м. л. смолянский
ТАБЛИЦЫ
НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ
ИНТЕГРАЛОВ
ИЗДАНИЕ ВТОРОЕ,
ИСПРАВЛЕННОЕ
ш
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА 1963

517.2 @3)
С 51
АННОТАЦИЯ
Неопределенные интегралы — наиболее упо-
употребительные формулы высшей математики. Самые
разнообразные вопросы математики и ее прило-
приложений к технике, естествознанию, экономике,
статистике и т. д. приводят к вычислению того
или иного интеграла.
Комплект готовых интегралов нужен инжене-
инженерам, техникам, экономистам, научным и практи-
практическим работникам самых разнообразных спе-
специальностей. Он необходим и студентам вузов и
техникумов.
Справочник М. Л. Смолянского содержит
около 1300 интегралов, выпускается небольшим
форматом и приспособлен для быстрого отыска-
отыскания нужной формулы.
Во втором издании изменено расположение
таблиц и выправлены замеченные опечатки.

СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие ко второму изданию 7
Принятые обозначения 9
I. Рациональные функции
С хп dx
Таблица 1. Интегралы вида \ и- 10
С dx
Таблица 2. Интегралы вида \ —^-— ,т- 12
Таблица 3. Интегралы вида I **" ,~Kt ? &х 14
л rfx
Таблица 4. Интегралы вида J ж*" {a + bx)m (c + fxjk • • • • 15
С х*2" dx
Таблица 5. Интегралы вида \ , ,2 г.-^ 18
Таблица 6. Интегралы вида I —j—g г 20
С х" dx
Таблица 7. Интегралы вида \ , ^ 22
Г dx
Таблица. 8. Интегралы вида \ „ а m 24
Таблица 9. Интегралы вида I m 26
Г х" dx
Таблица 10. Интегралы вида \ , т 28
С х" dx
Таблица 11. Интегралы вида \ —г 30
Г dx
Таблица 12. Интегралы вида \ —— А 32
Таблица 13. Интегралы вида \ /„„аТ,/ , „^ 34
Таблица 14. Интегралы вида j_ft^l^_^ 36

4 СОДЕРЖАНИЕ
II. Иррациональные функции
L 2 dx
Таблица 15. Интегралы вида J —— , .т 38
Г х* " dx
Таблица 16. Интегралы вида I — 40
J У (а-\- Ьх)т
Таблица 17. Интегралы вида \ х±п V(a-\-bx)m dx 42
Таблица 18. Интегралы вида [ ]/Г(а+Ьх)± " (с+ fx)~ m dx . . 44
С хп dx
Таблица 19. Интегралы вида I : 46
Таблица 20. Интегралы вида I ¦ 48
) xnV(a2+b2x2)m
Таблица 21. Интегралы вида \ х* " V(a* + b2x2)m dx 50
fx" dx
, 52
„ У(аг-Ьгх2)т
Та'лица 23. Интегралы вида \ — 54
J х"У{а2— Ь2х2)т
Таблица 24. Интегралы вида С ж* " V(a2 — b2x2)m dx 56
Таблица 25. Интегралы вида J ** " V(b*x* — a2)* mdx .... 58
Г х~ " dx
Таблица 26. Интегралы вида I . 60
J V (ax2 + bx + c)m
Таблица 27. Интегралы вида \ ж* " V\ax2 + bx + c)m dx ... 62
Таблица 28. Интегралы вида ( ' с"
J (ах2 + (
III. Тригонометрические
и обратные тригонометрические функции
Таблица 29. Интегралы вида \ хп sinm px dx 66
Таблица 30. Интегралы вида
f sinm px А Г xndx С ле" sinr лс ^
J ~!Pi~dXt J luf^' J (a+bsin X)'" X b8
Таблица 31. Интегралы вида \ R (sin px, sin qx, У a2±b2sm2x)dx 70

СОДЕРЖАНИЕ 5
Таблица 32. Интегралы вида V хп cosm px dx 72
Таблица 33. Интегралы вида
Xя dx С х" cos's
J
PcofVpx Г Xя dx С
••••
Таблица 34. Интегралы вида \ R(cospx, cosqx, Ya'+bzsin2x)dx 76
Таблица 35. Интегралы вида \ sin^ m px cos^ " qx dx 78
Таблица 36. Интегралы вида \ /? {sin x, cosx)dx 80
Таблица 37. Интегралы вида V F (x, tgx, ctgx)dx 82
Таблица 38. Интегралы вида
[ х* п arcsin — dx, С x=b " arccos — dx 84
Таблица 39. Интегралы вида
С f(x, arctg-j^dx, [ F (x, aicctg^\dx 86
Таблица 40. Интегралы вида
С / х \ Г/ х \
\ F \ х, arcsec — ] dx, \ F I x, arccosec — ) dx 88
JV а I J\ а I
IV. Показательные и логарифмические функции
Таблица 41. Интегралы вида \ ж* " еах dx, \xne~x' dx ... 90
Таблица 42. Интегралы вида
f R (х) еах dx, [к(х> У*, е*, еу х\ dx 92
Г еах dx.
Таблица 43. Интегралы вида \ „ ах п 94
Таблица 44. Интегралы вида J еах V(а + §eaxf" m dx .... 96
Таблица 45. Интегралы вида
f eax sin" px dx, [ еах cos" px dx, [ eax sin x cos" x dx . . 98
Таблица 46. Интегралы вида V x^n \nm (a-\-bx)dx 100
Таблица 47. Интегралы вида I . m , ,u\ 102

СОДЕРЖАНИЕ
Таблица 48. Интегралы вида
V^y~)dx 104
Таблица 49. Интегралы вида f ^"sh* pxdx 106
Таблица 50. Интегралы вида J ** n ch* m px dx 108
Таблица 51. Интегралы вида f sh* m x ch^ " x dx ПО

ПРЕДИСЛОВИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ
Имеющаяся в настоящее время на русском языке справочная
литература по интегральному исчислению представлена или весьма
солидными монографиями или небольшими разделами в общих спра-
справочниках. Как в том, так и в другом случае возникают затрудне-
затруднения при использовании этой литературы для быстрого отыскания
нужного неопределенного интеграла.
Настоящий справочник подчинен одной главной цели — обеспе-
обеспечить максимальную быстроту отыскания наиболее часто встречаю-
встречающихся в математике и в инженерной практике неопределенных
интегралов. Поэтому автор сознательно ограничил себя при выборе
включаемого материала.
Все интегралы, помещенные в справочнике, разбиты на четыре
раздела:
I. Рациональные функции.
И. Иррациональные функции.
III. Тригонометрические и обратные тригонометрические функции.
IV. Показательные и логарифмические функции.
Немногочисленные интегралы, которые не выражаются в эле-
элементарных функциях, отмечены звездочкой. Для них даются выра-.
жения через степенные ряды. Из практических соображений неко-
некоторые интегралы включены в разных формах одновременно в два
раздела. В этом случае для них даются разные выражения.
При составлении справочника автор пользовался различной
монографической и справочной литературой. В первую очередь это
относится к справочникам:
Г. Б. Двайт, Таблицы интегра-пов и другие математические
формулы, ИЛ, 1950,
И. С. Градштейн и И. М. Рыжик, Таблицы интегра-
интегралов, сумм, рядов и произведений, лзд. 4, перераб. при участии
Ю. В. Геронимуса и М. Ю. Цейтлина, Физматгиз, 1962, к которым
читателю следует обращаться за более подробными сведениями.

8 ПРЕДИСЛОВИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ
В настоящей книге совсем не излагаются методы интегрирова-
интегрирования тех или иных классов функций. Эти методы достаточно по-
подробно рассматриваются во многих учебниках по математическому
анализу (см., например, Г. М. Фихтенгольц, Основы матема-
математического анализа, т. I, изд. 4, Физматгиз, 1960). Читателю, желаю-
желающему более подробно познакомиться с методами интегрирования,
можно порекомендовать книгу: А. Ф. Тимофеев, Интегрирование
функций, Гостехиздат, 1948.
Во втором издании добавлено незначительное число интегралов,
исправлены замеченные опечатки и улучшено расположение таблиц.
Для удобства пользования книгой приняты единые обозначения
(см. стр. 9), с которыми читателю необходимо познакомиться пред-
предварительно.
Автор выражает глубокую благодарность читателю Е. Н. Про-
Протасову за ценные советы и замечания. Для улучшения справочника
много сделал редактор Н. X. Розов, которому автор особенно
признателен.
Все отзывы и пожелания автор просит присылать по адресу:
Москва, В-71, Ленинский проспект, 15, Физматгиз, Редакция спра-
справочной литературы.
М. Л. Смолянский

ПРИНЯТЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
х, t, и, s —переменные интегрирования.
а, Ь, с, /, а, Р, Y. Р> <7> А, В—произвольные вещественные числа.
k, I, т, п, г — целые числа.
v — индекс суммирования.
F (x, t)—произвольная функция от х и /.
R (x, t) — рациональная функция своих аргументов.
Р„(х) —многочлен n-ой степени от х.
Р(*' (*)—й-ая производная многочлена Рп(х).
т\
С1=—г; Т7—число сочетаний из/и элементов поп (биномиаль-
т п\ (т — п)\
ные коэффициенты); по определению полагаем:
п\=п-(п — 1)... 2-1 — факториал; по определению полагаем: 0! = 1.
Вп—числа Бернуллн:
п
Вп
0
1
1
1
2
2
1
6
3
0
4
1
~30
5
0
6
1
42
7
0
8
1
30
Еп—числа Эйлера:
п
Еп
0
1
1
0
2
— 1
3
0
4
5
5
0
6
-61
7
0
8
1385
, =af — be—определитель второго порядка.
Ь2—Аас—дискриминант квадратного трехчлена ахг-\-Ьх-{-с.
4

I. РАЦИОНАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
ТАБЛИЦА 1
ИНТЕГРАЛЫ ВИДА
С xndx n = 0, 1, 2
J (а+bx)' т=\, 2, 3, ...
ХЛ' J (а + Ьх)т = (т-\)Ь {а
С xdx 1/ а
1.3. \ - . , - = -т- х—Г
J a+bx b \ b
J )m Ьг [(m—2)(a +
Г
J
(т&З).
,9 Г
J
**<** 1 Г -1
(т-2)

ТАБЛИЦА 1 11
1.12. t**-
,.,3. Г-4^=
J (a+ 6*)*
1 Г За За* , а5 , , , t Л
,,4 Г x'dx ' Г -1 i За
За2
(от — 2) (а
, ,ч Р х»Ае _ 1 IV а* (ау* (а\>
1Л5> J5Tte~b |_4~ТЗ+Ш 2~V"*/
r_x4_d?_ 1_ ( _а_ Г_6а 2о2
J (а + ^L~Ь4 Г 6 [° + ^ (а+Ьх)г
,19 Г ^^ _ 1 Г 4а За2
l>la- J (a + bxf b* [а + bx (a + bx)*^
(m—l)b(a+bx)'
»-'+(m_l)ftl

12
I. РАЦИОНАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
2.1.
2.2.
2
2
2.9.
ТАБЛИЦА 2
ИНТЕГРАЛЫ ВИДА
dx л=1, 2, 3, .,
te т=\, 2, 3, .
С dx = 1 ln
J x(a + bx) ~~ a
dx 1 / 1
:+b
C—-
J*(e-
1
! + &*)
—-In
)x(a + bx)>
2.4. f_^_=lf
J x (a + fe-*:) о L'
,, J
а \а + Ьл: а
1
^ + 6
'
+ а(а + 6л:) a2 ln
1
dx
х(а+Ъх)ь а
dx
2аг (а
e Г '
J x(a + bx)m~
.7. f V
.8. fV
1
1
am
bx)
ln
1
a + 6*
д:
(m
±+b\).
х [J
(
а \ х а
^ ^+i_?-&ln
dx
J_ Г 6
"a2
+Тх~ а* {п\^
2.10.
dx
- a2 [a
ЗаЬ
37-73 1п
Ml. j.
dx
ал: (а
— 1 mb Г
-j-te) a J !
x '
(см. 2.6).

ТАБЛИЦА 2
13
2.12.
2.13.
2.14.
2.15.
2.16.
2.17.
2.18.
a \ax 2хг а2
dx
2b ! —
о^ 2л2 a*
a"
dx
2a2
dx
dx J_ ! 62
a
a'
1 Г Ьг 3ft2b 1 46' I о
1 ± +
3ft2 b 1 46' I о П
а'хг ах*+ 3xs a3 |T+ |J#
С dx (от + 2) abx — [/и (m + 3) + 2] fr2s2—2a2
m(m+l)(m + 2)fc3
6a3
¦f-r-:
(cm. 2.6).
2.19.
2.20.
dx
^ (n — x)a'xn"'^ a"
—1
:(ft— l)ax"~l(a-\-bx)m-1
(ft_l)a J^77
1
ш
"(m—1) ад;'г~1(а + &л:)т~1
+ (m-l)a J ^(J
dx
+ bx)>
—г (mS»2).

14 I. РАЦИОНАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
ТАБЛИЦА 3
ИНТЕГРАЛЫ ВИДА
••••
п = 0, 1, 2, ..., m=l, 2, 3, .... fe=l, 2, 3,
(см. 1.20).
Пв + ЬхГЛг_ (a+fcx)m
3-8.

ТАБЛИЦА 3
15
4 12
cja + bx)"
111 г
3.17. f
J
••»•
ЗД
lw 1 fЬ2 , , ЬД ,, сДгл:
ах=7\1!х+Тх+гЪШ
-р [(Д - 26с) (c + fx)-2c (A-ftc)ln |
= ? inix|-A.ln|c + /x|.
с ' ' с/ ' ^' '

16
I. РАЦИОНАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
ТАБЛИЦА 4
ИНТЕГРАЛЫ ВИДА
dx
n = 0, 1, 2 m=l, 2, 3, .... k=l, 2, 3,
-1- 1(-
4
4.2.
dx
6х)(с+/х)
dx
¦ = -4-In
a + bx
c + fx
— 1
dx
-— In
Д« 1П
*.4. Г—-
J (a-
dx
— b. b*
Д8
4.5.
)s 2Дг(с+/х)г Д
dx б8
(a + bxJ (c+fx)' A'(a + bx)
2bf
a + bx
2Д' (a + bx)
36V
6х)
36/2 662/2 ,
—гг-1п
c+fx
c + fx
«•J
•*)m(c+f*)* (*—1
(от + fe—2N Г1
dx
(ft;
(m
(m—\) A (a+bx)'1
-2)/р dx
1)Д J (а + 6х)т"'

ТАБЛИЦА 4
17
¦9- J
xdx
с af
4.10.
(a + bx)(c + fxf fb(c + fx)
xdx
af .
a-\-bx
o+fx
c+fx
4.12.
4.13.
6c2—
- Д2 [b {a
2аЬ
4.14. j
x'dx
x* af+bc , 1 fa» . . , . . c»
4.15. Г—;
J x(a
—
ac
416
сД
1
ас2 |
f2;
oV/ (Д — i
а2сг/(Д—be)
U7. ("-=--
J a:2 (a

18 I. РАЦИОНАЛЬНЫЕ ФУНКЦИЙ
ТАБЛИЦА 5
ИНТЕГРАЛЫ ВИДА
x а>0, л = 0, 1, 2
х2)т ' Ь>0, т=1, 2, 3,
Г dx \ . bx
5.1. \ , , ,. , = -г arctg —.
J аг-\-Ъ2хг ab a
, о Г dx
х 1 , Ьх
+ arctg
5
.3. \ — = _ L
J (аг + Ь2хг)т 2(m— 1) a2 (a'-f'tV)'17
2m—3 Г d)
+ 2(т-1)а^ J 1
" J (a' + bVJ^ 2Ьг(аг +
С
> J
xdx 1
(т— 1) b2 (а2
a . bx
а С x* dx _ x 1 bx
-8' J (tf+bVf 2b2(a2 + bV)+ Ш° arCtg ?'
Г
>9' J
Г хг dx
59
5-10. j-

ТАБЛИЦА 5 19
5 19 f
" " J
хЫх
хп dx
С
5ЛЗ' J @
я—1 Г хп~Чх
+ 2(т-1)Ьг J (a' + iV)™-'
' J х(аг + Ьгх1)~1'1П а* + Ь*х* '
Г dA: _ 1 1
Л J л:(ог + 62л:2)г ~2a2(az+6V) + 2a*
#16i J
516
(a4W) a^~ a» arCtg 7 •
Г rf* 1 г>гл: 3b bx
) хг(аг + Ьгх2)г~а'х ?a4(a2 + 62^) 2a5 g a '
5.19. ' dX
5.20. f-rj-i
cfx (
dx
-1 2(m-lN2f dx
-1 a2 J (а? + Ь2хг)т (см- 5^)-
2ai a2
5.21.
5.22. ' dX
mb* С dx
? + b2x2)m~l a2 J x (a1
dx 1
<CM-5-16)-
(я— 1)а2л:п-
Bm+n-3fb2
(я-1)а2

20
I. РАЦИОНАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
ТАБЛИЦА 6
ИНТЕГРАЛЫ ВИДА
x~ndx о>0, п = 0, 1 2, ..
J (a2—bV)m ' Ь>0, /и=1, 2, 3, ..
f
6
6
6.3.
•2- JisrS*
а — bx
х , 1.1 a + bx
4asb \a—bx\'
dx
(a2—b2x2)m 2(m—\)a2(a2—b2x2)m-1
2т—Ъ С А
+ 2(т—1)а2 J (а2 — V'
J a2
'.5- Г-^
Г х
•6- J ECI
6
6
6
6.7.
6
6.9.
1 . . ,
-=— — In I a!-
1
262 (az-b2x2) '
xdx I
Ьгх2)
J (а2—
x2dx
а — bx
х 1
J 262(а2— b2x2)
x2dx х
a — bx
(a2—b2xi)m 2(т—\)Ь2(аг-Ь2х2)т-1
(см. 6.3).
6.10.
6
л. _ X2 а2 . г ул г I
'.П. \ т-j 2 2 2 =—^—^ ^—|-—^ In | а—6 х21.
6.12.
1
(а2—6гд;
—2)Ь4(аг—6
2(т—\)Ь*{а2—Ь2х2)'1

ТАБЛИЦА 6
21
6.13. с *
J (a —
dx
Ьгхг)т 2 (от— 1N* (а2 — Ьгхг)т~1
(а>-Ь>х>Г-> dx
3,4 f dx 1
J x(a2—t2'2^
гх>)
P rfx __ I i
6* 5> J д; (a2-6VJ~2a2 (a2-fc2rV 2a
6>l6- J л; (а2 — 62х2)'Л = 2 (от-1) a2 (a2 — Ь2хг)т~1
а*—Ь*хг
_ 1 6
~""Л+2^
,8 Г dx 1 , b'x
J хг(а*— Ьгхг)г~~ а*х^~ 2а4(а2 — б2;
ll9 Г . ^-. 1
J л:2 (а2 — б2^2) агх(аг—бУ)"
36
4a5
а + Ьл:
1 fr8 . I *'
6-20' 1 ,Ma2-6V)-
61' J д;'(а2—62*2J = ~25V"+2a4(az—62л;8) +Тв
Р dx 1
6.22. \ -j—% i щ=- 5~2—г а г ст-'1~Ь
6-23' Jx"(a*-f
Bот + /г-3N2 f- d«
(я-1)а! J *"-2(а2-

22
I. РАЦИОНАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
ТАБЛИЦА 7
ИНТЕГРАЛЫ ВИДА
x"dx я = 0, 1, 2
(а+Ьх'Г : т=1, 2, 3, ..
dx 1 . I (Е+
7 9 f
7"*' J
73
— * _|_ ^ f
~ За(а+Ьх>) +з1 J
Г . ^ ^ =
J (a"+ &д;а)'я 3(от—1)а
Зот—4
—4 р
-1)а J
xdx
7-5' J (
Г хсгл: 7д^г + 46л:5 2 Г»
7*6' J (а+бл;3)' ~ №*(а + Ьх>)*+9аг J
2 Г» xdx
(СМ# >
Зот—5 Г л:^
3(т—1)а J (a+bx')m~l
С
7'9- J
х2 dx
3 (от-1) 6
7.10.
x>dx x I
T+b?-J~W

ТАБЛИЦА 7
23
7 11 С
| 1 Г
V3&J a
Г x'dx =
J (a + bxJ)'~~
3ax—
+ бх'
—5&х8
7!)
2 С dx 5 С xdx
зТб J 7+ь?~ТШ J ?+fc? (см- 7Л й 7'4)-
73' J
3w —7
3(m
—7 f
-l)aJ
D — 3m)b(a-\-bxs)m~l
7.14. C-
J a
Г
2 Г
Зь}
Р х* dx _
' J (а+бх')'
(см. 7.b).
7.17.
2a Г
E-3mNj
f* x"dx _ x"~2 a
J a-{-bx'~(n—2N b
7.19. \ x ax — z
J (u-\-bx3)m Z(m—\)a(a-\-bx')m '

24
I. РАЦИОНАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
ТАБЛИЦА 8
ИНТЕГРАЛЫ ВИДА
dx я = 1, 2, 3, ... ,
8.1. I
хп(а-\-Ьхг)т ' т=1, 2, 3, ...
dx 1 , 6x'
x(a + 6x') 3a
8.2. e * = i +-L
J x (а+Ьх*)г За (а + bx') ' 3a2
8.3. J
.
Ьх'
а+йх3
dx
x(a+6x3K 6a2(a-f6x3J
Ш
8.4. e
8.5.
Jx(a+6x'L 18a'(a+6x3K
dx =
1
= 3(m—1)
8'6- Ix2(a + 6x3) =
ах ' 6а|
йд;5
87 Г dx - ~3a+4to' 4 Г
—arctg —-=r-
1^3a| У3|
- (см. 8.6).
88 Г dx - l I 7 l±
Jx2(a + 6x'K 6а(а + 6х3J+18а2(а + 6х3) 9а3х"
+ 9^j;X7^n (см- 8.6).
8.9.
8.10.
1
(m— l)a
. Зот
.з\/л — 1 ~Г
1 b С dx , 7 ,,
Гч = —S 5 \ r-7—i (CM- 7.1).
3) 2ax2 a J а + йх3 v '

ТАБЛИЦА 8
25
8.11.
8.12.
8.13.
dx
3a + 5bx* 5 t
—"Тл". 9 + 9 1П
«3(a+6x3J 6a2x2(a+6x') 18а2?2
(l+x?
5 .
3/3a2!2 S
3/3a2!2 S /3 6
dx
хЧ.а+Ьх3K'
л:8 (a+bx3)
10
7 а3!1
In
20
9 /3V|2 в /3 6 "
— l)ax' (a+bx')
Зот—1
+ 3(от-1)
—1
s\»»-i~r
rf*
(Зот— 1)&л:
Cm-l)Cm-4)& Г
6(m —l)a2 J (а
8.14.
8.15.
8.16.
8.17.
1
dx
Зад;' За2
Ьх"
a+bx3
dx
a+2bx3 2b ,
3aV(a + 6x8) За3
Ьх*
С dx
J ^(а+бд;3K"
1
76,
I.
3aV 6a2(a + 6x3J a3(a+&*3) a1
1
Зот
B.18. J;
4I» 3(от—l
3(m
— 1
«-4Г
-l)a J
(n—l)a J *n~3
dx

26
I. РАЦИОНАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
ТАБЛИЦА 9
ИНТЕГРАЛЫ ВИДА
С х±"dx л = 0, 1, 2, ... ,
J (аА-Ьх*)т'> т=1, 2, 3, ...
9.1.
и
dx
г\ Г,
~=^ In
2[
+2arctg
9.2.
9.3.
9.4.
9.5.
9.6.
9.7.
9.8.
9.9.
dx
x-r\
X
+2arctgi-j
d.
a+
?_ 21 Г
4a J a-\-bx*
Пах+7Ьх> , 21 Г dx
при ab>0;
при ab<0.
(см. 9.1).
(см. 9.1).
4 (от— l
4m —5 Г
(OT-l)aJ
x dx
; arctg
1_
V\ab]
In
а—л-2
a+x* Y\ab\
при afe>0;
при ай<0.
xdx
xdx
(a-\-bxi)m 4 (от— 1)а
ffi —1 ~Г"
x*dx
2m —3
2 (от— 1)а
(см. 9.5).
i7^s=l («^2).
= 4/2
О- fin ^+/2r1, + ,2_
2 6t][ ^-/гт^+л8
2
Л*—
-71- In
4br\
*±3
x-r\
-2 arctg
при ой>0;
при ab<0.

ТАБЛИЦА 9
27
i.io. 42= —r+— \
|* v* // V Q ft V * I Ц h V' ^4 ^* V* /1 V
J (a+ix4)s = 32a2(a+6x4J + 32a5j a+^? (CM> '*
9,12. f—*,x— ? 1_
J (a + ox4) 4 (m—l)a (o+bx4)™
—я—5 С хп dx
i— l)aj (а+бх4)
4/n—я—5
m — i
— 3)a Г x"~4dx
9.13.
1 '
dx
x (a+ бх4) 4а
a + bx*
а+Ьх*
P dx 3+26X4 1
J x(a + 6x4)'~8a(a+6x4J + 4as
9.16. С , ^f 4) = ~J—— С Л^ (см. 9.9).
9.17.
fo» 56
(см. a.a;.
9.18.
9.19.
dx
ax
% Г x2 dx
a J (a + te4)» (CM- 9- J J'-
]x"(a
(я— l)a
J_ P dx b_ Г
a J ^"(а + йл,4)"» a J x"~4
dx

28
I. РАЦИОНАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
J
ТАБЛИЦА 10
ИНТЕГРАЛЫ ВИДА
хпйх n = 0, 1, 2
а+Ьх"' /и = 5, 6, 7, ...
10.1.
W.2.
10.3.
1 Cl t
t2jarctg ;2V+1
v=o y—«cos—^-я
\ , 2v+l
81п-2т-
ft-1
+
2ЙГГ
«sin
2v+l
\
2v+l
2T+T
1+Д5
ft-1
-JrV 1П
т Larcg
o y
x cos
\ . v
8Шт
ft-i
. 2v+l
Ш
2v +

ТАБЛИЦА 10 29
k 2v —1
xndx 1 VI x *~~C0S 2k Я (n + l)Bv—1)
2v-l
Ш+\
2v —1 ,.\ (n+l)Bv —1)
2 2fe + l .
+2FH Ь arct§ , 2v-T sin
10.7. jI^^i(
к — l
"H"~1)n2lZ In
v:=l
Sin -г-
1
1" И —
2v—
. 2v —1
81П2Гня

30
I. РАЦИОНАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
I
ТАБЛИЦА 11
ИНТЕГРАЛЫ ВИДА
rv « = 0, 1, 2,...,
' m=l, 2, 3, ...
,,, ^
„2
arr.tg^""v~r^ при 62<4ас;
| J_ln
1 /б
при б2 > 4ас.
— 2ад;—6 2а Г dx
2а С
6J
ах2 -\-bx-j-c
(см. 11.1).
11.3. J;
11.4. J
—2ах-Ь
ЗаBах+Ь)
dx
—1ax-b
(от — 1)Ъ(а
2Bот —3)a Г_
(m-lN J (a.
dx
-L= arctg ^±A
a V —б У — б
я- In \ax''4-bx-\~c\ 7= In
2a ' T ' 2d/«
2ax+b — /6
f
11.7. J(
(см. 11.1).
л- dx
bx + 2c
(от—
Bm — 3N

ТАБЛИЦА 11 31
11.8.) /ff* , =--~\п\ахг+bx + c\
\ахг-\-Ьх-\-с а 2а2 ' т т '
dx
Г *'& _ Fг—2ас)х + Ьс 2с Р dx
" * J (ax'-\-bx-\-cJ~~~ аЪ (ах2 + Ьх + с) ~~ У J axT+J
+Jx+c
(см. 11.1).
«1.10. J
(б2
(от-1) аб
(от—4N2+10ас
;
J (a
x2-\-bx
(cm. 11.4).
«* .. Г x*dx ax2 — bx , bz — ac ,
11.11. \—, , , ,—=—н-5 „ ., In
J ах2+6л;+с 2а2 '2а2
1112 Г—?-^- = *", ' _ f x" 2dx _
J ax--\-bx-{-c (n — I) a a J ax2-\-bx-j-c
___ l _^ ax .
a J ал;2 + 6^+с
11.13. \-,—2 Л *, .m == — о ^ r от=т4
С P a: dA: (ОТ — 3N P AT'dA:
(m—2)aJ («л;2-{-йл: + c)'" 2 (m — 2) a
П14 I * ax = . *
" ' J (ax2 + bx + c)m Bm — n—\)a(ax2+bx+c)m~l
(n — \)c P ^nd^
i—n— l)aj i
+Bот
jm—n)b
11.15. ' Г l
'г a J
__c^ P r""~3dA: & P
a J (aA;2 + 6A:+c)'n a J

32 I. РАЦИОНАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
ТАБЛИЦА 12
ИНТЕГРАЛЫ ВИДА
1х"(ах2^х+сг' бг-4а^°; TAW'.'.':
,2Л. C__|L__ =
1 1„ х* ь „м*ах+Ь
2с "[ах* + Ьх+с\ су~6 — V~b F<°У'
(в>0)
х8
2с " |ад^ + йл; + с| 2с/б"
1 . хг
-¦7Г- 1п
6 (бас—б2) Г dx
j
dx
fi-°* J х (ахг + frx + сK 4с2 (ах2 + 6х+ сJ
-_±Г.
2c'J с
1 .
2»
+ Ьх + с\
dx
__Ь_ С dx Ь_Г
2с2,} (ах2 + 6х+сJ 2с J
(см. 11.1, 11.2 и 11.3).
,24 Г dx - 1 Г
1 J ^(а^+йх + с) с J (a
Р t'm~'dt Ь С t2m-2dt J_
J (а + 6< + с^2)'я + с J (a + W+c/2) ' ГД6 Т
(см. 11.13).
. С
dx 1 Ь_ хг
2+6х + с)"~ сх 2с2
_
сх 2с2 |ах2+йх+с|
— Час С dx
j

ТАБЛИЦА 12 33
I' dx 2a2cx — ab2x+3abc—b' 1_
' J *2(ал:2+&л;+сJ~ с*д (ax*+ bx + c) Л?~~
6 x2 b*—&аЬгс-\-%агс? С dx
~"(F П \ax* + bx+c[ "• 6*6 J ал;2+Ьл-+о
(см. 11.1).
,2.7. С T7—j-
ел-
36 Г dx 5а С dx .. „ ., ..
\ —,—г-т—;—гг \ ,—5-г-?—;—г, (см. 12.3 и 11.3).
с J х(ахг-\-Ьх-\-с.)* с } (а^ + Ьх+с)' у '
dx
Л ) хг(ахг+Ьх +
отб p dx Bm — 1) а
с J x (ax2-\-bx-\-c)m с j (ax2-\-bx-\-c)m
(см. 12.4 и 11.4).
,2 9 \ - -&'-acln *" ,2bx-c.
29 Г
J х>
, й (Зс—й2) р dx , .. ,.
Н—Чг!—-\ —5-г-г—г- (см 11.1)
1 2с3 J ал^ + бж+с v '
р dx Збх—с
' J ж3 (ах2 + 6ж+сJ"" 2с2л;2 (ал-2 + Ьх + с)
ЗЬг—2ас Г dxШ ? dx
С __Jx____ ШГ
J х(ахг+Ьх + с)г +2c2 J
c2
(см. 12.2 и 11.2).
J л:'(^2 + 6л; + с)' ~~2с2л:2 (ахг + Ьх + сJ +
6Ь2 —Зас Г Лл- ^Юай Г dx
с2 J х (ах2 -\- Ьх -)- с)8 с2 J (ax2 + to-|-c)s
(см. 12.3 и 11.3).
12.12. ' dx l
(п — 1)схп~*
(п + т — 2) b Г dx_
(п-\)с )х"-1>
(n + 2/п — 3)ар d*
(n-l)c
'S^

34
I. РАЦИОНАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
ТАБЛИЦА 13
ИНТЕГРАЛЫ ВИДА
и' ет=1> 2> 3
ш- Ь
х2 -\-bx-\-c
In I a.
14 9 С
1 • • J
1 •'
J
13.5. f i!
аи
6
J (ax2
+bx-\-cJ
. П.1 и 11.2).
26 J (а*2
dx
_а2 ара-сосгР
a + a J а
+— Bар - 6а) (" 2 ^Х ,
' а ч r ' J ax*-\-bx-\-c
(см. 11.1 и 11.5).
)т (я — 2т+ I) а (ах2 + Ьх + с)'1
(п— 1)(саг
(я—2т+1)а
J
(я-2т+1)а J
ax
.Q (ал: + Р)"
, яFа-2аР) Г
+ (от-1N J
2(n-2/n + 3)a f (ax + P)"-'^
(m-lN J (ax' + bx+c)'*'1

ТАБЛИЦА 13
35
13.6.
dx
2(ca2—
In
ax2 -\-bx-\-c
ba—
(ca2 —
a
.^—; arct2
— б
2(ca2 —
In
a*2 -\- bx -\- с
6a — 2ap
2 (ca2 —
13.7.
'6
1
ал:2-+ bx -\- с
(см. 13.6 и 11.2).
13.8.I
dx
1
(ах+$У(ахг+Ьх + с) со.* — бар + ар2
+
,39 Г
(см. 13.6 и 11.1).
(я—1) (са2 + 6аР + аР2) (а^+Р)" (ах'+Ьх + с)'1
—3)а
J I
2 (л — 1)(са2 — арь + аР2) J (ад; + Р)"~2
w_2)(&a-2ap) P dx
2 —ap6 + ap2)J
(n — 1) (ca1
13.10. f -r-gr^
2(от-1)(са2—
&а—2ар Г
2) J
dx
2(са2 —6ар+ар2) J (ax + P)" (ах*+Ьх+с)
{п+2т-3)а* Р dx

36
I. РАЦИОНАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
ТАБЛИЦА 14
ИНТЕГРАЛЫ ВИДА
±п k = 2, 3, 4
х dx
• ft = O, 1, 2, ... ,
(ax'* + bx«+c)m m==i, 2, 3, ...
14.1. f_
j а,х
2a
__
/б
г г
_ \
"I
6j
при
(см. 5.1 и 6.1);
хг/Т^Т + х/2/аС-
8|а|
| a | - лгКг /ас—
===- arctg
й
4|а|/ТГ/|/2/
p_____dx аЬх3-\-(Ьг —
14-2- J^ + fcr' + c)'»" 2(от —1)сб
при 62<4ас.
2(/п-
ас— б2
2 (от — \)сЬ
{4m—7)ab P
(от—1)св J (Нх*
— j T
1
= In
14.3.
14.4.
xrfx
—/6
2/6
-—= arctg
x*dx
/6
1
4al
f.
J-:
при 6г>4ас;
при 62<4ас.
dx
xdx
6-/6
/б J 2ахг + Ь — Уд
при 62>4ас (см. 5.1 и 6.1);
где А= I/ -к-
при 62<4ас (см. 11,5).

ТАБЛИЦА 14 37
14.5.
_ с_ С
a J (axl + bx2 + c)m a J (ax*-\-bx* + c)m '
Г x"dx _ xn+i-ik
J (axtk+bxk+c)m ~(я+1— 2km)a(ax2k+bxk+c)m-l~~
(я+1— 2k) с Г хп~гкйх
(я-j-l—2km) a J (ax2k + bxk -\- c)m
(n+\—k — km)b С x"~kdx . , „.
—-— — \ r (пф2кт— 1).
(n + 1—2km) a J (ax2 -\-bxk-\-c)m
dx
_J_ л^ b Г1 л:^
~4c | ax* + 6лгг + с | 2c J ^F+feF+l (CM' )#
149 Г
J хп(а
n + 2/n —3 f"
(я— 1)с J x"-*
(я— \)c
x*-\-c)m
dx
14.10. f
J xn(ax2k
^4
-\-bxk-\-c)m (Ц ( +
(я — 1— k-\-mk)b Гdx
J x"-
(я—l)c J x"-k(ax2k-\-bx'l + c)m
2k + 2kr dx
J xn-2k(axlk + bx'!+c)m ~~
(n—\)c

II. ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
ТАБЛИЦА 15
ИНТЕГРАЛЫ ВИДА
dx ш а>0, я = 0, 1, 2,...,
(а±Ьх)т ' 6>0, от=1, 2, 3,...
,Б.1. ri^^.=y^_^arctg-/^.
j a-\-bx b b У b fa
,5.2. [n*L=-jri+jqL
J a — bx b byb
V a—Vbx
15.3.
15.4.
15.5. \
Г V~xdx =
-,/Ыс
W In
(a—bxf b(a — bx) 2b У' ab
±хУ~х
Va—Ybx
15.6.
15.7.
(a±bx)m (m—l)a{a±bx)m-1^
+ 2(m-\)a)
хУ xdx 6a У
a-\-bx
1
J a—bx
(a ±
Зй2
й2
¦
ЬгУ~Ь
У a—Vbx
,,s. JS
15.9.
62(а + 6д;)
ЪаУ~х—2ЬхУ
г — bxf
ъУа__
'2ЬгУ~Ь
In
У a+Vbx
Уа-УЬх
15.10. f—
» = ±;
i=i +
±ix)m -^(от— 1)й(а±6л;)л
. 3 f yicdx 2) (CM_ 155)
2 (от—1N J (a + 6*) "

ТАБЛИЦА 15
39
,,„.^
Vxdx
±Ьх
?
(-l)W
¦15ЛЗ
15.12.
15.13.
15.14.
15.15.
x"V xdx
x" V x dx
-1+
(a±bx)m (m—l)b(a±bx)'
, 2n+l Г xnV~xdx
"• (от—1N J (a +to)
dx
:(a+bx) Vab
Y4-
dx
-A 7= arctg
) ay ab
Va+Vbx
V a—Vkx
isle Г _ ** ^* i L
J/*(a—toJ a(a—bx) ~T2aV~c
1S.17.J * =
= 2 ТЛзё Bот —3)» Г
~" a (a + to) ^ a J
,„ .o Г dx 2 2/"й ,
15.18. I —— = —: Ц^ arctg
J xVx(a + bx) aVx аУ а
15.19. j^* =--^+^1 -1^+^
(^±-te)- (Ш- 15-5)'
15'20' J x / x (a + toJ a2 (a + to) /
dx V~x . 1
Va-Vbx
2a + 3to 3,/I , i/^to
.M..J
J */x(a-6xJ «(a—И 2а Vab
— In
/a—Vbx
15.22.
dx
л 2 (a + bx)m
Bn — 3) ax"-1 (a ± bx)m-1
_ Bm+ 2n —5N f dx
Bn —3)a
2(a + i

40
II. ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
Г
J V
ТАБЛИЦА 16
ИНТЕГРАЛЫ ВИДА
x . п = 0, 1, 2, ...
' m = l, 3, 5, ..
16.1.
) Va + bx Ь
+bx.
16
.2. j
Г dx
J Va + bx
,64 Г
J
xdx
1-2 V «—
Г
J
4 [m-2J
, .,1
^ J
16.6.
W.7.
г* I з т
b> I 5 3
Ro + ta)..^ I
L 3 J
(a+x)
Г (о + йл:J 2Xa + fo) аг 1
-2 L m — 6 + пг—4 OT-2J
16.8. f-
J Уа
I6.9.
f
J
й4 L 7 5 J
lb.lU. \ —
J V(a
+bx)
Г (a +
¦
г
За2 (а + Ьх) а'
т_б т—4
Г
У(а+Ьх)т bn

ТАБЛИЦА 16
41
16.12. j.
dx
' in rrzn~ r " при а>0;
у а у a + bx + Y a
2 . Ya + bx
arctg ' ¦ при а<0.
.18. Г * = _
J xY(a + bx)' aYa
14. Г
J
16
16.14.
(см. 16.12).
(m—2)а
16.15.
16.16.
b [ dx
(cm- 16Л2)-
1.
dx
a—3b 3b С dx
bi 2a2 J x Ya + b~x
16.17.
dx
16.18.
,6.19.
16.20.
Г dx ,
J x3 Ya+bx
— 1 mbf*
а + Ьх)т~г 2a J
xY(a+bx)
(см. 16.14).
Bя-3)Ь Г dx
A—
Г
J x"
dx
mb Г dx
—2
(m—2)bxnY\a + bx)m'2
2n

42
It. ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
ТАБЛИЦА 17
ИНТЕГРАЛЫ ВИДА
dx;
я = 0, 1, 2,
m=l, 3, 5,
«л.
17.3.
,,4.
17.5. f хгУ a-\rbxdx
17.6. \
___2_ Г/(а + &хO 2а
~ б3 [ 7
17.7.
17.8.
2a
,
b' [ m + 6
m+4
m+2
~64 [9
17.9. f хг V{a + bx)'dx =
_2f(a+bx)s Ua + bx)'
~ 64 [ 11 9
3J
Ьх)аг аП
7 5J
а . Ъ(а-\-Ьх)аг а1
h 4+m 2 + m
17.11. f x" V(a-\-bx)m dx=
г —2v+m+2

ТАБЛИЦА 17
43
a In
a+bx—V a
У —а
arctg
—т
y
при а>0;
при а<0.
(см. 16.12).
17.14.
17..5. j:
m —a
2
m-i
, 2
(m—2v)
. 17.12).
a + bx
17.16.
д; У a -+- Ьд;
(см. 16.12).
ax
J
(cm. 17.14).
¦dx =
4ax2
17.18.
+1 , (m-2)&
I
4a 1 xz
-dx.
17.19. Г Va + bX
J x"
dx-
E—2nN
(я— \)ахп-1^ 2(я—1
2(л-1)а
Гу(а+&д;)
J ^^

44
II. ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
ТАБЛИЦА 18
ИНТЕГРАЛЫ ВИДА
С V (a+bx)±n(c+fx)±mdx;
а] — Ьсф U, m=1 3 5
18.1.
18
приЬ/<0;
J V(a+bx) (c+fx)
у bf
^ 2 f
Y(a+bx) (c+fx)" д "
dx - 2Г1
5 A L3
(а+Ьх)+ъУЩх\
при 6/>0.
2 Г
J Y(a
««а Г
184 С rfj; - 2 Г l/
' ' Jy(a + b*i(c + /x)" (m-2)A[ V
,8.5. f
J
°+&x
при 6/<0;
(c+ /»)__A_ ,„ , л
при 6/>0.
(cm. 18.5).
з/

ТАБЛИЦА 18
45
Г Гia + bx)n ,
8.8. J у Чт7Г*^
п\
(я +
.
2_
Г,/ а + 6* ,
8.9- J У G+^Л-
±
c+
^ -1 f
fx /J
(см. 18.1).
18.10.
!8Л1# J У (°+/x
(a + bx)(c+ fx)
A Г d*
j
(m-3)fj /(а + Ьл;)
(m^3) (см. 18.4).
18.12.
. Д2 , af+bc + 2bfx t. n
H nrrsin ' ' — . ¦ при bf<0;
of + be + 2bfx лГ. .... , . .
4&J У (а + И (с + dx) —
щ Vbf
= In \Ybf (a + bx
bf
при 6/>0..
18.13.
18.14.
• ¦»¦')¦
+

46
И. ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
С x"dx
J V(a' + bV)m'
ТАБЛИЦА 19
ИНТЕГРАЛЫ ВИДА
a>0, я = 0, 1, 2, ....
b>0, m=\, 3, 5, ...
19Л-
19.2.
193
19.5.
Г ,
J ]/(a
Г
J yV
dx
&V
J y
Г t
J y"a
2v +1) У (а*
19.6. f
J
19.7.
19.8.
19.9.
J /(a
(m—
10 Г x'dj; =
19.11. Г-^=
J V(a2
^ >€

Таблица 19
47
1913-
J vw
хЫх
-+¦
x'dx
б4 /а2—ЪНг '
1
+
а*
(т—2) Ь* У(аг
За1
,9 16
,..,7.
Г
Ь*
За"
.,7. Г J^^,= -
J У (a2 + 6V)s
~ 7 (I)VCV
19.18.
,9.19.
19.20.
Г x4dA: ¦=—!— у
J У(о2+6гл:2)т °т ^
I)VCV _ Ь
tkdt
{т ^ 7).
= , где г = х2 (см. 16.11).
x*kdx
m ~ zk — 3
,9.2,.
Jy(a2+bV)M (m_
п—\ Г
71 — 2) б2 J :

48
Н. ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
ТАБЛИЦА 20
ИНТЕГРАЛЫ ВИДА
_dx а>0, л=1, 2, 3, ..
a2 + b2xz)m' b>0, m=l, 3, 5, ..
20.1.
20.2.
¦.= —-In
'х2
С
J
dx
bx
==¦ = In
Ьх
20.3.
.3. Г , * -
J хУ(аг + Ь2х*)т
^ (m — 2v)a2Vl/(a2 + 62
1 ,
Ьх
20.4.
20.5.
20.6.
20.7.
20.8.
20.9.
20.10.
20.11.
Г dx
J х2У(а2 +
Г f
1?
¦2+b2x2
dx
Bv-
v — и
V+6**2 . ьг ,
Ьх
¦ .]_ ZZ-
У(а2 + Ь2х2)' 2а*х2Уа2 + Ь2х2 2а5
1
J х*У(а
4 f
(m-2N2J
2b2x2 —a" ,r-
dx
Xs У (а2 + 6V)"
Ьх
(т ^ 3).
*Уа2+Ь2х2 а\
8&4х4+4а262х2—а4

ТАБЛИЦА 20
49
,.12. j
20.12.
dx
2 i i \v / „ \ 8V— 8
г< (-1) cv b2V f x V
L2v—3u^+i \Yaz + b!x4
—— ft о *
3b4.
20.14.
14. I
J
15bV+5a2b8x2 —2a4
. = =
x* /(a2 + b2x2K 8а6л;4 /a2 + ft2
15b4
20.15.
15. Г
J
(«2)bV/(a + bV)
(m—2)b2 J ^у>(а2+62х2)И-2
20.16. J^yJ
20.17.
17 Г Jlx___ = 1 Г _
J xe/(a2+b2x2)8 a'I
20.18.
Г dx
2v — ?
20.19.
f——
1
(m—2) b2x"+1
n+1 Гdx
J

50
И. ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
ТАБЛИЦА 21
ИНТЕГРАЛЫ ВИДА
, л = 0, 1, 2,
21.1. ^ У a* + b*x* dx=Xyra* + b*X* + ^\n \bx + Y^+b& \.
21.2.
Ьа*х -f- 2Ь"хг -/¦¦, . ., , . За4
21.3. f/(a2
21.4.
21.5. [x*Ya
21.6.
21.7.
21.8.
21.9.
21.10.
(см-21-з)-

ТАБЛИЦА 21
51
tl.18.
(fa-
2114 ('/(а'
.15. f tZ
21
21.16.
2а2.
хг
21.19. ГУУ+У*1)' л =
J At3
2b2 x'—a*.
~~ 2х?
21.20. j}^
_
Ьх
= —-^ У а2 + Ь'хг — a' In
Ьх
ЗЬа2
?х У(а*
(см.21.4).
Ь2
Ьх
ЪагЬгхг
21.21.
r^^
l/(a2t«-
¦ dx.

52
II. ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
Г xndx _
J У(а*-Ьгх>)'"''
ТАБЛИЦА 22
ИНТЕГРАЛЫ ВИДА
а>0, л = 0, 1, 2, ....
6>0, т=\, 3, 5, ...
22.1.
22.2.
22 3.
22.4.
22.5.
22.6.
22.7.
22.8.
С dx 1 . bx
\ -=—-arcsin —
Г dx x_
f___?___=_J?^
Г dx \ у
J У(аг — Ьгх2)т °m ' LJa Bv+ :
Г xdx _ У(Р — Ь>х*
}
Г xz dx
хУаг—62x2 , a" . bx
h ^u arcsin —.
2bz 2Ь8 а
Г л? Л х 1 Ьх
I л' = —г= arcsin —
х2 rf*
Г Xs dx S
22.11. -==== = —
j у и о x
ЗЬ4

ТАБЛИЦА 22 53
xs dx 2as
22.12.
— б2*2K Ь*у'а2—Ь2х2'
Г xzdx 1
22.13. , 2 = = . г a Tl^i
п
+
2-14-J /^ZI
(m — 2N
______ lA-r-^r-2 3a" . bx
^ W Va*-b*x* +
bx
x*dx
x , x" .1.6*
¦ ¦¦ ¦ — -\ ... --L.— arcsin
аг — Ь2х* 3b2 V(a2 — b'x2)' b% -
М7 Г__??
' ' J V(a2-t
-18-j 7^^=-
22
Г x2;'+1dA; 1 Г tkdt
(см. 16.11).
j \ \а- — у л ^ - j с и(~ — irt)"
Г r2kdx
22.20.
У(а2-ЬЪ
-¦у,
V = 0
dx
Г Xnc
22.21. I ¦ ,
J /(a2-
) (m—2N2y (a2 —
j2 \

54
Н. ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
Х" у{аг_
ТАБЛИЦА 23
ИНТЕГРАЛЫ ВИДА
dx a>0, /1 = 0, 1, 2, ....
„ 1 О С
23
23.2.
Г dx 1
J х /а2 —62х2 ~ а "
6х
1 --U
23
х /(а2 — б2*2)' а2 /а2 — б2*2 а
г,
,3. Г / d* -
%) л Г V** и л /
2 —б2*2
г—2v) а2
1 ,
(ОТ^З).
23
23
.4. Г f =_L?
игчхгч-%
dx
dx
а«
Ьх
23.8.
23
« Г dx 3&2хг-а2 362
J x8 У(аг-Ь'х^Г = 2^хг /5^W2~2
.9. Г__^_
Ьх
(от—2)Ь2х4/(а2—bV
4 Гdx
J
23.10. Г-
- 3a4xs ' а ~ & л

Таблица 23
55
Г
23.П. J
dx
Ь*х
i
23.12. J xl y{a,_pf)m am + ,y-
]
Зх' J
Зл:8
m-f 1
-Ьгх2
23.13. 1
23.14.
2 — Ь2л:2 3ft2 У а2 — Ь"х2
Xs Уаг—Ь*х2'
8 а4л;2
364,
8а5
562
23.15. j
dx
2>:4 У a2 - 62л:2 8а4л:2 /а2 -
1564 15b4,
8a'Va2 — b2x2 8a7
1
а2 —&V|
Xs V{a2 — b2x2)'" im—
6
dx
23Л6. Г ^ =_
}х'Уа2-Ь2х2 "'
23.17.
17. f ,Л
J xnyia2 —
3x'
1
+
/(a2 —
i J-
Ь2хг)
(m-2) б2
dx
-г (« ^ 3).

56
II. ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
ТАБЛИЦА 24
ИНТЕГРАЛЫ ВИДА
)х У {а Ьх) dX< 6>0, т=1, 3, 5, ...
24.1.
n, „ Г -,/-,—?—ГГ-5Г5 j 5а2л;—262^* ,/•-=—гтг-? , За* , 6^
24.2. \ у (a2 — 6V)' dx= 5 ¦ у а2—62х2+ 5^- arcsin —.
J о CD п
24.3.
.3. Г V(ai — b1xi)"> dx = —^-r /(a2 — fcsjc!)'»
J m+1
24.4.
24.5. U У(а>-ЬУ
J
24.6. С хг Va*- bV dx = 2&^~j; Va«-&V + o^ arcsin -.
J 86 86' a
24.7.
j
a2* /(a!-6V)s , а4л: /а2 — 62х2 , а9 .6л:
^ + Ш +ТШ5тТ-
62
dx (см. 24.3).
2m.
24..0.
24.H.
66
а"хУаг — b'x2 , a' . bx
166- +l6arCSln
(я—
\хп-г -\f(al — b хг\т
dx

ТАБЛИЦА 24
57
24.12.
- dx = V a2 — Ь2*2—a In
bx
h*J**=*2:<,-
/a2 — 6V— a'In
bx
24.14.
24.15.
24.16.
m ' '
dx=— -
6 arcsin —
24.17.
17. Г ^-W)'u-,, f У(аа
-их —
(см. 24.3).
24.18.
№¦
2л;2
bx
24.19. Г/(а2-
Ьл:
24.20. L?.
3aV
24.22. f^a3~&
Зх3
. ,. , bx
\- b 'arcsin —.
х ' а
J *"~2
¦dx (га&З),

58
И. ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
ТАБЛИЦА 25
ИНТЕГРАЛЫ ВИДА
J-
: «I?: i: §:::
25.1.
25.2.
j-
dx
x2—аг\.
С dx _( — 1) 8 у
25.3. Г , *** =
J /(i)?-a!)ffl (m—
FV —a2
(m 3s 3).
25,4.
25.5.
2N* 1^FV — a2)"
- a2 .a2
—o2)" 62
x'dx _(-!)
*2 —a2
| bX
f л:2^л:
25'6- J У{Ь>х'-а>Г =
25.7.
25.8.
25.9.
25.10.
25.11.
" 3 v=o Bv + 3)/(bV—a2Jv+
Г xndx =<»-'/fa»-g'_n-l Г „.
|* x" dx s"~'
J /(i^-a2)"" (m—2) б2 У"F2х2—аг)т
dx 1
— arccos
—<* a
dx
1 1
г arccos
—a2K a2 /6V-a2 aJ
"¦J;
M- 1
2
z—2v) a2"
m— l
arccos

ТАБЛИЦА 25
59
.„f
25
25.13.
dx
УЬгл*-а2
j^yW^-a2" a2*
dx
1 ГУ&2а2—a2 , xb*
- j-
25.14.
(-1)
25.15.
«4. Г / dx
J х2Упгхг—a2]
J хп У(b'x2—a')"' (m—2) fcV+
Д+1 Г
(m-2N2J xn,
xb* I
'62л:2—a2j"
2 2
Bv—1
1
25.16.
25.17.
26V—
За*
25.18. f У (b'x2—a*
4-т
m-\-1
-a2)m ^- Г
—аг)т-гdx.
25.19.
25.20.
25
-1
z—a2 — a arccos
' arccos
25.22.
25.23.

60 II. ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
26.1.
С
J
Г
J
ТАБЛИЦА 26
ИНТЕГРАЛЫ ВИДА
n = 0, 1, 2, ... ,
' т=\, 3, 5, ...
In \2ax + b + 2 Y^Yax2 + bx+c\
i
I при a>0, b2 # 4ac;
o
26.2. Г г dx -=J _l_ln|2auc + b| при
1 . 2ax+b
arcsin
26.3. Г-—
J Y(a>
/ y2—4ac
( при a<0, 62>4ac.
Y(ax2+bx+cK
26.4. Г 2dx
, 8a
3 Dac—Ь2) Уа^ + бх+с \ Yax2 + bx-\-c Aac — b2
26.5. f
f
J
(ax2 + bx+c)m (m-2)(Aac—b2)Y(a
, 4(m-3)
-b2)J Y{a
26.6. ' Xdx
_ » Г ^ (CM. 26.2).
a 2aJ Yax2 + b + c
С xdx 2bx +
J Y (ax' + bx + c)'~ (Aac—b2) /а
26.8. Г ^=
V la
У (ах2 + Ьх-\-с)т (т—2)аУ(ах2-]-Ьх
-1 f v dX (см. 26.5).
2a J Y(a" + b+)m

ТАБЛИЦА 26
61
26.9.
J Vax'+b
+bx+c
. ЗЬ*—4ас Г dx , „...
Н 5~5 1 (СМ. 26.2).
«¦¦ю-
J Vax
56s —
26.11.
11. f X"dX -if
J У (ах2-\-Ьх+с)т a J
f,
(ах2-\-Ьх+с)т a J У(ахг + Ьх+с)т~2
__с_ Г х"~Чх Ь С x"-'dx
) V а ) V (ах*+Ьх+с)т'
с_ Г
а )
26.12.
bx+2e+2Vc
1
. arcsin
26.13.
J;
dx
Vb2—4ac
при о0, Ьг Ф 4ас;
при о 0, 62 = 4ас;
при с<0, 62>4ал
(т—2)сУ(ах2-\-Ьх + с)
26.14.
14. [
J
dX
J_ Г ^ ^_ Г
0 ) х. У~(ах* + Ьх + с)т-* 2с J
dx
Vax2 + bx+c b
dx
(см. 26.5).
г (CM- 26-12>-
26.15.
15. Г
J
х"У(а
{2n+m—4)b
m—4)b С
— l)c J x"'1
dx
(л—1
**

62
II. ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
ТАБЛИЦА 27
ИНТЕГРАЛЫ ВИДА
" = ?' \' \
ТП = 1, |), О, ...
27.1.
x*+px+q+2x+p\.
27.2.
2ax+b
4a
oay a
Yaxz+bx-\-c
при а>0, b' # 4ac;
при a>0, 62 = 4ac;
.,/¦ ¦ , , , . Ьг—4ac .
у ax*+bx+c-\ ;:= arcsin
8a/ —a /
при a<0,
27.3.
4(m+
27.4. \ x Yax-
27.5. С
(см. 27.2).
агаС j* УД^ + bx+ сdx (см. 27.2).

ТАБЛИЦА 27 63
27.6. С хг Vax2+bx+cdx = — 76'^^2fcc Г
48аV—42abx+35fr'—32ас,/-. ,
5 У(ол2
, 48аV—42abx+35fr—32ас,/-. , , , , ,? , о, о.
Н 24о5 У(ол2 + 6л+с)» (см. 27.2).
«л. ^
27.8.
2 J yax2-\-bx+c J
(см- 26.2 и 26.12).
yax2-\-bx+c J xVax'+bx+c
27.9. j Т^ +fa + O" <fa_ j, /(flJc2+ fa+e).+
|/ |!^?1+^+с)И^ (см. 27.3).
Vax* + bx+c
ax
_ ax
-J- f , dX = + a Г / ^^ (см. 26.12 и 26.2).
2 J x Vax*+bx+c J /алг + 6х+о ;
27 12
8c J x У
f
J
(см. 26.12).
2(/г-1)с J
ГУга
J
(n-l)c J

64
II. ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
28.1.
ТАБЛИЦА 28
ИНТЕГРАЛЫ ВИДА
(A + Bx)dx
; r= — 1, 1, 3.
dx
1
2 у с—
In
6—
с—Ьр+арг
2У"с—Ьр-\-арг
In
х+р
Ь—2ар
arcsin
(Ь—2ар)х—
— Аас
УЬр—с—арг
{ (b-2ap)(x + p)
28.2. Г dx
при bp<c+ap'\
при Ьр>с-\-ар* и Ьг>4ас;
при Ьр = с-\-арг.
1 Г
~с-6р + ар2)
b—2ap Г dx
~ 2 J y(-5F+^
28.3.
i,
(x+p)
(см. 26.2, 26.3 и 28.1).
2—4ay L J
dx
(см. 28.1),
где
—?
± 1 при Р2>4а-у.

ТАБЛИЦА 28
65
28.4.
dx
{ах* + у) Vox*+с"
1
Yya—uc
1
In
Vy Уа
Yy Yax2+c—xYya—ai
при уаххс,
arctg % "f~^L при Ya<06c, y>0.
».
dx
при рг< 1;
при рг> 1,
где Ус—арг — bpi =
Ь
lye—арг—bpi
28.6. f
J
x+p)(x+q)Yax*
_A—pB Г dx
~ Я—Р J (x + p)Yax*
A-qB Гdx
-qB Г
-q J {x
.7. Г ^ + »* + '..---Г
J ^ + P J
|
+ (b-ap)
[
J (х
(х+р)Уахг+Ьх+с
(см. 26.6, 26.2 и 28.1).
28.8. f f r* +
—P

III. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ
И ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
ТАБЛИЦА 29
ИНТЕГРАЛЫ ВИДА
„га ~snm „у jy. /1=0, 1, 2, ..,,
х sin рхйх, m=1> 2, 3, ...
29.1. \siapxdx= cosp*.
J "
С , , x sin2p*
29.2. j sin2 px dx=-g- -ф-
С , я , COs'p* COSDX
29.3. \ sin8 pxdx= —^ -^-.
J °Р Р
29.4.
С I X
29.5. хх sin px dx=—j sin px cos px.
J P P
„QR . .._,_,_...,„ •- *sin2px cos2p*
—.... з
29.
9.7. j
29.8.
J
~ fsin nr—mot cos D^l-4-'-
m
= , , [sin px—mpx cos px]-] \ Jcsinm"i!pxibr.
m?n* *¦ ' fit \
29.9. r*4inp*d, = 2~^9
J P r
С , , xl 2pV—1 . n
29.10. \x'sia'pxdx= — F , sin2px:

ТАБЛИЦА 29 67
С х sin*"' px
29.11. V л^ sin px dx = 8 8 [2 sin px—mpx cos px] +
- Г x2 sin ~*pxdx j-j f sin pxdx (см. 29.4).
«„ f » • ^ 3pV—6 . , 6x—p!x»
29.12. \ x* sin pxdx =——i sinpx-j ?—cospx.
29.13. \ x* sm8 px dx=-=- H 5-f— sin 2px , g . cos 2px.
J 8 8p* 16p4
Г x* sin"*1 px
29.14. \ x'sinmpxdx= г t [3 sin px — отрх cos px] +
m i о 6 f*
A \ x'sin™ pxdx =—, \ x sin™ pxdx (см. 29.8).
от J r /n2p*J ^ '
29.15. \ x*sinpxdx =
JL DpV—24x) sin px—\ (p?- 12р2х'+24) cospx.
29.16.
J
x" . nx"-1 . n(rt—1) Г __. .
= cos рхЧ =— sin px i—*—- \ x" ! sin px dx.
P P* P J
о
29.
9.17. Cpn(x)sin
p.
= — cos px V* ., P^2v^(x) + sin px
v = o
где E, = " и ?2 = -k- при п четном;
„ n—1 „ rt+1
?, = —„— и ?2 = —s— ПРИ п нечетном.
С х"~* sin m~1 ox
.18. \ xn sin" px dx = =-=—— (n sin px — mpx cos px) +
J "Л*
¦\-^~ С x" sin-» px dx-n(m~}] f x" sin™ px dx.

68
III. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
Р sin1" рх
J х" ' J sinmpx
ТАБЛИЦА 30
ИНТЕГРАЛЫ ВИДА
С x"dx
С x"sinr
' J (a+6 sin
X
-\-b sin ~хУ
п = 0, 1, 2 m=l, 2, 3 r = 0, 1.
30.1.* \ -— rfx = x-^T + ^-f7? + -..+ ,\ '„
X О*о! О'О! I'll \?4il — 1) l^i
л „ „,
30.2.*
30.3.
P™
___JL_s + ?_1
где t-
(см.
px
33.2).
. _ sin1""' px [(n—2) sin px -f mpx cos px]
(n-l)(n-2)*»-»
P sin" pxrfx m(m—\)p*
)J "-2 +(l)B)
|.4. \ -г^- = 1п
J sin л:
30,
30.5.
30.6. С
30.7.
1-cos*
cosx 1
+2"
COspA:
m—2
f-^
sinmpx (m— \)psmm~lpx^ m— 1 J sinmpA:
7x5 . 31x7 , 127л:9 .
п я * С x<*x _ x"
' J iinl~'l: + 3.3!
3-5-9!
B/1+1)!
30.9. D-^-=— xctg*+ln|sin*|.
J sin2 x & i i i
30.10.*
sin*
30,
1.11. Г *-X AtCOSpX
л. 30.8).
1
(m—l)sinm~'px (m— 1) (m—2) p sin"
. m—2 Г

ТАБЛИЦА 30
69
30.12.
x"dx _
sin px
= -{m-l)im-2)l4in^px[nS'mpX+{m-2)PXCOSpX] +
m—2 С x"dx n(n— 1} С xn~2dx
~> m — 1 J sin — +
30.13.
J l + sinx~
30.14.
a -f- 6 sin д;
px (m — 1) (m—5
, x
2 , atgT"
rarctg -r——
при a*>b*;
:ln
г —az
atg ^--\-b — Ybz — ai
2 —a2
при аг<Ьг.
30.15.
30.16.
30.17.
30.18.
30.19.
30.20.
30.21.
30.22.
Г
J
~"" tg 1T~2"J"~" g \A~~2j-
6 cos л:
isinxJ (a2 — b2) (a + &sinx)^a2 — b* J a + 6sinx
(a2 ^ ft2) (см. 30.14).
x dx —
cos I n — x
sin lT+"
С sin x dx _
J 1+sinx"
я x
Т+2"У
dx
P sinxdx x a Г ^л ,,,,,>, ™ . .ч
\ , ь .— =-r-—r- \ ——г-г— (аг Ф b") (cm. 30.14).
Ja + ftsinx b &Ja-f6sinx '
Г sinxdx 1 . { n — x\ , I . . f л —x'
J (l + sinxJ=:~T tg(T+"J+T g "~+^
2 '
sin x dx
-\-b sinxJ
a cosx
>
_А_Г_
sin x
(a2 фЬг) (см. 30.14).

70
III. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
ТАБЛИЦА 31
ИНТЕГРАЛЫ ВИДА
R (sin px, sin qx, Уаг±Ъг sin'x) dx.
„. . С . . , sin (о—р) х sin
31.1 \mpxmqxdXm.-^L-El ^
31.2. С sin px sin" * rfs= -Si"" * C0S p* + ?¦ <\sinn-1xcos(p-l)xdx+
?- Г sin" x cos (p+1) x dx (см. 35.8).
Г si
1 -
J ya*
Г sin x dx 1 b cos x
31.3. 1 - =—- arrsin .
J y*** b Уаг-\-Ь*
31.4. Г sin:yrf:y -=_i.|n|
J/a2_62sin2x &
31.5. f sin x /a8 + 6* sin2 x dx =
cos лс,/—
31.6. \ sin л/a2 — 62
ll_arcsin-7===.
26 ya2+62
31.7.
J
%\nnxdx
tk
l
C0S
in
In
. ["(v — ft) л . xl
8Ш l2l2ft+T) + -2 j
318
J sin 2kx
i n* I
2ft
[in cos x + ?(-1/cos2'g In (cos2 x-sin2 U) 1 .

ТАБЛИЦА 31
71
+?<-»>'
,„
-±) ,g
31.10.
31.11.
J sin8 x
to
№dx
J sin* x
Si" 2X dX
—
" —. •
sin *
31.15.
Г
J
J
4
2
1
Г sin" x
1-17- J iE
/n~i At
' Где tz=sinx
(cM>
31.18. f ^
J sin*
81.1».
cos *.
31.20.
0 sin 3*
J sina x
=— 3ctg*—4*.
если k четное,
( k
Ч Li
l k-\-1 ,
I —^— , если k нечетное.

72 III. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
ТАБЛИЦА 32
ИНТЕГРАЛЫ ВИДА
$ *»«м-™1 f 3
32.1. \ cos px dx = — sin px.
„„ „
32.2.
, sin 2px
32.3. ^ cos'pxdx--= —sin px—S-
32.4.
P 1 л;
32.5. \ * cos px dx=-5 cos p* --(— sin p*.
P , . x' , xsia 2px , cos 2px
32.6. j*cos2p*rf* = + / +
32.7.
32.8. \ x zobm pxdx =
cos"*"" * x tn 1 f*
= j-y— [cosp* + pm*stop*]-| \ *cosmp*d*.
„„ „ f , , 2*cosp* , ргхг—2 .
32.9. \ *' cos p* dx = ——¦)- j— sin px,
82.10. J*2cos2p*d*=,4+^|flisin2p* + ?^.
л _^ cos"*"" * px
32.11. \ *z cos p* dx = ——a 2 [2 cos p* + mpx sin p*] +
d f x2 cos p* d* — ^ С cosm p* d* (см. 32.4).
32.12. \ x5cospx dx = ^~—j—cospx+-^- 3—sinpx.
2 6
—j

ТАБЛИЦА 32 73
32.13. J x' cos2 px dx = j+2pV8~ZX sin 2рх+Щ^- cos 2p*.
f* X^ COS*" *~ * PX
32.14. \ л' cos px dx — г г [3 cos px + mpx sin px] +
+fLzi Г x, cosm-ipXdx %-2 С x cos px dx (cm. 32.8).
32.15. \ xlcospx Ax —
= J. (ip2xs—24x) cos p*+-^ji (P4*4— 12pV + 24) sinp^.
32.16. T«4cos2pA:dx =
л;5 2р4л;4— 6pV + 3 , _ , 2pV —Зя:
f* X^ COS^ ~ * OX
32.17. h4 cosm px dx = m2 г н D cos px + mpx sin px) +
+ ^zd (Vcos1"pxdx ^-, С Дсгcos-»рл:dx (см. 32.12).
m J /n p J
32.18. f x"cospx dx =
= i! sin рх + Н!_^ cos p^_5il=l) Г *»-« cos px djc.
32.19. f Pn(x)cospxdx =
= sinpx|^ tz^P^w + cospxj; bjflpf,»-) (x),
V=0 V=l
где ?,=-^- и E2=7j- при п четном;
,, n — 1 „ п+1
?,= —д— и ?2 = —^— при п нечетном.
f* Xя COS"* PX
,20. \ x™ cosm px dx = ^-j—i— (« cos px + mpx sin px) +
J /71 P
_|_^llli Г X" cos"»-2 px rfx— " ("~ ^ Г x"'2 cosm px dx.

74
III. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИЙ
Г cos" px Г
J хп ' }
ТАБЛИЦА 33
ИНТЕГРАЛЫ ВИДА
x"dx Г x"cosrx
cosmpx' )
'
i = l, 2, 3 n = 0, 1, 2, ..., r = 0, 1.
,,, j
33-2-
о-,
66
COS X ; _ Xs X* Xе X8
—— dx — In x—272j + 4T4I ~ 6^6! + 8^8!
cospx
•3- in?
m'p2 P cosm pxdx m(m— l)p2 Г (
"~(rt —l)(n—2) J x"~* +(n—l)(n —2) J '
(cm.30.2).
px , cos1" px [(w —2) cos px—mpx sin px]
"~ (n-l)(n-2)xm-'
cosm pxdx m(m— l)p2 Г cosm~2 px dx
33.4.
33.5.
33.6. Г
sinx
С
3-7' J
J cos3 x 2cos2x 2
dx sinpx
mi
dx
Cxdx Xs x4 5x6 61x8 ? x2fI+z
-8'* Jc^il = "r + 43!+6lJ + 8^6! + --- + B« + 2)B«
33J
33.9.
COS
3 jo • \
Г
J
xdx xsinx 1 , 1 Г xdx
- = = ( \
cos'x 2cossx 2cosx
xdx -LsinPx
1 Г
-г- \
2J
cosx
(cm. 33.8).
' ' J cosm px p (m —
1
m—2
(m — 1) (m—2) p2 cos"" px "*" m— 1

ТАБЛИЦА 33
75
ЗЗЛ2-
x"dx
=т— I ncospx— (m—2)pxsinpx
—-—,
(m —l)(m—2)p2cosm
m-2 Г *"d* , n(w-l) ? xn-'dx
i
-2 Г *"d
сов«-«р*
33.13.
33.14.
J l±
dx
a-\-b cos x'
¦»¦ h
33
33.16.
33
1
dx 1 ,
In
F-a)tgy-V62-a2
. 1 x » X
при a2 > 6*;
при a1 < b\
I -j- cos xf
dx
*17' J
dx
b sin
(a + b cos *)*"" (P^a1)"^ + fc cos x)
&2-a2J a
33.18. [¦
J
(см. 33.14).
cos |f +l±-±
33.21. f
cos x dx
A +cosxJ =
„„ „„ f* cos x dx asinx b С
• • \ / „ i t. \9 ~~~ / _9 (li / _. i t. ._\ 2 LS \
J (a + 6 cos xJ= (a2—bl) (a + b cos x)
dx
a-\-bcosx
) (см. 33.14)

76
III. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
ТАБЛИЦА 34
ИНТЕГРАЛЫ ВИДА
\ R (cos px, cos qx, У а2 + Ъг sin2 x) dx.
34.1.
x . sin(p — q) x
34.2. f cos /« cos" z^ = ^
|- Г cos" x cos (p-1) xdx
—^ \ cos"~1xc
34
34
34
Г cosxdx 1 6 s
34.3. \ —====-=-r arcsin ——
J /a2 + b2 cos2 x о Ya
'*' J 1Ла»С-Уго8'^=Т '" ' Ь Si" X"
.5. \ cos дс y'a2 + b'- cos2 л: йл: =
.6. \ cos х у а2
J
sin л: ,r ,
= —г—У a2
2
^—arcsin=
arcsin
-62 cos2 A'
ln ' & sin
34.7.
Л+1]
34.8.
34.Ю.
cos 2x
cos3 л 2 cos:
sin л: L^_
я дс

ТАБЛИЦА 34
77
, P cos 2a; . sin л; п С dx
ши J ^I^d* = -(n-l)cos"-'*+7^,3 35?^
(cm. 33.7).
34.12.
34.13.
34.14.
34.15.
34.16.
34.17.
34.18.
34.19.
34.20.
f COS X , 1 .
I j- dx= —т= In
J cos2a; 2/2
cos2A;rfA;_ x 1_ .
cos 2a; "" 2 4
1 —ysinx
1-tg*
cos'
cos 2x
1— /2 si
I
p cos"a; a _J_ P „_2 . J_ P
J "cb?27to~2"JCOS x"+2j
f* cos 3a; . . o
\ dA;=sin2A;—x.
J cos a;
Sin At
1 + V 2 sin x
1 Pcos"
\
j;—
cos 2x
dx
(rt3=2) (см. 32 4).
cos
J cos3^
P cos 3a;
J cos™ x
. P dx p с(л: , „
\ —й=» 3 \ —j^rr- (cm. 33.7).
J cos" * a; j cos" '):
где ? =
-д-. если k четное;
\k—\
34.21.
P cos л:
УЗ,
=—ln
, если й нечетное.
^+T2JS'nU—12 j
-12
5я
34.22. \ -^dr=± In
cos 3a- 4
а; я \ . / a; . 5я
^+T2 Sm T+T2
sin ( |-
-T2-J S 2-T2J

78 III. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
ТАБЛИЦА 35
ИНТЕГРАЛЫ ВИДА
sin1 m px cos±n qx dx; J^Z. j A \ " •
f* sin* jc
35.1. \ sin x cos л d* =—=—.
J ^
35.2. \
J
cos"+1*
35
n+1 '
sinm+1 x
• d* \ Sit! л v.uo л ь*л — ;—:— *
35.4. \ sin*.
J в \ 4 у
o_ _ f . , . , sin' x cos* x , 2
35.5. \ sin* д; cos' xdx — = |-т^
J 5 lo
35.6. \ smm xto%nxdx =
5.6. С sinm
35.7. \ sin px cos" x dx =
sin^+'^cos" lx , n —J С . m „_. .
= ¦ ¦— \ sin^^cos" *xdx.
m-\-n ' m-J-rt J
cos" 1xsm(p — l) xdx.
35.8. \ sinm л; cos 9^ d* =
л
(см. 31.2).
35-9- IiinTcW=ln|t^l-
35.П. J_^^=(__IIli__, ^ d^

ТАБЛИЦА 35 79
г» dx1
35<1 • J sinm*cos"*~(n —
m + n— 2f dx
W_l J Sin™ ^ COS"
! ,
(m—^sin™-'xcos" 2*
, m+w—2 Г» dx
+ m
w—2 Г» d
—1 J smm-2
35.14.
35.15.
35
.16. f
cos*
sin 3* . , 1
= dx 4 cos*.
cos2 x cos x
35.17. \—r- dx = — ъ—= 4 In cos*.
J cos» x 2 cos2 x ' '
35.19.
35.20. r^21^dx = — ctgx—2x.
J sin2* s
35.21. {^
J sin*
35.22.
^^ 4sin*.
sin2 * sm *
35.23. Г cos3? d _ 1_^ 4 j | j |
J sin' * ч 2 sm2 * ' '
„, OiI f cos3* ,
35'24- J iiH^^==(
35.25.
35.26. [^dx = _2^J^=^dx+^^-2)x
J sin™ * J sin" ' * J smm *
J cos"^ J cos" '* J cos"*

80
III. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
ТАБЛИЦА 36
ИНТЕГРАЛЫ ВИДА
\ R (sin *, cos *) dx.
36.1. С unxdx =_ 1 in|fl+6eosjt|.
J a + bcosx b
P sin x dx
J
36.2.
36.3. \ ^i^i = ]п I,' -J- —
J cos *(l+cos*) I cos*
sin * d* 1
36
36
36
36
36
36
36
•4
•5- IlJ+6
sin x dx
a$ — 6a
In
-1.
+ b cos *
cos * d* 1
(aP—аб ^ 0).
= _?ln|a+frcos*| + «ja + fcosje
(см. 33.14).
+ 6 sin*
cos л; d*
: =-;- In a+6 Sin*
in* 6
.10. f.
J si
cos * dx
sin * A + sin *
cos * dx
• = ln
sin *
1+sin*
1
36.11.
36.12.
sin*(l±cos*) 2(l+cos*)x2
cos * dx 1
(a-\-b sin*) (a+Psin*) op —6a
In
*

i sin*
a + b sin *
b
I,
v '

ТАБЛИЦА 36
31
36.1
36.1
dx
J
sin лт A +cos>;)
dx
1 | ',
• 2(l+cosx)~ 2
1 . 1 ,
f dx 1__
36.16. * " лл" " ¦ **":- - — -'—jrr—^=
j a cosx+6 sinx у a*-\-b*
arccos-
36.17.
(a cosx+6 sinjc)" J [@cos(jt;—ф)]"'
где a
1пф (см. 33.7).
36.18. f-f-r dx| . =±In
J 1 + cos x + sin x
36.19. С
dx
X
'>T
dt
36.20. f-r-
J (a
a-\-b cos x+c sinx J а + Уб' + с2 sin f'
где / = * + arctg— (см. 30.14).
d(x-<p)
,. .. f sin a; dx
,. „„ (* cos x dx
+ b cos x+с sin x)n
x — 1 ,
=T + Tln
cos (л;—
x , 1
+
36.23.
36.24. Г-, dx __ Д In
J a2cos2x—62sin8x 2a6
sin x cos x dx 1
(a>0'
bigx^-a
ln
(а Ф b).

til. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИЯ
ТАБЛИЦА 37
ИНТЕГРАЛЫ ВИДА
F (x, tg х, ctg x) dx.
J
37.1.
37.2.
37.3.
37.4.
37.5.
37.6.
37.7.
37.8.
37.9.
37.10.
37.11.
37.12.
37.13.
37.14.
37.15.
V tgxdx = — In|cos*|.
\tg*xdx = tgx—x.
С tg"xdx = *?"__ *— Г tg"~2 x dx
С ctgxdx=ln|sinx|.
\ ctg8 xdx
Г ctg'xdx
f ctgnxdx
— ctg л:—x.
—^^— In | sin x|.
I;
j F In | a + b tg x | + b In | cos x | -f- a*).
x — 1
tgxdx _ 1
С rfx _ l Г _
J аг+ЬЧ?х~аг — b' [X
arctg ( | -
')] (в1:
dx

ТАБЛИЦА 37
83
tg xdx _ cos2 л:
37.16. \ -, ,_irtt „— 2~ -
, tg*dx In (cos2 x + a2 sin2 x) , , ,4
37.17. \T + a4g2^ = 2(?=Tj (a ф l)'
37.18.
»•»•
<-»•¦*
,7.23. f g
a — b ctgx
a + bclgx\J'
37.25.
7 2fi Г
J
J l+ctg2^ 2
ctg x dx
37
37
37.29.*
'2Ctg2^'
lx_
l±ctg^ =
1 Г tgx
a2 \ i , J.
tgxdx
(см. 37.17).
.27. f^._Tl . 1
7.28. J
sin x + cos x
cos2*
= T у + у In | sin2 x (sin * + cos *)|.
37.30.*
37.31.
: arccos ( —t=-cosa; .
(a2 ^ 62).

84 III. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
ТАБЛИЦА 38
ИНТЕГРАЛЫ ВИДА
(*x±"arcsin— dx, [ x±narccos — dx\ n = 0, 1, 2,...
J a J a
38.1. \ arcsln — Ac = * arcsin \-y a2—хг-
Jo a ^'
A * cn
o a
.1. \
J
38.2. f ^arcsin-i-y^=xfarcsin-^V—
arcsin— dx=
aj
( . x у Г , 3 Vtf^?* 6x 6 V?^? 1
-(агсш-J \x+ - - K .
4 arcsin— arcsin — arcsin —
L a \ aj\ aJ J
38.4. \(arcsin — j dx = a \ tncos Ы/, где /== arcsin— (см. 32.16).
rfx 2x* ~~ a* arcsin +4
38.5- Г x arcsin - rfx = 2x ~~ a arcsin —+4 /o^=7a.
J a 4 a ' 4
8.6. J.
У у8 у 1
38.6. \ х2 arcsin — dx=-ir arcsin —(--^ i
а о а у
38.7. \ х* arcsin — dx = —^—arcsin—| ^ У о —хг-
8.8. \
38.8. \ х* arcsin -i- dx= -^- arcsin — +
75
38.9. \ хп arcsin — d* = —рт arcsin ————г \ ¦ —
,.,Ji
38.10.* \ —arcsin —
х а

ТАБЛИЦА 38 85
38.11. j-Jr arcsin ^-
. X
arcsin —
Ill I. SHI я
a 1 I cfc
~~ (n-\)x«-* + T=\) xn-*ytfZI
. „.
38.12. \ arccos — dx = x arccos У аг —x2-
arccos — j dx= xl arccos у J — 2x—2 уаг—х2 arccos — .
Их V
arccos — J dx =
Г / д. \2 "I Г/ jU ^-1
= 31 arccos — — 6 V a2—x2— arccos — — 6 arccos — x.
LV <* / J l\ a J a]
Kx\" С x
arccos — dx = — a \ t"smtdt, где t — arccos— (см. 29.16).
a J J a
f* x 2jc *— cl^ x x
38.16. \ jcarccos—dx=—j—arccos -j- у а2—л:2-
38.17. \ л:2 arccos — rfjc=-5-arccos к(хг + 2а2) У a2—x2-
J a 3 a 9
Г . x , 8xl— 3a1 д; 3xa2+2x* л-; =
38.18. \ xsarccos — dx = ———arccos ^ У а2—х2.
38.19. \ ^arccos — с(л; = -=-агссо8 ^(Zx*-{-4х2а2~\-8а1)У~аг—хг.
J a a a (b
38.20.
J a л-fi a n-+-ij уаа_л
(см. 22.18).
38.21.* Г—arccos — dx =
J x a
1
38.22. l-
a 2-3-3 a5 2-4-5-5 as
arccos —
(см. табл. 23).

86 III. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
ТАБЛИЦА 39
ИНТЕГРАЛЫ ВИДА
\F[x, arctg— \ dx, \F[X' afcctg — ) dx.
39.1. f arctg — dx = x arctg — —^ In (а"-+хг).
39.2. J (arctg-j dx = ^arctg-J -2a J a%+^ dx (см. 39.11).
39.3.
39.4. jx»arctgi dx = ^-arctg -1-^1+^-1п(а»
39.5.
39.6. JJ-mtg-*-iri.rctg--TFTJ?:F?<te (см. 5.15).
39.7.* j j-arCtg ? *=? (_ ir
Oft о Г 1 .л: 1 л: 1
39.8. V-^-arctg—= arctg ;г- In
J л! s a x a 2a
С 1 г
39.9. \ -г-arctg — dx = —
a 2ал:
+^tL"--(S+^) (n;&2> (CM-5-23>-
39.11.» j^??|f|4^
v' ОП —I /О1П 1\ D
325 '" «Bft + l)l x ""•••

ТАБЛИЦА 39 87
39.12. j ^^йх = хarctgx-1 In A-х«)-1 (arctg*)».
С х*arctgx , 1 , 1 ., , ,. pAtarctgjt: ,
39.13.» J -j-^t-dx=-jx + -j(l+xs)a:ctgx— j 1+^2 rfx
(см. 39.11.)
»•¦«¦ №"
39.15.
= — / 1—дс* arctg x + /larctg-^XJ=— arcsinx.
У 1-х2
arctgAt . 1 fi I «+P^ $—ax . 1
;—7%-zdx= ln , —t—r-Q-arctg дс .
Г х х о,
39.17. \ arcctg — dx = х arcctg —|- -=- In (аг-\-хг).
39.18. \ х" arcctg — dx= arcctg —
(см. 5.15).
00
Г> 1 „ ~ ..2V-M
39,
39.20. \-L.SIccti±dx^—.n_1)^l . efl
(cm. 5.23).
Г 1 jc re v-i ^2V"'
.19.* \—arcctg — dx=-7r\nx— > (—l)v r-.
J x a 2 _n Bv+l)a2v+1
39.21.* j??gi?^=-,nA+,S)_JiiI?^dje (CM. 39.il).
39.22.

88
III. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
ТАБЛИЦА 40
ИНТЕГРАЛЫ ВИДА
\ F[ х, arcsec — ] dx, \ F ( х, arccosec — ] dx.
J I a 1 J V a J
С x
40.1. \ arcsec — dx=
л:arcsec a In | x-\-Yx2— a2 \
при 0 < arcsec — < — ;
jcarcsec —\-a In | x-\-Yx* — a"-
n x
при -^- <arcsec — <n.
a a
40.2. \ x arcsec — dx=
a
0.3. J;
40.3. \ x2 arcsec — dx =
-5- arcsec ^- Yx2 — a3
при 0< arcsec — <-^-;
дг At , a
— arcsec— +—
x* x с
-д- arcsec
о fl
n x
при -?;-< arcsec—<я.
2. a
при 0<arcsec—< —
arcsec ±.+^Y^-
С x
40.4. \ x" arcsec— <
л;"+1 x а С
^_^^_ furcflp ^^^^^^^ 1
n+1 a и+lJ
n x
при -jr-< arcsec—
z a
xndx
c=i
л:2—a2
л: я
при 0 < arcsec—<-^- ;
x , а С xn dx
arcsec — г—г \ ,
а ^п+1 J Yx2 — a*
при -2-< arcsec — <я (см.25.7).

ТАБЛИЦА 40
89
40.5.* \ — arcsec —- dx — -=-
^2 J jj
arcsec — 0< arcsec
ax x a \
40.6.
40
.7. f 4- arcsec - dx = - JL arcsec ? +
J г а 2хг a
4ax*
f 0< arcsec
40.8. \ —=¦ arcsec
»-. arcsec
и—1J л;" /л;2— а2
при 0<arcsec —<~tr I
1 x а С dx
—; г;—7г=-, arcsec 7 I ,
(n—\)xn ' a n — 1 xnVx2—a2
при -g- < arcsec—<я
(см. табл. 25).
D.9.J
40.9. \ arccosec—dx =
arccosec— ¦}-a \n I x-\-Vхг—аг \
при Oorccosec —< -p-;
x arccosec — — a In I х4-У~х2—a2 j
a
при—-^-<arccosec — <
40.10. \ л: arccosec — dx-
a
-^- arccosec у У~лг2 —а2 при —~- < arccosec — < 0;
x* x a -,/—= 5 . x л
-~- arccosec —[-—Ух8 — cr при 0 < arccosec — < -n" •
.... . M x , a la*
40.11.* \—arccosec— dx =
J jc a
1-3
40.12.
x 2-3-3 x3 2-4-5-5 xb
1-3-5 a1 fn x n \
-246777-- @<arccosec-<" ).
12. \ F (arccosec x) dx = \ F ( ——arcsec x ) dx.

IV. ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ И ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ
ФУНКЦИИ
ТАБЛИЦА 41
ИНТЕГРАЛЫ ВИДА
\x±neaxdx, [xne±x'dx, n = 0, 1, 2, ..
41.1. [Aax+bdx=—L—Aax+b (A>0, Аф\).
\ Q, Щ А
41.2.
a J t
41.3. [xeaxdx = m=±eax.
41.4. \ хгеах dx = =—¦—еах.
J a
а'** —ЗаV +бах—6
лл * Г s ax j а* —ЗаV +бах—6
41.5. \ х'еа* dx = f1- еах.
. п С ,axJ а*х* —
41.6. \ х4евж dx=
41.7. С хпеах dx = X-^—- Г х"-1 еах dx;
J а о J

ТАБЛИЦА 41 91
Сеах , . ... оде . аУ , Л» , aV , , а"*"
41.9.*] Т^=1п|Х| + ТТ + 2Т2|-1-зТз1+4Т4Т + -"+,Т^!
п „ах еах п „ах
41.Ю.* y--rdx=-e— + ay—dx (см. 41.8).
41.14.» Г
XS X1
±
41.15. [xe*'dx = ^ex\
41.16.* C
41.17. {
41.18. CxVdx = 2x8~3;Ce;c!i + -|- ("е*"^ (см. 41.13).
41.19. {2k+lxld
1)*
41.20.* [ xikexl dx = ^—2-^ [ x**-'ex'dx.
J * * J
41.21.
41.22.

92 IV. ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ И ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
ТАБЛИЦА 42
ИНТЕГРАЛЫ ВИДА
R (х) еах dx, ^R (x, V~x~, ex, eVx~) dx.
Обозначения: и = а + Р*> t = <z—Рл;, s=y x .
ал а
42.1.* Г 6° dx=e—b— f-—du (см. 41.9).
J а+Р* р J и v
42.2.* I ^_ dx=—g ^R2— \ ^~d" (см- 41-9)-
а
(см. 41.7).
ае
42.6. , , "" ^^-i-Ji-^e р \— du (см. 41.9).
42 8 \ dx-( \)n —
8. \ у?^о
42.10. С е^* йд: = 2е^л (У~х — 1).
(см. 41.7 при v—m3sO и 41.13 при v—m<0).

ТАБЛИЦА 42
42.11. С У* eVx dx=2eVx (*—2
42.12. [ хе^ dx = 2eVx (х УГ—Зх+6 УГ—6).
42.13. f xVx~eVx dx = 2eyT(xt—4xV7+l2x—24V7+24).
42.14. \ Л * Лс =
= 2е/ж (л:гУ7—5л:2 +20хУ7—60х + 120УГ—120).
42.15. [ х^^* dx = 2eV7 [xnVx~—(
r „+2. г !2±1-|
42.16. л 2еКл dx=eVx \x"+1—Bn + 2)« * —
.17. 1
J
42.
42.18.* I -?_dA- = 2 I jrfs (cm. 41.9).
42.19.* ^ i—^Jf = —?!_ + \ ±-~dx (см. 42.18).
42.20.*
42.21.* I _? rfx = 2 \ ^-nds (см. 41.13).
л:
42.22.* f yjTe*dx = 2 С sV'ds (см. 41.16).
42.23.* \4=d* = 2 I e±s'ds (см. 41.14).

94 IV. ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ И ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
ТАБЛИЦА 43
ИНТЕГРАЛЫ ВИДА
Г eaxdx _ , о в
43.1.
43,3.
J
X 1
43.2. f __* -_Л fin
2рех
¦а+ре«-
In
43.5.
43.6.
С eax dx
J
f* eax dx
43'7" J (a+peax)m=:~
3-9' J

ТАБЛИЦА 43
95
егах dx
где , =
(CM.
f e"axdx
na
43.14.
dx
4315 Г
a °* J
dx
n
43.16.
2—6 ( ?-) егах — 3^-) езах
a ,; V a
2$-ea*(l+V-eax)
a V « J
-2 In
43.17. j.
dx
^ та" f
(a + peajf) ~5p~J
та" f rfs
где s = at (cm. 43.4).

96 IV. ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ И ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
ТАБЛИЦА 44
ИНТЕГРАЛЫ ВИДА
)±mdx;
44.1.
* —- -^г 1П
44 2 f dx JL
J l/"(a + pea*)s aa/a +
± $еах аа Va
44.3.
dx
(m—2)ay(a +
Г dx
44.5. [
1 1 Г /
44.6.
_ 2
+ -
V
С еах
44.7. -7==
44.8. I
J
dx
'\±ex
-Tln
exV\±ex
44.10.
a

ТАБЛИЦА 44
97
44.11. {уъ±$еахйх=У-?-\п
44.12. ГУ(а±$еах)>dx=^V
^. Г d
= е«* (см. 16.12).
44.13. Г у"(а + реа*)т ^ = -1
m-(-i
In
II-
44.14.
44.15. \ехУA±ехУ<1х=±2}ГA±еХ)
44.16. j е«/(а±ре»*)-d«=
44.17.
44 18
'oipe"—/a
aaea
где t = eax (см. 16.12).
44.19.
, где t = e«x (см. 17.16).

98 IV. ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ И ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
ТАБЛИЦА 45
ИНТЕГРАЛЫ ВИДА
С e°* sin" px dx, [ еах cos" px dx;
$eaxsinmxcos"xdx; m, n= 1, 2, 3, ...
45.1. i -"*'« J—" ' r-y—pcospx)
Г еах f 2p2\
45.2. \ eax sin* px dx — -г . г I a sin2 px—2p cos px sin px -f- — j .
45.3. Cea*sln'p*d*=
a sin' px—3p cos px ¦ sin* px -f
2+9/72
+ ^r (« sin p*-p cos px)J
f* ea* sin" ~' dx Г 1
45.4. \ ea* sin" px dx= ,¦ , , ¦ a sin px—np cos px
a2+n2p
45.5. \ еаж cos px dx =
J
еаж (a cos px + p sin рл:)
45.6. \ eax cos* px dx= , г f a cos* px—2p cos p* sin px+ — ) .
45.7. f eax cos' pxdx =
a cos' px + 3p sin px cos* px+
a2 , 9 г
С еах cos" px
45.8. \ eax cos" px dx = —2 2 2 [a cos px+np sin px] +

ТАБЛИЦА 45 99
(p —q)x
e^ r(p+g)cos(p+q)x (p—q) cos (p—q)x
2 аг ' '- ' -42
С еах
45.10. \ еах sin px cos px dx = ^г' g . (a sin 2px—2pcos 2px).
45.11.
eax [a* + 3p, , . ч
^' cospAt sm
45.12. \ ea*sin2pxcos'px<?t = -j \ eaxs'm'2pxdx (см. 45.2).
45.13. [ e°* sin p* cos2 px dx =
> + 3p*, ,
*+?'{a px ~p cos px)"
) .
45.14. \eax^sinm л; cos" xdx =
=-{m + п)г + аг yax &nm x cos «-*x [a cos х + (т+п) sin x] —
—ma \ eax sinm~l xcos"~l xdx-\-
' * cos" x Ia sin *-(« + «) cos a:] +
( ea*sinm"Ixcos"
+ (m—1)(т + я) r

100 IV. ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ И ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
ТАБЛИЦА 46
ИНТЕГРАЛЫ ВИДА
т=\, i, Ъ, ...
46.1. [\gAxdx = j~(x\nx—x) = x\gA — (A>0, Аф\).
46.2. \\n(a + bx)dx = -j-(a-{-bx) 1п(а + 6дг) — х.
6.2. \\
л Л2*2 пг
46.3. \ х In {a + bx)dx= 2fe2 In (д + te)-
46.4. f
46.5.
46.6.
1 "J;1 (— 1)" t"-'
« + l 2-. (m — v
46.7.
46.8.
46.9.
(m — v+2Nv
1 Гхп+1 , *"+'
Г, _. ....
.., —! i— a \ \nm(a-\-bx)dx^
cU (см. 46.8).

ТАБЛИЦА 46 101
46.10. ^(
[(a + bx)' , .... t. . . Л \nm(a + bx)
= Г ^ a(a + bx) + a'(a + bx)\ ^ —
--^- Ц f u* In и d"-y j и In1""» u d«+ Г In и du^ ,
где и = a + bx.
46.11. f
Л (— 1)п+"п)
2-1 av-n(« — v
где u = a + bx.
I „,. * ?\nxdx \nx\n (a + bx) 1 С In (a+bx) . , „- ,„.
46.12.* \ ¦ = i—! 77 \—— d* (CM- 46.13).
4B 14 * Р1п(а + 6*Ь„
46.13. \ ax =
J x
6.14. \
^/. . ^ Г In (a + bx) , b , a + bx
46.14. \ v J—'-dx = —lnx j^-
461g pn(a + 6x) In
46.15. j ^п Ас— (я
(см. 2.19).
46.16.* ^y»*)
._(!+!),n.(e+ta)+2^JLl?±M(b (см. 46.13).
= ;n2(a + ^,-Л f ?-Й
(n—l)x" ' (n-1) J/ \(
«.17.
Г to»(a +to) ^^_ in- («++x) P in-"'(a+fa)
J *s * J x(a + &x)

102 IV. ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ И ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
ТАБЛИЦА 47
ИНТЕГРАЛЫ ВИДА
х* " dx . n = 0, 1, 2
x)' m=l, 2, 3, ...
Обозначение: и — a-\-bx.
+ bx) +
In'(а + 6л:)
+ 2-2! * 3-3!
In (а + 6x)' + 2 ln (a + bx) +
47.3.* Г^-^=1
J ln x
, (»+l)lnx ,
474* Г_^^. = _1_у <-}?+"nl f"^ (см. 47.3).
J m(a~\-bx) n'+1 ^_^ a (n — v)! v! J In и
ffHUr-Hn(a + M+llK (СМ-47Л)-
P л: с/л: _ x (a + bx) а С du 2 Г и du
47-6-* )'\n'(a + bx)~ b\n(a+bx) Ьг J ln и ^ Ьг J ln и
47-8'*
' 6 ln (a
dx
(см. 47.3).
a2 f" du__ja С и du
a + bx J f d«__
Г srfs _ x (a + 6x)
47.9.» j i^S(e + ta) - '(m-\)b\nm-i(aJrbx)
а Г du 2 С udu
~~(т—1)Ьг) lnm~'u"'"(m— 1) b2J In и
Г Xs dx *' (a + &л:) , а2 С du
47 10 \ —— = гЧг-1—r——r? \ t '
J lnm(a-f-&x) mb ln (a-\-b) mo J ln u
^ J|_ Г ?|L+ 3 f ?*L (см. 47.8 и 47.9).

ТАБЛИЦА 47
103
47.11..
xndx
xn(a+bx)
(m—\)blnm~1(a
Л (-l)"+v(v
6"+' 2-1 ev+B(n—
1N"
v)! vl
47.12.»
+¦
v3 In3
2-2!
3-3!
47.18.» f „, f*
(n—1)! v!
3-3!
ч
47
.14.* f-
...].
а+&л:
-bx \n(a+bx) ~ vf
47 1= Г Д« __
j xn In2 (я + &x) bx"\n(a
- 47.13).
47,6 Г
J
dx
x\nm(a
dx
(m-\)bx\nm-1 (a + bx)
"-'» (см- 46ЛЗ>-
a + to
J x"\nm(a+bx) (m—1
m—\
у—1I (n + v—Qa" Г f/ы
(n—l)!v! J «"+>lnm-1u *

104 IV. ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ И ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
ТАБЛИЦА 48
ИНТЕГРАЛЫ ВИДА
хп In | хг ± а21 dx,
л = 0, 1, 2, ...
48
48
48
.1. С In (х* + аг) dx=x In (хг+а2) —
.2. r*ln(x*+aVx = y[(x2 + a2)ln(*2 + a2)-*2].
.3. С л:2 In (хг + a2) dx =
= 4- [xs In (л:г + a2) —% x> + 2xa* — 2a' Jrctg —1
о I o (X J
48.4.
48
Yn + 2 Их
48.6. Гх1п|х2—a2|dx = y[(x2— a2) In \хг — аг\— х2].
1.7. \ x2ln|x2—a2ldx=
J
48,
48.8.
48.9. f In
48.10.
X — U
± a2) dx = —
a2 + x In (x
2x% ± a2
In (х+Ух* ±аг).

ТАБЛИЦА 48
105
48.11.
48.12. [ х" \п (х + Ухг ± a2) dx
a2) l— \ JL—JL
а 2-3-3
1-3 ( а\* 1-3-5 f a^*
x
48.14.'
48.15. j
-——In
48.16.
48.17.
*—a*) 1
— arcsec
( 0< arcsec
4)
_ \n(x+Vx'±a*) 1 [___

106 IV. ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ И ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
ТАБЛИЦА 49
ИНТЕГРАЛЫ ВИДА
49.1. \shpxdx = — ch px.
49.2.
49.3. ^sh'pxdx^^f^ictfpx—3).
49.4. С sh4 px dx = ~ (^ sh Apx—2 sh 2px + 3x )
49.5.
mp /n
Г x 1
49.6. \ xshpA:d« = — chpx j
49 7 Гл-^р^А xch2Px ch2Px
4».7. jArsii pxax
49.8.
49.9. ^xshpxdx=?-?-4^chpx—%
.„ ln f , ,, . DpV + 2)sh2px 4a:
4910 \ 8h2pdA;^i;:L
9.10. \
р° p* "^—6*
49.11. l x* shs px dx = .„ з (p*xs ch1 px—27p*x8—54) —
x sh px . .,
, ' fen' I
.. ,„ p . , , p*x' + 6x , 3pV + 6 ,
49.12. \ x' sh pxdx = - \— ch px c—~— sh px.

ТАБЛИЦА 49
107
49.13. fxnshpxdx = — ch px—— Cx" ch pxdx.
49.14.
где f=2px (см. 49.13).
49.16.*
(см. 50.15).
, где Г = 2,(см. 50.15).
49.18. f
J
sh рл: p I 2
ln
2p ch px— 1 *
49.19.
-px p
49.20.
J sh*px
1 / chpx 1
49.21. J-
chpx
m —2 P dx
:~m— 1 J shm~2
AQ99»
49-22 -
5 31 (pxO
о/огп-i n
)П B/1+1I
49.23.

108 IV. ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ И ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
ТАБЛИЦА 50
ИНТЕГРАЛЫ ВИДА
Г 1
50.1. \ ch px dx= — sh px.
*) г
sh 2рх . л:
50.2.
50.3.
50
50.5
.4. Cch4pA:dx=J- f-^-sh4px + 2sh2px+3x).
.5. Cch'npA:rfx = ^-shpxch'n-Ip*—^^ (* chm~* pxdx
С x 1
.6. УхсЬрх<Ье=—shpx jchpx.
50
50.7.
50.8.
50.9. \ x* ch pxdx — -—^— sh px g ch pjc.
50.10.
50.11. ("a:2 chs pxdA: = ^ (9pV ch2px+p sh2 px+ 18-6p)—
50.12. J x' ch px «Ь-^+ад sh ^-(Vy-«) ch p,.

ТАБЛИЦА 50
109
50.13. f xnchpxdx= — shpx—— f x^'shpxdx.
где t = 2px (cm. 49.13).
50.16.
50.17.*
J X
J
50.18.
J
ch2px p
¦ J ch px p
50.19. f
50.20.^-^=1
J ch» px 2p
dx
= i arctg (shpx).
1 sh ox , 1 , . , .
2p ch2 px 2p s v r '
&hpX
OT~2
С
j
Г xd* - ! Г^х)! (рхL , 5(рд:)« 61 (px)
Jh^~7L~2 4П + ТТГ 8TFT
С у dx 1
тм. I cb „ с „„„
. 50.15).
(P- # л

110 IV. ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ И ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
ТАБЛИЦА 51
ИНТЕГРАЛЫ ВИДА
Ssh ± т г ch ± " г lir 1=1.2,3,...,
sh xch xax, m=ii2>3, ...
С ch* x
51.1. \ sh xch xdx=—~— .
51.2. \ shpA:ch<7A:dA:=^—^(pchpxchijA:—q'shpxsh ija;) (p* Ф q1).
„un+J „
51.3. \hh"dx
л+1 "
51.4. \ shmxch.
in|thxl
m+1 '
51.5. \ sti х сп х dx ^z —л« о™
51.6. Г d* .¦ = In | th x |.
J sh x ch x '
51'7- J sh>:ch2x = ch^^
51-8- Js?7ch^ = 2d^
SI-9- С ui ^ы¦¦ = — 2cth2x.
J sh2 x eh1" x
с dx 1
51.10. \ ., , — — -r arctg(shx).
J sh2 x ch x sh х s v '
51.
J snoA;cnA: zsn'x
dx
1.11. Г c.dX, ¦—— гЛл ln|thx|
J sh*A:chA: 2sh2x ' '
1'12" J shxch"x=(«—l)ch"-1x + J
51ЛЗ* J shmxchx = ~(m— 1) sh*"",) sh^-'jc
51.14. Г—dx=
J chx
/
(n-l/ch-x

ТАБЛИЦА 51
51.16 f?!!??-fcl|h|
' J sh x J
51.18. f ^dx=f th!xdx = x—thx.
J ch2x J
51.19.
f
= f cth8 xd* = x-
51.20. f ?^rf;t=f thmsds = -th''' \x+[thm-*xdx (m3s2).
J ch* J m—1 TJ
51.21. \ ^57 dx=\ cthmxdx = - ^_l + \ cthm-lA:dx (m^
., oo Psh*. sh"* Cshm~'x. . n.
51.22. \ —г—dx = -, \ —; dx (/n^2).
J chx m—1 J chx v
51.23. \ -r-=—dx = — -. ;—rs-^i— г \ . „_., dx («3:2).
J chnx (и— l)ch" Jx ' n— 1 J chn *x v ;
ГсЬПл:^ ch"*, fchn"zx, , o.
.24. \-r—dx = r-+\ —с dx (n^s2).
J shx «—1 ' J shx \ — 1
51
1'25- J

Марк Львович Смолянский
Таблицы неопределенных интегралов
М., Фнзматгиз, 1963 г., 112 стр.
Редактор Я. X. Розов
Техн. редактор 3. Я. Михлин
Корректор О. А. Бутусова
Сдано в набор 4Х 1962 г. Подписано к печа-
печати 15/ХП 1962 г. Бумага 84X108V32. Фнз. печ.
л. 3,5. Услови. печ. л. 6,74. Уч.-изд. л. 6,61.
Тираж 80 000 (Первый завод—1—40 000) экз.
Т-15063. Цена книги 20 коп. Заказ № 3417.
Государственное издательство
физико-математической литературы.
Москва, В-71, Ленинский проспект, 15.
Первая Образцовая типография
имени А. А. Жданова Московского городского
совнархоза. Москва, Ж-54, Валовая, 28.