной,
ряд Фурье которой расходится всюду на действительной оси.
Таким образом, ряд Фурье функции /» совсем ее не представля-
представляет, если придавать значение только точечной сходимости ряда.
Но это не мешает функции ja и вообще функциям /ei* иметь
тесную связь с их рядами Фурье по другим, так сказать, лини-
линиям. Ведь сумма Фейера тесно связана с рядами Фурье, а по тео-
теореме 2 сумма Фейера порядка N всякой функции f^L* сходит-
сходится к / в метрике L*. Прямая связь между функциями /eL*
и их рядами Фурье устанавливается также и теоремой 5, в силу
§ 15.11. СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ МНОГОМЕРНЫХ РЯДОВ ФУРЬЕ 223
которой две разные (не равные почти всюду) функции из L*~
имеют разные ряды Фурье. Мы увидим в дальнейшем
(см. § 16.11), что именно по этой «линии» оказывается возмож-
возможным обобщить понятие функции класса L* на более общие объ-
объекты (вещи) — обобщенные периодические функции.
Формулу E) для Л^-й суммы ряда Фурье можно еще .записать
в виде
SN (х) =Ц_ f цA + cos (t, -x ¦)+...+ cos N (i, - Xj))f (t) dt=
я aV=1
N N
= — 2 ... 2cos ki (fi ~ xi> • • ¦cos kn (*»—Xn) / (*) dt> ^13)
где штрих означает, что всюду под знаком суммы при kj = О
О' = 1, ..., п). надо заменить cos kjitj — xt) на 1/2. .
Дальнейшие преобразования A3) мы запишем только в дву-
двумерном случае (п = 2). При п > 2 они аналогичны.
Если положить
л л
аы
= —j- \ | cos /cu cos lv / (ц, и) dw dv,
-я —л
л п
= —j- 1 \ sin ku sin lv f (и, v) du dv,
-""" A4)
=—j- \ \ cos ku sin lv f (u,v)dudv,
— n -я
n я
—— 1 j sin ku cos lv f (u, v) du dv
Ам = Аы{х, y) = aM cos kx cos ly + bht sin kx sin ly -f
+ cw cos /еж sin ^ + с4, sin /ex cos Zi/, A5)
то
cos k¦("—^cos 1&—
JV /V
где штрих во второй сумме обозначаем что на самом деле,
224 ГЛ. 15. РЯДЫ ФУРЬЕ. ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ ПОЛИНОМАМИ
вместо Аоо, Ам, Аы (к, 1?=0) надо писать A^/i, AM/2, AJ1 и соот-
соответствующее соглашение надо сделать в отношении первой сум*
мы. Таким образом,
N
«S'jv (х, у) = —-.—I- -д- Д. (а^пcos kx -f- dfto sin /еж) -(-
i
iV ЛГ ЛГ
гв! cos ly -f- coi sin /г/) -
Ряд Фурье C) функции / по системе A) преобразуется фор*
мально в ряд
оо
У (х, у) ~ —Jp- -f- -к 2а \aft<> cos ^^ + "Ао sin »ж) "f*
1
оо оо оо
1 "V • V 'V
+ -j^ (яог cos tj/ + сог sin Щ + 2d Zi ы \Х'У>- \*<)
1 11
Но надо иметь в виду, что к ряду A7) мы могли бы прийти
31 непосредственно. Дело в том, что тригонометрические функции
cos kx cos ly, sin kx sin ly, cos kx sin ly, sin kx cos /j/ A8)
(ft, 1 = 0, +1, +2 )
¦образуют, как легко проверяется, ортогональную систему на пря-
прямоугольнике А* = { — я ^ х, у ^ л}.
. Если разложить по этой системе / в ряд Фурье, то мы как
раз получим ряд A7).
Таким образом, ряд A7), где числа ам, Ъм, си, du вычисля-
вычисляются по формулам A4), есть ряд Фурье / но.системе A8). Числа
<14) — коэффициенты Фурье / по системе A8).
Из сказанного следует, что*)
Аи = аы cos kx cos ly -f Ъы sin kx sin ly +
-j- Сы cos kx sin ly + dhi sin kx cos ly =
* J(hx-ly) , * U-hxl
Отметим еще, что- система A8) полна в С* (следовательно,
в L* или 1*>г), что следует из полноты системы A) и того факта,
что функции • системы A) суть конечные линейные комбинации
из функций системы A8).
Наконец отметим, что, если / s L* — действительная функ-
функция, то и ее коэффициенты Фурье аы, bhh cw, dkt действительны,
*) На этот раз с*; обозначает комплексный коэффициент Фурье, что-
чтобы отличить его от сы в A4),
§ 15.11. СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ МНОГОМЕРНЫХ РЯДОВ ФУРЬИ 225
в то время как коэффициенты см, вообще говоря, комплексны,
но удовлетворяют условию сопряженности c_fti_( = ch,i.
Рассматривая снова д-мерный случай при прежних обозначе-
обозначениях, заметим, что если функция /еС* имеет частную произ-
производную -j—еС*, то любой коэффициент Фурье ск, где кп Ф О,
п
можно проинтегрировать по частям (см. § 15.7):
2П !Л _, v 1.1. 2л
е х (iti
0
0
Вообще, если X — (ki, ..., ^n) — заданный целый неотрица-
неотрицательный вектор й /<s) e С* для любого неотрицательного целого
вектора s =S k~{Sj ^ kj), то после соответствующего применении
процесса интегрирования ро частям получим
(/(М) ( I *-1 = S ^-, ^ = Ai1 ... ^n], A9)
где если kj = 0, то надо считать X, = 0 и к,3 =0° = 1. Что каса-
касается чисел ck(f ), то это коэффициенты Фурье производной /(М.
На самом деле формула A9) верна в предположении, что
функция / е L* имеет обобщенные (по Соболеву) частные про-
производные /(k> e L* {kj'^kj, см. § 19.5).
Теорема S. Пусть к — i%, .. ., Я) — вектор с целыми поло-
положительными, равными между собой компонентами и функция
fix) = fix.,, .. ., х„) принадлежит С* вместе со своими частными
производными /(ft) порядка k'^k (/с;-О.) и выполняются нера-
неравенства
1 f|/(')(x)|2dx<Af2 B0)
Bя)« л!
для лю&ого вектора 1 = Ци . . ., /,,), имеющего компоненты 1-„ рав-
равные 0 или К > 0. Тогда N-я сумма Фурье SNix) функции fix) от-
отклоняется or fix) с оценкой
Л,— —
N 2
С зависит от К, но не от М и N.
226
ГЛ. 15. РЯДЫ ФУРЬЕ. ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ ПОЛИНОМАМИ
Доказательство. Остаток суммы SN ряда Фурье / запи-
записывается в виде
che
ihx
B1}
Зададим натуральное т, удовлетворяющее неравенствам
О < т < п, и определим множество О„, целочисленных векторов
k = (&i, ,.., кп), координаты которых удовлетворяют соотноше-
соотношениям
\kj\ = О (у = 1, .,., т, если т > 0),
B2)
l&m+i! > W, I&j! ^ 1 0' = wi + 2, -..., п, если ш < /г — 1).
Через Qm мы также обозначим любое множество вектороа к, ко-
которое может быть сведено к описанному путем соответствующей
перестановки индексов /. Очевидно, каждому т соответствует
конечная система множеств О„, кроме того, множество всех к,
па которые распространена сумма B1), равно
{k: max| *;!>#}- V. 2Qm, B3)
где вторая сумма для каждого т распространена на все различ-
различные Qm.
Оценим сумму модулей только тех членов ряда B1), которые
соответствуют векторам к, принадлежащим некоторому ?},.,.
Будем для определенности считать, что Ит описывается, как в
B2), Для других Qm оценка аналогична. Имеем
km+l • ¦ • kn
¦'¦ 12
С It
oo Nl/2
(см. A9), B0)). Следовательно,
2\ 1'2
Л'
B5>
где С не зависит от М и N.
Из B5) следует, что ряд Фурье функции / сходится равно-
равномерно, до он, как мы зп'аем, сходится к / в смысле среднего
ивадратического. В таком случае оы сходится равномерно именно
§ 15.11. СВЕДЕНИЯ НЗ ТЕОРИИ МНОГОМЕРНЫХ РЯДОВ ФУРЬШ 227
i; /(x) (см. ыиже лемму), и потому
Л
Л'
что и требовалось доказать.
Л е м Л1 а 1. Если ряд
аг(х)
непрерывных-па. области Q функций сходится в смысле среднего
гвадратического к непрерывной функции Six) и в то же время
ои сходится равномерно на Q к ci(x), то Six) = о(х) па Q.
Доказательство. Пусть SNix)— сумма первых ./V членов
ряда, V с: Q — произвольный шар и
XSV
По условию Кя -*- 0 (§ 11.7). Поэтому
/ f I2
< / f | 5(х) - 5W (х) I2 c^xjI/2 + / f | Sn (x) - a (x
5 (x) - 5W (x) |г йхIЛ2 + Kjv /|ТТ ^0 (Ж -^ сю).
/
Следовательно, левая часть в этах соотношстгиях равна кулю,
;i так как функции Six) и а(х) непрерывны, то они тождествен-1
но равны.
Теорема С доказана. На самом деле она верпа при тех же
рассуждениях в предположении, что частные производные в B0)
понимаются в смысле Соболева.
Введем для положительного ц > 0 множество КЛ (крест), ^яв-
лнкнцоеся объединением п множеств {\щ\<ц} (/= 1, ..., п),
и докажем теорему.
Теорема 7. Для функции / е V * Ыли L*) при произволь-
произвольном г] > 0 имеет место равенство
Sy (х) - / (х) = -L ГЦ DN (Uj) У {х + и) - / (к)] d» + о A) (Ж->оо)
B6)
равномерно па любой области Й точек х, где / ограничена.
228 ГЛ. 15. РЯДЫ ФУРЬЕ. ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ ПОЛИНОМАМИ
Доказательство. Ограничимся рассмотрением двумерно-
двумерного случая. Имеем
я п
\ j DN {и) DN (v) \f{x+u,y + v) - f{x, y)] du dv =.
*= 1 I sin [N -f- v J M? (u) sin ^ + v I *>? (l7) *
— ОС — OO
равномерно па области Q, где / ограничена. Здесь
—Ц-, т]<и<л,
2 sin —
О вне hi, л].
Свойство B7) следует из леммы,, представляющей собой простое
обобщение па двумерный случаи леммы 2 § 15.4.
Свойство, подобное B7), очевидно, верно и для интеграла,
стоящего в левой части B7), если его область интегрирования
¦ ваменить па симметричные ей области относительно осей коор-
координат и начала координат.
Замечание. Более детальные исследования показали бы,
что в формуле B6) крест Кп нельзя, вообще говоря, заменить на
куб Л„ = {|и,-| «Sr|; / = 1, .. ., п), и в этом проявляется сущест-
существенное различие между рядами Фурье функций многих пере-
переменных и одной переменной (ср. § 15.3, (8) и ниже § 10.8, A7)).
§ 15.12. Алгебраические многвчлены. Многочлены Чебышева
Чтобы выяснить связь алгебраических многочленов с триго-
тригонометрическими полиномами, точнее, с четными тригонометриче-
тригонометрическими полиномами, обратимся к равенству
cos nQ + i sin ?iQ == (cos 6 -f- i sin 8)" =
= (cos 6)" + iCn (ces G)"?1 sin 9 + ?& (cos 6)n~2sm2 8 + ...
Члены его правой части с четными степенями cos 0 действи-
действительны, а с нечетными — мнимы. Кроме того, (sin 9Jm =¦
— A — cos26)m (от = 1, 2, ...). Из этого следует, что при любом
натуральном п
cos n8 = (
где Qn{x) •= cos n arccosz = aon) + ccin) (x) -f- ... + a(nl)xn— алгеб-
алгебраический многочлен степени п с действительными коэффициен-
коэффициентами. Оы называется многочленом Чебышева степени п.
§ 15.13. ТЕОРЕМА БЕЙЕРШТРАССА 229
Очевидно,
Qiix) .= cos arccos a: = х,
Qz(x) = 2(cos arccos х)г — 1 = 2хг — 1,
Из сказанного следует, что всякий четный тригонометриче-
тригонометрический полином
при помощи подстановки 8 = arccos х (или х — cos 6), гомеоморф-
ео (т. е. взаимно однозначно и непрерывно) отображающей
отрезок 0< 6 < я на отрезок —1<ж^1, преобразуется в алгеб-
алгебраический многочлен степени п:
Рп (х) — Тп (arccos х) = -— -J- ^ <xk cos к arccos x,
1
Нажно, что и наоборот, подстановка х = cos 6 @ < 8 <! л,
— 1<ж< 1) преобразует произвольный алгебраический многочлен
Р» (х) = а,, + а{х + ... +й„ж"
степени п в четный тригонометрический полином (см. § 8.11, (8))
п
Тп (8) = Рп (cos 8) = -^г + 2 ak cos *в,
i
где числа ah {к = 0, 1, ,.., 7i) зависят от Рп.
§ 15.13. Теорема Вейерштрасса
Теорема 1 (Вейерштрасса). Система функций
1,х,х2,... A)
полна в пространстве С (а, Ъ) непрерывных функций. Иначе го-
паря, для любой непрерывной на [а, Ь] функции fix) и любого
г > 0 найдется алгебраический многочлен Рп(х) такой, что
1/Ы — Рп(х)\ < е для всех х^[а, Ы. B)
Доказательство сначала проведем для отрезка [—1, +11.
Пусть на [—1, +1] задана непрерывная функция fix). Тогда
/(cos () есть непрерывная на отрезке [0, л] функция, и тад; как
система функций
1, cosi, cos 2t, ..,
230 ГЛ. 15. РЯДЫ ФУРЬЕ. ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ ПОЛИНОМАМИ
полна в С@, л) (см. теорему 3 § 15.5), то для любого е >0 най-
найдется четный тригонометрический полином Tn(t) такой, что
\}(cost)-TJt)\ <e.
Но Т„Ш можно записать в виде Tn(t) =/)n(cos2), где Рп есть
алгебраический многочлен степени п. Таким образом,
Но тогда
1/(.т)-Р„Ы1<е (-Кж<1).
Теорема для отрезка [—1, +1] доказана.
Если теперь задана непрерывная функция fix) на отрезке
[а, Ы, то сделаем подстановку
г = Н — (z + 1),
линейно и взаимно однозначно отображающую отрезок [ — 1, +1]
изменения z на отрезок- la, b] изменения х. Тогда функция
F(г) =• /(a -j- ' ' (z 4-1I непрерывна на [ — 1, +1], и по дока-
доказанному выше для нее найдется многочлен Р„(г) такой, что
\F(z)~Pn(z)\ <e, ге[-1,+1].
Обратная подстановка приводит к неравенству
е, же [a, i],
где /?„ (ж) = Рп ( —р^—— 1) есть, очевидно, в свою очередь,
многочлен.
Теорема доказана.
Заметим, что степень п многочлена Рп(х), для которого - по
данному s выполняется неравенство B), зависит,от е. При е -»- 0,
вообще говоря, п -*-«>.
§ 15.14. Многочлены Лежандра
Рассмотрим функции
Lo (х) =а 1, Ln (ж) = -J-y. rf"(r^7l)n (« = 1,2,...) A)
па отрезке [—1, +1]. Ясно, что это многочлены степени п и при-
притом строго степени п. Дифференцируя {хг — 1)" = (х— 1)"(ж + 1)"
по правилу Лейбница « раз, получим
где не выписанные члены содержат множитель ж^- 1. Поэтому
1
-1
§ 15.14. МНОГОЧЛЕНЫ ЛЕЖАНДРА 231
Л„A) = 1 (п = 0, 1, ...). Полагая т < п п интегрируя по частям,
получим
+1 +1
2T'n! I Ln (х) xmdx = \ хт ~~ dx — х
+1 +i
( гтг—1 о!п (ж — 1)П 7 ( m—I rfn~1 (,r — l) ,
— m \ x ; dx = — m \ x ^— dx =я
J dx'1 l J di."
-1 -1
...-0.
Первое слагаемое в третьем члене цепи равно пулю, потому
что {х2 — 1)" имеет числа +1 и —1 своими нулями кратности п
dm
п, следовательно, производная —— (х- — 1)" (т = 0,1, ..., п — 1)
при подстановке в нее +1 или —1 обращается в нуль. К послед-
последнему явно написанному интегралу, содержащему хт~1 (вместо
исходного хт), применяем снова интегрирование по частям, по-
понижающее степень х еще на единицу, - и т. д.— это, очевидно,
приводит к нулю.
Полученное равенство показывает, что система A) ортого-
ортогональна на f—1, + 1].
Вычислим интеграл от квадрата Ln{x) на [—1, +1]. Положим
и„(х) = (ж2 — 1)". Тогда
-! 1
t L
тЛ т/('г) 1-г\ Яг — Г 7/("~1) (г\ ?/" + 1> (т\ й г =.
-1
J u'^-V (x) u(,lH2) (x) dx =...=(- 1)™ j unu(*n)dx =.
-1 ^-1
•=Bn)! f A - x)n A + xf dx.
Ho
f A - xf A + xf dar= ~j J A - xf-1 A + ж)п+1 dx =
_ n(n-l) ...i С ., ,2n , _ ("О8 o2n+l
••' - (n + l)(» + 2)...2« J V- + X> aX~ Bn)\Bn +1) Z
-l
+l
t Гоэтому ] L\ (x) dx = ., и, следовательно, нормированные
232 ГЛ. 15, РЯДЫ ФУРЬЕ, ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЯ ПОЛИНОМАМИ
ыиогочлены имеют вид
±1^Щ^г (йв0|1>...,
B)
С другой стороны, если произвести процесс ортогонализащш
системы 1, х, х'\ ... на отрезке [—1, +1], как -это делалось п
§ 14.7, то мы получим полную ортогональную и нормальную на
[-1, +1] систему А.Ы, РЛх), РгЫ, .. .
В этом процессе на п-и его этапе многочлен Ра(х) степени и
задавался как, во-первых, нормальный I J P\dx = \\, а во-вто-
\-i /
рых, ортогональный к Ро, Ри ..., Pn-i, и этим он определялся с
точностью до знака. Но многочлен ср,Дд;) обладает всеми указан-
указанными свойствами и потому он тождественно равен одному ji:s
многочленов Рп (+-Р» или —Р„), именно тому, который имеет по-
положительный коэффициент при хп, потому что ц>п(х) обладает
этим свойством.
Так как система Ро, Р,, ... полна в С(—1, +1), то мы дока-
доказали, что система функций
фо, фи фг, . , . (о)
пе только ортогональна и нормальна на [—1, +1J, но н полна в
СС-1, +1) (тем более в L2(-l, +1)).'
Функции ф„(х) называются многочленами (или полиномами)
Лежандра, нормальными на отрезке [ —1, +1L Функции Ln(,r)
также называются многочленами Лежандра, нормированными
условием Ln(l) = 1 (п = 0, 1, ...).
Таким образом, к полиномам Лежандра применима общая
теория ортогональных систем функций. В частности, любая
функция f(x) ?=/,,(—1, +1) разлагается в ряд Фурье
/() 2</.Фя)ф*()
о
по многочленам Лежандра фл, сходящийся к f на [—1, +1] в
смысле среднего квадрагического.
Для рядов по многочленам Лежандра возможно исследование
вопроса об обычной или равномерной ехдимости их к функциям,
как это делалось нами для тригонометрических рядов Фурье.
Например, известно, что если функция / имеет на отрезке [—1,
+ 1J непрерывную вторую производную, то ее ряд по многочле-
многочленам Лежандра равномерно на этом отрезке сходится к ней. Как
и для рядов Фурье, оценка остаточного члена разложения / по
мнегочленам Лежандра зависит от дифференциальных еввйств /.
Вообще, если функция лучше, то и оценка лучше. Отметим еще,
что, как правило, сходимость рядов по полиномам Лежандра
лучше строго внутри отрезка [—1, +1] и хуже- на концах его,
Глава 16
ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ. ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ
§ 16Л. Понятие интеграла Фурье
В предыдущей главе мы рассматривали функции периода 2я,
принадлежащие классу L'* (вообще L*). Для любой такой
функции имеет смысл ее ряд Фурье
^cos kx + ^sin kx)=
1 —сю
=Л J/(Ocosto(ft (Л = 0,1,...), B)
—я
л
= i Г /U) sin kt dt (к = 1,2, ....), C)
—я
2Я
-""A (A = 0,±l,±2, ...), D)
С, = ^^ с_А = ^ (ft = 0,l,2,...jbb-0).
Пас теперь будут интересовать, вообще говоря, непериодиче-
ские функции, заданные на действительной оси, принадлежащие
классу Ь'<=Ь'{—оо, оо) или более общему классу L = Ы—оо, с»)
функций, интегрируемых на (—°°, <») по Лебегу.
Каждая функция / е U абсолютно интегрируема в римановом
несобственном смысле (см. § 14.2) на (—оо, оо), функции же
/еЬ абсолютно интегрируемы в лебеговом смысле на действи-
юльной оси. Все, что мы будем получать для /sf, верно н
для f^L, но для полного обоснования требует знания интеграла
Лебега. Если f^L', то при любом действительном * имеют
смысл интегралы
00
a{s) = ± j f(t) coast dt, <5)
23i ГЛ. 18. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ. ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ
@)
ведь, например,
1/Ш cos я/| < 1/@1 е//. (8)
Функции a(s), b(s), cis) непрерывны. Если / имеет конечное
число точек разрыва, то этот факт следует из равномерной схо-
сходимости интегралов E), F), G), потому что функции, стоящие
под их знаком, непрерывны по is, t), за исключением тех t, где
/ разрывна. В общем же случае см. ниже лемму 1 § 16.2.
Функции a(s), bis), cis) являются аналогами соответственно
коэффициентов Фурье ak, bh, ck периодической функции, по по-
последние определены для дискретных значений А:, в то время как
функции ais), b{s), cis) — для непрерывных s.
Имеют место свойства (см. лемму 1 § 15.4)
ais) -* 0, Us) -*- 0, cis) -> 0 is -+ оо),
аналогичные соответствующим свойствам коэффициентов Фурье.
Функции ais), bis), cis) естественно было бы назвать соот-
соответственно косинус-, синус-преобразованием Фурье и комплекс-
комплексным преобразованием Фурье функции /, по из соображений сим-
симметрии принято эти названия применять к интегралам, отлича-
отличающимся от. указанных на некоторые коэффициенты.
Аналогом члена ряда Фурье естественно считать функцию
(от х и параметра s)
оо
a (s) cos sx -f- b (s) sin sx — - \. /(t) cos s(t — x)
dt
JL j / (i) [е*5«-*> + e-*«'-*>] dt = с (s) eux + с (- s) e~
2it
— DO
При этом, если fit) действительна, то с(—s) = cis).
Аналогом суммы Фурье порядка N является простой инте-
интеграл Фурье (пояснения ниже):
N
Sjv (х) = j (a (s) cos sx -\- b (s) sin sx) ds =
о
JV oo oo N •
*= — \ ds I / (t) cos s (i! — x) dt — - \ f (I) dt \ cos s (t — x) ds =
0 -so
§ 16.1. ПОНЯТИЕ ИНТЕГРАЛА ФУРЬЕ 235
оо оо
1 Г , /,. sin ,V (t — х) j. 1 Г , . , . sin Nt ,,
- I fit) at = - i 1 (x-\-i) —dt=»
^oo —oo
f\ CO
s-^df + i J /(i-j-J)d')»in^^=-
_oo
(^-!-0^* + о.A) (,V->co,t1>0), (9)
-n
где o(l) -»¦ 0 равномерно относительно х, принадлежащих любому
«л резку [а, Ъ\ и
|'Кч,
Первый интеграл в цепи (9) существует, потому что подын-
подынтегральная функция непрерывна но s. В третьем равепстве (9)'
изменен порядок интегрирования. В случае, если / имеет конеч-
конечное число точек разрыва, это следует из теоремы 2 § 13.14, по-
потому что интеграл
J / (t) cos s (t — x) dt
¦~oo
равномерно сходится относительно se[0, N], а подынтеграль-
подынтегральная функция непрерывна относительно it, s), за исключением
конечного числа точек t. В общем случае см. ниже лемму § 16.2.
Лакопец, в последнем равенстве остаток равен
\ j f(x + t)g(t) sin Ntdt.- A0)
Здесь git) — очевидно, ограниченная на действительной оси,
измеримая на любом конечном отрезке функция. На основании
B), § 15.4
DO
lim f f (x-\-t) g (t) sin {N t) dt = 0 A1)
рлнпомерпо на любом отрезке la, fc], что дает последнее равен--
236 ГЛ. 16, ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ. ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ
Функцию SN(x) можно еще записать в комплексной форме
N N
Sn (х) = J (с (*) eisx + c(-s) e~isx) ds = J с (s) eisx ds =
N
-N
oo
7^ J
' A2)
§ 16.2. Лемма об изменении порядка интегрирования
Лемма 1. Пусть функции /, ф s i'@, oo) (или L@, оо)) и
Ms, t) @<s, ?<°о)—непрерывная ограниченная функция
(IMs, t)l«S К). Тогда интеграл
1 /р /\ / ff\ At (\\
/V \Ъ ] I) j \V\ lib 111
есть непрерывная ограниченная функция от s, и имеет место
равенство
оо оо оо оо
J Ф (s) ds j" К (s, t) f(t)dt = $f (t) dt j I (s, t) Ф (s) ds. B)
0 0 0 0
Доказательство. Для е > 0 подберем финитные непре-
непрерывные функции /4, (р^ для которых
оо
\, J|q>(t>-q>i
о о
Тогда, полагая
N
где N настолько велико, чтобы отрезок [О, N] содержал носи-
носитель /j, получим
j [/ (*) - /i (')] b(s,t)dt
(t) - U (t) \dt < 8.
Так как интеграл в правой части C) есть непрерывная функ-
функция от s и ограниченная, то. по лемме 1 § 12.13 uXs) непрерыв-
непрерывна и к тому же ограничена (!|лЫ1 ^NKmax l/i(i)l H- е). Следо-
Следовательно, внешний интеграл (по s) в левой части B) имеет
смысл. Подобным образом доказывается существование интегра-
интеграла справа в B),
$ 16.3, СХОДИМОСТЬ ПРОСТОГО ИНТЕГРАЛА ФУРЬН 237
Теперь имеем (пояснения диже)
<ю оо ~N N
J cr (*) ds j К (s, i) f (t) dt = j Ф.(») ds j A, (S, 0 / (t) Л + о A) -
"on о о
N N oo oo
= j / (t) dt j rp (s) A, (s, г) ds+o A) ^ | / {t) dt [ cp (s) Я (а-, <) Л (iV-voo).
0 0 "ll *0
Первое равенство в цепи имеет место, потому что остаток
в нашем кратном интеграле оценивается следующим образом:
ОО /V JV ОО ОО 00
\ j -j- j I" + f ф (s) ds [ / (/) % (s, t) dt
Л' о О Л' N W
/ooJV/Voooo oo \f
< A' j f + f f + f ! Ф <») t^ ( I / @ l Л =0A) (ЛГ "> OO).
VN о 0 iV N « /
Подобным образом доказывается и последнее равенство. Надо
учесть, что третий член в нашей цепи есть постоянная ив то
же время он стремится к четвертому (тоже постоянному числу),
но тогда они равны.
Замечание 1. В лемме 1 переменные s, t могут иметь век-
векторный характер (з = (sf, .. ., sm), l — {tt, ..., tj, 0 < sh ?A<°°).
Замечание 2. Равенство B) следует также из теоремы Фу-
бини в лебеговой теории (см. §§• 19.3. 19.4, свойство 19).
§ 16.3. Сходимость простого интеграла Фурье
к порождающей его функции
Важнейшим свойством простого интеграла Фурье является
тот факт, что при весьма общих, условиях, налагаемых на порож-
порождающую его функцию /, он сходится к последней при N -*¦ °°, т. е.
/ (х) = lim SN (х) = lim - / {t + х)^-^dt. A)
Л'-*эо N-гэо ^ t) t
—оо
Это вытекает из следующей важной леммы, устанавливающей
ьтубокую связь между интегралами и рядами Фурье.
Лемма 1. Пусть заданы две функции /eL' = L'(-w, оо)
(или Ы и /* е L' (или L*, f%, таким образом, периода 2л) и
пусть обе они равны на отрезке {a, b] (|W=/((i),ie[e, b]).
Тогдагдля любого х <н (а, Ь) имеет место
lim [SN {x) — S*N {x)\ = 0 B)
равномерно относительно х, принадлежащих любому отрезку
238 ГЛ. 16. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ. ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ
[a', b'] a (a, b), где S^ix) —простой интеграл Фурьг /, 'а
S_n(x) — JV-я частичная сумма Фурье функции /#.
Доказательство. Зададим х & (а, Ъ) и пусть отрезок
1а', Ъ'] с [а, Ъ) содержит х. Положим
1] = min {а' — а, Ь — Ь').
С одной стороны (см. § 16.1, (9)), равномерно относительно
z e [о, Ъ\
S* <*) = 7i j / (* "I" *) ^Т1 dl "•¦ °A) {N ~* то)' C)
-ч
а с другой, равномерно относительно всех х
U{x -]- t) *^p dl + о A) (N -> оо) (/j)
(см. § 15.3(8), где заменить Sn, / па 5*,/*). И так как в инте-
интегралах C) и D) х +1 & [а, Ы, то в силу условия леммы
У (х + t) = /* (х -Н t), и потому
5я. (х) - Ли <ж) - о A) - о A) ^ о A) (N -> оо)
и притом равномерно на [а', Ь'].
Будем называть определенную па оси (—°°, с») де1ктвитель-
ную или комплексную функцию /(,г) локально кусочно' гладкой,
«ели она кусочно гладкая, т. е. имеет вместе со своей произьод-
ной конечное число точек разрыва первого рода на любом ко-
коночном отрезке [а, Ъ\. Нам будет удобно еще считать, что для
ьсех х выполняется условие 2/(аг) = }(х + 0) + f(x — 0), хотя по
«бычной термитгологии локально кусочно гладкая функция по
обязательно должна удовлетворять этому дополнительному усло-
условию.
Имеет место
Теорема 1. Простой интеграл Фурье локально кусочно
гладкой функции /еГ (L) при N-*¦ °° сходится к ней и притом
равномерно на любом отрезке la', b'\, содержащемся строго вну~
три отрезка [а, Ь] (а < а' < Ъ' <Ь), где f непрерывна.
Доказательство. Зададим х е (—оо) оо) и пусть {а, Ь]
есть содержащий х отрезок, где пока Ъ — а< 2л. Поместим этот
отрезок внутрь какого-либо интервала (а, а + 2п) (а <'а < 6 <
<а + 2л). Построим наряду с /функцию /* периода 2rt, рав-
равную / на [а, а + 2я). Очевидно, /,eL' есть кусочно гладкая
периодическая функция. Для ее N-ii суммы Фурье Sy имеет
место
S*N (x) -»-/*(*), хе[а,Ь]. (П)
§ 16.4. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ. ПОВТОРНЫЙ ИНТЕГРАЛ ФУРЬИ 239
Поэтому для простого интеграла Фурье функции / в силу леммы
1 имеет 'место
lira 6д> (х) ~ lim Sx (x) -f lim [S*{ (,r) — S*\- (x)] = /^ (x) = / (x).
IV-* oc N-*x> Т<-*эо
F)
Из теории рядов Фурье мы также знаем, что свойство E)
имеет место равномерно на la', Ъ'] с: (а, Ь), если / непрерывна
на la, Ы. Но тогда в силу леммы 1 и свойство F) имеет место
равномерно на la', Ъ'}. В случае, если Ь — а ^ 2л, делим la', b'\
на отрезки длины меньшей, чем 2л. На каждом из них SN(x) -*¦
¦-*¦ fix) равномерно, следовательно, равномерно и на la', Ъ'\.
Равенство @) доказано для случая, когда N —*¦ оо, пробегая натураль-
льте числа. Но если Л'= [Лт] \ а — положительное число, где [Л7]—целая
часть Л', то
Г sin Nt ,, , ., ,. (' sin LVt t ,, , ., ,.
i
a
sin -rr
равномерно относительно х, принадлежащих люоому конечному отрезку.
Ухо следует ил § 15.4, леммы 2, где надо пологкить
а,
sin -77- t
g(a,t) = f
§ 16.4. Преобразование Фурье. Повторный интеграл Фурье.
Косинус и синус преобразования Фурье
Заданная на действительной оси действительная или комп-
комплексная функция fix) называется локально интегрируемой, если
/еГЦ Ь) AЛа, Ю), каков бы ни был конечный отрезок la; b].
Если /е L' = L'{ — °°, <»), то j^L'ia, b), но, вообще говоря,
ие наоборот. Например, непрерывная на действительной оси
функция локально интегрируема, но не обязательно принадле-
принадлежит //(— °°, °°).
Если / локально интегрируема, то для нее для любого дей-
действительного х и любого Л7 > 0 имеют смысл интегралы
N N
f (.r) = -^L=- j / (t) е-м dt, f (x) = гф=; J / (t) e«t dt, A)
Пределы
lira 7* (x) = /"(x), lim f (x) = f{x), B)
NN
7 () /(),
N->oo N-foa
240' ГЛ. 16. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ. ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ
если они существуют, мы будем называть преобразованиями
Фурье функции /, соответственно прямым и обратным. Мы их
будем записывать в виде
ОО DO
f(x) = -±=- j / (t) е-™ dt, f(x) = -~ j / (t) (w dt, C)
по помнить, что интегралы в (Л) надо понимать вообще в смыс-
смысле главного значения
Hm j .
Для функций f^L' (или L) их преобразования Фурье псегда
имеют смысл ri Интегралы C) суть о&ычные абсолютно сходящие-
сходящиеся несобственные интегралы и их можно понимать как
JV'
lira J , где N, N' независимы между собой.
В силу сделанных определений (см. § 16.1, (9), A2)) спра-
справедливо равенство
ОО ОО
/(х) = JLj ds j fit)cossit-x)dt = fix). D)
(j —oo
Оно во всяком случае, как это было доказано в § 16.3, верно
для локально кусочно гладкой функции /е/Л
Причем внутренний интеграл (по t) абсолютно сходится, а внеш-
внешний (по s) сходится, но, может быть, не абсолютно.
Кратный интеграл в D) называется повторным интегралом
Фурье функции /.
Таким образом, повторный интеграл Фурье локально кусоч-
кусочно гладкой функции /е L' равен самой функции /.
Что касается третьего члена D), то он указывает, что / мож-
можно рассматривать как результат двух операций — преобразова-
преобразования Фурье и затем обратного преобразования Фурье, т. е. /.
¦х
Верно также равенство ](х) = fix) при тех же условиях «a f%
потому что
JV оо
¦"~ А С С
//-уА 1 ¦ v\\ I л—f^$X f] О \ / I / 1 &i$t fit —~
1AJ JilJi ~ 1С С*О I J 1*1 V t*fc —"
— iV —оо
JV
lim-^- eUxds f П)е~и1 dt = /
-JV
(замена в интеграле * на — s).
Равенства
E)
t) 1G.4. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ. ПОВТОРНЫЙ ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ 24t
им самом деле верпы при более общих условиях, лалагаемых на
I, в особенности если соответствующим образом обобщить one-
[ адии — и Д преобразований Фурье (см. далее).
Из D) следует равенство
VO ОО
у (.т) = —г 1 cos sx ds \ / (t) cos st dt -f-
0 — oo
oo oo
+ 4" J sin sx ds j / @sin st dt D'>
О —oo
для локально кусочно гладкой функции /е//{—°°, <*>). Если
1фи этом /U) четная, то
ОО ОО
/ (х) = ~ J cos ет ??s J cos st f (t) dt, F)
0
если ?ке нечетная, то
OO OO
2 Г Г
j (x) — — I sin sx ds .sin sf / (t) dt, G)
u и
В формулах F) и G) можно считать, что х ^ 0, а /(?) есть
произвольная локально кусочно гладкая функция, принадлежа-
принадлежащая L'@, oo). Ведь в этих формулах используются только вна-
чеии'я / на полуоси [0, °°). Поясним это замечание подробнее.
Пусть задана локально кусочно гладкая функция /et'@, °°>
такая, что /@) = /@+0h Продолжив ее на всю действительную
< сь четным образом, получим четную -локально кусочно гладкую
фупкцию /е?'(—-со, оо)? для которой верна формула F); в част-
частности, она верна для х ^ 0.
Будем теперь считать, что для нашей локально кусочно глад-
гладкой функции (j^L'iO, oo)) выполняется равенство /(О^О (во-
«.шцо /@ + 0)^/@)). Продол>кив f нечетным образом наг
(-~оо, оо), получим нечетную локально кусочно гладкую функцию
| е //(-ос, ооI для которой верна формула G); в частности, она
нерпа для х > 0. Подчеркнем, что в формуле G) /@) = 0, в то
громи как в формуле F) значение /@) = /@ + С0 может быть
любым.
Интегралы
созываются соответственно косинус- и синус-преебразованпями
Фурье. Из формул F) и G) непосредственно следует, что если
242 ГЛ. 18. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ. ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИЯ
к локально кусочно гладкой функции / е L'@, °°) (или L) при-
применить последовательно два раза косинус- (или синус-) преобра-
преобразование Фурье, то получим исходную функцию /. В этом смысле
косинус- (синус-) преобразование Фурье является обратным са-
самому себе.,
Упражнения. Доказать следующие формулы для локально кусочно
гладких функций /е?'(—°°, о°). Например.
/ч 1 Г 1
7 ^ixt dt —j=r
[/ 2л
dt L_ 1 / (и) е~ш du == Г(И -|- *') = / (Ц -[- x).
У2л .'
i. ?(-1) =7 (o. 2. л- x) = rw. 3. /й
5. e'^l} — e x^tf=f{x-\-\\) (j.t — дсистпителмгое).
Примеры.
Справедливы равенства (пояснения ниже)
оо
1.
0,
00
2) / (ж) =. { — ¦— \ sin sx ;— ds,
¦ ds.
00
4) — \ e~aX cos ^^
и
oo
-5) I e~a<K sin Ях J^
a"
0
(a>0, 0<*<oo),
7) e-a» = — ,, ж „ sin sx ds @ < s < 00),
я > a" -j- x~
0
§ 16.4, ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ. ПОВТОРНЫЙ ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ 24
оо
(sin я, 1а:1^я1 о Г ч;п ,-
Ь) fix) = \ п , . } = — г sin лг o!s,
cos a:, | x К — , f cos-n-
~ = -Г- ?_ Cos ля dA,
0, |*|>-fj «^ 1-^
¦ 10) / (ж) = e-«M cos fix = — I cos sx \ K, „ -1 K2
''' n{ l(«-PJ + a2 (H-W+^
11) / (x) — e~a|Jt| sin Px = \
cos
12) / (a) = e- = -4=r I
13) / (x) = xe-^2 =.¦= —L_ j x, sin Xare-**/* dl.
При пользовании обычными методами теории неопределенных
интегралов, невидно, как можно вычислить интегралы, стоящие в;
правых частях равенств 1)—3). С другой стороны, функции 1) —
3) кусочно гладкие и принадлежат L'(—°°, oo) (/ei'(-с»1 оо)).
Поэтому к. ним применима формула D'). Эта формула упроща-
упрощается и имеет вид F), если / — четная функция, а, если / — не-
•гс'тмая, то она имеет вид G), например, функция 1) четная,
и потому
оо a oo
,/\ 21 7( ,7, 21 sin sa ,
/ (х) = — 1 cos sx ax cos st at = — I cos sx as,
я J J n J * '
о о
где надо считать, что в точках разрыва / выполняется равен»
стно /(х) = -j-[f (x—0) + f(x -j- 0)]. Интегралы 4), 5) вычисли-
mmi интегрированием ио частям.
Умножив 4) на ~coss:r и проинтегрировав no x на @, °°)„
получим
я
2« Г cos sx , 2 f , Г i s, , ,
•— 1 —5—т~ d# = — I cossa: ax \ e~a% cos лаг ал = e~a's',
244 ГЛ. 16. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ, ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ
еде последнее равенство имеет место в силу формулы F), при-
применимой, потому что e"'lei'@, «0 — гладкая функция.
Подобными рассуждениями получается формула 7) ji3 5),
«ели применить формулу G).
Функция 8) нечетная кусочно гладкая. Чтобы получить-нуж-
получить-нужный интеграл, представляем ее по формуле G), где внутренний
«нтеграл равен
оо Л
sin st f (t) dt = sin st sin t dt = sini" .
J J 1 — s"
0 I)
Этот интеграл удобно вычислить Интегрированием по частям
два раза.
Представление функции 9) получается аналогично примене-
применением формулы F).
Функция 10) четная. Чтобы получить пужный интеграл,
представляем ее но формуле @), где внутренний интеграл
ОО ОО
j e~at cos fit cos stdt~~-\ e~at cos ф + s) i dt -f
0 О
oo
-!- -~\ e~ai cos (P — s) t dt ;:¦-¦ -j- \——~—5 H l-—
Это получается интегрированием по частям два раза.
Аналогичные рассуждения проходят для функции 11), если
воспользоваться формулой G).
Функция 12) четная и для нее верна формула F):
9 1 [
e~x" = — I cos sxds cos ste~fidt.
(I 0
По (см. § 13.16, пример 3)
I cos ste~r dt — —r.— e~s /4,
¦откуда следует представление 12).
Представление 13) получается аналогично по формуле G),
если учесть § 13.15, уравнение 3.
§ 16.5. Производная и преобразование Фурье
Теорема. Пусть /—непрерывная локально кусочно глад-
гладкая функция и /, tf{t)ss.L' = L(—°a, оо) {или L). Тогда f имеет
непрерывную производную (г. е. на самом деле она гладкая),
§ 1G.6. ПРОСТРАНСТВО S 245
равную
f(x) = itf(x) A)
(коротко /' = iff).
Доказательство. Так как / е L', то функция f всюду
непрерывна. Далее из того, что tf ^ L', следует, что f ei' (Ul 3*
2s 1), но тогда / <= V — L'(—°°, <»),
оо
f(x) =*-+=- [f{u)e**»du B)
л
/'(«) = _!=. Г iU/(«)ei*«dit. C)
Дифференцирование под знаком интеграла законно, потому что
в силу неравенства
интеграл C) равномерно сходится относительно х и, кроме того,
подынтегральная функция в C) непрерывна по х, а. Теорема
доказана.
§ 16.6. Пространство S
По определению функция ср == q>(x) от одной переученной при-
надлежит пространству S (Лорана Шварца*)), если она комп-
лексноэвачпа (ф = ф! + ?ф2, q>i, ц>г действительны), бесконечно
дифференцируема па действительной оси и для любой пары не-
неотрицательных чисел /, к (к целое)
8Up(l+ \xV)\(fW(x)\ =X(Z, Й,.ф)<оо, A)
х
Из этого определения слевдьет, что производная q>w(x) при
любом к ограничепа, стремится к нулю при ?-*¦<» и принадле-
принадлежит b'p A ^ р < оо), потому что | <p(ft) (х) | <; ——' ' *f--. Заметим,
1 + 1 л; р
что всякая бесконечно дифференцируемая финитная функция,
очевидно, принадлежит S.
Если функции ф,„, сре=5 (те=1, 2, ...), и для любой указан-
указанной нары (/, к)
у.A, к, фм — у) -*• 0 (.т-*- оо),
то будем писать фт -*¦ Ф (S) и говорить, что Фт стремится к ф
в смысле (S) (в топологии E)).
*) Л. Шварц — французский математик.
246 ГЛ. 16. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ. ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ
Нам придется иметь дело с операциями Лф = г?), приводящи-
приводящими в соответствие каждой функции (ре5 некоторую функцию
г|>е5. Очевидно, 5 — линейное множество.
Операция А называется линейной, если
каковы бы ни были комплексные числа a, p и функции (plf
Ч>2 е S.
Операция А называется непрерывной, если, какова бы пи
была последовательность функции ф„ е S, сходящаяся к некото-
некоторой функции фе5 в смысле E), имеет место
Следующее утверждение может служить достаточным'*)
критерием непрерывности линейной операции: если, какова бы
ни была пара (/, к) (неотрицательных целых чисел), найдется
зависящая от нее система пар (lt, kt), ..., (lm, к„%) такая, что
m
к (I, к, А(р) < Сг,й 2 и (/,-, к}, ф)
3=1
Оля всех feS, где Cith не зависит от ср, то операция А непре-
непрерывна.
В самом деле, если ^-*-фE), то для любой пары (/, к)
m
у. (I, к, А (фу — ф)) < CUh 2 и {I}, к]', <Pv — ф) -*- 0 (v -*- оо).
3=1
Операция дифференцирования ф<н> (л раз функции ф отобра-
отображает S в S линейно. Она также непрерывна, потому что
х«, к, ф'"))=х«, А + ц, ф)
для любой пары (Z, /с).
Про функцию К = Х(х), бесконечно дифференцируемую па
{—оо7 с«)) будем говорить, что она (вместе со своими производ-
производными) имеет полиномиальный рост, если для любого целого не-
неотрицательного к найдется неотрицательное число Кк) = I и та-
такая константа С, что
Например, функция (ix)', где s — неотрицательное целое, очевид-
очевидно, бесконечно дифференцируема и имеет полиномиальный рост.
Произведение Хц> — Х(х)ц>(х) есть линейная непрерывная опе-
операция, отображающая S в S. Тот факт, что она отображает S
*) Па самом деле этот критерий является также необходимым, по мы
здесь ото не будем доказывать.
§ 18.6. ПРОСТРАНСТВО S 247
i! S, и ее непрерывность вытекают из неравенств?
h
Н
0
из которых следует
h
x(l, к, Хер) < Cx ^ A (H- I (/), /v - /, Ф).
Линейность операции Яф очевидна.
Покажем, что преобразование Фурье
есть линейная непрерывная операция, отображающая S на S и
притом взаимно однозначно.
В самом деле, если ф <= S, то ср <= ?', п преобразование ф есть
но всяком случае непрерывная функция. Далее,
(Oe"iK4 C)
При этом 4'^) е $ как произведение функции tpeS на беско-
бесконечно дифференцируемую функцию полиномиального роста. Так
как ijje//, то интеграл C) при любом к равномерно сходится и
дифференцирование B) по х под знаком интеграла законно.
Имеем, интегрируя по частям,
?" (х) =, J ч, (() е~шй1 = -^ JV («) «"*'* ¦»,..=
потому что \|)(>>(О -*• 0 (f-*• ±°°).
По тогда
11 частности, 1ф(Л)(д;I ^скB, 0, if) и потому
^ , 0,
248 ГЛ. 16. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ. ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ
Следовательно, фе5 и ср непрерывно зависит от Ащ. Но
непрерывно зависит от ф, и потому <р пепрерывпо зависит от
(ре5. Линейность операции ф очевидна. Мы пока доказали, что
она отображает S в S, Но доли % — произвольная функция из S%
то в силу того, "что она гладкая и принадлежит L', ее можно
рассматривать как преобразование Фурье от % е S. Это показы-
показывает, что па самом деле преобразование <р отображает S на S.
Наконец, из равенства cpi = ф2(ф,, ф2е5) следует срГ—ф2 = 0 п
Чi — фг = 0 — 0, т. е. ф4 = ф2, что показывает, что операция ф
отображает S па S взаимно однозначно.
Для двух функций ф, ty <= S введем выражение
(ф. У) =
(без з п а к а сопряжения над ф
Справедливо (см. лемму 1 § 16.2)
= J Ф (х) $ (х) dx = Jф (х) ±=
= J4 (О Л yi= J
Ч> (s) e"iX'rfa: = (+. Ф) = (Ф. Ф).
и мы получили первое из равенств
(ф, $) = (ф, г|)), (ф, ф) = (ф, г|:), D)
являющихся аналогами равенства Парсеваля в теории рядов
Фурье *). Второе равенство доказывается аналогично.
Отметим еще равенства
(ф', ф) = j ф' (t) Ц (t) dt = <f (t) ^ (t) l-oo - J ф@ tf (t) Л = - (ф, f)
(ф, а|з е 5), E)
ведь фШ, t|;(t) -»- 0 при t ->• ±°°. Наконец, еще отметим важные
равенства
q/(aO = Шр = (—??)ф (ф?5), Сб)
Надо учесть, что если ф е 5, то Ф е 5, и так как гх — бесконеч-
бесконечно дифференцируемая функция полиномиального роста, то шр е
<s 5. Но тогда ф, ixq> e L' и законно применить теорему § 16.5.
Второе равепство F) доказывается аналогично.
Для функций ф е 5, очевидно, верны утверждения 1)—5) в
конце § 16.4 (упражнения).
*) Если бы мы считали, что (<р, if) = I <f{x)$(x)"dx, то тогда было бы
t) = (ер, +),
g 16.6, ПРОСТРАНСТВО S 249
Пусть K^L' (или L), a cpeS. Операция
к* Ф = Л= Г а: (ж - о Ф (г) <и = -L=r f Ф (х - о д: (о л = Ф • л:
называется сверткой функций К и ср (или ф и А). Справедлива
валяные равенства
Аф==Аф = .К»ф . (Ае=?',фе=,5), G)
потому что, например (пояснения ниже),
= —^ Г e*5tfs Г К (и) e~isudu Г Ф (у) e-i8Vy =
Bл) '"J J J
K {u) dul<P&-u) e~sUd% =
e~Uldl J A (u) Ф (g - u) d« =*
= -4=- Г if (u) ф (ar — u) du.
У 2л J
Первый член в этой цели имеет смысл, потому что ф ^ 5,
tpeSeL', K^L', ^ — ограниченная непрерывная функция,
и.потому R(p^L' — непрерывная функция. В третьем равенстве
произведена замена v на | = и + у, в четвергом интегралы но к
и § мы поменяли местами (см. лемму 1 § 16.2 пли теорему Фу-
бшш). Последнее пятое равенство верно, потому что интеграл
и (!) = J К {и) ф (! — и) Йм
есть функция, принадлежащая U,— ведь
J | х (?) | dg < j dl j I A («) 11 ф E - w) I du = j I ф (t) I Л J |ff («) 1 d«<
<oo,
п имеющая непрерывную производную
к' (I) = j A" (u) Ф' (| - и) du
(интеграл равномерно сходится!).
Имеем далее
0 ф (- 0 = у= j А (- 0 ф (- t) e~ixtdt -
L= j А (и) ф (и) eixudu =--=
250 ГЛ. 16. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ. ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ
У п р а ж н е н и я. Показать, что следующие функции принадлежа! 5:
_
1. е Х . 2. г]) (х) = I
§ 16.7. Пространство S' обобщенных функций
Если каждой функции tpe5 в силу некоторого закона при-
приведено в Соответствие число (F, ср), зависящее от ср лияейио и
непрерывно (в смысле S), то говорят, что этим определен ли-
линейный функционал или обобщенная функция F над S.
Функционал F обладает следующими двумя свойствами:
1) F — линейный функционал, т. е. для любой пары а, E ком-
комплексных чисел и пары функций ср, ip e S
(F, аф + ЭД>) = a(F, ср)
2) F — непрерывный функционал:
{F, срл-) ->• (F, ф) (если ф-jv -»- ф) E).
Совокупность всех указанных функционалов (обобщенных
функций) F принято обозначать через S'.
Обычно не представляет труда установить, что конкретный
функционал (F, ср) над 6' является линейным. Что же касается-
непрерывности, то здесь очень важным является следующий до-
достаточный критерий *).
Пусть найдется константа С и конечная система, пар
(&i, h), ..., (km, l,n) такая, что выполняется неравенство
\(F,4')\<C^K(lhkhcf) A)
для всех функций ср е S. Тогда функционал (F, ср) непрерывен,
потому что из того, что (f.v -»- ф E), следует
< С 2 к (?,-, /0, фЛ' - ф) -> 0 (-V-». сю).
3=1
Рассмотрим пример. Пусть Fix) есть локально интегрируе-
интегрируемая, определенная па действительной оси комплекспазначная
функция такая, что для нее можно указать число / ^ 0, для ко-
которого \F(x)\ s? GA + \х\1), где С не зависит от х. Интеграл
, J= N B)
*) Можно доказать, что этот критерий также и необходим.
§ 18.7. ПРОСТРАНСТВО 8' ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ 25!
ость функционал (обобщенная функция) F е 5', В самом деле,
ведь
< J \F И Ф (а-) 1 dx < С j * + Ь^2 к (г + 2, О, Ф) dx <
<<>(? +2, 0,<р),
откуда видно, что функционал B) определен для всех ф^5 и
непрерывен. Линейность его очевидна.
Равенство B) определяет функционал F e S' также в слу-
случаях, когда функция F(x)^Lp (или Lv), 1=S p < °°. Если Fix) <=
ei', то непрерывность (F, ф) следует из неравенств К/'1, ф) | ^
< j | F (х) ф (х) | ix-,< j S F (x) | к @, 0, ф) dr < Cx {О, О, ф), а если
F (x) e Lp A<р<оо), то из неравенств
! (*\ Ф) К JIF W Ф (a:) I < j I F (cr)! -jq-уг x A, 0, Ф) dx <
BaiKiio отметить, что d.-гя того чтобы две локально интегри-
интегрируемые (в римановом смысле) функции F,(x) и F2(x) представ-
представляли при помощи равенств вида B) равные обобщенные функ-
функции F, = I'\cS', необходимо и достаточно, чтобы имело место
равенство Fx(x) = Рг(х) во всех точках непрерывности Ft(x) и
1\Лх).
Достаточность условия очевидна. Оно также необходимо, по-
потому что если имеет место равенство
j FL (х) ф (х) dx — ) Fo_(х) ф (х) dx для всех фе5, C)
тт при stom допустить, например, что в пекоторой точке ха не-
непрерывности функций Р^ и Рг имеет место
^(х0) = F.ix,)- Fz(x0) > 0,
то найдется интервал (хо — 8, х„ + 8), на котором
По существует неотрицательная функция ф^5 с носителем па
1.т„—б, хо + Ь] (например, функция г|)((ж — хо)/6) в упражнении 2
§ 16.0). Для нее имеет место
ха+6
(Fu Ф) — (F2, Ф) = J i> П <p(x)dx>r\ J Ф (х) dx > 0,
хо-6
п мы пришли к противоречию с C).
252 ГЛ. 16. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ. ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ
Более общее утверждение (см. § 19.6, теорема 1) гласит: две
локально интегрируемые в лебеговом смысле функции, если
представляют, то один и тот же линейный функционал тогда и.
только тогда, когда на любом конечном отрезке [а, Ы они равны
между собой, за исключением множества лебеговой меры нуль.
Обобщенную функцию, представляемую при помощи интегра-
интеграла B) обычной локально интегрируемой функцией Fix), о тож-
2
дествляют с этой последней. Например, sin я, (sinz)/x, e~x '
п
In | х\, 2ah?'. — это обычные функции, ко и обобщённые, при-
о
надлежащие S'.
о
С другой стороны, функция ех пе принадлежит S' (не пред-
представляет при помощи интеграла B) линейный функционал на
E)), потому что для нее, например, пе существует интеграл B)
при ф (х) = е~х е S.
Пример 1. Функционал
б=F, q>) =ф@) faeS) D)
называется 8-функцией (дельта-функцией). Очевидно, б eS', ведь
|Ф(О)| s-sup |ф(*)| = х@, 0, ср).
X
Не существует локально интегрируемой функции, которая представляла,
бы 6-функцию. В этом смысле 6 есть подлинная (не обычная) обобщенная
Функция.
В самом дело, допустим вопреки утверждению, что такая локально ин-
интегрируемая функция F(x) существует, и пусть х0 Ф О есть ое точка не-
непрерывности, где F(xq) > 0. Тогда на некотором не содержащем нуль ин-
интервале (го — б, х0 + б) выполнялось бы неравенство F(x) > rj > 0 и мож-
можно .было бы подобрать неотрицательную функцию ifsS с носителем:
[xf, — б, ха + б], откуда
(F, ср) = j F (.г) ф (х) ах>Ц [ Ф (.г) dx > 0.
Но этого не может быть, потому что для функции ф с носителем, пе содер-
содержащим точку 0, функционал (б, ф) = ф@) = 0. Итак, наша функция Р(х)
не может быть положительной в ее точках непрерывности, отличных от ну-
нулевой.
Аналогично доказывается, что F(х) не может быть отрицательной в та-
таких точках, и тогда, очевидно,
I F {х\ ф (х) dx = 0 для всех ф е S.
Но это невозможно, ведь имеются же функции (psS, для которых ф @) *f=
Можно доказать более общее утверждение: функционал D) не пред-
представляется в виде интеграла B), где F(x) — какая-либо локально интегри-
интегрируемая в лебеговом смысле функция.
§ 16.7. ПРОСТРАНСТВО S' ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ 253-
Однако функционал (б, ср) можно записать в виде интеграла Стилтье~
14) *)
оо b
(б, ср) = ф @) = f <t(z)dQ{x)= lira \<p(x)dQ(x),
v a-*—oo v
¦да
, x > 0,
— функция, которую еще называют фулкцией Хевисайда.
По определению
где отрезок fa, Ь] разделен на части точками а = х0 < х1 < ... < rff = ?*•
ii .rj-i ^ |j ^ ж; (/ = 1, ..., Л'). Очевидно, если нулевая точка х = 0 при-
принадлежит отрезку [xi-i, xi] и не является его правым концом, то
1
(h) (e (*i) -е (ч-i)] = «г
= Ф (h) -*¦ fP (°) (max I xi - -r;-i I
Гели же точка 0 есть правый конец [>i-i, x,], то паша сумма равняете»
<;'(?/+i) ->ф@), что дает тот же резул[>тат.
Пример 2. Обобщенная функция Р. — определяется как предел
X
e>0 *---°o
т. о. ипвеграл справа в E) понимается в смысле главного значения?
(V. Р.— vales principal — главное значение). В обычном риматювом (и
добеговом) смысле этот иптеграл в случае, если ф@) ф 0, не существует.
С другой стороны, предел E) можно записать в виде обычного риманового
(несобственного) интеграла (q>(x) — ф(—х) = 0{х), х-> 0)
I JA-L dx-\- \ UL-l. dx
,1 л ;) х
1 и —оо Е
=-= lim '
е о
оо оо
lim Г ФМ-Ф(-Д-) dx = Г
*> Т. И. Стилтьес A856—189-1) — голландский математик.
254 ГЛ. 16. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ. ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ
Ясно, что этот функционал линейный. Непрерывность же его вытекаог
из неравенства
сю
I
ф (я) — ф (— г)
f q>'
(t)<!t
dx A- \ ' IM ' ~ |M~ " dx
X J X
о
[ ф (.Т) —
с @| ^ + к A]Oi
Введем ряд важных операций над обобщенными функциями.
Если h—%(x) есть бесконечно дифференцируемая функция
полиномиального роста, то произведение ее на обобщенную
функцию F e S' записывается в виде XF — X(x)F(z) и определя-
определяется при помощи равенства
O.F, ф) = (^, Я.ф). F)
Это определение корректно, ведь Хер есть операция, непрерыв-
непрерывная относительно <р s S, a (F, ^ф) есть функционал, пепрерык-
лый относительно Кц>, следовательно, и относительно ср. Линей-
Линейность (F, ?»ф) но ф очевидна.
Это определение также естественно, потому что, если функ-
функционал F e S' представляется локально интегрируемой функцией
¦Fix), то функция K(x)F(x) тоже, очевидно, представляет функ-
функционал IF <= S' и
(XF, у) == J k (x) F (х) Ф (х) dx = j F (х) К (х) ср (ж) dc = (F, Яср).
Производная от обобщенной функции F e S' по определению
¦есть обобщенная функция /<", определяемая равенством
(Г, <p)=-(F, Ф') (феЯ G)
Так как ф' е 5 и есть непрерывная относительно ф операция я
так как (F, ф') есть непрерывный функционал относительно ф',
то (F\ ф) есть непрерывный функционал относительно ф. Ли-
Линейность его очевидна.
Определение G) естественно, потому что- если, например,
•функция Fix) непрерывна вместе .со своей производной и
F, F' e L', то
(F', Ф) = j F' (х) Ф (х) dx=F (х) Ф (а;) \2Х - J F (ж) Ф< (х) dx =*
= - (F, ф').
Ведь F(a;), cpGr) ->¦ 0 (л:-> оо), так как, например,
F {х') - F (я) = J F' {t) dt -*- О (ж; ж' -> оо)
§ 16.7. ПРОСТРАНСТВО S' ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ 255
и существует Urn F(z), который не может быть отличным от ну-
Ж-»сх>
ля, потому что F е!'.
Очевидно, что любая обобщенная функция F е 5' 'имеет про-
производную (обобщенную) какого угодно порядка, определяемую
но индукции Fw — (.7'п<"~1))'. Таким образом,
(F<*>, ср) = (-1)*(F, q>w).
J f анример,
(б<*\ Ф) = (- 1)" (б, ср") = (- 1)У« @) (к = 1,2,...),
F', ф) - - F, ср') = - J <р' (t) dt ^ Ф @),
о
т. е. 6' = б.
По определению последовательность обобщенных функций
FN<^S' (Л'=1, 2, ..;) сходится к функции F^ S' (Fs-*-'F(S'))f
если *)
lim {FK, ф) = (F, ср) для всех tpeS. (8)
N—*oo
Отсюда автоматически следует также, что последовательность
производных /*jv сходится к производной F', потому что
{F'N, Ф) = - (FN, Ф') -»- - (F, Ф') - (F', ф), .V -+ оо.
Можно рассматривать
функций uh e 5', имеющий своей суммой- функцию F e S', что
надо понимать в том смысле, что
i
Из сказанного, очевидно, следует, что ряд (9) можно почлен-
почленно дифференцировать:
F' = и[ + ^ + Щ + • •.
Пример 3. Рассмотрим обычную функцию
О, ^^@,Е),
зависящую от параметра е > 0. Она есть в то же время и обобщенная функ-
функция /в.
*) Можно доказать, что если последовательность функций FK e S' та-
|><ша, что для любой ер е S последовательность чисел (FN, <p) удовлетворя-
удовлетворяет условию Коши, то существует, и притом единственная, функция F е 6",
для которой выполняется (8).
256 ГЛ. 1G, ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ. ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ
Очевидно,
е
(/в, Ф) = i- I ф(ж) Л;->-ф@), е-*-0 (для всех ipe S),
U
•откуда следует, что
lim/8 = 6 E').
Преобразованием (соответственно обратным преобразованием)
•Фурье обобщенной функции F e S' называется обобщенная
•функция F{F), определяемая равенством
(F, Ф) = (F, ф) ((F, Ф) = (F, ф)) (ф s S). A0)
Это определение корректно: ф е S и непрерывно зависит от ф,
a CF, <f) непрерывно зависит от ф, поэтому и от ф; линейность
(F, ф) по ф очевидна. Оно естественно, так как согласуется, на-
например, с равенством (ф, i|)) = (ф, i|0 для ф, г[) s S. Далее, F = F,
так как (F, ф) = (F, ф) = (F, ф) = (F, ф).
Преобразование F{F) непрерывно зависит от F<^S'. Это зна-
значит, что если- последовательность FN<^S' сходится к F^S'
(Fw -^F(S')), то и FN сходится к F (FN -*¦ F(.S')). В самом деле,
(FN, Ф) = (FN, ф) - (F, ф) = (F, ф), iV - о».
Отметим еще, что преобразование F(F) отображает S' на S'
•взаимно однозначно. То, что имеет место отображение S' в 6",
мы уже зпаем, но * если Ф е 5" — произвольная обобщенная
¦функция, то ее можно представить в виде Ф = Ф, что доказыва-
доказывает, что ла самом деле наше преобразование,отображает S' на 5'.
Наконец, если Fu F, e S' и Ь\ = ?2, то F, - /<'2 = 0, F, - F2 = 0 =
¦=•0 и l'\—Fu что показывает взаимную однозначность отобра-
отображения.
Из A0) следует
F' =¦-ixF = — ixF, A1)
потому что, например (см. § 16.6, F)),
.(— ixF, ф) = (— ixF, (Г) = (/<', — гхф) = (F, — ix<f) =
Из A1) легко следует по индукции общая формула для про-
производной k-то порядка
A2)
« 18.7. ПРОСТРАНСТВО S' ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ 257
Если К <= S' есть обобщенная функция, преобразование К ко-
которой есть обычная функция и притом бесконечно дифференци-
дифференцируемая полиномиального роста, то корректно определяется сверт-
свертка К с произвольной функцией F е S' при помощи равенства
Это определение пересекается с введенным в предыдущем пара-
параграфе определением свертки.
~ -, 1
П р и м е р 4. 6 = 5 = —т=| потому что, например,
у 2л
Следовательно,
F, ф) = (б,?)=гт=
f= (- ix)ki = -т= (-te)ft № = 0, 1, 2, ...),
поэтому
Пример 5. Имеем (пояснения ниже)
ign а:, (р) = (sign х, ф) = ,— sign к f/u t е'"'ф (f) di
у z.t j j
.-!- I du \ цч (i) \ег'п — е ul) dt = I/ —i Jim I ю(() rft I sin utdu
К 2Л.) J Г Я W->ooJ J
и о
^ I/ _ i Inn 1 m (i) ——¦
Г Я Л'^оо J '
— ros Л7
/1 i lim f [9 (t) _ Ф (-«)] 1-CosAft d(
oo oo
о
« мы получили фармулу
A5)
Функция sign.г — локально интегрируемая и ограниченная и, следова-
следовательно, принадлежит S', поэтому имеет смысл первый член цепи A4), »
имеете с ним второй и третий. При переходе к пятому члену изменен ik«-
рядок интегрирования (при конечном Лг, см. § 13.15). При переходе к пред-
258 ГЛ. i6. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ. ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ
последнему члену заметим, что
lim Г <р
t
потому что гладкая функция (ф(<) — ф(—t))/t <= ?'@, оо). Последний член
записан в виде сингулярного интеграла в смысле главного значения.
Отметим еще, что если Fix) eS' и аФ 0 — действительное
число, то обобщенные функции Fia — x) и Fiax) определяются
при помощи равенств
(Fia — x), (fix)) = iFix), (fia — x)), (Fiax), (fix))—
= \a\-4Fix), ч>(х/а)).
Корректность этих определений следует нз того, что операция
перехода от (fix) ^ S к (fix — a) или (fix/a) непрерывна в смысле
E), а естественность легко выясняется па обычных локально ин-
интегрируемых функциях Fix), являющихся в то же время обоб-
обобщенными.
Упражнения. Доказать, что
'¦
2 / ^
У к а з а н и g. Интеграл —i-=- \ е~х ф (х) их предстазить п пп-
; у л
де суммы h + h интегралов по областям |х| < 1 и \х\ ~> 1. В первом ин-
интеграле положить ф(х) = ф@) +-ф(з:) и учесть, что |i|)(z)] s?c|a;|, во вто-
втором учесть, что ф(х) ограничена (|ф(х)| s^M).
3- —Г^Г-" ^ глб(г) +Р. —, е-*-0E).
оо
I 1 \ Г ф {Х\
Указание. Р. —, ф (х) = V. Р. из; (см. E)).
\ х I J x
Если F e S\ то
4. ?'(—ж) =1(х). 5. /~(—х) =^*)-
6. 'fM = -AtfD-\ 7.
8. el(iiF = е~г№р— F (х _|_ и) (р, — действительное; учесть, что «"" —
бесконечно дифференцируемая функция полиномиального роста).
п
9. Доказать, что функция P(x)f(x) e S', если Р (х) = 2 Vft — произ-
(I
вольный многочлен степени га, а / (х) es Л (или Lv, 1 ^: р < оо), или если
/(а;) —локально интегрируемая ограпиченцая функция.
« 16.8. МНОГОМЕРНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ФУРЬЕ И ОБОБЩ. ФУНКЦИИ 259
§ 16.8. Многомерные интегралы Фурье
и обобщенные функции
Пусть /?„ = R есть /г-мерное прострапство точек х *=
-U, ..., хя) п Дя =A^() = {|xj|<iV; / = 1, .... п} (Л" > 0) —
принадлежащий ему куб.
На /? зададим локально интегрируемую, вообще говоря, комп-
дексиозлачную фушщию fix) (т. е. /е//(Д„) иди /еШк) при
любом /V). Для нее имеют смысл интегралы
Дл;
Лд>
представляющие собой непрерывные функции от х (см. лемму
§ 16.2 и замечание 1 к пей), стремящиеся к пулю, когда |х|2 =
п
-~ ^ix) ~^ °° (см. ниже теорему 1).
11 реобразованием Фурье /, соответственно обратным преобра-
преобразованием Фурье назовем функции;
1 (х) = lim/" (х), ?(х) = lim JN (x). B)
Эти пределы иногда рассматриваются в смысле среднего квад-
ратпческого ( || / — fN \^г ->- О, N -> оо).
Теорема 1. Если fezL'—L'(.R) Ыли L = LiR)), то пре-
<)елы B) существуют в обычном смысле и определяют непрерыв-
непрерывные ограниченные функции fix), fix), обладающие свойством
lim /(х) = lim /(*) = 0.
1 X | -¦ эо ] X j -* оо
Дока л а те л ьс тв о. Непрерывность и ограниченность /, /
следует из леммы § 16.2 и замечания 1 к ней. Далее, если еА
ость единичный вектор, направленный по оси xh, то (см. § 14.4,
теорема 6)
и —>- 0 {xk—.>- оо).
хли же ! х21 —- 2 х'1 —> оо, то max | х^ \ -у оо и / (х) -> 0,_}io тогда
2fiO ГЛ. 16. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ. ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ
Простым интегралом Фурье функции / е U (или L) называ-
называется функция
¦i Г , С . 1 Г С
— I e dv \ f (u) e du= I / (u) dn \ e ( ' dv =-
Bл)" J У У ' Bл)" J ' V ; J
1 f tt sin TV (г- — иЛ . . , 1 Гтт siu/Vu, ,, , . ,
= — I 11 ^ ii- / («) dn = — И 1 / (x 4- u) dn.
C)
Изменение порядка интегрирования следует нз леммы § 16.2
и замечания 1 к ней.
При достаточно общих условиях, налагаемых на свойства
функции / (см., например, ниже §§ 16.9, 16.10), можно утверж-
утверждать, что
я (х) = lim \ e"v dv \ f(u)e~^" du =>
Л'-voo Bл)" •) J • '
(u)e"'v"iu, D>
где внешний интеграл понимается вообще в сингулярном смысле
(утверждается существование предела при N -»- °° для областей
Ая, а ве каких-либо других).
Таким образом, при определенных условиях, налагаемых па /,
справедливы равенства
C)
Дальнейшие факты излагаются в двумерном случав. На га-
мерный случай они распространяются очевидным образом.
Пусть fix) и ф(у) — локально интегрируемые функции от од-
одной переменной, т. е. принадлежащие L' {&n )(^(Д.\ )) при
любом N (Ajv = (— N, N)), Тогда, очевидно,
/ (х) Ф (у) е V {Af), Atf = {| х |, | у |< ,V} =
ДЛ'
1 Г --xu if -¦ ~JV ~Л*
^ ТТ^Р 1 /(")е ' ffa п/-- \ <р(у)е UJVdv = f (ж)ф: (;у), (С)
I-'' 2л «.' I/ ^jx v
.A) ' .A)
§ 10.8. МНОГОМЕРНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ФУРЬЕ II ОБОБЩ. ФУНКЦИИ 261
Поэтому, если
(,у -> оо) G)
то
/Ыср(г/)=/ф(.г, у).
(8)
При этом, если соотношения G) имеют место в метрике Z2, то
и соотношение (8) имеет место в метрике Ьг:
7
(у) -
(г/) -7Л* М <?v (г/) !к
У
< 117 (*)(ф(у) - 7 (у))кйп,} + 1G
171ц(Я!) I ф - фл lf-2(Ri) +17 — ТI
Из сказанного следует, что если функции /(ж), ср(г/) таковы,
(лг ->¦ оо
что
/Ы =*(*) = ?(.т), ср(г/) = ф(г/) =
и смысле обычной сходимости или в среднем, то в том же
смысле
/ф(ж, г/) = j(x)(f(y) — f(x)(f(ij) = /ф(аг, у).
Рассматривая снова n-мерный случай, будем говорить, что
функция ф(х) е S, если она комплексиозпачиа, бесконечно диф-
(Ьсренцируема па /?=/?„ и чакова, что для любой пары целого
числа />0 и целочисленного вектора k = (kl, ..., /с„) 3* 0 (fcj-^0)
«ip
= -/- {I, k,
Так как при люболг указанном к
,'Ы 1 X (ге — 1, к,
то, очевидно, частная производная ф("* — ограниченная функция,
принадлежащая к Lp(R) (I sSp<«>).
Если функции фт, (рб5 ('/га = 1, 2, ,,.) и для любой (указан-
(указанной) пары (I, к)
nil, к; ф,„ —
• 0 Ы
то будем писать ф,„ -»- фE) и говорить, что фто стремится к ц> в то-
/•ологии (S) (в смысле (S)).
Операция А(р, отображающая S в S, называется линейной, ее-
ли /1(аф+ Рф) = aAtp + $Aty, где ф, i|>eS и а, Р — комплексные
числа, и непрерывной, если из фл -*¦ Ф E) следует Лф,у->-Лф («S),
262 ГЛ. 16. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ. ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ
Для того чтобы линейная операция Лср была непрерывной, до-
достаточно*), чтобы для любой пары (I, к) существовала константа
Ci h и зависящая or (Z, к) конечная система пар (lu kJ) {j =
¦=1, .,., m), так что
m
х (Z, к, Aip) < С,,к 2 * {Ц, к\ ф) (Для всох Ф ^ s),
3=1
ПОТОМУ ЧТО, ССЛИ фу"*1 фE), ТО
х (/, к, А (Ф„ -Ф)) < C,,ft S и (Zj, к3, cfv - Ф) -* 0 (v -voo).
3=1
Важными линейными непрерывными операциями
^1ф s S) являются:
1) Операция взятия производной от ф
Ведь
5<(Z, к,
2) Операция умножения ф на бесконечно дифференцируемую
функцию Я(х) полиномиального роста (Хф = Х(х)ф(х))., т. е, такую,
¦что для любого к (целого неотрицательного) найдется целое число
Z(k), для которого
где С не зависит от х. Ведь
3) Операции преобразования Фурье ф и обратного преобразо-
преобразования Фурье ф.
Если учесть, что (ф s S)
*) На самом доле ue только достаточно, по и необходимо.
§ 16.8. МНОГОМЕРНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ФУРЬЕ И ОЯОБЩ. ФУНКЦИИ 263
где у ~ — знак операции преобразования Фурье только по пере-
переменной xh то непрерывность операции ~ сводится к непрерывно-
непрерывности (итераций у ~ (у = 1, ..., п).
Покажем, что линейная операция '(р отображает S на S непре-
непрерывно и взаимно однозначно.
Ограничимся при доказательстве двумерным случаем:
г|> (х, у) = —^ ф (*, у) e~mdt (Ф (х, у) е= S).
I Голожив (пояснения ниже)
получим (интегрируя сто частям)
dt-
Так как ^'—бесконечно дифференцируемая функция полино-
полиномиального роста iki S* 0 — целое.!), то git, у) е S и непрерывно
(к смысле E)) зависит от ф. Поэтому, в частности, git, у) -> О
G •-<-± <»)t откуда следует цепочка равенств A0).
11:-* A0) следует
х
Ч
dt
и потому (применив A0) еще при 1 = 0) получим
ьЧ+Ъг
A + 1 ж Г)
следовательно, ф непрерывно (в смысле (?)) зависит от g, но тогда
имеете eg — и от ф.
!']сли if (ж, у) ^ S — произвольная функция, то х\\> е 1.9 п я]) —
" (гф)' и операция х~ отображает S не только в, по и на S.
Наконец, из равенства ffi -— жф2 следует х (фх — ср2) = 0, от-
'•Уда ф1 — фа ='г0 = 0, и мы доказали взаимную однозначность,
осуществляемую отображением жф (S на S).
Теперь из (9) следует, что и операция ф отображает S на S
и.шпмпо однозначно и непрерывно.
Отметим, что любые две из операций
1 ~, ..., ?г~, 1Д , ..., «А
2ft 4 ГЛ. 10. ЛПТКГРЛЛ ФУРЬЕ. ОБОБЩЕННЫ Г. 'ЪУНК
перестановочны между собой. Для всякой функции фе5 имеют
место равенства
ф =-- ср = ф (Л)
в любой точке 1ЕЙ. Например, в двумерном случае ц>(х, у)
(( ~ <f "Г. ф -¦-- ф.
Отметим на примере функции ф(.г, у) двух переменных еще
следующий факт:
/—~—\ х/—z—\
к{х)ц>(х,у) =-. Х(х)\р{а,у), A2?
где AUO — бесконечно дифференцируемая функция полиномиаль-
полиномиального роста. В самом деле,
/ \ / / / \
К (х) Гр = К (х)«-% =-v~{k (x)%) = Я (х)%
ведь, например, х -^у/^у ~ ==ж-^.
Имеют также место равенства (ф, \\ е S)
(ф, *) - ('Г - Ч). (<Г- t) - J Ф (I) Ч' @ d»*), (!."•)
(Ф(к\*)-(-1Iк|(ф,1>(к)). (И)
Ф(к) (х)
Ку == А'ф = А'*ф = ,,; ^' А' (и) ф (х — и) du (К е L' или I).
AA)
Они обобщают соответствующие равенства § 16.6, D), (о), ((>),
G) и доказывается аналогично.
Над 5 строится пространство S' обобщенных функций п пере-
переменных аналогично соответствующему одномерному пространству.
Таким образом, обобщенной функцией F e S' называется ли-
линейный непрерывный функционал (F, ф) (cpeS).
Для того чтобы линейный функционал A'\ ф) был непрерыв-
непрерывным, достаточно, чтобы нашлась зависящая от него система пар
Hi, k1), ,.., {lm, к1™) и константа С такие, что (см. § 16.7, A))
m
1 {F, Ф) К С 2 * (h, к'> ф) (Для всех Ф ^ S).
Функция F (x) e Z/;, (или Ьр) A ^ р < °°) или локально интегри-
интегрируемая функция F(x) полиномиального роста (|F(x)| «?СA+ |х'|)
*) Функция ф под знаком интеграла здесь взята без знака сопряжении.
§ 16.8. МНОГОМЕРНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ФУРЬЕ II ОБОБЩ. ФУНКЦИЯ 265
при некотором I) представляет обобщенную функцию
(F, ф) == J F (х) ф (х) dx ( \ = \ , ф ее S\
и при этом две такие функции, отличающиеся хотя бы в одттоГг
точке'их непрерывности (или в лебеговом случае па множестве по-
положительной меры), представляют разные обобщенные функции,
что доказывается, как в случае одной переменной, но с помощью
функции i)."(! (х — х°)/б) I) от и-переменных (см. ниже упражне-
упражнение 1).
Функционал (б, ф) = ф@) есть re-мерная б-функция — обоб-
обобщенная функция от х = (х, ...,%„), пе представляемая локально
интегрируемой функцией, Операции -XF, где Я — бесконечно диф-
дифференцируемая функциях полиномиального роста (вместе со своими
производными!), Fw, F, F, 'F, 'F определяется при помощи ра-
TsencTu:
(>, ф) = (F, ф), (F, ф) = (F, ф), (J7'', ф) = (F, $) ('/ф) = (F, V,
откуда, в частности, следует
Сходимость FN -*¦ F(S') понимается в том смысле, что (Z'V, ф)-"
-*• (F, <p)(N -*¦ оо) для всех <р е 5. Наконец, как в одномерном слу-
случае, вводится свертка
где K's.S' и при этом R — бесконечно дифференцируемая функ-
функция полиномиального роста (см. еще § 18.3).
. Двумерный простой интеграл Фурье для функции fix, у) е
<rL'-~L'{R2) (или L{R2)) и для любого ц > 0 может быть запи-
записан в виде
., , . if Г sin Nu sin Nv ., .. , . , , . ... .., .
<Ьл (x,y) = —\ —- — / {x+u, y + v)du dv-\- о A) (N ->- oo),
A7)
где Кч — т]-крест, т. е. множество точек (u, v), удовлетворяющих
одно.му из неравенств
\и\ < ц, \v\ < ц.
Это следует из соотношения
со оо
Г Г sin Nu sin Nv
266 ГЛ. 16. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ. ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ
представляющего собвй простое обобщение леммы 1 § 15.4 на
двумерный случай, и подобных соотношений для интегралов,
распространенных на области, симметричные {ц < х, у) относи-
относительно осей координат и нулевой точки @, 0).
Подчеркнем, что в A7) нельзя заменить крест К,, на квадрат
Д»= {|и|, |р| ?Sii}.
В этом существенное отличие многомерного случая от одномерного. В то
время как в одномерном случае сходимость в точке х простого интеграла
Фурье функции |ei'([|) или суммы Фурье периодической функции
/ei' (i*) всецело зависит от поведения / в любой малой окрестности
ж,'в двумерном (многомерном) случае это уже не так: функция/es I.'. (L1*)
может быть равна йулю в окрестности точки (.г, у), но ее простой интеграл
(или сумма Фурье) может не сходиться при Л'->оо к f(x, у).
Чтобы пояснить, от чего зависит это явление, введем множество
Се (А') всевозможных непрерывных финитных функций /(и, и) с носителем,
принадлежащим к прямоугольнику
Д' = {0 < и < г,, ¦)]*< v < 2п, т] > 0},
с нормой
11/11 = max \}(u,v)\.
со(Д > (и,«)еД'
Каждой функции /енСо(Д') приведем в соответстпне ее простой интег-
интеграл
1 С (\sin Nu siaAr!»
= SN<f, 0, 0) = -j j j —u — / (u,
в течке (О, О)-.
Верхняя грань этого интеграла, распространенная на всевозможные
функции / <= Со (А') с 11/11 sg 1, равна
_ J_
Легко доказать, что
sin Nu sin Nv I 1
f
J
0
sin
u
/-t
i
du ]
sin
V
V
Л л1 —>- °°, Л1
(воспол-ьзоваться рассугкдепнями теоремы 3 § 9.15).
С точки зрения функционального анализа An есть норма функционала
Srt(f, 0, 0), определенного в пространство Со(Д'). Из того, что Л№ —>- оо,
следует (как это доказывается в функциональном анализе) существовании
функции /еСо(Д') такой, что для нее функциопал SN(f, 0, 0) неограничен
(на множестве Л' = 1, 2, ...).
Упражнения.
1. Доказать, что
" M о M
F > 0, см. упражнение 2 § 16.6),
§ 16.9. СТУПЕНЧАТЫЕ ФИНИТНЫЕ ФУНКЦИИ . 267
2. Показать, что / (х + »*) = «Ы7 = e~i№iJ
3. Показать, что верхняя грань сумм Фурье Sn(f, 0), порядка п в точке
х — 0, распространенная на все функции |еС, от одной переменной о
ii/Jl<li равна
я
П (/, 0) | = 1J | Dn it) | Л -^ оо, я-.оо,
гдо Dn (l) — ядро Дирихле. Отсюда в силу упомянутой выше теоремы функ-
функционального анализа следует существование функции /еС,, ряд Фурьо
которой в точке х = О расходится.
§ 16.9. Ступенчатые финитные функции.
Квадратические приближения
Рассмотрим сначала простейшую ступенчатую финитную
функцию F > 0) от одной переменной
1, х е (а — б, а + б),
гг .m_j0, хф[а — б, а + б), ,л}
фа,6 \х) — У1)
-ту, х = а — б, а + б.
Ее преобразование Фурье равно
а+б
' а-б
B)
и потому, учитывая, что фи, ssA' есть локально кусочно гладкая
функция, получим
Функция фа, в принадлежит, очевидно, L2. Из формулы B)
также видно, что ф«.( в не принадлежит L', по принадлежит I-ч
(вообще Lp, 1 < р < оо) и при этом
II фя.,6 ||L2 = 26,
2fi8 ГЛ. 16. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ. ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ
(см. § 15.9, (9)). Таким образом, справедливы равенства
1 ф«,6 i/j2 = II фа.б ||л2 =| фа,6 |л2. ('"О
Мы увидим, что они имеют место для всех функций ф е Ьг.
В силу определения (см. § 16.4) операций ~,/ч, ~iV, ^.iV it
-того факта, что фа,«е Z/ — локально кусочно гладкая функция,
справедливы соотношения
Ца,6 (--Г) -^ фа, 6 (•*) (Л' -> 00)
Та,в (^) -^ фа,6 (Ж)
для любого действительного х.
Важно отметить, что имеет место не только поточечная схо-
сходимость, но и сходимость в метрике L2 = Z.2(—°°, °°), т. е.
Ифот,6-<7а;б!ч^о (лг-^оо), @)
фи,e — фа,бк2->-0. G)
Соотношение F) тривиально, потому что для достаточно боль-
больших N отрезок [а —б, а + б] принадлежит к [—N,N], откуда
Л'
Фв>в(жI==
Более сложно доказывается G). Имеем
а+6 N(a+6—x)
, ч if sin Л'(t — а-) ,. \ Г sinz
a-S Лт(а-б-.т)
«> Л'(о-б-ж)
. 1 ( sinz , 1 Г sinz ,
\ I гЫ ___ \ fir,
я J z я J z '
6)
я
потому что
i f *h±dz = i.
я J z
Поэтому, учитывая A), получим
Фа,6 (X) - ф?а (Ж) P d* < Л + Л + /3 -I" Л, (8)
16.9. СТУПЕНЧАТЫЕ ФИНИТНЫЕ ФУНКЦИИ
269
/а+6 /со \! И/!
/, = l I \± 1 ^dz d* ,
\a-ft \ К(а+6-х)
(a+6 / N(a—в-х)
а-б \ -oo
a-8 / JV(a + 6-x)
Г I 1
Ч Л'
Л'(а-б-ж)
+6ж) \
)
, s ч i/а
> S \ 1/2
\«H 5 \ Л'(а-д-ж)
Полагая н ¦= N(a + б — x), получим
cos г 1°° i cos г
поэтому
dz
1 4. 1_1
и 'и и
*)той оценкой воспользуемся для и > 1. Для и-<1 нам будет до-
достаточно принять во внимание, что
sin г
г
гд!1 К — константа, не зависящая от и. Тогда из (9) следует, что
A оо \
По аналогии доказывается, что
t?0 ГЛ. 16. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ. ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ
Далее (подстановка u — N(x — a — 8) и затем. z = — z')
.2 do / u -j- 2Л'б
sin z
J
d:
" J \ J z / ii <J \ J z
g \_u_2iVc / о N u
Поэтому
/ 1 OO ч
(iV-^oo).
i J
4
1 /
Аналогично доказывается, что
/з -* О (N - oo).
Этим соотношение G) доказано.
Конечно, в E), F), G) можно поменять местами <~ и^.
Отметим, что если интервалы (а —6, а + б) и (& —а, Ь + а) не
пересекаются, то наряду с очевидным равенством
j фа,в(я)фь,аОг)^.Г= О
справедливы также следующие важные равенства:
1 Фо s (х) фь,о ix) dx ---= \ фа лфь.о dx ~ 0.
В самом деле, фа, в, фь, <,е ^2, и потому существует абсолютно
сходящийся интеграл (пояснение ниже, см. сноску па стр. 272)
Л'
С ~ ~ С ~ ~
\ фа бфь.о^ж == lim \ ф0 йф;, 0 da; =
N
= lim i
»= lim \ фо,в (u) _L фЬ,ст (у) — —- dt; d« -=
JV-»oo J \nj " ~ " /
— lim i фа,в (") фь'.а (") d" = \ фа.ефь a dll.
N->oo J J
Все три интеграла в третьем члене цепи имеют конечные пре-
пределы, и законна перестановка порядка интегрирования, приводя-
приводящая после интегрирования по х к четвертому члену. Переход от
пятого члена цепи к шестому (предноследнему) следует из того,.
что фь,о.-*- %,а в смысле L2.
Произвольная финитная ступенчатая функция от одной пере-
переменной может быть записана в виде
/0*0 = 2
!а
§ 1С.9. СТУПЕНЧАТЫЕ ФИНИТНЫЕ ФУНКЦИИ 271
1'до Си — постоянные коэффициенты, вообще комплексные, и ле-
торвалы (я* — 8h, ak + 6J и (а, — 8i, at + S;) при к Ф I не пересека-
пересекаются.
Дальнейшие факты излагаются в двумерном случае. Приводи-
Приводимые формулировки и доказательство распространяются на п-мер-
ный случай очевидным образом.
13 двумерном случае простейшая финитная ступенчатая функ-
функция имеет вид
(О ((х, у) е Д),
где
—- прямоугольник. Во всех ее точках непрерывности
фл(я, г/) =фо,в(ж)фь,<Д*/).
Произвольная финитная ступепчатая функция / от перемен-
переменных (.г, у) м-ожет бьггь записана в виде конечной суммы
т т
/ (•*, У) = ZJ сАфдй (^, J-1) = 2 сАЧЧ,вЛ (Ж) Ф*й,оа (У), (И)
где Cs — постоянные числа, вообще комплексные, а прямоуголь-
прямоугольники
Д\ .... Дм A2)
попарно не пересекаются.
Из сказанного выше следует, что
т
Т (х, У) -»- 7'{х, у) = S Cfc<pOfc,eft (ж) ФьЛ,0й (у) (iV -»- оо), A3)
771 ^
2 c
а/1 ,бЛ (Ж) (Pbh,ah (У) =
где сходимость поточечная (во втором соотношении, в точках не-
непрерывности функций 4ah,6k(x)qbh,cih{y)), а также в смысле
среднего квадратического.
Множество всех ступенчатых финитных функций обозначим
через Ш.
Если наряду c./egft задана другая функция i|) e gft, то можно
считать, что
т
•ф {х, у) = 2 СлфдЬ (х, г/), A4)
л система прямоугольников Л" — та же, что и в A2), потому что
272 ГЛ. 16. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ. ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ
объединение двух систем прямоугольников, определяющих / и i|>,
можно, очевидно, представить как сумму конечного числа прямо-
прямоугольников, пересекающихся нопарно разве что по своим грани-
границам.
Важно отметить, что*)
(А ф) "= J J / (ж. У) Ф (х, У) dx dy=*
"= 2j ckc'h j J Toft,e7i (*') Фь,„ол (У) фай,вА (а:) Ф*А,<,Й (j/) dx dij ->
•= S CftCA J | 1ГпА.вА (X) j2 dx J I фЬ^а,, (У)|2 dy =
m
*= 2 c/»e л J | ФаА,вй И P da: j I Фьй,аА B/) f dy = G, ф), . A5)
потому что, очевидно, функции фдь(а?, J/) и фд; (^, у) для
и}(тогональны на плоскости и в одномерном случае верны равен-
равенства D).
Последнее равенство цепи доказывается как равенство первого
л четвертого ее члонов, если в них заменить /, tp соответственно
на f, <p и учесть ортогональностьЦ\,к,ък с ya-vt>v кФ1. Из A5) сле-
следует, в частности,
(/, /) = (/, /) для всех / s Ей.
§ 16.10. Теорема Плаишереля.
Оценка сходимости простого интеграла
Эта теорема носит законченный характер, если ее формулиро-
формулировать на языке лебегова пространства Ьг, имеющего то преиму-
преимущество перед Ьг, что оно нолтго (см. свойство 20, § 19.3). Мы
«формулируем эту теорему и даем ее доказательство, основанной
i!a том факте (см. свойство 18, § 19.3), что множество ступенча-
ступенчатых финитНЫХ функций ПЛОТНО в Ьг.
Теорема 1 (Плаишереля). Для каждой функции /е
е Ьг = LziRn) существуют ее преобразования Фурье /, / е Ьг:
/ (х) = Ига /" (ж) = lim —1— \ /(и)^"Vu, (J)
/ (x) = lim fN (x) = lira -^— (./(«) e^'du, (Г)
*) В этих рассуждениях рассматривается скалярное произведение / и
«Р (со знаком комплексного сопряжения над ф), ммоя в виду применении
формулы A5) в следующем параграфе (см. сноску к D) § 16.6).
§ 16.10. ТЕОРКМА ПЛАШПЕГЕЛЯ 273
п
где*u= (и,, ..., ип), х = {хх ...,х„), их = 2 и;,х»
Ajv = {|^| =?iV; ; = 1, ..., n],
и сходимость понимается в смысле Ьг.
Преобразования f, /
1) линейны;
2) отображают L2 ни L2 взаимно однозначно;
3) взаимнообратимы (/=/ = /, /<=W;
4) сохраняют скалярное произведение: (/„ г];) = (/, \[;) = (/, г|з),
(У, ф е Х2), таким образом, изометричны A1/11 = 11/11 = 11/11),
(/,<p) = J/(u)^)du, J =J.
Доказательство. В предыдущем параграфе было доказа-
доказано, что ступенчатые финитные функции /(/ е 2Л) не только при-
принадлежат L2, но и отображаются при помощи операций f, / в L2r
и для них выполняется свойство 4).
Пусть теперь функция f ^ L2 и пока финитна. Тогда при до-
•таточпо большом N ее носитель принадлежит Ajv и
/ (x) =7 « = —1—й ) / (u) е~гха da. B)
AjV
В этом случае j^L и потому (см. § 16.2) f — непрерывная фупк*
ция на R — Iin. Докажем, что она принадлежит к Ьг и что
й/1Ы!/11 (II «'==« Ю- C>
В самом деле, существует последовательность финитных сту-
ступенчатых функций /v(/ve2Jl) с носителями, принадлежащими Ля,
таких, что
II/-/VH-*O (v —oo). D)
Отсюда
U(t)-fv(t)]e-lXtdt
Bл)".'2
Таким образом, f v(x) -»¦ fix) равномерно на Вп. Зададим е > 0.
I? силу D) и свойства 4), уже проверенного для функций /„ е Шт
для достаточно большого s
« > 1/p - АН - I7p -?J>f7p -7д1
274 ГЛ. IS. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ. ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ
где X > 0 — произвольное число. Но в силу равномерной сходи-
сходимости fq-*-f и конечности прямоугольника А>. можно перейти
при q -*¦ °° к пределу под знаком: нормы (интеграла) и получить
неравенство
Если теперь при фиксированном р увеличить до бесконечности К,
то получим в пределе неравенство
e>l\fp-f\\>\\\fj-l\f\\\ (p>s),
которое мы -дополнили еще вторым очевидным неравенством.
Поэтому
|/I = Hm ||/Р1=Пт|/„1 = 1/1,
Р —* OG р~г СО
и. мы доказали, что f e L2, а также справедливость равенства C).
Справедливость соотношения A) для рассматриваемой функ-
цш1 j<^ L2 (с компактным носителем) тривиальным образом сле-
следует из равенства B) для достаточно больших N.
Пусть теперь f<^Lt — произвольная функция. Тогда для лю-
любых положительных N и Лг/ {N<N') имеет место (пояснение
ниже)
%) +О, N,N'^oo, @)
и вследствие полноты Ьг существует в L2 функция, которую мы
обозначим через f, такая, что
||f-p||-*-0 W-^oo), G)
т. о. имеет место A).
Функцию ]N' — fN можно рассматривать как преобразование
Фурье функции, имеющей компактный носитель, равной fix) на
Ал-' —AN и нулю в остальных точках. Для такой функции свой-
свойство сохранения нормы ее преобразования Фурье уже доказано,.
Это объясняет F).
Из G) следует:
||/1 ||7| |7||
JV->oo N-roo
Линейность операции ~ очевидна. Имеет также место ее не-
непрерывность
II/, - f II = Ц, - /II = »/* - /И - 0 (к - оо).
В силу того, что / (—х) — fix), полученные результаты верпы
и для операции <^.
g 16.10. ТЕОРЕМА ПЛАНШЕРЕЛЯ 275
Теперь нетрудно доказать равенства
/•=?=/, 1^'U. (8>
Бедь для функций f^Wl они верны, и так как для /gI, найдет-
найдется последовательность функций /,е2Я такая, что II/v— /И-*¦ 0, то-
в силу непрерывности операций ~, ^ равенство (8) можно полу-
получить из равенств
/v ' /v === /v
переходом к пределу при v -*- °°.
Если \|з е L2, то \|з е Ьг и \|з = \|\ Это показывает, что операция
~ отображает Ьг на L2 и притом взаимно однозначно, так как из
t|"i = Ч12 следует -ф* — Ч-а = Ч1! — Ч'г = 0 = 0.
В этих рассуждениях символ ~ можно поменять местами
с символом ^. Мы доказали свойство 2).
Наконец, если
II/ - /vll, IIф - фу11 -* 0 (v ->- оо, /VJ ф, е 5Й),
то из равенств
(/v, Cpv) = (/v, фу)
следует путем перехода к пределу
(/, Ф) = (/:, ф).
Ведь
К/, ф)-(^, ф,I
'Георема доказана.
Теорема 2 (аналог теоремы 6 § 15.11). Пусть ^==
г- (X, .'.., X) — вектор, еде К ¦— натуральное число, и пусть для
любого неотрицательного целого вектора к<Х, частная произ-
производная /<й) (в частности, /) непрерывна и выполняются нера-
неравенства
—— \
Bл)" J '
для любого l=(ii, ..., h) с координатами I,, равными 0 или К^
Тогда простой интеграл SN(x) функции /(х) отклоняется or
нее с оценкой
Л
N 2
¦где С зависит от X, но не от М и N.
27R ГЛ. 16. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ. ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ
Доказательство. Оценим функцию
где
A'N = Rn — AN.
Можно еще сказать, что Ajv есть множество точек u = (ut,,.., н„)
таких, что max |и,| 2* N.
j
Так как /<^?2, то по теореме Планшереля f e ?2 и рл(х)
можно рассматривать как предел (в среднем)
Для целого т, удовлетворяющего неравенствам О «S т < п,
определим множество Qm точек и = (и,, ,.., «„) таких, что
\щ | ^ 1 (;' = 1, ..., т, если т > 0), \
]um+ij>iV, |«j|>l (/ = /га -j-2,..., », если п>/»-}-1)./
Буквой Qm будем также обозначать всякое множество, сводяще-
сводящееся к определенному выше множеству после соответствующей
перенумерации координат.
Очевидно,
я-1
m—о
где вторая сумма распространяется на всевозможные различ-
различные Q,,,. Если перенумеровать все ее слагаемые (Л1: Л2, ..., Лр)
и затем положить
г>-1
р -- \ f = \ Р Е —- Л ^ Е
i
то получим
м при этом каждое Eh принадлежит к некоторому Qm.
Имеем пока формально (пояснения ниже)
IB. 11. ОБОБЩЕННЫЕ ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
277
Оценим один из интегралов ] , считая для определенности,
4
чlo Eh<=Qm, где Qm определено именно неравенствами A0).
В силу равенства
=(п- тI., / \
ИЛИ
получим
дх
~а
т+1
т + 1
/(«)— (,,-m)J, J, Я.
1 "т+1 ¦•• "л
A2)
й(»-")»./(„)
du
йп
дх
т+1
Л'
Отсюда следует, что
Ря (Х) I < '
ел/
Л'
A3)
A4)
где С, так же, как и С, не зависит от М и JV.
Оценки A3) показывают, что интегралы A1) сходятся, и при-
притом абсолютно, для любого х. Мало того, при N -»- °° они, а вместе
<¦ ними и рл(х), равномерно сходятся к нулю. Таким образом,
функция
равномерно сходится при JV -*- °°. Но в то же время в силу того,
что /е1-2, по теореме Планшереля SK(x) при N -*¦ оо стремится
i; fix) в смысле среднего квадратического, поэтому (см. лемму 1
§ 15.11) Sk (x) стремится равномерно именно к fix) и, следова-
следовательно,
рм(х) = fix) — 5л-(х), A5)
Ш A4) и A5) следует (9).
§ 16.11. Обобщенные периодические функции
Пусть S* — множество бесконечно дифференцируемых перио-
периода 2л функций ф от одной переменной х. Каждую функцию
H^iS* можно записать в виде сходящегося к ней равномерно ее
278 ГЛ. 16. ИЦТЕГРАЛ ФУРЬЕ. ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ
ряда Фурье (см. теорему 2 § 15.5)
Ф (*) = 2 **«"*. ch = ± j Ф @ е-»' Л A)
(ft-0, ±1, ±2, ...).
Его можно почленно дифференцировать сколько угодно раз
(см. § 15.7)
<рМ (х)^ 2 (tft)Vlte (?.= 1, 2, ...), B)
— DO
и при этом при любом натуральном s ряд справа в B) равномерно
сходится к ф(8) (ж).
Будем писать
Фп ->- ф E*),
если ф„, ф?|?* (и = 1, 2, ...) и ф^8> (ж)-»-ф<4> (ж) (ге->- оо) равно-
равномерно при любом целом s ^ 0.
В частности, очевидно, что если функция ф е 5* и SN (z) =
= 21 cftcita —ее Л^-я сумма Фурье, то SN -*¦ ц> (S*).
-N
Обозначим через 5'* совокупность линейных функционалов /
над S* (обобщенных функций). Обычная функция /e.L'*(L*)
при помощи равенства ('без черты над ф!)
2Я
(/, <р)= |/(*)ф<*)* (ф^5*) C)
о
определяет обобщенную функцию из 5'*, которую обозначают
тоже через /. Нет необходимости повторять рассуждение, приве-
приведенное в § 16.7 в случае S, о том, что два функционала вида C),
определяемые функциями /,, /2eL'*, тождественно равны па S*
тогда и только тогда, если /,(ж) = /2(аг) в точках непрерывности
/, и /2 (в случае L* почти всюду).
Так как функции eihx(k = 0, ±1, ±2, ...) принадлежат к S*,
то любому функционалу f<^S'* можно привести в соответствие
числа
ch = ^(f,riM) (* = 0, ±1± 2, ....),
называемые коэффициентами Фурье /.»
Докажем, что имеет место равенство
§ 16.11. ОБОБЩЕННЫЕ ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 279
иыражающее, что ряд
называемый рядом Фурье обобщенной функции f, сходится к ней
is смысле 5'*.
В самом" деле,
(IV \ JV N
2 ckelftI, Ф = 2Я (ei"x' Ф) = Ш 2 (/• e~iMt) (eihX' Ч>)
-/V / -JV -IV
N /
^ 2 (/. (""¦•. ф) e~ihx) = /
—JV \
—JV
потому что SN(x) -»- ф
Заметим, что в силу ортогональных свойств функций e>hx
N
(/, eilx) = lim 2 cR (eihx, eilx) = 2nc_N
Отсюда следует, что представление функции /eS'* в виде сходя-
сходящегося (в смысле 5'*) ряда E) с постоянными коэффициентами
единственно.
Покажем, что для любой функции /eS'* найдется зависящее
от / (по не от к) натуральное К и константа А такие, что
fc = ±l, ±2, .,.). F)
В самом деле, если бы это было не так, то каждому К == 1,2,..,
нашлось бы кК такое, что
|сч1 > \кк\1 и 1/0,1 <|й,| <...
Положим
Очевидно, что ц». s S* и при любом неотрицательном целом s
равномерно; поэтому
Фх-*О E*)
Но, с другой стороны, в силу D) и ортогональных свойств
280
ГЛ. 10. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ. ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ
функций e'hx
(А =- 1, 2, ...),
и мы получили противоречие.
Наоборот, если числа сл(/с = ±1, ±2, м.) подчиняются при
некоторых А, А, > 0 неравенству F) для всех А, то функционал
?»с'-'" 2лс'-'<- = (СР' eiS
есть обобщенная функция /eS'*. В самом деле, при кФО
1
откуда
2л i
и при s = К + 2
DO
'
<" Ic
(штрих обозначает, что 2 не распространяется на & = 0). С дру-
другой стороны,
Таким образом,
К/, ф)
где В—константа, не зависящая от ср; поэтому если ср„ -*
то
(/. ф) - (/, <Рп) I = I (/, <Р - Ф») К
< В A ф(«) - ф<,8) \с + 1Ф - Ф» 1с)^ 0 (« -* со)
откуда /е5'*.
Конечно, функционал G),можно записать еще в виде E), по
об этом уже говорилось выше.
Из сказанного следует, что 5'* можно определить как совокуп-
совокупность формальных рядов
5 18.11. ОБОБЩЕННЫЕ ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 231
с коэффициентами, удовлетворяющими неравенствам F), где А,
Я > 0 — постоянные, зависящие от ряда, а значения /на ф е S*
определяются при помощи равенства D). Функция б(х) в S'*
определяется в виде ряда
Д.ш каждой функции ср е 5* имеет место
(\ ф) = lim — 4- + 2 cos ki\ Ф (f) A =
где 5л.(<р, 0)—значение при ж==0 iV-й частичной суммы ряда
Фурье (р.
14'ак ив случае S' (см. § 10.7, G)), назовем производной от
/; е i"* функционал F', равный
(/?', Ф) = -(Г, ф').
Покажем, что если
'( О
/?'(ar)=2(iA-)cfte*«*. (8)
— оо
Наметим, что в силу неравенства \cj ^Alkl*- {k — ±l, ±2, ...)
jicpnoro при некоторых А, Ь > 0, верно также неравенство
ил itoTcpcro следует, как мы знаем, что ряд (8) сходится в смысле
Л"* к некоторой функции Ф е= S'*. Равенство Ф = F'справедливо
11 силу следующих выкладок:
р Л' ¦
>, ф) = lim. \ 2 0'^) с;ге"'жф (ж) dx =
Л' 1 -Л'
2
^ -Л'
Л'
2 '^ф' (з:) dx =— (F, ц,')
учесть, что j ф' (х) dx = 0 I.
282 ГЛ. 16. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ. ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ
Этот результат представляет собой обобщение теоремы 1
§ 15.7 о почленном дифференцировании обычных рядов Фурье.
Если функция /eI'*(L*), то она принадлежит и к 5'* и ее
коэффициенты Фурье в. обычном смысле и в смысле S'* совпа-
совпадают. Ряд Фурье функции /е?* не обязательно сходится к ней;
существует пример функции /е L*, ряд Фурье которой расходит-
расходится всюду на действительной оси (пример Колмогорова, см. § 15.5).
С другой стороны, из сказанного выше в этом параграфе следует,
¦что ряд Фурье функции /eL'*(i*) сходится к /в смыс-
смысле S'*.
Остановимся еще на представлении свертки Ф * / двух функ-
функций Ф, j e L* через их коэффициенты Фурье. Пусть
Тогда (см. § 18.3)
я
ф (х) = Ф*/ = ~ j Ф (х - t}f(t) dt (ф е L*).
При этом коэффициент Фурье функции ip, если воспользоваться
теоремой Фубини, может быть преобразован следующим образом:
о
2Л / 2Я
1 С 1 Г
1 \ ) _L | ф /г f\ /,—iv(x-t) -f (f\ p~ivt
2л J 12л J {X l)e ] [ ' 6
i in
I 1 Г
°"%vi dt \T7 1 Ф (^ ~ г) e-lV^-0 dx, ------ cvAv.
0 l
Следовательно,
Ф*/ = 2
Естественно определить свертку двух произвольных функ-
функций Ф, /eS'* при помощи равенства (9). Ведь вместе с коэффи-
коэффициентами ch и Яц удовлетворяют неравенствам типа F) также
и их произведения сД,,.
Замечание. Если функция fix) — обычная функция пери-
периода 2я, принадлежащая L' (L*), то она определяет на S* ли-
линейный функционал по формуле C) и, следовательно, на основа-
§ 16.11. ОБОБЩЕННЫЕ ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 283
.чин сказанного выше функции / соответствует ее ряд Фурье
ft=-oo ¦ „
г годящийся к пей в смысле S*, т. е. обладающий свойством
{ / @ ф (I) dt = lim \
Усе с' = — f
для всех ф е S*.
Глава 17
ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫЕ МНОГООБРАЗИЯ
И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ
§ 17.1. Дифференцируемые многообразия
Дифференцируемым к-мерпым многообразием {0<к<п) в
п-мерном пространстве R — Rn называется множество S с/?„ = /?
такое, что, какова бы ни была его точка х", найдется перестановка
/,, ..., /„ натуральных чисел 1, ,,., п и прямоугольник
который вырезает из S кусок SA, описываемый уравнениями
А' =
г;, — *5,| < 6, s- 1, ...,Л),
A)
где /i — непрерывно дифференцируемые на А' функции.
п-мерным (дифференцируемым) многообразием в Л называется
гроизвольное открытое множество S сг /?„.
Если число б > 0, требуемое в определении, найдено, то его,
очевидно, можно как угодно уменьшить с сохранением сформули-
сформулированного свойства. Можно, например, в качестве А в;$ять прямо-
прямоугольник
где бя sS б. Можно euie задать любое число о\> < а и, воснолЕ.зовав-
пшеь непрерывностью /,, подобрать б0 ^ б так, чтобы для
j Х)я — х'^ I < б0, ,v — 1, . . ., /с, функции /, отличались соответстиенпо
от Xji менее, чем на о0, и тогда очевидно, что прямоугольник
тоже будет удовлетворять сформулированным в определения тре-
требованиям. ч
Таким образом, в данном определении выражение «найдется
прямоугольник А» можно заменить выражением «для любого
е > 0 можно подобрать прямоугольник А диаметра меньшого, чем
е», и определение останется эквивалентным исходному.
Система уравнений A) есть частный случай системы
Xi = /'\(u) = I'idh, ..-, Uk), US ft), j = 1, . .., 12, B)
li з
§ 17.1. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫЕ МНОГООБРАЗИЯ 285
где со — область, в ^-мерном пространстве точек и=(гг4, ..., uk),
и функции Ft непрерывно дифференцируемы на со с матрицей
ранга к. Когда точка и пробегает со, точка х пробегает
некоторое множество Scfl, которое естественно назвать к-мер-
ной поверхностью. При этом соответствие B) предполагается
)!:шнмно однозначным: fflBu^xeS (коротко и **¦ х или oi^S).
Краткости ради будем говорить о поверхности S, описываемой
функциями или уравнениями B), не перечисляя каждый раз
указанные их свойства.
Пусть и = (н(, ..., uh) свйзано с и' = \ии ..., uh) при помощи
лзаимно однозначного непрерывно дифференцируемого отобра-
отображения
и] = (fj (ult ...,uh), иеш^в'э u's C)
имеющего на со не равный нулю якобиан. В таком случав мы бу-
будем говорить, что отображение C) непрерывно дифференцируемо
в обе стороны, считая, что эти слова уже выражают взаимную
однозначность отображения и неравенство нулю якобиана, ведь
равный 1 якобиан перехода от и к и есть произведение якобианов
перехода от и к и' и от и' к и, которые, таким образом, не равны
л у л го.
Решая уравнения C), получим
( ' ' \ i '
иЗ ~ Яi \иЪ • • • ! uh)i U е СО ,
Подставляя Uj в B), получим новое описание 5:
^'i ~3 Фг (и) = Фг(ыХ1 ¦ ¦ • т uh) = F iityli • • • i tyh)> u'Sfi)', I — 1, . . . , П,
где Ф( удовлетворяют свойствам, подобным свойствам Ft.
Определяемая уравнениями B) поверхность S не всегда есть
/¦¦-мерное дифференцируемое многообразие в том смысле, как оно
определено выше (см. § 6.5, рис. 6.1). Но, с другой стороны, сле-
следующая лемма дает достаточный критерий того, что S есть ft-мер-
иоо дифференцируемое многообразие.
Л е лм а 1. Пусть поверхность S описывается функциями Ft
i'.i B) (с перечисленными там свойствами), где со —• ограниченная:
область, и функции Ft заданы не только на со, но и на с>> и осу-
1'{сствляют гомеоморфизм со =** 5, т. е. отображают со на 3 непре-
I bie/m и однозначно.
Тогда S есть к-мерное дифференцируемое многообразие.
Доказательство. Пусть точка x'gS соответствует значе-
п и к) и = и", тогда в со существует достаточно малый открытый
|.уб К с центром в и" такой, что на нем один из определителей
дР. I) 1т .... .г )
/i ю порядка матрицы , пусть .у '-, це равен
286 ГЛ. 17. МНОГООБРАЗИЯ II ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ
нулю и разрешимы первые к уравнений B) (/ = 1, ..., А'):
Щ = l|),-Ui, . . ., Хк), {хи ..., Хк)^\Х^Х.
Таким образом, некоторый кусок 6" <= S записывается непрерывно
дифференцируемыми функциями
xt = Ф,(а:„ ..-., хк), (я,,-..., хк) е= р., г = /с + 1, ,.., п, D)
которые мы полупим, подставив н,- = rj;, в B).
В силу S^oi образ компакта (замкнутого ограниченного мно-
множества) со — X есть компакт F, не содержащий точку х°, а вместо
с ней не содержащий некоторый прямоугольник Д с центром в х1
и сторонами, параллельными осям. В силу непрерывности функ-
функций Ф; проекцию Л' прямоугольника Д на подпространство
хи ..., xh можно уменьшить (сохранив обозначение Д) так, что
для всех (Xi, ..., xh) s Д' с= |я точки (.хь .. ., хк, Фй+1, ..., Ф„) бу-
будут принадлежать Д. Но тогда SA описывается уравнениями
Xi = Oi{xi, ..., xk), (xi, ..., xk) еД',_! = Н1, ..., п.
Ведь описываемые ими точки х принадлежат 5Д, других жо
точек S в Д пет, потому что либо это точки вида (i), где (,гь ...
..., хк) s |j, — Д', либо точки F,
Лемма 2. Пусть поверхность S, описываемая функциями
B) (с указанными там свойствами), содержит в себе поверхность
о, описываемую функциями
Хг = ФгМ, v =-(г>1, ..., vk) eG, i = 1, ..., и E)
(с подобными свойствами, G — область).
Тогда определенное системами B), E)"очевидное взаимно од-
однозначное соответствие
Сэу5±иев'сш @)
непрерывно дифференцируемо в обе стороны и, таким образом а
описывается функциями B)
.Tj = Fibi), и s a)', i = 1, ..., /г,
где со' — область.
Кроме того, если S есть к-мерное дифференцируемое много-
многообразие, то и а — к-мерное дифференцируемое многообразие.
В частности, если о описывается функциями B), где «еб =
<= со, то о вместе с S есть fe-мериое дифференцируемое многооб-
многообразие.
Доказательство основано на следующем утверждении (см.
§ 7.18).
Пусть заданы непрерывно дифференцируемые операции
v = a(u), uegc/}4] w = p(v), v e g'^ Rh,
§ 17.1. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫЕ МНОГООБРАЗИЯ 287
отображающие области g и g' пространства Rh в Вк и при этом
u° s g, v° = a(uo)eg'. Тогда операция-w= [Ja(u) имеет смысл
в достаточно малой окрестности (о <= g точки и0, ола там непре-
непрерывно дифференцируема и ее якобиан (перехода от и к w) равен
произведению якобианов операций а и р\
В частности, если якобиан от и к w на о) но равен нулю, то
не равен нулю также якобиан от и к v и образ области ю при
помощи операции а есть тоже область.
Произвольной точке veG посредством E) ставится в соот-
соответствие определенная точка x=(xf, ..., хп) е a ^S, которой в
силу B) по условию соответствует единственная точка и ей'. Но
01<\
для нее ранг матрицы
du-
равен к, и потому для некоторых
различных номеров i = ii, ..., ih, уравнения B) разрешимы отно-
относительно и,, ик. В результате мы получим два следующие.
друг за другом непрерывно дифференцируемые отображения
имеющие место не только для исходной точки v, но и для некото-
некоторой ее окрестности.
Таким же рассуждением обнаружим, что полученной точке
u e со' при помощи двух следующих друг за другом непрерывно
дифференцируемых отображений ставится в соответствие исход-
пая точка v e С.
Мы доказали непрерывную диффереицируемость соответст-
соответствия F) в обе стороны, и так как по условию G — область, то
и а' — область.
Пусть S есть А-мерпос дифференцируемое многообразие B) и
х" е о. Как сказано в определении 5, можно заново перенумеро-
перенумеровать координаты и подобрать открытый прямоугольник А с цент-
центром в х" так, чтобы iSA описывалось некоторыми непрерывно диф-
дифференцируемыми функциями
Xi = fi(xu ..., xh), i = k+l, ..., п, (xt, ..., а:Л)е=Д', G)
где А' — проекция А на координатное подпространство (xt, ...
. .., хк). На основании уже доказанного имеется непрерывно дпф-
фередцируемое в обе стороны соответствие
А' э {х,, ..., xh) ^ueto'c о,
где со' — некоторая область.
Таким образом, 5А описывается не только уравнениями G), но
и уравнениями
Хг = Fi(u), иеш', i — 1, ..., п.
288 ГЛ. 17. МНОГООБРАЗИЯ II ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ
Лемма 3. Пересечение двух к-мерных (дифференцируемых)
многообразий
01 = {х : хг — ц>А\1), z=l, ..., п, и е ?/},
02 = (х : хг = ipiCv), i = 1, . . ., n, v <= F},
принпдлеэюащих к-мерному многообразию
S = {x:Xi = /i(w), i = 1, .. ., n, w e= Ш,
есть к-мерное многообразие
ofii = {x : xt = /4 (vv), i = l,..., re, w ее WJ, IF* с PF,
где И^, вообще говоря, открытое множество, даже если U, У,
W — области.
Доказательство. Так как alt o2 cr S, те но лемме 2
о, = {х : xt =A(w), г = 1, ..., п, w <= T-FJ, ТУ, с IF,
02 = {х : х, = /Длу), i = l,...,B,we ИУ, ТУ2 с TF,
где Wit TFj вместе с-С/, V, W — области. Но тогда верна лемма,
где W* - WJVV
Покажем теперь, что наряду с введенным в начале параграфа
определением /с-мерного дифференцируемого многообразия S
можно дать и следующее эквивалентное ему определение: это
такое множество SczRn, что какова бы ни была его точка х*
и каково бы пи было в > 0, найдется ее n-мерная окрестность Q
диаметра с1(Ш < е такая, что SQ описывается функциями B)
с указанными там свойствами, где только S надо заменить на 50.
В самом деле, если в первом определении положить А = il,
А' = to,
«> = us — Fjs(ux, ..., uh), s = 1, 2, ...,/.',
xii = /js («i, ..., uh) — Fjs (щ, ..., uh), s = k + 1, ..., n,
где, как мы знаем, можно считать d{&) < е для любого 8 > 0, то
получим систему функций 1<\ с указанными во втором определе-
определении свойствами.
Пусть теперь S подчиняется второму определению и точка
x'eS. Тогда найдется ее окрестность Q диаметра d{Q) < 1 такая,
что SQ описывается функциями B) с указанными там свойства-
свойствами. Будем считать, что точка х° соответствует точке u° e <,»
и подберем б>0 пастрлько малым, чтобы шар |и — и°| «S б при-
принадлежал ш. Шаровая поверхность |u — u°l =6 отображается при
помощи уравнений B) на множество Г <= S, замкнутое и ограни-
ограниченное. Так как оно не содержит точку х", то
min !х — х°| = m > 0.
лег
Определим теперь, пользуясь вторым определением, вторую
окрестность Qj точки х° диаметра d(Q4) < mil так, чтобы Sii,
§ 17.1. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫЕ МНОГООБРАЗИЯ 2*9
описывалось функциями
х{ = ФМ, veG, i=l,...,k,
где G — область. На основании леммы 2 SQ, описывается также
при помощи уравнений
^ = ад,иеш'сш, (8)
где оз' — область.
Важно отметить, что па самом деле
и'сщ'си. (9)
Ведь ю' принадлежит замкнутому шару |u — u°| < б, который по
определению принадлежит ю. Но тогда равенства (8) устанавли-
устанавливают не только взаимно однозначное соответствие <SQt ч* ©', но
п SQt =** ш', а это указывает вследствие леммы 1 на то, что SQ,
«сть fc-мерное дифференцируемое многообразие (в смысле первого
определения!). Можно, таким образом, указать прямоугольник
Д cz Qi с центром в х°, для которого выполняются свойства, фигу-
фигурирующие в первом определении для 5Q, (вместо S), но тогда и
для S, потому что 1$Л = S?2,A.
Заметим, что второе определение й-мерного дифференциру-
дифференцируемого многообразия нельзя (не в пример первому) формулиро-
формулировать: «Какова бы пи была точка х° е S, найдется ее гс-мерная
окрестность О такая, что...» без упоминания, что должна суще-
существовать указанная окрестность как угодно малого диаметра.
Ведь если, например, функции FSu), определяющие посредством
B) поверхность S, ограничены на со, S можно поместить в некото-
некоторый куб А и тогда SA = S, между тем S может и не быть /с-мер-
цым дифференцируемым многообразием.
Наконец отметим, что из эквивалентности двух указанных
определений следует, что если множество S подчиняется первому
определению в одной прямоугольной системе координат, то оно
подчиняется ему и во всякой другой.
Лемма 4*). Непустое пересечение к-мерных {дифференци-
{дифференцируемых) многообразий (i = 1, ,»., п)
0i ¦==¦ {х : Xi = <р4(и), u <= ю},
Ог = {х : х, = if4(v), v e g},
принадлежащих к-мерному же многообразию S {все равно како-
какому), есть k-мерное многообразие GiG2. Между его параметрами и
и v имеет место непрерывно дифференцируемая в обе стороны
зависимость
[/"эи^уеУ0, (Ю)
где V, V — открытые множества.
Лемма 3 обобщается леммой 4, которая далее обобщается леммой 5,
290 ГЛ. 17. МНОГООБРАЗИЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ
Доказательство. Пусть х° е OjO2. Таким образом х\ »=»
•= фДи") = %(v°)U = 1, ..., п). Существует «-мерная окрестность Д
точки х° такая, что
A1)
Существуют также га-мерные прямоугольники Qi: 2,сД о
центром в х° с достаточно малым диаметром такие, что
o,Qi = {х : X; = ср((и), и <= С/, cz со), A2)
а2Й2 = {х:х( = г|!;Ы, veF,cg), A3)
По тогда 0)Qi, а-А <= 5Д, и в силу леммы 2 имеют место непре-
непрерывно дифференцируемые в обе стороны соответствия Ux ч? и± CZ
с ]У, Fx «t Vi с: VF.
Пусть И^' = f/iP'i (открытое множество). Указанные соот-
соответствия индуцируют соответствия ¦•
[/^(/^Г^с^, A4)
где С/'*, V# — открытые множества.
Заметим еще, что уравнения
так же как уравнения
х = 41 (v) veF,,
хг = 41, (v), veF
описывают кусок с.а^И^г, что показывает ввиду произвольности
точки х° е Oiff2, что 0iO2 есть /с-мерное многообразие. Мы доказали
также, что какоиа бы ни была точка х° е ого21 х\= фг(ии) = ^(v0)-
(i = l, ..., п), можно указать открытые множества [/^эи0, Т^э v°,
между точками u, v которых имеет место непрерывно дифферен-
зщруемое в обе стороны соответствие. Но тогда, очевидно, все и,
v,' которым соответствуют точки do, и между которыми в силу
тривиальных соображений имеется взаимно однозначное соответ-
соответствие, на самом деле находятся в непрерывно дифференцируемой
в обе стороны связи и, кроме того, их множества открытые.
Л е м м а 5. Если ot, o?, S — произвольные k-мерные многооб-
многообразия и d, a2 e S, то непустое пересечение а^г есть тооке к-мер-
ное многообразие.
Доказательство. Пусть хс е OiO2. Рассуждая, как при
доказательстве предыдущей леммы, определим многообразия
0)Qi, 6?{lz с SIS. (см. A1), A2), A3)), и тогда, как там объяснено,,
окажется, что OiO^Qt^^ есть ^-мерное многообразие, а вместе с
НИМ И OiO2.
Если А-мериое многообразие о описывается уравнениями (i =•
- 1, ..., и)
?i = Mu) =/i(«i, ..., kJ, it eco, A5)
§ 17.1. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫЙ: МНОГООБРАЗИЯ 291
то говорят, что оно задано параметрически (.через параметр и).
2'гм самым а (по определению) считается ориентированным.
Замена и на и' при помощи отображения
щ = % (и'и .. •, Щ.) {и е= ю', / = 1, ..., к),
непрерывно дифференцируемого в обе стороны на области ю',
приводит к другому параметрическому описанию 5:
х( = Fi(u') = /,D-1 i\), uf e о)',
но определению ориентирующему а так же, как описание A5),
пли противоположным образом в зависимости от того, будет ли
нкобиан перехода от и к и' положительным пли отрицательным.
А*-мерпое многообразие S называется ориентируемым, если все
какие бы то ни было описания S {описания его частичных много-
многообразий) можно разбить на два класса Ш+ и 3DL так, что если два
описания с параметрами и и и''принадлежат .одному и тому же
классу и многообразия Oi и а2, которые они описывают, пересека-
пересекаются, то якобиан перехода от и к и' на 0,02 положителен.
Описания, принадлежащие 2Я+, определяют одну ориентацию
S, а описания, принадлежащие WI-,— другую ориентацию S, про-
противоположную первой. Но приходится считаться с тем фактом,
что существуют /г-мерные (дифференцируемые) многообразия, не
ориентируемые, т. е. такие, что все их описания- нельзя разбить
на два класса ЙЯ+ и 2JL с указанными свойствами (лист Мёбиуса,
,г = 3, А; = 2).
Описание (через параметр u=(ui, ,.., uh)) можно перевести
из одного из классов 2Ч+, 2Ч_ в другой путем изменения знака у
, i i i
ui; т. е. при помощи подстановки щ = — их, ы2= и.2, ..., и^ = uh.
Заметим, что А-мерное ориентированное дифференцируемое
многообразие Lh при к = 1 есть-очевидно*) гладкая ориентирован-
ориентированная кривая (см. § 6.5), а при к = 2, п = 3 определение Lk пол-
полностью согласуется с. определением ориентированной гладкой
поверхности. В самом деле, все описания r(u, v) = ф1 + ij)j + ^k
гладкой поверхности S (двумерного дифференцируемого многооб-
многообразия), принадлежащие одному и тому же классу 2Ч+, таковы, что
если по ним единым способом вычислять вектор
единичной пормали в точке х — г(и, v), то результат не зависит
от того, будем ли мы вычислять п через праметры (и, v) или
11! срез другие, связанные с ними непрерывно дифференцируемым
в обе стороны отображением параметры (и', и'), ведь якобиан
*) Наоборот, гладкая кривая может не быть дифференцируемым много-
многообразием Li (см. рассуждения к рис. 6.1),
292 ГЛ. 17. МНОГООБРАЗИЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ
jj , ,' ,. > 0. Но тогда единичная нормаль п{х) пепрерыоно за-
зависит от х и поверхность S ориентирована в смысле определения
§ 7.20. Если же применить эти рассуждения к описаниям, состав-
составляющим класс S0L, то придем к противоположной ориентации 5
в смысле § 7.20.
Пусть G есть область в пространстве Rn точек х = (хи ..., хп).
Уравнения
где, таким образом, xt являются не только координатами х ==¦
= (х{, ..., хп\ но и параметрами, описывают определенно ориен-
ориентированное гс-мерное многообразие S. В свою очередь уравнения
xt = /i(it>i, «.., wj, w =¦ {wu ..., wn) еи*С
где имеет место непрерывно дифференцируемое в обе стороны
соответствие х ** w, определяет то же ориентированное многооб-
многообразие S или ориентированное противоположно в зависимости от
того, будет ли якобиан перехода положительным или отрица-
отрицательным.
Полезна лемма
Лемма 6. Пусть для к-мерного многообразия S существует
класс Ш его описаний
jci=/<(u), new, i = l, ..., п A6)
со следующими свойствами.
1) Многообразия о <= S, определяемые описаниями из класса
Ш, покрывают S.
2) Любые два описания из ЯП, определяющие многообразия а,
о' <= S, с непустым пересечением, таковы, что их параметры
и, и' на оа' переходят друг в друга с положительным якобианом
(см. лемму 4).
То^да S ориентируемо и классы 2Ч+, ЙЯ_, на которые делятся
все описания S, можно определить так, что будет Ш <=¦ 2Л+. Этим
WI определяет ориентацию S.
Доказательство. Пусть дано описание A6) (через пара-
параметр и) некоторого многообразия о<= S ж точка х'ео. В силу
свойства 1) класса 2U в 2U найдется описание о', пусть выража-
выражаемое через параметр v, покрывающее х°. Отнесем а к SS.u или ^FL
в зависимости от того, будет ли на go' в малой окрестности х°
якобиан перехода от и к v положительным или отрицательным.
Однако надо убедиться в том, что высказанное правило не содер-
содержит противоречий, т. е. оно не зависит от точки х°ео и описа-
описания о' е 2Я, покрывающего х°.
Пусть для определенности в малой окрестности рассматрива-
рассматриваемой точки х° якобиап перехода от к v положительный, т. е-,
g 17.1. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫЕ МНОГООБРАЗИЯ 293
согласно высказанному правилу а еЯЯ+. Но точка х° может быть
покрыта и другим многообразием а" е 2Й, выражаемым пусть
через параметр w. Так как на а'а" переход от v к w имеет поло-
положительный якобиан, то якобиан перехода от u it w (равный про-
произведению якобианов перехода от и к у и от v к w) положитель-
положительный, и наше правило приводит к тому же результату oei.
Условимся далее через ох обозначать какое-либо покрывающее х
многообразие, описание которого принадлежит к Ж, а его пара-
параметр — через Vj. Пусть теперь /ео и у Ф х°. Предположим, что
наше правило некорректно и в малой окрестности у0 якобиан пе-
перехода от и к уц0 отрицательный. Соединим х° и у0 непрерывной
кривой Г <= а (х = x(t), 0 < * «? 1, х@) = х°, хA) = у0). Тогда
должно найтись ?0@<?„<1) такое, что в любой его близости
имеются значения ?', t" такие, что в малых окрестностях точек
x(i'), x{t") якобианы перехода от и к \хц') И к Vx(f) имеют про-
противоположные знаки. Но это противоречит тому факту, что в не-
некоторой окрестности точки x(ta) наш якобиан должен сохранять
знак. Этим доказано, что высказанное правило корректно.
Но тогда и переход и' ->¦ и" имеет положительный якобиан.
Аналогичное рассуждение можно провести и для !Ш_. Очевидно
также, что 2Jf<=2J{+i и всякое локальное описание S принадлежит
одному и только одному из классов 2Й+, 2JL.
. Отметим еще, что ориентированное многообразие можно оче-
очевидно еще определить как многообразие S, для которого сущест-
существует класс Ш его описаний, удовлетворяющих условиям 1), 2)
леммы 6.
Замечание.- Любое замкнутое ограниченное дифференци-
дифференцируемое многообразие S (например, окружность, поверхность тара
или эллипсоида) в целом не описывается уравнениями вида B)
(подразумевается взаимная однозначность S ^(в!). В самом деле,
пусть S описывается уравнениями вида B). Рассмотрим последо-
последовательность точек uv e со, стремящуюся к некоторой точке и"
границы ^ области со или, если f пусто (со = /?Д стремящуюся в
бесконечность (luv| -><»), Так как S ограничена и замкнута, най-
найдется подпоследовательность этой последовательности точек,
обозначаемых снова через uv, такая, что для соответствующих
гфи отображении B) точек xve5 имеет место xv -*¦ х°, где х° —
некоторая точка S, которая, таким образом, соответствует при
помощи B) определенной точке и'е©. Пусть Fe§ — замкну-
замкнутый шар с центром в и'. При помощи B) оп непрерывно отобра-
отображается на замкнутое множество а <= S, и следовательно, это
отображение непрерывно также в обратную сторону (см. § 12.20,
теорема 1), и из того, что xv -*- ха, следует, что uv -*¦ и', т, е. и' «=
= и0, Но этого не может быть, так как и" -~ граничная точка ю
или бесконечно удаленная точка, а и' — внутренняя (конечная)
точка со.
294 ГЛ. 17. МНОГООБРАЗИЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ
§ 17.2. Край дифференцируемого многообразия
и его ориентация
Еыш Е — множество в пространстве Rn, то условимся через
Ew обозначать его проекцию на координатное подпространство
(#i, ..., хк).
Теорема 1. Если Г с S, где Г, S — соответственно к- и
{к + 1)-мерные дифференцируемые многообразия и х° е Г, то
можно перенумеровать координаты и'подобрать, прямоугольник
А = U#i — 4|<A. J = l, ...,/c; \xk+i — z,°+i|<63;
|ау-*?|<<т, ;• = /«+2, ...,»}, A)
так, чтобы SA описывалось непрерывно дифференцируемыми
функциями
*i~.M*«. ¦•- **+i>, / = А + 2, ...,«, (*„ ..., ж*+1) е Д(*+», B)
а ГД т- непрерывно, дифференцируемыми функциями
фСж! .х,,), (zj, ..., xh)
Щ = /j^i. • • •! ж4, фС^!, ..., xk)), / = А- + 2, ..., п.
Доказательство. Рассматриваемые функции будут не-
непрерывно дифференцируемы, и м'ы их будем просто называть
функциями.
Зададим точку х' е Г с S. Будем предполагать, что многообра-
многообразие S в окрестности х° проектируется (взаимно однозначно) на часть
подпространства Rk+I точек [хи ..., xk+i, 0, ...,О), чего можно
достичь соответствующей перенумерацией координат. Ниже будет
доказано, что так как Г с: S, то Г необходимо проектируется па
/г-мерпое координатное" подпространство подпространства
/?л+1. Заново перенумеровывая первые /с+1 координат, можно
сделать так, что это будет подпространство /?ft точек (xh ..., а.,,,
О, ..., 0).
Итак, существует прямоугольник Дх = [ | ж; — ж" | < б1ч / = 1, ...
.. ., lc;\xh+1 — х\+11 < [г; | х; —' ж" [ < v, / = к -\- 2, ..., п\ такой,
что кусок SAi описывается уравнениями
D)
Будем пользоваться замечанием, сделанным в начале §17.1
сразу же после определения /с-мерного многообразия, в силу кото-
которого, коль скоро числа 6i, |л найдены, их можно как угодно умень->
шить*), а уравнения D) все же будут описывать SAi.
*) Уменьшая 6i, ц, если это нужно, мы часто будем позволять себе со*
хранить их обозначение 6i, ц.
§ 17.2. ОРИЕНТАЦИЯ КРАЯ МНОГООБРАЗИЯ 295
Существует также в силу определения Г прямоугольник
принадлежащий Д, (т. е. о а? |л, v, а, 6\ в Д,, возможно, потребует-
потребуется соответственно уменьшить), такой, что ГД2 описывается урав-
уравнениями
a*+i = ф (*i> • • • - xh), xj = Fj \xi, • • •, xh),
/ = k+2,...,n, (x,- ..., xk) <= Л2('°.
Так как ГД2 czSAt, то
Fj (xx, . ..,xh) = /j (a^, .. ., arfe) cp),
(i,, •" •., *h) e Д2'°, ф «= ф (агъ ..., arfc),
и уравнения ГД2 можно записать в виде
*А+1 = ф (ЖЬ ¦ • ¦ , Xh), {Хи ...,Xh)<Z= Д^'0,
acj =•¦= /j (^1, • • ¦, Xh, ф), /.- Л + 2, ...., п.
Теперь, пользуясь указанным замечанием, вводим прямоуголь-
прямоугольник ДсД2 (см. A)) так, что SA описывается уравнениями B),
где fj — уже найденные выше (для Д]) функции. При этом, воз-
возможно,^ в Ai и Д2 придется уменьшить; кроме того, Si выбираем
так, чтобы
| ф (arlt .. ., хк) —4+11 < 62, (хи ...,хк)<= Д°°. E)
Итак, 5А описывается уравнениями B). Пусть теперь точка
х = (ж„ ..., хп) е= ГД, тогда {х}, ..., xh) е Д('° с: Д2'°, а: е ГД3 и х,,
следовательно, записывается, в виде
Xk+i = ф(^1, • •-, Xh), F)
x} = f)(xif..., xh, ф), Ut, ..., 1,)еДA1, 7 = ^ + 2, ..., п.
Наоборот, если точка х записывается в виде F), то в силу E)
(ж,, ..., xh+i) e Д('1+1), и потому xeSA. С другой стороны, {хи ...
xh) es Д(/!)с: A2h), п потому ж <= ГД, с: Г. Итак, х е Г5Д =¦ ГД.
Перейдем теперь к .доказательству того, что если Гсг^, то в
окрестности точки х° s Г многообразие Г заведомо проектируется
па некоторое А-мерпое подпространство того (к + 1)-мерного под-
подпространства; па которое проектируется S. Пусть в некоторой ок-
окрестности х° s Г многообразие 5 описывается функциями
Xi = /,U,, ..., xh+1), i т=к + 2, ..., п, G)
а многообразие Г — функциями
Ж; = фЛи„ .-., мЛ), '/ = !, ..., re, (8)
298
ГЛ. 17. МНОГООБРАЗИЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ
с рангом матрицы го
рестности ТОЧКИ 11°
Поэтому
, равным к. Так кате Г с 5, то в малой ок-
), s = 1, ,.., к + 1,
, ,,., п.
ди,
h +1
ft+1
"* Ни,
¦~d дх.
ft+1
ft+1
P.? V1 °'n
a ""ft
Так как ранг этой матрицы равен к, то легко видеть, рассуж-
рассуждая от противного, что ранг матрицы
5u, " ' ' ди.
тоже равен А; и существз^ет не равный нулю порожденный ею оп
Зср.
ределитель порядка к. Пусть ото будет определитель
ди,
, 1,
I ¦= 1, ,,., к. Но тогда в малой окрестности и0 первые к урав-
уравнений (8) можно решить относительно ии ..., ик, что показывает,
что многообразие Г в окрестности точки х° проектируется на ко-
ординатпое подпространство Rk точек (.хи ..., хк, 0, ..., 0).
Краем fc-мерного многообразия Lh называется множество
dLh = Lk— Lk. Конечно, если Lk замкнуто, то оно не имеет края.
Теорема 2. Пусть Lh+1 и Lh+1— (к -\-1)-мерные дифференци-
дифференцируемые многообразия, Lfe+ic=b^+i, Lh+i связно и Lh+1 имеет не-
непустой связный край dLh+l — Lk, являющийся k-мерным многооб-
многообразием.
Тогда, какова бы ни была точка х" е Lh, найдется переста-
перестановка /i, /2, ..., .]'п натуральных чисел 1, ,,., п и прямоугольник
* =
! xih+1 -
такие, что кусок Ьк+г Д описывается непрерывно дифференци-
дифференцируемыми на Д(й+1) функциями
(9)
§ 17.2. ОРИЕНТАЦИЯ КРАЯ МНОГООБРАЗИЯ 297
и кусок LhA — теми же функциями, но где
Ф {xiv • - •' xih)' (xv- • • > xh)
— непрерывно дифференцируемая на A{k> функция.
При помощи уравнений (9) точки Д("+1), принадлежащие
области
отображаются целиком на один из кусков Lk+iA или
L) А а точки Д(А+1), принадлежащие области
— ка другой из этих кусков.
Доказательство. Так как Lk есть А-мерное многообразие,
принадлежащее (к + 1) -мерному многообразию Lh+1, то. первая
часть теоремы есть теорема 1, записанная в несколько другой фор-
форме. Остается доказать вторую часть, где используется то обстоя-
обстоятельство, что Lft есть край Lh+i и Lh и Ь^+х — связные многооб-
многообразия.
Прямоугольпик Д<й+1) разрезается поверхностью A0) на дво
области, не содержащие точек, отображаемых при помощи пре-
преобразований A0) в Lh. Следовательно, каждая область отобража-
отображается целиком на один и только один кусок Lh+1A, \Lh+l—Lh+i)A.
При этом не может случиться, что обе эти области отображаются
на кусок (Lk+i—Lft+i)A, ведь тогда Lk+lA было бы пустым множе-
множеством и в А не было бы точек Lh. He может также случиться, что
обе области отображаются на Lh+iA. В самом деле, назовем точку
х° е Ьк регулярной, если для нее разные области A+i+ , A_
отображаются на разные куски Lk+iA,(Lk+1— Lft+1)A.Hauia зада-
задача доказать, что множество всех нерегулярных точек пусто. Нач-
Начнем с того, что заметим, что не могут существовать па Lk две точки
х°, у0 такие, что одна из них регулярная, а другая — нет, ведь
вследствие связности Lh существует принадлежащая Lh соединя-
соединяющая х° и у0 кривая Г, и тогда метод дедекипдова сечения на Г
привел бы к существованию на Г точки z°, в любой малой окрест-
окрестности которой имелись бы как регулярная, так и нерегулярная
точки. Но это очевидно невозможно. Допустим теперь, что все
точки Lh не регулярны. Зададим две точки х° eLj-n — L^+1 и
y°eLfe+1 и, пользуясь связностью Lh+1, соединим их принадлежа-
принадлежащей LIi+1 непрерывной кривой
хШ, 0 < I ^ 1, х@) = хв, хA) = у".
Применив метод дедекипдов* сечения, найдем наибольшее зиаче-
298 гл. и. многообразия и дифференциальные формы
ние t «= f,, при котором ж (?) e />Ui — ^/t+i, * <^о- Точка z° = xU0),
очевидно, принадлежит Lk, она не регулярна и для лее обе обла-
+ i А_ на основании сказанного выше должны отобра-
отобразиться на Lh+lA, т. е. в окрестности z" не должно быть точек
(^а+1—ift+i)A,Ho такие точки для t<tss, близких к ta, есть, и мы
пришли к противоречию.
Итак, любая точка х° е Lh регулярна, т. е. области Л++1) я
А- при помощи преобразований (У) отображаются на разные
куски Lh+1&, (b'h+1 — Lh+i)A.
Замечание. Пользуясь тем, что q> непрерывна и удовлетво-
удовлетворяет равенству хУк±г = ф \X1V •¦¦»а:1л]и чт0 Диаметр А<A) можно
как угодпо уменьшить, легко заключим, что существует такое
Я>0, что область (Л = А(А+1))
Л " {(*ix xih)
|?| } (И)
вырезает из LkJrl кусок Z/^+xA, онисы-ваемый функциями (s =
-А;+ 2, ..., п)
хн = /ji (xii- • • ¦' Ti/t+i)' ('ГП' ¦ • • - ^'ft+i) e Л '
При этом поверхность A0) разрезает Л№+1> па две части
l, ..:,^;)<
Ф (xh xh) +
Ф («ir • • •. *jft) - ^ < «ift+1 < Ф (*iv • • • - *ifc)}.
Одна ил их отображается посредством (9) на LftMA, а другая -
на {L'h+l — Lh+1)A.
Если Л++1) отображается па {L'h+i — Lh+1)Л, то введем пере-
переменные
щ = xh, ..., ик = xik, uh+1 = xh+l - ф (xjx, .. .,'xjh), A3)
связанные непрерывно дифференцируемо в обе стороны с (xjj,. ..
-ф^х, ...,uh),
s = к +2, ...,»,
| мв — u°1 <; 6X, s = 1, .. ., k, I uk+i I ^ К
§ 17.2. ОРИЕНТАЦИЯ КРАЯ МНОГООБРАЗИЯ 298
описывают Ь^+гА, при этом точки (и,, ..., uh+i) с координата-
координатами мй+1 > 0, uh+i < 0, uk+i = 0 преобразуются соответственно
в (L'h+l —/^+1)Л, Lk+1A, LhA.
Если Л(?т1) отображается па Lk+iA, то к тем же результатам
мы придем, если в уравнениях A3), A4) заменим uh+i на —uk+i.
Наконец, заметим, что замена параметра и4 на —ui не изме-
изменяет очевидно эти результаты, т. е. после такой замены точки
(Ui, ..., Kft+i) с Kft+i>0 по-прежнему будут переходить
в \Lk+i—bft-fi) Л. Этим доказана теорема.
Теорема 3. При условиях теоремы 2 какова бы ни была точ-
точка х° е Lh, найдется ее окрестность {п-мерная) А такая, что .Ь^+1А
описывается непрерывно дифференцируемыми функциями (l =»
-1, ..., п)
Xt —Fiiu) = Fiiui, ..., uh+i), us и, A5)
где ш — область в пространстве Rh+i точек u, a LhA описывается
уравнениями
Xi ==¦ FiiiZi, ..., uh, 0), (Ui, ..., ик) е Я, A6)
где К — сечение со плоскостью ui+i = 0 в Rh+i, делящее ю на две
непустые области. При помощи уравнений A5) точки и^ы с ко-
координатой uh+i > 0 или uk+i < 0 отображаются соответственно на
\fJh+l — lJh+l)A, Lk-i-lA.
Наконец, если Lk+\ — ориентир о винное многообразие, то можно
функции Ft с указанными свойствами задать так, чтобы они опре-
определяли ориентацию Lk-Jrl.
Последнее утверждение поясняется так: если функции F{, по-
полученные следуя указанным процессам, определяют ориентацию,
противоположную L]<+\, то достаточно в них заменить и, на —щ.
Теорема 4. Если выполняются условия теоремы 2 (или, что
все равно, теоремы 3), то из того, что Lk+i ориентируемо, следует
ориентируемость Lh и существует правило согласования этих ори-
ориентации.
Доказательство. Каждой точке х° е Lh приведем в соот-
соответствие ее окрестность Л и описывающие Ьк^хА (вместе с ори-
ориентацией) функции Ft так, чтобы удовлетворялись условия теоре-
теоремы 3. Уравнения A6) представляют собой некоторое описание
многообразия Lk, пока неориентированного.
Совокупность всех описаний вида A6) обозначим через 2JI. Так
как с каждой точкой х° е Lk связано хотя бы одно описание Lh
вида A6), определяющее многообразие LkA, покрывающее х°, то
5Ш удовлетворяет условию 1) леммы 6 предыдущего параграфа.
Чтобы доказать, что Ж удовлетворяет также условию 2) этой лем-
леммы, рассмотрим наряду с A6) другое какое-либо описание Lh,
принадлежащее 5Ш. Таким образом, мы считаем, что Q — некоторая
800 ГЛ, 17. МНОГООБРАЗИЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ
n-мерпая окрестность точки y°^Lh, такая, что функции (i = 1,..,
..., п)
определяют ориентированное многообразие Lft+iQ, а функции
Xt^OiiVi, ,.., vh, 0), (Vi, .,., Уц)е=|1
определяют ?AQ, где ц — сечение к плоскостью i;s+1 = 0. При этом
ноложительнымvh+i соответствуют точки х^{Ь^+х—L^+xjA, Пред-
Предположим, что многообразия LhA. и LhQ имеют непустое пересече-
пересечение LhAQ. На нем в силу леммы 4 предыдущего параграфа имеет
место непрерывно дифференцируемое в обе стороны соответствие
U\ э (ии ,,.,uh)+± (vu ,.., vh) s Vl,
где U\, V\ — открытые мнон^ества. Но тогда многообразияLk+lA и
Lk+iQ тоже имеют непустое пересечение Lh+iAQ, на котором в
свою очередь имеет место непрерывно дифференцируемое в обе
стороны соответствие
^1 ••.¦>vk+1)e=Voh+1.
Заметим, что в данном случае при vk+l = 0, или, что все равно,
О, - д^ — 0 (/ = 1, ,,., к), п потому при Uft-fi = О
о (и , ,.., vA
о,Л. .» • A7)
Но якобиан слева — положительный, потому что функции
F{{ut, ..., uh+i) иФДг;,, ,,., vk+1) определяют ориентированные кус-
куски L,i+i, и па их пересечении переход от (uL, ..'., uh+l) к (г;,,..,
..., vh+i) имеет положительный якобиан. Множитель-т - —тожо
auh+l
тголожительный для (uk+i = 0), потому что параметры и и v так
подобраны, что при uh+l >0хе (ift+i — -^ft+i) AQ, но тогда и vk+i >
> 0. В таком случае якобиан в правой части A7) — положитель-
положительный, и мы доказали, что описания вида A6) удовлетворяют усло-
условию 2) леммы 6 § 17.1 (параметры таких описаний на пересечени-
пересечениях многообразий, которые они описывают, переходят друг в друга
с положительным якобианом).
Итак, описания вида A6) образуют согласно терминологии
леммы 6 предыдущего параграфа класс Ш. Следовательно, Lk -~
ориентируемое многообразие и в качестве определяющего его ори-
ориентацию можно взять класс SJ?+. Метод его построения дан в ука«
зашшй лемме BЯс:ЗЭТ+),
§ 17.2. ОРИЕНТАЦИЯ КРАЯ МНОГООБРАЗИЯ 801
Теорема 4 утверждает возможпость устаповить правило согла-
согласования ориентации Lh+i и Lk. При этом при ее доказательстве да-
дано такое правило. Однако в дальнейшем нам будет удобнее поль-
пользоваться другим правилом, ниже формулируемым.
Правило согласования ориентации Lh+i и Lh: если.при условии
теоремы! в окрестности Q точки х° е Lb.czLk+x кусок QLk+i опи-
описывается уравнениями
Zi = fi(uu .,., uk+l), i = i, ..., п, A8)
так, что при 1^ = 0 получаются уравнения
Xi = fi(O, щ, .-*., Kk+i), i=»l, ..., re, A9)
куска Q,Lh, и при этом точки и = Ыи ,.., uh+i) с и( > 0 при по-
помощи преобразования A8) переходят во вне Lh+i, то по опреде-
определению уравнения A9) определяют ориентацию Lh, согласованную
с ориентацией Lk+l.
Чтобы убедиться в корректности этого нового прави-
правила, достаточно в исходном правиле, о котором шла речь в теоре-
теореме 4, произвести замену щ = uh+1, и2 = ии .. .,uh = uh-u мй+1 =«
s= (— 1) %, а затем опустить штрихи.
Это правило, которое мы еще будем называть формальным,
хорошо тем, что оно естественно согласуется с наглядными прави-
правилами согласования ориентации фигур, которые были дапы при
элементарном выводе формул Грина, Гаусса — Остроградского и
Стокса.
Наряду с Lk введем еще L-h — то же многообразие, но ориенти-
ориентированное противоположно. Очевидно, L^ есть край многообразия
Lk+i — Lh+i или, может быть, его часть, и ориентации этих двух
многообразий согласованы согласно формальному правилу.
Замечание. Пусть Lk+1, Lh+1 и Lk имеют прежний смысл
и, кроме того, Li, А+1, ..., Ls, h+i — (к + 1)-мерные многообразия, за-
замыкания которых принадлежат Lh+l и попарно не пересекаются.
Пусть эти многообразия имеют согласованно ориентированные с
ними связные края Ll: h, ,.., Ltj к. Тогда многообразие (s-связное)
3
Lk+i — 2 L},k+i B0)
имеет, очевидно, согласованно,ориентированный с ним край
Ьн + 2,Ь1к, B1)
Пример 1. В плоскости (х, у) задана выпуклая область G с гладкой
границей Г, изображенная на рис. 17.1. Обозначим через П полосу а <С х <
< ь, —оо < у < оо, которую будем рассматривать как ориентированное
302
ГЛ. 17. МНОГООБРАЗИЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ
(положительно) двумерное многообразие
х •= х, у.= у, (х, ;/)
П.
B2)
Таким ооразом, G есть соответственно ориентированное многообразно. Не
II можно задать еще уравнениями
¦. х, у = —v -\- <f(x), а < х < Ъ, —оо <; v < оо,
B3)
устанавливающими (непрерывно дифференцируемое в обе стороны) соот-
соответствие (х, у) =«= (и, х) с якобианом
Д (.т, у)
0 1
-1,
или еще уравнениями,
х = —х\ у ^ v + -ф(—х'), —Ь<х'< —а, —оо < у < оо, B4)
устанавливающими соответствие (х, у) =«* (у, ж') с якобианом
О(х, у)
0
-1
*
Так как к тому же в окрестностях fi и "(г точки (с, г), соответственно
(v, х') с у > 0 переходят вовне G, то согласно правилу согласования ориен-
ориентации полученные из B3) н B4) при v = U уравнения
у = <| (х), а < s < 6,
= х,
ж = — х', !/ = -ф(—г'), —& < г'< —а,
кусков fi и ^2 определяют ориентацию Г, согласованную с ориентацией G.
Мы видим, что при непрерывном возрастании параметров ж, х соответ-
соответственно куски fb "\i с Г проходятся точкой (а;, у) так, что область G остает-
остается слева, т. с. что Г обходится'против часовой стрелки.
Так как естественно ориентацию G, определяемую уравнениями B2),
называть положительной, то мы получим, что формальное правило согласо-
согласования, примененное к G и Г, согласуется с известным геометрическим пра-
правилом согласования ориентации G и Г.
0 а
Ь ' х
Рис. 17.1.
Ряс. 17.2.
Впрочем, для полного обоснования данного вывода надо указанные рас-
рассмотрения провести е!це для некоторых дуг Xi, AieF, содержащих соот-
соответственно внутри себя точки Л, В е Г (см. рис. 17.1),.
Пример 2. Пусть теперь в пространстве (х, у, z) задана выпуклая
область G с гладкой границей Г, изображенная на рис. 17,2. Будем считать,
что о) есть проекция G на плоскость (х, у). Поместим G внутри цплиндри-
§ 17.2. ОРИЕНТАЦИЯ КРАЯ МНОГООБРАЗИЯ
803
ческого тела П = {(х, у, г): (-х, у) ей)}, которое (вместе с G) будем счи-
считать ориентируемым многообразием
х = х, у = у, z = z, (х, у, z) ?= П.
Последнее mojkho записать еще через параметры (v, х', у) ** (х, у, z)
при помощи уравнений
х = —х', у = у, z = — v + ф(—х', у),
(х\ у) е о/, —сю < v < оо,
где со' — соответствующая область, с якобианом
0—1 0
0 0 1
D (х, у, z)
D(v, x', у)
Ц?'х(~х',у)
— 1
или через параметры (у, х, у)
х = х, у = у, z •= v ¦
е якобианом
г, I/, г) при помощи уравнений
х, У), (х, У) <s (О, —оо < v < оо,
(.г, у, г)
(v, х,, и)
0 1
0 О
1 *:
¦ 1.
Так как к тому же в окрестностях fi и Y2 точки (v, x', у), соответственно
{v, х, у) с v > 0 переходят вовне G, то уравнения
ж = — х', у = т/, z = ф(—ж', г/), (г', у) <== (о',
у
г/, z =
о,
определяют соответственно куски "fi и f2 границы Г вместе с их ориентаци-
ориентацией, согласованной с ориентацией G по нашему правилу.
Условимся нормаль п (вообще не единичную) к поверхности г (u, v)
определять по формуле п = гц X г„. Тогда для куска ^i пг = —1, а для
куска ii пг = 1, т. е. в обоих случаях нормаль направлена вовне G. Мы
пришли к выводу, что формальное правило согласования ориентации, при-
примененное к данному конкретному случаю G. Г, свелось к тому, что надо
считать, что положительно ориентированной трехмерной области G соответ-
соответствует ее поверхность Г, ориентированная внешней нормалью.
Впрочем, .полное обоснование данного вывода требует подобного рас-
рассмотрения ещё кусков Г, покрывающих край ^i (в данном случае см. рис.
17.2, являющийся также краем Чг)-.
Пример 3. Рассмотрим гладкую поверхность S', определяемую урав-
уравнением
«=/(*,!/), (t,rteQ, B5)
где Q — плоская область, и принадлежащую ей поверхность. S,
2 =7(*. г/). A,})ешсис!1,
где и — область (возможно, мпогосвязная) с гладкой границей f- Край S,
х. в. Г = dS = 3 — 5, есть очевидно, гладкая кривая. Будем считать, что
поверхность S' (следовательно, и б7) ориентирована уравнением B5). Тогда
проекция на ось г ее нормали-п = тх X г„ (г = xi + j/j + /к) равна 1, т. е.
S ориентирована нормалью, образующей острый угол с положительным.на-
положительным.направлением оси г. Если применить правило штопора, то в правой системе
координат (ж, у, z) ориентация S индуцирует ориентацию Г и ее проекция
304 ГЛ. 17. МНОГООБРАЗИЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ
Г, на i = 0, выражающую, что точка, движущаяся по Тг в направлении
обхода Тг, оставляет <о слева. К этому же выводу придем, если будем согла-
согласовывать ориентации S и Г, пользуясь формальным правилом.
В самом деле, в окрестности произвольной точки кривая Г имеет вид
у = <р(х) или я? »= "ф(у), г = j{x, у). Пусть для определенности это будет
у ¦= <р(я). Поверхность с сохранением ориентации может быть записана
также через параметры (v, х) ч=* (х, у), связанные с (х, у) уравнениями.
= ~ v + ср {х)
D (*, у)
D (и, х)
0 1
= 1.
Пусть точкам (v, х) с малым v > 0 соответствуют точки 5' — 5. Тогда урав-
уравнения х = х, у = <f(x) определяют ориентацию Гт, и при возрастании па-
параметра х мы будем двигаться по Гг в направлении ориентации Гг. Ясно,
что при этом точки (х, у) е w, которые соответствуют v > 0, будут оста-
оставаться слева.
3 а м е ч а ни е. Пусть /с-мерное многообразие S принадлежит
области Q с: Вп точек х = (#1, ..., zj, которая переходит на об-
область Q' d Rn точек % = (|lt ..., |п) при помощи взаимно одно-
однозначного и непрерывно дифференцируемого р обе стороны преоб-
преобразования
^гяфДа:!, ..., жп) = гЬ,(х), xeQ1 f=l ..., и. B6)
Тогда если
^,- = фДи,, ..., ик) = фДи), и е о), г = 1, ..., тг, B7)
есть описание некоторого куска а <= S в пространстве /?„, то
— его описание в пространстве Rn- Водь уравнения B8) устанав-
устанавливают взаимно однозначное соответствие \ ** и, функции Ft{u)
непрерывно дифференцируемы вместе с ф, и ф; и ранг матрицы
" " ~ | dF дРпч
равен к, потому что к ее строк <-;—, ..., ——- L / = 1, ..., кг
ди
j^
можно рассматривать как к- n-мерных векторов, полученных при
помощи певырождешюго линейного преобразования, (с определи-
телем
Их,
из А линейно независимых между собой векто-
ров
Легко видеть, что если S ориентировано в Rn и локальное опи-
описание S вида B7) преобразовать в описание вида B8), те послед-
последнее задает определенную (соответствующую) ориентацию S в Rn-
Далее, если Lh есть край ориентированного многообразия Lh+i; то
высказанное выше правило передачи ориентации с Lh+l на Lh,
применимое как в /?„, так и в Rn, таково, что оно не нарушает
это* соответствие.
§ 17.3. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ 305
§ 17.3. Дифференциальные формы
Дифференциальной формой (короче формой) к-то порядка
(к = 1, 2, ...), определенной на открытом множестве Q t Rn, назы-
называется конечная сумма
$ == 2а (х) dxix ... dxikt xefi, A)
где а(х) — функции — коэффициенты формы, a dx^ ,,., dxih-~
символы, дифференциалы, соответствующие индексам iu ..., ih
удовлетворяющим неравенствам 1 ^ is *Si п, если эта сумма подчи-
подчиняется специальным условиям, излагаемым ниже.
Формой нулевого порядка на Q называют произвольную функ-
функцию а(х), определенную на Q.
Будем считать коэффициенты а(х) непрерывными пли.непре-
пли.непрерывно дифференцируемыми столько раз, сколько будет пужно.
Конечно, в каждом члене а (х) dxiv ..., dxih коэффициенты а(х),
вообще говоря, различны так же, как, вообще говоря, различны
системы индексов it, ..., ih, но они могут п совпадать.
1. Следующие операции над формой, Я, "называемые допусти*
мыми, по определению не изменяют се:
а) Перемена местами слагаемых в сумме A).
б) Замена слагаемого
а (х) dxh ... dxik B)
суммой
ах (х) dxh .. . dxih + с2 (х) dxh ... dxih, а (х) = aL (х) + я2 (х) C)
или, наоборот, замепа C) па B).
в) Выбрасывание из A) сл-агаемого, содержащего два равных
дифференциала (ir = is, гФв) или коэффициент а(х) = 0 (см. ни-
ниже д)).
г) Перемена местами двух дифференциалов в каком-либо чле-
члене суммы A), сопровождаемая изменением знака а(х).
д) Если в результате применения операций а)—г) над §С в ко-
конечном числе все члены Я исчезнут, то форма 9? называется нуле-
нулевой и обозначается через 0. В частности, это будет в случае, если
все слагаемые §1 имеют два равные дифференциала, как это име-
имеет место при к > п, или в случае, если все коэффициенты формы
а(х) = 0 на Q.
Очевидно, что форму $ порядка к, применяя к ней допустимые
операции, можно свести к каноническому виду .
§1= 2 all,...,lh(x)dxh...dxih, A')
где сумма распространена па все сочетания по к из чисел I, ..., п,
расположенных в скалярном порядке.
306 ГЛ. 17. МНОГООБРАЗИЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ
Для данной формы % ее каноническое выражение очсвидпо
единственно, если не считать порядок расположения ее слагаемых,
2. Если SC и Э — формы порядка к, то сумма 9С + 5Э есть форма,
получаемая, если слагаемые Я и 5Э объединить и считать слагае-
слагаемыми ® + §3, а разность 91 — §3 есть сумма 9l + (— S9), где —S3 есть
форма, получаемая из формы 33, если коэффициенты а(х) послед-
последней заменить на — а(х). В частности, если каноническое выраже-
выражение % определяется суммой A'), а каноническое^ выражение 9 —
суммой
S3 = 2 biv...Jh(x)dxil...dxih, D)
ii<...<ift
то $±93= 2 (a4l гд rbbi]t ift)dari? — rf^ift.
i1<...<ik
Мы уже не будем останавливаться на формальном доказатель-
доказательстве того факта, что указанные определения суммы и разности не
яависят от (допустимых) способов задания Я иЭ,
3. Произведение ШЭ двух форм *)
h...dxh, F)
вообще говоря, разных измерений к и s определяется как резуль-
результат почленного перемножения буквенных выражений, стоящих
справа в E), F), однако с сохранением порядка следования диф-
дифференциалов. При этом коэффициенты а и Ь считаются переста-
перестановочными с дифференциалами. В частности, в.случае канониче-
канонических записей ЗС (см. 1') и 33 = 2 ^х h^xh • • • ^xh
«9= 2 2 ah ikbh ~hdxh ... dxifdxh . .. dxit. F')
<!<...<ift л<...<;,,
В частности, §Ш = б при к + s > п.
Мы не останавливаемся на формальном доказательстве того
факта, что при любых исходных видах форм % и 8 (получаемых
один из другого с помощью конечного числа допустимых опера-
операций) их произведение дает сумму, которая допустимыми преобра-
преобразованиями приводится к виду F').
4. Дифференциалом формы **) A) называется форма
3=1
•) Произведение форм называют еще внешним произведением форм.
**) Дифференциал формы называют еще внешним дифференциалом
формы.
§ 17.3. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ 307
порядка к+1. Можно проверить, что это определение не зависит
от способа задания %.
Ясно, что
2
потому что эта сумма состоит из пар слагаемых
, у-/ П{* /Y 'У* , fj 'У1 /у ^у» [ , , , /у sy _ /-/ 'V* /у -у* sJ sp
с/л; c/^ • 1 « ox-Ox J 1 ' */t
8 J J в
Полезно ввести символическую дифференциальную форму пер-
первого порядка (операцию)
;=i 1
Тогда, очевидно, dSt есть (символическое) произведение форм d
и St. Естественно считать, что
d2 = dd = -У -rV~ *С{^ = Э
г,з % '
и тогда i'9t = (MSt = 9 можно рассматривать как произведение сим-
символической формы dl па %.
5. Преобразование формы §t A) к новой переменной и =•
= («, .,., Ц„) при помощи непрерывно дифференцируемых функций
х! = -фДи1, ..., ц„) (?=1, ..., и)
производится согласно следующему правилу (пояснения ниже):
81 = 2 а (х) Ас{1 ... dxih = V а (u) V __Ц ^ ^
= У <z (u) "У 1
• • •
du- (Ju-
} З
В коэффициентах а произведена замена xt = i|74(u) (i = 1, ..., n)
и результат обозначен через a(u).
Определение преобразования переменной от х к и дано вторым
равенством цепи: объявляется, что полученное выражение есть
дифференциальная форма порядка к по и. Дальнейшие равенства
автоматически следуют из этого определения. В четвертом члене
лепи функции , ' (множители коэффициентов формы) вынесены
308 ГЛ. 17. МНОГООБРАЗИЯ II ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ
перед дифференциалами, В четвертом выражении (члене) цепи
члены суммы 2 * соответствующие системам- ju .,., ]\, содер-
h ш
жащим равпые ]\ = ]\ (s?*r), можно выбросить, потому что это
выражение есть форма. Далее, задается произвольная система из
к индексов 1 < s4 < sz < ,,, < sk < п, и из суммы 2 выбира-
ются только те слагаемые, которые соответствуют всевозможным
перестановкам элементов U,, ..., sk). В этих слагаемых упорядо-
упорядочиваются дифференциалы в порядке возрастания индексов (s, <
< «2 <»,. <s,,), в результате в силу свойств формы перед этими
слагаемыми возникнут соответствующие знаки ±, как раз такие,
что после вынесения из всех этих слагаемых за скобки множите-
множителя duSl,,, du5j{выражение в скобках объединяется в определитель
П(х. , .,., х. \
Этим объясняется последнее равенство цепи.
Заметим, что если
а {х) dxh ,,, dxih «= «j (x) dxh ,. .dxih + o2 (ж) dxh ,,, dxik (Ю)
(a — at + a2),
го преобразование от х к и по правилу (8) левой части A0) и
преобразование слагаемых правой части A0) находятся в анало-
аналогичной связи:
^ Dfx., ,..,з-,\
2 В(и ,...,
Далее, если левая часть A0) содержит два равных дифференциал
ла, то все определители, входящие в левую часть A1), равны ну-
нулю; если же в левой части A0) поменять местами два дифферен-
дифференциала, то она приобретает знак минус, а ее преобразование тоже
приобретает знак минус. Ведь у всех определителей в левой ча-
части A1) поменяются местами две разные строки. Это замечание
показывает, что правило (8) замены х на и приводит к одной и
той же дифференциальной форме (по и), независимо от того,
в каком (допустимом) виде задана форма % (по х).
% 17,3. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ 309
Заметим, что переход от х к и, а затем от и к и' *={и{, ..., и„)
(по правилу (8)) приводит к тому же результату, что и непосред-
непосредственный переход от х к и', В самом деле, воспользовавшись фор-
формой перехода, записанной в четвертом члене (8), будем иметь
потому что
« дх- ди-.
Правило (8) инвариантно по отношению к операциям $±53,
§89, <Ш. Это утверждение, например, в случае §153, надо понимать
в том смысле, что произведение преобразований % и §3 по правилу
(8) есть преобразование §193 по этому правилу. Снова, чтобы убе-
убедиться в справедливости этого утверждения, применим правило
в виде четвертого члена цепи (8), при этом достаточно взять ис-
исходные формы в каноническом виде. Имеем (пояснение ниже)
дх дх
аи '- -
ia<...<tft ;1<...<je (ix HfeVj,...^, t*i
or. дх- ^ dr.
... aua, ... au.,,auv, ... duv
duv **1 '¦'ft 1 v
ou duv
^ dxj .. dx} =^S3.
В первом члене цепи написано произведение форм Я и S3 по и,
во втором фактически произведено почленное перемножение сла-
слагаемых §1 и Э согласно правилу умножения форм (по и). Получен-
Полученный результат согласно (8) (см. второй член цепи (8)) есть форма
310 ГЛ. 17, МНОГООБРАЗИЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ
порядка к + s тго и, являющаяся преобразованием от х к и (по
правилу (8)) формы, записанной в предпоследнем члене цепи,
т. е. Ш.
Пусть еще
% = 2 a dxh ... dxih, Щ = 2 b dxi% ... dx}[
— формы, причем первая порядка к, а порядок второй не имеет
значения. Тогда
dim) = d% ¦ 23 + (- 1 )t rfS. C12)
Действительно,
2 2 -^Г" da;/^ii • • • ^i^^J! • • • dxh =
2 2 2 ^77 dV-Cix • • • djriAb dxh • • ¦ dx
h +
+ (— 1)" 2 2 2 a dxh • • • dx'h Sr dxJdxh • • ¦ dxh
Теперь у.ко нетрудно доказать еще один важпьп! факт, заклю-
заключающийся в том, что введенное выше определение (см. G)) диф-
дифференциала формы % инвариантно по отношению к любым пере-
менпым nixi = ^iiiii, ¦ ¦ ¦, и„), i=1, ..., п). Иначе говоря* преоб-
преобразование к и задаппон но х формы d% приводит к выражению
При к = 0 инвариантность тривиальна:
И-/(х)-/'(.*!, ...,х„),
5-.-i "
n f it
f
2 2"^-
Пусть теперь инвариантность d% установлена для /f = 0, 1, ...,
докажем се для к+ 1. Достаточно рассмотреть простейшую форму
(/c+D-fo порядка (пояснения ниже):
« = о (х) dxh ... dxik+1 = а (х) dxh ... dxik-dxiti+v
Согласно формуле A2) (d2 = 0)
dSl == d (я (х) rf.Tix ... da:Jh) d*ift+1 +
+ (- 1)" a (x) ?/х41 ... dx4d(dxih+l) = d(a'(x) dxh. .. dxih)dxi;%n,
§ 17.3. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ 311
и мы представили сШ в виде произведения дифференциала формы
иорядка к па дифференциал формы (^ift+1) порядка, 0. Оба мпожи-
тсля инвариантны, но произведение любых форм тоже, как мы
внаем, инвариантно.
Пусть Lh есть fe-мерпое ориентированное дифференцируемое
многообразие, описываемое функциями (г =¦ 1, ..., п)
X( = ti(Ui, ..., ик), (м„ ..., uk)^G^Lki A3)
пмеютщгаи равномерно непрерывные частные производные на ог-
ограниченном открытом множестве G. Будем предполагать, что Lhc
cQc/J^ где Q — область, на которой задана дифференциальная
форма Я порядка к (см.' A), я(х) непрерывны на Q).
Интеграл от.формы Ж по Lh- определяется как обычный крат-
кратный интеграл
Г
J
h
И- ^) а (и) д1; h) dut...dukt . A4)
hh С, и ("V • • • ' uh)
a(u) = «(Mu), ...,/„ (u)),
который, вообще говоря, придется понимать в лебеговом смысле,
а если G и.чмеримо по Жордаиу, то и в римановом.
Это определение не зависит от выбора допустимых (не меня-
меняющих ориентацию Lh) параметров u'=(u4, ..., и^)<~ G' +±G,
т. е. связанных с и непрерывно дифференцируемо в обе стороны
и с положительным якобианом I -т-^~ равномерно непрерыв-
пи на G I, потому что
D (х .г. \
а (и) —Ц -?f du[ .. . du'h =
D
.)
(см. теорему 1 § 12.16 и в общем случае § 19.3, свойство 22).
Если же якобиан отрицательный, то во втором члене A5), а за
ним и в третьем, появится знак минус, поэтому при перемене ори-
ориентации Lh иптеграл от St no Lh меняет згощ на противоположный.
Важно еще заметить, что если в Я произвести замену перемен-
переменных х =?* х' при помощи непрерывно дифференцируемого в оба
312 ГЛ. 17. МНОГООБРАЗИЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ
стороны преобразования, то интеграл j §(, выраженный в тер-
минах х', остается инвариантным, т. е. равным правой части A4),
В самом деле, в переменных х' форма §t имеет вид
и интеграл от нее по Lh (в переменных х') равен
t I
, \ "V!1 (хч'1 "" хч) \h' "" xih) 7 7
а (u) 2d ' 'Л ~1Т77, \ 1 •'' Uh ~
_уТ ° (%'•••'%)
т. е. он равен интегралу от Я в переменных х.
Можно еще рассматривать кусок о cz Lh, описываемый функ-
функциями A3), когда параметр и пробегает измеримое множество
е <=¦ G, и интеграл от, формы % порядка к по о определить по фор-
формуле, аналогичной A4):
{,)D^-^ duu ...,duk. A6)
Это определение очевидно тоже инвариантно относительно за-
замены переменных х =f* x' при помощи непрерывно дифференци-
дифференцируемого в обе стороны преобразования и не зависит от допусти-
допустимых параметров (см. § 19.3, свойство 22). Естественно назвать о
ориентированным (согласовано с Lk) измеримым куском Lh.
Пусть теперь ориентированное многообразие Lh может быть
покрыто конечным числом (согласовано с LK) ориентированных
многообразий cs:
каждое из которых описывается функциями
Xi = fi{us), u!eG!; i = 1, ..., п, s = 1, ..., Лт,
имеющими равномерно непрерывные частнв1е производпые на ог-
ограниченной области G'. Тогда интеграл от формы % (порядка к)
по Lh можно определить следующим образом: вводим попарно не-
непересекающиеся ориентированные согласованно (с в, или, что все
равно, с Lh) измеримые куски К, <= о3, сумма которых равна Lh =*
§ 17.3. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ 313
N
2 ?v. и полагаем
Куски !ке можно определить равенствами
Например, ясно, что Х2 е а2 и OiO2 есть многообразие, описываемое
параметром и2 с: со, где веб2- открытое множество (см. лемму
4 § 17.1). Но тогда Х2 описывается параметром u'efi1- со, где
Gz — со — принадлежащее G2 измеримое множество и ^2 есть кусой
L4 (измеримый и ориентированный согласованно с Lk).
Прц любом другом указанном представлении
2 f
81 ^
м
н м . м
2 f 2S J S J
8=1 ^ 6=lj=4sx; '=4;
Надо учесть, что если куски >., и A,j пересекаются, то они соот-
соответственно принадлежат пересекающимся многообразиям crs, o^,
описываемым параметрами ,u e G3, u} e G3 . При этом сами ку-
куски Ка, %i описываются через us s es cz Gs, и3 e= e' cz G3 , где es, e}
измеримы. В силу упомянутой леммы многообразие crsaj описы-
описывается параметром и" е со', либо параметром и3 е= со' . Оба пара-
параметра находятся .во взаимно однозначном непрерывно дифферен-
дифференцируемом (равномерно) в обе стороны соответствии с положитель-
положительным якобианом (os и о3 ориентированы согласованно!).
Пересечение escos есть измеримое множество точек и*, перехо-
переходящее при помощи этого соответствия на измеримое же (см. § 19.3,
свойство 22) множество (е'со8)' точек и3 , Пересечение последнего
У У
с е есть в свою очередь измеримое множество точек и , которому,
очевидно, соответствует множество h^3 cz Lh.. Но тогда У*& есть
кусок Lh.
В заключение отметим очевидное равенство
5
Lh Lh LJ
где a, p — числа и Я, Э — формы порядка к.
314 ГЛ. 17, МНОГООБРАЗИЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ
Замечание. Отметим, что определенный выше интеграл
) Я от /с-мерпой формы Я по ориентируемому А-мерному много»
образию инвариантен по отношению к преобразованию координат
х =** х', непрерывно дифференцируемому в обе стороны. Это сле-
следует из инвариантности составляющих этот интеграл слагаемых
!
Подчеркпем, что указанное инвариантное свойство интеграла
\ §t есть одно из фундаментальнейших свойств дифференциаль-
ных форм.
Пример \. Интеграл от одномерной формы
(x, у, z)dz
в трсхмериом пространстве по ориентированному одномерному дифферент
цируемому многообразию Li.
где ф', г))', %' непрерывны на [О, I], равец
1
\ И= J (Р (Ф, г|), X) ф' + Q (ф> ip, х) if' -|- Д (ф, т}), X) X') dt
т. с. есть криволинейный интеграл от вектора а = Pi + Q\ + Як вдоль ори-
ориентированной кривой Ly
Пример 2. Интеграл от двумерной формы
»=/»(«, j/, z)di/^ + C>(x, у, z)dzdx + R(x, у, z)dx dy
в трехмерном пространстве но ориентированному двумерному многообра-
8ИЮ L-l.
x = (f(u,v), y = $(u,v), 2 = х(", v), (и, v) е= (о,
где ф, i|i, х имеют непрерывные на о) частные производные, равен
] в = j J [Р (ф, ^,
D(u. z) ' D B, .г)
х) -щ^ + С> (ф, ip, Z) в-^
' Z) D{u,v)
+ Rdx dy),
т. е. интеграл по поверхности, ориентированной нормалью n = ru X r»>
' Пример З. Кратный пнтеграЛ'
\f(xty,z)dxdydz= \
§ 17.4. ФОРМУЛА СТОКСА 315
по трехмерной области G можно трактовать как интеграл от трехмерной
формы
9 = f(x, у, z)dx dy dz
по трехмерпому многообразию La = G, ориентированному положительно
хх =^ х, у = у, z = z)f
§ 17.4. Формула Стокса
Теорема Стокса. Пусть Lh+1 —¦ (к + 1) -мерное связное -
ориентированное многообразие, Lh+i с: Lh+i <= Lh+1— его часть, то-
тоже (к + 1)-мерное многообразие, ограниченное, имеющее край,
dLh+l •=• Lk — к-мерное связное многообразие, ориентированное со-
согласованно с Lh+i (см. правило согласования § 17.2, A8), A9))*).
Тогда для произвольной определенной в области Q с Rn
(Гй+1 с Q) к-мериой дифференциальной формы St имеет место
формула Стокса;
da = Я. A)
Lk+i aLk+i
Доказательство.
1. Рассмотрим сначала простейший случай, когда ориентиро-
ориентированный кусок Lk+i представляет собой (к+ 1)-мерный куб, опре-
определяемый функциями от переменных хи .,., xh+i,- записанных в
указанием, ниже порядке:
х, = х„ 0 < Xj < б, 7 =¦ 1, .. ., к + 1; Xj = 0, / = к + 2, ..., п. B)
/!,ля ирямоуголг>тш1са доказательство аналогично.
Край SLh+l состоит из 2(/г + 1) ориентированных кусков:
!;оторне с точностью до ориентации совпадают с кусками, опре-
определяемыми функциями
L*o ~ {xj = Xj, O^.Xj^.8, j = 1, ..., s — 1, s + 1, ...
...,M-l; *i = 0, / = *, fe+2, ...>},
L\ »: {a-j == ^-, 0 < a-j s^ 5, / = 1, ..., s — 1-, s -f 1, . .., k -\- 1,
Чтобы выяснить, как связаны между собой ориентации этих
кусков, перенумеруем переменные х3, хи ..., ж,_1? х,+и ..., хп,
обозндашв их соответственно через Х\, ...,хп. Якобиап. этого
преобразования равен (—1)"~1. С другохг стороны, уравнения B),
где Xj с 7 = 1, ..., к + 1 произвольны, при х, < б определяют
*) Lk+i может быть многосвязным, § 17.2, B0), B1).
316 ГЛ. 17, МНОГООБРАЗИЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ
точки LK+it а при xs > б — точки внешности Lk+l, поэтому куски
L& и Le ориентированы одинаково или противоположно в зави-
зависимости от того, будет ли s ~ 1 четным или нечетным. Рассуждая
аналогично, получим, что куски L\ и LI ориентированы одина-
одинаково при нечетном s — 1 и противоположно при четном s — 1,
Достаточно провести рассуждения для простейшей формы
9С = a(x)dxh, ...,dxih A < is < n),
В силу сказанного, равенство A), которое нам надо доказать,
сводится к следующему равенству между обыкновенными крат-,
ными интегралами *):
ШВ(х- х х \
i/o \ i' ' *" * *^fe+l)
^У (— i\s+1 ( { „ D(Xil Х{'^ dx
\L6
J «o
х.
h
¦0
Xdxs+1...dxk+1\, D)
гда
a = a(x x 0 0) (—) = — (x ?¦ 0 ... 0)
l ОТ- L OX :
и A = {0^a;j^6; 7 = 1, ...) fc-j-1} — куб в пространстве
(a;,, ,,., arA+J). Совершенно очевидио, что формула D) верна в
следующих случаях:
1) если для некоторой пары (т, I), тФ1 имеет место im — ti,
потому что тогда все якобианы, входящие в D), равны нулю,
2) если im > к + 1 хотя бы для одного т, потому что тогда
xim = 0vLjimxim=8 {см. B) и C)),
*) Интегралы I , сводятся (см. § 17.3, A4)) к кратным интег^
*S r S
ралам по проекции Lq на плоскость Х\, ,.., ^s_!, ха+\, ,.., ж/.ц, полагая,
таким образом, в но xs = б, соответственно xs = 0.
17,4. ФОРМУЛА СТОКСА
317
Поэтому надо доказать D) при разных индексах 1т, удовлет-
удовлетворяющих неравенствам К ?т < /с + 1. Далее, равенство D) но
изменится, если в нем эти индексы переставить местами, распо-
расположив в скалярном порядке, ведь тогда все три якобиана в D)
либо ш изменят свою величину одновременно, либо одновремен-
одновременно переменят знак. Поэтому достаточно D) доказать, например,
для такого расположения индексов is: 1, 2, ..., l — l, /+1, .#«
..., k+i. В этом случае все слагаемые суммы слева в D), соот-
соответствующие индексам / ФI, равны нулю, потому что- для них
якобиан слева равен нулю, и потому левая часть D) еще более
упрощается:
"Uo
- I)' j ...\[а (жх, ..., х^и 6, :г;.!, . .., jVhl, 0, ..., 0)
— a (xit ,,., .а:г_1, 0, х1+1, .,., хил ь 0, . . ., 0)] dxL ,..
,., dx^dxi+i. -.. dxk+i --= J
(Г.)
4 4 '«
где последнее равенство верно, потому что up;? / ¦¦•-
j
j J ^v l' • • •' i-v j+i* • ¦ • '¦¦ ft
о о
и аналогично ' ?t = О, Ведь в якобиан правой части входит
4
0х-
элементы которого равны
столбец ~, ..., s——, -^-J-, .. .,-,
нулю.
2. Будем непрерывно дифференцируемые функции" и непре-
непрерывно дифференцируемые в обе стороны отображения называть
просто функциями, соответственно — отображениями.
а) Пусть точка x°s?,+1. Тогда после соответствующей пере-
лумерации координат можно определить прямоугольник
Л =- {| аг, — ж? | < 6, /=1, ...,ft+l; k,-x5|
318 ГЛ. 17. МНОГООБРАЗИЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ
п функции xj=-fj(xh+1), j = к + 2, ..., п, xh+1 =(а-1, . .., жй+1)а
е д№+1) —' { | X} — х] | < б, / == 1, ..., к -f 1), описывающие кусок
?Л+,Д. Таким образом, Izj — jj(xk+i)\ < о, а если' б уменьшить, то
ваведомо
\х)~ /Дхй+1)| < о, xft+1 еГд^', / = к + 2, ..., п.
Левые "части последних неравенств в силу замкнутости и ог-
ограниченности Д"'+1) иа самом деле не превышают некоторого по?
ложителыюго числа Oi < о и потому, если Я = о — 0Ь то точки х
вида
Ъ = xh / = 1, ..., к + 1; х, - z, + /Дхй+1), F)
\z.\ <xj = k + 2,...,n, @')
образуют -множество ЛсД, При помощи F) открытый прямо-
прямоугольник F'), обозначаемый нами через Л', отображается на Л ,
а Л' — на Л. При этом, принадлежащий Л' (к + 1)-мерный пря-
прямоугольник Д(А+1> (Zj = 0) отображается на Lh+iA = Lh+iA,
а Д(''+1) — па Lh+iA. Замена переменныхх$— х) = Suj, / = 1, ...
..., к -\-1; Zj = Kuj, j = к -f-1, . •., и отображает Л' па едшгач-
пый куб точек и. Отметим еще, что перенумерация координат
сводится к отображению х$ = a:Sj. (/ = 1, ..., п; 1 ^ Sj ^ п).
б) Пусть теперь х° s Lh. Тогда выполняется теорема 1 § 17.2,
где надо считать Tt—Lh, S = Lk+l. Рассуждая, как выше, если
число б2 в § 17.2, A) уменьшить и соответственно подобрать б(
(меньшее--чем было), то получим прямоугольник, обозначаемый
снова через Д, со следующим свойством. Существуют числа К,
ц > 0 такие, что множество Л точек х вида
-Г = Т- 7 = 1 1с- V* ^ Л''1'
G)
принадлежит Д.
При помощи уравнений G) прямоугольник A'tx'eA'1', |y| <
< Я, |Zj| < ц.) пространства (х4, ..., хк, v, zh+1, ..., zn) отобража-
отображается на область Л, а Л' — на Л непрерывно дифференцируемо в
обе стороны. При этом один из прямоугольников Ык е Д(Л),
0<v<X), (х"еД№), -K<v<0) переходит на LwA = Lh+lA
(см, § 17.2, A1), {12)). Его можно простым преобразованиям
отобразить на куб.
Из а) и б) следует, что произвольную точку х° s ?t+1 можно
покрыть "областью G 0 = Л, которая отображается на некоторую
область Л' другого ?г-мерпого пространства Яп, а ее замыкание
§ 17.4. ФОРМУЛА СТОКСА 319
Л — на Л', и так, что Lh+iA отображается на некоторый (к + 1)-
мерный куб шеЛ„. Но тогда (см. замечание в конце § 17.3)
для куска Lk+iA верна теорема Стокса
потому что она верна для куба.
Заметим, что в рассматриваемых случаях край Lh многообра-
:шя "LHi представляет собой не многообразие, а замыкание сум-
суммы конечного числа не пересекающихся попарно соответственно
ориентированных многообразий, и интеграл ] 91 естественным
образом определяется как сумма интегралов от % по этим много-
многообразиям. Это замечание надо иметь в виду и в дальнейшем.
Так как Lk+1 — ограниченное замкнутое множество, то су-
существует его конечное покрытие G(, ..., GN указанными множе-
множествами G о# Б силу леммы о разбиении единицы (см. далее
§ 18.4) существует система бесконечно дифференцируемых фи-
финитных функций фДх), ,.., cpN(x), обладающих следующими свой-
свойствами:
1) 0«?<р,(хХ1,
2) носитель ср} есть (замкнутое) множество, принадлежащее
(открытому) Gh
N _
3) 2<pj(*) = i «a W
Но тогда (пояснения ниже)
N N N
2
В первом равенство этой цепи мы воспользовались свойст-
свойством 3), второе равенство очевидно, третье верно, потому что фор-
форма фД, а вместе с нем и й(фД) равна пулю. вне Gh четвертое
iirpiio в силу уже доказанной для элементарных кусков. L^+iGj
теоремы Стокса, пятое верно, потому что там, где множество
()(Lh+iGj) не пересекается с .Lk, форл1а фД равна нулю, предпред-
последиее верно, потол!у что форма фД равна нулю вне Gi, пред-
iiocj[ejuieo очевидно, а последнее верно в силу 3).
320 ГЛ. 17, МНОГООБРАЗИЯ II ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ
, Примеры. Из общей теоремы Стокса A) как частные случаи выте-
кают следующие формулы (пояснения ниже);
J J (S - щ)dx * - J (р &+<? **>• <8>
С С С /дР дО dR\ Г г"
J J J [te+ty+ol)dxd«d*=' =J i {Pdvdt + Qdtdx + Rdxdv), (9)
mdR dQ\ (dP 0R\
J С «**+<? <*? + *&)• A0)
Здесь ?j —двумерное ограниченное многообразие в (8) плоское, а в A0) в
пространство х, у, z, L3 — трехмерное ограниченное многообразие в трех-
трехмерном пространстве х, у, г, Li п дЬ%, а также L% и dL3 подчиняются ус-
условиям теоремы 2 § 17.2 или более общим условиям (см. § 17.2, B0), B1)),
разрешающим L% и L% быть ыногосвязными. Справедливость равенств (8),
(9), A0) следует из общей теоремы Стокса и того факта, что подынтеграль-
подынтегральная форма в левой части одного из этих равенств есть дифференциал от
подынтегральной формы соответствующей правой части, падример,
dy) =
дР дР \ tdQ 0Q \
-г- dx -f— dy }dx+\rr- dx -f ~r dy)dy =
Ox oy ] [dx ' dy J I J
00 , , IdQ OP
С другой сторопы, слева в. (8) стоит обычный интеграл по ориентиро-
ориентированной области Li, а справа — обычный криволинейный интеграл по
контуру dL2, согласованно ориентированному с Лг (см. § 17.3, примеры),
и мы получили известную формулу Грина. Подобные рассуждения показы-
показывают, что (9) ость формула Гаусса — Остроградского для области ?3 с глад-
гладкой согласованно ориентированной границей, а A0)^—обычная формула
Стокса для гладкого ориентированного куска поверхности Ьг в трехмерном
пространстве.
Заметим, что при элементарном выводе в §§ 13.5, 13.10, 13.11 формул
Грина, Гаусса — Остроградского и Стокса предполагалось, что соответству-
соответствующие области или поверхность могут быть разрезаны на куски специаль-
специального вида. В данном выводе этого не требуется, так что в этом смысле по-
лученпые здесь результаты являются более общими, чем те, которые были
получены там. _
Теорему Стокса можно распространить на многообразие Lh+l с: Lk+1 с
cz ^к+1, замыкание которого может быть разрезано гладкими поверхно-
поверхностями на конечное число кусков, каждый из которых можпо рассматривать
как деформированный посредством непрерывно дифференцируемого в обе
стороны преобразования куб. Ориентации их должны быть согласованы, нак
объяснено в § 13.7' для частного случая кусочно гладкой , поверхности.
Мы считали Р, Q, R непрерывно дифференцируемыми функциями па со-
соответствующей области, содержащей Ег или Г3,
Глава 18
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
§ 18.1. Обобщенное неравенство Минковского
Если Е — линейное нормированное пространство и х1, х\ ...
•— его элементы, то имеет место неравенство
(IV И Лг
получаемое но индукции при любом натуральном N из основного
неравенства Hx + yii «^ IW + llyll, (х, у е ?). Далее, если х есть
сумма ряда
ж = ж* + ж*+...=2*\-
1
т. о. если |х— 2xfc-<-О
Я 1
N
2
1
«>), то (см. § 6.3)
где ряд справа может и расходиться.
Применяя A), B) к элементам пространств 1Р и- Lp (или Lp),
получим неравенства (Мишсовского):
\ 1'р
«ы I ^ Zi I Zi I ew |" 1 , C)
<-< \о
где можно считать m = °°, и тогда под суммами
понимать такие числа я», что
= ви надо
¦ О (т ->- оо), гак
)ite как под суммой 2 /г(х) надо понимать функцию F (x) e Lp (Lf)f
322 ГЛ. 18. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
к которой стремится при ш -»- °о конечная сумма 2 h (х) в мет"
рике Lp:
(m-*~oc).
В неравенстве D) суммирование /,(х) происходит по дпекрет-
ному индексу 1=\, 2, 3, ... Аналогом его является обобщенное
неравенство Минковского
( f { \ | F (х, у) | dyYdxI!" < f ( f-| F (х, у) rdxV'V E)
\'g \a I I n \h I
(QczRn, GczRm)
или, что все равно (если считать, что Fix, у) = 0 вне О X G), не-
неравенство
Ц]\ F{x, у) | dy)PdxY'P < f f f | F (x, у) f dxV/pdy, (fi>
nm\Rn j ) Rn\Rm I
В обобщенном неравенстве Мипковского роль индекса / (в D))
играет непрерывный параметр у, по которому и происходит сум-
суммирование (интегрирование).
В самом общем виде неравенство F) имеет место, когда ин-
интегралы понимаются в лебеговом смысле, ii тогда, если имеет
смысл правая часть F), то и левая имеет смысл, и выполняется
само неравенство.
Ограничимся для простоты случаем функции Fix, j/) от двух
(скалярных) переменных х, у. Не нарущая общности, можно счи-
считать, что Fix, у) Ss 0. Будем пока считать, что Fix, у) есть огра-
ограниченная, определенная на квадрате Д* «= {l.cl, \у\ ^Л'} функ-
функция, интегрируемая по Лебегу или Риману на A:;.
j " N,
Тогда пояснения ниже, ) =
V . -<л'
F (х, у) dy)Pdx = J (J> (x, у) dyY~X j F (,r, y) dy dx -
= [ j ( \ F (x, y) dyf-'F (x, y)dy dx =
= j [ j' (j F (x,y) dy)P"V [x, y) dx) dy <
< I (J A F (*. У) Ф*Г1УР A F (x, yLxY% =
= (] (j F (x, y) dyj'dxf'^ | (j F ix, yYdxf'dy, G)
откуда получим требуемое неравенство
(j (j F (x, j,) dy)PdxfP <-j (j F (x, yfdxf "dy. (8)
§ 18.2. УСРЕДНЕНИЕ ФУНКЦИИ ПО СОБОЛЕВУ 323
Во втором равенстве G) интегралу F dy\ , не зависящий
от у, внесен под знак интеграла] F(х,у) dy.B третьем произведе-
произведена замена порядка интегрирования. При интегрировании по Ле-
Лебегу неотрицательных (измеримых) функций это законно (см.
§ 19.3, свойство 19, теорема Фубшга). Если F интегрируема па
Ля но Риману, то это тоже законно, потому что тогда интеграл *)
] F(x,y)dy есть интегрируемая функция по х па l—N, N], а вме-
вместе с ней интегрируема па [—N, N], следовательно, на Ля,
(р — 1)-я степень ее модуля, которая умножается на Fix, у) —
интегрируемую па Дк функцию. Таким образом, в третьем члене
G) под знаком I ^ стоит интегрируемая по Риману функция, и
можно менять порядок интегрирования. В четвертом соотношении
(неравенстве) в G) применяется неравенство Гёльдера по х.
В дальнейшем будем рассуждать в терминах интеграла Лебе-
Лебега. Пусть задана произвольная измеримая неотрицательная функ-
функция Fix, у), вообще говоря, неограниченная, для которой имеет
смысл конечный интеграл справа в (8). Положим
lF(x,y), если (*, у) е= Д* и F<N>
г N (X, У) = л / ч
[и для остальных (х, у).
Функция Fs — неотрицательная, ограниченная, измеримая, не
равная пулю разве что на Ак. Для нее при любом N уже доказа-
доказана справедливость неравенства
(j (J Fy {х, у) dyf dxf" < j (j [FN ix, y)f dxI!p dy,
из которого в силу монотонности стремления (см. § 19.3, свой-
свойство 14)
FAx, у) -> Fix, у) (Л' - », FN < F)
следует, как это до1газывается в лебеговой теории, справедли-
справедливость (8).
§ 18.2. Усреднение функции по Соболеву**)
Обозначим через
ае = {\х\ < е>, Oi = a
шар в Rn = R с центром в нулевой точке.
Пусть г|>(?) есть бесконечно дифференцируемая четная неотри-
неотрицательная функция от одной переменной t (—°° < t < °°), равная
*) Либо, например, нижний интеграл (см. теорему 1 § 12.12).
**) С. Л. Соболев (род. в 1908 г.) — выдающийся советский математик,
академик.
324 ГЛ. 18. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
нулю для U1 > 1, такая, что n-нратвый интеграл
x =.¦(*!, ...,xn), |x|2 = 2^j, J=J
В качестве \f можно взять функцию
n
о, |*|>i
(см. § 16.6, упражнение 2), где константа %п подобрана так, что-
чтобы выполнялось условие A).
Функция (бесконечно дифференцируемая на R)
i / 1Г \
имеет носитель на а, и удовлетворяет условию
|)du = l. C)
Пусть йсД — открытое множество и / е L,(Q) A < р < «>)*).
Положим / '= 0 на /? — Q. Функция
/е (X) = /О,е = j фе (X — U) / (и) Йи = J ф, (и) / (х - и) du D>
называется г-усреднением f no Соболеву. В силу финитности ср
вычисление интегралов C) и D) сводится к интегрированию но
n-мерным шарам. Например, первый интеграл в D) достаточно
распространить на шар |х — и| ^ е, а второй — на шар lu| ^ е.
Остановимся на свойствах /«. Условимся в обозначении
|| • \р = S • llv«b 1
1) Если j е= Ь„(Ю, 1 </)<», то
II/. — /II, -0, е^О. E)
Доказательство.
*) L<»(Q) есть множество измеримых на Q функций с нормой ///Ц,»3
sup | / (х)| или (/||00= sup vrai \f {х)\ (см. сноску на стр. 328 § 18.3).
хей
§ 18.2. УСРЕДНЕНИЕ ФУНКЦИИ ПО СОБОЛЕВУ 325
откуда, применив обобщенное неравенство Минковского и учиты-
учитывая, что ф Э= 0 и имеет место C), получим
й/е - / К j ф И II/ (X - W) ~ 1(*) \р*1 <
<supl/(x-v)-/(x)|p->0, 8^0. F)
В случае р — °° свойство 1) не выполняется. Однако, если счи-
считать, что Q — R и /(х) равномерно непрерывна на R, то F) за-
запишется в виде
1/е-/К SUP|/(X-V)-/(X)|-*O, 8->0.
|1|<€
2) Если f е= LT(R), К р < °о, то
1UI < j Фе (х - и) 1 / |р du = Ц / Цр. G)
3) ?сди / — локально интегрируемая на R функция, т. е.
/ei(F) для любого шара V с /?, го /е — бесконечно дифферен-
дифференцируемая, функция на R и, для любого целочисленного неотрица-
неотрицательного вектора s = («,, ..., sj
Доказательство. Если / — непрерывная финитная (в Я)
функция, то это утверждение непосредственно следует из класси-
классических теорем о непрерывности интеграла по параметру и диф-
ференцируемости под знаком интеграла. Надо учесть, что
<ре(;с — и) — бесконечно дифференцируемая финитная по и функ-
функция.
Пусть теперь / локально интегрируема и V <= V <= V, — два
произвольных концентрических открытых шара. Будем считать,1
что радиус Vi больше радиуса V на б > 0. Тогда при е < б
/е(х) = J фе(х — U)f(u)du.
Положим
^ ^ = I ТГ ^ (х — и) / (u) d
А
Так как /ei(F,), то существует (см. свойство 18 § 19.3, где
•ф е L'; для V — теорему 1, § 14.4) последовательность непрерыв-
непрерывных финитных в V\ функций /ft такая', что
326
ГЛ. 18. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
Имеем
/кг (X) = ] фе (X — U) fh (и)
Далее, только для х е
j фе (X - U) [/ (и)
С д
= J -^-фе (Ж — и)
(U)]
Ме = max фЕ (х — и) = max фЕ (и), МЕ = max
(8)
¦ Фе (х)
Из (8) следует, что функции /fiE (х) и —— /,!Е (х) при к-*¦ °о,
°хг
равномерно на V стремятся соответственно к /Е и rfE. По тогда на
основании классической теории /в и 1|зо непрерывны и гре = -г— /е
на F, следовательно, в силу произвольности V, и па й (см. тео-
теорему 3, § 11.8 сформулированную на языке последовательностей).
Этим свойство 3) доказано для s = A, ,0, ..., 0). Общий случай
доказывается по индукции.
4) Если /eLp(Q) (К/?<•«>), то существует последователь-
последовательность бесконечно дифференцируемых финитных в Q функций tyk,
для которых
1
Доказательство. Зададим ц > 0 и подберем открытое
ограниченное множество g <= g cz Q такое, чтобы
2 '
Обозначим через d расстояние от g до границы Q (d > 0; если
Q = Р„, то d = оо). Введем еще функцию
ее е-усредненпе /«, в = ^ при е < d есть бесконечно дифференци-
дифференцируемая финитная в Q функция, для которой
— fg,e ||Lp(Q) =
+ 1U ~ fs,* hp
\ + \ = r,,
если только е достаточно мало.
§ 18.3. СВЕРТКА -827
Далее (см. G))
|/V,e(x)|<sup|/,(x)|<tnP|/(x)|.
хея хек
Поэтому, если х\ = r\k ~*" 0, то, считая е = гк, g = gk, мы получим,
что функции i}3/; = fgh,eh удовлетворяют требования теоремы.
Свойство 4) усиливает теоремы 3, 4 из § 14.4. Первое его
утверждение выражает, что множество бесконечно дифференци-
дифференцируемых финитных в О функций плотно в LV(Q) (I =S p < °°).
5) Неубывающую на [а, Ь] функцию fix) можно приблизить
с любой степенью точности в метрике Lp{a, Ь) п-еубывающей же
бесконечно дифференцируемой функцией {вообще говоря, не фи-
финитной).
В самом деле, продолжим fix) на всю действительную ось, по-
положив
О, х < о, — е, Ь -f- e < #]
/(ж)= /(«)* а— е^х <.а,
Тогда е-усредпепие /8(ж) для х<^1а, Ы есть функция неубы-
неубывающая. Ведь для а ^ х < Xt ^ Ь, если учесть четность и неотри*
цательность ф,(м)., имеет место
Х + Ё 8
/в (х) = J фе (М - X)f (и) du =. j фе (t) f (x + t) dt <
потому что при fe(—e, e) выполняется неравенство /(ж + 2) <
=?5 j{xi + f). Бесконечная дифференцируемость ft(x) доказана в 3).
Далее, учитывая A), при п = 1
U («) 1 v«,b) < ,f Фе (О «/И - / {х + о 1г.р(о>Ь)
— е
< sup | / (х) — f (х + t) \\т ( _«,,«,. -v 0, е -> оо
|(|<е ^ '
и мы доказали, что /Е есть приближающая / функция, удовлетво*
ряющая свойству 5).
§ 18.3. Свертка
Эти рассуждения будут проведены в терминах лебеговой тео-
теории. Мы будем оперировать с функциями, принадлежащими про-
пространству Lp = Lp(Rn) il^p^oo). При конечном р функция
j е LP, если она измерима в лебеговом смысле и для нее конечна
528 ГЛ. 18. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
норма
V Rn!
Далео по определению измеримые и ограниченные на
функции / с нормой *)
XER
составляют пространство ?„.
Если функция /l(x) = К(хи ..., хп) ei = Л,, то для нее имеет
смысл свертка, определяемая при помощи интеграла Лебега (см.
§ 10.8, A6))
Интеграл A), существующий почти для всех хеЛ„, есть функ-
функция от х, принадлежащая LP, и для нее выполняется обобщенное
неравенство Минковского (см. § 18.1, F))
где норма II/(х — и)||г,р = ||/ (х) ||Lp берется по х. Неравенство B)
при р = °° очевидно.
К функции К * f ^ Lp можно в свою очередь применить опе-
операцию свертки ее с какой-либо функцией Ki e L, и при этом
имеет место коммутативность:
Kl*K*f^K*Ki*f {К, Kt e L, f e= L,) . C)
(вытекающая из теоремы Фубиии, относящейся к лебеговой тео-
теории).
Мы определили понятие свертки двух обычных измеримых
функций К е Jj и / s Lp, и притом в терминах обычных функ-
функций: свертка К * / есть снова обычная функция, принадлежащая
ХР, вычисляемая при помощи интеграла Лебега A).
Но К, / и К * f суть также обобщенные функции (принадле-
(принадлежащие S'). Таким образом, имеют смысл обобщенные функции
К * /, /С • / е 5', которые не обязательно являются обычными
функциями. Но это обстоятельство дает основание по опредвле-
*) Впрочем, чаще под ?«, понимают совокупность так называемых су-
существенно ограниченных измеримых на Н„ функций с (конечной) нормой
I/L = vrai supI/(k)I>
где справа стоит наименьшее число М, для которого множество {х : М <
1-<]f(x)|} имеет лебегову меру нуль.
§ 18.3. СВЕРТКА 829
ПИТО ПОЛОЖИТЬ
е—» /\
Kj = K*f KJ = K*f. D)
Отметим, что К и К — непрерывные функции (ведь К е /,).
При помощи первого равенства D) определяется произведение
R да обобщенную функцию /, если / е Lp.
Из определений D) автоматически следуют равенства
К* J = Rf = Kf (KceL, /eif)
(обобщающие § 16.8, A6), где предполагалось, что /el', <p е S).
Заметим, что, если ц = Яе!ив то же время |х — бесконеч-
бесконечно дифференцируемая функция полиномиального роста, то в на-
нашем распоряжении имеется два определения произведения
\xf{j^Lr). С одной стороны, это функционал
(ц/, ф) = (f, рдр) (ф е 5),
а с другой — функционал uf = ц * /, как он определен в D).
Покажем, что эти функционалы равны. Если /е^ то равенство
(f, цФ) = (?•/, ф) (ф е 5) E)
есть равенство между интегралами от обычных функций, доказы-
доказываемое как в § 16.8, A6). Если же /е LP — произвольная функ-
функция, то найдется сходящаяся к ней в смысле LP, тем более в
смысле E')., последовательность финитных функций fi^S (см.
§ 18.2, свойство 4). Для каждого i = l, 2, ... имеет место
(fi, р-ф) = (ji * Si, ф) (фе#). Перейдя к пределу при I-*- », по-
получим E). Ведь /, -»- /(Lp) влечет ц, • /( -»¦ ц ¦ /(//,), тем более
в смысле E'), но тогда и ц * /, -* р, * /E').
Часто приходится иметь дело со сверткой обобщенной функ-
функции P.^eS' и /stp A <р<оо, см. пример 2, § 16.7). Она
определяется как предел
Г
У2я
в смысле Lp— Lp(, — °°, оо). Таким образом,
? (*) - (Ре- \ •/) I = lim II (Р. - Ре.) Y" •/i = °.
330
ГЛ. 18. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
где
1
е<Ш<
t \ - l ' ¦ E
О (для остальных t).
Можно доказать, что этот предел для любой функции /еьр
существует, откуда следует, что F е Ьр. Больше того, существует
константа Ср, зависящая от p(i< р<°°), но не от f, такая, что
выполняется неравенство
Важно отметить, что имеет место коммутативность
Я .P. _L./ = p. ±*K*f (К ei,/eLp,l<p< oo).
Это следует из равенства
(е>0)
Ре- -ei] путем перехода к пределу в смысле Lp. Ведь
F)
§ 18.4. Разбиение единицы
Лемма 1. Для любых двух ограниченных открытых мно-
множеств g и g' таких, что g cr g cz g'f суи^ествует бесконечно диф-
дифференцируемая финитная в g' функция \х(х), равная 1 на g
и удовлетворяющая неравенствам OsS<p(x) sg 1.
Доказательство. Обозначим через g6 множество всех то-
точек х, расстояние которых до g не превышает 6(г(х, g) ss fi). Это
очевидно замкнутое множество и при этом g1 c g" c gM c J', если
б достаточно мало. Положим
( 6
B)
щх) =-- ^6 (х) = ] щ (у - х) i|) (у) dy,
где, таким образом, u.-=\|)s есть б-усредпение функции ф.
§ 18.4. РАЗБИЕНИЕ ЕДИНИЦЫ 331
Функция и.(х), как мы знаем, бесконечно дифференцируема.
Кроме того, в силу A) и того факта, что интеграл B) фактиче-
фактически берется, по шару радиуса б с центром в х,
на &
вне/6.
Заметим, что интеграл B) имеет всегда смысл по Лебегу, по
Риману же не всегда, ведь множество g6 и его пересечение с ша-
шаром может оказаться неизмеримым по Жордапу.
Учитывая неравенство 0=S\|)(x)sgl и неотрицательность фв,
получим, наконец,
Чтобы доказать лемму в терминах интеграла Римана, можно
взять сетку, рассекающую /?„ на равные кубики диаметра б, и
через Л обозначить множество кубиков, каждый из которых со-
содержит хотя бы одну точку xej, При достаточно малом 6 будет
^сгЛс:^'. Дальше можно рассуждать, как выше, заменяя всюду
g па Л. Множество Лв очевидно измеримо по Жордану.
Лемма 2 (о разбиении единицы). Пусть замкнутое
ограниченное множество F <= Rn покрыто открытыми множества-
множествами g,, ..., gN.
Тогда существует система бесконечно дифференцируемых
функций фДх), .. ., фд-(х) со свойствамщ
1) О^фДж) < 1,
2) Wj финитна в gh
N
3) 2 <PJ (я) =1 на F.
1
Доказательство. Строим открытые множества gi, ...,gn
такие, что
пользуясь предыдущей леммой, определяем бесконечно дифферен-
дифференцируемые неотрицательные функции ХДх), финитные в g(, рав-
равные 1 на gj, и полагаем
YJ ; ^ (x) -f- ... + Яд, (х)
Очевидно, что функции ifo бесконечно дифференцируемы на G'
N
и удовлетворяют условиям 0 =? \|)j(x) ^1 и2г1)з (х) = 1 на ^'-Од-
1
нако они не определены в точках х, в которых обращаются в пудь
все Kj. Пользуясь тем, что F — замкнутое ограниченное мпоже-
332 ГЛ. 18. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
ство, a G' =э F — открыто, вводим еще второе открытое множество
G" такое, что G' =>G" =>G" => F, и бесконечно дифференцируемую
функцию к(х), финитную в G', равную 1 на G" и удовлетворяю-
удовлетворяющую неравенствам 0 ^ k(x) ^ 1. Теперь нетрудно проверить, что
функции
<рДх) = x(x)\fo(x) (; = 1, ..., N).
удовлетворяют условиям леммы, если считать, что срДж) = 0 там,
где к(х) = 0, даже если трДа:) не определена. Свойства 1), 2), 3)
легко проверяются. Если х ^ G', то же g,-e при некотором /„ и
Я,д(х)=1, по тогда в некоторой окрестности х функция \|)„ а вме-
вместе с ней и ф,-, бесконечно дифференцируема. Если же х Ф G', то
существует окрестность х, где я "тождественно равна нулю, сле-
следовательно, фj бесконечно дифференцируемы в этой окрестности.
Глава 19
ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА
§ 19.1. Мера Лебега
Нашей целью будет ввести понятие (п-мергйт) меры Лебега
для ограниченных множеств некоторого класса (измеримых по
Лебегу множеств). Оно обобщает понятие меры Жордана, потому
что всякое измеримое в жордановом смысле множество измеримо
по Лебегу и соответствующие меры равны между собой.
В §§ 12.2 и 12.5 были определены понятия тЕ=*\Е\, niiE,
тД — меры, внутренней меры и внешней меры по Жордану.
В частности, доказано существование и инвариантность (относи-
(относительно любых прямоугольных систем координат) внутренней и
внешней меры Жордана произвольного ограниченного множест-
множества *). Для лебеговой меры внутренней и внешней меры условим-
условимся употреблять обозначения цЕ = \Е\, ]XiE, ц,еЕ.
Мы будем позволять себе в ходе рассуждений употреблять
знак \Е\ для таких множеств Е, для которых уже выяснено, что
их лебегова и жордаиова меры, если они обе существуют, равны.
Мы будем рассматривать ограниченные множества, принадле-
принадлежащие «-мерному пространству /?„; поэтому будем говорить
о множествах, подразумевая, что они принадлежат й„ и ограни-
ограничены, и делая соответствующие оговорки, если это не так 1ши ес-
если a priori может быть не так.
Так же, как в случае жордановой меры, каждому (ограничен-
(ограниченному) множеству Е (из /?„) приписывается два числа \>цЕ и \ieE —
внутренняя и внешняя лебеговы меры Е. В случае равенства их
число \кЕ = ц(Е = \кеЕ называется лебеговой мерой Е, а множе-
множество Е называется измеримым в лебеговом смысле. Однако мы
начнем с того, что определим понятие лебеговой меры для откры-
открытых и замкнутых множеств, минуя пока определение их внешней
и внутренней лебеговой меры.
Символами G, Gu G', G2, ..., будем обозначать только откры-
открытые, а символами F, Ft, F', Рг, ... — только замкнутые множест-
множества. Это соглашение дает нам право не всегда оговаривать, что
множества, обозначаемые этими символами, открыты или замк-
замкнуты. Подобным образом мы будем обозначать через А и а кубы
*) Только эти свойства жордановой меры нам будут нужны в этом па-
параграфе, .
334 ГЛ. 19. ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА
и соответственно фигуры с ребрами, параллельными осям дан-
данной прямоугольной системы координат (см. § 12.2).
Лебегова мера открытого {ограниченного) множества G по
определению равна
\iG = rriiG = sup I a I,
ос о
т. е. верхней грани объемов фигур о, принадлежащих G.
Открытое множество G можно представить как счетную сумму
замкнутых кубов, пересекающихся попарно разве что по своим
границам (см. § 12.5, теорема 2),
с = 1ж = 2дк, (О
1
и тогда
fiG = miG = 2|Ah|, B)
где \Ак\—объем Aft. Из доказываемой ниже леммы 2 следует,
что это число не зависит от способа'представления G в виде A),
где Ак пересекаются попарно разве что по своим границам.
Лебегова мера замкнутого ограниченного множества F По оп-
определению равна
pj? = mj; = mf I a I B'>
«OF
— нижней грани объемов фигур о, содержащих F.
Оба числа \xG и \xF инвариантны относительно любой системы
прямоугольных координат, потому что числа m,G и тпе? обладают:
этим свойством (см. § 12.2 после F)), откуда, как будет видна
ниже, следует инвариантность \XiE, ]хеЕ для произвольного огра-
ограниченного множества Е, а тогда и уьЕ, если Е измеримо в лебего-
лебеговом смысле.
Докажем несколько простых лемм, устанавливающих некото-
некоторые свойства мер замкнутых и открытых множеств.
Л е м м а 1. Пусть ак(к = 1, 2, ...) — замкнутые фигуры, пе-
пересекающиеся попарно разве что по своим границам, a ok (к =
= 1, 2, ...) — замкнутые фигуры такие, что
2°*с:1Х. C)
Тогда
2KK2KI. D)
и неравенство обращается q равенство тогда и только тогда,,
когда 2fffe =2°л и фигуры oh пересекаются разве что по своим
границам.
Доказательство. Будем считать, что правая часть нера-
неравенства D) конечна, иначе оно тривиально. Зададим е>0 и вве-
§ 19.1. МЕРА ЛЕБЕГА 335
ft /
дем открытые фигуры oh r: oh такие, что
2К|<2К| + е.
JV
Для любого Л' замкнутое ограниченное множество 2 ok по-
1
врывается открытыми фигурами ок и потому среди них можно
отобрать конечное их число, okv ..., ahs, все же покрывающих
это множество, и следовательно,
N
2
о,, =
где в нервом соотношении (равенстве) учтен тот факт, что фигу-
фигуры с пересекаются попарно разве что по своим границам. Так
как правая часть E) не зависит от N, то
00 оо
21 ак К 21 °к 1 +
1 1
откуда в силу произвольности е > 0 получим D).
Если фигуры ок пересекаются • попарно разве что по своим
границам и 2 °к — 2 °k, то в этом рассуждении можно переме-
переменить местамио";, и aft, и тогда очевидно, что D) есть на самом де-
деле точное равенство. Если же какие-либо фигуры oh и 0Г пере-
пересекаются по невырожденному прямоугольнику, то в этом рассуж-
рассуждении можно заменить ot (к < I) на фигуру сг( — сгйа( и все
равно получить D), откуда видно, что соотношение D) тогда есть
на самом деле строгое неравенство.
Мы будем говорить, что задано открытое (ограниченное) мно-
множество
где оА — замкнутые фигуры (чаще всего ок = Л& — кубы), и в си-
силу леммы 1 это будет значить, что фигуры о„, если пересекаются,
то по своим границам. Возможность указанного представления G
доказана в § 12.5 (теорема 2). Любые другие представления
G = 2ай1 гДе °к— фигуры, попарно пересекающиеся разве что по
своим границам, приводят в силу леммы 1 к равенству \iG =2 ак \.
к
Лемма 2. Пусть G', / = 1, 2, ..., — конечная или счетная
система открытых множеств, принадлежащих некоторому ку-
кубу А. Тогда сумма G = 2^ есть открытое множество, для кото-
i
рого выполняется неравенство
hG<2hGj, F)
336 ГЛ. 19. ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА
обращающееся в равенство тогда и только тогда, когда G1 по~
парно не пересекаются.
Доказательство. Тот факт, что G открыто, очевиден.
Имеют место представления
где Aft и А/, — замкнутые кубы. Но тогда 2 А* = 22 Дл» и
j й
вследствие леммы 1
222|*1 2^ G)
и 21»1<2
}
Если GJ попарно не пересекаются, то и все Л1 могут пересе-
пересекаться разве что по своим границам, и вследствие леммы 1 име-
имеет место равенство
2
i a
и тогда F) есть на самом деле равенство. Если же при некото-
некоторых s, j(s Ф j) пересечение G'G1 непусто, то найдутся кубы А^г
Av, существенно пересекающиеся, и по лемме 1 соотношение
«<» в G) на самом деле есть строгое неравенство («<»), но тог-
тогда оно строгое и в F).
Лемма 3. Для непересекающихся замкнутых множеств-
Fu Ft
|i(F. +"/?,) = iiF, + pFt. (8)
Доказательство. В силу замкнутости и ограниченности
множеств Ft и F2 и того факта, что они не пересекаются (см.
§ 7.10, упражнение 5), расстояние между ними положительно:
Р = p(Ft, F2) > 0.
Покроем каждую точку х е F, кубом Ах с центром в х, замкну-
замкнутым или открытым, с диаметром меньшим, чем р/2, и выберем из
этих кубов конечное их число все же покрывающих F,. Сумма
;>тих кубов есть- фигура о"ь покрывающая Ft. Подобным образом
построим фигуру о, покрывающую F2. Фигуры 0i и о2 очевидно
не пересекаются. Теперь зададим е > 0 и подберем такие две фи-
фигуры 0Ь о2, что
F.cza'i Ftczal Kl< | ui7, I + е, |^| < |^F2| + е.
Для фигур 0t = 0101 и 02 = о202 очевидно выполняются те же?
соотношения
F,<=at, F2cza2, lo,l «Sui^ + e, \аг\ <)^F2 + e
и„ кроме того, они не пересекаются,
§ 19.1. МЕРА ЛЕСКГА 337
Так как d + о2 — фигура, содержащая замкнутое множество
F, +1\, то
< jiFi + t*^1» + 2e. (9)
Теперь подберем фигуру о => Ь\ + F2 такую, что ^i(Ft + F2) + e >
> IcI, откуда
+ z> \o\ >\a(ol + ol)\ = \oa1\ + \oo,\>tiFl + nFt, A0)
где использован тот факт, что фигуры oot и сс2 не пересекаются
и содержат в себе соответственно Ft и F2. Учитывая, что е > О
произвольно, из (9) и A0) поручаем (8).
Лемма 4. Если F и G, F <= G,— непустые множества, F —
замкнутое ограничение, a G открытое не обязательно ограни-
ограниченное, то существует фигура о (замкнутая или открытая) такая,
что
F<=oc:G, \iF < \o\< ]iG. A1)
Доказательство. Каждую точку xef покроем кубами
А! с: А* с: Ах3 czG с параллельными гранями и с центром в х,
длины ребер которых находятся в отношении 6ХХ) < 6Х2) < 6Х3). При
атом Ах —открытые кубы, а А» —замкнутые. По лемме Бореля
существует конечное число кубов Ах*, покрывающих F. Пусть это
будут кубы Ах1!, ...,Axjv. Тогда (замкнутая) фигура
о = 2 Д^ A2)
очевидно удовлетворяет требованиям A1), так же как открытая
фигура, получаемая из о выбрасыванием из нее ее границы. Надо
учесть, что о строго внутри себя содержит 2 Ах, ft з/1 и содер-
1 '
жится строго внутри 2j Ах'!л с: G.
Лемма 5. Для замкнутого множества F, принадлежащего
открытому ограниченному множеству G,
- F) = uG - aF. A3)
Доказательство. Открытые множества G и G' = G — F
представим в виде сумм
замкнутых кубов. Пусть о с; G — произвольная фигура, покры-
покрывающая F. Тогда G=2lAkczo-}-^jAhii в силу леммы 1
338 ГЛ. 19. ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА
Отсюда, беря нижнюю грань правой части по всем а => F, получим
\iG ^ ixF + цС.
N
С другой стороны, множества F и 2 Aft. замкнуты и не пере-
1
секаются, и потому в силу лемм 1 и 4
JV N I N
откуда
и мы доказали A3).
Пусть теперь Е есть произвольное (ограниченное) множество.
По определению внутренняя лебегова мера Е есть верхняя
грань \ijE = sup \iF лебеговых мер принадлежащих Е замкнутых
FEE
множеств. Существование этой верхней грани вытекает из того,
что Е можно поместить в замкнутый куб А, и тогда F с Е <= Д,
\iF = meF < IAI.
По определению внешняя лебегова мера Е есть нижняя грань
р.еЕ — inf \xG лебеговых мер открытых множеств, содержащих Е.
GCE
Существование \хеЕ Э= 0 очевидно, "Потому что \lG Э= 0.
По определению множество Е называется измеримым по Лебе-
Лебегу, если его внутренняя и внешняя меры равны между собой, и в
этом случае число \iE = \itE =\хеЕ называется лебеговой мерой Е
или мерой Е в смысле Лебега.
Имеют место неравенства
ШгЕ «S ц,? «S \ieE «S meE. A4)
Чтобы обосновать их, заметим, что жордапова внешняя мера
тсЕ может быть рассматриваема как нижняя грант, объемов от-
открытых фигур о => Е. Результат будет тот же, будем ли мы при
вычислении внешней меры Жордана тпеЕ варьировать открытыми
или замкнутыми о^>Е. Ио открытые о=>?'суть частные случаи
открытых множеств G•=> Е, поэтому ц,еЕ =? шеЕ. Внутреннюю ме-
меру Жордана т,Е мы уже будем рассматривнать как верхнюю
грань объемов замкнутых с=Е, и так как такие о суть частные
случаи замкнутых множеств F <= Е, то т{Е «? \иЕ.
Из A4) следует, что если Е измеримо по Жордану, то Е изме-
измеримо и по Лебегу и тпЕ = цЕ.
§ 19.1. МИРА ЛЕБЕГА 329
Теперь нетрудно видеть, что множества F и G измеримы в ле-
лебеговом смысле *). Это следует из A4) и равенств **)
тД = \x.G = \xeG, iiiF = \iF = meF.
В § 12.3 были рассмотрены важные примеры множеств жор-
даповой, следовательно, н лебеговой, меры нуль.
Теорема 1. Множество Е измеримо тогда и только тогда,
когда для любого е > 0 существуют множества F, G такие, что
F<=E<=G, ^G-piF<e. A5)
Доказательство. Из существования указанных множеств
F, G следует, что
\iF s
откуда е > \хеЕ — mJE, и так как е > 0 произвольно, то \itE = цеЕ.
Наоборот, если Е измеримо, то для любого е > 0 найдутся мно-
множества F и G такие, что
F cz E czG, \лЕ ^- < \iF ^L \кЕ ^ \xG < \кЕ + -^-,
откуда выполняется A5).
Теорема 2. Вместе с Et и Е2 измеримы по Лебегу также
их сумма, разность и пересечение.
Доказательство. Зададим е > 0 и подберем множества Fu
F2, Gu G2 так, чтобы выполнялись соотношения (см. теорему 1 и
лемму 5)
т-1 т-1 у» f~i n i **л п \
8,
F2 с E2 c= G2, \iG2 - \iF2 = fi(G2 - F2) < e.
Отсюда
F2 c= Et + E2 <=
Fi-G2aEl-EtcGl- F2, F,F2 <= Е,Ег <= Gfi2.
Теперь утверждения теоремы вытекают из следующих выкладок
(пояснения ниже):
,"+ G2) - uXF, + F2) = nUG, + G2) -
<ji((G, -/",) +
, -F2) - ц(Л - G2) =
.(G2 - F2)) < ^(Gi - /Л) + n(G2 - F2) < 2e,
4G2 - \iFiF2 = m,(G,G2 - FJ<\) < |x(G,(G2 - F2)) +
- Ft) + n(d - Et) < 2e.
*) Хотя множества F и G не обязательно измеримы по Жордаиу (см.
§ 19.7).
**) Ведь, например, [xG0 = т{00, [xeGo = inf \iG.
340 ГЛ. 19. ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА
Первые соотношения (равенства) в этих цепях справедливы па ос-
основании леммы 5, если учесть, что правые части A6) суть откры-
открытые множества, а левые — замкнутые. Вторые соотношения (не-
(неравенства) в этих цепях следуют соответственно из леммы 2 и
следующих множественных вложений*):
а) Gt -I- Gt - (Ft + Ft)
б) (Gt — /<',) — (f'\ — G
в) Gfit — F1F1
Заметим впрочем, что измеримость Е,Ег вытекает из измери-
измеримости Ех + Ег и Ех — Ег. Ведь если Д — куб, содержащий Et + Ег,
то
EiEt = Д - [(Д - ?,) + (Д - Ег)}.
Теорема 3. Если множества Е, и Ег измеримы по Лебегу
и, пересечение их пусто **) (Е,Ег — 0), то
г- Ег) = uEt + иЕг. A7)
Доказательство. Зададим е > 0 и подберем множе-
множества /'',, Ft, Gu Gs так, что
/', cz Ei <= С„ F2 <= Ег <=¦ G2,
\iEi — в < u/\, uG, < ц?, + e,
\х.Ег - e < plF., \xGt < \x.E, + в.
Так как F, + F2 cz E, + Et<= G, + G2, то (см. лемму 2)
p,{Et + Et) < iiiGi + G2) < MG, + yiGt sS цЕ1 + цЕг + 2е. 118/
Далее,
u?, + цЕг «? цГ, + iiF2 + 2e =}i(/'', + /''2) + 2e «S (л(?,+?3)+2е A9)
(ведь F, и /'j замкнуты и F,/^ =0; см. лемму 3).
Из A8), A9) в силу произвольности е >0 вытекает A7).
•) Чтобы доказать эти вложения обозначим через Л, В соответетвея-
по их левую, правую части.
а) Пусть же Л, тогда i e Gi + fij и одновременно x&F,, х ф. F2. По-
атому, если reG,, то ieG|.-F|CS, а если х е G2, то lEfii-fjcft
б) Пусть .г s Л, тогда х е С>, х ф F2, х ф F, — G2- Поэтому при iefi|
имеем х еС8- ?гс В, а при г 9= С2 в силу условия х ф. YK — С2 придется
заключить, что хф.Ь\ ц тогда igCi — Ft с В.
в) Пусть iEi(, тогда xeG|Gj, хфР^г, т. о. во всяком случае верно
одно из соотношений ж ^ Ft, хфРъ Если верно первое, то xe=Gi — Fi с:
с В, если же второе, то lefij — f2 с: В..
**) Равенство A7) верно и в случае, когда ?'i?2 хотя н не пусто, но
ti(fiifia) = 0. Ведь тогда ц(?, + К2) == ^(г, + (Е, — Е,^)) = ц^, + |x(fe'2 —
— i'ii'2) = V'Ei + цЕг — ^(^1^2) = 1*^1 + ц?*2 (см. теорему 3 и-далее теоре-
теорему 4).
§ 19.1. МЕРА ЛЕБЕГА 341
По индукции с помощью теорем 2 и 3 легко доказывается, что
осли ei, ..., es — измеримые в лебеговом смысле попарно не пе-
пересекающиеся множества, то их сумма тоже измерима по Ле-
Лебегу и
n(ei + ... + eN) = рА + ... + \ieN.
Теорема 4. Если Et и Ег измеримы по Лебегу и Ei => Е2, го
Ег) = цЕ, - й?2. B0)
Доказательство. Измеримость Е1 — Е2 уже установлена
в теореме 2. Само же по себе равенство B0) следует аз тео-
теоремы 3.
Теорема 5. Ограниченное множество
E=\j ек = е1+_е, + е,+ ..., B1)
где ек измеримы по Лебегу и попарно не пересекаются, измери-
измеримо в лебеговом смысле и
»Е = S ixeh, B2)
k=i
Доказательство. Так как множество Е ограничено, то
для него имеют смысл его внутренняя и внешняя меры [iiE, iieE.
Поэтому при любом натуральном N
JV /IV \ / N
2 \iek = у. B eh 1 = ц{ I 2 е J
/ \ /
ведь 2?h с= Е). Отсюда следуют сходимость ряда B2) и нера-
ненство
S~Wfc<f*itf. B3)
С другой стороны, так как Е ограничено, то можно считать,
что оно принадлежит некоторому открытому кубу А, и для вся-
всякого е >0 и любого натурального А; найдется множество Gh<= A
такое, что
eh<=Gh, ]iGh<neh + e-2-h (Л = 1, 2, ...).
Отсюда в силу того, что 2^с= А есть открытое множество,
х
получим (см. лемму 2)
342 ГЛ. 19. ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА
И так как е >0 произвольно, то (см. 23))
со
2 Цее < Щ#.
Но тогда, учитывая, что \itE «S \леЕ, мы доказали измеримость Е
и равенство B2).
Теореме 5 можпо придать другую эквивалентную формули-
формулировку.
Теорема 6.* Пусть задана [неубывающая) последователь*
ность измеримых множеств.,
ElCzE2czE3cz....,E= U Ek,
сумма которых Е ограничена. Тогда Е — измеримое множество и
lim \xEk = [кЕ.
Доказательство. Положим ei=Elt eN — EN — ?N-i (N =*
•=2, 3, .,.), .тогда eh измеримы, попарно не пересекаются и
оо
U eh = E.
Но тогда по теореме 5 множество Е измеримо и
JV
\xEn = |х(ех + ... + елг) = 2 ixeft-^ix^1, iV-v oo.
Отметим еще одну теорему, сводящуюся к теоремам 6 и 4.
Теорема 7. Пусть задана (невозрастающая) последовав
телъностъ измеримых множеств;
#!=>?.:=>..., Е= П ?fc.
Тогда Е измеримо и \х.Е = lim \iEn.
П-»оо
Доказательство. В самом деле,
Е= П Ен = Ех~ 0 {E,~Eh),
k=i ft=i
и тогда (пояснения ниже)
ц? = ц?х - ц U (^i - Еи) = ^ - limji (?x - ?ft) = lim \iEh.
ft=l fe->oo ft-»oo
Ведь множества ?i — ^ ^ i?i' измеримы и не убывают, и сумма
их по теореме 6 измерима, а ее лебегова мера есть
lim \x(Ei — Eh) = [kEi — lim |л?(!.
§ 19.2. ИЗМЕРИМЫЕ ФУНКЦИИ 343
] Гри этом из существования предела слева следует существова-
существование предела справа.
Теорема 8. Конечная или счетная ограниченная сумма из-
измеримых множеств Еи Е2, ... измерима и
%\хЕк. B4)
к
Доказательство. Измеримость суммы B4) следует из.
равенства
U Eh = Е, + (Е2 - Ех) + (Е3 -Е,- Ег) + ..., B5)
ft
где справа слагаемые — измеримые попарно не пересекающиеся
множества. Далее, мы знаем, что мера множества слева в B5)
is точности равна сумме мер множеств, входящих в ряд справа,
но мера к-то такого множества, очевидно, не превышает цЕкг
откуда следует B4).
Теорема 9. Пересечение конечного или счетного числа
измеримых множеств Еи Е2, ¦ ¦. измеримо.
Доказательство. Это следует из теорем 2 и 8, если
учесть, что
П Ек - Е1 - U (Е, -Ек). .
k к
Отметим, что множество, состоящее из одной точки (прост-
(пространства /?„), измеримо в жордановом и лебеговом смысле и име-
имеет меру нуль. Счетное ограниченное множество (точек Rn) на
основании теоремы 5 есть измеримое множество по Лебегу (ме-
]>..! нуль), но, вообще говоря, ire no Жордапу. Например, множе-
множество Д' рациональных точек, принадлежащих кубу Л, имеет Ле-
йогову меру пуль, но оно не измеримо в жордаповом смысле.
Множество точек х == (.г,, ..., хп) >= Д, не все координаты кото-
которых рациональны, имеет, очевидно, лебегову меру, равную |А|.
Отметим еще, что если множество Е измеримо по Жордану,
то присоединение к нему его границы сохраняет меру (пгЕ =
= тпЕ), по это уже не так в случае лебеговой меры, например,
для рассмотренных выше множеств Л' и Л имеет место иЛ'=0,
Д = А\ 1Д|>0.
§ 19.2. Измеримые функции
Мы будем называть измеримые по Лебегу множества Е (Е сг
<= RJ просто измеримыми. Они всегда ограничены.
По определению функция / = /(x)=/(xi, ..., хп) называется
измеримой на множестве Е (Е^Пп), если Е измеримо,
344 ГЛ. IS. ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА
/ конечна*) на Е и для любого (действительного) числа А мно-
множество
{х: х е Е, /(*)< А) = {/ < А) A)
(точек х^Е, где /(х) <Л) измеримо.
Запись справа в A) не выражает явно, что речь идет о точ-
точках х е Е,— это подразумевается. В этом духе надо понимать и
другие подобные приводимые ниже записи.
Пусть А < В — произвольные числа. Имеют место очевидные
множественные равенства:
{/<^}= Г) f/<4+-U, B)
{/=л} = {/^л}-{/<2}, C)
Ы </}=?-{/</!}, D)
U</} = U^/}-U=/}, E)
U </<#} = {/<#}-{/< Л}, F)
U «?/<?} = {/<?}-{/< 4}, G)
и^/^Й=Ы^/<В) + (/ = В}, (8)
U</^?f} = U</<?f} + {/ = B). (9)
Измеримость / на Е влечет измеримость любого из множеств,
фигурирующих в левых частях этих неравенств. В самом деле,
из измеримости каждого из множеств
{/ < А + Ц = {х : х е= Е, / (х)< А + Ц (к = 1, 2, ...)
следует в силу B) измеримость их пересечения, равного {/<Л}.
Теперь уже измеримы уменьшаемое и вычитаемое в C), поэтому
измерима разность. Так постепенно доказываются D), ..., (9).
Важно отметить, что измеримость любого из множеств (при
произвольных А и В), фигурирующих в левых частях соотноше-
соотношений B)—(9), кроме C), влечет измеримость / на Е (если Е из-
измеримо). Например, пусть известно, что Е измеримо, и для лю-
любого числа А множество {/<Л} измеримо. Тогда очевидно, что
измеримо множество
*) Мы считаем, что /(х) для любого xef есть число (конечное число).
Случай, когда функции / разрешается принимать значения ±оо (или оо),
интересен, когда / есть предел или верхний или нижний предел последова-
последовательности конечных на К функций. Этот случай разбирается ниже в теоре-
теореме 2. Если в каком-либо вопросе удобно приписывать /(х), х е Е, не толь-
только конечные значения, но и бесконечные +оо, —оо (или оо), то тогда естест-
естественно считать функцию / измеримой на Е, если в отдельности измеримы
множества {/ = +°°}, {/ = •—°°} {или / = оо}, а на оставшейся части Е
конечная функция / измерима в указанном выше смысле.
§ 19.2. ИЗМЕРИМЫЕ ФУНКЦИИ 345
Или, например, пусть Е измеримо и измеримы все множества
Ы </</?}, каковы бы ни были А, В, А<В. Тогда множество
{f<A} = U {A-k<f<A}
измеримо как сумма счетного числа измеримых множеств.
Функция /, непрерывная на замкнутом ограниченном множе-
множестве F или открытом ограниченном множестве G, измерима
на нем.
В самом деле, F и G измеримы. Кроме того, для любого А
множество {х: xef, fix) ^ А) замкнуто и ограничено, следова-
следовательно, измеримо, а множество {х: xeG, fix) < А) открыто и
ограничено, следовательно, измеримо.
Справедливы следующие утверждения:
Если е <= Е измеримо и / измерима на Е1 то / измерима
и на е.
Ведь множество {х: хе«? fix) < А) есть пересечение двух
измеримых множеств е и {х: хе?, fix) < A).
Если f измерима на каждом из множеств eh (k = 1, 2, ...)
и сумма Е = 2 ^ft ограничена, то f также измерима на Е.
h
Ведь Е Измеримо как ограниченная сумма измеримых eh.
Кроме того,-множество {х: хе?, /(х)<Л) ограничено и есть
сумма измеримых множеств {х: хее,, fix)<A) ik = 1, 2, ...).
Теорема 1. Вместе с / и ф измеримы на Е функции
1) / + <р, 2) -ф, 3) /ф, 4) 1/ф,
в предположении в случае 4), что ф(а;)^=0 для всех хе?.
Доказательство. 1) Зададим число А. Имеет место ра-
равенство
{/ ЬФ<Л}= U {/<г}{ф<р}, (Ю)
г+р<А
где сумма распространена на все пары рациональных чисел г, р,
сумма которых меньше А. В самом деле, если х^Е, fix) < г,
<р(х) < р, г+р<А, то fix) + ф(х) < А и правая часть A0) при-
принадлежит к левой. Если же xs?, /(х) + ф(х) <Л и 8 = Л-
— fix) — ф(х), то существуют рациональные числа г яр, большие
соответственно, чем fix) и ф(х), на величину меньшую, чем 6/2,
и тогда fix) + ф(х) < г + р < А, т. е. левая часть A0) содержится
в правой. Так как пары (г, р) рациональных чисел, для которых
г + р < А, образуют счетное множество, то. из измеримости / и
Ф на Е следует, что правая часть A0) есть измеримое множе-
множество, таким образом, и левая есть измеримое множество.
2) Следует из равенства {—ф < А) — {ф > —А).
3) Пусть fix), ф(хK*0 для всех хе?. Если А ^ 0, то мно-
множество {/ф < А) пусто, следовательно, измеримо. Пусть теперь
346 ГЛ. 19. ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА
А > 0. Если /(х)<г, ф(х) < р, гр<А, то /(х)ф(х)<Л. Наоборот,
если /(х)ф(х)<Л, то можно подобрать рациональные г, р>0
такие, что гр < А и /(х) < г, ф(х) < р. Поэтому
{/Ф<Л}= и {/<^}{ф<р}, (И)
гр<А
г,р>0
и правая часть (И), а с ней и левая, измеримы.
Отсюда легко следует измеримость {/(р<Л), если каждая из
функций /, ф сохраняет знак на Е.
Общий случай сводится к указанным четырем путем пред-
представления
{/ф<У1} = {/ф<Л; /, <р>0)+ {}<?< А; /^0, ф «? 0}+
+ {/ф<.4; /<0, (р^0} + {/ф<Л; /, ср < 0}.
4) Если ф(х) > 0 для всех х^Е, то при А < 0 множество
{1Ар<.4} пусто, таким образом, измеримо, а при А>0 это сле-
следует из равенства {1/ф < А) = {1М < ф). Подобным образом рас-
рассматривается случай, когда ф(х) <0 на Е. Общий случай сводит-
сводится к этим двум путем представления
Теорема 2. Верхний предел последовательности /„(ж) из-
измеримых на Е конечных функций
i|)(x)=Tim/nfe0, xe?, A2)
есть функция, измеримая на Е в смысле приведенного в ссылке
в начале этого параграфа, определения.
Доказательство. .Множество Е распадается па три по-
попарно не пересекающиеся множества
Е = Е0 + Е+ + Е-, A3)
где
(колечка на /?0,-
г|)(х)= +оо на Е+, A4)
1— ©о на Е-.
Пусть 'ф(х) конечна на Е (т. е. Z?+ = ?L = O). Тогда для лю-
любого действительного числа А и натурального к имеют место
вложения
Л'=1 н=Л
Ведь если xe(i|5<4 г ь то, в силу A2), для некоторого N
§ 19.2. ИЗМЕРИМЫЕ ФУНКЦИИ 347
выполняется неравенство
fn{x)<A-±-, n^N, A6)
и потому
fU A7)
Тем более х принадлежит множеству, стоящему в середине цепи
A5). Далее, если х принадлежит этому последнему множеству,
то для некоторого N для него выполняется A7), т. е. A6), и так
как имеет место A2), то^(х)^Л —, и мы доказали, что х
принадлежит множеству, стоящему в правой части A5).
Легко видеть, что (см. A5))
оо оо оо
= U U П /п<М-7-. A8)
По вследствие измеримости функций /„ на Е правая часть A8) —
измеримое множество, значит, и левая — измеримое множество.
Перейдем к общему случаю, когда Е+, Е-, вообще говоря, не-
непусты. Для х е Е-
lim /„ (х) = lim /„ (х) = - оо-г A9)
откуда следует равенство
оо оо оо
#-=- П U П {fn<-k}, B0)
;,=1 iv=i n=N
показывающее, что Е- измеримо. В самом деле, если х^Е-, то
для любого натурального к найдется натуральное N такое, что
fnUX-k, n>N B1)
т. е.
хе П {/п<-А-}, B2)
тем более
оо оо
хе U П {f«<-k}, B3)
Л —1 n—N
и так как этот факт имеет место при любом к, то х принадле-
принадлежит правой части B0). Наоборот, из принадлежности х правой
части B0) следует, что при любом к имеет место B3), а при не-
некотором ./V—и B2), т. е. B1), таким образом, A9), и правая
часть B0) принадлежит левой.
348 ГЛ. 19. ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА
Наконец, имеет место равенство
?+= П П U {1п>Щ, B4)
h=l s=l n=*
показывающее, что Е+ измеримо. Действительно, если х е Е+, то-
для любого к найдется N такое, что
/„(х) > к B5)
для бесконечного числа значений п>N, тогда
х е= П U {/» > *> B6)
для любого fc, т. е. х принадлежит правой части B4). Наоборот,
если имеет место это последнее свойство, то справедливо и B6)
при любом к, поэтому при любом к выполняется неравенство
B5) для бесконечного числа значений п, т. е. хе Е+.
Итак, Е+ и ?_ измеримы, но тогда Ео = Е — Е+ — Е- измери-
измеримо, н так как функция aj) на Ео конечна, то Ир измерима в смыс-
смысле введенного выше определения, и теорема доказана.
Замечание. В теореме~2 можно верхний предел заменить
на нижний предел, потому что
Ф (х) =_Нт /„ (х) = — lim (— /„ (х)),
71-, 00 П^°°
а функции h(x) и —h(x) измеримы одновременно.
Пусть Ео имеет прежний смысл, а Ео — множество, где ф ко-
конечна. Функция г|)(х) — ф(х) измерима на множестве Е0Е0, из
которого можно выделить важное измеримое подмножество
точек х е Е, для которых существует конечный предел
lim /„(х) = ф(х) = т|з(х).
Определение. Последовательность конечных измеримых
на Е функций /h сходится к измеримой на Е функции / по мере,
если для любого б > 0 мера множества
6) B7)
стремится к нулю (|ле6 -*¦ 0, к ->- °°).
Теорема 3. Если последовательность конечных измеримых
на Е функций }h сходится на Е к конечной функции f, то она
сходится также к f по мере.
Доказательство. В самоц деле, если бы-это было не
так, то для некоторого ё > 0 нашлись бы число К > 0 и последо-
§ 19.2. ИЗМЕРИМЫЕ ФУНКЦИИ 349
вательность индексов ки к2, ... такие, что це^^ A,. Положив
тогда
ц,е = lim fx(eftg + eh + ...) > lim ри?й, > X,
и, таким образом, е — непустое множество. Но точка х^е при-
принадлежит, очевидно, бесконечной последовательности множеств
*V еъ, еп, ... (vj < v2 <...), и потому
Но это противоречит тому, что
lim Д(х) = /(х).
А->ос
Теорема 4. Функция /, интегрируемая по Риману на мно-
множестве Е, измерима по Лебегу на Е.
Доказательство. Условие теоремы автоматически влечет
измеримость Е по Шордану, поэтому и измеримость по Лебегу.
Пусть Е" —множество точек непрерывности /. .По теореме Ле-
Лебега (см. §§ 12.8 и 12.10) цЕ" = \iE. Зададим е >0 и определим
для любого натурального к замкнутые множества Fh<^E" так,
что \\,1'\ > \у,Е — е • 2"* (Fhcz Fh+i). Функция / непрерывна на мпо-
зиестве Fh, следовательно, измерима на нем. Определим функции
j/, xe Fh,
которые очевидно измеримы на Е. Имеем
lim fh (x) = / (х) на Е' = U Fh, цЕ' = ц?\
Следовательно, / измерима на Е', и так как Е'<=Е"<=Е,
\i(E — E') — 0, то / измерима и на Е.
Теорема 5. Если функция f измерима и положительна на
множестве Е положительной меры, то найдутся положительное
число X и множество е <= Е положительной меры, на котором
J(x)>k.
Доказательство. В самом деле, зададим множества
очевидно попарно не пересекающиеся и такие, что
350 ГЛ. 19. ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА
Так как \iE > 0, то найдется к, для которого \iek > 0. Для этого
к можно положить е = ек, % = 1/(к + 1), чтобы удовлетворить
теореме.
§ 19.3. Интеграл Лебега
Последовательность действительных чисел с двумя входами
...<P-z<P-i<Po<Pi<P2<..., Pk^°°, Р"к-^—°°, к-++™,
A)
удовлетворяющую условию
Sup (рк+, — рь) = бк < °°, B)
h
будем называть разбиением R (действительной оси).
Пусть на (измеримом) множестве Е (пространства /?„) зада-
задана измеримая конечная функция /. Введем множества (измери-
(измеримые)
ек = {х: хб Е, р„ < /(х) < рк+1} = {pk «S /(х) < рА+1},
fc = 0, ±1, ±2, ...
и два ряда (с двумя входами)
оо - оо
2 2 2 S C)
называемые соответственно нижней и верхней (лебеговыми) ин-
интегральными суммами } (соответствующими разбиению Я).
Условимся считать, что SR(f) и SR(f) суть обозначения ука-
указанных рядов, а если эти ряды сходятся*), то пусть ?д(/) и
SR(f) обозначают также суммы этих рядо*в (числа).
Если / — ограниченная функция на Е, то для достаточно
больших ¦ iV все множества ек с |/f|>iV — пустые и ряды C)
представляют собой конечные суммы. Другое дело, если / не ог-
ограничена на Е, тогда ряды C) могут сходиться и расходиться.
Лебег доказал, что если для какого-либо разбиения П один
из двух рядов C) сходится, то сходится и другой; мало того,
эти ряды тогда уже автоматически сходятся для любого другого
разбиения R и существуют конечные пределы
Ит SR(f) = lira SR (/) = j / (x) dx, D)
бд^О 6д-0 Е
*) Ряд 2 uk п0 определению сходится (абсолютно сходится), если
— оо
— 1 оо
сходятся (абсолютно сходятся) отдельно ряды 2 ии и 2 uh- Сумма
— оо О
оо
их сумм называется суммой ряда 2 ии- ^ силу свойства A) и того обстоя-
— оо
тельства, что ц<?к ^ 0, ряды C), если сходятся, то абсолютно.
§ 19.3. ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА 351
равные одному и тому о/се числу, которое мы называем интегра-
интегралом Лебега от функции / на множестве Е.
Таким образом, в частности, существует интеграл Лебега от
любой измеримой ограниченной на Е функции.
Первый член цепи D), так же как второй, есть определе-
определение*) интеграла Лебега от / на Е, третий же есть обозначение
интеграла Лебега. Оно не отличается от обозначения интеграла
Римана. Путаницы здесь не происходит, потому что, если функ-
функция / интегрируема на Е в римановом смысле или даже абсо-
абсолютно интегрируема в несобственном римановом смысле, то она
интегрируема и в смысле Лебега, причем оба интеграла равны
между собой. Впрочем, если несобственный интеграл Римана от /
iTa E хотя и сходится, по не абсолютно, то / не интегрируема
па Е по Лебегу, и в этом только случае могут потребоваться
пояснения, чтобы избежать путаницы.
Эти утверждения будут обоснованы и будут даны еще два
других эквивалентных определения интеграла Лебега, одно из
которых мы сформулируем уже сейчас.
Будем называть функцию ф ступенчатой на, измеримом мно-
множестве Е (с конечным или счетным числом ступенек), если она
определена равенствами
ф(х) = с,-, x<^ah j = 1, 2, ..., . E)
где. Cj — постоянные (действительные) числа и а,-—измеримые
попарно не пересекающиеся множества, сумма которых равна Е.
Ступенчатая функция ф называется интегрируемой в лебего-
лебеговом смысле, если ряд
2cjf.taj = ] ф(х) dx F)
) "е
абсолютно сходится. Его сумма называется интегралом Лебега и
обозначается, как указано в F).
Но второму определению функция / называется интегрируе-
интегрируемой по Лебегу па Е, если существует последовательность сту-
ступенчатых интегрируемых (в смысле F)) на. Е функций /ft(x),
равномерно сходящаяся к /(х) на Е. Доказывается, что при этом
автоматически существует предел
lim f/h(x)dx= f/(x)dx, G)
пе зависящий от указанной последовательности {/J, называемый
интегралом Лебега от / на Е (слева в G) интеграл J fhdx поии-
Е
мается в смысле F)).
*) В дальнейшем возникнут и другие определения, эквивалентные при-
приведенному. При сравнении их между собой будем считать данное определе-
определение це.риым.
352 ГЛ. 19. ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА
Эквивалентность первого и второго определений интеграла
Лебега будет доказана ниже. Она заключается в том, что если
функция / удовлетворяет одному из них, то она удовлетворяет
и другому, и соответствующие пределы D) и G) равны между
собой.
Интегрируемые *) по Лебегу функции называют еще сумми-
суммируемыми. Более детальная терминология, которой придерживал-
придерживался сам Лебег, заключается в следующем.
Только ограниченные измеримые на Е функции Лебег назы-
называл интегрируемыми на Е. Для каждой из них существуют
(числа) конечные суммы 5„(/), Stt(f)\ каково бы ни было разбие-
разбиение Л, и существует конечный предел D) — интеграл Лебега от /
на Е. Таким образом, вычисление интеграла -Лебега от ограни-
ограниченной измеримой функции сводится к одному пределу (при
6и-0).
Что же касается неограниченных функций, для которых су-
существуют пределы D), то именно их Лебег назвал суммируемы-
суммируемыми, чтобы подчеркнуть, что для- их определения требуется двой-
двойной переход к Пределу, во-первых, при вычислении сумм беско-
бесконечных рядов 5Н(/), 5Д(/), а во-вторых, при нахождении пре-
пределов D).
В связи с этим можно сказать, что интеграл Лебега от неог-
неограниченной функции есть несобственный интеграл, при этом
естественно считать, что это абсолютно сходящийся несобствен-
несобственный интеграл.
Прежде чем перейти к обоснованию высказанных утвержде-
утверждений, остановимся на некоторых свойствах ступенчатых функций.
Произвольная ступенчатая на Е функция
Ф(х)=сь хеа„ 2ai = ?, a,«j=0 Aф]) (8)
измерима па Е, потому что для любого действительного числа Л
множество
{ф < А) = 2 «t
измеримо как конечная или счетная сумма измеримых множеств.
Определение интегрируемой (в смысле F)) ступенчатой функ-
функции ф и величина ее интеграла не зависит от способа ее зада-
задания. Если, например, функция ф задана еще при помощи ра-
равенств ф (х) = с], х е <Xj, 2ai = #> aiai = 0 (i ф /), то тем самым
i
автоматически выполняются условия
с{ц (а4о4) = с'щ (a{aj), (9)
*) Впрочем, понятие интегрируемости (суммируемости) будет далее
распространено на функции, конечные почти всюду наЕ. Пока мы
рассматриваем функции, конечные всюду на Е.
§ 19.3, ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА 353
потому что либо ^(а^) = 0, либо, если для данной пары U, /)
вто не так, то найдется х е ctftj, и тогда для него ф (х) ----- ci = cj.
Поэтому, если ряд 2 ci\\,ai абсолютно сходится то, сходятся так-
j
же абсолютно следующие ряды, имеющие ту же сумму (поясне-
(пояснения ниже):
2 сгцаг = 2 2 C\V- (ai«j) = 2 S CjH (a{aj) = 2 CjH-a)
i i J j i j
(cm. § 11.9). Абсолютная сходимость кратного ряда во втором
члене цепи и первое равенство следуют из абсолютной сходимо-
сходимости ряда в первом члене и того факта, что|с$ца{| =^\с^{а{а^)\.
з
Второе равенство цепи верно, потому что в кратном абсолютно
сходящемся ряду индексы i и / законно переставить местами,
и имеет место. (9). Третье же равенство цепи объясняется так
же, как первое.
Если, кроме функции ср, определенной равенствами (8), зада-
задана еще другая ступенчатая функция
у (х) = dh х <= р,, 2 Pi = Е, p,-ps - 0 (/ Ф s),
j
то часто удобно унифицировать их задания, считая, что
ср(х) = с{, х ^.afis, rfi(x) = dh x e a(^.
Тогда измеримые множества a(j3,- попарно не пересекаются, и их
сумма равна Е (конечно, пустое множество не пересекается с
любым множеством).
Очевидно также, что если ср и г)) интегрируемы и А и В —
действительные числа, то интегрируема также ступенчатая функ-
функция
Лф(х) + Bi|)(x) = Лс( + Bdh x e= (a,-, ?,-),
п выполняются равенств*
f (ЛФ + By) d* = 2 2 (Аъ + Bd})
i
г i
л 2 cf 2 М«А) + ? 2 <*; 2 и №)-
i .} 3 i
A 2 Cijxat -|- В 2 dj\i$j = A\q,dx + B.[ydx. A0)
Далее, если <р и г|) — ступенчатые функции, удовлетворяющие
]геравенству ф(х) ^ ij)(x), то с;ц(а,^) ^ djn(a^>), и потому, если
у а г)) интегрируемы, то
\ wdx^l \ \b dx (ф(х) ^ \b(x)), A1)
E E
854 ГЛ. 19. ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА
а если ф(ж) >0 и ф интегрируема, то автоматически интегри-
интегрируема ф.
Заметим, что для интегрируемой ступенчатой функции ф вы->
полняется неравенство (см. (О)
И ф dx =• I 2 ch\ieh I < 2 I сн \ \мк = [ | ф | dx.
\e I * I a e
Важно отметить также, что если ступенчатая функция ф ог-
ограничена (\сЛ^М), то она интегрируема, и для ее интеграла
выполняется неравенство
f ф dx
f | ф | dx < 2 I сл | peh < MyJE. A2)
Обратим внимание па следующий важный для дальнейшего
факт. Пусть па Е задана измеримая функция / и для некото-
некоторого разбиения R действительном оси введены множества
еА = {ph *? /Ы < рк+1), к «= 0, ±1, ±2, ...
С помбщью их построим две ступенчатые функции, называемые
нижней и верхней для /, соответствующей разбиению R:
_/и(х) = р„, х е е,„ /R(x) ¦= p,(+i, х е ел.
Очевидно, что /я(х) </(х) </п(х) и (см. B))
1/лГх)-_/„(х)| *=:б„
для всех х е ?, поэтому также
< бв, |/(х) - / д(х) I < бд.
Отсюда следует, что как нижняя, так и верхняя функции
(соответствующие разбиению Я) стремятся к /(х) равномерно
на Е при бв -*¦ 0:
]im /fl (х) = lim /н (х) = / (х),
какова бы ни была функция /, измеримая на Е.
Заметим, что функции ?R(x) и f п(х) интегрируемы (в смысле
F)) если соответствующие им* ряды, т. е. нижняя и верхняя ин-
интегральные суммы
Sr (/) = 2 Ph\ieh .= ( /д (х) dx,
абсолютно сходятся.
§ 1Я.З. ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА S55
В связи с этим сформулированное вышо предложение Лебега,
которое докалывается ниже в.теореме 1, моягао переформулиро-
переформулировать еще следующий! образом: если для какого-либо разбиения R
одна из ступенчатых функций /п(х) или fR(x) интегрируема на
Е {в смысле F)), то интегрируема и другая, мало того, тогда
все такие функции для любого R интегрируемы на Е и суще*
сгвуют пределы
Ига \[R(x)dx = lim f ]R (x) dx = \ f (x) dx,
*K-*0 E 6R^° E E
равные одному и тому dice числу, называемому интегралом Ле-
Лебега от / на Е.
Теорема 1. Пусть f измерима на Е и для некоторого раз-
разбиения R действительной оси сходится одна из сумм C), ниж-
нижняя или верхняя.
Тогоа сходится к тому же пределу и другая сумма, так же
как сходятся подобные суммы для любого другого разбиения R'.
Кроме того, существуют равные пределы D).
Доказательство. Введем нижнюю и верхнюю ступенча-
ступенчатые функции для разбпения R
/я(х) = pk+i, x 6= ek,
где pk — точки /?, и сто нижнюю ступенчатую функцию /я- .(х),
соответствующую какому-либо другому разбиению R'.
Допустим для определенности, что именпо ряд SR(f) сходит-
сходится. Так как он автоматически сходится абсолютно, то существует
интеграл на Е от /л(х) (в смысле F)), равный
По л силу неравенств
Г/п(х)-Ых)|<6п,
1/л' (х) -/н (х) | < |/д- (х) - /(х) | + | /(х) - /tt(x) | <бн- + 6Я,
ступенчатые функции /к (х) — /п(х) и /ц-(х) — /r (х) ограничены
ц потому интегрируемы. Но тогда интегрируема функция (как
сумма двух ступенчатых интегрируемых функций)
так же как функция
/Н' (X) = /н (X) + [fit- (X) - /я (Х)],
356 ГЛ. 19. ИНТЕГРАЛ ЛКБЕГА
т. е. имеют смысл числа 5«(/) и SR. (х). Этим первая часть тео-
теоремы доказана.
Далее, выполняется условие Кошя (см. A2))
15„ (/) - SH. (!) |< { 1/я (*) - /к- (х) | dx <
< FЯ + бй-) ц^ -+ 0 («и,"««' "> 0),
и мы убедились п существовании первого предела D).
Наконец,
\Sr (/) - SR (/) | =-, J 15Д (х) - ^н (x) |dx< 8R[xE-*-0 Fд ->О),
поэтому существует такгке равный первому второй предел D),
и теорема доказана.
Выше было приведено второе определение понятия интеграла
Лебега, основанное на приближении интегрируемой функции
произвольными ступенчатыми интегрируемыми функциями, не
обязательно нижними или верхними. Оно вытекает из следую-
следующей теоремы:
Теорема 2. Функция / интегрируема по Лебегу на Е тогда
и только тогда, когда возможно определить равномерно сходя-
сходящуюся к ней на Е последовательность интегрируемых ступенча-
ступенчатых функций Яй(х-) (/с = 1, 2, ...). При этом автоматически ока-
окажется, что
Jim |Ч,,(х)йх= \fdx.
E
Таким образом, этот предел не зависит от индивидуальной по-
последовательности {kj.
Доказательство. В самом деле, пусть функция / интег-
интегрируема по Лебегу на Е и/вт(х)— нижняя ее ступенчатая
функция, соответствующая разбиению Н,п с bRm<\!m (т =
=-= 1,2,.. .). Тогда
т. е. последовательность /ят(х) равномерно на Е сходится к /(х)
и, кроме того, как мы знаем из теоремы 1,
f /йт (х) dx = SRm (/) -* j" / dx (m -> oo).
E В
Этим доказано для любой интегрируемой но Лебегу функ-
функции /, что если положить А.т(х) =/дт(х), то будут удовлетво-
удовлетворяться требования, указанные в теореме.
§ 19.3. ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА 357
Наоборот, если последовательность ступенчатых интегрируе-
интегрируемых на Е (в смысле F)) функций %тЫ) равномерно на Е схо-
сходится к- некоторой функции /(х), т. е.
|Хт(х) — /(x)l <em-*0, т -> оо
(ет не зависят от хеД то / измерима ji конечна на Е (см.
§ 19.2, .теорема 2) и ее определенная, как выше, нижняя ступен-
ступенчатая функция /нт (х) тоже равномерно сходится к /:
|/(х)-_/Дт(х)|<±-+0, т-коо.
Отсюда
j Ят (X) — /Лт (X) | < [ Хт (X) — / (X) | + 1 / (X) — /Вт (X) | <
<ет + ^-->0, тга^оо. A3)
При любом т функция /ят (х) интегрируема (в смысле F)),
потому что она представляется как сумма
f_Rm (X) = кт (X) + (/дш (X) - Кт (X))
двух ступенчатых интегрируемых функций. Ведь Ят интегрируе-
интегрируема по условию, а /нт — hm ограничена. Но интегрируемость /нт
(в смысле F)) выражает существование нижней интегральной
суммы / для разбиения Rm, и в силу теоремы 1 можно заклю-
заключить, что паша функция интегрируема по Лебегу на Е и что
Е
где слева стоит интеграл от ступенчатой функции/нт (х) в смыс-
смысле F), а справа — интеграл в смысле первого определения D).
Наконец, учитывая еще, что (см. A3))
E
получим (см. A0))
J Xm dx = j [нт dx + ( (ят - /fim) dx -> J / dx.
? ? E E
Интеграл в смысле F) для стукенчатой интегрируемой функ-
функции ф(х) совпадает с интегралом в смысле первого определения,
потому что можно считать в теореме 2, что ф приближается
функциями Хт = ф (т = 1, 2, ...).
Перейдем к основным свойствам интеграла Лебега.
1. Если функция f интегрируема по Лебегу на Е, то она бу-
будет обладать этим свойством, если ее видоизменить любым обра-
858 " ГЛ- ID. ИНТЕГРАЛ ЛКВКГА
зол на множестве лебеговой меры нуль или, как говорят, если
заменить ее равной ей почта всюду функцией /,. Принятом
Е Е
ji называют функцией, эквивалентной /.
У то свойство очевидно, потому что S „(/) =5й(/1) для любого
разбиения Л.
Когда мы говорили, что функция / интегрируема (по Лебегу)
на Е, то мы считали, что она конечна на Е, т. е. приводит в со-
соответствие каждой точке х^Е число (конечное число). Но при
оперировании с интегралом Лебега полезно ввести понятие ин-
интегрируемости по Лебегу функции /, заданной (конечной) почти
всюду на Е, то есть всюду на Е, за исключением множества ле-
лебеговой, меры нуль. В остальных же точках х<^Е она не опре-
определена, в частности, это могут оказаться точки, где естественно
считать /(х) =* °°.
По определению функция, заданная (конечная) почти всюду
на множестве Е, называется интегрируемой по Лебегу па Е,
если она интегрируема но Лебегу па множестве Е', где она ко-
конечна. При этом полагают
f/dx= f fdx.
k
Таким образом, Е' — измеримое множество, а вместе с ним и Е
(ведь \а(Е-Е')=0).
Совокупность всех почти всюду конечных интегрируемых по
Лебегу на Е функций принято обозначать через L(E). В частно-
частности, она содержит в себе как часть совокупность конечных на Е
интегрируемых по Лебегу функций, которая в свою очередь со-
содержит в" себе как часть множество ограниченных измеримых
на Е функции.
Например, если Е есть_ (одномерный) отрезок [0, 1], то можно
сказать, что функция l/Ух конечна почти всюду па [0, 1], пото-
потому что она конечна на полуинтервале . (О, 1], отличающемся от
[О, 1] на множество меры пуль, состоящее из одной иулеввй
точки. Мы увидим в дальнейшем (см. свойство 15)), что интег-
интеграл от этой функции в смысле Лебега существует и совпадает
с несобственным интегралом Риыана о;г нее:
¦ Ух J Ух J Ух ' '
[0,1] V @Д1 V 0 V
Таким образом, рассматриваемая функция принадлежит /ЛГО, II)
так же, как Ь(@, 1]),
5 10.3. ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА 359
Целесообразность введения понятия почти всюду конечной
измеримой функции возникает также в следующей ситуации. По-
Последовательность измеримых -конечных па Е функций jh(x) мо-
может оказаться сходящейся к некоторой конечной функции толь-
только почти всюду па Е. В остальных же точках Е, составляющих
множество лебеговой меры пуль, либо существует (несобствен-
(несобственный) предел, равный °°, либо никакой предел, конечный или
бесконечный, не существует.
Если F и Ф — почти всюду конечные измеримые на Е функ-
функции, &¦ Л и В— числа, то функция AF + ВФ определяется сле-
следующим образом. Пусть Е', Е" —соответственно множества, где
F и Ф конечны, они будут конечны и-на- (измеримом) пересече-
пересечении Е^ ¦¦=---Е'Е". Определяем функцию AF + ВФ на Е* обыч-
3!ым образом, этим она будет определена почти всюду на Е.
Ведь ц (Е - Е„) = 0.
2. Если F, фе?(?) и F(x) < Ф(х) почти всюду на Е, то
\ Fdx< f ФAх. A4)
е к
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть пока F и Ф конечны на Е. Для
любого разбиения R
FH(x) *s Fix) < Ф(х) s? фл(х), х^Е.
При этом из ток), что F, Фе?(Ё), следует, что ступенчатые
функции FR и Фи шгтегрируемы па Е, и так как FR(x) < Фв(х),
то (см. (И))
К К
Переходя в этом неравенстве к пределу при 6д->-0, полу-
получим A4).
В общем случае вводим наибольшее множество Е' с Е, где
F и Ф конечны и выполняется неравенство /Т«*Ф. Для него
доказываем неравенство (?14) с Е' вместо Е, ио так как \iE' =
*= цЛ', то A4) верно и для Е, потому что мы решили формально
в этих случаях считать, что
f F dx ^ f F dx, \ Ф dx = f Ф dx.
"е _ к' 'к К'
3. ?слм /*', Ф е L(/i) u Л и В — действительные числа, то
AF + ВФ^ЫЕ) и
j (AF + ВФ) dx = A j" /r dx -f Л f Ф dx. A5)
Е Е К
Доказательство. Пусть Е' (цЕ' = \хЕ) — наибольшее
множ-ество, на котором /<* и Ф конечны. По теореме 2 существу-
существуют равномерно сходящиеся соответствеиио к /'' и Ф нослсдова-
360 ГЛ. 19. ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА
телыюсти ступенчатых интегрируемых на Е' функций Fk, Фк(к —
•= 1, 2, ...). В силу A0) для них имеет место
j (AFh + ВФк) dx = A J Fh dx + В J Фк dx, AG)
E' ¦ E' E'
и так как Fk, ФА, AFk + ВФк — ступенчатые интегрируемые функ-
функции, сходящиеся равномерно соответственно к конечным функ-
функциям F, Ф, AF + ВФ, то не только F и Ф, но и AF + ВФе=Ь(Е'),
и в равенстве A6) законно перейти к пределу при к -»- «> под
знаком интеграла. Наконец, так как ц? = ytE', то имеет место A5).
В частности, из A5) при А = 1, В = ±1 следует, что
J (Р±Ф)Лх= f /tfx ± f Ф dx
Ё ЕЕ
(существование интегралов в правой части равенства влечет су-
существование интеграла слева).
По индукции доказывается, что
<ь = 2[д<*х (г = 1,2,...).
Е 1 г Е
4. Если Ег.<=Е, Ei измеримо и функция f^L(E), то f=L{Et),
т. е. / есть почти всюду на Et конечная интегрируемая по Ле-
Лебегу функция.
Доказательство. Пусть Е' — наибольшее множество, на
котором / конечна и i?i = Е'Ех. Тогда для любого разбиения R
(см. A))
еь={х:хе=?ь ph < / (х)
с:{х:хе?:', л < / (х)
Поэтому в силу того, что конечная на Я' функция
Но Тогда по теореме 1 /el(?i), Следовательно, |еВД,), ведь
jx^! = u-Еь
5. ^сди f&KEJ, /еШг) и ц^Я^^О, то /еЩ, + ?,) и
J /dx=J/dx+j/dx. A7)
Доказательство. Пусть пока / конечна на ?\ + Ег. Для
произвольного разбиения if? определим множества
е'к = {X: х е Elt
= (x : x e Ek + Eit ph
S 19.3. ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА 361
Если учесть, что \х{Е{Ег) — О, то очевидно \ieh == \ieh -f- ueft. Отсю-
Отсюда для нижних интегральных сумм / относительно множеств
Ei + Ег, Ei, Ег выполняется равенство
В силу условий теоремы ряды справа сходятся, а с ними схо-
сходится и ряд слева, отсюда /el(?i + ?z). После перехода к пре-
пределу при 6д -*• 0 из этого равенства следует A7).
В общем случае вводим множества Ех а Ех, Ег с: Ег; цЕ1 =»
= цЕх, цЕ'2=ц.Е2, на которых / конечна. Для них верно ра-
равенство A7), но тогда оно верно и для Еи Ег.
По индукции доказывается, что (ц(ЕкЕ,) = 0, к Ф I)
г ¦ N г
J fdx= 2j fdx.
N Ь=1 Еъ
U Eft
6. Если ограниченная функция f интегрируема" по Риману на
множестве Е, то она интегрируема и по Лебегу и интегралы от
/ по Е в обоих смыслах равны.
Действительно, ограниченная интегрируемая на Е по Риману
функция измерима (см. теорему 4, § 19.2), поэтому интегрируема
по Лебегу. Если теперь Е представить в виде суммы Е = U Еъ
к
конечного числа измеримых по Жордану (следовательно, и по
Лебегу) множеств, пересекающихся попарно разве что по своим
границам (жордановой, следовательно, и лебеговой меры нуль),
то для лебегова интеграла от / по Е получим (см. свойство 2)
|1
е к 'Ek к
и так как левая и правая части этой цепи стремятся при
max d{Eh) -*¦ 0 к римапову интегралу от / по Е, то последний ра-
к
вен соответствующему лебегову. Здесь тпк, Мк — соответственнв
нижняя и верхняя грани / на Ек.
7. Пусть / — измеримая на Е неотрицательная функция не
обязательно конечная (fix) ^ +°°, х е Е) и
Тогда, если fe=L(E), то
lim \(f)Ndx= \fdx. A9)
W-»~ e E
Наоборот, если существует предел слева в A9), то /
362 ГЛ. 19. ИНТЕГРАЛ Л1СБЕГЛ
Доказательство. Пусть /е L(fJ), тогда множество {xj
fix) = +оо} имеет лебегову меру нуль, и (/)л- измерима и ограни-
ограничена на Е, потому что при A^N {(/)# <А) = if < А) и при
A>N {(/)N < А} = Е. Таким образом, (/)we=?(?) и, кроме того,
(/)да(х) < (/)w+i(x) </(х). -Поэтому для любого разбиения R
(см. A))
2 PW < J (f)N dx< f / dx B0)
? is
2
и после перехода- к пределу при N -*¦ <» получим
SK (/) < 1 ira f (/л,) d.r < i' / dx. B1)
Но первый член в этой цепи можно взять как угодно мало отли-
отличающимся от третьего, и потому верно равенство A9).
Если теперь предположить существование конечного предела
слева в A9), то множество е = {х: хе?, /(х) = +°°} автоматиче-
автоматически будет иметь меру нуль. Ведь имеет место неравенство
(/).vdx==.-JVfi*,
левая часть которого илгеот При N-*- °о конечный предел, что
возможпо линп. если (хе = 0. Но из псриосо неравенства в B1)
тогда еще получил! (спитая po = Q)
Следовательно, функция / интегрируется на множестве Л",
где она конечна, т. е. /'<= IAE'), или, что все равно, f<=L(E).
Отметим, что интегрируемость / па К' уже предполагает авто-
автоматически измеримость Е', таким образом, и Е.
Из сказанного следует, что интеграл Лебега от неотрицатель-
неотрицательной измеримой на Е (не обязательно конечной) функции, можно
определить как предел A9).
"В некоторых изложениях теории интеграла Лебега начинают
с этой теории для ограниченных измеримых функций, а затем
вводят понятие суммируемой (неограниченной, но принадлежа-
принадлежащей L(E)) неотрицательной функции, определяя ее как измери-
измеримую на Е функцию /, для которой существует .конечный предел
A9).-Этот предел и объявляется по определению интегралом Ле-
Лебега от / па Е.
Из свойства 7 следует, что совокупность всех таким образом
определенных функций в точности совпадает с совокупностью
неограниченных неотрицательных функций, принадлежащих Ь(Е),
Измеримая неограниченная конечная на Е функция произ-
произвольного знака называется суммируемой на Е, если ее можно
представить в виде разности двух конечных неотрицательных
§ 19.3. ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА 383
суммируемых или ограниченных измеримых функций. Всякая
такая разность, очевидно, принадлежит к ЫЁ). Ниже будет по-
показано, что и, наоборот, всякая конечная на Е функция- /е Ь{Е)
может быть представлена в виде разности двух неотрицательных
конечных" функций, принадлежащих ЫЕ), т. е. в другой терми-
терминологии*), каждая из этих функции либо измерима и ограни-
ограничена, либо суммируема на Е.
Произвольная, заданная почти всюду на Е функция / назы-
называется суммируемой на Е, если она суммируема на множестве
/л" сг Е, где / конечна и \iE' = \iE.
Пусть функция / конечна н измерима на Е. Определим для
нее дне неотрицательные, тоже очевидно измеримые конечные
на Е функции
( (/(х)>0), | О- (/(х)>0),
/<х)<0), Мх)=1-/(х) (/<*)< 0). B2)
Очевидно, что
/ /+(х)-/-(х), |/(х)|=/+(х)+/_(х). B3)
Если /+, /- е 1(Д, то и /?/Д?) (см. свойство 3), и выпол-
выполняется равенство
f / (х) dx .= [ /+ (х) dx - { /_ (х) dx. B4)
К К Е
По верно и обратное утверждение: если f<^L(E), то также
/+, /_ е L(?). В самом деле (пояснения ниже),
f/+(x)dx- j /(x)dx-f j Odx= J f(x)dx.
Третий член в этой цепи имеет смысл, потому что множество
{f~>Q}czE измеримо и из иитегрирубмостн / на Е следует ин-
интегрируемость / на атом множестве (см. свойство 4). Переход от
третьего члена цепи ко второму тривиален, потому что множе-
множество {/=5 0} измеримо н интеграл от функции, тождественно рат-
ратной нулю на нем, равен очевидно нулю. Наконец, переход от
второго' члена цепи к первому и утверждение, что /teL(E),
следуют из свойства 5. Аналогично доказывается, что j-^.L(E).
8. Если F и Ф — измеримые функции на Е -(могущие быть
равными +оо), (К/Чх) ^Ф(х) и ФеШ), то F^L(E).
В самом деле, из условия следует, что (F)N ^ (Ф)* на Е при
любом N, и так как (F)k, (ФЬ, Фе/Л?), то (см. свойство 2)
dx < _( (Ф)л- dx< \ Ф dx.
Е Е
*) Впрочем, при употреблении лтой терминологии обычно соглашаются
и.-мывать все функции / е L(E),, как ограниченные, так и неограниченные,
суммируемыми.
.364 ГЛ, 19. ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА
К тому же первый член этой цепи при неограниченном возра-
возрастании N не убывает и, таким образом, стремится к конечному
иределу. Но тогда в силу свойства 7 F^LiE).
9. EcAuf&UE), то !/|e=L(?) и.
/|dx. B5)
''Обратное утверждение верно только в такой формулировке:
если функция, заданная почти всюду на Е, измерима на Е и
I/I e/,(?), то и f&U-E).
Доказательство. Пусть Е' с: Е, \хЕ' = цЕ — множество,
на котором / конечна. На нем можно определить, как мы знаем,
неотрицательные функции /+, /_ е L(E'), для которых
I/U)I = /+(х) + /_(х), fix) = /+(х) - /_(х).
Отсюда \f\ ^L(E'), следовательно^ также I/I <=L(E), Кроме
того, выполняются равенства
jl/lix-J /+dx + .f f-dx, f /dx= f/+dx-j/_dx,
E' B' B' E' E' E'
из которых, если учесть, что интегралы от /+ и /_ суть неотрица-
неотрицательные числа, непосредственно следует неравенство B5) с А"
вместо Е, но тогда это неравенство верно и для Е.
Пусть определенная почти всюду па Е функция / измерима
на ? и I/I's L(E). Тогда на Е' (где / конечна) имеют смысл из-
измеримые неотрицательные функции /+ и /_ и выполняются нера-
неравенства |/(х)| 3» f+{x), f-(x), откуда следует в силу свойства 8,
что /+, /_ a UE1, и тогда / = /+ - /_ е ЦЕ').
Отметим, что существуют множества, не измеримые в лебего-
лебеговом смысле, но мы слишком бы уклонились от цели, если бы
остановились на этом вопросе. Пусть все же е есть неизмеримое
множество, принадлежащее кубу Д, и функция i|>(x) равна 1 па
е и —1 на А — е. Она очевидно не измерима, и потому не .может
быть речи о принадлежности ее к /ДА). Между тем, |if(x)|el
и |г|з|е?(Д)..
10. Если f&L{E) и ф — измеримая ограниченная функция
на ?Йф(х)| <М), то /фб?(?) и,
cfc = Jlf J|/|«fc. B6)
Ё
Это следует из свойства 2 и A5) при В = 0.
11. Если функция f*sL{E), то для любого е >0 существует
б > 0 такое, что для любого множества е<=-Е меры \ie < б выпол-
выполняется неравенство
J B7)
§ 19 3. ИНТИГРАЛ ЛИВГСГА 365
Доказательство. Будем пока считать / неотрицательной
па Е. Зададим е >0 и подберем N так, чтобы
J/dx- j" (/)*
E
Теперь, учитывая, что / — (/)* 3= 0 на Е, для множества
с це < 8/2^ получим
J" / dx= J (/)wdx + j (/ - (/)»
В общем случае, когда f^L(E) любого знака и задана толь-
только почти всюду на Е, вводим наибольшее множество Е'<=-Е, где
/ конечна, тогда конечная на Е' функция I/I «s H.E'), и в силу
доказанного для любого е>0 можно указать 6>0 такое, что
выполняется неравенство B7), каково бы ни было множество
e'czE', |хе'< б," заменяющее пока е. Но тогда справедливо также
утверждение теоремы, ведь если ее Е и це < б, то еЕ' czE' и
и,(е?') = ".е.
Свойство 11 можно еще выразить так: если f^L(E), то како-
какова бы ни была последовательность измеримых множеств ек с
jie,, -*• 0, имеет место
\fdx
12.
e = e, + e2 + ...<= E
измеримые множества, ц{еке,) =0, кФ1 и / s L{E), то -
B8)
В самом деле, существование интегралов, входящих в правую
часть итого равенства, следует из свойства 4. Далее, в силу свой-
свойства 11
J/dx-?j/dx = J /dx-0, ЛГ-oo,
е х е,. N
1
потому что (§ 19.1, теорема 5)
»-0, N-+-OO.
866
ГЛ. 19. ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА
13. Теорема Л е б ега. Если последовательность функций
fk&L(E) сходится почти всюду на Е к функции } и почта всюду
на Е выполняется неравенство 1/к(х)| «S Ф(х) (k = l, 2, ...), где
Ф €=?(?), то fe-L(E) и
JJ(x)dx, B9)
к-* со ^
т. е. при указанных условиях можно переходить к пределу под
знаком интеграла.
В частности, равенство B9) верно для сходящейся к fix) огра-
ограниченной последовательности Д(х).
Доказательство. Пусть E'czE есть наибольшее множе-
множество, на котором функции Ф и fh -конечны, удовлетворяется не-
неравенство 1Д|<Ф и, кроме того, /й(х) -*¦ /(х). Очевидно, \iE' «=¦
= \хЕ, / измерима на Е' и |/(х)| sS Ф(х) на ?", и так как Фа
е LUE), то 1/1 е ?(?') и / е /Л?). Положим Е' = ?fe + b'/j, где
?l = {"??", | / (х) - fh (x) I > 6),
E"h - {x: xe ?', |/(x) - /A (x) |<6}.
Тогда [lEh-> 0, &-> оо(см. теорему 3, § -19.2), и
где б>0 вЭято так, чтобы 6^/?-<e/2, и затем (см. свойстио 11)^
пользуясь тем, что цЕь~+0, подобрано достаточно большое /<¦„,.
чтобы f Ф dx <-| (/с > /г„).
14. Пусть последовательность неотрицательных {принимаю-
{принимающих значения конечные или +«>) на Z? функций /,еЦ?) не
убывает. Тогда для предельной функции
lim/,(х) =/(х)
имеет место равенство.
lira
h->oo j
= J/(x)dx,
{ 19.3. ИНТЕГРАЛ ЛЕБВГЛ 367
еде правая часть есть интеграл Лебега от f на Е, если /<
и есть +<*>, если f^lAE).
Доказательство. Пусть f^L(E). Тогда фупкция /,
а вместе с ной и Д, конечны на множестве Е' cz Е меры \iE' =»
¦= \хЕ, и на Е' выполняется теорема Лебега (свойство 13), где
Ф =¦/. Поэтому имеет место C0), если заменить Е на Е', но
тогда и для Е, Таким образом, существует предел слева в C0),
равный лебегову интегралу от / на Е.
Обратно, пусть существует конечный предел
J'm f/hdx=a A< об.
к
Так как (Д)м^Д на Е, то (см. свойство 2)
Г Г
В ' " Х^ Е
т. е. j (Д)лго!х<А.
к
Учитывая еще, что (Д)*-*¦(/)», к~+-°о па Е, после перехода
к пределу иод знаком интеграла (см. свойство 13) получим
J (/)гу dx< A,
Е
каково бы ни было N > 0. По тогда f^L(E) (см. свойство 7).
15. Пусть функция f интегрируема несобственно в смысле
Римана на Е. ДлТь того чтобы она была абсолютно интегриру-
интегрируемой на Е {в римановом смысле), необходимо и достаточно, что-
чтобы f^L(E), и тогда римаиов несобственный интеграл от f на Е
равен лебегову интегралу от f на Е.
При доказательстве ограничимся случаем, когда риманов пе-
собственный интеграл от / имеет-единственную особенность в
точке х° е Е.
Если ввести для любого натурального N функцию
'¦«Л Г 1= V Fm
ЛЬ •*• fcr; i, Г IV,
где Vrr — ша"р радиуса 1/N с центром в х", то рассматриваемый
интеграл можно записать как предел
lim \/jvdx
Если / к тому же принадлежит ЫЕ), то этот интеграл можно
рассматривать кап лебегов, что вытекает из теоремы Лебега (см.
свойство 13), потому что fN -*¦ / и |-/w| «ч I/I ^L(E). 1^роме того,
368 ГЛ. 19. ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА
в силу свойства 11
f |/|dx-»-Of tf-^oo,
EVN
и потому
f |/|dx-»-0, N, N'-t-oo, N<N',
что показывает, что риманов несобственный иптеграл от / абсо-
абсолютно сходится. Надо еще учесть, что интеграл- J / dx
E(VN-VN.)
можно рассматривать как в смысле Лебега, так и в смысла
Римана.
Наоборот, из абсолютной сходимости римапова интеграла сле-
следует существование предела
Km J |/jv |dx = lim j \j\dx,
но тогда, учитывая, что I/Nl < i/w+il, в силу свойства 14 I/I э
ei(t'), следовательно, /si(?), потому что / измерима по Лебе-
Лебегу на Е.
1В. Если для почти всюду неотрицательной на Е функции
feLiE) выполняется равенство
J/dx=O, C1>
Е
го fix) «= 0 почти всюду на Е.
В самом деле, допустим, что существует множество ecz E по-
положительной меры, на котором 0 < fix) < °°. Функция измерима
на нем, и в силу теоремы 5, § 19.2 существует множество е' <=-е
положительной меры, на котором fix) > X, где К — некоторое по-
положительное число. Но тогда было бы
что противоречит равенству C1).
17. Пусть /еЩ), Для любого е >0 найдется ступенчатая
функция
ft, *^FiCzE (/= 1, ...,7V),
^ ' @ для остальных хе?
с конечным числом ступенек, где F, — замкнутые попарно непе*
ресекающиеся множества, так что
J C3>
ж
При этом, если fix) > 0, то и <jp(x) ^ 0.
§ 19.3. ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА
Доказательство. Вводим множество E'czE, рЕ'^
где / конечна, и определяем нижнюю интегральную функцию
с J>o = 0 и бл < е/3ц? (случай |д,Е = 0 тривиален). Тогда
J |/ —фх|сг
И ?
Определяем далее функцию
fj?ft, xe=eh, 1 А:
Фа (х)
(О для остальных хе?,
где N выбирается настолько большим, что
Наконец, определяем замкнутые множества Fk с: ек, а с ними
функцию
для остальных х,
так, чтобы
JI Фа — Ф I
в
Очевидно, функция ф удовлетворяет условиям утверждения,
нужно только ph, Fh заново перенумеровать. Так как мы положи-
положили р0 = 0, то ф(х) неотрицательна вместе с fix).
18. Пусть /s?(G), где G — ограниченное открытое множество.
Для любого е > 0 найдется ступенчатая финитная в G функция,
ait xeAj, i = 1, ...,/»,
0 Зля остальных х,
где Д( с G — попарно непересекающиеся кубы с гранями, парал-.
лельными осям координат, так что
Доказательство. Определяем сначала ступенчатую функ-
функцию ф C2), удовлетворяющую неравенству C3) (см. свойство 17),
где надо положить E = G. Определяем далее фигуры ohczG, не
370 ГЛ. 19. ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА
пересекающиеся попарно и покрывающие Ь\*), и вместо с ними
¦ступенчатую функцию
@
(О для остальных х,
и притом так, чтобы
JV
что в силу того, что./'j — попарно не пересекающиеся, ограничен-
ограниченные, замкнутые, таким образом, измеримые, множества, возмож-
возможно. Каждую фигуру ак можно считать суммой конечного числа
кубов, пересекающихся разве что по своим границам. Вместо а4
можно определить фигуры ak cz ah, каждая из которых есть сум-
сумма непересекающихся кубов, и ввести ступенчатую функцию
ДЛЯ ОСТЭЛЫ11.ТХ X;
и притом так, чтобы
с N
lii iij Vi И ' I ^-
J И3! ~ гИ *X = 2j\ ch \'\ °k — °h < e'.
Очевидно, что
J | / — ф j cZx + f | ф _ ^ | dx-f j | ^ — t|> | dx < 3et
в с
что доказывает утверждение.
19. Теорема Фубини**). Для измеримой на кубе
А = {0 «S х-, < a, / = 1, ..., и}
функции /(х)-=/(ж1) ..., xn) = f(xl, у), у=(^, .;., х„) и.иее7' ле-
.сто равенство
а
J / (х) rfx - J if! J,/ (х17 у) dy, А' -- {0 < Xj < а, / =-- 2, .. ., »},
д о д'
C4)
которое надо понимать следующим образом.
Если f(x)sL(A), то почти, для всех xt существует лебегов
.интеграл
$f{xi,y)dy. C5)
Л'
*) Чтобы достичь этого, можно воспользоваться прямоугольной соткой
.S, разбивающей Д„ на кубы с ребрами длины 2~" (см. § 12.2) при доста-
достаточно большом N, положив Oft = (i)(Fh).
**) Г. Фубини A879—1943)—¦ итальянский математик.
S 19.3. ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА 371
представляющий собою функцию of х{ интегрируемую (в лебе~
говом смысле) на отрезке [Q, а\. При этом выполняется равен*
ство C4). Но также, если fix) измерима и неотрицательна на Д
и почти для всех х{ е [О, а] существует интеграл C5), в свою
очередь интегрируемый по xt на [О, а], то feL(A).
Другая формулировка теоремы заключается в следующем:
Пусть EczBn — измеримое множество, Е(хЧ)—¦ его сечение-
плоскостью #г= х°, г. е. множество всех у, для которых {х^, у)<=
е Е и \Е{х\)\1, — мера ((» —1)-мерная) множества Е(х\) {если
последнее измеримо). Пусть еще G — множество тех значений хи
для которых | Е (X)) |* > 0.
Тогда справедливо равенство
f f(xl7 y)dy, C4')
которое надо понимать следующим образом. Если f^L(E), то
G — измеримое одномерное множество, почти для всех i,eG
существует внутренний интеграл справа в C4'), представляющий
собой интегрируемую по i,eG функцию, и верно равенство C4').
Кроме того, если /{х)_—измеримая неотрицательная (не обяза-
обязательно всюду конечная) на Е функция, для которой существует
повторный интеграл справа в C4'), то j = L{E).
Доказательство. Назовем характеристической функцией
множества Е функцию
Если Е с: Д измеримо, то очевидно, что
j «Ре (х) dx = j dx = рЕ.
Пусть еще l^v^i)!* есть (п — 1)-мерная мера сечения Е пло-
плоскостью х1 = Xi.
Теорема очевидна для характеристической функции множества
Л7 N
Ojv = 2 Aft ^ ^» ^CTw = 2 |.Aft |. состоящего из конечного числа
кубов (пересекающихся разве что по своим границам). В этом
случае равенство C4) сводится к следующему:
а а
\kon ------ j dxt у dy = J | стдг (a-'O |* dxu C7)
Докажем лемму..
572 ГЛ. 19. ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА
Лемма 1. Пусть /, fN (N = 1, 2, ...) — неотрицательные (при-
(принимающие значения конечные или +°°) функции на А такие, что
iV = l, 2, ..., C8)
U •* 1 C9)
монотонно и для всех N верна георема Фубини
а
J/wAc= J Ac J /*(*!, y)dy. D0)
Д О Д.'
Тогда существование лебегова интеграла в левой части C4)
¦влечет существование равного ему повторного интеграла в пра-
правой части C4) и наоборот.
Справедливость леммы следует из равенств (пояснения ниже)
I fdx = lim \ fN dx — lim dxx /n (ar1( y) dy —
a w^»X л-с^ i,
a a
= J Arx lim J /w (xlt y) dy = J dxx j /(arb y) dy, D1)
Д' 6 Д'
верных в предположении, что существует любой из членов цени
D1). Первое из них следует из C9) (в случае убывания fN по
теореме Лебега и в случае возрастания по свойству 14)). Вто-
Второе — из D0), третье — снова из C9), потому что интеграл
/n (a:^ y) dy
A'
изменяется монотонно при возрастании N, четвертое тоже следу-
следует из C9). В самом деле, если существует четвертый член цени,
то почти для всех xt e [0, а] существует предел
lira )fN{xlt y)dy D2)
А'
и в силу C9) этот предел равен
Наоборот, если существует пятый (последний) член цепи, то
почти1 для всех xte[0, а] существует интеграл D3), позчому в
«илу C9) он равен пределу D2). Этим лемма доказана.
Лемма 2. Теорема- Фубини верна для характеристических
функций срс(^), ф^(^) произвольного ограниченного открытого или
замкнутого множества G, F <= Л.
§ 19.3. ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА 373
Доказательство. В самом деле, пусть
где ДА — замкнутые кубы. Для характеристических функций
N
<Pojv (х) фигур o\y = 2 ^h» как мы знаем, теорема Фубини верна,
но тогда, в силу леммы 1, она верна и для фо(х), потому что
<pajv,<f0 s Z,(A); фр_у(х)->-фс(х), не убывая.
Заметим, что в доказанном равенстве
j Фс (х) ^х = j dxv j фо (xj, у) dy
Д о Д'
внутренний интеграл справа существует для веек xts[0, a],
потому что сечение GixJ при любом х^ есть открытое ограничен-
ограниченное, таким образом, измеримое (в (и — 1)-мерном смысле) мно-
множество.
Пусть теперь F с: Д — замкнутое множество. Поместим F в
некоторый открытый куб Д. Тогда A — F — G — открытое множе-
множество и qv(x) = фд(х) — фо(х). В силу очевидных аддитивных
свойств интегралов, входящих в равенство C4), верность теоремы
Фубини для ц>р следует из ее верности для фд и ф0.
Л е м м а 3. Теорема Фубини верна для характеристической
функции ф„(х) произвольного измеримого множества есД,
В частности, если |е|=0, то почти для всех ж, s [0, а] сечение
е{х,) имеет (п — \)-мерную меру нуль; наоборот, если е измеримо
и почти для всех xt сечение eix'J имеет {п—1)-мерную меру
нуль, то \е\ ==0.
Доказательство. В самом деле, пусть е <= Д измеримо.
Определим две последовательности открытых и замкнутых мно-
множеств
G, ¦=> G2 =>... => е =э ... =. F2 => Fi
так, что \GJ, \Fk\ -*¦ \е\, к ->- °°, и положим
ОО _ СЮ
П Gk = e zd е гэ е = U Fh,
1 1
где очевидно IGJ -*¦ \ё\ = lei, 1^1 -*• \е\.-= \е\.
Так как для функций фС]У (х) и ?fjv(x) пРи любом N = 1,2,...
по лемме 2 теорема Фубини верпа и они неотрицательны и мо-
монотонно стремятся соответственно к ф-(х) и фе(х), то в силу
леммы 1 верпа также теорема Фубини и для этих последних двух
374 ГЛ. 19. ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА
функций:
а
J фе (х) dx = J q>- (x) dx = ]¦ dxl \ ф- (х}, у) dy, . D4)
Д Д О Д'
а
J фе (х) dx = j Фе (х) dx = j dxx ] фе (^, у) dy. D5)
Д Д Д'
Д' '
Если теперь |е|=0, то равны также нулю все 'ыгокы цепи
D4), и тогда почти для всех хх <= [0, а] равен нулю так;ке внут-
внутренний интеграл справа в D4). По
и поэтому для указанных хг очевидно, что существует и равен
пулю интеграл
) Фе (*1. У) dy = 0.
Следовательно, для таких xt функция Ц)е(ху, у) по у измерима
множество e(xi) — {у; фД^, у) = 1} имеет (п — 1)-мерную меру
Наоборот, если е измеримо и почти для всех a;Je[0) a]
= 0,
Д'
то существует равный пулю повторный интеграл
а
j dx1 J фе (хъ у) dy
В Д'
и в силу неравенств
^Дх)>фДх)>0
существует и равен нулю повторный интеграл справа в D5), по
тогда существует и равен пулю интеграл слева, следонателыго,
lei — 0.
Если теперь е — произвольное измерзшее множество, то, в си-
силу аддитивных свойств повторных интегралов справа в D4), D5),
в них можно заменить ё и е на е, потому что \ё — е\ — \е — е\ —
¦= 0. Далее, если повторный интеграл
\ (хц У) dJ
Д'-
существует, то по той же причине существует равный ему инте-
интеграл, состоящий в правой части D4). Этим теорема Фубнни для
фДх), где е — измеримое множество, доказана.
§ 19.3. ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА 375
Лемму 3 можно еще выразить при помощи следующих ра-
равенств:
о
I e | ~ J I e (*i) |* dxL = J | е (х,) U dxlt со = {xt: \ е (хг) |, > 0}, D6)
о (о
где е сг Д — произвольное измеримое множество.
Лемм а 4. Теорема Фубини верна для множества е лебего-
лебеговой меры нуль и какой угодно функции f (конечной, бесконечной
и даже неопределенной на е):
а
dx^§dxt J f(xL,y)dy. D7,)
Эта лемма есть непосредственное следствие предыдущей лем-
иы ,3 и того факта, что интеграл по множеству е меры нуль от
любой функции равен нулю. В самом деле, левая часть равен-
равенства раина нулю. Кроме того, в силу леммы 3 почти для всех
xi е [?о а] мера | А (.г^) |+-= 0, а это показывает, что правая часть
D7) равна пулю.
Покажем теперь последовательно, что теорема Фубини верна
в следующих случаях.
а) / — ступенчатая (конечная) на Д неотрицательная функ-
функция:
Ведь в силу леммы 3 функции
\ch, xe«i, /с = 1 ЛГ,
/ - (х) —
[0 для остальных хеД
очевидно подчиняются условиям леммы 1.
Таким обрапом, если ступенчатая неотрицательная функция
/si(A), то существует повторный интеграл справа в C4), рав-
равный левой части C4). Наоборот, если для ступенчатой неотрица-
неотрицательной функции существует указанный повторный интеграл, то
/еЩ).
б) / — неотрицательная конечная измеримая па Д функция.
13 самом деле, введем последовательность разбиений RN {N =
¦=> 1, 2, ...), делящих правую полуось точками pi. ) = к 2~
{к = 0, 1, 2, ...). Соответствующие этим разбиениям нижние
ступенчатые функции /w(x) очевидно удовлетворяют условиям
леммы 1.
В даннйм случае (для неотрицательной конечной /) из того,
что функция -/<s ТЛЕ), следует существование для п&е повторного
интеграла справа и C4) и наоборот.
376 ГЛ. 19, ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА
Докажем теперь теорему в общем случае. Пусть / с: /,(А) п
е — множество (меры нуль), на котором / бесконечна или не оп-
определена. Положим
(О, хе<?,
/l(xH/(x), xeA-, /-/.+ -А-+ /..
где /1+, U- определены по /i, как обычно (см. § 19.3, B2)), а /э,
таким образом, равна нулю почти всюду на А. Учитывая очевид-
очевидные аддитивные свойства интегралов, входящих в C4), и тот
факт, что теорема верна для fi+, /t_ (см. б) и лемму 4), получим,
что она верна для /, т. е. существует повторный интеграл справа
в C4) и верно равенство C4).
Пусть теперь / — измеримая неотрицательная на Д, вообще
говоря, не конечная функция и для нее повторный интеграл спра-
справа в C4) существует.
В силу того, что / измерима (см. ссылку в начале § 19.2),
"множество е, где / = +°°, измеримо. Положим / = /i + /2, где
/i, /2 имеют определенный выше, смысл. Таким образом, Д не-
неотрицательна и конечна па А, а /2 = 0 вне е. По условию почти
для всех ^еЮ, а] интеграл ] /(?,, у) dy конечен, и потому для
А'
таких Xi сечение е(х{) имеет (п — ,1)-мерпую меру нуль. Но тогда
\е\ = 0 (см. лемму 3) и для /2 справедлива теорема Фубпии. Сле-
Следовательно, существует повторный интеграл справа в C4) для
функции /i"=/ — /2, ведь такой интеграл существует для / и /2.
По тогда (см. б)) /,е?(Д) и для /, верно равенство C4), следо-
следовательно, /еЩ) и верно равенство C4).
Теорема в первой ее формулировке докапана.
Ясно, что из второй формулировки при Е = А следует первая.
Но и нао&орот. В самом деле, пусть f^L(E). Положим
/(хНо,
тогда (пояснения ниже)
а
J / (х) dx = J 7(x) dx = J dXl j / (хи у) dy = j dx-L J / (xu y) dy.
S А О А' О E{xi)
D9)
Первое равенство цепи следует из того, что /sL(?), и пото-
потому Е измеримо и / = 0 на измеримом множестве А— Е. Второе
равенство следует из C4). Третье равенство следует из D8) и из
того, что' G есть измеримое одномерное множество (лемма 3) н
EixJ измеримо в (га—1)-мерном смыеле почти для всех rr, <= G.
Аналогично, рассуждая подобным образом и двигаясь по цепи
D9) справа налево, получим и вторую часть теоремы, относящу»
юся к случаю, когда / ^= 0.
i 19.3. ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА 377
Надо иметь в виду, что функция / может быть такой, что для
нее имеет смысл повторный интеграл справа в C4), в то время
как она не принадлежит ?(Д). Конечно, такая функция не со-
сохраняет на А знак;
Например, определенная на прямоугольнике Д = {—1^1/^1,
О < х =5 1} функция
(*, У) = ,
10 в остальных точках А
обладает тем свойством, что для нее повторный интеграл на А
справа в C4) равен пулю, между тем /^?(Л).
20. Теорема о полноте ЬР{Е). Пусть последователь-
последовательность функций Де^Дй) (i ^ p <. °° *)) удовлетворяет условию
Ноши в смысле LP[E): для всякого е>0 существует N~>Q такое,
что
\ | /й — fi I'' dx < e, k, I > N. E0)
Тогда- существует, и притом единственная с точностью до
множества лебеговой меры пуль, функция fe.Lr{E), для которой
Е
Доказательство. Достаточно рассмотреть случай, когда
ьсе функции /,, конечны на Е, ведь в общем случае множество,
где это может не иметь места, имеет лебегову меру нуль.
Зададим числа е„>0 (s = l, 2, ...) так, чтобы сходился ряд
оо
2 es < оо, и, пользуясь условием теоремы, подберем подпоследо-
1
вательпость натуральных чисел fc, < кг < ... такую, что
V1 'о
\lhs+1~ his\ ах\ <-es. s — i, ь, ... (OZ)
Е
Справедлива цепь соотношений (пояснения ниже)
<*> N + m , v 1/р
2 es > lim 2 (I /h - fh f dx >
'K + m \p \l/p
JV
*) В случае р = оо считают, что / 1 |Tfi|pda;) = sup |if>(x)| (или
sur vrail\l)(x) I; см. сноску на стр. 328 § 18.3), и тогда теорема также верпа
хеЕ
{тривиальным образом).
378
ГЛ. 19. ИНТЕГРАЛ ЛЕБКГА
Р Д1/р
)
d
]| 2 (/».„-
1/р
где
/ (х) = lim/, (х) почти всюду на Е.
E3)
E4)
Первое соотношение в этой цепи следует из E2), второе—из
неравенства Минковского (см. § 14.2, A2)). Третье (равенство)
/N+m \y
верно на основании свойства 14, ведь функция 2_. I /;is+1 — fks 11
неотрицательна и при возрастании т не убывает, поэтому ее
предел
есть почти всюду конемиая, интегрируемая на Е функция. Чет-
Четвертое (неравенство) следует из неравенства
21
2 (/*.„-/*.)
= Игп
N + m
JU (/fts4.i ~ Ihs)
где ряд ггод знаком I I во втором члене почти всюду на Е скодит-
ся. Это обосновывает существование почти всюду на Е предела
E4), и последнее, соотношение (равенство) в E5), таким образом,
обосновывает также последнее соотношение (равенство) г. E3).
Мы доказали существование функции /, принадлежащей, оче-
очевидно, LT(E), для которой
N.
E6)
С помощью E0) также следует, что
т—>-оо.
§ 19.3. ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА 379
Наконец, если допустить, что существует еще о'дпа функция
е Lv ~(Е), для которой ] 1 /* — I'm \1' dx-> 0, т ->- оо, то
Е
J | / - /т Г dxV/P + (j | /m r- /* Г dxV/P-> 0, m-> oo,
откуда J | / — /sj. | dx = 0, ио тогда (см. свойство 16) / (x) = /* (x)
e
почти всюду па E.
21. Из соотношения
I/- /„ fdx-^O, f,fkt=Lp(E) E7)
следует существование подпоследовательности ки кг, ,.., Зля
которой
lim fhs (x) = / (х) почти всюду на Е. E8)
5->оо
Доказательство. Так как величина
есть норма в линейном нормированном пространстве ЬР{Е) (см.
§ 14.2), то из.E7) следует, что||/ — U\\ьНЕ)-*-0, к-^оо. Поэто-
.ыу выполняется условие Коши: для всякого е > 0 найдется N
аакое, что
т. о. выполняется условие свойства 20. При доказательстве этой
теоремы было доказано существование указанной подпоследова-
подпоследовательности {/га}, для которой выполняется E4) (учесть, что функ-
функция /, о которой идет речь в свойстве 20, единственна).
22. Пусть удовлетворяются условия теоремы 1, § 12.16 о за-
замене переменных в кратном интеграле., где, впрочем, теперь
предполагается, что Q есть произвольная ограниченная область,
таким образом, измеримая по Лебегу (но не обязательно по Жор-
дану).
I) Тогда любое измеримое по Лебегу множество e<=Q ото-
отображается при помощи операции Л на измеримое же множество
е = Ас с Q' и выполняется неравенство
E9)
еде к — не зависящая от е константа.
380 ГЛ. 19. ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА
2) Имеет место также равенство {лебеговых) интегралов
|dx, F0)
верное, если один из них существует.
3) Если Е <=_?> — произвольное измеримое множество, то
F(x)\D{x)\dx F2)
Е
при условии, что существует один из интегралов F2).
Замечание 1. Пусть Е <=¦ Q — измеримое множество. Из
сформулированного утверждения следует, что измеримо также
Е' с Я';
Зададим функцию fix') e Z(Q') и положим
Очевидно, /ff(i')ei(Q'). Поэтому из F0) следует
f / (*') dx' - f /E- (*') dx' = f /я, [Ах) \D{x)\dx=,
E' Q Q
•=\f(x)\D{x)\ dx,
E
В частности, множество Qo = {%'• D(x) — 0) измеримо, с ним
измеримо Qo и, полагая в F0) fix') = 1 на Йо и /(#') = 0 вне
О0, нолучим равенство:
И- \\D(x)\dx~0. F3)
Доказательство. Согласно § 12.16, F),
|А'| = Ши)||А| + О(щ(ЛIД1), F4)
где AcQ — произвольный куб, h — длипа его ребра, хеД,
ю(Л)—непрерывная функция от h ~> 0 такая, что шШ -*¦ 0, fc-*
-»• 0, и константа, входящая в О, не зависит от А и х. Если
учесть, что D(x) ограничена на Q, то из F4) следует неравенство
IA'1 «S х'!Д|, где х не зависит от AcQ. Поэтому, если G <= Q —¦
открытое множество, то представляя его в виде счетной суммы
5 19.3. ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА 38t
ft |i кубов &k, получим, что его образ С
имеет меру
Если же е с Q измеримо, то для любого е > 0 найдутся замкну-
замкнутое и открытое множества F, G такие, что FcecGcQ и
\G — F\ < e. Но (G — F) открыто, поэтому
и так как F' замкнуто *), a G' открыто и F' c= e' cr G', то е' изме-
измеримо. К тому же
|е'|= inf |G'|<xinf |G|=x|e|,
e'cG' ecG
и мы доказали утверждение 1), в частности E9).
Пусть теперь fei(Q'). Существует (см. § 18.2, 4) последова-
последовательность непрерывных финитных в Q' функций /р(х') (р =¦
= 1, 2, ...) таких, что
J|/(x')-/p(x')Hx'->0, p-^oo. F5)
На основании теоремы 1, § 12.16 верны соотношения
J /р (х') dx^ = J /p (Ax) \D{x)\dx (р = 1, 2, ...), F6)
Q' Q
= J | /„ (Ах) - U (^x) 11D (х) | dx = J 1 /„ (х') - /, (х() | dx' -* О,
Р, q-^oo, F7)
из которых следует (см. свойство 20) существование функции
Ф(х) е 1(Й) такой, что
\\fp(Ax)\D(x)\-<S>(x)\dx-*0, P-+OO. F8)
Но тогда из F5), F6) и F8) следует, что
(х)^х. F9)
Из F5) и F8), кроме того, следует еще существование подпо-
подпоследовательности значений р, которые мы будем считать заново
*) См. § 7.18, если В{х)ФО на Q; в общем случае — § 12.20, теоре-
теоремы 1, 2.
382 ГЛ. 19. ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА
перенумерованными, так что будут выполняться равенства
lira. /p(x')= / (х') почти всюду на О',
lim /р (^4х) | D (х) | = Ф (х) почти всюду на Q.
Докажем, что
Ф(х) = /(Лх)Ш(х)| почти всюду па Q, G0)
тогда из F9) будет следовать требуемое равенство F0).
Заметим, что множество точек х', для которых существует
предел lim/j(x'), отличный от fix'), имеет меру нуль. Видонзме-
ним f в таких точках, ъак чтобы видоизмененное значение fix')
было равно этому пределу. В результате получим тот жо элемент
/ пространства L(Q').
.Итак мы считаем, что для тех *х', для которых существует
предел lim/j>(x'.), этот предел равен fix').
p-t-oo
Множество Q представим в виде суммы трех непересекающих-
непересекающихся попарпо измеримых множеств
Q = ev + е2 + е3
следующим образом.
Множество е± состоит из точек х, для которых верно равенство
1пп[/рих)|Д(х)П=Ф(х) G1)
р-юо
и Dix) =0. Для таких точек, очевидно,
Ф(х)=/(х')!?>(х)|=0.
Множество ег состоит из точек х, для которых верно равенство
G1) и ,Dix)\>0. Для таких точек из существования предела
G1) следует существование;предела
lim/pUx) = lim/P(x') =/U'),
а это показывает, что
Наконец, е3 состоит из точек, для которых не выполняется ра-
равенство G1), но \е3\ =0.
Этим равенство G0) доказано, а с ним (в силу F9)), доказано
равенство @0) в предположении, что Дх')ЕШ').
Замечание 2. Конечно, если Ш(х)| > т > 0 па Q, то су-
существует обратное к А непрерывно дифференцируемое па il'
преобразование и приведенные рассуждения сохраняются при
аамене местами х и х', а' также Q и Q'. Таким образом, в этом
§ 19.3. ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА 383"
случае надо считать доказанным равенство F0) и в предположе-
предположении, что в нем правый интеграл имеет смысл.
Если Е с: Q измеримо, то в силу E9) измеримо также и мно-
множество E'czQ', и потому, если функция /(х')е/-(?'), то она
после со продолжения на О', если считать, что /_(х')=0, х'&Е',
будет принадлежать L(Q'), и на основании ужо доказанного
[ / (*') tfx' ~ f / (x') dx' = \ I (Ах) \D(x)\ dx =»
Е' у а
= \f(Ax)\D(x)\dx, G2)
к
т. е. справедливо (G2).
Докажем теперь равенство F0) в предположении, что
F(x)\D(x)\<=L(Qh
Множество Q представим в виде суммы измеримых непере-
непересекающихся МНОЖССТВ.
Й = Qo + Qi, G3>
= 0),
| > 0).
Миожество Qi открыто. Представим его как сумму счетного-
числа замкнутых кубов А,,, пересекающихся разве что но своим
границам:
Qi = U А*- G4)
к-л
Здесь Ак есть открытое ядро А*. Так как Ай — замкнутые
кубы, принадлежащие Qu то на каждом из них Ш(х)|>0 и,
следовательно, существует число r\h > 0 такое, что Ш(х)|'> п^ > О
на Ак (Л=1, 2, ...).
Поэтому на основании замечания 1, которое надо применить
к А» (вместо Ш,
J / (х1) dx' = [ / (Ах) | /J (х) | dx G5)
в предположении, что/(х') е L(A^) пли f(Ax)\D(x)\
Отметим, что А(! есть область, ее образ А;< = Л. (А,,), есть
тоже область (см. § 7.18), при этом измеримая по УКордану об-
область (см. теорему 3 § 12.5), граница се, таким образом, имеет
меру 0. Это показывает, что в G2) интегралы но А,,, А(( можно
заменить ца равные им соответственно интегралы по Ah, A'k.
884 ГЛ. 19. ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА
Пусть теперь F(x)\D(x)\ e ?(Q), Тогда (пояснения ниже)
$P(x)\D{x)\dx- j>(x)|Z)(x)|dx+2 $F(x)\D(x)\dx =
J / (x') dx' + J2 J fix') dx'^^f (x') dx', G6)
Ai
и имеет место F0).
Первое равенство в G6) верно в силу G3) и G4). Второе
верно потому, что интегралы
0 fiO
^>авны нулю. Ведь Dix) = 0 на измеримом множестве Qo, и
?2в|=*0 в силу уже доказанного равенства F3).
Докажем наконец F3). Вместе с Е измеримо и Е'. Пусть
|(х')еЦ?'), Продолжим функцию fix') на Q', считая ее равной
нулю в^е Е', и применим к ней уже доказанное равенство E9).
Из него в данном случае следует F3), потому 4T0.Fix)\Dix)\ =0
вне Е. Аналогично., если Fix)\Dix)\ ^ЫЕ), продолжим Fix) на
Q, считая Fix) равным нулю вне Е, и применим к Р\х) равенство
F0), которое влечет за собой в данном случае F3).
Замечание 3. Равенство F2) было доказано в предположении, во-
первых, что один из интегралов, входящих в него, существует и, во-вто-
во-вторых, что Е измеримо. Конечно, измеримость Е входит в требование сущест-
существования правого интеграла (по х на Е). < ,
Однако, когда мы исходим из существования левого интеграла в F2)
(по а' на Е'), дополнительное условие, что множество Е должно быть из-
измеримым, вообще говоря, необходимо. Точнее, если множество Qo (см. G3))
имеет меру пуль (|Qo =0), то из измеримости E'czQ' следует измери-
мость Е, если же мера
0, то это, вообще говоря, не так.
В самом деле, пусть JQol =0 a'E'czQ' — измеримое множество. Запи-
Запишем Е в виде
Так как [Яо| «=» 0, то |2Шо| = 0. Что же касается множеств
') (* = 1, 2, ...),
то они измеримы, потому что они являются образами измеримых множеств'
(ВЛ»)'"»?'(Аа)' при помощи непрерывно дифференцируемой (соответст-
(соответственно на Лй) операции А-1. Это показывает, что Е измеримо.
Случай |Q0|>0 придется пояснить примером. Мы ограничиваемся
одномерным случаем.
Пример. Рациональные точки отрезка [0, 1] перенумеруем (xt,
х2, ...) и покроем k-ю из них интервалом о* с центром в ней, имеющим
§ 19.3. ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА 885
длипу е2~* @ < е <1, к = 1, 2, ...). Множество G— 2"аг открытое. Но-
которые интервалы а; пересекаются между собой, но всегда можно G пред-
представить в виде суммы уже не пересекающихся между собой интервалов
(см. § 7.9, теорема 4)
G= U Я,.
Дополпеиие к G до отрезка [0, 1] есть замкнутое множество (см. § 7.9),
которое мы обозначим через F (F = [О, 1]\G). Лебегова мера F оценива-
оценивается следующим образом:
Для пас важно, что F имеет положительную меру. Но несмотря па это
любой отрезок о с: [0, 1] содержит в себе точки множества G, ведь на о
имеются рациональные точки, покрытые пекоторыми интервалами <уц, ко-
которые принадлежат G. ' .
Определим на "[О, 1] непрерывную функцию г|)(х), равную нулю на F
и положительную на интервалах Я = Я; (смежности к F). Например, гра-
график \|) на каком-либо интервале Я может представлять собой верхнюю по-
полуокружность радиуса |Я|/2 с центром в середине Я, где |Я] —длина А.
Функция
К
о
Пепрерывпо дифференцируема п строго возрастает па [0, 1]!
Ф (ж2) - Ф (*х) = ] тр (t) dt >0 @ < a-x < r2 < 1).
Ведь ip(i) ^0 па [0, 1], и любой отрезок [si, г2] с [0, 1] содержит в себе
интервалы Я, на которых if B) > 0.
Таким образом, функция ж' = ф(г) отображает отрезок [0, 1] па отре-
( С \
аок [О, Л] \ А = \ г|з (t) dt > 0 I взаимно однозначно и непрерывно -в обе
V о . /
стороны, однако непрерывно дифференцируемо* только в сторону х ->- х'.
Множество
Qo = {х\ х es [0, 1], <р'(х) = 0} == F
положительной меры (|Qo| = 1^1 > 0). Его образ Qo = гр (^0), получаемый
посредством функции <р, имеет меру нуль:
| Qg | = f Ых' == f" ф' (х) dx = 0.
¦<
ес[0, 1] — произвольное измеримое множество, то множество
с' — ф(е) тон^е измеримо и
' 1 = J Ф' (*) dx (ф' (ж) =f (x) > 0).
888 ГЛ. 19. ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА
Однако существуют измеримые множества -е' с: [О, А] такие, что е не-
неизмеримы (в'«=ср(е)).
В самом дело, так как \F\ > 0, то среди множеств е a F найдутся, как
это можно доказать, неизмеримые, а им соответствующие множества
«' е ii'o = F' имеют меру нуль, т. е. они измеримы.
Замечание 4. Рассмотренное выше множество G может
служить примером ограниченного открытого неизмеримого в
смысле Жордана множества. Поясним последнее свойство. Внут-
Внутренняя жорданова мера G равна его -лебеговой мере (см. § 19.1,
B)):
С другой стороны, если отрезок [0, 1] разделить на части точками
О = х0 <.хг < ... < xN = 1, то любая часть [xk, xh+i] содержит в
себе рациональные точки и, следовательно, точки G. Поэтому
внешняя жорданова мера G
meG = 1 > е > niiG.
Пусть Е есть измеримое по Жордану множество, и Е— его
замыкание (тоже, очевидно, измеримое по Жордану!). Если функ-
функция интегрируема но Риману на Е, то справедливо равенство
j / dz= j / dx,
('7}
так как Е\Е принадлежит Г — границе Е, а Г имеет жордапову
меру ноль.
Для интеграла Лебега равенство G7) не всегда выполняется,
и в этом смысле интеграл Римана имеет преимущество пород
интегралом Лебега. Например, пусть Е есть отрезок [0, lJ, a E —
множество принадлежащих ему рациональных чисел. Оба эти
множества измеримы по Лебегу, и т(Е\Е) = 1, поэтому, если
функция / интегрируема по Лебегу на [О, I] — Е ж положительна
на Е\Е, то (см. § 49.2, теорема 5)
fdx>0
Е/Е
и равенство G7) не выполняется,
Итак, для рассматриваемого нами открытого множества Е
лебегова мера
и для интегрируемых по Лебегу на Е функций, положительных
на Е\Е, равенство G7) но выполняется.
Конечно, если Е измеримо по Жордапу, то G7) выполняется
для любой функции /е?(й), потому что в этом случае мера
Е\Е в жордановом смысле, а следовательно, и в лебеговом смыс-
смысле равна пулю.
§ 19.4. ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА НА НЕОГРАНИЧЕННОМ МНОЖЕСТВЯ 387
§ 19.4. Интеграл Лебега на неограниченном множестве
Обобщая введенное в предыдущем параграфе понятие интег-
интеграла Лебега, говорят, что функция /el(?)t и называют ее
интегрируемой по Лебегу па Е, если f^LiVE) в смысле уже
известного из предыдущего параграфа определения, каков бы
ни был шар V е ДП) и если существует предел
lim ) | / (х) | dx == \ j / (х) [ dx A)
N~*°° EVN Е
для произвольной последовательности шаров VN <= Rn радиуса N
с центром р нулевой точке.
В этом определении, очевидно, шары V можно считать как
замкнутыми, так и открытыми, и все равно оно выражает одно
и то же понятие; очевидно, что существование предела A) для
одной какой-либо указанной последовательности шаров VN вле-
влечет существование сто для другой, и эти пределы равны между
собой.
Символ справа в A) есть обозначение интеграла Лебега от
1/1 на Е. Интеграл же от / на Е определяется как предел
lim j / (x) dx = \ f (x) dx. B)
Он существует, ведь из A) следует, что для любого е>0 можно
указать такое N, что для любых п'> п> N
\ fdx— \ fdx = J /ds
f |/|dx
EVnr EVn
Впрочем, эти рассуждения вполпе аналогичны тем, которые при-
приводились в своем месте для обоснования сходимости абсолютно
сходящихся несобственных римаповых интегралов.
Ясно, что если Е есть ограниченное множество, то приведен-
приведенное здесь определенно функции / е L(E) совпадает с уже изве-
стпым нам из предыдущего параграфа определением интегрируе-
интегрируемой по Лебегу функции. Обобщение возникает, если Е есть не-
неограниченное множество, однако такое, что EV измеримо для
любого шара V. Примерами таких множеств могут служить про-
произвольные замкнутые или открытые множества. Ведь пересече-
пересечение замкнутого множества с замкнутым шаром есть замкнутое
(измеримое) множество, а пересечение открытого множества 6
открытым же шаром ость открытое (измеримое) множество.
Доказанные в предыдущем параграфе свойства 1—21 интег-
интеграла Лебега сохраняются и для введенных здесь интегралов.
388 ГЛ. 19. ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА
Соответствующие утверждения могут быть усилены тем, что под
множеством меры пуль теперь можно понимать множество Е
такое, что EV для любого шара V имеет меру нуль в прежнем
понимании этого термина. (См., например, § 19.3, свойства 1, 2,
4, 5.) Впрочем, в предпосылках соответствующих утверждений
надо заменять термины «измеримое множество Е» или «измери-
«измеримая на Е функция» соответственно на! следующие термины: «мно-
«множество Е такое, что VE измеримо для любого шара F» или
«функция /, измеримая па VE для любого шара F».
Функция / называется локально измеримой на Е, если она
измерима на EV, каков бы ни был шар V.
Доказательство каждого из указанных свойств сводится к то-
тому, что мы устанавливаем его верность для множества EVN при
любом N (радиусе VN), а затем убеждаемся в сохранении этого
свойства после перехода к пределу при N ->- оо. Впрочем, свой-
свойство 6, § 19.3 не. имеет отношения к рассматриваемым обоб-
обобщениям.
Приведем несколько примеров таких рассуждений.
Свойство 4. Если Et с Е, VEi измеримо для любого шара
V и fe=L(E), To'feUEJ.
В самом деле, тогда VE{ с VE, VEi измеримо и f^L(VE),
и потому в силу свойства 4 из § 19.3 f^L(VEi) при любом У.
Кроме того,
Jim J |/|dx<oo,
JV-»ooy E
но тогда в силу неравенств
и монотонного пеубывания его левой части при возрастании N
существует предел
Mm j \f | dx < оо
и /
Свойство 8. Если F измерима на VE для любого шара V,
О *S F(x) < Ф(х), Ф s LiE), то F е Ь(Е).
Доказательство. В силу свойства 8 из § 19.3, данное
утверждение верно, если заменить в нем Е на VE. Таким обра-
образом, Ф е L{VE) при любом V, Кроме этого,
J j Ф(х)йх C)
при любом N, и так как предел правой части C) при N -*¦ °°
по условию конечен, то конечен (Fix) > 0) и предел левой, и мы
доказали, что F e L(F),
. 8 19.4. ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА НА НЕОГРАНИЧЕННОМ МНОЖЕСТВЕ! 889
Свойство 13. Теорема Лебега (формулировку см. свойство
13 из § 19.3).
Доказательство. В силу доказанного уже для измеримо-
измеримого множества свойства 13 из § 19.3 очевидно, что
lim \ fh (x) dx = f / (x) dx D)
и / e L(VE) при любом шаре V, следовательно, f^L{E), потому
что |/| «S Ф на ?пФе UE).
Зададим е > 0 и подберем V = VN так, чтобы 1 Ф <2х< -к-.
E-V
Тогда в силу D)
E-V E-V
<2
E-V
где к0 достаточпо велико.
Свойство 17. Формулировку см. свойство 17 из § 19.3.
Доказательство. Подберем V так, чтобы
E-V
и определяем функцию
f0 xe?-F,
К последней применимо свойство 17 из § 19.3.
Свойство 18. Формулировка такая же, как в свойстве 18
из § 19.3, но теперь G ¦— произвольное открытое, не обязатель-
обязательно ограниченное множество. Доказательство такое же, как в свой-
свойстве 17.'
Свойство 19. Теорема Фубини. Справедливо равен-
равенство
J | \ f(x1,y)dy) E)
где R'— (n ~ l)-мерное пространство точек у = (.х2Гт.., ж„) при
условиях, изложенных в свойстве 19 из § 19.3, где надо считать
f локально измеримой на Rn.
Доказательство. Пусть пока fix) > 0, положим
Ьу *={]*}]<№ /«=1, ...,п},
390 ГЛ. 19. ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА
|
|0 для других х.
В силу свойства 19 из § 19.3 для fN имеет место' теорема
Фубшш:
N оо
{ /jv dx = j / dx = j" dx1 \ f (хи у) dy = j" dzx j fN (xlt y) dy
«n AN ~N b'N ~°° K'
U двух указанных там смыслах) и, кроме того,
1) /weL(fln), iV=l, 2, ...,
2) /* < / на Яп;
3) /« -^ Y на /?„, не убывая.
Но тогда имеет место и равенство E) в силу леммы 1 в 19 из
§ 19.Л, где надо заменить Д, А' соответственно на /?„, R'. При
такой замене доказательство ее аналогично.
Случай функции / произвольного знака рассматривается, как
в 19 из § 19.3, полагая / = /+ — /_.
Свойство 20. Теорема о полноте LP(E). Формулировка та-
такая яге как в 20 из § 19.3.
Доказательство. Пусть Усй„ — произвольный шар и
е > 0. В силу условия теоремы найдется N > 0 такое, что
е > J | /* - fifdx >l\fh-h fdx, k, I > N.
E EV
По тогда по свойству 20 § 19.3 на EV, а в силу произвольно-
произвольности V и на всем пространстве Rn существует (с точностью до
эквивалентности на Rn) единственная функция / такая, что
f |/ь(х)-/(х)|^х->0.
Для псе е^ I \fk — f\f'dx, k^>N, каково бы ни было V. Но
EV
тогда |/ft_/|" e=L(?) и
e>f|/ft-/|'dx, k>N.
Е
При этом fe=Lp(E), потому что jh^Lp{E) п /k-/eLp(?).
§ 19.5. Обобщенная производная по Соболеву
Пусть G <= Rn область. Обозначим через D множество всех
бесконечно дифференцируемых финитных в G функций ф.
Говорят, что функция локально интегрируема на G, если она
определена на G и интегрируема (по Лебегу) на любом замкну-
замкнутом шаре, принадлежащем к G.
§ 19.5. ОБОБЩЕННАЯ ПРОИЗВОДНАЯ ПО СОБОЛЕВУ 891
По определению (Соболева) функция F имеет на G обобщен-
обобщенную частную производную f no переменной ху, обозначаемую че-
через -—, если обе функции F и / локально интегрируемы па G
axi
и если выполняется равенство
( р -^- dx = — I /ф dx. для всех феД A)
Здесь можно считать, что интегралы берутся по носителю
функции ф (замкнутому ограниченному множеству), или по об-
области G, даже по всему пространству Rn, если считать, что F
и / как-то продолжены на Rn, например, положено / — F = О
па П„ - G.
Если / есть обобщенная производная па G по х{ от F и f,,
Ft эквивалентны соответственно /, F, то и /t есть обобщенная
производная на G по Xi от Fit Ведь изменение / и F па мно-
множестве меры нуль не нарушает равенство A). G может быть не-
неограниченным.
Чтобы оправдать эту терминологию, достаточно отметить, что
если функция F непрерывна на G вместе со своей частной про-
производной — ¦=/, то для нее равенство A) выполняется и, сле-
довательно, / является не только обычной, но и обобщенной
производной от F по Xi на G. Ведь если функция фаО, то ее
носитель есть ограниченное замкнутое множество, принадлежа-
принадлежащее G; его можно покрыть фигурой oc(J (конечной системой
замкнутых кубов) и, пользуясь классическими теоремами о све-
сведении кратного интеграла (Римапа) к повторному, интегрирова-
интегрированием по частям и тем фактом, что ф = 0 на границе о, получить
где х = {х{, у) = (хи хг, ..., хп). Мы не расставили в третьем и
четвертом членах этой цепи пределы интегрирования, чтобы не
усложнять запись.
Теорема 1. Пусть f есть обобщенная производная от F
по х, на G.
Тогда г —усреднение F, (см. § 13.2) функции F — обладает
свойствами
д
\Fs-F\\Lie)-+0
дх'
Fe-f ri+0 (е-^0), B)
Це)
каково бы ни было замкнутое ограниченное множество е <= G.
Доказательств о. Первое свойство B) выражает обычное
свойство усреднения (см. § 18.2 E))
Fe{xy=]<pe(x-t)F(t)dt.
892 ГЛ. 19. ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА
Пусть G, — множество точек xeG, отстоящих на расстоянии
не меньшем, чем е > 0, до границы G, и е настолько мало, что
G, =>ё. Тогда для хее
t) F (t) dt = JcPe (X - t) / (t) dt =» /e (X),
где предпоследнее равенство справедливо в силу того, что / есть
обобщенная производная от F по xl5 и того, что фЕ(х — t) no t
при фиксированном xsecG, есть функция класса D. Поэтому
верно и второе свойство. B).
Из теоремы 1 непосредственно вытекает
Следствие. Функция F может иметь на G единственную
обобщенную производную f (с точностью до эквивалентности).
Ведь / =lim Fe в смысле L(A) для любого замкнутого куба
Теорема 2. Пусть F n f — функции, локально интегриру-
интегрируемые на области G.> Для того чтобы / была обобщенной произ-
производной '— ка G, необходимо и достаточно существование после-
последовательности функций Фй (fe = l, 2, ,..), непрерывных па G
дФ1(
вместе со своими частными производными -=—, таких, что для
Oxi
любого замкнутого куба А с: G, или, что все равно, для любого
ограниченного замкнутого множества, принадлежащего к G,
имеют место соотношения
->0 (fc-*oo). C)
Доказательство. Пусть / = ^г на С. В силу теоремы 1
соотношения C) будут выполнены, если положить Фк = Fi/h, где
F, есть 8-усред1гение F.
Пусть, наоборот, для функций Фк, непрерывных на G вместе
со своими производными-^—-,выполняются соотношения C) для
"xi
любых замкнутых кубов_ ДсС Тогда, очевидно, эти соотноше-
соотношения будут выполняться, если считать, что Д есть произвольное,
принадлежащее к G замкнутое множество, потому что его можно
покрыть фигурой — конечным числом замкнутых кубов, принад-
принадлежащих к G,
§ 19.5. ОБОБЩЕННАЯ ПРОИЗВОДНАЯ ПО СОБОЛЕВУ 893
. Для функций Фк, как
h-X.dx = — \ --?-ф dx, D)
Зададим произвольную функцию
мы знаем, выполняется равенство
Сафн
= — I —— ф
. сг * о
где а есть фигура, покрывающая носитель ф. Переходя к пре-
пределу в этом равенстве при к -+ оо} получим (поясиепия ниже)
E)
(где о под знаком интеграла опущено). Это доказывает, что /
есть обобщенная частная производная по х, на G от F.
Интегралы в E) имеют смысл по Лебегу, потому что F,
дф
у, у
, а функции ф, т-*- непрерывны и ограничены ( |<р|,
М). Кроме того в силу C), где надо заменить Д на а,
<MJ|a>fe-F1dx->0 (A-*-oo),
дх,
поэтому из D) следует E).
Теорема 3. Пусть f и F — функции, локально интегрируе-
интегрируемые на области G. Для того чтобы f была обобщенной производ-
производной по Xi на G от F, необходимо и достаточно, чтобы, каков бы
ни был принадлежащий к G замкнутый прямоугольник А = {at ^
=S Xi^ b(; г = 1, ..., п) с проекцией А' = {я* =5 xt =S b(; i — 2, ...
..., n), функция F после возможного видоизменения ее на мно-
множестве п-мерной меры нуль представлялась в виде
i
F (х) = F (хи у) =¦ X (у) + j / (t, у) dt
F)
ai
почти для всех у = (хг, ..., i,) e А' (в смысле (п — 1)-мерной
меры) и любого xt e l.a,, ЬС), где ?,еДА')—некоторая един-
единственная *) функция от у.
В одномерном случае, когда / и F локально интегрируемы па
(с, d) = G, и для того чтобы / была обобщенной производной
*) Из равенства F), верного почти всюду (в га-мерном .смысле) дгя
Х(у), равного Xi(y) или Хг(у), следует, что ?ч(у) = ^г(у) почти всюду в
n-мерном, но тогда и в (п — 1)-мерном смысле.
394 ГЛ. 19. ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА
/(х) «fix) на (с, d), необходимо и достаточно, чтобы для любо-
любого отрезка [а, Ы <= (с, d) имело место представление
X
\ /eL(j,i), F')
где А — константа.
Доказательство. Пусть / есть обобщенная производная
от F но xt на G. Тогда в силу предыдущей теоремы существует
последовательность функции 1<\, непрерывных вместе со своими
д1<\
частными производными -т—, такая, что каков бы ни был указан-
указанный прямоугольник А,
/-¦
-О (А-*-оо). G)
Имеют место классические равенства
Ki
Fk (х, у) = Fk (а,, у) + J ~ (t, у) dt, (8)
«х
а в одномерном случае
X
" p'k{t)dt. (8')
Из них и следует F), соответственно F'), после перехода к пре-
пределу при к -»¦ оо в метрике L(A).
Чтобы доказать это утверждение, заметим, что так как по
Н
условию интеграл ) dyj | f(t, у) | dt = Ц /||ь<Л) существует, то су-
Д' а±
ществует также (см. свойство 4 из § 19.3) интеграл
к тому же представляющий собой непрерывную функцию от хг
(см, § 19.3, свойство 11). Поэтому существует трехкратный ин-
интеграл
ъх «1
§ 19.5. ОБОБЩЕННАЯ ПРОИЗВОДНАЯ ПО СОБОЛЕВУ
S95
а вместе с ним и трехкратный интеграл
] drj dy\f{t,y)dt.
Следовательно, в силу теоремы Фубиии
f(t,y)dte=L(A).
л.
Так как интеграл 1 f(t,y)dt существует почти для всех уеД',
то Ф{хи у) существует для этих у и любого Xi s [au bt].
В одномерном случае это утверждение упрощается — функция
непрерывна на [а, Ы и, следовательно, принадлежит к Ыа, Ъ).
Имеем
xl xl
f ^ {tt у) dt _ j / ((, у)
, J dy J
а^ Л' a-^
!
dt
•0, k-+co. (9)
Кроме того, по условию WFh — FI!L(A) -»- О, А -»- °°. Но тогда (см. (8))
функция Fh(au у) тоже стремится в метрике L(A) а, следователь-
следовательно, и ТЛА ) к некоторой функции Х(у) е L(A'), и мы получили
равенство F), верное почти для всех хеД. При этом правая
часть F) определена почти для всех yei' и любых а^е [д^ bj,
В одномерном случае
F'h(t)dt- \fh(t)dl
L(a,b)
<(b-a)\\F'h(t)-f(t)\dt->0
и Я,(у) превращается в некоторую константу Л, что приводит
к F').
В одну сторону теорема доказана.
Пусть теперь локально суммируемые на G функции / и F
таковы, что после возможного видоизменения F на множество
и-мерной меры нуль на любом указанном прямоугольнике Д
396 ГЛ. iS. ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА
имеет место представление F) почти для. всех уеД' и любого
а;, е [at, bj, в одномерном случае — F').
Определим последовательность непрерывных на А' функций
къ(у) (в одномерном случае Kh = A) и другую последовательность
непрерывных на Д функций fk(xu у) так, чтобы
ЦЬ-Ы:ь(до->0, 1/—/й1«Д)->0 (ft-*oo). A0)
Полежим
^ (*i, У) = К (у) + j А (*, У) dt (к = 1, 2, .. .).
Очевидно; что FA непрерывны на А и имеют там непрерывную
OF.
производную-з— =/ft и выполняются свойства G) (см. (9), A0)).
0Хг
Но тогда в силу предыдущей теоремы ввиду произвольности
Дс G функция / есть обобщенная производная.от F по хх на G.
Этим теорема доказана и в другую .сторону.
Функция Ф(х) от одной переменной х называется абсолютно
непрерывной на отрезке [й, Ъ\, если ее можно представить в виде
](t)dx, х(=[а,Ь], (И)
с
где с — точка отрезка [а, Ь], А—некоторая константа и /э
iD)
Ясно, что Ф непрерывна на отрезке [а, Ы, потому что для
х, х + h e [a, b]
XA-h
Ф (х-{-h) — Ф (х) =* j f(t)dt-+O (h-+0)
X
(см. § 19.3, свойство 11). Константа А имеет простой смысл
' Л=Ф(с)
( г \ ¦ ¦
I ведь J / di = 0 1, Если Ф уже представлена в виде
A2)
для данной точки с е [а, Ы, то соответствующее ее представление
для другой точки.Ci e [a, b] будет иметь вид
§ 19.5. ОБОБЩЕННАЯ ПРОИЗВОДНАЯ ПО СОБОЛЕВУ 897
потому что в силу A2)
х С1 х ж
Ф(^) + J fdt = Ф(с) + \fdt + J fdt = Ф (с) + J /Л
С1 с C]L в
тождественно для всех ie [a, &].
Назовем еще определенную на одномерном открытом множе-
множестве G функцию локально абсолютно непрерывной, если она аб-
абсолютно непрерывна на каждом принадлежащем G отрезке.
Если функция Ф(х) локально абсолютно непрерывна на ин-
интервале (а, Ь), то она, очевидно, представима на пем в виде
t, c^{a,b), A3)
где / локально интегрируема на (а, Ъ), но не обязательно интег-
интегрируема па (а, Ъ) (см. теорему 3, F')).
Теорему 3 в одномерном случае можно сформулировать так:
Теорема 4. Для того чтобы функция имела обобщенную
производную на открытом одномерном множестве G (в част-
частности, на интервале), необходимо и достаточно, чтобы после воз-
возможного ее видоизменения на множестве меры нуль она оказа-
оказалась локально абсолютно непрерывной на G.
В представлении A3) локально абсолютно непрерывной функ-
функции Ф(х) на интервале единственна не только константа А, но и
функция / е L{a, b), во всяком случае с точностью до эквива-
эквивалентности. Ведь, как это следует из теоремы 3, функция / есть
обобщенная производная от F{F'{x) = fix)), и потому с точностью
до эквивалентности — единственная (см. следствие из теоремы 1).
Мы уже отмечали, что абсолютно непрерывная на отрезке
[а, Ы функция Ф непрерывна на нем. Цо на самом деле абсо-
абсолютно непрерывная функция на отрезке [а, Ы (вообще не на
интервале!) обладает более сильным свойством. Именно, для лю-
любого е > 0 найдется S > 0 такое, что каково бы ни было принад-
принадлежащее к la, Ы множество
О =* U (*i, «О,
» 3=1
состоящее из любого числа не налегающих друг на друга интер-
интервалов (хи х\), сумма длин которых'
N
справедливо неравенство
1|
3=1
398 ГЛ. 19. ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА
Если учесть, что из A1) следует
то мы видим, что ото свойство непосредственно вытекает из свой-
свойства 11, § 19.3.
Важно отмстить, что это свойство является характерным для
абсолютно непрерывной функции, потому что можно доказать,
что и обратно — из того, что какая-нибудь определенная па [а, Ь)
функция Ф обладает этим свойством, следует, что Ф представимо
на [а, Ь] по формуле A1), где А — некоторая константа, а / —
некоторая определенная на la, b] почти всюду функция, принад-
принадлежащая к Ыа, Ъ).
Таким образом, мы имеем два эквивалентные определения аб-
абсолютно непрерывной функции. Мы не будем здесь доказывать
их эквивалентность, отсылая читателя к полным курсам теории
функций действительного переменного. В' приложениях обычна
пользуются па самом деле первым определением.
В полных курсах теории фупкций действительного перемен-
переменного доказывается также, что определяемая по формуле A1) аб-
абсолютно непрерывная функция Ф имеет почти для всех х ен [я, Ь\
обычную производную, равную fix):
ф< {х) = 1 {) {щ
h->o A
Это показывает, что обобщенная производная' or абсолютно не-
непрерывной функции эквивалентна обычной.
Мы здесь отказываемся от доказательства также и этого ут-
утверждения. Отметим только, что равенство A4) тривиальпо, если
х есть точка непрерывности функции f^L(a, Ъ). Ведь для такой
точки и любого е >0 можно подобрать 6 >0 так, что \j(t)—
— f(x)\ < е, если \t — х\ < б; поэтому
(х + Щ — Ф (.г)
- fix)
зс+Л
x+h
<8
1 J f(t)dt-f(x) = 1 J 1/@-/(^I-
x ж
для всех /г с \h\ < б.
Теорема 5. Справедлиаа формула интегрирования по
частям
ь ь
j F (ж) Ф' (ж) dx = F(b)Q> (b) — F(a)O (a) — j" /" (x) Ф (x) dx, A5)
о а
где РиФ — абсолютно непрерывные на отрезке [а, Ь\ функции.
§ 19.5. ОБОБЩЕННАЯ ПРОИЗВОДНАЯ ПО СОБОЛЕВУ 899
Доказательство. Положим F' ¦= /, Ф' «= ф и построим
последовательпостц непрерывно дифференцируемых па [а, Ь]
функций /.v, q>N такие, что (см. § 18.2, свойство 4)
II/ —/л'Цца.Ь), |]ф— 'tpiV ||цО,Ь)-> О, ЛТ->СХ>.
В силу условия теоремы
К X
F{x)^A+\j(t)dt, Ф(х) = В + \ \p(t)dt, х<=[а,Ъ],
а а
где А, В — константы. Положим
ОС X
FN (х) «= А + J /ff (f) Л, ФЛ- (а') = В+ \ <pN (/) df, x s [a, ?;].
а а
Тогда
b
— ^ (х) | < J |/ - /л-1 Л-> О, Л'-> оо,
и, следовательно, FN и Ф^ стремятся при неограниченном возра-
возрастании Л' соответственно к F и Ф равномерно на [а, Ы. Так как
/«, фгт являются непрерывными производными соответственно от
Fn, флг, то имеют место классические формулы интегрирования
но частям
ь ь
J /'лфл-Дг = ^ (Ь) Ф.у (Ь) - Fjv (a) <DN (а) - J fN Ф„Aх,
из которых переходом к пределу при N -*¦ оо можно получить
A5). Например,
ь ъ
('
а
Ь Ь
^ j | ф \ dx max | F (х) — Fjv (x) | -f К \ \ ц> — cpjy j dx -v 0, N ->- оо
а ж а
Здесь А' — константа, превышающая |F^| для всех N и х, су-
ществуютцая, потому что последовательность непрерывных функ-
функций FK сходится равномерно.
Теорома 6. Пусть f и F — локально интегрируемые функ-
функции на области G. Для того чтобы / была обобщенной производ-
производной от F no Xi на G, необходимо и достаточно, чтобы функция F
400 ГЛ. 19. ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА
после возможного ее видоизменения на множестве п-мерной ме-
меры нуль была локально абсолютно непрерывной по хх на G почти
для всех точек у — (х2, ,.., ж„), принадлежащих к проекции G'
области G на плоскость Xi = 0, и чтобы для указанных у про-
производная -х— была равна f(xu у) почти всюду в одномерном
смысле.
Доказательство. Условимся в обозначениях: если мно-
множество е с G, то е' есть его проекция на плоскость х{ = 0 и еу —
пересечение е с прямой, параллельной оси хи проходящей чероз
точку @, у). Далее, фигурой о мы называем множество, состоя-
состоящее из конечного чдесла прямоугольников со сторонами, парал-
параллельными осям координат.
Начнем ¦ с доказательства достаточности условия теоремы.
Пусть функция F видоизменена, как указано в формулировке,
и феД Носитель <р есть ограниченное замкнутое множество,
принадлежащее к G, и его можно покрыть .фигурой ocG, По-
Поэтому (пояснения ниже)
о'
у
~ j dy J * (<Г)!' У) Ф dXl = ~~ J
о'
В первом равенстве цепи применена теорема Фубини к функции
13.
дх
F , е; L (о) (равной нулю вне о). Внутренний интеграл по
1
('только для тех у, для которых F(xh у) абсолютно непрерывна)
представляется как сумма соответствующих интегралов по от-
отрезкам, из которых состоит оу. К этим последним интегралам
применяется интегрирование по частям, закошюе в силу преды-
предыдущей теоремы.
Третье равенство следует из условия теоремы, по которому
почти для всех у -^— = /почти для всех xt в одномерном смысле.
Наконец, четвертое равенство, выражающее переход от после-
последовательного к кратному интегрированию, верно ко теореме Фу-
Фубини, так как / <= Lie).
Так как A6) верно для любых ф^Д то достаточность усло-
условия теоремы доказана.
Переходим к доказательству необходимости условия теоремы.
Пуеть '/ есть обобщенная производная от F по xt на G.
Пусть
C = SAft, |G| = S|Afc|, 'Afc = {aifc)<г,<Ь(,к), * = 1, ...,«}
§ 19.5. ОБОБЩЕННАЯ ПРОИЗВОДНАЯ ПО СОБОЛЕВУ ' 401
— счетная, сумма кубов, пересекающихся попарно разве что по
своим границам.
По теореме 3 функцию F можно видоизменить па мпожестве
и-мерной меры нуль и в видоизмененном виде записать при
помощи равенств
Н
*1(x) = F(a:1,y) = My)+ \ f(t,y)dt {к = 1, 2, ...),.
„(ft)
1 , A7)
x = (^,}')eii, y(=Ah — ek, \ eh |* = 0,
где ^й(у) ^ L(Ajj) — единственная с точностью до (п— 1)-мерной
меры нуль конечная функция. Так как ((п — 1)-мерпая) мера
со
множества 2е& равиа нулю, то равенства A7) определяют (видо-
измененную) функцию F почти всюду на G. Непосредственно
•видно, что F для указанных у по Xi абсолютно непрерывна, по в
пределах каждого куба Ak. Покажем, что множества eh могут
быть увеличены с сохранением свойства|е;Л* = 0 так, что опре-
определяемая равенствами A7) функция F но xt будет локально
абсолютно непрерывна на G для всех у е G' — е, е = 2 eh
(|U )
Рассмотрим два куба Ак и Аь имеющие в направлении xt
общую границу, представляющую собой некоторый прямоуголь-
прямоугольник
Будем считать, что Аг находится правее Д*. Нас будут ипте-
ресовать те части А^ с Ак, А** с Аь которые имеют указанную
общую проекцию А'. Итак, пусть
Имеем
^ («1, У) = ^ (У) + | / (*, У) dt на А,,, уеД'- еч
а
^ (ii, У) = My) + f / (*, У) dt на А^, уеА'- еи A8>
Но можно также, применяя теорему 3 к прямоугольнику А =
== A* -f- А^*, установить существование функции Fo,- равной F
402 ГЛ. 19. ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА
почти всюду на А, и функции Я (у) еЩ') такой, что
Fo (*i, У) = k (У) + j / (*, У) <** на Д, «у f= А' - еы, A9)
Так как F = Fa почти всюду на А*, то ЯА(у) == Я(у) почти всю-'
ду на А' в смысле (п — 1)-ме-риой меры, и так как Fa — F почтя
всюду на A.tH!, то почти всюду ыа А' в смысле (га —1)-мерной
меры выиолняется равенство
Р
7
Это показывает, что ekl можно увеличить, сохраняя меру [бы]*»
так что для всех уе4'-сц имеют место тождества F = F0 на
А*, /'' = /''о на А**, н тат;нм образом, функция F для указанных
у вместе с Fo абсолютно непрерывна на А по хх.
Пусть теперь
где сумма распространена на всевозможные нары (/г, I), для ко-
которых Аг граничит с Aft справа от А,,. Нетрудно видеть, что для
¦всех yeG'-e наша функция F по xt на G локально абсолютно
непрерывна.
Отметим, что так как теоремы 2, 3, 6 дают необходимые и до-
достаточные условия для того, чтобы функция / была обобщенной
производной по хг от F па G, то эти условия могут быть взяты -
еа исходное определение обобщенной функции.
Мы определили обобщенную производную-^—. По аналогии
dF
определяются обобщенные производные —j— (j = 2, ..., га).
Обобщенные производные выешм^о порядка определяются по
индукции, например, вторая обобщенная производная
rfF _ д [OF
дхл(!з- дхл \ Ох
есть обобщенная производная по #4 от обобщенной производ-
;. <>F
ПОИ -г. .
дх2
Заметим, что если данная функция F имеет па С обобщенные)
дР dF CrF
производные -т—, --—, —¦;—-—, то автоматически существует
обобщенная производная ——-—, равная почти всюду
ох^ох^
§ 19.6. ПРОСТРАНСТВО ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ D' 403
В самом деле, для любой функции ф е D имеет место
—з— Ф dx = — \ — -i- dx = \F ¦ Г da; =
т. е. показано, локально интегрируемые функции -г——я— и
Л. &
удовлетворяют равенству
Но это значит, что первая из них есть обобщенная производная
дг? d2F „
по х2 от второй, т. e.-j—ут~ ~ ~^—j— почти всюду на G.
Эти факты легко обобщаются на смешанные производные бо-
более высокого порядка.
§ 19.6. Пространство обобщенных функций Di
Мы снова будем рассматривать пространство D бесконечно
дифференцируемых'финитных в некоторой области Qcz Rn функ-
функций ф (действительных или комплексных) и поставим своей
целью определить над D пространство D' обобщенных функций,
подобно тому как в § 16.7 было определено пространство S' над S.
Говорят, что последовательность функций фА е D сходится к
Ф е= D в смысле (D), и пишут
Ф„ -> ф CD),
если носители ц>к принадлежат к одному и тому же компакту
/('cQu если равномерно (на #„)
какова бы ни была частная производная ф('' порядка s =
= (s,, ..., sn).
MHoarecTBq D называют пространством D (в связи с тем, что
в нем определена сходимость — тонодвгия).
Но определению обобщенной функцией f^D' называется ли-
лилейный и непрерывный функционал (/, ф), определенный над D,
т. е. такой функционал, для которого выполняются следующие
два свойства:
1) /(шр + Щ) = а/(ф) + Р/(ф) для любых чисел (действитель-
(действительных, комплексных) а, (J и функций ф, if e D, (/(ф) = (/, ф)),
2) /(фЛ) -* /(ф), Ф* ч- ф Ш).
4П4 ГЛ. 19. ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА
Очевидно, что Dei', где 5 — определенное в § 16.6 прострапч
ство бесконечно дифференцируемых на Rn функций, стремящихся
к пулю па бесконечности вместе со своими частными производ-
-ными быстрее любой степени Ы. Кроме того, сходимость cps->-
-*• <$(D) является в то же время сходимостью ф6 ->¦ cpdS). Поэтому
линейный непрерывный функционал / на S, если его рассмат-
рассматривать только для фей, автоматически есть линейный непре-
непрерывный функционал на D. Говорят, что первый функционал
индуцирует второй па D. В этом смысле можно считать, что
S' a D'.
Например, 8-функция, определенная как функционал (8, ф) =»
•= ф@), ф е 5, индуцирует функционал (8, ф) = ф@), ,ф еД на-
вываемый тоже б-функцией (определенной на D).
Производная от / е D' порядка к = {ки ..., кп) определяется
как функционал (fh), ф) == С—1)|А1С/, ф<A)), феД. Но это же ра-
равенство, верное для всех ф е S, определяет производную /<S) от
/ е S', Поэтому, если / <з S', то производную fh) в смысле" (D)
можно определить как функционал, индуцируемый на D функ-
функционалом fm, определенным в смысле (S).
Если /(х) есть функция, локально интегрируемая на Й, то она
представляет обобщенную функцию f e D' при помощи интеграла
(/,ф) = f /(x)<p(x)di, фей.
Непрерывность этого функционала следует из того, что если
ф* ~*" ф(-С), то (fk -*¦ ф равномерно па Rn, и существует компакт
F <= Q, содержащий в себе носители ф и всех функций ф&1
-и потому
1 (/, Ф) - (/, ФО I < 11 /WI | Ф (х)- Ф, (х) | dx <
F
< max | ф(х) — (ph (х) | j | /1 dx ->• 0, /c-»- oo.
Справедлива следующая важная теорема:
Теорема 1. Две локально интегрируемые ha Q функции /t
и /2 представляют один и тот же функционал тогда и только
тогда, если они равны почти всюду на Я.
Доказательство. Положим f(x) = /i(x) — /2(х). Очевидно,
что теорема сводится к установлению того факта, что для вы-
выполнения равенства
J / (х) ф (х) dx — 0 для всех (рей A)
необходимо и достаточно, чтобы
fix) s 0 почти для всех х е Q. B)
Из B) тривиально следует A). Доказать обратное нам поможет
лемма.
§ 19.6. ПРОСТРАНСТВО ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ D' 405
Лемма. Если функция ty{x) локально измерима*) и ограни-
ограничена на открытом множестве G, то существует последовательность
бесконечно дифференцируемых финитных в G функций фА е Д
удовлетворяющая условиям
lim фк(х) = iji(x) почти всюду на G, C)
1ф,4(х)| <sup |if(x)|. D)
G
В самом деле, обозначим через GN пересечение G с шаром
!х] <7V и пусть цн убывает к нулю. Так как if>e L{GN), то можно
указать бесконечно дифференцируемую финитную в GN, следова-
следовательно, в G, функцию 4\y такую, что (§ 18.2, свойство 4)
1 "Ф — iMItfGjy) < TIN, E)
|a|)W(a;)|<sup|it»(x)|. F)
Из E) и F) (см. § 19.3, свойство 21)**) следует, что из
последовательности {i|)AJ можно выделить подпоследовательность,
подчиняющуюся условиям леммы.
Пусть теперь верно A). Положим
я|)(х) =sign/(x) G)
и пусть G <= G <= Q есть произвольное открытое ограниченное мно-
множество. Подберем для ty последовательность бесконечно дифферен-
дифференцируемых финитных в G функций (fk так, чтобы выполнялись
условия C), D) доказанпой леммы.'Так как cp^sD, то в силу
A) j/ (x) (pft (x) dx = 0 (к = 1, 2, .. .),и потому (пояснения ниже)
О = lira )/(х)ф;4(х)йх= f / (х) гр (х) dx = f|/(x)|dx, (8)
ft-»oo g G G
т. e. /(x) = 0 почти всюду на Сив силу произвольности G также
почти всюду да Q, и мы доказали A).
*) Т. с. измерима на VG, где V — произвольный шар.
•*) Из свойства 21, § 19.3 непосредственно следует, что таи как
ЦФ ~ Ч'к |l(G -j< Ijv т0 найдется подпосдедовательиость(первая)Л'р JV^, ...,
такая, что гЬ -,.->гЬ почти всюду на Qb Далее, IIФ — ib — It < rj .,
и можно из первой подпоследовательности выделить вторую N*, N\, ...,
для которой^ ,->ij)почти всюду на G2. Продолжая этот процесс, получим
таблицу подпоследовательности N\, N^,.,.'(к = 1, 2, ,..), каждая из ко-
которых есть подпоследовательность предыдущей. Легко видеть, что для диа-
диагональной подпоследовательности JV*, JV|, ,., будет tjs fe -> \j> почти
л'й
всюду на G.
406 ГЛ. 19. ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА
Во втором члене цепи можно интегрировать только по G, пото-
потому что носитель cph принадлежит к G. Переход к третьему члену
осуществлен на основании теоремы Лебега, применимой потому,
что в силу D) и G) и локальной интегрируемости /
В заключение отметим теорему.
Теорема 2. Пусть f и F — локально интегрируемые на Q
функции {таким образом, f,F^D'). Если
/(х)=--—¦ на Q по Соболеву, (9)-
"x
та-
дж
/ = JL. в смысле (D), A0)
и наоборот.
Ведь для локально интегрируемых на Q функций F и / оба
равенства (9), A0) эквивалентны следующему:
Г / (х) ф (х) dx =» — ( F (x) -jj- dx для всех ср <= D,
§ 19.7. Неполнота пространства Lp
Рациональные точки @,1) перенумеруем (ги г2,.-..) и покроем
k-ю из них интервалом ah с центром в ней, принадлежащим к
@,1) и имеющим длину меньшую, чем е2~* @< е < 1,/г = 1, 2,
3,,-..), nycTbG = 2CTft— множество (открытое), принадлежащее
к @, 1), и
^ (ж) = \0, х е= [0, Ц - С = F,
т. е. / = /о есть характеристическая функция множества С. Пусть,
далее, /i — функция, эквивалентная / (равная / почти всюду).
Лебегова мера множества G удовлетворяет неравенству
Поэтому дополнительное к нему множество (замкнутое) F имеет-
положительную лебегову меру. Обозначим через е то множество
(лебеговой меры нуль), на котором / и /( различаются, и положим
G'>=G\e, F' = F\e. Если x^F', то ДЫ —0. Но в любой окре-
окрестности а течки х имеется некоторая рациональная точка rh, кото-
которая покрыта интервалом ак. При этом пересечение oah{\aak\ >-
§ 19.7. НЕПОЛНОТА ПРОСТРАНСТВА I 407
>0!) заведомо содержит точки G', в которых fl ¦=¦ 1. Это показы-
показывает, что /i разрывна на множестве F' положительной меры,
и потому по теореме Лебега (см. § 12.10) /t не интегрируема по
Риману па [0, 1], Она также не принадлежит к V @, 1). Ведь <но
только ограниченные (интегрируемые по Риману), но и неогра-
неограниченные функции из L' @, 1) непрерывны почти всюду на [0,11.
Это легко вытекает из того, что если функция /i s L' @, 1) по
ограничена, то для „нее существует на [0, 1] только конечное
число точек х0, ..., xN таких, что на любом отрезке [а, Ы, при-
принадлежащем к t0, 1] и не содержащем в себе ни одной из этих
тсчек, f, интегрируема в римановом (собственном) смысле.
Таким образом, функция f может служить примером ограни-
ограниченной па [0,1] функции, не интегрируемой по Риману и такой,
что любая, ей эквивалентная функция fi'&L' @, 1).
Отметим еще, что так как f=*f<> есть характеристическая функ-
функция множества G, то последнее может служить примером ограни-
ограниченного открытого множества, не измеримого по Жордану, так
же как, очевидно, F может служить примером ограниченного
замкнутого множества, не измеримого по Жордану.
Но, конечно, множества G-vl F измеримы по Лебегу, потому
что любое открытое и любое замкнутое ограниченное множество
обладает этим свойством. Поэтому функция / интегрируема по
Лебегу на @,1) и ее интеграл равен
С Г
] / dx = | fxdx =^= u.G.
h g
Пусть jh{x) есть характеристическая функция множества ©*"-
*=» 0"i + i.. + Ой. Очевидно, что
) 1 / (x) — hi Xх) \dx =* \ | / (x) I dx = \i {G —- ah) —»- 0 -(&—>¦ oo).
О G~ah
По тогда удовлетворяется условие Копти, т. е. для всякого ц > 0
можно указать N такое, что
д.
о
Всюду выше интегралы понимались в лебеговом смысле. Однако
интегралы A) можно понимать также и в римановом смысле,
потому что функции fh(x) интегрируемы по Риману на [0, 1].
Итак, имеется следующая ситуация: последовательность функ-
функций Де/У@, 1) удовлетворяет условию Коши в смысле L@,1),
но не существует функции феЬ'@,1), к которой /А стремится
в смысле L@, 1).
Ведь если бы такая функция <р .существовала, то она принад-
принадлежала бы также к L @, 1) (см. § 19.3, свойство 20), но тогда в
силу единственности с точностью до эквивалентности функции /,
408 ГЛ. 19. ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА
для которой лебегов интеграл
~i
J I/ — fk\dx->-0, &->-оо,
о
стремится к нулю, ф должна равняться одной из функций
эквивалентных /, и мы пришли к противоречию, потому что
Этим доказано, что пространство V @,1) не полно. Применяя
ту же функцию /, читатель, аналогично рассуждая, докажет, что
и пространство Lp @, 1) не полно.
§ 19.8. Обобщение меры Жордана
Мы будем рассматривать полуоткрытые (ограниченные) пря->
моугольники
Д = (с,- < %) < dj-, / = 1,,.., п)
и фигуры (полуоткрытые)
¦— конечные суммы попарно непересекающихся полуоткрытых
прямоугольников.
Иногда будем говорить просто о фигурах а, подразумевая, что
они полуоткрыты. Если же появится необходимость говорить о
замкнутой или открытой фигуре (прямоугольнике), то это будет
всякий раз .оговариваться.
Пусть G = {а, < gj < hj\ j = 1,..., n) — фиксированный прямо-»
угольник,и каждому Д с: G, в том числе и G, приведено в соответ-
соответствие неотрицательное число а(Д) такое, что а(Д) есть аддитивная
N
функция от А, т. е. если А = 2jA3, где А3 — попарно пепересека-
ющиеся прямоугольники, то
а(Д)=2а(Д5). A)
5=1
Функцию а(Д) будем считать продолженной на произвольные
Д с: Лл, положив
Мы считаем а(Д) = 0 для любого прямоугольника Д не пересе-
пересекающегося с G. Продолженная функция, очевидно, неотрицатель-
неотрицательна и аддитивна.
§ 19.8. ОБОБЩЕНИЕ МЕРЫ ЖОРДАНА 401
Распространим а(А) на все фигуры a^G, положив
а (а) = 2 a(Aj), а = 2 Д%
7=1 j=l
где А1— попарно непересекающиеся прямоугольники.
Легко видеть, что a(a) есть аддитивная неотрицательная функ-
функция от о с: G. Таким образом,
+ a(a")=a(a' + a")
для пепересекающихся а', о" <=¦ G.
Пустое множество 0 МЬ1 тоже называем фигурой и полагаем
а{0) — 0. Тогда для любой ac G
а(а+ 0) = а(а) = а(о)
Очевидпо, а' —о есть фигура вместе с а и о', и если о<=о', то
0 «? a(a'- о) = a(a') - a(a),
откуда a(o) < a(a').
Условимся, что Л cz cz В обозначает, что А<=-В, где В — откры-
открытое ядро В, т. е. совокупность внутренних точек В. Таким обра-
вом, границы А ш В не пересекаются.
Пусть Q с G — произвольное множество.
По определению его внутренняя мера (относительно а(Д) в
духе Жордана) есть верхняя грань
= sup а (о).
Отметим, что в случае меры Жордана (a(A) = IAI) справедли-
справедливо равенство
sup |a 1'= sup |ст|,
ОСИ ' ОССЙ
которое пе изменится, если под а понимать замкнутые фигуры
вместо полуоткрытых, как это считалось при определении внут-
внутренней меры Жордана (см. § 12.5). Для произвольной меры а(А)
это" равенство вообще неверно (см. ниже примеры 1, 2).
Так как 0 ^ a(a) =^ a{G) для всех осс,^ то (конечное) число
rriiQ, существует и неотрицательно.
Конечно, еслиЙ, кроме пустого множества, по содержит в себе
ни одного прямоугольника, то тпД = 0.
По определению внешняя мера (относительно а(А) в духе
Жордана). есть нижняя грань
me0, = ml a (a)t
Если замыкание Q имеет общие точки с границей G, то для
того, чтобы это определение было корректным, мы считаем, что
а(Д) продолжена на всё А с/?„.
410 ГЛ, 19. ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА
Так как а(а) > 0 для любой о, то число тсп существует для
любого Q cz G и не отрицательно.
Очевидно, что m,Q ^ тое?2. В случае равенства мы будем гово-
говорить, что множество Q измеримо (относительно <х(Д) в духе Жор-
дана) и его мера есть
mQ = ШгО, =» mefi.
Рассматриваемая здесь мера превращается в меру Жордапа,
если сс(Д) равна |Д|—/г-мерному объему Д. Да и основные ео
свойства апалогичны и доказываются аналогично (см. § 12.5).
Ниже мы их перечисляем.
Вместе с Ql и Q2 измеримы также множества Qt ± fi2 n QiQz,
а если пг и Й3 не пересекаются, то m(Qi + Q2) ¦= wiQi + mQ2; таким
образом, если й4 => Q2, то m{Qi — Qz) •= mQt — mQ2.
Множество Q измеримо тогда и только тогда, когда его грани-
граница имеет меру (относительно а(Д) в духе Жордана) нуль.
Мы видим, что, так же как в случае меры Жордапа, чтобы
распознать измеримое множество, достаточно установить, что его
граница Г имеет меру нуль в смысле сс(Д). В случае жордановой
меры этот вопрос всецело зависит от геометрических свойств Г,
В общем же случае это не всегда так.
Пример 1. Пусть масса, равная 2, распределена на отрезке [0, 1]
следующим образом. Половина ее, равная 1, распределена на [0, 1] рав-
равномерно, а другая половина сконцентрирована в точке х = 1/2. Функция
а (Д), гдэ Ъ cz [0, 1] — произвольный полуинтервал, равна массо Д. Иначе
говоря,
| А |, если 2"€= Д,
« (Д) = 1
| Д | + 1, если тге д>
где | А | — длина А.
Легко видеть, что, исключая точку х = 1/2, любая точка, рассматри-
рассматриваемая как множество, имеет меру в смысле а (А), равную нулю. Множест-
Множество же е, состоящее из исключительной точки х = 1/2, неизмеримо в смыс-
смысле а(Д), ведь тпге = 0, тее = 1. Очевидно, внутренняя мера отрезка [1/2, 1]
равна mi[1/2, 11= sup |Д|=1/2, между тем sup а(Д) =.
AccEi/2,1) Acti/a, i]
= «[1/2, 1] =3/2.
Пример 2. Пусть, масса, равная 3, распределена па квадрате U =
= {0 ^ х, у ^ 1} следующим образом. Единица распределена на G равно-
равномерно, другая единица равномерно распределена па наибольшем принад-
принадлежащем G полуинтервале f прямой х = 1/2, наконец, третья единица скон-
сконцентрирована в точке A/2, 1/2). Функция а(Д) равна по определению мас-
массе Д. Иначе говоря,
А А |, если Ду = 0,
а (А) = || А | + | А' |, если А пересекается с Yi но не с точкой A/2,1/2),
I] Д | + | Д' | + 1 в остальных случаях.
Здесь | А | — площадь Д, а | А' | — длина проекции А на ось у.
В этом примере, если не считать точку A/2, 1/2) каждая точка G, рас-
рассматриваемая как множество, имеет меру пуль (относительно а (Д)). Любой
§ 19.8. ОБОБЩЕНИЕ МЕРЫ ЖОРДАНА ' 411
принадлежащий интервалу f отрезок неизмерим. С другой стороны, непре-
непрерывная кривая Г, y = q(x) 0 ^ х ^ 1, удовлетворяющая условию 0=^
^ ср (ж) sg 1, фA/2) Ф 1/2, как нетрудно видеть, имеет меру нуль относи-
относительно а (А), несмотря на то что она пересекает j.
Приведенные примеры показывают, что неотрицательная ад-
аддитивная функция сс(Л) может быть такой, что в G будут суще-
существовать отдельные точки и отрезки, представляющие собой не-
неизмеримые относительно а(Д) в духе Жордана множества.
Введем прямоугольник (для данного i = 1,, \ 4, п)
и функцию Pi (t) = a (At), щ < t < bu Pi (йц) « 0.
Зафиксируем te(ait 6f) и обозначим-через G?i) сечение G
плоскостью Xi = t. Пусть ai<t' <t<t" <bt. Если задать прямо-
прямоугольник A^dG, то фигура a = (А — G) +(AJ» — Д?')содержит
строго внутри себя Gt(t). При этом сс(Д — G) = 0 в силу соглаше-
соглашения о продолжении а(Д) (см. A)), и потому
а (а) = а (Д>) - а (Д.{,) = р, (Г) - р, (*'). B)
Предел левой, а следовательно, и правой части B), при t" —
— i' -> 0 равен нулю тогда и только тогда, когда сечение GM)
имеет меру miGAt)) = 0, или, что все равно, если функция fli
непрерывна в точке t. Сечение GM) в этом случае мы будем па-
уывать регулярным сечением G (a^ <?<&*!).
Конечная система регулярных сечений (вообще для разных
i = 1,..., п) определяет некоторое разбиение G на попарно пепе-
ресекающиеся прямоугольники, которое мы будем называть ре-
регулярным.
Так как функции рДО не убывают и, следовательно, если
имеют точки разрыва, то самое большое счетное число, то для
всякого е > 0 найдется регулярное разбиение G с частичными
прямоугольниками диаметра меньшего чем е.
В одномерном случае G — {а =? | < Ъ},
А* = {a <?<'.z}, рЫ = а(Ах), а<х^Ь, р(а) = О. C)
Поэтому, если А = {х ^ % < у) cz G — произвольный полуинтервал,
то
D)
Итак, всякая аддитивная неотрицательная функция а(Д), Д cz
с G, определяет при помощи равенств C) обычную неотрицатель-
неотрицательную неубывающую па [а, Ъ] функцию f}(x) такую, что для любого
Дс(? выполняется соотношение D).
Наоборот, очевидно, что каждой пеубывающей функции р(,т),
рЧа) = О, при помощи равенств C), D) ставится в соответствие
неотрицательная аддитивная функция а(Д), Д cz G,
412 ГЛ. 19. ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА
В двумерном случае G = {а < | < Ь, с ^ т] < d}. В этом случае
имеет смысл ввести полуоткрытые прямоугольники
Дху = {« < | < Ж, С < Г) < !/}
и функцию
FU, г/) — а(Д*,,), а<ж<&, c<y<d, E)
/)=Лг,с) = 0, а<х<&, c^j/<d, E')
удовлетворяющую, очевидно, свойству
(Х/Чам^Кя'.у'), а; < ж', у <у'. (С)
Кроме того, если (х > а, у > с),
А^{х<Ъ<х', у^г)<г/}, А1 = {х^<х', 0<г\<у),
Д2 = {0<1<а:, - г/ sS ц < у'},
то Ахгу' —АХ!/ -\- Дх + Дг Ч~^> гдэ прямоугольники справа попарно
не пересекаются, п потому
а (Ах,у,у = a (Axv + Дг) + а (ДЖ(/ -|- Д2) — « (Аад) +-«(А).
Отсюда справедливо равенство
a(A)=F(x', y')-F(x', у)-Fix, y')+F(x, у), G)
верное (см. E')) н при х = a, c^y^d и при у = с, а^х.^Ь.
Следовательно (ж sc: #', г/ г=; j/'))
F(a;', i/') - F(a?', у)-Fix, у') +Fix,y) > 0. (8).
Таким образом, .неотрицательная аддитивная функция сс(Д)
определяет при помощи равенств E), E'), G) функцию Fix, у),
удовлетворяющую условиям F) и (8). Очевидно, что и наоборот,
функция Fix, у) со свойствами E'), F), (8) определяет при помо-
помощи E), G) неотрицательную аддитивную функцию а(Д).
Если F непрерывна в точках (ос, у), (х',у), (х,у'), ix',y'), то,
очевидно, для всякого е>0 можно указать такие Д' и .А",
Д'ссДссД": т1Т0 а(Д") — а(Д') < е, и тогда прямоугольник Д
(полуоткрытый или замкнутый или открытый) есть измеримое
множество в смысле а(Д).
Заметим, что если F имеет па G непрерывные частные произ-
производные Fx, Fy) FXfl, то правую часть (8) можно записать (см.
§ 7.7) в виде Fxy (х' — х) (у' — у), где вторая производная Fxy со-
соответствует некоторой внутренней точке открытого прямоуголь-
прямоугольника {х < | < х', у < Г) < у'}.
По аналогии эти рассуждения распространяются на п-мерный
случай, где роль выражения (8) играет разность Д"^ = Д1Д2..,
,, AnF, представляющая собой результат последовательного при-
§ 19.9. ИНТЕГРАЛ РИМАНА — СТИЛТЬЕСА 413
менения к Fix) операций Aj первой разности по переменным xt
с шагом х\ — х-х. Теперь уже вместо Fxy будет фигурировать сме-
смешанная производная F^, .%п.
§ 19.9. Интеграл Римана — Стилтьеса
Пусть QcG- измеримое (относительно а(А) в духе Жордана)
множество и /(х) — определенная па нем функция. Каждому раз-
биению р множества Q I Q = 2j &j ) на конечное число измери-
мых частей, пересекающихся попарно разве что по своим грани-
границам, приведем в соответствие сумму (Римана — Стилтьеса)
5Р(/)= 2/(SV^. ^Q,-. A)
3=0
Интегралом Римана — Стилтъеса от / на й (относительно
<х(Д)) называется предел
\ f(x
(x)dm, m.&xd{Qj)-+O, B)
Q
когда максимальный диаметр d{Qj) стремится к нулю.
Как обычно, этот предел не должен зависеть от выбора после-
последовательности разбиений и точек fJ e Qjt
Если <х(А) ¦= |Д I — п-мерный объем Д, то B) есть интеграл
Римаиа от / на Q.
Вообще, неограниченная функция может оказаться интегри-
интегрируемой в смысле Римана — Стилтьеса, но если для любого е > 0
можно указать -разбиение Q па части положительной меры диа-
диаметра меньшего е, то, так же как в случае интеграла Римана
(см. теорему 1 § Д2.10), из того, что fix) интегрируема на Q (от-
(относительно сс(Д)) следует ее ограниченность на Q.
Основные свойства интеграла Римаиа — Стилтьеса полностью
аналогичны соответствующим свойствам интеграла Римана. Как
для последнего можно ввести для ограниченной функции fix)
верхнюю и нижнюю интегральные суммы
_ JV-l JV—1
<S'P = 2 MjmQj, Sp = 2 j
0 ~ 0
nij =¦ inf /(x), Mj*= sup/(x)
и на их основе построить верхний и нижний интегралы I и 7.
Теоремы переносятся па общий случай без изменений в доказа-
доказательстве.
Верна и теорема Лебега (см. §§ 12.8, 12.10): для того чтобы
ограниченная на замкнутом измеримом (относительно а(Д) в духе
Жордана) множестве Q функция / была интегрируемой в смысле
414 ГЛ. 19. ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА
Римана — Стилтьеса, необходимо и достаточно, чтобы ее точки
разрыва составляли множество е лебеговой (относительно а(Д))
меры пуль (|ае = 0, см. ниже § 19.12).
Понятие интеграла Римана —Стилтьеса обобщают еще на так
называемые функции f (А) ограниченной вариации, каждая из ко-
которых есть разность ч(Д) = аДД) — а2(А) двух неотрицательных
аддитивных функций от Д с G.
Если ти тг суть соответственно меры (в духе Жордапа), по-
порождаемые неотрицательными аддитивными функциями аДД),
<х2(А), то интеграл Римана — Стилтьеса относительно ^(Д) опре-
определяется как разность интегралов
f / (s) dv •= f / (x) dm, - J / (x) dm2. C)
fi S2 Q
Конечно, Q здесь есть множество, измеримое (в духе Жордана)
относительно как аДД), так и <Хг(Д)-
Подобным образом на функции ^(А) ограниченной вариации
обобщают интеграл Стилтьеса (см. ниже § 19.10, заменить т^ тг,
Q соответственно на а%, а2, G), a также интеграл Лебега —
Стилтьеса (см. ниже § 19.12, заменить ти тг соответственно на
Щ| и2).
§ 19.10. Интеграл Стилтьеса
В этом параграфе мы определяем классический -интеграл
Стилтьеса и выясняем его связь с интегралом Римана — Стилтьеса.
Областью, для которой задается интеграл Стилтьеса, является
прямоугольник.
Пусть функция f(x) задана на замыкании U полуоткрытого
прямоугольника
G = {a;«Sх(< bt; i = l, ..., п), A)
где определена неотрицательная аддитивная функция а(Д) от
Д cr G (полуоткрытого прямоугольника).
Произвольная прямоугольная сетка дробит G на открытые
прямоугольники, которые мы перенумеруем при помощи одного
индекса: Aj,..., Дд--1.
Интегралом Стилтьеса от функции fix) па G называется
продел
lim 2*/ U0« (Aj) = f / (x) **. ^ e 5i. B)
0 G '
Это определение отличается от определения интеграла Рима-
Римана — Стилтьеса. Теперь множество Q = G и входящие в его раз-
разбиения частичные множества Д5- — прямоугольники, но не обя-
вательно измеримые (относительно а(Д) в духе Жордапа).
g 19.10. ИНТЕГРАЛ СТИЛТЬЕСА 415
Конечно, выражения a(Ai) в B) можно записать па языке
обычной функции, производящей заданную неотрицательную ад-
дьтивную функцию а(А).
Например, в одномерном случае
p(x), & = [х,у), а<х<у^Ь, C)
где р(ж) = а(Дх), Д* ¦=. ta, х), ?Ка) ¦= 0 — неотрицательная неубы-
неубывающая на G = la, Ь] функция. Если положить а =• х0 < xt < ,.. <
< Жл- = fr, Д., ¦= [х,-, Ж;+1),то предел B) записывается в следующей
эквивалентной форме:
JV-1
JV-1
lim 2 / (?0 [Р (^+i)l-P (^i)l = J / (*
О а
max (^j+i — xj) -v 0,
которая, кстати, является более употребптельпой, чем B) и исто-
исторически первой (данной1 самим Стилтьесом).
Соответствующее эквивалентное выражение для интеграла B)
в двумерном случае записывается через функцию
Fix, у) = а(Дх!,), Аху == {а ?5 | < х, с «S ц < у),
обладающую свойствами
а(Д) = Fix', у') - Fix, у') - Fix', у) + Fix, у) > О,
А = {х < I < х, у < ц < у'}.
Таким образом, если а = х0 < xt < ... < хм = Ъ,
с = г/о < Ух < •. • < Z/.v = d,
а(Ду) =F(.zi+1, yi+i)—Fixi, yi+l) —Fixi+i, yd+Fixt, yt),
то предел B) можно записать в виде
M-liV-l b d
lim S 2 / Ei, 4i)« (Aii) = I j / U, 2/) d'F (x,,,), F)
max t(^i+1 — x{J + (z/j+1 — г/jJ] ->¦ 0,
Зададим ограниченную на G функцию и для произвольного
разбиения р
_ JV-1
G = S Д.;
о
(па полуоткрытые попарно непересекающиеся прямоугольники)
416 ГЛ.- 19. ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА
составим сумму Стилтьеса
а также нижнюю и верхнюю суммы
N-l _ N-1
Sp = 2 Щ а (Д4), Sp = 2 М4а (Д{)
j=0 i=0
и нижний и верхний интегралы
/ = sup Sp, I — inf Sp.
- p — 'p
Теорема 1. Для ограниченной на прямоугольнике G функ-
функции fix) (/(x) «S К) следующие утверждения эквивалентны:
2') Для всякого е >0 найдется регулярное разбиение р* пря-
прямоугольника G (на частичные попарно непересекающиеся полу-
открытые прямоугольники Aj) такое, что
Sp* — 5р* < Е.
3') Для всякого е>0 найдется б>0 такое, что для всех раз-
разбиений (регулярных и нерегулярных) с диаметром сКД3-) < б
Ор Ор *^ Б.
4') Существует интеграл Стилтьеса B).
Доказательство 2') -> 3'). Пусть Г* есть общая граница
всех Л3-, из которой выброшена граница G. Так как р* — регуляр-
регулярное разбиение, то тТ* = 0 и потому существуют фигуры a id zd
zd zd a' zd zd Г^, такие, что а(а)<е/2К. Пусть б — расстояние
между границами о и о' и р — разбиение G с частичными прямо-
прямоугольниками со диаметра меньшего чем б (мы пишем их без ин-
индексов). Имеем
$, - Sj, = Г(М - m)a(<a) + S" (Л/ - т)а(ю),
где сумма 2' распространена па все (о, каждый из которых имеет
общую точку с Г*, а Е" — на остальные со.
Дальнейшая оценка ведется точно так же, как в теореме 1
§ 12.7 при доказательстве 2) ->- 3), где надо заменить со на а(ш).
3') -»- 2'). Это тривиально.
3')->-4'). Надо рассуждать, как при доказательстве 3)-*4)
в теореме 1 § 12.7, если заменить О,- на А] и считать, что / есть
интеграл B).
4') -> 3'). Существование интеграла Стилтьеса / влечет нера-
неравенство Ц — Spl < е/2 или
§ 19.10. ИНТЕГРАЛ СТШГГЬЕСА 417
для всех р с d{Aj) < б. Но тогда также / — j^^p^'S'^^ + o''
откуда 5Р — 5Р< е.
Замечание. Теорема 1 неверна, если в 2') вычеркнуть слово «ре-
«регулярно» (см. ниже пример 1). Это показывает, что в теорему 1 нельзя
ввести свойство 1'), выражающее, то / = / (см. доказательство 1) ч* 2) в
теореме 1 § 12.7). Из 2') следует 1'), но из 1') не следует 2').
Теорема 2. Для непрерывной на & функции fix) интеграл
Стилтъеса B) существует. _
В самом деле, пусть coU)— модуль непрерывности fix) на G.
Тогда, если 6 = max<2(Ai), где G = 2 ^г ~~ некоторое разбиение р
прямоугольника G (в частности, регулярное), то
5Р - 5Р = 2 (Mi—rrii) а (Д4) < со (б) 2 а (А,) =со (б) а (G) <е, б<б0,
если. б0 достаточно мало. Но тогда существование интеграла
Стилтьеса B) следует из теоремы 1.
Теорема 3. Если х° есть точка разрыва ограниченной на G
функции fix) и множество v, состоящее только из этой точки,
имеет внешнюю меру meiv) > 0, то интеграл Стилтьеса B) не
существует.
В самом деле, колебание со(х°) функции / в точке х° положи-
положительно (см. теорему 5 § 7.10).
Пусть р есть разбиение G на частичные прямоугольники Aj
такое, что х° находится строго внутри некоторого А*.
_ Тогда
SP - Sp = 2 (М} - m}) a (A}) > (M{ - лц) a (A4) > со (х°) me (v),
}
где правая часть положительна и не зависит от указанного раз-
разбиения, и так как последнее может состоять из прямоугольников
А) как угодно малого диаметра, то в силу теоремы 1 интеграл B)
не существует.
Пример 1. Пусть
@, -1<*<0 /0,
/W==tl. 0<«<1, Ж
Для (нерегулярного) разбиения — 1 < 0 < 1 отрезка U = [—1, +1],
которое обозначим через р, имеет место Sp = 5Р = 1, поэтому 1 = 1. Однако
1 ~
интеграл Стилтьеса 1 / (х) d|3 (х) не существует, потому что х = 0 есть
-1
точка разрыва как /, так и р (см. теорему 3).
Утверждение 2') -*¦ 3') в теореме 1 можно выразить еще так.
Теорема 4. .Есш для некоторой последовательности регу-
регулярных разбиений р„ существует предел
Nk
I = lim SPk = lim 2 / (Ш « (At) G)
418 ГЛ. 19. ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА
при любом выборе li e /S3, го существует интеграл Стилтьеса,
B), равный I (см. § 12.7 теорему 2).
Ведь из G) следует, что SPk — S_Pk-+0 (k-too),r. e. 2'). Но
2') ->- 3'), следовательно, существует интеграл, равный, очевидно, /.
Теорема 5. Для измеримого прямоугольника G интеграл
Стилтьеса B) и интеграл Римана — Стилтьеса B) от ограничен-
ограниченной функции /(х) существуют одновременно и равны между собой.
В самом деле, зададим последовательность регулярных разбие-
разбиений рй прямоугольника G на частичные прямоугольники Aj с
тахй(Л^)->0 (Jt->oo). Все A j, даже прилегающие к граням G,
j
теперь измеримы, потому что G измерим.
Существование предела G) необходимо и достаточно для су-
существования как интеграла Стилтьеса (теорема 4), так и интегра-
интеграла Римана — Стилтьеса (в силу аналога теоремы 2 § 12.7).
Таким образом, при измеримом G свойства интеграла Рима-
Римана — Стилтьеса, о которых шла речь в § 19.9, автоматически
переносятся на интеграл Стилтьеса. В частности, справедлива
для измеримого G.
Теорема 6 (Лебега). Для того чтобы для ограниченной
на G функции /(х) существовал интеграл Стилтьеса B), необхо-
необходимо и достаточно, чтобы лебегова (в смысле а(А)) мера множе-
множества е ее точек разрыва была равной нулю (це=43).
На самом деле теорема 6 верна и для неизмеримого G. Она
содержит как частный случай теоремы 2 и 3. Докажем это.
Введем произвольный измеримый прямоугольник G'^^G.
Функцию а(А) будем считать продолженной на G', как в A)
§ 19.6. Что же касается функции /, то продолжим ее на G' сле-
следующим образом. Пусть точка |'sG' —G. Отрезок, соединяющий
ее с центром G, пересекает границу Г прямоугольника G в точке,
которую обозначим через |. Положим /(|') =/(|). Таким образом,
продолженная функция постоянна на принадлежащих к G' — G
отрезках лучей, выходящих из центра G.
Продолженная функция /, очевидно, ограничена па G'. Кроме
того, функция / непрерывна в точке ?', если она непрерывна в
ней относительно G. Далее, если А' с G' есть прямоугольник, пе-
пересекающий Г, и 5'EA'i то можно указать па А', где A = GA\
точку \ такую, что
(8)
Действительно, а(А') = а(А) (см. A) § 19.6). Если |'еД( то по-
полагаем ? = \', а если ?' еД, то в качество \ берем точку пересе-
пересечения с Г отрезка, соединяющего |' с центром G.
Если р' есть произвольное регулярное разбиение прямоуголь-
прямоугольника G', то отю индуцирует -регулярное же разбиение р прямо-
прямоугольника G. При этом каждой интегральной сумме *V можно при-
§ 19.10. ИНТЕГГЛЛ СТИЛТЬЕСА 419
вести в соответствие равную ей интегральную сумму SQ,
SP> = 2 / (!') a (A') = 2 / (!) а (Д) = 5Р>
руководствуясь следующими соображениями.
Если Л' не пересекается с G, то соответствующее слагаемое
Spi выбрасываем -•- оно все равно нулю. Еслх! же А* пересекается
с G, то к соответствующему слагаемому применяем равенство (8).
Наоборот, если задано регулярное разбиение р прямоугольника
G, то, продолжив составляющие его регулярные сечения G
((и —1)-мерные плоскости) и выбросив грани G, получим регу-
регулярное же разбиение р' прямоугольника G' и, рассуждая, как
выше, в обратном порядке (даже не передвигая точки |), полу-
получим, что каждой интегральной сумме Sp соответствует равная ей
сумма SP'.
Из сказанного следует равенство интегралов Стилтьеса
\
\i{x)te, (9)
G G'
(существование одного из них влечет существование другого).
Но второй из пих есть также интеграл Римана — Стилтьеса (С
измеримо!), и потому он существует тогда и только тогда, когда
множество е' точек разрыва / на G' имеет лебегову (относительно
а(Д)) меру
це' = 0 A0)
или, что все равно, если множество е точек разрыва / на С имеет
лебегову (относительно а(А)) меру
це-0. A1)
В самом деле, существование левого интеграла в (9) влечет су-
существование правого и равенство A0), следовательно A1), так как
еае'.
Наоборот, из A1) следует, что для любого е >0 существует
счетная система прямоугольников А(, Д2, ... такая, что 2 <^i ZD e
и 2а (А?) < е- Прибавим к ней систему (конечную) полуоткрытых
прямоугольников, составляющих множество G' — G. Для получен-
полученной системы, которую мы заново перенумеруем—Ai, А2, ..^бу-
..^будет выполняться2^i => е' и ^a(A'j) < е, потому что oc(G' — G) =
= 0, т. е. A0). Но тогда существует правый интеграл в (9),
-а вместе с ним и левый.
Теорема 7. Пусть для полуинтервалов, принадлежащих [а, Ъ)
и [с, d), заданы соответственно неотрицательные полу аддитивные
функции аДА^, а2(Д2), порождающие функцию
а(Д) = ai(At) • а2(А2),
Д, = (Я й? х < ц], Дг = {V < у < со},
A = (Kj<ii. v<Km1=A,XA,cG. G == fa. b) X \c. d).
420 ГЛ. 19. ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА
Тогда для ограниченной функции fix, у) справедливо равенство
d Ъ
J J / {х, у) da = | da2 J / (х, у) dax
G с а
в предположении, что интеграл слева существует, и тояда автома-
автоматически следует существование повторного интеграла справа, где,,
впрочем, для каждого у е [с, d) внутренний интеграл (по х) пони-
понимается либо в обычном смысле как интеграл Стилтъеса, если он
сущеетвует, либо как любое число, находящееся между нижним и
верхним интегралами, Стилтъеса от fix, у), относительно oci на
[а, Ы.
Доказательство этой теоремы вполне аналогично доказательству
теоремы 1 § 12-12.
Для интеграла Стилтьеса справедливы теоремы, аналогичные
теоремам для Риманова интеграла и примепимо замечание к ра-
равенству C) § 19.7.
Упражнения.
1. Показать, что
ь ь
[/(*) dp (*) = ]'/(*)
а
где Р(.г) имеет на.[л,,Ь] непрерывную производную f>'(x) ^ 0.
2, Пусть f{x) непрерывна на [а, Ь], со, ci, ..., — последовательность
неотрицательных чисел, для которой 2 cj < °° i точки Xj е [а, 6], / = 1,.
2,,.., и
Р(*)= 2 ci- A2)
Xj?[a,x)
Показать, что
aq€=[ a,x)
3. Показать, что функция, определенная формулой A2), где е3- — числа
любого знака, но такие, что ^ | с j | < °° > есть функция ограниченной ва-
вариации, т. е. представляется как разность двух неубывающих на \а, Ь]
функций.
4. Пусть }(х) и ф(х) непрерывны и не убывают (или ограниченной:
вариации). Доказать формулу
ъ ъ
J / (х).<2Ф (*) + j Ф (*) df (о-) = / F) ф F) - / (а) Ф (а),
а а
5. Иногда уславливаются считать функцию /(ж), заданную па прямо-
прямоугольнике G, интегрируемой относительно а (Л), если ее верхний интег-
интеграл / (относительно сс(Д)) равен нижнему — /, и полагают
/ = /(/)= Г / (х) da, где / = / = J.
6
§ 19.10. ИНТЕГРАЛ СТИЛТЬЕСА 421
Это обобщение интеграла Стилтьеса (см. выше пример 1). Чтобы ра-
аобраться в нем, отметим, что для ограниченной функции / следующие ут-
утверждения эквивалентны:
1 •) jy= I = /;
2 *) существует последовательность разбиений ph (G = 2 Aj^Y Для ко-
торой
3 *) существует последовательность разбиений рк, для которой
lim Sp = / при лю€ых %]h e A^.
В самом деле, из 2 *) и неравенств S < / < / < ^р ,_Sp < Sp < б1
следует 3*) (при тех же ps). Далее, из 3*) следует, что
lim Sp =? lim Sp = /. A3)
Если теперь р — произвольное разбиение и pft = p + p^i то ^„^ S *^
< S * < 5р -> /, А-> оо, т.е. 5 р </,поэтому, учитывая A3), получим_/ = /.
Аналогично устанавливается, что 3*) влечет 1 = 1. Этим доказано, что
3*)->-1*). Далее, если еА > 0, е& -> 0, то из 1*) следует существование
разбиений pft, pfe таких, что / — efe < S ,, S п<. I •}- eh, поэтому для pfe =
= p'h + p'j будем иметь / — eft < ^ , < 5Pfe < 5pft < ~S „ < / + eft, что до-
доказывает 2 *).
Таким образом, обобщенный интеграл Стилтьеса можно также опреде-
определить как число /, для которого имеет место 3 *) для некоторой последова-
последовательности разбиений рй.
Если эту последовательность можно взять состоящей из регулярных р&,
то, согласно теореме 4, число / есть обычный интеграл Стилтьеса. В про-
противном случае мы будем иметь дело с новым понятием — обобщенным ин-
интегралом Стилтьеса. Это понятие может оказаться полезным для функций,
не удовлетворяющих условию Лебега в смысле ее (А) (см. теорему 6).
Пользуясь свойствами 2 *) и 3*), читатель сам докажет (см. теоремы
1, 2, 4 § 12.11) что вместе с / и ф интегрируемы в указанном смысле Af +
~Pi l/ii /ф> ф (|ф(*) I > а> 0), и справедливы соотношения
р]/()|,
XSG
характеризующие липейные и непрерывные свойства функционала /(/).¦
Здесь А, В — произвольные числа, а К -— констапта,. зависящая от обобщен*
ной меры а(А), a /(/) —обобщенный интеграл Стилтьеса.
В одномерном случае К = $(Ь)— $>(а), в двумерном K = F(b, d) —•
r-F(a, d)-F(b, c)+F(a, с).
Предлагается также доказать равенство
Г N С
\ f (x) da = 2 } / (х) dx,
422 ГЛ. 19. ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА
гдо G = 2 AJ и А^ — попарно непересекающиеся прямоугольники, в пред-
3=1
положении, что интеграл слева существует.
§ 19.11. Обобщенный интеграл Лебега
Понятие интеграла Лебега может быть обобщено следующим
образом.
Пусть X ость множество элементов х любой природы и 2Я есть
некоторая система его подмножеств е (eczX), образующая кольцо.
Это значит, что вместе с подмножествами et и е2 принадлежит WI
их сумма е, + е2, разность et — e2 и пересечение е^ег. По индукции
доказывается, что конечная сумма е = 2л е^, eh e= ЗЯ принадле-
принадлежит Ш.
На кольцо 2Я накладывается еще дополнительное условие: если
eh е 2Л для любого к = 1, 2, и е = Seft— счетная сумма, принад-
принадлежащая к некоторому множеству ^е ЗЯ(е ci «У), то ее 50?.
Пусть теперь каждому множеству е^2Я приведено в соответ-
соответствие неотрицательное (конечное) число \ie, обладающее тем свой-
свойством, что если множество е е 2Я представляется в виде конечной
или счетной суммы е =2ел попарно непересекающихся множеств
eh e ЙЯ, то
це = 2 И-eft. A)
Определенная таким образом неотрицательная функция множе-
множества це (е е 2Я) называется мерой Лебега. Мы ее еще называем
обобщенной мерой Лебега, чтобы отличать ее от ее частного слу-
случая, рассмотренного в § 19.3, где роль X играет n-мерное про-
пространство, а Ш — совокупность определенных там измеримых
множеств.
Множества е е ЗЭТ мы будем называть измеримыми. Если ка-
какое-либо множество &"с X есть часть измеримого множества е
{<§Г се), то будем его называть ограниченным.
В силу этих соглашений для обобщенной меры Лебега верпы
теоремы 3—9 § 19.1. Теоремы 3, 4, 5 верны просто по определе-
определению (см. равенство A)), теоремы же 6—9 доказываются без ка-
каких-либо изменений.
На основе введенной меры определяется понятие измеримой
функции, как в § 19.2. Вообще все сказанное в § 19.2 пол-
полностью переносится на случай обобщенной меры Лебега, за ис-
исключением теоремы 4 и утверждения (па стр. 345) о непрерывной
функции. Мы не ввели топологии в X (системы окрестностей и
т. д.), и в общем случае не имеет смысла говорить о непрерыв-
непрерывной функции, заданной на X.
Интеграл Лебега на множестве Е, измеримом в смысле обоб-
обобщенной меры, от функции fix), измеримой в смысле этой меры,
§ 19.12. ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА — СТИЛТЬЕСА 423
определяется как предел
Ига 2 Ркпгек = \ f(x)\i(dx),
6^0 -оо "Е
где рк, ек, б), определяются, как в § 19.3 (см. B), C), D) § 19.3)
и мера ек понимается в рассматриваемом обобщенном смысле.
Свойства интеграла Лебега, перечисленные в § 19.3, за исклю-
исключением быть может свойства 19 (теорема Фубини) и свойства 22,
переносятся па рассматриваемый случай без изменения доказа-
доказательств.
Важным примером рассмотренного обобщенного интеграла яв-
является интеграл Лебега —-Стилтьсса.
§ 19.12. Интеграл Лебега — Стилтъеса
Пусть задан полуоткрытый прямоугольпик
G = {ui < Xi < bt; i = 1, ..., m)
и для принадлежащих к нему прямоугольников А определена
неотрицательная аддитивная функция ос(Д). В § 19.8 на основе
а(А) была построена мера в духе жордановой меры. В атом па-
параграфе будет определена на оспове а(А) для некоторых мно-
множеств $" cz G мера в духе Лебега. Мы ее будем называть мерой
относительно а(А), коротко — мерой и обозначать \хЖ (так же
как мы обозначали лебегову меру!).
Мы будем пользоваться введенными в § 19.8 понятиями т^,
Шеё", тЖ, внутренней, внешней меры и меры в духе Жордана
относительно а(А).
Называя Ж множеством, мы будем подразумевать, что &" с G,
и как всегда через F, G обозначать соответственно замкнутые и
открытые множества. Кроме того, по-прежнему будем пользо-
пользоваться обозначением А<^<=В, выражающим, что А сг В, где А —
замыкание А, а В — открытое ядро В (множество внутренних то-
точек В).
Для открытого множества g по определению полагаем (пояс^
пения ниже)
оо
м = mig = sup а (а) = 2 « (Ah), A)
crCCg fe=l
где
оо
g = SAft, Aft <= <= g B)
i
— сумма полуоткрытых непересекающихся попарно прямоуголь-
прямоугольников Aft, каждый из которых имеет границу, не имеющую общих
точек с границей g.
424 ГЛ. 19. ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА
Заметим, что открытое ядро о фигуры о можно представить
в виде суммы а = 2 А^непересекающихся попарно Ак <= с а, и так
1
N JV
как ^Аьс: а, то 2a(Aft) ^а(°*) при любом N и, следовательно,
1 1
оо
1
Для замкнутого множества F по определению (пояснения ни-
ниже)
yiF = aeF = inf a (a) = inf \ig. D)
Чтобы объяснить последнее равенство, обозначим левую его
часть через /', а через /" правую. Так как о => => F, то о => => t\
Но а открыто, поэтому а(а) > j.i(o) > /", т. е. /' > /".
С другой стороны, если представить любое g=> F в виде суммы
вида B), то в силу замкнутости F найдется N такое, что
N
а = 2 Aft гэ =э F,
откуда nig) > а(о) > /', т. е. 7" > Г.
Следовательно, /' = 1".
Докажем для любой полуоткрытой фигуры а неравенство
а(о) «? ц(а). E)
Пусть g => а — произвольное открытое множество, представлен-
представленное в виде B). Вследствие замкнутости о найдется N такое, что
JV
acoc^AfcCg.
Но тогда
a (a)< 2 a (Afc) < Vg,
i
и так как нижняя грань всех рассматриваемых ng равна р.(о), то
получим E).
Из введенных определений легко следует, что если F cz F'
g^g', то \iF*^\iF', fig *^ \ig'. Кроме того, так как F <^ F и верно
D), то
\iF = sup uF' = inf fxg, F)
F'CS F
Но справедливы также равенства
[ig = sup ji,f = inf \ig\ G)
§ 19.12. ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА — СТИЛТЬЕСА 425
Второе из них очевидно, потому что g => g. Чтобы обосновать пер-
первое, обозначим второй член этой цепи через /. Так как \iF < \ig
(см. D)), то / < р-g. С другой стороны, представим g в виде B) и
JV
положим on = 2j&k-Тогда для любого е>0 найдется такое N,
_ 1
что (оя с g)
N _
\ig — е < ^а (дй) = а (on) < М- (otjv) < If
i
и так как е произвольно, то ng < /. Следовательно, [ig = /.
По определению внутренней мерой относительно а(А) множе-
множества <§ будем называть
HiS" — sup \\,F
и внешней мерой относительно а(А) множества <§ будем называть
\ieg" = inf \ig.
Если \iiS~ = iieS", то будем говорить, что множество & измери-
измеримо (в Смысле меры относительно а(А)) и число ц&" = уцё> = )хе<§
называть обобщенной мерой или мерой &" относительно а(А).
Из равенств F) и G) следует, что замкнутое и открытое (при-
(принадлежащие G) множества измеримы (в указанном смысле).
Рассматриваемые здесь измеримые (в обобщенном смысле)
множества имеют основные свойства, аналогичные соответствую-
соответствующим свойствам классических измеримых по Лебегу множеств,
Ндже мы их перечисляем.
Вместе с <d ^ и <Ёг измеримы также их сумма, разность и пере-
пересечение, к тому же, если Si и Жг не пересекаются, то
Сумма е счетного числа (принадлежащих к G) измеримых
множеств ei, e2, ... измерима, и если они не пересекаются, то
оо
\ie = 2 H*fc.
i
Пересечение счетного числа измеримых множеств измеримо.
Перечисленные утверждения и другие вытекающие из них в
случае лебеговой меры составляют теоремы 1—& § 19.1. Их до-
доказательство в общем случае совершенно аналогично.
Эти теоремы базировались на леммах 1—5. Они тоже дока-
доказываются аналогично. Надо заменить в них |AJ, loj соответ-
соответственно на а(АА), а(О|,), а в остальном учесть следующие за-»
мечания,
426 ГП. 19. ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА
Формулировку леммы 1 надо заменить на следующую: из C)
следует D), где оА и Ой — полуоткрытые фигуры, из коих аА по-
попарно не пересекаются. В формулировке леммы 2 выбросить по-
последнее выражение: «обращающееся в равенство...»
Отметим еще неравенства, аналогичнью A4) § 19.1:
\\,e<% ^ mjS. (8)
Они следуют из того, что (см. C), E))
sup а (а) ^ _SUP utf ^ svip \iF,
g 5f F&
inf a (cr) ^ inf u.cr = inf \ig.
Из (8) вытекает, что если множество <S измеримо (в смысле
осСД)) в жордановом духе, то и в лебеговом.
Отметим, что в жордановой теории (в смысле а(Д)) нам при-
пришлось считаться с фактом, что некоторые прямоугольники могли
быть неизмеримыми. В рассматриваемой же здесь теории этого
недостатка нет. Замкнутые и открытые прямоугольники измери-
измеримы, ведь они суть соответственно замкнутые и открытые множе-
множества. Произвольный полуоткрытый прямоугольник
А = Ц< < Xi < \и{; i = l, ..., п)
тоже измерим, ведь он есть разность двух замкнутых множеств.
Однако не нужо думать, что jj,A обязательно равна,а(А) (см. ни-
ниже упражнения 1, 2).
Множество со, состоящее из одной точки, в жордановой тео-
теории (в смысле ос(Д)) имеет внутреннюю меру тда=0 и, таким
образом, измерим® тогда и только тогда, когда тпе(л = 0. В рас-
рассматриваемой же здесь теории со измеримо при любой а(Д), ведь
оно замкнуто. Его мера равна внешней жордановой мере:
цсо = тесо.
В классической теории Лебега па основе меры Лебега вво-
вводится понятие измеримой функции. В точности также вводится
понятие измеримой функции на основе меры относительно а(А).
Все, что изложено по этому поводу в § 19.2, полностью и без вся-
всяких изменений переносится па общий случай, нужно только меру
Лебега встречающихся там множеств заменить соответственно
на их меру в смысле а(А). Впрочем, в теореме 4 выражение «ин-
«интегрируемая по Риману функция» надо заменить на «интегри-
«интегрируемая по Риману — Стилтьесу функция».
Наконец, в точности так же как вводится интеграл Лебега па
основе понятия измеримой (по Лебегу) функции, вводится инте-
интеграл Лебега — Стилтьеса, но только уже на основе понятия из-
измеримой в обобщенном смысле функции (в смысле а(Д)).
§ 19.12. ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА — СТИЛТЬЕСА 427
Таким образом, интеграл Лебега — Стилтьеса может быть
определен как один из пределов
(х) dp = Hm SR (/) = Km SR (/). (9)
6 б
Здесь fix) измеримая (в смысле и. или относительно а(А)) па
множестве Ж функция, а 5Л(/) и 5Я({) нижняя и верхняя инте-
интегральные суммы, определяемые в точности так же, как они
определялись в § 19.3 в случае классического интеграла Лебега,
но теперь множества еь(см. начало § 19.3) измеримы в смысле и.
и их меры \х,ек понимаются в смысле и. (или относительно «(А)).
Определения справа в (9) приведены только для примера.
Вообще весь § 19.3 со всеми формулировками и доказательства-
доказательствами переносится на интеграл Лебега — Стилтьеса.
Конечно, всюду в написанных там интегралах надо dx заме-
заменить на d\x и термин «интеграл Лебега» заменить на «интеграл
Лебега — Стилтьеса». В свойстве 6 выражения «/ интегрируема
по Риману», «жордапова мера», «пересекаются попарно разве
что по своим границам» надо соответственно заменить на «/ ин-
интегрируема но Риману — Стилтьесу», «жорданова мера относи-
относительно а(А)>), «Попарно не пересекаются по множествам меры
нуль». Свойство 15, утверждающее равенство несобственного аб-
абсолютно сходящегося интеграла Римана от / и интеграла Лебега
от /, тоже переносится на общий случай, если по аналогии опре-
определить несобственный интеграл Римана — Стилтьеса.
Свойство 19 (теорема Фубини) непосредственно переносится
па общий случай, если считать, что заданы две неотрицательные
аддитивные функции aiF4), а'(б') полуинтервала б1={О=^а:1<
< а) и полуоткрытого прямоугольника б' = {0 < хг < a, i = 2, ...
.. ., п), которые порождают функцию a(S)=aFt) а(б'), б =
= SiX6' = A (см. свойство 19 из § 19.3). Тогда, если обозначить
определяемые этими тремя функциями меры соответственно
через ц., и,,, и.', то верна формула C4) с приведенными к ней по-
пояснениями, где надо только заменить dx, dx,, dy соответственно
на du., dp-j, d\x'.
Доказательство этой новой формулы такое же, как доказа-
доказательство C4) § 19.3.
Остановимся еще па одном вопросе, который может дать
представление о связи между интегралами Лебега и Лебега —
Стилтьеса.
Пусть на отрезке [а, Ъ] задана неотрицательная интегрируе-
интегрируемая на нем по Лебегу функция (Кж). Положим
X
Р (х) = f P' @ dt, хт[а,Ъ].
428 ГЛ. 19. ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА
Тогда, как мы знаем (см. § 19.5 A1)) $кх) есть абсолютно не-
непрерывная функция, а $'{х) — ее обобщенная производная (на
fa, &]). К тому же в силу условия $'(х)>0- функция $(х) не
убывает на [а, Ы и может рассматриваться как производящая
функция для неотрицательной аддитивной функции полуинтер-
полуинтервала a(A) = p(d)-p(c), A 5= [с, d)c-G = La, Ь).
Заметим, что можно было бы исходить от неубывающей аб-
абсолютно непрерывной на [а, Ъ] функции $(х) и показать, что ее
обобщенная производная $'(х) неотрицательна почти всюду
на La, Ы.
Функция a(A) определяет меру.
Если g<=-[a, Ы — открытое множество, т. е. есть сумма не
более чем счетного числа интервалов (ск, dh), к = 1, 2, ..., то оно
измеримо как в смысле Лебега, так и в смысле Лебега относи-
относительно а(А), и его мера во втором смысле равна
и мы доказали формулу
J d|A = J P' (t) df. A0)
Эта формула легко обобщается на любое множество <??, изме-
измеримое одновременно в обоих смыслах:
j ^ = J P' (*) Л. (И)-
а* #
Для этого достаточно взять нижнюю грань от обеих частей
A0) по всем g=> $. Ведь
)\(g = inf fxg = inf \ d\i.
С другой стороны, в'силу неотрицательности $'(х)
и в силу измеримости & для любого е > 0 найдется такое g, что
(см. § 19.3 свойство 11 интеграла' Лебега)
J P'(t)dt+ f p'
Но равенство (И) можно обобщить.
Пусть мера \\ такова, что всякий раз, как некоторое множе-
множество е cz [а, Ы измеримо в смысле ц, оно измеримо и в смысле
§ 19,12. ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА — СТИЛТЬЕСА 429
Лебега. Тогда имеет место равенство
= \f(x)P{x)dx, A2)
¦если существует интеграл слева.
В самом деле, пусть существует интеграл слева в A2). Тогда
в силу свойства 17 из § 19.3 интеграла Лебега — Стилтьеса отно-
относительно а(А) существует последовательность ступенчатых функ-
функций оР(х) такая, что
ар(х)->/(х) почти всюду на [а,Ь],
]\f(x)~ep(x)\dli-+0, р-+оо. A3)
в
Но тогда (пояснения ниже)
J |ар(х)Р' (х) - aq (х) Р' (х) | dx = f | ар(х) - а, (х) | р' (х) dx =,
& <%
= J l°"i.(x) — oq{x)\d\x-^0, p,q-+oo,
S
где второе соотношение (равенство) верно в силу A1), потому что
функции |аР(х) — о,(х)| ступенчатые, а третье — в силу A3). На
•основании свойства 20 из § 19.3 полноты пространства Ыа, Ь)
¦существует функция, к которой ар(х)^'(х) стремит-ся в смысле
На, Ъ). Но так как oP(x)[J'(x) -»- /(х)^'(х) почти всюду, то этой
функцией должна быть /(х)^'(х) (см. свойство 21 из § 19.3).
Итак,
Jlcrp(x)-/(x)|p'(x)dx-»-O, р+оо. A4)
ё
Из A3) и A4) и того факта, что для ступенчатых функ-
функций оР(х)
f ор (х) й[д. = j ap (x) p' (x) dx,
<§ Ж
следует A2).
11аоборот, если fix), измеримая на & по Лебегу почти всюду
конечная функция, и всякий раз, как некоторое множество
« с: [а, Ъ\ измеримо по Лебегу, оно также измеримо в смысле р,,
то существование интеграла справа в A2) влечет существование
интеграла слева и равенство A2).
Доказательство этого утверждения проводится, как выше,
в обратном порядке. Существование интеграла справа в A2) и
деравенство ^'(х) ^ 0 влечет существование последовательности
ступенчатых функций aP(x), для которой о?(х) ->- fix) почти
430 ГЛ. 19. ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА
всюду па [а, Ы и
Jl/(x)-ap(x)|p'(*)<b-*-0, р + оо,
%
что доказывается подобно тому, как доказывалось свойство 17 из
§ 19.3, где надо всюду под интегралами заменить dx на ц'(х)Aх.
Отметим следующее утверждение.
Если неубывающая функция $(х) удовлетворяет условию
Липшица
x\, a^x,x'^b, A4)
(М не зависит от х, х), то из того, что какое-либо множество
е cz [а, Ы измеримо по Лебегу, следует измеримость его в смысле
меры цр, порождаемой функцией $(х).
Наоборот, если функция у = $(х) имеет на la, Ь\ обратную
х = $~*(у), удовлетворяющую условию Липшица, то из того, что
какое-либо множество е с [а, Ы измеримо в смысле [лр, следует
его измеримость по Лебегу.
В самом деле, произвольное открытое множество g<=ia, Ъ]
есть сумма самое большее счетного числа попарно непересекаю-
непересекающихся интервалов (ck, dh), и потому, обозначая через и. меру Ле-
Лебега, из A4) будем иметь
№ = 2 IP (<**) - f5 Ы ]< М2 D - ск) = ММ. A5>
Далее, если <5 с [а, Ь] — измеримое множество, то для любо-
любого е > 0 найдутся Fug такие, что FaS'czg, \i(g — F)<(o. И»
g~F открыто, поэтому, применяя к нему A4), получим
\i»(g - F) < M\i{g - F) < Мг.
1'аким бразом, и в смысле [S мера g — F может быть сделана;
как угодно малой. Но тогда & измеримо в смысле р.
Обратная часть утверждения доказывается аналогично.
В заключение напомним замечание к C) в § 19.9.
У и р а ж н е н и я.
1. Пусть Р(ж)—неубывающая па fa, b] функция, порождающая неот-
неотрицательную аддитивную функцию
а(Д) =P(d)-P(c), Д= [с, d)<=G= [а, Ь).
Показать, что, если C(ж) продолжить, положив $(х) = р(а), х < а п
$(х) = p(fc), х > Ь, то продолженная функция порождает продолжение-
а(Д), полученное по правилу 19.8 A).
Доказать равенства (jj, лебегова мера относительно а (А))
ц(с, d) =P(d-O)-p(c + O),
ji[c, d] =p(d + 0)-P(C-0),
|i[c, d) =p(d-O)-{f(e-O),
H(c, d] =§(a! + O)-p(C + O).
Таким образом, и,(Д)=а(Д) тогда и только тогда, когда §(с)= Р(с — 0).
§ 19.13. ПРОДОЛЖЕНИЕ ФУНКЦИИ. ТЕОРЕМА ВЕЙЕРШТРАССА 431
2. Пусть G = {а,- г^ xt < bt\ i = l, ..., re}, Д = {с г^ xt < dt; i = 1, ...
..,, в)еС, Д8 = {с, — в :g; х; <с d,-, i = l, ..., n}, e > 0. Доказать равен-
равенства
|1Д = lim (аД'), цД = ^тАа(А'), цД =^Нщ а (Д„).
Д'ССД Д,?ЭЛ Е-^0
Д'-»Д Д -»д
§ 19.13. Продолжение функции. Теорема Вейерштрасса
To4«ji п~морного пространства й„ будем обозначать через v= (t»i, ...
..., vn).
Пусть Ней, есть ограниченная область с границей Г, представляющей
собой гладкую поверхность (дифференцируемое (п — 1)-мерноо замкнутое
многообразие, см. 17.1)). Будем считать, что Г есть сумма конечного числа
связанных многообразий.
Точки Г будем обозначать через х. Нормаль к Г в точке х состоит из
двух выходящих из х лучей Л^ и Nz- Луч Ni содержит достаточно малый
интервал с концом х, полностью принадлежащий Q, луч же iV2 содержит
в себе некоторый интервал с концом х, не имеющий общих точек с Q. Лу-
Лучи Ni и jV2 называются соответственно внутренней и внешней нормалями
к Г в точке х (см. § 17.2).
Пусть v = v(х) есть выпущенный изхеГ единичный вектор внешней
нормали к Г. Он непрерывно зависит от х на Г.
В самом деле, Q есть га-мерное дифференцируемое связное многооб-
многообразие, замыкание которого принадлежит связному же «-мерному многооб-
многообразию, ориентированному уравнениями vi = v\, ..., vn = vn. Поэтому (см.
§ 17.2, в частности, теорему 4 и дальше) Г тоже есть ориентируемое много-
многообразие, и можно высказать правило согласования ориентации Q и Г, за-
заключающееся в следующем.
Какова бы пи была точка х° е Г, существует ее (n-мерная) окрест-
окрестность W 0 и определенное на ней локальное описание ориентированного
многообразия Д„ (см. 17.2 A8), A9))
Vi = epi(u) = цц(щ, ..., ип), г = 1, ..., п, ueQ, A)
со следующими свойствами:
1) Якобиан описания A) (перехода от и к v) —положительный.
2) При достаточно малом б > 0 точки v являются внешними или внут-
внутренними по отношению к Q в зависимости от того, будет ли у них Ui > 0
или Ui < 0, где | Ui | < б.
3) Уравнения
Xi=(ft@, иг, ..., м„), I = 1, ..., и, B)
описывают (в рассматриваемой окрестности) Г.
Совокупность всех получаемых таким образом описапий B) многооб-
многообразия Г, ориентирует Г, иначе говоря, любые два такие описания пересе-
пересекающихся кусков о, о' с: Г таковы, что на во' якобиан перехода друг
в друга определяющих их параметров (и2, ..., ип) и (и2, ..., и'Л— поло-
положительный.
Введем единичный нормальный к Г в точке хеГ вектор v = v(x),
определяемый в пределах W 0 формулами § 7.25, C), где надо только за-
заменить (iti,...., un-i) на (иг, ..., ип) и t на' h. Из этих формул непосред-
непосредственно видно, что в пределах окрестности W 0 произвольной точки х° s
е Г вектор v(х) непрерывно зависит от хеГ. Но он непрерывен также и
432 гл- 19- ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА
на всем многообразии Г. Это видно из тех же формул — па пересечении
указанных кусков о и о' вектор v — один" и тот же, независимо от того,
будем ли мы его вычислять, пользуясь параметрами (иг, ..., ип) куска а
или параметрами [и'г, ..., и'п} куска о'. Зде.сь существенно, что якобиан пе-
перехода от одних из этих параметров к другим — положительный.
Отметим, что вектор v направлен вовне Q. Ведь на Г
а вектор ~д^~> ..., ^u (заведомо направлен вовне Q.
Пусть теперь Г есть многообразие класса Сг+1, т. е. функции ср;, описы-
описывающие его локально, непрерывно дифференцируемы г + 1 раз. Тогда су-
существует достаточно малое б > 0 такое, что равенство
v = х + hv (х), х е Г, | h \ ^ б, C)
устанавливает взаимно однозначное соответствие
(х, h), хеГ, \h\ <«, D)
непрерывно дифференцируемое г раз. Это надо понимать в том смысле,
что если локально равенство C) при помощи подстановки B) записать
в виде
v+* (и2, ..., ип, h), |A|<6, E)
то полученное соответствие E) непрерывно дифференцируемо г раз.
Тот факт, что такое соответствие E) действительно имеет место в не-
некоторой окрестности произвольной точки х° е Г, доказан в § 7.25 E). Вос-
Воспользовавшись леммой Бореля, можно выбрать конечное число таких ок-
окрестностей, полностью покрывающих замкнутое ограниченное множество
Г, но тогда при достаточно малом б > 0 будет иметь место D) для всех
хеГ.
Множество точек V, определенных при помощи соотношений C), обо-
обозначим через П(б) и положим Q6 = Q + Щ6).
Теорема 1. Пусть Q — ограниченное множество, граница которого
есть (п — \)-мерное дифференцируемое многообразие класса С2. Функцию
/(v), непрерывную на Q, можно продолжить с О на Rn так, что продолжен-
продолженная функция /(v) будет непрерывна на Rn и финитна в Qe и будет выполз
няться неравенство
|7(v)|<max|/(v)|. F)
vei?n veQ
Доказательство. На QTIF) нашу функцию можно рассматривать
как непрерывную функцию от v и от (х, h) (/(v) = /(х, А), 1еГ),
Функция
/* (v) ¦
/(v), ve=Q\IIF),
/(v) = /(x,A), хеГ, -6<А<
f(x,h), хеГ, 0<А<б,
О, v^Q6,
очевидно, непрерывна на Q6 и продолжает / с Q на Rn.
Введем теперь непрерывную финитную в Q6 функцию \|)(v), удовлетво-
удовлетворяющую неравенствам 0 < г|з(у) <Ги равную 1 на Q (см. § 18.4, лемма 1).
Очевидне, функция /(v) = ^(v)/*(v) удовлетворяет условиям теоремы.
§ 19.13. ПРОДОЛЖЕНИЕ ФУНКЦИИ. ТЕОРЕМА ВЕЙЕРШТРАССА 43-$
Теорема 2 (В е й е рш т р а с с а).Пусть на замыкании области, удов-
удовлетворяющий условиям теоремы 1, задана непрерывная функция /(х),
(se!!). Для любого е>0 можно определить многочлен (см. 7.3, B))
такой, что выполняется неравенство
|/(х)-Р(х)| <e, xefi. (8)
Доказательство. Рассмотрим продолжающую /(х) (с Q) фупк-
цито /(х), непрерывную и финитную в Q6. Так как множество Qc ограни-
ограничено, то можно указать такое I > 0, что A={|xj| ^ I, / = .1, ..., в} со-
содержит в себе Q6. Если ввести подстановки
xj = I cos th 0 < tj < я, / = 1, ..., л, (9)
то получим функцию
\F(t) = f (I cos fi, ..., I cos fn),
которую можно считать определенной для любых t= (ti, ..., tn). Она не-
непрерывна по t и четная периода 2я по каждой переменной tj.
Сумма Фейера функции F(t) ость некоторый четный тригонометриче^
ский полином
0ivW= 2 ah cos Vi • * • cos Vn> k= (*i> •••>*„),
равномерно при N -+ oo сходящийся к F(t) (см. § 15.11, теорема 1). Следо-
Следовательно, для любого е > 0 можно указать такое N, что выполняется не-
неравенство \F(t) — ow(t) j < 8 для всех t.
Если в этом неравенстве обратно перейти от t к х (см. (9)), то по-
получим
Ц(Х)-Р(Х)\ <Е,
где jP(x) есть многочлен
Р (х) = ^ ай cos *i arccos у ... cos kn arccos-p
(см. § 15.12). Тем более верно неравенство (8), ведь /(х) = / (х) на Q.
Теорема 3. Пусть область Q точек v = (vt, ..., ?„) удовлетворяет
условиям теоремы 1, но с границей класса Cr+1, и на О. задана функция
J(x) gC'(Q), г. е. имеющая на Q непрерывные частные' производные до-
порядка г включительно. Тогда /'(V) можно продолжить с Q на Rn так, что
продолженная функция /(v) принадлежит CT(Rn), финитна в Qu и удов-
удовлетворяет неравенству
(v) | < С ^ max |./<8> (v)
еде С не зависит от f и V.
434 ГЛ. 19. ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА
Доказательство. Определяем на Q6 функцию
[/(v), ve=G\nF),
j/(v)/(xft) 8<fe<0
U (v)
I
A0)
s=0
,0, v^O6,
где числа X, одновременно удовлетворяют уравнениям
I
S=0
Легко проверить, что /*(v) имеет на Q8 непрерывные частные произ-
водяые порядков вплоть до г включительно. А функция
f(v) =t|)(v)/*(v)
удовлетворяет условиям теоремы, если за "ф (v) взять г раз непрерывно
дифференцируемую на Rn функцию, финитную в Q6 и такую, что t|)(v)=l
на ЦиО< г|;(у) ^ 1 най„ (см. § 18.4, лемма 1).
Замечание. Теоремы 1—3 можно доказать при менее ограничитель-
ограничительных условиях на Q, по тогда продолжения /* (v) пришлось бы строить да-
датами, отличными от G) и A0).
Глава 20
ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И ФУНКЦИОНАЛЫ
§ 20.1. Линейные операторы
Пусть Е и й" обозначают линейные нормированные пространства и каж-
каждому элементу х из Е, в силу некоторого закона, соответствует элемент
У = и(х),
принадлежащий й"; тогда говорят, что и есть оператор, определенный в Е
и отображающий Е в Е'.
Оператор называется аддитивным, если для любых элементов х и у
из Е справедливо
и(х + у) — и(х) +и(у).
Если 0 и 0' соответственно обозначают нулевые элементы пространств.
Еи?'иге Е, то для аддитивного оператора справедливо
u@)=G', и{—х)=—и(х). A>
Действительно,
и@) = и B6) = 2и(9),
откуда следует первое равенство. Далее,
0'= и(х-х) = и(х) + и(-х),
что влечет второе.
Оператор называется однородным, если для любого действительного
(комплексного) числа а и любого элемента х е Е имеет место
и(ах) = аи(х).
Оператор называется непрерывным в ijeE, если для любой последо-
последовательности Xk (к = 1, 2, ...), принадлежащей й и сходящейся к я0, спра-
справедливо
lim u(xh) = u(x0).
h->oo
Оператор называется непрерывным, если он непрерывен в любом эле-
элементе х е Е.
Из аддитивности оператора и непрерывности его в одном из элемептов
а:оеЕ следует его непрерывность. Действительно, если уо е ?, sjefi
(А = 1, 2, ...) и ук-+уо, то
lim "(г/л) = lim u[(yh — г/0 + *о) — (ат0 — г/о)] =
= и(х0) — и(ж0— г/о) = и(г/0).
Далее, из аддитивности оператора и непрерывности его следует одно-
однородность относительно умножения па вещественное число*). В самом
*) В комплексном пространстве однородность оператора относительно
умножения на комплексное число вытекает из его аддитивности, непрерыв-
непрерывности и свойства и(ix) = iu(x\
436 ^Л. 20. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И ФУНКЦИОНАЛЫ
деле, если а = 0, 1, 2, ..., то равенство
и (аз;) = аи(х) B)
является непосредственным следствием аддитивности оператора и. Если
р и q — целые положительные числа, то
qu
•откуда
чх) = 1и{х)' u[-jxJ = Pu[jx) = Yu{x)-
Пусть теперь а-— произвольное положительное число и последователь-
последовательность рациональных чисел гк сходится к а; тогда вследствие доказанного
и непрерывности .оператора
и(ах) = limu(rhx) = Цтгки(х) = ав(аг).
Это равенство на основании A) сохраняется, очевидно, также и для отри-
отрицательных а.
Теорема 1. Для того чтобы аддитивный оператор и был непрерыв-
непрерывным, необходимо и достаточно существование положительной константы М
такой, что для всех х^Е выполняется неравенство
\\и(х)\\^М\\х\\. C)
Доказательство. Условие C) достаточно, так как если последо-
последовательность элементов xh (к = 1, 2, ...) из ? сходится к хй е Е, то из не-
неравенства
1И*& —жо)И <ЛП1**-*о11 Vе = 1, 2, ...)
следует
lim u(xh) — и(х0).
ft-» со
Оно неебходимо, так как в противном случае существует в Е последо-
последовательность элементов хп (п = 1, 2, ...), для которой ||и(япI1 ^ п||я„[|, и,
следовательно,.
||«(гп)||>1, 2n = ^p^|- zn-*° прип->оо,
что противоречит непрерывности оператора и.
Аддитивный непрерывный оператор и называется линейным или еще
линейным ограниченным.
Наименьшая положительная константа М, при которой выполняется
неравенство C) для всех х е Е,' называется нормой линейного оператора
и и обозначается II и 11. Легко видеть, что норму и можно еще определить как
верхнюю грань норм элементов и(х), распространенную на множество всех
? || ж II s? 1 или с ]|.г|| = 1:
|| и || = gup Ц и (х) || = sup || и (ж)ц.
М И—1
Банахово, т. е. линейное нормированное полпое пространство будем на-
называть еще пространством типа (В).
Если и и v — линейные операторы, отображающие пространство Е ти-
типа (В) в пространство Е' типа (В), и а — произвольное число, то очевидно
§ 20.4. ЛИНЕЙНЫЙ ФУНКЦИОНАЛ В ПРОСТРАНСТВЕ О 437
§ 20.2. Линейные функционалы
Множество R всех действительных чисел с обычным определением слей
жения и умножения, где норма числа равна абсолютному его значению,
есть, очевидно, пространство типа (В).
Если оператор F отображает нормированное пространство Е в R, он на-
называется функционалом, определенным в Е. Аддитивный и непрерывный
•функционал, определенный в пространстве Е типа (В), называется линей-
линейным функционалом. Свойства, установленные для линейных операторов, ос-
остаются, очевидно, справедливыми и для липейных функционалов.
§ 20.3. Сопряженное пространство
Совокупность всех определенных на Е линейных функционалов обра-
образует пространство Е, называемое сопряженным к Е, если в качестве нор-
нормы элемента этого пространства — функционала F — взять определенную
уже норму ||F||= sup | F (x) \. E есть пространство типа (В), таким обра-
IWKi
зом, полное (независимо от того, Е полное или нет). В самом деле, если по-
последовательность линейных функционалов Fn (я = 1, 2, ...) удовлетворяет
условию Коши: для всякого е > 0 найдется такое N, что для всех р, q >
> N \\FP — Fq\\ < е, то очевидно, Fn(x) сходится равномерно на сфере
||ж|| ^1к некоторому линейному функционалу F, определенному вЕ,и та-
таким образом, ]\Fn — F\\ -*¦ 0 при п -*- оо.
Сформулируем без доказательства теорему.
Теорема (о продолжении линейного функционала). Пусть Е — бана-
банахово пространство и Е\ его линейное подпространство (Eicfi).
Линейный функционал /(г), определенный на ?,, можно продолжить
на Е с сохранением нормы, т. е. определить на Ех такой линейный функ-
функционал /](я), что будут выполняться свойства
t/(x) = /(x), xe.E, sup |/ (x)|= sup |/(x)|.
1 l NKi1 N<i
§ 20.4. Линейный функционал в пространстве С
непрерывных функций
Теорема (Рисса*)). Для всякого линейного функционала^, опреде-
определенного в пространстве С действительных непрерывных функций х = х(t),
заданных на отрезке,[а, Ь], существует на этом отрезке и притом единст-
единственная действительная функция g(t), удовлетворяющая условиям:
1) s(fy ограниченной вариации на [а, Ь] и непрерывна справа для
а<Р<Ъ,
2) g(a) = 0,
3) функционал F для всех х = x(t) из С представляется в виде интег-
интеграла Стилтьеса
Ь
F(x)=jx(t)dg(t), A)
а
4) норма фунпционала F равна полной вариации функции g на [а, Ъ]г
B)
*) Ф. Рисе A880—19 ) выдающийся венгерский математик.
438 ГЛ. 20. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И ФУНКЦИОНАЛЫ
Наоборот, функция g(t), удовлетворяющая названным свойствам, опре-
определяет с помощью A) линейный функционал в пространстве С.
Доказательство. Пусть задан линейный фупкционал на прост-
пространстве С. Последнее можно рассматривать, как подпространство простран-
пространства Ь„ = ?„ [а, ft] ограниченных функций, определенных на сегменте
[а, ft] (стр. 377, сноска). Продолжим линейный фупкционал F на простран-
пространство Loo с сохранением нормы, что всегда возможно (см. § 20.3).
Определим далее на [а, Ь] семейство функций х, = xs (t) следующим
образом:
10, s<rt<b,
[1, a %t <^s,
Очевидно, х> е Ь„,. Положим
g(s) = F(x,), a< s *z b,
и покажем, что функция g(s) ограниченной вариации на [а, Ъ]. Действи-
Действительно, пусть а = So < si < ... < sn = 6 — произвольное разбиение сег-
сегмента [a, ft]. Тогда
гдо
П{ = sign ^(^^ — xsi_1) («= 1. 2, ..., и).
Но функция
представляет, очевидно, ступенчатую функцию с пормой, ие превышающей
единицы. Поэтому
следовательно,
var g'
Легко видеть, что функция
х (г) = 2 аг [хч (*) - х8!_г <*)] (а = *о < «1 < • • • < s« = ъ)
является ступенчатой функцией, определенной равенствами
la, *„<<<«.,
x(t)= ' (i=. 1,2, ...,n).
Для нее очевидно
§ 20.4. ЛИНЕЙНЫЙ ФУНКЦИОНАЛ В ПРОСТРАНСТВЕ С
439
Если теперь х = x(t)—произвольная непрерывная функция, то ее
можно рассматривать как предел равномерно сходящейся к пей последо-
последовательности ступенчатых функций вида
п
хп = хп с) = 2х («о [хч w - *,к_х щ -
когда max \st — sj-i| (i = 1, 2, ..., n) стремится к нулю.
Таким образом, \\х— х„\\-*-0 при п-*-оо и, вследствие непрерывности
линейного функционала F,
F (х) = lim F (х„) =
н-»оо
lim
¦-oh
= lim
для всех ieC. Очевидно,
| F (а:) | =
какова бы пи была функция ieC. Поэтому
IIУ [| ^ var S. E)
Из E) и C) тогда следует B). Далее, очевидно,
g{a) = F(xa) = 0.
Мы, таким образом, показали существование функции g ограниченной
вариации на [a, ft], удовлетворяющей условиям 2) —4) теоремы.
Введем теперь в рассмотрение функцию g%, определенную следую-
следующим образом:
S*(t) = ?(f + O) для a<t<6.
Эта функция, таким образом, непрерывна справа для а <_ t < Ъ и от-
отличается от g на счетном множестве значений t, удовлетворяющих неравен-
неравенству а < t < ft. Поэтому па осповапии свойств интеграла Стилтьеса
ъ ь
Очевидно, далее,
С другой стороны,
var
(t) tig* (t)
= || F \\.
var g*\\x\\
F)
var
откуда
Неравенства F) и G) влекут за собой
11/1= var
G)
440 гл- 20- ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И ФУНКЦИОНАЛЫ
Таким образом, функция g* удовлетворяет всем условиям теоремы.
Такая функция может быть только одна. В самом деле, допустим, что функ-
функции gi(t) и gi(t) удовлетворяют всем условиям теоремы и g\{ta) ф. gz(to).
Тогда разность
МО = Ы0-*¦(<)
есть функция ограниченной вариации, непрерывная справа для а < { < Ъ
и удовлетворяющая условиям
Ь
h(a)=0, \x(t)dh(t)=O для всех igC,
(8)
Но это невозможно, так как если t0 = Ь, то для x(t) =1
ь
j х (t) Ah (t) = h (b) Ф 0,
a
и если to < 6, то в силу непрерывности справа функции h можно подобрать
достаточно малое положительное б такое, что
var h<\h(tA\.
>\h(t0)\- var A>0,
1 и/ ' io«i<io+6
Тогда для непрерывной функции x(t), определяемой условиями
(I для a ^.t ^t0,
х {t) = \ линейна для t0 ^ t ^ ?. -f- 6,
(О для б + t0 ^ i < b,
мы имели бы
\x(t)dh+ J *((),
a tg
что противоречит {8).
Итак, первая часть теоремы доказана. Вторая часть (обратная) оче->
видна.
ъ
Пример. Интеграл F (/) = \ К (f) / (г) di, где K(t) — суммируемая,
а
а / — непрерывная на сегменте [в, Ь] функция, представляет собой линей-
линейный функционал, определенный в пространстве С непрерывных функций,
определенных па [а, 6] с нормой
ь
\\F\\=\\K(t)\dt.
а
В этом нетрудно убедиться непосредственно или прибегая к теореме
2.1, если принять во внимание, что для всех /еС
§ 20.5. ЛИНЕЙНЫЙ ФУНКЦИОНАЛ В ПРОСТРАНСТВЕ h 441
где
t
g(t) =^K{u)du,
а
а также, что
var g=[\K{t)\ dt.
Пример 2. Пусть a ^ t0 < t{ < .,, < f „ < Ь и a0, «i, aj, . <., an
вещественные числа; тогда
i=O
где /еС, есть линейный функционал, определенный в С с нормой
2l|
г=О
Его можно представить в виде интеграла Стилтьеса 20.4 A), где g(t) —
функция, непрерывная справа на (а, Ь), равная нулю для t = а, постоян-
постоянная в каждом из интервалов (it, ff+i) (i = 0, 1, 2, ..., п — 1), а в точках
ti терпит скачки, равные а*, иначе говоря
g(k + O)—g(to) =a0,
g{U + 0) - g(tt - 0) = a, (i = 1, 2, ,.., n).
§ 20.5. Линейный функционал в пространстве L
интегрируемых, функций
Теорема 1. Всякому линейному функционалу F, определенному в
пространстве L функций /, интегрируемых на [а, 6] по ЛеМегу, соответ-
соответствует единственная с точностью до меры нуль измеримая и ограниченная
на [в, Ь] действительная функция Oi(t) такая, что
Ь
F (/) = [ a (t) f (t) dt A)
a
и (см. стр. 377, сноску)
Ц/'Ч= vrai max|a(t)|. B)
f
Доказательство. Определим функцию
A, а<и<?
и П0Л0Я1ИМ g(tj = F(Gt). Пусть а ^ ( < t' ^ Ь и
г = sign [g(t')-g(t)].
Тогда
I 8 (*') - * («) I = е {g (П - g (t)} = eF (Gt, - G,) < || F ||| Gt, - G, ||.
Но функция Gff — Gt равна единице на интервале (t, t') и нулю вне его,
поэтому [ Gt, - Gt\\ = \t' - 11, | g (I') - g @ | < || F || | t' - 11.
442 ГЛ. 20. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И ФУНКЦИОНАЛЫ
Следовательно, g(t) удовлетворяет па [а, Ь] условию Липшица с кон-
константой ||f ||, что, как можно доказать, влечет за собой существование поч-
почти всюду на [в, 6] производной g'(t) = а(?) с
vrai max | а (г
a<t<b
Кроме этого, в силу того, что F(Ga) = О,
g(t) =
откуда
F(Gt) = g(t)
Если / есть ступенчатая функция, определенная на [а, Ь], то она пред-
представляет собой некоторую конечную линейную комбинацию из функций
G( и потому
Пусть теперь / — произвольная функция из L. Существует последова-
последовательность ступенчатых /п (га = 1, 2, ...), сходящаяся по норме к /,
откуда
ь ь
= lira F(fn) = lim \ а (и) fn (и) du = \a(u)f{u)dv,
П->оо n->oo •> J
a a
что и требовалось доказать.
Из последнего равенства следует
< vrai max | а @1-И/||,
что вместе с C) влечет B).
Не может быть двух функций a(t) и ai(<), удовлетворяющих условию
теоремы и отличающихся на множестве положительной меры, потому что,
полагая E(J) = a(t) —«i(i), мы имели бы, с одной стороны,
ь
p @/(*)<« = 0
а
для всех /el, ас другой — для/*@ = sign C (t)
ь ь ь
| / со /. (t) dt = | p (t) sign p (o dt = j | p (o i dt > o.
a
§ 20.6. Линейный функционал в гильбертовом пространстве
Пусть Я есть гильбертово пространство, т. е. линейное нормированное
полное пространство, в котором введено скалярное произведение (<р, tjj)
(Ф, гЬ е Н) с нормой
11фИв= (Ф, ФI/2-
g 20.G. ФУНКЦИОНАЛ В ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ 443
В данном случае считаем, что II есть сепарабеЛ'Ьпое пространство.
В нем, таким образом, имеется счетная полная ортопормироианная систе-
система элементов ерь фг, Фз1 ••• Н может быть комплексным или действи-
действительным.
Теорема 1. Для всякого линейного функционала F = f(<p), опреде-
определенного над Н, существует единственный элемент г)з <— Н такой, что*)
FD>) = (Ф, Ч>) (феЯ) A)
для всех ф s //.
При этом имеет место равенство
11Л1=И'11н. B)
Доказательство. Произвольный элемент ipeff разложим в ряд
Фурье по полной ортонормированной системе:
Но тогда, учитывая непрерывность Линейного функционала F, получлм:
/ N \ , N
F (Ф) = lim F'l 2 (ф, <Ph) Ф/( = Hm 2 (Ф- Ф*) F Ы -
W-*o° \k=1 j W-ooft=1
ОО
= 2сь(Ф>Ф*)' cft = i?D>ft) (* = 1.2,...). C)
Мы доказали, что заданный линейный функционал F может быть опи-
описай равенством
где числа ch определяются равенствами C).
Очевидно, справедливо также неравенство
2 ch (Ф-
D)
N _
Элемент ф= 2 с .ф. для любого натурального TV припадлеяшт //. Подста-
3=1
вив его выражение в D), получим
JV _ / N \1/2
i
ft=l V /?=1
Откуда
при любом N. Но тогда имеет место
*) В комплексном Я скалярное произведение (ф, г)з) есть линейный
функционал по ф, по не есть линейный функционал по т|), потому что он
не однороден по т|).
444 ГЛ. 20. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И ФУНКЦИОНАЛЫ
Но \ek\ = \ck\, поэтому справедливо также неравенство
откуда вытекает (см. § 14.6, теорема 4) существование элемента г)з е Я та-
такого, что
k=l
где. ряд справа сходится к г)з, в смысле Я,
При этом
U=l
Теперь имеем для любого ipefl
(ф, г|)) = U, 2 ёлфй = 2 cfe (Ф. <Pft) = ^ (Ф).
\ ft=i / ft
т. е. равенство A).
Далее из E) и F) следует
№1н<11Л1, G)
а из A) следует
1*ЧфI = I (Ф, г|))| < ИфИнНфПн, \\F\\ ^ ||г|)||н. (8)
Но тогда имеет место равенство B).
Единственность элемента ф е Я, для которого выполняется равенство
A) для всех ф е Я, вытекает из следующих соображений.
Если бы существовал еще один элемент г|3[ е Я, ^для которого выпол-
выполнялось бы равенство ^(ф) = (ф, фО для всех ф е Я, то для всех феЯ
выполнялось бы равенство
(ф, гр — -ф,) =0,
и в частности для ф = "ф — i^i
(г|)-г|>ь 1р-г|),) =0.
Но тогда т|) — ij)i = 0 или -ф = -фi.
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Абсолютно непрерывная функция
396
¦—сходящийся интеграл 118
Аддитивность интеграла Лебега 360
— — Римана 33
— полная интеграла Лебега 365
Амплитуды гармоника 187
Аппроксимация функции из Lp не-
непрерывной финитной 151
— — из h кусочно постоянной 151
Банахово пространство 142
Бернулли многочлен 210
Бесконечномерное линейное множе-
множество 158
Брауэра теорема 64
Буняковского неравенство 147
Бэта-функция 127
Вейерштрасса теорема 125, 199, 229,
431
Верхний интеграл Римана 29
Верхняя интегральная сумма- Лебе-
Лебега 350
— — — Римана 27
Вихрь (ротор) 81
Внутренняя мера Жордана 13
Лебега 338
Второго рода криволипейпый интег-
интеграл 78
Гамма-функция 130
Гармоника функции 186, 187
Гаусса — Остроградского теорема
102
Геометрическая интерпретация зна-
знака определителя 49
Гёлъдера неравенство 147
Гиббса явление 211
Гильбертово пространство 170
Градиент функции 79
Грина формула 87
Двумерная мера 8
Двойной интеграл Римана 8
Дельта-функция 252
Диаметр множества 7
Дивергенция вектора 102
Дирихле интеграл 189
— сумма 188
— ядро 189
Дифферснцвальпая форма 305
— — (внешний дифференциал) 30ft
Дифференциальный элемент ориен-
ориентированной поверхности 95
Дифференцирование гамма-функции.
131
— интеграл по параметру ИЗ, 124
— ряда Фурье 207
Дифференцируемые многообразия
284
Жорданова мера множества 13
Замена переменных в интеграле Ле-
Лебега 379
— — в кратном интеграле 51 — 59
— — в несобственном интеграле 06
Замкнутость ортонорми'рованной
системы 170
Измеримость функции 343
— множества по Жордану 15, 20
по Лебегу 338
— по Лебегу пересечения 339
— ¦ суммы 339
Инвариантное свойство интеграла
по многообразию 311, 314
Интеграл абсолютно сходящийся 118
— Дирихле 189
—• криволинейный второго рода 76
— — первого рода 75
— Лебега 350
па неограниченном множестве-
387
— Лебега — Стилтьеса 423
—¦ несобственный 115
— по ориентированной плоской об-
области 97
— по поверхности первого рода 90
— Римана верхний 29
— — нижний 29
— Римана — Стилтьеса 413
— Стилтьеса 415.
— сходящийся равномерно 122 134
— Фурье 233, 259
Интегрирование по параметру 123
— ряда Фурье 207^
Интегрируемость модуля 30
— непрерывной функции 33
— произведения 39
440
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Интегрируемость суммы 39
— частого 39
Квадратичное приближение 207
Квадрирувмое по Жордану мно-
множество 11, 18, 19
Колмогорова пример 203
Комплексная форма ряда Фурье 205,
219
Косинус преобразования Фурье 239
Коши неравенство 147
Коэффициент Фурьо 165, 186, 263,
278
Край .дифференцируемого многооб-
многообразия 294
Криволинейный интеграл второго
рода 76
— — первого рода 75
Кусочно постоянная функция 151
Лежаидра мггогочлепы 230
.Лемма об осцилляции 193
Линейно зависимая система 157
— независимая система 157
— — — элементов 157
Линейное множество 157
¦— нормированное пространство 142,
157
-— — — полное 142
— свойство интеграла Лебега 359
¦ — Римана 39
Линейный функционал над D (обоб-
(обобщенная функция) 403
над S 250
над S. 278
Липшица условие 197
Лист Мебиуса 291
Логарифмический потенциал 135,
140
¦Локально интегрируемая функция
239
кусочно гладкая функция 240
Мера Жордапа 15, 408
•— Жордапа открытого ограничои-
иого множества 334
— Лебега 333, 338
— Лебега замкнутого ограниченно-
ограниченного множества 334
Минковского неравенство 148
Многомерная сумма Фейера 219
Фурье 218
Многообразие, заданное параметри-
параметрически 285
— ориентированное 291
— ориентируемое 291
Многочлены Бернулли 210
-— Лежаидра 230
— Чебышева 228
Множество измеримое по Жордану
15
по Лебегу 338
— лебеговой меры нуль 34
— литейное бесконечномерное 158.
— плотное 159
— полное 159
Независимость криволинейного ин-
интеграла первого рода от ориента-
ориентации кривой 7
1 от ориентации поверх-
поверхности 91
Неполнота 1^406
Непрерывность кратного интеграла
по параметру 47
=— равномерно сходящегося интег-
интеграла 123
Непрерывные операции 63
Неравенство Буняковского 147
— Гёльдера 147
— Коши 147
— Парссваля 1G7
Неравномерно сходящийся интеграл
125
Несобственные интегралы 60, 73,
115
Нижний интеграл Римапа 29
Нижняя интегральная сумма Лебе-
Лебега 350
Римана 27
— ступенчатая фупкция 354
Норма // 144
-л; 144
— 1Р 144
Носитель функции 151
— — компактный 151
Ньютонов потенциал 135
Обобщенная производная по Собо-
Соболеву 390
— функция над D 403
над S 250
над 5, .278
Р-- 253
х
Обобщенное неравенство Минковско-
Минковского 321
Обобщенные периодические функ-
функции 277
Обратное преобразование Фурье 240
Объем 9
Объемный потенциал 135, 140
Огианичешгость интегрируемой по
Римапу функции 36
Операция интегрирования по Рима-
ну 10
Описание поверхности 68, 09, 285
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
447
Определенный интеграл Римана 10
Ориентация плоской области 80
¦— поверхности 93
Ориентированное многообразие 291
Ориентируемое многообразие 291
Ортогона.шзация 175
Ортогональная система элемептов
164
Ортопормированная система элемен-
элементов Ki4
— — — замкнутая 176
— — — полная 168
Особенность интеграла 110
Оценка остатка ряда Фурье 210, 225
Парсеваля неравенство 167
— равенство 107
Плапшереля теорема 272
Площадь в полярных координатах
59
— поверхности 68
— — тора 73
.— — шара 73
Поверхностный интеграл первого
рода 90
Повторное интегрирование 41
Повторный интеграл Фурье 240
Полигональная функция 159
Полная аддитивность интеграла Ле-
Лебега 365
•— система в пространстве 159
Полное линейное нормированное
пространство 142
Полнота системы тригонометриче-
тригонометрических функций 197, 221
Полярные координаты в простран-
пространстве 61, 119 •
— — на плоскости 19, 59
Потенциал логарифмический 135,
140
— объемный 135, 140
— простого слоя 135, 141
Потенциальная функция вектора 79
Поток вектора через ориентирован-
ориентированную поверхность 99
Правило согласования ориентации
301
Преобразование перемешшх в диф-
дифференциальной форме 307
— Фурье 239
¦ обратное 240. 256
прямое 240, 256
Приближение в L непрерывными
функциями 151
— в V непрерывными кусочно по-
постоянными функциями 151
Признак Вейерштрасса равномерной
сходимости несобственного интег-
интеграла 125
Пример Колмогоропп 203
— неизмеримого ио Жордану мно-
множества 17
Продолжение функции в метрике
С 431
Произведение дифференциальных
форм 300
Производная по Соболеву.244
— преобразования Фурье 244
Пространство Банаха 142
— полное 142
— сспярабслыюе 159
— С 142
— D' 403
— //(/,) 144
' 144
— L't (La) 148, 178
— lp 144
— S 245
— S' 250
-Cm,L'l (I*) 185
Процесс ортогонализаций системы
элемептов 175
Пуассона интеграл 134
Равенство Парсеваля 107
Равномерная сходимость интеграла
Фурье 234
— — несобственного интеграла 122-
¦ ¦ ряда Фурье 199
Разбиение единицы 330
Разность дифференциальных форм
300
— элементарных фигур 12
Ротор вектора 81, 100
Ряд Фурье 105, 182, 185
— — в комплексной форме 205, 219
— — многомерный 218
— — расходящийся всюду 203
Свертка 249, 282, 327
Сепарабелыюе пространство 159
Синус-преобразование Фуръе 241
Система элементов ортогональная
164
полная 159, 180
Скалярное произведение 149
Согласованность ориентации 2S1
Спектр функции 186
Стилтьеса интеграл 415
Стокса формула 109, 315
Ступенчатая функция 267
Сумма Дирихле 188
— дифференциальных форм 300
— Фейера 215
— Фурье 188
—¦ элемептарных фигур 12
Сходимость средне квадратичепмя
150
¦448
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Сходимость по мере 348
— простого интеграла Фурье 238
— равномерная несобственного ип-
теграла 122
Теорема Брауэра 64
— Вейерштрасса 125, 229, 433
— Гаусса — Остроградского 102
— Лебега 34, 418
— о полноте LP(E) 377
— основная (для кратного интегра-
интеграла) 29
— о среднем (интегральная) 40
— Планшереля 272
— Фубини 370, 389
Трехмерные множества, измеримые
по Жордану 20
Тригонометрический полином 184
— ряд 190
Тройной интеграл Римапа 10
Усреднения по Соболеву 323
Фаза гармоники 187
Фейера сумма 215
Фигура 11
¦Формула Грина 87
— для остатка Фурье 191
— Стокса 109, 315
Фубини теорема 370, 389
"Функция абсолютно непрерывная
396
— бэта 127
— гамма 130
— измеримая 343
Функция интегрируемая по Лебегу
ool
— интегрируемая по Риману 26, 349
— кусочно постоянная 151
— локально абсолютно непрерывная
oJ7
— кусочно гладкая 240
— периодическая 182
— полигональная 159
— ступенчатая 351
— суммируемая 352
-г финитная 151
— Хевисайда 253
— 6(ж) 252
Фурье интеграл 233
— коэффициент 165, 186
— преобразование 239
— ряд 182, 185
— (частичная) сумма 189
Цилипдрические координаты 63
Циркуляция вектора 78
Частичная сумма Фурье 189
Частота гармоники 187
Чебышева многочлен 226
Член ряда Фурье 186
Элемент нормальный 164
— (поверхности) дифференциаль-
дифференциальный 72
Элементарная фигура 11
Явление Гиббса 188, 211
Ядро Дирихле 189
— Фейера 216
Сергей Михайлович Никольский
КУРС МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
Том II
Редактор М. М. Горячая
Технический редактор Л. В. Лихачева
Корректоры Е. В. Сидоркипа, В. П. Сорокина
ИБ № 11784
Сдано в набор 15.12.82. Подписано к печати 13.09.83,
Формат 60x907i«. Бумага тип. Л5 3. Обыкновенная гарни-
гарнитура. Высокая печать. Условн. печ. л. 28. Уч.-изд. л. 29,6,
Тираж 4Q 000 экз. Заказ JV> 520. Цена 1 р. 30 к.
Издательство «Наука»
Главная редакция физико-математической литературы
117071, Москва, в-71, Ленинский проспект, 15
4-я типография издательства «Наука».
630077, Новосибирск, 77, ул. Станиславского, 25