Оглавление
Предисловие ..............................
I. Вступительная контрольная работа в ВЗМП
1978 года ........... ........ ..♦.♦. 2
II. Решения задач вступительной контрольной
работы ........•••••. 3
Ш. Задание * I для принятых в ВЗШ ♦• Ю
17. Задачи для самостоятельного решения ........... Д1
i
Подписано к печати 16.03.78г.
Формат 60x90 1/16 Объем 1, п.л/
Заказ 1836 Тираж 4000 экз.
Отпечатано на ротапринте Института механики МГУ

Предисловие.
В йервом разделе этой брошюры помещены задачи для
семиклассников, поступавших во Всесоюзную заочауго математическую
школу АПН СССР при МЕ7 в 1978 г.
Во втором разделе публикуются решения этих задач. Конечно,
эти решения - не единственно возможные, можно придумать ой
другие, ведь даже одно и то же решение можно записать по-разному:
подробно или кратко, наглядно или формально. Мы постарались
изложить их как можно подробнее. Более того, мы рекомевдузм
прочесть эти решения не только тем, кто не сумел их решить, но и
тем, кто решил задачи, чтобы узнать, возможно, какие-то новые
вдеи и.приемы, поучиться четкости в записи решений, а также
увидеть, 9 чем были ошибки. ,
Среди самых распространенных ошибок отметим потерю части
ответов в задачах J6 1,3,7 и логические пробелы в решении задач
#1,2,3,5,9.
Третий раздел - первое задание для тех, кто получил
извещение о приеме в ВЗМШ. Они должны решить эти задачи, оформить
решения в соответствии с присланной "Инструкцией11 и прислать
решения к 5 сентября 1978 года. Задачи этого раздела
аналогичные некоторым из задач I раздела/
Наконец, в четвертом разделе мы даем задачи для
самостоятельного решения в течение долгого времени. Эти задачи носят самый
разнообразный характер: среди них есть и легкие, и трудные:
похожие задачи не обязательно стоят рядом. Йоэтоц/ не старайтесь
решать все задачи подряд. Если какая-нибудь задача Вас
интересует, а решить её не удается, отложите на время её решение,
порешайте другие задачи; а;затем вернитесь к отложенной. Как
правило, самые интересные и полезные задачи именно те, которые трудно
решить сразу. Мы надеемся, что каадый из. Вас сможет найти в этом
разделе задачи на свой вкус.
Вступительную контрольную работу составили: Н.Б.Васильев,
В.Л.1УтенМахер, Ж.М.Раббот, А.Л.Тоом.
Раздел П написали В.Л.Гутенмахер, Ж.М.Раббот, А.Л.Тоом.
В Ш и 1У разделах (составитель А.Л.Тоом) использованы
задачи, составленные в разное время членами Методической комиссии

ВЗМШ, а также Ш$ I-3I из 1У раздела) группой преподавателей
под руководством чл.-корр. АН СССР И.М.Гельфанда.
Сборник подготовили к-печати В.Л.1Утенмахер, Ж.М.Раббот,
А.Л.Тоом.
Методическая комиссия ВЗШ
I. Задачи вступительной контрольной работы в ВЗМШ
1978 года
Т. На прямой расположены 4 точки А, В, G и, 2) так, что
|ABl.*i ', |А©1«4 , 1С2>|-Я- Чему может
равняться ВС ?
2. К числу 60 приписать по две цифры справа и слева так,
чтобы полученное при этом шестизначное число делилось бы на
1977. (Достаточно найти одно такое число).
3* Какие значения может принимать d ', если
4. Ha плоскости дан квадрат с центром в точке. О ♦ В этой
точке расположен прожектор, который освещает угол величиной
90°. В начальный момент времени прожектор освещал
угол,стороны которого проходили.через две вершины квадрата. Затем
прожектор начал вращаться вокруг точки О . В какой момент
/времени, площадь освещенной части квадрата будет больше:
когда прожектор повернется на 45° или на 72° ?
5. Ивана Александровича Хлестакова пригласили управлять
департаментом и в течение трех дней ему прислали 30000 курьеров.
Известно следующее: если бы в. первый день было прислано
вдвое больше курьеров, чем на самом деле, то общее число
курьеров было бы четвертой степенью того числа, на которое
в трети:! день прислали курьеров больше, чем во второй*
Найти^сколько курьеров было прислано Хлестакову в каэдый
день. (Приведите все возможные ответы).

6. Дан острый угол с вершиной в точке В и точка А • на
одной из его сторон. Найти точку К на другой стороне угла
так,, чтобы радиус окружности, описанной около треугольника
.... ВАК , был наименьшим.
7. Найти все пары целых чисел (£; у) , удовлетворяющих
уравнению
8. Дан прямоугольник А ВС а) . Внутри него берется произволь-
* ная точка и.через неё проводятся ще прямые, параллельные
сторонам А В и ЬС . Эти прямые разбивают прямоугольник на
4 меньших прямоугольника. Доказать, что площадь хотя бы
одного из прямоугольников, содержащих точки А ' или С ,не
больше четверти площади исходного прямоугольника.
Решить систему уравнений: f/+#y в^^>
10. Ученику прислали задание, со^оящее из 20 задач. За каздую
правильно решенную задачу ему ставят 8 баллов, за каздую
неверно решенную - минус 5 фаллов; если же он задачу не
решал, ему ставят 0 баллов. В результате ученик получил 13
баллов. Сколько задач решал ученик?
П. Решения задач вступительной работы.
ЦЗ* Ответ: )ВС| может равняться I, 3, 5 или 7.
Решение. Рассмотрим числовую ось с,началом отсчета
в,точке А . Поскольку ) А ВI = 1 » точка В расположена
на прямой справа или слева от точки А на расстоянии I
(см. рис.1а), т.е. точка В может находится либо в
положении By (i) $ либо - в полЬжении Ь% (-1) ♦
Аналогично точка % может находиться либо в
положении £), (*/) , либо в положении fy (-4) (см. рис.1б).
3

Точно также
точка С может
находиться справа
или слева от точек
fy или #£ на рас-
/, . О i /j стоянии 2, то есть
-« • * » • > занимать положения
** 8* в' *' . C,(*),Cz(z),C3te)
?) или Cjf (-€>)'-
- (см. рис.1в).
Л . Рассматривая те-
-J-.ZL 'У -Д -? V f Г * f f f f> лерь все возможные
Су ^t Cj й^ Л В./ С4 2>у Су положения точек В
g) и С , получаем
Рис. J
ответ.
Ц). Ответ: Напркмер, 536090 (=-/9??-№).
Указание,.'Эту задачу можно решать по-разному. Один из
способов такой. Выпишем произведения числа 1377 на все целые
числа от I до 9: /«?•/-/*# ШЧ**9М /9/7-?*Ш9
iwz*39& im-Ыщ im-i,*tW6
1т-9*5ш m-t'Mto //;/.*-/до
При умножзнии 1977 на любое число столбиком мы получим сумод
нескольких из вылизанных чисел, "сдвинутых" влево на один
или несколько разредов. Теперь легко подобрать, какие числа
надо взять: это 13839 = 1977 • 7 и 1977, так как ММ
ззйОВ.
Итак, если умножить 1977 на 17, получится 33609. Но нам '
нужно получить шестизначное число, где 60 стоит в середине^
поэтому умножим число 33609 еще на 10.
\3]. 9тврт: ^Z^d&f.
Решение. Данные неравенства можно переписать так:.

60
Щ.
]-£4,&-4б4,& - w * откуда,умножив первое
неравенство на 3 и сложив почленно со вторым, получим;- 5&4а<>£~
или - %**&> * ту • Заметим теперь, что мы получили лишь
следствие системы,(I)» Проверим поэтому, что (L
действительно может принимать все указанные значения» Оба данных
, неравенству выполняются:
•шн-%**<-* , то при ^в^;
Uidi(-i$a$± , то ,при i = 0 }
»4 <&<£ » то при
Эту задачу можно также проиллюстрировать и решить с помощью
рисунка 2.
Ответ!
кова.
площадь освещенной части квадрата все время одина-
> Пусть в начальный момент времени прожектор освещал
АОВ (см.рис.За), тогда площадь освещенной части
£__. j^/ равнялась Щ площади-квадрата*
Бели прожектор повернулся и
освещает угол CftO , то площадь
освещенной .части уменьшится на
площадь треугольника /\0С и убели ъитьЦ
на пиощаф, ib^wMHUKCL BPg.Ho
А^АОС, аГдВ09 Ш\ * |0в|, 1№ * ftOQ,
поэтому SДОС в & ЬОХ) и
площадь освещенной части не меняется.
Наше рассувдение справедливо для тех углов поворота,
при которых црожектор освещает часть квадрата от угла А 08
до угла В0Е , в частности, для поворота на 45° и на 72°.
Отметим однако, что в силу симметрии квадрата наше утвервде-
ние останется верным и цри повороте прожектора на любой
угол*
5

Вше более короткое решение»
Продолжим стороны угла, освещенного прожектором.
Полученные прямые разбивают квадрат на
четыре части. Эти части, очеввдно,
конгруэнтны друг друху (любую можно получить из
любой другой поворотом вокруг точки О
на угол, кратный 90°>♦ Поэтому площадь
каждой из них составляет 1/4 площади квад-
Puc. 3f х Рата.
5. Ответ: ( $4/6 i WBS; WfS9) или (Я064Г; ШО> Ш4).
Решение. Пусть в I день Хлестакову прислали Я? курьеров,,
во П день - у курьеров, в Ш день -e Z курьеров (цричем
%>Ц ). Тогда условие задачи можно записать так:
Z *30йОО,
* (О
Умножая первое уравнение системы на 2 и вычитая из него
второе уравнение, получим
</+Z * 60MQ - (% -у) * (2)
Поскольку Ц+%4&ОФ*0- , то из уравненияГ(1)
получаем, что (х-уУ& 300ОО ф с другой стороны,
очевидно, (Z-уУ 4.600ОО * 9 Итак,
Войоо ** (2-уУ& боооо. (з)
Так как Л&К/* /3*<3fiH& < W* = 3£#/б
и S06S.f= /f*< 60O0O 4 /6** 6ЯГ36>
то в силу неравенств (3) имеем
поэтому возможны лишь 2 случая : £~^« /^ или
% -#-/£* ♦ Рассмотрим обе эти возможности»
I) % -у- 1Н . Тогда из уравнения (2) получаем, что
#+£ - ZI6TM # Теперь из системы • £ -# = &} Р+Я^Я/ЗХ*
6

находим, Z/ - SO?9#> fa * /0?&f • Тотаа из уравнения (I)
получаем, что X/ * &W6
2) Z ~y * &* ♦ Аналогично случаю I) получаем систему
YiX^ms- •из кот°р°й ™eeM ** * ***^> &*****
и далее ^ *406Л4*
{§}. Ответ: точка К - основание перпендикуляра, опущенного из
точки 4 на другую сторону данного угла.
решение. Известно, что хорда окружности короче её
диаметра (см.учебник "Геометрия 7"). Если отрезок А& является
хордой искомой окружности, то t £ A& С г - радиус
этой окружности). Поэтому если мы проведем через точки А>
В и точку /( , указанную в ответе, окружность, то её
диаметром будет служить отрезок А В и она будет иметь
наименьший возможный радиус, длина которого равна АЛ •
Найдем теперь точку К • По известной теореме (см.учеб-
ник "Геометрия 7"), все точки окружности с диаметром А В
являются вершинами прямоугольных треугольников с
гипотенузой А В • Отсвда следует, что для нахождения точки К
надо из точки А опустить перпендикуляр на другую сторону
угла.
Щ. Ответ: (4; - I); (5; I); (-4; I); (-5; -I).
Решение. Разложим левую часть уравнения на множители: .
= (.x*$)(x-ty) • Теперь уравнение можно перепирать в сле-
-дующем ввде: (CC+y)(&-fy) • /g , (I)
Поскольку х и ]f - целые числа, оба множителя в левой
части (I) - целые числа. Значит, нам надо выяснить,
произведение каких дцух целых чисел дает 18. Это легко сделать:
I) 1*18; Z) (-1И-18); 3) 2*9; 4) (-2М-9); б) 3*6;
6) (-3)#(-б)# Теперь можно рассмотреть все эти случаи. Но
можно существенно облегчить переборе если заметить, что
разность множителей, стоящих в левой части (I), равна Зу и
поэтому должна делиться на 3. Этому условию удовлетворяют
лишь случаи 5) и 6). Их мы и рассмотрим:
7

a)
6) (*♦*••*
или
откуда
откуда
«Г
X
II)
i
т
I
I
J?
p
Рис.*
Rf
Доказательство» Проведем оси симметрии прямоугольника:
прямые МК и Л/£ .Они разбивают данный прямоугольник
^ f W 'м с на * равновеликих части,
1 ZZ I площадь кавдой из которых
равна четверти площади всего
прямоугольника. Занумеруем
эти части так, как показано
на рис.4.
Если произвольная точка^
о которой говорится в
условии, берется внутри частей I
или Ш или на одной из осей
симметрии, утвервдение
задачи очевидно.
Пусть теперь точка 0 взята внутри части П (в
случае, езли она взята внутри части 1У, доказательство
аналогично) и через неё проведены прямые ЕР и FT .Надо
доказать, что площадь хотя бы одного из прямоугольников OSCF
и ОРДТ не больше четверти плошади прямоугольника А ВС а) .
пусть ГАВЪа .1ВС1»£ . иТ| = я . /ЛШ=У-
я
ToI*a 5Ався -«*
Ш получаем:
(I)
(2)
8

то
то
Из (I) и (2) следует, что если ^СС -йу &о 9
QlESl^It I; 1)«
Решение Сложим почленно все уравнения системы*
Мы получим такое уравнение (шляющееся следствием данной
системы): • л ' z
У+ж, Ы**х+*+х3-И**ч-*хг*Лх3+Ляч+4я4 дли
откуда f/-*//+ (1-Ъд**('-**?+(*-я*)*-0. (D
Но сумма квадратов нескольких чисел может быть равна нулю,
только если каждое из этих чисел равно нулю, поэтому из (I)
получаем, что Я/ * яг * а^ « л?^ «_/ .'
Поскольку (I) - следствие данной системы, нвпгьсодтлп
сделать проверку» Она показывает, что мы получили решение
исходной системы*
JH^ Ответ! ученик решал 13 задач.
Решение» Пусть X - количество правильно решенных задач,
у ~ неправильно решенных. Тогда из условия задачи мы
получаем такую систему (Хя - Л; • /J,
Перепишем уравнение этой системы в виде
tz*ty~№#y или Кь+Ц)•*$(&$ (I)
Поскольку правая часть-уравнения (I)'делится на 13, то
и левая его часть должна делиться на 13. Итак, число
#+^ , с одной стороны, должно делиться на 13, а с
другой, оно не больше 20. Поэтому Я + */= /J
этом Я*6 , ^/ ).
9

Ш» Задание # I для принятых в B3M1L
I* а) На плоскости дан правильный шестиугольник с центром
в точке О ,« В этой точке расположен прожектор, который
освещает угол величиной 120°* В начальный момент времени
прожектор освещал угод, стороны которого проходили через
7 середины двух сторон шестиугольника, В какой момент
времени площадь освещенной частя шестиугольника будет больше:
кохда он повернется на 60° или на 150°?
б) На плоскости дан многоугольник и точка О внутри него.
В этой точке расположен крутящийся прожектор, который все
время освещает угол величиной 90°. Известно, что площадь
освещенной части многоугольника все время одна и та же.
Обязательно ли этот многоугольник квадрат?
2. Найти все пары целых чисел (&)#) , удовлетворяющих
неравенству
• XZ-3%+ *?*-<&-
3. Решить систему уравнений
| #/* + */ +«*$•**•$-4
(
4. Четыре различные точки расположены на плоскости.
а) Пять попарных расстояния: меэду ними равны I см* Найти
шестое расстояние.
б) Могут ли попарные расстояния мезду ними соответственно
равняться 1,2,3,4,5,6 ?
5. Какие значения может принимать CL , если известно, что
6. Заменить звёздочки цифрами так, чообы получилось верное
равенство (указать все возможности):
4* * * * о± -U**±f.
10
\

7* 0 треугольнике ABC высказаны следующие утверждения:
a) MM- IBC1 ; б) ABC - 90* • в) |А6Ы8С|«Ш%
г) £№-Jut-
. Известно, что одно из этих утверз^ний яеяерш*, осталзи
вне - верны* Найти величины углов треугольника^^ (указать вое
возможности)*
ТУ. Задачи для самостоятельного тзешенш.
а* Задачи на достроение,
В задачах * 1-9 требуется тострШь треугольшш по
указанным данным* Для сокращения углы его обозначена А, В, С » протай
волежащие стороны - через а, €, с \ щ<^
ронам высоты - через Кд> J*^ Jtc i аддййнвг:■■* *&£ез to^m^ ,
Л1с • биссектрисы - через
ерез JP.
I. *г, &, "**г ,
2. £, С> k<c ,
3* а, А^ л^.
4- Ц /а> Л .
5. а, 4+с> А-
л
6.
7.
8.
9.
• Je • Л
В/С. Р.
а, с-е, в.
л., с-4,С.
6,с,С-В.
б* Разные задачи*
; перимеТР -
10* а) Сколько есть положительных чисел, меньшихОТО, цифры
которых расположены в возрастающем порядке?
Примечание: числа* меньшие 10, записываются с 0 впереди*
Например. 9 записывается 09*
б) Сколько есть положительных целых чисел* меньших 100/
цифры которых расположены в убывающем порядке?
в) Сколько есть положительных целых чисел* меньших 100*
цифры которых расположены в неубывающем порядке?
г) Сколько есть положительных целых чисел, меньших 100*
цифры которых расположены в невозрастающем порядке?
II* Сколько есть целых неотрицательных чисел* меньших 100,
цифры которых расположены в возрастающем порядке?
II

12. Ответьте на вопросы б) и в) задачи 10 для положительных
целых чисел, меньших 10000.
13. Дан треугольник А ВС , причем угол А больше или равен
углу В f угол в больше или равен углу С • Возможно
ли, что:
а) А =75°; А =50°?
б) В =80°; 8f=95°?
в) С =75°;. С 5=50° ?
14. а) В каких пределах может меняться наибольший угол
треугольника (для каких оС (существует треугольник, у которого самый
большой угол равен ^С ?).
б) В каких пределах может меняться средний по величине угол
треугольника?
в) В каких пределах может меняться наименьший угол
треугольника?
15. а) Дан квадрат. Найдите множество точек, расстояние от
которых до центра квадрата меньше, чем от каздой из его
вершин. /
б) Дан квадрат А ВС Я) . Найдите множество точек внутри
квадрата, которые ближе к стороне А В $ чем к сторонам
ВС , С» , № •
16. Имеется 7 точек. Каадая пара из них соединена либо синей
дугой, либо красной. Всегда ли можно выбрать из этих точек
такие три, что все дуги, соединяющие их друг с другом,будут
одного цвета?
17. Тот же вопрос для '4 точек.
18. Решите задачу 16, если имеется 5 точек.
19. Решите задачу 16, если имеется 6 точек.
20. Пусть каждая пара из 6 точек соединена красной или синей
дугой. Всегда ли можно найти два треугольника, образованные
дугами одного цвета (разрешается, чтобы эти два треугольника
имели общую дугу).
21. В компании из 6 человек некоторые знакомы друг с другом.
Докажите, что в этой компании либо 3 незнакомых друг с
другом человека, либо 3 попарно знакомых.
12

22. Про два неотрвдателышхчисла А и В известно, что
А + В *./ и А &В . Какие значения может принимать А ?
Более точно, для каких неотрицательных чисел А можно
найти неотрицательное число В , чтобы А+В = У и
Л>£ ? Укажите все такие А .
23. Л, В, С - неотрицательные числа, удовлетворяющие условиям:
А>В&С % А*В+С = d • каково множество
допустимых значений А ?
24. 9 одинаковых книг стоят II рублей с копейками, а 13 таких
же книг - 15 рублей с копейками. Определите точную стоимость
одной книги.
25* Лестница, стоящая на гладком полу у стены, соскальзывает
вниз. По какой линии движется котенок, ездящий на середине
лестницы? Более точно, концы отрезка длиной/ d скользят
по двум сторонам данного прямого угла. Какую линию
описывает середина отрезйа?
26. Точка В лежит на отрезке АС ^.Найдите множество точек
/И , для которых МВС а л MAC • J
27. Даны две .точки на расстоянии I друг от друга. Наедите
множество точек М , расстояния от которых до каждой из точек
А и В выражаются целыми числами.
28. а) Сколько острых углов может иметь выпуклый 5-угольник?
Перечислите все возможности,
б) Какое вообще число острых углов может иметь выпуклый
П - угольник. Предостережение; ответ на вопрос
зависит от А .
29. На плоскости даны 5 попарно непараллельных прямых. Докажите,
что среди них'найдутся две прямые, угол медцу которыми не
больше 36°.
30. Имеется многотаен. Для враткости обозначим его через JP&D .
(Например, Р(х) * д"*+л-у J i>/*) = Xх- f).
а) Пусть P(x) = sc*+J. .Найдите Р(х+1) , £(Шу
13

/
б) Для любого многочлена Р(я) положим $/(я) = Р(ян)-Р(л
Пусть Aft) «л* . Найдите ' %(*\ PJ*)> Р3№-
в) P(x)*xfe-i) . Найдите Р/ (я) (см.иункт б)).
г) Р(я) шх(х-ф(я-<$ ' . найдите jP/ (*).
д) j>^)»*/«-^ST4)r«-*) .Найдите JPy fcj .
е) - P(x)~x(*-0(*:*)te-J)\'.. (я-п) .Найдите Р< (х) .
31. Решите системы уравнений:'
а) fa/* + 3,y.C/,
Найдите Л и ^ ♦
б) га,л + fyr+ty* w^
Найдите Я, у «35 . ^ бойтесь скучных выкладок. У этой
задачи красивый ответ..
32. МожнЬ ли расположить на плоскости шесть точек и соединить
их отрезками так, чтобы каадая точка была соединена
отрезками с четырьмя другими точками и отрезки не пересекались
друг с другом ?
33. После окончания спектакля "Ревизор" на сцене Бобчинский и
Добчинский начали препираться по поводу того, кто первый
ска[зал "Э". . ' ■
Бобчинский: Это' вы, Петр Иванович, первый сказал "Эр
Вы сами раньше говорили.
Добчинский: Нет, Петр Иванович, я так не говорил:. Это
Вы семгу первый заказали. Вы и сказали "Э!н. А у меня зуб
во рту со свистом.
Бобчинский: Что я семгу первый заказал, это верно. И
верно, что у Вас зуб со свистом. Но все-таки это Вы первый
14

сказали "Э!п.
Выясните, кто первый сказал: "Э!", если известно, что из
девяти произнесенных в этом разговоре фраз нечетное число
верных. ./
34. Найдите четыре числа, если известно, что произведение
любых трех из них на 120 больше оставшегося числа.
35. Докажите, что если в треугольнике совпадают какие-нибудь
две точки.из следующих трех: I) центр вписанного круга;
2) центр описанного круга; 3) точка пересечения медиан, то
треугольник равносторонний.
36. Четыре девочки: Катя, Лена, Маша и Нина - участвовали^
концерте. Они пели песни. Каадую песню исполняли три
девочки. Катя спела 8 песен - больше, чем все остальные, а
Лена - 5 песен - меньше, чем все остальные. Сколько песен было
спето?
37. Верно ли, что при любом на1туральном л> число
а +(п+4) у простое?
38. Найдите величину угла В треугольника А ВС , если
длина высоты (СНУ вдме меньше длины стороны (АВ) , • а
величина угла А равна 75°.
39. Допишите к числам 10, 12, 15 ещё семь целыхчюел так, чтобы
<> наибольший общий делитель любых дзух из-десяти написанных
чисел встречался среди них и чтобы наименьшее общее кратное
любых двух из написанных чисел тоже встречалось среди этих
чисел.. v
40. Докажите, что если Д. (€-с) + 4 (с-&) + с (а-€)*0^
то какие-то два из трех чисел А, €, с равны друг дрзгсу •
41. Найдите все значения р и Ф , при которых многочлен
X * р* * & я +%я + /в jwwho нр€фтавцть в ввде
квадрат ного трехчлена от & .
42. Элементами *-т В и С служат числа 1,2,3,*•• ,9.
Известно следующее:
15

Найдите множества 4 , В и С . (Здесь Л Л В -
пересечение множеств А и В , 41/В - объединение этих
множеств).
43. Про некоторую фигуру на плоскости известно, что при
повороте вокруг точки О на угол 48° она переходит в себя.
Можно ли утверждать,что она переходит в себя при повороте
вокруг точки 0 на угол: а) 90°; б) 72° ?
44. Разложите многочлены на множители:
а) л*-*** + ***+*+€J ;
б) X*-ЛЗх'+ №**-№* +46Z*
Решите уравнения:
в) **-**'****+*+*•*'
г) ъч-*3*г+1*&&-*93*+'**гш°*
45. Докажите, что 4h , +i - составное число, где /I -
натуральное число, большее I.
46. Про некоторую фигуру на плоскости известно, что при повороте
вокруг точки 0 на угол в 19° она переходов себя. Можно
ли утверждать, что она переходит в себя при повороте вокруг
точки О Hft угол в 61° ?
47. Вычеркните из множества чисел 1,2,3,4,6,8,12,16,24,48 три
числа так, чтобы множество из оставшихся чисел обладало
следующими свойствами: НОД любых дзух его чисел встречался
среди чисел этого множества и НОК любых ддух его чисел тоже
встречался среди чисел этого множества.
48. Какие из чисел 1,2,3,4,5,6,7,8,9 входят в множества А ,
В , С , Я) , если известно следующее: AVBsfa*A$6,i,9}l
Bf\C*{6}- Q
49. Угол между осями симметрии фигуры равен 30 . Совпадает ли
она с собой при повороте вокруг точки пересечения этих осей
на угол: а) 60°, б) 30° ?
\
50* 6 делении, выполненном столбиком, все цифры, кроме цифр

частного, заменены буквами: одинаковые - одинаковыми, разные
- разными. Цифры частного заменены вопросительными знаками.
-СЖНИНКА
СААВСК
00АП0К
- ПУСТО
-ХШША
УЯЮКГ
СУИКО
а) Какие Зукны соответствуют цифрам частного?
б) Восстановите все цифры, если известно, что буквой С
заменена цифра 7.
51. Можно ли построить на плоскости з^снутую самопересекающуюс4
ломаную линию, пересекающую каждое свое звено ровно один
раз: а) из 1976 звеньев; б) из 1977 звеньев? (Вершины
ломаной не могут лежать на других её звеньях).
52. Расстояние от пуйкта А до пункта В кратно 5 км. Автобус
едет от А до В со скоростью 60 км/час. Через каждые 5 км
он делает остановку на 5' мин. Велосипедист проехал от 4
до В с постоянной скоростью за I час. В пути его обогнал
автобус, потом он проехал мимо этого автобуса, стоящего на
остановке» потом автобус снова его обогнал, и больше он с
этим автобусом не встречался. Потратил ли автобус на путь
из А в 6 45 мин. или больше?
53. Можно ли расставить девять чисел: 1,2,3,4,5,6,7,8,9 по
кругу так, чтобы сумма любых трех чисел, стоящих подряд,
делилась на 3,(и была: а) больше 9; б) больше 12 ?
54. Дан прямоугольник с углом между диагоналями в 30° и
квадрат со стороной, равной половине диагонали этого
прямоугольника. '
а) Докажите, что шкэдади этих фигур равны.
б) Разрежьте прямоугольник на такие части, из которых^
передвинув их, можно сложить квадрат.
55. Нашоске были написаны 4 числа. Их сложили всевозможными
способами по два и получили следующие шесть сумм: 2,4,9,9,14,16.
Какие числа^ были написаны на доске ?
|пусто