Текст
Классическое введение
в современную теорию чисел
Graduate Texts in Mathematics 84
Kenneth Ireland
Michael Rosen
A Classical Introduction to
Modern Number Theory
Springer-Verlag
New York Heidelberg Berlin
К.Айерлэнд
М.Роузен
Классическое
введение
в современную
теорию чисел
Перевод с английского
СП. Демушкина
под редакцией
А. Н. Паршина
Москва «Мир» 1987
ББК 22.13
А36
УДК 511.3
Айерлэнд К., Роузен М.
А36 Классическое введение в современную теорию чисел: Пер. с англ. —
М.: Мир, 1987. - 416 с.
Учебное пособие по теории чисел, написанное известными математиками из Ка-
Канады и США. От читателя не требуется предварительных знаний. Авторы начинают
с простейших понятий и примеров и доводят изложение до современных проблем
и результатов теории чисел. В книге приведено много задач различной трудности
вместе с указаниями для их решения.
Для математиков разной квалификации в качестве введения в предмет, для пре-
преподавателей и студентов вузов.
1702030000-432 13 _ 87 г ББК
041@1) - 87 ~ ' Ч>
Редакция литературы по математическим наукам
© 1972, 1982 by Springer-Verlag New York Inc.
All Rights Reserved.
Authorized translation from English language
edition published by Springer-Verlag Berlin
Heidelberg New York Tokyo.
© перевод на русский язык, «Мир», 1987
ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА
Теория алгебраических чисел возникла во второй половине XIX в. из
целого ряда не связанных друг с другом задач теории чисел. Первое ме-
место среди них занимали задачи о диофантовых уравнениях, таких, как
уравнение Ферма или вопросы о представимости чисел квадратичными
формами. Другой не менее важный круг идей, стимулировавший раз-
развитие алгебраической теории чисел — теория делимости и законы раз-
разложения простых чисел в кольцах целых алгебраических чисел. Впро-
Впрочем, отделить друг от друга конкретные факты, идеи и конструкции,
приведшие к созданию теории алгебраических чисел, вряд ли возмож-
возможно. Классический период теории завершается созданием теории полей
классов, описывающей абелевы расширения полей алгебраических чи-
чисел и законы разложения в них.
Существует много учебных изложений теории алгебраических чи-
чисел. Предлагаемая вниманию читателя книга отличается элементарно-
элементарностью и насыщенностью конкретными фактами и примерами. Ряд во-
вопросов, например, кубический и биквадратичный законы взаимности
излагаются в учебной литературе с такой степенью подробности, пожа-
пожалуй, впервые. Помимо основ теории авторы включили в книгу ряд глав,
излагающих более современные достижения, связанные с применением
методов алгебраической геометрии к диофантовым уравнениям. Сюда
относятся определение дзета-функций алгебраических многообразий,
гипотеза Римана — Вей ля для многообразий над конечными полями,
связь группы рациональных точек на эллиптической кривой с ее дзета-
функцией. Подробно разобранные частные случаи являются хорошим
введением в общую теорию, с которой читатель может познакомиться
по сочинениям более общего характера (см. библиографические указа-
указания в конце глав).
Последние годы принесли теории чисел заметное оживление: дока-
доказана гипотеза Морделла о рациональных точках на кривых рода боль-
больше 1, первый случай теоремы Ферма решен для бесконечного числа
простых показателей, найдены первые примеры эллиптических кривых
с конечной группой Шафаревича. Можно не сомневаться, что книга
Айерлэнда и Роузена будет ценным подспорьем для начинающих ма-
математиков, же лающих принять участие в дальнейшем развитии теории
чисел.
А. Н. Паршин
ПРЕДИСЛОВИЕ
Эта книга является пересмотренным и сильно расширенным вари-
вариантом нашей книги «Элементы теории чисел», опубликованной в 1972
году. Как и в первой книге, основная аудитория, к которой мы обра-
обращаемся, состоит из студентов-математиков старших курсов и аспиран-
аспирантов. Мы предполагаем некоторое знакомство с материалом стандарт-
стандартного курса по абстрактной алгебре. Большую часть гл. 1-11 можно чи-
читать даже без такой предварительной подготовки, используя небольшое
количество дополнительного материала. Последующие главы предпо-
предполагают некоторое знание теории Галуа, а для гл. 16 и 18 необходимо
знакомство с теорией функций комплексной переменной.
Теория чисел — древний предмет, и содержание его обширно. Для
всякой вводной книги следует в силу необходимости произвести очень
строгий отбор возможных тем из их громадного многообразия. Мы со-
сосредотачиваемся на темах, связанных с теорией алгебраических чисел
и арифметической алгебраической геометрией. Тщательный отбор ма-
материала дает нам возможность изложить некоторые довольно сложные
вопросы без больших технических приготовлений. Значительная часть
этого материала является классической в том смысле, что она была
открыта в XIX веке и ранее, но этот материал и современен, так как
тесно связан с важными исследованиями, продолжающимися вплоть до
настоящего времени.
В гл. 1-5 мы обсуждаем простые числа, однозначное разложение
на простые множители, арифметические функции, сравнения и квад-
квадратичный закон взаимности. Предварительных знаний здесь требуется
очень мало. Удивительно, однако, как малая толика теории групп и ко-
колец прирносят в излагаемый материал неожиданный порядок. Напри-
Например, многие разрозненные результаты оказываются частями ответа на
естественный вопрос: какова структура группы единиц в кольце Z/nZ.
Законы взаимности составляют основную тему последующих глав.
Квадратичный закон взаимности, красивый сам по себе, является пер-
первым в серии, завершающейся законом взаимности Артина — одним из
основных достижений теории алгебраических чисел. Выбранный нами
путь изложения после биквадратичного закона взаимности проходит че-
через формулировки и доказательства кубического и биквадратичного за-
законов взаимности. В качестве подготовки к этим вопросам развивается
техника теории алгебраических чисел: алгебраические числа и алгебра-
алгебраические целые числа, конечные поля, разложение простых чисел и т. д.
Предисловие 7
Другим важным инструментом в этом исследовании (и в других тоже!)
является теория сумм Гаусса и Якоби. Этот материал изложен в гл. 6-9.
Далее в этой книге мы формулируем и доказываем более глубокое ча-
частичное обобщение этих результатов — закон взаимности Эйзенштейна.
Вторая главная тема — диофантовы уравнения, сначала над конеч-
конечными полями, а затем над полем рациональных чисел. Обсуждение по-
полиномиальных уравнений начинается в гл. 8 и 10 и достигает кульми-
кульминации в гл. 11 при изложении части статьи «Число решений уравне-
уравнений над конечными полями» А. Вейля. Опубликованная в 1948 году,
эта статья оказала очень сильное влияние на современное развитие как
алгебраической геометрии, так и теории чисел. В гл. 17 и 18 мы рас-
рассматриваем диофантовы уравнения над полем рациональных чисел. В
гл. 17 излагаются многие стандартные темы, начиная с сумм квадратов
и кончая последней теоремой Ферма. Однако, используя предыдущий
материал, мы можем трактовать некоторые из этих вопросов с новой
точки зрения. Глава 18 посвящена арифметике эллиптических кривых.
Она отличается от остальных глав тем, что это в основном обзор, со-
содержащий много определений и утверждений, но мало доказательств.
Тем не менее, концентрируя внимание на некоторых важных частных
случаях, мы надеемся приобщить читателей к красоте достигнутого в
этой области, где проделана большая работа, но осталось много тайн.
Третья (и последняя) из главных тем — дзета-функции. В гл. 11 мы
обсуждаем конгруэнц-дзета-функции, связанные с многообразиями над
конечными полями. В гл. 16 рассматриваются дзета-функции Римана и
L-функции Дирихле. В гл. 18 излагаются результаты о дзета-функциях
алгебраических кривых над полем рациональных чисел и L-функциях
Гекке. Дзета-функции сводят обширную арифметическую информацию
к одной функции и дают возможность применить мощные методы ана-
анализа к теории чисел.
На протяжении всей книги мы уделяем большое внимание истории
излагаемых вопросов. В замечаниях в конце каждой главы мы приво-
приводим краткие исторические справки и ссылки на литературу. Обширная
библиография затрагивает многие области, как классические, так и со-
современные. Мы хотим снабдить читателя обильным материалом для
дальнейшего изучения.
В книге много упражнений, как стандартных, так и требующих боль-
больших усилий. Некоторые из упражнений дополняют основной текст до-
доказательствами важных результатов. В последних главах ряд упраж-
упражнений основан на результатах последнего времени. Мы надеемся, что
работа над упражнениями будет одновременно как приятной, так и по-
поучительной.
Предисловие
При написании этой книги нам существенно помогли заинтересован-
заинтересованность и поддержка многих наших друзей и знакомых — математиков.
Мы благодарим всех их. В частности, мы хотели бы выразить призна-
признательность Г. Полмэну, настоявшему на том, чтобы мы довели некото-
некоторые темы до логического завершения, Д. Госсу, позволившему включить
часть его работы в гл. 16, а также О. Макгинессу за полезное содействие
при подготовке гл. 18. Мы благодарим также Д. Кавано, Д. Филлипс и
особенно К. Ферейру за терпеливую и квалифицированную перепечат-
перепечатку больших кусков рукописи. Наконец, второй из авторов хочет выра-
выразить свою признательность «Vaughn Foundation Fund» за финансовую
поддержку в течение его годичного отпуска, проведенного в Беркли,
Калифорния A979/1980).
25 июля 1981 г. К. Айерлэнд
М. Роузен
Глава 1
ОДНОЗНАЧНОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ
НА МНОЖИТЕЛИ
Понятие простого числа является основным в теории чисел. Пер-
Первая часть этой главы посвящена доказательству того, что каждое
целое число моэюет быть по существу однозначно представлено в виде
произведения простых чисел.
Затем мы докаэюем аналогичную теорему для кольца многочленов
над некоторым полем.
В более абстрактном плане идея однозначного разложения на мно-
эюители рассматривается для областей главных идеалов.
Наконец, возвращаясь от абстрактного к конкретному, мы при-
прилагаем общую теорию к двум конкретным кольцам, которые будут
иметь большое значение в этой книге.
§ 1. Однозначное разложение на множители в Ъ
В первом приближении теория чисел может быть определена как
изучение натуральных чисел 1, 2, 3, 4, .... Кронекер однажды заметил
(говоря о математике вообще), что Бог создал натуральные числа, а
все остальное — дело рук человеческих. Хотя натуральные числа пред-
представляют собой, в некотором смысле, наиболее элементарную матема-
математическую систему, изучение их свойств поставило перед поколениями
математиков множество завораживающих проблем.
Мы говорим, что натуральное число а делит натуральное число 6,
если существует такое натуральное число с, что Ь — ас. Если Ъ делится
на а, то мы пишем а | Ь. Например, 2 | 8, 3 | 15, но 6/(/21. Если задано неко-
некоторое натуральное число, то мы пытаемся последовательно разлагать
его на множители до тех пор, пока дальнейшее разложение уже будет
невозможным. Например, 180 = 18х10 = 2х9х2х5 = 2хЗхЗх
х 2 х 5. Числа, которые не могут быть далее разложены на множители,
называются простыми. Более точно, мы говорим, что некоторое нату-
натуральное число р простое, если его делителями являются лишь 1 и р.
Простые числа важны потому, что каждое натуральное число может
быть представлено в виде произведения простых. Кроме того, простые
числа представляют большой интерес еще и потому, что с ними связано
большое количество проблем, которые легко поставить, но очень труд-
трудно разрешить. В самом деле, многие старые проблемы относительно
простых чисел не решены до сих пор.
10 Гл. 1. Однозначное разложение на множители
Первыми простыми числами являются 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23,
29, 31, 37, 41, 43, .... Можно спросить, бесконечно ли их много? Ответ
утвердительный. Изящное доказательство этого факта дал Евклид бо-
более 2000 лет назад. Мы изложим его доказательство и некоторые другие
в гл. 2. Можно поставить и другие вопросы в том же направлении. Пусть
тт(х) обозначает число простых чисел между 1 и х. Что можно сказать
о функции тг(х)? Несколько математиков экспериментально обнаружи-
обнаружили, что при больших х функция тг(х) приближенно равна х/\пх. Это
утверждение, известное как теорема о простых числах, было доказано к
концу XIX века Адамаром и независимо от него де ла Валле-Пуссеном.
Более точно, они доказали, что
hm — = 1.
х/ тх
Даже на небольшом списке простых чисел можно заметить, что они
имеют тенденцию появляться парами, как, например, 3 и 5, 5 и 7, 11 и
13, 17 и 19. Бесконечно ли много пар простых чисел? Ответ неизвестен.
Другая знаменитая нерешенная проблема известна как гипотеза
Гольдбаха. Можно ли каждое четное число представить в виде суммы
двух простых чисел? Гольдбах пришел к этой гипотезе эксперименталь-
экспериментально. В настоящее время компьютеры дают возможность экспериментиро-
экспериментировать с очень большими числами. До сих пор не найдено ни одного проти-
противоречащего примера к гипотезе Гольдбаха. Большой прогресс в ее дока-
доказательстве был достигнут И. М. Виноградовым и Л. Г. Шнирельманом.
В 1937 году Виноградову удалось показать, что любое достаточно боль-
большое нечетное число является суммой трех простых нечетных чисел.
В этой книге мы не будем углубляться в изучение распределения
простых чисел или «аддитивных» проблем относительно них (типа ги-
гипотезы Гольдбаха). Мы преимущественно будем исследовать, каким об-
образом простые числа входят в мультипликативную структуру чисел.
Основная теорема в этом направлении по существу восходит к Евкли-
Евклиду. Это теорема об однозначном разложении на простые множители. Ее
иногда называют основной теоремой арифметики, и она достойна тако-
такого титула. Почти все результаты, которые будут излагаться, тем или
иным способом зависят от нее. В ней утверждается, что каждое целое
число может быть разложено в произведение простых чисел единствен-
единственным образом. О какой единственности идет речь, будет объяснено ниже.
В качестве иллюстрации рассмотрим число 180. Как мы видели,
180 = 2 х 3 х 3 х 2 х 5 = 22 х З2 х 5. Единственность в данном случае
означает, что единственными простыми числами, делящими 180, явля-
являются 2, 3 и 5 и что показатели степени 2, 2 и 1 однозначно определяются
числом 180.
§ 1. Однозначное разложение на множители в Z 11
Будем обозначать через Z кольцо целых чисел, т.е. множество 0, ±1,
±2, ±3, ... с обычными определениями сложения и умножения. С коль-
кольцом Z работать будет более удобно, чем с одними лишь положительны-
положительными целыми числами. Понятие делимости без труда переносится на Z.
Если р — некоторое положительное простое число, то — р также будет
простым числом. Мы не будем считать 1 или —1 простыми числами,
хотя они и удовлетворяют определению. Это просто полезное соглаше-
соглашение. Заметим, что 1 и —1 делят каждое число и это единственные целые
числа с таким свойством. Они называются единицами кольца Z. Заме-
Заметим также, что нуль делится на любое отличное от нуля целое число.
Как обычно, мы исключаем деление на нуль.
Имеется несколько простых свойств деления, которые мы только пе-
перечислим. При же ланий читатель может воспроизвести их доказатель-
доказательства.
A) а | а, а ф 0.
B) Если а | Ъ и Ъ | а, то а = ±6.
C) Если а | Ь и Ь | с, то а | с.
D) Если а | Ъ и а | с, то а | Ъ + с.
Пусть п G Z и р — некоторое простое число. Если п ф 0, то суще-
существует такое неотрицательное целое число а, что ра \ п и ра+1/\/п. В этом
легко убедиться в случае, когда р и п оба положительны, ибо тогда
степени р становятся все больше и больше и в конечном счете превос-
превосходят п. Другие случаи без труда сводятся к этому. Число а называ-
называется порядком числа п в р и обозначается через ordp(n). Грубо говоря,
ordp(n) показывает, какая степень р делит п. Если п — 0, то мы полага-
полагаем ordp(O) = ос. Заметим, что ordp(n) = 0 тогда и только тогда, когда
р/п.
Лемма 1. Каэюдое ненулевое целое число моэюет быть представ-
представлено в виде произведения простых чисел.
Доказательство. Предположим, что существует число, которое не
может быть представлено в таком виде. Пусть N — наименьшее поло-
положительное целое число с таким свойством. Так как N само не может
быть простым, то N — тп) где 1 < т) п < N. Но так как тип положи-
положительны и меньше 7V, они должны быть произведениями простых чисел.
А тогда произведением простых чисел будет и N = тп (противоречие).
Если воспользоваться методом математической индукции, то можно
привести более строгое доказательство. Достаточно доказать результат
для всех положительных целых чисел. 2 — простое число. Предполо-
Предположим, что 2 < N и что результат доказан для всех целых чисел т)
таких, что 2 ^ п < N. Мы хотим доказать, что N является произведе-
12 Гл. 1. Однозначное разложение на множители
нием простых чисел. Если N само простое, то доказывать нечего. Если
N не простое, то N = тп) где 2 ^ т) n < N. По индукции тип оба
будут произведениями простых чисел, а потому таким произведением
будет и N. ?
Собирая вместе одинаковые простые числа, можно записать п =
= рТрТ ---Рт1! гДе Рк — простые числа и а& — неотрицательные целые
числа. Мы будем использовать следующую запись:
где б:(п) = 0 или 1 в зависимости от того, будет п положительным
или отрицательным, а произведение берется по всем положительным
простым числам. Показатели степени а(р) — неотрицательные целые
числа и, конечно, а(р) = О для всех простых чисел, кроме конечного их
числа. Например, если п — 180, то е{п) — 0, аB) = 2, аC) = 2 и аE) =
= 1, а все остальные а(р) равны 0. Мы можем сформулировать теперь
основную теорему.
Теорема 1. Для любого ненулевого целого числа п имеется разло-
разложение на простые мноэюители
с показателями степени, которые однозначно определяются числом п.
На самом деле а(р) = ordp(n).
Доказательство этой теоремы не такое простое, как может показать-
показаться с первого взгляда. Приведем сначала некоторые вспомогательные
результаты.
Лемма 2. Если a, b e Z и b > 0; то существуют такие q,r e Z,
что а — qb + г, где 0 ^ г < 6.
Доказательство. Рассмотрим множество всех целых чисел вида
а — Ьх с х G Z. Это множество содержит положительные элементы.
Пусть г — a — qb — наименьший неотрицательный элемент этого множе-
множества. Мы утверждаем, что 0 ^ г < Ь. В противном случае г = a — qb ^ 6,
а потому O^a— (g + lN<r, что противоречит минимальности г. ?
Определение. Для ai,a2, ...,an e Z определим (ai,a2, ...,an) как
множество всех целых чисел вида а\Х\ + а2х2 + ... + апхп с Xi, x2,...,
хп ez.
Пусть А = (ai, a2, ..., ап). Заметим, что сумма и разность двух эле-
элементов из А снова принадлежат А. Кроме того, если a G Z и г G Z, то
га е Z. На языке теории колец А является идеалом в кольце Z.
§ 1. Однозначное разложение на множители в Z 13
Лемма 3. Если а,Ъ ? Ъ, то существует такой элемент d e Ъ,
что (a, b) — (d).
Доказательство. Можно считать, что хотя бы один из элементов а, Ъ
ненулевой, так что в (а, Ъ) имеются положительные элементы. Пусть d —
наименьший положительный элемент в (а, Ь). Очевидно, что (d) С (а, Ь).
Мы покажем, что выполняется и обратное включение.
Пусть с е (а, Ь). По лемме 2 существуют такие целые числа q и г,
что c = gcf + rcO^r<d. Так как с и d входят в (а, 6), то г = с — gd
также входит в (а, 6). Поскольку 0 ^ г < d, то г = 0. Таким образом,
c — qd^ (d).
Определение. Пусть а, 6 е Z. Целое число d называется наиболь-
наибольшим общим делителем целых чисел а и 6, если d делит одновременно
а и b и каждый другой общий делитель а и 6 делит d.
Заметим, что если с — некоторый другой наибольший общий дели-
делитель а и 6, то с | d и d | с, так что с = ±d. Таким образом, наибольший
общий делитель двух целых чисел, если он существует, определен с точ-
точностью до знака.
В качестве примера можно проверить, что 14 — наибольший общий
делитель чисел 42 и 196. Следующая лемма обеспечивает существование
наибольшего общего делителя, но в ней не дается метода его вычисле-
вычисления. В упражнениях будет намечен один эффективный метод вычисле-
вычисления, известный как алгоритм Евклида.
Лемма 4. Пусть a, b e Z. Если (а, b) = (d), mo d является наиболь-
наибольшим общим делителем чисел а и Ь.
Доказательство. Так как а? (d) и &? (d), мы видим, что d — общий
делитель а и 6. Предположим, что с — их общий делитель. Тогда с делит
каждое число вида ах + by. В частности, с G (d). ?
Определение. Мы говорим, что два целых числа а и b взаимно
просты, если их единственными общими делителями являются единицы
±1.
Стандартным стало использование обозначения (а, Ь) для наиболь-
наибольшего общего делителя целых чисел а и Ь. По нашему определению
(а, Ь) — это некоторое множество. Однако ввиду равенства (a, b) — (d)
и того, что d — некоторый наибольший общий делитель (если потре-
потребовать, чтобы d было положительным, то можно обойтись без слова
«некоторый»), использование символа (а, Ь) в обоих смыслах не долж-
должно вносить путаницы. При этом соглашении мы можем сказать, что
числа а и b взаимно просты, если (а, Ь) = 1.
Предложение 1.1.1. Предположим, что а\Ьс и что (а, Ь) = 1.
Тогда а с.
14 Гл. 1. Однозначное разложение на множители
Доказательство. Так как (а, Ь) = 1, то существуют целые числа г
и 5, для которых га + sb = 1. Поэтому гас + sbc = с. Так как а делит
левую часть этого равенства, то а | с. ?
Это предложение неверно, если (а, Ь) ф 1. Например, 6 | 24, но б/^З
и 6/8.
Следствие 1. ?"о/ш р — простое число и р\Ъс, то либо р | Ъ, либо
р | с.
Доказательство. Единственными делителями числа р являются ±1,
±р. Таким образом, (р, Ь) = 1 или р, т.е. либо р | 6, либо р и b взаимно
просты. Если р | 6, то доказательство закончено. Если р/й, то (р, Ь) = 1
и, согласно предложению 1.1.1, р \ с. ?
Следствие 1 можно сформулировать в слегка измененном виде, ко-
который часто бывает полезным: если р — простое число и pjfb, pXc-> то
р/Ьс.
Следствие 2. Предположим, что р — простое число и а, 6 е Ъ.
Тогда ordp(ab) = ordp а + ordp 6.
Доказательство. Пусть а = ordp а, /3 = ordp 6. Тогда а = ]/*с и 6 =
= p^d) где р/с и p/d. Далее, ab — pa+f3cd и, согласно следствию 1,
. Таким образом, ordp(ab) — а + f3 — ordp a + ordp b. ?
Теперь мы готовы приступить к доказательству основной теоремы.
Применим функцию ordg к обеим частям равенства
и воспользуемся ее свойством из следствия 2. В результате получим
равенство
oidq{n) = e(n
Из определения функции ordg имеем ordg(—1) = 0 и ordg(p) = 0 при
р ф q и ordq(p) = 1 при р = q. Таким образом, правая часть сводится к
единственному члену a(g), т.е. ordg(n) = a(g), что мы и хотели доказать.
Надо подчеркнуть, что ключевым шагом в доказательстве является
следствие 1, а именно, если р \ аЪ, то р \ а или р \ Ь. Вся трудность дока-
доказательства концентрируется в этом факте.
§ 2. Однозначное разложение на множители в к[х]
Теорема об однозначном разложении на множители может быть
сформулирована и доказана в более общем контексте, чем в § 1. В этом
параграфе мы рассмотрим кольцо к[х] многочленов с коэффициентамив
§2. Однозначное разложение на множители в А;[ж] 15
некотором поле к. В §3 мы рассмотрим области главных идеалов. Ока-
Оказывается, что анализ этих случаев будет полезен при изучении целых
чисел.
Если /, д G к[х], то мы говорим, что / делит д, если существует такой
многочлен h G k[x], что д = fh.
Если deg/ обозначает степень многочлена /, то degfg = deg/ +
+ deg д. Кроме того, напомним, что deg / = 0 тогда и только тогда, когда
/ — ненулевая константа. Отсюда следует, что / | д и д \ f тогда и толь-
только тогда, когда f — сд) где с — ненулевая константа. Отсюда получаем
также, что единственными многочленами, делящими все другие, будут
ненулевые константы. Последние являются единицами1 в к[х]. Много-
Многочлен р) отличный от константы, называется неприводимым, если из q | p
следует, что либо q — константа, либо q отличается от р на мультипли-
мультипликативную константу. Неприводимые многочлены являются аналогами
простых чисел.
Лемма 1. Каэюдый многочлен, отличный от константы, пред-
представляется в виде произведения неприводимых многочленов.
Доказательство. Применим индукцию по степени многочленов. Оче-
Очевидно, что многочлены степени 1 неприводимы. Предположим, что наш
результат доказан для всех многочленов степени меньше п и что deg / =
= п. Если / неприводим, то все доказано. В противном случае / = gh)
где 1 ^ deg д, deg/i < п. По предположению индукции оба многочле-
многочлена g и h будут произведениями неприводимых многочленов. Поэтому
произведением неприводимых многочленов будет и / = gh. ?
Удобно ввести в рассмотрение приведенные (monic) многочлены.
Многочлен / называется приведенным, если его старший коэффици-
коэффициент равен 1. Например, х2 + х — 3 и х3 — х2 + Зх + 17 — приведенные
многочлены, а 2х3 — 5 и Зх4 + 2х2 — 1 — нет. Каждый многочлен (за ис-
исключением нуля) отличается от приведенного на мультипликативную
константу.
Пусть р — некоторый приведенный неприводимый многочлен. Мы
вводим функцию ordp f как целое число а, определяемое следующим
свойством: ра | /, но pa+1/\/f. Такое целое число должно существовать,
ибо degpm становится все больше и больше при возрастании т. Заме-
Заметим, что ordp / = 0 тогда и только тогда, когда р)(' j'.
Теорема 2. Пусть f G k[x]. Тогда моэюно записать
1 См. примечание на стр. 19. — Прим. перев.
16 Гл. 1. Однозначное разложение на множители
где произведение берется по всем приведенным неприводимым много-
многочленам и с — константа. Константа с и показатели степени а(р)
определены многочленом f однозначно; на самом деле а(р) = ordpf.
Существование такого произведения сразу же следует из леммы 1.
Как и раньше, доказательство однозначности труднее и будет отложено
до получения вспомогательных фактов.
Лемма 2. Пусть f,g e k[x]. Если g ф 0; то существуют такие
многочлены h,r ? к[х\, что f = hg + г, где либо г — О, либо г ф 0 и
degr < deg д.
Доказательство. При g \ f положим просто h = f/g и г = 0. При
gX f пусть г — f — hg будет многочленом наименьшей степени среди всех
многочленов вида / — 1д с / е к[х]. Мы утверждаем, что degr < deg д.
Если это не так, то пусть аха — старший член в г, а Ьх^ — старший
член в д. Тогда г — ^ ха~^д = / — {h + ^ ха~^)д имеет меньшую степень,
чем г, и заданный вид — противоречие. ?
Определение. Если /ь /2, ..., fn е к[х], то (Д, /2, ..., /п) — множе-
множество всех многочленов вида j\h\ + /2/&2 + ••• + fnhn, где h\,h<i, ••• ,hn e
На языке теории колец (Д, /2, ..., /п) — идеал, порожденный много-
многочленами /ь/2, ...,/п.
Лемма 3. Длл заданных /,je А;[я] существует такой многочлен
d е А;[х], что (/, </) = (d).
Доказательство. Пусть d — некоторый элемент наименьшей сте-
степени в множестве (f,g). Ясно, что (d) С (/, р), и мы хотим доказать
обратное включение. Пусть с е (/, #). Если d/^c, то существуют такие
многочлены /гиг, что c — hdJrr) где deg r < deg d. Так как end лежат
в (/, д)) то г = с — Ы С (/, р). Поскольку г имеет меньшую степень, чем
d, мы пришли к противоречию. Поэтому d | с и с G (d). ?
Определение. Пусть /,j e А;[я]. Тогда d e А;[х] называется наи-
наибольшим общим делителем многочленов f и д) если d делит /иди
каждый общий делитель / и д делит d.
Заметим, что наибольший общий делитель двух многочленов опре-
определен с точностью до умножения на константу. Если потребовать, чтобы
он был приведенным, то он будет определен однозначно, и мы можем
тогда, говоря о наибольшем общем делителе, иметь в виду именно этот
наибольший общий делитель.
Лемма 4. Пусть f,g e k[x]. Согласно лемме 3; существует такой
многочлен d e k[x\, что (/, д) — (d). Он является одним из наибольших
общих делителей многочленов fug.
§ 3. Однозначное разложение на множители 17
Доказательство. Так как / е (d), j 6 (d), то d | / и d | #. Предполо-
Предположим, что Л, | / и Л, | д. Тогда h делит все многочлены вида // + дт, где
/, т е А; [я]. В частности, h | d, и все доказано. П
Определение. Два многочлена / и g называются взаимно просты-
простыми, если общими делителями для f ид являются лишь константы. Дру-
Другими словами, (/, д) — A).
Предложение 1.2.1. Если fug взаимно просты и f \ gh, то f \h.
Доказательство. Если / и д взаимно просты, то (/, д) — A). а по-
потому существуют такие многочлены / и т, что // + дт — 1. В таком
случае flh + gvnh — In. Так как / делит левую часть этого равенства, то
он должен делить In. ?
Следствие 1. Если р — неприводимый многочлен и р \ fg, то р \ f
или р | д.
Доказательство. Так как р неприводим, то (р, /) = (р) или (р, /) =
= A). В первом случае р | / и следствие доказано. Во втором случае р
и f взаимно просты и результат следует из предложения 1.2.1. ?
Следствие 2. Если р — приведенный неприводимый многочлен и
/,j6 k[x], то ordp fg = ordp / + ordp g.
Доказательство. Оно почти дословно совпадает с доказательством
следствия 2 предложения 1.1.1. ?
Доказательство теоремы 2 теперь не представляет труда. Применив
функцию ordq к обеим частям равенства
V
получаем
Далее, ввиду того, что с — константа, qj^c и ordg с = 0. Кроме того,
OTdqp = 0 при q ф р и ord^p = 1 при q — р. Таким образом, найденное
соотношение сводится к ordg / = a(q). Это значит, что показатели сте-
степени определены однозначно. Очевидно, что если показатели степени
однозначно определяются многочленом /, то однозначно определяется
и с. Это завершает доказательство. ?
§ 3. Однозначное разложение на множители
в областях главных идеалов
Читатель, конечно, обратил внимание на большое сходство методов
доказательства в § 1 и 2. В этом параграфе мы докажем одну общую
18 Гл. 1. Однозначное разложение на множители
теорему, которая содержит предыдущие результаты в качестве частных
случаев.
В этом параграфе R будет всюду обозначать некоторую область це-
целостности.
Определение 1. Кольцо R называется евклидовой областью, если
существует какая-либо функция Л из множества его ненулевых элемен-
элементов в множество {0,1,2,3, ...}, обладающая следующим свойством: для
любых а, Ь G R) Ь ф 0, найдутся такие с, d G R) что а — cb + d и либо
d = 0, либо A(d) < AF).
Кольца Z и к[х] оба являются евклидовыми областями. В Z в каче-
качестве функции А можно взять обычное абсолютное значение; в кольце
к[х] нужному условию будет удовлетворять функция, ставящая в соот-
соответствие каждому многочлену его степень.
Предложение 1.3.1. Если R — некоторая евклидова область и
I С R — идеал, то существует такой элемент а G R, что I — Ra =
= {ra\ r G R}.
Доказательство. Рассмотрим множество неотрицательных целых
чисел {А(Ь) | Ъ G /, Ъ ф 0}. Ввиду того что каждое множество неотрица-
неотрицательных целых чисел содержит наименьший элемент, существует такой
элемент а е /, а ф 0, что А(а) < А(Ь) для всех 6 G /, Ь ^ 0. Мы утвер-
утверждаем, что / = Ra. Очевидно, что Ra С /. Предположим, что b G /;
тогда, как мы знаем, существуют такие элементы c,d G Л, что b — са-\-
+ d, где либо d = 0, либо A(d) < А(а). Так как d = Ь — са G /, не
может выполняться неравенство A(d) < А(а). Таким образом, d = 0 и
b — са ^ Ra. Поэтому / С Ra и предложение доказано. П
Для элементов ai, a2, ..., an G i? положим
f
Ran = j ^ rma
Множ:ество (ai,a2, ..., an) является идеалом. Если идеал / совпадает с
(ai, a2, ..., an) для некоторых элементов ат G /, то говорят, что / конечно
порожден. Если / = (а) для некоторого a G /, то мы говорим, что / —
главный идеал.
Определение 2. Кольцо R называется областью главных идеалов
(ОГИ), если каждый идеал в нем главный.
Предложение 1.3.1 утверждает, что каждая евклидова область бу-
будет ОГИ. Обращение этого утверждения неверно, хотя не так просто
привести соответствующие примеры.
Оставшаяся часть этого параграфа посвящена ОГИ. Понятие ев-
евклидовой области полезно, поскольку на практике можно показать, что
§ 3. Однозначное разложение на множители 19
многие кольца являются ОГИ, установив сначала, что они — евклидовы
области. В § 4 мы приведем еще два примера.
Введем несколько терминов. Если а,Ьб й, b ф О, то мы будем го-
говорить, что Ъ делит а, если а — be для некоторого с Е R', обозначение:
Ъ | а. Элемент и Е R называется единицей1, если он делит 1. Два эле-
элемента а,Ь Е R ассоциированы, если а — Ъи для некоторой единицы и.
Элемент р Е R, не являющийся единицей, называется неприводимым,
если из а \ р следует, что элемент а — либо единица, либо ассоциирован
с р. Неединица р Е R называется простым элементом, если р ф 0 и из
р | ab следует, что р \ а или р\Ь.
Различие между неприводимым и простым элементами является но-
новым. В общем случае эти понятия не совпадают. Как мы видели, они
совпадают в Z и к[х], и мы докажем вскоре, что они совпадают в ОГИ.
Некоторые из обсуждаемых понятий можно перевести на язык иде-
идеалов. Так, а\Ъ тогда и только тогда, когда F) С (а). Элемент и Е R
является единицей тогда и только тогда, когда {и) = R. Элементы а и Ъ
ассоциированы в том и только том случае, если (а) = F). Простота эле-
элемента р эквивалентна тому, что из ab Е (р) вытекает, что либо а Е (р),
либо b E (р). Все эти утверждения суть легкие упражнения. Понятие
неприводимого элемента тоже можно сформулировать в терминах иде-
идеалов, но это нам не понадобится.
Определение. Элемент d E R называется наибольшим общим де-
делителем (НОД) двух элементов а,Ь Е R, если
(a) d | а и d | 6;
(b) d! | а и d' | Ъ => d'\d.
Как нетрудно убедиться, если оба элемента d и df суть НОД для
элементов а и 6, то d и d' ассоциированы.
В произвольном кольце НОД двух элементов не обязательно суще-
существует. Однако справедливо следующее утверждение.
Предложение 1.3.2. Пусть R является ОГИ и a, b E R. Тогда
элементы а и b имеют наибольший общий делитель d и (а, b) = (d).
Доказательство. Образуем идеал (а, 6). Ввиду того что R есть ОГИ,
существует такой элемент d, что (a, b) = (d). Так как (а) С (rf) и F) С
(d), to d\ а и d\b. Если d! \ а и d! \ 6, то (а) С (<f) и F) С (d1). Поэтому
(d) = (а, 6) С (<f) и <f | d. Мы доказали, что d есть НОД элементов а и 6
и что (а, 6) = (d). ?
Два элемента а и b называются взаимно простыми, если их един-
единственными общими делителями являются единицы.
1 Следует помнить, что в этой книге термин «единица» может означать как
единичный элемент кольца, группы или поля, так и обратимый элемент кольца. Из
контекста всегда бывает ясно, какое его значение имеется в виду. — Прим. перев.
20 Гл. 1. Однозначное разложение на множители
Следствие 1. Если R является ОГИ и а,Ъ Е R взаимно просты,
то (a, b) — R.
Следствие 2. Если R является ОГИ и элемент р Е R неприводим,
то р — простой элемент.
Доказательство. Предположим, что р | ab и р)(а. Так как рХа-> то
их общими делителями будут только единицы. Согласно следствию 1,
(а,р) = R. Таким образом, (ab,pb) = F). Ввиду того что ab Е (р) и
рб Е (р), имеем F) С (р). Итак, р\Ь. ?
Нетрудно убедиться в том, что простой элемент неприводим.
Начиная с этого места, кольцо R будет ОГИ, и мы используем тер-
термины простой и неприводимый как синонимы.
Наша цель — показать, что каждый ненулевой элемент из R пред-
представляется в виде произведения неприводимых элементов. Доказатель-
Доказательство проводится в два этапа. Сначала мы покажем, что для заданного
элемента a G й, а / 0, существует неприводимый элемент, делящий а.
Затем мы убедимся в том, что элемент а представляется в виде произ-
произведения неприводимых элементов.
Лемма 1. Пусть (ai) С (а2) С (а3) С ... — возрастающая цепь
идеалов. Тогда существует такое целое число к, что (а&) = (a^i) для
/ = 0,1,2, .... Другими словами, цепь обрывается после конечного чис-
числа шагов.
(X)
Доказательство. Пусть / = IJ(a^). Нетрудно убедиться в том, что
г=1
/ — идеал. Таким образом, / = (а) для некоторого а Е R. Но поскольку
(X)
а Е IJ (а^), то а Е (а&) при некотором &, откуда следует, что / = (а) С
г=1
С (а*). Значит, / = (a*) = (a^+i) = .... ?
Предлож:ение 1.3.3. Каждый ненулевой элемент из R, не явля-
являющийся единицей, представляется в виде произведения неприводимых
элементов.
Доказательство. Пусть а Е R) а ф 0, а — не единица. Прежде всего
мы хотим показать, что а делится на некоторый неприводимый элемент.
Если сам а неприводим, то мы получили то, что хотели. В противном
случае a = a\b\) где а\ и Ъ\ — не единицы. Если а\ неприводим, то
опять получено то, что было нужно. В противном случае а\ — a2b2) где
а2 и 62 — не единицы. Если а2 неприводим, то мы опять получили то,
что хотели. В противном случае продолжаем рассуждение, как прежде.
Заметим, что (а) С [а\) С (а2) С .... Согласно лемме 1, эта цепь не
может быть бесконечной. Таким образом, при некотором к элемент а&
неприводим.
Теперь мы покажем, что элемент а представляется в виде произве-
§ 3. Однозначное разложение на множители 21
дения неприводимых элементов. Если а сам неприводим, то мы полу-
получили, что хотели. В противном случае пусть pi — такой неприводимый
элемент, что р\ \ а. Тогда а — р\С\. Если С\ — единица, то нужное разло-
разложение получено. В противном случае пусть р2 — такой неприводимый
элемент, что р2 | С\. Тогда а — Р\Р2^2- Если С2 — единица, то опять ис-
искомое разложение найдено. В противном случае продолжаем рассужде-
рассуждение, как прежде. Заметим, что (а) С (с\) С @2) С .... Эта цепь не может
продолжаться бесконечно ввиду леммы 1. Таким образом, при некото-
некотором к имеем а = р\р2 ...pkCk, где с& —единица. Так как р^с^ неприводим,
доказательство предложения закончено. ?
Мы хотим теперь определить функцию ord, как это уже было сде-
сделано в § 1 и 2.
Лемма 2. Пусть р — некоторый простой элемент и а ф 0. Тогда
существует такое целое число п, что рп \ а, но рп+1/\/а.
Доказательство. Если бы утверждение леммы не выполнялось, то
для каждого целого числа т > 0 существовал бы такой элемент Ьт, что
а — ртЬт. Тогда pbm+i — bm и последовательность (&i) С (Ь2) С (Ьз) С ...
была бы бесконечной возрастающей цепью идеалов, которая не обры-
обрывалась бы. Это противоречит лемме 1. ?
Целое число п, определенное в лемме 2, однозначно определяется
элементами р и а. Мы полагаем п = ordp a.
Лемма 3. Если a, b e R и а, Ь ф 0; то ordp ab = ordp а + ordp b.
Доказательство. Положим а — ordp а и /3 = ordp b. Тогда а = рас и
b = p^d с рХс и рХ&. Таким образом, ab = pa+/3cd. Так как р — простой
элемент, то p^cd. Следовательно, ordp ab — а + /3 = ordp a + ordp b. ?
Мы теперь можем сформулировать и доказать основную теорему
этого параграфа.
Пусть S — некоторое множество простых элементов в Д со следую-
следующими двумя свойствами:
(a) Каждый простой элемент в R ассоциирован с некоторым про-
простым элементом из S.
(b) Никакие два простых элемента из S не ассоциированы.
Для получения такого множества S выберем по одному представи-
представителю из каждого класса ассоциированных простых элементов. В таком
выборе имеется, конечно, большая доля произвольности. В кольцах Z и
к[х] имелся единственный способ произвести этот выбор. В Z в качестве
S выбирается множество положительных простых чисел. В А;[я] в каче-
качестве S берется множество приведенных неприводимых многочленов. В
общем случае естественного способа произвести указанный выбор нет,
что приводит иногда к осложнениям (см. гл. 9).
22 Гл. 1. Однозначное разложение на множители
Теорема 3. Пусть R является ОГИ и S — некоторое множество
простых элементов с заданными выше свойствами. Тогда для а е R,
а ф 0; можно записать
а = и\[р^\ A)
V
где и — единица и произведение берется по всем элементам из S. Еди-
Единица и, а также показатели степени е(р) определены элементом а
однозначно. На самом деле е(р) = ord^a.
Доказательство. Существование выписанного представления сразу
же следует из предложения 1.3.3.
Для доказательства однозначности считаем q простым элементом из
S и применяем функцию ordg к обеим частям равенства A). Используя
лемму 3, получаем
oidq a = oidq и + V^ e(p) ordg p.
V
Далее, согласно определению функции ord^, ord^ = 0 и ord^p =
= 0 при q ф р и ord^p = 1 при q — р. Таким образом, ordqa = e(q).
Так как показатели степени e(q) определены однозначно, то однозначно
определена и единица и. Это завершает доказательство. ?
§ 4. Кольца Ъ[г\ и Щш\
В качестве приложения результатов § 3 мы рассмотрим два примера,
которые будут полезны в дальнейшем.
Пусть г — л/~1? и рассмотрим множество комплексных чисел Z[z],
определенное как {a + ib \ а, Ь е Z}. Нетрудно убедиться, что это мно-
жество замкнуто относительно сложения и вычитания. Кроме того, если
a + ib,c + id e Z[i], то (a + ib)(c + id) — ас + iad + ibc + i2bd = (ас — bd) +
+i(ad + be) e Z[i]. Таким образом, Щг\ замкнуто относительно умноже-
умножения и является кольцом. Так как Щг\ содержится в поле комплексных
чисел, оно является областью целостности.
Предложение 1.4.1. Щг\ — евклидова область.
Доказательство. Для а + ib e Щг\ положим Л (a + ib) — а2 + б2.
Пусть а = а + г6и7 = с + гй, и предположим, что 7 / 0. Тогда
а/'У = г + is) где г и s — вещественные числа (они на самом деле
рациональны). Выберем целые числа m, n e Z так, что |г — т| ^ |
и |s — п\ ^ |. Положим 8 — m + in. Тогда 8 е Z[i] и Л ((а/7) — 5) = (г —
— тJ + (s — пJ ^ | + | = |- Пусть р — а — jS. Тогда р е Щг\ и либо
р = 0, либо \{р) = АG((а/7) - ^)) = АG)А((а/7) - 5) ^ |АG) < АG).
Отсюда следует, что функция Л превращает Щг\ в евклидову об-
область. П
Замечания 23
Кольцо Щг\ называется кольцом гауссовых целых чисел в честь
К.Ф. Гаусса, который первый детально изучил его арифметические свой-
свойства.
Числа ±1, ±г суть корни уравнения х4 = 1 над полем комплексных
чисел. Рассмотрим уравнение х3 = 1. Так как х3 — 1 = (х — \)(х2 +х + \I
то корнями этого уравнения будут 1, |(—1±гл/3). Пусть и — |(—1+гл/З).
Тогда нетрудно проверить, что о;2 = |(—1 — гуЗ) и что 1 + о; + и2 — 0.
Рассмотрим множество Ъ[и\ — {а + bu\a)b Е Z}. Оно замкнуто от-
относительно сложения и вычитания. Кроме того, (а + bu)(c + dui) = ас +
+ (ad + bc)u + bdu2 = (ас — bd) + (ad + be — bd)u. Таким образом, Z[u]
является кольцом. Опять ввиду того, что Ъ[и\ — подмножество поля
комплексных чисел, оно будет областью целостности.
Заметим, что Z[u] замкнуто относительно комплексного сопряже-
сопряжения. Действительно, п = ш2. Таким образом, если а = а + bu e Z[cj], то
а = а + Ьп = а + Ьио2 — а + Ь(—1 — и) — (а — Ь) — bu e Щш\.
Предлож:ение 1.4.2. Ъ[и] — евклидова область.
Доказательство. Для а — a+buu e Z[cj] определим Л (а) = a2—ab+b2.
Простое вычисление показывает, что Л (а) = oioi.
Пусть теперь а) j3 e Z[cj], и предположим, что /3^0. Тогда а//? =
= а/3//3/3 = г + scj, где г и s — рациональные числа. Мы использовали
тот факт, что /3/3 = А(/?) — положительное целое число и что aj3 E Z[cj],
так как а и /3 Е Ъ[ш\.
Выберем целые числа тип так, чтобы \г — т\ ^ | и |s — n| ^ |,и
пусть 7 = m + nuj. Тогда Л ((a/ f3) — 7) = (т — тпJ — (г — m)(s — п) + (s —
II*) ^ 4 "Г 4 "Г 4 ^ 1.
Пусть р — a — jP. Тогда либо р — 0, либо Л(р) = Л (/?((а//?) — 7)) =
= X(f3)X((a/C)-1)<X(f3). D
Из анализа, проведенного в §3, вытекает, что теорема об однознач-
однозначном разложении на простые множители справедлива в обоих кольцах
Щг\ и Z[cj]. Для более глубокого проникновения в мультипликативную
структуру этих колец нам следовало бы изучить единицы и простые
элементы в них. Некоторые результаты этого типа приведены в упраж-
упражнениях.
Замечания
Кольца, для которых справедлива теорема об однозначном разло-
разложении на неприводимые элементы, называются областями с однознач-
однозначным разложением на множители (OOP). Результат о том, что кольцо
Z является OOP, в неявном виде имеется уже у Евклида, но первое
24 Гл. 1. Однозначное разложение на множители
явное и ясное утверждение об этом, по-видимому, содержится в выдаю-
выдающемся произведении К.Ф.Гаусса «Арифметические исследования» [34].
Цермело дал искусное доказательство с помощью приведения к проти-
противоречию, которое воспроизведено в замечательной книге [40]. Укажем
также [120].
Как мы показали, каждая ОГИ является ООГ. Обращение этого
утверждения неверно. Для примера можно рассмотреть кольцо мно-
многочленов над некоторым полем от более чем одной переменной, кото-
которое будет ООГ, но не ОГИ. Имеется превосходная вводная статья по
ООГ [67]. Более элементарное введение можно найти в книге [65].
Читатель может счесть полезным познакомиться с вводным мате-
материалом по нескольким книгам по теории чисел. Особенно удачны гл. 3
из [32] и предисловие к [73]. Имеется также более давняя лекция Хар-
ди [39], которую мы настоятельно рекомендуем.
Кольцо Ъ[г\ было введено Гауссом в его втором мемуаре о биквад-
ратичном законе взаимности [34]. Кольцо Ъ[и\ рассматривалось Эйзен-
Эйзенштейном в связи с его работой о кубическом законе взаимности. Он
замечает, что для исследования свойств этого кольца следует лишь ис-
использовать работу Гаусса о Ъ[г\ и модифицировать доказательства [28].
Тщательное рассмотрение этих двух колец проведено в гл. 12 книги [40].
В гл. 14 той же книги рассматривается обобщение, а именно кольца це-
целых чисел в квадратичных числовых полях. Тому же материалу посвя-
посвящена гл.8 из [73]. В 1966 году Старк получил решение одной из зна-
знаменитых проблем теории чисел, показав, что кольцо целых чисел (см.
гл. 6 этой книги) в поле Q(v d) с отрицательным d является ООГ лишь
при значениях d — —1, —2, —3, —7, —11, —19, —43, —67 и —163 1.
Тот, кто хоть немного знаком с началами алгебры, заметит, что не-
ООГ «общего вида» будет кольцо к[х, у, z, w] с соотношением ху — zw,
где к — некоторое поле. Другим примером не-ООГ является С[х, у) z] с
соотношением х2 + у2 + z2 = 1, где С — поле комплексных чисел. Чтобы
убедиться в этом, заметим, что {х + гу)(х — гу) = A — z)(l + z).
Упражнения
1. Пусть а и b — некоторые отличные от нуля целые числа. Мы
можем найти такие целые числа q и г, что а = qb + г, где 0 ^ г < 6.
Доказать, что (а, Ь) = F, г).
2 (продолжение). Если г ф 0, то мы можем найти такие q\ и Г\) что
b — q\T + ri, где 0 ^ Т\ < г. Показать, что (а, Ь) = (г, Г\). Этот процесс
1 Независимо этот результат получил А. Бейкер (см. гл. 13, § 1). — Прим. ред.
Упражнения 25
можно продолжить. Показать, что он заканчивается за конечное число
шагов и что последний ненулевой остаток должен быть равен (а, Ь).
Этот прием выглядит следующим образом:
a = qb +
b = qxr Л
r — q2n
r,
+ r2)
0^
0^
0^
Я r2
<
<
<
b,
r,
n,
Гк-i =
Тогда г/b+i = (а, 6). Этот способ нахождения (а, 6) известен как алго-
алгоритм Евклида.
3. Вычислить A87,221), F188,4709) и C14,159).
4. Пусть d = (a, 6). Показать, как можно использовать алгоритм
Евклида для нахождения таких чисел т и п, что am+bn = d. [Указание.
В упр. 2 d = rfc+i. Выразить r^+i через г^ и r^-i, затем через rk_i и г^-2
и т.д.]
5. Найти тип для пар (а, 6) в упр. 3.
6. Пусть а, 6, с G Z. Показать, что уравнение ах -\- by — с имеет
решение в целых числах тогда и только тогда, когда (а, Ъ) \ с.
7. Пусть d = (а, Ь) и а = da1 и Ь — dbf. Показать, что (а7, Ь1) — 1.
8. Пусть х0 и уо являются решением уравнения ах + Ъу — с. Показать,
что все решения имеют вид х — х0 + 4 п, у — у0 — Щ п, где d = (а, Ъ) и
n G Z.
9. Предположим, что ii,ijGSh что (u, v) — 1. Если г^ | п и г; | п, то
uv | п. Показать, что это неверно, если (г/, г;) ^ 1.
10. Предположим, что (г?,^) = 1. Показать, что (и + v,u — v) равен
либо 1, либо 2.
11. Показать, что (а, а + k) | к.
12. Предположим, что у нас имеется несколько экземпляров некото-
некоторого правильного многоугольника, которые мы пытаемся плотно уло-
уложить друг около друга вокруг одной вершины. Доказать, что един-
единственными реализуемыми возможностями будут шесть равносторонних
треугольников, четыре квадрата и три шестиугольника.
13. Пусть п\) П2, •••) ns G Z. Определить наибольший общий делитель
d для п\) П2, •••) ns и доказать, что существуют такие целые числа mi,
m2, ..., mS) что п\т\ + n2m2 + ... + nsms = d.
14. Рассмотреть вопрос о разрешимости в целых числах уравнения
а\Х\ + а2х2 + ... + asxs — с. [Указание. Используя упр. 13, обобщить
рассуждение, применяемое в упр. 6.]
26 Гл. 1. Однозначное разложение на множители
15. Доказать, что а е Z является квадратом некоторого целого чис-
числа тогда и только тогда, когда ordp а четно для всех простых чисел р.
Обобщить этот результат.
16. Если (u,v) = 1 и uv — а2, то показать, что и и v оба будут
квадратами.
17. Доказать, что квадратный корень из 2 иррационален, т.е. что не
существует рационального числа г = а/6, такого, что г2 = 2.
18. Доказать, что у/т иррационально, если т не является п-й сте-
степенью некоторого целого числа.
19. Определим наименьшее общее кратное двух чисел а и b как такое
целое число т) что а \ т) b | m и m делит каждое общее кратное чисел
а и 6. Показать, что такое т существует. Оно определено однозначно с
точностью до знака. Мы будем обозначать его через [а, Ь].
20. Доказать такие свойства:
(a) ordp[a, b] = max(ordp a, ordp 6);
(b) (a, b) [а, 6] = аб;
(c) (а+ 6, [а, 6]) = (а, 6).
21. Доказать, что oidp(a + 6) ^ min(ordp a, ordp 6), причем равенство
имеет место при ordp а ф ordp 6.
22. Почти все предыдущие упражнения остаются верными, если вме-
вместо кольца Z рассматривать кольцо к[х]. В самом деле, в большинстве из
них можно рассматривать произвольную евклидову область. Убедиться
в этом. Для простоты мы будем продолжать работать в Z.
23. Предположим, что а2 + Ь2 = с2, где a,b,c e Z. Например, З2 +
+ 42 = 52 и 52 + 122 = 132. Предположим, что (а, Ь) = F, с) = (с, а) = 1.
Доказать, что существуют такие целые числа иии, что с — b — 2и2 и
с + b — 2v2 и (и, v) — 1 (без ограничения общности можно считать, что
бис нечетны, а а четно). Следовательно, а — 2гш, b — v2 — и2 и с = v2 +
+ г^2. И обратно, показать, что если и и v заданы, то три числа a, b и с,
задаваемые этими формулами, удовлетворяют уравнению а2 + Ь2 = с2.
24. Доказать тождества
(a) хп - уп = (х - у)(хп~1 + хп~2у + xn-V + ... + у71'1);
(b) хп + ?/п = (х
для нечетного п.
25. Если ап — 1 — простое число, то показать, что а = 2 и что п —
простое число. Простые числа вида 2Р — 1 называются числами Мерсен-
на. Например, 23 — 1 = 7 и 25 — 1 = 31. Неизвестно, бесконечно ли много
чисел Мерсенна.
Упражнения 27
26. Если ап + 1 — простое число, то показать, что а четно и что п
является степенью 2. Простые числа вида 22 + 1 называются числами
Ферма. Например, 22 + 1 = 5 и 222 + 1 = 17. Неизвестно, бесконечно ли
много простых чисел Ферма.
27. Для всех нечетных п показать, что 8 | п2 — 1. Если З/^п, то пока-
показать, что 6 | п2 — 1.
28. Для всех п показать, что 30 | п5 — п и что 42 | п7 — п.
29. Предположим, что а, 6, с, d ? Z и что (а, Ь) — (с, d) — 1. Если
т + ^ ~ целое число, то показать, что b = ±d.
30. Доказать, что \ + | + ... + ^ не является целым числом.
31. Показать, что 2 делится на A + гJ в Z[г].
32. Для а — а + гЪ е Z[i] мы определили Л (а) = а2 + б2. Из свойств
функции Л вывести тождество (а2 + Ь2)(с2 + d2) = (ас — 6<iJ + (ad + bcJ.
33. Показать, что a G Z[i] является единицей тогда и только тогда,
когда Л(а) = 1. Получить отсюда, что 1, —1, г, —г — единственные
единицы в Ъ[г\.
34. Показать, что 3 делится на A — иJ в Ъ[и].
35. Для а — а + Ъи е Ъ[и] мы определили Л (а) = а2 — аЬ + б2. Пока-
Показать, что а является единицей тогда и только тогда, когда Х(а) = 1.
Вывести отсюда, что 1, —1, и) —и) и2 и —и2 являются единственными
единицами в Z[u].
36. Определим Z[-\/—2] как множество комплексных чисел вида а +
+ Ьл/^2) где a, b e Z. Показать, что Z[-\/—2] — кольцо. Определим функ-
функцию Л (а) = а2 + 262 для а = а + Ьл/^2. Воспользоваться функцией Л
для доказательства того, что Ъ\>/—2\ — евклидова область.
37. Показать, что единственными единицами в Ъ\у/—2\ будут 1 и —1.
38. Предположим, что Л(тг) — р — простое число в Z для некоторо-
некоторого тг G Z [г]. Показать, что тт — простой элемент в Щг\. Показать, что
соответствующий результат верен в Ъ[и] и в Z[-\/—2].
39. Показать, что в любой области целостности простой элемент
неприводим.
Глава 2
ПРИМЕНЕНИЯ
ОДНОЗНАЧНОГО РАЗЛОЖЕНИЯ
НА МНОЖИТЕЛИ
Из результатов гл. 1 становится очевидной важность понятия
простого числа.
В этой главе мы приведем несколько доказательств того факта,
что простых чисел в Ъ бесконечно много. Аналогичный вопрос мы рас-
рассмотрим также для кольца к[х].
На теорему об однозначном разложении на множители ссылаются
иногда как на основную теорему арифметики. Ее пользу мы продемон-
продемонстрируем на примере исследования свойств некоторых естественных
теоретико-числовых функций.
§ 1. В Z бесконечно много простых чисел
Теорема 1 (Евклид). В кольце Ъ имеется бесконечно много про-
простых чисел.
Доказательство. Будем рассматривать положительные простые чис-
числа. Расположим их в возрастающей последовательности р\) р2) Рч) ....
Таким образом, р\ — 2, р2 = 3, рз = 5 и т.д. Пусть N = (р\Р2 •••Рп) +
+ 1. Число N больше 1 и не делится ни на какое рт) т — 1, 2, ..., п. С
другой стороны, N делится на некоторое простое число р, и р должно
быть больше, чем рп.
Мы показали, что для любого заданного положительного простого
числа существует другое простое число, которое больше первого. От-
Отсюда следует, что множество простых чисел бесконечно. ?
Аналогичная теорема для кольца к[х] состоит в том, что существует
бесконечно много приведенных неприводимых многочленов. Если поле
к бесконечно, то это очевидно, поскольку х — а приведен и неприво-
неприводим при всех a G к. Это доказательство не проходит в случае, когда
к конечно, но к этому случаю легко приспосабливается доказательство
Евклида. Мы оставляем проверку этого читателю в качестве упражне-
упражнения.
Напомним, что в некоторой области целостности два элемента на-
называются ассоциированными, если они отличаются лишь умножением
на какую-либо единицу. Сейчас нам известно, что в кольцах Z и к[х]
существует бесконечно много неассоциированных простых элементов.
§ 2. Некоторые арифметические функции 29
Интересно рассмотреть какое-либо кольцо, в котором все простые эле-
элементы ассоциированы, так что по существу имеется лишь один простой
элемент.
Пусть р Е Z — некоторое простое число и Ър — множество всех раци-
рациональных чисел т1 с pjfb. Используя замечание после следствия 1 пред-
предложения 1.1.1, нетрудно проверить, что Ър — кольцо. Элемент rGZp
будет единицей, если существует такое число i G Zp, что ^ ^ = 1.
В таком случае ас = bd) откуда получаем, что рХа-> ибо pj^b и p)(d.
Обратно, любое рациональное число т1 будет единицей в Zp, если pj^b и
рХа- Если ^ Е Zp, запишем а = рша', где P/fa'. Тогда ^ = , . Таким
образом, каждый элемент в Zp будет некоторой степенью числа р) умно-
умноженной на единицу. На основании этого нетрудно убедиться в том, что
все простые элементы в Ър имеют вид ^-, где Ц — некоторая единица.
Поэтому все простые элементы в Ър ассоциированы.
УПРАЖНЕНИЕ Если | Е Ър — не единица, то доказать, что | + 1 —
единица. Этот факт показывает, почему доказательство Евклида не проходит
в общем виде для областей целостности.
§ 2. Некоторые арифметические функции
В оставшейся части этой главы мы рассмотрим ряд приложений
теоремы об однозначном разложении на множители.
Целое число а Е Z называется свободным от квадратов, если оно не
делится на квадрат никакого другого целого числа, большего 1.
Предложение 2.2.1. Любое п Е Z моэюет быть записано в виде
п — ab2, где а,Ъ Е Z и а свободно от квадратов.
Доказательство. Пусть п — р^р^2 ...р^1. Можно записать а^ = 26^ +
+ г^, где Г{ — 0 или 1 в зависимости от того, будет ли а^ четным или нет.
Положим а = рТхРТ<1 '"Vi И b = pbiPb22 •••Р^1- Тогда п — ab2 и очевидно,
что а свободно от квадратов. ?
Это предложение можно использовать для другого доказательства
того, что простых чисел в Z бесконечно много. Предположим, что это
утверждение неверно; пусть Pi, Р2-> ---•> Pi — полный список положитель-
положительных простых чисел. Рассмотрим множество положительных целых чи-
чисел, меньших или равных некоторому числу N. Если п ^ JV, то п —
— ab2, где а свободно от квадратов и поэтому равно одному из 21 чисел
pTpI2--Р? 1 гДе ег — 0 или 1, г — 1, 2, ..., /. Заметим, что b ^ \/N. Имеет-
Имеется, самое большее, 2l\fN чисел, удовлетворяющих этим условиям, так
что N ^ 2l\fN\ т.е. лЛ/V ^ 2г, что, безусловно, неверно при достаточно
большом N. Полученное противоречие доказывает наш результат.
30 Гл. 2. Применения однозначного разложения на множители
Можно дать аналогичное этому доказательство и того, что в А;[я], где
к — конечное поле, существует бесконечно много приведенных непри-
неприводимых многочленов.
На целых числах имеется ряд естественно определенных функций.
Например, для заданного положительного целого числа п пусть v{n) —
число его положительных делителей, а (т{п) — сумма его положитель-
положительных делителей. Скажем, г/C) = 2, г/F) = 4, ^A2) = 6 и сгC) = 4, сгF) =
= 12, <тA2) = 28. Используя однозначность разложения на множители,
можно получить довольно простые формулы для этих функций.
Предложение 2.2.2. Пусть п — положительное целое число и
п — р^р^2 • ••Р^1 — его разложение на простые множители. Тогда
(а) и(п) = (щ + 1)(а2 + 1)...(аг + 1);
b а(п) = ?1 — ^2 ... ?1 ^^
Pi - 1 Р2-1 Pi-l
Доказательство. Для доказательства п. (а) заметим, что т \ п тогда
и только тогда, когда т — р\хр^ ...р1}1 и 0 ^ 6^ ^ Для г = 1,2, ...,/.
Таким образом, положительные делители находятся во взаимно одно-
однозначном соответствии с /-наборами (&i,&2? •••jM, гДе 0 ^ ^г ^ аг Для
г = 1, 2, ..., /, а таких наборов имеется в точности (
Для доказательства п. (Ь) заметим, что
где сумма берется по упомянутым выше наборам. Таким образом,
bi
G{n) =
откуда и следует доказываемый результат, если воспользоваться фор-
формулой суммирования для геометрической прогрессии. ?
С функцией сг(п) связана одна интересная нерешенная проблема.
Натуральное число п называется совершенным, если а(п) — 2гг. Напри-
Например, 6 и 28 — совершенные числа. Вообще, если 2m+1 — 1 — простое число,
то п — 2mBm+1 — 1) — совершенное число, в чем можно убедиться, при-
применив п. (Ь) предложения 2.2.2. Этот факт был известен уже Евклиду.
Эйлер показал, что любое четное совершенное число имеет такой вид.
Таким образом, проблема нахождения четных совершенных чисел сво-
сводится к нахождению простых чисел вида 2m+1 — 1. Эти простые числа
называются числами Мерсенна. С совершенными числами связаны сле-
следующие две знаменитые проблемы: бесконечно ли много совершенных
чисел? Существуют ли нечетные совершенные числа?
§ 2. Некоторые арифметические функции 31
Мультипликативный аналог этой проблемы тривиален. Целое чис-
число п называется мультипликативно совершенным, если произведение
его положительных делителей равно п2. Такое число не может быть
простым или квадратом простого числа. Таким образом, существует
некоторый его собственный делитель d, для которого d ф Ц. Произве-
Произведение делителей 1, d, Ц и п уже равно п2. Поэтому п мультипликатив-
мультипликативно совершенно тогда и только тогда, когда у него есть в точности два
собственных делителя. Единственные такие числа суть кубы простых
чисел и произведения двух различных простых чисел. Например, 27 и
10 мультипликативно совершенны.
Мы введем теперь очень важную арифметическую функцию, функ-
функцию Мёбиуса /и. Для п Е Z+ полагаем jjlA) — 1, 1л{п) — 0, если п не
свободно от квадратов, и \i{p\p2 ---Pi) = (~ 1)г> гДе Pi ~ различные прос-
простые числа.
Предложение 2.2.3. При п > 1 имеем Y2 М°0 = 0-
d | п
Доказательство. Если п — р^р^2 •••Р^1, то
d\n (ei,...,?;)
где Si есть 0 или 1. Таким образом,
( C)+ - + A) A1) °- п
d\n V / V
Во всей полноте значение функции Мёбиуса /л может стать понят-
понятным лишь тогда, когда будет установлена ее связь с умножением Ди-
Дирихле. Пусть / и д — некоторые комплекснозначные функции на Z+.
Произведение Дирихле двух функций / и g определяется формулой
f о д[п) — ^ /№)s№)j гДе сумма берется по всем таким парам (d1? d2)
полож:ительных целых чисел, что d\d2 — п. Это произведение ассоциа-
ассоциативно, в чем можно убедиться, проверив, что
/ о (д о h){n) = (fog)o h(n) = J2 №)g(d2)h(d3),
где сумма берется по всем 3-наборам (йьб^^з) положительных целых
чисел, таким, что d\d2d^ = п.
Определим функцию I равенствами 1A) = 1 и 1(п) = 0 для п > 1.
Тогда / о I = I о /. Определим также функцию / равенствами 1{п) — 1
для всех п Е Z+. Тогда /о/ = /о/= ^ f(d).
d п
32 Гл. 2. Применения однозначного разложения на множители
Лемма. I о /л = /ло I = 1.
Доказательство, /а о /A) = /i(l)/(l) = 1. Если п > 1, то /а о 1{п) —
= 0. То же доказательство применимо к / о /а. ?
Теорема 2 (теорема обращения Мёбиуса). Положим F(n) —
б? | П
/(п) = ? (?)
d\n
Доказательство. Имеем F = f о I. Поэтому F о ц = (/ о /) о /л =
/ о (J о //) = / о I = /. Это показывает, что /(n) = F о ц(п) =
Замечание. Мы рассматривали комплекснозначные функции на по-
положительных целых числах. Полезно отметить, что теорема 2 справед-
справедлива и в том случае, когда функции принимают значения в какой-либо
абелевой группе. Доказательство дословно совпадает с приведенным.
Когда групповая операция в абелевой группе записана мультипли-
мультипликативно, теорема 2 принимает такой вид:
если F(n)=Y[f(d), то f(n) =
d\n d\n
Теорема обращения Мёбиуса имеет много приложений. Мы восполь-
воспользуемся ею при получении формулы для еще одной арифметической
функции, функции Эйлера (р. Для п е Z+ функция (р(п) определя-
определяется как количество целых чисел между 1 и п, взаимно простых с п.
Например, (рA) = 1, (рE) = 4, (рF) = 2 и (р{9) = 6. Если р — простое
число, то очевидно, что (р(р) — р — 1.
Предложение 2.2.4. Y2 (P(dj) ~ п-
d | п
1 2 Я
Доказательство. Рассмотрим п рациональных чисел —, —, —, ...,
п ~ , — . Произведем максимальное сокращение этих дробей, т.е. пред-
IV IV
ставим каждое из них в виде отношения взаимно простых целых чисел.
Полученные знаменатели — это все делители числа п. Если d \ п, то
точно (p(d) наших чисел будут иметь d в качестве знаменателя после
проведенного сокращения. Поэтому ^ (p(d) —п. ?
d\n
Предлож:ение 2.2.5. Если п = р^р^2 •••$
Vl)...(l
Доказательство. Так как п = ^ ^(d), из теоремы обращения Мё-
d\n
3. Ряд ^2l/p расходится 33
биуса следует, что
d\n d i* U
Vu
Позже мы приведем доказательство этой формулы, полнее вскры-
вскрывающее суть дела. Мы используем функцию Мёбиуса также для того,
чтобы определить число приведенных неприводимых многочленов дан-
данной фиксированной степени в к[х], где к — конечное поле.
§ 3. Ряд J2 1/р расходится
Мы начали эту главу с доказательства того, что в Z существует бес-
бесконечно много простых чисел. Закончим мы ее доказательством несколь-
несколько более сильного утверждения. При этом нам будут нужны некоторые
элементарные факты из теории бесконечных рядов.
Теорема 3. Ряд ^ —, где сумма берется по всем положительным
простым числам из Ъ, расходится.
Доказательство. Пусть р\)р2) •••, Pi(n) ~ все простые числа, меньшие
п, и положим
1(<г,\
1
1=1
где сумма берется по всем /-наборам неотрицательных целых чисел
(ai, a2, ..., щ). В частности, мы видим, что l + i + i+ ... +— < Л(п). Та-
ким образом, \{п) -^ ос при п —ь ос. Это уже дает новое доказательство
того, что простых чисел бесконечно много.
Далее, рассмотрим 1пЛ(п). Имеем
I оо 1 I I со
Pi) ^ ^ mpf ^ Pi ^ ^ mP?
i=l т=1 ¦Гг i=l il т2
i=l т=2
Но
34 Гл. 2. Применения однозначного разложения на множители
1 1
Таким образом, 1пЛ(п) < 5^ — + 2 5^ -\. Хорошо известно, что ряд
г=1 Pi г=1 Pi
ОО -. (X) -j
Y2 Т" сходится. Отсюда следует, что ряд ^ -\ сходится. Итак, если
га=1 П г=1 Pi
бы ряд ^ - сходился, то существовала бы константа М, для которой
1пЛ(п)<М, т.е. Л(п)<ем. Это, однако, невозможно, ибо А(п)—юо при
п -л ос. Таким образом, ряд ^ - расходится. П
Полезно получить аналог теоремы 3 для кольца к [х], где к — некото-
некоторое конечное поле из q элементов. Роль положительных простых чисел
р берут на себя приведенные неприводимые многочлены р(х). «Размер»
приведенного многочлена f(x) задается величиной qde%f(x\
Это разумно, поскольку положительное целое число п есть в то же
время число неотрицательных целых чисел, меньших п, т.е. число эле-
элементов в множестве {0,1,2, ... ^п — 1}. Аналогично gde§^) есть чис_
ло многочленов, имеющих степень, меньшую, чем степень /(х), в чем
нетрудно убедиться. Любой такой многочлен имеет вид а^хт + а\Хт~1 +
+ ... +ат, где т — deg/(x) — 1 и щ Е к. Для щ имеется q возможностей
и выбор для каждого индекса не зависит от других. Таким образом,
имеется gm+1 = qde&f№ таких многочленов.
Теорема 4. Ряд ^g~degp(^, где сумма берется по всем приведен-
приведенным неприводимым многочленам р(х) из к[х\, расходится.
Доказательство. Мы покажем сначала, что ряд ^q~de^f(x) расхо-
расходится, а ряд ^ q-2deef(x) сходится, когда сумма в обоих случаях берется
по всем приведенным многочленам fix) из к[х]. Оба результата следуют
из того факта, что в к[х] имеется точно qn приведенных многочленов
п
степени п. Рассмотрим ^ ^— deg /(ж) _ дта СуМма равна ^ qmq~m —
deg f(x)^n m=0
= п + 1. Таким образом, ряд ^2q~de^f(x) расходится. Подобно предыду-
предыдущему,
Е 1
deg f(x)^n m=0
Таким образом, ^^~2с1её/(ж) сходится.
Остальная часть доказательства в точности повторяет доказатель-
доказательство теоремы 3. Дополнить детали предоставляется читателю. ?
§4. Рост функции тг(ж)
Во введении к гл. 1 мы определили тг(х) как число простых чисел
р) таких, что 1 < р ^ х. Для изучения поведения функции тг(х) при
j 4. Рост функции тг(х) 35
больших х надо привлечь технику математического анализа. В этом
параграфе мы докажем несколько результатов, которые требуют ми-
минимум сведений из анализа. В действительности используются лишь
простейшие свойства логарифмической функции.
Мы начнем с простого следствия из рассуждения Евклида (теоре-
(теорема 1), которое задает слабую нижнюю границу для тт(х). Далее \пх
обозначает натуральный логарифм от х.
Предложение 2.4.1. тг(х) ^ ln(lnx) для х ^ 2.
Доказательство. Пусть рп обозначает п-е простое число. Тогда вви-
ввиду того, что любое простое число, делящее р\р2 ..._рп + 1, отлично от р1?
р2) ..., рп, получаем рп+1 ^ рхр2 ...рп + 1. Далее, рх < 2^\ р2 < 2^ и,
если рп < 2^п\ то рп+1 ^ 2B1) • 2^ • ... • 2^ + 1 = 2^п+1~2) + 1 < 2^п+1\
Отсюда следует, что тгB^2П^) ^ п. Для х > 2 выберем такое целое число
п, что е(еП ) < х ^ е(еП\ Если п > 2, то еп~1 > 2П, так что
тг(я) ^ ^(е^)) ^ ъ(е^) > ъB^) >п> ln(lnx).
Это доказывает наш результат для х > ее. Если х ^ ее, то неравенство
очевидно. ?
Метод, примененный в абзаце, который идет за предложением 2.2.1,
для доказательства того, что тг(х) —> ос, можно также использовать
для получения следующего улучшения только что доказанного пред-
предложения. Для положительного целого числа п пусть 7(п) обозначает
множество его простых делителей.
Предложение 2.4.2. тт(х) ^ <у\Х<2 •
Доказательство. Для любого множества простых чисел S опреде-
определим fs(x) как число целых чисел п, 1 ^ п ^ х, с j(n) С S. Предполо-
Предположим, что S — конечное множество из t элементов. Записывая такое п в
виде п — m2s со свободным от квадратов s, мы видим, что т ^ у/х, в то
время как для s имеется, самое большее, 2* возможностей, соответству-
соответствующих различным подмножествам в S. Таким образом, fs(oc) ^ 21л/х.
Полож:им тт(х) = ттг, так что pm+i > х. Если S = {pi, ... ,^m}, то очевид-
очевидно, что fs(x) — ж, откуда следует, что х ^ 2тл/х — 27Г^л/х. Нужный
результат сразу же следует отсюда. ?
Интересно отметить, что примененный выше метод может быть
использован для другого доказательства теоремы 3. Действительно,
если Y2 — сходится, то существует такое п, что Y2 — < о* Если S =
г=1 Pi i>n Р* l
— {Pi) •••)Pn}) то x — fs(x) есть число положительных целых чисел
т ^ х) таких, что j(m) (jL S) т.е. существует простое число pi) i > п)
36 Гл. 2. Применения однозначного разложения на множители
такое, что Pi\m. Для такого простого числа существует — кратных
ему, не превосходящих х. Таким образом,
х
-/«<*> <Е [?
так что fs(x) ^ т}. С другой стороны, fs(x) ^ 2пл/х. Эти неравенства
означают, что 2п ^ Цу . Последнее неравенство не выполняется при
фиксированном п и достаточно большом х.
Тесно связанная с тг(х) функция определяется формулой
где сумма берется по всем простым числам, не превосходящим х. Мы
воспользуемся функцией 9{хI чтобы ограничить тг(х) сверху. Положим
0A) = 0.
Предложение 2.4.3. в(х) < D1п2)х.
Доказательство. Рассмотрим биномиальный коэффициент
\п ) 1 • 2 • ... -и
Очевидно, что это целое число делится на все простые числа р) находя-
находящиеся между п и 2гг. Далее, ввиду того, что
2п
г=0
справедливо неравенство 22п > I I. Следовательно,
\п )
4 7 п<р<2п
а потому
2гг1п2> ^2 \пр = 0Bп) - 9(п).
п<р<2п
Суммирование этих неравенств для п — 1,2,4,8, ...,2т~1 приводит к
неравенству
вBт) < (In 2) • Bm+1 - 2) < (In 2) • 2m+1.
Если 2m~l < x ^ 2m, то
) < (In 2) • 2m+1 = D In 2) • 2m~l < D1n2)x. П
j 4. Рост функции тг(х) 37
Следствие 1. Существует такая положительная константа с\,
что тг(х) < с\ г^— для х ^ 2.
v J lmx ^
Доказательство.
Таким образом,
Ф) ^ ^ + \^< (8 In 2)-^- +
In х lux
Наш результат следует теперь из неравенства л/х< J^- для х^2. П
1П Ду
ГЛ ел 7Т(Х) ~
Следствие 2. v у —>> 0 при х ^ ос.
«X/
Для ограничения п(х) снизу мы начнем с более детального рассмот-
рассмотрения биномиального коэффициента ( ). Прежде всего,
2п\ п + 1 п + 2 п + п
> 2п.
n) 1 2 n
С другой стороны, используя упр. 6 в конце этой главы, получаем
ordn BП | = ordn ^? = > -1 1^1-2
п
рт
где tp — максимальное целое число с ptp ^ 2n, т.е. tp = \ j1 . Далее,
как нетрудно убедиться, [2х] — 2[х] всегда равно либо 1, либо 0. Поэтому
/2гс\ In 2n
ordr,
п
Предлож:ение 2.4.4. Существует такая положительная конс-
константа с2; что тг(х) > с2 г^ .
Доказательство. По предыдущему
9 < I < I I ир
^ ' р<2п
Таким образом,
v^ Г1п2п1
tvlnp= У тр.
^-^ 1пр
р<2п L ^ J
38 Гл. 2. Применения однозначного разложения на множители
Если 1пр > Щ?1, т.е. р > V2n, то [ijl2nl = 1. Поэтому
П ^9
Ыр
Отсюда следует, что 9{2п) ^ nln2 — \^2п\п2п. Но ^ стремится
к 0 при п —ь ос, так что 9{2п) > Тп при некотором Т > 0 и достаточно
большом п. Записывая для большого х неравенства 2п ^ х < 2п + 1,
получаем 9(х) ^ 9Bп) > Тп > Тх ~Z > Cx для подходящей константы С.
Таким образом, существует такая константа с2 > 0, что 9(х) > с2х для
всех х ^ 2. Для завершения доказательства заметим, что
9(х) = \Jlnp ^ тт(х) \пх.
Таким образом,
х
П
>с2
mx
Два предыдущих предложения были впервые доказаны Чебышёвым
в 1852 году. Эти результаты примыкают к знаменитой теореме о рас-
распределении простых чисел, в которой утверждается, что на самом деле
Л
XI 111 X
1 при х —>> ос. Как нетрудно убедиться, это эквивалентно то-
9{х) , „
му, что v / —> 1 при х —> ос. 1еорема о распределении простых чисел
была в несколько ином виде сформулирована в качестве гипотезы Гаус-
Гауссом, когда ему было 15 или 16 лет. Доказательство этой гипотезы было
получено лишь в 1896 году независимо Адамаром и де ла Валле-Пус-
сеном. В их доказательствах использованы комплексно-аналитические
свойства дзета-функции Римана. Без использования комплексного ана-
анализа этот результат удалось доказать в 1948 году Сельбергу.
Замечания
В теории простых чисел имеется масса нерешенных проблем. На-
Например, неизвестно, бесконечно ли много простых чисел вида п2 + 1. С
другой стороны, как мы докажем в гл. 16, линейный многочлен an + b
всегда представляет бесконечно много простых чисел при условии, что
(а, Ь) = 1. Это утверждение — знаменитая теорема Дирихле о простых
числах в арифметической прогрессии.
Неизвестно, существует ли бесконечно много простых чисел вида
22П + 1, так называемых простых чисел Ферма, а также простых чисел
вида 2п — 1, простых чисел Мерсенна.
Упражнения 39
Еще одна знаменитая проблема: существует ли бесконечно много
простых чисел р) для которых р + 2 тоже простое? Известно, что сумма
обратных значений множества таких простых чисел сходится [52].
Подробное обсуждение нерешенных проблем о простых числах мож-
можно найти в [71] и [70]. Читателю, знакомому с математическим анализом,
рекомендуется работа [31], а также [38] и [39].
Ключевая идея доказательства теоремы 2 принадлежит Эйлеру. Хо-
Хорошее изложение этого материала для начинающих имеется в [65].
Теорема 3 дает доказательство (в духе Эйлера) того факта, что к[х]
содержит бесконечно много неприводимых многочленов. Уже это наво-
наводит на мысль, что многие теоремы из классической теории чисел имеют
аналоги в кольце к[х]. В действительности дело так и обстоит. Интерес-
Интересные ссылки по этому кругу вопросов имеются в [10].
Упомянутая выше теорема Дирихле была доказана для к [х], где к —
конечное поле, в [50]. Многообещающая карьера автора этой статьи
Корнблюма оборвалась вскоре после того, как он добровольцем ушел
в 1914 году в армию. Теорема о распределении простых чисел также
имеет аналог в к[х]. Это было доказано Артином в его диссертации [2].
Хорошим введением в аналитическую теорию чисел является [112].
В последней главе этой прекрасно читающейся монографии приводит-
приводится доказательство теоремы о распределении простых чисел, использу-
использующее комплексный анализ. Не использующие комплексный анализ, но
достаточно сложные доказательства были получены в [215] и [133]. Ин-
Интересное изложение истории этой теоремы см. в [139]. Наконец, мы ре-
рекомендуем замечательную брошюру [229]; эта книга объемом менее ста
страниц содержит, в дополнение ко многим элементарным результатам
о распределении простых чисел, доказательство Сельберга теоремы о
простых числах, а также «элементарное» доказательство упомянутой
выше теоремы Дирихле. См. также [198] (и [14*], [18*]. — Ред.).
Упражнения
1. Показать, что к[х\) где к — некоторое конечное поле, имеет беско-
бесконечно много неприводимых многочленов.
2. Пусть Р\, Р2т~ ч Ps ? Z — некоторые простые числа. Рассмот-
Рассмотрим множество всех рациональных чисел г=т, a,f)GZ, для которых
ordPm a ^ ordPm b при т — 1,2, ... s. Показать, что это множество явля-
является кольцом и что с точностью до взятия ассоциированных pi, р2,...,
ps — единственные простые элементы в нем.
40 Гл. 2. Применения однозначного разложения на множители
3. Используя формулу для <р(п), дать доказательство того, что про-
простых чисел бесконечно много. [Указание. Если р1? р2) ..., ps — все про-
простые числа, то (р(п) = 1, где п — р\р2 •••ps]
4. Если а — отличное от нуля целое число, то для п > т показать,
что (а2П +1, а2™ +1) = 2 или 1 в зависимости от того, будет а нечетным
или четным. [Указание. Если р — нечетное простое число и р | а2™ + 1,
то р | а2П — 1 при п > т.]
5. Используя результат упр. 4, показать, что существует бесконечно
много простых чисел. (Это доказательство принадлежит Пойа.)
6. Для рационального числа г пусть [г] — наибольшее целое число,
меньшее или равное г, т.е. [|] =0; [2] = 2 и [3|] =3. Доказать, что
7. Получить из упр. 6, что ordp п\ ^ ^ , и что \fn\ ^ Yl i
Р р\п
8. Используя упр. 7, показать, что существует бесконечно много прос-
простых чисел. [Указание, (n!J ^ пп\ (Это доказательство принадлежит
Коэну.)
9. Функция / на целых числах называется мультипликативной,
если fiab) — f(a)f(b) при (а, Ъ) — 1. Показать, что мультипликативная
функция полностью определяется своими значениями на степенях прос-
простых чисел.
10. Если f{n) — мультипликативная функция, то функция д[п) —
— ^2 f(d) тоже мультипликативна.
d\n
11 тт / \ v^ ^{d) fJ>(d)
11. Показать, что (р(п) — п\^ \ }, доказав сначала, что \ } муль-
d\n
типликативна, а затем использовав упр. 9 и 10.
12. Найти формулы для ^ /i(d)<p(d), ^ //2(й)(^2(й) и ^ (J\ •
d\n d\n d\n r\ )
13. Пусть crm(n) = Y2 dm'. Показать, что сгт(п) мультипликативна, и
найти для нее формулу.
14. Показать, что h{n) = ^2 АЧ ^ )/(^) мультипликативна, если /(гг)
мультипликативна.
15. Показать, что
(a) 2_\ ^ G7) u(d) = 1 для всех щ
d\n
(b) 2_\ ^ G7) a(d) — п для всех п.
Упражнения 41
16. Показать, что и(п) нечетно тогда и только тогда, когда п — квад-
квадрат.
17. Показать, что о{п) нечетно тогда и только тогда, когда п — квад-
квадрат или удвоенный квадрат.
18. Доказать, что (р(п)(р(т) = y?((n, m))y?([n, m]).
19. Доказать, что (р(пт)(р((п, т)) = (п,т)(р(п)(р(т).
20. Доказать, что Yl d — пу(п^2.
21. Положим Л(п) = lnp, если п — степень р, и А(п) = 0 в против-
противном случае. Доказать, что ^ /л(Ц ) \nd = Л(п). [Указание. Вычислить
d\n KAJ
сначала ^ A(d), а затем применить формулу обращения Мёбиуса.]
d\n
22. Показать, что
^-^\ ткр(ть)
(m,n) = l
23. Пусть f{x) G Z[n] и ^(п) — число значений /(j), i = 1,2, ... ,n,
таких, что (/(i),n) = 1. Показать, что ф(п) мультипликативна и что
_ рт-1гф(ру Вывести отсюда, что ф(п) = п \
р\п ^
24. Восстановить детали доказательства теоремы 3.
25. Рассмотрим функцию ((s) = ^ -\. Она называется дзета-функ-
Римана. Эта функция сходится для s > 1. Доказать формальное
тождество (тождество Эйлера)
Если допустить для 5 комплексные значения, то можно доказать, что
((s) имеет аналитическое продолжение на всю комплексную плоскость.
В знаменитой гипотезе Римана утверждается, что все нули ((s) в полосе
0 ^ Re s ^ 1 лежат на прямой Re s = \.
26. Проверить формальные тождества
(}
п=1
п=1
42 Гл. 2. Применения однозначного разложения на множители
27. Показать, что ряд ^' —, где сумма берется по свободным от квад-
квадратов целым числам, расходится. Вывести отсюда, что
p<N
Так как ех > 1 + х, получить отсюда, что
—> ос при N —> ос.
p<N
(Это доказательство предлож:ено Нивеном.)
Глава 3
СРАВНЕНИЯ
Понятие сравнения было введено впервые Гауссом в «Disquisitiones
Arithmeticae» (см. замечания в гл.1). Несмотря на то что понятие
это очень просто, его важность и полезность нельзя преувеличить.
Эта глава посвящена изложению простейших свойств сравнений.
В гл. 4 этот вопрос будет рассмотрен более глубоко.
§ 1. Элементарные наблюдения
Простое наблюдение показывает, что произведение двух нечетных
чисел нечетно, произведение двух четных чисел четно и произведение
нечетного и четного чисел четно. Отметим также, что сумма нечетных
чисел четна, сумма четных чисел четна и сумма четного числа и нечет-
нечетного числа нечетна. Эта информация сведена в табл. 1 и 2.
Таблица 1
Умножение
Таблица 2
Сложение
ч
н
ч
ч
ч
н
ч
н
ч
н
ч
ч
н
н
н
ч
Эти наблюдения настолько элементарны, что возникает вопрос о
том, можно ли из них извлечь что-нибудь интересное. Ответ, как это
ни странно, утвердительный.
Многие проблемы в теории чисел имеют такой вид: если / — неко-
некоторый многочлен от одной или нескольких переменных с целыми ко-
коэффициентами, то спрашивается, имеет ли уравнение / = 0 решения
в целых числах? Такие вопросы рассматривались греческим математи-
математиком Диофантом и называются диофантовыми в его честь.1
Рассмотрим уравнение х2 — 117х + 31 = 0. Мы утверждаем, что у
него не существует решения, являющегося целым числом. Пусть п —
какое-либо целое число. Оно либо четно, либо нечетно. Если п четно,
то четными будут п2 и 117п. Таким образом, п2 — 117 п + 31 нечетно.
Если п нечетно, то п2 и 117п оба нечетны. Таким образом, п2 — 117п + 31
в этом случае тоже нечетно. Так как каждое целое число либо четно,
либо нечетно, это показывает, что п2 — 117п + 31 никогда не равно нулю.
1 Тем не менее сам Диофант рассматривал решения неопределенных уравнений
в рациональных числах. См. [13*], [3*]. — Прим. ред.
44 Гл. 3. Сравнения
В гл. 2 мы показали, что простых чисел бесконечно много. Мы пока-
покажем сейчас, что существует бесконечно много простых чисел, которые
дают остаток 3 при делении на 4. Примеры таких чисел: 3, 7, 19 и 59.
Любое целое число при делении на 4 имеет остаток 0, 1, 2 или 3.
Таким образом, нечетные числа будут иметь либо вид 4т + 1, либо вид
4п + 3. Произведение двух чисел вида 4т + 1 опять имеет тот же вид:
Dт + 1)Dт' + 1) = 4Dтт' + т + т1) + 1.
Отсюда следует, что целое число вида 4п + 3 должно делиться на неко-
некоторое простое число вида 4п + 3.
Предположим теперь, что имеется лишь конечное число положи-
положительных простых чисел вида 4п + 3. Список их начинается с 3, 7, 11, 19,
23,.... Положим pi = 7, Р2 = 11, Рз — 19 и т.д. Предположим, что рк —
к
наибольшее простое число такого вида, и положим N — 4 Y[ Pk + 3.
k=i
Число N не делится ни на какое число р^. Однако N имеет вид 4п + 3
и поэтому должно делиться на какое-то простое число р вида 4п + 3.
Имеем р > рк — противоречие.
Очевидно, что в основе обоих приведенных рассуждений лежит неко-
некоторый общий принцип. Он исследуется в §2.
§ 2. Сравнения в Z
Определение. Если а, 6, т е Z и т ф 0, то мы говорим, что а срав-
сравнимо cb по модулю т) если т делит Ь — а. Это отношение записывается
так: а = b (mod m).
Предложение 3.2.1.
(a) а = a (mod m).
(b) a = b (mod m) =^> b = a (mod m).
(c) EVvrn a = b (mod m) и b = с (mod m), mo а = с (mod m).
(a) a — a = 0 и т | 0.
(b) Если m | 6 — a, to m | a — b.
(c) Если т|6 — а и m\c — 6, то ш | с - a=(c — 6)+ F — a). ?
Предложение 3.2.1 показывает, что сравнимость по модулю т яв-
является отношением эквивалентности на множестве целых чисел. Если
а е Z, то а обозначает множество целых чисел, сравнимых с а по моду-
модулю m, a = {n?Z|n = a (mod m)}. Другими словами, а есть множество
целых чисел вида a + km.
Если m = 2, то 0 есть множество четных целых чисел и I — множе-
множество нечетных целых чисел.
i 2. Сравнения в Z 45
Определение. Множество вида а называется классом вычетов по
модулю т.
Предложение 3.2.2.
(a) а = Ъ ^ а = Ь (mod m).
(b) а фЪ <<=> аПЬ пусто.
(c) Имеется в точности т классов вычетов по модулю т.
Доказательство, (а) Если Ъ — а, то а Е а = Ь. Таким образом, а =
= Ь (mod m). Обратно, если а = b (mod m), то а Е Ь. Если с = a (mod m),
то с е 6 (mod m), что доказывает включение а С Ь. Так как а =
= 6 (mod m) означает, что 6 = a (mod m), то также b С а. Поэтому
а = 6.
(b) Если а U Ь пусто, то очевидно, что а ф Ь. Мы покаж:ем, что из
непустоты a U Ъ следует, что а — Ъ. Пусть с е a U Ь. Тогда с = a (mod m)
и с = 6 (mod m). Отсюда следует, что а = b (mod m) и поэтому по п. (а)
имеем а — Ъ.
(c) Мы покажем, что О, I, 2, ..., т — 1 все различны и составляют
полное множество классов вычетов по модулю т. Предположим, что
О ^ к < I < т. Равенство к — I означает, что к = I (mod m), т.е. что
т делит I — к. Но это невозможно, так как 0 < I — к < т. Поэтому
к ф I. Пусть теперь а Е Z. Мы можем найти такие целые числа q и г,
что а = </т + г, где 0 ^ г < т. Отсюда следует, что а = г (mod m), так
что а — г. ?
Определение. Множество классов вычетов по модулю т обознача-
обозначается через Z/mZ.
Если аГ, О2, ..., а^ — полное множество классов вычетов по модулю
ттг, то {ai,a2, ...,am} называется полной системой вычетов по моду-
модулю т.
Например, {0,1, 2, 3}, {4, 9,14, —1} и {0,1, —2, —1} — полные системы
вычетов по модулю 4.
Множество Ъ/тЪ можно превратить в кольцо, определив сложение
и умножение естественным образом. Это достигается при помощи сле-
следующего предложения.
Предложение 3.2.3. Если а = с (mod т) и b = d (mod т), то а +
+ b = с + d (mod m) и ab = cd (mod m).
Доказательство. Если т \ с — а и т \ d — 6, то т \ (с — a) + (d — b) =
= (с + d) — (а + 6). Таким образом, а + b = с + d (mod m).
Заметим, что cd — ab — c(d — b) + Ъ(с — а). Таким образом, m\cd — ab
и ab = cd (mod m). ?
Если a,b ? Z/mZ, то мы определяем a + b как a + b и ab как ab.
46
Гл. 3. Сравнения
Это определение на первый взгляд зависит от а и Ь. Мы должны по-
показать, что результаты зависят лишь от классов вычетов, определяемых
а и Ь. В этом нетрудно убедиться. Предположим, что с = а и d = b. Мы
должны показать, что a-\-b — c-\-dvLab — cd, но это непосредственно
следует из предложений 3.2.2 и 3.2.3.
Введенные определения превращают Z/mZ в кольцо. Проверка это-
этого факта предоставляется читателю.
Таблицы 3 и 4 в явном виде задают сложение и умножение в коль-
кольце Z/3Z. (Черточки над числами опущены.) Читателю рекомендуется
построить подобные таблицы для т — 4, 5 и 6.
Таблица 3 Таблица 4
Сложение Умножение
0
1
2
0
0
1
2
1
1
2
0
2
2
0
1
0
1
2
0
0
0
0
1
0
1
2
2
0
2
1
При обсуждении арифметических проблем иногда бывает удобнее
работать с кольцом Z/mZ, чем с понятием сравнимости по модулю т,
а иногда наоборот. Мы будем выбирать способ интерпретации, сообра-
сообразуясь с обстоятельствами.
Ранее было доказано, что многочлен х2 — 117а;+ 31 не имеет целочис-
целочисленных корней. Используя предыдущие рассмотрения, этот результат
можно обобщить.
Если а = b (mod m), то а2 = b2 (mod т), а3 = b3 (mod т) и вооб-
вообще ап = bn (mod т). Отсюда следует, что если р(х) е Z[x], то р(а) =
= p{b) (mod m). Всё это вытекает из предложения 3.2.3.
Возьмем т — 2. Тогда а сравнимо либо с 0, либо с 1 по модулю 2 и
или р{а) = р@) (mod 2), или р{а) = р{1) (mod 2).
Еслир(х) = aoxn + aixn~1+ ... +an_ix + an, тор(О) = an ирA) = ao +
+ ai + ... + an. Наши вычисления приводят к такому результату: если
р(х) G Z[x] и р@) и р{1) оба нечетны, то р(х) не имеет целочисленных
корней.
Многочлен х2 — 1Пх + 31 имеет свободный член 31, а сумма его
коэффициентов равна —85; оба эти числа нечетны. Другие примеры:
2х2 + 2х + 1 и Зх3 + 2х2 + х + 3.
§ 3. Сравнение ах = Ъ (mod га)
Простейшим сравнением является ах = b (mod m). В этом парагра-
параграфе мы выясняем условие разрешимости этого сравнения и, если оно
разрешимо, даем формулу для числа решений.
§ 3. Сравнение ах = b (mod га) 47
Сначала следует дать определение того, что мы подразумеваем под
числом решений сравнения. В самом общем виде пусть /(xi, ... ,хп) —
некоторый многочлен от п переменных с целыми коэффициентами.
Рассмотрим сравнение f{x\) ... , хп) = 0 (mod m). Решение — это п-на-
бор целых чисел (ai, ...ап), такой, что /(ai, ... ,ап) = 0 (mod m). Если
(&i, ... bn) — другой n-набор, такой, что Ъ{ = щ (mod т) для г = 1, ..., п,
то нетрудно видеть, что /(&i, ...Ьп) = O(modm). Мы не хотим рас-
рассматривать эти два решения как существенно различные. Итак, два
решения (аь ...ап) и (fci, ...Ьп) называются эквивалентными, если а^ =
= Ьг (mod m) для г — 1, ..., п. Число решений сравнения /(xi, ..., хп) =
= 0 (mod т) определяется как число неэквивалентных решений.
Например, 3, 8 и 13 суть решения для бх = 3 (mod 15). Число 18 —
тоже решение, но решение х — 18 эквивалентно решению х — 3.
Полезно взглянуть на излагаемый материал с другой точки зрения.
Отображение из Z в Z/mZ, задаваемое соответствием а —> а, являет-
является гомоморфизмом. Если /(ai,...,an) = 0 (mod m), то /(ai,...,an) = 0.
Здесь /(xi, ...,xn) e Z/mZ[xi, ...,xn] — многочлен, получающийся из /,
если поставить черту над каждым коэффициентом многочлена /. Да-
Далее, можно убедиться в том, что классы эквивалентности решений срав-
сравнения /(xi,..., хп) = 0 (mod m) находятся во взаимно однозначном со-
соответствии с решениями уравнения f(x\,..., хп) = 0 в кольце Z/mZ. Эта
интерпретация числа решений сравнений встречается довольно часто.
Мы возвращаемся теперь к вопросу о числе решений сравнения ах =
= b (mod m).
Пусть d > 0 — наибольший общий делитель целых чисел а и т.
Положим а1 — Щ и vn! — Щ. Тогда а1 и т! взаимно просты.
Предложение 3.3.1. Сравнение ах = b (mod m) имеет решения
тогда и только тогда, когда d\b. Если d \ Ъ, то имеется ровно d ре-
решений. Если Xq — одно из них, то все другие решения — это xG + т!,
xq + 2т!\ ..., xq + {d — 1)т!.
Доказательство. Если х0 — некоторое решение, то ах0 — b — туо
при некотором целом у0. Таким образом, ах0 —туо = Ъ. Так как d делит
ахо — туо, мы должны иметь d \ b.
Обратно, пусть d \ Ь. Согласно лемме 4 из § 1 гл. 1, существуют такие
целые числа xf0 и yf0) что axf0 — myf0 = d. Положим с = % и умножим обе
части выписанного равенства на с. Тогда а{х'^с) — т(у'ос) = Ъ. Положим
х0 = хгос. Тогда ахо = b (mod m).
Мы показали, что сравнение ах = b (mod m) имеет хотя бы одно
решение тогда и только тогда, когда d\b.
Предположим, что х0 и х\ суть решения. Тогда из axG = b (mod m)
48 Гл. 3. Сравнения
и ах\ = b (mod т) следует, что а(х\ — Xq) = 0 (mod m). Таким образом,
т | а(х\ — хо) и т! \ о!(х\ — х0), а это означает, что т! \ х\ — х0, т.е. х\ —
— Xq + km' для некоторого целого к. Нетрудно убедиться в том, что
любое число вида Xq + km! будет решением и что решения xq, Xq + m7,
..., Xq + (d — l)m! не эквивалентны. Пусть Х\ — Xq + km! — какое-нибудь
решение. Существуют такие целые числа г и s, что к — rd+s и 0 ^ s < d.
Таким образом, х\ = Xq + sm! + гт и х\ эквивалентно Xq + sm!. Это
завершает доказательство. ?
В качестве примера рассмотрим еще раз сравнение Qx = 3 (mod 15).
Мы решаем сначала уравнение Qx — 15у = 3. Деля на 3, получаем 2х —
— Ъу — 1. Пара х — 3, у — 1 является решением нашего уравнения.
Таким образом, х0 = 3 — решение сравнения Qx = 3 (mod 15). Далее,
ш=15ий = 3, так что т! — 5. Тремя неэквивалентными решениями
будут 3, 8 и 13.
Имеется два важных следствия предложения 3.3.1.
Следствие 1. Если а и т взаимно просты, то сравнение ах =
= Ъ (mod т) имеет одно и только одно решение.
Доказательство. В этом случае d — 1, так что d \ b и имеется d —\
решений. ?
Следствие 2. Если р — простое число и а ф 0 (mod p), то сравне-
сравнение ах = b (mod p) имеет одно и только одно решение.
Доказательство непосредственно получается из следствия 1. ?
Следствия 1 и 2 можно интерпретировать в терминах кольца Z/mZ.
Сравнение ах = b (mod р) эквивалентно уравнению ах — b в кольце
Z/mZ.
Каковы единицы кольца Ъ/тЪ1 Элемент a G Ъ/тЪ является едини-
единицей тогда и только тогда, когда уравнение ах — I разрешимо. Сравнение
ах = 1 (mod т) разрешимо в том и только том случае, когда d \ 1, т.е.
тогда и только тогда, когда а и т взаимно просты. Таким образом, а —
единица, если и только если (а,т) — 1, откуда нетрудно получить, что
в Ъ/тЪ имеется в точности <р(т) единиц. [Определение функции <р(т)
см. в § 2 гл. 2.]
Если р — простое число и а ф 0 — элемент из Z/pZ, то (а,р) = 1.
Таким образом, каждый ненулевой элемент в Ъ/рЪ будет единицей; это
показывает, что Ъ/рЪ — поле.
Если т — не простое число, то т — mirri2) где 0 < mi)rri2 < та.
Таким образом, т\ ф О, Ш2 ф 0, но Ш1Ш2 = гщгщ — т — 0. Поэтому
Ъ/тЪ — не поле.
Объединяя изложенное, получаем
Предложение 3.3.2. Элемент а е Ъ/mL является единицей тог-
§ 4. Китайская теорема об остатках 49
да и только тогда, когда (а, т) = 1. 5 Z/mZ имеется в точности <р(т)
единиц. Кольцо Z/mZ является полем в том и только том случае,
когда т — простое число.
Следствие 1 (теорема Эйлера). Если {а)т) — 1, то
а<р(т) = ^ (mod m).
Доказательство. Единицы кольца Z/mZ образуют группу порядка
(р(т). Если {а)т) — 1, то а — единица. Поэтому а^т) = I, т.е. а^ш) =
= 1 (mod m). ?
Следствие 2 (малая теорема Ферма). Если р — простое число и
рХа? то
ap~l = l(modp).
Доказательство. Если рХа-> то {а->Р) — 1- Таким образом, а^ =
= 1 (mod р). Поскольку <р(р) — р —\ для простого числа р, наш резуль-
результат установлен. ?
Многие результаты этого параграфа можно обобщить на области
главных идеалов.
Понятия сравнимости и классов вычетов можно распространить на
произвольное коммутативное кольцо. Предложение 3.3.1 справедливо
в ОГИ; а именно сравнение ах = Ъ (mod m) имеет решение тогда и
только тогда, когда d \ 6, и решение единственно тогда и только тогда,
когда а и т взаимно просты. Единственное отличие состоит в том, что
число решений не обязательно конечно. В любом случае, используя этот
результат, доказываем аналог части предложения 3.3.2 о том, что если
R — ОГИ и т е R не является ни нулем, ни одной из единиц, то R/(m) —
поле в том и только том случае, когда т — простой элемент.
В частности, если к — некоторое поле, то Л[х]/(/(х)) будет полем
тогда и только тогда, когда f(x) неприводим.
§ 4. Китайская теорема об остатках
Если модуль т некоторого сравнения — составное число, то иногда
бывает возможно свести сравнение по модулю т к системе более про-
простых сравнений. Основная теорема этого типа — китайская теорема об
остатках (теорема 1), которая доказывается ниже. Эта теорема спра-
справедлива для любой ОГИ (на самом деле даже в более общем случаеI.
Однако мы будем продолжать работать в Z и предоставим читателю
относительно простое упражнение по переносу доказательств на ОГИ.
1 См. предложение 12.3.1 гл. 12. — Прим. ред.
50 Гл. 3. Сравнения
Лемма 1. Если числа ai, а2, ..., а& взаимно просты с т, то взаимно
простым с т будет и aia2 ... а&.
Доказательство. а& е Z/mZ — единица. Поэтому единицей будет и
.. a&. По предложению 3.3.2 ai^.-.a^ взаимно просто
ст. П
Приведем другое доказательство. Если бы aia2 ... a& не было взаимно
простым с ттг, то существовало бы некоторое простое число р) делящее
их оба. Из того что р | aia2 ... a& следует, что р \ щ при некотором г. Тогда
{а^т) ф 1, что противоречит предположению.
Лемма 2. Предположим, что все числа а\, ..., а& делят и и что
(а^, aj) = 1 для г ф j. Гог(?а aia2 ... а& делит п.
Доказательство. Применим индукцию по к. Если к = 1, доказывать
нечего. Пусть А; > 1, и предположим, что лемма верна при к — 1. Тогда
aia2 ... dk-i делит п. По лемме 1 число а& взаимно просто с aia2 ... a^-i.
Поэтому существуют целые числа г и s, для которых ra^+sai^ ... a&_i =
= 1. Умножая обе части этого равенства на п, убеждаемся в том, что
левая его часть делится на ai^.-.a^ откуда и следует доказываемый
результат. ?
Теорема 1 (китайская теорема об остатках). Предположим, что
т — mim2...m/c и что (rrii^mj) = 1 при г ф j. Пусть Ь\, 62; ..., Ь^ —
целые числа, и рассмотрим систему сравнений
x = Ъ\ (mod mi), x = Ь2 (mod m2), ..., x = bk (mod
Эта система всегда имеет решения, и любые два решения отличают-
отличаются на кратное числа т.
Доказательство. Положим щ — —. Согласно лемме 1, (m^,n^) = 1.
Поэтому существуют целые числа Т{ и Si такие, что r^rn^ + в{Щ — 1.
Пусть ei — SiTii. Тогда е^ = 1 (mod m^) и е^ = 0 (mod rrij) при j ф г.
к
Положим Xq = Х^^ег- Тогда Xq = Ь{е{ (mod mi) и, следовательно,
г=1
Xq = b{ (mod m^), т.е. Xq — решение.
Предположим, что х\ — некоторое другое решение. Тогда х\ — Xq =
= 0 (mod rrii) для г = 1, 2, ..., к. Другими словами, mi, m2, ..., m^ делят
Х\ — Xq. По лемме 2 разность х\ — Xq делится на т. П
Приведем интерпретацию теоремы 1 с точки зрения теории колец.
Если i?i, Д2, ..., Дп — некоторые кольца, то i?i0i?20...0i?n = 5, прямая
сумма колец Ri определяется как множество n-наборов (гх, г2,..., гп) с
Т{ е Ri. Сложение и умножение определяются формулами
(т-\ Тел v I —\— (т v v I — (т-\ -Л- v Тел -Л- v v -Л- v \
(гх, г2,..., rn)(rl5 г2,..., гп) = (гхг1? г2г2,..., тпгп).
§ 4. Китайская теорема об остатках 51
Нулевым элементом будет элемент @, 0, ...,0), а единичным — элемент
A,1,..., 1). Элемент и ? S будет единицей тогда и только тогда, когда
существует v е 5, такой, что uv = 1. Если и = (г&1, n2,..., ип) и г; =
= (^1? ^2? •••? ^пM то из uv — 1 следует, что U{V{ — 1 при г = 1, ..., п. Таким
образом, щ — единица для каждого г. Обратно, если щ — единица для
каждого г, то и = {и\, п2,..., г^п) — единица. Группу единиц кольца Д
будем обозначать через U(R). Далее, U{R\) x ?/(Л2) x ••• х U(Rn) есть
множество n-наборов (ixi, г^2,..., г^) с единицами щ Е Ri. Это множ:ество
является группой при покомпонентном умножении.
Предложение 3.4.1. Если S = i?i©i?2©...©i2n. rnoU(S) = U(Ri)x
xU(R2) x ... xU(Rn).
Пусть mi, 7?i2, •••? ^'/c — попарно взаимно простые целые числа и ipi
обозначает естественный гомоморфизм из Z в Z/m^Z. Мы строим отоб-
отображение ф из Z в Z/ttiiZ 0 Z/m^Z 0 ... 0 Z/tti^Z следующим образом:
^(n) = (/0i(n), ^Hj-j Фк(п)) пРи всех п ЕЪ. Нетрудно проверить, что
*0 — кольцевой гомоморфизм. Чему равны ядро и образ *0?
Равенство (bi, 62,..., bk) = ^(n) выполняется тогда и только тогда,
когда t/ji(ri) = Ьг Для г = 1, ..., к) т.е. п = Ь{ (mod m^) для г — 1, ..., к.
Китайская теорема об остатках гарантирует, что такое п всегда суще-
существует. Таким образом, ф — эпиморфизм.
Равенство ф{п) — 0 имеет место в том и только том случае, когда
п = 0 (mod 771^), г = 1, ..., /с, т.е. тогда и только тогда, когда п делится
на ттг = m\Vfi2 ... m&, что непосредственно следует из леммы 2. Таким
образом, ядро ф совпадает с идеалом mZ.
Мы установили следующий результат:
Теорема V'. Отображение ф индуцирует изоморфизм между
Ъ/тЪ и Z/m{L 0 Z/m2Z 0 ... 0 Ъ/ткЪ.
Следствие. f/(Z/mZ) « f/(Z/miZ) x ... х U(Z/mkZ).
Доказательство. Это утверждение непосредственно следует из тео-
теоремы V и предложения 3.4.1. ?
Обе изоморфные группы из только что формулированного след-
следствия конечны. Порядок первой из них равен (р(т), а порядок второй
есть ^(mi)^(m2)... (р(тк). Таким образом, (р(т) = ^(mi)^(m2) ••• ^(m/0-
Пусть т = ра\Р^ •••V°k — разложение числа m на простые множи-
множители. Тогда (р(т) = (p(pi1)(p(p22) ...(p(p^k). Для степени простого числа
ра имеем (р(ра) — ра — ра~1, поскольку числа, меньшие ра и взаимно
Vй
простые с ра) взаимно просты с р. Так как — = ра из чисел, меньших
ра, делятся на р) то ра — ра~1 таких чисел взаимно просто с р. Заметим,
52 Гл. 3. Сравнения
что ра — ра г = ра A — - j. Отсюда следует, что
р\т
Эта формула была доказана в гл. 2 другим способом.
Подведем итоги. Понятие сравнимости оказывается исключитель-
исключительно полезным при исследовании многих арифметических вопросов.
Оно привело нас к рассмотрению кольца Ъ/тЪ и его группы единиц
и(Ъ/тЪ). Для более глубокого проникновения в структуру этих алге-
алгебраических объектов мы использовали запись т — р^р^2 ---Р^ и полу-
получили с помощью китайской теоремы об остатках следующие изомор-
изоморфизмы:
ъ/тъ « ъ/р^ъ е ъ/ра22ъ е ...z/^fcz,
U(Z/mZ) « U(Z/p^Z) x U(Z/pz2Z) x ... х U(Z/pakkZ).
Для степеней простых чисел исследование можно значительно продол-
продолжить.
Замечания
Читателю было бы полезно познакомиться с другими изложениями
приведенного здесь основного материала. См., например, хорошо напи-
написанную книгу [22] и (вновь) [40]. См. также [61], [60], [52] и [77].
Интересное обсуждение различных способов изложения этого мате-
материала можно найти у Самюэля (Samuel P. Sur l'organization d'un cours
d'arithmetique. — L'Enseignment Math., 1967, v. 13, p. 223—231). Более
глубокое исследование сравнений проводится в первой главе книги [9];
в этой книге показано также, насколько теория сравнений полезна при
решении вопроса о разрешимости уравнений в целых числах. Мы отме-
отметим также прекрасное изложение материала в [69].
Исторически понятие сравнения было впервые введено и система-
систематически использовано Гауссом в «Disquisitiones Arithmeticae» [136]. По-
Понятие сравнения является ярким примером полезности использования
«правильного» обозначения.
Что касается китайской теоремы об остатках, то в [40] отмечается,
что Бахман в [4] указывает, что Сунь Цзу знал об этом результате в
первом веке нашей эры. Эта теорема поддается далеко идущим обобще-
обобщениям. Должным образом сформулированная, она верна в любом кольце
с единичным элементом. Как ни странно, доказать ее в общем случае
не более трудно, чем в частном случае, рассмотренном нами (см. пред-
предложение 12.3.1).
Упражнения 53
Упражнения
1. Показать, что существует бесконечно много простых чисел, срав-
сравнимых с —1 по модулю 6.
2. Написать таблицы сложения и умножения для колец Z/5Z, Z/8Z
и Z/10Z.
3. Пусть abc — десятичное представление некоторого целого числа
между 1 и 1000. Показать, что abc делится на 3 тогда и только тогда,
когда а + b + с делится на 3. Показать, что тот же результат верен при
замене 3 на 9. Показать, что abc делится на 11 тогда и только тогда,
когда a — b + с делится на 11. Обобщить эти результаты на любое число,
записанное в десятичной системе.
4. Показать, что уравнение Зх2 + 2 = у2 не имеет решений в целых
числах.
5. Показать, что уравнение 7х2 + 2 = у3 не имеет решений в целых
числах.
6. Пусть задано целое число п > 0. Множество целых чисел {ai, а2) ...,
а(р(п)} называется приведенной системой вычетов по модулю п, если
они попарно несравнимы по модулю п и (a^,n) = 1 при всех к. Если
(a,n) = 1, то доказать, что {aai,aa2, ... , aa^)} опять будет приведен-
приведенной системой вычетов по модулю п.
7. Использовать упр. 6 для другого доказательства теоремы Эйлера
о том, что a^n) = 1 (mod п) при (а, п) = 1.
8. Пусть р — некоторое нечетное простое число. Если к Е {1,2, ...,
р — 1}, то показать, что существует единственное && в этом множестве,
для которого kbk = l(mod]9). Показать, что к ф Ь^ за исключением
случаев, когда к = 1 или к = р — 1.
9. При помощи упр. 7 показать, что (р — 1)! = —1 (mod p). Этот ре-
результат известен как теорема Вильсона.
10. Если п — не простое число, то показать, что {п — 1)! = 0 (mod n)
за исключением случая п = 4.
11. Пусть ai,a2, ...a^(n) — приведенная система вычетов по моду-
модулю п и N — число решений сравнения х2 = 1 (mod n). Доказать, что
аха2 ... а^п) = (-l)N/2 (mod n).
(р\ р\
— 777 гтт ~~ биномиальный коэффициент и р —
к) к\ [р — к)\
(р\
простое число. Показать, что если 1 ^ к ^р — 1, то р делит . Вы-
W
вести отсюда, что (а + 1)р = аР + 1 (mod p).
13. При помощи упр. 12 дать другое доказательство теоремы Ферма
о том, что ар~1 = 1 (mod p) при
54 Гл. 3. Сравнения
14. Пусть р и q — такие различные нечетные простые числа, что р — 1
делит q — 1. Если (n,pq) = 1, то показать, что nq~l = 1 (mod pq).
15. Показать, что для любого нечетного простого числа р числитель
числа 1 + | + | + ... Н—ту делится на р. [Указание. Воспользоваться
упр. 8 и 9.]
16. Использовать доказательство китайской теоремы об остатках
для решения системы сравнений х = 1 (mod 7), х = 4 (mod 9), х =
= 3(mod 5).
17. Пусть f{x) G Ъ\х\ и п — p°^pa2 -"Vam - Показать, что сравнение
fix) = 0 (mod п) имеет решение тогда и только тогда, когда fix) =
= 0 (mod pakk) имеет решение для к — 1, 2, ..., т.
18. Пусть f{x) G Z[x], п — р^р^2 -~Vam •> ^ ~ число решений срав-
сравнения fix) = 0 (mod п) и Nk — число решений сравнения fix) =
= 0 (mod ракк) для к — 1, 2, ..., т. Доказать, что N — NiN2 ... ^Vm.
19. Если р — некоторое нечетное простое число, то показать, что 1
и —1 — единственные решения сравнения х2 = 1 (mod pa).
20. Показать, что сравнение х2 = 1 (mod 2Ь) имеет одно решение при
6 = 1, два решения при b = 2 и 4 решения при 6^3.
21. Воспользоваться упр. 18-20 для нахождения числа решений срав-
сравнения х2 = 1 (mod n).
22. Сформулировать и доказать китайскую теорему об остатках для
области главных идеалов.
23. Распространить понятие сравнимости на кольцо Щг\ и доказать,
что а + Ы всегда сравнимо с 0 или 1 по модулю 1 + г.
24. Распространить понятие сравнимости на кольцо Ъ[и] и доказать,
что а + Ъи всегда сравнимо с —1, 1 или 0 по модулю 1 — и.
25. Пусть Л = 1 — и) е Ъ[и]. Доказать, что если а е Ъ[и] и а =
= 1 (mod Л), то а3 = 1 (mod 9). [Указание. Показать сначала, что 3 =
= -и2Х2]
26. При помощи упр. 25 показать, что если ?, 77, С G Z[cj] отличны от
нуля и <^3 + rf + (°3 = 0, то Л делит по крайней мере один из элементов
?, ч, с-
Глава 4
СТРУКТУРА ГРУППЫ U(Z/nZ)
Введя понятие сравнения и обсудив некоторые его свойства и при-
лоэюения, мы теперь рассмотрим эти вопросы более глубоко. Ключе-
Ключевым результатом здесь является существование примитивных кор-
корней по модулю простого числа. Эта теорема использовалась матема-
математиками еще до Гаусса, но он первый дал ее доказательство. В терми-
терминологии гл. 3 существование примитивных корней эквивалентно то-
тому, что и(Ъ/рЪ) — циклическая группа, если р — простое число. Ис-
Используя этот факт, мы получим описание группы U(Z/nZ) при про-
произвольном п.
§ 1. Примитивные корни
и структура группы C/(Z/nZ)
Как было показано в гл. 3, U(Z/nZ) « U(Z/p^Z) x U(Z/p^2Z) x ... х
х U{Z/p(^Z)) если п — р°^ра2 •••Vam - Следовательно, для определения
структуры группы U(Z/nZ) достаточно рассмотреть случай U(Z/paZ),
где р — простое число. Мы начнем с рассмотрения простейшего случая
U(Z/pZ).
Так как Z/pZ — поле, будет полезно иметь в распоряжении следую-
следующую простую лемму о полях.
Лемма 1. Пусть f[x) e к[х] и к — некоторое поле. Предположим,
что deg/(x) = п. Тогда f имеет не более п различных корней.
Доказательство проводится индукцией по п. Для п — 1 утвержде-
утверждение тривиально. Предположим, что лемма верна для многочленов сте-
степени п — 1. Если f{x) не имеет корней в /с, то всё в порядке. Если а —
некоторый корень, то f{x) — г + q(x)(x — а)) где г — константа. По-
Полагая х — а, получаем г = 0. Таким образом, fix) — q{x)[x — а) и
degq(x) = п — 1. Если /3 Ф а — другой корень многочлена /(х), то 0 =
= /(/?) = (/3 — a)q(l3), откуда следует, что q(/3) = 0. Так как по индукции
q{x) имеет не более п — 1 различных корней, то fix) имеет не более п
различных корней. ?
Следствие. Пусть f(x), g(x) e k[x] un = deg/(x) = degg(x). Если
f(oti) — g(&i) для п + 1 различных элементов oi\, a2; ..., a^ otn+\, то
f(x)=g(x).
Доказательство. Применить лемму 1 к многочлену f{x) — g(x). ?
56 Гл. 4. Структура группы U(Z/nZ)
Предложение 4.1.1. хр~1 — 1 = (х — 1){х — 2)... {х — р + 1) (mod р).
Доказательство. Если а обозначает класс вычетов целого числа а в
, то утверждение нашего предложения эквивалентно следующему:
хр~1 - 1 = (х - 1)(х - 2)... (х - р - 1)
в Z/pZ. Пусть f(x) = хр~г -1 = (х- 1)(х - 2) ... (х - р - 1). Многочлен
/(х) имеет степень, меньшую р — 1 (старшие члены сокращаются), и
р—\ корней 1, 2, ..., р—\ (малая теорема Ферма). Следовательно, f(x)
тождественно равен нулю. ?
Следствие, (р — 1)! = — 1 (mod p).
Доказательство. Положить х — 0 в предложении 4.1.1. ?
Этот результат известен как теорема Вильсона. Нетрудно доказать,
что если п > 4 — не простое число, то (п — 1)! = 0 (mod n) (см. упр. 10
в гл.З). Следовательно, сравнение (п — 1)! = —1 (mod n) характеризу-
характеризует простые числа. Теорема Вильсона будет использована позднее при
обсуждении вопроса о квадратичных вычетах.
Предложение 4.1.2. Если d\p — 1, то сравнение xd = 1 (mod p)
имеет точно d решений.
Доказательство. Пусть dd' — р — 1. Тогда
Поэтому
х — i — [х —
и
х — 1 — [х — 1)д\х).
Если бы xd — 1 имел менее чем d корней, то, согласно лемме 1, правая
часть написанного равенства имела бы менее чем р—1 корней. Однако
левая часть имеет р—1 корней 1, 2, .,., р—1. Таким образом, xd =
= 1 (mod p) имеет точно d корней, как и утверждалось. ?
Теорема 1. U(Z/pZ) — циклическая группа.
Доказательство, Для d\p — 1 обозначим ip(d) — число элементов
в U(Z/pZ) порядка d. Согласно предложению 4.1.2, элементы группы
U{rL/prL)) удовлетворяющие уравнению xd — 1, образуют группу поряд-
порядка d. Таким образом, ^ ф(т) = d.
т | d
Применяя теорему обращения Мёбиуса, получаем i/j(d) = ^ /и(т) — .
т | d
Правая часть этого равенства равна ^p{d)) как мы убедились при дока-
доказательстве предложения 2.2.5. В частности, ф(р — 1) = (р(р — 1), что
§ 1. Примитивные корни и структура группы J7(Z/nZ) 57
больше 1, если р > 2. Так как случай р = 2 тривиален, то мы во всех
случаях показали, что существует элемент1 порядка р — 1. ?
Теорема 1 исключительно важна. Первым ее доказал Гаусс. Мы вве-
введем ряд новых понятий, а затем наметим в общих чертах два других
доказательства.
Определение. Целое число а называется примитивным корнем по
модулю р, если а порождает группу U(Z/pZ). Эквивалентным образом,
а является примитивным корнем по модулю р, если р—1 — наименьшее
целое положительное число, для которого oP~l = I (mod p).
Например, 2 — примитивный корень по модулю 5, так как наимень-
наименьшие положительные вычеты чисел 2, 22, 23, 24 суть 2, 4, 3 и 1. Таким
образом, 4 = 5 — 1 — наименьшее положительное число п, для которого
2n = I(mod5).
Для р — 7 число 2 не является примитивным корнем, так как 23 =
= 1 (mod 7), а 3 будет таковым, так как 3, З2, З3, З4, З5 и З6 сравнимы с
3, 2, 6, 4, 5 и 1 по модулю 7.
Хотя теорема 1 и доказывает существование примитивных корней
для заданного простого числа, нет простого способа их нахождения.
Для небольших простых чисел метод проб и ошибок, по всей вероятно-
вероятности, ничем не хуже любого другого метода.
В знаменитой гипотезе Артина утверждается, что если а > 1 не
является квадратом, то имеется бесконечно много простых чисел, по
модулю которых а — примитивный корень. Хотя в этом направлении
и был в последние годы достигнут некоторый прогресс, сама гипотеза
все еще далека от разрешения (см. [35]).
Ввиду важности теоремы 1 мы приведем набросок двух других ее
доказательств. Дополнить детали предоставляется читателю.
Пусть р — 1 — q^q^2 ---СТ ~~ разложение числа р — 1 на простые
множители. Рассмотрим сравнения
A) х^ = l(modp);
B) xqi{ =l(modp).
Каждое решение сравнения A) будет решением сравнения B). Более
того, сравнение B) имеет больше решений, чем сравнение A). Пусть % —
некоторое решение сравнения B), которое не является решением срав-
сравнения A), и положим g = g\g2'"9m- Элемент gi порождает подгруппу
в U(Z/pZ) порядка q?*. Отсюда следует, что g порождает подгруппу в
и(Ъ/рЪ) порядка q^q^2 ••• q^1 = р—1. Таким образом, g — примитивный
корень и группа 11{Ъ/рЪ) циклическая.
1 На самом деле ср{р — 1) элементов.
58 Гл. 4. Структура группы J7(Z/nZ)
Наконец, по теоретико-групповым соображениям ip(d) ^ <p(d) для
d\p — 1. Оба числа ^ ^(d) и ^ <p(d) равны р — 1. Отсюда следует,
d\p-l d\p-l
что ф(д) — (p(d) при всех d \ р — 1. В частности, ^(р — 1) = (р(р — 1). Для
р > 2 неравенство (р(р — 1) > 1 означает, что ^(р — 1) > 1. Отсюда и
вытекает доказываемый результат.
Понятие примитивного корня можно обобщить.
Определение. Пусть a,n Е Z. Число а называется примитивным
корнем по модулю п, если класс вычетов а по модулю п порождает
C/(Z/nZ) х. Это эквивалентно требованию, чтобы а и п были взаимно
просты и чтобы (р(п) было наименьшим положительным целым числом,
для которого а^п) = 1 (mod n).
В общем случае не верно, что группа f/(Z/nZ) циклическая. Напри-
Например, элементами группы [/(Z/8Z) будут 1, 3, 5, 7 и I2 = 1, З2 = 1, 52 = 1,
72 = 1. Таким образом, в ней нет элементов порядка 4 = (р(8). Отсюда
следует, что не каждое целое число обладает примитивными корнями.
Мы определим вскоре, какие целые числа ими обладают,
Лемма 2. Если р — некоторое простое число и 1^к<р, то бино-
биномиальный коэффициент ( , ) делится на р.
Доказательство. Мы дадим два доказательства.
(a) По определению
р\ р\
— TTS гтг 1 так что Р]- — к\(р —
к) к\(р — к)\
Далее, р делит р!5 но р не делит к\ (р — к)\, так как последнее выражение
есть произведение целых чисел, меньших р, а потому и взаимно простых
с ним. Таким образом, р делит ( , J.
(b) Согласно малой теореме Ферма, ар~1 = 1 (mod p), если pj^a. От-
Отсюда следует, что ар = a (mod р) для всех а. В частности, A + а)р = 1 +
+ a (mod р) = 1 + ар (mod р) для всех а. Таким образом, A + х)р —
— 1 — хр = 0 (mod p) имеет р решений. Так как выписанный многочлен
имеет степень, меньшую чем р, из следствия леммы 1 получаем, что
(I + х)р — I — хр тождественно равен нулю в Ъ/рЪ[х\. Но
к=1
1 Если для данного п существует примитивный корень по модулю п, то мы будем
говорить, что п обладает примитивными корнями. — Прим. перев.
; 1. Примитивные корни и структура группы J7(Z/nZ) 59
Таким образом, ( , j = 0 для 1 ^ к ^ р — 1, откуда следует, что р\ ( , j.
Это доказательство привлекательно лишь тем, что не предполагается
( Р\
никакой информации о ( , ). П
Лемма 3. Если к ^ 1 и а = Ь (mod рк), то ар = If (mod pk+l).
Доказательство. Мы можем записать а — Ь + cpk) с с G Z. Поэтому
оР — lf + f К \ Ьр~1срк-\-А1 где А — целое число, делящееся на рк+2. Второй
член, очевидно, делится на рк+1. Следовательно, ар = If (mod pk+1). П
Следствие 1. Если к ^ 2 up ф 2, то A+ар)р = 1+арк~г (mod pk)
для всех а е Z.
Доказательство. Применим индукцию по к. При к — 2 утверждение
тривиально. Предположим, что оно верно для некоторого к ^ 2. Мы
покажем, что тогда оно верно для к + 1. Применяя лемму 3, получаем
A + ару"'1 = A + apk~lY (mod
По формуле бинома
где В есть сумма р — 2 членов. Используя лемму 2, нетрудно убедиться
в том, что все эти члены делятся на pl+2(k~l)) за исключением, быть
может, последнего члена аррр(^к~1\ Так как к ^ 2, то 1 + 2{к — 1) ^ к + 1,
а так как также р ^ 3, то р(к — 1) ^ к + 1. Таким образом, pfe+1 | Б и
A + ар)р = 1 + арк (mod pk+1), что и требовалось. П
Прежде чем сформулировать второе следствие, надо ввести одно
определение.
Определение. Пусть а, п е Z и (а, п) = 1. Мы говорим, что а имеет
порядок т по модулю п, если т есть наименьшее целое положительное
число, для которого ат = 1 (mod n). Это эквивалентно тому, что а имеет
порядок т в группе U(Z/nZ).
Следствие 2. Если р ф 2 и рХа? то Pk~l есть порядок числа 1 + ар
по модулю рк.
Доказательство. Согласно следствию 1,
A + ар)^1 = 1 + apk (mod /+1),
откуда получаем, что A + ар)р = 1 (mod pk) и, таким образом, 1 +
+ ар имеет порядок, делящий рк~1. С другой стороны, A + ар)р =
= 1 + apk~l (mod pk) показывает, что рк~2 не является порядком числа
1 + ар (именно здесь мы используем предположение рХ°)- Следствие
доказано. ?
60 Гл. 4. Структура группы U(Z/nZ)
Теперь мы в состоянии обобщить теорему 1. При этом оказывается,
что мы должны рассматривать простое число 2 отдельно от нечетных
простых чисел. В теории чисел необходимость рассматривать 2 отдель-
отдельно от других простых чисел возникает довольно часто.
Теорема 2. Еслир — нечетное простое число и к — неотрицатель-
неотрицательное целое число, то U(Z/pkZ) — циклическая группа, т.е. существуют
примитивные корни по модулю рк.
Доказательство. Согласно теореме 1, существуют примитивные кор-
корни по модулю р. Если g e Z — примитивный корень по модулю р) то
примитивным корнем по модулю р будет и g+р. Если др~1 = 1 (mod р2))
то
(д + ру-1 = д"-1 + (р - 1)др-2р = 1 + (р - 1)<Г2р (mod p2).
Так как р2 не делит (р — 1)др~2р) то мы с самого начала можем предпо-
предполагать, что д — такой примитивный корень по модулю р) для которого
Мы утверждаем, что уже такой элемент д будет примитивным кор-
корнем по модулю рк. Для доказательства этого достаточно показать, что
если дп = 1 (mod рк)) то (р(рк) = рк~1{р — 1) | п.
Далее, др~1 — 1 + ар) где р \ а. Согласно следствию 2 леммы 3,
pk-i есть порядок элемента 1 + ар по модулю рк. Так как A + ар)п =
= 1 (mod pk), то рк~1 | п.
Пусть п — рк~1п'. Тогда
д» = (д*-у = д"'(mod р)
и потому дп = 1 (mod р). Так как д — примитивный корень по модулю р)
то р — 1 | п1. Мы доказали, что рк~1(р — 1) | п, как и требовалось. ?
Теорема 2'. 2к обладает примитивным корнем при к — 1 или 2, но
не при к ^ 3. Если к ^ 3, то {(—1)а56; а = 0,1^0^6< 2к~2} состав-
составляет приведенную систему вычетов по модулю 2к. Отсюда следует,
что для к ^ 3 группа 11{Ъ/2кЪ) является прямым произведением двух
циклических групп, одной порядка 2, другой порядка 2к~2.
Доказательство. 1 — примитивный корень по модулю 2,3 — прими-
примитивный корень по модулю 4. Начиная с этого места, будем предполагать,
что к ^ 3.
Мы утверждаем, что
52" = l + 2/c-1(mod2/c). A)
Это верно при к — 3. Предположим, что сравнение A) верно при к ^ 3,
и докажем, что оно верно при к + 1. Заметим сначала, что A + 2к~1J =
; 1. Примитивные корни и структура группы J7(Z/nZ)
61
= 1 + 2к + 22к~2 и что 2к - 2 ^ к + 1 при к ^ 3. Применяя лемму 3 к
сравнению A), получаем
52" = 1 + 2* (mod г^1). B)
Наше утверждение доказано по индукции.
Из B) следует, что 52 =1 (mod 2к)) тогда как из A) получаем,
что 52 ф\ (mod 2k). Таким образом, 2*~2 — порядок числа 5 по мо-
модулю 2к.
Рассмотрим множество {(—1)а56; а = 0,1и0^6< 2к~2}. Мы утвер-
утверждаем, что эти 2к~1 чисел несравнимы по модулю 2к. Так как <рBк) =
= 2/с~1, это покажет, что наше множество на самом деле является при-
приведенной системой вычетов по модулю 2к.
Если (-1)а56 = (-1)а'56' (mod 2Л), к ^ 3, то (-1)а = (-1)а/ (mod 4),
откуда получаем, что а = a' (mod 2). Таким образом, а — а'. Далее, из
а — а1 следует, что Ъъ = Ъъ> (mod 2к) или Ъъ~ъ> = 1 (mod 2k). Поэтому
b = b' (mod 2/с~2), откуда получаем, что b — b1.
Наконец, заметим, что (—1)аЪъ в степени 2^~2 сравнимо с 1 по мо-
модулю 2к. Таким образом 2к не обладает примитивными корнями, ес-
если к ^ 3. ?
Рассмотрим ситуацию для модуля 8. Числа 1, 3, 5 и 7 представля-
представляют приведенную систему вычетов. Имеем 5° = 1,51 = 5,—5° = 7и
—51 = 3. Табл. 1 представляет ситуацию для модуля 16. Вторая стро-
строка состоит из наименьших положительных вычетов степеней числа 5,
а третья строка — из наименьших положительных вычетов взятых с
минусом степеней числа 5.
Таблица 1
+
—
5°
1
15
51
5
11
52
9
7
53
13
3
Теоремы 2 и 2! позволяют дать фактически полное описание группы
U(b/nL) для произвольного п.
Теорема 3. Пусть п — 2ар°11р^2 ...р^
простые мноэюители. Тогда
разложение числа п на
x
х
Uib/пЪ) « f/(Z/2aZ) х
Группа U(Z/p^Z) — циклическая группа порядка p(^i~1(pi — 1), а группа
U(Z/2aZ) — циклическая группа порядка 1 или 2 при а — 1 или 2 со-
соответственно. Если а ^ 3; то она будет прямым произведением двух
циклических групп, одной порядка 2, другой порядка 2а~2.
62 Гл. 4. Структура группы J7(Z/nZ)
Доказательство получается из теорем 2, 2! и следствия теоремы V
гл.З. ?
Мы закончим этот параграф ответом на вопрос: какие целые числа
обладают примитивными корнями?
Предложение 4.1.3. Число п обладает примитивными корнями
тогда и только тогда, когда оно имеет вид 2, 4; ра или 2ра, где р —
нечетное простое число.
Доказательство. По теореме 2! можно предположить, что п ф 2k)
к ^ 3. Если п не является числом одного из перечисленных в предло-
предложении видов, то, как нетрудно видеть, оно может быть записано в виде
произведения mirri2) где G711,7712) = 1 и mi)rri2 > 2. Тогда число (p(mi)
и (p(rri2) оба четные и C/(Z/mZ) ~ C/(Z/miZ) x [/(Z/tt^Z). Обе груп-
группы C/(Z/miZ) и [/(Z/7712Z) имеют элементы порядка 2. Это показывает,
что и{Ъ/тпЪ) не циклическая, так как циклическая группа содержит
не более одного элемента порядка 2.
Мы уже знаем, что 2, 4 и ра обладают примитивными корнями. Так
как
U(Z/2paZ) « [/(Z/2Z) х U(Z/paZ) « ?/(Z/paZ),
то и{Ъ/2раЪ) — циклическая группа, т.е. 2ра обладает примитивными
корнями. ?
§ 2. n-степенные вычеты
Определение. Если тп,п e Z+, a e Z и (a, m) = 1, то мы говорим,
что а есть п-степенной вычет по модулю тп, если разрешимо сравнение
хп = a (mod m).
Предложение 4.2.1. i?a/m tti e Z+ обладает примитивными кор-
корнями и (a,77i) = 1, 7710 а будет п-степенным вычетом по модулю т
тогда и только тогда, когда
a<p{m)/d = Х (mod т^ где d = ^ у^у
Доказательство. Пусть g — некоторый примитивный корень по
модулю tti и а = gb (mod tti) , х = gy (mod tti) . Тогда сравнение хп =
= a (mod tti) эквивалентно сравнению gny = gb (mod tti) , что в свою оче-
очередь эквивалентно сравнению пу = Ъ (mod (p(m)). Последнее сравнение
разрешимо в том и только том случае, когда d \ b. Более того, полезно
заметить, что если оно имеет хотя бы одно решение, то оно имеет их
точно d.
Если d | 6, то a^m^d = gb^m)ld = 1 (mod т). Обратно, если a^m^d =
= 1 (mod тп), то gb(f(m)/d = 1 (mod тп); значит, <р(т) делит b(^(m)/d, или
d\b. Это завершает доказательство. ?
> 2. n-степенные вычеты 63
Приведенное доказательство дает следующую дополнительную ин-
информацию. Если сравнение хп = a (mod m) разрешимо, то оно имеет
точно (n, <p(m)) решений.
Предположим теперь, что т = 2кра11р(%2 ...р^1. Тогда сравнение хп =
= a (mod m) разрешимо в том и только том случае, когда разрешима
система сравнений
хп = a (mod 2*), хп = a (mod р?1), ..., хп = a (mod раг1).
Так как степени нечетных простых чисел обладают примитивными кор-
корнями, мы можем к последним / сравнениям применить предложение
4.2.1. Все свелось к рассмотрению сравнения хп = a (mod 2к). Так как
2 и 4 обладают примитивными корнями, мы можем далее считать, что
Предложение 4.2.2. Предположим, что а нечетно, к ^ 3; и рас-
рассмотрим сравнение хп = a (mod 2к). Если п нечетно, решение всегда
существует и единственно.
Если п четно, то решение существует тогда и только тогда, когда
а = 1 (mod A), a2 /d = 1 (mod 2k), где d = (n, 2k~2). Если существует
хотя бы одно решение, то их существует точно 2d.
Доказательство предлагается провести самостоятельно. Начать сле-
следует с представлений а = (—1)^5* (mod 2k) и х = (—l)y5z (mod 2k). П
Предложения 4.2.1 и 4.2.2 дают фактически удовлетворительный от-
ответ на вопрос: когда некоторое целое число а будет n-степенным выче-
вычетом по модулю ml В некоторых случаях возможно продвинуться немно-
немного далее.
Предложение 4.2.3. Пусть р — нечетное простое число, рХа и
рХп. Тогда, если разрешимо сравнение хп = a(modp), то разрешимо
и сравнение хп = a (mod pk) при всех k ^ 1. Все эти сравнения имеют
одинаковое число решений.
Доказательство. Если п — 1, то утверждение тривиально, поэтому
предположим, что п ^ 2. Предположим, что сравнение хп = a (mod pk)
разрешимо. Пусть х0 — некоторое решение и х\ — xQ + bpk. Короткое вы-
вычисление показывает, что х™ = х^ + пЬркх^~1 (mod pk+1). Мы хотим най-
найти решения для х™ = a (mod pk+1). Это эквивалентно нахождению тако-
а _ хп
го целого числа 6, что пх^ Ъ = ^-°- (mod p). Заметим, что
целое число и что р^пх^1. Таким образом, это сравнение однозначно
разрешимо относительно b и при этом значении b имеем х™ = a (mod pk).
Если хп = a (mod р) не имеет решений, то и хп = a (mod pk) не
имеет решений. С другой стороны, если хп = a (mod p) имеет решение,
то его имеет и хп = a(modp/c), как мы только что видели. Согласно
64 Гл. 4. Структура группы U(Z/nZ)
замечанию, следующему за предложением 4.2.1, число решений срав-
сравнения хп = a (mod рк) равно (б, (р(рк)), если хотя бы одно решение это-
этого сравнения существует. Если pjfn, то нетрудно убедиться в том, что
F, (р(р)) = (Ь, (р(рк)) для всех к ^ 1. Это завершает доказательство. ?
Как обычно, результат для степеней числа 2 более сложный.
Предложение 4.2.4. Пусть 2к — высшая степень числа 2, деля-
делящая п. Предположим, что а нечетно и что хп = a (mod 22k+1) разре-
разрешимо. Тогда хп = a (mod 2m) разрешимо для всех т ^ 2к + 1 (а сле-
следовательно, для всех т ^ 1). Более того, все эти уравнения имеют
одинаковое число решений.
Доказательство предлагается провести в качестве упражнения. На-
Начать следует с предположения о том, что хп = a (mod 2m), т ^ 2к + 1,
имеет некоторое решение xq. Пусть х\ — х0 + Ь2т~1. При подходящем
выборе b будем иметь х™ = a (mod 2m+1). П
Заметим, что сравнение х2 = 5 (mod 22) разрешимо (например, х =
= 1), а х2 = 5 (mod 8) — нет. С другой стороны, из предложения 4.2.4
нетрудно получить, что если а = 1 (mod 8), то сравнение х2 = a (mod 2k)
разрешимо для всех /с, и наоборот.
Замечания
Лемма 1 и ее важное следствие, предложение 4.1.1, восходят к Ла-
гранжу A768 г.). Малая теорема Ферма была доказана впервые Эй-
Эйлером. Теорема Вильсона была сформулирована Варингом и доказана
Лагранжем.
Важный результат о существовании примитивных корней по моду-
модулю простого числа был анонсирован Эйлером и, как мы упоминали,
был доказан впервые Гауссом. Доказательства этого результата мож-
можно модифицировать для получения более общего утверждения о том,
что конечная подгруппа в мультипликативной группе некоторого поля
всегда является циклической, т.е. порождается одним элементом.
Относительно примитивных корней существует много интересных
гипотез. Знаменитая гипотеза Артина состоит в том, что если задано
некоторое целое число а, не являющееся квадратом и не равное —1,
то существует бесконечно много простых чисел, по модулю которых
а — примитивный корень. В случае а — 10 это утверждение восходит к
Гауссу и равносильно тому, что существует бесконечно много простых
чисел р, для которых период десятичного представления числа - имеет
длину р—1. (Введение в теорию десятичных представлений чисел см. в
Упражнения 65
гл.4 из [64].) Как блестящую обзорную статью, посвященную гипотезе
Артина и смежным вопросам, отметим [35].
Лемер обнаружил (см. [54]) следующий любопытный факт. Первое
простое число вида 326п2 + 3, по модулю которого 326 не является при-
примитивным корнем, должно быть больше 10 миллионов. Там же упоми-
упоминаются другие результаты такого же типа. Было бы интересно узнать,
с чем связано такое странное поведение чисел.
Можно поставить вопрос, какова величина наименьшего положи-
положительного примитивного корня по модулю р для некоторого фиксирован-
фиксированного простого числа р. Эта проблема привела к большому количеству
исследований. Вклад Хуа состоит в том, что число, о котором идет речь,
меньше чем 2т+1у/р, где т — число различных простых чисел, делящих
р — 1. Обсуждение этой проблемы и хорошую библиографию см. в [31].
Другие интересные результаты и проблемы можно найти в [76] и [12].
Много исследований имеется по вопросу существования наборов по-
последовательных целых чисел, каждое из которых является к-й степе-
степенью по модулю р. Рассмотрим простые числа вида km + 1. Основной
результат, принадлежащий Брауэру, состоит в том, что при заданном
положительном целом числе п для всех достаточно больших простых
чисел р такого вида существуют п последовательных чисел г, г + 1, ...,
г + п — 1, которые все будут fc-ми степенями по модулю р. Вопрос о нахо-
нахождении наименьшего такого г при заданных ржи является проблемой,
постоянно привлекающей внимание. Этот вопрос, а также обсуждение
других открытых вопросов см. в статье [59].
Для заданного простого числа р можно поставить вопрос о величине
наименьшего положительного числа, которое не является квадратом по
модулю р. Интересная гипотеза состоит в следующем: для фиксирован-
фиксированного п целое число, о котором идет речь, меньше, чем ^/р, для всех до-
достаточно больших р. Дополнительные данные см. в [31] и в гл. 3 из [18].
Наконец, упомянем, что аналог гипотезы Артина о примитивных
корнях в кольце к[х] был фактически доказан Билхарцем [8]. Билхарц
доказал свою теорему в предположении, что гипотеза Римана справед-
справедлива для так называемой конгруэнц-дзета-функции (см. гл. 11). Это на
самом деле и было доказано несколько лет спустя А. Вейлем. В послед-
последнее время Хули доказал, что первоначальная гипотеза Артина выполня-
выполняется в предположении, что в полях алгебраических чисел справедлива
расширенная гипотеза Римана [46]. Обсуждение классической гипоте-
гипотезы Римана и ее следствий см. в [18]. По-видимому, в настоящее время
никто не имеет хоть какой-нибудь идеи по поводу того, как доказы-
доказывать гипотезу Римана для полей алгебраических чисел, так что Хули
оказался в не столь удачном положении, как Билхарц.
66 Гл. 4. Структура группы U(Z/nZ)
Упражнения
1. Показать, что 2 — примитивный корень по модулю 29.
2. Вычислить все примитивные корни по модулю р=11, 13, 17и19.
3. Предположим, что а — примитивный корень по модулю рп, р —
нечетное простое число. Показать, что а — примитивный корень по
модулю р.
4. Рассмотрим некоторое простое число р вида 4т + 1. Показать, что
а — примитивный корень по модулю р тогда и только тогда, когда —а —
примитивный корень по модулю р.
5. Рассмотрим простое число р вида 4т+3. Показать, что а является
примитивным корнем по модулю р в том и только том случае, когда —а
р-1
имеет порядок ^-~—.
6. Показать, что если р = 2п + 1 — простое число Ферма, то 3 —
примитивный корень по модулю р.
7. Предположим, что р — простое число вида 8т + 3 и что q =
V — 1
= ^—о— тоже простое число. Показать, что 2 — примитивный корень
по модулю р.
8. Пусть р — некоторое нечетное простое число. Показать, что а
является примитивным корнем по модулю р тогда и только тогда, когда
a(p-i)/q ф i (mod р) для всех простых делителей q числа р — 1.
9. Показать, что произведение всех примитивных корней по модулю
р сравнимо с (—l)^) по модулю р.
10. Показать, что сумма всех примитивных корней по модулю р срав-
сравнима с fi(p — 1) по модулю р.
11. Доказать, что
—1 (mod p), если p — 1 | k.
12. Воспользоваться существованием примитивного корня для дру-
другого доказательства теоремы Вильсона о том, что (р— 1)! = —1 (mod p).
13. Пусть G — конечная циклическая группа и д е G — какая-то ее
образующая. Показать, что все другие ее образующие будут иметь вид
дк, где (к,п) = 1, причем п — порядок группы G.
14. Пусть А — конечная абелева группа и а и Ъ — элементы поряд-
порядков тип соответственно. Доказать, что если (т,п) — 1, то ab имеет
порядок тп.
15. Пусть К — поле и G С К — конечная подгруппа мультипли-
мультипликативной группы этого поля. С помощью аргументов, использованных
при доказательстве теоремы 1, показать, что G — циклическая группа.
16. Найти решения сравнений х3 = 1 (mod 19) и х4 = 1 (mod 17).
Упражнения 67
17. Воспользоваться тем, что 2 — примитивный корень по модулю 29
для нахождения семи решений сравнения х7 = 1 (mod 29).
18. Решить сравнение 1 + х + х2 + ... + х6 = О (mod 29).
19. Найти числа а, для которых сравнение х3 = a (mod р) разрешимо
прир = 7, 11 и 13.
20. Пусть р — некоторое простое число и d — делитель р — 1. По-
v — 1
казать, что d-e степени образуют подгруппу в U(Z/pZ) порядка ?-—i—.
Вычислить эту подгруппу для р = 11, d = 5; р = 17, d = 4; р = 19, d = 6.
21. Если g — некоторый примитивный корень по модулю р и d | р — 1,
то показать, что g^p~l^ld имеет порядок d. Показать также, что а будет
d-& степенью тогда и только тогда, когда а = gkd (mod p) при некотором
к. Проделать упр. 16-20, используя эти замечания.
22. Показать, что если а имеет порядок 3 по модулю р) то 1 + а имеет
порядок 6.
23. Показать, что х2 = — 1 (mod р) имеет решение тогда и только
тогда, когда р = 1 (mod 4), их4 = —1 (mod p) имеет решение тогда и
только тогда, когда р = 1 (mod 8).
24. Показать, что ахт + Ьуп = с (mod p) имеет то же число решений,
что и ах171' + Ьуп> = с (mod р)) где т! — (т,р — 1) и п' — (п,р — 1).
25. Доказать предложения 4.2.2 и 4.2.4.
Глава 5
КВАДРАТИЧНЫЙ ЗАКОН ВЗАИМНОСТИ
Вопрос о разрешимости сравнения х2 = a (mod p) для простого чис-
числа р достаточно прост. Оно разрешимо тогда и только тогда, когда
a0-i)/2 = i (mod p) 1. Дальнейший полный анализ при знании этого
факта — несложное дело. Однако при обращении поставленного во-
вопроса проблема значительно усложняется. Предположим, что а —
целое число. Для каких простых чисел р разрешимо сравнение х2 =
= a(modp)? Ответ дается квадратичным законом взаимности, ко-
который был сформулирован Эйлером и Лежандром, но лишь Гаусс впер-
впервые дал полное его доказательство. Этим результатом Гаусс был
в высшей степени горд. Он назвал его «Theorema Aureum» {золотая
теорема).
§ 1. Квадратичные вычеты
Определение. Пусть (а, т) — 1. Тогда а называется квадратичным
вычетом по модулю т) если разрешимо сравнение х2 = a (mod m). Ес-
Если же оно неразрешимо, то а называется квадратичным невычетом по
модулю т.
Например, 2 — квадратичный вычет по модулю 7, а 3 — нет. Действи-
Действительно, I2, 22, З2, 42, 52 и б2 сравнимы с 1, 4, 2, 2, 4 и 1 соответственно.
Таким образом, 1, 2 и 4 — квадратичные вычеты, а 3, 5 и 6 — нет.
Для любого фиксированного положительного числа т квадратич-
квадратичные вычеты можно определить, просто перечислив положительные це-
целые числа, меньшие и взаимно простые с т) возведя их в квадрат и
приведя затем по модулю т. Это и было только что нами проделано
для т — 7.
Менее утомительный способ решения вопроса о том, является ли
данное целое число квадратичным вычетом по модулю т, дается сле-
следующим предложением.
Предложение 5.1.1. Пусть т = 2kp\1p1l2 ...p{1 — разложение чис-
числа т на простые множители, и предположим, что (а,т) = 1. Тогда
х2 = a (mod т) разрешимо в том и только том случае, когда выпол-
выполняются следующие условия:
1 Здесь нужно предположить, что а ^ 0 (mod p) ир> 2. См. ниже предложение
5.1.1. — Прим. ред.
! 1. Квадратичные вычеты 69
(a) Если к = 2, то а = 1 (mod 4); если к ^ 3; то а = 1 (mod 8).
(b) Для каждого г имеем a^Pi~1^2 = 1 (mod pi).
Доказательство. Ввиду китайской теоремы об остатках сравнение
х2 = a (mod m) эквивалентно системе
х2 = a (mod 2*), x2 = a (mod pkl), ..., х2 = a (mod ркг1).
Рассмотрим сравнение х2 = a (mod 2k). Ясно, что 1 — единственный
квадратичный вычет по модулю 4 и 1 — единственный квадратичный
вычет по модулю 8. Таким образом, это сравнение разрешимо тогда и
только тогда, когда а = 1 (mod 4) при к = 2 и а = 1 (mod 8) при к = 3.
Прямое применение предложения 4.2.4 показывает, что х2 = a (mod 8)
разрешимо в том и только том случае, когда х2 = a (mod 2k) разрешимо
для всех к ^ 3.
Рассмотрим теперь сравнение х2 = a (mod pki). Так как B,^) = 1, то
из предложения 4.2.3 следует, что оно разрешимо тогда и только тогда,
когда х2 = a (mod pi) разрешимо. К последнему сравнению применяем
предложение 4.2.1 cn = 2, m = ft и d = (n, (p(m)) = B, pi — 1) = 2.
Получаем, что х2 = a (mod pi) разрешимо в том и только том случае,
когда а^-1)/2 = 1 (mod рг). ?
Этот результат сводит вопросы о квадратичных вычетах к соответ-
соответствующим вопросам для простых модулей. В дальнейшем р будет обо-
обозначать некоторое нечетное простое число.
Определение. Символ
если а — квадратичный вычет по модулю р)
если а — квадратичный невычет по модулю р)
если р | а.
Он называется символом Леэюандра.
Символ Лежандра — в высшей степени удобный инструмент при
рассуждениях о квадратичных вычетах. Мы перечислим некоторые из
его свойств.
Предложение 5.1.2.
(а) a(P-D/2 = (V) (modp).
(с) Если а = Ъ (mod p), то (j) = (J) .
Доказательство. Если р делит а или 6, то все три утверждения
тривиальны. Предположим, что рХа и рХ^-
Мы знаем, что ар = 1 (mod p); поэтому
+ 1)(а(^1)/2 - 1) = ар-г -1 = 0 (mod p).
70 Гл. 5. Квадратичный закон взаимности
Отсюда следует, что с№~1^2 = ±l(modp). Согласно предложению
5.1.1, а^)/2 = 1 (mod р) тогда и только тогда, когда а — квадратичный
вычет по модулю р. Это доказывает ч. (а).
Для доказательства ч. (Ь) применим ч. (а). Имеем
{ab)<P-W= (f) (modp),
(atyb'-W = a(p-D/26(P-i)/2 = ^ ^ (mod py
Таким образом, I —) = (-)( ) (modp), откуда следует, что ( —) =
Часть (с) очевидна из определения. П
Следствие 1. Вычетов и невычетов по модулю р имеется одина-
одинаковое количество.1
Доказательство. Сравнение с№~1^2 = 1 (mod р) имеет ^—^— реше-
гул I гул I гул I
ний. Поэтому имеется ^—^— вычетов и р — 1 — ^—^— = ^—^— невычетов.
?
Следствие 2. Произведение двух вычетов будет вычетом, произ-
произведение двух невычетов будет вычетом и произведение вычета и невы-
невычета будет невычетом.
Доказательство. Все это легко получается из ч. (Ь). ?
Следствие 3. (-I)Cp
Доказательство. Следует подставить а — — 1 в ч. (а). ?
Особенно интересно следствие 3. Каждое нечетное целое число име-
имеет, вид 4к + 1 или 4/с + З. Используя это, следствие 3 можно переформу-
переформулировать таким образом: х2 = — 1 (mod p) имеет решение тогда и только
тогда, когда р имеет вид 4/с + 1. Таким образом, —1 будет вычетом по
модулю простых чисел 5, 13, 17, 29, ... и невычетом по модулю простых
чисел 3, 7, 11, 19, .... Читателю рекомендуется проверить некоторые из
этих утверждений, проведя соответствующие вычисления.
Этот результат приводит к постановке более общего вопроса. Пусть
а — некоторое целое число. Для каких р оно будет квадратичным выче-
вычетом по модулю р! Ответ на этот вопрос дается квадратичным законом
взаимности, к формулировке и доказательству которого мы вскоре пе-
перейдем.
1 В оставшейся части этой главы «вычет» и «невычет» означают соответственно
квадратичный вычет и квадратичный невычет.
! 1. Квадратичные вычеты 71
Следствие 3 дает возможность доказать, что существует бесконечно
много простых чисел вида Ак + 1. Предположим, что Р\) р2) ...) рт —
какое-то конечное множество таких чисел, и рассмотрим Bpip2 ...pmJ +
+ 1. Предположим, что р делит это целое число. Тогда —1 будет квад-
квадратичным вычетом по модулю р и, следовательно, р будет иметь вид
Ак + 1. Но р не находится среди чисел pi так как Bр\р2 ...ртJ + 1 дает
остаток 1 при делении на р{. Мы доказали, что каждое конечное мно-
множество простых чисел вида Ак + 1 не содержит некоторого числа этого
вида. Таким образом, множество таких простых чисел бесконечно.
Возвращаясь к теории квадратичных вычетов, мы хотим ввести те-
теперь другую характеризацию символа ( —), которая была получена
Гауссом.
Рассмотрим множество S = < ~^)—? ~^?—? ••• ? ~1? 1? 2, ..., ^—^— \.
Оно называется множеством наименьших вычетов по модулю р. При
рХа пусть //, обозначает число тех наименьших вычетов чисел а, 2а,
V — 1
За, ..., ^—о—а, которые отрицательны. Например, пусть р — 7 и а = 4.
Тогда Р—ъ— = 3 и 1 • 4, 2 • 4 и 3 • 4 сравнимы с —3, 1 и —2 соответственно.
Таким образом, в этом случае /л = 2.
Лемма (лемма Гаусса). ( - ) = (—1)^.
Доказательство. Пусть ±mi — наименьший вычет для /а, где mi
V — 1
положительно. Когда / пробегает значения между 1 и ^—^—, \i будет
числом получившихся при этом знаков минус. Мы утверждаем, что
wty Ф тк Для / ф к и 1 ^ /, к ^ 2—*—. Действительно, если mi — m^, то
la = ±ka (mod р), и из рХа следует, что / ± к = 0 (mod p). Последнее
сравнение невозможно, так как / ф к и |/±/с| ^ I + к ^ р — 1. Отсюда
вытекает, что множ:ества < 1, 2, ..., —~— > и {mi, m2) ..., m(p_iy2} совпа-
совпадают. Перемножая сравнения 1 • а = ±7?ii (mod p), 2 • а = ±т2 (mod p),
..., —?у— а = ±7?i(p_i)/2 (mod p), получаем
(р-1)/2 = (_;
Значит, с№~1У2 = (—1)^ (mod p). Тогда, согласно предложению 5.1.2,
a0-i)/2 = / a j ^mo(j p^ откуда и следует доказываемый результат. ?
Лемма Гаусса — очень мощный инструмент. Наше первое доказа-
доказательство квадратичного закона взаимности мы проведем на ее основе.
Прежде чем приступить к этому, мы уже сейчас можем дать характери-
характеризацию тех простых чисел, по модулю которых 2 является квадратичным
вычетом.
72 Гл. 5. Квадратичный закон взаимности
Предложение 5.1.3. Число 2 будет квадратичным вычетом по
модулю простых чисел вида 8к + 1 и 8к + 7. Оно будет квадратич-
квадратичным невычетом по модулю простых чисел вида 8к + 3 и 8к + 5. Эта
информация суммируется формулой
Доказательство. Мы предоставляем читателю показать, что приве-
приведенная формула эквивалентна первым двум утверждениям.
Пусть р — некоторое нечетное простое число (как обычно), и заме-
V — 1
тим, что число \i равно числу, элементов множества 2-1,2-2, ..., 2-^—^—,
которые превосходят ^—^—. Пусть т определяется двумя условиями:
2га ^ ^ll и 2(т + 1) > ^-^. Тогда ц = ^1 - т.
Если р — 8к + 1, то Р—ъ— = 4к и га = 2/с. Таким образом, /л = 4/с —
-2к = 2к четно и B) = 1.
Если р = 8А; + 7, то ^1 = 4к + 3, m = 2к + 1 и /х = 4к + 3 - Bк +
+ 1) = 2к + 2 четно. Таким образом, ( - J = 1 и в этом случае.
Если р = 8А; + 3, то ^1 = 4А; + 1, m = 2А; и /х = 4А; + 1 - 2fc = 2A; + 1
нечетно. Таким образом, ( — I = — 1.
Наконец, если р — 8к + 5, то ^—^— = 4/с + 2, т = 2к + 1 и /а = 4к + 2 —
— Bк + 1) = 2/и +1 нечетно. Таким образом, f - J = — 1, и доказательство
завершено. ?
В качестве примера рассмотрим р = 7ир=17. Эти простые числа
сравнимы с 7 и 1 по модулю 8 соответственно и, действительно, З2 =
2 (mod 7) и б2 = 2 (mod 17). С другой стороны, р = 19 и р = 5 сравнимы
с 3 и 5 по модулю 8 соответственно и непосредственно проверяется, что
2 не будет квадратичным вычетом по модулю обоих этих чисел.
Предложение 5.1.3 можно использовать для доказательства того,
что существует бесконечно много простых чисел вида 8А; + 7. Пусть р\)
..., рт — некоторое конечное множество таких простых чисел, и рассмот-
рассмотрим DpiP2 •••РтJ — 2. Нечетные простые делители этого числа имеют
вид 8к + 1 или 8А; + 7, так как для таких простых делителей 2 будет
квадратичным вычетом. Не все нечетные простые делители этого числа
имеют вид 8к + 1 (доказать это). Пусть р — какой-либо делитель вида
8к + 7. Тогдар не содержится в множестве {pi,P2, ••• ,Рт} и утверждение
доказано.
j 2. Квадратичный закон взаимности 73
§ 2. Квадратичный закон взаимности
Теорема 1 (квадратичный закон взаимности). Пусть р uq — нечет-
нечетные простые числа. Тогда
(a) (f) = (-^
(Ь) B) = (-
Доказательство этой теоремы мы отложим до § 3. В гл. 6 мы докажем
ее еще раз с другой точки зрения, а также остановимся на ее истории.
Она принадлежит к самым глубоким и красивым результатам элемен-
элементарной теории чисел и находится в начале того ряда теорем о законах
взаимности, который достигает своей высшей точки в весьма общем за-
законе взаимности Артина, пожалуй, наиболее впечатляющей теореме во
всей теории чисел. Даже формулировка закона взаимности Артина уве-
увела бы нас далеко за рамки этой книги, однако в гл. 9 мы сформулируем
и докажем кубичный и биквадратичный законы взаимности.
Пункты (а) и (Ь) теоремы 1 были уже доказаны и некоторые из их
следствий обсуждены. Займемся п. (с).
Если хотя бы одно из чисел р и q имеет вид Ак + 1, то —^— ^-~— =
= 0 (mod 2). Если и р, и q имеют вид 4к + 3, то ^—^— ^-^— = 1 (mod 2).
Это позволяет переформулировать п. (с) следующим образом:
A) Если хотя бы одно из чисел р и q имеет вид 4к + 1, то р является
квадратичным вычетом по модулю q тогда и только тогда, когда q —
квадратичный вычет по модулю р.
B) Если оба числа р и q имеют вид Ак + 3, то р является квадратич-
квадратичным вычетом по модулю q тогда и только тогда, когда q — квадратич-
квадратичный невычет по модулю р.
В качестве первого применения квадратичного закона взаимности
мы покажем, как он, объединенный с предложением 5.1.2, может быть
использован при вычислении символа Лежандра. Для иллюстрации это-
этого метода будет достаточно одного примера.
y§[) =
Мы собираемся вычислить (-[§[)• Так как 101 = 1 (mod 4), то (
(Щ) (f§)
y§[)
= (Щ-) = (f§)- Последнее равенство следует из 101 = 22 (mod 79).
Далее, (%) = (^)(§). Но 79 = 7 (mod 8). Поэтому (^) = 1. Так как
оба числа 11 и 79 сравнимы с 3 по модулю 4, то (^) = — (|f) = ~ (п)"
Наконец, 11 = 3 (mod 8) означает, что (^) = —1. Поэтому (j§[) = 1,
т.е. 79 — квадратичный вычет по модулю 101. В самом деле, ЗЗ2 =
= 79 (mod 101).
74 Гл. 5. Квадратичный закон взаимности
Следующее приложение, пожалуй, более важное. Мы отметили ра-
ранее, что —1 есть квадратичный вычет по модулю простых чисел вида
4А; +1 и что 2 есть квадратичный вычет по модулю простых чисел вида
8А; + 1 или 8А; + 7. Если а — произвольное целое число, то для каких р
оно будет квадратичным вычетом по модулю р! Мы теперь в состоянии
дать ответ на этот вопрос. Для начала мы рассмотрим случай, когда
а — q) т.е. а — нечетное простое число.
Теорема 2. Пусть q — нечетное простое число.
(a) Если g = I (mod 4), то оно является квадратичным вычетом
по модулю р в том и только том случае, когда р = г (mod q), где г —
квадратичный вычет по модулю q.
(b) Если q = 3 (mod 4), то оно является квадратичным вычетом
по модулю р в том и только том случае, когда р = ±b2 (mod Aq), где
b — некоторое нечетное целое число, взаимно простое с q.
Доказательство. Если q = 1 (mod 4), то по теореме 1 справедливо
равенство ( — 1 = ( ) • Пункт (а), таким образом, установлен.
Если g = 3 (mod 4), то теорема 1 дает ( ^ j = (—l)^)/2 (-). Пред-
Предположим сначала, что р = ±b2 (mod 4g), где b нечетно. Если взять знак
плюс, то р = b2 (mod 4) = 1 (mod 4) и р = b2 (mod q). Таким образом,
(—l)^)/2 = 1 и ( - ) =1, что дает ( - ) =1. Если взять знак минус, то
р = —b2 (mod 4) = — 1 (mod 4) и р = —b2 (mod q). Первое сравнение по-
показывает, что (—l)^)/2 = —1. Второе показывает, что ( ) = \~^) —
= ( ^^ )( ) = ( ~^ ) — ~^-> так как Я. = 3 (mod 4). Опять мы получаем
Чтобы доказать обратное утверждение предположим, что (-J =1.
Следует рассмотреть две возможности:
A) (_1)(Р-1)/2 = -1 и (|) = -1; B) (_1)(Р-1)/2 = 1 и (|) = 1.
Во втором случае р = b2 (mod q) и р = 1 (mod 4). Число b можно
считать нечетным, ибо если это не так, то вместо него можно исполь-
использовать Ь' — b + q. Если b нечетно, то Ь2 = 1 (mod 4) и р = b2 (mod 4), а
потому р = b2 (mod 4g), как и требовалось.
В первом случае р = 3 (mod 4) ирЕ —b2 (mod q). Последнее срав-
сравнение вытекает из того, что при q = 3 (mod 4) любой невычет будет
некоторым вычетом, взятым со знаком минус (доказать это). Опять
можно считать, что b нечетно. В этом случае —Ь2 = 3 (mod 4), так что
р = —b2 (mod 4) и р = —b2 (mod 4g). Это завершает доказательство. ?
§ 2. Квадратичный закон взаимности 75
В качестве первой иллюстрации возьмем q = 3. Согласно п. (Ь) тео-
теоремы 2, мы должны найти вычеты по модулю 12 квадратов нечетных
чисел, взаимно простых с 3. Числа I2, 52, 72 и II2 все сравнимы с 1.
Таким образом, 3 будет квадратичным вычетом по модулю простых
чисел, сравнимых с ±1 (mod 12), и невычетом по модулю простых чисел,
сравнимых с ±5 (mod 12).
Следующим рассмотрим q = 5. Так как 5 = 1 (mod 4), то мы на-
находимся в более простой ч. (а) теоремы 2. Числа 1 и 4 — вычеты по
модулю 5, а 2 и 3 — невычеты. Таким образом, 5 будет вычетом по мо-
модулю простых чисел, сравнимых с 1 или 4 по модулю 5, и невычетом по
модулю простых чисел, сравнимых с 2 или 3 по модулю 5.
«Числа, сравнимые с b по модулю т» и «числа вида тк + b» — выра-
выражения для описания одного и того же множества {&, b ± m, b ± 2т, ... }.
Это множество есть арифметическая прогрессия с начальным членом
b и разностью т. Пока в наших исследованиях мы видели, что ответ
на вопрос о том, по модулю каких простых чисел р число а являет-
является квадратичным вычетом, сводился к тому, что такие простые числа
р содержатся в некотором конечном наборе фиксированных арифме-
арифметических прогрессий. Это самая общая ситуация. Вместо того чтобы
формулировать этот результат в виде теоремы (формулировка была бы
довольно сложной), мы приведем несколько числовых примеров.
Для а = — 3 имеем ( — j = ( — ) ( ) • Таким образом, —3 будет квад-
квадратичным вычетом по модулю р либо при ( — J = ( - J = 1, либо при
(f)=(i)=-1-
Согласно предыдущим результатам, первый случай получается, ес-
если р = 1 (mod 4) и р = ±1 (mod 12). Если р = — 1 (mod 12), то р =
= — 1 (mod 4). Простыми числами, удовлетворяющими обоим сравне-
сравнениям, будут лишь те, которые сравнимы с 1 по модулю 12. Во вто-
втором случае р = 3 (mod 4) и р = ±5 (mod 12). Если р = 5 (mod 12), то
р = 1 (mod 4). Таким образом, простыми числами, удовлетворяющими
обоим этим сравнениям, будут, лишь те, которые сравнимы с —5 по мо-
модулю 12. Объединяя оба случая, получаем, что —3 есть квадратичный
вычет по модулю р тогда и только тогда, когда р сравнимо с 1 или —5
по модулю 12.
Рассмотрим теперь а = 6. Так как ( - j = ( )( ) ? мы опять имеем
две возможности: (Jj = (Jj = 1 или (Jj = (Jj = -1.
Первый случай выполняется прир = 1,7 (mod 8) ир = 1,11 (mod 12).
Единственными парами совместных сравнений будут
76 Гл. 5. Квадратичный закон взаимности
p=l(mod8) и p = l(modl2);
p = 7(mod8) и р = 11 (mod 12).
С помощью стандартной техники (см. гл. 3) получаем, что простые
числа, удовлетворяющие этим сравнениям, сравнимы с 1 или 23 по мо-
модулю 24.
Во втором случае следует рассмотреть сравнения р = 3, 5 (mod 8) и
р = 5, 7 (mod 12). Разделяя их на четыре пары сравнений, видим, что
решениями будут лишь числа, сравнимые с 5 или 19 по модулю 24.
Подведем итог: 6 будет квадратичным вычетом по модулю р в том
и только том случае, когда р = 1, 5, 19, 23 (mod 24).
Для простых чисел 73, 5, 19 и 23 приведем числовые контрольные
примеры: 152 = 6 (mod 73), I2 = 6 (mod 5), 52 = 6 (mod 19) и II2 =
= 6 (mod 23).
В качестве последнего приложения квадратичного закона взаимно-
взаимности мы исследуем вопрос: если а есть квадратичный вычет по модулю
всех простых чисел, не делящих а, то что можно сказать об а? Если
а — квадрат, то оно будет квадратичным вычетом по модулю всех про-
простых чисел, не делящих а. Оказывается, что верно также и обращение
последнего утверждения. Сначала, однако, необходимо определить и
исследовать хотя бы кратко некоторый новый символ.
Определение. Пусть b — нечетное положительное целое число и
а — произвольное целое число. Пусть b = р\р2 •••рт-) где Рк суть (не обя-
обязательно различные) простые числа. Символ (тм, определенный фор-
формулой
(а
U
называется символом Якоби.
Свойства символа Якоби очень близки к свойствам символа Лежан-
дра, который он обобщает. Будет полезно, однако, сделать одно преду-
предупреждение. Символ ( т1) может быть равным 1 и тогда, когда а не явля-
является квадратичным вычетом по модулю Ь. Например, (^) = (§)(§) —
= (—1)(—1) = 1, но 2 не является квадратичным вычетом по модулю 15.
Верно, однако, что если ( т1) = —1, то а не будет квадратичным выче-
вычетом по модулю Ь.
Предложение 5.2.1.
(а) ( ^г) = ( 7Г )' если ai = a<2 (mod 6).
^ } V Ъ ) \Ъ )\Ъ )'
(с) (-^-) - (оЛ(оЛ
§ 2. Квадратичный закон взаимности 77
Доказательство. Пункты (а) и (Ь) непосредственно следуют из со-
соответствующих свойств символа Лежандра. Пункт (с) очевиден по опре-
определению. ?
Лемма. Пусть г и s — нечетные целые числа. Тогда
(a) *^± =
(b) Ц=±
Доказательство. Поскольку (г — l)(s — 1) = О (mod 4), то rs — 1 =
= (г — 1) + (s — 1) (mod 4). Часть (а) получается отсюда с помощью
деления на 2.
Обе разности г2 — 1 и s2 — 1 делятся на 4. Следовательно, (г2 — 1)-
•(s2 - 1) = 0 (mod 16) и rV - 1 = (г2 - 1) + (s2 - 1) (mod 16). Часть (b)
получается отсюда при помощи деления на 8. ?
Следствие. Пусть г\, г2; ..., гт — нечетные целые числа. Тогда
• • Гт 1 ( л
^г г ^
/с=1
2
Г
Доказательство. Доказательство проводится простой индукцией по
т с применением предыдущей леммы. ?
Предложение 5.2.2.
6-1
(а)
(Ь) (|) = (-D 8~
(с) Е'слг/ оба числа а и b нечетные и положительные, то
Доказательство. Если 6 = pip2 • • -Р
Pl-1 P2-1 Рт-
= (-1) 2 ("I) 2 -(-I) 2
Согласно лемме,
EPi - 1 pip2 ...Pm - 1 / , оч Ь - 1 , ,
г=1
Это доказывает п. (а).
78 Гл. 5. Квадратичный закон взаимности
Пункт (Ь) доказывается точно так же.
Далее, если а = q±q2 ... qn) то
(Ш)
m n
/ j / j 2 2
г=1 j=l
Опять применяя лемму, получаем
ее
2 2 2 2 2
г=1 j=l г=1
2).
Это доказывает п. (с). ?
Символ Якоби имеет много приложений. Укажем хотя бы на то, что
он является удобным средством для вычисления символа Лежандра.
Мы используем его сейчас для доказательства следующей теоремы.
Теорема 3. Пусть а — целое число, не являющееся квадратом.
Тогда существует бесконечно много простых чисел р, по модулю ко-
которых а — квадратичный невычет.
Доказательство. Как нетрудно убедиться, можно считать, что а
свободно от квадратов. Пусть а = 2egi§2 ... qn) где qi — различные нечет-
нечетные простые числа и е = 0 или 1. Случай а — 2 следует рассмотреть
отдельно. Поэтому вначале мы предположим, что п ^ 1, т.е. что а де-
делится на какое-то нечетное простое число.
Пусть {1x^2) -" )lk\ — некоторое конечное множество нечетных про-
простых чисел, не содержащее ни одного %• Пусть s — какой-нибудь невы-
невычет по модулю qn. Найдем некоторое решение системы сравнений
х = 1 (mod li)) г — 1, ..., k)
х = 1 (mod 8),
х = 1 (mod qi)) г — 1, ..., n — 1,
x = s (mod qn).
Обозначим это решение через Ь. Число b нечетно. Предположим,
что b = PiP2---Pm — его разложение на простые множители. Так как
6=1 (mod 8), то Ш = 18) и {^А = (^\ ввиду предложения 5.2.2.
Таким образом,
I)=(im) - (v
Л\) \Чп-\)\Чп) \Ях) \Чп-\)\Чп
С другой стороны, по определению f ^
3. Доказательство квадратичного закона взаимности 79
Отсюда следует, что ( — ) = — 1 для некоторого г.
\Pi )
Заметим, что lj не делят Ь. Таким образом, pi 0 {Zi, Z2, ... , /&}•
Подведем итог: если а — не квадрат и делится на некоторое нечетное
простое число, то мы нашли простое число р, не лежащее в данном
конечном множестве простых чисел {2, Zi, Z2, ..., /&}, Для которого ( — ) =
= — 1. Это доказывает теорему 3 для данного случая.
Остается рассмотреть случай а — 2. Пусть {/i,^? ••• ,h} — некото-
( 2\
рое конечное множество простых чисел, не содержащее 3, и I j- I =— 1.
\ц J
Положим Ь — 8/1/2 ••• h + 3. Число Ь не делится ни на 3, ни на какое-
либо из U. Так как Ъ = 3 (mod 8), то (f\ = (-l)^2-1)/8 = -1. Пусть
Ъ — р\Р2 •••Рт — разложение на простые множители. Тогда, как и преж-
де, ( —) = —1 для некоторого г. Число pi не лежит в {3,/i,/2, ...,/&}.
Это доказывает теорему 3 для а — 2. ?
§ 3. Доказательство
квадратичного закона взаимности
Гаусс нашел восемь разных доказательств квадратичного закона вза-
взаимности. Теперь их имеется более ста. Конечно, не все они различают-
различаются по существу. Многие отличаются друг от друга лишь небольшими
деталями. Мы приведем достаточно простое доказательство, принадле-
принадлежащее Эйзенштейну. Более элементарное стандартное доказательство
см. в [61].
Комплексное число ?, называется корнем степени п из единицы,
если (п = 1 для некоторого целого числа п > 0. Если п — наимень-
наименьшее целое число с этим свойством, то ? называется примитивным (или
первообразным) корнем степени п из единицы.
Корни степени п из единицы суть 1, e2^/n, e^/nJ,... eBW*)(*-i).
Среди них примитивными корнями степени п из единицы будут еBш1п)к ^
где (к,п) = 1.
Если ( — корень степени п из единицы и т = I (mod n), то (т =
= A. Если ( — примитивный корень степени п из единицы и (т = A,
то т = I (mod n). Доказать эти элементарные свойства нетрудно.
Рассмотрим функцию f(z) = е2шг — е~2шг — 2ism2Tiz. Она удовле-
удовлетворяет тождествам f(z + 1) = f(z) и f(—z) = —f(z). Кроме того, ее
единственными вещественными нулями являются все полуцелые числа.
80 Гл. 5. Квадратичный закон взаимности
Другими словами, если г — некоторое вещественное число и 2 г 0 Z, то
/(г) # 0.
Мы хотим доказать для f(z) важное тождество, но сначала нам по-
понадобится одна алгебраическая лемма.
Лемма. Если п > 0 нечетно, то
п-1
хп - уп = Y[((kx - Ску), где С = е2ш/п.
Доказательство. 1, ?, С2?---? Сп~1 ~ все корни многочлена zn — 1.
Так как их п и все они различны, то
п-1
fc=O
Положив z — — и умножив обе части равенства на уп, получим
п-1
/с=0
Так как п нечетно, то вместе с к полную систему вычетов по модулю п
будет пробегать и — 2к. Таким образом,
п—1 п~1 п—1 п—1
- С2ку) = С"-0 • Ц(Скх - Ску) = П(С*^ - Ску).
к=0 к=0 к=0
Для получения последнего равенства мы использовали тот факт, что
п—1 -.
^2 к = пп Г делится на п. П
fe=i
Предлоясение 5.3.1. Если п — положительное нечетное целое
число и f(z) = e2ntz — е~2пгг, то
f(nz)
П
Доказательство. В лемме произведем подстановку х — e2lTlz и у
е~2пгг. В результате получим
п-1
/с=0
Заметим, что /(^ + |) = /f^+n) = KZ + R^)' Если
пробегает значения от п Т доп— 1, то п — к — пробегает значения от
^Ч^— до 1. Таким образом,
j 3. Доказательство квадратичного закона взаимности 81
^ П
J V J k=l /c=(n+l)/2
(n-l)/2 n-1
= П/(*+?) П
fc=l /c=(n+l)/2
Предложение 5.З.2. Еслир — некоторое нечетное простое число,
а ? Z и рХа? то
п /(t) = (?) п
Доказательство. Как в лемме из §1, ка = im^ (mod р), где 1 ^
^^/с ^ ^>—• Таким образом, — и ±—- отличаются на целое число.
z p p
Это означает, что
p
Результат получается теперь, если взять произведение обеих частей
при к) меняющемся от 1 до ^—^—, и применить лемму Гаусса. ?
Мы в состоянии теперь доказать квадратичный закон взаимности.
Пусть р и q — нечетные простые числа. Тогда, согласно предложению
5.3.2,
П ? ?
к=1 к=1
Согласно предложению 5.3.1,
k
f(k/p) f\
Объединяя эти два равенства, получаем
k_V\
p q)'
= п
1=1 к
Тем же способом находим, что
(q-l)/2 (p-
(!)= П
Так как f[- — -)=—f[- — -), мы видим, что
\q р) \р q)
/с=1
82 Гл. 5. Квадратичный закон взаимности
а потому
2
Доказательство завершено. ?
Мы закончим эту главу эквивалентной формулировкой квадратич-
квадратичного закона взаимности.
Предложение 5.3.3. Пусть р и q — различные нечетные простые
числа и а ^ 1 — некоторое целое число. Тогда следующие утверэюдения
эквивалентны:
_ / i\~2 2~
(Ь) Если р = ±q (mod 4а), рХа? то ( ~ ) = ( ~) •
Доказательство. Чтобы показать, что из (а) следует (Ь), достаточ-
достаточно, в силу мультипликативности, показать, что (Ь) выполняется в слу-
случае, когда а — простое число. Для а — 2 результат следует из предло-
предложения 5.1.3. Если а — нечетное простое число, то по п. (а)
р
а
Если р = q (mod 4а), то f -) = ( -), так что
-1 a-l q-l g-1
2 2 иJ 2
Но р = q (mod 4а) означает, что р + § — 2 = 0 (mod 4), откуда и следует
доказываемый результат. Если, с другой стороны, р = —q (mod 4a), то
подобное рассуждение показывает, что
Так как р + § = 0 (mod 4), результат получается и в этом случае.
Чтобы показать, что из (Ь) следует (а), предположим сначала, что
р > q и р = q (mod 4). Тогда р — q + 4а, а ^ 1. Таким образом,
Замечания 83
Если р = 1 (mod 4), то ( - j = (-), что дает (а). Если р = 3 (mod 4),
то q = 3 (mod 4)и [-]=—[-], что совпадает в этом случае с (а).
Наконец, если р = —q (mod 4), то р + q = 4а и
Таким образом, ( - I = ( — I, что совпадает с утверждением п. (а), так
как в этом случае хотя бы одно из чисел р или q сравнимо с 1 по моду-
модулю 4. Доказательство завершено. ?
Заметим, что в силу п. (Ь) только что доказанного предложения,
если (г, 4а) = 1, то квадратичный характер1 для всех простых чисел в
арифметической прогрессии г + 4а?, t G Z, один и тот же. В гл. 16 мы
убедимся в том, что существует бесконечно много таких простых чисел.
Заметим также, что квадратичный характер для любого простого числа
вида r + 4at принимает то же значение, что и для любого простого числа
вида — r + 4at. Этот замечательный закон был впервые открыт Эйлером
именно в таком виде.
Замечания
Как заметил Кронекер, квадратичный закон взаимности непосред-
непосредственно следует из одной гипотезы Эйлера, которая содержится в статье
«Theoremata circa divisores numerorum in hac forma pa2+qb2 contentorum»
A744—1746). Явно он появляется в более поздней статье Эйлера, оза-
озаглавленной «Observationes circa divisionem quadratorum per numeros
primos». Воспользовавшись достаточными условиями разрешимости
уравнения ax2+by2+cz2 = 0 (см. предложение 17.3.2), Лежандр A785 г.)
смог доказать этот результат в частных случаях. Например, рассмотре-
рассмотрение уравнения х2+ру2 — qz2\ гдер = 1 (mod 4) и q = 3 (mod 4), приводит
к заключению о том, что если q — квадрат по модулю р, то р — квадрат
по модулю q. Первое полное доказательство квадратичного закона вза-
взаимности принадлежит Гауссу, который сообщает дату доказательства в
своем дневнике от 8 апреля 1796 года. При жизни Гаусс опубликовал
шесть доказательств этого замечательного закона2. Доказательство в
1 Квадратичным характером (числа а) здесь и далее называется символ Лежан-
дра ( — ) как функция числа а. Смысл этого названия проясняется в гл.8, § 1. —
Прим. ред.
2 Предложенные Гауссом доказательства квадратичного закона взаимности см.,
помимо [34], в [10*] и [12*]. Неожиданная интерпретация первого доказательства
Гаусса (которое ранее считалось не слишком интересным) была дана Дж. Тейтом
[17*, с. 107—117]. Еще два доказательства см. в гл. 7, § 3, и гл. 8, § 6. — Прим. ред.
84 Гл. 5. Квадратичный закон взаимности
этой главе взято из статьи Эйзенштейна «Applications de l'Algebre a
l'Arithmetique transcendante». Куммер в историческом очерке о законах
взаимности ссылается на это доказательство как на одно из самых кра-
красивых («... einen der schonsten Beweise dieses von den ausgezeichnetsten
Mathematikern viel bewiesenen Theorems...»).
Заменяя тригонометрическую функцию некоторыми эллиптически-
эллиптическими функциями, Эйзенштейн смог без особенных дополнительных труд-
трудностей доказать кубический и биквадратичный законы взаимности.
В XIX веке различные математики, включая Коши, Эйзенштейна,
Дирихле, Дедекинда и Кронекера, давали новые доказательства квад-
квадратичного закона взаимности. Согласно Бахману, к 1921 году существо-
существовало 56 известных доказательств. Новые доказательства продолжают
появляться даже в последнее время. См., например, статьи [128] и [75].
С другой стороны, первое доказательство Гаусса было недавно пере-
пересмотрено Брауном [99].
Символ Якоби — одно из обобщений символа Лежандра. Интересное
обобщение в другом направлении см. в статье [14].
Квадратичный закон взаимности можно сформулировать не толь-
только в кольце Z. Для кольца гауссовых целых чисел Щг\ такая теорема
была доказана Дирихле. Гильберт смог доказать, что квадратичный
закон взаимности выполняется в любом поле алгебраических чисел, и
это явилось важным шагом по направлению к теории полей классов. С
другой стороны, можно показать, что закон взаимности выполняется в
кольце к[х\) где к — конечное поле. См. [2] и [10]. Этот результат был
сформулирован (хотя и не доказан) уже Дедекиндом в 1857 году.
Обобщение теоремы 3 на более высокие степени было открыто впер-
впервые Тростом в 1934 году.1 Позднее его сформулировал в качестве гипо-
гипотезы Чоула, а затем доказали Анкени и Роджерс2. Они доказали, что
если хп = a (mod p) имеет решение для почти всех простых чисел, то
либо а = 6П, либо п | 8 и а — 2п^Ьп. Если п свободно от квадратов и
(а, п) — 1, то этот результат, как можно показать, следует из закона
взаимности Эйзенштейна; это было сделано в [211] (доказательство бу-
будет приведено в гл. 14). См. также [134], где этот результат обобщается
на поля алгебраических чисел и поля алгебраических функций от одной
переменной над конечным полем.
1 Trost E. Zur Theorie der Potenzreste. — Nieuw Arch. Wiskunde, 1934, v. 18, p. 15—
61.
2 Ankeny N.C., Rogers C.A. A conjecture of Chowla. — Ann. Math., 1951, v. 53, N 3,
p. 541—550.
Упражнения 85
Упражнения
1. С помощью леммы Гаусса найти (^), (тт)> ( т^) и ( ) •
2. Показать, что число решений сравнения х2 = a (mod р) равно 1 +
3. Предположим, что pj^a. Показать, что число решений сравнения
ах2 + Ьх + с = 0 (mod р) равно 1 + ( ~
р—1 / \
4. Доказать, что ^ ( -) =0.
fe=i ^'
/с=1
/ 7 _|_ 7 \
5. Доказать, что ^ ( а + j = 0, если р^а.
6. Показать, что число решений сравнения х2 — у2 = a (mod p) равно
7. Прямым вычислением показать, что число решений сравнения
х2 — у2 = a (mod р) равно р — 1 при рХа и 2р — 1 при р \ а. [Указание.
Воспользоваться заменой переменных и — х + у) v = х — у.]
8. Объединяя результаты упр. 6 и 7, показать, что
E/^2_^tt\ J —1 при р/(а)
V Р / 1 р — 1 при р I а.
9. Используя теорему Вильсона, показать, что 123252 ... (р — 2J =
10. Пусть Гх, Г2, ..., Г(р_х)/2 — квадратичные вычеты между 1 и р. По-
Показать, что их произведение сравнимо с 1 по модулю р при р = 3 (mod 4)
и с —1 при р = 1 (mod 4).
11. Предположим, что р = 3 (mod 4) и что q = 2р+1 — тоже простое
число. Доказать, что 2Р — 1 — не простое число. [Указание. Воспользо-
Воспользоваться квадратичным характером числа 2, чтобы показать, что q | 2Р — 1.]
Следует предположить, что р > 3.
12. Пусть /(х) е Z[x]. Мы говорим, что простое число р делит /(х),
если существует целое число п, для которого р | f(n). Описать простые
делители многочленов х2 + 1 и х2 — 2.
13. Показать, что любой простой делитель многочлена х4 — х2 + 1
сравним с 1 по модулю 12.
14. Используя тот факт, что группа U(Z/pZ) циклическая, полу-
получить прямое доказательство равенства ( ) = 1 при р = 1 (mod 3).
[Указание. В U(Z/pZ) существует элемент р порядка 3. Показать, что
Bр+1J = -3.]
86 Гл. 5. Квадратичный закон взаимности
15. При р = 1 (mod 5) показать непосредственно по методу упр. 14,
что f - 1 =1. [Указание. Пусть р — элемент группы U(Z/pZ) порядка 5.
Показать, что (р + р4J + (р + рА) — I = 0 и т.д.]
16. Используя квадратичный закон взаимности, найти простые чис-
числа, для которых 7 будет квадратичным вычетом. То же самое проделать
для 15.
17. Восстановить детали доказательства предложения 5.2.1 и след-
следствия идущей за ним леммы.
18. Пусть D — свободное от квадратов нечетное и положительное
целое число. Показать, что существует целое число 6, взаимно простое
с D, для которого [тл) — —1-
19. Пусть D такое же, как в упр. 18. Показать, что 5^ ("П) = 0> где
сумма берется по приведенной системе вычетов по модулю D (см. упр. 6
гл. 3). Получить отсюда, что ровно половина элементов в [/(Z/DZ) удо-
удовлетворяет условию (-$ч ) = 1.
20 (продолжение). Пусть аь а2, ..., а^{вI2 — целые числа между
1 и D, для которых (а^, D) — 1 и ( Щ) =1. Доказать, что D будет
квадратичным вычетом по модулю некоторого простого р, такого, что
pJ^D, р = 1 (mod 4), в том и только том случае, когда р = щ (mod D)
для некоторого г.
21. Применить метод упр. 19 и 20 для нахождения простых чисел,
для которых 21 будет квадратичным вычетом. [Ответ. Это числа р =
= 1, 4, 5, 16, 17 и 20 (mod 21).]
22. Воспользоваться символом Якоби для нахождения ( ii= J, ( йШ ),
( 514 Л тд /401А
V1093У V7577'
23. Предположим, что р = 1 (mod 4). Показать, что существуют та-
такие целые числа тип, что рп — 1 + т2. Вывести отсюда, что р — не
простой элемент в Ъ[г\. Напомним, что в Ъ[г\ имеет место однозначное
разложение на простые множители.
24. Показать, что если р = 1 (mod 4), то р будет суммой двух квад-
квадратов, т.е. р — а2 + б2, где а, 6 е Z. [Указание, р — а/?, где а, f3 — не
единицы в Щг\. Взять абсолютное значение от обеих частей и возвести
в квадрат.] Этот важный результат был открыт Ферма.
25. Целое число называется биквадратичным вычетом по модулю
р) если оно сравнимо с четвертой степенью. Воспользовавшись тожде-
тождеством х4+4 = ((x+lJ + l) ((x —lJ + l), показать, что —4 будет биквадра-
биквадратичным вычетом по модулю р тогда и только тогда, когда р = 1 (mod 4).
26. Это упражнение и упр. 27 и 28 содержат красивое доказательство
Упражнения 87
Дирихле того, что 2 будет биквадратичным вычетом по модулю р тогда
и только тогда, когда р может быть записано в виде А2 + Q4B2, где
Л,Б^2. Предположим, что р = 1 (mod 4). Тогда р = а2 + б2, согласно
упр. 24. Будем считать а нечетным. Доказать следующие утверждения:
(а) (*) = 1.
(b) (^) = (-1) 8 •
(c) (а + 6J = 2ab(modp).
(d) (а+ 6) 2 = Bа6) 4 (modp).
[Указание. 2р = (а + &J + (а — бJ.]
27. Предположим, что т таково, что Ъ = am (mod p). Показать, что
т2 = -1 (mod р) и что 2^'^^ = таЬ>2 (mod p).
28. Показать, что сравнение х4 = 2 (mod p) обладает решением тогда
и только тогда, когда р имеет вид А2 + Q4B2.
29. Пусть (RR) — число таких пар (п, п + 1) в множестве 1, 2, 3, ...,
р — 1, что п и п + 1 — оба квадратичные вычеты по модулю р. Пусть
(NR) — число таких пар (п, п + 1) в множестве 1, 2, 3, ..., р — 1, что п —
квадратичный невычет и п + 1 — квадратичный вычет. Подобно этому
определяются (RN) и (NN). Найти суммы (RR) + (RN), (NR) + (NN),
(RR) + (NR) и (RN) + (NN).
30. Показать, что (RR) + (NN) - (RN) - (NR) = ^ (п^п + 1^) . По-
казать, что эта сумма равна —1. [Указание. Полезен результат упр. 8.]
31. Воспользовавшись результатами упр. 29 и 30, показать, что
32. Для нечетного простого числа р показать, что
(I)
2)= П 2со8ШЛ
V Р )
Воспользоваться этим результатом для другого доказательства предло-
предложения 5.1.3.
33. Воспользоваться предложением 5.3.2 для получения квадратич-
квадратичного характера числа — 1.
34. Для нечетного простого числа р фЪ показать, что
/с=1
Гл. 5. Квадратичный закон взаимности
35. Используя предыдущее упражнение, показать, что 3 будет квад-
квадратом по модулю р тогда и только тогда, когда р сравнимо с 1 или —1
по модулю 12.
36. Показать, что ч. (с) предложения 5.2.2 имеет место в случае, ко-
когда а отрицательно и Ъ положительно (оба они все еще нечетны).
37. Показать, что если а отрицательно, то из р = q (mod 4а), pXa->
следует, что ( — 1 = ( — ).
38. Пусть р — некоторое нечетное число. Получить значение квад-
квадратичного характера числа 2 по модулю р, проверяя следующие шаги,
содержащие символы Якоби:
\р) ~ V Р ) ~ \Р -8J ~ \р -
Обобщить это рассуждение и показать, что
Глава 6
КВАДРАТИЧНЫЕ СУММЫ ГАУССА
Изящный метод, примененный при доказательстве квадратичного
закона взаимности в гл. 5, нелегко использовать в более общих ситу-
ситуациях. В этой главе мы дадим новое доказательство, основанное на
методе, который моэюет быть использован для доказательства выс-
высших законов взаимности. В частности, мы введем понятие гауссовых
сумм, которое будет играть важную роль в оставшейся части этой
книги.
В § 1 вводятся алгебраические числа и целые алгебраические числа.
Все доказательства носят технический характер. При первом чтении
читатель моэюет лишь бегло просмотреть этот параграф.
§ 1. Алгебраические числа
и целые алгебраические числа
Определение. Алгебраическим числом называется комплексное
число а, являющееся корнем некоторого многочлена а^хп + а\Хп~1 +
+ а2хп~2 + ... + аП1 где а0, аь а2, ..., ап Е Q и а0 ф 0.
Целым алгебраическим числом называется комплексное число ио)
являющееся корнем некоторого многочлена хп + Ь\Хп~1 + ... + ЬП) где
Ьъ h, -.., Ъп е Z.
Очевидно, что всякое целое алгебраическое число будет алгебраиче-
алгебраическим числом. Обратное утверждение, как мы увидим, неверно.
Предложение 6.1.1. Рациональное число г е Q будет целым ал-
алгебраическим числом тогда и только тогда, когда г е Z.
Доказательство. Если г е Z, то г будет корнем уравнения х — г — 0.
Таким образом, г — целое алгебраическое число.
Предположим, что г Е Q есть целое алгебраическое число, т.е. г удо-
удовлетворяет уравнению хп + Ъ\Хп~х + ... + 6П = 0 с &i,..., Ъп Е Z. Тогда
г = 4, где с, d E Z, и можно считать, что cud взаимно просты. Под-
Подставляя ^ в выписанное уравнение и умножая обе части полученного
равенства на dn, получаем
cn + b1cn~1d+ ... +Мп = 0.
Значит, d | сп, а так как (d, с) = 1, то d | с. Снова воспользовавшись
тем, что (d, с) = 1, получаем, что d = ±l, а потому г — ^^Ъ. ?
90 Гл. 6. Квадратичные суммы Гаусса
Отсюда следует, например, что | не является целым алгебраическим
числом.
Основные результаты этого параграфа состоят в том, что множе-
множество алгебраических чисел образует поле, а множество целых алгебра-
алгебраических чисел — кольцо. Нам понадобятся некоторые вспомогательные
результаты.
Определение. Подмножество V С С комплексных чисел называет-
называется Q-модулем, если
(a) из того, что 71? Ъ G У"? следует, что 71 ± Ъ G V\
(b) из того, что 7 ? ^ и г ? Q? следует, что г7 E "К;
(c) существуют такие элементы 71? 72? ••• ? 7т ? ^Л чт0 каждый эле-
мент 7 Е У представляется в виде ^ TVy/fe? где r& e Q.
/с=1
Короче говоря, подмножество У С С есть Q-модуль, если оно явля-
является конечномерным векторным пространством над Q.
т
Если 7ij 72? ••• ? 1т Е С, то множество всех выражений ^ г/^ь где
к=1
rk E Q, как нетрудно убедиться, образует Q-модуль. Мы обозначаем
этот Q-модуль через [71,72? - ?7т]-
Предложение 6.1.2. Пусть V = [7ъ72> ...,7ш]; и предположим,
что а е С обладает тем свойством, что aj ? V для всех j ? V.
Тогда а будет алгебраическим числом.
Доказательство. Имеем aji е У для г = 1, 2,..., т. Таким образом,
т т
aji = Yl aijlji гДе aij G Q- Отсюда следует, что 0 = Yl (aij ~ ^ija)lji где
i=i 3=1
5ij = 0 при г Ф j и 5jj = 1 при г = j.
Из линейной алгебры мы знаем, что det(a^- — 8^а) — 0. Выписывая
определитель, мы видим, что а является корнем многочлена степени
т с рациональными коэффициентами. Таким образом, а — алгебраи-
алгебраическое число. ?
Предложение 6.1.3. Множество алгебраических чисел образует
поле.
Доказательство. Предположим, что а\ и а2 — алгебраические чис-
числа. Мы покажем, что aia2 и а\ + а2 суть алгебраические числа.
Предположим, что arf + r1arf~1 + r2arf~2+ ... +гп = 0 и a%i + sia™~1 +
+ S2C^2>~2 + ••• + sm — 0, где Гг, 5j G Q. Пусть V будет Q-модулем, состо-
состоящим из всех Q-линейных комбинаций элементов а\оР2ч где 0 ^ г < п
и 0 ^ j < т. Для j ? V имеют место включения а^ е V и a27 G ^
(докажите это). Значит, кроме того, (^ + а2O ^ ^ и (^1^2O ^ ^- В
силу предложения 6.1.2 отсюда следует, что а\ + а2 и aia2 суть алге-
алгебраические числа.
§ 1. Алгебраические числа и целые алгебраические числа 91
Наконец, если а — алгебраическое число, отличное от нуля, то мы
должны показать, что а~1 — алгебраическое число. Предположим, что
аоап + aX0Ln~x + ... + ап = 0, где щ e Q. Тогда апа~п + an_ia~^n~l) +
+ ... + clq = 0, откуда и следует доказываемый результат. ?
Чтобы установить, что множество целых алгебраических чисел об-
образует кольцо, следует лишь слегка изменить приведенное выше дока-
доказательство.
Определение. Подмножество W С С называется Ъ-модулем^ если
(a) из того, что 7ъ 72 G W\ следует, что 71 ± Ъ G W^;
(b) существуют такие элементы 7ъ 72 > • •• ? 7т? что каждый элемент
m
7 G W имеет вид XI &/с7ь гДе h e Z.
/с=1
Предлож:ение 6.1.4. Пусть W — некоторый Ъ-модулъ, и предпо-
предположим, что элемент и е С таков, что ljj e VF (?лл всех 7 ? W\ Гог(?а
о; будет целым алгебраическим числом.
Доказательство. Доказательство проводится точно так же, как и
доказательство предложения 6.1.2, только теперь ац G Z. Равенство
det(a^- — J^-a;) = 0 показывает, что о; удовлетворяет приведенному урав-
уравнению степени т с целыми коэффициентами. Таким образом, и — целое
алгебраическое число. ?
Предложение 6.1.5. Мноэюество целых алгебраических чисел об-
образует кольцо.
Доказательство. Оно получается из предложения 6.1.4 точно таким
же способом, каким предложение 6.1.3 получается из предложения 6.1.2.
Восстановить детали мы предоставляем читателю.
Пусть О, обозначает кольцо целых алгебраических чисел. Если и\)
CJ2, 7 €= ^; то мы говорим, что и)\ = U2 (mod 7) (^1 сравнимо с U2 no
модулю 7M если и)\ — U2 — 7^5 гДе а ? ^- Это понятие сравнимости
удовлетворяет всем формальным свойствам сравнимости в Z.
Если a, i, с G Z, с / 0, то сравнение а = Ь (mod с) имеет теперь
два смысла, ибо оно обозначает сравнение как в Z, так и в Q. Однако
эта двусмысленность лишь кажущаяся. Если а — b = ca, где а е fi, то
а будет одновременно рациональным числом и целым алгебраическим
числом. Таким образом, в силу предложения 6.1.1 а — обычное целое
число.
Нам понадобится следующее предложение.
Предложение 6.1.6. Если и)\, и2^^ир^Ъ— простое число, то
+ U2Y = и)\ + ll>2 (mod p).
В силу леммы 2 из гл. 4 р
92 Гл. 6. Квадратичные суммы Гаусса
Доказательство. Имеем
v
( i w — V^
\jJ\ ~т~ ^2) — /
( 7 ) для 1 ^ к ^ р — 1. Наш результат полу-
получается отсюда и из того факта, что Q — кольцо. ?
Корень из единицы есть решение уравнения вида хп — 1 = 0. Та-
Таким образом, корни из единицы — целые алгебраические числа, а пото-
потому целыми алгебраическими числами будут и Z-линейные комбинации
корней из единицы.
В заключение этого параграфа мы приводим несколько важных
свойств алгебраических чисел. Если а — некоторое алгебраическое чис-
число, то очевидно, что любой ненулевой многочлен f(x) Е Q[x] наимень-
наименьшей степени, для которого f(a) = 0, должен быть неприводимым.
Предложение 6.1.7. Если а — алгебраическое число, то оно яв-
является корнем единственного приведенного неприводимого многочлена
f(x) Е Q[x]. Кроме того, если д{х) Е Q[x], д(а) — 0; то f(x) \ д(х).
Доказательство. Пусть f{x) — какой-нибудь приведенный неприво-
неприводимый многочлен, такой, что f(a) = 0. Докажем сначала второе утвер-
утверждение. Если /(x)/f/5f(x), то (/(ж), д(х)) = 1. В силу леммы 4 из § 2 гл. 2
можно записать f(x)h(x) + g{x)t{x) — 1, где /i(x), t(x) G Q[x]. Подста-
Подстановка х — а приводит к противоречию. Единственность следует отсюда
непосредственно. ?
Многочлен, определенный в предложении 6.1.7, зависит поэтому
лишь от а. Он называется минимальным многочленом числа а. Ес-
Если степень минимального многочлена числа а равна п, то а называется
алгебраическим числом степени п. Если f{x) — неприводимый много-
многочлен степени п, то, используя основную теорему алгебры и упр. 16, мы
получаем, что f(x) — минимальный многочлен для каждого из своих
п корней. Если a, f3 суть корни многочлена /(х), то а и f3 называются
сопряэюенными.
О ((У,)
Множество комплексных чисел Л (, где д(х), h(x) E QW, hi а) ф 0,
п[а)
образует поле, обозначаемое через Q(a). Обозначим через Q[a] коль-
кольцо многочленов от а с рациональными коэффициентами. Тогда имеет
место следующий важный результат.
Предложение 6.1.8. Если а Е Q, то Q(a) = Q[&].
Доказательство. Очевидно, что Q[a] С Q(a). Если h(a) E Q[a],
h(a) Ф 0, то, согласно предложению 6.1.7, f(x)/\/h(x)) где f(x) — ми-
минимальный многочлен числа а. Таким образом, (f(x),g(x)) = 1, так
§ 2. Квадратичный характер числа 2 93
что по лемме 4 (§2, гл. 1) s(x)f(x) + t(x)h(x) — 1 для элементов s(x),
t(x) G Q[x]. Положив х — а) получим t(a)h(a) = 1. Таким образом,
h(a)~l е Q[a]. Если /3 е Q(a), то /3 = ^а)/^) для д(х), h(x) e Q[x]
и потому /3 е Q[a]. ?
Следствие. ?"о/ш а — некоторое алгебраическое число степени п,
то Ща) : Q] = п.
Доказательство. Согласно предложению 6.1.8, достаточно показать,
что [Q[a] : Q] — п. Так как f{p) — 0, то нетрудно убедиться в том, что
1,..., ап~1 порождают Q[a]. Если, с другой стороны, а0 + а\а + ... +
+ an-\otn~x = 0, ak e Q, то #(а) = 0 для р(х) = а0 + aix + ... + ап-\хп~х.
Тогда, согласно предложению 6.1.7, f(x) \д{х). Но &egg(x) < deg/(x),
откуда получаем, что а0 = а\ — ... = an_i = 0. Поэтому 1, а,..., an-1
линейно независимы над Q. П
§ 2. Квадратичный характер числа 2 1
Пусть С, — е2угг/8. Тогда С, — примитивный корень степени 8 из еди-
единицы. Таким образом, 0 = С8 - 1 = (С4 - 1)(С4 + !)• Так как С4 ф 1,
то С4 = ~L Умножая это равенство на ?~2 и прибавляя ?~2 к обеим
частям, получаем B + (~2 = 0. Это равенство легко получить также,
если заметить, что B = е7™/2 = г.
Квадратичный характер числа 2 будет получен теперь из соотноше-
соотношения
(С + С1J = С2 + 2 + С2 = 2.
Положим т = (= + ?~1и заметим, что ? и г — целые алгебраические
числа. Следовательно, мы можем работать со сравнениями в кольце
целых алгебраических чисел.
Пусть р — некоторое нечетное простое число из Z. Заметим, что
p-1 p-1
) 2 =2 2 -
=(!) (modp).
Отсюда следует, что тр = (- 1 г (mod p). Согласно предложению 6.1.6,
r=(C + C-1)p = Cp + C-p(modp).
Вспоминая, что ?8 = 1, получаем ?р + ?~р = С + С Для Р =
= ±1 (mod 8) и (р + (~р = С3 + С~3 Для Р = =ЬЗ (mod 8). В последнем
случае результат может быть упрощен, если заметить, что из ?4 = — 1
следует, что ?3 = —С- Таким образом, (р + (~р = — (С + С) ПРИ
р = ±3 (mod 8). В итоге получаем
1 См. примечание к гл. 5, конец § 3. — Прим. ред.
94 Гл. 6. Квадратичные суммы Гаусса
¦ С-Р _ { > Р P = ±l (mod 8)>
1 —т, при р = ±3 (mod 8).
Подставляя этот результат в соотношение тр = ( - ) т (mod p), прихо-
приходим к сравнению
(-1)?т= (|)r(modp), где г = ?^ (mod 2).
Умножим обе части этого сравнения на г. В результате получим
(-l)e2=(|J(modp),
откуда следует, что
Последнее означает, что ( - 1 = (—1)?, а это мы и хотели установить.
В одной ранней статье Эйлер A707—1783) доказал, что 2 есть квад-
квадратичный вычет по модулю простых чисел р = 1 (mod 8). Его метод
содержит ключевую идею приведенного выше доказательства.
Эйлер высказал гипотезу о том, что 11{Ъ/рЪ) — циклическая группа.
Первым строгое доказательство этого факта дал Гаусс (см. теорему 1
гл.4). Пусть Л — некоторый образующий группы U(Z/pZ). Положим
7 = А^)/8. Тогда 7 имеет порядок 8, так что 74 = — 1 и 72 + 7~2 = 0-
Поэтому G + 7J = 72 + 2 + 7~2 = 2. Это показывает, что 2 — квадрат
в U(Z/pZ). Последнее же эквивалентно тому, что 2 — квадратичный
вычет по модулю р.
При р ф 1 (mod 8) это доказательство не может быть даже нача-
начато. Однако теория конечных полей позволяет при помощи идеи Эйлера
провести полное доказательство квадратичного закона взаимности. Те-
Теория конечных полей будет развита в гл. 7.
§ 3. Квадратичные суммы Гаусса
Установив соотношение (? + СJ = 2, можно спросить, существу-
существует ли подобное соотношение, если заменить 2 на некоторое нечетное
простое число. Ответ утвердительный, и, более того, из этого нового
соотношения при помощи метода, использованного в §2, следует пол-
полный квадратичный закон взаимности.
Всюду в этом параграфе ( будет обозначать е2ш/р) примитивный
корень степени р из единицы.
§ 3. Квадратичные суммы Гаусса 95
Лемма 1.
Es-ak _ \ Рч ПРИ п = 0 (m°d p),
\ О, при a^O(modp).
p-i
Доказательство. Если а = О (mod р), то ^а = 1, а потому ^ ?а/с = р.
Если а ф 0 (mod р), то Са ф 1 и 5] (ак = СГг/ = °-
/с=0 ^
Следствие.
г ^ п = т (mod p),
V^ %m), где5(п,т) (^
р ^ v у v j у | q при n^
Доказательство сразу же получается из леммы 1. ?
Лемма 2.
p-i
( — ) =0, где ( — 1 — символ Лежандра.
/с=0
Доказательство. По определению ( —) = 0. Из оставшихся р — 1
членов суммы половина равна +1, а другая половина равна — 1, ибо,
согласно следствию 1 предложения 5.1.2, квадратичных вычетов по мо-
модулю р имеется столько лее, сколько невычетов. ?
Мы теперь в состоянии ввести понятие суммы Гаусса.
Р-1 /7 \
Определение. да — ^ ( ) Сак называется квадратичной суммой
Гаусса.
Предложение 6.3.1. ga = (JJ дъ
Доказательство. Если а = 0 (mod р)) то (ак = 1 для всех к и да =
Р-1 /7 \
= ^ ( — I = 0 по лемме 2. Это дает нуж:ный результат в случае, когда
к=о ^Р'
а = 0 (mod p).
Предположим теперь, что а ф 0 (mod p). Тогда
p—i p—i
(ак\
к=0 т=0
Мы воспользовались тем фактом, что ак пробегает полную систему вы-
вычетов по модулю р) когда к ее пробегает, и что —) и С,т зависят
от класса вычетов т по модулю р.
Так как ( — 1 =1 при а ф 0 (mod p), наш результат получается умно-
умножением обеих частей равенства ( — ) да = д\ на ( — ). П
96 Гл. 6. Квадратичные суммы Гаусса
В дальнейшем мы будем обозначать д\ через д. Из предложения 6.3.1
следует, что д\ — д2^ если а ф 0 (mod р). Сейчас мы вычислим это общее
значение.
Предложение 6.3.2. д2 — (—1) 2 р.
Доказательство. Идея доказательства состоит в вычислении суммы
р-1
дад~а ДВУМЯ способами.
а=1
Если а ф 0 (mod р), то дад~а — ( -) ( —-) 92 — ( —) #2- Отсюда вы-
вытекает, что
а=1
Далее заметим, что
р-1 р-1
9а9-а = У^У^
п=1 т=1
Суммируя обе части по а и используя следствие леммы 1, получаем
р-1 р-1 р-1
V~^ V~^ V~^ п \ (т У
> QnQ-n — / У — 1 I —
а=1 п=1 т=1
Объединяя эти результаты, получаем ( ^—) {р — 1)д2 — {р — 1)р.
Поэтому д2 = ( =- ) р. П
?=1
Пусть р* = (—1) 2 р. Равенство д2 = ]/ и есть искомый аналог ра-
равенства г2 = 2. Пусть q ф р — некоторое другое нечетное простое чис-
число. Мы приступим к доказательству квадратичного закона взаимности
с помощью сравнений по модулю q в кольце целых алгебраических чи-
чисел:
(?) (mod?).
Таким образом,
Используя предложение 6.1.6, убеждаемся в том, что
(I) С")' - ? (|)"С«* - Л (mod <,).
Отсюда следует, что gq = gq (mod q) = I -) g (mod q), а значит,
j 4. Знак квадратичной суммы Гаусса 97
Умножим обе части этого равенства на д и используем тот факт, что
>* (mod q),
д2 =р*:
откуда получаем
и, наконец,
(?) = Ю ¦
Чтобы убедиться в том, что этот результат и есть то, что мы хотели
получить, заметим, что
Использованное нами понятие квадратичной гауссовой суммы мож-
можно существенно обобщить. Некоторые из этих обобщений мы изложим
после того, как разовьем теорию конечных полей. Кубические гауссо-
гауссовы суммы будут использованы для доказательства кубического закона
взаимности, а биквадратичные суммы — для доказательства биквадра-
тичного закона взаимности.
§4. Знак квадратичной суммы Гаусса1
Согласно предложению 6.3.2, квадратичная гауссова сумма имеет
значение ±у/р при р = 1 (mod 4) и ±iy/p при р = 3 (mod 4). Таким
образом, д(х) определена с точностью до знака. Определение знака яв-
является значительно более трудной проблемой. Гипотеза о том, что во
всех случаях имеет место знак плюс, была выдвинута Гауссом. Он занес
ее в дневник в мае 1801 года, но лишь спустя четыре года нашел ее до-
доказательство. 30 августа 1805 года Гаусс записывает в своем дневнике,
что доказательство «очень элегантной теоремы, упомянутой в 1801 го-
году, наконец-то получено». Он написал своему другу Олберсу 3 сентября
1805 года, что за эти четыре года редко выдавалась неделя, в течение
которой он не пытался бы доказать свою гипотезу. Наконец, согласно
Гауссу, «Wie der Blitz einschlagt, hat sich das Rathsel gelost ...» (решение
задачи возникло как вспышка молнии).
Затем доказательства были получены Дирихле, Коши, Кронекером,
Мертенсом, Шуром и другими. В этом параграфе мы излагаем одно из
доказательств Кронекера.
1 В этом параграфе гауссова сумма д будет обозначаться через #(х), где по опре-
определению х(к) = (Ю-
98
Гл. 6. Квадратичные суммы Гаусса
Как и в предыдущем параграфе, ( = е2ш1р. Тогда 1, ?, ..., (р~г суть
корни многочлена хр — 1.
Предложение 6.4.1. Многочлен 1 + х + ... + хр-1 неприводим в
Q[x].
Доказательство. Согласно упр. 4 в конце этой главы (лемма Гаус-
Гаусса), достаточно показать, что 1 + х + ... -\-хр~1 не имеет нетривиального
разложения в Ъ\х\. Предположим, что утверждение неверно и 1 + х +
+ ... + хр~1 — f(x)g(x), где /(х), g(x) e Ъ\х\ и каждый из многочленов
/(х), </(х) имеет степень больше 0. Полагая х — 1, получим р = /(l)g(l).
Поэтому можно считать, что д{1) = 1. Используя черту для обозначе-
обозначения приведения по модулю р) получаем, что д{1) ф 0. С другой стороны,
так какр , , к = 1, ... ,р— 1, то хр — 1 = (х — 1)р (mod p) и деление обе-
их частей нах —1 показывает, что 1+х+ ... +xp-1 = (x — l)p~l (mod p). В
силу теоремы 2 из гл. 1 и предложения 3.3.2 отсюда следует, что д(х) =
= {х — l)s (mod p) для некоторого положительного целого числа s. Од-
Однако это противоречит тому факту, что дA) ф 0. Доказательство завер-
завершено. П
Объединяя предложение 6.4.1 с предложением 6.1.7, получаем, что
если д(() = 0 для многочлена д{х) G Q[x], то 1 + х+ ... +хр-1 | д{х). Это
наблюдение будет полезно в дальнейшем.
Предложение 6.4.2. []
- ГB/с-1}J = (-
J = (-1)
р.
/с=1
х ~}
Р~1
Доказательство. Имеет место равенство х ~} — Yl (x ~ (n), гДе
х l n=i
произведение берется по любой полной системе представителей нену-
ненулевых классов вычетов по модулю р. Нетрудно убедиться, что целые
числа ±D/с — 2), к = 1, 2, ..., —~—, будут такой системой вычетов.
Таким образом,
= П (i-
П (i-
= П
/с=1
/с=1
k=l
х
к=1
Предлож:ение 6.4.3.
к=1
ТТ
если p = l(mod4),
если р = 3 (mod 4).
Доказательство. В силу предложения 6.4.2 мы должны вычислить
лишь знак произведения. Оно равно
4. Знак квадратичной суммы Гаусса 99
к=1
jr . D/с - 2)тг ^ п р + 2 ^ 7 . р - 1 п
Но sin л — < О, если ^г— < к ^ ^-~—. Отсюда следует, что про-
р-\ Г^ + 21 р-1
изведение имеет ^-~ ^г— отрицательных членов, что равно ^г—
или 2—т— в зависимости от того, справедливо сравнение р = 1 (mod 4)
или сравнение р = 3 (mod 4). Доказываемый результат следует отсюда
непосредственно. ?
Из предложений 6.3.2 и 6.4.2 вытекает, что
9(х)=е П (С2*-1-^2*-15), A)
к=1
где г = ±1. Если мы сможем показать, что е = +1, то вычисление гаус-
гауссовой суммы будет завершено, согласно предложению 6.4.3. Следующее
рассуждение Кронекера показывает, что именно так дело и обстоит. См.
также упр. 22.
Предложение 6.4.4. е — +1.
Доказательство. Рассмотрим многочлен
-^-^-1)). B)
Тогда /(С) = 0 по A) и /A) = 0 в силу леммы 2. Согласно замечанию,
предшествующему предложению 6.4.2, и тому факту, что 1+х+ ... -\-хр~1
и х — 1 взаимно просты, f{x) делится на хр — 1. Записав /(х) = (хр —
— l)h{x) и подставив ez вместо х) получим
Р-1 (р-1)/2
). C)
k=l
Коэффициент при z^p~1^2 в левой части равенства C), как нетрудно
убедиться, равен
С другой стороны, согласно упр. 21, коэффициент при z^p~1^2 в правой
части равенства C) равен ^-, где рХВ) причем А и В — целые чис-
числа. Приравнивая коэффициенты, умножая на В ( —~— )! и приводя по
100 Гл. 6. Квадратичные суммы Гаусса
модулю р, получаем, что
р-1 (р-1)/2
A)- 2) (mod P)
= eB.4.6...(p-l)) Yl Bk-1) (mod p) =
= e(p — 1)! (mod p) = —e (mod p),
если воспользоваться теоремой Вильсона (следствие предложения 4.1.1).
По предложению 5.1.2 j^)/2 = x(j) (mod p)) так что
р-1
2_] X2(j) = (р — 1) (mod р) = —е (mod p)
i=i
и потому
е = 1 (mod p).
Так как е — ±1, то мы, наконец, приходим к равенству е — +1. Это
завершает доказательство. ?
Полученный результат может быть сформулирован следующим об-
образом.
Теорема 1. Величина квадратичной суммы Гаусса д(х) выраэюает-
ся формулой
', если р = 1 (mod 4),
( \ _
i\/p, если р = 3 (mod 4).
Замечания
В своем знаменитом одиннадцатом дополнении к книге Дирихле [127]
A893 г.) Дедекинд ввел понятие алгебраического числа (§164), а так-
также понятие целого алгебраического числа (§173). Однако значительно
раньше некоторые целые алгебраические числа, как, например, гаус-
гауссовы суммы, использовались при доказательстве квадратичного зако-
закона взаимности Эйзенштейном, Якоби и другими. Среди различных до-
доказательств этой теоремы, полученных Гауссом, особенно важны чет-
четвертое A811 г.) и шестое A818 г.). Четвертое доказательство является
следствием замечательного вычисления Гауссом значения классической
гауссовой суммы. Хотя, как мы упоминали в § 4, он доказал этот резуль-
результат в 1805 году, опубликовано доказательство было лишь в 1811 году в
знаменитой статье [34]. В этой статье он установил более общий резуль-
результат, а именно: если п — любое целое положительное число, то
Упражнения 101
Е I(mod4),
f^ 1 iy/n, если n = 3 (mod 4).
Рассуждения в этой статье весьма изобретательные. Изложение это-
этого доказательства на английском языке имеется в [60], с. 174—180. Из
этого результата нетрудно получить квадратичный закон взаимности
(см., например, [125], с. 253—256). Шестое и последнее опубликован-
опубликованное Гауссом доказательство квадратичного закона взаимности появи-
появилось в печати в 1818 году под заглавием «Neue Beweise und Erweiter-
ungen des Fundamentalsatzes in der Lehre von den Quadratischen Resten»
(«Новые доказательства и обобщения основной теоремы учения о квад-
квадратичных вычетах») [34], с. 636—654. Во введении к этой статье он
упоминает о том, что в течение нескольких лет разыскивал такой ме-
метод, который обобщался бы на кубический и биквадратичный случаи,
и что, наконец, его непрерывные усилия увенчались успехом. Он утвер-
утверждает, что цель публикации этого шестого доказательства состоит в
том, чтобы привести ту часть высшей арифметики, которая касает-
касается квадратичных вычетов, в законченный вид и, в некотором смыс-
смысле, проститься с ней («...und so diesem Teile der hoheren Arithmetik
gewissermassen Lebewohl zu sagen»). В этом доказательстве Гаусс рас-
сматривает многочлен fn(x) — Y2 х(к)х и доказывает без ИСПОЛЬЗОВа-
ния корней из единицы, что 1+х+ ... +хр~г делит как fl(x) — (—l)^
так и fq(x) — [-)fi(x). Закон взаимности следует из замечания, что
fq(x) = fi(x) (mod q). Доказательство, приведенное нами в §3, сводит-
сводится к подстановке х = ?, (р = 1, в то, что получено, и к работе затем
со сравнениями в кольце целых алгебраических чисел. Это наблюдение
было сделано (по крайней мере) Коши, Эйзенштейном и Якоби (в таком
порядке) и представляет прочное основание для перехода к изучению
высших законов взаимности посредством гауссовых сумм. Начинающе-
Начинающему изучение следует познакомиться с несколькими классическими вве-
введениями в теорию алгебраических чисел. Кроме упомянутых выше, мы
сошлемся на [165] и [44]. Много изложений различной степени трудно-
трудности появилось в последнее время. Мы упомянем здесь [84], [180] и [63].
Упражнения
1. Показать, что у/2 + у/3 — целое алгебраическое число.
2. Пусть а — некоторое алгебраическое число. Показать, что суще-
существует такое целое число п, что па будет целым алгебраическим числом.
102 Гл. 6. Квадратичные суммы Гаусса
3. Доказать, что если а и f3 — целые алгебраические числа, то любое
решение уравнения х2+ах+Р = 0 будет целым алгебраическим числом.
Обобщить этот результат.
4. Многочлен fix) G Ъ[х\ называется примитивным, если наиболь-
наибольший общий делитель его коэффициентов равен 1. Доказать, что про-
произведение примитивных многочленов примитивно. [Указание. Пусть
fix) — а$хп + а\Хп~1 + ... + ап и д{х) — b$xm + bixm~l + ... + bm прими-
примитивны. Если р — некоторое простое число, то пусть а^ и bj — коэффици-
коэффициенты с наименьшими индексами, для которых pXai и vX^r Показать,
что коэффициент при хп+т~г~^ в f(x)g(x) не делится нар.] Это один из
многих результатов, известных как лемма Гаусса.
5. Пусть а — некоторое целое алгебраические число и f{x) e Q(x) —
приведенный многочлен наименьшей степени, для которого fipi) — 0.
Воспользовавшись упр. 4, показать, что fix) e Ъ\х\.
6. Пусть х2 + тх + п е Ъ\х\ неприводим и а — его корень. Показать,
что Q[a] = {г + sa | r, s e Q} будет кольцом (на самом деле это поле).
Пусть т2 — 4п = D^D, где D свободно от квадратов. Показать, что
7 (продолжение). Если D = 2, 3 (mod 4), то доказать, что все целые
алгебраические числа в Q[y/D] имеют вид а + Ъ\[Г), где а, 6 е Z. Ес-
Если D = 1 (mod 4), то показать, что все целые алгебраические числа в
Q[VD] имеют вид а + b ^~У , где a, b e Z. [Указание. Показать, что
г + sv^D удовлетворяет уравнению х2 — 2гх + (г2 — Ds2) = 0. Поэтому,
согласно упр. 5, г + s\AD является целым алгебраическим числом тогда
и только тогда, когда 2г и г2 — Ds2 принадлежат Z.]
8. Пусть и) — е2угг/3. Это число удовлетворяет уравнению х3 — 1 =
= 0. Показать, что Bcj + 1J = —3, и использовать это для определения
— 1 методом из § 2.
9. Явно проверить предложение 6.3.2 для р = 3ир = 5,т.е. выписать
гауссовы суммы и
10. Чему равно
11.
/с=0
12.
Вычисляя
возвести
р-1
а=0
ш
Показать, что
(а) («ь = (~ак-
(ь) \ Е ({п
г к=0
1+ (
их в квадрат.
р))Ск Двумя
п,т).
ДВУМЯ способами, доказать, что д =
Упражнения 103
13. Пусть / — некоторое отображение из Z в комплексные числа.
Предположим, что р — простое число и что f(n + p) = f(n) для всех
neZ. Пусть /(а) = ± ? f(k)(~ak. Доказать, что /(*) = ? f(a)(ak. Этот
результат аналогичен соответствующему результату в теории рядов Фу-
Фурье.
14. В упр. 13 взять в качестве / символ Лежандра и показать, что
15. Показать, что
Ыр. Неравенство выполняется для
сумм по любому интервалу. Это замечательное неравенство связано с
именами Д. Пойа и И.М. Виноградова (см. [22*], с. 789, [10*], гл. III, § 2. —
Ред.). [Указание. Воспользоваться соотношением ( — )g = g^ и просум-
просуммировать. Будет полезным также неравенство sinx ^ — х, справедливое
для любого острого угла.]
16. Пусть а — некоторое алгебраическое число с минимальным мно-
многочленом fix). Показать, что fix) не имеет в С кратных корней.
17. Показать, что минимальным многочленом для \/2 будет х3 — 2.
18. Показать, что существуют алгебраические числа произвольно
высокой степени.
19. Найти сопряженные для числа cos Щ-.
20. Пусть F — некоторое подполе в С, являющееся конечномерным
векторным пространством над Q размерности п. Показать, что каждый
элемент из F алгебраичен и степени не больше п. [Замечание. Труд-
Труднее доказать существование элемента степени точно п. (См. упр. 17 из
гл.12.)]
21. Пусть fix) — ^2 ппХ\ и 9(х) — Yl nX\ ~ степенные ряды с
OIL. /~v IL.
n=0
целыми ап и bn. Показать, что если р — такое простое число, что р
(X)
для к = 0, ... ,р — 1, то в произведении f(x)g(x) = ^ сп%п каждый ко-
п=0
эффициент Ск для /с = 0, ...,_р — 1 мож:ет быть записан в виде ^U-, pJ^B.
22. Показать, что соотношение е = 1 (mod p) в предложении 6.4.4
может быть также получено при подстановке вместо х не е*, а 1 +1.
23. Показать, что если fix) — хп + а\Хп~1 + ... + аП1 а^ е Z, и р —
такое простое число, что р \ а&, к = 1, ..., п, р2/\/аП1 то fix) неприводим
над Q (критерий неприводимости Эйзенштейна).
Глава 7
КОНЕЧНЫЕ ПОЛЯ
С примерами конечных полей мы уже встречались, а именно с по-
полями Ъ/рЪ, где р — некоторое простое число. В этой главе мы дока-
докажем, что существует значительно больше конечных полей, и иссле-
исследуем их свойства. Эта красивая теория, интересная и сама по себе,
является, кроме того, очень полезным инструментом в теоретико-
числовых исследованиях. В качестве иллюстрации последнего утвер-
утверждения мы приведем еще одно доказательство квадратичного закона
взаимности. Позднее будут указаны и другие приложения.
Еще одно замечание. До сих пор в большей части наших доказа-
доказательств было использовано очень мало результатов из абстрактной
алгебры. Хотя нигде в этой книге и не используются очень слож-
сложные результаты из алгебры, начиная с этого места, мы будем пред-
предполагать, что читатель имеет некоторое знакомство с материалом
стандартного студенческого курса по этому предмету.
§ 1. Основные свойства конечных полей
В этом параграфе мы обсуждаем свойства конечных полей, не зада-
задаваясь вопросом об их существовании. Построением конечных полей мы
займемся в § 2.
Пусть F — некоторое конечное поле из q элементов. Мультипли-
Мультипликативная группа F* поля F имеет q — 1 элементов. Поэтому каждый
элемент aGF* удовлетворяет уравнению xq~l — 1 (здесь 1 обозначает
мультипликативную единицу поля F, а не целое число 1), а каждый
элемент в F — уравнению xq — х.
Предложение 7.1.1. xq — х — П (ж ~ Q0-
Доказательство. Оба многочлена следует рассматривать как эле-
элементы из F[x].
Каждый элемент а Е F является корнем многочлена xq — x. Так как
F имеет q элементов и степень xq — x равна q) наш результат доказан.
?
Следствие 1. Пусть F С К, где К — некоторое поле. Элемент
а Е К принадлежит F в том и только том случае, когда aq = a.
Доказательство. Равенство aq = а имеет место тогда и только то-
тогда, когда а есть корень многочлена xq—x. Согласно предложению 7.1.1,
корни многочлена xq — х — это в точности элементы поля F.
§ 1. Основные свойства конечных полей 105
Следствие 2. Если многочлен fix) делит xq — х, то он имеет d
различных корней, где d — степень f{x).
Доказательство. Пусть f{x)g(x) — xq — х. Многочлен д{х) имеет
степень q — d. Если бы fix) имел менее чем d различных корней, то по
лемме 1 гл.4 многочлен f(x)g(x) имел бы менее, чем d + (q — d) — q
различных корней, что не так. ?
Теорема 1. Мультипликативная группа конечного поля циклична.
Доказательство. Эта теорема есть обобщение теоремы 1 из гл. 4.
Доказательства их почти совпадают.
Если d | q — 1, то xd — 1 делит xq~l — 1, и из следствия 2 получа-
получаем, что xd — 1 имеет d различных корней. Таким образом, подгруппа в
F*, состоящая из элементов, удовлетворяющих уравнению xd — 1, имеет
порядок d.
Пусть ^{q — 1) = (p(q — 1) > 1 обозначает число элементов в F*
порядка d. Тогда ^ф(к) = d. По формуле обращения Мёбиуса
k\d
(A0?
k\d
В частности, ip{q — 1) — (p(q — 1) > 1, если только перед нами не
тривиальный случай q — 2. ?
Тот факт, что группа F* циклическая, когда F конечно, позволяет
дать следующее частичное обобщение предложения 4.2.1.
Предложение 7.1.2. Пусть а е F*. Тогда уравнение хп — а имеет
решение в том и только том случае, когда a^q~l^d — 1, где d — (n,q —
— 1). Если решения имеются, то их будет точно d.
Доказательство. Пусть j — образующий элемент группы F*, поло-
положим а = 7а и х = jy. Тогда равенство хп — а эквивалентно сравнению
пу = a (mod q — 1). Доказываемый результат следует теперь из предло-
предложения 3.3.1. ?
Стоит посмотреть, что произойдет в крайних случаях п \ q — 1 и
(n,q-1) = 1.
Если п | q — 1, то имеется точно элементов в F*, которые явля-
являются n-ми степенями, и если а есть п-я степень, то уравнение хп — а
имеет п решений.
Если (n, q — 1) = 1, то каждый элемент представляется п-й степенью
единственным образом, т.е. для aGF* уравнение хп — а имеет одно и
только одно решение.
Мы исследовали структуру группы F*. Обратим теперь наше вни-
внимание на аддитивную группу поля F.
106 Гл. 7. Конечные поля
Лемма 1. Пусть F — конечное поле. Целочисленные кратные еди-
единичного элемента образуют подполе в F, изоморфное Ъ/рЪ для неко-
некоторого простого числа р.
Доказательство. Во избежание недоразумений временно обозначим
единицу группы F* через е вместо 1. Отобразим Z в F посредством
соответствия п —>• пе. Как нетрудно убедиться, это будет кольцевой
гомоморфизм. Его образом будет конечное подкольцо в F) так что, в
частности, оно будет областью целостности. Его ядро есть некоторый
ненулевой простой идеал. Следовательно, образ изоморфен Ъ/рЪ для
некоторого простого числа р. ?
Мы будем отождествлять Ъ/рЪ с его образом в F и представлять
F в виде конечномерного векторного пространства над Z/pZ. Пусть
п обозначает его размерность и cji, о;2, ...) ип — базис. Тогда каждый
элемент и е F может быть однозначно представлен в виде a\U)\ + а2о;2 +
+ ... +апиП) где ak G Z/pZ. Отсюда следует, что F имеет рп элементов.
Мы доказали
Предложение 7.1.3. Число элементов в конечном поле есть сте-
степень некоторого простого числа.
Если е — единичный элемент конечного поля F) то пусть р — наи-
наименьшее целое число со свойством ре — 0. Как мы убедились, р должно
быть простым числом. Оно называется характеристикой поля F. Для
а е F имеем ра = р(еа) = (ре)а = 0 • а = 0. Это наблюдение приводит
к следующему очень полезному предложению.
Предложение 7.1.4. Если F имеет характеристику р, то для
всех а, /3 G F и всех положительных целых чисел d справедливо равен-
равенство (a + P)pd =apd +Ppd.
Доказательство. Применяем индукцию по d. При d — 1
k=l
Все средние члены равны нулю, так как р ( , ) для 1 ^ k ^ р— 1в силу
леммы 2 гл. 4.
Для перехода от d к d+1 следует просто возвести обе части равенства
(а + P)pd = apd + Ppd в степень р. ?
Предположим, что F — поле размерности п над Ъ/рЪ. Мы хотим
выяснить, какие поля Е лежат между Ъ/рЪ и F. Если d — размерность
Е над Z/pZ, то из общей теории полей следует, что d\n. Другое доказа-
доказательство этого факта мы приводим ниже. Оказывается, что существует
одно и только одно промежуточное поле, соответствующее каждому де-
делителю d числа п.
§ 1. Основные свойства конечных полей 107
Лемма 2. Пусть F — некоторое поле. Тогда х1 — 1 делит хт — 1 в
F(x) в том и только том случае, когда I делит т.
Доказательство. Пусть т — ql + г, где 0 ^ г < /. Тогда
хт-1 rxql-l хг-1
г|
х|ш
х1 — 1 х1 — 1 х1 — 1
Так как х , ~ = (V)9 + (xl)q~2 + ... + хг + 1, правая часть напи-
аг — 1 v ' v у
санного выше равенства будет многочленом в том и только том случае,
г
тг —
т — 1
когда —{ ^ есть многочлен. Как нетрудно убедиться, это имеет место
X -L
тогда и только тогда, когда г = 0. Отсюда и следует наш результат. ?
Лемма 3. Если а — некоторое положительное целое число, то
а1 — 1 делит ат — 1 тогда и только тогда, когда I делит т.
Доказательство аналогично доказательству леммы 2, причем число
а играет роль х. Восстановить детали предоставляется читателю. ?
Предложение 7.1.5. Пусть F — поле размерности п над Ъ/рЪ.
Подполя поля F находятся во взаимно однозначном соответствии с
делителями п.
Доказательство. Предположим, что Е — некоторое подполе поля
F, и пусть d — его размерность над Ъ/рЪ. Мы покажем, что d\n.
Так как Е1* имеет pd — 1 элементов, удовлетворяющих уравнению
хр -1 _ i — о^ т0 мы получаем, что хр ~1 — 1 делит хрП~1 — 1. В силу
леммы 2 pd — 1 делит рп — 1, а следовательно, d делит п в силу леммы 3.
Предположим теперь, что d\n. Пусть Е — {а ^ F\ap —а}. Мы
утверждаем, что Е есть поле. Действительно, если а) E G Е) то
(a) (а + pyd = с/ + рр* =а + /?;
(b) (aP)pd = apdppd = ар;
(c) (a~lyd = (с/) = а'1 для а ^ 0.
В п. (а) мы воспользовались предложением 7.1 А.
Далее, Е есть множество решений уравнения хр — х = 0. Так как
d | п, то pd — 1 | рп — 1 и хр ~х — 1 | хрП-1 — 1, согласно леммам 2 и 3. Таким
образом, хр — х делит хрП — х, и в силу следствия 2 предложения 7.1.1
отсюда вытекает, что Е имеет pd элементов и, значит, имеет размерность
d над Z/pZ.
Наконец, если Е' — другое подполе в F размерности d над Z/pZ, то
элементы из Е17 должны удовлетворять уравнению хр — х — 0, т.е. Е'
должно совпадать с Е. ?
Пусть Fq обозначает конечное поле из q элементов. В качестве ил-
иллюстрации предложения 7.1.5 рассмотрим F4096 (B §2 будет доказано
существование такого поля). Так как 4096 = 212, мы имеем следующую
108 Гл. 7. Конечные поля
диаграмму вложений:
096
Z/2Z
§ 2. Существование конечных полей
В § 1 мы доказали, что число элементов в некотором конечном поле
имеет вид рп, где р — простое число. Сейчас мы покажем, что для
заданного числа рп существует конечное поле из рп элементов.
Для этого нам понадобятся некоторые результаты из теории по-
полей, которые связывают нашу проблему с существованием неприводи-
неприводимых многочленов. Затем мы докажем теорему, восходящую к Гауссу
(опять!), которая показывает, что Ъ/рЪ[х\ содержит неприводимые мно-
многочлены любой степени.
Пусть к — произвольное поле и f(x) — некоторый неприводимый
многочлен в к[х].
Предложение 7.2.1. Существует такое поле К, содержащее к,
и элемент а G К, что f(a) = 0.
Доказательство. В гл. 1 мы доказали, что к[х] — область главных
идеалов. Отсюда следует, что (/(#)) — максимальный идеал, а следова-
следовательно, k[x]/(f(x)) — поле. Пусть К' = k[x]/(f(x)) и (р — гомоморфизм,
отображающий к[х] на К1 посредством взятия класса вычетов по моду-
модулю (/(#)). Мы имеем диаграмму
(р(к) есть подполе в К1. Мы утверждаем, что (р(к) изоморфно к. До-
Достаточно показать, что (р на к взаимно однозначно. Пусть a G к. Если
(р(а) — 0, то a G (/(#)). Если а ф 0, то этот элемент есть единица и не
может принадлежать собственному идеалу. Таким образом, а = 0, что
и следовало показать.
Так как <р — изоморфизм на /с, мы можем отождествить к с <р(к).
После того как это сделано, мы обозначим К' через К. Пусть а — класс
вычетов элемента х в К. Тогда 0 = у?(/(х)) = /(<р(х)) = /(а), т-е- а ~
корень многочлена f(x) в К. ?
Мы обозначим поле К) построенное в предложении 7.2.1, через к (а).
§ 2. Существование конечных полей 109
Будет полезным следующее утверждение о к (а).
Предложение 7.2.2. Элементы 1, а, а2, ..., ап~1 образуют базис
векторного пространства к (а) над к, где п — степень многочлена fix).
Доказательство этого предложения аналогично доказательству пред-
предложения 6.1.8 и его следствия. Следует заменить Q на к и комплексное
число а этого предложения на а, введенное выше.
Если идти в обратном направлении, то это предложение показывает,
что если мы хотим найти расширение К поля к степени п, то достаточно
построить некоторый неприводимый многочлен fix) G к[х] степени п.
В Ъ/рЪ[х\ имеется конечное число многочленов заданной степени.
Пусть Fd(x) обозначает произведение всех приведенных неприводимых
многочленов в Z/pZ степени d.
Теорема 2. хрП - х = П Fd{x).
d | п
Доказательство. Заметим сначала, что если fix) делит хрП — х) то
Р{х) не делит хрП — х. Это следует из того, что если бы хрП — х —
— /2(ХЖХ)> т0 формальным дифференцированием мы получили бы
-l = 2f{x)f{x)g{x) + f2{x)g'{x).
Последнее равенство невозможно, ибо оно означает, что fix) делит 1.
Остается доказать, что если fix) — некоторый приведенный непри-
неприводимый многочлен степени d, то fix) \хрП — х тогда и только тогда,
когда d | п.
Рассмотрим поле К — Ъ/рЪ{а)) где а — корень многочлена /(х),
как в предложении 7.2.2. Оно имеет размерность d над Ъ/рЪ и, следо-
следовательно, pd элементов. Элементы поля К удовлетворяют уравнению
xpd - х = 0.
Предположим, что хрП — х — f{x)g{x). Тогда арП — а — 0. Если
h\ad~l + &2<^~2 + ••• + bd — произвольный элемент поля К, то
{ЬгаЛ-1 + ... + bd)pn = Ьг(ару-1 + ... + bd = б^ + ... + bd.
Следовательно, элементы поля К удовлетворяют уравнению хрП — х = 0.
Отсюда следует, что хр — х делит хрП — х и d \ п в силу лемм 2 и 3 § 1.
Предположим теперь, что d \ п. Так как ар = а и fix) — приведен-
приведенный неприводимый многочлен для а) то fix) \хр — х. Поскольку d \ п)
то хр — х | хрП — х по леммам 2 и 3 § 1. Следовательно, fix) \ хрП — х. ?
Пусть Nd — число приведенных неприводимых многочленов степени
d в Ъ/рЪ[х\. Приравнивание степеней обеих частей равенства в теореме 2
дает
Следствие 1. рп — \^
d\n
110 Гл. 7. Конечные поля
Следствие 2. Nn = }
d | п
Доказательство. Применить формулу обращения Мёбиуса (теоре-
(теорема 1 гл. 2) к равенству из следствия 1. ?
Следствие 3. Для каждого целого числа пI б Ъ/рЩх\ сущест-
существует неприводимый многочлен степени п.
Доказательство. Имеем Nn — —{рп — ... +p/i(n)) по следствию 2.
Член в скобках не может быть равен нулю, так как он есть сумма раз-
различных степеней р с коэффициентами 1 и —1. ?
Подводя итоги, получаем такой результат:
Теорема 3. Пусть п ^ 1 — целое число up — простое число. Тогда
существует конечное поле из рп элементов.
§ 3. Приложение к квадратичным вычетам
В гл. 6 квадратичный закон взаимности был доказан с использовани-
использованием сумм Гаусса и элементов теории алгебраических чисел. Мы приведем
теперь исключительно короткое доказательство того же характера, но
использующее теорию конечных полей.
Пусть ри q — различные нечетные простые числа. Так как [р) q) = 1,
то существует такое целое число п (например, р— 1), что qn = 1 (mod p).
Пусть F — конечное поле размерности п над Z/gZ. Тогда группа F*
циклическая порядка qn — 1. Пусть 7 — некоторый образующий груп-
группы F*, и положим Л = ^(уп~1Ур. Элемент Л имеет порядок р. Пусть
Та — Х^ (~~) ^ак 1 гДе а *= ^- Элемент та поля F является аналогом квад-
ратичной гауссовой суммы, введенной в гл. 6. Положим т\ — т. Тогда
доказательства предложений 6.3.1 и 6.3.2 могут быть использованы для
того, чтобы показать, что
B) т2 = (-1)№
В соотношении B) р обозначает класс элемента р в Z/</Z. Пусть р* =
= (—1)(р~1У2р. В таком случае соотношение 2 может быть записано в
виде г2 = р*. Это соотношение означает, что ( — 1=1 тогда и только
тогда, когда т е Z/qZ. В силу следствия 1 предложения 7.1.1 последнее
выполняется в том и только том случае, когда rq = т. Далее,
Н'
к=0 ' к=0
TQ = I > I - I Л'Ч = > I - I Л*'" = Та
У пражнения 111
Согласно соотношению 1, rq = ( — ) т. Таким образом, rq — т тогда и
fq\ л р
только тогда, когда ( - I =1.
Мы доказали, что
( — ) = 1, если и только если ( - ) = 1.
Это и есть квадратичный закон взаимности.
С использованием той же техники можно доказать, что ( — 1 =
= (—1)^ -1)/8. В гл. 6 мы привели доказательство Эйлера того фак-
факта, что [ - 1 =1, если g = 1 (mod 8). Если q ^ I (mod 8), то тем не менее
верно, что q2 = 1 (mod 8). В этом случае можно получить доказатель-
доказательство, работая в конечном поле F размерности 2 над Ъ/qL. Восстановить
детали мы предоставляем читателю.
Замечания
Первое систематическое изложение теории конечных полей было да-
дано Диксоном [25], хотя еще Галуа аксиоматически вывел некоторые из
их свойств в своей заметке «Sur la theorie des nombres» («Из теории чи-
чисел») [33]. Так как существование конечного поля из рп элементов эк-
эквивалентно существованию некоторого неприводимого многочлена сте-
степени п в кольце Z/pZ[x], мы должны опять сослаться на Гаусса как на
основателя. В статье «Die Lehre von den Reste» («Учение об остатках»)
им получена приведенная нами формула для числа неприводимых мно-
многочленов степени п (см. [34]).
На возможность использования конечных полей для доказательства
квадратичного закона взаимности обратили внимание многие матема-
математики, например, Хауснер [43] и Хольцер [45, с. 76—78].
Наше изложение теории конечных полей в этой книге гораздо эле-
элементарнее, чем обычное современное изложение. Чаще всего начинают
с полного развития теории Галуа для полей, а затем применяют общие
результаты этой теории к частному случаю конечных полей. Именно
так построена компактная книга Альберта [1]. Ее преимущество для
читателей, уже знакомых с теорией полей, состоит в том, что автор
подробно изучает конечные поля в последней главе и приводит весь-
весьма обширную библиографию по этому предмету. В ней указано много
очень интересных работ.
Упражнения
1. Используя метод доказательства теоремы 1, показать, что конеч-
конечная подгруппа мультипликативной группы любого поля циклическая.
112 Гл. 7. Конечные поля
2. Пусть КиС- вещественные и комплексные числа соответствен-
соответственно. Найти конечные подгруппы в К* и С и непосредственно показать,
что они циклические.
3. Пусть F — поле из q элементов; предположим, что q = 1 (mod n).
Показать, что для а Е F* уравнение хп — а либо не имеет решений,
либо имеет п решений.
4 (продолжение). Показать, что множество элементов а Е F*, для
которых уравнение хп — а разрешимо, является подгруппой, состоящей
из элементов.
п
5 (продолжение). Пусть К — поле, содержащее F, и [К : F] = п.
Показать, что для любого а Е F* уравнение хп — а имеет п решений в
К. [Указание. Показать, что qn — 1 делится на n{q—l)) и воспользоваться
тем, что aq~l = 1.]
6. Пусть К) F — конечные поля, причем F С К и [К : F] = 3.
Показать, что если а ? F — не квадрат в F, то он — не квадрат в К.
7. Обобщая упр. 6, показать, что если элемент а — не квадрат в F) то
он не будет квадратом ни в каком расширении поля F нечетной степени
и будет квадратом в каждом расширении четной степени.
8. Описать подгруппу квадратов в поле из 2п элементов.
9. Пусть К) F — конечные поля, причем F С К. Показать, что если1
|F| = q) a E F, q = 1 (mod п) и хп — а не разрешимо в F, то хп — а не
разрешимо в К) когда (п, [К : F]) = 1.
10. Пусть К) F — конечные поля, причем F С К и [К : F] = 2.
Показать, что если /3 Е К) то /?1+9 Е F и, более того, каждый элемент
в F имеет вид /31+q для некоторого E ^ К.
11. В ситуации упр. 10 предположим, что а Е F имеет порядок q — 1.
Показать, что существует элемент f3 Е К порядка д2 — 1, для которого
(З1^ = а.
12. Воспользовавшись предложением 7.2.1, показать, что для задан-
заданных поля к и многочлена f(x) Е к[х] существует такое поле К) к С К)
что степень [К : к] конечна и f{x) — (х — а\)(х — а2)... {х — ап) в К[х].
13. Применить упр. 12 к к = Ъ/рЪ и /(х) = хрП —х и получить другое
доказательство теоремы 2.
14. Пусть F — поле из § элементов и п — некоторое положительное
целое число. Показать, что в F[x] существуют неприводимые многочле-
многочлены степени п.
15. Пусть хп — 1 Е F[x], где F — конечное поле из q элементов. Пред-
Предположим, что (q,n) = 1. Показать, что хп — 1 разлагается на линейные
множители в некотором расширении поля F и что наименьшая степень
1 \F\ обозначает число элементов поля F. — Прим. ред.
У пражнения 113
такого расширения совпадает с наименьшим числом /, для которого
qf = 1 (mod n).
16. Найти приведенные неприводимые многочлены степени 4 в
Z/2Z[x].
17. Пусть q и р — различные нечетные простые числа. Показать, что
число приведенных неприводимых многочленов степени q в Z/pZ равно
q '
18. Пусть р — простое число, такое, что р = 3 (mod 4). Показать, что
классы вычетов по модулю р в Z[i] образуют поле из р2 элементов.
19. Пусть F — конечное поле из q элементов. Если fix) G F[x] имеет
степень п, положим |/| = qn. Проверить формальное тождество
где сумма берется по всем приведенным многочленам.
20. В обозначениях упр. 19 пусть d(f) — число приведенных делите-
делителей многочлена /исг(/) = 5^ |#|, гДе сУмма берется по приведенным
g\f
делителям /. Проверить следующие тождества:
ад _ 1
i/r
(ь)Е
|/|* A_д1-*)A_д2-в) '
21. Пусть F — поле из q = рп элементов. Для a G F положим fix) —
— {х — а)(х — ар)(х — ар ) ... {х — арП ). Показать, что fix) G Ъ/рЪ[х\.
В частности, а + ар + ... + арП и oioip ... арП принадлежат Ъ/рЪ.
22 (продолжение). Положим tr(a) = а + ар + ... + арП . Доказать,
что
(a) tr(a) + tr(/3) = tr(a + /?);
(b) ti(aa) = atr(a) для a G Z/pZ;
(c) существует такой элемент aGF, что tr(a) 7^ 0.
23 (продолжение). Рассмотрим многочлен хр — х — a G F[x], где
a G F. Показать, что этот многочлен либо неприводим, либо является
произведением линейных множителей. Доказать, что последнее имеет
место тогда и только тогда, когда tr(a) = 0.
24. Предположим, что f{x) G Ъ/рЩх\ обладает свойством f(x + y) =
= f{x) + f(y) G Ъ/рЪ[х]. Показать, что f{x) должен иметь вид
а2хр + ... + атхр .
Глава 8
СУММЫ ГАУССА И ЯКОБИ
В гл. 6 мы ввели понятие квадратичной гауссовой суммы. В этой
главе будет введено более общее понятие гауссовой суммы. Эти сум-
суммы имеют много приложений. Они будут использованы в гл. 9 как
инструмент для доказательства кубического и биквадратичного зако-
законов взаимности. Мы будем такэюе рассматривать проблему подсчета
числа решений уравнений с коэффициентами в некотором конечном
поле. В связи с этим вопросом естественно возникает понятие сум-
суммы Якоби. Суммы Якоби интересны и сами по себе, и мы рассмотрим
некоторые из их свойств.
Для простоты излоэюения мы ограничимся полем Ъ/рЪ — Fp и
лишь позднее обратимся к задаче определения гауссовых сумм над про-
произвольными конечными полями.
§ 1. Мультипликативные характеры
Мультипликативным характером на поле Fp (или поля Fp) называ-
называется отображение х из F* в множество отличных от нуля комплексных
чисел, удовлетворяющее условию
X{ob) = х(а)х(Ь) для всех а, Ъ е F*.
Символ ( - ] является примером такого характера, если его рассмат-
рассматривать как функцию класса вычетов элемента а по модулю р.
Другой пример — тривиальный мультипликативный характер, опре-
определенный соотношением е{а) — 1 для всех а е F*.
Часто бывает полезным расширить область определения мультипли-
мультипликативного характера до всего поля Fp. Если \ ф ?, то мы полагаем по
определению х@) = 0. Для е мы полагаем е@) = 1. Польза этих опре-
определений обнаружится позднее.
Предложение 8.1.1. Пусть х ~ некоторый мультипликативный
характер и а е F*. Тогда
(a) ХA) = 1;
(b) х{°) ~ корень степени р — 1 из единицы;
(c) Х(а~1) = Х(а) = W)-
[В п.(а) 1 в левой части есть единичный элемент поля Fp, в то вре-
время как 1 в правой части — это комплексное число 1. Черта в п. (с)
; 1. Мультипликативные характеры 115
означает комплексное сопряжение]
Доказательство. Имеем хA) = хA • 1) = хA) -хA). Таким образом,
хA) = 1, так как хA) ф 0.
Для доказательства п. (Ь) заметим, что если оР~1 = 1,то1 = хA) =
x()x()
Для доказательства п. (с) заметим, что 1 = хA) = х(а~1°) — х(а
~1)
'Х(^). Это показывает, что х(а г) — х{°) 1- Равенство х(а г) — х{°)
следует из того факта, что х(а) — комплексное число с абсолютным
значением 1 в силу (Ь). ?
Предложение 8.1.2. Пусть х ~ мультипликативный характер.
Тогда
О, если
Pi
keFp
Доказательство. Для случая х~е утверждение очевидно, а поэто-
поэтому можно считать, что х Ф ?• В этом случае существует такое a G F*
что х{°) Ф 1- Пусть Т — ^ х{к). Тогда
Х(а)Т = J] Х(а)х(к) = ^ хЮ = Г.
Последнее равенство получается из того, что когда к пробегает все эле-
элементы поля Fpi то ак также пробегает все элементы этого поля. Так как
Х(а) ф 1 и х(а)Т = Г, то Г = 0. ?
С помощью следующих определений на множестве мультипликатив-
мультипликативных характеров можно ввести структуру группы. В дальнейшем будем
опускать слово мультипликативный.
A) Если х и А — характеры, то х^ есть отображение, которое пере-
переводит а е F* в х(а)А(а).
B) Если х — характер, то х есть отображение, которое переводит
а е F; в х(а).
Мы предоставляем читателю проверку того, что хА и х — характе-
характеры и что эти определения превращают множество характеров в группу.
Единицей этой группы будет, конечно, характер е.
Предложение 8.1.3. Группа характеров является циклической
группой порядка р — 1. Если а е F* и а ф 1, то существует такой
характер х, что х{°) Ф 1-
Доказательство. Мы знаем, что группа F* циклическая (см. теоре-
теорему 1 гл. 4). Пусть g e F* — образующий элемент. Тогда каждый элемент
а е F* будет степенью д. Если а = дт и х — характер, то х{°) — х{9)т-
Это показывает, что х полностью определяется значением x(fiO- Так как
() есть корень степени р — 1 из единицы и так как их имеется точно
116 Гл.8. Суммы Гаусса и Якоби
р — 1, отсюда следует, что группа характеров имеет порядок не больше
р-1.
2т-к
Определим теперь функцию Л, равенством Х(дк) — е р г. Нетруд-
Нетрудно проверить, что Л определена корректно и является характером. Мы
утверждаем, что р — 1 — наименьшее целое число п со свойством \п — е.
о • п
Если \п = е, то Хп(д) = е(д) = 1. Но Хп(д) = \{д)п = е ^ р~г. Отсюда
следует, что р—1 делит п. Так как Ap-1(a) = A(a)p-1 = A(ap-1) = ЛA) =
= 1, то Ap-1 = s. Мы получили, что характеры е) А, А2, ..., Ар~2 все
различны. Так как по первой части доказательства имеется не более
р—1 характеров, мы получили, что существует точно р—1 характеров
и что эта группа циклическая с А в качестве образующего.
Если a G F* и а ф 1, то a = дт, где р— lj(m. Вычислим А(а). Имеем
2тгг^^-
А(а) = \{д)т — е р~1 ф 1. Это завершает доказательство. ?
Следствие. Если а ? F* и а ф 1, то ^х(а) — 0; где суммирование
проводится по всем характерам.
Доказательство. Пусть S — ^х(а)- Так как а ф 1, то существует,
х
согласно предложению 8.1.3, характер А, для которого А (а) ф 1. Тогда
X(a)S = Y^ Ma)x(a) = ? ХХ(а) = S.
X X
Последнее равенство выполняется потому, что когда х пробегает все
характеры поля Fp, то и \\ пробегает все эти характеры. Отсюда вы-
вытекает, что (Л(а) — 1M = 0 и, следовательно, 5 = 0. ?
Характеры полезны при изучении уравнений. Для иллюстрации это-
этого утверждения рассмотрим уравнение хп — а для а е F*. В силу пред-
предложения 4.2.1 мы знаем, что решения существуют тогда и только тогда,
когда a^p~l^d — 1, где d — (п,р — 1), и что если какое-то решение суще-
существует, то имеется точно d решений. Для простоты мы предположим,
что п делит р — 1. В этом случае d = (п,р — 1) = п.
Мы выведем теперь критерий разрешимости уравнения хп — а, ис-
используя характеры.
Предложение 8.1.4. Если а е F*, п \ р — 1 и хп — а не разрешимо,
то существует такой характер х, что
(a) Хп = е;
(b) Х(а) ф 1.
Доказательство. Пусть g и Л, такие же, как в предложении 8.1.3, и
положим х = \{р~1)/п. Тогда \{д) = Х{р~1)/п(д) = \(д){р~1)/п(д) = е2"/п.
Далее, а = дт при некотором т, а так как хп = а не разрешимо, то
п/т. Имеем х(а) = х(д)т = e2nim/n ф 1. Наконец, хп = Ар"х =е. П
12. Суммы Гаусса 117
Для а е Fp пусть N(xn — а) обозначает число решений уравнения
хп — а. Если п | р — 1, то справедливо следующее
Предложение 8.1.5. N(xn — а) — ^ х(а)> г^е сумма берется по
хп=?
всем характерам, порядок которых делит п.
Доказательство. Мы утверждаем, прежде всего, что существует
точно п характеров, порядок которых делит п. Так как значение x(fiO
такого характера должно быть корнем степени п из единицы, то су-
существует, самое большее, п таких характеров. В предложении 8.1.4 мы
нашли характер х> Для которого х(#) = е2ш1п. Отсюда следует, что ?,
X, X2\ •••) Хп~1 суть п различных характеров, порядок которых делит п.
Для доказательства нашей формулы заметим, что хп — 0 имеет одно
решение, а именно х = 0. Далее, ^ х@) = 1, так как s@) = l и х@) = 0
для хФ^- хП=?
Предположим теперь, что а ф 0 и что хп — а разрешимо, т.е. су-
существует такой элемент 6, что Ьп — а. Если хп — е) то х(а) = x(^n) =
= х(Ь)п = Хп(&) = ^(Ь) = 1. Таким образом, ^ х(а) — п) дь это и есть
7V(xn = а) в данном случае. %п=?
Наконец, предположим, что а/Ои что хп — а неразрешимо. Мы
должны показать, что ^ х(а) = 0. Обозначим эту сумму через Т. В
хп=?
силу предложения 8.1.4 существует такой характер р) что р(а) / 1 и
рп = е. Простое вычисление показывает, что р(а)Т = Т (используется
очевидный факт, что характеры порядка, делящего п, образуют груп-
группу). Таким образом, (р(а) -1)Г = 0иГ = 0, что и требовалось. ?
Гассмотрим частный случай, когда р нечетно и п — 2. Тогда пред-
предложение 8.1.5 утверждает, что N(x2 — а) — 1 + ( —), где ( —) — символ
Леж:андра. Это равенство нетрудно проверить и непосредственно.
Мы возвратимся к уравнениям над полем Fp в § 3.
§ 2. Суммы Гаусса
Квадратичные суммы Гаусса были введены в гл. 6. Следующее опре-
определение обобщает это понятие.
Определение. Пусть х ~~ некоторый характер поля Fp и а е Fp.
Положим
/с=0
где ( = е2ш/р. Тогда #а(х) называется суммой Гаусса поля Fp, соответ-
соответствующей характеру х-
118
Гл.8. Суммы Гаусса и Якоби
Предложение 8.2.1.
О,
О,
если а/Оих/е,
если а^ 0 и х = ?,
если а = 0 и хФ е^
если а = 0 и х = ?•
Доказательство. Предположим, что а
. Тогда
Это доказывает первое утверждение.
Если а ф О, то
/с=0
/с=0
Мы здесь воспользовались леммой 1 из гл. 6.
Для завершения доказательства заметим, что
fc=0 k=0
Если х — ?) то результат равен р\ если \ ф ?, то результат равен нулю,
согласно предлож:ению 8.1.2. ?
В дальнейшем мы будем обозначать д\{х) через д(х)- ^-ы хотим
определить абсолютное значение для д(х)- Это очень просто сделать,
следуя доказательству предложения 6.3.2.
Предлож:ение 8.2.2. Если хФ eJ то \дЫ)\ ~ л/Р-
Доказательство. Идея состоит в вычислении суммы ^2да(х)9а(х)
двумя способами. а
Если а ф 0, то, согласно предложению 8.2.1, да{х) — x(a~1)fif(x) и
9а(х) = Х(а~1)д(х) = Х(о)д(х)- Таким образом,
9а{х)9а{х) =
д(х)
Так как до(х) — 0> то наша сумма имеет значение (р —
С другой стороны,
р р
9а(хЫх) = Е Е xHxHC(n"m).
n=0 m=0
Беря сумму обеих частей по а и используя следствие леммы 1 из гл. 6,
\3. Суммы Якоби 119
получаем
р—1 р—1 р—1
Х^(хЫх) = X! Е Х(ПМШЖП'm)p = (p-
а=0 n=0 m=0
Таким образом, (р— 1) \д(х) |2 = р(р~ 1)? откуда и следует доказываемый
результат. П
Связь полученного результата с предложением 6.3.2 становится бо-
более ясной после следующего рассмотрения.
Как связаны между собой д(х) и й'(х)?1 Имеем
Ш) = ?х(*)С* = x(-i) E xF*
/с=0 /с=0
Мы воспользовались тем, что х(—1) = х(—1); это очевидно, ибо х(—1) =
= ±1. Следовательно, равенство |#(х)|2 = Р мож:ет быть записано в виде
д(х)д(х) — х(~1)Р- Если х — символ Лежандра, то это соотношение есть
в точности результат из предложения 6.3.2.
§ 3. Суммы Якоби
Рассмотрим уравнение х2 + у2 — 1 над полем Fp. Так как это поле
конечно, наше уравнение имеет лишь конечное число решений. Пусть
N(x2 + у2 — 1) — это число. Мы хотим определить его явно.
Заметим, что
N(x2 + y2 = l)=
a+b=l
Так как N(x2 — а) — 1 + ( — ), то подставляя это значение, получаем, что
а-\-Ь=1
Первые две суммы равны нулю, так что все сводится к вычислению по-
последней суммы. Как мы вскоре убедимся, она равна — (—l)^)/2. Сле-
Следовательно, N(x2 + у2 = 1) равно р — 1, если р = 1 (mod 4) ир+1 при
р = 3 (mod 4). Читателю предлагается непосредственно проверить этот
результат для нескольких первых простых чисел.
1 x — характер, ставящий в соответствие а значение х(а)? т-е- он совпадает с
характером х-
120 Гл. 8. Суммы Гаусса и Якоби
Продвигаясь далее, попытаемся вычислить N(x3 + у3 = 1). Как и
прежде,
N(x3 + у3 = 1) = Y^ N(x* = a)N(v3 = b)-
Если p = 2 (mod 3), то N(x3 — a) — 1 для всех a, так как C,p — 1) = 1.
Отсюда следует, что в этом случае N(x3 + у3 — 1) — р. Предположим
теперь, чтор = 1 (mod 3). Пусть хФ е ~ некоторый характер порядка 3.
Тогда х2 — характер порядка 3 и х2 Ф е- Следовательно, ?, х и X2 — все
характеры порядка 3, называемые поэтому кубическими характерами.
Согласно предложению 8.1.5, N(x3 = a) = 1 + х{°) + X2(a)- Значит,
г=О j=O
=1 г=0
Внутренняя сумма подобна той сумме, которая появилась при анализе
N(x2 + y2 = l).
Определение. Пусть х и Л — некоторые характеры поля Fp и
X(a)\(b).
а+Ь=1
называется суммой Якоби.
Чтобы завершить вычисление N(x2 + у2 = 1) и N(x3 + у3 = 1), нам
следует получить информацию о значениях сумм Якоби. Следующая
теорема не только доставляет эту информацию, но и показывает уди-
удивительную связь между суммами Якоби и Гаусса.
Теорема 1. Пусть х и Л — нетривиальные характеры. Тогда
(a) J(e,e) = р\
(b) J(e,x) = 0;
(с) J(x,x) = -x(-i);
(d) если хА ф г, то
Доказательство. Пункт (а) очевиден; п. (Ь) — непосредственное след-
следствие предложения 8.1.2.
Для доказательства (с) заметим, что
аф\
j 3. Суммы Якоби 121
Положим у-^— = с. Если с ф — 1, то а — л 9_ . Отсюда следует, что в
Л. Hi -L Г" (s
то время, как а пробегает поле Fp за исключением 1, с пробегает Fp) за
исключением —1. Следовательно,
сф-\
Для доказательства п. (d) заметим, что
a,b
Если к = 0, то
5] х(а)А(Ь) = X) х(а)Л(-а) = Л(-1) ^ хА(о) = 0.
а+6=0 а а
ибо х^ Ф е по предположению.
Если А; т^ 0, определим а и Р посредством формул а — ка^ b — kf3.
Если a + b — к) то а + j3 — 1. Отсюда следует, что
a+b=k
Подставляя это в равенство A), получаем
п
Следствие. Если х; A w х^ не Vaenbl e? mo \J(Xi A)|
Доказательство. Следует взять абсолютное значение обеих частей
равенства в п. (d) и воспользоваться предложением 8.2.2. ?
Мы возвратимся теперь к исследованию величин N(x2 + у2 — 1) и
N(x3 + у3 = 1). В первом случае необходимо было вычислить сумму
Y2 (")()• Применение случая (с) теоремы 1 приводит к результату
— (—l)^)/2, что и утверждалось ранее.
В случае величин N(x3 + у3 = 1) мы должны вычислить суммы
S Хъ(а)Х'*(Ь), гДе X ~ кубический характер.
а+6=1
Применение теоремы 1 приводит к равенству
N(x3 + у3 = 1)=р-х(-1)- х2(-1) + J(x, х) + 3{х\ х2).
Так как —1 = (—IK, то х(—1) = Х3(~1) = 1- Заметим также, что
X2 — Х~г — Х- Таким образом,
122 Гл. 8. Суммы Гаусса и Якоби
N(x3 + у3 = 1) = р - 2 + 2 Re J(X, *)•
Этот результат не так приятен, как результат для N(x2 + у2 = 1), по-
поскольку мы не знаем явной формулы для J(X) х)- Тем не менее, в силу
следствия теоремы 1, |J(x, х)| = -уф, так что мы получаем оценку
Если обозначить через Np число решений уравнения х3 + у3 = 1 в
поле Fp, то эта оценка говорит, что Np приблизительно равно р — 2 с
«поправочным членом» 2sjp. Это показывает, что для больших простых
чисел р всегда существует много решений.
Если р = 1 (mod 3), то всегда имеется по крайней мере шесть ре-
решений, ибо каждое из уравнений х3 = 1 и у3 = 1 имеет три решения
и можно записать 1 + 0 = 1и0 + 1 = 1. Для р = 7 и р = 13 других
решений не будет. Для р = 19 существуют другие решения, например
З3 + 103 = 1 (mod 19). Эти «нетривиальные» решения существуют для
всех простых чисел р ^ 19, ибо из приведенной оценки следует, что
Np ^ р — 2 — 2у/р > 6 для р ^ 19.
Используя символ Якоби, мы могли бы легко распространить наши
рассуждения на уравнения вида ахп + Ьуп = 1, но мы не будем сейчас
углубляться в эту задачу.
Следствие теоремы 1 приводит к двум выводам, представляющим
значительный интерес.
Предложение 8.3.1. Если р = 1 (mod 4), то существуют такие
целые числа а и Ъ, что а2 + Ь2 —р.
Если р = 1 (mod 3), то существуют такие целые числа а иЪ, что
а2 — ab + Ь2 = р.
Доказательство. Если р = 1 (mod 4), то существует характер х по-
порядка 4 (если Л имеет порядок р — 1, пусть \ — Л^^4). Значения \
лежат в множестве {1,-1, г,—г}, где г — у/—1. Таким образом, J{x-> x) —
= Z) х(а)х(Р) е Щг\ (см. гл. 1, § 4). Отсюда следует, что J(x, x) =
+ Ы) где а, b e Z, a значит, р = | J(x, х)|2 — о? + Ь2.
Если р = 1 (mod 3), то существует характер х порядка 3. Значения
X лежат в множестве {1,cj,u;2}, где и — е2угг/3 = \ . Таким об-
образом, J(x, х) ^ Z[cj]. Как и выше, J(x, х) = а + Ьа;, где а, 6 е Z и р —
= |^(Х,Х)|2 = \а + Ьи\2 = а2 -ab + b2. D
Тот факт, что простые числа р = 1 (mod 4) могут быть записаны в
виде суммы двух квадратов, был открыт Ферма. Нетрудно доказать,
что если a, b > 0, а нечетно и b четно, то представление р = а2 + Ь2
единственно.
j 3. Суммы Якоби 123
Если р = 1 (mod 3), представление р = а2 — ab + Ь2 не единственно,
даже если предположить, что a, b > 0. Это видно из равенств
а2 -аЪ + Ъ2 = F - аJ - (Ъ - а)Ъ + Ъ2 = а2 - а(а - Ъ) + (а - ЪJ.
Однако можно переформулировать утверждение так, что представле-
представление станет единственным. Если р = а2 — ab + б2, то
4р = Bа - ЪJ + 362 = B6 - аJ + За2 = (а + ЪJ + 3(а - бJ.
Мы утверждаем, что 3 делит a, b или а — Ь. Предположим, что
и З/ffc. Если а = 1 (mod 3) и b = 2 (mod 3) или а = 2 (mod 3) и 6 =
1 (mod 3), то а2 — ab + b2 = 0 (mod 3), а это означает, что 3 | р — проти-
противоречие. Следовательно, 3 | а — b и имеет место
Предложение 8.3.2. Если р = 1 (mod 3), то существуют такие
целые числа А и В, что 4р = А2 + 27В2. В этом представлении числа
4р целые А и В определены однозначно (с точностью до знака).
Доказательство однозначности мы относим в упражнения (см.
упр. 13). ?
Теорема 1 вместе с одним простым рассуждением приводит к еще
одному интересному соотношению между суммами Гаусса и Якоби.
Предложение 8.3.3. Пусть р = 1 (mod n) и х ~ некоторый ха-
характер порядка п. Тогда
g(x)n = x(-i)pJ(x, x)J{x, x2)... Ах, хп~2)-
Доказательство. В силу п. (d) теоремы 1 имеем д(хJ — J{X) хЖх2)-
Умножая обе части на #(х), получаем g(xK = J{x-> X)J{X-> Х2Жх3)- Про-
Продолжая таким же образом, приходим к равенству
^xr1 = J{x, x)Ax, x2)... J{x, xn-2)g{xn-1)- B)
Далее, Хп1=Х~1 = Х- Следовательно, как мы видели, fif(x)fif(xnl) =
= fif(x)fif(x) = х(~^)Р- Доказываемый результат получается теперь умно-
умножением обеих частей равенства B) на д(х)- П
Следствие. Если х ~ кубический характер, то
g(x?=pJ(x,x).
Доказательство. Это просто частный случай предложения 8.3.3, на-
надо лишь учесть, что х(—1) = х((~1K) = 1- П
С помощью этого следствия мы можем более полно проанализиро-
проанализировать комплексное число J(x, х), появившееся при вычислении N(x3 +
+ у3 = 1). Мы видели, что J(x, х) = а + Ъи), гДе а, 6 G Z и о; = е2угг/3 =
_ -1 +
2
124 Гл. 8. Суммы Гаусса и Якоби
Предложение 8.3.4. Пусть р = 1 (mod 3) и х ~ кубический ха-
характер. Положим J(X) х) — а + bus, как и выше. Тогда
(a) 6 = 0 (mod 3);
(b) a= -l(mod 3).
Доказательство. Мы будем работать со сравнениями в кольце це-
целых алгебраических чисел, как в гл. 6:
3k (mod 3).
Так как х@) = 0 и Х(кK = 1 для к ф О, то ? х(кK(зк = ? С3/с = -1.
к=0 к=1
Следовательно,
)=a + bu = -l (mod 3).
Подставляя \ вместо \ и вспоминая, что д(х) — р(х)? мы получаем
^(хK = pJ(Z X) = а + ЬСп = -1 (mod 3).
Вычитание дает Ь(и—п) = 0 (mod 3), или г6\/3 = 0 (mod 3). Таким обра-
образом, —362 = 0 (mod 9), откуда 3 | Ь. Так как 3 | b и а + Ьио = —1 (mod 3), то
должно быть справедливым сравнение а = — 1 (mod 3), что и завершает
доказательство. ?
Следствие. Пусть А — 2а — b и В — 6/3. Тогда А = 1 (mod 3) и
Доказательство. Так как J{x->x) — а + Ьш и \J{x->X)\2 — Pi то Р =
= а2 - аб + б2. Следовательно, 4р = Bа - бJ + 362 и 4р = А2 + 27Б2.
Согласно предложению 8.3.4, 3 | b и а = — 1 (mod 3). Поэтому А =
= 2а-6 = l(mod 3). П
Теперь мы можем доказать следующую красивую теорему, принад-
принадлежащую Гауссу.
Теорема 2. Предположим, что р = 1 (mod 3). Тогда существуют
такие целые числа А и В, что Ар — А2 + 27В2. Если потребовать,
чтобы А = 1 (mod 3), то А будет определено однозначно, и
N(x3 + у3 = 1) = р - 2 + А.
Доказательство. Мы уже показали, что N(x3 + у3 — 1) — р — 2 +
+ 2 Re J(x, х). Так как J(X)X) — а + Ьио) как и выше, то Re J(x,x) =
= |Bа —6). Следовательно, 2 Re J(X)X) — 2а — b = A = l (mod 3). Дока-
Доказательство однозначности предоставляется провести в качестве упраж-
упражнения. ?
Проиллюстрируем этот результат двумя примерами: р = 61 и р = 67.
§ 4. Уравнение хп + уп = 1 в Fp 125
Имеем 4 • 61 = I2 + 27 • З2. Следовательно, число решений уравнения
х3 + у3 = 1 в F6i равно 61 - 2 + 1 = 60.
Далее, 4 • 67 = 52 + 27 • З2. Мы должны быть здесь осторожными; так
как 5^1 (mod 3), то следует выбрать А = —5. Ответом, следовательно,
будет 67 — 2 — 5 = 60, что совпадает (случайно?) с числом решений в
первом случае.
§ 4. Уравнение хп + уп = 1 в Fp
Мы будем предполагать, что р = 1 (mod n). Исследуем число реше-
решений уравнения хп -\- уп — 1 в поле Fp. Метод §3 непосредственно приме-
применим и здесь.
Имеем
N(xn + yn = l)= Y^ N(xU = a)N(vn = b)-
a+b=l
Пусть х — некоторый характер порядка п. Согласно предложению
8.1.5,
п-1
к=0
Объединяя эти два результата, получаем
j=0 fc=0
Для оценки этой суммы может быть использована теорема 1. Если
j = к = 0, то J(x°,X°) = J{e,e) = р. Если j + к = п, то xj = (х^),
n-l
так что J(x^Xk) — ~XJ(~1)- Сумма этих членов равна — ^ х-7^—1),
п-1
причем ^ xJ(—1) равна п, если —1 является п-й степенью, и нулю в
i=o
противном случае. Таким образом, вклад этих членов есть 1 — 5п(—1)п,
где 5п(—1) имеет очевидное значение. Наконец, если j = 0 и к ф 0 или
j ф 0 и к = 0, то J(xJ\ X^) = 0- Следовательно,
N(xn + yn = l)=p + l- 6n(-l)n +
В данной сумме будет {п — IJ — (п — 1) = (п — 1)(п — 2) членов, и все
они имеют абсолютное значение у/р. Таким образом, справедливо
Предложение 8.4.1.
\N(xn + у" = 1) + (Ц-1)п - (р + 1)| ^ (п - 1)(п -
126 Гл. 8. Суммы Гаусса и Якоби
Член 5п(—1)п будет позднее интерпретироваться как число точек
«на бесконечности» на кривой хп + уп = 1.
Полученная оценка показывает, что для больших р существует мно-
много нетривиальных решений.
§ 5. Дальнейшие результаты о суммах Якоби
Теорему 1 можно обобщить в одном очень плодотворном направле-
направлении. Нам понадобится следующее определение.
Определение. Пусть %ъ Х2?---? Хт ~ характеры поля Fp. Сумма
Якоби определяется по формуле
J(Xi, X2, •••, Хт) = ^ Xi(h)X2(k2) ... Xm(km).
Заметим, что при т = 2 это превращается в наше первое определе-
определение суммы Якоби.
Полезно определить другую сумму, которая останется безымянной:
Л(хъ Х2, ..., Хт) = X Xi(h)X2(h)... Хт(кт).
/с1+/с2+...+/ст=0
Предложение 8.5.1.
(a) J0(e,e, ...,е) = J(e,e, ... ,е) = рт~1.
(b) Если некоторые, но не все, из ХъХ2, ••• ,Хт тривиальны, то
Х2, ...,Хт) = 0.
(с) Предположим, что Хт Ф ?- Тогда
0, есл^ XiX2..-Xm Ф ?,
{
в противном случае.
Доказательство. Если к\) к2) ... fcm-i выбраны (произвольным об-
образом) в Fp, то &ш однозначно определяется условием к\ + А;2 + ... +
+ А;т = 0. Следовательно, Jq(s,s, ..., б) = рт~1. Аналогично определя-
определяется J(e)e) ... ,е).
Для доказательства п. (Ь) предположим, что Хъ Х25 ••• ? Xs нетриви-
нетривиальны и что Xs+i = Xs+2 = ... = Хт = ?. Тогда
=0.
§ 5. Дальнейшие результаты о суммах Якоби 127
Мы воспользовались предложением 8.1.2. Значит, Jo(xi(^i)>
Хт{кт)) — 0. Аналогичные рассуждения надо провести для
Для доказательства п. (с) заметим, что
\
\Хт{К
1 ,...,№777, — 1
Так как Xm 7^ ?, то хш@) = 0, так что можно считать, что в пре-
предыдущей сумме кт ф 0. Если кт ф 0, то определим А;'- равенством
fcj = —kmk'j, j = 1, 2, ..., ттг — 1. Тогда
k' k'
fei+...+^_i=i
Объединяя полученные результаты, приходим к равенству
Отсюда следует основной результат, так как последняя сумма равна
нулю, если XiX2..-Xm Ф ?, и р - 1, если XiX2-Xm = ?• ?
Пункты (а) и (Ь) предложения 8.5.1 обобщают пп. (а) и (Ь) теоре-
теоремы 1. Пункт (d) теоремы 1 можно обобщить следующим образом.
Теорема 3. Предположим, что характеры Хъ Х2, ••• у Хг нетриви-
нетривиальны и что характер XiX2---Xr тпакэюе нетривиален. Тогда
g(xi)g(x2)-g(xr) =
Доказательство. Имеем
-g(Xr) = у
ki 7 Х kr
Если / = 0, то по п. (с) предложения 8.5.1 и из условия XiX2..-Xr Ф
получаем
128 Гл. 8. Суммы Гаусса и Якоби
Если / ф 0, то подстановка kj = lk'^ j = 1, 2, ..., г, показывает, что
Х2, ...,Хг).
Собирая эти замечания вместе, приходим к равенствам
g(xi)g(x2)-g(xr) =
Х2, •••, Хг)^(Х1Х2 ... Хг). ?
Следствие 1. Предположим, что характеры Хъ Х2; ...,Хг нетри-
нетривиальны, а характер XiX2---Xr тривиален. Тогда
...g(xr) = Хг(-
Доказательство. Имеем
g(xi)g(x2)... p(xr-i) = Лхь хг •••, Xr-i)p(xiX2 ••• Xr-i).
по теореме 3. Умножим обе части этого равенства на g(xr)- Так как
XiX2..-Xr-i = Хг1! то
^(xiX2... Xr-i)g(xr) = gixr^gixr) = Xr(-i)p. ?
Следствие 2. 5 условиях следствия 1
J(Xi, Х2 ..., Хг) = ~Хг(-1)^(Хь Х2 ..., Xr-i).
[Если г — 2, то полагаем J(xi) — 1-]
Доказательство. Если г = 2, то это утверждение есть п. (с) теоре-
теоремы 1.
Пусть теперь г > 2. Используя в доказательстве теоремы 3 предпо-
предположение о том, что Х1Х2 ... Хг — ?-> получаем
Так как ^^г = 0, то сумма в предыдущем соотношении равна —1.
i
Согласно п. (с) предложения 8.5.1,
Согласно следствию 1,
g(xi)g(x2)...g(xr) = Хг(-
Объединяя эти результаты вместе, завершаем доказательство. ?
> 6. Применения 129
Теорема 4. Предположим, что характеры Хъ Х2, ...,Хг нетриви-
нетривиальны.
г-1
(a) ?o/mxiX2...Xr ^ е, ™ |«/(ХъХ2, ••• ,Xr)| =P 2 •
(b) Если xiX2 ... Хг = е, то
Доказательство. Если х нетривиален, то |#(х)| = л/Р- Пункт (а)
следует непосредственно из теоремы 3.
Пункт (Ь) аналогичным образом вытекает из п. (с) предложения
8.5.1 и из следствия 2 теоремы 3. ?
§ 6. Применения
Ранее в этой главе мы исследовали число решений уравнения х2 +
+ у2 — 1 в поле Fp. Тот же самый вопрос естественно поставить об
уравнении х\ + х\ + ... + х2 = 1. Ответ может быть получен без труда,
если воспользоваться результатами §5.
Пусть х — характер порядка 2 (х(а) = ( ~) в наших прежних обо-
обозначениях). Тогда N(x2 = а) = 1 + х(а)- Следовательно,
N(x{ + х\ + ... + х2Т = 1) = Y^ N(xl = ai)N(x22 = а2)... N(x2r = ar),
где сумма берется по всем r-наборам (ai,a2,...,ar) cai + a2 + ... + ar = l.
Произведя умножение и воспользовавшись предложением 8.5.1, полу-
получаем
N(xl +х22+ ... +x2r = l)= f-1 + J(X, X, - , X).
Если г нечетно, то хг = Х- Тогда, в силу теоремы 3, J(x, Х> ••• ? х) =
= д{хУ~1- Так как #(хJ = х(~1)р? отсюда следует, что J(x,X, ••• ,х) =
Если г четно, то хг = ^- Воспользовавшись следствием 2 теоремы 3,
находим, что J{X)X) ••• ? х) = —х(~1) Р • Наконец, вспомним, что
х(—1) = (—l)^)/2. Таким образом, имеет место
Предложение 8.6.1.
("+(-цtl"/1; если г нечетно>
j9r-1 —(—IJ 2 р2 , если г четно.
Наиболее общее уравнение, к которому могут быть применены из-
изложенные методы, имеет вид
CLrXr —
130 Гл. 8. Суммы Гаусса и Якоби
где ai, a2,..., an 6 G Fp и mi, m2,..., mr - положительные целые числа.
Мы возвратимся к этой теме в § 7. Теперь же мы воспользуемся суммами
Якоби для получения еще одного доказательства квадратичного закона
взаимности.
Пусть q — некоторое нечетное простое число, отличное от р, и \ —
характер порядка 2 на Fp. Тогда, согласно следствию 1 теоремы 3,
где в сумме Якоби имеется q компонент.
Так как q + 1 четно, то
2±1 р^ q±l_ q±l_
g(x)q+1 = Ш2) 2 = (-1) 2 2 p2 ¦
Подставляя это значение в предыдущую формулу, получаем
?nL 2nL 2nL
(-1) 2 2 р 2 =
Далее,
J(X,X, -,Х) =
Если к — к\ — к2 — ... = kq) то А; = - и соответствующий член в сумме
имеет значение х( ) = x(q)~q — x(o)- Если не все kj равны, то имеется
q разных ^-наборов, получаемых из {к\) А;2, ..., kq) циклической переста-
перестановкой. Все соответствующие члены суммы имеют одинаковое значение.
Следовательно,
(mod <z).
Так как х(о) = (|) и р 2 = (|j (mod q), то
а значит,
= (?)
?
§ 7. Общая теорема
Все уравнения, рассмотренные нами до сих пор, являются частными
случаями уравнения
= 6, C)
> 7. Общая теорема 131
где ai, a2,..., ar e i^f и 6 е Fp. Пусть TV — число решений этого урав-
уравнения. Наша цель — получить формулу для N и оценку для него. Для
этого будут использоваться те же методы, которые уже были развиты
в предыдущих параграфах. Для начала мы имеем равенство
N = ^ N^™1 = Ul)N(x™2 = u2) ...N(x?r = ur), D)
г
где сумма берется по всем таким наборам {и\, щ, ..., иг), что Y2 (^jUj — Ъ.
i=i
Мы предположим, что mi, m2,..., mr являются делителями числа
р — 1, хотя в этом и нет необходимости (см. упражнения). Пусть Xj
пробегает характеры порядка rrij. Тогда
Xj
Подставляя это в равенство D), получаем
N= Yl Y1 Х1ЫХ2Ы-Хг(иг). E)
Xl,X2,...,Xr
Внутренняя сумма тесно связана с суммами Якоби, рассмотренными
нами.
Случаи b = 0 и b ф 0 необходимо рассмотреть отдельно.
Если b — 0, то положим kj = cljUj. Тогда внутренняя сумма превра-
превращается в
X\{(h1)X2{(h1) -" Xr(a;1)Jo(xuX2^ ..., Хт)-
Если b ф 0, то положим kj = b~1ajUj. Внутренняя сумма превраща-
превращается в
(Ь)(Г1)(^1)A)J(X2, ..., Xr).
В обоих случаях, если Xi — Х2 — ••• = Хг = ^5 то выписанный член
имеет значение рг~1) так как J0(e,e, ... )е) — J{e)e) ... )е) — рг~1. Если
некоторые, но не все, Xj равны 6, то этот член равен нулю. В первом
случае его значение равно нулю, если XiX2---Xr Ф ?• Все это следует из
предложения 8.5.1.
Объединяя это с теоремой 4, получаем такой результат:
Теорема 5. Если b — 0, то
N = р1 + Y^ Х1(^Г1)Х2(а2-1)... хЛа;1) J0(Xb X2, ..., Xr).
Сумма берется по всем г-наборам характеров ХъХ2, •••iXrj таким,
что х^3 — s, Xj Ф е для j = 1, 2, ..., г и Х1Х2 ••• Хг — ?- Если М — число
132 Гл. 8. Суммы Гаусса и Якоби
таких г-наборов, то
Если b ф 0; то
= рг~1 + ^2 Х1Х2
Сумма берется по всем г-наборам характеров Хъ Хъ, •••, Хг, таким,
что х™3 —е и\зФе для j = 1, 2, ..., г. i?a/m Мо — число таких г-наборов
с Х1Х2, ..-Хг = ? и Mi — число таких наборов с и Х1Х2, ---Xr Ф ?,
Стоит обратить внимание на одно непосредственное следствие тео-
теоремы 5. Для ai, a2, ..., аг и b e Z рассмотрим сравнение
CLiX-^ X + CL2%2 2 ~\~ ••• ~\~ CLrXr r = & (mod ]9j.
Если р достаточно велико, это сравнение имеет много решений. В дей-
действительности число решений стремится к бесконечности с возрастани-
возрастанием р.
Замечания
Эта глава была написана под воздействием знаменитой статьи
А. Вей ля [80]. Основная связь между суммами Гаусса, называемыми
также резольвентами Лагранжа, и суммами Якоби была известна Гаус-
Гауссу [34] (не опубликовано), Якоби [47], Эйзенштейну [27] и Коши. Полные
доказательства фундаментальных соотношений, приводимых в предло-
предложении 8.3.3 и теореме 1, были опубликованы Эйзенштейном в его статье
«Beitrage zur Kreistheihmg» («К вопросу о делении круга») в 1844 году.
Эйзенштейн ввел также обобщение суммы Якоби (§5) для получения
доказательства биквадратичного закона взаимности (см. гл. 9).
Помимо применения в доказательстве гипотезы Вейля—Римана для
некоторых гиперповерхностей над конечными полями (см. гл. 1.1) обоб-
обобщенная сумма Якоби имеет важное значение в теории круговых полей и
разностных множеств (difference sets). В качестве введения в этот круг
вопросов см. [74]. См. также трудное, но важное продолжение [81] ра-
работы [80].
Материал о суммах Гаусса и Якоби разбросан по всей книге Хас-
се [41]. В последней главе он дает систематическое изложение вопроса,
Упражнения 133
причем в дополнение ко многим интересным результатам показывает,
как оба типа сумм естественно возникают в теории круговых полей.
Большая часть теории, изложенной в этой главе, почерпнута из статьи
Дэвенпорта и Хассе [23]. Последняя статья заслуживает самого при-
пристального изучения, но она, к сожалению, рассчитана на повышенный
уровень и, по-видимому, недоступна для начинающего. Несколько легче
более поздние статьи [82] и [83]. Можно обратиться также к классиче-
классическому труду [5].
Не так давно Берндт и Эванс изучили суммы Гаусса и Якоби, а
также другие классические суммы, соответствующие характерам по-
порядка 6, 8, 12, 24. С их интересными результатами и обширной библио-
библиографией читатель может ознакомиться в [92] и [95]. См. также [177].
Теорема 2 доказана Гауссом в § 358 «Disquisitiones Arithmeticae». На
самом деле он не сформулировал эту теорему явно. Она получилась
как побочный результат при исследовании другого вопроса. Что он
в действительности сделал — это использовал ее для нахождения ал-
алгебраического уравнения, которому удовлетворяют некоторые суммы
Гаусса. Мы пошли в обратном направлении, использовав теорию гаус-
гауссовых сумм для получения нашей теоремы. Другие результаты этого
типа были получены Гауссом в его первом мемуаре о биквадратичной
взаимности [34]. Дальнейшие исторические замечания на эту тему см.
во введении к статье [80].
Оценки, приведенные в теореме 5, получены в первой главе кни-
книги [9]. В ней используется несколько иной метод, который мы намечаем
в общих чертах в упражнениях. В частном случае квадратичных форм,
т.е. когда все т равны 2, этот результат восходит по крайней мере к
Диксону [25].
Техника вычисления решений с помощью характеров естественно
связана с проблемой нахождения последовательности целых чисел за-
заданной длины, имеющих заданные fc-степенные характеры по модулю р.
Эта проблема до некоторой степени рассмотрена у Хассе [41]. В интерес-
интересной и элементарной статье [21] показано, что число последовательностей
четырех следующих друг за другом квадратичных вычетов между 1 и
р удовлетворяет неравенству
R — \р < Кр3/4, где К — не зависящая
от р постоянная. Если воспользоваться результатами Вей ля, то мож-
можно получить лучшие оценки. Статья [36] посвящена той же теме. Наше
последнее замечание касается теоремы 5. Она была доказана первона-
первоначально Вейлем и независимо (и почти одновременно) Хуа и Вандиве-
ром (Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A., 1949, v. 35, p. 94-99). С небольшими
упрощениями и дополнениями мы, по существу, следовали изложению
Вей ля.
134 Гл. 8. Суммы Гаусса и Якоби
Упражнения
1. Пусть р — простое число и d = (m,p — 1). Доказать, что
X
где сумма берется по всем х, таким, что xd — е-
2. В обозначениях упр. 1 показать, что N(xm — а) — N(xd = а), и
сделать вывод о том, что если dk = (mj^p— 1), то уравнения
и Y2 ак^к — ^ имеют одинаковое число решений.
/с
3. Пусть х — нетривиальный мультипликативный характер поля Fp
и р — характер порядка 2. Показать, что
к
[Указание. Вычислить J(x, р), используя соотношение N(x2 — а) — 1-\-
+ рШ
4. Показать, что если т Е Fp) m ф 0, то
/С
5. Показать, что если х2 7^ ^^ то й'(хJ = хB)~2^(х^ р)9{х2)- [Указа-
[Указание. Явно записать д(хJ и воспользоваться упр. 4.]
6 (продолжение). Показать, что J(x, x) = x{^)~2 J{Х) р)•
7. Предположим, что р = 1 (mod 4) и что х ~~ характер порядка 4.
Тогда х2 = Р и J(x, х)=х(~1)^(х^ р)- [Указание. Вычислить ^(хL двумя
способами.]
8. Обобщить упр. 3 следующим образом. Предположим, что р —
некоторое простое число; тогда
к Л
где Л пробегает все такие характеры, что \т — е. Получить отсюда, что
9. Предположим, что р = 1 (mod 3) и что х ~~ характер порядка 3.
Доказать (используя упр. 5), что #(хK = Р^-> где ^ — x{^)J{Xi р)-
10 (продолжение). Показать, что ХР ~ характер порядка 6 и что
11. Воспользоваться теоремой Гаусса для нахождения числа реше-
решений уравнения х3 + у3 = 1 в Fp для р = 13, 19, 37 и 97.
Упражнения 135
12. Мы видели, что если р = 1 (mod 4), то р = а2 + б2, где a, b e Z.
Предполагая, что а и 6 положительны, а нечетно и b четно, показать, что
а и b однозначно определены. [Указание. Воспользоваться тем фактом,
что в Ъ[г\ имеет место однозначность разложения на простые множите-
множители и что если р — а2 -\-Ь2, то а + Ы — простой элемент в Ъ[г\\
13. Мы видели, что если р = 1 (mod 3), то 4р = А2 + 27В2, где
А^В ? Z. Потребовав, чтобы А = 1 (mod 3), показать, что А определено
однозначно. [Указание. Использовать тот факт, что в Ъ[ио] имеет место
однозначность разложения на простые множители. Это доказательство
несколько сложнее, чем в упр. 12.]
14. Предположим, что р = 1 (mod п) и что х — характер порядка п.
Показать, что д(х)п ? Z[?], где ( = е2угг/п.
15. Предположим, что р = 1 (mod 6), и пусть х и Р ~~ характеры
порядков 3 и 2 соответственно. Показать, что число решений уравнения
у2 = х3 + D в Fp равно р + тт + тг, где тг = xp(D)J(x, p)- Показать, что
если хB) = 1, то число решений уравнения у2 = х3 + 1 равно р + А, где
4р = А2 + 27??2 иЛе1 (mod 3). Проверить этот результат прямым вы-
вычислением при р = 31.
16. Предположим, что р = 1 (mod 4) и что х — характер порядка 4.
Пусть N — число решений уравнения х4 + уА — 1 в Fp. Показать, что
N = р + 1 - 54(-1L + 2 Re J(x, x) + 4 Re J(x, p).
17 (продолжение). Согласно упр. 7, J(X)X) — x(~l)J(XiP)- Пусть
тг = —J(X)p)- Показать, что
(a) N — р — 3 — 6ReTr, если р = 1 (mod 8);
(b) N =р+1 - 2ReTr, если р = 5 (mod 8).
18 (продолжение). Пусть тг = а + Ы. Можно показать (см. гл. 11 §5),
что а нечетно, b четно и а = 1 (mod 4), если 4 | 6, и а = — 1 (mod 4), если
4/(/6. Пусть р = А2 + i?2, и зафиксируем А требованием А = 1 (mod 4).
Показать тогда, что
(a) N = р — 3 — 6А, если р = 1 (mod 8);
(b) TV = р + 1 + 2Д если р = 5 (mod 8).
19. Найти формулу для числа решений уравнения х\+х\+ ... +х2 — О
bFp.
20. Обобщить предложение 8.6.1, найдя явную формулу для числа
решений уравнения а\х\ + п2х\ + ... + агх2 = 1 в Fp.
21. Предположим, что р = 1 (mod d). Показать, что
р-1 р-1
/с=0 т=0
где С =
136 Гл. 8. Суммы Гаусса и Якоби
22 (продолжение). Доказать, что
где сумма берется по всем %, для которых Xd — е)ХФ е- Предположить,
что р)(а.
23. Пусть f{x\) #2? ••• 5 хп) ? Fp[xi, X2, ..., хп]. Пусть N — число нулей
многочлена / в Fp. Показать, что
N = vn~x + v~
24 (продолжение). Пусть /(xi,x2, ...,жп) = aix7^1 + а2х^2 + ... +
+ апх™п. Пусть dk = (rrikiP ~ !)• Показать, что
а^О k=l Хк
где Хк пробегает все характеры, для которых Хк* ~ е и Хк Ф е-
25. Получить из упр. 24, что
п-1 I
26. Пусть р — простое число, р = 1 (mod 4), х — мультипликативный
характер порядка 4 поля Fpn р — символ Лежандра. Положим J(x, p) —
— а + Ы. Показать, что
(a) N(y2 + х4 = 1) = р - 1 + 2а;
р-1
?
(Р ~
(d) проверить (с) для р = 13, 17, 29.
27. Пусть р = 1 (mod 3), х — характер порядка 3, р — символ Ле-
Лежандра. Показать, что
/с=1
(cJa-b = -(j _ М\ (mod р), где J(X, р) = а +
Упражнения 137
28. Пусть р = 3 (mod 4) и х ~ квадратичный характер, определен-
определенный на Z/pZ. Показать, что
kX(k)-p
/с=1 /с=1 к=1
/с=1 к=1 к=1
р (р
(с) ^ А;х(А;) = - ^ х(&)? если Р = 3 (mod 8);
/с=1 /с=1
(d) ^ А;х(А;) = р ^ х(^)? если Р = 7 (mod 8).
/с=1 /с=1
Глава 9
КУБИЧЕСКИЙ И БИКВАДРАТИЧНЫЙ
ЗАКОНЫ ВЗАИМНОСТИ
В гл. 5 мы видели, что квадратичный закон взаимности дает от-
ответ на такой вопрос: для каких простых чисел р разрешимо сравнение
х2 = a (mod р) ? Здесь а — некоторое фиксированное число. Если тот
же самый вопрос поставить для сравнений хп = a(modp), где п —
фиксированное положительное целое число, то мы вступим в область
высших законов взаимности. При п — 3 и 4 мы говорим о кубическом
и биквадратичном законах взаимности.
Во введении к двум своим знаменитым статьям «Theorie der bi-
quadratischen Reste I, II» {«Теория биквадратичных вычетов I, II») [34]
Гаусс пишет, что теория квадратичных вычетов приведена в состо-
состояние такого совершенства, что и желать больше нечего. А с дру-
другой стороны, «теория кубических и биквадратичных вычетов гораз-
гораздо труднее». Он смог рассмотреть лишь некоторые частные случаи,
доказательства для которых оказались столь трудными, что вскоре
он пришел к выводу о том, что «...принципы арифметики, разрабо-
разработанные до сих пор, совершенно недостаточны для обоснования новой
теории, что эта теория требует с необходимостью, чтобы область
высшей арифметики была расширена до бесконечности...». На совре-
современном языке он призывает к созданию теории алгебраических чисел.
В качестве первого шага, имея в виду изучение биквадратичных вы-
вычетов, он детально исследует арифметику кольца Щг\, которое мы
теперь называем кольцом гауссовых целых чисел.
Любопытно, что, хотя Гаусс открыл биквадратичный закон вза-
взаимности, он его полностью не доказал. Первые полные опубликованные
доказательства кубического и биквадратичного законов взаимности
принадлежат Эйзенштейну.
В этой главе мы сформулируем и докажем кубический и биквад-
биквадратичный законы взаимности. Мы дадим два доказательства куби-
кубического закона взаимности. Первое принадлежит Эйзенштейну и во
всех отношениях близко к доказательству квадратичного закона вза-
взаимности из гл.6. Второе доказательство использует суммы Якоби
и аналогично доказательству квадратичного закона взаимности из
гл.8, §6. Наше доказательство биквадратичного закона взаимности
также принадлежит Эйзенштейну.
В § 9 устанавливается рациональный закон взаимности для би-
jl. Кольцо Щи)] 139
квадратичных вычетов. Этот элегантный результат, полученный
Бурдэ в 1969 году, решает следующую задачу. Если р = 1 (mod 4) и
q = 1 (mod 4) — простые числа и р есть четвертая степень по моду-
модулю q, то каковы необходимые и достаточные условия для того, чтобы
q было четвертой степенью по модулю р ?
В § 11 с помощью сумм Якоби будет получен критерий Гаусса воз-
возможности построения правильного многоугольника.
Глава кончается кратким обсуждением проблемы Куммера отно-
относительно распределения кубических сумм Гаусса.
§ 1. Кольцо Z[u>]
Пусть и) = су . Кольцо Щи)] было определено и обсуждалось
в гл. 1, §4. Его элементами являются комплексные числа вида а + Ьио)
а,Ъ G Z. Если а — а + Ъи ? Z[cj], то определим норму элемента а форму-
формулой Na = oioi — a2 — ab + b2. Здесь а означает комплексно-сопряженный
к а. В гл. 1 использовалось обозначение Х(а) вместо Na. Изменение
делается лишь для согласования со стандартным обозначением. Для
удобства записи мы положим также D — Щи].
Как мы доказали ранее, D — область с однозначным разложением на
простые множители. Наша первая задача — описать единицы и простые
элементы в D.
Предложение 9.1.1. Число a^D является единицей тогда и толь-
только тогда, когда Na = 1. Единицы в D суть 1, —1, и, —и, и2 и —и2.
Доказательство. Если Na = 1, то аи = 1; это означает, что а —
единица, ибо а е D.
Если а — единица, то существует такое f3 e D, что af3 — 1. В таком
случае NaN'j3 — 1. Так как Na и Nj3 — положительные целые числа,
это означает, что Na — 1.
Предположим теперь, что а — а + Ьш — единица. Тогда 1 = а2 — ab +
+ б2, 4 = Bа — ЬJ + 362. Имеются две возможности:
(a) 2a- b = ±1, 6 = ±1;
(b) 2а - b = ±2, b = 0.
Решая эти шесть пар уравнений, получаем 1, —1, ио) —ио) — 1 — и) и
1 + и). Так как и2 + и + 1 = 0, последние два элемента совпадают с и2
и — и2. Предложение доказано. ?
Для исследования простых элементов в D важно представлять себе,
что числа, простые в Z, не обязательно будут простыми элементами в
D. Например, 7 = C + и)B — и). По этой причине мы будем говорить о
простых числах в Z как о рациональных простых числах, а о простых
элементах кольца D — как о простых числах.
140 Гл. 9. Кубический и биквадратичный законы взаимности
Предложение 9.1.2. Если тг — простое число в D, то существует
такое простое рациональное число р, что Ntt = р или Ntt — р2. В
первом случае тг не ассоциировано ни с каким простым рациональным
числом; во втором случае тт ассоциировано с р.
Доказательство. Имеем Ntt = п > 1, или тгтг = п. Целое число
п представляется в виде произведения рациональных простых чисел.
Таким образом, тг | р для некоторого рационального простого числа р.
Если р = 7Г7, 7 €= D) то NttNj = Np = р2. Таким образом, либо Nn =
= р2 и Nj = 1, либо Nn = р. В первом случае 7 — единица и потому тг
ассоциировано с р. Во втором случае, если тг = ш/, и — единица ир-
иррациональное простое число, то р = Nn = NuNq = g2, что невозможно.
Следовательно, тг не ассоциировано ни с каким рациональным простым
числом. ?
Предложение 9.1.3. Если тг е D — такое число, что Nn = р, р —
рациональное простое число, то тг — простое число в D.
Доказательство. Если бы тг не было простым числом в D, то мы
могли бы записать тг = /г>/, где Nр) Nj > 1. В таком случае р = Ntt =
= NpNj, что невозможно, ибо р — простое число в Z. Следовательно,
тг — простое число в D. ?
Следующий результат классифицирует простые числа в D.
Предложение 9.1.4. Предположим, что р и q — рациональные
простые числа. Если q = 2 (mod 3), то q — простое число в D. Если
р = 1 (mod 3), тор = тгтг; где тг — простое число в D. Наконец, 3 = — и2-
•A — иJ и 1 — и — простое число в D.
Доказательство. Предположим, чтор — непростое число в D. Тогда
р — тг7, где Ntt > 1, Nj > 1. Отсюда следует, что р2 = NnNj и Nn = р.
Пусть тг = а + Ъи. Тогда р — а2 — ab + b2, или Ар — Bа — ЬJ + 362, откуда
получаем, что р = Bа — bJ (mod 3). Если З/^р, то р = 1 (mod 3), так
как 1 — единственный ненулевой квадрат по модулю 3. Отсюда сразу
же следует, что если q = 2 (mod 3), то оно будет простым числом в D.
Предположим теперь, что р = 1 (mod 3). По квадратичному закону
взаимности имеем
Следовательно, существует такое а е Z, что а2 = —3 (mod 3), или pb =
= а2 + 3 для некоторого b e Z. Таким образом, р делит (а + гу/Ъ){а —
— гл/3) = (а + 1 + 2а;)(а — 1 — 2cj). Если бы р было простым числом в D,
то оно делило бы один из сомножителей, чего быть не может, ибо р ф 2
и - ф Z. Таким образом, р = тг7, где тг и 7 не являются единицами.
Беря нормы, видим, что р2 = NttNj ир = УУтг = тгтг.
§ 2. Кольца классов вычетов 141
Последний случай разбирается следующим образом. Из равенства
х3 — 1 = {х — 1) (х — ш) {х — и2) вытекает, что х2 + х + 1 = (х — ш) {х — и2).
Полагая х — 1, получаем 3 = A — ш)A — и2) — A + ш)A — иJ — —и2-
•A — иJ. Беря нормы, приходим к равенству 9 = N{1 — о;J, а потому
3 = 7VA — и). Следовательно, 1 — и — простое число в D. ?
Относительно дальнейших обозначений сделаем следующее замеча-
замечание: q будет положительным рациональным простым числом, сравни-
сравнимым с 2 по модулю 3, а тг — простым комплексным числом, норма Nn =
= р которого есть рациональное простое число, сравнимое с 1 по моду-
модулю 3. Иногда тг будет обозначать произвольное простое число в D. Из
контекста будет ясно, что имеется в виду.
§ 2. Кольца классов вычетов
Как и в случаях кольца Z и кольца всех целых алгебраических чисел,
понятие сравнимости оказывается в высшей степени полезным в D. Ес-
ли а, /?, 7 ? D и 7 ф 0 — не единица, то мы говорим, что а = /3 (mod 7),
если 7 делит а — f3. Как и для Z, классы элементов по модулю 7 можно
превратить в кольцо D/jD, называемое кольцом классов вычетов по
модулю 7-
Предложение 9.2.1. Пусть тг е D — простое число. Тогда D/ttD
есть поле, состоящее из Ntt элементов.
Доказательство. Мы покажем сначала, что D/ttD — поле. Пусть
a G D таково, что а ф 0 (mod тг). Согласно следствию 1 предложения
1.3.2, существуют элементы /?, 7 ? D) для которых Eа + jn = 1. Таким
образом, Ра = 1 (mod тг), откуда следует, что класс вычетов элемента
а является единицей в D/nD. Чтобы показать, что D/nD имеет Nn
элементов, мы должны рассмотреть отдельно случаи из предложения
9.1.4.
Предположим, что тг = q — рациональное простое число, сравнимое
с 2 по модулю 3. Мы утверждаем, что {a + bu\O^a<qnO^b<q}
— полное множество представителей классов вычетов. Из этого будет
следовать, что D/ttD имеет q2 = Nq элементов. Пусть // = т + пи G D.
Тогда т = qs + а и п — qt + Ь, где s, ?, a, b G Z и 0 ^ а, b < q. Ясно, что
// = а + 6cj (mod q). Далее, предположим, что а + Ьио = а' + b'uo (mod q))
где 0 ^ а, 6, а7, Ь' < q. Тогда а ~ а + а ~ а cj G D, откуда следует, что
' h h! Я. Я.
а ~ а и лежат в Z. Это возможно лишь при а = а7 и 6 = б7.
q q F
Предположим теперь, что р = 1 (mod 3) — рациональное простое
число и тгтг = Ntt = р. Мы утверждаем, что {0,1, ... ,р — 1} — полное
множество представителей классов вычетов. Из этого будет следовать,
142 Гл. 9. Кубический и биквадратичный законы взаимности
что D/nD имеет р = Nn элементов. Пусть тг = а + Ъи. Так как р =
= а2 — ab + Ь2, то pjfb. Пусть \i — т + пи. Существует такое целое
число с, что cb = n (mod р). Тогда \i — стг = m — ca (mod p)) так что
\i = m — ca (mod тг). Каждый элемент из D сравним с некоторым целым
рациональным числом по модулю тг. Если / Е Z, то / = sp + г, где
s,r gZhO^t <р. Таким образом, / = г (mod р) и, тем более, / =
= г (mod n). Мы показали, что каж:дый элемент из D сравним с каким-
либо элементом из {0,1, 2, ... ^р — 1} по модулю тг. Если г = г' (mod тг) с
г, г1 Е Z и 0 ^ г, г7 < р, то г — г1 — Tvj и (г — г7J = p7V7, откуда следует,
что р\г — г'. Таким образом, г = г7, и данный случай разобран.
Случай простого числа 1 — и предлагается рассмотреть в качестве
упражнения. ?
§ 3. Характер кубического вычета
Пусть тг — простое число. Тогда мультипликативная группа поля
D/ttD имеет порядок Ntt — 1. Мы получаем, таким образом, аналог
малой теоремы Ферма.
Предложение 9.3.1. Если irj^a, mo
а^-1 = l(mod7r).
Если норма числа тг отлична от 3, то классы вычетов чисел 1, о; и о;2
различны в D/nD. Чтобы убедиться в этом, предположим, например,
что и = 1 (mod тг). Тогда тг | 1 — ио) а так как 1 — и — простое число,
то тг и 1 — и) ассоциированы. Таким образом, Nn = NA — cj) = 3 —
противоречие. Другие случаи разбираются тем же способом.
Так как {1,о;,а;2} есть циклическая группа порядка 3, то 3 делит
порядок группы (D/ttD)*, т.е. 3 | Ntt — 1. В этом можно убедиться и
другим способом, используя предложение 9.1.3. Если тг = q) q — раци-
рациональное простое число, то Ntt = q2 = 1 (mod 3). Если тг таково, что
Ntt = р) то р = 1 (mod 3).
Предложение 9.3.2. Предположим, что тг — простое число, для
которого Ntt ф 3; и что тг^а. Тогда существует единственное целое
Nn-l
число т = 0; 1 или 2, для которого а 3 = иот (mod тг).
Доказательство. Как мы знаем, тг делит aNlT~l — 1. Далее,
Ntt-1 Ntt-1 Ntt-1
а^-1-^^ 3 -1)(а 3 -и)(а 3 -и2).
Так как тг — простое число, оно должно делить один из трех со-
сомножителей справа. Согласно предшествующему замечанию, оно может
§ 3. Характер кубического вычета 143
делить только один сомножитель, ибо если бы оно делило два, то оно
делило бы их разность. Предложение доказано. ?
На основе этого результата можно дать следующее определение.
Определение. Если Ntt ф 3, то характер ( —) кубического вычета
\7Г/з
числа а по модулю тг задается так:
(a) ( — 1 =0 при тг | а;
(b) a 3 = ( — J (mod тг), где ( — J равно 1, и или о;2.
Этот характер играет в теории кубических вычетов ту же роль, что
и символ Лежандра — в теории квадратичных вычетов.
Предложение 9.3.3.
(а) ( — ) =1 тогда и только тогда, когда х3 = a (mod тг) разреши-
мо, т.е. тогда и только тогда, когда а — кубический вычет.
(Ь) сД^(^)з (mod тг).
(d) Если а = E (mod тг), то Ы\ = (^\ .
Доказательство. Пункт (а) — это частный случай предложения
7.1.2. Следует положить в этом предложении F — D/tiD^ q — Nn и n = 3.
Пункт (b) совпадает с определением.
Пункт (с): (^) =(а/3) 3 = а 3 /3 3 = ( ^ ) ( ^ ) (mod тг).
J W V ТГ Уз V ^ \7ГУз \7ГУз V ^
Отсюда следует доказываемый результат.
Nn-l Ntt-1
3 —
Пункт (d): если а = E (mod тг), то имеем 1 — )=а 3 = /3
х^/з
= (?) (mod тг), так что (^) =(&-). ?
В этой главе мы будем иметь дело лишь с характером кубического
вычета, поэтому будет удобно использовать обозначение Хтг(^) = (— ) •
хТГ/з
Полезно изучить поведение характеров при комплексном сопряж:е-
нии.
Предлож:ение 9.3.4.
(a) ХтгИ =Хтг(^J = Хтг(а2);
(b) ХтгИ =Хтг(й).
Доказательство, (а) По определению Хтг(^) равно 1, и или о;2, и
каждое из этих чисел в квадрате равно своему сопряженному.
(Ь) Имеем
Ntt-1
а 3 = Хтг(^) (mod тг),
144 Гл. 9. Кубический и биквадратичный законы взаимности
откуда вытекает, что
Nn-l
a 3 = Хтг(^) (mod тг).
Так как TVtt = TVtt, to полученное сравнение показывает, что Хтг(^) =
= Хтг(с^) (mod тг), а следовательно, Хтг(^) = Хтг(^)- П
Следствие. Xq(&) — Xq(a2) u Xq(n) — 1; есуш п "" рациональное целое
число, взаимно простое с q.
Доказательство. Так как q = g, то х<?(<^) = Xg(^) = Xg(^) = Х<?(^2)>
что дает первое соотношение.
Поскольку п — п) то Xg(n) = Xq(n) — Xq{nJ- Так как Xq(n) Ф 0> то
отсюда следует, что Xq(n) — 1- П
В следствии утверж:дается, что п есть кубический вычет по моду-
модулю q. Таким образом, если q\ ф q2 — два простых числа, сравнимых
с 2 по модулю 3, то (тривиальным образом) XqAoz) — Xg2(?i)- Это част-
частный случай кубического закона взаимности. Для формулировки общего
закона нужно ввести понятие примарного простого числа.
Определение. Если тг — некоторое простое число в D, то мы гово-
говорим, что тг примарно) если тг = 2 (mod 3).
Если 71 — q рационально, то ничего нового не получается. Если же
тг = а + Ьш — комплексное простое число, то это определение эквива-
эквивалентно условиям а = 2 (mod 3) и b = 0 (mod 3).
Понятие примарности нам нужно для того, чтобы избавиться от
неопределенности, вызываемой тем фактом, что каждый ненулевой эле-
элемент в D имеет шесть ассоциированных с ним.
Предложение 9.3.5. Предположим, что Nn = р = 1 (mod 3). Сре-
Среди чисел, ассоциированных с п, имеется точно одно примарное число.
Доказательство. Запишем тг = а + Ьш. Ассоциированными для тг
будут тг, cjtt, о;2тг, —тг, —cjtt, —ш2тг. Через а и b эти элементы могут быть
выражены так:
(a) а + Ьш.
(b) -Ь+(а-Ь)ш.
(c) (Ь — а) — аш.
(d) —a — Ьш.
(e) b+(b- а)ш.
(f) (a- b) +аш.
Так как р = а2 — ab + б2, то оба числа а и b не могут делиться на 3.
Взглянув на выражения (а) и (Ь), убеждаемся в возможности предполо-
предположить, что З/fa. Рассматривая (а) и (d), приходим к выводу, что можно
также предположить, что а = 2 (mod 3). При этом условии равенство
р = а2 — ab + b2 приводит к сравнению 1 = 4 — 26 + b2 (mod 3), или
§ 3. Характер кубического вычета 145
b(b — 2) = 0 (mod 3). Если 3 | 6, то а + Ъи примарно. Если 6 = 2 (mod 3),
то b + F — а)ш примарно.
Для получения единственности предположим, что а + bu примарно.
Рассматривая класс вычетов первого члена в (Ь)-(е), убеждаемся в том,
что ни одно из этих чисел не примарно. Не будет примарным и число
из (f), так как коэффициент а при и не делится на 3. ?
Например, 3 + и — простое число, ибо 7VC + и) — 7, и примарное
простое число, ассоциированное с ним.
Теперь может быть сформулирована
Теорема 1 (кубический закон взаимности). Пусть тт\ и тг2 — при-
марные простые числа, Ntti ф Ъ, 7Vtt2 Ф 3 и Ntti ф 7Vtt2. Тогда
Доказательство будет приведено в §4, а сначала мы сделаем не-
несколько замечаний.
(a) Следует рассмотреть три случая. А именно: оба числа тгх и тг2
рациональны; тгх рационально и тг2 комплексно; оба числа тгх и тг2 ком-
комплексны. Первый случай, как мы видели, тривиален.
(b) Характер кубического вычета для единиц можно получить сле-
следующим образом. Так как —1 = (—IK, то х7Г(—1) = 1 для всех простых
чисел тт.
Если Ntt ф 3, то из предложения 9.3.3, п. (Ь), следует, что Хтг(^) =
= и/^)/3. Таким образом, Хтг(^) = 1? ^ или ^2 в зависимости от того,
будет Ntt = 1,4 или 7 по модулю 9.
(c) Рассмотрение простого числа 1-й представляет особые трудно-
трудности. Если Nn ф 3, то мы хотели бы вычислить ^A — о;). Это сделано
Эйзенштейном в [29] с помощью довольно тонких соображений. Эле-
Элегантное доказательство, принадлежащее Вильямсу, приведено в упраж-
упражнениях.
Теорема V (дополнение к кубическому закону взаимности). Пред-
Предположим, что УУтг^З. Если n — q рационально, то запишем q — Zm — 1.
Если 71 — а + Ъи — примарное комплексное простое число, запишем
а — Зт — 1. Тогда
x.(i-^) = ^2m
Мы дадим доказательство для случая рационального простого чис-
числа q. Так как A — иJ — —За;, то
Согласно следствию предложения 9.3.4, х<?(—3) = 1. По замечанию
(b) Xq(u) = uj^-V/3 = cj^2-1)/3. Таким образом, Xg(l ~^f = cj^2)/
Возводя обе части этого равенства в квадрат, получаем
146 Гл. 9. Кубический и биквадратичный законы взаимности
Далее, q2 — l = 9m2 — 6m, так что ^ о = —4т = 2т (mod 3), откуда
и следует доказываемый результат.
§ 4. Доказательство кубического закона взаимности
Пусть тг — такое комплексное простое число, что Ntt = р = 1 (mod 3).
Так как D/ttD — конечное поле характеристики р) оно содержит эк-
экземпляр поля Ъ/рЪ. Оба поля D/ttD и Ъ/рЪ имеют по р элементов.
Поэтому их можно отождествить. Более явно отождествление задается
отображением класса вычетов числа п в Ъ/рЪ в соответствующий класс
в D/ttD.
Это отождествление дает возможность рассматривать Хп как куби-
кубический характер на Ъ/рЪ в смысле гл. 8 [см. предложение 9.3.3, п. (с) и
(d)]. Следовательно, можно работать с суммами Гаусса да(Хтг) и суммой
Якоби /(ХтмХтг)-
Если х — произвольный кубический характер, то мы доказали (см.
следствие предложения 8.3.3 и предложение 8.3.4), что
(а) д(хK =pJ(x,x);
(b) если J(X) Х) — а + Ьио) то а = — 1 (mod 3) и b = 0 (mod 3).
Так как J(x, x)J(X) x) — V-> TO второе утверждение означает, что
X) х) — примарное простое число в D с нормой р.
Нам понадобится следующая лемма. Предположим, что тг примарно.
Лемма 1. JixTnXn) = тг-
Доказательство. Пусть J^Xn^Xn) — ^• Так как тгтг — р — ttV, to
тг
тг7 или тг
тг7. Так как все привлеченные простые числа примарны, то
либо тг = тг7, либо тг = тг7. Мы хотим исключить вторую возможность.
Из определений получаем
к^A-к{~ (modTr)
Многочлен k 3 A — k) 3 имеет степень —^-q—- < p — 1. Из упр. 11
1 1
гл.4 следует, что ^А; 3 A — k) 3 = O(modp). Это показывает, что
к
J(x-K) Хтг) = 0 (mod тг), т.е. тг | тг7, а значит, тг = тг7. ?
Следствие. д(хтгK —р^-
Теперь мы можем доказать кубический закон взаимности. Рассмот-
Рассмотрим сначала случай, когда тгх = q = 2 (mod 3) и тг2 = тг, причем Ntt = р.
4. Доказательство кубического закона взаимности 147
2 -|
Возведем обе части равенства д(ХтгK — Р^ в степень ^—«—. В резуль-
тате имеем gix^Y l — (р^) 3 • Взяв сравнение по модулю q) получим
Так как Xq(p) — 1? это дает
g(Xn)q2 = ХдЫ)д(Хп) (mod q). A)
Проанализируем теперь левую часть:
/с ^ к
Так как д2 = 1 (mod 3) и Хтг(^) — корень степени 3 из единицы, то
g(xy=gq2(x,)(modq). B)
Согласно предложению 8.2.1, sv(Xtt) = Хтг(<Г2ЖХтг) = Хтг
Таким образом, объединяя сравнения A) и B), получаем
Xn(q)g(Xn) = Хд(ъ)д(Хп) (mod g).
Умножим обе части этого сравнения на д(Хп)- Так как д(Хтг)д(Хтг) —
= р) то
или
ХтгО?) =ХдЫ) (mod
откуда получаем
Остается рассмотреть случай двух комплексных простых чисел тгх
и тг2, для которых Ntti = pi = 1 (mod 3) и 7Утг2 = ^2 = 1 (mod 3). Этот
случай рассматривается по существу так лее, но он немного сложнее.
Пусть 7i = Tfi и 72 = ^2- Тогда 71 и 72 примарны и р\ — tti7i и
Р2 = 7Г272-
Начав с равенства д(х^пK — PiTi? возводим его в степень —^% =
= ^~о— и переходим к сравнению по модулю ТГ2- Тем ж:е способом, что
и выше, получаем соотношение
XiM) =X7T2(Pi7i)- C)
Аналогично, начав с равенства д(х<к2K — Р2^2- возводим его в сте-
степень ^-Цэ— и переходим к сравнению по модулю тгх. В результате полу-
получим
Xtt2(Pi) =Хтг1(Р27Г2). D)
148 Гл. 9. Кубический и биквадратичный законы взаимности
Нам понадобится также соотношение Х71(р|) = ХтгДрг)? которое по-
получается из предложения 9.3.4, так как 71 = fti и р2 = ?>2- Далее после-
последовательно получаем
l (по равенству C)) =
= ХтпЬгтгг) (по замечанию выше) =
= Xtt2(Pi) = X^biTTiTi) (по равенству D)) =
Приравнивая первый и последний члены и сокращая на Xtt2
приходим к нужному результату:
§ 5. Другое доказательство
кубического закона взаимности
Мы приведем доказательство кубического закона взаимности с ис-
использованием сумм Якоби. Это доказательство несколько короче и бо-
более изящно, чем приведенное в §4. Следует, однако, заметить, что при
этом используется больше предварительных сведений.
Рассмотрим случай тгх = q, тг2 = тт. Пусть Хп — X и рассмотрим
сумму Якоби J{xi Xi ••• 1 х) с Я. членами.
Так как 3 | q + 1, то, согласно следствию 1 теоремы 3 из гл. 8,
g(x)q+1=pJ(x,x,-,x)- E)
Так как д(хK = рк, то
2±1
g(x)q+1 = (ртг) 3 • F)
Далее, напомним, что
где сумма берется по всем к\) к2) ..., kq e Z/pZ с ?4 + А;2 + ... + А;^ = 1.
Рассмотрим член, для которого к\ — к2 = ... = kq. Тогда qk\ — 1 и
x(?)x(^i) = 1- Возводя обе части полученного равенства в степень q и
вспоминая, что g = 2 (mod 3), получаем x(?Jx(^i)9 = l5 так что x{^i)q —
= х{я)- Таким образом, «диагональный» член в J(X) X) •••) х) принимает
значение х(о)- Если же не все к{ равны, то имеется q разных ^-наборов,
получаемых из (А;1? ...,kq) циклической перестановкой. Соответствую-
Соответствующие члены в J{xi Xi ••• 1 х) все имеют одинаковое значение. Таким обра-
образом,
J(X, X, •••, X) = Х(о) (mod О)- G)
> 5. Другое доказательство 149
Объединяя равенства E), F) и G), получаем
(ртг) 3 =px{q) {mod q),
или
p 3 7Г 3 = x(g) (mod 5).
Возводя обе части этого сравнения в степень q — 1 (напомним, что
— l = l (mod 3)), получим
(mod
v =
Так как р 3 = 1 (mod 5) по теореме Ферма и тг 3 = xq (тг) (mod 5),
то
и
Рассмотрим теперь случай двух примарных комплексных простых
чисел 7Ti и тг2. Пусть 7i = Tfi, 72 = ^2? Pi = tti7i и Р2 = 7Г272- Тогда
Pi 4P2 = 1 (mod 3). По теореме 3 гл. 8
)
В этой сумме Якоби р2 членов. Так как р2 = 1 (mod 3), то х^ = х71.
Таким образом,
Р2 —1
[^(X7iK] 3 =«/(х-уи --X7i)- (8)
Выделяя диагональный член в сумме Якоби (как мы уже делали
несколько раз до сих пор), получаем, что
«J(x7i> - >X7i) = X-nfa1) (mod P2) = X7i(P2) (mod P2).
Используя это и тот факт, что ^(XtiK = Pi7i? из равенства (8) полу-
получаем сравнение
Xtt2(Pi7i) = X7i(P2) (mod ^2),
а следовательно,
Xtt2(Pi7i) = ХчМ)' (9)
Аналогично доказывается, что
Равенства (9) и A0) суть основные соотношения. Далее рассуждения
проводятся точно так же, как в §4, вплоть до искомого соотношения
150 Гл. 9. Кубический и биквадратичный законы взаимности
§ 6. Характер кубического вычета числа 2
Кубический закон взаимности можно использовать для развития те-
теории кубических вычетов таким же образом, как квадратичный закон
взаимности для получения результатов §2 гл.5. Мы откажемся от по-
построения общей теории ради обсуждения поучительного частного слу-
случая, а именно нахождения всех простых чисел тг в кольце D) для кото-
которых 2 является кубическим вычетом.
Для начала заметим, что х3 = 2 (mod тг) разрешимо тогда и только
тогда, когда х3 = 2 (mod тг7) разрешимо для всех тг7, ассоциированных с
тг. Следовательно, можно предполагать, что тг примарно. Если тг = q —
рациональное простое число, то Х<?B) = 1, так что 2 будет кубическим
вычетом для всех таких простых чисел. Мы будем далее предполагать,
что Ti — a-\-bu — примарное комплексное простое число. По кубическому
закону взаимности ХтгB) = Xzijt). Норма для 2 равна 22 = 4. Следова-
Следовательно,
4-1
тг = тг 3 = Х2(?г) (mod 2).
Отсюда вытекает, что ХтгB) = 1 в том и только том случае, когда
тг = 1 (mod 2). Мы доказали
Предложение 9.6.1. Сравнение х3 = 2 (mod тг) разрешимо тогда
и только тогда, когда тг = 1 (mod 2), т.е. тогда и только тогда, когда
а = 1 (mod 2) и b = 0 (mod 2).
Это предложение можно сформулировать по-другому. Пусть тг = а+
+ Ъи — примарное комплексное простое число ир = Nn — а2 — ab + b2.
Тогда Ар = Ba-bJ+3b2. Если положить А = 2а-Ь и В = |, то Ар = А2+
+ 27В2. Согласно предложению 8.3.2, целые числа А и В определены
однозначно с точностью до знака.
Предложение 9.6.2. Если р = 1 (mod 3), то х3 = 2 (mod p) раз-
разрешимо в том и только том случае, когда существуют такие целые
числа С и D, что р — С2 + 27D2.
Доказательство. Если сравнение х3 = 2 (mod p) разрешимо, то раз-
разрешимо и сравнение х3 = 2 (mod тг), а следовательно, тг = 1 (mod 2) по
предложению 9.6.1. Мы имеем
Ар = А2 + 27Б2, где А = 2а - 6, В = - .
о
Так как b четно, то четны В и А. Пусть D = -~- и С = ту . Тогда
p = C2 + 27D2.
Обратно, предположим, что р = С2 + 27D2. Тогда Ар = BСJ +
+ 27BDJ. Из однозначности получаем, что В = ±2D, т.е. В четно, а
§ 7. Биквадратичный закон взаимности 151
следовательно, четным будет и Ь. Отсюда следует, что тг = а + Ъи =
= 1 (mod 2) и х3 = 2 (mod тг) разрешимо. Так как D/ttD содержит р =
= Ntt элементов, то существует такое целое число h) что h3 = 2 (mod тг).
Теперь нетрудно показать, что h3 = 2 (mod р). Если тг | h3 — 2, то тг | h3 — 2
и тгтг = p|(/i3 — 2J. Следовательно, р | /i3 — 2, и предложение доказано.
?
В качестве примера рассмотрим р = 7. Тогда х3 = 2 (mod 7) нераз-
неразрешимо, так как очевидно, что не существует целых чисел С и D, для
которых 7 = С12 + 27?>2.
С другой стороны, ]9 = 31 = 22 + 27-12. Следовательно, х3 = 2 (mod 31)
разрешимо. Действительно, 43 = 2 (mod 31).
§ 7. Биквадратичный закон взаимности:
предварительные сведения
В своем втором мемуаре A832 г.) о биквадратичных вычетах Гаусс
сформулировал (без доказательства) биквадратичный закон взаимно-
взаимности. Он писал, что доказательство этого закона является одной из тайн
высшей арифметики. Детали доказательства должны были быть опуб-
опубликованы в третьем мемуаре, который, к сожалению, не появился в
печати.
Позже A844 г.) несколько доказательств с использованием сумм
Якоби и Гаусса опубликовал Эйзенштейн. Основная идея та же самая,
что и в кубическом случае, хотя детали доказательств более громозд-
громоздки. Использование сумм Гаусса для доказательства законов взаимности
восходит к самому Гауссу, который существенно использовал их в своем
шестом доказательстве квадратичного закона взаимности.
На протяжении следующих трех параграфов D обозначает кольцо
Щг\ целых гауссовых чисел. Если а е D, то (а) = aD есть главный
идеал, порожденный а. Под простым числом будет всегда иметься в
виду положительное простое число в Z. Напомним, что D — евклидово
кольцо (гл. 1). Следовательно, если тг неразложим и тг | aj3) то либо тг | а)
либо тг | j3. Если N(a) — 0161 — норма числа а, то, согласно упр. 32 гл. 1,
N{ol) — 1 тогда и только тогда, когда а — единица. Отсюда следует, что
единицами в D будут ±1, ±г.
Лемма 1. Если тт неразложим, то существует такое простое чис-
число р GZ; что тг \р.
Доказательство. N(n) = тгтг = п — р\...р8, Pk ~ простые числа,
Й GZ. Тогда тг | pk при некотором к. ?
Следовательно, все неразложимые числа находятся разложением в
D всех чисел, простых в Z. Будет полезна следующая лемма.
152 Гл. 9. Кубический и биквадратичный законы взаимности
Лемма 2. Если а Е D и N(a) — простое число, то а неразложимо.
Доказательство. Если а = //А, то N{a) = N(ii)N{X). Так как N(a) —
простое число, отсюда следует, что N(fjb) = 1 или N(X) = 1. Значит,
одно из чисел \i или А будет единицей. ?
Лемма 3. Число 1 + г неразлоэюимо и 2 = —гA + гJ — разложение
на простые мноэюители числа 2 в D.
Доказательство. N(l + i) = 2, и поэтому первое утверждение следу-
следует из леммы 2. Второе утверждение проверяется прямым вычислением.
?
Лемма 4. Если q = 3 (mod 4) — простое число в Ъ, то q неразло-
неразлоэюимо в D.
Доказательство. Если бы q было разложимо в D, то q — а/?, причем
N(a) > 1 и N(/3) > 1. Переходя к нормам, получим q2 = N(a)N(/3).
Отсюда следует, что q = N(a). Если а = а + Ы) где a, b e Z, то § = а2 +
+ Ь2. Получается противоречие, ибо сумма двух квадратов в Z сравнима
с 0 или 1 по модулю 4, a q сравнимо с 3 по модулю 4. ?
Лемма 5. Если р — простое число, р = 1 (mod 4), то существует
такое неразлоэюимое число тг, что р = тгтг. Кроме того, (тг) ф (тг).
Доказательство. Первое утверждение совпадает с п. (а) предложе-
предложения 8.3.1. Другое доказательство, не использующее сумм Якоби, сле-
следующее. Так как р = 1 (mod 4), то, согласно предложению 5.1.2, суще-
существует целое число а с а2 = — 1 (mod р). Следовательно, р \ а2 + 1 = (а +
+ г)(а — г). Если бы р было неразложимым, то р \ а + г, что невозможно.
Таким образом, р = a/?, JV(a) > 1, N(/3) > 1. Взятие нормы приводит
к заключению, что р = N(a). Так как 7V(a) — простое число, то из
леммы 2 следует, что а неразложим. Утверждение о том, что (а) ф (а),
предлагается проверить в качестве упражнения. П
Это завершает описание неразложимых чисел в кольце D.
Определение. Число а Е Z), не являющееся единицей (в дальней-
дальнейшем мы будем называть такие элементы неединицами), называется при-
марным) если а = 1 (mod A + гK).
Лемма 6. Неединица а примарна тогда и только тогда, когда а =
= 1 (mod 4), 6 = 0 (mod 4) или а = 3 (mod 4), 6 = 2 (mod 4).
Доказательство. Так как A + гK = 2гA + г), то а + Ы примарно в
том и только том случае, когда
а — 1 + Ы а + b — 1 6 — а + 1 _
Это эквивалентно справедливости двух сравнений: а + 6 = 1 (mod 4),
а — 6 = 1 (mod 4). Отсюда легко получается доказываемый результат. ?
§ 8. Символ вычета степени 4 153
Заметим, что любая неединица а = 1 (mod 4) в D примарна. Кроме
того, если а примарно, то A + г)Ха- Если q — вещественное простое
число в Z, q = 3 (mod 4), то — q примарно и неразложимо. Относительно
неразложимых чисел, возникающих из простых чисел р = 1 (mod 4),
имеет место следующий важный результат.
Лемма 7. Пусть а е D — неединица, (l + ^J^a. Тогда существует
единственная единица и, для которой uoi примарно.
Доказательство. Существует единица ?, для которой еа — а + Ы,
где а нечетно и b четно. Умножая, если нужно, это равенство на —1,
из леммы 6 выводим, что а имеет примарное ассоциированное число.
Если щ и щ — такие единицы, что ща и ща примарны, то из A +
+ г)Ха следует, что щ = щ (mod A + гK). Рассмотрение всех случаев
показывает, что U\—U2- П
Лемма 8. Примарный элемент моэюет быть записан в виде про-
произведения примарных неразлоэюимых элементов.
Доказательство. Пусть а Е D примарно. Тогда существуют такие
рациональные простые числа q^ = 3 (mod 4), примарные неразложимые
тг/ь, N(nk) = I(mod4), и единица и, что а — utti ... тгш(—§i) ... (—qn).
Приведение по модулю A + гK показывает, что 1 = и (mod A + гK).
Это означает, что и = 1. ?
§ 8. Символ вычета степени 41
Рассмотрим некоторый неразложимый элемент тт в D.
Предложение 9.8.1. Кольцо классов вычетов D/ttD является по-
полем, состоящим из N(n) элементов.
Доказательство. Оно проводится точно так же, как в предложе-
предложении 9.2.1, с заменой классификации неразложимых элементов в Ъ[и] на
соответствующую классификацию в D — Щг\. ?
Следствие. Если тт/^о^ то aN^~l = 1 (mod тг).
Предложение 9.8.2. Если тг^а, (тт) ф A + г), то существует
единственное целое число j, 0 ^ j ^ 3; для которого
а 4 = V (mod тг).
Доказательство. Нетрудно убедиться в том, что классы вычетов
чисел 1, —1, г, —г различны. Они являются корнями сравнения х4 =
= 1 (mod тг). Но класс вычетов элемента q/^71"))/4 тоже является ре-
1 В дальнейшем используются также выражения «символ биквадратичного вы-
вычета», «характер биквадратичного вычета», «характер вычета степени 4». — Прим.
ред.
154 Гл. 9. Кубический и биквадратичный законы взаимности
шением сравнения х4 = 1 (mod тг) согласно предыдущему следствию.
Отсюда и вытекает доказываемый результат. ?
Определение. Если тг неразложим, УУ(тг) ф 2, то характер биквад-
ратичного вычета элемента а для njfa определяется посредством фор-
формулы Хтг(^) = Vч где j берется из предложения 9.8.2. Если тг | а, то
ХтгИ = О-
Предложение 9.8.3.
(а) Если Trjfa, то
Хтг(^) = 1 ^ сравнение х4 = a (mod тг) имеет решение в D\
(с) хЛа) = Хтг(^); а_г
(d) ео/ш число тт примарно и неразложимо, то х7Г(—1) = (—1) 2 ,
тг = а + 6г;
(e) еслг^ а = Р (mod тг), то Хтг(^) = Хтг(Р)'ч
(f) есл^ (тг) = (А), то Хтг(^) = Ха(«).
Доказательство. Пункт (а) следует из предложения 7.1.2. Пункты
(Ь), (с), (е) и (f) следуют непосредственно из определения. Пункт (d)
вытекает из леммы 6 (см. упр. 38). ?
Предложение 9.8.4. Пусть q — простое число, q = 3(mod4).
Тогда Xq(a) — 1 для а е Ъ, qj^a.
Доказательство. N(q) = q2. Следовательно,
q2-! q±l
Xq(a>) = a 4 (mod q) — (aq~l) 4 = 1 (mod 5),
согласно малой теореме Ферма. ?
Характер биквадратичного вычета обобщается следующим образом.
Определение. Пусть а е D — такая неединица, что A + i)Xa-> и
Р е D. Запишем а — Y\\k, где А& неразложимы. Если (а,/?) = 1, то
к
определим Ха(Р) формулой
к
Согласно предложению 9.8.3 (f), это определение корректно. Из п. (е)
этого предложения следует, что если /3 = 7 (mod а)) то Ха(Р) — Xa(l)-
Предлож:ение 9.8.5. Пусть а^Ъ,афО, иа^Ъ нечетно и не
равно ±1. Если (а, а) — 1, то
Xa@i) = 1.
Доказательство. Можно считать, что а > 0. Запишем а = Y\Pk П Фь
§ 9. Биквадратичный закон взаимности 155
где pk, qk — простые числа, р^ = 1 (mod 4), q^ = 3(mod4). В силу
предложения 9.8.4 нам следует проверить лишь, что Хрк(а) — 1- Если
рк = тгтг, где тг неразложимо, то хРк(а) = Хтг(^)Хтг(^) = хЛа)хЛа) = 1
в силу предложения 9.8.3 (с). ?
Предложение 9.8.6. Если п ф 1 — целое число, п = 1 (mod 4), то
Хп(г) = (-1)^.
Доказательство. Заметим, что п может быть отрицательным. Если
п — р — положительное простое число, р = 1 (mod 4), то, записывая
р = тгтг, получаем
Хр@ = Х*(*Ы0 = (гV)' = (-1)V.
Если, с другой стороны, n — —q1 причем q — простое число, g = 3 (mod 4),
q2-! q+1 -q-1
то x-q(i) = г 4 (mod q) = (iq~l) 4 = (-1) 4 . Если п = 1 (mod 4)
произвольно, то мож:но записать
n = pi...pt(-qi)...(-qs), pk = 1 (mod 4), ^ = 3 (mod 4).
Тогда наш результат следует из упр. 44. ?
§ 9. Биквадратичный закон взаимности
Общий биквадратичный закон взаимности может быть сформули-
сформулирован следующим образом. Пусть Л и тг — взаимно простые примерные
элементы в D. Тогда имеет место
7У(тг)-1 JV(A)-1
Теорема 2. Х7Г(А) = Ха(тг)(-1) 4 4 .
Если тг и Л примарны, тг = а + 6гиЛ = с + йг, то нетрудно убедиться
а1 ci ) )
в том, что числа —^ ^— и —^4 ^Ч имеют одинаковую
четность, так что можно написать
Другими словами, если хотя бы одно из тг и Л, сравнимо с 1 по модулю 4,
то тг и Л, соответствует один и тот же биквадратичный характер. Если
же они оба сравнимы с 3 + 2г (см. лемму 6), то тг и Л имеют «противо-
«противоположные» характеры в том смысле что Хтг(^) = — Ха(^)-
Пусть тг — примарное неразложимое число с 7V(tt) = р = 1 (mod 4),
и пусть Хтг — соответствующий характер вычета степени 4. Тогда Хтг
можно рассматривать как мультипликативный характер конечного по-
поля D/ttD = F. Напомним, что F — конечное поле из р элементов, со-
состоящее из классов вычетов чисел 0, 1, ...,р—1. Если ( = е2ш/р, то пусть
156 Гл. 9. Кубический и биквадратичный законы взаимности
#(Хтг) = Y1 Хтг(к)(к — сумма Гаусса, соответствующая Хтг- Если ф = xl,
то ф — нетривиальный характер порядка 2 на F и, следовательно, сов-
совпадает с символом Лежандра.
Предложение 9.9.1. J(Xtt,Xtt) = Хтг(-1)«/(Хтг, Ф)- 2
Доказательство. В силу теоремы 1 из гл.8 Л^ХтпХтг) — f/\ • Та-
Таким образом,
ХJ = 9 }\ = Х(
д(ФJ ^
если воспользоваться предложениями 6.3.2 и 8.3.3. Это и дает доказы-
доказываемый результат. ?
Предложение 9.9.2. #(ХтгL = pJ{Xm ХтгJ-
Доказательство непосредственно следует из предложений 9.9.1 и
8.3.3. ?
Предложение 9.9.3. Число —Хтг(—1) J(Xtt, Хтг) примарно.
Доказательство. Очевидно, что
х (aw (i-k) + x (P + 1J
к=2 Хп Xv ХЛ 2 ; ¦
Но любая единица в D сравнима с 1 по модулю 1 + г. Кроме того, р =
= 1 (mod 2 + 2г). Наконец, Хтт(^— ) = (Хтг( А)) =ХтгB)~2= ХтгBJ =
= Хтг(—^A + iJJ — Хтг(—iJ — Хтг(—!)• Таким образом,
J(X?n Хтг) = 2^^ + хЛ-1) (mod 2 + 2г) = -2 + Х7Г(-1) (mod 2 + 2г).
Следовательно,
-Хтг(-1)</(Хтг, Хтг) = 2Хтг(-1) - 1 (mod 2 + 2г) = 1 (mod 2 + 2г),
так как х7Г(—1) = ±1. П
В следующем предлож:ении вычисляется примарный элемент
Предложение 9.9.4. -Хтг(-1)«/(Хтг, Хтг) = тг-
Доказательство. В силу леммы 7 из § 7 достаточно показать, что
левая и правая части отличаются на единицу. Но
A; 4 A-А;) 4 (mod тг).
/с=1
В силу упр. 11 из гл.4 отсюда следует, что J^t^Xtt) = 0 (mod тг). Со-
Согласно следствию теоремы 1 из гл. 8, N(J(xtt^ Хтг)) = Р- Таким образом,
элемент J^Xi^X-k) неразложим и предложение доказано. ?
§ 9. Биквадратичный закон взаимности 157
Объединяя предложение 9.9.4 с предложением 9.9.2, получаем раз-
разложение на множители для д(хL в D.
Предложение 9.9.5. д(ХтгL = к3тг.
Мы докажем теперь два частных случая биквадратичного закона
взаимности. Общее утверждение будет их формальным, хотя и утоми-
утомительным следствием.
Предложение 9.9.6. Пусть q > 0 — вещественное неразложимое
число в D. Тогда
Доказательство. Так как q = 3 (mod 4), то
. w (mod «) = Е^ W (mod ^
fe=i
= Хтг(д)р(Хтг) (mod q).
Следовательно,
В силу замечания, следующего за предложением 8.2.2, и того факта,
что тг = 7Tq (mod q) (см. упр. 45), из предложения 9.9.5 получаем
тг 4
или
к 4 =Хтг(-9) (mod
Но тг 4 = XgGr) (mod §)• Таким образом,
=Хтг(-9) (mod 5),
откуда, ввиду того что обе части являются единицами, следует, что
Это завершает доказательство. П
Q N(q) - 1
оаметим, что число — q примарно и неразложимо, а —^Ч =
а2 - 1
= ^—д— четно. Следовательно, предложение 9.9.6 в самом деле есть
частный случай биквадратичного закона взаимности.
Предложение 9.9.7. Пусть q — простое число, q = I(mod4).
Тогда хЛя)
158 Гл. 9. Кубический и биквадратичный законы взаимности
Доказательство. Так как q = I (mod 4), то
W (mod q) =
/c=l /c=l
а следовательно,
Ввиду предложения 9.9.5 это приводит к
?+3
(тг3тг) 4 = Х7г(?)тг3^ (mod q).
Обе части этого сравнения принадлежат D и (#, тг) = (#, тг) = 1. Таким
образом, можно произвести деление и получить
Если § = АЛ, где Л неразложим в D, то полученное сравнение означает,
что
Хл(^3)хл(^) = хМ) (mod Л).
Как и в предыдущем случае, делаем вывод о том, что
ХлGг3)хл(тг) = хЛо)-
Это можно записать в виде
или
что по определению дает
Хд(Ю =Хтг(?).
Переход к сопряженным завершает доказательство. ?
Читателю следует обратить внимание на то, что в определении 9.9.7
q разложимо и что правая часть есть обобщенный символ биквадратич-
ного вычета.
Следующее предложение является формальным упражнением, ис-
использующим лемму 8 из § 7 и предложения 9.8.6, 9.9.6 и 9.9.7.
Предложение 9.9.8. Пусть а вещественно и а = 1 (mod 4); a A
примарно, (Л, а) = 1. Тогда Ха(^) — Хх(а)-
Предположим теперь, что тг = a + bi и Л = c+di примарны и взаимно
просты. Мы не предполагаем, что УУ(тг) ф N(X) или что они неразло-
неразложимы.
j 9. Биквадратичный закон взаимности 159
Предложение 9.9.9. Если (а, Ъ) — 1, (с, d) — 1, то
g-1 c-1
i 2 2
Доказательство. Так как (тг, А) = 1, то из предположений следует,
что (а, тг) = F, тг) = (с, А) = (d, А) = 1. Соотношение стг = ac+bd (mod A)
означает, что (ас + bd, А) = (ас + bd, тг) = 1. Кроме того,
Аналогично
у7Г(а)у7Г(А) = Хтг(ас + bd). B)
Беря сопряженное к B) и умножая на A), получаем соотношение
Таким образом, мы показали (следует использовать пункт (с) предло-
предложения 9.8.3), что
ХаGг)Хтг(А) = Х\(с)Хтг(а)х\тг(ас + bd). C)
Предположим, что с, а и ас + bd — неединицы. Три члена в правой
части равенства C) легко вычисляются. Для нечетного числа п поло-
п-\
2
жим е(п) — (—1) 2 . Тогда s(n)n = I (mod 4) и б(ас + bd) =е(а)е(с), так
как bd = 0 (mod 4). Записывая равенство ха(х) = Ха(^(х))Ха(^(х)х) Для
каждого члена из правой части соотношения C), получаем, если заме-
заметить, что Ха(^(х)) — Ха(^(х))) и воспользоваться предложениями 9.9.8
и 9.8.3 (Ь), равенство
)• D)
Что касается последних трех членов, то мы вычисляем их, используя
предложение 9.8.6:
Хс(А) = Хс(с - di) = Xc(-di) = Xc{i),
( \ ( i L Л /7 Л ( -\
л/ I 7Г I — Л/ I П -\— П1 I — Л/ I П1 I — Л/ I 7 I
Аа\п ) ЛоД1^ ^^ / Лау176/ A,a\b) i
Таким образом,
ХлGГ)Хтг(А) = X(ac+bd)ac(i) ~
(ac+bd)ac-l g-1 c-1 E)
= (-1) 4 (предложение 9.8.6) = (-1) 2 2 .
Последнее равенство — простое упражнение с использованием леммы 6
из § 7. Мы оставляем читателю несложную задачу рассмотреть ситуа-
ситуацию, когда одно из чисел а, с или ас + bd является единицей (т.е. ±1).
?
160 Гл. 9. Кубический и биквадратичный законы взаимности
Общий биквадратичный закон взаимности легко следует из пред-
предложения 9.9.9. Действительно, запишем тг = т(а + Ы)) А = п(с + di))
(тг, А) = 1, где т = п = 1 (mod 4), (а, Ь) = 1, (с, d) — 1. В силу пред-
предложения 9.9.7 ХтгН = Хп(тг) и хл(га) = Хш(А). Кроме того, Хт(п) =
= Хп(т) — 1? в силу предложения 9.8.5. Тогда, так как числа а + 6г и
с + di примарны,
Хл(тг) = Хх(т)хх(а + Ьг) = Xm(A)Xn(a + 6i)
g-l c-1
В последнем равенстве мы воспользовались тем, что m = n = l (mod 4).
Это завершает доказательство, памятник изобретательности и настой-
настойчивости! ?
§ 10. Рациональный биквадратичный
закон взаимности
В этом параграфе всюду р и q обозначают различные простые чис-
числа, сравнимые с 1 по модулю 4. В таком случае мультипликативная
группа (Ъ/рЪу имеет единственную подгруппу порядка ^—т—, состоя-
состоящую из вычетов четвертых степеней целых чисел. Рассмотрим характер
биквадратичного вычета х-ю определенный с помощью неразложимого
числа тг, делящего р в Z[i]. В силу предложения 9.8.3 Xtt(q) — 1 тогда и
только тогда, когда х4 = q (mod тг) имеет решение х ? Щг\.
Лемма 1. Xtt(q) — 1 тогда и только тогда, когда х4 = q (mod p)
имеет решение х е Z.
Доказательство. В силу предложения 9.8.1 целые числа 0, 1, 2,...,
р — 1 образуют полную систему вычетов для классов вычетов в Щг\
по модулю тг. Таким образом, Хтг((?) = 1 тогда и только тогда, ко-
когда х4 = q (mod тг) имеет решение х ? Z. Отсюда следует, что х4 =
= q (mod тг). Но (тг, тг) = 1. Поэтому р — тгтг | х4 — §• ?
Пусть ^ обозначает квадратичный характер (см. гл. 8 § 1).
Лемма 2. Если i/jp(q) = 1, mo Xtt(q) — ±1-
i
Доказательство. Поскольку § 2 = 1 (mod p), то
xi(q) = lq 4 ) (mod тг) = q 2 (mod тг) = 1 (mod тг).
Следовательно, xiio) — 1-
§ 10. Рациональный биквадратичный закон взаимности 161
Таким образом, предполагая, что q — квадрат по модулю р, полу-
получаем, что Хтг(о) равно 1 или —1 в зависимости от того, будет или нет q
четвертой степенью по модулю р. По квадратичному закону взаимности
Фя(р) — +1- Заметим, что значение Xtt(q) зависит лишь от р и д, а не
от выбора неразложимого тт. Вопреки тому, что можно ожидать, связь
между двумя целыми числами Xtt(q) и Х\(р)) гДе ^ — неразложимое
число, делящее q) не является простым следствием биквадратичного
закона взаимности. В 1969 году Бурдэ [102] открыл следующий заме-
замечательный закон взаимности. Так как р и q сравнимы с 1 по модулю 4,
мы можем записать р — а2 + б2, q — с2 + сР, где а = с = 1 (mod 2) и
b = d = 0 (mod 2). Всюду далее мы предполагаем, что фд(р) = 1.
1
Теорема 3. хМ)Х\{р) = (~1) 4 ipq(ad-bc).
Излагаемое ниже изящное доказательство принадлежит Вильямсу
[244]. В нем не предполагается, что биквадратичный закон взаимности
установлен, однако используется значение квадратичной суммы Гаусса
(гл.6, §4). Следующее предложение представляет интерес и само по
себе. (См. комментарии в конце § 12.)
Предложение 9.10.1. Пусть тг — примарное неразложимое число,
делящее р. Тогда
где у/р обозначает полоэюительный квадратный корень.
Доказательство. В силу предложения 9.9.4 и теоремы 1 из гл. 8
м'~ лпу ' дШ '
Наше предложение теперь следует из теоремы 1 гл. 6 и того факта, что
^7Г(—1) = (—1) 4 . ?
Предложение 9.10.2. Если тг — примарное неразлоэюимое число,
делящее р, то
Xx(p)Xtt(q) = тг 2 (mod q).
Доказательство. В кольце всех целых алгебраических чисел
'-1 \q P-1
Г^Хтг(^)С/с ) (m°d q) = ^2хтг(к)Ск (mod q) =
:=1 ^ /c=l
= Хтг(я~1)д(Х7г) (mod 5) = Хтг(?M'(Х7г) (mod 5).
Последнее сравнение получается потому, что
хЛя'1) = хКо) = хКо)хЛя) = хЛя)-
162 Гл. 9. Кубический и биквадратичный законы взаимности
Значит, умножение на д(ХпK дает
р(Х7гL(р(Хтг))9 = ХтгСяЖХтгL (mod q).
Два члена в левой части принадлежат Z[i], согласно предложению 8.3.3;
а в силу предложения 8.2.2 N(g(x7rL:) = Р4- Поэтому можно произвести
сокращение на д(ХтгL и получить
д^-1 = Xv(q) (mod q).
Использование предложения 9.10.1 приводит к соотношениям
2) =Р 4 тг 2 =Х
Но р 4 = Хл(р) (mod Л). Так как обе части этого сравнения веществен-
вещественны, то, беря сопряженные и используя равенство (Л, Л) = 1, убеждаемся,
что это сравнение выполняется по модулю q. Это завершает доказатель-
доказательство. ?
В следующем предложении тг не предполагается примарным. Запи-
Запишем тг = а + Ы и Л = с + di.
i
Предложение 9.10.3. тг 2 = ipq(d)ipq(ad — be) (mod
Доказательство. Так как dir = ad — be (mod Л), то
(d?r) 2 = (ad — be) 2 (mod Л).
Таким образом,
ipq(dOr 2 = %l)q(ad — be) (mod Л).
Аналогично сравнение dn = (ad + be) (mod Л) означает, что
ipq(dOr 2 = ipd(ad + be) (mod Л).
Доказательство получается теперь из следующей леммы. ?
Лемма 3. ^q(ad — be) — ipq(ad + be).
Доказательство. Так как с2 = — d2 (mod q)) то
i/jq(ad - bc)i/jq(ad + be) = ipq(a2d? - b2c2) = ^(d2^) = фд(р) = 1. ?
Заметим, кроме того, что, так как /0^(—1) = 1, в качестве следствия
доказанной леммы имеем i/jq(ad — be) = i/jq(—ad + be) = i/jq(—ad — be).
Таким образом, без потери общности в формулировке теоремы 3 мож-
можно предположить, что число тг примарно. При этом предположении из
предложений 9.10.2 и 9.10.3 получаем, что
Xn(q)xx(p) = ipq(d)ipq(ad - be).
§11. Построение правильных многоугольников 163
Доказательство теоремы 3 завершается следующей леммой.
Лемма 4. Если q = c2 + d2, с > 0; с = 1 (mod 2), то фд(A) = (—1) 4 .
Доказательство. Пусть фс обозначает символ Якоби. Тогда в силу
предложения 5.2.2 имеем фд(с) = фс(я) — ^c(d2) = 1. (Ср. упр. 26 из гл.5.)
Но из с2 = — d2 (mod q) следует, что с 2 =(—lLd2 (mod q). Таким
образом, фд(с) = 1 = (—1) 4 ipq(d). ?
§ 11. Построение правильных многоугольников
30 марта 1796 года Гаусс, которому тогда еще не исполнилось 19 лет,
начал вести дневник, в котором он сообщал о своих открытиях. Первая
его запись такова: «Principia quibus innitur sectio circuli, ас divisibilitas
eiusdem geometrica in septemdecim partes, etc.» («Принципы, на которых
основывается деление круга, а именно геометрическое деление на 17 ча-
частей и т.д. ...»). В более общем виде в своих «Disquisitiones Arithmeticae»,
§365, Гаусс доказал, используя «круговые периоды», что если р — про-
простое число вида 2п + 1, то правильный многоугольник с р сторонами
может быть построен с помощью линейки и циркуля.
В этом параграфе мы даем короткое доказательство этого результа-
результата, используя суммы Гаусса и Якоби.
Вообще возможность построения комплексных чисел в нашей ситу-
ситуации означает, что они могут быть получены из Q конечной последо-
последовательностью рациональных операций и операций взятия квадратных
корней. Более точно:
Определение. Комплексное число а Е С моэюет быть построено^
если существуют такие подполя Q = Kq С К\ С ... С Кп в С, что
а Е Кп и Ki — Ki-i(y/ai) для некоторого о^ Е iiTj-i? i = 1, ..., п.
Здесь К(у/Р) обозначает поле всех комплексных чисел вида а + Ьу//3,
a,b E К (см. упр. 6 из гл. 6). Легко видеть, что а может быть построено
тогда и только тогда, когда вещественная и мнимая части числа а могут
быть построены. Кроме того, если а может быть построено, то может
быть построено и число у/а.. Пусть, как обычно, (п = е2угг/п.
Лемма 1. Число fa моэюет быть построено, п = 1, 2,... .
Доказательство. Так как (faJ = fa-i, этот результат получается
по индукции (^2, конечно, может быть построено). ?
Лемма 2.
{1, если к = 0,
р — 1, если к = 1,
0, если к Ф 0,1.
164 Гл. 9. Кубический и биквадратичный законы взаимности
Доказательство. Если х — е ~ тривиальный характер, то е@) = 1.
Поэтому результат верен для к = 0. Он верен также для к = 1, в силу
предложения 8.1.3, а оставшийся случай есть следствие предложения
8.1.3. ?
Напомним, что простое число Ферма есть простое число вида 2п +1.
Теорема 4. Если р — простое число Ферма, то (р моэюет быть
построено. _г
Доказательство. Если д(х) — ^ х{^)Ср ~ сумма Гаусса, соответ-
/с=0
ствующая X) то р-1
Е *(*) = Ё (Е *(*)) с; = 1+(р - i)Cp.
Таким образом, C,v = т- ( — 1 + ^р(х)), а потому (^ мож:ет быть
построено, если может быть построено каждое д(х)-
Но р — 1 = 2П. Так как характеры образуют группу порядка р — 1,
мы видим, что порядок х есть 2т для некоторого т. Воспользовавшись
предложением 8.3.3, получаем тогда
д{хГ = x(-i)pJ(x, х)Ах, х2) - Ах, х2™)-
Но J{XiXk) ^ Щ^2п\ так что по лемме 1 число д(хJШ может быть по-
построено. Отсюда следует, что д(х) может быть построено и доказатель-
доказательство окончено. ?
§12. Кубические суммы Гаусса и проблема Куммера
Если р — простое число, сравнимое с 1 по модулю 4, то простое
рассуждение из предложения 6.3.2 показывало, что д(хJ — Р->
k=l k=0 k=0
— классическая квадратичная сумма Гаусса. Таким образом, мы без осо-
особого труда показали, что д(х) является одним из вещественных корней
уравнения х2 — р — 0. Используя более сложные рассуждения, мы по-
показали в § 6 гл. 6, что на самом деле д(х) всегда будет большим корнем,
т.е. д(х) = у/р.
В случае кубических сумм Гаусса обсуждаемый вопрос более тонок.
Пусть р — простое число, сравнимое с 1 по модулю 3, и рассмотрим
^ cos = G. Запишем р = тгтг, где тг — комплексное примарное
простое число в Z[cj], и пусть Хп — кубический характер, соответству-
соответствующий тг, как это определено в § 3.
j 12. Кубические суммы Гаусса и проблема Куммера 165
Лемма 1. G = д(хп) + д(Хп)-
Доказательство. Если ( = е2ш/р, то, так как G вещественно и — 1 =
k=0 k=0
+ д(х<к)- п
Заметим, что в приведенном выше доказательстве х может быть
любым характером порядка 3. Однако в следующей лемме выбор Хп
существен. Запишем тг = а + Ьш.
Лемма 2. Число G является вещественным корнем кубического
уравнения х3 — Зрх — Bа — Ь)р — 0.
Доказательство. В силу леммы 1, заменяя Хп на X) получаем
G3 = д(хТ + д(хK + ЫхМх) (д(х) + д(х)) =
= рп +ртт + 3pG = 3pG + pBa - b).
На втором шаге мы воспользовались следствием леммы 1 из § 4. ?
Следствие. G является корнем уравнения х3 — Зрх — Ар = 0; где
4р = А2 + 27В2, А = 1 (mod 3).
Доказательство. Это утверждение есть простое следствие предло-
предложения 8.3.4. ?
Таким образом, G одновременно является вещественной частью д(Хтг)
и корнем многочлена х3 — Зрх — Ар. Так же как и выше, убеждаемся в
том, что другими корнями будут 2Ке(ид(хтг)) и 2Re(u;2g(x7r))- Исполь-
Используя тот факт, что \д(Хтг) \ — \fv нетрудно получить, что каждый интервал
(-2у/р, -у/р), {-у/р, у/р) и (у/р, 2у/р) содержит точно один корень (см.
упр. 43). По следствию леммы 1 из §4 значение д(Хтг) определено с точ-
точностью до 1, и; или и2. Не сумев найти выражения для этого корня из 1
для р общего вида, Куммер предложил произвести статистическое изу-
изучение распределения тех простых чисел, для которых G) скажем, равно
наибольшему корню многочлена х3—Зрх—Ар. Он обнаружил, например,
что среди простых чисел, меньших 500, G лежит в интервале (у/р, 2у/р)
для 24 простых чисел. Интервал (—2у/р, —у/р) отвечает 7 простым чис-
числам, а средний интервал — 14 простым числам. (См. [164], т. 1, с. 50,
296, 353.) Полагая h = (-2у/р, -у/р), /2 = (-у/р, у/р),13 = (у/р, 2у/р) и
обозначая через N^(M) число простых чисел, меньших М, для которых
G лежит в /fc, он заметил, что отношение 7ViE00) : 7V2E00) : 7V3E00)
приближенно равно 1:2:3.
Однако в 1953 году фон Нейман и Гольдштейн, рассматривая все
простые числа вида ЗА; + 1, меньшие 9973, пришли к приближенному
отношению 2:3:4 [197]. В их вычислениях 7ViA04) = 138, iV2A04) =
166 Гл. 9. Кубический и биквадратичный законы взаимности
= 201, 7V3A04) = 272. Они писали: «Эти результаты, по-видимому, ука-
указывают на значительное отклонение от предполагаемой плотности и
на тенденцию к случайности». Эмма Хемер расширила вычисления до
первых 1000 простых чисел р, р = 1 (mod 3), и получила приближенное
отношение 3:4:5 [176]. Таким образом, возникает подозрение, что
значения G располагаются по трем интервалам асимптотически равно-
равномерно. Что это действительно так, установили в 1978 году Хис-Браун и
Паттерсон в статье [147]х.
Упомянем, что Касселс [108] высказал гипотезу по поводу точно-
точного выражения для д(хп) через эллиптические функции. Эта гипотеза
была доказана Мэттьюзом [186], который также нашел явное элемен-
элементарное выражение для биквадратичной суммы Гаусса. Результат Мэт-
тьюза формулируется следующим образом. Пусть р — простое число,
р = 1 (mod 4). Запишем р = тгтг, где тт примарно, тт = а + Ы. Опреде-
Определим /3 = ±i посредством сравнения ( —~— I! = /3 (mod тг). Если д(х<к) —
биквадратичная сумма Гаусса, соответствующая Хтг5 то в силу предло-
предложения 9.10.1
Таким образом,
9(Хп) = е]/-(-1) 4
где квадратный корень имеет положительную вещественную часть.
Мэттьюз доказал, что е — —/?х7ГBг)( —— 1, где ( —— 1 — символ Якоби.
См. также [182] и [93].
Замечания
По поводу ранней истории кубического и биквадратичного законов
взаимности заметим, что Эйлер в 1748—1750 годах выдвигал в качестве
гипотезы предложение 9.6.2 относительно характера кубического выче-
вычета числа 2, а также аналогичные результаты для целых чисел 3, 5 и 7.
Он также высказал гипотезу о том, что 2 — четвертая степень по мо-
модулю р) р = 1 (mod 4), тогда и только тогда, когда р — а2 + 6462 (упр. 6
гл.5), и сформулировал аналогичные результаты для простых чисел 3
и 5. Все эти гипотезы Эйлера относительно частных случаев закона вза-
взаимности оказались верными — замечательный пример его «индуктив-
«индуктивного» чутья. Произвольный характер биквадратичного вычета числа 2
1 Обзор этих и других результатов по проблеме Куммера см. в [9*]. — Прим. ред.
Замечания 167
(упр. 37) был получен Гауссом в его первом мемуаре о биквадратичных
вычетах A828 г.), в то время как общий биквадратичный закон взаим-
взаимности был сформулирован в его втором мемуаре на ту же самую тему
A832 г.). Дальнейшие комментарии по истории этих результатов см. в
статье [116].
В 1846 году Гаусс писал Александру фон Гумбольдту, что такой ма-
математический талант, как у Эйзенштейна, природа дарует немногим в
каждом столетии. К 1844 году, когда ему исполнился 21 год, Эйзен-
Эйзенштейн опубликовал в совокупности 25 статей в журнале Крелля. В них
содержатся как доказательства кубического и биквадратичного законов
взаимности из этой главы, так и доказательства квадратичного закона
взаимности из гл. 6 (см. [28], [130], [131]). Теперь доступно полное собра-
собрание сочинений этого выдающегося ученого, умершего в возрасте 29 лет.
Насыщенное информацией превосходное описание жизни и исследова-
исследований Эйзенштейна имеется в обзоре А. Вей ля этого собрания сочинений
[239]. Стоит познакомиться также с замечательной статьей Вейля [238].
В одной из следующих глав мы докажем обобщение этих законов взаим-
взаимности, знаменитый закон взаимности Эйзенштейна. Обсуждение других
доказательств Эйзенштейна биквадратичного закона взаимности содер-
содержится в [72]. Что касается кубического закона взаимности, то Якоби
утверждал, что приводил его доказательство в своих лекциях в 1837 го-
году, однако первое опубликованное доказательство 1844 года безусловно
принадлежит Эйзенштейну. Споры о приоритете были довольно оже-
ожесточенными.
О фактическом построении 17-угольника см. [40], с. 61. Теория деле-
деления круга излагается Гауссом в разд. VII его «Disquisitiones Arithmet-
icae» [136]. В §335 он упоминает, что разработанную технику можно
перенести на другие трансцендентные функции, например трансцен-
дент„ь:е функции, связанна с f-JlL-, интегралом, выражаем
J V1 - х4
длину лемнискаты. В своем дневнике от 21 марта 1797 года Гаусс запи-
записал, что ему удалось разделить дугу лемнискаты на пять равных частей.
В 1827 году Абель смог показать, что, как и в случае круга, дуга лемнис-
лемнискаты может быть разделена на р равных частей с помощью циркуля и
линейки, если р — простое число Ферма. Рассмотрение доказательства
Абеля с современной точки зрения имеется в [212]. В последнее время
возродился интерес к рациональным законам взаимности. Заинтересо-
Заинтересованному читателю следует обратиться к обзорной статье [175], а также
к статье [181].
168 Гл. 9. Кубический и биквадратичный законы взаимности
Упражнения
1. Показать, что если а Е Z[o;], то а сравнимо с 0, 1 или —1 по модулю
1-й.
2. Положим D — Щш\ и Л = 1 — и. Показать, что если jjl Е D) то
можно записать /л = (—l^o/A^1^2 ... тг^71, где а, 6, с и а& — неотри-
неотрицательные целые числа и тг& — примарные простые числа.
3. Пусть 7 ~~ примарное простое число. Как мы видели в упр. 2,
чтобы вычислить x7(/i) достаточно вычислить х7(—1), x7(cj), Х7(Л) и
Х7(тг), где тг — примарное простое число. Поскольку — 1 = (—IK, то
Х7(—1) = 1. Рассмотрим теперь х7(о;). Пусть 7 = а + Ьо;, и положим
а = Зт — 1 и b = Зп. Показать, что x7(cj) = o;m+n.
4 (продолжение). Показать, что Х7(о;) = 1, ш или о;2 в зависимости
от того, сравнимо 7 с 8, 2 или 5 по модулю ЗА. В частности, если q —
рациональное простое число, q = 2 (mod 3), то Хя(ш) — 1? ш или ш<2 в
зависимости от того, будет q = 8, 2 или 5 (mod 9). [Указание, j = а +
+ Ьш = — 1 + 3(т + па;), так что 7 = —1 + 3(m + n) (mod ЗА).]
5. В основном тексте мы сформулировали результат Эйзенштейна о
том, что Х7(А) = ио2т. Показать, что х7C) = ио2п.
6. Доказать, что
(a) х7(л) = 1 Для 7 = 8, 8 + За;, 8 + Quo (mod 9);
(b) X7(A) = и для 7 = 5, 5 + За;, 5 + 6а; (mod 9);
(c) х7(А) = и? для 7 = 2, 2 + За;, 2 + 6а; (mod 9).
7. Найти примарные простые числа, ассоциированные с 1 — 2а;, 3 —а;
и —7 — За;.
8. Разложить следующие числа на простые множители в D: 7, 21,
45, 22 и 143.
9. Показать, что а) класс вычетов числа а) является кубом в поле
Ntt-1
D/ttD тогда и только тогда, когда а 3 = 1 (mod тг). Вывести отсюда,
что в D/nD существует ^~ кубов.
10. Каково разложение на простые множители многочлена хм — 1 в
D/5D?
11. Сколько кубов имеется в D/5D?
12. Показать, что о;А имеет порядок 8 в D/5D и что о;2А имеет по-
порядок 24. [Указание. Сначала показать, что о;2А2 имеет порядок 4.]
13. Показать, что тг — куб в D/5D тогда и только тогда, когда тг = 1,
2, 3, 4, 1 + 2а;, 2 + 4а;, 3 + и или 4 + За; (mod 5).
14. Для каких простых тг Е D разрешимо сравнение х3 = 5 (mod тг)?
15. Предположим, чтор = 1 (mod 3) и чтор = тгтг, где тг — примарное
простое число в D. Показать, что сравнение х3 = a (mod p) разрешимо
Упражнения 169
в Z в том и только том случае, когда Хтг(^) = 1- Предполагается, что
а е Z.
16. Разрешимо ли сравнение х3 = 2 — За; (mod 11)? Так как D/11D
имеет 121 элемент, ответить на этот вопрос прямым вычислением за-
затруднительно. Дополнить детали следующего доказательства того, что
оно неразрешимо. Имеем ХтгB — За;) = ^-зсДИ)? так что наше сравне-
сравнение обладает решением тогда и только тогда, когда х3 = 11 (mod 2 — За;)
разрешимо. Это сравнение разрешимо в том и только том случае, когда
х3 = 11 (mod 7) разрешимо в Z. Но х3 = a (mod 7) разрешимо в Z тогда
и только тогда, когда а = 1 или 6 (mod 7).
17. Элемент j e D называется примарным, если 7 = 2 (mod 3). По-
Показать, что если 7 и р примарны, то — jp примарен. Если j примарен,
то показать, что j = ±7172 • • • 7ш? гДе 1к суть (не обязательно разные)
примарные простые числа.
18 (продолжение). Если 7 = i7i72 • • -1т — примарное разложение
примарного элемента 7? положим Х7(ск) = Х-п(а)х^п(а) • • • Х^ш(а)- Д°~
казать, что Х>у(а) = Xj(P)- если а = /3 (mod 7), и х7(а/^) = X>y(a)x>y(ft)-
Показать, что если р примарно, то Х>у(а)Хр(а) — Х->ур(а)-
19. Предполож:им, что ^ — А -\- Boo примарно и что А — ЗМ — 1 и
В = 3N. Доказать, что х7М = uM+N и х7(р) = ^2М-
20. Показать, что если j и р примарны, то х7(р) = Хр(т)-
21. Показать, что если j примарно, то существует бесконечно много
примарных простых чисел тг, для которых сравнение х3 = j (mod тг)
неразрешимо. Показать также, что существует бесконечно много при-
примарных простых чисел тг, для которых х3 = и (mod тг) неразрешимо,
и доказать аналогичное утверждение для х3 = Л (mod тг). [Указание.
Доказательство аналогично доказательству теоремы 3 из гл. 5.]
22 (продолжение). Показать в общем виде, что если 7 ? D и х3 =
= 7 (mod тг) разрешимо для всех примарных простых тг, кроме конеч-
конечного числа, то 7 — куб в D.
23. Предположим, что р = I(mod3). Используя упр. 5, показать,
что х3 = 3 (mod р) разрешимо в Z в том и только том случае, когда р —
число вида Ар = С2 + 243Б2.
Следующие три упражнения дают изящное доказательство Виль-
ямса дополнения к кубическому закону взаимности для комплексного
случая [245]. Читатель имеет возможность обращаться к указаниям в
конце книги.
24. Пусть тг = а + Ьш — комплексный примарный элемент в D = Z[u].
Положим а = Зт —1,6 = Зп, р — ЛГ(тг). Показать, что
(a) N^3 ~ 1 = -2т + п (mod 3); (b) ^=^ = т (mod 3);
170 Гл. 9. Кубический и биквадратичный законы взаимности
(с) Хтг(а) = uJm\ (d) хтг(а + 6) = ^2пХтгA - и).
25. Показать, что Ха+ъ{к) может быть вычислено следующим обра-
образом
(а) Ха+б(тг) = Ха+ъA ~ ш); (Ь) Ха+б(тг) = ш*т+п\
26. Объединить предыдущие два упражнения для получения того,
ЧТО ХтгA — ^) = ^2Ш.
Следующие четыре упражнения взяты из [186].
27. Пусть 71 — а + Ы примарно и неразложимо в Z[i], Ь ^ 0, р = ЛГ(тг).
Показать, что
(а)а=(-1) 4 (mod 4); (b) Ь = 2(-1) 4 (mod 4).
28. В обозначениях упр. 27 показать, что Хтг(^) = ХтгB)Хтг(^)-
29. Согласно упр. 27, а(—1) 4 примарно. Воспользовавшись биквад-
ратичным законом взаимности, показать, что Хтг (&(—1) 4 )=(~1) 8 •
30. Используя предыдущие два упражнения, показать, что Хтг(^) =
а2-!
= Х.(-2)(-1) 8 •
31. Пусть р — простое число, сравнимое с 1 по модулю 4. Пока-
Показать, что р = а2 + б2, где а и b однозначно определены условиями
а = 1 (mod 4), Ъ = — ( ^—^— )! a (mod p).
Следующие пять упражнений взяты из [130], §9.
32. Пусть р — простое число, р = 1 (mod 4) и р = 7гтг, тг G Z[z]. Пока-
зать, что ХрA + 0 = i 4 •
33. Пусть q — положительное простое число, q = 2 (mod 4). Пока-
?±1
зать, что XqO- + i) = i 4 • [Указание. A + i)q~l = —г (mod q).]
34. Пусть тг = а + Ы примарно и неразложимо, (а, Ь) = 1. Показать,
что
а-1
(a) если тг = 1 (mod 4), то Хтг(^) = ^ 2 ;
-а-1
(b) если тг = 3 + 2г (mod 4), то Хтт(а) — —г 2 .
35. Показать, что если тг = а + Ы такое лее, как в упр. 34, то
3(о+Ь-1)
Х7Г(а)хтг(^ + &) =г 4
[Указание. аA+г) = а+Ь+г{а+Ы). Обобщить упр. 32 и 33 на любое целое
число, сравнимое с 1 по модулю 4, и воспользоваться предложением
9.9.8. Заметим, что а + b = I (mod 4).]
36. Избавиться от ограничения (а, Ь) = 1 в упр. 34.
Упражнения 171
a-b-b2-!
37. Объединяя упр. 32-35, показать, что ХтгA + i) — i 4 • Пока-
Показать, что из этого результата следует упр. 26 гл. 5 («характер биквадра-
тичного вычета числа 2»).
38. Доказать п. (d) предложения 9.8.3.
39. Пусть р=\ (mod 6) и запишем Ар = А2 + 27Б2, A = l (mod 3).
Положим т = Р—я—. Показать, что ( ] = — A (mod р) о 2\В.
40. Пусть р = 1 (mod 6) ир = 7гтг, где тг примарно, n — a-\-bu. Положим
А — 2а — Ь. Показать, что
(a) если ХтгB) = ш, то 26 - а = - ( ) (mod p)\
(b) если ХтгB) = и2, то а + b = - у ™ J (mod p)\
(c) если ХтгB) = ш, то А ~9Б = ( ^) (mod p), где Б = |;
(d) если х,B) = о;2, то А^М = C^) (mod p), где Б = -|;
(е) «нормализация» Б в (с) и (d) эквивалентна сравнению А =
= Б (mod 4).
[Напомним, что Хя-B) = vr (mod 2) по кубическому закону взаимности.]
41. Пусть р = 1 (mod 6), Ар = А2 + 27В2, A = l (mod 3), А и Б не-
нечетны. Положим тг = а + Ьа>, 2а — b = A, b = ЗБ. Пусть %„. — характер
кубического вычета. Показать, что
(a) еслихтгB) = ш, то N(x3 + 2y3 = 1) =p + l + 2b-a = 0 (mod 2);
(b) еслихтгB) = co2,ToN(x3 + 2y3 = 1) = p+l-a-b = 0 (mod 2).
Если ХтгB) ф1и А = В (mod 4), то
(с) XwB) = w; (d) 2^ = -А6~ЗБ = fiff (mod p).
(Это обобщение критерия Эйлера принадлежит Лемеру [174]. См. также
[243].)
42. В обозначениях из § 12 показать, что минимальный многочлен
для д(хп) равен х3 — Зрх — Ар.
43. Найти локальные минимум и максимум многочлена х3 — Зрх —
— Ар и показать, что каждый из интервалов (—2у/р, —уф), (—-уф, уф),
{у/Рч ^\[v) содержит точно одно из значений 2Re(cj/cg(x7r)), к = 0,1, 2.
44. Пусть п е Z, n = 1 (mod 4) и n = Si... sm, где s^ = 1 (mod 4),
к — 1, ... ,m. Показать, что
к=1
45. Пусть 7r = a + 6iGZ[i]H§ = 3 (mod 4) — рациональное простое
число. Показать, что ттд = тг (mod q).
Глава 10
УРАВНЕНИЯ НАД КОНЕЧНЫМИ ПОЛЯМИ
В этой главе мы изложим новую точку зрения. Диофантовы за-
задачи над конечными полями будут рассматриваться на языке элемен-
элементарной алгебраической геометрии. Будут определены понятия аффин-
аффинного пространства, проективного пространства и бесконечно удален-
удаленных точек.
После того как будут введены эти понятия, мы докаэюем очень
общую теорему Шевалле о том, что многочлен от нескольких пере-
переменных без свободного члена над конечным полем всегда имеет нетри-
нетривиальные нули, если число переменных превосходит его степень.
Затем мы обратимся к проблеме обобщения результатов гл. 8 на
произвольные конечные поля. Оказывается, что это относительно
просто сделать. Эти более общие результаты представляют инте-
интерес сами по себе, а такэюе играют ваэюную роль при рассмотрении
дзета-функций, которое начинается в гл.11.
§ 1. Аффинное пространство,
проективное пространство и многочлены
Пусть F — некоторое поле и An(F) — множество n-наборов (ai, п2) ...,
ап) с ttk^F. Его можно рассматривать как векторное пространство при
обычном способе определения сложения и умножения на скаляры. Мы
же будем иметь дело с An(F) как множеством и будем называть его
n-мерным аффинным пространством над F. Как обычно, точка @,..., 0)
называется началом координат. Для краткости мы будем обозначать
иногда точку (ai, а2, ..., ап) одной буквой а.
n-мерное проективное пространство над F, Pn(F), — несколько бо-
более сложное понятие. Мы рассматриваем сначала An+1(,F), обозначая
его точки через (ao,ai, ...,an). На множестве An+1(F) — {@,0, ...,0)}
((п + 1)-мерном аффинном пространстве с выброшенным началом коор-
координат) мы определяем отношение эквивалентности. Точка (ао, п\) ..., ап)
эквивалентна точке (Ьо, Ьъ ..., Ьп), если существует такой элемент 7^^*,
что ao = 7b(b а1=7^ъ ••• ? an — lbn. Нетрудно убедиться в том, что это от-
отношение эквивалентности. Классы эквивалентности называются точ-
точками пространства Pn(F). Если точка а е An+1(F) отлична от нача-
начала координат, то [а] обозначает класс эквивалентности, содержащий а,
причем а называется представителем класса [а]. Геометрически точки
§ 1. Аффинное пространство, проективное пространство 173
пространства Pn(F) находятся во взаимно однозначном соответствии с
прямыми в An+1(F), проходящими через начало координат.
Если F — конечное поле из q элементов, то очевидно, что An(F)
содержит qn элементов. Pn(F) состоит из qn + qn~l + ... + q + 1 эле-
элементов. Чтобы убедиться в этом, заметим, что An+1(F) — {@, 0, ..., 0)}
имеет gn+1 — 1 элементов. Так как группа F* состоит из q — 1 элементов,
то каждый класс эквивалентности содержит q — 1 элементов. Таким
71 + 1 1
образом, Pn(F) имеет -——^— = qn + qn~l + ... + q + 1 элементов.
Вообще говоря, Pn(F) содержит больше точек, чем An(F). Непосред-
Непосредственно убедиться в этом можно следующим образом. Если [х] G Pn(F)
и xq ф 0, то положим
Как нетрудно убедиться, это отображение не зависит от выбора пред-
представителя х.
Лемма 1. Пусть Н — множество классов [х] е Pn(F) с xG = 0.
Тогда (р отображает Pn(F) — He An(F), и это отображение взаимно
однозначно и сюрьективно.1
Доказательство. Если ф([х\) — ф([у]), то — = — для к = 0,1, ..., п.
Пусть 7 = • Тогда jXk = у к для к = 0,1, ..., п, так что [х] = [у].
Xq
Если v = (^1,^2, ...j^n) ? An(F), то положим ги = {1)V\)V2) ...,vn).
Тогда ??([гу]) — v. ?
Множ:ество Д^ называется бесконечно удаленной гиперплоскостью.
Нетрудно убедиться в том, что Н обладает структурой пространства
Pn~l(F). Таким образом, Pn(F) состоит из двух кусков, один есть ко-
копия пространства An(F), и его точки называются конечными, а дру-
другой — копия пространства Pn~1(F), и его точки называются бесконечно
удаленными.
Заметим, что P°(F) состоит просто из одной точки. Таким обра-
образом, P1(,F) имеет лишь одну бесконечно удаленную точку. Аналогично,
P2(F) имеет бесконечно удаленную (проективную) прямую и т.д.
Теперь, когда определены аффинные и проективные пространства,
мы привлечем многочлены для получения множеств, называемых ги-
гиперповерхностями .
Пусть F[x\1X21 ...,хп] — кольцо многочленов от п переменных над
полем F. Если / е F[xi, ... ,хп], то
1 Если S и Т — множества, то S — Т — это множество элементов из 5, не при-
принадлежащих Т.
174 Гл. 10. Уравнения над конечными полями
/(*) =
где сумма берется по всем наборам неотрицательных целых чисел [к\)
^2) •••) кп), для которых а^1к2...кп Ф 0. Многочлен вида х11х22 ... х^п назы-
называется одночленом. По определению его общая степень равна к\ + /^ +
+ ... + кП) а степень по переменной хт равна кт. Степень многочлена
fix) есть максимум полных степеней одночленов, которые входят в fix)
с ненулевыми коэффициентами. Степень по хт есть максимум степеней
по хт одночленов, которые входят в fix) с ненулевыми коэффициента-
коэффициентами. Обозначим эти два числа через deg/(я) и degm fix). Тогда
(a) deg f(x)g(x) = degf(x) + degg(x);
(b) degm f(x)g(x) = degm f(x) + degmg(x).
Если все одночлены, входящие в f{x)) имеют степень /, то fix) на-
называется однородным многочленом степени /.
Например, если f{x) — l+XiX2+x2x3+x|, то deg f{x) — 3, degx f{x) —
— deg2/(x) = deg3/(x) = 1 и deg4/(x) = 3. Это неоднородный много-
многочлен, в то время как h{x) — х\+x\+x\+XiX2X<$ — однородный многочлен
степени 3.
Однородный многочлен иногда называется формой. Форма степени 2
называется квадратичной формой, а форма степени 3 — кубической фор-
формой и т.д.
Предположим, что К — некоторое поле, содержащее F. Если fix) G
F[x\)X2) ... ,хп] и а е Ап{К)) то мы можем подставить а& вместо х^ и
вычислить fid).
Это показывает, что fix) определяет функцию из Ап(К) в К, кото-
которая переводит а в /(а). Точка а^Ап[К)^ для которой /(а) = 0, называ-
называется нулем функции fix).
Если К — конечное поле из q элементов, то xq — х — определяет ну-
нулевую функцию на А1 (К). Таким образом, ненулевой многочлен может
давать нулевую функцию. Этого не может случиться, если К бесконеч-
бесконечно (см. упражнения).
Для ненулевого многочлена fix) положим
Hf(K) = {а е Ап(К) | /(а) = 0};
Hf(K) называется гиперповерхностью, определяемой f, в Ап(К). Если
К конечно, то Hf(K) — конечное множество и естественно поставить
вопрос о числе точек в Hf(K). В гл.8 мы имели дело с несколькими
частными случаями этой задачи.
Мы хотим определить теперь проективную гиперповерхность. Пусть
h(x) G F[xo,xi, ...,xn] — ненулевой однородный многочлен степени d.
Как и прежде, К есть поле, содержащее F. Для j e К* имеем h(jx) =
§ 1. Аффинное пространство, проективное пространство 175
= jdh(x). Отсюда следует, что если а^Ап+1(К) и h(a) = 0, то h(ja) = O.
Таким образом, мы можем положить Н^К) — {[а] е Рп(К) \ h(x) = 0}.
Множество Hh(K) называется гиперповерхностью, определенной In, в
Рп{К). Если К конечно, мы можем опять поставить вопрос о числе
точек в Hh(K).
В более общем виде, если Д, ...,/ш — многочлены в F\x\, ...,xn],
положим
V = |(аь ... ,ап)
V называется алгебраическим множеством, определенным над полем
F. Если идеал, определенный многочленами Д, ...,/ш в F\x\, ...,xn],
прост, то V называется алгебраическим многообразием. Аналогично,
множество общих проективных нулей конечного набора однородных
многочленов из F[xo, ...,xn] называется проективным алгебраическим
множеством.
Оказывается что работа с проективными пространствами приводит
к более цельным результатам, чем работа с аффинными пространства-
пространствами. Мы проиллюстрируем это, определив проективное замыкание аф-
аффинной гиперповерхности.
Пусть f(x) G F[xux2, ..., хп], и определим f(y) = f(y0, уъ ..., уп) по-
посредством формулы
Мы вскоре убедимся, что / — однородный многочлен. Он приводит
к гиперповерхности в Рп(К). Грубо говоря, новая гиперповерхность по-
получается из Hf(K) добавлением бесконечно удаленных точек.
Лемма 2. f(y) — однородный многочлен степени deg/. Кроме того,
/A, уъ 2/2, ..., Уп) = /B/ь 2/2, ..., Уп)-
Доказательство. Пусть d — deg /. Рассмотрим одночлен х^х^2 ... х^п
степени I ^ d. Тогда yd0 (^l)*1^)*2... (^n = у^у^у^ ... у%, причем
последний одночлен имеет степень d. Таким образом, в f(y) все одно-
одночлены имеют степень d, что доказывает первое утверждение.
Второе утверждение следует из определения. ?
Например, если f(x) — х\ + х\ — 1, то f(y) = у\ + у\ — у\\ если
f(x) = 1 + 2х\ - 3:4 то f(y) = yl + 2у\ - Зу0у22.
Рассмотрим гиперповерхность Hf{K) С Ап(К). Многочлен f(y) од-
однороден по переменным у^)у\) ... ,2/п, а поэтому / определяет гиперпо-
гиперповерхность Hj(K) в Рп(К). Эта гиперповерхность называется проектив-
проективным замыканием Hf{K) в Рп(К).
176
Гл. 10. Уравнения над конечными полями
Пусть Л : Ап(К) —> Рп(К) определено равенством A(aba2, ..., ап) =
= [l,ai,a2, ...,an]. Отображение Л взаимно однозначно, и, кроме того,
образ Hf(K) при Л содержится в Hj{K)) так как, очевидно,
/([1, аь а2, ..., ап]) = /(аь а2, ..., ап) = 0
для всех a G Hf{K). Вообще говоря, гиперповерхность Hj[K) имеет
больше точек, чем Hf{K), поскольку в ней еще имеется пересечение с
бесконечно удаленной гиперплоскостью.
На примерах все это станет нагляднее, но, прежде чем их приводить,
напомним определения отображений (р и Л, и приведем диаграммную
картинку для Рп(К)\
А : Ап(К) -> Рп(К) задается формулой
Л(аь а2, ..., ап) = [1, аь а2, ..., ап],
ip : Рп{К) — Н —>> АП(К) задается формулой
0, 0
1,
Рп(К)
ImA^ An(K)
Конечные точки
Н ъ Рп-\К)
Бесконечно удаленные точки
ПРИМЕРЫ
1. f(x) =x\ + x22-l над полем F =
Как мы видели в гл. 8, § 3, уравнение fix) — 0 имеет р — 1 решений
при р = 1 (mod 4) ир+1 решений при р = 3 (mod 4).
/B/о,2/ь2/2) = 2/i + 2/2 ~ 2/о- Решения [р^РьРг], где Ро Ф 0, соответ-
соответствуют аффинным решениям ( — , — ). Предполож:им, что [0,pi,p2] —
решение. Тогда р\ + р\ — 0, или ( —) = —1. При р = 1 (mod 4) су-
существует такой элемент a G F, что а2 = — 1, и в этом случае имеет-
имеется две бесконечно удаленные точки, а именно [0,1, а] и [0,1,—а]. При
р = 3 (mod 4) не существует элемента aGfca2 = -l,a следовательно,
не существует бесконечно удаленных точек. В обоих случаях, однако,
гиперповерхность Hj{F) имеет точно р + 1 точек.
2. f{x) = х\ + х^ - 1 над F = Z/pZ при р = 1 (mod n).
Тогда f{y) — У1+У2 —уо • Таким образом, бесконечно удаленные точ-
точки на Hj{F) имеют вид [0, у\) у2], где 2/Г + 2/2 = 0- Если —1 не является
п-й степенью в F, то не существует бесконечно удаленных точек. Если
ап — —1 для некоторого а е F) то уравнение хп — —1 имеет п решений
§ 1. Аффинное пространство, проективное пространство 177
в поле F [это следует из предложения 4.2.1, так какр = 1 (mod n)\. Обо-
Обозначим эти решения через а\ — а, а2,..., ап. Тогда [0,1, ai],..., [0,1, ап] —
бесконечно удаленные точки, являющиеся нулями для f(y). В обозна-
обозначениях гл.8, §4, число бесконечно удаленных точек равно 5п(—1)п и
N{x7l + х% = 1) + 5п(—1)п есть число точек на проективной гиперпо-
гиперповерхности (кривой), определенной уравнением у™ + У2 — У о — 0. Так как
число точек в Р1^) равно р + 1, формулу из предложения 8.4.1 мож-
можно интерпретировать следующим образом: число точек на проективной
кривой у i + у 2 — У о — ^ над Ъ/рЪ отличается от числа точек на проек-
проективной прямой на величину, которая не превосходит (п — 1)(п — 2)у/р.
Этот результат является частным случаем так называемой гипотезы
Римана для конечных полей, в которой утверждается, грубо говоря,
что над конечным полем из q элементов число точек на проективной
кривой отличается от числа точек на проективной прямой на величину,
которая не превосходит удвоенный род (число, определяемое кривой1),
умноженный на ^Jq.
Частные случаи этой гипотезы были доказаны различными автора-
авторами: Гауссом, Герглоцем, Хассе и Дэвенпортом. В полной общности эта
теорема была доказана Вейлем.
3. f(x) — х\ + х\ + ... + х2т — 1 над F — Z/pZ, где т четно.
Число конечных точек равно рт~1 — (—1) 2 2 р 2 (см. предложе-
предложение 8.6.1). Так так f(y) = у\ + у\ + ... + у^ — у^, то число бесконечно
удаленных точек равно числу решений уравнения у\ + у\ + ... + у2т — 0
в Pm~l(F). Число аффинных решений задается формулой
т р—1 Пк_-\
N = pm-1 + (-lJ 2 (р-1)р2
(см. упр. 19 гл. 8), так что число проективных решений равно
/V - 1 тр^Л т_,
II 1 =р—2+р—3+ ... +р+1 + (_1J 2 р2
р-1
Добавляя число конечных решений к бесконечно удаленным реше-
решениям, получаем
рт-1+рт-2+ _ +р+1ш
Это довольно примечательный результат. В нем утверждается, что
число точек на проективной гиперповерхности, определяемой уравне-
уравнением y\ + yl+ ... + у2т — yl — 0 точно равно числу точек в Pm~1(Z/pZ).
1 Для неособой проективной кривой степени п род равен ^ т> , см. [219],
гл. III. — Прим ред.
178 Гл. 10. Уравнения над конечными полями
Существует более простой способ получения этого результата. Вме-
Вместо того чтобы рассматривать отдельно конечные и бесконечно уда-
удаленные точки, мы просто подсчитываем число М аффинных решений
уравнения yf + у% + ••• + Ут ~ У о — 0 в AmJrl{F)) а затем вычисляем
_ 1 • Так как т + 1 нечетно, число М равно рт (см. упр. 19 гл. 8).
Таким образом, _-г = рт~1 + рт~2 + ... +р+1.
§ 2. Теорема Шевалле
В этом параграфе F будет обозначать конечное поле из q элементов.
Если q — простое число, т.е. F = Z/gZ, то уравнение х\~1 + х\~1 +
+ ... +xqqZ{ = 0 не имеет решений, кроме @, 0, ... .0), так как aq~l равно 1
или 0 в зависимости от того, будет ли а ф 0 или а — 0 для a G F. Таким
образом, выписанный многочлен принимает значения 0,1,2,... ^q — 1 и
равен нулю лишь при Х\ = Х2 — ... = xq-\ — 0. Заметим, что у этого
многочлена число переменных равно степени.
В 1935 году Артин сформулировал в виде гипотезы следующую те-
теорему, которая почти тотчас же была доказана Шевалле [16].
Теорема 1. Пусть f(x) e F[xi,x2, ..., жп]. Предположим, что
(a) /@,0, ...,0) = 0;
(b) n> d = degf.
Тогда f имеет по крайней мере два нуля в An(F).
Прежде чем приступить к доказательству, мы выведем непосред-
непосредственное следствие из этой теоремы.
Следствие. Пусть h(y) e F[yo,2/i, ••• ,уп] ~ однородный многочлен
степени d > 0. Если п + 1 > d, то множество Hh(F) непусто.
Доказательство. Так как h однороден, @,0, ... ,0) будет его нулем.
Тогда, по теореме 1, h имеет другой нуль, (а0, ai, ..., ап). Очевидно, что
[ao,ai, ...,an] e Hh(F). ?
Нам понадобится следующая элементарная лемма.
Лемма 1. Пусть f{xi)x2) •••)xn) — многочлен, степень которого
по каэюдой переменной меньше q. Если f равен нулю на всем An(F),
то он — нулевой многочлен.
Доказательство. Применим индукцию по п. Если п = 1, то fix) —
многочлен от одной переменной степени < q с q различными корня-
корнями, а именно всеми элементами поля F. Таким образом, / — нулевой
многочлен.
Предположим, что наш результат доказан для п — 1, и рассмотрим
j 2. Теорема Шевалле 179
Мы можем записать
fc=O
Выберем a\, a2)..., an-i ? ^- Тогда ^ gk{a\)a2) ••• j&n-i)^ имеет §
fc=0
корней, а потому дк(о>1->о>2-> ••• 5^n-i) = 0. По индукции каждый много-
многочлен дк нулевой, а следовательно, нулевым будет и /. square
Напомним, что f(x) — xq — х — ненулевой многочлен, который равен
нулю на всем An(F), так что предположение леммы существенно.
Назовем многочлен редуцированным, если он имеет степень < q по
каждой переменной. Два многочлена /, g называются эквивалентными,
если /(а) = д(а) для всех а е An(F). В таком случае мы пишем f ~ д.
Лемма 2. Каэюдый многочлен f{x) ^F[x\, ... ,хп] эквивалентен ре-
редуцированному многочлену.
Доказательство. Рассмотрим случай одной переменной. Очевидно,
что xq ~ х. Если т > 0 — целое число, то пусть / — наименьшее положи-
положительное число, для которого хт rsj х1. Мы утверждаем, что I < q. Если
это не так, то / = qs + r, где 0^r<gns/0. Тогда xl — (xq)sxr ~ xr+s.
Поскольку s + г < I, это противоречит минимальности /.
В случае п переменных рассмотрим одночлен х^х1^2 ...хк^. В силу
того что было сказано, х^х1^2 ...х^п ~ х^х^2 ...х^, где js < q для s =
= 1,2, ... п. Лемма 2 непосредственно следует из этого замечания. ?
Теперь мы можем доказать теорему 1. Предположим, что @, 0, ..., 0)
— единственный нуль многочлена /. Тогда 1 — fq~l принимает значение
1 в @, 0, ..., 0) и значение нуль во всех других точках. Так же ведет себя
и многочлен
Таким образом,
1 — / — [1 — Х1 Д1 — Х2 ) ... [1 — Хп )
равен нулю на всем An(F). Заменим 1 — fq~l эквивалентным редуциро-
редуцированным многочленом д. Тогда
имеет степень < q по каждой из своих переменных и равен нулю на
всем An(F). В силу леммы 1 он — нулевой многочлен. Таким образом,
degg = n(q — 1). С другой стороны,
Напомним, что d = deg/. Отсюда вытекает, что п ^ d, а это проти-
противоречит предположению. Следовательно, / должен иметь более чем
180 Гл. 10. Уравнения над конечными полями
один нуль.
Мы приведем другое доказательство теоремы 1, принадлежащее Ак-
су [3]. Оно основано на следующей лемме.
Лемма 3. Пусть к\, к2,„,кп — неотрицательные целые числа. То-
Тогда
/ CL-i B? ... CL = U,
за исключением случая, когда все kj ф 0 и делятся на q — 1.
Доказательство. Предположим сначала, что п = 1. Если к = 0, то
Y2 а0 = q = 0 в F'. Предположим, что к ф 0. Группа F* циклическая.
Пусть b — ее образующий. Если q — ljfk, то
bk -1
j=0
В общем случае
Лемма З теперь очевидна.
Следует отметить, что если q — 1 | kj и kj ф 0 для всех j, то значение
написанной выше суммы равно (q — 1)п.
Возвращаясь к теореме 1, обозначим через Nf число решений урав-
уравнения f{x) — 0 в An{F). Мы покажем, что р \ TV/, где р — характеристика
поля F. Это уточнение теоремы Шевалле было впервые получено Вар-
нингом [78].
Как мы видели, 1 — fq~l принимает значение 1 в нулях многочлена
/ и значение нуль в других точках.
Таким образом,
где Nf — класс вычетов числа Nf по модулю р) рассматриваемый как
элемент поля F.
Пусть хк^хк2 ... х^п — одночлен, встречающийся в 1 — f{x)q~l. Так как
этот многочлен имеет степень d(q — 1), то kj < q — 1 при некотором j,
так как в противном случае степень рассматриваемого одночлена была
бы ^ n(q — 1), а мы предположили, что d < п. В силу леммы 3
§ 3. Суммы Гаусса и Якоби над конечными полями 181
Так как 1 — f(x)q~l является линейной комбинацией одночленов, отсюда
следует, что Nf = 0, т.е. р | Nf.
Варнинг смог доказать, что Nf ^ qn~d. Несколько в ином направ-
направлении пошел Акс, показав, что qb | TVy, где b — наибольшее целое число
< Ц. Подробности см. в [78] и [3].
§ 3. Суммы Гаусса и Якоби над конечными полями
Пусть (р = е2ш1р и Fp = Ъ/рЪ. В гл.8 существенную роль играла
функция ф : Fp —> С, задаваемая равенством ф(к) —Ср- Для перенесе-
перенесения основных результатов гл. 8 на произвольное конечное поле F нам
понадобится аналог функции ф для поля F. Мы получаем его с помо-
помощью взятия следа.
Предположим, что F имеет q — рп элементов. Для ccGF положим
tr(a) = а + ар + ар + ... + арП и назовем tr(a) следом элемента а.
Предложение 10.3.1. Если а,Р е F и а е Fp, то
(a) tr(a) e Fp;
(b) tr(a + /?) =tr(a)+tr(/?);
(c) ti(aa) = atr(a);
(d) tr отображает F на Fp.
Доказательство, (а) Имеем
= av + ap + ... + av +ap .
Так как арП = a9 = a, то мы видим, что tr(a)p = tr(a). Это доказывает
свойство (а) (см. предложение 7.1.1, следствие 1).
(b) tr(a + Р) = (а + Р) + (а + р)р + ... + (а + р)^1 =
= (а + р) + (ар + рр) + ...
+ ар + ... + с/
= tr(a)+tr(/?).
(c) ti(aa) = aot + apap + ... + арП~ХарП~Х =
= а(а + ар + ... + арП~) = atr(a).
Мы использовали тот факт, что ар — а для а ? Fp.
(d) Многочлен х + хр+ ... +хрП имеет, самое большее, рп~1 корней
в F'. Так как F содерж:ит рп элементов, то существует такой элемент
qjGF, что tr(a) — с ф 0. Если b^Fp) то, используя свойство (с), получаем
tr f - а) = - tr(a) = 6. Таким образом, область значений следа есть все Fp.
п
182 Гл. 10. Уравнения над конечными полями
Мы определяем теперь ф : F —>> С формулой ф(а) = Ср . Если
F — Fp это совпадает с прежним определением.
Предложение 10.3.2. Функция ф обладает следующими свойства-
свойствами1:
(a) ф(а + 0) = ф(а)
(b) существует такой элемент а е F, что ^(а) ^ 1/
(c) ? </>(«) = 0.
(a) ф(а + р) = Cv(a+P) = cT(Q)+tr(/3) =
(b) Функция tr есть эпиморфное отображение, так что существует
такой элемент а е F, что tr(a) = 1. Тогда ^(а) = Ср 7^ 1-
(c) Пусть S= ^2 ф(а). Выберем /?, такой, что ф(/3) ф\. Тогдаф(/3)S =
— S Ф(Р)Ф(а) — S ^(Z? + <^) = 5- Отсюда следует, что 5 = 0. П
Предложение 10.3.3. Пусть а,х,у ?
1
где ^(х^у) — 1, если х — у, и нуль в противном случае.
Доказательство. Если х — у, то
Если i / у, то i: - у ф 0 и а(х — у) пробегает все поле F) когда а
пробегает все F. Таким образом,
(:г - у)) = 5>(/?) = 0
в силу свойства (с) предложения 10.3.2. ?
Предложение 10.3.3 обобщает следствие 1 леммы 1 из гл. 6.
В гл. 7 было доказано, что мультипликативная группа конечного по-
поля циклическая. Основываясь на этом факте, нетрудно убедиться в том,
что все определения и предложения § 1 гл. 8 могут быть применены к F
так лее, как и к Fp. Следует лишь заменить р на q всюду, где оно появля-
появляется. Значит, мы можем предполагать, что теория мультипликативных
характеров справедлива и для поля F.
Мы теперь можем определить для поля F суммы Гаусса.
Определение. Пусть х ~ некоторый характер поля F и а е F*.
1 Функции ф, обладающие свойством (а) и такие, что ф@) = 1, называются
аддитивными характерами поля F. — Прим. ред.
§ 3. Суммы Гаусса и Якоби над конечными полями 183
Пусть
9а(х) =
да(х) называется суммой Гаусса поля F, принадлежащей характеру х-
С заменой р на q теперь для суммы да(х) могут быть доказаны пред-
предложения 8.2.1 и8.2.2. В доказательстве предложения 8.2.2 используется
предложение 10.3.3.
В частности, \да(х)\ = у/Я. и 9а(х)9а(х~1) = х(~1)<7 Для хФ^-
Общая теория сумм Якоби и связь между суммами Гаусса и Якоби,
развитая в § 5 гл. 8, также обобщается без труда (опять с заменой всюду
р на q). Все результаты §7 гл.8 тоже верны. Читатель имеет возмож-
возможность вернуться к этим параграфам и убедиться в том, что обобщение
их определений и результатов в самом деле не представляет особого
труда.
В качестве упражнения в работе с этими новыми инструментами мы
приведем теорему, которая по существу является переформулировкой
некоторых наших более ранних результатов. Эта теорема будет исполь-
использована также в гл. 11.
Теорема 2. Предположим, что F — поле из q элементов и q =
= 1 (mod т). Однородное уравнение аоу™ + а\у™ + ... + апу™ — 0, где
а0; а\, ... ап G F*; определяет гиперповерхность в Pn(F). Число точек
на этой гиперповерхности задается выражением
n-l+qn-2+
^ ^
где xT = e, Xk Ф ? и xoXi ••• Xn = e.
Кроме того, при этих условиях
—ту«/о(хо, хь •••, Xn) = -g(xo)g(xi) ••• g(xn)- B)
Доказательство. Число N точек на гиперповерхности в AnJrl{F))
определенной уравнением а^у™ + а\у™ + ... + апу™ — 0, задается фор-
формулой
Xo,Xi v?Xn
где характеры Xk удовлетворяют условиям из теоремы. Это следует из
теоремы 5 гл. 8. Нужное нам число равно _-г , что и приводит к A).
184 Гл. 10. Уравнения над конечными полями
Согласно предложению 8.5.1, п. (с),
МХо,Хи -,Хп) =Хо(-1)(д- 1)«/(ХьХ2, -,Хп)- C)
В силу теоремы 3 гл. 8
Умножим числитель и знаменатель правой части на д(хо)- Так как
XoXi-Xn = ?, то р(хо)р(Х1Х2...Хп) = Хо(-1)?- Объединяя это с ра-
равенствами C) и D), получаем B). ?
Замечания
Хорошее введение в геометрию над конечными полями имеется в
книге [7]. Авторы обсуждают аффинную, проективную и даже гипер-
гиперболическую геометрии. Имеется также хотя и короткая, но полезная
библиография.
Гипотеза Артина о многочленах над конечными полями высказыва-
высказывалась значительно раньше Диксоном (Bull. Amer. Math. Soc, 15 A909),
338-347). Первое из приведенных нами доказательств есть оригиналь-
оригинальное доказательство Шевалле [16]. Второе доказательство принадлежит
Аксу [3], и его можно найти в [37] и [68]. Доказательство Варнинга более
сильного результата можно найти в его статье [78], а также в [9].
В 1884 году Мейер смог доказать, что квадратичная форма над по-
полем рациональных чисел от пяти или более переменных имеет рацио-
рациональный нуль, если она имеет вещественный нуль. Хассе смог доказать,
что тот же самый результат, соответствующим образом обобщенный,
верен над любым полем алгебраических чисел. Исходя из этого и из
других рассмотрений, Артин пришел к гипотезе о том, что над некото-
некоторым классом числовых полей форма степени d от п > d2 переменных
всегда имеет нетривиальный нуль. Он также высказал аналогичные ги-
гипотезы для других типов полей. Обсуждение этого круга вопросов см. в
статье [53], а также в книге [37], в которой содержатся контрпримеры к
гипотезе Артина для р-адических полей, которые были открыты в 1966
году Тершаняном. Другие контрпримеры были получены вскоре после
этого Мануэлем1. Многое еще предстоит открыть в этой области, кото-
которая является одной из наиболее захватывающих в современной теории
чисел.
1 С другой стороны, Акс и Кохэн, используя средства математической логики,
показали, что для любой степени d существует такое конечное множество c(d) про-
простых чисел, что гипотеза Артина верна для форм степени d над полями р-адических
чисел с р 0 c(d) [1*]. — Прим. ред.
Упражнения 185
Для случая когда основное поле есть поле рациональных функций
над конечным полем, гипотеза Артина, упомянутая выше, была дока-
доказана Карлитцом [11]. Кроме того, если F — конечное поле и К — F{x))
то каждая форма степени d от более чем d2 переменных имеет нетри-
нетривиальный нуль в К. В доказательстве искусно используется теорема
Шевалле, доказанная в этой главе. Этот результат является частным
случаем общего результата Ленга (см. [53]. — Ред.).
Многие из наиболее важных достижений в теории чисел требуют
основательного знания современной алгебраической геометрии. В каче-
качестве не слишком сложного введения в алгебраическую геометрию мож-
можно порекомендовать [135]. Более насыщенное введение имеется в [219].
Наконец, читателю с хорошим знанием коммутативной алгебры мы ре-
рекомендуем [144].
Упражнения
1. Показать, что если К — бесконечное поле и /(xi,x2, ...,xn) —
ненулевой многочлен с коэффициентами из К, то / не является тожде-
тождественным нулем на Ап(К). [Указание. Доказательство аналогично до-
доказательству леммы 1 из §2.]
2. В § 1 утверждалось, что Н) бесконечно удаленная гиперплоскость
в Pn{F)) имеет структуру пространства Pn~l(F). Проверить это постро-
построением взаимно однозначного отображения из Pn~l(F) на Н.
3. Предположим, что поле F имеет q элементов. Воспользоваться
разложением Pn(F) на конечные и бесконечно удаленные точки для
получения другого доказательства формулы для числа точек в Pn(F).
4. Гиперповерхность, определенная однородным многочленом аохо +
-\-a\X\-\-... -\-апхп степени 1, называется гиперплоскостью. Показать, что
любая гиперплоскость в Pn(F) имеет то же число точек, что и Pn~1(F).
5. Пусть /(xo,Xi,x2) — однородный многочлен степени п в F[xo,Xi,
х2]. Предположим, что не каждый нуль многочлена аохо + а\Х\ + а2х2
является нулем /. Доказать, что в P2(F) имеется, самое большее, п
общих нулей многочленов / и аохо + а\Х\ + а2х2. Геометрически это
означает, что кривая степени п и прямая имеют не более п общих точек
за исключением случая, когда прямая содержится в кривой.
6. Пусть F — поле из q элементов, Mn(F) — множество (п х п)-мат-
риц с коэффициентами из^и SLn(F) — подмножество матриц с опре-
определителем 1. Показать, что SLn(F) можно рассматривать как гиперпо-
гиперповерхность в Ап (F). Найти формулу для числа точек этой гиперповерх-
щ {qn-l){qn-q)...{qn-qn-1) Л
ности. \ Ответ. — ^^ ^—— -.
L а — 1 J
186 Гл. 10. Уравнения над конечными полями
7. Пусть / е F[xo, x\, X2, ..., хп]. Можно формально определить част-
О -С О -С О -С
ные производные ^- , тт^-,..., ^- . Предположим, что / — форма
GXq С/^1 ОХп
степени т. Доказать, что
Этот результат принадлежит Эйлеру. [Указание. Рассмотреть сначала
случай, когда / — одночлен.]
8 (продолжение). Пусть / — однородный многочлен. Точка а на ги-
гиперповерхности, определенной /, называется особой, если она одновре-
одновременно является нулем всех частных производных функции /. Показать,
что если степень многочлена / взаимно проста с характеристикой, то
общий нуль всех частных производных будет автоматически нулем /.
9. Показать, что если т взаимно просто с характеристикой поля F,
то гиперповерхность, определенная многочленом аох™ + а\Х™ + ... +
+ апх™, не имеет особых точек.
10. Некоторая точка на аффинной гиперповерхности называется осо-
особой, если соответствующая ей точка на проективном замыкании осо-
особая. Показать, что это эквивалентно следующему определению. Пусть
/ G F[xi)x2) ...,хп] не обязательно однороден и а е Hf(F). Тогда а —
особая точка, если она является общим нулем для -^— , к — 1, 2, ..., п.
ОХ к
11. Показать, что начало координат является особой точкой на кри-
кривой, определенной уравнением у2 — х3 = 0.
12. Показать, что кривая, определенная уравнением х2 + у2 + х2у2 =
= 0, имеет две бесконечно удаленные точки и что обе они особые.
13. Предположим, что характеристика поля F отлична от 2, и рас-
рассмотрим кривую, определенную уравнением ах2 + Ьху + су2 — 1, где
а, 6, с е F*. Показать, что если Ъ2 — 4ас ? F2, то в P2(F) не существует
бесконечно удаленных точек, лежащих на кривой. Если Ь2 — 4ас G F2,
то показать, что существует одна или две бесконечно удаленных точки
в зависимости от того, будет Ъ2 — Аас — 0 или нет. Если Ъ2 — Аас — 0, то
показать, что бесконечно удаленная точка на кривой особая.
14. Рассмотрим кривую, определенную уравнением у2 — х3 + ах + Ь.
Показать, что она не имеет особых точек (конечных или бесконечных),
если 4а3 + 27Ь2 ф 0.
15. Пусть Q — поле рациональных чисел и р — простое число. По-
Показать, что форма
не имеет нулей в Pn(Q). [Указание. Если а — нуль формы, то можно
Упражнения 187
предполагать, что компоненты а — целые числа и что они не все делятся
на р.]
16. Показать, что для каждого т > 0 и конечного поля Fq существует
форма степени т от т переменных без нетривиального нуля. [Указание.
Показать, что если cji, и2)..., шт — базис для Fqm над Fq) то
т—1
f ( \ — ТТ ( qk -\- -\- <lk \
обладает требуемыми свойствами.]
17. Пусть б/i, g2l..., дт Е Fg[xi,x2, ...xn] — однородные многочлены
степени d и п > md. Доказать, что для них существует общий нетриви-
нетривиальный нуль. [Указание. Для многочлена из упр. 16 рассмотреть мно-
многочлен f(gi(xu ...,xn), ...,дт(хи ...,жп)).]
18. Охарактеризовать те расширения Fpn поля Fp) для которых след
тож:дественно равен нулю на Fp.
19. Показать, что если а Е Fq имеет нулевой след, то а — /3 — j3p при
некотором /3 Е Fq.
20. Пусть ф — отображ:ение из Fq в С*, для которого ф{а + C) —
— ф{а)ф{C) при всех а,/? Е Fq. Показать, что существует такое 7 ? ^?
что ^(/с) = ?tr(^) при всех k <E Fq, где С = е27гг/р.
21. Показать, что для суммы Гаусса да(х) на Fq-> определенной в § 3,
(а) да(х) =Х(
(с) |
(d) '/(ХЖХ-1) = X(-1)(Z-
22. Предполож:им, что / — функция, отображающая F в С. Поло-
Положить /(А;) = ^Е/О'Ж^) и доказать, что /(j) = Y,f(k)^Uk)- По"
следняя сумма называется разложением f в конечную сумму Фурье.
23. В упр. 22 в качестве / взять нетривиальный характер х и пока-
показать, чтох(^) = ^д-к(х)-
Глава 11
ДЗЕТА-ФУНКЦИЯ
Дзета-функция алгебраического многообразия сыграла доминирую-
доминирующую роль в современном развитии диофантовой геометрии.
Для одного класса кривых над конечным полем понятие дзета-функ-
дзета-функции было введено Артином в 1924 году. По аналогии с классической
дзета-функцией Римана он предположил, что для определенных им
функций справедлива гипотеза Римана. В частных случаях он смог ее
доказать. Замечательно, что результаты такого типа можно най-
найти уже у Гаусса (конечно, Гаусс формулировал свои результаты ина-
иначе, чем Артин). Вейль смог доказать (в 1948 году), что гипотеза Ри-
Римана для неособых кривых над конечным полем справедлива в общем
виде.
В 1949 году Вейль опубликовал в журнале «Bulletin of the American
Mathematical Society» статью, озаглавленную «Число решений урав-
уравнений над конечными полями». В этой статье он определил дзета-
функцию для алгебраического многообразия и выдвинул ряд гипотез.
Вейль также доказал справедливость своих гипотез для кривых. Те
же результаты были получены им для одного класса проективных
гиперповерхностей. Часть этого материала будет изложена далее.
Большая часть необходимых средств уже была изложена. Основной
новый результат, который будет нам нужен, — это соотношение
Хассе—Дэвенпорта между суммами Гаусса. Доказательство этого со-
соотношения, данное Вейлем, существенно проще оригинального. Мы
приведем доказательство, принадлежащее Монски, которое еще про-
проще, чем доказательство Вейля, хотя и далеко не тривиально.
В 1973 году Делиню удалось доказать гипотезы Вейля во всей общ-
общности. Его доказательство использует новейшие достижения совре-
современной алгебраической геометрии и само представляет собой одно из
самых замечательных математических достижений нашего столе-
столетия.
§ 1. Дзета-функция проективной гиперповерхности
В § 2 гл. 7 мы показали, что если F — Ъ/рЪ и s ^ 1 — целое число,
то существует содержащее F поле К из ps элементов. Тот же результат
остается верным в общем случае. А именно, если F — конечное поле из
q элементов и s ^ 1 — целое число, то существует содержащее F поле
§ 1. Дзета-функция проективной гиперповерхности 189
Fs из qs элементов (это поле в наших прежних обозначениях есть FqS).
Доказательство в общем случае почти совпадает с доказательством в
частном случае (см. упражнения к гл. 7).
Пусть теперь f(y) G F[yo, y\,... уп] — однородный многочлен и Ns —
число точек на проективной гиперповерхности Hf{Fs) С Pn(Fs). Дру-
Другими словами, Ns есть число нулей многочлена / в Pn(Fs). Мы хотим
исследовать, как числа Ns зависят от s.
В конце этого параграфа мы докажем, что Ns зависит лишь от s, a
не от поля Fs. Это получится сразу же, как только мы покажем, что
любые два поля, содержащие F и имеющие одинаковую размерность
над F, изоморфны.
оо
Для изучения чисел Ns мы вводим степенной ряд ^ Nsus. Во всех
s=l
дальнейших рассмотрениях можно иметь дело лишь с формальными
степенными рядами и, таким образом, избежать всех вопросов о схо-
сходимости. Для тех, кому это понятие непривычно, заметим, что Ns <
Jn+l)s _ i
< -— < (п + l)qns. Отсюда следует, что наш ряд сходится для
всех комплексных чисел и, таких, что \и\ < q~n', и определяет в этом
круге аналитическую функцию.
оо s
Пусть ехр и — 1 + ^ "П" •
Определение. Дзета-функция гиперповерхности, задаваемой мно-
многочленом / (или дзета-функция многочлена /), есть ряд
s=l
Функцию Zf(u) можно рассматривать либо как формальный степен-
степенной ряд, либо как функцию комплексной переменной, определенную и
аналитическую в круге {nGC \u\ < q~n}.
Может показаться странным обращение к Zf{u) вместо того, чтобы
оо
прямо рассматривать ряд Y2 Nsus. Причины, главным образом, истори-
s=l
ческого характера, хотя, как мы увидим, с дзета-функцией легче иметь
дело. См. замечания в конце этого параграфа.
В качестве первого примера рассмотрим бесконечно удаленную ги-
гиперплоскость. По определению это множество точек [а0, аь ..., ап] е
G Pn(F) с а0 = 0. Оно определяется уравнением х0 = 0. Как мы от-
отмечали в гл.10, нетрудно убедиться в том, что HXo(Fs) имеет то же
число точек, что и Pn~l(Fs)) т.е.
No = Q^1 )S + Q^1 )S + . . . + QS + 1.
190 Гл. 11. Дзета-функция
Отсюда следует, что
m=0 s=l ^ ' m=0
ОО
Мы воспользовались тождеством ^ — = — ln(l — w). Возведение е
в степень обеих частей равенства A) приводит к
ХоК J A - qn-lu)(l - qn~2u) ...(l-qb
В частности, мы видим, что ZXQ(u) — рациональная функция от и.
Мы произведем сейчас вычисления для более сложного примера.
Рассмотрим гиперповерхность, определенную уравнением — у% + у\ +
+ у\ + у\ — 0. Для вычисления N\ воспользуемся теоремой 2 из гл. 10.
Сводя ее к нашему частному случаю, получаем, что
iV1g + g + l + x(l)
где х — характер порядка 2 на F. Как мы знаем, д(хJ — x(~^)Q- Таким
образом, Ni = q2 + q + 1 + х(—1)#-
Для вычисления Ns мы должны заменить ^на^ихнах^ характер
порядка 2 на Fs:
Если —1 есть квадрат в F) то %s(—1) = 1 для всех s. Если —1 — не
квадрат в F, то, как нетрудно видеть, xs(—1) = —1 для нечетных s и
Xs(—1) = 1 Для четных s.
В первом случае
ЛГ<; ОО / о \ «г °° / \ «г
Nsus _ т-^ (q2u)s -^ (qu)s
1 +^2
так что
Z^ = (l-q2u)(l-quJ(l-u) '
Во втором случае последний член приводит к сумме
s=l S
Таким образом, в этом случае
Z{u) =
- q2u)(l - qu)(l + qu)(l - и) '
! 1. Дзета-функция проективной гиперповерхности 191
Заметим, что в первом случае дзета-функция имеет полюс в точке
и — - порядка 2, в то время как во втором случае в точке и — - имеет-
имеется полюс порядка 1. Это находится в соответствии с гипотезой Тейта,
1
связывающей порядок полюса в и — - с определенными геометрически-
геометрическими свойствами гиперповерхности. Мы не можем останавливаться более
подробно на этом вопросе1.
В качестве последнего примера рассмотрим кривую у^ + у\ + у\ = О
над F = Z/pZ, где р — простое число, сравнимое с 1 по модулю 3.
Опять применяя для нашего случая теорему 2 гл. 10, находим, что
Здесь х — кубический характер на Ъ/рЪ. Мы знаем, что д(хK — ртг,
где тг = J(x, х) и к к — р. Таким образом,
Из соотношения Хассе — Дэвенпорта, которое будет доказано позже,
следует, что
Ns=ps + l-(-7r)s-(-7ry.
Вычисление показывает, что
Числитель может быть вычислен явно. В гл. 8 мы доказали, что тг +
-|- тг = А) где А однозначно определено условием Ар — А2 + 21В2 и
А = 1 (mod 3). Таким образом, окончательное выражение есть
1 + Аи + ри2
1 В алгебраической геометрии с каждым неособым алгебраическим многообра-
многообразием связывают группу классов дивизоров (подмногообразий коразмерности один)
относительно линейной эквивалентности — группу Пикара. Ее конструкция явля-
является обобщением рассматриваемой в гл. 12 конструкции группы классов идеалов
кольца целых алгебраических чисел (подробности см. в [144], гл.2, §6, или в [219],
гл. 3, §§1-3). Группа Пикара поверхности над конечным полем конечно порожде-
порождена, и гипотеза Тейта утверждает, что ее ранг равен порядку полюса дзета-функции
поверхности в точке и = - (см. [226] и [21*]). В нашей ситуации поверхность в пер-
первом случае является распадающейся квадрикой, т.е. изоморфна над основным полем
Р1 х Р1, и ее группа Пикара имеет вид Zei © Ze2, где ei,e2 — классы прямых Р1
из приведенного выше изоморфизма. Во втором случае квадрика распадается лишь
над квадратичным расширением основного поля и ее группа Пикара равна Ze (класс
е связан с диагональю в соответствующем разложении в произведение Р1 и Р1. -
Прим ред.
192 Гл. 11. Дзета-функция
В этом примере Zf(u) — рациональная функция; ее числитель и зна-
знаменатель суть многочлены с целыми коэффициентами. Нули функции
Zf(u) — числа — тг, —тг — оба имеют абсолютную величину 1/у/р.
В более общем виде пусть f(x$,Xi,X2) G F\x$,Xi,X2[ — ненулевой
однородный многочлен, неособый над любым алгебраическим расши-
расширением поля F. В этом случае Вей ль смог доказать, что дзета-функция
многочлена / имеет вид
где Р(и) — некоторый многочлен с целыми коэффициентами степени
(d — l)(d — 2), причем d — степень /. Кроме того, если а — корень
многочлена Р{и)) то \а\ — 1/y/q г. Последнее утверждение называется
гипотезой Римана для кривых.
[Чтобы увидеть связь с классической гипотезой Римана, сделаем за-
замену и = q~s и положим Cf(s) — Zf(q~s). Функция Cf(s) — прямой ана-
аналог классической дзета-функции (см. конец этого параграфа). Условие,
что корни Zj{u) имеют абсолютное значение l/^/#, эквивалентно усло-
условию, что вещественная часть корней Cf(s) равна |.]
Во всех рассмотренных примерах дзета-функция рациональна. В
1959 году Дворк доказал, что любое алгебраическое множество имеет
рациональную дзета-функцию [26]. Его доказательство исключительно
красиво, но, к сожалению, основано на методах, лежащих вне рамок
этой книги.
Наши примеры наводят на мысль дать другую характеризацию усло-
условия того, что дзета-функция рациональна.
Непосредственно из определения следует, что если дзета-функция
разложена в степенной ряд около начала координат, то его постоянный
Р(и)
член равен 1. Следовательно, если Zf(u) = п) (, где Р(и) и Q(u) —
многочлены, то можно предполагать, что Р@) = Q@) = 1 (доказать
это). При таком предположении дзета-функция может быть разложена
на множители следующим образом:
где oi{, /3j G С. Мы можем теперь доказать
1 Отсюда легко следует, что \N — q — 1| ^ 2gy/q, где N — число точек, определен-
определенных над конечным полем Fq, неособой проективной кривой рода д. В настоящее вре-
время известны более точные оценки. Так, Ж.-П. Серр доказал, что \N — q — 1| ^ 9
(см. [30*]). — Прим. ред.
§ 1. Дзета-функция проективной гиперповерхности 193
Предложение 11.1.1. Дзета-функция рациональна тогда и толь-
только тогда, когда существуют комплексные числа щ и Pj, для которых
э i
Доказательство. Предположим, что дзета-функция рациональна.
Тогда по сделанному выше замечанию
Z(u) =
Ц
3
где cti, j3j e С. Возьмем логарифмические производные от обеих частей:
Z(u) ~ 2-" 1 - оци ^ 1 - /З-и '
Умножим обе части этого равенства на и и воспользуемся формулой
геометрической прогрессии для разложения в степенные ряды. В ре-
результате получим
v 7 s=l
Вычислим теперь левую часть другим способом. По определению
~ Nsu*
Взяв логарифмическую производную от обеих частей и умножив
затем обе части на и, получим
uZ'(u)
Сравнивая коэффициенты при us в равенствах B) и C), приходим к
соотношению
j i
Обратное утверждение следует из прямого подсчета, который мы уже
проделывали в частных случаях. Восстановить детали предоставляется
читателю. ?
Остается доказать, что число Ns не зависит от выбора поля Fs. Чи-
Читатель может просто принять этот факт на веру и перейти к § 2.
Предположим, что Е и Е1 — два поля, содержащие F, и оба состоят
из qs элементов.
194 Гл. 11. Дзета-функция
Предложение 11.1.2. Е и Е' изоморфны над F, т.е. существует
такое отображение а : Е —>> Е1\ что
(a) а взаимно однозначно и эпиморфно;
(b) а(а) — а для всех а Е F\
(c) а(а + /3) = а(а) + а(/3) для всех а, /? Е Е\
(d) а(а/3) = а(а)а(/3) для всех а,/? Е Е.
Доказательство. Мы покажем, что оба поля Е и Е' изоморфны над
F полю F[x\/ [f{x)) для некоторого неприводимого многочлена fix) Е
eF[x].
Для начала отметим, что существует такое a' G ?', что Е' — F(a')
(например, можно в качестве а' взять примитивный корень степени
qs — 1 из единицы). Пусть fix) ? F[x] — приведенный неприводимый
многочлен для а'. Тогда Е' « F[x]/(/(x)). Так как а' удовлетворяет
уравнению xqS — х — 0, то fix) \ xqS — х.
Так как Е имеет qs элементов, то xqS — х = YI (х ~ а)- Отсюда сле-
дует, что fio) — 0 для некоторого а Е Е.
Таким образом, F(a) ~ F[x]/(/(x)) будет подполем в Е) состоящим
из qs элементов. Отсюда получаем, что Е — F{a) ~ F[x]/(/(x)) «
« F(a7) = Ef. D
Мы мож:ем теперь использовать введенный изоморфизм а для по-
построения отображения а из Рп{Е) в Рп{Е'). А именно, полагаем
а([а0, ..., »п]) = [сг(ао), ••• j ^(^n)]-
Отображ:ение а взаимно однозначно и сюръективно. Кроме того, если
/(уо,2/ь ...,2/п) е ^Jl/o, 2/ь -,?/п)], то а, ограниченное на проективную
гиперповерхность ^(Е1), будет отображать ее на проективную гипер-
гиперповерхность Hf(E'). Это доказывает независимость чисел Ns от выбора
поля Fs. Проверка деталей предоставляется читателю.
Мы закончим этот параграф обсуждением аналогии между конгру-
энц-дзета-функцией и дзета-функцией Римана.
Дзета-функция Римана ?(s) = Y2 ~^ мож:ет быть записана в силу
п=1 П
фундаментальной теоремы арифметики в виде бесконечного произведе-
произведения YI 1 \ I s по всем простым числам р (см. упр. 25 из гл. 2). Мы по-
получим аналогичное бесконечное произведение для Zjiu) по определен-
определенным объектам, называемым простыми дивизорами соответствующего
алгебраического множества. Это будет сделано с минимальным исполь-
использованием техники алгебраической геометрии.
Если F — конечное поле из q элементов, то рассмотрим произвольное
алгебраическое множество V в An(F). Как в начале параграфа, мы
можем тогда определить дзета-функцию V над F как
1. Дзета-функция проективной гиперповерхности 195
N.u
где Ns — число точек в An(Fqs)) удовлетворяющих уравнениям, опреде-
определяющим V. Мы рассматриваем аффинное алгебраическое множество, а
не проективное алгебраическое множество лишь для упрощения рассу-
рассуждений. Кроме того, удобно работать с одним полем К D F, которое ал-
гебраично над F и содержит расширение степени s поля F для каждого
целого числа s ^ 1. Из предложения 7.1.1 следует, что К тогда содер-
содержит точно одно поле, имеющее qs элементов. Простое построение такого
поля проводится в упражнениях. Это поле определяется однозначно с
точностью до изоморфизма и называется алгебраическим замыканием
поля F. Мы можем тогда рассматривать Ап(К) и расширить V до ал-
алгебраического множества, все еще обозначаемого через V, в Ап(К) с Ns
точками, координаты которых лежат в Fqs.
Если а = (ai,a2, ..., ап) ? V', то пусть Fqd — наименьшее подполе,
содержащее F и ai,a2, ... , an. Мы говорим, что а — точка степени d.
Так как aq — а для a G F, то точки a, a9, a9 , ..., aq тоже лежат в
V', где возведение в степень означает возведение каждой координаты
в соответствующую степень. Кроме того, эти точки различны (в силу,
скажем, следствия к предложению 7.1.1).
Определение. Простой дивизор на V есть множество вида {aqJ | j =
= 0,1, ..., d — 1}, где а — точка на V степени d.
Простые дивизоры традиционно обозначаются через ф. Степень ди-
дивизора ф, deg ф, есть d.
Простые дивизоры, как нетрудно убедиться, расслаивают V с Ап(К).
Кроме того, если а — точка на У с координатами из FqS, то она, согласно
предложению 7.1.5, определяет единственный простой дивизор ф сте-
цени d для некоторого d\s. Этот простой дивизор содержит d точек
множества У, координаты которых принадлежат FqS. Если обозначить
через ad число простых дивизоров на V степени d (это число конечно),
то, согласно предыдущему, справедлив следующий важный результат.
Лемма 1. Ns — ^ dad-
d\s
Теперь мы можем сформулировать основной результат этого пара-
параграфа.
Предложение 11.1.3. Zv(u) = П Л _ degy-
ф 1 — U
Доказательство. Правая часть, очевидно, равна
п
п=1
' 1
1-й"
196 Гл. 11. Дзета-функция
Логарифмическая производная этого выражения есть
ОО j,
папи
и 2-^ \-ип
п=1
Разлагая знаменатель в геометрическую прогрессию и вычисляя ко-
коэффициент при ит, получаем
т—\ xd\m
что, согласно лемме 1, превращается в
т=1
Интегрирование и взятие степени приводит к нужному результату. ?
Этот результат показывает, что Z(u) имеет целые коэффициенты.
Аналогия с дзета-функцией Римана становится еще более прозрачной,
если ввести новую переменную s, связанную с и соотношением и = q~s.
Тогда
) = П х _ g-,deg<p = П г _ у
что совершенно аналогично дзета-функции Римана.
§ 2. След и норма в конечных полях
В § 3 гл. 10 было введено понятие следа. Здесь мы это понятие обоб-
обобщаем и, кроме того, определяем норму в конечных полях.
Пусть F — конечное поле из q элементов и Е — содержащее F поле
из qs элементов.
Определение. Если а е Е) то след элемента а из Е в F определя-
определяется как
tTE/F(a) = a + a9+ ... +aq8~\
Норма элемента а из Е в F определяется как
NE/F(a) = a- aq • ... • оР*'1.
Следующие два предложения описывают основные свойства следа и
нормы.
Предложение 11.2.1. Если a^fS^Eua^F, то
(a) \,teif{<x) e F;
(b) tTE/F(a + /3) = tTE/F(a) + tiE/F(f3)]
(c) tiE/F(aa) = a8NE/F{a)\
(d) trE/F отображает Е на F.
§ 2. След и норма в конечных полях 197
Предложение 11.2.2. Если a, f3 е Е и а е F, то
(a) Л^/ЯсО G F;
(b) NE/F(af3) = NE/F(a)NE/F(f3)]
(c) NE/F(aa) = a8NE/F(a)\
(d) A^/^ отображает Е1* na F*.
Доказательство. Доказательство предложения 11.2.1 совершенно
аналогично доказательству предложения 10.3.1 и будет опущено.
Для доказательства предложения 11.2.2 заметим, что
NE/F(a)q = ia-aq - ... • a9' J = aq • а^2 • ... • aq* = NE/F(a).
Таким образом, NE/F(a) e F.
Далее,
NE/F(al3) = (аР) • (а/?)^ • ... • (а/?)^ =
= (а • а* • ... • а^ V/? • /?9 • ... • /З^) = NE/F(a)NE/F(/3).
Это доказывает п. (Ь).
Для доказательства п. (с) заметим, что NE/F(a) — a-a9-...-a9S = as
для а е F, так как а9 = а. Далее следует применить п. (Ь).
Наконец, рассмотрим ядро гомоморфизма NE/F, т.е. множество всех
aG^, для которых NE/F(a) — 1. Элемент а принадлежит ядру тогда и
только тогда, когда
1 = а - aq - ... • aqS~' = а1+9+-+^ =aq~1 .
Так как у \ qs — 1, то из предлож:ения .7.1.2 следует, что уравнение
s
q - 1
xq x — \ имеет ч _ , решений в Е. Согласно элементарной теории
групп, образ NE/F(E*) имеет q — 1 элементов, что в точности совпадает
с числом элементов в F*. Следовательно, NE/F сюръективно. ?
Для заданной башни полей F С Е С К имеем соотношение [К : F] =
= [К : Е][Е : F]. Этот результат нетрудно доказать в общем виде. Если
все три поля конечны, его можно доказать следующим образом. Пусть
q — число элементов в F. Тогда число элементов в Е и число элементов
в К суть q^E:F^ и q^K:F^ соответственно. Рассматривая К как расширение
Е1, мы можем выразить число элементов в нем как ^Е:Р^К:Е\ Таким
образом,
q[K:F] = q[E:F][K:E]^
а потому [K:F] = [E: F][K : E].
Мы теперь можем доказать еще одно свойство следа и нормы, кото-
которое будет полезно в дальнейшем.
198 Гл. 11. Дзета-функция
Предложение 11.2.3. Пусть F С Е С К — три конечных поля и
а е К. Тогда
(a) trK/jP(a) = tTE/F(tTK/E(a))]
(b) NK/F{a) = NE/F{NK/E{a)).
Доказательство. Мы докажем лишь свойство (а). Доказательство
свойства (Ь) аналогично.
Пусть d — [Е : F]) т — [К : Е] и п = [К : F]. Как было отмечено
выше, п = dm.
Число элементов в Е есть q\ — qd. Таким образом
гп-1
^k/e{ol) = а + aqi + ... + aQl
и d-l d-l m-l
tTE/F(tiK/E(a)) = ^trK/jE;(a)^ = ^^ ^2 ^^ =
г=0 г=0 j=0
d—1 771—1 П —1
г=1 j=0 /c=0
Мы воспользовались тем фактом, что когда j меняется от 0 до т — 1 и
г меняется от 0 до d — 1, величина dj + г меняется от 0 до dm — 1 = п — 1.
?
Предположим теперь, что F С К — конечные поля, п — [К : F] и
а ? К. Пусть Е = F(a) и f(x) e F[x] — минимальный многочлен для
а над F. Согласно следствию предложения 7.2.2, [Е : F] = d, где d —
степень многочлена fix).
Предложение 11.2.4. Запишем fix) — xd — C\Xd~x + ... + (—l)dQ.
да
(a) /(x) = (x - a)(x - ofl)... (x - a^);
3
(c) JV^F(a) = cnjd.
Доказательство. Так как коэффициенты многочлена / удовлетво-
удовлетворяют условию aq = а, то
Таким образом, а9 есть корень /. Аналогично,
о =(/(<*«))« = /(<**').
2
Значит, а9 есть корень /. Продолжая это рассуждение получаем,
что а) aq) aq , ... ,aq суть корни /. Если мы сможем показать, что
все эти корни различны, то (а) будет установлено.
Предположим, что 0 ^ г ^ j < d и aq% — aqJ. Положим k — j — г. Мы
покаж:ем, что к — 0.
j 3. Рациональность дзета-функции 199
Имеем
qi qj / qk \ q^
откуда следует, что
(a-aqk)qi =0.
а потому
к
a = aq .
Так как fix) — минимальный многочлен для а) то отсюда следует,
что fix) делит xq — х) а потому по теореме 1 из гл. 7 имеем d \ к. Но
0 ^ к < d, так что к = 0 и утверждение (а) доказано.
Из утверждения (а) непосредственно следует, что С\ — tr#/^(a) и
Cd = NE/F(a).
Так как а е Е — F{a)) то 1тк/е{^) — [К : Е]а — Ц а и NK/E(a) =
В силу предложения 11.2.3
^k/f{ol) = tiE/F(tTK/E(a)) =
Аналогично,
)) = NE,F(anld) = NE,F{a)n'd = cnjd. П
§ 3. Рациональность дзета-функции
гиперповерхности аож^ -\-aix™ + ... + апх^ = О
Пусть /(xq,Xi, ...,xn) обозначает многочлен из заглавия этого па-
параграфа [заметим, что это не fix) из §2]. Предположим, что его ко-
коэффициенты принадлежат F, конечному полю из q элементов, и что
5 = 1 (mod т). Мы долж:ны исследовать число Ns элементов в Hf{Fs))
где [Fs : F] = s. Теорема 2 из гл. 10 показывает, что Ns задается выра-
выражением
s(n-l) + qs(n-2) + +дз + 1 +
qs
H
qs
As) (s)
АО 1---1Л.П
где qs — число элементов в Fs и Хк — такие мультипликативные ха-
7-1 (s)m (s) / (s) (s) (s)
рактеры поля FS1 что xk = s, xk Ф e и Xo Xi ••• Xn-e-
Мы должны проанализировать члены Хк Л0^1) и яЬСк )- Для этого
мы сначала свяжем характеры поля Fs с характерами поля F.
Пусть х — некоторый характер поля F, и положим х' — X°NFs/F) т.е.
Х*(а) — x(NFs/F(a)) для а е Fs. Тогда, используя предложение 11.2.2,
200 Гл. 11. Дзета-функция
видим, что х' — характер поля FS1 а, кроме того,
(a) X Ф Р означает, что х' Ф Р*\
(b) хт — е означает, что х/т — е\
(c) х'(а) — х{аУ Для всех а ? F.
Отсюда легко следует, что когда х пробегает характеры поля F по-
порядка, делящего т, то х! пробегает характеры поля Fs порядка, деля-
делящего т.
Сумма в D) теперь может быть переписана в виде
XO,-,Xn
где Хсъ ••• чХп — характеры поля F, удовлетворяющие условиям х™ — е->
Хкф е и XoXi-Xn = ?•
Остается проанализировать сумму Гаусса д(х')- Это составляет со-
содержание следующей теоремы Хассе—Дэвенпорта (см. [23]).
Теорема 1. (-д(х))* = -#(х')-
Мы отложим доказательство этого соотношения.
Из теоремы 1 и равенств D) и E) следует, что Ns задается значением
, F)
где вторая сумма подчинена тем ж:е условиям, что и E).
Применение предложения 11.1.1 дает основной результат этой гла-
главы.
Теорема 2. Пусть ao,ai, ... ,an e F*; где F — конечное поле из q
элементов и q = 1 (mod т). Пусть /(xo,Xi, ... ,хп) = аох^ + а\Х™ +
+ ... + апх™. Тогад дзета-функция Zf (и) есть рациональная функция,
где
Р(и)=
Xo,Xi v?Xn
— многочлен, причем {п + 1)-набор Xo^Xi^ ~чХп подчинен условиям
Х^ = е,Хкфе и xoXi ••• Хп = е.
Сделаем несколько замечаний.
A) степень многочлена Р{и) мож:но вычислить явно. Она равна
(т- l)n+1 + (-l)n+1(m- 1)
т
B) Так как \д(х)\ — y/Qi то из явного выражения для Р(и) следует,
§ 4. Доказательство соотношения Хассе—Дэвенпорта 201
п-1
что нули Zf(u) имеют абсолютное значение q 2 . Это согласуется с об-
общей гипотезой Римана.
C) Если записать Р(и) = Yl(l — аи), то числа а целые алгебраиче-
алгебраические.
В этом нетрудно убедиться. Каждое а имеет вид
где ( — корень из единицы и XoXi---Xn — е- Используя следствие 1
теоремы 3 из гл. 8, мы видим, что
J g(xo)g(xi) ••• д(хп) = Xn(-i)«/(xo,хъ •••,Xn-i)-
Сумма Якоби есть сумма корней из единицы, а потому целое алге-
алгебраическое число.
Таким образом, а = С,Хп{—1)^(Х(Ъ Хъ •••чХп-i) ~ тоже целое алге-
алгебраическое число.
Пусть f(xo,xi, ... ,хп) — однородная форма степени d с коэффици-
коэффициентами в конечном поле F. Кроме того, предположим, что частные
О -Р О -Р
производные -^—)...)-^— не имеют общего нуля в Pn(F) ни для ка-
какого алгебраического расширения поля F. В этом случае мы говорим,
что проективная гиперповерхность, определяемая /, абсолютно неосо-
неособа. Рассмотрим в этой ситуации дзета-функцию Z(u) гиперповерхности
/ = 0. Гипотезы Вейля (теперь теоремы) утверждают следующее:
(a) Z{u) — рациональная функция, представимая в виде
Z(u) = Р(">(~1)Л
где Р{и) — многочлен с целыми коэффициентами.
п-1
(Ь) Р{и) — A — а\и){1 — а2и)... A — ати). Отображение а —>
является биекцией множ:ества а\) ..., ат.
и — i) + {—l)(d — 1)
(d) Степень многочлена Р{и) равна Ц— -.
Приведенное утверж:дение об абсолютном значении корней извест-
известно как гипотеза Римана для гиперповерхностей. Доказательство пп. (а),
(Ь) и (d) принадлежит Дворку [26]. Доказательство гипотезы Римана
принадлежит Делиню A973 г.) (См. [11*]. — Ред.) За общими формули-
формулировками гипотез Вейля мы отсылаем читателя к [80] и [161]1.
1 Другое доказательство утверждений (а), (Ь) и (d) дано Гротендиком с помо-
помощью теории этальных когомологий, существование которой было предсказано Вей-
лем в [80]. См. изложение в [144], добавление С, и [16*]. — Прим. ред.
202 Гл. 11. Дзета-функция
§ 4. Доказательство соотношения Хассе—Дэвенпорта
Пусть F — конечное поле из q элементов и Fs — такое поле, содержа-
содержащее F, что [Fs : F] = s. Пусть х ~ нетривиальный мультипликативный
характер поля F и х' — X ° NFs/f- Тогда х' ~ характер поля Fs. Мы
хотим сравнить суммы Гаусса д(х) и 9(х')-
Напомним определение д(х) (см- гл- Ю, §3):
где ф(к) равно ?р . Функция следа в этом определении совпадает с
функцией trp/Fp, введенной в этой главе. Так как мы рассматриваем
более чем одно поле, важно добавлять к следу индекс. Далее,
keFs
где ф'(к) = Ctr^/^(fc). Так как trFs/Fp(k) = tiF/Fp(tiF,/F(k)), то ф' = ф о
/
Для приведенного многочлена f{x) = хп — С\Хп~1 + ... + (—1)псп из
F[x] положим Л(/) = ф(с{)х{сп)-
Лемма 1. X(fg) = X(f)X(g) для всех приведенных f,g G F[x].
Доказательство. Если д(х) = хт — Ь\Хт~х + ... + (—1)тЬт, то /(ж)-
.д(х) = хп+т - (Cl + b^x^™-1 + ... + (-l)n+mcnbm. Таким образом,
А(/^) = ф(с1 + bi)x(cnbm) = 4>(ciL>(bi)x(cn)x(bm) =
= ф(с1)х(сп)ф(Ь1)Х(Ьт) = X(f)X(g). D
Лемма 2. Пусть а ? Fs и fix) — приведенный неприводимый мно-
многочлен для а над F. Тогда
Доказательство. Этот результат легко получается из предложения
11.2.4. А именно, если f(x) = xd - C\Xd~l + ... + (-l)dcd, то
tiFa/F(a) = | ci и NFa/F(a) = cjd.
Далее A(/) = ^(ci)x(q), так что
= 1>{tTF./F(a))X((NF./F(a)) = ф'(а)х'(а). D
Лемма 3. g(x') — XXdeg/)A(/)s/deg^; где сумма берется по всем
приведенным многочленам кольца F[x] степени, делящей s.
Доказательство. Согласно теореме 1 гл. 7, обобщенной на случай,
§ 4. Доказательство соотношения Хассе—Дэвенпорта 203
когда в качестве основного поля берется F, xqS — x является произведе-
произведением всех неприводимых приведенных многочленов степени, делящей s.
Отсюда следует, что все корни каждого такого неприводимого много-
многочлена лежат в Fs и, обратно, каждый элемент из Fs обращает в нуль
такой многочлен.
Пусть fix) — приведенный неприводимый многочлен степени d\s.
Пусть c*i, с*2, •••, OLd e Fs — его корни. Тогда, согласно лемме 2,
к=1
Суммирование по всем многочленам требуемого типа приводит к
доказываемому результату. ?
Теперь мы можем доказать соотношение Хассе—Дэвенпорта. Дока-
Доказательство основано на следующем тождестве:
где сумма берется по всем приведенным многочленам, а произведение —
по всем приведенным неприводимым многочленам в F[x].
Это тождество получается разложением каждого члена
в геометрическую прогрессию с использованием того факта, что каж-
каждый приведенный многочлен может быть однозначно записан в виде
произведения приведенных неприводимых многочленов. Дополнить де-
детали предоставляется читателю в качестве упражнения.
Далее,
/ s=0 Meg/=s
Мы полагаем ЛA) = 1, так как это необходимо для выполнения равен-
равенства G).
Для s = l получаем
deg/=l
Для s > 1
deg/=s
2 E 2 fe Л (Т ) = 0.
Cl,Cs ^ C\
Объединяя все предыдущее вместе, убеждаемся в том, что левая часть
204 Гл. 11. Дзета-функция
равенства G) сводится к l + g(x)t- Используя это, возьмем логарифм от
обеих частей равенства G), продифференцируем и умножим обе части
полученного результата на t. Это приводит к равенству
Разлагая знаменатели в геометрическую прогрессию, получаем
rdesf ¦
s=l f V=l '
Приравнивание коэффициентов при ts дает
(-ly-'gixY = E (deg/)A(/)s/deg/.
deg /I s
Согласно лемме З, правая часть равна д(х')- Это завершает доказа-
доказательство. ?
§ 5. Последняя запись
Последняя запись математического дневника Гаусса — это форму-
формулировка следующей замечательной гипотезы.
Предположим, что р = 1 (mod 4). Тогда число решений сравнения
х2 + у2 + х2у2 = 1 (mod р) равно р + 1 — 2а, где р = а2 + Ь2 и а +
+ bi = l(mod 2 + 2г).
Надо дать некоторые пояснения. Если р = 1 (mod 4), то в силу пред-
предложения 8.3.1 р = а2 + Ь2 при некоторых целых а и Ь. Если а выбрать
нечетным, a b четным, то они будут определены однозначно с точно-
точностью до знака. Сравнение a + bi = 1 (mod 2 + 2г) определяет знак а. Мы
приведем более простую формулировку этого факта.
Лемма 1. Если р = 1 (mod 4), р = а2 + Ь2 и а + Ы = 1 (mod 2 + 2г),
то а нечетно и b четно. Более того, если 4 | Ъ, то а = 1 (mod 4); если
эюе 4/f/6; то а = — 1 (mod 4).
Доказательство. Из того, что а + Ы = 1 (mod 2 + 2г), следует, что
а + 6г = 1 (mod 2), а значит, а нечетно и 6 четно,
Так как 4 = —2(г —1)(г+1), то при 4 | b имеем а+Ы = a (mod 2 + 2г) =
= 1 (mod 2 + 2г). Беря сопряж:ение, получаем а = 1 (mod 2 — 2г). Таким
образом, B + 2г)B - 2г) = 8 | (а - IJ и а = 1 (mod 4).
Если 4/(/6, то b = 4А; + 2 для некоторого /с. Таким образом, а +
+ U = а + 2гB + 2г) = 1 (mod 2 + 2г). Так как 2г = -2B + 2г), то
а = 3 (mod 2 + 2г) = — 1 (mod 2 + 2г). Как и прежде, 8 | (а + IJ, так что
а = -l(mod 4). П
> 5. Последняя запись 205
Теорема. Рассмотрим кривую С', определенную многочленом x2t2 +
+ y2t2 + x2y2 — ?4 над Fp, где р = 1 (mod 4). Запишем р = а2 + Ь2 с
нечетным а и четным Ь. Если 4 | Ъ, то выберем а = 1 (mod 4); если
4/f/6; то выберем а = — 1 (mod 4). Тогда число точек на С в P2(Fp)
равно р — 1 — 2а.
Дзета-функция кривой С равна
1 -2аи + ри2
Z{U)= l-pu {1~U)-
Прежде чем приступить к доказательству, сделаем несколько заме-
замечаний.
Ответ р — 1 — 2а отличается от числа р+1 — 2а1 указанного Гауссом.
Дело в том, что Гаусс считает, что на бесконечности лежат четыре точ-
точки, в то время как простое вычисление показывает, что [0,1, 0] и [0, 0,1],
согласно нашему определению, — единственные бесконечно удаленные
точки. Поэтому наш ответ отличается от его ответа на 2.
Так как независимо от р имеются две бесконечно удаленные точки,
достаточно подсчитать число конечных точек, т.е. решений уравнения
х2 + у2 + х2у2 = 1.
В качестве примера рассмотрим р — 5. Так как 5 = I2 + 22, то 4/(/6,
а потому мы должны взять а — — 1. Формула р — 1 — 2а дает в этом
случае ответ 6.
Действительно, в дополнение к двум бесконечно удаленным точкам
точки A,0), (—1,0), @,1) и @,-1) есть остальные точки нашей кривой
над полем Fp.
Вид указанной дзета-функции может вызвать удивление. Объясне-
Объяснение состоит в том, что две бесконечно удаленные точки являются осо-
особыми. Таким образом, вид этой дзета-функции не противоречит нашим
более ранним наблюдениям1.
Мы приступаем теперь к доказательству теоремы. Обозначим через
С\ кривую, задаваемую уравнением х2 + у2 + х2у2 — 1, а через С2 —
кривую, задаваемую уравнением w2 = 1 —z4. Мы построим отображения
из С\ в С2 и из С2 в С\.
Заметим, что из
х2 + у2 + х2у2 = 1
1 Если С — наша кривая, рассматриваемая на проективной плоскости, то су-
существует неособая кривая С1', отображающаяся на С так, что над двумя особыми
бесконечно удаленными точками лежат четыре рациональные (и неособые) точки
кривой С. Дзета-функция Zc>(u) имеет вид, предписываемый результатами § 3, а
дзета-функция Zq{u) получается из нее умножением на A — иJ (это множители
эйлерова разложения для Zc\u)^ отвечающие двум «лишним» точкам на С). —
Прим. ред.
206 Гл. 11. Дзета-функция
следуют равенства
A+х2)у2 = 1-х2
[A + х2)у]2 = 1-х4.
Поэтому если (а, Ь) лежит на С\) то (а, A + а2)&) лежит на С^-
Пусть
\(х,у) = (х,A + х2)у).
Отображение Л отображает С\ в С2. Нетрудно убедиться в том, что это
отображение взаимно однозначно.
Далее, положим
Отображение \i определено не во всех точках. Если а Е Fp таково, что
а2 = —1, то (су, 0) и (—а, 0) лежат на С2, но /i в этих точках не опре-
определено. Оно определено во всех других точках кривой С2 и отображает
эти точки в С\. Нетрудно проверить, что /i обратно Л всюду, где оно
определено. Таким образом,
N1 = N2- 2,
где JVi, N2 — числа конечных точек над полем Fp на С\ и С2 соответ-
соответственно.
Число N2 можно вычислить, используя теорему 5 гл. 8. Применяя
теорему 5 к w2 + z4 = 1, видим, что
N2=p + J{P) x) + J{p, X2) + J{p, X3),
где р — характер порядка 2, а х ~ характер порядка 4.
Так как х2 = Л то J(p,X2) — J(PiP) — ~р(~1) = ~1- Кроме того,
поскольку х2 = е, то х3 = X, а потому J(p, х3) = «/(р, х) = «/(р, х)-
Пусть тг = —J(p, х). Тогда
N2 — Р — 1 — 7Г — 7Г.
Характер р принимает значения ±1, а характер х принимает значения
±1, ±г. Таким образом, тг = а + Ьг, где а, 6 Е Z. Кроме того, | J(p, x)|2 =
= р) так что а2 + Ь2 — тгтг = р. Отсюда следует, что 7V2 = р — 1 — 2а и
iVi = р — 3 — 2а. Так как С\ имеет две бесконечно удаленные точки, то
общее число точек на С\ над Fp задается формулой
N = p-l-2a.
Для завершения первой части теоремы достаточно в силу леммы
доказать, что тг = 1 (mod 2 + 2г). Это достигается при помощи следую-
следующего изящного вычисления, приведенного у Хассе—Дэвенпорта [23].
Замечания 207
Заметим, что р(а) — 1 = 0 (mod 2) и х{°) — 1 = 0 (mod 1 + г) для всех
а ф 0 в Fp. Первое утверждение очевидно; второе следует из того, что
1-1 = 0, -1-1 = -A-г)A + г), -г-1 = -A + г) иг-1 = гA + г). Таким
образом, если а ф 0 и Ъ ф 0, то (р(а) — l) (х(Ь) — l) = 0 (mod 2 + 2г).
Это сравнение тривиально верно для пар а = 0, 6 = 1 и а = 1, 6 = 0.
Поэтому
J] (р(а) - 1) (Х(Ъ) - 1) = 0 (mod 2 + 2г).
Раскрывая скобки, получаем
Ь а
Второй и третий члены равны нулю. Таким образом,
тг = р (mod 2 + 2г) = 1 (mod 2 + 2г).
Последний шаг получается в силу того, что р = 1 (mod 4) по предполо-
предположению и 2 + 2г делит 4; в самом деле, 4 = A — г)B + 2г).
Для вычисления дзета-функции достаточно заметить, что в силу
соотношения Хассе—Дэвенпорта число точек на x2t2 + y2t2 + x2y2 — t4 =
= 0 в P2(FpS) равно
ps - 1 - (-
Таким образом,
, v A — ттгг)A — ттгг)
Z()
12ап + рт
1 - и) = 1 - и).
1 ри
1 и)
1 — ри 1 — ри
Замечания
Как мы уже упоминали, понятие конгруэнц-дзета-функции было
введено Артином в его диссертации [2]. В этой работе он получил ана-
аналог гипотезы Римана для приблизительно 40 кривых вида у2 — f{x))
где / — кубический многочлен или многочлен четвертой степени. В 1934
году Хассе доказал, что этот результат верен в общем виде для кубик
(случай эллиптических кривых). В полной общности гипотеза Рима-
Римана для произвольных неособых кривых была доказана Вейлем в 1948
году. Его доказательство далеко не элементарно и использует тонкую
технику алгебраической геометрии.
Гипотеза Вейля о том, что дзета-функция любого алгебраического
многочлена рациональна, была доказана в 1959 году Дворком с исполь-
использованием р-адического анализа [26].
208 Гл. 11. Дзета-функция
В 1969 году С.А. Степанову удалось получить элементарное доказа-
доказательство гипотезы Римана для кривых [222]. Полное изложение метода
Степанова имеется в книге [218]. Этот метод был еще упрощен Бомбье-
ри, который, используя теорему Римана—Роха, дает полное доказатель-
доказательство на пяти страницах [98]. Более сильные оценки в частных случаях
были получены в [221]. Для анализа доказательства Делиня и историче-
исторического обсуждения вопроса в целом читателю следует обратиться к [161].
В этой статье содержится также обширная библиография по данному
вопросу. См. также обзор [248]. Открытие этих замечательных теорем
обсуждается в первом томе собрания сочинений Вейля [241], с. 568-569.
Наконец, упомянем статью [160]1.
Логически § 5 о гипотезе Гаусса следовало бы включить в гл. 8. Мы
посчитали возможным поместить его в эту главу в силу того, что связь
между этой гипотезой и гипотезой Римана—Вейля еще раз обнаружи-
обнаруживает замечательную остроту интуиции Гаусса и то, как его влияние про-
продолжает сказываться вплоть до наших дней.
В настоящее время доступно новое издание математического днев-
дневника Гаусса, переведенного с латинского языка на немецкий, с исто-
историческим обзором Бирмана и комментариями Вуссинга [137]. В этом
важном историческом документе сообщается об основных открытиях
Гаусса между 1796 и 1814 годами. Интересно отметить, что как пер-
первая (§11 гл.9), так и последняя записи относятся к круговым полям.
Дополнительную биографическую информацию о Гауссе см. в [143] и в
биографии, написанной недавно Бюхлером [101].
Упражнения
1. Предположим, что степенной ряд 1 + а\и + а2и + ... можно запи-
Р(и) и
сать в виде отношения двух многочленов п) ( . Показать, что можно
считать Р@) = Q@) = 1.
2. Доказать обращение предложения 11.1.1.
3. Восстановить детали доказательства того, что Ns не зависит от
поля Fs (см. последний абзац § 1).
4. Вычислить дзета-функцию поверхности XqXi — х2х3 = 0 над Fp.
5. Вычислить настолько явно, насколько возможно, дзета-функцию
поверхности а^х1 + а\х\ + ... + апх2п над Fq) где q нечетно. Ответ зависит
от нечетности или четности п и альтернативы q = 1 (mod 4) или q =
= 3(mod4).
1 См. также примечание к § 3. — Прим. ред.
Упражнения 209
6. Рассмотрим х\ + x\ + х\ — 0 как уравнение над F4, полем из
четырех элементов. Показать, что на этой кривой в P2(F4) существует
девять точек. Вычислить дзета-фуикцию. [Ответ. A ^^
7. Это упражнение следует выполнять при некотором знакомстве
с проективной геометрией. Пусть Ns — число прямых в Pn(FpS. Най-
Найти Ns и вычислить ^ —-— . (Множество прямых в проективном про-
s=l S
странстве является алгебраическим многообразием, называемым грас-
смановым. Грассмановым многообразием будет и множество плоско-
плоскостей, трехмерных линейных подпространств и т.д.)
8. Если / — неоднородный многочлен, можно рассмотреть дзета-
функцию проективного замыкания гиперповерхности, определяемой
этим многочленом (см. гл.10). Один из способов вычислить ее состо-
состоит в подсчете числа точек на Hf(Fq) и затем в добавлении к нему числа
бесконечно удаленных точек. Например, рассмотрим у2 = х3 над Fps.
Показать, что она имеет одну бесконечно удаленную точку. Начало ко-
координат @, 0), очевидно, лежит на этой кривой. Если х ф 0, то записать
(у/хJ = х и показать, что на этой кривой дополнительно имеется ps — 1
точек. Всего получается ps + 1 точек, и дзета-функция над Fp равна
1
A — и){1 — ри)
9. Вычислить дзета-функцию кривой у2 — х3 + х2 над Fq.
10. Если Аф0вРдид = 1 (mod 3), то показать, что дзета-функция
кривой у2 — х3 + А над Fq имеет вид
„, ч 1 + аи + §^2
ZH = 7i ^7^
где а е Z и \а\ ^ y/
11. Рассмотрим кривую у2 = х3 — Dx над Fp) где D ф 0. Обозначим
эту кривую через С\. Показать, что замена х — \{u-\-v2) и у — ^v{u-\-v2)
отображает С\ в кривую С2, задаваемую уравнением и2 — г;4 = 4.D. По-
Показать, что при любом заданном конечном поле число конечных точек
на С\ на единицу больше, чем число конечных точек на С2.
12 (продолжение). Показать, что если р = 3 (mod 4), то число про-
проективных точек на С\ в точности равно р + 1. Если р = 1 (mod 4), то
показать, что ответом будет p+l + x{D)J(Xi X2) +x{D)J(Xi Х2)> ГДе X ~
характер порядка 4 на Fp.
13 (продолжение). При р = 1 (mod 4) вычислить дзета-функцию для
у2 — х3 — Dx над Fp в терминах тг и x(-D), где тг = —J(X) X2)- Это вычис-
вычисление в несколько более сложном виде содержится в [23]. Полученный
210 Гл. 11. Дзета-функция
результат играл ключевую роль в недавней эмпирической работе Бёрча
и Суиннертона-Дайера по эллиптическим кривым.
14. Предположим, что р = 1 (mod 4), и рассмотрим кривую х4 +
+ у4" = 1 над Fp. Пусть х ~ характер порядка 4 и тг = — J(X) X2)- Полу-
Получить формулу для числа проективных точек над Fp и вычислить дзета-
функцию. Оба ответа должны зависеть лишь от тт. [Указание. См. упр. 7
и 16 из гл. 8, но использовать их надо с осторожностью ввиду того, что
там учитывались лишь конечные точки.]
15. Найти число точек на кривой х2 + у2 + х2у2 — 1 для р — 13 и
р — 17. Применить как формулу из § 5, так и прямое вычисление.
16. Пусть F — поле из q элементов и Fs — расширение степени s.
Если х — характер поля F, то пусть х' — Х° ^fs/f- Показать, что
(a) х1 — характер поля Fs;
(b) из х Ф Р следует, что х' Ф р''->
(c) из хт — е следует, что xfrn — e\
(d) х;(а) = X(a)s Для а е F\
(e) в то время как х пробегает все характеры поля F порядка,
делящего т, х' пробегает все характеры поля Fs порядка,
делящего т (здесь мы предполагаем, что q = 1 (mod m)).
17. В теореме 2 показать, что числитель дзета-функции Р(и) имеет
(m-l)n+1 + (-l)n+1(m-l)
степень Л L ^ L ^ L .
ТП
18. Пусть используются обозначения из упр. 16. С помощью соотно-
соотношения Хассе — Дэвенпорта показать, что
1,X2, -,Xn) = (-l)(S-1)(n-1)J(Xl,X2, -,ХпУ,
где Xi — нетривиальные характеры поля F и Х1Х2 ••• Хп Ф ?•
19. Доказать тождество
где сумма берется по всем приведенным многочленам в F[t], а произ-
произведение — по всем приведенным неприводимым многочленам в F\t\\ Л
определено в § 4.
20. Если в теореме 2 в качестве основного поля рассмотреть Fs вме-
вместо F, то получим другую дзета-функцию, Zj(u). Показать, что Zj(u)
и Zf(u) связаны равенством
{f
Z{f\u) = Zf(u)Zf((
u)
где С = e2*i/s.
Упражнения 211
21. В упр. 6 мы рассматривали уравнение х\ + х\ + х\ — 0 над полем
из четырех элементов. Рассмотреть то же самое уравнение над полем
из двух элементов. Осложнение здесь состоит в том, что 2^1 (mod 3),
а поэтому наши обычные вычисления не проходят. Доказать, что в лю-
любом расширении поля Z/2Z нечетной степени каждый элемент являет-
является кубом и что в любом расширении четной степени 3 делит порядок
мультипликативной группы. Воспользоваться этой информацией для
вычисления дзета-функции над Z/2Z. Ответ, -г-х——\Гл—~^~\ •
22. При помощи идей из упр. 21 показать, что теорема 2 остается
верной (в подходящем смысле) даже без предположения q = 1 (mod m).
23. Пусть pi < р2 < Рз < ... обозначает положительные простые
числа, расположенные в порядке возрастания. Пусть Nm = р™р™ ...р™
и Ет обозначает поле из qEm элементов. Показать, что Ет можно рас-
рассматривать как подполе Ет+1 и что Е — (J Ет — расширение поля
Eq = F', конечного поля из q элементов, обладающее следующим свой-
свойством: для каждого положительного целого числа п поле Е содержит
одно и только одно подполе Fn) состоящее из qn элементов.
Глава 12
ТЕОРИЯ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ЧИСЕЛ
В этой главе мы введем понятие поля алгебраических чисел и изло-
изложим основные свойства этого поля. Наш подход будет классическим,
причем излагаются лишь те вопросы, которые понадобятся в после-
последующих главах. Изучение таких полей и их связь с другими ветвями
математики составляют значительную часть современных исследо-
исследований. Наша цель состоит в изложении той части общей теории, ко-
которая нужна при изучении законов взаимности высших степеней. Чи-
Читателю, интересующемуся более систематическим изложением те-
теории полей алгебраических чисел, следует обратиться к любой стан-
стандартной книге на эту тему, например [207], [168], [140], [183].
Мы предполагаем, что читатель знаком с теорией сепарабельных
расширений полей (изложение этой теории можно найти, например,
в [150]1. Некоторые результаты приведены в упражнениях.
§ 1. Алгебраические подготовительные результаты
В этом параграфе мы напоминаем некоторые факты из теории полей
и доказываем ряд результатов о дискриминантах.
Пусть L/ К — конечное алгебраическое расширение поля К. Размер-
Размерность пространства L/K) [L : К]) будет обозначаться через п.
Предположим, что ol\,ol<i, ..., oin — базис L/K и а е L. Тогда
Определение. Норма элемента а) NL/K(a)) — это det(a^). След
элемента а) tTL/K(a)) есть ац + а22 + ... + апп.
Нетрудно убедиться в том, что это определение не зависит от выбо-
выбора базиса. В дальнейшем изложении норма и след будут обозначаться
через N и tr, так как расширение L/К будет фиксировано.
Если а, E е L и а е К, то N(a/3) = N(a)N(/3), tr(a +/3) = tr(a) +
+ tr(/?), N(aa) = anN(a) и tr(aa) = atr(a). Если a ^ 0, то N(a)N(a~1) =
= ^(ш) = iV(l) = 1. Таким образом, если а ф 0, то N(a) / 0 и
N(a~1) = N(a)~1. Если L/K сепарабельно, то функция tr не равна
тождественно нулю. Если chari^ = 0, то это очевидно, ибо tr(l) =n/0.
1 Все необходимое можно также найти в [4*] или [15*]. — Прим. ред.
§ 1. Алгебраические подготовительные результаты 213
Единственные поля характеристики р > О, которые мы будем рассмат-
рассматривать, — это конечные поля, а в таком случае результат следует из
предложения 11.2.1 (d).
Предположим, что L/K сепарабельно, и пусть o"i,o, ... ,сгп — раз-
различные изоморфизмы поля L в некоторое фиксированное алгебраиче-
алгебраическое замыкание поля К, которые оставляют элементы из К на месте.
Для a G L обозначим Cj(a) через а^\ Элементы а^ называются со-
сопряженными к а. Здесь сг1) есть а.
Используя линейную алгебру, можно показать (см. упр. 21-23), что
tr(a) = аA) + аB) + ... + а(п) и N(a) = aAW2) ...a(n). Если а е L, то
рассмотрим
f(x) = (х- а^)(х - аB))... (х - ам).
Тогда f(x) G К[х]. Коэффициент при хп~1 равен — tr(a), а свободный
член равен (—l)nN(a). Читателю следует убедиться в том, что наши
определения нормы и следа обобщают определения из гл. 11, § 2.
Определение. Если а1? а2, ..., oin — некоторый набор элементов из
L, то мы определяем дискриминант A(c*i, ... ,ап) как det(tr(a^j)).
Предлож:ение 12.1.1. Если A(c*i, ..., ап) Ф 0, то а\) ..., ап образу-
образуют базис в L/K. Если L/K сепарабельно и а1? ... ,ап — базис в L/K,
то Д(аь ... ,ап) Ф 0.
Доказательство. Предположим, что а1? ...,ап линейно зависимы.
Тогда существуют такие ai, ...,an e i(T, не все равные нулю, для ко-
п
торых Ylaiai — 0- Умножим это равенство на ctj и возьмем след. В
г=1
результате получим
п
^2 аг tr(a^j) = 0, .7 = 1,2, ..., п.
г=1
Это показывает, что матрица (tr(c^aj)) вырож:денна, так что ее
определитель равен нулю.
Предположим теперь, что а1? ...,an — базис и A(o^i, ...,скп) = 0.
Тогда система линейных уравнений
^tr(a^j) = 0, j = 1,2, ... ,n,
г=1
имеет нетривиальное решение Х{ — щ G i^, г = 1,2,...,п. Пусть a =
= ^ a^a^ ф 0. Тогда tr(cm^) = 0 для j = 1, 2, ..., п, а так как а1? ..., ап —
г=1
базис, отсюда следует, что tr(a/?) = 0 для всех /? G L. Это означает, что
след тождественно равен нулю, но это не так, ибо L/К сепарабельно.
Отсюда получаем второе утверждение. ?
214 Гл. 12. Теория алгебраических чисел
Предложение 12.1.2. Предположим, что а1? ... ,ап и /?i, ... , (Зп —
п
базисы в L/K. Пусть а^ — ^ aijCj. Тогда
г=1
Доказательство. Возьмем след от обеих частей равенства
Пусть Л= (tr(a^aj)), ?? = (tr(^/?j)) и С—{а^). Тогда мы получаем мат-
матричное равенство А — С'ВС) где С — матрица, транспонированная к С.
Взяв определители от обеих частей последнего равенства и использовав
то, что det C = det С7, устанавливаем доказываемый результат. ?
Предложение 12.1.3. Для а\) ... ,ап е L и сепарабельпого расши-
расширения L/K
Доказательство. Имеем tr(a^aj) = а\ ^а^ ' + а\ ^а^ ' + ... +а\п'>а^ .
Пусть А = (tr(a^aj)) и В = (cq ^). Тогда А = ББ7. Взятие определите-
определителей от обеих частей этого матричного равенства приводит к нужному
результату. ?
Предложение 12.1.4. Предположим, что 1,C, ...,/?п~1 лежат в
L и линейно независимы над К. Пусть f(x) G К[х\ — минимальный
многочлен для C над К. Если L/K сепарабельно, то
где f'(x) — формальная производная для f(x).
Доказательство. Матрица ((/?^)г), где j = 1, ..., п и г — 0, ..., п — 1,
является матрицей вандермондовского типа, так что ее определитель
равен
Поэтому
, /3,
Далее, f(x) = Ц^-^)» а потому /'(/?Ш) = ГК^ ~/5(г))- Так как
f'(C^) = (f'(C)) , мы получим доказываемый результат, если возьмем
произведения по j. ?
§ 2. Однозначность разложения на множители 215
§ 2. Однозначность разложения на множители
в полях алгебраических чисел
Элементарная теория чисел имеет дело со свойствами натуральных
чисел 1, 2, 3,.... При изучении этих свойств становится необходимым
рассматривать кольцо целых чисел Z, а затем поле рациональных чи-
чисел Q. Чтобы разобраться в биквадратичном законе взаимности, Гаусс
ввел в рассмотрение кольцо Ъ[г\. Аналогично, при изучении высших за-
законов взаимности и последней теоремы Ферма (см. гл. 14) были введены
другие кольца. В конце концов появились общие понятия поля алгебра-
алгебраических чисел и кольца целых алгебраических чисел (главным образом
благодаря усилиям Куммера и Дедекинда).
Определение. Подполе F поля комплексных чисел называется по-
полем алгебраических чисел) если [F : Q] конечно. Если F — такое поле,
то подмножество в нем, состоящее из целых алгебраических чисел, об-
образует кольцо D, называемое кольцом целых алгебраических чисел в F.
Предложение 6.1.2 показывает, что поле алгебраических чисел со-
состоит из алгебраических чисел (а именно, следует положить V = F и
выбрать базис 71 ? • • • ? In B F над Q.
Пусть Q — множество всех алгебраических целых чисел. Тогда пред-
предложение 6.1.5 показывает, что Q — кольцо. Так как D = Q p| F, то D —
тоже кольцо. Мы будем часто ссылаться на D просто как на кольцо
целых чисел в F.
Оказывается, что в общем случае D не является областью с одно-
однозначным разложением на множители (упр. 7). Однако D обладает по-
почти столь же хорошим свойством. А именно, каждый ненулевой идеал
может быть однозначно представлен в виде произведения простых иде-
идеалов. Область целостности с таким свойством называется дедекиндовым
кольцом. В этом параграфе, следуя методу Гурвица [154] (с. 236-243),
мы докажем, что D — дедекиндово кольцо.
Всюду далее слово «идеал» будет обозначать ненулевой идеал. Мы
надеемся, что это не вызовет недоразумений.
Лемма 1. Предположим, что j3 Е F. Существует такое b Е Z,
Ь ф О, что ЬE Е D.
Доказательство, Число j3 удовлетворяет уравнению ao/?n + ai/?n~1 +
+ ... + ап = 0, где a& E Z, uq ф 0. Умножим обе части равенства на с^~1
и заметим, что
(ao/?)n + aifao/?)"-1 + ... + аХ = °-
Это доказывает, что а0/? — целое алгебраическое число, так как для
всех к ^ 1 будет akQ%~1 E Z. ?
216 Гл. 12. Теория алгебраических чисел
Предложение 12.2.1. Каждый идеал А в D содержит некоторый
базис поля F над Q.
Доказательство. Пусть /?1? ...,/?п — какой-либо базис в F над Q.
В силу предыдущей леммы существует такое число b G Z, b ф О, что
fc/?i, ..., b/3n G D. Выберем a G Д a G 0. Тогда элементы b/?ia, ..., bf3na
принадлежат А и образуют базис поля F над Q. ?
В § 1 мы рассматривали расширение L/К поля К и норму, след
и дискриминант какого-либо базиса. Здесь мы фиксируем расширение
F/Q и рассматриваем все эти понятия для этого расширения.
Если а е D) то мы утверждаем, что N(a) и tr(a) принадлежат Z.
Чтобы убедиться в этом, заметим, что если а удовлетворяет приведен-
приведенному уравнению с коэффициентами в Z, то ему же удовлетворяют и
все сопряженные к а. Таким образом, N(a) и tr(a), которые суть со-
соответственно произведение и сумма сопряженных к числу а) являются
целыми алгебраическими числами. Они также принадлежат Q, так что
в силу предложения 6.1.1 они принадлежат Z. Из того, что след обла-
обладает этим свойством, вытекает, что если а1? ...ап — некоторый базис
поля F над Q и все а^ лежат в D, то A(c*i, ... о^п) G Z.
Заметим, что дискриминант базиса может быть отрицательным. На-
Например, пусть г — у/—1) и рассмотрим базис 1, г расширения Q(i)/Q.
Простое вычисление показывает, что АA,г) = —4.
Предложение 12.2.2. Пусть А — идеал в D, и предположим, что
а\) ...ап е А — базис в F/Q с минимальным |A(c*i, ...ап)\. Тогда А —
= Zai + Za2+ ... +Zan.
Доказательство. Поскольку абсолютная величина дискриминанта
какого-либо базиса в А является положительным целым числом, такой
базис с минимальным |A(c*i, •••Qin)\ существует.
Предположим, что a G А, и запишем а = 71^1+72^2+ ••• +7п°^о гДе
7/с G Q. Нам надо показать, что 7/с леж:ат в Z. Предположим, что это
не так. Тогда некоторое 7/с не лежит в Z, и, производя перенумерацию,
если необходимо, мы можем считать, что 71 ^ Z. Запишем 71 — тп -\- 9)
где mGZnO<^<l. Пусть f3\ — а — mai, P2 — <^2, ••• ? /Зп = с^п- Тогда
/?i, /?2, ••• ,/Зп лежат в А и образуют базис в F/Q. Так как /?i = ^o^i +
+ 72^2 + ... + ^п^т то матрица перехода от одного базиса к другому
равна
@
0
0
v°
72
1
0
0
7з ••
0 ••
1 ••
0 ••
• 7»
• 0
• 0
• 1
§ 2. Однозначность разложения на множители 217
В силу предложения 12.1.2 A(/?i, ••• > Аг) = 02A(ai, ..., ап), что про-
противоречит минимальности |A(c*i, ..., С?п)\, ибо 0 < 0 < 1. Таким образом,
все 7/с лежат в Z и А = Zc*i + Za2 + ... + Zan, как и утверждалось. ?
Если c*i, с*2, •••, c^n G А — базис поля F над Q и А = Zc*i + Za2 +
+ ... + ЪаП1 то мы говорим, что ol\,ol2, ••• ia ~ целый базис кольца А.
Из предложения 12.1.2 следует, что дискриминанты двух любых целых
базисов кольца А совпадают. Это общее значение называется дискри-
дискриминантом кольца А и обозначается через А (А). Дискриминант кольца
D особенно важен и, допуская вольность речи, назовем 5р = A(D) дис-
дискриминантом расширения F/Q.
Мы воспользуемся теперь последним предложением для получения
некоторых важных свойств кольца D. Напомним наше соглашение о
том, что все рассматриваемые идеалы ненулевые.
Лемма 2. Если А С D — некоторый идеал, то Af}7j ф 0.
Доказательство. Пусть а е А, а ф 0. Существуют такие а& е Z,
что ат + aiam~l + ... + ат = 0. Так как мы работаем в поле, можно
считать, что ат ф 0. Но тогда 0 ф ат е А р| Z. ?
Предложение 12.2.3. Длл любого идеала А факторкольцо D/A ко-
конечно.
Доказательство. В силу леммы 2 существует элемент а е А[\Ъ^
а ф 0. Пусть (а) — главный идеал, порожденный элементом а в D. Так
как D/(a) отображается на D/A, то достаточно показать, что D/(a)
конечно. Мы покажем, что оно состоит точно из ап элементов.
Согласно предложению 12.2.2, мы можем записать D — Ъио\ + Zcj2 +
+ ... + Ъип. Пусть S — {jk^k | 0 ^ 7/с < а}- Мы утверждаем, что S яв-
является множеством представителей для D/(a). Предположим, что и —
— YlimkUk G D. Запишем т^ — qkCt + Jk, где 0 ^ 7/с < а- Тогда очевидно,
что и = ^2 Jk^k (mod a).
Таким образом, каждый класс смежности содержит некоторый эле-
элемент из S. Если Y2 Ik^k и Х^ Ik^k находятся в5и лежат в одном классе
смежности по модулю (а), то используя тот факт, что ио^ линейно неза-
независимы, мы убеждаемся в том, что 7/с ~~ 7& делится на а в Z. Так как
0 ^ 7ь Ik < ai отсюда следует, что Jk — lk- Таким образом, S есть множе-
множество представителей классов смежности и D/{a) содержит ап элементов,
как и утверждалось. ?
Следствие 1. D — нётерово кольцо, т.е. каэюдая возрастающая
цепочка его идеалов АхСА2сА^С ... стабилизируется. Другими сло-
словами, существует такое N > 0, что Ат — Am+i для всех т ^ N.
Доказательство. Так как D/A\ конечно, то существует лишь конеч-
конечное число идеалов, содержащих А\. ?
218 Гл. 12. Теория алгебраических чисел
Следствие 2. Каждый простой идеал в D максимален.
Доказательство. Если Р — простой идеал, то D/P — конечная
область целостности. Такое кольцо обязательно является полем (см.
упр. 19). Таким образом, D/P — поле, а потому Р максимален. ?
Кольцо D является также целозамкнутым. Это означает, что если
а е F удовлетворяет приведенному многочлену с коэффициентами из
D, то а е D. В этом нетрудно убедиться, используя предложение 6.1.4.
В стандартных учебниках по алгебре показано, что если некоторая об-
область целостности нётерова, целозамкнута и каждый ненулевой простой
идеал максимален, то каждый идеал будет произведением однозначно
определенных простых идеалов, т.е. такое кольцо будет дедекиндовой
областью. Тот факт, что D — дедекиндова область, мы получим дру-
другим способом, используя одно очень важное свойство числовых полей,
а именно, что число классов кольца D конечно (см. ниже).
Наша ближайшая цель состоит в доказательстве следующих двух
результатов:
A) Если А, В и С — идеалы и АВ = АС, то В = С.
B) Если А и В — идеалы и А С В, то существует такой идеал С,
что А = ВС.
Они будут доказаны далее. Мы начнем с рассмотрения частного слу-
случая п.A).
Лемма 3. Пусть А С D — идеал. Если f3 e F таково, что (ЗА С А,
то E е D.
Доказательство. Согласно предложению 12.2.2, А — конечно порож-
порожденный Z-модуль, так что результат следует из предложения 6.1.4. ?
Лемма 4. Если А и В — идеалы в D и А — АВ, то В — D.
Доказательство. Пусть а1? а2, ... ,ап — целый базис для А, Так как
п
А — АВ, то можно найти такие элементы Ъ^ е В, что о^ = ^ bijaj-
Отсюда следует, что определитель матрицы F^- — 5jj) равен нулю. Вы-
Выписывая его, получаем, что 1 GB, т.е. В — D. ?
Предложение 12.2.4. Пусть A,BcD— идеалы и предположим,
что и е D таково, что (и)А — В А. Тогда {и) — В.
Доказательство. Если f3 e В, то (/3/ш)А С А, так что по лемме 3
(/3/ш) G D. Отсюда следует, что В С (cj), а поэтому и~1В С D — идеал.
Так как А — и~1ВА, то лемма 4 показывает, что и~1В — D, т.е. В — (cj),
как и требовалось. ?
Следующее определение играет основополагающую роль в теории
алгебраических чисел.
§ 2. Однозначность разложения на множители 219
Определение. Два идеала А, В С D называются эквивалентными,
А ~ В, если существуют такие ненулевые a,j3 e D, что (а)А = (/3)В.
Это понятие является отношением эквивалентности. Его классы экви-
эквивалентности называются классами идеалов. Число классов идеалов hp
называется числом классов поля F. (Мы убедимся в том, что hp конеч-
конечно.)
Простая проверка того, что А ~ В является отношением эквива-
эквивалентности, предоставляется читателю.
Стоит отметить, что hp — 1 тогда и только тогда, когда D — область
главных идеалов (ОГИ). Чтобы убедиться в этом, предположим, что
hp — 1, и пусть А — некоторый идеал. Так как А ~ D, то существуют
такие а,Р е D, что {a) A— {/3)D — (/?). Таким образом, /3/а Gini =
= (/3/а), т.е. каждый идеал главный. С другой стороны, очевидно, что
если D — ОГИ, то hF = 1.
Таким образом, мы видим, что число классов измеряет, в некотором
смысле, как далеко D отстоит от ОГИ (см. упр. 15, 16 и [184]).
Следующая лемма принадлежит Гурвицу [154], с. 237. Воспользовав-
Воспользовавшись ею, мы покажем, что hp конечно. Следует отметить, что эта лем-
лемма является (слабым) обобщением алгоритма Евклида на произвольное
числовое поле.
Лемма 5. Существует положительное целое число М', зависящее
лишь от F', со следующим свойством. Для заданных а, /3 е D, /3 ф О,
существуют такое целое число t, I ^ t ^ М, и элемент и е D, что
\N(ta-LU0)\<\N(f3)\.
Доказательство. Мы сначала слегка переформулируем утвержде-
утверждение. Пусть 7 = &//3 G F. Тогда достаточно показать, что для всех 7 G F
существует такое М, что \N(tj — ш)\ < 1 при некоторых 1 ^ t ^ М и
п
Пусть cji, U2) ..., ооп — целый базис в D. Для j ? F имеем 7 = S Ъ^г
с 7г ? Q- Заметим, что
№I =
где С = П ( Е И • Выберем
j=l\=l J
п
Для 7 ? ^\ 7 = Е Тг^г? запишем 7г = аг + &г5 ГДе fli G Z и 0 ^ ^ < 1.
г=1
ПуСТЬ [7] = Е аг^г И {т} = Е &г^г- Тогда 7 = Ы + {т}^ гДе W ^ ^ и
г=1 г=1
координаты {7} лежат между 0 и 1.
220 Гл. 12. Теория алгебраических чисел
Отобразим F в евклидово n-мерное пространство W1 посредством
Ф\ Yl liui) — G1? 72? ••• 5 7п)- Для любого 7^^ точка ^({7}) лежит в еди-
ничном кубе. Разобьем единичный куб на тп подкубов со стороной —.
lib
Рассмотрим точки ^({kj}) для 1 ^ к ^ тп + 1. Тогда, так как точек
больше, чем подкубов, по крайней мере две из них должны лежать в
одном и том же подкубе; пусть это будут точки, соответствующие hj
и lj. Если записать hj = [hj] + {hj} и /7 = [^7] + {^7} и произвести
вычитание, мы получим tj = ш + 5, где (в предположении, что h > Г)
t = h — l ^ mn = М, о; е D и абсолютная величина координат S меньше
или равна —
т
С1
( 1 \ п
Согласно предыдущему замечанию, NE) ^ С[ — ) =
\ lit /
Теорема 1. Число классов поля F конечно.
Доказательство. Пусть А — какой-либо идеал в D. Для а е А)
а ф 0, |iV(a)| — положительное целое число. Выберем /3 G i, /3 / 0,
так, чтобы |iV(/?)| было минимальным. Для любого а е А существует
такое t, I ^ t ^ М, что |JV(ta - cj/?)| ^ \N(fi)\ ecu e D. Так как to -
— uj/3 G А, то to — о;/? = 0. Отсюда следует, что М\А С (/?). Пусть
Б = A//3)М\А С D. Тогда Б — идеал и М\А = (/3)В. Поскольку 0 е А,
то М!/? G {0)В) так что М! GB. В силу предложения 12.2.3 М! мож:ет
содерж:аться лишь в конечном числе идеалов. Мы показали, что А ^ В)
где В — один из конечного набора идеалов. Следовательно, hp конечно,
что и утверждалось. ?
Интересным и важным приложением этой теоремы является следу-
следующее предложение.
Предложение 12.2.5. Для любого идеала А С D существует та-
такое целое число к, 1 ^ к ^ hp, что Ак — главный идеал.
Доказательство. Рассмотрим множество идеалов {Al\l ^i^hp+1}.
По крайней мере два из этих идеалов должны лежать в одном и том
же классе, скажем А1 ~ А7, где г < j. Существуют такие а) j3 e D) что
{а)А1 — (/3)Ai. Пусть к — j — г ж А — Ак. Мы покажем, что идеал В
главный.
Поскольку очевидно, что (а)Аг = (j3)BAl, то (a/j3)Al e А\ так что
а/E е D. Положим и — а/E. Тогда (и)А1 — ВА\ Согласно предложе-
предложению 12.2, (и) = В. ?
Заметим, что множество классов идеалов может быть превращено в
группу. Пусть А обозначает класс идеала А. Мы определяем произве-
произведение классов Аи В как АВ. Нетрудно проверить, что это определение
корректно, т.е. если А = А\ и В — В\) то АВ — AiBi. Ассоциативность
§ 2. Однозначность разложения на множители 221
следует из того, что умножение идеалов ассоциативно. Класс кольца
D служит единичным элементом. Наконец, последнее предложение по-
показывает, что обратным для А будет класс Ак~1. Изучение структуры
группы классов идеалов было одной из важнейших задач с тех пор, как
это понятие было введено.
Как следствие того, что классы идеалов образуют группу, получает-
получается, что идеал Ahp является главным для всех идеалов А. Это не будет
использоваться в оставшейся части главы.
Мы можем теперь доказать два результата, упомянутые ранее (пе-
(перед леммой 3).
Предложение 12.2.6. Если А, В и С — идеалы и АВ — АС, то
В = С.
Доказательство. В силу последнего предложения существует такое
к > 0, что Ак = (а). Умножив АВ = АС на Ак~1, получим (а)В = (а)С.
Отсюда следует, что В — С. ?
Предложение 12.2.7. Если А и В — идеалы и А С В, то суще-
существует такой идеал С, что А — ВС.
Доказательство. Как и выше, существует такое к > 0, что Вк =
= (/?). Далее, так как А С Б, то Вк~1А С Вк = (/?), а значит, С =
= (l/E)Bk-lA CD- идеал.
Таким образом, ВС = A//3)ВкА = A/C)(C)А = А. ?
Это предложение можно выразить фразой «содержать — значит де-
делить».
Мы имеем теперь в распоряжении все нужные средства для получе-
получения однозначного разложения на простые идеалы.
Предложение 12.2.8. Каждый идеал в D моэюет быть представ-
представлен в виде произведения простых идеалов.
Доказательство. Пусть А — какой-либо собственный идеал. Так как
D/А конечно, то А содержится в некотором максимальном идеале Р\
(используя лемму Цорна, можно показать, что в произвольном ком-
коммутативном кольце с единицей любой собственный идеал содержится в
некотором максимальном идеале). В силу последнего предложения А —
— Р\В\ для некоторого идеала В\. Если В\ ф D) то В\ содержится в
некотором максимальном идеале Р2) так что А — PiP2^2- Если В2 ф
Ф D, процесс можно продолжить. Заметим, что А С В\ С В2 С ... —
строго возрастающая цепь идеалов. Согласно следствию 1 предложе-
предложения 12.2.3, после конечного числа шагов будет Вп = D. Таким образом,
А = РгР2...Рп. ?
Пусть Р — какой-либо простой идеал. Убывающая цепь Р D P2 D
D Ръ... является строго убывающей, ибо если Рг — Рг+1 для некоторого
222 Гл. 12. Теория алгебраических чисел
г, то РР1 — Р\ так что Р — D по лемме 4. Этот факт является основой
следующего определения.
Определение. Пусть Р — какой-либо простой идеал и А — идеал.
Тогда ordp A — однозначно определенное неотрицательное целое число
т, для которого А С Рт и A (jL Pm+1.
Предложение 12.2.9. Пусть Р — какой-либо простой идеал, и А
и В — идеалы. Тогда
(l)ordPP = l;
B) если Р1 ф Р прост, то ordp Р1 — 0;
C) ordp AB = ordp A + ordp В.
Доказательство. Первое утверждение очевидно. Что касается B),
то предположим, что ordp Р' > 0. Тогда Р' С Р. Так как простые иде-
идеалы максимальны, то Р — Р', что противоречит предположению.
Пусть т — ordp А и п — ordp В. Согласно предложению 12.2.7, А —
= PmAi и В = РпВ\. По тому же предложению А\ (jL Р и В\ (jL P.
Далее, АВ = Рт+пА1В1. Если АВ С р™+"+1, то АБ = р™+™+1С, так
что, согласно предложению 12.2.6, PC = A\Bi. Отсюда следует, что
A\Bi С Р и, поскольку Р прост, Ai С Р или 5i С Р. Получено проти-
противоречие.
Следовательно, ordp АВ — т -\- п — ordp A + ordp В. ?
Теорема 2. Пусть А С D — какой-либо идеал. Тогда
где произведение берется по всем различным простым идеалам в D и
а(Р) — неотрицательные целые числа, почти все равные нулю. Нако-
Наконец, целые числа а{Р) однозначно определены соотношением а{Р) —
— ordp A.
Доказательство. Представление в виде произведения получается из
предложения 12.2.8.
Пусть Ро — какой-либо простой идеал. Применим ordp0 к обеим
частям равенства из формулировки теоремы. Используя предложение
12.2.9, мы видим, что
ordp0 A = 2^a(P) ordp0(P) = a(P0). ?
p
§ 3. Ветвление и степень
Пусть Р — какой-либо простой идеал в D. Согласно лемме 2, Pp|Z
не равно нулю. Так как очевидно, что это пересечение есть простой
идеал в Z, то он должен порождаться некоторым простым числом р.
i 3. Ветвление и степень 223
Определение. Число е = ordp(p) называется индексом ветвления
идеала Р (здесь (р) — главный идеал, порожденный р в D).
Поле D/P является конечным полем, содержащим Z/pZ. Таким об-
образом, число элементов в D/P имеет вид pf для некоторого /^ 1. Чис-
Число / называется степенью идеала Р.
Пусть р G Z — какое-либо простое число и Р\, Р2, ..., Рд — простые
идеалы в D) содержащие (р). Пусть е^ и fa — индекс ветвления и степень
идеала Pi. Согласно теореме 2, (р) = Р{ХР22... Рдд.
Имеется замечательное соотношение между числами е^, fa и п.
д
Теорема 3. ^ eifa — п.
г=1
Мы отложим доказательство до тех пор, пока будут получены неко-
некоторые необходимые дополнительные результаты.
Предложение 12.3.1. Пусть R— какое-либо коммутативное коль-
кольцо с единицей. Пусть A\1A2l ..., Ag — такие идеалы, что Ai + Aj — R
для i ф j. Полоэюим А — А\А2 ... Ад. Тогда
r/a « rjax e rja2 e ... е r/a9.
Доказательство. Пусть фi — естественное отображение R на R/Ai)
и определим ф : R —>> RjA\ 0 R/A2 0 ... 0 R/Ag посредством формулы
^(т) = (^(т)? ^(т)? •••IPg{l))- Мы покажем, что ф эпиморфно и что
его ядро равно А.
Чтобы показать, что ф эпиморфно, достаточно убедиться в том,
что для любых 7i) 72) • • •) lg ? R разрешима система сравнений Xi =
= 7г (mod Ai), г — 1, ... ,g.
Раскрывая скобки в произведении (Ai+ A2)(Ai+ As)... (Ai+Ag) = i?,
убеждаемся в том, что все слагаемые, кроме последнего, содержатся в
А\. Таким образом, А\ + А2А3 ...Ag = R. Существуют такие элементы
Vi&Ai HtiiG A2A3 ... Ад, что щ + v\ — 1. Тогда щ = 1 (mod A\) и^е
= 0 (mod Ai) для г ф 1. Аналогично, для каждого j существует такой
элемент щ, что щ = 1 (mod Aj) и щ = 0 (mod Ai) для г ф j. Тогда
очевидно, что х — 71^1+72^2+ ••• +1дид будет решением нашей системы
уравнений.
Показав, что ф — эпиморфизм, исследуем теперь его ядро. Ясно, что
kei = Aip|A2p| ... П^-0- ^-ы долж:ны показать, что при сделанных
предположениях пересечение равно произведению. Это можно устано-
установить с помощью индукции по д. Предположим, что д — 2. Тогда, так
как Ai + A2 = Л, существуют такие а\ е А\ и а2 е A2l что а\ + а2 —
— 1. Если а е А\ {\А2^ то а — аа\ + аа2 е А\А2. Это показывает, что
^4iD^2 С А\А2. Обратное включение очевидно, так что результат ве-
верен для д — 2. Предположим теперь, что д > 2 и результат верен для
224 Гл. 12. Теория алгебраических чисел
д-1. Тогда А1С\А2Г\ - П Л = М П А2А3 ... Л- Но ^i + МАЪ ... Л =
= R по первой части доказательства. Таким образом, Ai р| А2А3 ... Ад —
— А\А2 ... Ад и доказательство окончено. ?
Это предложение называется китайской теоремой об остатках для
колец. Мы возвращаемся от произвольного коммутативного кольца R к
кольцу D.
Предложение 12.3.2. Пусть Р С D — какой-либо простой идеал
и pf — число элементов в D/P. Число элементов в D/Ре равно pef.
Доказательство. Для е — 1 утверждение справедливо. Если е > 1,
то Ре~11Ре является подгруппой в D/Ре и факторгруппа изоморфна
D/Pe~1 (вторая теорема об изоморфизме). Если мы сможем показать,
что Ре~1 /Ре имеет pf элементов, то результат будет получаться по ин-
индукции.
Так как Ре С Ре~1 — собственное вложение, то можно найти такой
элемент а е Ре~1, что а ф Ре. Мы утверждаем, что (а) + Ре = Ре~1. По-
Поскольку Ре С (а) + Ре) последний идеал должен быть степенью идеала
Р. Так как (а) + Ре С Р6, то (а) + Ре = Ре~1.
Отобразим D в Ре~1 /Ре при помощи соответствия j —>> ja + Ре.
Это отображение, как нетрудно убедиться, — эпиморфизм. Элемент 7
принадлежит ядру тогда и только тогда, когда ja G Ре) т.е. в том
и только том случае, когда ordpG^) ^ е. Но ordpG^) = ordpG) +
+ ordp(a) = ordpG) + e — 1. Таким образом, 7 лежит в ядре в том и
только в том случае, когда ordpG) ^ 1, что эквивалентно включению
7 € Р. Следовательно, D/P ~ Ре~1 /Ре1 а потому последняя группа
имеет pf элементов. ?
Докажем теперь теорему 3. Напомним, что (р) = Р^Р^2 ...Pgg. Не-
Нетрудно убедиться в том, что P^+PjJ —D для гф] (см. упр. 25). Согласно
предложению 12.3.1
D/(p) « djpi1 e djpi2 e ... е ?>/р^.
При доказательстве предложения 12.2.3 показано, что \D/(p)\ — рп.
С другой стороны, предложение 12.3.2 показывает, что \D/P^\ имеет
pCifi элементов. Таким образом,
рП _ peifi e2/2 eeepegfg в
Отсюда следует, что п — e\f\ + е2/2 + ... + egfg, как и утверждалось. П
В случае когда F/Q — нормальное расширение, т.е. когда все изо-
изоморфизмы поля F в С в действительности являются автоморфизмами,
теорема 3 может быть усилена. Предположим, что F/Q нормально, и
пусть G — его группа Галуа. Если А — какой-либо идеал и а е G) по-
i 3. Ветвление и степень 225
ложим а А = {аа \ а Е А}. Нетрудно проверить, что а А — тоже иде-
идеал. Кроме того, aD = D. Таким образом, D/aA = aD/aA « D/A. В
частности, это показывает, что если Р — простой идеал, то аР — тоже
простой идеал.
Предложение 12.3.3. Пусть р Е Z — какое-либо простое число.
Предположим, что Pi и Pj — простые идеалы в D, содержащие р.
Тогда существует такой автоморфизм о Е G, что a Pi = Pj.
Доказательство. Предположим, что существует простой идеал Pq,
содержащий р и не принадлежащий множеству {aPi \a Е бг}. В силу
предложения 12.3.1 найдется такой элемент а Е Z), что а = 0 (mod Pq)
и а = 1 (mod сгР^) для всех а Е С
Тогда JV(a) = \\ оа ^ Р^[\Ъ — рЪ. Отсюда следует, что N(a) E Рг,
aeG
так что ста Е Pi при некотором <т, ибо Pi — простой идеал. Но тогда
а Е cf~lPi) что противоречит сравнению а = 1 (mod сг~1Р^).
Теорема З7. Предположим, что F/Q — нормальное расширение.
Пустьр^Ъ — какое-либо простое число, и запишем (р) = Р1е1Р|2 ... Pgg.
Тогда е\ — е2 = ... = ед и Д = /2 = ... = fg. Если е и f обозначают эти
общие значения, то efg = п.
Доказательство. Для фиксированного индекса г существует такой
автоморфизм а Е G, что a Pi = Р^. Так как D/P\ ~ D /аР\ — D/P^ то
/i = /г- Поэтому все Д равны.
Применим ст к обеим частям разложения (р) = Р^Р^2 ... Р^. Так как
р Е Z, то очевидно, что сг(р) = (р). Таким образом,
В этом произведении показатель степени у Pi — aP\ равен е\. В пер-
первом представлении показатель степени у Pi равен е^. В силу однознач-
однозначности разложения на простые идеалы мы должны иметь е\ = е^, так
что все ei равны.
9
Наконец, из ^ е^Д = п непосредственно следует, что efg — п. П
г=1
Мы закончим этот параграф обсуждением (без доказательств) неко-
некоторых важных фактов о числовых полях. В наших приложениях мы
обойдемся без этой общей теории.
Пусть Р С D — какой-либо простой идеал с индексом ветвления е.
Пусть Р[\Ъ — рЪ. Идеал Р называется разветвленным^ если е > 1.
Можно показать, что Р разветвлен лишь в случае, когда р делит 8F —
— A(-D), дискриминант поля F. В частности, разветвлено лишь конеч-
конечное число простых идеалов. Если pX^f, to (р) будет произведением
разных простых идеалов в D. Важный результат Минковского состоит
226 Гл. 12. Теория алгебраических чисел
в том, что если [F : Q] > 1, то \5р\ > 1. На самом деле Минковский
получил более сильный результат, а именно, нашел точную нижнюю
границу для \5p\- Важным следствием является то, что каждое число-
числовое поле, большее чем Q, содержит разветвленные простые идеалы.
Предположим теперь, что F/Q — нормальное расширение с группой
Галуа G. Поставим в соответствие любому простому идеалу Р группу
G{P) — {а е G | аР — Р}. Она называется группой разложения идеала
Р. Поле D/P конечно и содержит Ъ/рЪ. Оно является нормальным рас-
расширением поля Ъ/рЪ. Обозначим получающуюся группу Галуа через G.
Имеется гомоморфизм из G{P) в E, задаваемый следующим образом.
Если а е G(P) и а обозначает класс вычетов элемента а в D/Р) то опре-
определим а равенством а (а) = то. Это определение корректно, а ? G и
а —> а — гомоморфизм. Можно показать, что это эпиморфизм (упр. 26).
Пусть Т(Р) обозначает его ядро. Оно называется группой инерции для
Р. Тогда
G{P)/T{P) « G.
—
следует, что \Т(Р)\ = е. Таким образом, если Р неразветвлен, то G{P)
Нетрудно убедиться в том, что \G\ = / и |G(P)| = — = е/. Отсюда
Из теории конечных полей следует, что G — циклическая группа, по-
порожденная автоморфизмом (рр, который переводит йв?. Если Р нераз-
ветвлен, то существует единственный элемент ар G G{P)) для которого
~ар — (рр. Этот автоморфизм ар называется автоморфизмом Фробени-
уса, соответствующим Р. Заметим, что порядок элемента ар равен по-
порядку элемента (рр, т.е. /, степени идеала Р. Оказывается, что большая
часть арифметической теории полей алгебраических чисел концентри-
концентрируется вокруг свойств автоморфизма Фробениуса. В следующей главе
мы увидим иллюстрации этого утверждения.
Замечания
Результат о том, что кольцо целых чисел в произвольном поле алге-
алгебраических чисел является дедекиндовым кольцом, принадлежит Де-
декинду и содержится в одиннадцатом дополнении к «Vorlesungen iiber
Zahlentheorie» («Лекциям по теории чисел») Дирихле [127]. Этот ре-
результат затем был доказан также Кронекером, Гильбертом и Гурвицем.
Группы инерции и разложения были введены Гильбертом A894 г.) в его
работе «Grundziige einer Theorie des Galoisschen Zahlkorpers» («Основы
теории нормальных числовых полей») (см. также §39 в «Zahlbericht»
(«Докладах по теории чисел») Гильберта [151] и [121], т. 2, с. 43-49).
Замечания 227
Можно показать в более общем виде, что если D — дедекиндово
кольцо с полем частных к и К — конечное сепарабельное расшире-
расширение поля к) то целое замыкание D в К (упр. 27) будет дедекиндовым
кольцом. Это следует из теоремы Э. Нётер, характеризующей дедекин-
довы кольца как нётеровы области, которые целозамкнуты и в которых
каждый ненулевой простой идеал максимален. С этим подходом мож-
можно познакомиться в [214]. В нашем подходе, как и в других классиче-
классических подходах, существенно используется тот факт, что кольцо клас-
классов вычетов по модулю какого-либо ненулевого идеала конечно. Идея
получения свойства дедекиндовости из конечности числа классов при-
принадлежит Гурвицу. Следует заметить, что при нашем подходе не ис-
использовался тот факт, что число элементов в кольце классов вычетов
является мультипликативной функцией идеала. В [103] показано, что
из мультипликативности этого отображения следует свойство дедекин-
дедекиндовости. Обычный классический подход состоит в том, чтобы показать
при помощи подходящего обобщения леммы Гаусса (упр. 4, гл.6), что
классы идеалов образуют группу.
В последнее время характеризация полей F с числом классов 2, при-
принадлежащая Карлитцу (см. упр. 15 и 16), была обобщена в [117]. Среди
других результатов там доказывается, что группа классов идеалов чи-
числового поля является циклической группой порядка 2, циклической
группой порядка 3 или четверной группой Клейна тогда и только то-
тогда, когда произведение двух неприводимых элементов может быть за-
записано в виде произведения, самое большее, трех других неприводимых
элементов.
Глубокий результат, высказанный Гильбертом в виде гипотезы и до-
доказанный Фуртвенглером, состоит в доказательстве существования для
каждого числового поля F расширения Е) удовлетворяющего следую-
следующим условиям. Прежде всего степень Е над F равна числу классов поля
F. Каждый простой идеал ф для F разлагается в произведение hp/f
различных простых идеалов в Е, где / — порядок класса идеалов для ф
в группе классов. Каждый идеал F становится главным в Е. Наконец,
группа классов идеалов для F изоморфна группе Галуа поля Е над F.
Поле Е единственно и называется гильбертовым полем классов для F.
Существование гильбертова поля классов является ценным подспорьем
при изучении структуры группы классов идеалов.
Действительное вычисление числа классов — трудное дело. Даже
для квадратичных полей с малым дискриминантом это вычисление тре-
требует привлечения таких оценок (принадлежащих Минковскому), кото-
которые мы опустили. Эти вопросы обсуждаются в большинстве стандарт-
стандартных курсов по теории алгебраических чисел. Мы рекомендуем из ложе-
228 Гл. 12. Теория алгебраических чисел
ние в [183]. Эта книга содержит большое количество интересных упраж-
упражнений.
В более современных изложениях стало обычным описывать группу
классов идеалов в терминах дробных идеалов. Если D — область целост-
целостности с полем частных F, то дробный идеал А — это .D-подмодуль в F,
для которого существует какой-либо элемент d в D с dA С D. Дробные
идеалы могут очевидным способом перемножаться. Можно показать,
что D — дедекиндово кольцо тогда и только тогда, когда (ненулевые)
дробные идеалы образуют группу [214]. Подгруппа дробных идеалов
вида /D, где / из F, состоит из главных дробных идеалов. Нетрудно
показать, что группа классов идеалов поля алгебраических чисел изо-
изоморфна факторгруппе группы дробных идеалов по подгруппе главных
дробных идеалов.
Упражнения
1. Найти, минимальный многочлен для л/3 + л/7.
2. Вычислить дискриминант поля <0>(л/2 + л/5).
3. Описать единицы в Q(v/5).
4. Пусть D — кольцо целых чисел в Q(y/d). Показать, что при задан-
заданном N > 0 существует лишь конечное число элементов а Е D, таких,
что max(|a|, \a'\) ^ JV, где а' — сопряженное к а.
5. Обобщить упр. 4 на произвольное числовое поле.
6. Если D — кольцо целых чисел в поле алгебраических чисел и ф —
такой простой идеал, что ф = (а), то показать, что а — неприводимый
элемент.
7. Показать, что число классов поля 0(л/~5) больше единицы.
8. Пусть F — числовое поле. Показать, что дискриминант 5р сравним
с 0 или 1 по модулю 4. Это одна из теорем Штикельбергера. Доказа-
Доказательство довольно хитроумное (см. [207], с. 97).
9. Вычислить дискриминант АA, а, а2) относительно Q, где а — ко-
корень неприводимого многочлена х3 + рх + q) p) q ? Q.
10. Если R С S — области целостности, то а Е S называется целым
над R) если am + biam~1+ ... +bm — 0 для подходящих т\ bi, ..., Ьт Е R.
Кольцо S называется целым над Д, если каждый элемент из S цел над
R. Доказать, что если S цело над Д, то S — поле тогда и только тогда,
когда R — поле.
11. Пусть а\) ..., ап лежат в D, кольце целых чисел в числовом поле
F, A(c*i, ... ,ап) ф 0. Показать, что если A(c*i, ... ,ап) — произведение
различных простых чисел (т.е. А свободно от квадратов), то а\) ... ,ап
Упражнения 229
составляют целый базис. Отсюда сделать вывод о том, что если d сво-
свободно от квадратов и d = 1 (mod 4), то У , 1 образуют целый базис
кольца целых чисел в Q(y/d).
12. Показать, что sin ут> — алгебраическое число.
13. Показать, что C,1 + у/—5) — собственный идеал в Ъ\у/—Ъ\. Про-
Простой ли он?
14. Построить неприводимый кубический многочлен над Q, имею-
имеющий лишь вещественные корни.
15. Пусть F — некоторое поле алгебраических чисел, a D — кольцо
его целых чисел. Предположим, что число классов поля равно 2. Пока-
Показать, что если тг — такой неразложимый элемент, что (тг) не является
простым, то (тг) = Ф1Ф25 гДе Фъ ^2 суть (не обязательно различные)
простые идеалы.
16 (Карлитц). Пусть F) D обозначают то же самое, что и в упр. 15.
Показать, что если a^D и a = 7Ti... тгш = Ai... Хп — два разложения а на
неразложимые элементы, то т — п. [Замечание. Обращение утвержде-
утверждения тоже верно! (ср. [106]).]
17. Пусть /(х), д(х) — минимальные многочлены для а и f3 степеней
пит соответственно. Пусть корнями многочленов f(x) и д(х) в С
будут соответственно а — a\a2...oin и j3 = PiP2---Pm- Напомним, что,
согласно упр. 16 из гл. 6, кратные корни отсутствуют. Выберем t б Q
так, что ^ + t/3j ф а + t/З при j / 1 и всех г. Положим ^ — а -\-1/3.
Показать, что
(a) наибольшим общим делителем (вС[х]) многочленов f(j — tx),
д(х) является х — /?;
(b) (с другой стороны) наибольший общий делитель для f(j — tx)
и д{х) лежит в
(c)/?eQG), a
18. (Теорема о примитивном элементе.) Показать, что если F — поле
алгебраических чисел, то существует такой элемент j e F, что QG) =
= F.
19. Показать, что конечная область целостности является полем.
20. Пусть К — F2(x) и L = К(у/х). Показать, что отображение следа
тождественно равно нулю. (Напомним, что F% — конечное поле с двумя
элементами.)
21. Пусть F — поле алгебраических чисел степени п. Для а Е F
пусть Т — линейное преобразование, определенное формулой Т(у) =
= ау. Показать, что det(x/ — Т) — /(x)deg^, где f(x) — минимальный
многочлен для а.
230 Гл. 12. Теория алгебраических чисел
22. Пусть F С Е — поля алгебраических чисел. Показать, что каж-
каждый изоморфизм поля F в С имеет точно [Е : F] продолжений до изо-
изоморфизма поля Е в С.
23. Пусть F — поле алгебраических чисел степени п и <7i, ... , <тп —
различные изоморфизмы F в С. Показать, что в обозначениях упр. 21
/(^)dii/ = f[ (ж - ^И) Для « е F.
г=1
24. В обозначениях упр. 23 показать, что
NF/Q(a) =
г=1 г=1
25. Пусть F — поле алгебраических чисел с кольцом целых чисел D.
Показать, что если Р и Q — различные простые идеалы, то (Ра, Qb) =
= D, где а и b — положительные целые числа.
26. Пусть Р — простой идеал в кольце целых чисел D какого-либо
поля алгебраических чисел F. Показать, что если F нормально, то есте-
естественное отображение из группы разложения идеала Р в группу Галуа
поля классов вычетов по нему эпиморфно.
27. Если к — некоторое поле, содержащее кольцо D, то множество
всех элементов из /с, целых над D (упр. 10), называется целым замыка-
замыканием кольца D в к. Показать, что целое замыкание является кольцом,
которое целозамкнуто.
28. Пусть D — кольцо целых чисел в числовом поле F. Предполо-
Предположим, что (р) — Р2А для простого рв2и простого идеала Р. Показать,
что
(a) существует а Е РА) такое, что a (jz P2A;
(b) (aP)p E pD для всех /3 Е D\
(c) (tT(ap))p = tT((a/3)p) (mod pD)\
(d) p | tr(a/?) для всех /3 E D\
(e) p | А, дискриминант поля F. (Обязательно использовать то,
что а ? pD.)
29. Пусть F — некоторое нормальное расширение поля Q с абелевой
группой Галуа. Показать, что если р Е Q неразветвлен в F) то ар —
— ар> для простых идеалов РиР', делящих р в F', где ар обозначает
автоморфизм Фробеннуса.
30. Для некоторого нечетного простого числа р рассмотрим Q(y/p).
Для q ф р показать, что сгд(уф) = {p/q)\Jp, где aq — автоморфизм
Фробениуса для простого идеала в Q(y/p), лежащего над q.
31. Пусть F — поле алгебраических чисел и 21 — некоторый идеал в
кольце целых чисел поля F. Показать, что существует такое конечное
Упражнения 231
расширение L поля F с кольцом целых чисел 5, что 215 — главный
идеал.
32. Пусть Р — какой-либо простой идеал в кольце целых чисел D
числового поля F. Показать, что если а = b (mod Pl) и ordp b < t) то
ordp a — ordp b.
33. Пусть К С L — числовые поля с кольцами целых чисел R и S
соответственно. Показать, что если А и В — такие идеалы в R) что AS
делит BS) то А делит В.
34. В обозначениях упр. 33 показать, что AS p| R — А.
Глава 13
КВАДРАТИЧНЫЕ И КРУГОВЫЕ ПОЛЯ
В предыдущей главе мы обсуждали общую теорию полей алгебраи-
алгебраических чисел и их колец целых чисел. Теперь мы более детально рас-
рассмотрим два важных класса этих полей, которые впервые изучались
в XIX веке Гауссом, Эйзенштейном, Куммером, Дирихле и другими
в связи с теорией квадратичных форм, высшими законами взаимно-
взаимности и последней теоремой Ферма. Читателю, который интересует-
интересуется историческим обзором по этому предмету, следует обратиться к
книге [128], а также к классическому курсу [72].
В этой главе мы излагаем лишь те результаты, которые нам по-
понадобятся в последующих главах. Основной результат состоит в опи-
описании того, как рациональные простые числа разлагаются в произве-
произведение простых идеалов. Наряду с этим мы не можем отказаться от
возможности привести еще одно доказательство квадратичного за-
закона взаимности, основанное на законах разложения в этих полях.
§ 1. Квадратичные числовые поля
Поле алгебраических чисел F будет называться квадратичным, если
[F : Q] =2. Пусть, как обычно, D С F — кольцо целых чисел в F. Наша
ближайшая цель — найти явно целый базис для D.
Пусть F = Q(a). Элемент а должен удовлетворять квадратному
уравнению ах2-\-Ъх-\-с — 0 с коэффициентами а^Ъ^с Е Z. Таким образом,
-Ъ ± у/Ь2 -
а =
2а
Положим А — Ъ2 — 4ас. Тогда очевидно, что F = Q(y/A). Пусть А =
= А2А2, где А\,Аъ Е Z и А2 свободно от квадратов. В таком случае
F — Q(v^4.2)- Мы показали (изменяя обозначения), что каждое квад-
квадратичное числовое поле имеет вид F = Q(v d), где d — свободное от
квадратов целое число.
Если а — любой изоморфизм поля F/Q в С, то мы применяем а к
(\fdJ — d и получаем (a\fdJ — d. Таким образом, a\fd — ±y/d. Отсюда
следует, что F/Q — нормальное расширение. Его группа Галуа имеет
два элемента, единицу и автоморфизм, переводящий y/d в —y/d.
Каждый элемент поля F имеет вид а = г + sy/d с г, s E Q. Нетри-
Нетривиальный автоморфизм переводит а в а' — г — sy/d. Таким образом,
1. Квадратичные числовые поля 233
tr(a) = а + а' = 2г и JV(a) = aol = г2 —
Если 7 G D, то trG) и TVG) G Z. Обратно, если эти условия выпол-
выполняются, то 7 удовлетворяет уравнению 0 = (х — j)(x — 7') = х2 —trG)x +
+ TVG) G Z[x], которое показывает, что j G D. Таким образом, j ? D
тогда и только тогда, когда trG) и N^) G Z.
Предложение 13.1.1. Если d = 2, 3 (mod 4), mo Z) = Z+Zvd. Если
d = I(mod4), mo D = Z + Z(|(-l + v^)).
Доказательство. Пусть 7 = г + s\/d, r, s G Q. Тогда 7 G D в том и
только том случае, когда 2г и г2 — ds2 G Z. Так как 2r G Z, из второго
условия следует, что 4ds2 G Z. Так как d свободно от квадратов, то
2s G Z. Положим 2г — т yl 2s — п. Тогда из г2 — ds2 G Z следует, что
ш2 — dn2 = 0 (mod 4).
Напомним, что квадрат сравним либо с 0, либо с 1 по модулю 4.
Если d = 2, 3 (mod 4), то т2 — dn2 = т2 + 2п2 (mod 4) или т2 —
— dn2 = т2 + п2 (mod 4). Единственная возможность, чтобы число т2 +
+ 2п2 или число т2 + п2 делилось на 4, это чтобы оба числа тип
были четными. Это будет выполняться тогда и только тогда, когда г и
s лежат в Z. Тем самым получено первое утверждение.
Если d = 1 (mod 4), то т2 — dn2 сравнимо т2 — п2 по модулю 4.
Но т2 — п2 = 0 (mod 4), если и только если тип имеют одинаковую
четность, т.е. оба они либо нечетные, либо четные. Таким образом, D =
= { \{т + n\/~d \m = n (mod 2)}. Заметим, что
т + п
— 1 + \[d
Так как т = п (mod 2), то |A + y/d) G Z. Таким образом, D С Z +
+ Z(|(—1 + y/d)). Для получения обратного включения мы просто за-
заметим, что |(—1 + y/d) G Z), ибо d2 = 1 (mod 4). П
Теперь мы мож:ем вычислить дискриминант квадратичных число-
числовых полей.
Предложение 13.1.2. Пусть 8р обозначает дискриминант по-
поля F.
!4d, если d = 2, 3 (mod 4),
d d = 1 (mod 4).
Доказательство. При d = 2, 3 (mod 4) положим ш\ — 1 и о;2 = л/d.
Тогда
( °
Таким образом, в этом случае 8р — det(tr(cj^o;j)) = 4d.
234 Гл. 13. Квадратичные и круговые поля
При d = 1 (mod 4) положим и)\ — 1 и о;2 = \{—1 + y/d). Тогда
Значит, в этом случае 5р — det(tr(u^u;j)) — d. П
Исследовав D и 5р, мы хотим теперь выяснить, как рациональные
простые числа р Е Z разлагаются в .D. Из теоремы 3' гл. 12 мы знаем,
что efg = 2, так что возможны три случая:
• е = 2, / = 1,0 = 1;
Мы говорим соответственно, что число р разветвляется, полностью
разлагается или инертно (inertial) (остается простым).
Если р — какое-либо простое число в Z, то пусть Р — простой идеал
в D, содержащий р. Пусть Р' = {7' \j?P}.
Предложение 13.1.3. Предположим, что р нечетно.
(i) Если pX^f и х2 = d (mod р) разрешимо в Z, то (р) — РР1, Р ф
(И) Если pX^f и х2 = d (mod р) неразрешимо в Ъ, то (р) —Р.
A11) Если p\5pj то (р) = Р2.
Доказательство. В случае (i) предположим, что а2 = d (mod p), где
а Е Z. Мы утверждаем, что (р) = (р, а + Vd)(p, a — у/д). Действительно,
(р, a + Vd)(p,a-Vd) = (р) Гр, а + л/d, а - л/d, а ~ d\
Последний идеал совпадает с D, так как он содержит р и 2а, а эти два
числа взаимно просты. Мы утверждаем, что (р,а + \fd) ф (р, а — \fd).
Если бы эти идеалы были равны, то они содержали бы р и 2а и, таким
образом, совпадали бы с D. В этом случае (р) — D. Таким образом, р
полностью разлагается, что и утверждалось.
В случае (ii) мы утверждаем, что Р имеет степень 2. Если степень
Р равна 1, то D/P имеет р элементов. Так как Ъ/рЪ вкладывается
в D/P, отсюда следовало бы, что каждый класс смежности из D/P
представляется рациональным целым числом. Пусть а Е Z — такой
элемент, что а = y/d (mod P). Тогда а2 = d (mod P) и а2 = d (mod p),
вопреки предположению. Таким образом, р остается простым, как и
утверждалось.
Наконец, в случае (ill) мы утверждаем, что (р) = (р, y/dJ. Действи-
Действительно, (р, л/rfJ = (р)(р? л/rf, rf/p)- Последний идеал равен D, так как р
и d/p взаимно просты (вспомним, что d свободно от квадратов). Таким
образом, р разветвляется, как и утверждалось. ?
§ 1. Квадратичные числовые поля 235
Мы обсудим теперь разложение на простые идеалы простого числа
р = 2. Напомним, что, согласно предложению 13.1.2, 2/\/5р в том и
только том случае, когда d = I (mod 4).
Предложение 13.1.4. Предположим, чтор — 2.
(i) Если 2/5F ud=l (mod 8), то B) = PPf и Р ф Р'.
(И) Если 2/5F ud = 5 (mod 8), то B) = P.
(iii) Если2\8Р, то B) = Р2.
Доказательство. Если d = 1 (mod 8), то мы утверждаем, что B) =
= B, |A + Vd)) B, |A - л/d)). Действительно, B, |A + л/rf), |A — л/rf),
|A — d)). Последний идеал равен D, так как он содержит 1 = |A +
+ л/rf) + |A — л/rf)- Кроме того, B, \{l + y/d)) ф B, \(\-\Щ), так как в
противном случае этот идеал содержал бы 1, откуда следовало бы, что
B) = D.
Если d = 5 (mod 8), то мы утверждаем, что р имеет степень 2. Ес-
Если это не так (как в п. (И) предыдущего предложения), найдется такое
целое число а е Z, что а = |A + л/d) (mod P). Так как |A + л/d) удо-
удовлетворяет уравнению х2 — х +1 A — d) = 0, мы имели бы в таком случае
а2 — а+|A — d) = 0 (mod P), a потому а2 — а+|A — d) = 0 (mod 2). Число
а2 — а четно при всех а е Z. Отсюда следует, что |A — d) = 0 (mod 2),
или d = I (mod 8), вопреки предположению.
Предположим теперь, что 2\8р- Мы должны иметь d = 2, 3 (mod 4).
Если d = 2 (mod 4), то B) = B, Vdf, а если d = 3 (mod 4), то B) =
= B,1 + yd) . Простую проверку этого мы оставляем читателю. ?
Заметим, что закон разложения для нечетных простых чисел можно
сформулировать в сжатом виде, используя символ Лежандра. А имен-
именно, если ( —) = 1, то р полностью разлагается, если ( —) = — 1, то р
остается простым, и если ( — ) =0, то р разветвляется. Кроме того, за-
закон разложения для нечетного р зависит лишь от класса вычетов числа
р по модулю 8р- Ибо если d = 2 или 3 по модулю 4, то 8р — 4d и до-
доказываемое утверждение следует из предложения 5.5.3 и упр. 37 гл.5.
Если d = I (mod 8), то мы можем доказать это следующим образом.
При d = 5 (mod 8) имеет место равенство 8р — d. Таким образом,
Значение ( 4—) зависит лишь от класса вычетов р по модулю 8р • Те-
Теперь мы определим структуру группы единиц в D. Нетрудно убедиться
в том, что а является единицей тогда и только тогда, когда N(a) =
= ±1. Рассмотрим сначала случай мнимого квадратичного поля, так
что d < 0. Пусть Ud обозначает группу единиц в D.
236 Гл. 13. Квадратичные и круговые поля
Предложение 13.1.5. Если d < 0 и свободно от квадратов, то
(a) C/_i = {1,г,-1,-г};
(b) С/_3 = {±1, ±ш, ±cj2}, где и = \{-1 + г^З);
(c) Ud = {1, —1} длл d < — 3 шш d = —2.
Доказательство. Если d = 2 или 3 (mod 4), то любая единица может
быть записана в виде х + ул/d, х,у ? Z. Таким образом, N(a) = ±1
эквивалентно равенству х2 + |d|?/2 = 1. При d = —1 получаем случай (а).
При \d\ > 1 очевидно, что Ud = {+1, —1}-
При d = 1 (mod 4) запишем а = |(x + ys/d), где х = у (mod 2). Тогда
ЛГ(а) = ±1 эквивалентно равенству x2 + \d\y2 = 4. Если d = —3, то реше-
решение уравнения х2 + З?/2 = 4 приводит к случаю (Ь), в то время как при
\d\ > 3 уравнение х2 + \d\y2 = 4 приводит к тому, что Ud = {+1, —1}- П
Таким образом, нахождение группы единиц в случае мнимого по-
поля — очень простая задача. Случай вещественного квадратичного поля
значительно более трудный.
Если d > 0 и свободно от квадратов, то уравнение х2 — dy2 = 1 на-
называется уравнением Пелля. В гл. 17, §5, показано, что это уравнение
имеет решение в ненулевых целых числах х,у. Доказательство элемен-
элементарно. Предполагая известным этот результат, мы опишем единицы в
D для вещественного квадратичного поля.
Предложение 13.1.6. Если D — кольцо целых чисел в Q(Vd), где
d > 0, то существует такая единица и > 1, что каждая единица
имеет вид ±ит, т е Z.
Доказательство. Согласно предложению 17.5.2, существуют поло-
положительные ненулевые целые числа х,у, для которых х2 — dy2 = +1. Та-
Таким образом, х + у yd — и — единица в D, и > 1. Пусть М — некоторое
фиксированное вещественное число, М > и. Согласно упр. 4 из гл.12,
существует лишь конечное число таких a G D) что |а| < М, \а'\ < М,
где а' — сопряженное к а. Если E — единица, причем 1 < E < М, то
N(/3) = /?/?' = ±1. Если /?' = -1 то -М < -1 < М, а если /?' = i то
также —М<^<М. Таким образом, существует лишь конечное число
единиц /3 с 1 < /3 < М, л имеется по крайней мере одна — именно и.
Пусть е — наименьшая положительная единица, такая, что е > 1. Если
г — какая-либо положительная единица, то существует единственное
целое число s (не обязательно положительное), удовлетворяющее усло-
условию es ^ т < ?s+1. Тогда 1 ^ ts~s < е и, так как re~s — единица, то
ts~s — 1. Если т отрицательна, то —т положительна и —т = es. Это
завершает доказательство. ?
Единственная единица е) определенная в предложении 13.1.6, назы-
называется фундаментальной единицей поля Q(y/d). Множество d > 0, для
§ 1. Квадратичные числовые поля 237
которых норма единицы е равна — 1, до сих пор не найдено. Однако
имеется много интересных результатов в этом направлении (см. [196],
с. 124-126). Была высказана гипотеза, что если d — р — простое чис-
число, р = 1 (mod 4), и е — \{и + Vy/p), то pj^v [86]. Вычислить фун-
фундаментальную единицу даже для малых дискриминантов может быть
довольно трудно. Например, фундаментальная единица поля Q(\/94)
равна 2 143 295 + 221 064л/94.
Эти результаты о единицах являются частными случаями важной
теоремы Дирихле о единицах, которая определяет структуру группы
единиц в произвольном числовом поле. В этой теореме утверждается,
что группа единиц по модулю подгруппы корней из единицы в поле
будет конечно порожденной группой с г + s — 1 образующими, где г —
число пар комплексно сопряженных корней, as — число вещественных
корней порождающего это поле многочлена. В случае квадратичных
полей это число, очевидно, равно 0 или 1 в зависимости от того, будет
поле мнимым или вещественным, что согласуется с приведенным выше
результатом.
Что касается числа классов, то для квадратичных числовых полей
имеется исключительно богатая теория. На самом деле существуют яв-
явные формулы, открытые Дирихле. Мы упомянем об одном особенно
изящном частном случае. Предположим, что р > 3 — простое число и
р = 3 (mod 4). Пусть F = Q(y/—p). Пусть N и R представляют суммы
квадратичных невычетов и квадратичных вычетов по модулю р соот-
соответственно среди чисел 1, 2, 3,... ,р— 1. Тогда hF = (N — R)/p. Например,
для р = 7 получаем 7У = 3 + 5 + 6 = 14иД=1 + 2 + 4 = 7. Поэтому
hF = (U-7)/7=l.
Для случая d < 0 Зигель доказал, что lim _ **_ F, = 1. Отсюда сле-
\6F\^oo m \др\
дует существование лишь конечного числа таких d< 0, для которых чис-
число классов поля Q(y/—d) меньше какой-либо фиксированной границы.
Гаусс высказал гипотезу о том, что единственными d < 0, для кото-
которых число классов поля Q(V~d) равно 1, являются d — —1,-2, —3, —7,
— 11, —19, —43, —67 и —163. Первое признанное всеми доказательство
было получено Старком. По существу доказательство было дано ранее
Хегнером, но из-за неясности изложения его доказательство считалось
сначала неверным1.
1 Другое доказательство было дано Бейкером (см. его обзор в [20*]). Он и Старк
показали также, что из hp = 2 вытекает, что d < 101030, F = Q(y/—d). Впоследствии
эта оценка была усилена до d ^ 427. Наконец, в 1983 году Гросс и Цагир получи-
получили следующую оценку: hp ^ c(e) In ~?d, где с(е) > 0 — эффективно вычисляемая
константа. В частности, из hp = 3 следует, что d < 1010 (предполагается, что на
самом деле d ^ 907). Подробный обзор этих вопросов см. в [2*]. —Прим. ред.
238 Гл. 13. Квадратичные и круговые поля
Для положительных d Гаусс выдвинул гипотезу о том, что для беско-
бесконечно многих полей Q(y/d) число классов равно 1. Это, однако, остается
открытой проблемой.
Красивая формула, определяющая число классов вещественного
квадратичного поля с дискриминантом р) р — простое число сравни-
(р-1)/2. к\-х(к">
мое с 1 по модулю 4, такова: eh — Ц (sin — 1 , где е — фунда-
k=i ^ Р '
ментальная единица и х ~ символ Лежандра. Аналогичная формула
имеет место для произвольного дискриминанта. Эти результаты и их
доказательства см. в [9], гл.5.
Мы закончим этот параграф упоминанием нескольких других ре-
результатов, доказательство которых лежит вне рамок элементарного под-
подхода. Гассмотрим мнимое квадратичное поле с дискриминантом d. В та-
таком случае число классов поля делится на 2s, где s — число различных
простых делителей d. Таким образом, число классов поля Q(\/—210)
делится на 8. Оказывается, что это число классов в точности равно 8.
Подобный результат имеет место и для вещественных квадратичных
числовых полей.
Следующий, наиболее замечательный факт был открыт Хирцебру-
хом. Пусть р — какое-либо простое число, сравнимое с 3 по модулю 4,
и предположим, что число классов поля Q(sjp) равно единице. Тогда
число классов мнимого квадратичного поля Q(y/—p) равно одной трети
от знакочередующейся суммы ап — ап_\ + ап_2 — ... ± а\, где в стандарт-
стандартных обозначениях (а0, аь а2,..., ап) — разложение для урр в непрерыв-
непрерывную дробь (см. [73], гл. 7, и [22]). Например, число классов обоих полей
67) и Q(y/—67) равно единице, и
Уб7= (8, 5, 2,1,1, 7,1,1, 2, 5,16).
§ 2. Круговые поля
Пусть т — положительное целое число и (т = е27гг/т. Число ?ш, как
и все его степени, удовлетворяет уравнению хт — 1 = 0. Таким обра-
образом, хт — 1 = {х — 1){х — (т)... (х — Cm)- Отсюда вытекает, что поле
i^ = Q(^m) является полем разложения для многочлена хт — 1. Следо-
Следовательно, F/Q — нормальное расширение.
Мы называем F = Q((m) круговым полем корней степени т из еди-
единицы. Первым начал его изучать Гаусс в связи с построением правиль-
правильных многоугольников (см. гл.9, §11).
j 2. Круговые поля 239
Предложение 13.2.1. Пусть G — группа Галуа поля F/Q. Суще-
Существует такой мономорфизм 9 : G —ь U(b/rriL), что при любом а е G
Доказательство. Так как ?™ = 1, то (сг(т)т = 1. Таким образом,
а(т = Cm , где в (а) — некоторое целое число по модулю т. Если г =
= а~\ то Cm = raCm = r(Cm(<7)) = Cm^W. Таким образом, 0(гH(а) = I
(где I — класс вычетов числа 1 в Z/mZ). Поэтому 9 : G —> и{Ъ/тпЪ).
Нетрудно проверить, что 9 — гомоморфизм. Наконец, если в (а) = 1, то
^Cm = Cm ч откуда следует что а — единица в G) ибо Cm порождает F
над Q. ?
Следствие. [Q(Cm) : Q] делит ср(т).
Мы покажем далее, что на самом деле [Q(Cm) : Q] = <р(т).
Определение. Пусть
771—1
k l
(k,m) = l
Этот многочлен называется т-м круговым многочленом.
Его корнями будут в точности примитивные корни степени т из
единицы, т.е. корни степени т из единицы, порядок которых равен т.
Очевидно, что степень многочлена Фт(х) равна (р(т).
Предложение 13.2.2. хт - 1 = П Фа(х).
d | т
Доказательство. Имеем
771—1 771—1
xm-l =
П
k=0 d I m k=0
1 (fc,m) =
Мы утверж:даем, что
т-1
к=0
(k,m)=d
Отсюда будет следовать наше утверж:дение.
Если {к)т) — d) то положим к — dj. Имеем Cm = Cm = (m/d' Кроме
того, {j)m/d) — 1. Поэтому
m-l m/d-1
П (*-&)= П (*-&
/с=0 j=0
(k,m)=d (j,m/d) = l
240 Гл. 13. Квадратичные и круговые поля
Следствие. Фт(х) G Ъ\х\.
Доказательство. Мы применим индукцию по т. Имеем Ф\(х) =
= х — 1. Предположим, что следствие верно для целых чисел, меньших
т. Согласно предложению 13.2.2, Фт{х) — (хт — 1)//(х), где f{x) —
приведенный многочлен, который по предположению индукции лежит
в Ъ[х\. Используя «деление столбиком», получаем, что Фт(х) G Ъ[х\. П
Независимое доказательство этого следствия получается так. Каж-
Каждый элемент a G G переставляет примитивные корни степени т из
единицы. Таким образом, коэффициенты многочлена Фт(х) остаются
на месте при действии элементов из G, а потому принадлежат Q. Так
как они, очевидно, являются целыми алгебраическими числами, то они
должны лежать в Z.
Начиная с этого места, мы введем следующие обозначения: (т = ?,
F — Q(C) и D — кольцо целых чисел в F.
Предложение 13.2.3. Предположим, что р — рациональное про-
простое число и pj^m. Пусть Р — простой идеал в D, содержащий р.
Тогда классы вычетов чисел 1, ?, ?2, ..., ^т~1 в D/P все различны. Если
f — степень идеала Р, то pf = 1 (mod m).
Доказательство. Пусть w обозначает класс вычетов числа w G D в
D/P.
Разделим обе части равенства хт — 1 — JJ (я — ?*) на я — 1. В
/с=0
результате получим
771—1
1 + x + ... + xm~l = \{ (x - C'
к=1
ш-1
Полож:им в этом тож:дестве х — 1: т — П A — С^)- Таким образом,
к=1
771—1 _ _ _
т — YI A ~ Ск)- Так как т ф 0, отсюда следует, что (к ф 1 для 1 ^
к=1
к ^ т — 1, а также (к ф A для 0 ^ к < I ^ т — 1.
Элементы {^ | O^fc^m — 1} образуют подгруппу порядка m в
мультипликативной группе поля D/P. Последняя группа имеет порядок
pf — 1. Поэтому pf = 1 (mod m). П
Теорема 1. т-й круговой многочлен Фт(х) неприводим в Ъ\х\.
Доказательство. Пусть f(x) G Ъ\х\ — приведенный неприводимый
многочлен для (. Тот факт, что его коэффициенты лежат в Z, следует
из того, что ( — целое алгебраическое число (упр. 16, гл. 6). При простом
рХ^п мы покажем, что (р также будет корнем многочлена f(x). Если
a G Z и (а, т) — 1, то, разлагая а в произведение простых чисел, мы по-
получим, что (а будет корнем для f(x). Таким образом, deg f(x) ^ (p(m). С
j 2. Круговые поля 241
другой стороны, так как ФШ(С) = 0, то /(х) делит многочлен Фш(х), ко-
который имеет степень (р(т). Отсюда будет следовать, что f(x) = Фт(х).
Пусть р — простое число, pjfrn и Р — какой-либо простой идеал в D,
содержащий р. Как обычно, w при w G D будет обозначать класс выче-
вычетов элемента w в D/P. Мы имеем хт — 1 — f(x)g(x) и хт — I = f(x)g(x) в
Ъ/рЪ[х\. Согласно предыдущему предложению, хт — 1 имеет различные
корни в D/P. Отсюда следует, что f(x) и д(х) не имеют общих корней.
Предположим, что f((p) ф 0. Тогда д((р) = 0 и g((p) =0. Коэффициен-
Коэффициенты многочлена д{х) лежат в Ъ/рЪ и равны поэтому своим собственным
р-м степеням. Отсюда получаем, что 0 = д((р) = д(СУ\ так что б =
= д((). Отсюда вытекает, что /(?) ^ б, а это неверно, ибо /(?) = 0.
Следовательно, /(Ср) = 0, как и утверждалось. ?
Следствие 1. [Q(Cm) : Q] = ср(т).
Следствие 2. Отображение 9 из предложения 13.2.1 является
изоморфизмом группы G на и(Ъ/тЪ).
Доказательство. Обе группы G и C/(Z/mZ) имеют по (р(т) элемен-
элементов. Так как отображение 9 взаимно однозначно, то оно должно быть
эпиморфизмом. ?
В силу следствия 2 для каждого а е Z, такого, что (а,т) = 1,
существует такой элемент аа е G, что сга? = ?а- Отображение а ^ аа
индуцирует гомоморфизм из f/(Z/mZ) в G, обратный к 0.
Для простого числа р/^ш мы хотим изучить более внимательно ав-
автоморфизм <7р. Прежде чем приступить к этому, необходимо привести
некоторые вспомогательные результаты.
Лемма 1. Пусть F/Q — поле алгебраических чисел степени п.
Пусть D С F — кольцо целых чисел и ol\,ol<i, ...,o^n G D — базис
поля F/Q. Пусть А = A(c*i, о^, ...,ап) ~ дискриминант этого базиса.
Тогда AD С Zc^ + Za2 + ... + Ъап.
Доказательство. Для w ? D мы имеем ги = 5^r/c^/c с r^ G Q.
Умножим обе части этого равенства на щ и возьмем след: ti(waj) =
= S rk tifakCtj). Элементы ti(waj) и tr(a^aj) лежат в Z, так как они яв-
являются следами целых алгебраических чисел. Используя правило Кра-
Крамера для решения системы уравнений относительно г&, мы видим, что
каждое г& есть целое число, деленное на А. Лемма доказана. ?
Лемма 2. Дискриминант Д = ДA,С,..., ^(ш)) делит т^т\
Доказательство. Продифференцировав обе части равенства
хт-1 = Фт(х)д(х),
получим
242 Гл. 13. Квадратичные и круговые поля
Подставляя х — С, получаем в результате т(,т~1 — Ф'т(?)д(?). Возьмем
теперь норму от обеих частей. Воспользовавшись предложением 12.1.4
и тем фактом, что N(() = ±1 получим ±т^ш) = ДЛГ(</(?)). Заметим,
что, согласно теореме 1, элементы 1,?, ... ^(р(гп)~1 образуют базис для
Q(C)/Q, так что АA, С,..., C^(mbl) фО. П
Предложение 13.2.4. Пусть р е Z — такое простое число, что
pjfm. Пусть w лежит в D, кольце целых чисел в Q(C)- Существует
такой элемент ^ ak(k ? ЩС]> что w = S afcCfe (mod p).
Доказательство. Положим Д = ДA, ?,..., ^М). Поскольку pJ^A
в силу леммы 2, то существует такое A' G Z, что Д'Д = l(modp).
Следовательно, w = A'Aw (mod р). Тогда Aw ? Z[^] в силу леммы 1.
Предложение доказано. ?
Заметим, что на самом деле D = Z[?], но это не так легко доказать
для произвольного т. В случае когда т — степень простого числа,
доказательство достаточно просто (см. предложение 13.2.10).
Следствие. Пусть pjfm и п > 0 таковы, что рп = 1 (mod m).
Тогда для w e D имеем wpU = w (mod p).
Доказательство. Согласно предыдущему предложению, справедли-
справедливо сравнение w = ^2ctk(k (mod р)) где а^ G Z. Так как а^ = а^ (mod p),
то должно выполняться сравнение wp = ^ a,kCpk (mod p). Повторив
это возведение в степень п раз и воспользовавшись тем, что из рп =
= 1 (mod т) следует (рП = ?, получаем доказываемый результат. П
Предлож:ение 13.2.5. Если р — простое число, pj^m, то каэюдый
идеал Р в D, содержащий р, перазветвлеп.
Доказательство. Предположим, что Р разветвлен. Тогда (р) С Р2.
Пусть w — какой-либо элемент из Р, не принадлежащий Р2. Согласно
предыдущему следствию, wpU = w (mod p)) а потому wpU = w (mod P2).
Так как рп ^ 2, отсюда следует, что id G Р2, т.е. мы пришли к противо-
противоречию. ?
Мы увидим далее, что «почти» верно обращение этого предложения.
См. предложение 13.2.8.
Напомним, что если р — простое число, pjfm, то автоморфизм ар
переводит ( в (р.
Предложение 13.2.6. Для всех w e D имеем apw = wp (mod p).
Доказательство. Согласно предложению 13.2.4, w = ^ &к(к (mod p).
Подействовав ар на это сравнение, получим apw = ^ Q>kCpk (mod p). Так
как ак е Z, то ^ак(рк = ^арк(рк (mod р) = (Еак(к)Р (mod p). Таким
образом, apw = wp (mod p), что и утверждалось. П
Следствие. Пусть Р — какой-либо простой идеал в D, содержа-
содержащий р. Тогда арР = Р.
j 2. Круговые поля 243
Доказательство. Для w ? P имеем apw = wp (mod P) = 0 (mod Р),
а потому <7рР С Р. Так как арР — максимальный идеал, то выполняется
равенство. ?
Теорема 2. Пусть р — некоторое простое число, pjfrn. Пусть f —
наименьшее положительное целое число, для которого р^ = 1 (mod m).
Тогда в D С Q(C)
(p)=P1P2...Pg,
где каждый идеал Р& имеет степень fug — <p(m)/f.
Доказательство. Заметим сначала, что, как следует непосредствен-
непосредственно из определения, / равно порядку автоморфизма ар.
Далее, р?1 — \D/P\\, где Д — степень идеала Р\. Так как D/P\ —
конечное поле, то wp х = w (mod Pi) для всех w ? D и Д — наименьшее
положительное целое число с этим свойством.
Согласно последнему предложению, для всех w e D справедливо
сравнение w = &?(w) (mod Pi) = wp (mod Pi). Отсюда получаем, что
л < /•
С другой стороны, из (р х = ((mod Pi) следует (р х — ( в силу
предложения 13.2.3. Таким образом, р^1 = 1 (mod m), откуда вытекает,
что / ^ Д.
Мы убедились, что / = Д равно степени идеала Р\. Все идеалы Р
имеют степень /. В силу предложения 13.2.5 все идеалы Р& неразветв-
лены. Пользуясь соотношением efg = (р(т), получаем, что g = (p(m)/f.
П
Следствие. В обозначениях теоремы 2 пусть Р — один из идеалов
Pfc. Полоэюим G(P) = {a e G | сгР = Р}. Гог(?а G(P) — циклическая
группа, порожденная элементом ар.
Доказательство. В силу следствия предложения 13.2.6 ар е G(P).
Пусть (ар) — циклическая группа, порожденная элементом ар. Тогда
(ар) С G(P). Согласно предложению 12.3.3, g\G(P)\ = cp(m). Таким
образом, |G(P)| = (p(m)/g — f — \(&р)\ и следствие доказано. ?
Теорема 2 весьма удовлетворительно описывает разложение простых
чисел, не делящих т. Можно получить также закон разложения для
простых чисел, делящих т. Мы ограничимся рассмотрением следую-
следующего важного частного случая.
Предложение 13.2.7. Пусть р — какое-либо простое число в Ъ.
Тогда р полностью разветвляется в Q(Cp)« Более точно, пусть Р —
— A — (р). Тогда Р будет простым идеалом и (р) = Рр~1. Кроме того,
Р имеет степень 1.
Доказательство. Как и в доказательстве предложения 13.2.3, р —
244 Гл. 13. Квадратичные и круговые поля
= П A ~ Ср)- Положим Uk — -—у- = 1+С+- • •+(к~1- Мы утверждаем,
к=1 1 ~ С
что Uk — единица. Так как pjfk, то существует такое j G Z, что jk =
= 1 (mod р). Таким образом, щ1 = д = -—^- = 1 + ?* + ... +
+ (С*)' ~~ целое алгебраическое число, что и доказывает утверждение.
p-i p-i
Отсюда следует, что р — П (l ~ О = A ~~ С)^ П uk, a потому
/с=1 /с=1
(р) = Р^. Используя соотношение efg = <р(р) = р — 1, мы видим, что
Р должно быть простым идеалом, е — р — 1, j = l и/ = 1. П
Предложение 13.2.8. Пусть Р — какой-либо простой идеал в
Q(Cm); и положим Р П Z = pZ. ?"сл^ р нечетно, то Р разветвлено
в том и только том случае, когда р \ т. Если р — 2, то Р разветвлено
тогда и только тогда, когда 4 | т.
Доказательство. В силу предложения 13.2.5 из pjfrn следует нераз-
ветвленность Р.
Предположим, что р нечетно и р \ т. Тогда Q(Cp) ^ Q(Cm)- Пусть
Dp и Dm — кольца целых чисел в Q(Cp) и Q(Cm) соответственно. По
предыдущему предлож:ению pDp = A — Ср)^- Запишем A — C,p)Dm —
— Р1Р2 ... PS) где Р^ суть не обязательно различные простые идеалы в
Dm. Тогда pDm — (Р1Р2 ... Ps)p~l• Так как р — 1 > 1, то все простые
идеалы в Dmi содержащие р, будут разветвлены.
Предположим теперь, что р — 2. Если 2 | т, но 4/f/m, тот = 2ш0 с
нечетным ш0. В этом случае — (то — примитивный корень степени т из
единицы, так что Q(Cm) = Q(Cm0)- Так как 2/f/m0, то Р неразветвлено.
Предположим, наконец, что р = 2 и 4 | т. Тогда ^4 = \/~Т = i G
е Q(Cm)- Так как A - if = -2г, то 2L^m = (A - i)Dm) , откуда следует,
как и прежде, что все простые идеалы в Dmi содержащие 2, разветвле-
разветвлены. ?
Предположим, что р — какое-либо простое число и pj^m. Для даль-
дальнейшего использования (в следующей главе) нам нужно знать, как р
разлагается на простые идеалы в поле Q(CPJ Cm)-
Лемма 3. Если (m,n) = 1, то Q(Cm,Cn) = Q(Cmn)-
Доказательство. Так как (™п = (п и Cm = Cm, то Q(Cm, Сп) С Q(Cmn).
С другой стороны, так как (т,п) = 1, то существуют такие целые
числа и и v, что ит + vn = 1. Следовательно,
Предложение 13.2.9. Пусть p — какое-либо простое число,
и D — кольцо целых чисел в Q(CPJ Cm)- Тогда
j 2. Круговые поля 245
= (P1P2...Pg)p-\
где Pk — различные простые идеалы степени fug — (p(m)/f. Целое
число f — наименьшее положительное целое число, для которого р^ =
= 1 (mod т).
Доказательство. Так как Q((p) С Q(Cp, Cm), то мы видим, что, как и
в доказательстве последнего предложения, все индексы ветвления про-
простых идеалов в D, содержащих р, делятся на р — 1.
Таким образом,
pD = (P1P2...Pg,f{p-1\ A)
где Pk — различные простые идеалы степени, скажем, /' и е' ) 1 -
некоторое целое число.
Пусть Dm — кольцо целых чисел в Q(Cm)- В силу теоремы 2
PDm=P1P2...P
g,
где Pk — простые идеалы в Dm степени / и g = cp(m)/f.
Рассматривая разложение на простые идеалы для PkD и сравнивая
его с равенством A), мы видим, что f ^ / и g' ^ д.
Из равенства A) и леммы 3 получаем, что
(р - 1)<р(т) = <р(рт) = е'(р - l)fg' > е'(р - 1)/ ^ .
Отсюда следует, что (р(т) ^ ег(р(т). Таким образом, е' — 1, и все нера-
неравенства превращаются в равенства, т.е. f — f и д' — д — (p(m)/f. Это
завершает доказательство. ?
Мы закончим этот параграф доказательством того, что D = Z[?m],
где т — простое число. Этот результат верен и в случае, когда т не про-
простое, но доказательство более трудное (см., например, с. 265-268 в [207]).
Случай с простым т понадобится нам в гл. 17, где будет обсуждаться
частный случай гипотезы Ферма.
Предложение 13.2.10. Если р — простое число, то D = Щ(р].
Доказательство. Ясно, что Щ(р] С D. Если а е D) то существу-
существуют такие рациональные числа а0, ai, ..., ар_2, что а — а0 + а\С, + ... +
+ ар_2Ср~2- Прежде всего мы покажем, что pctk G Z, к = 0, ... ,р — 2.
Действительно, если tr обозначает отображение следа из Q(C) в Q, то,
как нетрудно вычислить, воспользовавшись, например, следствием 1 те-
теоремы 1, tr (к = —1 при pjfk. Таким образом, мы видим, что tr(a^-/c) =
= -а0 - ai - ... - ak-i + {p- l)ak - ак+1 - ... - ар_2- Поэтому 1т(а(~к -
— а() = рак) к — 0, ... ,р — 2. Так как аС,~к — аС, G D) отсюда следует, что
рак G Z. Если Л = 1 — С, то по предложению 13.2.7 имеем (Л)^ = (р).
246 Гл. 13. Квадратичные и круговые поля
В силу того, что было, изложено выше, существуют такие Ьо, ..., 6Р_2
в Z, что ра = &о + Ь\Х + ... + 6Р_2АР~2. Таким образом, Л | 60 и взятие
норм показывает, что р\Ьо. Значит, А^ | 60 и Редукция по модулю Л2
дает Л2 | &iA, так что Л | Ь\. Опять это означает, р\Ь\. Ясно, что последо-
последовательная редукция по модулю все более высоких степеней Л, приводит
к тому, что р | bfc, А; = 0, ... ,р — 2, и деление на р затем показывает, что
П
§ 3. Снова квадратичный закон взаимности
В качестве приложения теории, развитой в этой главе, мы приведем
еще одно доказательство квадратичного закона взаимности. Идея этого
доказательства восходит по существу к Кронекеру.
Пусть р — какое-либо нечетное простое число. Рассмотрим поле
Q(Cp)- Мы утверждаем, что это поле содержит квадратный корень из
(—1) 2 р = р*. Это следует из предложения 6.3.2. Однако чтобы сделать
наше теперешнее рассмотрение независимым от теории сумм Гаусса, мы
дадим прямое доказательство, исходя из соотношения
k=i
Скомбинируем члены, соответствующие к и р — к следующим образом:
A - фа - срР~к) = A - Фа - дк) = -cfc(i - ф2.
Итак,
П
к=1
Пусть с е Z таково, что 2с = 1 (mod p). Тогда ^6 = (С6сJ- Отсюда следу-
следует, что р* является квадратом в Q(C)? к^к и утверж:далось. Пусть г2 =
Предполож:им теперь, что q — нечетное простое число и q ф р. Рас-
Рассмотрим автоморфизм aq. Тогда Gqr = ±r, причем знак плюс берется
в том и только том случае, когда Gq принадлежит группе Галуа поля
Q(C)/Q(Y)- Так как группа Галуа G поля Q(C)/Q изоморфно отобража-
отображается посредством <р на U(Z/pZ) и последняя группа циклическая по-
порядка р — 1, то мы видим, что Gqr — т тогда и только тогда, когда Gq —
квадрат в G, а последнее имеет место, если и только если q — квадрат
в U(Z/pZ). Другими словами,
Замечания 247
Пусть Q — какой-либо простой идеал в D С Q(C)? содержащий q. По
предложению 13.2.6
адт = rq (mod Q).
Таким образом, (^)t = tq (mod Q)) откуда следует, что
=p*V(mod Q) =т«-1 = (|) (mod Q).
Последнее сравнение означает, что ( ) — ( Ь так как Q не содер-
содержит 2.
Можно было бы подумать, что это доказательство, каким бы при-
приятным оно ни было, намного сложнее, чем прежние доказательства, а
поэтому мало что добавляет к предыдущему. Но дело обстоит не так,
потому что использованные при этом идеи дают ключ к изучению выс-
высших законов взаимности.
Замечания
Введение в арифметику квадратичных числовых полей имеется в
книге «Введение в теорию алгебраических чисел» Зоммера (Sommer J.
Introduction a la Theorie des Nombres Algebrique. — Paris: Hermann,
1911). Эта книга основана на лекциях Гильберта в 1897—1898 годах.
См. также [111], [84] и [73]\
Как упоминалось ранее, были найдены все мнимые квадратичные
поля, кольца целых чисел которых являются областями с однозначным
разложением на множители. Были также найдены мнимые квадратич-
квадратичные поля с числом классов два. Таких полей имеется 18, причем поле с
наименьшим дискриминантом есть Q(\/~ 427) 2.
В случае круговых полей Мэсли показал, что если m — положитель-
положительное целое число, тф2 (mod 4), то существует точно 29 значений т, для
которых число классов поля Q(Cm) равно 1. Кроме того, круговые поля
Q(Cp) с числом классов 1 задаются значениями р = 3, 5, 7,11,13,17,19;
это результат Утиды и Монтгомери. Детали см. в обзорах [184], [185].
Для более полного знакомства с арифметикой квадратичных и кру-
круговых полей читателю следует обратиться к [9].
В §3 мы видели, что Q(v/(-l)^-1)/2p) — подполе поля Q((p). Бо-
Более общим образом, согласно теореме Кронекера и Вебера, любое поле
1 На русском языке имеются изложения [9], [44] и [22*]. — Прим. ред.
2 См. примечание редактора к § 1. — Прим. ред.
248 Гл. 13. Квадратичные и круговые поля
алгебраических чисел, которое нормально и имеет абелеву группу Га-
луа, будет подполем поля Q(Cm) ПРИ некотором т. Доказательство этой
трудной теоремы см. в [207], [13].
Упражнения
1. Показать, что поле алгебраических чисел нечетной степени не мо-
может содержать примитивный корень п-й степени из единицы при п > 2.
2. Пусть F — вещественное квадратичное поле. Показать, что если F
содержит элемент с нормой —1, то любое простое число р) р = 3 (mod 4),
неразветвлено.
3. Доказать, что если F — такое поле алгебраических чисел, что
е2ш/п g р ПрИ неКотором п ^ 3, то норма любого ненулевого элемента
из F положительна.
4. Найти фундаментальные единицы для Q(\/5), Q(\/l5), Q(\/2),
5. Показать, что квадратичное числовое поле не может содержать
и yfq для двух различных простых чисел р и q.
6. Перечислить подполя поля Q(Cs)-
7. Пусть F — вещественное квадратичное поле. Показать, что в F
существуют целые алгебраические числа, произвольно близкие к 1 и
произвольно удаленные.
8. Показать, что число классов поля Q(\/lO) не равно 1.
9. Рассмотрим Q(Cp)? гДе Р ~ нечетное простое число.
(a) Показать, что JVA + () = 1, где N обозначает норменное
отображение из Q((p) в Q.
(b) Показать, что Yl(l + (Т) — А) где произведение берется по
г
квадратам по модулю р, лежит в Q(y/p).
Ьсли р = 1 (
= v (mod 2).
( \ тл л ( л л\ л U + V\fP
(с) Ьсли р = 1 (mod 4), то показать, что А = ^ v , где и =
2
[и2 — r>v2\(p~1^2
(d) Из (а) сделать вывод, что ( -^— ) = +1, так что
(e) и2 — pv2 = ±4.
(f) Показать, что А ф — 1, доказав, что А > 0 (ср. упр. 3).
(g) Если р = 5 (mod 8), то показать, что А ф 1, рассматривая
(p-i)/2 2
многочлен YI A + ^г ) — 1. (См. также упр. 9 гл. 16.) Это
г=1
упражнение взято из [145].
10. Для какого d поле Q(y/d) имеет целый базис вида а, а7, где а' —
сопряженный элемент к al
Упражнения 249
11. Показать, что — (С3 + С2) ~~ единица в Q(C)? С = е2угг/5. Какова
связь между этой единицей и единицами в Q(\/5)?
12. Показать, что единица в Q(C»)j 1 ^ к ^ р — 1.
7Г
7Г
sin —
13. Показать, что если р — простое число, р = 1 (mod 4), то кольцо
целых чисел в Q(Cp) всегда содержит бесконечное число единиц.
14. Пусть р — какое-нибудь простое число. Показать, что дискрими-
дискриминант А поля Q(Cp) равен
а = П (с* - cjJ-
15. В обозначениях упр. 14 показать, что
(а) для всех /с = 1,2,...,р— 1 выполняется равенство
J = l
(Ь) Перемнож:ая по всем /с = 1,2,...,]9— 1, получить, что
А = (-1) 2 /-2.
16. Используя предложение 13.2.8, показать, что г ф Q(CpM если р
нечетно.
17. Воспользовавшись предложениями 13.2.7 и 13.2.8, показать, что
(я Ф Q((p)i если р и q — нечетные простые числа и р ф q.
18. Показать, что если р — простое число, сравнимое с 3 по модулю 4,
то Q(^/p) содержится в круговом поле Q(C4p)-
19. Показать, что любое квадратичное поле содержится в некотором
круговом поле.
20. Показать, что фундаментальной единицей вещественного квад-
квадратичного поля Q(\/lO) будет 3 + д/10 и, воспользовавшись формулой
из основного текста, определить число классов этого поля.
21. Пусть а е Z, а — не квадрат, а = 0 (mod 4) или а = 1 (mod 4).
Определим символ Кронекера Ха следующим образом. Если р \ а, то
Ха(р) = 0. Если рХа — нечетное простое число, то Ха(р) — ( ~) ? символ
Лежандра; хаB) = 1 при а = 1 (mod 8); ХаB) = — 1 при а = 5 (mod 8).
Наконец, ха(т) = П Ха(Рк) ПРИ ±^ = Pi • • -Ps- Показать, что
к=1
(а) Ха совпадает с символом Якоби при нечетном т;
250 Гл. 13. Квадратичные и круговые поля
(Ь) если т > 0, (а, т) — 1, а — 2пЬ с нечетным 6, то
6-1 т-1
(с) Ха(х) = ХаЫ при х = у (mod а).
22. Пусть К — некоторое квадратичное поле с дискриминантом d и
Xd — символ Кронекера. Показать, что если р — любое простое число,
то
(a) р полностью разлагается в К тогда и только тогда, когда
Xd(j>) = 1;
(b) р остается простым тогда и только тогда, когда Xdip) — ~1;
(c) р разветвляется тогда и только тогда, когда Xdip) — 0.
23. Используя таблицу в [73], с. 340, вместе с таблицами из [9], с. 472-
476, проверить формулу Хирцебруха, приведенную в конце § 1, для про-
простых чисел 7, 19, 23, 31, 43, 47, 67, 83. Кроме того, использовать фор-
формулу Дирихле для вычисления числа классов некоторых мнимых квад-
квадратичных полей. Показать, что Q(\/91) не является областью главных
идеалов, исходя из того что число классов поля Q(\/~91) равно 2.
24. Пусть К — поле корней степени р из единицы, р — нечетное
простое число. Не используя сумм Гаусса, показать, что единственное
квадратичное подполе поля К имеет дискриминант (—1)^~1^2р.
25. В ситуации предыдущего упражнения пусть / — порядок числа
q по модулю р) причем q — нечетное простое число, отличное от р. Если
Е обозначает квадратичное подполе поля К, то показать, что q полно-
полностью разлагается в Е в том и только том случае, когда Е содержится
в подполе D степени ?—*—. Кроме того, показать, что это будет иметь
место, тогда и только тогда, когда q — квадрат по модулю р. Используя
предыдущее упражнение, получить новое доказательство квадратично-
квадратичного закона взаимности.
26. Подсчитать число доказательств квадратичного закона взаимно-
взаимности, приведенных до сих пор в этой книге, и придумать еще одно.
27. Показать, что не существует простых чисел, которые оставались
бы простыми в Q(Cs)- Можете ли вы этот результат обобщить?
Глава 14
СООТНОШЕНИЕ ШТИКЕЛЬБЕРГЕРА
И ЗАКОН ВЗАИМНОСТИ ЭЙЗЕНШТЕЙНА
Изложив основные свойства круговых, полей, мы докажем теперь
две красивые и важные теоремы, которые играют фундаментальную
роль в дальнейшем развитии теории этих полей.
Закон взаимности Эйзенштейна обобщает некоторые наши преж-
ние результаты по квадратичному и кубическому законам взаимно-
взаимности. Он лежит на полпути между этими частными случаями и бо-
более общими законами взаимности, которые исследовались Куммером
и Гильбертом, были впервые доказаны Фуртвенглером и затем в пол-
полной общности Артином и Хассе. В последнем параграфе этой главы
мы приведем два интересных приложения результата Эйзенштейна.
Первое относится к последней теореме Ферма, а второе — к теории
степенных вычетов.
Соотношение Штикельбергера является базисом для доказатель-
доказательства закона взаимности Эйзенштейна, которое мы приводим. В по-
последние годы теория круговых полей значительно продвинулась вперед
благодаря, главным образом, усилиям Ивасавы. В его работе соотно-
соотношение Штикельбергера занимает центральное место. Оно оказалось
важным также в арифметической алгебраической геометрии.
§ 1. Норма идеала
Нам понадобится несколько дополнительных результатов из общей
теории полей алгебраических чисел.
Пусть K/Q — некоторое поле алгебраических чисел, D — кольцо
целых чисел в К и А — какой-либо идеал. Определим N(A), норму
идеала А, как число элементов в D/A. Мы продолжаем предполагать,
что рассматриваемые идеалы ненулевые.
Предложение 14.1.1. Если A,BcD— идеалы, то N(AB) =
= N(A)N(B).
Доказательство. Если идеалы А и В взаимно просты, то D/AB «
^ D/A @ D/B, так что в этом случае утверждение очевидно.
Пусть А — Р^Р^2 ... Pgs — разложение идеала А на простые идеалы.
Мы утверждаем, что N{A) = {N{Pl))ai (N(P2))a2 ... (N(Ps))as. Учиты-
Учитывая уже сказанное, достаточно доказать, что N(Pa) = GV(P))a для лю-
любого простого идеала р. Это, однако, простая переформулировка пред-
предложения 12.3.2.
252 Гл. 14. Соотношение Штикельбергера
Далее, разложим в общем случае А и В в произведение простых иде-
идеалов, перемножим эти разложения, применим сформулированный выше
результат и перегруппируем члены. Это дает доказываемый результат.
?
Предложение 14.1.2. Предположим, что K/Q — нормальное рас-
расширение с группой Галуа G. Тогда
Доказательство. Так как обе части равенства мультипликативны
по А, достаточно доказать результат для простого идеала Р.
Пусть Pi,P2,...,Pg — различные простые идеалы в множестве {(т(Р) |
а е G}. Тогда |G| = g\G(P)\, где G(P) = {a e G \ а(Р) = Р}. Так как
efg = п — [К : Q] = \G\) то |B(Р)| = e/. Таким образом, воспользовав-
воспользовавшись предложением 12.3.3 и теоремой 3' из гл. 12, получаем
Ц а(Р) = (РгР2 ... Pg)ef = (p)f = (/), где Рк П Z = рЪ.
aeG
Так как N(P) = \D/P\ — pf, это завершает доказательство. П
Предлож:ение 14.1.3. Пусть K/Q — нормальное расширение с
группой Галуа G. Пусть а е D и А — (а) — главный идеал, пороэюден-
ный элементом а. Пусть N(a) — норма элемента а. Тогда N(A) =
= \N(a)\.
Доказательство. Имеем (iV(A)) = П°"(^) = П°"((а)) = П(°"а) =
= (П0"!^)) = {^(а)). Таким образом, числа N(A) и N(a) отличаются
на единицу. Так как оба они леж:ат в Z, они могут отличаться лишь
знаком. Поскольку ^V(^4) по определению положительно, то ^V(^4) =
= |JV(a)|, что и утверждалось. ?
Заметим, что это предложение остается верным и в случае, когда
K/Q не является нормальным расширением. Доказательство в общем
случае несколько более сложное.
§ 2. Символ степенного вычета
Пусть т — некоторое положительное целое число и Dm обозначает
кольцо целых чисел в Q(Cm)- Пусть р — какой-либо простой идеал в
Dm) не содержащий т. Положим q = N(P) = \Dm/P\. В силу предло-
предложения 13.2.3 мы знаем что классы смежности элементов 1, ?ш,..., Cm
различны и что q = 1 (mod m).
§ 2. Символ степенного вычета 253
Предложение 14.2.1. Пусть а е Dm, а ф Р. Существует такое
целое число к, единственное по модулю т, что
Доказательство. Так как мультипликативная группа поля Dm/ P
имеет q — 1 элементов, то aq~l = 1 (mod P). Таким образом,
Поскольку Р — простой идеал, существует такое целое число к) 0 ^
к < т) что a m = Cm (m°d Р). Если А; ^ j (mod m), то Cm ф Cm (m°d P),
так что к единственно по модулю т. ?
Определение. Для а е Dm и простого идеала Р, не содержащего
т, определим символ т-степенного вычета ( % ) следующим образом:
(a) (^ = 0, если а е Р;
(b) если а ^ Р, то (-р) есть единственный корень степени ттг из
единицы, для которого a m = (-^ ) (mod P).
Предложение 14.2.2.
а) (%) — 1 тогда и только тогда, когда хт = a (mod P) разре-
шимо в Dm.
NP-1
NP1 , .
(b) a m = f ^J (mod P) длл всех а е Dm.
(d) Если а = P (mod P), mo (%) — (p) •
Доказательство. Поскольку этот результат был ранее доказан для
т — 2, 3, и 4, мы можем с уверенностью предоставить восстановление
деталей читателю. ?
Следствие. Предположим, что Р — какой-либо простой идеал, не
содержащий т. Тогда
, ч NP^l
Sm \ _ /= т
р J ~ W
/ т
Доказательство. Из п. (Ь) предложения 14.2.2 следует, что обе части
выписанного равенства сравнимы по модулю Р. Поскольку обе они —
корни степени т из единицы и т ф Р, отсюда вытекает, что они равны.
?
254 Гл. 14. Соотношение Штикельбергера
Имеет смысл расширить определение символа ( % ) так, чтобы
/ \
( % I было определено при /?, взаимно простом с т. Это делается сле-
\р ) т
дующим образом.
Определение. Предположим, что А С Dm — идеал, взаимно прос-
простой с т. Пусть А = PiP2 ... Рп — разложение А на простые идеалы.
Для a G Dm полагаем
(й1 = П(й),„
Если /3 G Dm и /? взаимно просто с т, то положим ( % ) = (-Мг ) .
\ Р / гп \ \Р ) / т
Предложение 14.2.3. Предположим, что А и В — взаимно про-
простые с (т) идеалы. Тогда
а) (<$) = C)
а
(с) еслг^ а взаимно просто с А и хт = a (mod А) разрешимо в Dmj
то(%) =1.
Доказательство. Все три утверждения доказываются непосредст-
непосредственно с использованием последнего предложения и данного выше опре-
определения. Заметим, что обращение п. (с) неверно. ?
Нам следует посмотреть, как ведет себя символ (-Яг) относительно
автоморфизмов группы Галуа G поля Q(Cm)/Q-
В дальнейшем мы будем использовать для автоморфизмов степен-
степенные обозначения. Если aG Ghq;G Q(Cm)? то мы будем писать аа вместо
gol. Аналогично, если А — идеал, то мы будем писать Аа вместо сг(А).
Это более общепринятая форма записи, которая имеет определенные
преимущества.
Предложение 14.2.4. Пусть А — некоторый идеал, взаимно про-
простой cm, и а е G. Тогда
Доказательство. Поскольку обе части написанного равенства мульти-
мультипликативны по А) достаточно будет проверить его для случая, когда
А — Р — простой идеал. По определению
а т =(%) (modP).
Применяя автоморфизм а к этому сравнению, получаем
j 2. Символ степенного вычета 255
NP-1
a\ m
К)
Отсюда следует сравнение
(C) = (%Y {modP
V -* / ra V ¦* / ra
так что (-р^ j =( р j . Заметим, что мы воспользовались соотношени-
V-* / т \-*/ га
ем N(Pa) = N(P). D
Мы закончим этот параграф формулировкой закона взаимности Эй-
Эйзенштейна. Но сначала нам понадобится одно важное определение.
Пусть р — некоторое нечетное простое число. Напомним, что в Dp
выполняется равенство (р) = A — Ср)р~1 и A — (р) — простой идеал
степени 1.
Определение. Ненулевой элемент а Е Dp называется примарным,
если он взаимно прост ери сравним по модулю A — (рJ с некоторым
рациональным целым числом.
Для р = 3 нужно было бы потребовать а = 2 (mod A — СзJ), так
что приведенное определение немного слабее в этом случае1. Но для
наших целей оно достаточно. Примарных элементов довольно много,
как показывает следующая лемма.
Лемма. Предположим, что а Е Dp и а взаимно просто с р. Тогда
существует такое целое число с Е Z; единственное по модулю р, что
(ра примарно.
Доказательство. Пусть Л = 1 — (р. Так как простой идеал (Л) имеет
степень 1, то существует такое целое число а Е Z, что а = a (mod Л).
Далее, (а — а)/Л Е Dpi так что существует такое b E Z, что (а — а)/Л =
= Ъ (mod Л). Следовательно, а = а + b\ (mod Л2).
Поскольку (р = 1 — Л, мы имеем Q = 1 — сЛ (mod Л2). Отсюда выте-
вытекает, что
Qa = а+(Ь- ас)Х (mod Л2).
Целое число а не делится на р) так как в противном случае Л | а)
а мы предположили, что а взаимно просто с р. Выберем в качестве
с решение сравнения ах = b(modp). Тогда (?а = a (mod Л2), а пото-
потому Qa примарно. Единственность с по модулю р) очевидно, следует из
доказательства.
Теорема 1. (Закон взаимности Эйзенштейна.) Пусть р — некото-
некоторое нечетное простое число, а Е Z взаимно просто с р и а Е Dp —
1 См. определение примарного числа в гл. 9 § 3. — Прим. ред.
256 Гл. 14. Соотношение Штикельбергера
примарный элемент. Предположим, кроме того, что а и а взаимно
просты друг с другом. Тогда
Ы) = (*¦).
Доказательство этой изящной теоремы будет приведено в §5. Она
следует из соотношения Штикельбергера, которое будет сформулиро-
сформулировано в следующем параграфе и доказано в § 4. Поскольку процесс этот
длительный и достаточно сложный, у читателя может возникнуть же-
желание перейти сразу к последней части этой главы, §6, где приводятся
три интересных приложения закона взаимности Эйзенштейна.
§ 3. Соотношение Штикельбергера
По самому способу определения суммы Гаусса являются элемента-
элементами круговых полей. Мы будем исследовать разложение сумм Гаусса на
простые идеалы в этих полях.
Пусть F — конечное поле из pf — q элементов, \ — мультипликатив-
мультипликативный характер порядка тиф — нетривиальный аддитивный характер
(см. гл.10, §3). Тогда значениями х будут корни из единицы степени
т, а значениями ф — корни из единицы степени р. Следовательно,
С арифметикой этого поля мы имели дело в последней главе.
Прежде всего необходимо конкретизировать обстановку, уточнив
значения характеров х и Ф- Это делается следующим образом.
Пусть Р — некоторый простой идеал в Dm с Q(Cm)? и предположим,
что ттг ^ Р. Пусть pL — Р П Z и N(P) — q — р^. Наконец, положим F —
— Dm/P. Напомним, что р$ = 1 (mod m).
Мультипликативный характер Хр на F мы определим следующим
образом. Пусть 0/f G Fh7G Dm таков, что j = t. Здесь j — класс
вычетов элемента j по модулю Р. Пусть
В силу предложения 14.2.2 Хр(?) определен корректно и является
мультипликативным характером. Причина взятия обратного к символу
степенного вычета вместо него самого выявится позднее.
В качестве аддитивного характера мы выберем характер ф, вве-
введенный в гл. 10, §3. Напомним его определение. Сначала определяется
tr : F —>> Z/pZ посредством формулы tr(t) = t + tp + tp + ... + tp
Тогда
§ 3. Соотношение Штикельбергера 257
При таком выборе характеров хр и Ф мы полагаем д(Р) = д{хр-> Ф)ч
а также Ф(Р) = д(Р)т.
Предложение 14.3.1.
(b) \д(Р)\2 = д.
(c) Ф(Р) е Q(Cm).
Доказательство. Пункт (а) уже обсуждался. Пункт (Ь) получается
так же, как и в случае простого поля F. Пункт (с) следует из предло-
предложения 8.3.3, которое сформулировано для Z/pZ, но легко обобщается
HaF.
Мы приведем другое доказательство п. (с), основанное на теории Га-
луа. Рассмотрим диаграмму полей
.,Cp)=Q(Cmp)
Группа Галуа поля Q(Cmp)/Q задается автоморфизмами ас с (с, тр) =
= 1. Заметим, что
(i) поле Q(Cm) поэлементно инвариантно относительно ас в том и
только том случае, когда с = 1 (mod m);
(ii) поле Q(Cp) поэлементно инвариантно относительно сгс в том и
только том случае, когда с = 1 (mod p).
Для получения включения Ф(Р) G Q(Cm) будет достаточно показать,
что Ф(Р)^С = Ф(Р) при с = 1 (mod m).
Применим сгс, где с = 1 (mod m), к р(Р) = 5^Хр(^)'0(^)- Так как
— Xp(t) и ФрA)ас — Фр{^)с) то мы получаем
Возведение обеих частей этого равенства в степень т показывает, что
Ф(Р) инвариантен при действии <тс, как и утверждалось. ?
Прежде чем приступить к обсуждению разложения элементов д(Р)
и Ф(Р) на простые идеалы в общем случае, посмотрим, как обстоит дело
при т = 2, 3 и 4.
При т — 2 имеем Q(C2) = Q- Если р — положительный образующий
для Р, то д(РJ = (-l)^-1)/^.
При т — 3 имеем О(Сз) = Q(\/~3). Предположим, что Р имеет
степень 1 и Р — (тг), где тг примарно. Из результатов §4 гл.9 можно
258 Гл. 14. Соотношение Штикельбергера
получить, что д(РK = Ф(Р) — pit — тгтг2 (черта обозначает комплексное
сопряжение).
Для т — 4 имеем Q(C4) = Q(V~1)- Предположим, что Р — простой
идеал степени 1 и Р — (тг), где тг примарно. Из § 7 гл. 9 можно получить,
что #(РL = Ф(Р) = ?>тг2 = тгтг3 (черта опять обозначает комплексное
сопряжение).
Чтобы вывести общее правило и сформулировать обобщение, будет
очень полезно ввести одно условное обозначение, известное как «симво-
«символические степени». Предположим, что K/Q — некоторое числовое поле,
нормальное над Q, с группой Галуа G. Групповое кольцо Z(G) опреде-
определяется как множество формальных выражений
где коэффициенты а(а) лежат в Z. Позже мы покажем, как это множе-
множество превратить в кольцо. Для a G К полагаем
Для идеала А его символическая степень относительно элемента груп-
группового кольца определяется точно так же.
Пусть а — нетривиальный автоморфизм поля Q(\/~3)/Q. Наш ре-
результат при т = 3 принимает такой вид: Ф(Р) = тг1+2°".
Аналогично если т обозначает нетривиальный автоморфизм поля
В общем случае мы не можем ожидать разложения Ф(Р) на непри-
неприводимые элементы, так как Dm не всегда будет областью с однозначным
разложением на простые множители. Однако эти частные случаи кра-
красиво обобщаются следующим образом.
Теорема 2. (Соотношение Штикельбергера.) Пусть Р — некото-
некоторый простой идеал в Dmj не содержащий т. Тогда
Сумма берется по всем А; = 1,2,...,т— 1, взаимно простым с т.
Ддинное доказательство теоремы 2 занимает весь следующий пара-
параграф.
§ 4. Доказательство соотношения Штикельбергера
Мы начнем с трех элементарных результатов, которые понадобятся
нам в дальнейшем.
§ 4. Доказательство соотношения Штикельбергера 259
Лемма 1. Пусть р > 1 — некоторое положительное целое число.
Каждое положительное целое число может быть единственным об-
п
разом записано в виде ^ a,kPk, где 0 ^ а& < р.
к=0
Доказательство. Пусть а — положительное целое число. Существу-
Существует единственное неотрицательное целое число п, для которого рп ^
^ а < рп+1. Деление с остатком приводит к равенству а = апрп + г, где
О ^ г < рп. Число ап меньше р) ибо в противном случае а ^ рп+1. При-
Применим тот же прием к г и т.д. За конечное число шагов мы получим
для а выражение требуемого вида.
Единственность представления может быть доказана следующим об-
образом. Предположим, что YlakPk = ^bkPk, где 0 ^ ^,6^ < р. Тогда р
делит по — bo. Так как \clq — 6q| < V-> то ао = &о- Вычитая clq из обеих
частей равенства и деля результат на р, повторяем рассуж:дение. Это
приводит к равенству а\ = Ь\. За конечное число шагов мы получаем,
что а& = bk при всех к. П
Определение. Пусть q — p^. Если 0 ^ а < р$ — 1, то запишем а —
/-1
= Y1 акР -> гДе 0 ^ а^ < р, и положим
к=0
/
к=0
Для произвольного положительного целого числа а пусть S(a) = 5(r),
где а = г (mod д-1)иО^г<д-1.
Определение. Для вещественного числа и определим число (и) как
и — [и], где [и] — наибольшее целое число, меньшее или равное и. Число
(и), лежащее в интервале [0,1), называется дробной частью числа и.
Лемма 2. S(a) = (р — ±, , х л ,.
v ) \* J^-^\q — 1/
к=0
Доказательство. Обе части написанного равенства не изменятся,
если к а будет добавлено некоторое кратное числа q — 1. Таким образом,
можно считать, что 1 ^ а < q — 1.
Запишем а— ^ Q>kPk•> гДе 0 ^ ак < Р- Так как ^ = § = 1 (mod </ — 1),
/с=0
то
а = ао -
ар = a/_i + аор + ... + а/_2^~1 (mod <? — 1),
ар2 = а/_2 + af_ip + ... + df_zpf~l (mod q — 1), и т.д.
тт » 1 / apfe
Правые части всех этих сравнении меньше, чем q—1, так что ( _ .
260 Гл. 14. Соотношение Штикельбергера
равно правой части к-го сравнения, деленной на q — 1. Таким образом,
S(a) = (р - 1
/с=0
Лемма доказана. ?
q-2
Лемма 3.
v-/ 2
а=1
Доказательство. Запишем число а в виде ^ едД где 0 ^ а^ < р.
Заметим, что q — 1 = (р — 1) Yl Pk- Отсюда следует, что q — 1 — а —
, так что
/с=0
Суммируя обе части этого равенства ота=1доа = д — 2,в результате
получаем
q-2
2^5(a) = /(p-l)(g-2). D
а=1
Сумма Гаусса д{Р)) рассмотренная в предыдущем параграфе, явля-
является элементом поля Q(Cm, (p)- Приводимое нами доказательство теоре-
теоремы 2 требует, чтобы мы работали в большем поле Q((^_i, ?p). Это дает
то преимущество, что свободно могут использоваться все корни степени
q — 1 из единицы. С другой стороны, больше полей — больше путаницы.
Мы постараемся свести к минимуму эту путаницу, внимательно следя
за тем, в каком поле мы в каждый момент времени работаем.
При последующих рассуждениях будет полезно иметь перед глазами
следующую диаграмму:
С D{q_l)p -> D{q_l)p/&>
В этой диаграмме Р, ф и & — простые идеалы в указанных кольцах
целых чисел. Вспомним (см. § 3), что pjfm, f — порядок р по модулю т)
так что pf = 1 (mod m), и q = pf. До конца этого параграфа Хр = 1 — (р.
§4. Доказательство соотношения Штикельбергера 261
Лемма 4.
A) ord^(pD(e_i)p) =p-l.
B) ord^(Ap) = 1.
Доказательство. Для доказательства A) применим предложение
13.2.9 с т (в обозначении этого предложения), замененным на q — 1.
Так как идеал ?Р лежит над р) то он входит в разложение идеала pD)
и or&^^pD^q-i^p) — р — 1. Опять по тому же самому предложению и
предложению 13.2.7 имеют место равенства
PD{q_1)p = (pDp)D{q_1)p = \pp~lD{q_l)p = (&>!... &hy-\
где, скажем, ?fi\ — ?fi. Следовательно, XpD^q_i)p — ?fi\... Sfi^ и B) дока-
доказано. Для доказательства C), используя теорему 2 гл. 13 и предложение
13.2.9, получаем, что PP2...Ph * Z?(g-i)p = (^i... ^h)p~li где все прос-
простые идеалы различны и Р, Р2, -"j-P/i попарно взаимно просты. Таким
образом, PD(g_i)p =^p~1, откуда и следует доказываемый результат.П
Лемма 5. Dm/P « ^-i/ф.
Доказательство Имеется естественный мономорфизм из Dm/P в
Dq_i/yp. Чтобы убедиться в том, что это изоморфизм, достаточно пока-
показать, что оба поля имеют одно и то же число элементов. По теореме 2
гл. 13 \Dq-i/y($\ = pf\ где /' — наименьшее положительное целое число,
для которого р? = 1 (mod q — 1). Так как q = pf, ясно, что f — /, а
ПОТОМУ |lVi/ЭД = ^ = \Dm/P\. ?
В силу предлож:ения 13.2.3 элементы 1, С?-ъ •••? Cn-i имеют раз-
разные образы в Dq_i/ty. Следующее определение аналогично определе-
определению символа m-степенного вычета.
Определение. Для а е Dq-\ положим
(a) (а/ф) = 0, если а е ф;
(b) если а ф ф, то (о^/ф) — единственный корень степени q — 1 из
единицы, для которого а = (о^/ф) (mod ф).
Нетрудно убедиться в том, что (а/З/ф) = (а/ф)(/?/ф) и что из а =
= /3 (mod ф) вытекает равенство (о^/ф) = (/?/ф). Следующая лемма
тоже легко получается из определений.
Лемма 6. Если а е Dmj то (a/^q-l^m = {a/P)m.
Мы теперь следующим образом определим мультипликативный ха-
характер на F « Dq
«о = Й
где j?Dq_i таков, что 7 = *- Доказательство того, что о; определен кор-
корректно и является мультипликативным характером, получается сразу
262 Гл. 14. Соотношение Штикельбергера
же из предыдущих замечаний.
Лемма 7. cj(C?_i) = C^-i-
Доказательство следует из определения. ?
Значит, и имеет порядок q — 1 и, таким образом, порождает группу
мультипликативных характеров на F.
Определение. Пусть а — некоторое неотрицательное целое число.
Положим да = д{ио~а1 ф).
Заметим, что д{Р)) определенное в предыдущем параграфе, равно
да при a=(q- l)/ra.
Теорема 2 является следствием такого результата:
Теорема 3. oid^>(ga) = ?(a), где 1 ^ а < q.
Доказательство. Для начала мы покажем, что ord^(^i) = 1. Напо-
Напомним, что
Используя лемму 7, мы превратим это выражение в сумму по сте-
степеням Cq-i- Пусть rrik — такое положительное целое число, что т^ =
= tr(^_1) (mod р). Напомним также, что (р = 1 — Хр. В таком случае
q-2
/с=0
Используя формулу бинома, убеждаемся в том, что A — \р)тк = 1
— nikXp (mod S?2\ а потому
-2
:=0
Далее,
Производя подстановку, получаем
q-2
/c=0
Все суммы
/c=0
равны нулю, в то время как при п = 0 получается значение q — 1. Так
как g = p-f = 0 (mod ^2), то
§ 4. Доказательство соотношения Штикельбергера 263
В силу п. B) леммы 4 мы получаем, что Хр е ^, но Хр ф S?2. Таким
образом, ord^gi = 1.
Пусть s(a) = ord^ ga. Мы выведем ряд свойств функции ё(а).
(i) s(a + Ь) ^ 5(а) + 5F) при условии, что 1 ^ а, 6, а + b < q — 1.
По теореме 1 гл. 8 дадь = J{uo~a)uj~b)gajrb. Беря ord^ от обеих частей
этого равенства, получаем доказываемый результат.
(ii) s{a + Ъ) = s(a) + s(b) (mod р—1).
Заметим, что сумма Якоби J{u~a)ио~ъ) лежит в Q((^_i). Из равен-
равенства ^Ш(д_1)р = g?v~x тогда выводим, что р—1 делит ord^ (J{u~a1 ио~ъ)).
Таким образом, доказываемый результат опять сразу же следует из со-
соотношения дадь = J{u~a1u~b)gajrb
A11) s{pa) — s(a)
Чтобы убедиться в этом, заметим, что
дра = 5>(*)-^) = 5>(^)->(П.
Мы воспользовались тем фактом, что tr(t) = tr(tp), а это очевидно в
силу определения следа. Но t —>> tp — автоморфизм поля F. В результате
получаем, что дра = да) а потому ё(ра) = §(а).
В первой части доказательства мы нашли, что ё{1) = 1. Используя
(i) и (iii), убеждаемся, что ё(а) = а для 1 ^ а < р.
Для любого а между 1 и q — 1 запишем а = а0 + ахр + ... + aj-ip^,
О ^ а^ < р. Используя (i) и (iii), приходим к соотношениям
k=0 k=0 к=0
Теперь s(a) ^ S(a) для всех а в рассматриваемых пределах. Для
доказательства теоремы будет достаточно, в свете леммы 3, показать,
что
q-2
а=1
Вообще, для сумм Гаусса мы имеем соотношение д(х~1) — х(~
(здесь черта обозначает комплексное сопряжение). Таким образом,
gagq_i_a = u(—l)aq = ш(—l)apf. Из леммы 4 мы знаем, что ord^(p) =
— р—1. Отсюда следует, что
Просуммировав обе части этого равенства по а от 1 до q — 2, получим
q-2
a=l
Это завершает доказательство теоремы 3. П
264 Гл. 14. Соотношение Штикельбергера
Следствие. ок1р(Ф(Р)) =
S(
р — 1 V m
Доказательство. Воспользовавшись леммой 4, п. C), получаем
(р - 1) огс!р(Ф(Р)) = огс1^(Ф(Р)).
Далее,
где последнее равенство следует из теоремы 3, ибо д{Р) — да^ где а =
= (q - l)/m. D
Это следствие является первым шагом на пути получения полно-
полного разложения на простые множители для Ф(Р). Чтобы продвинуться
дальше, мы заметим сначала, что единственными простыми идеалами
в Dmi содержащими Ф(Р), будут те, которые содержат р. Это следует
из пп. (Ь) и (с) предложения 14.3.1, которые показывают, что
Если Р1 — какой-либо другой простой идеал кольца Dm, содержащий
, то по предложению 12.3.3 существует такой автоморфизм at поля
, что Р' = Pat\ Для Ккти(*,ш) = 1 положим Pt = Pat\
Лемма 8. огAр4(Ф(Р)) = -^s(
v 7 p — 1 V т
Доказательство. Из определений легко получается, что
ОГAрДФ(Р)) =ОГAр(Ф(Р)<7*).
Выберем такое целое число t7, что t' = t (mod m) и f e 1 (mod p).
Тогда
Таким образом,
<$>(P)at =
Второй член в этом соотношении равен д™, где а — 1. Дока-
lit
зательство леммы завершается теперь при помощи того же самого рас-
рассуждения, что и в следствии теоремы 3. ?
Мы можем теперь, наконец, закончить доказательство теоремы 2.
В силу следствия теоремы 2 из гл. 13 группа
циклическая и порождается элементом ар.
§ 5. Доказательство закона взаимности Эйзенштейна 265
Пусть ti, ?2? •••? tg — множество целых чисел, представляющих клас-
классы смежности в [/(Z/mZ) по модулю циклической подгруппы, поро-
порожденной образом р. Другими словами, если 1 ^ t < m) (t,m) = 1, то
t = tkPn (mod т) для единственной пары {к)п)) 1 ^ к ^ д) 1 ^ п < /. В
силу леммы 8, простое разложение для Ф(Р) задается идеалами
где
р — 1 ^ \ т
Воспользовавшись леммой 2, мы можем записать 7' следующим об-
образом:
7 =
\\ т
k=l vn=0
Так как сгр оставляет Р на месте, действие jf на Р совпадает с действием
т—1
/с=1 xn=0 7 tmodm
>^ = ™ Е <?)*.-= Е ^-.
Это завершает доказательство. ?
Для дальнейших ссылок мы заметим, что
где 0 = ^2 \ /G-t^ (^m) = 1- Элемент в е Q[G] называется элемен-
tmodm
том Штикельбергера.
§ 5. Доказательство закона взаимности Эйзенштейна
Нам понадобятся два результата о корнях из единицы.
Лемма 1. Единственными корнями из единицы в поле Q(Cm) будут
±С?, А; = 1,2, ...,ш.
Доказательство. В доказательстве теоремы 1 этот результат будет
нужен нам лишь в случае, когда т — нечетное простое число. Доказа-
Доказательство для общего т переносится в упражнения, а здесь мы предпо-
предполагаем, что т — р — нечетное простое число.
Пусть С,п G Q(Cp)- Если 4 | п, то \[^\ е Q(Cp)- Но 2 разветвляется в
Q(v/—1) и не разветвляется в Q(Cp)- Таким образом, 4/f/n. Если п = 2п0,
где п0 нечетно, то {(%} = {±^о}, а потому мы можем считать, что п
нечетно. Если р' — нечетное простое число, делящее п, то (р> е Q(Cp)- Но
р' разветвлено в Q(Cp/ )ир- единственное простое число, разветвленное
в Q(Cp)- Таким образом, р — р' и п должно быть степенью р) скажем
ра. Так как (р(ра) = ра~1(р — 1) — степень поля Q(Cp«) над Q ир- 1 -
266 Гл. 14. Соотношение Штикельбергера
степень поля Q((p) над Q, то а = 1. Отсюда и следует доказываемый
результат. ?
Лемма 2. Пусть K/Q — поле алгебраических чисел и <ri, сг2, ...,сгп
суть п— [К : Q] изоморфизмов поля К в С. ?"о/ш а ? К — такой целый
элемент, что \аак\ ^ 1 п]ш всех к — 1J) ...,п; то а есть корень из
единицы.
Доказательство. Число а — корень многочлена
k=l
Предположения леммы означают, что коэффициент при хт в f{x) —
целое рациональное число, ограниченное по модулю биномиальным ко-
коэффициентом Q). Таким образом, лишь конечное число многочленов
степени п в Ъ\х\ может получиться таким способом.
Если а удовлетворяет предположениям леммы, то им удовлетворяют
и все степени а. Так как конечное число многочленов имеет лишь ко-
конечное число корней, отсюда следует, что какие-нибудь две различные
степени а должны быть равны. Поэтому а есть корень из единицы. ?
Следующий шаг состоит в определении Ф(А) для произвольного иде-
идеала в Dm) где А взаимно просто с т, и исследовании свойств этой функ-
функции. В частности, будет важно найти значения Ф на главных идеалах.
Определение. Пусть А С Dm — некоторый идеал, взаимно простой
с т. Пусть А — Р\Р2 ••• Рп — разложение А на простые идеалы. Положим
Ф(А) = Ф(Р1)Ф(Р2)...Ф(Рп).
Предложение 14.5.1. Пусть А, В С Dm — идеалы, взаимно про-
простые с т, и a G Dm — некоторый элемент, взаимно простой с т;
771—1
напомним, что j = ^ ta^1. Тогда
t=i
(t,m) = l
(а) Ф(А)Ф(В) =Ф(АВ)]
(с)
(d) Ф((а)) = ?(°0ы1 ч где е(а) — единица в Dm.
Доказательство. Пункт (а) ясен из определения. Так как обе ча-
части в п. (Ь) мультипликативны по А, мы можем предполагать, что А —
простой идеал Р. В этом случае |Ф(Р)|2 = \g{P)\2m = (NP)m в силу
предложения 14.3.1, п. (Ь).
Обе части в (с) мультипликативны по А) так что мы опять можем
предполагать, что А — простой идеал Р. В этом случае доказываемый
результат совпадает с теоремой 2.
§ 5. Доказательство закона взаимности Эйзенштейна 267
Для п. (d) заметим, что
(Ф((а))) = (а)? = (а?)
в силу п. (с). Таким образом, Ф((а)) и а1 порождают один и тот же
главный идеал. ?
В дальнейшем мы будем писать Ф(а) вместо Ф((а)).
Будет важно определить обратимый элемент ? (а) более точно. В
действительности мы покажем, что он есть корень из единицы.
Лемма 3. Предположим, что AcDm — идеал, взаимно простой с
т, и а — автоморфизм поля Q(Cm)/Q- Тогда
Ф(А)а = Ф(Аа).
Доказательство. Чтобы убедиться в этом, удобно записать д(Р) в
следующем виде:
*с> = Е
где сумма берется по множеству представителей классов смежности
DJP.
Пусть а — некоторый автоморфизм поля Q(Cra5Cn)/Q5 который при
ограничении на Q(Cm) превращается в <т, а при ограничении на Q(Cp)
тривиален (см. доказательство леммы 8). В силу предложения 14.2.4
Так как tr(a) e Z/pZ, то tr(a°") = tr(a). Отсюда следует, что д(Р)а =
= д(Ра). Возведение обеих частей этого равенства в степень т приводит
к нужному результату в случае, когда А — простой идеал. Общий слу-
случай следует из мультипликативности. ?
Лемма 4. Для а е Dm имеем |а7|2 = |7Va|m.
Доказательство. Автоморфизм cr_i совпадает с комплексным со-
сопряжением на Q(Cm)? так как он переводит ?т в (J^1 = C,m. Таким обра-
образом,
Далее, (J-ij = a-i^ta^1 = ^taZ]. Очевидно, что om-t = O-t и
j = Yl,{rm~^)(Jrn-f Таким образом, используя равенство t — m—{m — t))
приходим к равенству
Лемма вытекает из того факта, что Na = Yl of* = о^а* . П
268 Гл. 14. Соотношение Штикельбергера
Предложение 14.5.2. Пусть а е Dm взаимно просто с т. Тогда
Ф(а) — б(а)а7; где е(а) = ±Ст при некотором к.
Доказательство. Ввиду п. (d) последнего предложения достаточно
доказать лишь утверждение относительно е(а). В силу предложения
14.5.1 |Ф(оО|2 = {^(а))т и |а7|2 = \Na\m, согласно лемме 4. Ввиду
предложения 14.1.3 N(a) = \Na\.
Собирая всё это вместе, получаем, что |?(а)| = 1. Используя лемму 3,
тем же способом устанавливаем, что |?(а)°"| = 1 при всех a G G. Из
леммы 2 теперь следует, что е(а) — корень из единицы. Наконец, так
как е(а) е Q(Cm), то s(a) = ±Сш^ в силу леммы 1. П
Мы теперь в состоянии приступить к доказательству закона взаим-
взаимности Эйзенштейна. Способ доказательства следующего предложения
уже знаком нам по доказательствам квадратичного, кубического и би-
квадратичного законов взаимности. Оно само есть некоторое утвержде-
утверждение «взаимности».
Предложение 14.5.3. Предположим, что P,Pf С Dm — простые
идеалы, взаимно простые с т. Пусть, кроме того, числа NP и NP1
взаимно просты. Тогда
/Ф(Р)\ _ (NP1
Доказательство. Пусть q' —р'^' —NP'. Напомним, что q' = l (mod m).
Следующие сравнения берутся в Dm по модулю р'\
Е) = (js) g(P).
V / т
С другой стороны,
^'У (Щ^) (mod P').
"V P'
Отсюда следует, что
Так как т (? Р7, то обе части этого сравнения должны быть равны.
?
Следствие 1. Предположим, что А, В С Dm — взаимно простые
с т идеалы и что NA и NB взаимно просты друг с другом. Тогда
(NB\ = (Ф(А)\
W )т \ в )т
§ 5. Доказательство закона взаимности Эйзенштейна 269
Доказательство. Как обычно, это следствие получается из предло-
предложения 14.5.3 по мультипликативности. ?
Следствие 2. Предположим, что А и В такие эюе, как в след-
следствии 1, и что, кроме того, идеал А — (а) главный. Тогда
е(а)\ /_о_\ = (NB\
В )m\NB)m \а)т
Доказательство. Начнем с равенства
(Ф(а)
V в
Заметим, что
'а
в )т V в )т V в )т \в«/т
в силу предложения 14.2.4. Таким образом,
а \ (а
=п
Для получения окончательного равенства следует воспользоваться
предложением 14.1.2. ?
В дальнейшем мы будем предполагать, что т — q — простое число.
Лемма 5. Если А С Dq — взаимно простой с q идеал, то Ф(А) =
= ±1 (mod q).
Доказательство. Достаточно показать, что Ф(Р) = — 1 (mod q), где
Р С Dq — некоторый простой идеал, взаимно простой с q. Имеем
(mod q) = Y,^) (mod Q) = -1 (mod Q)-
Последнее сравнение следует из того факта, что q —> t/j(qt) является
нетривиальным аддитивным характером на Dq/P\ так что сумма его
значений по всем t равна нулю. Нужный результат вытекает из того,
что -0@) = 1. ?
Напомним, что а е Dq называется примарным, если он взаимно
прост с q и выполняется сравнение а = х (mod A — С?J) ПРИ некотором
х е Z.
Лемма 6. Если а е Dq примарен, то е(а) = ±1.
Доказательство. Так как A — (q) — единственный простой идеал
над q в Dq, то A — (q)a = A — (q) при всех а е G. Отсюда следует, что
270 Гл. 14. Соотношение Штикельбергера
Так как Ф(а) = е (а) а7, то б: (а) а7 = ±1 (mod q) в силу леммы 5.
Поскольку а = х (mod A — (qJ) с х ? Z, то
а7 = х7 (mod A - С,J) = х1+2+-+д-г (mod (I - (qJ).
Далее, x^q~1^2 = ±1 (mod q), так что
«т = (±1)* (mod A - С,J) = ±1 (mod A - С,J)-
Отсюда следует, что е(а) = ±1 (mod (I — (qJ). Из предложения
14.5.2 мы знаем, что е{а) — ±Со • Чтобы закончить доказательство, мы
должны показать, что q делит к. Это следует из утверждения о един-
единственности в лемме из § 2, но имеет смысл убедиться в этом и непосред-
непосредственно.
Имеем C,q = ±1 (mod (I — (qJ). Записывая (q = 1 — A — ?g), получаем
Здесь долж:ен стоять знак плюс, ибо в противном случае 1 — (q делило
бы 2. Но тогда, вычитая 1 из обеих частей, убеждаемся в том, что 1 — (q
делит /с, а это означает q\k. ?
Предложение 14.5.4. Если a?Dq примарен, В — некоторый вза-
взаимно простой с q идеал и число NB взаимно просто с а, то
Л
Я \ а )я
Доказательство. Согласно следствию 2 предложения 14.5.3, нам на-
до лишь показать, что I v у ) =1.
V В / q
Так как а примарно, то е(а) = ±1 по только что доказанной лемме.
Поскольку q нечетно, (±1)9 = ±1и предложение доказано. ?
Теперь мы можем закончить доказательство теоремы 1.
Пусть р G Z — некоторое простое число, р ф q и р взаимно просто
с а в Dq. Пусть Р — простой идеал в Dq) содержащий р. Тогда NP —
— pf. В только что доказанном предложении подставим Р вместо В. В
результате получим
Так как / | q — 1 = [Q(C?) : Q]> T0 (/) о) = 1- Таким образом,
j 6. Три приложения 271
Отсюда и (в последний раз) из мультипликативности получаем, что
/ а \ =(я.\ при всех а е Z, взаимно простых с q и а, если а примарно.
\ajq \a;q
§ 6. Три приложения
В гл. 5 мы доказали, что если а — целое число, для которого срав-
сравнение х2 = a (mod р) разрешимо для всех, кроме конечного числа, про-
простых чисел, то а будет квадратом. Этот результат был обобщен на п-е
степени Тростом. Позднее он был переоткрыт Анкени и Роджерсом.
Формулировка его такова: если сравнение хп = a (mod р) разрешимо
для почти всех простых чисел р) то а — Ьп при 8^71 и а = Ьп или
а — 2п/2Ьп при 8 | п. При помощи закона взаимности Эйзенштейна мы
докажем часть этого результата, когда п — q — нечетное простое число.
См. также [211], [134] и замечания к гл. 5.
Теорема 4. Предположим, что а е Z и что qXa? где q — нечет-
нечетное простое число. Если сравнение xq = a (mod p) разрешимо для всех,
кроме конечного числа, простых чисел, то a — bq.
Доказательство. Эту теорему можно переформулировать следую-
следующим образом. Если а не является q-й степенью, то существует беско-
бесконечно много простых чисел р) для которых сравнение xq = a (mod p)
неразрешимо.
Предположим, что а не равно q-й степени в Z. Пусть aDq = P^P^2 ...
...Р^п — разложение на простые идеалы для а в Dq. Мы утверждаем,
что qXak по крайней мере для одного а&. Чтобы убедиться в этом, по-
положим p^L — Pfr П Z. Так как qXa-> то Ч Ф Pk, так что Рк неразветвлено
в Dq. Следовательно, ordPA, a = ordp^ a = а&. Если бы q \ а& при всех к)
отсюда вытекало бы, что а есть q-я степень в Z. Таким образом, можно
считать, что qXan-
Пусть {Q\1Q2-) --iQm} — какое-либо конечное множество простых
идеалов Q^) отличных от Р^ и от A — (q).
При помощи китайской теоремы об остатках мы можем найти такой
элемент т е Dq) что т = 1 (mod Qk) при к = 1, 2, ..., т, т = 1 (mod q))
г = 1 (mod Pj) для j = 1, 2, ..., п — 1 и т = a (mod Pn)) где а выбран
так, что (-g-) = (q.
\Гп/ q
Так как т = 1 (mod 5), то т примарен. Таким образом, с одной сто-
стороны,
С другой стороны, пусть (г) = RiR2 ... Ri — разложение т на простые
272 Гл. 14. Соотношение Штикельбергера
идеалы. Тогда
'а
т
Отсюда вытекает, что (-^- ) ф\ при некотором j.
\Rj/ q
Из сравнений, которым удовлетворяет г, непосредственно следует,
что Щ i {Qu Q2, ... Qm} U {A - С,)} U {Pu P2, ... Pn}.
Мы показали, что существует бесконечно много простых идеалов S,
для которых сравнение xq = a (mod S) неразрешимо. Пусть sZ = S PlZ.
Тогда xq = a (mod s) неразрешимо и таких s существует бесконечно
много, ибо каждое рациональное простое число содержится лишь в ко-
конечном числе простых идеалов в Dq. ?
Второе приложение закона взаимности Эйзенштейна, которое мы
хотим изложить, относится к гипотезе Ферма. Эта гипотеза состоит в
том, что если п > 2 — целое число, то не существует решения уравнения
хп + уп + zn — 0 в ненулевых целых числах. Захватывающая история
этой гипотезы будет кратко изложена в следующей главе.
Легко видеть, что если гипотеза Ферма верна для п, то она верна
и для любого кратного п. Так как любое целое число, большее чем 2,
делится либо на 4, либо на нечетное простое число, мы можем ограни-
ограничиться рассмотрением случаев п = 4ип = д — нечетное простое число.
Случай п = 4 был решен Эйлером1.
Если q — нечетное простое число, стало традиционным рассматри-
рассматривать два случая. Говорят, что рассматривается первый случай, если xq +
+ yq + zq = 0 и q)(xyz. Второй случай является отрицанием первого. В
1909 году Виферих опубликовал следующий важный результат ([166],
т.З).
Теорема 5. Если уравнение xq + yq + zq — 0 разрешимо в ненулевых
целых числах с qjfxyz, mo 2q~1 = 1 (mod q2).
Было показано, что единственными двумя простыми числами, мень-
меньшими 3-Ю9 и удовлетворяющими сравнению 2q~l = 1 (mod g2), являют-
являются 1093 и 3511. Неизвестно, бесконечно ли много простых чисел такого
типа.
В 1912 году Фуртвенглер доказал теорему, которая содержит теоре-
теорему 5 в виде следствия. А именно,
Теорема 6. Пусть х, у и z — ненулевые попарно взаимно простые
целые числа, для которых xq + yq + zq — 0. Предположим, что qj^xyz.
Пусть р — какой-либо простой делитель у. Тогда pq~l = 1 (mod q2).
1 Для п = 4 уравнение следует, конечно, записать в виде ж4 + у4 — z4 = 0. —
Прим. перев.
j 6. Три приложения 273
Как нетрудно убедиться, предположение о попарной взаимной про-
простоте чисел х) у и z не приводит к потере общности.
Чтобы увидеть, как теорема 5 следует из теоремы 6, предположим,
что q)(xyz. Поскольку xq + yq + zq — 0, не все три числа х, у и z
нечетные. По симметрии можно считать, что 2 | у. В силу теоремы 6
2q~l = l(mod92).
Мы приступаем к доказательству теоремы Фуртвенглера. Пусть ? =
— Cq — примитивный корень степени q из единицы. Тогда
(х + у)(х + Су)... (х + Cq~lv) = (-*)*• (i)
Лемма 1. Предположим, что j ф к и 0 ^ j,k < q. Тогда х + С}у и
х + (ку взаимно просты в Dq.
Доказательство. Предположим, что А С Dq — некоторый идеал,
содержащий х + С?у и х + (ку. Тогда ((к — (^)х и ((к — (^)у принадлежат
А. Так как х и у взаимно просты, отсюда следует, что ?к — ^ лежит в
А. Значит, А = 1 — ? Е А. Так как (А) — максимальный идеал, то либо
(А) = А) либо А — Dq. Если (А) = А) то из равенства A) мы видим, что
(—z) E (А), откуда следует, что z E (А) и q \ z, вопреки предположению.
Таким образом, A — DqiYL лемма доказана. ?
Следствие. Идеалы (х + (^у) являются в точности q-ми степеня-
степенями.
Рассмотрим элемент а = (х + y)q~2{x + C^y). Мы утверждаем, что
(i) Идеал (а) является точной q-й степенью,
(И) а = 1 — иХ (mod А2), где и = {х + y)q~2y.
Свойство (i) получается из следствия леммы 1.
Для доказательства свойства (И) заметим, что х + (у = х + у — уХ.
Таким образом,
а — {х + y)q~ — иХ.
Далее, xq+yq+zq = x+y+z (mod q). Если q \ (x+y), то мы имели бы q \ z)
вопреки предположению. Поэтому q/\/(x + у) и {х + y)q~l = 1 (mod q).
Отсюда и следует свойство (И).
Рассмотрим (~иа. Мы имеем
(~иа = A - Х)~иа = A + иХ)A - иХ) (mod A2) = I (mod A2).
Отсюда следует, что (~иа примарно. По закону взаимности Эйзен-
Эйзенштейна
C~uaJq V Р Л \PJq \P,q
Поскольку идеал (С,~иа) = (а) равен q-й степени, левая часть в B)
равна 1.
274 Гл. 14. Соотношение Штикельбергера
Так как р | у, то а = (х + y)q~l (mod p). Таким образом,
'а\ ((х + Уу-1\ ( р
ибо идеал {х + у) равен q-й степени.
Из B) теперь следует, что 1 — 1 =1. Для завершения доказательства
\Р/ q
мы должны вычислить ( - ) •
\Р/ q
Пусть pDq = Р1Р2 ... Рп — разложение на простые идеалы для р в Dq.
Мы знаем, что NP^ — р$ и, так как р ф q) то е = 1, а потому nf = q — 1.
По следствию предлож:ения 14.2.2
k=i
Соотношение ( - ) =1 приводит теперь к сравнению
\Р/ q
Р/ q
Pf - 1
ип = 0 (mod q).
Поскольку п | </ — 1, то Q'/K71" Так как и — [х -\- y)q 2y) то qj^u. Таким
образом,
т) — 1
= 0 (mod 5), или р* = 1 (mod q )
Теорема 6 следует отсюда, ибо / | q — 1. ?
Мы закончим приложением теоремы 2, которое относится к струк-
структуре группы классов идеалов поля Q(^/~9)? гДе ? > 3 — простое число,
сравнимое с 3 по модулю 4. Пусть р — некоторое нечетное простое число,
р = 1 (mod g). Тогда, поскольку р полностью разлагается в Q(Cg)? OHO
полностью разлагается в Q(^/~?) (почему?). В этом можно убедиться
также, заметив, что
и применив предложение 13.1.3. В кольце целых чисел D поля Q(y/—q)
запишем р = фф. Если D обозначает кольцо целых чисел в Q(Cg)? TO
справедлива
Лемма 2. tyD — Y\ Ра% где Р — простой идеал кольца D, PnD = ф
и s пробегает ненулевые квадраты по модулю q.
j 6. Три приложения 275
Доказательство. Множество элементов as в утверждении леммы
q-1
„ J2 at
образует группу Галуа поля Q((q) над Q(y/—q)- Так как pD = Pt=1
и 0"гс(Ф) = Ф Для неквадрата п по модулю q) то ф2? делится точно на
as{P)) с показателем степени 1. ?
По теореме 2 справедливо равенство (^(Р)9) = Pt=1 . Возведение
в символическую степень ^as, s — квадрат по модулю д, приводит к
равенствам
(а)Ь = фЕ^ • D = y?s • $Sn • Д
где а ? D и п пробегает неквадраты по модулю q в интервале [1, q — 1].
Положим Д = 5^5, 7V = ^n. Из упр. 34 гл. 12 следует, что с*1) = ^рдф^.
Если [21] обозначает класс эквивалентности идеала 21 и 1 — единичный
класс, то [ф] = [ф]. Таким образом, [ф]^"^ = 1. С другой сторо-
стороны, если 1 ^ г ^ q — 1, то из упр. 7 (или леммы 3 §3 гл. 15) получаем
д(РУг~г — /3 при некотором /3 € D. Возведение в степень q) исполь-
использование теоремы 2 и применение Y2 s приводят, когда г — квадрат, к
равенству (tyRtyN)r~1D = {^f)qD для некоторого j ? D. Отсюда сле-
дует, что f [ф] q ) =1 (нетрудно показать, что q\N и q\R). Но
из предыдущих рассмотрений вытекало, что ([ф] 9 j =1. Так как
(г — 1, q) = 1, то мы доказали следующий результат.
Предложение 14.6.1. Пусть ф — какой-либо простой идеал сте-
степени 1 в Q(y/—q) для простого числа q > 3; сравнимого с 3 по модулю 4.
№ « =i.
Если тот факт, что — — — целое число, элементарен, то отнюдь
не очевидно, что это число положительно. Все известные доказатель-
доказательства положительности используют математический анализ1. Мы приве-
приведем короткое доказательство, принадлежащее Мозеру, в упражнениях
к гл. 16. Другие доказательства положительности, как и многие иные
интересные результаты этого типа, см. в статье [94]. Как упомянуто
в гл. 13, оказывается, что — — на самом деле есть число классов
поля Q(y/—q), но доказательство опять аналитическое. В случае ко-
когда при прямом вычислении N — R — q) ф будет главным идеалом.
Если предположить (что можно доказать), что каждый класс идеа-
идеалов содержит некоторый простой идеал степени 1, то отсюда можно
1 Чисто арифметическое доказательство для q ^ 7 (mod 8) было дано в 1927 году
Б.А. Венковым (см. [10*], гл. VI, §4). — Прим. ред.
276 Гл. 14. Соотношение Штикельбергера
заключить, что для таких q кольцо целых поля Q(y/—q) является об-
областью с однозначным разложением на множители. Таким способом
проверяется, что у мнимых квадратичных полей с дискриминантом
—7,—11,—19,—43,—67,—163 число классов равно 1. Опять ссылаясь
n-r i—
на предложение 14.6.1, получаем [ф] q = (а), где (а) = ^у-—-;
х, у е Z. Взятие норм приводит к следующему интересному следствию.
N-R
Следствие. Если р = 1 (mod q), q = 3 (mod 4), q > 3; mo 4p q =
= x2 + qy2 с x,y G Z.
Замечания
В своей статье A890 г.) [224] шведский математик Людвиг Штикель-
бергер A850—1936) (см. [148]) нашел разложение на простые идеалы
гауссовой суммы, соответствующей произвольному мультипликативно-
мультипликативному характеру, определенному над конечным полем (теорема 2 этой гла-
главы). На самом деле он доказал более точный результат, а именно, если
воспользоваться обозначением этой главы,
9а = а ^ 1 ~^-J
Из этого, конечно, следует теорема 2. Частный случай этой теоремы,
когда т — простое число и р = 1 (mod m), был уже доказан Кумме-
ром в 1847 году. Интересно отметить, что Куммер получил свой ре-
результат при помощи разложения в Q(Cm) определенных сумм Якоби,
что стало возможно, в свою очередь, благодаря сравнению J(o)m,a)n) =
= — -—:—р- (mod P), известному Якоби, Эйзенштейну и Коши. (См.
[164], т. 1, с. 361—364, 448—453 и упр. 1 и 2.) Изящное доказательство
результата Куммер а можно найти также в работе Гильберта [151] (те-
(теорема 135), где суммы Якоби не используются, но применяются рассу-
рассуждения, использующие ветвления. Этот частный случай теоремы Шти-
Штикельбергера был недостающим звеном в программе получения высших
законов взаимности, начатой Гауссом, Эйзенштейном и Якоби. В самом
деле, в 1850 году Эйзенштейн [132] опубликовал свое доказательство
закона взаимности, носящего его имя (теорема 1), в котором использо-
использовался относительно новый тогда язык идеальных чисел, введенный в
рассмотрение Куммером. Полное доказательство можно также найти в
[166] (т. 3), а также у Гильберта в [151] (теорема 140), где для преодоле-
преодоления ограничения р = 1 (mod q) последний использует конечность числа
Упражнения 277
классов в Q(Cq) Гильберт рассматривает закон Эйзенштейна в качестве
необходимой леммы для закона взаимности Куммера. Приводимое на-
нами доказательство теоремы 2 следует доказательству из важной статьи
[23] (см. также гл.7 в [160]), в то время как получение закона Эйзен-
Эйзенштейна из теоремы Куммера тесно примыкает к трактовке Вейля в его
первоклассном историческом очерке [238]. Эта статья Вейля вместе с
его рецензией [239] на «Mathematische Werke» Эйзенштейна и его вве-
введением к собранию статей Куммера [164] детально и с проникновением в
суть дела освещает историю усилий Якоби, Эйзенштейна и Куммера по
доказательству законов взаимности высших степеней при помощи сумм
Гаусса. В данной книге мы проследили это развитие событий вплоть до
работы Эйзенштейна. Последующее развитие приводит к исследовани-
исследованиям Куммера, Гильберта, Фуртвенглера и Такаги и, в конечном счете,
к знаменитому закону взаимности Артина. Историю этих событий см.
в [158] и [110]. Интересное и, пожалуй, более элементарное обсуждение
природы законов взаимности см. в [246].
Использование теоремы 2 для того, чтобы показать, что группа клас-
классов идеалов поля Q(y/—q), q = 3 (mod 4), аннулируется - ^ к( — 1, вос-
ходит к Куммеру и появляется как теорема 145 в работе Гильберта [151].
Следствие предложения 14.6.1 было первоначально отмечено Якоби,
который на его основе высказал гипотезу о формуле для числа клас-
классов поля Q(\/—q)- (См. также замечание Вейля в [238], с. 252—253.) В
упомянутой выше статье Штикельбергер возвращается к этому прило-
приложению круговых полей к арифметике квадратичных форм и получает
аналогичные результаты для Q(y/—m) при произвольном т.
Имеются и другие приложения теоремы 1 к последней теореме Фер-
Ферма. Например, в широко известном результате Мириманова утвержда-
утверждается, что если х, у и z — целые числа, для которых хр + ур + zv — 0,
pjfxyz, to 3p-1 = 1 (mod р2) (см. теорему 1041 из [166]). Вандивер так-
также показал, используя аналогичные методы, что если хр + ур + zv = 0,
(х, у) z) — 1, р > 3, то хр = х (mod р3), ур = у (mod p3), zp = z (mod p3)
([166], теорема 1046). Дальнейшие результаты по последней теореме
Ферма, которые используют закон взаимности Эйзенштейна, см. в лек-
лекции 9 прекрасной книги [206].
Упражнения
Во всех упражнениях обозначения такие же, как и в этой главе.
1 . Показать, что если 1 ^ п < q — 1, 1 ^ т < q — 1,то
278 Гл. 14. Соотношение Штикельбергера
/
(Ь) если 1 < а < q — 1, а— ^ <щД то ^(cl;,^"^)) = а0 (mod Р);
/с=0
2. В доказательстве теоремы 2 мы показали, что д\ = Хр (mod ??2\
(а) Если 1 ^ а < р — 1, то показать, что
где а = /3 (mod ^n) означает, что ord^(a — /3) ^ п.
(Ь) Если сравнение Штикельбергера
/ i\a+S(a
(-1)
выполняется для некоторого а, 1 ^ а < q — 1 и pa < q — 1,то показать,
что оно выполняется также для gpa.
(с) Получить общее сравнение Штикельбергера.
3. Показать, что если т > 2, то ——- — не целое алгебраическое
Vp
число (см. также [ИЗ]).
4. Пусть г и s — положительные целые числа и m)(r + s. Показать,
что (J{x;,Xp))=Pa, где
(к,т) = 1
5. Проверить, что рассуждение в §4, показывающее, что
проходит для случая р = 2 и нечетного т.
6. Если (г,рга) = 1, 1 ^ г < рт, то g(P)ar~r e Q(Cm).
7. Проверить лемму 1 из §5.
8. Пусть р = 1 (mod m), где ттг — простое число. Не используя упр. 4,
показать, что J(X)Xk)) 1 ^ А; ^ р — 2, является произведением раз-
различных простых идеалов с показателями степени 1. Используя упр. 1,
найти разложение J(XiXk) и воспользоваться предложением 8.3.3 для
получения прямого доказательства теоремы 2 в этом случае (Куммер).
9. Пусть К/F — нормальное расширение с циклической группой Га-
луа порядка р и образующим элементом а. Для х ? К положим f(x) —
р-з
= \ + х + ха(х) + ... +х YI о (х). Пусть р — простое число, F =
к=1
Упражнения 279
К — Q(Cp, Cp-i)- Показать, что
p-i
k-1
где t — примитивный корень по модулю р) x(t) = Cp-i и а — автомор-
автоморфизм поля K/F) для которого cr(?p-i) = Cp-i и а(Ср) = Q- Сделать
отсюда вывод о том, что сумма Гаусса — прадедушка теории когомоло-
гий (Куммер [164], с. 10).
10. С помощью теоремы 2 показать, что Q(g(P)m) — инвариантное
подполе для группы разложения р) известное также как поле разложе-
разложения для р.
11. Для простого числа q и положительных целых чисел г, s, ?, удо-
удовлетворяющих равенству г + s + t = q, положим
Hr,s,t = {h\ heF*, hr + hs + ht = q},
где а обозначает наименьший неотрицательный вычет для а по моду-
модулю q. Показать, что Hrstr есть множество представителей классов по
подгруппе порядка 2 в F*.
12. Рассмотрим кривую Г над Fpi определенную уравнением yq =
— хг{\ — Xs) (обозначения те же, что и в упр. 11).
(а) Показать, что дзета-функция кривой Г может быть записана в
виде
где
p
причем Р пробегает простые идеалы в Q(C?) над р и обозначения те лее,
что и в основном тексте, т.е. Хр — символ вычета степени q.
(b) Показать, что (J(xrp)Xp)) — Р^ак , где к ? Hr^sj.
(c) Показать, что если порядок р по модулю q (т.е. /) четен, то ком-
комплексное сопряжение лежит в группе разложения идеала Р.
(d) Если / четно, то (J(xp,Xp)) = (pf/2).
(e) (J(xrpiXp)) — ир^2) где и — корень степени q из единицы.
(f) Показать, что и — 1.
(Упражнения 11 и 12 взяты из статьи [142].)
13. Пусть q — простое число и^/^ — мультипликативный характер
поля Fq. Положим
qk=i
280 Гл. 14. Соотношение Штикельбергера
Рассмотрим элементы группового кольца группы Галуа G поля
с коэффициентами в Q(Cg)? определенные равенствами
Ч, е = -
4 k=i ч k=i
где (Tk((q) = Cq- Показать, что
(d) fex = -Bx'-iex,
где мы полагаем
q-l ч ,q-\
) I Ькак J =
J [
к=1 ' ^к=1 ' к=1 ^ u,v=l
uv=l (mod q)
(Это упражнение взято из [157], с. 115—117.)
14. Пусть р и q — простые числа, q > 3. Если р ф q и а е
вещественно, (a,q) = 1, то показать, что ( —) =1.
15. Пусть р ф q — простые числа, q > 3. Показать, что
/С \ ^1рЬ1
(a) ( ^ ) = С J 9 , где / — порядок р по модулю д;
\ У / q
(b) ( — 1 =1 означает, что pq~l = 1 (mod q2).
V Р ) q
16. Прочитать теоремы 1039 и 1041 в [166], т. 3.
17. Пусть q — нечетное простое число и J2? — простой идеал в
содержащий A — Q). Показать, что
(b) g{P) = -1 + сA - Cq) (mod if2)cc6 Z[CP];
(c) (-firJF))'7' = (-^(P))*(mod Jzf2) для (t,g) = 1 и такого автомор-
автоморфизма at поля Q(Cpe), что at{Cp) = (p и <rt(C,) = C^;
(d) (-p(P))^-* = (-1)*+1 (mod A - C,J);
(e) если 1 ^ n, m < q, qXn + m, TO J{Xpi Xp) = ~1 (mod A — (qJ).
(Это упражнение взято из [156].)
Глава 15
ЧИСЛА БЕРНУЛЛИ
В этой главе мы введем важную последовательность рациональ-
рациональных чисел, открытую Якобом Бернулли A654—1705) и обсуждаемую
им в его посмертно изданной работе «Ars Conjectandi» A713 г.). Эти
числа, называемые теперь числами Бернулли, появляются во многих
областях математики. В первом параграфе мы приводим их определе-
определение и обсуэюдаем связи с тремя классическими проблемами. В следу-
следующем параграфе рассматриваются различные арифметические свой-
свойства чисел Бернулли, включая теорему Клауссена — фон Штаудта
и сравнения Куммера. Первый из этих результатов определяет зна-
знаменатели чисел Бернулли, в то время как второй дает информацию
об их числителях. В последнем параграфе мы доказываем теорему Хер-
бранда, которая связывает числа Бернулли со структурой группы
классов идеалов поля Q(Cp)« Материал этого параграфа довольно сло-
эюен, но мы его все же включили ввиду того, что он позволяет полу-
получить красивое и ваэюное прилоэюение соотношения Штикельбергера,
которое было доказано в предыдущей главе.
§ 1. Числа Бернулли; определения и приложения
Мы начнем с обсуждения трех проблем, каждая из которых пред-
представляет исторический интерес.
Первая проблема относится к нахождению формул для суммирова-
суммирования ттг-х степеней первых п чисел. Якоб Бернулли знал о следующих
фактах:
I3 + 23 + ... + (п - IK =
2
n(n-l)Bn-l)
6
n2(n-lJ
4
а также и о соответствующих (менее известных) формулах для показа-
показателей степеней вплоть до 10. Для каждого показателя степени т сумма
1т + 2т + ... + (п — 1)т оказывается многочленом от п степени т + 1.
Для нахождения коэффициентов этих многочленов при произвольном
т Бернулли и потребовалось определить числа, которые носят его имя.
Ему удалось полностью решить первоначальную проблему и он гордо
282 Гл. 15. Числа Бернулли
замечает (в своей книге «Ars Conjectandi»), что менее чем за половину
четверти часа он смог просуммировать десятые степени первой тысячи
целых чисел [220]. Другая знаменитая проблема этого времени состояла
в вычислении суммы
и вообще ?Bт), где
оо
71 = 1
— дзета-функция Римана. После долгих усилий Эйлер показал в 1734
году, что ?B) = тг2/6. Впоследствии он определил (,Bт) при всех поло-
положительных целых числах т.
Третья проблема — это знаменитая последняя теорема Ферма. Фер-
Ферма утверждал, что уравнение хп + уп — zn не имеет решений в положи-
положительных целых числах при целом п > 2. В общем виде это утверждение
никогда не было доказано. Нетрудно убедиться в том, что его достаточ-
достаточно доказать в случаях, когда п — р — нечетное простое число и п — 4.
В 1847 году Куммер доказал теорему Ферма для некоторого множества
простых чисел, называемых регулярными. Простое число р называется
регулярным, если оно не делит число классов поля Q(Cp)- Кроме то-
того, Куммер открыл красивый и элементарный критерий регулярности,
в котором используются свойства делимости первых ^—^— ненулевых
чисел Бернулли.
Мы по очереди обсудим эти три проблемы.
Положим Sm(n) = lm + 2m + ... + (п — l)m. Приведем сначала про-
простой индуктивный способ вычисления этих сумм. Из формулы бинома
следует, что
Подставляем в это равенство /с = 0, 1,2, ..., п — 1 и складываем. В
результате получим
Л^+^Л fm+l\n / \ /-,4
Sm(n). A)
Если имеются формулы для Si(n), ?2G1), ••• ? 5m_i(n), то равенство A)
позволяет найти формулу для Sm(n). Бернулли заметил, что Sm(n) —
многочлен степени т + 1 от п со старшим членом -. . Это нетрудно
получить по индукции из равенства A). Кроме того, свободный член
§ 1. Числа Бернулли; определения и приложения 283
всегда равен нулю. Значения других коэффициентов менее очевидны.
Прямым вычислением находим, что коэффициент при п равен —1/2,
1/6, 0, -1/30, 0, 1/42, 0, -1/30, 0, 5/66 для т = 1, 2, ..., 10. Дальней-
Дальнейшие наблюдения вида этих формул привели Бернулли к следующему
определению и теореме.
Определение. Последовательность чисел Bq, В\, ??2, •••, чисел Бер-
Бернулли, определяется по индукции следующим образом. Bq = 1; если ??0,
??i, ..., Bm_i уже определены, то Вт определяется формулой
(т + 1)Вт = -^ [I К- B)
к=о V K J
Выписывая эти равенства, получаем последовательность линейных
уравнений
1 + 2ВХ = 0,
1 + ЗБх + ЗБ2 = 0,
6Б2 + 4Б3 = 0,
г 10Б2 + 10Б3 + 5Б4 = 0.
Отсюда находим Вх = -1/2, В2 = 1/6, В3 = 0, Б4 = -1/30, Б5 = 0,
Bq = —1/42, ... и т.д. Мы докажем позже, что знаки ненулевых чисел
Бернулли чередуются. Кроме того, мы убедимся, что числа Бернулли с
нечетным индексом, большим 1, равны нулю.
Лемма 1. Разложим функцию t в степенной ряд около начала
координат следующим образом:
1т У^г
е* — 1 ^—' т!
т=0
Тогда Ът — Вт для всех т.
Доказательство. Умножим обе части рассматриваемого равенства
на е1 — 1:
n\ "-^ ml
n=l m=0
Приравнивание коэффициентов при ?m+1 дает 1 = 6q Для
m + V
k=0
в общем случае. Это совпадает с системой равенств B), определяющих
числа Бернулли. Так как Во = 60 = 1, отсюда следует, что Вт — Ьт при
всех т. ?
Мы дадим теперь ответ, полученный Бернулли, на вопрос о вычис-
вычислении сумм Sm(n).
284 Гл. 15. Числа Бернулли
Теорема 1. Для га ^ 1 суммы Sm(n) удовлетворяют равенству
111\вкпт+1~к.
к J
Доказательство. Подставляя в равенство
га!
т=0
значения /с = 0, 1, 2, ...,п—1и складывая, получаем
Smin)— . C)
m=0
Левая часть равна
ent - 1 ent - 1
e* - 1 t e* - 1 ^П fc! j!
fc=l J=O J
Приравнивая коэффициенты при tm в правых частях равенства C) и
последнего равенства и умножая на (т + 1)!, получаем доказываемый
результат. ?
Утверждение теоремы 1 можно переформулировать, введя важный
класс многочленов, называемых многочленами Бернулли. По определе-
определению
Таким образом, В\{х) — х — 1/2, В2(х) — х2 — х + 1/6 и т.д. Тогда
теорема 1 формулируется в таком виде:
— В
т+1
Заметим, между прочим, что лемма 1 приводит к простому доказатель-
доказательству того факта, что B2k+i = 0 для к ф 1. Так как В\ — —1/2, то
Левая часть этого равенства совпадает с — et , а это выраж:ение
не меняется при замене t на — ?, т.е. оно есть четная функция от t.
Значит, коэффициенты при нечетных степенях t в правой части равны
нулю.
§ 1. Числа Бернулли; определения и приложения 285
Мы переходим теперь к рассмотрению связи между числами Бер-
Бернулли и числами СBт) при т — 1, 2, 3, .... Следующий результат
принадлежит Эйлеру и является одним из его самых замечательных
вычислений. По поводу истории этого результата и его связи с функ-
функциональным уравнением для дзета-функции Римана читателю следует
посмотреть статью [88].
Теорема 2. Для положительного целого числа т
BтгJт
'2т~ /Л \ | •
Bт)!
Доказательство. При доказательстве этого результата нам понадо-
понадобится один факт из классического анализа. А именно, мы воспользуемся
разложением на простейшие дроби функции ctgx:
ctga; = --2^ Ж_ D)
П = 1
Имеется несколько способов получения этого разложения. Пожалуй,
простейший путь — подставить t = 1 в разложение Фурье для cos at.
Оно получается также взятием логарифмической производной от раз-
разложения в бесконечное произведение функции
оо / о
— ' х1
sin х — х | | . ^
п—\ ч
Это стандартный результат из курса теории функций комплексной
переменной, но можно дать и совершенно элементарное его доказатель-
доказательство (см. гл.2 из [162]).
Воспользовавшись формулой для геометрической прогрессии, мож-
можно разложить правую часть равенства D) в степенной ряд в окрестности
точки х — 0:
оо 2т
, -| а\ л /~(О \^ (хЛ
т=1
Левую же часть в E) мы разложим в ряд другим способом. Напо-
Напомним, что
cos х = и sm х =
2 2г
Из этих выражений получаем
2гх
Вп^^. F)
п=2 П'
2т
Сравнение коэффициентов при х2т в правых частях равенств E)
и F) приводит к соотношению
286 Гл. 15. Числа Бернулли
-|-CBm) = {-l)mB2
2т
Это и есть результат Эйлера. ?
В качестве примеров рассмотрим т — 1, 2 и 3. Так как В2 = 1/6,
Б4 = -1/30 и Б6 = 1/42, то СB) = тг2/б, ?D) = тгА/90 и СF) = ^6/945-
Следствием теоремы 2 является тот факт, что (—1)т+1Б2ш > 0 при
m ^ 1, ибо СBт) — положительное вещественное число при таких т.
Таким образом, числа Бернулли с четными индексами не равны нулю
и последовательно меняют свой знак.
Теорема 2 дает возможность также оценить рост i?2m- А именно,
2Bт)!
Здесь мы воспользовались простым наблюдением, что С Bт) > 1. Из
очевидного неравенства еп> -К (см. разложение в ряд для еп) получаем
IV.
/ \2т
I ?> ^91 ^1 1 f Я^1
1 ^т V^e/ v y
Это показывает, что числа Бернулли с четными индексами растут очень
быстро. Следствие, которое нам понадобится позже, состоит в том, что
—> ос при т —> ос.
Мы объединяем полученные выше свойства чисел Бернулли в сле-
следующем предложении.
Предложение 15.1.1.
(a) Для нечетного к > 1 имеем В^ — 0.
(b) (-1)т+1В2т > 0 при т = 1, 2,... .
(c) -о2221 —>" ос при т —> ос.
Третья проблема, обсуждаемая в этом параграфе, относится к свя-
связи между числами Бернулли и уравнением Ферма хр + ур = zp. Это
обсуждение будет чисто обзорным, ибо результат Куммера очень глу-
глубокий и требует знакомства с аналитической техникой, которой мы не
развивали. Несмотря на это, мы введем важное понятие регулярного
простого числа и выпишем сравнение Клауссена — фон Штаудта, ко-
которое будет доказано в следующем параграфе. Мы начнем с введения
понятия ^-целого числа.
Пусть р — некоторое простое число. Рациональное число г е Q на-
называется р-целым, если oidp(r) ^0. Другими словами, г будет р-целым,
если г = т,а,^2и рХ^- Говорят также, допуская небольшую нестро-
нестрогость, что р не делит знаменатель в г. Важное замечание состоит
в том, что множество р-целых чисел образует кольцо. Обозначим это
1. Числа Бернулли; определения и приложения 287
кольцо через Ър. Если г и s принадлежат Zp, то будем писать г =
= s (mod рп), если ordp(r — 5) ^ п, или, что эквивалентно, если г — 5 =
= р р^б и ]9П | а, а, 6 Е Z. Следующая теорема, доказанная независимо
Клауссеном и фон Штаудтом, описывает знаменатель числа i?2m. Столь
же полное описание простых делителей числителя неизвестно.
Теорема 3. Для т ^ 1
р-1 | 2т
где А2т GZ и сумма берется по всем простым числам р, таким, что
р — 1 | 2т.
Следствие. Еслир— l/f/2m; ттю ??2т будетр-целым. Еслир—1
то рВ2т + 1 будет р-целым. Более точно, если р — 1 | 2т; то
что ]хВ2т = — 1 (mod p). Наконец, заметим, что 6 всегда делит
знаменатели чисел i?2m; т ^ 1, ша^; как 2 — 1 г^ 3 — 1 делят 2.
Куммер ввел понятие простого регулярного числа следующим обра-
образом.
Определение. Нечетное простое число р Е Z называется регуляр-
регулярным, если р не делит числитель ни одного из чисел ??2, 54, ..., Bp_%. В
противном случае р называется иррегулярным. Простое число 3 регу-
регулярно.
Согласно следствию теоремы 3, числа Бернулли ??2, В4,, ..., ??р_з
суть р-целые числа. Поэтому р регулярно, если ordp ??2m = 0 для т =
= 1, ..., ^—о—. Как нетрудно видеть, единицами в Ър являются в точ-
точности элементы х с ord^x = 0. Таким образом, р регулярно, если ??2,
??4, •••, Bv_<$ — единицы в Ър. Эквивалентным образом, р иррегуляр-
иррегулярно, если некоторое число i?2m, 1 ^ т ^ —^—, будет неединицей в Ър.
Первые иррегулярные простые числа — это 37, 59, так как известно,
что ord37E32) = 1 и ord5g(i?44) = 1 [234]. Вот несколько первых ирре-
иррегулярных простых чисел: 37, 59, 67, 101, 103, 149 и 157. Иенсен в 1915
году доказал, что существует бесконечно много иррегулярных простых
чисел вида 4п + 3. В следующем параграфе мы приведем короткое до-
доказательство, принадлежащее Карлитцу A953 г.), того, что существует
бесконечно много иррегулярных простых чисел. Не доказано, что ре-
регулярных простых чисел бесконечно много. Очень жаль, что таково
положение дел ввиду следующего замечательного результата Кумме-
ра A850 г.).
288 Гл. 15. Числа Бернулли
Теорема 4. Пусть р — регулярное простое число. Тогда уравнение
хр + ур = zp не имеет решений в положительных целых числах1.
На самом деле Куммер доказал, что теорема Ферма верна, если р не
делит число классов поля Q(Cp)- Другими словами, критерий состоит в
том, что для любого неглавного идеала А в Z[?p] идеал Ар неглавный.
Это условие эквивалентно регулярности числа р. Мы не доказываем
этот результат, но материал третьего параграфа этой главы тесно к
нему примыкает.
Зигель привел вполне убедительные доводы в пользу того, что плот-
плотность иррегулярных простых чисел равна 1 К= — 0,3935.... Это было
проверено Джонсоном для простых чисел, меньших 30 000, с хорошими
результатами [159]. Вагстаф доказал верность теоремы Ферма для всех
простых чисел, меньших 125 000 [234]. Кроме того, полученная Джонсо-
Джонсоном информация была им подтверждена для всех простых чисел, мень-
меньших 125 000 [234].
Если простое число р иррегулярно, можно спросить, сколько ненуле-
ненулевых чисел Бернулли в множестве {Б2,Б4, ... ,??р_3} делятся на р. Это
число называется индексом иррегулярности числа р. Первое простое
число индекса 2 — это 157. Одно из наиболее замечательных открытий,
сделанных с помощью ЭВМ, — доказательство существования двух про-
простых чисел индекса 5 [234]. Наконец, отметим, что до сих пор не най-
V — 3
дено никакой пары р, i?2m, 1 ^ т ^ ^—^—, для которой ordp Bzm > 1.
Приведенные выше факты и их связь со знаменитыми инвариантами
Ивасавы более подробно рассматриваются в статье Джонсона [159] (а
также в [167], [171], [31*]. - Ред.).
§ 2. Сравнения для чисел Бернулли
Мы докажем теперь ряд арифметических свойств чисел Бернулли.
Для начала мы обратимся к доказательству теоремы 3 предыдущего
параграфа. Заметим, что при т ^ к
т + 1\ т + 1 (т
к ) т + 1- к\к
это непосредственно следует из определения биномиальных коэффици-
коэффициентов. Следовательно, теорема 1 предыдущего параграфа превращается
1 Недавно в [26*] было доказано, что для бесконечного числа простых чисел р
решение уравнения Ферма хр + ур = zp удовлетворяет сравнению xyz = 0 (mod p)
(это так называемый первый случай теоремы Ферма, см. гл. 14 § 6). — Прим. ред.
j 2. Сравнения для чисел Бернулли 289
Далее, воспользовавшись тем, что ( 7 I = ( , I убеждаемся в том,
\к J \m-kj
что
к + 1 A0)
т\ п2 m+1
)В
)Вт_1 + ... +.
1 / 2 ш +1
В дополнение к равенству A0) нам понадобится следующая простая
лемма.
Лемма 1. Пусть р — простое число и к ^ 1 — целое число. Тогда
(a) рк/{к + 1) есть р-целое число;
(b) рк/(к + 1) = 0 (mod р), если к ^ 2;
(c) рк~2/{к + 1) есть р-целое число, если к ^ 3 и р ^ 5.
Доказательство. Для доказательства п. (а) мы покажем, что А; +
+ 1 ^ рк для к ^ 1. Если А; = 1, то результат верен. Если к + 1 ^ рк, то
А; + 2^^ + 1^ 2pfe ^ pfe+1. Далее, запишем к + 1 = ра§, где (д,р) = 1.
Тогда рк/(к + 1) = pk~a/q. Так как рк/{к + 1) ^ 1, получаем, что к ^ а,
т.е. п. (а) доказан. Для доказательства п. (Ь) заметим, что к + 1 < ]/
для к ^ 2. Рассуждение то же самое, что и для п. (а). Поэтому к > а,
что доказывает п. (Ь).
Что касается п. (с), то по индукции можно доказать неравенство
к + 1 < рк~2 для к ^ 3 и р ^ 5. На этот раз делаем вывод о том,
что к — 2 > а, так что рк~2/(к + 1) = pk~2~a/q будет р-целым (и на
самом деле делящимся на р). ?
Предложение 15.2.1. Пусть р — простое число и т ^ 1 — г^е-
лое число. Тогда рВт будет р-целым. Если т ^ 2 четное, то рВт =
= Sm(p) (modp).
Доказательство. В первом утверждении говорится, что если р делит
знаменатель числа Вт, то р2 его не делит. Прежде всего рВ\ — —р/2, а
это в самом деле р-целое число для всех р. Мы продолжим рассуждение
по индукции.
Пусть т > 1. Воспользовавшись равенством A0) при п = р, убежда-
убеждаемся в том, что так как Sm(p) G Z, достаточно доказать, что
290 Гл. 15. Числа Бернулли
— р-целое число для к = 1, 2, ..., т. По предположению индукции
является р-целым для к ^ 1. Кроме того, в силу леммы 1, п. (а), число
рк/(к + 1) также будет р-целым. Отсюда следует, что рВт — р-целое
число.
Для получения нужного сравнения достаточно показать, что
((т\ ( рк \\
ordp ( ( 1 f pBrn-ky—r ) ) ^ 1 Для к^ 1.
В силу леммы 1, п. (Ь), это верно для к ^ 2. Для к = 1 нам следует
показать, что
ordp [—(pBm-Jp) ^ 1,
а это вытекает из четности т. Действительно, Вт_\ — 0 для четного т
при т ^ 4, так что необходимо проверить лишь неравенство для т — 2,
которое очевидно. ?
Лемма 2. Пусть р — некоторое простое число. Тогда при р— lj^m
имеем Sm(p) = 0 (mod р). Если р — 1 | т, то Sm(p) = — 1 (mod p).
Доказательство. Пусть g — какой-либо примитивный корень по мо-
модулю р. Тогда
= lm + gm + g2m + ... + g{p-2)m (mod p).
Таким образом, (gm - l)Sm(p) = gmb>-V - 1 (mod p) = 0 (mod p). Если
p—ljfm, то ^m ф 1 (mod p) и Sm(p) = 0 (mod p). С другой стороны, если
р — 1 | m, то Sm (p) = 1 + 1 + ... + 1 (mod p) = р — 1 (mod р) = — 1 (mod p).
П
Теперь мы в состоянии доказать теорему 3. Предположим, что т
четно. Тогда в силу предложения 15.2.1 мы знаем, что рВт будет р-це-
лым и рВт = Sm(p) (mod]?). Согласно только что доказанной лемме,
отсюда следует, что Вт будет р-целым при p—lj^m и рВт = — 1 (mod p)
при р — 1 | т. Таким образом, число
Ат = Вт+ J2 \
р—1 | т
р-целое для всех простых р. Поэтому Ат G Z, и доказательство закон-
закончено. ?
Если на этом этапе читатель сочтет, что не все следствия равенства
A0) исчерпаны, он будет прав. В следующем предложении сформули-
сформулировано еще одно важное следствие этого равенства. Запишем т-е число
§ 2. Сравнения для чисел Бернулли 291
Бернулли в виде Вт — Um/Vmi где ([/ш, Vm) — 1. Мы предполагаем, что
т четно.
Предложение 15.2.2. Если т четно, т ^ 2, то при всех п ^ 1
VmSm(n) = Umn (mod n2).
Доказательство. Рассмотрим в равенстве A0) члены с k ^ 1 и фик-
фиксируем п:
т\(В h?—)n2-Amn2 A2)
k)y*m-kk + l)n " к { '
Мы покажем, что ordp(A™) ^ 0 при р\п и р ф 2,3. Кроме того,
если 2 | п, то ord2(A^) ^ — 1 , а если 3 | п, то ord3(A^) ^ — 1. Это будет
означать, что наибольший общий делитель числа п и знаменателя числа
А™ является делителем 6 и, таким образом, это будет верно также и для
суммы чисел А™. Другими словами, можно записать
Sm(n)=Bmnl
где (N,n) = 1 и М | 6. Умножая это равенство на NVm и вспоминая,
что 6 | Vm в силу следствия 2 теоремы 3, сразу же получаем нужный
результат.
Для доказательства оценок с ordp мы воспользуемся следствием те-
теоремы 3, согласно которому ordp(Bm_k ^ — 1 для всех m-^Ои всех
р. Предположим прежде всего, что р ф 2, 3 и р \ п. Случаи к = 1, 2 вы-
вытекают просто из того, что Bj = 0 при нечетном j > 1, В\ — —1/2 и
3 = 0. Если А; ^ 3, то
пк-\
A; + l) ^
A;-2-ordp(A; + l) ^ 0,
согласно п. (с) леммы 1.
Рассмотрим теперь случай р = 2. Если А; = 1, то Вт_\ = 0 для т > 2
(т четно), в то время как для т — 2 число А™ превращается в число
2 • В\ • 1/2 = —1/2, имеющее порядок —1. Заметим, что Вт_к — 0 при
к > 1, если к не является четным или к ф т — 1. Но если А; четно,
то ord2(A; + 1) = 0, в то время как при к — т — 1 получаем А7^1_1 —
— —1/2пт~2) а последнее имеет порядок ord2, больший или равный —1.
Наконец, рассмотрим случай р — 3, 3 | п. Тогда, как легко проверить,
ord3(A^) ^ — 1 и ord3(A^) ^ 1. Но при к ^ 4 точно так же, как в лемме,
показывается, что ord3C/c~2/(A; + 1)) ^ 0, так что ord3(A^) ^ 0. Это
завершает доказательство. ?
292 Гл. 15. Числа Бернулли
В качестве простой числовой иллюстрации этого предложения рас-
рассмотрим В2 — 1/6, С/г = 1, V2 = 6 и положим п — 6. Сравнение из
формулировки предложения 15.2.2 превращается в
6A2 + 22 + З2 + 42 + 52) = 6 (mod 36),
или, в более общем виде,
бA2 + 22 + ... + (п - IJ) = п (mod п2).
Следствие. Пусть т четно up — такое простое число, что
р — ljfm. Тогда
Sm(p) = Bmp (mod p2).
Доказательство. В силу теоремы 3 pJ^Vm. Положим в предложении
15.2.2 п — р и разделим обе части получающегося сравнения на Vm, что
допустимо, так как pJ^Vm. Следствие доказано. ?
Мы теперь в состоянии доказать весьма полезные сравнения Воро-
Вороного. Согласно [230], Г.Ф. Вороной открыл эти сравнения в 1889 году,
будучи еще студентом.
Предложение 15.2.3. Пусть т ^ 2 четно, и определим Um и Vm
как в последнем предложении. Предположим, что а и п — некоторые
положительные целые числа с (а,п) = 1. Тогда
(ат - l)Um = mam-lVmY,3m~l И (mod n), A4)
где [х] — целая часть числа х, т.е. единственное целое число, для ко-
которого [х] ^ х < [х] + 1.
Доказательство. Для 1 ^ j < п запишем ja = q^n + fj, где 0 ^ гj <
п. Тогда — = qj и, так как (а, п) — 1, два множества {1, 2, 3, ..., п — 1}
|_ Ti \
и {?~ъ Г2) •••) Tn-i} совпадают. По формуле бинома
jmam = г™ + mq3nr™-1 (mod n2).
Так как rj = ja (mod n),
jmam = r™ + mam-ln \Щ j171'1 (mod n2).
Суммирование по j = 1, 2, ..., n — 1 приводит к сравнению
П-\ г . -i
Sm(n)am = Sm(n) + mam-ln^2jm-1 \J—\ (mod n2).
Доказываемый результат следует теперь из сравнения, фигурирующего
в предложении 15.2.2. ?
j 2. Сравнения для чисел Бернулли 293
Следствие. Пусть р — простое число, р = 3 (mod 4). Положим
т = 2—к—. Тогда при р > 3
771—1
7 = 1
где ( — 1 обозначает символ Леэюандра.
Доказательство. Заметим, что т — 1 — ^—^—, так что по критерию
Эйлера ат~1 = I —) (mod p) для всех целых чисел а.
Положим в сравнении Вороного а — 2 ylti — р. Учитывая только что
сделанное замечание, получаем
Далее, — = 0 для l^j<m- 1 и — = 1 для m^j<p. Кроме того,
2т = 1 (mod р) и рХУт в силу теоремы 3. Таким образом,
(
j=m
Так как Y2 ( ) = 0^ доказательство завершено. П
Это следствие может быть использовано для доказательства инте-
интересного результата, связывающего числа классов с числами Бернулли.
Пусть р — некоторое простое число, р = 3 (mod 4) и рассмотрим мни-
мнимое квадратичное числовое поле Q(\/—p). Пусть h обозначает его число
классов. Можно показать, что при р > 3
-(!))>=
Доказательство см. в гл.5, §4, книги [9]. Объединение доказанного
выше следствия с этой формулой для h дает следующее замечательное
сравнение:
h = — 2Д(р+1)/2 (mod p).
Сравнения Вороного приводят и к многим другим свойствам чисел
Бернулли. Следующее предложение часто приписывается Адамсу. Оно
дает некоторую информацию о числителе числа Вт.
Предложение 15.2.4. Если р — 1/fm, mo —^ будет р-целым.
Доказательство. В силу теоремы 3 Вт является р-целым. Запишем
т — ркт^) где jv^mo- В сравнении Вороного A4) положим п — рк. Тогда
294 Гл. 15. Числа Бернулли
(ат — l)Um = 0 (mod рк). Пусть а — примитивный корень по модулю р.
Так как р — 1/fm, то P/f(am — 1). Таким образом, Um = 0 (mod p)k и
Г> ТТ
~Пк — —л9~ будет р-целым. ?
В качестве численного примера возьмем m = 22 и р = 11. Тогда
В22— 1 о оо ? так что "о^" Цело в 11. В самом деле, это число есть
Z • о • Zo ^^
единица в 11. В качестве следующего примера возьмем m — 50 и р —
= 5. Число Бернулли В^ можно разложить на множители следующим
образом:
d _ 5 - 5 - 417202699 - 47464429777438199
#50 - 2^3^11 •
Очевидно, что -^W- — единица в 5. Менее очевидно, что 17-значное число
в числителе является простым!
Следующая теорема в случае п — 1 принадлежит Куммеру. На эти
сравнения теперь ссылаются как на сравнения Куммера.
Теорема 5. Предположим, что т ^ 2 четно, р — простое число и
р — ljfm. Положим Ст — A — j/™)^21. Если т! = т (mod (p(pn)), то
Доказательство. Запишем, как обычно, Вт — jf1. Пусть k = ordp т.
Предложение 15.2.4 показывает, что рк \ Um. В сравнении A4) заменим
п на рп+к. Так как рк делит оба числа т и Um) мы можем разделить
получившееся сравнение на рк. Поскольку ^Vm взаимно просто с р,
получаем следующее сравнение:
у r-i\J±] (mod
^ \рп+к\ К
(ат - 1)Вт ^ qTO у r
т ^ \рп+к
Это сравнение намечает путь к полному доказательству теоремы.
Мы дадим сначала доказательство в случае п = 1. В этом случае пол-
полностью проявляется очень простая идея доказательства и вычисления
не столь громоздки, как при п > 1.
В написанном выше сравнении предположим, что п = 1. В правой
части мы можем опустить те j, которые делятся на р. Если рХh TO
jp-i ^ -^ (mod р). Кроме того, так как рХа, то aP~l = I (mod p). Таким
образом, правая часть не изменится по модулю р) если заменить т на
т!', такое, что т! = т (mod p — 1). В результате получаем
(а"' - 1)Дт/ (ат - 1)Вт (
± f = ^ mod p).
т т
Выберем в качестве а примитивный корень по модулю р. Так как
р — ljf/т) то а171' — 1 = ат — 1 (mod p) ф 0 (mod p). Следовательно,
j 2. Сравнения для чисел Бернулли 295
—^- = — (modp).
m m
В случае п > 1 эта процедура должна быть изменена, поскольку
с членами, содержащими j' = 0 (mod p), не так легко разделаться. Мы
выделим эти члены и перепишем соответствующую сумму. Более точно:
Е
ja
njll-ГГъ _[
= У"
г=1
Рассмотрим сравнение A5) с п, замененным на п — 1, и напомним,
что т — 1 ^ 1. Имеем
m-i m-i у -ж-1 [ *^1 (mod
^ [рп+к-1 I v
у [
т ^ [рп
г=1 L
Собирая все это вместе, получаем
Если pXi и m7 = m (mod ^(]/*)), то j771' = j^-1 (mod pn). Таким об-
образом, правая часть в A6) не меняется по модулю рп, если т заменяет-
заменяется на т7, где т' = т (mod (p(pn)). Доказательство теперь продолжается
точно так лее, как в случае п = 1, и получается полный результат. ?
Мы сделаем небольшое отступление, чтобы указать на современную
интерпретацию сравнений Куммера.
Вспомним дзета-функцию Римана
h
п=1
В упр. 25 гл.2 мы упоминали, что ?(s) может быть продолжена до
функции, голоморфной на всей комплексной плоскости, за исключени-
исключением s = 1, где она имеет простой полюс с вычетом 1. Более того, можно
показать1, что ?(s) удовлетворяет функциональному уравнению
C(l -s) = 2Btt)-scos (|tts) r(s)C(s).
Г-функция определяется и обсуждается в гл. 16, § 6. Здесь нам лишь
требуется тот факт, что Г(т) = (т — 1)!, когда т — положительное
целое число.
1 См. простое доказательство в [169], гл. 20, § 2. — Прим. ред.
296 Гл. 15. Числа Бернулли
Предположим, что т ^ 2 — четное целое число. Объединяя приве-
приведенное выше функциональное уравнение с теоремой 2, получаем
Положим C(s) = A -p~s)((s). Тогда C*(l - m) = -A - рш~1)^ и
в силу теоремы 5 при тг = т (mod ^(j?n))
C*(l - m') = С*(! - т) (mod рп). A7)
Для фиксированного простого числа р функция d{n) т) — р~ ordp(n-m)
определяет метрику на Z, р-адическую метрику. В этой метрике два це-
целых числа близки, если их разность делится на высокую степень р.
Сравнение A7) можно неформально переформулировать следующим
образом: если т' и т р-адически близки и т' = т (mod p — 1), то
?*A — т') и ?*A —т) р-адически близки. Это дает возможность продол-
продолжить ?* на метрическое пополнение кольца Z, кольцо р-адических це-
целых чисел. Эти идеи были реализованы Леопольдом и Куботой, которые
первыми построили р-адические функции и исследовали их свойства. С
тех пор были придуманы многие другие подходы. В методе Мазура чис-
числа Бернулли выражаются в виде некоторого р-адического интеграла от
функций хт. В этом контексте сравнения Куммера имеют очень есте-
естественное доказательство. С деталями читатель может познакомиться в
[162], гл.2. Ивасаве принадлежит поистине замечательный результат о
том, что свойства р-адических дзета-функций (и р-адических L-функ-
ций) тесно связаны со структурой группы классов идеалов круговых
полей. Ивасава дает довольно сжатое и строгое изложение своей тео-
теории в монографии [155]. Еще одно изложение этого материала можно
найти в [167] (см. также [24*], [31*]. — Ред.).
Закончим этот параграф одним приложением теоремы 5. А имен-
именно, докажем, что существует бесконечно много иррегулярных простых
чисел. Это доказательство принадлежит Карлитцу [105].
Теорема 6. Множество иррегулярных простых чисел бесконечно.
Доказательство. Пусть {р1? ...,ps} — некоторое множество ирре-
иррегулярных простых чисел. Мы найдем иррегулярное простое число, не
принадлежащее этому множеству.
Пусть к ^ 2 четно и n — k{pi — 1)... (ps — 1). Если рассматриваемое
множество пусто, положим п — к. Воспользовавшись предложением
15.1.1, п. (с), выберем к настолько большим, чтобы
п
> 1. Выберем
/П \
простое число р с ordp( —^) > 0. По теореме Клауссена—фон Штаудта
р — \Хп- Таким образом, р ф ]?&, к — 1, ..., s. Кроме того, р ф 2. Мы
покажем, что р иррегулярно.
j 3. Теорема Хербранда 297
Пусть п = т(р — 1), где 0 ^ т < р — 1. Тогда т четно и т
Таким образом, 2 ^ т < р — 3. В силу сравнения Куммера
(ВЛ = (ВгЛ (modp).
V п ) \ т J K F)
Так как orcL ( —^ ) > 0 и orcL ( —^ ш ) > 0, отсюда следует, что
Это показывает, что р иррегулярно. П
§ 3. Теорема Хербранда
Пусть Dm — кольцо целых алгебраических чисел в круговом число-
числовом поле Q(Cm) и Р — некоторый простой идеал в Dmi не содержащий
т. Таким образом, если р — рациональное простое число в Р, то pjfm. В
§ 3 гл. 14 мы поставили в соответствие Р сумму Гаусса д(Р) и показали,
что д(Р)т = Ф(-Р) Е Dm. Соотношение Штикельбергера, доказанное в
теореме 2 того параграфа, задает разложение на простые идеалы Ф(Р)
в ,Dm, а именно,
Здесь показатель степени есть элемент целочисленного группового
кольца Z[G] группы Галуа G поля Q(Cm) и ^ пробегает целые числа
между 1 и т) которые взаимно просты с т. Автоморфизм о^ переводит
Cm B Cm- Напомним, что написанное выше выражение с показателем
степени из ЩО\ является сокращенной записью равенства
= Е
(к,т) = 1
Если А — взаимно простой с т идеал, то он будет произведением про-
простых идеалов, не содержащих т. Отсюда следует, что А^как будет
главным идеалом. Нам понадобится следующее предложение. Его до-
доказательство будет приведено немного позже.
Предложение 15.3.1. Пусть К — поле алгебраических чисел и
М — некоторый фиксированный идеал в кольце целых чисел поля К.
Тогда каэюдый класс идеалов К', содерэюит идеал, взаимно простой
сМ.
Если а принадлежит групповому кольцу Z[G], где G — группа Галуа
поля Q(Cm), то & очевидным способом действует на группе классов иде-
идеалов поля Q(Cm)- Сформулированное выше предложение означает, что
298 Гл. 15. Числа Бернулли
если а = ^2 как * > то а переводит каждый класс идеалов в единичный
класс. Говорят, что а аннулирует группу классов. Естественно спро-
спросить, существуют ли другие такие элементы группового кольца. Ниже
приводятся такие аннулирующие элементы. Но сначала дадим нужное
нам определение.
Определение. Элемент 9 = XX /^аГ^ гДе ^ пробегает множество
\ 7711
\ 7711
представителей классов вычетов, взаимно простых с т, называется эле-
элементом Штикелъбергера. Здесь ( — ) обозначает дробную часть числа
—, которая зависит лишь от вычета к по модулю т. Элемент 9 лежит
в рациональном групповом кольце Q[G]. Если b — целое число, взаимно
простое cm, то пусть гь — {аь — Ъ)9.
Следующее предложение, доказательство которого будет приведено
позже, имеет очень большое значение.
Предложение 15.3.2. Элементы гь принадлежат Ъ\С\ и аннули-
аннулируют группу классов.
Мы убедимся вскоре, что это предложение без особого труда полу-
получается из соотношения Штикельбергера.
Предполагая известными приведенные предложения, мы приступа-
приступаем к главной цели этого параграфа, к формулировке и доказательству
теоремы Хербранда.
Пусть т — р — нечетное простое число. Грубо говоря, в теореме Хер-
Хербранда утверждается, что если р не делит определенного числа Бернул-
Бернулли, то некоторая часть группы классов поля Q(Cp) тривиальна. Чтобы
сделать это утверждение точным, нужно ввести еще несколько опреде-
определений.
Пусть && — подгруппа группы классов идеалов поля Q(Cp)? состоя-
состоящая из элементов, порядок которых делит р. Другими словами, неко-
некоторый класс идеалов принадлежит <?/, если он содержит идеал, р-я сте-
степень которого является главным идеалом.
Определение. Пусть 1 ^ г ^ р — 1. Положим
Ж = {А е я/1 Аак = Ак\ 1<:к<р}.
Нетрудно убедиться в том, что каждое множество ^ будет подгруп-
подгруппой в srf. Кроме того, так как каждый элемент из srf имеет порядок,
делящий р) показатели степени можно вычислять по модулю р) т.е. на
&& действует групповое кольцо Ъ/рЩС1\. Если к G Z, будем обозначать
через к его класс вычетов по модулю р.
Лемма 1. я/ является прямым произведением подгрупп ^. Други-
Другими словами, srf — srf\?^2 • • • ??р-1 и s^i П я/j — е (единичный класс), если
j 3. Теорема Хербранда 299
Доказательство. Для каждого г, такого, что 1 ^ г ^ р— 1, определим
элементы ^ G Z/pZ[G] формулой
/с=1
Замена fc на Ь в этой формуле приводит к соотношению osEi —
— slEi^ если pXs- Отсюда следует, что g/?i С ^. С другой стороны,
если А е ^, то
Значит, srfei — g/i.
В силу леммы 2 § 2 сумма S1+S2 + .. .+sp_i равняется o"i, единичному
автоморфизму. Таким образом,
Предположим, что г ф j и А е М П ^-. Тогда А^ = А^г = А^. Мы
мож:ем выбрать к равным примитивному корню по модулю р. Тогда
к1 ф W (mod р). Так как Акг~к3 — е и А имеет порядок, делящийся на р)
отсюда следует, что А — е. ?
Следующая теорема Хербранда [149] дает с помощью чисел Бернул-
ли критерий тривиальности подгрупп j^.
Теорема 7 (Хербранд). srf\ — (е). Если г — нечетное целое число,
3 ^i <p, и p/Bp_i, то g/i = (e).
Доказательство. Пусть A G 4- Тогда в силу соотношения Шти-
кельбергера
1
Это показывает, что ^ = (е), как и утверждалось.
Предположим теперь, что г нечетно иЗ ^ К р-2. Пусть А е ?%.
В силу предложения 15.3.2 Ап — е, где b — произвольное целое чис-
число, взаимно простое с р. Мы проанализируем это соотношение более
внимательно.
По определению гь = (сь — Ь)в. Далее,
Таким образом,
Запишем bk = qkp + sk, где 0 ^ sk < р. Тогда {^ - b{^ = f~
-f = -Qk = ~[j]. Это показывает, что rb =-Е[Щ
300 Гл. 15. Числа Бернулли
Предположим, что 4g^. Определим j равенством г + j = р. При-
Применение а^1 к А сводится к возведению А в степень кр~1~1 — У~1.
Таким образом, применение гь к А сводится к возведению А в степень
Запишем Вj = -Л- с (Uj,Vj) = 1. Сравнение Вороного (предложение
15.2.3) показывает, что (после некоторых переобозначений)
-1
k=i
[f] У-1 (mod р).
Согласно предыдущим рассмотрениям, правая часть этого сравне-
сравнения аннулирует любой элемент A G ^. Таким образом, для такого
элемента A('bJ~1")Uj = е. Выбирая в качестве b примитивный корень по
модулю р) видим, что рХ& ~ 1? так что AUj — е- Если pXBj) то pXUj)
а потому А — е. Таким образом, из pX-Bj следует, что ^ = (е), как и
утверждалось. ?
Заметим, что в 1976 году Рибе [208] получил обращение теоремы
Хербранда. А именно, он показал, что если j четно и 2 ^ j ^ р —
— 3, то из р | Bj следует, что g/i ф (е) для г — р — j. Эта красивая
теорема существования основана на тонких арифметических свойствах
модулярных форм и находится, к сожалению, вне рамок этой книги.
Определим g/+ = s^2^a • • • ??p-i и g/~ = з^ъ^ь • • • ??Р-2- Тогда srf —
и з/+Пз/~ = (е) (см. упр. 23). Из теоремы Хербранда следует,
что \&/ | = 1, если pX^j для j — 2,4, ...,p — 3. Это было известно
уже Куммеру, который в сущности показал, что из \&&~\ — 1 следует
равенство |^/+| = 1. Таким образом, как мы упоминали ранее, Куммер
установил, что из pX^j для j = 2, 4,...,]? — 3 следует, что число классов
поля Q(Cp) не делится на р.
Одна из наиболее знаменитых открытых проблем в теории алгебра-
алгебраических чисел — гипотеза Вандивера. В ней утверждается, что группа
g/+ из предыдущего абзаца всегда тривиальна. Не слишком трудно по-
показать, что это эквивалентно утверждению о том, что число классов
поля Q(CP + С'1) = Q( cos — j не делится на р. Вандивер выдвинул эту
гипотезу приблизительно в 1920 году; см. его статью о последней те-
теореме Ферма [231]. Если она верна, то из нее вытекает много важных
следствий. Вагстаф показал, что гипотеза Вандивера верна для всех
простых чисел, меньших 125 000. Это убедительный довод в пользу ее
справедливости, но Ларри Вашингтон привел вероятностные сообра-
соображения по поводу того, что число 125 000 слишком мало, чтобы на него
опираться.
j 3. Теорема Хербранда 301
Мы закончим эту главу доказательствами предложений 15.3.1 и
15.3.2.
Начнем с предложения 15.3.1. Пусть К — поле алгебраических чи-
чисел и D — кольцо его целых чисел. Пусть М С D — какой-либо фик-
фиксированный идеал. Для любого идеала А в D пусть А обозначает его
класс идеалов. Для данного идеала А мы построим такой идеал С, что
(С, М) = 1, А~1 — С. Это показывает, что обратный к любому классу
содержит идеал, взаимно простой с М. Следовательно, каждый класс
содержит идеал, взаимно простой с М. Для построения С мы поступаем
следующим образом. Пусть {Pi, Р2,..., Р/с} ~~ множество простых идеа-
идеалов, делящих Мине делящих А. Это множество может быть пустым.
Если Р | А) пусть, как обычно, а(Р) = ordp А обозначает показатель сте-
степени для р в разложении А в произведение простых идеалов. Выберем
По китайской теореме об остатках можно найти такой элемент
а е D) что
а = ^(Р)(Ра(р)+1) дляР|А,
а = 1(Рг) для г — 1, 2,..., к.
Нетрудно проверить, что (а) = АС\ где (С, М) — 1. Таким образом,
А~1 =Gи доказательство завершено. ?
Наконец, мы обращаемся к доказательству предложения 15.3.2. Нам
понадобится при этом следующая лемма, которая доказывается тем же
способом, что и частный случай т — р) рассмотренный при доказатель-
доказательстве теоремы 7.
Лемма 2. Пусть G обозначает группу Галуа поля Q(Cm)/Q- Эле-
Элемент гь = (сгь — b)9 леэюит eZ[G]. В действительности,
r> = - E
k = l
(к,т) = 1
Пусть Р — некоторый простой идеал в Dm) кольце целых чисел поля
Q(Cm)- Предположим, что т (jz Р, и пусть Р П Z = (р). Как в § 3 гл. 14,
поставим в соответствие идеалу Р сумму Гаусса д(Р). Мы знаем, что
Лемма 3. Пусть Ь — некоторое целое число, взаимно простое с
т. Определим У условиями У = b (mod т) и У = 1 (mod р). Пусть оъ —
соответствующий автоморфизм поля Q(Cpm)- Тогда
Доказательство. Автоморфизмы поля Q(Cpm), которые оставляют
302 Гл. 15. Числа Бернулли
(т на месте, имеют вид сгс, где (с,рт) = 1 и с = 1 (mod m). Пусть
Мы покажем, что Qb(P)ac = ?^(Р). Это доказывает, согласно теории
Галуа, 4Tofib(P)eQ(Cm)-
Напомним, что д(Р) = ^2Хр(к)ф(к)) где сумма берется по приведен-
приведенной системе вычетов по модулю т. Так как хР(А;) ^Q(Cm) и
то
Таким образом,
д{РУ^=Хр{с)-ьд{Руу. A8)
Аналогично
д{РУ< = Хр{с)-1д{Р). A9)
Возводя обе части равенства A9) в степень b и деля на результат
равенство A8), получаем С1ь(Р)ас = ^ь(Р), как и утверждалось. ?
Мы теперь можем закончить доказательство предложения 15.3.2.
Пусть Р С Dm — некоторый простой идеал, не содержащий т. Из со-
соотношения Штикельбергера получаем, что д(Р)т G Q(Cm) и (9(Р)т) —
_ pm# ^ Применение аь — Ьк обеим частям последнего равенства показы-
показывает, что (пь(Р)т) — (Рп)т. В силу лемм 2 и 3, это превращается в Dm
в равенство (?^(Р))т = (Рг&)т. Из однозначности разложения для иде-
идеалов следует, что Рп — (fift(P)). Таким образом, Рп — главный идеал и
потому АГъ — главный идеал для любого идеала А) взаимно простого с
(т). В силу предложения 15.3.1 это означает, что Гь аннулирует группу
классов кольца Dm. ?
Замечания
В 1960 году Вандивер опубликовал обзорную статью [232], в кото-
которой он отмечает, что по числам Бернулли появилось около 1500 работ.
Ясно, что эта последовательность чисел имеет большую притягатель-
притягательную силу и значительную ценность. Наиболее обширным классическим
трудом по числам Бернулли является [199]. Довольно доступный совре-
современный источник — две главы из книги по аналитической теории чисел
[204]. Эта книга содержит изложение формулы суммирования Эйлера—
Маклорена, важного приложения чисел Бернулли, которое мы не рас-
рассматривали.
Замечания 303
Крупным достижением было вычисление значений функции ((s) в
положительных четных целых числах. Удивительно, что почти ничего
не известно о значениях ((s) в положительных нечетных целых числах.
В 1978 году французский математик Апери произвел сенсацию, найдя
исключительно остроумное доказательство того, что ?C) иррациональ-
иррационально. См. интересную статью [233] с неформальным изложением этого
результата.
Числа Бернулли очень тесно связаны с последней теоремой Ферма
и арифметикой круговых полей, что подтверждается многочисленными
ссылками на числа Бернулли в учебнике [206]; см., в частности, § 2 лек-
лекции VI. Короткая вводная статья [231] также заслуживает того, чтобы
с ней познакомиться.
Работа [159] содержит довольно доступное обсуждение регулярных
и иррегулярных простых чисел; в ней упоминается несколько интерес-
интересных открытых проблем. Мы воспользуемся этой работой при изложе-
изложении краткой истории вычислений, связанных с иррегулярными числа-
числами. Куммер обнаружил, что 8 из первых 37 простых чисел иррегулярны.
В 30-х годах Вандивер и другие распространили вычисления на все про-
простые числа, меньшие 618. К 1955 году Вандивер, Д. Лемер, Эмма Лемер,
Селфридж и Николь сдвинули границу до 4001. В 1964 году Селфридж
и Поллак анонсировали вычисления до 25 000. Они не были опублико-
опубликованы. В 1970 году Кобелев опубликовал таблицы вплоть до 5 500, а в
1973 году Джонсон достиг 8 000. В 1975 году Джонсон отодвинул грани-
границу до 30 000. Как отмечалось ранее, теперешний рекорд принадлежит
Вагстафу: 125 000. Искусство вычислений прошло значительный путь!
Следующий результат получили независимо Метсянкюля [188] и
Ёкои [247]. Пусть т > 2 — некоторое целое число и Н — собственная
подгруппа в и(Ъ/тЪ). Существует бесконечно много иррегулярных чи-
чисел р) класс вычетов которых по модулю т не принадлежит Н. По кон-
контрасту с этим неизвестно ни одного модуля т > 2, для которого суще-
существует бесконечно много иррегулярных простых чисел р = 1 (mod m).
Основная теорема § 3 была опубликована Хербрандом в 1932 году.
[149]. Доказательство, использующее р-адические числа и сравнения
для обобщенных чисел Бернулли, можно найти в работе [208]. См. также
гл. 1 книги [167]. Имеется несколько интересных гипотез относительно
р-примарной компоненты группы классов поля Q(Cp)- Во введении к
статье [242] описывается гипотеза, уточняющая теорему Хербранда.
304 Гл. 15. Числа Бернулли
Упражнения
1. Используя определение чисел Бернулли, показать, что В\ — -^ и
тэ _ 691
^2 ~ 730-
2. Показать, что если а Е Z, то а(ат — 1)-Вт Е Z для всех т > 0.
3. Показать, что если а Е Z, то am(am — 1)—— Е Z для всех m > 0.
lit
4. Показать, что если m ^ 4 четное, то 2??m = I (mod 4).
5 (Карлитц1). Показать, что если р — нечетное простое число и
р - 1 | га, то i (Бт + i - 1J будет р-целым.
6. Для га ^ 3 показать, что |i?2m+2| ^ |^2ш|- [Указание. Использо-
Использовать теорему 2.]
7. Пусть 771 ^ 2 — четное целое число. Показать, что существует
бесконечно много чисел п ^ тп, для которых ??п — Bm E Z. [Указание.
Пусть q — простое число, для которого q = 1 (mod (m + 1)!); попробо-
попробовать n = gm. Существование бесконечного числа таких простых чисел
q показано в гл. 16. Этот результат принадлежат Радо.]
8. Рассмотрим разложение tg x в степенной ряд в окрестности начала
координат:
k=l
o2/c /o2/c I \ td
Показать, что Тк — (—l)^ ^———-——. Заметим, что Тк е Z для
всех к в силу упр. 3.
9. Используя лемму 1 из § 1, показать, что радиус сходимости ряда
А
п\
п=0
равен 2тг. В качестве следствия показать, что для любых С) к > 0 су-
существует бесконечно много таких п, что \Вп\ > Спк. (Этот результат
слабее оценки, задаваемой неравенством (8) из §1. С другой стороны,
его значительно легче получить.)
10. Воспользоваться сравнениями Вороного для получения следую-
следующего результата Куммера:
1) У Р h
если только 2^г + 1^2пир— l/f/2n. Сделать это не так-то просто. С
1 Carlitz L. Some congruences for the Bernoulli numbers. — Amer. J. Math., 1953,
v. 75, p. 163—172.
Упражнения 305
небольшими изменениями в обозначениях доказательство содержится в
§8 гл. IX книги [230].
11. Те, кто знаком с подходом Мазура к р-адическим дзета- и
L-функциям, могут попытаться проделать следующее. Пусть \ia — нор-
нормализованная «мера Мазура» на Ър. Воспользоваться сравнениями Во-
Вороного для доказательства того, что
Обозначения и определение меры Мазура можно посмотреть в [162].
12. Напомним определение многочленов Бернулли:
Показать, что
tetx
m=0
13. Показать, что Вт(х + 1) — Вт(х) = тхт~1.
14. Воспользоваться упр. 13 для нового доказательства теоремы 1.
п
15. Предположим, что f(x) = ^ а^хк — многочлен с комплексными
к=о
коэффициентами. Воспользоваться упр. 13 для нахождения многочлена
F{x)) для которого F(x + 1) — F(x) = f(x).
16. Показать, что —v±-L — nBn_i(x) для п ^ 1.
ах
17. Показать, что ЯпA — х) — (—1)пВп(х).
18. Воспользоваться упр. 13 и 17 для нового доказательства того,
что Вп = 0 при нечетном п > 1.
19. Предположим, что тип — положительные целые числа. Дока-
Доказать «теорему умножения» для многочленов Бернулли:
-i
к
[Указание. Воспользоваться упр. 12.]
20. Предположим, что Н(х) — многочлен степени п с комплексными
коэффициентами. Предположим, что для всех положительных целых
чисел 771, п имеет место равенство
т—1
/ и
Н{тх) = тп-1 V Я [х + -
306 Гл. 15. Числа Бернулли
Показать, что Н(х) = СВп(х) с некоторой константой С. [Указание.
Воспользоваться упр. 16 и индукцией по п.]
21. Показать, что
22. В более общем виде показать, что
23. Доказать, что srf = j^+^" и srf+ П srf~ = (e)
Глава 16
L-ФУНКЦИИ ДИРИХЛЕ
Теория аналитических функций имеет много прилоэюений в тео-
теории чисел. Особенно эффективное прилоэюение было найдено Дирихле,
который в 1837 году доказал, что в любой арифметической прогрессии
Ь) а+Ь) 2а+Ь) ..., где (а, Ъ) = 1, имеется бесконечно много простых чисел.
Для этого он ввел L-функции, которые теперь носят его имя. В дан-
данной главе мы определим эти функции, изучим их свойства и докаэюем
теорему об арифметических прогрессиях. L-функции Дирихле исполь-
используются не только при доказательстве этой теоремы. Оказывается,
что их значения в отрицательных целых числах особенно ваэюны. Мы
найдем эти значения и покаэюем, как они связаны с числами Бернулли.
В большей части главы мы используем лишь основы анализа. Од-
Однако в § 6, где рассматривается значение L-функций в 1, существен-
существенно используется теория функций комплексной переменной. Последнего
моэюно было бы избежать, но при этом пришлось бы пожертвовать
как глубиной, так и изяществом. Все необходимые предварительные
сведения моэюно найти в любом стандартном курсе. Удобным спра-
справочником является книга [85] (или [19*]. — Ред.). В § 1—4 буква s будет
обозначать вещественную переменную, s > 1.
§ 1. Дзета-функция
Дзета-функция Римана ((s) определяется рядом
п=1
Он сходится при s > 1 и сходится равномерно при s ^ 1 + 8 > 1 для
любого 8 > 0.
Предложение 16.1.1. Для s > 1
где произведение берется по всем простым р.
Доказательство. Для s > 1 имеем \jps < 1, так что
- l/ps ^ pms
' L m=0
308 Гл. 16. L-функции Дирихле
По теореме об однозначном разложении на простые множители полу-
получаем
П г=Ь; = Е;?
p^N /У p^N
Очевидно, что Rn(s) ^ S s • ^ак как ?(s) СХОДИТСЯ> то Rn(s) ~~^ 0
n=N+l n
при N —> ос, откуда и следует наш результат. ?
Поведение функции ((s) при s —> 1 имеет очень большое значение.
Так как ряд ^ — расходится, мы, конечно, ожидаем, что ?(s) —>> ос при
п=1
5 —>- 1. В самом деле, справедлив такой результат:
Предложение 16.1.2. Предположим, что s > 1. Тогда
Доказательство. При фиксированном s функция t s будет моно-
монотонно убывающей по t. Таким образом,
dt 1
ts ns '
Суммируя эти неравенства от п = 1 до ос, получаем
as)-к Г^<Ф).
Значение выписанного интеграла равно т-- Отсюда следует, что
1 < (s — l)C(s) < s. Беря предел при s —> 1, получаем нужный результат.
П
Следствие. При s —>> 1
ln(s-l)-1
Доказательство. Положим (s — 1)C(S) = p(s)- Тогда ln(s — 1) +
lnC(s) = lnp(s), так что
= 1+ lnMs)
ln(s-l)-1 ln(s-l)-1 '
При s —>¦ 1 имеем p(s) —>¦ 1 в силу предложения 16.1.2. Поэтому
lnp(s) —У 0 и следствие доказано. ?
; 1. Дзета-функция 309
Предложение 16.1.3. ln?(s) = ^ \ + R(s), где R(s) остается
v Р
ограниченным при s —>¦ 1.
Доказательство. Мы воспользуемся формулой 1пA—х)~г = х+^х2+
+ |ж3 + ..., которая справедлива при — 1 < х < 1. В силу предложения
16.1.1
)
где \n(s) ~^ 1 при TV —>> ос. Взятие логарифма от обеих частей приводит
к равенству
оо
= V V + InAtf(s).
Возьмем предел при TV —>> ос:
mpms ^-^ ps *-^ ^-^ mp
р т=1 V V тп=2
Вторая сумма меньше, чем
m=2 ^ p x ^ ' p
I _ ]_/2s Z^ V2s ^ SV 7
' p ^
Всюду было использовано предположение о том, что s > 1. ?
Определение. Говорят, что некоторое множество положительных
простых чисел & имеет плотность Дирихле, если существует предел
lim
Если предел существует, мы обозначаем его через d(&) и называем
d(&) плотностью Дирихле множества S?.
Предлож:ение 16.1.4. Пусть ?? — некоторое множество поло-
положительных простых чисел. Тогда
(a) если ?? конечно, то d@f) = 0;
(b) если ?? состоит из всех кроме конечного числа положительных
простых чисел, то d(&) = 1;
(c) если S? — S?\ U ^2; где &\ и S?2 ne пересекаются и оба предела
d(&i) и d(&2) существуют, то d(&) = d(^) + d(&2)-
Доказательство. Утверждения (а) и (с) очевидны согласно опреде-
определению плотности Дирихле. Утверждение (Ь) сразу же получается из
следствия предложения 16.1.2 и предложения 16.1.3. ?
310 Гл. 16. L-функции Дирихле
Мы теперь можем сформулировать основную теорему этой главы.
Доказательство будет рассредоточено по следующим трем параграфам.
Теорема 1 (Дирихле). Предположим, что а)т ? Z; причем (а, тп) —
— 1. Пусть ??{а\т) — множество положительных простых чиселр,
для которых р = a (mod т). Тогда d{j&{a\ m)) = / ч .
Заметим, что из теоремы 1 несомненно следует, что множество
&(а\т) бесконечно, ибо если бы это было не так, то его плотность
равнялась бы нулю.
§ 2. Частный случай
Сначала мы докажем теорему 1 в случае, когда т — 4. Все основные
идеи доказательства проявляются уже в этом частном случае, а детали
при этом значительно упрощаются.
Определим функцию х из Z в {±1} следующим образом:
{0, если п четно;
1, если п = 1 (mod 4);
— 1, если п = 3 (mod 4).
Как нетрудно убедиться, x(mn) = x(m)x(n) Для всех т-> п ? ^J-
Положим
" Х(п) _Л 11 1
п=1
-^. Отсюда следует, что члены ряда L(s,x)
Для всех n имеем p ^
мажорируются по абсолютной величине членами ряда ((s). Таким обра-
образом, ряд L{s) х) сходится, и является непрерывной функцией для s > 1.
Так как функция х полностью мультипликативна, то доказательство
предложения 16.1.1 показывает, что
р - x(p)/ps '
Полезно модифицировать ((s) так, чтобы исключить четные члены.
Пусть
1
Так как
71 = 1 П = 0 V У 71 = 1
12. Частный случай 311
то С*0) = A - l/2s)C(s), а потому
Используя метод доказательства предложения 16.1.3, получаем
Р
A)
B)
где Ri(s) и Дг(^) остаются ограниченными при s —>¦ 1.
Поскольку
2, р = 1 (mod 4); Г 0, р = 1 (mod 4);
И 1^) { ,^з (mod 4),
то из A) и B) получаем
Y1 ^ Дз(«), C)
^ з(),
р=1 (mod 4)
-S+R*(s)> D)
p=3 (mod 4) P
где Rs(s) и i?4(s) остаются ограниченными при 5—^1.
Следующий шаг состоит в том, чтобы показать, что \nL(s,x) оста-
остается ограниченным при s —> 1. Для этого запишем
(
\3S 5s) \7S 9
Отсюда следует, что | < L(s,x) < 1 Для всех s > 1. Таким образом,
In | < lnL(s, x) < In 1 = 0 для 5 > 1.
В качестве последнего подготовительного шага заметим, что
ln?*(s) = ln(l — 1/2S) + ln?(s), так что в силу следствия предложе-
ния 16.1.2 . ( ^ \{_л —>• 1 при s —» 1.
1пE — 1)
Деля теперь каж:дый член равенств C) и D) на ln(s — 1) и переходя
к пределу при s —>- 1, в результате получаем
312 Гл. 16. L-функции Дирихле
Предложение 16.2.1. d(^(l;4)) = d(«^C;4)) = \.
Для доказательства теоремы 1 в общем случае надо обобщить х и
L(s,x)- Это приводит к рассмотрению характеров Дирихле и L-функ-
ций.
§ 3. Характеры Дирихле
Функция х рассмотренная в предыдущем параграфе, может быть
получена при помощи следующей конструкции. Рассмотрим группу
t/(Z/4Z). Эта группа имеет два элемента 1 + 4Z и 3 + 4Z. Определим
X1 : t/(Z/4Z) -> {±1} посредством х'A + 4Z) = 1 и х'C + Щ = ~L
Тогда х7 будет гомоморфизмом из [/(Z/4Z) в С*. Для n e Z положим
х(п) = 0, если (п, 4) > 1, и x(n) = x'(n + 4Z), если (п, 4) = 1. Эта
функция х • Z —> С* совпадает с функцией х последнего параграфа.
Эту конструкцию нетрудно обобщить. Пусть т — некоторое фик-
фиксированное положительное целое число. Пусть х' '• f/(Z/mZ) —> С* —
какой-нибудь гомоморфизм. Для данного х' определим х : Z —>> С сле-
следующим образом: при (n, m) > 1 положим х(п) — 0> ПРИ (п> ш) = 1
положим x(n) = x7(n + m^)- Так определенные функции х называются
характерами Дирихле по модулю т. Другая их характеризация зада-
задается следующими тремя условиями на функцию х : Z —>- С:
(a) х(п + т) = х(п) Для всех n ^ Z;
(b) х{^п) — х(к)х(п) Для всех k^n ? Z;
(c) х(п) т^ 0 тогда и только тогда, когда (n, m) = 1.
Нетрудно убедиться в том, что эти три условия определяют множе-
множество характеров Дирихле по модулю т.
Для изучения свойств характеров Дирихле мы рассмотрим сначала
более общую проблему.
Пусть А — некоторая конечная абелева группа (записываемая муль-
мультипликативно) . Характером на А называется гомоморфизм из А в С*.
Множество таких характеров будет обозначаться через А. Если х? Ф ?
G А, определим хФ как функцию, которая переводит а ? А в х{р)Ф{р)-
Тогда хФ тоже будет характером. Мы покажем, что это произведение
превращает А в группу. Определим Хсъ тривиальный характер^ форму-
формулой Хо(а) — 1 Для всех ^Gi. Если х G А то определим х формулой
Х-1(а) = х(а)-1 Для всех ^Gi. Нетрудно убедиться в том, что х G ^4
и XX = Хо- С этими определениями А становится абелевой группой,
у которой хо — единичный элемент. Более или менее очевидные детали
мы опускаем.
Пусть п — порядок группы А. Если а е А) то ап равно е, единич-
единичному элементу в А. Таким образом, если х ^ А то x(a)n = 1? т-е-
j 3. Характеры Дирихле 313
значениями х будут корни степени п из единицы. Отсюда следует, что
х(а) = х{а)~1 — Х~1{а)) гДе черта обозначает комплексное сопряжение.
Поэтому х~1 иногда записывается как х и называется сопряженным
характером для х-
Сразу же возникают два вопроса. Насколько велика группа А? Ка-
Каково ее строение? На эти вопросы легко ответить в случае, когда А
циклическая. В общем случае мы воспользуемся теоремой из теории
групп, в которой утверждается, что конечная абелева группа является
прямым произведением циклических групп (см. [150] (или [9*]. — Ред.)).
Для А = [/(Z/mZ), т.е. в интересующем нас случае, этот результат сле-
следует из теоремы 3 гл. 4.
Предположим, что группа А — циклическая и порождается элемен-
элементом g порядка п. Пусть (п = е2угг/п. Если х G А то х(д) — Сп ПРИ некото-
некотором однозначно определенном целом числе к) для которого 0 ^ к < п.
Так как х(9т) — х(#)т> ТО X определено его значением в д. Обратно,
если 0 ^ к < п) определим х(9т) — (п™- Нетрудно убедиться в том, что
функция х определена корректно и является характером. Следователь-
Следовательно, на А существует в точности п характеров. Пусть Xi €= А таков, что
XiЫ = Сп- Если х е А и х(д) = С^ то Х{д) = Xi(9), откуда следует, что
X — Xi- Это показывает, что А циклическая и порождена характером
Х\- Таким образом, А « А.
В общем случае А будет прямым произведением циклических групп.
Это означает, что существуют такие элементы </1? д2) ..., gs G А) что
(i) порядок gi равен щ\
(И) каждый элемент а Е А может быть однозначно записан в виде
а — д^д™2 ... g™s, где 0 ^ rrii < щ для всех г.
Если порядок А равен п, то очевидно, что п = П1П2 ... ns.
Предположим, что х ^ А- Тогда х определяется значениями х(д%) —
— ?**, где 0 ^ к{ < щ. Обратно, для заданного s-набора {к\) к2)..., A;s)
с 0 ^ ki < щ при всех г мы можем определить характер х следую-
следующим образом. Для а Е А запишем а — д^д™2... g™s по (И) и положим
х(а) = Ct^i/ciCt^2/C2 • • • C^s/Cs- Нетрудно проверить, что х будет характе-
характером. Следовательно, на А имеется nin2...ns = n характеров. Кроме
того, пусть Xi выделяется условиями Xi(gi) — Сщ и Xi(gj) — 1 ПРИ ^ Ф 3-
Тогда Xi имеет порядок щ и А будет прямым произведением цикличе-
циклических подгрупп, порожденных Xi- Это показывает, что А « А.
Следующие два результата будут иметь большое значение в §4.
Предложение 16.3.1. Пусть А — конечная абелева группа. Если
Х,ф Е А и a,b E А, то
314 Гл. 16. L-функции Дирихле
П' еСЛИ Х = Ф, /кч
E)
0, если хФФ-
П' еСЛИ а = Ь> (а\
_ , , F)
О, если аФЪ.
Доказательство. Так как
то для получения E) достаточно доказать, что
_ Г п, если х = Хо,
\0, еслих^Хо-
Первое утверждение очевидно из определения. Предположим теперь,
что х Ф Хо- Тогда существует такой элемент 6 G Л, что %(Ь) ^ 1- Имеем
aGA aGA aGA
так что (x(b) — l) S x(a) = 0- Поскольку %(Ь) — 1 ^ 0, отсюда следует,
аеА
что Y1 х{°) = О-
aGA
Для доказательства равенства F) мы заметим сначала, что
X X
Поэтому достаточно показать, что
Y^ Г гг, если а = е,
^-^ 1 0, если а ф е.
Первое утверждение очевидно. Предположим, что а ф е. Мы утвержда-
утверждаем, что существует характер гф) для которого ф(а) ф 1. Чтобы убедиться
в этом, запишем а = д^д™2 ... #™s с 0 ^ т^ < п^ для всех /с. Так как
а ф е, то по крайней мере одно т^ отлично от нуля. Тогда Х/с(а) =
= Хк(дк)тк = Q* ^ 1- Положим ф = Хк- Тогда
Ех—"^ х—"^
XX X
так что (ф(а) — l) Х^х(а) = 0- Поскольку ^(а) — 1 ^ 0, то Х^х(а) = 0- П
х х
j 4. L-функции Дирихле 315
Соотношения, задаваемые E) и F), называются соотношениями ор-
ортогональности. Мы проинтерпретируем теперь эти соотношения для
характеров Дирихле по модулю т. В данном случае А = [/(Z/mZ).
Характеры Дирихле определены на Z, но индуцируют и сами индуци-
индуцируются элементами группы характеров для C/(Z/mZ). Следовательно,
существует в точности (р(т) характеров Дирихле по модулю т. Из опре-
определения и последнего предложения мы получаем
Предложение 16.3.2. Пусть х и ф — характеры Дирихле по мо-
модулю т и a,b e Z. Тогда
Е/ чТГТ /^(ш)> еслих = ^, ,„,
Х(а)ф(а) = < п , . G)
а=0 [ 0, если х Ф Ф-
Е( \~7п\ f^(m)' если а = 6,
X(a)x(b) = < п , , (8)
I 0, если афЬ.
В формуле (8) сумма берется по всем характерам Дирихле по моду-
модулю т.
§ 4. L-функции Дирихле
Пусть х — характер Дирихле по модулю т. Мы определяем L-функ-
L-функцию Дирихле, соответствующую х, формулой
Х(п)
Так как
п
S
-Jj, члены ряда L(s, x) маж:орируются по абсолют-
IV
ной величине соответствующими членами ряда ((s). Таким образом,
ряд L(s, х) сходится и непрерывен при s > 1. Кроме того, поскольку ха-
характер х вполне мультипликативен, мы получаем представление L(s,x)
в виде произведения точно так же, как и для ((s). А именно,
L(8,X) = -
Так как х(р) — 0 для р\т) написанное произведение берется по поло-
положительным простым числам, не делящим т. Формула справедлива при
s > 1.
316 Гл. 16. L-функции Дирихле
Между L(s,xo) и СE) имеется тесная связь. В самом деле,
= п
р\т
p\m
Из предложения 16.1.2 получаем, что
В частности, L(s, Хо) —>" с^ ПРИ 5—^1.
Для обобщения доказательства предложения 16.2.1 нам нужно рас-
рассмотреть lnL(s,x). Даже если ограничиться вещественными значени-
значениями 5, значения ряда L(s,x) в общем случае комплексные, так что
необходимо учитывать, что Inz — многозначная функция комплексной
переменной z. Один из способов обойти это обстоятельство состоит в
определении lnL(s,x) бесконечным рядом.
Пусть х — характер Дирихле. Положим
к
к=1
Так как
-\^ и ((s) сходится при s > 1 и равномерно схо-
р
дится при s ^ 1 + 8 > 1, мы можем сделать вывод о том, что те же
самые утверждения имеют место для G(s)x)- Следовательно, G(s)x)
непрерывна для s > 1. Более того, для комплексного числа z, \z\ < 1,
ехр
2-^ ~т
где ехр обозначает обычную экспоненциальную функцию. Подставляя
сюда z = s , получаем
ехр
/с=1
к pks ) 1 — x(p)/ps
Простое рассуждение в таком случае показывает, что expG(s,x) —
= L(s,x) Для всех ^ > 1. Таким образом, бесконечный ряд G(s,x) дает
однозначное определение функции lnL(s, x)- Во избежание недоразуме-
недоразумений мы будем работать непосредственно с G(s,x)-
j 4. L-функции Дирихле 317
Из определения и рассуждения, использованного при доказатель-
доказательстве предложения 16.1.3, получаем
^f, (9)
р\т
где Rx(s) остается ограниченным при s —> 1. Умножим обе части равен-
равенства (9) на x{a)i гДе ^ G Z, (а,т) = 1. Затем произведем суммирование
по всем характерам Дирихле по модулю т. В результате получим
Е
; x(a)G(s, X) = ^2~^2 X(a)x(p) + Yl x(a)Rx(s).
X p\m^ X X
Воспользовавшись равенством (8), убеждаемся в том, что
X р=а (mod га)
где Rx^a(s) остается ограниченным при s —> 1.
Для завершения доказательства теоремы 1 нам понадобится следу-
следующее предложение.
Предложение 16.4.1. Если Хо обозначает тривиальный характер
по модулю т, то lim ^ ' л\-\ ~ -'¦• Если х ~ нетривиальный ха-
характер Дирихле по модулю т, то G{s)x) остается ограниченной при
Доказательство. Первое утверждение доказать нетрудно. L{s) Хо) —
вещественнозначная функция на положительных вещественных числах.
Как мы видели,
Отсюда следует, что
р га
Нужное утверждение получается теперь из следствия предложения
16.1.2.
Второе утверждение значительно более глубокое. Оно является наи-
наиболее трудной частью в доказательстве теоремы Дирихле об арифмети-
арифметических прогрессиях. Доказательство его будет отложено до следующего
параграфа.
318 Гл. 16. L-функции Дирихле
Теперь же, предполагая известным сформулированное предложение,
мы очень быстро получаем доказательство теоремы Дирихле из равен-
равенства A0). Разделим все члены обеих частей на ln(s — I) и перейдем
к пределу при s —>• 1. Согласно предложению, предел в левой части
равен 1, в то время как предел в правой части равен ^{rn)d{j?P {а\
Таким образом, d(^(a;m)) = / ч, что и требовалось доказать. ?
§ 5. Ключевой шаг
До сих пор все наши функции были определены для s > 1. Теперь
мы покажем, как расширить область определения до s > 0. В частности,
если х — нетривиальный характер, мы убедимся в том, что L(l,x) —
корректно определенное комплексное число, и докажем, что L(l,x) ф
Ф 0. Это ключевой момент. Как только мы это установим, относительно
просто показать, что G(s,x) остается ограниченной при s —> 1. Именно
это осталось недоказанным в §4.
В последующем изложении мы будем считать s комплексной пере-
переменной. Запишем s = а + it, где ant вещественные. Символ а будет
использоваться далее для обозначения вещественной части s.
Если а > 0 вещественно, то \as\ = аа. Отсюда видно, что ряды,
определяющие ?(s) и L(s, %), сходятся и задают аналитические функции
комплексной переменной s в полуплоскости {sGC|cr>l}.
Лемма 1. Пусть {ап} и {Ьп} при п — 1, 2, 3, ... — такие последова-
оо
тельности комплексных чисел, что ряд ^ апЬп сходится. Положим
71 = 1
Ап — а\ + а2 +... + ап и предположим, что АпЬп —> 0 при п —> ос. Тогда
п=1 п=1
N
Доказательство. Пусть Sn = ^2 anbn- Положим Aq = 0. Тогда
71 = 1
N N N
n=l n=l n=l
N N-l N-l
n=l n=l n=l
Переход к пределу при TV —>> ос приводит к нужному результату. ?
Предложение 16.5.1. Функцию ((s) ^Ц- можно продолжить
до аналитической функции в области {s е С | а > 0}.
i 5. Ключевой шаг
319
Доказательство. Предположим, что а > 1. Тогда по лемме 1
п=1
п=1
Напомним, что [х] для вещественного числа х есть наибольшее целое
число, меньшее или равное х, и (х) = х — [х]. Из приведенного выше
выражения для ((s) получаем, что
r-s-l r/r — с V^ / Mr"8 r/r — я /
/ _j I L J I
7*=1 U=lJn Jl
/»OO
б/х == — S I \X/X
s — I Ji
dx =
= s I x s dx — s I {x)x
n Ji
Так как \{x)\ ^ 1 при всех х, последний интеграл сходится и опреде-
определяет аналитическую функцию при а > 0, откуда и следует доказывае-
доказываемый результат. ?
Тем же самым способом мы воспользуемся для продолжения ряда
L(s, x)) но сначала нам понадобится еще одна лемма.
Лемма 2. Пусть х ~ некоторый нетривиальный характер по мо-
модулю т. Для всех N > О
N
qm + г, где 0 ^ г < т. Так как
п=0
Доказательство. Запишем N
п -\- га) = х(п) ПРИ всех п, то
N
/171—1
п=0
п=0
771—1
В силу равенства G) ^ х{п) — 0- Поэтому
п=0
п=0
?х(п)
п=0
771—1
П
п=0
Предлож:ение 16.5.2. Пусть х ~ нетривиальный характер Ди-
Дирихле по модулю т. Тогда L{s)x) моэюно продолэюить до аналитиче-
аналитической функции в области {s е С | а > 0}.
Доказательство. Положим S(x) = ^ х(п)- В силу леммы 1 для
а> 1
п<х
320 Гл. 16. L-функции Дирихле
L(s, x) = 22 S(n) (n~s - (n + 1)"
71 = 1
00 pn+1
— Q \ ^ Q(n\ I rr-S-1 Л™ — a I Qfrr^rr-S-l Л™
— b 7 uylij I X (IX — b I DyXjX (IX.
71 = 1
1 pn-\-l /»cxd
„-s-l
По лемме 2 \S(x)\ ^ <p(m) для всех х. Отсюда следует, что написан-
написанный выше интеграл сходится и определяет аналитическую функцию
для всех s с а > 0. ?
Наша цель теперь — показать, что L(l,x) ф 0 для нетривиального
характера х- Следующее предложение даст нам возможность получить
простое доказательство этого факта в случае, когда \ — комплексный
характер, т.е. характер, принимающий невещественные значения.
Предложение 16.5.3. Пусть F(s) = Y\L(s,x)> s^e произведение
х
берется по всем характерам Дирихле по модулю т. Тогда F(s)^l при
вещественном s > 1.
Доказательство. Предположим, что s вещественное и s > 1. Напо-
Напомним, что
р к=1
Суммируя по х и используя равенство (8), получаем
х
где сумма берется по всем простым р и целым числам /с, для которых
рк = 1 (mod m).
Правая часть последнего равенства неотрицательна (на самом деле
она положительна). Взятие экспоненты от обеих частей показывает, что
f|L(s,x) ^ 1, как и утверждалось. ?
х
Предложение 16.5.4. Если х ~ нетривиальный комплексный ха-
характер по модулю т, то L(l, х) Ф 0.
Доказательство. Ряд, определяющий L(s,x) показывает, что для
вещественного s, s > 1, L(s,x) — L(s,x)- Устремляя s к 1, получаем,
что из L(l, х) — 0 следует L(l, х) — 0.
Предположим, что L(l,x) = 0, где х — комплексный характер.
Функции L(s,x) и L{s)x) различны и обе имеют в силу нашего пред-
предположения нуль в s — 1. В произведении F(s) = Y\L(s)x)^ как мы
i 5. Ключевой шаг 321
знаем, L(s,xo) имеет простой полюс в s = 1, а все другие множители
аналитичны в s = 1. Отсюда следует, что F(l) = 0. В то же время пред-
предложение 16.5.3 показывает, что F(s) ^ 1 для всех вещественных s > 1
(противоречие). Поэтому L(l,x) ф 0. П
Остается рассмотреть случай, когда \ — некоторый нетривиальный
вещественный характер, т.е. когда х(п) — 0; 1 или ~1 Для всех п G Z.
Дирихле смог доказать, что L(l,x) 7^ 0> используя свою формулу для
числа классов квадратичных числовых полей (точнее, для числа клас-
классов эквивалентности бинарных квадратичных форм фиксированного
дискриминанта). Мы воспользуемся изящным доказательством Валле-
Пуссена A896 г.), следуя изложению в [119].
Лемма 3. Предположим, что f — неотрицательная мультипли-
мультипликативная функция на Z+, т.е. f(mn) = f(m)f(ri) для всех т,п > 0,
таких, что (m,n) = 1. Предположим, что существует такая кон-
константа с, что f(pk) < с для всех степеней простых чисел рк. Тогда
ряд ^ s сходится для всех вещественных s > 1. Кроме того,
п=1 v k=l
Доказательство. Фиксируем s > 1. Пусть a(p) = ^ ks - Тогда
k=i P
00 1 1 9
a(»)<-% V -t^ = -% ^ 1 / q, а потому а(р) < Щ. Для положительно-
го х имеем 1 + х < ех. Таким образом,
о(р)) < J] е^) < exp
Далее, ^ а(р) < 2с^\ — М. Из определения а(р) и мультипли-
p<:n р Р
кативности / следует, что
71 = 1
Отсюда вытекает, что 2^ s < e Для всех TV. Так как / по предпо-
п=1
лож:ению неотрицательна, мы получаем, что ^ s сходится.
п=1
Последнее утверж:дение леммы получается при помощи рассуж:де-
ния, использованного в доказательстве предлож:ения 16.1.1. ?
322 Гл. 16. L-функции Дирихле
Теорема 2. Пусть х ~ нетривиальный характер Дирихле по мо-
модулю т. Тогда L(l, x) ф 0.
Доказательство. Доказав уже, что L(l,x) ф 0 для комплексного
характера х-> мы предполагаем х вещественным.
Предположим, что L(l,x) = 0, и рассмотрим функцию
Нуль L(s,x) в 5 = 1 уничтожает простой полюс L(s,xo), так что
числитель аналитичен при а > 0. Знаменатель отличен от нуля и ана-
литичен при а > \. Таким образом, t/j(s) аналитична при а > \. Кроме
того, так как LBs) Хо) имеет полюс в s — \) то t/j(s) —> 0 при s —> \.
Мы предполож:им временно, что s вещественно и s > 1. Тогда ф(з)
имеет такое разлож:ение в бесконечное произведение:
1
J-X / л/(г)} \ / Vnfr^x -LA
pb / v pb / \ pb J \ pb
Если x(p) = — 1, то ^-множитель равен 1. Следовательно,
^w- 11 х ,
x(p)=i 1 — —s
где произведение берется по всем рс х(р) = 1. Далее,
1 + —
Применяя лемму 3, получаем, что ф(з) = У] —f, где ап ^ 0 и ряд схо-
дится для s > 1. Заметим, что а\ — 1. (Можно, но не нужно получить
явную формулу для ап.)
Мы опять возвращаемся к рассмотрению ф(з) как функции ком-
комплексной переменной. Разложим ее в степенной ряд в окрестности точ-
точки s = 2:
т=0
Так как ф^в) аналитична для а > |, то радиус сходимости последне-
последнего ряда не меньше |. Для вычисления bm мы воспользуемся теоремой
6. Значения L(s,x) B отрицательных целых числах 323
Тейлора, т.е. Ъш — ——М-, где ^m\s) есть т-я производная функ-
lib •
оо
ции i/j(s). Так как i/j(s) = ^ % , то
I и
II и
n=l
с cm ) 0. Таким образом,
т=0
с неотрицательными ст и
оо
-s)m
Отсюда следует, что t/j(s) ^ 1 для вещественного s в интервале (|,2).
Это противоречит тому, что t/j(s) —> 0 при s —>> |, а значит, L(l, х) 7^ 0-
П
Мы теперь в состоянии доказать предложение 16.4.1. Предположим,
что х ~ некоторый нетривиальный характер Дирихле. Мы хотим по-
показать, что G(s,x) остается ограниченной при s —>- 1 по вещественным
значениям s > 1.
Так как L(l,x) ф 0 существует такой круг D с центром в L(l,x),
что 0 ф D. Пусть Inz — однозначная ветвь логарифма, определенная
на D. Существует такое 8 > 0, что L(s,x) ^ D для s G A,1 + 8).
Рассмотрим \nL(s,x) и G(s,x) Для s B этом интервале. Экспонента от
обеих функций равна L(s,x)- Следовательно, существует такое целое
число JV, для которого G(s,x) — 27ri7V + lnL(s, х) ПРИ s G A,1 Ч- <5) - Это
означает, что limG(s,x) существует и равен 2niN + lnL(l,x). Так как
s—>-1
G(s,x) имеет предел при 5—^1, она, очевидно, ограничена.
§6. Значения L(s,x) B отрицательных целых числах
В последнем параграфе мы показали, как аналитически продолжить
L(s)x) B область {sGC|cr>0}. Риман показал, как аналитически про-
продолжить эти функции на всю комплексную плоскость1. Как отмечалось
ранее, этот факт имеет большое значение для теории чисел. Например,
1 И показал, что для них выполняется функциональное уравнение, которое в слу-
случае дзета-функции Римана ?(s) имеет вид 7r~S//2F (|) ?(s) = ^"^"^^Г (^у1) СО- ~ s)
(см. элементарное доказательство в [169], гл. 20, § 2, и дальнейшие обобщения в [8*],
[168], [44]).—Прим. ред.
324 Гл. 16. L-функции Дирихле
значения L(l — &, х), где к — положительное целое число, тесно связаны
с числами Бернулли. Эти же числа имеют глубокие связи с теорией кру-
круговых полей. Мы аналитически продолжим L(s,x) и вычислим числа
L(l — fc,x), следуя методу из [141].
Предварительно нам нужно рассмотреть некоторые свойства гамма-
функции. Последняя определена равенством
e-Hs~ldt. A1)
Нетрудно убедиться в том, что этот интеграл сходится и определяет
аналитическую функцию в области {s G С | а > 0}. Для а > 1 мы
производим интегрирование по частям и получаем
ГЫ = -e~4s-1 + (s - 1) / е~Н8-2 dt.
о Jo
Отсюда следует, что F(s) = (s — l)F(s — 1) для а > 1. Так как
/»О
= /
Jo
то Г(п + 1) = п\ для положительных целых чисел п.
Функциональное уравнение Г(з) = (s — 1)Г(з — 1) позволяет нам
аналитически продолжать T(s) шаг за шагом.
При а > — 1 определим Fi(s) формулой
ВД = ±Г> + 1). A2)
При а > 0 имеем Fi(s) = F(s). Кроме того, Fi(s) аналитична при
сг > — 1, за исключением простого полюса в s = 0.
Аналогично, если к — некоторое положительное целое число, пола-
полагаем
Функция Ffc(s) аналитична в области {s е С | сг > —к)) за исключе-
исключением простых полюсов в s — 0,1, ..., 1 — к) и F/C(s) = F(s) при сг > 0.
Эти функции вместе задают аналитическое продолж:ение F(s) на всю
комплексную плоскость с полюсами в неположительных целых числах
и нигде больше. Начиная с этого места, F(s) будет обозначать эту про-
продолженную функцию. Мы заметим (без доказательства), что
т"
1 [s)
целая функция.
§6. Значения L(s,x) B отрицательных целых числах 325
Мы покажем теперь, как аналитически продолжить ((s) тем же спо-
способом. Нужно представить ((s) в виде интеграла. В равенстве A1) под-
подставим nt вместо t. При а > 1 получаем
e'^f-1 dt. A3)
Просуммируем обе части равенства A3) для п=1,2,3,.... Нетрудно
убедиться в том, что суммирование и интегрирование перестановочны.
В результате получим
/ ~xdt. A4)
— е
При попытке произвести интегрирование по частям интеграла в та-
таком виде нам помешает тот факт, что 1 — е~1 равно нулю при t = 0.
Чтобы обойти это препятствие, мы применим искусственный прием. В
равенство A4) подставим 2? вместо t:
poo -2t
= 2 / f'1 dt. A5)
Jo l — e
Определим функции (*(s) = A - 21~s)((s) и R(x) = ——
Вычитая из равенства A4) равенство A5), получаем
2х2
х 1-х2
T(s)C(s)= f Rfc-*)?-1 dt. A6)
Jo
Чего мы добились? Простое алгебраическое преобразование показы-
показывает, что R{x) — ———. Таким образом, R(e~l) = —-——[ имеет знаме-
нате ль, который не обращается в нуль при t — 0. Интеграл в равенстве
A6), таким образом, сходится при а > 0 и это равенство задает продол-
продолжение функции ((s) на область {s е С | а > 0}.
Пусть Ro(i) = R(e~t) и Rm(t) — -т^Л(е~*) при т ^ 1. Нетрудно
убедиться в том, что Rm(t) = ^—Д ^ _n~+i S где Pm-i(x) = 1 +
+ ... + (—х)т~1 — многочлен. Отсюда следует, что Rm@) конечно и что
_t' ограничена при t —> ос. Эти факты позволяют нам повторно
производить интегрирование по частям в равенстве A6).
326 Гл. 16. L-функции Дирихле
Положим и = R(e~t) и dv = ts~l dt. Тогда du — R\(t) dt и v = —.
Таким образом,
T(s)C(s) = - Ro(t) - - / Ri(t)ts dt,
S 0 S Jo
s
так что
poo
= - / RAt)tsdt. A7)
Jo
Интеграл в A7) сходится к аналитической функции в области
{s G С | <7 > —1} и задает аналитическое продолжение функции ?(s)
в этой области. Продолжая этот процесс, мы получаем при положи-
положительном целом числе к
= (-1)* / RkW+b-1 dt. A8)
где интеграл сходится к аналитической функции от s для а > — к. Этот
способ определяет аналитическое продолжение функции ((s) на всю
комплексную плоскость. Для этой продолженной функции мы продол-
продолжаем использовать обозначение C(s)-
Предложение 16.6.1. Пусть к — положительное целое число.
Тогда ?@) = —1/2 и ?A — к) — —В^/к для к > 1, где В^ есть к-е чис-
число Бернулли.
Доказательство. В равенство A8) подставим s = 1 — к. В результате
получим
Ч Rk(t)dt.
/»О
Ч
Jo
о
Так как Rk(t) = j-R^t), то A - 2*)CA - A;) = (-l)^1^-!^). По
определению Rk-i(t) есть (А; — 1)-я производная от
— 9-
е*-
В силу теоремы Тейлора Rk-i@) есть (к — 1)!, умноженный на коэф-
коэффициент при tk~l в разложении в степенной ряд этой функции в t — 0.
Так как
к=о
то СA - А;) = (-lf-lBk/k. Если А; = 1, то С@) = Вг = -1/2. Если к > 1
и нечетно, то ??& = 0. Таким образом, ?A — к) — —В^/к для к > 1. ?
§6. Значения L(s,x) B отрицательных целых числах 327
Предположим теперь, что х ~ некоторый нетривиальный характер
по модулю т. При рассмотрении L(s,x) мы поступаем точно так же,
как и при рассмотрении ((s). Умножим обе части равенства A3) на х(п)
и просуммируем их по п. В результате получим
/»ОО
T(s)L(s,x)= FJe'^f'1 dt,
Jo
где
oo т oo т _а+
—t\ \~^ ( \ —nt \~^ / \ \~^ —(a-\-km)t \~^ ( ^
^ ^ ' / -j ^ ' / -j ^ ' / -j / -j ^ "I p—frit
n=l a=l k=0 a=l
Если положить L*(s,x) — A ~ 21~s)L(s,x), то тем же способом, как
было получено равенство A6), получаем
T(s)L*(s,X)= / R^e-^f-1 dt, A9)
Jo
где
i2x(a;)=Fx(a;)-
a=l
E^V
a=l
Поскольку x — 1 будет корнем многочлена 1 + xm — 2xa для каждого
значения а, то Rx{x) имеет вид
# (,гЛ — Х1\Х)
Ж1
где /(х) — многочлен. Положим Rx,o(t) = Rx(e~f) и RXj7l(t) = -^—Ях(е~г).
(JLL
Повторным интегрированием по частям тем же самым способом, каким
было получено равенство A8), находим, что
T{s + k)L*(s, X) = (-1)" / RxAt)tS+k~l dt. B0)
Jo
Интеграл в B0) сходится к аналитической функции в полуплоскости
{sGC|a>— к}. Объединение этих формул при к = 0,1,... задает ана-
аналитическое продолжение функции L*(s,x), а потому и L(s,x) на всю
комплексную плоскость.
Перед тем как приступить к вычислению L(s)x) B отрицательных
целых числах, приведем еще одно определение.
328 Гл. 16. L-функции Дирихле
Определение. Пусть х ~ некоторый нетривиальный характер Ди-
Дирихле по модулю т. Обобщенные числа Бернулли Впа определяются
следующей формулой:
a=l n=0
В литературе обычно определяют Впх этим способом лишь в случае,
когда х — примитивный характер по модулю т. Мы возвратимся к
этому вопросу позже.
оо п
Лемма 1. tFJe'1) = У^(-1)пВп у—-.
п=0
Доказательство. Нужно подставить —t вместо t в равенство B1). ?
Предложение 16.6.2. Пусть к — положительное целое число.
Тогда L(l — к) х) — —Bk,x/k-
Доказательство. В равенство B0) подставим s = 1 — к. В результате
получим
/»О
/
Jo
Так как Rx^{t) — -j-i?Xj^_i(t), отсюда следует, что A — 2к)Ь{1 — к)х) —
= (-l)*^.!^). Так как
и, по лемме 1,
Rx{e-*) = Fx(e"*) - 2Fx{eT™) = -
1 k=i
то (-l)*-1^*..!^) = -A - 2к)Вка/к. Таким образом, L(l - fc,x) =
= —В^^х/к) как и утверждалось. П
Из равенства B1) следует, что числа Б/^ лежат в поле, порожден-
порожденном над Q значениями характера х- Значит, в частности, они являются
алгебраическими числами.
Как уже упоминалось, обычно числа Впх определяются равенством
B1) лишь в случае, когда х — примитивный характер по модулю т.
Это означает, что ограничение х на {п €= ^ I {ji^m) — 1} имеет поря-
порядок, не меньший чем т. Тривиальный характер примитивен лишь для
модуля 1. В этом случае мы получаем из равенства B1)
о tn tet f 1 * V- о ^
вп>хо- = -—- = t + -—- = l + - + > вп—
п\ е* — 1 е* — 1 2 *-^ п\
п=0 п=1
Замечания 329
Таким образом, —Biao = В\ и Впао = Вп для п ^ 2. Это объясняет,
почему ??П5% называются обобщенными числами Бернулли.
Числа Вка обладают многими интересными арифметическими свой-
свойствами. Заинтересованному читателю следует обратиться к гл. 2 моно-
монографии [155]. Эта монография посвящена доказательству того, что ра-
равенство L(l — k,x) — Bka/k, приводит к р-адическим L-функциям и к
замечательной связи между этими функциями и теорией круговых по-
полей. Другой подход к этому кругу вопросов содержится в книгах [167],
[171] (и [24*], [31*]. — Ред.). Более доступное для начинающих изложение
имеется в книге [162].
Замечания
Лежандр безуспешно пытался доказать существование бесконечного
числа простых чисел в арифметической прогрессии am + 6, (а, Ь) = 1.
Дирихле отмечал, что после того, как ему не удалось преодолеть труд-
трудности, возникавшие при завершении рассуждений Лежандра, он был
вынужден приступить к изучению одного класса бесконечных рядов
и произведений, аналогичных тем, которые рассматривались Эйлером
(см. [124]). Результаты исследования Дирихле оказали значительное
воздействие на развитие алгебраической и аналитической теории чисел.
В дополнение к доказательству существования простых чисел в произ-
произвольной арифметической прогрессии Дирихле смог, воспользовавшись
развитой им аналитической техникой, получить явные формулы, часть
которых была сформулирована в виде гипотезы Якоби (см. замечания
к гл. 14), для числа классов квадратичных числовых полей. Например,
если р — некоторое простое число, большее 3, то число классов поля
Q(V~P) Равно ~п=^{1) х)) где х — характер Дирихле, соответствующий
у/Р
символу Лежандра. Хорошо известное выражение — ^ кх{к) для чис-
Р к
ла классов получается отсюда приведением L(l,x) к конечному виду
(см. [9], с. 364). Последнее в свою очередь получается с использованием
значений классических сумм Гаусса. Так как числа классов положи-
положительны, этот подход показывает, что L(l,x) ф 0.
Если F — нормальное расширение поля Q степени п, то, развивая
методы этой главы, можно показать, что множество простых чисел р,
которые полностью разлагаются в F, т.е. которые являются произведе-
произведением п различных простых идеалов в F) имеет плотность Дирихле —. В
качестве следствия можно показать, что если f(x) — некоторый непри-
неприводимый многочлен с целыми коэффициентами, то множество простых
330 Гл. 16. L-функции Дирихле
чисел р, для которых f{x) будет произведением линейных множителей
по модулю р) имеет плотность —, где п — степень поля разложения
многочлена fix).
Обобщенные числа Бернулли для квадратичных характеров появля-
появляются в [153]. В этой статье Гурвиц получает функциональное уравне-
уравнение для L(s,x) c квадратичным характером %, рассматривая частичные
дзета-функции Y2 -? ,ч8. Значения в отрицательных целых числах
этих последних функций можно найти либо классическим методом, ли-
либо методом Госса, как это было сделано в данной главе. Подходящая
линейная комбинация этих значений приводит затем к выражению для
L(l — к)х) (предложение 16.6.2). Анкени, Артин и Чоула также вве-
ввели обобщенные числа Бернулли для квадратичных характеров в связи
с некоторыми замечательными сравнениями, которые содержат число
классов вещественного квадратичного поля и компоненты фундамен-
фундаментальной единицы [86]. Определение и основные свойства обобщенных
чисел Бернулли приведены у Леопольда [178], который использует их в
другом месте для получения обобщения на произвольное абелево рас-
расширение поля Q критерия Куммера делимости числа классов для Q(Cp)
(см. замечание после теоремы 4 гл. 15). В этой статье Леопольд доказы-
доказывает теорему типа теоремы Клауссена—фон Штаудта для Впх. См. так-
также [104] и монографию о р-адических L-функциях [155].
Упражнения
1. Используя метод §2, вычислить плотность множества простых
чисел, сравнимых с 1 по модулю 3.
2. Пусть pi, ..., рп — простые числа, сравнимые с 1 по модулю 4.
( п \2
Показать, что если р — простое число, делящее [2 YI Рк) + 1, то р
также сравнимо с 1 по модулю 4 и р ф ]?&, к = 1,...,п.
3. Вычислить множество характеров Дирихле по модулю 8 и по мо-
модулю 12.
4. Пусть х — нетривиальный характер Дирихле по модулю 3. Пока-
Показать, что
Можете ли вы найти точное значение для L(l,x)? (См. упр. 8.)
5. Воспользоваться теоремой 2 из гл. 13 для определения плотности
Дирихле множества простых чисел, которые разлагаются на 4 различ-
различных простых идеала в кольце целых чисел поля Q(C)? С = е2угг/5.
Упражнения 331
6. Обобщить упр. 5 на поле Q(Cm) ПРИ произвольном т.
7. Рассматривая Фт(х) по модулю р) дать алгебраическое доказа-
доказательство того, что в прогрессии тк + 1, А; = 1,2,3, ..., существует бес-
бесконечно много простых чисел.
Р-1 /7 \ / 7 \
8. Пусть д(х) — классическая сумма Гаусса ^ ( — 1 ?*, где ( — 1 —
символ Лежандра, ( = е27гг/р, р — простое число. Положим
па - о
р _ п_
па - с)'
г
где п, г пробегают соответственно неквадраты и квадраты по модулю
р. Показать, что
P = exp(g(x)L(l,X)).
9. Воспользовавшись упр. 8, вычислить L(l, х)? где х — нетривиаль-
нетривиальный квадратичный характер по модулю 5.
10 (Чоула). При тех же обозначениях, что и в упр. 8, показать, что
Р Ф 1 (а следовательно, L(l,x) Ф 0!!) следующим образом. Обозначим
через С какой-нибудь неквадрат по модулю р. Доказать, что если Р = 1,
то
Конкретизируя х, получить противоречие!
11. Используя теорему Дирихле, показать, что существует нормаль-
нормальное расширение поля Q с любой заданной конечной циклической груп-
группой в качестве группы автоморфизмов.
12. Из теоремы Дирихле получить неприводимость над Q кругового
многочлена Фп(х) ([166], т. 2).
13. Пусть х — некоторый характер Дирихле по модулю т, хB) ф 0.
Показать, что
Следующие упражнения, извлеченные из [193], дают короткое дока-
доказательство того, что на интервале [l, \{р — 1)] для простого числа р)
сравнимого с 3 по модулю 4 имеется больше квадратов, чем неквадра-
неквадратов. В упр. 14—17 р = 3 (mod 4).
14. Пусть р = 3 (mod 4). Показать, что
к\ 2ттк
- ) sin =
р
332
Гл. 16. L-функции Дирихле
15. Используя упр. 14, показать, что
1 /2п+1\ 1 ^
п=0
к=1
т=0
2т
/2тгBш
sin I —
Р
[Указание. Сделать замену к —>¦ Bт + 1)/с и просуммировать по т.]
16. Используя элементарный факт из рядов Фурье о том, что
E
n=0
sinBn
2п
7г/4, 0 < X < 7Г,
—тг/4, тг < x < 2тг,
показать, что
сю
Е
1
2п+1
7Г
. fe=i
Е * - ^
Е
7Г
/с=1
17. Так как ^ ( — I ф 0 (почему?), вывести отсюда, что
2п
Р
hip-1)
и, таким
2 I h\
образом, ^ ( - ) > 0. Напомним, что р = 3 (mod 4).
18. Пусть т ^ 2, (а, т) = 1. Если а имеет порядок п в группе единиц
по модулю т) то показать, что существует бесконечно много простых
t \ -п тэ (р(т)
чисел р, для которых ур) — Pi... PS) s — ——L
fc — различные простые
идеалы в Q(Cm)- Какова плотность этого множества простых чисел?
Глава 17
ДИОФАНТОВЫ УРАВНЕНИЯ
В гл. 10 мы рассматривали диофантовы уравнения над конечны-
конечными полями. В этой главе мы рассматриваем диофантовы уравнения
частного вида с целыми коэффициентами и ищем целые или рацио-
рациональные решения. Применяемая техника варьируется от рассмотре-
рассмотрения элементарных сравнений до использования более тонких резуль-
результатов теории алгебраических чисел. В дополнение к доказательствам
существования или несуществования решений мы получаем также
результаты количественного характера, как, например, при определе-
определении числа представлений некоторого целого числа в виде суммы четы-
четырех квадратов. Все рассматриваемые в этой главе уравнения являются
классическими и каэюдое из них играло ваэюную роль в историческом
развитии этой области теории чисел.
§ 1. Общие сведения и первые примеры
Под диофантовым уравнением мы будем понимать полиномиальное
уравнение
коэффициенты которого суть рациональные целые числа. Если это урав-
уравнение имеет решение в целых числах х1?..., хп, то будем говорить, что
(xi,... ,хп) — целочисленное решение. Если уравнение A) однородное,
то отличное от @,..., 0) решение называется нетривиальным. Решение
уравнения A) в рациональных числах Х\)... ,хп называется рациональ-
рациональным. Очевидно, что в однородном случае проблема нахождения рацио-
рационального решения эквивалентна проблеме нахождения целочисленного
решения.
Хотя степень многочлена /(#1,... ,хп) в той или иной мере контро-
контролирует трудность рассматриваемой проблемы, существование или несу-
несуществование решения часто связаны с тонкими инвариантами и даже
иногда с комплексной дифференциальной геометрией уравнения A) над
комплексными числами.
Мы начнем с рассмотрения линейного диофантова уравнения
+ а2х2 + ... + апхп = т. B)
334 Гл. 17. Диофантовы уравнения
Здесь ai,...,an, m — рациональные целые числа. Тогда из гл.1 (см.
упр. 6, 13, 14 этой главы) следует, что решение в целых числах суще-
существует тогда и только тогда, когда наибольший общий делитель чисел
ai,..., ап делит т.
Если п = 2 и d = (ai, B2), то алгоритм Евклида дает точное правило
построения решения уравнения а\Х\ + а2^2 = d (упр. 2 и 4 гл. 1). Умно-
Умножение этого решения на m/d приводит к решению уравнения B). При
п > 2 можно продолжить этот процесс по индукции, используя простое
наблюдение, что ((аь ..., an_i), an) = (аь ..., ап).
Если уравнение A) имеет целочисленное решение, то для каждого
простого числа р имеет решение сравнение
f(x)=0(modp). C)
Поэтому если можно найти простое число р, для которого сравнение C)
не имеет решения, то уравнение A) тоже не имеет решения. Этот метод
можно применить ко многим частным случаям для получения теорем
несуществования. Мы приведем несколько примеров применения этой
техники.
Например, рассмотрим уравнение
у2 = х3 + 7. D)
Если уравнение D) имеет решение, то х нечетно, ибо в противном случае
редукция по модулю 4 привела бы к тому, что 3 — квадратичный вычет
по модулю 4, что не так. Запишем уравнение D) в виде
у> + 1 = (я + 2){х2 - 2х + 4) = {х + 2){{х - IJ + 3). E)
Далее, так как {х — IJ + 3 имеет вид 4п + 3, то существует простое
число р вида 4п + 3, делящее его, и редукция равенства E) по модулю
р приводит к тому, что —1 — квадратичный вычет по модулю р. Но это
противоречит следствию 3 предложения 5.1.2. Разумеется, это искусное
рассуждение проходит лишь потому, что мы выбрали х3 + 7. Имеется
много результатов относительно рациональных и целочисленных реше-
решений уравнения
у2 = х3 + к F)
для частных значений к (см. § 10). Заинтересовавшийся читатель может
обратиться к [189], где указан широкий набор приемов, используемых
при рассмотрении уравнений F). Мы упомянем мимоходом, что из глу-
глубоких теорем Морделла и Зигеля следует, что уравнение F) имеет лишь
конечное число целочисленных решений. Вопрос о рациональных реше-
решениях приводит к знаменитым гипотезам Бёрча и Суиннертона-Дайера.
§ 1. Общие сведения и первые примеры 335
Формулировка этих гипотез будет дана в следующей главе.
Рассмотрим теперь уравнение
у2 = рх + 2. G)
Здесь р — простое число с р = 1 (mod 3). Заметим, что это диофантово
уравнение эквивалентно сравнению
y2 = 2(modp). (8)
В силу предложения 9.6.2 уравнение G) имеет решение тогда и только
тогда, когда р = C2 + 27D2 при подходящих целых числах С и D. Таким
образом, диофантова задача G) связана с вопросом о представимости
числа р квадратичной формой х2 + 277у2.
Аналогично квадратичный закон взаимности может быть использо-
использован для доказательства того, что уравнение
у2 = 41х + 3 (9)
не имеет решения. Действительно, если решение существует, редукция
по модулю 41 показывает, что 3 — квадратичный вычет по модулю 41.
Но так как 41 = 1 (mod 4), квадратичный закон взаимности означает,
что 41 — квадратичный вычет по модулю 3, что не так.
Общеизвестное диофантово уравнение задается равенством
x2 + y2 = z2. A0)
Его решения в целых числах называются пифагоровыми тройками. Мы
решим это уравнение при помощи предложения 1.4.1, в котором утвер-
утверждается, что Щг\ — область однозначного разложения на простые мно-
множители. Доказательство без использования комплексных чисел можно
найти, например, в [40], с. 190. Предположим, что уравнение A0) име-
имеет решение и что (я, у) = 1. Тогда числа х и у не могут одновременно
быть четными, и редукция A0) по модулю 4 показывает, что z нечетно.
Представим A0) в Щг\ в виде
(х + гу)(х- гу) = z2. A1)
Если тг — неприводимый элемент в Z[z], делящий х + гу и х — гу, то тг
делит 2х и 2у. Так как z нечетно, то (тг) ф A + г), ибо в противном
случае тгтг = 2 | z2. Поэтому тг | х и тг\у. Взятие норм показывает, что
р | х и р | у, где р = ЛГ(тг), что противоречит предположению о том, что
(х,у) = 1. Следовательно, х + гу и х — гу взаимно просты. Если z —
— итт^1 ... 7T^S, где и — единица, есть разложение на простые множители
в Z[г], то в силу однозначности разложения
х + гу = и/32. A2)
Записывая /3 = а + гЪ и беря и — 1, получаем решения
336 Гл. 17. Диофантовы уравнения
х = а2 - б2, у = 2а&, z = а2 + &2.
Другие выборы единицы (и — — 1, ±г) приводят, в сущности (т.е. с
точностью до знака), к тому же самому решению. Тождество (а2 — 62J +
+ Bа6J = (а2 + б2J показывает, что уравнение A0) имеет бесконечно
много решений. Рассуждение, приведенное выше, показывает, что дру-
других решений нет.
Мы закончим этот параграф простым примером однородного ку-
кубического уравнения, которое не имеет нетривиальных решений. Для
произвольного простого числа р рассмотрим уравнение
х3 +py2+p2z3 = 0. A3)
Предположим, что A3) имеет целочисленное решение (х, ?/, z), при-
причем х) у) z не все делятся на р. Тогда р\х3) а потому р\х. Полагая
х — рх' и производя сокращение, получаем, что р | у3) а потому р\у.
Полагая у — ру' и производя сокращения, получаем, что р | г3, или р \ z
(противоречие). Этот изящный пример принадлежит Эйлеру (см. [154],
с. 455).
§ 2. Метод спуска
Этот метод, примененный впервые Ферма, можно использовать при
рассмотрении различных интересных диофановых уравнений. Иллю-
Иллюстрировать его лучше всего на примерах. Для этого рассмотрим дио-
фантово уравнение
x4 + y4 = z4. A4)
Мы покажем, что это уравнение не имеет целочисленных решений с
xyz ф 0, z > 0. Предполагая, что A4) имеет такое целочисленное реше-
решение, мы построим другое решение с меньшим положительным z. Оче-
Очевидно, что это невозможно, ибо в этом случае мы получили бы беско-
бесконечную последовательность убывающих положительных целых чисел.
Более подробно это выглядит следующим образом.
Мы можем предполагать, что (x,y,z) = 1, z > 0. Далее, числа х
и у не могут быть одновременно нечетными, ибо в противном случае
редукция по модулю 4 приводила бы к сравнению z2 = 2 (mod 4), что
невозможно. Пусть х будет нечетным, у четным, так что z нечетно.
Запишем уА — [z — x2)(z + х2) и заметим, что так как любое простое
число р) делящее два сомножителя справа, должно делить также 2z и
2х2) то должно быть {z — х2) z + х2) — 2. Но произведение этих двух
сомножителей есть четвертая степень. Поэтому возможны два случая:
z — х2 — 2а4, а > 0, а нечетно,
j 3. Теорема Лежандра 337
или
z + х2 — 2а4, а > О, а нечетно,
*-ж2 = 8&4, (а,6) = 1,
Первый случай означает, что х2 — — а4 + 464; это невозможно, ибо
тогда 1 = — 1 (mod 4). Поэтому имеет место случай A6) и z — а4 + 464.
Заметим, что 0 < а < z. Исключая z из A6), получаем 464 = (а2 — х)-
\а2 + х).
Так как (а, Ъ) — 1, то (а,х) = 1, и рассуждая, как прежде, убежда-
убеждаемся в том, что (а2 — х)а2+х) — 2. Записывая а2 — х — 2с4 и а2 + х = 2d4,
получаем
a2 = c4 + d4.
Таким образом, мы нашли решение уравнения A4) с меньшим положи-
положительным значением для z и тем самым завершили доказательство. ?
В частности, уравнение х4 + у4 = г4 не имеет решений с xyz ф 0.
Это есть один из случаев последней теоремы Ферма.
§ 3. Теорема Лежандра
В этом параграфе мы рассматриваем диофантово уравнение
ах2 + by2 + cz2 = 0, A7)
где а, 6, с — свободные от квадратов попарно взаимно простые целые
числа. Мы хотели бы получить необходимые и достаточные условия для
того, чтобы уравнение A7) имело нетривиальное целочисленное реше-
решение. Для существования решения необходимо, конечно, предположить,
что a, b и с не все имеют одинаковый знак. Если тип — отличные от
нуля целые числа, то пусть т Rn обозначает тот факт, что т есть квад-
квадрат по модулю п. Другими словами, существует некоторое целое, число
х с х2 = т (mod n). Лежандр доказал следующую красивую теорему.
Предложение 17.3.1. Пусть а, Ъ, с — отличные от нуля целые
числа, свободные от квадратов, попарно взаимно простые и не все
одинакового знака. Тогда уравнение A7) имеет нетривиальное цело-
целочисленное решение в том и только том случае, когда выполняются
следующие условия:
(i) — ab R с.
iii) —ас R b.
(iii) —be R a.
Доказательство этого результата удобно проводить в следующем эк-
эквивалентном виде.
338 Гл. 17. Диофантовы уравнения
Предложение 17.3.2. Пусть а и Ъ — положительные свободные
от квадратов целые числа. Тогда уравнение
ах2 + by2 = z2 A8)
имеет нетривиальное решение тогда и только тогда, когда выполня-
выполняются следующие три условия:
(i) a Rb.
(ii) b R а.
(Ill) — (ab/d2) R d) где d — (a, b).
Чтобы убедиться в том, что из предложения 17.3.2 следует предло-
предложение 17.3.1, рассмотрим уравнение ах2 + by2 + cz2 — 0 из предложения
17.3.1 и предположим, что а и b положительны, в то время как с отри-
отрицательно. Тогда, как нетрудно видеть, уравнение —асх2 — Ьсу2 — z2 — О
удовлетворяет условиям предложения 17.3.2. Если (a,?/, z) — решение
последнего уравнения, то, так как с свободно от квадратов, c\z. По-
Полагая z = cz' и производя сокращение, получаем решение уравнения
A7). Тот факт, что из предложения 17.3.1 следует предложение 17.3.2,
предлагается доказать читателю в качестве упражнения.
Мы приступаем теперь к доказательству предложения 17.3.2. Если
а — 1, то предложение очевидно. Кроме того, можно считать, что а > Ь.
При b > а следует лишь поменять местами х и у. Если а = 6, то по (ш)
— 1 будет квадратом по модулю Ь. В силу упр. 25 в конце этой главы
можно найти такие целые числа г и s, что b — г2 + s2. Решение задается
тогда в виде х — г, у — s, z — г2 + s2.
Проведя эти предварительные рассмотрения, мы приступаем к по-
построению нового уравнения Ах2 + by2 — z2, удовлетворяющего тем же
условиям, что и A8), с 0 < А < а и такого, что если оно имеет нетриви-
нетривиальное решение, то нетривиальное решение имеет и A8). После конеч-
конечного числа шагов, меняя местами А и b при А < 6, мы получаем один
из случаев А — 1 или А — 6, каждый из которых уже был рассмотрен.
Теперь остановимся на деталях.
В силу (И) существуют такие Тис, что
с2 - b = аТ = аАтп2; А.ЬеЪ, A9)
где А свободно от квадратов и \с\ ^ а/2. Прежде всего мы покажем, что
О < А < а. Это следует из A9), так как 0 ^ с2 = a Am2 + b < a(Am2 +1).
Таким образом, А ^ 0. Но так как b свободно от квадратов, то А > 0 в
силу A9). Кроме того, из A9) следует, что a Am2 < с2 ^ а4/4, так что
А ^ Am2 < а/4: < а.
Проверим теперь, что A Rb. Положим b = b\d) a — a\d) где (аь Ь\) —
— 1, и заметим, что (аь d) — {bi)d) — l) так как а и b свободны от квад-
квадратов. Тогда A9) превращается в
j 3. Теорема Лежандра 339
с2 - bid = aidAm2 B0)
и, так как d свободно от квадратов, d \ с. Полагая с — C\d и производя
сокращение, получаем
del ~h = ахАт2. B1)
Таким образом, Aaim2 = —Ь\ (mod d)) или Aa\m2 = —a\b\ (mod d). Ho
(d,m) = 1 в силу того, что по B1) общий делитель делил бы Ь\ и d и,
таким образом, число b не было бы свободным от квадратов. Используя
A11) и тот факт, что m — единица по модулю d, получаем, что A R d.
Кроме того, с2 = aAm2 (mod b\). Так как а Д 6, то a Rb\. Помимо этого,
(a,&i) = 1, ибо общий делитель делил бы d и Ъ\ в противоречие с тем
фактом, что b — bid свободно от квадратов. Аналогично (m,&i) = 1,
откуда следует, что A R Ъ\. В силу упр. 26 A R db\^ или A R Ь.
Запишем теперь А = rA\, b — г&2> (^-ъ^) = 1- Мы долж:ны прове-
проверить, что —A\b2 R г. Из A9) получаем, что
2
с2 -rb2 = arAxm2. B2)
Но г свободно от квадратов, так что г | с. Если с — гс\) то
aAim2 = — 62 (mod r).
Так как a R 6, то a R г. Записывая, наконец,
1 = —b\ (mod r)
и замечая, что (а,г) = (ттг,г) = 1, мы получаем —А\Ьъ R т. Предполо-
Предположим теперь, что АХ2 + bY2 = Z2 имеет нетривиальное решение. Тогда
АХ2 = Z2 - bY2. B3)
Умножая B3) на A9), получаем
a(AXmJ = (Z2 - bY2)(c2 - Ь) = (cZ + bYJ - b(cY + ZJ.
(Обратите внимание на использование мультипликативности норменно-
го отображения на Q(Vb)\) Таким образом, уравнение A8) имеет реше-
решение
х = гпАХ, y = cY + Z, z = cZ + bY.
Это завершает доказательство, так как X ф 0; кроме того, m ф 0,
как следует из того факта, что b свободно от квадратов. ?
Важным следствием предложения 17.3.1 является один частный слу-
случай так называемого принципа Хассе, который, грубо говоря, утвержда-
утверждает, что из локальной разрешимости следует глобальная разрешимость.
Здесь локальная разрешимость означает, что рассматриваемое уравне-
уравнение имеет как нетривиальное решение по модулю рт для всех простых
340 Гл. 17. Диофантовы уравнения
чисел р и всех положительных целых чисел т, так и вещественное реше-
решение, в то время как глобальная разрешимость означает разрешимость
в целых числах. Этот принцип верен для квадратичных форм, но на-
нарушается для уравнений более высокой степени. Например, уравнение
х4 — 17?/4 = 2z4 имеет нетривиальное решение по модулю рт при всех
р и т и вещественное решение, но не имеет нетривиального решения в
целых числах [205].
Следствие. Пусть а, Ь, с — положительные свободные от квадра-
квадратов попарно взаимно простые целые числа, не все одного знака. Если
для каждой степени простого числа рт сравнение
ах2 + by2 + cz2 = 0 (mod pm)
имеет решение в целых числах (x,y,z), причем не все они делятся на
р, то уравнение ax2 + by2 + cz2 = 0 имеет нетривиальное целочисленное
решение.
Доказательство. Пусть т — 2, и предположим, что р \ а. Тогда если
(x,y,z) — решение, о котором говорится в следствии, то мы покажем,
что pXvz- Действительно, если, скажем, р\у, то р | cz2, откуда следует,
в силу (а, с) = 1, что р | z. Таким образом, р2 \ ах2 и в силу р)(х мы
получаем противоречие р2 \ а. Подобно этому pj(' z. Значит, by2 + cz2 =
0 (mod р) и деление (по модулю р) показывает, что —be R р. Так как это
имеет место для каждого р | а, то —be R а (упр. 26). Аналогично — ab R с
и —ас R 6, и следствие получается теперь из предложения 17.3.1. ?
§ 4. Теорема Софи Жермен
В гл. 14 мы доказали, что если уравнение Ферма для нечетного про-
простого числа р
хр + уР + zp = 0 B4)
имеет решение с pjfxyz^ то выполняется очень сильное сравнение, а
именно,
2р~г = 1 (modp2).
В 1823 году Софи Жермен при помощи вполне элементарных сообра-
соображений доказала следующий замечательный результат.
Предложение 17.4.1. Если р — такое нечетное простое число,
что 2р + 1 = q — тоэюе простое число, то уравнение B4) не имеет
целочисленных решений с p^xyz.
Доказательство. Предположим, что вопреки утверждению такое
решение существует и (x,y,z) — 1. Запишем
-з? = (y + z^-1 - zv-2y+.. . + ур~1). B5)
> 5. Уравнение Пелля 341
Два сомножителя справа взаимно просты. Действительно, pXv + z, и
если г ф р — какое-либо простое число, делящее оба сомножителя, то,
поскольку у = —z (mod r),
О = zp~l - zp~2y + ... + yp~l (mod r) = pyp~l (mod r),
откуда следует, что г | у. Это в свою очередь означает, что г | z (по B4)),
в противоречии с предположением (x,y,z) — 1. В силу однозначности
разложения на простые множители в Z мы получаем, что
при
Так
zp~l — zl
соответствующих целых
как р — ^—— ? редукция
>-2у + ... + ур-
числах А и Т.
х + у = Вр,
x + z = Cp,
¦1 _ jip
Аналогично
B4) по модулю q дает
B6)
B7)
B8)
B9)
х 2 +у 2 +z 2 = 0 (mod q).
Если ^/K^l/^, то каждый из членов слева равен ±1 по модулю q, что
невозможно, ибо q > 5. Таким образом, по симметрии можем считать,
что q | х. Из B6), B8) и B9) получаем, что
Вр + Ср - Ар = 2х,
так что
2llL 2llL 2lJ:
Б 2 +С 2 -А 2 =0 (mod?). C0)
Опять отсюда следует, что q | ABC. Но, так как § | х, из B8) и B9)
вытекает, что q | 5G невозможно. Поэтому q \ А. Из B6) и B7) мы видим,
что
Tp=pyp~l (mod?).
Из B8) получаем у = Вр (mod q)) а так как (А,Т) = 1, то qJ^T. Таким
образом, поскольку р = ^-^—, то ±1 = ±р (mod q), что невозможно, и
доказательство закончено. ?
К сожалению, неизвестно, бесконечно ли много простых чисел «типа
Жермен», т.е. простых чисел р, для которых 2р + 1 простое. Интересу-
Интересующимся этим вопросом следует обратиться к лекции IV в книге [206].
342 Гл. 17. Диофантовы уравнения
§ 5. Уравнение Пел ля
Пусть d — некоторое положительное свободное от квадратов целое
число. Диофантово уравнение, которое будет рассматриваться, — это
x2-dy2 = l. C1)
То, что это уравнение имеет бесконечное число решений, было выска-
высказано Ферма в виде гипотезы в 1657 году и полностью доказано Ла-
гранжем. По-видимому, Пелль не имеет к этому уравнению никакого
отношения, а ошибка приписывания его имени этому уравнению при-
принадлежит Эйлеру. По поводу полной истории этого вопроса (и многих
других) заинтересованному читателю следует обратиться к книге [128].
См. также [22] и [240].
Решение уравнения C1) использует следующее предложение, явля-
являющееся приложением принципа ящиков Дирихле.
Предложение 17.5.1. Если ? иррационально, то существует бес-
бесконечно много таких рациональных чисел —, (х,у) = 1, что
у
X
У
1
~2'
Доказательство. Разобьем полуоткрытый интервал [0,1) на полу-
полуоткрытые интервалы:
Если [а] означает, как обычно, наибольшее целое число, меньшее или
равное а) то дробная часть а определяется как а — [а]. Она лежит в
единственном члене разбиения. Рассмотрим дробные части чисел 0, ?,
2?, ..., п?. По крайней мере две из них должны лежать в одном и том
же подынтервале1. Другими словами, существуют такие j и к с j > к,
0 ^ j, к ^ п, что
-- C2)
Положим у — j — к) х — [к?\ — [??], так что C2) превращается в нера-
х ~ У^\ < ~- Здесь мы можем считать, что (х,у) = 1, так как
венство
п
деление на (х, у) лишь усилит неравенство. Но из 0 < у < п следует, что
— — ? < — < ^о • Для получения бесконечного числа решений заме-
У ^ Пу у2 ^ J K
О, и выберем целое число т > -.—-. —.. Описанный
X
тим, что — — ?
выше прием приводит к существованию таких целых чисел Xi, yi, что
1 Это и есть принцип ящиков. — Прим. ред.
> 5. Уравнение Пелля 343
< < — — ? и 0 < уi < т. Это дает бесконечное число
решений. П
Это предложение будет использовано, чтобы показать, что \х2 — dy2\
принимает бесконечно часто одно и то же значение.
Лемма 1. Если d — некоторое положительное свободное от квад-
квадратов целое число, то существует такая константа М, что неравен-
неравенство \х2 — dy2\ < М имеет бесконечное число целочисленных решений.
Доказательство. Запишем х2 — dy2 — {х + yyfd){x — yy/d). В силу
предложения 17.5.1 существует бесконечно много пар взаимно простых
целых чисел (х, у)) у > 0, удовлетворяющих неравенству \х — yyfd\ < —.
Отсюда следует, что
\х + yy/d\ <\x- yy/d\ + 2\y\y/d < 1 + 2yyfd.
— + 2yyfdy- ^ 2yfd+\ и доказательство завершено.
Значит, \x2-dy2\ < у , _а ? ^ у
П
Сформулируем основной результат этого параграфа:
Предложение 17.5.2. Если d — положительное целое число, сво-
свободное от квадратов, то уравнение x2 — dy2 — \ имеет бесконечно мно-
много целочисленных решений. Более того, существует такое решение
(xi,yi), что каэюдое другое решение имеет вид ±(хп,уп), где
хп + Vn^/d = {xi + y\\fd)n, n e Z.
Доказательство. Согласно лемме 1, существует такое m G Z, что
равенство х2 — dy2 = m выполняется для бесконечного числа целых
пар (х, у), х > 0, у > 0. Можно предполагать, что все координаты х
различны. Кроме того, так как имеется лишь конечное число классов
вычетов по модулю \т\) можно найти такие пары (xi,?/i), (^2,2/2), Xl Ф
Ф Х2, что Х\ = Х2 (mod |m|), y\ = У2 (mod \т\). Положим а = Х\ — y\\fd^
j3 — Х2 — y2^fd. При 7 = х — yy/d пусть jf = х + y\[d обозначает сопря-
сопряженный элемент к 7 и ^G) — х2 — dy2 обозначает норму. Напомним,
что N(af3) — N(a)N(f3). Короткое вычисление показывает, что af3' —
— А + By/d, где т\А) т\ В. Таким образом, аE' — т(и + vy/d) для
целых чисел ии v. Взятие нормы от обеих частей приводит к равенству
т2 = т2(и2 — dv2)) откуда получаем
и2 - dv2 = 1. C3)
Остается убедиться в том, что v ф 0. Но при v = 0 получаем и = ±1
и aj3' — ±m. Умножение на j3 приводит к равенству am — ±m/3, или
а — ±/?. Последнее же означает, что х\ = Х2- Таким образом, уравнение
Пелля имеет решение с ху ф 0.
344 Гл. 17. Диофантовы уравнения
Для доказательства второго утверждения введем на множестве ре-
решений упорядочение: будем говорить, что решение (х,у) больше, чем
решение {u)v)) если х + yyfd > и + vyfd. Рассмотрим теперь наимень-
наименьшее решение а с х > 0, у > 0. Такое решение существует (почему?) и
единственно. Оно называется фундаментальным решением.
Рассмотрим любое решение /3 — и + vyfd, и > 0, v > 0. Мы покажем,
что существует такое положительное целое число п, что j3 — ап. Если
это не так, то выберем п > 0 так, чтобы ап < /3 < ап+1. Тогда, поскольку
а' = а~\ то 1 < (а')пр < а. Но если (а')пр = A + B\sqrtd, то (А, В) есть
решение уравнения Пел ля и 1 < А + Byfd < а. Далее, А + Byfd > 0, так
что A-By/d= (A + Byfd)~l > 0. Значит, А > 0. Кроме того, A-By/d =
= (А + By/~d)~l < 1, так что Byfd > А — 1 ^ 0. Таким образом, В > 0.
Это противоречит выбору а. Если /3 = а + byfd — решение с а > 0, Ъ < 0,
то j3~l — а — byfd — ап в силу доказанного, так что /3 = оГп. Случаи
а<0, 6>0иа<0, 6<0 приводят, очевидно, к — ап для п е Z. Это
завершает доказательство. ?
Решение частных случаев уравнения Пелля с использованием кру-
круговых полей см. в [126] и [145].
§ 6. Сумма двух квадратов
Если р — простое число, р = 1 (mod 4), то, согласно предложению
8.3.1, диофантово уравнение х2 + у2 = р имеет целочисленное решение,
которое по существу единственно. Имеется много доказательств этого
результата. Напомним, что в доказательстве из гл. 8 используется коль-
кольцо гауссовых целых чисел. Глубже используя арифметику этого кольца,
мы найдем число представлений произвольного положительного целого
числа в виде суммы двух квадратов. Результат удобно формулировать
и доказывать при помощи нетривиального характера Дирихле по моду-
модулю 4, введенного в § 2 гл. 16. Напомним, что этот характер определяется
на Z так: x(d) — 1 ПРИ d = 1 (mod 4), x(d) = — 1 при d = 3 (mod 4) и
= 0.
Предложение 17.6.1. Число целых решений {х^у), х > 0; у ^ 0;
уравнения х2 + у2 — п равно ^ x(d).
d | п
Другими словами, число представлений п в виде суммы двух неотри-
неотрицательных квадратов, первый из которых положителен, равно разности
между числом делителей вида 4Н1 и числом делителей вида 4А; + 3.
Как нетрудно убедиться, общее число решений (я, у), x,j/ G Z, равно
тогда 4 ^2 ;
d n
> 6. Сумма двух квадратов 345
Прежде чем приступить к доказательству, мы получим два след-
следствия.
Следствие 1. Уравнение х2 + у2 — п, п > 0; имеет целое решение
тогда и только тогда, когда ordp n четно для каэюдого простого числа
р = 3 (mod 4). Когда это условие выполняется, число решений равно
П ( p)
p=l (mod 4)
Доказательство. Так как характер х(п) мультипликативен, то из
упр. 10 гл. 2 следует, что функция Y2 x(d) мультипликативна. Если
d | п
р = 1 (mod 4), то ^2 x(d) = п + 1, в то время как при р = 3 (mod 4) ве-
d\pn
личина ^2 x(d) равна 0 или 1 в зависимости от того, будет п нечетным
d\Pn
или четным. Отсюда и следует наш результат. ?
Следствие 2. Пусть т — некоторое положительное нечетное
число. Число решений (х,у), х>0, у> 0; уравнения х2 + у2 = 2т равно
d | т
Доказательство. Так как 2т = 2 (mod 4), то у положительно. С
другой стороны, xBd) = 0 для любого делителя 2d числа 2т. ?
Мы приступаем теперь к доказательству предложения 17.6.1. Рас-
Рассмотрим кольцо Щг\ гауссовых целых чисел. По упр. 33 из гл. 1 единица-
единицами в нем будут ±1, ±г. Таким образом, любое ненулевое число a G Щг\
имеет единственное ассоциированное с ним х + iy, х > 0, у ^ 0. Если
N(x + гу) — х2 + у2 — отображение нормы, то, как нетрудно убедить-
убедиться, число решений уравнения х2 + у2 = п,х>0,у^0, равно числу
идеалов (а), таких, что N(a) = п. Обозначим это число через ап. На-
Напомним, далее, что каждый идеал (а) ф 0 может быть единственным
образом (с точностью до порядка) записан в виде (tti)*1 ... Grs)ts, где тт^
неприводимы. Наконец, согласно § 7 гл. 9, неприводимые элементы за-
задаются с точностью до единиц, числами 1 + г, тт с тгтг = р = 1 (mod 4) и
q) рациональными простыми числами, q = 3 (mod 4). Кроме того, тг и
тг не ассоциированы.
оо
Введем теперь формальный ряд Дирихле ^ —у. Этот ряд известен
п=1 П
как дзета-функция кольца Щг\. Мы рассматриваем это выражение фор-
формально и не будем использовать какие-либо аналитические свойства
соответствующей функции комплексной переменной. Используя одно-
однозначность разложения на простые идеалы в Z[i], которая была доказана
в § 4 гл. 1, с помощью тех же рассуждений, что в упр. 25 из гл. 2, полу-
346 Гл. 17. Диофантовы уравнения
чаем, что
где произведение берется по множеству (неассоциированных) неприво-
неприводимых элементов в Ъ[г\. Правая часть равенства C4) превращается, ес-
если воспользоваться приведенной выше классификацией неприводимых
элементов, в
П гг^' C5)
p=l(mod4) V '* ' g=3(mod4)
Напомним теперь, что
п—\
Замечая, что — = , мы видим, перегруппиро-
1 — q~2s 1 — q~s I + q~s
вывая члены, что C5) превращается в
см П.гш П ttW- C6)
p=l(mod 4) ' <?=3(mod 4)
Это может быть записано в виде
C7)
V
Наконец, используя то, что характер х мультипликативен, получаем,
что C7) может быть записано как
s) У, —7~ • C8)
п=1
Напомним, что второй сомножитель в C8) есть L-ряд Дирихле, вве-
введенный в гл.16, §2, для вычисления плотности простых чисел р =
= 1 (mod 4). Мы показали, что
пь \A^nsl\A^ ns г
п=1 хп=1 х хп=1 х
Предложение 17.6.1 сразу же следует из C9), ибо коэффициент в
правой части равенства C9) равен в силу определения умножения Ди-
Дирихле ^2 x(d). Это завершает доказательство. ?
d\n
§ 7. Сумма четырех квадратов 347
Следует заметить, что перегруппировка членов ряда чисто формаль-
формальна и не требует каких-либо аналитических свойств бесконечных произ-
произведений.
§ 7. Сумма четырех квадратов
В 1621 году Баше сформулировал без доказательства утверждение
о том, что каждое положительное целое число является суммой четы-
четырех квадратов. Это утверждение было доказано Лагранжем в 1770 году.
В 1834 году Якоби смог получить замечательно простую формулу для
общего числа представлений некоторого целого числа в виде суммы че-
четырех квадратов, из которой сразу же получается результат Лагранжа.
Мы начнем этот параграф со стандартного доказательства теоремы
Лагранжа. Применяется техника спуска. После получения теоремы для
простых чисел общий результат следует из одного формального тожде-
тождества Эйлера, выражающего тот факт, что норма квартерниона является
мультипликативной функцией. В последней, несколько растянутой ча-
части этого параграфа мы доказываем теорему Якоби. Доказательство
основано на одном письме A856 г.) Дирихле Лиувиллю ([122], с. 201—
208), в котором упрощается доказательство Якоби. См. также [237].
Мы начнем с одной диофантовой задачи по модулю р.
Лемма 1. При простом числе р сравнение х2 + у2 + 1 = 0 (mod p)
имеет решение в целых числах х, у.
Доказательство. Обозначим через S множество квадратов по мо-
модулю р. Тогда S и { — 1 — х | х G S} = Sf имеют каждое по Ыр + 1)
элементов. Поэтому S и S1 пересекаются, откуда и следует результат. ?
По доказанной лемме существует такое целое число т) что урав-
уравнение тр — 1 + х2 + у2 имеет целое решение, и, более того, перехо-
переходя к вычетам, можем считать, что \х\ < \р, \у\ < \р. Следовательно,
тр < 1 + \р2 + \р2:, так что т < р.
Лемма 2. Предположим, что для простого числа р существует
такое целое число т, 1<т<р, что тр представляется в виде суммы
четырех квадратов. Тогда существует такое п, 0 < п < т, что пр
есть сумма четырех квадратов.
Доказательство. Запишем
тр = х\ + х\ + х\ + х\. D0)
Пусть xk = yk (mod m), где -\т < ук ^ \т. Тогда у\ + у\ + у\ + у\ =
= 0 (mod m), так что существует целое число г ^ 0, для которого
yl + yl + yl + yl D1)
348 Гл. 17. Диофантовы уравнения
Имеем гт ^ \т2+ \т2+ \т2+ \т2 = т2, так что г ^ т. Кроме того,
г ф О, ибо в противном случае ук = 0,k = 1, ..., 4, откуда следовало бы в
силу D0), что m | р (противоречие). Кроме того, г ф т) ибо в противном
случае уь = |т; в таком случае сравнения х\ = \т2 (mod m2) и D0)
означали бы, что тр = т2 (mod m2), m | p. Перемножение равенств D0)
и D1) приводит, согласно упр. 28, к равенству
m2rp = (xxyi + х2у2 + х3у3 + х42/4J + {хху2 - х2уг
- х3уг + х2Уа ~ хАу2J + (хгу4 - хАух + х2у3 - х3у2J.
D2)
Используя сравнения х^ = у^ (mod m), убеждаемся в том, что каждый
член справа в D2) делится на т2. Сокращение на т2 показывает, что
тр есть сумма четырех квадратов. ?
Предложение 17.7.1. Каждое положительное целое число пред-
представляется в виде суммы четырех квадратов.
Доказательство непосредственно следует из лемм 1 и 2 и упр. 28. ?
Возвратимся теперь к формулировке и доказательству теоремы Яко-
би. Мы установим следующий результат.
Предложение 17.7.2. Пусть п — некоторое положительное чис-
число, п = 4 (mod 8). Число целочисленных решений (х, у) z) w), для кото-
которых х, у, z, w положительны и нечетны, уравнения
х2 + у2 + z2 + w2 = п D3)
равно сумме полоэюительных нечетных делителей числа п.
Мы переносим в упражнения доказательство такого следствия.
Следствие. Пусть п — некоторое положительное целое число.
Число целочисленных решений (х, у, z, w) уравнения х2 + y2 + z2 + w2 = п
равно 8^2 d при нечетном п и 24 ^ d при четном п.
d\n d\n
Доказательство предложения 17.7.2 распадается на несколько лемм.
Пусть N обозначает число целых решений (x,y,z,w) уравнения D3) с
положительными и нечетными х, у, z, w. Так как п = 4 (mod 8), можно
записать п — 2m, m = 2 (mod 4).
Лемма 3. N равно числу решений {х)у) z,w,u,v) системы диофан-
товых уравнений
х2 + у2 = 2и, z2 + w2 = 2v, u + v = m D4)
с положительными и нечетными х, у, z, w, и, v.
Доказательство является простым упражнением.
Как в §5, пусть \ обозначает нетривиальный характер Дирихле по
модулю 4.
7. Сумма четырех квадратов 349
de—l d—e
Лемма 4. N = ^2x(de) = J^(—1) 2 = ХХ~1) 2 > г^е сумма бе-
берется по всем решениям (d, e, ?, s) в положительных нечетных целых
числах уравнения ds + et — т.
Доказательство. Из леммы 3 и следствия 2 предложения 17.6.1
нетрудно получить, что
N= E
u-\-v=m
Запишем и — ds) v — et) так что члены в D5) будут находиться во вза-
взаимно однозначном соответствии с наборами (d, e,?, s), где числа d, e, ?,
s положительны, нечетны и удовлетворяют уравнению ds + et = m. Это
доказывает первое равенство в лемме. Второе следует из определения
X и того факта, что ^Ц^ \- ^Н^— = «7"— (mod 2) при нечетных d и е.
Рассмотрим теперь в сумме ^ х(^е) из леммы 4 члены с d — е. Для
каждого нечетного d | m уравнение s + t — Щ имеет ЦК решений в по-
положительных нечетных числах s и t. Общее число решений поэтому
равно ^ U\ — ^ d. Каждое решение уравнения ds + et — т при d — e
d\m d\m
добавляет х(^2) = 1к7У, согласно лемме 4. Доказательство предложе-
предложения 17.7.2 будет завершено, если показать, что ^2x(de) = 0, где сумма
такая же, как в лемме 4, и d ф е. Объединение членов с (d, e, ?, s) и
(е, d, s,t) показывает, что достаточно доказать равенство 5^х(^е) = 0>
где суммирование ведется по d > e.
Обозначим через S множество наборов (d, e, t) s)) где d>e, ds + et —
— т и все числа d, e, ?, s положительны и нечетны. Основная идея
оставшейся части доказательства состоит в построении такого биектив-
биективного отображения множества S в себя, которое переводит ^2x(de) в
s
— ^2iX(de). Это, конечно, означает, что ^2x(de) = 0.
s s
Для некоторого положительного целого числа п положим
п+1п+2
п п + 1
и определим (d7, e7, t7, s7) посредством формул
w = C')' D6)
Так как
л 1 f п + 1 -п-2
А'1 = [
—п п
350 Гл. 17. Диофантовы уравнения
легко проверяется, что
ft d\_(d> t>
s _eJ ~ ye, _5
Беря определители, получаем
ds + et = d's' + e't'. D7)
Таким образом, для каждого п мы имеем отображение Z4 в Z4, которое
будет обозначаться через фп.
Лемма 5. Для заданного набора (d, е,?, s) e S существует един-
единственное п е Z+; длл которого фп(с1, е, ?, 5) ? 5.
Доказательство. Из D6) сразу же видно, что d7, е7, ?7, s7 нечетны,
d7 > e7, d7 > 0, е' > 0. Кроме того, условия s' > 0, t7 > 0 эквивалентны в
силу D6) неравенствам
е е
- 1 < п <
d — е d — е
Но d — е — положительно и четно, а е нечетно, откуда вытекает, что
последние неравенства удовлетворяются при единственном п > 0. Это
и завершает доказательство. ?
Обозначим через Ф отображение из S в S, определенное в лемме 5.
Лемма 6. Ф — биекция.
Доказательство. Мы покажем, что Ф2 — единичное отображение.
Действительно, если (d, e, ?, s) e S) то
D8)
где звездочка означает транспонирование. Здесь кип определены лем-
леммой 5. Но целое число к определено условием, что правая часть в D8)
принадлежит 5, однозначно, причем это условие выполняется при к =
= п. Таким образом, Ф2^^^^) — (d, e,?, s) и доказательство леммы
завершено. ?
Для окончания доказательства предложения 17.7.2 заметим, что из
d-e
D6) имеем d7-e7 = s+t. Но x(de) = (-1) 2 . Так как ds+et = 2 (mod 4),
d — р <? 4- t
мы видим, что ел четно тогда и только тогда, когда Т нечетно.
Таким образом, x(de) — —x(d'e'). Наконец,
M = J2 X(de) =
S S
откуда следует, что М = 0, и доказательство закончено. ?
§8. Уравнение Ферма: экспонента 3 351
§ 8. Уравнение Ферма: экспонента 3
Уравнение Ферма
хр + ур = zp D9)
рассматривалось в частных случаях в § 2 и 4 и в гл. 14 (теорема 5).
В этом параграфе, используя арифметику в кольце Щи]) где и3 — 1,
и ф 1, мы полностью решаем вопрос для уравнения
xs + ys = zs. E0)
Тот факт, что это уравнение не имеет целых решений [x)y)z)) xyz ф 0,
был впервые доказан по существу Эйлером. См., однако, [91].
Вместо E0) мы рассмотрим более общее уравнение
х3 + у3 = uz3, E1)
где и — некоторая фиксированная единица в Щи)], и докажем следую-
следующий результат.
Предложение 17.8.1. Уравнение х3 + у3 = uz3, где и — некоторая
фиксированная единица в Щи], не имеет целых решений (x^y^z), xyz ф
Ф 0, где x,y,z G Щи].
Отсюда следует, конечно, что ненулевой куб в Z не представляется
в виде суммы двух ненулевых кубов в Z.
Предложение 17.8.1 будет доказано при помощи ряда лемм. Мы на-
напомним сначала основные факты об арифметике кольца Щи]) которые
были получены в гл. 9. Кольцо Щи] есть кольцо главных идеалов с еди-
единицами ±1, ±cj, ±и2. Положим Л = 1 — и и напомним, что (ЛJ = C)
и что Л неразложим. Каждый элемент а е Щи] сравним по модулю Л с
+1,-1 или 0. Этот факт будет далее постоянно использоваться. Если
а = uXnj3) где и — единица и XXР, то мы пишем п — огсЦ а.
Сначала мы докажем более слабый результат, так называемый пер-
первый случай, о том/что уравнение E1) не имеет решений с XX xyz.
Лемма 1. Уравнение х3+у3 — uz3, где и — единица в Щи], не имеет
целых решений с x,y,z &Щш], XXxyz.
Доказательство. Заметим, что поскольку Л неразложим, то условие
XXxyz эквивалентно трем условиям: XXх^ Х\'у[, XXz. Если х ? Z[cj],
х = 1 (mod Л), то х3 = 1 (mod Л4). Действительно, если х = 1 + At, то
х3 - 1 = (х - 1)(х - и)(х - и2) = А?A - и + А?)A - и2 + At) =
= А*(А + At)(A + и)Х + At) = A3t(l + t)(l - и2).
Так как и2 = 1 (mod А) и t сравнимо по модулю А с +1 , —1 или 0, то
получается нужное сравнение.
352 Гл. 17. Диофантовы уравнения
Предположим теперь, что существует решение уравнения E1) с
\J(xyz, и приведем E1) по модулю Л4:
±1±1 = ±n(mod Л4). E2)
Нетрудно убедиться, однако, что сравнение E2) невозможно ни при
каком выборе знаков и единицы. Это завершает доказательство. ?
Мы переходим теперь к более трудному случаю, когда предполага-
предполагается существование решения с Л | z и (х, у) = 1. Таким образом, Xj^xy.
Следующая лемма показывает, что при этих условиях на самом деле
X2\z.
Лемма 2. Если х3 + у3 = uz3 для x,y,z ? Щш\, Х^ху, X \ z, то X2 \ z.
Доказательство. Приведение равенства E1) по модулю Л4 дает
±1±1 = ±^3(mod Л4).
Если 0 = uz3 (mod Л4), то ЗоЫд^ ^ 4, так что ordA^ ^ 2. Если ±2 =
= uz3 (mod Л4), то Л | 2, что неверно. ?
Следующая лемма реализует шаг «спуска».
Лемма 3. Если х3 + у3 — uz3, (х,у) = 1, Х^ху, ordA^ ^ 2, то
существуют такие U\^X\^y\^Z\ е Щш\, щ — единица, \^х\у\, ordA z\ —
z — 1, что
Доказательство. Напомним, что если ordA oi ф ordA /?, то справед-
справедливо равенство о^а(<^ ± /3) = min(ordA a, ordA /?). Далее,
(х + у)(х + иу)(х + и2у) = uz3. E3)
Так как ordA^z3) ^ 6, то хотя бы один сомножитель слева в E3) де-
делится на Л2. Заменяя в случае необходимости у на иоу или о;2у, можем
считать, что оЫа(х + у) ^ 2. Так как о^аA — оо)у — ordA Xy — 1, то
ordA(x + шу) = ordA(x + у + A - ш)у) = 1.
Аналогично о^а(х + ио2у) — 1. Таким образом,
х + у) — 3 ordA z — 2.
Если тг — неразложимый элемент и (тг) ^ (^)? то тг не может делить
х + у и х + о;у, ибо в противном случае тг | A — ш)у = Лу, так что тг | у)
тг | х. Отсюда следует, что {х + у) х + cjy) = (Л). Подобным же образом
и другие пары множителей в E3) имеют наибольший общий делитель
Л. Так как в Ъ[и\ имеет место однозначность разложения на простые
множители, мы можем записать
> 9. Кубические кривые 353
x + ujy = u2f53\) А//?, E4)
х + ш2у = u3j3\, Л/7-
В E4) г^1, г^2, ^з — единицы и (ql,C>) — (с^т) = (/^7) = 1- Умножая
второе равенство в E4) на а;, третье — на а;2 и складывая, получаем
О = Wla3A3ord^ "-2 + uu2f53\ + cj2n373A. E5)
Сокращение на Л (!!) приводит к равенству
О = Ula3\3^ z~l) + uu2f53 + ш2и3-у\ E6)
Наконец, полагая a\ordxZ~1 = ^i, /3 = Xi, 7 = yi, переписываем E6) с
единицами 6i, 62 в виде
?3+??/13=?2213. E7)
Приводя E7) по модулю Л2 и замечая, что ordA(z3) > 2, получаем
±l±ei = 0(mod Л2). E8)
Разбор случаев приводит сразу же к равенству е\ — ±1. Таким об-
образом, заменяя в случае необходимости у\ на —у\) получаем новое со-
соотношение
с \)(х\у\, ordA^i = ordA^ — 1, единицей е. Это завершает доказатель-
доказательство. ?
Для доказательства предложения 17.8.1 мы поступаем следующим
образом. Если \)(xyz) то ссылаемся на лемму 1. Если \)(ху) но Л | z) то
леммы 2 и 3 приводят к противоречию. Наконец, если Л | х) но \Xvz> TO
±1 = и (mod Л4), а это означает, что ±1 = и. Но тогда (±zK + (—уK =
= х3, и мы попадаем в уже рассмотренный случай.
§ 9. Кубические кривые с бесконечным числом
рациональных точек
В предыдущем параграфе было показано, что уравнение х3 + у3 =
= z3 не имеет решений в целых числах (x,y,z) с xyz ф 0. Деление на z3
показывает, что кубическая кривая х3 + у3 = 1 не имеет рациональных
точек {х)у)) ху ф 0. Аналогично из результата, полученного в §2, о
том, что х4 + у4 = z1 не имеет целых решений с xyz ф 0, делается вывод
о том, что рациональными точками кривой, определенной уравнением
у1 — х4 + 1, будут лишь @, ±1) (см. упр. 31).
354 Гл. 17. Диофантовы уравнения
В этом параграфе мы приводим примеры кубических кривых с бес-
бесконечным числом рациональных точек. Доказательство основано на
простом наблюдении, что касательная прямая к кубической кривой в
рациональной точке пересекает эту кривую в единственной, не обяза-
обязательно новой, точке, которая тоже рациональна. Мы говорим, что целое
число а свободно от кубов, если ordp a ^ 2 для всех простых р, т.е. нет
кубов ф 1,-1, делящих а.
Предложение 17.9.1. Пусть а > 2 — свободное от кубов целое
число. Если кубическая кривая с уравнением
х3 + у3 = а E9)
имеет некоторую рациональную точку, то она имеет бесконечно мно-
много рациональных точек.
Доказательство. Пусть (с^,/?) — рациональная точка на E9). Если
а = —, /3 = —, (xi, z\) — (yi, z2) = 1 с целыми числами х1? y1? z\, z2, то
нетрудно убедиться в том, что Z\ = z2. Так как а > 2 свободно от кубов,
то х\у\ Ф 0 и х\ Ф у\. Касательной прямой к E9) в (а,/?) будет о?х +
-|- /32у = а. Разрешая последнее уравнение относительно у и подставляя
результат в E9), получаем
- а = 0. F0)
Левая часть уравнения F0) — кубический многочлен с а в качестве
(по крайней мере) двукратного корня. Если обозначить третий корень
через ^у, то, так как сумма всех корней равна взятому с обратным знаком
коэффициенту при х2, после простого вычисления получаем
Таким образом,
7 =
а6 - /Я уг х\ - у{
2
Соответствующее значение для у — а ~3 х равно
2/1 х\-у\
и в силу F0) G, р) — рациональная точка на кубике. Читатель может,
конечно, и непосредственно проверить, что j3 + р3 = а. Остается про-
проверить, что G, р) отлична от (a, j3) и, кроме того, что таким способом
получается бесконечное число точек на кривой. Определим целое число
; 10. Уравнение у2 = х3 + к 355
А равенствами
Ax2 = xr (x\ + 2y\), Ay2 = -2/1 Bx\ + y\), Az2 = zx [x\ -y\), F4)
где (x2)y2)z2) — 1. Таким образом, А есть наибольший общий делитель
целых чисел в правых частях F4). Очевидно, что
3 , 3 3 -АО (С\^С\
Так как а свободно от кубов и (x2)y2)z2) = 1, то (х2)у2) = (x2)z2) =
= (y2)Z2) = 1. Мы утверждаем, что А равно 1 или 3. Действитель-
Действительно, если р — простое число и р \ А) то из F4) нетрудно получить, что
pXxiUizi- Таким образом, р делит каждый второй сомножитель в пра-
правых частях равенств F4) и, следовательно, p\3yf. Поэтому р равно 1
или 3. Заметим, кроме того, что из (A, Z\) — 1 следует А \ х\ — у\.
Доказательство будет завершено, если показать, что \z2\ > \zi\. Для
получения этого запишем
„3 „,3| _ I 1 \т _ ?/ I \Т2 _|_ _|_ 2| (f\f\\
— л \Х1 У1\ \Х1 \ ^\У\ -f y1 \. {VV)
\Хл —
Имеем 4\х\+Х\у1+у\\ — \Bх\ + у\J + Зу^| > 4, и, следовательно, выпол-
выполняется неравенство |z2| > |zi|^ Х л • Если А = 1, то F6) показывает,
что \z2\ > \zi\. С другой стороны, если А = 3, то, так как А | х\ — у\)
х\ = у\ (mod 3), откуда следует, что х\ = у\ (mod 3). Опять из F6)
вытекает, что \z2\ > \zi\. Продолжая этот процесс, получаем последова-
последовательность точек (^ , ^ ), такую, что хпуп ф 0, (хП) zn) — (уП) zn) — 1 и
\Zn Zn)
\zn\ > \zn-i\, и это завершает доказательство. П
§ 10. Уравнение у2 = х3 + к
Диофантово уравнение
у2 = х3 + к F7)
было впервые рассмотрено в XVII веке Ферма и Баше в частном случае
к = — 2 и с тех пор интенсивно изучалось. До сих пор не выяснено, при
каких целых значениях к уравнение F7) имеет по крайней мере одно
рациональное решение. Баше и другие утверждали, но не доказали это-
этого, что если установлено существование одного решения (я, у), ху ф О,
то метод касательных, использованный в §9, приводит к бесконечному
числу решений. Таким образом, на современном языке эллиптическая
кривая F7) имеет в таком случае положительный ранг (см. гл.18). С
несколькими исключениями этот результат был получен Фуетером в
1930 году.
356 Гл. 17. Диофантовы уравнения
В 1966 году замечательно короткое доказательство результата Фуе-
тера было получено Морделлом [191]. Более точно, он доказал
Предложение 17.10.1. Если уравнение у2 = х3 + к, где к — свобод-
свободное от шестых степеней целое число, имеет некоторое рациональное
решение (х^у), ху ф 0; то при к ф 1,-432 существует бесконечно
много рациональных решений этого уравнения.
В упражнениях показано, что случай к = —432 эквивалентен урав-
уравнению Ферма х3 + у3 = 1, которое в силу основного результата § 8, как
нетрудно показать, имеет лишь рациональные решения A,0), @,1). Мы
не будем вдаваться в подробности доказательства предложения 17.10.1,
а отошлем заинтересованного читателя к статье Морделла. Оно сводит-
сводится к тому, чтобы показать, что метод касательных, использованный в
предыдущем параграфе, приводит к бесконечному числу решений.
Таким образом, кривая у2 — х3 — 2 имеет бесконечное число ра-
рациональных точек, ибо она имеет одну такую точку, а именно C,5).
Однако отметим, что существует лишь конечное число целых решений
соответствующего уравнения. Это трудная теорема для произвольного
fc, нов случае к — —2 можно дать очень короткое доказательство, если
воспользоваться упр. 36 гл. 1. Действительно,
=x3. F8)
Если элемент тт неприводим в Ъ\>/—2\ и делит оба множителя в ле-
левой части равенства F8), то тт | 2^—2. Таким образом, (тг) = (у/—2) и
\J—2 | х, откуда следует, если взять нормы, что 2 | х. Отсюда вытекает
у2 = 2 (mod 4), что невозможно. Так как Ъ\у/—2\ — кольцо с однознач-
однозначным разложением на множители и единицами ±1, то F8) показывает,
что
у + \f^2 = (а + Ьу/^2K.
Таким образом,
у = а3 -аЪ2, F9)
1 = За2Ь - 463 = 6Cа2 - 462). G0)
Следовательно, Ъ — —1, и мы получаем в качестве единственных реше-
решений C,±5).
Если d — положительное свободное от квадратов целое число, то
в некоторых случаях, воспользовавшись арифметикой мнимого квад-
квадратичного поля Q(v — d)) можно найти целые решения для уравнения
у2 — х3 — d. Как и в случае последней теоремы Ферма (см. § 11), при
таком подходе необходимо наложить на число классов h поля Q(y/—d)
некоторое условие делимости, а именно потребуем, чтобы 3j(h. Если
мы ограничимся рассмотрением таких d) что d ф +1,+3 и d = 2 или
§11. Первый случай гипотезы Ферма 357
3 (mod 4), то по результатам гл. 13 кольцом целых чисел поля Q(y/—d)
будет Z[V—~d] и ±1 — единственные единицы в нем. При этих условиях
предположим, что (х,у) — некоторое целое решение уравнения у2 =
= х3 — d. Тогда (упр. 32) х нечетно и (х, d) — 1. Далее,
х3 = (у + v^ ^
Если Р С TL\\J—d\ — простой идеал, содержащий y±vf—d, то 2\J—d G
P и x G P. Таким образом, N(P) \ 4d и N(P) \ x2, что невозможно. От-
Отсюда следует, что (у + \/—d) и (у — \/—d) не имеют общих идеальных
делителей. Так как TL\\J—d\ — дедекиндово кольцо, то
(у + л/^d) = 213
для некоторого идеала 21. Поскольку З/^/г, группа классов идеалов коль-
кольца Z[V—rf] не имеет элементов порядка 3, а потому 21 — главный идеал.
Следовательно, так как ±1 — единственные единицы, то
у + \f^d = ±(а + b\f^dK. G1)
Отсюда вытекает, что
1 = ±6Cа2 - db2), у = ±а(а2 - 3db2), G2)
откуда нетрудно получить, что b — ±1 и
d = 3a2±l. G3)
Таким образом, уравнение у2 — х3 — d имеет решение в точности тогда,
когда d лежит в одной из квадратичных прогрессий За2 ± 1. Если это
так, то нетрудно убедиться в том, что значение х равно а2 + d. Следо-
Следовательно, получено такое предложение.
Предложение 17.10.2. Пусть d > 1 свободно от квадратов u d =
2 или I(mod4). Предположим, что число классов поля Q(V—d) не
делится на 3. Тогда уравнение у2 — х3 — к имеет целочисленное решение
в том и только том случае, когда d имеет вид 3t2 ± 1. Решениями в
таком случае будут (t2 + d) ±t(t2 — 3d)).
Для знакомства с вещественным квадратичным случаем следует об-
обратиться к [84], гл. 10, и к [189], гл. 26.
§ 11. Первый случай гипотезы Ферма
для регулярных показателей
В этом параграфе мы используем результаты гл. 12 и 13 об ариф-
арифметике круговых числовых полей для доказательства одного частного
случая гипотезы Ферма. Если ( обозначает корень степени р из 1, где
358 Гл. 17. Диофантовы уравнения
р — нечетное простое число, то Q(C) будет полем алгебраических чи-
чисел степени р — 1, у которого кольцо целых чисел в силу предложения
13.2.10 совпадает с Z[C]. Таким образом, согласно теореме 2 из гл.12,
каждый ненулевой идеал в Z[C] может быть однозначно представлен
в виде произведения степеней различных простых идеалов. Напомним,
что р называется регулярным, если pjfh, где h обозначает число классов
поля Q(C)- Таким образом, если в этом случае 21 — идеал, для которого
21Р — главный идеал, то 21 сам будет главным идеалом; этот факт имеет
очень важное значение в последующем изложении.
Нам понадобится один дополнительный результат, относящийся к
арифметике кольца Z[C].
Лемма 1. Если и — какая-либо единица б Z[(]; то (su вещественно
для некоторого рационального целого числа s.
Доказательство. Заметим сначала, что комплексное сопряжение бу-
будет автоморфизмом поля Q[C]? ибо ( = (р~1. Таким образом, если и —
какая-либо единица, то п тоже будет единицей и г = ш G Z[(]. Кро-
Кроме того, если р — произвольный автоморфизм поля Q[C]5 то р(т) =
= р(и)/р(п) = р{и)/р{и)) так что \р{т)\ — 1. В силу лемм 1 и 2 § 5 гл. 14
т = ±?п для некоторого целого числа п. Если Л = 1—?, то (^ = 1 (mod Л)
для всех j) так что, записав и — а0 + а\С, +... + ар_2Ср~2 и воспользовав-
воспользовавшись тем фактом, что р(() = (к при некотором /с, убеждаемся в том,
что и = р{и) (mod Л). В частности, и = —п (mod Л). Если т = — (п, то
и = —СПи1 так что и = —п (mod Л). Таким образом, 2и = 0 (mod Л), что
невозможно. Поэтому и = (пп = (~2su, где —2s = n (mod p). Наконец,
(su = (su, что показывает вещественность (su. П
Основной результат этого параграфа состоит в следующем.
Предложение 17.11.1. Если р — регулярное простое число, то
диофантово уравнение
хр + уР = zp G4)
не имеет решения в рациональных целых числах х, у, z с
Доказательство этого предложения разобьем на несколько лемм.
Мы начнем с разложения левой части уравнения G4) на множители:
а? + у* = (х + у)(х + СУ) ...(* + (Р~гу)- G5)
Напомним, что два идеала 21 и 03 взаимно просты в Z[C], если 21 + 03 =
= Z[C]. Если это имеет место, то у идеалов 21 и 03 нет общих простых
идеальных делителей. До конца этого параграфа будем считать, что
уравнение G4) имеет некоторое решение в целых числах x)y)z) pj^xyz
и pXh. Предположим также, что х) у) z попарно взаимно просты.
§11. Первый случай гипотезы Ферма 359
Лемма 2. Идеалы (х + (ту) и (х + (пу) взаимно просты при п ф
ф т (mod p).
Эта лемма уже была доказана в § 6 гл. 14.
Лемма 3. Существуют такие и, /3 Е Щ(>\, где и — вещественная
единица, что х + (у = (su[3, где s Е Z и j3 = n (mod p) для некоторого
neZ.
Доказательство. Используя лемму 2, предложение 13.3.3 и то, что
правая часть равенства G4) есть р-я степень, убеждаемся в том, что
{х + С^у) — 21Р для некоторого идеала 21. Так как pjfh, отсюда следует,
что 21 — главный идеал. Таким образом: х + С^у — еар', где a G Z[(] и
е — единица. Наш результат следует теперь из леммы 1 и замечания о
р-2 р-2
том, что если а — ^ ат(т, то ар = ^ am (mod p). ?
т=0 т=0
Переходя к сопряженным, получаем х+(~гу = (~su/3, так что ?~s(^+
+ С?/) - С(% + С~1У) = и(р - р). Но ^ = р (mod р) = п (mod p), а сле-
следовательно, мы показали, что (~s(x + (у) — (s(x + C~ly) G рЩС\. Мы
сформулируем это в таком виде:
Лемма 4.х + Су- Bsx - Cs~ly e pZ[(].
Согласно предложению 6.4.1, числа 1, ?, Ci2) ..., (р~2 линейно неза-
независимы над Q. Кроме того, мож:но предполагать, что р > 3 (в силу § 8)
иО ^ s ^ р — 1. Доказательство предлож:ения 17.11.1 будет заверше-
завершено, если получить противоречие из включения леммы 4. По сделанному
выше замечанию нам следует рассмотреть лишь случаи, когда две из
степеней ? совпадают. Таким образом, мы должны рассмотреть случаи
(a) C2s = 1;
(b) С23-1 = 1;
(c) С25 = С-
В случае (а) из леммы 4 следует, что —у + С^у G рЩС]> а поэтому
р\у.Ъ случае (с) получаем х — (?х Е рЩС\-> так что р \ х (противоречие).
Наконец, в случае (Ь) получаем (х — у) + (у — х)( Е рЩ(]. Таким образом,
х = y(modp). Запишем уравнение Ферма в виде хр + (—z)p — {—у)р.
Рассуждая теперь, как ранее, получаем лемму 4, возможно с другим s.
Однако случаи (а) и (с) приводят к противоречию, а случай (Ь) дает, как
и выше, сравнение х = — z (mod р). Но 0 = xp+yp — zp = x+y — z (mod p).
Таким образом, Зх = 0 (mod p), что означает р\х, — противоречие! Это
завершает доказательство последней теоремы Ферма для регулярных
показателей. ?
Приведенное выше доказательство совпадает по существу с доказа-
доказательством из [9].
360
Гл. 17. Диофантовы уравнения
§ 12. Диофантовы уравнения
и диофантово приближение
В этом завершающем параграфе мы проводим краткое обсуждение
связи между диофантовыми уравнениями и приближением алгебраи-
алгебраических чисел посредством рациональных чисел. Техника, используемая
при доказательстве упомянутых ниже результатов, отлична от той, ко-
которая излагалась в предшествующих главах. Здесь мы можем лишь
указать результаты и отослать заинтересованного читателя к библио-
библиографии.
Если а — некоторое иррациональное число, то, согласно предложе-
предложению 17.5.1, существует бесконечно много рациональных чисел p/q) для
которых
а — — < -о.
Я. q
Естественно спросить, может ли показатель степени 2 в этом неравен-
неравенстве быть увеличен. В глубоком результате Рота 1955 года [118], за кото-
который ему в 1958 году была присуждена Филдсовская медаль, утвержда-
утверждается, что если а — алгебраическое число степени ^ 2, то для каждого
фиксированного е > 0 существует, самое большее, конечное число ра-
рациональных чисел p/q, q > 0, таких, что
а —
1
G6)
Отсюда следует, что существует такая константа с > 0, что для всех
рациональных чисел p/q
а —
с
,2+е
Теореме Рота предшествовали глубокие результаты Туэ A909 г.) и Зи-
геля A921 г.), каждый из которых улучшал одну элементарную оценку
Лиувилля A844 г.). Этот простой результат состоит в следующем.
Предложение 17.12.1. Если а — некоторое вещественное алге-
алгебраическое число степени п, п ^ 2, то существует такая константа
с > 0; что для любого рационального числа p/q, q > 0;
а —
Q
4
qn
Доказательство. Очевидно, что достаточно рассмотреть случай
а —
Ч
1. По теореме о среднем
а —
Q
j 12. Диофантовы уравнения и диофантово приближение
361
где f(x) G Ъ\х\ неприводим, f(a) = 0 и А = sup
|. Но так как
, / ( - ] ^ 0 и / ( - ) ^ Чг,
не рационально, / ( - ] ^ 0 и / ( - ) ^ Чг, что и завершает доказатель-
доказательство. П
В результатах Туэ и Зигеля п заменяется на |п + 1 и 2у^п соот-
соответственно. Результат Рота является, в некотором смысле, наилучшим
возможным в силу теоремы Дирихле (предложение 17.5.1). Однако, как
мы увидим, любое улучшение оценки Лиувилля, т.е. любое снижение
показателя степени п (причем он должен оставаться больше 2!), дает
глубокие следствия при изучении некоторых диофантовых уравнений.
Действительно, пусть апхп + an_ixn~1 +... + a0 — какой-либо многочлен
с целыми коэффициентами, неприводимый над Q и степени по крайней
мере 3. Для ненулевого т рассмотрим диофантово уравнение
апхп
Un-ix y + ... + аоу = т.
Мы покажем, что если выполняется неравенство вида
а —
Q
q'
п - е > 2,
G7)
G8)
для некоторого ?, 0 < е < п и всех рациональных чисел pjq, то урав-
уравнение G7) имеет не более чем конечное число целых решений. Этот
замечательный результат очень легко следует из G8). Действительно,
запишем G7) в виде
т
у ;\у ) \у
Положим А — min \а^ — а^Ц. Если в таком случае (х,у) — некоторое
целое решение с у ф 0, то очевидно, что, самое большее, одно а^ удо-
влетворяет неравенству
У
41. Для такого
применим G8),
а для остальных членов воспользуемся неравенством
результате получим
У
2"
т
>
Т
\у\п \у\п~?
при подходящем Т, зависящем от а^1\ ..., а^. Таким образом,
m>T\y\?) e > 0.
откуда следует, что \у\ ограничен. Но для любого у число х) удовлетво-
удовлетворяющих G7), ограничено, и мы получили то, что нужно. Таким образом,
в то время как х2 — 2у2 — 1 имеет бесконечное число целых решений,
х3 — 2у3 = 1 имеет их лишь конечное число.
362 Гл. 17. Диофантовы уравнения
Среди детальных изложений этой обширной области теории чисел
мы укажем [225], [89] и [217]1.
Замечания
Литература по диофантовым уравнениям многочисленна. Мы упо-
упомянем лишь несколько статей и заметок, относящихся к вопросам, обсу-
обсуждавшимся в этой главе. В качестве хорошего общего обзора мы реко-
рекомендуем статью [180], а также более раннюю работу [39]2. В дополнении
к [146] специально рассматриваются уравнения, изучавшиеся Ферма и
Эйлером в XVII и XVIII веках. См. также классическую работу [152],
где проведен детальный анализ результатов Ферма и Эйлера и их связи
с методом касательных при нахождении рациональных точек на куби-
кубических кривых, который был описан в § 9 и 10. Связи этого процесса
с соответствующими диофантовыми уравнениями по модулю р будут
указаны в следующей главе.
Превосходные главы по диофантовым проблемам можно найти в
различных вводных курсах по теории чисел. Мы упомянем, в частное-
ти, [84], [40], [230], [22] и [61].
Четкая перспектива периода формирования этой ветви математики
и теории чисел вообще намечена в неформальной лекции А. Вейля [235].
Обширное освещение диофантовых уравнений, данное современным
мастером, отличает [189]. Более изощренное и абстрактное изложение
можно найти в [170]. Живое обсуждение относительных достоинств
этих книг заинтересованный читатель обнаружит в реферате Мордел-
ла [190] на книгу Ленга и последующем реферате Ленга [172] на книгу
Морделла. См. также обзоры повышенного типа [53], [173].
1 Одним из центральных в теории диофантовых уравнений является вопрос о
том, когда число решений конечно, и о нахождении в этом случае эффективной
границы для координат (или высоты) решений. Для целочисленных решений урав-
уравнений с двумя переменными (т.е. целых точек на алгебраических кривых) ответ на
первый вопрос был получен Зигелем в 1929 году. Число целых точек конечно, если
род д кривой больше нуля или если д = 0 и проективное замыкание кривой имеет на
бесконечности по крайней мере три точки. Основную роль в доказательстве играет
описанная в § 12 техника диофантовых приближений (см., например, [170]). Вопрос
об эффективности удалось решить лишь для кривых частного вида (эллиптические
кривые, кривые вида G7) или у = /(ж); см. [20*]). Гипотеза о конечности числа
рациональных точек на кривых рода д > 1 была выдвинута Морделлом в 1922 го-
году. Лишь недавно она была доказана Фалтингсом (см. [25*], [32*], доклады Шпиро
и Делиня в [2*] и приложение к русскому переводу книги Ленга [170]). Вопрос об
эффективности в этой ситуации остается открытым. — Прим. ред.
2 См. также [33*]. — Прим. ред.
Упражнения 363
Упражнения
1. Показать, что уравнение 165х2 — 21у2 = 19 не имеет целых реше-
решений.
2. Найти целые решения уравнения у2 + 31 = х3.
3. Показать, что х3 + у3 = 3z3 не имеет решений x^y^z e Z[cj], z Ф 0.
4. (В память Рамануджана.) Показать, что 1729 — наименьшее по-
положительное целое число, представимое в виде суммы двух различных
целых кубов двумя способами.
5. Какие из следующих уравнений имеют нетривиальные решения?
(a) Зх2 - by2 + 7z2 = 0,
(b) 7x2 + Ну2 - 19z2 = 0,
(c) 8х2 - by2 - 3z2 = 0,
(d) Ux2-3y2-41z2 = 0.
6. Найти фундаментальные решения уравнений
(a) х2-3у2 = 1,
(b) x2-Qy2 = l.
(c) х2-624у2 = 1.
7. Свести проблему нахоясдения целочисленных решений уравнения
Зх2 + 1 = %3 к предложению 17.8.1 следующим образом:
(a) Положить t = Зж~ 1; t ф 1, -2, так что t2 + t + I = Зу3, у ф 0.
(b) (t + 2K + (l-tK = CyK.
8. Найти целые решения уравнения у2 — х3 — 4.
9. Найти четыре рациональные точки на х3+у3 — 9, используя метод
предложения 17.9.1.
10. Найти целые решения уравнения у2 — х3 — 1.
11. Показать, что если х2 — dy2 — — 1 имеет целое решение, то целое
решение имеет их2 — dy2 = 1.
12. Перечислить целые решения уравнения х2 + у2 + z2 + w2 = 15 и
сравнить с предложением 17.7.2.
13. Пусть п есть целочисленный куб. Показать, что у2 — х2 — п имеет
целое решение.
14. Показать, что если уравнение х2 — dy2 — п, где d > 0 свободно от
квадратов, имеет целое решение с ху ф 0, то оно имеет их бесконечно
много.
15. Пусть а + бу/р — фундаментальное решение уравнения х2 —ру2 =
= 1, где р — простое число и р = 1 (mod 4). Следующие шаги показы-
показывают, что х2 — ру2 = — 1 имеет целое решение х) у) ху ф 0.
(a) а нечетно.
(b) а ± 1 = 2и2, а т 1 = 2рт2, 2uv = Ь.
364 Гл. 17. Диофантовы уравнения
(c) и2 — pv2 = ±1.
(d) В (с) имеет место знак минус.
Следующие семь упражнений приводят к следствию предложения
17.7.2. Пусть А(п) обозначает число целых решений уравнения х\ +
+ х\ + х\ + х\ = п. См. [52].
16. Показать, что АDп) = АBп).
17. Если п нечетно, то показать, что 16 ^ d + А(п) —
d | п
18. Для нечетного п пусть S есть число решений уравнения х\ +
+ х\ + х\ + х\ — 2п с х\ = Х2 (mod 2) = 1 (mod 2) и х3 = х^ (mod 2) =
= 0 (mod 2). Показать, что число элементов в S равно |ЛBп).
19. Показать, что если п = 1 (mod 4) и S такое лее, как в упр. 18,
то число элементов в S равно |А(п). Сделать отсюда вывод о том, что
АBп) = ЗА(п).
20. Если п = 3 (mod 4), то А{2п) = ЗА(п).
21. Показать, что если п нечетно, то А(п) = 8 ^ d, ABn) = 24 У^ d.
d\n d\n
22. Если п четно, п = 2stti, s ^ 1, ттг нечетно, то показать, что Л(гг) =
= 24 ? d.
d | т
23. Дискриминант многочлена t3 +pt + q равен —Dр3+ 27§2). Свести
проблему нахождения кубик с дискриминантом 1 и рациональными р)
q к уравнению Ферма х3 + у3 = 1, положив х = тЛ т, у = «—^~т, q ф h •
oq — 1 oq — 1 о
Показать, что в результате получаются кубики t3 — t ± |.
24. Показать, что из предложения 17.3.1 следует предложение 17.3.2.
25. Показать, что если b — некоторое положительное целое число
и —1 — квадрат по модулю 6; то уравнение х2 + у2 = b имеет целое
решение.
26. При (п, т) — 1 показать, что из a R m) a R п следует a R тп.
27. Оправдать шаг перегруппировки членов в предложении 17.6.1.
28. Пусть srf — множество комплексных матриц вида
-Р а
Показать, что тождество Эйлера, в котором утверждается, что
{х\ + х\ + х\ + х\){у1 + у22 + yl + у\)
равно правой части равенства D2), эквивалентно тождеству det (MN) =
= (det M)(det N) для M,N e я/.
Упражнения 365
29. Следующие рассуждения показывают, что из предложения 17.8.1
следует такое утверждение: единственными рациональными решениями
уравнения у2 — х3 — 432 являются A2, ±36). Дополнить детали. Пред-
Предположим, что существует решение (х,у), отличное от A2, ±36), х > 0.
(a) Записать JL — — , ^ = - с а = с (mod 2) = 0 (mod 2).
(b) Положить г = ^Ч^ , s = Q-=^L, t = b > 0.
(c) Показать, что г3 + s3 = t3, rst 7^ 0.
30. Верно также обращение упр. 29. Показать, что если х3 + у3 = г3,
xyz ф 0, x^y^z e Z, то, полагая г = 36——^, 5 = 12z(x + у), получим,
что г2 = s3 - 432.
31. Используя тот факт, что уравнение х4 + у4 = г2 не имеет целых
решений с xyz ф 0, показать, что @, ±1) — единственные рациональные
решения уравнения у2 = х4 + 1.
32. Пусть d — некоторое свободное от квадратов целое число и d
сравнимо с 1 или 2 по модулю 4. Показать, что если х и у — целые
числа, для которых у2 — х3 — d) то (х, 2d) = 1.
Глава 18
ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ КРИВЫЕ
Многие вопросы, излагавшиеся в этой книге, объединяются вместе
в арифметике эллиптических кривых. Это ветвь теории чисел, корни
которой уходят далеко в прошлое, но которая, тем не менее, является
предметом интенсивного исследования и в настоящее время.
В этой главе будет дан краткий обзор некоторых определений, про-
проблем и гипотез об эллиптических кривых, имеющих отношение к те-
теме данной книги. В частности, нашей целью будет описание одной
тонкой и ваэюной гипотезы Бёрча и Суиннертона-Дайера. По большей
части мы будем опускать доказательства и ограничиваться лишь об-
общим введением в основные идеи. Более детальный анализ мы проведем
для кривых вида у2 — х3 + D и у2 = х3 — Dx и покаэюем, как глобаль-
глобальные дзета-функции этих кривых связаны с L-функциями Гекке. Это
приведет нас к частному случаю ваэюной теоремы Дойринга. Наше
излоэюение основано на фундаментальных статьях [23] и [81].
Техника, используемая в настоящее время при изучении эллипти-
эллиптических кривых, является одной из самых изощренных во всей матема-
математике. Мы надеемся, что элементарный подход настоящей главы побу-
побудит читателя к дальнейшему изучению этой эюивой и пленительной
ветви теории чисел. Есть много того, что следует изучить, и много
работы, которую еще надо проделать.
§ 1. Общие замечания
Мы начинаем с некоторых общих наблюдений над кривыми в проек-
проективном пространстве. Чтобы вспомнить терминологию, читателю сле-
следует обратиться к гл. 10, § 1.
Пусть К — некоторое поле и F(xo,Xi,x2) G К[х0, ?ъ х2] ~~ °ДНОР°Д-
ный многочлен степени d. Один общий вопрос состоит в выяснении того,
будет ли уравнение F(xo,Xi,X2) — 0 иметь решение в Р2(К)?
Полезно ввести геометрическую терминологию. Говорят, что урав-
уравнение
F(xo,xi,x2) = 0
определяет кривую степени d над К. Поле К называется ее полем опре-
определения. Если L — поле, содержащее К) то можно рассматривать кор-
корни многочлена F в P2(L). В нашей прежней терминологии это есть
j 1. Общие замечания 367
HF(L). Гиперповерхность в проективном 2-пространстве в нашем кон-
контексте называется кривой. Заметим, что многочлен F задает отображе-
отображение множества полей, содержащих К) в совокупность множеств точек:
Точка а е HF(L) называется неособой, если она не является реше-
решением системы уравнений
В таком случае прямая
n dF , . 3F , . 3F , .
дх0 дхг дх2
называется касательной к F в а. Кривая F(xo,Xi,x2) = 0 — называет-
называется неособой, если все точки в HF(L) неособые для всех расширений L
поля К. Можно показать, что достаточно проверять это лишь для ал-
алгебраических расширений поля К. (В гл. 11 мы называли это свойство
абсолютной неособостью.)
Если две кривые пересекаются в какой-либо точке, то можно опре-
определить целое число, называемое кратностью пересечения этих кривых
в точке. Это довольно тонкое понятие, и мы не будем в него углублять-
углубляться (см. [135], гл.З). В общем случае, когда L алгебраически замкнуто,
прямая в P2{L) пересекает кривую степени d в d точках, если принять
во внимание кратности пересечения. Чтобы получить представление,
почему это верно, запишем х — — , у — — и f(x,y) = F(l, x, у). Мы
Xq Xq
работаем в данный момент в аффинном 2-пространстве A2(L). Для на-
нахождения точек пересечения кривой f(x,y) — 0 с прямой у — тх + Ъ
подставляем значение у в / и находим корни уравнения /(х, тх + b) = 0.
Если F имеет степень d, то последнее уравнение будет иметь в общем
случае степень d, а так как L алгебраически замкнуто, будет в наличии
d корней, если принять во внимание кратности пересечения. Исключе-
Исключениями являются лишь пересечения на бесконечности, когда /(х, тх + Ь)
будет иметь степень, меньшую d.
В качестве примера рассмотрим F(xo,Xi,x2) = — xjj — х\ + х§х\. То-
Тогда f(x,y) — — 1 — х3 + у2, так что аффинная часть кривой задается
уравнением у2 = х3 + 1. Пересечение с прямой у — х + 1 задается урав-
уравнением (х + IJ = х3 + 1, приводящим к трем точкам: (—1,0), @,1) и
B,3). С другой стороны, прямая у — 1 приводит к уравнению х3 — 0.
Это интерпретируется следующим образом: прямая у — 1 пересекает
кривую у2 — х3 + 1 в точке @,1) с кратностью 3.
368 Гл. 18. Эллиптические кривые
Пересечение с вертикальной прямой х — с определяется уравнением
/(с, у) — 0. В нашем примере у2 — с3 +1, так что имеются две конечные
точки пересечения (с, \J(? + 1), (с, — \J(? + 1) при с3 ф 0. Третья точка
пересечения бесконечно удаленная. Если с3 + 1 = 0, то (с, 0) — точка
пересечения кратности 2.
Наконец, пересечение с бесконечно удаленной прямой х0 = 0 может
быть получено из уравнения F@,Xi,x2) = —х\ — 0, так что [0,0,1] е
G P2{L) будет точкой пересечения кратности 3.
Если а е HF{L)) то касательная прямая к F в а пересекается с
кривой F = 0 с кратностью 2 или больше. Если кратность больше,
чем 2, то а называется точкой перегиба.
Если многочлен F определен над К) то его нуль в Р2(К) называется
рациональной точкой над К.
Мы будем говорить, что неособый однородный кубический много-
многочлен
определяет эллиптическую кривую над К) если имеется по крайней ме-
мере одна рациональная точка. Проблема определения всех рациональных
точек на эллиптической кривой породила обширную теорию.
Один из фактов, делающих эллиптические кривые столь интерес-
интересными, состоит в том, что множество рациональных точек можно есте-
естественным образом превратить в абелеву группу.
Пусть F(xo,Xi,x2) = 0 определяет эллиптическую кривую над К.
Если L — некоторое расширение поля К, то мы будем писать E{L)
вместо HF(L).
Пусть О будет некоторым элементом из Е(К). Если Р\)Р2 Е E{L))
то прямая, проходящая через Pi и Р2, пересекает кривую в однозначно
определенной третьей точке Р3, которая, как нетрудно убедиться, будет
лежать в E{L). Если Р\ — P2l то касательная прямая в Р\ приводит к
третьей точке Р3- Заманчиво взять Р3 в качестве «суммы» точек Р\ и
Р2. Однако это не определит групповой структуры, ибо будет отсутство-
отсутствовать единичный элемент. Мы исправляем положение тем, что находим
третью точку пересечения с Е прямой, соединяющей ОсРз5и называем
эту новую точку Р\ + Р2. При таком определении E{L) превращается
в абелеву группу с О в качестве единичного элемента. Доказательство
этого не сложно, за исключением проверки ассоциативности, т. е. усло-
условия
Строгое обоснование этой конструкции см. в [135], гл. 5, особенно с. 124
и 125.
j 1. Общие замечания 369
Если характеристика поля К отлична от 2 и 3, то можно показать,
что каждая эллиптическая кривая над К может быть преобразована к
виду
хох1 — х\ — Ах\х\ — Вх\^ А^Ъ е К.
Эта кривая имеет в точности одну бесконечно удаленную точку [0,0,1] е
Р2{К). Мы обозначаем эту точку через ос и выбираем ее в качестве нуля
нашей группы.
Бесконечно удаленная прямая xq = 0 пересекает такую кривую в
точке ос с кратностью 3. Если Xq ф 0, положим х — — и у — —. Тогда
Xq Xq
определяющим уравнением для данной кривой в аффинных координа-
координатах будет
у2 = х3 - Ах - В.
Бесконечно удаленная точка представляется лежащей бесконечно
далеко в направлении оси у.
Вычисление показывает, что неособость кривой
F(x0, х\) х2) — xqxI — х\ + Ах\х\ + Вх\
эквивалентна необращению в нуль числа
Д = 16DА3-27Б2).
Это число есть умноженный на —16 дискриминант многочлена
х3 - Ах- В.
Обратно, если А ф 0, то F определяет эллиптическую кривую.
Тот факт, что ос является точкой перегиба, можно использовать для
доказательства того, что Р\ + Р% + Рз — ос в том и только том случае,
когда Pi, P2 и Рз лежат на одной прямой. В частности, — Р будет тре-
третьей точкой пересечения прямой, соединяющей Р и ос. В аффинных
координатах это означает, что —(а, Ь) = (а, —6), ибо прямая, соединяю-
соединяющая (а, Ь) и ос, есть х — а. Точки порядка 2 суть те, для которых 6 = 0.
Если х3 — Ах — В = (х — а\){х — а2)(х — а3) G L[x], то точками порядка,
делящего 2, в E{L) будут ос, (аь0), (а2,0), (а3,0).
В качестве примера сложения точек рассмотрим Р\ — B,3) и Р2 =
= (—1,0) на у2 — х3 + 1. Прямая, соединяющая Pi и Р2, задается урав-
уравнением у = х + 1. Уравнение {х + IJ = х3 + 1 имеет три корня 2, —1 и
0, соответствующих Р1? Р2 и @,1). Таким образом, Pi + Р2 = @, —1).
Предположим теперь, что К = Q — поле рациональных чисел. В
1922 году Морде л л доказал следующую замечательную теорему, вы-
высказанную в виде гипотезы Пуанкаре в 1901 году [203].
Теорема 1. Пусть Е — некоторая эллиптическая кривая, опреде-
определенная над Q. Тогда E(Q) — конечно порожденная абелева группа.
370 Гл. 18. Эллиптические кривые
В 1928 году А. Вейль распространил этот результат на случай, ко-
когда Q заменяется на произвольное поле алгебраических чисел. На эту
теорему ссылаются теперь как на теорему Морде л л а—Вей ля.
Подгруппа E(Q)t С i?(Q), состоящая из точек конечного порядка,
конечна. Существует эффективный метод вычисления E(Q>)t в любом
заданном случае.
Когда-то была высказана гипотеза о существовании равномерной
верхней границы для ^(Q)^, когда Е пробегает все эллиптические
кривые, определенные над Q. Шимурой и другими было замечено, что
для решения этой проблемы может быть использована теория модуляр-
модулярных эллиптических кривых. Эта точка зрения была интенсивно исполь-
использована Оггом, который доказал ряд частных результатов и высказал
несколько довольно точных гипотез. Наконец, в 1976 году Мазур дока-
доказал следующий очень глубокий результат, высказанный в виде гипотезы
Оггом.
Теорема 2. Пусть Е — некоторая эллиптическая кривая, опреде-
определенная над Q. Тогда E(Q)t изоморфна одной из следующих групп: Ъ/тЪ
при т ^ 10 или т = 12, Z/2Z 0 Z/2raZ при т ^ 4.
Вероятно также, что существует равномерная верхняя граница для
lE^K)^, где Е пробегает эллиптические кривые, определенные над неко-
некоторым фиксированным полем алгебраических чисел К. Неизвестно, вер-
верно ли это хотя бы для одного такого К ф Q, но частные результаты по-
получили, среди других авторов, В.А. Демьяненко, Куберт и Ю.И. Манин.
Еще более неподатливым оказалось другое важное целое число, свя-
связанное с ?"(Q), а именно ранг. Ранг абелевой группы есть максимальнее
число ее независимых элементов.
Мы говорим, что множество элементов ai, а2,..., an G А абелевой
группы А независимо, если из равенства гп\а\ + т2&2 + • • • + 1^пап = 0 с
mi, 77i2, •••) т>п ? ^ следует, что mi = rri2 = ... = тп = 0. Мы обозначаем
ранг группы E(Q) через г#.
Ранг те был вычислен для многих эллиптических кривых над Q. В
большинстве примеров он очень мал: 0, 1 или 2. Нерон показал, что
существует эллиптическая кривая над Q ранга 11, но его метод не кон-
конструктивен. В 1977 году Брумер и Крамер построили явный пример с
те ^ 9. Приведем его:1
у1 + 525у = х3 + 228х2 - 14 972 955х + (856 475J.
Неизвестно, существует ли верхняя граница для чисел г#, где Е
определено над Q. Касселс считает это маловероятным ([109], §20).
1 Более простой пример у2 = 9767е = х3 + 357бж2 + 425ж — 2412 с те ^ 9 получен
в [28*]. Там же приведены примеры кривых с ге ^ 14. — Прим. ред.
§ 2. Локальная и глобальная дзета-функции 371
Одна из наиболее знаменитых гипотез в современной теории чисел
связывает число г# с порядком в s = 1 некоторой аналитической функ-
функции, соответствующей Е. Эта гипотеза была сформулирована англий-
английскими математиками Бёрчем и Суиннертоном-Дайером. Формулировка
этой гипотезы является целью следующего параграфа.
§ 2. Локальная и глобальная дзета-функции
эллиптической кривой
Пусть Е — эллиптическая кривая, определенная над Q уравнением
X{sx\ = х\- Ах\хх - Вх\, А, В е Q.
Аффинное уравнение получим, положив х — — и у — —:
Xq Xq
у2 = х3 - Ах - В.
Преобразование (х,у) —>* (с2х,с3у) переводит это уравнение в
у2 = х3 - с*Ах - с6В.
Таким образом, с самого начала можно предполагать, что А, В е Z.
Число А = 16DА3 — 27В2) называется дискриминантом кривой Е. Как
мы видели, А^О.
Пусть pGZ —некоторое простое число, и рассмотрим сравнение
у2 = х3 — Ах — В (mod p).
или, что эквивалентно, уравнение
у2 = х3 - Ах - Б, А,В е Z/pZ = Wp.
Это уравнение определяет эллиптическую кривую Ер над Fp, если
только P/f Д. В дальнейшем будут рассматриваться только такие про-
простые числа, если явно не оговорено противное. Кривая Ер называется
редукцией кривой Е по модулю р.
Пусть Npm обозначает число точек в Ер(?рт). Тогда, как в гл. 11, мы
можем рассмотреть дзета-функцию
Z(Ep,u) = exp[2^Npm!±-\. A)
\n=l '
Используя теорему Римана—Роха, можно показать (см. [8*]. — Ред.),
что
В частных случаях это можно доказать, используя методы гл. 11.
372 Гл. 18. Эллиптические кривые
Хассе смог доказать, что а2 ^ Ар. Отсюда следует, что
1 — ари + ри2 = A — тга) A — тга), C)
где тг — комплексно сопряженное к тг. Ясно, что тгтг =р, ар = тг + тг. Кроме
того, |тг| = |тг| = уф. Это есть «гипотеза Римана» для эллиптических
кривых над Wp.1
Логарифмически дифференцируя A) и B), учитывая C) и прирав-
приравнивая коэффициенты, получаем
Npm =рт + 1-7гт-тгт. D)
В частности, Np = р + 1 — ар. Таким образом, вычислив Np, мы
определим ар. Так как тг и тг являются корнями уравнения Т2 — арТ +
+ р = 0, то равенство D) определяет Npm для всех m ^ 1.
Далее будет полезен следующий очень частный случай. Если Np =
= р + 1, то
Z(EP, и) =
A — и)A — ри)
Полезно заменить переменную и на p~s. Полагаем
Функция ((Ep,s) называется локальной дзета-функцией кривой Е
в р.
Интересно убедиться в том, что дзета-функция (,{ЕР, s) мож:ет быть
получена, исходя из другой точки зрения, которая более явно выявляет
ее связи с дзета-функцией Римана.
Кольцо ?р[х] и его поле частных ?р(х) аналогичны Z и его полю
частных Q. Пусть
К = ?p(x)(Vx3 - Ах - В)
и D — целое замыкание кольца ?р[х] в К, т.е. D состоит из всех элемен-
элементов К) которые являются корнями всевозможных приведенных много-
многочленов из ?р [х]. Кольцо D является дедекиндовой областью и каждый
его ненулевой идеал имеет конечный индекс в D. Если / С D — какой-
либо ненулевой идеал, то положим N1 = \D/I\ и Cd(s) — ^2NI~S, где
сумма берется по всем ненулевым идеалам в D. Нетрудно показать, что
Cd(s) сходится для Res > 1. Более того, можно показать, что (d(s) —
= A — p~s)((Ep) s). См. также § 1 гл. 11.
1 Если сделать подстановку и = р s, то функция Z(Ep,p s) становится, как
показано ниже, аналогом дзета-функций полей алгебраических чисел, и в частности
дзета-функции Римана. Условие |тг| = |тг| = у/р для нулей приобретает тогда вид
Res = тр чем и объясняется его название в тексте. —Прим.
§ 2. Локальная и глобальная дзета-функции 373
Намеченная здесь точка зрения развита Артином в его диссерта-
диссертации [2].
Мы определили С(Ер) s) для простых чисел pJ^A. Если р | Д, то мы
полагаем
)
Это определение не лучшее, но его достаточно для наших целей.
Теперь, введя локальную дзета-функцию для всех простых чисел
р) мы определяем глобальную дзета-функцию просто как произведение
локальных дзета-функций:
Из определения мы видим, что
С(Е s) ~ C(g)C(g-1}
где
L(E, s) = T\ - г^г . F)
Функция L{E) s) называется L-функцией кривой Е. Вспоминая ре-
результат Хассе о том, что A — app~s + pl~2s) — A — 7rp~s)(l — 7tp~s) с
|тг| = |тг| = sjp^ мож:но очень легко показать, что произведение из опре-
опреj
деления L(E,s) сходится для Res > |.
Хассе высказал гипотезу о том, что (^(Е, s) может быть аналитически
продолжена на всю плоскость С1. Тот факт, что это верно в частных
случаях, впервые установил Вейль [81]. После этого Дойринг доказал
1 Это предположение может быть дополнено гипотезой о функциональном урав-
уравнении для L-ряда. Добавим с этой целью в произведение F) сомножители, отвечаю-
отвечающие простым числам, делящим А. А именно, если редукция modp кривой Е имеет
двойную особую точку с разделенными касательными, то возьмем сомножителем
_g, где знак выбирается в зависимости от того, будут касательные в особой
точке рациональными над ?р или нет. Во всех остальных случаях положим соответ-
соответствующий сомножитель равным 1. Тогда для нового L-ряда должно выполняться
соотношение
Bn)-sT(s)L(E,s) = ±iV1-sBTr)-B-s)rB - s)L(E,2- s).
Здесь N = Y[ Pbp — кондуктор эллиптической кривой Е, Ър = 1, если Ето&р
имеет двойную особую точку, и Ър = 2 в оставшихся случаях (в предположении, что
р ф 2, 3; по поводу Ь^ и Ъ^ см. [29*]).
Это соотношение полезно сравнить с функциональным уравнением для дзета-
функции Дедекинда (см. [8*], [168] и примечание к гл. 16, § 6). — Прим. ред.
374 Гл. 18. Эллиптические кривые
этот результат для важного класса эллиптических кривых, которые об-
обладают «комплексным умножением».
Результаты Дойринга изложены в [169], гл.10. Танияма и позже
Вей ль высказали гипотезу о том, что каждая эллиптическая кривая над
Q может быть параметризована эллиптическими модулярными форма-
формами. См. статью Суиннертона-Дайера в [226] по поводу точной формули-
формулировки этой гипотезы. Для таких кривых выполняется гипотеза Хассе1.
Таким образом, предположение о справедливости гипотезы Хассе ста-
становится довольно убедительным.
Предположив, что L{E1s) может быть продолжена на всю плоскость
С, имеет смысл говорить о ее аналитическом поведении в окрестности
точки 5 = 1.
Основываясь на обширном эмпирическом материале о кривых вида
у2 — х3 — Dx) Бёрч и Суиннертон-Дайер пришли к следующей замеча-
замечательной гипотезе.
Гипотеза. Предположим, что Е — некоторая эллиптическая кри-
кривая, определенная над Q. Тогда ранг группы Е, ге, равен порядку нуля
L-функции L{E) s) в5 = 1.
Эта гипотеза может быть дополнена. Предполагая, что эта гипотеза
справедлива, мы можем определить ненулевую константу
ГЕ
E - 1)
Бёрч и Суиннертон-Дайер дают выражение для Be, которое зависит
от тонких арифметических инвариантов кривой Е. Обсуждение этого
здесь увело бы нас слишком далеко. См. [109] и [227] (а также [21*],
[29*]. - Ред.).
В важной статье [114], опубликованной в 1977 году, сделано зна-
значительное продвижение в направлении сформулированной гипотезы.
Основной результат из нее был затем обобщен в [87]. Даже форму-
формулировка этого результата в полной общности увела бы нас в теорию
комплексного умножения, поэтому мы ограничимся частным случаем.
Теорема 3. Пусть Е — какая-либо эллиптическая кривая, опреде-
определенная над Q, и предположим, что она обладает комплексным умно-
По поводу аргументов в пользу этого предположения Таниямы—Вейля
см. [29*], где содержатся, в частности, обширные численные результаты. Из работ
[7*], [29*], с. 10, и [25*] вытекает, что, обратно, если для дзета-функции эллиптиче-
эллиптической кривой над Q (и некоторых ее обобщений, которые относятся к дзета-функции
примерно так же, как L-функции Гекке поля алгебраических чисел к его дзета-
функции Дедекинда) выполняется функциональное уравнение, то кривая Е пара-
параметризуется модулярными функциями по Танияме—Вейлю. — Прим. ред.
§ 3. у2 = ж3 + D, локальный случай 375
эюением. Если L{E1 1) ф 0; то группа E(Q) конечна1.
Большинство обсуждавшихся нами работ написано на очень высо-
высоком уровне и лежат вне рамок этой книги. В следующих параграфах
мы рассмотрим эллиптические кривые двух типов: у2 = х3 + D и у2 =
= х3 - Dx.
Для этих кривых мы анализируем локальные и глобальные дзета-
функции и показываем на основе фундаментального результата Гекке,
что глобальная дзета-функция этих кривых может быть аналитически
продолжена на всю плоскость С. Это дает читателю по меньшей мере
пример из обширной арифметической теории эллиптических кривых.
§ 3. у2 = х3 + D, локальный случай
Пусть D — ненулевое целое число. Мы будем рассматривать эллип-
эллиптическую кривую Е1, определяемую уравнением х§х\ — х\ — Dx\ — О,
или в аффинных координатах у2 = х3 + D. Дискриминант А кривой Е
равен —2433D2, так что мы будем рассматривать лишь простые числа
Кривая у2 = х3 + D над ?р имеет одну бесконечно удаленную точку.
Таким образом, Np = 1+N(y2 = x3+D), где мы используем обозначения
из гл. 8. При помощи сумм Якоби мы получим явную формулу для Np.
Начиная с этого места, будем писать D вместо Z), так что «для простоты
записи» D будет обозначать класс вычетов D по модулю р.
Если р = 2 (mod 3), то х —> х2 будет автоморфизмом группы F*.
Нетрудно получить (см. упр. 1), что в этом случае Np = р + 1.
Если р = 1 (mod 3), то пусть х ~ характер порядка 3 и р — характер
порядка 2 группы F*. Тогда
N(y2 = X3 + D)=
u-\-v=D
u-\-v=D
= P+
u+v=D u+v=D
Мы воспользовались тем, что х(—1) = 1. Производя замену перемен-
переменных и = Du' и v = Dv', получаем
ЛГ„ = р + 1 + px{D)J(p, x) + l>\{D)J(p, x), G)
1 Гросс и Цагир недавно доказали частный случай гипотезы Бёрча и Суиннер-
тона-Дайера для эллиптических кривых Е над Q, обладающих модулярной пара-
параметризацией (см. выше). Если L(E,s) имеет простой нуль в точке s = 1, то на Е
имеется рациональная точка бесконечного порядка, т.е. ге ^ 1 [27*]. — Прим. ред.
376 Гл. 18. Эллиптические кривые
где черта обозначает комплексное сопряжение.
Для более глубокого анализа соотношения G) будет полезна следу-
следующая лемма.
Лемма. Пусть р — нечетное простое число, р — характер поряд-
порядка 2 и ^ — любой нетривиальный характер группы ?р. Тогда
Доказательство. Имеем
= Е
u+v=l u+v=l u+v=l
Используя лемму, равенство G) можно преобразовать в
Np = р + 1 + РХ(Щ J(x, x) ± ЩЩШх)- (8)
Мы хотим уточнить теперь характеры р и х- Так как р=1 (mod 3),
то p — TiTi в Щи\ (напомним, что и— ~ Т ), где тг и тг можно выбрать
примарными, т.е. тг = тг (mod 3) = 2 (mod 3). Пусть ( — 1 — символ вы-
вычета степени 6, и возьмем р(а) = ( —] и х(а) — \~) — \~) • Тогда
\7Г/6 х^/б х^/З
РХ(а) = p(a)xW = (^J = (^J • Наконец, полагая Хтг(а) = (^J , из
леммы 1 §4 гл.9 получаем J{Xtd Хтг) —тт. Подставляя эти выражения в
равенство (8), приходим к такому результату:
Теорема 4. Предположим, что р ф 2, 3 и pJ^D. Рассмотрим эл-
эллиптическую кривую у2 = х3 + D над ?р. Если р = 2 (mod 3), то Np =
= р+1. Еслир = 1 (mod 3), то пустьр = тгтг с тг е Ъ[и] и тг = 2 (mod 3).
Теорема 4 полностью определяет локальную дзета-функцию кривой
у2 = х3 + ?>.
В качестве примера рассмотрим кривую у2 = х3 + 1 над Fi3. Имеем
13 = (—1 + 3cj)(—1 + 3cj2) и —1 + 3cj = 2 (mod 3). Для применения форму-
формулы из теоремы 4 мы должны знать, что ( —-, , о ) = ( —-, , о ) . Так
13-1
как 2 3 = 24 = 3 (mod -1 + Зи) = и2 (mod -1 + За;), то (_1 Т_3а;) =
= а;2. Формула из теоремы 4 дает
4. у2 = х3 — Dx, локальный случай 377
[ш2 + ш) = 14-2 = 12.
Нетрудно проверить, что точками на кривой у2 = х3 +1 с координа-
координатами в поле Fi3 будут ос, D, 0), A0, 0), A2, 0), @, ±1), B, ±3), E, ±3) и
F,±3).
§ 4. у2 = ж3 — Dx, локальный случай
Пусть D — ненулевое целое число. Рассмотрим эллиптическую кри-
кривую Е', определенную уравнением х$х\ — х\ + Dx\x\ = 0, или в аффин-
аффинных координатах у2 — х3 — Dx. Дискриминант кривой Е есть А = 26D3.
Мы будем рассматривать лишь простые числа р ф 2 и pJ^D.
Кривая у2 — х3 — Dx над ?р (мы продолжаем писать D вместо D)
имеет одну бесконечно удаленную точку, так что Np — 1 + N [у2 — х3 —
— Dx). В этом случае методы гл. 8 не применимы непосредственно. Мы
сначала преобразуем кривую у2 — х3 — Dx в кривую u2 — v^ + AD. Число
же решений уравнения и2 = г;4 + 4D может быть подсчитано нашими
прежними методами.
Пусть С и С обозначают кривые у2 — х3 — Dx и и2 — г;4 + 4D
соответственно. Определим преобразование Т следующим образом:
T(«,«)=-'U + 0>
Простое вычисление показывает, что Т отображает С в С. Точка
@, 0) на С не лежит в образе, так как равенство 4D — и2 — vA — {и —
— v2)(u + v2) показывает, что и + v2 ф 0.
Определим преобразование S посредством формулы
B
2x-V-V-
X2 X
Нетрудно показать, что S отображает С — {@, 0)} в С и, кроме того,
TS тождественно на С — {@, 0)} и ST тождественно на С. Пусть N' —
= N(u2 = г;4 + 4?>) и N = N(y2 = x3-Dx). Мы показали что N-l = N'.
Если р = 3 (mod 4), то —1 будет квадратным невычетом, так что
каждый элемент ?р будет иметь вид ±w2. Таким образом, каждый квад-
квадрат автоматически является четвертой степенью. Следовательно,
Nf = N(u2 = v4 + AD) = 7V(^2 = v2 + AD)=p-l.
Таким образом, мы нашли, что при р = 3 (mod 4) будет Np = 1 +
+ 7V = 2 + yV' = 2+^-1=^+1.
Предположим теперь, что р = 1 (mod 4). Пусть Л — характер поряд-
порядка 4 поля Fp, и положим р — \2. Тогда уже знакомым нам способом
378 Гл. 18. Эллиптические кривые
получаем
N(u2 =
Мы использовали то, что при р = 1 (mod 4) будет J{p) р) — — 1 (см.
гл.8, §3 теорема 1). По лемме, доказанной в предыдущем параграфе,
имеем J{p) А) = ЛD) J(A, А). Таким образом,
(9)
X(-4D)J(P,X) = X(D)X(-1)J(X,X).
Выберем теперь А более конкретно. Так как р = 1 (mod 4), то р =
= тгтг в Ъ[г\ с примарным тг, т.е. тт = 1 (mod 2 + 2г). Отож:дествим ?р
с Z[z]/7rZ[z] и выберем в качестве А символ биквадратичного вычета,
А(а) = ( — ) . Тогда в силу предложения 9.9.4
-А(-1)«7(А,А)=тг.
Подставляя все полученное в равенство (9), получаем следующую тео-
теорему.
Теорема 5. Предположим, что рф1 upJ^D. Рассмотрим эллип-
эллиптическую кривую у1 — х?> — Dx над?р. Еслир = 3 (mod 4), то Np=p+1.
Еслир = 1 (mod 4), то пустьр — тгтг cttGZ[z] г^тг = 1 (mod 2 + 2г). Тогда
В качестве примера рассмотрим у2 = х3 — х над F13. Имеем
13= (з
и 3 + 2г = 1 (mod 2 + 2г). По формуле из теоремы 4 получаем, что 7Vi3 =
= 13 + 1 — C + 2г) — C — 2г) — 14 — 6 = 8. Действительно, простое
вычисление показывает, что точками на у2 — х3 — х с координатами в
Fi3 будут ос, @,0), A,0), (-1,0), E, ±4) и (-5, ±6).
§ 5. L—функции Гекке
В двух важных статьях, опубликованных в 1918 и 1920 годах, немец-
немецкий математик Гекке ввел новый класс характеров и L-функций. Их
можно определить над произвольным полем алгебраических чисел. Мы
сосредоточим наше внимание на алгебраических характерах Гекке над
СМ-полями определенного типа (терминология поясняется ниже). В
приложениях, которые мы намереваемся привести, этого будет доста-
достаточно.
> 5. L-функции Гекке 379
Пусть K/Q — некоторое поле алгебраических чисел. Изоморфизм
а поля К в С называется вещественным, если с (К) С М, в против-
противном случае он называется комплексным. К называется вполне веще-
вещественным, если каждый изоморфизм поля К в С вещественный. К на-
называется вполне комплексным, если каждый изоморфизм поля К в С
комплексный. К называется СМ-полем, если оно является вполне ком-
комплексным расширением некоторого своего вполне вещественного подпо-
ля Ко. Например, если d G Q с d > О, то Q(V~d) есть СМ-поле. Другие
примеры дают круговые поля Q(Cm)- Вполне вещественным подполем
в Q(Cm) является Q(Cm + С1)-
Пусть К С С — такое СМ-поле, что K\Q — нормальное расши-
расширение. Пусть j — ограничение комплексного сопряжения на К. Тогда
нетрудно убедиться (упр. 2) в том, что j лежит в центре G группы Галуа
поля K\Q. Кроме того, Kq — подполе инвариантных элементов при дей-
действии j. Мы предполагаем далее, что К удовлетворяет перечисленным
условиям.
Пусть & а К — кольцо целых чисел и М С C — некоторый идеал.
Алгебраический характер Гекке по модулю М есть функция х из мно-
множества идеалов кольца ^вС, удовлетворяющая следующим условиям:
(i) x(^) = 1;
(п) х(А) ф 0 в том и только том случае, когда А взаимно прост с М;
(ш) Х(АВ) = х(А)х(В);
(iv) существует такой элемент 9 = ^п(сг)<7 g 7L\G\, что если a G &,
а = 1 (mod M), то х((а)) = а°'^
(v) существует такое целое число т, что п(а) + n(ja) = m для всех
aeG.
Последнее условие, как нетрудно видеть, эквивалентно условию
A + j)9 = mN, где N = ^а — элемент нормы в Z[G].
Число т в условии (v) называется весом характера х-
Следует заметить также, что по условию A11) характер х полностью
определен своими значениями на простых идеалах, не делящих М.
Предложение 18.5.1. Пусть х ~ некоторый алгебраический ха-
характер Гекке веса т. Тогда при (А, М) — A) имеем \х{А)\ — NAm/2.
Доказательство. Пусть 1м — множество идеалов в б1, взаимно про-
простых с М. Мы вводим на 1м понятие эквивалентности следующим обра-
образом: при А,В^1М полагаем А ~ В, если существуют такие a,f3 G б,
что а,Р = 1 (mod M) и (а)А = (/3)В. Можно показать, что классов
эквивалентности имеется конечное число и они образуют группу См-
Произведение в этой группе переводит классы эквивалентности идеа-
идеалов А и В в класс эквивалентности идеала АВ. Если М = б, то эта
конструкция приводит к группе классов идеалов кольца 6 (см. гл. 12,
380 Гл. 18. Эллиптические кривые
§ 1). Пусть h — число элементов в См-
Если А е 1м) то существуют такие а) j3 е б') а) j3 = 1 (mod М), что
(а)АЛ = (/?). Таким образом, aex(A)h = /?*.
Возьмем комплексное сопряжение этого равенства и перемножим
результаты:
или в силу (v)
(Na)m\X(A)\2h =
Так как [a)Ah — (/?), то также
NaNAh =
Сравнивая эти два равенства, получаем |x(A)|2/i = NAmh и |х
= 7V(A)m/2. D
Это доказательство показывает, что значения х(А) являются алге-
алгебраическими числами (на самом деле корнями степени h из элементов
поля К). Это частично объясняет, почему х называется алгебраическим
характером Гекке.
Мы переходим теперь к определению L-функции, задаваемой неко-
некоторым алгебраическим характером Гекке х- А именно, полагаем
1xip)NP
Произведение берется по всем простым идеалам в О, а сумма — по
всем идеалам в &.
Простая оценка показывает, что произведение сходится абсолютно
для Res > 1 + Щ- и равномерно для Res ^ 1 + Щ- + 8 при любом S > 0.
В самом деле, произведение абсолютно сходится в том и только том
случае, когда ^ \x(P)NP~s\ сходится.
р
В силу предложения 18.5.1 при вещественном s
\x(P)NP~s\ = NP{m/2)-s ^ p-{s-m/2\
где р — рациональное простое число, делящееся на Р. Так как каждое
рациональное простое число имеет, самое большее, [К : Q] делителей в
G, то
v
Щ
что сходится при s > 1 + Щ-.
Используя тот факт, что произведение для L(s,x) абсолютно схо-
сходится при Res > 1 + Щ) можно показать, что сумма тоже сходится в
этой области и что они совпадают.
§6. у2 = х3 — Dx, глобальный случай 381
Основной факт об L-функциях Гекке, который нам понадобится, да-
дается следующей теоремой. Ее длинное и трудное доказательство мы не
приводим (см. [8*], [168], [44]. — Ред.).
Теорема 6. Пусть х ~ некоторый алгебраический характер Гекке
и L(s,x) — соответствующая L-функция. Если х(А) ф 1 при некото-
некотором А, то L(s,x) моэюет быть аналитически продолэюена до целой
функции на всей плоскости С.
Следует заметить, что эта теорема справедлива для всех числовых
полей и всех L-функций Гекке, а не только для тех, которые возникают
из алгебраических характеров Гекке. Более того, Гекке получил очень
важное функциональное уравнение для своих L-функций. Для случая,
когда х ~ алгебраический характер Гекке веса т, это функциональное
уравнение связывает L(s, х) с L(m + 1 — s, х).
Ряд авторов производит нормализацию, полагая х{А)— JfAm/2 •
гда
т( ~\ ТТ 1
р
сходится для Re s > 1 (следует воспользоваться тем же самым рассуж-
рассуждением, что и для L(s, х), вместе с фактом, что при (А, М) — A) имеем
|х(^4)| = 1). Мы будем работать непосредственно с характером Гекке х-
В следующих двух параграфах мы покажем, что L-функции L{E, s)
для эллиптических кривых вида у2 — х3 + D и у2 — х3 — Dx будут
L-функциями Гекке. В первом случае мы построим алгебраический ха-
характер Гекке на Q(cj), а во втором — на Q(i).
Последнее замечание. В гл. 14 при помощи сумм Гаусса мы опре-
определили функцию Ф(А) на идеалах поля Q(Cm), взаимно простых с т.
Можно показать, что Ф(А) продолжается до алгебраического характера
Гекке с модулем (т2) и веса т. Это впервые было показано А. Вейлем
в [81]. В более поздней статье [236] он отмечает, что случай, когда т —
нечетное простое число, рассматривался Эйзенштейном.
§ 6. у2 = х3 — Dx, глобальный случай
Мы приступаем теперь к анализу глобальной дзета-функции эллип-
эллиптической кривой Е, определенной уравнением у2 — х3 — Dx, D e Z.
Достаточно рассмотреть соответствующую Е L-функцию L(E,s). Так
как А = 26D3 в этом случае, то мы имеем (см. равенство F) § 2)
А±_ 1 -
382 Гл. 18. Эллиптические кривые
Числа ар определены равенством Np = р + 1 — ар и Np определены в
теореме 5 из § 4.
Построим такой алгебраический характер х на Z[i] по модулю (8D),
что L(E,s) =L(s,x).
Для этого х достаточно определить х(Р) при простых идеалах Р в
Ъ[г\. Если Р делит 2D, полагаем х(Р) = 0. Предположим, что р не делит
2D. Если NP = р, тор = 1 (mod 4) и Р = (тг) с тг = 1 (mod 2 + 2г). Пусть
= (—) тг. Если NP = р2, то р = 3 (mod 4) и Р = (р). Положим
= -р.
Лемма. Предположим, что р = 3 (mod 4). Тогда ( ) = 1.
Доказательство. Пусть Р — простой идеал в Z[z], порожденный р.
7VP—1
Тогда (?) = (Ц) =D~^~ (mod Р). Так как NP=p2, то
= ^—д— = -^- 4^- ^ . По малой теореме Ферма Dp~l = 1 (mod p),
откуда следует, что ( — ) = 1 (mod Р), а потому ( — 1=1. П
Эта лемма позволяет определить х(Р) единым образом для всех про-
простых идеалов Р, не делящих 2D. Если Р = (тг) с тг = 1 (mod 2 + 2г), то
Теорема 7. Пусть Е — эллиптическая кривая, определенная урав-
уравнением у2 — х3 — Dx с D e Z. Введенный выше характер х является
алгебраическим характером Гекке веса 1 по модулю (SD). Кроме того,
Доказательство. Предположим сначала, что р = 3 (mod 4) и p/\/2D.
По теореме 5 имеем Np = р + 1, так что ар = 0. Пусть Р — (р). Тогда
NP = р2 и х(Р) = —р. Таким образом,
1 - app-s +P1-28 = 1+р1-28 = 1 - x(P)NP
Предположим теперь, что р = 1 (mod 4) и ]9/f/2Z). Запишем pZ[i] =
= РР, Р = (тг) и тг = 1 (mod 2 + 2г). Тогда TVP = рив силу теоремы 5
gu = ( — ) тг + ( — ) тг. Таким образом,
р V тг У4 V тг /4
1- = (l - (f Lлр-)A - (f )
Мы воспользовались тем, что ( — ) = ( — ) . Объединяя все резуль-
V тг /4 V тг /4
таты, получаем
§6. у2 = ж3 — Dx, глобальный случай 383
о = П х _ x{p)NPs = Е *(^" = д*> х).
Остается показать, что х ~~ алгебраический характер Гекке веса 1
по модулю (8D).
а,
OL ) 4
Для идеала А, взаимно простого с 2D, очевидно, х(А) = (-
V OL ) 4
где а — однозначно определенный образующий элемент для А с а =
= 1 (mod 2 + 2г). Теорема будет доказана, если мы сможем показать,
что из а = 1 (mod 82?) следует ( —) =1. Для этого мы рассмотрим
отдельно случаи D = 1 (mod 4), D = 3 (mod 4) и .D четное.
Если D = 1 (mod 4), то, согласно предложению 9.9.8, ( — ) — [%) •
Так как а = 1 (mod D), то (-^ j = 1 и этот случай разобран.
Преж:де чем идти дальше, сделаем одно замечание о ( — 1 . Если а =
= 1 (mod 8), то мы утверждаем, что ( — 1 =1. Чтобы убедиться в этом,
\ ^-^ / 4
заметим, что f — 1 —г 4 . Если a = а + гб = 1 (mod 8), то а — 1 =
= 0 (mod 8) и 6 = 0 (mod 8). Таким образом, Na- I = a2 + 62 - 1 = (a2 -
— 1) + б2 = 0 (mod 16). Тем самым утверждение доказано.
Предположим теперь, что D = 3 (mod 4). Пусть а = 1 (mod 8D).
Воспользовавшись предлож:ением 9.9.8 и замечанием, сделанным выше,
получаем
l
а )А[ а
Остается рассмотреть случай четного D. Запишем D = 2*Do, где
Do нечетно. Пусть а = 1 (mod 8D). В силу того что было доказано до
сих пор, [—-) =1. Таким образом, достаточно показать, что ( — 1 =
= 1. Чтобы убедиться в этом, нам нужно получить одно дополнение
к биквадратичному закону взаимности. А именно, предположим, что
число а = а + гЬ примарно. Тогда
а-Ь-Ь2-\
Доказательство этого в случае, когда а — простой элемент, в общих
чертах намечено в упражнениях к гл. 9. Нетрудно перейти также от
простого а к примарному.
Если а = 1 (mod 8D) и D четно, то а = 1 (mod 16). Отсюда получаем
а — 1 = 0 (mod 16) и b = 0 (mod 16), так что f "^ г J =1. Поэтому
384 Гл. 18. Эллиптические кривые
= (шJ
Доказательство окончено. ?
§ 7. у2 = х3 + D, глобальный случай
При анализе L-функции эллиптической кривой, определенной урав-
уравнением у2 = х3 + D, D G Z, мы поступаем так же, как в последнем
параграфе. Так как дискриминант D в этом случае равен — 24332}2, то
L(E,s)= Ц
A A rt гул—b
p \ 6Z)
Числа ар определяются равенством Л^=_р+1 — ар, a Np определяется
теоремой 4 § 3.
Мы построим некоторый алгебраический характер Гекке х на Щш\
веса 1 по модулю A2D) и покажем, что L(E, s) = L(s, x)-
Пусть Р С Ъ[и] — простой идеал. Положим х(Р) = 0, если Р делит
QD. Предположим теперь, что PJ^QD. Если NP = р, то р = 1 (mod 3)
и Р = (тг) с примарным тг, т.е. тг = 2 (mod 3). Тогда полагаем х(Р) =
= — ( ^-) тг. Если NP = р2, то р = 2 (mod 3) и Р = (тг). В этом случае
V тг / б
пусть х(Р) = -Р-
Лемма 1. Предположим, что р — нечетное простое число и р =
= 2(mod3). Тогда (^) =1.
V Р /6
Доказательство. Из предположения следует, что р+1 делится на 6.
Как мы знаем, DD)P~1 = 1 (mod p). Возводя обе части этого сравнения
в степень \{р-\- 1), получаем результат. ?
Лемма 1 позволяет дать определение х(Р) единым образом. Если
P/K6D, то запишем Р — (тг), где тг = 2 (mod 3). Тогда х(р) — ~ ( ^^ ) т^-
V я" / б
Лемма 2. Предположим, что а^Ъ[и] и (a, 2D) = A). Определим
\ — ] ^а?€ [ — ) . Тогда { — ) ={ -щ— ), г(?е последний символ есть сим-
вол Якоби (см. гл.5, §2^.
Доказательство. Оба символа ( ) и ( ^- 1 мультипликативны
по а. Поэтому достаточно проверить равенство символов для случая,
когда а = тг — простой элемент.
Предположим, что тг = р ф 2 — рациональное простое число, причем
р = 2 (mod 3). Тогда TVp = р2, так что ( ^-) = ( ) = 1. С другой сто-
стороны,
7. у2 = ж3 + D, глобальный случай 385
D 2 (mod р) = (D?-1) 2
(mod р) =
Поэтому (?-) = 1 = (Щ .
Предположим теперь, что тг — комплексное простое число, так что
Ntt = р = 1 (mod 3). Тогда
. ^? (mod „) . (?) (mOd „).
Так как р = TVtt, отсюда следует, что ( — ) = (-4т- ) и доказательство
закончено. П
Теорема 8. Пусть Е — эллиптическая кривая nadQ, определенная
уравнением у2 = х3 + D, D e Z. Введенный выше характер будет ал-
алгебраическим характером Гекке веса 1 по модулю A2D). Кроме того,
L(E,s)=L{s,X)-
Доказательство. Предположим сначала, что р = 2 (mod 3) и jvf^D.
По теореме 4 имеем Np = р + 1, так что ар = 0. Пусть Р = (р). Тогда Р
есть простой идеал в Ъ[и] и х(Р) = —р. Таким образом,
1 - app~s +pl~2s = 1 +pl~2s = 1 - x(P)NP~s.
Предположим теперь, что р = 1 (mod p) и pJ^QD. Запишем pZ[u] =
= РР, где Р = (тг) и тг = 2 (mod 3). Тогда NP =рипо теореме 4 имеем
gu = — ( ^- ) тг — ( ^- ) тг. Таким образом,
Мы воспользуемся тем, что ( ^^ ) = ( ^^-) . Собирая все это вместе,
J V тг У6 V тг У6 F
получаем
' s) = П ! _ у(р)Лгр-, = Е X(A)NA- = L(s, X).
р
Остается показать, что х будет алгебраическим характером Гекке
веса 1 по модулю A2D).
Очевидно, что для А, взаимно простого с 12D, х(А) = ( ^-) а, где
а — однозначно определенный образующий идеала А, для которого а =
= 1 (mod 3). Все, что нам нужно, это показать, что из а = 1 (mod 12D)
следует ( ^ ) =1.
\ ^ / б
386 Гл. 18. Эллиптические кривые
Так как 1 = ( ^-) ( ^-) (^-) , то достаточно показать, что из
а = 1 (mod 12D) следует ( ^- j = 1 и что в силу леммы 2 ( -Ш-) = 1.
Эти два равенства мы и докажем поочередно.
Предположим, что Sj^D. Так как а = 1 (mod 3) и а взаимно просто
с 4.D, то в силу кубического закона взаимности (теорема 1 гл. 9)
{ a K-{ad)-Ud)-
Последнее равенство следует из сравнения а = 1 (mod AD).
Если 3 | Z), запишем D = 3fD0 с З/^Д)- Тогда
а/з\ 01 Уз
Мы должны показать, что из а = 1 (mod 12D) и 3 | D следует равенство
/ о \
( — ) =1. Из предположения имеем а = 1 (mod 9). Нам нужны допол-
дополнения к кубическому закону взаимности, которые могут быть сформу-
сформулированы следующим образом. Если j е Ъ[и] примарно, то j = а +
+ Ьш = 2 (mod 3). Положим а = Зт — 1 и b = Зп. Тогда
= cj2m.
7/3 V 7 /з
Набросок доказательства имеется в упражнениях к гл. 9. Далее, 3 =
= — ио2{1 — о;J, так что из а = 1 (mod 9) следует равенство ( — j =1,
что и было нужно.
Остается показать, что из а = l(mod 12D) следует равенство ( 4М j =
= 1. Но из а = 1 (mod 12D) получаем Na = 1 (mod 4) и Na = 1 (mod D).
Если D нечетно, то
(ШЛ - [Na\ _ (Na\ ,
\Na) ~ \4DJ ~ \ D J ~ 1'
Мы воспользовались квадратичным законом взаимности. Если D
четно, запишем D = 2fDo с нечетным Dq. Тогда
\Na) ~ \Na) \Na) ~ \Na) '
Последнее, что осталось доказать: из четности D и сравнения а =
= 1 (mod 12D) следует равенство (-*4— j = 1. Из предположения выте-
вытекает, что а = 1 (mod 8), так что Na = 1 (mod 8), а потому (-у4—) = 1.
П
§ 8. Заключительные замечания 387
Мы закончим замечанием, что теоремы 6, 7 и 8 показывают, что для
эллиптических кривых Е вида у2 — х3 — Dx или у2 = х3 + D L-функция
L(E,s) может быть аналитически продолжена на всю плоскость С. Это
доказывает гипотезу Хассе для этих кривых!
§ 8. Заключительные замечания
В этой главе мы рассмотрели частные типы эллиптических кривых,
определенных над Q, и исследовали их локальные и глобальные дзета-
функции. Эти рассмотрения можно перенести на алгебраические много-
многообразия, определенные над полями алгебраических чисел. Мы пройдем
немного по этому пути, рассмотрев кривые, определенные многочле-
многочленом с коэффициентами в некотором поле алгебраических чисел. После
приведения соответствующих определений мы исследуем кривые Фер-
Ферма Xq + х\ + х\ — 0, где q — нечетное простое число. В связи с этим
мы познакомимся с одним классом алгебраических характеров Гекке,
определенных суммами Якоби.
Пусть К — поле алгебраических чисел и б* а К — кольцо его целых
чисел. Пусть /(xo,Xi,x2) G ^[xo,Xi,x2] — неособый однородный много-
многочлен положительной степени и С обозначает алгебраическую кривую,
определенную уравнением /(xo,Xi,x2) = 0. Если Р — простой идеал в
6, то можно редуцировать коэффициенты / по модулю Р и получить
многочлен / е ^/P[xo,Xi,x2]. Можно показать, что существует такое
конечное множество простых идеалов 5?, что для Р (? 5? редуцирован-
редуцированный многочлен / будет неособым. Пусть Ср — кривая, определенная над
ОJP уравнением /(xq, х\, х2) = 0. В § 1 гл. 11 было показано, как кривой
Ср поставить в соответствие некоторую дзета-функцию. А именно,
Z(Cp, u) = ехр
т=1
где Nm(P) — число (проективных) решений уравнения /(xo,Xi,x2) =
= 0 в расширении поля GJP степени т. Напомним, что это расширение
единственно с точностью до изоморфизма, так что Nm(P) определено
корректно.
Используя теорему Римана—Роха, можно показать, что существует
такой многочлен Н{Ср,и) G Щи] со свободным членом 1, что
При Р е 5? не так легко выбрать подходящее определение. Для на-
наших целей мы просто полагаем Н(Ср,и) = 1 при
388 Гл. 18. Эллиптические кривые
Локальная дзета-функция кривой С в Р получается, если в равен-
равенстве A0) положить и — NP~S. А именно,
H{CP,NP-S)
Это обобщает равенство E) в §2.
Глобальная дзета-функция кривой С определяется как
Произведение берется по всем ненулевым простым идеалам в &.
Произведение \\ ~л лттэ-s называется дзета-функцией поля К и
обозначается через (к($)- Впервые эта функция исследовалась Деде-
киндом. Это произведение сходится при Re(s) > 1 и, как показал Гекке,
оно мож:ет быть продолжено до мероморфной функции на всей плоско-
плоскости С и удовлетворяет некоторому функциональному уравнению. Един-
Единственный простой полюс имеется при s = 1.
Положим
L(CP,s) = и
V ; H(CNP-S)
Тогда из равенств A1) и A2) получаем
uf('^('-1). A3)
)
Отсюда видно, что если мы хотим исследовать, может ли ((C,s)
быть аналитически продолжена на всю плоскость С, достаточно рас-
рассмотреть L(C, s).
Фиксируем некоторое нечетное простое число q. Начиная с этого
места, мы будем рассматривать кривую С, определенную уравнением
хо + xi + х\ — 0- Будет удобно считать кривую С определенной над по-
полем К — Q[CgL а не наД Q- Пусть & — ЩСя\ — кольцо целых чисел в К.
Нетрудно убедиться в том, что исключительное множество 5? в этом
случае состоит из единственного идеала j?f = A — (q). Если Р ф ?6\
то мы знаем, что q делит NP — 1. Именно этот факт делает К более
удобным полем определения.
Предполагая, что Р ф A —^), применим теорему 2 § 3 гл. 11 к кривой
СР над б IP. Имеем
ЩСР,и)= П (l + NP-1g(XoMxiMX2)u), A4)
Хо,ХьХ2
8. Заключительные замечания 389
где произведение берется по таким тройкам характеров кольца
порядка д, что Х0Х1Х2 = ? — тривиальный характер.
Так как g(xi)9(X2) = «/(Хъ Х2ЖХ1Х2) и Х0Х1Х2 = ?, то g(xo)g(xi)u
'9{Х2) — XiX2(~l)NРJ\xi5 Х2)' Поскольку —1 = (—I)9, то XiX2(~l) = 1-
Подставляя полученные значения в A4), получаем
Н(СР,и) =
где произведение берется по парам характеров порядка q с Х1Х2 Ф ?-
Пусть Хр(а) — [%) Для ol ^ G. Это есть обратная величина к
\± / q
символу ^-степенного вычета (см. гл.14, §2). Для 1 ^ a,b ^ q — 1 и
а + b ф q положим Ха,ь(Р) — ~^(Хр5 Хр)- В этих обозначениях
а,Ь=1
так что
S)= П ! _ xJp)NP
а,6=1 ' ч 7
Определим
=O и
Как мы показали,
а,6
a+b^q
В этом месте разумно выразить надежду, что Ха^ продолж:ается до
алгебраического характера Гекке. На самом деле так оно и есть! Ха^
является алгебраическим характером Гекке веса 1 по модулю (q2). Со-
Соответствующий элемент из группового кольца равен
(/т\ + /Ьп)Па + Ь)п\\
п
)
\\ / \т / \ т /) п
71 = 1
Доказательство этих фактов будет намечено в упражнениях. Здесь
мы лишь отметим, что, поскольку L(C, s) является произведением
L-функций Гекке, то фундаментальный результат Гекке, теорема 6, по-
390 Гл. 18. Эллиптические кривые
казывает, что L(C, s) может быть аналитически продолжена до целой
функции на всей плоскости С и, более того, удовлетворяет некоторому
функциональному уравнению, которое связывает L(C, s) с L(C, 2 — s).
Замечания
Понятие локальной и глобальной дзета-функций, соответствующих
некоторой алгебраической кривой над полем алгебраических чисел, бы-
было введено Хассе. В конце 30-х годов Хассе предложил одному из своих
студентов показать, что глобальная дзета-функция может быть анали-
аналитически продолжена на всю плоскость С и удовлетворяет некоторому
функциональному уравнению. Де Рам попросил Вей ля высказать свое
мнение об этой проблеме. В то время Вей ль не видел причин, почему
глобальная дзета-функция должна обладать свойствами, которые ей
приписал Хассе. Более того, он считал эту проблему слишком трудной
для начинающего. По этому вопросу и по поводу других разъясняющих
комментариев см. [241], т. II, с. 529—530.
Несмотря на первоначальный пессимизм, в ходе работы с частными
случаями, сначала с кривой у2 = х4 + 1 (она эквивалентна кривой у2 =
= х3 — \х) у Вейля возникло доверие к гипотезе Хассе. Кульминацией
его исследований по этим вопросам стала его знаменитая статья [81].
В ней Вей ль рассматривает кривые вида уп — ахт + 6, где 2 ^ п ^ т
и ab ф 0. В конце статьи он отмечает, что случаи п = 2 и т = 3 или
4 соответствуют эллиптическим кривым с комплексным умножением.
По существу, это кривые, которые мы рассматривали в настоящей гла-
главе. Он пишет: «...было бы очень интересно исследовать с той же са-
самой точки зрения более общие эллиптические кривые с комплексным
умножением». Это предложение было с полным успехом реализовано
Дойрингом.
Между прочим, стоит заметить, что то, что мы называли характера-
характерами Гекке, сам Гекке называл «Grossencharaktere». В старой литературе
алгебраические характеры Гекке назывались характерами типа Aq.
В своей статье 1954 года ([241], т. II, с. 550—558) (см. также [6*]. —
Ред.) Вейль определяет локальную и глобальную дзета-функции для
неособого алгебраического многообразия над полем алгебраических чи-
чисел. Он ставит вопрос о том, могут ли эти функции быть аналитически
продолжены на всю плоскость С и удовлетворяют ли они функциональ-
функциональному уравнению подходящего типа. Проверив, что эти свойства выпол-
выполняются для многих примеров, он пишет: «Очень соблазнительно пред-
предположить, что это всегда так, но я мало надеюсь на скорое доказатель-
доказательство этого». Гипотеза эта известна теперь как гипотеза Хассе—Вейля.
Упражнения 391
Несмотря на то, что в этом направлении имеется большой прогресс,
которым мы обязаны самому Вейлю, Танияме, Шимуре и другим, ги-
гипотеза Хассе—Вейля все еще остается открытой.
Обстоятельный обзор по поводу различных дзета- и L-функций, ко-
которые были определены и изучались начиная с XIX века, см. в ста-
статье о дзета-функциях в «Encyclopedic Dictionary ot Mathematics» (v. II,
sec. 436, M.I.T. Press, 1977).
Упражнения
1. Пусть p — простое число p = 2 (mod 3), и рассмотрим кривую Epi
определенную над ?р уравнением у2 = х3 + а, а е ?р. Показать, что
N(y2 = х3 + а) — р +\ (число проективных точек).
2. Пусть К С С — нормальное СМ-поле и j — ограничение на К
комплексного сопряжения. Показать, что подполе инвариантных эле-
элементов относительно j является единственным вполне вещественным
подпол ем в К степени [К : Q]/2 и ja = aj для всех а в группе Галуа
поля К над Q.
3. Пусть А, В е Z, А = 16DА3 - 27Б2) /0и?- эллиптическая
кривая, определенная уравнением у2 = х3 — Ах — В. Если р — простое
число и Р/^А, то пусть Np обозначает число проективных точек на реду-
редуцированной кривой Ер над ?р. Простое число р называется аномальным
для Е, если
х=0
Положим
х=0
Показать, что
(a) р аномально для Е тогда и только тогда, когда р \ Np.
(b) Предположим, что для Ер выполняется гипотеза Римана (см.
гл. 11, § 3). Если р > 5, то
fp = 1 <<=> р аномально для Е.
(c) Пусть В = 0, р = 1 (mod 4) и pJ^A. Тогда fp четно. Если р > 5,
то р не аномально.
(d) Если В = 0, то
5 аномально <<=> А = 2 (mod 5).
Это упражнение взято из [202].
392 Гл. 18. Эллиптические кривые
4. Рассмотрим абелеву группу рациональных точек на эллиптиче-
эллиптической кривой Е) определенной уравнением у2 — х3 + с. Если Р/^бс, то из-
известно, что подгруппа кручения (т.е. точек конечного порядка) кривой
Е изоморфна подгруппе группы кручения кривой Е, редуцированной
по модулю р. Воспользоваться упр. 1 и теоремой Дирихле о плотности
простых чисел в арифметической прогрессии для доказательства то-
того, что подгруппа кручения определенной выше кривой может иметь
лишь 1, 2, 3, 4 или 6 элементов. Это упражнение взято из [201].
В следующих упражнениях используются обозначения из гл. 14, §3.
Кроме того, G — Ъ/тЪ 0 Ъ/тЪ и Т обозначает подмножество в G,
состоящее из (а, 6), где а ф 0, Ь ф 0, а + Ь ф 0.
5. Обобщить упр. 13 из гл.6 следующим образом. Если х — (xi,x2),
У — B/1э 2/г) ? G) то пусть (х,у) = Х\у\ + х2у2- Для С-значного отобра-
отображения /, определенного на бг, положим
~(x,y)
Показать, что
(а) Я*) = ^
(с) Предполож:им, что / отображ:ает G в единичную окруж:-
ность и / принимает целые значения. Показать, что f(x,y) —
— /@, $)Ст+Ьу Для подходящего элемента (а, Ъ). Получить от-
отсюда, что если /@, 0) = /A, 0) = /@,1) = 1, то / тождествен-
тождественно равна 1.
6. Пусть (а, Ь) е G, Р С Dm — некоторый простой идеал и т ? Р.
Определим Ха,ь(Р) следующим образом:
(i) если (а, Ъ) е Г, то Аа>ь(Р) = -J(Xp,Xp);
(И) если (а, Ь) ф @, 0), а + b = 0, то положим Ха,ь(Р) — +Хр(~1);
(ш) если а + Ьф0иа = 0 или Ъ — 0, то положим \а,ь(Р) — 1;
(iv)A0,0(P) = -(iV(P)-2).
Показать, что если изменить соглашение гл. 8; касающееся триви-
тривиальных характеров, положив е@) = 0, то \а,ь(Р) — —J(xap-> Xbp) Для всех
(a,6)eG.
7. Для (с, d) ? G определим 7VC^ как число решений (х, j/),i,j/GF?
(g = N(P)) уравнений х + у = 1, Хр(х) = Сш и ХрЫ = Сш- Показать,
что J(x^,Xp) = E^c,dCm+M- Получить отсюда, что -Nc4 = Хс4(Р).
c,d
Упражнения 393
8. Продолжить Ха,ь(Р) по мультипликативности на все идеалы
21 С Dm) m ф 21. Показать, что
(a) Ao,oBlOVBl) = 1 (mod m2);
(b) если a E Dm) a/0, (a, b) E T, то Aa^((a)) = n(a, 6)a7^a'6\ где
и(а,Ь) E ^Dm, |t^(a,6)| = 1 и
7(a,6)= У^ (/ш\ + /Ьп\_/\^ l^Xj^-i.
/v y ^--/ \\m/ \ m I \ m I)
n
(n,m) = l
9. Предположим, что а = 1 (mod m2). Определим n(a,6) для фик-
фиксированного a согласно упр. 8, если (a, b) E Т. Если (a, b) ф Т, (a, 6) ф
Ф @, 0), то положим и{а) Ь) — Ха,ь((^)) и п@, 0) = 1. Показать, что
(a) u(a,b) = Aa^((c^)) (mod т2) для всех (а, 6) Е G;
(b) й(а, 6) Е Dm для всех (a, b) E G;
(c) й(а, b) E Z для всех (а, 6) Е G;
(d) применить п.(с) упр. 5 для доказательства того, что n(a,6) =
= 1 при всех (a, b) E G и получить отсюда, что Аа^ является
алгебраическим характером Гекке для Dm с определяющим
модулем т2.
Упражнения 5—9 заимствованы из [171], гл. 1, §4.
10. Привести пример неабелева СМ-поля.
УКАЗАНИЯ К ОТДЕЛЬНЫМ УПРАЖНЕНИЯМ
Глава 1
6. Воспользоваться упр. 4.
8. Проделать его для случая d = 1, а затем для общего случая вос-
воспользоваться упр. 7.
9. Воспользоваться упр. 4.
15. Возможно обобщение: а будет п-й степенью тогда и только тогда,
когда п | or dp а для всех р.
16. Воспользоваться упр. 15.
17. Воспользовавшись упр. 15, показать, что из а2 = 262 следует, что
2 будет квадратом некоторого целого числа.
23. Начать с представления 4( S j = (с — 6) (с + Ь).
28. Показать, что п5 — п делится на 2, 3 и 5. Затем воспользоваться
упр. 9.
30. Пусть s — наибольшее целое число, для которого 2s ^ п, и рас-
п os-l
смотрим Y2 П?~- Показать, что эта сумма может быть записана в виде
k=i K
in + k с нечетным Ь. Затем воспользоваться упр. 29.
31. 2 = A + г)A — г) = —гA + гJ.
34. Так как и2 = — 1 — и) то A — иJ = 1 — 2ш + и2 = —За;, так что
Глава 2
1. Нужно следовать классическому доказательству Евклида.
2. Воспользоваться тем, что oidp(a + b) ^ min(ordp a, ordp б).
3. Если бы Р\)р2) ••• ->Ps были всеми простыми числами, то выполня-
выполнялось бы равенство (р(р\Р2 ---Ps) — 1- Воспользовавшись теперь формулой
для (р) получить противоречие.
5. Рассмотреть последовательность 22 + 1, 24 + 1, 28 + 1,.... Согласно
предыдущему упражнению, никакое простое число не может делить два
члена этой последовательности.
6. Прямой счет! Рассмотреть множество пар (s,t) с pst ^ п.
12. Во всех случаях слагаемые мультипликативны. Поэтому следует
сначала произвести вычисления для степеней простых чисел и восполь-
воспользоваться затем мультипликативностью.
Указания к отдельным упражнениям 395
17. Воспользоваться формулой для а(п).
20. Если d | п, то Ц также делит п.
22. Если (т, п) = 1, то {п — т) п) — 1, а потому можно так выделить
пары взаимно простых с п чисел, что они будут давать в сумме п.
Глава 3
1. Предположить, что Р\1Р2-) ••• ,Рп все сравнимы с —1 по модулю 6.
Рассмотреть N = QpiP2 •••Рп — 1 •
3. 10* сравнимо с 1 по модулю 3 и 9 и сравнимо с (—1)к по модулю 11.
5. Если решение существует, то х3 = 2 (mod 7) имеет решение. По-
Показать, что последнее сравнение не имеет решения.
10. Если п не равно степени простого числа, то записать п в виде
п — ab с (а, Ь) = 1. Если п — ps с s > 2, то (п — 1)! делится на р • ps~l —
— ps — п. Если п — р2 и р ф 2, то {п — 1)! делится на р • 2р = 2п.
13. По индукции показать, что пр = п (mod p) для всех п. Если
(п,р) = 1, то можно сократить п и получить формулу Ферма.
17. Пусть Xk — решение сравнения f(x) = 0 (mod ракк)] решить систе-
систему х = хк (mod ракк).
23. Так как г = — 1 (mod 1 + г), то а + Ы = a — b (mod I + г). Записать
а — b = 2с + d) где d — 0 или 1. Тогда а + bi = d (mod I + г).
25. Записать а в виде а = 1 + /ЗА, возвести в куб обе части этого
равенства и, перейдя к сравнению по модулю А4, получить, что а3 = 1 +
+ (Р3 — ш2Р)Х3 (mod А4). Затем показать, что член в скобках делится
на А.
Глава 4
4. Если (—а)п = 1 (mod р) и п четно, то р — 1 | п. Если п нечетно, то
р — 1 | 2п, откуда следует, что 2 | п (противоречие).
6. Упражнение не совсем простое. Если 3 — не примитивный элемент,
то показать, что 3 сравнимо с квадратом. С помощью упр. 4 показать,
что существует такое целое число а, что —3 = а2 (mod p). Решить теперь
сравнение 2и = — 1 + a (mod р) и показать, что и имеет порядок 3. Это
означает, что р=1 (mod 3), а это не так.
7. Воспользоваться тем фактом, что 2 не является квадратом по
модулю р.
9. См. упр. 22 из гл. 2; воспользоваться тем, что д^)/2 = — 1 (mod p)
для примитивного корня д.
396 Указания к отдельным упражнениям
11. Представить числа между 1 и р — 1 в виде степеней примитивного
корня и воспользоваться формулой для суммы геометрической прогрес-
прогрессии.
14. Если [ab)s — е) то ans= 1, откуда следует, что т | ns. Таким обра-
образом, т\ s. Аналогично n\s. Таким образом, тп | s.
18. Выбрать некоторый примитивный элемент (например, 2) и по-
построить элементы порядка 7.
22. Сначала показать, что 1 + а + а2 = 0 (mod р).
23. Воспользоваться предложением 4.2.1.
Глава 5
3. Воспользоваться тождеством 4(ах2 + Ьх + с) — Bах + ЬJ — (Ь2 — 4ас).
9. Используя сравнение к = —(р — к) (mod p)) сначала показать, что
2 • 4 ..... (р - 1) = (-l)^-1)/2! • 3 • 5 ..... (р - 2) (mod р).
10. Воспользоваться упр. 9.
13. Если х4 - х2 + 1 = 0 (mod р), то Bх2 - IJ = -3 (mod p) и (х2 -
— IJ = —x2(modp). При помощи квадратичного закона взаимности
получить отсюда, что р = 1 (mod 3) и р = 1 (mod 4).
18. Пусть D = Р1Р2 •••Рт) и предполож:им, что гг — невычет по модулю
Pi. Найти целое число 6, для которого b = п (mod pi) и Ь = 1 (mod pk)
для 1 < к ^ т. Затем воспользовавшись определением символа Якоби,
показать, что [jjj = — 1.
23. Если р — простое число в Z[i], то, так как т2 + 1 = (т + г)(т — г))
либо р | т + г, либо р | m — г, однако ни одна из этих возможностей не
имеет места.
26. Для доказательства (Ь) заметить, что а -\- Ъ нечетно, так что
из 2р = (а + ЪJ + (а — ЪJ вытекает, что ( _*\) = 1. Далее следует
V а -\- и J
воспользоваться свойствами символа Якоби.
29. Случаи р = 1 (mod 4) и р = 3 (mod 4) полезно рассмотреть от-
отдельно.
30. Для вычисления написанной суммы воспользоваться тем, что
2п + 1J-Г
Глава 6
1. Найти уравнение степени 4.
2. Если aoas + a\as~l + ... + as — 0, где а& е Z, то умножить обе
части этого равенства на а^ и убедиться в том, что а^а — целое алге-
алгебраическое число.
Указания к отдельным упражнениям 397
3. Предположим, что аи f3 удовлетворяют приведенным уравнениям
с целыми коэффициентами степеней тип соответственно. Пусть j —
корень уравнения х2 + ах + /?; показать, что Z-модуль, порожденный
alf3^k, где 0 ^ г < m, 0^j<nnfc = 0 или I, отображается в себя при
умножении на 7-
10. Воспользоваться тем, что да — (-\д и ХМ ~) = 0-
11. Напомним, что 1 + ( — 1 равно числу решений сравнения х2 =
= к (mod р) и что ^2 ( — 0.
/с=0
13. Воспользоваться упр. 12.
16. Показать, что в противном случае f'ipi) — 0, и применить пред-
предложение 6.1.7.
23. С помощью упр. 4 показать, что достаточно убедиться в том, что
fix) неприводим в Ъ\х\. Затем записать fix) — g{x)h{x)) произвести
редукцию по модулю р и воспользоваться тем, что Fp[x] — область с
однозначным разложением на множители.
Глава 7
3. Так как q = 1 (mod n), то существует п решений уравнения хп —
= 1. Если j3n — а, то другие решения уравнения хп — а задаются ^E,
где 7 пробегает решения уравнения хп = 1.
5. qn-l = (9_i)(9*-i+ ... +5 + 1). Так как g = I (mod n), то qn~l +
+ ... + q + 1 = n (mod n) = 0 (mod n). Таким образом, n(g — 1) делит
qn - 1.
7. Пусть т — [К : F]. Элемент а является квадратом в К в том и
только том случае, когда а^™)/2 = 1. Если а — не квадрат в F, то
a(q-i)/2 _ _^ Показать, что q/^)/2 = (—l)m. Эта формула и приводит
к нужному результату.
9. Воспользоваться методом упр. 7.
14. Это можно доказать точно так же, как и для Fp. Предположим,
что q — рт. Пусть f{x) ? Fp[x] неприводим и степени тп и д(х) —
неприводимый делитель многочлена fix) в Fq[x]. Пусть а — корень
многочлена д(х)\ показать, что Fq С Fp(a). Сделать отсюда вывод о
том, что Fq(a) = Fp(a) и что [Fq{a) : Fq] = п. Отсюда следует, что д{х)
имеет степень п.
15. Если хп — 1 разлагается на линейные множители в Е) где [Е : F] =
= /, то Е1 имеет д^ элементов и n | q^ —1, так как корни многочлена хп — 1
образуют подгруппу в Е1* порядка п.
398 Указания к отдельным упражнениям
23. Если /3 — какой-либо корень многочлена хр — х — а, то его кор-
корнями будут и /? + 1, /3 + 2, ..., /3 + (р — 1). Воспользовавшись этим,
можно доказать утверждение о неприводимости. Для доказательства
2
последнего утверждения заметим, что из f3p — C + а следует f3p — f3p +
-\-ар = @-\-а-\-аРи т>д. Таким образом, EрП — /3 + tr(a), а потому /3 ? F
тогда и только тогда, когда tr(a) = 0.
Глава 8
1. Воспользоваться следствием предложения 8.1.3 и предложением
8.1.4.
4. Произвести подстановку к = Щ-(и + 1) и воспользоваться упр. 3.
6. Получается из упр. 5 вместе с частью (d) теоремы 1 или непосред-
непосредственно из упр. 4 при помощи подстановки т — 1.
8. Воспользовавшись предложением 8.1.5, следовать доказательству
упр.З.
14. Воспользоваться предложением 8.3.3.
19. Показать сначала, что число решений задается формулой рг~1 +
+ ^о(х? X? ••• ? х)? гДе X ~ характер порядка 2 и в Jo имеется г компонент.
Затем воспользоваться предложением 8.5.1 и теоремой 3. Заметим, в
частности, что если г нечетно, то ответом будет просто рг~1.
28. Для (а): записать
Для (b): записать
p-l (p-l)/2 (p-l)/2
^^X(fc)= J] 2fcXBfc)+ E (p-2A;)x(p-2A;).
/c=l /c=l /c=l
Для (с) и (d): приравнять (а) и (b).
Глава 9
3. Воспользоваться тем, что Nj — a2 — ab + b2 = 3(m + n) + l (mod 9).
4. Записать j в виде 3(m + n) — 1 — ЗпА. Таким образом, 7 = 3(т +
+ n) - l(mod ЗА).
5. Напомним, что 3 = —ш2Х2.
7. 2 + За;, -4 - За; и -7 - За;.
10. D/5D имеет 25 элементов. Следовательно, х24 — 1 полностью
разлагается на линейные множители в D.
Указания к отдельным упражнениям 399
13. Воспользовавшись упр. 9, показать, что перечисленные элементы
представляют все кубы в D/5D.
15. Напомним, что каждый элемент в D/ttD представляется некото-
некоторым рациональным целым числом.
19. Воспользоваться упр. 18, кубическим законом взаимности и ин-
индукцией по числу примарных простых делителей 7-
23. Пусть р = тгтг, где тг примарно. В силу упр. 15 сравнение х3 =
= 3 (mod р) разрешимо тогда и только тогда, когда Хтг(З) = 1. Согласно
упр. 5, Хтг(З) = cj2n, где тг = а + 6о;и6 = Зп. Отсюда следует, что
сравнение х3 = 3 (mod р) разрешимо тогда и только тогда, когда 9 | Ъ.
24. (а) Использовать кубический закон взаимности с тг = Ъи (mod a),
(d) Записав (а + Ь) — (а + b)uu~l) обратить внимание на то, что
а + Ьш = аA — и) (mod тг).
25. (а) Воспользовавшись упр. 18 и следствием предложения 9.3.4,
показать, что Ха+ъ{Щ — 1. Заметим, что тг = —6A — и) (mod a + 6).
(Ь) Ха+ЬA -U) = (Хв+бA " ^JJ = (Ха+6(-3^)J И Т.Д.
39. Объединить упр. 6 и 27 гл. 8 с предложением 9.6.1.
40. См. указание к предыдущему упражнению.
43. Воспользоваться упр. 23 из гл. 6.
Глава 10
2. Отобразить [хо,хъ ...,xn_i] в [О,хо,хь ...,xn_i].
3. Так как число точек в An(F) равно qn, разложение Pn(F) пока-
показывает, что число точек в Pn(F) равно qn плюс число точек в Pn~l(F).
Далее следует применить индукцию.
4. Без ограничения общности можно предположить, что а0 ф 0.
Если [хо,жъ •••)хп] — какое-либо решение, то отобразить его в точку
[х\)Х2) ...,жп] из Pn~l(F). Показать, что это отображение корректно
определено, взаимно однозначно и эпиморфно.
5. Произвести подстановку, избавиться от однородности и восполь-
воспользоваться тем, что многочлен степени п имеет не больше п корней.
9. к-я частная производная равна таьх™~1. Так как каждый ко-
коэффициент ak отличен от 0 и ттг взаимно просто с характеристикой,
единственный общий нуль для всех частных производных имеет коор-
координаты, все равные нулю. Это, однако, не соответствует никакой точке
проективного пространства.
12. Приведенное к однородному виду уравнение таково: z2x2 + z2y2 +
+ х2у2 = 0. Полагая z = 0, убеждаемся в том, что точками на беско-
бесконечности будут @, 0,1) и @,1, 0). Вычисление частных производных и
подстановка показывают, что обе эти точки особые.
400 Указания к отдельным упражнениям
14. Рассмотреть соответствующее однородное уравнение и вычис-
вычислить три частные производные. Предположив, что общее решение су-
существует, показать, что 4а3 + 2762 = 0.
19. След тождественно равен нулю на Fp тогда и только тогда, когда
р | п.
20. Рассмотреть отображение h(x) — хр — х из Fq в Fq. Доказать, что
оно будет гомоморфизмом и что его образ имеет - элементов. Доказать
также, что образ h содержится в ядре отображения следа. Показать, что
в ядре последнего отображения имеется не больше - элементов.
21. Подсчитать число таких отображений.
23. Произвести подстановку и вычисление.
Глава 11
4. В Fg существует 2q + 1 точек на бесконечности и q2 конечных
точек. Поэтому Ns — 3p2s — ps — 1.
7. Число прямых в Pn(F) равно числу плоскостей в AnJrl{F)) кото-
рые проходят через начало координат. Ответ: v , 2 г2 у^-.
9. Существует одна бесконечно удаленная точка. При х — 0 имеется
лишь одна точка @, 0) на кривой. При х ф 0 положить t = у/х и рас-
рассмотреть t2 = х + 1. Последнее уравнение имеет р — 2 решений с х ф 0.
Вместе получается р решений в Fp. Аналогично в Fq имеется q решений.
Таким образом, ответом будет -^—-— .
12. Для начала вычислить число решений уравнения и2 — v2 — 4D.
16. Важные факты: NFs/F является эпиморфизмом; группа мульти-
мультипликативных характеров конечного поля циклическая.
18. Воспользоваться соотношением между суммами Гаусса и Якоби
и соотношением Хассе—Дэвенпорта.
19. После разложения членов произведения в геометрические про-
прогрессии результат сводится к тому факту, что каждый приведенный
многочлен является произведением приведенных неприводимых много-
многочленов, причем последнее представление единственно.
S-1
20. Воспользоваться тождеством 1 -Ts = JJA -С*Х), где С = e27Ti/s.
Глава 12
7. 21 = A + 2^
Указания к отдельным упражнениям 401
9. Записать det(u;z- ) в виде Р — 7V, где Р — сумма членов, соответ-
соответствующих четным перестановкам, а N — соответствующая сумма для
нечетных перестановок. Затем обратить внимание на то, что (Р — NJ =
= (Р + NJ — 4PN. Стандартное рассуждение показывает, что Р + N и
PN — целые числа.
9. Воспользоваться предложением 12.1.4 и элементарными симмет-
симметрическими функциями.
14. Рассмотреть С + С- гДе С ~~ некоторый примитивный корень из
единицы степени 7.
21-23. См. часть 2 §5.
26. Выбрать некоторый примитивный корень д для поля вычетов.
Поднять его в D и рассмотреть соответствующий минимальный много-
многочлен над инвариантным подполем для группы разложения (см. [207],
с. 223).
Глава 13
1. Показать, что (р(п) четно при п > 2.
2. Воспользоваться предложением 13.1.3.
3. Q(y/p) cQ(Cp).
24. Дискриминант квадратичного поля по модулю 4 равен 0 или 1.
27. Порядок ар не может быть равен 4. См. теорему 2.
Глава 14
1. (а) Воспользоваться определением J(x^)- формулой бинома и
упр. 11 из гл. 4. См. также лемму 1 из гл. 9.
12. См. упр. 17 (е).
14. Пусть Р — некоторый простой идеал, делящий р. Показать, что
("р)("р) = "'¦" ^м" [1^]' предложение 1034.
17. (Ь) Исследовать ветвление q в диаграмме
(с) Заметим, что С? = С* = (l - A - С,))*-
(е) Воспользоваться теоремой 1 из гл. 8 и тем, что д{хЬр) — 9(Xp)at-
402 Указания к отдельным упражнениям
Глава 15
2. Воспользоваться теоремой 3.
3. Воспользоваться теоремой 3 и предложением 15.2.4.
9. Как функция комплексной переменной t аналитична для
< 2тг.
13. Воспользоваться упр. 12.
21. Положить ш = 2в упр. 19.
19. См. указание к упр. 16.
Глава 16
1 1
4. Для другой оценки отметить, что Г t3k(l — t) dt = /о? _¦_ л \/Q? _¦_ о\ •
7. Показать, что если р)(т и р | ФШGУ) для некоторого целого числа
7V, то р = 1 (mod m).
11. Для целого числа т выбрать простое число р = 1 (mod m) и
рассмотреть подполя поля Q(Cp)-
12. Если р = t (mod m), то р \ f((p) = /(С*)- гДе С ~~ примитивный
корень степени m из единицы и /(я) е Z[x], /(?) = 0.
14. Воспользоваться теоремой 1 из гл. 6.
Глава 17
2. у2 + 4 = х3 - 27.
3. Следовать доказательству предложения 17.8.1 ([60], теорема 121).
8. (y + 2i)(y-2i)=x3.
12. Рассмотреть [х\ + y\\fdJ для некоторого решения (x\,yi) урав-
уравнения х2 — dy2 = — 1.
2
(
16. Рассмотреть отображение
19. См. указание к упр. 16.
Указания к отдельным упражнениям 403
Глава 18
4. Если п — порядок подгруппы ветвления для кривой Е) то при
р = 2 (mod 3) имеем р = — 1 (mod n). При этом плотность множества
простых чисел р = — 1 (mod n) равна —т^г, в то время как плотность
простых чисел р = 2 (mod 3) равна к.
8. (а) Сначала провести доказательство для 21 = Р, воспользовав-
воспользовавшись тем, что (N(P) - 2)N(P) = (N(P) - lJ - 1.
(b) См. упр. 4 из гл. 14. Для |п(а,6)| = 1 применить <r_i (см. лем-
лемму 4 § 5 гл. 14).
(c) Показать, что и инвариантен при действии подходящей груп-
группы Галуа.
12. (а) См. гл.11.
(b) См. упр. 4.
(c) См. упр. 17.
ЛИТЕРАТУРА
Основная литература
1. Albert A. Fundamental concepts of higher algebra. — Chicago: Univ-
University of Chicago Press, 1956.
2. Artin E. The collected papers of Emil Artin. — Reading, Mass.:
Addison-Wesley, 1965.
3. Ax J. Zeros of polynomials over finite fields. — Amer. J. Math., 1964,
v. 86, p. 255-261.
4. Bachman P. Niedere Zahlentheorie, v. 1. — Leipzig, 1902, p. 83.
5. Bachman P. Die Lehre von der Kreisteilung. — Leipzig, 1872.
6. Bachman P. Uber Gauss' Zahltheoretische Arbeiten. — Gott. Nachr.,
1911, S. 455-508.
7. Beck A., Bleicher M.N., Crowe D.W. Excursions into mathematics. —
New York: Worth, 1969.
8. Bilharz H. Primdivisor mit vorgegebener Primitivwurzel. — Math.
Ann., 1937, B. 114, S. 476-492.
9. Боревич З.И., Шафаревич И.Р. Теория чисел. — М.: Наука, 1985.
10. Carlitz L. The arithmetic of polynomials in a Galois field. — Amer.
J. Math., 1932, v. 54, p. 39-50.
11. Carlitz L. Some applications of a theorem of Che valley. — Duke
Math. J., 1951, v. 18, p. 811-819.
12. Carlitz L. Some problems involving primitive roots in a finite field. —
Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A., 1952, v. 38, p. 314-318.
13. Carlitz L. Kloosterman sums and finite field extensions. — Acta
Arithmetica, 1969, v. 16, p. 179—193.
14. Cartier P. Sur une generalisation des symboles de Legendre — Jacobi.
— L'Enseignement Math., 1970, v. 15, p. 31—48.
15. Cassels J.W.S. On Kummer sums. — Proc. London Math. Soc, 1970,
v. 21, N 3, p. 19—27. [Имеется перевод: Математика, 1972, 16:1, с. 157—
164.]
16. Chevalley С. Demonstration d'une hypothese de M. Artin. — Ab-
hand. Math. Sem. Hamburg, 1936, v. 11, p. 73—75.
17. Chowla S. The last entry in Gauss' diary. — Proc. Nat. Acad Sci.
U.S.A., 1949, v. 35, p. 244-246.
18. Chowla S. The Riemann hypothesis and Hilbert's tenth problem. —
New York: Gordon & Breach, 1963.
19. Chowla S. A note on the construction of finite Galois fields GF(pn). —
J. Math. Anal. Appl., 1966, v. 15, p. 53—54.
Литература 405
20. Chowla S. An algebraic proof of the law of quadratic reciprocity. —
Norske Vid. Selsk. Forh. (Trondheim), 1966, v. 39, p. 59.
21. Davenport H. On the distribution of quadratic residues mod p. —
London Math. Soc. J., 1930—1931, v. 5—6, p. 49—54.
22. Davenport H. The higher arithmetic. — London: Hutchinson, 1968.
[Имеется перевод: Дэвенпорт Г. Высшая арифметика. — М.: Наука,
1965.]
23. Davenport H., Hasse H. Die Nullstellen der Kongruenz Zetafunktion
in gewissen zyklischen Fallen. — J. Reine und Angew. Math., 1935, B. 172,
S. 151-182,
24. Deuring M. The zeta functions of algebraic curves and varieties. —
Indian J. Math., 1955, p. 89-101.
25. Dickson L. Linear algebraic groups and an exposition of the Galois
field theory. — New York: Dover, 1958.
26. Dwork B. On the rationality of the zeta function. — Amer. J. Math.,
1959, v. 82, p. 631-648.
27. Eisenstein G. Beitrage zur Kreisteilung. — J. Reine und Angew.
Math., 1844, S. 269-278.
28. Eisenstein G. Beweis des Reciprocitatssatzes fur die kubischen Res-
te. — J. Reine und Angew. Math., 1844, S. 289—310.
29. Eisenstein G. Nachtrag zum kubischen Reciprocitatssatze. — J. Reine
und Angew. Math., 1844, B. 28, S. 28-35.
30. Eisenstein G. Beitrage zur Theorie der elliptischen Funktionen. — J.
Reine und Angew. Math., 1847, B. 35, S. 135-274.
31. Erdos P. Some recent advances and current problems in number
theory. — Lectures in modern mathematics, v. 3. New York: Wiley, 1965.
32. Frankel A. Integers and the theory of numbers. — Scripta Math.
Studies, 1955, v. 5.
33. Galois E. Oeuvres mathematiques. — Paris: Gauthier-Viliars, 1897.
[Имеется перевод: Галуа Э. Сочинения. — М.—Л.: ОНТИ, 1936.]
34. Gauss C.F. Arithmetische Untersuchungen. — New York: Chelsea,
1965. [Имеется перевод: Гаусс К.Ф. Труды по теории чисел. — М.: АН
СССР, 1959.]
35. Goldstein L. Density questions in algebraic number theory. — Amer.
Math. Monthly, April 1971, v. 78, p. 342—351.
36. Graham R. On quadruples of consecutive fc-th power residues. —
Proc. Amer. Math. Soc, 1964, p. 196—197.
37. Greenberg M. Forms in many variables. — Mento Park, Calif.:
W.A. Benjamin, 1969.
38. Hardy G.H. Prime numbers. — Manchester: British Association,
1915, p. 350—354, and Collected papers, v. 2.
406 Литература
39. Hardy G.H. An introduction to the theory of numbers. — Bull. Amer.
Math. Soc, 1929, v. 35, p. 778-818.
40. Hardy G.H., Wright E.M. An introduction to the theory of numbers.
4th ed. — Oxford: Oxford University Press, 1960.
41. Hasse H. Vorlesungen iiber Zahlentheorie. — Berlin: Springer, 1964.
[Имеется перевод: Хассе Г. Лекции по теории чисел. — М.: ИЛ, 1953.]
42. Hasse H. The Riemann hypothesis in function fields. — Philadelphia:
Pennsylvania State University Press, 1969.
43. Hausner A. On the law of quadratic reciprocity. — Archiv der Math.,
1961, v. 12, p. 182-183.
44. Hecke E. Algebraische Zahlentheorie. — Leipzig, 1929. Reprint by
Chelsea Publishing Company, Inc., New York. [Имеется перевод: Гекке Э.
Лекции по теории алгебраических чисел. — М.—Л.: Гостехиздат, 1940.]
45. Holzer L. Zahlentheorie. — Leipzig: Teubner, 1958.
46. Hooley С. On Artin's conjecture. — J. Reine und Angew. Math.,
1967, B. 225, S. 209-220.
47. Jacobi C. Uber die Kreisteilung. — J. Reine und Angew. Math., 1846,
S. 254-274.
48. Jacobsthal E. Uber die Darstellung der Primzahlen der Form 4n + 1
als Summe zweier Quadrate. — J. Reine und Angew. Math., 1907, B. 132,
S. 238-245.
49. Jordan C. Traite des substitutions. — Paris, 1870.
50. Kornblum H. Uber die Primfunktionen in einer Arithmetischen Prog-
Progression. - Math. Z., 1919, B. 5, S. 100-111.
51. Kummer E. Uber die allgemeinen Reciprocitatsgesetz. — Math. Abh.
Akad. Wiss. zu Berlin, 1859, S. 19-160.
52. Landau E. Elementary number theory. —2nd ed., New York: Chelsea,
1966.
53. Lang S. Some theorems and conjectures on diophantine equations. —
Bull. Amer. Math. Soc, 1960, v. 66, p. 240—249.
54. Lehmer D.H. A note on primitives. — Scripta Mathematica, 1963,
v. 26, p. 117-119.
55. Lehmer E. On the quintic character of 2 and 3. — Duke Math. J.,
1951, v. 18, p. 11-18.
56. Lehmer E. Criteria for cubic and quartic residuacity. — Mathematika,
1958, v. 6, p. 20-29.
57. Leonard P. On constructing quartic extensions of GF(p). — Norske
Vid. Selsk. Forh. (Trondheim), 1967, v. 40, p. 41-52.
58. Mann H.B. Introduction to number theory. — Columbus, Ohio: Ohio
State University Press, 1955.
Литература 407
59. Mills W.H. Bounded consecutive residues and related problems. —
Proc. Symp. Pure Math., 1965, v. 8.
60. Nagell T. Introduction to number theory. — New York: Wiley, 1951.
См. также: Chelsea Publishing Company Inc., New York.
61. Niven I., Zuckerman H.S. An introduction to the theory of numb-
numbers. — 2nd ed., New York: Wiley, 1966.
62. Pisot C. Introduction a la theorie des nombres algebriques. — L'Ens-
eignement Math., 1962, v. 8, N 2, p. 238—251.
63. Pollard H., Diamond H. The theory of algebraic numbers. —
New York: Wiley, 1950, 2nd ed., 1975.
64. Rademacher H. Lectures on elementary number theory. — Lexington,
Mass.: Xerox College Publishing, 1964.
65. Rademacher H., Toeplitz O. The enjoyment of Mathematics. —
Princeton University Press, 1951.
66. Rieger G. Die Zahlentheorie bei C.F. Gauss. — Gauss Gedenkband,
Berlin: Haude and Sperner, 1960.
67. Samuel P. Unique factorization. — Amer. Math. Monthly, 1968, v. 75,
p. 945-952.
68. Samuel P. Theorie algebrique des nombres. — Paris: Hermann & Cie,
1967.
69. Serr J.-P. Complements d'arithmetiques, Rediges par J.P. Ramis et
G. Ruget. — Paris: Ecoles Normales Superieures, 1964. См. также: Springer,
1973. [Имеется перевод: Серр Ж-П. Курс арифметики. — М.: Мир, 1972.]
70. Shanks D. Solved and unsolved problems in number theory. —
New York: Spartan Books, 1962.
71. Sierpinski W. A selection of problems in the theory of numbers. —
Oxford: Pergamon Press, 1964.
72. Smith H. J.S. Report on the theory of numbers. — 1894. См. также:
Chelsea Publishing Company, Inc., New York, 1965.
73. Stark H. An introduction to number theory. — Cambridge, Mass.:
M.I.T. Press, 1979.
74. Storer T. Cyclotomy and difference sets. — Chicago: Markham, 1967.
75. Swan R. Factorization of polynomials over finite fields. — Pacific J.
Math., 1962, v. 12, p. 1099-1106.
76. Vegh E. Primitive roots modulo a prime as consecutive terms of
an arithmetic progression. — J. Reine und Angew. Math., 1969, B. 235,
S. 185-188.
77. Виноградов И.М. Основы теории чисел. — М.: Наука, 1981.
78. Warning E. Bemerkung zur vorstehenden Arbeit von Herrn Cheval-
ley. — Abhand. Math. Sem. Hamburg, 1936, B. 11, p. 76—83.
408 Литература
79. Waterhouse W. The sign of the Gauss sum. — J. Number Theory,
1970, v. 2, N 3, p. 363.
80. Weil A. Number of solutions of equations in a finite field. — Bull.
Amer. Math. Soc, 1949, v. 55, p. 497-508.
81. Weil A. Jacobi sums as «Grossencharaktere». — Trans. Amer. Math.
Soc, 1952, v. 73, p. 487-495.
82. Yamamoto K. On a conjecture of Hasse concerning multiplicative
relations of Gauss sums. — J. Combin. Theory, 1966, v. 1, p. 476—489.
83. Yokoyama A. On the Gaussian sum and the Jacobi sum with its
applications. — Tohoku Maths. J. B), 1964, v. 16, p. 142—153.
Дополнительная литература
84. Adams W.W., Goldstein L.J. Introduction to number theory. —
Englewood Cliffs, N.J.: Prentice-Hall, 1976.
85. Ahlfors L. Complex analysis. — 2nd ed., New York: McGraw-Hill,
1966.
86. Ankeny N.C., Artin E., Chowla S. The class numbers of real quadratic
fields. - Ann. Math. B), 1952, v. 56, p. 479-493.
87. Arthaud N. On Birch and Swinnerton-Dyer's conjecture for elliptic
curves with complex multiplication. — Сотр. Math., 1978, v. 37, fasc. 2,
p. 209-232.
88. Ayoub R. Euler and zeta function. — Amer. Math. Monthly, 1974,
v. 81, p. 1067-1086.
89. Baker A. Transcendental number theory. — Cambridge: Cambridge
University Press, 1975.
90. Baker A. On the class number of imaginary quadratic fields. — Bull.
Amer. Math. Soc, 1971, v. 77, p. 678—684.
91. Bergmann G. Uber Eulers Beweis des grossen Fermatschen Satzes
fur den Exponenten 3. — Math. Ann., 1966, B. 164, S. 159—175.
92. Berndt B.C. Sums of Gauss, Jacobi and Jacobsthal. — J. Number
Theory, 1979, v. 11, p. 349-398.
93. Berndt B.C., Evans R. The determination of Gauss sums. — Bull.
Amer. Math. Soc, 1981, v. 5B), p. 107-129.
94. Berndt B.C. Classical theorems on quadratic residues. — L'Enseign-
ement Math., 1976, v. 22, fasc. 3—4.
95. Berndt B.C., Evans R. Sums of Gauss, Eisenstein, Jacobi, Jacobsthal,
and Brewer. - 111. Math., 1979, v. 23, N 3, p. 374-437.
96. Birch B.J., Swinnerton-Dyer H.P.F. Notes on elliptic curves, I. — J.
Reine und Angew. Math., 1963, v. 212, p. 7—25; II, 1965, v. 218, p. 79—108.
Литература 409
97. Birch В. J. Conjectures on elliptic curves. — In: Theory of Numbers.
— Amer. Math. Soc, Proc. of Symposium in Pure Math., v. 8, Pasadena,
1963.
98. Bombieri E. Counting points on curves over finite fields (d'apres
S.A. Stepanov). — Sem. Bourbaki, v. 1972—73, Expose 430. Lecture Notes
in Mathematics, v. 383, p. 234—241. New York: Springer, 1974.
99. Brown E. The first proof of the quadratic reciprocity law, revisited. —
Amer. Math. Monthly, 1981, v. 88, p. 257—264.
100. Brumer A., Kramer K. The rank of elliptic curves. — Duke Math.
J., 1977, v. 44, p. 715-742.
101. Buhler W.K. Gauss. — New York: Springer, 1981.
102. Burde K. Ein rationales biquadratisches Reciprozitatsgesetz. — J.
Reine und Angew. Math., 1969, B. 235, S. 175-184.
103. Butts H.S., Wade L., Two criteria for Dedekind domains. — Amer.
Math. Monthly, 1966, v. 73, p. 14-21.
104. Carlitz L. Arithmetic properties of generalized Bernoulli numbers. —
J. Reine und Angew. Math., 1959, B. 201-202, S. 173-182.
105. Carlitz L. A note on irregular primes. — Proc. Amer. Math. Soc,
1954. v. 5, p. 329-331.
106. Carlitz L. A characterization of algebraic number fields with class
number two. — Proc. Amer. Math. Soc, 1960. v. 11, p. 391—392.
107. Cassels J.W.S. Arithmetic on an elliptic curve. — Proceedings of
the International Congress of Mathematics, Stockholm, 1962, p. 234—246.
108. Cassels J.W.S. On Kummer sums. — Proc. London, Math. Soc. C),
1970, v. 21, p. 19—27. [Эта ссылка совпадает с [15].]
109. Cassels J.W.S. Diophantine equations with special reference to
elliptic curves. — J. London Math. Soc, 1966, v. 41, p. 193—291; [Име-
[Имеется перевод: Математика, 1968, 12:1, с. 113—160; 1968, 12:2, с. 5—48.]
110. Cassels J.W.S., Frohlich A. Algebraic number theory. — Proceedings
of an International Congress by the London Mathematical Society, 1967.
Washington, D.C: Thompson. [Имеется перевод: Алгебраическая теория
чисел. Под ред. Дж. Касселса и А. Фрёлиха. — М.: Мир. 1969.]
111. Chatelet F. Les corps quadratiques. — Monographies de TEnseign-
ement Mathematique, v. 9, Geneve: 1962.
112. Chandrasekharan K. Introduction to analytic number theory. —
New York: Springer, 1968. [Имеется перевод: Чандрасекхаран К. Введе-
Введение в аналитическую теорию чисел. —М.: Мир, 1974.]
113. Chowla S. On Gaussian sums. — Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A., 1962,
v. 48, p. 1127-1128.
114. Coates J., Wiles A. On the conjecture of Birch and Swinnerton-
Dyer. — Invent. Math., 1977, v. 39, p. 223—251.
410 Литература
115. Cohn H. A second course in number theory. — New York: Wiley,
1962.
116. Collison M.J. The origins of the cubic biquadratic reciprocity laws. —
Arch. Hist. Exact Sci., 1977, N 1, p. 63—69.
117. Czogla A. Arithmetic chracterization of algebraic number fields with
small class numbers. — Math. Z., 1981. S. 247—253.
118. Davenport H. The work of K.E.Roth. — Proc. Int. Cong. Math.,
1958, LVII—LX. Cambridge: Cambridge University Press, 1960.
119. Davenport H. Multiplicative number theory. — New York: Springer,
1980. [Имеется перевод: Дэвенпорт Г. Мультипликативная теория чи-
чисел. — М.: Наука, 1971.]
120. Davis D., Shisha О. Simple proofs of the fundamental theorem of
arithmetic. — Math. Mag., 1980, v. 54, N 1, p. 18.
121. Dedekind R. Mathamatische Werke, Vols. I and II, New York:
Chelsea, 1969.
122. Dirichlet P.G.L. Sur Tequation t2 + u2 + v2 + w2 = Am. — In:
Dirichlet's Werke, v. 2, pp. 201—208. — New York: Chelsea, 1969.
123. Dirichlet P.G.L. Beweis des Satzes, dass jede unbegrenzte arithmeti-
sche Progression .... In: Mathematische Werke, p. 313—342. — New York:
Chelsea, 1969.
124. Dirichlet P.G.L. Recherches sur diverses applications de Tanalyse
infinitesimale a la theorie des nombres. — In: Dirichlet's Werke, p. 401—496.
— New York: Chelsea, 1969.
125. Dirichlet P.G.L. Werke. 2 vols. in one. — New York: Chelsea, 1969.
126. Dirichlet P.G.L. Sur la maniere de resoudre l'equation t2 — pu2 = 1
au moyen des fonctions circulaires. — In: Dirichlet's Werke, p. 345—350. —
New York: Chelsea, 1969.
127. Dirichlet P.G.L. Dedekind, Vorlesungen iiber Zahlentheorie. —
New York: Chelsea, 1968. [Имеется перевод: Дирихле П.Г.Л. Лекции по
теории чисел. В обработке и с дополнениями Р. Дедекинда. — М.—Л.:
ОНТИ, 1938.]
128. Edwards H.M. Fermat's last theorem. A genetic introduction to
algebraic number theory. — New York: Springer, 1977. [Имеется перевод:
Эдварде P.M. Последняя теорема Ферма. Генетическое введение в алге-
алгебраическую теорию чисел. — М.: Мир, 1980.]
129. Edwards H.M. The background of Kummers proof of Fermat's last
theorem for regular exponent. — Arch. Hist. Exact Sci., 1974, v. 14, p. 219—
326. См. также дополнение к последней работе: там же, 1977, v. 17,
р. 371-394.
130. Eisenstein G. Einfacher Beweis und Verallgemeinerung des Fundam-
Fundament altheorems fur die biquadratischen Reste. — In: Mathematische Werke,
Литература 411
Band I, p. 223-245. New York: Chelsea, 1975.
131. Eisenstein G. Lois de reciprocite. — In: Mathematische Werke,
Band I, p. 53-67. New York: Chelsea, 1975.
132. Eisenstein G. Beweis des allgemeinsten Reciprocitatsgesetze zwis-
chen reelen und complexen Zahlen. — In: Mathematische Werke, Band II,
p. 189-198. New York: Chelsea, 1975.
133. Erdos P. On a new method in elementary number theory which
leads to an elementary proof of the prime number theorem. — Proc. Nat.
Acad. Sci. U.S.A., 1949, v. 35, p. 374-384.
134. Flanders H. Generalization of a theorem of Ankeny and Rogers. —
Ann. Math., 1953, v. 57, p. 392-400.
135. Fulton W. Algebraic curves. — New York: W.A. Benjamin, 1969.
136. Gauss C.F. Disquisitiones Arithmeticae. — Transl. by A.A. Clarke.
New Haven, Conn.: Yale University Press, 1966. [Имеется перевод: Га-
Гаусс К.Ф. Труды по теории чисел. — М.: АН СССР, 1959.]
137. Gauss C.F. Mathematische Tagebuch, 1796—1814. — Edited by K.-
R.Biermann. Ostwalds Klassiker 256.
138. Gerstenhaber M. The 152nd proof of the law of quadratic reciproc-
reciprocity. — Amer. Math. Monthly, 1963, v. 70, p. 397—398.
139. Goldstein L.J. A history of the prime number theorem. — Amer.
Math. Monthly, 1973, v. 80, p. 599—615.
140. Goldstein L.J. Analytic number theory. — Princeton, N.J.: Prentice-
Hall, 1971.
141. Goss D. A simple approach to the analytic continuation and values
at negative integer for Riemann's zeta function. — Proc. Amer. Math. Soc,
1981, v. 81, N 4, p. 513-517.
142. Gross B.H., Rohrlich D.E. Some results on the Mordell—Weil group
of the Jacobian of the Fermat curve. — Invent. Math., 1978, v. 44, p. 201—
224.
143. Hall T. Carl Friedrich Gauss, a biography. — Transl. by A. Froder-
berg, Cambridge, Mass: M.I.T. Press, 1970.
144. Hartshorne R. Algebraic geometry. — New York: Springer, 1977.
[Имеется перевод: Хартсхорн Р. Алгебраическая геометрия. — М.: Мир,
1981.]
145. Hartung P.G. On the Pellian equation. — J. Number Theory, 1980,
v. 12, p. 110-112.
146. Heath T.L. Diophantus of Alexandria: A study in the history of
greek algebra. — New York: Dover, 1964.
147. Heath T.L., Brown D.R., Patterson S.J. The distribution of Kummer
sums at prime arguments. — J. Reine und Angew. Math. 1979, v. 310,
p. 111-136.
412 Литература
148. Heffter L. Ludwig Stickelberger. — Deutsche Math. Jahr., 1937,
B. 47, S. 79-86.
149. Herbrand J. Sur les classes des corp circulaires. — J. Math. Pures
et Appl., 1932, vii, p. 417-441.
150. Herstein I. Topics in algebra. — Lexington, Mass: Xerox College,
1975.
151. Hilbert D. Die Theorie der algebraischen Zahlkorper. — In: Gesam-
melte Abhandhmgen, v. 1, p. 63—363. New York: Chelsea, 1965.
152. Hofmann J. E. Uber Zahlentheoretische Methoden Fermats und
Eulers, ihre Zusammenhange und ihre Bedeutung. — Arch. Hist. Exact Sci.,
1960-62, p. 122-159.
153. Hurwitz A. Einige Eigenschaften der Dirichlet'schen Funktion
F(s) = Ys{D/n)l/nSi etc •••• — In- Hurwitz A. Mathematische Werke,
Band I, p. 72—88, Basel and Stuttgart: Birkhauser, 1963.
154. Hurwitz A. Mathematische Werke, Band II. — Basel und Stuttgart:
Birkhauser, 1963.
155. Iwasawa K. Lectures on p-adic //-functions. — Ann. Math. Studies,
Princeton Press, 1974.
156. Iwasawa K. A note on Jacobi sums. — Symp. Math., 1975, v. 15,
p. 447-459.
157. Iwasawa K. A note on cyclotomic fields. — Ivent. Math., 1976, v. 36,
p. 115-123.
158. Iyanaga S. (Ed.) Theory of numbers. — Amsterdam: North-Holland,
1975.
159. Johnson W. Irregular primes and cyclotomic invariants. — Math.
Сотр., 1975, v. 29, p. 113-120.
160. Joly J.R. Equations et varietes algebriques sur un corps fini. —
L'Enseignement Math., 1973, v. 19, p. 1—117.
161. Katz N. An overview of Deligne's proof of the Riemann hypothesis
for varieties over finite fields. — Proc. of Symposia in Pure Math., v. 28,
p. 275—305. Providence, R.I.: Amer. Math. Society, 1976.
162. Koblitz N. p-adic numbers, p-adic analysis, and zeta-functions. —
New York: Springer, 1977. [Имеется перевод: Коблиц Н. р-адические чис-
числа, р-адический анализ и дзета-функции. — М.: Мир, 1982.]
163. Kummer E.E. De residuis cubicis disquisitiones nonnullae analyt-
icae. — J. Reine und Angew. Math., 1846, B. 32, S. 341—359. (Collected
Papers, v. 1, p. 145—163. New York: Springer, 1975.)
164. Kummer E.E. Collected Papers, v. 1. — New York: Springer, 1975.
165. Landau E. Einfuhrung in die elementare und analytische Theorie
der algebraischen Zahlen und der Ideale .... — New York: Chelsea, 1949.
Литература 413
166. Landau E. Vorlesungen tiber Zahlentheorie, vols. 1—3. — Leipzig,
Hirzel, 1927.
167. Lang S. Cyclotomic fields. — New York: Springer, 1978.
168. Lang S. Algebraic number theory. — Reading, Mass.: Addison-
Wesley, 1970.
169. Lang S. Elliptic functions. — Reading, Mass.: Addison-Wesley, 1970.
[Имеется перевод: Ленг С. Эллиптические функции. — М.: Наука, 1984.]
170. Lang S. Diophantine geometry. — New York: Wiley-Intercsience,
1962. [Имеется перевод: Ленг С. Основы диофантовой геометрии. — М.:
Наука, 1986.
171. Lang S. Cyclotomic fields, II. — New York: Springer, 1980.
172. Lang S. Review of L. J. Mordell's diophantine equations. — Bull.
Amer. Math. Soc, 1970, v. 76, p. 1230-1234.
173. Lang S. Higher dimensional diophantine problems. — Bull. Amer.
Math. Soc, 1974, v. 80, N 5, p. 779-787.
174. Lehmer E. On Euler's criterion. — J. Aust. Math. Soc, 1959/61,
part 1, p. 67—70.
175. Lehmer E. Rational reciprocity laws. — Amer. Math. Monthly, 1978,
v. 85, p. 467-472. .
176. Lehmer E. On the location of Gauss sums. — Math. Сотр., 1956,
v. 10, p. 194-202.
177. Leonard P.A., Williams S. Jacobi sums and a theorem Brewer. —
Rocky Mountain J. Math., Spring, 1975, v. 5, N 2.
178. Leopoldt A.W. Eine Verallgemeinerung der Bernoullischen Zahl-
en. — Abhand. Math. Sem. Hamburg, 1958, v. 22, p. 131—140.
179. LeVeque W.J. Fundamentals of number theory. — Reading, Mass.:
Addison-Wesley, 1977.
180. LeVeque W.J. A brief survey of diophantine equations. — M.A.A.
Studies in Mathematics, 1969, v. 6, p. 4—24.
181. von Lienen H. Reele kubische und biquadratische Legendre symb-
ole. - J. Reine und Angew. Math., 1979, B. 305, S. 140-154.
182. Loxton J.H. Some conjectures concerning Gauss sums. — J. Reine
und Angew. Math., 1978, B. 297, S. 153-158.
183. Marcus D.A. Number fields. — New York: Springer, 1977.
184. Masley J.M. Where are number fields with small class number? —
Lecture Notes in Mathematics, v. 751, p. 221—242. New York: Springer,
1979.
185. Masley J.M. Class groups of abelian number fields. — Proc Queen's
Number Theory Conference, 1979. Edited by P. Ribenboim. Kingston, Ont-
Ontario Queen's University.
414 Литература
186. Matthews C.R. Gauss sums and elliptic functions. I: The Kummer
sum. — Invent. Math., 1979. v. 52, p. 163—185; П; The quartic case, 1979,
v. 54, p. 23-52.
187. Mazur B. Rational points on modular curves. — In: Modular funct-
functions of one variable V. — Lecture Notes in Mathematics, v. 601. New York:
Springer, 1976.
188. Metsankyla T. Distribution of irregular prime numbers. — J. Reine
und Angew. Math., 1976, B. 282, S. 126-130.
189. Mordell L. J. Diophantine equations. — New York: Academic Press,
1969.
190. Mordell L. J. Review of S. Lang's diophantine geometry. — Bull.
Amer. Math. Soc, 1964, v. 70, p. 491—498.
191. Mordell L.J. The infinity of rational solutions of y2 = x3 + k. —
London Math. Soc, 1966, v. 41, p. 523—525.
192. Morlaye B. Demonstration elementaire d'un theoreme de Davenport
et Hasse. — L'Enseignement Math., 1973, v. 18, p. 269—276.
193. Moser L. A theorem on quadratic residues. — Proc. Amer. Math.
Soc, 1951, v. 2, p. 503-504.
194. Muskat J.B. Reciprocity and Jacobi sums. — Pacific J. Math., 1967,
v. 20, p. 275-280.
195. Nagell T. Sur les restes et nonrestes cubiques. — Arkiv. Math., 1952,
v. 1, p. 579-586.
196. Narkiewicz W. Elementary and analytic theory of algebraic numb-
numbers. — Warsaw: Polish Scientific Publications, 1974.
197. Neumann J. von, Goldstine H.H. A numerical study of a conjecture
of Kummer. - MTAC, 1953, v. 7, p. 133-134.
198. Newman D.J. Simple analytic proof of the prime number theorem. —
Amer. Math. Monthly, 1980, v. 87, p. 693—696.
199. Nielson N. Traite elementaire des nombres Bernoulli. — Paris: 1923.
200. Olson L.D. The trace of Frobenius for elliptic curves with complex
multiplication. — Lecture Notes in Mathematics, v. 732, p. 454—476.
New York: Springer, 1979.
201. Olson L.D. Points of finite order on elliptic curves with complex
multiplication. — Manuscripta Math., 1974, v. 14, p. 195—205.
202. Olson L.D. Hasse invariants and anomalous primes for elliptic curves
with complex multiplication. — J. Number Theory, 1976, v. 8, p. 397—414.
203. Poincare H. Sur les proprietes des courbes algebriques planes. — J.
Liouville (v), 1901, v. 7, p. 161-233.
204. Rademacher H. Topics in analytic number theory. — Die Grundleh-
ren der mathematischen Wissenschaften. New York: Springer, 1964.
Литература 415
205. Reichardt H. Einige im Kleinen iiberall losbare, im Grossen unlos-
bare diophantische Gleichungen. — J. Reine und Angew. Math., 1942, B. 184,
S. 12-18.
206. Ribenboim P. 13 lectures on Fermat's Last Theorem. — New York:
Springer, 1979.
207. Ribenboim P. Algebraic numbers. — New York: Wiley, 1972.
208. Ribet K. A modular construction of unramified p-extensions of
Q(fJLp). - Invent. Math., 1976, v. 34, p. 151-162.
209. Rieger C. J. Die Zahlentheorie bei C.F. Gauss. — In: C.F. Gauss,
Leben und Werk, S. 38—77. Berlin: Haude & Spenersche, 1960.
210. Robert A. Elliptic curves. — Lecture Notes in Mathematics, v. 326.
New York: Springer, 1973.
211. Rozen M.I., Kraft J. Eisenstein reciprocity and n-th power residu-
residues. — Amer. Math. Monthly, 1981, v. 88, p. 269—270.
212. Rosen M.I. Abel's theorem on the lemniscate. — Amer. Math.
Monthly, 1981, v. 88, p. 387-395.
213. Samuel P. Theorie algebrique des nombres. — Paris: Hermann, 1967.
214. Samuel P., Zariski O. Commutative algebra, v. 1. — New York:
Springer, 1975—1976. [Имеется перевод: Зарисский О., Самюэль П. Ком-
Коммутативная алгебра. — М.: ИЛ, 1963. тт. 1-2.]
215. Selberg A. An elementary proof of the prime number theorem. —
Ann. Math., 1949, v. 50, p. 305—319.
216. Selmer E.S. The diophantine equation ax2 + by3 + cz3 = 0. — Acta
Math., 1951, v. 85, p. 203-362.
217. Schmidt W.M. Diophantine approximation. — Lecture Notes in
Mathematics, v. 785. New York: Springer, 1980.
218. Schmidt W.M. Equations over finite fields: an elementary appro-
approach. — Lecture Notes in Mathematics, v. 536. New York: Springer, 1976.
219. Шафаревич И.Р. Основы алгебраической геометрии. — М.: На-
Наука, 1972.
220. Smith D.E. Source book in mathematics, vols. 1 and 2. New York:
Dover, 1959.
221. Stark H. M. On the Riemann hypothesis in hyperelliptic function
fields. - A.M.S. Proc. Symp. Pure Math., 1973, v. 24, p. 285-302.
222. Степанов С.А. Рациональные точки алгебраических кривых над
конечными полями. — Актуальные проблемы аналитической теории чи-
чисел. — Минск, Наука и техника, 1974, с. 224—241.
223. Stephens N.M. The diophantine equation x3 + у3 = dz3 and the
conjectures of Birch and Swinnerton-Dyer. — J. Reine und Angew. Math.,
1968, B. 231.
416 Литература
224. Stickelberger L. Uber eine Verallgemeinerung von der Kreistheil-
ung. — Math. Ann., 1890, B. 37, p. 321—367.
225. Stolarsky K.B. Algebraic numbers and diophantine approximat-
approximation. — New York: Dekker, 1974.
226. Swinnerton-Dyer H.P.F. The conjectures of Birch and Swinnerton-
Dyer and of Tate. — In: Proceedings of a Conference on Local Fields.
Berlin—Heidelberg—New York: Springer, 1967. [Имеется перевод: Мате-
Математика, 1969, 13:5, с. 3—25.]
227. Tate J. The arithmetic of elliptic curves. — Invent. Math., 1974,
v. 23, p. 179-206.
228. Thomas A.D. Zeta functions: An introduction to algebraic geom-
geometry. — London—San Francisco: Pitman, 1977.
229. Trost E. Primzahlen. — Basel and Stuttgart: Birkhauser, 1953. Име-
Имеется перевод: Трост Э. Простые числа. — М.: Физматлит, 1959.]
230. Uspensky J.V., Heaslet M.A. Elementary number theory. —
New York: McGraw-Hill, 1939.
231. Vandiver H.S. Fermat's last theorem. — Amer. Math. Monthly,
1946, v. 53, p. 555-578.
232. Vandiver H.S. On developments in an arithmetic theory of the
Bernoulli and allied numbers. — Scripta Math., 1961, v. 25, p. 273—303.
233. van der Poorten A. A proof that Euler missed... Apery's proof of the
irrationality of ?C): An informal report. — The Mathematical Intellingencer,
1978, v. 1, N 1, p. 195-203.
234. Wagstaff S. The irregular primes to 125000. — Math. Сотр., 1978,
v. 32, N 142, p. 583-591.
235. Weil A. Two lectures on number theory: Past and present. — L'Ens-
eignement Math., 1973, v. XX, p. 81—110. См. также: Weil A. Oeuvres
Scientifiques, v. Ill, p. 279—302. New York: Springer, 1979.
236. Weil A. Sommes de Jacobi et caracteres de Hecke. — Gott. Nach.,
1974, S. 1—14. См. также: Weil A. Oeuvres Scientifiques, v. Ill, p. 329—342.
— New York: Springer, 1979.
237. Weil A. Sur les sommes de trois et quatre carres. — L'Enseignement
Math., 1974, v. 20, p. 303—310. См. также: Weil A. Oeuvres Scientifiques,
vol. III. — New York: Springer, 1979.
238. Weil A. La cyclotomie jadis et naguere. — L'Enseignement Math.,
1974, v. 20, p. 247—263. См. также: Weil A. Oeuvres Scientifiques, v. Ill,
p. 311—327. — New York: Springer, 1979.
239. Weil A. Review of «Mathematische Werke, by Gott hold Eisen-
stein». — In: Weil A. Oeuvres Scientifiques, vol. Ill, p. 398—403. — New York:
Springer, 1979.
Литература 417
240. Weil A. Fermat et l'equation de Pell. — In: Oeuvres Scientifiques,
v. III. p. 413—419. — New York: Springer, 1979.
241. Weil A. Oeuvres Scientifiques, Collected Papers, 3 vols. Corrected
second printing. — New York: Springer, 1980.
242. Wiles A. Modular curves and the class group of Q((p). — Invent.
Math., 1980. v. 58, p. 1-35.
243. Williams K.S. On Euler's criterion for cubic nonresidues. — Proc.
Amer. Math. Soc, 1975, v. 49, p. 277-283.
244. Williams K.S. Note on Burde's rational biquadratic reciprocity
law. - Canad. Math. Bull., 1977, A) v. 20, p. 145-146.
245. Williams K.S. On Eisenstein's supplement to the law of cubic
reciprocity. — Bull. Cal. Math. Soc, 1977, v. 69, p. 311—314.
246. Wyman B.F. What is a reciprocity law? — Amer. Math. Monthly,
1972, v. 79, p. 571-586.
247. Yokoi H. On the distribution of irregular primes. — J. Number
Theory, 1975, v. 7, p. 71-76.
248. Zeta functions. — In: Encyclopedic Dictionary of Mathematics,
Edited by S.Iyanaga, Y. Kawada. Cambridge, Mass: M.I.T. Press, 1977,
p. 1372—1393.
Литература, добавленная при переводе
1*. Акс Дж., Кохэн С. Диофантовы проблемы над локальными по-
полями. — Математика, 1965, 9:5, с. 3-27.
2*. Алгебра и теория чисел: избранные доклады семинара Бурба-
ки. — М.: Мир, 1987.
3*. Башмакова И.Г., Славутин Е.И. История диофантова анализа
(от Диофанта до Ферма). — М.: Наука, 1984.
4*. Ван-дер-Варден Б.Л., Алгебра. — М.: Наука, 1979.
5*. Вей ль А. Теория чисел и алгебраическая геометрия. — Матема-
Математика, 1958, 2:4, с. 49-58.
6*. Вейль А. Абстрактная алгебраическая геометрия в сравнении с
классической. — Математика, 1958, 2:4, с. 59-66.
7*. Вейль А. Об определении рядов Дирихле через функциональные
уравнения. — Математика, 1970, 14:6, с. 133-145.
8*. Вейль А. Основы теории чисел. — М.: Мир, 1972.
9*. Венков А.Б., Проскурин Н.В. Автоморфные функции и проблема
Куммера. — Успехи мат. наук, 1982, т. 37, № 3, с. 134-165,
10*. Венков Б.А. Элементарная теория чисел. — М.—Л.: ОНТИ,
1937.
418 Литература
11*. Делинь П. Гипотеза Вейля. — Успехи матем. наук, 1976, т. 39,
№ 5, с. 159-190.
12*. Диксон Л.Е. Введение в теорию чисел. — Тбилиси, 1941.
13*. Диофант. Арифметика и книга о многоугольных числах. — М.:
Наука, 1974.
14*. Живые числа. — М.: Мир, 1985.
15*. Ленг С. Алгебра. — М.: Мир, 1968.
16*. Мили Дж. Этальные когомологин. — М.: Мир. 1983.
17*. Милнор Дж. Введение в алгебраическую К-теорию. — М.: Мир,
1974.
18*. Прахар К. Распределение простых чисел. — М.: Мир, 1967.
19*. Привалов И. И. Введение в теорию функций комплексного пе-
переменного. — М., Наука, 1977.
20*. Проблемы теории диофантовых приближений. — М.: Мир, 1974.
21*. Тейт Дж. Алгебраические классы когомологий. — Успехи матем.
наук, 1965, т. 20, № 6, с. 27-40.
22*. Хассе Г. Лекции по теории чисел. — М.: ИЛ, 1953.
23*. Шафаревич И.Р. Новое доказательство теоремы Кронекера—
Вебера. — Труды Матем. ин-та АН СССР, 1951, т. 38, с. 382-387.
24*. Шафаревич И.Р. Дзета-функция. — М.: МГУ, 1969.
25*. Faltings G. Endlichkeitssatze fur abelschen Varietaten iiber Zahl-
korpern. — Inventiones math., 1983, v. 73, N 3, p. 349-366.
26*. Fouvry E. Theoreme de Brim—Titchmarsh; application au theoreme
de Fermat. — Inventiones math., 1985, v. 79, N 2, p. 383-407.
Adleman L.M., Heath-Brown D.R. The first case of Fermat's last
theorem. — Inventiones math., 1985, v. 79, N 2, p. 409-416.
27*. Gross В., Zagier D. The heights of Heegner points and the derivat-
derivatives of L-functions. — Inventiones math., 1986.
28*. Mestre J.-F. Formules explicites et minorations de conducteurs de
varietes algebriques. — Compositio Math., 1986, v. 58, p. 209-232.
29*. Modular functions of one variable IV. — Lecture Notes in Math-
Mathematics, v. 476, Berlin: Springer, 1975.
30*. Serre J.-P. Sur le nombre des points rationnels d'une courbe algebr-
ique sur un corps fini. — С R. Acad. Sci., 1983, Ser. 1, v. 296, p. 397-402.
31*. Washington L. C. Introduction to cyclotomic fields. — New York:
Springer, 1982.
32*. Arithmetic geometry. — New York, 1986.
33*. Masur B. Arithmetic on curves. — Bull. Amer. Math. Soc, 1986,
v. 14, N 2, p. 207-259.
УКАЗАТЕЛЬ
Абсолютно неособая гиперповерх-
гиперповерхность 201, 367
Автоморфизм Фробениуса 226
Алгебраический характер Гекке 379
Алгебраическое замыкание 195
— многообразие 175
— множество 175
— число 89
Алгоритм Евклида 25
Аномальное число 391
Арифметические функции z/(n), сг(п),
/j(n), cp(n) 29-32
Ассоциированные элементы 19
Биквадратичный вычет 68
— закон взаимности 155
рациональный 160
Бесконечно удаленная гиперплос-
гиперплоскость 173
точка 173
Вес характера 379
Взаимно простые многочлены 17
числа 13
элементы 19
Вполне вещественное поле 379
— комплексное поле 379
Гильбертово поле классов 227
Гиперплоскость 185
Гиперповерхность 174, 175
абсолютно неособая 201, 367
Гипотеза Артина 57, 64
— Берна—Суиннертона-Дайера 374
— Вейля 201
— Пуанкаре 369
— Римана 41, 192, 372
расширенная 65
— Хассе 373
— Хассе—Вейля 390
Главный идеал 18
Глобальная дзета-функция кривой
373
Грассманово многообразие 209
Группа инерции идеала 226
— разложения идеала 226
Дедекиндово кольцо 215
Делимость 9, 11, 19
Дзета-функция гиперповерхности 189
— кольца Z[i] 345
— кривой глобальная 373
локальная 372
— многочлена 189
— поля 388
— Римана 41, 194, 295, 307
Диофантово уравнение 43, 333
Дискриминант числового поля 213,
217
— эллиптической кривой 371
Дополнение к кубическому закону
взаимности 145
Дробная часть числа 259
Дробный идеал 228
Евклидова область 18
Единицы 11, 15, 19, 27, 232
Закон взаимности биквадратичный
155
рациональный 160
квадратичный 73, 130, 246
кубический 145
Эйзенштейна 255
Идеал 12
Индекс ветвления 223
— иррегулярности 288
Инертное число 234
Иррегулярное число 287
420
Указатель
Касательная 365
Квадратичная сумма Гаусса 93
— форма 172
Квадратичное числовое поле 230
Квадратичный вычет 68
— закон взаимности 72, 129, 245
— невычет 68
— характер 82
Китайская теорема об остатках 50
Класс вычетов 45
Классы идеалов 217
Кольцо гауссовых целых чисел 24
— целое над Ш 227
— целых алгебраических чисел 88,
213
Комплексный изоморфизм 377
Конечно порожденный идеал 19
Конечные точки проективного про-
пространства 171
Корень из единицы 79
первообразный 79
примитивный 79
— примитивный по модулю р 57
Кратность пересечения 365
Кривая 365
Критерий неприводимости Эйзен-
Эйзенштейна 101
Круговое поле 237
Круговой многочлен 237
Кубический закон взаимности 143
— характер 119
Лемма Гаусса 71, 100
Локальная дзета-функция кривой 370
Малая теорема Ферма 49
Многочлен минимальный 90
— неприводимый 15
— однородный 172
— приведенный 16
— примитивный 100
— редуцированный 177
Многочлены Бернулли 282
Мультипликативная функция 41
Мультипликативный характер 113,
114
Наибольший общий делитель 13, 17,
20
Наименьшее общее кратное 27
Начало координат 170
Независимое множество 368
Неособая кривая 365
— точка 365
Неприводимый многочлен 15
— элемент 19
Нетривиальное решение 331
Норма идеала 249
— элемента 195, 210
Нормальное расширение 223
Область главных идеалов (ОГИ) 19
Обобщенные числа Бернулли 326
Однозначное разложение на множи-
множители 12, 16, 23, 221
Однородный многочлен 172
Одночлен 172
Основная теорема арифметики 12
Первообразный корень из единицы 79
Пифагоровы тройки 333
Плотность Дирихле 307
Поле алгебраических чисел 88, 213
— вполне вещественное 377
комплексное 377
— определения кривой 365
СМ-поле 377
Полная система вычетов 45
Полностью разлагающееся число 232
Порядок числа по модулю п 60
п в р 11
Последняя теорема Ферма 271, 280,
284, 286, 299, 349, 357
Приведенная система вычетов 53
Приведенный многочлен 16
Примарное число 142, 151, 167, 253,
268
Примитивный корень из единицы 79
Указатель
421
по модулю р 57
п 58
— многочлен 100
Принцип Хассе 338
Проективное алгебраическое множе-
множество 173
— замыкание 173
— пространство 170
Произведение Дирихле 32
Простой дивизор 193
— элемент 19
Простое число 9, 11
Разветвляющееся число 232
Ранг эллиптической кривой 368
Расширенная гипотеза Римана 66
Рациональная точка 366
Рациональное решение 331
Рациональный биквадратичный за-
закон взаимности 158, 159
Регулярное число 280, 285
Редукция кривой 369
Редуцированный многочлен 177
Решение сравнения 47
Символ биквадратичного вычета 151,
152
— вычета степени 4 151, 152
— Кронекера 247
— Леснсандра 69
— Якоби 76
— т-степенного вычета 251
След 179, 195, 210
Совершенное число 32
Соотношение ортогональности 312
— Штикельбергера 256
Сопряженные корни 91
— элементы 211
Сопряженный характер 310
Сравнение 44
— Вронского 290
— Куммера 292
Степенной вычет 63
Степень алгебраического числа 91
— точки 193
Сумма Гаусса 93, 117, 181 119, 125,
181
Теорема Вильсона 56
— Дирихле о единицах 235
простых числах 40, 308
— Клауссена — фон Штаудта .285
— Лагранснса 345
— Морделла—Вейля 368
о примитивном элементе 228
— обращения Мёбиуса 33
— Ферма малая 49, 65, 140
последняя 271, 280, 284, 286, 299,
349, 357
— Хербранда 298
— Шевалле 176
— Штикельбергера 227
— Эйлера 49
Тождество Эйлера 42
Точка перегиба 366
Уравнение кривой 365
— Пелля 234, 340
Форма 172
Формальный ряд Дирихле 344
Фундаментальная единица 235
Фундаментальное решение 342
Функция Мёбиуса 32
— Эйлера 33
L-функция Дирихле 313
— кривой 371
Характер биквадратичного вычета
152, 169
— вычета степени 4 151, 152
— Гекке алгебраический 377
— Дирихле по модулю ттг 310
— квадратичный 82
— кубический 119
— кубического вычета 141
— мультипликативный 113, 114
— сопряженный 310
422
Указатель
Целое алгебраическое число 89
— замыкание 230
р-целое число 286
Целочисленное решение 333
Целый базис 217
Числа Бернулли 283
обобщенные 328
— Мерсенна 26, 30, 38
— сравнимые по модулю т 44
— Ферма 27, 38
Число алгебраическое 89
— аномальное 391
— инертное 234
— иррегулярное 287
— классов поля 219
— которое может быть построено 163
— мультипликативно совершенное 31
— остающееся простым 234
— полностью разлагающееся 234
— примарное 144, 152, 169, 255, 269
— простое 9, 11
— разветвляющееся 234
— регулярное 282, 287
— решений сравнения 47
— свободное от квадратов 29
кубов 354
— совершенное 30
— целое алгебраическое 89
— р-целое 286
Эквивалентные идеалы 219
— многочлены 179
— решения сравнения 47
— точки 172
Элемент, целый над Ш 228
— Штикелъбергера 298
Эллиптическая кривая 368
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие редактора перевода 5
Предисловие 6
Глава 1. Однозначное разложение на множители 9
§ 1. Однозначное разложение на множители bZ 9
§ 2. Однозначное разложение на множители в к[х] 14
§3. Однозначное разложение на множители в областях
главных идеалов 17
§ 4. Кольца Z[i] и Z[u] 22
Замечания 23
Упражнения 24
Глава 2. Применения однозначного разложения
на множители 28
§ 1. В Z бесконечно много простых чисел 28
§ 2. Некоторые арифметические функции 29
§ 3. Ряд Y2 1/р расходится 33
§ 4. Рост функции тг(х) 34
Замечания 38
Упражнения 39
Глава 3. Сравнения 43
§ 1. Элементарные наблюдения 43
§ 2. Сравнения в Z 44
§ 3. Сравнение ах = b (mod m) 46
§ 4. Китайская теорема об остатках 49
Замечания 52
Упражнения 53
Глава 4. Структура группы t/(Z/nZ) 55
§ 1. Примитивные корни и структура группы [/(Z/nZ) 55
§ 2. n-степенные вычеты 62
Замечания 64
Упражнения 66
Глава 5. Квадратичный закон взаимности 68
§ 1. Квадратичные вычеты 68
§ 2. Квадратичный закон взаимности 73
424 Оглавление
§ 3. Доказательство квадратичного закона взаимности 79
Замечания 83
Упражнения 85
Глава 6. Квадратичные суммы Гаусса 89
§ 1. Алгебраические числа и целые алгебраические числа 89
§ 2. Квадратичный характер числа 2 93
§ 3. Квадратичные суммы Гаусса 94
§ 4. Знак квадратичной суммы Гаусса 97
Замечания 100
Упражнения 101
Глава 7. Конечные поля 104
§ 1. Основные свойства конечных полей 104
§ 2. Существование конечных полей 108
§ 3. Приложение к квадратичным вычетам 110
Замечания 111
Упражнения 111
Глава 8. Суммы Гаусса и Якоби 114
§ 1. Мультипликативные характеры 114
§ 2. Суммы Гаусса 117
§ 3. Суммы Якоби 119
§ 4. Уравнение хп + уп — 1 в Fp 125
§ 5. Дальнейшие результаты о суммах Якоби 126
§ 6. Применения 129
§ 7. Общая теорема 130
Замечания 132
Упражнения 134
Глава 9. Кубический и биквадратичный
законы взаимности 138
§ 1. Кольцо Щи] 139
§ 2. Кольца классов вычетов 141
§ 3. Характер кубического вычета 142
§ 4. Доказательство кубического закона взаимности 146
§ 5. Другое доказательство кубического закона взаимности .... 148
§ 6. Характер кубического вычета числа 2 150
§ 7. Биквадратичный закон взаимности: предварительные
сведения 151
§ 8. Символ вычета степени 4 153
§ 9. Биквадратичный закон взаимности 155
§ 10. Рациональный биквадратичный закон взаимности 160
Оглавление 425
§ 11. Построение правильных многоугольников 163
§ 12. Кубические суммы Гаусса и проблема Куммера 164
Замечания 166
Упражнения 168
Глава 10. Уравнения над конечными полями 172
§ 1. Аффинное пространство, проективное пространство
и многочлены 172
§ 2. Теорема Шевалле 178
§ 3. Суммы Гаусса и Якоби над конечными полями 181
Замечания 184
Упражнения 185
Глава 11. Дзета-функция 188
§ 1. Дзета-функция проективной гиперповерхности 188
§ 2. След и норма в конечных полях 196
§3. Гациональность дзета-функции гиперповерхности
аох™ + ахх™ + ... + апх™ = О 199
§ 4. Доказательство соотношения Хассе—Дэвенпорта 202
§ 5. Последняя запись 204
Замечания 207
Упражнения 208
Глава 12. Теория алгебраических чисел 212
§ 1. Алгебраические подготовительные результаты 212
§2. Однозначность разложения на множители в полях
алгебраических чисел 215
§ 3. Ветвление и степень 222
Замечания 226
Упражнения 228
Глава 13. Квадратичные и круговые поля 232
§ 1. Квадратичные числовые поля 232
§ 2. Круговые поля 238
§ 3. Снова квадратичный закон взаимности 246
Замечания 247
Упражнения 248
Глава 14. Соотношение Штикельбергера и
закон взаимности Эйзенштейна 251
§ 1. Норма идеала 251
§ 2. Символ степенного вычета 252
§ 3. Соотношение Штикельбергера 256
426 Оглавление
§ 4. Доказательство соотношения Штикельбергера 258
§ 5. Доказательство закона взаимности Эйзенштейна 265
§ 6. Три приложения 271
Замечания 276
Упражнения 277
Глава 15. Числа Бернулли 281
§ 1. Числа Бернулли; определения и приложения 281
§ 2. Сравнения для чисел Бернулли 288
§ 3. Теорема Хербранда 297
Замечания 302
Упражнения 304
Глава 16. L-функции Дирихле 307
§ 1. Дзета-функция 307
§ 2. Частный случай 310
§ 3. Характеры Дирихле 312
§ 4. L-функции Дирихле 315
§ 5. Ключевой шаг 318
§ 6. Значения L(s, х) в отрицательных целых числах 323
Замечания 329
Упражнения 330
Глава 17. Диофантовы уравнения 333
§ 1. Общие сведения и первые примеры 333
§ 2. Метод спуска 336
§ 3. Теорема Лежандра 337
§ 4. Теорема Софи Жермен 340
§ 5. Уравнение Пелля 342
§ 6. Сумма двух квадратов 344
§ 7. Сумма четырех квадратов 347
§ 8. Уравнение Ферма: экспонента 3 351
§9. Кубические кривые с бесконечным числом
рациональных точек 353
§ 10. Уравнение у2 = х3 + к 355
§11. Первый случай гипотезы Ферма для регулярных
показателей 357
§ 12. Диофантовы уравнения и диофантово приближение 360
Замечания 362
Упражнения 363
Глава 18. Эллиптические кривые 366
§ 1. Общие замечания 366
Оглавление 427
§2. Локальная и глобальная дзета-функции эллиптической
кривой 371
§ 3. у2 — х3 + D, локальный случай 375
§ 4. у2 = х3 — Dx, локальный случай 377
§ 5. L-функции Гекке 378
§ 6. у2 = х3 — Dx, глобальный случай 381
§ 7. у2 = х3 + D, глобальный случай 384
§ 8. Заключительные замечания 387
Замечания 390
Упражнения 391
Указания к отдельным упражнениям 394
Литература 404
Предметный указатель 419
Учебное издание
Кеннет Айерлэнд, Майкл Роузен
КЛАССИЧЕСКОЕ ВВЕДЕНИЕ
В СОВРЕМЕННУЮ ТЕОРИЮ ЧИСЕЛ
Научный редактор Г.М. Цукерман
Мл. научный редактор И.В. Герасимова
Художник СМ. Гончаров
Художественный редактор В. И. Шаповалов
Технический редактор А.Л. Гулина
Корректор Е.Н. Клитипа
OCR обработка и конвертация в Tf^X — E.G.A.
(ega-math.narod.ru)
ИБ № 6067
Сдано в набор 24.12.86. Подписано к печати 15.07.87. Формат
60 х 901/i6- Бумага офсетная № 2. Печать офсетная. Гарнитура
литературная. Объем 13,00 бум. л. Усл. печ. л. 26,00. Усл. кр.-
отт. 26,00. Уч. изд. л. 25,00. Изд. № 1/5092. Тираж 10000 экз.
Зак. 24. Цена 2 руб.
ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР» 129820, ГСП, Москва, И-110,
1-й Рижский пер., 2
Ленинградская типография №6 ордена Трудового Красного
Знамени Ленинградского объединения «Техническая книга»
им. Евгении Соколовой Союзполиграфпрома при Государствен-
Государственном комитете СССР по делам издательств, полиграфии и книж-
книжной торговли. 193144, г. Ленинград, ул. Моисеенко, 10.