Журнал "Математика в школе", 1984 №01

Автор: Черкасов Р.С.

Теги: образование журнал математика в школе

ISBN: 0130-9358

Год: 1984

Похожие

Журнал "Математика в школе", 1984 №06

Журнал "Математика в школе", 1984 №05

Журнал "Математика в школе", 1981 №01

Журнал "Математика в школе", 1967 №06

Текст

МАТЕМАТИКА

В ШКОЛЕ

Научно*
методический
журнал
Министерства
просвещения
Виктор . Викторович Бобынин — выдающийся историк
математики.

Родился в деревне Шили на Смоленщине в семье
мелкопоместного дворянина. В 1867 г. закончил
с отличием Тульскую гимназию, а в 1872 г.—
Московский университет. Преподавал математику
в военно-учебных заведениях сначала в Нижнем
Новгороде, затем в Москве. Педагогическая
деятельность пробудила в нем страстный интерес
к истории науки.

В 1882 г. Бобынин защитил магистерскую диссертацию
«Математика у' древних египтян», в которой
исследовал папирус Ринда, относящийся примерно к
1650 г. до н. э. В том же, 1882 г. получил должность
приват-доцента Московского университета и стал
впервые в России читать факультативный курс
истории математики.

Во второй половине XIX в. передовые идеи русской
материалистической философии широко
распространялись в кругах научных работников.

В связи с этим нарастал интерес к вопросам
методологии науки и ее истории. Однако работ,
в которых было бы исследовано развитие математики
в России, тогда не было. Этот пробел восполнил
Бобынин, посвятивший изучению истории
физико-математических наук в России большую часть
своей жизни. Он первый исследовал старинные русские
рукописи по математике, написал обширные труды
«Состояние физико-математических знаний в России
до XVI в.» (1884), «Очерки развития
физико-математических знаний в России, XVII в.»
(1886—1890) и много статей. В этих работах показано
становление древнерусской арифметики, геометрии,
астрономии, своеобразие математических знаний
в России и большое их распространение к XVII в.
Бобынин описал различные приемы счета, указал на
разработанность многих других математических
средств, содержащихся в русских рукописях.

Большую ценность имеет составленная Бобыниным
«Русская физико-математическая библиография»
(1886—1890). В ней ученый стремился дать полную
картину развития в России математики, физики
и астрономии. Он указал все печатные источники
1587—1816 гг., в том числе и старинные календари.
Бобынин один из первых исследовал эти редчайшие
памятники народной культуры.

В 1884 г. В. В. Бобынин приступил к изданию журнала
«Физико-математические науки в их настоящем
и прошедшем». В то время в Европе было всего
4 журнала такого рода: во Франции, Италии, Германии
и в Швеции. В 1885—1898 гг. вышло 13 томов журнала
Бобынина. Затем он стал издавать новый журнал —
«Физико-математические науки в ходе их развития»,
но смог опубликовать только 12 выпусков первого
тома (1899—1904).

Журналы были рассчитаны на преподавателей средних
учебных заведений и на научных работников. Они
содержали статьи по истории и философии математики,
биографические очерки, научную информацию. Бобынин
был не только издателем и редактором этих журналов,
но и автором почти всех статей. Его труд — поистине
жизненный подвиг. Выпуская журнал, он неустанно
работал над старинными рукописями и одновременно
был в курсе всего нового, что появлялось в области
истории математики в России и за рубежом. На
каждую новую публикацию он писал строгую
и пространную рецензию. Ученый стремился всеми
способами привлечь внимание общественности
к истории математики.

Однако начинания Бобынина не находили ни
признания, ни поддержки у официальных кругов
царской России. Он не мог рассчитывать на
государственную субсидию и издавал журналы на свои
средства, которые добывал преподавательским
трудом. Когда его материальные возможности были
исчерпаны, издательскую деятельность пришлось
прекратить.

В. В. Бобынин постоянно развивал идею о пользе
истории математики для преподавания. По его мнению,
каждый учитель математики должен знать ее историю
и вводить исторические элементы «в самый строй
преподавания математики». На I Всероссийском съезде
преподавателей математики (1911) Бобынин произнес
речь «Цели, формы и средства введения исторических
элементов в курс математики средней школы». Он
говорил: «Я должен выразить свое глубокое сочувствие
тем приемам и средствам... к которым уже обращались
для введения исторического элемента в преподавание
математики в средних школах... Все это меня только
порадовало, за все это я могу только благодарить, так
как вижу в этом начало осуществления того, что—могу
сказать — всю жизнь меня интересовало».

Много сил отдал Бобынин методологическим
проблемам математики. При этом он подчеркивал связь
математики и практики. В 1910 г. на Всероссийском
съезде естествоиспытателей и врачей Бобынин прочел
доклад «По поводу древних и новых нападок на
чистую математику», в котором на основе
исторического анализа показал, что происхождение
математики связано с требованиями практической
жизни. Так в условиях царской реакции ученый смело
отстаивал материалистические взгляды. Это
выступление не было опубликовано в труда?: съезда.
Оно увидело свет лишь в 1924 г.

Виктор Викторович Бобынин опубликовал более
550 научных работ, часть из них — в энциклопедическом
словаре Брокгауза и Ефрона. Имя В. В. Бобынина
пользовалось известностью и за рубежом. В 1908 г.
он написал большую статью «Элементарная
геометрия» для IV тома «Лекций по истории
математики» М. Кантора.

В России выдающиеся научные заслуги Бобынина
получили должную оценку только после Октябрьской
революции: в 1917 г. он становится профессором
Московского университета.

В трудное время гражданской войны и разрухи
Бобынин продолжал работать в Московском
университете. Ему было поручено написание «Истории
русской математики» и «Всеобщей истории
математики». Работу над этими сочинениями оборвала
смерть ученого.
Научно-методический журнал Министерства просвещения СССР МАТЕМАТИКА
Москва «Педагогика» Издается с 1934 года Выходит один раз в два месяца > У-] В ШНОЛЕ ЯНВАРЬ — ФЕВРАЛЬ
3 От поколения к поколению

Народные учителя СССР

Л. П. Анчукова Р. В. Саркисян 3. А. Магомеддибирова, С. С. Мирзоев 7 Маргарита Николаевна Сивцова 9 „Самсон Агабекович Дагбашян 10 Ахмедхан Гаджияхяевич Караев

К 150-летию со дня рождения

Ю, И. Соловьев 12 Дмитрий Иванович Менделеев 14 Лауреаты высоких премий 1983 г«
МЕТОДИЧЕСКИЙ ОТДЕЛ
С. Л. Соболев 15 Судить, ло конечному результату

Преподавание геометрии по учебному
пособию А. В. Погорелова

В. А, Гусев, А< И. Медянии 19 К началу обучения геометрии в VII классе 32 Самостоятельные работы по геометрии в VII классе

Из опыта работы

Н< Д Волкова, Т. В. Гришина Г. И. Богачева 33 Воспитывать, обучая 37 К методике обучения школьников IV—V классов анализу текстовых за-
Н. Я. Виленкин, Л. Г. Петерсон Г. К. Муравин дач 39 Использование координатного луча для решения задач на движение 42 Об одном из способов изучения систем уравнений в VI классе

От программно-Аетодического управления
МП РСФСР

45 О выпускном экзамене по алгебре и началам анализа в вечерних (смен- ных) школах РСФСР

В ПОМОЩЬ УЧИТЕЛЯМ, РАБОТАЮЩИМ
ПО ПРОГРАММЕ САМООБРАЗОВАНИЯ

А. Д. Александров А. Н. Колмогоров 47 О понятии множества в курсе геометрии 51 Замечания о понятии множества в школьном курсе математики 53 Коммунистическое воспитание учащихся в процессе обучения матема- тике (тематический указатель статей)

Т. А, Сарычева, 55 XVII Всесоюзная математическая олимпиада
Ю. В. Нестеренко 62 Заочная .олимпиада механико-математического факультета Московского университета
К, Петров 63 Метод гомотетии в решении задач
Л. И. Кузнецова 64 Гомотетия как частный случай гомологии
В. Г. Болтянский 65 Об одном паркете
Задачи 67

Поздравляем юбиляра

А. Н. Колмогоров, О. А. Олейник 73 С. Л. Соболев и современная математика

Математический календарь на 1983/84
учебный год

А. И, Бородин 77 Март, апрель
ХРОНИКА
А. Я. Яковлев 79 Памяти Эйлера 79 В Министерстве просвещения РСФСР
А. Я, Халамайзер 30 В математическом обществе ГД^

На первой странице обложки — рисунок к задачам о паркете
(см. статью на с, 65)«

Редакционная коллегия: Редакционный о о в е т:

Зав. редакцией
3. В. Шепелева

Главный редактор Я С. Черкасов (представители союзных республик):

Художественный редактор
Б. Ф, Рябов

Зам. главного редактора А. И. Верченко А. М. Алиев (АзССР) X. А. Асадов (ТаджССР) Б. Б. Бердыев (ТССР)
Члены редакционной коллегии; В. А. А. С. Гусев (РСФСР) Зибертас СЛитССР)
Д- И. Икрамов (#зССР)
н. м. Бескин К. к. Кожаспаев (КазССР)
в. г. Болтянский ш. м. . Майлиев (КиргССР)
н. ф. Власик в. я. Миллере (ЛатвССР)
д. Глейзер 3. И. Моисеева (РСФСР)
Б. в. Гнеденко С. ф. Рубанов (БССР)
в. Дорофеев н. п. Садовникова (РСФСР)
Н. А. Ермолаева р. в. Саркисян (АрмССР)
А. и. Колмогоров 3. И. Слепкань (УССР)
Ю. М. Калягин А. э. Тельгмаа (ЭССР)
м. Р. Леонтьева И. ф. Тесленко (УССР)
г. Г. Маслова Р. А. Хабиб (РСФСР)
к. И. Пешков А, м. Хоштария (ГССР)
Л. М. Пашкова
и. С. Петраков
н. X. Розов
к. п. Сикорский
в. А. Скворцов
3. А. Скопец
П. В. Стратилатов
3. С. Сухотина
к. И. Шалимова
с. И. Шварцбурд г
г. А. Ястребинецкий

Технический редактор
Л. В. Розанова

Корректор

М. А. Суворова

Сдано в набор 22.12.83 Подписано е
печать 26.01.84. Формат 84Х108‘/ь-

Печать высокая Усл печ. л. 8,40.
Уч.-изд. л. 11,53. Усл. кр.-отт. 9,03
Тираж 386 770 экз. Цена 45 коп. Зак. 407.

Издательство «Педагогика» Академии пе-
дагогических наук СССР и Государствен-
ного комитета СССР по делам издательств,
полиграфии и книжной торговли.

Адрес издательства: 107847, Москва, ГСП,
Б-5,- Лефортовский перм Д- 8.

Адрес редакции: 129278/ Москва,
ул. П. Корчагина, д. 7; телефон 283-85-83.

Московская типография № 13

ПО «Периодика» ВО «Союзполиграфпром»
Государственного комитета СССР по делам
издательств, полиграфии и книжной тор-
говли.

107005, Москва, Б-5, Денисовский пер.,
дом 30. . -
От поколения к поколению

«Успешное решение сложных задач обучения и воспитания молодежи в ре-
шающей степени зависит от учителя, его идейной убежденности, профессионально-
го мастерства, эрудиции и культуры.

Народный учитель — ваятель духовного мира юной личности, доверенное лицо
общества, которому оно вверяет самое дорогое, самое ценное — детей, свою на-
дежду, свое будущее. Эта благороднейшая и труднейшая профессия требует от че-
ловека, посвятившего ей жизнь, постоянного творчества, неустанной работы мысли,
огромной душевной щедрости, любви к детям, безграничной верности делу. Своим
самоотверженным, подвижническим трудом по воспитанию подрастающих поколе-
ний учитель снискал глубокую признательность и уважение народа. Многомиллионный
отряд советского учительства — гордость нашей страны, надежная опора партии в
воспитании молодежи».

Из Проекта ЦК КПСС «Основные направления реформы общеобразова-
тельной и профессиональной школы».— Правда, 1984, 4 янв.

У каждого педагогического коллектива—свой
творческий почерк, свои традиции. И зависят
они во многом от того, какие складываются
отношения между опытными и молодыми пе-
дагогами, от их взаимопонимания, желания
помочь друг другу.

Коллеги, товарищи по труду! Их объединяет
не только профессия, но и общая ответствен-
ность за судьбы новых поколений молодежи.
Поэтому есть глубокая закономерность в том,
что борьбу за повышение эффективности и
улучшение качества педагогического труда мы
связываем с нравственным обликом учитель-
ских коллективов, с его внутренним микрокли-
матом.

Новый Закон о трудовых коллективах назы-
вает эту основную ячейку нашего социалисти-
ческого общества главным звеном- в системе
воспитания человека. Теперь, когда июньский
(1983 г.) Пленум Центрального Комитета на-
шей партии вооружил трудовые коллективы
четкой программой дальнейшего усиления вос-
питательной работы, роль этого звена еще
больше возрастает, если же речь идет о шко-
ле— возрастает вдвойне; ведь учитель, как
отмечалось на Пленуме, «доверенное лицо об-
щества» в воспитании детей, надежная опора
партии во всей идеологической работе. Огром-
но его влияние не только на юную подрастаю-
щую смену, но и на родителей и в силу это-
го— на все категории населения.

Учительские коллективы, как правило, не-
многочисленны. Почти каждый педагог на
виду. Здесь особенно велика сила личного при-
мера того или иного учителя, заметней его
отношение к делу и людям, его самоотвержен-
ность. С другой стороны, в таких условиях за-
частую более эффективным оказывается и са-
мо воспитательное воздействие коллектива —
легче доходить до каждого человека, влиять
на его мировоззрение, направлять его усилия
на пользу общему делу, поддерживать и раз-

вивать стремление к новому. Там, где привыч-
ной нормой жизни стала постоянная и дей-
ственная коллективная забота о профессио-
нальном и идейном росте каждого педагога,
о его кругозоре, быте и досуге, намного успеш-
ней решаются и крупные общешкрльные за-
дачи.

Многочисленные примеры этой взаимосвязи
можно найти повсюду. Достаточно вспомнить
такие школы, как средняя Сахновская Черкас-
ской области, которую возглавляет народный
учитель СССР Александр Антонович Заха-
ренко, школа № 1 г. Ростова-на-Дону, школа
№ 2 г. Кисловодска, десятки московских сред-
них школ, которые несколько лет назад высту-
пили с патриотической инициативой трудиться
под девизом «Научить каждого школьника
учиться, жить и работать по-коммунистиче-
ски». Таких педагогических коллективов у пас
в стране десятки тысяч.

Разумеется, работать в них не просто — вы-
соки требования к каждому учителю, к его
творческой самоотдаче. Но предложите кому-
либо из педагогов сменить адрес работы — ре-
шительно откажутся. Потому что трудиться
в таких коллективах интересно. Это законо-
мерно: там, где прокладывают новые пути, ца-
рит атмосфера увлеченности, творческого
подъема, высокого профессионализма. Ведь
у истоков опыта — всегда поиск, требующий
инициативы и энергии, глубоких теоретических
и профессиональных знаний, всестороннего
анализа и осмысления своих действий. В осно-
ве опыта — педагогическое мастерство, посто-
янная потребность в самообразовании. Общая
цель умножает энергию, сплачивает коллек-
тив, обогащает его жизнь.

Есть еще один непреложный закон, который
«управляет» жизнью таких коллективов,—
опыт, мастерство, традиции — все накоплен-
ные общими усилиями профессиональные бо-
гатства непрерывно передаются здесь новым
педагогическим поколениям. В этих коллек-
тивах хорошо понимают —другого пути к об-
щему успеху нет. '

Каждый год сельские и городские школы
пополняют около 150 тысяч начинающих учи-
телей— выпускников педагогических вузов и
училищ. А'всего в них сейчас трудятся свыше
700 тысяч молодых педагогов. Насколько
успешно и быстро пройдет процесс их профес-
сиональной адаптации, сумеют ли они без
ощутимых потерь справиться с возложенной
на них обществом воспитательной миссией?
Ответы на эти вопросы зависят прежде всего
от старших товарищей, их заинтересованного
внимания к молодым коллегам. В обстановке
товарищеской помощи и в то же время высо:
коц требовательности с их стороны молодая
педагогическая смена быстро приобретет са-
мостоятельность, устойчивые профессиональ-
ные навыки в обучении и воспитании школь=-
ников, необходимый опыт. *

Не случайно лучшие наши педагоги-масте-
ра, отдавшие школе многие десятки лет труда,
не мыслят своей учительской жизни без по-
стоянного и активного шефства над молоды-
ми коллегами.

В их ряду можно назвать народных учите-
лей СССР/педагогов-математиков Маргариту
Николаевну Сивцову из средней школы № 36
г. Читы, Ахмедхана Гаджияхяевича Караева
из дагестанского высокогорного селения Ку-
бани, Самсона Агабековича Дагбашяна из
средней щколы № 3 г. Еревана, таких заме-
чательных педагогов, как заслуженный учи-
тель школы РСФСР, отличник народного об-
разования СССР Заки Юнусович Азизов, ко-
торый более 30 лет учит математике сельских
школьников Татарии, или одни из старейших
в Москве преподавателей математики — за-
служенные учителя школы РСФСР Констан-
тин Петрович Сикорский и Петр Валентинович
Стратилатов, известные нескольким поколе-
ниям учителей щедростью в передаче бргатей-
шего опыта.

В 1981 г. в столице Грузии был впервые
проведен необычный творческий конкурс на
звание «Лучший учитель года». Одним из
его победителей стал преподаватель матема-
тики средней общеобразовательной школы
№ 77 Тбилиси, заслуженный учитель Грузин-
ской ССР Давид Захарьевич Гондаури. Его
педагогический стаж более 40 лет. Мастер
своего дела, он воспитал за это время несколь-
ко поколений учителей математики не только
для своей школы, но и для всей республики.
Д. 3. Гондаури написано несколько методиче-
ских книг, одним из лучших в республике яв-
ляется созданный им кабинет математики, где
проходят методическую выучку, не тодькр де:
сятки городских и сельских педагогично

и студенты тбилисских вузов. Все уроки
Д. 3. Гондаури открыты для посещения кол-
лег. Кроме того, он ведет -специальные теле-
визионные уроки, руководит Университетом
молодых преподавателей математики при рес-
публиканском Доме работников просвещения,
где занимается свыше ста начинающих педа-
гогов. Не случайно Д. 3. Гондаури в числе
первых в республике было присвоено звание
учителя-методиста, а о его богатом опыте не
раз писали центральные и республиканские
газеты и журналы.

Связь учительских поколений — это прежде
всего единство целей, которые сплачивают пе-
дагогический коллектив. Там, где это един-
ство наглядно воплощается в конкретных каж-
додневных делах, обычно нет и нерешенных
кадровых проблем. В такие школы охотно
идут работать выпускники педагогических ву-
зов и училищ. Как правило, это «свои люди»,
бывшие ученики, которые еще за школьной
партой окончательно определили свою буду-
щую профессию. Они твердо знают, что в род-
ной школе их не оставят без внимания и под-
держки,, без постоянного педагогического руко-
водства со стороны старших опытных товари-
щей, их бывших учителей.

А как важно это чувствовать молодому спе-
циалисту, особенно на первых порах! Внима-
тельный и доброжелательный анализ первых
самостоятельно проведенных начинающим пе-
дагогом занятий, обстоятельные советы, свя-
занные с работой предметных кабинетов и со-
ставлением поурочных планов, конкретная по-
мощь в подготовке внеклассных мероприятий
со школьниками, в классном руководстве, си-
стематическое ознакомление с т*ем; как реша-
ют наиболее сложные учебные и воспитатель-
ные проблемы педагоги старших поколений,—
таков широкий диапазон помощи в этих шко-
лах молодым специалистам. В них ни один
начинающий педагог не остается без опытно-
го наставника. И «прикрепляют» его к нович-
ку обычно с согласия всех заинтересованных
сторон, учитывая пожелания и склонности са-
мого молодого человека. Здесь не забывают
о многочисленных «мелочах», о которые лег-
ко может споткнуться новичок, например об
удобном для него расписании уроков, которое-
строится так, чтобы молодой учитель воочию
видел, как работает в классе по наиболее
трудным учебным темам его наставник. Сло-
вом, здесь в действии правило — учить на луч-
ших образцах.

И в то же время наряду с постоянной по-
мощью необходимы принципиальный и стро-
гий спрос за педагогическую работу, требо-
вание инициативы и творчества. Ведь только
в этом случае молодой педагог обретет само-
стоятельность и необходимый опыт, найдет
свой путь к методическому мастерству.

С подобными школьными коллективами на-
чинающие. педагоги обычно связывают свою
судьбу на многие десятилетия, нередко на
всю дальнейшую трудовую жизнь. Именно
в таких школах чаще всего ярко проявляется
замечательная форма преемственности педаго-
гических поколений — семейные учительские
династии.

Они — гордость и слава нашей трехмилли-
онной учительской армии, ее правофланговые.
И мы их так называем не только за верность,
за безмерную преданность педагогическому
труду, хотя и это само по себе значительно.
Правофланговые они потому, что все лучшее
из опыта и практики старших поколений до-
стойно унаследовано и обогащено в поколе-
ниях новых. Каждая учительская династия —
это богатейшая сокровищница опыта, мудро-
сти, педагогических находок. В таких семьях
вырабатываются свой стиль, своя манера об-
щения с детьми, с коллегами, с родителями
учеников. В таких семьях особенно заметна
какая-то исключительная интеллигентность,
удивительная сердечность, глубокая внутрен-
няя культура — качества, которые зарождают-
ся уже в раннем детстве под воздействием
педагогической семьи.

Только у очень талантливых учителей вы-
растают дети — коллеги. Их первые самостоя-
тельные шаги в школе, как правило, уверен-
ные. Они, как говорится, готовы к любым, ис-
пытаниям, на которые так щедра школьная
жизнь. Потому что они с детства воспитыва-
лись в атмосфере культа педагогической рабо-
ты, познали и порой даже прочувствовали,
каков он — учительский труд, не знающий за-
частую ни выходных, ни праздников. Зная все
это, они выбрали для себя педагогическую
стезю.

«Я твою продолжая судьбу...» — эта поэти-
ческая строчка принадлежит Юрию Петрови-
чу Баранову, директору Старо-Сальинской
средней школы Удмуртской АССР. Стихи по-
священы отцу Петру Ивановичу, в прошлом
учителю, директору той же школы. Тут же
работает, дочь старшего Баранова Алевтина
Петровна Вахитова, а в Завьяловском районе,
в Пироговской средней школе, преподает еще
один его сын Михаил Петрович. Дети продол-
жают не просто педагогическую судьбу своего
отца. Дети переняли оФ отца его глубокую
партийность, его беспокойный характер, его
общественную активность. Заслуженный учи-
тель школы РСФСР П. И. Баранов и сейчас,
уйдя на заслуженный отдых, остается актив-
нейшим членом общества «Знание». Много лет
он возглавлял колхозную парторганизацию.
Его имя занесено в Почетную книгу трудовой
славы и героизма Удмуртской АССР. Юрий

Петрович Баранов перенял от отца не только
директорский пост в школе; он стал столь же
активным лектором. Алевтина Петровна
успешно руководит школьной агитбригадой и
драмкружком. Михаил Петрович возглавляет
комсомольскую организацию совхоза «Ижев-
ский», которая стала одной из лучших в
районе.

Точно так же продолжает добрую семейную
традицию и большая семья'Усольцевых из Бу-
рятии. 26 ее представителей избрали профес-
сию учителя — штат целой школы. Есть среди
них математики и филологи, физики и препо-
даватели музыки. Если сложить общий педа-
гогический стаж этих людей, получится без
малого 500 лет. А начало семейной династии
положила почти полвека назад Мария Кон-
стантиновна Усольцева, начинавшая когда-то
свой трудовой путь с ликвидации неграмот-
ности земляков в сельской глубинке Бурятии.

Почти в каждой области, в каждом крае на-
шей страны есть такие же учительские семьи.
Их самоотверженный труд на благо Родины —
достойный пример для подражания, замеча-
тельная школа ориентации на педагогические
профессии. Не случайно на встрече учитель-
ских династий, организованной ЦК ВЛКСМ
и Министерством просвещения СССР, было
предложено как можно шире изучать и про-
пагандировать их богатейший педагогический
опыт.

Сила личного примера педагогов-наставни-
ков, ветеранов зачастую оказывает решающее
воздействие на становление новых учитель-
ских поколений. И не только тогда, когда речь
идет о становлении сугубо профессиональ-
ном — педагогическом. Их активное участие
в пропагандистской и агитационной работе
с населением, деятельный интерес к хозяй-
ственной'и культурной жизни своего села или
города, стиль отношений с людьми, внимание
к их запросам и нуждам — все это тоже по-
могает молодому учителю формировать соб-
ственную общественную позицию, вносить в
нее необходимые коррективы. А значит—пе-
ренимать и приумножать те замечательные
трудовые и гражданские традиции, которые
были заложены в первые годы Советской
власти.

Учителя, удостоенные за свой самоотвер-
женный труд высших просвещенческих званий
и отличий, высоких государственных наград,
учителя — участники Великой Отечественной
войны, депутаты Верховного Совета СССР
и местных Советов депутатов трудящихся,
люди, внесшие немалый практический и теоре-
тический вклад в развитие советской педаго-
гической науки,— это не только славная исто-
рия нашей школы, но и ее сегодняшний день.
Тысячи их и поныне продолжают вместе со
своими коллегами нести нелегкую педагогиче-
скую вахту. Они есть в каждом районе, в боль-
шинстве наших школ.

На встрече с ветеранами партии в ЦК КПСС
товарищ Ю. В. Андропов сказал: «Ветераны —
носители уникального опыта строительства
новой жизни, обогатившего все человечество».
И этим опытом, знанием, мудростью прожи-
тых .лет они щедро делятся с теми, кто прихо-
дит им на смену.

Столь высокая оценка полностью относится
и к ветеранам педагогического труда, к лю-
дям, которые начинали строительство новой
социалистической школы, помогли ей пройти
за сравнительно короткий исторический срок
огромный путь от ликбезов, от лозунга «Долой
неграмотность!» до всеобщего среднего обра-
зования. Они —золотой фонд нашей школы.
Их коллективные достижения, их трудовые
биографии стали лучшим учебником практи-
ческой педагогики для многих поколений со-
ветских просвещенцев, Педагогики — с боль-
шой буквы. Не случайно и в Проекте
ЦК КПСС «Основные направления реформы
общеобразовательной и профессиональной
школы» сказано: «Окружить заботой ветера-
нов педагогического труда, активнее * исполь-
зовать их большой жизненный опыт в воспи-
тании молодежи».

Проблемы преемственности в педагогиче-
ских коллективах, формирования и профес-
сионального становления учительской смены
сложны и многогранны. Для их решения не-
обходимы усилия органов народного образо-
вания, необходима деловая забота о быте и
условиях труда молодого пополнения, кото-
рое ежегодно приходит в наши школы. Боль-
шая роль принадлежит в этом деле и самим
шкальным педагогическим коллективам.

К сожалению, они справляются с ней не
всегда успешно. Не секрет, что в ряде наших
районов, особенно в сельских, все еще остро
ощущается нехватка педагогических кадров,
велика их текучесть. Физико-математические
факультеты многих педагогических вузов ис-
пытывают хронический дефицит при наборах
студентов. В результате, без притока свежих
сил, педагогический состав некоторых школ
заметно стареет.

Происходит это не только от недостаточно-
го внимания к бытовым проблемам и" нуждам
молодых учителей. Нередко педагоги, входя-
щие в новый педагогический коллектив, не
встречают со стороны педаг.огов-«старожилов»
должного понимания и своевременной друже-
ской поддержки. Отсюда — сбои в отношениях
между педагогами, сбои в работе. Отсюда и
кадровая нестабильность таких коллективов.

Умение старших товарищей поддержать мо-
лодого специалиста, оценить его инициативу

и поиск, внимательно отнестись к тому ново-
му, что он вносит в учебную и воспитатель-
ную работу, окрыляет молодого учителя, де-
лает. его -патриотом школы. Именно от этого
чаще всего зависит его вклад в общие усилия,
его профессиональный рост. От этого зависит
и ответ на главный вопрос: станет ли он на-
стоящим педагогом, вкладывающим в воспи-
тание детей все душевные силы, знания, ком-
мунистическую убежденность, или превратит-
ся в человека, с- нетерпением ждущего послед-
него звонка с уроков?

Товарищеские, уважительные и вместе с тем
принципиальные отношения и есть та основа,
которая делает учителей всех возрастов еди-
номышленниками, сплачивает их в дружный,
успешно преодолевающий все трудности кол-
лектив. Один из основных законов жизни та-
жих коллективов — доверие друг к другу.

Есть чему поучиться у молодежи и опыт-
ным учителям. Широкие интересы молодого
учителя, живущего интенсивной духовной
жизнью, становятся достоянием и его учени-
ков, и его старших коллег. Молодежь привно-*
сит в педагогический коллектив новые идеи,
достижения педагогической науки, молодой за-
дор и энергию поиска. Молодому учителю лег-
че понять старших школьников, повлиять на
их интересы и направить на общественно зна-»
чимые дела.

Всего лишь несколько лет работает после
получения вузовского диплома в средней шко-
ле № 1 г. Дрогичин Брестской области Зинаи-
да Петровна Румачик. Старшие коллеги сразу
увидели в ней перспективного специалиста,
человека с огоньком, с хорошей воспитатель-
ской хваткой и, несмотря на молодость
3. П. Румачик, «не побоялись» выдвинуть ее
на должность секретаря учительской комсо-
мольской организации, вместе с другими зем-
ляками избрали депутатом областного Совета
народных депутатов.

Своим родным домом называют среднюю
школу № 86 г. Красноярска представители
всех работающих в ней педагогических поко-
лений, и те, кто трудится уже по нескольку
десятков лет, и те, кто сравнительно недавно
переступил ее порог. Называют не для крас-
ного словца—от души, потому что по соб-
ственному опыту знают, как приумножаются
силы каждого, когда рука об руку идут едино-
мышленники, надежные и чуткие товарищи.

Таких сплоченных учительских коллективов
у нас многие "тысячи. Именно они добиваются
наилучших успехов в труде, становятся запе-
валами передовых педагогических починов,
показывают образец творческого отношения
к своим обязанностям.
Народные учителя СССР

Маргарита Николаевна
Сивцова

«Каким будет урок математики в
2000 году? Изменятся школа и каби-
нет математики. Доска будет усо-
вершенствована, писать на ней не
придется, стоит только провести
мягким карандашом — как засветит-
ся след. Это избавит учителя от
меловой пыли. Тетради проверять
будут роботы, а учитель — только
анализировать характерные ошибки.
И к уроку учитель станет готовить-
ся иначе: станет рисовать декорации,
сочинять стихи к теме, подбирать
музыку. В 2000 г. в школе не будет
перемен, потому что уроки будут
проходить интересно и никто не бу-
дет уставать». Это пишет в своем со-
чинении ученица* VI класса. Навер-
ное, так может писать ученик тако-
го учителя, у которого учиться мо-
жет быть и трудно, но радостно и
интересно.

Ребячью фантазию подтолкнули
уроки учителя математики Маргари-
ты Николаевну Сивцовой: хорошо
оборудованный и всегда подготов-
ленный к уроку кабинет, прекрасное
настроение учителя определяют
творческий характер урока и го-
товность ребят познавать новое.

Жизнь и работа Маргариты Нико-
лаевны связаны с Забайкальем. По-
сле окончания в 1960 г. Читинского
пединститута она 24-й год трудится
в шкоде. Вначале это была школа в
поселке Хапчеранга, где она про-
шла трудный и интересный путь
с-ановлония как учитель. Профессия
была выбрана обдуманно. Примером
для дочери служил отец, сам препо-

даватель математики и один из ос-
нователей Читинского педагогиче-
ского института. От него она уна-
следовала и любовь к математике, и
уважение к учительскому труду.
Учась в институте, старалась по-
стичь всю сложность и премуд-
рость будущей профессии. А когда
получила диплом с отличием/то сра-
зу, несмотря на предложение ос-
таться в городе и поступать в аспи-
рантуру, выбрала самостоятельную
дорогу в жизни — уехала работать
в небольшой поселок. С первых
шагов она проявила себя как твор-
ческий, думающий учитель, умею-
щий увлечь ребят своим предметом.

С 1970 г. жизнь Маргариты . Нико-
лаевны неразрывно связана со 'шко-
лой № 36 г. Читы, самой обычной
школой. И задачи, которые стоят
перед ней, такие же, как у всех
учителей: дать математическое обра-
зование каждому школьнику, и не
просто дать, а убедить, что обра-
зование можно получить лишь в ре-
зультате собственного труда. Она
понимает эту задачу так, что учи-
телю-предметнику нужно прежде
всего быть учителем-воспитателем,
формировать у учащихся потреб-
ность в учебной деятельности. С
трибуны областного съезда женщин
в 1982 г. М. Н. Сивцова говорила:
«Труден путь, познания. Нас, учите-
лей, волнует вопрос, как сделать
более глубокими знания учеников,
научить ребят самостоятельно добы-
вать их, как привить вкус к позна-
нию нового». Маргарита Николаев-
на понимает, что решение этой за-
дачи невозможно без научно обо-
снованной системы всего учебно-вос-
питательного труда учителя. Когда
говорят, что у нее свой, совершен-
но особый почерк, то, наверное, и
имеют в виду вот эту продуманную
до тонкостей систему ее работы.

Что она считает главным в своей
деятельности? Системность в требо-
ваниях: все рассматривать в комп-
лексе учебно-воспитательных задач.
Добиваться, чтобы каждый ученик
трудился. Без каждодневной, серь-
езной работы нельзя овладеть ма-
тематикой. По сравнению с другими
предметами математика выделяется
трудоемкостью. Этот предмет тре-
бует от учащихся большой само-
стоятельности, систематической и
повседневной работы в течение всех
лет обучения.

Уроки М. Н. Сивцовой продуманны,
поражают простотой найденных
методических приемов. Сказывается
и безукоризненное владение пред-
метом, и педагогический стаж, но
именно кропотливая, черновая, рабо-
та стоит за той легкостью, какую
видишь на уроке. Чтобы настроить

ученика на познание нового, поста-*
вить* его перед проблемой, кото-
рую ему захотелось бы решить, учи-
тель иногда задает на дом проб-
лемную практическую работу. Она
заставит задуматься, подготовит
ученика к уроку. В VI классе это
может быть совсем простое зада-
ние. Например, по геометрии —
найти сумму смежных углов, а по
алгебре — построить графики
функций (так учащиеся формируют
зрительный образ функции, при-
учаются «держать в голове» график
каждой функции). В курсе алгебры
и начал анализа X класса к основ-
ному свойству первообразных мо-
жет подводить практическая работа
по построению на одном рисунке
нескольких графиков функций, явля-
ющихся первообразными для дан-
ной функции. К урокам стереомет-
рии в IX—«X классах учащиеся из-
готавливают проволочные или кар-
тонные модели для решения задач.
При изучении сечения многогранни-
ков плоскостью учитель дает инди-
видуальные задания, которые выпол-
няются на ^отдельных листах. Затем
листы последовательно скрепляются,
чтобы на полученной развертке по-
казать поэлементное построение се-
чений и проследить все этапы ре-
шения задачи.

Задания отражают дифференци-
рованный подход к обучению, глав-
ной целью которого М. Н. Сивцова
считает внимание к сильным учени-
кам, так как именно их нужно на-
строить на работу в полную силу.
Одним учащимся учительница пору-
чает оформить решенную в классе
задачу, а другим дает совершенно
новые, специально подобранные за-
дачи. Она часто привлекает так на-
зываемые свободные задания на
длительный срок. Это система задач,
расположенных по возрастающей
трудности, которые она кропотли-
во подбирает из журналов «Мате-
матика в школе», «Квант» и из мно-
гочисленных сборников задач.
Такая работа отнимает много сил,
но ребята решают почти все зада-
чи и каждый может наглядно оце-
нить свою деятельность, сравнивая
свои результаты с результатами то-
варищей.

Маргарита Николаевна всегда за-
ботится об усвоении знаний уча-
щимися.* Проверки практических на-
выков она проводит в интересной,
наглядной для ребят форме: устра-
ивает конкурсы, соревнования меж-
ду классами по итогам контрольных
работ. Все это активизирует учеб-
ную деятельность школьников.

Учительница пристально наблюдает
за выполнением домашних заданий.
Она убеждена: школьнику необхо-
димо заниматься дома, это воспиты-
вает настойчивость и волю, выраба-
тывает стойкую привычку подготов-
ки к каждому уроку. Проверку тет-
радей с домашними заданиями счи-
тает обязательной, затрачивая на
нее ежедневно около двух часов.
Ее постоянное общение с учени-
ками во внеурочное время закры-
вает лазейки для нерадивых/ • они
не могут объяснить невыполнение
домашнего задания тем, что не
поняли материал. После уроков
Маргарита Николаевна всегда окру-
жает! а учениками. Они не боятся
лишний раз подойти, спросить. Зна-
ют, что учитель всегда поможет и
еще раз доступно объяснит. И она
получает удовольствие от общения
с ними, видя их заинтересован-
ность.

Ребята не торопятся уходить из
кабинета математики, который М. Н.
Сивцова создавала с первых лет
работы в школе. Кабинет прекрасно
оснащен современным оборудовани-
ем. Все удобно для ученика: стен-
ды с памятками «Учись учиться»,
с материалами по внеклассной рабо-
те, планшеты с советами учителя.
Даже внешнее оформление каби-
нета говорит о том, что учитель
знает психологию ученика, его внут-
ренний мир — отсюда взаимопони-
мание. И наверное, каждый из них
в трудную минуту думает, что имен-
но для него написал учитель совет,
начинающийся словами: «Ничего не
получается? Не унывай! Начни все
заново!...»

М. Н. Сивцова считает очень важ-
ным обеспечение преемственности
в работе педагогов начальных клас-
сов и предметников. Еще в февра-
ле приходит она в III класс с практи-
ческой помощью, намечает пути пре-
одоления отставания ребят, дает
рекомендации по методике обуче-
ния и воспитания. «Необходимо чёт-
ко,— говорит она,— доводить свои
требования до педагогов начальных
классов». В мае такие проверки
повторяются. Учитель анализирует
знания, подготовку учащихся, делает
выводы для своей будущей работы.
Главное — с самого начала воспи-
тать ответственное отношение к
предмету. Классы зачастую трудные,
на помощь родителей, к сожале-
нию, приходится рассчитывать мало.
Вот и встает вопрос о единстве
требований, предъявляемых к уча-
щимся в начальной и средней шко-
лах.

Маргарита Николаевна быстро под-
хватывает все методические новинки.
Ее вдохновенные уроки помнят те,
кто пошел по столам своего учителя.
Среди них учителя математики школ
города Читы и области, многие из
которых сами стали наставниками
молодых педагогов.

Считая урок главной формой обу-
чения, М. Н. Сивцова уделяет мно-
го внимания и внеклассной работе.

На протяжении многих лет она ве-
дет факультатив. По ее мнению, эта
форма работы необходима как еще
одна возможность прививать школь-
никам интерес к самостоятельным
замятиям математикой, воспитывать
и развивать их инициативу и твор-
чество. Почти половину обучаемых
ею ребят увлекает Маргарита Ни-
колаевна математикой. «Получаю,
удовлетворение от факультативов в
IX—X классах»,— говорит она. Ребя-
та увлеченно готовят доклады по
теоретическим вопросам, пишут ре-
фераты, решают задачи повышен-
ной трудности. Ученики утвержда-
ют: «Те из нас, кто хотел знать ма-
тематику, интересовался ею, те зна-
ют этот предмет и любят».

В 1982 г. на встрече в Москве ми-
нистра просвещения СССР М. А.
Прокофьева с народными учителя-
ми Маргарита Николаевна Сивцова
заинтересованно говорила о рабо-
те факультативов, об их важной
роли в повышении качества средне-
го образования и расширении кру-
гозора школьников, о необходимо-
сти выпуска дополнительной литера-
туры для факультативных занятий.

Школа № 36 г. Читы — одна из
активных участниц районных матема-
тических олимпиад, на которых 5—
6 человек представляют каждый
класс, где ведет математику Марга-
рита Николаевна. Ее ученики зани-
мают почетные места и в областных

математических олимпиадах.

«Школе повезло на математи-
ков»,— считает завуч школы И. И.
Горина. Славится 36-я своими «не-
делями математики». Это резуль-
тат дружной работы секции мате-
матиков. «Неделя математики» в
школе — праздник. Яркое оформле-
ние, красочные задания. Каждый
класс и ученик вовлечен в работу.
И все дни недели посвящены мате-
матике: «Математика вокруг нас»,
«Математическая эстафета», «Мате-
матический бой», «День моделирова-
ния» (прояви свои практические на-
выки!), «Конкурс эрудитов», «Мате-
матический КВН». Завершает неде-
лю день «Математика XXI века»
(конкурс сочинений, эмблем и га-
зет). Все материалы оформляются
в объемные альбомы с фотография-
ми. Секция математики сумела во-
влечь в эту работу и других пред-
метников. Совместно с учителями
физики и химии сейчас проводятся
«недели науки», во время которых
учащиеся узнают много интересно-
го о роли науки в современном
мире. И во всех делах главный ор-
ганизатор — руководитель секции
математиков М. Н. Сивцова,. она
всегда одобрит начинание, поддер-
жит коллегу.

Школа № 36 — базовая школа
Читинского областного института
усовершенствования учителей. Учи-
теля матера,тики этой школы актив-
но участвуют в работе методических

объединений района и города. Они
сообш,а ведут исследования по теме
«Дидактические проблемы совре-
менного урока», сообщая о резуль-
татах на педагогических чтениях и на
курсах при ИУУ.

Маргарите Николаевне присуща
широта интересов. Иногда кажется,
что основным направлением ее ме-
тодического совершенствования яв-
ляется внеклассная работа по мате-
матике, так как именно на эту
тему читает она лекции для моло-
дых специалистов, которые подкреп-
ляет своими открытыми факульта-
тивными занятиями в IX классе. В
другой раз можно видеть, -как она
делится своим богатейшим опытом
по организации обучения или обсуж-
дает с коллегами систему повторе-
ния учебного материала, методику
его систематизации, использование
средств обучения. На базе средней
школы № 36 проходят спецсеминары
мастеров педагогического труда, где
вновь ёе .роль — главная. Несколько
лёт ведет М. Н. Сивцова школу пе-
редового опыта, поэтому ее твор-
ческая лаборатория известна учите-
лям всей Читинской области.

Но, оказывается, интересы Марга-
риты Николаевны простираются еще
дальше. Стремление к единству обу-
чения и воспитания является осно-
вой педагогических убеждений М. Н.
Сивцовой. Поэтому проблема нрав-
ственного воспитания, на ее взгляд,
самая актуальная на сегодняшний
день. И конечно, ей близки слова
В. Г. Белинского: «Есть много ро-
дов образования и развития, и каж-
дое из них важно само по себе, но
всех их выше должно стоять обра-
зование нравственное. Одно образо-
вание делает вас человеком учёным,
другое — человеком светским, тре-
тье — административным, военные,
политическим и т. д. Но нравствен-
ное образование делает вас просто
человеком».

Какими людьми станут нынешние
ученики? С каждым годом Щколе
предъявляются более высокие тре-
бования. Труден путь познания, не-
легки дороги становления человече-
ской личности, тем ответственнее
роль советского учителя. Маргари-
та Николаевна ясно видит главную
задачу учителя математики; воспита-
ние личности учащегося через свой
предмет. Она воспитывает незамет-
но, созданием благоприятного клима-
та в классе. Ее отличает особая
культура ведения урока. Коллеги
отмечают завидное умение владеть
собой и доброжелательность Марга-
рите» Николаевны. Ее по-настоящему
интересует внутренний мир каждо-
го ученика, его способности, обсто-
ятельства воспитания в сем^е. По
предложению М. Н. Сивцовой в шко-
ле проходят «педагогические конси-
лиумы». Дважды в год собираются
учителя, работающие в одном клас-
се, чтобы обсудить характер каж-
до го ученика, послушать мнение
коллег. Вместе думают, над чем и
как предстоит работать. Поэтому по-
нятно, почему у нее с учениками
теснейший человеческий контакт,
ежедневное содержательное и ра-
достное общение. Такому учителю
легко добиваться своей цели. Ее
учеников отличает хорошая матема-
тическая подготовка, общее разви-
тие, воспитанность, готовность к
ТРУДУ-

Каждый год в адрес школы № 36
приходят благодарственные письма
от .бывших учеников М. Н. Сивцо-
вой. С каким теплом вспоминают
Маргариту Николаевку ребята по-
следнего выпуска! Они считают ее
своим близким человеком. «Марга-
рита Николаевна требовательна и
справедлива, мне нравилось учить-
ся, я проводила в школе много
времени, мы любили «свой» кабинет
математики,— пишет выпускница
школы, ныне студентка пединститу-
та.—-'Как нам помогли в самостоя-
тельной работе в вузе школьные
теоретические конференции «Учись
учиться»! А кто забудет классные
часы, проведенные у нее дома, где
собрана большая библиотека. Марга-
рита Николаевна могла подолгу чи-
тать нам наизусть любимые стихи и
поэмы. В различных, ситуациях от-
крывалась нам она как интересней-
шей человек».

Что более всего поражает в М. Н.
Сивцовой? Широкий кругозор, об-
ширные знамия в области искусства,
литературы. В ее кабинете рядом
с богатейшим дидактическим мате-
риалом по математике располагают-
ся искусно подобранные . вместе со
школьниками альбомы по живописи.
Учительница так интересно расска-
зывает о художниках, музыкантах,
писателях, что к . последующим
классным часам, ребята сами ищут
материал, который заинтересовал
бы всех.

Она воспитывает ученика в кол-
лективе и через коллектив. В IV—
V классах сама вела кружок по
фотоделу, поэтому в течение семи
школьных лет ребята оформили
собственными фотографиями лето-
пись жизни своего класса.

Это тот счастливый учитель, ко-
торый воспитывает личным приме-
ром. Такой, к которому в полной
мере применимы .слова Л. Н. Тол-
стого: «Если учитель соединяет з
себе любовь к делу и к ученикам,
он —- совершенный учитель».

Все награды и почетные -звания,
какие только в нашей стране мо-
жеть иметь учитель, есть у Марга-
риты Николаевны Сивцовой. Каждое
из них является своеобразной вехой
ее жизненного пути, итогом про-
деланной работы. И самое дорогое
признание ее заслуг — почетное
звание «Народный учитель СССР».

Л. П. Анчукова
(г. Чита)

Самсон Агабекович

Дагбашян

Около 45 лет посвятил Любимому
делу преподаватель математики Ге-
рой Социалистического Труда, на-
родный учитель СССР, заслуженный
учитель Армянской ССР Самсон Ага-
бекович Дагбашян.

Эти высокие и почетные звания
он получил за большие заслуги в де-
ле обучения и коммунистического
воспитания учащихся.

Самсон Агабекович родился в
1917 г. в далеком селе Бердаван
(ныне Ноемберянский район Армян-
ской ССР). Был учи-телем математи-
ки в селах Цахкашат и Ахпат Тума-
нянского района, затем препода-
вал в школах Ноемберянского' рай-
она республики. Вот уже 20 лет ра-
ботает в .ереванской средней школе
№ 3 им. М. Абёгяна в классах с
углубленным изучением матема-
тики.

С большим волнением говорит
Самсон Агабекович о своих первых
наградах — о медали имени велико-
го армянского просветителя Хачату-
ра Абовяна, о многочисленных гра-
мотах, а также о боевых наградах.

В 1941 г. С. А. Дагбашян был
призван в ряды Советской Армии.
На Брянском фронте получил тяже-
лое ранение, лишился ноги и в кон-
це 1942 г. был демобилизован. До-
мой вернулся с орденом Отечест-
венной войны 2-й степени и меда-
лями.

Сегодня. заслуженный педагог,
всем сердцем преданный своему
призванию, с глубокой любовью и
увлечением продолжает благород-
ную работу на педагогическом по-
прище. Он * отвечает на высокие
награды . Родины напряженным и
плодотворным трудом.

Многие ученики Самсона Агабеко-
вича Дагбашяна, ставшие педагога-
ми, инженерами, учеными, известны-
ми государственными и партийными
деятелями, с чувством 'благодарно-
сти вспоминают о своем учителе.

Выпускники средней школы, кото-
рым в VII—X классах препода-
вал математику С. А. Дагбашян,
почти без исключения поступают в
высшие учебные заведения, требую-
щие глубоких знаний по математи-
ке. Например, из 25 выпускников
1981/82 учебного года 23 человека
учатся в высших технических учеб-
ных заведениях страны.

За последние 20 лет 124 учени-
ка С. А. Дагбашяна были пригла-
шены на республиканские матема-
тические олимпиады, 9 из них удо-
стоены диплома первой степени,
24 — второй и 29 — третьей; семеро
с успехом участвовали во Всесоюзных
олимпиадах.

Многие хотят учиться у него.
Старшеклассники часто обращаются
в дирекцию средней школы № 3
с просьбой о зачислении в клас-
сы с математическим уклоном.

Заслужённый педагог учит не толь-
ко математике, но и умению само-
стоятельно мыслить, творить добро,
добросовестно и честно трудиться,
стойко переносить трудности, лю-
бить Родину и делать все возмож-
ное для ее счастья.

С. А. Дагбашян внес серьезный
вклад в усовершенствование про-
цесса обучения в республике. В
первую очередь это касается мето-
дов и средств обучения, которыми
он пользуется для развития логиче-
ского мышления учащихся. Учи-
тель умело сочетает* исследователь-
скую работу с эвристической бесе-
дой; создаваемые им проблемные
ситуации часто преобразуются в
классе в моменты всеобщей напря-
женной умственной работы. По его
мнению, в проблемных ситуациях
необходимо сочетать следующие
условия: задания должны вызывать
у учащихся интерес и быть необыч-
ными, нестандартными; поиск отве-
та должен требовать логического
мышления; решение проблемы сле-
дует комментировать таким обра-
зом, чтобы оно вызывало у учащих-
ся радость познания и открытия.
Понятно, что учитель, создающий в
классе проблемную ситуацию, дол-
жен сочетать глубокое знание
предмета с педагогическим мастер-
ством и всесторонней подготовкой
к уроку, которая обеспечивает це-
ленаправленную организацию учеб-
ного процесса.

Придавая большое значение са-
мостоятельной, индивидуальной
и дифференцированной формам ра-
боты с учащимися, С. А. Дагбашян
никогда не навязывает свой вариант
или способ решения задачи, чаще
всего он только направляет поиски
учащихся и достигает того, что они
сами находят решение, совершая при
этом «маленькое открытие». Педа-
гог уделяет особое внимание раз-
витию у учащихся способности раз-
мышлять, творить, изобретать и
применять знания на практике; он
много работает с теми учениками,
которые особенно увлечены предме-
том. Не* случайно некоторые из его
бывших учеников сегодня известные
в республике математики.

Следуя процессу развития совре-
менной школьной математики, сис-
тематически изучая методическую'
и специальную литературу, серьезно
занимаясь самообразованием, С. А.
Дагбашян успешно участвует в ра-
боте по внедрению 'новых прог-
рамм и учебников, которая ведется
в нашей республике. Его опыт вне-
классной работы по математике
пользуется вниманием педагогов.
Самсон Агабекович является иници-
атором научно-практических конфе-
ренций учителей, , способствующих
распространению передового опыта.

Ветеран Великой Отечественной
войны и известный в республике
педагог с высоким чувством ответ-
ственности выполняет обществен-
ные поручения. Он избирался депу-
татом Ереванского городского Со-
вета народных депутатов, является
членом методического совета при
Министерстве просвещения Армян-
ской ССР, членом редколлегии при-
ложения к журналу «Советакан ман-
каварж» («Советский педагог») —
«Математикам ев физикан дпро-
цум» («Математика и физика а
школе»), часто входит в состав жю-
ри по проведению республиканских
математическ(их олимпиад.

Народный учитель всей своей
жизнью служит прекрасным приме-
ром беззаветной преданности люби-
мому делу, своему народу и Ро-
дине.

Р. В. Саркисян

(Ереван)

Ахмедхан Гаджияхяевич
Караев

Ахмедхан Гаджияхяевич Караев пре-
подает. математику в Кубачинской
средней школе Дахадаевского райо-
на ДагАССР уже более сорока лет.
Еще со школьной скамьи полюбил
он профессию учителя. Огромное
влияние на него оказали не только
его бывшие наставники — М. Мир-
киев, Г. Магомедов,— но и старшие
брат и сестра, в то время уже ра-
ботавшие учителями.

В 1940 г. А. Г. Караев поступил
в педагогическое училище. С 1942 г.
он стал работать в сельской школе.
Молодой педагог использовал пер-
вую же возможность для получе-
ния образования. Бс^з отрыва от ра-
боты он закончил физико-математи-
ческий факультет педагогического
института в г. Орджоникидзе. Пре-
красный учитель, скромный человек,
он пользуется заслуженным уваже-
нием в своем поселке и районе.

Главное внимание А. Г. Караев
уделяет качеству усвоения учащи-
мися курса математики, * развитию
их логического мышления и творче-
ских способностей.

Доступное и убедительное объя-
снение каждой 'новой темы, исполо-
зование интересного и разнообраз-
ного дополнительного материала,
развитие у учащихся навыков само-
стоятельной работы, умение убе-
дить их в том, что математика нуж-
на везде, в любой профессии,—

. вот характерные ' особенности его
деятельности.

Изложение нового всегда прово-
дится по хорошо продуманному
плану, четко, ясно, интересно и со-
четается с благоприятной творче-
ской атмосферой, атмосферой дове-
рия и доброжелательности. Ахмедхан
Гадж'ияхяевич всегда умеет выде-
лить главное в изучаемом мате-
риале и найти наиболее рациональ-
ные методические приемы, позво-
ляющие учащимся как можно лучт
ше усвоить тему урока. Учитель
старается достичь целей урока не
обилием используемых примеров и
фактов, а терпеливым разъяснением
существа дела. Не ограничивая уча-
щихся временем, он добивается то-
го, что они сознательно и самостоя-
тельно выполняют его задания.

Много сил уделяет А. Г. Караев
подготовке учащихся к выбору про-
фессии. Он .учитывает и способно-
сти своих воспитанников, и потреб-
ности района, республики в кадрах.
Уч>итель наиболее полно использу-
ет и связи математики с другими
предметами, в частности с трудо-
вым обучением, и возможности са-
мого предмета. На своих уроках он
часто предлагает задачи производ-
ственного Содержания, обращает
особое внимание на формирование
у учащихся вычислительных и рас-
четных навыков, которые необходи-
мы' им как на занятиях по трудово-
му обучению, так и непосредствен-
но в будущей деятельности.

На уроках геометрии учащимся
»показывается использование свойств
осевой и центральной симметрий,
приемов геометрических построений
в создании орнаментов. Вопросы
художественного творчества особен-
но актуальны для поселка Кубани,
который издавна славится ювелирны-
ми изделиями своих мастеров. Сей-
час здесь работает художественный
комбинат.

Учитель предлагает задания иссле-
довательского характера, например:
«Достроить рисунок, симметричный
относительно оси, по заданной его
части. Найти центр симметрии дан-
ного орнамента. Найти центр изде-
лия,. выполненного в форме круга
Вычислить, какая площадь изделия
покрыта золотом». С такими вопро-
сами часто сталкиваются мастера и
рабочие художественного комбина-
та по прикладному искусству.

Проблемы местного ювелирного
производства учитель старается от-
разить также на уроках арифмети-
ки и алгебры. При этом естествен-
но осуществляется связь с другими
школьными предметами, особенно
с физикой и химией.

Так, на уроке по теме «Деление
числа на части, пропорциональные
данным числам» учитель показы-
вает, что эта тема находит саулое
широкое применение в практике ра-
бочих комбината. Например, изго-
товляя припой или чернь, прихо-
дится брать различные металлы в
определенной пропорции. При изу-
чении уравнений 1-й степени с одним
неизвестным учитель показывает,
какие производственные операции
основываются на умении состав-
лять и решать уравнения. Например,
монтировщики художественного
комбината часто имеют дело с се-
ребром различных проб. Естествен-
но возникают задачи перехода от
одной пробы благородного метал-
ла к другой, которые сводятся к
уравнениям 1-й степени.

Решая такие задачи, учащиеся
знакомятся со сплавами, узнают
подробности процесса изготовле-
ния сплавов и особенности их «по-
ведения» при нагревании. Ученикам
можно также рассказать о том,
какие свойства придают металлам
те или иные добавки, а отсюда
сделать переход к большому раз-
говору о значении математики для
металлургии, разговору, который
может быть не раз продолжен на
внеклассных занятиях.

Беседами, рассказами о профес-
сиях, о роли массовых профессий в
развитии народного хозяйства учи-
тель расширяет кругозор учащихся.
А. Г. Караев старается показать
достижения страны, республики,
района и родного поселка за годы
Советской власти. Примеры пере-
мен, которые произошли в поселке
на глазах самих учащихся, вызывают
у них чувство гордости за свою
Родину.

Развивая у школьников интерес к
предмету, самостоятельность и твор-
ческую активность, А. Г. Караев про-
водит большую целенаправленную
внеклассную работу: математиче-
ские кружки и вечера, олимпиады,
экскурсии, встречи с передовиками
производства. В результате многие
его ученики поступают на техниче-
ские, инженерные и математические
факультеты. А трое из них, заняв
на республиканских и•всероссийских
олимпиадах призовые места, был-
приняты в школу-интернат при МГУ.
Успешно окончив эту школу, они
поступили в вузы Москвы и работа-
ют теперь в различных отраслях на-
родного хозяйства.

Среди учеников А. Г. Караева есть
народные художники, доктора меди-
цинских наук, кандидаты техниче-
ских наук, рабочие комбината, учи-
теля, труженики сельского хозяйст-
ва. Все они, учась в школе, ощуща-
ли доброту и любовь учителя и от-
вечали на это любознательностью,
интересом к предмету, желанием
принимать участие во- внеклассных
мероприятиях, в занятиях кружка
и т. п. Такой настрой учащихся со-
храняется и поныне.

Ахмедхан Гаджияхяевич воспитыва-
ет пятерых детей. Две старшие до-
чери работают в родной школе
учительницами, а один сын учится
в Дагестанском педагогическом ин-
ституте. Мастер своего дела, вели-
колепный ‘организатор и наставник
молодежи, А. Г. Караев выполняет
огромную общественную работу.
Он секретарь партийной организа-
ции школы, председатель . постоян-
ной комиссии «Просвещение и куль-
тура» поселкового Совета, замести-
тель ’ председателя комиссии «Про-|
свещение» районного Совета. Для
учителей школы, учащихся и их
родителей он является образцом
преданности своему делу.

Заслуги А. Г. Караева высоко оце-
нены Родиной: он награжден орде-
ном Ленина, ему присуждено высо-
кое звание народного учителя
СССР.

В 1982 г. Центральным телеви-
дением был снят документальный
фильм о А. Г. Караеве. После того
как этот фильм был показан по те-
левидению, учитель получает потоки
писем с просьбой поделиться секре-

тами мастерства. А секретов-то ни-
каких нет. Ответственность перед
собой и перед учащимися за их
судьбы, чувство долга перед стра-
ной за воспитание молодежи — ее
будущего — дают хорошие резуль-
таты. Но, как признается сам А. Г.
Караев, качественной и успешной
работе мешает частая смена прог-

ра.мм и учебников пд математике.

Наставник молодежи А. Г. Караев
сам учится у других, повышает свое
мастерство изо дня в день, он по-
лон сил и энергии.

3. А. Магом&ддибирова,
С. С. Мирзоев
(г. Махачкала)

К нашим читателям

В наступившем новом году советской школе предстоит огромной важности работа
по выполнению решений июньского и декабрьского (1983 г.) Пленумов ЦК КПСС, реа-
лизации задач реформы школьного образования.

Жизнь предъявляет все более высокие требования к общеобразовательной,
трудовой подготовке выпускников средней школы, их идейной закалке, нравственно-
му сознанию. Оказать учителю математики конкретную помощь в повседневной ра-
боте по обучению и воспитанию учащихся в свете этих новых требований — основ-
ная задача нашего журнала.

Ваше коллективное участие в работе журнала поможет нам своевременно и
лучше отвечать на особо интересующие и волнующие вас вопросы по организации
работы учителя математики, совершенствованию учебно-воспитательного процесса,
преодолению формализма в руководстве работой учителя и в оценках результа-
тов его деятельности.

Редакционная коллегия и редакция журнала ждут ваших писем, предложений,
замечаний и отзывов на публикуемые материалы.

Редакционная коллегия
К 150-ЛЕТИЮ СО ДНЯ РОЖДЕНИЯ

Дмитрий Иванович
Менделеев

8 февраля 1984 г. исполнилось 150
лет со дня рождения великого рус-
ского ученого Д. И. Менделеева —
автора . периодического закона
и творца периодической системы.

Дмитрий Иванович Менделеев ро-
дился 27 января (8 февраля н. ст.)
1834 г. в г. Тобольске в семье ди-
ректора гимназий и народных учи-
лищ. В 1849 г. он окончил Тоболь-
скую гимназию. Спустя год поступил
на физико-математический факуль-
тет Петербургского главного педаго-
гического института.

В институте Д. И. Менделеев про-
слушал курс химии, который читал
«дедушка русских химиков» А. А.
Воскресенский, и работал под его
руководством в лаборатории. «При-
надлежа к числу учеников Воскре-
сенского,— писал впоследствии Мен-
делеев,— я ж:иво помню ту обая-
тельность безыскусственной просто-
ты изложения и то постоянное на-
талкивание на пользу самостоя-
тельной разработки научных данных,
какими Воскресенский вербовал
много свежих сил в область химии.
Другие говорили часто о внешних
трудностях научного дела, а у Воскре-
сенского мы в лаборатории чаще
всего слышали его любимую пого-
ворку: «Не боги горшки обжигают
и кирпичи делают», а потому в ла-
бораториях, которыми заведовал
Воскресенский, не боялись прило-
жить руки к делу науки, а стара-
лись лепить и обжигать кирпичи,' из
которых слагается здание химиче-
ских знаний» Ч

9 сентября 1856 г. Д. И. Менде-
леев в Петербургском университете
защитил магистерскую диссертацию
«Удельные объемы», сыгравшую
важную роль в утверждении в хи-
мии закона Авогадро. В диссертации
Дмитрий Иванович Ьысказал ориги-
нальное, отличное от мнения физи-

1 Менделеев Д. И. Соч.: В 25-ти т.
Т. 15.—Л.; М.: Изд-во АН 'СССР,
1949, с. 622—625.

ков того времени суждение о при-
роде электричества, . Он писал:
«Очень вероятно, что это (элек-
тричество.— Ю. С.) есть извест-
ное состояние движения "телесных
частиц. Если это так, то связь элект-
ричества с химическим процессом...
изъяснится очень просто, потому
что всякий химический процесс обу-
словливается движением атомов»2.

19 декабря 1863 г. Д. И. Менделе-
ев избирается профессором химии
Петербургского технологического ин-
ститута. Здесь в своих лекциях и
публикациях он активно выступал
за промышленное развитие России.

В ноябре 1864 г. Дмитрий Ивано-
вич представил в Петербургский
университет докторскую диссерта-
цию «Рассуждение о соединении
спирта с водой», защита которой
состоялась 31 января 1865 г. Эта
работа имела не только большое
практическое значение (в спирто-
водочном производстве), но и тео-
ретическое значение в разработке
учения о растворах.

После ухода из Петербургского
университета профессора химии
А. А. Воскресенского (октябрь
1867 г.) на его место избирается
Д. И. Менделеев. И с этого момента
начинается блестящий период на-
учной и педагогической деятельности
ученого в Петербургском универси-
тете.

«Лучшее время жизни и ее глав-
ную силу взяло преподаватель-
ство»,— говорил Дмитрий Иванович
в конце своей жизни. С преподава-
ния «Исторической и теоретической
частей химии» в 1857 г. началась
его педагогическая деятельность* в
Петербургском университете. С
1861 г. молодой приват-доцент чи-
тал студентам курс лекций по теоре-
тической химии. В 1868—1869 гг.
студентам естественного отделения

2 Менделеев Д. И. Соч.: В 25-ти т.
Т. 1.—,Л.;; ОНТИ — Химтеорэт, 1937,
с. 154.

физико-математического факульте-
та Петербургского университета вы-
пало редкое счастье: слушать лек-
ции ученого, который шел к велико-
му обобщению в химии — откры-
тий) периодического закона химиче-
ских элементов. Здесь он читал ос-
новной курс неорганической химии
и создал свои знаменитые «Осно-
вы химии» — энциклопедию химиче-
ских- знаний того времени. «В них
мой образ,— писал Д. И. Менделе-
ев,— мой опыт педагога и мои за-
душевные мысли».

Первое издание «Основ химии»
(в трех выпусках) вышло в 1868—
1871 гг., последнее прижизненное
(8-е изд.) опубликовано в 1906 г.,
13-е издание вышло в 1947 г. «Ос-
новы химии» были три раза пере-
ведены на английский, а также Аа
немецкий и французский языки и
оказали большое влияние на ино-
странных ученых.

Работая над «Основами химии»,
Д. И. Менделеев старался не толь-
ко собрать и обобщить огромный
материал по химии, но и «раз-
вить у читателей дух пытливости,
не довольствующийся простым опи-
санием, а возбуждающий и при-
учающий к упорному труду и стре-
мящийся везде, где можно, мысли
проверять опытами»3. Сохранились
многочисленные воспоминания уче-
ных, в которых они подчеркивали,
что чтение «Основ химии» побудило
их заняться химическими исследо-
ваниями. Характеризуя впоследствии
«Основы химии», Дмитрий Иванович
писал: «Тут много самостоятельного
в мелочах, а главное — периодич-
ность элементов, найденная имен-
но при обработке „Основ химии"».

В 1871 г. Д. И. Менделеев опуб-
ликовал статью «Периодическая за-
конность химических элементов», в
которой впервые дал формулиров-
ку закона периодичности. «Закон
периодичности можно формулиро-
вать следующим образом: свойства
элементов, а потому и свойства об-
разуемых ими простых и сложных
тел состоят в периодической зави-
симости (т. е. правильно повторяют-
ся) от их атомного веса»4 * *.

В «Основах химии», а также на
лекциях Дмитрий Иванович после-
довательно развивал учение о хи-
мических элементах на основе от-
крытого им в 1869 г. периодиче-
ского закона. В «Основах химии» он
сконцентрировал огромный мате-
риал по науке, которую назвал «на-
укой о химических элементах и об-
разуемых ими соединениях».

Предмет теоретической (’физиче-

3 Менделеев Д. И. Основы химии:
В 2-х т. Т. 1.—13-е изд.— М.; Л.: Гос-
химтехиздат, 1947, с. 8.

4 Менделеев Д. И. Периодический

закон.— М.: Изд-во АН СССР, 1958,

с. 111.
ской) химии, по словам Д. И. Менде-
леева, «как и предмет самой химии,
состоит не только в описании фи-
зических свойств и их систематике,
но и в изучении того изменения в
свойствах, которое происходит вслед-
ствие реакции, и определении тех
причин, которые определяют и ход
реакций, и ход изменения в свой-
ствах» 5. В этих словах заключена
основная программа физико-химиче-
ских исследований Д. И. Менделе-
ева, Н. А. Меншуткина, Д. П. Коно-
валова и многих других русских хи-
миков.

В 1871—1872 гг. и в последующие
годы появилась серия работ Дмит-
рия Ивановича, посвященная изуче-
нию газов и строению комплексных
соединений. Результаты этих работ
нашли отражение в «Основах, хи-
мии».

В 1880-х гг. Д. И. Менделеев за-
нимался разработкой теории рас-
творов. В 1887 г. вышло класси-
ческое сочинение «Исследование
водных растворов по удельному ве-
су». В чем заключаются основные
положения химической теории рас-
творов Менделеева? Он стремился
приложить «великое учение Дальто-
на’ об атомном строении вещества»
к объяснению явлений растворе-
ния. Дмитрий Иванович считал, что
можно согласовать растворы с ато-
мистической теорией, если ввести
понятие ассоциации и диссоциации,
если признать «подвижное равнове-
сие составных его начал». Одна из
наиболее общих формулировок
понятия «раствор», данная Д. И.
Менделеевым, гласит: «Раствор есть
среда, в которой находится ассоциа-
ция частиц, образуемых системой
растворителя и растворенного те-
ла» 6.

В 1889 г. Лондонское химическое
общество пригласило Д. И. Менде-
леева как выдающегося ученого,
открывшего периодический закон,
выступить с научным докладом «Пе-
риодическая законность химических
элементов». «Фарадеевское чтение»
Менделеева вошло в историю учения
о периодичности как яркий, глубо-
кого философского смысла доку-
мент.

Много лет спустя, 8 мая 1930 г.,
Нильс Бор прочитал в Лондонском
химическом обществе фарадеевскую
лекцию «Химия и квантовая теория
строения атома», в которой- отме-
тил, что в начале XX в. внимание
физиков было привлечено «к заме-
чательной точке зрения на цент-
ральную проблему строения атома,
которая была поставлена в резуль-
тате выявления специфической пе-

5 Менделеев Д. И. Соч.: В 25-ти т.
Т. 8.—Л.; М.:, Изд-во АН СССР, 1948,
с. 50.

6 Менделеев Д. И. Избр. соч.
Т< 3,— Л.; Госхимтехиздат, 1934, с. 209.

риодичности химических свойств
элементов, ' расположенных по
возрастающим атомным весам, о
которой с таким энтузиазмом и
предусмотрительностью говорил
Менделеев в своей Фарадеевской
лекции 1889 г.»7.

В 1880—1890 гг. жизнь Д. И. Мен-
делеева складывалась не только из
одних удач и триумфального шест-
вия в науке. Большой обидой ото-
звался день 11 ноября 1880 г., ко-
гда один из лучших русских ученых
не был избран в действительные
члены Петербургской Академии на-
ук. Конечно, гневное отношение к
этому несправедливому событию ве-
дущих русских ученых не могло, не
радовать Дмитрия Ивановича, но сам
факт забаллотирования был возму-
тителен и оставил неприятный оса-
док в душе ученого. Неприятные
события произошли и в 1890 г. На
одной из сходок студенты Петер-
бургского университета обратились
к присутствующему там Д. И. Мен-
делееву с просьбой передать их пе-
тицию министру. Он согласился,
хотя в петиции содержались, в част-
ности, требования об «изгнании не-
навистных чиновников». Министр не
принял петиции и сделал замеча;
ние»ученому, который, по его мне-
нию, «мешается не в свои дела».
Возмущенный Дмитрий Иванович
подал в отставку. ‘

Уход из университета коренным
образом изменил характер деятель-
ности ученого. 10 ноября 1892 г.
Д. И. Менделеев был назначен уче-
ным хранителем мер и весов в Де-
по образцовых мер и весов, кото^
рое он в 1893 г. реорганизовал в
Главную палату мер и весов, начав
в ней важные метрологические ис-
следования. Здесь он ра.ботал до
конца своей жизни.

Научные исследования и откры-
тия Д. И. Менделеева получили уже
при жизни ученого широкое призна-
ние и высокую оценку. Он был из-
бран членом Лондонского королев-
ского общества, Римской, Париж-
ской, Берлинской академий наук, а
также почетным членом многих на-
учных обществ России, Западной Ев-
ропы и Америки.

Будучи горячим поборником эко-
номического развития России и дру-
гих стран, Д. И. Менделеев видел
перспективу научно-технического
прогресса в развитии производи-
тельных сил общества, в торговле
на «поле мирного международного
состязания». Именно на этом пути,
как считал ученый, надо искать ре-
шения общечеловеческих задач, от-
носящихся ч к взаимному общению,
промышленному и культурному раз-
витию государств.

Опираясь на исторический опыт,

7 Бор Нильс. Избр.Лйуч^ труды:
В 2-х т. Т.« 2,—М.: НауЙг/ 1970, с. 77.

на многочисленные статистические
данные о состоянии промышленно-
сти и сельского хозяйства, Д. И. Мен-
делеев, по его словам, «достиг до
осознания великого значения про-
мышленного развития для роста
благосостояния и просвещения всех
классов народа»8. Убежденный в
том, что именно крупная промыш-
ленность является основой . обще-
ственного развития по пути капита-
лизма (иных возможностей он не
видел), Дмитрий Иванович «всеми
способами... желал содействовать
дальнейшему промышленному раз-
витию своего отечества» 9.

Залог успешного развития совре-
менной ему промышленности
Д. И. Менделеев видел в тесном
союзе науки и практики: «Если без
науки не может быть современной
промышленности, то без нее не мо-
жет быть' современной науки» 10. «За-
воды сильны естествознанием»,—
подчеркивал ученый.

Сегодня, когда так много сде-
лано в изучении природных богатств
нашей страны, мы с благодарно-
стью вспоминаем яркие выступле-
ния Д. И. Менделеева, проникнутые
пламенным желанием всеми мерами
содействовать промышленному раз-
витию России. Тут и топливно-ме-
таллургическая проблема Донецкого
бассейна, и проблема бакинской
нефти, причем не как топливная, а
как химико-технологическая, касаю-
щаяся переработки нефти, тут и ме-
таллургия Урала, и проблема под-
земной газификации каменного угля,
проблема бездымного пороха и
стеклоделия; проблема освоения
Арктики и стратосферы.

В 1888 г. в статье- «Будущая си-
ла, покоящаяся на берегах Донца»
Д. ‘ И. Менделеев подчеркивал, что
«по разнообразию сортов камейных
углей, по изобилию прекрасных ме-
таллургических углей — полуантраци-
тов — Донецкий край представляет
богатейшее в мире месторождение
ископаемого угля... Гиганты покоят-
ся на Донце, пора их будить, подни-
мать и брать в услугу у11.

Ученый требовал проведения в
жизнь ряда экономических и техни-
ческих мероприятий, обеспечиваю-
щих быстрое развитие русской неф-
тяной промышленности. «Нефть —
столь редкий, исключительный дар
природы,— писал он,— что сжигать
его как простое топливо — просто
грех... Нефтяным нашим богатствам
надо искать другое, более ценное
применение» 12.

Д. И. Менделеев был глубоко
убежден в том, что экономическое

8 Менделеев Д. И. Соч.: В 25-ти т.
Т. 19.—Л.; М.: Изд-во АН СССР,
1950 с. 936.

9 Там же.

10 Там же, с. 182.

11 Там же, с. 594, 615.

12 Там же, т. 20, с. 345.
и культурное развитие страны зави-
сит от сознательности громадной
массы населения, от создания боль-
шого Слоя людей с высшим образо-
ванием, «могущих идти и других
вести за собой». «Нам особенно
нужны образованные люди, близко
знающие русскую природу... всю
русскую действительность, для того,
чтобы мы могли сделать настоящие
самостоятельные, а не подражатель-
ные шаги в деле развития своей
страньр» 13.

Интерес к общим вопросам раз-
вития науки, образования и про-
мышленности ярко проявился в ра-
ботах Д. И. Менделеева, опублико-
ванных в конце XIX и начале XX
столетия. В ’ «Толковом тарифе»
(1892), «Заветных мыслях» (1903—
1904), «К познанию России» (1906)
лейтмотивом звучала мысль учено-
го, что «ограниченный рост промыш-
ленности совершенно не пригоден
нашему краю и не- приличен наше-
му народу». «Ведь только незави-
симость экономическая,— подчерки-
вал Дмитрий Иванович,— есть неза-
висимость настоящая, всякая про-
чая — фиктивная».

Д. И. Менделеев аргументирован-
но доказывал, что рост промышлен-
ных товаров усилит экономические
связи и торговлю с другими стра-
нами. В экономических связях и в
торговле он, в свою очередь, ви-

дел мощный фактор сближения на-
родов. «Наступление торгово-про-
мышленного уравнения международ-
ных отношений,— писал ученый в
1906 г.,— без всякого сомнения, по-
ведет за собой и множество иных
великих следствий. Конец колони-
альной эпохи, уже видный в пред-
стоящих веках, должен поэтому слу-
жить исходом для нового порядка*
вещей» 14. «Мы живем в эпоху,— пи-
сал ученый,— когда богатство и си-
ла народов определяются преимуще-
ственно индустриею, а наши дети
или внуки вероятно доживут до то-
го, что богатство и вся сила народ-
ная будут определяться умелым
сочетанием индустрий с сельским
хозяйством»15. В наше время эти
идеи ученого нашли полное под-
тверждение на практике. На «умелом
сочетании индустрий с сельским хо-
зяйством» строится большая прог-
рамма научно-технического прогрес-
са, решается проблема обеспечения
населения продовольствием.

Будучи выдающимся естествоиспы-
тателем, Д. И. Менделеев видел в
науке огромную созидательную си-
лу. «Естествознание,— писал уче-
ный,— не только удовлетворяет
присущей ему потребности обоб-
щать... не только привлекает преле-
стью наблюдаемых явлений и пред-
метов, но и дает в руки изучаю-

щего те мирные орудия, при помо-
шги которых побеждаются силы
природы, скопляются новейшие за-
пасы и умственного и реального
богатства» !6.

Труды Д. И. Менделеева изданы
в 25 томах его собраний сочинений,
отражающих многогранный гений
ученого.

«Гениальный химик, первоклассный
физик, плодотворный исследователь
в области гидродинамики, метеоро-
логии, геологии, в различных отде-
лах химической технологии и Дру-
гих сопредельных с химией и фи-
зикой дисциплинах, глубокий знаток
химической промышленности вооб-
ще, особенно русской, оригиналь-
ный мыслитель в области учения о
народном хозяйстве» — так охаракте-
ризовал Д. И. Менделеева русский
химик Л. А. Чугаев.

В наше время многие идеи и от-
крытия Д. И. Менделеева получили
дальнейшее плодотворное развитие.,
Наука наших дней далеко шагну-
ла вперед в своем развитии, но
как бы далеко ни ушли ученые в
познании природы вещества и его
превращения, они, оглянувшись на-
зад, всегда будут с благодарностью
вспоминать великого русского уче-
ного, кто своим талантом и трудом
проложил дорогу к вершинам совре-
менной науки.

Ю. И. Соловьев

(Москва)

13 Тслм же, т. 23, с. 205,

14 Там же, т. 20, с. 282.

1Ь Там же, т. 24, с. 269.

16 Там же, т. 23, с. 56.

Лауреаты высоких премий 1983 г.

66-я годовщина Великой Октябрьской социалистической революции была отмечена
присуждением Государственных премий СССР большой группе ученых и специа-
листов за выдающиеся достижения в области науки и техники. В числе лиц, удо-
стоенных высокой награды партии и правительства, названы имена и представителей
математической науки.

За цикл работ «Математические методы статистической механики», опубликован-
ных в 1962—1975 гг., Государственная премия СССР 1983 г. присуждена доктору
физико-математических наук, заведующему лабораторией Математического института
им. В. А. Стеклова АН СССР Николаю Николаевичу Боголюбову и доктору физико-
математических наук, старшему научному сотруднику МГУ им. М. В. Ломоносова
Борису Иосифовичу Садовникову.

Государственной премией СССР 1983 г. награжден академик Иван Матвеевич
Виноградов за учебник «Основы теории чисел», вышедший 9-м изданием в 1981 г«

В день рождения Ленинского комсомола, 29 октября 1983 г., был'и названы
имена молодых ученых и специалистов народного хозяйства, отмеченных премия-
ми Ленинского комсомола 1983 г. в области науки и техники.

Премии Ленинского комсомола удостоены доктор физико-математических наук,
заведующий кафедрой Туркменского института народного хозяйства Мер.ед Байрамо-
вич Оразов и кандидат физико-математических наук, старший преподаватель Москов-
ского авиационного института им. С. Орджоникидзе Дмитрий Валентинович Тарлэ-
ковский— за цикл работ по применению теории дифференциальных операторов к
задачам механики.
Ц МЕТОДИЧЕСКИЙ ОТДЕЛ

Судить по конечному результату

С. Л. Соболев

(г, Новосибирск)

В жизни нашего общества наука стала играть
важнейшую роль. Наша эпоха динамична.
Объем знаний и умений, нужных каждому
человеку, возрастает год от года. Прочно вхо-
дит в быт непрерывно обновляемая новая тех-
ника, новая технология. Несомненно, в бли-
жайшее время мы будем свидетелями стира-
ния грани между физическим и умственным
трудом, поскольку всю тяжелую,44 утомитель-
ную, однообразную работу человечество по-
ручит роботам. Все, что может быть комп-
лексно автоматизировано, будет автоматизи-
ровано. Человек будет управлять этой новой
техникой и творчески разрабатывать непре-
рывно шагающие вперед знания об окружаю-
щем мире и запас мощных средств, подчиняю-
щих этот мир себе.

Советская средняя школа готовит своих се-
годняшних учеников для того времени, когда
они станут хозяевами/жизни на земле. Пред-
угадать в деталях, что тогда нужно будет
знать и уметь человеку, невозможно. Несом-
ненная цель сегодняшнего образования — дать
каждому юноше и девушке твердое знание
основ общественных и естественных наук,
подготовить их к тому, чтобы они не оказа-
лись слепыми к тому, что вокруг них будет
происходить. Они должны быть в состоянии
учиться у жизни. Это значит, что на сегодня
школа должна давать детям начальное по-
литехническое образование. Такова задача
средней школы, но задача не единственная.

Есть задачи сиюминутные и задачи даль-
него прицела.

Сейчас нашей родине остро нужны умелые
руки. Их не хватает в промышленном и сель-
скохозяйственном производстве, на транспор-
те, в сфере обслуживания. Школе нужна чет-
кая профессиональная ориентация, подготов-
ка учащейся молодежи к повседневному
творческому труду во всех областях на-
родного хозяйства. Это требует практической
Направленности преподавания школьных пред-
метов, особенно лежащих в основе современ-
ной технологии: математики, физики,, химии
и других.

Практическая направленность курса мате-
матики в наше время означает прежде всего
то, что учащихся надо познакомить с соотно-

шениями между явлениями реального или
проектируемого мира и его математическими
моделями. Школьников надо практически на-
учить строить математические модели для
встречающихся жизненных ситуаций. Было
бы хорошо по возможности раскрывать мате-
матические правила и законы на специально
подобранных задачах из жизни. Курс школь-
ной математики выполнит свою задачу, если
удастся объяснить детям, что абстрактная ма-
тематическая модель, в которой отброшено
все несущественное, позволяет глубже понять
суть вещей.

Будущим рабочим придется грамотно ис-
пользовать современную вычислительную
технику, ЭВМ. Уже в простейших случаях, на-
пример, решая системы линейных алгебраи-
ческих уравнений, они должны иметь пред-
ставление о приближенных вычислениях и о
погрешностях счета. Было бы полезно (не вда-
ваясь в линейную алгебру) на примерах по-
яснить, что такое хорошо обусловленные
и плохо обусловленные задачи. Важно дать
учащимся представление о том, что такое
программа для ЭВМ и как пользоваться па-
кетами программ. Вероятно, назрело время,
когда нужно знакомить школьников с сущест-
вованием машинных языков и основами про-
граммирования. Может быть, это следует, про-
вести в некотором числе школ.

Сказанное — лишь несколько набросков
возможных предметов для обсуждения. Чис-
ло таких предметов можно было бы еще уве-
личить.

Третья цель среднего школьного образова-
ния — это подготовка будущих технических
руководителей производства, будущей техни-
ческой интеллигенции. Школа должна под-
готовить учащихся к поступлению в вузы
и, что не менее важно, к учебе в них. На се-
годняшний день эта категория выпускников
средней школы должна быть значительно
меньше, чем основная их масса. Но тем не
менее задача их подготовки не снимается.

Наконец, нашей родине нужны сейчас и бу-
дут все более нужны профессиональные уче-
ные, исследователи во всех областях ^фунда-
ментальной науки и ее приложений. От бу-
дущего ученого требуется кроме большого
запаса знаний и навыков еще и профессио-
нальная одаренность. Школа должна помочь
талантливой молодежи в выборе жизненного
пути, развить в ней стремление к исследова-
тельской деятельности. Надо еще в школьном
возрасте раскрыть перед ней красоту науч-
ного творчества, воспитать ее так, чтобы для
талантливых подростков, юношей и девушек,
посвящающих себя науке, она стала делом
всей жизни. Возможно, что уместнее всего
сделать это на факультативных и кружковых
занятиях по специальности, для которых нуж-
но время.

Задача школы многоцелевая. Как всегда
при решении таких задач, нужна оптималь-
ная стратегия, оптимальное распределение ре-
сурсов по всем целям. Приходится учитывать
ограниченность учебного времени, оптималь-
но распределить часы между уроками по фун-
даментальным наукам и прикладными умения-
ми, между теорией и упражнениями, между
уроками и самостоятельными занятиями
и т. д. Ограничение времени заставляет огра-
ничить и выбор учебного материала.

Опыт спецшкол себя оправдал, но сколько
таких спецшкол нужно и какой учебный ма-
териал в них давать учащимся — видно не
сразу.

Все эти и другие вопросы непрерывно ста-
вит перед школой эпоха научно-технической
революции. Новая историческая задача: сде-
лать граждан СССР современно грамотными
в полном смысле этого слоца, помочь выявить
таланты и воспитать их — не имела никакого
опыта для своего решения. Что касается,
в частности, математики, то в основу ее кур-
са легли программы и учебники средних
школ дореволюционной России (для своего
времени неплохие). Это были программы и
учебники, составленные для классического
образования. В гимназиях изучали древние и
новые языки. В реальных училищах — класси-
ческую математику до XVIII в. и иногда чуть
больше.

До 60-х гг. советская школа работала по
программам того времени, когда не было ав-
томатизации производства, не было ЭВМ,
станков с программным управлением, не бы-
ло радио и. телевидения, не было Современ-
ной физики и биологии. Не было всего того,
что сейчас прочно вошло в жизнь человека
во всех развитых странах. Не было и многих
разделов современной математики, особенно
прикладной..

Естественно, такое положение перестало со-
ответствовать духу времени. Примерно в од-
но и то же время — в середине века —
в СССР, как и в других развитых странах —
Франции, Бельгии, ФРГ, США и Японии —
было сделано много предложении о реформе
среднего математического образования и про-
ведено экспериментальное преподавание по
новым программам и учебникам. В СССР в
60-х гг. несколькими авторами, в том числе
авторскими коллективами под руководством
академика А. Н. Колмогорова, были написа-
ны учебники и учебные пособия по алгебре
и анализу и по геометрии.

Как и во всяком новом деле, в реформе
среднего математического образования воз-
никло много трудностей. Неизбежно появи-

лись некоторые обидные промахи. Ряд вопро-
сов был трактован неудачно. Желание как
можно ближе подойти к чисто профессио-
нальным аспектам современной математики
привело кое-где к неоправданной загрузке
памяти школьников абстрактной символикой
теории множеств/ Особые трудности создава-
ло то, что учителя в своей массе оказались
слабо подготовленными к новым учебникам.
После 10 лет реформированные программы и
учебники подверглись серьезной критике как
у нас, так и за.рубежом, где увлечение новым
формализмом было особенно ярко выражен-
ным. В нашей стране в конце 70-х гг. появи-
лось в печати несколько критических статей.
В № 3 журнала «Математика в школе» за
1979 г. была опубликована статья академи-
ков В. С. Владимирова, Л. С. Понтрягина
и А. Н. Тихонова, в № 4 за тот же год —
статья академика Л. В. Канторовича совмест-
но с автором этой статьи, в № 3 за 1980 г.—
статья академика А. Д. Александрова. В этих
статьях были отмечены местами неудачное
изложение материала, местами дидактические
промахи в действующих учебниках. Наконец,
в № 14 журнала «Коммунист» за 1980 г. бы-
ло опубликовано письмо в редакцию акаде-
мика Л. С. Понтрягина. Следует отметить,
что промахи и недостатки в пореформенных
учебниках к тому времени уже были извест-
ны и в Министерстве просвещения СССР,
и в Академии педагогических наук. Еще до
появления критических статей, в самом на-
чале 70-х гг. велась работа по исправлению
и доработке учебников и написанию новых,
начиная с младших классов.

В Отделении математики Академии наук
СССР в 80-х гг. были организованы две ко-
миссии по математическому образованию (ко-
торые впоследствии слились в одну). Это бы-
ло необходимо и своевременно.

Непредвзятому взгляду сразу видна вся
сложность этой работы. Судить о том, на-
сколько удачны будут ее результаты, на-
сколько хорошими окажутся рекомендован-
ные новые или переработанные учебники,
можно будет только по конечным результа-
там, по степени достижения основных целей
среднего образования, о которых мы говори-
ли выше.

Можно ли, разумно ли надеяться на то, что
какие-то авторские коллективы сумеют за ко-
роткое время написать учебники, оптималь-
ные или близкие к оптимальным, и которые
останутся затем стабильными хотя ‘ бы на
10 лет? Думается, что это несерьезно. Учеб-
ник, который кажется идеальным сегодня с
точки зрения какого-то небольшого коллек-
тива даже самых талантливых и широко эру-
дированных математиков, при испытании его
в школе может оказаться не лучше учебника
Киселева или учебников, действующих после
реформы 60-х гг. Окончательно судить о при-
годности и своевременности того или иного
учебника или, лучше сказать, комплекта
учебников можно лишь по тому:.

1) насколько большинство оканчивающих
школу или ПТУ (при обучении по этому ком-
плекту) будут достаточно сведущими для вос-
приятия всего того, с чем им придется столк-
нуться в жизни в ближайшие 15—20 лет;

2) насколько окончившие ПТУ или школу
молодые рабочие будут грамотны на своих
рабочих местах непосредственно сегодня или
завтра;

3) будут ли абитуриенты, поступающие
в вузы или втузы после окончания среднего
образования, достаточно хорошо подготовле-
ны к обучению на следующей ступени;

4) правильно ли поступающие в высшую
школу абитуриенты выбрали свой жизненный
путь? Не упустили ли их педагоги потенци-
ально талантливых исследователей или конст:
рукторов, творцов новой науки и техники?

Именно по этим показателям можно будет
судить о качестве учебников, а, конечно, не
по излишне эмоциональным письмам, похо-
жим на падкие к сенсациям публикации.

В деталях у отдельных прекрасных ученых
могут быть различные мнения. Хотя о вклю-'
чении или не включении в курс средней шко-
лы разных понятий и фактов,# вероятно, не
будет больших разногласий, но это относится
не ко всем вопросам. По поводу некоторых,
и притом немаловажных, математических
фактов и теорий, таких, как симметрия, ком-
бинаторика, комплексные числа и т. п., раз-
ногласия возникнут и уже возникают. Еще
больше разных ‘мнений вызовет, по-видимо-
му, способ изложения того или иного разде-
ла математики.

. Было бы очень жаль, если бы при помощи
голосования в какой-то комиссии была при-
нята строгая директива, запрещающая даль-
нейшее обсуждение, а главное — испытание
любых достойных этого учебников или посо-
бий. (Разумеется, такое испытание надо про-
водить сначала в нескольких школах, а за-
тем и в более широких масштабах.) Любой
диктат глушит творческие поиски и ведет к
застою и загниванию,. Особенно опасно стрем-
ление к диктату в таких вопросах, как пре-
подавание в средней школе, со стороны
авторитетнейших ученых, никогда не препо-
дававших в школе или преподававших в те
годы, когда математика была совсем непохо-
жа на современную.

При разработке новых программ и учеб-
ников по математике может оказаться по-
лезным и иностранный .опыт, относящийся

как к социалистическим, так и к развитым
капиталистическим странам. Все, что можно
найти в нем полезного, должно быть исполь-
зовано. ,

Вернемся, однако, к действующим сейчас
пореформенным учебникам.

Основная критика учебников в конце 70-х гг.
относилась к их чрезмерной формализации,
требовавшей заучивания специальной терми-
нологии и тем самым перегрузки памяти уча-
щихся. Уровень абстракции в них был приз-
нан неоправданно высоким^ Кроме того, ряд
вопросов был просто неудачно изложен. Не
будем сейчас повторять все высказанные уп-
реки. Полезно напомнить некоторые наиболее
важные факты, относящиеся к дореформен-
ным программам.

1. Школьные программы по математике до
этого времени не содержали даже элементов
математического анализа. Современная жизнь
в эпоху научно-технической революции тре-
бует от человека, считающего себя элемен-
тарно образованным, понимания простейших
законов движения, понимания того, что такое
скорость, ускорение и даже градиент. Зако-
ны физики уже с XVIII в. формулируются на
языке математического анализа. Не зная, что
такое производная и интеграл, понять эти
Законы невозможно. В программах, одобрен-
ных в 1968 г., этот крупнейший недостаток
был устранен. Программы с должной обстоя-
тельностью вводят понятие функции и дают
необходимые элементы анализа, связанные
с этим понятием.

2. В прежних программах по математике
советской средней школы не существовало
понятия вектора, векторы преподавались в
курсах физики. Из-за этого страдал архаиз-
мом курс геометрии. В программе 1968 г:
важнейшее понятие вектора (несмотря* на не-
удачное изложение) стало наконец частью
математической, а не только физической
науки.

3. В старых программах ничего не говори-
лось об отображениях. Человек имеет дело
с ними повседневно. Топографические карты,
чертежи деталей и машин и т. п.— все это
окружает нас. Живопись, графика, все изоб-
разительное искусство — это искусство ото-
бражений. В новых программах должное вни-
мание к тому, что такое отображение, и по-
каз примеров стали существенными особен-
ностями.

4. Старые программы содержали много
устаревшего материала. В младших классах
это были кустарные приемы решения ариф-
метических (текстовых) задач. В старщих
классах такими явно ненужными оказались,
... .^апример, . изучение искусственных приемов
.,е^щщ'веде;ния тригонометрических выражений к
виду, удобному для логарифмирования, тео-
рия сложных процентов и др. (Справедливо-
сти ради следует сказать, что уже в 50-е гг.
заучивание «типовых» задач было исклю-
чено,)

Заполнение программ младших классов
архаическим материалом оправдывали тем,
что якобы элементарные представления: отри-
цательные числа, буквенные обозначения
и т. п.— недоступны детям. Проведенные пси-
хологами и педагогами исследования показа-
ли, что отрицательные числа, уравнения пер-
вой степени, неравенства хорошо усваиваются
гораздо раньше VI класса. Требования,
предъявляемые жизнью к школьным програм-
мам, были связаны с расширением объема
математических понятий и навыков, ставших
необходимыми в последнее время. Ресурсов
учебных часов на это не хватало. Сокраще-
ние устаревших разделов программ с перехо-
дом на программы новые, перенос замётной
части материала в младшие классы, высво-
бодили необходимые часы для значительной
части новых идей, методов, понятий. Это по-
зволило в первом приближении продвинуться
к решению трудной задачи в части осовреме-
нивания и обогащения среднего математиче-
ского образования.

5. В старых программах неравенства вво-
дились в самом конце курса математики —
в X классес Сейчас они нужны раньше. Без
них плохо говорить об округлении чисел при
производстве вычислений в V классе, оцени-
вать погрешность в VII классе. Наконец, они
нужны в IX классе при подготовке изложения
начал анализа. Ознакомление с неравенства-
ми и главное — их понимание существенны в
задачах управления производством и плани-
рования на разных уровнях. Как показал
опыт, неравенства прекрасно усваиваются
школьниками достаточно рано. Педагогиче-
ская наука знает, что чем раньше-дается ка-
кой-нибудь материал, тем прочнее бывает
и овладение им.

6. Человеческое мышление с незапамятных
времен имеет дело с элементарными логиче-
скими операциями. Совокупность объектов,
обладающих каким-либо признаком или не-
сколькими признаками, принято" называть
множествомВ случае совокупности не-
скольких свойств говорят о пересечении мно-
жеств, обладающих каждое каким-то одним

1 В обычной русской речи слово «множество» озна-
чает совокупность многих элементов. Эти два понятия
не надо путать. Фраза: «Эта система уравнений имеет
множество решений» с точки зрения математической
терминологии бессмысленна. В то же время она впол-
не осмыслена в классическом русском языке. '

свойством. Рассматривая совокупность объек-
тов, обладающих хотя бы одним из некоторо-
го набора свойств, называют эту совокупность
объединением множеств.

Элементарная абстракция: введение терми-
нов «пересечение» и «объединение» множеств
в соответствующем месте и на соответствую-
щих примерах, т. е. употребление языка тео-
рии множеств, как показывает опыт, легко
усваивается детьми. Употребление этого язы-
ка вполне уместно, если оно не превращается
в сухую жвачку и не загромождается обяза-
тельным заучиванием специальной логиче-
ской символики. Никакой «теории множеств»
здесь, конечно, нет и не должно быть. Само
ознакомление учащихся с названием двух
простейших логических операций — несомнен-
ная заслуга пореформенных программ. В поль-
зу этого говорит еще одно соображение. Че-
ловек нашего времени непрерывно сталкива-
ется со статистикой .и теорией вероятностей.
В*таких развитых странах, как ФРГ, Япония,
элементарные понятия и законы этих наук
преподаются в средней школе. Если бы. уда-
лось найти им место в школе советской, это
было бы очень привлекательно. Современная
теория вероятностей — это наука о множест-
вах событий. В настоящее время введение
теории вероятностей или хотя бы разъяснение
ее основных законов в советской шко’ле, к со-
жалению, очень затруднительно.

Обращаясь к зарубежному опыту, стоит за-
метить, что во Франции, где после выступле-
ния ряда крупных математиков, таких, как
А. Лере, Р. Том и других, были устранены
бессмысленные крайности в новых програм-
мах, сопровождавшиеся утратой учениками
способности решать задачи, язык теории мно-
жеств присутствует в большем количестве,
чем в действующих учебниках нашей школы.

7) Материалы вступительных экзаменов по-
казывают, что подготовка абитуриентов, по-
ступающих в вузы и прошедших курс мате-
матики по новым программам, несмотря на
несовершенство новых учебников, в основном
не уступает дореформенной. Студенты, полу-
чившие подготовку в последние годы, успеш-
но занимаются математикой во втузах и уни-
верситетах, и это несмотря на то, что во мно-
гих высших учебных заведениях курс матема-
тики значительно расширился.

Во всяком новом деле совершенство дости-
гается не сразу. Далеко не сразу даже в про-
изводстве осваивается, прививается и пока-
зывает свою эффективность новая прогрессив-
ная технология. Тем более это относится к
школьному преподаванию. Исправления и пе-
ределки в учебных программах естественны.
За время, истекшее с конца 60-х гг., програм-
мы и учебники младших классов значительно
преобразовались. В старших классах для это-
го еще не было достаточно времени.

Развернувшаяся критика всего неудачного
в действующих программах и учебниках при-
несла пользу. Школе нужно создавать новые
современные учебники, пересматривать дейст-
вующие, и лишь длительный беспристрастный
опыт позволит вынести суждение о том, ка-
кими должны быть сегодня и в ближайшем
будущем школьные учебники и учебные посо-
бия.' По отношению к пореформенным про-
граммам не следует преувеличивать значение
выявленных недостатков, иначе можно вы-
плеснуть с водой и младенца.

Особое внимание в предстоящей работе
следует уделить формированию в процессе
преподавания математики диалектико-мате-
риалистического мировоззрения учащихся,
учитывая при этом сложность взаимодействия
законов реального мира. Источник и цель ма-
тематики — в практике. Переход от источни-
ка к цели совершается в математике путем
построения абстрактных теорий, которые слу-
жат мощнейшим орудием познания и овладе-
ния. действительностью. При этом математи-
ка представляет собой единое целое, и отрыв
от нее фундаментальной, более абстрактной
части неизбежно приводит к самым нежела-
тельным последствиям. Это единство, матема-
тики должно находить свое правильное отра-
жение и в изучаемом в школе учебном курсе.

Подведем итоги сказанному. Нашей школе
нужны современные программы по матема-
тике, современные учебники, современные ме-
тодические пособия для учителей и учащих-
ся. Курс математики должен иметь отвечаю-
щую современным требованиям отчетливую
практическую направленность.

Задача школьного образования — задача
многоцелевая. Выбор оптимальной стратегии
нелегок. К этому выбору нужно подойти, учи-
тывая как образовательные, так и воспита-
тельные задачи. Создание вполне современ-
ного курса школьной математики требует не-
малого труда. При этом нельзя бояться сме-
лых нововведений, но подходить к ним нуж-
но с величайшей осторожностью.

ПРЕПОДАВАНИЕ ГЕОМЕТРИИ

ПО УЧЕБНОМУ ПОСОБИЮ А. В. ПОГОРЕЛОВА

К началу обучения геометрии
в VII классе1

§ 8. Декартовы координаты
на плоскости (продолжение)

Пересечение прямой с окружностью (2 ч)
Комментарий для учителя

1°. При исследовании вопроса о взаимном
расположении прямой и-окружности в зави-
симости от соотношения между радиусом 7?
окружности и расстоянием (1 от центра окруж-
ности до прямой используется координатный
метод. Вводится система координат, записы-
ваются уравнения прямой и окружности в
этой системе координат, и задача сводится к
исследованию существования и количества
решений системы двух полученных уравне-
ний. Для упрощения алгебраических выкла-
док при решении поставленной задачи выби-
рается такое положение осей, при котором
уравнения рассматриваемых фигур имели бы
наиболее простой вид.

Заметим, что достаточно легко можно было бы уста-
новить из чисто геометрических рассуждений, что если

= д, или /? <С с1, то соответственно прямая касается
окружности или не имеет с ней общих точек. Сложнее
сделать при помощи геометрических соображений вы-
вод о том, что при /? > с1 окружность пересекается
с прямой ровно в двух точках. Координатный же метод
позволяет достаточно просто получить одновременно все
три результата.

2°. Аналогично решается вопрос и о взаим-
ном расположении двух окружностей, рас-
смотренный в задаче 33. Выводы, сделанные
в результате ее решения, тесно связаны с дру-
гой важной задачей: возможностью построе-
ния треугольника по трем сторонам. Действи-
тельно, пусть заданы длины трех отрезков^
а, Ь и с. Последний из выводов, сделанных
в задаче 33, позволяет утверждать, что одно-
временное выполнение трех строгих нера-
венств: а<1>+с, Ь<а-{-с, с<а-\-Ь — является
достаточным условием существования тре-
угольника со сторонами, равными а, Ь и с.

Способ решения обеих задач — о пересече-
нии прямой с окружностью и о пересечении
двух окружностей — один и тот же, но алгеб-
раическая часть решения первой задачи про-
ще. Поэтому предлагается сначала рассмот-
реть задачу'о пересечении прямой с окруж-
ностью (чтобы на более простом примере

1 Продолжение. Начало см; в № 3—6 журнала «Ма-
тематика в школе» за 1983 г.
ознакомить учащихся с методом решения за-
дачи), а ее исследование провести в таком
виде, чтобы при решении задачи о пересече-
нии двух окружностей можно было' макси-
мально использовать аналогию с решением
первой задачи. ' ’

3°. В результате изучения .пункта учащиеся
должны знать, при каком условии прямая
пересекает окружность в двух точках, касает-
ся окружности, не пересекается с окружно-
стью; уметь применять это при решении
задач’

Методические рекомендации
к изучению материала

Г. Изложение материала можно начать с
иллюстрации известных учащимся из курса
VI класса возможных случаев расположения
на плоскости прямой и окружности и поста-
новки задачи: определить, при каких К (ра-
диус окружности) и д (расстояние от центра
до прямой) окружность и прямая пересекают-
ся в двух точках, касаются, не имеют общих
точек.

Решение поставленной задачи можно изло-
жить следующим образом. Если на плоскости
ввести систему координат, то для окружно-
сти и прямой можно составить уравнения.
Причем любая точка М(х, у), общая для ок-
ружности и прямой, должна иметь координа-
ты, удовлетворяющие одновременно и уравне-
нию окружности, и уравнению прямой,
т. е. координаты точки пересечения должны
являться решением системы двух уравнений.

Расположим оси координат таким образом,
чтобы уравнения окружности и прямой имели
наиболее простой вид: за начало координат
примем центр окружности, а оси расположим
так, чтобы прямая была параллельна оси у
и пересекала положительную полуось х. Тогда
уравнение окружности запишется в виде х2+
Ч-//2=/?2, а уравнением прямой будет х=й.

Итак, любая общая точка прямой и окруж-
ности имеет координаты, которые являются
решениехМ системы

| х2 4- / = #2,
! х =

И обратно, любое решение этой системы дает
координаты точки, общей для прямой и ок-
ружности. Значит, число решений системы
равно числу общих точек прямой и окруж-
ности.

Абсциссы искомых общих точек равны д.
Чтобы найти их ординаты, подставим х=^д
в первое уравнение: б/24-у2 = 7?2, г/2—/?2—д2>
У2=~- (К+д) (7?—д). Поскольку выражение
в первых скобках всегда положительно,
то знак правой части уравнения совпадает со
знаком выражения во вторых скобках.- Таким

образом, если то правая часть положи-
тельна, уравнение имеет 2 решения, т. е. Пря-
мая и окружность пересекаются в двух точ-
ках:

{а, Ук2-а^ и (а, - У № —

если = то правая часть равна 0, урав-
нение имеет 1 решение, т. е. прямая и окруж-
ность касаются в точке (б/, 0); если /?<б/, то
правая часть отрицательна и уравнение не
имеет решений, значит, окружность и прямая
не имеют общих точек.

2°. Для закрепления разобранного материа-
ла можно предложить учащимся вопросы:

1. Расстояние от точки А до прямой т рав-
но 7 см. Как расположены прямая т и ок-
ружность с центром в точке А и радиусом,
равным а) 9 см; б) 4 см; в) 7 см?

2. Пересекаются ли ось абсцисс и окруж-
ность с центром в точке (3, 5) и радиусом
а) /?= 1; б) /? = 5; в) /? = 8?

. 3. Прямая а параллельна оси х и проходит
через точку /1(0, 4). Каково взаимное распо-
ложение этой прямой и окружности с цент-
ром М на оси х и радиусом а) 4; б) 6; в) 2?

3°. Рассмотрение задачи 33 (решение ра-
зобрано в тексте учебного пособия, с. 99)
можно начать с рисунков, иллюстрирующих
различные случаи взаимного расположения
двух окружностей (рис. 130, 131, 132 из учеб-
ного пособия) и указать для них соотношения
между числами а, Ь и с. Если окружности пе-
ресекаются (рис. 130), то по «неравенству
треугольника» а<Ь-}-с, Ь<а+С, с<^а-^Ь. Ес-
ли окружности касаются внешним образом,
то а+Ь = с; если окружности касаются внут-
, ренним образом, то или ЬА~с=а, или а-\-с = Ь
(рис. 131). Пусть окружности не имеют об-
щих точек (рис. 132). Если они расположены
по .отношению друг к другу внешним образом,
то а-\-Ъ<с, если же одна из них внутри дру-
гой, то либо л’ибо а-\-с<Ь,

Решим теперь обратную задачу: докажем,
что если каждое из чисел а, Ъ, с меньше сум-
мы двух других, то окружности пересекаются
в двух точках, если одно из них равно сумме
двух других, то окружности касаются, если
одно из этих чисел больше суммы двух других,
то окружности не имеют общих точек.

Решать эту задачу будем так же, как ре-
шался вопрос о пересечении окружности
с прямой: введем систему координат таким
образом, чтобы одна из окружностей, напри-
мер окружность радиуса а, имела центр в на-
чале координат, а центр второй окружности
лежал на положительной полуоси х. Тогда
уравнение первой окружности запишется в ви-
де х2-\-у2 = а2. Центр второй" окружности
01 (с, 0), а радиус равен Ь, значит, ее уравне-
нием будет (х—сУ~\~у2—Ь\
Окружности имеют столько общих точек,
сколько решений имеет система

( л* 2 + у2 = а2,

1 (х — с)2 + у2 = Ь2

Проводя алгебраическое решение системы,
учитель может делать выкладки на доске или
заранее заготовить их на плакате или кодо-
позитиве. В любом случае каждый шаг пре-
образований следует подробно пояснить.

1) Для решения системы квадратных урав-
нений можно использовать способы, которые
применялись при решении систем линейных
уравнений: способ почленного вычитания и
способ подстановки.

Для того чтобы найти х, нужно раскрыть
скобки во втором уравнении и вычесть его
почленно из первого.

2) Из первого уравнения имеем у2=а2—х2
или у2= (а-\-х) (а—х). Подставив в это урав-
нение найденное значение х (преобразования
лучше провести для каждой скобки отдельно),
получим

у2 ^-^(а + ь+ с)(а +с—
X (Ь + а — с) (Ь — а + с).

3) Исследование количества решений си-
стемы (т. е. количества общих точек окруж-
ностей) проводится в соответствии с текстом
учебного пособия последовательно для слу-
чаев, когда а)' каждое из чисел а, Ь, с меньше
суммы двух других, б) одно из этих чисел
равно-сумме двух других, в) одно из этих чи-
сел больше суммы двух других.

Примерное планирование изучения
материала

На изучение материала пункта отводится
2 урока.

На первом уроке рекомендуется в классе
рассмотреть теоретический материал пункта,
решить задачи 41, 42 2, дополнительную зада-
чу 1; дома — вопрос 11, задачи 39, 46(3).

На втором уроке в классе — задачи 33,
34, 35(2, 3); дом а*— задачи 35(1, 4).

Указания к решению задач

39. Для того чтобы окружность касалась
оси х, нужно, чтобы расстояние от точки
(1, 2) до оси хбыло равно радиусу окружнос-
ти. Таким образом, /?== 2, уравнение окружно-
сти (х—1)2+(*/—2)2 = 22.

41, 42. Если окружность имеет с осью у об-
щую точку, то координаты этой точки (0, у)

2 Задачи 41 и 42 можно предложить учащимся ре-
шить при конкретном значении - параметра, например:

2 = 2, а=—4,5.

должны удовлетворять уравнению окружно-
сти. Подставив х=0 в уравнение окружно-
сти, получим в задачах 41 и 42 соответственно
у2-|-1=^=0 и у2 = 0. Так как уравнение //2+1 =
= 0 не имеет решений, а уравнение у2 = 0
имеет одно решение у — 0, то окружность
в первом случае не имеет с осью у общих то-
чек, а во втором касается оси у в точке (0, 0),

Дополнительные задачи

1. Докажите, что окружность (х—5)2-}-(у+
-]-3)2 —25 а) касается оси у; б) пересекается
с осью х; в) не пересекается с прямой у = 3.

2. Составьте уравнение окружностй с цент-
ром в точке (—2, —3), касающейся оси у.

3. Расстояние от начала координат до пря-
мой т равно 3. Пересекается ли прямая т
с окружностью х2-\-у2 = 16?

4. Постройте равнобедренный треугольник
по боковой стороне а и высоте К к основанию.
При каких а и К задача имеет решение?

5. Сколько общих точек имеют окружности
х2-]~у2 = 4 и (х—1 )2+*/2 = 9?

Определение синуса, косинуса и тангенса
для любого угла от 0° до 180° (3 ч)

Комментарий для учителя

1°. Введение определений синуса, косинуса
и тангенса угла, от 0° до 180° опирается на
координатный метод. Угол а, синус, косинус
и тангенс которого надо определить, отклады-
вается от положительной полуоси х в верхнюю
полуплоскость.

Известные учащимся определения косинуса,
синуса и тангенса острого угла а записыва-
ются в координатной форме; эти формулы
принимаются в качестве определения сов а,
81па,Л^а для любого а (кроме а=90° для
1§а). Определяя угол 0б как угол, образован-
ный совпадающими лучами, из общих формул
получаем 51п0° = 0, соз0о=1, 1§0°=0.

2°. Значение теоремы 8.1 заключается в том,
что формулы, справедливость которых в ней
доказывается, позволяют вычислить значения
синуса, косинуса и тангенса тупого угла че-
рез их значения для острого угла, дополняю-
щего его до 180°. Это полезно довести до све-
дения учащихся.

3°. В результате изучения пункта учащиеся
должны знать определения синуса, косину-
са, тангенса для любого угла от 0° до 180°,
теорему 8.1; уметь воспроизводить доказа-
тельство теоремы в ходе изучения текущего
материала, применять доказанные в ней фор-
мулы для решения задач.

. Методические рекомендации
к изучению материала

;у Г. Перед изучением^ нового материала сле-
дует повторить с учащимися определения ко-
синуса, синуса, тангенса острого угла прямо-
угольного, треугольника.

Затем, используя рис. 137 из учебного по-
собия, записываются значения §1П а, сова, 1да
через координаты точки А и радиус /?. При
этом можно на рисунке показать, что в пря-
моугольном треугольнике с острым углом а
гипотенуза равна /?, прилежащий к углу а
катет равен х, а противолежащий ему катет
равен у (поскольку а — острый угол, то точ-
ка А лежит в I четверти, имеет положитель-
ные абсциссу и ординату и, значит, длины
катетов равны значениям координат).

После того как записаны формулы

X V

СОЗ а = 81П а

/\ Г\

учитель говорит, что по этим, же формулам
мы теперь будем ’ определять косинус, синус
и тангенс любого угла. Для того чтобы это

пояснить, можно на другом рисунке провести
радиус ОА, образующий с положительной
полуосью х тупой угол а (рис. 9), и для точ-
ки А(х, у) записать:

СОЗ а 81П а = -Х-, а = -2~.

Для закрепления введенного определения
можно предложить учащимся следующие за-
дания: __

1. На окружности радиуса )/* до отмечены
точки Л4Д1, 3), М2(—1, 3), М3(—3, 1). Опре-
делите синусы, косинусы и тангенсы углов
МхОХ, М2ОХ, М3ОХ (рис. 10).

2. Используя рис. 1-1, определите синус, ко-
синус и тангенс угла а.

При выполнении этого задания учитель мо-
жет подчеркнуть, что — расстояние от точ-
ки М до начала координат и если заданы ко-
ординаты точки М (х, у), то /? можно вычис-
лить (по теореме Пифагора).

2°, Далее вместе с учащимися можно, ис-
пользуя введенные формулы, найти значения
синуса, косинуса и тангенса углов 90°,
180°, 0°.

а) Если лу*1 ОМХ образует с положитель-
ной полуосью х угол 90°, то точка М} лежит
на положительной полуоси у (рис. 12),
т. е. 7141(0, /?). Тогда:

5ш90° = -^-= 1, соз 90° = А = 0.

Формула а = для а —90° должна была
бы дать значение —а так как на 0 делить
нельзя, то тангенс угла 90° не существует.

б) Если луч ОМ2 образует с положитель-
ной полуосью х угол, равный 180?, то точка
/И2 лежит на отрицательной полуоси х, и сле-
довательно, /И2(—-/?, 0). Тогда

зш 180° = -$-=- о, соз180° = ^А = -1,
|д180°=--—^-=0.
—

в) Будем считать, что угол 0° образуют
совпадающие лучи. Если луч ОМ3 совпадает
с положительной полуосью х, то точка М3 ле-
жит на положительной полуоси х, а так как
ОМ3 —/?, то А43(7?, 0). Вычислим 81п 0°, соз 0°
и 0° п0 введенным выше формулам:

61П 0° = 4- = О, соз 0° = 4- = 1>

*е0в = А = 0.

. 3°. Поскольку вопрос 12 для повторения
к данному параграфу содержит требование
дать определение синуса, косинуса и танген-
са для любого угла от 0° до 180°, то будет по-
лезно резюмировать все, что было сказано по
поводу этого определения, с иллюстрацией на
рисунке (рис. 13,а, б).

Пусть а — угол МОХ, отложенный в верх-
нюю полуплоскость от положительной полуоси
х, точка М(х, у) лежит на окружности радиу-
са Тогда синус, косинус и тангенс угла
определяются по формулам:

(кроме тангенса для а = 90°);
4°. Доказательство теоремы 8,1 лучше поо-
водить не по готовому рисунку, а выполнять
построения по ходу рассуждений.

1) Сначала в координатной плоскости
изображаем окружность с центром в начале
координат и радиусом /?/ на ней отмечаем
точку А(х, у) и угол а, образованный радиу-
сом ОА с положительной полуосью х. Для

__ у __ X

угла а записываем: 51П а-С05 а —

2) Строим радиус ОА^ образующий с по-
ложительной полуосью х угол 180°—а, отме-
чаем точку Д1(хь г/1), записываем формулы

51п (180° — а) = со8(180°—- а) =

3) Опускаем перпендикуляры АВ и А[В[
к оси х. Используя то, что угол, смежный
с углом 180°—а, равен а, проводим доказа-
тельство равенства прямоугольных треуголь-
ников АОВ и А1ОВ1.

4) Из равенства соответствующих катетов
АВ и ОВ и ОВХ получаем равенства
у = У\ и х=—х{. Затем в формулах для угла
180°—а заменяем у\ на у и х{ на — х.

5°. Для закрепления доказанной теоремы
можно использовать вопросы типа:

1. Дано: 51па = -|-, со5р = -|~, 2.

Определите; зт (180°—а), сов.( 180°—₽),

1§(180°-Т).

2. Углы а и 6 смежные. сова =----

: 4

а) Определите сов р.

б) Какой из углов а и р острый, а какой
тупой? [а — тупой угол, так как сова<0, р —
острый, так как он дополняет а до 180°.]

6°. Для подготовки к контрольной работе
по материалу параграфа можно решить сле-
дующие задачи.

1. Дана прямая 2х+5у—8 = 0.

а) Проверьте, лежат ли точки Д(1, 1,2)
^В(4, 0) на этой прямой.

б) Вычислите длину отрезка АВ.

в) Найдите координаты точки С — середи-
ны отрезка АВ.

г) Составьте уравнение окружности с цент-
ром в точке А и радиусом 3.

2. Угол а образован положительной полу-
осью х и лучом ОА, проходящим через точку
А (—2, 4).

а) Определите вт а, сов а, а.

б) Чему равны синус, косинус и тангенс уг-
ла р, смежного с углом а?

3. Чему равен вт 153°1 Г?

Примерное планирование изучения
материала

На изучение материала пункта и подготов-
ку к контрольной работе отводится 3 урока.

На первом уроке рекомендуется в классе
рассмотреть весь теоретический материал
пункта, решить задачу 56 (для углов 120°
и 135°); дома — вопросы 12, 13, закончить
задачу 56.

На втором уроке в классе — задачи 57,
63, 60(2), 61(3); дома — задачи 60(4), 64.

На третьем уроке в к л а с с,е — задачи
58(7, 8), 59(2), повторить материал парагра-
фа в процессе решения задач (см. 6° методи-
ческих рекомендаций к изучению материала
пункта); дома — задачи 60(3), 58(5, 6).

Указания к решению задач

59. Так как синус любого угла от 0° до 180°
положителен, то «1 может быть «как острым,
так и тупым углом; а2 и аз могут быть только
тупыми углами, так как сов а2 и а3 — отри-
цательные числа.

Задачи 60(1, 3) и 61(1) могут быть реше-
ны по образцу задачи 47 (см. с. 86 учебного
пособия).

Задачи 60(2, 4), 61(3) решаются с исполь-
зованием теоремы 8.1 и значений углов 30°,
45° и 60°.

60(2). сов а = — 0,5 = —сов 60°, а=180°—

60°<

81п (180° — 60°) = зт 60° =

(2(180° —60°)=—60° =-"Из:

При решении задач 61(2), 62—64 целесооб-
разно построить угол, пользуясь определения-
ми вш а, сов а, а, введенными в данном
пункте.

63. Построим окружность с радиусом 5
и центром в начале координат и прямую у =
= 3. Они пересекутся в двух точках Л1 и Д2,
причем обе эти точки лежат в верхней полу-
плоскости.

вт / МОАХ = зт ЛЮЛ2 = —.

Таким образом, а1 = /_МОЛь а2=/_Л4ОД2.

Примечание. Задачи 60 (2,4), 61 (2,3), 62 мо-
гут быть также решены с использованием основных
тригонометрических тождеств, доказанных в предыду-
щем параграфе для острых углов. Однако следует пред-
варительно доказать справедливость этих тождеств и
для тупых углов.

Дополнительные задачи

1. Два угла треугольника равны 40° и 20°.
Чему равны синус и косинус третьего угла
треугольника?

2. Докажите, что для произвольного тупого
угла а справедливы следующие тождества:

а ) вш2 а-}-сов2 а= 1;

. зша

б ) а =-----.

7 ь соза
Указание. Используйте аналогичные тож-
дества, справедливые для острого угла ₽ =
= 180°—а.

§ 9. Преобразования фигур (16 ч)1

В параграфе изучаются преобразования
движения и подобия. В отличие от геометри-
ческих курсов, в- которых понятие движения
положено в их основу, в данном учебном по-
собии понятие движения является одним из
объектов изучения. Понятие движения важно
прежде всего тем, что, опираясь на него, мож-
но ввести общее понятие равенства геометри-
ческих фигур: «Фигуры Р и Р' называются
равными, если они движением переводятся од-
на в другую». До сих пор в курсе рассматри-
вались только три вида равных фигур — рав-
ные отрезки, равные углы й равные треуголь-
ники. Равенство их определялось равенством
линейных или градусных мер соответствую-
щих элементов. В данном параграфе доказы-
вается, что общее понятие равенства в случае
треугольников (как, впрочем, отрезков и уг-
лов) равносильно первоначальному определе-
нию равенства этих фигур. Таким образом,
если какие-нибудь два треугольника равны по
одному из признаков равенства, то они пере-
водятся друг в друга некоторым движением,
что используется при доказательстве призна-
ков подобия треугольников.

Теории подобия (в частности, гомотетии)
в параграфе отводится особая роль; ей посвя-
щено около двух третей заданного материала.
И это не случайно: свойства подобных тре-
угольников будут многократно применяться в
дальнейших главах курса. Усвоение учащими-
ся признаков подобия треугольников и отра-
ботка навыков их применения — одна из ос-
новных задач параграфа.

Примеры преобразования фигур (1 я)

Комментарий для учителя

Г. В пункте сразу после краткого замеча-
ния об общем понятии преобразования фигу-
ры приводятся примеры трех видов преобра-
зований фигур, что и является основным со-
держанием пункта,. Это преобразование сим-
метрии относительно прямой гомотетия от-,
носительно центра О, преобразование симмет-
рии относительно точки О. Для каждого из
указанных преобразований сначала дается
правило построения точки, в которую пере-
водится данная точка при этом преобразова-
нии, а затем определяется соответствующее
преобразование фигуры в целом. Вводятся

1 1 ч — резервный.

понятия фигур, симметричных относительно
точки О, симметричных относительно прямой
р, гомотетичных фигур, центрально-симмет-
ричной фигуры и центра симметрии, фигуры,
симметричной, относительно оси, и оси сим-
метрии. Термины «центр симметрии» и «ось
симметрии» в учебном пособии употребляют-
ся лишь применительно к фигурам, обладаю-
щим свойством симметрии, а не к преобразо-
ванию симметрии. В качестве примеров сим-
метричных фигур в тексте приведены: парал-
лелограмм — центрально-симметричная фигу-
ра, прямоугольник и ромб — фигуры, имею-
щие оси симметрии. Доказательство этих фак-
тов вынесено в упражнения (задачи 24, 27,
28).

Понятия симметрии относительно точки
и симметрии относительно прямой уже зна-
комы учащимся из курса математики V клас-
са. Они решали при этом простые задачи на
построение точек, отрезков, треугольников й
окружностей, симметричных данным.

Определения точки, симметричной данной
относительно точки йли прямой, а также оп-
ределение гомотетии, рассматриваемые в
пункте, являются конструктивными и при от-
вете на вопросы'для повторения 1, 5, 9 уче-
ники должны описать процесс построения со-
ответствующих точек с помощью рисунка.

В пункте рассматривается пример нового
для учащихся преобразования гомотетии. Изу-
чение же свойств гомотетии проводится после
изучения движений и их свойств. Поэтому в
целях экономии времени можно рекомендо-
вать перенести изучение этого преобразова-
ния на более поздний срок (см. комментарий
к пункту «Преобразование подобия»).

2°. В результате изучения пункта учащиеся
должны знать определение фигур, симмет-
ричных относительно центра и оси симмет-
рии; уметь строить точки и простейшие фи-
гуры, симметричные данным относительно
прямой и относительно точки.

Методические рекомендации
к изучению материала

Г. Напомнив учащимся известное им из
курса .математики V класса правило построе-'
ния точки, симметричной данной относитель-
но точки О, можно предложить несколько
простых заданий и вопросов, например:

1. Дана точка О. Постройте точку А', сим-
метричную точке А относительно точки О.

2. Какая точка будет симметрична точке А'
относительно точки О?

3. Отрезки АВ и СО пересекаются в точке
О, которая является серединой каждого из
них. Назовите рт очки, симметричные точкам А,
В, С, О относительно точки О. »
4, Задача ! из § 9 для точек А, С, О.

Затем вводится понятие преобразования
симметрии фигуры относительно точки. По
рисунку типа рис. 140 учебного пособия уча-
щимся поясняется, что каждая точка X фигу-
ры В при этом преобразовании симметрии от-
носительно точки О переходит в точку X'
фигуры Р. При этом фигуры В и В' называ-
ются симметричными относительно точки О.

2°. Правило построения точки, симметрич-
ной данной относительно прямой, также зна-
комо учащимся из курса V класса. Напомнив
его, можно предложить несколько вопросов и
задач на построение:

1. Постройте точку А', симметричную точ-
ке А относительно прямой

2. Какая точка симметрична точке А1 отно-
сительно прямой §?

3. Задача 4(1) из § 9.

По рис. 143 учебного пособия учащимся
разъясняется понятие преобразования сим-
метрии относительно прямой каждая точка
X фигуры Г при симметрий относительно пря-
мой § переходит в точку X' фигуры Е'. При
этом фигуры Р и Р' называются симметричны-
ми относительно прямой

3°. Решение задачи 6, разобранной в тексте
учебного пособия, можно начать с рассмотре-
ния произвольной точки X окружности такой,
что при построении точки X', симметричной X,
получаются равные прямоугольные треуголь-
ники ОАХ и ОАХ'. Затем разобрать два част-
ных случая:

1) точки С и С' — концы диаметра, перпен-
дикулярного прямой а;

2) В и В'— точки пересечения прямой а
и" окружности, которые при рассматриваемом
преобразовании переходят сами в себя.

Примерное планирование изучения
материала

1°. На изучение пункта отводится один
урок. В классе рекомендуется изучить по-
нятия симметрии относительно точки и отно-
сительно прямой, решить задачи 2,6; до м а -
вопросы для повторения 1—8, задачи 1 (для
точек В, Е, Р), 4(2).

Указания к решению задач

1, 4. Полезно не только построить точки,
симметричные данным, но и записать их ко-
ординаты.

Дополнительные задачи

1. Даны точки 4(—1, —5), В (4, 7). По-
стройте точки:

а) симметричные данным относительно на-
чала координат;

б) симметричные данным относительно

оси х;

в) симметричные данным относительно

оси у;

г) симметричные данным относительно бис-
сектрисы I и III координатных углов;

д) запишите координаты построенных то-1
чек;

е) найдите расстояния между данными точ-
ками и соответствующими им точками в каж-
дом из рассмотренных случаев.

2. Сколько осей симметрии имеет • окруж-
ность?

3. Дана точка В (а, Ь). Какие координаты
имеет точка,, симметричная точке В относи-
тельно начала координат?

4. Дана точка М(а, Ь). Какие координаты
имеет точка, симметричная точке М а) отно-
сительно оси х, б) относительно оси у?

Движение (2 ч)

Комментарий для учителя

1°. В пункте вводится понятие движения
как преобразования фигур, сохраняющего
расстояния. Движение является важным по-
нятием в курсе, поскольку на его основе вво-
дится общее понятие равенства фигур.

Затем в пункте вводится новое для учащих-
ся понятие — поворот. Практика показывает,
что Построение фигур, в которые переходят
данные простейшие фигуры при повороте, вы-
зывает затруднение у учащихся. Поэтому при
изучении вводимого понятия следует уделить
достаточное внимание решению простейших
задач на построение.

2°. В результате изучения пункта учащиеся
должны знать определение движения, фор-
мулировки теорем 9.1, 9.2; уметь воспроиз-
водить доказательства этих теорем в ходе
изучения текущего материала,1 строить обра-
зы простейшйх фигур при повороте (луча
с началом в центре поворота, точки).

Методические рекомендации
к изучению материала

Г. До введения понятия движения полезно
решить следующую задачу:

Даны точки Л(—2, 2) и В (2, —1).

1) Постройте точки Ах и Въ симметричные
данным относительно начала координат.

2) Запишите координаты точек А{ и В{.

3) Вычислите расстояния между точками
А и В; Д1 и В{.

’ (Отметим, что расстояния между данными
точками А и В и симметричными им точками
.4! и В1 равны. Другими словами, расстояние
между точками А и В при переходе к симмет-
ричным им точкам сохранилось.)
Далее учитель может дать определение дви-
жения по тексту учебного пособия.

2°. Прежде чем начать доказательство тео-
ремы 9.1, необходимо добиться, чтобы .уча-
щимся было ясно, что в теореме дано и что
требуется доказать.

Дано: О — центр симметрии, Х-+Х', У-+У'.

Доказать: ХУ=Х'У'.

Параллельно с этими записями на дреке вы-
полняется рисунок (рис. 1)? Построения по-
лезно сделать точно, отметить на рисунке и
записать на доске, что, по определению сим-,
метрии, ОХ'=ОХ, ОУ' = ОУ. Получившаяся
на рисунке ситуация хорошо знакома уча-
щимся, часто встречалась в различных зада-
чах: два отрезка, пересекающиеся в середине.
Доказательство того, что ХУ=Х'У', учащие-
ся могут провести самостоятельно со ссылкой
на первый признак равенства треугольников.

3°. При доказательстве теоремы 9.2 можно
выделить три этапа:

1) формулировка условия и заключения
теоремы;

2) введение системы координат, вычисление
координат симметричных точек;

3) вычисление и сравнение длин отрезков,
заданных координатами их концов.

Начинаем с точного построения рисунка:
для произвольных точек Хг и Х2 фигуры Е
строим точки Х\ и Х'2, соответственно сим-
метричные данным относительно прямой а.
Доказать надо, что Х1Х2=Х\Х'2 (рис. 2).

После введения системы координат (ось у —
данная прямая а, начало координат — любая
точка этой прямой) запишем координаты то-
чек Хх и Х2: у{) и Лг2(х2, у2) • Вычислим

координаты точек Х\ и Х'2. Из построения
видно, что у симметричных точек равные ор-
динаты, а абсциссы различаются только зна-
ком, т. е. Х'Д—1/1), Х'2 (—х2, у2).

Теперь вычислим длины отрезков ХЛ
и Х'}Х'2 и убедимся, что Х{Х2 = Х'}Х'2. Таким
образом, мы доказали сохранение расстояния
при. симметрии относительно прямой, следо-
вательно, преобразование симметрии относи-
тельно прямой есть движение.

Проверить правильность усвоения теорем
можно с помощью следующих задач.

Рис. 2

Рис. 1

1, Точки А и В при симметрии относитель-
но точки О переходят в точки А' и В', АВ — 3.
Чему равна длина А'В'?

2. Точки А и В при симметрии относитель-
но прямой § переходят соответственно в точ-
ки А' и В', Д/В/ = 3,5. Чему равен отрезок АВ?

3. Задача 12 из § 9.

3°. В пункте «рассматривается еще одно
преобразование фигур, являющееся движени-
ем,—поворот около данной точки О. В опре-
делении поворота необходимо выделить два
его признака:

1) поворот является движением;

2) каждый луч с началом в данной точке
поворачивается на один и тот же угол в од-
ном и том же направлении. Следует также
отметить, что точка О переходит сама в себя.

После введения определения поворота не-
обходимо решить с учащимися следующие
задачи на построение:

1. Построить луч, в который переходит луч
ОА при повороте около точки О на 45° про-
тив часовой стрелки.

2. Построить Точку, в которую переходит
точка А при том же повороте. [Так как пово-
рот— движение, то ОА = ОА'. Точку А' мож-
но построить с помощью циркуля: О — центр
окружности, ОА —радиус.]

4°. Задача 14, решение которой разбирается
в тексте учебного пособия, является задачей
повышенной трудности.

Примерное планирование изучения
материала

На изучение пункта отводится два урока.

На первом уроке рекомендуется в классе
рассмотреть определение движения, теоремы
9.1 и 9.2, задачи 10, II2; дома.— вопросы
10—12, задачи 3, 12(2).

На втором уроке в классе — понятие по-
ворота, задачу 13(1), провести самостоятель-
ную работу; дома — вопрос 13, задачу 13(2).

Дополнительные задачи х

1. Точки А, В, С, не лежащие на одной пря-
мой, переходят при симметрии относительно
точки О соответственно в точки А', В', С\
Докажите, что △ДВС=ДД,В/С'.

2. АкАВС — равнобедренный (АВ = АС),
А' — точка, симметричная точке А относи-
тельно основания ВС. Докажите, что четырех-
угольник АВА'С — ромб.

3. О — середина стороны АС треугольника

2 Задачи 10 и И целесообразно решить до изучения
нового материала. В ходе их решения можно провести
опрос теоретической части домашнего задания, а вы-
полненные построения использовать при доказательстве
теорем 9.1 и 9.2.
АВС, Точка В' симметрична точке В относи-
тельно точки И. Докажите, что четырехуголь-
ник АВСВ' — параллелограмм.

4. Постройте точку, в которую переходит
данная точка А при повороте: I) на 45° по ча-
совой стрелке; 2) на 30° против часовой стрел-
ки (возьмите за центр поворота произволь-
ную точку О).

5. Запишите координаты точки, в которую
переходит точка 4(2, 0) при повороте вокруг
начала координат на угол 90° по часовой
стрелке,

Самостоятельная работа

I вариант

I. Дан треугольник АВС. Постройте точ-
ку, симметричную точке А относительно пря-
мой ВС.

2. Постройте точку М', симметричную точке
М(4, —3) относительно начала координат.
Запишите координаты построенной точки.

II вариант

1. Дан треугольник АВС. Постройте точку
4х, симметричную точке 4 относительно вер-
шины С.

2. Постройте точку /)', симметричную точ-
ке О(—3, 2) относительно оси х. Запишите
координаты построенной точки.

Свойства движения (2 ч)

Комментарий для учителя

1°. Пункт посвящен изучению важнейших
свойств движения. Центральное место занима-
ет теорема 9.3, из которой вытекают три след-
ствия: 1) при движении прямые переходят в
прямые, 2) полупрямые — в полупрямые,
3) отрезки — в отрезки.

В учебном пособии приводится доказатель-
ство лишь последнего следствия. Доказатель-
ства первых двух следствий можно легко вос-
произвести по образцу представленного в тек-
сте учебного пособия доказательства третьего
следствия, поэтому вряд ли целесообразно
выделять время на уроке для их доказа-
тельств. Роль следствий в дальнейшем сво-
дится к обоснованию того, что при движении
многоугольные фигуры переходят в много-
угольные; это интуитивно понятно учащимся.

Доказательство теоремы, приведенное в
учебном пособии, основано на определении
движения, аксиоме измерения отрезков и не-
равенстве треугольника. Поэтому при его раз-
боре можно предложить четкое поэтапное раз-
деление доказательства, запись в явном виде
условия теоремы, и равенств, вытекающих из
определения движения: из того, что- точка 4
переходит в точку 4Ь В в Вь С в Сь следует,
что 45 = 4^, ВС = В.СХ, АС = АХСХ.

Доказательство следствия разбивается на
две части: доказывается, что каждая точка
отрезка АВ переходит в некоторую точку от-
резка 4'В' и, обратно, в каждую точку от-
резка 4'Д' переходит некоторая точка отрез-
ка АВ,

Доказываемое в учебном пособии свойство:
«При движении сохраняются углы между по-
лупрямыми» — фактически означает, что при
движении угол переходит в равный ему угол.

В конце пункта вводится понятие обратно-
го преобразования и доказывается, что пре-
образование, обратное движению, также яв-
ляется движением. Усвоение данного понятия
и его свойств вопросами для повторения не
предусматривается, а само понятие при ре-
шении задач не используется, поэтому можно
рассмотреть его с учащимися в ознакоми-
тельном порядке.

2°. В результате изучения пункта учащиеся
должны знать, в какие фигуры переводятся
прямые, полупрямые, отрезки при движении,
знать, что при движении сохраняются углы
между полупрямыми; уметь воспроизводить
в ходе изучения текущего материала доказа-
тельства теоремы 9.3 и свойства сохранения
углов при движении, применять полученные
сведения при решении задач.

Методические рекомендации
к изучению материала

1°. Прежде чем приступить к доказательст-
ву теоремы 9.3, необходимо тщательно разо-
брать с учащимися ее формулировку» запи-
сать на доске основные следствия из условия,
которые понадобятся при доказательстве как
первой, так и второй части теоремы.

Возьмем на данной прямой три различные
точки: А, В, С. Пусть точка В лежит между
точками А и С, отсюда по аксиоме Ш1 сле-
дует равенство

АС=АВА-ВС< (1)

Движение переводит точку 4 в 4Ь точку В
в В[, точку С в Сь значит, по определению
движения,

41С1=4С, ВХС1=ВС, АХВХ=АВ. (2)
Равенства (1) и (2) полезно выписать на
доске в виде таблицы или плаката. После
этого можно воспроизвести доказательство из
учебного пособия. Предположение, что точки
4], Вь С1 не лежат на одной прямой, а также
предположение, что В{ не лежит между 4!
и полезно проиллюстрировать рисунками.

2°. При доказательстве утверждения о со-
хранении величин углов при движении полез-
но выписать равенства (2), следующие из оп-
ределения движения.

3°. Изложение свойства движения: «Два
движения, выполненные последовательно, да-
ют снова движение» — целесообразно разбить
на два этапа. Сначала следует объяснить уча-
щимся, что означает последовательное выпол-
нение двух движений. Затем показать, что так
как при выполнении каждого движения со-
храняются расстояния, то и два движения,
выполненные последовательно, также сохра-
няют расстояния, т. е. являются движением.

Примерное планирование изучения
* 'материала

Г. На • изучение пункта отводится два
урока. /

На первом уроке рекомендуется в классе
разобрать теорему 9.3 и следствия из нее, ре-
шить задачи 20, 25 и 26; дома — вопросы
14 и 15, задачи 21, 27.

На втором уроке в классе — теорему
о сохранении углов при движении, ввести по-
нятия о двух последовательно .выполненных
движениях и об обратном преобразовании,
решить задачи 17, 18(1, 2); дома — вопрос
16, задачи 23, 28.

Дополнительные задачи

1. Начертите отрезок АВ и постройте отре-
зок, в который он переходит при повороте во-
круг своей середины: 1) на 45° по часовой
стрелке; 2) на 60° против часовой стрелки.

2. Решите предыдущую* задачу, взяв за
центр поворота: 1) точку А; 2) точку В;
3) произвольную точку отрезка АВ.

3. Постройте квадрат со стороной 4 см
и возьмите на его сторонах по точке. Построй-
те точки, в которые переходят выбранные точ-
ки при повороте вокруг точки пересечения
диагоналей квадрата на 90° по часовой
стрелке.

Равенство фигур (1 ч)

Комментарий для учителя

1°. В пункте вводится одно из основных по-
нятий курса геометрии — понятие равных фи-
гур как фигур, совмещаемых движением. До
сих пор учащимся были известны определе-
ния равных отрезков, равных углов, равных
треугольников, которые были введены без
опоры на понятие движения. И теперь, есте-
ственно, возникает необходимость показать,
что определения равенства этих видов фигур
через совмещение движением и равенства их
в том смысле, как они понимались до сих пор,
означают одно, и то же (равносильны)’
В учебном пособии доказательство равносиль-
ности двух определений проведено только для
равенства треугольников. Доказательство про-
водится путем построения двух последМа1-

тельно выполненных конкретных движений —
осевых симметрий, с помощью которых один
треугольник переводится в другой; оно. мо-
жет быть выполнено в классе в форме прак-
тической работы по заранее намеченному
плану, поскольку вопросами для повторения
не предусматривается умение его воспроизво-
дить.

2°. В результате изучения пункта учащиеся
должны знать определение равных фигур,
понимать, что два определения равных
треугольников равносильны.

Методические рекомендации
к изучению материала

Г. Изложение теоретического материала
пункта можно провести по следующей схеме:

1) повторить с учащимися определения
равных отрезков, углов, треугольников;

2) ввести определение равенства фигур че-
рез их совмещение движением;

3) сформулировать определения равных от-
резков, углов и треугольников через их сов-
мещение движением;

4) доказать, что равенство треугольников,
определяемое через их совмещение движени-
ем, и равенство их, как мы его понимали до
сих пор, выражают одно и то же.

Доказательство распадается на две. части,
а) Дан о: АДВС совмещается движением
с АхАхВхСх. Доказать, что верны равенства
дД = дДь АВ = АВЬ /_С=/_СХ,

ДВ=Д1В1, ВС=ВХСХ. АС=АХСХ. (1)

Доказательство, данное в учебном пособии,
просто и не требует комментариев.

б)-Да но: равенства (1). Доказать, что
△ЛВС совмещается движением с ААХВХСХ,
причем Л переходит в Дь В в Вь С в Сь

Как, уже говорилось, доказательство мож-
но провести в классе в форме практической
работы с тщательным выполнением всех по-
строений, отмечая на рисунке равные от-
резки.

1) Строим прямую а — серединный перпен-
дикуляр к отрезку ДД). Симметрия относи-
тельно а переводит ЛДВС в △Д1В2С2. При
этом А}В2 = АВ = А]В} (рис. 3,а).

2) Прямая О’, проведенная через Л! й се-
редину отрезка ВХВ2> перпендикулярна ВХВ2
(по свойству медианы в равнобедренном тре-
угольнике Д1В!В2). Симметрия относительно
прямой Ь переводит АД1В2С2 в /\АХВХС$
(рис. 3,6, в).

Доказательство совпадения точек Сх и С3
(в случае расположения треугольников на
рис. 3,6) приведено в тексте учебного посо-
бия. Если в результате выполнения работы в
классе получилось расположение треугольни-
ков, изображенных на рис. 3,в, то надо при-
Рис. 3

менить еще симметрию относительно прямой
А{В>,

Примерное планирование изучения
материала

На изучение пункта отводится один час.
В классе рекомендуется ввести понятие
равных фигур, разобрать доказательство рав-
носильности двух определений равных тре-
угольников, вопрос 183, решить задачу 31;
дома — вопрос 17, задачи 32, 33.

Указания к решению задач

31. Проведем диагонали в данных паралле-
лограммах и обозначим точки их пересечения
через О и' Оь Треугольники АВИ и А\В\О{
равны по первому признаку. Но мы доказа-
ли, что существует движение, переводящее
△ЛвО в АА\В\ПХ, При этом точка А перехо-
дит в точку В в Вь О в Оь Проверим, в
какую точку при этом движении переходит
точка С: АО и Д1О1 — соответствующие ме-
дианы в равных треугольниках, и, нетрудно
показать, что они переходят друг в друга.

По следствию из теоремы 9.3, полупрямая
АС перейдет в полупрямую Д1С1. Но так как
движение сохраняет расстояния, то точка С
перейдет в точку т. е. параллелограммы
АВСО и А\В\СХО\ совмещаются движением и,
следовательно, равны.

33. Обозначим центры окружностей через
О и 01, а их радиусы /?. Рассмотрим движе-
ние, переводящее точку О в точку напри-
мер симметрию относительно середины отрез-
ка ООь Произвольная точка X первой окруж-
ности расположена на расстоянии К от точки

3 В издании 1983 г. вопрос 18 перенесен в раздел
«Упражнения» (задача 30). Для решения этой задачи
можно, например^ достроить отрезки или углы до тре-
угольника и применить доказанное в пункте предло-
жение.

О. Следовательно, по определению движения,
точка в которую переходит точка X,
должна находиться на расстоянии /? от точ-
ки Оь т. е. принадлежать второй окружности.
Таким образом, при данном движении окруж-
ности совместились.

Дополнительные задачи

1. Точки А и С
(рис. 4) симметрич-
ны относительно
прямой /. Укажите
равные фигуры на
этом рисунке.

Рис.

2. Дан треугольник АВС. Постройте тре-
угольник, симметричный данному относитель-
но вершины С (вершины А, вершины В). До-
кажите, что полученный треугольник равен
данному (два способа).

Преобразование подобия (2 ч)

Комментарий для учителя

1°. В пункте изучается преобразование по-
добия и его свойства. Одним из важнейших
примеров преобразования подобия является
гомотетия, с рассмотрения которой можно
начать изучение пункта. Вообще говоря, пре-
образование подобия не является движением,
расстояния сохраняются лишь в частном слу-
чае при й = 1, т. е. только в этом случае пре-
образование подобия является движением. .

Доказательство теоремы 9.4 состоит из двух
частей: сначала выводится зависимость меж-
ду координатами гомотетичных точек (центр
гомотетии в начале координат), а затем на
основе найденных соотношений и формулы
расстояния между точками делается оконча-
тельный вывода В методических рекоменда-
циях предлагается первую часть теоремы вы-
нести в качестве отдельной задачи.

В пункте формулируются свойства преобра-
зования подобия, аналогичные свойствам дви-
жения. Полезно обратить внимание учащихся,
что доказательства их практически совпада-
ют с доказательствами свойств движения и
в при желании их нетрудно воспроизвести. Од-
нако это воспроизведение не предусматрива-
ется ни учебным пособием, ни методическими
рекомендациями.

2°. В результате изучения пункта учащиеся
должны знать определения гомотетии, подо-
бия, коэффициентов гомотетии и подобия;
уметь воспроизводить доказательство тео-
ремы 9.4 и доказывать сохранение углов при
преобразованиях подобия при изучении теку-
щего материала, строить точки, гомотетичные
данным.
Методические рекомендации
к изучению материала

1°. Закрепление понятия гомотетии можно
начать с простых задач вида:

1. На плоскости даны точки О, А и В. От-
метьте точки А' и В', в которые перейдут точ-
ки А и В при гомотетии относительно центра
О, если коэффициент гомотетии равен 2.

2. Сделайте аналогично построение для то-
чек О, С и О с коэффициентом —.

3. Задача 7(1) из § 9 для точек А и С.

После построения точек, гомотетичных точ-
кам А и С, можно предложить учащимся за-
писать их координаты. При этом полезно для
одной из точек, например А, обосновать
умножение координаты на 2 (с помощью тео-
ремы Фалеса или теоремы 7.1).

2°. После решения задач учитель может до-
казать, что гомотетия с коэффициентом к и
центром гомотетии в начале координат пере-
водит произвольную точку А (х, у) в точку
А'(кх, ку).

. Пусть точка А не лежит ни на одной из
осей координат, тогда из прямоугольных тре-
угольников ОААХ и ОА'А'Х вычислим соз а:

соз а —

ОАХ
ОА

оах

~ОА/~9

Но, по определению гомотетии, ОА'=^
— кОА> а ОАХ= |х|, ОА'Х= [х'Ц тогда

к • О А | х' |
~ОА~ ~ ТГГ*

Так как точки А и А' лежат на одном луче,
то они лежат в одной и той же четверти, а
значит, их координаты имеют одинаковые
знаки, поэтому Получаем = к,

т. е. х'=кх. Аналогично можно доказать, что
у'=ку. ‘ ’

Для точек, лежащих на осях координат,
доказательство формул непосредственно сле-
дует из определения гомотетии.

3°. Для закрепления выведенных формул
можно предложить учащимся следующую за-
дачу.

Дана гомотетия с коэффициентом-^- и цент-
ром в начале координат, а) В какие точки
переходят точки А (—2, 4), В (6, —2)? б) Вы-
числите расстояние между точками А и В.
в) Вычислите расстояние между точками А'
и В', г) Запишите соотношение между рас-
стояниями АВ и А'В'.

4°. После решения этой аадачи можно дать
учащимся определение' преобразования подо-
бия и перейти к теореме 9.4.

Доказательство теоремы 9.4 теперь можщо
построить по следующей схеме: ' . и

I) ввести систему координат, приняв за на-
чало координат центр гомотетии;

2) точки А(хь у\) и В(х2, Уъ) переходят в
точки А(йхь ку() и В(/?х2, ку^) по доказанно-
му в разделе 2°;

3) затем проводятся вычисления АВ2 и
А'В'2, после чего делается вывод о справедлп-
' вости теоремы.

5°. При доказательстве предложения «Пре-
образование подобия сохраняет углы между
полупрямыми» полезно выписать на доске
соотношения между сторонами треугольников
АВС, А2ВС2, А{В{С{ (рис. 158 учебного посо-
бия). ДАВС переводится в ДА1В1С1 преобра-
зованием подобия с коэффициентом к. Отсю-
да, по определению подобия, следует, что
АхВх==к-АВ, ВхСх = к-ВС, АхС{ = к-АС. Пре-
образование гомотетии относительно центра В
с коэффициентом к переводит точку А в А2, В
в В, С в С2, а по теореме 9.4 А2В = й-АВ,
А2С2 = /г-АС, ВСч = к- ВС. Равенство.треуголь-
• ников А2ВС2 и А1В1С1 по третьему признаку
очевидно. Отсюда и следует искомое равенст-
во для углов: /САВС=/САхВхСу

6°. Задача 36 — задача повышенной, трудно-
сти. В тексте учебного пособия приводится
план ее решения. Эта задача является иллюст-
рацией использования понятия гомотетии при
решении задач на построение.

Примерное планирование изучения
материала

На изучение пункта отводится два урока.

На первом уроке рекомендуется в классе
рассмотреть понятия гомотетии и подобия и их
коэффициентов, теорему 9.4; дома — вопросы
для повторения 9, 19, 20, задачу 7 (для точек
В,Р).

На втором уроке в классе рассмотреть
свойство сохранения углов, решить задачи 8,
9(1), из дополнительных—1, 2; дома — воп-
рос для повторения 21, задачи 7(2), 9(2).

Указания к решению задач

7. После выполнения построения полезно
записать координаты построенных точек.

8. Задачу целесообразно решать в классе,
заготовив предварительно рисунок, соответст-
вующий условию задачи:1 прямые XX' и УУ'
пересекаются в^точке О, при этом ХУ\\Х'У'.
Необходимо также предусмотреть порядок
взаимного расположения точек на лучах: ли-
бо точка X между точками О и X' и точка У
между точками О и У', либо точка X' между
точками X и О и точка У' между точками У и
О. В первом случае коэффициент гомотетии
больше 1а во втором — меньше 1,
Дополнительные задачи

1. Точка Д(—8, 4) при гомотетии относи-
тельно начала координат отображается на точ-
ку А'(—4, 2). Определите коэффициент гомо-
тетии. Чему равен коэффициент гомотетии с
тем же центром, отображающей точку А' на
точку. А?

2. Дан ААВС с вершинами А (2, 0)
В (—5, 3), С (4, —2). Запишите координаты
вершин треугольника, в который переходит
&АВС при гомотетии относительно начала
координат, если к=4.

Подобие фигур (6 ч)

Комментарий для учителя

Г. В пункте рассматривается общее опреде-
ление подобных фигур и разбирается подробно
подобие треугольников. Полезно конкретизиро-
вать это общее определение для случая подоб-
ных треугольников: «Треугольники называются
подобными, если они переводятся друг в друга
преобразованием подобия». При этом так же,
как и в случае равенства треугольников, в за-
писи подобия предполагается, что вершины,
переходящие друг в друга при данном преоб-
разовании подобия, стоят на соответствующих
местах: если ДЛВС —ДЛ1В1С1, то А перехо-
дит в Ль В в Вь С в

Из свойств преобразования подобия следует,
что у подобных треугольников попарно равные
углы и пропорциональные стороны; Условие,
накладываемое на порядок записи вершин по-
добных треугольников, позволяет (как и в слу-
чае равных треугольников) непосредственно из
условия указать, какие именно углы равны и
какие стороны пропорциональны. Это полезно
также и для контроля правильности записи
пропорциональных сторон с целью предупреж-
дения ошибок учащихся.

2°. Три признака подобия треугольников
объединены в одну теорему (теорема 9.5), что
позволяет подчеркнуть общность идеи дока-
зательства каждой из трех теорем, одн'ако
несколько затрудняет ссылки на соответствую-
щий признак при решении задач. Для удобст-
ва ссылок признаки можно обозначить тра-
диционно номерами. Можно также рекомен-
довать проводить ссылки по содержанию: по
равенству двух углов, по пропорциональности
двух сторон и равенству углов между ними,
по пропорциональности трех сторон.

3°. К пункту дается большое количество за-
дач. Полезно выделить две задачи: задачу 54
(это известная учителю лемма о подобии
треугольников) и задачу 55. Результат за-
дачи 55 можно обобщить в виде; параллель-
ные прямые отсекают на сторонах угла про-
порциональные отрезки.

4°. В результате изучения пункта учащиеся
должны знать определения подобных фигур
и подобных треугольников, формулировки
признаков подобия треугольников; уметь
воспроизводить доказательства признаков в
ходе изучения текущего материала, приме-
нять признаки подобия при решении задач.

Методические рекомендации
к изучению материала

1°. Так как в записи подобных треугольни-
ков вершины, совмещенные преобразованием
подобия, стоят на соответствующих местах,
то представляется возможным, как и в слу-
чае равных треугольников, непосредственно
из записи получить заключение, какие углы
в подобных треугольниках равны и какие
стороны пропорциональны. Для того чтобы
выработать соответствующий навык у уча-
щихся, полезно решать устно задачи типа:

1. АД = 30°, АВ = 85°>

АС = 65°. Чему равны АДь АВЬ АС1?

2. ДДВС-ДД^^ь ДВ = 3 см, ВС=4 см,
АС=6 см, АхВ1 = 12 см, Вычислите В\СХ и
Л1Соь

2°. Доказательство теоремы 9.5 проводится
по следующему плану (рис, 160 учебного по-
собия):

1) &АХВ{СХ подвергается преобразованию
подобия, например гомотетии, с коэффициен-

, АВ

том подобия = при этом получается
некий третий треугольник Д2В2С2;

2) доказывается равенство ДДВС=
= АД2В2С2;

3) доказывается, что ДД1В1С1 переводится
в ДДВС преобразованием подобия, ъ е, что
△ДВС^ДД1В1С1 по определению-

Учитель может разделить доказательство
этой теоремы на три доказательства, соответ-
ствующих каждому прйзнаку подобия тре-
угольников, и предложить их учащимся на
разных уроках. В этом случае после доказа-
тельства, например, первого признака можно
составить с учащимися приведенный выше
план.

Примерное планирование изучения
материала

Материал пункта рассчитан на шесть уро-
ков.

На первом уроке рекомендуется в Классе
рассмотреть определение подобных фигур, по-
добных треугольников и следствия из послед-
него определения, решить задачи 35, 40,
61(3), 53(2); дома — вопрос для повторе-
ния 22, задачи 34, 39.'

На втором уроке разобрать теорему 9.5,
решить задачи 43, 41, 53'(1), 45; дома —
вопрос для‘ повторения 23, задачи 44, 46.

На третьем уроке в классе решить зада-
чи 48, 54, 56, 60; дома — задачи 57, 64.

На четвертом уроке в классе решить за-
дачи 58(1,2)—самостоятельно по вариан-
там, 50, 61(1); дома —задачи 51 (2), .61 (2).

На пятом уроке в классе решить задачи
67, 71, 37, 73(1), 74; дома —задачи 69, 72.

На шестом уроке подготовка к контрольной
работе: решение задач 62, 68, 52(1), 42, за-
дачи типа 1, 4, 7; дома — задачи 52(2), 63.

Примечание. Решение задач спланировано так,
что изучение теории может быть проведено следующим
образом: на первом уроке определение подобных, фи-
гур и подобных треугольников, на втором уроке — пер-
вый признак подобия треугольников, на четвертом уро-
ке — второй и третий признаки подобия треугольников.

Указания к решению задач

35. Рассмотрим преобразование гомотетии
с центром А и коэффициентом к — где
А — общий конец хорд. При этой гомотетии
тючки данной окружности перейдут в точки
искомого геометрического места. Но гомоте-
тия есть преобразование подобия, а фигура,
подобная окружности, есть окружность (за-
дача 34). Значит, искомое геометрическое
место точек есть окружность радиуса—^ -д -К,
проходящая через точку А,

Самостоятельные работы
по геометрии в VII классе

В. А. Гусев,

(Москва),

А. И. Медяник

(Харьков)

Данные самостоятельные работы составлены
по материалу § 9 «Преобразования фигур»
учебного пособия А. В. Погорелова «Геомет-
рия 6—10».

С-14. Примеры преобразования фигур

Вариант 1

1. Даны прямая а и точка С. Постройте:
а) точку С', симметричную точке С относи-
тельно прямой а; б) точку С', симметричную
трчке С относительно произвольной точки А
на прямой а.

2. Даны точка А и центр гомотетии О,
Постройте точку А', в которую перейдет точ-
ка А при гомотетии с центром О и коэффи-
циентом гомотетии, равным 2.

В а р и а н т 2

1. Дан квадрат АВСИ. Постройте: а) точку
В', симметричную точке В относительно пря-
мой АС; б) точку С', симметричную точке С
относительно точки А.

2. Даны точки А и В и центр гомотетии О.
Постройте точки, в которые перейдут данные
точки А и В при гомотетии с центром О и ко-
эффициентом гомотетии, равным 0,5.

Вариант 3

1. Дан ромб АВСИ. Постройте: а) точку А',
симметричную точке А относительно прямой
ВВ; б) точку О', симметричную точке О отно-
сительно точки С.

2. Даны точки А и В и центр гомотетии О.
Постройте точки, в которые, перейдут данные
точки А и В при гомотетии, с центром О и ко-
эффициентом гомотетии, равным 1,5.

Вариант 4

1. Может ли у треугольника одновременно
быть центр симметрии и ось симметрии?

2. Даны точки А, В, С и центр гомотетии О.
Постройте точки, в которые перейдут данные
точки А, В и С при гомотетии с центром О и
коэффициентом, равным 7з.

С-15. Движение. Свойства движении

Вариант 1

1. Даны отрезок СВ и точка А, не лежащая
на прямой СВ.‘Постройте фигуру, симметрич-
ную отрезку СО относительно центра А.

2. Сколько осей симметрии имеет луч?

Вариант 2

1. Даны угол АВС и точка К, не лежащая
на сторонах этого угла (рис. 1); Постройте
фигуру, симметричную углу АВС относитель-
но центра К.

2. Сколько осей симметрии имеет квадрат?

ВариантЗ

1. Даны угол МКС и точка А, не лежащая
на сторонах этого угла (рис. 2). Постройте
фигуру, симметричную углу МКС относитель-
но центра А.

2. Сколько осей симметрии имеет ромб?

Вариант4

1. Даны две пересекающиеся прямые а и Ь
и точка А, не лежащая на них. Постройте
фигуру, симметричную данной относительно
точки А.

2. Может ли четырехугольник иметь одно-
временно центр и ось симметрии? Если даг то
приведите примеры.

С-16. Преобразование подобия
Вариант 1

1. Даны луч АВ и точка О. Постройте фи-
гуру, в которую при гомотетии с-центром О
перейдет этот луч, если коэффициент гомоте-
тии равен 2.

2. Стороны одного треугольника 5 см,
4,6 см и 2,5 см. Найдите стороны подобного
ему треугольника,, если коэффициент подобия
.равен 2.

Вариант2

1. Даны треугольник АВС и точка О
г(рис. 3)/ Постройте фигуру, в которую при,
гомотетии с центром О перейдет этот тре-
угольник, если коэффициент гомотетии ра-
вен 1,5. .

2. Стороны данного треугольника 7 см, 5 см
и 4 см. Найдите стороны подобного ему тре-
угольника, если меньшая его сторона 1,5 см.

Вариант 3

1. Даны треугольник МКС и точка О
(рис. 4). Постройте фигуру, в которую при
гомотетии с центром О перейдет этот тре-
угольник, если коэффициент гомотетии ра-
вен.0,5.

2. Стороны данного треугольника 6 см, 4 см
и 3 см. Найдите стороны подобного ему тре-
угольника, если большая его сторона 3,5 см.

Вариант 4

1. Дан'четырехугольник АВСИ. Постройте
фигуру, в которую при гомотетии с центром
А перейдет этот четырехугольник, если коэф-
фициент гомотетии равен 2,5.

2. Впишите в данный треугольник квадрат,
две вершины которого лежат на основании
треугольника, а две другие —на боковых сто-
ронах.

С-17. Подобие фигур

Вариант 1

1. Стороны треугольников равны соответст-
венно 7,5 дм, 6 дм, 7,2 дм и 25 мм, 20. мм,
24 мм. Подобны ли эти треугольники?

Рис. 3

Рис. 4

2. Докажите, что равнобедренные треуголь-
ники подобны, если угол при основании одно-
го из них равен углу при основании другого.

Вариант2

1. Стороны треугольника пропорциональны
числам 3, 4, 6. Какими будут стороны подоб-
ного ему треугольника с периметром 58,5 см?

2. Два угла треугольника равны 54° и 18°.
Докажите, что биссектриса, проведенная из.
вершины третьего угла, отсекает от этого
треугольника треугольник, ему подобный.

В а р и а н т 3

1. Стороны треугольника пропорциональны
числам 5, 6, 8. Вычислите длины сторон тре-
угольника, подобного данному, если разность
между большей и меньшей его сторонами
равна 15 см.

2. Углы треугольника пропорциональны
числам 6, 3, 1. Докажите, что биссектриса,
проведенная из вершины большего угла, отсе-
кает от этого треугольника треугольник, ему
подобный.

Вариант 4

1. Основание треугольника 5 см, высота,
проведенная к этому основанию, равна 3 см.
В треугольник вписан квадрат так, что две
его вершины лежат на основании, а две дру-
гие— на боковых сторонах. Вычислите сторо-
ну квадрата.

2. Докажите, что две высоты остроугольно-
го треугольника отсекают от него два подоб-
ных треугольника с общей вершиной.

ИЗ ОПЫТА РАБОТЫ

Воспитывать, обучая

Н. Д. Волкова, Т. В. Гришина
(Кировоград)

В формировании личности строителя комму-
нистического общества особая роль принад-
лежит школе. Она призвана способствовать
воспитанию людей политически активных,
идейно убежденных, непримиримых к бур-
жуазной идеологии и морали, готовых к за-
щите социалистической Родины.

В процессе преподавания всех школьных
дисциплин, в том числе и математики, есть
возможности для того, чтобы показать уча-
щимся авангардную роль Коммунистической
партии в строительстве социализма и комму-
низма, величие свершений советского народа,
миролюбивую политику нашего государства.

Использование различных статистических
материалов там, где это уместно, и сопровож-
дение их комментариями учителя позволят
показать школьникам преимущества социа-
листического образа жизни перед капитали-
стическим.

Как показывает опыт, обращение к стати-
стическим материалам оказывается наиболее
эффективным при изучении арифметических
действий, процентов, отношений и пропорций,
уравнений, неравенств и Их систем, прогрес-
сий, приближенных вычислений.

Данные, приводимые в газетах и журналах,
можно использовать при устном счете, для
математических диктантов, для изготовления
красочных и наглядных таблиц, плакатов,
графиков и диаграмм. Интересна такая фор-
ма работы: в беседе с классом учитель сооб-
щает ребятам необходимый числовой мате-
риал и кратко его комментирует, а учащиеся
должны использовать услышанное для со-
ставления собственных задач. А

Цифры и факты наших дней следует при-
влекать и во внеклассной работе. На их ос-
нове учащиеся в состоянии подготовить мате-
матические сочинения, сообщения на заседа-
ниях математических кружков, устные журна-
лы, выпуски тематических газет, информаци-
онных бюллетеней и иллюстрированных аль-
бомов.

Рассмотрим конкретные примеры, которые
можно использовать в процессе преподавания
математики в IV—VIII классах. В скобках
укажем издания, из которых взяты приводи-
мые данные. Если подряд идет несколько за-
даний, составленных по одному источнику, то
он указывается после последнего из них.

Задание 1. Выпишите из предложенного
текста все числа и представьте их в стан-
дартном виде.

Для юных граждан СССР построено более 103 тыс.
внешкольных учреждений. В том числе: 4896 До-
мов пионеров и школьников, 1390 станций юных тех-
ников, 8509 детских библиотек, 6720 спортивных школ,
63 тыс. пионерских лагерей. В одном только 1981 г.
пионерские лагеря приняли 12,631 млн. детей.

Задание 2. Дополните предложенные ни-
же материалы необходимыми, на ваш взгляд,
числовыми данными и составьте задачи.

Из 100 млн. неграмотных на Латино-Американском
континенте около 6,6 млн.— дети школьного возраста
(до 14 лет). В Бразилии 3,5 млн. детей никогда не пе-
реступали порога школы. Даже в США, передовой
стране капиталистического мира (население 229,8 млн.
человек), 5 млн. детей не обучаются, причем большин-
ство из них — представители национальных меньшинств.

В дореволюционной России из каждых 5 детей и под-
ростков четверо не имели возможности учиться в шко-
ле, почти 3Д всего населения было неграмотным.
В 1913 г. около 290 тыс. человек имели высшее, неза-
конченное высшее и среднее специальное образование.

В СССР каждый гражданин независимо от нацио-
нальности имеет реальную возможность получить обра-
зование. Каждый третий из наших соотечественников
учится или повышает свою квалификацию. В 1981/82
учебном году всего обучалось более 102 млн. человек.
В том числе: в школах 44 256 тыс., в СПТУ—2244 тыс.,
в средних специальных учебных заведениях 4557 тыс.,
в высших учебных заведениях 5284 тыс. человек.

Задание 3. Вычислите, пользуясь приве-
денными ниже данными: а) сколько человек
получили среднее образование в 1918—
1975 гг., какую часть они составляют от об-
щего количества получивших образование в
1918—1981 гг.;

б) какой процент числа людей, получивших
среднее образование в 1918—1981 гг., состав-
ляют учащиеся 1981/82 учебного года.

Учащимся демонстрируется плакат следую-
щего содержания:

В нашей стране осуществляется всеобщее среднее
образование молодежи. В 1981/82 учебном году
39,7 млн. школьников посещали 131 тыс. школ. Всего
за 1918—1981 гг. среднее (общее и специальное) обра-
зование получили 93,3 млн. человек. За 1976—1980 гг.
среднее образование получили 25 млн., а за один
1981 г.— 5024 тыс. человек. [Народное хозяйство СССР:
1922—1982. Юбилейный статистический сборник. М.,
1982, с. 499, 503—505, 514.]

Задание 4. По * табл. 1 постройте диа-
грамму, показывающую общее количество со-
ветских людей, охваченных различными ви-
дами обучения.

Задание 5. По данным, приведенным ни-
же, определите:

а) какие средства расходуются государст-
вом в течение пятилетия на обучение одного
учащегося в школе, в среднем специальном
учебном заведении и на студента вуза;

б) во что обходится государству обучение
учащихся из вашей семьи (учащихся вашей
школы) в течение одного учебного года;

Составьте свои задачи по указанным ниже
и найденным вами данным.

Наша Родина расходует значительные средства на
обучение детей и молодежи. Годовые расходы на од-
ного ученика общеобразовательной школы составили
в десятой пятилетке 180 рублей, на учащегося средне-
го специального учебного заведения — 680 рублей, а на
студента вуза — более 1000 рублей. [Политическое са-
мообразование, 1981, № 8, с. 124.]
Составление и решение задач по всем ука-
занным выше данным поможет учащимся
лучше оценить постоянную заботу Коммуни-
стической партии о росте уровня образования
трудящихся, приумножении духовных ценно-
стей многонациональной социалистической
культуры.

Интересной формой идейно-политического
воспитания учащихся могут стать изготовле-
ние и использование стендов-плакатов:
«Шагами пятилеток», «Пятилетка в цифрах»,
«Масштабы роста», «Два мира — два образа
жизни», «Капитализм без прикрас» и т. д.
Материалы для одного из таких плакатов да-
ны в табл. 2.

Для составления этой таблицы кроме уже
упоминавшихся публикаций использованы
следующие журналы, книги и газеты:

Агитатор, 1983, № 10, с. 31; № 11, с. 51.

Бюллетень Всесоюзного общества «Знание»: Аргумен-
ты и факты, 1983, 14 июня, с. 5. >

ЗломановЛ., Умайский Л. Наши права: политические
и экономические гарантии. Цифры и факты. М., 1981.

Политическое самообразование, 1981, № 7, с. 57;
1983, № 8, с. 48.

Правда, 1981, 14 дек.; 1983, 14 июля.

Экономическое положение капиталистических и разви-
вающихся стран.— Приложение к журналу «Мировая
экономика и международные отношения». М., 1983,
с. 18, 120.

Задание 6. Используя данные табл. 2,
выполните следующие виды работ:

1. Подсчитайте,

а) сколько процентов населения США не
имеет работы;

б) какой процент населения США состав-
ляют живущие за «порогом бедности»;

в) какая доля всего населения СССР еже-
годно поправляет свое здоровье в здравницах
страны.

2. Используя табл. 2, подготовьте доклад
для устного математического журнала. Само-
стоятельно подберите дополнительные цифры
и факты.

Неослабевающее внимание трудящихся
планеты к труду и жизни граждан СССР во
многом является следствием миролюбивой
политики нашего государства. Советский на-
род, как никакой другой, знает цену миру.
Поэтому так весом его вклад в дело борьбы
за мир во всем мире. Конституцией СССР
запрещена любая форма пропаганды войны.
XXVI съезд КПСС констатировал: «Отстоять
мир — нет сейчас более важной задачи в
международном плане для нашей партии, на-
шего народа, да и для всех народов плане-
ты».

Но сейчас существуют силы, заинтересо-
ванные в новых витках гонки вооружений.

» Таблица 2

Два мира — два образа жизни

СССР США''
Территория (тыс. км2) 22274,9 9363
Население (млн. чело- век) 271,2 229,8
Право на труд Страна всеобщей занятости Более 12 млн. безработных
Право на охрану здо- ровья Бесплатная квалифицированная меди- цинская помощь Расходы на лечение семьи из 4 человек составля- ют за год свыше 2 тыс. долларов
Организация отдыха трудящихся Ежегодно в здравницах отдыхают бо- лее 50 млн. человек 32 млн. существуют на уровне, который ниже официально зарегистрированного порога бедности
Право на жилище Гарантируется Конституцией СССР 7 млн. человек лишены крова; лишь в Нью-Йорке обитают 36 тыс. взрослых бездомных и 20 тыс. детей
1 ; Среднемесячная квартир- I пая плата В среднем 3% дохода в семьях рабо- чих / 40% месячного дохода для большинства трудя- щихся
Среднемесячная плата за I двухкомнатную квартиру 13—15 рублей (повсюду в СССР) 1500 долларов (в Нью-Йорке)
1 Право на образование Страна всеобщей грамотности Всего лиц, имеющих высшее образо- вание, 16,3 млн., среднее специаль- ное— 25,3 млн., среднее общее — 50,9 млн. Не учатся 5 млн. детей, 34,3 млн. человек прак- тически не умеют читать; 22% американцев стар- ше 17 лет вовсе неграмотны ,
Милитаристские круги' империалистических
государств постоянно взвинчивают гонку
вооружений, вкладывая фантастические сум-
мы в разработку ^новых средств массового
уничтожения людей. Свои агрессивные планы
они прикрывают мнимой «советской военной
угрозой».

Но в нагнетании международной напряжен-
ности прежде всего заинтересованы военные
корпорации США. Учителю несложно помочь
учащимся сделать такой вывод, прокоммен-
тировав следующее задание.

Задание 7. Решите задачи и ответьте на
следующие вопросы: какие духовные и мате-
риальные блага отбирают у народов мира ги-
гантские военные расходы? за счет сокраще-
ния каких ассигнований растут военные бюд-
жеты в капиталистических странах и как это
сказывается на положении трудящихся? кому
выгодна постоянная угроза войны?

1. Акции корпорации «Локхид» оценива-
лись в 1973 г. в' 3 доллара каждая. В 1980 г.
корпорация получила заказ на создание
транспорта повышенной грузоподъемности
для «сил быстрого развертывания», и цена
акции возросла на 1400%. Сколько стоила
каждая акция корпорации «Локхид» в 1980 г?

2. Доходы американского .концерна
«Боинг», изготовляющего крылатые ракеты
воздушного базирования, составили в 1979 г.,
8,1 млрд, долларов. Сколько больших ГЭС
можно было бы построить на эти деньги, если
стоимость, одной станции составляет пример-
но 900 млн. долларов?

3. Глава фирмы «Макдоннел — Дуглас»,
выпускающей широкий ассортимент военной
техники, Дж. Макдоннел — один из 60 бога-
тейших людей США. Его собственное состоя-

ние превышает 200 млн. долларов. Сколько
школ можно было бы построить на эти день-
ги, если расходы на строительство одной
школы составляют примерно 3,6 млн. долла-
ров?

4. На содержание одного американского сол-
дата используется ежегодно 12,3 тыс. долла-
ров, а на обучение одного школьника — в
56 раз меньше. Сколько школьников могли
бы ежегодно обучаться на средства, истрачен-
ные на содержание 10 солдат? Вспомните,
сколько детей в США не посещают школу.
Сделайте выводы.

5. Военные расходы ФРГ составляют
68 млрд, марок. Для профессионального обуче-
ния одного рабочего достаточно 10 000 марок.
Сколько рабочих ФРГ могли бы получить бо-
лее высокую Квалификацию, если бы военный
бюджет этой страны был сокращен хо'тя бы на
1%? Найдите данные о численности безработ-
ных в ФРГ и сравните с полученным резуль-
татом.

-Задание 8. Выполните рисунки для мате-
матического альбома или газеты на темы, под-
сказанные табл. 3. Составьте задачи по мате-
риалам этой таблицы. Подготовьте доклад для
устного математического журнала.

В заданиях 7 и 8 использованы следующие
издания.

Бюллетень Всесоюзного общества «Знание»: Аргумен-
ты и факты, 1983, 4 октября, с. 3.

« Новое время: Политический еженедельник, 1981,
( № 40, с. 26. ,

Политическое самообразование. 1979, № 12; 1981, №1,
с. 88; 1983, № 9, с. 68, 108.

Правда, 1981, 29 янв.

Комсомольская правда, 1981, 28 июня.

Факты убедительно подтверждают актуаль-
ность вопросов борьбы за мир, рассмотренных

Таблица 3

Милитаризм США против человека

В экономически слаборазвитых странах Если сократить военные бюджеты
Неграмотных среди взрослого населения 800 мл'н. чело- век. Не имеют возможности учиться 250 млн. детей Одна американская атомная подводная лодка типа «Трайдент» стоит столько же, сколько обучение 16 млн. школьников в течение года
Не имеют работы 1103 млн. человек Каждый миллиард долларов, сэкономленный за счет вооружений, создал бы в гражданских отраслях 15бтыс. мест для рабочих или 100 тыс. мест для учителей
Голодают 570 млн, человек На средства, затрачиваемые на строительство авианос- ца, можно в течение года обеспечить питанием 400 тыс. человек
Полностью лишены медицинской помощи 1500 млн. че- ловек Стоимость подводной лодки «Трайдент» (1,5 млрд, долларов) равноценна стоимости 300 больниц
Живут в непригодных жилищах 1030 млн. человек Стоимость1 одного американского танка 2,9 млн. долла- ров, а строительство 36 трехкомнатных квартир обхо дится в 1 млн. долларов
на XXVI съезде КПСС. «Ибо нет сейчас ни для
одного народа вопроса более существенного,
более важного, чем сохранение мира, чем обес-
печение первейшего права каждого человека —
права на жизнь». [Материалы XXVI съезда
КПСС. М., 1981, с. 5.]

В заключение отметим, что в зависимости от
своих конкретных условий ’и возможностей
учителя могут разнообразить формы и методы
воспитательной работы в процессе преподава-
ния математики, широко применяя статистиче-
ские данные.

К методике обучения
школьников IV—V классов
анализу текстовых задач

Г. И. Богачева

(г. Саратов)

Практика работы в школе показывает, что
решение текстовых задач вызывает у учащих-
ся большие затруднения. Главная причина —
неумение анализировать условие задачи, т. е.
изучать его на основе разложения, расчлене-
ния на отдельные части.

При решении задач с помощью уравнений
у учащихся IV—V классов это проявляется
следующим- образом. Они затрудняются выде-
лять из условия задачи величины, связанные
какими-либо зависимостями. Это объясняется
тем, что в одних случаях у ученика не сфор-
мировано представление о нужной зависимо-
сти и он не может по ее словесному описанию
дать математическое истолкование; в других
случаях представление о нужной зависимости
у ученика есть, но он «не видит» ее в условии
задачи. В результате при составлении урав-
нения такие ученики используют лишь часть
условия задачи. Они не могут установить, со-
ответствует ли полученное ими уравнение
условию решаемой задачи, а если обнаружи-
вается несоответствие (например, с помощью
учителя), то ищут ошибку только в уравне-
нии: пытаются изменять знаки действий, ко-
торые используют при составлении уравне-
ния, без учета соответствующей информации
из задачи, т. е. рассматривают уравнение в
отрыве от задачи.

Опыт показывает,'что учитель должен иметь
в запасе упражнения, которые могли бы слу-
жить для ликвидации такого рода затрудне-
ний, и использовать их по мере надобности.

В этой статье предлагаются некоторые ви-
ды таких упражнений. Заметим, что в их
формулировках используются условия задач,
однако решать их в обычном смысле не тре-

буется. Упражнения построены так, что уче-
ник должен только изучать условия задач.

Выделено две группы упражнений. Упраж-
нения I группы направлены на формирова-
ние у учащихся умения «видеть» всевозмож-
ные зависимости между величинами; данны-
ми в условии задачи; упражнения II группы
формируют умение «видеть» в математиче-
ском выражении определенное содержание.

Упражнения I группы

1. Прочтите условие задачи и ответьте на
вопросы.

Задача. Теплоход «Метеор» за час про-
ходит расстояние, в 5 раз большее, чем катер.
Сколько километров в час проходит каждый
из них, если сумма их скоростей равна
90 км/ч?

Вопросы к задаче. 1) Назовите вели-
чины, которые связаны следующими зависи-
мостями:

а) одна больше другой в 5 раз; б) одна
меньше другой в 5 раз.

2) Если катер проходит х км в: час, то как
можно истолковать выражения: 5%, 5%+х?
Значение какой из представленных здесь ве-
личин известно по условию задачи?

2. Используя справочный материал, запол-
ните пропуски в тексте задачи.

Задача. Футбольная команда школьни-
ков выиграла на... состязаний..., чем проиг-
рала; число проигранных состязаний в ...
числа состязаний, проведенных вничью.
Сколько проведено состязаний, если ничьих
было на ..., чем проигранных?

Справочный материал. Команда
школьников выиграла 16 состязаний, проиг-
рала 6 и свела вничью 2.

3. Используя справочный материал, запол-
ните пропуски в условии задачи.

Задача. Морская черепаха, может про-
жить ..., чем крокодил и ... чем кит. Сколько
лет может прожить черепаха, если кит может
прожить ..., чем крокодил?

Справ о ч н ы й материал. Морская че-
репаха может Ирожить 100 лет, крокодил —
300 лет, а кит — 50 лет.

4. Не- решая задачу, установите, могут ли
при правильном решении получиться приве-
денные в таблице результаты.

1 Школа Масса металлолома (в -т) , собранного у чатимся
1 12 7 8 6 —6
II 5 5 6 10 —4
III 3 7 5 3 29
Задача. Учащиеся трех школ собрали
вместе 19 т металлолома. В I школе собрали
металлолома на 2 т больше, чем во II, и на
3 т больше, чем в III. Сколько тонн металло-
лома было собрано в каждой школе?

5. Прочтите условие задачи и ответьте на
вопросы.

Задача. Самолет доставил смену зимов-
щиков на полярную станцию из Москвы.
В I день он пролетел расстояние, в 5 раз
большее, чем. в Ш день, а во II — на 500 км
больше, чем в III. Какое расстояние проле-
тел самолет в каждый день полета, если из-
вестно, что в I день он пролетел расстояние
в 2 раза большее, чем в последующие два
дня?

Вопросы к задаче. 1) В какой день
полета самолет пролетел самое большое рас-
стояние?

2) В какой день полета самолет пролетел
самое короткое расстояние?

6. Не решая задачу, выберите из справоч-
ного материала ответ на ее вопрос.

Задача. Голубь, щегол и попугай в сум-
ме могут прожить 195 лет. Голубь может про-
жить на 5 лет больше, чем щегол, а попугай
в 5 раз больше, чем щегол и еще 15 лет.
Сколько лет может прожить голубь?

Справочный материал: 25 лет, 140
лет, 30 лет.

Упражнения II группы

7. Известно, что скорость велосипедиста
12 км/час и что он проехал 18 км. Какой
смысл имеет выражение 18 : 12?

8. Прочтите условие задачи и определите,
каким из данных выражений можно придать
смысл, используя условие этой задачи, а ка-
ким — нет.

Задача. Сколько литров воды дает род-
ник в час, если туристы заметили, что трех-
литровая банка наполняется за 6 сек?

Данные выражения: 3:6; (3:6)-60;
6-3; 6—3; (3:6) -60-60; 6+3.

9. Заполните пропуски в условии задачи,
если известно, что ее решение сводится к ре-
шению уравнения

х-8+(х+16)-8 = 960.

Задача. Из двух городов ... вышли одно-
временно навстречу друг другу два поезда
и встретились через 8 ч после выхода. Найти
скорость каждого поезда, если один проходил
в час на 16 км больше другого.

10. Заполните пропуск в условии задачи,
если известно, что ее решение сводится к ре-
шению уравнения

4,5-х+3,25- (120—х) =440;

3-адача. На пароход продано 120 биле-
тов первого и второго классов на сумму 440 р.

Билеты первого класса' продавалась по
4 р. -50 к., а билеты ... Сколько было продано
в отдельности тех и других билетов?

И. Прочтите условие задачи и определи-
те, к решению каких из данных уравнений
сводится ее решение.

Задача. На школьной математической
олимпиаде было предложено 8 задач. За каж-
дую решенную задачу засчитывалось 5 очков,
а за каждую нерешенную задачу списыва-
лось 3 очка. Сколько задач правильно решил
ученик, если он получил за свою работу 24
очка?

Данные уравнения: 5х—3(8—х) =24,
5х=24; 5(8—х)—Зх=24; 5х—3(8+х) =24;
Зг/ = 24, 5х+3(8—х)=24.

12. Прочтите условие задачи и дополните
данные выражения до уравнения, к которо-
му сводится решение задачи.

Задача. С противоположных концов кат-
ка длиной 180 м бегут навстречу друг другу
два мальчика. Через сколько секунд они
встретятся, если начнут бег одновременно и
если один пробегает 9 м в секунду, а другой
6 м в секунду?

Данные выражения: 9х+ ... = 180;
180..=6х; .....9х= ...

13. Воспроизведите условие задачи, если
известно, что ее решение сводится к решению
уравнения

* + 1 + -Т = 3-

Известно также, что рыбак ловил вчвоскре-
сенье рыбу три раза: утром, днем и вечером;

2л?

утром поймал х кг рыбы, днем —кг рыбы
и вечером —кг рыбы.

14. Придумайте сами задачу, решение ко-
торой сводилось бы к решению уравнения

. х , 2х п
— + — = 3-

В заключение дадим несколько советов
учителю по использованию упражнений в
учебном процессе.

Предлагаемая система упражнений являет-
ся дополнением к той, которая используется
сейчас в школе при обучении решению задач
с помощью уравнений. Эти упражнения мож-
но использовать в работе со всем классом, но
более всего они нужны в работе со слабыми
и средними учениками. В зависимости от об-
стоятельств учитель может заменять данные
задачи на более сложные или менее слож-
ные. На уроке такие упражнения целесооб-
разно предлагать систематически для устно-
го решения.
Использование координатного
луча
для решения задач на движение
Н. Я. Виленкин, Л. Г. Петерсон
(Москва)

Одной из важных педагогических задач явля-
ется разработка такой организации учебного
процесса, при которой ученик самостоятельно
открывает большую часть материала и про-
цесс познания ребенка идет не только посред-
ством слуховых и зрительных восприятий, но и
путем выполнения целенаправленных действий
с дидактическим материалом.

Богатыми дидактическими возможностями
для активизации изучения многих разделов
курса математики обладает понятие о коорди-
натном луче. Однако в настоящее время это
понятие, будучи введенным в начале IV клас-х
са, не получает должного применения и начи-
нает «работать» только лишь в V классе в те-
ме «Отрицательные числа». С другой стороны,
решение задач на движение традиционно вы-
зывает у учеников значительные трудности,
связанные с отсутствием ясного представления
о происходящих при движении изменениях.

Работы советских и зарубежных психологов,
исследовавших развитие понятия движения у
детей, позволяют понять причины этих трудно-
стей. Например, Ж. Пиаже убедительно пока-
зал, что способность умозаключать о за-
кономерностях изменения расстояния между
движущимися телами без реального построе-
ния пути приходит лишь в 11 лет! Из этого, в
частности, следует, что важные для решения
указанных задач понятия скорости сближения
и скорости удаления тел при обычной методи-
ке их введения не могут быть полноценно
усвоены всеми детьми, что и привело к изъя-
тию этих понятий из учебника IV класса. •

Построение на координатном луче графиче-
ских образов движения дает возможность уча-
щимся посредством самостоятельных предмет-
ных действий открывать скрытые от непосред-
ственного восприятия свойства и отношения и
фиксировать их в адекватных графических мо-
делях. Оно позволяет постигать более абст-
рактные понятия, такие, как упомянутые вы-
ше понятия скоростей сближения и удаления.
При этом развивается умение строить графи-
ческие модели задач, необходимые для осо-
знанного их решения,— умение, которое не
возникает самой собой, а требует медленного
и постепенного формирования.

В данной статье описан методический под-
ход; обеспечивающий организацию активного
обучения решению задач на движение с по-
мощью координатного луча. Предлагаемый
материал может применяться как для углуб-
ленного изучения данной темы на уроках, так

Рис. 1

и для кружковой работы в IV—V классах-
Частично он использован при переработке
учебников для этих классов. Данная методика
разработана на основе эксперимента, проводи-
мого нами в школе № 91 АПН СССР и в шко-
ле № 221 Москвы.

.1. Вначале учитель объясняет, как изобра-
жают движение на координатном луче:

«На координатном луче можно наглядно по-
казывать движение тела. Для этого надо отме-
тить его положение на луче через определен-
ные промежутки времени. На рис. 1 изображе-
на в виде луча дорога из Москвы в Ленин-
град и показано движение автомобиля, вы-
ехавшего из Москвы со скоростью 60 км/ч. По
этому рисунку видно, что через 1 ч он был на
расстоянии 60 км от Москвы, через 2 ч — на
расстоянии 120 км от Москвы и т. д. Через
сколько часов он отъедет от Москвы на
300 км? 420 км?

На рис. 2 показано движение велосипедиста,
выехавшего в Москву из пункта, который уда-
лен от нее на 48 км. Через сколько часов пос-
ле выезда он прибыл в Москву? Когда он на-
ходился в 12 км от Москвы?»

Разбирая с учащимися эти вопросы, надо
обратить их внимание на то, что длина стре-
лок на рисунках должна соответствовать ско-
ростям тел.

II. Затем дети учатся изображать движение
тел на координатном луче. Для этого они вы-
полняют несколько заданий, аналогичных сле-
дующим:

Задание 1. В 13 ч из Ленинграда вышел
поезд со скоростью 50 км/ч. Изобразите его
движение на координатном луче и определи-
те, где он находился в 18 ч того же дня.

Задание 2. По рис. 3 определите, откуда
вышел пешеход и с какой скоростью он идет.
Изобразите его движение и укажите, на ка-
ком 'расстоянии от города он был через 4 ч
после выхода.
V Рис. 5

Рис. 7 А

Рис. 4 А

▼ Рис. 8

Уже эти задания позволяют всем ученикам
ясно представить, а значит, и полностью разо-
браться в решении многих задач из. учебника
для IV класса. Покажем, как с помощью ко-
ординатного луча можно решать задачи на
движение, данные в учебнике. ,

№ 108. Почтальон , живет на расстоянии
24 км от почтового отделения. Путь от дома
до почты он проехал на велосипеде со ско-
ростью 8 км/ч, а обратный путь по той же до-
роге он проехал со скоростью 6 км/ч. На ка-
кой путь почтальон потратил меньше време-
ни и на сколько часов?

Из рис. 4 видно, что на путь от дома до
почты почтальон потратил на 1 ч меньше
(4—3=1). После этого легко получить тот
же результат арифметически: 24:6—24:8=1.
- № 196. Почтовый голубь должен доставить
донесение на расстдяние 130 км. Скорость,го-
лубя 50 км/ч. Успеет ли голубь доставить это
донесение: а) за 2 ч, б) за 3 ч?

Ученик,, сделавший такой чертеж, как на
рис. 5, без сомнения, ответит на- вопрос зада-
чи и сможет обосновать ответ вычислениями.

III. После этого учитель объясняет, как изо-
бражают движение двух тел на координатном
луче:'

«На рис. 6 показано движение велосипеди-
ста и пешехода, вышедших одновременно по
направлению к деревне Акулово. По этому
рисунку видно:

а) в момент выхода пешеход находился на
расстоянии 27 км, а велосипедист — на рас-
стоянии 51 км от Акулова;

б) скорость пешехода 3 км/ч, а скорость ве-
лосипедиста 9 км/ч;

в) на расстоянии 24 км от Акулова пешеход
был через 1 ч после выхода, а велосипедист —
через 3 ч;

г) велосипедист догнал пешехода через 4 ч
после начала движения;

д) расстояние между пешеходом и велоси-

Рис. 6

педистом через 5 ч стало равно 12—6 =
= 6 (км)».

Выслушав объяснение учителя, учащиеся
приступают к решению задач на одновремен-
ное движение двух тел. Они выполняют чер-
тежи и заполняют таблицы, в которых про-
слеживается изменение координат движущих-
ся тел, а также изменение расстояния между
ними для всех четырех случаев одновремен-
ного движения. Таким образом, ребята полу-
чают возможность в своих собственных опе-
рациях «увидеть», что при движении навстре-
чу друг другу двух тел, скорости которых
и у2 соответственно, расстояние между ними
до момента встречи уменьшается за каждую
единицу времени на величину ^1+а2, а при
удалении друг от друга в разные стороны —
увеличивается на величину ^1+^2 и т. д. Это
приводит их к понятиям скорости сближения
и скорости удаления? Определения этим по-
нятиям учащиеся могут придумать сами по
аналогии с определением понятия скорости.

В качестве примера приведем два задания,
которые мы предлагали учащимся в этом раз-
деле. На рис. 7 и 8 показано, как учащиеся
их выполняли.

Задание 3: Два велосипедиста едут на-
встречу друг другу по шоссе. Один.вначале
был на расстоянии 5 км от города, а второй —
на расстоянии 75 км от города. Один проез-
жает в час 15 км, а второй — 20 км.

а) Изобразите их движение на числовом лу-
че и заполните табл. 1;

б) На сколько километров изменяется рас-
стояние между ними за каждый час?

в) Когда и на каком расстоянии от города
они встретятся?

Таблица 1

Время (/) 0 1
Координата I велосипедиста (хО
Координа1а II велосипедиста (ха)
Расстояние (^)
Таблица 2

Рис. 10 А

▼ Рис. 11.

когда расстояние между ними было 600 м.
Скорость собакй 250 м/мин, а скорость лиси-
цы — 100 м/мин;

а) Изобразите их движение на числовом
луче. Когда и где собака догонит лисицу?

б) Заполните табл. 2.

в) Определите скорость сближения собаки
и лисицы.

Для того чтобы дифференцировать я обуче-
ние, более сильным учащимся можно пред-
ложить следующие задания: найти законы из-
менения координат тел в зависимости от вре-.
мени, закон изменения расстояния между
телами в зависимости от. времени и т. д. Ука-
жем в качестве примера, как учащиеся долж-
ны ответить на эти вопросы в задании 4: хс =
= 250/, хл = 600+100/, б/=600—150/.

Этот этап обучения завершается иллюстри-
рованием на координатном луче решений та-
ких задач, как № 109, 123, 128, 469, 507,. 709
из учебника «Математика 4».

IV. Теперь можно перейти к задачам № 127,
443, 506, 555, 627/ 852, 865, 866, 1098 с более
сложными числовыми данными. Здесь также
целесообразно пользоваться схематическим
изображением движения.

№ 443. С двух станций, расстояние между
которыми 720 км, вышли одновременно на-
встречу друг другу два поезда. Скорость пер-
вого— 75 км/ч, а скорость второго на 10 км/ч
больше скорости первого. На каком расстоя-
нии друг от друга будут поезда через 4 ч?

Решение (см. рис. 9). аСбл = 75+85=
= 160 (км/ч). Значит, за 4 ч поезда прибли-
зятся на 160-4 = 640 • (км). Расстояние между
ними станет ^ = 720—640 = 80 (км).

В ходе решения таких задач учащиеся вы-
рабатывают общие понятия скорости сближе- ,

Рис. 9

ния и скорости удаления тел. При этом изо-
бражение движения на.числовом луче позво-
ляет наглядно увидеть смысл этих понятий.

Пользуясь ими в заданиях, аналогичных
заданиям 3 и 4, учащиеся, устанавливают
формулу

5 = ^сбл ’/встр, (*)

которая дает ключ к решению задач на од-
новременное движение тел навстречу друг
другу и вдогонку. Эта формула может быть
использована для решения большинства задач
на движение из учебника для IV класса:
№. 166, 444, 758, 804, 859, 907, 923, 982, 1045,
1069, 1118, 1119, 1126, 1216 и др.

В этих задачах целесообразно сочетать на-
глядное решение с помощью координатного
луча с решением по формуле ( + ).

№ 851. Из деревни вышел пешеход, а через.
2 ч вслед за ним выехал велосипедист. Ско-
рость велосипедиста 10 км/ч, а скорость пе-
шехода 5 км/ч. Через сколько времени после
своего выезда велосипедист догонит пеше-
хода?

Решение. Обозначим путь, пройденный
пешеходом за 2 ч, через 8, тогда 5 — 5-2 =
= 10 (КМ), У сб л =Ю—5 = 5 (КМ/Ч), /встр =
= 10:5=2 (ч).

№ 859. Из двух пунктов навстречу друг дру-
гу выехали грузовая и легковая автомашины.
Скорость грузовой автомашины в два раза
меньше скорости легковой. Найдите скорость
каждой автомашины, если известно, что рас-
стояние между- пунктами 480 км и машины
встретились через 4 ч.

Решение. Обозначим скорости автомашин’1
через х и 2х соответственно, тогда аСбл =
=%+2х=Зх; Зх-4=480; 12х=4*80; х=

= 40 (км/ч); 2х = 80, (км/ч).

Решения этих задач с помощью координат-
ного луча даны на рис. 10 и И.

В заключение отметим, что описанная выше
работа, не выходящая за пределы школьной
программы по математике для IV класса,
оказывается весьма полезной и при изучении
других разделов программы.
Об одном из способов изучения
систем уравнений в VI классе

Г. К. Муразин

(Москва)

В последние годы наблюдалось некоторое сни-
жение уровня знаний и навыков учащихся по
курсу алгебры. Главными причинами, на наш
взгляд, являются отсутствие ведущей линии
в изложении материала и, как следствие, пе-
регрузка курса второстепенной информацией
и недостаточное внимание к операционно-ал-
горитмической стороне курса.

Проиллюстрируем эту мысль на примере
изучения темы «Системы уравнений» курса
алгебры VI класса. Центральным вопросом
темы является решение систем линейных урав-
нений с двумя переменными и задач, приво-
дящих к составлению систем линейных урав-
нений. На изучение темы отводится 18 ч, но
только половина этого времени посвящается
решению систем линейных уравнений, причем
здесь изучаются два независимых способа ре-
шения систем: способ сложения и способ под-
становки,—обоснования которых довольно гро-
моздки- и трудны для шестиклассников. Тема
завершает курс VI класса, и, поскольку в
курсе VII класса она не получает подкрепле-
ния, то в VIII классе учить решению систем
приходится практически заново. Учитывая ска-
занное, представляется целесообразным более
раннее изучение этой темы с тем, чтобы ее
можно было закрепить достаточно большим
числом упражнений на протяжении учебного
года.

Такая попытка была сделана в учебнике
«Алгебра 6» под редакцией А. И. Маркуше-
вича, изданном в 1977 г. Но, поскольку пере-
нос был произведен практически без измене-
ния содержания, изучение темы вызвало за-
труднения у учащихся, что привело к допол-
нительным затратам времени, нехватка кото-
рого сказалась на изучении последующих тем.
Однако место изучения темы было выбрано
верно, так как естественно изучать линейное
уравнение и систему линейных уравнений сра-
зу после изучения линейной функции. Необ-
ходимо только освободить материал темы от
излишней на данном этапе информации. Так,
например, вводя понятие уравнения с двумя
переменными, следует ограничиться рассмот-
рением примеров линейных уравнений, по-
скольку примеры более сложных уравнений и
их графиков будут подробно изучаться в по-
следующих классах. Особое внимание надо
обратить на выработку навыка построения
графика линейного уравнения. Остановимся
подробно на методике изучения систем двух
линейных уравнений с двумя переменными —
центральном вопросе всей темы,

Система уравнений
с двумя переменными 1

Рассмотрим задачу: Звено картофелево-
дов должно было прополоть картофель на
площади 12 га. После того как звено'прора-
ботало 5 ч, в помощь ему было направлено
другое звено, и после 4 ч совместной работы
прополка была закончена. Какую площадь
пропалывало каждое звено в час, если извест-
но, что второе звено пропалывало за 1 ч на
0,4 га больше, чем первое звено?

Решение. Примем за х число га, пропа-
лываемых за час первым звеном, а за у —
число га, пропалываемых за час вторым зве-
ном.

Первое звено работало 9~ ч, а второе — 4 ч,
следовательно,

9х+4у= 12.

Так как часовая производительность труда
второй бригады была выше, чем первой брига-
ды, на 0,4 га, то

у—х=0,4.

Очевидно, что решениями задачи могут
быть только такие пары значений х и у, кото-
рые удовлетворяют как первому, так и второ-
му уравнению. Значит, надо найти их общие
решения. В таких случаях говорят, что надо
решить систему уравнений.

Принято систему уравнений записывать с
помощью ^фигурной скобки. Например, рас-
сматриваемую систему уравнений можно запи-
сать так:

( 9* + 4у=12,

( у —х =--0,4.

Решением системы уравнений с двумя пере-
менными называется пара значений перемен-
ных, обрашщющая каждое уравнение системы
в верное равенство.

Решить систему уравнений — значит найти
все ее решения (или установить, что решений
нет).

Чтобы решить составленную нами систему
уравнений

| 9х + 4у = 12,
| у — х = 0,4,
построим в координатной плоскости графики
уравнений 9%+4г/=12 и у—х=0,4 (рис. 1).
Координаты любой точки прямой — графика
уравнения 9%+4у= 12, являются решением
этого уравнения, а координаты любой точки
второй прямой — решением- уравнения у—х=
= 0,4.

1 Упражнения можно взять из действующих учеб-
ников.
Рис. I

Рис. 2

Графики обоих уравнений имеют единствен-
ную общую точку А (0,8; 1,2), ее координаты
удовлетворяют как первому уравнению систе-
мы, так и второму. Значит, система уравнений
имеет единственное решение х=0,8; у =1,2.

Теперь мы можем дать ответ на вопрос за-
дачи. Первое звено пропалывало в час 0,8 га,
а второе звено— 1,2 га.

Примененный нами способ решения систе-
мы двух линейных уравнений называется
графическим способом.

При графическом способе решения системы
двух линейных уравнений мы находим коор-
динаты точки пересечения двух прямых — гра-
фиков уравнений системы (если такая точка
существует).

Рассмотрим примеры решения системы
двух линейных уравнений.

Пример 1. Решить систему уравнений
( Зх —2 у = 12,
I х + у = — 1.

Для решения системы выполним следую-
щие операции.

1. Построим график уравнения Зх—2у=12:

а) найдем координаты двух каких-либо его
точек, например, Л (0; —6) и В (4; 0);

б) построим эти точки на координатной
плоскости; \

в) проведем через построенные точки пря- <
мую.

2. Построим график уравнения х~й/= — 1.
(Построение' выполняется аналогично. При
построении определены точки С (7; —8) и
О(-5; 4).)

3. Найдем координаты точки пересечения
построенных графиков (рис. 2). Абсцисса этой
точки равна 2, а ордината равна —3.

Ответ:.х=2, у=—3.

Пример 2. Решить систему уравнений
I 5х 4- 2у = 10,
( 2,5л+у = 12.

Построим графики уравнений, входящих в
систему (рис. 3). На рисунке точки пересече-’
ния прямых нет. Может быть, эта точка нахо-
дится далеко от начала координат'и не по-
местилась на нашем рисунке? .Чтобы ответить
на этот вопрос, выразим из каждого уравне-
ния системы у через х и сравним угловые ко-
эффициенты прямых:

( у = — 2,5x4- 5,
' I у — — 2,5х-}-12.

Мы видим, что обе прямые имеют одинако-
вые угловые коэффициенты к: к =—2,5, зна-
чит, прямые параллельны. Теперь ясно, что
за пределами нашего рисунка тоже нет точки
пересечения прямых. Следовательно, система
уравнений не имеет решений.

Пример 3. Решить систему уравнений

|4х4-3у=12,
|5х + 4у —40.

Построив графики уравнений системы
(рис. 4), мы, как и в предыдущем примере,
не можем установить по рисунку, имеет ли
решение данная система уравнений, так как
не ясно, пересекаются ли данные прямые.

Выразив из каждого уравнения* системы у
через х, получим:

Прямые

у =----|~х + 4 и у =---5-х + Ю

имеют различные угловые коэффициенты
(---значит> прямые не парал-

лельны и система имеет решение.
Однако-найти это решение с помощью гра-
фиков затруднительно, даже если начертить
эти графики на большом листе миллиметровой
бумаги.

Нельзя ли решить эту систему уравнений,
не прибегая к построению графиков урав-
нений?

Система уравнений (2) равносильна систе-
ме уравнений (1), поэтому, решив систему (2),
мы тем самым решим и.систему (1).

Чтобы уравнениям системы (2) удовлетво-
ряла одна и та же пара значений перемен-
ных, надо найти такое значение х, при кото-
ром значения у в уравнениях

4 5

у =----з" х + 4 и у—-------- х + 10

были бы равны между собой, т. е. нужно ре-
4 5

шить уравнение---~х + 4 =----х + 10.

Перенеся члены, содержащие переменную
х, в левую часть равенства, а остальные чле-
ны в правую часть и приведя подобные члены,
получим

1 а

Отсюда

х--= — 72.

Подставив найденное значение х в уравне-

ние у =------- х + 4, найдем соответствую-

щее значение у:

у - 4 -о-72)+4=+- +

^4-24 + 4 = 100.

Ответ: х = —72, у = 100.

Чтобы проверить, что в прЪцессе решения
не было допущено вычислительных ошибок,
полезно, подставив найденные значения хну
в каждое из уравнений системы (1), устано-
вить, что получаются верные равенства.

Мы решили систему линейных уравнений
алгебраическим способом, выражая из обоих
уравнений одну и- ту же переменную и при-
равнивая правые Части полученных равенств.

Решим этим способом систему уравнений

( х — 7 у = 2,

1 2х — 5у—22,

1. Выразим из каждого уравнения системы
х через у. (В данном случае это удобнее, чем
выражать у через х, так как коэффициент при
х в одном из уравнений системы равен 1.)

р = 2 + 7у,
_ 22 + 5у

’ Л 2

2. Приравняем правде части уравнений

2 + 7у = -^±^-.

3. Решим полученное уравнение с одной пе-
ременной:

2(2+7//) =22+5//,

14//—Ьу = 22—4,

9//=18,
у = 2.

4. Подставим в одно из уравнений системы
найденное значение у\

х = 2+7-2,
х= 16.

Ответ: х=16, у—2.

Время на изучение всей темы распреде-
ляется так:

Линейное уравнение с двумя переменными
и его график — 2 ч.

Графический способ решения систем линей-
ных уравнений — 3 ч.

Алгебраический способ решения систем
вместе с текстовыми задачами, приводящими
к системам линейных уравнений,— 6 ч.

Контрольная работа — 1 ч.

Освободившееся время (6 ч) используется
во втором полугодии для решения систем
уравнений и задач из раздела учебника «Уп-
ражнения для повторения».

При таком изложении этой темы в VI клас-
се не изучается ни способ сложения, ни спо-
соб подстановки. На наш взгляд, способ под-
становки естественно ввести там, где появ,-
ляются системы нелинейных уравнений, кото-
рые приведенным способом решить нельзя.
Способ сложения наиболее эффективен при
решении систем линейных уравнений с тремя
и более неизвестными (метод Гаусса) и мо-
жет быть изучен в старших классах. Заметим,
что ни способ сложения, ни способ подстанов-
ки при решении систем уравнений, встречаю-
щихся в VI классе, не дают сколько-нибудь
заметного облегчения решения.
ОТ ПРОГРАММНО-МЕТОДИЧЕСКОГО
УПРАВЛЕНИЯ МП РСФСР

О выпускном экзамене по алгебре
и началам анализа в вечерних
(сменных) школах. РСФСР1

Министерством просвещения РСФСР утверж-
дены новые варианты билетов для выпускных
экзаменов по алгебре и началам анализа, со-
ответствующие усовершенствованной програм-
ме по математике2 для вечерней (сменной)
общеобразовательной школы.

В вечерних (сменных) и заочных средних
общеобразовательных школах РСФСР, как и
прошлые годы, проводится устный экзамен по
алгебре и началам анализа.

Теоретические и практические задания к би-
летам составлены в соответствии с програм-
мами и новым учебным пособием по алгебре
и началам анализа для вечерней школы3.

Каждый билет состоит из трех вопросов.
При ответе на первый вопрос ученик должен
четко сформулировать определения и дока-
зать необходимые теоремы. При ответе на вто-
рой вопрос следует сформулировать требуе-
мое свойство, формулу, правило и на конкрет-
ном примере его проиллюстрировать. Третий
вопрос носит практический характёр (реше-
ние уравнений, доказательство тождеств, на-
хождение производных и первообразных
и т. п.). Этим вопросом проверяются умения
и навыки практического применения теорети-
ческих знаний.

К билетам дано примерное содержание уп-
ражнений к третьему вопросу, что окажет по-
мощь учителям в составлении практической
части экзаменационных билетов.

Теоретическая и практическая части экза-
менационных билетов охватывают основные
вопросы программы^ Важно систематически в
течение всего учебного года в XI классе го-
товить учащихся к выпускным экзаменам,
ознакомить их с содержанием теоретической
части экзаменационных билетов, научить пра-
вильно и четко оформлять свой устный и пись-
менный ответ. Хорошо, если учителя помогут
учащимся составить индивидуальные планы
подготовки к экзаменам. Рекомендуется про-
водить и специальную консультационную ра-
боту.

1 Материал подготовили Г. Д. Глейзер, Н. Н. Садов-
никова, Л. Н. Белоновская,Н. Б. Грызлова, Д. У. Бан-
салов,

2 Программы вечерней (сменной) средней общеобра-
зовательной школы:' Математика, V—XI классы.— М.:
Просвещение, 1983.

3 Алгебра и начала анализа. Учебное пособие для
9—11 классов вечерней (сменной) школы/Под ред.
Г. Д. Глейзера.— М.: Просвещение, 1933.

Билеты

№ 1

1. Линейная функция, ее свойства и график.

2. Площадь криволинейной трапеции (рассмотреть на
примере).

3. Доказательство тригонометрического тождества.

№ 2

1. Показательная функция, ее' свойства и график.

2. Решение тригонометрического уравнения соз х = а
(рассмотреть на конкретном примере).

3. Нахождение области определения функции.

№ 3

1. Понятие производной, ее геометрический и физиче-
ский смысл.

2. Решение тригонометрического уравнения зш х = а
(рассмотреть на конкретном примере).

3. Решение логарифмического уравнения.

№ 4

1. Теорема о производной суммы двух функций.

2. Формулы приведения (вывод одной из формул).

3. Построение графика квадратичной функции.

№ 5

1. Теорема о производной произведения двух функ-
ций.

2. График и свойства функции у = лг2 .

3. Решение тригонометрического уравнения.

№ 6

1. Уравнение касательной к графику функции.

2. Формулы суммы и разности одноименных тригоно-
метрических функций (вывод одной из формул).

3. Исследование функции на возрастание и убывание,
максимум и' минимум.

№ 7

1. Определение четной1 и нечетной функций. Свойства
их графиков (проиллюстрировать на примерах).

2. Теорема о производной частного двух функций
(сформулировать и .проиллюстрировать на примерах).

3. Вычисление интеграла.

№ 8

1. Определение периодичности функций. Периодич-
ность функций # = зшх, у = 1^х.

2. Правило нахождения наибольшего и наименьшего
значений функции на промежутке (сформулировать и
проиллюстрировать на примере).

3. Нахождение первообразной функции.

№ 9

1. Определение тригонометрических функций числово-
го аргумента. Соотношение между функциями синус и
косинус одного и того же аргумента. " .

2. Геометрическая иллюстрация решения системы двух
линейных уравнений с двумя переменными (рассмотреть
один случай).

3. Задача на нахождение скорости в данный момент
времени.

№ 10

1. Производная синуса.

2. График и свойства функции у = х3.

3. Решение системы неравенств с двумя переменными.

№ 11

1. Производная косинуса.

2. Понятие о равносильных уравнениях (рассмотреть
на примерах). *

3. Решение квадратного неравенства.
№ 12

1. Производная тангенса.

2. Достаточное условие возрастания функции на ин-
тервале (сформулировать и проиллюстрировать на при-
мерах).

3. Решение иррационального уравнения.

№ 13

' 1. Функция у — 81П х, ее Свойства и график.

2. Теоремы о пределах функций (сформулировать и
привести примеры применения).

3. Вычисление площади фигуры/ограниченной данньь
ми линиями.

№ 14

I. Функция у = соз х, ее свойства и график.

2. Достаточное условие существования максимума
(минимума) функции (сформулировать и проиллюстри-
ровать па примерах).

3. Решение показательного уравнения.

№ 15

1. Функция = ее свойства и график.

2. Производная логарифмической функции (сформули-
ровать и проиллюстрировать на примерах).

3. Решение системы двух линейных уравнений с двумя
переменными.

№ 16

Ь Логарифмическая функция, ее свойства и график.

2. Тригонометрические функции двойного аргумента
(вывод одной из формул).

3. Составление уравнения касательной к графику
функции.

№ 17

1. Понятие первообразной функции. Основное свой-
ство первообразных.

2. Производная показательной функции (сформулиро-
вать и проиллюстрировать на примерах).

3. Решение системы линейных неравенств с одной пе-
ременной.

№ 18

{. Сумма бесконечно убывающей геометрической про-
грессии.

2. Три правила нахождения первообразных (сформу-
лировать и проиллюстрировать.на примерах).

3. Решение системы нелинейных уравнений.

№ 19

1. Квадратичная функция, ее свойства и график.

2. Тригонометрические функции половинного аргумен-
та (вывод одной из формул).

3. Нахождение производной сложной.функции.

№ 20

1. Понятие интеграла. Формула Ньютона — Лейбница.

2. Производная степенной функции с действительным
' показателем (сформулировать и проиллюстрировать на
примерах).

3. Решение тригонометрического неравенства.

Примерное содержание упражнений к билетам 4

№ 1. § 55, № 17(а, б); § 67, № 8(г,д).

№ 2. § 24, № 2(а—г); § 83, № 10 (д,и)«

№ 3. § 86, № 6(6, г), № 7(а, б).

№ 4. § 36, № 24(6—г); § 33, № 4(а, в, г).

№ 5. § 55, № 20(в,е); § 67, № 9(г,д, ж),

№ 6. § 36, № 15(а—в); гл. XI, № 26(а).

№ 7. § 98, № 5(а, 6); § 101, № 5(а, 6).

№ 8. § 94, № 1 (а, в, г); гл. XI, № 33 (6, г, д),

№ 9. § 30, № 4(а, 6); § 36, №12.

№ 10. § 109, № 18(а,в); § ПО, № 7 (а, 6).

№ 11. § 33, № 5(г—ж).

№ 12. § 103, № 5(в, г); гл. XI, № 37(6, в).

№ 13. § 98, № 8(а, 6); § 100, №‘9.

№ 14. § 80, № 3(6, д), № 5(а, б).

№ 15. § 105, № 2(а, 6), № 3(а,б).

№ 16. § 29, № 1, 2; § 36, № 8.

№ 17. Гл. XI, № 42 (а, 6).

№ 18. § 107, № 3(в,г); гл. XI, № 40(а, 6).

№ 19. § 25, № 19 (в, г); § 72, № 3 (г, д),
№ 20. § 55,' № 23(а—г); § 56, № 10.

4 Номера упражнений указаны по учебному посо-
бию «Алгебра и начала анализа для вечерней (смен-
ной) школы 9—11» под ред. Г. Д. Глейзера.

Новые книги

История и методология математики

Боголюбов А. Н. Математики. Механики: Биографиче-
ский справочник.— Киев: Наукова думка, 1983.— 639 с.—
2 р. 50 к. 50 000 экз.

Николай Николаевич Лузин: Сборник статей /Сост.
П. И. Кузнецов.— М.: Знание, 1983.— 64 с.— 11 к.
29 800 экз.

Число и мысль. Вып. 6 /Под науч. ред. Б. М. Кедрова;
Сост. Г. Е. Журавлев.— М.: Знание, 1983.— 190 с.— 60 к.
80 000 экз.

Содержание: Б. М. Кедров. Число и мысль
в истории науки (в научных исследованиях, открытиях
и заблуждениях); И. М. Яглом. Почему высшую мате-
матику открыли одновременно Ньютон и Лейбниц?
(Размышления о математическом мышлении и путях
познайия мира): Д. В. Богоявленская. Ответ Адамару;
Б. М. Болтовский. Оливер Хевисайд: мысли физика и
расчеты математика; Г. Е. Журавлев. Обучение творче-
ству.

Яковлев А. Я. Леонард Эйлер: Пособие для учащих-
ся.— М.: Просвещение, 1983.—(Люди науки).—79 с.—
15 к. 100 000 экз.

Монографии. Учебники и учебные пособия для вузов

Кужель А. В. Математические импровизации.— Киев:
Вища школа, 1983.— 96 с.— 15 к. 10 000 экз.

Математический цветник: Сборник статей и задач/
Сост. и ред. Д. А. Кларнер; Пер. с англ.; Под ред.
И. М. Яглома.— М.: Мир, 1983.— 493 с.— 1 р. 30 к.
30 000 экз.

Никольский С. М. Курс математического анализа:
Учебник для 'вузов: В 2-х т.— 3-е изд., перераб.
и доп.— М.: Наука, 1983. Т. 1.--464 с.— 1 р. 30 к.
40 000 экз.

Погорелов А. В. Геометриям Учебное пособие для ву-
зов по специальности «Математика».— М.: Наука,
1983.— 287 с.— 80 к. 34 000 экз.

Сборник конкурсных задач по математике с методи-
ческими указаниями и решениями: Для вузов / В. М. Го-
воров, П. Т. Дыбов, Н. В. Мирошин, С. Ф. Смирнова.—
М.: Наука, 1983.— 383 с.— 1 р. 20 к. 400 000 экз.

Солодовников А. С. Теория вероятностей: Учебное
пособие для пед. ин-тов.— М.: Просвещение, 1983.—
207 с.— 55 к. 39 000 экз.

(Окончание см. на с. 54.)
В ПОМОЩЬ УЧИТЕЛЯМ,
РАБОТАЮЩИМ ПО ПРОГРАММЕ
САМООБРАЗОВАНИЯ

О понятии множества в курсе '
геометрии

А. Д. Александров

(г. Новосибирск)

Курс геометрии в VI—X классах школы претерпевает
в настоящее время чрезвычайное преобразование, и сре-
ди всех вносимых в него изменений одно из самых су-
щественных касается понятия множества.

В прежних, еще действующих в старших классах
учебниках понятие множества является основным, фи-
гура определяется как множество точек, и через весь
курс проходят теоретико-множественные определения,
формулировки и формы записи, кое в чем даже с из-
лишествами. В полной противоположности этому во
внедряемом теперь учебнике А. В. Погорелова 1 ничего
этого нет, нет даже самого слова «множество». Эта
резкая разница, этот разрыв между одним и другим
подходами выглядит как поворот «на все 180°» и вы-
зывает у многих учителей недоумение. Учитель
М. М. Назаренко из Закарпатья в письме в редакцию
журнала пишет: «Язык теории множеств в геометрии
запрещают. Но... почему мы должны отбросить и не
брать хорошее, что было в старой программе?».

В данной статье мы, конечно, не можем ничего ни
разрешить, ни запретить и едва ли в. силах существен-
но повлиять на перестройку курса геометрии, но можно
попытаться разобраться в вопросе о месте и роли тео-
ретико-множественных понятий и в том, что с ними про-1
исходит в проводимой перестройке.

1. О понятии множества в геометрии

Прежде всего, совершенно независимо от каких бы
то ни было школьных программ и учебников нужно
констатировать и подчеркнуть, что понятие множества
является основным в современной математике вообще
и в геометрии в частности. Фигуры, как и разного ро-
да рассматриваемые в геометрии пространства, опре-
деляют как множества точек с теми или иными свой-
ствами, с той или иной структурой (точка же — это
просто элемент соответствующего множества).

Для того чтобы продемонстрировать, насколько по-
нятие множества необходимо в геометрии, насколько
существенно оно входит в ее изложение, возьмем в ка-
честве примера недавно вышедшее из печати пособие
по геометрии для педвузов, написанное А. В. Погоре-
ловым 2. Пример тем более убедительный, что автор его
является также автором учебника, где нет даже слова
«множество».

В рассматриваемом пособии уже в самом начале
(гл. I, § 4) к понятию геометрического места дается
пояснение, что «речь идет о множестве точек...». Далее
за аналитической геометрией следует дифференциаль-
ная геометрия — общая теория кривых и поверхностей.
Изложение здесь начинается словами: «Понятие преоб-
разования фигуры (множества точек) известно из эле-
ментарной геометрии». Таким образом, автор в скобках
поясняет, что фигура есть множество точек.

1 Погорелов А. В. Геометрия 6—10.— М.: Просвеще-
ние, 1982.

2 Погорелов А. В. Геометрия.— М.: 'Наука, 1983.

Другая глава начинается со слова «множество» уже
без того, чтобы говорить о «фигуре»: «Пусть О — мно-
жество точек на плоскости...».

В дальнейшем приводится, например, известное опре^
деление: «Выпуклым телом называется ограниченное
замкнутое множество с внутренними точками, которое
вместе с любыми двумя его точками содержит соеди-
’ няющий их отрезок». Тут же формулируется теорема,
в которой фигурирует понятие пересечения множеств:,
«Выпуклый многогранник есть пересечение конечного
числа полупространств, имеющих общую внутреннюю
точку».

О площади простых фигур и объеме простых тел пи-
шется как о функциях, определенных на множестве-
«простых фигур» и на множестве «простых тел».

Словом, понятие* множества используется в рассмат-
риваемом пособии достаточно широко. И так же широ-
ко это понятие вообще используется в сочинениях по
геометрии и играет, можно сказать, фундаментальную
роль, потому что, как уже сказано, общий предмет
геометрии — разного рода пространства и фигуры в
них — определяется как множества 3.

В некоторых случаях вместо того, чтобы определять
пространство как множество точек, пишут, что оно «со-
стоит» из точек. Так, например, в одном курсе геомет-
рии для университетов изложение открывается слова-
ми: «Геометрия разворачивается в некотором простран-
стве, которое состоит из точек Р, ф, ...». Впрочем,
дальше авторы определяют нужные им пространства
явно как- множества точек с соответствующими свой-
ствами 4.

Вообще множество в простом понимании — это то же,
что совокупность (так оно и определяется или разъяс- •
няется, например, в учебнике по алгебре и анализу).
Можно также сказать, что множество каких-либо эле-
ментов— объект, состоящий из этих элементов. Тогда
говорим- ли мы, что пространство или фигура — мно-
жество точек или состоит из точек — безразлично.

2. Понятие множества в школьных учебниках

Так именно и подходят к понятиям фигуры как мно-
жеству точек в учебнике под редакцией А. Н. Колмого-
рова. Ставится вопрос: что такое геометрическая фигу-
ра? Берется пример — окружность, замечают, что «лю-
бая окружность состоит из всех точек плоскости, кото-
рые находятся от центра на расстоянии, равном
радиусу этой окружности». Отсюда переходят к опре-
делению окружности как множества точек, находящих-
ся от данной точки на данном положительном расстоя-
нии. Обобщая, дают определение: «Геометрической фи-
гурой называется любое множество точек»5. Из ска-
занного можно заключить: говорится ли, что фигура
состоит из точек или что она есть множество точек —
это одно и то же.

В учебнике А. В. Погорелова на первой же странице
говорится, что «всякую геометрическую фигуру мы
представляем себе составленной из то^ек» (с. 3). Та-

3 Укажем только один пример: определение тополо-
гического пространства. Академик Л. С. Понтрягин-
формулирует его так: «Множество /? элементов какого-
либо ряда называется топологическим пространством,
если... каждому множеству М элементов_ пространства
К поставлено в соответствие множество М...» — и даль-
ше формулируются соответствующие условия (см.:
Понтрягин Л. С. Непрерывные группы.— М.: Наука,
1973, с. 61).

4 Дубровин Б. А., Новиков С. П„ Фоменко А.
Современная геометрия.— М.: Наука, 1979, с. 17, 409—•
411.

5 Колмогоров А. Н., Семенович А. Ф., Черкасов Р. С,
Геометрия 6—8/Под ред. А. Н. Колмогорова.—М.: Про-<
свещение, 1979, с. 9—10,
ким образом, в этбм учебнике фигура тоже представ-
ляется как множество точек, только это явно не выра-
жается. Между тем стоило к .сказанному о фигуре до-
бавить: «поэтому говорят, что фигура — это множество
точек», как получилось бы точное совпадение с опре-
делением фигуры в учебнике под редакцией А. Н. Кол-
могорова.

Далее, в учебнике А. В. Погорелова дается опреде-
ление отрезка: «Отрезком называется часть прямой, ко-
торая состоит из всех точек этой прямой, лежащих
между двумя данными ее точками» (с. 5). Очевидно,
это определение равносильно следующему: «Отрезком
называется множество всех точек прямой, • лежащих
ме’жду двумя данными ее точками». (Можно заметить,
что такое определение, вопреки общепринятому, исклю-
чает из отрезка его концы, но здесь оставим это без
внимания.)

В разделе, посвященном геометрическим построениям,
’ вводится понятие геометрического места точек: «Гео-
метрическим местом, точек называется фигура, состоя-
щая из всех точек плоскости, обладающих определен-
ным свойством» (с. 55). Но, как можно заметить, это
понятие оказывается лишним, если пользоваться поня-
тием множества. В самом деле, фигура, состоящая из
некоторых точек,— множество этих точек, поэтому гео-
метрическое место — попросту то же, что множество
точек. Так оно, между прочим, и объяснено в учебни-
ке самого А. В. Погорелова для педвузов, на который
мы уже ссылались; там вслед за определениехМ понятия
«геометрическое место» сказано, что «речь идет о мно-
жестве точек». *

В определении, правда, говорится о точках, «обла-
дающих определенным свойством». Но какие свойства
имеются тут в виду, не говорится. Между тем очевид-
но, что всякое данное множество точек как-то задается,
т. е. точки его чем-то выделяются — какими-то свой-
ствами. Если „этого нет, то просто бессмысленно гово-
рить о данном множестве. Исключение составляют за-
ранее указанные множества — прямые, введенные без
предварительного определения. Но свойством точек яв-
ляется, в частности, и то, что они принадлежат дан-
ной фигуре. Поэтому всякая фигура есть геометриче-
ское место $е точек 6. Но тогда проще сказать, что фи-
гура есть множество точек, и особое понятие геомет-
рического места лишается смысла. Особенно ясно это
видно на приводимом в учебнике примере: «Окруж-
ность можно определить как геометрическое место то-
чек, равноудаленных от данной точки». Это равносиль-
но тому, что окружность — множество всех точек, рас-
положенных на одном и том же положительном рас-
стоянии от данной точки.

Преимущество термина «множество» в сравнении
с тер.мином «геометрическое место» состоит в его крат-
кости, а главное — в том, что «множество» имеет об-
щематематическое значение и употребляется во всех об-
ластях математики.

Итак, что же мы видим?

Учебник А. В. Погорелова основан на той же тео-
‘ретико-множествснной точке зрения, что и учебник под
редакцией А. Н. Колмогорова. Разница в том, что

в последнем эта точка зрения выражена явно и про-
водится через все изложение с некоторыми излишества-
ми 7, тогда как в учебнике А. В. Погорелова она
не развита и прикрыта отсутствием самого слова «мно-
жество», замененного в специальном случае термином
«геометрическое место».

Так происходит метание из одной крайности в дру-
гую, что никак нельзя считать полезным для такого
трудного дела, как преподавание математики в школе.
А кроме того,. ввиду общематематического значения
термина «множество», широко употребляемого в геомет-
рии, скрывать его от учащихся представляется неумест-
ным. Получается, что теоретико-множественная точка
зрения как будто проводится, но в то же время как
бы скрывается под прикрытием «геометрического мес-
та». Зачем?

3. Иная, не теоретико-множественная
точка зрения в геометрии

Совпадение теоретико-множественных точек зрения
в' учебнике А. В. Погорелова и в учебнике под редак-
цией А. Н. Колмогорова выступит еще яснее, если рас-
смотреть, как изложено понятие геометрической фигуры
в известном учебнике А. П. Киселева. Учебник откры-
вается следующими словами введения 8:

«1. Геометрические фигуры. Часть пространства, за-
нимаемая физическим телом, называется геометриче-
ским телом.

Геометрическое тело отделено от окружающего про-
странства поверхностью.

Часть поверхности отделяется от смежной- части ли-
нией.

Часть линии отделяется от смежной части точкой.

Геометрическое тело, поверхность, линия и точка
не существуют раздельно. Однако при помощи отвле-
чения мы можем рассматривать поверхность независи-
мо от геометрического тела, линию — независимо от по-
верхности и точку — независимо от линии. При этом
поверхность мы должны представлять себе не имеющей
толщины, линию — не имеющей ни толщины, ни шири-
ны и точку — не имеющей ни длины, ни ширины, ни
толщины.

Совокупность каких бы то ни было точек, линий,
поверхностей или тел, расположенных известным обра-
зом в пространстве, называется вообще геометрической
фигурой.

Мы видим, что здесь первичным является понятие
пространства и вовсе не имеется в виду, что оно со-
стоит из точек; соответственно не состоят из точек
ни тела, ни поверхности, ни линии. Эти фигуры содер-
жат точки, но не представляются составленными из
точек. Это явно выражено в определении геометриче-
ского места точек:

«Геометрическим местом точек, обладающих некото-
рым свойством, называется такая линия или поверх-
ность или совокупность линий и поверхностей (вообще
такая фигура), которая содержит в себе все точки,
обладающие этим свойством, и не содержит ни одной
точки, не обладающей им» (с. 31).

Это определение отличается от данного в учебнике

6 Может возникнуть сомнение, что свойством точки
считается принадлежность ее данной фигуре. Но это
сомнение не основательно. Дело в том, что точка сама
по себе не обладает никакими свойствами; ее «свой-
ства» состоят в ее отношении к другим точкам и фигу-
рам, например, то, что она лежит от данной точки на
таком-то расстоянии или является точкой пересечения
двух данных прямых и т. п. Совершенно так же «свой-
ством» точки . является, например, и то, что она при-
надлежит данной прямой или лежит внутри данной вы-
пуклой области и г. п. Таким образом, наш вывод, что
фигура есть геометрическое место принадлежащих ей
точек, логически допустим.

7 Например, направление определяется как множест-
во сонаправленных лучей (с. 130). Таким образом на-
глядное понятие направления заменяется странным
представлением, что направление состоит из лучей (так
как множество состоит из .элементов). Еще, например,
говорится, что отношение подобия есть отношение экви-
валентности на множестве фигур плоскости (с. 220).
Это не только едва ли понятно учащимся, но остается
без всякого употребления, к тому же понятие о «мно-
жестве фигур плоскости» несколько спорно (например,
включаются ли сюда неизмеримые множества).

8 Киселев А. П. Элементарная геометрия — М.: Прсь
свещение, 1980> с. 4,
А. В. Погорелова тем, что здесь геометрическое место
содержит точки с данным свойством, но не говорится,
что оно состоит Из них.

Такое представление, что фигуры содержат точки, но
не составляются, не состоят из точек, более соответ-
ствует наглядному пониманию. Ни прямые, ни отрезки
не представляются наглядно состоящими из точек, на
них можно отмечать точки, но они не составляются
из точек. Отрезок проводят непрерывно по линейке,
но не строят по точкам. Это и невозможно. Так же
и окружность нельзя составить из точек, ее описывают
сплошной линией с помощью циркуля.

Таким образом, тот взгляд на геометрические фигуры,
что они содержат точки, но не составляются из них,
ближе соответствует как построению фигур, так и на-
глядному представлению.

В учебнике А. В. Погорелова говорится, что «мы
представляем себе геометрическую фигуру составлен-
ной из точек». Но на самом деле так никто не пред-
ставляет себе ни прямых, ни окружностей, ни каких бы
то ни было линий, поверхностей и тел. Эти фигуры —
будь то отрезок, окружность, квадрат и т. п.— высту-
пают в нашем представлении как нечто целое; их мож-
но отвлеченно мыслить как состоящими из точек, но
нельзя представить их себе составленными из точек.
Наглядно они представляются в их непрерывности бли-
же к тому, как о них говорится у А. П. Киселева.
В том же духе дается первоначальное понятие о фи-
гурах в учебнике Л. С. Атанасяна и^ Э. Г. Позняка
(Геометрия 6—8. М.: Просвещение, 1981).

Учебник А. П. Киселева известен своими высокими
достоинствами, в частности . последовательностью и
строгостью изложения, и это доказывает, что для из-
ложения элементарной геометрии теоретико-множест-
венная точка зрения вовсе не является необходимой.
Понятно, говоря о строгости изложения, надо понимать
ее соответствие принятому в учебнике уровню, вполне
достаточному для школьного курса. Изложение в ны-
нешних учебниках не является существенно более стро- *
гим (хотя возможно, скажем, строго аксиоматическое
изложение, идущее на более глубоком уровне* стро-
гости). ' 4

Не следует думать, будто изложенное в учебнике
А. П. Киселева понятие фигуры было принято им ради
популярности, из методических соображений и нагляд-
ности. Такое понимание было принято в математике па
самом высоком научном уровне в то время, примерно
100 лет назад, когда А. П. Киселев составлял свой
учебник (1-е его издание вышло в 1893 г.). В то время
теоретико-множественная точка зрения еще только
складывалась в математике. 1

Пространство определялось как протяженность или
как «место точек» (подобно геометрическому месту) 9.
Аналогично линия определялась как «однократная про-
тяженность», поверхность — «двухкратная протяжен-
ность», пространство — «трехкратная протяженность»,
тело — часть этой протяженности (и дальше мысли-
лись «протяженности» или «многократно .протяженные,
многообразия» любой кратности, любого числа изме-
рений) .

Такое понимание лежало в основе создаваемых
в XIX в. геометрических теорий, далеко выходивших
за рамки элементарной геометрии, так что не только
она, но и весьма общие теории «высшей» геометрии
обходились без теоретико-множественной точки зрения.
Однако она сложилась и возобладала в начале нашего
века как более глубокий, более утонченный взгляд на
предмет геометрии.

9 Например, о пространстве как «месте точек» писал
Ф. Клейн в своей «Эрлапгенской программе» (см.: Об
основаниях геометрии: Сборник классических работ -по
геометрии Лобачевского и развитию ее идей.— М.: Гос-
техиздат, 1956, с. 429; см. там же работу Б. Римана).

В частности, теоретико-множественная точка зрения
позволила проанализировать само понятие о «непре-
рывной протяженности» и дать его вариантам четкие
определения. В простейшем случае вопрос состоит
в определении того, что-значит «непрерывная кривая»,
«однократная протяженность»... Теоретико-множествен-
ная точка зрения .позволила также сделать предметом
исследования пространства и фигуры, существенно бо-
лее общие, чем те, какие рассматривались в геометрии
раньше. Но независимо даже от этих более общих
и более глубоких направлений исследования теоретико-
множественная точка зрения укрепилась в основания
геометрии, как это мы подчеркнули в начале нашей
статьи. Понимание фигуры как множества точек стало
общим стандартом. ,

С этим связано также более тонкое рассмотрение фи-
гур, когда выделяются, например, внутренность фигуры
и ее граница; даются точные определения понятий об-
ласти, тела и др.10.

Ввиду всего этого введение в курс элементарной гео-
метрии теоретико-множественной точки зрения пред-
ставляется необходимым, хотя возможно изложение и
без нее, как у А. П. Киселева. Вопрос в том, как, •
в каком объеме следует вводить соответствующие по-
нятия, можно ли обходить самый термин «множество»,
можно ли не давать определения границы, поверхности,
тела и другие, как это и сделано в учебнике А. В. По-
горелова. В нем, как мы выяснили, в начале выражена
теоретико-множественная точка зрения на фигуры. Но
дальше она остается почти без всякого употребления.

Надо еще иметь в виду, что сама теоретико-множе-
ственная точка зрения претерпела изменения, а вместе
с нею изменяется и взгляд на фигуру как состоящую
из точек. Но этот вопрос мы рассмотрим дальше.

4. Об обозначениях и терминах

С теоретико-множественной точкой зрения связаны
известные обозначения и термины: точка принадлежит
множеству А Л4, включение Мсз/У, объединение МиЛ',
пересечение Мр/У. Кроме того, в учебнике под редак-
цией А. Н. Колмогорова применяются обозначения:
отрезка [АВ], луча (АВ), прямой (АВ), длины отрез-
ка |АВ|. В учебнике А. В. Погорелова ни тех, ни дру-
гих обозначений .нет.

Учитель из Закарпатья, письмо которого мы цити-
ровали в самом начале, пишет: «Язык теории множеств
в геометрии по ново?! программе запрещают. Но язык
теории множеств в. геометрии учениками успешно
усваивается'и помогает быстро, красиво и нагляднее
оформлять задачи, помогает экономить время урока.
Почему мы все должны отбрасывать и не брать хоро-
шее, что было в старой программе, а возвращаться
к прежним записям по геометрии?»

Дальше в письме приводятся примеры записи уело- .
вий и решения задачи в прежних обозначениях, ука-
занных выше, и по новой системе.

В заключение автор письма пишет: - «Да не так уж
много обозначений в геометрии, и они вводятся по-
степенно, чтобы считать, что ученикам трудно. Я лично
за разумный язык множеств в геометрии, и без • него
тяжело».

Прежде всего, мне думается, следует понять, что
приведенные выше, принятые по прежней программе
обозначения, о которых пишет автор письма, вовсе
не обязательно связывать с теорией множеств, со взгля-
дом на фигуры как на множества точек. Этш обозна-
чения можно понимать й использовать и при наглядном
понимании, которое принято в учебнике А. П. Киселева.

В самом деле. Что .значит А^Л? Это значит, что
точка А содержится в фигуре Р. И это понятно без
всяких множеств.

10 Об этом коротко говорится в учебнике «Геомет-
рия 6—8» под редакцией А. Н. Колмогорова на с. 35.
Что значит ГсС?? Это значит, что фигура Е содер-
жится в фигуре О, как, например, вписанный много-
угольник содержится в круге.. Запись Е\)О обозначает
фигуру, слагающуюся из фигур Г и Ст, как, например,
параллелограмм слагается из двух треугольников.
Запись Е[\С обозначает общую часть фигур Е, О
или пересечение, как, например, пересечение шара
с плоскостью.

Все это наглядно понятно без теории множеств^ без
того, чтобы считать, что фигура состоит из точек. Оп-
ределять все это — включение, объединение, пересече-
ние — в духе теории множеств совершенно не обяза-
тельно, достаточно наглядного понимания. Например,
в учебнике А. В. Погорелова при обращении к вопросу
о площадях говорится об «областях», ограниченных
треугольником, параллелограммом и другими фигура-
ми, а также о «простых областях». Но определения
«области» не дается, не дается и определения того, что
значит «ограничивает» '(и оговаривается, например, что
имеются в виду «конечные части» плоскости, ограничен-
ные треугольником и др.). Говорится, что область на-
зывается простой, если она допускает разбиение на ко-
нечное число треугольников. Но «разбиение» не опре-
деляется. Все это должно пониматься наглядно, что
вполне допустимо. Но если здесь принята ссылка на
наглядное представление, то почему она не должна
быть допущена при рассмотрении, скажем, пересечения
плоскости с шаром?

Словом, если быть последовательным, то нет осно-
ваний не допускать наглядного, не связанного с теоре-
тико-множественным взглядОхМ понимания смысла всех
этих обозначений: А Е, Еаб, Е{)6, Е(]С.

Что же касается обозначений [АВ], [АВ), (АВ),
|АВ|, то они вовсе не связаны с теорией множеств.
Отрезок, луч, прямая, длина—это понятно и без нее.

Итак, все указанные обозначения имеют смысл и мо-
гут употребляться независимо от того, принимаем мы
теоретико-множественную точку зрения или придержи-
ваемся более наглядных представлений. Поэтому тем
более не видно оснований запрещать пользоваться эти-
ми обозначениями учителю, крторый находит их полез-
ными и может провести их применение без затруднений
для учащихся. Стремление запрещать в данном случае,
как и во многих других, касающихся преподавания,
есть не более как неуместное проявление бюрократиче-
ского стремления к «единообразию» при непонимании
.существа дела.

Можно вспомнить еще и другое обозначение множе-
ства. Например, окружность радиуса /? обозначается
так:

А={х| |ОХ| =/?}.

Это тоже можно понимать как обозначение не множе-
ства, а геометрического места точек в определении,
данном у А. П. Киселева, которое мы цитировали выше.

Мой личный взгляд на вопрос обозначений состоит,
коротко говоря, в том, что не следует придавать ему
слишком большого значения. Обозначения можно выби-
рать разные, лишь бы они были проще, и гораздо важ-
нее, чем форма записи задач и теорем, их наглядное
понимание и умение представить его грамотно рисун-
ком и, что особенно, важно, словесно, русским языком.
Часто поступающие ’ в вуз выпускники умеют писать
значки, но не умеют говорить.

Старое обозначение отрезка АВ, как, например,
у Киселева, кажется мне наилучшим, а скобки [АВ]
представляются совершенно лишними довесками. Для
обозначения других фигур можно, скажем, применять
слова или их сокращения, например: луч АВ, пр. АВ
(прямая АВ),— кому как кажется удобнее. Длину от-
резка можно обозначать как сам отрезок: АВ, посколь-
ку это не ведет к путанице. Ученик должен понимать,
о чем идет речь.

Недостаток понимания — это самый распространен-
ный недостаток. Пишут, говорят и толком не понима-

ют смысла сказанного не одни лишь слабые ученики.
Даже сами преобразователи курса геометрии недоста-
точно понимают некоторые аспекты предмета, в част-
ности содержание теоретико-множественного подхода.
Особенно показательными были нападки на теорию
множеств в известной статье академика Л. С. Понтря-
гина.

Там вместе с принижением этой теории как моды,
как только удобного языка, был, в частности, сделан
выпад против принятых в теории множеств «значков».
Но, как показано, эти «значки» не обязательно связы-
вать с теорией множеств, и решать вопрос об их упо-
треблении в школьном преподавании должны методи-
сты и, в первую очередь, сами учителя*.

5. Более современный взгляд

Принятое в учебнике А. В. Погорелова и учебнике
под редакцией А. Н. Колмогорова понимание фигуры
как состоящей из точек недостаточно соответствует на-
глядному представлению и современному понятию о
множествах.

В наглядном представлении, как мы уже подчеркива-
ли, фигура — будь то отрезок, окружность, квадрат,
и т. п.— выступает как нечто целое, не составленное
из точек, но содержащее их. Когда учащемуся в самом
начале курса говорят, что мы представляем себе фи-
гуры составленными из точек, он может заучить, но
представлять себе этого не будет. Поэтому такое из-
ложение приучает заучивать и произносить слова, ко-
торые остаются непонятными, тем более, что дальше
такое «представление» о фигурах почти не используется.
Определяют отрезок как часть прямой, состоящую из
точек, лежащих между двумя данными точками. Но
проще можно сказать, что отрезок — это часть прямой,
заключенная между двумя точками. У А. П. Киселева
отрезок определяется именно в таком духе, и это
не вело ни к каким недоразумениям.

Итак, с исходной точки зрения наглядного пред-
ставления и педагогического такта начинать преподава-
ние геометрии с понятия фигуры как составленной из
точек не следует. К тому же это понятие о фигуре
не согласуется с пониманием «множества», которое уже
не толкуется во всех случаях просто как совокупность.
Не обсуждая такого понимания множеств вообще, рас-
смотрим понятие о фигуре как множестве точек с этой
более современной, более точной и глубокой точки зре-
ния. Во-первых, фигура (множество точек) рассматри-
вается как «вещь», как целое в соответствии с нагляд-
ным представлением. Во-вторых, имеется в виду, что
фигура содержит точки и определяется своими точка-
ми,— т. е. если, например, две разными способами по-
строенные фигуры имеют одни и те же точки, то это
одна и та же фигура.

Именно это имеется в виду, когда говорится, на-
пример, о том, что уравнение задает данную линию —
прямую, окружность или какую-либо другую. Данное
уравнение задает линию, если эта линия содержит все
точки, координаты которых удовлетворяют уравнению,
и не содержит никаких других. Вспоминая определение
геометрического места точек у А. П. Киселева, можно
сказать, что линия задается данным уравнением, 'если
она является геометрическим местом точек, координа-
ты которых удовлетворяют уравнению.

Итак, фигура определяется своими точками — тем,
какие точки ей принадлежат, а какие — нет. Как, на-
пример, окружность определяется тем, чго ей принад-
лежат все точки, лежащие на данном расстоянии от
центра, и никакие другие. Это и выражают, говоря:
окружность есть множество точек, удаленных от центра
на данное расстояние.

Так всякая фигура определяется своими точками,
и в этом смысле есть множество точек. А будем ли
мы считать, что фигура «составляется» из точек —
не существенно и, самое главное, не имеет точного ма-
тематического смысла. В противоположность этому ска-
занное о фигурах выше можно выразить $ точных ак-
сиомах — «аксиомах фигуры».

В этих аксиомах фигурируют два рода объектов —
точки и фигуры, и отношение — точка принадлежит
фигуре, в обозначениях А $ А. Формулируем аксиомы.

1. Фигура определяется принадлежащими ей точка-
ми, т. е. если для фигур Р и О при А^ Р также А С С
и обратно при В^О также В^Р, то, фигуры Р и 6
совпадают.

2. Точка есть фигура, ей принадлежит она сама и
никакие другие точки.

3. Если дано какое-либо условие (свойство) для то-
чек, проверяемое для каждой точки, то существует фи-
гура, содержащая все точки с этим условием, и ника-
кие другие. I

Подразумевается, что условие выражается в основ-
ных понятиях аксиоматики геометрии, как, например,
у А. В. Погорелова: прямая, лежит между, численная
длина. ' -

Поскольку основным объектом служит также прямая,
то должна быть добавлена аксиома.

4. Прямая является фигурой.

'Первую аксиому, что фигура определяется своими
точками, и выражаем, говоря, что фигура есть мно-
жество точек. Но это вовсе не подразумевает, что опа
составляется из точек; это на самом деле и не нужно.

Третья аксиома выражает то же, что определение
геометрического места точек. Можно сказать, что по-
нятия «фигура», «множество точек», «геометрическое
место точек», выражают одно и то же.

Исходя из того, что фигура определяется своими точ-
ками, можно обычным образом определить понятия
включения Раб, объединения Р\]б, пересечения Р(](3.
Например, объединение /ДЮ — это фигура, которой
принадлежат точки хотя бы одной йз фигур Р и С,
и никакие другие.

Можно доказать, что для всяких двух фигур Р и б
существует их объединение. В самом деле, поскольку
фигуры Р и б считаются заданными, для каждой точ-
ки А предполагается известным (проверяемым), при-
надлежит она или Р или б. Поэтому согласно аксио-
ме 3 объединение Р\}б определено.

Изложенное понятие о фигуре представляется вполне
достаточным и строгим для элементарной геометрии.
Его и надо иметь в виду и на него опираться.

Но, разумеется, это вовсе не значит, что так и нуж-
но подавать понятие о фигуре в школьном курсе. 'На-
чинать лучше с наглядных представлений, как, скажем,
у А. П. Киселева или Л. С. Атанасяна и Э. Г. Позня-
ка. Как они вводят, например, понятие об отрезке:
«Отрезок геометрическая фигура. Мы представляем
себе отрезок как часть прямой, ограниченную двумя
точками» (это, несомненно, понятно без того, чтобы
говорить, что отрезок составляется из точек).

Такой наглядный уровень представления о фигурах
может сохраняться в курсе, пока не возникает необ-
ходимость углубить. его. Это необходимо при рассмот-
рении преобразований (отображений) фигур и задании
их уравнениями в координатах. Отображение происхо-
дит поточечно, и поэтому здесь необходимо явное по-
нимание того., что фигура определяется своими точка-
ми. Но и тут нет надобности излагать наши «аксиомы
фигуры»; это можно сделать дополнительно в конце
курса. Не будем подробнее развивать представленную
здесь концепцию и. Отметим только ее связь с совре-
менным пониманием «множества» вообще.

11 Опа проведена в написанном мною учебнике для
VI—VIII классов, изданном Институтом математики
сибирского отделения АН СССР. Несколько перерабо-
танный и дополненный вариант для VI класса выйдет
в 1984 г. в издательстве «Просвещение» с соавторами:
.4. Д. Александров, А. Л. Вернер, В. И. Рыжик. Гео-
метрия 6.

Множество понимается вообще не обязательно как
совокупность элементов, а как «вещь» («мыслимая
вещь»), которая находится в известном отношении
к другим «вещам» — «элементам», выражаемом слова-
ми: «элемент принадлежит множеству». При этом мно-
жество определяете^ ‘Своими элементами: если у мно-
жеств А4,.А одни и те же элементы, то это одно и то
же множество (как говорится в нашей первой аксиоме
для фигур). Но представление, что множество состоит
из элементов, как куча песка из песчинок, совершенно
необязательно. Понятие о множестве как «о мыслимой
вещи», или, короче, «вещи», было выдвинуто Д. Гиль-
бертом еще в 1904 г., когда он, по его собственным
словам, «впервые изложил... самостоятельное рассмот-
рение множества как «вещи» 11 12.

В заключение сделаем трр замечания.

1. Обратим внимание на диалектику в развитии по?
нятия фигуры. От прежнего представления о фигуре
как о целом, о «месте точек» произошел переход к по-
нятию о фигуре как о совокупности — о множестве
точек. Но затем последов^ как бы возврат к старому:
к пониманию фигуры как «вещи», как целого, содержа-
щего точки, определяемого или по не состоянию из них,
или не обязательно состоящего из них.

2. Понимание множества как «вещи», которая может
и не состоять из элементов, но определяется ими, де-
лает более понятными определения направления как
множества сонаправленных лучей и вектора как мно-
жества равных направленных отрезков. Направление
не состоит из лучей, но определяется ими, так же как
вектор не состоит из направленных отрезков, но опре-
деляется ими.

3. В понятии множества, в частности в понятии от-
резка (числового отрезка) как множества, выявляются
известные трудности, так что увлечение теоретико-мно-
жественным подходом может быть, подвергнуто крити-
ке. Но не будем входить•здесь в эти более глубокие
вопросы. Для школьного курса геометрии они нё име-
ют значения, поскольку мы не будем муссировать в нем
теоретико-множественные представления, придержива-
ясь изложенных более наглядных точек зрения.

6. Некоторые выводы

Сформулируем основные выводы.

1. В учебнике А. В. Погорелова принято то же по-
нятие фигуры, что в учебнике под редакцией А. Н. Кол-
могорова: фигура состоит из точек, есть множество то-
чек соответственно тому, что множество понимают как
совокупность. Тем самым в основе этих учебников
лежит одна и та же теоретико-множественная точка
зрения.

2. Разница в том, что в учебнике под редакцией
А. Н. Колмогорова эта точка зрения проводится после-
довательно и явно, с известными излишествами, тогда
как в учебнике А. В. Погорелова она используется мало
и прикрыта тем, что сам термин «множество» отсут-
ствует. Зато применяется термин «геометрическое мес-
то точек», совершенно равносильный термину «множест-
во» при понимании фигуры как состоящей из точек.

3. Понятие множества вообще является основным
в математике (одним из самых основных). Понимание
фигуры и пространства как множества точек принято
в современной геометрии и сплошь употребляется в ма-
тематической литературе. Поэтому исключение его из
школьного курса геометрии представляется недопусти-
мым, тем более потому, что принято теоретико-множе-
ственное понимание фигуры и вводится термин «гео-
метрическое место».

4. Изложение школьного курса геометрии возможно
и без теоретико-множественного взгляда. Пример дает

12 См.: Гильберт Д. Основания геометрии.— М.; Л.:
Гостехиздат, 1948 (добавление VII; в примеч. на с. 322).
учебник А. П. Киселева. Однако это слишком не соот-
ветствует современному пониманию и не содержит бо-
лее глубокого подхода, когда не только наглядно пред-
ставляются, но и определяются понятия границы, тела,
разбиения (прямая «разбивает» плоскость) и др.

5. Обозначения и термины, связанные с теорией мно-
жеств, как «принадлежит», «пересечение» и другие, мо-
гут наглядно пониматься в геометрии и без теоретико-
множественной точки зрения. Употребление этих и иных
обозначений — вопрос методический, поэтому при его
решении должно предоставлять достаточную свободу
учителю.

6. Следует вернуть в ,курс геометрии термин «мно-
жество» и, возможно, ввести некотооые пункты, свя-
занные с теоретико-множественной точкой зрения (как,
скажем, определение границы и т. п.). Вопрос в том,
как, в каком объеме, в каком месте курса это разумно
сделать. Но, во всяком случае, не представляется ра-
зумным бросаться из крайности в крайность — от тео-
ретико-множественных излишеств к полному затушевы-
ванию того, что связано с .теоретико-множественным
подходом.

7. Начинать изложение разумно с наглядного пред-
ставления о фигурах, соответствующего их построению.
Утверждение, что мы представляем себе фигуры со-
ставленными из точек, не согласуется с наглядным
представлением и остается малопонятным, хотя уча-
щиеся выучат все, что им скажут. Теоретико-множе-
ственный взгляд разумно вводить, когда в курсе по-
явится известная необходимость в нем у(при определе-
нии отображений и др.). Состоит ли фигура из точек
или мы представляем ее как целое, содержащее точки
и определяющееся своими точками,— это, в конце кон-
цов, для курса элементарной геометрии не существенно.
Но полезно понимать, что современный взгляд на мно-
жества и, соответственно, на фигуры вовсе не требует,
чтобы фигуры представлялись составленными из точек;
они определяются своими точками. Этот взгляд может
быть изложен в виде «аксиом фигуры» достаточно
точно для элементарной геометрии.

Замечания о понятии множества в
школьном курсе математики

А. Н. Колмогоров

, (Москва)

В 1965 г. под председательством А. И. Маркушевича
была организована1 комиссия АН СССР и АПН СССР
по определению содержания среднего образования.
.К 1968 г. подкомиссия, председателем которой я яв-
лялся, разработгкпа детальную программу по матема-
тике (см.: Математика в школе, 1968, № 2). Реализа-
цией этой программы явились пробные учебники по ма-
тематике для IV—V и алгёбре для VI—VIII классов
(под редакцией А. И. Маркушевича), геометрии для
VI—VIII и алгебре и началам анализа для IX—X клас-
сов (под редакцией А. Н. Колмогорова), геометрии для
IX—X классов (под редакцией 3. А. Скопеца). Пред-
полагалось, что работа как над программами, так и над
учебниками будет продолжена, причем будут созда-
ваться и параллельные учебники.

Программа предусматривала включение в курс ос-
новных теоретико-множественных понятий и их систе-
матическое употребление при построении всего курса.
Делалось это в весьма осторожной форме, существен-
но более умеренно, чем, например, во Франции и Бель-
гии. Однако в 1978 г. как программы, так и учебники
были подвергнуты резкой критике, заключавшейся,
в частности, в требовании практически полного отказа

от теоретико-множественного подхода к построению
курса.

В применении к геометрии несообразность такого по-
ворота на 180° показана в публикуемой в этом же но-
мере журнала статье А. Д. Александрова. А. Д. Алек-
сандров справедливо указывает, что теоретико-множе-
ственные понятия должны появляться, но делать это
надо постепенно, только в тех местах курса, где их
введение достаточно оправдано и поэтому будет хоро-
шо усваиваться учащимися. (В перечисленных же учеб-
никах для VI—VIII классов, а особенно для IV—V
классов часто сказывалось стремление заготовить, гак
сказать, эти понятия впрок, для далекого будущего.
В практике школы это приводило к специальной рабо-
те по «формированию системы теоретико-множествен-
ных понятий и обозначений», что несколько засоряло
курс малосодержательными формальными упражнения-
ми.) В частности, по мнению А. Д. Александрова,
представления о фигурах как множествах точек стано-
вятся продуктивными только тогда, когда речь идет
об отображениях одной фигуры на другую. Так об-
стоит дело, например, с понятием подобия фигу^>. Что
касается равенства (конгруэнтности), то на первых по-
рах (в IV—V, а может быть, и в VI—VII классах)
школу вполне удовлетворит обращение к интуитивным
представлениям о наложении одной фигуры на другую.

Ученик IV класса легко поймет, что значит, что
квадрат со стороной 10 см составлен из 100 квадратов
со стороной 1 см или 10000 квадратиков со стороной
1 мм. Но попытки объяснить учащимся этого возраста,
что квадрат составлен из точек, не дают ничего, кроме
заучивания ими непонятной формулировки.

Следует признать правильным и утверждение
А. Д. Александрова, что замена в учебнике А. В. По-
горелова выражения «фигура является множеством то-
чек» на «фигура состоит из точек», а выражения «мно-
жество точек» на «геометрическое место точек» не по-
могают делу. По существу, А. В. Погорелов вполне
последовательно стоит на теоретико-множественной точ-,
ке зрения.

В курсе алгебры представляется несомненной разум-
ность толкования области определения функции и со-
вокупности решений неравенства как множеств чисел.
Особенно убедительны потребности в теоретико-множе-
ственном языке при рассмотрении систем уравнений
и неравенств, например при решении системы

| х2 4- у2 = 1,
( х2 — у2 = (к

Здесь множество решений первого уравнения есть
окружность числовой плоскости, а множество решений
второго уравнения — объединение двух прямых. Их. пе-
ресечение состоит из 4 точек.

Что касается самого понятия функции, то в конце
концов учащиеся должны прийти к пониманию того,
что функция есть отображение ее области определения
на область значений. Но на более ранних ступенях
обучения такое понимание необязательно. Например,
функция у~!(х) может пониматься как закон вычис-
ления у' по х или функцией может называться само,
зависимое переменное в соотношении у = ((х) (возмож-
ные варианты изложения см., например, в пособиях
«Алгебра 6—8» Ш. А'. Алимова и других и Д. К. Фад-
деева).

Касаясь изучения в школе начал анализа, заметим,
что оно должно быть согласовано со ставшим уже
стандартным стиле1и его изложения в наиболее попу-
лярных книгах и кратких вузовских учебниках — все
они употребляют начатки теоретико-множественного
языка (см., например, книги Л. С. Понтрягина «Анализ
бесконечно малых» и «Математический анализ для
школьников»).
Возвращаясь к геометрии, считаю, что всякая аксио-
матика в современном школьном курсе должна стоять
на теоретико-множественной точке зрения *. Такова,
б частности, аксиоматика А. В. Погорелова, Но вопрос
о том/когда'начинать с учащимися разговор о логиче-
ском строении геометрии, следует • обсудить заново.
Опыт работы по разным вариантам учебников геомет-
рии в течение последнего• десятилетия показал, что
в начале курса VI .класса делать это преждевременно.

В п. 5 своей статьи А. Д. Александров развивает
еще одну возможную концепцию геометрии, в которой
фигурц относятся к числу основных понятий, лишь кос-
венно определяемых соответствующими аксиомами. Но
я не думаю, -что |сам А. Д. Александров считает воз-
можным в явном’ виде предложить эту концепцию
в школе.

Неудачной мне представляется попытка построения
аксиоматики планиметрии в , учебнике геометрии
Л. С. Атанасяна и других. Здесь к числу принимаемых7
без определения понятий относится понятие «наложе-
ние». Лишь из контекста можно заключить, что «на-
ложение» есть не что иное, как отображение плоскости
на себя> сохраняющее расстояния. Какой смысл автрры
придают термину . «фигура», остается совершенно неяс-
ным. Понятие фигуры не отнесено ‘к числу основных
понятий геометрии, но ему также не дано никакого яв;
чого определения. Текст приложения «Об аксиомах
планиметрии» . (см.: Геометрия ,7.— М.: Просвещение,
1983) заставляет предполагать, что в представлении
авторов класс всех фигур либо совпадает с классом
всех подмножеств плоскости, либо с каким-нибудь его
подклассом «элементарных множеств».

Александров А. Д. Математика и диалектика.— 1972,
№ 1, 2.

Болтянский В. Г. Ленинская теория познания и ма-
тематические абстракции.— 1970, № 2.

Болтянский В. Г. Ленинская теория познания и
проблемы школьного математического образования.—
1981, № 2. '

. Гнеденко Б, В. Теория отражения и математика.—
1975, № 4.

Ильин А. С. Философское значение геометрии
Н. И. Лобачевского.— 1957, № 3.

Математика в семье Ульяновых

Этот раздел состоит в основном из статей, опубли-
кованных в журнале «Математика в школе» в 1969—
1970 гг. к 100-летию со дня рождения В. И. Лепина.
Они содержат уникальный материал, который ранее,
нигде не опубликовывался.

Болгарский Б.~ В. Деятельность И.- Н. Ульянова ‘в
области методики математики.— 1954, № 1.

Болгарский Б. В. Илья Николаевич Ульянов — педа-
гог-математик.— 1969, № 3.

Волков Г. И. Математика в семье В. И. Ленина.--
1966, № 1. ,

Волков Г. Н, 'Воспитание в семье Ульяновых.— 1969,
№ 4.

Молодишй В. Ц. И. Н. Ульянов — педагог-матема-
тик.— 1970, № 3.

Молодишй В, Н. К вопросу о роли Н. И. Лобачев-
ского и его идей в жизни и деятельности И. Н. Улья-
нова;— 1970, № 6.

Общие вопросы коммунистического воспитание

Редакционные статьи

Коммунистическое
воспитание учащихся
в процессе обучения математике
(тематический указатель статей)

Предлагаемый тематический указатель1 призван об-
легчить учителю поиски нужного материала по назван-
ной теме.‘Он содержит перечень наиболее важных ста-
тей, опубликованных в журнале «Математика в шко-
ле» в основном в 1955—1983 гг. Статьи систематизи-
гэзаны по группам. Конечно, эта систематизация в ка-
сй-то мере условна, но она упрощает работу с указа-
телем.

Методологические проблемы математики

Киселева Н. А. Карл Маркс и математика.— 1969,
1.

Молодишй В.. Н. О математических рукописях
'Г Маркса.— 1969, № 1.

Рыбников К. А. Карл Маркс.— 1983, № 3.

Гнеденко Б. В. Фридрих Энгельс - о философских
"вблемах математики.— 1971, № 1.

Соболев С. Л. В. И. Ленин и естествознание.— 1980,

Гнеденко Б. В. В. И. Ленин и развитие математики
з Советском Союзе.— 1970, № 1.

Молодишй В. Н. В. И. Ленин и первые .шаги совет-
- :й математики.— 1972, № 5.

Гнеденко Б. В. В. Й. Ленин и математика.— 1980,

< неденко Б. В. Статья В. И. Ленина «О значении
з 1 :нствующего материализма» и математическое обра-
за ние.— 1982, № 4.

Указатель составил А. А. Малыгин (г. Куйбышев).

Воспитывать убежденных патриотов-интернационали-
стов.— 1969, № 5.

Воспитывать убежденных атеистов.— 1972, № 1.
г Об усилении научно-атеистического воспитания уча-
щихся средней общеобразовательной школы.— 1974,

№ 6.

Воспитывать патриотов-ленинцев.— 1975, № 1. ♦

Великий Октябрь и народное образование.— 1977,
№ 5.

Экономическое образование и воспитание учащих-
ся.— 1979, № 2.

Органическое единство учебного и воспитательного
процесса — важнейшая задача—1981, № 1.

Подборки статей

Коммунистическое воспитание учащихся в процессе
овладения основами наук.— 1979, № 3.

К 60-летию СССР, статьи о развитии математическо-
го образования в союзных республиках: Украинской,
Белорусской, Азербайджанской, Киргизской (1982,
№ 5); Казахской, Грузинской (1982, № 4); Армянской,
Таджикской, Эстонской (1982, № 6); Узбекской, Мол-
давской (1983, № 1).

Абаляев Р. Н. Учащимся IV—V классов о Продо-
вольственной программе СССР-*- 1983, № 5.

Александров П. С. О призвании ученого.— 1970, № 3.

Александров П. С\ Несколько слов по поводу речи
Лобачевского «О важнейших предметах воспитания».—
1977, №*2.

Болгарский Б. В. К вопросу о воспитательном зна-
чении преподавания математики:—1981, № 1.'

Вилкова Е. 3. Идейно-нравственное воспитание
старшеклассников в процессе познавательной деятель-
ности.— 1979, № 5.
Глаголева Е-. Г. и др. Вопросы формирования миро-
воззрения в процессе обучения математике.— 1979,
№ 5.

Гнеденко Б. В. О роли математики в ускорении тем-
пов научно-технического прогресса.— 1971, № 5.

Гнеденко Б. В. О воспитании научного мировоззре-
ния на уроках математики.— 1977, № 4.

Гнеденко Б. В. О развитии математики в нашей
стране за 60 лет Советской власти.— 1977, № 5.

Гнеденко Б. В. Школьный курс математики и воспи-
тание мировоззрения.— 1979, № 3.

Гнеденко Б. В. Развитие математики и математиче-
ского образования в СССР.— 1980, № 6.

Гнеденко Б. В. Математическое образование и мате-
матика в СССР за 60 лет.— 1982, № 6.

Гнеденко Б. В. О Продовольственной программе и
математике.— 1983, № 2. *

Гнеденко Б. В. О призвании учителя.— 1981, № 5.

Колмогоров А. Н. О воспитании на уроках матема-
тики и физики диалектико-материалистического миро-
воззрения.— 1978, № 3.

Конфорович А. Г. Советские математики в годы Ве-
ликой Отечественной войны.— 1975, № 2.

Литература к 111-й годовщине со дня рождения
В. И. Ленина.— 1981, № 1.

Лоповок Л. М. Задачи по материалам Продовольст-
венной программы СССР.— 1983, № 2.

Маркушевич А. И. Преподавание в» школе естествен-
но-математических наук и формирование научного ми-
ровоззрения.— 1976, № 2.

Маркушевич А. И., Маслова- Г. Г., Черкасов Р. С.
О развитии школьного математического образования в
СССР за 60 лет.— )977, № 5.

Минковский В. Л. Педагогические идеи и деятель-
ность академика А. А. Маркова.— 1952, № 5.

Минковский В. Л. Научно-атеистическое воспитание
учащихся в связи с преподаванием математики.— 1957,
№ 6.

Рубанова А. С. Идейно-политическое воспитание в
процессе обучения математике.— 1979, № 5.

Рыбников К. А. Об историко-методологических осно-
вах математического образования учителей.— 1981,
№ 5.>

Рязанова Л. Н. Опьгг использования элементов исто-
ризма в воспитании материалистического мировоззре-
ния учащихся в процессе обучения математике.— 1982,
№ 4.

История математики и математического образования
как одно из средств коммунистического воспитания
учащихся

Александров П. С. Лузинская математическая шко-
ла.— 1977, № 5.

Андронов И. К. О развитии школьного математиче-
ского образования в Советском Союзе.— 1973, № 1.

Барсуков А. Н. Исторический элемент в курсе мате-
матики V—VII классов.— 1956, № 1.

Гнеденко Б. В. Академия наук и развитие матема-
тики.— 1974, № 1.

Гнеденко Б. В. Академия наук и развитие матема-
тического просвещения в СССР.— 1974, № 2.

Гнеденко Б. В. Московский университет и матема-
тическое просвещение.— 1980, № 2.

Депман И. Я. Вопросы истории математики в науч-
но-атеистической работе учителя.— 1960, № 2.

Искра-Перевалова Л. А. М. В. Ломоносов и матема-
тическое образование в России XVIII века.— 1961, №5.

Колмогоров А. Н. Современная математика и мате-
матика в современном мире.— 1971, № 6.

Малыгин К. А. Развитие математики в Сродней Азии
в IX—XV вв.— 1955, № 3.

Малыгин К. А. Из опыта введения исторического
материала во внеклассной работе по математике.—
1956, № 1.

Мельников И. Г. Леонард Эйлер и элементарная ма-
тематика.— 1957, № 4.

Молод ший В. Н. Учение о числе в XVIII в первой
половине XIX века.— 1952, № 5.

Симонов Р. А. Борьба Т. Ф. Осиповского против
мистики в математике.— 1955, № 5.

Симонов Р. А. Первые русские математические жур-
налы — носители прогрессивных методических идей.—
1955, № 3.

Соболев С, Л. Преподавание математики в Совет-
ском Союзе.— 1973, № 1.

Сушкевич А. К. Обозначение чисел у разных наро-
дов.— 1948, № 4.

Швецов К- И. Славянская нумерация.— 1952, № 2.

Юшкевич А. П. Математика и ее преподавание в
России XVII—XIX вв.— 1947, № 1—6; 1948, № 1—5;
1949, № 1, З2.

2 Материал этих статей вошел в книгу того же ав-
тора «История математики в России».— М.: Наука,
1968.

(Окончание. Начало см, на с, 46.)

Широков П. А. Кратким очерк основ геометрии Лоба-
чевского.— 2-е изд.— М.: Наука, 1983.— 77 с.— 10 к.
100 000 экз.

Научно-популярные книги

Арнольд В. И. Теория катастроф.— 2-е изд., доп.— М.з
Изд-во МГУ, 1983.—80 с.— 10 к.-28 000 экз.

Гельфонд А. О. Решение уравнений в целых числах.—
4-е изд.— М.: Наука, 1983.— 63 с.— 10 к. 100000 экз.

Успенский В. А. Нестандартный, или неархимедов,
анализ.— М.: Знание, 1983.— 62 с.— 11 к. 29 980 экз.

Учебники и учебные пособия для средних учебных
заведений

Александров А. Д. и др. Геометрия: Пробный учебник
для 9—10-х классов средней школы.— М.: Просвещение,
1983 — 336 с.—40 к. 30 000 экз.

Баранов И. А., Богатырев Г. И., Боковнев О. А. Мате-
матика для подготовительных курсов техникумов. На
базе восьми классов средней школы.— М.: Наука,
1983.—336 с.—80 к. 200 000 экз.

Башмаков М. И. Математика. Экспериментальные
учебные материалы: Учебное пособие для СГПТУ.— М.:
Просвещение, 1983.— 224 с.— 40 к. 70 000 экз.

Гельфанд М. С., Простосердов В. П. Алгебра:' Учеб-
ное пособие для 6—9 классов вечерней (сменной) шко-
лы /Под ред. М. С. Гельфанда.— 6-е изд.— М.: Просве-
щение, 1983.— 416 с.— 55 к. 234 000 экз

Кондратьева Л. А., Соломоник В. С. Сборник вопро-
сов и задач по математике для поступающих в техни-
кумы.—М.: Высшая школа, 1983.—223 с.—40 к.
400 000 экз.

Методика преподавания математики

Василевский А. Б. Устные упражнения по геометрии:
VI—X классы: Пособие для учителя.— Минск: Народ-
ная асвета, 1983.— 80 с.—15 к. 58 000 экз.

Геометрия в 9 классе: Пособие для учителя /Под
ред. Г. Г. Масловой.— 2-е изд., перераб.— М.: Просве-
щение, 1983.— 128 о.— 20 к. 126 000 экз.

Минаева С. С. Вычисления на уроках и внеклассных
занятиях по математике: Пособие для учителя.— Мл
Просвещение, 1983.— 128 с.— 20 к. 235 000 экз.
ВНЕКЛАССНАЯ РАБОТА

XVII Всесоюзная
математическая олимпиада

Т. ▲. Сарычева, Ю. В. Нестеренко
(Москва)

Заключительный этап XVII Всесоюзной математической
олимпиады школьников состоялся в Кишиневе с 13 по
20 апреля 1983 г. В нем приняли участие 146 учащих-
ся: 125 победителей республиканского этапа и 21 при-
зер прошлогодней Всесоюзной олимпиады. В этом году
по решению Центрального оргкомитета олимпиады че-
тыре физико-математические школы при ведущих уни-
верситетах страны (Московском, Ленинградском, Киев-
ском и Новосибирском) прислали своих представите-
лей — по одному от параллели,— минуя республикан-
ские соревнования. Это позволило в командах РСФСР
и Украины увеличить число школьников из общеобра-
зовательных школ, в том числе из сельских.

Оргкомитет по проведению заключительного Всесоюз-
ного соревнования юных математиков возглавил зам.
министра просвещения Молдавской ССР В. Е. Лемне,
председателем Всесоюзного жюри был академик АН
УССР профессор МГУ Б. В. Гнеденко, его первым за-
местителем — член-корреспондент АПН СССР профес-
сор зав. лабораторией Института математики АН Мол-
давской ССР В. Д. Белоусов.

Соревнование, как обычно, проводилось в 2 тура.
Школьникам было предложено 8 задач. Нерешенных
задач не было, однако в каждой параллели оказались
2 задачи, с которыми справились от 2 до 8 учащихся.

Участники олимпиады, выполнившие более половины
всех заданий, стали победителями Всесоюзной олим-
пиады и были’ награждены дипломами и памятными
подарками. *

Приводим список награжденных.

Диплом I степени

X класс: Бриталс Янис (шк. № 1 Риги), Жуков
Игорь (шк. № 239 Ленинграда), Парновский Леонид
(шк. № 52 г. Львова), Семенов Александр (ФМШ при
МГУ), Черанс Карлис (шк. № 1 Риги).

IX класс: Абакумов Евгений (ФМШ при ЛГУ),
Богомольная Анна (шк. № 239 Ленинграда), Игнатьев
Константин (шк. 2 Москвы), Лев Марина (шк. № 130
г. Свердловска), Назаров Федор (шк. № 239 Ленин-
града), Этингоф Павел (шк. № 145 Киева).

VIII класс: Леонтьева Ольга (шк. № 298 Ленин-
града), Пентус-Мати (шк. № 1 Таллина), Скуиньш Ай-
нарс (шк. № 1 Риги).

Диплом II степени

X класс: Буриченко Владимир (ФМШ при НГУ),
Виннер Григорий (Шк. № 9 г. Свердловска), Ворожей-
кин Виктор (ФМШ при МГУ), Кохась Константин (шк.
№ 239 Ленинграда), Орлов Дмитрий (шк. № 8 г. Вла-
димира), Родионов Алексей (шк. № 444 Москвы), Са-
дэтов Семен (шк. № 14 г. Ростова-на-Дону), Седола
Сниедзе (шк. № 1 Риги), Харитонов Феликс (шк. № 38
г. Николаева).

IX класс: Астрелин Андрей (шк. № 121 г. Ново-
сибирска), Бураго Андрей (ФМШ при ЛГУ), Гочев
Георгий (шк. № 9 г. Дубны Московской обл.), Грунд-
мане Дайга (шк. № 1 Риги), Дуйсекулов Мадияр
(ФМШ при МГУ), Кабанов Александр (ФМШ при
МГУ), Оридорога Леонид (шк. № 64 г. Донецка),
Ртищев, Александр (шк. № 61 г. Фрунзе), Струков

Сергей (шк. № 85 г. Воронежа), Хрычиков Вячеслав
(шк. № 24 г. Севастополя).

VIII класс: Алексеев Роман (ФМШ при ЛГУ),
Басов Олег (шк. пос. Владимир-30 Владимирской обл.),
Батюта Сергей (Немешаевская школа Киевской обл.),
Биргер Александр (шк. № 6 г. Иванова), Иванов Лев
(шк. № 13 г. Саратова), Леонов Андрей (республикан-
ская ФМШ Алма-Аты), Малеванец Анатолий (ФМШ
при КГУ), Раджюнас Миндаугас (шк. № 23 Вильню-
са).

В свободное время юные математики познакомились
с историей Кишинева, его достопримечательностями,
особенностями архитектуры, скульптурными памятни-
ками, совершили экскурсию по пушкинским местам,
были гостями предприятий столицы: заводов «Счет-
маш» и ,«Виброприбор», НПО «Волна» и других, по-
сетили Молдавский государственный театр оперы и
балета. Для участников олимпиады были организова-
ны встречи с интересными людьми, математические ве-
чера и вечера интернациональной дружбы.

Большая • помощь в подготовке и проведении олим-
пиады была оказана партийными, советскими и комсо-
мольскими органами Молдавии. Активно участвовали
в работе представители научно-педагогической общест-
венности, сотрудники Института математики, препода-
ватели ведущих вузов. Ждали гостей и во Дворце
пионеров Кишинева. Особенно хочется отметить дея-
тельность членов научного общества учащихся «Виито-
рул», созданного при Дворце пионеров по инициативе
видных ученых Молдавии и работающего при их не-
посредственном участии. Члены общества «Вииторул»
организовали защиту творческих работ участниками
олимпиады, что явилось интересным новшеством в про-
грамме заключительного этапа; подготовили заседание
клуба «Эврика», интересно вели работу пресс-центра.
Под руководством главного редактора пресс-центра,
члена «Вииторул» Никиты Балашова выходили мате-
матические, юмористические, поздравительные, обод-
ряющие газеты, которые были постоянными спутника-
ми олимпиады.

Олимпиада прошла на высоком идейном, организа-
ционном и научном уровне.

Далее предлагаем читателям познакомиться с зада-
ниями XVII Всесоюзной математической олимпиады, с
их решениями, а также некоторыми комментариями к
ним.

.Олимпиадные задания предполагали довольно широ-
кие и глубокие знания школьниками программного ма-
териала. Они для удобства рассмотрения сгруппирова-
ны по тематике. Однако такое распределение, конеч-
но, условно, так как нередко решение задачи представ-
ляет собой комплекс различных идей и методов.

Задачи по алгебре и элементарным функциям

X. 1 1. Величины а и [3 двух, острых углов удовлет-
воряют равенству зт2 а+зт2 р = з1п (а+Р). Докажите,
что

а + ? “ т-

(П. Гусятников)

С задачей справились более половины десятикласс-
ников. Нерешившие задачу ошибались при выполнении
тригонометрических преобразований.

Решение. Данное равенство можно переписать в
виде

81П а(зш а—соз Р) =з1п Р(соз а—з1п Р).

1 Числа, стоящие перед условием задачи, указывают
класс, в котором предлагалась эта задача, и ее поряд-
ковый номер в задании. В скобках после условия за-

дачи указана фамилия ее автора,
Поскольку 81П а>0, 81П р > 0, то возможны лишь
следующие три случая:

( а > соз В > 0, ( 0 < 81п а < соз 3,

1) { 2) <

[ соз а > 81П р > 0; [ 0 < соз а < зш 3;

{зт а = соз 3
соз а = зт В.

В первом случае приходим к противоречию:

1 =81п2 а+соз2 а>>соя2 р+зт2 Р= 1.

Второй случай также невозможен:

1 =5ш2 аЧ-соз2 а<соз2 р+зт2 0=1.

В третьем'случае, пользуясь неравенствами 0<а<
тс и п

-у- и 0 < р < —, получаем а =

IX. 1. Решите систему уравнений

I у2 = х3 — Зх’ + 2х,

( х2 = у3 — Зу2 + 2у.

(А. Берзиньш)

Задача традиционна. Тем не менее примерно поло-
вина девятиклассников не смогла найти ее решение.

Ответ: (0; 0), (2+У2? 2+У2)", (2—У2Г2—/2).

Решение. Вычитая из первого уравнения системы
второе и группируя члены, получим

(х—у) (х2+х#+#2—2х—2у+2) =0.

Дискриминант квадратного (относительно х) трех-
члена х2+(у—2)х-\-у2—2у+2 отрицателен при всех у,
так что второй множитель положителен при всех х и у.
Отсюда х—у. Подставляя в первое уоавнение системы
уу = х, находим: х3—4х2+2х = 0, Х] = 0, х2 = 2+У2, х3 =
= 2—У2?

Существуют другие способы решения задачи. Напри-
мер, положительный знак второго множителя сразу же
следует из тождества

х2 + ху + V2 — 2х — 2у + 2 ==

Можно привлечь для решения исследование функций
(вычитая из одного уравнения системы другое, полу-
чим равенство ?(х) =?(у), где функция /(х)=х3—2х2+
+-2х, как легко показать, монотонно возрастает на всей
числовой прямой; из равенства {(х)= /(у) теперь сле-
дует х— у и т. д.).

IX. 6. Длина стороны прямоугольника раина 1 см.
Известно, что двумя перпендикулярными прямыми он
может быть разбит на четыре прямоугольника, три из
которых имеют площадь, не меньшую 1 см2, а четвер-
тый — не меньшую 2 см2. При какой минимальной дли-
не другой стороны прямоугольника это возможно?

(А. Савин)

С этой задачей справилась третья часть учащихся.
Ответ: (3+2172) см.

Решение. Пусть прямоугольник,
изображенный на рис. 1, удовлетворяет
условию задачи; $ь 82, $з, $4—площа-
ди маленьких прямоугольников, причем
$^1, $2^1, $з^2, $4^1. Легко ви-
деть. что справедливо равенство $|-$4 =
= $2-$з. поэтому

5, + 5. > - 2> 57^ > 2 / 2

- Ь, 52
$3 5-^

Рис. 1

и $,+$2+$3+$4^ 1 +2+2У2 = 3+2]72.

Отсюда следует, что длина незаданной стороны прямо-
угольника не меньше, чем (3+2у2) см. Легко проверить,
что прямоугольник со сторонами 1 см и (3+2у'2) см

удовлетворяет условиям задачи. При этом $1 = $4 =
= У2 см2, $2=1 см2, $з = 2 см2.

Отдельные участники решали эту задачу исследова-
нием некоторой функции на минимум.

Х.2; 1Х.2. Десятичная запись натурального числа К
содержит п знаков. Это число округлили с точностью до
десятков, полученное число округлили с точностью до
сотен и т. д. В результате последнего^ (п—1)-го по сче-
ту округления получилось число К. Докажите, что

(А. Григорьян)

Задача оказалась легкой, с ней справились и в IX,
и в X классах более 2/3 школьников. Для нерешивших
задачу были характерны логические ошибки.

Решение. Очевидно, что операция округления мо-
нотонна: если и Кг целые числа и К1^Кг» то
/(1

Пусть теперь а^1 — первая цифра числа К. По-
скольку (а+1) • 1071"1, то

К < (а+ 1)-10^ = (а + 1) . 10л-Ч

Далее, если

/<> а 44.. .45,

п - 2

ТО _____________

К> а 44...45 = (а + 1) • 10я-1,

/2—2

т.е. К = (а + и

К (а + 1) • Юп-1 (д + 1)-10п-«

/( < а 44^5 а.1о«-: + + (Ю«-*—1)+1

п—2 у

(а + 1)10"->

(а+^.Ю—

“ 1 + 9а + 4 < 1

42 + 1

а+ д

_5_____18

+ 13 “ 13*

Если же /<<а44—4, то К -С я 44.. .4 =* а • 10я—1.
>—.—• '—.—•*

ГГ—1 П — 1

к 18

а.10л->, то< 1 < -уу.

Х.4. Школьник упражняется в решении квадратных
уравнений/ Решив очередное квадратное уравнение и
убедившись в том, что у него имеется два корня, он
составляет следующее уравнение по правилу: свобод-
ный член равен большему корню, коэффициент при пе-
ременной х равен меньшему корню, коэффициенты при
х2 всех уравнений равны единице. Докажите, что это
упражнение не может продолжаться бесконечно долго.
Найдите наибольшую длину конечной последователь-
ности квадратных трехчленов, удовлетворяющих ука-
занному условию.

(А. С а в и н)

Для решения задачи требовалась логически стройная
цепочка алгебраических рассуждений. Это оказалось
по силам только четырем школьникам. Примерно 2/3
участников олимпиады не смогли даже выбрать пра-
вильный путь решения.

Ответ: 5.

Решение. Пусть первым написано квадратное
уравнение х2+рх+<7 = 0, а следующие за ним уравне-
ния таковы:

/Дх)=х2+р3х+4, = 0, |=1, 2, ... .

Рассмотрим несколько случаев.

а) /^2, и уравнение /Дх)=0 не

последнее. Так как на у-м уравнении процесс не обры-
вается, то имеем
р^—^/>0. 0)

По теореме Виета

+ (2)

.( Р] Я ] ~ Я/ — 1 »

т$к что, пользуясь неравенством р^Сд^и находим
Р;+^+Р^>0.

Последнее неравенство можно переписать в виде
0^— Рз(1+Я1)<Я>-

Пользуясь (1), получим

я] > р ] (1 + > 4^/ (1 Т ?/)’>

ИЛИ

Я) (4 я} + 1я, + 4) < о,
что невозможно, так как Итак, случай а) не-

возможен.

б) />3, 0<р}<д]. Из (2) следует, что 1<0,
и уравнение /,-1(х)=0 удовлетворяет уело-,
виям пункта а). Значит, случай б) невозможен.

в) /^4, р;<0, ^<0. Из (2) следует, что 1>0,
и уравнение (у-\(х)=0 удовлетворяет усло-
виям пункта б). Значит, случай в) невозможен.

Рассмотрим уравнение /4(х)=0, если оно сущест-
вует. Так как случай в) невозможен, то д4^0. Из не-
возможности случая б) следует, что р4^в. Теперь из
невозможности случая а) следует, что уравнение
/4(х)=0 последнее. Итак, последовательность квадрат-
ных уравнений не может содержать более 5 членов.

Последовательности уравнений длины 5 существуют.
Например:

1 , 7

Л(х) = хг — ~2~ х+ 4, /3(х) = х2—-ух—2,

11 , 25 77

/, (х) = хг + — х + 7, /, (х) = хг ——х + -у,

, „ 1925

/ (х) = х2 — 26 х---т—.

Поиск их нужно начинать, конечно, с а все

предшествующие восстанавливать с помощью фор-
мул (2).

1Х.4. Может ли быть периодической последователь-
ность, состоящая из последних цифр целых чисел

г) К/ТоН, п= 1.2,...;

б) [(/2)'|, п. =1,2,...?

Здесь [а] обозначает целую часть числа а.

(П. Гусятников)

Наличие двух пунктов, из которых первый является
подсказкой для решения второго, существенно упро-
щает эту задачу. Решение ее нашли более половины
школьников.

Ответ: а), б) нет.

Решение, а) ^Обозначим символом' ап последнюю
цифру числа [(у 10)п]. Если последовательность (ап),
п=1, ’2, ... периодична, то последовательность (а2й+1),
/? = 0, 1, ... будет также периодичной.

Действительно, если ал+р = ал, л > л0, то

а2(*+р)+1 — а2Л+1» 2 ’

Поскольку [(/Ю)2* + ’] = [юй/ю], то а2й+1, к -
== 1,2,..., равно #-й после запятой цифре в беско-
нечном десятичном разложении числа Но у^ТО—
иррациональное число. Значит, последовательность
(а2Л-н) ^периодична.

б) Обозначим символом рп последнюю цифру числа
[(у7 2 )л | <Из периодичности последовательности ((Зя),
как и в пункте а), следует периодичность последова-
тельности (Р2Ы-1), & = 0, 1, ... . Положим уй = 1, если
число рзй+1 нечетно, и уь=0, если Ргыч четно. Если
последовательность (Р2/1+1) периодична, то периодичной
будет и последовательность (уА), 6 — 0, 1...

Из неравенства [2х|—2 [х] 1 следует, что

0<[2й-/2’] — 2-12*-*./Г] < 1,

и поскольку “2*+1 — последняя цифра числа [2й-У2],
то

|2й-/2'] —2[2й-'-/2| = т*. к = 1,2

(1)

Так как .0 < 2к- /"2 — [2Л. / 2 ] < 1, то

0</2-

[2*-/2 ]
2*

Из равенств (1) следует, что

|2*-/Г| _ Ъ , [2*—1 -/2~|

2к ~ 2к 2*-‘

= ... = Ъ + 2 + 2г 4- ... + •

Это равенство говорит о том, что последовательность
(уь), 6 = 0, 1, ... есть последовательность цифр в
бесконечном двоичном разложении числа У 2. Если
бы она была периодична, то число V 2 было бы ра-
циональным, что неверно.

Геометрические задачи

1Х.З В треугольнике АВС точка О — середина стопи-
ны АВ, точки' Е и Е лежат на отрезках АС и ВС соот-
ветственно. Докажите, что площадь треугольника ВЕР
не превосходит суммы площадей треугольников АВЕ и
ВВЕ.

(С. Га шк о в)

Задачу решили примерно 2/3 школьников самыми
различными методами. В целом участники олимпиады
показали достаточно хорюшие навыки работы с геомет-
рическими неравенствами.

Решение. Отразим треугольник АВС симметрично
относительно точки В. Образцы точек С и Е обозначим
соответственно СА и Е\ (рис. 2). Тогда

^АйЕ^^ОЕ.В и $ВЕЕ = $ОЕ< Р’

Ввиду того что ВЕД)Е — выпуклый четырехугольник,
имеем

АВЕ + $ВйЕ = ^ВЕ.ОЕ > 5ВЕ.Р = $ПЕЕ-

VIII .8. Все четыре треугольника, заштрихованные на
рис. 3, равновелики. Докажите, что у ри четырехуголь-
ника, не заштрихованные на , нем, также равновелики.

Рис. 2
Чему равна площадь одного четырехугольника, если
площадь одного треугольника равна 1 см2?

(Б. Ч и н ик)

Эта задача, потребовавшая уверенного обращения с
подобными треугольниками, оказалась одной йз самых
трудных в VIII классе. Ее решили только 5 ч_еловек.

Ответ: (У54-1) см2.

Решение. Введем обозначения, как показано на
рис. 4. Проведем АС1 и ОВХ, они оказываются парал-
лельными, так как

= $А,ВХСХ 1 И ^ДОСх

Из подобия треугольников ААгС1 и ОА,В, и АВС,
и ОВВ, получаем

I АА, | | АС, | | ВС, | | В,С, |

| А,В, | ~ | ОВ, | “ ( ВВ, | 5=3 1 + | ВВ, | ’

Обозначим

I А А, | | ВВ, | | СС, |

I А,В, I | В,С, I ~ | С,А, I ~ с<

Тогда полученное нами соотношение можно запи-
сать так:

1
в“ 1 + -р.

Аналогично находим соотношения:
1 1
1 + — > с 1 + “>

откуда __

, чА 1. /5 4-1

я2—-0 — 1= 0 и а = Ь =» с =------2----’

Из соображений подобия имеем

I С,А | | АА, | /Г 4- 1

I АО | " I АВ, | ~ 2 ’

Откуда, в свою очередь,

1АР1 + 1АС11 2 1 л‘с’ 1

I С<Т| = I сс, I =’>

т е. ]РС1| = [С1С| и [ВС1] медиана* треугольника
ВСО.

Ввиду того что

$В1ВЕ $АХВ1С1’ имеем ^АХОВВ, *® $В,ЕСС,*

Это доказывает равновеликость всех трех четырех-
угольников.

Заметим теперь, что

I во I I вв, I /Г +1

| ОА 1 “I В,С, I = 2

и поэтому площадь ДВОС в раз больше пло-

щади ААРС. Обозначая, площадь одного четырехуголь-

ника через х1 получим уравнение

/5 + 1

(х + 2)--- -у7----2х + 2,

откуда х=]/5+1.

1Х .7. Внутри треугольника АВС выбрана произволь-
ная точка О. Докажите, что справедливо равенство

8а-ОА + 8в-ОВ + 5с-ОС = 0,

где 8а, Зв, 8с— площади соответственно треугольни-
ков ВСО, САО, АВО.

(В. Прасолов)
Задачу решила третья часть участников олимпиады.
Решение. Введем обозначения: а==|ОА|, Ь =
= |ОВ|, с=|ОС|, а = ВОС, р='СОА, у = АОВ,

еь е2> е3 —единичные векторы, сонаправленные соот-
ветственно с векторами О А, О В, ОС (рис.. 5). Тогда

1 1

= ~2~ зт а, 8В = -у- ас зш р,

8с = аЬ 81п 7,
и требуемое равенство принимает вид

з!п а-^1 4-5ш р • <?2 4-зт 7-г3 = 0. ,(1)

Отложим от точки О вектор ОТО = 51 п [3 • е2 и проведем
череф точку О прямую /, параллельную (АО). Обозна-
чим через Е точку пересечения прямых ОС и / (рис. 6).

Тогда АОЕ—ОЕВ — л—р, ЕОО — л—а, ЕОО = л—у.
По теореме синусов из треугольника ОВЕ имеем:

. , 51п (к —а) • | ОВ> |

। БО 1 = ----81П (Я-?)--- “ 51П

т. е. ОЕ = 81п а-б'ь аналогично ЕО =81П7«03. И так

как ОО 4- ОЕ 4- ЕО -^= 0, то равенство (1) доказано.

Были предложены также решения, использующие
разложение векторов по базису, скалярное произве-
дение, теорему синусов.

VI 11.3. Три круга попарно касались друг друга внеш-
ним образом в точках X, У, 2. Затем радиусы этих
кругов увеличили более чем в 2/УЗ раз, сохранив цент-
ры. Докажите, что каждая точка треугольника XVI
оказалась накрытой хотя бы одним из увеличенных
кругов.

(Д. Фон-дер-Флаасс)

Задачу полностью решили только четыре восьми-
классника. Остальные- участники, допуская логические
просчеты или доказывая неверные утверждения, не
смогли найти правильный путь решения этой- нестан-
дартной задачи.

Решение. Обозначим центры кругов буквами А,
В и С. Пусть О — точка внутри АХУ7 (рис. 7). По

Рис. 5

Рис. 6
Рис. 7

крайней мере один из углов ЛОВ, ВОС, СОА содер-
жит не менее 120°. Пусть 408^120°. Для доказатель-
ства теоремы достаточно показать, что

2 2

|ЛО| + |0В|<у=- |ЛХЦ--уу | ХВ| -=
»-^-МВ|.

Этот факт докажем, воспользовавшись теоремой коси-
нусов и неравенством между средним арифметиче-
ским и средним геометрическим:

| АВ 1г = 1 АО Р + |ОВ|г—2 I ЛО| • IОВI -соз 40В >
> | АО |2 + | ОВ |« + | АО | • I ОВ | -

-(| АО | + | ОВ | )2- | АО | • | ОВ | >
з

> —(|ЛО|+ |ОВ|)\

откуда следует требуемое неравенство.

Х.6. На сторонах АВ, ВС! С А треугольника АВС (но
не в вершинах) выбраны, соответственно точки О, Е, Р.
Обозначим через до, дь длины наибольших сторон
треугольников ОЕР, АОР, ВОГ, СЕР соответственно. До-
кажите, что

—2— т‘п

В каких случаях имеет место равенство?

(В. Солтан)

С задачей справилась третья часть школьников. Толь-
ко аккуратное сочетание как геометрических, так и ал-
гебраических рассуждений приводит решение задачи к
успешному завершению.

Решение. Пусть для некоторого треугольника АВС
и некоторых точек О, Е, Р (рис. 8) имеет место нера-
венство

Рассмотрим треугольник АОР. Поскольку

то [РЕ] не является наибольшей стороной треугольника
АОР. Значит, угол А—острый. Пусть для определенно-
сти [А/)] — наибольшая сторона в треугольнике АОР, и
пусть [ОН] — высота в треугольнике АОР, проведенная
из вершины О. Имеем |Я#| = | ДО|-зш А = д.\ 51п А, _и
/з 3

так как | ОН\|ОР\<^0< ——сД, то 81пА<~2~',

А<60° (напомним, что /.А — острый).

Аналогично получаем, что ^<60°, (?<60°, но тогда
А-{-5-|-^< 180°, что невозможно. Следовательно, во вся-
ком треугольнике АВС при любом выборе точек О, Е, Р
имеет место неравенство 2^3—пип (с?ь д2, с?з)«

Пусть б?0= .2^-3 гош (б/ь б?2, <*з). Рассуждая аналогич-

но, получим, что А<^60°/ 5 <60°, С<60° и, поскольку
А-р^+С= 180°, то А = /3 = С = 6О°, т. е. треугольник
АВС равносторонний. Кроме того, | ИР\ — | ОЕ | =
= \ЕГ\=а0 и рл-цдс], [д/п-цвс], [ое\л_[ав],
т. е. треугольник ОЕР также равносторонний, причем
его стороны перпендикулярны сторонам треугольника
АВС.

Х.З. Вершины тетраэдра АВСО ортогонально спроек-
тировали на две плоскости. Тонки Дь Вь С}, О} и Аъ Въ
С2, О2 — соответствующие проекции вершин. Докажите,
что одну из плоскостей можно переместить в простран-
стве так, чтобы прямые А1А2, ВгВ2, С\С2, ОД)2 стали

параллельными.

(А. Б е р з и н ь ш)

Задача непривычна по формулировке. Она требовала
от десятиклассников хорошего пространственного пред-
ставления, умения использовать теоремы, связанные с
параллельностью и ' перпендикулярностью плоскостей.
Задача оказалась одной из самых трудных. Ее полное
решение дали только 2 участника из 53, 7 человек пред-
ложили решение с некоторыми погрешностями.

Решение. Обозначим буквами Р н () плоскости, на
которые проектируется тетраэдр. Если Р||ф, то утверж-
дение очевидно. Если Р и ф не параллельны, обозначим
линию пересечения этих плоскостей через /. Плоскость
АА|А2 перпендикулярна прймой I (рис. 9), и если Л3 —
точка пересечения этой плоскости и прямой /, то
ЩАИз), ЩШ

Аналогичные утверждения справедливы и для точек В,
С, О. Значит, если повернуть плоскость Р вокруг пря-
мой I так, чтобы она совпала с плоскостью СД то пря-
мые А1А2, ^1^2, С\С2, О\О2 станут лежать в одной плос-
кости и будут перпендикулярны одной прямой I, лежа-
щей в этой же плоскости. Следовательно» эти прямые
станут параллельными. "

Задачи по теории чисел

VI 11.5. Натуральные числа пг, п, к таковы, что числе
тк делит пт и число пк делит Ьп. Докажите, что числе
тпк делит Ьт.

(С. К о н я г и н)

Большинство восьмиклассников решили эту довольно
простую задачу.
Решен и е. Воспользуемся следующим очевидным
соображением: если для некоторых чисел а и Ь число ап
делит Ьп, то а делит Ь. Имеем (тк)п = (тп) к, и это
число делит (пш)/1. В свою очередь, (пт)к — (пк)т, и
это число делит (кп)т — (/г™)п. Получили, что (тк)п
делит (/г™)п, откуда заключаем, что тк делит к™.

VII 1.4. Даны несколько различных натуральных чисел,
заключенных между квадратами двух последовательных
натуральных чисел. Докажите, что все их попарные про-
изведения также различны.

** , (Л. Курляндии к)

Несмотря на то что эта задача допускает различные
решения, она трудна и оказалась по силам только четы-
рем восьмиклассникам.

Решение. Достаточно доказать, что если л2<а<С
<Ь<с<.с1< (п-р\)2, то ад^=Ьс. Предположим против-
ное: ад=Ьс. тогда
а с и

Ь ~ а V 9

и и ,

где--— несократимая дробь. Так как > ч, то

и * х-

> I 4г С другой стороны, чжтта а,.Ь делятся

на V и п2, значит, 6^а4“^^>й2+у, поэтому

: 1 I)2 ,

1 V V Ь " П2 4- V

Умножая левую и правую части полученного неравен-
ства на у(п24-у) и приводя подобные члены, получим
неверное неравенство п2—2по-ру2<СО.

Задачи комби на горно-логического характера

VIII . 1. В сетке; изображенной на рис. 10, каждая
ячейка имеет размер 1X1. Можно ли эту сетку предста-
вить в виде объединения: а) 8 ломаных длины 5;
б) 5 ломаных длины 8?

(Н. Авилов)

Пункт а) оказался легче, и с ним справилось боль-
шинство восьмиклассников; по пункту б) правильные
решения дали только около трети учащихся.

Ответ: а) можно; б) нельзя.

Решена е. а) Обозначим некоторые узлы сетки, как
показано на рис. 11. Тогда сетка распадется в объеди-
нение восьми «клюшек»: К2Я3З3, РзВС,

ЛДСЛ, Р,Р2(^ Р2Р&„ РД)С.

Есть и другие способы решения.

б) Заметим сначала, что суммарная длина ломаных
равна суммарной длине всех линий сетки, поэтому ло-
маные не могут давать’ в объединении всю сетку и в то
же время, пересекаться по отрезку прямой. Следователь-
но, в каждой из точек /?ь /?2, #з, Оь,Сз, Оз, 52, 53,
Р\> ^2, Рг обязательно должен располагаться конец хотя
бы одной ломаной. Так как концов всего 12, то ломаных
должно быть не меньше шести.

IX .5. Группа детского сада построилась парами друг
за другом. При этом оказалось, что в каждом ряду

Рис. 10 Рис. 11

стоит поровну мальчиков и девочек, а число пар, в ко*
торых стоят девочка и мальчик, равно числу остальных
пар. Докажите, что число детей в группе делится на 8,

(А. С л и н ь к о)

Школьники предложили множество различных реше-
ний задачи и в подавляющем большинстве успешно с
ней справились.

Решение. Введем обозначения: (м, м)—количество-
мальчиков в первом ряду,, стоящих в паре с мальчика-
ми, (м, д) — количество мальчиков в первом ряду, стоя-
щих в паре с девочками, (д, м) и (д, д)—количество
девочек в первом ряду, стоящих в паре с мальчиками и
с девочками соответственно. Если а — количество пар, то
из условия задачй следует, что

а а

4 (м, м) 4- (м, д) = —, (д, м) 4- (д, д) = —, \

а . а

(м, д) 4- (Д> Д) = —, (м, м) 4- (д , м) = —,

(д, м) 4- (м> Д) = (м, м) 4- (Дг д).

Отсюда (м, д) — (д, м) = (м, м) = (д, д) и а = 4 (м, м).
Таким образом, число детей в Труппе в 8 раз больше
числа пар, в которых стоят одни мальчики.

VIII .6. В языке племени АББА две 'буквы. Известно,
кто никакое слово этого языка не является началом дру-
гого слова. Может' ли полный словарь языка племени
содержать 3 'четырехбуквенных, 10 пятибуквенных,
30 шестибуквенных и 5 семибуквенных слов?

(А. Сли нько)

Задачу решили больше половины восьмиклассников.

Ответ: нет.

Решение. Всего ^-буквенных слов 'может быть не
более 2к. Имеется 27= 128 семибуквенных комбинаций,
из них 3-23 = 24 начинаются с 3 четырехбуквенных слов
нашего словаря,. 10-22 = 40 начинаются с 10 пятибуквен-
ных слов и 30-2’ = 60 с 30 шестибуквенных слов. При
этом в силу условия задачи все эти семибуквенные ком-
бинации'различны. Поэтому семибуквенных слов в ело-,
варе может быть не более" 128—24—40—60 = 4, а их по
условию 5.

VI 11.2. На доске написали три целых числа. Затем
одно из них стерли и вместо него написали сумму двух
оставшихся чисел, уменьшенную на единицу. Эту опера-
цию повторили несколько раз, и в результате получили
числа 17, 1967, 1983. Могли ли на доске первоначально
быть записаны числа а) 2, 2, 2; б) 3,-3, 3?

(А. Берзиньш)

Логические рассуждения, связанные с данной задачей,
были доступны многим учащимся. Сложнее было обос-
новать ответ на вопрос пункта б). Однако половине
учащихся эго удалось сделать.

Ответ: а) нет; б) да.

Решение. Если на доске первоначально были за-
писаны числа (2, 2, 2) или (3, 3, 3), то в результате
наших преобразований отрицательные числа появиться
не могут. Пусть мы получили из одной исходной тройки
в процессе преобразований тройку чисел {а, Ь, с), где
0<?а<6<с. Тогда очевидно, что с = а-{-Ь—1 и что эта
тройка получилась из тройки чисел (а, Ь, х), где верно
одно из соотношений: х=а-]-Ь—1, Ь=а-\-х—I, а =
= 64-х—1.

В первом случае х — с, т. е. совершено тождественное
преобразование; во втором случае х = Ь--(а—Г) =
= с—2(а—1) и в третьем случае х = а—&4-1. Третий
случай отпадает, так как х должен быть положитель-
ным числом, и мы заключаем, что тройка (а, Ь, с) по-
лучилась из тройки (а, Ь, с—2(а—1)). Таким образом,
можно восстановить в обратном порядке весь ход пре-
образований:

(17, 1967, 1983) (17, 1967, 1951) <-(17, 1935, 1951) <-

<-...<-(17, 15, 31) <-(17, 15, 3) <- (13, 15, 3) <-...<-
<- ^5, 7, 3) <- (5, 3, 3).

Тройка (5, 3, 3) может быть получена из тройки
(3, 3, 3), но, как .легко проверить, никак не получится
из тройки (2, 2, 2).
В случае а) решение может быть получено значитель-
но проще, если заметить, что в каждой тройке, образо-
ванной из тройки (2; 2, 2), обязательно должны содер-
жаться два четных числа.

VIII.?. Можно ли в клетках бесконечного клетчатого
листа бумаги расставить целые числа так, чтобы в каж-
дом прямоугольнике размером 4X6 клеток, стороны ко-
торого идут по линиям сетки, сумма чисел была а) 10;
б) 1?

(Н. Н е ц в е т а е в)

Ответ в обоих случаях положительный. Школьники
пытались строить примеры расположения чисел. Но во
многих работах были попытки доказать, что требуемые
расположения невозможны. Задача оказалась трудной.
Полное ее решение дал только один восьмиклассник, и
еще в трех работах даны построения с незначительными
недочетами.

Решение. Рассмотрим две расстановки чисел, при-
веденные на рис. 12 и 13.

Здесь по диагоналям, отделенным друг -от друга 5
(рис. 12) и 3 (рис. 13) клетками, расположены единицы,
а в остальных местах — нули". В каждом прямоугольни-
ке 4X6 клеток сумма чисел равна соответственно 4
(рис. 12) и 6 (рис. 13). Если мы теперь наложим эти
расстановки одна на другую и сложим числа, попавшие
в одну и ту же клетку, то сумма чисел во всех прямо-
угольниках 4X6 клеток получившейся расстановки бу-
дет равна 10.

б) Возьмем теперь расстановки чисел, приведенных на
рис. 14 и 15. Здесь на тех же диагоналях, что в на
рис. 12 и 13, расположены единицы, чередующиеся с
нулями. Сумма чисел в прямоугольниках 4X6 клеток
равна 2 (рис. 14) и 3 (рис. 15).

Если теперь эти расстановки положить друг на друга
и из чисел второй расстановки вычесть попавшие в ту
же клетку числа первой расстановки, то в итоговой
расстановке сумма чисел в любом прямоугольнике 4X6
клеток будет равна 1.'

Х.7. Множество М состоит из к попарно не пересекаю-
щихся отрезков, лежащих на одной прямой. Известно,
что любой отрезок длины, не большей 1, можно располо-
жить так, чтобы концы его принадлежали множеству
Л!. Покажите, что сумма длин отрезков, составляющих

М, не меньше'

(Е. X у х р о)
Решение. Будем^ считать, что множество М располо-
жено на числовой Хпрямой и составлено из отрезков
1^1, [а2, Ь2]., ..., [аь, сц <Ь{ <а2<Ь2<.. ,<Ък.

Длины этих отрезков обозначим соответственно §1,

6а. Для каждой пары номеров I и /
через Мц обозначим множество длин отрезков с конца-
ми, лежащими на отрезках [аг, Ьг], |аь

Эти множества, очевидно, на числовой прямой образу-
ют отрезки, длины которых равны 6г, если с = /, и 67 +
4-6}, если г</. По условию задачи, сумма длин этих
отрезков не меньше 1. Следовательно,

61+ (б!+62) +...+ (6^6/г) +62+ (62+6з) +
. + (62+64)+- • - + 6*^1.

Легко убедиться, что в сумме, написанной в левой части
неравенства, каждое число 6;- (/=1, 2, ..., /г) встре-
чается к раз. Следовательно, это неравенство можно пе-
реписать в виде ^(61+62+.. .+6&) 1,

1
откуда 6; + 62+... + 6*^ . А это и требовалось до-

казать.

Все найденные школьниками доказательства похожи
на приведенное. Однако во многих работах содержатся
нечеткие рассуждения, вместо общего рассмотрения
разбираются конкретные примеры, теряются некоторые
варианты.

Х.8. В бесконечном десятичном разложении действи-
тельного числа присутствует каждая из цифр 0, 1, ..., 9.
Обозначим через хп количество различных цифровых
отрезков длины п, встречающихся в десятичном разло-
жении числа а. Докажите, что если для некоторого п
выполнено неравенство хп^л+8, то число а рацио-
нально,

> (А. К о л о т о в)

Решение задачи логически сложно. Найти его смогли
только 11 школьников.

Решение. Очевидно, что лг1 = 10 и что хп^.хп+\
для всех п. Докажем сначала, что если при некотором
п хп=Хп+ь то число а рационально. Действительно, в
этом случае каждая последовательность из п цифр,
встречающихся в разложении а, независимо от того, в
каком именно месте она встречается, при добавлении
следующей цифры превращается в одну и ту же после-
довательность из п+1 цифр (в противном случае имели
бы Хп+1>*Хп). Так как число различных последователь-
ностей длины гг из 10 цифр конечно, то существуй по-
следовательность длины п, которая встречается в разло-
жении числа а по крайней мере дважды.

Пусть а = а|а2... ал-^ал, а&+1... — десятичное разло-
жение а, и пусть ат+1 = а<+ь • •«т+п = а8+п, где
ш<5. Тогда, как отмечалось выше, ато+п+1 = а5+п+1.
Поэтому последовательности ап,+2, . ..♦ а„г+п+1 и
ав+2, ...» а«+п+1 одинаковы, так что ат4-п+2=«3+п+2
и т. д. В результате получаем, что ат+к—аз+ъ для
всех 6^1. Значит, десятичное разложение числа а пе-
риодично (период 5—т), т. е. число а рационально.

Рассмотрим теперь последовательность хь х2, ...,
Хп-ь хп и докажем, что при некотором к^п—1 вы-
полнено равенство хь = хь + 1. Действительно, если бы
для каждого к=\, 2, ..., п— 1 было выполнено нера-
венство Х/гСХ/г + 1, ТО ИМ6ЛИ бы

хп>хп-1 + 1 ^хп-2+2^ ,..^Х| + (м— 1) = п + 9>л+8,
что противоречит условию задачи. Итак, при некотором
к^.п—1, Хь=Хй-и и по доказанному число и рацио-
нально.

1Х .8. Докажите, что среди любых 2/п+1 различных
целых чисел, не превосходящих по модулю 2т—1, есть
три числа, сумма которых равна 0.

(Н. Карташов)

Задача была самой сложной в IX классе. Решение ее
требовало высокой логической культуры и нестандарт-
ных рассуждений. Четыре школьника сумели провести
четкое доказательство, в работах других рассматрива-
лись не все возможные случаи, имелись логические про-
белы.

Решение. Предположим, что т — наименьшее на-
туральное число, для которого утверждение задачи не-
верно, тогда, очевидно, т^З. Пусть также А — множе-
ство из 2/п-Н чисел, в котором сумма любых трех чи-
сел отлична от нуля. Если в А имеется 2т—1 чисел,
модуль которых не превосходит 2т—3, то утверждение
задачи неверно для т—1, что противоречит минималь-
ности т. Значит, в множестве А есть по крайней мере
3 числа, удовлетворяющих неравенствам 2т—2^ |х|

—1. Сменив, если это необходимо, знаки у всех
чисел из Л, будем считать, что в А присутствуют 2т—1,
2т—2 и или —(2т—1) или —(2т—2). В любом случае
в множестве А отсутствует 0.

а) Если в А есть числа ± (2т—1), то каждое из
2т—1 оставшихся чисел множества А попадает в одну
из 2т—2 пар- (/г, 2т—1—&), (—6, —2т-Н+&), к =
= 1, 2, ..., т—1. Значит, какие-то два числа из этого
множества принадлежат одной из указанных пар и в
А есть три числа, сумма которых равна 0.

б) Если в А присутствуют 2т—1, ± (2т—2) и отсут-
ствует — (2т—1), то оставшиеся 2т—2 числа удовлет-
воряют неравенствам 1^х^2т—3, —(2т—3)^х<^

—2. Каждое-из этих чисел, отличное от т—1, а та-
ких имеется не менее 2т—3, входит в одну из сле-
, дующих 2т — 4 пар: .

(Л, 2т—2—/г), (—к— 1, -(2т— I) 1),
к — 1, 2, .... т—2.

Опять получаем, что какие-то два числа из А принад-
лежат одной паре, и снова приходим к противоречию.

Заочная олимпиада
механико-математического
факультета Московского
университета

Эта олимпиада проводится уже не первый год. Задачи
подготавливаются специальным оргкомитетом, состоя-
щим из сотрудников мехмата МГУ. Проводят заочную
олимпиаду студенты мехмата во время зимних каникул
в школах, где они раньше учились. В 1984 г. оргко-
митет приглашает включиться в проведение олимпиады
учителей математики общеобразовательных школ.

Процедура проведения заочной олимпиады состоит
в следующем. Учитель знакомит учащихся с условия-
ми задач для соответствующего класса, отводит на их
решение четыре часа, проверяет работы школьников,
выбирает лучшие из них (любое количество) и, офор-
мив по указанным ниже правилам, посылает по адресу:
117234, Москва, МГУ, мехмат, ЗОММФ (телефон
139-39-43). Победители будут награждены. Лауреата-
ми олимпиады могут стать также участники, предло-
жившие оригинальные решения отдельных задач.

Правила оформления высылаемых ра-
бот. Работа выполняется в отдельной тетради*в клет-
ку. Замечания, возникшие при проверке, отмечаются
красным карандашом на полях. На первой странице
тетради приводятся следующие данные: фамилия и имя
ученика, класс, адрес ученика, адрес школы, фамилия,
имя и отчество учителя, проводившего олимпиаду, а
также родителей ученика с указанием места их рабо-
ты и должности.

Оргкомитет будет благодарен учителям, если они
сообщат, сколько всего школьников участвовало в
олимпиаде, свои замечания по условиям задач (неко-
торые из них новые) или предложения по проведению
олимпиады.

Проверенные работы необходимо выслать не позднее
15 апреля 1984 г. Решения задач будут опубликованы
в следующем номере журнала.

Примечание. Работа может быть выполнена от-
дельными школьниками без ограничения времени на
решение (например, дома, но самостоятельно), оформ-

лена по тем же правилам и выслана в наш адрес в
те же сроки непроверенной.

Задачи

VII класс

1. Доказать, что если в треугольнике величина каж-
дого из углов больше 59°, то она меньше 62°.

2. В 13-томном справочнике общая (сплошная) ну-
мерация страниц. Сколько страниц в одном томе, если
в каждом томе их поровну* а сумма номеров всех
первых и последних страниц всех томов равна 39 390?

3. Доказать, что сумма длин диагоналей выпуклого
четырехугольника меньше его периметра, но больше
полу периметра.

4. Доказать, что если а+&>2, то а4-|-д4>2.

5. Дано уравнение

Х]1 “I" + • • • + -^1983 = 1984.

а) Найти все натуральные решения.

б) Доказать, что целых решений бесконечно много.

6. Доказать, что если при игре в шашки предоста-
вить белым право выбора: пропустить или сделать свой
самый первый ход, то, как бы ни играли черные, белые
могут ходить так, чтобы не проиграть,

VIII класс

1. Найти все пары чисел р, д, каждое из которых яв-
ляется корнем соответствующего этой паре квадратно-
го трехчлена х2-\-рх-{-д.

2. Найти величину угла АОС, если АВСПЕ— пра-
вильный пятиугольник, а ООЕ — правильный треуголь-
ник.

3. Может ли число, в десятичной записи которого
цифра 4 встречается 3 раза, а все остальные цифры —
нули, быть квадратом целого числа?

4. Доказать, что уравнение

г1984 -и г1984 х х г1984 - V
х\ + 4- ... + х1984 = /V

\сотя бы при одном натуральном И не имеет целых ре-
шений. -

5. По произвольному треугольнику Ао строится тре-
угольник Аь вершинами которого являются три точки
касания сторон треугольника Ао вписанной в него
окружностью. Аналогично по А5 строится А2 и т. д.
Доказать, что величина любого из углов треугольника
Ау больше 59° и меньше 61°.

6. См. задачу 6 для VII класса.

IX класс

1. Можно ли любой прямоугольный треугольник раз-
резать на два равнобедренных равновеликих треуголь-
ника?

2. Пусть в выпуклом четырехугольнике А ВС И сторо-
ны АВ, СО параллельны и | АВ | +1 ВС\ = | СО\ +1 /1/)|.
Доказать, что | ВС | = | А О |.

3. Найти все функции {(х) и §(х), удовлетворяющие
тождеству

зт %+соз у = р<х) +Цу)+§(х)— ё(у).

4. Доказать, что найдутся 1984 подряд идущих 'на-
туральных числа, среди которых ровно одно простое.

5. Кузнечик прыгает по плоскости так, что длина
каждого прыжка равна длине предыдущего, умножен-
ной на константу д. Найти все значения д, при кото-
рых кузнечик сможет вернуться' в начальную точку.

6. См. задачу 6 для VII класса.

X класс

1. Может ли сумма расстояний от некоторой точки
до вершин треугольника быть меньше его полупери-
метра?

2. Выпускники школы, поступившие на мехмат МГУ,
рассказали учителю про свои экзамены по математике
(письменно и устно) следующее.
Андреев. Мои си:-.ки — дзе четверки.

Васильев. Я гл лучил пжйку и пятерку.

Семенов. А л—- чгтвгрку.

Потом они сознали:- каждый сообщил не свои
оценки, а оценки ей-.::: и: других. Учитель ска-

зал, что определит с и:-пи каждого, попросив лишь
одного из них прази.ж-.: -.азвать любую из своих оце-
нок. Кому он задал г:-.::: и как после этого опреде-
лил оценки каждого/

3. На прямых О А СВ ОС. не лежащих в одной
плоскости, выбраны тачки 4 В', С' соответственно.

При этом объемы тетеазе~оз ОАВС, ОА'В'С' равны и

| Л7О | 1 ' В'О | 1

| ЛО I " 2 ’ .ВО | “ 3 •

I С'О |

Найта ( С(>—.

4. Решить неравенство

ф + с15г Х1 - -?г х- с,85 *»+•••

... + х„5 - с^2 х„, < 1984.

5. Доказать, что для л-зсых натуральных чисел а, Ь, с,
й • можно найти такие коэффициенты а, р, у, '6

{__ 1; 0; 1}, что а:—р;—у2-т-62>0 и число аа+(3&+
+ус+6^ делится на И 1или таено 0).

6. См. задачу 6 для VII класса.

Метод гомотетии в решении задач ’

К. Петров

(НРБ, София)

В данной статье мы приведем несколько групп задач, в
основном на построение, которые решаются методом
гомотетии. Все задачи одной и той же группы объеди-
нены либо общей схемой решения, либо основной за- ’
дачей, к которой все они сводятся или из которой вы-
текают. Предлагаемый материал будет полезен учите-
лю, так как в нем нетрудно отобрать аналогичные за-
дачи для классной и домашней работы, для разных ва-
риантов самостоятельных, контрольных и других про-
верочных заданий, а также для внеклассной работы.

I. Наиболее многочисленную группу составляют тра-
диционные для школьного курса задачи на построение
треугольников, в которых задан только один линейный
элемент, а остальные заданные элементы — углы и
(или) отношения линейных элементов.

Методика решения таких задач известна: временно
опускается линейный элемент и по остальным данным
строится треугольник АД}С\, гомотетичный искомому
треугольнику АВС\ если т — данный линейный элемент
искомого треугольника, а т}— соответствующий ему
элемент построенного, то строят треугольник АВС, го-
мотетичный треугольнику 41В1СЬ с коэффициентом
к — т: т{. к

В указанных задачах углы и (или) отношения сто-
рон треугольника определяют его форму, а линейный
элемент — размеры. При этом в качестве линейного эле-
мента может быть взят один из следующих: стороны
а, Ь, с, высоты Иа, Ис, медианы та, тъ, пгс, биссект-
рисы 1а, 1в, 1с, радиусы В и г'описанной и вписанной
окружностей треугольника. Существуют и другие воз-
можности.

Имея в виду самые распространенные вь школе зада-
чи на построение треугольников, форму треугольника
можно определить, например, следующими элементами:

1 Перевод и редактирование выполнены Л. И. Кузне-
цовой,

(а, р), (а:Ь, у),’ (а .Ь -.Пс), (Я : тс, V). (с ; г: Я),
(с:2р, у).

Если к каждому такому условию добавить один из
линейных элементов, то получим задачи, решаемые по
общей схеме. Отметим, что размеры треугольника мо-
гут быть определены не только одним линейным эле-
ментом, но и линейной комбинацией линейных элемен-
тов искомого треугольника, например: (а-ЬЬ-Ьс).
(Д-р/?), (С-р^с), (^а-рАд), (2р—З^-р/?), (фаА~11зА~тс).

В. Рассмотрим следующие три задачи.

1. Даны пересекающиеся прямые а и Ь и точка М,
не лежащая на них Построить окружность, касающую-
ся данных прямых и проходящую через данную точку.

2. Даны пересекающиеся прямые I и I и точка 8, не
лежащая на них. Построить окружность с центром на
прямой I, проходящую через точку 5 и касающуюся
прямой I.

3. Даны прямая, т и различные точки А и В, не ле-
жащие на этой прямой, причем прямые пг и АВ не
перпендикулярны. Построить окружность, проходящую
через точки А и В и касающуюся прямой пг.

Решение 1-й задачи методом гомотетии хорошо из-
вестно учителю. А любая из трех приведенных задач
сводится к каждой из остальных, т. е. эти задачи эк-
вивалентны. Покажем, например, что 2-я и З^я задачи
сводятся к 1-й.

В самом деле, так как иско-
мая окружность /? во 2-й за-
даче должна касаться пря-
мой I и ее центр должен ле-
жать на прямой /, то окруж-
ность к должна касаться и
прямой Г, симметричной пря-
мой I относительно I (рис. 1),
Это значит, что окружность к
может быть построена, как
окружность, касающаяся пря-
мых I и Г и проходящая че-
рез точку 5.

В 3-й задаче искомая окружность должна проходить
через точки А и В, значит, центр О будет принадле-
жать оси симметрии п точек 4 и В (рис. 2). Задача
свелась ко 2-й и, следовательно, к 1-й.

Эту группу можно дополнить другими задачами; при-
ведем две из них.

4. Построить окружность, касающуюся двух данных
пересекающихся прямых а и Ь и данной окружности
к\(Оь гх). .

Проведем анализ в этой задаче. Предположим,
что окружность к(О. г) искомая (рис. 3). Построим
окружность к'(О, г4-г|).

Окружность к можно построить, если построена ок-
ружность к'. Но окружность к' проходит через точ-
ку 01 и касается прямых а' и к', параллельных соот-
ветственно прямым а и Ь и удаленных от них на рас-
стояние и. Таким образом, задача приводится к* 1-й.

5. Даны пересекающиеся прямые I и I и окружность
к\(О{, гх). Построить окружность с центром на пря-
мой (, касающуюся прямой I и окружности к{.

С использованием симметрии относительно прямой I
задача сводится к задаче 4, а затем к одной из за-
дач 1—3.

Рис. 2

Рис. 3
III. Приведем решение еще одной задачи.

Дан треугольник АВС. На сторонах, АС и ВС по-
строить соответственно точки М и Н, такие, что
\АМ\ = \ММ\ = \НВ\.

Анализ. Пусть точки М и Н построены (рис. 4)/.
Проведем (АО) II (МН) и (Н(2) || (АС). Четырехуголь-
ник АМНО — ромб, | А<2| = |Л/<2| = | ЛГВ|. Построим
образ ломаной А(^НВ при гомотетии Нк8, По-

лучим ломаную ХУХВ. Ее можно построить.

Построение. 1) X [ВС] (рис. 5).

2) /|| (АС), I-

3) Ге*:Пу)ШСЛ) и |ХК| = |ХВ|.

4) окр (У, |ХУ|).

5) 2е(АВ)Покр (У, |ХУ|).

6) Ломаная А(?Л/ — образ ломаной 2УХ при гомоте-
тии Нв, отображающей точку 7. на А.

7) (ЛШ) || (АО). [АС].

Доказательство. △ А(^Н — НВ(Л -?УХ), следо-
вательно, А($НМ ромб, т. е. |АМ'| = |Л4Л/|. АНВС> =
= Нв(АХВУ), следовательно. |ОЛЧ = |Л/В|. Отсюда
\АМ\ = |МЛ/| = \НВ\,

Исследование. Если через точку X 'провести
прямую х, параллельную прямой АВ, то (АВ) и точ-
ка У будут находиться в одной полуплоскости относи-
тельно эТой прямой. Точка X удалена от прямой АВ
на расстояние, меньшее, чем | ХВ |, или равное ему,
а от точки У — на расстояние | ХВ |. Значит, расстоя-
ние от точки У до прямой АВ меньше |ХВ|, поэтому
(АВ) и окр (У, |ХУ|) имеют две общие точки — ХиХь
Прямая АА/, параллельная прямой 2Х, пересекает отре-
зок ВС или его дополнение до прямой. Аналогично и
прямая ИМ пересекает отрезок АС или его дополне-
ние. до прямой. Итак, всегда существуют пары то-
чек М и Л/, но некоторые из этих точек могут оказать-
ся за пределами треугольника.

Приведенную задачу можно сформулировать и ина-
че: построить четырехугольник АВСО, если известно,
что |АР|=а, А = а, Д = б и |АВ| == |’ВС| = |СД|. .

На этих же задачах основано решение и следующих
двух задач.

1. Построить треугольник АВС по углу у и длинам
а А-с и Ь-}-с.

2. Даны окружности гх) и гг) « по од-
ной точке Л41 и М2 на каждой из них. Построить две
конгруэнтные окружности, которые касаются друг дру-
га и данных окружностей в данных точках.

(V. С применением гомотетии решается немало задач,
связанных с окружностью и прямой Эйлера. Сформули-
руем некоторые из них.

Пусть точки Аь Вь С. ~ середины сторон -ВС, СА,
и АВ произвольного неравностороннего треугольника
АВС, ,Н и М — точки пересечения сдответственно его
высот и медиан, О и Оь Д соответственно центры
и радиусы окружностей, описанных около треугольни-
ков АВС и АХВХСХ (рис. 6).

I) Докажите, что:

а) точки О, М и Н принадлежат одной прямой (пря-
мой Эйлера);

6) |ОЛ4| : |МЯ| = 1 :2:

в) 1С2/|=2|ОС11;

Рис. 4 Рис. 5 Рис. 6

г) = "2"

2) Докажите, что:

а) точки Ох, М и О принадлежат одной прямой;

б) [0^1 : |ЛЮ|=1 :2.

3) Докажите, чро:

а) 01 — середина отрезка 0Н\

б) '10М| : |М0!| : |О1/7|=2: 1 : 3.

4) Докажите, что точки Аь Вь Сь основания высот
треугольника АВС и середины отрезков АН, ВН и СН
принадлежат одной окружности (окружность девяти
точек или окружность Эйлера для треугольника).

5) Докажите, что точки, симметричные точке Н отно-
сительно. прямых, содержащих стороны треугольника,
принадлежат описанной окружности треугольника.

Возможности метода гомотетии далеко не ограничи-
ваются приведенными здесь задачами, и это убеждает
в целесообразности изучения гомотетии в школьном
курсе.

Гомотетия

как частный случай гомологии

Л. И. Кузнецова

(г. Горький)

В статье К. Петрова'хорошо показано, как можно ис-
пользовать гомотетию • при решении геометрических за-
дач. Питателю, вероятно, будет интересно взглянуть на
гомотетию с более общей точки зрения.

В системе геометрических понятий гомотетия занима-
ет важное место в идейном плане — перемещения и го-
мотетия создают базу для построения теории преобра-
зований подобия, которая составляет основу элемен-
тарной геометрии, поскольку она изучает свойства фи-
гур, инвариантные относительно группы подобий. Вмес-
те с тем гомотетия находит широкое применение при
доказательстве теорем и решении задач на доказатель-
ство, построение и вычисление, причем на'уровне, обес-
печиваемом программой восьмилетней школы.

Гомотетия плоскости представляет собой частный слу-
чай более общего преобразования, которое вводится на
проективной плоскости, и называется гомологией.

К каждой прямой на плоскости присоединим так на-
зываемую несобственную 1 точку. Все несобственные
точки плоскости образуют несобственную .прямую. Не-
собственные элементы обозначаются с индексом со, на-
пример: Моэ, аж.

Все прямые, параллельные одной и той же прямой,
имеют общую несобственную точку. Таким образом,
«несобственная точка» — то же самое, что «направле-
ние прямой». Несобственная точка А», может быть за-
дана любой собственной прямой а, которой Она при-
надлежит.

Пусть имеем собственную точку А и несобственную
точку Воо, заданную прямой Ь (рис. 1). Чтобы постро-
ить прямую а=(АВоо), нужно через точку А провести
прямую, параллельную прямой Ь.

.Зададим точку 5, прямую I и пару точек (А; АО
так, что 5$ (АА1). Точке 5 и каждой точке прямой I
поставим в соответствие саму эту точку. Точке X, от-
личной от 5 и не принадлежащей прямой I, поставим
в соответствие точку Хь которая получается следую-
щим образом: 1) строим прямую. АХ, она пересекает I
в точке Хо; 2) строим точку X] как пересечение прямых
АЛ и 8Х (рис. 2).

1 Иногда ее называют бесконечно удаленной, что ху-
же, потому что в проективной (и в аффинной) геомет-
рии нет понятия расстояния.
а) При заданном соответствии каждая точка плоско-
сти имеет образ, и притом единственный. В частности,
на рис. 2 построены образы точек У«> и 2, когда
(52) || /.

б) Каждая точка плоскости служит образом единст-
венной точки плоскости. Если, например, задана точка
Вь то строим точку Вц пересечения прямых I и А\ВЬ
а затем находим В как пересечение прямых 8В1 и
АВ0 (рис. 2.). На рис. 2 показано также построение
точки М по М1 „о.

Из выполнимости условий а) и б) следует, что за-
данное соответствие есть преобразование плоскости
(обратимое отображение плоскости на себя). Это пре-
образование и называется гомологией. Точка 5 называ-
ется центром, а прямая I — осью гомологии. В рас-
сматриваемом примере гомология была задана центром,
осью и парой соответственных точек. Возможны и дру-
гие способы задания гомологии.

Можно доказать, что при гомологии любая прямая .
отображается на прямую. Ось гомологии и любая пря-
мая, проходяшчя через центр гомологии, — двойные
прямые.

Различают два типа гомологий — центр гомологии не
принадлежит оси (рис. 2) и центр принадлежит оси.

Особо выделяются аффинные гомологии — г мологии,
у которых несоб. .енная прямая двойная. Если учесть,
что двойная прямая либо проходит через центр, либо
служит осью, то у аффинной гомологии центр или (и)
ось — несобственные элементы. Рассмотрим различные
случаи.

а) Если центр 5 гомологии — несобственная точка,
а ось I — собственная прямая и 5 $ I, то имеем гомо-
логию, которая называется родством. Построение обра-
зов точек при родстве, заданном осью I и парой соот-
ветственных точек (Л; А.), показано на рис. 3.

б) Если центр 5 гомологии — несобственная точка,
ось I — собственная прямая и 5 $ I, то имеем сдвиг
(рис. 4).

в) . Если центр — несобственная точка и ось — несоб-
ственная прямая, то гомология есть параллельный пе-
ренос (рис. 5).

г) Если центр 5 гомологии — собственная точка, а
ось I—несобственная прямая, то имеем гомотетию
(рис. 6). В самом деле, прямая АХ пересекает несобст-4
венную прямую I в несобственной точке Хо оо. Тогда

Рис. 3

Рис. 4

(Д^ооо) || (АХ). Значит, Х\ строится как точка пересе-
чения прямой ЗХ и прямой, параллельной прямой АХ
и проходящей через точку Дь

Таким образом, гомотетия плоскости есть аффинная
гомология с собственным центром и несобственной осью.
Этот частный вид гомологии и изучается в школьном
курсе геометрии.

Об одном паркете

В. Г. Болтянский

(Москва)

Рисунок, приведенный на обложке журнала, связан с
целой серией интересных задач, которые можно исполь-
зовать для занятий математического кружка. .Прежде
всего вспомним следующую известную задачу, она
имеется, например, в книге Ж. Адамара «Элементарная
геометрия» (М.: Учпедгиз, 1957; задача 45).

Задача 1. На сторонах произвольного треуголь-
ника АВС построены вне его квадраты АВМР и СВЫф
(рис. 1). Доказать, что отрезок МЫ перпендикулярен
медиане Вй и вдвое длиннее ее.

Решение. Воспользуемся равенством ЫМ = ЫВА-
А-ВМ. При повороте вокруг точки В на 90° вектор ЫВ
переходит в Ы'В (рис. 2), а вектор ВМ переходит в
В А. Следовательно, при этом повороте вектор ЫМ =
= ЫВ+ВМ переходит в Ы'В-[-ВА=Ы'А и потому век-
торы ЫМ и Ы'А перпендикулярны и имеют одинако-

——> > —- ——> — —>

вую длину. Но так как Ы'В = ВС-, то Ы'А = Ы'В+ВА =

= ВСА-ВА=2ВВ. Значит, векторы ЫМ и 2Вй перпен-
.дикулярны и имеют одинаковую длину. ,

* Следующие три задачи примыкают к рассмотренной.
Задача 2. При сохранении обозначений задачи 1
построен параллелограмм АВСК. Доказать равенство
треугольников ВМК и АВ К.

Решение. Мы уже знаем, что отрезки МК и ВК
имеют одинаковую длину (рис. 3). Кроме того, очевид-
но, что равны отрезки. ВЛ4 и А В, а также ВК, ВС, АК.
Следовательно, рассматриваемые треугольники равны
по третьему признаку.

На рис. 3 заштрихованы равные треугольники ВМК
и АВР. Но мы знаем, что равные фигуры могут быть
получены друг из друга некоторым движением. Каким
же движением &АВК переводится в △ ВМК? Требуе-
мое движение должно вершины А, В, К переводить со-
ответственно в В, М, К. Но ясно, что точки Л и В пе-
реводятся в точки В и М поворотом на 90° вокруг
пейтра 01 квадрата АВМР. Легко видеть, что и точка
К переводится этим поворотом в точку К, ведь вектор

АК переводится в перпендикулярный ему вектор, т. е.
в ВК. Итак, при повороте на 90° вокруг точки Ох точ-
•ки Д, В, К переходят соответственно в В, М, К, т. е.

△ АВЯ переходит в △ ВМК. Кстати, это дает новое
(и, может быть, более простое) решение задачи 1: при
этом повороте отрезок ВК переходит в отрезок МК,

Задача 3. Обозначим (при сохранении уже вве-
денных обозначений) через Р середину отрезка МК.
Доказать, что треугольник ОХОР— равнобедренный и
прямоугольный.

Решение. Так как при повороте на 90° вокруг точ-
ки 01 отрезок В К переходит в МК, то середина О от-
резка ВК переходит в середину Р отрезка МК. Следо-
вательно, отрезок ОХР) переходит в ОХР, т. е. отрезки
010 и 0\Р равны и перпендикулярны. Поэтому
△ ОХИР— равнобедренный с прямым углом при вер'
шине О, (рис. 4).

Задача 4. Пусть (при тех же обозначениях) 02 —
центр квадрата СВК(). Доказать, что ОХОО2Р— квад-
рат.

Решение. Поменяв ролями квадраты АВМР и
СВКО, мы докажем, как при решении задачи 3, что
Д О2ВР— равнобедренный с прямым углом при вер-
шине 02. Следовательно, ОХВО2Р — квадрат (рис. 4).

Перейдем теперь к построению такого рисунка,, как
на обложке. При повороте на 90° вокруг точки О)
треугольник АВК переходит в треугольник ВМК, и по-
тому параллелограмм АВСК переходит в параллело-
грамм ВМЬЙ (рис. 5). Значит, квадрат СВКС>, имею-
щий СВ своей стороной, переходит в квадрат ЬМКЗ,

Рис. 5

имеющий ЬМ своей стороной. Теперь видно, что точки
М, В, К переходят при рассматриваемом повороте в
точки Р, М, К и потому параллелограмм МВКЬ пере-
ходит в параллелограмм РМРТ. Продолжая таким об-
разом, мы заключаем, что изображенная на рис. 5 фи-
гура, образованная четырьмя параллелограммами и пя-
тью квадратами, переходит в себя при повороте на 90°
вокруг точки Оь Аналогично можно рассмотреть четы-
ре параллелограмма, примыкающие к сторонам квад-
рата СВК($ и переходящие друг в друга при повороте
на 90° вокруг точки О2 (штриховые линии на рис. 5).
Мы можем продолжить присоединение квадратов и па-
раллелограммов и в результате получим паркет — за-
мощение плоскости ’ повторяющимися фигурами без
пропусков и перекрытий. Этот паркет переходит в себя
при повороте на 90° вокруг центра любого квадрата.
Фрагмент такого паркета и показан на обложке.

В заключение приведем еще несколько задач, связан-
ных с этим паркетом. Чтобы их сформулировать, усло-
вимся называть квадратной решеткой систему точек,
получающи-хся при пересечении прямых, разбивающих
плоскость на равные квадраты.

Задача 5. Докажите, что центры всех параллело-
граммов, равных параллелограмму АВСК и входящих
в рассматриваемый паркет, образуют квадратную ре-
шетку.

Задача 6. Докажите, что центры всех квадратов,
равных квадрату АВМР и входящих в рассматривае-
мый паркет, образуют квадратную решетку.

Задача 7. Докажите, что центры всех квадратов
и всех параллелограммов рассматриваемого паркета
образуют квадратную решетку.

Задача 8. Докажите, что если ВН — высота тре-
угольника АВС, то точка Ь (рис. 5) лежит на пря-
мой ВН.

Задача 9. Докажите, что отрезки АЬъРС (рис. 5)
равны и перпендикулярны; отрезки АС? и ЬС также
равны и перпендикулярны.

Задача 10. Докажите, что отрезки А() и РС пе-
ресекаются на высоте ВН треугольника АВС.
ЗАДАЧИ

Решения задач этого номера должны быть отправлены
в редакцию не позднее 1 мая 1984 г. О правилах оформ-
ления решения задач см. на с. 78.

Задачи для 5 V—VIII классов

2681. При делении чисел 13 742 и 16 974 на некоторое
натуральное число п получились остатки соответствен-
но 1 и Чему равно п?

Математический кружок 173-й шк. Киева
(рук. Р. П. Ушаков)

2682. Может ли число 5714-1 делиться на число 5*—1
(п; к — натуральные числа)?

Математический кружок 173-й шк. Киева

2683. Построить график уравнения

11 2

х2 4- 1 у2 4- 1 = ху + 1 *

Математический кружок 173-й шк. Киева
’26$4. Может ли куб двузначного числа оканчиваться
цифрами 432?

Математический кружок 173-й шк. Киева

2685. Сколько членов арифметической прогрессии

2, 19, 36,. 53, ...
записываются одними тройками?

Математический кружок 173-й шк. Киева

2686. Доказать, что если х+у = г+1 (х, у, г, Ъ),
то число х24-г/24-г2-р/2 является суммой квадратов трех
целых чисел.

Математический кружок 173-й шк. Киева

2687. Через точку М данного прямоугольника прове-
дены две прямые, параллельные его сторонам. Найти
множество таких точек, чтобы два образовавшихся пря-
моугольника с одной общей вершиной М были подоб-
ны данному.

Т. В. Бурлакова
(Ивановская обл., г. Шуя)

2688. В треугольнике АВС В = 50°, С — 70°. Найти
углы треугольника 1НС, где Н — ортоцентр, I — центр
вписанной в треугольник АВС окружности.

И. А. К у ш н и р (Киев)

Задачи для IX—X классов

2689. Решить уравнение

х3 + 24 = Зл 4- 8 + х3 -р 12 .

2690.

Математический кружок 173-й шк. Киева
Для каких п X выполняется неравенство

< 4" < + 1)0?

Математический кружок 173-й шк. Киева
2691. Упростить выражение

(и + 4-) (з4+4-)-(194+4)

(2<+4) (4<+4-)... (2о<+4-)'

Математический кружок 173-й шк. Киева

2692. Последовательность (хп) определена равен-
ствами

X} — х% — 1, хп±1 = 1 •

х"-1+^г

Найти ее предел.

Математический кружок 173-й шк. Киева-

2693. В равнобедренном треугольнике для угла а
при основании выполняется соотношение зш3 а-р
4-81П2 а4-з!п а= 1. Найти отношение периметра тре-
угольника к диаметру описанной окружности.

С. Г. Губа (г. Вологда)

2694. Для каждой точки X треугольника АВС про-
водятся три секущие, параллельные его сторонам. В ре-
зультате этого построения образуются три треугольни-
ка, ограниченные двумя секущими и стороной треуголь-
ника. Пусть площади этих треугольников равны З^Х),
^(Х), 8з(Х)- Найти точку минимума функции

1(Х)=81(Х)+82(Х)+33(Х).

В. Н. Алексеев (г. Ишим)

2695. Дан треугольник АВС. Через прямую ВС про-
вести плоскость о, отличную от плоскости АВС, так,
чтобы угол ВАХС был конгруэнтен углу ВАС, где А) —
ортогональная проекция вершины А на плоскость о.

Э. Г. Г о т м а н (г. Арзамас)

2696. В правильной п-увольной пирамиде двугранные
углы при ребре основания и боковом ребре имеют ве-
личины а и р соответственно. Найти наибольшее зна-
чение выражения

соз а 4- соз

Р. П. Ушаков (Киев)

Неравенства

2697. Доказать неравенство

Г. Г. Алиханов (АзССР, с. Шорсу)
2698. Верно ли неравенство

з.----- з.---- з.------------

з1п 3- у соз 2 —81п 2-у соз 3 < у соз 2 соз 3 ?

Ф. Я. Магеррамов (АзССР, г. Тауз)

Геометрическое неравенство

2699. Точка Н—ортоцентр остроугольного треуголь-
ника АВС; [А/)], [В/7], [С/7]—высоты этого треуголь-
ника. Доказать, что

\АВ\ + \ВС\ + \СА\^2УЗ(\НО\А-\НЕ\А-\НР\).

Л. Д. Курляндчик (Ленинград)

Касательное расстояние между двумя окружностями

2700. В окружности со проведена хорда АВ и пер-
пендикулярный к ней диаметр СО. В сегмент АС В
вписана произвольная окружность а в точке О ка-
сается окружности со внутренним образом некоторая
данная окружность сог- Доказать, что касательное рас-
стояние окружностей и со2 не зависит от выбора ок-
ружности (Вр (Касательное расстояние — расстояние
между точками касания общей внешней' касательной
окружностей и сог-)

3. А. Скопец (г. Ярославль)
Решения задач,
помещенных з № 2 за 1983 г.

2581. 25 апельсинов стоят столько же рублей, сколько
их можно купить на 1 рубль. Сколько апельсинов мож-
но купить на 3 рубля?

Решение. Если 25 апельсинов стоят х рублей, то
на 1 рубль можно купить х апельсинов; следователь-

х 1

но, один апельсин стоит-^ = (р.), откуда х = 5.

Итак, на 1 рубль можно купить 5 апельсинов, а на
3 рубля — 15 апельсинов.

2582. Когда одинаковые шары из набора разложили
в виде равностороннего треугольника, то 30 шаров ока-
зались лишними. Но чтобы каждую сторону треуголь-
ника увеличить на 1 шар, не хватит 33 шаров. Сколь-
ко шаров в наборе? 1

Решение. Если сначала каждая сторона треуголь-
ника состояла из п шаров, то для увеличения ее на, 1
шар понадобится п+1 шар. На это пойдет 30 «лиш-
них» шаров, и не хватит 33 шаров; поэтому п+1 =63,
т. е. л = 62, а всего шаров было

1+2+ ... +62+30= (1+62) +(2+61)+ ... +(31+32) +
+30 = 63-31+30=1983.

2583. Найти пятизначное число, которое в 2 раза
больше произведения числа, составленного из его . пер-
вых двух цифр, и числа, составленного из трех его по-
следних цифр (в том же. порядке).

Решение. Из равенства хуг1Ь — 2ху-г1Ь, или

1000х1/+г/& = 2ху • гйгГ

следует, что 1000x1/ делится на 2ху—1, и поскольку
числа ху и 2ху—1 не имеют общих делителей, отлич-
ных от 1, то 1000 делится на 2ху—1. Поэтому нечет-
ное число 2ху—1 равно 25 или 125, так что ху рарно
13 или 63, а г1к равно соответственно 520 или 504.
Искомое пятизначное число равно 13 520 или 63 504.

2584. Найти все трехзначные числа, которые при лю-
бой перестановке цифр делятся на каждую свою цифру.

Решение. Ясно, что требуемому условию прежде
всего удовлетворяют числа с одинаковыми цифрами, и
далее мы этот случай рассматривать не будем. Кроме
того, если все цифры числа, удовлетворяющего условию
задачи, делятся ша некоторое число д, то, разделив это
число на б/, мы также получим число, удовлетворяющее-
условию задачи, и поэтому мы будем сначала считать,
что цифры искомого числа не имеют общих делителей
(отличных от 1).

Пусть теперь число хуг удовлетворяет условию за-
дачи. Так как цифры х, у, г равноправны, то можно
считать, что х^г/<2-. По условию, числа 100х+101/+
+? и 100х+10г+г/ делятся на г, но тогда и их раз-
ность 9(1/—г) делится на г, а следовательно, 9у делит-
ся на г. Аналогично, 9г делится на у, и из равенств
91/ = /гг, 9г = 1у получаем, что Ъ1 = 81. Поскольку у ^.2,
то />9, так что г равен одному из чисел у, Зу, 9у.

Аналогичные рассуждения показывают, что у равен
одному из чисел х, Зх, 9х; однако, по предположению,
числа х, 1/, г не имеют общих делителей, отличных от 1,
и следовательно, х=1, у, {1, 3, 9}. Но если 2=1,
то хуг=111, а этот случай мы уже рассмотрели; если
же г равен 3 или 9, то \у2 не делится на,г, и полу-
ченное противоречие показывает, что условию задачи
удовлетворяют только трехзначные числа с одинако-
выми цифрами.

2585. Числа а, Ь, с, д удовлетворяют равенствам
а+6+с+</=7, а2+&2+с2+с(2= 13. Какое наибольшее
значение может принимать число д?

Решение. Так как 2х//^х2+у2, то (а+&+с)2=
= а2+&2+с2+2й&+2йс+2&с^З(л2+&2+с2), и следова-

тельно, (7—^)2 3 (13—б/2), 2сГ—7б/+5 0,

5 _ 5

т. е. 1 Равенство с1 = имеет место при

а = Ь = с = —.

2586. Сколько существует треугольников у которых
числовые значения периметра и плошаои совпадают?

Решение. Если АВС — произвольный треугольник
с периметром Р и площадью 5, то подобный ему тре-
угольник с коэффициентом подобия ~ имеет периметр
ЪР и площадь Ь28. Равенство /гР = ->5 выполняется
Р

при^=“^~. Таким образом, среди треугольников, по-
добных данному, всегда найдется треугольник, удов-
летворяющий условию задачи и. следовательно, тре-
угольников, обладающих требуемы?/, свойством, беско-
нечно много.

2587. В окружность вписана траг.е .ил АВСО; про-
должения ее боковых сторон перс сек ио::.-. в точке М,
а касательные к окружности в тонких В и О пересе-
каются в точке К. Доказать, что (М.\/ АВ).

Решение. Пусть СОК = $, тогда ОВС = 3 (рис. 1);
далее, МОИ = АВО = СОВ = СВ\ = л Гоним образом,
в равнобедренных треугольниках МВ С и \ОВ углы
при основаниях ОС и ИВ соответственно оавны а+|3,
тогда и ОМС = ОИВ. Следователь.-: с. оьхугольник
МИ ВО вписывается в ' окружность. - поэтому угол
МВО, равный (3, конгруэнтен угл> 5! \В, а тогда

СОИ —МИО. Из равенства накрео~ .:-:.ездих углов
МИО и СОИ следует параллельность “гнмых МН и
ОС.

2588. На сторонах СА и СВ тссеиес льника АВС
(АС^У=90°) вне его построены поя.кои сильные равно-
бедренные треугольники САК и С ВС ;' = Е = 90°).
Доказать, что медиана ОС треугольники -СВ конгруэнт-
на и перпендикулярна отрезку, соединяйг у. и середины
отрезков В К и АЬ.

Р е ш е н и е. Обозначим середины огрев? св АЬ и ВК

соответственно через 0 м Р (рис. 2\ 1 сгдз СО =*
= АК и ОР = -у- ЬВ, откуда ОР = ОР — 00 =

= Д- (ЬВ + АК)- Кроме того, СО = Д- СК + СЬ).
При повороте плоскости /?90° векторы .-К и ЬВ пе-
рейдут в векторы СК и СЬ, поэтому вектор 0Р пе
рейдет в вектор — (СК + СР) = СО.

Итак, | (?Р| = |С6| и ОР 1 СО.

2589. Сколько существует уравнений

х3+ах24-6х+с = 0 • (I)

' с различными коэффициентами . а, Ь, с. корнями кото-
рых являются числа а, Ь, с?

Решение. Пусть уравнение (1) имеет три раз-
личных корня а, р, V, т. е.

а2 а -г о.Ь 4- с = — а3,
. рг а + _р с = _ рз,

72 а + + с = — 73.

Будем сначала считать, что все корни уравнения от-
личны от 0. Рассматривая записанные равенства как си-
стему уравнений с переменными а, Ь, с и исключая а
из второго и третьего уравнений, получим

(а2 3 _ ар2) ь _|_ (а2 _ р2) с = аз $2 _ аг рз,

(а2 у— сх72) Ь 4- (а2 — 72) с = а3 72 — а273.

Поскольку а=г=$, то последняя система прини-

мает вид

( + (а + В) с = а2 ?2,

( «7* Н- + 7) с = С42 72,

и после исключения Ь получим, что с = —сфу, а тогда
после очевидных вычислений будем иметь 6 = сф+ау4-
4-[Зт, а = — (а+р+у). Если теперь уравнение (1) удов-
летворяет условию задачи, то, по доказанному, выпол-
няются равенства

а = — (а+Ь+с), Ь = аЪ-[-ас-\-Ь'с, с = —аЬс,. (2)
Так как с#=0, то аЬ— — 1, и пеовые два равенства в
(2) принимают вид 2а2+ас—1=0, а2с—а—с4-1=0.
Переписав второе из них в виде (а2—\)с = а—1, заме-
тим, чт.о при т=1 из первого равенства получаем
с = —1=6, что противоречит условию, а при а=#1
имеем а<?ф-с=1, и первое равенство принимает вид
2а?—с=0, т. е. 1 = (а4-1)с= (а-М)-2а2, или

, 2а3-4-2а2—1=0. (3)

Исследование функции I (х) =2х3^-2х2—1 показыва-
2

ет, что она имеет точку максимума х = — при-

/ 2 \ 19

чем / ( —= —~27 является ее наибольшим зна-
чением на ]—со; 0], так что уравнение /\х)=0 не име-
ет отрицательных решений. С другой стороны, на
10; + <Х>[ функция I монотонна, Н—1) =— 1 <0, /(1) —
= 3>0 и, следовательно, уравнение /(х)=0 имеет ров-
но один (положительный) корень а0.

1 1

Убедимся, что числа а0> 60 = — и е0 = -—;—*

«О “Г ь

различны. В самом деле,

Ъ, = а» => «0=—1.

1 2 .

с0 = я0 => а0 = 1 4" 1 — 9,

что неверно и, кроме того,

6о г=г Со ай = аь 4~ 1 —ф* а§ = >

однако —~2“ не является корнем уравнения (3).

Таким образом, условию задачи удовлетворяет един-
ственное уравнение с корнями, отличными от 0. Если
один из корней равен 0, то с = 0, и мы должны найти
все квадратные уравнения вида х24-ах4-6 = 0 с коэф-
фициентами а, 6, отличными от 0 и друг от друга,

имеющие корни а и Ь. По теореме Виета получаем
систему

а+Ь = — а, аЬ — Ь,

откуда а=1, Ь=—2, и получаем окончательно, что ус-
ловию задачи удовлетворяют два уравнения:

х3 4- х2 —- 2х = 0, X3 4- д0 X2— X — —V"! = о,

, ^0 “Г 1

где а0 — единственный корень уравнения 2х3ф-2х2—
— 1 =0.

2590. Решить уравнение

•Ч + 4 + ••• + 4 + —(л-Л 4- х,хг + ...

... 4- х, х„ + х„) 0.

Решение. Записав левую часть уравнения в виде
/ 1 \2 3 / 2 \2

2 у 4- 4^-*’ з х,2 4*

- . 4 / 3 \2 5 / 4 \2

,4- 6 кХз— 4 х*) + 8 V4 — 5 х‘) +

б С 5 \2 7 / 6 \2

4 10 V5"- 6 Хе) Т 12 Vе ~ 7 х?) +<

, 8 / 7 \2 д / 8x2

+ 14 \х’ 8 х«у "* 16 у*»- 9 у •

получим, ЧТО '

1 2 6

== 2 » ’ • - • Х§ у Х^>

_ _7_ А
X? $ Х% Г Х8 д I
к

откуда х^=~д-, &€{1, 2,...,8}.

2591. Найти целую часть числа

4- ]/" п2 — л 4- V п2 ~ л . •<4->//Г «2 п9

где гп, п — натуральные числа, большие 1.

Решение. Заметим, что если в первом и вторам
слагаемых отбросим последние вычитаемые т и п, то
эти слагаемые станут равными соответственно т и
поэтому .данное число а меньше чем т+п.

С другой стороны, первое слагаемое больше чем
з-------- 1

у /п3 — т , что, в свою очередь, больше чем гп—;

в самом деле,

з,------ 1

у га3 — т > т — <=> тг — т> т* — т2 ф-

т 1

4~ — 27 27 т2 — 36 т 4~ 1 0 >

но, как легко видеть,

т 2=^27 т2—ЗБт-\-1 >0.

Аналогично получаем, что второе слагаемое больше

* /-----2

у пг — Следовательно, а>тф-п—1, так

что [а] = т+п—1.

' 2592. Доказать, что уравнение
хи+011 = 1311

не имеет решения в натуральных числах.

Решение. Считая для определенности, что х~^у9
заметим, что #<13, а тогда из неравенства (#+1)п^
^13п получим, что

^’+И^ТЗ11, (1)
Если теперь хн4-#н = 1311, то, в силу полученного не-
равенства (1), хи>11у10^ 11х10, откуда х>11. Но тог-
да

11 <х^у<13,

и, следовательно, х = г/ = 12. Однако эти числа не удов-
летворяют данному уравнению, и полученное противоре-
чие показывает, что оно не имеет решения.

2593. Доказать, что для всякого треугольника АВС
имев! место неравенство _

2 2 2

а2 Ь2 с2 4

Решение. Имеем:

и* т2с 1 + сг а*\,

аг~ + Ьг + с8 = аг \ 2 4 ) +

1 (с* + аг Ь* \ \ ( а*с1 X .

+ А2" \ 2 Т) 4 с2 X, 2 ~ 4 7

1 /А2 . с2 д2 о2 А2 X 3 .

~ ~2~ \Д72~ 4 о2" 4 "А2" 4 "А2" 4 ~ёг 4 Т?2 7 4 •

А2 аг сг аг сг Ьг

Но + -^—>2, + е1 >2, -& + с, > 2. по-

этому

2_ . 3 9

аг + />э + сг > 2 ‘6 — 4 = 4 '

Знак равенства имеет место при а = Ь = с.

2594. Доказать неравенство

У4д -|- 1 + 4Ь 4- 1 4- 4с 4- 1 < 7/2Г

при условии а-\-Ь-\-с—\.

Решение. Предполагаем, что подкоренные выра-"
жения неотрицательны. Рассмотрим два вектора

р = (1; 1; I) и = (>^4а + 1; /"4А + I; V 4с + 1).

По теореме Коши—Буняковского, имеем (р- у)2
р2 у2у или

(/ 4а + 1 + / 4А + 1 + 4с + I)2 < 3 (4а + 1 + 4Ь -)-
+ 1 + 4с + 1) = 3 (4 (а + А + с) + 3) - 3-7 - 21.

З.:ак равенства имеет место при а = Ь = с =* -1”.
и

2595. Дана правильная треугольная призма
АДСА^Ср Доказать, что если из трех диагоналей
АВХ, ВСЬ САУ две перпендикулярны,, то каждые две из
них перпендикулярны.

Решение. Дано: I АВ | « | ВС | = | С А | « а.
ААХ = ВВ! = СС1 = А (рис. 3). Имеем: АВХ = АВ + Л»
ВСг = ВС + А, СА! = СА + Л.

Вычислим скалярное произведение векторов АВ1
и ВС1:

АВ^ВС! = (АВ 4- Л).(ВС 4- А) = АВ • ВС +

Н Ь-(АВ 4- ВС) + Ь2 = а2 соз 120° 4- А« АС 4- А2 =»

-= -4<+л!-

Аналогичным образом доказывается равенство ^двух
других скалярных произведений выражению А2 — — а2.

2596. В сферу радиуса К вписана пирамида, -боковое
ребро которой проходит через центр сферы. Вычислить
высоту пирамиды, имеющей наибольший объем.

Решение. Пусть О — центр сферы, , О{ — центр
окружности, описанной около основания АВС, 5 — вер-
шина пирамиды, [551] —высота пирамиды (рис;. 4),
тогда |ОА| = |О5|=Я, (ООО -1- (АВС), (55<) II (000,
|$5] | =й = 2|ОО11. Учитывая, что из всех треугольни-
ков, вписанных в данную окружность, наибольшую пло-
щадь имеет правильный треугольник, имеем 1О|/4|2 =

= Р2—х2, где х = “2" А. Отсюда максимальная площадь
треугольника АВС такова:

3 г-

$АВС = ~^

Следовательно,

1 3 Г-

УАВСЗ~ — • — • /3(/?2-х8).2д -

=-^2— х(/?8 - л-2).

Рассмотрим функцию
/(х)=х/?2—х3, хС ]0> Я[-

Имеем:
р
/' (х) == К2 — Зх2 > 0 при 0<х<—7=-,

/' (х) « Д2 — Зх2 < 0 при —7=- < х < Д.

Итак, максимум функции будет при х= —, т. е.
Г 3

шах / (х) = /

7шах“ 2 ' /з" (Я ~ 3 ) ~ 3

и А == 2х= —7=“.

2597. Найти хотя бы один многочлен Р(х) с целыми
коэффициентами, для которого на отрезке 0,08^х^0,12
выполняется неравенство

|Р(х)—0,-1| < 0,0001. (1)

.Решение. Если х принадлежит рассматриваемому
отрезку, то

|10х— 11 < 0,2. (2)

^Если записать искомый многочлен Р(х) в виде
"ру Ф (•*)» то неравенство (1) можно переписать в виде

|<?(х)-1] < 0,001.

(3)
Таким образом требуется найти многочлен ф(х), все
коэффициенты которого делятся на 10, удовлетворяю-
щий неравенству (3) на рассматриваемом промежутке.

Естественно рассмотреть многочлен вида С(х) =
= (10х— 1)п+1, п— нечетно; для него неравенство (3)
принимает вид

. | (Юх-1)”| < 0,001,'

и тогда, в силу (2), достаточно подобрать п таким
образом, чтобы (0,2)п < 0,001, или 5П > 103. В резуль-
тате получим, что условию задачи удовлетворяет мно-
гочлен

Р(Х) =-^((1°л-1)5+ 1).

2598. Последовательность (ап) определяется по сле-
дующему правилу: Д1 = 3,

если ап делится на 2,
ая+1 = ] ая 4- 1983

----2---» если ап не делится на 2.

Доказать, что эта последовательность периодическая,
и найти ее наименьший период.

Решение. Члены данной последовательности явля-
ются натуральными числами, меньшими 1983, и мы бу-
дем рассматривать эти числа по модулю 1983. Тогда
правило, задающее последовательность, можно перепи-
сать в виде ап = 2ал+ь откуда а1 = 2пап+1. Сравнение
3 = 2П-3 будет выполняться, если 3-2П—3 делится на
1983, т. е. если 2П—1 делится на 661. По теореме Эйле-
ра, это условие выполняется при наименьшем значе-
нии ц = ср(661) =660 и, следовательно, наименьший пе-
риод данной последовательности равен 660.

2599. В окружности проведены две параллельные со-
направленные хорды АВ и СО. Построить на хорде АО
такую точку М, чтобы хорда окружности, делящаяся
точкой М пополам, была параллельна данным хордам.

Решение. Диаметр Р(^, перпендикулярный данным
хордам, делит их пополам, причем точки А и И лежат
по разные стороны от диаметра (рис. 5), поэтому диа-
метр пересекает хорду АО в некоторой точке М.
Хорда ЕР, параллельная данным и делящаяся точ-
кой М пополам, является искомой.

Итак М=[ДР]Л [Р<3].

2600. На плоскости комплексных чисел даны три
точки: А(а), В(Ь), С(с), не принадлежащие одной пря-
мой. Повторить точку О(сР) такую, чтобы

а — с а — с!

Ь — с ~ Ь — й

Решение. Во-первых, замечаем, что точки А, В, С
различны и

Ь (а — с) 4- а (Ь — с)
а---------а + 6 — 2с ’ '

т. -е. точка О, удовлетворяющая условиям задачи, един-
ственная. Далее,

а — с а — й

Ь — с ' Ь — (1 ~ 1 • •

Рис. 6 Рис. 7

Оказалось, что двойное отношение четырех точек есть
число вещественное. Это значит, как известно, что все
четыре точки принадлежат одной окружности <о, опи-
санной около треугольника АВС.

Наконец, из условия задачи следует

| а — с | | а — (I | | ОД | | С А |

| Ь - с I = \Ь -4 I ’ или I Б В I = I СВ I •

Полученная пропорция показывает, что точка И лежит
на окружности Аполлония (он), построенной по точ-
кам А и В и отношению | С А | : | СВ | (рис. 6). Следо-
вательно, окружность (01 проходит через точку С и пе-
ресекает прямую АВ в точках Е и Р, являющихся ос-
нованиями соответственно биссектрис внутреннего и
внешнего углов при вершине С треугольника АВС.
Если | С А | = | СВ |, то окружность Аполлония вырож-
дается в серединный перпендикуляр. Вторая точка пе-
ресечения окружности Аполлония (или серединного
перпендикуляра) и окружности АВС и есть искомая
точка О.

Можно показать, что касательные к окружности
АВС в точках А и В пересекаются в некоторой точ-
ке М, такой, что прямая СМ пересекает окружность
АВС в искомой точке О (рис. 7).

Интересно отметить, что каждая из точек А, В, С,
О аналогичным образом строится по трем другим.

Четырехугольник АВСО обладает замечательным
свойством: произведения его противоположных сторон
равны. Такой четырехугольник называется гармоничен
ским.

Замечания к решениям задач

Задача 2582 не вызвала затруднений, но большинство
читателей использовали при ее,решении формулу сум-
мы п членов арифметической прогрессии, хотя задача
предназначалась для младших классов. Мы привели ее
«элементарное» решение, основанное на том же прие-
ме, что и выведение указанной формулы.

В условии задачи 2583, к сожалению, допущена опе-
чатка, однако большинство читателей правильно опре-
делили, что слово «удвоенного» в условии явно лиш-
нее, и решили задачу в авторской формулировке. Не-
которые из них, впрочем, решили задачу и в предло-
женном, и в исправленном виде.

Для многих читательских решений задачи 2584 харак-
терна неполнота перебора, хотя .ответы были правиль-
ными.

Практически все читатели решили задачу 2586 на ос-
нове выражения площади треугольника через периметр
и радиус вписанного круга. Мы привели несколько
иное решение.

В решении задачи 2589 лишь немногие обратили вни-
мание на необходимость ' доказательства того факта,
что уравнение с коэффициентами, зависящими от «не-
известного» числа а0, имеет различные коэффициенты.
Нам кажется, что этот логический пробел весьма су-
ществен.
Типичной ошибкой в решении задачи 2590 было за-
ключение, что из неравенства т~\-п—2<А<т-[-п следу-
ет, что '[А] = т-4-п—1.

Задача 2592 допускает простое решение, основанное
на соображениях делимости: поскольку делит-

ся на а делители числа 1311 имеют вид 13А и,
кроме того, оба числа х и у меньше 13, то х-|-с/= 13.
Большинство решивших эту задачу рассуждали имен-
но таким образом, но в дальнейшем либо тщательно
перебирали все возможные случаи, либо ограничива-
лись указанием на очевидность того, что прй х-Ку=13
данное уравнение решений не имеет. Между тем этот
факт можно доказать и строго, и быстро: действитель-

> х . у

но, поскольку -уу и -уу—положительные числа, мень-
. С х V’ / х (у V' у

шие 1, то^ -уд- ) < 1з") < "ру» а следовательно,

/х \П / у\п

(-уу ) (-уу ) < I. Отметим еще, что этот метод ре-

шения существенно использует нечетность показателя
степени (11), и поэтому мы привели выше решение, ос-
нованное на других идеях.

В решении задачи 2598 ряд читателей, правильно вы-
числив период 660 заданной последовательности, не до-
. называли, что этот период является наименьшим. Отме-
тим также, что в одном из писем содержится непо-
средственный подсчет 660 первых членов последова-
тельности, требующий, очевидно, огромного труда.

Задача 2587 не вызвала больших затруднений. При
ее решении были использованы теоремы об измерении
углов М'ежду хордой и касательной, подобие треуголь-
ников, тригонометрические вычисления, метод коорди-
нат. Однако отдельные читатели рассмотрели частный
случай, когда центр окружности принадлежит основа-
нию трапеции. Такие решения были признаны неудов-
летворительными. Заметим, что данную трапецию и па-
ру касательных можно было рассмотреть как вырож-
денный шестиугольник. В этом случае успешно приме-
няется теорема Паскаля о вписанном в окружность
шестиугольнике.

Несмотря на опечатку, вкравшуюся в условие зада-
чи 2588, большинство читателей прислали прапильные
решения, заменив самостоятельно неправильно напеча-
танное обозначение вершины. ♦ При решении были при-
менены геометрические преобразования, традиционные
теоремы — метрические соотношения в треугольнике.

В задаче 2594 в правой части неравенства был поте-
рян знак корня квадратного; это привело к тому, что
часть читателей не смогла восстановить правильно усло-
вие задачи, и поэтому их попытка найти решение не
привела к цели.

В задаче 2596 неверных решений мало. Однако мно-
гие читатели приняли пирамиду за треугольную, хотя
в условии задачи такого ограничения не было. Более
того, некоторые считали, что в’ основании пирамиды
находится правильный треугольник или квадрат.

Задачу в общем случае многие решали правильно
двумя способами: вычислением объема пирамиды и на-
хождением экстремальной высоты пирамиды и спосо-
бом использования описанного около пирамиды конуса.

Задача 2599 решена практически всеми; присланные
решения основаны на применении либо принятых в шко-
ле теорем о параллельных хордах окружности, либо
комплексных чисел.’

В задаче 2600 требовалось использовать комплексные
числа как наиболее рациональный способ решения. Од-
нако было прислано всего 6 верных реФений, что сви-
детельствует о слабом владении решающими методом
комплексных чисел.

Г. В. Дорофеев

(Москва)

3. А. Скопец
(Ярославль)

Сводка решений задач
по № 2 за 1983 г.

.В номерах задач опущены первые цифры (25 или 26).

Алейдаров В. С. (г. Махачкала) — 81—83, 86, 87, 90,
92—94. Алиев Н. М. (г. Кировабад) — 81—84, 87, 88,
91, 92, 94—96. Амирзаев А. А. (АзССР) — 82, 83, 86,
87, 92—95. Аляев А. В. (Пензенская обл.) — 8Ь—88,
92—96. Арутюнян А. В. (ГССР)— 93—96. Байжанов А.
{Хорезмская обл.)—81, 82, 86, 94. Бортная М. И.
(Киевская обл., г. Тетиев)—81, 82, 84, 86, 92, 94, 95.
Буваматов Ф. Т. (Андижанская обл.) — 84, 86, 93, 94.
Бямбасурэн Д. (Монголия, Дундговь)—89, 91—93.
Веребейчик И. Я. (Ленинград)—81—96, 98—00. Гаджи-
ев . С. С. (Дагестанская АССР)—81, 82, 84—86, 93—
95. Гахраманов М. И. (АзССР)— 81—83, 85, 89, 93.
, Гемуев А. А. (г. Нальчик)—81—88, 92—96. Голова-
чев Е. А.. (Белгородская обл.)—81—89, 91—99. Грачи-
кова К. С. (Московская обл., г. Ожерелье) —81, 82, 86,
87. Гулуа И. Л. (Тбилиси)— 81, 82, 84—87. Джабба-
ров М. Б. (АзССР)—81—83, 85, 90, 92—94. Его-
ров П. В. (г. Рязань)—81, 83, 84, 86, 87, 92, 94—96.
Емелюшин И. С. (г. Барнаул) —81—84, 86—89, 93—96.
Закаряев Б. Ш. (АзССР) — 81, 82, 84, 85. 90, 92—9^.
Зассеев И. С. (г. Цхинвали)—81, 82, 86—88, 91—96.
Зискинд Л. Е. (г. Винница) — 81—89, 91—96, 99. Зу-
билин Н. И. (Орловская обл.) — 81—83. 85—87, 92,
94—96, 99. Иванов И. Б. (Тамбовская обл., г. Мичу-
ринск) — 81—84, 86, 87, 92. Кассиров В. А. (Павлодар-
ская обл:)—81—83, 86—88, 92—96. Казанцев Э. Ф.
(ЛитССР, г. Зарасай)—81, 82, 92, 94. Константинов
А. Н. (Одесская обл.) —81—84, 92, 98. Курганов Т. К.
(Ташкентская обл., г. Чирчик)—81—83. 85, 89, 91—95.
Любенов Л. Т. (Болгария, г. Павел-Баня) —85—90,
92—95. Макаров М. Ф. (Орловская обл.) — 81, 82, 84—
87, 91, 92, 94, 95. Мельников А. X. (г. Днепропет-
ровск)— 82, 85—87, 93, 94. Мисько Л. И. (г. Тольят-
ти)—81—90, 92—95, 99. Мун В. К. (Ташкентская
обл.)—81—83, 85—87, 92—96, 98, 99. Мусаев Г. К.
(АзССР) — 8Г—96,, 99. Нерсесян П. Н. (АзССР) — 81—
86, 92—96. Облокулов X. (Ленинабадская обл., г. Ленд-
жикент)—81, 82, 85, 87. Орифов О. (Ленинабадская-
обл., г. Канибадам)—81, 83, 85, 93. Повелим В. И.
(Ровенская обл.)—81—84, 86, 87, 92—94. Ручкип Д. Д.
(Марийская АССР)— 81-83, 87, 92, 93, 95', 96. Ры-
тое Н. Н. (Тамбовская обл.)—81—88. 92—96. Сабан-
чеев И. Я. (Пензенская обл.)—81, 82, 93, 94. Саме-
дов А. М. (АзССР) — 81, 82, 85, 86, 93, 95. Симер-
нов А. А. (Болгария, г. Своге) — 87-^89, 92—96. Сто-
нис Ю. В. (Вильнюс) — 81, 84, 86, 92, 94. Суховой М. Т.
(г. Новосибирск) — 81—84, 86, 87, 89, 92—96, 99, 00,
Сысуев Г. Я. (Хабаровский край, с. Князе-Волконка) —
81—83, 94. Тимошедко Н. Р. (Черниговская обл.) —
81—00. Трикиди 3. Е. (Тбилиси) — 81—84, 86, 91—94.
Трофимчук Ю. В. (Винницкая обл., г. Калиновка) —

-81—84, 94—96. Туйчиев Ш. (УзССР) — 81—83, 85, 86,
89, 92—96. Турдиев Л. (г. Андижан) — 81. 82, 86ц 93,
94. Фридлин Г. М. (г. Бердичев)—81, 84—87. 89, 91 —
95. Халмирзаев А. (г. Андижан)—81, 82, 85. 86, 92—
94, 97. Хизанишвили Ц. И. (Тбилиси)—81, 82, 84—80,
92—95г 97. Цакоев Б. М. (Рязанская обл.) — 81—89,
92—95, 99. Цхай Т. Т. (г. Андижан)—81—96. 98—00.
Чепкасов Г. С. (г. Краснодар) — 81—84, 86—89, 92—94,
96. Юшин Ю. Д. (г. Гагарин)—81, 83, 84, 86—90,
93—96.

Математические кружки: Индустриально-технологи-
ческого техникума г. Иджевана АрмССР (рук. 3. А. Ала-
вердян)—81, 83, 85, 94; Пенсарской ср. шк. Астарин-
ского р-на АзССР (рук. А. Ю. Алиев)—81, 83, 85, 89,
94, 95; 46-й шк. г. Мурманска (рук. В. Е. Андреев) —
81—86, 92—94; «Агат» ср. шк. № 6 г. Цхинвали

(Окончание см. на с. 80.)
ПОЗДРАВЛЯЕМ ЮБИЛЯРА

С. Л. Соболев
и современная
математика

(К 75глетию со дня рождения)

Теория уравнений с частными произ-
водными, уравнения математической
физики, функциональный анализ, как
и другие области современной мате-
матики, постоянно пополняются но-
выми исследованиями, обогащаются
новыми фактами и открытиями. Еже-
годно выходят монографии, в кото-
рых подводятся итоги исследований
отдельных крупных проблем, учебни-
ки, где излагаются основы современ-
ных теорий, составляющих содержа-
ние этих наук. Вот перед нами не-
сколько больших пачек таких книг на
русском, английском, французском,
итальянском, немецком языках, вы-
шедших за последние десятилетия
у нас и за рубежом. Здесь и книги
по общей теории уравнений с част-
ными производными, как, например,
монография французского математи-
ка Ж. Лионса и итальянского мате-
матика Е. Мадженеса «Неоднород-
ные граничные задачи и их приложе-
ния», и книги по математической фи-
зике, напйсанные специалистами в
области физических наук, в частно-
сти, книга французского механика
Е. Санчес-Паленсия «Неоднородные
среды и теория колебаний», и многие,
многие другие.

Перелистывая эти книги, находишь,
что все они имеют главу или пара-
граф с почти одинаковым назва-
нием. Это либо «Пространства Собо-
лева», либо «Соболевские простран-
ства», либо «Пространства Соболева
и теоремы вложения». А книга ка-
надского математика Р. А. Адамса,
вышедшая в 1975 г. в США, так и
называется «Пространства Соболева».
Это объясняется тем, что в настоя-
щее время невозможно изложение
современных проблем теории уравне-
ний с частными производными без
функциональных пространств, кото-
рые были введены в науку С. Л. Со-
болевым в 30-е гг. и получили назва-
ние «пространства Соболева». Связи
между этими пространствами также
были впервые установлены С. Л. Со-
болевым, и выражающие их теоремы
называются сейчас теоремами вложе-
ния Соболева. Имеется много книг,
специально посвященных развитию
теории пространств Соболева и тео-
ремам вложения. Теоремы вложения
выросли сейчас в отдельную ветвь
современного анализа Им посвящены
книги С. М. Никольского. О. В. Бесо-
ва, В. П. Ильина и многие другие.

Как известно, к изучению уравне-
ний с частными производными приво-
дят задачи, возникающие при иссле-
довании явлений реального мира.
Изучая какое-либо физическое явле-
ние, исследователь прежде всего соз-
дает его математическую модель, т. е.,
пренебрегая второстепенными харак-
теристиками явления, записывает ос-
новные законы, им управляющие, в
математической форме. Очень часто
эти законы выражаются в виде диф-
ференциальных уравнений. Такими
оказываются модели различных явле-
ний механики сплошной среды, хими-
ческих реакций, различных электриче-
ских и магнитных явлений и многих
других. Изучая полученные диффе-
ренциальные уравнения вместе с до-
полнительными условиями, которые
диктуются физической сущностью за-
дачи, математик получает сведения
о происходящем физическом явле-
нии.

Возникает вопрос, какие функции
можно считать решениями дифферен-
циального уравнения. Классический
подход к этому вопросу состоял
в том, что решения искали среди
гладких функций. С.‘Л. Соболев ввел
понятие обобщенного решения как
функции, принадлежащей некоторому
функциональному пространству Со-
болева (включающему, вообще гово-
ря, и негладкие функции). Рассмотре-
ние решения дифференциального
уравнения как элемента функцио-
нального пространства открыло ши-
рокие возможности длТя применения
идей и методов функционально-
го анализа в теории ' дифферен-
циальных уравнений. Это позволило,
в частности, разделить вопрос о су-
ществовании и единственности реше-

ния краевой задачи для дифферент
циального уравнения и вопрос о его
гладкости и тем самым существенно
облегчить путь исследования краевых-
задач.

В настоящее время пространства
Соболева и теоремы вложения вошли
в повседневный обиход исследовате-
лей, причем не только математиков,
но и физиков, механиков, инженеров,
всех тех, кто встречается с дифферен-
циальными уравнениями в своей ис-
следовательской работе. Они стали
необходимым элементом образования
не только специалистов по диффе-
ренциальным уравнениям и матема-
тической физике, но и широких кру-
гов ч естествоиспытателей. Поэтому
изложение теории пространств Собо-
лева содержат все современные учеб-
ники и книги по уравнениям с част-
ными производными, а также многие
монографии, касающиеся вопросов
математической физики. Термины
«пространство Соболева», «теоремы”
вложения Соболева», «обобщенное
решение в смысле Соболева» настоль-
ко прочно вошли в современную ма-
тематику, что их частое употребление
можно, пожалуй, сравнить с употреб-
лением бинома Ньютона или теоремы
Пифагора в элементарной матема-
тике.

Использование пространств Соболе-
ва и теорем вложения привело к бур-
ному развитию теории уравнений
с частными производными. Созданный
С. Л. Соболевым новый аппарат ис-
следования позволил решить многие
давно стоявшие т«рудные проблемы,
придать завершенный характер ра-
нее полученным результатам.

Одним из важнейших достижений
математики XX в. является создание
теории обобщенных функций (рас-
пределений), ставшей мощным ору-
дием исследований для математиков,
физиков, инженеров. Явно вводить и
использовать соответствующие поня-
тия первыми стали физики (П. Дирак
и др.), хотя предпосылки для форми-
рования теории обобщенных функций
складывались и внутри самой мате-
матики. В работе С. Л. Соболева
1936 г. впервые были заложены ос-
новы теории обобщенных функций,
получила строгое математическое
оформление идея обобщенной функ-
ции как функционала. Им были впер-
вые даны применения этой новой
теории к изучению уравнений с част-
ными производными. Получила даль-
нейшее развитие его идея обобщенно-
го решения дифференциального урав-
нения. Обобщенные решения С. Л.
Соболев стал рассматривать в про-
странствах функционалов (обобщен-
ных функций). Начиная с 30-х гг. и
особенно после работ французского
математика Л. Шварца 50-х гг., соз-
давшего ряд новых разделов этой
теории и указавшего их новые при-
менения, теория обобщенных функций
интенсивно развивалась, ее идеи рас-
пространились на значительную
часть математического анализа, где
она прояснила многие старые факты
и позволила установить новые общие
закономерности. В сферу ее действия
вошли также новые области матема-
тики: теория представлений класси-
ческих групп, теория случайных про-
цессов., общая теория меры и др.

Особенно большое влияние оказало
создание теории обобщенных функ-
ций на развитие общей теории си-
стем уравнений с частными производ-
ными. Основы этой теории были зало-
жены И. Г. Петровским в 30—40-х гг.
До работ И. Г. Петровского изу-
чались в основном либо уравнения
второго порядка, либо конкретные
уравнения математической физики.
И. Г. Петровский выделил и изучил
важнейшие широкие классы систем
уравнений с частными производными,
что и составило фундамент общей
теории. Последние десятилетия были
периодом мощного развития этой тео-
рии. Благодаря обобщенным функ-
циям многие ее разделы приобрели
завершенный вид, были поставлены и

решены новые задачи, получили ре-
шение многие старые проблемы. Су-
щественным образом продвинулось
также изучение уравнений математи-
ческой физики. Классический анализ,
складывавшийся веками, не давал ре-
шения многим задачам, которые вы-

двигались перед математиками раз-
витием естествознания и техники. Для
их решения потребовался новый ма-
тематический аппарат.

Вот почему многие современные
учебники и монографии по уравне-
ниям с частными производными и
уравнениям математической физики
включают элементы теории обобщен-
ных функций, так же как и теорию
пространств Соболева, в качестве од-
ной из своих глав с тем, чтобы озна-
комить читателя с применяющимся
аппаратом. Некоторые из них содер-
жат дальнейшее развитие этой тео-
рии. Уже много лет теория обобщен-
ных функций и пространства Соболе-
ва входят в учебные программы уни-
верситетов и других высших учебных
заведений. С ними будущие исследо-
ватели знакомятся на студенческой
скамье.

Итак, в работах С. Л. Соболева
было обобщено и расширено понятие
функции и ее производной — основ-
ных понятий математической науки.
Размеры статьи не позволяют нам
объяснить точный смысл обобщенных
функций и их роль в математике, не
предполагая у читателя специальных
математических знаний. Н. Е. Жу-
ковский на одном йз заседаний Мо-
сковского математического общества
сказал: «Можно говорить, что мате-
матическая истина только тогда

должна считаться вполне обработан-
ной, когда она может быть объясне-
на всякому из публики, желающему
ее усвоить». Отметим, что такие фи-

зические величины, как конечная
масса, сосредоточенная в точке, со-

средоточенная сила, различного рода
сосредоточенные включения не могут
быть описаны обычными функциями.
Для своего математического описания
они требуют использования опреде-
ленных обобщенных функций —функ-
ций Дирака. Американский матема-
тик Янг как-то шутя заметил, что
обобщенные функции подобны лю-
дям. Их свойства видны и понятны
только в отношениях с другими функ-
циями точно так же, как характеры
людей раскрываются в общении и
столкновении с другими людьми. Ве-
роятно, рассказать коротко и понят-
но об обобщенных функциях и про-
странствах Соболева можно будет со
временем и малоподготовленному
читателю. В связи с этим вспоми-
нается история, которую любил рас-
сказывать И. Г. Петровский. Она та-
кова. Один средневековый богатый
купец пригласил ученого, чтобы по-
советоваться с ним, к.ак обучить сы-
на математике (дело было в Герма-
нии). Этот ученый ответил купцу так:
«Если вы хотите научить сына сло-

жению, вычитанию и даже умноже-
нию целых чисел, то мы можем обу-
чить этому у нас, в Германии. Но
если вы хотите обучить его делению
целых чисел, вам надо послать сына
в Италию. Здесь, в Германии, мы не
можем обучить его этому». И это

действительно было сложно, потому
что числа записывались римскими
цифрами.

С. Л. Соболев — глава большой
научной школы. Круг его учеников и
последователей не ограничивается его
бывшими аспирантами. Влияние идей
С. Л. Соболева столь велико, что
очень многие ученые в области тео-
рии уравнений с частными производ-
ными, функционального анализа, вы-
числительной математики в СССР,
Франции, США, Италии, Канаде,
ЧССР, ГДР, Болгарии, Польше и дру-
гих странах считают себя учениками
С. Л. Соболева. Идейное воздейст-
вие его работ огромно. Один узбек-
ский математик, ученик Сергея Льво-
вича, сказал, что С. Л. Соболев —
родник, который не иссякает и дает
утолить жажду многим.

Сергей Львович . внес важный
вклад и в другие области математи-
ки и ее приложений, в частности в
математическую теорию упругости,
'Вычислительную математику, мате-
матическую физику, теорию функций,
функциональный анализ.

О научной деятельности С. Л. Со-
болева, значении его работ для со-
временной математики написано мно-
го статей. Можно рекомендовать чи-
тателям статью, опубликованную в
журнале «Математика в школе» за
1978 г., № 6, с. 67—73, и статью в

журнале «Успехи
наук» за 1979. г.,
с. з-15.

Мы остановимся.

математических
том 34, № 1,
здесь подробно

только на некоторых этапах его на-
учной и общественной деятельности,

пытаясь осветить лишь отдельные
стороны- этой большой и славной
жизни.

С. Л. Соболев — один из крупней-
ших математиков нашего времени.
Он родился 6 октября 1908 г. в Пе-
тербурге в семье присяжного пове-
ренного Льва Александровича Собо-
лева. Лев Александрович учился в
Петербургском университете, но за
участие . в революционных выступле-
ниях был исключен из университета
и отправлен в солдаты. Сергей Льво-
вич рано потерял отца, и его воспи-
тывала мать, Наталия Георгиевна,
к которой он всегда относился с
большой нежностью и дюбовью. На-
талия Георгиевна училась на Высших
женских бестужевских курсах 'в Пе-
тербурге. Она много занималась ре-
волюционной работой. В марте
1901 г. за участие в студенческой де-
монстрации на Казанской площади ее
исключили из курсов, арестовали и
выслали в Саратов под гласный над-
зор полиции. В последние годы жиз-
ни она была доцентом Первого ле-
нинградского медицинского института
им. И. П. Павлова.

В 1919—1923.гг. Сергей Львович
жил в Харькове, на родине матери.
Здесь он самостоятельно проходит
курс арифметики, а затем самостоя-
тельно изучает алгебру, геометрию,
тригонометрию. С детства он отли-
чался разносторонней одаренностью и
большой любознательностью После
возвращения в Петроград в 1923 г.
С. Л. Соболев поступил в последний
класс 190-й школы (бывшей гимна-
зии Лентовской), которую окончил с
отличием в 1924 г. Сергей Львович
всегда обладал необыкновенной ши-
ротой интересов. Он читал в те годы
много книг по философии, биологии,
политэкономии, медицине, математи-
ке, физике. Он любил играть в шах-
маты и писал стихи.

В 1924 г. С. Л. Соболев начал
учиться в Первой государственной
художественной студии по классу
фортепьяно, которую окончил в 1928 г.
Сергей Львович всегда любил и
любит музыку. Его любимыми компо-
зиторами являются Мусоргский, Рим-
ский-Корсаков, Бородин, Скрябин,
Шопен, Бетховен.

В 1925 г. С. Л. Соболев поступил
на физико-математический факультет
Ленинградского университета, одно-
временно занимаясь в Художествен-
но'й- студии. Он слушал лекции из-
вестных профессоров Н. М. Гюнтера,
В. И. Смирнова, Г. М. Фихтенгольца.
Интересна история написания еще в
студенческие годы его первой науч-
ной работы. Она была опубликована
в 1929 г. в «Докладах Академии
наук СССР» под названием «Замеча-
ние по поводу работ Н. Н. Салтыко-
ва.,.». Профессор Н. М. Гюнтер читал
лекции по уравнениям с частными
производными первого порядка, кото-
рые слушал студент II курса С Л.
Соболев. Сергей Львович обратился
к лектору с вопросом по поводу из-
ложенной на лекции одной теоремы
профессора Н Н. Салтыкова, вызвав-
шей у него сомнения Н. М. Гюнтер
посоветовал ему прочитать работы
Н. Н. Салтыкова, где приведено до-
казательство этой теоремы. Ознако-
мившись с этими работами, С. Л. Со-
болев обнаружил, что приведенные
там доказательства неверны, и по-
строил примеры, противоречащие ос-
новным теоремам. Это произвело
большое впечатление на Н. М. Гюн-
тера. Он рекомендовал студенту
С. Л. Соболеву опубликовать свои
примеры. Много лет спустя С. Л. Со-
болев, будучи в Югославии, встретил
профессора Н. Н. Салтыкова, и тот
горячо благодарил его за сделанные
замечания, которые помогли ему ис-
править свои работы.

Вместе с С. Л. Соболевым увлечен-
но занимались математикой его со-
курсники, ныне известные ученые
С. А. Христианович, С. Г. Михлин,
В. Н. Фаддеева.

Будучи студентом, Сергей Львович
проходил практику на заводе «Элект-
росила». Он изучил математическими
методами вопрос о поперечных коле-
баниях несимметрических валов
электрогенераторов, объяснил наблю-
давшиеся колебания этих валов и
указал, как устранить резонансные
явления.

После окончания Ленинградского
университета в 1929 г. С. Л. Соболев
начал работать в теоретическом от-
деле Сейсмологического института
АН СССР, которым руководил В. И.
Смирнов. В этом институте были соз-
даны замечательные работы С. Л. Со-
болева по математической теории
упругости и выполнены его знамени-
тые исследования гиперболических
уравнений второго порядка С 1932 г.
он работает в МатематическОхМ инсти-
туте АН СССР. В 1934 г. Сергей
Львович переезжает в Москву и про-
должает работать в Математическом
институте им. В. А. Стеклова АН
СССР, возглавляя отдел дифферен-
циальных и функциональных уравне-
ний и математической физики.
' В 1935 г. он становится профессором
кафедры дифференциальных уравне-
ний Московского государственного
университета. В 1941—1943 гг. Сергей
Львович был директором Математи-
ческого института им. В. А. Стеклова.
В трудных условиях эвакуации в Ка-
зани С. Л. Соболев много сделал для
организации в Математическом ин-
ституте прикладных исследований,
для оказания эффективной помощи
фронту.

В 1943 г., вскоре после возвраще-
ния Математического института в
Москву, С. Л. Соболев переходит на
работу в Институт атомной энергии,
директором которого в то время был
И. В. Курчатов. С этим институтом,
который вначале назывался Лабора-
торией № 2, связан большой период
жизни С. Л. Соболева. Сергей Льво-

вич был первым заместителем дирек-
тора и научным сотрудником этого
института. Он работал над вопроса-
ми использования атомной - энергии.
Основной задачей являлось исследо-
вание сложных систем получения
кондиционного ядерного горючего, их
общей структуры, вопросов устойчи-
вости. Значительная часть этих проб-
лем относилась к уравнениям мате-
матической физики. В начале этой ра-
боты электронных вычислительных
машин еще не было (они появились
только к концу), и поэтому требова-
лось много усилий и изобретательно-
сти, чтобы получить необходимые чис-
ленные результаты. Это был период
напряженной творческой работы кол-
лектива ученых института над созда-
нием новой техники. За работы, вы-
полненные в Институте атомной энер-
гии им. И. В. Курчатова, С. Л. Собо-
леву дважды была присуждена Госу-
дарственная премия, а .8 января
1952 г. Сергею Львовичу было при-
своено звание Героя Социалистиче-
ского Труда за исключительные за-
слуги перед государством по выпол-
нению специального задания Совет-
ского правительства.

С. Л. Соболев работал вместе с
физиками, академиками И. В. Курча-
товым, И. К- Кикоиным, М. А. Леон-
товичем и другими. Нужно было по-
нимание всего физического процесса
в целом, требовалось решать крупные
конкретные задачи при очень малых
вычислительных средствах. Перед
С. Л. Соболевым стояли математиче-
ские, чисто прикладные задачи, но
они требовали больших усилий, ибо
рассчитывать, оптимизировать, пред-
сказывать приходилось сложнейшие
процессы, которые до этого никогда
не изучались. Это было дело госу-
дарственной важности, и ученые ин-
ститута ощущали личную ответствен-
ность за его судьбу. С. Л. Соболев
отдавал этому большому делу все
свои силы. Жена С. Л. Соболева,
Ариадна Дмитриевна, вспоминает, что
в период работы в Институте атом-
ной энергии он месяцами не бывал
дома, часто уезжал в длительные и
далекие командировки, но и в Мо-
скве много работал по ночам и де-
ти видели его только по воскре-
сеньям.

Несмотря на чрезвычайную заня-
тость в Институте атомной энергии,
все эти годы Сергей Львович читал
лекции в Московском и Ленинград-
ском университетах, руководил рабо-
той аспирантов, вел научные семи-
нары. В' 1950 г. вышла из печати его
книга «Некоторые применения функ-
ционального анализа в математиче-
ской физике», написанная на основе
курса лекций, которые он читал в
Ленинградском и Московском универ-
ситетах. Эта книга сыграла исключи-
тельно большую роль в развитии но-
вого важного направления в теории
дифференциальных уравнений, осно-
ванного на применении идей и мето-

дов функционального анализа, начало
которому было положено в работах
С. Л. Соболева в 30-е гг. Она воспи-
тала не одно поколение специалистов
по уравнениям с частными производ-
ными у нас в стране и за рубежом,
оказала на них большое идейное воз-
действие.

История возникновения этой книги
такова. Как-то в Институте атомной
энергии в кабинете С. Л. Соболева
сломался замок, и дверь невозможно
было открыть. Чтобы выйти, Сергей
Львович попытался открыть ее уда-
ром ноги. Дверь открылась, но нога
была повреждена. Врачи уложили ногу
в гипс и предписали больному домаш-
ний режим на 6 недель. Работа Сергея
Львовича в институте прервалась,
но за это время, находясь дома, он
отредактировал записки своих лек-
ций, написал некоторые части заново
и сдал книгу в печать. (Эта книга пе-
реведена сейчас на многие языки ми-
ра.) Жаль, что в этой книге не на-
шли отражение его исследования по
теории обобщенных функций и их
применениям. Предполагалось, что
они составят последнюю главу, но он
не успел написать ее за эти 6 не-
дель.

Получив снова возможность дви-
гаться, С. Л. Соболев стал работать
в институте, отдавая этому ответ-
ственному делу почти все свое вре-
мя, силы и энергию. Ведь многие ма-
тематические задачи ставились там
впервые. Нужны были необыкновен-
ная математическая интуиция и
огромный труд, чтобы исчерпывающе
и в заданный срок решать очень
сложные конкретные задачи. С. Л. Со-
болев рассказывает: «Работая в Ин-
ституте атомной энергии, я приобрел
вкус к вычислительной математике,
осознал ее. исключительные возмож-
ности. Поэтому я с удовольствием
принял предложение И. Г. Петров-
ского возглавить первую, в нашей
стране кафедру вычислительной ма-
тематики Московского университета».

В 50-е гг. Сергей Львович много
внимания уделяет вопросам вычисли-
тельной математики, выполняет ряд
исследований по теории вычислений,
им было введено важное понятие за-
мыкания вычислительного алгоритма.
При решении задач вычислительной
математики С. Л. Соболев широко
использует аппарат функционального
анализа, уравнений с частными про-
изводными и теории функций. Часто
сами задачи вычислительной матема-
тики ставятся в его работах как за-
дачи функционального анализа.

С. Л. Соболев неоднократно бывал
за рубежом. Многие академии и уни-
верситеты различных стран пригла-
шали его для чтения лекций, участия
в конференциях. Он побывал в науч-
ных командировках в Индии, Италии,
Франции, США, Англии, ГДР, НРБ,
ЧССР, ПНР, Югославии, Японии,
Иране, Швеции и в других странах.

Недалеко от Звенигорода нахо-
дится Мозжиика — дачный поселок
Академии наук СССР. Там, под Мо-
сквой, - жили летом академики М. А.
Лаврентьев, С. Л. Соболев, С. А. Хри-
стианович. Осенью 1956 г. они часто
встречались втроем на даче С. А. Хри-
стиановича, обсуждали различные
научные и народнохозяйственные
проблемы. Одним из таких вопросов
было решение 1 партии и правитель-
ства о форсированном развитии и
освоении Сибири и Дальнего Восто-
ка, о необходимости развития науки
в этих районах. Они решили обра-
титься в правительство с предложе-
нием разработать план широких ме-
роприятий для создания научных
центров на востоке нашей страны. Об
этом была напечатана их статья в
«Правде». ЦК КПСС и Советское
правительство одобрили этот план и
вынесли постановление о его реали-
зации. На основе этого постановле-
ния Президиум АН СССР принял ре-
шение о создании Сибирского отделе-
ния АН СССР. С. Л. Соболев был
назначен директором Института ма-
тематики СО АН СССР. •

В 1958 г. он переезжает на по-
стоянную работу в .Новосибирск, и с
этого момента начинается новосибир-.
ский период жизни С. Л..Соболева.
«Многие не понимали,, даже друзья,
что собственно заставило меня,— го-
ворит Сергей Львович,— покинуть
сильную кафедру в Московском уни-
верситете и ехать в Сибирь, которая
была по существу научной целиной».
Действительно, возникает вопрос: что
заставило трех математиков с миро-
вым именем оставить столицу, ка-
федры, прославленные институты и
стать во главе сложного и хлопотли-
вого дела? Ведь для их научной ра-
боты *не требуются просторы Сибири,
ее новые возможности. Ответ на
этот вопрос самого С. Л. Соболева,
как всегда, чрезвычайно скромен:
«Естественное желание человека про-
жить несколько жизней, начать что-
то новое». На самом деле это бькпо
прежде всего проявление глубокого
патриотизма, в высшей степени свой-
ственного Сергею Львовичу. Он по-
ехал в Новосибирск потому, что счи-
тал освоение Сибири, создание там
научного потенциала одной из важ-
нейших государственных задач.

Рёшение С. Л. Соболева о переезде
в Сибирь разделяла и поддерживала
его жена, Ариадна Дмитриевна, док-
тор медицинских наук, мать семерых
детей, человек необычайно сильной
воли и .энергии, высоких духовных
принципов. Ей были близки и понят-
ны патриотические устремления
Сергея Львовича, его желание всеми
силами служйть своему народу.

С. Л. Соболев проводит большую
научно-организационную работу в
Сибирском отделении АН СССР. Он
входил в состав Комитета Президиу-
ма АН ССЦР по созданию Сибирско-
го отделения АН СССР, с 1958 г. он
участвует в руководстве СО АН

СССР, являясь членом его Президиу-
ма. С. Л. Соболев — один из органи-
заторов Новосибирского государст-
венного университета, который был
создан в Академгородке (где разме-
стился новый научный центр) и был
призван готовить научные кадры для
Сибири, и Дальнего Востока. Там же
он впервые читал специальные курсы
по теории кубатурных формул.

Возглавляя Институт математики
СО АН СССР, С. Л. Соболев забо-
тился о том, чтобы в институте были
представлены все важнейшие направ-
ления современной математической
науки.

Сергей Львович сам никогда не
занимался ни кибернетикой, ни мате-
матической экономикой, но он делает
все длй их развития в институте. Он
был в числе первых ученых, высту-
пивших в защиту идей кибернетики
в 50-е гг. В то время многие не по-
нимали значения кибернетики как
науки, чинили препятствия ее разви-
тию в? нашей стране,- С. Л. Соболе-
вым совместно с А. И. Китовым и
А. А. Ляпуновым была написана в
1955 г. статья . «Основные черты ки-
бернетики», опубликованная в жур-
нале «Вопросы философии» (№ 4,
с, 136.—148), которая сыграла боль-
шую роль в становлении этой науки
в нашей стране. С. Л. Соболев сде-
лал кибернетику одним из ведущих
научных направлений'в своем инсти-
туте, открыв широкую дорогу ее раз-
витию в Сибири. Возглавлял это на-
правление в институте А. А. Ляпу-
нов.

С. Л. Соболев глубоко понимал
перспективность и важность для на-
родного хозяйства' применения мате-
матических методов в экономике. На-
чиная еще с, 30-х гг. он неоднократ-
но выступал в поддержку этого на-
правления, которое многими долго не
признавалось. В 1960 г. С. Л. Собо-
лев был одним из организаторов и
участников Первой всесоюзной кон-
ференции по проблемам математиче-
ских методов в экономике, которая
состоялась в Новосибирске благодаря
поддержке крупных ученых — осно-
вателей Сибирского отделения АН
СССР. Он привлёк к работе в инсти-
туте крупного специалиста в этой об-
ласти Л. В. Канторовича.

Благодаря С. Л. Соболеву эконо-
мико-математические методы исследо-
вания начали активно развиваться в
Сибири — сначала в Институте мате-
матики, затем в Институте экономи-
ки. Отсюда результаты этих исследо-
ваний пошли в промышленность. /Ма-
тематические модели в экономике по-
зволили понять, разрешить и уточ-
нить многие экономические задачи.
Сотрудник Института математики СО
АН СССР академик Л. В. Канторо-
вич за достигнутые '.успехи в этой об-
ласти был удостоен Ленинской и Но-
белевской премий.

Алгебра и логика в институте
успешно развивалась под руковод-

ством академика А. И. Мальцева,
геометрия — под руководством акаде-
мика А. Д. Александрова. Больших
успехов достиг Институт математики
СО АН СССР в теории вероятностей,
теории функций, теорий кубатурных
формул, теории дифференциальных
уравнений, вычислительной матема-
тике.

С. Л. Соболев рассказывает:
«После переезда из Москвы в Ново-
сибирск мои мысли занимают куба-
турные формулы. Случилось так, -что
они заставили меня вернуться к клас-
сическим работам Эйлера. Мне при-
шлось исследовать некоторые свой-
ства многочленов Эйлера, которые
были еще не известны великому клас-
сику математики. Это было возвра-
щение к истокам». В Новосибирске
Сергей Львович написал фундамен-
тальную монографию «Введение в
теорию кубатурных формул», издан-
ную в 1974 г. Эта книга подвела итог
многолетним глубоким исследованияд!
автора по теории кубатурных фор-
мул.

С. Л. Соболев всегда откликается
на события общественной жизни, ча-
сто выступает в печати. Многие его
газетные статьи обращены к молоде-
жи, к школьникам. Вот некоторые из
них. «На школьной Парте будь ис-
следователем» (Комсомольская прав-
да, 1958, 31 авг.). Здесь он дает со-
веты много и вдумчиво учиться, не-
устанно искать: «Исследователем-
можно быть и перед лицом огромной
неизученной проблемы, и перед ли-
цом школьной задачи, миллионы раз
решавшейся другими». В статье «Ак-
сиомы и парадоксы воспитания»
(Юность, 1962, № б) С. Л. Соболев
отмечает: «Ученик — не сосуд, кото-
рый надо наполнить, а факел, кото-
рый надо зажечь. Это аксиома воспи-
тания. Только в сочетании с трудом
талант может принести огромную
пользу... От каждого по способно-
стям. Кто, как не педагог, призван
подметить, пробудить, направить эти
индивидуальные способности. Верно
оценивая человека в пору юности,
воспитатель помогает обществу от-
крывать по-настоящему ценных для
науки людей, способствуя претворе-
нию в жизнь этого великого принци-
па». С. Л. Соболевым написаны
статьи: «Поэзия математики» (Лите-
ратурная газета. 1961, 14 дек.К «Му-
за математики» (Неделя, 1973. №29),
«Не теряйте времени» (Правда, 1966,
1 сект.), «Для чего мы изучаем ал-,
гебру» (Пионерская правда. 1948,
23 апр.) и др.

В одной из статей, адресованной
молодым ученым, он пишет: «Что
главное должен воспитывать в себе
ученый? Нужно избавиться от излиш-
него честолюбия. Не следует думать,
что счастливым может быть только
гений. Нужно приучиться ценить да-
же маленькое достижение, радовать-
ся ему и никогда не переоценивать
серя. Нужно выработать в себе тру-
долюбие. Нужно понять и воспитать
в себе радость познания, которая
почти то же, что и радость жизни.
Счастье в том, чтобы дело твоей
жизни было нужно людям». С. Л. Со-
болева волнуют вопросы преподава-
ния математики в школе, он высту-
пает неоднократно в печати по этим
вопросам.

У С. Л. Соболева большая и друж-
ная семья. Сейчас она состоит из
7 детей, 16 внуков и 4 правнуков.
Сергей Львович очень любит детей,
.своих и чужих. Старшая дочь Свет-
лана, ныне известный гематолог, рас-
сказывает, что поэзия вошла ,в их
семью через отца. Он охотно и много
читал им Пушкина, Маяковского, Па-
стернака, Ахматову, Блока.

Дочери вспоминают, что отец ни-
когда и ни в чем не оказывал на них
давления, ничего не предрешал. Он
воздействовал всем строем своей
скромной и трудовой жизни, тем, что
всегда помогал их матери, помогал
всем, кто нуждался в его помощи. Он
ходил с детьми в туристические по-
ходы в Крыму и на Кавказе, учил их
плавать и бегать на лыжах, сочинял
для них стихи. Письма домой детям
он иногда писал в стихах. По вос-
кресеньям они вместе с отцом отправ-
лялись в поход на лыжах или на про-
гулку пешком. Во время прогулок он

много рассказывал детям, прививал
им интерес к науке и к жизни, к яв-
' лениям природы. Он рассказывал тео-
рию относительности Светлане, когда
она была в V классе, и все было по-
нятно в его рассказе. Среди его де-
тей 5 кандидатов наук.

Поражает разносторонняя образо-
ванность Сергея Львовича. Он хоро-
шо знает биологию и особенно гене-*
тику, знает медицину ’и радиоастро-
номию, его живо интересуют пробле-
мы наук, далеких от его профессии.
С. Л. Соболев любит изучать ино-
странные языки. Английский и немец-
кий языки он изучил самостоятельно,
уже будучи взрослым. Французский
язык он знал с детства.

Сергей Львович обладает , замеча-
тельными душевными качествами:
исключительной скромностью, высо-
кой принципиальностью, гражданским
мужеством, доброжелательным отно-
шением к людям, любовью к моло-
дежи. Он никогда не говорит плохо
о людях и очень доверчив. •

Главное дело его жизни — служе-
ние любимой науке, математике. Он
писал: «Я не знаю, счастье это или
что другое — просто вне научных
проблем я не смог бы жить». С.. Л.
Соболев всегда радуется успехам
своих коллег и учеников, охотно де-
лится с ними своими идеями.

Он был избран членом-корреспон-
дентом АН СССР в 1933 г., а в
1939 г.— ее действительным членом.
Он является почетным доктором мно-
гих зарубежных университетов, чле-
ном иностранных академий.

Но приходилось слышать от Сергея
Львовича, всемирно признанного уче-
ного и очень скромного человека, и
такие слова: «Я живу о ощущением,
что' многое было дано мне заранее,
в кредит; всю свою жизнь я пытаюсь;
доказать (хотя бы самому себе), что
все это дано мне не задаром».

В октябре 1983 г. в Новосибирске
состоялась Международная конфе-
ренция по уравнениям с частными
производными, приуроченная к 75-ле-
тию со дня рождения С. Л. Соболе-
ва. Эта конференция явилась триум-
фом соболевских идей. Она еще рдз
показала огромное влияние работ
С. Л. Соболева, ставших уже класси-
ческими, на современную математику.
В конференции участвовали многие
ученые из зарубежных стран.

С. Л. Соболев принадлежит к чис-
лу тех замечательных ученых,, чьи
идеи и методы определяют дальней-
шее развитие современной математи-
ческой науки.

А. Н. Колмогоров,
О. А. Олейник
(Москва)

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ КАЛЕНДАРЬ

НА 1983/84 УЧЕБНЫЙ ГОД

Март

12 марта — 125 лет со дня рожде-
ния итальянского математика Эрне-
сто Чезаро (1859—1906). Родил-
ся в Неаполе. Был профессором Неа-
польского университета. Труды отно-
сятся К' математическому анализу,
теории функций действительного пе-
ременного, геометрии, алгебре, теории
чисел, теории вероятностей и матема-
тической физике. Известна его работа
«Элементарный учебник алгебраиче-
ского анализа и исчисления бесконеч-
но -малых». Одесса, 1913—1914 (см.:
БСЭ, 3-е изд.; Историко-математиче-
ские исследования, вып. 15. М., 1963).

12 марта — 80 лет со дня рождения
советского математика Людмилы Все-
володовны Келдыш (1904—1976).
Родилась в Оренбурге. В 1925 г.
окончила Московский университет, в
1929 г.— аспирантуру (там же).
С 1934 г. работала в Математическом
институтё им. В. А. Стеклова АН
СССР. Доктор физико-математиче-
ских наук (1941), профессор (1964).
Крупный специалист в области тео-
рии функций действительного пере-
менного и теоретико-множественной
топологии (см.: Математика в школе,
1965, № 2).'

13 марта “125 лет со дня рожде-
ния советского математика Самуила
Осиповича Шатуновского
(1859—1929). Родился в с. Великая
Знаменка (ныне Запорожской обл.).
Учился в Петербургском технологи-
ческом институте, затем в Институте
инженеров путей сообщения, был
вольнослушателем Петербургского
университета. В 1905—1920 гг. рабо-
тал в Новороссийском университете
(г. Одесса), в 1921 — 1929 гг.— в Одес-
ском институте народного образова-
ния. Один из основателей одесской
математической школы. Основные ра-
боты относятся к математическому
анализу, алгебре, „геометрии и теории
чисел.

21 марта—100 лет со дня рожде-
ния американского математика
Джорджа Дейвида Биркгофа
(1884—1944). Родился в г. Оверайсел
(США, штат Мичиган). С 1912 г.—
профессор Гарвардского университе-
та. Член Национальной АН в Ва-
шингтоне. Оказал сильное влияние на
развитие математики в США. Основ-
ные результаты относятся к теории
устойчивости движения, обшей тео-
рии дифференциальных и разностных
уравнений, статистической механике
(см.: БСЭ, 2-е и 3-е изд.; /Математи-
ка в школе, 1969, № 5).

24 марта— 175 лет со дня рожде-
ния французского математика Жозе-
фа Лиувилля (1809—1882). Родился
в Сент-Омере. Профессор Политехни-

ческой школы и Коллеж де Фране.
Член- Парижской АН (1839). Ино-
странный член Петербургской АН.
Лиувиллю принадлежат выдающиеся
результаты почти во всех разделах
современной ему математики (см.:
БСЭ, 2-е и 3-е изд.; Математика в
школе, 1962, № 5).

26 марта — 275 лет со дня рожде-
ния русского литератора и математи-
ка Василия Евдокимовича Ад о Ду-
ров а (1709—1780). Родился в Мо-
скве. Первый среди русских ученых
в 1733 г. получил звание адъюнкта
Петербургской АН; почетный член
Петербургской АН с 1778 г. Зани-
мался переводами художественной и
научной литературы с латинского и
немецкого языков, в частности пере-
вел несколько руководств по матема-
тике Л. Эйлера. В 1762 г. назначен
куратором (ректором) /Московского
университета (см.: Юшкевич А. П.
История математики в России. М.,
1968; Вестник АН СССР, 1974, № 1).

Апрель

5 апреля — 300 лет со дня смерти
(дата рождения неизвестна) англий-
ского математика и государственного
деятеля Уильяма Броункера
(1620—1684)—одного из основате-
лей и первого президента Лондонско-
го королевского общества. Основные
работы посвящены теории рядов и
непрерывных дробей. Предложил
прием разложения логарифма рацио-
нального числа в бесконечный ряд,
положив тем самым наряду с Н. Мер-
катором, И. Ньютоном и другими на-
чало представлению функций с по-
мощью бесконечных рядов (см.:
БСЭ, 2-е и 3-е изд.,; История мате-
матики. Т. 2. ЛА., 1970).

9 апреля — 150 лет со дня рожде-
ния французского математика Эдмун-
да Никола Л а герр а (1834—1886).
Родился в Бар-ле-Дук. Образование
получил в Политехнической школе в
Париже. Некоторое время служил в
артиллерии, а с 1864 г. преподавал
в Политехнической школе. Основные
результаты относятся к геометрии и
теории функций комплексного пере-
менного. Занимался также алгеброй и
механикой (см.: Бородин А. И., Бу-
гай А. С. Биографический словарь
деятелей в области математики. К.,
1979).

15 апреля— 175 лет со дня рожде-
ния немецкого математика, физика и
филолога Германа Г рас мана
(1809—1877). Родился в Штеттине
(ныне Щецин). Учился в Берлинском

университете. С 1842 г. работал учи-
телем в гимназии. Один из создате-
лей многомерной геометрии и систе-
мы гиперкомплексных чисел. В своем
«Учебнике арифметики» (1861) сде-
лал попытку научного изложения ос-
нований школьной арифметики (смл
БСЭ, 2-е изд.; Математика в школе,
1967, № 4).

29 апреля — 130 лет со дня рожде-
ния великого французского математи-
ка, физика, астронома и философа
Жюля Анри Пуанкаре (1854—
1912). Родился в г. Нанси. Учился .в
Политехнической, а затем в Горной
школах в Париже. С 1886 г.— про-
фессор Парижского университета,
Член Парижской АН (1887) и многих
других академий. Трудно указать та-
кую область математики, где бы он
не оставил выдающихся результатов
и новых методов исследования (см.:
БСЭ, 2-е и 3-е изд.; Успехи матема-
тических наук, 1972, 27, № 1; Укра-
инский математический журнал, 1980,
32, № 3; Тяпкин А., Шибанов А.
Пуанкаре. М., 1979, 1982; Математи-
ка в школе, 1962, № 3).

30 марта — 100 лет со дня рожде-
ния советского математика-педагога
Александра Васильевича Л а н к о в а
(1884—1953). Родился в д. Воронцо-
во (ныне Калининской обл.), закон-
чил Московский учительский институт
(1910). Работал в средних школах
г. Твери (ныне г. Калинин), затем в
Тверском пединституте. С 1933 г.—
профессор Ферганского пединститута,
с 1934 г. заведовал кафедрой алгеб-
ры и геометрии Пермского пединсти-
тута. Его «Математика в трудовой
школе» (1923) была первой советской
книгой по методике преподавания ма-
тематики в начальной школе. А. В.
Ланков — автор задачников по, ариф-
метике и алгебре. Они издавались не
только на русском, но и на других
языках народов СССР. По этим за-
дачникам обучались в 20-х гг. мил-
лионы советских людей (см.: Мате-
матика в школе, 1954, № 2; 1969,
№ 1; 1974, № 1).

А. И. Бородин
(г, Доне-цк)

К сведению читателей

Рукописи, присылаемые в журнал «Математика в шко-
ле», должны удовлетворять следующим требованиям:

1. Рукопись представляется только в наш журнал.

2. Рукопись должна быть перепечатана на машинке
на одной стороне листа через два интервала или пе-
реписана от руки (также на одной* стороне листа) чер-
нилами разборчивым почерком с большими интервала-
ми между строками. В редакцию представляются два
экземпляра статьи (первый и второй), третий экземп-
ляр автор оставляет у себя.

3. Авторы адресуют статью в один из отделов журна-
ла. Объем статьи не должен превышать 15 машинопис-
ных страниц. К статьям, содержащим задачи, следует
обязательно приложить их решения.

4. Все цитаты и ссылки на статьи и книги необходимо
тщательно выверить по первоисточникам. В сноске обя-
зательно указывается, откуда взята цитата: автор и на-
звание книги или статьи, издание, в котором эта статья
опубликована, место (город), издательство, год издания
и номер страницы.

5. Рисунки и фотографии (фотографии должны быть
хорошего качества и обязательно напечатаны на глянце-
вой бумаге) прилагаются к статье на отдельных листах
в двух экземплярах. Рисунки (схемы и чертежи) нужно
выполнять с применением действующих общепринятых
стандартных обозначений. На фотографиях надписи сле-
дует делать только на одном экземпляре; второй эк-
земпляр фотографий должен быть обязательно, чистым
(с обеих сторон), без пометок.

6. Статья подписывается автором (если авторов не-
сколько, то необходима подпись каждого из них). После
подписи указываются следующие сведения: фамилия,
имя и отчество автора (полностью), место работы, за-
4 нимаемая должность; а также адрес для ответа с ука-
занием почтового индекса,

Редакция напоминает всем лицам, предлагающим за-
дачи в «Отдел задач»:

1. Задачи должны присылаться вместе с решениями*
Задачи, присланные без решений, редакция не рассмат-
ривает. Каждая задача должна быть помещена на от-
дельном листе.

2. Если задача заимствована, то должен быть указан
источник, откуда она взята.

По задачам, не принятым к напечатанию, переписка
с авторами не ведется и текст задач не возвращается.

Редакция журнала доводит до сведения читателей,
участвующих в решении задач, правила, выполнение ко-
торых является обязательным:

1. Решения следует присылать в редакцию не позднее
двух месяцев после выхода в свет номера, в котором
помещены задачи. Решения, поступившие позже указан-
ного срока, редакцией рассматриваться не будут.

2. Решения задач присылаются отдельно от всякой
другой корреспонденции.

3. Решение каждой задачи выполняется на отдельном
листе, в конце листа, указываются (разборчиво) фами-
лия, имя и отчество автора.

4. К решениям прилагается на отдельном листе спи-
сок, содержащий номера решенных задач и точный ад-
рес.

5. Решения должны быть написаны четко и разбор-
чиво, а номер каждой из решенных задач должен быть
крупно выделен.

В сводке решений-задач указываются фамилии чита-
телей, решивших не менее 4 задач.

Материалы, не удовлетворяющие указанным требова-
ниям, к рассмотрению не принимаются.

Вниманию корреспондентов! При пересылке всех ма-
териалов просим не свертывать их в трубочки!
ХРОНИКА

Памяти Эйлера

«Учитель .всех математиков XVIII века» Леонард Эйлер
31 год своей научной деятельности провел в Петербурге,
25 — в Берлине. Он способствовал развитию математиче-
ской культуры как России, так и Германии. Заседания и
симпозиумы, посвященные 275-летию со дня рождения
и 200-летию со дня смерти Эйлера, состоялись осенью
1983 г. в СоветскохМ Союзе, Германской Демократиче-
ской Республике, а также на родине Эйлера, в Швейца- -
рии.

В Академии наук СССР

Торжественное заседание и научный симпозиум'«Раз-
витие идей Эйлера в современную эпоху» провела в ок-
тябре 1983 г. Академия наук СССР. Многочисленных
участников и гостей, собравшихся в Московском Доме
ученых, приветствовали президент АН СССР академик
А. П. Александров, заместитель Председателя Совета
Министров СССР, председатель Госкомитета СССР по
науке и технике академик Г. И. Марчук, министр выс-
шего и среднего специального образования РСФСР ака-
демик И. Ф. Образцов, председатель Эйлеровского ко-
митета при АН ГДР профессор В. Энгель.

Содержательный доклад о жизни и творчестве вели-
кого математика сделал крупнейший специалист по ис-
следованию творческого наследия Эйлера профессор
А. П. Юшкевич. О работе Эйлера в Берлинской акаде-
мии рассказал берлинский историк профессор К. Грау.
Участники симпозиума выслушали также сообщение
академика Ю. В. Прохорова о вкладе Эйлера в разви-
тие математического анализа. Оратор подчеркнул:, сту-
денты втузов и по сей день изучают основы высшей
математики по руководствам, восходящим к классиче-
ским монографиям Эйлера. Заслуги знаменитого мате-
матика в механике упругих систем осветил в своем вы-
ступлении академик А. Ю. Ишлинский. О вкладе Эйле-
ра в развитие механики и гидродинамики говорилось в
совместном докладе академика Л. И. Седова и доктора
физико-математических наук Г. К. Михайлова. Интерес-
ный доклад об алгебраических работах Эйлера сделала
доктор физико-математических наук И. Г. Башмакова.

Особое выступление было посвящено Эйлеровым
«Письмам к немецкой принцессе». Рассказывая об этом
сочинении, А. Т. Григорьян и В. С. Кирсанов подчеркну-
ли, что оно представляет собой популярное ’ изложение
всей тогдашней физики и философии. «Письма» издава-
лись более 40 раз чуть ли не на всех европейских язы-
ках. Познавательное и философское значение «Писем»
сохранилось и по сей день: очередное издание наиболее
важных из них вышло недавно в ГДР, а в нашей стра-
не готовится новый перевод всех 234 писем.

Двухдневная «московская часть» симпозиума была
продолжена в Ленинграде, где более 30 лет жил и ра-
ботал Эйлер. Помимо научных докладов участники сим-
позиума услышали выступления прямых наследников
великого ученого: профессора Ленинградского института
инженеров железнодорожного транспорта Александра
Александровича Эйлера и старшего научного сотрудни-
ка Института теоретической физики АН СССР Ивана
Романовича Геккера. Последний день симпозиума был
посвящен поездке по памятным местам Ленинграда, свя-
занным с жизнью и деятельностью Эйлера.

Память великого ученого почтила и печать нашей
страны. Журналы «Народное образование», «Математи-
ка в школе», «Квант», «Огонек» рассказали на своих
страницах о знаменитом математике XVIII в.

В Академии наук ГДР

15 сентября 1983 г. заместитель Председателя Совета
Министров ГДР, министр науки и техники Г. Вейц и
президент Академии наук ГДР В. Шелер открыли в До-
ме приемов- правительства ГДР торжественное заседа-
ние, посвященное памяти Эйлера. Слово для доклада
о жизни и деятельности великого ученого было предо-
ставлено А. П. Юшкевичу (СССР). Затем президент Ма-
тематического «общества ГДР Р. Клётцлер рассказал об
исследованиях Эйлера по вариационному исчислению,,
а Г. К. Михайлов (СССР) — по механике.

Во время научной конференции, продолжавшейся и на
следующий день, академик АН ГДР Г. Тредер сделал
доклад о работах Эйлера по теории гравиталии, ака-
демик АН ГДР В. Альбринг — по гидродинамике и гид-
равлическим машинам. Член-корреспондент АН ГДР
Г. Кох рассказал о роли дзета-функции Эйлера в тео-
рии чисел. А. Граттан-Гиннесс (Великобритания) пока-
зал влияние Эйлера на развитие математики во Фран-
ции.

Особый интерес вызвало сообщение Я. Гульта (Шве-
ция) о «Письмах к немецкой принцессе». Докладчик
привел малоизвестные факты о распространении «Пи-
сем», о влиянии, которое оказало это сочинение на уче-
ных разных стран.

По заказу АН ГДР к торжественной дате была изго-
товлена памятная медаль мейссенского фарфора с ба-
рельефом Эйлера, которую получили все участники кон-
ференции.

Научные и популярные журналы, центральные и
окружные газеты ГДР поместили биографии Эйлера/
статьи о тех или иных сторонах его научной деятельно-
сти. О работах Эйлера рассказали и математические
журналы: для учителей — «Математик ин дер Шуле»,
для учащихся — «Альфа».

А. Я. Яковлев

(Москва)

В Министерстве просвещения
РСФСР

24 ноября 1983 г. состоялось очередное заседание Цент-
рального оргкомитета Всероссийской физико-математи-
ческой и химической олимпиады школьников, на кото-
ром обсуждался вопрос о ходе подготовки к проведе-
нию X Всероссийской олимпиады, посвящаемой
150-летию со дня рождения Д. И. Менделеева.

Заключительный этап X Всероссийской олимпиады
будет проведен с 24 по 28 марта 1984 г. в г. Вологде
для Северо-Западной зоны, в г. Нальчике для Юго-За-
падной зоны, в г. Саранске для Центральной зоны,
в г. Якутске для Сибири и Дальнего Востока.

Органы народного образования, работники просвеще-
ния названных городов при активном участии препода-
вателей вузов и сотрудников научно-исследовательских
институтов готовятся к приему участников олимпиады,
разрабатывают познавательную и культурную ..про-
грамму.

С каждым годом растет число участников олимпиады
по математике. В школьных олимпиадах 1983 г. приня-
ли участие 2 546 924 учащихся, в районных (город-
ских)— 273 212, в республиканских (АССР), краевых,
областных — 8708, в зональных — 245 человек (победи-
телей предыдущих'олимпиад).

Итоги Всероссийской олимпиады 1983 г. показали,
что во многих школах Российской Федерации ведется
работа по углубленному обучению математике. Как и в
предыдущие годы, успехов добились команды учащихся
Иркутской и Саратовской областей. Высоких результа-
тов достигли также команды Воронежской, Горьков-
ской, Кемеровской, /Московской, Новосибирской, Ростов-
ской и Свердловской областей. По сравнению с прош-
лыми годами- успешнее выступили представители
Удмуртской АССР, Красноярского края, Владимирской и
Пензенской областей. На протяжении нескольких лет на
заключительном этапе олимпиады успешно выступают
учащиеся школ № 10 г. Ангарска Иркутской области,
№ 8, 58 г. Рязани, № 13 г. Саратова, № 85, 62 г. Воро-
нежа, № 30 г. Ижевска Удмуртской АССР, № 11 г. Но-
вокузнецка Кемеровской области, № 29 г. Пензы.

Оргкомитет призывает учителей всех школ активизи-
ровать работу по подготовке учащихся к олимпиаде.
Известно, какое большое значение имеет внеклассная
работа для повышения интереса учащихся к предмету,
для углубления их знаний, а также для профориентации
школьников.

В Математическом обществе ГДР

Математическое общество ГДР провело в октябре
1983 г. в живописных горах Гарца очередную (седьмую)
конференцию секции истории и философии математики.
Уже в процессе подготовки конференции была намече-
на экскурсия в Вернигероде, где любил проводить свой
отдых «великий аналитик с берегов Шпрее» Карл Вей-
ерштрасс. Сюда съезжались его многочисленные учейи-
ки, неоднократно приезжала его любимица — Софья Ко-
валевская. Небольшой двухэтажный домик, где жил
Вейерштрасс, сохранился и поныне; теперь в нем дет-
ский сад и несколько квартир.

В повестке дня конференции были доклады о жизни
и научном наследии Г. В. Лейбница (Э. Кноблох. За-
падный Берлин), об истории развития принципа наи-
меньшего действия от Лейбница до Эйлера (Р. Тиле,
Лейпциг), о работах Эйлера в области теории вероятно-
стей и демографии (А. Халамайзер, Москва), об исто-
рической обстановке в период работы Эйлера в Берли-
не (К. Грау, Берлин).

Многие доклады были посвящены вопросам, тесно
связанным с обучением математике в средней школе.

Г. Каздорф (г. Гюстров) отметил в своемх докладе,
что использование новых математических сведений для
дальнейшего развития производительных сил требует
определенного уровня математических знаний; матема-
тика должна также занимать достаточно важное ме-
сто в мировоззрении современного человека. Примене-
ние ЭВМ привело к новым качественным оценкам'в со-
отношении между математикой и производительными
силами общества. В связи с этим следует предъявлять
более высокие требования к общему математическому
образованию и к воспитанию правильного мировоззре-
ния у подрастающего поколения.

Рассмотрению «Начал» Евклида с точки зрения со-
временной математики посвятил свое выступление
П. Шрейбер (г. Грейфсвальд). Он отметил, в частности,
что V постулат может служить локальным критерием
выполнимости циклического алгоритма, что преоблада-
ние алгоритмов построения или синтетических доказа-
тельств при решении задач на построение Менялось в
обучении математике в зависимости от исторических
ситуаций. Докладчик высказал также аргументирован-
ное предположение о том, что «Начала» сформулирова-
ны в дошедшем до нас виде не самим Евклидом, а его
учениками — слушателями его «бесед».

Весьма плодотворной оказалась широкая дискуссия
о необходимости введения исторических элементов в
школьное обучение математике.

«Учителю действительно трудно излагать в историче-
ской последовательности такие понятия, как предел или
непрерывность,—считает В. Кокерт (г. Коттбус).__

Предложения излагать курс математики в строгой исто-

рической последовательности оказались неприемлемыми
для школы.’Однако на уроках следует прослеживать на
нескольких примерах генезис важных проблем и исто-
рию их открытия».

«Элементы истории математики, безусловно, нужны в
школьном обучении,— заявил один из руководителей
секции истории математики профессор Г. Ассер
(г. Грейфсвальд). — Однако нужны не отдельные исто-
рические анекдоты о знаменитых математиках, которые
часто пересказывают учителя, а научное, хотя, быть
может, и слегка упрощенное изложение важных собы-
тий в истории математики».

Выступавшие в прениях отмечали, что в большинстве
школьных учебников по математике есть отдельные
исторические вкрапления, но они явно недостаточны и
большей частью не связаны с основным текстом учеб-
ника. Мало кто из учителей использует их в своей рабо-
те с классом или даже на кружках и факультативах.
Ни один школьный инспектор не следит за тем, чтобы
история математики находила место на уроках, хотя в
официальной программе и значится обязательное изуче-
ние определенных сведений по истории математики.

Выступавшие предлагали:

предусмотреть в школьной программе время для рас-
сказа учителя о важнейших событиях в истории мате-
матики;

разработать методику изложения этих сведений;

время от времени включать в контрольные работы 1
вопросы из истории математики; при этом школьник не
обязан знать наизусть многочисленные даты и отдель-
ные факты, но должен иметь представление об основ-
ных этапах развития, математики и об отдельных вы-
дающихся математиках прошлого.

Было высказано также общее пожелание, чтобы Ма-
тематическое общество ГДР обратилось к редакциям
научно-популярных журналов, радио и телевидения с
рекомендациями о популяризации историко-математиче-
ских сведений.

А. Я. Халамайзер

(Москва)

1 В школах ГДР успеваемость учащихся оценивается
обычно по письменным работам, а не по устным ответам
(это правило распространено и на гуманитарные пред-
меты). Часть этих работ рассылается по школам цент-
рализованно.

(Окончание. Начало см. на с. 72.)

(рук. Э. А. Бекоев)—81—86, 93; Велихаплинской вось-
милетней шк. Ярдымлипского р-на АзССР (рук. М. М.
Гаджиев) —82, 83, 86, 89, 93; Карыкышлакской ср. шк.
Лачинского р-на АзССР (рук. Э. X. Казымов)—81,
83, 84; Набакевской ср. шк. Самтредского р-на ГССР
(рук. М. Д. Кашия) — 81-^86, 92, 93, 95; ср. шк. К? 93
Киева (рук. М. Л. Кобозев)— 81—90, 92—96, 99, 00;
Калининской ср. шк. Гардабапского р-на ГССР
(рук. И. М. Мамедов)—81, 85, 93, 94; г. Рогачева
Гомельской обл. (рук. С. Л. Нахамчик) — 81—84, 86,
87, 89, 92—96, 99; ср. шк. № 2 г. Андижана (рук.
О. Сатторов)—81, 83—86, 93, 96; Башской ср. шк.
Самтредского р-на ГССР (рук. Л. Е. Твалавадзе) —
81, 82, 85, 86, 89, 93—96; ср. шк. № 173 Киева (рук.
Р. П. Ушаков) — 81—97, 99, 00; ср. шк. № 32 Минска
(рук. А. Н. Щиряков) — 81, 82, 86, 87; ср. шк. № 132
г. Куйбышева (рук. Э. А. Ясиновый)—81, 82, 85—87,
89,,91, 93—95, 98:
СКЛАДНЫЕ НИТЯНЫЕ МОДЕЛИ ПО СТЕРЕОМЕТРИИ

Практика преподавания стереометрии показывает, что
наибольшие трудности учащиеся испытывают при ре-
шении задач. Одной из причин этих трудностей являет-
ся отсутствие у учащихся необходимых пространствен-
ных представлений. Поэтому часто возникает потреб-
ность в использовании индивидуальных объемных
наглядных пособий как при изучении теории, так и при
решении задач.

На уроках стереометрии применяются фабричные или
самодельные объемные модели в основном из таких
материалов, как дерево, фанера, проволока, жесть,
стекло, картон и т. д. Но многие из них не очень удоб-
ны для индивидуального пользования на уроке, гро-
моздки, часто сложны в изготовлении и требуют много
места для хранения. Этих неудобств можно избежать,
если изготовлять складные нитяные модели.

Основными частями складной объемной нитяной мо-
дели являются картонная папка и складывающаяся
нитяная модель геометрического тела, изготовленная
из цветных ниток, а иногда еще из одного или двух
кусочков картона. При раскрытии папки между ее
крышками («плоскостями»’) образуется (раскрывается)
модель соответствующего геометрического тела.

В небольшой заметке А. С. Колесника (Математика
в школе, 1980, № 1, обложка) кратко указан способ
изготовления простых складных нитяных моделей пи-
рамид, у которых высота проходит через одну из вер-
шин основания пирамиды. Нитяные наглядные пособия
описаны и в книге Е. И. Маянского «Самодельные
наглядные пособия по стереометрии» (Кострома, 1959,
с. 68—77). Но сейчас эта книга встречается редко,
к тому же не со всеми ее указаниями можно согла-
ситься. Например, предложенные в ней размеры посо-
бий (120X150 мм) очень малы, что делает их менее
наглядными даже при индивидуальном пользовании.

Мы рекомендуем пособия более крупных размеров
и более широкого назначения. Каждое из них делается
из картонного прямоугольника размером 180X460 мм.
Толщина картона 2—3 мм.

Подготовив картон указанных размеров, вырезаем
из плотной чертежной бумаги прямоугольник размером
194X474 мм (здесь с каждой стороны прямоугольника
сделаны припуски по 7 мм для загиба). Затем акку-
ратно наклеиваем на картон бумагу и загибаем ее края
на другую сторону картона. По оси симметрии, парал-
лельной меньшей стороне прямоугольника, делаем ли-
нию сгиба — надрез на половину толщины картона
и аккуратно сгибаем заготовку папки по линии надре-
за, но в сторону, противоположную ему.

Для закрепления положения папки в раскрытом (ра-
бочем) состоянии служит упор в виде прямоугольного
треугольника из картона толщиной 3—4 мм. Величина
одного из углов треугольника равна величине двугран-
ного угла папки в раскрытом состоянии.

Изготовление модели пирамиды. Определив размеры
пирамиды, вырезаем из бумаги макет основания. Рас-
крываем папку и с помощью макета на нижней внут-
ренней ее стороне определяем положение основания
пирамиды, а на верхней стороне отмечаем вершину
пирамиды так, чтобы папка раскрывалась на достаточ-
но большой угол, а будущая пирамида хорошо про-
сматривалась.

Вычерчиваем на нижней внутренней стороне папки
основание пирамиды и (пастой иного цвета) его необ-
ходимые элементы. Обозначаем все нужные нам точки
(рис. 1). Во всех намеченных точках основания пира-
миды, а также в точке ее вершины прокалываем тон-
ким шилом отверстия.

Измеряем высоту пирамиды, отрезаем нитку (жела-
тельно красного цвета) длиннее высоты пирамиды на
2 см. Продеваем нитку в отверстия вершины и основа-
ния высоты пирамиды и закрепляем ее концы клеем
с внешних сторон папки.

Закрепляем также «ребра» пирамиды из ниток того
самого цвета, что и стороны основания пирамиды.

Нитками третьего цвета показываем другие элемен-
ты модели: линейные углы, сечения, перпендикуляры
и т. д. В вершине пирамиды все концы нитей распола-
гаем веером, чтобы не было большого узла (рис. 2).

Рис. 2

Для того чтобы скрыть концы нитей и придать пап-
ке более аккуратный вид, оклеиваем внешние ее сто-
роны немаркой цветной бумагой.

Проводим окончательное оформление папки-модели:
на внешней лицевой стороне папки вверху пишем «Мо-
дель пирамиды». Ниже этой надписи выполняем изо-
бражение модели пирамиды в соответствующих цветах.
Под изображением пишем: «Модель применяется при
решении задач №... из «Геометрии 9—10».

Изготовление моделей прямой и наклонной призм.
Вырезаем из чертежной бумаги макет основания приз-
мы нужных размеров. Определяем с его помощью по-
ложение модели призмы внутри папки и вычерчиваем
нижнее основание призмы и его элементы. Вырезаем
из картона и из чертежной бумаги верхнее основание
призмы, оставив в них припуски по 2 мм, чтобы проко-
лы для «ребер призмы» в вершинах верхнего основания
не приходились на его края.
Цене 45 коп.

7055 7

Издательство «Педагогика» Москва

5*'

Если нужно сделать модель прямой призмы, то верх-
нее ее основание прикрепляем на нитке, перпендикуляр-
ной к нижней крышке папки, на расстоянии высоты
призмы (рис. 3). Если же изготавливается модель
наклонной призмы, то верхнее основание этой модели
крепится на нитке, параллельной ребрам наклонной
-призмы (рис. 4). Один конец нити крепится к верхней

прямых и плоскостей, на проведение перпендикуляра
и наклонных к плоскости, на определение линейного
угла двугранного угла ид. д.

Нет необходимости готовить модель для каждой
сложной задачи. Лучше всего сделать комбинирован-
ную модель по условиям ряда задач на один и тот же
вид геометрического тела.

Рис. 3 А Рис. 4 Г*

крышке папки, а другой — снизу верхнего основания.
После этого натягиваем и укрепляем «ребра призмы»
« другие ее элементы Чтобы скрыть концы нитей на
верхнем основании модели, наклеиваем на него лист
белой плотной бумаги такой же формы.

Описанным способом можно изготавливать модели
на комбинацию пирамид и конусов, призм и цилиндров.
Не надо строигь много образующих конуса (цилиндра),
чтобы не загромождать модель лишними элементами.
Достаточно лишь тех, которые придется рассматривать
при решении соответствующих задач. Следует учесть,
что элементы пирамиды (призмы) выполняются в од-
ном цвете, а элементы конуса (цилиндра) в другом,
причем ребра многогранника и совпадающие с ними
образующие тела вращения должны быть двухцвет-
ными.

Складные нитяные модели можно делать также для
задач на различные случаи взаимного расположения

Однако не следует увлекаться изготовлением стерео-
метрической модели для всех задач. Излишняя нагляд-
ность в конечном счете может принести не только
пользу, но и вред: у учащихся не станет развиваться
собственное пространственное воображение, и они бу-
дут испытывать затруднения даже при решении
несложных задач.

Наличие в кабинете математики складных нитяных
моделей позволяет хранить много объемных моделей
на одной небольшой полке шкафа, освобождая осталь-
ные полки и шкафы для размещения других видов
наглядных пособий.

Разумеется, в процессе приобретения опыта работы
с нитяными моделями у учителей и учащихся появятся
свои усовершенствования, способствующие улучшению
качества пособий и расширению области их приме-
нения.

Б. Г. Гончаренко (г. Тамбов)

Математика в школе, 1984, № 1, 1—80