/
Текст
ISSN 0130-935Я
МАТЕМАТИКА
В ШКОЛЕ
Научно-
методический
журнал
Министерства
просвещения
Софья Александровна Яновская — революционер и
ученый, выдающийся логик, философ и историк
математики.
Родилась в г. Пружаны (ныне Гродненской обл.),
в 1914 г. поступила на Высшие женские курсы
в Одессе. Ее учебой руководили профессор
С. О. Шатуновский и известный историк математики
И. Ю. Тимченко, которые высоко ценили
математическое дарование девушки.
Еще на курсах Яновская стала участницей
яодпольного Красного Креста, созданного
большевиками для помощи политзаключенным в дии
оккупации Одессы интервентами. В ноябре 1918 г.
Яновская вступила в партию большевиков. Была
секретарем редакции газеты «Коммунист», которую
нелегально печатали в одесских катакомбах.
Контрразведки интервентов и белогвардейцев
пытались отыскать редакцию газеты. Тех, у кого
находили хоть один экземпляр, казнили. Но газета
расходилась каждую неделю в 5 тыс. экземплярах.
И каждую неделю Соня Яновская несла мимо частых
патрулей на явочную квартиру, где собиралась
редколлегия, материалы для очередного номера.
В 1919 г. Яновскую направили на борьбу с кулацким
мятежом на юге Украины. Оиа вела политическую
работу в Красной Армии. Однажды попала в плен
вместе с несколькими красноармейцами. Пленных
расстреливали на мосту и те падали в реку. Но
пуля, посланная в Софью Яновскую, прострелила
только высокую тулью ее шляпы. Девушка упала
в воду, сумела выплыть и спрятаться в камышах..
В 1923 г. Яновскую командировали на учебу
в Московский институт Красной профессуры (ИКП),
который она закончила в 1929 г. С тех пор вся ее
жизнь была связана с Московским университетом.
Еще во время учебы в ИКП она начала руководить
в МГУ семинаром по методологии математики
и естествознания.
С 1931 г. С. А. Яновская — профессор
механико-математического факультета МГУ, с 1935 г.—
доктор физико-математических наук. Она — автор более
70 научных работ.
В 1930 г. Яновская возобновила в МГУ лекции по
hcto.ihh математики, прервавшиеся со смертью
В. В. Бобынина. Она создала принципиально новый
курс, в котором внимание слушателей привлекалось
к проблемам обоснования математики от античности до
наших дней. При этом процесс развития математики
анализировался с позиций марксистско-ленинской
методологии и в свете современного состояния этой
науки. Превосходный лектор, Софья Александровна
умела показать казалось бы знакомые вопросы с новой
стороны. С. А. Яновская и М. Я. Выгодский
организовали в 1933 г. научно-исследовательский
семинар по истории математики, успешно работающий
при МГУ и сейчас. У Софьи Александровны было много
учеников, с ними она щедро делилась своими знаниями,
идеями, опытом. Они высоко ценили ее доброту,
мудрость и самоотверженность. Яновская сыграла
большую роль в создании школы советских историков
математики.
В 1931 г. Яновская начала готовить к изданию
математические рукописи Карла Маркса. Предстоял
гигантский труд: расшифровать около тысячи
страниц, где в одной и той же фразе встречались
сочетания из немецких, английских и французских
слов. Необходимо было знать труды Маркса, изучить
его переписку. Маркс показал, как работает
материалистическая диалектика в применении к
анализу основных понятий математики. Чтобы понять
его мысли, надо было знать и математику, и ее
историю, отделить конспекты, сделанные Марксом от
его собственных высказываний. А для этого следовало
найти книги, которые изучал Маркс, работая над
рукописями.
Прошло 2 года тяжелого, упорного труда. В 1933 г.
Яновская опубликовала часть рукописей Маркса на
русском языке в журнале «Под знаменем марксизма»
м написала статью «О' математических рукописях
Маркса». К этой работе оиа вернулась в 1950 г.
Вместе с К- А. Рыбниковым подготовила новое, боле?
полное издание рукописей. Оно вышло в 1968 г.,
когда Софьи Александровны уже не стало.
Яновской принадлежит выдающаяся роль з деле
пропаганды математической логики в СССР. Она
отдавала все свои силы постановке математической
логики как учебного курса, изданию литературы,
воспитанию кадров исследователей. С 1936 г.
прочитала в МГУ около 40 различных курсов п« этой
дисциплине; вместе с И. И Жегалкиным.
П. С. Новиковым, а затем с А. А. Марковым
руководила семинаром по математической логике. Этот
аминар действует и ныне.
Первые вышедшие в нашей стране книги зарубежных
авторов по математической логике были изданы пол
редакцией Яновской и с ее комментариями. Многие
приняли их «в штыки», но Софья Александровна
не отступила. Она продолжала работать над серией
переводов монографий по математической логике. На
лих воспитывались советские специалисты в этой
области.
Яновская — автор обзорных статей по математической
логике для сборников «Математика в СССР за 30 лет»
и «Математика в СССР за 40 лет». Они написаны так
живо и увлекательно, что их с интересом могут
прочесть даже те, кто не имеет специальной
подготовки. Ряд работ Яновской посвящен связи
математической логики с ее приложениями. Так, в
предисловии к переводу книги А. Тьюринга «Может ли
машина мыслить?» она рассмотрела трудные проблемы
кибернетики, связанные с возможностью создания
искусственного интеллекта.
В исследованиях Яновской тесно переплетаются
вопросы истории и философии математики Оиа — автор
ряда очерков в «Философской энциклопедии» и в
«Сборнике статей по философии математики»
К богатству ее методологических идей
постоянно обращаются многие современные
исследователи. В 1972 г. вышел сборник
«С. А. Яновская: Методологические проблемы науки»,
подготовленный к печати ее учениками. В нем
содержатся основные работы Яновской и приведен
полный список ее трудов.
Науние-матедичесгий
журнал
Министерства просвещения
СССР
Москва «Педагогика»
Издается с 1934 года
Выходит один раз
в два месяца
МАТЕМАТИКА
В ШКОЛЕ
СЕНТЯБРЬ —OKI ЯБРЬ
3 Формирование всесторонне развитой личности — наш стратегичес-
кий ориентир
С В. Гнеденко 6 Воспитание моральных принципов и математика
МЕТОДИЧЕСКИЙ ОТДЕЛ
Преподавание геометрии по учебному пособию
А. В. Погорелова
11 К началу обученно г»е««отоии в VII! классе по новому учебному
пособию
19 Примерньк планирование и контрольные работы по геометрии в
VIII классе
Из редакционное, почты
19 Обзор корреспонденции
Т. П. Григорьева 25 О последовательности изложения куоса геометрии в V11 классе
Н. Кадыров 2Ь Замечания к решению трех задач
Д. И. Марченко, 27 О системе заданий к теме «Признаки равенства треугольников»
Н. Д. Моиык
Из опыта рсботы
Е. С. Канин 30 К формированию умений и навыков в вычислениях и тождествен-
ных преобразованиях
И. И. Пак 35 Приемы рационализации вычислений как средство развития мышле-
ния учащихся
В. В. Крючкова 38 Об опыте работы с правилами в теме «Многочлены»
Консультация
А. Д. Александров 39 Так что же такое вектор?
Проблемы и суждения
А. И. Медяник 46 О строгости изложения в учебном пособии А. В. Погорелова
Внеклассная работа
А. С. Пономаренко, 50 XVIII Всесоюзная олимпиада шке пьников пт математике
А. М. Слинько
А. Я. Цукарь 57 Построение обобщений теооем
О С. Ивашев-Мусатов 60 О законах отражения и преломления света
Задачи 61
ЗА РУБЕЖОМ
Нгуен Ван Чанг 68 Математический анализ в XI—XII классах школ СРВ
Г. Д. Дмитриев 70 Кризисное состояние математического образования в школах США
КРИТИКА И БИБЛИОГРАФИЯ
П. Л. Ульянов 73 Сборник статей о Лузине >
Б. Е. Горенштейн 73 О книге Г. И. Глейзера «История математики в школе. VII—VIII клас-
сы»
И. А. Марнянский 74 Как научить догадываться?
В. А. Кузнецова 75 Еще один задачник «Кванта»
Ф. М. Шустеф 76 Новые книги
Г*здравтяем юСкляра
О. К. Кайбылдаев, 76 С. М. Мусаеву — 60 лет
Ш. М. Манлиев
© Издательство «Педагогика» «Математик} в школе», 1964 г.
Л^-'Сматический календарь на 1984/85 учебный
год
А. И. Бородин Е. С. Ахулкова и др. 77 Ноябрь — декабрь 78 Иван Козьмич Андронов (1894—1975) ХРОНИКА
Ш. X. Михелович 79 Республиканская научно-методическая конференция в Латвии
Г. И. Баренблатт и др. 80 |Абрам Миронович Лопшиц|
Редакционная коллегия:
Редакционный аовет
Зав. редакцией
3. В. Шепелева
Главный редактор Р. С, Черкасов
(представители союзных республик)!
Художественный редактор
Б. Ф Рябов
Зам главного редактора 4. И. Верченко
Члены редакционной коллегия;
Н. М. Веская
В. Г. Болтянский
И Ф. Власик
Г. Д. Глейзер
Б. В. Гнеденка
Г. В. Дорофеев
В. А. Ермолаева
А. Н. Колмогоров
Ю. М. Калягин
М. Р. Леонтьева
Г. Г. Маслова
К. И. Пешков
Л. М. Пашкова
И. С. Петраков
fi. X. Розов
В. А. Скворцов
3. Д. Скопец
П. В. Стратилатов
3. С. Сухотина
К. И. Шалимова
С. И. Шварцбурд
Г. А. Ястребинецкий
А. М. Алиев (АзССР)
X. А. Асадов (ТаджССР)
Б. Б. Бердыев (ТССР)
В. Д. Гусев (РСФСР)
А. С. Зибертас (ЛитССР)
Д. И. Икрамов (УзССР)
К- К. Кожаспаев (КазССР)
Ш. М. Майлиев (КиргССР)
В. Я. Миллере (ЛатвССР)
3. И. Моисеева (РСФСР)
С. Ф. Рубанов (БССР)
Н. Н. Садовникова (РСФСР)
Р. В. Саркисян (АрмССР)
3. И. Слепкань (УССР)
А. Э. Тельгмаа (ЭССР)
И. Ф. Тесленко (УССР)
Р. А. Хабиб (РСФСР)
Д. М. Хоштария (ГССР)
Технический редактор
Я. В. Розанова
Корректор
Ai. А. Суворова
Сдано в набор 22.08.84. Подписано в
печать 28.09 84, Формат 84х108,/1в- Печать
высокая. Усл. печ. л. 8,40. Уч.-изд. л.
11,29. Усл. кр.-отт. 9,03. Тираж 387 940 экз.
Цена 45 коп. Зак. 252.
Издательство «Педагогика» Академии пе-
дагогических наук СССР и Государствен-
ного комитета СССР по делам изда-
тельств, полиграфии и книжной торговли.
Адрес издательства; 107847, Москва, ГСП,
Б-05, Лефортовский пер., д. 8,
Адрес редакции: 129278, Москва.
ул. П. Корчагина, ц 7; телефон 283-85-83.
Московская типография № 13
ПО «Периодика» ВО «Союзполиграфпром»
Государственного комитета СССР по де-
лам издательств, полиграфии и книжной
торговли,
107005. Москва, Б-Б, Денисовский пер.,
Д. 30.
Формирование всесторонне развитой личности—
наш стратегический ориентир
1984/85 учебный год — первый учебный год,
когда миллионы советских педагогов присту-
пают к непосредственному воплощению идей
реформы средней общеобразовательной и про-
фессиональной школы в учебных классах, про-
фессионально-технических училищах и до-
школьных учреждениях, в учебно-производст-
венных комбинатах и вузовских аудиториях.
Особенностью реформы является ее перспек-
тивный характер. В основных направлениях
перестройки школы четко сформулированы
требования — повысить качество образования
и воспитания, обеспечить более высокий уро-
вень преподавания каждого предмета, прочное
овладение основами наук, улучшить идейно-
политическое, трудовое и нравственное воспи-
тание, эстетическое и физическое развитие
школьников, усовершенствовать учебные пла-
ны и программы, учебники и методические по-
собия, методы преподавания, устранить пере-
грузку учащихся, чрезмерную усложненность
теоретического материала. В конечном счете
речь идет о том, чтобы современная школа
наиболее полно соответствовала запросам об-
щества эпохи развитого социализма. 1т потому
отличительной чертой основных документов,
определяющих пути совершенствования сред-
него образования, является идея о всемерной
концентрации государственных и обществен-
ных сил и средств, нацеленных на подготовку
молодых поколений к труду, на их обучение и
коммунистическое воспитание. Самое активное
участие в осуществлении реформы будут при-
нимать промышленные предприятия и колхо-
зы, общественные организации и научные цент-
ры, различные министерства и ведомства.
На заседании Комиссии Политбюро ЦК
КПСС по реформе общеобразовательной и
профессиональной школы, состоявшемся 1 ав-
густа 1984 г., особое внимание было обраще-
но на необходимость пропаганды основных
идей реформы, проведения разъяснительной
работы среди всех категорий трудящихся с
тем, чтобы в ее осуществлении участвовали
самые широкие слои советской общественности.
Главное внимание на заседании комиссии
было уделено мерам по практическому осуще-
ствлению реформы. «Теперь, — как отмечал
Генеральный секретарь ЦК КПСС, Председа-
тель Президиума Верховного Совета СССР
!•
К. У. Черненко, — надо думать о том, чтобы
идеи реформы были полностью воплощены в
жизнь, не остались на бумаге. Главное здесь—
подвести под всю работу по преобразованию
школы прочную материальную и организаци-
онную базу».
Выступавшие на заседании комиссии гово-
рили о той большой работе, которая повсе-
местно развернулась по реализации реформы
школы. Вместе с тем обращалось внимание на
необходимость ускорить и улучшить эту ра-
боту, повысить се качество, сделать все не-
обходимое для значительного совершенство-
вания учебно-воспитательного процесса.
Большое внимание было уделено проблемам
организации общественно полезного труда
школьников. Уже в нынешнем учебном году
должны быть приведены в соответствие с но-
выми требованиями учебные планы и програм-
мы трудового обучения и воспитания школь-
ников. Признано необходимым полнее ис-
пользовать богатый опыт по трудовому вос-
питанию молодежи, накопленный в учениче-
ских производственных бригадах на селе, в
трудовых объединениях школьников в про-
мышленности, на транспорте, в сфере обслу-
живания. Эта работа должна осуществляться
органами народного образования совместно с
трудовыми коллективами производственных
предприятий. Они должны в кратчайшие сао-
кн выделить требуемое число рабочих мест,
специалистов, наставников, а также сырье и
материалы, обеспечить хорошую организацию
труда учащихся. Отмечалось, что не все отрас-
левые министерства и ведомства по-настояще-
му развернули такую работу на подведомст-
венных предприятиях и в учреждениях.
В новом учебном году предстоит сделать
серьезный шаг в дальнейшем улучшении под-
готовки квалифицированных рабочих кадров в
системе профтехобразования, становлении еди-
ного типа средних профессионально-техниче-
ских училищ.
Важное значение придано вопросам подго-
товки, повышения квалификации и укрепле-
ния кадрами школ и профтехучилищ. В выс-
туплениях членов комиссии отмечалась необ-
ходимость улучшения отбора учителей для ра-
боты в школе, повышения роли аттестации
педагогических работников, их ответственно-
3
стя за результаты обучения и воспитания уча-
щихся.
Обращено внимание на недостатки в разви-
тии материальной базы общеобразовательной
и профессиональной школы, необходимость
своевременного ввода в строй новых школ, до-
школьных учреждений и профтехучилищ, под-
держания в порядке существующих школьных
зданий.
Понятно, что каждое из этих партийных ука-
заний имеет прямое отношение к органам на-
родного образования, ко всем педагогическим
коллективам общеобразовательных школ и
других учебных заведений. Их задача — по-
мочь каждому просвещенцу определить и осо-
знать свое место в осуществлении реформы.
В связи с этим ответственная роль в про-
паганде и изучении основных документов о ре-
форме отводится институтам усовершенство-
вания учителей, факультетам повышения ква-
лификации при педагогических институтах и,
разумеется, учреждениям системы массовой
политической учебы. В частности, для школ
научного коммунизма, в которых занимаются
работники народного образования, разработа-
на программа на тему: «Реформа общеобразо-
вательной и профессиональной школы — со-
ставная часть совершенствования развитого
социализма». Она подготовлена Всесоюзным
домом политического просвещения при ЦК
КПСС, Советом по марксистско-ленинскому
образованию педагогических кадров при Ми-
нистерстве просвещения СССР и Советом по
марксистско-ленинскому образованию кадров
при Государственном комитете СССР по про-
фессионально-техническому образованию. Этот
гуре будут изучать в школах научного ком-
мунизма в 1984/85 учебном году учителя, вос-
питатели, инженерно-педагогические и другие
работники народного образования.
Реализация основных направлений школь-
ной реформы, как известно, рассчитана на дли-
тельную перспективу. В то же время педаго-
гическим коллективам школ и ПТУ предостав-
ляются немалые возможности, чтобы уже в те-
кущем учебном году целенаправленно и пла-
номерно начать перестройку всей многогран-
ной учебно-воспитательной деятельности.
В связи с этим в помощь учителям Минис-
терством просвещения СССР, Академией пе-
дагогических наук СССР, мнппросами союз-
ных республик разработаны конкретные мето-
дические рекомендации по ряду учебных пред-
метов, которые следует внимательно изучить и
использовать в практической работе. Цель
этих рекомендаций — помочь педагогам внес-
ти необходимые коррективы в содержание
старых программ и учебников, избежать пере-
грузки школьников. И прежде всего — повы-
сить эффективность урока, качество усвоения
школьниками знаний и умений па всех этапах
учебного процесса. Учитель должен стремить-
ся к тому, чтобы научись школьников рацио-
нально работать на каждом занятии, воору-
жать их общеучебными и специфическими на-
выками, используя в этой работе такие про-
веренные практикой методические принципы,
как подача материала крупными блоками,
проработка нового непосредственно на уроке.
Ведь именно несовершенство урока чаще все-
го является причиной непосильных для детей
домашних заданий и в конечном счете — от-
ставания их в учебе. Очень полезен также те-
матический учет знаний.
Но все это не значит, что учитель не имеет
права выходить за рамки рекомендаций или
использовать в практике личные методические
находки. Напротив, многие положения рефор-
мы дают педагогу-практику широкий простор
для творчества, призывают его использовать
самый широкий спектр учебных средств и при-
емов. Не случайно и в самих документах о
школьной реформе, и в рекомендациях Мини-
стерства просвещения СССР настойчиво по-
вторяется совет — смелее обращаться к са-
мым различным формам организации учебных
занятий, наряду с обычными уроками шире
практиковать лекции, семинары, консультации
и т. п.
Более заметное место, чем это было преж-
де, должны занять в учебном процессе фа-
культативы по отдельным отраслям знаний.
В связи с этим предусматривается увеличение
числа специальных часов для занятий школь-
ников старших классов, которые желают углу-
бить свои знания по избранным предметам фи-
зико-математического, химико-биологического,
технического и общественно-гуманитарного
циклов наук. При этом наиболее оптимальным
вариантом организации факультативных заня-
тий является их специализация по циклам в
рамках каждой школы.
Еще одно новшество, ожидающее учителей
в 1984/85 учебном году — введение в девятых
классах курса «Этика и психология семейной
жизни». С этой целью уже подготовлены ме-
тодические пособия для педагогов и школьни-
ков — книга с материалами по актуальным
проблемам изучаемого курса. Преподавание
этого курса может быть поручено любому пе-
дагогу, в том числе и учителю математики —
классному руководителю.
Учитывая неоднородный характер способно-
стей ребят, больше внимания в учебной дея-
тельности школ будет уделено классам вырав-
нивания, а также практике условного перевода
школьников, которые способны за 1—2 меся-
ца дополнительных занятий ликвидировать
свою задолженность по той или иной дисцип-
лине.
4
Одна из центральных проблем реформы —
трудовое обучение и воспитание. Помимо уже
имеющихся документов Минпрос СССР сов-
местно с АПН СССР разработал проект при-
мерной типовой программы по труду. В нем
предусмотрено занятия по труду проводить не
только на уроках трудового обучения, но и во
внеучебное время, в часы общественно полез-
ного, производительного труда, специально от-
веденные для этого. Предусмотрена практика
школьников в период летних каникул. В IX—
XI классах вводится профессиональная, осно-
ванная на принципах политехнизма подготовка
учащихся по одной из массовых производст-
венных специальностей. Разработаны также
проекты Положений о базовых предприятиях,
учебно-производственных комбинатах и учени-
ческих производственных бригадах. А сама
трудовая подготовка школьников будет завер-
шаться сдачей квалификационных экзаменов
в соответствии с перечнем массовых профес-
сий.
Целый ряд важных практических мер пред-
стоит осуществить Министерству просвещения
СССР, Академии педагогических наук СССР,
минпросам союзных республик по организа-
ции обучения детей шестилетнего возраста,
основная часть которых придет в школу уже
в 1986/87 учебном году. Однако переход к
обучению детей с шестилетнего возраста бу-
дет происходить постепенно, по мере создания
соответствующих условий в отдельных регио-
нах страны. Поэтому какое-то время в школу
будут поступать как шестилетние, так и се-
милетпие дети. А значит, начальные классы в
течение ряда лет будут работать по разным
учебным планам (трехлетней и четырехлетней
начальной школы), разным программам и
учебникам — новым и ныне действующим.
В перспективе начальная школа станет четы-
рехлетней, а средняя — одиннадцатилетней.
Претерпят изменения учебные планы всех
типов школ. Прежде всего, недельная учебная
нагрузка учеников в каждом классе будет при-
ведена в соответствие с установленными в до-
кументах по реформе нормативами: в I клас-
се— 20 ч, во II классе — 22 ч, в III—IV клас-
сах— 24 ч, в V—VIII классах — 30 ч, в IX—
XI классах — 31 ч в неделю. В национальных
школах РСФСР и школах других союзных рес-
публик с одпннадцатилетпим сроком обучения
выделяется дополнительно 2—3 ч в каждом
классе на изучение русского языка или языка
союзной республики. Увеличивается до 3 ч в
неделю время на трудовое обучение в VIII —
IX классах, выделяется специальное время на
общественно полезный труд школьников II —
IV классов — по 1 ч, V—VII классов — по 2 ч,
VIII—IX классов — по 3 ч и X—XI классов —
по 4 ч в неделю.
В новом типовом учебном плане сокращено
количество обязательных учебных занятий в
старших классах и увеличено время на углуб-
ленное (факультативное) изучение предметов.
На эти цели в VII—IX классах выделяется по
2 ч, в X—XI классах — по 4 ч в неделю.
Опыт показывает, что занятия по выбору уча-
щихся позволяют не только повысить эффек-
тивность обучения, но и сформировать более
устойчивые и целенаправленные интересы
школьников к определенным видам прапиче-
ской деятельности.
Изменение учебного плана потребует пере-
смотра единого уровня общего среднего обра-
зования молодежи, а на его основе должны
быть переработаны учебные программы один-
надцатилетней школы, школ с углубленным
теоретическим и практическим изучением пред-
метов, других типов школ.
Эту работу предстоит выполнить в ближай-
шее время с тем, чтобы на основе измененных
программ доработать действующие и создать
новые учебники. При подготовке учебников
основной упор будет сделан на повышение их
идейно-теоретического уровня, обеспечение
большей доступности, практической направ-
ленности, реализацию межпредметных связей.
«Народный учитель — ваятель духовного
мира юной личности, доверенное лицо общест-
ва, которому оно вверяет самое дорогое, са-
мое ценное — детей, свою надежду, свое бу-
дущее». Такую высокую опенку партии и на-
рода получила многогранная деятельность со-
ветских педагогов в документах о школьной
реформе. С большим воодушевлением воспри-
няли все учителя те меры, которые направле-
ны на улучшение их материального и мораль-
ного стимулирования. В соответствии с ними
предусмотрено повышение оплаты труда педа-
гогов в среднем на 35 %. Принципиально но-
вым будет также учет квалификации учите-
лей.
Как известно, для тех, кто отличился в ра-
боте, существует несколько квалификационных
и почетных просвещенческих званий: старший
учитель, учитель-методист, заслуженный учи-
тель республики, народный учитель СССР.
Наиболее массовыми из них являются два пер-
вых, которые присваиваются по итогам аттес-
тации. С 1 сентября 1984 г. заработная плата
работников просвещения, имеющих звания
«старший учитель», «учитель-методист», повы-
шается соответственно на 15 и 25 рублей. Пе-
дагогам, удостоенным звания заслуженного
учителя республики, зарплата повышается на
30 рублей, а народным учителям СССР — на
50 рублей.
Готовятся также документы по совершенст-
вованию аттестации работников народного об-
разования. Она будет играть более важную
Б
роль в оценке качества работы учителя. В свя-
зи с этим заметно возрастут возможности для
присвоения педагогам высоких квалификаци-
онных званий, для их материального поощре-
ния. С другой стороны, те педагоги, которые
ухудшили свою работу, не смогут рассчиты-
вать на пожизненное сохранение за собой вы-
соких профессиональных отличий. Правильная
оценка труда учителей с участием широкой
общественности в условиях принципиальности
и гласности должна стать одним из решающих
факторов.
Генеральный секретарь ЦК КПСС, Предсе-
датель Президиума Верховного Совета СССР
товарищ К. У. Черненко отметил на апрель-
ском (1984 г.) Пленуме ЦК КПСС: «Реформа
школы — не одноразовое мероприятие. И дело
не только в том, что она рассчитана на две
пятилетки. Когда речь идет о живых людях,
а тем более о детях, нельзя все расписать на-
перед. Практика, безусловно, будет вносить
поправки в какие-то наши наметки и планы, и
бояться этого че следует. Важно не потерять
из виду наш стратегический ориентир — фор-
мирование всесторонне развитой личности».
Воспитание моральных принципов
и математика
Б. В. Гнеденко
(Москва)
В Основных направлениях реформы общеоб-
разовательной и профессиональной школы глу-
боко вскрыты вопросы такой ее перестройки,
в результате которой учащиеся наряду с проч-
ными знаниями основ наук приобретали бы го-
товность к труду, высокую гражданственность
и моральные качества, абсолютно необходи-
мые для каждого активного строителя обще-
ства развитого социализма.
Когда речь идет о воспитании у молодого
поколения высоких моральных принципов, то
обычно считают, что основная роль при реше-
нии этого важнейшего для будущего общества
вопроса должна принадлежать гуманитарным
дисциплинам. Литература это осуществляет,
показывая красоту человека, способного жерт-
вовать личным благополучием во имя буду-
щего, правды, достижения высоких целей. Ис-
тория добивается тех же результатов путем
показа исторического процесса и героев исто-
рии, отдавших Родине и пароду все свои по-
мыслы, силы и способности. В значительной
мере этой же задаче нравственного воспита-
ния подчинены и цели введения в курс сред-
ней школы уроков по эстетике и элементам
правовых знаний. Но математике и естество-
знанию в практике работы нередко не уделя-
ется серьезного внимания как предметам, спо-
собствующим формированию личности, а иног-
да даже отрицается их воспитывающая роль.
В этом плане весьма характерен следующий
эпизод. В мае 1983 г. мне довелось быть в од-
ном из зарубежных университетов. Коллеги
обратились ко мне с неожиданным вопросом:
«Скажите, пожалуйста, ьоспитывает ли обуче-
ние математике у учащихся моральные прин-
ципы и моральные устои?» Оказалось, что на-
кануне с публичной лекцией в университете
выступил один известный писатель и высказал
в ней следующий тезис: в школьных програм-
мах следует уменьшить удельный вес матема-
тики, поскольку математика не воспитывает у
учащихся моральные принципы и не содейст-
вует воспитанию патриотизма. Освободившие-
ся же часы следует передать истории и лите-
ратуре.
Обсуждаемый вопрос исключительно важен,
и к нему нельзя подходить только с эмоцио-
нальных позиций. Естественно задать этому
писателю и тем, кто разделяет его взгляды,
такой вопрос: существуют ли весы, которые
позволили бы оценить воздействие той или
иной дисциплины на моральный облик чело-
века?
В этой связи на меня сильное впечатление
произвела статья директора московской сред-
ней школы Е. Ямбург «Знание и сознание»
(Известия, 1983, 15 нояб.), из которой я позво-
лю себе привести довольно большой отрывок:
«...любой педагог знает, как глубока пропасть
между знанием и поведением. До сих пор без
стыда не могу вспомнить много лет назад по-
ставленную пятерку. Мальчик блестяще рас-
крыл вопрос «Ответственность несовершенно-
летних», а на следующий день совершил тяж-
кое преступление. И никакого противоречия
тут нет. Как ни парадоксально звучит, порой
точное знание законов при отсутствии нравст-
венной надежности приносит обратные ре-
зультаты».
Приведенная цитата настораживает, застав-
ляет размышлять и думать, что любые дис-
циплины, в том числе и гуманитарные, способ-
ны передавать знания, но не воспитывать нрав-
ственность, моральные нормы. Быть может, мы
запаздываем и нравственному воспитанию не-
обходимо уделять больше внимания в самых
младших классах и даже в дошкольные го-
ды. Возможно, нам нужно обратить особое
внимание на то, чтобы учащиеся не получали
незаслуженные положительные оценки за
плохо выученные уроки, чтобы никто из учи-
телей не выставлял «тройку», имея «два в
уме». Завышенные оценки, полученные в шко-
ле, воспитывают ложную успокоенность, при-
вычку к плохому выполнению обязанностей,
убежденность в том, что кто-то другой обязан
6
постоянно заботиться и работать за него. Все
это перекочевывает из школы в жизнь за
пределами школы. С I класса школы мы
должны воспитывать чувство ответственности
и за поступки, и за порученное дело. Это,
именно это будет оказывать основное воспи-
тывающее влияние, создавать характеры, пол-
ные достоинства и убежденности в том, что
любое дело должно быть сделано только хо-
рошо, а работа, порученная мне, мной же и
должна быть выполнена. Мы сами порождаем
ущербные характеры, когда слишком опекаем
ребят и не поручаем им дел, выполнение ко-
торых обязательно, а невыполнение приводит
к тяжелым последствиям. Непомерные заботы
взрослых, их повседневная опека и стремле-
ние оградить детей от выполнения скучных
обязанностей, пусть даже самых мелких, но
абсолютно необходимых, приводит к воспита-
нию иждивенческих тенденций. Но вернемся
к теме настоящей статьи.
В 1959 г. в бумагах, оставшихся после моего
учителя А. Я. Хинчина, мне удалось обнару-
жить почти полностью подготовленную к печа-
ти рукопись «О воспитательном эффекте уро-
ков математики». Статья была отредактиро-
вана и позднее опубликована в нескольких из-
даниях *. В ней целый раздел озаглавлен так:
«Моральные моменты и воспитание патрио-
тизма». Таким образом, эта статья имеет не-
посредственное отношение к обсуждаемому
нами вопросу. Я позволю себе привести до-
вольно большие выдержки из упомянутого
раздела статьи Хинчина. Они будут вполне
уместны.
«О роли и значении уроков математики в
воспитании правильного и дисциплинирован-
ного мышления говорилось и писалось очень
много. Напротив, о влиянии математических за-
нятий на формирование характера и мораль-
ной личности учащегося не сказано почти ни-
чего. Это вполне понятно: по абстрактности
своего предмета математическая наука не мо-
жет давать учащемуся тех непосредственно
впечатляющих, этически воздействующих а
формирующих характер образов, картин, эмо-
ций, какими располагают, скажем, история или
литература. Было бы, однако, весьма поверх-
ностно делать отсюда тот вывод, что в деле
формирования нравственной личности школь-
ника уроки математики вообще должны быть
скннуты со счетов. По моему многолетнему
опыту работа над усвоением математической
науки неизбежно воспитывает — исподволь и
1 См.: Математическое просвещение, 1961, вып. 6,
с. 29—36. Математика в школе, 1962, № 3, с. 30—41.
Хинчин А. Я. Педагогические статьи. — М.: Изд-во АПН,
1963, с. 128—160. Математика как профессия — М.: Зна-
ние, 1980, № 6, серия «Ма'емагика и кибернетика.’-,
с. 33—64.
весьма постепенно — в молодом человеке ряд
черт, имеющих яркую моральную окраску и
способных в дальнейшем стать важнейшими
моментами в его нравственном облике. Сде-
лать этот процесс более активным и результа-
ты его более прочными — достойная задача
для учителя». Среди черт, которые воспиты-
вает математика, Хинчин отметил четыре сле-
дующие: честность, правдивость, настойчи-
вость и мужество.
Далее Хинчин привел следующие рассуж-
дения: «В обывательских тяжбах всякого ро-
да каждая из спорящих сторон исходит, как
правило, из желательного ей, выгодного для
нее решения вопроса и с большей или меньшей
изобретательностью изыскивает возможно бо-
лее убедительную аргументацию для решения
вопросов в свою пользу. В зависимости от эпо-
хи, среды и содержания спора стороны при
этом апеллируют к тому или другому высшему
авторитету — общечеловеческой морали, «ес-
тественному» праву, «священному писанию»,
юридическому кодексу, действующим прави-
лам внутреннего распорядка, а часто и к вы-
сказываниям отдельных авторитетных ученых
или признанных политических руководителей.
Все мы много раз наблюдали, с какою страст-
ностью ведутся подобного рода дискуссии я
какой убежденностью дышит, по видимости,
аргументация каждой из сторон; можно поду-
мать, что такой тяжущийся действительно
обуреваем желанием найти и отстоять истин-
ное, справедливое, отвечающее духу и букве
призванного в качестве арбитра авторитетно-
го источника решение».
К сожалению, такого рода картина наблю-
дается и в научных дискуссиях. Высказать
собранные аргументы в защиту своей концеп-
ции вполне естественно, необходимо для раз-
вития науки и не представляет морального
неблагополучия. Оно начинается там, где уче-
ные перестают руководствоваться интересами
истины, ставят свои аргументы на службу че-
столюбию, самолюбию или корыстолюбию.
В математике это невозможно, поскольку в
ней истина либо доказана, либо такого дока-
зательства нет, и в этом случае не о чем спо-
рить. Промежуточных состоянии математика
не знает. Полемизировать «в защиту непол-
ноценного доказательства может только неуч,
шарлатан или душевнобольной... Каждый ма-
тематик рано привыкает к тому, что в его
науке всякая попытка... действовать тенденци-
озно... обречена на неудачу... Поэтому мате-
матик быстро привыкает к тому, что в его на-
уке выгодна только правильная, объективная,
лишенная всякой тенденциозности аргумента-
ция... Но эту черту, естественно развивающую-
ся у математика-специалиста, в известной сте-
пени воспитывает в себе, занимаясь матема-
7
тгтсон, и каждый неспециалист, в частности
школьник. Ему хорошо известно, что „втереть
очки" учителю математики невозможно, что
никакой апломб и никакое красноречие не по-
могут ему выдать незнание за знание, непол-
ноценную аргументацию за полноценную.
И как бы лжив он ни был в других отноше-
ниях, в математике он остережется отстаивать
неверное утверждение или неправильное до-
казательство.
Но и здесь, как это часто бывает, мораль-
ные навыки, приобретенные в какой-либо од-
ной области, в известной мере переносятся и
на другие сферы мышления и практической
деятельности. Теоретическая честность, став-
шая для математика непреложным законом
его научного мышления и профессиональной
(в частности, педагогической) деятельности,
довлеет над ним во всех его жизненных функ-
циях — от абстрактных рассуждений до прак-
тического поведения». Далее Хинчин говорит,
что профессиональная привычка к абсолютной
объективности аргументации не позволяет ему,
как это делают многие другие, яростно, во
что бы то ни стало отстаивать выгодное ему
решение. Таким образом, черта характера, о
которой он говорил, может иногда и повре-
дить своему носителю. Тем не менее Хинчин
дорожил, гордился ею и радовался, когда ви-
дел ее в других, потому что придавал ей вы-
сокую моральную ценность.
Соображения, высказанные Хинчипым, пред-
ставляют для нас несомненный интерес. Мы
знаем, что характеры людей создаются в де-
ле, в работе и на их формирование решаю-
щее влияние оказывает повседневная реакция
коллектива, в котором они живут. И если де-
ло, а также окружающие предъявляют опре-
деленные строгие требования к моральным
нормам, то к ним привыкают и не допускают
иного поведения и в других условиях. Когда
человек с детства приучен делать свое дело с
полной ответственностью, то необходимо при-
ложить огромные усилия, чтобы изменить его
привычку. Вот почему так важно с детства
воспитывать в человеке усердие, упорство в-
достижении цели, стремление доводить дело
до конца, требовательность к самому себе и
желание выполнять порученную работу воз-
можно лучше. Эти черты характера имеют ре-
шающее значение для развития морально и
граждански полноценной личности. В их вос-
питании огромна роль учителя и школьных
троков, и нет такого предмета, который не мог
бы внести серьезную лепту в этот воспитыва-
ющий процесс. Естественно, что математика
обладает в этом процессе своими специфичес-
кими возможностями. Наша задача теперь
состоит в том, чтобы их выявить.
Прежде всего следует отметть полную оп-
ределенность математических заданий И всег-
да имеется возможность однозначно решить,
выполнено оно или нет. Задача решена пра-
вильно или неправильно. Теорема или доказа-
на, или доказательство ее проведено неудов-
летворительно. В заданиях по литературе или
по истории такой определенности нет. Между
решениями «выполнено» и «не выполнено»
имеется целая градация возможных опенок.
Всегда можно предъявить множество допол-
нительных требований, которые полезны для
улучшения работы. В сочинении по литерату-
ре однозначному выводу по оценке можно под-
вергнуть лишь грамматические и синтаксиче-
ские ошибки, по поводу же содержания всег-
да возможны замечания типа «тема недоста-
точно освещена», «недостаточно раскрыт ха-
рактер героя» и т. п. Учащийся не чувствует
себя достаточно компетентным для объектив-
ной оценки своей работы, и то, что ему ка-
жется удачным, учитель может оценить не
очень высоко. В математике дело обстоит ина-
че, и ученик знает, что если он правильно ре-
шил задачу или же доказал теорему, то он
не может получить плохой оценки, если толь-
ко не будет снижена оценка за небрежность
выполнения. Но это уже другой разговор, не-
брежность записи не определяет правильность
ответа. Хотя, должен сказать, качество выпол-
нения должно приниматься во внимание; ак-
куратность, а также красота выполнения
должны быть отмечены. Точно так же заслу-
живают специального упоминания оригиналь-
ность решения или же рассуждений, прове-
денных при доказательстве. Их наличие ука-
зывает на определенные способности ученика.
Сам же факт благополучного выполнения ма-
тематического задания ученик средних способ-
ностей может установить сам без помощи учи-
теля.
Вторая черта математических заданий, ко-
торую отметил Хинчин, состоит в творческом
их характере. В других школьных предметах
учащиеся часто излагают определенные зна-
ния, совсем не проявляя творческого начала.
В истории они ограничиваются знанием собы-
тий и дат, в литературе — знанием биографий
писателей, содержания их произведений, осо-
бенностей действующих лиц. Умение же сти-
листически правильно излагать эти сведения и
приводить их в систему нужно не только для
истории, русского языка и литературы, но и
для всех остальных предметов, в тим числе и
для математики. В математике же каждая за-
дача нуждается в творческом подходе, пусть и
весьма скромном. И тот, кто испытал радость
от того, что ему удалось самому найти подход
к решению задачи, постарается и дальше не
лишать себя этого. Он научится сначала на
скромных достижениях своего разума и даль-
8
ше не опускать руки перед трудностями, а са-
мостоятельно преодолевать препятствия. Ска-
занное не означает, что трудности не прихо-
дится преодолевать при изучении любого пред-
мета. Творческий характер носит написание со-
чинения по литературе или по истории, по это
творчество иного рода, чем в математике.
В математике нужно найти метод, подход к
решению задачи, а в истории и литературе —
систему изложения.
Воспитание гармонически развитого молодо-
го человека требует огромных усилий и, ко-
нечно, не может быть сведено ни к усиленным
занятиям только математикой или физикой,
ни к увлечению только литературой, историей
или изобразительным искусством. Требуется
всестороннее развитие личности, воспитание
уважения и любви к любому виду труда, в
том числе и физическому. Необходимо и спор-
тивное развитие, чтобы молодой человек за-
калял свой организм, чтобы он получал ра-
дость от свободного владения как разумом,
так и телом.3Я не мыслю себе гармонического
развития личности без восприятия красоты ок-
ружающего нас мира, произведений искусства,
гармонического сочетания звуков и красок.
Несомненно, что литература и язык— мощные
средства воспитания личности и характера.
► Они необходимы всем, в том числе и матема-
тикам. Ведь без свободного владения речью
невозможно четко и ясно сформулировать свой
метод исследования, сделать его доступным и
вызвать положительные эмоции слушателей.
Hj жно научиться передавать другим свою ув-
леченность предметом или проблемой, чтобы и
их обогатить сознанием глубины и важности
волнующих меня математических мыслей.
В этом отношении художественная и популяр-
ная литература являются незаменимыми учи-
телями и помощниками.
Людям необходимы различные знания, в
частности математические. Считать, иметь
представления о геометрических телах и” фигу-
рах, владеть элементами логических рассуж-
дений, научиться пользоваться простейшими
таблицами и счетными приборами, совершать
простейшие операции с элементарными функ-
циями необходимо каждому, кем бы он ни
стал в будущем. Нельзя забывать и другого:
половине школьников впоследствии придется
принять на себя священную обязанность муж-
чины по защите Отечества. Им придется слу-
жить в армии, а известно, что современное во-
енное дело предъявляет значительные требо-
вания к математическим знаниям и умениям.
Современные воины должны не только бегло
считать, пе только знать элементы геометрии,
но и владеть элементами математического ана-
лиза и вычислительной техники. Кроме того,
теперешним школьникам, как мальчикам, так
и девочкам, на производстве придется пользо-
ваться методами статистического контроля и
управления качеством продукции в процессе
ее изготовления. Это тоже требует знания ма-
тематики.
В связи с этим уместно сказать, что не бу-
дет оправдано нарушение сложившегося рав-
новесия между различными школьными дис-
циплинами и ограничение возможностей моло-
дого поколения получать полноценное знаком-
ство с математикой и ее методами, этим мощ-
ным орудием познания природы, экономические
и технических процессов, а также средство I
управления современной оборонной техникой.
Мировоззрение человека воспитывается в
активном труде, в преодолении трудностей, в
напряжении его сил и способностей. При этом
неизбежно появляются и моральные ценно-
сти — уважение к труду, к собственной работе
и работе другого, стремление сделать только
хорошо, гордость за свое умение. В формиро-
вании моральных ценностей на помощь под-
ростку приходит школа, что не освобождает
его от необходимости самому преодолевать
трудности. Школа обучает учащихся искусству
учиться. Она приподнимает перед умственным
взором учащихся завесу, за которой скрыто
многообразие мира и возможностей человека
в его познании, в трудовой деятельности, а
также в проявлении общественной ценности
его лцчности. Школа приучает учащихся с
уважением относиться к труду и показывает,
что себя следует ценить именно в труде. О,, а
прививает мысль о том, что почетен каждый
вид труда, лишь бы он выполнялся превосход-
но, вызывая уважение и благодарность окру-
жающих. Шофер и ученый, врач и рабочий,
учитель и колхозник — все необходимы об-
щее тву, и каждый из них заслуживает уваже-
ния за труд бескорыстный, выполненный с
усердием и творческим вдохновением. Творче-
ский порыв необходим не только ученому, по-
эту и музыканту, в пе меньшей степени он
нужен также рабочему и военачальнику, пе-
дагогу и представителю любой другой про-
фессии.
Русская литература оставила нам в наслед-
ство незабываемый образ Левши — тульского
умельца, достигшего вершин мастерства, но,
к сожалению, погибшего в борьбе с косностью
и равнодушием. А сколько первоклассных изо-
бретений было сделано людьми рабочих про-
фессий и какая масса рабочих теперь участву-
ет в крайне важном деле изобретательства л
рационализации! Каждому школьнику нужно
помочь не в преодолении встречающихся труд-
ностей, а в поиске настоящих интересов, в
формировании его гражданской полноценности
и высокого нравственного облика. Нужно по-
мочь школьнику найти себя в деле и такое
9
дело, которое было бы увлекательным, радо-
вало его и давало ощущение полноты жизни.
Мне известны многочисленные случаи, когда
девочка мечтает о профессии портнихи или ку-
линара, но при выборе профессии решает под
влиянием семьи или подруг, что это «непре-
стижные» профессии и становится студенткой
педагогического или медицинского института.
В результате общество теряет превосходного
повара или швею, но, к сожалению, не приоб-
ретает Ввача или Педагога. Мне известна про-
фессорская семья в ГДР, в которой старший
сын стремился стать поваром и выдержал все
испытания как в семье, так и в среде друзей.
Он стал поваром, гордится своей профессией,
и, что особенно важно, им довольны, он поль-
зуется высоким уважением тех, кого он кор-
мит. Нам необходимо добиться того, чтобы в
нашей стране не было «непрестижных» профес-
сий и к избранной профессии относились с
любовью и уважением. Такое воспитание яв-
ляется важной частью воспитания морального
облика будущего гражданина. Каждая работа
и каждая профессия должны дарить людям
радость и внутреннюю гордость за превосход-
ное владение ею и за отлично выполняемое
дело.
Несомненно, что история родной страны учит
любви к Родине, а всеобщая история способна
привить молодежи чувства интернационализма
и позволить ей сделать первые шаги в откры-
тии законов общественного развития. Конеч-
но, уроки математики, как, впрочем, и уроки
биологии, физики, химии, имеют меньше воз-
можностей для воспитания патриотических
чувств, чем история родной страны и литера-
тура. Скорее они содействуют интернациональ-
ному воспитанию, поскольку математические
понятия и теоремы одинаковы в Москве, Лон-
доне и Токио. Однако на уроках математики
учитель не только доказывает теоремы, не
только вводит абстоактные математические
понятия и действия над ними, но и рассматри-
вает иллюстративные примеры, наполненные
жизненным содержанием. Текстовые задачи
способны содержать полезные сведения, отно-
сящиеся к территории страны, ее населению,
производительным силам. Учитель может сооб-
щить об успехах команды СССР на междуна-
родной математической олимпиаде школьни-
ков, о вкладе отечественных ученых в разви-
тие математики и ее применений. Конечно,
при этом в воспитании патриотизма матема-
тика участвует не непосредственно, а косвен-
но. Но участвует и вносит в него свой вклад.
Народы нашей страны дали многое для про-
гресса математической науки. Действительно,
в IX—XV вв. в Средней Азии были получены
первостепенные результаты в области класси-
ческой математики. Именно здесь зародилась
алгебра как самостоятельная наука, зародился
и сам термин «алгебра». Хорошо известно,
что в Древней Руси времени Ярослава Муд-
рого существовала широкая сеть общеобразо-
вательных школ и по уровню просвещения на-
ша Родина стояла впереди многих западно-
европейских стран. Иноземные нашествия на
столетия прервали развитие просвещения и
науки на всей территории нашей страны, от
восточных до западных ее границ. В ту пору
ее сыны выполняли роль заслона от этих на-
шествий для всей Западной Европы. Потребо-
вались усилия многих поколений, чтобы наш
народ смог воспитать таких титанов науки,
как М. В. Ломоносов, Н. И. Лобачеьский, П. Л.
Чебышев, А. М. Ляпунов, Н. Е. Жуковский и
многих других, кто своим трудом прославил
отечественную науку и породивший ее народ.
Мы можем гордиться тем, что после Великой
Октябрьской революции все народы нашей
страны получили возможность участвовать в
развитии математики и выдвинули из своей
среды замечательных ученых, составляющих
славу современной науки. Все это не может
оставлять наших учеников равнодушными, на-
полняет их сознание и сердца гордостью за
пашу страну и за наш народ. А это значит, что
па уроках математики закладывается еще один
кирпичик в строительство здания националь-
ной гордости и одновременно интернациона-
лизма.
Для того чтобы воспитать высокие мораль-
ные качества у учащихся, сделать их горячи-
ми патриотами, самому учителю абсолютно
необходимо неуклонно следовать в жизни вы-
соким моральным принципам, глубоко любить
свой народ, свою Родину и свое дело.
Вопросы методики работы по воспитанию
моральных ценностей и патриотизма на уроках
математики разработаны еще недостаточно.
Но в опыте школ и многих учителей убеди-
тельно раскрываются большие возможности
математики вносить свой особый и ценный
вклад в важнейшие аспекты формирования
личности будущего строителя коммунистиче-
ского общества,
10
МЕТОДИЧЕСКИЙ ОТДЕЛ
ПРЕПОДАВАНИЕ ГЕОМЕТРИИ
ПО УЧЕБНОМУ ПОСОБИЮ А. В. ПОГОРЕЛОВА
К началу обучения геометрии
в VIII классе
по новому учебному пособию 1
§11. Решение треугольников (11 ч)
В этом параграфе рассматриваются теорема
косинусов, теорема синусов и основанные на
них способы решения произвольных (непря-
моугольных) треугольников.
Теорема косинусов доказывается с помо-
щью векторов, что позволяет сразу доказать
ее во всей общности, не рассматривая по от-
дельности случаи для острого, прямого и ту-
пого углов; она является обобщением теоре-
мы Пифагора, включая ее как частный слу-
чай.
Теоремы синусов и косинусов используют-
ся далее в курсе планиметрии при выводе фор-
мул для вычисления площадей некоторых про-
стых фигур и в решениях сопутствующих за-
дач.
Вопрос о решении треугольников связан с
двумя важными вопросами курса, изучавши-
мися ранее: решением прямоугольных тре-
угольников (VII класс, § 7) и построением
треугольников (VI класс, § 5). Выявление
этих связей поможет учащимся как в изучении
нового материала, так и в осмыслении струк-
туры курса в целом, что особенно важно для
восьмиклассников ввиду близкого завершения
изучения курса планиметрии.
В подборку задач к параграфу наряду с
упражнениями на непосредственное (или поч-
ти непосредственное) применение теорем си-
нусов и косинусов включены задания приклад-
ного характера, а также ряд задач на дока-
зательство интересных геометрических фак-
тов, связанных с понятиями из различных раз-
делов курса: свойства биссектрисы угла тре-
угольника делить противолежащую его сторо-
ну на отрезки, пропорциональные прилежа-
щим сторонам, соотношения между длинами
биссектрисы, высоты и медианы треугольни-
ка, проведенных из одной вершины, характе-
ристического свойства окружности как гео-
метрического места точек, сумма квадратов
расстояний которых от двух данных точек
1 Продолжение. Начало см. в № 3, 4 журнала «Ма-
тематика в школе» за 1984 г.
есть величина постоянная. Эти задачи целесо-
образно также использовать и в целях орга-
низации обобщающего повторения.
Теорема косин' сов (2 ч)
Комментарий для учителя
1°. Основное содержание этого пункта со-
ставляют теорема косинусов и два следствия
из нее, одно из которых — небольшая моди-
фикация теоремы косинусов, а другое — свой-
ство параллелограмма, связывающее длины
его диагоналей с длинами сторон.
В доказательстве теоремы косинусов ис-
пользуются геометрическое представление сум-
мы (разности) двух векторов и формула для
вычислений скалярного квадрата разности
векторов; в первом следствии из теоремы ко-
синусов используется понятие «проекция на-
клонной», введенное в курсе VII класса (§ 7,
п. «Теорема Пифагора»). Следует напомнить
учащимся это понятие, выполнив соответст-
вующее построение, а затем рассмотреть про-
екции стороны треугольника на другую его
сторону для различных углов между ними
(острого, прямого, тупого). Следует повто-
рить также соотношения между сторонами и
углами в прямоугольном треугольнике.
2°. В результате изучения этого пункта уча-
щиеся должны знать формулировки теоре-
мы косинусов, утверждения о свойстве диаго-
налей параллелограмма; уметь доказывать
теорему косинусов, записывать ее в виде ра-
венства (применительно к данному треуголь-
нику), по трем данным сторонам треугольника
находить его углы (косинусы углов), по дан-
ным двум сторонам треугольника и углу меж-
ду ними находить третью сторону, применять
теорему косинусов и следствия из ное к реше-
нию задач типа 2—8 из учебного пособия 2.
3°. К данному пункту относятся вопросы
для повторения 1—3, задачи 1—9, 26 (1—8,
20, 30) 3 * s.
Методические рекомендации
к изучению материала
1°. Приступая к изучению теоремы косину-
сов, следует вспомнить с учащимися формули-
ровку теоремы Пифагора и записать ее в ви-
де равенства для треугольника с катетами а
и b и гипотенузой с: с2=а2+Ь2. Затем, сооб-
2 Напоминаем, что в этой рубрике по каждому пунк-
ту определяется минимум требований, которые следу-
ет предъявлять всем учащимся в ходе изучения теку-
щего материала.
s Номера вопросов для повторения и упражнений
даются по учебному пособию издания 1982—1983 гг.; в
скобках указаны номера упражнений по учебному по-
собию издания 1982 г.
Н
шив, что для любого треугольника со сторона-
ми а, b и с и углом у, противолежащим сто-
роне с, справедливо равенство c2=a2-f-f>2—
—2ch cos у, следует отметить, что если у=
=90°, то c2=a2-f-bz, т. е. теорема Пифагора
является частным случаем теоремы, которую
предстоит доказать.
Предъявив учащимся рисунок треугольника
АВС (непрямоугольного) и формулировку тео-
ремы косинусов в словесной и символической
формах (ВС2=ЛВ24-ЛС2—2АЗ-АС cos Л),
можно предложить им самостоятельно прове-
сти ее доказательство по следующему плану
(инструкции):
1) Выразите вектор ВС через векторы
АС и АВ.
2) Возведите обе части полученйоЬо равен-
ства в квадрат.
3) Выразите скалярное произведение векто-
ров АВ и АС через их модули и косинус угла
между ними.
После доказательства теоремы надо решить
задачи на непосредственное ее применение.
1. В треугольнике АВС а) АВ—-2 см.
АС—3 см, ВАС—00°-, б) ЛВ = 3 см, АС =
- 4 см, / £>ДС=150°. Найдите сторону ВС.
2. Дан треугольник со сторонами а, b и с
и углом у, где у а) острый, б) прямой, в) ту-
пой. В каком случае длина стороны с будет
наибольшей, наименьшей?
Следует обратить внимание учащихся на го,
что с помощью теоремы косинусов, зная сто-
роны треугольника, можно найти его углы, а
затем показать, как это делается, на конкрет-
ном примере.
2°. Приступая к изучению первого следст-
вия из теоремы косинусов, полезно по рис. 175
(а, б) из учебного пособия выяснить с уча-
щимися, какой отрезок на каждом из них яв-
ляется проекцией стороны АС на сторону АВ
(т. е. на прямую ЛВ), и предложить им выра-
зить эти проекции (для каждого случая) че-
рез АС и угол a—/LCAB. Полученные ра-
венства АВ—AC cos а и ЛО=—AC cos а вы-
писываются на доске и сопоставляются с ра-
венством ВС2=АВ2м~АС2—2АВ-AC cos а; по-
лучаются равенства ВС2—АВ2-\-АС2—2АВ-АВ
и ВС2—АВ -рЛС2-}-2ЛВ-Л/). Их объединен i-
ем в записи ВС2—АВ А-АС2^2АВ-АВ и со-
ответствующей словесной формулировкой за-
вершается рассмотрение следствия.
Далее следует разобрать задачу 1, напом-
нив учащимся, что она решалась ранее дру-
гим способом (§ 7, № 21).
3°. Второе следствие из теоремы косинусов
можно предложить учащимся доказать само-
стоятельно, предъявив им его формулировку
в виде символической записи (АС2-\-ВВ2=
—АВ2^BC--i-CD'M-AD2) вместе с рис. 177 из
учебного пособия и выяснив предварительно,
что cos 0=—cos а (а+0= 180°, так как углы а
и 0 — внутренние односторонние при парал-
лельных ВС и АВ и секущей ВА).
После этого можно решить задачу: «Дан
параллелограмм со сторонами К10 и КЗб;
одна его диагональ вдвое длиннее другой.
Найдите длины диагоналей».
Примерное планирование изучения
материала пункта
На изучение пункта отводится 2 урока.
На первом уроке в классе доказать тео-
рему 11.1, решить задачи 2, 4 (3, 5), дополни-
тельные задачи 2(a), 3; дома — вопрос для
повторения 1, задачи 3, 5, 7 (4, 6, 8).
На втором уроке в классе рассмотреть
следствия из теоремы 11.1, задачи 1, 8 (1, 2)
(найти медиану ша), дополнительные задачи
2(6) (найти одну из высот), 2(в) (найти од-
ну из медиан); дома — вопросы для повто-
рения 2, 3, задачи 6, 8 (7, 2) (найти медианы
mh и т,). дополнительные задачи 2(6) (най-
ти остальные высоты), 2(в) (найти остальные
медианы).
Указания к решению задач
4(5). По теореме косинусов с2—а2-\-Ь2—
—2abcosy. Если c2=tz2-f-62, то 2flfccosy=0;
а=£0\ Ь=^0, значит cosy=0, откуда у=90°.
5(6). По теореме косинусов с2=а2+Ь2—
—2nbcosv, откуда а2А~Ь2—c2—2abcosy. Ес-
ли a2-f-b2i>c2, то cosy>0, т. е. у<90°; если
а24-62<с2, то cos у<0, т. е. у>90°.
Замечание. После решения задач 4(5)
и 5(6) полезно сделать следующее резюме:
«Если квадрат стороны треугольника меньше
суммы квадратов двух других сторон, то про-
тив этой стороны лежит острый угол; если
квадрат стороны треугольника больше суммы
квадратов двух других сторон, то против этой
стороны лежит тупой угол; если квадрат сто-
роны треугольника равен сумме квадратов
двух других сторон, то против этой стороны
лежит прямой угол». (Верны и обратные ут-
верждения.)
6(7). Задача имеет два решения. Данный
синус имеют два угла (острый и тупой), ко-
синусы которых равны соответственно 0,8 и
—0,8; искомую сторону находим с помощью
теоремы косинусов.
7(8). Из теоремы косинусов следует, чго
например,
8(2). Достроим треугольник АВС до парат-
лслограмма (см. рис. 1). По следствию из
12
Рис. 1
Рис. 2
теоремы косинусов АВ2-)-СЕ2—2(АС2 f ВС2).
Отсюда с2+ (2/7ic)2=2(b24-tz2) и
уА'2а2 + 2d2— с2
^с== -------2-------‘
9(30). Пусть / и В — данные точки, а не-
которая точка X удовлетворяет равенству
ХА2-}-ХВ2=с. Построим параллелограмм
AXBN (см. рис. 2). По свойству диагоналей
параллелограмма 2АХ2-}-2ХВ2—АВ2-\-ХК2, или
2c=AB2-}-XN2 .Отсюда
XN=V‘2c — АВ2,
следовательно, гочка X лежит на окружно-
сти радиуса с центром в середи-
не отрезка АВ. Обратно, если некоторая точ-
ка У (рис. 2) лежит на окружности радиуса
-с — АВ- с центром в середине отрезка АВ,
9
то сумма квадратов расстояний от нее до то-
чек А и В равна
4(л;?2
2 / 2с —ДД2
с
20(20). Согласно теореме косинусов, АВ2=
= АС2-)-ВС2—2AC-BCcosC. С возрастанием
угла С со; С уменьшается, значит АВ увели-
чивается. (Задача для устного решения.)
Дополнительные задачи
1. Докажите, что треугольник со сторона-
ми а) 3, 4, 5 — прямоугольный, б) 3, 4,' 6 —
непрямоугольный. [Утверждение а) доказыва-
ется при помощи теоремы, обратной теореме
Пифагора (см. задачу 4(5)), утверждение
б) — при помощи теоремы Пифагора (от про-
тивного).!
2. Определите, какой угол (прямой, острый
или тупой) лежит против наибольшей сторо-
ны треугольника со сторонами а) 6, 8, 10;
б) 6, 8, 11; в) 6, 7, 8.
Указание: воспользоваться утверждени-
ями задач 4 и 5 (5 и 6) из учебного пособия.
3. Стороны треугольника ровны 3, 4, 6.
Найдите а) углы треугольника; б) высоты
треугольника; в) медианы треугольника.
4. Пункты Л и В разделены препятствием,
которое не позволяет непосредственно изме-
рить расстояние между ними. Выбран третий
пункт С так, что ВС='М} м, АС=80 м,
Z_ACB~48°. Найдите расстояние между
А и В. [75 м.]
Теорема синусов (3 ч)
Комментарий для учителя
Г. Доказательство теоремы синусов про-
водится для непрямоугольных треугольников.
Для прямоугольного треугольника соотноше-
sina sin В <=in 7
ние - -—= ——^-непосредственно вы-
текает из известных учащимся равенств а=
= csina, £>=csirip и sin 90°= 1.
В этом же пункте в качестве следствия из
теоремы синусов рассматриваются утвержде-
ния «В треугольнике против большего угла ле-
жит большая сторона, против большей сторо-
ны лежит больший угол». Относительно вто-
рого утверждения в учебнике сказано, что оно
доказывается от противного, но доказательство,
знание которого предусмотрено соответствую-
щим вопросом для повторения, не. приводит-
ся. Чтобы помочь учащимся провести это до-
казательство, целесообразно переформулиро-
вать оба утверждения в форме «Если..., то»,
выявив тем самым условие н заключение каж-
дого из них и их взаимную «обратность».
В задачах 10(9) и 11(21), решения которых
приведены в учебном пособии, доказываются
интересные геометрические факты. Эти задачи
можно использовать в качестве опорных, т. е.
разрешить ссылки на доказанные в них утвер-
ждения.
2е. В результате изучения этого пункта уча-
щиеся должны знать формулировки теоре-
мы синусов и следствия из нее о соотношении
между сторонами и углами треугольника;
уметь показывать теорему синусов, записы-
вать ее формулировку символически и состав-
лять пропорции для сторон и углов данного
треугольника, решать задачи типа 12—14, 16,
18 -20 (10, 12—14, 22—24) из учебного посо-
бия.
3°. К данному пущ-ту относятся вопросы
для повторения 4—5, задачи 10—25, 27 (9—
19, 21—26).
Методические рекомендации
к изучению материала
Г. Проводя в классе доказательство теоре-
мы синусов, полезно сделать следующую крат-
кую запись, которая поможет учащимся при
работе с учебным пособием дома:
13
a <90°, ₽<90°
(рис. 178,а из учеб-
ного пособия);
CD = b sin a,
CD = a sin ₽.
a >90° (рис. 178.6
из учебного пособия);
CD—b sin (180°—a)=
= b sin a,
CD—a sin p.
В обоих случаях b sin a—a sin p, откуда
sin a sin ₽
a = b *
Сообщив учащимся, что аналогично доказы-
sinB sin т
вается равенство —= —-—, следует
обратить их внимание на возможность объеди-
нения двух последних равенств в виде
sin а _ sin р __ sin •(
а b с *
Этой записью доказательство заканчивается.
Полезно предложить учащимся в порядке
упражнений самостоятельно провести доказа-
sin 3 sin т
тельства равенств —, и неза-
sln a sin т ,
внсимо —-— =---------- сделав соответству-
ющие рисунки.
Для упражнения в применении теоремы сину-
сов можно дать такое задание: «В треуголь-
нике АВС (рис. 3) даны а, а, р. Найдите
, Г sin a sin 3 ,
стороны b и с. —— = —откуда b —
180o_(a+₽) J5*!LL
sin a ’ * \ । г/» a c
c—_ fl5inT ]
sin a "J
Затем можно выполнить аналогичное зада-
ние с числовыми данными.
В качестве повторения можно предложить
учащимся доказать справедливость теоремы
синусов для прямоугольного треугольника (см.
дополнительную задачу 2).
2°. Доказательство следствия из теоремы
синусов полезно сопроводить рисунком (см.
рис. 3) и соответствующей записью (ее надо
сохранить до конца доказательства прямого и
обратного утверждений):
1) если а>П, то а>Ь\
2) если а>Ь, то а>р.
После доказательства прямого утверждения
следует добавить, что оно справедливо и в слу-
чае, когда а=90°. Действительно, а>р (0—:
острый угол) и а>Ь (а — гипотенуза, а Ь—<
катет).
Полезно также напомнить, что, согласно
свойствам равнобедренного треугольника, в
треугольнике против равных углов лежат рав-
ные стороны и против равных сторон лежат
равные углы.
Для доказательства обратного утверждения
допустим, что в треугольнике со сторонами а
и b и противолежащими им углами аир
а>Ь, но а^р. Если а<р, то, согласно пря-
мой теореме, a<zb; если а=р, то по признаку
равнобедренного треугольника а—Ь\ то и дру-
гое противоречит условию а>Ь, следователь-
но, допущение а^р неверно, т. е. а>р.
Упражнения (для устного
выполнения)
1. В A ABC Z- B<ZZ-C<Z.Z- А. Назовите в
порядке возрастания стороны треугольника.
2. В А АВС АВ>АС~2>ВС. Назовите в по-
рядке убывания углы треугольника.
3. В треугольнике АВС угол В — тупой. Ка-
кая из сторон этого треугольника — наиболь-
шая? Почему?
4. Докажите, что против наименьшей сто-
роны треугольника всегда лежит острый угол.
[В противном случае в треугольнике был бы
еще один не острый угол (прямой или тупой),
что невозможно.]
Примерное планирование изучения
материала пункта
На изучение пункта отводится 3 урока.
На первом уроке в классе доказать тео-
рему синусов, решить задачи 27(2) (26(2)) —
найти сторону Ь, 10, 14 (9, 24), дополнитель-
ную задачу 2; дома — вопрос для повторе-
ния 4, задачи 27(2) (26(2))—найти сторо-
ну с, 15(25).
На втором уроке в классе рассмотреть
следствие из теоремы синусов (соотношения
между сторонами и углами треугольника), за-
дачи 12, 16, 17 (10, 11, 22), дополнительную
задачу 3; дома — вопрос для повторения 5,
задачи 18—20 (12—14).
На третьем уроке в классе — задачи 21 —
25 (15—19), дополнительную задачу 1; до-
ма— задачи 13(23), 26(20), повторить при-
знаки равенства треугольников (формулиров-
ки), решение задачи 21 (2) из § 5.
Указания к решению задач
Г2(22). Не может. Если бы этот угол был
тупым, то противолежащая сторона была бы
наибольшей (задача для устного решения).
11
з
13(23). Пусть sin£ =—, тогда, согласно
3
4 sin С •
теореме синусов, -цр ——jg—» откуда sinc =
9 • о , 3
= ~а-, что невозможно, значит, Sinp^b-y-.
О ’
, л П Sin В Sin R
14 (24). По теореме синусов АС — ~д'в~*
Z В-180°-(« + ₽), АВ = ..
15(25). В А АВС (см. рис. 4) у=а—0
(а=0+у, как внешний);
sin? _ sinp nTKVna др— fls1nP
—a------AC^’ откуда AC — sinT.
В Д CD A x — CD — AC sin a
a sin a sin P
sin (a — P)’
16(10). Пусть CD — биссектриса ДАВС,
тогда (см. задачу 10). Если AC > ВС,
то 1, а значит, и 1, т. е. AD~>BD.
ВС dU
17(11). Если Z_CAB>Z~CBA, то СВ>АС,
а тогда AD<.BD (см. задачу 16).
20(14). Пусть в А АВС АВ —ВС, тогда
Z_A — Z_C. По условию АЛ>60°, значит,
/ Д-р А С> 120° и АВ<С0°. Таким образом,
АД>АВ и ВС>АС.
21(15). На рис. 5 АС>90°; А ВХА — ту-
пой (внешний угол треугольника больше лю-
бого внутреннего, не смежного с ним), а зна-
чит, /_ВАХ — острый. Таким образом
Z_BAX<Z_BXA, следовательно, ВХ<.АВ.
22(16). На рис. 6 А ВСА>90°, АШ-
внешний по отношению к A XYC, значит,
Z_XYB>Z_ ВСА, т. е. Z_XYB — тупой, отку-
да следует, что Z_XBY — острый. Таким об-
разом, АХВУ<АХУВ и XYCXB- но ХВ<
<АВ (см. предыдущую задачу), значит,
XY<AB.
23(17). Задача для устного решения (по
рисунку). Углы с вершиной D либо оба пря-
мые, либо один из них — тупой. В первом
случае CD<ZAC и CD<iBC, так как АС и
ВС противолежат прямым углам; во вто-
ром — CD заведомо меньше стороны, проти-
волежащей тупому углу.
24(18). По условию АС>ВС. Докажем,
что Z-ACDCZ-BGD (рис. 1). Достроим тре-
угольник АВС до параллелограмма с диаго-
налью АВ, тогда:
АС>АЕ (так как АЕ—ВС)-
AED> A ACD (против большей сторо-
ны — больший угол);
Z_AED — Z_BCD (внутренние накрест ле-
жащие: ДЕ11ВС);
BCD>Z_ ACD, что и требовалось дока-
зать.
25(19). Пусть Л, т и I соответственно вы-
сота, медиана и биссектриса треугольника
АВС, проведенные из вершины В. Докажем,
что Рассмотрим два случая: 1) АВ =
= ВС, 2) АВ^ВС.
1) Если АВ=ВС, то А АВС — равнобед-
ренный и, следовательно, l=h—m.
2) Если АВ^=ВС, то h<Ztn и h<Zl (перпен-
дикуляр короче наклонной, проведенной из той
же точки). Докажем, что l<Ztn.
Положим для определенности, что AB<ZBC,
проведем медиану BD и биссектрису BE
(рис. 7). Докажем, что точка D лежит меж-
ду £ и С.
Согласно результату задачи 16(10), СЕ^>
">-АЕ, значит, СЕ> АС= CD, откуда
и следует, что точка D лежит между Е и С.
Докажем теперь, что BE<zBD. Рассмотрим
треугольники ВЕА и ВЕС-. / Д>АС, так
как ВС>АВ, и A ABE=Z_ ЕВС, так как
BE — биссектриса, значит, А ВЕА</_ ВЕС,
т. е. АД£С>90°. В A BDE BD=m лежит
против тупого угла, следовательно, BE<ZBD
Объединив первый и второй случаи, полу-
чаем: что требовалось доказать.
Дополнительные задачи
1. Диагональ d параллелограмма делит его
угол на части, равные а и 0. Найдите стороны
параллелограмма.
2. Дан прямоугольный треугольник. До-
sin re sin В sin 7 Г
кажите, что -------=—=------------. а —
а Ь с I
= с sin a, # = csinp, откуда с — ——, с —
J sin re
= -s|^-p -; поскольку sin у = bin 90° = 1, то с =
= —Д—. Итак. —г-— = - ?а = —г2— , или
sm? since sinp sin f ’
sin re sin p sin 7 I
a b c ’]
3. Каким может быть угол а при вершине
равнобедренного треугольника, если его осно-
вание меньше боковой стороны? Почему?
[Только острый, так как в этом случае осно-
вание является наименьшей стороной.]
с
Решение треугольников (5 ч)
Комментарий для учителя
1°. Решение непрямоугольных треугольни-
ков естественно связать с решением прямо-
угольных треугольников, рассмотренным в
VII классе. При этом полезно отметить, что
теорема косинусов и теорема синусов, будучи,
соответственно, обобщениями теоремы Пифа-
гора и соотношений между сторонами и сину-
сами углов прямоугольного треугольника, поз-
воляют решать любые треугольники по задан-
ным тройкам элементов, их определяющим.
Рассматриваются четыре типа задач на ре-
шение непрямоугольных треугольников, для
каждого из них дается способ решения и вы-
ясняется, при каких условиях оно существует
и сколько решений может иметь задача. Та-
ким образом, в связи с решением треугольни-
ков появляются элементы исследования, чего
не было при построении треугольников, так
как шестиклассники не располагали необхо-
димыми знаниями.
Целесообразно соотнести задачи на решение
треугольников с соответствующими задачами
на их построение, что поможет учащимся луч-
ше уяснить как новый, так и ранее изученный
материал, взглянув на тот и другой с единой
точки зрения.
Среди задач на решение треугольников, рас-
сматриваемых в учебном пособии, основными
являются задачи 1, II и IV типов. Задача III
типа — повышенной трудности; ее не следует
рассматривать на уроке в общем виде с пол-
ным исследованием, достаточно дать схему
решения и решить задачи с числовыми данны-
ми из учебного пособия. Подробный разбор
задачи III типа в общем виде параллельно с
рассмотрением соответствующей задачи на
построение целесообразно провести на фа-
культа гигных занятиях.
2°. В результате изучения данного пункта
учащиеся должны уметь для каждой из
трех основных задач проводить решение в об-
щем виде и для конкретных треугольников.
3°. К данному пункту относятся вопросы
для повторения 6—9, задачи 27—30 (26—29).
Методические рекомендации
к изучению материала
1°. Учитель напоминает учащимся, что ос-
новными элементами треугольника называю»-
ся его стороны и углы (всего — 6 элементов)
и что в VI классе они решали задачи на по-
строение треугольников, заданных тремя
элементами, из которых хотя бы один линей-
ный, затем сообщает, что теперь им предстоит
научиться по данным длинам или градусным
мерам грех элементов треугольника вычис-
лять остальные его элементы, т. е. решать
треугольники, и замечает, что в VII
классе учащиеся решали аналогичные задачи
для прямоугольных треугольников.
Рассмотрение всех четырех типов задач на
решение треугольников сопровождается ри-
сунком (см. рис. 3).
2°. С задачей I типа учащиеся, по существу,
уже имели дело при изучении теоремы сину-
сов. Условие задачи кратко записывается на
доске:
1) Дано: а, а, р. или 2) Дано: а. р, 7.
11 а й т и: Ь, с, у. И а й т и: Ь, с, а..
Далее выясняется, как можно решить зада-
чу в перзом случае и чем отличается реше-
ние во втором случае, намечается план реше-
ния для каждого случая, решения записыва-
ются в общем виде:
, , sin a sin В , a sin В
1) ----= —т— , откуда b — —;—т =
a b J sin а ’ 1
1 t । sm ct sin т
= 180 — (a 4- p); —— = —, откуда a =
a sin у
sin a ‘
2) a=180°— (P+y); далее, как в случае 1),
После этого целесообразно предложить уча-
щимся решить задачи 27 (1, 4) (26 (1, 4)) из
учебного пособия, а затем — построить тре-
угольники по предлагаемым данным, обратив
внимание па то, что любые два треугольника,
построенные по этим данным, будут равны по
II признаку равенства треугольников, т. е.
решение — единственное. (Построение можно
выполнить с помощью линейки с делениями и
транспортира.)
Полезно задать учащимся вопрос: «Суще-
ствует ли треугольник со стороной а—2 ед. и
углами 1) р=90° и 7=100°, 2) а=110° и
Р=70°, 3) а=5° и у—155°?» Ответ на этот
вопрос и его обоснование поможет учащимся
осмыслить условие существования решения:
сумма данных углов должна быть меньше
180°.
3°. Рассмотрение задачи II типа можно на-
чать с предъявления ее краткой записи:
Дано: а, Ь, у.
Найт и: с, а, р.
По этой записи с помошью рис. 3 учащиеся
формулируют задачу словами.
Затем вместе с учащимися намечается план
решения. Чтобы направить поиск плана по
нужному руслу, целесообразно поставить сле-
дующие вопросы:
1. Как можно вычислить длину третьей сто-
роны треугольника? [С помощью теоремы ко-
синусов.]
2. Можно ли, пользуясь только теоремой
16
косинусов, найти остальные элементы (два уг-
ла) треугольника? [Можно.]
Решение записывается в общем виде:
с2 = а2 4- Ь- — 2a6cos7, откуда
с = Ка2 + Ь'2 — 2ab cos 7;
а2 = Ь- 4- с2—26с cos а, откуда
Ьг + с2 — а2
C0Sa==-----2Й---;
угол р можно найти из равенства а4-р~Н’—
= 180°.
Далее решается задача 28(1) (27(1)). За-
метив, что вычисления получились весьма гро-
моздкими даже при таких «хороших» данных,
учитель возвращает учащихся к общей форму-
лировке задачи и задает им вопрос: «Как,
найдя сторона с, можно иначе найти иглы,
а и
Теорема синусов дает возможность вычис-
лить синус любого из этих углов;
a sin 7 - D A sin 7
Sin а =---1 , Sin р=-----.
с г с
Однако один и тот же синус имеют два угла —
острый и тупой (sin а—sin (180е—а)), а за-
дача имеет единственное решение. Как же
найти именно те углы, которые являются эле-
ментами искомого треугольника? Здесь помо-
гут известные факты: в треугольнике а) про-
тив большей стороны лежит больший угол,
б) сумма углов равна 180°.
Разберем возможные случаи.
1. Если сторона с—наибольшая, то углы
а и р — острые.
2. Если сторона с не наибольшая, то снача-
ла находим тот из углов и и р, который ле-
жит против меньшей из сторон а и b и, следо-
вательно, является острым; третий угол нахо-
дится из равенства а+р4-у= 180°.
4°. Рассмотрение задачи III типа целесо
образно сопроводить заранее подготовленны-
ми рисунками (рис. 8—10), из которых вид-
но, в каком случае получаются два решения,
одно решение, когда решения нет.
Решение задачи в общем виде.
Дано: а, Ь, а.
Найти: с, р, 7.
7 = 180° — (а-р Р).
Puc. 8
Имеем к = sl” — , откуда sin р =
7= 180° — (а 4-₽); -S‘”a =- , откуда с=
__a sin 7
sin a "
Рассмотрим всевозможные случаи.
А > а (рис. 8)
A sin a <
1) если —- — < i (A sin a < а), то задача имеет два
решения существуют два угла В, и р, (острый и ту-
пой), синусы которых равны этому числу (р, 4. й3 =,
= 180°); тогда
„ iisin 7,
7, = 180 -a — ₽lr <!== — и 72 180°— a
a sin 7,
sin a
с, =
= 1 (Asina = а), то ° = °0°; реше-
7 = 90° — а, с = A cos а.
„ b sina
2) Если ------
ние единственное;
Asina
3) Если —>1 (Z>sina > а), го решения нет.
b < а (рис. 9)
Решение единственное; угол р может быть только
острым;
7=180° —а —[3,
' sin а
b •*= а (рис. 10)
При а <90° решение единственное ₽ -= а, 7 = 180°—
a sin у
— 2а, с = sina~; при а >90° решения нет, так
как углы при основании равнобедренного треуголь-
ника могут быть только острыми.
Затем из упражнения 29 (28) рассматрива-
ются задания 5, 1, 4 (решения иллюстриру-
ются построениями либо готовыми рисун-
ками).
5°. Решение задачи IV типа в общем ви-
д е:
Дано: а, Ь, с.
Найти: a, [S, 7.
Имеем а2—Ь- +с2 — 2bc cos я, откуда cos я —
= b ; 62 = а2 4- с2 — 2ас cos Р, о тку да
й а2 + е- — А2
COS Р = ---------
г Zac
2 Математика и школе Л» 5
17
Эту задачу можно решить и иначе. С по-
мощью теоремы косинусов найти наиболь-
ший угол; затем, воспользовавшись теоремой
синусов, найти любой другой угол (он заведо-
мо будет острым); третий угол находится из
равенства а4-04-у= 180°.
Далее учащимся предлагаются задачи с
конкретными данными.
Следует заметить, что задача нахождения
углов треугольника по данным трем его сто-
ронам имеет единственное решение: согласно
III признаку равенства треугольников, тре-
угольники с соответственно равными сторона-
ми равны между собой.
Примерное планирование изучения
материала пункта
На изучение пункта отводится 5 уроков.
На первом уроке в классе — вводная бе-
седа, задача I типа, упражнения 27 (1, 4)
(26(1,4)); дома — вопрос для повторения
6, упражнения 27(3,5) (26(3,5)), повторить
решение задачи 21(1) из § 5.
На втором уроке в классе рассмотреть
задачу II типа, упражнения 28 (2, 3, 6) (27 (2,
3, 6)); дома — вопрос для повторения 7, за-
дачи 28(1,4) (27(1, 4)), повторить решение
задачи 17 из § 5.
На третьем уроке в классе — задачу IV
типа, упражнения 30(1, 2) (29(1, 2)), дополни-
тельную задачу 1; дома — вопрос для пов-
торения 9, упражнения 30(4, 6) (29(4, 6)),
повторить решение задачи 22 из § 5.
На четвертом уроке в классе рассмот-
реть задачу III типа, упражнения 29(1, 4, 5)
(28(1, 4, 5)); дома — вопрос для повторе-
ния 8, упражнения 29 (2, 3) (28 (2, 3)).
На пятом уроке в классе решить впере-
межку задачи разных типов — 28 (5), 30 (3)
(27(5), 29(3)), дополнительные задачи 2, 3;
дома — задачу 30(5) (29(5)), повторить тео-
ремы косинусов и синусов, решения задач 2,
3, 6, 7, 11, 18, 19 (3, 4, 7, 8,12,13, 24).
Указания к решению задач
Задачи решаются с помощью таблиц Бра-
дпса. Если учащиеся имеют микрокалькулято-
ры, то вычисления можно проводить с их по-
мощью 4 *.
27(26). Приведем образец возможного офор-
мления решения.
2) Д ано: о =20, а—75°т Р= 60°.
Н а й т и: т, Ь, с.
Решение. 1. тв=180° — (<х + Р)«45°;
2 sin а ____ sin ₽ , __а sin р_ 20 sin 60°
~~а~ b~ ’ ° sina — sin 75°
,20-0,8660 OQ
' 0,9659 ~ 17’У3;
о sin ст ___ sin т a sin? _20sln 45°
а с ’ sin а sin 75°
,20-0,7071 .. .
' 0,9659 ~ ’° •
28(27). Задачу рекомендуется решать с по-
мощью теорем косинусов и синусов. По ходу
решения, начиная с момента определения уг-
ла по данному синусу, нужны словесные пояс-
нения. Полезно, чтобы учащиеся заранее от-
метили, что решение — единственное.
29(28). В задачах 1—3 полезно сразу отме-
тить, что более одного решения быть не мо-
жет: в треугольнике не может быть двух ту-
_ . b sin а ,
пых углов. В задаче 4 ——_> 1, т. е, ре-
шения нет. В задаче 5 и Ь>а—
имеем два решения.
30(29). При решении с применением тео-
ремы синусов всегда следует начинать с на-
хождения большего угла, тем самым снима-
ется неопределенность (двузначность) при
отыскании угла по данному синусу.
Дополнительные задачи
1. Из трех стержней длинами 2 м, 0,8 м,
1,6 м требуется изготовить треугольную кон-
струкцию (сварив их концами}.
а) Можно ли это сделать?
б) Пусть сначала свариваются стержни дли-
нами 0,8 м и 1,6 м. Под каким углом их нуж-
но расположить?
в) Какими будут остальные углы треуголь-
ной конструкции9
2. Определите расстояние между недоступ-
ными пунктами А и В, используя два наблю-
дательных пункта: пункт С, лежащий на пря-
мой АВ между пунктами А и В, пункт D — в
стороне от АВ. Известно, что CD=d=4&}7 м,
Z.BC£) = a=95°16', ZJ ЛОС=р=52°48',
ВВС=у=24°39'.
3. Решите треугольник, если Ь—0,34, с=
=0,46, р=42°, [Два решения.]
4 Исходные данные в учебном пособии считаются
точными,
18
Примерные планирование
и контрольные работы по геометрии
в VIII классг
(II полугодие) 1
Планирование (2 ч в неделю)
§ 12. Многоугольники (12 ч)
Ломаная 1 ч
Выпуклые многоугольники 2 ч
Правильные многоуго чьники 4 ч
Длина окружности 1 ч
Центральный угол и дуга окружности 2 ч
Решение задач 1 ч
Контрольная работа № 3 1ч
§ 13. Площади фигур (13 ч)
Понятие площади. Площадь прямоугольника 2 ч
Площади простых фигур 5 ч
Площади подобных фигур 1 ч
Площадь круга 3 ч
Решение задач 1 ч
Контрольная работа № 4 1ч
Заключительное повторение (15 ч)
Контрольные работы
№ з
I вариант
1. Определите число сторон правильного
многоугольника, внутренний угол которого ра-
вен 144°.
2. Найдите радиус окружности, вписанной в
правильный многоугольник со стороной 30 см,
если радиус окружности, описанной около это-
го многоугольника, равен 10 )г3 см.
3. Радиус окружности 6 м. Определите дли-
ну ее дуги, соответствующей центральному
углу в 135°.
Дополнительная задача. Докажите, что в
ромб можно вписать окружность. Где распо-
ложен ее центр?
II вариант
1 Определите число сторон правильного
многоугольника, внутренний угол которого
равен 140°.
2. Найдите радиус окружности, описанной
около правильного многоугольника со сторо-
ной 24 см, если радиус окружности, вписанной
в этот многоугольник, равен 4 к^З см
3. Определите радиус окружности, если
центральному углу в 210° соответствует дуга
длиной 14 м.
Дополнительная задача. Докажите, что око-
ло прямоугольника можно описать окруж-
ность. Где расположен ее центр?
1 Материал подготовили Л. 10. Березина и И. Л. Ни-
кольская.
Г*
№ 4
I вариант
1. Найдите площадь параллелограмма
ABCD, если высота BE, проведенная из вер-
шины угла в 135°, делит основание AD на от-
резки АЕ~6 см и £19=10 см.
2. Найдите площадь круга, описанного око-
ло равностороннего треугольника со стороной
12 см.
3. В трапеции ABCD с основаниями AD и
ВС проведены диагонали. Докажите, что тре-
угольники ABD и DAC имеют равные пло-
щади.
Дополнительная задача. Середины сторон
произвольного треугольника АВС, площадь
которого а см2, соединены отрезками ДЕ, ЕН.
НД. Найдите площадь треугольника ДЕН.
II вариант
1. Найдите площадь параллелограмма
ABCD, если Z_B=150°, АВ=7 см, АВ = 13см.
2. Найдите площадь круга, описанного око-
ло квадрата со стороной 20 см.
3. Докажите, что медиана треугольника раз-
бивает его на два треугольника с равными
площадями.
Дополнительная задача. Середины сторон
треугольника АВС соединены отрезками МД,
ДР, РМ. Найдите площадь треугольника АВС,
если площадь треугольника МДР равна Ьсм2.
Из редакционной почты
В редакцию поступают статьи и письма об опыте пре-
подавания по учебному пособию «Геометрия 6-10*
А. В. Погорелова. С просьбой прокомментировать по-
лученные материалы мы обратились в Комиссию по
школьному математи гесксму образованию Отделения
математики АН СССР. Публикуемый обзор составлен
заместителем председателя Комиссии доктором физико-
математических наук профессором А. С. Мищенко.
Обзор корреспонденции
Настоящий обзор писем учителей и методи-
стов, ведущих обучение по новому учебнику
геометрии А. В. Погорелова, имеет своей
целью обобщить накопившийся опыт и обра-
тить внимание на некоторые методические
особенности обучения, проявившиеся при пе-
реходе на новый учебник.
Прежде всего хочется отметить, что все
письма и статьи проникнуты огромной забо-
той учителей о подрастающем поколении,
стремлением поделиться своими раздумьями н
заботами, желанием помочь всем учителям,
особенно молодым, глубже разобраться в ме-
тодических особенностях нового учебника.
19
Очень важно, чтобы таких писем и статей
было больше, чтобы ценный опыт ведущих
учителей и методистов стал достоянием всей
педагогической общественности. В данном об-
зоре рассматриваются практически все письма
и статьи, присланные в редакцию за послед-
ние два года и не опубликованные в журнале
отдельно. Список этот пока еще скромный, и
мы надеемся, что в дальнейшем он пополнит-
ся новыми письмами, более широко знакомя-
щими с опытом преподавания геометрии по
новому учебнику.
Причины, приведшие к изменению школь-
ных программ по математике в 1982 г. и пе-
реходу к новому учебнику геометрии, общеиз-
вестны. Они неоднократно обсуждались как
на страницах центральных газет и журналов,
так и в журнале «Математика в школе». Если
говорить кратко, то основное беспокойство
вызывает несоответствие уровня знаний и уме-
ний выпускников средней школы требованиям
современного сложного народного хозяйства.
Именно поэтому Отделение математики АН
СССР создало специальную Комиссию по
школьному математическому образованию и
поставило перед ней задачу добиться сущест-
венного совершенствования школьного мате-
матического образования в стране. Решить
эту задачу одними пожеланиями невозможно.
Необходимо настойчиво преодолевать имею-
щиеся недостатки и упущения, не допускать
их укоренения, привыкания к ним.
К сожалению, в последние годы анализ по-
ложения математического образования в шко-
ле не был достаточно критичен, что привело к
проявлению формализма в обучении, подкреп-
ленному формализмом в самих методологиче-
ских установках программ и учебников. Сей-
час программы и некоторые учебники заметно
улучшены, ряд других учебников продолжают
совершенствоваться, создаются также новые
учебники. Но вопрос не может быть пол-
ностью решен только совершенствованием
учебников. Самой главной фигурой в учебном
процессе был и будет учитель, роль которого
трудно переоценить. Поэтому очень важно,
чтобы учитель имел возможность совершенст-
вовать свою учебную н воспитательную рабо-
ту с детьми.
В этом обзоре писем, мы, таким образом,
че просто просуммируем те или иные мнения,
но дадим к ним наш комментарий в соответ-
ствии с теми методическими, п методологиче-
скими установками, которыми руководствует-
ся Комиссия Отделения математики АН СССР
"о школьному математическому образованию
1- своей работе. Нам представляется важным,
чтобы положения, высказанные в данном об-
> >ре, воспринимались не как директивные ука-
s. ния, а как советы, основанные на наблюде-
нии за школьным математическим образова-
нием, на опыте учителей. Как и во всяком
другом деле, задачи обучения, его качество
определяются в конечном счете тем, какие по-
лучаются результаты, т. е. с какими знаниями
и умениями выпускники школы выходят в
жизнь. Это основной критерий всей нашей ра-
боты по совершенствованию школьного мате-
матического образования. Поэтому учитель не
должен быть стеснен в выборе тех или иных
методов работы за исключением одного: ре-
зультат обучения и воспитания детей должен
удовлетворять требованиям современной
жизни.
Переходя к обзору, отметим, что в своих
письмах учителя излагают предложения по
обучению по новому учебнику геометрии, по
использованию его методических особенно-
стей, по улучшению системы задач и упраж-
нений. Учителя вносят также свои предложе-
ния по улучшению самого учебника и его ме-
тодического обеспечения.
«Начало курса геометрии нового учебника
обладает рядом таких достоинств,— пишет
Л. С. Карнацевич, учитель-методист 97-й сред-
ней школы г. Харькова,— которые не имели
места в большинстве предыдущих учебников.
Так, в самом начале изложения материала
предлагается простая по содержанию теория
и система упражнений, требующая от учащих-
ся постоянной аргументации своих выводов и
установления взаимного расположения прос-
тейших фигур на плоскости. Это дает возмож-
ность учителю уже с первых уроков геометрии
обратить серьезное внимание на развитие ло-
гического мышления учащихся и их простран-
ственных представлений. Вопрос о месте до-
казательств, по нашему мнению, в учебнике
решен правильно. Учащиеся VI класса к нача-
лу учебного года уже имеют достаточно боль-
шой запас знаний по геометрии (пропедевти-
ческий курс геометрии в IV—V классах со-
ставляет не менее 60 ч), и поэтому целесооб-
разно в систематическом курсе геометрии как
можно раньше перейти к главному — к дока-
зательствам».
Учителя положительно оценивают логиче-
скую стройность и четкость изложения мате-
риала. «Лаконичная, конспективная форма из-
ложения устраивает учащихся,— отмечают
В. П. Покровский и И. П. Степанова из г. Вла-
димира.— Они не распыляются, не разбрасы-
ваются, учебник позволяет им сосредоточить
свис внимание на главном . Заслуживает вни-
мания перечень вопросов к каждому пункту
учебного пособия, так как он определяет тот
минимум знаний, который обязательно подле-
жит усвоению и обеспечивает ученику удов-
летворительную оценку».
Во многих письмах учителя отмечают, что
20
для обучения детей математическому мышле-
нию, умению логически рассуждать, большое
значение имеет постановка и дальнейшая от-
работка грамотной строгой математической
речи, как устной, так и письменной. Четкость
и краткость учебника являются основой для
развития речи учащихся. Система задач и уп-
ражнений в учебнике организована таким обра-
зом, что в ходе решения этих задач дети мно-
гократно повторяют различные логические
фигуры, приобретая тем самым к концу обу-
чения достаточно прочные навыки логических
рассуждений. Отмечается также важность це-
ленаправленного обучения детей работе с кни-
гой, содержащей образцы безупречных мате-
матических рассуждений. Система вопросов в
конце каждого параграфа направляет домаш-
нюю работу детей таким образом, чтобы они
научились самостоятельно находить в учебни-
ке ответ на любой поставленный перед ними
вопрос.
Письма читателей содержат много различ-
ных конкретных советов как общего, так и ча-
стного характера Многие делятся своим мне-
нием о том, как наиболее рационально орга-
низовать письменные и устные формы заня-
тий. Учитель Верхнезейской средней школы
Зейского района Амурской области А. Г. Тро-
ценко пишет: «Из бесед с учителями, ведущи-
ми уроки геометрии, готовившимися к препо-
даванию ее, можно сделать вывод, что основ-
ным возражением против нового учебника и
нового подхода к преподаванию являлось со-
ображение такого рода: слишком много при-
ходится писать из-за отказа от символики, что
приводит к неоправданным потерям времени».
Об этом же пишут и другие корреспонденты
журнала, предлагают различные способы со-
кращения объема письменных форм работы
школьников. Например, учителя школы № 19
г. Пскова 3. М. Вагина, Н. В. Зыбина и
Р. А. Константинова рекомендуют показывать
«последовательные этапы построения черте-
жей к теоремам и краткие записи к ним. Тем
самым даются наглядные схемы доказа-
тельств. Учащиеся освобождаются от ведения
записей этих доказательств, все внимание кон-
центрируется на изучаемом материале. Время
па уроке не растрачивается попусту».
Ряд учителей возражают против «отмены»
символических обозначений. Скажем, учитель-
ница средней школы Л. М. Дрокина из села
Слаутпое Камчатской обл. «не согласна с тем,
что в учебнике не применяются уже хорошо
усвоенные детьми обозначения отрезка, луча,
прямой, величины угла, величины отрезка.
Ведь лучше написать [АВ], чем «отрезок АВ».
В методическом письме МП СССР (Мате-
матика в школе 1983. № 4, с. 7) по этому по-
воду говорится следующее: «Учебный процесс
должен быть ориентирован на рациональ-
ное (разрядка моя.— А. М.) сочетание уст-
ных и письменных видов работы, как при изу-
чении теории, так и при решении задач». Вви-
ду того чю этот вопрос продолжает волно-
вать учителей, ясно, что не так-то просто
отыскать упомянутое выше рациональное
сочетание. Поэтому целесообразно остановить-
ся на этом более подробно, обсудив и проана-
лизировав как положительные, так и отрица-
тельные эффекты «писанины» на уроках гео-
метрии. Вот что по этому поводу пишет
А Г. Троценко: «Во-первых, писать приходит-
ся не так уж много. Во-вторых, и это очень
важно, запись решения задач, доказательств
теорем ведет к развитию строго логической
математической речи. Выбор способа записи
решения задачи учащимися способствует вы-
работке лаконизма как письменной так и уст-
ной речи. Приведу пример. Во время само-
стоятельной работы один ученик VI класса
мне пожаловался: „Вот я знаю, как доказать,
а как записать, не знаю”. Пожаловался один
ученик, а трудности возникли у многих... В
этом состоит довод в пользу осуществления
более или менее подробных записей в тетра-
дях и отказа от символики. Как известно, в
курсе алгебры VII класса вводятся понятия
«следования» и «равносильности» с соответст-
вующими символическими обозначениями. Ис-
пользование данных символов при записи ре-
шения задач по геометрии понравилось уча-
щимся, но обеднило их речь, сделало ее грам-
матически более неверной (согласование слов,
знаки препинания и др.).
Надо все-таки признать, что более или ме-
нее обширные записи в тетрадях имеют и свои
недостатки. Мне пришлось столкнуться с та-
кими: появляется много лишнего в записи
условия задачи. Например, вместо того, чтобы
записать: „Дано: ABCD — трапеция, АВ —
= CD", ученики пишут „Дано: aBCD — рав-
нобочная трапеция” и т. д.».
Следует иметь в виду то обстоятельство, что
каким бы видом работы ни занимался уча-
щийся на уроке, он не может при этом не ду-
мать. Но мысль не существует отдельно от
языка, воплощенного в устной или письменной
речи. Даже когда ребенок молчит, он думает
и проговаривает про себя все, что он мог бы
сказать устно. Например, в процессе написа-
ния символа [АВ] ребенок произносит (вслух
или про себя, а чаще шепотом) слова, соот-
ветствующие значению написанного символа.
Значит, выражение «отрезок АВ», исчезнув-
шее в тетради, не может и не должно исчез-
нуть в мышлении и в речи ребенка. Конечно,
ребенок может при написании символа [АВ]
произносить что-нибудь вроде: «АВ в квад-
ратных скобках»,— но такое формальное
21
представление о символе [АВ] ничего общего
уже с понятием отрезка ие имеет. Таким об-
разом, употребляя символ [АВ] при записи в
тетради или на доске, учащийся отдаляет
форму записи от соответствующего языкового
знака в своем мышлении, где продолжает
употреблять выражение «отрезок АВ».
Плохо это или хорошо? Плохо, потому что
ребенку труднее правильно мыслить, рассуж-
дать. Хорошо, потому что краткая запись по-
зволяет не только быстрее записать мысль, но
и в результате быстрее ее проговорить про се-
бя, употребив свернутые акты мышления (про-
говаривая про себя не всю фразу, а только ее
часть). На этом маленьком примере видно,
что устная и письменная формы речи очень
тесно взаимосвязаны, помогая друг другу и
всему мышлению в целом.
Вот, например, как организуют изучение
новой теоремы 3. М. Вагина, Н. В. Зыбина и
Р. А. Константинова:
Учитель предлагает рассмотреть соответст-
вующие рисунки из «Дидактических материа-
лов» (1 экземпляр «ДМ» имеется на каждой
парте), вернуться к первому рисунку и по
надписям к нему дать устную формулиров-
ку теоремы. Затем все следят по «ДМ» за хо-
дом устного доказательства, дважды вы-
полняемого учителем по чертежам и записям
в «ДМ» (записи на доске не делаются). После
этого учащиеся читают доказательство тео-
ремы еще раз сами по «ДМ», а потом один
ученик с места повторяет доказательство.
В заключение учитель еще раз повторяет
доказательство по одному рисунку, сделанно-
му им на доске.
Заметим, что на всех этапах этого доказа-
тельства говорит вслух только один человек.
А остальные? Остальные молчат! Они могут
говорить только про себя! Даже глазу не за
чем следить, поскольку на доске никаких за-
писей не появляется. Можно ли добиться при
этом эффективного восприятия нового мате-
риала? Можно, но при этом необходимо пол-
ностью сосредоточить внимание детей только
на- одном виде деятельности — следить за тем,
что говорит учитель или отдельный ребенок.
Поэтому предложенный способ утомляет де-
тей, их внимание быстро рассеивается и эф-
фективность урока снижается.
Элементарный подсчет показывает, что уче-
ник на уроке говорит вслух не более 1,5 мин.
Остальные 43,5 мин он должен молчать, если
не нарушает дисциплину. Значит, как бы мы
ни исхитрялись, на протяжении 43,5 мин дети
должны думать про себя, проговаривать все
рассуждения, которые возникают на уроке,
тоже про себя или, если это позволяет учи-
тель, шепотом. С этой позиции письменные ви-
ды работы на уроке оказывают ребенку не-
сомненную пользу: они помогают ему сосредо-
точить внимание и думать о том, что он пи-
шет в тетради.
Приведенный фрагмент урока мы не отвер-
гаем огульно. Если учитель видит, что внима-
ние в классе достаточно сосредоточено и дети
не отвлекаются, то такой способ вполне воз-
можен по крайней мере на небольшом отрез-
ке времени. Справедливости ради отметим,
что учителя, описавшие его, предлагают сразу
вслед за чисто устным изложением материала
провести его письменное закрепление в ходе
решения задач с записью на доске и в тетра-
ди к.
Но остается несомненным, что попытка
сэкономить время на письменных формах
урочной работы даром не проходит. Многие
учителя отмечают, что несмотря на опреде-
ленные затруднения, возникающие у детей на
начальном этапе, письменная речь приводит к
заметному улучшению их устной речи, к повы-
шению культуры мышления. Анализ письмен-
ных работ школьников VI класса показывает,
что трудности письменной речи связаны не
столько с большим объемом заданий, сколько
с недостаточными навыками детей грамотного
и быстрого письма. Попросту говоря, основное
внимание дети вынуждены уделять не матема-
тическому содержанию написанного, а самому
процессу письма. Постепенно эти трудности
устраняются. Но учитель должен внимательно
следить за этим и соизмерять возможности
детей, не создавать излишней перегрузки,
разумно упрощая форму записи в тетрадях.
Следующий цикл рекомендаций тоже связан
с желанием экономить время урока с по-
мощью обучения по готовым чертежам и пла-
катам. Учителя предлагают такие формы ра-
боты с чертежом, которые активизируют раз-
личные формы мышления, упрочняют умение
рассуждать. В статье Л. С. Карнаневич реко-
мендуется постоянно упражнять детей в со-
здании рисунков и чертежей по условию за-
дач и, наоборот, в составлении рассказа по
одному или серии рисунков. Различные спо-
собы изображения чертежей в динамике об-
суждаются и в других письмах, Например,
3. М. Вагина, Н. В. Зыбина и Р. А. Констан-
тинова указывают на интересные серии черте-
жей, иллюстрирующие логику рассуждений,
которые представлены в «Дидактических ма-
териалах по геометрии» А. П. Громова.
Ряд писем посвящен различным методиче-
ским приемам, позволяющим, по мнению авто-
ров, улучшить изучение материала. Учитель-
ница из г. Рустави А. Б. Цинадзе рассказыва-
ет, как она проводит изложение теоремы об
углах, отложенных в одной полуплоскости. С
помощью серии вопросов она дает учащимся
22
возможность повторить только то, что нужно
для объяснения нового материала, стараясь
не рассеивать внимание учащихся на
весь пройденный материал, и не терять време-
ни... Затем учащимся предлагается построить
в тетрадях Z_(ab)=50°, Z_(ac)— 80° и отве-
тить на вопрос: «Между какими сторонами
проходит луч 6?» Затем учительница форму-
лирует теорему и сама делает чертеж. После
указанной практической работы содержание
этой теоремы кажется настолько доступным и
легким, что «ученики сами записывают дан-
ные и то, что требуется доказать. На лицах
заметно даже удивление (если его не выска-
жут вслух): а что здесь доказывать?»
Целый ряд корреспондентов журнала пред-
лагают небольшие перестановки материала.
Читатель П. В. Джанджгава из г. Зугдиди
указывает на то, что некоторые задачи и тео-
ремы курса геометрии VII—VIII классов, изу-
чаемые после неравенства треугольника, мож-
но рассматривать уже в VI классе в теме
«Геометрические построения». Таковы, напри-
мер, задача 70 из § 7 и теоремы о соотноше-
нии сторон в треугольнике. Учитель С. Р. Се-
фибеков из села Кашкент ДагАССР предла-
гает рассматривать тему IX класса «Коорди-
натно-векторный метод в пространстве» в при-
ложении к решению задач, связанных с урав-
нением прямой. По его мнению, этот материал
может найти место на факультативных заня-
тиях уже в VIII классе. Учителя С. И. Хохло-
ва из г. Подольска, Г. И. Байкова из г. Челя-
бинска, А. Е. Шрайман из г. Одессы предла-
гают свои способы решения отдельных задач.
Читатель 3. Г. Муртазин из г. Казани излага-
ет свой вариант доказательства теоремы: «го-
мотетия есть преобразование подобия». Каж-
дый учитель должен творчески подходить к
выбору того или иного способа изложения ма-
териала с учетом собственного опыта и осо-
бенностей контингента учащихся. Поэтому та-
ких рекомендаций может быть много.
В письмах встречаются и такие предложе-
ния, с которыми трудно согласиться. Некото-
рые из них содержат рекомендации по изме-
нению изложения отдельных фрагментов или
требуют тех или иных уточнений. Конечно, пи
один учебник не может быть идеалом, всегда
найдется возможность его совершенствовать.
Это в большой степени дело автора—рас-
смотреть многочисленные пожелания и сба-
лансированным образом учесть их в после-
дующих изданиях. Мы же хотим на несю ль-
Ких примерах показать, что не всякое требо-
вание должно непременно учитываться, не-
сколько оно может привести к ухудшению
учебника в другом месте.
Упомянутый выше П. В. Джанджгава пред-
лагает произвести перестановку некоторых
задач на более раннее время, опираясь на то
соображение, что при решении этих задач
можно обойтись без последних теорем (VII
класса), используя материал только VI клас-
са. Это соображение представляет, конечно,
научный интерес, например, при выяснении
логической структуры математической теории.
Все хорошо помнят, что в учебнике А. П. Ки-
селева (и в более ранних) курс планиметрии
делился на две части — абсолютную геомет-
рию и евклидову. В абсолютной геометрии
были собраны все теоремы, которые можно
доказать без привлечения V постулата Евкли-
да, несмотря на то, что некоторые доказатель-
ства вследствие отказа от V постулата оказа-
лись громоздкими и запутанными. Оправда-
нием такому разделению геометрии на абсо-
лютную и евклидову служила как раз науч-
ная проблема: соотношение между евклидовой
и неевклидовой геометриями, которая в тот
момент находилась в процессе решения.
С точки зрения методической, учебной пы-
таться решать ту или иную задачу или дока-
зывать ту или иную теорему минимальными
средствами не всегда оправданно. Особенно
это неоправданно на начальных этапах обуче-
ния, когда дети еще недостаточно хорошо
овладели культурой математического мышле-
ния. В старших же классах такие вопросы бо-
лее уместны. Например, при повторении по-
лезно проводить с учащимися исследование
того, какими теоремами необходимо восполь-
зоваться для решения задачи, какие мини-
мальные средства можно применить. В этом
смысле полезны задачи на построение.
Возвращаясь к предложению П. В. Джаи-
джгавы, заметим, что автор учебника при вы-
боре того или иного упражнения не стремился
поставить его как можно раньше, а руковод-
ствовался всем комплексом учебных целей,
которые должны осуществляться при решении
задач.
Р. А. Гукасян из г. Кировакана пишет: «В
пункте „Точка и прямая” (с. 4) учебника на-
писано: „На чертеж точки и прямые наносятся
остро отточенным карандашом...” Во-первых,
даже хорошо отточенный карандаш не может
нанести геометрическую точку, поскольку точ-
ка не имеет мер. Кроме того, разве при ука-
зании точек мы не используем иглу или ручку
(для бумаги или картона), мел (для доски)'
и т. д.?» Это пример излишней строгости; та-
кие примеры усиленной строгости содержатся
также в письмах И. Кадырова (см. ниже под-
борку статей) и В. Е. Ольхова из г. Горького.
В. Е. Ольхов утверждает, что способные уча-
щиеся могут задать вопрос: «Почему при оп-
ределении длины окружности использовали
только вписанные в нее правильные много-
угольники, а при определении площади круга
23
и описанные?» Он указывает, что наиболее
удачно этот вопрос изложен в книге В. П. Ми-
норского «Геометрия: Рабочая книга для под-
готовки в вуз» (М., 1928).
В приведенных примерах авторы усматри-
вают недостаточную строгость или недогово-
ренность в высказываниях учебного пособия.
Мы не хотели бы здесь обсуждать, насколько
необходимо вообще в указанных примерах
усиливать строгость изложения. Бели бы ав-
тор стремился к усилению строгости, то это
усложнило бы курс, а мы уже наблюдали на
примере учебников прошлого десятилетия, к
каким печальным последствиям приводит та-
кое неоправданное усложнение, превращаю-
щееся в копание в мелочах. Уже упоминав-
шийся читатель Р А. Гукасян, который усмот-
рел нестрогость в описании точки, в другом
месте требует прямо противоположного: «В
первом параграфе учебника нашла место ак-
сиома существования треугольника, равного
данному и расположенного указанным обра-
зом относительно заданного луча. По-моему,
здесь нет нужды в этом. Это очень строгий
подход к изложению курса, содержание кото-
рого недоступно для шестиклассника». Спра-
шивается, почему же в одном месте строгость
изложения нужно усилить, а в другом осла-
бить?
Автор учебника, как это легко проследить
по тексту учебника, наиболее аккуратно и чет-
ко излагает основную линию курса, так ска-
зать, его логический стержень. Боковые от-
ветвления и особенно прикладные задачи мо-
гут быть изложены менее аккуратно. В этом
двоякая цель: во-первых, сконцентрировать
внимание школьников на главном, а во-вто-
рых, предоставить им самим возможность по-
работать с вспомогательным материалом.
Перейдем теперь к проблеме, которая уже
обсуждалась неоднократно в связи с перехо-
дом на новый учебник геометрии. Начнем с
выдержки из статьи А. А. Столяра — профес-
сора пединститута в г. Могилеве: «Вряд ли
можно было предполагать, что доказательство
теоремы о сумме углов треугольника в школь-
ном курсе геометрии когда-нибудь станет ме-
тодической проблемой. К сожалению, такая
проблема возникла. В учебном пособии
А. В. Погорелова дано сложное (и вряд ли
доступное) для шестиклассников доказатель-
ство».
Сразу скажем, что методическая проблема
возникла не в учебнике А. В. Погорелова, а
в умах некоторых методистов. Мы уже каса-
лись этой проблемы в другом месте (см.:
Послесловие к книге Н. Б. Мельниковой и др.
«Геометрия в 7 классе», М., 1984), где как
раз на примере теоремы о сумме углов тре-
угольника разъяснили разницу между уров-
нем строгости и уровнем подробности изложе-
ния теоретического материала.
На наш взгляд, методическая проблема, о
которой говорит А. А. Столяр, возникла не
сейчас. Она возникла намного раньше, суще-
ствовала и обострилась в настоящее время,
когда произошел переход на учебник, методи-
ческие принципы которого вошли в противо-
речие с некоторыми установившимися методи-
ческими взглядами.
Вот что далее пишет А. А. Столяр: «Удиви-
тельно, что обсуждение различных доказа-
тельств одной и той же теоремы, предназна-
ченных для школьного обучения, исчерпывает-
ся сравнением их уровней строгости и совер-
шенно не касается доступности этого
уровня шестиклассникам, всем шестикласс-
никам». И далее: «Мы не можем говорить об
уровне строгости некоторого доказательства
безотносительно к доступности этого доказа-
тельства для учащихся определенного возрас-
та и уровня знаний. Доказательство, постро-
енное на высоком уровне строгости, но недо-
ступное учащимся, непригодно для школьного
обучения, так же как доступное для школьни-
ков доказательство, находящееся на весьма
низком уровне строгости» (курсив мой.—
А. М.).
Обратимся снова к методическому письму
МП СССР: «Многие учителя завышают требо-
вания к учащимся, точнее, предъявляют непо-
мерно высокие требования в тот период, когда
проверяемые знания и навыки еще не сфор-
мированы у учащихся достаточно прочно, не
закреплены соответствующими упражнениями
и самостоятельной работой. Так, нельзя тре-
бовать, например, от любого шестиклассника,
чтобы он уже в начале изучения курса безуко-
ризненно усваивал все детали доказательства
теоремы. В учебном пособии предлагается об-
разец доказательства, который с той или иной
степенью подробности усваивается учеником.
Возможно, что вначале он не сможет разоб
раться во всех деталях, уяснив лишь основ-
ные этапы и аргументы доказательства; при
повторении через какое-то время после изуче-
ния темы он поймет больше; при подготовке
к экзаменам освоится и с деталями» (Мате-
матика в школе, 1983, № 4, с. 9).
Действительно, во многих корреспонденциях
так или иначе звучит следующая мысль:
«слишком усложнен материал, изложен в фор-
ме, очень трудной для восприятия шестикласс-
ников. Зачем такие запутанные доказательст-
ва признаков равенства треугольников? Детям
самим работать по учебнику не под силу»,
«часто учащиеся не понимают определения
понятия, содержания теоремы, доказательства
теоремы», «учащимся не так просто понять,
почему, доказав, что две различные прямые не
24
могут иметь двух точек пересечения, делается
вывод: две различные прямые либо пересека-
ются в одной точке, либо не пересекаются»,
«доказательство этой теоремы мало доступно
учащимся» и т. д.
Такие высказывания порождены укоренив-
шейся точкой зрения, что дети должны пони-
мать новый материал без особых умственных
усилий, так сказать, с ходу. Рассмотрим, на-
пример, подход к методу доказательства от
противного. «Практическая деятельность чело-
века миллиарды раз должна была приводить
сознание человека к повторению разных ло-
гических фигур, дабы эти фигуры могли по-
лучить значение аксиом» (Ленин В. И.
Поли. собр. соч., 5-е изд., т. 29, с. 172). А вот
некоторые авторы предлагают рассказать уча-
щимся о способе доказательства от противно-
го... перед доказательством этим способом
первой теоремы. Но что же тут удивительного,
если ребенок, еще ни разу не пробовавший
применить этот способ, не понимает, о чем
ему толкует учитель! К сожалению, в школь-
ной практике имеет место тенденция, при ко-
торой обучение умениям рассуждать, аргумен-
тировать, доказывать подменяется преждевре-
менными требованиями к пониманию содер-
жания и доказательства теорем. А если эти
требования оказываются невыполнимыми, на-
чинаются поиски облегченных путей, так на-
зываемых доступных форм изложения мате-
риала.
А. А. Столяр и некоторые другие методисты
настойчиво предлагают различные приемы,
направленные на то, чтобы убедить детей в
справедливости тех или иных теорем. Убеж-
дать же учеников VI класса в справедливости
многих теорем не нужно, поскольку дети с ни-
ми давно знакомы. Так, утверждение о сумме
углов треугольника они знают с V класса. Да-
лее, поскольку дети еще не научились строгим
логическим рассуждениям и другим матема-
тическим формам мышления, то в VI классе
они вполне удовлетворятся любым наглядным
аргументом, видимым из чертежа или под-
тверждаемым с помощью складывания отор-
ванных углов треугольника. В более старшем
возрасте, скажем в IX—X классах, учащиеся
уже не удовлетворятся наглядными соображе-
ниями, если к этому времени они будут обуче-
ны доказательным аргументациям.
Перед логическими доказательствами тео-
рем в VI классе стоит задача не столько убе-
дить детей в справедливости тех или иных
утверждений, сколько обучать детей самостоя-
тельно логически рассуждать, показывая при-
меры образцовых рассуждений. В этом глав-
ная задача дедуктивного курса геометрии в
VI—VIII классах. Поэтому каждое доказа-
тельство, каждое рассуждение в учебнике
должно служить образцом как с точки зрения
логической строгости, так и с точки зрения
четкости и ясности изложения.
Научить детей культуре математического
мышления—дело не одного дня и не одного
года. Это дело всего школьного математиче-
ского образования от 1 до X класса. Повторяя
многократно одинаковые логические рассуж-
дения при решении разнообразных содержа-
тельных задач, учащиеся постепенно углуб-
ляют свое понимание сущности тех или иных
математических приемов и утверждений, ко-
торого нельзя ожидать от них в начале изу-
чения систематического курса геометрии.
О последовательности изложения курса
геометрии в VII классе
Одной из основных теорем курса геометрии
VII класса является теорема о зависимости
косинуса угла только от градусной меры уг-
ла. Однако опыт работы учителей по данному
учебному пособию показывает, что доказа-
тельство этой теоремы малодоступно учащим-
ся. К тому же на него затрачивается почти
урок. Обойти же данную теорему «скороговор-
кой» учителю не позволяет тот факт, что она
является базовой для доказательства теоремы
Пифагора.
На наш взгляд, удачнее было бы ввести
сначала понятие синуса острого угла так, как
это сделано в книге А. Д. Александрова *.
Сначала автор обосновывает понятие сину-
са без введения самого термина, рассматри-
вая теорему: отношение перпендикуляра к на-
клонной зависит только от величины угла на-
клона. Доказательство этой теоремы сводится
к двум утверждениям: 1) отношение перпен-
дикуляра к наклонной одно и то же для всех
наклонных на данном луче; 2) это отношение
то же самое для наклонной к любой другой
прямой, образующей с ней такой же угол.
Приведем доказательство первого утверж-
дения (см. рисунок).
Рассмотрим прямоугольный треугольник
АВС (угол С — прямой). Докажем, что отно-
шение противоположного катета к гипотенузе,
т. е. отношение перпендикуляра к наклонной
1 Александров А. Д. Треугольники. — Новосибирск,
1982, с. 47.
25
не зависит от положения точки В на луче А В.
Пусть М— произвольная точка отрезка АС,
проведем MK-LAB. Легко видеть, что
авм — AM-ВС и (вд1 — АВ-Al/G
Отсюда
ЬС МК
АВ~~ AM '
Длины отрезков МК и AM. не зависят от по-
ложения точки В на луче АВ. Следовательно,
отношение ВС к АВ также не зависит от по-
ложения точки В на луче АВ.
Доказательство второго утверждения сво-
дится к признакам равенства треу! ольников.
Затем в книге А. Д. Александрова мотиви-
руется введение понятия синуса острого угла:
«Итак, мы доказали, что отношение перпен-
дикуляра к наклонной зависит только от ве-
личины угла наклона. Каждому острому углу
отвечает, таким образом, вполне определенное
значение этого отношения». Появляется опре-
деление синуса острого угла.
Затем можно ввести понятие косинуса ост-
рого угла как отношение прилежащего катет а
к гипотенузе. Легко видеть, что cosA=sinB
и cosB=sinA, где А и В — острые углы пря-
моугольного треугольника АВС. Зависимость
косинуса угла только от градусной меры сле-
дует из последних равенств. Далее можно пе-
рейти к доказательству теоремы Пифагора
так, как предложено в учебном пособии А. В.
Погорелова.
Но в структуре учебника А. В Погорелова
такой подход не может найти места, так как
к моменту изучения понятия косинуса (сину-
са) острого угла еще не введено понятие пло-
щади фигур. Нам представляется, что к усвое-
нию понятия площади фигур учащиеся хоро-
шо подготовлены практическим его использо-
ванием в младших классах, поэтому стоит
ввести его пораньше, например сразу после
первой темы VII класса «Четырехугольники».
Это позволит облегчить изучение круга вопро-
сов, связанных с теоремой Пифагора, увели-
чить количество задач по этой теме, в частно-
сти дать больше задач вычислительного ха-
рактера, а также продолжить формирование
понятия четырехугольника и его частных ви-
дов.
Тему «Площадь многоугольников» можно
было бы изложить так же, как это сделано в
пробном учебнике «Геометрия 7» Л. С. Ата-
I зсяна, В. Ф. Бутузова, С. Б. Кадомцева,
Э Г. Позняка. Авторы заведомо взячи силь-
ную аксиому площадей п ющадь квадрата
равна квадрату его стороны. Благодаря этому
исчезли трудности, связанные с соизмеримы-
ми и несоизмеримыми отрезками.
На основании вышеизложенного предлагаем
следующую, на наш взгляд, оптимальную по-
следовательность изложения учебного мате-
риала курса геометрии VII класса:
1. Четырехугольники.
2. Площади многоугольников (по пробному
учебнику Л. С. Атанасяна и др.).
3. Теорема Пифагора:
а) введение понятия синуса острого угла
(по упомянутой выше книге А. Д. Александ
рова):
б) введение понятия косинуса острого угла;
в) доказательство теоремы Пифагора.
4. Декартовы координаты.
Тема «Преобразование фигур» может быть
отг.есена в курс геометрии VIII класса.
Т. П. Григорьева
(г. Горький)
Замечания к решению трех задач1
Задача № 29 (2) из § 9: «Даны три попарно
пересекающиеся прямые: а, Ь, с. Постройте
отрезок, перпендикулярный к прямой Ь, с се-
рединой на прямой b и концами на прямых а
и с».
Естественно возникает вопрос: всегда ли су-
ществует искомый отрезок для произвольных
попарно пересекающиеся прямых? Оказыва-
ется, не всегда. Если прямая b параллельна
биссектрисе угла, образованного прямыми а и
с, и не совпадает с ней, то середина «отрезка,
перпендикулярного к прямой Ь, с концами на
прямых о ис» не принадлежит прямой b и по-
тому задача в этом случае не имеет решения.
Если прямая b перпендикулярна к одной из
двух прямых а и с, например к а, то искомый
отрезок будет параллелен прямой а и, есте-
ственно, не будет иметь с ней общих точек.
Следовательно, и в этом случае задача не
имеет решения.
Рассмотренная задача сама по себе увлека-
тельна, но в указанных случаях ее решать
нельзя. Поэтому целесообразно дополнить
текст задачи вопросом: «Всегда ли возможно
такое построение?»
Задача № 35 из § 9: «Найдите геометриче-
ское место точек, которые делят в отношении
т: п все хорды, имеющие общим концом дан-
ную точку окружности».
Ясно, что точка, которая является общим
концом всех хорд, не принадлежит искомому
геометрическому месту точек. С педсватедьно,
приведенный в книге ответ «окружность» не
верен и его следует заменить следующим:
«окружность без одной точки».
1 Автор рассматривает задачи из 2 го издании посо-
бия, 1983 г.
26
Задача № 8 из § 12: «Сколько диагоналей
у п-угольника?»
Ответ к этой задаче, данный в учебном по-
собии п (п—1)), неверен. Согласно
этой формуле треугольник должен был бы
иметь 3 диагонали. Верный ответ такой:
п (п — 3).
Н. Кгш фов
(село Пангаз Ленинабадской обл.)
О системе заданий к теме «Признаки
равенства треугольников»
В учебном пособии А. В. Погорелова призна-
ки равенства треугольников являются основ-
ным аппаратом доказательства. Успех овладе-
ния этим аппаратом определяется применяе-
мой учителем системой заданий. Как показы-
вает опыт работы, содержащиеся в пособии
вопросы и упражнения составляют только
часть этой системы, поскольку аптор, созда-
вая учебник для школьника, не ставил перед
собой цель обеспечить учителя всем комплек-
сом дидактических материалов.
В настоящей статье приведены задания, ко-
торые дополняют задачи и вопросы учебного
пособия. Использование их в сочетании с по-
следними и другими дидактическими средст-
вами позволит учителю более эффективно
включать учащихся в активную учебно-позна
вательную деятельность.
Задания условно разделены здесь на 5
групп: вводные, на осмысление математиче-
ских предложений, на закрепление, на систе-
матизацию знаний и их практическое приме-
нение. Вводные задания предназначены для
актуализации опорных знаний (в данном слу-
чае о системе аксиом и об определении равен-
ства треугольников). С их помощью учитель
может создать в классе проблемную ситуа-
цию, мотивировать необходимость изучения
нового При выполнении заданий II группы
учащиеся усваивают новую терминологию и
символику, анализируют изучаемое определе-
ние или содержание теоремы.
В заданиях на закрепление и запоминание
знаний мы выделяем две подгруппы. К первой
из них относятся те, в которых нужно приме-
нять новые сведения в простейших ситуациях.
Их. следует выполнять устно и только потом
перехидить к упражнениям, способствующим
запоминанию изученного, а также к более
сложным заданиям.
На каждом этапе усвоения происходит об-
общение и систематизация знаний, но все же
пяд вопросов, которые требуют от учащихся
взглянуть на изученное как бы с новой сто-
роны, мы выделяем в особую IV группу. По-
следний набор объединяет задания практиче
ского содержания. Они убеждают учащихся ь
житейской значимости изучаемого материала,
иллюстрируют широкие возможности его при-
менения. Такое деление, полагаем, облегчит
работу учителя по отбору дидактических
средств не только для каждого конкретного
урока, но и для каждого его этапа.
I. Вводные задания
1. В равных треугольниках Z_C—Z_M, Z_E=
~Z_P, Z_D = Z_O (KD = PQ, МК=ОР, DM =
~QO). He пользуясь рисунком, назвать рав-
ные стороны (углы) и равные треугольники.
2. Сделать вывод о записи равных треуголь-
ников на основании их соответственных углов
(сторон), за
3. От руки «на глаз» или с помощью шаб-
лона построить треугольник, равный данному
в заданном расположении относительно полу-
прямой MN. Луч MN расположен: а) под уг-
лом к горизонтали; б) направлен вверх; в) на-
правлен вниз Рассмотреть одну, затем — дру-
гую полуплоскость.
4. Постройте от руки «на глаз» треугольник
АВС, если известно: а) АВ—4 см, АС—3 см;
б) АВ=4 см, Z.A—45°; в) 2.4=45°, /СВ =
=60г; г) АВ=АС=ВС=4 см, 2_Д=2.В=
=2.С=60°; д) АВ—4 см, АС=3 см, 2.4 =
— 45°. Если по этим же данным построить
другой треугольник, то будет ли он обязатель-
но равен первому?
5. а) Постройте произвольный равнобедрен-
ный треугольник и измерьте его углы. Сравни-
те попарно градусные меры углов, б) По-
стройте произвольный треугольник АВС, в ко-
тором Z_A = Z_B. Измерьте его стороны и
сравните полученные результаты. Существует
ли в обоих случаях какая-либо закономер-
ность?
6. Постройте треугольник АВС, в котором
АВ=ВС, и проведите в нем медиану BD. Из-
мерьте углы ABD и DBC, ADB и CDB. Сде-
лайте вывод.
II. Осмысление и обоснование
математических предложений
7. Сравните определения биссектрисы угла
и биссектрисы треугольника. Чем они отли-
чаются друг от друга? Перечислите свойства
биссектрисы треугольника, которые упоми-
наются в ее определении. Постройте фигуру,
обладающую свойствами биссектрисы тре-
угольника, упоминаемыми в определении, кро-
ме одного или двух.
8. Постройте «от руки» фигуры, которые
опровергают нижеприведенные ошибочные ут-
верждения шестиклассника Незнайки:
27
а) если две стороны и угол одного треуголь-
ника равны соответственно двум сторонам и
углу другого треугольника, то такие треуголь-
ники равны;
б) если сторона и два угла одного треуголь-
ника равны стороне и двум углам другого тре-
угольника, то такие треугольники равны,
в) если три угла одного треугольника равны
соответственно трем углам другого треуголь-
ника, то такие треугольники равны;
г) в равнобедренном треугольнике медиана
является его биссектрисой и высотой. [Один
из вариантов построения для каждого из слу-
чаев а—г указан на рис. 1,а—г, соответ-
ственно.]
9. У треугольников АВС и АВ =
=AiBi, AC=A\Ci, Z_A — АЛ|. Постройтетре-
угольник AiB2C2, равный треугольнику АВС,
в том же расположении относительно луча
A[Bi, что и треугольник Совпадает ли
треугольник с построенным? Ответ
обосновать.
III. Закрепление и запоминание
А. Воспроизведение знаний и применение их
в простейших ситуациях
10. Укажите пары равных треугольников на
рис. 2. Обозначьте их вершины буквами и на-
зовите равенства. Сформулируйте теоремы, на
основании которых сделан вывод о равенстве
треугольников. Во всех ли случаях можно
с уверенностью сделать такой вывод?
11. Определите, равны ли треугольники BCD
и РМК, в которых: a) Z_B = Z_P, ВС=РМ,
CD — I\P; б) Z.B—Z.P, ВС=РМ, DB=I\P.
Рис. 2
Указание. В задании а)' данных недоста-
точно как для положительного, так и для от-
рицательного ответа. Возможны оба случая.
Учащиеся же склонны ошибочно считать, что
треугольники обязательно не равны.
12. Обоснуйте, равны ли треугольники на
рис. 3, если известно: a) Z_1=Z_2, AB = CD;
б) Z_1=Z_2, AD=CD; в) Z_1 = Z_2, ОС=О£>;
г) CA-LAB, DB.LAB, AC—BD, О — середина
отрезка АВ; д) ZJ —Z_3, Z_2=Z_4; е) ZA —
=Z_2, Z_A=Z_D, AE—CD (буквенные обо-
значения заданий в тексте и пар треугольни-
ков на рис. 3 совпадают).
13. Докажите утверждения а)—в), пользу-
ясь рис. 4 (буквенные обозначения заданий и
рисунков совпадают).
а) Дано: АВ—ВС. Доказать: Z.1—z_2,
АЗ=А4.
б) Дано: АВ = ВС, CD=DE. Доказать:
АЛ=АЕ.
в) Дано: АС=СВ, Z_l=zL2. Доказать:
AD=DB.
Б. Задания, способствующие запоминанию
14. С помощью опорных сигналов (рисунков
с особыми обозначениями) зашифруйте содер-
жание следующих теорем: а) первый и третий
признаки равенства треугольников; б) 'тзояст-
во равнобедренного треугольника; в) свойство
медианы, проведенной к основанию равнобед-
ренного треугольника.
28
Указание. Термин «опорные сигналы»
учащимся может быть неизвестен. Придется
показать на примере, что именно имеет в виду
учитель. Для этого мы использовали второй
признак равенства треугольников. Возможные
опорные сигналы к теоремам, упомянутым вы-
ше, даны на рис. 5.
15. Обозначив равенство пары соответствен-
ных сторон в двух треугольниках символом С,
а пары углов — У, выразить в этих символах
признаки равенства треугольников.
Указание. Здесь фактически предлагает-
ся написать опорные сигналы только символа-
ми, без рисунков. Для I признака опорный
сигнал будет таким — СУС (2 стороны и
угол между ними), для II — УСУ, для III
признака — С С С.
IV. Обобщение и систематизация знаний
16. Пластинке надо придать треугольную
форму (ЛДВС). Сколько размеров и какие
именно необходимо знать, чтобы разметить
пластинку в случае: а) произвольного тре-
Рис. 5
угольника? б) равнобедренного (ЛВ = ВС)?
в) равностороннего?
Указание. Здесь надо перебрать вари-
анты выбора данных. Например, в случае а)
3 размера можно взять тремя различными
способами в соответствии с каждым из призна-
ков равенства треугольников.
17. Если в треугольнике провести 3 ме-
дианы, 3 биссектрисы, 3 высоты, то сколько из
них может: а) совпадать со сторонами тре-
угольника? б) находиться вне треугольника?
18. Сопоставьте любой из признаков равен-
ства треугольников с определением равенства
треугольников. В чем заключается преимуще-
ство применения признаков? Какую роль иг-
рают в I и II признаке фразы о взаимном
расположении сравниваемых сторон и углов?
19. Два 4-угольника имеют соответственно
равные стороны. Можно ли, пользуясь только
масштабной линейкой, проверить, равны ли
в них соответственные углы?
Указание. Измерить диагональ 4-уголь-
нпка и применить III признак равенства тре-
угольников.
20. Сформулируйте теоремы, обратные к
теореме о свойстве медианы равнобедренною
треугольника, проведенной к основанию.
а) Сравните обратные теоремы с задача-
ми 27 и 29 учебника. Составьте утверждение,
охватывающее эти свойства медианы.
б) Сравните те же обратные теоремы с за-
дачей 24 учебника. Какой случай в ней не рас-
смотрен? Рассмотрите его.
V. Задания практического характера
21. Решите задачу 7 из § 3 учебника об из-
мерении расстояния между двумя точками, из
которых одна недоступна, при условии, что ис-
пользуются не только линейные, но и угломер-
29
ные инструменты. [Решение очевидно из
рис. 6.]
22. На рис. 7 изображен прибор для деле-
ния угла пополам. В нем АВ=АС, BD—CD
(расстояния даются между центрами шарни-
ров). Если совместить стороны угла ВАС со
сторонами данного угла, то луч АЕ укажет
направление биссектрисы последнего. Дока-
жите.
23. На рис. 7 изображен шарнирный четы-
рехугольник. Возможен ли шарнирный тре-
угольник? Приведите примеры, где исполь-
зуется свойство жесткости треугольника.
24. Пользуясь веревкой без делений, разде-
лить провешенный на местности угол АО В по-
полам.
Указание. На сторонах угла отложить
равные отрезки ОА и ОВ и найти (складыва-
нием веревки вдвое) середину отрезка АВ. Да-
лее воспользоваться III признаком равенства
треугольников.
25. Пользуясь веревкой без делений, про-
вести к провешенной на местности прямой
перпендикуляр, проходящий через точку О,
в случае: а) О принадлежит данной прямой;
б) О не принадлежит ей.
Указание: Воспользоваться свойствами
равнобедренного треугольника.
26. В приборе, изображенном на рис. 8,а,
АВ—ВС, AD=DC-, ВР — отвес. Как с по-
мощью этого прибора провести на стене го-
ризонтальную линию? Ответ обосновать.
27. Чтобы измерить длину озера (расстоя-
ние АВ на рнс. 8,6), на местности провешили
прямую ВО, на ней выбрали точку С, из ко-
торой точка А видна под прямым углом, и от-
ложили отрезок CD, равный отрезку ВС. Ка-
кое расстояние на местности нужно измерить,
чтобы узнать длину озера? Ответ обосновать.
Рис. 8
28. Точка А на рис. 8,в, обозначает местона-
хождение элеватора, В и С — двух колхозов;
луч АЕ — дорога, идущая от элеватора. На
ней требуется найти точку М—местонахож-
дение мельницы, которая равноудалена от
колхозов В и С. [Решение очевидно из того
же рисунка.]
Д. И. Мвр‘*енко, Н. Д. Моцык
(г. Каменец-Подольский)
ИЗ ОПЫТА РАБО’Ы
Рис 6
Рис. 7
К формированию
умений и навыков в вычислениях
и тождественных преобразованиях
Е. С. Канин
(г. Киров)
В базисной программе по математике [5]
большое место отведено вопросам формирова-
ния навыков вычислений и тождественных
преобразований. Это вызвано прежде всего
потребностями практики и самой математики,
а также снижением в последние годы у уча-
щихся уровня навыков вычислений и тожде-
ственных преобразований, что неоднократно
отмечалось на страницах журнала «Матема-
тика в шасле». Поэтому существует необходи-
мость более тщательного рассмотрения этого
раздела методики преподавания математики.
Такая попытка и предпринята в настоящей
статье.
30
Напомним, что большая часть математиче-
ских навыков — это сложные навыки, форми-
рующиеся на основе других умений и навы-
ков. Так, навык сложения дробей с разными
знаменателями основан на умении находить
наименьшее общее кратное двух натуральных
чисел, навыке в применении основного свой-
ства дроби при приведении дробей к общему
знаменателю, навыке сложения дробей с оди-
наковыми знаменателями. В свою очередь
каждые из указанных умений и навыков так-
же имеют сложную структуру. Отсутствие ка-
кого-либо из элементарных умений и навыков
служит причиной несформированности слож-
ного навыка.
1. Общеизвестно, что умения и навыки
быстрее усваиваются и дольше сохраняются,
если их формирование происходит на созна-
тельной основе (дидактический принцип соз-
нательности). Путь тренировки без достаточ-
ного понимания изучаемого редко приводит
к прочным умениям и навыкам. Поэтому фор-
мированию навыков учащихся должно пред-
шествовать понимание ими сути изучаемого
действия, следовательно, прежде всею толко-
вое объяснение учителем этой сути.
В качестве примера рассмотрим два различ-
ных подхода к изучению сложения дробей
с одинаковыми знаменателями.
Можно сформулировать правило сложения
дробей с одинаковыми знаменателями, заста-
вить учеников выучить его и потренировать
в применении. Наблюдения показывают, что
прочных навыков при этом не формируется.
Можно же сначала на конкретных примерах
без формулировки показать и разъяснить, как
и почему именно так выполняется сложение
дробей с одинаковыми знаменателями. Напри-
3 2
мер, при сложении-?- + -увыполняется сло-
жение одинаковых (седьмых)' долей, в пер-
вом слагаемом 3 таких (седьмых) доли, во
втором — 2 (седьмых), в сумме 34-2=5 (седь-
мых). Становится понятной суть формулиров-
ки, она получает осмысленную основу и поэто-
му лучше усваивается, а навык дольше сохра-
няется.
Еще пример. При обучении действиям над
десятичными дробями понимание сути обеспе-
чивается разумно проведенной аналогией с
действиями над натуральными числами и све-
дением действий над десятичными дробями
к действиям над натуральными числами.
В этих целях полезнее рассмотреть сначала
умножение и деление десятичных дробей на
10” (технически это перенос запятой в деся-
тичной дроби). Тогда разъяснение правила
умножения десятичных Дробей можно прове-
сти так. Пусть требуется выполнить умноже-
ние 6,25*4,3. Умножение первого множителя
на 100, а второго на 10 преобразует их в на-
туральные числа, при этом произведение уве-
личивается в 1000 раз. Поэтому произведение
625-43=26875 надо разделить на 1000, что-
бы получить искомое произведение.
Несколько таких упражнений с подробным
объяснением приводят к отчетливому понима-
нию сути умножения десятичных дробей.
Аналогично достигается понимание сути де-
ления на десятичную дробь. Если деление де-
сятичной дроби на натуральное число усвоено,
то деление на десятичную дробь следует заме-
нять делением на натуральное число, напри-
мер, 631,96 : 7,4 = 6319,6 : 74 (на основании со-
ответствующего свойства деления). Сущест-
венным оказывается не запоминание правила,
а логика рассуждений, приводящая к резуль-
тату.
Точно так же разъяснение сути тождествен-
ного преобразования очень помогает овладе-
нию самим преобразованием. Так, при разло-
жении на множители вынесением общего мно-
жителя за скобки важно увидеть этот общий
множитель и затем применить распредели-
тельный закон. При выполнении первых уп-
ражнений полезно каждое слагаемое в много-
члене записать в виде произведения, один из
множителей которого — общий для всех сла-
гаемых. Например
За3— 15a2fe 4- 5afe2=а • За2—а • 15аЬ 4- а • 5fe2=
= а(3а2—15afe4-5fe2).
Особенно полезно так поступать, когда за
скобки выносится один из одночленов много-
члена:
24a2fe \-8ab=8ab -3a-\-8ab • 1 =8аЬ (За4~1)-
Не секрет, что многие учащиеся «не видят»
множитель 1 во втором слагаемом.
Итак, для лучшего овладения умением сле-
дует добиваться от учащихся понимания
смысла действия (или преобразования).
2. Первый этап формирования навыка —
овладение умением. При овладении умением
в вычислениях или тождественных преобразо-
ваниях первые упражнения на применение но-
вого приема, метода, определения должны вы-
полняться с подробными объяснениями и запи-
сями. Так, при изучении деления рациональ-
ных чисел следует подробно разъяснять смысл
нового действия, алгоритм его выполнения.
Например:
7 4 7-4 2
2 ‘21 2-21 ~ 3 *
Частное двух отрицательных чисел положи-
тельно (вопрос о знаке результата должен
быть решен первым, чтобы в дальнейшем
оперировать только с модулями компонентов).
31
Модули делимого и делителя следует оора-
тить в неправильные дроби, затем заменить
деление на — умножением на обратную
4
дробь -gj-. Остальное разъяснения не требует,
так как навык (или хотя бы умение) в умно-
жении обыкновенных дробей должен быть ко
времени изучения деления рациональных чи-
сел сформирован.
Подробные разъяснения и записи помогают
ученикам лучше понять смысл и последова-
тельность выполнения изучаемого действия.
Но процесс формирования навыка не огра-
ничивается овладением умением.
Второй этап — этап автоматизации умения.
Автоматизация умения происходит путем ис-
ключения некоторых промежуточных опера-
ций, сложные ассоциации заменяются прямы-
ми (или спрямленными) ассоциациями отдан-
ных к искомому. Так, если умение реализует-
ся по схеме А -► В->- С, где В — промежуточ-
ное действие, то навык — чаще всего по пря-
мой схеме А С. Поэтому следует помочь
ученикам перейти от сложной схемы действий
к более простой прямой. Это означает, что
после выполнения первых упражнений надо
добиваться свертывания промежуточных опе-
раций, для чего полезно часть преобразова-
ний выполнять мысленно, опуская промежу-
точные записи. Делать это надо последова-
тельно и постепенно, учитывая индивидуаль-
ные особенности учащихся.
В рассмотренном выше примере сначала сле-
дует пропускать этап письменного умножения
4 _ _ 1
на ту, а затем и этап замены деления на 5 -у
21
делением на -у:
_з_L . . 7-4 . 2
° 2 А ° 4 J 2-21 — 3 •
Таким образом, по мере формирования на-
выка следует сокращать и некоторые проме-
жуточные записи в решении, не требуя от
учащихся подробных записей при решении
каждой задачи, выполнении каждого упраж-
нения, иначе можно задержать формирование
навыка. Конечно, время от времени и при
сформированном навыке полезно обращаться
к объяснениям и обоснованиям.
Для формирования навыка недостаточно от-
дельных упражнений, необходима тщательно
продуманная их система, в которой должна
собчюдаться последовательность упражнений
с постепенным их усложнением. В учебниках
алгебры для VI и VII классов ([3], [4]) это
требование в основном выполняется. Однако
следует предостеречь от излишнего числа од-
нообразных упражнений в системе. Упражне-
ния по формированию навыков должны быть
достаточно разнообразными как по содержа-
нию, так и по форме, лишь в этом случае до-
стигается прочность навыков.
Так, в систему упражнений п. 38 «Вынесе-
ние общего множителя за скобки» учебника
алгебры для VI класса [3] полезно ввести
такие упражнения.
1. Запишите вместо многоточия недостаю-
щий множитель:
а) асгА-4а3сг—а2с=ас(..
б) m2n3~l-12m3n3pA-l,5m3n2p3=0,5m2n2(...);
в) З2р3р2—16p2q3A-0,8pgzr=... (40р2— 20рд-{-
+г)-
2. Разложите на множители так, чтобы пе-
ред скобками был множителем одночлен с от-
рицательным коэффициентом:.
а) —4x3z/4-6x2z/2—8х4у3;
б) 10a4fe3—14а4&24-20а3Ь4.
3. Разложите на множители так, чтобы мно-
гочлен в скобках имел целые коэффициенты:
a) 0,3xy2-|-1,8х2у—0,5ху;
3 , , 5
б) —а2 4- — ах.
4. Решите уравнение m(m—2) 4-3 (яг—2)=0.
Приведенные упражнения не только разно-
образят систему упражнений, но и помогают
учащимся уяснить суть разложения на мно-
жители, формируют прочные навыки.
3. Формирование навыков в вычислениях и
тождественных преобразованиях более быст-
ро протекает в том случае, когда учитель до-
бивается от учащихся устного выполнения
некоторых промежуточных вычислений и тож-
дественных преобразований: при устном ре-
шении записи не производятся и поэтому
быстрей вырабатываются прямые ассоциации.
Актуальным является методическое требова-
ние выполнять устно вычисления и преобразо-
вания не только во время так называемых
пятиминуток устного счета. При решении лю-
бых задач, на каждом этапе урока все вы-
числения и выкладки, которые ученики могут
выполнять устно, должны быть устно и вы-
полнены. И опять приходится обратиться
к формам записи решений. На одном из уро-
ков в IV классе ученики так выполняли вы-
числения (из тетради ученика):
а) 7,79 —3,79 = 4 _7,79
3,79
4,00
б) 129 4-9,72 = 138,72 129
4- 9,72
Т38?72
При этом результат в строке записывался
только после вычисления «столбиком». А ведь
все приведенные вычисления должны выпол-
32
няться устно, без записи действия «столби-
ком». И дело не только в том, что на лишние
записи тратится драгоценное время урока. Го-
раздо хуже то, что учашихся с самого начала
приучают не думать при вычислениях, а толь-
ко применять стандартный алгоритм, что в
дальнейшем приводит ко многим нерацио-
нальным решениям, к новым большим поте-
рям учебного времени, к слабо развитым вы-
числительным у мениям и навыкам. Многие
методисты-математики считают, что устное
выполнение простых вычислений и выкладок
(а следовательно, сокращение записей в тет-
радях и на доске) экономит в дальнейшем 20—
30 % учебного времени, расходуемого на ре-
шение задач.
И это еще не все. Привычка выполнять уст-
но несложные вычисления и выкладки неред-
ко порождает потребность производить мыс-
ленные эксперименты при решении задач, вы-
сказывать догадки, предположения о путях
решения более сложных задач, мысленно
(устно) проверяя истинность предположений.
А это — одно из главных условий обучения
решению математических задач.
Вероятно, было бы полезным обучение
школьников некоторым приемам устных и по-
луписьменных вычислений (например, таким,
о которых писал в журнале «Математика
в школе» С. /к. Пономарев [6]).
Следует приучать выполнять устно и прос-
тейшие преобразования. Желательно, чтобы
ученики стремились без подробных записей
выполнять преобразования вида а2—fe2+u-|-
-]-b—(a-j-b) (a—fe+l),
дг—fc»
—Г-а + ь и др-
4. Формируемые навыки в выполнении вы-
числений и тождественных преобразований
должны входить в ранее сформированную
систему знаний, умений и навыков учащихся
как составная часть. После нескольких уп-
ражнений в формировании нового умения или
навыка полезно для достижения этой цели
выполнять упражнения, связывающие изучае-
мое с ранее приобретенными умениями и на-
выками. Так, при обучении разложению мно-
гочленов на множители с помощью тождеств
сокращенного умножения должны выполнять-
ся и упражнения, в которых разложение на
множители производится последовательным
применением тождеств сокращенного умноже-
ния и ранее изученных способов: вынесения
общего множителя за скобки, группировки,
или в обратном порядке. Например:
5. Разложите на множители:
а) 50ш2п—32п3;
б) 0,08р37—0.1W;
в) х2—у2—х+у.
г) 75а4Ь4-Ь 180a2fe2c-|-108г2;
д) 0,5с2—cd-±-0,5d2
В упражнениях (а, б, г, д) сначала выносит-
ся общий множитель за скобки, затем приме-
няются тождества разности квадратов (а, б)
и квадрата двучлена (г, д). В примере в) сна-
чала применяется тождество разности квадра-
тов, затем вынесение за скобки общего мно-
жителя (х—у).
5. Не последнюю роль в формировании ма-
тематических умений и навыков играет требо-
вание рационального выполнения вычислений
и преобразований. В это требование включает-
ся как выбор и осуществление рационально-
го пути выполнения упражнений и решения
задач, так и их рациональная запись.
Выбору рационального пути решения всегда
предшествует анализ данного для вычисления
или преобразования выражения, выявление
порядка заданных операций, мысленный экс-
перимент («Если поступить так, то получится
то-то, а если иначе — то... Какой путь про-
ще?»). На этой основе составляется план вы-
числений, преобразований (о составлении пла-
на вычислений рассказывается в статье
В. К. Зандер [2]). Обдуманное составление
плана существенно помогает выбору’ рацио-
нального пути решения. Рациональное же ре-
шение — способ развития мышления учащих-
ся. формирования высокоразвитых, осмыслен-
ных умений и навыков, свидетельствующий
о бережном отношении учителя к учебному
времени учашихся.
К сожалению, далеко не всегда вычисления
и тождественные преобразования выполняют-
ся на уроках математики рационально. Так,
одна ученица VI класса выполняла деление
з
6,72: -^-следующим образом:
, 3 „72 3 „18 3
G-72:V^6Too : ~ = : =
— 168 3 _ 168-5 _ 88 __ и _L = 11 2
25 ' 5 25-3 5 5 ’ '
Между тем обращение делителя в десятичную
дробь позволяет выполнить вычисления прак-
тически устно: 6,72:0,6—11,2.
На одном уроке алгебры в VII классе уче-
ники под pvKOBOflCTBOM учителя решали нера-
венство. Вот выбранный ими путь решения:
10х — 2 1х— 3) + (2х — 11
10 -
<=> 10х — 2 (х — 3) + 2х — 1 < 40 <=>
<=> 10х — 2х + 6 + 2х— 1 <40<=>
Юх 4- 5 < 40 Юх < 35 <=> х < 3,5
2 Математика в школе. № 5
33
А ведь стоило обратить внимание учащихся
(если они не заметят этого сами} на то, что
почленное деление числителей на знаменате-
ли приведет к более быстрому решению
с меньшими выкладками и записями:
х—I 2х—1 л х . 3 .
х—S- + - то-г+т +
3 1
(Разумеется, вычитание-р---777 = 0,6 —0,1
и 1U
выполняется устно.)'
Приведенные примеры показывают, насколь-
ко велика роль анализа данных для выбора
рационального пути решения. Нередко к ра-
циональным решениям приводит применение
законов арифметических действий в нестан-
дартных случаях, особенно при преобразова-
ниях с рациональными дробями. Так, при вы-
полнении упражнения:
Упростите выражение
/ ху + у2 . , »х У
(. 5ха — 5ху + Л'^'г^/х + у х — у
вынесение за скобки множителя (x-|-i/) (Сог-
ласно распределительному закону) значитель-
но упрошает выкладки:
( У , \ 5х (х + у) у
\5х (х—у) ' x+y х — у
— <-У + 5л> (х —у))-5х _ у
5х (х — у) х — у
_ У +5ху (х —у) —у __ ,
ь— ----------------- - ил у-
X —у J
При необходимости решение можно записать
и подробней.
Применение тождеств сокращенного умно-
жь ния к преобразованиям с рациональными
дробями также нередко упрощает выкладки.
Пример:
/ 1 2 1 X
\(Х—у)2 Xs—у? (х + у)*Л~У ~У _
(х + у)> + 2 (ха —уг) + (х —у)‘ =
_ (т~з; + <х8-уг)г
“ (х + у ;-х -у)2
4ха (х* — у2)8 ।
(ха — уг )а • 4ха
Но еще быстрее в данном случае можно по-
л^чить резулыат, если преобразование рас-
смотренной дроби выполнить раскрытием ско-
бок (применяя распределительный закон) в
числителе или почленным делением знамена-
теля на (х2—у2)2. В первом случае знамена-
тель, а во втором числитель преобразовывать
не надо, сразу становится ясно, что данная
дробь равна 1.
Рассмотрение различных вариантов преоб-
разования одного и того же выражения и вы-
бор наиболее рационального — один из путей
обучения рациональным решениям.
Таким образом, рациональное выполнение
вычислений и тождественных преобразований
требует нестандартных решений, следователь-
но, служит формированию более прочных уме-
ний и навыков. Задача учителя — системати-
чески обращать внимание школьников на ра-
ционализацию вычислений и преобразований.
6. Форма записи решения задач может
иметь немалое значение в формировании на-
выков. Не следует рекомендовать единую фор-
му записи решения на всех этапах обучения,
в процессе отработки умений и навыков фор-
ма записи вычислений и тождественных пре-
образований должна, как правило, упро-
щаться.
По мере овладения навыками целесообраз-
но не только опускать промежуточные запи-
си, стремиться выполнять часть вычислений
и преобразований устно, но и переписывать
выражения после преобразований не одного,
а 2—3 отдельных выражений, входящих в со-
став сложного выражения, что также сокра-
щает записи и время решения задач. На-
пример:
/ 1 , 2 , 1 X 4а3-[4аЬ+Ь3_
\(2а — Ьр + 4аа — Ь3 + (2а + Ь)3/ ' 16а
/_1____.___1_\2 (2а + ft)8
\2а — b ‘ 2а + b) ’ 16а =
16а2 (2а -f-й)2 _ а
(2a —Z>)a(2a-pZ>)a * 16а = (2а —Ь)3'
Здесь запись после первого знака равенства
произведена после применения тождества для
квадрата двучлена в первом множителе и
в числителе второго множителя (хороший уче-
ник может опустить запись после первого зна-
ка равенства).
В целях рационализации записей иногда по-
лезно некоторые преобразования выполнять
отдельно, не переписывая все выражение. На-.
пример:
-ш- Ш-1-
Отдел: но преобразуется выражение
2 / I , J_\ = 2 (х + у) _ _2_
х ь у \ х • у ) (х 4- у) ху ху''
Отметим, что хороший ученик последнее пое-
образование выполнит устно.
Литературе
1. Виленкин Н. Я. и др. Математика 4.— М.: Про-
свещение, 1982.
2. Зандер В. К. Упражнения на вычисление в IV—
V классах — Математы я в школе, 1981, № 2, с. 42.
34
3. Макарычев Ю. Н„ Миндюк Н. Г., Муравин К- С.
Алгебра 6 — М.: Просвещение, 1981.
4. Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г., Муравин К- С.,
Суворова С. Б. Алгебра 7.—М.: Просвещение, 1981.
5. От Министерства просвещения СССР.— Матема-
тика в школе, 1981, № 4, с. 7—15.
6. Пономарев С. А. Устные и полуписьменные вы-
числения в IV—V классах.— Математика в школе.
7981, № 2, с. 29—32,
Приемы рационализации
вычислений
как средство развития мышления
учащихся
И. И. Пак
(г. Челябинск)
Умение рационализировать вычисления яв-
ляется одним из критериев математической
культуры, поскольку оно требует от ученика
не только хорошего знания теоретического ма-
териала, но и таких качеств мышления, как
наблюдательность, гибкость, критичность.
Изучение тождественных преобразований в
курсе алгебры восьмилетней школы предостав-
ляет большие возможности для формирова-
ния этого умения; важно своевременно их ис-
пользовать и уже с VI класса обращать вни
мание на пути рационализации вычислений
в повседневной практике
Вопрос о том, будут ли задачи учить ду-
мать, размышлять, заинтересовывать и даже
увлекать, учитывается при выборе задач
к любой теме курса алгебры, и пожалуй, труд-
нее всего подобрать такие упражнения к раз-
делам, главная цель изучения которых — при-
обретение навыков.
В сложном и длительном процессе выработ-
ки навыков тождественных преобразований и
развития вычислительных умений в задачном
материале целесообразно использовать неко-
торые специальные упражнения вычислитель-
ного характера, способствующие позышению
общего уровня математического мышления
учащихся. Надо убедить учеников в приклад-
ном значении тождественных преобразований,
в их необходимости при решении конкретных
задач, в частности в одной из важнейших за-
дач — нахождении значений числовых выра-
жений. Бывают ситуации, когда замена дан-
ного алгебраического выражения другим, тож-
дественно равным ему, настолько ускоряет
и упрощает вычисление, что оно выполняется
устно. В статье приводится несколько таких
упражнений.
Выполнение упражнений и даже только де-
монстрация примеров рационализации вычис-
лений кроме образовательного имеет большое
воспитательное значение, повышая интерес
"Я* 35
к изучению предмета, даже такого «сухого»
его фрагмента, как техника тождественных
преобразований. Упражнения предназначены
для активизации учащихся, но их главная
функция, на наш взгляд, состоит в том, что
они способствуют развитию мышления на по-
сильном, понятном материале.
В каждом из рассматриваемых упражнений
непосредственная подстановка значений пере-
менных ведет к большой вычислительной ра-
боте, и основная трудность для ученика — это
выбор наиболее разумного преобразования для
упрощения вычислений. Методически целесо-
образно предоставить возможность самим уча-
щимся найти решение, поскольку эффектив-
ность рекомендуемых приемов выступает ярче
после попыток вычислений прямой подстанов-
кой и поиска преобразований, рационализи-
рующих вычисление; интерес к примерам воз-
растает.
Прием, рационализирующий вычисление в
первом упражнении, называют иногда спосо-
бом Горнера. Полагаем, что ученикам можно
указать на эффективность такого приема для
вычисления значения произвольного многочле-
на, в особенности при работе на микрокаль-
куляторе без регистра памяти (этот способ
позволяет обойтись без записей промежуточ-
ных результатов).
1. Найти значение функции, заданной фор-
мулой f(x)=xs—Их2—41x4-9, при х=14.
Решение. Если сгруппировать три первых
члена и вынести х за скобки, то получится
выражение (х2—Их—41)х-|-9, более удобное
для вычисления. Учитывая конкретное значе-
ние переменной и коэффициенты многочлена
х2—Их—41, преобразуем и его аналогичным
образом. Получим f(x) = ((x—11)х—41)х-|-9
и ;(14) = (3-14—41) 144-9=23.
На совершенно другой идее основано ра-
циональное вычисление значения многочлена
в случае, когда значение переменной является
иррациональным числом вида а 4- Vb. Этот
прием удобен в том случае, когда многочлен
имеет высокую степень, но показать его впер-
вые лучше на простом примере. Именно с этой
целью дан пример 2а. Полезно обсудить все
возможные его решения, а завершающим
должно быть то, которое приведено ниже.
2. Найти значение многочлена
а) / (х) — х2 — 4х 4- 3 при х — 2 4- /З;
б) g (х) = х4— Зх34- 11х2 — 6x4- 7 при х —
14-<5
~ 2
Решение, а) Обозначим 2 4-/3 через в.
Тогда (а — 2)2=3, а2—4а 4* 4 = 3, а2 — 4а —
= -1 и /(2 4-/3) = /(а) = 2.
б) Пусть а = 1 ^2^5 . отсюда а2 = а 4- 1,
а3 = а2 а'= 2а 4- 1, а4 =- а2 4~ 2а 4- 1 == За -|- 2.
Получаем
=£(«) = (За4-2)-3(2а4-П4-
+ 11 (а 4-1) —6а 4-7 = 2а -Ь 17=18 4-/5.
В следующих упражнениях рационализация
достигается за счет разложения многочленов
на множители. Если шестиклассники будут
выполнять разложение на множители группи-
ровкой, то ученики седьмых и восьмых клас-
сов (им уже известен прием разложения квад-
ратного трехчлена на множители) должны
проявить наблюдательность—увидеть каждый
многочлен как квадратный трехчлен относи-
тельно переменной а, коэффициенты которого
зависят от Ь. Замена а на х значительно сни-
жает эту трудность и, учитывая уровень под-
ютовки учащихся, можно временно ввести
привычное обозначение, а в дальнейшем убе-
дить учеников, что такая замена вовсе необя-
зательна.
Дидактическая значимость упражнений 3—5
состоит и в том, что они способствуют форми-
рованию умения рассматривать выражения
как функции одной переменной, считая все
остальные переменные параметрами. Такая
точка зрения на выражение бывает удобной
при решении уравнений и неравенств с не-
сколькими переменными, доказательстве тож-
деств, исследовании функций и т. д.
На зан< ршающем этапе выполнения упраж-
нений следует обратить внимание учащихся на
необходимость стремления к рациональному
вычислению значения конкретных числовых
выражений: 33-9 (упр. 3),
ЧЧ.Ч 9.Ч2
811(57 + 48) № 4б>’ -ЙЗГ (УПР- 5>‘
3. Вычислить значение выражения
а) а2—3«64 2Ь2 при «=57, 6=24;
б) «24-й24-с2—ЗаЬ при « = 57, 6=24, с—24.
Решение, а) Группировка первых двух
слагаемых не на много упростит дальнейшие
вычисления. Разложив многочлен на множи-
тели, видим, что полученное выражение
(а—6) {а—2Ь) гораздо удобнее для вычисле-
ния при данных значениях переменных. После
подстановки имеем: 33-9 = 330—33=297.
б) По условию Ь=с—24, поэтому доста-
точно вычислить значение выражения а24-
4-262—ЗаЬ при «=57, 6 = 24.
Пример 36 приведен с' целью показать уча-
щимся, что при анализе выражений надо учи-
тывать и конкретные числовые данные.
При выполнении упражнения 4 полезно на-
помнить ученикам, что для сокращения число-
вой дроби обычно разлагают числитель и зна-
менатель на множители. Такая же тактика
приводит к рациональному вычислению значе-
ния алгебраической дроби, и даже в тех слу-
чаях, когда, разложив ее компоненты на мно-
жители, мы обнаруживаем, что алгебраиче-
ская дробь несократима (упр. 46)—при под-
становке заданных значений переменных она
окажется сократимой как числовая дробь.
4. Вычислить значение дроби
2аг—ab— 362 11о , с
а) —г. ь при а =НЗ, 6 = 6;
аг — ЗаЬ-(-2Ьг , п,
б) «г* + ЗаЬ + 2fc2 npU а~57’ 6 — 24.
Решение. Разложив многочлены на мно-
жители, получаем:
. 2аг— ab—31Р (а + Ь) (2а — ЗА) а + Ъ
а' 2а‘ — 5аЬ + ЗЬг (а — Ь)(2а — ЗЬ) ~ а-Ь'
119, 12 .
107 1 107 ’
аг — ЗаЬ + 2Аа (а — Ь) (а—2Ъ)
°) а’ + ЗаЬ 4- 2Аа (а + Ь} (а + 26)’
33-9 _ 33 __11
81 (57 -( 48) ~ 9-105 315‘
Выделение из алгебраической дроби целой
части — преобразование, относящееся к наи-
более употребительным в приложениях алгеб-
ры. В частности, оно применяется и для ра-
ционализации вычислений. В примере 5 пока-
зан такой прием. Полезно обратить внимание
учащихся на то, что в этом случае рациона-
лизация вычислений достигается преобразова-
нием данного выражения во внешне более
сложное.
5. Найти значение дроби при а=
= 1239, 6 = 3.
Решение. Очевидно, что затруднения свя-
заны с вычислением значения а2, поэтому есть
смысл попытаться преобразовать дробь таким
образом, чтобы тождественно равное ей вы-
ражение не содержало квадрата переменной а.
Поскольку числитель Нельзя разложить на
множители, то выделим в нем выражение, ко-
торое делилось бы на а—6, а затем дробь
преобразуем в сумму целого выражения и
дроби:
(аг — Ьг) + 2Аа _ (а + Ь) (а —Ь)+ 2Ь*
а — Ь а — Ь
= а 4" 6 4-
2Ьг
а — Ь'
Подставив теперь значения переменных,
имеем
1242 4-
2-3*
1236
1242 —
1Z Z206’
Применение буквенных подстановок для ра-
ционализации вычислений числовых выраже-
ний представляет собою прием, удобный срав-
36
нительно в редких случаях, однако по. воляю-
щий ярко и наглядно продемонстрировать
необходимость тщательного анализа компонен-
тов действий и целесообразность использова-
ния тождс ственных преобразований для упро-
щения вычислений. Задачи, аналогичные уп-
ражнению 6, способны заинтересовать всех
учащихся.
6. Вычислить наиболее рациональным спо-
собом:
а) 5554-5558—5552-5556;
б) 44 443 44 448 - 44 441—44 445 • 44 440 44 447;
3J-.4——1 — ч118 5
' 117 119 117’° 119 По-
Реше ни е. а) Обозначим 5554 через а.
Тогда а(а4-4) — (а — 2)(а + 2)=а2 + 4а —
— (а2 —4)=4(а + 1) =4-5555 = 20-1111 =
=22 220.
б) Удобно ввести обозначение а=44 444.
в) Пусть а = pjy, 6==^, тогда (3 4-а) х
X (4 4-6) —(2 —а)(6 — 6) —56 = ... = V'a =
Ю
= 117‘
Цель дальнейших упражнений — формиро-
вание навыков, необходимых для рационали-
зации вычислений значений выражений. Же-
лательно, чтобы они выполнялись устно, но
все ответы должны быть обоснованы.
7. Целесообразно ли преобразовать выра-
жение, чтобы вычислить его значение?
1) а2Ь 4- 0,1 9а2Ь—^-а262 при а ~ 1,
b= 1;
2) х2 -121x4-78 при х=122;
3) т2--л2 при а) т=3, п=0,2; б) т~59,
л=41;
4) 4-b при а) а = 2, b = 1; б) а =
= 35, 6=17.
8. Докажите, что выражения тождественно
равны. Какое из них удобнее для вычисления
при указанных значениях переменных?
1) х2у2—yi и (х+у) (х—у) у2- х=8, у=2;
2) (р24-<72) (p+q) (p—q) и p^—q*;
? = 4-; б) р = 2, ? = 0,1;
ч. (а — Ь)г , а , Ьг
3) + Ь аР
а) а=50, 6 = 67; б) а=134, 6=2.
9. Преобразуйте выражение и вычислите его
значение, выбрав для вычислений наиболее
удобное из двух выражений (данного и полу-
ченного в результате преобразований):
1) a2+ab при а) а=50, 6=4= б) ц=
=1,71, 6 = 1,29;
2) (х—21)х4-48 при а) х=41; б) х=17;
в) х = -=
О
3) -* 4 * 1 при а) х=97;
б) х — —11;в)х=4-;
4) а 4- 64- ^~а при
а) <7 = 1,3, 6 = 1,2, с=—0,1; б) а=—5, 6 =
=с=8;
с. З’п2— тп о п-
5) При т = ~~^ И = 25.
Такие упражнения приучают учащихся,
прежде чем начать вычисления, оценить чис-
ловые данные и объем вычислений после под-
становки значений переменных в выражение,
другими словами, проанализировать синтак-
сическую структуру выражения. Постепенно
формируется умение планировать вычисли-
тельную работу при решении подобных задач
и вырабатывается навык умелого преобразо-
вания выражений.
В заключение отметим, что в связи с ис-
пользованием в учебном процессе микрокаль-
куляторов возникает качественно новая проб-
лема совершенствования техники тождествен-
ных преобразований, поскольку эффективность
применения вычислительного прибора зависит
прежде всего от рационально выбранной про-
граммы вычисления. Заданное выражение не-
редко приходится преобразовывать с учетом
функциональных возможностей конкретного
микрокалькулятора. Переход к новой вычис-
лительной программе связан в школьной
практике не столько с требованием опреде-
ленной точности результата вычислений, сколь-
ко с достижением максимальной автоматиза-
ции вычислительного процесса. Например, для
непрерывного счета (без записи или запоми-
нания промежуточного результата) при вычис-
лении значения выражения (Р-^-аЬ, используя
простейший микрокалькулятор, выполняющий
только арифметические операции и не имею-
щий регистра памяти, следует учесть даже
значения переменных. Если это числа, запи-
санные в виде десятичной дроби, то доста-
точно перейти к выражению (а4-6)а. В том
случае, когда одно из значений переменных,
к примеру, значение переменной 6 — число,
заданное в виде обыкновенной дроби, то чис-
ловое выражение надо рассматривать как
а24-а--4--Его целесообразно прообразовать
в ("-4- -j-a^a Анализируя тождественно рав-
ные выражениях3—Их2—41x4-9и ((х—11)х—
—41)х49 (см. упр. 1), нетрудно убедиться,
что для вычислений на микрокалькуляторе без
регистра памяти удобнее второе выражение.
37
Об опыте работы с правилами
в теме «Многочлены»
В. В. Крючкова
(г. Рязань)
В курсе алгебры VI класса рассматриваются
три алгебраические операции над многочле-
нами; сложение, вычитание, умножение. Их
изучение пронизывает идея тождественных
преобразований, поэтому в действующих учеб-
никах говорится не о понятиях «сумма много-
членов», «разность многочленов», «произведе-
ние многочленов», а о преобразованиях соот-
ветственно суммы, разности, произведения
многочленов в многочлен стандартного вида,
даются четыре правила, раскрывающие суть
этих преобразований. Если учесть, что пер-
вые два правила идут под специальным на-
званием — правила раскрытия скобок, то у
учащихся может сложиться убеждение, что
они не связаны с указанными понятиями.
А это чревато последствиями проявлений фор-
мализма. Выделенные выше операции и свя-
занные с ними понятия не могут получить оп-
ределений аристотелевского образца, но пра-
вила выполнения указанных операций рас-
крывают суть соответствующих им понятий.
Логика рассматриваемых операций может
быть тщательно выяснена, если целесообраз-
ность этих, а не иных правил будет обосно-
вана требованием необходимой справедливо-
сти известных школьникам законов действий,
но уже в приложении к операциям над мно-
гочленами.
С этой целью на уроках мы систематически
используем некоторые общие алгебраические
идеи. Для иллюстрации сказанного рассмот-
рим уроки, на которых вводится понятие
«произведение многочленов».
К этому времени учащиеся уже имеют
представление о том, что каждое новое поня-
тие должно о^тределяться через ранее опреде-
ленные или некоторые исходные (основные)
понятия. Из курса математики IV—V классов
они знакомы с обобщенной формулировкой
основных законов сложения и умножения для
операций над числами. Для того чтобы уча-
щиеся могли владеть законами как средством
усвоения другого знания, следует научить их
использовать эти законы для рационализации
вычислений. Поэтому уже с IV класса для
пропедевтики будущих приложений законов
полезны упражнения типа:
1. Вычислите рациональным способом и
укажите использованные законы:
а) 0,94-(100-2); б) 7,5-102; в) 2,1-8,34-
4-2,1-1,7; г) (2,734-9,52)4-4,48; д) 1,4-5,74-
4-(4,3-0,7) 2.
2. Продолжите запись, используя соответ-
ствующий закон. Как называется этот закон?
a) m’4-n=...; б) /г- (g+h) =...; в) g-h-^
H-g-F=-; г) A4-(/4-m)=.„.
Полезно при этом использовать нестандарт-
ные обозначения, тогда учащиеся быстрее
уясняют суть закона. Без употребления соот-
ветствующей терминологии школьники к кон-
цу V класса могут находить произведение од-
ночленов, знают правила раскрытия скобок.
На уроке алгебры мы сообщаем учащимся,
что в настоящее время их знаний не хватает
для того, чтобы определить понятие «произ-
ведение многочленов» так, как, например, оп-
ределялось понятие «многочлен» или «окруж-
ность». Обращаем внимание учащихся на то,
что в результате умножения или сложения
многочленов должны получаться также мно-
гочлены. Операции сложения и умножения
многочленов должны удовлетворять извест-
ным для чисел переместительному, сочета-
тельному законам сложения и умножения и
распределительному закону умножения. Эти .
законы выписываются на доске в обобщенной
формулировке при помощи переменных f, g,
h: f+g=g+f, f-g=g-f, f+(? H) = (f+g) +
+h, f-(g-h) = (f-g)-ft, f-(g+h)=f-S+f-h-
Подчеркивается, что указанные законы не
только служат для рационализации вычисле-
ний над числами, но и являются общими для
всей школьной алгебры. Затем выясняется,
как получаются правила нахождения произ-
ведения многочленов на основе рассмотрен-
ных законов. Вспоминая, что многочлен — это
одночлен или сумма одночленов, мы показы-
ваем, что, для того чтобы вывести правила
умножения многочленов, необходимо рассмот-
реть четыре случая 1) произведение одночле-
нов; 2) произведение одночлена на сумму од-
ночленов (собственно многочлен); 3) произве-
дение суммы одночленов на одночлен; 4) про-
изведение многочленов, отличных от одночле-
нов. Учащимся поедлагаются следующие уп-
ражнения:
Найти произведение многочленов:
а) 5х2у и Зу; б) 5ху2 и 4ху-|-Зх2; в) 2аЬ и
4a24-2afe4-3fe2.
Схема их решения (без словесного оформ-
ления) приводится ниже.
а) 5л2у-3у = 5-Зл2у-у =
Перем, умн. Сочет. умн.
= (5-3) Л2 (у-у)= 15л2 у2;
б) 5лу2 (4лу 4-Зл2) = 5лу2-4лу4~
Распр.
4- 5 л у2 Зл2 — 20л2у3 4- 15л3у2;
в) 2а£(4а24~ 2а&4-362) = 2с(>(4а24-(2а#4-
Сочет. сл.
4-362)) =^2ab-4a2+2ab(2ab+3br‘) —
Распр. Распр.
38
== 2 ab- 4a2 + (^,ab-2ab 4- 2afc-3£>2) =
Сочет. сл.
= 2ab 4a2 4- 2ab-2ab -\-2ab-3b2 = 8a3b 4-
4- 4a262 + Gab2.
Обратив внимание на подчеркнутые части
равенств, школьники под руководством учи-
теля подмечают и формулируют (промежу-
точное) правило умножения одночлена на
многочлен. Рассматривая произведение (соб-
ственно) многочлена на одночлен, учащиеся
вспоминают переместительный закон умноже-
ния, что позволяет свести этот случай к толь-
ко что рассмотренному. Аналогичная работа
проводится для случая произведения (соб-
ственно) многочленов.
Линию развития в школе понятия о числе
мы последовательно провели и в данной теме.
Нам пришлось говорить о нулевом многочле-
не, о противоположных многочленах, об оп-
ределении разности многочленов, каждый раз
подчеркивая основные законы, которым удо-
влетворяют операции сложения и умножения
многочленов.
При таком подходе тождественные преоб-
разования выполнялись учащимися более
осознанно и организованно.
Оказались доступными, с интересом выполня-
лись задания вида:
Вставьте пропущенные выражения:
4л у3 (5х2у — 3zx) = 4xys (5л2 у 4- (—3~л)) -
= 4лу3 - 5л2 у 4-... = 4 5лл2 у3у 4-
Распр. ?
4- 4 • (—3) ллу3£ ===== (4 • 5) (лл2) (у3 у) 4-... =
Сочет. умн. ?
=20л1+2 у3+1 4-(—12) л1+1у3г =
<= 20л3 у4 4- (—12) л2 y3z =__
Вместо вопросительного знака укажите
основание преобразования (свойство, опре-
деление, закон).
КОНСУЛЬТАЦИЯ
Так что же такое вектор?
А. Д. Александров
(г. Новосибирск)
Постановка вопроса
В происходящей перестройке школьного курса геомет-
рии одним из центральных моментов оказалось корен-
ное изменение понятия о векторе. Вектор, определяемый
как параллельный перенос плоскости или пространства,
заменен направленным отрезком: на место отображения
всей плоскости или всего пространства поставлена фи-
гура с «отмеченной» точкой (один конец отрезка «от-
мечен» как начало). Куда, кажется, идти дальше по
различию понятий и представлений?
Такой переворот вызывает недоумение и рождает
вопросы: так что же такое вектор? Как нужно его
определять? Есть ли в математике согласие по этому
поводу? Между тем понятие о векторе входит в школь-
ный курс физики, где ему издавна давалось достаточ-
но простое определение.
В предлагаемой статье мы покажем прежде всего,
что это принятое в физике определение вектора при-
менимо в геометрии и что оно равносильно тому, какое
обычно дают в курсах аналитической геометрии. Затем
обратимся к упомянутым определениям вектора как
переноса и как направленного отрезка и убедимся,
в частности, что последнее определение в учебниках,
где оно даезся, приводит к противоречиям и путанице,
так что негодность его оказывг стся «доказа'чюй от про-
тивного» самими авторами.
В заголовке поставлен вопрос: что же такое вектор?
Спрашивают также: какое определение правильное?
Оба вопроса неточны. Ответы на них простые: вектор —
это то, что называют вектором, н правильное опреде-
ление— то, какое принято, если только оно осмысленно
и не содержит в себе противоречия Точнее спрашивать
не что такое вектор, а что называют вектором, или что
следует называть вектором, чтобы определение было
осмысленным, не вело бы к путанице и было плодо-
творным в применениях.
Чтобы показать, что я на самом деле отвечаю на
правильно поставленный вопрос, «что называют векто-
ром?», приведу определения, какие давали самые авто-
ритетные авторы в своих курсах.
Понятие вектора в физике и в геометрии
Начало теории векторов было положено в 4б-х го-
пах XIX в.; позже она получила развитие на почве фи-
зики, и ее современное изложение намечено американ-
ским физиком Дж. Гиббсом в 1881—1884 гг. Естест-
венно поэтому начинать с понятия вектора в физике,
тем более, чго и в школьном курсе оио появляется на
уроках физики уже в VI классе.
Величиной вообще называется такое свойство пред-
мета, явления или процесса, которое в каком-то отно-
шении может быть больше или меньше, причем так,
39
что есть возможность точного сравнения. Сравнение ве-
личии данного рода с одной из них, принятой за еди-
ницу, называется измерением; оно дает численное зна-
чение величины при данной единице. Известными при-
мерами величин служат длина, объем, масса, работа,
сила света и др. Примером не из физики может слу-
жить стоимость. Любая из названных величин вполне
характеризуется своим численным значением при дай-
ной единице измерения. Такие величины называют, как
известно, скалярными величинами или скалярами.
Однако в природе есть величины, когопые помимо
численного значения (при данной единице) характери-
зуются еще направлением; к ним относятся сила, ско-
рость, ускорение, перемещение материальной точки и др.
В физике принято определение: «Величины, характери-
зующиеся не только численным значением, но и направ-
лением, называются векторами» * *. Их называют также
векторными величинами.
Численное значение вектора называется его абсолют-
ной величиной или модулем.- Точнее следовало бы ска-
зать, что модуль (абсолютная величина)—это не само
численное значение, а то, что измеряется в векторе
и в результате выражается численным значением. На-
пример, абсолютная величина скорости в 5 км/ч, или
5000 м/ч, одна и та же, хотя их численные значения
различны.
Векторы изображаются направленными отрезками:
длина отрезка — модуль, направление отрезка — направ-
ление вектора. Векторы складываются по правилу тре-
угольника или, что для непараллельных векторов рав-
носильно,— по правилу параллелограмма (Подчеркнем,
что здесь сложение векторов происходит не по услов-
ному определению, а гак, как, например, фактически
в природе складываются силы, скорости и т п.)
Можно натвать величины, определяемые модулем
(численным'зтчением при данной единице) и направ-
лением, но не складывающееся как векторы. Примером
могут служить потоки машин на улицах города; их
можно измерять, скажем, числом машин за 1 ч, и они
имеют определенные направления, но ие складываются
как векторы. Поэтому в определение вектора иужио
включить ук-тзтние иа то, как складываются векторы.
Итак, учитывая закон сложения векторов, мы ппихо-
дим к такому определению: «Вектором называется лю-
бая величина которая определяется указанием направ-
ления и модуля и подчиняется правилу векторного сло-
цсения»3.
Из данного понятия вектора в физике легко полу-
чается, как частный случай, определение вектора в гео-
метрии. В геометрии вектором называют такой вектор,
модулем которого является длина. Особое положение
занимает нулевой вектор, он ие имеет направления
и изображается не отрезком, а точкой. Полное опре-
* Фриш С. Э., Тиморева А. В. Курс общей физики,
т. I.—М.. Физматтиз, 1956, с. 27. Такое определение
общепринято; см., например, классическое руководство:
Кочин Н. Е. Векторное исчисление.— 8-е изд.— М.:
Изд-во АН СССР, 1961, с, 6.
1 Эта формулировка взята из книги В. I. Зубова
«Механика».— М.. Наука, 1978, с. 28.
деление вектора должно содержать указание и иа ну-
левой вектор. Мы этого дальше не делаем рати крат-
кости.
В развернутом виде приведенное определение можно
выразить, не включая ничего «от физики», а также
и самого понятия величины. Векторами в геометрии на-
зываются абстрактные обьекты, задаваемые длиной
и направлением (илп другими словами, «соединение
длины.с направлением»), представляемые направленны-
ми отрезками и складывающиеся по правилу треуголь-
ника Данный вектор изображается (представляется)
любым отрезком той же длины и того же направления
При этом направленные отрезки тоже называют век-
тора.ми; так, говорят например, «вектор АВ», хотя —
это не вектор, а лишь его изображение В таком сме-
шении терминов нет беды, если только ясно понимать
каждый раз, в каком именно смысле употребляется
в том или ином случае данный термин.
Векторы представляют также перемсщсиия.ми точек
и параллельными переносами, но все это, как и на-
правленные отрезки,— изображения векторов, ио не са-
ми векторы в их общем понятии.
Принятое в физике определение вектора как величи-
ны, задаваемой численным значением и направлением,
излагалось в школе уже давно и вполне усваивалось
учениками. Поэтому аналогичное определение вектора
в геометрии, надо думать, вполне для них доступно
и может быть усвоено.
Вектор в геометрия
В геометрии изображения векторов в виде направ-
ленных отр< зков стали принимать за сами векторы.
Появилось определение: вектором называется направ-
ленный отрезок (или упорядоченная пара точек). Гак
определяют вектор в курсах аналитической геометрии3.
За этим следует определение равенства векторов: два
вектора называются равными, если они одинаково на-
правлены и имеют одинаковые длины. И далее вводит-
ся понятие свободного вектора Вот, например, как эго
делается в одном из солидных курсов*.
Вектор задается длиной, направлением (если он не
ну зевой) и началом: «Равные векторы отличаются дру|
от друга только положением начала. Однако во многих
вопросах положение начала вектора не играет роли,
существенны лишь длина и направление вектора. От-
влекаясь в определении вектора от положения его на-
ча та, мы приходим к понятию свободного вектора.
Таким образом, свободный вектор (в пространстве, иа
плоскости, иа прямой) вполне определяется заданием
его длины и (если ои не нулевой) направления. Рав-
ные векторы, не совпадающие по положению, рассмат-
рииаются как разные конкретные изображения одного
и того же свободного вектора.
а См., иапри.мер Целоне Б. Н„ Райков И. А. Ана-
литическая геометрия,— М., Л.: Гостехнздат, 1948, т. 1;
Ефимов Н. В. Краткий курс аналитической геометрии —
М,- Физматгш, 1962; Александров П. С. Лекции по
аналитической геометрии.— М.. Физматгиз, 1969 и др.
• Делоне Б. Н Райков Д. А Аналитическая геомет-
рия.— М.; Л.; Гостехиздаг, 1948, т. 1, с. 26.
40
В векторном исчислении свободный вектор называ-
ют просто вектором Мы также в дальнейшем почти
всегда будем пользоваться лишь термином вектор; при
этом читатель должен иметь в виду, что всюду, где
специально ие указано положение начала, речь идет
о свободном векторе».
Так, в курсе аналитической геометрии Б. Н. Делоне
и Д. А. Райкова вводится двойное употребление слова
«вектор»; «читатель должен иметь в виду» эту двой-
ственность. То же самое делается во всех курсах ана-
литической геометрии н в справочниках: вектором на-
зывают и направленный отрезок, и свободный вектор.
Вместе с тем надо понимать, что именно векторы,
как свободные векторы, составляют предмет векторного
исчисления, а стало быть и предмет соответствующего
раздела школьного курса. В курсе аналитической гео-
метрии Б. Н. Делоне и Д. А. Райкова, так и сказано:
«В векторном исчислении свободный вектор называют
просто вектором». В Математической энциклопедии чи-
таем дефиницию: «Векторная алгебра — раздел вектор-
ного исчисления, в котором изучаются простейшие опе-
рации над (свободными), векторами». Векторы как сво-
бодные векторы вводятся вместо направленных отрез-
ков прежде всего потому, что векторные операции для
них однозначны, а для отрезков — нет. Так сумма двух
свободных векторов есть определенный свободный век-
тор, тогда как суммой двух направленных отрезков
служит любой из направленных отрезков, полученных
соответствующим построением; для приложений же век-
торного исчисления нужны однозначные операции. Как
сказано в курсе аналитичеш он геометрии Б. Н. Де-
лоне и Д. А Райкова, направленный отрезок задается
длиной, направлением и началом, и дальше: «отвлекаясь
в определении вектора от положения его начала, мы
приходим к понятию свободного вектора». А так как
«в векторном исчислении свободный вектор называется
просто вектором», то приходим к определению: «Векто-
ром в векторном исчислении называется направленный
отрезок, рассматриваемый в отвлечении от положения
его начала», так что всякий направленный отрезок
(энной длины и направления представляет один и тот
же вектор. Поскольку здесь абстрагируются от поло-
жения начала и гем самым сохраняют от конкретного
образа направленного отрезка только длину и направ-
ление, то данное определен ie можно выразить иначе.
«Сектором называется абстрактный объект, характери-
зующийся длиной и направлением», или другими сло-
нами «соединение длины с направлением». Присоединяя
сюда указание иа правило сложения, получим, в точ-
ности, то определение, какое было дано в конце пре-
дыдущего параграфа.
Мы не предлагаем определять вектор в школьном
курсе как «абстрактный объект», а выясняем связь
понятий векторной величины и свободного вектора.
Важно наглядное представление вектора направленны-
ми отрезками данной длины и направления.
В курсе аналитической геометрии Б. Н. Делоие и
Д. А. Райкова говорится. «Наглядно свободный в'.ксор
можно представить как операцию параллельного пере-
носа всего пространства, всей плоскости, всей прямой.
Действительно, задать параллельный перенос — это все
равно, что задать длину (а именно, расстояние, на ко-
торое смещаются все точки) и направление (а именно,
направление, в котором смещаются все точки), а задать
длину и направление — все равно, что задать свободный
вектор. В таком смысле и можно представлять себе сво-
бодный вектор как операцию параллельного переноса».
К этому полезно еще добавить, что сложение векто-
ров соответствует сочетанию (композиции) параллель-
ных переносов: перенос, являющимся сочетанием двух
переносов, представляет вектор, служащий суммой век-
торов, представляемых этими переносами.
В цитированном курсе мы пришли от вектора как
направленного отрезка к представлению свободного век-
тора параллельным переносом. А так как свободный
вектор тоже называется вектором и представление его
переносом точное, то возможно отождествить вектор
с переносом и получить определение: «Вектором назы-
вается параллельный перенос».
Последняя операция — отождествление вектора и пе-
реноса — была произведена в учебнике под редакцией
А Н. Колмогорова (и вслед за ним в учебнике под
редакцией 3. А, Скопеца). А. В. Погорелов в своем
учебнике останавливается на определении вектора как
направленного отрезка. Связь между этими крайностя-
ми, заключающаяся в основном для векторного исчис-
ления понятии свободного вектора, исчезла и получился
форменный разрыв в трактовке понятия вектора. Толь-
ко в последнем переработанном издании учебника
А. Н. Колмогорова появился «свободный вектор» и го-
ворится, что примером «свободных векторов» могут
служить параллельные переносы. Понятие свободного
вектора присутствует также, хотя только в качестве
замечания, в пробном учебнике «Геометрия 6—8»
Л. С. Атанасяна и др (М.: Просвещение, 1981).
Другое определение свободного вектора выдвигается
с теоретико-множественной точки зрения, поскольку он
представляется любым направленным отрезком из мно-
жества всех отрезков равных друг другу: «Свободный
вектор есть множество всех равных друг другу на-
правленных отрезков».
Такое определение дается в пробном учебнике
В. Г. Болтянского и др.5 и мыслится картина бесконеч-
ной совокупности направленных отрезков- из каждой
точки — по отрезку. Но указанное представление не со-
ответствует ни приложениям, нн тому, как на самом
деле понимают свободный вектор; сомнительно, чтобы
кто-нибудь из геометров, говоря, скажем, о касатель-
ном векторе кривой, имел в виду бесконечную совокуп
ность направленных отрезков. 6
6 Болтянский В. Г., Волович М. Б., Семушин А. Д.
Геометрия 8.— М.: Просвещение, 1979, с. 122. Если по-
нимать множество ие как совокупность, а вообще как
вещь, определяемую элементами (см. мою статью «О по-
нятии множества в курсе геометрии».— Математика
в школе, 1984 № 1), то данное определение просто
совпадает с предыдущим
41
Может быть, самое лучшее определение вектора дано
в («поваре русского языка8: «Вектор. Изображаемая от-
резком прямой математическая величина, характеризую-
щаяся численным значением и направлением (от лат.
vector--везущий, несущий)». Здесь нужно было только
сказать не ютрезком», а «направленным отрезком». По-
' -му бы не принять такое определение в учебниках?
Векторы в учебнике А. В. Погорелова
В учеинике А. В Погорелова вектор определяется
как направленный отрезок. Изложение начинается сле-
дующим образом6 7: «Некоторые физические величины
(сила, скорость, ускорение и др.) характеризуются не
только величиной, но и направлением... В связи с этим
указанные физические величины уюбно изображать на-
правленными отрезками».
< Направленный отрезок называется вектором... Иног-
да вектор обозначают указанием концов отрезка, изо-
бражающего вектор. Например, вектор а на
рис. 167 можно обозначить АВ. При таком способе
обозначения вектора а точка А называется началом,
а точка В — концом вектора а. При обозначении век-
тора посредством указания концов изображающе-
го его отрезка на первое место всегда ставится
начало вектора».
«Абсолютной величиной (или модулем) вектора на-
зывается длина отрезка, изображающего в е к-
т о р» (разрядка всюду моя,— А. А.).
Разберем, что здесь написано.
Прежде всего, в первой фразе бросается в глаза обо-
рот: «Некоторые физические величины... характери-
зуются не только величиной...», что выглядит довольно
странно (характеризовать величины величиной, хотя бы
и не только величиной). Но это, впрочем, недостаток
языка. Существенное идет дальше. Назвав направлен-
ный отрезок вектором, автор не объяснил, не определил,
что называется направленным отрезком. Поэтому и оп-
ределения вектора тут нет По видимому, имеется в ви-
ду. что и так попятно, что такое направленный отрезок:
отпезок «со стрелкой на конце» (как изображено на
рис. 167), хотя «стрелка» — это не геометрическое по-
нятие Далее говорится' «Иногда вектор обозначают
указанием концов отрезка, изображающего вектор».
Таким образом выходит, что направленный отрезок,
который назван вектором, изображает вектор. И это
повторяется снова, когда говорится, что при обозначе-
нии вектора указанием концов «изображающего его
отрезка» на первое место ставится начало, и потом,
когда модулем вектора названа «длина отрезка, изобра-
жающего вектор».
Итак, направленный отрезок называется вектором,
а вектор изображается отрезком, т. е. направленный
отрезок изображается отрезком.
Но и это еще не все.
6 Словарь русского языка — 2-е изд — М.: Русский
язык, 1981, т. 1. Равносильное определение дается так-
же в авторитетном словаре английского языка Вебстера.
7 А В Погорелов. Геометрия 6—10.— М.: Просве-
щение, 1982, с. 130, 131.
По поводу обозначения вектора «указанием концов
отрезка, изображающего вектор»,— как например АВ,
говорится: «При таком способе обозначения вектора а
точка А называется началом, а точка В — концом век-
тора а», т. е. выходит, что понятия начала и конца
вектора связываются с его обозначением. Тогда если
вектор обозначен через а, то неясно, есть ли у него
начало и конец. Это происходит, понятно, от тою, что
не дано определение направленного отрезка, который
«направлен» тем, что указан порядок его концов: пер-
вый — «начало», второй — «конеца направленного от-
резка.
Таким образом, обнаруживается, что в учебнике
вместо определения понятия вектора подается путаница.
Главное в ней то, что направленный отрезок, назван-
ный вектором, тут же называется изображением век-
тора, и это повторяется неоднократно8. (Направленный
отрезок и есть изображение вектора, а не сам вектор,
как его понимают в векторном исчислении; но это
не согласуется с высказанным определением вектора
как направленного отрезка.)
Далее определяется равенство векторов — направлен-
ных отрезков- они равны, если совмещаются парал-
лельным переносом. Перенос же был определен ранее
формулами х'==х+а, у'=у+Ь в прямоугольных коор-
динатах. Одпако, то, что это определение ие зависит
от выбора системы координат, не оговаривается, хотя
н следует из доказываемой тут же теоремы9. Прин-
ципиальный момент независимости определения от вы-
бора системы координат оказывается скрытым, смазан-
ным. Таким образом, ни перенос, ни равенство векто-
ров не получают четкого геометрического определения.
Впрочем, выводится, что равные векторы — это те, у ко-
торых одинаковы направления н длины. А это только
и нужно.
Затем вводятся координаты вектора, и операции
с векторами определяются через операции с их коор-
динатами; исходный геометрический смысл этих опера-
ций отодвигается на второй план, так что получается
искаженное представлениё векторного исчисления, кото-
рое создано и применяется как геометрическое исчисле-
ние, чтобы обходиться, насколько возможно, без коор-
динат, а тут оно само основывается на координатах,
начиная с определения равенства векторов. К тому же
получается непоследовательность: понятие вектора оп-
8 Все это было в предыдущих изданиях учебника
и в точности повторяется в пособии для педвузов и уни-
верситетов: Погорелов А. В. Геометрия.— М.: Наука,
1983.
9 Эта теорема гласит: «Каковы бы ни были две точ-
ки А н А', существует и притом единственный парал-
лельный перенос, при котором точка А переходит в точ-
ку А'». То. что отсюда следует независимость опреде-
ления переноса от системы координат, нельзя ие огово-
рить для учащихся. Кроме того, теорема сформулирована
неточно, так как перенос определен для любой фи-
гуры. Поэтому следовало сказать: «Каковы бы ни были
фигура F, ее точка А и некоторая точка А', существует
и притом единственный перенос фигуры F^jt.
ределяется посредством наглядного образа направленно-
го отрезка, а в определении действий этот образ не ис-
пользуется. Кроме того координаты задают не вектор
как направленный отрезок, а свободный вектор: у всех
равных векторов координаты одни и те же Поэтому
фактически определяются операции со свободными век-
торами; только об этом не говорится и сами операции
производятся с парами чисел. В общем, вместо исчис-
ления векторов подается исчисление пар чисел с гео-
метрической интерпретацией.
Так координаты вытесняют геометрию настолько, что,
например, правилу параллелограмма не придается
должного значения; оно появляется только в задаче
и не учитывается среди многочисленных «вопросов для
повторения». Верх формализма представляет приведен-
ное в тексте решение задачи «Доказать, что векторы
АВ и ВА противоположно направлены». Решение полу-
чается с помощью координат (из умножения на —1, со
ссылкой на теорему 10.5 об умножении вектора на чис-
ло), тогда как ответ очевиден, если геометрически опре-
делено, что значит, что векторы направлены противо-
положно (но такое определение не дано). Связь с фи-
зикой ограничивается общим замечанием, предваряю-
щим введение понятия о векторе и остающимся без
последствий: ни примеров, ин задач из физики нет,
да и геометрические приложения едва можно найти сре-
ди множества задач на формальные действия с коор-
динатами. Учащиеся научатся формальному оперирова-
нию с парами координат, но не наглядно с векторами.
Параллельно в том же VIII классе излагаются векторы
в физике совсем иначе, так что учащиеся должны учить
векторы «по физике» и «по геометрии».
Понятие вечтэра в учебнике Л. С. Атанасяна и др.10
В рассматриваемом учебнике вектор так же опреде-
ляется как направленный отрезок, но изложение строит-
ся иначе, чем в учебнике А. В. Погорелова.
В параграфе «Понятие вектора» п. 1 начинается так:
«Из курса физики мы знаем, что целый ряд физиче-
ских величин, таких, как сила, перемещение материаль-
ной. точки, скорость, ускорение и т. д., характеризуется
нс только своим числовым значением, ио и направлени-
ем в пространстве. Такие величины называются вектор-
ными величинами или векторами».
Далее в п. 2 «Понятие ьектора» говорится: «Отвле-
каясь от конкретных свойств физических векторных ве-
личии, встречающихся в природе, мы приходим к поня-
тию вектора. Предварительно введем понятие направ-
ленного огрезк Отрезок называется направленным, ес-
ли указано, какой из его концов считается первым, ка-
кой — вторым...
Определение. Вектором называется направленный от-
резок.
Первый конец иапоавлениого отрезка называется
началом вскира, второй — концом вектора».
10 Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б.,
Позняк Э. Г. Геометрия 6—8: Пробный учебник.— М.:
Просвещение, 1981, с. 283, 284.
Недостаток этого изложения состоит в том, что вво-
дятся два понятия вектора без должных оговорок.
В п. 1 сказано, что векторами называются величины,
характеризующиеся числовым значением и направле-
нием, а в п. 2 дается определение, где вектором назы-
вается направленный отрезок.
Однако авторы не могут оставить определение век-
тора как направленного отрезка. В конце § 1 они де-
лают важное замечание.
«Замечание. Позже, при введении действий над век-
торами, мы увидим, что результат этих действий не из-
—>
мепится, если данный вектор а заменить любым рав-
ным ему вектором. По этой причине векторы, изучае-
мые в геометрии, называются свободными. Каждый из
свободных векторов определен с точностью до выбора
его начала. Поэтому любой вектор, равный вектору а,
с началом в произвольной точке, можно обозначить
той же буквой а» (с. 288) ”.
Этим замечанием подправляется, если не снимается
определение вектора как направленного отрезка; здесь
вектор — уже направленный отрезок «с точностью до
выбора его на шла». И дальше это становится совер-
шенно ясным.
Описав сложение векторов по правилу треуго 1ьника,
когда первое слагаемое а откладывается от точки А,
так что а-}-Ь=АВ-1-ВС—АС, авторы пишут: «Можно
доказать, что если... точку А, от которой откладывает-
ся вектор а, заменить другой точкой то вектор АС
1 >
заменится равным ему вектором А[С1. Отсюда следует,
что сумма а +-6 не зависит от выбора точки А».
Итак, сумма a-j-b не зависит от выбора точки А. Но
если эта сумма — вектор, т. е. по определению, направ-
ленный отрезок, то АС и А, С,—это разные векторы,
так как они — разные направленные отрезки, и значит
сумма зависит от выбора точки А. Если же мы примем,
что сумма ие зависит от выбора точки А, то тем
самым отождествим векторы АС и AjC,. Так что век-
тор оказывается ие направленным отрезком, а свобод-
ным вектором.
Таким образом, определение вектора как направлен-
ного отрезка привело к путанице.
В векторном исчислении сумма векторов а+b опреде-
лена однозначно; она не зависит от выбора начальной
точки, потому что сами векторы, по определению, не
зависят от того, от каких точек откладываются изо-
бражающие их направленные отрезки. Но если векторы
определяются как направленные отрезки, то сумма де-
лается неоднозначной: ре представляют бесконечно мно-
го разных (хотя и равных) направленных отрезков.
11 Это замечание убрано в 3-м издании (1983 г.);
оставлено только указание, что равные векторы обозна-
чаются одной и той же буквой.
43
Недостаток изложения в рассматриваемом учебнике
состоит еще в том, что в нем есть ошибки и важней-
шие свойства векторов принимаются без доказательства,
хотя нх можно было бы доказать доступно для уча-
щихся. Но принятие без доказательства важных пунк-
тов курса геометрии разрушает его в самой сущности
систематического, доказательного изложения некоторой
области знания.
Векторы в учебнике под редакцией А. Н. Колмогорова
В учебнике под редакцией А. Н. Колмогорова вектор
определялся как параллельный перенос всей плоскости,
а в следующем за ним пособии для IX—X классов (под
редакцией 3 А. Скопеца)—как перенос всего про-
странства. Это определение в сравнении с определением
вектора как направленного отрезка обладает тем важ-
ным преимуществом, что параллельный перенос пред-
ставляет свободный вектор и поэтому все векторные
операции с ним определяются как однозначные в согла-
сии с векторным исчислением. При таком определении
вектора векторное исчисление может быть изложено без
противоречий и смешения понятий, какое выступает при
определении вектора как направленного отрезка. Про-
тиворечия, которые появлялись в первых изданиях при
сопоставлении с физикой, в последних изданиях учеб-
ника под ред. А. Н Колмогорова устранены.
Однако, если обратиться к задачам, предлагаемым
в учебнике, то сразу видно, что в иих фигурируют на-
правленные отрезки, а не переносы плоскости или про-
странства. И это не удивительно, так как вектор
и не есть параллельный пепенос. Как сказано в курсе
аналитической геометрии Б. Н. Делоне и Д А. Райкова,
«свободный вектор можно представить себе как опе-
рацию параллельного переноса» (то же сказано и в пос-
леднем издании учебника под ред. А. Н. Колмогорова),
но это еше не значит, что вектор и есть перенос. На-
пример, комплексные числа можно представить как
векторы на плоскости, ио значит ли это, °то они яв-
-яются векторами? Главное же состоит в том, что фак-
тически в выводах векторного исчисления и его при-
менениях векторы представляются не как переносы
плоскости или пространства, а как направленные от-
резки, вообще говоря, с произвольно выбираемым нача-
лом (посмотрите любую книгу, где используются век-
торы).
В последнем издании учебника под ред. А. Н. Кол-
могорова явно вводится понятие свободного вектора
и перенос привлекается как его изображение. В ре-
зультате изложение оказывается существенно лучше,
чем в других учебниках для VI—VIII классов, без пу-
таницы и ошибок.
В дополнение к сказанному можно предложить сле-
дующий подход к изложению понятия о векторах, пред-
ставляющийся естественным для учебника под редак-
цией А. Н. Колмогорова. В этом учебнике в самом на-
чале вводится понятие величины и оно проходит через
все изложение, поэтому было бы естественно определить
векторы ч СОГПЯС1ГИ с физикой как величины, связанные
с направлением.
Так же как обычные (скалярные) величины, векторы
можно складывать и умножать иа числа. Но сложение
их особое. При сложении обычных величин их числен-
ные значения складываются: 2 кг плюс 2 кг будет 4 кг.
Но если я переместился на 2 м, а потом еще на 2 м,
то может оказаться, что я переместился вовсе не иа
4 м, а даже совсем не переместился — переместился иа
ноль метров, если второе перемещение было прямо
противоположным первому.
Основной величиной в геометрии является расстояние
и, соответственно, вектор в геометрии — это расстояние,
соединенное с направлением, т. е. как бы пройденное
в данном направлении. Это связанное с направлением
расстояние, т, е. вектор, естественно изображается на-
правленным отрезком, как перемещение от начальной
точки к конечной. И складываются векторы как переме-
щения...
Сказанное — только намек на возможное изложение.
Но в развернутом виде оно получилось_бы вполне есте-
ственным и простым.
Об изложении понятая о векторе
Как уже было подчеркнуто, реально в геометрии век-
тор представляют направленным отрезком с точностью
до выбора начала, т. е. любым из равных друг другу
направленных отрезков. Говорят:' «отложим вектор а
от точки А» и т. п. и этим ясно выражают, что вектор,
отложенный от точки А,— тот же самый вектор; гово-
рят о трехвекторннке пространственной решетки, но от
какой точки он строится — не важно; и т. п. Только
если вектор естественно связан с какой-нибудь точкой,
как, скажем, касательный вектор кривой в данной ее
точке, то такой вектор прсдставля: >т отложенным от
этой точки.
При введении понятия вектора задача состоит в том,
чтобы передать учащимся представление о векторе как
о любом из равных направленных отрезков. Здесь есть
испытанное эффективное средство: повторение и вос-
произведение такого представления в разных ситуациях.
Вектор скорости корабля задается числом морских миль
в час и курсом (направлением), и этот вектор одни
и тот же у всех кораблей эскадры. Вектор перемеще-
ния у идущих строем людей один и тот же. Ту же
идею воспроизводят рисунки, на которых изображается
сложение векторов, откладываемых от разных то-
чек, н др.
Можно сказать, что направленные отрезки называют
векторами, но определять вектор как направлен-
ный отрезок, т. е. «данный вектор — это данный направ-
ленный отрезок», неправильно. Точно так же непра-
вильно определять вектор как параллельный перенос.
Ошибка состоит в том, что хотят сразу дать опреде-
ление вектора. Но нужно сначала определить направ-
ленный отрезок и равенство направленных отрезков,
а уже потом высказать определение: «Вектором в гео-
метрии называется направленный отрезок, рассматри-
ваемый с точностью до выбора его начала, т. е равные
друг другу направленные отрезки считаются предста-
44
вителями или изображениями одного и того же векто-
ра Данный вектор — это любой из таких отрезков».
Но еше раньше полезно установить связь с понятием
вектора в физике, указав примеры и высказав приня-
тое определение: «Вектором называется величина, ха-
рактеризующаяся модулем (численным значением) и на-
правлением?. Затем можно сказать, что в геометрии
вектор—частный случай таких векторов, это вектор,
модулем которого является длина, так что вектор ха-
рактеризуется длиной и направлением. Задать вектор —
значит задать длину и направление.
Векторы изображаются иаправлеииыми отрезками,
и так как вектор задается длиной и направлением, то
всякий направленный отрезок данной дли ты и направ-
ления может служить изображением данного вектора.
В соответствии с этим вектор наглядно представляют
всегда как направленный отрезок, но какой из равных
друг другу направленных отрезков берется — это без-
различно, либо определяется дополнительными сообра-
жениями.
Определение вектора как величины, характеризуемой
длиной и направлением, опирается иа понятие направ-
ления, которое здесь понимается наглядно; его можно
определить следующим образом. Направление — это
свойство, общее у сонаправлеиных лучей и направлен-
ных отрезков и различное у несонаправлеииых. Но для
понятия о векторе это не очень нужно; как уже было
сказано, направление можно понимать наглядно без
определения. Дело в том, что если понимать вектор как
любой из равных направленных отрезков, то нужно
то 1ько определить, что значит, что эти отрезки одина-
ково направлены, а это можно определить достаточно
просто, через сонаправлеииые лучи, например, как сде-
лано в учебнике под редакцией А. Н. Колмогорова.
(Но в этом учебнике транзитивность сонаправленности
не доказана. В учебнике Л. С. Атанасяна и др. полного
определения иет, а у А. В. Погорелова оио опирается
на понятие параллельного переноса, определение кото-
рого сложно, поскольку использует координаты. Можно
определить сонаправлеииые лучи как нерасходящиеся и,
уточнив это наглядное определение, легко дать строгое
доказательство транзитивности.)
Определив, что значит «направленные отрезки оди-
наково направлены», можно сформулировать определе-
ние равенства направленных отрезков и затем—опре-
деление вектора как он понимается в векторном ис-
числении: направленный отрезок, рассматриваемый
с точностью до выбора начала.
Вместе с тем векторами называют и сами направлен-
-------------------------------------------*
ные отрезки; как говорят, например- «вектор АВ», хотя
ато и неточно, потоми что направленный отрезок — не
сам вектор, а только е.о изображение. Однако если на
фотографии мы видим знакомого Н. Н., мы говорим:
«вот Н. Н.», хотя это не он, а его изображение. И как
на разных фотографиях мы называем его одинаково,
1эк и о разных, но равных друг другу, направленных
отрезках говорят как об одном и том же векторе.
Многозначность терминологии — явление самое обыч-
ное и избежать ее можно лишь за счет насилия над
языком, а то и иад здравым смыслом. Так, углом на-
зывают и фигуру, и величину — меру угла, когда гово-
рят, например: «сумма углов треугольника равна
180°» ,2. Когда говорят о синусе «данного угла», то
обычно имеют в виду любой угол, равный данному,
или любой угол с данной мерой. Совершенно так же
когда говорят «данный вектор», имеют в виду любой
направленный отрезок данной длины и направления
Отношение вектора к направленному отрезку как к его
конкретному представителю имеет в математике немало
аналогов и помимо приведенного примера с углом. На-
пример, когда говорят о данном рациональном числе,
то допускают любое его представление в виде обыкно
венной или десятичной, или иной, скажем, двоичной
дроби.
Определение вектора как направленного отрезка, рас-
сматриваемого с точностью до выбора нашла может
показаться несколько расплывчатым и не подходящим
под установившиеся стандарты определений. Но оно
выражает то, как в действительности понимают ве..
тор, и потому на самом деле применяют, а не так, что
дается определение, заучивается, а затем применяется
(или имеется в виду) другое определение.
Определения нужны не для заучивания, а для уточ-
нения понимания Нужно добиваться не пустого тиучи-
вания, а оейственного, т. е. работающего в применениях
понимания. Кто может сходу сформулировать. «Что
называется стулом?» Но едва ли кто-либо в здравом
уме подаст человеку не стул когда стул есть и просят
его подать. Так и в геометрии нужно, чтобы человек
умел отличать, применять то, что следует, хотя бы но-
рой и затруднялся сформулировать определение. А с век-
торами получилось иначе; дают и заставляют заучивать
определение, но действуют не по заученному определе-
нию: с отрезками вместо переносов или с парами коор-
динат вместо отрезков.
Преподавание должно быть возможно ближе к реаль-
ности в том смысле, как на самом деле понимают
и применяют то илн иное понятие, и тем более в том
смысле, что в действительности отражает данное поня-
тие. Связь с физикой, с практикой — это не просто
методическое требование, а выражение сущности науки
и задач образования, ибо наука не существует иначе
как в связях, во взаимодействии с другими науками,
с задачами техники, с жизнью; образование должно
давать элементы науки в этом ее понимании, а не фор-
мальные знания, которые заучив потея ради отметок.
Заключение
Вернемся к началу нашей статьи — к перестройке
школьного курса геометрии в вопросе изложения эле-
ментов векторного исчисления Недостатки этого изло-
жения послужили отправной точкой шумного и резкого
12 Так, например, сказано в учебнике А. В. Погоре-
лова. Л. С. Атанасян и др. формулируют это с педан-
тичной точностью: «Сумма градусных мер углов тре-
угольника равна 180°».
4а
осуждения в центральной печати. На недостатки,
в самом .".еле, следовало указать и осудить их, а глав-
ное — исправить коренным образом. Но что же произо-
шло? Вместо непротиворечивого определения вектора
как переноса в новом учебнике А. В. Погорелова появи-
лась путаница вокруг элементарнейшего понятия на-
правленною отрезка: спутаны предмет и его изображе-
ние (направленный отрезок — и вектор, и его изображе-
ние); спутано то, что есть в предмете, с тем, что есть
в обозначениях (начало и конец вектора связываются
с обозначением); ие выявлено, что формальные определе-
ния с координатами нуждаются в оправдании доказа-
тельством независимости от выбора координат; нагляд-
ные операции с векторами заменены формальными вы-
кладками с координатами...
Автор учебника мог проскользнуть мимо, недосмотрев,
так как автору порой бывает трудно проверить самого
себя, он может читать не то, что написал, а что подра-
зумевал, когда писал; на то существуют редакторы
и рецензенты...
К изданию этого учебника в «Библиотеке учителя ма-
тематики» было помещено послесловие И. Ф. Тесленко
и В. В. Фирсова. В нем, в частности, утверждается, что
в учебнике отсутствуют мотивировки вводимых поня-
тий ,3, хотя введение понятия вектора мотивировано
ссылкой на векторные величины в физике (не говоря
о введении в учебнике других понятий). Не понятно,
как авторы послесловия могли пройти мимо этой моти-
вировки и, главное, ие заметить путаницы с изображе-
нием вектора и всего прочего в одном из основных
пунктов курса (не говоря о других, которых мы не
касаемся)? Теперь все это внедряется в обязательном
порядке десяткам тысяч учителей и миллионам уча-
щихся. Не лучше изложены эти вопросы и в другом
распространяемом учебнике — авторов Л С. Атанася-
на и др.
В заключение отметим, что когда учебник рекомендо-
ван в качестве учебного пособия для всех школ, то
существенные его изменения будут, конечно, затруднять
работу учителя. Но оставлять серьезные недостатки,
прямые ошибки тоже нельзя; их нужно срочно исправ-
лять. Это можно сделать, даже не дожидаясь следую-
щего издания самого учебника, например, в брошюре
для учителей вместе с методическими указаниями. Кон-
цепции могут быть разными, но все же не такими, ког-
да даже в основных понятиях считаются допустимыми
неточность, небрежность, путаница и прямые ошибки,
перекочевывающие из издания в издание.
13 Погорелов А. В. Геометрия 6—И Пробный учеб-
ник.— М.: Просвещение, 1981. На с. 266 читаем «...в по-
собии отсутствует традиционный методический матери-
ал, всевозможные пояснения... мотивировки введения
Понятий,,.». .
ПРОБЛЕМЫ И СУЖДЕНИЯ
О строгости изложения
в учебном пособии А. В. Погорелова
А. И. Медяник
(г. Харьков)
Основное учебное требование
Всем, наверное, известно суждение о том, что уча-
щиеся не могут осознать необходимость доказательства
очевидных фактов. В качестве примера обычно приво-
дят «разговор» с шестиклассником, который иа вопрос
о том, чем они занимались иа уроке геометрии, ответил:
«Учитель нарисовал на доске два равных треугольника
и долго доказывал, что они равны». Разговор- конечно,
поучительный, но свидетельствует ои о другом — уча-
щимся надо знать требования, предъявляемые к дока-
зательствам. Шестиклассник же, очевидно, даже поня-
тия о иих не имел, так как спутал две разные веши:
очевидность факта и его доказательство. В учебном
пособии А. В. Погорелова это разграничивается четкс.
«Мы ставим вопрос иначе. Не отрицая очевидности фак-
та равенства треугольников, мы треоуем установления
этого факта путем рассуждений со ссылкой иа приня-
тые аксиомы и уже доказанные теоремы» Речь, та-
ким образом идет о необходимости доказательства не
только нетривиальных утверждений, но и наглядно оче-
видных и интуитивно ясных фактов. Кратко это учеб-
ное требование, которое, как относящееся ко всему
учебному материалу, резонно считать основным, можно
сформулировать Так: доказывать все, опираясь на
аксиомы и доказанные ранее теоремы1 2 Правда, в ча-
сти, касающейся периферийных вопросов курса, такая
формулировка основного учебного требования иуж-
даетс.. конечно, в уточнении, ио суть его она отражает
верно потому что это требование, благодаря последо-
вательно выдержанному аксиоматическому построению
предмета в новом учебном пособии по геометрии, при-
обретает четко выраженный научный характер. Можно
даже сказать, что в качестве основного учебного тре-
бования выступает в известной мере сам аксиоматиче-
ский метод.
Следует отметить, что это требование к моменту его
предъявления учащимся (а конце изучения вступитель-
ного параграфа пособия) хорошо подготовлено пред-
шеств"ющнм материалом. Действительно, сначала в
нем появляются ие аксиомы, а основные свойства про-
стейших геометрических фигур, что дает возможность
подготовить учащихся к обращению с этими свойства-
ми как аксиомами. Дело в том, что шестиклассникам
известны многие геометрические свойства и все оии для
них являются более или менее равноправными, поэтому
у них нет никаких оснований отдавать предпочтение
одним свойствам перед другими. На первых уроках
геометрии в VI классе происходит выделение ос-
новных свойств (аксиом), особое место которых опре-
деляется, с одной стороны, их опытным происхождени-
ем, которое в учебном пособии настойчиво подчеркива-
ется, а с другой — тем, что с помощью них объясняются
(доказываются) все другие свойства геометрических
1 Погорелов А. В. Методические рекомендации по
преподаванию темы «Равенство треугольников» Рота-
принт НИИ СиМО АПН СССР, 1980, с. 3.
2 Заметим, что это требование неявно включает в себя
также законы арифметики и правила логики. Первые
входят в геометрию вместе с понятием числа, которое
фигурирует в аксиоматике А. В Погорелова, а вто-
рые — вместе с разговорным языком, глубоко логич-
ным по своей природ*.
46
фигур. Все это позволяет подготовить учащихся психо-
логически, сформировав у них внутреннюю готовность,
своего рода психологическую предрасположенность к ос-
новному учебному требованию; другими словами, вы-
работать у школьников психологическую установку, во
многом определяющую их отношение к учению. Чем
бы ни занимались учащиеся на первых уроках геомет-
рии — изучением основных свойств, освоением термино-
логии или решением задач,— во всем должна прояв-
ляться забота учителя о привитии им нужной установки.
Забота должна быть непрестанной, но не навязчивой.
Решая простые упражнения, обосновывая свои выводы,
аргументированно отвечая на многочисленные вопросы
что и почему, учащиеся (сами и с помощью учителя)
постепенно будут приближаться к пониманию того, что
свойства геометрических фигур логическим путем м о ж-
н о выводить из аксиом. Осознав это, они смогут пра-
вильно понять и основное учебное требование, а значит
признают его естественность и необходимость. Значи-
мость такого самостоятельного вывода не идет ни в
какое сравнение с простой его констатацией учителем,
обсуждающим с учащимися существо аксиоматического
метода.
В полном соответствии с основным учебным требо-
ванием решается в новом пособии и вопрос о роли ри-
сунка при изучении геометрии: «При доказательстве
теорем разрешается пользоваться чертежом как гео-
метрической записью того, что мы выражаем словами.
Не разрешается использовать в рассуждении свойства
фигуры, видные иа чертеже, если мы не можем обос-
новать их, опираясь на аксиомы и теоремы, доказан-
ные ранее» (см. учебное пособие, с. 14). Смысл этого
правила простой — доверяй, но проверяй, а его значе-
ние заключается в следующем. Если переход от абст-
рактного (умозаключение) к конкретному (рисунок)
воспринимается учащимися легко, то обратный переход
представляет для их понимания немалые трудности.
Объясняемся это тем, что оии привыкли доверять ри-
сунку полностью, а значит, относиться к нему критиче-
ски не умеют. Рисунок для них — та же объективная
реальность, которая неразрывно связана с процессом
мышления, поэтому, чтобы научить' учащихся относить-
ся к рисунку критически, надо оторвать их мышле-
ние от него, чему и способствует сформулированное
правило.
Указанная специфика пользования рисунком имеет
прямое отношение и к определениям. В учебниках
прошлых лет, как известно, некоторые определения (на-
пример, внутренних односторонних и накрест лежащих
углов) были так тесно связаны с рисунком, что без
него их применение теряло всякий смысл; в этих слу-
чаях говорить об отрыве мышления от рисунка не при-
ходится. Для того, чтобы реальной стала ссылка имен-
но на определение понятия, а не на наглядное пред-
ставление о ием, определение не должно «привязы-
ваться» к рисунку. Легко убедиться, что все определе-
ния нового пособия по геометрии этому требованию
удовлетворяют. Таковым является и принятое в нем
определение равных треугольников э. Преимущество его
s Иногда сожалеют, что запись равенства треуголь-
ников не может быть произвольной в силу согласован-
ной упоридоченности их вершин. Но формальное с ви-
ду, это 01 раничение имеет простой геометрический
смысл. В его основе лежит соответствие между верши-
нами равных треугольников, которое устанавливается
отображением одного треугольника иа другой (или на
себя), аози якающим при совмещении их движением. В
частности, равнобедренный треугольник АВС с основа-
нием АВ допускает два вида самосовмещений, а значит,
и два различных варианта записи: ДЛВС=ДЛВС,
д/1ВС=АВЛС. Другие ее варианты, указанного гео-
метрического смысла ие имеющие, являются запре-
щенными и в сравнении с получающимся прн этом вы-
игрышем сожаления не достойны.
в том, что по одной записи &ABC—&DEF, т. е. без
обращения к рисунку, можно сразу узнать соответствен-
но равные стороны н угпы дву < данных треугольников
Такой подход позволяет совершать учащимся постоян-
ные переходы от конкретного к абстрактному и наобо-
рот, а значит, стимулирует развитие у них логического
мышления. Оторванность определений учебного пособия
от рисунка создает условия, необходимые для отрыва
от него и мышления учащихся.
Таким образом, основное учебное требование и его
обеспечение в пособии служат реальной предпосылкой
для развития умственных способностей школьников,
особенно склонных к дедуктивному' мышлению С точ-
ки зрения гармонического развития личности, такая
возможность имеет, конечно, принципиальное значение,
ио оиа же таит в себе и пот'нциа чьиую опасность для
тех школьников, которым свойствен наглядио-образный
тип мышления. Значит, чтобы были учтены интересы и
индивидуальные особенности всех школьников, изло-
жение предмета должно удовлетворять в этом отно-
шении требованиям дифференцированного подхода к
обучаемым. Кстати, это обстоятельство предрешает и
учебный характер основного требования, в силу чего
оно является не догмой, а руководством к действию в
ходе обучения и самообучения школьников умению ло-
гически рассуждать.
Уровень строгости — учебный
Как известно, главная задача преподавания геометрии
в школе заключается в том, чтобы научить учащихся
логически рассуждать, аргументировать свои утвержде-
ния, доказывать. «В соответств.ги с этой установкой
учебное пособие А. В. Погорелова представляет собой
систематическое изложение требуемого программой
геометрического содержания — как традиционных во-
просов планиметрии и стереометрии, так н новых для
школы разделов (координаты, векторы, преобразова-
ния), построенное на базе оригинальной системы акси-
ом»4. В каком же отношении находятся главная зада-
ча преподавания геометрии и систематическое изложе-
ние предмета, построенное на базе оригинальной
системы аксиом? Правомерно ли, чтобы в ходе решения
главной задачи учащиеся обязательно вникали во все
детали и особенности аксиоматического построения?
f Нет, неправомерно, н вот почему Для того чтобы на-
учить учащихся рассуждать, анализировать, доказывать,
надо развивать у них навыки логического мышления,
а это никак не равнозначно детальному изучению осо-
бенностей дедуктивного изложения предмета. Более то-
го, злоупотребление строгостью ведет к перегрузке уче-
ников (особенно слабоуспевающих) и к заведомо одно-
стороннему развитию их способностей, не отвечающему
к тому же интересам и склонностям многих из них
Строгость в обучении — не самоцель, а лишь средство
для развития умственных способностей учащихся на
основе последовательно проводимого дифференциро-
ванного подхода к иим. Это общее положение нашло
в учебном пособии А. В. Погорелова отражение в под-
черкнуто учебном уровне строгости изложения мате-
риала. Разумеется, такой порядок вещей для школьно-
го учебника является обычным и о нем не пришлось
бы много говорить здесь, если бы ие одно обстоятель-
ство Дело в том, что в школьной практике наметилась
опасная тенденция к превышению этого уровня и даже
стремлению к формальной полноте изложения. Услож-
нение против оригинала имеет место как в отношении
теоретического материала, так и особенно в отношении
задач, решения которых помещены в самом пособии.
Налицо тем самым явное смещение акцента с акснома-
4 Тесленко И. Ф., Фирсо,: В. В. D методической си-
стеме учебного пособия А. В. Погорелова «Геомет-
рия».— Математика в школе, 1981, № 5, с. 43.
47
тического построения на полноту изложения, в резуль-
тате чего замысел автора искажается.
Напомним, что в начале изложения более высокий
уровень строгости нужен для того, чтобы выработать у
школьников психологическую установку, т. е. сформи-
ровать у них внутреннюю готовность к основному учеб-
ному требованию. В первом параграфе авторские ре-
шения задач полны насколько это возможно, ио слож-
ными их не назовешь потому что сами проблемные си-
туации— простые. На таких простых для изучения си-
туациях и следует прививать учащимся нужную уста-
новку. В дальнейшем, по мере усложнения учебного
материала, когда копание во второстепенных деталях
становится трудоемким и малопоучительным, переходить
надо на обычный научный уровень, что и сделано в
учебном пособии. И это естественно, так как формаль-
ная полнота не свойственна даже научным трактатам!
Тем не менее на практике оиа стала вдруг чуть ли не
главным критерием строго дедуктивного начала в обу-
чении геометрии.
Причина этого явления, как нам кажется, в том, что
аксиоматическое построение предмета в новом учебном
пособии ассоциируется (отождествляется) у многих с
формальной полнотой доказательств теорем и решений
задач, которой в самом пособии нет и быть не может.
Конечно, критерий полноты изложения (решения) для
оценки знаний и умений учащихся прост и удобен в
употреблении, даже привлекателен; в действительности
же полнота изложения к атрибутам аксиоматическо-
го построения ие относится. Существо полноты изложе-
ния иного свойства, а потому указанный критерий не
является объективным. Для аксиоматического построе-
ния предмета характерна его логическая строгость;
именно поэтому ово называется также строго дедук-
тивным. Правда для школьного изложения, в отличие
от сугубо научного, такая замена терминологии не всег-
да допустима, поскольку его аксиоматическое построе-
ние может осуществляться и частично, например, с
целью дать учащимся лишь представление о логическом
строении геометрии. Поэтому здесь указанные термины
мы будем различать, считая, что в любом школьном
учебнике геометрии изложение является (явно или не-
явно) аксиоматическим. И это, безусловно, справедли-
во ибо правильно отражает главное направление со-
вершенствования преподавания геометрии в школе на
г.ротяуенин веков.
Что касается строго дедуктивного построения школь-
ного курса геометрии, то оно отличается от научного
изложения разве только учебным уровнем строгости,
обладая одновременно его неотъемлемыми качествами.
А именно построение школьного курса геометрии на-
зывается строго дедуктивным, если оно опирается на
явно сформулированную систему аксиом, которая об-
ладает свойствами Ht противоречивости и полноты,
т. е. позволяет последовательно логически развернуть
его от начала до конца. Напомним, что именно эти
качества «школьной» аксиоматики автора наполняют
реальным содержанием основное учебное требование,
благодаря чему оно становится принципиально выпол-
нимым, что открывает широкие возможности для раз-
вития умственных способностей одаренных школьни-
ков.
Не ущемляются ли при таком подходе интересы дру-
гих школьников? Нисколько. Наоборот, благодаря учеб-
ному уровню строгости новое пособие их учитывает.
Конечно, от учащегося, которому свойспвен наглядно-
образный тип мышления, трудно, если не невозможно,
ожидать глубины понимания, соответствующей. уровню
абстрактн-то мышления. Но это и не нужно! Каждый
от учебника должен взять столько, сколько сумеет
«унести», а учителю надо стремиться сделать эту ношу
по возможности доступной И поможет ему в этом
принятый в пособии учебный уровень строгости.
В самом деле, обратите внимание геп аргументацию
доказательств теорем н решений задач, помещенных в
пособии, с точки зренья ее эволюции по мере изучения
учебного материала. Ведь ссылки на аксиомы, не счи-
тая аксиомы параллельных, делаются в ием не так дол-
го и не так часто, как можно ожидать, поскольку мно-
гие вопросы, рассматриваемые в первом параграфе по-
собия (свойства взаимного расположения точек и пря-
мых на плоскости или взаимного расположения лучей
с общим началом и др.), проходят через весь курс. А
происходит так потому, что ссылки на сами аксиомы
. даются только при первоначальном изучении соответст-
вующего материала (в пределах темы), а в дальнейшем
они опираются на наглядно очевидные и интуитивно
ясные положения, за которыми однако стоит сравни-
тельно простое и строгое доказательство, которое при
желании может быть восстановлено; рисунок тоже слу
жит при этом хорошим подспорьем. Иначе говоря, при
повторных встречах с уже изученным материалом ссыл-
ки иа него де чаются в свернутом виде, что помогает
учащимся лучше усваивать новый материал; в резуль-
тате доказательства остаются строгими по существу,
хотя некоторые их детали и опускаются. Аналогичное
соображение справедливо и относительно эволюции
применения определений по мере изучения материала
курса. Конечно, это только схема, но принцип, пола-
гаю, понятен. Подобное вовлечение апостериори в
учебный процесс интуиции учащихся обладает тем пре-
имуществом, что наряду с теоретическим уровнем
усвоения материала возможным становится в нагляд-
но-образный уровень его усвоения.
Следует подчеркнуть, что отмеченная особенность но-
вого учебного пособия может и должна стать основой
дифференцированного подхода к ученикам, как обес-
печивающая их обучение с различной глубиной пони-
манья в соответствии с индивидуальными особенностя-
ми. Назначение учебного уровня строгости в учебном
пособии А. В. Погорелова в том и состоит, чтобы
улавливать различия в памяти, склонностях и способ-
ностях учащихся.
Строгость и подробность изложения
Как видим, смешивать строгость и подробность изло-
жения совершенно недопустимо. Подробность изложс
ния — это чисто внешняя, формальная сторона дела, а
строгость — его внутренняя, содержательная сторона,
порождаемая аксиоматическим (строго дедуктивным)
построением предмета. Если в наличии последнего нет,
то никакая самая высокая степень подробности не за-
менит ее. Если же таковое в наличии имеется, как, на-
пример, в пособии А. В Погорелова, то степень под-
робности изложения может колебаться в широких пре-
дечах. Пределы варьирования подробности изложе-
ния и определяются учебным уровнем строгости. При
этом, как подчеркивалось выше, речь идет не о выхо-
лащивании строгости, а о ее разумном использовании
для развития умственных способностей школьников.
Учебный уровень строгости изложения в пособии
А. В Погорелова характеризуется следующими показа-
телями.
Во-первых, степенью детализации доказательства
каждой из теорем. Она выше там, где. доказателг ство
опирается или полностью на материал изучаемой в дан
ный момент темы, или частично и на предшествующий,
который применяется в стандартном виде (например
ссылка на доказанную ранее теорему, следствие, опре
деление). Если материал какой-либо изучавшейся ранее
темы требуется в развернутом виде (например, воспро-
изведение рассуждения, аналогичного уже проводив-
шемуся), то в этом случае степень детализации тем
меньше, чем раньше нужный материал изучался, т. е.
ссылка на него делается в свернутом виде. Однако и
тогда доказательство остается логически рациональ-
ным в том смысле, что оно сравнительно просто до-
полняется до формально полного путем восстановления
недостающих аргументов, что особенно важно для раз-
48
вития умственных способностей сильных учащихся. Вме-
сте с тем в изложенном в пособии виде доказательст-
во становится доступным пониманию всех учащихся.
Во-вторых, степенью использования наглядных со-
ображений, которая определяется значимостью резуль-
тата для строго дедуктивного построения всего предме-
та. Так, по основной линии курса, куда относятся во-
просы, играющие фундаментальную роль в его дедук-
тивном построении (углы, равенство треугольников, па-
раллельность прямых, теорема о сумме углов треуголь-
ника, свойства параллелограмма, теоремы Фалеса н
Пифагора, подобие треугольников, следствия аксиом
стереометрии, параллельность и перпендикулярность
прямых и плоскостей в пространстве), в новом учебном
пособии достигнут весьма высокий уровень доказатель-
ности. В то же время факты, являющиеся конечными
результатами дедукции и имеющие лишь прикладное
значение (длина окружности, площади фигур, объемы
тел и площади их поверхностей), излагаются в нем с
привлечением наглядных соображений 5. Несколько ина-
че в этом контексте обстоит дело с геометрическими по-
строениями. С одной стороны, их значение для обуче-
ния геометрии определяется той общеизвестной ролью,
которую здесь играет рисунок, поэтому в интересах
учащихся, чтобы изучение данной темы приходилось ла
начало систематического курса, т. е. на VI класс. С дру-
гой стороны, тогда не все вопросы, касающиеся теомет-
рических построений, могут быть изложены строго. Так.
в VI классе нет возможности для исчерпывающего ре-
шения вопросов о числе точек пересечения прямой с ок-
ружностью н двух окружностей, к которым сводится
исследование многих задач на построение. Появляется
эта возможность значительно позже (в новом пособии
указанные вопросы решаются с помощью метода коор-
динат). Чему же отдать тогда предпочтение: дидакти-
ческой значимости геометрических построений или пол-
ноте их изложения? Автор однозначно решает вопрос
в пользу учащихся, так как в связи с аксиоматизацией
школьного курса геометрии задачи на построение утра-
тили свое былое значенш для развития умственных спо-
собностей школьников. В новом пособии рассматривают-
ся только основные задачи на построение с помощью
циркуля и лннейкн н метод геометрических мест. «За-
дача считается решенной, если указан способ построе-
ния фигуры и доказано, что в результате выполнения
указанных построений действительно получается фигу-
ра с требуемыми свойствами» (см. учебное пособие,
с. 52). Отсюда вытекает, что исследование в задачах на
построение, вообще говоря, не проводится. Но в случае
необходимости оно осуществляется с привлечением, ра-
зумеется, наглядных соображений. Действие основного
учебного требования при этом, как и в других анало-
гичных случаях, отмеченных выше, ограничивается.
В-третьих, степенью детализации решений задач на
доказательство. В основном здесь остаются справедли-
выми соображения, касающиеся уровня строгости при
доказательствах теорем. Однако имеются и отличия.
Если доказательство теоремы надо только разобрать,
понять, то решение задачи необходимо найти, прежде
чем обосновать его. В процессе поиска решения, высту-
пающего при этом на передний план, у учащихся раз-
вивается индуктивное мышление, поэтому в решениях
задач на доказательство ссылки в свернутом виде при-
меняются шире, чем в доказательствах теорем. Анало-
гичные соображения касаются и следствий, дока-
зательства которых в учебнике не приводятся.
В-четвертых, степенью детализации решений задач
вычислительно-прикладного характера. Кроме поиска
решения, здесь у учащихся возникают и вычислптель-
6 Заметим, что эти вопросы получают строгое обос-
нование в учебнике А. В. Погорелова «Геометрия» для
студентов вузов, который вышел в издательстве «Нау-
ка» в 1983 г. (см. с. 233—2131,
ные трудности; в решениях таких задач ссылки в свер-
нутом виде являются преобладающими. Однако и в
этом случае логическая рациональность решения оста-
ется ведущей по сравнению с обычной (операционной)
ра пиона льностыо.
Учебный урочень строгости изложения характеризу-
ется также различиями в устном и письменном изло-
жении решения задачи. Устное решение может и
должно быть более подробным, чем письменное. Решая
задачу с классом, учитель так или иначе дает необхо-
димые пояснения по ходу решения, обсуждает отдель-
ные его этапы с учащимися. Когда же решение запи-
сывается в тетради, оно по возможности должно быть
кратким, содержащим существенные моменты; опускать
при записи следует аргументы, которые усложняют ре-
шение. Так будет лучше для всех учащихся: сильным
это даст дополнительную пищу для ума, если онн за-
хотят восполнить логический пробел сами, а слабоус-
певающим принесет облегчение при разборе решения
дома, так как поможет им охватить решение в целом.
Более того, такой подход к оформлению решений позво-
лит сэкономить время для решения других задач.
Как видим, основным критерием учебного уровня
строгости изложения в пособии А. В. Погорелова яв-
ляется степень новизны учебного материала, что есте-
ственно. Ведь ближайшая цель обучения — изучение
очередной новой темы; на ней и надо концентрировать
внимание учащихся, потому что копание во второсте-
пенных деталях, а также относящихся к давно прой
денному материалу, только осложняет изучение нового,
приводит к пустой трате времени — фактору, регламен-
тирующему весь учебный процесс. Отсюда насущная
необходимость оптимизации учебного процесса на осно-
ве принципа: главное внимание на уроке — новому ма-
териалу. Учебный уровень строгости служит именно
этому.
Работа учащихся иад доказательством
Как показывает анализ контрольных работ по гео-
метрии, еще недостаточное внимание уделяется разви-
тию у учащихся культуры работы с доказательством.
Увлечение строгостью, выражающееся в стремлении к
формальной полноте изложения, приводит к тому, что
даже тогда, когда нужный аргумент указан, ученики
нередко стараются его детализировать, дополняя уже
написанное. Встречаются рассуждения, которые прово-
дятся учащимися повторно безо всякой на то надобно-
сти. Иначе говоря, формальной стороне доказательства
уделяется больше внимания, чем его содержанию
Должно же быть наоборот, так как формальная полно-
та не может служить критерием строго дедуктивного
начала при обучении геометрии. В соответствии с учеб-
ным уровнем строгости изложения таким критерием
является не подробность решения, а его рациональ-
ность относительно принятой системы аксиом, т. е. ло-
гическая рациональность. Только такой подход позво-
лит сконцентрировать внимание учащихся на содержа-
нии доказательства и его структуре. Значительную роль
призван сыграть здесь н рисунок, но только не про-
стой иллюстрирующий, а являющийся геометрической
записью того, что выражается словами. Что это оз-
начает? Это означает, что на рисунке должны отме-
чаться соответственно равные стороны и углы, другие
данные задачи, тогда ошибок в обозначении углов и
записи равенства треугольников станет меньше и обна-
ружить их будет проще. Пользуясь таким рисунком
сначала при письменном оформлении решения, а затем
тля его проверки, учащиеся смогут выполнить задание
быстрее и, главное, точнее. Благодаря этому рисуивк
превратится в эффективное средство контроля и само-
контроля, что особенно важно для развития у учаших
ся самостоятельности и сознательности в обучении.
Рисунок должен передавать суть задачи н поэтомх
не может содержать в себе никаких усложняющих мо-
49
ментов. Следует помнить, что стремление к общности в
рисунке не оправдано ни с психологической, ни с на-
учной точки зрени° Наконец, рисунок должен стать
органичной частью записв того, что дапо и что тре-
буется доказать или найти; все, что может быть за-
писано геометрически, отражается на нем. Кроме ра-
венства сторон и углов, па рисунке указываются дан-
ные численные или буквенные значения, неизвестные
величины, которые обозначаются через х, у, ... Подго-
товка рисунка к работе заканчивается тогда, когда ус-
ловие задачи полностью разобрано, нанесены все дан-
ные и сделаны необходимые обозначения. Затем со-
ставляется краткая запись того, что дано и что тре-
буется доказать (найти). При этом учитывается спе-
цифика рисунка с таким расчетом, чтобы избежать из-
лишнего дублирования. Если рисунок дает достаточно
полное представление о содержании решаемой задачи
(или когда оно простое), то можно обойтись и без
подобной записи; загромождать рисунок маловырази-
тельными деталями не стоит. Лучше всего, когда и ри-
сунок более свободный и запись условия короткая.
Для сокращения записи используется традиционная
общепринятая символика. Основные геометрические
фигуры (точка, прямая и плоскость) задаются своими
обозначениями без сопровождающего слова, а осталь-
ные— с таким словом. Допускается, что некоторые
фигуры, видные на рисунке (например, окружность),
в записи условия могут отсутствовать. Словом, к запи-
си условия и заключения надо подходить творчески, ис-
ходя при этом нз интересов учащихся.
Успешное развитие у учащихся культуры работы над
доказательством включает еще один существенный мо-
мент. Дело в том, что порой изложения учащихся изо-
билуют такими деталями, которые не являются обяза-
тельными для обоснования рассматриваемого утвержде-
ния, из-за чего они превращаются в своего рода сочи-
нения. С одной стороны, это хорошо, так как такое
изложение материала свидетельствует о потенциальных
возможностях учащихся. С другой же стороны, отсут-
ствие четкости в рассуждениях не может не беспокоить,
поэтому надо вести неустанную борьбу за точность и
чистоту доказательства. Ученики должны учиться
ошибочные утверждения исправлять, о рассуждения,
которые не используются в решении по существу, да-
же если они и правильные, исключать. Освобождение
доказательства от деталей изложения, без которых
можнэ обойтись, осуществляется учащимися на основе
учебного уровня строгости, с обязательной опорой на
рисунок. Роль рисунка состоит в том, чтобы постоянно
напоминать учащемуся о содержании решаемой задачи,
что приобретает особое значение в условиях, когда его
внимание переключается в процессе работы многократ-
но. Вот почему так важна предельно компактная и
выразительная геометрическая запись условия задачи.
Именно она и дает возможность учащемуся охватить
содержание задачи в целом, помогает усвоить его и
понять, т. е. содействует эффективному самоконтролю
в процессе работы над ее решением.
Таким образом, пи формальная полнота, ни степень
подробности изложения не могут быть основой учеб-
ного процесса. Точность и чистота доказательства — вот
реальная альтернатива подробности изложения в обуче-
нии. Борьба за это в прямом и переносном смысле и
есть то звено, ухватившись за которое можно успеш-
но решить главную задачу преподавания геометрии в
школе- научить учащихся рассуждать, анализировать,
доказывать.
ВНЕКЛАССНАЯ РАБОТА
XVIII Всесоюзная олимпиада
школьникоз по математике
А. С. Пономаре. ко, А. М. Слинько
(Москва)
Заключительный этап XVIII Всесоюзной математиче-
ской олимпиады школьников проходил с 11 по 18 ап-
реля в столице Туркменской ССР Ашхабаде. В нем
приняли участие 159 школьников: учащихся VIII клас-
са—43, IX —54 и X —62. Кроме команд всех союз-
ных республик в олимпиаде участвовали команды го-
родов Москвы и Ленинграда и команда Министерства
путей сообщения СССР.
В работе жюри, возглавляемого академиком АН
УССР профессором МГУ Б. В. Гнеденко, принимали
участие ученые из Туркмении, Молдавии, Белоруссии,
Казахстана, а также из Москвы, Ленинграда и Ново-
сибирска. Заместителями председателя жюри и его пер-
выми помощниками были профессор Туркменского госу-
дарственного университета С. А. Аширов и старший на-
учный сотрудник ВНИИ системных исследований ГКНТ
СССР и АН СССР А. М. Слинько.
Программа, составленная республиканским оргкоми-
тетом олимпиады под председательством первого замес-
тителя министра просвещения Туркменской ССР Г. И.
Канделинского, была интересна и содержательна. 12 ап-
реля после возложения цветов к памятнику В. И Ле-
нину в конференц-зале АН Туркменской ССР состоя-
лось торжественное открытие олимпиады. С теплыми
словами приветствия к участникам олимпиады обратил-
ся министр просвещения Туркменской ССР М. А. Алие-
ва. Успешного выступления, творческой интересной ра-
боты, честного соперничества пожелали юным матема-
тикам вице-президент АН ТССР О. О. Овезгельдыев,
академик ХН УССР Б. В. /неденко, первый секретарь
НК ЛКСМ Туркмении Ж. К. Чарыева, ректор ТГУ им.
А. М. Горького Г. М. Мяликгулыев. В свободное от
соревнований время ребята познакомились с достопри-
мечательностями Ашхабада и его окрестностей Юные
математики были гостями ашхабадских школьников на
вечерах интернациональной дружбы. Хорошо прошла
дископрограмма «Молодежь в борьбе за мир». Были ор-
ганизованы встречи ребят с учеными Туркмении, с ака-
демиком Б. В. Гнеденко, с редколлегией журнала
«Квант».
На церемонии закрытия эстафета Всесоюзной мате-
матической олимпиады была передана представителям
Белорусской ССР. Учащиеся VIII и IX классов, на-
граждеинные дипломами I и II степени, получили право
участвовать в заключительном этапе Всесоюзной олим-
пиады в будущем году.
Приводим список победителей XVIII Всесоюзной ма-
тематической олимпиады.
Диплом I степени
VIII класс: Бендорфа Кристина (шк. № I Риги),
Вайсбурд Михаил (шк. № 6 г. Томска), Глущенко Ген-
надий (шк. № 91 г. Запорожья), Калинин Глеб (шк.
№ 308 Ленинграда), Ксктс Гундарс (шк. № I Риги),
Лунин Антон !шк. № 57 Москвы), Петрунин Антон
(шк. № 470 Ленинграда), Порошки Виктор (ФМШ
при ЛГУ), Рачинский Дмитрий (шк. № 27 г. Харь-
кова).
IX класс: Бондаренко Олег (ФМШ при КГУ), Ко-
ротков Андрей (ФМШ при ЛГУ), Леонтьева Ольга
(шк. № 239 Ленинграда).
X класс: Астрелин Андрей (шк. Ms 119 г. Новоси-
бирска), Назаров Федор (.шк. № 239 Ленинграда), Ори-
50
дорога Леонид (шк. № 64 г. Донецка), Струков Сергей
(шк. № 85 г. Воронежа).
Диплом II степени
VIII класс: Борисенко Алексей (шк. № 27 г. Харь-
кова), Борисов Лев (шк. № 19 Минска), Кярас Сиги-
тас (шк. № 2 г. Молеты ЛитССР), Судакон Вениамин
(ФМШ при Тб. ГУ), Уусталу Тармо (шк. № 44 Тал-
лина), Фролкин Михаил (шк. № 10 г. Долгопрудного
Московской обл.), Хапочкин Юрий (шк. № 3 г. Брянс-
ка).
IX класс: Аршакян Наира (шк. № 3 г. Аштарака
АрмССР), Басов Олег (ФМШ при МГУ), Бибин Дмит-
рий (шк. Ns 31 г. Витебска), Иванов Лев (шк. № 13
г. Саратова), Малеванец Анатолий (ФМШ при КГУ),
Маслов Алексей (шк. № 57 Москвы), Михайлов Вадим
(ФМШ при НГУ), Нажмитдинов Азисхан (шк. № 7
г. Намангана УзССР), Пентус Мати (шк. № I Талли-
на), Реджюнас Миндаугас (шк. № 23 Вильнюса), Свя-
тодух Игорь (шк. № 3 г. Красноармейска Донецкой
обл.), Скуиньш Айнарс (шк. № 1 Риги), Фоглер Ми-
хаил (шк. № 17 г. Калинина).
X класс: Абакумов Евгений (ФМШ при ЛГУ),
Алексеев Максим (шк. № 2 Москвы), Богомольная Ан-
на (шк. № 239 Ленинграда), Виксна Юрис (шк. № 1
г. Алуксне ЛатвССР), Гараев Мубарец (шк. № 2
г. Физули АзССР), Грундмане Дайга (шк. № 1 Риги),
Дуйсекулов Мадияр (ФМШ при МГУ), Игнатьев Кон-
стантин (шк. № 2 Москвы), Козлов Сергей (ФМШ при
ЛГУ), Лев Марина (шк. № 130 г. Свердловска), Мис-
ник Сергей (шк. № 62 г. Воронежа), Седола Сниедзе
(шк. Ns 1 Риги), Хрычиков Вячеслав (шк. Ns 24 г. Се-
вастополя), Этингоф Павел (шк. № 145 Киева).
Соревнования проходили в два дня. В каждом туре
для каждого класса предлагалось по четыре задачи.
Условия задач первого дня 1
VII 1.1. а) Произведение некоторых п целых чисел
равно п, а сумма их равна нулю. Докажите, что чис-
ло п делится на 4;
б) Пусть п — натуральное число, делящееся на 4.
Докажите, что найдутся п целых чисел, произведение
которых равно п, а сумма равна нулю. (А. А. Фомин)
VII 1.2. Докажите, что для любых неотрицательных
чисел а и Ь справедливо неравенство
-у(а + Ь)г + -у (а + а Ъ + Ъ /а.
(А. Н. Смоляков)
VIII.3. На плоскости расположены два равносторон-
них треугольника А(А2А3 и В,В2В3, вершины которых
занумерованы при обходе их контуров по часовой
стрелке. Из произвольной точки О отложены векторы
OCt, ОС2, ОС3, равные соответственно векторам А [В,,
———> >
А2В2, А3В3. Докажите, что точки Сх, Сг, С3 также яв-
ляются вершинами равностороннего треугольника.
(Л. П. Купцов)
VIII.4. Имеется четыре краски и бесконечно много
квадратных плиточек со стороной 1. Разрешается окра-
шивать стороны плиточек так, чтобы у каждой из пли-
точек цвета всех сторон были разные, и приклеивать
их друг к другу сторонами одного цвета. Для каких
чисел m и п из этих плиточек можно склеить прямо-
угольник размером пгХп, у которого каждая сторона
была бы покрашена одним цветаv и цвета всех сторон
были разные? (В. А. Уфнаровский)
1 Числа перед условием задачи указывают класс, в
котором предлагалась эта задача, и ее порядковый но-
мер в задании. В скобках после условия задачи указа-
на фамилия ее автора.
IX. 1. Докажите, что для любого действительного чис-
ла а и любых положительных чисел х, у справеоливо
неравенство
^sln’а . ycos’а +
(В. И. Буренков)
IX.2. Имеется куб и две краски: красная и зеленая.
Двое играют в такую игру. Начинающий выбирает
3 ребра куба и красит их в красный цвет. Его партнер
выбирает 3 ребра из тех, которые еще не покрашены,
и красит их в зеленый цвет. После этого снова 3 реб-
ра в красный цвет красит начинающий, а затем 3 реб-
ра в зеленый цвет его партнер. Запрещается дважды
красить ребро одной краской или перекрашивать его
в другой цвет. Выигрывает тот, кто первым сумеет
покрасить своей краской все ребра какой-нибудь грани.
Верно ли, что начинающий при правильной игре обя-
зательно выиграет? (Н. X. Агаханов)
1Х.З. По кругу записаны п^З натуральных чисел,
причем отношение суммы двух соседей любого из этих
чисел к нему самому является натуральным числом.
Докажите, что сумма всех таких отношений а) не мень-
ше 2п; б) меньше Зр. (О. Р. Мусин)
IX.4. Окружность с центром в точке 6 вписана в
треугольник АВС и касается его сторон ВС, АС, АВ в
точках А|, Вь С, соответственно. Отрезки АО, ВО, СО
пересекают окружность соответственно в точках А^, Bi,
С2. Докажите, что прямые А,А2, В(В2, С,С2 пересекают-
ся в одной точке. (И. Ф. Шарыгин)
Х.1. Найти все целые числа тип, для которых име-
ет место равенство
(5+3 /2)т = (3 + 5 /2)".
(10. В. Михеев)
Х.2. В строку в возрастающем порядке выписали п
различных чисел. Под ними во вторую строку выписали
те же числа, только, быть может, в другом порядке
Для каждой пары чисел, записанных одно под другим
вычислили сумму и записали под ними в третью стро-
ку. Оказалось, что числа в третьей строке расположены
в возрастающем порядке Докажите, что первая строка
совпадает со второй. (А. В. Анджанс)
Х.З. Дан треугольник АВС. Через некоторую точку
Р, отличную от вершин треугольника, провели прямые
РА, РВ, PC, которые пересекли описанную около него
окружность еще раз в точках At, Bt, Ct, также отлич-
ных от вер'чин АВС. Оказалось при этом, что тре-
угольник А В,С| конгруэнтен треугольнику АВС. Дока-
жите, что точек Р с указанным свойством для каждо-
го треугольника не более восьми. (И. Ф. Шарыгин)
Х.4. Положительные числа х, у, г удовлет зоряют си-
стеме равенств
№
X» + ху + -у - 25,
V’
V + *’-9,
г1 + хг 4- х* — 16.
Вычислите величину xy+2yz+3xz. (А. А. Болотов)
Наибольшие трудности в первый день, как и ожида-
лось, вызвали задачи VII 1.4, 1Х.З, IX.4, Х.З и Х.4. Осо-
бенно трудными оказались задачи IX.3 и Х.З. Лишь
два участника сумели правильно решить оба пункта за-
дачи IX.3, а полное решение задачи Х.З представили
лишь три участника. Однако ни в одном из классов не
было задачи, которую бы никто не смог решить. Жюря
с удовлетворением отметило, что школьники нашли бо-
лее простое решение довольно трудной задачи IX.4, чем
решение, известное жюри.
Решения задач первого дня
VIII.1. а) Еста а1+а2+...+ап=0 и at а2-...-ап—п,
то при п нечетном все множители а,- нечетны, н пер-
вое равенство неверно; при п четном одно из а< чет-
51
но, и из первого равенства следует, что еще одно Ио
а< четно, так что п делится на 4.
б) Пусть n=4k и k — число неччтное Тогда имеем
п-2-(— — 1)*
ИЛИ
п «( —2)-(—1)*-=
в зависимости от четности k.
V III.2. Преобразовав неравенство к виду
(-J" •« 4- * + fab (У а 4- b),
заметим, что достаточно установить неравенство
1 . г~
е V a iyb,
которое легко доказывается группировкой.
V III.3. Из условия задачи следует, что
С|С2=—ОС|+ОС2=—А |В|-|"^2^2=—А |^г+б|бг,
С|Сз=“ОС|-|~б)Сз=—Д 1В(4~ЛзВз==—А1А34-В1В3.
По условию векторы AtA3 и В,В3 получаются из
А,А2 и В,В2 поворотом на 60°, но тогда и вектор С,С3
получается тем же поворотом из CtCs. Это и значит,
что треугольник С\СгС3 равносторонний.
V I1I.4. Докажем, что прямоугольник размером nix«,
удовлетворяющий условиям задачи, можно склеить, ес-
ли числа тип имеют одинаковую четность, и нель-
зя склеить в противном случае. На рисунках цвета обо-
значим цифрами 1, 2, 3, 4.
Если тип нечетны, то мы можем склеить прямо-
угольник— строчку размером 1хп (рис. 1), а из та-
ких строчек тем же способом склеить искомый пря-
моугольник размером mXn.
Если же m и п четны, го из прямоугольников раз-
мерами Ix(n—1), (т— 1)х1 и 1X1,
изображенных на рис. 2, склеиваем искомый прямо-
угольник размером тхп, как показано на рис. 3.
Пусть теперь тип разной четности. Предположим,
что нам удалось склеить прямоугольник размером
тхп, стороны которого окрашены в различные цвета-
Рассмотрим одну из нечетных сторон прямоугольника,
пусть она, например, имеет цвет 1. Подсчитаем общее
число сторон цвета 1 у использованных плиточек. На
границе прямоугольника их число нечетно, а внутри —
четно, так как к каждой стороне цвета 1 одной пли-
2 2 2 2
1 3 3 1 7 3 •• • 1 J
4 4 4 4
Рис. I
Рис. 2 v Рис. 3 ▼
точки примыкает сторона цвета 1 другой плиточки.
Следовательно, общее число сторон цвета 1 нечетно.
Однако это число равно количеству использованных
плиточек, всего их тп штук — четное число. Получили
противоречие.
IX. I. Имеем:
xsln’ a.ycos’ « <(maX (Xi y))sin’« + cos'-. _
— max (x,y) < x -|- y.
IX.2. He верно. Для того чтобы не проиграть, парт-
неру начинающего достаточно покрасить в зеленый
цвет любые три попарно скрещивающиеся ребра, так
как при этом в каждой из трех граней будет покраше-
но одно ребро. Задача начинающего помешать своему
партнеру покрасить такую тройку. Однако это невоз-
можно. В самом деле, каждое ребро входит в две
тройки попарно скрещивающихся peGep. Рассматривая
все ребра одной фиксированной грани куба, мы заклю-
чаем, что всего таких троек 8. В то же время первым
ходом начинающий может «испортить» не более 6 троек.
IX.3. Остановимся на доказательстве пункта б).
Пусть О[, а2, ап — данные числа и
+ я, . а, 4- а, , , ап-1 +
~ а, + + ••• + Тп ‘
Проведем доказательство по индукции. Проверим ос-
нование индукции для п=3. Если 01=02=03, утверж-
дение очевидно, в противном случае пусть щ — наи-
большее, тогда
а2 + а, оз -|- о,
----—-----< 2, откуда ------------— 1 и at = а, + а,.
Тогда
т а. Од 4- аа о» 4- а,
">s “ о, а, + oj =
2аа 2а,
причем числа k = м I =• натуральные. Так
как Ы = 4, то либо /г = /=2 и 53 = 7, либо k—1, 1=4
и S3 =8.
Предположим теперь, что любые п—1 чисел удовлет-
воряют условию. Если все ai равны, то Sn=2n<3n
В противном случае среди них найдется число а,, ко-
торое больше полусуммы своих соседей, и потому
ai=ai-I4-a4+i. Но тогда
а1~ а1 а1— 2 + а1+1
а1-1 1 ai-i
а1 + а1+2 аг-1 + а1+2
ai+x ai+t
а1—2 4- al+1 al_l 4- al+2
т. e. числа ------------ и ---aT~~~ натуральные,
поэтому набор a,.....a;_i, al+l........
также удовлетворяет условию. Если , —
отвечающая этому новому набору сумма
отношений, то в силу индуктивного пред-
положения S„_r < 3 (п — 1), поэтому Sn-=
= Sn—14- 3 < Зп. Утверждение доказано-
IX.4. Как нетрудно заметить, точки А,,
В„ С, являются серединами дуг В/?,, С,А>
и Л,В1 соответственно (рис. 4). Поэтому
CtAtA, -= A,AtBt, и следовательно, отрезок
AiA, является биссектрисой в треуголь-
52
Рис. 4
Рис. 5
нике AtB,Ct. Аналогично показывается, что [5,Б,] и
[С,С,] также являются биссектрисами этого треуголь-
ника, а биссектрисы любого треугольника пересекают-
ся в одной точке.
Х.1. Ответ: только при т=п=0.
Заметим, что (а4-6уЛ2)(с4-б?УЛ2) = (ас -f- 2W1-4-
+ (ad + be) Y2 Поэтому, если мы рассмотрим мно-
жество чисел {а 4- b у^2^, где а и 6 — натуральные,
то окажется, что произведение любого количества чи-
сел этого множества есть число этого множества.
Пусть (3-4- 5 /2~)п=(5 4- 3 <2 )т. В силу того, что
числа 3 4-5^2 и 54-ЗУ<2 больше единицы, можно
считать, что п 0 и т >- 0. Так как при т= 0 и п =0
мы имеем равенство, предположим, что т >-1 и п >• 1.
Очевидно, что и>л. Умножая данное равенство на
(—34-5 1^2)", получим
41” =(5 4-3 /2 )т -( — 34-5 /2 )п =.
= (5 4-3 /2 )т-п • (15 4- 16 ^2)".
В силу сделанного выше замечания, число в правой
части равенства имеет вид A-f-By^2, где А и В —
натуральные. Это противоречит иррациональности
числа 2 •
Х.З2. Из условия задачи следует, что точка Р не мо-
жет лежать на прямых АВ, ВС и СА и на окружно-
сти. Рассмотрим сначала случай, когда точка Р ле-
жит вне окружности, тогда
На рис. 5 мы приводим чертеж для одного из воз-
можных случаев расположения точек А, В, С. Анало-
гично ВРС=|Л—А(| и С’Р.4 = |В—5J. Так как углы
треугольника АВС должны быть соответственно кон-
груэнтны углам треугольника А|В1С| и при этом нн
один из углов APB, ВРС, СРА не равен нулевому углу,
то возможны только два случая: 1) Z. A,sZ. В, Z_Bysi
^Л.С, А_С^А.А и 2) АА^АС, Z_B,=Z.A, Z_C,si-
=Z_B. Каждой из этих возможностей отвечает не бо-
лее одной точки Р. Следовательно, точек, удовлетво-
ряющих условию задачи и лежащих вне окружности,
нс бпдее двух.
Пусть теперь точка Р лежит внутри окружности.
Для устранения двусмысленности в обозначениях бу-
дем полагать, что углы АРВ, ВРС. СРА не содеожат
отрезков PC, РА, РВ соответственно. При доказатель-
стве основных соотношений для углов будем для опре-
деленности предполагать, что точка Р лежит внутри
2 Решение задачи Х.2 опущено.
угла ВАС. При этом точка Р может находиться как
внутри, так и вне треугольника (рис. 6 и 7). В обоих
случаях имеем ^Р^=л0н-Ха^1 = 54-5|. Аналогич-
но АРВ—СА-С]. Отсюда вытекает, что ВРС—2л—
—АРВ—СРА—- (л—В—С)4-(п—В,—С1)=Л4-?1. Та-
ким образом, мы показали, что если точка Р лежит
внутри окружности, то АРВ=С-|-С1, ВРС=АА~Л},
СРА = 54-51-
Если точка Р удовлетворяет условиям задачи, то
опять-таки углы Аь В,, С|—это А, В, С, только запи-
санные, быть может, в другом порядке. Всего сущест-
вует 6 способов расположения этих углов. В соответ-
ствии с этим возникает 6 возможностей для углов
АРВ, ВРС, СРА. Каждой из этих возможностей отве-
чает не более одной точки Р (проверьте!) Таким обра-
зом, внутри окружности имеется не более 6 точек, удов-
летворяющих условию задачи и всего их, следователь-
но. не более 8.
Х.4. Приведем геометрическое решение задачи. За-
пишем величины А, В, С в виде
( v \2 у
А = л24- I —7-=- ) — 2л---яг cos 150°,
\ У 3 / у 3
С = х2 4- г2 — 2xz cos 120°.
В силу теоремы косинусов величину А можно пони-
мать как квадрат длины третьей стороны в треугольни-
ке со сторонами х, и углом между ними 150°.
Аналогично, В — квадрат гипотенузы в прямоугольном
у
треугольнике с катетами —=— и z, а С—квадрат
V 3
длины третьей стороны в треугольнике со сторонами х.
Рис. 6 Рис 7
53
г и углом между ними 120°. Так как 150о+90°+120о—
==360°, то эти три треугольника можно построить с об-
щей вершиной О, отложив от нее три отрезка длин х,
г, как показано на рис. 8. Так как А = В С,
то A PQR— прям< уюльный с гипотенузой PR. Под-
считывая площадь этого треугольника двумя Способа-
ми, получим D • 24 V 3 , где В=хуЛ-Зхя +2гу.
Задача имеет также и алгебраическое решение.
Условия задач второго дия
VIII .5. Учителе написал на доске квадратный трех-
член х2+10х+20. Затем каждый ученик по очереди
увеличивал или уменьшал на единицу по своему выбо-
ру либо коэффициент при х. либо свободный член, но
hi оба сразу. В результате получился трехчлен х2+
+20x4-10. Верно ли что в некоторый момент на доске
был написан квадратный трехчлен с целыми корнями?
(А. А. Берзиньш)
V1 1I.6. Монету радиуса г перемещают на плоскости
так, что ев центр обходит контур выпуклого много-
угольника. описанного около круга радиуса R>r и име-
ющего периметр р. Найоите площадь фигуры, образо-
ваний следом монеты. (А. А. Фомин)
VII 1.7. Имеется п+1 еирь, общий вес которых ра-
вен 2п. Вес каждой из них — натуральное число. Име-
ются также весы с двумя чашками, находящиеся в рав-
новесии. I ири по очереди кладут на чашки весов: сна-
чала самую тяжелую (или одни из самых тяжелых),
затем самую тяжелую из оставшихся и т. д. При этом
каждую следующую гирю кладут на ту чашку весов,
которая в данный момент легче, а если весы в равно-
весии, то на любую Докажите, что после того, как на
еса> окажутся все гири, весы будут в равновесии.
(А. В. Анджанс)
V 1II.8. Натуральное число назосем абсолютно прос-
тым если оно простое и при любой перестановке его
цифр сноьа получается простое число. Покажите, что
абсолютно простое число не может содержать в своей
записи более трех различных цифр. (А. Т. Колотов)
IX .5. Цифры х+=0 и у таковы, что при любом,
^1 число
Л .. X бу... у4
п п
является квадратом некоторого целого числа Найдите
все такие х и у. (Л. П. Купцов)
IX.6. На прямой лежат четыре точки, обозначенные
в порядке следования буквами А, В, С D. Докажите,
••то для любой точки Е, не лежащей на этой прямой,
справедливо неравенство |АЕ| + |£7Э| + | |АВ|—|С£)||>
>|/>гц-|СА|. (С. Б. Гашков)
IX.7. Последовательность (Хп) задана рекуррент но:
Х| = 1, Хг—— 1 и Хп+2 — х^+1 — ~2 х„ для п>1.
Докажите, что она имеет предел и найдите его, (Н X.
А1ачанов)
IX 8. В белых клетках шахматной доски размером
1983x1984 записаны числа +1 или —1 так, что для
любой черной клетки произведение чисел, стоящих в
соседних с ней белых клетках, равно 1. Докажите,
что это возможно, только если все записанные числа
равны +1. (О. В. Ляшко)
Х.5. В клетки таблицы размером 3x3 записываю:
числа +1 или —1. Затем число в каждой клетке заме-
няется произведением чисел, стоящих во всех соседних
клетках (соседними считаются клетки, имеющие общую
сторону). Докажите, что после нескольких повторений
этой операции во всех клетках будут записаны толь-
ко числа +1. (И. К. Жук, И. В. Воронович)
Х.6. Какое из двух чисел больше:
2 , 101,
201 или п 100?
(Ю. В. Нестеренко)
Х.7. На плоскости расположены три окружности Cit
(-2, Сз радиусов гь гъ г3 — каждая вне двух других,
причем K|>rs и rt>rt. Из точки пересечения (А) внеш-
них касательных к окружностям Cj и С2 проведены ка-
сательные к окружности Сз, а из точки пересечения
(В) внешних касательных к Ct и Сг— касательные к
С2, причем А лежит вне Сг, а В вне Cj Докажите, что
последние две пары касательных образуют четырех-
угольник, в который можно вписать окружность, и най-
дите ее радиус. (Л. П. Купцов)
Х.8. Докажите, что любое сечение куба плоскостью,
проходящей через его центр, имеет площадь, не мень-
шую площади грани куба. (А. А. Болотов)
Задачи второго дня для VIII класса иыли примерно
равны во сложности задачам первого дня. Наибольшие
трудности вызвала задача VI1I.8, которую правильно
решили около 20 % участников
Задания второго дия в IX классе были более слож-
ными, чем задания первого дия. Никто из девятикласс-
ников не сумел полностью решить все четыре задачи.
Особенно трудной оказалась задача IX.7, которую ре-
шили всего 3 участника, тогда как 42 девятиклассника
тдк и не смогли подступиться к решению. Более труд-
ными, чем ожидалось оказались задачи IX.I и IX. 2.
Радует, что и во второй день для некоторых задач
школьники смогли наити свои, более оригинальные ре-
шения, чем те, которые были известны жюри
В целом задачи второго дня в X классе были проще,
чем задачи первого дия, и учащиеся с ними успешно
справились. Наиболее сложной оказалась шдача Х.З,
ио и ее решили более 33 % десятиклассников.
Вместе с тем следует с сожалением отметить, что
еще немало работ оформляется неряшливо, с не свой-
ственной мь тематикам небрежностью и неаккуратно-
стью.
Решения задач второго дия
VIII.5. Да, верно. В начальный момент трехчлен
f(x) =х24-10х+20 в точке х——1 имел значение
f (—1) = 11. С каждым изменением многочлена его зна-
чение в точке х=*—1 изменилось на единицу в ту или
другую сторону. В конечный момент для многочлена
£(х)=х2+20х+Ю оно оказалось равным —9. Сле ю-
вательио, в некоторый момент на да ке был написан
квадратный трехчлен h(x) =x2+«x+i, где а и Ь — це
лые, для которого h(—])=0. Э«иг многслен имеет
целые корни.
VIII.6. Пусть AiA2.<,.An — многоугольник, по коиту
ру которого движется центр монеты, и О — центр ок-
ружнопи, вписанной в этот многоугольник. Часть следа,
находящаяся вне многоугольника (см. рис. 9), состоит
из прямоугольников, общая площадь которых р»вив рг,
и секторов круга радиуса г при каждой из вершин.
Обозначив через веля мшу угла вектора при верши-
не At, получим Л«+а<=кя, где At—величина угла мно-
гоугояышка при першкш Ал. Плмому
Ь4
+ап=ил—(Л|+Лг+-+Лп) -ял—(л—2)л=2л и, сле-
довательно, сумма площадей всех секторов равна пло-
щади круга радиуса г, т. е. лг2. Границей внутренней
части следа монеты, т. е. той части следа, которая на-
ходится внутри многоугольника AiA?..An, являются
многоугольник A|As...An (внешняя граница) и много-
угольник В^—Вп, гомотетичный исходному с цент-
/? — г
ром О и коэффициентом ~~д— (внутренняя граница).
Поэтому площадь внутренней части следа равна
^AtA,...An~ SBIB,...Pn “
pR pR (R— rV pr2
“ 2 ~ 2 \ R ) ~ pr~'2R'
Следовательно, площадь всего следа равна
or8
лг1 (- 2pr—2^-.
VIII.7. Обозначим через k вес самой тяжелой из
п.рь и через s — число гирь веса 1. Заметим, что
Действительно, у нас есть гиря веса k, s гирь веса I
п еще п—s гирь, вес каждой из которых не меньше 2.
Поскольку вес всех гирь по условию равен 2л, имеем
неравенство
2л k -J- s 4- 2(л — s),
откуда s^k.
После того как на весы положили первую из гирь,
J (юность между весами грузов па чашках стала рав-'
пой k. Понятно, что и в дальнейшем вес более тяже-
« “ чашки будет отличаться от веса более легкой чаш-
ки не более, чем на k (докажите это!) Предположим,
что мы уже положили иа весы все гири, вес которых
больше 1, н у пас остались s гирь вест 1. Так как
и, следовательно, не меньше разности весов на
чашках, то, положив на весы некоторое количество гирь
ncca 1, мы приведем их в состояние равновесья. В этот
момент обший вес гирь на весах — четное число. По-
этому и количество оставшихся гирь веса 1 будет чет-
ным. В дальнейшем мы будем класть их поочередно:
то на одну, то на другую чашку. Так как их коли-
чество четно, в конце процесса весы будут в равно-
весии
VIII.8. Очевидно, что в записи абсолютно простого
числа все цифры нечетны и, если в записи числа не
меньше двух цифр, то не может встретиться и циф-
ра 5. Если в его записи присутствуют все цифры 1, 3,
7, 9, то имеются еще семь простых чисел:
/И. = а>п, ... о., 1379 = М + 1379,
а также А42=Л4-{-3179. Лк=7И-|-9137. Л1( =Л1-(-7913
AL=M+1397, Л16=Л1+3197, й17=Л1-|-7139. Однако
этого не может быть, поскольку вторые слагаемые име-
ют различи1 ie остатки от лечения на 7 и, следователь-
но, одно из Mt, Mi, ..„ Mi делится на 7.
IX.5. Если число л6у4 А2, то А двузначно и
оканчивается либо на 2, либо на 8, и А >40. Легко про-
вопить, что только квадраты чисел 68 и 98 имеют пией-
ру 6 в третьем разряде: 682 = 4624 и 98’=9604. Зна-
чит, либо х=4, у—2, либо х=9, у=0.
С другой стороны, можно проверить, что
44...4622...24 -(66...68)’,
л л п
99...9600...01 = (99... 08)=-
л л л
IX.6. Заметим, что если точка S лежит внутри или
иа стороне треугольника PQR и Sy=Q, то
|PS| + |S7?| < |PQ| + |Q/?|.
Для определенности будем считать, “то в условии
задачи | А В | | CD |. Тогда подлежащее доказатель-
ству неравенство можно переписать в виде |АЕ| +
+ |EZ)| + |Afi|-|CD|>|BE| 4-|С£|.
Отложим на отрезке АВ точку А", для которой
|АВ| = |СО|. В силу сделанного выше замечания
|АЕ| + | АД| |А'Е| + |А'В| (рис. 10) и, значит, дос-
таточно доказать требуемое неравенство в предположе-
нии, что |AB| = |4'PJ.
Пусть F— точка, симметричная Е относительно се-
редины отрезка AD (рис. И). Так как |СЕ| = |ВЕ|
и । AF(= |ЕО|, то требуемое неравенство вытекает из
неравенства | BF\ +1 ВЕ\ < | AF | +1AF|, которое спра-
ведливо в силу замечания, сделанного в начале дока-
зательства.
IX.7. Ответ: Um хп 0.
Если число с удовлетворяет неравенству 0<csg и
при некотором k справедливы неравенства |хл|^с,
5
I 0 с, то
1 25 1
|*л-н I <1 1!ту|Х),|< 35 сЧ'2-С“
/25 1 \ / 5 у
= (зб с + с-
5
Повторяя эти рассуждения с заменой с на -g-c, най-
дем, что
Р'Л+г I С’
и далее по индукции получим неравенство
I xk + n I ("б”) С’
из которого следует ответ.
Осталось доказать, что искомое число с й требуемый
номер k существуют. Вычислим несколько членов по-
следовательности:
55
о. О-1 аз
а5 Об
О-7 а8 а9
2,9 1,3,5 2,6
1,5,7 2,9,6,8 3,5,9
9,8 5,7,9 6,8
3,7 2,8 1,9
9,6 К 9,6
1,9 2,8 3,7
2/^,5 1,3,7,9 2,9,6,8
7,3, 7,9 * 1,3,.7,9
7,3,?9 2,4 6,8
* *
* * *
* * *
Рис. 12 Рис. 13
1 3 5
*1 — 1. Ха = — I, Хг — ~2, X, “Xt “ jg >
71
x>---256'
72 9 1
Так как | x„ | < 25g ’ jT» T0 I xi I < I x« |* 4- X
/ ч \* 1 5 1
x I x6 l<(^J + ’ Тб < V' н далее нмеем
I x, | < | x7 |г + 1 xe | < ) +•
19 5 1
+ 2 ’ 32 <6'4-
Мы видим, что можно взять с = — и 4 = 7.
Х.53. Предположим, что в таблице первоначально за-
писаны числа а,, аг... о9 (рис. 12), где ai=±l.
Выпишем таблицы, получающиеся в результате ука-
занных в условии задачи операций. При этом для крат-
кости в клетках таблицы будем указывать только ин-
дексы множителей. Чтобы не путать число 1 с индек-
сом числа аь будем в клетке писать >)<, если в ней
записано число 4-1. Легко проверить, что из таблицы
на рис. 12 получаются таблицы, изображенные на
рис. 13. Мы видим, что любая таблица после четырех
преобразований переходит в таблицу, состоящую из од-
них единиц. Отметим, что для таблиц 4x4 аналогич-
ный факт уже неверен.
Х.6. Ответ- lni-iij>j5T.
Число in (14-0. где 7>0, есть площадь S криволи-
нейной трапеции (рис. 14). Площадь криволинейной
трапеции строго больше площади трапеции ABCD. Сле-
довательно,
27
In (1 4- 7; — S > SASCr) = jqpy-
1
Полагая t — получаем нужное неравенство. Не-
равенство
27
In (1 4- 7) > 2 +у при 7 > 0
можно доказать и непосредственно с помощью произ-
водной (см.: Математика в школе, 1980, Ns 5, с. 14).
Замечание. Аналогично можно показать, что
7’ „ 1
/(7) < -jg- при 7 > 0. Следовательно, при t —
имеем
Г—Y
, 101 2 Vioo/ _
° < In joy — дат <-i2-- ~ О-8333- • • • I0-7 < 10-
Разность между данными в задаче числами очень мала.
8 Решение задачи 1Х.8 опущено.
Х.7. Ответ:
или
Пусть Oi — центр окружности Ci. Рассмотрим тре-
угольник ABOt. Прове дем отрезки АО3 и ВО2, пусть
О — точка их пересечения. Осуществим гомотетии с
. I АО, | г,
центром в точке А и коэффициентом j —
(рис. 15), затем с центром в В и коэффициентом
I ВО|
| ВО~ J1 ПРИ этом окружность С, сначала перейдет в
окружность С„ а затем в окружность С с центром в
п I в0 I
точке О радиуса f,-|
Теперь осуществим две гомотетии в другом поряд-
ке: вначале с центром в В и коэффициентом
|ВОв| г>
. д-q । = а затем с центром в А и коэффициентом
ао*|
j AQ |, при этом окружность С, сначала перейдет в
С,, а затем в окружность СУ с центром в точке О
|АО|
радиуса
Центры окружностей С и С' совпадают. Если мы
докажем, что
IВО| |ИО|
г*‘ | ВО, | =,г,‘ I АОг| ’
то это будет означать их совпадение. Из этого факта
следует утверждение задачи, так как окружность С ка-
сается касательных, проведенных из В к С2, а окруж-
ность С' касается касательных, проведенных из Я к
С3; это и означает, что окружность С=С' вписана в
требуемый четырехугольник.
56
Проведем [О2Л4] || [АО3] и [О3А] Ц [ВО2] (рис. 15, 16).
Имеем
| ВО | |ВО | 1
|ВО,|“ | ВО | + | ОО„ | = , , | 00, I “
1 + | ВО |
1 1
" I О,М I - | I | ОзО. I =
1 + | ВО, | 1 + | 0,0, | ’ I во, I
1
. I о,а I | ОзО, I =
1+ | АО.] • | BO, I
1 Г, г,
Аналогично находим, что
|А0| г, г,
I АО, | г, г,~ г, г, + г, г.
Таким образом,
|ВО) I АО|
Г’ ’ | ВО, | “ Гг' I АО, । ’
а это доказывает теорему. Как следствие мы пору-
чаем и радиус окружности С:
Г, г, — г, Г, + г, г,
Х.8. Ясно, что сечение куба плоскостью является
центрально симметричным выпуклым многоугольником,
который вследствие этого имеет четное число сторон,
т. е. является либо четырехугольником, либо шести
угольником. В первом случае сечение не пересекает не-
которых двух противоположных гранен куба н при про-
екции его на любую из этих граней получается вся
грань. В этом случае утверждение задачи следует из
теоремы о площади проекции плоской фигуры. Во вто-
ром случае плоскость сечения пересекает все шесть
граней куба. Рассматривая развертку куба (рис. 17),
замечаем, что для периметра сечения Р справедливо
неравенство
Р > | АВ | = /(За)2 + (За)2 = За <2 ,
где а — сторона куба. Плоскость сечения пересекает
а
вписанную в куб сферу по окружности радиуса
которая целиком лежит в сечении. Поэтому для пло-
щади сечения S выполняется соотношение
а
„ Р’~2'^3/Т
S > —— > —4—-аг > 1,06 а2,
т. е. в этом случае мы можем доказать даже чуть
больше, чем требуется в задаче.
Построение обобщений теорем
А. Я. Цукарь
(г. Новосибирск)
Одним из важных умений учашихся является умение
находить обобщения задач, теорем. Используя обоб-
щение, можно указать более широкий круг объектов,
к которым применима некоторая закономерность, или
более общую закономерность, применимую к тому же
кругу объектов. Материал школьного курса математики
позволяет проводить такую работу с учащимися.
Следует отметить, «то иногда общие свойства запо-
минаются легче, чем свойства отдельных обьектов. Так,
ученику проще запомнить, что суми а величин внутрен-
них углов выпуклого n-угольиика равна 2<1(п—2). и за-
тем найти эту сумму, например, для пятиугольника,
чем запомнить, что последняя равна 540°. Более того,
иногда приходится отмечать неудовлетворенность уча-
щихся тем, что они знакомятся лишь с некоторым
частным случаем, тогда как иыуиция им подсказывает,
что верно более общее утверждение.
В данной статье рассмотрим некоторые пути и спо-
собы получения обобщений теорем. Конкретный мате-
риал статьи может быть использован учителем на
кружковых или факультативных занятиях, а а неко
торых случаях .и на уроках.
Обобщение часто осуществляется при отбрасывании
некоторого ограничения, при замене конкретного зна-
чения параметра произвольным. Чтобы обобщить тео-
рему, нужно внимательно изучить ее формулировку,
проанализировать доказательство,— возможно, это под-
скажет направление обобщения. При подготовке к по-
добной работе учащиеся обычно отвечают на вопросы:
какие более обилие понятия можно рассмотреть в свя-
зи с данной теоремой? Какое предложение можно
сформулировать, заменив данное в теореме понятие бо-
лее общим’ Какое ограничен ie можно отбросить в дан-
ной теореме?
Приведем несколько примеров.
1. Площадь треугольника равна произведению его
полупериметра на радиус вписанной окружности.
Эту теорему можно обобщить, отбрасывая ограни-
чение, что рассматриваемая фигура (многоугольник)
является треугольником, тогда обобщенная теорема бу-
дет такой:
1*. Площадь многоугольника, в который можно
вписать окружность, равна произведению его полупе-
риметрп на радиус вписанной окружности.
Указанное обобщение легко заметить, анализируя до-
казательство теоремы 1, использующее пре оставление
площади треугольника АВС в виде суммы площадей
треугольников ABO, ВСО и АСО, где О — центр
вписанной окружности. Доказательство не изменится,
если вместо треугольника рассмотреть описанный про-
извольный многоугольник.
Рассмотрим другой пример.
2. Середины сторон четырехугольника являются вер-
шинами параллелограмма.
Эту теорему можно обобщить в направлении «пла-
ниметрия— стереометрия», а именно:
2*. Середины сторон пространственного четырех-
угольника служат вершинами параллелограмма.
Сделанное обобщение также удобно получить, ана-
лизируя доказательство теоремы 2, использующее тео-
рему о средней линии треугольника.
От теоремы 2 путем конкретизации можно прийти
к следующей теореме;
3. Середины сторон параллелограмма являются вер-
шинами нового параллелограмма.
Если полученную теорему доказать с помощью цен-
тральной симметрии, го в доказательстве можно
усмотреть такое обобщение:
3*. Точки, делящие стороны параллелограмма в од-
ном и том же отношении (в одном направлении обхо-
да), являются вершинами нового параллелограмма.
Здесь обобщение мы получили, отбрасывая ограни-
чение на отношение, в котором точки делят стороны
параллелограмма (в теореме 3 отношение равно I,
а в теореме 3* оно произвольное).
Рассмотренные примеры показывают также, что об-
общения можно получать в разных направлениях: 1) от
теоремы 3 к теореме 2 и дальше к 2*; 2) от теоре-
мы 3 к теореме 3*.
Приведем еще один пример обобщения в разных
направлениях.
Обобщением теоремы Пифагора (от угла в 90“ —
к произвольному углу) будет теорема косинусов. В ка-
честве простого упражнения на нахождение соотноше-
ния между сторонами и углами прямоугольного тре-
угольника легко получить равенство
а2=62-(-с2—2bc cos а
(а2=с2—6г=6а4-с2—262=&2+с2—26с cos а) и затем вы-
сказать предположение, что оно выполняется в произ-
вольном треугольнике.
Теорему Пифагора можно сформулировать еще и
в следующем виде:
4. Площадь квадрата, noci роенносо на гипотенузе
прямоугольного треугольника, равна сумме площадей
квадратов, построенных на катетах.
Внимание учащихся следует обратить на то, что
квадраты являются подобными четырехугольниками,
а высота треугольника, опущенная из вершины пря-
мого угла, разбивает его на два треугольника, подоб-
ных исходному, сумма площадей которых равна пло-
щади исходного треугольника (на катетах и гипотенузе
как на сходственных сторонах построены подобные
треугольники). После этого получим следующее обоб-
щение:
4*. Если на сторонах прямоугольного треугольника
(как на сходственных) построены подобные многоуголь-
ники. то площадь многоугольника, построенного на ги-
потенузе, равна сумме площадей многоугольников, по-
строенных на катетах.
Приведем пример обобщений в разных направлениях
из алгебры.
5. Если xi и х: положительны и XfX2—l, то Xi-f-
+х2>2.
Рассматривая вместо двух чисел произвольное их чис-
ло, получим следующее обобщение;
Б*. Если к\, X}, .... хп по южчтгльны и XfXf..
= 1, ю
Xi + Xg-J-. . .Ч-Хп^П.
Записав заключение теоремы 5 в виде x'i+x^^x0!-!-
+х°2. можно увидеть следующее правильное обоб-
щение:
5**. Если Xi и х2, положительны, XfX2—i и ш~>п'^
^0, то
+ -V” >х"+
Иногда возможны два различных обобщения в одном
и том же направлении, т. е. при отбрасывании одного
и тою же ограничения. Приведем пример.
6. Точки /И и N являются серединами боковых сто-
рон АВ и CD трапеции ABCD (рпс. 1). Если прямая
MN пересекает диагональ АС в точке К, а диагональ
BD в точке L, то |MK| = |L/V|.
Сняв ограничение, что точки М и N — середины сто-
рон АВ и CD, и потребовав, чтобы отношения
|ЛЛ1| : \АВ | и |£>Л/| : |ОС] были равны, также полу-
чим, что |Л1К| = |Z.W|. Это обобщение легко усматри-
вается и доказывается. Труднее догадаться и доказать,
что отрезки МК и LN конгруэнтны и в том случае,
когда равны отношения |ЛЛ4| : |ДВ| и | CN | ; |СП|
(рис. 2).
Обобщение можно получить также и путем изменения
числа рассматриваемых элементов. Приведем два при-
мера.
7. При любых положительных а, и а2 верно ра-
венство
lg (aia2) = lg ai+lg a2.
Взяв не два числа, а три, получим обобщение:
7*. При любых положительных at, а2 и а3 верно ра-
венство
lg (ouajcis) =Ig ui+lg a2+lg a3.
Теорема 7 получается из 7* при аз=1.
Очевидно, что обе эти теоремы можно обобщить на
произвольное число положительных множителей, стоя-
щих под знаком логарифма.
8. Для любых векторов а и Ь выполняется неравен-
ство
|о+6( С lal + РI-
—* —* —►
8*. Для любых векторов а, b и с выполняется нера-
венство
|а+Ь + с| |а| +1Ь | + | с|.
Одним из способов обобщения некоторых теорем мо-
жет быть использование предельного перехода. Пояс-
ним это на примере.
Пусть требуется найти сумму углов л-угольника
Д|Л2..Лл-|Лп. Рассуждения можно провести следую-
щим образом: «Наверное, эта сумма постоянна для
всех многоугольников с заданным п. Будем прибли-
жать вершину Ап к диагонали AtAn-t (рис. 3). В этом
случае величина угла AtAnAn-t будет стремиться к
180°, а сумма всех углов п-угольнпка — оставаться той
же. Когда точка Ап попадет на диагональ AtA„-1, то
указанный угол будет равен 180°. Но таким образом
Рис. I
Рис. 2
58
Рис. 3
4-cos a —
a
sin y
„ 5a
sin 2a-cos -y
a
sin —
мы получим (и—1)-угольник, а угол в 180° «потеряем».
То же самое проделаем с остальными вершинами.
В результате получим треугольник, сумма углов кото-
рого равна 180°, «потеряв» при этом 180° (га—3). Сле-
довательно, сумма углов и-угольнчка, вероятно, равна
180° t-180° (и—3), или 180° (л—2). Теперь остается про-
вести строгое доказательство (рис. 3 поможет это
сделать)».
Получить правильное обобщение иногда можно, ис-
ходя из одного частного случая. Так, рассматривая со-
отношения между сторонами и углами прямоугольного
а Ь
треугольника = с, = с, (у=90°), мож-
а Ь с
но заметить, что 7— = и виска‘
зать предположение о том, что такая закономерность
существует и в произвольном треугольнике.
В некоторых же случаях, для того чтобы ученик
мог получить правильное обобщение, следует облегчить
задачу, указаа два (нли больше) частных случая об-
щей теоремы.
Например, ученику будет трудно построить правиль-
ное обобщение следующей теоремы:
9. Если ]х| ^1, то выполняется неравенство
(1—х)2+(1+х)2^4.
Указав же, что при |х|^1 выполняется также нера-
венство (1—х)3+(1+х)3^8, мы направим его по вер-
ному пути, и он сможет получить такое обобщение:
9*. Если |х|^1, то выполняется неравенство
(1—х)п+(1+х)п^2", иС N.
Доказательство этой теоремы является несложным
упражнени :м на нахождение наибольшего значения
функции Z(x) = (l—x)n4-(14~*)n иа отрезке [—1; 1].
(Легко показать, что х=0— единственная критическая
точка этой функции.)
Иногда при построении обобщения бывает целесооб-
разно нацелить учащихся на самостоятельное получе-
ние аналогичной (частной) теоремы; на основании уже
двух теорем они смогут сформулировать обобщение.
10. При любых допустимых значениях а выполняет-
ся равенство:
За
sin -g-'Cos 2а
cos а 4- cos 2а 4- cos За =----------. (1)
slnT"
Поставим цель: обобщ, ть эту теорему на произволь-
ное число слагаемых. Тогда левая часть равенства бу-
дет иметь вид cos а4 cos 2а+.. ,4-cos па. Чтобы найтн,
какой внд будет иметь правая часть равенства, нужно
зиать закон, по которому изменяются коэффициенты
при а в этой части. Угадать его по одному частному
случаю трудно, поэтому найдем аналогичное равенство
для четырех слагаемых:
За
sin -у • cos 2а
cos а -f cos 2а 4- cos За 4- cos la ----------4.
sln-y-
sin 2a-cos —
cos a -j- cos 2a + cos 3a 4- cos 4a =-----—------.
sin —
(2)
Изучение тождеств (1) и (2) подсказывает нам, что
вероятно, обобщенная теорема будет следующей:
10*. При любых допустимых значениях а выполняет-
ся равенство
cos a + cos 2a 4- • • • 4- cos ла =---------------—
sin —
Эту теорему легко доказать методом математической
индукции
вой части
или непосредственным преобразованием ле-
(умножпгь и раздел-пь ее на sin -у и про-
синуса на косинус преобразовать в сумму),
доказательство общего утверждения прово-
1
1
sin 2" a — c,ga —
изведенне
Иногда
дится легче, чем непосредственная проверка истинности
частного утверждения. В этом можно убедиться на при-
мере следующих двух равенств, из которых второе яв-
ляется обобщением первого.
1 1 1 _ _
sin2a sin 4a sin 'л sin iGa ct^ a
— etg 16a.
1 1
1 ’ sin 2a sin 4a
— etg2" a, n£N.
Равенство 11* легко доказать методом математиче-
ской индукции. (При л=1 оно верно. Остается дока-
зать справедливость равенства
etg a — etg 2П~’ a 4- s)ng„g = etg a — etg?"a.
что сделать намного легче, чем доказать равенство И.)
Следует обращать внимание учащихся на то, что
иногда можно прийти к неверному обобщению. Так,
если в теореме «Точки, делящие стороны правильного
треугольника в одном н том же отношении, являются
вершинами правильного треугольника» подобие данного
п полученного треугольников мы будем считать суще-
ственным свойством, то получим неверное обобщение:
«Точки,, делящие стороны любого треугольника в одном
п том же отношении, являются вершинами треугольни-
ка, подобного данному». Или, пытаясь обобщить нера-
венство
ах bi 4- a,b, < 4- (tf 4- b%).
учащийся может прийти к неверному неравенству
bi 4- а, Ь, < 4* д") 4- Ь").
Во всех таких случаях ученики должны уметь при-
вести контрпример.
59
Покажем пример еще одного важного способа обоб-
щения, который часто применяется в математике и ко-
торый можно рассмотреть с учениками на внеклассных
занятиях.
Известны теоремы о точке пересечения медиан тре-
угольника и тетраэдра.
12. Медианы треугольника А|А2А3 (тетраэдра
A|A2A3A,) пересекаются в одной точке М и делятся
ею в отношении 2:1 (3:1), считая от вершины, причем
для любой точки О выполняется равенство
ОМ=-±- (ОА, 4- ОД, 4- ОД,) (ОМ = (04,4- ОА,4-
+ 04, 4" ОД,)).
Обобщим эти две теоремы. Назовем центроидом
системы различных точек Дь Д2, ..., 4Й точку N та-
кую, что зыполняется равенство A|W-l-A2/V4-...4-4ii/V=
—О (легко видеть, что центроид для данной системы
точек один). Заметим, что центроидом отрезка являет-
ся его середина, а центроидом треугольника — точка
пересечения его медиан. М е д и а н о й системы различ-
ных точек Д|, Д2, ..., Д„ (п$,3) назовем отрезок,
соединяющий одну из точек (вершин) этой системы
с центроидом остальных п—1 точек. Таким образом,
система из п различных точек имеет п медиан. Учи-
тывая теоремы о точках пересечения медиан треуголь-
ника и тетраэдра, можем сформулировать следующее
их обобщение:
12*. Медианы системы л различных точек Дь Д2, ....
4 в пересекаются в одной точке М (если их пересече-
нием не является отрезок) и делятся ею в отношении
(п—1) : 1, считая от вершины, причем для любой точ-
ки О выполняется равенство
ОМ - (04, 4- 04,4-... + ОДП).
В этом случае мы получили обобщение теорем по-
средством использования обобщенных понятий <цен-
троид» и «медиана».
В заключение отметим, что обобщение является од-
ним из важных методов познания. Знакомя школьни-
ков с одной из его сторон — построением обобщений
теорем, не следует обходить, конечно, и другие вопро-
сы, связанные с обобщением.
О законах отражения
и преломления света
О. С. Ивашев-Мусатоа
(Москва)
В этой заметке рассматриваются две задачи на прило-
жение математического анализа к физике. Первое зна-
комство учащихся с этим кругом вопросов началось
в физике, когда сообщалось, что вектор скорости точки
направлен по касательной к траектории этой точки.
В предлагаемых задачах выявляется еще одна важная
роль касательной. Закон преломления света получен
в учебном пособии < Алгебра и начала анализа 9—10»
под редакцией А. Н Колмогорова (изд. 1980 г.
и позднее) для случая когда граница между среда ли,
в которых распространяется свет, есть прямая. В за-
метке рассматривался ибшпй случай.
Задача 1. Пусть график положительной и диффе-
ршцируемой функций f разбивает первую четверть ко-
ординатной плоскости на две части — «нижнюю» и
«верхнюю» (рис. 1).. Точка движется из начала коор-
динат (оно принадлежит «нижней» части) в точку
Q(a, b), принаолежицую «верхней» части. При этом
в «нижней» части ее скорость Щ постоянна, в «верх-
ней» части ее скорость v2 также постоянна, и П|#=о2.
По какому пути должна двигаться точка, чтобы на
весь путь затратить минимум времени?
Путь точки — ломаная OMQ, положение точки
М(х, f(x)) надо определить так, чтобы на этот путь
было затрачено наименьшее время. Запишем время t,
затраченное на путь OMQ точкой:
| О/И | । । /r (л)
Vi V, Vt "г
V4(х — а)2 4- (f (х) — b)2
+ v,
Время I — функция от х — абсциссы точки М. Нас ин-
тересует минимум этой функции. Так как она диффе-
ренцируема, то в точке минимума выполнено необхо-
димое условие 1'=0 (теорема Ферма):
*)-/(*)/' (-у) х — а 4- (/ (x)—b) f (л) _
V, / х2 4- f2 (х) + v, /(л— а)а4- (f (x) — b)2 ~
(1)
На рис. I прямая МТ — касательная к графику функ-
ции f в точке касания М, а ф — ее угол наклона, так
что tg<p=/'(x); (MN)Ju(MT) и (AlL)||Ox. Тогда
, f (х) х
sln?= |ОА1 | ’ COS?=TW’
. a — x b — f (x)
CO'0— | A7Q I ’ sin0~ lAJQp’
и формулу (1) можно переписать в виде
1 1
(cos 7 + sin 7 tg <p)-— (cos e 4- sin e tg <p) = 0.
После умножения последнего равенства па cos ф полу-
чаем
1 1
— (cos 7 cos <p 4- sin у sin ф) — — (cos в cos 4-
4- sin в sin ф) — 0,
т. e.
cos(tp—7) cos (<p — 6)
fi = v,
Угол ф — внешний для AOMT, и потому ф=у4-а4-
4-л/2, откуда
ф—у=а4-л/2 и
cos (ф—у) =cos (а4-л/2) =—sin а. (3)
Угол ф — внешний н для ANМТ, и потому Jw/vY=
=Ф—л/2. Но углы MNT и PML соответственные, сле-
довательно, они конгруэнтны:
Р+9 = PML - MNT=ф—л/2.
Отсюда получаем
Ф—0 = Р4-л/2 и
cos (ф—0) = cos (Р4-Л/2) ——sin р. (4)
СЮ
Подставляя яа (3) я (4) я (9), приходим к равенству
sin a sin £ sin а vi
—t--------или (5)
Итак, точка М должна быть выбрана так, чтобы вы-
полнялось условие (5).
Таким образом, преломление света происходит по то-
му же закону, который выведен в пособии «Алгебра
и начала анализа 9—10» (с. 92, формула (1)). Физиче-
ский смысл полученного решения можно истолковать
так: преломление света происходит так, как будто кри-
волинейная граница разделения сред на малом проме-
жутке около точки падения луча М заменена на отре-
зок касательной к этой границе, проведенной в точ-
ке М. Аналогичное положение и с законом отражения.
Задача 2. Точка движется из начала координат
до графика дифференцируемой функции f. отражается
от него и попадает в точку Q(a, Г).). Скорость v точки
постоянна. По какому пути должна двигаться точка,
чтобы на весь путь затратить минимум времени?
Путь точки — ломаная OMQ (рис. 2), где (МТ) —
касательная к графику функции f с точкой касания
М(х, f(x)), (MN)-L(MT). Положение точки М надо
определить так, чтобы на путь OMQ точка затратила
минимальное время. Запишем время движения точки:
z “ Т" < I ОМ | 4- I MQ |) +
+ /(х —а)а4-/2(х)).
Нас интересует минимум этой функции от х. Посколь-
ку это дифференцируемая функция, то Г=0 в иско-
мой точке:
• fx + f (х) f (х) . х — а + f (х) f (x) > ,
v \ /x3 + /’ (x) V(x — a)3 + f3(x) /
Так как (положим в = ^QM)
X f lx)
C°S 7 = | OM | , Sin 7 - | 0M | ,
. x — a f (x)
cos 6 “ 1 QM | ’ sln 6 “ | QM | ’
то после умножения на о формула (6) принимает вид:
cos уЧ-sin -у fg ф+cos 0+sin 0 tg ф=0.
После преобразований (как в задаче 1) получим
ccs (<р—y)4-cos (ф—0)=О. (7)
Угол <р — внешний для ДО МТ, и потому ф=у4-а4-
4-л/2, откуда
cos(<p—y)=cos (л/24-а)=—sin а. (о)
Угол Ф — внешний и для AQM7, и потому ф=п/2—
—₽+0, откуда
cos (ф—0) =cos (п/2—₽) =sin р. (9)
Пользуясь равенствами (8) и (9), перепишем (7)
в виде:
—sin a+sin Р=0 <=> sin n=sin р,
откуда следует, что а=р, так как это острые >тлы.
ЗАДАЧИ
Решения задач этого номера должны быть отправлены
в редакцию ие позднее 1 января 1985 г. О правилах
оформления решения задач см. в Mi 1 журнала «Ма-
тематика в школе» за 1984 г. на с. 78.
Задачи для IV—VIII классов
2761. Занумеровать вершины куба числами от 1 до 9
таким образом, чтобы суммы номеров вершин (все но-
мера вершин различны), лежащих в каждой грани, бы-
ли равны между собой и не делились на число, не ис-
пользованное при нумерации.
В А Юдаков (Иркутская обл., с. Ермаки)
2762. Можно ли написать подряд 17 целых чисел
так. чтобы сумма любых четырех соседних чисел была
отрицательной, а сумма всех чисел равнялась 1985?
О. И. 11 ерь ков а (г. Псков)
2763. Существуют ли такие три различные цифры,
что все трехзначные числа, составленные из них без
повторений, являются простыми?
Ф. Д. Безносиков (г. Сыктывкар)
2764. Сколько решений в целых числах имеет урав-
нение
V~x 4-/7— 1984?
Ф Д Безносиков
2765. Произведение цифр числа п равно п3—10м—22
Найти это число.
Математический кружок Мамедбейлииской шк.
Зангеланского р-на АзССР (рук. С. С. Гасанов)
2766. Упростить выражение
>^44- /15 4- К 4 —/15 — V 1~ /5 •
Р. М. С а л и м ж а н о в (г. Петропавловск)
2767. В прямоугольном треугольнике ЛВС, площадь
которого S, г — радиус вписанной окружности, R — ра-
диус описанной окружности. Доказать, что
г = /5 4- R3 — R.
В. С. Покровский (Киев)
2768. В окружность с центром в точке О вписан че-
тырехугольник ABCD: [AClOfBDJ — N, АОС=4ВСА
Доказать, что |ВС|2= |ВО| - |BzV|.
В. С. Покровский
Задачи для IX—X классов
2769. Доказать, что при любых х, у, г £ R выполняет-
ся неравенство
V х3 4- ху 4- у2 4- /х2 + хг 4- г3 >. т/ у* 4- yz 4- z3 .
М. А Муртазалиев (г. Махачкала)
2770. Решить уравнение
3 (хг — х 4- 1) — (х 4- /х — 1 )2.
А. В. Ермилов (г. Коломна)
2771. Решить уравнение
2 logj etg x=ice2 cos x.
В. А. Ясинский (г. Винница)
2772. Решить уравнение
tg2 2x-tg 3х=3 tg Зх—4 tg 2х.
Математический кружок Башской шк
Самтредского р-на ГССР (рук. Л. Е. Т в а л а в а д sej
61
2773. На сторонах треугольника АВС в его плоско-
сти во внешнюю область построены равносторонние
треугольники ABD и ВСЕ с центрами 0{ и 02 соот-
ветственно. Доказать, что треугольники О\МЕ и O,MD,
где М — середина стороны АС, подобны.
Ю. И. Хохленке (Брянская обл., г. Навля)
2774. Доказать, что для углов треугольника АВС и
для любых положительных чисел х, у, г выполняется
неравенство
xi+y‘a+zi^2yz cos A+2zx cos B{-2yx cos С,
При каком условии имеет место равенство?
Э. Г. Готы ан (г. Арзамас)
2775. Тетраэдр ABCD вписан в шар радиуса R с
центром О. Если провести прямые АО, ВО, СО, DO, то
они пересекут соответственные грани в точках A,, Bj,
Dt. Доказать, что
16
| АА, | + | ВВ, | + | СС. | + | DDi | > R.
И. А. К у ш н и р (Киев)
2776. Найти геометрическое места точек пересечения
медиан треугольников, вписанных в данный треуголь-
ник.
Т. В. Бурлакова (Ивановская обл., г. Шуя)
Предел последовательности
на 7, то число 11 222 222 на 7 не делится; с другой
стороны,
12 122 222= 11 900 000+222 222
Л?л 'я на 7.
2652. Найти наименьшее натуральное число, делящее-
ся на 63, у которого сумма цифр равна 63.
Решение. Единственное семизначное число с сум-
мой цифр 63 равно 9 999 999 и на 63 ие делится, так
как не делится на 7. Восьмизначные числа, начинаю-
щиеся с I и удовлетворяющие условию задачи, содер-
жат кроме единицы цифру 8 и шесть цифр 9, в наи-
меньшим из них, делящимся на 7, является, как легко
видеть, число 19 899 999. Это число и будет решением
задачи.
2663. В бригаде три токаря. Первый и второй рабо-
чий за день могут изготовить в 3 раза больше деталей,
чем третий, а третий за один день может изготовить
деталей не больше, чем второй за два дня. Сравнить
производительность труда членов бригады.
Решение. Приняв производительность третьего то-
каря за 1, и обозначив через х и у производительность
труда первого и второго токаря соответственно, полу-
чим, что
1
х + у - 3, у > -2*.
Другими словами, условию задачи удовлетворяют коор-
динаты точек, лежащих внутри отрезка АВ (рнс. 1).
2777. Последовательность (хп) задается рекуррент-
ным соотношением хп+1 = х„(1—хп), причем 0<Х!<1.
Доказать, что limnr„ = l.
.«е»оо
Л. Д. Курлявдчик (Ленин!рад)
Системы линейных уравнений
277S. Если 2 КЛ4 пройти пешком, 3 км проехать на
велосипеде и 20 км—на мотоцикле, то потребуется
1 ч 6 мин; если 5 км пройти пешком, 8 км проехать
на велосипеде и 30 км — на мотоцикле, то потребуется
2 ч 24 мин. Эти данные позволяют узнать время, не-
обходимое для того, чтобы пройти 4 км пешком, про-
ехать 5 км на велосипеде и 80 км — на мотоцикле.
Найти зто время.
Ц И Хизанишаили (Тбилиси)
Два квадрата
2779. На плоскости даны одинаково ориентированные
квадраты ABCD и A^C'iD,. Доказать, что 1.4.4.|2+
+ lCClr=l^1|»+|PD1}2.
Е. А. Л в х о т а (г. Анапа)
Касательные сферы к плоскостям граней
равнограннсго тетраэдра
2780. Остроугольный треугольник D,D2DS является
разверткой некоторого тетраэдра ABCD. Точки А, В
и С — середины сторон D2Dt, и DiL\ этого тре-
угольника. Построить точку касания сферы с гран о
АВС, если сфера касается 1) предо гтьений трех осталь-
ных граней; 2) всех четырех грачей тетраэдра.
В, А. Жаров (г. Ярославль)
Решения задач,
помещенных в № 6 за 1983 г.
2661. Можно ли с помощью шести двоек и двух единиц
составить число, начинающееся с 1 и делящееся на If
Решение. Поскольку число, составленное из шести
одинаковых цифр, делится на 1001, а следовательно, и
Точки К, L, Л1, Л' показывают, что возможны неравен-
ства
х<\<у, 1<х<у, 1<у<х, у<1<х,
причем в каждом из этих случаев можно поставить и
знак нестрогого неравенства. Следовательно, невозмож-
ны только те случаи, когда х и у оба меньше или рав-
ны 1.
Таким образом, из условия задачи следует лишь, что
производительность труда третьего токаря не может
быть самой большой.
2664. Решить уравнение
23*-5 «= х13-3* — 65.
Решение. Учитывая раздел, в котором помещена
эта задача, будем искать лишь целые корни дайною
уравнения. Ясно, что х должен быть больше 1. но не
больше 4, и простая проверка показывает, что единст-
венным корнем уравнения является число 3.
2665. Доказать, что если числа а, Ь, с положительны,
то хотя бы одно из чисел (а+Ь+с)2—8ас, (a+b-j-c)-—
—Sbc. (a-t-b+c)1—8ab положительно.
Решение. Сумма данных чисел равна
3(о2+Ь2+с2)—2(аЬ+дс+Ьс) =
= в’+Ь2+с2+ (а—Ь)’+ (а—с)2+ (6—с)»
и. следовательно, положительна, так как по условию а,
Ь. с положительны. Поэтому хотя бы одно из caaiae-
мых положительно, что и требовалось доказать.
62
26ЯТ ла яэ системы неравенств аРсЬс,
6*<вс (а, Ъ, с^-0) неравенство a-(-b<z2c?
Решение. Обозначив а/с и 6/с соответственно че-
рез х и у, получим задачу: следует ли из неравенства
х2 < у < У*"х неравенство х+у<2? Но если
Xs < у < Vх,то х<1 и у<1, а тогда х+у<2.
2667. Пусть а, Ь, с — стороны треугольника АВС, г.—
радиус вписанной окружности, R — радиус описанной
окружности. Доказать, что
Решение. 1) На основании теоремы о среднем
арифметическом и среднем квадратичном имеем:
1/1 1 1 у 1 1 1
зЧ~ + Т+ с ) <+г + Ь2 + с2 •
2) Как известно,
„ abc S -\Г (р — а) (р—Ь)(р—с)
*“4$’ Г—7“ У ----------------Р----------'
Отсюда получаем
1 1 4S -1/ р
2Rr = 2 " abc V (р— а) (р — Ь)(р— с) =
2 1/~
- И ^р~а> <р~ь> (p-^i^) (p'—bTtp—cy
I =2_ . J_ , J_ =
VRr = abc = be **” са' nb
1 /3_ 3 _3_\
"* 3 \а6 Ьс са )
z__1_ ? 1 1 1 2 2 _2_\
“ 3 \ab Ьс ' са ' ab Ьс ' са )‘
Но из неравенства а2 (Ь—с)! + Ь2 (с—а)2 + с2 (а—6)2>0
следует, что ++ — < —- + — + — поэто-
му
1 1/1 1 1 2 2_ 2 \
TRr <~3\Ъг+ Ь‘ + с2 +ab + Ьс + са/<
1/1 1 IV
<-зЧ“Г+ Ь + с)'
1
] р? 4 (а + 6 4” с)г
4г’ = 4S’ = 4р (р— а) (р — Ь) (р —с) ~
________________(а + Ь + с)2__________
= (а + Ь 4 г) (6 4- с — а) (а — Ь-)-е)(а + Ь—с) =
____________а + Ь + с_________ (Ь * 1 с—а) 4-
(6 4-е—а) (а 4- с — Ь) (а + Ь — с) — (6+с—а) х
4- (с 4- а — Ь) 4- (а 4- 6— с) 1
X (с 4- а — Ь) (а 4- Ь —с) ~ а2 — (Ь—с)2 4-
1 1 1 . 1
4- 62—(с —а)я 4- C2_^a_(,y > аг + b2 4-
1
V лк, задача решена полностью.
2668. Пусть а, Ь, с — стороны треугольника ABC, R
и г — соответственно радиусы описанной и вписанной
окружностей. Доказать, что
1) abc— (п4-Ь—с) (b4-с—а) (с4 а—Ь) > 0.
2) /?5=2г (следствие из предыдущего неравенства,.
Решение. 1) ((а+Ь—с) (б-j-c— а) (с+а—b))s=
= ((а2—(6—с)2) (62— (с—а)2) (с2—(д-6)2) ^о262с2.
Итак, abc—(a-\-b—с) (6+с—д) (с+а—6)^0.
2) Имеем:
abc^ (д4-6—с) (64-е—о) (с+а—Ь),
Отсюда
abc
R
8(р — а) (р—Ь) (Р —с)р
4pS
следует, что
2S2
pS
2S
Р
2г.
2669. Для каких чисел k из системы неравенств
a2Cbc, Ь2-^са (а,Ь,с>0) следует неравенство
a+b<ikct
Решение. Утверждение задачи 2666 показывает,
что числа 6^2 удовлетворяют условию задачи; с дру-
гой стороны, если число k удовлетворяет условию, то,
положив д = Ь, получим, что из неравенства д<с сле-
дует неравенство 2a<Lkc, а это верно лишь при k~z?2.
Следовательно, других решений нет.
2670. Имеет ли решение система неравенств
XiXz+yxyzCb, *1Хз+!Л!/з<0, Xi-X4+Sh!/4<O,
*2^з+!/2ро<0, Х2Х4+У2У4<0, X3X4+y3j/4<0?
—>
Решение. Рассмотрев векторы а<=(х<, у,), i=
— 1, 2, 3, 4, заметим, что данная система неравенств
означает, что попарные скалярные произведения этих
векторов отрицательны, т. е. любые два из них обра-
зуют тупой угол. Однако на плоскости это невозможно,
так что данная система ие имеет решений.
2671. Решить систему уравнений
4х2 + 4у2 + 4г2 + 17 — 8х + 4у + 16л.
Зх —4у + 12г - 12.
Решение. Первое уравнение системы можно запи-
сать в виде
(х- 1)» + (у---^-)2+(г-2)’= 1,
откуда видно, что оно является уравнением сферы ра-
диуса 1 с центром в точке С (1, 1/2, 2). Расстояние от
точки С до плоскости, заданной вторым уравнением си-
стемы, равно 1. так что данная система имеет единст-
венное решение — координаты точки М касания сферы
и плоскости. Точка М является, очевидно, точкой пере-
сечения плоскости и прямой с направляющим вектором
(3, —4, 12), проходящей через точку С, так что ее
координаты являются решением системы уравнений
1
х — 1 у~ 2 г —2
3 m — 4 “ 12
Зх — 4у + 12 z = 12.
Из этой системы получаем
10 21 14
13* 26’ г~ 13*
2672. Имеет ли центр симчетрии график функции
Решение. Если график F данной функции имеет
центр симметрии Д(а, 6), то он отображается на себя
при симметрии ZA, а ось ординат, не пересекающаяся
с этим графиком, переходит в параллельную ей пря-
63
мую, также не пересекающуюся с F. Однако ось орди-
нат является единственной «вертикальной» прямой, не
пересекающейся с F, н, следовательно, она также ото-
бражается на себя, т. е. проходит через центр симмет-
рии А. Это означает, что а=0.
Далее, точка /1(0,6) является центром симметрии
геометрической фигуры F, если вместе с каждой точ-
кой М (х, у) F содержит точку М' (—х, 2Ь—у): поэтому
в данном случае из равенства у = _у должно сле-
довать равенство
26—у<= е-х’_Т«
т. е. при любом хУ=0 должно выполняться равенство
1 1
2b~ ех — 1 " е~х — 1 •
О' сюда
1 1 1
26 - 1 + е-Л _ 1 - 1 + 1 - •’
т. е. 6 — . Поэтому точка А ^0, -г?-) является
центром симметрии данного графика.
2673. Доказать, что если А. В, С — углы тупоуголь-
ного треугольника АВС. то tg Л-f-tg B-j-tg с'<0.
Решение. Имеем:
tg А + tg В + tg С — tg (180° — (В + С)) 4-
-с IgB + tgC------tg(B + C)4- tg.« + tgC =
~ tgB-f-tgC
- tg В -I- tg C-------x =
1 — tg B-tgC
1
1 — tg В • tg c
(tg В 4- tg С I 1
1 —tgB-tgC
— tg(B + c»-ige-tgc = tg2.tg e-tgc.
Итак, tg Д-j-tg B+tg C=tg Л-tg B-tg С. Поскольку
данный треугольник тупоугольный, то правая часть по-
лученного равенства отрицательна, а поэтому и левая
часть отрицательна, т. е. tg Л-f-tg B4-tg С<0.
2674. А, В, С — углы треугольника АВС. Известно,
что
sin А sin В 4- sin С г—
----~~----------X- = g 3.
cos А + cos В + cos С
Доказать, что по крайней мере один из углов треуголь-
ника равен 60°.
Решение. Из условия задачи следует, что
/ 1 - > 3 /1 ~ /з
I — sin А — -5— cos А ) 4. Isin В--g— cos В ) 4-
/1 - /т
4- ( -у slnC —~2~ cos С ) = 0-
Отсюда
sin (Я — 60°) 4- sin (В — 60°) 4- sin (С — 60°) = о,
/ А 4- В \ A — 1
2 sin I--------— 60u 1 cos-----------4-
C —60° C —60°
4- 2 sin -g--------cos--2-------” 0’
cos I 60°
Из последнего равенства следует, что по крайней мере
один из углов треугольника равен 60°.
2675. Найти минимальную площадь пятиугольника,
имеющего форму «конверта», вписанного в круг радиу-
са R («конверт» — это фигура, образованная прямо-
угольником и равнобедренным треугольником, основание
которого совпадает со стороной прямоугольника).
Решение. Рассмотрим «конверт» ABCDE, вписан
ный в окружность <о(О; R) (рис. 2). Имеем S=S|-|-S21
где S — площадь «конверта», S| и S2— соответственно
площади прямоугольника ABDE и треугольника BCD.
Рис. 2
Пусть | | = х, тогда | BD | = / 4/?“ — х!, S, —
= х V 4/?а —х2. Далее, | CF | = 7? —-у и S3 =
Итак, получаем:
S-л /4№ - -х“ 4- -у/4R2 — ха,
S (х) = (у 4- у) /47?’ —л-», 0 < х < 2R.
Заметим, что lim S (х) = 0, поэтому минимальной
площади не существует.
Определим максимальную площадь «конверта»
Найдем производную:
Пусть S'(x)=0, тогда после преобразований получим
( 73—1 D
Зх2 4- Нх — OR- - V, ---£---А1.
64
/73—1
При 0 <х <-g--/?
имеем S' (х) > U, а при
/73 — 1
6
R < х < 2R имеем S' (х) < 0, поэтому
•Smax в
_ у, —
“ 4S (3 4- /73) И 70 + 2 / 73 .
2676. Внутри остроугольного треугольника АВС дана
точка О; х, у, г — расстояния от точки О до сторон
треугольника. Радиус окружности, описанной около тре-
угольника АВС, равен R. Доказать неравенство
х 4- / У + /г -С 3 ~2~‘
Решение. Пусть х, у, г — расстояния соответствен-
но до сторон длины а, Ь, с. Обозначим площадь тре-
угольника через S.
В силу неравенства Коши — Буняковского имеем:
/ х 4- / У + /z ах + by + сг X.
Так как ax+by+cz=2S, то
« /ab + be + са < -7Т7Г + с" ‘
I 2R V 2R
Но, как известно, имеет место неравенство а2А-Ь--}-с2
s£9ft2, поэтому
г- г- 1 1/”^"
/ х 4- У у 4- /z /-Х— • ZR = 3 J/ > •
у 2R
2677. Решить систему уравнений
Xs 4- У2 = —У (х 4- г),
л’ 4- х 4- у----2уг,
Злг 4- 8У3 4- 8ху 4- 8уг - 2х 4- 4г 4- 2.
Решение. Переписав данную систему в виде
х (х 4- у) 4- у (у 4- z) = 0,
X (X 4- 1) 4 у (2г 4- 1) = о,
4 (X 4- у)2 4- 4 (у 4- *)’ = (X 4- I)2 4- (2г 4- I)2,
рассмотрим векторы
а=(х, у), b=(x+y, y+z), с=(х4-1, 2а4-1).
Тогда а-b— 0, а-с=0, 462=с2. Если а — 0, то х=у=0,
г=—1/2; если же а=£0, то векторы 6нс коллинеарны,
н. следовательно, с=±26. Рассмотрение этих двух воз-
можностей приводит еще к одному решению системы:
х—О, //=1/2, z=—1/2.
2678. На графике функции
у = /х (х £ [1: °])
найти точку М, для которой имеет наибольшую пло-
щадь треугольник ДМВ, где А и В — точки графика с
абсциссами I и 9 соответственно.
Решение. Приведем геометрическое решение зада-
чи. Площадь треугольника АМВ будет наибольшей, ес-
ли наибольшее значение будет иметь расстояние от точ-
ки /И до хорды АВ. Этому условию удовлетворяет, оче-
видно, точка, в которой касательная к графику парал-
лельна хорде ДВ; другими спорами, абсцисса точки М
является корнем уравнения /'(х) = 1/4, откуда х=4
Таким образом, искомая точка М имеет координаты
х=4, у=2.
_?679. Около правильной пирамиды SABC описана
сфера с центром в точке О. Доказать, что углы <р=
=ZOS и ty=AOB связаны неравенством
2
cos ср 4- cos ф — -3-.
Решение 1. Рассмотрим трехграиный угол OABS
(рнс. 3). По теореме косинусов для трехгранного угла
имеем:
cos АОВ-cos ДО5 - cos'BOS 4-
4-sin A OS sin BOS cos ДО|В,
cos ф = cos2 ф 4- sin2 ф-cos 120°,
3 1
cos ф = ~2~ cos2 ф — .
Поэтому
3 1
cos ф 4- cos ф = -y cos2 ф 4- cos ф — -у,
3 ( 1 \a 2 2
cos ф 4- cos ф - -g-^cos? 4- -y) — — > — -y.
2
Наименьшее значение—-у сумма совф-рсовф прннн-
1
мает при cos q =—-у, т. е. для правильного тет-
раэдра.
Решение 2. Имеем (ОД + ОВ+ОС+О5)2^0. От-
сюда
4/?2 4- bR2 cos ф 4- 6R2 cos <р > 0,
2
cos ф 4- cos ф >- — -у.
2680 В окружность со вписаны два центрально-сим-
метричных треугольника АВС и А\В}С}. Доказать, что
прямые Симеона произвольной точки Р С- со относитель-
на треугольников АВС и Д|В]С1 перпендикулярны.
Решение. Окружность со примем за единичную и
поставим в соответствие точкам плоскости комплексные
числа, тогда (рнс. 4) получим
Oi=—a, bt——6, С|=—с,
1 1
k -= -у (а 4- Ь 4- р — abp), I = — {а 4- с 4- р —аср),
1
— а — 64-р — abp),
65
1
h - ( — a — c К P — acP)'
Отсюда следует, что
1
k — I “-у (b — c)(l — ap),
kt—li------g- (c — £) (1 + ap).
Вычислим отношение (й—Z) : (Aii—l\)z
(c — b) (ap— 1) k — I
(b — c) (ap + 1) ki — li'
Полученное равенство означает, что (K£)_L(K1£1)'.
Замечания к решениям задач
В решениях задачи 2662 имел место, к сожалению,
весьма распространенный недостаток, о котором мы
уже неоднократно говорили,— отсутствие попыток об-
основать необходимые в задаче рассуждения. Поэтому
многие получили в своих решениях число, не являю-
щееся в действительности наименьшим.
Много ошибок также в решениях простой задачи
2663. Из условия задачи можно сделать лишь один вы-
вод — о сравнительной производительности членов
бригады, одиако многие читатели с помощью «хитро-
умных» рассуждений пытались установить полную си-
стему неравенств между соответствующими величинами,
что, разумеется, невозможно. Типичная ошибка при
этом заключалась в следующем: из неравенства xs^Sy
делался вывод, что отношение у к х равно 5. Ряд
читателей ограничились замечанием, что никаких вы-
водов из условия нельзя сделать, а некоторые, получив
правильный ответ, не приводили конкретных примеров,
показывающих возможность остальных случаев взаим-
ного соотношения между производительностями труда
членов бригады.
В условии задачи 2664, как нам кажется, лучше было
бы явно оговорить, что речь идет о целых корнях урав-
нения; многие читатели искали его действительные кор-
ни н обнаруживали, что оно имеет помимо числа 3 ещ₽
один корень, который, однако, можно найти лишь при-
ближенно. В то же время такого рода решения явно
выходят за пределы возможностей учащихся IV—VIII
классов.
Как видно из решения задачи 2665, положительность
всех трех чисел а, Ь, с является слишком сильным огра-
ничением. Более того, если а, Ь, с — любые три чис-
ла, из которых хотя бы два различны, то утверждение
задачи останется верным, если заменить в условии чис-
ло 8 на 9,— это также следует из решения.
Решение задачи 2666 является частью решения зада-
чи 2669, однако многие читатели допустили логическую
ошибку, посчИ1ав, что из первого решения уже следует,
что числа fe<2 не удовлетворяют решению задачи. Ло-
гически говоря, это не так: если мы смогли каким-то
способом доказать, что из неравенств а2<.Ьс и b2<Zac
следует неравенство а-}-Ь<2с, то это вовсе не означает,
что какими-то другими рассуждениями нельзя доказать,
3
скажем, неравенство a -J- b < -g- с.
В ряде решений алгебраических задач этого номера
мы предполагали использование геометрической интер-
претации. Так, в решении задачи 2663 геометрическая
интерпретация легко приводит к способу нахождения
значений производительности труда токарей, при кото-
рых выполняются указанные в решении неравенства.
Решение задачи 2666 в геометрической интерпретации
становится вполне очевидным и более наглядным. К то-
му же использованный в решении рисунок делает оче-
видным и утверждение задачи 2669.
Задачи 2671 и 2677 также решены нами геометриче-
ски. При этом алгебраическое решение первой из этих
задач довольно просто: если из второго уравнения лю-
бое нз неизвестных выразить через остальные и подста-
вить в первое уравнен: ie, то его левая часть превратит-
ся в квадратный трехчлен, являющийся суммой квад-
ратов. Что же касается задачи 2677, то ее алгебраиче-
ское решение требует определенной изобретательности.
Ее геометрическое решение, впрочем, также является
весьма искусственным.
С помощью геометрической интерпретации решена и
задача 2670; ее формальное решение связано с пере-
бором большого числа отдельных случаев, и очень не-
многие читатели смогли провести этот перебор доста-
точно полно и аккуратно.
Мы ограничились геометрическим решением и задачи
2678. Для более строгого ее решения с использованием
той же идеи отметим, что функция у — У х выпукла
вверх и, следовательно, ее график на любом отрезке
расположен над любой своей хордой и под любой своей
касательной. Другими словами, график на любом отрез-
ке лежит в полосе между хордой и параллельной ей
касательной, и поэтому расстояние от любой точки гра-
фика до хорды не больше, чем расстояние до хорды от
точки касания.
Многие читатели провели решение этой задача пря-
мым вычислением площади треугольника АМВ как
функции от абсциссы точки М и исследованием этой
функции с помощью производной. Некоторые читатели
привели еще более простое решение, которое получа-
ется, если воспользоваться формулой площади тре-
угольника по координатам его вершин.
Задача 2667 объединяет в себе доказательство трех
( 1 1 1 1 \
неравенств. Третье из них + ~~р- < 4/.г у
вызвало наибольшие затруднения.
Задачу 2675 многие читатели решили неправильно,
частично ввиду того что в ее условии вместо нахожде-
ния максимальной площади предлагалось найти мини-
мальную. Однако большинство читателей в ходе реше-
ния верно оценили критическую точку полученной функ-
ции и получили правильный ответ, отметив, что мини-
мальной площади не существует.
Наиболее простое решение задачи 2676 получается в
результате применения к данному неравенству формулы
Коши — Буняковского.
Полезной оказалась задача 2679 с точки зрения со-
держания и наличия разнообразных решений. Наиболее
краткий путь к решению основан на применении ска-
лярного произведения векторов, но достаточно поучи-
тельны н традиционные решения, использующие теоре-
му косинусов, а также пр-меиение производной.
С последней задачей 2680 справились немногие. Тра-
диционное решение ее ведет к большим осложнениям
в выкладках, что не позволило его завершить. Наиболее
естественно и эффективно применять в данном случае
комплексные числа, что некоторыми читателями выпол-
нено безукоризненно.
Г. В. Дорофеев
(М сква),
3. А. Скопец
(Ярославль)
Сводка решений задач,
помещенных в № 6 за 1983 г.
В номерах задач опущены две первые цифры.
'Кбдыев Э. Н. (АзССР, г. Тауз) — 61, 66—68, 72—74,
78. Агададашев А. А. (Дагестанская АССР) — 65, 66,
68, 71, 72, 74, 78, 79. Агаев Г. Н (АрмССР, г. Кафан) —
66—68, 73, 74, 78. Александров Г. Г. (Чувашская
АССР, г. Алатырь)—61, 63, 64, 66—68, 71—79. Али-
ев Н. М. (Кировабад) — 65. 66, 73—75, 78. Ал! ев А. В.
(Пензенская обл.) — 61, 64—74, 78, 79. Андриев-
ский С. А. (Омск)—61, 71—75, 78, 79. Апшаев X. М.
(Кабардино-Балкарская АССР)—61, 66, 68, 71, 73, 78.
Бабаян М. С. (Баку) — 61, 63—66. Багдасарян С. С.
(АзССР)—61, 65—68, 73, 76. Баимбетов С. (Каракал-
пакская АССР, г. Тахиаташ)—62, 65—68, 71, 73, 74,
76, 78, 79. Байжанов А. (Хорезмская обл.) —61, 65, 66,
68, 71—73, 78 Балицкий В. С. (Алтайский край,
I Алейск) — 70—80. Баранчук И. Я. (Ровенская обл ) —
61—63, 65—68. Бортная М. И. (Киевская обл., г. тети-
ев) —61, 62, 64, 73—75, 78. Веприк В. К. (Омск) —
61—65, 68,70—74. Габдуллин X. Г. (Гурьевская обл.) —•
61, 65, 66, 68, 71, 73. Гаджнев С. С. (Дагестанская
АССР)—61, 65, 68, 71, 73, 74. Гарбер М. С. (Днепро-
петровск) — 64—66, 74, 78, 79. Гахраманов М. И.
(АзССР) — 64—66, 68, 73, 74, 78. Герег И. А. (МССР)—
64—68, 70—74, 76—80. Головачев Е. А. (Белгородская
обл.)—61, 63—68, 70—74, 76—80. Гордон В. О. (Чи-
та) — 61, 65—68, 70—74, 76—80. Грачикова К- С. (Мос-
ковская обл., г. Ожерелье)—61, 64, 68, 73. Джабба-
ров М. Б. (АзССР, г. Саатлы)—61, 64—68, 71, 73.
Джургараев А. (Джамбулская обл.)—64, 68, 71—74,
78. Досбулаев Я- Г. (Гурьевская обл.)—61, 62, 65, 70,
71, 73, 75, 78. Егоров П. В. (Рязань)—61, 62, 64—66,
68, 70. Емелюшин И. С. (Барнаул) —61, 63—68, 70, 71,
73—75. Журавлев Н. И. (Андижан)—61, 66, 68, 73,
78—80. Закаряев Б. Ш. (АзССР, г. Шеки)—61—68,
71—74, 77—79. Зассеев И. С. (Цхинвали)—61—66, 71,
73, 78, 79. Зискнпд Л. Е (Винница)—61, 63, 65, 66,
68, 70—74, 78, 79. Зубилнн Н. И. (Орловская обл.) —•
61, 65, 66, 68, 73, 74. Зубов А. Н. (Ленинград) —66, 72,
74—78. Иричанин Б. (Югославия, Н. Белград) —61, 62,
64—66, 68, 69, 72—74, 77, 78. Исмаилов X. Т. (Анди-
жанская обл.) — 67, 68, 73, 78. Калмыков В. И. (Якут-
ская АССР, г. Алдан)—61, 65, 66, 71—73. Кикнадзе
А. А. (Тбилиси) — 61, 64—66, 73, 78. Кислицын Л. Н.
(Псковская обл., г. Себеж)—61, 65, 66, 73, 75. Корни-
лов А. В. (Ростов-на-Дону)—61, 62, 65, 66, 68, 69,
72—74, 78. Куделин А. Г. (Ленинград) —61, 65, 71, 73,
74, 78. Курбанов К. Р. (Сырдарьинская обл.)—61, 64,
68, 75. Курганов Т. К- (Ташкентская обл., г. Чирчик) —
61, 64—68, 70—75, 77—79. Курило Н. А. (Харьковская
обл.)—61, 65—74, 76, 78, 79. Кушнер Б. С. (Куйбы-
шевская обл., г. Жигулевск)—61, 63—68, 72—80. Ку-
чевский Н. И. (Черновицкая обл.) —61, 63, 65—69, 71—•
74, 78. Лнхота Е. А. (Анапа) — 65—68, 71, 73—75.
Мадримов С. (Хорезмская обл) — 65, 66, 68, 73, 74;
78. Макаров М. Ф. (Орловская обл.)—61, 62, 65, 66,
71—73, 78. Мамедов Т. И. (АзССР, г. Саатлы) — 61, 65,
66, 73, 78. Мисько Л. И. (Тольятти) — 65—68, 73—75,
78. Мун В. К. (Ташкентская обл., г. Чиназ)—61, 62,
65—68, 70. 72, 73. 76—79. Мусаев Г. К. (АзССР) — 61.
64—68, 72—75, 78—80. Невзоров А. Л. (Кременчуг) —
61—68, 70—76, 78. Нерсесян П. Н. (АзССР) —61, 63—
68. 73. Нечаев Е. К- (Муром) — 68, 73, 75, 78. Ннфтиев
В. Е. (АзССг->) — 66—68, 73, 74, 76. Норов М. (Бухар-
ская обл.)—61—68, 71—75, 78, 79. Орынбасаров И.
(Каракалпакская АССР, г. Ходжейли) —61, 62, 64, 68.
Повелий В. И. (Ровенская обл.)—61, 64—68, 73, 74,
78, 79. Ручкин Д. Д. (Марийская АССР) —61, 65, 66,
71, 73, 74, 78, 79. Рытов II. Н. (Тамбовская обл.) —
61 -63, 65—68, 70—76, 78, 79. Сабанчеев И. Я (Пен-
зенская обл.) —61, 66, 68, 73, 74. Садовин Л. Н. (Ма-
рийская АССР)—61. 62, 64—68, 74. Салимжанов Р. М.
t Петропавловск) —61—76, 78, 79. Сафаров Ш. X.
(АзССР)—61, 62, 65, 66. Семенов М С. (Якутская
АССР)—65, 66, 68, 73, 74, 78, 79. Сефибеков С. Р.
(Дагестанская АССР)—61, 64, 65, 67, 68, 70, 71, 73,
78—80. Симеонов А. А. (Болгария, г. Своге)—69—71,
73—80. Стонис Ю В. (Вильнюс)—61—66, 71, 73, 78,
79. Суховой М. Т. (Новосибирск)—61, 63—68, 70—77,
79, 80. Сысуев Г. Я- (Хабаровский край, с. Князе-Вол-
конка) — 61, 64, 66—68, 71, 73, 74. Трикиди 3. Е. (Тби-
лиси) — 61, 65, 66, 68, 73, 78. Фридлин Г. М. (Берди-
чев) — 61, 65—68, 71, 73, 74, 76, 78, 79. Хагабанов X. Т.
(Кабардино-Балкарская АССР) —61—63, 65, 66, 73, 78.
Хазраткулов Б. (Кулябская обл.) — 61 -63, 66, 69, 70.
Хизанишвили Ц. И. (Тбилиси) — 61, 62, 65, 67, 68, 70,
71, 73—75, 78, 79. Цакоев Б. М. (Рязанская обл.) —
61, 63—68, 70, 71, 73 75, 78, 79. Цхай Т. Т. (Анди-
жан)— 61—80. Чепкасов Г. С. (Краснодар)—61, 63—
65, 68, 69, 73—75, 78. Чулков П. В. (Москва) — 63, 65,
6Ь, 68, 73. Шевчишен С. Ю. (Сумская обл., г. Шост-
ка) — 65, 66, 68, 73, 76. Юдаков В. А. (Иркутская
обл.)—61—75, 77—79. Ягодов В. Н. (Марийская
АС(Р)—61, 66, 72—74, 78. Яружин А. К. (Чувашская
АССР, г. Шумерля) — 61, 62, 65—6'8, 71—75, 77—79.
Математические кружки: VI—VIII классов Сарван-
ской шк. Сальянского р-на АзССР (рук. Н. Ю. Абдул-
лаев) — 61—63, 65, 66; Дамбаловской восьмнлетней шк.
Масаллнпского р-на АзССР (рук. М. А. Агаев)—65—
68, 71, 73, 78; Лежбадинской шк. Марнеульского р-на
ГССР (рук. С. М. Айдамиров) —61, 62, 64, 65, 68, 70;
Еникендской восьмилетней шк. Шаумяновского сельско-
го р-на АзССР (рук. Г. А. Акопян)—61, 62, 64—66,
68; индустриально-технологического техникума г. Идже-
вана АрмССР (рук. 3. А. Алавердян) — 65, 66, 68, 73,
71, 78; 2-й шк. с. Култук Нефтечалинского р-на АзССР
(рук. В. А. Ахундов)—61, 64—66, 68, 73, 74, 78; Сар-
ванской шк. С"и ьянского р-на АзССР (рук. А. М. Ба-
гиров)— 61, 62, 64—66, 68, 73, 77—79; «Агат» 6-й шк.
г. Цхинвали (рук. Э. А. Бекоев) — 61, 62, 65—68, 73,
74; 87-й шк. Еревана (рук. Г. Г. Бояхчян)—61, 64,
66, 72—74, 78; 180-й шк. Киева (рук. Л. И. Брудман)—
61, 65—68, /2, 73, 78; 10-й шк. г. Ангарска Иркутской
обл. (рук. В. А. Васнчьева)—61, 64—66, 68, 70, 73—
75, 77—80; Нариманабадской шк. г. Ленкорань АзССР
(рук. Р. А. Гасанов) —65, 67, 68, 71; 6-х и 9-х классов
94-й шк. Киева (рук. Е. Я. Грищенко)—61, 62, 64, 70,
71; 1-й шк. г. Гардабанн ГССР (рук. 3. А. Гусейнов) —
65, 68, 71, 73, 74, 78; Карачинарской шк. Шаумяновско-
го сельского р-на АзССР (рук. В. Д. Давидян)—61,
66, 68, 73, 74; Лякитской шк. Ка :ского р-н? АзССР
(рук. Б. Д. Джавадов) — 65- -68, 73—75, 78; Набакев-
ской шк. Самтредского р-на ГССР (рук. М. Д. Ка-
шня) —61, 65, 73, 74; 93-й шк. Киева (рук. М. Л. Ко-
бозев)— 61—68, 70—74, 77—79; 8-х классов гимназии
«Баба Тонка» г. Русе НРБ (рук. М. X. Кунчев)—61,
62, 64—68, 76; Цурнбской шк. Чародинского р-на Да-
гестанской АССР (рук. X. И. Магомедов) —61, 62, 64—•
68, 71, 73, 75, 78; 1-й Калччннгкой азерб. шк. Гарда-
банского р-на ГССР (рук. И. М. Мамедов)—61, 64,
66—68, 70—74 78; IX Б класса 2-й шк. г. Касум
АзССР (рук Р. И. Мамедова)—61, 64, 66—68, 73;
г. Рогачева Гомельской обл. (рук. С. Л. Нахамчик) —
61, 63—68, 70—75, 78—80; 2-й шк. г. Мархамат Анди-
жанской обл. (рук. G Сатторов)—65—67, 69, 71, 73,
74, 78; Башской шк. Самтредского р-на ГССР (рук.
Л. Е. Твалавадзе) —61, 64—66, 73, 78; <cXYZ> 22-й шк,
Алтынкульского р-на Андижанской обл. (рук. Ш. Туй-
чиев)—61, 63—65, 69, 71—75, 78; 173-й шк. Киева
(рук. Р. П. Ушаков) — 61—80; Узденобинской восьми-
летней шк. Кусарского р-на АзССР (рук. У. К. Хиба-
баев) 61, 56 68; Эштинской 2-й шк. Богдановского
р-на ГССР (рук. С. А. Эгнатосян) —64—66, 68, 73, 74,
78; 4-й шк. Элликкалинского р-на Каракалпакской
АССР (рук. Р. И Эшимбетов)—61, 62, 64—68, 71 —
76, 78, 79.
67
О ЗА РУБЕЖОМ
Математический анализ
в XI—XII классах школ СРВ
Нгуен Ван Чанг
(г. Ханой, СРВ)
В Социалистической Республике Вьетнам в настоящее
время внедряются общеобразовательные школы дву<
ступеней, основная (I—IX классы) и средняя (X—XII
классы). Основная общеобразовательная школа являет-
ci обязательной для всех. После ее окончания многие
молодые люди идут иа производство или поступают в
профессионал! иые учебные заведения. Примерно 30 %
выпускников IX класса продолжают обучение в средней
общеобразовательной школе, которая объединяет шко-
лы трех типов: физико-математические, бполого хчмпче-
ские и гуманитарные.
В средних общеобразовательных школах Вьетнама
предмет «математический анализ» занимает ведущее
место. Он начинается с XI класса вместо изучаемого
в X классе курса алгебры Па его изучение выделяется
3 ч в неделю, что в итоге составляет 108 ч в XI и 105
в XII классе. Для сравнения укажем, что иа курс гео-
метрии в первом полугодии XI класса отводится 1 урок,
а затем до конца обучения — 2 урока в неделю; 1 урок
в неделю выделен в первом полугодии XI класса для
изучения элементов высшей алгебры — учащиеся зна-
комятся с группами, кольцами, полями.
В создании учебников по математическому анализу
принимала участие большая группа видных математи-
ков, методистов и учителей Вьетнама. Характеризуя эти
пособия, необходимо сначала отметить, что теоретиче-
ский и заданный материал размещен в различных кни-
гах. Учебник включает лишь небольшое число наиболее
типичных задач; решения некоторых из них разобраны
в тексте. Развернутая система упражнений предлагает-
ся в задачнике.
Курсу анализа в XI—XII классах предшествует зна-
комство с элементарными функциями в VI—X классах
школ СРВ примерно в том же объеме, что и в VI—
VIII классах школ СССР.
Учебник по математическому анализу для XI класса
начинается с рассмотрения понятия отображения. За-
тем дается определение функции и вводятся понятия:
функция, обратная данной, сложная функция (как
композиция отображений). Напоминаются известные
учащимся определения степенной, показательной и ло-
гарифмической функций, многочлена и рациональной
функции. При рассмотрении примеров обратных функ-
ций вводятся функции arcsin х, arccosx a cfg х. Опреде-
ляются четные и нечетные, периодические функции.
Устанавливаются свойства графиков таких функций.
Следующая глава учебника («Пределы») составляет
примерно его четвертую часть (всего в пособии 165
страниц) и содержит три раздела «Предел последова-
тельности», «Предел функции», «Непрерывные функ-
щ и».
В итоге подробного рассмотрения нескольких приме-
ров вводится стандартное определение предела последо-
вательности на языке «е—N». Затем без доказательства
формулируются теоремы о предечах суммы и разности,
произведения и частного последовательностей, имеющих
пределы, теорема о пределе последовательности
9"(|<?|<1) и теорема Вейерштрасса.
Заметим, что в учебнике значительное внимание от-
ведено необязательному материалу, хотя он всегда на-
бирается петитом. Так, петитом записан текст доказа-
тельства следующих теорем: о пределе суммы последо-
вательностей. а том, что
I
если Игл лп - со. то Нт —— 0;
Л—>оо
(*)
1
если lim хп = 0, то lim ———со (ХПТ=0)-
Л—>оо П'~^оо П
Много внимания уделено понятию «предел функции»
и технике вычисления пределов. Принято следующее оп-
ределение: «Число L называется пределом функции f(x)
при х->х0. если для любой последовательности хп из
области определения f(x), сходящейся к Хо(*„7^*о)
имеем:
lim f(xn) = I».
П—>оо
Вводится определение бесконечно малой более высо-
кого порядка н формулируются теоремы о пределах; но
доказательство дано (петитом) лишь одноц из них —
теоремы о пределе суммы функций. Также без доказа-
тельства формулируются следующие теоремы: а) «если
функции /(х) н g(x) имеют пределы при и
fW3sg(x), то
lim / (jc) > lim g (x)»;
б) «если f (x)<g (x)<£h (x) и lim / (x)=lim h (x)=?4,
X-+Xq X-+Xq
to lim g (x) существует и тоже равен А».
х~*хо
Формулируются определения односторонних пределов
и соответствующие необходимые н достаточные условия
существования предела. Определен предел функции на
бесконечности и петитом приведены доказательства тео-
рем, аналогичных теоремам (*).
Знакомство с непрерывными функциями осуществля-
ется по схеме, близкой к той, которая принята в совет-
ском учебнике «Алгебра и элементарные функции» под
редакцией А. Н. Колмогорова: определение функции,
непрерывной в точке; примеры непрерывных и разрыв-
ных функций; геометрический смысл функции, непре-
рывной на промежутке; теоремы о непрерывности сум-
мы, разности, произведения и частного непрерывных
функций; непрерывность сложной функции. На основе
наглядных представлений о графике непрерывной на
промежутке функции сформулирована теорема о проме-
жуточном значении, после чего в качестве следствия
выведена теорема о существовании корня непрерывной
на отрезке функции, принимающей в концах отрезка
значения разных знаков. Без доказательства рассматри-
ваются следующие теоремы: о достижении максимума
и минимума функции, непрерывной на отрезке; о том.
что если функция непрерывна в точке х0 и Г(хо)>0
(/(хо)<0), то существует окрестность точки хл такая,
что для всех х из этой окрестности /(х)>0 (f(x)<0).
Глава Ill («Производная и дифференциал») содержит
по преимуществу правила вычисления производных, ее
итог — таблица производных. Изложение вполне тради-
ционно, поэтому обметим лишь вывод формулы произ-
водных показательной и логарифмической функций.
Сначала сообщается без доказательства, что функция
1_
(1 + а) ° имеет предел при а-»0, который обозначает-
ся через е. На основе этого факта уже нетрудно пока-
зать, что (1п х)' = Производную ех легко найти
с помощью теоремы о производной обратной функции.
В этой главе указаны примеры вычисления производ-
ных высших порядков. В этой связи ставятся задачи,
в которых учащимся предлагается проверить, что дан-
ная функция является решением дифференциального
уравнения первого или второго порядка.
Далее учащиеся знакомятся с "онятнем дифференциа-
ла как с функцией приращения (df(xn)—f'(xe)(s,x), рас-
сматривают геометрический смысл дифференциала, фор-
68
мулы для нахождения дифференциалов суммы, разно-
сти, произведения, частного и примеры применения фор-
мулы для приближенных вычислений:
f (х„+Дх) « f (х0) +Г (Хо) Дх.
В отличие от предыдущих глав практически все
утверждения, имеющиеся в последней, чегвертой главе
(«Применения производной к исследованию функций»),
доказаны. Исключением служит теорема Лагранжа, яв-
ляющаяся основой дальнейшего изложения, которое
ведется по следующему плану: признак постоянства
функции, необходимое условие монотонности, достаточ-
ное условие монотонности, необходимое условие экстре-
мума, достаточное условие экстремума (приводятся двя
условия, одно из них связано с исследованием знака
первой производной в . окрестности точки, в которой
Г(хо)=О, другое — с определением знака второй произ-
водной в этой точке).
В итоге дана схема исследования функции. Она пред-
усматривает, в отличие от схемы, принятой в советском
пособии «Алгебра и начала анализа 9—10», исследова-
ние функции на выпуклость (вогнутость), нахождение
точек перегиба. Кроме того, требуется найти горизон-
тальные и наклонные асимптоты (их уравнения в учеб-
ны е выводятся).
Весь указанный набор результатов позволяет ставить
и решать большое число разнообразных задач. Многие
из них требуют довольно продвинутой техники. Приве-
дем в качестве примера несколько упражнений по кур-
су анализа для XI класса вьетнамской школы.
1. Найдите предел:
„ 1 + Зп+’ „ ( — 2)п 4-3"
а) Пт оП ; б) 11m ._______om-t-i I чп-t-i •
Л->оо °
2. Исследуйте сходимость последовательности:
а) {«„} - {(1 -4)0 —Г)-О -4)};
f 1 1 11
б) 2 +2.4+ ••• + 2-4-6-...-2лГ
3. Вычислите предел:
/ГТ*"—i /1 1 \
•' а—Т—; 61 ЙД-ипг—-irr)-
4. При каком выборе числа А функция f(x) будег не-
прерывной на всей числовой прямой, если:
{х 4-1 при х < 1?
3 — Ах2 при х > 1,
5. Найдите точки разрыва функции
I /14-х2
а’ - cos х~: б) f = х2 4- х 4- I ’
6. Докажите, что уравнение 2х3—6x4-1=0 имеет три
корня на промежутке [—2; 2].
7. Найдите наибольшее и наименьшее значения функ-
ции: -
г------ х — 1
a) f (х) — х 4- V as — Xs, а > 0; б) у - % t ,
*€(0; I].
8. Снаряд выпущен под углом а к горизонтальной
плоскости с начальной скоростью о0. Определите угол а
так, чтобы дальность полета снаряда была наибольшей,
если движение снаряда определяется уравнениями:
x=Znscos а,
i/=—0,5gZ24-Zoo sin а.
9. Исследуйте функцию и постройте ее график:
a) t/= (х—1)34-1; б) у =4а4-2х2-1-
В учебнике по математическому анализу для XII
класса первая глава содержит повторительный мате-
риал. Глава II («Неопределенный интеграл») начинает-
ся с определения первообразной. Доказано, что две
первообразные одной и той же функции отличаются иа
константу. Неопределенным интегралом функции назы-
вается множество всех первообразных этой функции.
Составляется таблица неопределенных интегралов. По-
лучает заметное развитие техника вычисления интегра-
лов. Доказаны формулы замены переменных и интегри-
рования по частям, показано, как находить интегралы
типа
Ах А- В
ахг 4- Ьх 4-с с1х’
(R — рациональные функции), fsin’xrfx, f cos" xdx.
Глава III («Определенный интеграл») начинается с
рассмотрения задач о нахождении площади криволиней-
ной трапеции, работы переменной силы. Интеграл вво-
дится как предел интегральных сумм. Отмечается, что
непрерывные на отрезке функции интегрируемы. Приве-
дены доказательства основных свойств определенного
интеграла;
ь ь
если /(х)<^(х),' то f (х) dx < (х) dx\
а а
f (х) I dx-.
ь
если т < f (х)< М, то т(Ь— а) < (х) dx <
а
(Ь — а);
существует такая точка Е., что
ь
f (£) (&-4) - j/ (х) dx.
а
Выводится теорема Ньютона — Лейбница. Значительное
место занимают задачи на вычисление определенных
интегралов.
В ходе изучения главы IV («Применения определен-
ного интеграла») учащиеся решают задачи иа вычисле-
ние площадей криволинейных трапеций и объемов тел.
Приведены формулы для вычисления объемов тел вра-
щения, координат центра тяжести однородной пластин-
ки, имеющей форму криволинейной трапеции, а также
формулы для нахождения моментов инерции.
Приведем примеры ряда задач по курсу математиче-
ского анализа для XII класса
1. Вычислите
(‘ x2dx
J х’4-4;
интеграл
б) ----------dx.
/Зх+Л
2. Вычислите определенный интеграл
* 1
а) ^х’ sin xdx; б) \ arcs in xdx.
о о
3. Вычислите площадь плоской фигуры, ограниченной
линиями:
X2 у2
а) х2 4- У2 - аг и ~ 1 • 0<6 <а;
X2 У2
б) —1 и х — 2а.
4. Вычислите объем тел, образованных при вращении
вокруг оси Ох плоской фигуры, ограниченной линиями:
a) y=sinx, х=0, х=л/4, у—О',
б) у=1пх, х=1, х=2, у=0.
5. Найдите центр тяжести однородной пластинки, все
точки которой удовлетворяют неравенствам:
69
a) 1 eCx2+1/2^4, y^O;
xa va
6) a2" + '^‘<1, x>°> У>0-
6. Определите момент инерции однородной пластинки,
форма которой представляет собой часть плоскости,
X2 у2
ограниченную эллипсом + -& — 1, расположен-
ным выше оси Ох, и самой осью Ох.
В конце XII класса учащиеся сдают письменный вы-
пускной экзамен по математическому анализу. Пред-
ставление об уровне требований, предъявляемых к вы-
пускникам школы, можно получить, ознакомившись с
формулировками указанных выше задач для XI и XII
классов.
В заключение подчеркнем, что в теоретическом отно-
шении вьетнамский курс уступает курсу математическо-
го анализа советской школы. Большинство утверждений
в курсе математического анализа не доказываются, а те
доказательства, которые в учебниках приведены (как
правило, довольно простые), отнесены к необязательно-
му для изучения материалу. Однако вьетнамский вы-
пускник средней школы получает довольно продвину-
тый аппарат исследования функций, включая исследова-
ние точек перегиба, выпуклости и вогнутости, асимпто-
тического поведения. Он имеет также возможность ре-
шать важные прикладные задачи на вычисление площа-
дей и объемов, определение центра тяжести и момента
инерции тел. Таким образом, курс математического ана-
лиза во вьетнамской школе имеет ярко выраженный
прикладной характер.
Кризисное состояние к
математического образования
в школах США
Г. Д. Дмитриев
(Москва)
Одной из основных черт третьего этапа всеобщего кри-
зиса капитализма, начавшегоси после второй мировой
войны, являются хронические спады в экономике, ко-
торые ведут к обострению классовых противоречий,
ухудшению положения трудящихся масс, усилению
классовой борьбы. Углубление кризиса всегда сопро-
вождается активизацией реакционных сил империализ-
ма. Очередной экономический спад в крупнейшей ка-
питалистической стране — США — совпал с приходом
к власти крайне правых консервативных сил во главе
с президентом Рейганом, которые, как отмечалось на
июньском (1983 г.) Пленуме ЦК КПСС, резко увели-
чили свою агрессивность.
Пытаясь найти выход нз кризисного положения пу-
тем искусственного оздоровления экономики, нынешняя
вашингтонская администрация взяла курс на ее мили-
таризацию (под предлогом «советской военной угрозы»),
на развитие топки вооружений, на подготовку к воен-
ным авантюрам в различных уголках земного шара.
Об этом красноречиво свидетельствует рост военных
расходов в США: в 1981 г. на нужды Пентагона было
выделено 160 млрд., в 1982 г.— 187 млрд., в 1983 г.—
245 млрд., а в 1984 г.— 280 млрд, долларов. В пред-
стоящем 1984/85 финансовом году планируется довести
расходы на военные цели до 330 млрд, долларов.
Экономическая нестабильность, баснословные военные
затраты породили новые негативные явления и процес-
сы во всех сферах жизни американского общества,
и особенно в области образования и воспитания под-
растающего поколения Ярким доказательством кризиса
школьного образования является плачевное состояние
математической подготовки в американской школе,
о котором впервые заговорили в США после зап: ска
Советским Союзом первого в истории человечества
искусственного спутника Земли. Появление спутника
показало преимущество советской системы подготовки
высококвалифицированных научно-технических кадров
и прежде всего школьного образования. Спутниковый
синдром вызвал тревогу империализма США, его воен-
но-промышленного комплекса, которые увидели в пло-
хой системе образования угрозу своему существованию.
Созданные в США в конце 50-х гг. комиссии по рефор-
ме содержания учебников по математике вскрыли их
узкопрагматическую, утилитарную направленность, низ-
кий теоретический уровень, оторванность от современ-
ных математических наук.
Теоретической основой разработки «новой математи-
ки», а также и других аналогичных курсов явился
технократизм. Сторонники технократических учений
(Дж. Гэлбрейт, Д. Белл, 3. Бжезинский и др.) абсо-
лютизируют роль науки и техники в общественном раз-
витии и утверждают, что на высшей стадии развития
капиталистического общества — «технотронного» или
«постиндустриального» — происходит перераспределение
власти, которая сосредоточивается в руках интеллек-
туальной элиты. Влияние технократизма на школьную
математику проявилось в усилении внимания к ее пре-
подаванию иа академических потоках государственных
школ. Математика наряду с естественнонаучными пред-
метами стала рассматриваться как главный путь под-
готовки научно-технической элиты. «Новая математика»,
построенная на высоком уровне теоретической абстрак-
ции, игнорировала особенности познавательной дея-
тельности детей н явилась средством социальной се-
лекции учащихся.
Реформа математического образования, осуществлен-
ная в соответствии с целями буржуазии (найти и под-
готовить из числа одаренных и привилегированных
школьников интеллектуальную элиту), коснулась в основ-
ном частных школ н академического потока в государ-
ственных школах, на котором обучаетси около 30%
учащихся. Налицо классовый характер реформы, ибо
подавляющее большинство (до 80%) учащихся на
академическом потоке составляют дети из состоятель-
ных слоев населения. «Новая математика» не коснулась
массовой американской школы, в которой цели мате-
матического образования остались прежними — подго-
товить квалифицированную рабочую силу, разумных
потребителей, расчетливых домохозяек, «умных» поку-
пателей и т. п. Реформа ие устранила основного фак-
тора, который привел к ухудшению математического
образования,— стремления правящих кругов монополи-
зировать право на знания для своего класса. В резуль-
тате современная математическая подготовка учащихся
в школах США находится в кризисном состоянии.
Это признают сами американские педагоги, широкая
родительская общественность. К аналогичному заключе-
нию пришла в 1983 г. Национальная комиссия по совер-
шенствованию образования в своем Докладе с весьма
многозначительным названием «Нация на грани риска»
[1].
Каковы же основные признаки кризиса математиче-
ского образования в школах США?
Один из главных признаков — снижение качества зна-
ний учащихся по математике, первые симптомы которо-
го были выявлены в 1966 г. Всеамериканской службой
тестирования. В этот же период известный педагог
Дж. Коулмен показал, что уровень математического
образования и качество знаний учащихся из семей на-
циональных меньшинств гораздо ниже, чем у детей из
семей белых американцев. Коулмен убедительно дока-
зал, что равенство образовательных возможностей в ка-
питалистическом мире является фикцией. Спустя не-
сколько лет исследование К. Дженкса, результаты ко-
торого были изложены в нашумевшей тогда книге
«Неравенство» [2], показало всеобщее снижение каче-
ства знаний школьников по математике.
Наиболее достоверными данными располагает Комнс-
70
сия по проведению общенациональной оценки уровня
образования в США, которая с 1969 г. ежегодно изме-
ряет качество знаний учащихся, в том числе и по ма-
тематике. Результаты этой оценки подтверждают, что
на протяжении последних 15 лет качество знаний аме-
риканских школьников имеет стабильную тенденцию
к снижению [3, с. 34].
Национальная оценка знаний учащихся по математике
проводилась в 1973, 1978 и в 1982 гг. Каждый раз
проверялись знания 45 тыс. учащихся четвертых, вось-
мых и двенадцатых классов в различных штатах. Ре-
зультаты достаточно представительны и отражают
реальное состояние математических знаний учащихся по
всей стране.
Тесты Комиссии включали задачи нз арифметики,
алгебры, геометрии, статистики, теории вероятностей, на
измерение, на чтение графиков и таблиц. Результаты
оказались неплохими только в тех случаях, когда уча-
щиеся должны были продемонстрировать несложные
умения и навыки. Они хорошо узнавали геометрические
формы, использовали линейку для измерения линейных
мер, узнавали общие единицы измерения и читали про-
стые графики и таблицы. Все это, как известно, не тре-
бует глубокого знания математических понятий
[4, с. 101
В заданиях по арифметике результаты восьмиклассни-
ков были неутешительными. Только 60% из них смогли
решить задачи на деление, включающие двузначный де-
литель и нуль в результате. Что касается процентов, то
около 3/4 учащихся VIII класса смогли превратить де-
сятичные дроби в проценты и представить проценты
в виде простой дроби со знаменателем 100. Однако
только */« школьников определили, сколько составляют
25 % от 12. Эту же задачу смогли решить на 16 %
больше ребят XII класса.
Не лучшими оказались результаты га следования зна-
ний по геометрии. Например, менее 20% двенадцати-
классников смогли вычислить площадь треугольника или
параллелограмма. При решении геометрических задач
наблюдалась явная неспособность учеников проявить
умения, которые стоят выше обычного узнавания и про-
стого вычисления. Хотя большинство учащихся всех ка-
тегорий неплохо, как отмечалось, определяли геометри-
ческие фигуры, относительно малое количество из них
знали основные свойства этих фигур. Например, менее
10% восьмиклассников и 45% двенадцатиклассников
знали, что сумма всех углов в треугольнике составляет
180°, и при двух заданных углах смогли определить
третий.
Аналогичное положение сложилось и с теоремой Пи-
фагора. Учащимся была дана задача следующего содер-
жания: «Дом Джо находится на улице Ридж Роуд
в 400 м от пересечения с улицей Вуд Стрит. Дом Келли
находится иа улице Вуд Стрит в 300 м от того же
перекрестка. Джо ходит к дому Келли не по улицам,
а напрямик. Сколько метров он проходит?» Задача со-
провождалась схемой перпендикулярно пересекающихся
улиц. Результаты оказались неутешительными: только
20% восьмиклассников и 39% двенадцатиклассников
смогли решить эту задачу.
Не смогли определить площадь прямоугольного тре-
угольника при заданных трех сторонах 82% учащихся
XII класса, а 49% ие вычислили площадь квадрата,
когда в условии задачи указывался размер одной из
его сторон.
Что касается упражнений по алгебре, то в тех из них,
где требовалось использовать переменные величины для
выражения функциональных связей, было очевидно сни-
жение результатов на протяжении всего десятилетия.
Из 26 задач подобного типа 20 задач в 1982 г. были
решены хуже, чем в 1973 и 1978 гг.
Данные Комиссии по национальной оценке качества
знаний учащихся по математическим дисциплинам сов-
падают с многочисленными гроверчами, проводимыми
иа местах, о чем неоднократно сообщалось в американ-
ской печати. Отметим, что для американских исследо-
вателей, пишущих по вопросам образования, характер-
но прежде всего стремление ограничиться констатацией
отрицательных фактов, но ие давать истинных объясне-
ний их причин.
Еще одним показателем кризиса математического об-
разования является сокращение числа школьников, изу-
чающих математику. По данным отчета Л. ХарнишЛе-
гера и Г. Уили [5, с. 54], за 70-е гг., общее число тех,
кто выбирает для изучения обычный курс математики
в старшей средней школе (X—XII классы), снизилось
более чем вдвое. Из учащихся старших классов госу-
дарственных школ 36 % занимаются по более сложной
программе, ориентированной на подготовку в колледж,
но из них 2/3 не изучают математику вообще. Те же,
кто учится в школе на общем и профессиональном по-
токах, выбирают упрощенный курс математики. В силу
существующего в школах США свободного выбора уче-
ником предмета многие школьники прекращают изу-
чать математику уже в X классе и к выпускному,
XII классу забывают ее.
Многие американские педагоги (Г. Остин, X. Гарбер
и др.) склонны объяснять данное явление личностными
мотивами ребят, у которых, якобы, доминирует стремле-
ние к практической деятельности, и они тяготеют к тем
предметам, которые носят такой характер Однако
в основе сокращения числа изучающих математику ле-
жат социальные причины. Экономический кризис, кото-
рый ие прекращается в США на протяжении вот уже
10 лет, вызывает рост безработицы не только среди
неквалифицированных работников, но и среди дипломи-
рованных. Это ведет к тому, что у школьников теря-
ются интерес к науке н вера в образование как сред-
ство, позволяющее достичь материального благополучия.
Угрожающие размеры приняло такое явление, как
преднамеренный и беспричинный пропуск занятий. Еже-
дневно до 25% школьников не посещают уроки мате-
матики.
Когда американские исследователи ведут речь о ка-
честве знаний по математике и о количестве школьни-
ков, изучающих ее, то чаще всего они сравнивают свою
школу с советской, где математику изучают все
школьники. На фоне этого сравнения наглядно видны
успехи советской системы математического образования.
«Средний школьник в Советском Союзе,— пишет аме-
риканский исследователь Ч. Хёрн,— тратит больше вре-
мени на изучение математических и естественнонаучных
предметов, чем его американский сверстник» [6, с. 231].
Американская школа отстала ие только от советской,
но и от школ капиталистических стран, прежде всего
от западногерманской и японской. Исследования амери-
канских педагогов Н. Стивенсона (1983) и У. Уолберга
(1982), основанные на сравнительном анализе качества
математических знаний школьников в США и в Японии,
показывают, что к V классу самый худший из япон-
ских учеников успевает лучше, чем самый лучший аме-
риканский школьник [6].
Педагогический рынок США заполнен огромным коли-
чеством учебников и учебных пособий по математике,
рекламе которых отводят много места педагогические
журналы, однако школы сталкиваются с парадоксаль-
ным фактом их нехватки. Что касается частных школ
и академических потоков, то здесь, как правило, учеб-
ники и пособия глубоко содержательны и имеют высо-
кий теоретический уровень. Однако массовая школа за-
полнена книгами с «разжиженным» содержанием мате-
матического материала. Исследование американского
педагога М. Чалла, опубликованное в 1981 г., свиде-
тельствует о том, что нынешние учебники и учебные по-
собия для XI класса соответствуют по своему содер-
жанию учебникам для IX—X классов, существовавшим
в американских школах 30 лет назад.
Стремясь сделать бизнес на кризисной ситуации в об-
ласти математического образования в школе, частные
фирмы упрощают содержание учебников. Для них ста-
71
новнтся характерным слабый теоретический уровень и
малый объем учебного материала, сокращение количе-
ства задач, по зато обилие картинок, которые не име-
ют познавательной ценности и служат только реклам-
ным целям. Кроме того, в погоне за прибылью многие
издательские компании выпускают в продажу учебники
без должной научной апробации и опытно-эксперимен-
тальной проверки.
Неудовлетворительное состояние математической под-
готовки основной массы школьников в США во мно-
гом объясняется необеспеченностью школ учителями
математики. При существующей в стране высокой без-
работице наблюдается острая нехватка учителей. Так,
в октябре 1982 г. журнал «Математике Тичер» сообщал,
что только в трех штатах (Аляска, Миссисипи и Огайо)
школы были полностью укомплектованы учителями ма-
тематики, а в других штатах многие школы, отчаявшись
найти их, вообще перестали помещать в газетах объяв-
ления о найме Отсутствие учителей приводит к тому,
что директора школ вынуждены брать на должность
учителя любого специалиста, даже не имеющего педа-
гогического образования. Если в 1972 г. в Нью-Порке
только 3% преподающих математику не имели соответ-
ствующего образования, то в 1982 г. эта цифра подня-
лась до 14%. В ряде штатов, особенно периферийных,
положение оказывается еще хуже. Так, в штате Север-
ная Каролина 45% преподающих математику в VII —
XII классах не имеют математического образования
[7, с. 588].
Сокращение финансовой помощи школе приводит к то-
му, что заработная плата в условиях роста цен пере-
стает обеспечивать необходимый прожиточный минимум,
поэтому учителя математики стараются перейти в част-
ные фирмы, где заработок выше. Уход учителей из
школы связан также с резким ухудшением дисцитичы
школьников вообще и в большей степени на уроках ма-
тематики, что создает дополнительное нервное напря-
жение и делает работу учителя выматывающей.
Экономический спад и безработица отрицательно ска-
зались на мотивации учащьхея к учению, снизили их
познавательную активность и мешают учителям форми-
ровать у школьников поз1 звательные интересы и по-
требности в математике. «Наши ученики боятся мате-
матики, как чумы. Они согласны стать кем угодно, по
чтобы только выбранная профессия не была связана
с математикой»,— пишет Джон Сэксон, автор одного из
последних и весьма популярных учебников по алгебре
[8, с. 439]. Агалогнччычи признаниями самих учащихся
полны статьи и книги американских педагогов.
На формировании у школьников положительного от-
ношения к г атематнческнм дисциплинам пагубно сказы-
вается девальвация оценки. В условиях, когда в школе
наблюдается все больше актов вандализма и других
случаев грубого нарушения дисциплины, учителя стара-
ются пе портить отношений с учащимися, поэтому зпа-
чител! по завышают им оценки, что приводит к потере
ее стимулирующей функции.
Немаловажной причиной кризисного состояния мате-
матического образования в американской школе яв-
ляется отсутствие в них единых учебных программ и
учебников.
Буржуазия страшилась всегда и страшится теперь
предоставить трудящимся массам научные знания и
стремится создать различные бар[еры на пути к их по-
лучению. Спекулируя на индивидуальных различиях де-
тей и интересах родителей, она утвердила принцип
плюрализма учебных программ и учебников. В условиях
огромной миграционной мобильности населения (еже-
годно около 40 млн. американцев меняют место жи-
тельства) отсутствие единства в школьных программах
по математике приводит к тому, что учащиеся при пе-
реезде с одного места на другое сталкиваются с труд-
ностями при переходе к новым программам и учебни-
кам, зачастую попадают в разряд отстающих и теряют
интерес к предмету.
Низкий социальный статус учителя в США, потеря
интереса школьников к точным наукам, вызванная тем,
что выбор ее как области своей дальнейшей профессио-
нальной деятельности в условиях «дипломированной»
безработицы бесперспективен, привели к резкому умень-
шению числа абитуриентов и студентов математических
факультетов в университетах и колледжах, готовящих
учителей для школы. С 1975 по 1979 г. количество сту-
дентов, изучающих математику в колледжах, снизилось
на 53% Число выпускников математических факульте-
тов сократилось, наппимер, в штате Пенсильвания с 1062
в 1975 г. до 178 в 1980 г. В штате Коннектикут в 1980 г
не было выпушено ни одного учителя математики
[7, с. 589].
Крайне низким остается и уровень подготовки учи-
телей математики, что во многом объясняется плохими
знаниями студентов. В США постоянно увеличивается
количество так называемых «лечебных» курсов, на ко-
торых студенты изучают то, что они должны были
выучить в школе. В советской педагогической литера-
туре еще не анализировалась деятельность этих курсов,
поэтому целесообразно дать описание одного из них.
«Лечебный» курс в педагогическом колледже Скулрайт
(штат Мичиган) нчзывается «Уничтожение страха пе-
ред математикой». Его содержание сводится к следую-
щему. В течение первой недели студенты учатся рас-
слабляться путем внушения и самовнушения, положи-
тельно реагировать на слово «математика», затем пи-
шут свою «математическую биографию», в которой рас-
сказывают о всем том, что связано с математикой в их
жизни. После такого краткого введения начинаются
сами уроки математики, каждый из которых состоит из
мини-лекции (20—30 мин), ответов иа вопросы и инди-
видуальной работы. При индивидуальной работе студен-
ты восполняют свои .школьные пробелы, а также учатся
использовать математические знания для того, чтобы
вести домашнюю книгу расходов, проверять счет в реете
ране, регистрировать показания газового счетчика.
Анализ современного состояния математического об-
разования в американских школах еще раз подтверж-
дает правильность марксистско-ленинского вывода
о классовом подходе буржуазии к вопросам воспитания
и обучения подрастающего поколения. Усиливая в ны-
нешней ситуации элитарность школьного образования
и его социально-селекционную функцию и делая его до-
ступным лишь привилегированному меньшинству, пра-
вящие круги США игнорируют одно из основных прав
человека — право на полноценное научное образование.
Свидетельством тому является кризис математического
образования в СШ?, о чем говорит низкий уровень зна-
ний учащихся- по арифметике, алгебре, геометрии, со-
коащение числа школьников, изучающих математику,
плохая дисциплина в государственных школах, слабая
подготовка учительских кадров, постоянное урезание
финансовых субсидий школе.
Л и тература
1. National Commission On Excellence in Education.
A Nation at Risk: The Imperative for Educational Re-
form. Wash.. 1983.
2. Jenks Ch. Inequality. A Reassesment of the Effect
of Family and Schooling in America. N. Y„ 1972.
3 The Rise and Fali of the National Test Scores.
N. Y.. 1982.
4. Results of the Third NAEP Mathematics: Secondary
School. Wash.. 1983.
5. Harnishfeger L„ Wiley H. Mathematics Today.
N. Y„ 1981.
6. Hum Ch. The Problem With Comparisons — Edu-
cational Leadership, 1983 vol. 41, no. 2.
7. Posamentier A., Slaplman J. A Shortage of Maths
Teachers in New York — Mathematics Teacher. 1982,
vol. 75, no. 6.
8. Sawn J. Why Do They Run?—Mathematics Tea-
cher, 1983, vol. 76, no 6.
72
КРИТИКА. И БИБЛИОГРАФИЯ
Сборник статей о Лузине
П. Л. Ульянов
(Москва)
В научно-популярной серии «Математика, кибернетика»
издательства «Знание» выпущен небольшой сборник
«Николай Николаевич Лузин», посвященный жизни и
научному творчеству выдающегося математика нашего
времени академика Н. Н. Лузина, 100-летне со дня
рождения которого отмечалось в пашей стране в де-
кабре 1983 г.
Сборник содержит фрагменты из работ академика
А. Н. Крылова, члена-корреспондента АН СССР
В. В. Голубева, докторов физико-математических наук
Н. К. Бари, П. И. Кузнецова и В. К. Гольцмана, дли-
тельное время находившихся в научных контактах
с Н. Н. Лузиным. Этот сборник знакомит читателя как
с богатейшим научным наследием Н. Н. Лузина, так
и с основными этапами его творческой жизни.
Н. Н. Лузин (1883—1950)—один нз создателей н при-
знанных руководителей известной московской математи-
ческой школы, выдвинувшей нашу отечественную мате-
матику на передовые позиции мировой науки. Брошюра
«Николай Николаевич Лузин» посвящена биографии и
обзору научных работ академика Н. Н. Лузина.
Основные работы Лузина относятся к теории функций
действительного переменного. Его докторская диссерта-
ция «Интеграл и тригонометрический ряд» содержит
глубокие методы исследования актуальных проблем
метрической теории функций. Но наиболее значитель-
ными были идеи, высказанные Лузиным в его диссер-
тации. Именно они оказали огромное влияние в даль-
нейшем на все развитие метрической теории функций.
К фундаментальным достижениям в современней ма-
тематике относятся также результаты Лузина по дес-
криптивной теории множеств и функций. Здесь им были
открыты так называемые «проективные множества»
(основное ядро этой теории), весьма существенно рас-
ширившие классы множеств, рассматриваемых в мате-
матике. Выдвинутый Лузиным ряд гипоте' относительно
проективных множеств впоследствии (в 70-е гг. XX в)
получил подтверждение. Если принять во внимание, что
теория множеств является логическим основанием всей
современной математики, то можно лишь восхищаться
гениальными предвидениями Николая Николаевича
Лузина.
В теории функций комплексного переменного Лузин
получил важные результаты по граничным свойствам
аналитических функций и единственности их определе-
ния по граничным значения! Большой цикл работ Лу-
зина посвящен вопросам теории дифференциальных
равнений. В этой области им были разработаны ме-
тоды, которые он с успехом применял к решению наи-
более сложных задач. Так, Лузин решил классическую
геометрическую задачу об изгибании поверхностей на
главном основании. Эта проблема не поддавалась ре-
шению до работ Лузина в течение почти 80 лег. Другой
пример испол! зования этих методов — создание акаде-
миком Лузиным важного раздела теории управления —
теории инвариантности. В настоящее время эта теория
нашла широкое применение в технике.
Характерной чертой Н. Н. Лузина как исследователя
было удивительное умение во всех самых сложных и
абстрактных проблемах находить наглядное геометриче-
ское ядро, что и принесло ему среди математиков мира
репутацию «выдающегося русского геометра».
В брошюре показано значение трудов 11 Н. Лузина
в области применения классического анализа в течнпле.
Достаточно указать иа уже упомянутые работы по тео-
рии инвариантности, по раскрытию векового (характе-
ристического) уравнения теории колебаний, по анализу
метода периодограмм для различного рода прогнозиро-
вания, по качественному исследованию движения поез-
да и др.
В своем научном творчестве Н. Н. Лузин часто под-
нимался до ярко выраженных философских обобщений
многих закономерностей математической науки. Ои был
одним нз крупнейших математиков и мыслителей на-
шего времени. Академик Н. Н. Лузин известен также
как блестящий лектор. Им написаны превосходные по
глубине и стилю изложения учебники, на которых вос-
питывалось не одно поколение студентов. В предлагае-
мой читателю брошюре этой стороне деятельности
Н. Н. Лузина уделено значительное место.
В заключение следует сказать, что вклад Николая
Николаевича Лузина в развитие отечественной науки
настолько значителен и весом, что заложенные им в на-
учных исследованиях глубокие и плодотворные идеи,
открытые им фундаментальные закономерности на дол-
гие годы определили развитие многих областей мате-
матики.
О книге Г. И. Глейзера
«История математики в школе.
VII—VIII классы»1
Б. Е. Горенштейн
(г. Черновцы)
Это второе издание книги, переработанное по сравне-
нию с первым. В ней содержится материал по истории
математики, доступный учащимся средней школы и со-
ответствующий разделам математики, изучаемым в VII
н VIII классах. Книга состоит из двух частей: содер-
жание первой части рекомендуется использовать в уроч-
ное время, а второй — в работе кружка и на факуль-
тативных занятиях. Хотя пособие предназначается для
учителей, оно в большей своей части может быть ис-
пользовано учащимися для самостоятельного чтения.
Книга не только знакомит с интересными историче-
скими фактами, ио.и в значительной мере содействует
более глубокому осмыслению многих вопросов матема-
тики. Она расширяет умственный кругозор читателя,
повышает его общую культуру, а содержащиеся в ней
задачи способствуют развитию логического мышления.
В шести нз сема глав пособия содержатся историче-
ские сведения, в седьмой — исторические задачи. Мате-
риал по алгебре и по геометрии помещен в отдельных
главах.
В пособии приведены высказывания выдающихся уче-
ных-математиков, многие из них предпосылаются гла-
вам книги.
В алгебраическом разделе рассказывается о вавилон-
ском методе извлечения квадратного корня, о методах
Диофанта, Бхаскары и ал-Хорезми решения квадратных
уравнений, приводятся сведения о неравенстве О. Коши,
о правиле приближенных вычислений А. Н. Крылова,
о происхождении встречающихся в курсе VII—VIII клас-
сов математических терминов.
Большое место отводится геометрической алгебре и ее
применению к решению квадратных уравнений. Уста-
ревшие геометрические методы решения уравнений спо-
собствуют, однако, и ныне развитию логического мыш-
ления учащихся. В настоящее время от геометрической
1 Глей юр Г И. История математики в школе. VII—
VIII классы: Пособие для учителей. — 2-е изд. — М.:
Просвещение, 1982.
73
алгебры остались лишь отдельные термины, вроде
«квадрат», «куб» числа.
Автор особо подчеркивает значение принципа перма-
нентности, соблюдаемого при обобщении понятия числа,
при обобщении понятия степени и расширении его по-
средством введения нулевого, отрицательных и дробных
показа гелей.
Содержателен и богато насыщен историческими све-
дениями параграф о десятичных логарифмах.
Полезно для учащихся знакомство с понятием алго-
ритма, в частности с алгоритмом Евклида, с эволю-
цией понятия числа. Последнему вопросу посвящен
в книге весьма содержательный параграф, в котором
читатель найдет краткий обзор развития понятия числа
в XVII—XIX вв., который необходимо внимательно изу-
чить каждому, кто соприкасается со школьной матема-
тикой.
В книге приводится описание истории возникновения
различных ветвей математики и обоснование их появ-
ления практическими потребностями развивающегося че-
ловеческого общества.
Весьма ценным является краткий обзор развития гео-
метрии, помещенный в конце соответствующей главы
книги. Этот материал рекомендуется использовать как
при повторении учебного материала, так и на итоговых
уроках.
Хорошо написан параграф о женщинах-математиках,
особенно о С. В. Ковалевской, а также о выдающихся
русских математиках XIX в. М. В. Остроградском и
П. Л. Чебышеве.
Во второй части книги, предназначенной для круж-
ковых и факультативных занятий, исторический мате-
риал представлен более полно и обширно. Рассказ
о развитии геометрии завершается изложением проб-
лемы пятого постулата Евклида и ее решения великим
нашим соотечественником Н. И. Лобачевским, которому
посвящается много талантливо написанных страниц.
Последняя, седьмая глава книги содержит свыше ста
исторических задач с указанием их источников. К за-
дачам даны ответы, указания или решения.
В списке рекомендуемой литературы указаны труды
известных ученых и историков математики. Именной
указатель, помещенный в конце книги, поможет чита-
телю быстро найти необходимые данные и справки.
Пособие богато иллюстрировано, содержит портреты
выдающихся ученых, их автографы, факсимиле рукопи-
сей; есть и репродукции картин замечательных худож-
ников, посвященных математике.
Книга является лучшей из серии подобных пособий,
которыми мне довелось пользоваться на протяжении
почти 40 лет работы в школе. Она написана с той же
тщательностью и аккуратностью, с которой ныне по-
койный ее автор Г. И. Глейзер готовил и читал лекции
по основаниям геометрии и методике математики. Мне
посчастливилось их слушать в Кишиневском педагоги-
ческом институте. Они являлись всегда образцом как
по своей полноте и высокому научному уровню, так
и по четкости и доступности и оставили глубокий след
в моем сознании.
Прочитав ныне «Историю математики в школе»,
я вновь пережил большую радость и глубокое удовле-
творение простым и в то же время совершенным изло-
жением рассматриваемого материала. Очевидно, те же
чувства н мысли разделит со мной широкий круг чита
телей, которым предназначена книга.
Следует отметить большой вклад редактора настоя-
щего издания А. А. Свечникова, переработавшего и до-
полнившего книгу.
Как научить догадываться?
(О книге М. Балка и Г. Балк
«Поиск решения»)
И. А. Марнянский
(г. Николаев)
Обучение школьников решению задач, требующих до-
гадки, — одна из сложных проблем методики матема-
тики. Ей посвящены известные книги Д. Пойа, пособия
для математических кружков, многочисленные сборники
олимпиадных и конкурсных задач. Среди изданий по-
следних лет можно выделить адресованную учащимся
восьмилетней школы книжку Ю. М. Колягина и В. А.
Оганесяна «Учись решать задачу» (М.: Просвещение,
1980).
Теперь к решению этой проблемы обратилось также
издательство «Детская литература», выпустившее кни-
гу М. Балка и Г. Балк «Поиск решения» (М., 1983), об-
ращенную главным образом к учащимся старших клас-
сов.
Основное достоинство книжки — своеобразие изложе-
ния. Это подробный репортаж о коллективном решении
задач в математическом кружке девятиклассников (все-
го представлено 15 занятий кружка). Руководитель
кружка и его члены совместно обсуждают задачи и при
этом спорят, удивляются, огорчаются, шутят. В повест-
вовании преобладает прямая речь, что не только ожив-
ляет изложение, но и позволяет лучше раскрыть сам
процесс зарождения идеи решения задачи. К тому же
при таком совместном, решении обычно возникает не-
сколько различных идей (порой бесплодных, о чем тоже
полезно узнать читателю) решения одной и той же за-
дачи.
С условием задачи кружковцев знакомят заранее,
чтобы они могли дома подумать над пей, по многие
задачи предлагаются и на самих занятиях кружка. Ру-
ководитель кружка кое-что подсказывает школьникам
(преимущественно в форме наводящих вопросов), под-
черкивая при этом перспективность тех или иных спосо-
бов решения задач. Особое внимание уделено таким
приемам, как переформулировка задачи, переход к бо-
лее общей задаче или выделение подзадачи, привлечение
аналогии, обращение к предельному случаю.
Принятый авторами стиль изложения отличается жи-
востью, четкостью, лаконичностью. Наиболее удачны
описания занятий «Испытание на правдоподобие», «Рас-
смотрим более общую задачу», «Эта странная задача
Мальфатти», «Пошевелим точку».
В первом из этих описаний рассматриваются такие
приемы обнаружения ошибочности утверждений, как
отыскание контрпримеров, проверка по размерностям,
внимание к симметрии и др. Вопрос о выявлении лож-
ного предложения рассматривается и позже, например
при обсуждении следующего утверждения Мальфатти:
сумма площадей трех расположенных в треугольнике кру-
гов (при условии, что они не перекрываются) будет
наибольшей, если каждый из них касается двух других
кругов и двух сторон треугольника. Между тем это
утверждение ошибочно. Легко проверить, что сумма
площадей кругов, расположенных в равнобедренном
треугольнике АВС (см. рис.) по способу а) больше, чем
по способу б). Авторы подводят к этому выводу на-
глядным предельным переходом (высота CD бесконечно
растет, и треугольник превращается в полуполосу).
Любопытно, что эта гипотеза Мальфатти в течение 125
лет не вызывала сомнений у математиков.
Многими убедительными примерами иллюстрируется
прием перехода к более общей задаче. Одним из впе-
чатляющих примеров является рассмотрение задачи
«Разбить произвольный параллелограмм на 11 равно-
великих частей прямыми, проходящими через одну из
его вершин», решение которой заметно упрощается, ес-
74
ли пре [варительно рассмотреть задачу, в формулировке
которой число 11 заменено натуральным числом п.
Интересно описан также восходящий еще к Архимеду
прием использования соображений из механики при ре-
шении математических задач («Посмотрим иа задачу
глазами физика»).
Весьма полезными являются предупреждения руко-
водителя кружка по поводу зыбкости некоторых умо-
заключений (например, по аналогии) и возможности
ошибочных формулировок задач. Положительным мо-
ментом является также неоднократное обращение к ис-
тории математики там, где это связано с содержанием
или методом решения задачи. Одобрения заслуживает
и внешнее оформление книжки.
Переходя к рассмотрению допущенных авторами упу-
щений, заметим, что существенных недостатков мы в
книге не обнаружили. Поэтому выскажем лишь не-
сколько претензий, точнее, пожеланий частного харак-
тера.
На занятиях математических кружков, на математи-
ческих олимпиадах встречается немало так называемых
логических задач. И хотя авторы вправе были иллюст-
рировать эвристический метод иа любом материале, все
же уместно было бы уделить таким задачам больше
внимания, чем это сделано в книжке, где из 60 по-
дробно рассмотренных задач только 2 являются зада-
чами указанного типа.
Далее, в наборе задач для самостоятельного решения
(«Упражнения для размышления»), помещенном в кон-
це книжки, встречаются слишком уж простые (иа фо-
не всего ранее изложенного) упражнения, например за-
дача об отыскании фигуры, состоящей из всех точек
пространства, равноудаленных от двух данных точек.
Наконец, нелишне было бы поместить в конце книж-
ки хотя бы небольшой список литературы, посвященной
проблеме поиска решения.
Отмеченные ут тения (а быть может, это просто
спорные моменты) не дают оснований для сомнений в
том, что книжка «Поиск решения» удалась. Ее следу-
ет рекомендовать всем учителям, а также учащимся
VIII—X классов, интересующимся математикой.
Еще один задачник «Кванта»
В. А. Кузнецова
(г. Ярославль)
В начале 1984 г. издательство «Наука» выпустило в се-
рии «Библиотечка „Квант”» нов\ю книгу И. Ф. Шары-
гииа [Задачи по геометрии. Стереометрия» (вып. 31).
Она служит непосредственным продолжением другого
сборника того же автора «Задачи по геометрии. Пла-
ниметрия» («Библиотечка „Квант”», вып. 17). О задач-
нике по планиметрии И. Ф. Шарыгина журнал «Мате-
матика в школе» уже рассказывал иа своих страни-
цах *.
Остановимся сейчас на рассмотрении задачника по
стереометрии. Он содержит 340 задач, разбитых иа два
больших раздела: первый раздел — задачи на вычисле-
ние; второй — задачи на доказательство, на экстремумы,
геометрические неравенства, геометрические места точек.
В книге даны ответы, указания и решения.
В первом разделе приведены 160 задач разного уров-
ня сложности и разной тематики. Здесь много геомет-
рических задач с нестандартной формулировкой. Такова,
например, задача Ns 149:
«п равных конусов имеют общую вершину. Каждый
касается двух друг:).' по образующей, а все касаются
одной плоскости. Найти угол при вершине осевого сече-
ния этих конусов».
Хотя задачи раздела называются вычислительными,
все же главное — их высокая геометричность, требую-
щая развитого пространственного представления. Вычис-
ления здесь — только средство, а не основная цель.
Но решение задач этого раздела затрудняется тем,
что они никак ие упорядочены.
Расположение задач по возрастанию трудности, клас-
сификация по темам — весьма ценные свойства любого
задачника. К сожалению, в рассматриваемой книге эта
работа не выполнена должным образом. Задачи разной
тематики перемешаны. Например, тетраэдр можно
встретить в упражнениях № 19, 51, 89,137, 157, а куб —
в № 22, 83, 144, 156 и т. д. В то же время книга не-
достаточно упорядочена и по трудности: в ней после
задач среднего уровня идут сравнительно простые.
Второй раздел книги начинается с параграфа, кото-
рый содержит 62 задачи на доказательство. Здесь осо-
бенно привлекают внимание нетривиальные описания си-
туаций, связанных с многогранными углами и много-
гранными поверхностями, сферой и конусом. Приведем
типичную для этого параграфа задачу Ns 221:
«Дан шестигранник, все грани которого четырехуголь-
ники. Известно, что семь из восьми его вершин ле-
жат на поверхности одной сферы. Дсказать, что и вось-
мая вершина лежит иа поверхности той же сферы».
Второй параграф этого раздела посвящен задачам на
экстремумы и геометрические неравенства. Здесь есть
и такие, в которых максимум или минимум находятся
аналитическими методами. Но даже и в этих случаях
требуется проявить сначала изобретательность и мате-
матическую культуру прежде, чем будет получена нуж-
ная функция. Например, № 230:
«Длина ребра куба ЛВС£)Л1В|С1О, равна а. Точки Е
и F — середины ребер BB{ и СС, соответственно. Рас-
сматриваются треугольники, вершинами которых служат
точки пересечения плоскости, параллельной плоско-
сти ABCD, с прямыми ЛСЬ СЕ и DF. Найти наименьшее
значение площади рассматриваемых треугольников».
Во многих случаях экстремумы находятся на основе
чисто геометрических рассуждений. Таковы задачи № 234
и 240:
«Дан трехгранный угол и точка внутри него. Через
эту точку проведена плоскость. Доказать, что обт ем
тетраэдра, образованного данным углом и проведенной
плоскостью, будет минимален в том случае, когда дан-
ная точка будет центром тяжести треугольника, являю-
щегося сечением трехгранного угла проведенной пло-
скостью».
«Дан куб ABCDAiBiCiDt с ребром а. Найти радиус
наименьшего шара, касающегося прямых ЛВц Bfi, CD
и DA».
* Белов Ю. А., Кузнецова В. А. Два задачника «Кван-
та».— Математика в школе, 1983, № 5, с. 77—78.
75
Последний параграф книги озаглавлен так: «Геомет-
рические места точек*. Здесь представлены 29 задач
этой тематики и еще 50 на доказательство и вычисле-
ние, большинство нз которых разделены на пять пунк-
тов по темам. Завершают сборник теорема Брианшона
и теорема Дезарга, в том числе ее трехмерный аналог.
Все задачи рассматриваемой книги весьма геометрич-
иы, по уровню трудности многие нз них близки к олим-
пиадным. Для решения некоторых из них необходимо
не только свободно владеть школьным материалом,
обладать определенными математическими навыками,
в частности в выполнении громоздких вычислений, но
и иметь представление о таких понятиях, как четырех-
мерное пространство, гиперплоскость (№ 340).
Этот сборник — серьезная, весьма полезная книга, ко-
торая будет способствовать развитию геометрической
культуры учащихся. Оча может быть рекомендована
старшеклассникам, интересующимся математикой, сту
дентам педагогических институтов и университетов, учи-
телям общеобразовательных школ, ведущим факульта-
тивы и кружки по математике.
Новые книги
Ф. М. Шустеф
(Минск)
История математики
Виргинский В. С. Очерки истории науки и техники
XVI—XIX вв. (до 70-х гг. XIX в.): Пособие для учи-
теля.— М.: Просвещение. 1984.— 287 с.— 90 к. 100 000 экз
Переписка С. В. Ковалевской и Г. Миттаг-Леффле-
ра/Пер.; Отв. ред. А. П. Юшкевич,—М.: Наука, 1984.—
(Научное наследство. Т. 7)—312 с.— 3 р. 60 к.
3300 экз.
Монографии. Учебники и учебные пособия для вузов
Бескин Л. Н., Бескин В. Л. Многогранники. — Киев;
Вища школа.— 1984.— 86 с.— 15 к. 16 000 экз.
Бугров Я. С., Никольский С. М. Дифференциальное
и интегральное исчисление: Учебник для вузов.— 2-е изд.,
перераб., доп.— М' Наука, 1984.— 431 с., 95 к.,
150 0011 экз.
Бугров Я- С., Никольский G М. Элементы линейной
алгебры н аналитической геометрии: Учебник для ву-
зов— 2-е изд., перераб., доп.— М.: Наука, 19S4.—
190 с.— 30 к. 150 000 экз.
Воеводин В. В., Кузнецов Ю. А. Матрицы и вычис-
ления.— М. Паука, 1984.— 318 с.— 1 р. 40 к. ЗС 000 экз.
Кокс Д„ Снелл Э. Прикладная статистика; Принципы
и примеры/Пер. с англ.— М.: Мир, 1984.— 200 с.— 90 к.
17 400 экз.
Лавров И. А., Максимова Л. Л. Задачи по теории
множеств, математической логике и теории алгорит-
мов.— 2-е изд.— М.: Наука. 1984.— 223 с.— 90 к.
22 000 экз.
Самойленко А. М., Кривошея С. А., Лерестюк Н. А.
Дифференциальные уравнения: примеры и задачи: Для
BViOB.— Киев: Вища школа, 1984.— 408 с.— 1 р. 20 к.
9000 экз.
Сборник задач по математике: специальные курсы.
Для вузов/Под ред. А. В. Ефимова.— М.: Наука, 1984.—
607 с. — 1 р. 50 к. 100 000 экз.
Научно-популярные книги
Воробьев Н. Н. Числа Фибоначчи.— 5-е изд.— М.:
Наука. 1984.—(Популярные лекции по математике
Вып. 6)—141 с.— 20 к., 100 000 экз.
Дородницын В. А., Еленин Г. Г. Симметоия в уравне-
ниях математической физики.— М.: Знание, 1984.— (Но-
вое в жизни, науке, технике. Математика, кибернети-
ка. № 4)—64 с--11 к., 30 210 экз.
Методика преподавания математики.
Учебники и учебные пособия
для средних учебных заведений
Баранова И. В., Борчугова 3. Г. Математика: Проб-
ный учебник для 4-го класса средней школы.— 3-е изд.—
М.: Просвещение, 1984.— 256 с.— 20 к. 898 000 экз.
Лебединцев К. Ф. Преподавание алгебры и начал
анализа: Пособие для учителей.— Киев: Радянська шко-
ла, 1984.— 247 с.— 65 к. 25 000 экз.
Стратилатов П. В. О системе работы учителя мате-
матики: Методические рекомендации по организации
учебного процесса,—М.: Просвещение, 1984.— (Б-ка учи-
теля математики)—96 с.— 15 к. 241 500 экз.
Терешин Н. А. Сборник задач по математике для
средних сельских профтехучилищ.— 2-е изд., перераб,
доп.— М.: Высшая школа, 1984.— 111 с.— 15 к.
25 000 экз.
ПОЗДРАВЛЯЕМ ЮБИЛЯРА
С. М. Мусаеву — 60 лет
Заведующий кафедрой методики пре-
подавания математики Пржевальско-
го пединститута, кандидат педагоги-
ческих наук, доцент Саламат Мусае-
вич Мусаев более 40 лет своей жиз-
ни отдал делу народного образова-
ния.
Саламат Мусаевич родился в сече
Корумду Иссык-Кульской области
Киргизской ССР. Окончил Пржеваль-
ское педучилище, затем физико-мате-
матический факультет Киргизского
заочного государственного пединсти-
тута. Участник Великой Отечествен-
ной войны.
Учитель математики в школе села
Корумду, директор школы «Погра-
ничник» Ат-Башинского района, до-
цент и заведующий кафедрой мето-
дики математики, декан математиче-
ского факультета Пржевальского
пединститута — вот неполное описа-
ние трудового педагогического пути
Саламата Мусаевича. Он главный
рецензент русско-киргизского словаря
математических терминов, изданного
АН Киргизской ССР
Область научных интересов
С. М. Мусаева — рационализация
киргизского математического языка
По актуальности рассматриваемых
вопросов особо отличаются его бро-
шюра «Об упорядочении и унифи-
кации киргизской математической
терминологии» (1965) и монография
«Вопросы усовершенствования кир-
гизского математического языка»
(1972). Эти работы Саламата Му-
саевича оказали существенное влия-
ние на становление и систематиза-
цию киргизской математической тер-
минологии, улучшение переводной
математической литературы.
76
Более 25 лет С М. Мусаев читает
в Пржевальском пединституте лек-
ционно-практические курсы по мето-
дике преподавания математики, про-
водит занятия спецсеминара и спец-
курса’. Блестящий лектор, интересный
собеседник, чуткий и требовательный
воспитатель С. М. Мусаев пользуется
заслуженным авторитетом коллег и
студентов. Велик его авторитет и
у учителей республики, перед кото-
рыми он систематически выступает
с лекпнями по актуальным пробле-
мам преподавания математики в
средней школе. Он является отлич-
ником народного образования Кир-
гизской ССР и отличником просве-
щения СССР
Коммунист С. М. Мусаев активно
участвует в общественно-политиче-
ской жизни института, города и об-
ласти. Он — постоянный член парт-
бюро института, избирался членом
в городской комитет КПСС г. Прже-
вальска и депутатом Пржевальского
городского Совета
Многолетний труд Саламата Му-
саевича отмечен орденом Трудового
Красного Знамени и семью меда-
лями
Поздравляя Саламата Мусаеви ia
со славным юбилеем, желаем ему
крепкого здоровья и долгих лет
активной творческой жизни.
О. К. Кайбылдаев, Ш. М. Майлиев
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ КАЛЕНДАРЬ
НА 1984/85 УЧЕБНЫЙ ГОД
Ноябрь
2 ноября — 70 лет со дня рождения
советского математика Леонида
Яковлевича Куликова. Родился
в г. Ни„итовке Донецкой обл. Окон-
чил МГПИ им. В. И. Ленина, там же
проходил аспирантуру и затем
преподавал. Работал в Ивановском
текстильном институте, в ЛГПИ
им. А. И. Герцена, в Математиче-
ском институте им. В. А. Стеклова
АН СССР. Доктор физико-математи-
ческих наук (1951), профессор.
С 1°63 г. заведует кафедрой алгеб-
ры в МГПИ им. В. И. Ленина.
Л. Я Куликов — один из выдающих-
ся современных алгебраистов, внес
значительный вклад в теорию ком-
мутативных групп (см.: Математика
в школе, 1974, № 6).
8 ноября — 100 лет со дня рождения
советского математика Зигмаса Юозо-
вича Жемайтиса (1884—1969).
Родился в д. Дактаряй (ныне Литов-
ской ССР). Окончил Новороссийский
университет (1909). С 1946 г. работал
в Вильнюсском университете, про-
фессор. Основные труды относятся
к истории математики. Заслуженный
деятель науки Литовской ССР, заслу-
женный деятель культуры Литовской
ССР (см.: История отечественной ма-
тематики, т. 3—4).
9 ноября — 250 лет со дня рождения
русского астронома и математика,
первого вице-президента (1800—
1803) Петербургской АН Степана
Яковлевича Румовского (1734—
1812). Родился в селе Дубовское
(близ г. Владимира). Воспитанник
академического университета при
Петербургской АН. Позже — ученик
Л. Эйлера. Основатель Казанского
университета. Автор руководства для
гимназистов «Сокращения математи-
ки» (1760), которое широко применя-
лось в академической гимназии (см.:
БСЭ, 2-е и 3-е изд.; Прудников В. Е.
Русские педагоги-математики XVIII—
XIX веков. М., 1956; Математика в
школе, 1962, № 3).
27 ноября — 75 лет со дня рождения
советского математика Анатолия Ива-
новича Мальцева (1909—1967).
Родился в поселке Мишеоонском
(Московская обл.). Окончил МГУ
(1931). Работал в Ивановском педин-
ституте (с 1943 г.— профессор), в Ма-
тематическом институте им. В. А. Стек-
лова АН СССР, в Сибирском отде-
лении АН СССР и в Новосибирском
университете. Академик АН СССР
(1958). Получил фундаментальные ре-
зультаты в теории групп, теории ко-
лец и линейных алгебр, топологиче-
ской алгебре, теории алгоритмов.
Депутат Верховного Совета СССР
4-го и 5-го созывов. Лауреат Лсш н-
ской (1°61) и Государственной (1946)
премий СССР. Награжден орденом
Ленина, другими орденами и меда-
лями (см;: БСЭ, 3-е изд.. Успехи ма-
тематических наук, 1968, т. 23, в. 3;
Математика в школе, 1964, № 6;
1969, № 5; 1979, № 5; 1980, № 2).
27 ноября — 250 лет со дня рожде-
ния русского математика, ф ’ :ика
и астронома Иоганна Альбрехта
Эйлера (1734—1800). Родился и
умер в Петербурге. Сын знаменито-
го Леонарда Эйлера. Член Берлин-
ской АН с 1754 г. Возвратясь в
1766 г. с отцом в Петербург, стал
академиком Петербургской АН, за-
тем — ее конференц-секретарем.
В последние годы жизни отца по-
могал ему в работе, записывал под
диктовку его мемуары. Решил одну
из задач вариационного исчисления.
Три его сочинения по гидростатике
были премированы Гёттингенским об-
ществом и два — Петербургской АН
(см.: История отечественной матема-
тики, т. I; Юшкевич А. П. История
математики в России. М... 1968).
Декабрь
1 декабря — 75 лет со дня рождения
советского математика Виктора Иоси-
фовича Левина. Родился в Моги-
леве. Окончил Высшее техническое
училище в Берлине (1932), доктор
физико-математических наук, про-
фессор (1939). Работал в вузах
Москвы, с 1962 г.— в МГПИ им.
В. И. Ленина. Труды относятся к тео-
рии функций, математической физике
и истории математики. Им написан
ряд хорошо зарекомендовавших се-
бя учебников и учебных пособий для
вузов, выполнен ряд переводов ори-
гинальных математических изданий
(см : Успехи математических наук,
1970, 25, № 1).
3 декабря—100 лет со дня рожде-
ния советского математика Владими-
ра Васильевича Голубева (1884—
1954). Родился в Загорске (Москов-
ская обл.). Окончил Московский уни-
77 .
верситет (1908). Работал в различных
учебных заведениях Саратова и Мо-
сквы, профессор, генерал-майор ин-
женерно-технической службы. Основ-
ные труды относятся к аэромехани-
ке, к теории функций комплексного
переменного. Занимался также ис-
следованиями в области истории рус-
ской науки. Член-корреспондент АН
СССР (1934), заслуженный деятель
науки и техники РСФСР (см.: Бого-
любов А. Н. Математики. Механики:
Биографический справочник. Киев,
1983; Математика в школе, 1974,
№ 5).
5 декабря—100 лет со дня рожде-
ния чешского математика и физика
Богуслава Гостинского (Хостин-
ского) (1884—1951). Родился в Праге.
Работал в Праге и Брно. Основные
труды относятся к теории вероятно-
стей (в частности, к марковским про-
цессам), дифференциальной геомет-
рии и математической физике.
6 декабря — 60 лет со дня рожде-
ния советского математика Сергея
Всеволодовича Яблонского. Ро-
дился е. Москве. Окончил МГУ (1950),
где затем преподавал, с J 963 г.—
профессор. С 1953 г.— в Институте
прикладной математики АН СССР.
Член-корреспондент АН СССР (1968)
Специалист в области дискретной ма-
тематики и математических вопросов
кибернетики. Лауреат Ленинской
премии 1966 г. Участник Великой
Отечественной войны. Имеет боевые
награды, другие ордена и медали
(БСЭ, 3-е изд.; Вестник АН СССР,
1975, № 2; Математика в школе,
1966, № 6, 1974, № 5).
21 декабря — 70 лет со дня рожде-
ния советского математика Георгия
Северьяновича Чогошвили. Ро-
дился в г. Сачхаре. Окончил МГУ
(1936), где затем проходил аспиран-
туру. В 1939 г стал работать в Мате-
матическом институте АН Грузинской
ССР, а в 1943 — также в Тбилисском
университете, профессор. Академик
АН Грузинской ССР с 1960 г., заслужен-
ный деятель науки Грузинской ССР.
Труды относятся к топологии и ва-
риационному исчислению. Кавалер
ордена Ленина (см.: Бородин А. И.
Советские математики. Киев; Донецк,
1982; Успехи математических наук,
1965, т. 20, вып. 5; Математика в
школе, 1974, № 5).
А. И. Бородин (г. Донецк)
Иван Козьмич Андронов
(1894—1975)
3 июня 1984 г. исполнилось 90 лет
со дня рождения известного педа-
гога-математика, заслуженного деяте-
ля науки РСФСР, члена-корреспон-
дента Академии педагогических наук
СССР, профессора Ивана Козьмича
Андронова.
И. К. Андронов родился в селе
Корсакове Тульской губернии в
многодетной трудовой семье. В 17 лет
начал трудовую деятельность учите-
лем начальной школы. Позже он за-
кончил учительский институт, а за-
тем получил высшее педагогическое
образование в институте им. П. Г. Ше-
лапутина.
До 1917 г. Иван Козьмич препо-
давал в Петербургской губернской
учительской школе. С первых дней
Советской власти И. К. Андронов
был в рядах тех, кто создавал новую
систему народного образования. Он
работал в Наркомпросе в секции,
возглавляемой Н. К. Крупской, по
созданию учебных планов и про-
грамм для нс вых трудовых школ. По
рекомендации Надежды Константи-
новны в 1919 г. назначен преподава-
телем, а затем доцентом Педагоги-
ческой академии.
В 1925 г. решением Государствен-
ного Ученого Совета при Нарком-
просе И. К. Андронову присвоено
звание профессора. В этом же
году он был избран на долж-
ность профессора Московского пе-
дагогического института (ныне МГПИ
им. В. И. Ленина), где читал лекции
по различным математическим дис-
циплинам и методике математики. По
совместительству Иван Козьмич чи-
тал лекции по истории математики
в МГУ, пединституте им. А. С. Буб-
нова, в пединституте им. Карла Либк-
нехта, в Калининском пединституте.
С 1931 г. и до конца своей жизни
И. К. Андронов заведовал кафедрой
высшей алгебры, элементарной ма-
тематики и методики преподавания
математики в МОПИ им. Н. К. Круп-
ской. На протяжении всей своей на-
учно-педагогической деятельности
Иван Козьмич принимал активное
участие в создании журналов «На-
родное просвещение», «Математиче-
ское образование», свыше 30 лет
был членом редколлегии журнала
«Математика в школе».
Диапазон научных интересов про-
фессора И. К. Андронова был мно-
гогранен. Он опубликовал более
100 оригинальных научных работ по
следующим направлениям’ развитье
предмета методики математики;
историко-математические исследова-
ния; чисто математические исследо-
вания; программы для педагогиче-
ских институтов и университетов
по математике и методике препода-
вания математики; учебные пособия
по математике для средней и выс-
шей школы.
Его иде“ о прикладной значимости
математики и воспитывающей роли
этой дисциплины, реализованные в
книге «Математика для техникумов»,
особенно актуальны в наши дни.
Под руководством И. К. Андронова
написали и защитили диссертации
более 100 человек. Иван Козьмич вел
большую переписку с крупнейшими
педагогами-математиками за рубе-
жом, принимал участие в работе ря-
да международных математических
конгрессов.
За выдающиеся заслуги в деле на-
родного образования Иван Козьмич
был награжден орденами Ленина
и Трудового Красного Знамени,
а также медалью им. К. Д. Ушинско-
го и медалью им. Н. К. Крупской.
Все, кто общался с Иваном Козь-
мичем, испытали на себе его исклю-
чительную доброжелательность, лич-
ное обаяние, любовь к людям. Он
был подлинно русским интеллиген-
том, бескорыстно помогавшим всем,
кто к нему обращался.
Светлая память об этим удиви-
тельном педагоге и человеке оста-
нется навсегда в сердцах тех, кто
его знал. Идеи и мысли Ивана Козь-
мича продолжают жить в его трудах
и многочисленных учениках.
Е. С. Ахулкова, М. А. Петрова
Р. А. Сафразбекян
ВНИМАНИЮ ЧИТАТЕЛЕЙ!
В издательстве «Педагогика» в июне — июле 1984 г. вышли следующие книги:
Конфорович А. Г. Атеистическое воспитание в процессе преподавания матема-
тики/Пер. с укр.— 160 с.— (Воспитание и обучение. Б-ка учителя).— 25 к. 75 000 экз.
Литература по педагогическим наукам и народному образованию. Вып. 3 (132).
1983 г.: Текущий библиогр. указ./Гос. науч. пед. б-ка им. К. Д. Ушинского АПН
СССР.— 112 с.— 45 к. 3110 экз. Подписное.
Немов Р. С. Социально-психологический анализ эффективной деятельности кол-
лектива— 200 с,—80 к. 12 000 экз.
Новые исследования в педагогических науках. Вып. 2(44)/Сост. И. К. Журав-
лев.— 64 с.— 75 к. 2230 экз. Подписное.
Мудрик А. В. Общение как фактор воспитания школьников. —112 с. — 40 к.
20 000 экз.
Советская многонациональная школа в условиях развитого соцна/изма/Под ред.
Ф. Г. Паначина.— 248 с — I р. 30 к. 20 000 экз.
Учиться бережпивости/Сост. П. И. Матвеев.— 128 с.— (Б-ка для родителей).—
20 к. 100 000 экз.
ХРОНИКА
Республиканская
научно-методическая конференция
в Латвии
Ш. X. Михелович
(г. Даугавпилс)
29—30 марта 1984 г. в Даугавпилсском педагогическом
институте прошла республиканскаи конференция по те-
ме «Рациональный подбор задач как средство улучше-
ния математического образования в школе и в вузе».
Конференция привлекла внимание как учителей, так и
преподавателей вузов. В ее работе приняли участие
более ПО человек, в том числе 60 преподавателей 20
вузов из 5 союзных республик и 50 учителей из школ
республики.
На пленарных и секционных заседаниях было прочи-
тано 55 докладов, которые вызвали оживленную дис-
куссию. На пленарных заседаниях были сделаны три
доклада. Профессор МГПИ им. В. И. Ленина Г. В. До-
рофеев (Москва) в своем докладе «Задачи в подготов-
ке учителя» отметил, что большой объем информации,
которую получают студенты в математических курсах,
неизбежно приводит к тому, что на практических заня-
тиях решаются в основном простые задачи, упражне-
ния на простейшие применения теоретических понятий.
(Это явление пустило глубокие корни и в школе.) В
результате’ студенты не получают опыта преодоления
трудностей, и для исправления положения необходимо
настаивать на решении задач, в том числе и повышен-
ной трудности. Это предусмотрено самой программой,
поскольку курс практикума по решению задач прово-
дится по новому плану уже с III семестра. Надо также
организовать кружки по решению задач и привлекать
студентов к проведению такой работы с учащимися в
школе.
Для развития интереса студентов к будущей дея-
тельности учителя математики при решении задач по
основным дисциплинам необходимо рассматривать та-
кие задачи, которые демонстрируют пользу приобретае-
мых теоретических знаний для школьной практики, ина-
че у студентов складывается мнение, что их обучают не
тому, что им понадобится в школе.
Младший научный сотрудник А. В. Анджан (Рига)
хорошо известный в республике своей большой работой
по привлечению учащихся к решению задач и проведе-
нию математических олимпиад, сделал доклад на тему:
«Важнейшие типы задач и методы их решения при уг-
лубленном изучении математики». Он предложил об-
ратить внимание на задачи, которые связаны с более
глубоким пониманием значения решения, с алгоритмиче-
ским подходом к решению, с использованием интерпре-
таций, с преодолением инерции мышления, с использо-
ванием понятия бесконечности, с показом важнейших
методов математических рассуждений. Для всех задач
упомянутых видов можно найти примеры на элементар-
ном уровне.
Доцент Л. Ф. Пичурин (г. Томск) выступил с сооб-
щением «О некоторых сторонах математического обра-
зовании в бывших полуколониальных странах».
В секционных заседаниях преподаватели вузов
Э А. Лаудыня Ш. X. Михелович, К. В. Муран (г. Дау-
гавпилс); ГО. Буле, А. Лиепиньш (Рига); В. А. Ко-
валевская (г. Кемерово) и другие поделились опытом
выделения конкретных циклов задач по отдельным дис-
циплинам, способствующих овладению студентами учеб-
ным материалом и подготовке их к работе в школе.
Все выступавшие поддержали предложение о повыше-
нии требовательности к студентам в решении задач. В
рамках рабочих программ по основным математическим
дисциплинам педвуза, курса практикума по решению
задач, а также курса методики преподавания матема-
тики следует предусмотреть перечни задач, решение ко-
торых студентами следует считать обязательным.
Ряд сообщений касался разработки систем задач для
развития познавательного интереса к программированию
(Дз. Круче и Р. А. Вейте — г. Лиепая, Я. Я. Кокин —
г. Даугавпилс).
Доцент 3. И. Слепкань (Киев) указала на необходи-
мость повышения вычислительной культуры студентов и
подготовки их к работе с микроэлектронной вычисли-
тельной техникой. В Киевском пединституте уже с I
курса в рамках дисциплины «Введение в специальность»
начинается подготовка студентов к вычислениям на
микрокалькулиторах. Кафедра обязывает преподавате-
лей, ведущих практикум по решению задач, включать
задачи вычислительного характера с применением каль-
куляторов и в первую очередь задачи школьного типа.
Прозвучало требование улучшить обеспечение вычис-
лительной техникой как пединституты, так и школы.
Учителя в своих докладах рассмотрели системы задач
для овладения программным материалом в разных
классах. Было обращено внимание на задачи пропедев-
тического характера, на процесс определения понятий,
на переход от простых задач к более сложным, на вы-
деление логических элементов (Л). Страздиня — г. Рига,
Я. Я- Энделе — г. Цесис и другие). Руководитель ме-
тодического объединения учителей математики г. Дау-
гавпилса С. Н. Слов, а также учитель Г. Кугель из
г. Бене ознакомили присутствующих с системами задач
и соответствующими наглядными пособиями для итого-
вого повторения математики в X классе.
М. И. Зайкин (г. Арзамас) прогнализировал виды
учебных задач по обобщению материала при повторе-
нии и выделил три этапа повторения (создание базы,
развитие внутренних связей и обобщение существенно-
го, формулирование выводов).
Профессор Г. Н. Скобелев (г Могилев) сделал сооб-
щение о постановке задач в курсе методики препода-
вания математики и предложил различать методические
задачи, связанные с изложением материала в учебни-
ках, и задачи, связанные с учебным процессом. Доклад-
чик рассказал об использовании тестов для проверки
умений студентов решать методические задачи и про-
демонстрировал кодоматериалы по частным вопросам
методики математики для составления систем упраж-
нений.
Ряд докладов был посвящен разработке системы за-
дач и упражнений для обучения геометрии по книге
А. В. Погорелова. Професор Л. М. Лоповок (Вороши-
ловград) ознакомил участников конференции с разрабо-
танными им пособиями, Э. М. Фалькенштейн (методист
Рижского гороно) рассказала о системе упражнений и
соответствующем диафильме к теме «Признаки равен-
ства треугольников».
В. С Дуванова (г. Брест), М X. Скривеле (г. Дау-
гавпилс) и другие подчеркнули значение работы над
задачей после ее решения: выяснение роли, которую
данная задача играет в обшей системе, оценка избран-
ного метода решения и возможности его использования
в аналогичных ситуациях, анализ возникших в ходе ре-
шения трудностей, обучение студентов составлению
новых задач путем изменения условий (рассмотрение
нетривиальных частных случаев, предельных случаев
и обобщений).
В нескольких сообщениях были рассмотрены вопросы
усвоения теоретического материала через задачи
(А1. П. Бу левацкий, Д. И. Фрейверт — г. Могилев); осу-
ществление с их помощью воспитательных функций в
отношении усиления интереса студентов к предмету и,
79
как следствия, улучшения его усвоения (Г. И. Маль-
цев — г. Шадрписк); подбор задач для развития логи-
ческой культуры студентов при изучении темы «Элемен-
ты математической логики» в курсе -.Алгебра и теория
чисел» (Ю. А. Материнский— г. Барнаул); подбор за-
дач по основным дисциплинам и, в особенности, при
чтении спецкурсов и проведении спецсеминаров для
подготовки студентов к ведению факультативных заня-
тий в школе (Ш. X. Михелович, И. Р. Ермаченко —
г. Даугавпилс).
С. С. Тасмуратов (г. Астрахань) рассказал об опыте
работы студенческого кружка по решению задач, отме-
тив широкие возможности, которые предоставляют для
этого материалы отдела задач журнала «Математика в
школе». Автор этих строк, касаясь факультативных эа-
нятпй по вопросам делимости и простых чисел, выска-
зал мнение о том, что в отделе задач журнала «Мате-
матика в школе» следовало бы уделить большее вни-
мание применению сравнений (включая малую теорему
Ферма). Ж. М. Раббот (зам. директора Всесоюзной
заочной математической школы АПН СССР при МГУ
им. М. В. Ломоносова) рассказал о кружковой работе
в средних школах по решению задач в форме «коллек-
тивный ученик». Весьма желательно распространение
опыта этой работы как в школе, так и в пединститутах.
По докладам конференции1 опубликован сборник ме-
тодических материалов, а в заключение ее работы при-
няты рекомендации.
Абрам Миронович
Лопшиц
22 мая 1984 г. скончался известный
математик и педагог профессор Абрам
Миронович Лопшиц. Ушёл из жизни
человек большой одаренности, высо-
кой культуры и душевной чистоты.
Абрам Миронович родился 27 мая
1897 г. в Одессе в ‘ семье учителя.
Еще будучи школьником, а затем
студентом Новороссийского 1 универ-
ситета, он испытал влияние С. О Ша-
туновского и В. Ф. Кагана, которое
на всю жизнь стало для него опре-
деляющим как для человека и уче-
ного. В 1921 г. Абрам Миронович
переехал в Москву и продолжал
учиться на физико-математическом
факультете Московского университета
под руководством В. Ф. Кагаиа, тоже
переехавшего в Москву. В 1928 г.
А. ЛА. Лопшиц окончил аспирантуру.
Еще студентом он преподавал на
рабфаке университета, а затем в
МВТУ и в'МЭИ. С 1931 по 1938 г.
заведовал кафедрой математики Ин-
женерно технической академии связи
(ныне МЭИС). Затем ои перешел
в пединституты, сначала им. К. Либк-
нехта и им. В. II. Ленина, а с 1949
по 1977 г. (год ухода на пепси о)
преподавал в Ярославском пединсти-
туте им. К- Д. Ушинского.
Научные интересы Абрама Миро-
новича отличались большой шпротой:
векторный и тензорный анализ, рима-
нова геометрия, матричное исчисле-
ние, механика, теория vnpvrocTii.
Mi cro работ посвящены безразмер-
ной геометрии (геометрия линейного
пространства, в которой отсутствует
1 Так назывался университет в
Одессе, преобразованный из Ришель-
евского лицея в 1865 г. Название
происходит от «Новороссийского
края», состоявшего из Екатерино-
славской, Херсонской и Таврической
губерний Одесса была уездным го-
родом Херсонской губернии.
аксиома размерности). Много вни-
мания уделял Абрам Миронович и
прикладным вопросам: ему принад-
лежит ряд публикаций По численным
методам, он редактировал перевод
книги Т. Кармана и М. Био «Мате-
матические методы в инженерном
деле», разработал шаблоны для гар-
монического анализа.
В научных вопросах Абрам Миро-
нович был бескомпромиссно строг
(в первую очередь к самому себе)
и отчасти подавлял себя своим же
критическим началом. Вот два при-
мера.
В 1945/46 учебном году он прочи-
тал на мехаиико-ма-тематическом фа-
культете ЛАГУ курс тензорного ис-
числения с приложениями к теории
упругости. В этом курсе впервые бы-
ло выдвинуто многое, что составляет
фундамент современной механики
сплошных сред. Сейчас дифферен-
циально-геометрический подход к ме-
ханике сплошных сред общепринят,
а тогда он был совершенным нов-
шеством. Интерес А. ЛА. Лопшица —
«чистого» математика — к таким
проблемам, как ползучесть, проявив-
шийся 40 лет назад, показывает его
прозорливость. И все это не остави-
ло никакого следа в научной печати,
но оставило след в благодарной па-
мяти слушателей.
Второй пример — теорема Польке —
Шварца. В 1926 г. Абрам Миронович
выступил с докладом в ЛАосковском
математическом обществе на эту те-
му. Он перенес вопрос в п-мерпое
пространство и впервые применил
к нему методы линейной алгебры.
Полученный им неожиданный резуль-
тат (т. е. обобщение оказалось не-
тривиальным) был опубликован толь-
ко в 1967 г. в составе более общей
теории.
Абрам Миронович был одним из
первых пропагандистов векторных ме-
тодов в преподавании геометрии. Под
его редакцией в 1936 г. вышла солид
иая монография М. Лагалли «Вектор-
ное исчисление», содержащая вопро-
сы механики и римановой геометрии.
Учебник аналитической геометрии
я М Лопшица для пединститутов
(1948) изложен векторным методом.
Он содержит много оригинальных на-
ходок. Впервые в учебной литературе
были четко разделены афипиые и
метрические вопросы. Эта i пита вы-
зывает интерес и в наши дли.
Абрам Миронович всю жизнь очень
интересовался преподаванием матема-
тики в средней и в высшей школе
и хорошо знал мировую литературу
по этим вопросам. Он писал для
школьников (статьи в «Детской
энциклопедии», брошюра «Вычисление
площадей ориентированных фигур»
в серии «Популярные лекции по ма-
тематике»), Статьи в «Детской энци-
клопедии» (1-е изд.) представляют
первый в нашей стране опыт изло-
жения учения о векторах для школь-
ников.
Преподавание Абрама Мироновича
в пединститутах оказалось особенно
плодотворным. Его яркие и содер-
жательные лекции производили глу-
бокое впечатление на слушателей и
привлекали к нему молодежь. Толь-
ко за годы работы в Ярославле он
подготовил более 20 аспирантов. Его
педагогические идеи опережали свое
время. Материал по векторной алгеб-
ре и теории линейных операторов, ко-
торый он излагал студентам в 50-х гг.,
ныне стал неотъемлемой частью под-
готовки учителей математики и фи-
зики.
В личности Абрама ЛАироповича
чувствовалось нечто особо притяга-
тельное, а именно: уважение к со-
беседнику, готовность делиться на-
учными идеями, широкая математи-
ческая и педагсги 1еская эрудиция.
Он понимал н ценил искусство, хоро-
шо разбирался в литературе н в жи-
вописи, ие говоря уже о музыке,
одной из самых больших своих при-
вязанностей (он и сам играл на
скрипке). Все ученики Абрама Миро-
новича считают, что общение с ним
было вдохновляющим и облагоражи-
вающим. Особенность Абрама Миро-
новича Лопшица заключалась в том,
что великие идеалы гуманизма, усвоен-
ные им, составляли органическую
часть его личности и находили повсе-
дневное выражение в его делах.
Г. И. Еареиблатт, Н. М. Бескич,
3. А. Скопец, И. М, Ягпом,
А В. Ястребов
МОДЕЛИРОВАНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ФИГУР И ГРАФИКОВ
НА МАГНИТНОЙ ДОСКЕ
МОДЕЛИ ИЗ МАГНИТОВ И ШНУРОВ
На страницах журнала «Математика в школе» (1979,
Xs 2, обложка) мы описывали использование магнитной
резины для конструирования различных геометрических
фигур и графиков. В этих же целях мы рекомендуем
воспользоваться керамическими магнитами, выпускае-
мыми промышленностью для школ, в сочетании с цвет-
ными стальными полосками размером 400X5X1 мм,
проволокой диаметром 3 мм и шнуром.
Точками могут служить керамические магниты, пред-
варительно окрашенные в яркие цвета: красный, жел-
тый, голубой. Образ прямой представляется с помощью
шнура или тесьмы с двумя подвижно закрепленными
магнитами. Поскольку выпускаемые керамические маг
ниты имеют форму кольца, для них необходимо изго-
товить пробки из дерева в которых закрепляется про
водочное ушко.
Нанизав на шнур несколько магнитов можно демон-
стрировать разнообразные геометрические фигуры.
Основные свойства измерения отрезков и углов изу-
чаются с помощью подвижных моделей угла и отрезка.
Изменяя положение магнита Л, получаем различные
углы,- острый (рис. 1), прямой (рис. 2), тупой, развер
нутый. Используя модель окружности и шнур с магни-
тами, удобно показать углы, вписанные в окружность,
центральные углы, вписанные и описанные треугольники
(рис 3).
Железную модель «подвижный угол» (она имеется к
продаже) в сочетании, с магнитами и шнурами можно
применять при изучении теоремы Фалеса Для этого на
одну из сторон «угла» в точках А,, А2, Д3 помещают
магниты с отвесами так, чтобы шнуры отвесов пересе-
кали другую сторону, при этом все они будут парал-
лельны (рис. 4). Кусочки пластилина Bt, В2, В3 на кон
нах отвесов позволяют закреплять шнуры в различных
положениях, в частности и непараллельно. Тем самым
можно расширить дидактические возможности модели
Если учитель и • располагает моделью «подвижный
угол», то при разборе теоремы Фалеса он может при-
менить пособие, описанное в следующей статье.
70557
Цена 45 коп.
Издательство «Педагогика» Москва
Магнитная доска с координатной сеткой в сочетании
с соответствующими проволочными моделями позволяет
иллюстрировать решения задач аналитической геомет-
рии и алгебры. Например, модели на рис. 5 могут слу-
жить для иллюстрации графиков функций у—х+3 и
у ——0,5x4-4. Они же позволяют наглядно показать
графическое решение системы этих уравнений.
Тонкая цепочка от настенных часов или шиур с маг
нитами на концах могут служить моделью параболы,
так как провисание цепочки или шнура происходит ио
закону квадратичной функции (рис. 6).
Мы особенно рекомендуем красочно оформлять моде-
ли: яркие цвета лучше концентрируют внимание уча-
щихся, к тому же эстетическое впечатление привлекает
самих учащихся к изготовлению моделей, а это вызы-
вает интерес к математике.
В. Ф. Шилов, В. И. Исаев (Москва)
КОНСТРУИРОВАНИЕ ИЗ ЖЕЛЕЗНЫХ СПИЦ
Перед решением задачи на построение целесообразно
сначала провести с учащимися моделирование той гео-
метрической фигуры, которую необходимо построить с
помощью циркуля и линейки. Проще всего для этого
использовать магнитнук доску, несколько небольших
магнитов и металлические спицы различной длины (от
20 до 50 см). Отдельные спицы можно выкрасить в
яркие цвета.
Рассмотрим задачу: «Построить параллелограмм по
двум сторонам а и b н углу между ними а».
Сначала устанавливаем два магнита, которые служат
точками, задающими прямую AAt. Саму прямую изо-
бражает длинная спица, наложенная на эти магниты
(магниты, разумеется, прикрепляются к магнитной дос-
ке). Один из магнитов — «точку» А — будем считать
вершиной искомого параллелограмма.
Теперь строим угол DAB На модели магниты D и В
устанавливаются так, чтобы «отрезки» АВ и AD имели
заданную длину а и Ь (рис. 7). Для завершения по-
строения понадобятся еще один магнит и две спицы,
установленные параллельно «лучам» АА, и AD. В точ-
ках пересечения спиц запишем на магнитной доске бук-
ву С. Параллелограмм ABCD — искомый.
Магниты и металлические спицы, закрепляемые на
железной (магнитной) доске, можно использовать и
ори изучении теорем
Рассмотрим, например, конструирование, подводящее
учащихся к теореме Фалеса. Прежде чем формулиро
вать эту теорему, построим на магнитной доске модель
угла COD с помощью двух длинных спиц и трех круг-
лых магнитов. Затем берем длинный магнит, пристав
ляем его вдоль стороны угла и прикладываем к нему
три короткие металлические спицы, так, чтобы на «сто-
роне» СО они отсекали три равных отрезка. Под дей-
ствием силы тяжести эти спицы расположатся строго
вертикально (рис. 8). Учащиеся увидят, что на «сторо-
не» OD эти спицы отсекут равные отрезки
Положение коротких спиц можно изменять, отводя
их от вертикали и закрепляя параллельно друг другу
с помощью дополнительного прямоугольного магнита
(рис. 9). Учащиеся видят, что в обоих случаях (рис. 8
и 9) параллельные «прямые» отсекают на «луче» OD
равные отрезки. Если же короткие спицы сделать непа-
раллельными, то равных отрезков на стороне OD не
получается.
Теперь учащиеся легко выясняют условия, при кото-
рых прямые, проходящие через сторону ОС, отсекают
на стороне OD угла COD равные отрезки: прямые па-
раллельны, пересекают обе стороны угла, отсекают на
стороне ОС равные отрезки. После такого разбора уча-
щиеся уже сами формулируют теорему Фалеса.
Использование магнитных пособий позволяет моде-
лировать фигуры при всеобщей активности класса, так
как это «живое» моделирование не может оставить
равнодушным ни одного ученика. Любой желающий
может подойти к магнитной доске, чтобы самому все
потрогать и осуществить любой этап построения
А. Д. Агеев (г. Зарайск)
Математика в школе, 1984, № 5, 1—80