Физические свойства кристаллов. Кристаллофизика анизотропных диэлектриков: Учебное пособие - Сорокин Б.П.

Автор: Сорокин Б.П.

Теги: физика учебное пособие физика твердого тела кристаллы кристаллофизика

Год: 1990

Похожие

Физические свойства кристаллов и их описание при помощи тензоров и матриц

Пьезоэлектрические свойства кристаллов: Методические указания к лабораторной работе

Физические основы сегнетоэлектрических явлений в кристаллах

Исследование влияния упругих напряжений на магнитные свойства ферромагнетиков: Методические указания к лабораторной работе

Текст

Б. П. Сорокин
ФИЗИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА КРИСТАЛЛОВ
Кристаллофизика анизотропных
диэлектриков
Учебное пособие
Сорокин Б.П. Физические свойства кристаллов. Кристаллофизика
анизотропных диэлектриков: Учеб, пособие/ Краонояр. ун-т.
Красноярок, 1990. 108 о.
Рецензенты: лаборатория кристаллофизики Института физики
им. Л.В.Киронекого СО АНСССР; профессор Сибирского
ордена Трудового Краевого Знамени технологического
, института А.Т. Аниотратов.
Печатается по решению редакционно-издательского
совета университета
(с) Красноярский госуутрственнш университет, 1990
йжлоага
, . Развитее той или иной области науки стимулируется не-только
цролвлекием чисто научного интереса группы исследователей, ио и
о Шественными потребностями. Практическая вэянооть исследований -
в обласмедфизи™ твердого тела (Ф'Л) несомненна, она подтвержда-
ется современной революцией в области информатики и связанными с
ней успохеж в развитии современных технологий. Прогресо элект-
ровике й радиотехнике, настоящий и будущий, так е невозможен без
решения научных и технологических проблем комплексного применения
свойств твердых тел.Сладует указать на важность оптимального соот-
ветствия свойств Кристаллов функциональному назначению прибора или
устройства» при этом не обойтиоьбез фундаментальных исследований
этих орвд.. ~
Поетому предметом данного пособия" является развитие предстаэ-
ганий о физических свойствах кристаллов, принципах их исследований
.Й применений: в науке и технике.
Предмёт исследований в МТ ныне необъятно велик, и для того,
чтобы составить у студентов ясные представления хотя бы об одной
области-этой науки, необходимы определенные ограничения. Ниже речь
пойдет преимущественно о соверйЬниыхдиэлвктрических и пьезоэлект-
рических кристаллах, однако общие принципы, при-Иеобходалости,
могут с успехом применяться и в исследованиях других классов мате-
риалов.
При составлении данного пособия автор, -естественно, опирал-
ся на достижения в области физики кристаллов, отраженные в ряде
Монографий, оригинальных рвбот»-е также на собственные исследова-
ния. ' '
> Одной из причйц, которые вызвали появление етрй работа, ятед-
ется недостаточность либо относительная нодостуйкооть учебной лите-
ратура по данному курсу. Тач, к числуЛсаиболве важных, «Си редких
учебников следует отнести превосходную книгу Дк.Кая' Щ , а также
более ранние книги УЛЗона [Г] и У.Кэди J3J. Сейчас они, к сожа-
лению, представляют собой библиографические раритеты. Лиги
М.П.Йаскольскгй [л], V.X.Сиротина и М.П.Швскольской[5]имеют высокий
научный уровень, но недостаточную связь о практикой.’ Оптимально
- 4 -
изложение кек фундаментальных, так и прикладник проблем в книге
Э.Дьелеоанв и Д.Руайе,[6] , изданной малым тиражом. В работах
Л.Д.Ландау [7] и Ф.И.Федорова [в] наиболее полно изложены вопросы
теории упругости анизотропных сред. Больную помощь в освоении
спецкурса оказывает Задачник Н.В.Переломовой и М.И.ТвгиевоЙ 191.
Ссылки на работы, содер .ащио расширенное изложение некоторых спе-
циальных вопросов, будут даны в тексте.
Второй причиной, определившей направленность этой работы,
является желание автора подготовить студентов к непосредственной
эксперименте, ьной работе ио исследованию физических свойств крис-
таллов, в связ.. с чем дос аточное внимание уделяется и методике
основных экспериментов.
Пособие предназначено для студентов старших курсов специаль-
ностей "Физика твердого тела", "Кристаллофизика", "Физическое
материаловедение".
ГЛАВА I. ВВЕДЫИЕ В КРИЦТАЛЛОФИЗИКУ
1.x. Криста. н как анизотропная сплошная среда
Изучение кристаллических сред возможно как на микроскопичес-
ком, так и на макроскопическом уровне. Действительно, кристалл
представляет собой бесконечный ансамбль регулярно расположенных
в пространстве, динамичеоки взаимодействующих атомов или групп
атомов. Дискретность внутреннего строения кристалла означает, что
лишь достаточно "тонкое" воздействие позволяет чувствовать решет-
чатое отроение такой среда. Но для этого, например, длина волны
того.и ли иного динамического измерительного поля должна быть срав-
нима с параметрами кристаллической" ячейки:
» цд) ч
т.е. по порядку величины должно быть Л ~ I-IO 1. '"аковы методу
рентгеноотруктурного анализа, ыейтроно- и электронографии, туи-
ь явной микроскопии. Боли же выполняется
•^4оад . £ 2)
то в так. д случаях диокоат! хоть строения ае ощущается. Поэтому
ниже речь дойдет о так называемых макроскопических физических
свойствах кристаллов. Для их описания и. можем . аосматривать не-
5 -
который элементерцрй объем кристалла, много больший размеров'
элементарной ячейки.
, Регулярность расположения вешества (атомов, групп атомов;
молекул) в кристалле возникает благодаря тому, что внутренняя
энергия такого олоооба расположения частиц меньше, нежели в
аморфной, как правило, более высокотемпературной фазе. Именно
закономерность расположения частиц, их природа, энергетический
спектр и типы химических связей в. конечном счете определяют фи-
зические свойства макроскопического кристалла. Однако был бы
ошибкой или преувеличением сказать, что в наст шее воемя. .
да можем во всех подробностях установить связь между микроско-
пическими свойствами кристалла, хотя более или менее успешные по-
пытки расчета физических- свойств кристаллов (исходя из "первых
принципов") известны. В основном они касаются кристаллов о прос-
тым строением и строго определенными типами химической связи.
К важнейшим закономерностям отроения кристалла следует от-
нести симметрию его структуры. Применение любой операции - симмет-
рии, присущей данному кристаллу, к любому фрагменту кристалла
оставляет его тождественным. ''
Кристаллы однородны и анизотропны. Кристалл называется одно-
родным, если для любой точки, взятой внутри него, найдется такая, ,
что свойства кристалла будут одинаковыми, в этих точках.Очевидно,
что однородность кристалла' следует из регулярности его отррения,
теоретически, в благоприятных условиях, рост кристалла ничем не
ограничен, и в любой вновь возникшей'его области свойства крис-
талла тождественны свойствам ранее существовавших частей.
Кристалл обладает анизотропной свойств т.н. оущег-,вует ко-
личественное различие в характеристиках свойств, измеренных в кри-
сталлографически неэквивалентных направлениях кристалла. Анизотро-
пия обусловлена различием в оилах связи между атомами в различ-
ных направлениях, возникающим как из-за химических различий, так
и вследствие чисто геометрических факторов. Итак, изучение физи-
ческих свойств кристаллов опирается на симметрию а однородность
строения кристалла, который считается оплошной средой. Наиболее
важной чертой криотел-ичаокой среды является анизотропия ее свойств.
- 6 -
1.2. Принцип симметрии в кристаллофизике
В приложении к кристаллам . различают точечную и пространст-
венную симметрии. Точечная симметрия кристалла - это набор элемен-
тов сиьметриии кристелличежого многогранника. В'отличие от точеч-
ной группа элементов пространственной симметрии дополнительно
включает в себя трансляции, плоскости скользящего отражения и вин-
товые оси.
Ниапример, симметрия внешней формы дома - это его точечная
симметрия: закономерная и одинаковая расстановка мебели, в каждой- .
из квартир (ячеек кристалла) определяется пространственной сим-
метрией. Понятно, что пространственная симметрия кристалла, поми-
мо формы элементарной ячейки, определяет и конкретный характер
расположения атомов в пределах элементарной ячейки.'
Рассматривая же симметрию физических свойств кристалла, мы
можем считать, что выполадется условие (1.2), но это условие
верно также и для трансляций. Отсюда ..ытекакт два важных вывода:
I) из трансляционной'симметрии (трансляционной инвариантности)
следует однородность кристалла в отношении его физических свойств;
-2)поскольку элементарные трансляции считаются бесконечно малыми,
тем более это справедливо в отношении их долей, поэтому ъ исследо-
ваниях макроскопических физических свойств различия между пово-
ротным: и винтовыми осями, между плоскостями зеркального и сколь-
зящего отражения совершенно несущественны. Значит, симметрия мак-
роскопических свойств кристаллов определяется не пространственной,'
а точечной симметрией кристалла, а принадлежность кристалла к той
или иной точечной группе однозначно определяет качественный харак-
тер анизотропии его свойств.
Существует два кристаллофизичеоких и 7 предельных классов
точечной симметрии. Любой'кристалл может быть отнесен к одной из
конечных точечных групп. В дальнейшем станет ясно, что точечной
симлэтрия кристалла определяет характер анизотропии его физичес-
ки^ свойств, так что первый етап изучения физических свойств
кристалла - определение его точаодой симметрии.
От полной эниз'отропии свойств триклинного кристалла класса
I до полной изотропии свойств изотропной среды, принадлежащей К
симметрия одной из предельных групп Кюри оО ей m и со м .
таково многообразие анизотропии свойств»
-7- ,
\ ' ',
Общий принцип, определяющий влияние симметрии не все без
исключения физические, явления, был сформулирован Пьером Кюри;
"Когда определенные^причины вызывает определенные следствия, то
.элементы, симметрии причин должны проявляться в высказанных ими
бедствиях.. .
Корда в каких-либо явлениях обнаруживается определенная
диссимметрия, та эта же диссимметрия должна проявляться, в причинах,
их породивших. Положения, обратные этим, неправильны, по крайней
мере, практически, иначе говоря, следствия могут'обладать более
высокой симметрией, чем вызвавшие их причины'" [10, о.6001 . ,
В качестве следствия принципа Кюри можно представить такую фор-
мулировку, часто применяемую в кристаллофизике: "Когда несколько
различных явлений природы накладываются друг на друге, образуя
одну систему, диссимметрии их складываются. В результате'остают-
ся лишь элементы симметрии, общие для каждого явления, взятого
отдельно" [5, с.179] . ( Асимметрия,- отсутствие симметрии, дис-
симметрия- расстройство симметрии, по. отсутствие тех или иных
элементов симметрии).
В кристаллофизике принцип Кюри обычно применяют, анализируя
изменения'симметрии кристалла, возникающие в результате того или
ьного воздействия. При этом само воздействие - то или иное физи-
ческое поле - также обладает определенной симметрией, относящейся
к .одной1из предельных групп Кюри.
Рассмотрим, например, измене rate симметрии кристалла точеодой
группы 23 вследствие приложения электрического поля ’вдоль оои
третьего порядка.
Симметрия электрического поля кек полярного векторе совпада-
ет о точечной симметрией одной из предельны- групп Кюри - oom
'(симметрия конуса).
Согласно принципу Кюри эффективная симметрия кристалла пос-
ле воздействия электрического поля становится ровной>клаосу 3
- (тригональная система), поскольку пересечением групп симметрии 23
и сот при такой ориентации является именно ось третьего по-
рядка. Естественно, что эффективная симметрия системы "кристалл +
воздействие" зависит кек от исходной симметрии точечных групп
кристалла и воздействия, так и от направления приложения воздейст-
вия.
- 8 -
Для оправки приводам съедения о других известных фтаичеокта
Полях: симметрии однородного магнитного поля описывается предель-
ной группой оо/m , т.е. бесконечной осью симметрии и нормальной
к ней плоско. ?ыо симметрии (симметрия вращающегося цилиндра).
Симметрия одноосного напряжения -о^/«.^дасиитсн?'стьует симметрии
покоящегося цилиндра: i полярная ось <?о , бесконечное число
продольна* плоскостей гм , одна поперечная плоскость т , бесконеч-
ное число-поперечных осей 2-и 'центр спллетрии. В привод сне ом -
примере неявно предполагалось, что существует механизм влияния
электрич-скг"‘о паля на кристалл. Действительно, отсутствие физи-
ческого взаимо; эйствия ме»ду внешним полем и кристаллом может при-
вести к неправильному результату в интерпретации применения прин-
ципа Кюри. Так, диамагнитпн.’! кристалл в магнитном поле, очевидно,
не изменит своей симметрии. Механическое одноосное даьтзние, нап-
ротив, будет Изменять симметрию кристалла вне зависимости от его
друга., физических свойств, поскольку в данном случае речь идет
о силовом взаимодействии непосредственно с кристаллической решет-
кой. От этим такта, что подобные эффекты иг ленения симметрии крис-
талла (”морфические"эффекть. , т.е. приводящие к изменению формы
кристалла) не являются ‘ умозрительными, а (несмотря на относитель-
ную малость) могут наблюдаться в кристаллооптичеоких исследовани-
ях - изменения оптических свойств кристаллов при электрических
или механических воздэйствиях, т.е. электро- Н пьезооптический
эффекты, в исследованиях нелинейных свойств пьезоэлектрических
кристаллов [ II].
' В кристаллофизике употребляется и так называемнй принцип
Неймана, справедливость которого была установлена ранее, чем опра-
ведливоота принципа Кюри . Его современная формулировка: "В час- .
ле элементов симметрии любого Физического свойства кристалла дочж-
ны содержаться элемента отметрии точечной группы кристалла"
[Б. с. 180] . На языка теории групп принцип Неймана означает, что
годппа симметрии любого свойства кристалла включает в себя группу
симметрии самого кристалла, т.е. группа симметрии кристалла ли-
бо совпадает с группой симметрии свойс.ва, либо является подгруп-
пой пошк дай! -
G овойотваё? ^кристалла . (1.3)
- 9 -
Действительно, кристалл может обладать отбором свойств, каждое
из которых имеет свою симметрию. Тогда, рассматривая все свойст-
ва кристалла как систему явлений, которые до момента воздействия
"скрыты" в кристалле, согласно принципу Кири получим, что общим»
элемвйтгми симметрии этой системы выступают элементы симметрии
самого кристалла. Ясно, что принцип Неймана - следствие брлее об-
щего принципа симметрии Кюри.
Итак, хотя физическое свойство кристалла может обладать и
более высокой симметрией , чем точечная симметрия кристалла, оно
должно включать в себя и симметрию точечной группы кристалла.
Из -за анизотропии свойства кристалла, в розных кристаллографичес- .
ких направлениях различны. Однако при симметричных преобразованиях
в кристалле могут возникать кристаллографически тождественные'
(эквивалентные) направления. Очевидно, физические свойства в эк-
вивалентных направлениях должны быть одинаковы, поэтому всякое
преобразование симметрии кристалла должно бить и преобразованием
симметрии его физического свойства. Иначе говоря, смысл принципа
Неймана состоит также в том, что физические свойства кристалла
инвариантны относительно преобразований его точечной группы сим-
метрии.
Ясно, что принцип Неймана удобно применять при анализе сим-
метрии физических свойств кристалла, зноя симметрию кристагта в
исходном (неаозвдщянном)ооотоянии . Напротив, принцип Кюри поз-
воляет исследовать эволюцию симметрии кристалла пристом или ином
воздействии, т.е. в возмущенном состоянии, при условии, что из-
вестна симметрия воздействия (воздействий).
ч
1.3, Тензоры и физические4 свойства кристаллов
лак правило, вследствие анизотропии свийотя кристаллов яв-
ление (эффект), вызванное в кристалле каким-либо воздействием,
т.е. реакция кристалла на воздействие, не совпадает по направле- >
нию с этим воздействием. Взаимосвязь яппенкя и воздействия •
можно представить саотнояеяием:
, Явление (оЭДект). = свойство х'воздействие, (1.4)
Исли воздействие и вр-пцянос им явление. изотрплнп. (скалярии), то
- 10 -
и ооответотвующеа свойство кристалла изотропно (скалярно). Тако-
ва масса, плотность, теплоемкость. Скалярные величины (тензоры
нулевого ранга) не меняются при переходе от одной системы коорди-
нат к другой.
Если скалярное воздействие на кристалл (например, изменение
температуры) вызывает явление, имеющее векторный характер (напри-
мер, пироэЗфект, т.е. возникновение электрической поляризации
кристалла, индуцированное изменением температуры), то соответст-
вующее свойство - векторное и определяется тремя компонентами
вектора по о.лм коорданат. При переходе от ортонормированного ба-
зиса ОХД4Х» к новому векторная величина пре-
образуется по закону
Rf = Rk , ' (1.5)
где i * х 1.—»з . Обратный переход определяется соотношением
» (1.6)
где величины^ образуют матрицу так называемого ортогонального
преобразования .При записи (1.5)'и (1.6), И в дальнейшем мы будем
пользоваться правилом суммирования ЭнштеГна по дважды повторя-
ющемуся "немому” индексу.
Преобразование, при котором ортонормирований базис переходит
также в ортонормированный, называется ортогональным. Необходимо
выяснить смысл матрицы этого преобразования б;* . Пусть старая
ортогональная система ОХ,ХЛХ, построена на базисе из ортов е, ,
?г , 3, , а новая ОХ,Хг%' - на базисе ’ (рио.х.1).
Рис.1.1. Преобразование ортонормированного базиса от
отарой к новой системе коордииьс
- II -
Разложение нового базиса по векторам старого
» Q
(1.7)
' определяет коэффициенты
аг,, , которые образуют матрицу ортого-
нального преобразования
IM
а2',
а,,г О,.,
О г'1 О^'з
Qj'j CI/3
(i.e.
Каждый се элемент равен косинусу угла между соответствующими коор-
динатными осями, в чем легко убедиться, если домножить скелярно
сбе чести (1.7) на :
<лГк =(&'Л) = С°5(ХРЛ) = Cosdf, . а>9)
где О(гк -углы между нэьой ( Хр ) и старой (Хк ) осями коорди-
нат. Обратное преобразоваште
= а кг
характеризуется матрицей II ак,-II , обратной и транспонированной
; э трипе И СЦ'кИ • Отсюда
= > Qi'KGi'f — <?ке . jq.
Квадрат определителя такой матрицы равэн I, или
Д = det Нагл = ± 1 . (1<П)
Результат последовательного проведения двух ортогональных преоб-
разований - перехода от старого базиса 5,, к новому
, &г' , ?з-. а затем от нового к новейшему ,
можно записать в виде =а:-к₽к, причем матрица а<,«к получается
из матриц каждого перехода путем их перемножения:
aVK - QtyOyK . a.ia)
Нужно обращать внимание на порядок сомножителей: матрица, соот-
ветствующая преобразованию, проводимому раньше, пишется правее.
Легко вычислить матрицы простых поворотов вокруг одной из осей
координат (рис.1.2 а,б,в).
- 12 -
Рис.I.2. Ортогональные преобразования систем координат путем по-
ворота а)вокруг осиХ, на угол 0 ; б) вокруг оси на
угол oi ; в) вокруг оси Х3 на угол .
Полдантельным считается поворот вокруг оси против часовой
стрелки. Соответствующие рис.1.2 а,б,в матрицы поворотов имеют
вид,- .
1 0 0
аГк = ад) = О case $<п©
* о -sine ес&е (1.13)
COid 0 Sind
= R(*)' = 0 10
-Sind 0 (1.14)
COS^ iinf ©
аГк = R(<₽) = ~Sinf caS*f 0
o' О 1 (1.15)
- 13 -
Очевидно, для нахождения произвольного неправлендя в пространстве
ортогонгльные преобразования (I.I3)-(I.I5) недостаточны. В атом
случае прибегают к ак называемому преобразованию Эйлера, которое
представляет собой последовательность элементарных поворотов .
а) б) в)
Рис. 1.3, Преобраз овэниэ Эйлера
Па рис.1.3 а отражено первое ортогональное преобразование исход-
ной системы OX(X?XjB промежуточную 0Я,112Хл поворотом Rllf) вок-
руг Х3 .(см.соотношение (I.I5)). Затем О.'/ДХ, преобразуется
в ОУ,Ух'Хл' поворотом R (!~) ) вокруг У, (см. (I.I3), и,
наконец, из О1/, У/Х/ поворотом ^(4*) вокруг X/ (см, (I.I5))
получаем "новейыую"оиотему координат OX/X/Xj (рис. 1.3 в). Сог-
ласно (I.I2), эти преобразования можно заменить одним:
R RG)R(0)RC0
С<л4 CCS'f CfSGiulsinks'»!0
-bln'hcvf' - cos^ cdCiiiii/1 cr^cfiOu-^l' eetywi&
stii6V(ny’ e "(?
С помощью (I.16) можно перейти от одного базиса к другому, ориен-
тация которого задана тремя углами Эйлера ( ’f, fe, ), т.е.
определить любой вектор в произвольной системе координат. Однако
свойства и эффекты в кристаллах уже не могут быть определены лишь
с помощью скалярных или векторных величин - и это их важнейшее
отличие от изотропных сред. Так, анализ явлений, возникающих при
деформировании твердых тел, можно выполнить, только пользуясь
Понятиями о тензорах 3,4 и более высоких рангов. Введем пред-
ставление о тензоре, применяя известную теорему тензорного анализа
&2] .
Для того чтобы совокупность величин , зависящая
от выбора бвзиоа, была тензором, необходимо и достаточно, чтобы
при переходе от одного tртонормированного базиса к другому она
изменялась по закону
. J.17)
Тензор - это ге четрическгй объейт, который оказался необходимым
при описании физических свойств кристалла во всем их многообразии
при самых различных комбинациях воздействий. Указаний закон
преобразования (1.17) позволяет нам однозначно вычислить физичес-
кое свойство или эффект в любой из использованных координатных
систем.
Чтобы измерить тензорное свойство кристалла, в общем случае
надо од. 1ать стол ко измерений, сколько ком онент в тензоре, опи-
сывающем ото свойство. Далее будет ясно, что чем выше точечная
симметрия кристалле, тем меньше независишх компонент в тензоре.
Пусть, например,’ в результате векторного воздействия
в кристалле возник некоторый эффект, определяемый вектором ~р .
Тогда, если векторы ? и заданы относительно ортонормированно-
го базиса соотношением (1.5), мы Можем воспользоваться определе-
нием (1.4) и записать:
Р< = ТцСр + + ХзЯз ’
m (I.I8)
Р* e Til + +%а^з »
Рэ *® 'Т$м Я« * Г^аЗа 4 »
поскольку в общем случае анизотропной среды эффект не обязательно
должен совпадать по направлению о воздействием. Коэффициенты Ту
опрделяют выйти* я характер отклика системы, в том числе и нал-
равление, в котором возникает эффект. В свернутом виде (I.I8)
запишется:
?< ’ • (1,19)
-IS-
IS новом ортонормированием базисе должно выполняться
pi' =Т<7' %•' . . (I.2O)
Пользуясь (1.5), запишем (1.20) в виде
Of'iPt - Tir Qq ' ц>2I)
Домножая (I,21) на Qy/ и выполняя пре образ овэния с учетом
(I.IU) и (I.I9), получим:
а/7 «<7 pi = Qj'j Ътаг; 3/ ~ TiJ' • а.22)
Менять порядок сомножителей здесь можно, так как определе-
ны в новом базисе и, следовательно, зависят от матриц обратного
преобразования.
По, пользуясь (I.I9), мн получим:
«Гу а1',Ту Cj>j = fyffy (1.23)
Сравнивая коэф1«цпенты при , окончательно имеем:
Т<Г “ °Jj a<'»TV «.24)
Это выражение совпадает по форме о (1Д7) для тензора вторг-о
ранга, т.е. из функциональной связи (I.I8) между векторами р и
у с необходимостью истекает, что коэффициента пропорциональность
образуют тензор второго ранга. Вообще, соотношением (I.I8) опреде-
лен ряд физических аффектов, играющих важную роль в кристаллофи-
зике, например овязь между электрической поляризацией И электри-
ческим полем, магнитной индукцией и магнитным полем и " д. Воз-
можны и более сложные функциональные зависимости, например, коэф-
фициентами пропорциональности между векторным эффектом и воздей-
ствием, обладающим свойствами тензора второго ранге, служат ком-
поненты тензора третьего ранга и т.п, В любом случае ранг тензора
в левой части должен соответствовать рангу свертки тензоров в пра-
вой части общего функционального соотношения (1.4), которое мы
можем сейчад записать в виде .
Ру...т “ > (1.25)
- 16 -
где тензоры Ду т и <^ке /ран: >в /7 и/т? представляют собой так
называемые полевые тензоры, а тензо,,7у л«е /.ранга (п -rr>) -
материальный тензор, зависящий от исследуемого кристалла.
Приведем примеры некоторых свойств и эффектов в кристаллах, опре-
деляемых тензорами П -го ранга:
тензор нулевого ранга (схал,’с) - теплоемкость, сжимаемость;
тензор первого ранга - пироэлектрический эффект,
электрокалорический эффект;
тензор второго ренга - диэлектрическая проницаемость.
удельная электропроводность;
тензор’третьего ранга - прямой и обратный пьезоэффекты.
электрооптический эффект, эффект
Холла, эффект диэлектрической
нелинейй'от?;'
тензор четвертого ранга - упругие постоянные, мэг^теотрик-
'дия, пьеэооптический эффект;
тензор пятого ранга - нелинейный пьезоэффект;
тензор шестого ранга - нелинейные упругие постоянные.
Итак, наиболее важными результатами, вытекающими из обЬих
физических соображений, в кристаллофизике являются представления
об однородности и анизотропии кристаллов. Вследствие относительно
больших длин волн воздействий в кристедлофизическом эксперименте
существует независимость результатов от конкретного расположения
атомов в элементарной ячейке. Симметричность строения кристаллов
позволяет применять в' анализе систем "кристалл-воздехйствия" и
"кристалл-физичеакле свойства” принципы симметрии Кюри и Неймана.
Наконец, из того факте, что эффект и воздействие на кристалл в
общем случае не совпадают по направлению, следует необходимость
применения боже сложных функциональных соотношений между тензор-
ным:, эффектами и воздействиями. Случай изотропной среды - частный
случай анизотропной среды, если считать, что скаляры и вектор -
это тензоры нулевого и первого рангов соответственно,
глш 2. ткрмодонамика пьеводишкикчесглх клют-ллов
'Все физические явлорчя, нозник<’ппио в крпстлллс при различ-
ных воздействиях, обычно можно описывать е помощью пидетпвлгнгай
- 17 -
об изменениях, внутренней энергии, т.е. термодинамики кристаллов.
В первую очередь нас будут интересовать малые электрические,
механические и тепловые воздействия. Для их описания мн будем
использовать такие понятия, как поляризация (электрическая), ин-
дукция и электрическое поле, механические напряжения и деформации.
Энтропию 5 , компоненты вектора электрической индукции Di и
компонента тензора деформаций принято называть обобщен-
ный! термодинамическими координатами, а температуру Т ., напря-
женность электрического поля Е; , компоненты тензора мехами-'
ческих напряжений Е^у - обобщенными термодинамическими
силами. Прежде чем переходить непосредственно к термодинамике
кристалла, нам предстоит выяснить физический смысл обобщенных тер-
модинамических параметров в приложении к анизотропному твердому
телу.
2.1. Основные уравнения электростатики кристаллов
Электрическое поле вдиэлектрическом кристалле характеризует-
ся вектором напряженности электрического поля Е , вектором поля-
ризации Т* и электрической индукции .
Запишем уравнения Максвелла для диэлектрической среды:
Vdt F = О , (2.1)
chtfiS в о ,
(2.2)
Из (2.1) следует, что , т.е. поле в диэлектрике
носит потенциальный характер. Уравнение (2.2) справедливо внутри
кристалла, где свободные заряды отсутствуют.
Рассмотрим для определенности зависимость г(Е) . В изот-
ропных линейных диэлектриках о высокой точность» выполняется
пропорциональная зависимость
= с/Е , /я яг
где о( - диэлектрическая вооариимчивостьореда. Из (2.3) следу-
8Т’ЧТ8 .
в-‘>
Вообще говоря, равенство (2.3) отражает эксперименталышй факт
пропорциональности Р и t и означает только, что в разложении
функциональной зависимости Р=£(Р)в ряд по степеням F
' ».5>
достаточно у тесть тсльк. первые два члена. Существование отлдчно-
го от нуля Р(р) возможно лишь в некоторых особенных случаях
(электреты, поляризация доменов сегнетоэлектрика).
Обобщая (2.5) на случай анизотропной среды, запишем;
Р( « ^(о) + + ... ~ &
В сокращенном ваде получим:
Р< = Р<(о) + ,
где
ром
ром сг нтанной гэляризации.
Поскольку
(2.7)
называется такзо-
^•6>) - векто-
«Ц * f. Ei •+ Pi » (2.8)
ф-Ь тх. /О) f £,,££* , (2. У)
Где -/g*®1-)" тензор диэлектрической проницаемости.
.'л С>
Отметим важные различия в рассмотревшее тензорах, лекторы Е.
, ft характеризуют электрическое поле в кристалле, все
они изменяются при его изменении. Напротив, вектор спонтанной по-
ляризации р(о) (спонтанной индукции ^56?) ), тензоры диэлект-
рической восприимчивости и прь.дадаемости не изменяются при изме-
нении поля, они хагактеразу»т диэлектрические свойства самого крис-
талла, независимо от наличия внешнего электрического поля. Тен-
зоры первого типа - полевые тензоры, поскольку они характеризуют
поле, второго - материальные тензор». так как они характеризуют
материал, ймеиид в Материальных тензорах нпражается различие меж-
ду изотропными и пгазо' чш. ли среда:®.
Рассмотрим простой пример конденсатора с анизотропном ди-
электриком; из примера ясно, как и дл». чего bi дятся векторы
- 19 -
Э , £ , P . Будем считать, что выполняется cl**»S , где'
d - толщине, S - площадь диэлектрика. Через п обозначим еди-
ничный вектор нормали к пластинке.
U. l.l.J.U.L.1.
&
it
u
J
Рис.2.1. Анизотропный диэлектрик в электрическом поле -
Главные поверхности металлизированы
i
'Пусть ось Z совпадает о нормалью к пластинке. Тогда выполняется
vp « *р(2), оде 2 •= Тг? . Под 1* подразумевается радиус-
вектор произвольной точки в кристалле. Поскольку металлизированные
поверхности пластины эквипотенциальны, легко получйть:
Ее-от^=-Й
о т . dF 42 7F J ? n . (2 I0)
Тогда из (2.9) имеем:
, (8Л1)
а иэ (2.2) получим дифференциальное уравнение для потенциала
. Общее решение этого уравнения имеет
<Р(г) = Л г +В .
Пользуемся граничным условием
и=Ш-*р(Л,
d Г® “ ' . (2.12)
вид ..
— ' 2U -
отсюда
q>(e)« + SPO) •
Используя (2.13), (2.10) и (2.II), получим:
(2.13)
(2.14)
По определению, плотность поверхностных зарядов есть нормальная
ооставлягчея вектора электрической индукции:
чад» = nt $>г.
Тогда общий заряд на обкладке конденсатора:
Q » =(su/j)^rnfnt , ;
а емкость конденсатора о анизотропным диэлектриком:
Понятно, что емкого есть функция направлен~я в кристалле.
Например, для тетрагональной системы овертка fti Иг
имеет вид
_ (hS^)e2fi. -
~ + (pa4
Здесь введена зависимость от индексов направления по
соответствующим правилам:
♦» . ' „ t Й
2.2. Тензор напряжений
Золи теле находитсянад действием внешних аил илд если лю-
бая часть тела действует а некоторой силой на другие его части,
« говорят, что это тело находится в напряженном состоянии. При
деформировании кристалла возникают силы, стремящие,ад восстанови1...
его первоначальную конфигурацию. &щ эти, как показывает теория
кристаллической решетки, етьсвятая к близкодействующим: эффектив-
ный радиус их действия ис превышает нзокалыж постоянных рещетк...
Расомстрим выделенный внутри тела некоторый элементарный объем,
- 21 "
много больший объеме элементарной ячейки. Ясно( что сила, действу-
ющая вследствие деформация на этот мысленно выделенный объем. пе-
редается только через ограничивающую его поверхность - в овязи п
бливкодействием сил. Такие силы, естественно отнесенные к единице
площади, называются напряжениями. -
Однородное напряжение
Напряжение называют однородным,, если силы, действующие на поверх-
ность элементарного объема выделенной формы и ориентации, не за-
висят от положения ’Этого объома в теле.
Рассмотрим куб о ребрами единичной дойны, находачийся под
однородным напряжением в равновесии (рис.2.2 ).
S1.
Фи
—«- 0Ха
Рио.2.2. Распределение
компонент напряжений в
элементарном объеме
Силу, приложенную к каждой грани, можно разложить на составляющие,
бозгя'шм через ff-lj компоненту силы, действующую в направлении
+ОХ^па грань куба, перпендикулярную O)Q ; например, &. -
сила, действугпшел в направлении ОХ( на грань, перпендикуляр-
ную ОХг : - нориять/шс компоненты напряжения;
«и . ^з. «лз Я т.п. - сдвиговые (тангенциальные) компо-
ненты напряжения. Положительные соответствуют растяжению.
Предположение о статическом равновесии куба налагает условия ня
компоненты . Рассмотрим простое доказ. тельство р. >енства
компо евт ST] “fyi . На рио.2.3 представлена проекция рас-
пределения напряжений в плоскости, перпендикулярной оси OXf .
- Элементарный куб в данном случае подвергается растяжению.
-йа
б»
-♦у X»
Рис.2.3. К доказа-
тельству оишатрич-
нооти компонент 61,
К,
’22* '
Из анализа рис. 2.3 , на котором компонента @ij показаны в соот-
ветствии о данным выше, определением, ясно , что при золовки рав-
новесия этого куба в теле следует равенство бц* <ij; . ( Пред-
положив противное (пусть, например, > $зг )» получим, что
элементарный объем должен вращаться по часовой стрелке).
Здесь следует под эркнуть, что оказанное справедливо именно
для случая однородной оплошной среды. Упомянем неоднородные мате-
риалы, например диэлектрики о вкраплениями намагниченных или
электрически поляризованных частиц, которые могут вращаться в маг-
нитных и эл (трических полях при общем равновесии тела.
Сейчас нс бходимо доказать, что величины . Gfj образуют
тензор. Воспользуемся доказанным в д.1.3. утверждением: если сово-
купность величин Ту связывает компонента векторов "р и
уравнениями вида (I.I8), то Ту подчиняются закону преобразования
теаэора и являются тензором ьторого ранга.
лДя доказательства выделим в напряженном растяжением теле
элементарный объем в виде тетраэдра (рис.2.4), находящийся в рав-
новеси .
Рио.2.4. К доказательству тензорного характера напря-
, жений
Пусть к грани АВС с площадью S приложена 0JwaJ$S , где
М - произвольная малая площадка на ‘ВС. 1Г - нормаль к АмС.
Найдем условия равновесия тетраэдра. Очевидно, что силе Р долж-
на быть уравновешена компонентами напряжения , .приложенными
к другим граням. Разложим Р ва соотродяадие Р, , Ра ,
Рэ . Йапр®»е₽,
и для
'3 •

6*л »»
(2.18)

- 23 -
Влвс 2
или
р, 22 £«f/h 4 Ф* 4 ^*t»ni , (2»17)
поскольку
ВСС « Л0С-И< .
Действительно, выполняется:
op , 81Г „ л- ых./ю = J-лве-ор.
ч <0 Т" г *"
Аналогичные уравнения можно запи<
Окончательно получим:
Pi « + f„J1* +
pa ® 4 А* 4
Ps * €х Ht + о’мП, +
пи, в оокращанном вице,
Pi e
Соотношение (2.19) представляет собой условия равновесия произ-
вольно выделанного объема в напряженном кристалла и играет важную
роль как одно из граничных условий в теории распространения волн
в ограниченных средах.
Соотношение (2.19) по форме и смыслу совпадает о Г.18),что
позволяет нам считать компоненты тензором второго ранга,
который симметричен по перестановке индексов.
Рассмотрим его. геометрический омыол. Для этого запитаем урав-
нение поверхности второго порядка
Пусть Выполняя суммирование, получим:
S,, а,1 < SKя! 4 S3J^ I 2SMoca-x3+23139Г,ОГЛ + gs,, 1.
- 24 -
1 •
Это общее у равнение поверхности второго порядка с центром в нача-
ле координат. Преобразуя эго к ковам осям координат
Л/ » ЛЛ-аГг'
-Гу « а<; сг<
ПОЛУЧИМ1 ,
QttiQfj * Г
или J
ь'нъм = 1,
вде
S'rf ~ afj .
Это преобразование тождественно о определением (1.24) тензора
второго ранга. Итак, коэффициенты Sij поверхности второго по-
рядке преобразуются подобно компонентам оиьметричного тензора
второго ранга. Поэтому данную поверхность называют характериоти-
теокой поверхностью (ХП) второго порядка для тензора Sy , Она
может быть жопольаована для графического представления любого
свойства кристалла, описываемого тензоре • второго ранга.
Важным свойством поверхности второго порядка (ЦВП) является
то, что она обладает главными осями, по отношению к которым об-
щее уравнение ПВП приводится в упрощенной форма:
г s3^ « г. ^2I)
Симметричный тензор, приведенный к главным осям, также упрощает-
ся:
Вря этом полуоси га имеют длину V/sJ л/^ > . Когда
S, , Вд , S3 положительны, ХП представляет собой эллипсоид
общего вада.
Яолк ада главных значения полажителзди, а одно отрвдатальни,
Я1 является однололоотным гиперболоидом. Если одно положительно,
а дна отрицательны, то поверхность - двуполостный гиперболоид.
Тензор также можно привести к главным осям:
’ F,,-
&4t 6*2 6*J
.6» 6*И
- 6< О 0 1
о 6** о |
о о j
где е, , 6* , € - главные напряжения. Когда направлен.-Я плат-
ных напряжений выбираются в качестве соей коорд.нвт, сдвиговые
компоненты напряжений исчезают.
. Ввд тензора механических напряжений для некоторых специаль-
гнх случаев Простых напряженных состояний, реализуемых на практи-
ке наиболее чэото, показан в табл.2.1.
Таблица 2.1
Простые напряженные состояния
Вад напряжений Тензор механических напряжений .
Одноосное напряжение г $ 0 О ООО
[ООО.
Двуооное напряжение Ц 0 01
о е» о
О О О*
Напряжение чистого сдвига' г-е о о'
0 «S' о
-- _ о о о J
Гидростатическое сжатие - р 0 О или - Р Q2J о -р ° 1
• • 1 О О-р1
2.3.Тензор деформаций
Для описе гия реакции поведения упругой системы на механичес-
кое воздействие введем новую величину - вектор смещений

< t (2.22)
да ? - радиус-вектор точки в твердом теле до деформаций»
7*' - ш.ию деформации. Очевидно, что задание Щ( аг;) при из-
вестном начальном положении точки полностью определяет деформацию
тела в абсолютном выр женин. Чаще» однако, пользуются величинами,
определяющими относительные деформации в теле.
Рассмотрим две бесконечно близкие точки (расстояние dof< ).
Тогда после деформации имеем:
<«<-?«;
Расстояние между точками до деформирования можно определить в
вида ______
dt » 4 Jac* + 4а?/ ♦. 4 а* . {2 24)
После деформирования оно станет равняй:
dl ® 4(е4>7)* 4(4•Х,'У < С4«;)а/ (2.25)
Возводя (2.24) и (2.25) в квадрат, получим;
Поскольку
<4 € * -s d Btj 4 «X; в(4 Я{)ж ,
(40* * (4 «/)• « С4ос; +4ц;у.
4 Uc * srgr 4 Xi
. , то
» б4е)‘ * 2 4«<4*г *
(2.2в) воояользуамся тем, что
(ХУ
При аяалм
ч ЭС<
“*** .
поскольку суммкрвванве ведется по “номим" индексам.
*27 * * ?
Тойа _ ' - • » .
(cl?')’ s
» (&.K + “CuctaicloCc , (2.27)
где приняты обозначения: .
- « ±m+2Км ц. ЖЭ^-\ — тик.чазнва-
Ч« ₽ 2 \Ъгк (2,28)
емий: тензор деформаций, который применяют при анализе бесконечно
малых Деформаций, когда можно пренебречь квадратичным членом в •
скобках;
Cix e Site * 2 .
(2.29)
тензор деформаций Грина, применяемый при анализе конечных (боль-
ших) деформаций; величины '^Дг^-гродиенты деформаций. Из опреде-
лений (2.28) и (2.29) ясно, что вновь вводимые величины и
симметричны по перестановке индексов.
Как и вейкий симметричный тензор, грс можно привести к
главным соям в каждой данной точке. Это значит, что можно выб-
ыть такую систему координат (главные оои тензора), в которой из ’
войс его компонент на равны нулю только диагональные:
В системе главных осей тензора элемент длины имеет вид
(d?')’ С&м + » (f-»2^6))dar’*
+ <2,30>
В каждом элементе объема теле деформацию можно рассматривать как
совокупность трех независимых деформаций по трем взаимно перпен-
дикулярным направлениям - главным ооям тенВорв, Каждая из этих
деформаций представляет собой простое растяжение (или сжатие)
вдоль соответственного направления: длина dec, вдоль О, прев-
ращается в длину da,' и т.п.:
da/ = •! <4 2^’’ da; .
. - ж -
Найдем относительное удлинение вдоль какой-либо оси:
~ ^1+2ПМ‘ ~ f .
dOQ - С (2.31)
Практически во всех случаях деформации твердого тела остаются ма-
лыми, т.е. относительное удлинение меньше Г. За исключение л не-
которых оообых случаев (деформация тонких стержней-,- изгиб тонких
пластинок в цилиндрическую поверхность) смещения также малы. Поэ-
тому для случая малых деформаций можно запиоять соотношение для
тензора деформаций, пренебрегая членом второго порядка малости:
Ч* »-rte Ла?) •
(2.32)
Тогда из (2.31) и (2.32) следует:
<4 + 2^ - 1 Я 1 + А ^ГП
т.е. относительные удлинении равны непосредственно главным значе-
ниям тензора деформаций.
Рассмотрим изменение какого либо элемента объема при дефор-
мации dV -*• <4Vх (в главных осях):
- V - da, Uocg.olocs
dV' = dor; « C<+
Либо, пренебрегая членами порядка выше второго, т.е.
им&£м«
dv= dv (<1
Однако сумма диагональных компонент (так «азы >
емый инвариант тензор^- величина, не зависящая от выбора системы
координат. Следователь!' , г носитсльяое изменение объема тела
при деформации можно представить в вада
.. - • (2.33)
- 29 -
Деформация и симметрия кристалла
Деформация кристалле не есть материальное овойотно, как,
например, диэлектрическая проницаемость и т.п. Деформация - эти
реакция кристалла на воздействие (напряжение, электрическое поле
в случае пьеэрэффекте)., В этих случаях величина и направление
гландах деформаций определяются как физическими свойствами и сим-
метрией кристалла, так и величиной и направлением воздействия-. -
Следовательно,симметрия тензоре деформаций,так же как и тензора
напряжений, относящегося к полевым тензорам, не обязательно долж-
на согласовываться о симметрией кристалла, если само воздействие
не согласуется о ней.
Однско деформация может быть также вызвана изменением тем-
пературы (тепловое расширение). Воздействие в этом случае - ска-
лярное, и результирующая деформация должна согласовываться о сим-
метрией кристалла, в частности о симметрией материального тензо-
ра теплового расширения.
. 2.4. Закон Гука для анизотропной среда
Упругие тела характеризуются- тем, что наличие в них дефор-
маций, вызванных внешними оилами, влечет за собой появление внут-
ренних напряжений, стремящихся уничтожить ети деформации. Коатому
при снятии Внешних сил упругое тело возвращается в качельное сос-
тояние, в котором нет ни деформаций, ни напряжений. Таким образом,
между деформациями и напряжениями в упругом теле существует опре-
деланная связь. Ограничимся рассмотрением абсолютно упругого тела!
в любой ого точке напряжения в данный момент времени полностью
определяют. деформации этого тела в той же т. чке в тот ж. момент
арене, и. Лри достаточно малых деформациях так ведут, себя большин-
ство кристаллов и некоторые аморфные' тела. Значит, можно записать!
Разлагая .эту функцию в ряд, получим:
* ^4r(o) 1 J]*- * -
. ?•* (2,34)
зи -
Условие малости деформаций позволяет нам ограничиться членами
не выше первого порядка малости. Абсолютная упругость тела пред-1
полагает отсутствие остаточных (пластических) деформаций, благо-
даря чему Ь^с (о) «» О .
В результате приходим к линейной однородной зависимости меж-
ду компонентами тензоров напряжений и деформаций:
61 и- « о *ге»и ^tn> >
. ' (2.35)
которую естественно назвать обобщенным законом Рука для авизот- *
родных сред. Kiukho доказать, что совокупность величин
образует тензор четвертого ранга и называется тензором модулей
упругости или упругих постоянных. Поскольку и -.•симметрич-
ные тензоры» то также обладает свойством инвариантности отно-
сительно перестановки индексов в парах -£|с , Си» . Далее станет
доно, что есть перестановочные соотношения, оставляющие тензор
неизменным и при перестановка пар индексов: . Другая *
форма ьзпиои зек.ла Гука - зависимость деформаций от напряжений:
** €(к f
1 , (2.36) .
где тенвор упругих податливостей, имеет те же перестано-
вочные соотношения. Между катрвдеми 5 и С существуют соотноше-
ния взаимной обратнооти. Запишем (2.36) в виде
и подставим в (2.36):
Э^О соотношение должно выполняться при любых 6" , т.е.
Полностью одределить упругое поведение кристалла можно.'если
задать (измерить) вое независимые компонента материальных тенэо~
ровСуе< яадЗуи*. '
2.5. Условия равновесия и уравнения движения упругойсреди
Рассмотрим более подробно выражения для мы, действующих
ор стороны элементарного напряженного объеме но окружг-щее его
тело. С помощью (2.19) выражение дли силы, действующей.через эле-
мент поверхности JS* наделенного объема, можно записать в виде
' М) ,
, где - единичный вектор внешней нормали к поверхности. Интер-
нируя по замкнутой поверхности, получим:
и -6&rUs . ' .
... ' < , <2.38) •
Интеграл па поверхности мы можем преобразовать в интеграл по
объе:у о помощью теоремы Оотроградокого-Гаусса:
& « J •
’ * (2.39)
Учитывая действие силы тяжести (объемной силы) и выражение
(2.39), составим уравнения движения для выделенного элемента
объема:
v v * (ЗЛО)
или для единицы объёма! -
В большинстве случаев сила тяжести мяла по сравнению о другими
силами. Тогда, пользуясь также (2.22), получим: .

- 32
I '
Уравнения (2л1) - так называемые уравнения движения упругой
анизотропной среда - играют важную роль при анализе распростра-
нения упругих водн.
При ста.ичеоком равновесии-ускорение всех точек равно нулю,
т.е. выполняется
Это'условие равновесия упругого тела.
2.Ь. 3i ргия деформированного упругого тела
Рассмотрим доведенную за время сИ работу внешних сил, дей-
ствующих на тело. Пусть за это время смещения точек тела изменяют-
ся на <? Ui .
Тм’да работа силы тяжести равна
Работа поверхностной силы |ввиа
<£> pi do , . -
Подставляя в последнюю формулу выражение для pi из (2.19), по-
лучим!
ф J'S*.
Преобразуем интеграл в объемный:
Вследствие' симметрии 6J,K имеем:
Таким образом, суммарная работа внешних объемных и поверхностных
сил за'время dt равна: *
* ъ у V
' в + + >
, ( .
где 01=<ЭЙ^~ объемная оаотнооть оил, вызванных напряжениями.
Из уравнений движения следует:
Кинетическая энергия тела на единицу объема равна:
Be изменение за время dt будет таким:
£М «= сН J
Получаем:
и V »
Для единицы объема выполняется:
• • Sa = Sw + GiirSi{iK .
: . (2.44)
Очевидно, что соотношение (2.44) представляет собой закон сохра-
нения энергии при деформировали абсолютно упругого твердого тела.
При выполнении у слоняя статического равновесия SW «о
(iii «о) и » '
- 31 -
8^ €iKS^K (2,45)
Это соотношение представляет собой потенциальную энерАпо дефор-
мирования упругого тела.
2.7. Энергия кристалла в электрическом nogs
Представим себе, что электрическое поле, в которое помещен
диэлектрик, создается заряжёнными проводниками. Предположим для
простоты, что есть один проводник с зарядом 6 и потенциалом ’Р
Работа, -.отопую надо затратить, чтобы увеличить заряд проводника
на <Se, , равна;
8 А =>
(2.46)
Известно, что поверхностная плотность с орядов._ч6’ равна-нормальной
составлявшей вектора электрической индукции J2)„[. Тогда
ё •* 6" 4з » - ,
поэтому
4$ ® —-5 ,
7 (2.47)
тдк как f»ce»>st на поверхности„проводника. При записи (2.47) мы
пользовались теоремой Острсградокого-Гауооа. Запишем далее:
Итак,
у ;
ш.4 на единицу объема подучим:
(2,4В)
так как работа электрического поля вдет на изменение потендаяль-
ной энергии кристалла.
- .% -
2.8, Инвариантнне термодинамические потенциалы
Итак, мы получили явный вид изменения энергии кристалла пр"
малых механических и электрических воздействиях. Ясно, что любое
воздействие изменяет внутреннюю энергию кристалла и, пользуясь
строгим термодинамическим определением этой функции состояния
кристалла, естественно попытаться определить ряд. Физических эффек-
тов в кристалле, а также его материальные постоянные. Для этого' .
запишем выражение изменения внутренней энергии электг'ческого
кристалла при бесконечно малых тепловых, механг-’еских и электри-
ческих воздействиях [13] :
Ц = TS + Е< Vi* »
L (2.49).
ju =t4s+eU%+ ,
(2.50)
где Я - энтропия, Т - абсолютная температура.
Эта формула позволяет считать внутреннюю энергию термодина-
мическим потенциалом относительно обобщенных термодинамических
координат S , 'Sbi , , поскольку любая обобщенная термсдинамичео-
г.ая сила равна производной внутренней энергии по ооотвотс .'вую-
шей координате при постоянстве остальных переменных, т.е.
U = U(%, •Jic’S) .
- (2.51)
Однако в качестве независимых переменных удобнее использовать
не обобщенные координаты, а обобщенные силы, так как о. лчно мы мо-
жем управлять температурой, электрическим полем, механическими
напряжениями. Напротив, сложно регулировать энтропию, электричес-
кую индукцию, деформации. Поэтому наряду с внутренней энергией
используются и другие инвариантные относительно преобразований
точечной группы кристалла термодинамические потенциалы. Например,
термодинамический потенциал ( в узком смысле), или потенциал
Тйббса
G = W-TS-ED-6*7 , (2.52)
4G == - d£l - 3JT (2.53)
является функцией в , £ , T .
Итак, редставленные термодинамические чргенцивлн - функции
трах величин: скаляра, характеризующего тепловое состояние крис-
талла, вектора, характеризующего его электрическое состояние, и
симметричного тензора'второго ранга, характеризующего его механи-
ческое состояние.
Всего имеется восемь сочетаний указанных величин и соответ-
отвеннс восемь термодинамических потенциалов. Все они строятся
из внутренней онергии посредством вычитания произведений:
TS , Et'JJt , Ctie^iK (таол.2.2.).
Таблица 2.2
Инвариантные термодинамические потенциалы
И Название Определение Полный дифференциал
s/s.____________________I,'-,-.- _____________________________
I 2 Внутренняя энергия UeU(‘J,%S) <4U =GiK4^i«+Ei.®bi+'TdS Упругая энтальпия Н,**НД6’,’Ь,5) = -4<Kd6iK+fcidt>;+T<4S
3 . Электрическая эн- нг = Н/ч, Е,S) d 4 T<’S тальОДя Цг, Ц-Е^
4 Энтальпия и ж ц
Оаобадяая энергия
6
6
7
F » U -ts
Увругай термодина-
мический потенциал

модинамичеокий no- .
S=U-O-TS
г и
- 37 -
8 Термбдинамичеокий no-
тенциал (потонитал „ ,...__ -
.Woo) ff.U-^-ED-TS
Первые четыре потенциала: U ,14,,^ , Н - наиболее удобно
использовать в адиабатических условиях опыта, когда а3 = 0 .
^против, F , (?4 , С1г ,С- в изотермических условиях: dT«O . '
Инвариантность термодинамических потенциалов относительно группы
симметрии кристалла вытекает из инвариантности U о.носи-
тельно Q„ , так как U - скалярная функция состояния, не за-
висящая, от того илй иного направления в кристалле. Каждое из про-
изведений: TS , -является скаляром и, следоиатэль-
:о, инв01иантно относительно любых преобразований кристаллической
симметрии. Отсюда следует инвариантность и остальных семи потен-
циалов. Пример но инвариантного потенциала: - ЕЛ (зави-
сит от-направления в кристалле).
Разложим термодинамический потенциал Гиббса в рад,Тейлора:
G , Б, ,Т*) ж С (О)+6^,Д - 6W0)) * (2.54)
+ тб-Бк®) *-
Разложение производилось в рад Тейлора относительна положения
равновесияпри котором должно выполняться: б^к(о)=о, Е/ (р)= О ,
Т’1в, sto)-o, (~f~Y =0) _0
^'7>6;к w.Ej-o \Ь Е</<,£г «о '
Первые’ производные равны нулю в оилу требования минимума термоди-
намического потенциала в положении равновесия. Тойа разложение,
можно записать в эквивалентном виде, “при этом уштываится только'
вторые проиэ-однне (отрицательный знак возникает в силу требова-
ния минимума)»
'-и;.Е(е,-р:ьАТ-«Г,б;.дТ.^<4т)«, <2’а)
- тензор упругих податливостей,
тензор диэлектрической прони-
цаемости,
- тензор пьезомодулей,
(2.56) ,
»
- пироэлектрические’ коэффициенты,
- коэффициенты теплового расши-
рения.
Верхние индексы в обозначениях постоянных соответствуют постоян-
ству тех или иных термодинамических условий, в которых определен
этот хоэффидаент.
В;,« f2»w нами - чисто формально - введены члены, он-
ределлоиив ве упомянутые пока эффекты в кристаллах: пиро- и пьезо-
електрический.Вприродетем не менее в действительности существу-
ют 'эти .-аффекты-, -определенные. Амв из ормк общих соображений.
Подробнее речь о rare нейдет ниже, а сейчас отметим, что обрйтний
пьезоэффект был открыт лишь после его термодинамического предок,.*
: зания.Таким образом, в (2.56) мн получили термодинамические опре-
деления материальных вротоянных: упругих, диэлектрических, пьезо-
»леятричеокпх_и коэффициентов теплового расширения. Из определен
ния упругих податливостей следуют дополнительные перестановочные
соотношения, оставляющие' тензор неизменным:
' ' . ' -*•
. S<U«a. *
(2.57)
Из определения электрической проницаемости имеем:
' . * **’'• (2.68)
Для тензора пьезомодулей ив (2.56) получаем: „
' < d«i< • Лиг.
.. Аналогичные определения можно получить и о помощью других'термо-
динамических потенциалов.
, ' 2.9. Уравнения состояния
Значительно чаще термодинеми’юоких потенциалов для описания
термодинамического состояния кристалла употребляются уравнения
состояния. Их явный вид можно подучить путем дифференцирования
. потенциала пр одиой иэ переменных. На примере потенциала Гиббса
выведем систему уравнений состояния. Для этого надо воспользовать-
ся выражением полного дифференциала й Яиным видом и из
^.52; и (2.53): '
.и.„ z= ** Sum+ c/u aT ,
7<< rXu/e.r . '
' «V ' - (2.69)
• -$£)«-& E. *P’aT. '
• ; . '
Первое уравнение дает зависимость деформаций кристалла от механи-*
чеоких напряжений, (обойианный закон Гука), элекчричеокого воля
(обратный пьезоэффёкт),'температуры (тепловое расширение). Второе
уравнение - зависимость электрической индукции .от электрического
поля (материальное уравнение электростатики), механических нап-
ряжений (прямой пьезо^ффект) и температуры (пироэлектрический
эффект). Третье уравнение показывает, что изменение энтропии свя-
зано не только с изменением температуры, но'и а изменением элект-
рического поля (электрокалорический эффект) о. воздействием механи-
чески# наир.гений (пьезокалорический эффект).
. Из |Лерво1 > и втором уравнений (2.59) следует, что и прямой,
и обратный пьезоэффекты определяются одам и тем жа тензором тре-
тьего ранга; Это•означает, что йьезозффект обратим. Отметим также,
что между собой равны и коэффициенты пироэлектрического и элект-
рокалоричёокого эффектов.
дасним физический смысл коэффициента о( в (2.55):
Пусть Е»€»о . Тогда
A S = S-S. • —IJ дТ ‘
При этом единица объема кристалла получит теплоту
Q = Ср дТ ,
рда Ср -^отнесенная к единице объама теплоемкость кристалла при
постоянном электрическом поле и постоянных механических напряже-
ния^. '
С другой стероны, , v

. Отоада
- 41 - - s y
Проанализируем третье уравнение (2.56). Под действием Е из-
меняется энтропия единицы,объема пироэлектрики! •' •
aS =»piB< •
Кристалл "поглотает" теплоту:
-©••T.aS -T,PiEt-
1 (2.61)
((поглощение энергии будет, если угол между и Е - оотрый).
Подвергнем кристалл, действию 6*^ в изотермических условиях в от-
сутстви электрического поля:
O-XaS -Хобкби.
- (2.62)
Теплота поглощается, если напряжения и тепловые деформации совпа-
дзют,пс направлению, и выделяется в противном случае. Ооотноше- ,
кие (2.61) показывает, что о помощью электрического поля мы можем •
изменять тепловое состояние кристалле за счет элекФрокалоричеокОт
го эффекта, существующего в пироэлектриках.. Из (2.62) ясно, что
^нвЯЬгичные изменения возникают и при механическом нагружении крис-
талла'. ' • ; '
2,10. Об определении материальных постоянных ' ' '
Исходя из уравнений, состояния, можно дать аше одно опреде-
ление материальных коэффициентов. .
Рассмотрим уравнения - ' -
IJ.k *“ + deiicEe + </^ХТ ,
' (2.63)
«= Er + d-cir бек + р"» ЛТ • . 1
Дифференцируя ио термодинамическим переменным, найдем:
5.те g-,, —Л
Л? _ f ( yg л
-42- ...
,Из определения (2.64) .снзорапьезоэффекте ясно, что эти коэффи-
циента можно измерить, исследуя как зависимость деформаций в крис-
талле от приложенного электрического поля, та» и з&иоиморть алек-
. тричеокой индукций от механических напряжений. -
Нами п.лучены определения материальных постоянных эффект©^
первого порядк, (линейног приближение). Для описания эффектов Фо-
лее высокого порядка - нелинейных, (нелинейный пьезоэффект, элект-
рострикция, диэлектрическая нелинейность,упругая нелинейность,
упруго- и електрооптИчеокий эффекты) - необходимо записывать тер-
модинамический потенциол и уравнения состояния с учетом высших
членов в разложении. /
2. II. Соотношения между коэффициентами, измеренными прй
- различных условиях
< Из эксперимента известно, что коэффициенты, херактеризуюцие
свойства кристаллов, могут зависеть, и иногда значительно, от ус-
ловий измерения. Например, механические свойства кристалла зави-
' оят от электрических условий, в которых он находится (замкнута
или разомкнуты обкладки пьезоэлектрической 'пластины), в электри-
ческие свойства - от механических условий (Может пластинка свобод-
но деформироваться или нет). Теплоемкость кристалла определяется
как механическими, тек и электрическими условиями, при'котерах она
измеряется. Рассмотрю! наиболее важные условия опыта [I.Il] .
' Т» (изотермическое изменение). Это условие выполняет-
ся, когда эксперимент проводят настолько медленно, что кристалл
вое время находится в равновесии с окружающей средой,
- (4з-о) (адиабатическое изменение). В этом случае кристалл
не должен ни получать, ки отдавать тепло. Такие условия всегда
реализуются ш выедкодаототнвх упрун„; имебаняях кристалла «ли ‘
Др» этом протекающие
ле процессы отмь Фиат, меад частями кристалл*
отст-эт от » едомотио
MS ДЫМ »
- Const , •• ; Арле E будет оставаться равным нулю, если
вся поверхность кристалла находится под одним и тем же электричес-
ким потенциалом (кристалл электрически свободен). Отметим, что
такие условия реализуются при распространении упругих ноли в ная-
- ' равлеииях без продольной пьезоактивности.
^**со?&^_ ®оли ВДДУКПЯЯ в кристалле постоянна, то
Жта-о .-Следовательно, любое изменение ? за счет пье-
зр- или пироэлектрического эффектов должно компенсироваться равным
и противоположным изменением £»к . Некие условия реализуются при
распространении продольно пьезоактивных волн в пьезоэлектрических
кристаллах.
Рассмотрим также случай полностью изолированной тонкой кристалли-
ческой пластинки (рис.2.5), причем выделил область только в цент-
ральной части пластинки. Пусть вне кристалла £>=О . Поскольку на
Границе двух оред носильная компонента 5§ должна сохранять неп-
рерывность, внутри пластинки могут существовать только компоненты
' . параллельные ее поверхностям. Напротив, напряженность поля
дожив быть перпендикулярна поверхности пластинки вследствие
непрерывности на границе ее тангенциальной составляющей ( Е*1 я
Рио.2.5/Взаимное расположение-векторов Z) , с ,г й
изолированной пластинке
' » ' 1
Поляризация Н в общем случае будет направлена под некоторым уг-
’ -44 - "
лом к поверхности. Поли поляризация перпендикулярна к поверх-
ности пластинки, то , при этом £• - деполяризующее поле,
создайте погррхнсстныьи зарядами, - будет полностью компеноиро- • ,
вать Р (£,?“-? ), Ориентация вектора определяется * помимо
ориентации ? , видом тензора диэлектрической восприимчивости
. , который различен для кристаллов разных категорий. Речь, сле-
довательно, идет о выборе определенных направлений в кристалле, в
которых .И только в этих случаях в изолированной пластинке
индукция ' 35 будет постоянна (равна нулю). Итак, для роущеотвле-»
ния условия ?-0 достаточно, чтобы поверхность кристалла была экви-
потенциальной, Однако для выполнения 3’5 изоляции кристалла .не-
достаточно, необходим выбор ориентации пластинок. Если выполняется
условие t-o, то говорят, что кристалл электрически зажат,
ff- oo"st Механически свободное состояние (6у»о)
можно риближенно осуществить, укрепив кристалл таким образом, что-
бы деформации могли происходить как можно более свободно.
Та” се условие, в частности,реализуется при колебаниях пьезо-
электрических резонаторов на низких частотах.''
У ” comt, Чтобы деформации были постоянны, к кристал-
лу необходимо.приложить такую систему механических напряжений, ко-
торая обеспечивала бы постоянство всех компонент деформации. Мож-
но очитать при этом, что кристалл окружён со всех сторон средой
о бесконечной жесткостью. Когда Qy = 0 , то говорят, что кристалл
механически зажат.
Очевидно, данное состояние реализуется в экспериментах с гид-
ростатическим сжатием кристалла. Приближенно такое состояние реали-
зуется и при колебаниях пьезоэлектрических резонаторов на высоких
частотах. Чйще же, анализируя условия конкретного эксперимента, I
надо говорить о. постоянстве .(равенстве нулю) только определенных/
значений компонент деформаций.
Рассмотрим уревйедая состояния, принадлежащие термодинамичес-
кому потенциалу С :
‘и «т f
fa* » + ,
гк яЯ£е it ' • < — (2,65)
aS *
Коэффициента S » £ . cJ измеряются при постоянной температуре
Подсчитаем их величины при адиабатических условиях. Тогда выполни
ется
дТ«~*-Д5 - -JkpiEi .
11 С** . (2.66)
Пусть , т.е.-энтропия может быть постоянной, ио S*5« .
, Подставляя (2.66) в первые два уравнения (2.65), получим!
вь с*-0^* 4 (c/jix " 3®- р(<Лк) +
L СР , СР Г.) 7 J (2л.7)
+ (Suem ~ £€|И ,
Величины в круглых скобках в (2.67), очевидно, представляют собой
материальные постоянные, определенные относительно других, нежели
Из (2J5S) ясно, что различие между коэффициентами £ и J
(2.68)
» из-
меренными в изотермических и адиабатических условиях опыта, возни
кает для пироэлектрических кристаллов. Другим важным о. щотлием
етях соотношений являются неравенства
•Нк.к SikJm
еД * ETt
Запишем уравнение состояния исходя из термодинамического потенциа
ла, Н (табл.2.2):
- 46 -
ч<- -
и ~ ,йНУ<,*$.г Е*+&п+ ё p*aS •.
•* / **г
1 •
Получаем, что уравнения Состояния (2,69) и (2.6?) тоздественны,
т.е.,таким образом, всегда можно заменять какую-либо независимую ,
термодинамическую переменную, учитывая, конечно, изменение физичес-
кого смысла гзтериальных постоянных. Рассмотрим снова соотношения,
(2,65). Пусть /7=0 . Тогда
• (2.70)
Пусть гЦи=о. Этс соответствует условию ij»ea«et (механически зажа-
тий кристалл). Умножим первое уравнение (2.70) на
либо в эквивалентном виде;
О - CfHjixSutmcKw»
Но СрЦк &скетс Зр«$<}т.а1разим<1§<пр подставим во второе уравнение
(2.70) . разделив затем на dEm .
(2&л -faa.\ =. /2&.1/"»,л
' V3e.?t l'Si,«J.v»e-Jr\'!>«'n'E
ли^о:
(Т«е<ч»1)
(2.71) -
- 47 -
Это различна обусловлено пьезоэлектрической попрввкоМ ж ,ДК -
электрической проницаемости. Физический механизм различия <Е* ж £
состоит в следующем. При измерениях £ на низких (единицы хПг)
частотах переменного электрического поля происходят - за счет об-
рятйого пьезоэффекта -механические колебания,кристалла, при ко-
торых, уже путем прямого пьезоэффегтэ, возникает дополнительный
вклад в электрическую поляризацию кристалла. При повииеюги частоте
. измерений возникают условия для совпадения собственных резонанс-
ных частот механических колебаний обрезов с частотами ииг-ритель-
ноге сигнала. Это выражается в резонансных измг'вниях диэлектричес-
кой постоянной в облаети частот, 50-100 МГц, называемой "областью,
пьеэоэлектрлче'оклх резонансов". Измерения в этой области'некоррект-
ны. Поэтому измерения £’ производятся на более высоких частотах,
где фактически выполняются условия механического зажатия образца.
.Можно такие, пользуясь соотношением (2.71), вычислить Е* , приме-
няя надежные денные о "низкочастотной" £* и других материаль-
ных постоянных. Аналогично мокко получить и другие ягермодинвмичео-
кде'соотношения. Запишем ряд полезных формул;
5. — S.jge а ~ <^mij clmte &пи
«.та>
упругие Изотермические) податливости в электрически зажат.л и
электрически свободном состояниях. Различие за счет так называеглой
пьезодобавки. Эта формула характеризует разницу-в упругости^изме-
ренной в направлениях о продольной пьезояктавноотью и без- нее,
6

f^.eend) (£.73)
теплоемкость (при постоянных напряжениях) в электрически зажатом
и электрически свободном состояниях (термоупругая поправка к теп- •
лоемкости), • -
7. СГ - СГ -
(. Е eonti ).
(2.?«
теплоемкость (при постоянном поле) в механически зажатом и свобод-
ном состояниях......._______________
. Ъ , Ж 1 о* Л» -
8- °У Л /~
. (2.75)
тепловое расширение в е. жтрически зажатом и электрически свобод-
ном состояниях. . ‘
Очевидно, ата поправка отсутствует, если кристалл не является '
пьезоэлектриком или пироэлектриком.
Первичный ч вторичный пироэлектрические эффекты
Пусть F»conit. Так кек S « > I* , то
+ (Ж-fr ,
/П« ч , ч (2«76>
Подставив dij в первое из (2.76), положив df.*o ((T-eonst ,
механически свободный кристалл) и разделив результат на dT . "по-
дучим:
\гй'Г )f \ '1а ч. Ур9 Jr» I* „ )
4 первичный ’ I вторичный I g .сом<(/
эффект 'аффект
Итак, измеряемое возникновение индукции кристалла под действием
температуры при условии механически свободного кристалла можно
разложить на два эффекта: первичный (или истинный) и вторичный
(ложный пироэффект первого род ). Этот вклад в пироаффект возника-
ет вследствие зависимости , Вели кристалл может свободно
деформироваться, тепловое расширение'вызывает деформацию, которая
з счет прямого пьеэоэффекта создает электрическую индукцию. Прак-
тически вторичный эффект иногда численно превышает первичный.
Из (2.77) легко полутать соотношение
в'Л«.Т • |Т |
Ift "f* “ . (2.70)
-*49-
Покажем приближенно порядки величия ггатериальннх коэффициентов: *
е е т
1 S d С<
$ cl Е р
S « р %
<5 Е Т
Ц Ю'*з<я«Г*
%) Mtf’* 1о'”з^*
5 3-10* 10*
Отоада легко оценить величину поправок, возникавших при измерени-
ях материальных констант в иных условиях опыта (табл.2.3).
/
Таблице ,2.3
Относительные разности между коэффициентами, измеренными при
различных условиях ' /
Номера соотношений Коэффициента Поправка Порядок
I . . »в,т А ~ Ч р/еС^Л) • ICT5
‘ 2 сЕ>* - Се,г IO"3
3 pVdC<>/T») ' Itrc
4 d‘/sS . IO"2
5 *,т «,т Slji* ci’/SE . ICT2
в' С’>г-Св1< p‘/«.(cfA.) 1СГ5 ...
7 С*ж-С<,£ ^l/& (СрЛ*) ICT3
8 elpZrfE I(T2
. 9 • - —+ dc(/pS I .
Таким образом: порядок поправки равен обычно *• I JS, но в случае
- SO -
пироэффекта ошибка за счет вторичного пироэффекта может достигать
IOO %.. Табл.2.3 позволяет оценивать допустимость тех или иных ,
методических приближений при измерениях конкретного свойства.
глава з. симметрия киетшов и вид тензоров их «изгойских
СВОЙСТВ
3.1. Тензоры и поевдотензоры. Действия над ними
Нар "О с тензорами в кристаллофизике находят применение так
навиваемые поевдотензоры. Тензор А ранга с - это набор Зг величин
> -преобразующегося по закону.
* СЧ*« ;" •• Кг ' (3.1)
Псевдотенэор В образуют величины Вк, .. , преобразующиеся по
закону -
== ... 0;гкг ВК1 ...кг , (3 2)
тае А = det J 0<кО .
Примеры псеадоскаляра - величина удельного вращения плоскости по-
ляризации изотропных или оптически изотропных веществ. Пример ак-
сиального вектора -.псевдовекторе - напряженность магнитного поля.
Аксиальные векторы принадлежат предельной группе сю/т . Эта
группа центрссимметрична. ,
Умножение на число. Произведением тензора А у... к на число .
X называется тензор того же ранга Л, взятый относительно тоА
го же базиса, что и исходный.
Слодение тензоров. Суммой двух тензоров одного и того же ранга А
и В называется тензор того же ранга Р :
®8-« -*«"«* ва-“ (3.3)
Тензорв резных рангов складывать нельзя.
.ЭДШШ Произведением тенгэрь А ранга р на тензор
В ранга называется тензор ЪМ6 ранга
, С3.4/•*
Существенен порядок сомножителей.
-.51 - '
Изомеры тензоре. Переставив какие-либо индексы у тензора 2) , полу-
чим тензор Е" того ке ранга, что и J& - один из изомеров 5Е> .
3.2. Внутренняя симметрия тензоров
Тензор назйваетоя симметричным по двум или нескольким индексам,
если все его изомеры, отличяюшиеад друг от друга перестановкой стих
индексов, равны между собой. Например, тензор £ симметричен по
всем трем индексам:
Jiw = fie* = * Лак ", /««< • g
Свойство тензора быть симметричным (йлм антиоикеяетричным) по неко-
торым индексам или группам индексов называется внутренней симметри-
ей тензора. Это значит также, что если мы обнаружили какой-то тйп.
внутренней симметрии в некоторой системе координат, мы обнаружим,
тот же тип внутренней симметрии в любой другой системе координат.
В кристаллофизике внутренняя симметрия материальных тензоров возни-
кает из их термодинамических'определений, т,е. общефизических пред-
ставлений. Воспользуемся символикой Яна для обозначения симметрии
тензоров:
V - внутренняя симметрия вектора ; „ . ч
Vr- тензора ранга 1* ;
[V4]- симметричный тензор 2-го ранга, т.е. компоненты денного тензо-
ра преобразуются как произведения компонент одного и того же векто-
ра;
[VrJ - внутренняя симметрия'тензора, симметричного по воем индек-
сам; . .
CV,]Vr'l - внутренняя симметрия тензора ранга Г , симметрично-
го-по индексам (ньезоэффокт :
s[vH- внутренняя симметрия тензора 4-горанга, симметричного -
по первой паре ивдекоов и по второй паре индексов;
[tV1]*] - симметрия по 1-Й й 2-й парам, а также относительно пере-
становки пар;
т . симметрия относительно перестановки пар индексов.
Суммарная степень в обозначении равна рангу тензора. Можно описывать’
и внутреннюю симметрию псевдотензоров. Цоевдо Псевдо- *
скаляр S , поевдоьактор. £"У ,
- 52 -
3.3.Внешняя симметрия тензоров
Пусть с кристаллом связана декартова система координат (СК)..
Набор компонент материального тейзора относительно этой СК чис-
ленно характеризует какое-либо свойство. Подверг тем СК ортого-
нальному преобразованию. Компоненты материального тензора относи-
тельно новой СК , вообши говоря, не равны его одноименным компо-
нентам в старой СК . Однако воли это преобразование входит в труп- ’
пу оилметрий кристалла, то компоненты материального тензора в новой
системе совпадают о его компонентами .в старой. Действительно, если
две СК связанл между ообой преобразованием симметрии кристалла, их
расположение относительно кристалла эквивалентно. Значит, материа-
льный тензор кристалла должен быть инвариантным относительно всех
преобразований симметрии этого кристалла.
Отоада следует введенное А.В.Щубниковым понятие внешней симметрии
тензора: группа внешней симметрии тензора - это совокупность вс^х
ортогональных преобразований, относит-льно которых инвариантен дан-
ный тензор. -
Цуъ.ь Л^..лг - тензоре ранга, II а.кИ « - матрица
какого-либо преобразования точечной группы оикшетрии кристалла, т.е.
г 0<(К, Кг ; (3,6)
так как g - преобразование симметрии кристалла, то компоненты должны,,
(tab тождественно равны А : -
SitKf Kirtr Я К, ...Кг • (3.?)
Сравнивая (3.5) и (3.6), получаем: А__________
( Qi,*, ...GtifK,. " ... SleKr)^.,. Кг
для любой матрицы || <2*к($)И . если g - одно из преобразований
симметрии кристалла. Это - так называемые уравнения внешней сим-
метрии материальных тензоров.
Рассмотрим, как влияет наличие у кристалла центра сишетрии .
на вид материальных тензоров.
Црнтр сжелетрии С - простейший элемент евд.ютрни, иредставля-
«, ющий ообоГ: точку внутри *игу. ы й характеризующийся тем, что любая
проведенная через него прямая по обе стороны от него и на равных
расстояниях встречает одинаковые (соответственный) точки фигуры.
При наличии центра инверсии каждой грани кристалла отвечает
другая грань, равная и обратно параллельная первой (рис.3.1).
Рис.3.1. Действие центра симметрии
Лтрица преобразования, соответствующей С , имеет вид

-1
о
о
о
-1
о
о
о
-1
e-8iK, 66 определитель Дж-1
(3.9)
Подставляя
: (3.9) в уравнение (3.8), получим:
[(-0Г-1] Si,^... S-trKr А к,... -°
(3.10)
Для тензора четного ранга ( ГеДя ) имеем О-Ак,...кг -О
для любого А . Таким образом, вое тензоры четного ранга инвари-
антны относительно инверсий, или, другими словами, цен'трооймметрич-
нн.
При : - 2- Аг1„<г «О для любого
А , т.е. при наличии центра симметрии вое компоненты любого ма-
териального тензора нечетного ранга обращаются в нуль. Следователь-
но, центрооимметричные кристалла не могут обладать никакими свой-
ствами .характеризуемыми тензорами нечетного ранга. Дия материаль-
ного псовдотензора В Уравнения симметрии будут такими:
(д В К, ... К, ~ 0 .
Тогда при наличии центра симметрии:
( (’<) Г* - О - ^Г*г ®
(З.П)
... ' 4 i ’
Поетому, напротив, вое материальные паевдотенэоры нечетного ранге
( Г = 2п + < ) центросимметричны, а материальные поевдотензоры
- четного ранга обращаются в пуль.
Введем новую классификацию тензоров. Истинные тензоры четно-
го ранге и поевдотензоры нечетного ринга называются тензорами чет-
. него типа. Истинные тен^оры нечетного ранги и поевдотензоры чет-
ного ранга называются тензорами нечетного типа. ’
3.4. Метбд прямой проверки
Итак, внешняя симметрия танзоров определяет. Конкретный "вид
компонент какого-либо материального тензора для данной точечной
группы симметрии. Метод отыскания инвариантных тензоров был пред-
ложен Фуми и получил название метода прямой проверки.
Пусть, например, кристалл относится к группе симметрии 2.
Рассмотрим действие оси 2 на тзнзор пьезоэлектрических модулей
< dij* йуоть 28Х3 . Тогда матрица ортогонального преобразова-
ния имеет вид
1-1 о ей '
о -< Я , - <ЗЛ2)
О о 1|
поскольку справедливо
X, - X, ,
сс3 — •
Вудем брать поочередно модули и преобразовывать их. Боли знак мо
. дуля изменяется, то модуль должен быть равен 0; если же знак ос-
тается неизменным, то модуль не исчезает. Так, для d'ttl имеем:
=r_c/in ,
поскольку вое остальные члена в этой сумме равны нулю в силу вида
матрицы(3 Л 2). Или, что то же,будем исходить из уравнений внешней
»«•**₽» СЗ.&И
Рассмотрим еще один межуя»-4^. ’
Очевидно, нетривиальные решения возможны, если i*< »-
К*2 , т.е. -)'
(afta£-<) dm -о
ЯЯЯ. -2-du2 «О , dm "°
Для компоненты d»j
(~ с/««»
Нетривиальное решение будет при < = 1 ; j » 2 ; К • 3 s
(й« - 1) dim *0
О-с/«э , duj £ О
Итан, для. операции <?д остаются не равныж О модули, содержа-
вде один или три индекса 3 • Окончательно в рееультат*» действия
операции остается восемь не равных нулю пьезомодулей: d
d<M •dfe® dtji » d»« >^зас4в1>da3,<Aard<«.daj=<4ej.,d.IB •
Этот набор соответствуем инвариантной форме записи тензора d<jK
для точечной группы 2.
Аналогично были получены инвариантные относительно всех клас-
сов симметрии тензоры физических свойств кристаллов.
Солее удобна в некоторых случаях матричная форма записи ком-
понент тензора. Она вытекает из свойств внутренней симметрии тен-
зоров, Условились, что
6 н ~ в
fy*
.1»
W «• 1
6* € г
St 6.

SB»
л тэу
{*if,Lr 1.
?• *!• WiTJ
»
Такие правиле введены, чтобы ппи пользовании матричными обозначе-
ниямиу пр» гай. вклад в энергию: - оставался в том
же виде. .
Всюду, где есть симметрия по перестановке двух индексов, мож-
но перейти к матричным обозначениям компонент тензоре. Тогда для
пьезомолулей можно записать полную матрицу:
5"<4s cb г 4м
ol» |с/<» 4г jcG chut T<4»
do dn cl»
Введение множителя 1/2 также необходимо для упрощения вида уравне-
ний пьезоэффекта, которые при этом могут бытЬ записаны в наиболее .
простой форме: fa zduEi , 1>1 * ,
Для простоты опущены упругие и диэлектрические члены.
Для упругая постоянных,исходя из уравнений состояния и (3.13),
должны выполняться правиле:
3? Ctjw (</*♦ J к*-*/! (З.и)
С Sijite С у** )•=(,-Л ; к€ з)
s - h Sy« cij <* >»злe *, "Л)
I 2Sij*t Gj *’’* *^,,..,6;
I 4 Sij*e Gj >*'** ^Z4 c
Следует отметить, чток несмотря на внешнее сходство тензоров
третьего и четвертого ранга в матричной записи с тензорами'второго .
ранга, компоненты матриц не образуют тензор. Все криоталлофизячао-
кие вычисления рекомендуется выполнять в тейзорИой форме записи
И затем переходить к сокращенной матричной. ,
3.5. Собственные векторы и собственные значения
оиькетричного тензора второго ранга .
В кристаллофизике симметричные тензоры второго ранга занима-
ют большое место к ясно, что важно знать все особенности и свой-,
отва этих объектов. Рассмотрим общий свойства произвольного сим-
- 57-
мстричного, тензора второго ранга Sy . Тензор , будучи ум-
ножен скалярно на вектор U , преобразует его в вёктор 1f= .
Те векторы, которые при этом не изменяют своего направления, а
изменяются только по величине, навиваются, ооботвенншда вектора-
ми тензора S;j '. Они должны удовлетворять уравнению
Тй «s-SijUj « SUi , (3.15).
где S - число, показывающее, во сколько раз удлиняется'вектор .
Uj под действием тензора. S называется собственным значе-
нием этого тензора. Если Щ удовлетворяет условию (3,15), то ему
удовлетворяет и любой коллинеарный вектор. Поэтому говорят о осб-*
етвенных направлениях тензора, которые можно задать единичными
векторами-
в.«)
где индекс р обозначает р-Й. собственный вектор. .
Запишем (3.15) в виде
(Si; - <5t;'S)’Л ’° - :
1 ‘J J ' -J (3.17)
Эта система имеет нетривиальные решения, если
d.tls.j-AjSJ-o fji6)
или ;
S« -S , St* S«3
'£ c ,S c ’ <3'I9>
«й. an 54 Sj> .«= О .
Stj Sg*
Это характеристическое уравнение. тензора Sg .Если тензор оум-
метричен, то данное уравнение имев» три вицеотаениах кора». Про-
верим, что ,это так. По, крайней мере один действительный корень
обязательно сушествует : S3 .
Найдем соответствующий ему собственный вектор й/*1 из системы
(SV-S.SiPU^.O, . -
Азедэм декарто у систему.координат, эоь Щ совместим о М} ,
- 58 -
«.e. U'*’b lC’ - О г «>*’e 1. . Тогда из (ЗЛ7)
nww: t , M /.<»> . и(„
Sfl Wt • + S« W» •+ sw ^з - =з wi >.
s« u?1 •+ + s;3 U,"’ - S, У?’ /
' S'rl/fw + +3'ftUfra^Si^> ’
Опада следует, что
So - О
i S'o «О
, *6 » •
!Шем:
Тогда в этой оиотеме координат для (3.19) внполняетоя: ,
Sj,-S S,'t О '
Su S«-S О = О ,
. (3.20)
О О s>-s|
s«,< » iKs«± 7е»'и -$«/ + 65{жу] , ; ‘
V'* $»/ .
W как подкоренное выражение (3.20) положительно биги равно 0)
хак сумма квадратов, то и оба корня $„5г также вещественны. Соб-
ственные векторы, соответствующие различным собственным значениям,*
взаимно ортогональны. Для доказательства выполняем очевидные пре-
образования! 4 ч
. и^Ч^-ьиГ1) , <
59
«ГММ •
' цГъ<***
ft,-St) ufuf1
Поскольку Sjj симметрия н, то левая часть последнего выражения
равна 0. Тогда пэ 5,#'3г следует, что
и;да^ ~о .
J J » J J •
Тйк кек мы взяли два произвольных Ска трех) собственных значений
и собственных вектора, то легко доказать, Что вое три собственны;,
вектора ортогональны. Если вое три. собственных: значения различны,
на них можно достроить систему координат, в которой тензор прини-
мает особенно простой ввд: .
jS, О О
) I 1
<?-.« |О S, О . . .
* b‘j“ I (3.21)
' |о о S4
Для проверки (3.21) достаточно совместись оси навей штрихованной
система Х^ с собственными векторами Им , И4*1 и V‘**
соответственно, т.е. потребовать, чтобы~'
.1 , .!?*«,“ «О ' }
Uv* ». J
. ходка St*Sa # $*• , *й выяолняетвяг
“♦ УФ'; ta
Зм * s't t s« •<? t
- 60 -
S, о о
О 5< О
о о 8з
О
— - —• _ у? 6)
Два любых вектора, лежащих в плоскости, перпендикулярной и
является собственными. И, наконец, когда S,=S,=S,, S,y = S^-
тензор изотропен, соответствующие свойства не зависят от направле-
ния.
ГЛАВА 4. ОБЩИЕ ПРОБЛЕМЫ КИИТАЙСЖЭДКИ
. 4.1. Выбор кристаллографических систем координат
Любое исследование физических свойств вновь синтезированного
кристалла опирается На данные рентгеноотруктурных исследований,
на которых устанавливается вид структуры кристалла, т.е. простран-
ственная и точечная группы симметрии. Знание симметрии то дачной
грушш, согласно принципу Неймана, особенно нвобходимо при проведе-
нии физических исследований. Редко, но встречается ситуация, когда
возникает тот или иной "запрещенный" По соображениям симметрии %м-
аический аффект, измеряется "запрещенный" коэффициент. Очевидно,
в этом случае - при корректном выполнении измерений - неправильно
определена точечная группа кристалла, и, соответственно, результа-
ты также становятся некорректными.
Другая важная сторона - проблема однозначной установки, т.е.
выбора системы координат, в которой определяются коэффициенты
свойств кристалле. Очевидно, необходимо заранее условиться об од-
нозначности такого набора, в противном случае результаты, получен-
ие без должного внимания к этой проблеме, существенно теряют свгэ
ценность. Особенно важным и болев сложным становится этот вопрос
при исследовании taut называет эффектов высших порядково кристаллах
Обытао различают кристаллографгчеокив QCTCK) и кристаллофизи-
ческие (КФ(2С системы координат. Расрмотрим вначале основные пра-
вила набора кристаллографических СК в ра-тачных сингониях. Бу- ,
дем обозначать тройку базисных векторов Я, , , "<5М , е
кристаллографическую систему координат « 0ХУ2 .
Кристаллографические оои координат всегда выбираются по осям сим-
метрии или по нормалям к плоскости симметрии. Ясли нет соответот-
вующих элемент ов симметрии, как в моноклинной и-триклинной оинго^-
ниях, оси координат выбираются по ребрам кристаллографического мно-
гогранника или по рядам кристаллической решетки - исходя из данных
рентгеноструктурного ан таза,.
Кубическая сингония (высшая категория). Это единственная сингония,
симметрии которой соответствует обычная декартова система коерди- ,
нат а е Ь = с , о|=^ = 90° . Элементарная ячейка - куб. Зе оои
координат принимают три взаимно перпендикулярные оси 4-го кля 2-то
порядка. . •
(средняя категория).
Эти сингонии характеризуются наличием’ внделенного направления, ю-
рбдаиомого так называемой главной осью:’ 4 или ?, 6 или ?,
3 или 3. Отметим, что гексагональная сингония состоит из двух оио-
темтригональной и гексагональной. --
Главная ось в этих сингониях всегда принимаатся за ось И ,
оои X и U расположены в плоскости, перпевдикулярной к главной
ОСИ. '
Дм тетрагональной сингонии o»Uc , «30.* Это озна-
чает, что кристаллографическая СЕ ортзгоиальнв. Оси X и if
яри наличии осей 2-го порядка, перпендикулярных ося 4 (4), совпа-
дают о ними, при наличии продольных плоскеотей симметрии - периеи-
ддку.мрнн этим плоскостям. Если еоть я оои -2 , И плоскости (42т ),
то X и U совпадают о оея*м 3-го нарядна.
— 62 *ч
Тригональная и гексагональная ыстемн: а«Ъ*С , Л -р - ЭО°, У = 120°.
Оси 3, 3, 6, § принимаются за X . X и Б (ЛЯ ) составля-
ют между собой угол 120°. При наличии осей 2-го порядка, перпен- _
дакулярннх главной оси, оси X г 3 совпадают о ними. При на-
личии только продельных плоскостей симметрии - перпендикулярны им,
Обычно для симметрии добавляет еде одну, 4-ю координатную ось U
( и=-Д-сГ2), лежащую под углом 120° к X И И , и в атом наибо-
лее часто используемом на практике способе установки кристалла
/ применяют обозначения направлений и плоскостей кристалла с помощью
четнрехиндексной системы Бравэ.
Для кристаллографического направления (, ~ М?, +
индексы ^>эвэ имеют.вид I2h-It, ,-h- k, 3£],
Для описания этих же кристаллов можно использовать трехосную
(ромбоэдрическую) систему координат, оси которой идут по ребрам
элементарного ромбоэдра.
Практически в повременной кржоталлографии используется гекса-
гональная установка (четырехиндеконая системе'. - .
В ромбическое сингонии (о * Ь*с , o' = » У - 30’)
пользуются прямоугольной системой координат, причем обязательно
выбирается Такая установка, при которой С<сь<Ь . Оси коор-
динат проходят вдоль осей 2 или перпендикулярны к плоскости симме-
трии.
В моноклинной сингонии (а*ЙС , d =У=ЭО* ^ >96°)
ось У параллельна оси 2 или перпендикулярна m .X ' и ,У ле-
жат в плоскости, нормальной к И , но их расположение и угол ме-
жду X я' ’ -2 ке заданы элементами симметрии; они выбираются
для каждого кристалла по рядам атомов в структуре или по ребрам
внешней формы кристаллов. "Цtl [Old) , , Х1КЮ0] .
hZ ‘ ; 1m)
Рис.4.2. Правила установки в моноклинной сингонии
-63 -
в (g > 4 с , > f ft у # зсП
воз оси не задана элементами симметрии, е выбираются пр ребрам
кристалла при обязательном условии Ь >Q >С (ХцСюо] ,УН[(ИЙ ,
Z в lotrtl). Это означает , что оси кристаллографической координат-
ной система направлены соответственно по трем некомпланарным век-
торам трансляций решетки, , на которых, в данном случае, отроится ,
элементарный параллелепипед общего веда. > -
Выбирая криоталлофизическую систему каординат.де совпадаю-
щую 6 указанный: здесь, или используя дополнительные возможные ус-
тановки, исследователь обязан специально оговаривать такой выбор
при описании результатов эксперименте.
Развитый выше подход к выбору ориентации кристаллографических
систем координат - уствновка'кристалла, равно как и сам термин
"установка", восходит к традиционному разделу криотзллографии-
криоталломорфологии, когда первоначальным этапом идентификации
вновь полученного кристалла служило именно списание его морфоло-
гии, т.е. изучение внешнего облика (габитуса) кристалла, его гран- •
ннх Форм, видимых элементов' симметрии, углов между йенами. Описан- '
ныв в п.4.1 правила как раз способствовали (и способствуют) од-
нозначному выбору СК, в которой выполняется то или иное Измерение.
Кристалл при этом устанавливался на столике гониометра (Отсюда тер-
мин - "установка”) в соответствии о его надг.шми элементами симме-.
трии.
Очевидно, что подобный подход вполне применим к монокристаллам,
которые имеют определенный габитус, позволяющий сделать однознач-
ное заключение о его точечной симметрии. Существуют методы, позво-
ляющие получать высококачественные монокристаллы о развитой естеот- ’
венной огранкой: рост из водных растворов, из раствора в расплаве,
гидротермальный способ и некоторые другие.
Однако методы промышленного выращивания монокристаллов, осно-
ванные на раоплавных технологиях - Киропулооа, Браджмена-Стокбарге-
ра, Чохрельокого, Вернейля, зонной плавки, позволяют получать мо-
нокристаллы, годные для практических приложений, ио обычно лишен-
ные естественной морфологии. Термин "установка" в данном аяучае
тердат свой яерэовдч’едышй смысл, поскольку ие первое место аюту-
пают методы рентгеновской ориентировки как жда ла» иад»-
ные. Вотаотвегто, что для ориентедаи образца такого моиькриствлла
'X ' ’
, • 64-
необходимо знать его структурные параметры, т.е. параметры элемен-
тарной ячейки и угли между базисными векторами.
4,2. Выбор криоталлофизичеоких биотем координат
Волй при выборе КГСК выработаны вполне однозначные правила
для кристаллов люббй оингонии, то ситуация о выбором КФОК несколь-
ко сложнее. КФСК - это ортонормирования (декартова) система коор-
динат, выбранная в данном кристалле, причем именно относительно
нее инвариантен вад тензоров нотариальных постоянных. Очевидио^/что
работа в КФСК гораздо удобнее, чем в КГСК, благодаря чему КГСК,
дак правило, используются при описании морфологии кристаллов и при
рентгеяоотруктурном кристаллографическом исследовании. Исследова-
ние жа физических свойств кристалла необходимо проводить в КФСК.
DtapoKTO рапростоанение подучили правила, овязываювам кристал-
лографические оои X , И , 2- с осями КФСК (Х^Хц ,Х3 )i
- когда.КГСК прямоугольна, оси X < , Х2 , Х3 совпадают о X ,
У . 2 соответственно (кубическая, йбмбюсквя.. тетдагонада-
ная сингонии);
- в кристаллах Гексагональной сингйши . . сои Х3 ж X, совпа-
дают с осями 2 и X соответственно, ооь Х3 выбирается
в направлении, ортогональном Х3 и X, (направления [0001]|)Х3,
[2ЛоИХ,. toH.OJWXJ;
- в кристаллах моноклинной оингонии Хг и Х3 совпадают с У
и Х , Х4 выбирается .1Хх,Х3 (X, 1 000)) .
- в кристаллах триклинной сингонии Х3й2 , Jf, ле^т
в плоскости (ою) , т.е. ХИ. ,^1(010) *
Превила такой установки приняты в IRE Stancfarls on Pieto-
efectn’e CrjstcEs £l41.
Однако нужно еще выбрать положительные направления на одах
и решить, какую из симметрически эквивалентных осей 'назвать, на-
пример, Х4 , а какую - Хг . Возможные различия в таком выборе
определяются уже не структурными данными, а результатами кристелло-
физических измерений, в частности пьезоэффекте. Нужно также знать,
i-зкую из модификаций энантиоморфного кристалле следует назы-
вать правой. В [14] эти правила подробно с^ормулкровмш
только для кварце (даасо 32). Рассмотрим их для кристаллов тетра-
гональной сингонии.
- 65
Рио.4.3. Пример выбора КФСК в кристаллах точечной группы 422
Введем КФСК А в кристалле классе 422 (Ц 4ьг) . Очевид-
но, что я СК В , С .... , И также удовлетворяют правилам
выбора, т.е. вое эти 'СК в.данном классе симметрически экви-
валентны. Но это справедливо лишь для классов 422 и 4/mmm тетра-
гональной сингонии. В остальных классах эти восемь СК группируют-
ся в наборы симметрически эквивалентных оисгем (см.таблицу).
Наборы эквивалентных КФСК в кристаллах тетрагональной сингонии
Классы 1 Преобразования 1 Наборы
4fflrn,4/m,4 1 > 2х3,>4 Xj
42гп <, 2xs , 2Х< Jx, £с,2),ел}
Г / Мх,
СК, входащге а различные наборы, оимметричеоки не эквивалентны,
и свойства кри галла, измеренные в Ж различных наборов, могут
(и должны) отличаться доуг от друВ чем здесь дело?
- 6S-
Paoсмотрим, например, класс 42m . Сютлетричняе преобразова-
ния для этой точечной группы будут иными (L}2Lt2P) .Учтем, что
инверсионная ось четного порядка 2я является одновременно и обыч-
ной осью порядка и .
' с=2х,-с
Рис. 4.4. Наборы эквивалентных КФСК для кристаллов точечной
. симметрии 12м
Выбрав в качестве рабочей систему координат Л , 'легко убедиться,
что Ш В , Е и F могут быть получены из А путем симметрич-
ных преобразований, входящих в группу точечной симметрии, и все
вместе образуют набор I рВЕГ] . Но при том же выборе Л на-
бор II fCbCH] нельзя получить путем умножения J на операции
симметрии Данной точечной группы. Итак, в кристалле класса 42т
можно выбрать двоякую установку КФСК. Измерения образцов в СК,
принадлежащих к наборам I или П, дадут розданные результаты для
некоторых физических, параметров, в частности пьезоэффекта. Это
овойство и было предложено использовать [5] ' как индикатор
выбора той или иной СК, а именно: выбрать в качество стандартной
те из них, относительно которых коэффициент , в классе
4тт - те системы координат, относительно которых ds>0 . '
Класс i/m центросимметричен, и пьезоэффект нельзя иопользб-
- 67
вать для выбора той или иной СК. Поэтому условились выбирать та-
кую ЙК, относительно которой коэффициент » Отметим,
что если бы измерили в СК, принадлежащей другому набору,
то имели бы S16<0 . Так же выбираются стандартные СК ^клас-
са 4 ( Stc>O), и Дар® и8 4-х наборов, возможных в класса 4.
Чтобы выбрать один набор из этой пары, дополнительно требуют подо-
жительнооти коэффициента dx^o .
Наконец, надо привести правила установления правой модифика-
оди классов 422 и 4. Условимся называть правой ту модификьцию
кристаллаi класса 422, для которой , и ту нз модифика-
ций класса 4, для которой d33>0 . Эти коэффициенты.определяют-
ся относительно введенного набора'правил симмотрически-акйивалент-
нкк систем в классе 4. <Дия класса 422 вое СК симметрически экви-
валентны, .и определять модификацию можно в любой СК).
Итак, условимся выбирать КГСК и КФСК правыми, а углы между
положительными направлениями соответственных кристаллографических
и кристаллофизических осей < X и Х4 ¥ и X, , > Ж и
)- меныаими ЭО°. Поэтому выбор положительного направления на
кристаллографической оси определяет к положительное направление
соответствующей кристаллофизической оои, и наоборот.
Определение положительных направлений не коорданьтных осях
ми наименований осей оводатоя. к выбору одного издвух или четы-
рех возможных наборов, при том что выбирается правея СК. Кроме то-
го, приходится использовать криоталлофизичеокие критерии. КФСК,
входящие в данный набор, эквивалентны, а КФСК, входящие в разяыо
наборы, - не эквивалентны. Поэтому любой материальный тензор во
всех СК, принадлежащих данному набору, имеет одинаковые соответ-
ственные компоненты, а в системах, принадлежащих разным наборам,
некоторые материальные тензоры мэгут иметь соответственные компо-
ненты, различающиеся величиной или знаком.' Следовательно, эти ком-
поненты можно применять для выбора набора, В кристаллах тетраго-
нальной системы и более ииэкооимыетричннх с этой целью можно ис-
пользовать различие в компоиентахулругих податливостей, едя рек»
свгональии и кубических - пьеедостический иж эжктроотредциониый
аффекты, что значительно сложнее. в чэстнти. иами рассмотрен fijJ
конкретный пример влияния выбора К©Ж ед иоследсвеедя нелинейных '
-68-
пвойств монокристаллов оо структурой мриенита Bi^GeO^ и
Bi^Si0» , принадлежащих к точечной Группе 23 кубической сингонии.
Принадлежность кристаллов к кубической оингонии не вызывает зат-
руднений в выборе КГСК и КФСК - они совпадают о тремя взаимнопер-
певдикулярными осями второго порядка. Однако практическое опреде-
ление коэффициентов нелинейных свойств, являющихся поправками к
обычным свойствам при наличии электрических или механических внеш-
них воздействий, связано о необходимостью определенного выбора .
одного из наборов КФСК. Неэквивалентность этих наборов (неэквива-
лентность осей и Ха , например) била подтверждена нами
экспериментально при исследовании зависимостей скоростей звуда от
постоянного электрического поля (Нелинейный коэффициент), давления
упругая нелинейность). Исходная же ориентация образцов, на которых
п-.л учены колиЧеотвеыо различные значения г <эффипиентов нелинейных
свойств, была, с точки зрения рентгеноотруктурного анализа и "ли-
нейных" свойств, тождественной! Этот пример еще раз подчеркивает
важность тщательной методической проработки эксперимента и требует
безусловного внимания к такой предварительной фазе работы, как
выбор КФСК.
Вообще, проблема выбора КГСК и КФСК наиболее подробно для
кристаллов любой симметрии совещена в [51 .
4.3. Проблема оравнейия тензорных свойств кржтеллов
'Когда стоит задача определять, у какого вещества выше значе-
ния параметров скалярных физических свойств, таких как плотность
или теплремкооть, ответ может бить получен тотчас, потому что эти
свойства характеризуются лишь одним числом. Обычно при этом тепло-
емкость берется в виде удельной величгны ( не единицу даосы'или
объема).
Сравнение векторных свойств кристалла - таких, как пирозф-
фект или пьеэозффект при всестороннем сжатии, - уже не столь прос-.
то. Очевидно, пироэлектрические свойства двух кристаллов совпада-
ют, воли совпадают суммы квадратов гшрокоэффициентов:
- рГрГ. (4Л)
Действительно, скалярный квадрат вектора есть квадрат его модуля,
ив (4.1) мы сравниваем квадраты модулей векторов пироэффекта/ В
соотношении (4.1) есть суммирование no I . Отметим, .что в случае
-.69
пироэффекто легко сравнить свойства кристаллов самой различной
симметрии.
Рад свойств кристалл» описывается симметричными тензорами
второго ранга. Для совпадения таких свойств необходимо и доста-
точно, чтобы совпали главные значения сравниваемых материальных
тензоров. Следует напомнить, что величины трех главных значений
соответствуют длинам полуосей эллипсоида - характеристической по-
верхности симметричного тензора второго ранга . Очевидно, что эл-
липсоиды совпадают, если совладают длины полуосей.
Сравним произвольное тензорное свойство у двух кристаллов,
принадлежащих к одному классу сишетрии, т.е. вид соответствующего
материального тензора у них одинаков. При сравнении может случить-
ся, что несовпадение одноименных компонент двух материальных тензо-
ров, взятых каждый в КФСК "своего'.'кристалла, вызывается не физичес-
ким отличием, а просто тем, что они ориентированы относительно
КФСК по-разному.
Поэтому, прежде чем сравнивать такие тензоры, их следует сори-
ентировать одинаково; воли они сориентированы одинаково, то при сов-
падении соответствующего свойства одноименные компоненты двух тен-
зоров совпадают.
ГЛАВА, 5. ПИРОЭФФЕКТ И ЕГО ПРИМЕНЕНИЯ
5.1. Физика пироэлектричества. Метод измерения пиро-
коэффициента
Проявления пировяэктричеотва ("пирсе" - огонь) в природных
объектах людям известны издавна. Так, нагретые кристаллы турмалина
интенсивно притягивали золу из костра, в котором они находились,
уподобляясь "электрическим магнитам" и электризуя диэлектрические
частицы вокруг себя. Поэтому образцы турмалина в геолого-минерало-
гических музеях с течением времени неизбежно образуют пыльные "оре-
олы", так как кристаллы все-таки подвергаются изменениям темпера-
туры.
Помимо турмалина, пироэффект в настоящее время обнаружен у боль-
шого числа кристаллов, в основном оегнетаэлеитриков, являющихся
пироэлектриками о обращаемой (реориентируемой) внешним электричес-
ким полем поляризацией.
- m
Макроскопически пироэлектрически4* эффект - это .изменение спонтан-
ного электрического момента единицы ос ьема моно- кии поликристалла
при однородном изменении температуры этого объекте:
д&1 = +рГдТ (6 «const) / I
Поскольку этот эффект определяет появление выделенного векторного
направления при скалярном воздействии, это означает, что такое век-
торное (полярное) направление должно существовать уже в структуре '
кристалла. Значит, пироэффект возможен только в тех ацентричных
кристаллах, где существуют единичные направления. Это 10 полярных
классов симметрии: 1,2,3,4,6, m , mm2 , 3m ,4mm ,6*nm .
Отметим, что все. пироэлектрики в то же время являются и пьезоэлект-
риками, тогда как обратное не верно (вспомним, что к пьезоэлектри-
ческим принадлежат кристаллы 20 ацентричных классов). Из этого сле-
дует и принципиальная возможность, одновременно о истинным, так
называемого вторичного пироэффекта, представляющего собой появле-.
ниё (изменение) электрической поляризации образца при изменении тем-
пературы за счет теплового расширения и пьеэогхрфекта (см.п.2.Ц):
ф в * р
’ pl " fl s dlfm .
Практически разделить эти эффекты крайне .трудно, так что обычно
измеряется именно , т.е., пироксэффициент механически свободно-
го кристалла.
Обычная схема измерений состоит из электрометра с высоким вход-
ным сопротивлением (рис.5.1).
Bic.5.1. Схема измерения пироэлектрического заряда
Высокое входное сопротивление электрометра здесь принципиально,
поскольку пироэлектрики являются диэлектриками с большими зпачени-
ими сопротивления образцов ( IO13 - IO15 Oj). Следовательно,
чтобы пироэлектрический отклик кристалла можно был: заметить, нуж-
но выбирать значения Rax. ~ , и только в этом случав па-
дение напряжения сигнелв поровну разделится между R8X и Rojp. .
С другой стороны, большое значение RBX. значительно увеличивает
постоянную времени цепи Т -Р8ХА«., по,этому 'необходим разумный
компромисс между временем измерений и. возможностью различить
сигнал. Должны быть приняты меры для высокоточной стабилизации и
регулирования температуры в термостате.
При ступенчатом изменении температуры наиболее просто уда-
ется идентифицировать полезный сигнал в суммарном сигнале по его
графической записи, если формы пироэлектрического тока и тою
помехи существенно различны. Действительно, в этом случае пироэлект-
рическая компонента имеет четко выраженный импульсный характер, а
уровень помехи обычно экспоненциально изменяет овой отадионараый
или слабо меняющийся уровень для текущего значения температуры.
Обратим внимание на природу наиболее важных электрических
помех.
I. Электрические сопутствующие явления вызываются обычно пьезоэлект-
рической поляризацией образца вследствие а) градиентного нагрева
образца или 6} наложения на него механических связей, препятствую-
щих температурной деформации (толстые, жест ж. электроды, упоры
в держателе и т.п.), Известно, что градиентный нагрев инициирует
пьеэополпризацию даже в цёнтрооимметричных кристаллах, тем более
велико его влияние в таких активных пьезоэлектриках, как пироэлект-
рики [15]
Ликвидация этих явлений очень сложна, поскольку прямо или
косвенно они связаны о природой полярных диэлектриков.
2. Электрические помехи в линии связи определяются прежде всего
трибо- и пьезоэлектризацией кабеля и изоляторов. Трибоэлектричество
- явление возникновения электрических зарядов при трении. Ёцинот-
венная возможность исключить трибо- и пьезоэлектриэацию кабеля в
условиях неизбежных механических воздействий - это применение спе-
циальных антивибрационных кабелей, например "/ВК"6 ".
3. Чековые помехи связаны с тзм контактных пар держателей
образцов й подводядак проводов. Эиачения т-uc . обычно снижаются
- 72 -
путам использования металлическ ж проводников одного типа по всему
тракту "электроды образна - вход измерительного прибора".
.Время
Рио.5.2. Характерный вид записи »»Ы,(О для ступенчатого
изменения температуры [16]
Заштрихованная на рио. 5.2, штроэлектричеосому ^аряду. « д G' * ДГГ’Зэл площадь эквивалентна виде ливши гуся Ki k+ Sum* о АТ^5Л ’
дС? - изменение заряда;
ДТ _ изменение температуры;
5м - площадь электродов;
К; , Kt - масштабные коэффициенты тока и времени в гра^я'г.о.тпй .
записи, Ь граф - площадь записанного сигнала. Входная емкость
электрометра обычно выбирается из условия 1?^Свх г 5 с<.
Единственный вид токовой помехи, который не может быть непос-
редственно идентифицирован этим методом, - тормоэлектри”оекпй
эффект при наличии температурных градиентов в переходном процессе.
Для оценки вклада помехи этого вида необходимо перевернуть образец
в держателе, поскольку только в этом случае изменяется соотпо"!в1гие
знаков термо- и пироэлектрического эффекта. Характер температурной
зависимости пироэффекта различен для двух больших г.лассов пироэлект
риков - так называемых линейных пирочлоктрнкли и i:t44i'n,n\''<4<',,'p’ji<w..
К числу линейных пироэлектриков относятся такие кристаллы,
как ?пО , Cd<5 , ВеО , резорцин, турмалин, LtjSQ • (
дикальций-отронций пропионат и др.
Характерный вид температурных зависимостей пирокпэЛхТчпггенТон
для этих кристаллов подобен зависимости р**( т ) для ’’WT-’antinti
-73-
Рис.5.3. Температурная зависимость линейных пироэлектриковр<’(т)[1£]
g
Видно, что характер изменения р ('7) является монотонным во всем
диапазоне исследований. В районе комнатных температур значения
рй ~ 1,5 - 2,5 ед.ОГСЗ. Несколько более сложный вид эта зависи-
мость приобретает для низких температур.
Исследования нироэ>уфвктв в нелинейных диэлектриках, которыми,
являются сегнетоэлектрики, имеют свои особенности, связанные с воз-
никновением спонтанного полярного состояния.
I. Очогдцно, что в высокотемпературной гораэлектричоской фазе,
если ее симметрия не принадлежит одному из полярных классов, О .
2. Разбиение кристаллов на домены в сегнетоэлектрической (TVTC)
фазе сильно затрудняет йлй делает вообще невозможным измерения пи-
рокоэффициента. Некоторые кристаллы, в особенности обладающие точ-
ками Кюри, лежащими выше комнатных температур , ТГС ,ТГТБ),
имеют склонность к образованию при комнатных температурах так на-
зываемого униполярного состояния, которое характерпзуетсятем, что
большая часть оеигнетоэлектричсскгх доменов направлена одинаково,
тем самн.-.i создается определенная величина спонтанной поляризации.
Для низкотемпературных сегнетоэлектриков ( KW , С'ЛЯ )
характерна иная картина: униполярности в естественном состоянии
'кристалла не может быть ( 7^*0 ),поэтому ниже Тс кристалл
находится в полидомянном состоянии, фи этом точные измерения
пирокоэффидиента возможны при создании искусственной унипслярнооти
образцов путем их Поляризации в постоянном электрическом поле.
Следует упомянуть о методе исследования локального пироэфОкта в
- 74 -
сегнетеэлектриках, развитом Чай-ювисом [17] . Кристалл подвер-
гается периодическому нагряну модули; рванным пучком спета монохро-
матического. Длина волны выбирается такой» чтобы не возбуждались
свободные носители, например, вследствие фотопроводимости. Если
пучок локализовать на достаточно малой плошади, меньшей площади
доменов в сегнетоэлектрике, п’0,<перемешал луч по поверхности крис-
талла, легко определить топографию доменной структуры по изменению .
знака пиротока. Дил падавшей мощности, изменявшейся по закону
\V= \^,eXp(Lat) . ток равен:
. JbpV
L = с
(5.3)
где Ь - поглощенная доля падающего света, С - теплоемкость крис-
талле, fl - плои ть электродов, яаяесенгчх на грани, перпендику-
лярные пироэлектрическому направлению. Ток воспроизводит форму па-
дающего излучения.
Обычно величину b , входящую в (5.3), трудно измерить дос-
таточно точно, й описанный метод чаще служит лИЯ-исследования от-
носительных измерений р® (от температуры, времени), а не его аб-
солютных значений.
Рис.5.4. Температурные зависимости pSfr) для сегнетоэлектриков
КЬР.ТГС, Lt М>о3 [16]
75
В зависимостях ps ( Т ) для КОР и ТРС существуют особенности
в окрестности точки Кюрн (рио.5.4'). Небольшая аном. лия р®" для
Ut MbQj не является результатом фазового перехода, в связывается
о несовершенствами кристалла: о движением заряженных дефектов.
‘Речка Кюри ниобата лития лежит в более высокотемпературной области
(-1210° .С).
Значения р® для.сегнетоэлектрических кристаллов измейяются
очень 'эначлтельно, достигая,например, 15 • I0J для КДР в Тс =
122 К. Сравнение значений ре при комнатных температурах, т.е. в
диапазоне обычных рабочих условий большинства устройств, позволяет
отдать предпочтение нелинейным диэлектрикам: р® ~ 30 для LlNbOs ,
~ 3000 для ТГС по сравнении о р8~ 2 для турмалина. ЕоТь,
однако, негативные стороны их применения: сильная зависимость от
температуры, а также от предартории доменной структуры кристалла.
5.2. Критерии и области применения пироэлектриков '
Основной рабочей характеристикой пироэлектрического мате нала .
является, так называемая вольт-ваттная чувствительность"^ :
"Кц ~ (3,4)
где . £в - диэлектрическая постоянная, С' - удельная теплоемкость.
Физический смысл Rv соответствует пироэлектрическому напряжений,
возникающему в кристалле при поглощении единицы мощности падающего,
излучения. Очевидно, что большая теплоемкость ухудшает эту характе-
ристику. Большое значение S® также уменьшает вследствие уве-
личения деполяризующего поля, направленного против пироэлектричес-
кого эффекта (первый член в (5.1)). Для некоторых практически при-
меняемых материалов их характеристики показаны в таблице,
<
(кроэлектркчеокие коэффициенты р*7 и вольт-ваттная чувствитель-
ность Ry для различных пироэлектриков [&Q 000 к)
—..... ..........."'л '' " *'»— — -1 1
Пироэлектрик р*. , •
иг®»*®»
Ва'тгбз,1 1 7Д> ' 1 ....1........1,1
- GdSH o.I 2,0
- 7б -
1л^ЬОа 0,4 -0,47
6(290ч • ZM 1,0 3,5
ЦТа,Оэ 1,7 .1,3
h'a УОа 0,4 2,5
Керамика PLX2T 3,5-17 2,0
Поливиниловая пленка PVF* 0, 34
4,2-28 0Д&-0,54
ТГС 3,5 8,5
Наибольшим значением Rv обладают кристаллы ТГС, несмотря на то,
что рг(ТГС) существенно меньше, чем у 8гяВа,.х М/Лз (ни-
обета’’бария-стронция). Большие значения в 1ТС, сравнительная
простота технологии получения крупных однородных образцов делают
его одним из самых используемых материалов для разработки высоко-
чувствительных пироприемников. Некоторое неудобство представляет
гигроскопичность ТГС, обусловливающая необходимость его специаль-
ной герметизации в практически:: устройствах.
, ' Пироэлектрические приемники (ГШ) излучения обладают рядом
преимуществ перед другими датчиками излучения, например фотопри-
емниками и фотосопротивлениями. Прежде всего, поскольку пироприем-
ник является датчиком; чисто теплового излучения, его рабочий спек-
тральный интервал чрезвычайно широк: от области далекого ИК-излу-
чегия до коротковолнового рентгеновского и - излучения
(включая также видимую область). Чувствительность ПП при. комнатной
температуре практически равна его чувствительности при низких тем-
пературах, что является чрезвычайно важным преимуществом перед та-
кими распространенными датчиками излучения, как охлаждаемые фото-
сопротивления. , . • . ,
Пр» большом разнообразии типов преобразователей. развитие к
настоящему времени получили.приемники излучения, тепловизионные
передающие трубки и теплометрические средства, превосходящие по
ряду принцип: зльных свойств устройстве, основанные на других эффек-
тах.
Рассмотрим принципиальную схему устройства пироприемника кон- "
отрувдии [19]
Пироэлектрический приемник ЛПП-2 предназначен для индикации энергии
модулированного излучения видимого и ИЕ диапазона от 0,-1-20 мк.
Чувствительный элемент преобразователя изготовлен из кристалла
ТГС:Сг . Лримось хрома позволяет отабилизирова ь униполярное
состояние, кристалла ниже Тс при комнатных температурах, что
обеспечивает высокую стабильность параметров приборе в процессе
эксплуатации и длительного хранения, а также значительно улучшает
равномерность чувствительности по площади приемного элемента. .
Для согласования выходного сигнала непосредственно в датчике
размешен усилитель на полевых транзисторах, это позволяет сущест-
венно снизить уровень помех. Порог чувствительности (4-9) • IO9
Вт/ (Гг()4/4 при частотах модуляции 20 Гц-I кГц. Чувствительность
не менее 1000, 200, 20 В/Вт при частотах 20 Гц, I и 1и КГц соот-
ветственно. Постоянная времени прибора 4 0,5 м/о.
та; в. исследования физических свойств кристаллсв,
0Ш>ЕДЕД1Й.Ш ТЕНЗОРА» 3-го РАНГА
6.1. Об измерениях коэффициентов физических свойств, опр-це-
ляемых симметричным тензором ^-го ранга
Как известно, материальные тензоры 2-го ранга определяют при-
чинно-следственную твязъ между векторами, физического воздействия
Qt и аффекта Р; по следующему закону:
pi ='s j°j • (6.1)
Для низкооимметричных - триклинных и моноклинных - кристаллов эта
связь носит наиболее общий характер: .
Р1 = Зц + SjjQj , «
*
Рг = Sjz Q-i * S>2gQz + S13Q3 .
„ ' (6.2)
Рд - SjjQi + SasQj + SajQj t
т.е. даже в направлениях главных осей каждая из компонент R?
определяется всеми тремя величинами Qj . Соотношения (6.2) заметно
упрощаются уже в случае кристаллов ромбической сингонии:
• Р, =
78-
Ра = SZ20z (6.3)
Ps . ~ ^3S Q 3 *
так как равны нулю иедиагональнне компоненты тензора Sy .
Очевидно, что в отом и. более сыоокосимметричннх случаях достаточно
измерить величину аффекта Pj. при воздействии вектрра t? II? .
Сднако, возвращаясь к (6.2), легко понять, что в этом общем
случае ? и 3 не параллельны, если мн рассматриваем произ-
вольное направление кристалла.-Измерения в направлениях главных
осей ОХ, , ОХг , ох3 ( 3 = ?, ; О = с5г ; ,
соответственно) дадут нам только три компоненты тензора Sy (ом.
'соотношения (6.3)). Три оставшихся компоненты можно нейти, воли
определить значения тензоре Sij в "повернутой" системе координат:
Sy ® . • (6,4)
Тогда для нормальных компонент тензора, которые можно измерить наи-
ооиее просто и точно, получим:
ж й£$м * + 0,3 Sss + +
* ,+ 2<3(10,з6г5 ’ (6 5)
5гг = сЗг. t + Йг*585 + 2йг1®гг^1г *
+ *" 20гг<Э2а^гз
- зз e Gj» SM + Qjj S>J3 + 2 0# Qgz ^tz *
+ 4- 2d^Q31St3 ,
Поворот тензора вокруг OX, на угол даст:
•§4, » S„ ; -
' S' « cqs^Sm-»- Sin*^ssj +2ад^'п1р5гз ;
(6/6)
79
'"-L’ i сл'^ ipSj3
Полагая у =45°, получим:
Stl ~ ’,
/ (6 7)
Ьд: ~ "g ^гг + ^>3») + ^23 ’
S зз = -g (^гг + S33) - Згз
Следовательно, выбирая образец, рабочие поверхности которого пер-
пендикулярны к О'<,' или ОХд , мы получим комбинацию материаль-
ных констант, две из которых определены из (6.3).
Наполняя поворот тензора вокруг осей ОХг иОХ3, можно <олу-
чпть аналогичные комбинации коэффициентов, включающие компоненты
Sti и Йпсоотьетствинно. Итак, в общем случае триклинного крис-
талла измерения шести независимых компонент тензора 5у пот-
ребуют шести образцов, .риентированных в криоталлофиэичеокой сис-
теме координат, как указано выше. Очевидно, что это рассмотрение
применимо к любым свойствам, определяемым симметричным тензором,
второго ранга.
6.2. Методы измерения^диэлектрических параметров кристалла
Диэлектрические свойства кристаллов принято характерна сват.,
тензором диэлектрической проницаемости Sy , значения которого
зависят от частоты измерений. Пользуясь результатами п.6.2, мы мо-
жем выбрать тот или иной набор образцов для полной характеристики
диэлектрических свойств кристалла. Обычно- измерения произво-
дятся в переменных электрических полях, что обусловлено относитель-
ной простотой динамических методов и необходимостью знания диэлек-
трических постоянных на различных частотах. Из уравнения Максвелла
rot ~ J + = J t (6.6)
где - ток вменения, имеет
ПГ --lj t^l = \ (6-9)
- 80 -
С другой стороны, обычно представляют диэлектрическую пвоницае-
мость в комплексном виде:
£ = £' - , (6.то)
тог.пй имеем ’ ’ *
j = (<>£/+ J^')E.e^
. (6.И)
где 8.' и Я - действительная и мнимая части проницаемости.
Сравнивая (6.9) и (6.10), можно записать:
. (б.12)
Вынесем С за скобку в (6.10):
<?* = g' ( /- j -fr) jM ) , (6.13)
где = «? (тангенс угла диэлектрических потерь) -
величина, указываиияя "качество" диэлектрика.
Практически интересны случаи измерения параметров диэлектри-
ков на НЧ и СВЧ. Связь между диэлектрической проницаемость» меха-
нически свободного образна , измеряемой но низких частотах,
когда пьезоэлектрические' колебания не влияют на результаты изме-
рений, и S” - для механически зежатого образца (ня-ВЧ), дастся
соотношением (2.70), что позволяет ограничиться измерением! €f с
последующим вычислением £г из (2.70). Измерения в-этом случае
сводятся к определению емкости плоского конденсатора:
С = ~-р- ’ . (6.14)
где d - "олшина, & - площадь диэлектрика, £ф = 8,854•10-^^ Ф/м~
электричеокая постоянная вакууме.
Измерения проводятся обычным мостовым методом на частотах
~ I03 Гц, причем измеряются обычно как 8 , так и 8 , в
некоторых модификациях мостов - 6" (рис.6.1).
“ 81
МОСТ___
емкостей-
J ОБРАЗЕЦ j
т-^ I
।______J
Рио.6.1. Блок-схема
измерения диелектричеокой
постоянной на ИЧ
Образец в виде плоскопараллельной пластины известных размеров о на-
несенными на главные поверхности йеталлическими олектродами поме-
щается в держатель. Наиболее точные результаты можно получить, если
электроды наносятся непосредственно на поверхность образца методом
вакуумного распыления. Следует также учитывать емкость держателя,
так как
соГч' = С"* +'
(6.15)
При температурных исследованиях схема рис.6.1 дополняется бло-
кам! регулирования и стабилизации температуры. 4
В последние годи значительно возрос интерес к применениям
диэлектриков на СВЧ. В этом случае необходимы и соответствующие из-
мерения диэлектрических параметров £ , и их температурных
зависимостей. Имеющиеся в диапазоне СВЧ ограничения не позволяют
определить & из измерений емкости, так как при переходе к выоо~
ким частотам осуществляется и переход от сосредоточенных параметров
цепей к распределенным. Соответствующее решение электродинамических
задач позволяет применять методы коаксиальных линий, волноводные и
• резонансные методы [20]
Наиболее прост метод полного заполнения сечения волновода диэлект-
риком (рио.6.2) [20] . В этом случае образец толщиной J рас-
полагается в волноводе вплотную к короткоэа.чыкяющей пластинке, без
зазоров прилегает ко воем стенкам волновода. Второй конец волново-
да подключается к измерительной линии (ИЛ), которая, в свою оче-
редь, через аттенюатор (10-15 ЗБ ) подключается к генератору СВЧ
(рис.6,3). - - •
В отсутствие образца в волноводе устанавливается чисто стоячая
волка с узлами, расположенными на расстоянии друг от друга и
от короткозамыкаквдек пластинки, где Ав - длина волны в волноводе:
А

(6.16)
Л - длина волны в свободном "ространотве,
граничная для волновода ( Лг =2а
дай размер прямоугольного волновода).
3г - длин» волны,
, где С* - поперек-
Рис.6.2. Распределение картины стоячих волн в короткозамкнутом
волноводе а) без диэлектрика и б) при внесении,диэлектрыса
При внесении образца картина несколько изменяется. Капряжевдооть
поля в узлах теперь не достигает куля, так как. амплитуда отражен-
ной волны за счет поглощения в образце становится меныпе амплитуд
да падапцей. Кроме того, гое минимумы стоячей полны омещаптся в
сторону образца, поскольку дыша волны в образца монете длины вол-
ны в пустом волноводе. Эти изменения путем решения алсктродипами-
чеокой задачи ложно-связать о £' и f' . Ток, длл дачлектрлтов с '
малыми •toS < 0,15 выполняется: . ‘ «
с' = (Ъ<М(Ы)*
-83-
Р* „
0?л)г (1/Л? + V4) ’ (6'10>
где о(( и fit вычисляют иа ооотнодений
Ь *= (61I9)
4 <w нЦГ а-дх
где.© - ^£tn’- ~ Фазовый угол, K»=— »...........
коеффициент бегущей волны; Кев »
А-sc - определяется на точках, в которых показания индикаторного
прибора' (при квадратичной характеристике детектора) в два рава
првваяают его показания в минимуме;
О’™ ° -j>* ~ . _ смещение любого узла, обус-
ловленное внесением образце,
Рис.6.3. Епок-охема измерений диэлектрических параметров -
материалов на СВЧ
6.3. Электропроводность кристаллов
При наличии электрического поля в проводящих кристаллах W
никвет электрический ток. При не слишком больших полях связь MPis-
ду плотностьа тока и напряженностью поля ? даляется,
« линейной:
- Р .
кээф^жент влектролроводтаети (проводимость) связан о конеднтрйг.-
<> 64 •»
иней носителей и их подвижность, известной формулой:
~ en^r/zn* , (621)
рдс 6 - заряд носителей, п ~ концентрация, f - подвиж-
ность, in* - эффектная масср, Тг - время между двумя послодо-
ватэльными столкновениями, С- - длина свободного пробега. В мо-
нокристаллах направления векторов j и 1 (п.6.1) в общем
случае не совпадают,и связь между ними дается обобщенным законом
•Зг ' (6.22)
бу - симметричный тензор 2-го ранга. Анизотропия электропроводно-
сти кристаллов есть следствие анизотропии обратной эффективной маем,
электронов (дырок) , которая является также симметричным
тензором 2-го ранга и определяется симметрией йзоэнергетических
поверхностей. Каждый из имеет определенный физический смысл.
Например, если единичное электрическое поле п^ иложено вдоль Х£ ,
то &"2< ревев плотности тока вдоль этой оси, а вк и &гз - плот-
ности тока вдоль осей X, и Х3 , Важные физические следствия
относительно числа независимых компонент бу вытекают из того,,
что его симметрия совпадает с симметрией тензора диэлектрической
Пронинаемооти. Так, проблема определения недиагональных компонент
е,4 » G№ » баз (и вообще всех компонент) встает только
для самых низкоеишетричных кристаллов триклинной симметрии 1,1.
В кристаллах моноклинной сингонии 2,2/m ,m число недиагональных
компонент сокращается до одной • В кристаллах ромбической сим-
метрии остаются только диагональные компоненты 6",, * 6^ , гек-
сагональные и тетрагональные кристаллы характеризуются'б"„ = 6^=/^,
наконец,кубические б» ₽ 6*4г « <5S . Знечит , кубические кристал-
лы изотропны относительно электрических свойств, равно как и диэлек-
тричеекях, и оптических, что существенно упрощает процедуру измере-
ния электрон;оводяости, сводя ее к измерению проводимости одной
произвольно ориентированной пластины.
Ьгаото 6^часто удобно использовать тензор удельного электри-
ческого сопротивления :
Е( == .. (6.23)
-05-
Если кристалл приведен к главным осям, то
5>, ~ 1Л , - W , . (б-34»
Примерами кристаллов о анизотропной электропроводность» являются
олово, висмут, кадмий, цинк. У кристаллов теллура при комнатной
температуре проводимость вдоль оси 6-го порядка почти вдвое нижа,
чем в перпендикулярных направлениях:
о , — с*2 да 7, Уь 6j
Таблчца 6.1
Удельные электрические сопротивления металлических кристаллов
Кристалл Симметрия ОМ’М «Г* Ом.м
Олово Тетрагональная 9,9 Х4.3
Висмут Тригональная 109 138
Кадмий Гексагональная 6,8 8,30
Цинк 5,91 6,13
Теллур Тригональная 29,10 59,10
Вольфрам Кубическая 5,48
Медь 1,51
Вообще, информация о величине удельного электросопротивления
важна о точки зр>ения физики твердого тела. Поскольку ток в метал-
лических кристаллах создается электронами, в полупроводниках -
электронами к дырками, из измерений р можно определить компонен-
ты тензора эффективной массы. С учетом величины W* можно (для
полупроводников) сделать заключение о типе носителей (электроны
или дырки), так как обычно эффективная масоа дырок много больше
эффективной массы электронов. Деление на диэлектрики и полупровод-
ники в известной мере условно. Так, некоторые широкозонные полупро-
водники близко примыкают к диэлектрикам, тем не мене®,исходя из
величины проводимости,можно указать на их принадлежность к полу-
проводникам или диэлектрикам. Дополнительную информацию дают тем-
пературные измерения р ( 'Т ), Значительной анизотропией
66 -
электропроводнооти обладают кристаллы, которые построены из слабо
связанных друг с другом плотноупаковг иных слоев. В таких
кристаллах проводимость вдоль слоев ( б-» ) может на несколько
порядков превышать проводимость в перпендикулярном направлении
( ^х ) .
. Рассчитаем электропроводность кристаллической пластинки пло-
щадью 5 и толщиной d ( d « JS* ), единичный вектор нормали
1Т . Пусть поверхности пластины металлизированыj тогда поле в ней
совпадает с полем в плоском конденсаторе:
? ’ (6.25)
где U - разность потенциалов. Тогда
ji = • (6.26)
в общий ток
I = Srtiji « OWuM . (6 S7)
Таким образом, в этом случае нормальная составляющая тензора элек-
тропроводности играет роль удельной электропроводности в денном
направлении. Сопротивление же кристаллической пластинки имеет вид
в х J. s J. __________1— .
к i s etjnfnj
Смысл удельного сопротивления имеет величина 1/буИ;^ вообще
говоря не равная Pytyfij
Рассчитаем сопротивление кристаллического стержня длиной J и
площадью поперечного сечения 5 ( d*> ). Вектор ТТ па-
раллелен ори стержня.
Тогда J’ «(?/$)& ,
о™ > (6.28)
а разность потенциалов На концах отержня
Здесь роль'удельнего сопротивления в направлении л играет нормаль-
ная составляющая тензора удольного оопротивлетия руПсИу • Из этих
двух задач можно сделать вывод, что такие понятия, как величина -
удельного сопротивления в данном направлении и величина электропро-
водности в данном направлении, приобретают смысл, если указана
конкретная ситуация, в которой измеряется свойство. В заключение
отметим некоторое методические особенности, возникающие при измере-
нии электрических свойств различных кристаллов.
Металлические кристаллы. Величина удельного сопротивления мала
( р ~ I0"6 Ом*м )» поэтому измерения методически проста (вторая
задача, т.е. длинный стержень). Измеряются компоненты тензора ру
путем определения падения напряжения на длине d стержня, ориен-
тированного по тому или иному кристаллографическому направлению и
калиброванного по поперечным размерам. Обычно, применяют четырехзон-
* довую схему измерений (рис.6.4).
—-ig---------
4| дл Is ?ио.6.4. Схема измерения
электропроводности в метал-
j личеоких кристаллах
Контакты 1-2 служат для пропускания токе, 3-4 для измерения паде-
ния напряжения И . При этом удается измерять падение напряжения
только на образце,, без.учета сопротивления подводящих токовых про-
водов.
Отметим, что металлические кристаллы чаще всего кристаллизу-"
ются в’гексагональной ют кубической симметрии, редко - в тетраго-
нальной, поэтому для измерений достаточны образцы, ориентированные
вдоль главных осей кристалла.
Следует подчеркнуть, что монокристаллы металлов обычно весьма
пластичны, и изготовление ориентированных образцов должно выполнять-
ся, как правило, электроискровым способом, что сводит к минимуму
пластические деформации, '
Дтэлектрики и полупроводники. Измерения соответствуют первому
типу задачи. Кристаллы полупроводников обычно имеют удельное еоп- ’
ротивление до 10® Ом-м, диэлектрики - до Крайне малые .
топи обусловливают форму образцов с минимальной длиной движения
несмелей токе и максимальным полем, т.е. близкую к форме плоского
- R8 -
конденсатора. Очевидны и требова ия к измерительной аппаратуре -
очень высокие входные сопротивления Ом), способность изме-
рять малые токи. Этим требованиям удовлетворяют такие электромет-
рические приборы, как У5-7, 3K2-I6, В7-30.
Поскольку .диэлектрики и полупроводники обладают высоким соп-
ротивлением, для создания электрического поля в образно нп его плос-
кости, перпендикулярные направлению тока, необходимо наносить метол
лизированные Электроды. Для комнатных температур используются элек-
троды, полученные методом вакуумного распыления серебра, а также
аквадаг ' (суспензия графита в воде), для высоких температур
применяются либо плотно прижимаемые к образцу платиновые пластинки,
либо вжигаемые в поверхность образна электроды из серебряной пасты
сложного состава.
ГЛАВА 7. ПЬЕЗОЭЛЕКТРИЧЕСТВО
В I860 г. Братья Пьер и Как Кюри обнаружили существования
нового эффекта в кристаллах - пьезоэлектричоок го: пси давлении-
ия кристалл на некоторых его гранях возникают электрические зяря-
да. Через год Липин , зная о существовании прямого пьезоэффекта,
исходя из термодинамических соображений, предсказал и наличие об-
ратного эффекта, т.е. деформацию кристалла в электрическом поле.
Довольно долго применения пьезоэффекту не находилось, исэледоната-
ли скорее обращали внимание на пироэлектрические л: рис те ляп. Лг.иь
в годы первой мировой войн» П.Лвнжевен предложил использогать пье-
зокристаллы как датчик шумов, издаваемых падводшши лодками, а за-
тем и для активной звуколокации. С развитием радиотехники'обратили
внимание на замечательные свойства пьезокварца .SiO^ , т.е.
высокую стабильность электрических и механических саромотров выпол-
ненных из него пьезоэлектрических резонаторов. Ути свойства сразу
нашли широкое применение,в технике связи. Новые области применения
пьезоэлектриков возникли в связи с открытием Б.МрВулом я 1944 г.
высоких электромеханических свойств титаната бария &аТёО3. С
середины 70-х годов пьезоэлектрики, и прежде' г сего ниобат-ллтпя д
i_>fUbO3 , активно используются в устройствах акустоэлектроиики -
Фильтрах, линиях задержки, согласованных фильтрах на поверхностных
акустических волнах. • . ' *
- t?y
7,1 . Пьезоэлектричество в кварце (модель Мейсснера)
Физическое обоснование существования пьезовфф лтов (прямого
и обратного) лежит в особенностях структуры пьезокристаллов, пос-
кольку злектрическвя поляризация при внешнем давлении обусловлена
смещением ионов и возникновением дипольного момента.
Рассмотрим пьезоэлектричество в монокристаллах кварца S«'Qt ,
принадлежащего точечной группе' симметрии 32 ( ).
На рис. 7.1 показана проекция структуры кристалла на базовую плос-
кость, перпендикулярную оои третьего порядка. Ион 3 лежит глубже,
Рис.7.1. Структура кварца
SlQs : большие шары оо-
ответотвуют ионам S<4* ,
малые - О2'
Для упрощенна замешки каждую пару соседних ионов О*~ одним отри-
цательным ионом о удвоенным зарядом (рис. 7.2). Здесь мы пренебре-
гаем энантиоморфизме) кристалла.
Рис.7.2. Механизм возникновения пьезоэффекта
Приложение даапапия вдоль X (К,) смещает ионы так, как показано но
рисч7.-2б (величины смещений преувеличены). Видно., что дипольный
' ~ 93 ~
момент возникает в этрм же нарравдеиии (продольный пмзрэффект).
Отсвда следует специальное название д; г оси X г - "электрическая"
ооь.
. При сжатии кристалла в перпендикулярном к X ( Х4 ) направ-
лении Хг вдоль Х<тэкже возникает электрическая поляризация, но
с противоположным знаком (рио.7.2в).
Приложение поля (обратный эффект) вдоль осп Х(Х\)вызовет по-
явление положительных заредев па грани К и порицательных - на '
грани Л . Положительный ион 3 притянется к И , иоин I и2 бу-
дут отталкиваться от В , и элементарная ячейка вытянется вдоль
оси X ( Х,)« Одновременно кристалл, естественно, сократит ом® *
размеры-вдоль оси Х% • В этом состоит, по крайней мере качэствеп-
Ео, механизм действия прямого и обратного пьезоэффектов.
7.2. Уравнения пьезоэффектр -
Запишем системы уравнений состояния кристалла при ядигбвтичес-
. ких ( А 5й const ) условиях. Воспользуемся соответствуют:.! термоди-
намическими потенциалами (табл. 2.2):
вФ‘!“‘^йп •»' р.п
I.
Em * ~ + 5Ьп , ‘ -
(7.2)
еде , ,, .
V *_рХЛ = _ эь\ _ /жл
Постоянная h. йпределяэт.электрическое напряжение в разомкну-
той цепи при заданной механической деформации. ?
- SI
Пьезоэлектри 10окая постоянная g определяет электрическое напря-
жение, возникающее в разомкнутой' цепи при заданна., механическом
напряжении.
3. : = - е3пуЕп , <?‘5) = Qntl^i + ёп’тЕт ,
p«e 3 6нЦ а 4 = /ХИЦ = .. рац = / (7.6) l^y'2Fn/s \'at„ 7Ь ’
Пьезоэлектрическая постоянная е " определяет механическое напря-
жение, возникающее.в зажатом кристалле под действием данного
поля.
. ?«/ ~ Sijrt все + dnij Е„ ,
A. LJ J > t?.7)
сЙп ~ J nice + £»i» E„ ,
Где \ ' ‘ ’ (?8)
p V^L_V3 (23n\
aiJ V^eJs U£»r’(^7s v
Пьезомодули ' d определяют деформации, вбзникамцие в свободном
кристалле при заданном приложенном электрическом поле,
Итак, мы записали системы "уравнений состояния пьезоэлектри-
чески кристаллов для различных комбинаций граничных условий. Од-
нако эти достоянные не являются независимыми. Пользуясь их опреде-
лениями, можно найти соотношения связи:
с)пы ~ ~~ , (?,9)
Как установлено в о.3.3, симметрия точешой группы кристалле нала-
гает определевные требования из эвд тензоров физических свейотв,
Йпримзр, наличие центре симчетрив означает; что в таких крнетадлах
На существуют свойства, э--..еделяомыь тензорами нечетного ранга. Из
определений постоянныхчпьезоэФфекта (7.2), (7.4), (7.С) и ,(?.S)
ясно, что'они имеют смысл тензора третьего ранга, следовательно,
пьезоэлектрические постоянные равны нулю в одинадцати цснтроси;«
матричных классах симметрии: I, 2/ш ,ттт , з, 3m , 4/т ,
4/mmm ,-6/m , B/mrnm , -m3, m3m , Однако принадлежность
данного кристалла к одному из пьезоэлектрических классов emo не
означает, что этот кристалл действительно должен проявить пьезозл^к-
тричеокие свойства. Известны диэлектрики, принадлежащие к пьезоэлек-
трическим классам и но обнаруживающие при достигнутой точности
эксперимента никаких пьезосяойотв. Этим пьезоэлектричество отлича-
ется от таких свойств, как упругость и т.п. Напротив, iipi надм.м-
ность к одновд из пьезоэлектрических классов - гарантия отсутст-
вия у кристалла пьезоэлектричества.
Рарсмотрйм разновидности проявления-пьезоэффекта в кристаллах;
Продольный пьезooiM-ект, В этом случае- "вправление приложения внешней
силы и направление возшгеяющого электрического ноля совпадают. Ка-
пайте та.. -e наорав, эния в кристалле? Рассмотрим пьезоэлектрический
класс 23 v ( 4L33La ). Матрице пьезо&ффекта имеет вид
у О О О dM О О 'Ч
/ О О’ О О dw О ] или d,« = d£S = JiB
\ О О О О odrt' - '
Очевидно» пьезомодуль, отвечающий за продольный эффект, в "повер-
нутой" системе координат должен иметь вид
с/ <w ® Оу О11С dy* =
— + Ф» dfij + (o&tyf du 4 Qa 4/t Он) +
*•" = £q„ Q/zO/^ с4г3 ~ 3a„ a/iO^d»,
Найдем экстремум,этого’внражения. Воспользуемся соотношениями
(J.IO) Я/* *• 4,1 4, х / = / tty‘-Я/* ' ,
<’3 -
чтобы записать фуикпию
J Li- о,,-о^ .
которую затем исследуем на экстремум.
Выедем обозначения:
~ 0<,г t
где и ^12 - углы меду осями Х,и X, , X, и Хг соответ-
;Х,( ^o/T«jVH-6aV<a + ,
v 1- а>5 о/„ - c₽jV„
=- -StndfJ 1-^,,-айУ,L * - С.
‘-н'г v-f-coi^-cftS^ jz
Обозначим
5ind„ - ~Х , ^,'ц d,t = 5.
Тогда, решая уравнения ' _
- 2сс3 + vc(< -у) + а = с
- 4 (d-х1) +у' ,
получим '
^ио!1г = !^'„d,3 = C'.SI1! ,
"У„ ~ di2. - сХ <з = 55 _
Это сштетст'уует. нитрзможш [Ш1 ку"ичеокого к, .стзл.ча.
ТокоГ срез крчстал-ш можно исполъзеяать для генеряции чисто лро-
floworo ЭДП’ПЧССКОГО нопряжзпия по отношонйю к приложенному
электрическому поли. f
Иг'.дальний пъозоэФТект определяется тензором типа ^£ц с
г'.!г...етр.юй [Vs] , болоэ пысокой, чем симметрия тензора пьезозФ-
.Мда VTy1]. Слсдорательпо, продолънвЭ лъезооффевт возможен лишь
в таких кристаллах:, симметрия которых позволяет полностью симмет-
ричному тензору -}tti иметь не равные нулю компоненты. В "пьезо-
эяс&тритеских’’ классах симметрии 422, 622 тензор ^Kt .о , и
продольна!! пьезогфлжт песозглргеи.
- 94 -
. Пьезоэ^ект пои гидростатическом днвлешт
При гидростатическом давлении (табл. 2.1) .жиолкяетоя
6”г« = - р 6
€ Г (7.1b)
.Подставляя (7.10) в .(7.7), при Е„ ±О • получим
% « -Jtcep . (7.II)
Этот векторный аффект возможен при условии, что компоненты матери-
ального вектора dt» не равны нулю. Такие материальные векторы
отличны от нуля липъ для пироэлектрических кристаллов - в десяти
кристаллографических классах (п.5.1).
7.3, Уравнения электроупругооти в статическом нрибл х нпг'
Пьезоэлектрическая пластинка под деЯоуем механических .
напряжений
Подвергнем механически свободную, металлизированную ня плен-
ных поверхностях пьезоэлектрическую пластину действию однородных
механических напряжений. Естественно выбрать, в соответствии .с ус-
ловиями задачи, систему уравнений (7.7), поскольку механические'
напряжения имеют смысл термодинамических переменных,'а пластина,
нехЕнически свободна:
S)< = Еу . +• citrf fat
e Srfm виц * cJjrf
(7.12)
Рис.7.3. Пьезоэлектрическая пластин-
ка под действием однородных механи-
ческих напряжений. ( d *'< ' )
Выберем ось Z перпендикулярно металлизированным поверхюстям плдстп-
йи. Эти поверхности являются эквипотенциальными, тм'как рпяннеят rffrrr
ютала электрического поля всегда перпендьнулярек к глпвннгд.пп^лгноо-
тям:
ss -
E. * - yfl = - nt = - V’-rtt. . (?л3)
Tow (7.12) можно записать в виде
$>l И; + d'nc-t^ice ,' •
= , СМ4)
- бгеив 6"ип .— .
Рассмотрим частные случаи.
I. Обкладки замкнуты , _ ^(с) = /(d) , Е( *О f
тогда получаем из (7.14):
e ф jtjj
e $*ttan ,
Плотность поверхности зарядов, возникающих только за очет ль зоэф-
^ектз*
Jp.-ioe = П;Ч)1 = djr/> &п П; (7.16)
Деформации в пластинке таковы, что и в отсутствие пьезоэффекта
Цг£ Srtmn бтп
Выполняется условие постоянства электрического поля.
2. Обкладки разомкнуты , tf(o) - 4>Cd) & - о
Однако при разомкнутых обкладках доя изолированной пластинки /?г^жб»
(из условия непрерывности электрической индукции, так как вне плао-
тинки S’-о ), т.е. существуют только тангенциальные составлявшие
£>t . Тогда из (7.14) получим:
Пг2)г=0 =.- eyWliP' + dt'e^n: .
Отовда ' т' '
- Г , Ц'Н'У '
Из (7.1?) и (7.13) имеем:
Е- - - ; - .. ,
0 помощью (7.17) расочитаем разность потенциалов на обкладках плас-
тина:
W = . (7.19)
V’ * J
Подсталия (7.17) в .(7.14), нейдем деформацию:
„ С6 С diri б*«ГС H 'i J и
Чп = ьгГяЬтп М= drn r •
У J
Переписей (7-20) в эквивалентном виде
= [5^^n<Snt - ’
затем представим сто соотношение в сокращенном виде:
(7.20)
(7.21)
(7.22)
Очевидно, жесткость пластинн увеличилось, так как робота напряжений
(>tf. затрачивается как на создание энергии упругой дефпрмаадн, так
и на изменение электрической энергии кристалла. Немцем У другую п элек-
трическую энергии пьезоэлектрической пластинки (на единицу площади):
W = ’ глг;3)
'J О-
= (7.24)
Я \ fcy "j 7 z £ti «t Л;
Сравнивая (7.24) и (7.23), можно понять, что уменьшение упругой энер-
гии, связанное о уменьшением деформации кристалла ( по сравнению с
состоянием о замкнутыми обкладками), полностью компенсируется измене-
нием электрической энергии кристалла. Следовательно, жхяничоск&я
работа Rai»» = V& + №м расходуется на деформацию кристалла ч:
изменение его электрической энергии. Для пьезокриоталлоь'.ввбдитол
обобщенная характеристика электромеханического преобразования энеадад
- коэффициент электромеханической связи k. : . ...
JL
«т tt^+^м. ’ (,'j)
который показывает, какая часть раоотн перешла в электрическую энер-
гию. Подставляя в (7.25) соотношения (7,23) и (7.24), получим г.
обще.л виде:
is 6re
(fy >hl1j)(Sreff
Этот кооффицнзнт не зависит от величин электрического поля и ни пря-
жения IS I , но зависит от направления в криста..ле вследствие
анизотропии физических свойств.
Обычно, в зависимости от £ , пьезоэлектрики делят на сильные
( k » о,з ), средние (о,з -> I' ъ о, у ) , слабые ( k< o,i ).
Хотя такое деление в известной мере условно, так как зависит от нап-
равления а кристалле и типа электромеханического преобразования, тем
не менее оно играет свою роль в оценке практической применимости
пьезокристаллов.
Пьезоэлектрическая пластинка под действ. зм
• разности потенциалов
I. Пластинка механически свободна: Пусть U - разность потенциалов.
Тогда Ер = . Если для механически свободной ллаг^нки
напряжения равны нулю, из (7.13) имеем:
©P = Cu/d)4nj ' ,
V.,. <.«(U/J)»j , Р ’
т.е. электрическая поля'изация кристалла определяется только
его диэлектрическими свойствам, а деформации, напротив, только
пьезоэлектрическими свойствами (обратшгй пьезоэффект). С помощью
(7.27) легко рассчитать поверхностную плотнооть зарядов:
pno« - , (7.28)
2. Пластинка механически зажата вдоль толщины; Тогда для одноосного
механического напряжения Gij - , не позволяющего ей изме-
нять толщину, выполняется г[г( n<rlf -О , т.е. нормальные "к
поверхности пластинки компоненты деформации обращаются в нуль. Поль-
зуясь этим условием и (7.13), получим:
— О = Scemn^ ~i QU/d) djeiflKfltl'lj
Отсвда можно определить механические напряжения:
' ПкП( • (7.29)
- 98 -
(7.30)
(7.31)
Рассчитаем электрическую индукцию:
Si ,e/J)£.
г / _ jre W*n&) 1 г-
= lAj . Jcj
либо в эквивалентном виде:
i ~ £lj ’
При записи (7.31) мы воспользовались соотношением связи (2.70).
Из сравнения (7.30) и (7.26) ясно, что существует важная связь мет
ДУ ?i: и f’. :
J J 1 . . с
(7.32)
Тогда плотность поверхностных зарядов
S„, - и,а,
= G-A2)(u/J)£y^V
Уменьшается- со случаем свободной поверхности (7.28).
(7.33)
7.4. Характеристические поверхности пьезоэффекта
Тензоры 3-го ранга тоже могут быть представлены характеристичес-
кими поверхностями, однако эти поверхности не так просты, как у тен-
зоров 2-го ранга. Более того, представить тензор 3-го ранга единст-
венной поверхностью невозможно.
Вспомним, что величины определяют продольный пьезоэлект-
рический эффект, т.е. отношение заряда па единицу площади, возника-
ющего на поверхности пластинки при приложении к ней нормальной скин.
Нормаль к пластинке совпадает с осью ОХ^ "повернутой" системы
координат.
Поверхность, радиуо-вектор которой в направлении ОХ, равен
df„ , называется поверхностью продольного пьезоэффекта. Очевидно,
мо*но ввести много других поверхностей для представления конкретных
компонент индукции, возникающих под действием определенно направлен-
ных напряжений. . ,
В качестве примера рассмотрим такую поверхность для кварца
(рис. 7.4).
- ® -
Г °* ~ + +
+ 2а„^хап dlis 4- 2а„ (?«^яг40 +2а/га<<а1г dtu -
~ ~0<4^<г^ц Он0&в<з dt4 - + fiftflizdjg ~ (7.34)
= С1ц c/ц -(?«Йцс4< ~ £fy<fyzcln ~ <3ц (вц ' <У«
Осуществим поворот на угол & ' вокруг оои Х3 . Тогда Qq=cei&,
С11г. = ^п& - см. (I.I6). Получим сечение поверхности Г плос-
костью ОХ, Хе : •
JM c«jefc^0-^na6>9 ed„&53& ; &~O-i-3GO*„ ,г.
V /
X
X
б Rite.7.4. Сечение поверх ости
продольного пьезоэффекта в квар- .
j . де (а ) и стереографический
проекция элементов симметрии
. кварца ( б )
Чтобы выполнит! сечение поверхности (7.34) плоскостью C’X/Xj >
рделаем поворот вокруг Хг на угол & - ил. (I.I4), т.е.
й„~ -ееЗб , ansO :
Г=С&$3@'о1н • (7.36)
Рио.7.5. Сечение поверхйости
продельного, пьезоэффекта в кварце
плоскостью QX,Xx
Анализ рис.7.4. и 7.5. показывает, что сжатие вдоль оси третьего
порядка не приводит к появлению зарядов. Наибольшее значение с/,н
достигает \ в направлении осей второго пор)дцкя Х.У. И - в пол-
ном соответствии с моделью в п.7.1.
4.^1 Пьезоэлектрические кристаллы
Ра осмогрим пьезоэлектрические свойства о/ -кварца §гОл (клаоо
- 100 -
симметрии 32). Для Xj 112 -атрица пьезоэффекта имеют гид
{ 9, '-9 О е„ о О = 6,93-10 12
' О р\ d„=- 2,18-10-1
I О’ • О о О-Р|»- ^1 е,( = 0,17 Кл/м~г
\о О 0 0 0 0 / ₽rt= - 0,04 Кл/м2
Кл/Н-
г Кл/П
Пьезокварц отличя.зтод малыми акустическими потерян:, высокой
мэхеничеокой и электрической лрожоотьв. Существуют о-езн о пуле-
чин температурным коэффициентом упругих свойств. Применение:
активный элеичи£ прсцизионнга пьезорезогаторов с выпокой отрбыль-
ностьп ( ~ 10'°) частота, материал для высокочастотных пъежоб-
жзователей и. знукопроЛодон.
Ни об'ат ли гм Li Vl>03
рик. Tt <210 °C
имеет вид
(<3т ). ВыеокотемперетзфниГ. се.гч’етоалент-
. Для т1Х<. мптриця пжзонффекта
/о 0 О о е,5 ~ ^гг \
о е!Т о О
\ ^31 @33 о- о
dw , Ю"12 КлД1 е« , Кл/м2
d7Z ₽ 20,7
dis “74
dj, И -0,66
eU “ 16,1
еи = 2,5
9,s “ 3,66
еэ1 = 0,2
е53.я 1,з
Чонокраотажч нисб.атя лития харатеризуетоя мелнэд (пиво, чем у кж.~
пр) механически! л? потерями, 'таюокой электромеханике waft связью
к п ах ~ QS .
Чргмонегое: патёризл длй пьезооброеователей, пьезоал-’ктрйческис
иодтк.т дл-1 уотройотв ча поиерхчостнмх яку -тичееких жлппх (ПЛ.,-<).
Сйляксс.^ллеиит Ого . 'При,тдпежит к точечной гр:-пс 23. Над
ивтриин пьезоэлектрических постоянных- такой: ' ,
>
i
- 101 -
i'о о о о о \
О С> О О <р/« о I
\о О О О О diy/
' е,/= 1,6 Кл/м2 ; dl4 = 46 .ПГ12 Кл/Н
Ха^к.'лризуется малыми акустическими потерями, высокой алвктроме-
ханлчеокой связью ( /г>о,з ), обладает малыми скоростями упругих
волн. •
Применение: пьезорезонаторы, материал для устройств нг ПяВ,
Дигтаосфоофат калия KDP ( КНгР.О4 ), класс симметрии ?2гп .
Для X, 112 / ° Отрица пьезоэлектрических модулой имеет ввд ‘
о О <J(4 0 с
1 О о О о О
\ 0 о о о. о ^зё /
Лг •= 3,9« 10~12 Кл/Н I J = 70-Ю-12 кл/й 4 а36
Пьезоэлектрические текстуры
Ьокний класс пьезоалектриков - Искусственные материалы,
так называемые пьезоэлектрические теотуры. Наличие в
них пьезоэффекта было предсказано акад.А.В.Шубниковым. При их изго-
товлении используется традиционная керамическая технология: порош-
ки сегнетоэлектрических кристаллов ( ВсТ<03 f РЬ<"2г,Тг) Oj)
раз.тлывйются, а затем спекаются под давлением в изделия определен-
ной формы. Однако такой материал еще не обладает пьезоэффектом,
его нужно поляризовать. Приложение поля при высоких температурах
заставляет сегнетоэлектрические домены ориентироваться вдоль него,
при этом первоначально изотропный материал приобретает симметрию
электрического поля oom . Вт матрицы пьезрэлектричеоких посто-
янных совпадает с матрицами: классов , Ст/п ;
/О О О о е„ о \
I О д О о I
W е» о о е,в/ . •
102 -
При этом направление поляризующего поля внОпоятсе в качестве
пой £fXs) . .
Применение: материал для пьваорезоввторов, гидрофонов, излуччте
ультразвука. ’ ,
Пьезоэлектрические кристаллы нашли самое lup -??. Применение в
науке, технике, технологии 'м.таблицу).
Тип образования энергии Применение Рабочий Наиболее _ режим используемые • ~ ' материал»
Механическая в электрическую (прямой пьезо- _ эёфюкт) Акселерометры Нерезонанс. ЯЙР, Р£Т Детонаторы Pb(NQsj£ (иля обыч.и ядер.оружия) Пускатели фото- Керамика вспышек . й,т-п PS'T Устройство под- Иа/iQs, rz жига в газовых си стомах (зажи- галки, катушки
зажигания в ДПС, Отопительные системы)
Падрофоны Нерезонанс. А 0* и резонанс. Сульфат л?тия Микрофоны Нерезонанс. Сеггетова соль, Р2. ।
- Звукосниматели
Электрическая в механическую (обрат- ной пьезоэффект) Линейные звуке- Обычно не- Р2Т вые природы резонанс.' Электромехани- ческие затворы Наушники и олухо-Нерсзонвно. Сегнётмк соль, вые аппарат» PgT Сердечные насооы . Зуммеры Громкоговорители Печетаиляз уо-ва Резонанс. Р2Т Гидроекустич. Нерезонанс. ЛТ^Р, локаторы - и резонанс. Lit3Ov2HzO . Ультразвуковне . Резонанс. __ц— химические про- . цеооорн (эмуль- . оифмкаторп, по- лимеризаторы , оте-
—" рилизатора) . УЗ очистители п-п «
- 103 -
Окончание таблицы
Двойное (электро- .
механическое-меха-
ноэлег""ричеокое)
Ультразвуке-! Нереэонао. -2^0
вне устройства и резонанс. орт тит/о
контроля утеч- » ° з
ки газов и жи-
дкостей
Ультрозвуковая
сварка Устройства на Обычно неро- 51Сг t
поверхностных зонано. Li^kOi;
акустических волнах Li Ta Oj
Линии задерж- Резонанс.
ки
Фильтры *wW W-.H
Возбудители (преобразова- w—n \ «>
тели) Трансформаторы w—w P£T
ЛИТЕРАТУРА
Т.Най Дж. Физические свойстве кристаллов и их описание о помощью
тензоров и матриц. М.: Иностр.лит.,1967.385 с.
2 .Мэзон У. Пьезоэлектрические -Кристалла и их применение в ультрав-
куотике.М.:Иностр.лит.,1952.
З .Кади У. Пьезоэлектричество и его практические применения.М.:
Иностр.лит. ,1949.
4 .Шаскольокоя М.П. 1фиоталлография.М.:Высш. -к., IS76. 391 с.
5 .Сиротин Ю.И..Шаокольская ;.,П. Основы криоталлофизики.М.:Наука,
1979. 641) о.
б .Дьелеоан Э.,Руайе Д. Упругие волны в твердых телах. Приложение
для обработки сигналов. М.:Паука,1982.424 о,
У.Ландау Л.Д., Лифшиц З.М. Теория упругости. М.:Наука,1965.204 с.
8.Федоров Ф.И. Теория упругих волн в кристаллах. М.:Наука,1965. .
' 387 с.
Э.Перёломова Н.В., Тагиева М.И. Задачник по кристаллофизика.М.:
Наука, 1982. 288 с.
Ю.Щубников А.В. О работах Пьера Кюри в области симметрииУ/Уопехи
физ. паук. 1956. Т.59. & 4. C.59I-&J2.
€I..:f’..u.,br> Л..1. И др.Нелинейпые электромеханические двойства адент-
ричных кристаллов. Новосибирск; Наука, 1986. I77 с.
12 .Сокольников И.О. Тензорный анализ. И., 1971.
104 -
13 .Лямов В.Е. Поляризационные эффекты и анизотропия взаимодействия -
акустических волн в кристаллах. М.:Изд-во МГУ, 1983. 224 с.
14 . IRE Standoffs on Pieoof&cfne CrjpWs. Proc. IRE, WH, v ЯЗ, p. 1318.
IF. Morvan M. Caecli. J.Phjs, 1969, V. 19. P. 1240-|245.
16 .Новик B.K. Пироэлектричество в полярных монокристаллах:Дисс. ... ,
д-ра физ .-мат. наук. И., 1983.
17 . CtynowdJ,Phy. 1356. V. 27, УИ . Р 78-84.
18 . Берфут Ди., Тейлор Да. Полярные диэлектрики и их применения.
М.:Мир, 1981. 526 о.
19 .Афанасьев В.А. и др. Пироэлектрический приемник ЛПП//Приборы и
техника эксперимента.1974. № 6. C.2II.
20 . Брандт А.А. Исследования диэлектриков на СВЧ.М.: Физматгиз,
1963. 403 0.
СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие 3
ГЛАВА I. ВВЕДЕНИЕ В КВЮТАЛЛОИЭПСУ 4
I.I. Кристалл как анизотропная сплошная среда 4
1.2. Дринрип симметрии в кристаллофизике 6
1.3. Тензоры и физические свойства кристаллов 9
ГЛАВА 2. ТЕРВДИШ1ИКА ПЪЕЗОДИЭЛИЕТИПЕСКИХ КРИСТАЛЛОВ И:
2.1. Основные уравнения электростатики кристаллов’ j?
2.2. Тензор напряжений . 20
2.3. Тензор деформаций- ‘ 25
. 2.4. Закон Гука для анизотропной среды 29
2.6. Условия равновесия и уравнения движения упругой ородь 31
2.6. Энергия деформированного упругого тела 32
2.7. Энергия кристалла в электрическом поле 34
2.8. Инвариантные термодинамические потенциалы 35
2.9. Уравнения состояния 39
2.10. Об определении материальных постоянных 41
2.II. Соотношения между.коэффициентами, измеренными при раз-
личных условиях 42
ГЛАВА 3. СИМВТРИЯ КРИСТАЛЛОВ И Ж ТЕНЗОРОВ ИХ ФИЖЧГСКИУ >
- СВОЙСТВ 50
3.1. Тензоры и поевдотензоры. Действия иод-ними 50
3.2. Внутренняя симметрия тензоров , 51
3.3. Внешняя симметрия тензоров 52
- 105 -
3.4, Метод прямой проверки 54
3.5. Собственные векторц и собственные значенв.» симметричного
тензора второго ранга .56
ГЛАВА. 4. GBIJffi ПРОБЛЕЙ КРИСТАЛЛОФИЗИКИ . . ' СО
4.1. Выбор кристаллографических систем координат , ВО
4.2. Выбор крист.аллофизических систем координат 64
4.3. Проблема сравнения тензорных свойств кристаллов 68
ГЛАВА 5. ПИРОЭОФЕКТ И ЕГО ПРИШНЕНИЯ. 69
5.1. Фиалка пироэлектричества. Метод измерения пирокоэффици-
ентя 69
. 5.2. Критерии и области применения пироэлектриков 75
ГЛАВА 6. ИССЛЕДОВАНИЯ ФИЗИЧЕСКИХ СВОЙСТВ КРИСТАЛЛОВ, йТРЕДЕДЯЕМЫХ
СИМГЛЕТРИЧНЫМ ТЕНГОРАЖ ВТОРОГО РАНГА 77
'ё.Ф. Об измерениях коэффициентов физических свойств,- опреде-
ляемых симметричным тензором второго ранга 77
6.2. Методы измерения диэлектрических параметров кристалла 79
6.3. электропроводность кристаллов 53
ГЛАВА 7. ПЬЕЗОЭЛЕКТРИЧЕСТВО 8В.
7.1. Пьезоэлектричество в кварце (модель Мейсснера) 89
7.2. Уравнения пьезоэффектй , 90
7.3. Уравнения электроупругости в статическом приближении 94
7.4. Характеристические поверхности пь"зоэффекта 98
7.5. Пьезоэлектрически з кристаллы 99
Литература ,03