/
Теги: электротехника радиолокация
ISBN: 5-256-00472-7
Текст
ЦИФРОВАЯ
ОБРАБОТКА
РАДИОЛОКАЦИОННОЙ
ГПИНФОР/ИАЦИИ/Т7
ЦИФРОВАЯ
ОБРЛБОТКк
РАДИОЛОКАЦИОННОЙ
ИНФОРЛ4ДЦИИ
Сопровождение
целей
Radar
Data Processing
VOLUME I—INTRODUCTION AND TRACKING
A. Farina, DrЯ.Е., Associate Professor
and
F. A. Studer, Dr. E. E.
Setenia S.p.A., Rome, Italy
RESEARCH STUDIES PRESS LTD.
Letchworth, Hertfordshire, England
JOHN WILEY & SONS INC.
New York - Chichester - Toronto - Brisbane Singapore
А.Фарина, Ф.Студер
ЦИФРОВАЯ
ОБРАБОТКА
радиолокационной
ИНФОР/ИА11ИИ
Сопровождение
целей
ПЕРЕВОД С АНГЛИЙСКОГО
КАНДИДАТА ТЕХНИЧЕСКИХ НАУК
А. М. БОЧКАРЕВА
ПОД РЕДАКЦИЕЙ
ДОКТОРА ТЕХНИЧЕСКИХ НАУК
АМЮРЬЕВА
«Радив и сизы
Москва
1993
ББК 32.95
Ф24
УДК 621.396.965.83.037.372
Федеральная целевая программа книгоиздания России
Редакция по информатике и вычислительной техники
Фарина А., Студер Ф.
Ф24 Цифровая обработка радиолокационной информации. Со-
провождение целей: Пер. с англ.— М.: Радио и связь,
1993,—320 с.: ил.
ISBN 5-256-00472-7.
В книге известных итальянских специалистов с единых позиций ана-
лизируются два научно-технических направления, развивавшиеся ранее до
известной степени изолированно,— принципы калмановской фильтрации
и методы траекторной обработки радиолокационных данных. Наряду
с традиционными теоретическими направлениями фильтрации траекторных
сигналов рассматриваются наиболее актуальные прикладные проблемы
(способы и пути реализации обработки информации при наличии в зоне
обзора большого числа воздушных объектов, методы сопровождения
групповых целей, способы обнаружения маневра цели и сопровождения
цели в условиях мешающих отражений).
Для инженерно-технических работников, занимающихся разработкой
и эксплуатацией радиолокационных систем. Может быть полезна студентам
и аспирантам.
2302040000-047
Ф--------------------КБ-3-536-93
046(01 )-93
ISBN 5-256-00472-7 (рус.)
ISBN 0-86380-026-2 (англ.)
ББК 32.95
© 1985 by Research Studies Press Ltd.
© Перевод на русский язык, допол-
нение, список литературы к до-
полнению. Бочкарев А. М.,
Юрьев А. Н., 1993.
© Предисловие к изданию на русском
языке. Юрьев А. Н., 1993.
4
ПРЕДИСЛОВИЕ К ИЗДАНИЮ НА РУССКОМ ЯЗЫКЕ
Предлагаемая вниманию читателя книга известных специалистов
в области обработки радиолокационной информации А. Фарины
и Ф. Студера занимает особое место в литературе, посвященной данной
проблематике. В этой книге авторы находят пути глубокого инженерного
анализа с единых позиций двух научно-технических направлений, развива-
вшихся ранее до известной степени изолированно друг от друга —
принципов калмановской фильтрации сигналов и методов траекторной
обработки радиолокационных данных. Начиная с наиболее простых
и практически очевидных положений теории оценивания, авторы, посте-
пенно расширяя круг вводимых понятий и решаемых задач, методически
умело приводят читателя к математическому аппарату и основным
результатам современной теории фильтрации стохастических сигналов, не
упуская при этом из виду прикладные аспекты этой теории, связанные
с траекторной обработкой радиолокационной информации. Принятая
в книге логическая последовательность изложения материала позволила
весьма убедительно показать, что разработанные методы и приемы
фильтрации стохастических сигналов составляют теоретическую основу
вторичной обработки данных, применяемую в радиолокационных систе-
мах и сетях при решении задач сопровождения целей. Из книги
непосредственно следует, что способы траекторной обработки данных,
эвристически развиваемые в течение продолжительного времени, находят
свое методическое обоснование в теории фильтрации и, с другой стороны,
теория фильтрации стимулировала дальнейшее совершенствование мето-
дов, используемых в цифровых системах обработки радиолокационной
информации.
На протяжении всей книги авторы следуют принятой методике
изложения, тесно увязывая теоретические вопросы с практически
стоящими перед инженером-проектировщиком задачами. В книге,
в частности, получает дальнейшее развитие ставшая классической
сингеровская модель движения трех пилотируемых маневриру-
ющих целей и другие теоретические направления фильтрации
траекторных сигналов. В то же время внимание читателя
концентрируется на наиболее острых прикладных проблемах,
связанных с обработкой радиолокационных данных. К этим
проблемам относятся, в первую очередь, способы и пути
реализации обработки информации при наличии в зоне обзора
большого числа воздушных объектов, методы сопровождения
групповых целей, способы обнаружения маневра цели и со-
провождения целей в условиях мешающих отражений. Все эти
5
вопросы получают в книге необходимое освещение, приводятся
интересные результаты исследований по решению этих проблем.
Следует отметить, что за последнее время технический облик
и структура самих радиолокационных систем претерпели серьез-
ные изменения. Все более широкое распространение получают
радиолокаторы с фазированными антенными решетками, обес-
печивающие возможность гибкого управления лучом, практически
мгновенного его перемещения из одной точки пространства
в другую, развиваются радиолокационные системы, позволяющие
на этапе первичной обработки изменять скорость и ускорение
объектов и тем самым расширять пространство состояний
обрабатываемых сигналов. Вводятся в практику многопозици-
онные системы, характеризующиеся тем, что их передающие
и приемные элементы разнесены в пространстве. Прогресс
радиолокационной техники, в свою очередь, предъявляет новые
требования к системам обработки радиолокационной информации,
открывает перед ними новые возможности. Указанные новые
направления развития радиолокации и связанные с ними методы
цифровой обработки данных находят в книге свое отражение.
В оригинале книга состоит из двух томов. Настоящий перевод
составляет содержание первого тома, посвященного фундамен-
тальным вопросам теории обработки радиолокационной инфор-
мации. Материалы второго тома носят, в основном, прикладной
характер; в нем рассматриваются принципы обработки инфор-
мации в радиолокационных сетях, вопросы оценки эффективности
радиолокационных систем с использованием методов математи-
ческого моделирования, приведены примеры алгоритмических
процедур, применяемых в реальных системах.
Книгой охвачены основные направления развития радиолокаци-
онной техники и методы траекторной обработки сигнала, однако,
ко времени ее перевода появились новые материалы по тематике
обработки радиолокационных данных. Поэтому при создании
перевода было признано целесообразным дополнить его разделом,
в котором давался бы обзор и проводилось обобщение книг
и статей, вышедших за период от издания данной книги за
рубежом и до завершения ее перевода. Такое дополнение
к переводу было подготовлено и включено в книгу в виде
самостоятельного раздела. Оно позволит читателю получить
представление о последних работах и достижениях в области
цифровой обработки информации в радиолокационных системах.
Книга ориентирована на широкий круг специалистов по
радиолокации. Особенно она будет полезна научным сотрудникам
и инженерам, занимающимся разработкой и комплексными
вопросами построения и исследования цифровых систем об-
работки радиолокационной информации.
А. Н. Юрьев
6
ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА
Издательство Research Studier Press выпускает вторую моно-
графию серии «Электронные схемы и системы». Авторы Альфонсо
Фарина и Флавио А. Студер сумели сохранить тот высокий
методический уровень изложения материала, который был харак-
терен для первой книги, написанной Дугласом Маклином. Хотя
новая книга затрагивает другие проблемы, относящиеся к области
издаваемой серии, у обеих книг есть общие черты. Обе книги
посвящены современной теории систем и основаны на строгом
математическом аппарате. Кроме того, обе книги имеют прак-
тическую направленность, что вполне естественно, поскольку
авторы работают в электронной промышленности.
В последнее время стала ощущаться растущая потребность
в работе, объединяющей и обобщающей результаты по авто-
матической цифровой обработке радиолокационной информации
(ЦОРИ), опубликованные в научных статьях. Имеется несколько
изданий, представляющих собой в основном сборники статей
по данной проблеме; в настоящей книге сделана попытка
изложить имеющийся материал с единых позиций. Авторы были
достаточно подготовлены к выполнению такой работы, поскольку
на протяжении длительного времени принимали участие в ис-
следованиях в данной области, проводимых фирмой Selenia
S.p.A. Многие результаты, полученные авторами, были пред-
ставлены на международных конференциях и опубликованы
в журналах научных обществ. Теперь они собраны вместе
и дополнены другими материалами, отражающими научную
основу и перспективы развития ЦОРИ.
Для удобства пользования, а также по издательским соображени-
ям монография опубликована в двух томах. Первый том начинается
с рассмотрения принципов ЦОРИ в рамках радиолокационной
теории систем, в нем приводится также необходимый математичес-
кий аппарат. Здесь же описаны системы сопровождения в режиме
обзора (иногда их называют «сопровождением на проходе»),
и подробно изложены алгоритмы сопровождения. Это подготавли-
вает читателя к пониманию второго тома, посвященного сетям
радиолокационных станций (РЛС); методам оценки эффективности
РЛС с помощью моделирования на ЭВМ; примерам реализации
алгоритмов ЦОРИ и их применению в различных системах.
7
На протяжении всей книги особое внимание уделяется прак-
тическим вопросам. Важное место отводится перспективным
средствам, таким как фазированные антенные решетки (ФАР)
и двухпозиционные (бистатические) РЛС. Для разработчиков
РЛС представляют большой интерес разделы, в которых рас-
сматриваются требования к ЭВМ и алгоритмы машинного
моделирования.
Рассматривая тот или иной метод ЦОРИ, авторы, как правило,
сначала поясняют его сущность, а затем приводят строгое
математическое обоснование. Если полученные оптимальные ре-
шения не могут быть практически реализованы, предлагаются
упрощенные (квазиоптимальные) подходы. Ценным источником
библиографии по ЦОРИ являются списки литературы, приведен-
ные в хронологической последовательности в конце каждой главы.
Авторы известны своими исследованиями в данной области.
Книга написана точным, ясным языком и станет незаменимым
пособием для всех специалистов в области радиолокации.
П. Боурон
Нашим семьям посвящается
ПРЕДИСЛОВИЕ
«Никакое человеческое исследование
не может быть названо истинно науч-
ным, если оно не проходит через
математические доказательства.»
(Леонардо да Винчи, 1452—1519)
В последние годы возник большой интерес к исследованиям
и разработкам в области автоматической обработки цифровой
информации в радиолокационных системах. Это обусловлено
тем, что при решении задач управления движением и проти-
вовоздушной обороны поступающая в быстром темпе от об-
зорных радиолокационных систем высокоточная информация
должна быть в последующем соответствующим образом об-
работана.
При определении координат, скорости, характера движения
и, возможно, при опознавании цели применение ЦОРИ обес-
печивает большую точность и надежность, чем методы приема
сигнала, основанные на одноразовом облучении цели. Кроме
того, ЦОРИ повышает качество обработки сигналов благодаря
уменьшению частоты ложных тревог, вызванных, например,
отражениями от местных предметов.
Цифровая обработка радиолокационной информации может
быть применена как в однопозиционных, так и в двухпозиционных
(бистатических) РЛС с механическим или электронным сканирова-
нием луча. Электронное сканирование реализовано, например,
в РЛС с фазированными антенными решетками (ФАР). В таких
РЛС процессор данных служит для управления обзором простран-
ства, обеспечивая более частое облучение быстроманеврирующих
целей. На современном этапе практический интерес представляет
создание сетей РЛС, что в ряде случаев позволит повысить
эффективность их работы.
Обработка данных в РЛС осуществляется с помощью цифровой
ЭВМ, структурно включенной после устройства выделения тра-
екторий и непосредственно перед индикатором. Цифровая об-
работка радиолокационной информации производится в течение
нескольких циклов обзора РЛС, тогда как обработка сигналов
осуществляется лишь по нескольким импульсам облучения цели
9
в одном цикле обзора. В сетях РЛС реализация ЦОРИ может
быть сосредоточена на ведущей станции или распределена по
различным позициям (станциям).
Процессор данных РЛС может быть определен как совокуп-
ность реализованных на ЭВМ алгоритмов, которые по инфор-
мации, получаемой в нескольких последовательных циклах обзора,
позволяют:
идентифицировать обнаруженные сигналы, относящиеся к одной
и той же цели;
оценивать кинематические параметры цели (координаты, ско-
рость и ускорение), обеспечивая таким образом формирование
траектории;
экстраполировать траектории;
различать цели и формировать траектории каждой из них;
выделять истинные цели на фоне ложных тревог, обуслов-
ленных как преднамеренными, так и естественными помехами;
адаптивно корректировать пороговый уровень процессора сиг-
налов, изменяя чувствительность РЛС в зависимости от простран-
ственного направления с учетом карты ложных тревог, обнов-
ляемой на каждом цикле обзора;
формировать программу обзора пространства РЛС с ФАР
для сопровождения маневрирующей цели с заданной точностью,
а также оптимальным образом сочетать сопровождение целей
с обзором пространства и другими функциями РЛС;
эффективно использовать информацию обнаружения или со-
провождения, поступающую от различных РЛС, объединенных
в сеть и контролирующих одну и ту же область пространства.
Цель настоящей книги — рассмотреть современную теорию
ЦОРИ на уровне, доступном инженерам, которые могли бы
использовать ее в практической работе при анализе и проек-
тировании РЛС. Изложение теории непосредственно увязано
с практическими примерами. Целая глава посвящена моделирова-
нию на ЭВМ фильтров сопровождения, представляющих основу
ЦОРИ. В другой главе рассмотрены наиболее интересные случаи
применения ЦОРИ в гражданских и военных системах.
Книга может быть использована студентами старших курсов
и аспирантами университетов и институтов, специализирующими-
ся по курсу «Связь и электроника», а также специалистами
промышленности на курсах повышения квалификации. Пред-
полагается, что читатель знаком с основными положениями
теории радиолокации, теории динамических систем, теории веро-
ятностей и случайных процессов, а также программированием
на ЭВМ.
Хотя в течение последних 20 лет по вопросам радиолокаци-
онного сопровождения было написано множество статей, в от-
крытой литературе, насколько это известно авторам, отсутствует
систематическое с единых позиций изложение данной проблемы.
10
Авторы надеются, что настоящая книга поможет устранить этот
пробел.
Для удобства пользования книга издается в двух томах.
В первом томе содержится введение в вопросы цифровой
обработки радиолокационной информации, приводится необхо-
димый математический аппарат и подробно рассматриваются
вопросы сопровождения целей. Второй том в большей степени
посвящен прикладным проблемам. В нем помещен материал по
сетям РЛС, методам оценки эффективности ЦОРИ с помощью
моделирования на ЭВМ, а также примеры применения ЦОРИ.
Таким образом, цель первого тома дать необходимые базовые
знания, а во втором содержится информация, представляющая
большой интерес для повседневной деятельности инженеров по
радиолокации.
Структурно первый том построен следующим образом. Во
введении (гл. 1) приводится обзор практических задач цифровой
обработки информации в РЛС. Представлена общая структура
устройств, реализующих ЦОРИ, их связи с другими подсистемами
РЛС с механическим сканированием или ФАР. В общем виде
показаны преимущества объединения РЛС в сети и связанные
с этим проблемы. Затем рассмотрены фильтры сопровождения,
составляющие основу ЦОРИ. Существует много различных форм
фильтров сопровождения, и выбор наиболее подходящего ал-
горитма основан на компромиссе между вычислительными ресур-
сами и требованиями к эффективности. Глава 1 завершается
примерами применения ЦОРИ в системах управления воздушным
движением (УВД) и обзорных системах.
Поскольку математический аппарат, необходимый для описания
ЦОРИ, в большей степени знаком специалистам по системам
управления, а не радиоинженерам, гл. 2 целиком посвящена
изложению теории оценивания и фильтрации. Эта теория пред-
ставляет собой наиболее подходящую основу для разработки
алгоритмов сопровождения.
Глава 3 посвящена системам сопровождения в режиме обзора,
которые производят обработку информации, полученной при
механическом сканировании луча. Подробно рассмотрены процес-
сы, реализуемые в системах сопровождения в режиме обзора
(завязка траектории, формирование траектории, корреляционная
логика). Приведен а—P-алгоритм, впервые использованный для
сопровождения целей. В заключение показаны способы пред-
ставления с помощью ЭВМ результатов радиолокационных
измерений и обрабатываемых данных.
Одной из наиболее важных является гл. 4. В зависимости от
условий применения могут быть созданы различные алгоритмы
фильтрации. Сначала описывается достаточно гибкий алгоритм,
основанный на теории калмановской фильтрации. В дальнейшем
он используется для вывода алгоритмов адаптивной фильтрации
сопровождения маневрирующих целей и выделения заданной
цели в группе или на фоне ложных отражений. Завершается
глава рассмотрением алгоритмов активного сопровождения целей
в РЛС с ФАР, а также сопровождения при наличии измерений
радиальной скорости целей. Один из разделов посвящен со-
провождению целей бистатической РЛС.
Во втором томе книги помещен материал по сетям РЛС,
моделированию на ЭВМ, вопросам применения ЦОРИ. Допол-
нительные сведения по рассматриваемым проблемам могут быть
получены из источников, списки которых приведены после каждой
главы.
Альфонсо Фарина
Флавио А. Студер
Декабрь 1984 г.
12
СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ
К главе 1
a(t)— ускорение, зависящее от времени (скалярная величина);
F—матрица перехода модели цели (пхп);
G—матрица модели цели (пхр);
к—дискретный момент времени;
Ро — вероятность обнаружения;
s—вектор состояния модели цели;
Т—период обзора РЛС;
и—вектор внешнего воздействия модели цели;
v—случайный вектор модели цели;
w—случайный вектор модели результатов измерений;
хт, ут—измеренные декартовы координаты цели;
хр, ур—экстраполированные декартовы координаты цели;
Xs, у8—сглаженные декартовы координаты цели;
хр, ур—экстраполированные составляющие скорости цели в декартовых
координатах;
х—оценка координаты;
хс—ошибка оценивания координаты;
z—вектор результата измерений;
а, р—параметры фильтра сопровождения;
р—дальность цели;
0—азимут цели;
Ф—угол места цели;
рт—расстояние между целью и передатчиком;
pR—дальность между целью и приемником;
р—скорость изменения дальности цели (доплеровская скорость);
с—среднее квадратическое отклонение (СКО);
сг-—СКО величины х;
оХс—СКО величины хс.
К главе 2
В, G, Н, L, Ф—матрицы динамических моделей цели;
Е{-}—оператор математического ожидания;
E{x/z}—условное математическое ожидание вектора х при данном
векторе z;
Kk—матрица коэффициента усиления калмановского фильтра в мо-
мент времени к;
13
Р—ковариационная матрица;
Р—оценка ковариационной матрицы;
Pk/k, Pk,к-1 — ковариационные матрицы отфильтрованной и экстраполирован-
ной оценок;
Рхх — ковариационная матрица вектора х;
Рх/— взаимная ковариационная матрица векторов х и z;
Q, R — ковариационные матрицы случайных процессов;
sk — состояние системы в момент к;
sk к — отфильтрованная оценка sk;
sk,k-i—экстраполированная оценка sk;
uk, vk — составляющие процессов шума;
х — неизвестный вектор;
х — оценка вектора;
z — вектор результатов измерений;
Z(k)— совокупность результатов измерений, полученных вплоть до
момента к включительно;
vk — обновляющая последовательность в момент к;
0к — ковариационная матрица обновления;
Ак — дополнительная ковариационная матрица второго порядка;
с2 — член второго порядка в аппроксимации нелинейного фильтра
К главе 3
ах, ау, а^, ап — составляющие ускорения;
G, Ф — матрицы модели цели;
Н — матрицы модели измерения;
к — дискретный момент времени;
Кк - матрица коэффициента усиления калмановского фильтра;
Кх, Кх— составляющие усиления калмановского фильтра по координа-
там и скорости;
Кр, Ко — размеры корреляционного строба в полярных координатах;
Pk/k, Pk/k--i—ковариационные матрицы оценок состояния;
Q, R, Е — ковариационные матрицы шума;
г — отношение шума измерений к шуму ускорений;
Sk k, skk_, — отфильтрованная и экстраполированная оценки состояния;
Т--период обзора РЛС;
х, у, z — декартовы координаты;
w - шум измерений;
z — вектор измерений;
а, Р — коэффициенты фильтра сопровождения;
ахх, аху, Р} - коэффициенты двумерного фильтра;
р, 6 - полярные координаты;
Qp, а0, ах, ау, — средние квадратические ошибки измерений.
К главе 4
a(t) — ускорение цели в момент t;
d — коэффициент заполнения сигнала передатчика;
F, G — матрицы динамической модели цели;
14
Н — матрица уравнения измерения;
Кк— матрица коэффициента усиления калмановского фильтра в мо-
мент к;
£к/к, К/к-. — ковариационные матрицы отфильтрованной и экстраполирован-
ной оценок;
Q, R — ковариационные матрицы случайных процессов;
sk/k— отфильтрованная оценка состояния цели;
sk/k— отфильтрованная оценка состояния цели 1-й траектории;
Т—период обзора РЛС (период зондирования цели);
Тпвр — время сопровождения целей в системе с перекрывающимися
импульсами последовательностей;
Тппн — период повторения импульсов;
uk— внешнее воздействие модели цели;
wk — шум измерений;
zk — вектор измерений на k-м цикле обзора;
Zk—совокупность отметок, полученных в k-м цикле обзора;
Zk— совокупность отметок, полученных вплоть до к-го цикла
обзора включительно;
N — число сопровождаемых целей;
N(m, S)—гауссовская плотность вероятностей со средним значением
m и ковариационной матрицей Е;
а-1 — ожидаемая длительность маневра;
ук—двоичная случайная переменная;
vk — вектор обновления в момент к;
р, 0, ср — полярные координаты цели;
Рв» Рт» Pr — измерения дальности в бистатической системе;
0я — угол приема сигнала в бистатической системе;
т—длительность импульса;
пр, п0, Стр— CKO координат р, 0 и скорости р;
Qk 1 — данные с 1-й траектории вплоть до момента к;
0к — ковариационная матрица обновления;
х, у—декартовы координаты цели;
х, у—декартовы составляющие скорости цели;
а* — дисперсия ускорения цели;
Фк — матрица перехода модели цели.
15
Глава 1
ВВЕДЕНИЕ
1.1. ЦИФРОВАЯ ОБРАБОТКА ИНФОРМАЦИИ В РЛС
Рассмотрение общих принципов ЦОРИ целесообразно начать
с классификации РЛС в соответствии с выполняемыми функциями.
В подразд. 1.1.2 приводится краткий обзор основных функци-
ональных элементов РЛС. Подразд. 1.1.3 знакомит читателя
с принципами сопровождения целей РЛС с механическим ска-
нированием.
1.1.1. КЛАССИФИКАЦИЯ РЛС
Разрабатывавшиеся перед второй мировой войной РЛС были
простыми устройствами, предназначенными для обнаружения
самолетов. За прошедшие годы РЛС стали важнейшей частью
компьютерных информационных систем, обеспечивающих запрог-
раммированный и адаптивный контроль окружающего простран-
ства, а также выполняющих функции принятия решений и са-
моконтроля. Такое развитие обусловлено улучшением харак-
теристик и повышением гибкости РЛС, необходимыми для их
применения как в военной, так и в гражданской сферах [1, 21].
Современная РЛС военного назначения должна выполнять
ряд функций, для реализации каждой из которых ранее со-
здавалась отдельная РЛС. Например, РЛС систем ПВО и управле-
ния оружием должны обеспечивать поиск в больших объемах
пространства, обнаружение и сопровождение высоко- и низ-
коскоростных целей в широком диапазоне высот, управление
ракетами и ствольным оружием при стрельбе по воздушным
и наземным целям, а также должны выполнять функции навигации
и разведки. Для удовлетворения требований гражданской авиации
РЛС должны выполнять функции управления воздушным движе-
нием, предупреждения столкновений, инструментальной посадки,
определения метеорологических условий и обеспечения навигации.
При этом РЛС часто работают в условиях неблагоприятных
внешних воздействий, вызываемых отражениями от местных
предметов, помехами от других радиосредств и специальных
станций помех.
16
Независимо от сложности современные РЛС можно клас-
сифицировать по основной выполняемой функции. При таком
подходе могут быть выделены четыре группы РЛС [1, 8, 21].
А. Обзорные РЛС, предназначенные для поиска целей (т. е.
самолетов и кораблей) в заданном секторе пространства. В за-
висимости от решаемых задач такие РЛС могут быть размещены
на наземных средствах, кораблях и самолетах. Для надежного
обнаружения в заданном секторе за отведенное время (определя-
емое особенностями применения) РЛС распределяет необходимую
среднюю мощность по всему поисковому объему.
Кроме того, обзорная РЛС измеряет следующие параметры
цели (или некоторые из них):
дальность;
азимут;
угол места (или высоту);
радиальную составляющую скорости;
сигнатуру (форму, размеры, тип объекта).
Временная задержка между моментом излучения импульсно-
го сигнала РЛС и приемом отраженного сигнала позволяет
измерить дальность до цели. Направление на цель определя-
ется по положению антенны РЛС. Например, антенна с уз-
кой диаграммой направленности (ДН) в горизонтальной плос-
кости (представляющей собой веерный луч в вертикальной
плоскости) позволяет измерить азимут цели. Антенна с узкой
ДН в обеих плоскостях позволяет измерить как азимут, так
и угол места цели.
Сигнал, отраженный от движущейся цели, вследствие эффекта
Доплера смещен по частоте. Это явление позволяет измерить
радиальную составляющую скорости цели. Наконец, цели можно
различать по размерам (определяющим мощность отраженного
сигнала), форме и другим признакам, например по степени
отражения волн различной поляризации. На рис. 1.1 показаны
Рис. 1.1. Параметры цели, измеряемые обзорной РЛС
2—1582
17
параметры, которые могут быть измерены обзорной РЛС при
однократном облучении цели.
Радиолокационные станции с зеркальной антенной и механичес-
ким сканированием по азимуту не позволяют измерить угол
места цели. Для определения этого параметра используются
высотомеры, измеряющие характеристики цели уже после об-
наружения ее обзорной РЛС. Антенны высотомеров сканируют
в вертикальной плоскости. Однако в современных обзорных
РЛС предусмотрено автоматическое измерение высоты цели.
В этом случае угол места определяется с помощью многолепест-
ковой ДН или при электронном сканировании узконаправленной
ДН по углу места (см. разд. 1.2). При работе обзорной РЛС
контролируемое пространство разбивается на элементы разреше-
ния, размеры которых зависят от длительности импульса и ши-
рины ДН антенны. В качестве координат обнаруженных целей
принимаются координаты центров элементов разрешения.
Б. Радиолокационные станции сопровождения позволяют опре-
делить параметры цели с большей точностью, чем размеры
элементов разрешения обзорных РЛС. Знание положения цели
в элементе разрешения особенно важно при больших размерах
элементов разрешения, а также если эта информация используется
в дальнейшем, например, для прогнозирования положения цели,
управления оружием, наведения или навигации. Точная оценка
параметров цели достигается с помощью соответствующей об-
работки отраженных сигналов. Точность оценивания может быть
повышена за счет объединения информации, получаемой при
многократном облучении цели. В моноимпульсных РЛС точность
измерения угловых координат повышается с помощью одновре-
менного формирования двух смежных ДН антенны. При об-
работке информация объединяется двумя способами: суммарным
(Е) и разностным (А). Угловые координаты измеряются путем
соответствующей обработки отношения А/Е.
Процедуры получения точных значений дальности и доплеровс-
кого сдвига аналогичны методам оценивания угловых координат.
При оценивании дальности сигналы нормируются относительно
общей энергии импульса (что соответствует суммарному лучу,
Е), затем производится операция дифференцирования — временное
стробирование сигнала (что соответствует разностному лучу, А).
Оценивание доплеровского сдвига выполняется подобно оценива-
нию угла, так как каналы доплеровских частот аналогичны
смежным лучам антенны при измерении угловых координат.
В случае объединения информации при многократном облуче-
нии цели необходимо различать РЛС непрерывного сопровож-
дения и РЛС сопровождения на проходе. Станции первой группы
позволяют непрерывно получать данные сопровождения цели,
на которую постоянно направлена ДН антенны. Станции второй
группы периодически выдают данные о нескольких целях, осущест-
18
вляя при этом сканирование ДН антенны в азимутальной
плоскости. В общем случае в состав РЛС сопровождения
названных типов входят различные радиоэлектронные блоки.
Теория непрерывного сопровождения достаточно полно изложена
в [1 ] и поэтому в настоящей книге не рассматривается. Принципы
функционирования РЛС сопровождения в режиме обзора при-
ведены в подразд. 1.1.3 и подробно освещены в гл. 3.
В. Радиолокационные станции с ФАР с электронным сканирова-
нием луча обеспечивают выполнение функций поиска и со-
провождения так же, как если бы эти операции осуществлялись
двумя отдельными РЛС, одна из которых оптимизирована для
решения задачи обнаружения, другая—для решения задачи
сопровождения. Возможность практически мгновенно направлять
один или несколько лучей в любую точку контролируемого
воздушного пространства позволяет одновременно производить
поиск и сопровождение нескольких целей, передачу данных,
наведение ракет и выполнять другие операции. Поэтому такие
РЛС называют многофункциональными.
Компьютер, получивший название блока управления (конт-
роллера) РЛС, обеспечивает сканирование луча, управляет време-
нем облучения цели и излучаемой мощностью. Управление
осуществляется адаптивно с учетом обстановки, назначения РЛС,
потребностей оператора. Эти вопросы рассмотрены в разд. 1.2.
Г. Вторичные обзорные РЛС выполняют поиск и опознавание
целей в соответствии с методом «запрос—ответ». При этом
предполагается, что цели оснащены необходимой аппаратурой.
В систему вторичной радиолокации входят: наземный запросчик-
приемник, антенна, бортовой приемоотвегчик и индикатор РЛС.
Запросный сигнал, представляющий собой кодированную последо-
вательность импульсов, включает приемоотвегчик, который авто-
матически передает данные опознавания и высоту полета самоле-
та. С помощью обработки ответного сигнала, осуществляемой
в наземном приемнике традиционными для обзорной РЛС
методами, получают дополнительную информацию о дальности
и азимуте цели. Вторичные РЛС находят все более широкое
применение в гражданской и военной областях. Методы вторичной
радиолокации подробно изложены в разд. 7.1 второго тома книги.
1.1.2. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ О ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ ЭЛЕМЕНТАХ РЛС
Создание надежных и недорогих цифровых микроэлектронных
схем позволило реализовать сложные алгоритмы выделения
и обработки данных и методы управления, соответствующие
тактико-техническим требованиям, предъявляемым к современным
РЛС [11].
Упрощенная функциональная схема современной РЛС показана
на рис. 1.2. Место установки РЛС зависит от ее назначения
Рис. 1.2. Упрощенная схема современной однопозиционной РЛС
[21 ]. В ряде случаев РЛС размещается в двух помещениях: в первом
находятся передатчик, приемник и аппаратура цифровой обработки
сигналов; во втором — ЭВМ, выполняющая функции ЦОРИ,
устройство отображения информации и устройство управления
(контроллер). На рис. 1.3 представлен пульт управления системы
УВД. Алгоритмы ЦОРИ могут быть реализованы как на мини-ЭВМ
(при небольшом объеме обрабатываемых данных, например, в РЛС
объектовой ПВО), так и на полноразмерный ЭВМ или даже на сети
мини-ЭВМ, если необходимо обрабатывать информацию о многих
целях, или выполнять несколько функций, как в системах УВД.
Рассмотрим основные блоки, показанные на рис. 1.2, и выпол-
няемые ими функции.
Антенна и устройство управления обзором. Эти элементы РЛС
определяют форму и направление луча при передаче и приеме.
Рис. 1.3. Пульт управления
РЛС УВД [15]:
I - индикатор кругового обзора; 2—блок
управления РЛС; 3 -громкоговоритель,
модуль внутренней связи; 4 —стойка отоб-
ражения информации о воздушной об-
становке; 5 —ниша для наушников; 6 —
блок декодирования вторичной РЛС; 7 —
планшет с подсветом; 8 — индикаторы
(ветра, температуры и т. д.).
20
Может быть использована как антенна зеркального типа с ме-
ханическим вращением по азимуту, сопряженная с другой ан-
тенной с механическим сканированием по углу места (для
измерения высоты), так и ФАР, осуществляющая электронное
сканирование в одной или двух плоскостях. Функционирование
ФАР подробно рассмотрено в разд. 1.2.
Передатчик. В передатчике используются, как правило, элек-
тровакуумные приборы, генерирующие когерентную последова-
тельность импульсов высокой пиковой мощности в возможно
более широкой полосе частот (последнее необходимо для повыше-
ния помехозащищенности). Вместе с тем, в РЛС с ФАР могут
быть использованы маломощные полупроводниковые усилители.
Генератор формы сигнала. Генератор формирует сигналы,
соответствующие обстановке и условиям распространения, а также
используемому режиму работы. Примерами режимов работы
могут быть поиск целей (при наличии или отсутствии отражений
от местных предметов) или сопровождение с применением мер
помехозащиты. Для увеличения дальности действия и подавления
помех от местных предметов могут, например, генерироваться
импульсы повышенной длительности с частотной или фазовой
импульсной модуляцией. Теория формирования радиолокацион-
ных сигналов хорошо разработана [21 ].
Антенный переключатель. Этот переключатель при передаче
направляет всю генерируемую энергию к антенне, а при приеме
подключает антенну к приемному тракту.
Приемник. В приемнике осуществляется частотное преобразова-
ние сигнала, подавление помех и усиление в малошумящих
цепях. При разработке радиолокационных приемников большое
внимание уделяется снижению уровня шума, что достигается
применением согласованной фильтрации, максимизирующей от-
ношение сигнал-шум на выходе [2, 21].
Процессор сигналов. Процессор определяет наличие или от-
сутствие в принимаемом сигнале составляющей, обусловленной
отражениями от цели. Кроме того, он подавляет мешающие
сигналы, обусловленные отражениями от подстилающей поверх-
ности (суша, море), метеообразований, а также излучениями
радиосредств, источников шумов и постановщиков помех. В про-
цессоре осуществляется когерентная или (и) некогерентная об-
работка принимаемых сигналов, дискретизированных по времени.
При когерентной обработке учитываются синфазная и квад-
ратурная составляющие видеосигнала. Некогерентная обработка
происходит после устранения информации о фазе сигнала в детек-
торе. Обнаружение осуществляется путем сравнения видеосигнала
на выходе приемника с заданным пороговым уровнем; превыше-
ние этого уровня рассматривается как факт обнаружения цели.
Процессор сигналов реализуется в текущем времени с исполь-
зованием специализированных аппаратных средств.
21
В результате развития цифровых методов широкое распрост-
ранение получили следующие операции, выполняемые в процес-
соре сигналов [25].
А. Сжатие импульсов, позволяющее применять кодирование
формы сигналов большой длительности и ограниченной им-
пульсной мощности. При приеме отраженные сигналы с помощью
согласованной фильтрации свертываются в короткие импульсы.
Таким образом, характеристики обнаружения РЛС зависят от
излучаемой энергии, а разрешение и точность измерения даль-
ности определяются параметрами сжатого импульса.
Б. Селекция движущихся целей (СДЦ) позволяет подавлять
мешающие отражения от поверхности суши и моря, а также
от движущихся дождевых туч и облаков дипольных отражателей.
В последнем случае адаптивная оценка центральной частоты
спектра отражений обеспечивает настройку фильтра СДЦ в соот-
ветствии с этим спектром.
В. Импульсно-доплеровская обработка (ИДО) обеспечивает бо-
лее высокое качество подавления мешающих отражений (по
сравнению с использованием только СДЦ), позволяет увеличить
чувствительность РЛС, а также измерять доплеровскую скорость
цели. С помощью алгоритма быстрого преобразования Фурье
(БПФ) по N когерентным отсчетам (как правило, N = 8...1OO)
рассчитываются спектральные составляющие. Эта операция обес-
печивает достаточно надежное выделение цели на фоне мешающих
отражений; кроме того, появляется возможность различения двух
целей по их доплеровским сдвигам, даже если они находятся
в одном и том же элементе разрешения по дальности.
Г. Обнаружение движущихся целей (ОДЦ) обеспечивает подав-
ление мешающих отражений лучше, чем при использовании
только СДЦ или ИДО. Для этой операции необходимы карта
мешающих отражений и банк фильтров с конечными (по
длительности) импульсными характеристиками (КИХ), каждый
из которых рассчитан на оптимальное отношение сигнала к сумме
составляющих шума и мешающих отражений. Использование
карты мешающих отражений позволяет обнаруживать цели
с нулевым доплеровским сдвигом и определять пороговые
значения для каждого элемента разрешения по дальности и ази-
муту.
Д. Схема стабилизации частоты ложных тревог поддерживает
на постоянном уровне частоту ложных тревог, обусловленных
шумом приемника, подстилающим фоном или мешающими
отражениями. Эта схема должна исключить возможность пере-
грузки РЛС и (или) пользователя. Схема измеряет средний
уровень шума или мешающих отражений в ряде элементов
разрешения по дальности, доплеровскому сдвигу и (или) азимуту,
что позволяет правильно определить значение порога обнаруже-
ния.
22
Уменьшение потока данных
Увеличение объема полезной информации в результате обработки сигнала
Рис. 1.4. Операции, выполняемые при приеме радиолокационных сигналов
Устройство выделения данных. Это устройство обеспечивает
измерение дальности, углов (азимута и угла места), радиальной
скорости, а иногда и сигнатуры цели. В общем случае обнаружение
цели может быть зафиксировано в нескольких смежных элементах
разрешения по дальности, доплеровской частоте и углам. Геомет-
рический центр соответствующих элементов (называемый в даль-
нейшем отметкой цели — plot) определяет оценку измерений
параметров цели. Обычно функции устройства выделения данных
реализуются с помощью специализированной микроЭВМ.
Процессор данных. Все операции, перечисленные во введении,
выполняются в процессоре данных, который представляет собой
предмет данной книги и подробно рассмотрен далее. Важно
подчеркнуть, что в последовательно соединенных процессоре
сигналов, устройстве выделения данных и процессоре данных
(рис. 1.4) происходит сжатие полосы частот сигнала. На вход
поступают данные с высокой частотой (например, полоса частот
радиолокационного сигнала может составлять 10 МГц), а затем
по мере обработки скорость потока данных становится срав-
нительно небольшой (например, несколько герц). Эта особенность
иллюстрируется на рис. 1.4 путем уменьшения ширины стрелок,
последовательно соединяющих процессоры.
По мере прохождения информации через указанные на
рис. 1.4 устройства происходит постепенное различение полезных
23
и мешающих сигналов в результате поэтапного процесса принятия
решений. При обработке информация последовательно приводится
к виду, облегчающему пользователю принятие решений. Так,
необработанный видеосигнал содержит много ложных соста-
вляющих, обусловленных отражениями. Устройство выделения
данных локализует цель, а процессор данных распознает цель
(которой может быть присвоен кодовый номер), определяет
скорость цели и другие параметры, которые в табличном
виде выдаются на индикатор.
Следует отметить еще одно обстоятельство — увеличение ин-
тервала времени, в течение которого в различных процессорах
обрабатывается сигнал. В процессоре сигналов это длительность
нескольких импульсов, в устройстве выделения данных—смежных
групп импульсов и, наконец, в процессоре данных этот интервал
равен длительности нескольких циклов обзора РЛС. Иными
словами, объем памяти процессоров, изображенных на рис. 1.4,
увеличивается в направлении слева направо.
Пользователь. На выходе РЛС, как правило, устанавливается
индикатор, позволяющий визуализировать информацию, содер-
жащуюся в эхосигналах, и представить ее оператору в форме,
удобной для интерпретации и принятия решений. Кроме того,
к РЛС может быть подключена линия связи для передачи
данных на центральную станцию или ЭВМ для дальнейшей
обработки (эти вопросы рассмотрены в разд. 1.3 и 1.5). Ин-
формация, выдаваемая на индикатор, называется «синтетической»
в отличие от «сырой» информации, которая появилась бы на
индикаторе при подключении непосредственно к выходу прием-
ника. На индикаторе кругового обзора (ИКО) — наиболее рас-
пространенном типе индикаторов — отображаются дальность
и азимут обнаруженной цели [21]. На современных радиолокаци-
онных индикаторах отображаются также алфавитно-цифровые
знаки и символы, позволяющие получить дополнительную ин-
формацию. Они могут быть использованы для отображения
высоты и результатов опознавания цели.
Трасса сопровождаемой цели может быть отображена в виде
отрезка линии на синтетическом индикаторе. При этом наклон
отрезка определяется направлением полета цели, а его длина —
скоростью цели. В такого типа современных индикаторах для
генерирования графической информации и управления электронно-
лучевой трубкой применяется ЭВМ. Это обеспечивает высокую
гибкость при выборе масштаба дальности, отображения инфор-
мации со смещенным центром, увеличении выбранной зоны,
воспроизведении взлетно-посадочной полосы аэропорта и под-
ходов воздушных трасс, карт отражений от местных предметов,
планов полетов и т. д. Оператор может взаимодействовать
с ЭВМ в интерактивном режиме с помощью клавиатуры, световой
ручки или курсора. В некоторых случаях рядом с основным
24
индикатором может быть установлен дополнительный дисплей,
на который выводится информация в табличной форме. Это
позволяет разгрузить основной индикатор.
Контроллер. Это устройство декодирует команды оператора
и устанавливает заданные режимы работы, синхронизирует фун-
кционирование системы, включая обработку принимаемых сиг-
налов по дальности, азимуту и углу места. Кроме того, это
устройство анализирует сигналы и выявляет ложные обнаружения.
Как правило, контроллер реализуется в виде пакета прикладных
программ для ЭВМ общего назначения, размеры и произ-
водительность которой зависят от решаемых РЛС задач и числа
контролируемых параметров РЛС [3, 4].
Как будет показано в разд. 1.2, посвященном РЛС с ФАР,
существует тенденция автоматизации функционирования РЛС.
Включение ЭВМ в состав радиолокационного оборудования (в
качестве неотъемлемой его части) позволяет уменьшить число
аппаратурных блоков и повысить гибкость функционирования
РЛС. Другими словами, ЭВМ позволяет оптимизировать работу
РЛС в изменяющихся условиях благодаря динамическому упра-
влению ресурсами последней. Примером этого может служить
управление порогом обнаружения в реальном масштабе времени
с целью предотвращения перегрузки процессора данных РЛС
(см. подразд. 3.2.1 и 4.4.3).
1.1.3. ПРИНЦИПЫ ПОСТРОЕНИЯ РЛС С СОПРОВОЖДЕНИЕМ
В РЕЖИМЕ ОБЗОРА
В данном подразделе показано, каким образом РЛС с ме-
ханическим сканированием веерного луча обеспечивает определе-
ние траектории цели и прогнозирование ее положения в будущем.
Такие системы называются РЛС с сопровождением в режиме
обзора [10, 16, 20, 23] и подробно рассмотрены в гл. 3.
При каждом облучении измеряются координаты цели и ее
положение отображается на ИКО. Идея сопровождения становит-
ся очевидной при наложении нескольких последовательных раз-
верток ИКО друг на друга; в результате на экране появляется
последовательность равноудаленных отметок.
Раньше оператор вручную отмечал карандашом на экране
ИКО положение цели при каждом цикле обзора. Процедура
была очень простой, однако неточной, и, кроме того, оператор
мог отслеживать лишь небольшое число целей. Преодолеть эти
ограничения, свойственные оператору, стало возможным благо-
даря применению ЭВМ, автоматически выполняющей весь процесс
сопровождения. Эта ЭВМ называется процессором данных (см.
рис. 1.2, 1.4).
Для разработки автоматической процедуры сопровождения
одной и более целей следует рассмотреть физические свойства
25
последовательности отметок, выдаваемых обзорной РЛС [23].
Чем лучше будут изучены свойства этой последовательности,
тем с более высоким качеством устройство сопровождения
сможет различать истинные и ложные отметки. Ложные отметки
обусловлены влиянием отражений от местных предметов, пред-
намеренных помех и внутреннего шума системы, которые не
были устранены при обработке в процессоре сигналов. Пери-
одичность отметок целей обусловлена скоростью движения целей
и может изменяться во времени, если цель маневрирует. Если
целью является летательный аппарат, то его скорость может
быть ограничена верхним и нижним пределами. Кроме того,
возможные траектории летательного аппарата могут быть огра-
ничены введением верхних предельных значений ускорения. При
оценке кажущегося местоположения цели остаются некоторые
неопределенности, обусловленные неточностью устройства выделе-
ния отметок, которые называются «шумом отметок».
Рассмотрим принципы функционирования системы сопровож-
дения. Работа системы сопровождения может быть представлена
в виде следующих этапов [23]:
завязка (обнаружение) траектории;
установление корреляционных связей между отметками и тра-
екториями;
экстраполяция траектории;
фильтрация траектории;
прекращение сопровождения (сброс траектории).
Последовательность основных этапов сопровождения показана
на рис. 1.5.
Рис. 1.5. Последовательность операций при сопровождении целей [16]
26
Прежде всего должна быть сформирована траектория (этап
завязки траектории). Оценка начального кинематического положе-
ния цели (координат и скорости) может быть получена по двум
последовательным циклам зондирования цели. Скорость цели
определяется по изменению ее положения в течение обзора.
Такой простой метод при наличии ложных отметок недостаточно
надежен. В этом случае надо использовать отметки, получаемые
в большем числе циклов обзора, и учитывать при формировании
траектории только те последовательности отметок, которые
соответствуют предполагаемому поведению целей.
На следующем цикле обзора необходимо выделить сигнал,
отраженный от той же цели, и привязать его к траектории
этой цели (путем использования логики установления корреляци-
онных связей между отметкой и траекторией цели) [23].
Свойства цели учитываются следующим образом. Предположим
сначала, что цель движется с постоянной скоростью; тогда
координаты цели в момент следующего цикла обзора могут
быть вычислены (с помощью экстраполяции траектории) по
текущим координатам и скорости движения. Однако исходные
данные могут быть не совсем точными и, кроме того, элемент
случайности вносится шумом отметки. Поэтому при поиске цели
в очередном цикле обзора надо учесть возможные ошибки. Для
этого формируется поисковый строб, центр которого имеет
координаты предполагаемого местоположения цели. Отметка,
обнаруженная в пределах строба, считается принадлежащей
траектории. Размеры поискового строба определяются оценками
ошибок измерения координат и скорости, а также уровнем шума
отметок. Поисковый строб должен иметь достаточно большие
размеры, чтобы сигнал, отраженный от цели в следующем цикле
обзора, попал в него с высокой вероятностью. В то же время
он должен иметь как можно меньшие размеры, поскольку при
наличии ложных отметок в строб больших размеров их будет
попадать больше. Это усложнит процесс продолжения траектории,
так как если в строб попадает более одной отметки, то возникает
необходимость решения задачи селекции отметки, действительно
принадлежащей траектории.
Рассмотренный метод применим лишь в случае неманевриру-
ющих целей. Однако он может быть распространен и на случай
сопровождения маневрирующих целей [23]. При этом вводятся
определенные ограничения на возможные маневры цели. В про-
стейшем случае задается значение максимального ускорения. Для
учета возможных маневров цели формируется так называемый
«строб маневра» вокруг предполагаемого местонахождения цели,
в который должна попасть цель в следующем цикле обзора
(при этом не принимаются во внимание ошибки измерения
координат и шум отметок). Таким образом, имеются два
источника рассогласования экстраполированного и истинного
27
положения цели в следующем цикле обзора: ошибки измерения
координат и шум; ошибки, обусловленные маневрированием
цели. Общий поисковый строб формируется с учетом наибольшего
рассогласования, обусловленного ошибками от обоих источ-
ников— грубо говоря, результирующий строб «складывается» из
строба шума (т. е. поисковой области для неманеврирующей
цели) и строба маневра.
Предположим, принято решение о том, что следующая отметка
цели принадлежит сопровождаемой траектории. После этого
необходимо обновить и скорректировать оценки координат и ско-
рости цели с учетом вновь полученной отметки (этап фильтрации
траектории). Данная операция выполняется с помощью цифрового
фильтра, в котором вычисляется ошибка между измеренным
и экстраполированным положениями отметки цели, а на выходе
формируются значения сглаженных координат и скорости. Эти
параметры сглаженной траектории вычисляются путем коррек-
тировки экстраполированных координат и скорости цели с ис-
пользованием коэффициентов, пропорциональных ошибкам экс-
траполяции координат, полученным на предыдущем цикле обзора.
Проиллюстрируем принципы построения алгоритмов цифро-
вого фильтра, который подробно рассмотрен в гл. 3, на примере
так называемого «а—Р = алгоритма» [23]. Этот алгоритм обес-
печивает как сглаживание, так и экстраполяцию траектории. Он
относится к алгоритмам рекурсивного типа, т. е. текущее значение
оценки формируется на основе оценки, полученной на предыдущем
шаге, и результата текущего измерения. С помощью алгоритма
вычисляются три декартовы координаты положения цели х, у,
z. Для координаты х могут быть записаны следующие уравнения
(уравнения для координат у и z аналогичны):
Xs (к) = хр (к) + а [хт (к) — хр (к)], (1.1)
xs(k) = xp(k) + (p/T) [хт(к)-хр(к)], (1.2)
хр(к+ l) = xs(k), (1.3)
xp(k+l) = xs(k) + xs(k)T, (1.4)
где хр(к) — экстраполированная координата на k-м цикле обзора;
Xs (к) — координата на выходе фильтра (сглаженная); xm(k) — из-
меренная координата; Xs (к) — значение скорости на выходе
фильтра; хр (k +1) — значение экстраполированной скорости на
(к+1)-м цикле обзора РЛС; Т — период обзора РЛС; а, Р —
весовые коэффициенты фильтра.
С помощью уравнений (1.1) и (1.2) осуществляется сглаживание
координат и скорости, а с помощью уравнений (1.3) и (1.4) —
экстраполяция.
Степень сглаживания определяется значениями коэффициентов
а и р. Если эти значения равны единице, то сглаженные
28
у
Двумерная прямоугольная система координат х,у
Отметка, полученная
во время первого цикла
обзор
Отметка, полученная
во время третьего
цикла обзора
.•^Истинная
траектория цели
Отметка, полученная
во время второго цикла
обзора
ч _______Экстраполированное значение
скорости (третий цикл обзора)
Экстраполированная отметка
/ I (третий цикл обзора)
/Отфильтрованные
/ координаты отметки
/ (третий цикл обзора)
Отфильтрованный
вектор скорости
(третий цикл
обзора)
• отметка
+ экстраполированная траектория
Ж сглаженные координаты
РЛС
Рис. 1.6. Процесс сглаживания и экстраполяции на интервале первых трех циклов
обзора РЛС
координаты и скорость в значительной степени определяются
результатами текущих измерений (полученной отметкой цели).
С другой стороны, если а и 0 равны нулю, то доминируют
экстраполированные данные. Существует хорошо разработанная
теория выбора коэффициентов а и 0 для каждого последующего
цикла обзора, позволяющая минимизировать ошибки оценки
координат и скорости цели.
На рис. 1.6 показана логика выполнения операций экстра-
поляции и сглаживания (фильтрации) в течение трех первых
циклов обзора РЛС. По первым двум отметкам осуществляется
завязка траектории, а по оценке скорости экстраполируется
положение отметки во время 3-го цикла обзора. Отметка,
полученная на 3-м цикле обзора, позволяет скорректировать
экстраполированные координаты и скорость цели.
На рис. 1.7 иллюстрируется уменьшение ошибок экстраполяции
за счет обработки расширенной последовательности отметок. На
рисунке изображены также стробы, которые корректируются на
каждом цикле обзора. Площадь строба, пропорциональная ошиб-
ке экстраполяции, уменьшается с ростом числа циклов обзора.
Представленные на рис. 1.7 стробы имеют форму полярных
секторов, однако может быть выбрана и другая форма стробов
(например, круговая).
Чтобы завершить анализ рис. 1.5, необходимо рассмотреть
случай, когда между отметкой и сопровождаемыми траекториями
корреляция отсутствует. Это имеет место в случаях, когда
полученная отметка не попадает в стробы сопровождаемых
29
траекторий и когда для одной или более траекторий во время
очередного цикла обзора не получены новые отметки. В первом
случае может быть принята гипотеза о формировании новой
траектории, для проверки которой применяются алгоритмы
завязки траектории. Во втором случае траектория либо экстрапо-
лируется, либо (если отсутствует ряд отметок в последовательных
циклах обзора) сбрасывается (этап прекращения сопровождения).
1.2. ОБРАБОТКА ДАННЫХ В РЛС С ФАР
В последнее время РЛС с ФАР, благодаря их широким
возможностям, все чаще становятся объектами исследований
и разработок [4, 9, 12, 26]. Однако стоимость ФАР выше, чем
антенн с механическим сканированием. Поэтому применение ФАР
экономически целесообразно лишь при создании многофункци-
ональных РЛС, т. е. РЛС, выполняющих более одной функции
(например, функции поиска, сопровождения нескольких целей,
передачи данных и наведения ракет). Это дает возможность
повысить надежность информации, по которой осуществляется
управление, а также уменьшить размеры системы—факторы,
особенно важные для корабельных и бортовых авиационных
РЛС. Можно отметить и другие достоинства РЛС с ФАР.
Однако наиболее существенной особенностью многофункциональ-
ной РЛС с ФАР является снижение риска информационного
насыщения при наличии многих целей, что обусловлено воз-
можностью одновременного сопровождения более одной цели.
С другой стороны, в традиционных РЛС увеличение числа целей
зо
приводит к необходимости обеспечения совместной работы об-
зорной станции с несколькими станциями сопровождения [17].
Следующий подраздел посвящен ФАР с электронным скани-
рованием и их применению в РЛС. Затем рассмотрена работа
процессора данных в РЛС с ФАР. При обработке данных в РЛС
с ФАР вместо системы сопровождения в режиме обзора ис-
пользуется новая система, называемая системой активного со-
провождения нескольких целей, управляемая с помощью ЭВМ.
При этом результаты обновления данных о траектории исполь-
зуются для направления луча РЛС в точку, в которой согласно
прогнозу должна находиться цель в следующий момент обзора.
Этот момент определяется с помощью ЭВМ в соответствии
с таблицей приоритетности целей.
1.2.1. ФАР С ЭЛЕКТРОННЫМ СКАНИРОВАНИЕМ
Фазовая антенная решетка состоит из определенного числа
отдельных излучающих элементов (например, диполей или от-
крытых концов волноводов), распределенных соответствующим
образом по заданной поверхности [12, 21]. В радиолокации
наиболее широкое применение получили плоские решетки, хотя
используются также линейные и конформные ФАР. В конформных
решетках излучающие элементы распределены по неплоской
поверхности (например, сферической).
В соответствии с одним из методических подходов ФАР может
рассматриваться как совокупность пространственных элементов,
взятых на обычной зеркальной антенне. Однако наиболее важной
отличительной чертой ФАР является возможность управления
сигналами, подводящимися к каждому излучающему элементу.
Управление относительной амплитудой и фазой этих сигналов
позволяет сформировать заданную ДН и мгновенно направить луч
антенны в любую точку контролируемого воздушного пространст-
ва. При этом удается избежать механической инерционности,
свойственной классическим вращающимся зеркальным антеннам.
Принцип работы ФАР показан на рис. 1.8. Если все излучающие
элементы запитываются сигналами с одинаковой фазой, энергия
Рис. 1.8. Принцип работы ФАР:
а — решетка; б —одинаковые даты; в —задержанные фазы [12]
31
фокусируется в направлении, перпендикулярном плоскости, в ко-
торой размещены элементы. Именно в этом направлении в даль-
ней зоне происходит синфазное сложение волн, излучаемых
отдельными элементами. В других направлениях условия для
синфазного сложения волн не выполняются и в ДН появляются
боковые лепестки низкого уровня. С помощью включаемого
перед каждым элементом фазовращателя, обеспечивающего за-
держку фазы, энергия фокусируется в другом направлении,
перпендикулярном новому эквифазному волновому фронту.
Ширина основного луча зависит от отношения размеров
апертуры антенны и длины волны. Если решетка имеет форму
круга или квадрата, то ДН будет иглообразной; в то же время
при прямоугольной решетке ДН может иметь веерообразную
форму. Электронное сканирование может производиться как по
азимуту, так и по углу места. Круговой обзор по азимуту
может быть получен с помощью механического вращения антенны
или путем использования четырех плоских решеток, каждая из
которых направлена в свой квадрат. Аналогичный результат
может быть достигнут и с помощью одной антенны—сферической
конформной ФАР [12], однако реализация этого подхода со-
пряжена с большими трудностями.
Значительное влияние на конструкцию ФАР оказывают выбран-
ные способы задержки фазы сигнала и запитки отдельных
элементов антенны. Быстродействующие фазовращатели обес-
печивают одновременное сопровождение нескольких целей и поиск
в различных направлениях, что уменьшает общее время как
сопровождения, так и поиска.
Генерирование энергии и ее распределение между элементами
антенны может осуществляться двумя способами:
а) в пассивной ФАР энергия генерируется одной выходной
лампой, работающей, как правило, с малой скважностью. Затем
передаваемая энергия делится между элементами антенны с по-
мощью распределительной сети. При приеме сигналов та же
сеть объединяет энергию, поступающую от элементов, и направ-
ляет ее на вход приемника (рис. 1.9а);
б) в активной ФАР каждый элемент антенны (или группа
элементов, т. е. подрешетка) непосредственно, соединен с от-
Фааоаращатели
4^—-—-—^^* Распределительно-
объединительная
Т схема (высокая
мощность излучения)
а 1 Пер| [пр| Передатчик (высокой
1—1 мощности), приемник
Приемопередающие
усилители
Фазовращатели
Распределительно*
объединительная схема
(малая мощность
излучения)
Рис. 1.9. Пассивная (а) и активная (б) ФАР [21J
32
дельным выходным передающим усилителем, например, полу-
проводниковым усилителем с большой скважностью, а при
приеме—с отдельным приемным усилителем (рис. 1.96).
Активные ФАР являются более перспективными, так как
позволяют снизить потери при передаче и приеме, а также
генерировать сигналы с высокой скважностью. Действительно,
в полупроводниковых элементах ограничена пиковая мощность,
тогда как в традиционных вакуумных элементах ограничена
средняя излучаемая мощность.
Сигналы с высокой скважностью целесообразно использовать
при взаимном наложении импульсных последовательностей, что
имеет место, например, в случае сопровождения нескольких
целей. В то же время стоимость активной ФАР выше, чем
пассивной. Кроме того, активная ФАР требует коррекции
(выравнивания) характеристик всех каналов, связанных с эле-
ментами антенны. Выбор между активным и пассивным спо-
собами построения ФАР определяется стоимостью реализации
этих вариантов. По-видимому, стоимость активных ФАР будет
снижаться при массовом производстве полупроводниковых эле-
ментов.
Еще одной особенностью ФАР является возможность фор-
мирования многолучевой ДН. Несколько лучей могут быть
сформированы как на передачу, так и на прием. В качестве
примера можно указать на ФАР трехкоординатной РЛС, форми-
рующую несколько лучей в угломестной плоскости, что позволя-
ет измерить высоту цели.. В некоторых случаях многолучевая
ДН необходима лишь при приеме сигналов. В этом случае
импульсные последовательности могут излучаться в различных
направлениях с помощью узкого луча, быстро перемещающегося
в новое положение в интервалах между импульсами. Другим
вариантом такого применения ФАР является система, передача
в которой осуществляется с помощью широкой ДН, охватыва-
ющей всю зону контролируемого воздушного пространства; при
этом для одновременного приема эхосигналов со всех направлений
применяется многолучевая ДН со множеством узких лучей.
Следующим свойством ФАР является возможность управления
уровнем боковых лепестков ДН при приеме сигналов. Это
свойство ФАР может быть использовано в целях уменьшения
воздействия мешающих сигналов от направленных передатчиков
помех и отражений от местных предметов, поступающих по
боковым лепесткам ДН. В первом случае система определяет
направление на передатчик помех и формирует глубокий провал
в ДН в этом направлении (адаптивное подавление помех). Во
втором случае при рассмотрении стационарной РЛС расположение
местных предметов, переотражающих излучаемые сигналы, ап-
риорно известно, поэтому соответствующая ДН может быть
сформирована заранее. В этом случае уровень боковых лепестков
необходимо снижать в широкой угловой зоне. В обоих указанных
случаях уровень боковых лепестков ДН уменьшается путем
управления усилителями и фазовращателями приемных элементов
ФАР. При разработке подобных ФАР используются теоретические
методы, развитые для решения задачи управления нулями ДН
[19].
В заключение рассмотрим вопросы надежности и ремонто-
пригодности ФАР. Вследствие большого числа идентичных эле-
ментов ФАР свойственна высокая структурная избыточность.
В частности, в активной ФАР отказ отдельных ее элементов
приводит лишь к ухудшению ее характеристик. Отказ п усили-
телей (из общего числа N) приводит к уменьшению отношения
сигнал-шум только в (1—n/N) раз. Кроме того, усилители
в каналах передачи и предварительные усилители в каналах
приема выполнены на полупроводниковых приборах, имеющих
большее среднее время наработки на отказ, чем вакуумные
приборы. Постоянный контроль состояния каждого элемента
РЛС позволяет быстро и точно обнаруживать причину отказа.
Такой контроль может осуществляться с помощью центральной
ЭВМ и распределенной встроенной системы контроля. По мере
ухудшения функционирования аппаратуры и матобеспечения ЭВМ
обеспечивает реконфигурацию системы.
1.2.2. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ФАР В РЛС
Гибкость сканирования луча, обеспечиваемая электронным
управлением, делает использование ФАР в РЛС особенно заман-
чивым. С этим свойством ФАР связана возможность изменения
времени облучения цели и скорости обновления информации.
Использование переменного времени облучения цели. Время
облучения каждой цели в РЛС с ФАР может быть выбрано
в соответствии с обоснованными специфическими требованиями,
тогда как в РЛС с механическим сканированием продолжитель-
ность облучения всех целей одинакова. При использовании ФАР
может быть реализована возможность интегрирования перемен-
ного числа принимаемых импульсов в зависимости от харак-
теристик цели и тактической обстановки, что позволяет конт-
ролировать вероятность обнаружения независимо от дальности
и эффективной площади рассеяния (ЭПР) цели. Кроме того,
энергетические соотношения для РЛС с ФАР рассчитываются
с учетом усредненных характеристик целей, тогда как РЛС
с механическим сканированием конструируются исходя из на-
иболее неблагоприятных условий. Следует отметить также, что
вероятность ложных тревог при обнаружении новых целей
значительно снижается [9] вследствие возможности повторного
зондирования в направлениях, в которых необходима верификация
(т. е. подтверждение наличия цели).
34
Использование изменяемой скорости обновления данных. Способ-
ность РЛС с ФАР направлять луч в любую точку пространства
в течение чрезвычайно малых интервалов времени позволяет
одновременно сопровождать несколько целей. Обновление тра-
екторий после их завязки осуществляется с помощью направления
луча в те точки пространства, которые прогнозируются алгорит-
мом сопровождения. Этот метод обработки радиолокационных
данных отличается от классического метода сопровождения
в режиме обзора, при котором решение задачи сопровождения
зависит от того, в какой степени и с каким качеством решается
задача поиска (см. подразд. 1.2.4). Кроме того, гибкость управле-
ния лучом обеспечивает возможность изменения параметров
обработки для различных типов целей. Наблюдаемые цели могут
быть сгруппированы по определенным параметрам и скорость
обновления данных при решении задачи сопровождения может
изменяться в зависимости от установленных приоритетов. Такой
подход позволяет оптимизировать управление радиолокационной
информацией.
Для реализации преимуществ адаптивного управления лучом,
временем облучения и излучаемой мощностью с учетом условий
функционирования необходимы гибкие средства обработки сиг-
налов и данных. В отличие от РЛС с механическим сканированием
алгоритмы фильтрации и параметры систем обработки сигналов
и данных могут изменяться в реальном времени в зависимости
от радиолокационной информации, обработанной в предшест-
вующие моменты времени. Очевидно, что центральным элементом
такой сложной РЛС должен стать контроллер, осуществляющий
функции согласования ресурсов системы с динамически изменя-
ющимися условиями обстановки.
1.2.3. КОНТРОЛЛЕР
Рассмотрим принцип работы контроллера в РЛС с ФАР
и .функции, выполняемые им. Контроллер, показанный на рис. 1.2
как элемент обобщенной моностатической РЛС, становится
ключевой подсистемой РЛС с ФАР [3, 4].
Контроллер предназначен для решения следующих основных
задач:
принятие решений о выборе режимов работы РЛС в определен-
ные временные интервалы;
формирование команд различным подсистемам РЛС в целях
реализации запланированного обзора;
сбор информации о состоянии подсистем РЛС (т. е. цифровых
последовательностей, характеризующих режим работы процес-
соров сигналов и данных) для оценки эффективности функци-
онирования и обнаружения отказов;
выполнение функций интерфейса с оператором РЛС.
35
3’
Пульт управления
Шина передачи
данных от
процессора k
сигналов и *
устройства
выделения
данных
Буферное
устройство
Буферное устройство
канала передачи
команд
Шина передачи
данных в
процессор
сигналов
<-------------
и устройство
выделения
данных
канала данных
обнаружения
Буферное
устройство
канала
передачи
команд
ЭВМ общего
назначения,
выполняющая
функции контроллера
РЛС и устройства
обработки данных
Буферное
устройство
канала
передачи
команд
канала
передачи
Буферное
устройство
Буферное устройство
канала выходных
данных
команд
Шина передачи
данных к
генератору
---------►
формы сигналов
и передатчику
Шина передачи
данных к
устройству
---------►
управления
обзором и ФАР
Рис. 1.10. Взаимодействие ЭВМ общего назначения с радиолокационным оборудо-
ванием и периферийными устройствами
Контроллер с заложенным в него пакетом программ обычно
реализуется на ЭВМ общего назначения. Иногда в него вводятся
также программы ЦОРИ. На рис. 1.10 показаны связи этой
ЭВМ с подсистемами РЛС (процессором сигналов, генератором
формы сигналов, устройством управления обзором и т. д.)
и такими внешними устройствами, как пульт управления и ин-
дикатор. В связи с различным быстродействием контроллер
и другие подсистемы сопрягаются с помощью буферных устройств
и шин передачи данных.
Кратко рассмотрим алгоритмы работы контроллера. Каждый
режим работы РЛС (поиск, подтверждение наличия цели, завязка
и проводка трассы), требующий ресурсов радиолокационного
оборудования и ЭВМ, получает определенный приоритет. Под
ресурсами радиолокационного оборудования понимаются время
и энергия излучения (в определенном направлении), а под
ресурсами ЭВМ—время обработки и объем памяти. Запрограм-
мированное включение различных режимов РЛС осуществляется
в соответствии с их приоритетами; таким образом исключается
информационная перегрузка РЛС и ЭВМ. Другими словами,
программирование режимов происходит так, чтобы потребности
в ресурсах РЛС и ЭВМ не превышали имеющиеся возможности
36
систем. Если возникает необходимость выполнения высокопри-
оритетной функции, то контроллер прерывает работу системы
в режиме с низким приоритетом и возвращается к нему вновь
при наличии временного ресурса. В случае опасности инфор-
мационной перегрузки из-за большого числа запросов контроллер
несколько снижает качество функционирования системы из-за
невыполнения низкоприоритетных запросов.
Рассмотрим физическую сущность информационной перегрузки
РЛС и ЭВМ при различных режимах работы. Заметим, что
поиск целей основан на использовании временного ресурса РЛС;
для поиска целей в условиях преднамеренных помех необходимо
использовать как временные, так и энергетические ресурсы РЛС;
сопровождение целей обеспечивается за счет временного ресурса
ЭВМ. Информационная перегрузка РЛС может возникнуть, если
требуется осуществить многократный поиск на больших даль-
ностях за заданный интервал времени. Перегрузка ЭВМ может
наступить при высоком темпе обновления траекторий целей.
Последний случай наиболее вероятен при сопровождении целей,
находящихся на малых дальностях, так как требуется более
высокая скорость обновления информации, чем при слежении
за удаленными целями. Следует заметить, что ситуации, при-
водящие к перегрузке РЛС и ЭВМ, различны. Несмотря на это
контроллер может обслуживать высокоприоритетные режимы
РЛС без сброса частично выполняемых функций меньшей при-
оритетности.
Функциональные взаимосвязи контроллера с радиолокационной
аппаратурой, процессором данных и внешними периферийными
устройствами показаны на рис. 1.11. Радиолокационный конт-
роллер состоит из трех подсистем:
планирования;
программирования;
управления в реальном времени.
С пульта управления в соответствии с заданной программой
или по требованию оператора в подсистему планирования
поступают команды-запросы на включение определенных режимов
РЛС (например, режимов поиска или сопровождения). В соот-
ветствии с важностью запросов в подсистеме планирования
определяется последовательность включения тех или иных ре-
жимов РЛС. Затем эта последовательность передается в под-
систему программирования, которая с учетом ограниченных
ресурсов РЛС и ЭВМ составляет временную программу работы
РЛС. На базе программы формируется перечень команд, подава-
емых на радиолокационную аппаратуру и распределяемых между
блоками РЛС и подсистемой управления в реальном времени.
В ходе функционирования РЛС формируются карты отражений
от местных предметов и средств активных помех, а также
определяются координаты обнаруженных целей. Полученные
37
Рис. 1.11. Цепь управления ФАР
радиолокационные данные записываются в буферное устройство
и используются для корректировки стандартной программы
режимов РЛС. Корректировка осуществляется посылкой в контрол-
лер команд-запросов на новые режимы работы через шину передачи
данных, охватывающую цепь управления (контроллер, радиолока-
ционное оборудование и процессор данных). Примерами запросов
могут быть: «поиск в условиях отражений от местных предметов»
с учетом априорной информации о местности; «подтверждение
наличия цели» и «завязка траектории» после обнаружения целей;
«обновление траектории» после начала сопровождения цели.
Данные, содержащиеся в буферных устройствах обнаружения
и. сопровождения,. периодически выводятся на индикатор РЛС.
1.2.4. СОПРОВОЖДЕНИЕ ЦЕЛЕЙ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ФАР
С учетом изложенного можно сформулировать концепцию
сопровождения целей с использованием ФАР.
Гибкость формирования луча в ФАР позволяет разделить
функции поиска и сопровождения. В этом заключается основное
отличие РЛС с ФАР от РЛС с механическим сканированием
антенны, при котором скорость поступления информации в ре-
38
жимах поиска и сопровождения одинакова. Сопровождение в ре-
жиме обзора, характерное для РЛС с механическим сканирова-
нием (при каждом цикле вращения антенны формируется отметка
цели), в РЛС с ФАР заменяется так называемым «активным
сопровождением», при котором осуществляется адаптация ско-
рости получения данных для повышения точности сопровождения.
Поскольку скорость получения данных не фиксирована, появляется
возможность зондирования траектории цели в соответствии
с заданным критерием оптимизации (например, сопровождение
траекторий с равномерной по пространству постоянной точ-
ностью). Это означает, что маневрирующие цели облучаются
чаще, чем цели с прямолинейной траекторией. При этом
уменьшаются ошибки алгоритмов сопровождения на этапах
сглаживания и экстраполяции.
В ситуациях, когда недостаток информации является критичес-
ким, например при привязке траектории, новая отметка цели
может быть получена через минимальный интервал времени.
Вследствие этого время завязки траектории существенно со-
кращается и, что не менее важно, не происходит значительного
увеличения корреляционного окна в период между моментом
пропадания отметки и новым облучением цели. В связи с этим
снижается число ложных отметок, который могут появиться
в области возможного нахождения цели. Напротйв, при меха-
ническом сканировании антенны с малой скоростью получения
данных существенно увеличиваются размеры строба и, следова-
тельно, увеличивается число ложных отметок.
Запросы на сопровождение, вырабатываемые процессором дан-
ных . (ПД) РЛС, преобразуются в контроллере во временную
программу. Схема функционирования ПД, контроллера и радио-
локационного оборудования преДсТайл^ца на рис. 1.12: Первые два
этапа выполняются процессором. данных и заключаются в пред-
сказании траектории и выработке команды-запроса. На следую-
щих двух этапах, выполняемых контроллером, программируются
излучение импульсной последовательности РЛС в необходимых
направлениях и прием отраженных сигналов. При обнаружении
новой отметки осуществляется ее привязка к траектории. Если
привязка прошла успешно, то с помощью алгоритма сопровожде-
ния производится сглаживание траектории. Затем сглаженная
траектория записывается в буферное устройство. Такой же
алгоритм .сопровождения позволяет задать момент следующего
обновления траектории с учетом сохранения ошибки фильтрации
на заданном уровне в течение определенного интервала времени.
Эти данные также записываются в буферное устройство системы
сопровождения. В тех случаях, когда отметка цели не обнаружена
или ее не удалось привязать к траектории, программируется новая
последовательность зондирующих импульсов, которая излучается
в момент времени, вычисленный на предыдущей итерации.
39
(Процессор
данных (ПД))
(Контроллер)
(Радиолокационное
оборудование)
(ПД)
(ПД)
(ПД)
(ПД)
Рис. 1.12. Схема функционирования РЛС с ФАР
Следует сказать несколько слов об алгоритмах сопровождения,
реализуемых в ПД РЛС с ФАР (подробное описание алгоритмов
приведено в разд. 4.7). Эти алгоритмы аналогичны алгоритмам,
используемым в системах сопровождения в режиме обзора
с механическим сканированием, однако в них дополнительно
предусмотрены средства обработки отметок целей, поступающих
с непостоянной скоростью.
В заключение остановимся на возможностях РЛС с ФАР по
одновременному сопровождению нескольких целей [17]. При
40
Принимаемый
(отраженный) импульс
б
Рис. 1.13. Импульсные последовательности при сопровождении нескольких целей
(AR — период повторения импульсов):
а — последовательное облучение целей; б— наложение импульсных последовательностей при одновременном
облучении целей [17]
сопровождении целей их дальность (а следовательно, и задер-
жка эхосигналов) приблизительно известна. Это позволяет
эффективно использовать весь временной интервал между по-
следовательно излучаемыми импульсами. Рассмотрим про-
цесс сопровождения двух целей А и В, находящихся на даль-
ностях Ra и Rb с соответствующими задержками отражен-
ных сигналов Ta = 2Ra/c и Tb = 2Rb/c (где с—скорость
света). Примем, что для обеспечения необходимого отноше-
ния сигнал-шум в направлении на каждую цель излучаются по
два импульса с определенным периодом повторения. Излуче-
ние импульсов может быть последовательным (рис. 1.13 а)
и параллельным, т. е. со взаимным наложением импульсных
последовательностей (рис. 1.136). Как видно из рис. 1.136,
общее время сопровождения по сравнению с последователь-
ным излучением сократилось в 2 раза. Это стало возмож-
ным благодаря тому, что последовательности излучаемых
импульсов стали более «плотными» и для реализации режи-
ма, при котором возможно взаимное наложение импульс-
ных последовательностей, необходим передатчик РЛС, ра-
ботающий с высоким коэффициентом скважности (0,2...0,3).
Такой передатчик может быть создан на базе полупроводни-
ковых элементов, эффективно используемых в активных ФАР.
Метод сопровождения нескольких целей с взаимным наложе-
нием импульсных последовательностей рассмотрен в подразд.
4.7.2.
41
1.3. ОБРАБОТКА ДАННЫХ В СЕТЯХ РЛС
В предыдущих разделах РЛС рассматривалась как автономное
средство поиска и сопровождения целей. В настоящем разделе
обсуждаются проблемы сетей РЛС. Основной целью применения
дополнительной РЛС, размещенной на другой позиции, является
увеличение размеров радиолокационного поля, которое для
основной РЛС может быть ограничено рельефом местности или
мощностью передатчика. Такой результат может быть получен
при минимальном перекрытии зон обзора обеих РЛС; число
РЛС, необходимых для обслуживания заданной зоны, при этом
минимально. В то же время, если в сети РЛС обеспечивается
значительное перекрытие зон обзора, то возникает ряд допол-
нительных преимуществ [2, 16, 27, 28].
Первым преимуществом является повышение вероятности об-
наружения цели сетью РЛС в течение заданного интервала
времени по сравнению с отдельно взятой РЛС. При этом
уменьшается вероятность потери траектории цели. С другой
стороны, при заданной вероятности потери траектории могут
быть снижены требования к уровню вероятности обнаружения
каждой РЛС сети по сравнению с автономной РЛС. Для
объяснения этой зависимости рассмотрим сначала процесс со-
провождения цели автономной РЛС. Предположим, что со-
провождение считается сорванным, если при двух последователь-
ных циклах обзора цель не обнаружена. Пусть вероятность
обнаружения в одном цикле обзора равна Pd, тогда вероятность
необнаружения в одном цикле обзора будет (1 — Pd), а вероятность
необнаружения в двух последовательных циклах обзора, составит
(1-Pd)2. При этом считалось, что два события независимы.
Такое допущение верно, если отсутствует корреляция флуктуаций
сигналов в течение цикла обзора. Если в систему вводится
вторая РЛС, расположенная в другом месте (в связи с чем ее
зондирующие сигналы проходят к цели иной путь), и данные
обеих РЛС обрабатываются общей системой сопровождения, то
вероятность необнаружения цели двумя РЛС в двух последова-
тельных циклах обзора равна (1—Pd)4. Сравнивая эти вероят-
ности, нетрудно заметить, что в сети РЛС уровень Pd может
быть ниже, чем у автономной РЛС. Это позволяет снизить
стоимость и требования к излучаемой мощности каждой РЛС.
В зависимости от назначения системы применение сети РЛС
может быть более рациональным, чем использование единст-
венной РЛС высокой мощности и с большой скважностью
излучаемого сигнала [2].
Другое преимущество сети РЛС обусловлено тем, что ЭПР
цели зависит от направления облучения. Для РЛС, распределенных
в достаточно широкой зоне, различие ЭПР цели типа ракеты
при облучении ее с передней полусферы и сбоку может достигать
42
Ошибка измерения
дальности РЛС1
Рис. 1.14. Повышение точности измерения координат цели в сети РЛС
20—30 дБ. Это обстоятельство обеспечивает при использовании
сети РЛС более высокий уровень обнаружения.
Еще одним преимуществом сети РЛС является возможность
более ранней завязки траектории и повышение точности со-
провождения целей, летящих с ускорением или по прямолинейной
траектории. Если цель движется с ускорением, то ошибки
фильтрации увеличиваются пропорционально квадрату времени
между обнаружениями цели. В сети РЛС может быть обеспечена
более высокая скорость получения данных о целях. При этом
ошибки фильтрации уменьшаются. Если цель движется по
прямолинейной траектории, то ошибки фильтрации в основном
обусловлены шумовыми составляющими измерений и фильтра
сопровождения. Поскольку в сети РЛС данные от двух и более
станций могут обрабатываться совместно, точность сопровожде-
ния всей системы повышается. Если совместная обработка
заключается только в усреднении данных, точность повышается
в число раз, равное корню квадратному из числа РЛС сети [2].
Совместная обработка может дать и более высокие результаты,
если координаты целей (например, дальность или угол) исполь-
зуются со взвешенными коэффициентами, соответствующими
точности их измерения. Такой подход иллюстрируется на рис.
1.14. Каждая РЛС определяет местоположение цели, измеряя
дальность и угол с некоторыми ошибками, зависящими от
формы зондирующего сигнала, качества процессора сигналов
и устройства выделения данных. Известно, что ошибка измерения
дальности пбстоянна, а ошибка измерения угловых координат
обусловливает неопределенность положения цели на прямой,
перпендикулярной направлению облучения, причем эта неоп-
ределенность растет с увеличением дальности до цели. Указанное
обстоятельство приводит к идее о целесообразности определения
43
Рис. 1.15. Сопровождение цели сетью РЛС
местоположения цели с помощью измерения ее дальностей
относительно двух или более станций. Такой способ становится
особенно эффективным, если лучи РЛС пересекаются под углом
90° (как показано на рис. 1.14). Ошибка определения местоположе-
ния представлена областью пересечения зон А1 и А2, харак-
теризующих ошибки каждой РЛС.
Эти и другие преимущества сетей РЛС могут быть реализованы
после решения ряда технических проблем. В результате создания
сети обеспечивается объединение данных, получаемых различными
РЛС, в центральном процессоре, а также оптимальная совместная
обработка информации. Процесс сопровождения цели сетью РЛС
показан на рис. 1.15. Несколько РЛС с механическим сканирова-
нием (например, РЛС1 и РЛСЫ) и РЛС с ФАР (например,
РЛС2) обнаруживают цель и измеряют ее координаты с различной
точностью. По линиям связи получаемая информация передается
в центральный процессор, который выполняет рассмотренные
ранее функции сопровождения (т. е. осуществляет завязку и экс-
траполяцию траектории, производит привязку отметок к траек-
тории и обеспечивает ее сглаживание), а также осуществляет
некоторые другие функции (например, преобразование системы
координат, в которой производятся измерения отдельными РЛС,
в систему координат центральной станции). Дальнейшая об-
работка включает компенсацию калибрационных ошибок, влия-
ющих на результаты измерений дальности и угловых координат,
так как результаты измерений, выполненных различными РЛС,
должны быть согласованы таким образом, чтобы обеспечивалось
44
Антенна вторичной РЛС
код опознавания
Рис. 1.16. Первичная и вторичная РЛС с антеннами на едином основании
пространственное соответствие информации, получаемой от раз-
личных РЛС об одной и той же цели.
В следующих разделах приводятся примеры использования
сетей РЛС и различных архитектур процессоров данных, кроме
того, концепция ЦОРИ распространяется на бистатические РЛС.
1.3.1. ПРИМЕРЫ РАДИОЛОКАЦИОННЫХ СЕТЕЙ
В соответствии с видом пространственного расположения позиций
РЛС радиолокационные сети можно разделить на два класса:
сети, расположенные на единой позиции;
распределенные сети.
В свою очередь сети, расположенные на единой позиции,
могут быть разделены на сети, в которых антенны РЛС
установлены на общем вращающемся основании, и сети с ан-
теннами, размещенными на ограниченной площади.
На рис. 1.16 приведен пример системы, расположенной на
единой позиции, с антеннами на общем основании. К такому
типу систем относятся, в частности, первичные и вторичные
РЛС УВД. Совместные измерения первичной и вторичной РЛС
повышают эффективность привязки новых отметок к траектории
благодаря использованию средств опознавания. Кроме того,
повышается точность определения координат цели.
Пример радиолокационных систем, размещенных на единой
позиции, но использующих различные антенные устройства при-
веден на рис. 1.17. К системам такого типа относятся радиоэлек-
тронные средства (РЛС, а также телевизионные и ИК-датчики)
боевого корабля. Как правило, на корабле устанавливаются
45
опознования
• Обзорные РЛС,
работающие
на различных
частотах
• РЛС опознавания
"свой-чужой"
К устройствам обработки и отображения
данных
Рис. 1.17. РЛС и другие датчики боевого корабля
несколько обзорных РЛС, работающих на различных частотах,
система опознавания «свой—чужой» (являющаяся аналогом граж-
данской вторичной РЛС), навигационная РЛС, несколько РЛС
сопровождения и другие датчики, объединенные в общую сеть,
на выходе которой формируется высококачественная картина
воздушных и надводных целей.
В заключение рассмотрим более общий случай объединения
в сеть пространственно распределенных РЛС. Такие сети характер-
ны для систем УВД и систем военного назначения. На рис. 1.18
показаны перекрывающиеся зоны обзора пяти РЛС, размещенных
на западном побережье центральной и южной частей Италии.
Информация от этих РЛС поступает в римский центр УВД [24].
1.3.2. СПОСОБЫ ОБРАБОТКИ ДАННЫХ
В зависимости от степени централизации системы обработки
данных сети РЛС могут быть разделены на два класса:
с распределенной обработкой данных;
46
Рис. 1.18. Зона обзора сети РЛС римского центра УВД [24]
с централизованной обработкой данных.
Упрощенные схемы построения систем этих типов приведены
на рис. 1.19, 1.20.
В сетях с распределенной обработкой на каждой РЛС имеется
ЭВМ, выполняющая функции сопровождения по данным этой
РЛС. Полученные траектории передаются в центр обработки
данных, в котором формируется единая траектория движения
каждой цели. Для централизованной архитектуры характерно
использование единого процессора данных, в который с каждой
РЛС поступают отметки, а не траектории. После обработки
этих измерений также формируется единая траектория для каждой
цели. Следует заметить, что реализация распределенной архитек-
туры сопряжена с меньшими техническими проблемами. Это
обусловлено тем, что в распределенной системе лишь объединя-
ются процессоры данных отдельных РЛС, а при создании
централизованной архитектуры приходится заново конструировать
всю систему.
Кроме того, при централизованной архитектуре более высокие
требования предъявляются к линиям передачи данных, так как
по ним передается информация как об истинных, так и о ложных
47
Рис. 1.19. Структурная схема обработки данных в сети РЛС с объединением
траекторий:
Пер—передатчик; Пр—приемник; ОС—обработка сигналов; ВД — выделение данных; ОД — обработка
данных
отметках (при распределенной архитектуре передаются только
истинные траектории). С другой стороны, в централизованных
системах скорость получения отметок выше и, следовательно,
выше точность сопровождения целей. Эти проблемы подробно
рассмотрены в гл. 5, где возможные- архитектуры сравниваются
по критерию «стоимость—эффективность». Примеры реализации
систем обоих типов приведены в гл. 7 второго тома книги.
1.3.3. ДВУХПОЗИЦИОННЫЕ РЛС И СЕТИ ДВУХПОЗИЦИОННЫХ РЛС
Предполагается, что в рассмотренных выше РЛС для приема
и передачи используется общая антенна. Такие РЛС называются
однопозиционными (моностатическими). В то же время существу-
ют так называемые двухпозиционные (бистатические) РЛС, в ко-
48
Рис. 1.20. Структурная схема обработки данных в сети РЛС с объединением
отметок:
Пер — передатчик; Пр — приемник; ОД —обработка данных; ВД —выделение данных
торых передающая и приемная антенны разнесены в пространстве
на значительное расстояние [21]. Если в системе используется
несколько разнесенных приемников и один передатчик, то такая
система называется многопозиционной (мультистатической) или
сетью двухпозиционных РЛС. На рис. 1.21 и 1.22 приведены
соответственно структурные схемы бистатической РЛС и сети
бистатических РЛС.
Принцип построения двухпозиционных РЛС был известен
давно, причем первые РЛС строились именно по этому принципу.
Однако после изобретения антенного переключателя преимущест-
венное развитие получили однопозиционные РЛС как более
экономичные и эффективные. В последние годы требования
к РЛС военного назначения значительно ужесточились и не
только по точности и времени реакции, но и по подверженности
воздействию противника. Это воздействие может быть как
электронным, в виде пассивных или активных помех, так
и физическим (огневым), в виде противорадиолокационных ракет.
Любая форма подавления в той или иной степени основана на
использовании электромагнитных излучений РЛС. Новые требова-
ния к РЛС заставили разработчиков вернуться к бистатическим
49
4—1582
Рис. 1.21. Структурная схема бистатической РЛС:
Пр. А — приемная антенна; Пер. А — передающая антенна
Рис. 1.22. Сеть бистатических РЛС:
Пр — приемник; Пер — передатчик
системам. Приемные антенны в таких РЛС работают в пассивном
режиме и в меньшей степени подвержены ударам противоради-
олокационных ракет и радиоэлектронному подавлению, а переда-
ющие антенны могут быть установлены в защищенных укрытиях
или вне зоны досягаемости противорадиолокационных ракет.
Более того, обработка отраженных сигналов несколькими про-
странственно разнесенными приемниками позволяет обнаруживать
малозаметные цели независимо от того, какой метод уменьшения
ЭПР выбран противником.
50
Рис. 1.23. Измерения с помощью бистатической РЛС
Принцип работы бистатической РЛС показан на рис. 1.21.
Зондирующий сигнал, излученный передатчиком, рассеивается
целью и принимается приемником. Система может работать
только в том случае, если в месте приема известна частота
зондирующего сигнала и имеется источник опорного времени
или опорной фазы (возможна передача синхронизирующей ин-
формации по линии связи). Для работы сети бистатических РЛС
требуются несколько линий синхронизации. Эти линии необ-
ходимы также для координации сканирования лучей передатчика
и приемника, которые должны быть направлены в определенное
время в заданный элемент контролируемого воздушного про-
странства.
На приемном пункте бистатической РЛС могут измеряться
следующие величины (рис. 1.23):
общая длина пути сигнала (рпер+РпР), пропорциональная
времени его распространения;
углы прихода рассеянного сигнала (Епр, <рпр) и угол визирования
цели передающим лучом фпр (если ДН имеет иглообразную
форму);
сумма составляющих радиальной скорости цели (рпер, рпр)
в направлениях на передатчик и приемник. Эта величина
пропорциональна доплеровскому сдвигу частоты отраженного
сигнала по отношению к частоте опорного сигнала, передаваемого
по каналу синхронизации.
По указанным измерениям, осуществляемым с определенной
частотой, известными методами формируется траектория цели.
51
4*
Подробнее данные вопросы рассмотрены в гл. 4 и 5. Там же
сравниваются точности сопровождения целей сетью моностатичес-
ких РЛС и мультистатической радиолокационной системой.
1.4. ФИЛЬТРЫ СОПРОВОЖДЕНИЯ
Фильтры сопровождения, являющиеся центральным элементом
систем ЦОРИ, предназначены для обработки результатов ра-
диолокационных измерений (например, дальности, азимута и угла
места, скорости изменения дальности) и используются в интересах
[16—18, 20]:
уменьшения ошибок измерений путем усреднения результатов
измерений по времени;
оценки скорости и ускорения целей;
экстраполяции местонахождения цели.
Задачи построения фильтров сопровождения можно отнести
к области практического приложения статистической теории
фильтрации, являющейся одним из направлений современной
теории динамических систем. Изложение концепции построения
фильтров сопровождения (строгое математическое обоснование
которых приведено в последующих главах) целесообразно начать
с объяснения общих положений теории динамических систем,
а также статистической теории фильтрации и ее применения
к проблеме сопровождения. В следующем подразделе приведены
основные идеи теории систем. Затем в подразд. 1.4.2 рассмотрены
некоторые положения статистической теории фильтрации, более
глубокий анализ которых представлен в гл. 2. И, наконец,
в подразд. 1.4.3 показана возможность применения теории
фильтрации к построению фильтров сопровождения.
1.4.1. ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ СИСТЕМ
Теория систем позволяет сформировать единый подход к ана-
лизу и разработке автоматических систем управления и связи.
Характерной особенностью этой теории является то, что в качест-
ве концептуальных подходов в нее введены [7]:
принцип динамического изменения переменных, характеризу-
ющих состояние систем;
метод оптимального управления при четко заданных воз-
мущениях и входных воздействиях;
описание с помощью случайных процессов информации, ис-
каженной шумом, и неопределенностей, касающихся параметров
систем.
Для математического описания поведения исследуемого фи-
зического объекта вводится понятие динамической системы.
Предполагается, что система подчиняется принципу причинности,
т. е. выходной сигнал при t^t0 не зависит от входных воздей-
52
ствий, поступающих в момент времени t = t0. Рассматриваются
системы, работающие в дискретном или непрерывном времени.
При этом они могут быть описаны соответственно разностными
или дифференциальными уравнениями. Выходные сигналы систем
могут изменяться либо в дискретные моменты времени, либо
непрерывно. Вместо единственного разностного (дифференциаль-
ного) уравнения высокого порядка в теории используются системы
уравнений первого порядка, с которыми гораздо проще опериро-
вать, если они представлены в векторной или матричной форме.
В качестве зависимой переменной этого векторного уравнения
выступает так называемый «вектор состояния системы», который
объединяет все представляющие интерес переменные параметры
рассматриваемого физического объекта. Эволюция динамической
системы во времени обусловлена поступающими на ее вход
управляющими сигналами или возмущениями, действующими на
систему. В качестве наблюдаемых сигналов (наблюдаемой ин-
формации) выступают выходные сигналы системы. Еще одна
характерная особенность современной теории систем состоит
в разработанном в ее рамках аппарате оптимального выбора
входных сигналов для перевода системы из одного состояния
в другое. Выбор осуществляется в соответствии с критерием
оптимизации, в качестве которого могут служить, например,
минимум времени или минимум энергии, необходимые для
перевода системы в заданное состояние.
Обоснуем необходимость использования понятия вероятности
и статистических методов в теории систем. Детерминированная
теория систем по ряду причин не позволяет с достаточной
полнотой исследовать реальные системы. Во-первых, ни одна
математическая модель не может быть идеальной: нельзя пол-
ностью избежать приближений, неопределенных параметров, не-
учитываемых в модели эффектов и других неопределенностей.
Во-вторых, динамические системы находятся под воздействием
не только входных команд, но и возмущений внешней среды;
надо учитывать также несовершенство передаточного механизма
команд. Эти неконтролируемые процессы не могут быть адек-
ватно представлены детерминированными моделями. Наконец,
датчики, выдающие информацию о системе, подвержены воз-
действию шума, вносят временные задержки; поэтому они не
могут представить полную и неискаженную информацию о со-
стоянии системы.
Указанные причины обусловливают необходимость распрост-
ранения положений теории динамических систем на стохастичес-
кий случай, при котором неопределенности и приближения
моделируются с помощью случайных процессов. Наиболее слож-
ной возникающей в связи с этим проблемой является создание
методического аппарата оптимального оценивания динамического
состояния (на базе стохастических моделей и с учетом неполной,
53
искаженной шумом информации датчиков). Данная проблема
решается на основе теории оптимальной фильтрации, кратко
рассмотренной в следующем подразделе, а более подробно в гл. 2.
Еще одним важным вопросом является оптимальное управление
системой в условиях неопределенности. Однако этот вопрос не
нашел освещения в книге, так как не связан с проблемой
сопровождения (в качестве исключения в подразд. 7.3.6 рассмот-
рена задача формирования закона оптимального наведения пе-
рехватчиков).
В заключение отметим проблему практической реализации
оптимальных стохастических фильтров и оценки их эффектив-
ности. В более общей постановке эта проблема относится
и к оптимальным контроллерам.
1.4.2. ТЕОРИЯ СТАТИСТИЧЕСКОЙ ФИЛЬТРАЦИИ
Статистическое оценивание представляет собой операцию при-
писывания системе некоторого численно выраженного состояния
(или определенных значений ее параметрам) на основе искаженных
шумом наблюдений некоторой функции состояния системы или
функции ее параметров [7]. Как правило, математические модели
системы, измерительных датчиков, статистические свойства шу-
мовых составляющих измерений и других случайных процессов
считаются известными. Оценивание называется оптимальным,
если оно осуществляется на основе минимизации некоторого
критерия. В качестве такого критерия чаще всего используется
среднее квадратическое значение ошибки оценивания (т. е. раз-
ности между истинным значением и оценкой).
В зависимости от положения момента времени t, для которого
производится оценка состояния, относительно временного ин-
тервала измерений [О, Т] можно выделить три типа оценок:
фильтрация, t = T;
экстраполяция, t > Т;
сглаживание, t<T.
Фильтрация и экстраполяция непосредственно связаны с процес-
сом сопровождения. На рис. 1.24 иллюстрируется процесс оценива-
ния. Использованы следующие обозначения х — вектор состояния;
z—вектор измерений; xt/T — оценка состояния в момент времени t по
результатам измерений, полученным на интервале [О, Т]. На рисунке
представлены основные элементы, которые определяют технический
облик устройства, вырабатывающего оценку состояния системы:
а) динамическая система;
б) измерительный датчик;
в) случайные возмущения и входные воздействия;
г) случайная ошибка измерения.
На основе математических моделей динамической системы (а)
и датчика (б), а также статистического описания возмущений
54
Наблюдаемый
Измерительный
Оптимальный
Рис. 1.24. Процесс оценивания
и ошибок могут быть поставлены различные задачи, связанные
с устройством, вырабатывающим оценку состояния системы.
Наиболее значительный вклад в создание эффективной процедуры
вычисления оценки состояния внесен в результате разработки
алгоритма Калмана. Фильтр, реализующий этот алгоритм, яв-
ляется оптимальным при условии, что модели системы и датчика
линейны, а случайные возмущения и ошибки распределены по
гауссовскому закону.
Для наглядного объяснения калмановского подхода и свойств
соответствующего алгоритма рассмотрим следующую задачу.
Пусть РЛС в определенные моменты времени измеряет дальность,
азимут и угол места цели. На основе этих измерений необходимо
оценить шесть параметров: три декартовы координаты положения
цели и три декартовы координаты ее скорости. На первом
этапе следует отфилыровать шум, искажающий результаты ра-
диолокационных измерений. На рис. 1.25 показан процесс по-
строения сглаживающей кривой для последовательности радио-
локационных измерений одного из параметров, например даль-
ности. Этот процесс можно представить в виде следующих
этапов: выбор соответствующей степени полинома, аргументом
Рис. 1.25. Сглаживание
результатов радиолока-
ционных измерений
55
которого является время, и оценка коэффициентов полинома
с использованием избыточных измерений для усреднения искажений,
обусловленных шумом. После этого полином дифференцируют для
получения оценки скорости изменения дальности с использованием
той же самой последовательности измерений дальности. Аналогич-
ным образом обрабатываются результаты измерений азимута
и угла места, что обеспечивает получение соответствующих оценок
и их производных. По результатам трех измерений, полученным
различные моменты времени и сглаженным с использованием трех
полиномов, определяются шесть временных функций, не искаженных
шумом. Затем сферические координаты преобразуются в декартовы.
Рассмотренный пример позволяет сформулировать несколько
задач, подлежащих решению:
а) выбор степени полинома;
б) переход от небольшого числа измеряемых параметров
(например, дальность, азимут, угол места) к более широкому
набору параметров (например, к шести декартовым переменным);
в) оптимальная совместная обработка данных измерений раз-
личной точности;
г) эффективная реализация алгоритма оценивания.
Задача выбора степени полинома сводится к задаче формирова-
ния модели динамической системы соответствующего порядка.
Разностные и дифференциальные уравнения, описывающие систе-
му, порождают семейство решений, характеризующих эволюцию
вектора состояний во времени. Уравнение, описывающее процесс
измерений, переводит полученное семейство решений для вектора
состояний динамической системы в новое семейство решений,
характеризующих эволюцию измерений во времени. Алгоритм
оценивания предназначен для выбора единственного решения,
наилучшим образом соответствующего наблюдениям (измерени-
ям) в смысле наименьшей средней квадратической ошибки.
Задача б) состоит в формировании математической модели
измерительного датчика, связывающей вектор состояний и вектор
измерений (причем второй может быть меньшей размерности,
чем первый).
Для определения общих подходов к решению задачи в)
рассмотрим следующий пример. Допустим, необходимо опреде-
лить постоянную, но неизвестную величину х (например, даль-
ность цели) с помощью измерений zt и z2, причем ошибки
измерений vx и v2 случайны, независимы и аддитивны:
Z2 = x + v2.
Эти измерения могут производиться как с помощью одного
датчика при нестационарных ошибках измерений, так и с по-
мощью двух различных датчиков. Ошибки измерений vx и v2 имеют
56
нулевое среднее значение и дисперсии af и а2 соответственно. Если
дополнительная информация отсутствует, то оценку х параметра
х можно найти как линейную функцию измерений
x = k1z14-k2z2. (1.6)
где кх и к2 — неизвестные коэффициенты.
Ошибку оценивания запишем в виде
хе = х —х.
Тогда из (1.5) и (1.6) при несмещенной оценке получим
E[xJ = E[ki(x + vi) + k2(x+v2)-x] = O, (1.7)
где Е[ ] — оператор математического ожидания.
Полагая, что kj и к2 не зависят от неизвестного параметра
х, из (1.7) получаем первое уравнение для коэффициентов kt и к2:
к2 = 1 —кх.
Второе уравнение получаем, минимизируя среднюю квадратичес-
кую погрешность оценивания:
E[x2] = kfCT? + (l-ki)2ot
Продифференцировав последнее выражение по кх и приравняв
результат нулю, получим
В этом случае оценку х и дисперсию погрешности оценивания
можно записать следующим образом:
x = -?l-i(CThi + CTlZ2), (1-8)
Q1 + Q2
Etx?]=f i+i) =<• <L9)
Согласно алгоритму (1.8) результат каждого измерения взве-
шивается в соответствии с его точностью. Таким образом,
наблюдениям, полученным от более точных радиолокационных
датчиков, отдается предпочтение (например, если о^О, то
x = zx). Если <^ = <72, то результаты измерений усредняются
и оценка х представляет собой условное среднее значение х при
заданных наблюдениях zx и z2. Этот вывод широко используется
в теории оптимальной фильтрации и может рассматриваться
в качестве основы для получения фильтра Калмана. Выражение
(1.9) позволяет сделать заключение о качестве оценки. Из этого
выражения следует, что дисперсия о?е оценки меньше любой
дисперсии погрешностей измерений.
Допустим, получен новый результат измерения z3, имеющий
погрешность v3 с нулевым средним и дисперсией 03. В этом
случае качество оценки параметра х может быть улучшено.
57
Применяя рассмотренный здесь подход, оценку параметра после
третьего измерения можно записать следующим образом:
о^о^ + о? о^ + о^сг?
(1.10)
или в рекурсивной форме
Я3 = Х2 + ^752(23-Х2). (1.П)
Последнее выражение позволяет сделать интересные выводы. Для
получения новой оценки х3 используется предыдущая оценка х2,
а также разность результата нового наблюдения и предыдущей
оценки (z3 —х2) с соответствующим весовым коэффициентом. Такая
процедура может повторяться по мере получения новых результатов
измерений неограниченное число раз с рекурсивным уточнением
оценки. Дисперсию оценки в рекурсивной форме можно записать как
Рекурсивный подход позволяет снизить требования к объему
памяти, необходимому для реализации фильтра. Действительно,
при рекурсивном алгоритме в памяти должны сохраняться только
значения предыдущей оценки и ее дисперсии, а не все результаты
измерений z. Поэтому рекурсивный подход позволяет решить
задачу г).
С учетом рассмотренных соображений может быть объяснена
упрощенная структурная схема фильтра Калмана (рис. 1.26).
Обработка состоит из двух этапов: экстраполяции и фильтрации;
с использованием модели динамической системы вырабатывается
оценка состояния и соответствующая дисперсия ошибки по
результату одного измерения, которые распространяются на
следующий момент измерений (экстраполяция). После этого
с помощью модели измерительного датчика формируется оп-
тимальное экстраполированное значение следующего измерения
(до поступления реальной информации). В момент поступления
Рис. 1.26. Структурная схема упрощенного фильтра Калмана
58
данных следующего измерения вырабатывается так называемый
обновляющий сигнал, представляющий собой разность результата
нового измерения и экстраполированного значения. Затем этот
сигнал подвергается оптимальному взвешиванию и используется
для коррекции оценки состояния и дисперсии ошибки в соответ-
ствии с уравнениями, аналогичными (1.11) и (1.12).
В заключение данного подраздела рассматриваются практичес-
кие вопросы разработки и реализации фильтра Калмана, а также
более глубокие вопросы теории оптимальной фильтрации. По-
скольку алгоритм фильтрации основан на использовании струк-
турных моделей динамических систем и измерительных датчиков
(а также связанных с ними шумовых составляющих и неоп-
ределенностей), то для эффективной реализации фильтра необ-
ходимо создание адекватных моделей систем и датчиков. Однако
требование высокой вычислительной эффективности при работе
в реальном времени приводит к максимальному упрощению
фильтра (и моделей). Создание моделей представляет наибольшие
трудности при разработке фильтра, так как требует глубокого
понимания физической сущности исследуемых проблем.
Методика разработки должна включать верификацию общей
модели, создание ряда упрощенных моделей, сохраняющих
основные признаки системы, а также анализ эффективности
фильтра для каждой из моделей. Анализ эффективности не-
обходим для исследований погрешностей фильтра при работе
в реальных условиях. Как правило, в этом случае применяют
ковариационный анализ и статистическое моделирование. При
этом осуществляется настройка фильтра, т. е. итеративное форми-
рование параметров фильтра (например, уровней шума в при-
нятых моделях), обеспечивающих минимизацию ошибок оце-
нивания. Кроме того, на этапе анализа определяется влияние
отдельных источников ошибок на ошибки оценивания фильтра
в целом, а также чувствительность ошибок оценивания к из-
менению различных параметров.
Последние результаты в области теории оптимального оценива-
ния позволяют создавать адаптивные и нелинейные фильтры [7].
Такие фильтры целесообразно использовать при сопровождении
маневрирующих целей, а также при сопровождении целей на фоне
ложных отметок, вызванных, например, отражениями от мешаю-
щих предметов. Теория адаптивного и нелинейного оценивания
подробно рассмотрена в гл. 2, а ее применению к решению
практических задач сопровождения целей посвящена гл. 4.
1.4.3. ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ ФИЛЬТРАЦИИ
В подразд. 1.1.3 приведен пример алгоритма сопровождения
(а—p-фильтр). Исторически это был первый алгоритм, исполь-
зованный для сопровождения целей. Благодаря своей простоте
59
он находит практическое применение и в настоящее время.
В подразд. 1.4.2 раскрыта сущность уравнений экстраполяции
и фильтрации (1.1) — (1.4), а также роль коэффициентов аир,
которые используются в уравнении (1.11) в качестве взвешива-
ющих коэффициентов. Более подробно, особенно в части оп-
тимизации выбора коэффициентов аир, этот алгоритм рас-
смотрен в гл. 3.
На основе теории оптимальной фильтрации, элементы которой
рассмотрены в предыдущем подразделе, могут быть созданы
более совершенные фильтры [16]. В данном подразделе изложены
методические вопросы построения фильтров сопровождения. Под-
робнее вопросы теории раскрыты в гл. 4.
Для решения задачи оптимизации необходимы математическое
описание закона движения сопровождаемой цели и модель
измерительного датчика. В современной теории систем первая
модель во временной области представляет собой систему
дифференциальных уравнений первого порядка, которая в век-
торной форме имеет вид
s(t) = f(s, u, v, t), (1.13)
где s — вектор параметров состояния; и — вектор неизвестных
возмущений (обусловленных, например, влиянием гравитации,
лобового сопротивления, тяги); v—случайные возмущения (шум
процесса).
В дискретные моменты времени поступают данные измерений
z, представляющие собой нелинейное преобразование вектора
состояния, искаженного адаптивным шумом измерений w:
z = h(s)+w. (1-14)
При определенных допущениях уравнение (1.13) принимает весьма
простой вид. Для одномерного случая можно записать
s(t) = Fs(t)+Ga(t), (1.15)
где
положение цели в момент времени t
скорость цели в момент времени t
a (t) = ускорение цели в момент времени t,
(1.16)
Ускорение цели, как правило, неизвестно и может быть
представлено случайным шумом. В двумерном случае (например,
когда х и у—декартовы координаты) уравнение (1.13), преоб-
разованное по аналогии с выражениями (1.15) и (1.16), примет вид
60
d
dt
0 10 0
0 0 0 0
0 0 0 1
0 0 0 0
Полагаем, что радиолокационные измерения дальности р,
азимута 0 и радиальной скорости р искажены аддитивным
шумом; в этом случае уравнение (1.14) можно записать в виде
(1.17)
где wp, wе, wр—шумовые составляющие соответствующих из-
мерений.
На рис. 1.27 показаны структуры моделей движения цели
и измерительного датчика. Применение этих моделей, сфор-
мированных в соответствии с теорией оптимальной фильтрации,
дает возможность оценить состояние цели (в данном случае—
координаты и скорость).
Проведенный анализ позволяет сделать несколько замечаний:
а) математическое описание шумового процесса (ах, ау) пред-
ставляет определенные трудности;
б) данные измерений поступают только в дискретные моменты
времени;
в) уравнение измерений (1.17) нелинейно;
Рис. 1.27. Модели динамической системы и измерительного датчика, используемые
в задачах сопровождения
61
г) радиолокационные измерения параметров цели осуществля-
ются с некоторой вероятностью, меньшей единицы; кроме того,
наряду с истинными появляются ложные результаты измерения,
обусловленные отражениями от местных предметов и шумом.
В уравнении состояния, которое, как правило, линейно, ускоре-
ние играет роль входного управляющего воздействия. Имитация
непредсказуемого характера ускорения цели может быть обес-
печена моделированием негауссовским коррелированным стаци-
онарным процессом. Вид функции плотности вероятностей опре-
деляется частотой появления того или иного значения ускорения;
корреляционная функция зависит от предполагаемой длительности
маневра цели. Калмановский фильтр не может быть непосред-
ственно использован при такой модели, так как требует, чтобы
возмущающие воздействия описывались гауссовским белым шу-
мом. Более адекватным описанием ускорения является нестаци-
онарная модель, в которой математическое ожидание и дисперсия
изменяются во времени, причем это изменение априорно непред-
сказуемо. Сказанное позволяет сделать вывод о целесообразности
создания адаптивного фильтра, обеспечивающего работу с учетом
неопределенностей модели ускорения цели.
Замечания б) и в) свидетельствуют об оптимальности нелиней-
ного дискретного фильтра. Замечание г) еще раз свидетельствует
о необходимости адаптивного подхода к построению фильтра,
что обусловлено неопределенностями, связанными с природой
радиолокационных измерений.
В следующих главах представлен методический аппарат, с по-
мощью которого обеспечивается подход к решению указанных
проблем. В частности, в гл. 2 рассмотрены математические
методы теории оптимальной фильтрации, а в гл. 3, 4 и 5 показаны
возможности практического применения этих методов в ряде
ситуаций.
1.5. ПРИМЕНЕНИЕ СИСТЕМ ЦОРИ В РЛС
В настоящем разделе перечислены области применения ЦОРИ.
Следует подчеркнуть, что основным назначением ЦОРИ является
оценивание и экстраполяция траекторий целей в контролируемом
пространстве. Использование этой информации зависит от по-
требителей, которые могут быть разделены на две большие
категории: гражданские и военные [16]. Примерами гражданских
применений являются УВД, морская навигация, а военных —
противовоздушная оборона, управление оружием, наведение пе-
рехватчиков.
В системах УВД траектории оцениваются в интересах обес-
печения заданных расстояний между самолетами в воздухе,
а также для контроля движения ЛА во время наиболее сложных
этапов полета (например, при посадке).
62
Важнейшей функцией систем управления, размещаемых на
наземных и надводных объектах, является предотвращение столкно-
вений. В морских системах каждое судно контролирует движение
в зоне обзора с целью обнаружения объектов, представляющих
опасность. Собственное судно находится в центре контролируемой
зоны обзора, и движение других судов оценивается по отношению
к центру этой зоны. При возникновении опасности столкновения та
же система формирует наилучшую траекторию маневра уклонения
(с минимальным изменением маршрута и скорости движения).
В системах ПВО траектории оцениваются, как правило, для
решения следующих задач:
а) распознавания угрожающей ситуации;
б) оценки угрожающей ситуации;
в) выбора применяемого оружия;
г) вычисления упрежденной точки (при стрельбе или пуске
ракет);
д) наведения оружия;
е) оценки нанесенного ущерба.
Кроме того, многие функции гражданских РЛС реализуются
и в системах военного назначения. Наиболее широкой областью
применения РЛС является вооружение и военная техника.
Указанные области применения ЦОРИ имеют одну общую
черту: данные, выдаваемые системой ЦОРИ, обрабатываются
в течение более длительного интервала времени, чем тот, который
необходим для сопровождения цели. Действительно, при со-
провождении данные на выходе РЛС сглаживаются только до
такой степени, которая необходима для проводки траектории.
Последующая обработка данных для выполнения таких функций,
как предупреждение столкновений или управление оружием,
предполагает реализацию более длительных процедур и более
эффективного сглаживания.
Военные системы функционируют в более сложных условиях,
чем гражданские. При ситуациях, характерных для военного
применения, цели могут быть малозаметными, высокоскорост-
ными, маловысотными или пикирующими с очень больших
высот. Кроме того, работа в условиях радиопротиводействия
увеличивает число ложных отметок.
1.5.1. ПРИМЕРЫ ПРИМЕНЕНИЯ ЦОРИ
В настоящем подразделе рассматриваются примеры применения
и требования к средствам ЦОРИ, используемым в морских
обзорных системах, системах УВД и ПВО. Требования к сред-
ствам обработки данных зависят от области их применения.
Как правило, требования предъявляются к точности оценивания,
времени экстраполяции (в зависимости от времени реакции
системы управления) и надежности системы.
63
Морские системы предотвращения столкновений должны обес-
печивать заблаговременное предупреждение об опасности (за
15—30 мин до возможного столкновения), так как время реакции,
особенно для больших судов, таких как танкеры, очень велико.
Ошибка оценивания экстраполированных координат не должна
превышать 1 морскую милю (1,8 км), а точность оценивания
скорости — не хуже 1 узла (1,8 км/ч). Эти требования определяют
необходимое качество фильтрации с учетом ошибок измерений
и темпа поступления информации от РЛС. Фирма Selenia
выпускает систему предотвращения столкновений, удовлетворя-
ющую указанным требованиям. Система обеспечивает автома-
тическую завязку и сопровождение траекторий до 40 объектов,
контролирует опасные ситуации и определяет вариант возможного
маневра уклонения от столкновения.
В системах УВД радиолокационная информация используется
для обеспечения решения задач управления самолетами в воздухе,
предупреждения столкновений, управления заходом на посадку
и т. д. При управлении самолетами в воздухе контроллер РЛС
вычисляет текущие координаты каждого самолета в целях
выдерживания заданных дистанций. Если эти дистанции не
выдерживаются, то летчикам выдаются рекомендации по измене-
нию траекторий. В режиме предотвращения столкновений в про-
цессоре формируется оценка экстраполированных координат са-
молетов в целях выявления ЛА с пересекающимися траекториями.
Интервал экстраполяции составляет 1—2 мин. Кроме того,
в процессоре могут быть вычислены модифицированные траек-
тории для одного или обоих самолетов, позволяющие устранить
опасное сближение. Точность оценивания экстраполированных
координат самолетов должна быть не хуже 1,8 км. При оценива-
нии зоны опасного сближения принимаются во внимание воз-
можные маневры ЛА, осуществляемые в течение интервала
экстраполяции.
В качестве примера рассмотрим следующую ситуацию. Два
самолета выполняют полет по прямолинейным траекториям.
При этом опасность столкновения отсутствует. Однако если
один из них (или оба) начнет совершать маневр, то может
возникнуть опасная ситуация. В этом случае летчикам самолетов
выдается команда на продолжение полета по прямолинейным
траекториям. При управлении заходом на посадку контроллер
проверяет правильность выдерживания ЛА заданных траекторий,
обеспечивающих безопасную посадку. Для выполнения данной
функции необходима более высокая точность (сотни метров),
чем в предыдущем случае. Следует отметить, что в системах
УВД сопровождение траекторий не представляет больших тру-
дностей, так как траектории имеют плавные формы, ускорение
самолетов не превышает 2—3 м/с2 и имеется взаимодействие
с летчиками. В системах ПВО ситуация принципиально иная —
64
Первичная РЛС
Вторичная РЛС
Канал связи
"воздух - земля?
дециметрового
диапазона волн
Канал связи
воздух - земля1
метрового
диапазона волн
Радиолиния
управления
Аппаратура
внутренней связи
---Буквенно-----
зззцифровой zzz
ZZ2 индикаторГЗЗ:
Индикатор
кругового
обзора
Индикатор
кругового
обзора
Анемометр,
устройство
определения
направления ветра,
термометр,
барометр
ЭВМ и пульт управления
Рис. 1.28. Схема типовой системы УВД
ускорение целей находится в пределах 10—50 м/с2 и самолеты
совершают преднамеренное интенсивное маневрирование с целью
срыва сопровождения.
Кроме того, в аэродромных радиолокационных системах
решается задача максимального использования взлетно-посадоч-
ной полосы путем эффективного распределения самолетов в аэро-
дромной зоне на основе определения их координат и вектора
скорости, при этом обеспечивается сохранение мер безопасности.
С помощью контроллера вычисляются заданные расстояния
между самолетами, заходящими на посадку, а также скорости
приближающихся самолетов с учетом скорости ветра. На основе
вычисленных данных формируются команды, обеспечивающие
поддержание заданных интервалов и дистанций между самоле-
тами.
Основные элементы системы УВД показаны на рис. 1.28.
В центре изображен пульт управления, на который выводится
вся необходимая информация о воздушной обстановке. На пульт
поступают данные от первичных и вторичных РЛС о положении
объектов в полярной системе координат, данные об их высоте,
а также информация от систем опознавания. Кроме того,
полетные данные по линиям связи поступают от других пунктов
65
5—1582
управления. Данные о местоположении передаются с самолетов
по линиям связи «воздух — земля»; по этим же линиям инфор-
мация от контроллера поступает на борт самолета. В контроллер
вводится также метеорологическая информация. Для обработки
всей информации используется либо мощная ЭВМ, либо сеть
мини-ЭВМ.
В заключение рассмотрим особенности применения ЦОРИ
в наземных, морских и самолетных системах военного назначения.
В соответствии с размерами контролируемого пространства
решаются различные задачи: раннего предупреждения, проти-
вовоздушной обороны района или объекта. Данные, полученные
от одного или нескольких (объединенных в единую сеть) датчиков,
проходят цифровую обработку и поступают в центры принятия
решения. Здесь оценивается степень угрозы и определяются
необходимые средства противодействия (оружие). Конкретными
примерами подобных систем могут служить системы наведения
перехватчиков и управления оружием. В системах управления
оружием цели, представляющие наибольшую угрозу, передаются
на сопровождение нескольким разнесенным РЛС, осуществля-
ющим непрерывное оценивание траекторий с высокой точностью,
необходимой для стрельбы или подсветки цели при наведении
ракет. Отметим, что алгоритмы, используемые в РЛС непрерыв-
ного сопровождения и в обзорных РЛС, идентичны. Единственной
особенностью РЛС непрерывного сопровождения является более
высокий темп получения данных и отсутствие неопределенности,
возникающей при формировании функции корреляции сигналов
от многих целей, обусловленное тем, что в подобных РЛС
сопровождается только одна цель. В то же время задачи как
поиска, так и сопровождения целей могут решаться с помощью
единой многофункциональной РЛС, построенной на основе ФАР.
1.6. ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Цель, которая преследовалась в вводной главе, состояла в том,
чтобы дать ясное и наглядное представление о назначении
и основных методах ЦОРИ, а также о применении систем
ЦОРИ в различных РЛС. Для этого было признано полезным
привести краткий обзор основных принципов построения РЛС
и, в частности:
представить классификацию как режимов поиска и сопровож-
дения целей, так и непосредственно решающих эти задачи
многофункциональных и вторичных РЛС в соответствии с их
назначением;
дать описание структуры современной РЛС и этапов обработки
сигнала;
рассмотреть основные элементы ФАР и особенностей их
применения;
66
описать сети РЛС, в том числе бистатические радиолокаци-
онные системы.
На основе этого материала были рассмотрены методы со-
провождения целей, реализация на базе РЛС с механическим
сканированием, РЛС с ФАР и сети РЛС. В результате был
обоснован ряд технических путей реализации систем, среди
которых могут быть выделены три класса:
системы сопровождения целей в режиме обзора;
системы активного сопровождения целей, управляемые с по-
мощью ЭВМ;
системы сопровождения, работающие в сети РЛС.
Были приведены (без строгого обоснования) основные идеи
и математические методы ЦОРИ и рассмотрены области примене-
ния ЦОРИ в системах гражданского и военного назначения.
Материал каждого подраздела с большей полнотой и матема-
тической строгостью будет изложен в последующих главах.
Глава 2
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ ТЕОРИИ
ОЦЕНИВАНИЯ И ФИЛЬТРАЦИИ
В настоящей главе рассмотрен математический аппарат теории
оценивания и фильтрации. Цель этого рассмотрения—теоретичес-
кое обоснование алгоритмов обработки радиолокационной ин-
формации, которым посвящены последующие главы книги. В на-
чале дан обзор теории оценивания. Материал изложен в порядке
возрастания сложности и включает такие вопросы, как детер-
минированный метод наименьших квадратов, метод оценки по
критерию средней квадратической ошибки, метод максимального
правдоподобия и байесовское оценивание. При изложении задач
теории оценивания основное внимание сосредоточено на требова-
ниях к исходной информации, смысле используемых критериев
и значении полученных решений. Затем рассмотрены задачи
линейной фильтрации и экстраполяции как задачи оценивания
по критерию средней квадратической ошибки. Особое внимание
уделено фильтру Калмана, его структуре и особенностям. Об-
суждена также проблема адаптивной фильтрации. Показано
влияние недостатка априорной информации на качество фильтра-
ции и приведены наиболее общие методы адаптивного оценивания
параметров модели по результатам измерений. В заключение
рассмотрены нелинейная фильтрация, расширенный фильтр Кал-
мана и другие вопросы квазиоптимальной обработки.
Все проблемы рассматриваются сначала исходя из физического
смысла. Решения не выводятся аналитически, а представляются
в готовом виде и затем обосновываются.
67
5’
Авторы приложили усилия к тому, чтобы материал данной
главы был понятен без обращения к другим источникам;
изложение базируется на основных положениях теории вероят-
ностей и случайных процессов, теории систем и линейной алгебры.
Разделы, посвященные теории оценивания и теории фильтрации,
дают необходимую информацию для анализа и разработки
алгоритмов фильтрации, применяемых в цифровой обработке
радиолокационных данных.
2.1. ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ОЦЕНИВАНИЯ
2.1.1. ИСТОРИЯ ВОПРОСА
В теории оценивания, которая к настоящему времени до-
статочно хорошо разработана, рассматривается задача выработ-
ки заключения о значениях ряда неизвестных параметров по
данным измерений, значения которых зависят от этих неизвест-
ных параметров. С помощью теории оценивания решаются
многие практические задачи связи, автоматического управления,
а также обработки сигналов и данных. Теория оценивания тесно
связана с такими дисциплинами, как математическая статистика,
теория обнаружения, теория связи и информации, теория
случайных процессов, теория управления и теория идентификации
систем. Взаимное обогащение этих областей знаний явилось
важным фактором успешного развития и применения теории
оценивания.
История теории оценивания восходит к ранним работам Гаусса
[1] и Лежандра [2], которые стимулировались исследованиями
в области астрономии. Затем свой вклад в развитие теории
внесли Фишер [3], предложивший идею максимально прав-
доподобной оценки, и Колмогоров [4], разработавший теорию
последовательной оценки вероятности и теорию случайных про-
цессов. В работе Винера [6] сформулированы и решены задачи
линейной фильтрации и экстраполяции стационарных случайных
процессов в пространстве спектральных плотностей мощности.
В целях преодоления математических сложностей, связанных
с решением Винера, был разработан рекурсивный подход во
временном пространстве. Этот подход был развит в работах
Левинсона [5], а затем Калмана и Бьюси, которые трактовали
проблемы оценивания на основе современной теории систем.
Подробный обзор истории развития линейной фильтрации с об-
ширным перечнем библиографии приведен в [43].
Последние достижения в теории фильтрации и экстраполяции
включают [44, 53 ]:
распространение теории на нелинейные системы;
решение задач адаптивного оценивания;
разработку эффективных алгоритмов фильтрации.
68
2.1.2. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ
Рассмотрим основные понятия, используемые в теории оценива-
ния [31, 32, 44].
Введем вектор
Х = (Х!, Х2, ХП)Т,
составляющие которого представляют собой п неизвестных
параметров, подлежащих оцениванию, и вектор z = (z1? z2, ..., zk)T,
представляющий к полученных результатов измерений. Поскольку
z зависит от х, то после получения наблюдений z априорная
неопределенность истинного значения х уменьшается. Поэтому
исходные суждения о значении х должны быть уточнены с учетом
новой информации.
Оценка х вектора х с учетом вектора z и априорной информации
может быть получена на основе соответствующей обработки
результатов измерений. Оцениватель представляет собой процес-
сор, по каждому вектору наблюдения z формирующий соответству-
ющую оценку х. В общем случае оценка х может не совпадать
с действительным значением вектора х. Введем ошибку оценивания
ё = х —х,
«размер» которой определяется степенью близости оценки и дей-
ствительного значения, т. е. качеством оценивания. При раз-
работке оценивателя необходимо стремиться к минимизации
ошибок. В связи с этим вводится функция потерь, имеющая
смысл цены ошибок измерения. В большинстве случаев (когда
х — вектор, составляющие которого являются случайными вели-
чинами, или когда измерения z искажены шумом) оценка х,
а следовательно, и ошибка ё представляет собой случайные
векторы. Поэтому минимизируется математическое ожидание
функции потерь. Оцениватель называется оптимальным в соот-
ветствии с указанным критерием, если получаемые с его помощью
оценки минимизируют функцию потерь.
2.1.3. КЛАССИФИКАЦИЯ ЗАДАЧ ОЦЕНИВАНИЯ
Классификация разнообразных задач теории оценивания может
производиться с различных позиций и основываться на рас-
смотрении:
а) моделей, описывающих неизвестные параметры х и измере-
ния z;
б) априорной информации о модели вектора х;
в) критерия оптимизации оценивателя;
г) ограничений, накладываемых на структуру оценивателя.
В частности, при классификации задач в соответствии с
п. а) могут быть рассмотрены следующие возможные ситуации:
69
х — неизвестный детерминированный вектор, z — некоторая
известная функция х, причем обращение этой функции невоз-
можно;
х — неизвестный детерминированный вектор, z— известная фун-
кция х, искаженная шумом измерений;
х и z — случайные векторы, имеющие совместное распределение;
х — вектор состояния динамической системы, находящейся под
воздействием случайного шума, z — вектор выходных сигналов,
искаженный шумом измерений.
В последнем случае могут быть проведены дальнейшие раз-
личия между моделями по таким признакам, как характер
текущего времени эволюции системы (непрерывное или дискретное
время), вид уравнений, описывающих эволюцию системы (линей-
ные или нелинейные уравнения), зависимость этих уравнений от
времени, полнота имеющихся знаний о параметрах системы
(полные или неполные знания).
Рассмотрим возможную классификацию задач теории оценива-
ния по априорной информации. Для представления априорной
информации могут быть использованы следующие функции или
параметры, перечисленные в порядке увеличения полноты ин-
формации:
функция, описывающая зависимость между векторами z и х;
дисперсия шума измерений;
статистические параметры первого и второго порядка совмест-
ного случайного вектора (х, z) — средние значения и дисперсии;
функция распределения плотности вероятностей шума из-
мерений;
совместная плотность распределения (х, z);
априорная плотность распределения х, а также совместное
распределение (х, z).
Выбор критерия оптимизации зависит от полноты имеющейся
информации и допустимой сложности оценивателя. Могут ис-
пользоваться следующие критерии оптимизации, приведенные
в порядке усложнения оценивателя и увеличения полноты ин-
формации:
наименьших квадратов;
взвешенных наименьших квадратов;
средний квадратический;
максимального правдоподобия;
максимума апостериорной вероятности (байесовский критерий).
В заключение отметим, что если рассматривать ограничения,
накладываемые на возможные решения задач, то наиболее важное
из них состоит в требовании линейной структуры оценивателя.
В последующих разделах дан краткий обзор основных неди-
намических задач, относящихся к параметрическим, так как
оцениваемый вектор часто состоит из постоянных неизвестных
параметров исследуемой системы.
70
2.1.4. КРИТЕРИЙ НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ
Простейшая задача оценивания может быть сформулирована
следующим образом: х— неизвестный детерминированный вектор;
z—известная линейная функция от х:
z = Ах.
где А — матрица действительных чисел размером (kxn), причем
число данных к значительно превышает число неизвестных п.
Для любой оценки х вектора х ошибка оценивания имеет вид
ez = z —Ах.
Значение такой ошибки характеризуется скалярным действитель-
ным числом
e2 = (z —Ax)T(z — Ах). (2.1)
В соответствии с критерием наименьших квадратов мини-
мизируется величина е2. Оптимальное решение находится из
уравнения [31 ]
-f —=АтАх — ATz —0.
2 \ dx /
Так называемое псевдоинверсное решение для оптимальной
оценки имеет вид
x = (ATA)"1ATz. (2.2)
Полученная оценка является линейной функцией данных измере-
ний, а минимальный квадрат ошибки равен
2 Т Л
emin = z,ez.
Практическое применение критерия наименьших квадратов
можно показать на примере аппроксимации полиномом заданного
порядка (п—1) с неизвестными коэффициентами х19 х2, ..., хп
последовательности данных zn z2, ..., zk, соответствующих к зна-
чениям независимой переменной t(t = t19 t2, ..., tk). Результат
каждого измерения может быть представлен значением по-
линома с неизвестными коэффициентами {xj}, вычисленным при
t = t,. В результате можно записать уравнение
. 1 tk t( t" 1 _
оптимальный набор коэффициентов которого получается из
уравнения (2.2). Применение этого алгоритма к задаче сопровож-
дения рассматривалось в подразд. 1.4.2 (рис. 1.25).
71
Во многих случаях возникает необходимость придания ком-
понентам ошибки в уравнении (2.1) различной значимости (веса).
В таких случаях используется критерий взвешенных наименьших
квадратов. Как правило, к такому критерию прибегают, если
предполагается, что результаты измерений z имеют неодинаковую
точность. При этом оцениватель строится таким образом, что
составляющим вектора z, имеющим наибольшую неопределен-
ность, приписываются наименьшие веса. Поэтому в соответствии
с данным критерием минимизируется взвешенный квадрат ошибки
е 2 — (z — Ах )TR ~1 (z — Ах), (2.3)
где R-1—положительно определенная матрица весов.
Оптимальная оценка вектора х также является линейной
функцией z:
х = (ATR "1 А)"1ATR 1 z. (2.4)
Аналогичный метод используется при необходимости объедине-
ния М (М > 2) независимых последовательностей данных для
повышения качества оценки х. Такая потребность возникает при
обработке данных в сетях РЛС (см. разд. 1.3, рис. 1.15).
В соответствии с критерием взвешенных наименьших квадратов
оптимальная оценка должна минимизировать следующую функ-
цию потерь:
м
J= Ё (z,-x)TRr* (z,-x),
j = i
где R,1—матрица весовых коэффициентов для i-ro измерения z,.
Решая уравнение dJ/dx = OT, получаем выражение для оценки
(М \ - 1 м
X Rf1 X (2.5)
j=i / i=i
В соответствии с полученным решением максимальный вес
получают наиболее точные результаты измерений, т. е. резуль-
таты, соответствующие наименьшим значениям R,. Выражение
в скобках представляет собой нормирующую матрицу, которая
приводит сумму весовых матриц для различных последователь-
ностей измерений вектора к единичной матрице.
В заключение отметим, что критерии наименьших и взвешенных
наименьших квадратов используются в тех случаях, когда невоз-
можно задать распределение х и z и имеется весьма ограниченная
информация об ошибке измерений.
2.1.5. КРИТЕРИЙ МИНИМУМА СРЕДНЕЙ КВАДРА’ТИЧЕСКОЙ ОШИБКИ
Оценка по критерию минимума средней квадратической при-
меняется в тех случаях, когда х и z — совместно распределенные
72
случайные векторы. Минимизируется по отношению к оценке
х следующая квадратичная функция потерь:
J = (x, z) = Ex/z {(х —x)TW(x—x)/z}, (2.6)
где Ex/Z{7z} — математическое ожидание случайной величины {•},
вычисленное по условному распределению х при заданном
значении z; W—неотрицательная действительная матрица весов.
В явном виде функцию потерь можно записать следующим
образом:
J (х, z) = j (х — х)тW (х — х) р (x/z) dx. (2.7)
Решение х уравнения |J- = 0T минимизирует функцию потерь
J (х, z) и представляет собой условное математическое ожидание
вектора х [31]:
x = Ex/z{x/z} = fxp(x/z)dx, (2.8)
не зависящее от W. Как будет показано, полученный результат имеет
большое значение в теории оценивания. Кроме того, эта оптималь-
ная оценка обеспечивает минимум ковариационной матрицы
Р = Е{(х —х)(х —x)T/z},
поэтому средний квадратический критерий иногда называют
критерием минимальной дисперсии. Решение уравнения (2.8)
обеспечивает извлечение максимальной (в среднем) информации
о векторе х из полученных данных. В общем случае х является
нелинейной функцией z. Однако если векторы х, z имеют
совместное гауссовское распределение, то оптимальная оценка
является линейной функцией х [31 ] и может быть получена на
основе априорных знаний статистических параметров первого
и второго порядков векторов (х, z). Кроме того, в этом случае
оптимальная оценка соответствует также критериям наименьших
квадратов и максимальной апостериорной вероятности. Более
подробно применение критерия минимума средней квадратической
ошибки рассмотрено в разд. 2.2, так как этот критерий имеет
большое значение при решении задач оценивания и фильтрации.
2.1.6. КРИТЕРИЙ МАКСИМАЛЬНОГО ПРАВДОПОДОБИЯ
Широкий класс оценивателей основан на использовании кри-
терия максимального правдоподобия. Получаемая на основе
этого критерия оценка обладает рядом важных свойств, среди
которых необходимо отметить следующие:
оценка является состоятельной, т. е. по мере увеличения числа
измерений вероятность того, что оцениватель выдает значение,
отличное от истинного, стремится к нулю;
оценка асимптотически эффективна, т. е. с увеличением числа
измерений средняя квадратическая ошибка стремится к минималь-
73
но возможному значению (нижней границе Крамера — Рао
[18]);
оценка распределена асимптотически по нормальному закону,
т. е. при увеличении числа измерений закон распределения ошибки
оценивания стремится к нормальному.
Максимально правдоподобная оценка может быть построена
для неизвестного (случайного или детерминированного) вектора
х, связанного с измерениями z соотношением
z = g(x, г), (2.9)
где г — случайный вектор, не зависящий от вектора х, с известной
плотностью вероятности р(г).
В соответствии с критерием максимального правдоподобия
выбирается такая оценка х, для которой измеренный уровень
z наиболее вероятен, т. е. для которой функция плотности
распределения p(z/x) максимальна. Оценка формируется только
на основании знаний о распределении вероятностей ошибки
измерений, и ее значение не зависит от функции плотности
распределения вероятностей х.
Весьма важным является случай, когда зависимость (2.9) имеет
нормальное распределение. Тогда выражение (2.9) принимает вид
z = Ax + r. (2.10)
Распределение p(r) = N(0, R), где символ N(m, С) имеет смысл
гауссовской плотности распределения вероятностей с матрицей
средних значений ш и матрицей ковариаций С. Функцию
правдоподобия можно записать [44] как
p(z/x) = C0 exp —^(z —Ax)TR-1 (z —Ax)j,
где Co — нормирующая константа.
В этом случае максимизация плотности распределения веро-
ятностей (z/x) по отношению к х эквивалентна минимизации
взвешенного квадрата ошибки (2.3), а соответствующая оп-
тимальная линейная оценка описывается выражением (2.4). По-
лученная оценка является случайной матричной величиной, рас-
пределенной по нормальному закону с матрицей средних значений
Е{х} = х
и матрицей ковариаций
Р = Е {(х —х)(х —х)т} =(ATR-1A)-1.
2.1.7. КРИТЕРИЙ МАКСИМАЛЬНОЙ АПОСТЕРИОРНОЙ
ВЕРОЯТНОСТИ (БАЙЕСОВСКИЙ КРИТЕРИЙ)
Байесовская оценка может быть использована, если х—случай-
ный вектор с априорно заданной плотностью распределения
вероятностей р(х). Как и в предыдущем подразделе, положим,
74
что х и z связаны уравнением (2.9) и условную плотность
p(z/x) можно получить из р(г). В соответствии с байесовским
правилом [12] апостериорную плотность распределения вероят-
ностей х при данном z можно вычислить по формуле
Р x/z) = ry---/-y- <- . (2.11)
jp(z/x)p(x)dx
Данная функция иллюстрирует, каким образом априорная веро-
ятность р(х) изменяется после получения информации о z. По
существу, она показывает (при данном z), какое значение
х с наибольшей вероятностью приведет к заданному результату
наблюдения. Поэтому в качестве критерия оценки х может быть
выбран максимум функции p(x/z), что соответствует сущности
процесса оценивания. К сожалению, в ряде практически интерес-
ных случаев априорная вероятность р(х) неизвестна или оценка
функции p(x/z) весьма затруднительна. В связи с этим исполь-
зуются более простые оцениватели. Следует заметить, что если
априорное распределение принимается равномерным (в связи
с недостатком информации), то байесовское оценивание сводится
к оцениванию по критерию максимального правдоподобия.
В заключение выведем выражения оптимального байесовского
оценивателя для линейной задачи с гауссовскими векторами. Как
и ранее, будем полагать, что выполняется уравнение (2.10) и что
p(x) = N(x0, Ро), p(r) = N(0, R),
причем г не зависит от х. При этих предположениях уравнение
(2.11) приводится к виду
p(x/z) = C0 exp [(z—Ax)T(z-Ах) +
+(х-хо)тРо Чх-Хо)]^.
Максимизация этого выражения относительно х дает оценку
x = (ATR-1A + Po х)-1(Ро 1x0 + AT-R“1z).
Как и ранее, линейный оцениватель получен при использовании
комбинации априорных предположений относительно
х0 и результатов измерений z. При этом весовые коэффициенты
указанной комбинации пропорциональны обратным матрицам
ковариаций априорных ошибок (Ро) и ошибок измерений (R).
Иллюстрацией сказанному может служить скалярный случай
z = x + r, p(x) = N(x0, Оо)> P(r) = N(0, Го),
при котором оценку можно записать следующим образом:
i = (x0/G?)+(z/rJ)
М)-‘+(г0)-‘-
75
Представляют интерес статистические характеристики (матрицы
средних значений и ковариаций) ошибок оценивания (х — х):
Е{х—х}=0,
P = cov{(x —х)} = Е{(х —х)(х —х)т} =
= (Po1 + ATR-1A)-1.
С учетом этого выражение для оптимальной оценки можно
записать в виде
х = х0 + PATR “1 (z — Ах0).
Для линейного гауссовского распределения ковариацию Р мож-
но сравнить с аналогичной характеристикой, полученной в преды-
дущем подразделе по методу максимального правдоподобия.
Сравнение показывает, что ковариация ошибки Р уменьшается;
это обусловлено наличием члена Ро1, ограничивающего апри-
орную неопределенность информации о векторе х. В рассмот-
ренном случае линейного гауссовского распределения важную
роль играет то обстоятельство, что оценке подлежит вектор
х с гауссовским распределением; это приводит к тому, что
максимум функции p(x/z) совпадает с условным средним век-
тором х при заданном z. Кроме того, можно показать, что
данная оценка обеспечивает минимальную условную ковариацию
Px/z = E{(x —х)(х —x)T/z}.
Эта оценка минимизирует любую квадратическую функцию
потерь вида (2.6), совпадающую по форме с функцией потерь,
используемой при оценивании по среднему квадратическому
критерию. Наконец, оптимальный оцениватель зависит только
от статистических параметров первого и второго порядка
х(х0,Р0) й г (О, R), которые для данной задачи являются
достаточными.
2.2. ПОДРОБНОЕ РАССМОТРЕНИЕ ОЦЕНИВАНИЯ
ПО КРИТЕРИЮ МИНИМУМА СРЕДНЕЙ КВАДРАТИЧЕСКОЙ
ОШИБКИ В ПАРАМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧАХ
2.2.1. ОБЩЕЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ОЦЕНИВАНИЯ ПО КРИТЕРИЮ
МИНИМУМА СРЕДНЕЙ КВАДРАТИЧЕСКОЙ ОШИБКИ
Данный подраздел посвящен обзору основных результатов
исследований в области оценивания по критерию минимума
средней квадратической ошибки. В подразд. 2.2.2 подробно
изложены вопросы линейного оценивания, представляющего важ-
ную часть общей теории оценивания.
Пусть х и z— совместно распределенные случайные векторы;
z— вектор наблюдений, вектор х подлежит оцениванию путем
76
минимизации функции потерь вида (2.7). Оптимальная оценка
представлена выражением (2.8). В общем случае оптимальная
оценка является нелинейной функцией результатов наблюдений
z, структура которой зависит от взаимосвязи между х и z,
а также от плотности распределения вероятностей p(x/z).
Отметим одно важное свойство средней квадратической оценки
[12, 31]:
«Ошибка оценивания среднего квадратического оценивателя
не коррелирована с z и с любой функцией g(z); в частности,
она не коррелирована с оценкой х».
Это свойство можно записать в виде соотношения
Е{(х —x)gT(z)} = 0,
выражающего принцип ортогональности; оно лежит в основе
вывода выражения для оптимальной оценки х. Смысл упомя-
нутого свойства по критерию минимума средней квадратической
ошибки оценки состоит в том, что никакая дополнительная
информация, содержащаяся в z, не может быть использована
для оценки (а следовательно, для снижения) ошибки оценивания
х —X.
Весьма интересным является случай, при котором случайные
векторы (х, z) имеют совместное гауссовское распределение
с матрицами средних значений шх, ш7 и ковариационными
матрицами:
cov{(x-mx)} = Pxx,
cov{(z-mz)} = Pzz>0, (2.12)
Е{(х —mx)(z—mz)T} = Pxz.
В этом случае условная плотность вероятностей p(x/z) имеет
гауссовское распределение с матрицами средних значений и ко-
вариаций
E{x/z}=mx + PxzP“1(z-mz), (2.13)
cov{x/z} = Pxx-PxzP-1PL- (2.14)
Большое значение имеет то обстоятельство, что условное
среднее, определяющее оптимальную оценку по критерию ми-
нимума средней квадратической ошибки, является линейной
функцией векторов наблюдений z. Это положение является
основополагающим при разработке средних квадратических оце-
нивателей, а также в динамических задачах теории фильтрации
и оценивания. Благодаря квадратичной функции потерь (2.6)
и гауссовскому характеру распределения векторов х и z оп-
тимальный оцениватель является линейной функцией наблюдений.
Кроме того, в связи с тем, что условное распределение вектора
х является гауссовским, среднее значение E{x/z} максимизирует
77
также функцию p(x/z); поэтому средний квадратический оценива-
тель является оптимальным также и в байесовском смысле.
Наконец, ошибка оценивания (х — х) не только не коррелирована
с любой функцией g(z), но и не зависит от нее.
2.2.2. ЛИНЕЙНЫЙ ОЦЕНИВАТЕЛЬ ПО КРИТЕРИЮ МИНИМУМА
СРЕДНЕЙ КВАДРАТИЧЕСКОЙ ОШИБКИ
В ряде практически интересных случаев можно ограничиться
использованием линейного оценивателя независимо от функции
распределения вероятностей. При негауссовском распределении
такое ограничение ведет к снижению точности оценивания. Таким
образом, необходимо построить оптимальный линейный оценива-
тель вектора х при заданном z, минимизируя
J = E {(х-х)т(х — х)}, (2.15)
где
x = Az + b. (2.16)
Предполагается, что статистические параметры первого и вто-
рого порядков для (х, z) известны из уравнения (2.12). Подставляя
(2.15) в (2.16) и приравнивая нулю производную J по А и Ь,
получаем оптимальные значения А0 и Ь° [31]:
A° = PXZPZV, (2.17)
b°=mx —A°mz, (2.18)
x = A°z+b°. (2.19)
Следует отметить, что оптимальное решение (2.19) при задан-
ном ограничении (линейности структуры оценивателя) совпадает
с (2.13), при этом (2.14) позволяет вычислить ковариацию оценки.
Важно также отметить, что при одинаковых среднем значении
и дисперсии независимо от распределения (х, z) будут получены
одинаковые оценки. В то же время, если (х, z)—совместно
нормально распределенные случайные векторы, то линейная
оценка по критерию минимума средней квадратической ошибки
будет представлять собой оптимальную оценку, полученную без
учета ограничений. Следовательно, требование линейности оце-
нивателя эквивалентно замене исходных случайных векторов
векторами с нормальным распределением. Подчеркнем, что при
линейном ограничении дисперсия ошибки оценивания является
той же самой, которая была бы получена при гауссовских
переменных. Таким образом, оценка будет оптимальной при
гауссовском векторе х, однако если этот вектор негауссовский,
то может существовать и более качественная оценка, для
получения которой необходим нелинейный процессор (оценива-
тель).
78
Линейная оценка по критерию минимума средней квадратичес-
кой ошибки обладает рядом интересных свойств, в том числе:
а) если векторы х и z не коррелированы (т. е. Е{х, zT} = mxmJ),
то оценка х по критерию минимума средней квадратической
ошибки совпадает со средним значением шх, т. е. знание наблюда-
емого вектора не дает дополнительной информации. В общем
случае при оценивании по критерию минимума средней квад-
ратической ошибки это свойство остается справедливым лишь
при независимости векторов х, z;
б) оценка х является несмещенной (Е{(х — х)} = 0) и миними-
зирует любую квадратическую функцию потерь, например фун-
кцию (2.3);
в) принцип ортогональности обеспечивает необходимое и до-
статочное условие оптимальности линейного оценивателя;
г) соотношение для вычисления оценки является рекурсивным.
Далее показано, каким образом использование принципа ор-
тогональности приводит к соотношению (2.19) для оптимального
линейного оценивателя.
Пусть x = AZ+b является линейной оценкой; положим
b = mx--Amz, так что Е{х}=шх (оценка несмещенная). На ос-
новании принципа ортогональности можно получить уравнение
Е = {(х —x)zT} = Px2 —APZZ = O,
из которого может быть найдено оптимальное выражение (2.17)
для А0. Принцип ортогональности играет очень важную роль
в теории линейного оценивания и фильтрации по критерию
минимума средней квадратической ошибки, так как может
служить основой для получения калмановского фильтра. Поэтому
дальнейшее рассмотрение линейного оценивания будет проведено
с помощью функционального анализа [7].
Пусть X — пространство векторов, a UsX — его линейное
подпространство. Обозначим через <х, у) внутреннее произведе-
ние (скалярное произведение в Евклидовом пространстве) двух
любых векторов х, уеХ и через ||Х|| = <х, х> — норму («длину»)
вектора х. Любой вектор хеХ может быть представлен суммой
двух составляющих х = хи + Хц, где xueU и вектор х„ ортогонален
U. Вектор uoeU рассматривается как оценка вектора х, так
что «расстояние» ||и0 —х|| минимизируется по отношению к лю-
бому другому вектору ueU. Можно показать [7], что
||u0 —х||^||и—х|| в том и только в том случае, если <u0 —х, и> = 0
для любых ueU. , Более того, оказывается, что
Uo = x11(||uo — xu|| = 0). При таком подходе U может рассмат-
риваться как линейное пространство с любыми линейными
комбинациями результатов измерений z; а X — пространство,
к которому Принадлежит неизвестный вектор х. Если к z применен
линейный оператор, то может быть оценена только составляющая
х, принадлежащая U, т. е. х = хи. Такой оценке соответствует
79
ошибка с минимальной нормой ||х —х||^||и —х||, ортогональная
U, т. е. любой линейной функции вектора z. Ошибка обусловлена
вектором х„, который не может быть оценен по z с помощью
линейного оценивателя, так как он ортогонален U.
Рассмотрим свойство рекурсивности оптимальных линейных
оценивателей, производящих оценку по критерию минимума
средней квадратической ошибки [31]. Если z и у—два набора
результатов измерений, относящихся к неизвестному вектору х,
то оптимальная линейная оценка х может быть основана как
на z, так и на у. Положим, что z и у—не коррелированы.
В этом случае могут быть получены две отдельные оценки
вектора х, полученные при оценивании по критерию минимума
средней квадратической ошибки; обозначим их через x(z) и х(у),
тогда оптимальная по критерию минимума средней квадратичес-
кой ошибки оценка вектора х при заданных z и у выражается
простым соотношением
x(z, y) = x(z) + x(y).
При коррелированных х и у оптимальная по критерию
минимума средней с квадратической ошибки оценка находится
следующим образом. Задача может быть решена путем исполь-
зования у для оценки х; обозначим эту оценку через х(у)
и соответствующую неизвестную ошибку через х(у) = х —х(у).
Затем на основе тех же данных у оценивается z: соответствующая
ошибка z = z — z(y) известна и представляет собой составляющую
z, ортогональную у. Следовательно, она может быть использована
как новый результат измерения для оценки и сглаживания х(у).
Другими словами, из двух наборов коррелированных результатов
измерений у и z формируется новая пара ортогональных наборов
данных (у и z(y)), на основе которых затем в соответствии
с (2.20) оценивается х:
x(z, y) = x(y) + x(z(y)).
Обозначим ковариации х(у), (х(у), z(y)) и z(y), каждая из
которых может быть получена из (2.14), через Рг5, Рг5, соот-
ветственно. Тогда ковариация х(у, z), которую обозначим через
Р, будет иметь вид
р = р р. -Р"1 рТ.
Полученный результат может быть распространен на последо-
вательность из к+1 коррелированных измеренных векторов z(1),
z(2),..., z(k), z(k + 1), вследствие чего оптимальный оцениватель
может быть представлен рекуррентной формулой. Это свойство
позволяет перейти от рассматриваемых статистических задач
к динамическим, которым посвящен разд. 2.3.
Обозначим через хк оценку вектора х по результатам измерений
z19 z2,..., zk, а через xk — соответствующую ошибку; пусть zk+1/k —
80
ошибка оценки zk+1, основанная на наблюдениях z15 z2, ...,zk.
Тогда можно записать
xk + 1=xk4-x(zk + 1.k),
Pk + I=Pk-cov{xk, zk+rk}cov{zk + 1/k}-1,
cov{zk+1/k, xk},
где Pk = cov{xk}.
Важным следствием данного свойства является отсутствие
необходимости при получении новых значений zk + 1 вновь ана-
лизировать все к+1 результатов измерения. Оценка хк может
быть откорректирована на основе совместной обработки новой
информации и zk + 1/k.
Вектор zk + 1/k = zk + 1—zk + 1/k называется сигналом обновления
и играет важную роль в теории линейного оценивания, особенно
в динамических задачах. В нем содержится вся информация
о zk + 1, которая не может быть спрогнозирована по данным
z19..., zk. Следовательно, этот вектор ортогонален zx, ...,zk. Дан-
ный результат может быть соотнесен с задачей оценивания
вектора хсХ с помощью вектора ueU^X, решаемой на основе
принципа ортогональности. Если Uk обозначает подпространство
линейных комбинаций z19...,zk, то при дополнении имеющейся
информации данными zk + 1 возникает новое подпространство
ик + 1^ик, имеющее на один результат измерений больше. Это
позволяет оценить составляющую х, ортогональную по отноше-
нию к Uk, и, следовательно, уменьшить ошибку.
В качестве заключения можно отметить, что если задана
последовательность данных Zk = {z19..., zk}, то можно получить
соответствующую обновляющую последовательность Zk = {ir,
z2/],zk/k«x}. Все векторы новой последовательности попарно
ортогональны и описывают процесс типа белого шума. Объем
информации, содержащейся в исходной последовательности, не
изменился; преобразование позволило лишь в явной форме
показать вклад каждого члена, отбрасывая составляющие, ко-
торые можно было предсказать по предшествующим данным.
Такой же алгоритм может быть применен для получения
ортогональной базы в векторном пространстве по заданной
последовательности векторов; этот алгоритм известен как про-
цедура Грамма — Шмидта [25].
2.3. ОЦЕНИВАНИЕ ПО КРИТЕРИЮ МИНИМУМА СРЕДНЕЙ
КВАДРАТИЧЕСКОЙ ОШИБКИ В ДИНАМИЧЕСКИХ ЗАДАЧАХ
2.3.1. МОДЕЛИ СИСТЕМ
Во многих задачах оценивания неизвестный вектор харак-
теризует эволюцию системы во времени, а результаты наблюдения
6—1582 4
Z представляют собой выходные сигналы этой системы и,
следовательно, являются функциями времени. Как уже отмечалось
в подразд. 1.4.1, описание динамических систем с помощью
метода пространства состояний позволяет эффективно решать
задачи теории оценивания и широко используется не только
в теории управления, но и в связи, теории цепей, механике
и экономике. При таком подходе зависимость входных и выход-
ных последовательностей описывается во временной области
с помощью моделей состояний и наблюдаемых выходных сиг-
налов. Состояние характеризует «внутренние условия» системы
и является как бы «отображением» предшествующих входных
воздействий: «входные сигналы» могут включать как детер-
минированные функции времени, так и стохастические процессы,
которые имитируют непредсказуемые возмущения или шум.
«Выходные сигналы» являются функцией состояния с учетом
случайных ошибок измерений. Матричная и векторная формы
записи позволяют с единых позиций подходить к решению задач
различной сложности и физической сущности.
Система, работающая в дискретном времени, описывается
следующей парой уравнений [23]:
Sk+i = f(sk, uk, vk, k), (2.21)
Zk + i=g(sk+i, wk + 1, k+1), (2.22)
где k, k+1—целочисленные индексы, обозначающие дискретные
моменты времени; sk — n-мерный вектор состояния в момент к;
ик — р-мерный вектор детерминированных входных воздействий;
vk — g-мерный вектор случайных входных сигналов; wk — г-мерный
вектор шумов наблюдения; zk — m-мерный вектор наблюдений.
Здесь f (•) и g (•) — векторные функции указанных аргументов:
первая функция характеризует переход состояния
sk в sk + 1 в момент времени к в результате входного воздействия
(uk, vk); вторая «отображает» внутреннее состояние на выходные
наблюдаемые переменные zk+1, а также характеризует влияние
случайных ошибок wk + 1. Введение в явной форме зависимости
от к позволяет описывать нестационарные системы.
Особый интерес как с точки зрения практического применения,
так и в связи с наличием хорошо разработанного аппарата
теории оценивания представляют линейные системы. Для таких
систем уравнения (2.21) и (2.22) можно записать в следующем
виде:
sk + l =<Dksk + Bkuk + GkVk, (2.23)
zk +1 =Hk + iSk +1 + Lk + j wk +1, (2.24)
где Фк, Bk, Gk, Hk + i, Lk + 1—вещественные матрицы размерами
nxn, nxp, nxg, mxn, mxr соответственно. Индексы к или
к +1 обозначают зависимость этих матриц от времени, т. е.
82
Случайные входные
воздействия
Шум наблюдений
Результаты
наблюдения
Довременная задержка
Рис. 2.1. Дискретная линейная система
система может быть нестационарной. Структура такой линейной
системы показана на рис. 2.1.
В соответствии с уравнением (2.23) и с учетом линейности
системы очередное состояние sk+i определяется двумя состав-
ляющими: текущим состоянием sk и входными воздействиями
uk и vk. Переходная матрица состояний Фк характеризует вклад
в sk + i информации о предшествующем состоянии систем, содер-
жащейся в sk. В частности, при отсутствии входных воздействий
(т. е. при uk=0 и vk=0) состояние системы зависит лишь от
начальных условий (состояния) s0 в соответствии с выражением
sk +1 =ФкФк - 1 ••• Ф^ово
В этом случае устойчивость системы, определяемая условием,
при котором вектор sk + 1 не выходит за определенные пределы,
зависит, как будет показано, от переходных матриц ФД)=0,
1,..., к). Матрицы Вк и Gk характеризуют возможность перехода
системы в новое состояние в результате воздействия входных
сигналов. Наконец, как следуег из уравнения (2.24), результаты
наблюдений zk + 1 являются линейными комбинациями составля-
ющих вектора состояний, искаженных аддитивным шумом. Мат-
рица Нк + 1 определяет способ объединения составляющих вектора
sk + 1 при формировании вектора наблюдений zk + 1 и, следователь-
но, характеризует возможность определять состояние системы
по результатам наблюдений.
Чтобы завершить описание дискретной линейной системы,
необходимо рассмотреть временную эволюцию статистических
характеристик sk и zk при наличии на входе случайных воздействий vk.
Примем, что векторы vk и wk характеризуют процессы типа белого
шума с нулевым средним и следующими матрицами ковариаций:
E{VjvJ} = Qk8kj,
83
6’
E{wjWJ}=Rk5kj,
E {Vjwif} =0,
где 5kj — оператор Кронекера (5kj = 0 при k/j и 5kk=l),
a Qk и Rk — положительно полуопределенные вещественные
матрицы соответствующих размеров. Эти матрицы описывают
корреляционные связи между различными составляющими
vk и wk в один и тот же момент времени к (между состав-
ляющими, взятыми в различные моменты времени, корреляция
отсутствует, так как рассматривается процесс типа белого шума).
Математические ожидания векторов sk и zk нетрудно получить
из соотношений (2.23) и (2.24):
E{sk + 1} = OkE{sk} + Bkuk,
E{zk} = HkE{sk}.
Ковариационная матрица для sk (характеризующая корреляцион-
ные связи между составляющими sk в один и тот же момент
времени к) может быть получена из выражения (2.23) и записана
в рекурсивной форме [44]:
cov {sk + 1} = <Dkcov {sk}<^ + GkQkGj.
Аналогично ковариационную матрицу для вектора наблюдений
zk можно записать как
cov {zk} = Hkcov{sk}Hk+LkRkLk.
В заключение рассмотрим важный класс непрерывно-дискрет-
ных систем, т. е. систем, непрерывно эволюционизирующих во
времени, но наблюдаемых в дискретные моменты t = t0, t,..., tk.
К этому классу относятся радиолокационные системы сопровож-
дения. Движение (состояние) описывается непрерывными во
времени динамическими уравнениями относительно ее координат
и составляющих скорости, а измерения (дальности, азимута,
угла места, скорости изменения дальности) осуществляются
в дискретные моменты времени. Поэтому в качестве модели
наблюдений (см. подразд. 3.3.2) может использоваться соотноше-
ние (2.24). Можно показать, что для описания эволюции состояния
таких систем может быть также использована эквивалентная
дискретная модель [24]. Собственно говоря, дискретная природа
наблюдений позволяет считать изменения состояний значимыми
только в. те моменты времени, когда производятся наблюдения.
Напомним некоторые основные свойства динамических систем
[14, 23].
Устойчивость. Система считается устойчивой, если при любых
начальных условиях и при наличии входных сигналов ограничен-
ной энергии последовательности выходных сигналов не расходят-
ся. Существуют и другие определения устойчивости и условий
84
устойчивости систем [53]. В частности, для систем, инвариантных
относительно времени, свойства устойчивости системы определя-
ются положением собственных значений переходной матрицы
состояний в комплексной плоскости.
Наблюдательность. Система считается наблюдаемой, если по
наблюдениям выходных сигналов системы на конечном интервале
времени можно оценить ее начальное состояние. Наблюдаемость
инвариантных относительно времени систем обеспечивается, если
матрицы Ф, Н удовлетворяют определенным алгебраическим
условиям [37].
Управляемость. Система считается устойчивой, если при соот-
ветствующих входных воздействиях в течение конечного интервала
времени она может быть переведена в заданное состояние.
Управляемость системы обеспечивается, если матрицы Ф, В,
G удовлетворяют определенным алгебраическим условиям [9].
2.3.2. ФИЛЬТРАЦИЯ, ЭКСТРАПОЛЯЦИЯ И СГЛАЖИВАНИЕ
Задача оценивания для динамических систем может быть
сформулирована следующим образом: результаты наблюдений
на выходе системы формируются в течение интервала времени
(О, N), совокупность результатов всех наблюдений обозначим
через ZN. По имеющимся данным в соответствии с критерием
необходимо оценить состояние Sk в момент времени к^О.
Оценка является функцией результата всех наблюдений ZN (при
наименьшей средней квадратической ошибке оценивания эта
функция может быть линейной); средняя квадратическая ошибка
минимизируется в соответствии с выражениями
min J = Е {(sk - sk)T (sk -sk) | ZN},
N
^k= Ak5pZp + bk.
p = 0
где Ak,p — (n x т)-матрица, зависящая от времени; bk(nx 1)-вектор,
обеспечивающий наименьшую среднюю квадратическую ошибку J.
В зависимости от положения относительно интервала (О, N)
момента времени к, в который оценивается состояние, существуют
три задачи оценивания:
фильтрация, если k = N;
экстраполяция, если k>N;
сглаживание, если 0<k<N.
Фильтрация представляет собой типичную процедуру, осущест-
вляемую для каждого заданного текущего момента времени.
Это связано с тем, что для оценки sN используется информация,
собранная к моменту времени N, причем эта операция может
выполняться для любых N 0, т. е. производиться последователь-
но по мере поступления новых данных. В простейшем случае,
85
когда zk является просто копией sk, искаженной шумом наблюде-
ний, фильтр, производящий оценивание по критерию минимума
средней квадратической ошибки, представляет собой процессор,
подавляющий мешающий шум и оценивающий как можно точнее
действительное значение sk. Поэтому данная задача и носит
название задачи фильтрации.
Экстраполяция — решает задачу предсказания эволюции состо-
яния системы после того, как выполнено последнее возможное
измерение. Экстраполяция позволяет «заполнить информацион-
ный пробел» о состоянии системы на интервале от момента
последнего наблюдения zN и вплоть до некоторого рассмат-
риваемого момента времени к. Важность задачи экстраполяции
можно проиллюстрировать на примере систе^м предотвращения
столкновений и управления воздушным движением. В этих
системах очень важно с высокой точностью предсказать
положение движущихся объектов через определенный промежуток
времени с целью выявления возможных взаимных пересечений
траекторий движения. Экстраполятор реализуется в виде процес-
сора, выдающего оценку sk для любого текущего момента
времени к после последнего поступившего результата наблюде-
ний zN. Наконец, сглаживание представляет собой процесс
оценивания вектора sk по результатам наблюдений, полученных
на интервале как (0, к), так и (k, N). Поэтому эта операция
является типичной операцией, выполняемой не для текущего
момента времени.
В связи с тем, что система основана на принципе причинности,
вектор sk зависит только от эволюции системы до момента к.
Однако после обработки данных Zk все еще остается некоторая
неопределенность относительно действительного значения sk.
Последующие данные, полученные на интервале (k, N), могут
быть использованы для уменьшения этой неопределенности.
2.3.3. ЛИНЕЙНАЯ ЭКСТРАПОЛЯЦИЯ И ФИЛЬТРАЦИЯ
ПРИ ОЦЕНИВАНИИ ПО КРИТЕРИЮ МИНИМУМА
СРЕДНЕЙ КВАДРАТИЧЕСКОЙ ОШИБКИ
В данном подразделе рассматривается задача линейной экс-
траполяции и фильтрации, имеющая большое значение в теории
оценивания. Проиллюстрирована взаимосвязь параметрического
динамического оценивания [22, 26, 43, 50]. Показано, что
Калмановский подход представляет собой единую методическую
базу для решения различных задач. Причем в основе всех
решений лежит принцип ортогональности.
Главное отличие параметрического оценивания от фильтрации
заключается в том, что в последнем случае неизвестный вектор
является функцией времени. Поэтому при сборе и обработке
результатов последовательных наблюдений необходимо учитывать
86
изменение во времени как неизвестных векторов, так и посту-
пающих данных. В общем случае этот фактор может быть
учтен при разработке модели эволюции состояния системы s.
Достоинства такого подхода заключаются в том, что он
позволяет:
учитывать как начальные условия для вектора s, так и ап-
риорные знания о нем;
обрабатывать процессы, зависящие от времени, без существен-
ного усложнения модели.
С другой стороны, для получения оценки s в соответствии
с критерием минимума средней квадратической ошибки необ-
ходимы лишь матрицы математических ожиданий и ковари-
аций процессов (состояний системы и шума наблюдений).
При необходимости учета начальных условий или при рас-
смотрении нестационарных процессов для описания временной
эволюции указанных статистических характеристик требуется
дальнейшая детализация модели. В тех случаях, когда рас-
сматриваются только стационарные процессы, достаточно
лишь знания спектральной плотности мощности или ковари-
ации.
При реализации линейного среднего квадратического фильтра
или экстраполятора возможны два подхода. Первый основан
на работе Винера [6] и может быть использован, если процессы
не зависят от времени, последовательность поступающих данных
не ограничена, а фильтры стационарны и работают в установив-
шемся режиме. Такой подход приведет к формированию фильтра
с постоянными параметрами. В общем случае для решения
интегрального уравнения Винера — Хопфа (или его дискретного
аналога) необходимо прибегнуть к технике интегральных преоб-
разований, что сопряжено с определенными трудностями. Ис-
ключение составляет случай «фильтра с конечной памятью»,
который является общим для теории Винера и теории обнаруже-
ния известных сигналов на фоне коррелированного шума [17].
При втором подходе, основанном на калмановском методе [7,
8 ], могут решаться нестационарные задачи при конечном ин-
тервале наблюдений. Такой подход приводит к синтезу нестаци-
онарного фильтра, при этом выражения для оценки сигнала
и ее ковариации имеют форму рекурсивных разностных или
дифференциальных уравнений в соответствии с дискретным или
непрерывным характером исследуемых процессов.
Калмановский фильтр представляет собой цель с обратной
связью, в которую включен аналог модели системы. Параметры
и характеристики фильтра могут быть рассчитаны заранее, в виде
функции параметров модели. В установившемся режиме фильтр
Калмана совпадает с фильтром Винера. Именно благодаря этим
своим особенностям теория Калмана на протяжении последних
двух десятилетий получила широкое распространение.
87
2.4. КАЛМАНОВСКАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ
В настоящем разделе подробно рассмотрен калмановский
фильтр. В подразд. 2.4.1 приведены уравнения фильтрации и экс-
траполяции. Уравнения даны без математического доказательства,
однако пояснена физическая сущность всех входящих в них
параметров. В подразд. 2.4.2 приведен численный пример примене-
ния калмановского алгоритма. В подразд. 2.4.3 рассмотрен важ-
ный случай инвариантного по времени фильтра для установив-
шегося состояния. Теоретические положения, развитые в насто-
ящем разделе, будут использованы в гл. 3, 4, посвященных
алгоритмам сопровождения.
2.4.1. ДИСКРЕТНЫЙ КАЛМАНОВСКИЙ
ФИЛЬТР И ЭКСТРАПОЛЯТОР
Рассмотрим задачу оценивания состояния s линейной дина-
мической дискретной системы по данным измерений Zk = {z0,
z19 ..., zk}, полученным на конечном интервале наблюдения. Мо-
дель системы описывается уравнениями (2.23) и (2.24). Априорные
знания о системе включают следующую информацию:
начальное состояние s0 характеризуется случайным вектором
с известными матрицами средних значений ц0 и ковариацией
Ро^О;
детерминированное входное воздействие uk, если оно имеется,
известно;
случайное входное воздействие Gkvk имеет характер белого
шума с нулевым средним и известной ковариационной матрицей
Qk>0;
шум наблюдений Lkwk представляет собой случайный процесс
типа белого шума с нулевым средним и ковариационной матрицей
Rk>0;
начальное состояние s0 не коррелировано с возмущениями
vk, wk;
случайные процессы vk, wk взаимно не коррелированы, т. е.
E{vk, w£} = 0.
При выводе уравнений калмановского фильтра возможны два
подхода. В первом случае принимается, что процессы vk, wk
и начальное состояние s0 распределены по гауссовскому закону.
Оптимальный (по критерию минимума средней квадратической
ошибки) фильтр выдает оценки sk вида sk = E{sk/Zk}. Пред-
положение о линейной модели системы и гауссовском характере
процессов приводит к линейной структуре оптимального фильтра
[53]. Второй подход предполагает линейное оценивание по
критерию минимума средней квадратической ошибки. При этом
не принимается никаких предположений относительно функций
распределений процессов. В основе данного подхода лежат
88
следующие основные свойства [16, 31] линейного оценивания по
критерию минимума средней квадратической ошибки (см.
разд. 2.2):
ошибки оценивания и наблюдения ортогональны друг другу;
структура оценивателя базируется на принципе обновляющей
последовательности;
при построении результатов новых измерений с помощью
рекурсивной процедуры корректируются полученные ранее оценки.
Конечно, оба подхода дают одинаковые результаты. Следует,
однако, подчеркнуть, как уже отмечалось при рассмотрении
параметрического оценивания по критерию минимума средней
квадратической ошибки, что если статистика процессов имеет
негауссовский характер, то оптимальный фильтр, основанный на
оценивании по критерию минимума средней квадратической
ошибки, является нелинейным; линейный фильтр в этом случае
может рассматриваться лишь в качестве субоптимального. В то
же время линейный фильтр, построенный на основе критерия
наименьшей средней квадратической ошибки, является в данном
случае наилучшим среди любых других линейных фильтров.
По априорной информации о процессе s может быть не
только получена оценка начального состояния s0 вида s0H0
с ковариацией Ро, но и предсказано каждое последующее
состояние sk = |ik в соответствии с соотношениями
Ak + i=^kHk + BkUk, (2.25)
Рк+1=ФкРкФ^ + 9к (2-26)
Эти уравнения описывают изменение во времени безусловных
априорных математического ожидания и ковариации s. Из
уравнений видно, что даже при очень точных исходных данных
(Ро = 0) наличие шума vk на входе приводит к ошибке экстра-
поляции (Pk>0). С другой стороны, если исходные данные
неточны (Pq1^0), ошибка экстраполяции в течение времени,
определяемого матрицей перехода Фк, в значительной степени
обусловлена этой неточностью, даже если Qk = 0, т. е. при
отсутствии шума на входе. Для иллюстрации смысла уравнений
(2.25) и (2.26) рассмотрим пример скалярного инвариантного во
времени процесса:
Дк + 1 =(0,5)Дк,
pk+i=(0,5)2pk + qo.
Полагаем, что Фк = 0,5 (система устойчива) и Qk = qo>0- Эво-
люция во времени pk+i/Po как функция к для нескольких
значений qo/Po показана на рис. 2.2. В пределе, при к—>х,
достигается установившееся (не зависящее от р0) значение
Poc=(4/3)qo.
89
ределенность относительно sk может быть уменьшена. Как было
показано в разд. 2.2.1, в соответствии с (2.13) и (2.14) улучшенная
оценка х (по сравнению с априорным значением шх) может
быть получена в процессе совместной обработки предшествующей
оценки шх и обновляющего члена (z—шх); характер снижения
неопределенности относительно х определяется формулой (2.14).
Если по аналогии с этим есть оценка §^-1, полученная на
основе k—1 наблюдений и характеризующаяся ковариационной
матрицей ^k/k_n то улучшенная оценка sk/k может быть получена
с использованием обновляющего члена
vk —Zk —Hk ‘Sk/k-1
(2.27)
следующим образом:
§к/к=§к/к-1 +cov {sk/k_ ь vk}cov-1{vk}vk. (2.28)
Это уравнение обычно записывается в виде [44]
Sk/k — sk/k - 1 + Кк (Zk — Нк - i).
(2.29)
90
Коэффициент усиления Кк калмановского фильтра и ковариация
оценки sk/k могут быть записаны как
Kk = Pk;k_1H‘(HkPk/k_1Hkr+Rk)1. (2.30)
K/k=(I-KkHk)^/k-t. (2.31)
Оптимальная одношаговая экстраполяция sk+1 при имеющихся
результатах наблюдений Z(k) может быть получена из sk/k в соот-
ветствии с ожидаемой эволюцией sk во времени, определяемой
(2.25):
§k + 1 /к = ^к®к/к + ик» (2-32)
при этом ковариационная матрица принимает вид (см. соотноше-
ние (2.26))
^к+ 1 /к = ^k ^к/к Фк + Qk- (2.33)
Таким образом, калмановский фильтр может быть представлен
двумя парами уравнений: уравнениями экстраполяции состояния
(2.32) и ковариации (2.33) совместно с уравнениями для обнов-
ленной оценки состояния (2.29) и ее ковариации (2.30), (2.31).
Исходное состояние в уравнениях экстраполяции задается сле-
дующим образом:
$о/~ 1 =Но>
Po/-1 = Р(Г
Для реализации структуры экстраполятора и фильтра пред-
ставляется целесообразным объединить уравнения (2.29) — (2.33).
В результате одношаговый экстраполятор может быть описан
следующими уравнениями:
sk + 1 /к = (Фк — Кк Нк)Sk/k _ j + Кк Zk + Вк Uk,
Рк + 1/к — Фк(1 — Кк Hk)f*k/k- ! Ok + Qk,
где Кк является функцией Pk/k-i в соответствии с уравнением
(2.30). Наконец, рекурсивное уравнение для ошибки экстраполяции
имеет вид
ek + i/k = (^k — Kk Нк)ёк/к-! + Gkvk — KkLkwk
и, следовательно, изменение во времени ошибки оценивания
определяется матрицей (Фк —КкНк). При соответствующем выборе
пары матриц (Фк, Нк), определяемом условием полной наблюда-
емости модели состояний, модель ошибки наблюдений становится
устойчивой. Это утверждение позволяет уяснить роль усиления
в калмановском фильтре, оно должно обеспечить сходимость
ошибок к нулю (по крайней мере, при оценке средней квад-
ратической ошибки) даже в тех случаях, когда модель состояния
неустойчива.
91
От блока
вычисления
усиления
Рис. 2.3. Калмановский фильтр для линейной дискретной системы:
а контур вычисления оценки; б - контур вычисления ковариации и усиления
Рассмотрим основополагающие свойства калмановского
фильтра. В структуру фильтра (рис. 2.3а) в качестве основного
элемента входит модель сигнала; на выходе этой модели
формируется экстраполированный результат наблюдения, который
подается на вход фильтра и сравнивается с реальным сигналом.
Разность (сигнал обновления) взвешивается с весом, равным
коэффициенту усиления Кк, и используется в качестве коррек-
тирующего входного сигнала для получения отфильтрованной
оценки. На рис. 2.36 показана структурная схема вычисления
ковариации и коэффициента усиления. Нетрудно заметить сильное
сходство между схемой вычисления ковариации и схемой фильтра;
обе схемы имеют контур двойной обратной связи, в их прямую
92
цепь включен блок калмановского деления; на вход обеих схем
поступают детерминированные возмущения (Bkuk и Qk). Одним
из основных свойств калмановского фильтра является то, что
коэффициент усиления Кк может быть рассчитан не в реальном
масштабе времени, а путем решения разностных уравнений для
ковариационных матриц. Это обстоятельство является следствием
того, что ковариационные матрицы не зависят от оценки
состояния и Zk, а определяются только ковариациями шума
Qk, Rk и моделью (фк, нк). Решение зависит также от начального
условия Ро. Следует отметить, что даже если структура системы
не зависит от времени, т. е. матрицы Ф, G, В, Н, L составлены
из констант, а возмущения vk и wk представляют собой
стационарные процессы (матрицы Q и R не меняются во
времени), то ковариационные матрицы ошибок и усиление
калмановского фильтра зависят от времени. Следовательно,
калмановский фильтр является нестационарным, что обусловлено
конечностью интервала наблюдения.
Продолжим рассмотрение уравнений калмановского фильтра.
Во-первых, отметим, что в соответствии с уравнением (2.29)
оценка sk/k представляет собой линейную комбинацию экстра-
полированного значения и обновляющего сигнала. Относительный
вес этих составляющих определяется коэффициентом усиления
(2.30), который можно записать следующим образом:
где 0k = (HkPk/k_1Hj + Rk) — ковариация сигнала обновления vk.
Поскольку Нк выполняет роль оператора, отображающего про-
странство состояний на пространство наблюдений, то Кк может
рассматриваться как и «отношение» между двумя ковариацион-
ными матрицами Pk/k_r и 0к. Первая из них является мерой
неопределенности экстраполяции, а вторая характеризует неоп-
ределенность vk. При больших значениях Кк, т. е. если ^к/к- 1 > ®к>
«доверие» к результатам наблюдения zk возрастает и sk/k
в меньшей степени зависит от 8к/к_Р С другой стороны, если
значение Рк/к_г «мало» по сравнению с 0к, то предполагается,
что измерения производятся с большими ошибками и sk/k
определяется экстраполированным значением оценки.
Уже упоминавшийся обновляющий сигнал будет использован
и в адаптивном калмановском фильтре (разд. 2.5). Обновляющий
сигнал считается процессом типа белого шума с нулевым средним
и ковариационной матрицей 0к; если s0, wk и vk имеют
гауссовские распределения, то и обновляющий сигнал распределен
по гауссовскому закону.
Можно сделать несколько замечаний об уравнениях для
ковариации. Во-первых, уравнение (2.33) в точности повторяет
уравнение (2.26) с учетом замены Рк на Рк/к. Это свидетельствует
о неизбежности повышения неопределенности при экстраполяции
93
под воздействием случайных сигналов vk. С другой стороны,
справедливо уравнение [44]
Следовательно, если наблюдения достаточно надежны (т. е. вектор
Rk мал), заметно увеличивается Pk/k (т. е. уменьшается неоп-
ределенность относительно sk). Наконец, если Pk/k_j постоянно
уменьшается, то ковариация обновляющего сигнала стремится
к Rk. Вследствие этого матрица Йк/к становится практически
равной ^k/k_t, так как из данных наблюдений не извлекается
дополнительной информации, и считается, что экстраполяция
производится с достаточно высокой точностью.
В заключение следует отметить, что калмановский фильтр
обеспечивает оценку процесса sk с минимальной дисперсией.
Если сам процесс и ошибки наблюдения гауссовские, то оценка
будет оптимальной по критерию максимального правдоподобия.
В этом случае оценка, даваемая калмановским фильтром, будет
несмещенной и эффективной с ковариационной матрицей, соот-
ветствующей нижней границе Крамера—Рао [32]. Для удобства
пользования сведем воедино основные уравнения калмановского
фильтра.
Основные уравнения калмановского фильтра
Модель
Процесс sk+1 = <Dksk+Gkvk+Bkuk
Результаты наблюдения zk = Hksk + Lkwk
Статистические характеристики
Шума
E{vk}
E{Gkvkv}GT}
E{wk}
E{LkwkwkLk}
E{vkWjT}
Процесса
E{sk}
Hk + l
cov {sk}
rk + l
0
Qk&kj
о
Rk&kj
0
Pk
<Dk|ik + Bkuk
^k
OkMZ+Qk
Результатов наблюдений
Е{^к} — НкИк
cov{zk} = HkPkHk + Rk
94
Экстраполятор
Оценка sk+l/k
Ошибка ek+1/k
Фильтр
Оценка
Ошибка
Усиление
Обновляющий
сигнал
Фк (®к/к- 1 + Хк (Zk Нк'Sk/k_i)) + BkUk
(Фк — КкНк)ёк/к_! +Gkvk — KkLkwk
* к/к = 8 к/к - 1 + К к (к к — Нк S к/к - J )
®к/к=(1 — КкНк)ёк/к_ j —KkLkwk
кк=^к/кнг(нкйк/к_1нг+кк)-1
Vk = Zk~ HkSk/k_ j
Статистические характеристики
Ковариация
экстраполяции
Ковариация фильтра
Обратная величина
Ковариация обнов-
ляющего сигнала
^k + l/k — ^k^k/k^k +Qk —
= Фк(1-KkHk)fk/k_^Z + Qk
^к/к ~ (I ~ KfcHk) Рк/к _ j
^к/к =^k/k+HkRk 1Нк
0к-(нкйкк1н:+ик)
2.4.2. ЧИСЛЕННЫЙ ПРИМЕР
Рассмотрим калмановский фильтр для простого скалярного случая. Будем
полагать, что модель описывается уравнениями
sk+1=0,5sk+vk,
zk=sk+wk>’
а статистические характеристики процессов определяются как
E{so} = 0; cov{s0} = p0 = l;
cov{vk}=q>0; cov{wk} = r>0;
cov{vk, wk}=0.
Ковариация состояния pk=cov{sk} уже была рассчитана как функция к для
нескольких значений q (см. рис. 2.2) в соответствии с уравнением
1
Pk+i=7Pk+q-
4
В результате было получено значение для установившегося состояния
Poo=4q/3.
Уравнения соответствующего калмановского экстраполятора имеют вид
95
Sk + l/k “M (sk/k - 1 + Vk (Zk ~ Sk/k - 1 ))>
i A’1
Pk+i/k = (0,5)2i -+----I + q,
V Pk/k-i/
где коэффициент усиления рассчитывается по формуле
vt=
r + pk/k-1
Полученное установившееся значение р~ для оценки pk + 1/k в виде функции
параметров q и г:
p"=f(q, О-
приведено на рис. 2.4. Из рисунка видно, что р изменяется в пределах от
4
q до _ q; нижняя граница достигается при r«cq, верхняя — при r»q. Следователь-
3
но, если измерения достаточно точны, неопределенность знаний о величине sk
снижается до минимума, тогда как при «зашумленных» измерениях априорная
оценка улучшается незначительно. Далее, записав уравнения фильтра в виде
sk/k =Sk/k- 1 +vk (zk~$k/k- i),
Pk/k~0 ~ Vk)Pk(k- 1)’
получим установившееся значение (p + ) для ковариации фильтра pk/k:
г
Р+=-------Р‘-
г + р
96
Значения р+ также приведены на рис. 2.4. В двух крайних случаях, а именно
при r<cl (измерения точны) иг»1 (измерения неточны), значения р+ стремятся
к пределам, равным 0 и (4/3) q соответственно.
В заключение отметим, что калмановский фильтр позволяет получить точную
оценку процесса даже в случае «зашумленных» наблюдений и обеспечивает
оптимальное соотношение между априорной информацией и информацией,
полученной в результате измерений.
2.4.3. СТАЦИОНАРНЫЙ РЕЖИМ РАБОТЫ
КАЛМАНОВСКОГО ФИЛЬТРА
Представляет^интерес исследование поведения ковариации оши-
бок Pk/k-i и Pk/k при неограниченном увеличении интервала
наблюдений. Задача состоит в том, чтобы определить, существуют
ли при бесконечном увеличении к ^предельные значения ковари-
аций (обозначим их через Р- и Р* ) и если существуют, то
при каких условиях они не зависят от начального значения Ро.
Предположим, что модель процесса инвариантна относительно
времени, т. е. матрицы Ф, G, Н, В от времени не зависят.
Кроме того, примем, что возмущающее воздействие vk и шум
измерений wk стационарны, по крайней мере, в широком смысле,
т. е. их ковариационные матрицы Q и R также не зависят от
времени. Даже при таких «стационарных» условиях сохраняется
зависимость параметров калмановского фильтра от времени, что
обусловлено эволюцией оценки Pk/k_j; это, в свою очередь,
приводит к тому, что усиление фильтра изменяется во времени.
Инвариантное относительно времени решение для задачи кал-
мановской фильтрации существует в том случае, если оценка
^k/k-i ПРИ увеличении к стремится к некоторому конечному
пределу Р". Существование такого решения связано со свойствами
модели состояний процесса. Справедливо следующее утверждение
[53]: при любой симметричной матрице Ро>0 ковариация ошибки
Pk/k -1 стремится к конечному пределу £ при k-юо. Значение
этого предела является результатом решения следующего ал-
гебраического уравнения:
р-=ф(р--РНт(ФР-фт+К)1НР“)Фт + р,
если выполняется хотя бы одно из условий:
а) модель процесса асимптотически устойчива, т. е. собственные
значения Ф находятся внутри единичного круга;
б) модель процесса полностью наблюдаема и управляема
[7, 14, 37], т. е. пары матриц (Ф, Н) и (Ф, G) удовлетворяют
условиям
rank [СФСФ2С...ФП~1G] = п,
7—1582
97
rank =
H
НФ
НФ2
Нф°
= n,
где rank[ ]—ранг матрицы [•].
Следствием этой теоремы являются уравнения для установив-
шегося режима работы калмановских фильтра и экстраполятора:
Sk + 1/к = Ф (I— К ос Н) Sk/k - 1 + ФК оо Zk + Bllk,
Sk/k = Sk/k - 1 + Ко, (zk ~ HSk/k - i),
Коо = РНТ(НР-HT+R)-1.
Имеется и другая, более привычная, запись для такого фильтра,
основанная на использовании передаточной функции системы
в плоскости z-преобразований:
W (ij) = Н (Ц - Ф (I - Коо н)) -1 ФКоо,
где —комплексная переменная z-преобразования; zk/k_l =
= Hsk /k _ j — выходной сигнал.
В качестве примера приведем передаточную функцию кал-
мановского фильтра, рассмотренного в подразд. 2.4.2:
w (£)=—2^12—
1 -0,5(1 -v)r*
где v=p”/(r+p")—усиление фильтра в установившемся режиме.
Выражение для передаточной функции W(^) соответствует во
временной области разностному уравнению
sk+1 =0,5(1 — v)sk + 0,5vzk.
Структура такого фильтра приведена на рис. 2.5.
А
>П/П Отфильт -
* рованная <
Рис. 2.5. Структура калмановского фильтра в установившемся режиме при
решении скалярной задачи:
у усиление фильтра в установившемся режиме; Д временная задержка; передаточная функция фильтра
Н(У = 1,Т-(0.5-УЦ '
98
2.5. АДАПТИВНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ
2.5.1. ВВЕДЕНИЕ
Теория оптимальной линейной фильтрации, краткий обзор
которой приведен в разд. 2.4, основана на гипотезе о точном
соответствии моделей динамики состояний системы и измерений
исследуемым физическим процессам. Такая априорная инфор-
мация действительно необходима для создания оценивателя
с минимальной дисперсией, поскольку и структура фильтра и его
параметры должны быть строго «настроены» на ожидаемое
состояние. Однако на практике столь полными знаниями о модели
располагают довольно редко; чаще имеются лишь оценки (с
некоторой неопределенностью) статистических характеристик шу-
ма и начального состояния системы. Кроме того, линейная
модель часто является лишь приближенным описанием реальных
динамических систем и наблюдаемых процессов.
В частности, применительно к проблемам ЦОРИ наиболее
важным источником неопределенности о движении цели являются
непредсказуемые маневры. Как правило, параметры маневра
цели (момент начала маневра, его продолжительность и интен-
сивность) неизвестны. Ускорение обычно учитывается в виде
стационарного случайного входного воздействия, хотя такая
модель процесса неточно отражает физическую сущность явления.
Неопределенность в этом случае заключается в том, что зави-
симости от времени среднего значения (uk) и ковариации (Qk)
процесса ускорения неизвестны. Другим источником неопределен-
ности в задачах ЦОРИ является наличие нескольких целей или
ложных отметок вблизи экстраполированного положения цели.
Задача состоит в том, чтобы определить, какая из отметок
является истинной, т. е. информация о какой отметке должна
объединяться с экстраполированными данными для получения
отфильтрованной оценки. Эта задача находится на «стыке»
теории статистических решений и теории оценивания. Неоп-
ределенность здесь связана не со значением неизвестного парамет-
ра, а с правдоподобием альтернативных гипотез. Другими
словами, необходимо решить задачу, обусловлена ли рассмат-
риваемая отметка сигналом от данной цели или ложным
сигналом. В последнем случае статистические характеристики
отметки описывают ложную, а не ожидаемую цель, заложенную
в модели.
Если модель известна не полностью, то необходимо исследо-
вать несколько задач:
а) определить чувствительность характеристик фильтра к рас-
согласованию между принятой моделью и истинной ситуацией;
б) определить возможность обнаружения ошибки в модели
и вызванного ею изменения параметров фильтра;
7’
99
в) определить возможность учета в модели априорной неоп-
ределенности и полученной по имеющимся данным оценки
неизвестных параметров или правдоподобия принятой гипотезы.
Задача оценки чувствительности фильтра кратко рассмотрена
в подразд. 2.5.2. В нем показано, что в большинстве случаев
невозможно сохранить фильтр неизменным, если при наличии
ошибок в модели ошибки оценивания должны быть ограничены
[13, 15]. Поиск оптимальных и субоптимальных решений задач
б) и в) осуществляется методами теории адаптивной фильтрации
[38,44]. Собственно говоря, эта теория определяет пути по-
строения фильтров, учитывающих в своей структуре свойство
адаптивности. Параметры таких фильтров корректируются в соот-
ветствии с входными данными. Другими словами, алгоритм
фильтра «подстраивается» к оцениваемым параметрам модели
поступающей информации.
При решении задач теории адаптивной фильтрации использу-
ются два основных подхода. Первый из них (байесовский [20])
учитывает возможность того, что принятая модель некорректна;
в такую модель включается специальный источник ошибок
оценивания, что позволяет уменьшить среднее квадратическое
значение этих ошибок. Второй подход (обнаружения расходимости
[27 ]) является субоптимальным и основан на идее коррекции
тех параметров фильтра, в которых обнаружены большие ошибки;
таким образом, критерий адаптивности основан на учете влияния
ошибок моделирования на получаемые оценки. В подразд. 2.5.3
рассмотрен оптимальный байесовский подход к задаче адаптив-
ного оценивания. Показано, каким образом используются апо-
стериорные вероятности гипотез о модели и ее параметрах (при
условии, что наблюдаемый сигнал задан) для коррекции ал-
горитма оценки состояния. Оптимальная совместная оценка
параметров модели и состояния системы приводит к нелинейной
структуре фильтра, реализация которого сопряжена с высокими
требованиями к производительности и объему памяти ЭВМ.
Поэтому, как правило, предпочтение отдается субоптимальным
методам, на основе которых формируются упрощенные алгорит-
мы, не требующие больших объемов памяти ЭВМ. Практическая
польза и эффективность субоптимальных методов лучше всего
могут быть проиллюстрированы конкретными примерами. В под-
разд. 2.5.3 изложены идеи, лежащие в основе некоторых имеющих
важное значение субоптимальных байесовских адаптивных
фильтров. Другие субоптимальные алгоритмы, относящиеся, глав-
ным образом, к системам, основанным на обнаружении рас-
ходимости, рассмотрены в подразд. 2.5.4.
При любом подходе к построению фильтра большую роль
играет обновляющая последовательность vk (2.27). Она исполь-
зуется либо для обнаружения расходимости ошибки фильтрации,
либо для оценки правдоподобия неизвестных параметров. На-
100
иболее важные свойства обновляющей последовательности кратко
изложены в подразд. 2.5.2.
Разработка теории адаптивной фильтрации еще далека до
полного завершения. В этой области ведутся интенсивные ис-
следования. Основные результаты связаны с решением приклад-
ных задач, причем наиболее строгие решения не могут быть
реализованы на практике. В связи с этим материал данного
раздела изложен в несколько иной форме, чем в других разделах.
Вместо последовательного изложения разработанной теории здесь
проиллюстрированы основные идеи, на которых базируются
наиболее часто используемые адаптивные методы. Показано, как
эти идеи влияют на формирование структуры адаптивных
фильтров, представляющих практический интерес. При этом
возникает необходимость краткого освещения некоторых вопросов
(например, касающихся фильтров сопровождения маневрирующих
целей и фильтров сопровождения, работающих в сложной целевой
обстановке), которые более подробно рассмотрены в гл. 4.
2.5.2. ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТЬ И РАСХОДИМОСТЬ
КАЛМАНОВСКОГО ФИЛЬТРА
Модель системы, заданная уравнениями (2.23) и (2.24), зависит
от следующих параметров:
матриц, определяющих динамику системы и процесс измерений
(Фк, Вк, Gk, Нк, Lk);
статистических характеристик входных воздействий и шума
наблюдений (средние значения, равные нулю, и ковариации
Qk Rk);
статистических характеристик начального состояния (|10, Ро)»
детерминированной входной последовательности, зависящей от
времени (uk).
В принципе, каждый из этих параметров может быть неиз-
вестным или, по крайней мере, заданным с некоторой неоп-
ределенностью. Поэтому значения параметров, используемые при
создании фильтра, могут отличаться от истинных. Это приводит
к последствиям, состоящим в том, что:
усиление фильтра Кк не будет оптимальным, поскольку оно
зависит от значений матриц модели (Ф, G, Н, Q, R), тогда как
оптимальное усиление должно определяться параметрами реаль-
ных процессов;
матрицы Pk/k и Pk/k-i, вычисляемые калмановским фильтром, не
будут соответствовать истинным значениям ковариации ошибок;
математическое ожидание ошибки оценивания не будет равно
нулю; последнее имеет место, если неверно задано начальное
состояние |10 или детерминированное входное воздействие jik.
Если при проектировании фильтра принято неоптимальное
значение коэффициента Кк, то эффективность функционирования
101
фильтра снижается. Обозначив индексом «а» истинные величины,
a «d» — величины, принятые при разработке фильтра, можно
записать следующее рекуррентное уравнение для вектора, опре-
деляемого истинным и экстраполированным состояниями [53]:
Sk + 1 Г фк : о
»к+ 1
_ФкКкНк : Фк(1 —КкНк).
X
о а sk + Gg : 0 “I FwJ FuJ .... ....
х _sk/k- 1_ _ 0 : ФкКк] |_vd LuL
С помощью этого уравнения могут быть получены среднее
значение и ковариация ошибки экстраполяции sk —[53].
Приведенное уравнение остается справедливым при любом значе-
нии ошибки параметра. Поэтому оно может быть использовано
для прогнозирования эффективности функционирования в «наихуд-
шем случае» или для анализа чувствительности ошибок фильтра-
ции к погрешностям в задании параметров. В частности,
представляет интерес исследование условий, при которых средняя
квадратическая ошибка остается ограниченной. Можно сделать
несколько общих замечаний качественного характера:
если принятые ковариации шума Qd, Rd, Ро завышены по
сравнению с истинными значениями (т. е. Qd^Qa, Rd^Ra,
Pg>Pao), то истинная ковариация ошибки Pk/k-i будет меньше
экстраполированного значения, и, следовательно, ковариация
оценки будет завышенной;
если с ошибками заданы только параметры Q, R, Ро, uk
и при этом фильтр асимптотически устойчив, а ошибка в задании
uk ограничена, то ковариация оценки Pk/k остается ограниченной
при любых к.
Говорят, что имеет место расходимость, если средняя квад-
ратическая ошибка оценивания намного превышает величину
оценки, при этом значение средней квадратической ошибки может
со временем неограниченно возрастать. Это условие часто
выполняется в тех случаях, когда фильтр существенно занижает
ковариацию входного воздействия (Qd«Qa ) или когда фильтр
не является асимптотически устойчивым или же когда в ошибке
оценивания имеется составляющая смещения. Следует отметить,
что расходимость, по-видимому, чаще обусловлена ошибками
моделирования, а не ошибками вычислений. При работе в ре-
альном времени надежное обнаружение расходимости имеет очень
большое значение.
Главным показателем расходимости является обновляющая
последовательность vk. Напомним основные свойства обновляющей
последовательности оптимального фильтра (см. подразд. 2.4.1):
102
E{vk} = 0 (нулевое среднее значение);
Е {vk vk} = 0к (минимальная ковариация);
E{vkv}} = 0, k/j (процесс типа белого шума);
если процессы vk, wk и начальное состояние s0 гауссовские,
то и процесс vk также имеет нормальное распределение.
Любая из указанных характеристик может быть использована
для обнаружения расходимости в реальном масштабе времени:
наличие смещения в принятом в модели входном воздействии
uk безусловно приводит к получению ненулевого среднего значения
обновляющей последовательности; при занижении оценки Qk
истинная ковариация превышает ковариацию оптимального
фильтра; если спектр обновляющей последовательности не харак-
терен для процесса типа белого шума, то это свидетельствует
о неоптимальности принятых условий.
Наконец, следует отметить, что, если vk — нормально рас-
пределенный m-мерный вектор, то следующая квадратичная
форма
J + vT0-1v
является случайной переменной, распределенной по закону х2
с ш степенями свободы. Следовательно, эта переменная может
служить надежным средством для определения того, насколько
результаты измерений соответствуют выходному параметру при-
нятой модели. Эта характеристика широко используется в задачах
сопровождения при наличии нескольких целей, когда необходимо
идентифицировать истинную отметку среди множества других,
а также в задачах сопровождения маневрирующих целей, когда
надо определить, обусловлена ли данная отметка зашумленным
сигналом от цели, движущейся прямолинейно, или же сигналом
от маневрирующей цели (разд. 4.3—4.5).
2.5.3. БАЙЕСОВСКИЕ МЕТОДЫ
АДАПТИВНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ
Байесовский подход, при котором учитывается, что принятая
модель с некоторой вероятностью может быть некорректна,
оказывается очень полезным при решении задач адаптивной
фильтрации. При байесовском подходе учитываются все воз-
можные варианты параметров или гипотез относительно модели.
Для каждого из них вычисляется оценка состояния, которая
затем взвешивается с учетом апостериорной вероятности верной
гипотезы [27, 38, 52].
Обозначим через а вектор (который может зависеть от
времени), содержащий все неопределенные параметры, и следо-
вательно, представляющий все неопределенные события, связан-
ные с гипотезами относительно модели. Как уже было принято,
103
обозначим через Zk совокупность результатов всех наблюдений,
полученных к моменту к. Цель функционирования адаптивного
фильтра заключается в оценке условного математического ожи-
дания
sk/k = E{sk/Zk}. (2.34)
При байесовском подходе эта операция выполняется на основе
теоремы о полной вероятности [12]
P(sk/Zk) = f P(sk/a, Zk)p(a/Zk)da, (2.35)
А
где А—совокупность всех возможных значений a; p(sk/Zk) —
условное распределение вероятностей sk при заданных результатах
наблюдений; p(sk/a, Zk) — условное распределение sk при задан-
ных результатах наблюдений и принятом значении а для
неопределенных параметров и событий; p(a, Zk) — апостериорное
распределение вектора а при заданных результатах наблюдений.
Используя уравнения (2.34) и (2.35), нетрудно получить выраже-
ния для оптимальной средней квадратической оценки sk/k и ее
ковариационной матрицы Pk/k:
Sk/k = f Sk/k(a) p(a/Zk)da, (2.36)
A
Pk/k = f [Pk/k(a)+sk/k(a)sj/k] p(d/Zk)da- sk/ksj/k, (2.37)
A
где sk/k(a) и Pk/k(a)— частная оценка и ее ковариация, полученные
при заданном значении а и равные
sk/k(a) = E{sk/a, Zk}, (2.38)
Pk/k(a) = cov {sk/a, Zk}. (2.39)
Следовательно, оптимальная оценка может быть представлена
в виде линейной комбинации частных оценок sk/k(a), каждая из
которых получена при определенной гипотезе относительно
модели. Весовые коэффициенты указанной линейной комбинации,
выражающей полную оценку, определяются вероятностями каж-
дой рассматриваемой гипотезы. Полная ковариационная матрица
вычисляется аналогично, как линейная комбинация (с теми же
весами) условных матриц Pk/k(a). Наиболее важной особенностью
такого подхода является то, что каждая условная оценка и каждая
ковариация вычисляются с помощью калмановского фильтра
с коэффициентами, определяемыми через а:
Sk/k (а) = Sk/k-1 («) + Kk (a) [zk - Hk (a) sk/k _ t (a)],
sk +1/к («) = Фк («) Sk/k («) + Bk (a) uk (a),
104
Kk(«) = K/k-i(a)Hj(a) (2.40)
~ Pk/k(a) = (I-Kk(a)Hk(a))^/k_1(a),
Pk+1 /k («)=фк (a) Pk k (a) Фк (a)+Qk (a).
Коэффициенты, используемые для комбинирования частных
оценок, вычисляются рекурсивно с помощью байесовского пра-
вила:
p(a/Zk) = p(a/Zk, Zk-1) = ^^l.1)P(_a/zt~1),
где p(zk/a, Zk-1)—условное распределение zk при заданных
результатах предыдущих наблюдений Zk-1 и в предположении,
что а соответствует корректной модели; C0(zk, Zk-1) — нор-
мализующий коэффициент; не зависящий от а и удовлетворяющий
условию j р (a/Zk) da = 1.
А
Приведенное уравнение инициируется от исходного состояния
с помощью априорного распределения вероятностей р(а)
вектора а.
Условное распределение вероятностей p(zk/a, Zk-1) является
гауссовским с параметрами
E{zk/a, Zk-1}=Hk(a)sk/k_1(a), (2.41)
cov {zk/a, Zk~1} = Hk (a) Pk/k_t (a) H J(a) + Rk (a).
Поэтому, в принципе, по уравнениям (2.36) — (2.39) можно
получить оптимальную оценку sk/k. Кроме того, как следует из
уравнения (2.35), p(sk/Zk-1) является линейной комбинацией
гауссовских вероятностей.
Для более наглядного пояснения данного метода примем, что
а может представлять конечную совокупность значений, не
зависящих от времени, обозначаемую через А = {а1? а2, ..., aj.
В этом случае оптимальная оценка вычисляется как
1
Sk/k= £ sk/k(aj) p(ai/Zk),
i= 1
1
Pk/k= £ (Pk/k(«i)+sk/k(«i)sj/k(«i))p(«i/zk)-Sk/ksj/k.
i= 1
Соответствующая структура фильтра приведена на рис. 2.6. Она
включает набор из 1 калмановских фильтров, осуществляющих
параллельную обработку входных данных, и блока, вычисляющего
1 коэффициентов p^/Z*), i = l, 2, ..., 1. Вычисление коэффициентов
производится в соответствии с уравнениями (2.40) и заключается
в нелинейной обработке результата последнего измерения zk
105
Рис. 2.6. Структура оптимального байесовского адаптивного оценивателя
и 1 условных экстраполированных оценок §к/к_г(^) и ковариаций
Pk/k-i (ai)-
К сожалению, во многих задачах ЦОРИ фильтр, приведенный
на рис. 2.6, оказывается нереализуемым, в связи с чем возникает
необходимость поиска приближенных (субоптимальных) решений.
Трудности обусловлены неограниченным увеличением числа воз-
можных вариантов 1 по мере роста к. Ниже кратко рассмотрены
две важные задачи: фильтрация при наличии нескольких целей
[52] и фильтрация отметок маневрирующей цели [28,51].
Подробнее данные вопросы изложены в разд. 4.3 и 4.4.
В первом случае в каждый момент к принимается несколько
сигналов (отметок), однако интерес представляет только одна
106
цель. Следовательно, только одна отметка (если она существует)
соответствует модели цели; все остальные являются ложными.
Кроме того, число отметок mk в каждый момент времени
является случайным. Обозначим через Zk совокупность резуль-
татов измерений, имеющихся на момент к, и через Zk набор
из тк отметок, полученных в момент к: Zk = {zk l, zk?2, zk>mk};
Zk = (J Zj. Неопределенность в каждый момент к обусловлена
j=k
задачей идентификации истинной отметки, если эта отметка
существует (т. е. если произошло обнаружение). Следовательно,
полагается, что параметр ak,h характеризует следующее событие:
«в момент времени к истинной отметкой в Zk является h-я
отметка», при этом 1 изменяется от 0 до mk, а к обозначает
момент времени. Значение h = 0 соответствует отсутствию ис-
тинной отметки, т. е. ситуации, когда цель потеряна. Число
событий, которое необходимо учитывать, с течением времени
непрерывно увеличивается и согласно выражению
Lk=[] (1+тД
1=1
Это число соответствует числу траекторий, которые могут быть
получены путем выбора в каждый момент времени одной
отметки из совокупности Zk (учитывается также и случай, когда
выбор вообще не производится). При данном подходе на каждом
шаге пересматриваются все траектории и обновляются соответ-
ствующие вероятности. Однако неограниченный рост Lk со
временем не позволяет реализовать на практике результаты
данного подхода.
Считается, что при сопровождении маневрирующей цели [51 ]
модель может принимать конечное число «состояний» т. Счита-
ется, что каждому «состоянию» соответствуют свои статистичес-
кие характеристики (среднее значение и ковариационная матрица)
возмущающего случайного процесса, представляющего собой
случайную составляющую ускорения, и шума измерений. Пред-
полагается также, что набор вероятностей перехода {Pij} из
одного состояния в другое априорно известен. Тогда параметр
а представляет собой последовательность средних значений
и ковариаций ускорения, ограниченную моментом времени к;
вероятность p(a/Zk) обновляется в соответствии с вероятностями
перехода. В этом случае с увеличением к число возможных
траекторий также неограниченно растет.
В заключение данного раздела целесообразно рассмотреть
субоптимальный метод, непосредственно вытекающий из оп-
тимального байесовского подхода. В основе этого метода лежит
следующее упрощение: плотность вероятностей p(sk/Zk-1), ко-
торая представляет собой линейную комбинацию гауссовских
107
функций, аппроксимируется эквивалентным нормальным распре-
делением со средним значением и ковариационной матрицей вида
§k/k-1 = E{sk/Zk-1},
Pk/k-i=cov {sk/Zk-1}.
Принятая аппроксимация предотвращает расходимость числа
вариантов, подлежащих рассмотрению на каждом шаге. Статисти-
ческие характеристики sk/k_t и Pk/k-i учитывают «историю»
процесса, и «разветвление» алгоритма осуществляется только для
просчета вариантов, связанных с результатами текущих измерений
zk. Например, при наличии нескольких целей данный метод
приводит к уменьшению на каждом шаге числа вариантов с Lk до
l+mk. Последнее число всегда ограничено, независимо от времени.
На практике указанная аппроксимация эквивалентна «свертыванию»
информации о всех траекториях до момента k —1 в один
«усредненный» параметр; следовательно, на каждом шаге «разветв-
ление» алгоритма происходит для просчета только 1 +mk вариантов.
Аналогичным образом поступают и при решении задач
сопровождения маневрирующих целей. Вместо рассмотрения на
каждом шаге всего процесса маневрирования, т. е. последователь-
ности переходов состояния до момента к, анализируются только
варианты, обусловленные текущими измерениями. Другими сло-
вами, предшествующие переходы учитываются с помощью ус-
редненной статистической характеристики p(sk/Zk-1), а «развет-
вление» алгоритма допускается только для сопровождения m аль-
тернативных состояний модели, связанных с результатом теку-
щего наблюдения zk. Структура алгоритма, синтезированного
с помощью субоптимального метода, включает конечное число
калмановских фильтров (см. рис. 2.6). Однако можно показать,
что при определенных допущениях возможно дальнейшее упроще-
ние, которое приводит к структуре, содержащей лишь один
калмановский фильтр. Такой фильтр должен формироваться
с учетом особенностей конкретной задачи. Подробно этот вопрос
рассматривается в гл. 4.
2.5.4. СУБОПТИМАЛЬНЫЕ НЕБАЙЕСОВСКИЕ
АДАПТИВНЫЕ ФИЛЬТРЫ
В данном подразделе приведен краткий обзор небайесовских
адаптивных методов, при этом особое внимание уделяется
следующим вопросам:
методам максимального правдоподобия;
обнаружению расходимости и адаптации усиления калмановс-
кого фильтра.
Основным отличием метода максимального правдоподобия от
байесовского подхода является то, что при его использовании
108
не вычисляется апостериорная вероятность p(ot/Zk) вектора а.
Вместо этого для каждого варианта неопределенных параметров
рассчитывается функция правдоподобия результатов произведен-
ных измерений p(Zk/a). Существуют различные пути использова-
ния функции правдоподобия с целью получения оценки sk:
выбор наиболее вероятного значения а и принятие в качестве
полной оценки соответствующей условной оценки E{sk/a, Zk};
параллельное вычисление большого числа оценок sk/k(a) и их
взвешивание с весами, определяемыми соответствующими функ-
циями правдоподобия:
Sk/k = E®k/k(ai)p(Zk/“i)-
i
Применение этих методов к решению задачи сопровождения
при наличии нескольких целей привело к разработке двух
подходов: ближайшего соседа [52] и «разветвления» траектории
[49]. При первом подходе отметка, ближайшая к экстраполи-
рованному положению (т. е. отметка, соответствующая наиболее
правдоподобной гипотезе), принимается за истинную отметку
цели; все остальные отбрасываются. Поэтому на каждом шаге
только одна отметка (если она существует) вводится в кал-
мановский фильтр в качестве результата измерения.
При втором подходе на каждом шаге алгоритм «разветвля-
ется», и формируется большое число параллельно поддержива-
емых траекторий, каждая из которых взвешивается с соответ-
ствующей функцией правдоподобия. -Траектории, правдоподобие
существования которых находится ниже заданного порога, от-
брасываются. Это позволяет ограничить число ветвей алгоритма.
Оба подхода подробно изложены в подразд. 4.5.2.
Функция правдоподобия результата измерения zk с учетом
принятой модели вычисляется исходя из результатов наблюдений
и экстраполированного состояния sk/k-! на основе гауссовского
распределения вероятностей zk (см. уравнение (2.41)) и может
быть представлена в виде
p(Zk/a, Zk-I) = Coexp|—|vk 0k-1 vk
где Co — нормализующая константа; vk — вектор обновления после
приема zk.
Принятая модель имеет вид
vk=zk — Hksk/k_,;
ковариационную матрицу обновляющей последовательности мож-
но записать следующим образом:
®k = HkP;/k_,m + Rk. (2.42)
109
При заданном результате наблюдения и при условии, что
принятая модель функции правдоподобия может рассматриваться
как мера «удаления» полученного результата наблюдения от
экстраполированного состояния. С помощью весовой функции
0к 1 может быть сформирована весьма полезная в дальнейших
исследованиях нормализованная случайная переменная J = vkO(7’vk
с известными статистическими характеристиками. При применении
метода «разветвления» необходимо оценивать правдоподобие
всей траектории, т. е. последовательности получаемых отметок.
Поскольку обновляющая последовательность представляет собой
белый гауссовский процесс, то эта операция может быть сведена
к перемножению функций правдоподобия каждой отметки.
Существенным недостатком метода максимального правдопо-
добия является отсутствие способов действенной проверки того,
насколько справедливы принятые предположения. На практике
это приводит к тому, что понятие адаптивности, введенное на
основе этого метода, базируется на принципе прямой связи,
тогда как при байесовском подходе на принципе обратной связи.
Наконец, стоит отметить адаптивный метод максимального
правдоподобия [27], заключающийся в совместной максимизации
условной вероятности p(sk, a/zk) неизвестного параметра а и со-
стояния sk при заданном наблюдении, что позволяет получить
оптимальную оценку a, sk/k(a). Однако реализация этого подхода
сопряжена с большими вычислительными трудностями, а схо-
димость и эффективность формируемого алгоритма не поддаются
прогнозу. Поэтому подробное изложение данного метода не
приводится.
Рассмотрим адаптивные методы, основанные на обнаружении
расходимости ошибки фильтра. Как уже отмечалось, для этой
цели обычно используются некоторые функции обновляющей
последовательности. Чаще всего применяется функция
J = vj'0k-,vk,
где 0к —ковариационная матрица, вычисляемая в соответствии
с уравнением (2.42).
Распределение функции J имеет форму х2 с числом степени
свободы, равным размерности вектора vk. Для обнаружения
расходимости значение J сравнивается с порогом X. Смысл
данного метода вполне ясен: если модель некорректна, то
ковариационная матрица обновляющей последовательности
vk будет превышать экстраполированный уровень матрицы Ок или
некоторый ненулевой средний уровень. В обоих случаях значение
J с достаточной степенью вероятности должно превысить уровень
X. Ненулевое среднее последовательности vk эффективнее выяв-
ляется усреднением vk на соответствующем интервале наблюде-
ния. В любом случае после обнаружения расходимости для
«настройки» фильтра на действительную модель могут прини-
по
маться различные меры, приводящие к повышению точности
оценивания.
Простейшим решением является повторная инициализация
фильтра, (т. е. функционирование фильтра от исходного состо-
яния). Для этого в уравнение фильтра вводятся результаты
последних наблюдений, по которым рассчитывается экстра-
полированное состояние, а в~ цепь ковариации вводится до-
статочно большое значение Pk/k_,, что позволяет увеличить
коэффициент усиления калмановского фильтра. Вследствие этого
фильтр становится более широкополосным. При этом он
оказывается более чувствительным к вновь поступающим
данным и менее зависящим от ранее полученной информации.
Кроме того, усиливается способность фильтра быстро реагиро-
вать на входной сигнал. Следует заметить, что этот метод не
устраняет причин расходимости, поэтому может потребоваться
периодическая инициализация фильтра. Однако вследствие своей
простоты метод получил в ряде случаев практическое применение
(подразд. 4.3.2).
Существует и несколько иной подход, при котором управление
усилением фильтра осуществляется с помощью ковариации вход-
ных сигналов Qk. При обнаружении расходимости увеличивается
размер принимаемой при разработке матрицы Qk, что приводит
к повышению коэффициента усиления Кк.
В рассмотренных методах в целях учета ошибок моделирования
предусматривалось «эквивалентное» увеличение ковариации при
решении задач экстраполяции. Предшествующая информация
считалась менее достоверной. Вследствие этого при правильно
выбранной модели достигается меньшая точность оценивания.
В задачах сопровождения данное положение является основой
рационального выбора между точностью оценивания и возмож-
ностью проводки траектории.
Отметим существование адаптивных алгоритмов, основанных
на корреляционном подходе (27, 46]. В принципе некоторые
неизвестные параметры модели можно оценить по оценке ковари-
ационных матриц обновляющей последовательности или наблюда-
емого процесса, решая уравнения, связывающие эти матрицы
с неизвестными параметрами.
В заключение отметим возможность адаптивного оценивания
на основе нелинейной субоптимальной фильтрации [53]. Этот
подход основан на идее включения неизвестного параметра
а в вектор состояния в качестве дополнительной составляющей,
подлежащей оценке. Подробно такой стандартный нелинейный
субоптимальный алгоритм, получивший название расширенного
калмановского фильтра, рассмотрен в подразд. 2.6.2. Реализация
данного метода сопряжена с трудностями формирования урав-
нений модели для конкретных случаев применения. Сходимость
фильтра оценивается эвристическими методами.
in
2.6. НЕЛИНЕЙНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ
2.6.1. ВВЕДЕНИЕ
Развитие нелинейной фильтрации весьма важно для форми-
рования радиолокационных алгоритмов сопровождения, поскольку
во многих случаях зависимость между данными измерений
(дальность, азимут, доплеровская скорость) и динамическими
параметрами цели имеет нелинейный характер. Кроме того, как
отмечалось в подразд. 2.5.4, нелинейная фильтрация имеет от-
ношение и к проблеме адаптации. Вопросы применения нелиней-
ной фильтрации в ЦОРИ рассмотрены в гл. 4. Здесь будут
изложены теоретические вопросы нелинейной фильтрации.
Задача оценивания состояния нелинейной системы может
рассматриваться как распространение среднего квадратического
способа оценивания на динамический случай. Формально вывод
уравнений оптимального фильтра аналогичен формированию
калмановского фильтра для линейных систем при гауссовских
процессах. Однако в нелинейном случае, как правило, нельзя
получить аналитические решения в явном виде. Поэтому пользуют-
ся приближенными численными решениями, приводящими к синте-
зированию процессов, реализация которых требует больших
вычислительных затрат [24, 30, 34, 53 ]. В связи с этим часто отдают
предпочтение построению субоптимальных фильтров, рационально
сочетая их необходимую эффективность функционирования и допу-
стимую сложность. В частности, желательно сформировать
фильтры, параметры которых могут быть вычислены вне реального
масштаба времени, независимо от оценки. Такой подход оказался
эффективным применительно к линейным системам.
Для сравнения обобщим основные свойства оптимальной
фильтрации для линейных систем при оценивании по критерию
минимума средней квадратической ошибки:
фильтр имеет линейную структуру, включающую копию мо-
дели, и может быть легко реализован;
все рассматриваемые переменные и процессы (состояние, шум,
измерения, оценки, ошибки)—гауссовские, поэтому средние значе-
ния и ковариации достаточны для их статистического описания
(представляют собой достаточную статистику);
как параметры фильтра, так и показатели его эффективности
могут быть вычислены независимо от оценки состояния, т. е.
вне реального масштаба времени.
Ни одно из указанных свойств не сохраняется для нелинейных
задач; получаемые в результате их решения оптимальные фильтры
имеют сложную структуру, описываемую нелинейными уравне-
ниями. Процессы (состояние, измерения, оценки) не являются
гауссовскими (даже если источники шума на входе гауссовские),
поэтому для построения фильтра необходимо полное описание
112
законов распределения. Наконец, эффективность и параметры
зависят от оценки, поэтому трудность представляет даже опреде-
ление границ изменения показателей эффективности. В последую-
щих подразделах рассмотрены наиболее распространенные методы
построения и оценки эффективности субоптимальных фильтров.
Данное введение завершим общей постановкой задачи нелиней-
ной фильтрации и кратким описанием подхода к поиску оп-
тимального среднего квадратического решения [53]. Примем,
что нелинейный дискретный оцениваемый процесс может быть
задан уравнением
Sk+i=fk(sk) + gi((sk)vk, (2.43)
где sk — n-мерный вектор состояния; vk — g-мерный входной
процесс; fk( ), gk( ) — матрицы нелинейных зависящих от времени
функций sk размеров n х 1 и n х g соответственно.
Результаты наблюдений заданы в виде
zk = hk(sk) + wk, (2.44)
где hk(-) — m х 1-мерная матрица зависящих от времени нелиней-
ных функций sk; wk — шумовой процесс, задаваемый т-мерным
вектором.
Сравнение с уравнениями (2.21) и (2.22) показывает, что
приведенная в этом подразделе нелинейная модель не является
наиболее общей. Однако она обладает достаточной общностью
для рассмотрения задач ЦОРИ и ее использование позволяет
облегчить математический анализ.
Априорная информация об оцениваемых процессах включает:
распределение вероятностей начального состояния (p(s0)) (оно
может быть, хотя и не обязательно, нормальным со средним
значением ц0 и ковариацией Ро);
независимые белые гауссовские процессы vk и wk с нулевым
средним и известными ковариациями Qk и Rk (обе ковариаци-
онные матрицы положительно полу определены). Оптимальный
фильтр, производящий оценку по критерию минимума средней
квадратической ошибки, [24] вычисляет оценку sk/k как апостери-
орное среднее значение sk:
Sk/k = E{sk/Zk},
где Zk — совокупность результатов всех измерений, полученных
к моменту к.
Эффективность оценивается апостериорной ковариационной
матрицей ошибок фильтрации; таким образом,
Рk/k = Е {(sk — Sk/k)(sk — Sk k)T/Zk}.
Аналогичные выражения можно записать для оптимального
экстраполятора, производящего оценивание по критерию мини-
мума средней квадратической ошибки:
из
8—1582
Sk+i/к — E{sk+)/Zk},
Pk + l/k = E {(sk+) — Sk+l/k)(sk + l — Sk+|/k)T/Zk}.
Для вычисления этих оценок и характеристик их качества
необходимо знание апостериорных распределений p(sk/Zk)
и p(Sk+i/Zk) последовательностей sk и sk+i соответственно. Ниже
показано, что эти вероятности могут быть получены с помощью
решения рекуррентных уравнений. Однако решение этих уравнений
в явном виде представляет собой сложную задачу [53].
Нетрудно показать, что вероятность p(sk+l/Zk+l) может быть
вычислена на основе функции правдоподобия p(zk+l/sk+), Zk)
и апостериорной вероятности p(sk+)/Zk). Отметим, что
p(zk+i/sk+i> Zk)—известна, так как это вероятность того, что
wk+l принимает значение (zk+l —hk+, (sk+l)):
p(zk+I/sk+I, Zk) = p(wk+| =zk+1 —hk+i(sk+|)). (2.45)
Выражение (2.45) является известной функцией zk+I и sk+,.
Следовательно, если предполагается, что p(sk+i/Z/) известна
(при первой итерации эта величина равна p(s0) и априорно
задана), то в соответствии с байесовским правилом можно
записать
n(s /Zk +1) = P(zk+./sk+1, Zk)p(sk+,/Zk)
+ [ P (zk+ I/sk+1, Zk)p(sk+|/Zk)dsk + |
(2.46)
где знаменатель является просто нормализующей константой
(т. е. величиной, не зависящей от sk+l), сохраняющей зависимость
от zk+), Zk. По аналогии с этим апостериорная вероятность
p(sk+,/Zk) может быть получена на основе вероятностей p(sk/Zk)
(уже вычисленной) и p(sk+,/sk, Zk). Последняя величина — это
вероятность того, что vk примет некоторое значение, например
у?, для которого уравнение (2.44) при данном значении sk даст
значение sk+,:
p(sk+l/sk, Zk)=p(vk = vk*),
gk(sk)vf =sk+1-fk(sk).
Последнее выражение является известной функцией sk+l при
данном значении sk, полученном на основе значения p(v).
Поэтому p(sk+i/Zk) можно получить следующим образом:
p(sk+1/Zk)=Jp(sk+1/sk, Zk)p(sk/Zk)dsk. (2.48)
Теперь из приведенных уравнений (2.45) — (2.48) могут быть
вычислены апостериорные вероятности для sk и sk+i; следователь-
но, задачи фильтрации и экстраполяции решены. Решение урав-
нений носит итерационный характер и выполняется, начиная от
вероятности начального состояния p(s0). Однако необходимо
сделать два замечания:
114
в связи с тем, что в уравнениях (2.46) и (2.48) через вероятности
p(sk+l/sk, Zk) и p(zk+1/sk+1, Zk) присутствуют нелинейные
функции gk(sk), hk(sk) и fk(sk), то замкнутой формы для этих
интегралов в общем виде не существует;
не представляется возможным записать рекуррентные уравнения
даже только для средних значений и ковариаций апостериорных
распределений, т. е. оптимальный фильтр не может быть создан
без полной информации о распределениях. Это является следстви-
ем того, что распределения sk и zk имеют негауссовский характер.
Как уже отмечалось, смысл использования субоптимальных
решений заключается в возможно более полном применении структур
и подходов, разработанных для линейного калмановского фильтра.
2.6.2. РАСШИРЕННЫЙ КАЛМАНОВСКИЙ ФИЛЬТР
Расширенный калмановский фильтр представляет собой нели-
нейный субоптимальный алгоритм, основанный на том, что если
нелинейные функции f(-), g(-) и h(-) достаточно гладкие, то
эти функции могут быть разложены в ряд Тейлора и аппрок-
симированы членами ряда невысоких порядков [24, 44]. Введем
следующие матрицы:
фк= |£м»)] S = €k (2.49)
Gk = ![Sk(s)]_ = €к (2.50)
нк= S = £k (2.51)
где точка £к пока не определена.
Будем считать, что Фк —(п х п)-мерная матрица, (i, j)-fi элемент
которой является частной производной i-й составляющей fk(s)
по j-й составляющей s. По аналогии с этим Gk — (nxg)-MepHaa
и Hk—(тхп)-мерная матрицы.
Если нелинейные функции fk('), gk(') и hk(-) являются
достаточно гладкими в окрестности точки ек, то их можно
аппроксимировать следующим образом:
^k(^k) ^k(®k) = ^k(Sk ®k),
gk(sk)=Gk,
l*k(Sk) ^k(®k) = Hk(sk 8k).
Поэтому уравнения исходной модели (2.43) и (2.44) можно
записать в виде
Sk+i=OkSk+Gkvk+uk,
zk = Hksk+wk4-yk,
(2.52)
(2.53)
115
8*
где uk и ук— известные функции 8к:
«к = Гк(«к)-Фк8к; (2.54)
Ук = Ьк(«к)-Нк€к. (2.55)
При заданных Фк, Gk, Нк, ик и ук для модели, определяемой
уравнениями (2.52)—(2.55), построение линейного калмановского
фильтра не представляет трудностей. Вопрос заключается в вы-
боре точки £к, который должен быть произведен таким образом,
чтобы линейная аппроксимация была бы достаточно корректной.
Априорное задание £к может привести к тому, что линейная
модель не будет адекватно описывать изменяющийся во времени
истинный процесс, и, как следствие, к неправильным оценкам.
Поэтому необходимо так выбирать точку вк, чтобы она была
«достаточно близкой» к истинному значению sk. Наилучшим
значением для £к было бы условное среднее E{sk/Zk}, однако
оно неизвестно; в то же время оценку именно этого значения
должен вырабатывать оптимальный фильтр.
Ключевая идея расширенного калмановского фильтра в том
и состоит, что хорошо работающий фильтр выдает, по меньшей
мере, приемлемую оценку величины E{sk/Zk}. С другой стороны,
если эта оценка достаточно точна, то она может быть исполь-
зована в линейной модели и при построении фильтра вместо
£к; это утверждение вытекает из достаточно обоснованного
предположения о том, что если аппроксимация допустима
в окрестности истинного среднего, она не может быть слишком
грубой в окрестности оценки этого среднего. Таким образом,
расширенный калмановский фильтр представляет собой обычный
калмановский фильтр для линейной модели, заданной уравне-
ниями (2.52) — (2.55), где вместо £к подставлены оценки sk/k (в
матрицы Фк, Gk, uk) или экстраполированное значение sk/k-! (в
матрицы Нк и ук). Однако ввод значения оценки в модель
через своего рода «цепь обратной связи» имеет некоторые
важные последствия:
расширенный калмановский фильтр является нелинейным;
коэффициент усиления фильтра не может быть вычислен
априорно;
все параметры фильтра изменяются случайным образом, так
как являются функциями оценки.
Эти замечания становятся более понятными, если уравнения
расширенного калмановского фильтра записать следующим об-
разом:
Sk+l/k = <DkSk/k + uk = fk(Sk/k), (2.56)
Sk/k = Sk/k- 1 +Kk(zk — HkSk/k_ j — Hkyk) =
= Sk/k-i +Kk(zk — hk(sk/k—i)), (2.57)
Kk = ^k/k_1Hk(HkPk/k_1Hk + Rk)"1, (2.58)
116
K/k = (I-KkHk)K/k-n (2-59)
Рк+ 1/к = ФкРк/кФк + GkQkGk. (2.60)
Начальные условия для этих уравнений имеют вид
*о/’1=Ио’ (2.61)
Ро/- 1 = Ро-
Структура расширенного калмановского фильтра приведена
на рис. 2.7. Следует отметить, что матрицы Pk/k и Pk/k-i не
представляют собой истинные значения условных ковариаций
оценки, а являются лишь матрицами, достаточно удобными для
построения фильтра. Они позволяют получить представление
о точности оценивания состояний линеаризованной модели и по-
этому могут использоваться при оценке качества функционирова-
ния фильтра. Анализ уравнений (2.56)—(2.61) подтверждает, что
фильтр является нелинейным (поскольку на каждом шаге необ-
ходимо оценивать fk(), gk( ) и hk( ) и его коэффициент
усиления должен вычисляться на каждом шаге в реальном
масштабе времени как функция оценок, от которых фильтр
зависит через матрицы Фк, Нк, Gk). Единственным способом
избежать такого рода логического «сцепления» можно, только
изыскивая другие аппроксимации. Можно, например, выбирать
точки £к априорно, а затем, после обнаружения по определенному
критерию расходимости, изменять ее значение и пересчитывать
уравнения (2.49)—(2.51).
Кратко рассмотрим качественные показатели расширенного
калмановского фильтра [53]. В литературе отсутствуют резуль-
таты, подтверждающие, что в общем случае действительная
ковариация оценок ограничена. Однако в некоторых случаях,
с учетом их специфики, удается определить пределы изменения
ковариации и построить «ограниченный оптимальный фильтр»,
т. е. фильтр с минимизированным верхним пределом ковариации.
Для оценки эффективности фильтра в реальных условиях
часто применяют метод статистического моделирования. Прак-
тика показала, что расширенный калмановский фильтр может
быть с успехом применен для решения различных прикладных
задач при наличии умеренных нелинейностей. Качество работы
фильтра может быть определено на основе анализа следа
матрицы Pk/k или статистических характеристик оцениваемой
разности Zk-hJSk/k-i).
2.6.3. ДРУГИЕ СУБОПТИМАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ ФИЛЬТРАЦИИ
В данном подразделе приведен краткий обзор других ал-
горитмов, часто используемых в задачах нелинейной фильтрации.
Рассмотрены метод преобразования наблюдений (который может
117
Результаты наблюдений
Ковариации
отфильтрованных и
экстраполированных
оценок состояния
Рис. 2.7. Структура расширенного калмановского фильтра
быть использован в системах ЦОРИ), статистически линеаризован-
ный фильтр и фильтр второго порядка [24, 44].
Сначала рассмотрим случай, при котором процесс задается
линейным уравнением, а связь процесса с наблюдениями — не-
линейна:
Sk+l=<I>kSk + Vk,
Zk = hk(sk) + wk.
Положим, что функция hk( ), отображающая пространство
состояний на пространство измерений, допускает наличие об-
ратной функции ЬкЧ’), которая принимает значение Sk для
любого заданного значения hk(Sk). Типичным примером может
служить функция hk( ), согласно которой выполняется преоб-
разование координат из декартовой системы в полярную, как
это имеет место при сопровождении целей. Обработка после-
довательности Zk с помощью нелинейного устройства без памяти,
вычисляющего функцию hk1(), позволяет получить новую
последовательность наблюдений Tjki
Uk = hk 1 (zk).
По крайней мере в предельном случае, когда Wk = 0, результаты
измерений т|к совпадают с Sk.
При наличии шума в формирование значения т|к вносят свой
вклад как истинное значение Sk, так и ошибка Wk, причем
оценить влияние каждой составляющей на результат весьма
сложно. Это означает, что шум участвует в формировании т|к не
просто как аддитивный член, а, возможно, более сложным
образом. Однако, по крайней мере, когда ожидаемая ковариация
Wk мала, новые результаты измерений можно записать в виде
Цк = 8к + Гк,
где г к — «эквивалентная» ошибка с нулевым средним.
Приближенная оценка ковариации г к (обозначим ее Мк) может
быть получена как функция от Rk и Zk путем дифференцирования
s = h-1(z) в окрестности истинного значения s и измеренного
z, при этом дифференциальные члены рассматривают как эк-
вивалентный шум, а средние квадратические значения обеих
сторон уравнения приравнивают. Получим следующее уравнение:
г 1 /dhk 1 (zk)\ о ZdhiT1 (zk)\T
Mk = cov{rk}= - <v Rk — • .
\ dzk J \ 0Zk /
Полученная ковариация является функцией измеренного значе-
ния zk и не может быть вычислена заранее. Аналогичный
результат получается, если оценивать Мк в окрестности экстра-
полированного значения zk/k_! =hk (s^-i). В обоих случаях
формируется фильтр, состоящий из нелинейного процессора без
119
памяти, за которым следует обычный калмановский фильтр,
причем усиление последнего через Мк зависит от zk (или от
Sk/k-i)- Структура такого фильтра показана на рис. 2.8. Приведен-
ный фильтр нашел широкое применение в системах ЦОРИ (см.
подразд. 3.3.2).
Рассмотрим метод статистической линеаризации [44]. Сначала
предположим, что задана нелинейная скалярная функция Ф(х)
переменной х и требуется найти полиномиальную аппроксимацию
функции Ф(х). Если функция Ф() имеет непрерывные производ-
ные требуемого порядка в точке х0, то ее можно разложить
в ряд Тейлора:
и суммирование до определенного целочисленного к0 позволяет
получить необходимую полиномиальную аппроксимацию функции
Ф(х). Предположим теперь, что Ф(х) — некоторая нерегулярная
функция, причем либо сама функция, либо ее производные
имеют разрывы. В этом случае аппроксимация с помощью ряда
Тейлора невозможна или ее применение будет ограничено ин-
тервалами, на которых функция Ф(х) достаточно гладкая. Для
работы с такими функциями предложен метод статистической
линеаризации. Полином заданной степени к0 определяется сле-
дующим образом:
ко
'к(х)= X акХ“-
к = 0
Коэффициенты {ак} выбираются таким образом, чтобы мате-
матическое ожидание квадрата разности между функциями Ф(х)
и \|/(х) было минимальным:
min £{[Ф(х)-\|/(х)]2}. (2.62)
Можно заметить, что уравнение (2.62) соответствует применению
среднего квадратического критерия к задаче аппроксимации.
Отметим также, что поскольку не вводится никаких предположе-
ний относительно регулярности функции Ф(х), то полученная
аппроксимация верна во всей области определения функции.
Когда выбирается линейная аппроксимация, рассмотренный метод
соответствует методу так называемой и описывающей функции,
используемому для нелинейных фильтров без памяти [44.]
Рассмотрим метод статистической линейной аппроксимации
n-мерной векторной функции f(s) n-мерного случайного вектора
s. Аппроксимация имеет вид
f(s)~f0 + ®s,
где f0 —(п х 1)-мерный вектор; Ф —(п х п)-мерная матрица.
120
Оценки
Рис. 2.8. Структура субоптимального фильтра с преобразованием результатов измерений:
А — временная задержка; Мк — ковариация qk
Оптимальный выбор f0 и Ф обеспечивается минимизацией
выражения
Е {[f(s)-fo-0s] [f(s)-f0 + <Ds]T}.
В результате получаются следующие оптимальные решения:
f0 = E{f(s)} —ФЕ {s},
0 = [E{f(s)sT} — E{f(s)} E{sT}cov-1 {s}. (2.63)
Следовательно, линейную аппроксимацию функции f(s) можно
записать в виде
f(s)^E{f(s)} + 0(S-E{s}),
где Ф — определяется в соответствии с уравнением (2.63). Получен-
ный результат может быть применен к модели нелинейной
системы, заданной уравнениями (2.43) и (2.44). Функции fk(-), gk(’)
и hk( ) могут быть аппроксимированы линейными функциями:
fk(sk) — ?к + Фк(8к —sk),
gk(sk)-gk,
l*k(sk) — bk + Hk(sk — sk),
где символ «л» обозначает ожидаемое значение относительно
sk, а Фк и Нк задаются уравнеццями
Фк = [Е { fk К Н } - fk sk ] COV {sk} -1,
Hk = [E{hk(sk)si!'}-hksk]cov{sk}"1.
Для формирования субоптимального фильтра необходимо опре-
делить способ вычисления sk, fk, gk, hk. В принципе они могут
быть вычислены при известной функции p(sk/zk), однако эта
функция неизвестна. Вводимая аппроксимация заключается в том,
что эта функция принимается гауссовской. Для ее описания
необходимы только статистические параметры первого и второго
порядка, sk и cov{sk}, вместо которых, в свою очередь,
подставляются их оценки и Pk/k, выдаваемые фильтром.
Можно заметить, что данный фильтр близок к расширенному
калмановскому фильтру, однако он более точен и сложен.
Действительно, в данном случае требуется вычисление fk, gk
и hk (при этом предполагается, что вектор sk — гауссовский),
тогда как в расширенном калмановском фильтре вычисляются
только функции fk(), gk (•), hk(-) и их производные при
получении ожидаемого значения sk (т. е. вектора sk/k).
Основные уравнения статистически линеаризованного калмановс-
кого фильтра приведены в табл. 2.1 [44]. В заключение отметим,
что применение статистической линеаризации приводит к формиро-
ванию нелинейного субоптимального фильтра, имеющего структу-
ру, определяемую калмановским фильтром для линеаризованной
модели, которая характеризуется следующими особенностями:
122
Таблица 2.1.
Основные уравнения метода статистической линеаризации
Упрощенная модель sk,i_=®ksk + gkvk + uk. “к=Гк-ф|А> Zk=Hksk + wk+hk-Hksk, cov{vk}=Qk >0, cov{wk} = Rk>0
Фильтр 4+ l/k = Фк ®к/к + Uk =^к/к’ Sk/k = Sk/k - 1 + Kk (^k ~ hk/k - 1 )' fk/k=E{fk(sk)/Zk}, h^.^E^sJ/Z"-*’}, Kk = Pkk.1Hl(HkPkklHj+Rk)1. h+1/k=®kPk/k®k+gkQkgk, Pk/k=(I-KkHk)f\/k_ „ Фк = Е{ fjsjsj-fk/ksJ/k/Zk } Hk = E{hk(sk)sJ-hk/k_1sI/k-l/Zk-‘}Pk-/l-1. gk = E{gk(Sk)/Zk}
требуется вычисление интегралов
ff(s)pN(s; s, P)ds,
f f(s)sTpN(s; s, P)ds,
где pN(s) — обозначается эквивалентное нормальное распределе-
ние, принятое для s, с параметрами s и Р;
коэффициент усиления фильтра Кк зависит от случайной оценки
sk и не может быть вычислен заранее;
матрицы Pk/k и ^k/k_! представляют собой только оценки,
а не истинные ковариации процесса sk, и, следовательно, качество
функционирования фильтра должно определяться с помощью
статистического моделирования;
при формировании фильтра принято, что вероятности p(sk/Zk)
и p(sk/Z*c-1) имеют гауссовские распределения.
Гауссовский фильтр второго порядка [24], принципы постро-
ения которого кратко изложены ниже, может рассматриваться
как обобщение расширенного калмановского фильтра (см. под-
разд. 2.6.2). При этом подходе в разложении нелинейностей
в ряд Тейлора в окрестности экстраполированного состояния
sk/k_! учитываются первые и вторые производные. Хотя этот
подход может быть применен и к моделям, описываемым
уравнениями (2.43), (2.44), далее будет использовано линейное
123
уравнение для динамики состояния, т. е. уравнение (2.43) заменено
уравнением (2.23), а уравнение (2.44) оставлено без изменений.
Это допущение несколько упрощает математические выкладки
и соответствует задаче радиолокационного сопровождения в де-
картовых координатах. Использование гауссовского фильтра вто-
рого порядка для решения такой задачи рассмотрено в подразд.
4.6.1, а оценка его эффективности приведена в подразд. 6.4.2 (т. 2).
Для вывода уравнений гауссовского фильтра второго порядка
введем некоторые обозначения. Пусть Нк — первая производная
функции hk(sk) (см. уравнения (2.49) — (2.51)) при Тогда
скалярные производные второго порядка можно записать в виде
Ai0’ р)=^7^’ s = sk/k-n (2-64)
i = l, ..., m; 1, р = 1, ..., m,
где h(1) — i-я составляющая hk(sk); по аналогии с этим s(1)
и s(p) — 1-я и p-я составляющие sk. Во избежание ошибок индекс
времени к опущен. Из скалярных вторых производных A^l, р)
функций h(1)(s) могут быть сформированы матрицы Ц вида
bi(l, p) = Ai(l, р).
Число матриц Ц равно числу измерений т, а каждая матрица
имеет размер (пхп), где п — размерность вектора состояния.
Далее, пусть Р(1, р) соответствует (1к р)-му члену экстра-
полированной ковариационной матрицы Pk/k-i. Квадратная дей-
ствительная матрица Ак размера пхп, соответствующего раз-
мерности вектора измерений, содержит элементы, вычисляемые
следующим образом:
Ak(i, j)=^ £ £ Z X {4(П1, п2)(Р(П1, п3)Р(п2, п4)+
п1==1 п2=1 п3=1 п4=1
+ Р(П1, п4)Р(п2, п3))ЛДп3, п4)}. (2.65)
Наконец, m-мерный вектор 62 имеет составляющие
82(i) = tr{LiPk/k_1}, (2.66)
где tr{ }—след (т. е. сумма диагональных элементов) квадратной
матрицы.
Основная идея алгоритма заключается в аппроксимации фун-
кции hk(sk) в области sk/k_j с помощью членов первого и второго
порядков. Пренебрегая членами более высоких порядков, условное
математическое ожидание hk(sk) можно представить в виде
E{hk(Sk)/Zk-1} = hk(§k/k-1+HkE{(Sk-sk/k_1)/Z<k-1>} + ls2,
где линейный член обращается в нуль, поскольку равно
E{sk/Z'k-1>}.
124
Следовательно, обновляющая последовательность (см. уравнение
2.27) принимает вид
¥к = ^к —hk(sk/k- 1 ) — j ^2‘
В предположении, что функция p(sk/Zk-1) — гауссовская, ковари-
ационную матрицу обновляющей последовательности можно
записать следующим образом [24]:
0k = HkPk/kHj + Rk+Ak. (2.67)
В результате, используя уравнение (2.28) и принятые допущения,
можно записать
Sk/k = Sk/k-i + Pk/k - 1 ®k 1 (zk — hk(§k/k- 1 ))— 2 $2’
По аналогии матрица Pk/k имеет вид
Pk/k = (I-Pk/k-1Hl©kHk)Pk/k_1. (2.68)
Следует отметить, что в соответствии с уравнениями (2.51),
(2.64), (2.65) и (2.67) Нк и 0к зависят от оценки Поэтому
коэффициент усиления фильтра нельзя вычислить априорно.
Уравнения экстраполяции (2.56) и (2.60) остаются прежними.
Гауссовский фильтр второго порядка при линейном уравнении
измерений преобразуется в обычный калмановский фильтр, а при
отбрасывании производных второго порядка — в расширенный
калмановский фильтр. Следует помнить, что точность аппрок-
симации зависит как от производных функции h(s), так и от
статистических характеристик ошибки оценивания (см. уравнение
(2.66)). Существование и единственность решений для такого
фильтра теоретически еще не доказаны. Однако численные
результаты, полученные с помощью данного алгоритма, прак-
тически совпадают с результатами сходных алгоритмов, сущест-
вование и единственность решений для которых доказаны [24].
Вычислительные затраты, как и эффективность данного метода,
в большой степени зависят от характера решаемых прикладных
задач. Примеры применения метода для решения задачи со-
провождения боеголовок баллистических ракет приведены в [24].
Как уже отмечалось, в подразд. 4.6.1 рассматривается применение
данного алгоритма к задаче радиолокационного сопровождения
для случая, когда производится измерение радиальной скорости
цели.
В качестве общего вывода следует заметить, что эффективность
применения алгоритмов нелинейной фильтрации в значительной
степени определяется особенностями конкретной решаемой задачи.
Рассмотренные алгоритмы в соответствии с их сложностью
и эффективностью можно представить в следующем порядке:
расширенный калмановский фильтр реализует простейший алгоритм
125
и дает хорошие результаты при умеренных нелинейностях
и невысоком уровне шума; гауссовский фильтр второго порядка
обеспечивает более высокое качество фильтрации за счет усложнения
алгоритма; наконец, метод статистической линеаризации позволяет
добиться хороших результатов в различных случаях применения,
однако требует больших вычислительных затрат. На практике для
выбора наиболее подходящего алгоритма для конкретного примене-
ния необходимо проведение сравнительного анализа по критерию
«стоимость —эффективность». Оценка эффективности и сравнитель-
ный анализ, как правило, осуществляется с помощью моделирова-
ния на ЭВМ.
2.7. ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Главная цель данной главы заключалась в изложении мате-
матических основ и теоретических принципов алгоритмов и ме-
тодов ЦОРИ, подробно рассмотренных в последующих главах
книги. Поэтому основное внимание уделялось теории оценивания
и фильтрации. Рассмотрены следующие вопросы:
параметрическое оценивание;
линейная фильтрация;
адаптивная фильтрация;
нелинейная фильтрация.
При изложении акцент делался на логике построения алгоритмов
оценивания, а не на математических тонкостях анализа. Несмотря на
это, математическое описание большей части алгоритмов достаточно
полное, что дает необходимую базу для понимания особенностей
применения этих алгоритмов в ЦОРИ. В данной главе невозможно
было отметить все теоретические достижения в области оценивания.
При отборе материала авторы отдавали предпочтение тем методам,
которые повлияли на создание практически используемых алгоритмов.
Суммируем наиболее важные положения гл. 2. В разд. 2.1
рассмотрена задача определения совокупности неизвестных па-
раметров по совокупности измерений. При исследовании про-
блемы оценивания учитывались:
модели, принятые для оцениваемых параметров и данных
наблюдений;
априорная информация о моделях;
критерии формирования оценивателя и принятые ограничения.
Введение понятия функции потерь, зависящей от ошибки
оценивания, позволило классифицировать оптимальные оценива-
тели в соответствии со следующими критериями:
критерий наименьших квадратов;
критерий минимума средней квадратической ошибки;
критерий максимального правдоподобия;
критерий максимума апостериорной вероятности (байесовский
критерий).
126
Наибольшее внимание в разд. 2.2 уделено среднему квад-
ратическому критерию, обеспечивающему оценку с минимальной
ковариацией. Оценка при этом формируется как условное среднее
значение параметров при заданных измерениях. В гауссовском
приближении оптимальная оценка является линейной функцией
результатов измерений, что существенно упрощает формирование
оценивателя. Проведен анализ ограниченного линейного среднего
квадратического критерия и обсуждены связанные с этим критери-
ем вопросы применения принципа ортогональности и обнов-
ляющей последовательности. Понимание этих идей позволяет
перейти от задач параметрического оценивания к рекурсивным
алгоритмам фильтрации.
В разд. 2.3 в рамках теории оценивания, развитой применитель-
но к случайным, зависящим от времени переменным, сфор-
мулированы задачи фильтрации, экстраполяции и сглаживания.
При этом моделирование состояния динамических систем произ-
водилось с помощью случайных переменных; полагалось также,
что результаты измерения искажены шумом. После краткого
обзора основных определений и особенностей линейных и нелиней-
ных динамических систем рассмотрены классические задачи
средней квадратической фильтрации и экстраполяции.
Калмановский фильтр подробно рассмотрен в разд. 2.4. В ре-
зультате решения задачи линейной средней квадратической
фильтрации в дискретной линейной системе, находящейся под
воздействием белых случайных процессов, получены классические
уравнения, описывающие эволюцию во времени отфильтрованных
и экстраполированных оценок состояния, а также ковариацию
ошибок оценивания. Подробно пояснена сущность каждого урав-
нения, а также роль, которую играют параметры модели
и фильтра. Сформулированы основные особенности калмановс-
кого фильтра:
фильтр имеет рекурсивную структуру с цепью обратной связи,
в которую включена модель процесса;
существенную роль играет коэффициент усиления фильтра,
значение которого определяется параметрами модели и экстра-
полированной функцией ковариации;
ковариация ошибки фильтра и коэффициент усиления могут
быть рассчитаны априорно, независимо от измерений;
обновляющая последовательность (непредсказуемая составля-
ющая измерений) представляет собой белый процесс с нулевым
средним;
сходимость фильтра к установившемуся состоянию определя-
ется структурными свойствами модели (управляемостью, наблю-
даемостью).
Раздел 2.5 посвящен методам адаптивной фильтрации, пред-
назначенным для оценивания состояния систем, когда априорные
знания о модели содержат неопределенность. Неопределенность
127
может содержаться как в параметрах системы (коэффициентах
уравнений модели или статистических характеристиках процессов),
так и в гипотезах, принимаемых на основе измерений. Рассмот-
рены оба эти случая. Кроме того, в явном виде показаны два
источника неопределенностей в ЦОРИ:
непредсказуемые маневры цели (неопределенность содержится
в параметрах модели);
наличие многочисленных отметок, вызванных отраженными
от множества целей или ложными тревогами (неопределенность
содержится в информации о том, какой из результатов измерений
(отметок) является истинным (принадлежащим сопровождаемой
цели)). Из широкого многообразия адаптивных методов фильтра-
ции были выбраны лишь некоторые. Приоритет отдавался
методам, которые могут оказаться полезными для применения
в задачах ЦОРИ. в соответствии с этим критерием отбора
материала были рассмотрены следующие вопросы:
чувствительность калмановского фильтра к ошибкам модели;
оптимальный и субоптимальный байесовские подходы (при
которых учитывается возможность некорректности модели
и формируются фильтры с параллельными структурами);
методы обнаружения расходимости (при которых усиление
фильтра изменяется, если статистические характеристики обнов-
ляющей последовательности свидетельствуют о расходимости);
методы максимального правдоподобия и их субоптимальные
варианты (также приводящие к параллельным структурам, на-
именее правдоподобные из которых отбрасываются).
Наконец, в разд. 2.6 рассмотрены проблемы нелинейной
фильтрации и показано, что работа оптимального среднего
квадратического фильтра сопряжена с большими вычислитель-
ными затратами, поэтому практическое использование такого
фильтра нецелесообразно. Приведены наиболее распространенные
субоптимальные методы, в частности, расширенной калмановской
фильтрации и статистической линеаризации. Показаны структуры
фильтров, формируемых с помощью этих методов. Кратко
представлены и другие алгоритмы. Особенно отмечены трудности,
связанные с оценкой эффективности нелинейных фильтров, в ре-
зультате которых эту оценку выполняют чаще всего с помощью
моделирования на ЭВМ (см. гл. 6 тома 2).
В итоге можно заключить, что в данной главе был дан
систематический обзор математических методов, лежащих в ос-
нове алгоритмов обработки радиолокационной информации. Воп-
росы, хорошо освещенные в литературе (например, парамет-
рическое оценивание, калмановская фильтрация), изложены с еди-
ных позиций: вначале рассматриваются основные идеи методов,
формулируются априорные допущения, затем предлагаются реше-
ния и разъясняется сущность полученных результатов. Матема-
тические доказательства, как правило, опущены, однако в разд. 2.8
128
приведен перечень литературы, где читатель может с ними
ознакомиться. Рассмотрены и другие вопросы (адаптивная и не-
линейная фильтрация), которые имеют отношение к системам
ЦОРИ. Безусловно, многие теоретические аспекты проблемы не
получили достаточного освещения во избежание «перегрузки»
главы математическими выкладками. Следует отметить, что
в данной области ведутся широкие исследования как теоретичес-
ких, так и прикладных задач.
Глава 3
СИСТЕМЫ СОПРОВОЖДЕНИЯ ЦЕЛЕЙ
В РЕЖИМЕ ОБЗОРА
3.1. ВВЕДЕНИЕ
Цель настоящей главы — подробное изложение концепции ра-
диолокационных систем сопровождения целей в режиме обзора
(СЦРО), принципы построения которых приведены в под-
разд. 1.1.3. Напомним, что система СЦРО — это непрерывно
сканирующий радиолокационный датчик, выдающий через равные
интервалы времени в процессор данные измерения местоположе-
ния цели (отметки). В процессоре данных из отметок, получаемых
в последовательных циклах обзора, формируются траектории
целей. Процессор данных должен правильно определить принад-
лежность новых отметок к существующим траекториям и завязать
новые траектории по отметкам, полученным от вновь обнаружен-
ных целей, появившихся в пределах дальности действия РЛС.
Определение принадлежности отметок осуществляется фильтром
сопровождения, который на основе анализа измерений, искажен-
ных шумом, и экстраполированных значений выдает сглаженные
обновленные оценки траектории. Экстраполированные значения
координат и средняя квадратическая оценка их точности ис-
пользуются для определения местоположения и размеров области,
в которой с наибольшей вероятностью могут быть получены
отметки от цели в последующие моменты времени. Таким
образом, фильтр сопровождения играет важную роль не только
в формировании точных оценок координат и характера движения
цели, но и при определении принадлежности отметки к траек-
ториям.
Наиболее важными элементами радиолокационного процессора
данных системы СЦРО являются ЭВМ, пакет программ мате-
матического обеспечения и несколько входных и выходных
буферных устройств для хранения данных. Последовательность
отметок, поступающих из радиолокационного устройства выделе-
ния данных и записываемых во входное буферное устройство,
129
9—1582
затем обрабатывается в соответствии с программами ЭВМ.
Результаты обработки (траектории целей) записываются в выход-
ные буферные устройства, после чего они выводятся на устройства
отображения или поступают для дальнейшей обработки. В под-
разд. 3.2.1 рассмотрены принципы построения системы и раз-
личные модули пакета программ ЭВМ.
Поскольку в реальной обстановке отражения от движущихся
и неподвижных местных предметов, а также шумы системы могут
восприниматься РЛС как отражения от цели, то на этапе разработки
должны быть приняты меры для подавления этих возмущений. Это
обеспечивается с помощью формирования и обновления карты
отражений от местных предметов (рассматриваемой в под-
разд. 3.2.2), с помощью которой идентифицируются ложные отметки
во входном буферном устройстве, в результате чего дальнейшей
обработке подвергаются только отметки от истинных целей.
В разд. 3.3 сформированы модели движения цели и измерений,
которые в дальнейшем используются в разд. 3.4 при выводе
уравнений фильтров сопровождения. Прежде всего рассмотрен
вопрос выбора системы координат, в которой могут быть
достаточно просто описаны радиолокационные измерения, движе-
ние цели и, следовательно, фильтр сопровождения. В под-
разд. 3.3.1 приведен обзор достоинств и ограничений, присущих
декартовой, полярной и двум другим системам координат.
В подразд. 3.3.2 рассмотрены вопросы точности1 измерения ко-
ординат с помощью РЛС. Приведены также уравнения, позво-
ляющие оценить точность измерений в декартовой системе после
преобразования радиолокационных данных из полярной системы.
Подразд. 3.3.3 посвящен описанию математической модели движе-
ния цели; для упрощения модели, а следовательно, и фильтра
сделан ряд допущений. Принято, что моделирование по каждой
из трех осей системы координат осуществляется независимо.
Принято также, что вдоль каждой оси цель движется с постоянной
скоростью, искаженной случайными ускорениями, обусловлен-
ными разворотами, противозенитными маневрами, а также тур-
булентностью атмосферы. Ускорения представлены в виде белого
стационарного гауссовского случайного процесса. Более строгие
модели ускорения приведены в разд. 4.2.
Вопросы анализа и разработки алгоритмов сопровождения
рассмотрены в разд. 3.4; при этом исследуются только фильтры,
оперирующие данными измерения координат цели (вопросам
оптимальной обработки результатов измерений радиальной ско-
рости посвящена гл. 4). Изложение начинается с калмановского
фильтра. На базе этого фильтра получены в общей форме
рекурсивный фильтр и фильтр с постоянными параметрами (для
установившегося режима), в том числе известный а—Р-алгоритм.
Применение фильтра с постоянными параметрами устраняет
необходимость итеративного пересчета коэффициентов на каждом
130
цикле обзора, в результате чего существенно снижается объем
вычислений. Анализируются вопросы адаптации фильтра к измене-
ниям условий сопровождения (связанным, например, с маневрами,
ошибками измерений и т. п.); показано, каким образом фильтр,
предназначенный для работы в установившемся режиме, может
подстраиваться под эти изменения. Адаптивные фильтры, представ-
ляющие собой важный инструмент сопровождения целей в изменяю-
щихся условиях, рассмотрены в подразд. 3.4.4. Подробное описание
более совершенных адаптивных структур приведено в разд. 4.3.
Логика сопоставления новых отметок с отслеживаемыми
траекториями и принятие решения о принадлежности этих
отметок анализируются в разд. 3.5. Принадлежность определяется
с использованием меры близости, учитывающей погрешности
радиолокационных измерений и экстраполяции траекторий, а так-
же маневренных возможностей целей. Для ограничения числа
парных сравнений вокруг экстраполированной точки местоположе-
ния цели строится область, называемая корреляционным стробом.
Строб должен иметь такие размеры и форму, чтобы истинные
отметки цели попадали в него с большой вероятностью и в то
же время число ложных отметок было ограниченным.
В разд. 3.6 дано описание процедур обработки отражений от
целей, только что вошедших в зону обзора РЛС. Если степень
корреляции новой отметки с сопровождаемыми траекториями
мала, то эта отметка считается началом новой, так называемой
предварительной траектории. После получения такой отметки
инициируется процедура подтверждения новой траектории. Эта
процедура включает этапы прогнозирования местоположения цели
при следующем обзоре РЛС и проверки наличия цели в кор-
реляционном стробе, размещаемом в точке с экстраполирован-
ными координатами. После того как цель обнаружена несколько
раз в течение определенного числа последовательных циклов
обзора, траектория цели переводится из класса предварительных
в класс устойчивых траекторий. Дана оценка эффективности
различных процедур завязки траекторий (например, процедуры,
состоящей из m успешных обнаружений при п обзорах для
различных значений m и п) в виде зависимости числа циклов
обзора РЛС, необходимых для инициализации траектории, от
вероятности обнаружения отметки цели.
В заключительных разделах главы изложены ее основные
результаты (разд. 3.7) и представлен список литературы (разд. 3.8).
3.2. ПРИНЦИПЫ ПОСТРОЕНИЯ СИСТЕМ СЦРО
В цифровых процессорах систем СЦРО с помощью ряда
программ для ЭВМ формируется и поддерживается ряд файлов,
предназначенных для записи информации о трех классах траекторий:
устойчивых;
3 131
г
= Контур
обновления
Рис. 3.1. Буферные устройства системы СЦРО
предварительных;
стационарных (малоподвижных).
Файлы формируются на основе обработки отметок, получаемых
в последовательных циклах обзора РЛС и записываемых в буфер-
ное устройство, как показано на рис. 3.1. Информация, содер-
жащаяся в выходных буферах, периодически обновляется и вы-
водится на индикатор оператора. Считается, что траектория
устойчива, если она сопровождается процессором данных и ки-
нематические параметры цели оцениваются с достаточной точ-
ностью. Напротив, термин «предварительная» относится к началь-
ному этапу завязки траектории. Наконец, стационарные траек-
тории обусловлены отражениями от местных предметов, посколь-
ку их местоположение от обзора к обзору изменяется
незначительно. Отнесение траектории к различным классам
связано с отличиями в подходах к их дальнейшей обработке.
В следующем разделе рассмотрены принципы организации данных
в буферных устройствах ввода-вывода и функционирования
программного обеспечения систем СЦРО.
3.2.1. СТРУКТУРА ФАЙЛОВ ДАННЫХ
Для организации структуры файлов данных (информации об
отметках и траекториях) контролируемое воздушное пространство
разбивается на ряд азимутальных секторов, что иллюстрируется
132
Рис. 3.2. Азимутальные сек-
торы зоны обзора РЛС:
[X, Y] — декартова система координат
на рис. 3.2. Секторы для отметок и траекторий могут ли-
бо совпадать, как показано на рис. 3.2, либо быть сдвину-
тыми на половину сектора (этот вариант рассматривается
в разд. 3.5). В процессе определения принадлежности от-
метки к траектории сравниваются заданная траектория и от-
метки, содержащиеся в том же секторе, а также в двух смежных
секторах.
Угловые размеры секторов должны быть относительно неболь-
шими, чтобы в каждый из них попадало ограниченное число
отметок и траекторий; это условие должно обеспечить сокращение
числа необходимых операций сравнения при определении принад-
лежности отметок (см. разд. 3.5). В то же время секторы должны
быть шире разности между экстраполированным и измеренным
положением цели. Как показано на рис. 3.3, каждому сектору
соответствуют области памяти ЭВМ, в которые записывается
информация об отметках и трех типах траектории. В табл. 3.1
приведен перечень параметров каждой траектории, заносимых
в файл. Следует заметить, что области памяти формируются
в соответствии с азимутом траекторий и временем обнаружения
отметок.
Данные обрабатываются по секторам с учетом скорости
сканирования антенны. Отметки и траектории, относящиеся
к секторам, уже прозондированным в данном цикле обзора
РЛС, последовательно обрабатываются с помощью алгоритмов
определения принадлежности и обновления траекторий. Траек-
тории обрабатываются в такой последовательности: стационар-
ные, устойчивые, предварительные. Правильное отнесение отметок
к стационарным траекториям позволяет уменьшить число ложных
отметок, которые могли бы исказить истинные траектории целей.
133
Азимутальны сектор 1 й Азимутальный Азимутальный сектор 2 сектор М Рис. 3.3. Структура файлов данных об от- метках и траекториях
О в устройстве ЦОРИ системы СЦРО
<5 *
о з Р 3 (хт»Угл» ) а а а
с >х е • • • • • • • • •
X — — —
л Й х >х
’I а
Райлы усг траекто Ta(x,y,t,arl ’) а а а
• • • • • • • • •
— — —
*
л т з 5 о.
С к о « о. * а а а
« • £ 0 о. • • • • • • • • •
с —
X
s ? 2 о * X d) ее а
и • • • • а • • • •
Таблица 3.1
заносимых в память
Перечень параметров траектории,
Код идентификации траектории
Экстраполированные координаты
Отфильтрованное значение скорости
Время последнего обновления
Число циклов обзора РЛС после завязки траектории
Усиление (а, 0) сопровождающего фильтра
Показатель качества траектории
Статус траектории (новая, предварительная, устойчивая,
переходящая в другой класс)
завершающаяся,
Обработка сначала устойчивых траекторий, а затем предвари-
тельных исключает возможность отнесения отметок к последне-
му классу траекторий, если в действительности они относят-
134
ся к первому. Рассмотрим типичный пример [36]. Если от РЛС
получены все отметки сектора 11 (см. рис. 3.2) и осуществля-
ется сканирование сектора 12, то работа программы ЦОРИ
начинается с вычисления корреляционных связей стационарных
траекторий сектора 10 с отметками в секторах 9—И. Отметки,
обусловленные отражениями от местных предметов, используют-
ся для обновления стационарных траекторий, и информация
о них в файле отметок стирается; обновление, как пра-
вило, заключается в замещении старых отметок новыми. За-
тем устойчивые траектории сектора 8 коррелируются с отмет-
ками в секторах 7—9, поскольку к этому моменту времени
отражения от местных предметов в секторах до 9-го включи-
тельно уже подавлены. Отметки, которые отнесены к устой-
чивым траекториям, стираются в файле отметок и используют-
ся для обновления соответствующих траекторий, а их коорди-
наты взвешиваются с весом, равным коэффициенту усиле-
ния фильтра сопровождения. Таким образом, путем фильтрации
шумовых составляющих измерений повышается точность про-
водки каждой траектории, которая только потом экстрапо-
лируется на период времени до следующего момента обнару-
жения цели. Если обновленная траектория пересекает гра-
ницу двух смежных секторов, то информация о ней стира-
ется в старом файле и переносится в новый. Такой же обра-
ботке подвергаются предварительные траектории секто-
ра 8.
Отметки, которые не были отнесены ни к траекториям, ни
к отражениям от местных предметов, используются для завязки
новых, как правило, предварительных траекторий. Затем эти
траектории либо сбрасываются, либо переходят в классы устой-
чивых или стационарных. Существует и иной подход, при
котором новые отметки относятся одновременно и к отражениям
от местных предметов и к предварительным траекториям. Затем,
если отметка обусловлена отражениями от местных предметов,
стационарная траектория обновляется, а предварительная сбра-
сывается. И, наоборот, если отметка относится к движущейся
цели, то траектория переводится из класса предварительных
в класс устойчивых, а сигналы, отраженные от местных пред-
метов, сбрасываются.
Траектории, к которым в течение обзора РЛС не были
отнесены новые отметки, экстраполируются в соответствии с по-
следними оценками скорости цели. Траектория, не получающая
продолжения в виде отметок на протяжении нескольких после-
довательных обзоров (например, трех), сбрасывается из буферного
устройства. Следует заметить, что последовательное сканирование
секторов гарантирует обработку всех траекторий и отметок. На
рис. 3.4 иллюстрируется работа программ ЭВМ при цифровой
обработке радиолокационной информации систем СЦРО.
135
К индикатору
Рис. 3.4. Логическая схема ЦОРИ систем СЦРО
3.2.2. ФОРМИРОВАНИЕ И ОБНОВЛЕНИЕ КАРТЫ ОТРАЖЕНИЙ
ОТ МЕСТНЫХ ПРЕДМЕТОВ
Карта отражений от местных предметов (ООМП) представляет
собой радиолокационное изображение стационарных объектов
(например, элементов рельефа), находящихся в зоне обзора. Обычно
радиолокационное изображение содержит бесформенные участки
отражений от земной поверхности, а также от точечных и распреде-
ленных объектов. Использование такой карты позволяет получить
ряд преимуществ при работе радиолокатора в условиях отражений:
а) обеспечивается правильный выбор режима работы процес-
сора сигналов (например, режим селекции движущихся целей
включается только при необходимости, что позволяет избежать
136
Рис. 3.5. Формирование карты ООМП
неоправданного снижения эффективности обнаружения; пороговые
уровни обнаружения автоматически устанавливаются с учетом
остаточной мощности мешающих отражений);
б) обеспечивается возможность устранения из буферного
устройства информации об отметках, обусловленных отражениями
от местных предметов, что позволяет предотвратить перегрузку
ЭВМ при дальнейшей ЦОРИ и избавиться от ложных траекторий,
наличие которых снижает доверие к данным сопровождения.
В п. а приведен один из примеров влияния ЦОРИ на выполнение
функций обработки сигнала и выделения данных; другие примеры
будут представлены в гл. 4. На рис. 3.5 представлена структурная
схема цепей радиолокационного приемника с картой ООМП.
Процесс обновления карты ООМП (соответствующие операции
установления корреляционных связей и определения принадлеж-
ности отметок.— см. рис. 3.4) может рассматриваться так же
[24, 30], как результат работы фильтра стационарных траекторий
(ФСТ) или межобзорный коррелятор ФСТ действует как диск-
риминатор скорости и оперирует с потоком отметок, поступа-
ющих от устройства выделения данных. Информация о стаци-
онарных или медленно перемещающихся (в течение нескольких
обзоров) отметках заносится на карту ООМП. Каждая вновь
полученная отметка сравнивается с картой ООМП; если новая
отметка попадает в определенные области, расположенные в рай-
оне ранее записанных отметок, то она соответствует отражению
от местных предметов. С учетом полученной отметки осущест-
вляется обновление карты ООМП, и информация об этой отметке
в буферном устройстве стирается. Фильтр стационарных траек-
торий можно рассматривать также как устройство, формирующее
теневую маску вокруг целей (истинных или ложных), перемеща-
ющихся со скоростью, менее заданной.
Дискриминатор скорости осуществляет сравнение смещения
отметки в двух или более последовательных циклах обзора со
137
Рис. 3.6. Смещение цели по от-
ношению к центру строба в те-
чение нескольких циклов обзора
[24]
стробом, центр которого совмещается с координатами первой
отметки, уже отнесенной к отражениям от местных предметов.
Очевидно, что отметки, обусловленные отражениями от местных
предметов или медленно движущихся целей, остаются в пределах
строба в течение большого числа циклов обзора, а отметки от
быстро движущихся целей выходят из строба за несколько
циклов обзора. Вычисляя число циклов обзора РЛС, в течение
которых цель дает строб, можно определить, к какому классу
(по скорости) относится цель.
Рассмотрим для примера рис. 3.6, где использованы следующие
обозначения: V — скорость цели, Т — период обзора РЛС, Соб1—
номер цикла обзора, Сс — число циклов обзора, в течение которых
цель остается в стробе, W — радиус строба. В детерминированном
случае (т. е. при отсутствии ошибок измерений и вероятности
обнаружения, равной единице) после того как С^, намного
превысит отношение W/VT, значение Сс не увеличивается,
поскольку цель выходит из строба. Следовательно, если цель
движется, то после определенного числа циклов обзора, зави-
сящего от скорости цели, значение Сс становится фиксированным.
В то же время при неподвижных целях (т. е. при отражениях
от местных предметов) значение Сс постоянно растет. Поэтому
селекция целей по скорости может осуществляться на основе
сравнения Сс и Соб1. При наличии ошибок измерений существует
вероятность (Рвых) того, что некоторые отметки (полученные
в течение 2—4 циклов обзора, см. рис. 3.6) окажутся вне строба.
С другой стороны, существует вероятность (Рвн=1— Рвых) того,
что отметки (после 5-го цикла обзора) останутся в пределах
строба. В любом случае вероятность ошибки больше для отметок,
находящихся вблизи границ строба.
На рис. 3.7 приведена в виде графика зависимость Рвых от
числа циклов обзора для различных значений средней квад-
138
ратической ошибки измерений о (данная зависимость построена
для геометрических соотношений, отраженных на рис. 3.6). При
уменьшении ошибки измерений до нуля зависимость принимает
ступенчатую форму. За исключением случая, когда ошибки
измерений отсутствуют, процесс принятия решения о скорости
цели требует значительного времени. С другой стороны, необ-
ходимо ограничить время, в течение которого движущаяся цель
остается в пределах строба, и обеспечить тем самым возможность
автоматической инициализации процедуры.
При поступлении новой отметки в блок карты ООМП счетчики
общего числа циклов обзора и числа циклов обзора, при которых
отметка не выходит за пределы строба, обнуляются, и центр
корреляционного строба совмещается с отметкой. Счетчик
Сов, подсчитывает число циклов обзора после инициализации
процедуры. После каждого цикла обзора, в течение которого
отметка оставалась в пределах строба, показание Сс счетчика
«успешного» числа циклов обзора увеличивается на единицу.
Когда Cog, становится равным N (где N — номер цикла обзора,
на котором принимается решение), величина Сс сравнивается
с заданным порогом Р. Если Сс>Р, цель считается стационарной
и координаты последней отметки используются для обновления
положения центра строба.
При построении фильтра стационарных траекторий учитыва-
ются следующие параметры:
N —число обзоров, после которого принимается решение;
Р —величина порога, по которому принимается решение
о неподвижности цели;
W —ширина корреляционного строба;
ст —средняя квадратическая ошибка измерений РЛС;
Pd—вероятность обнаружения;
Т —период обзора РЛС;
139
V —скорость цели.
Среди перечисленных независимыми являются следующие па-
раметры: N, Р, W/a, Pd и VT/q (последний представляет собой
отношение значения смещения отметки между двумя последо-
вательными облучениями цели к ошибке измерений) [24]. Харак-
теристики фильтра стационарных траекторий определяются за-
висимостью вероятности передачи выходной отметки для даль-
нейшей обработки Рт от скорости цели. Величина Рт представляет
собой вероятность того, что в течение N циклов обзора число
попаданий отметки в строб не превысит порога Р. Отсюда
следует, что вероятность прекращения процедуры селекции стаци-
онарных траекторий Pn(V) равна (1—PT(V)).
После установления значения минимальной сокрости Vm целей,
представляющих интерес, идеальный фильтр стационарных тра-
екторий должен характеризоваться следующими показателями:
Рт=1 при V^Vm,
Рт = 0 при V<Vm.
Такая идеальная характеристика аппроксимируется путем увеличе-
ния наклона кривой в окрестности Vm. Это достигается таким
увеличением N, которое обеспечивало бы лучшую селекцию
целей по скорости для принятия решения о стационарности или
нестационарности траектории (в последнем случае выходная
отметка передается для дальнейшей обработки). Реальные харак-
теристики фильтра стационарных траекторий [24] приведены на
рис. 3.8. При увеличении N характеристики этих фильтров
улучшаются как для «медленных» целей (при прекращении
процедуры селекции стационарных траекторий), так и для «быст-
рых» целей (выше вероятность правильной передачи отметки
vmT /б2
Рис. 3.8. Зависимость ве-
роятности выхода отмет-
ки за пределы строба от
нормализованного сме-
щения цели в течение од-
ного обзора [24 ]
140
для дальнейшей обработки). После установления требований
к предельно минимальному значению скорости Vm и вероятности
PT(Vm), для разработки фильтра стационарных траекторий
необходимо определить параметры N, Р и W (остальные
параметры — о, Pd и Т — зависят от радиолокационного датчика).
При заданном значении VmT/o качество работы такого фильтра
может быть гарантировано лишь для N, превышающих некоторое
минимальное значение Nm. В любом случае целесообразно
стремиться к выбору наименьшего значения N, что обеспечивает
уменьшение времени реакции системы и размеров строба. Более
подробно эти вопросы рассмотрены в работах [24, 30, 33].
3.3. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ДАТЧИКА
И ТРАЕКТОРИИ ЦЕЛИ
3.3.1. СИСТЕМА КООРДИНАТ
Структура фильтра сопровождения в значительной мере зависит
от выбранных математических моделей: а) измерений, осуществ-
ляемых датчиком; б) движения сопровождаемой цели.
Обе эти модели зависят от используемой системы координат.
Следовательно, весьма важным является выбор системы коор-
динат, обеспечивающей выполнение противоречивых требований
по ограничению времени вычислений и поддержанию высокого
качества сопровождения.
В данном подразделе изложены лишь общие концепции
моделей измерений. Подробный анализ этих вопросов будет
приведен в подразд. 3.3.2. Рассматривая наземную РЛС (наиболее
частый случай), прежде всего необходимо учесть сферичность
Земли. Поскольку при обработке и отображении данные измере-
ний РЛС должны быть представлены на плоскости, то необходимо
выбрать метод проецирования. В настоящее время используется,
как правило, метод стереографического проецирования, при
котором точки сферы проецируются на тангенциальную плос-
кость. Примем, что Земля имеет форму сферы, и построим
плоскость, касающуюся сферы в точке размещения РЛС. На
рис. 3.9 иллюстрируется стереографическая проекция Ps цели Р (а
также ее следа PG на земной поверхности) на тангенциальной
плоскости. Расстояние ОР, называемое наклонной дальностью,
измеряется РЛС; высота цели PPG также может быть определена
путем измерения РЛС угла места ф. При малых значениях угла
ф связь между наклонной дальностью ОР, высотой цели PPG
и стереографической дальностью OPS может быть приближенно
выражена следующим образом:
OPS^ V|OP|2-|PPg|2.
141
Рис. 3.9. Метод стереографического проектирования:
ОР — наклонная дальность; OPS — стереографическая дальность; РРО — высота цели; ф—угол места
Фактически форма Земли ближе к эллипсоиду, и последнее
выражение справедливо лишь для дальностей в несколько сотен
километров от РЛС. Положение цели на тангенциальной плос-
кости определяется в полярных координатах радиус-вектором
OPS и азимутальным углом 0 или соответствующими декар-
товыми координатами (х, у), как показано на рис. 3.10, где ось
у сориентирована на север. Для преобразования координат
используются формулы
x = OPscos 0,
y = OPssin0,
z = OPssinA|/.
Переходя к рассмотрению модели цели, следует заметить,
что вычислительные затраты на сопровождение в первом при-
ближении пропорциональны №, где N—размерность вектора
состояния цели. В общем случае вектор состояния содержит
3 составляющие координат цели, 3 составляющие скорости
и 3—ускорения, т. е. N=9. Поэтому весьма привлекательным
(особенно при одновременном сопровождении большого числа
целей) является идея декомпозиции фильтра на 3 более простых
устройства, в каждом из которых обрабатываются данные по
одной координате цели (т. е. в 1-м—по оси х, во 2-м—по оси
у и в 3-м—по оси z). Далее будет показано, что такой подход
не всегда возможен (в частности, при решении задачи в декар-
товых координатах) без снижения точности сопровождения.
142
Рис. 3.10. Двумерная де-
картова система коорди-
нат с началом в точке
размещения РЛС
Выбор системы координат влияет на точность сопровождения
вследствие наличия нелинейностей в уравнениях, описывающих
движение цели и датчик измерений. Однако может быть выбрана
такая система координат, в которой нелинейности отсутствуют
и соответствующее смещение в оценке траектории может быть
устранено. Нелинейности тесно связаны с фиктивными ускорени-
ями, которые наблюдаются в некоторых системах координат
даже тогда, когда цель движется с постоянной скоростью по
прямолинейной траектории. С другой стороны, как будет показано
далее, стационарная система координат (в частности, декартова
система) не обеспечивает декомпозиции фильтра.
Цель этого небольшого вступления — указать на тот факт,
что оптимальная система координат не может быть найдена;
система координат должна выбираться с учетом особенностей
решаемой задачи. Заключительная часть данного подраздела
посвящена подробному анализу достоинств и недостатков раз-
личных систем координат. Кроме наиболее часто используемых
декартовой и полярной систем, рассмотрены так называемые
смешанная система координат и система координат, ориен-
тированная по курсу цели. Первая из них используется в основном
в системах сопровождения боеголовок баллистических ракет,
а вторая—при сопровождении интенсивно маневрирующих целей.
А. Полярная система координат. Для задач сопровождения
может показаться вполне естественным выбор полярной системы
координат (измеряются дальность, азимут, угол места и, наконец,
143
скорость изменения дальности), в которой измерения производят-
ся непосредственно РЛС. Это устраняет необходимость преобразо-
вания координат. Кроме того, в связи с независимостью и стацио-
нарностью ошибок измерений (см. подразд. 3.3.2), размерность
вектора состояния может быть уменьшена и фильтр может быть
представлен в виде совокупности трех простых фильтров, в каж-
дом из которых раздельно обрабатываются результаты измерений
дальности, азимута и угла места соответственно. Допущение
о стационарности ошибок измерений (т. е. неизменность во
времени дисперсий) позволяет осуществить дальнейшее упрощение
фильтра. Однако использование полярной системы координат
связано с определенными трудностями, так как динамика цели не
может быть описана линейными разностными уравнениями
и соответствующий фильтр становится нелинейным. Для поясне-
ния этого положения здесь будет показано, что даже при
равномерном прямолинейном движении цели будут наблюдаться
кажущиеся ускорения по дальности и углу. Более того, эти
ускорения связаны с дальностью и углом нелинейным образом.
Для иллюстрации этого явления рассмотрим простой двумерный
пример, изображенный на рис. 3.11а; цель Р с постоянной
скоростью V движется параллельно оси х. Вектор скорости может
быть разложен на две зависящие от времени составляющие:
тангенциальную Vt и радиальную р, которые можно записать в виде
Vt = Vsina, (3.1)
p = Vcos0. (3.2)
Составляющая Vt считается положительной, если она направлена
в сторону увеличения угла а, а р — положительная для удаля-
ющихся целей. Тангенциальная составляющая Vt связана с уг-
ловой скоростью d(t) следующим образом:
Максимальное значение dmax величина d(t) принимает, когда
цель находится на траверсе (дальность pCR) и oc(t) = jc/2. В этом
случае можно записать
^max = V/PcR» (3 3)
a(t) = amax sin2a(t).
Дифференцируя уравнение (3.3), получим угловое ускорение
a(t) = 2d2ax sin 3a(t)cosa(t).
На рис. 3.116 приведены зависимости нормализованных ско-
рости и углового ускорения от азимута цели. Из графика
следует, что появляется кажущееся ускорение, нелинейно
144
Рис. 3.11. Кажущиеся ускорения
145
10—1582
зависящее от Р и а; появляются также производные более
высокого порядка, которые на рисунке не показаны. Аналогичным
образом рассмотрим случай, когда траектория движения
не параллельна оси х; этот случай иллюстрируется на
рис. 3.11г. Соответствующие уравнения имеют вид
a = d*maxsin2(a+v),
a*max = V/pcR,
PcR = psin(a + v),
d = 2(dmax)2sin3(a + v)cos(a+v).
Рассмотрим теперь радиальную составляющую р скорости цели;
уравнение (3.2) можно записать в виде
Р (t) = Ртах COS 0(t),
где ртах—скорость цели V. Продифференцировав последнее
уравнение, получим радиальное ускорение
V 2
р(0=^п2®(0> (З-4)
которое принимает максимальное значение при pCR (т. е. 0 = п/2)
и равно
Pmax = V2/pCR. (3.5)
Подставив (3.5) в (3.4), получим
Р’(<)= - Ртах Sin 30(t).
Зависимости нормализованных скорости и ускорения от азимута
представлены на рис. 3.11 в. Здесь же, как и в ранее рассмотренном
примере, появляется кажущееся ускорение, нелинейно связанное
с р и 0 (производные более высоких порядков, которые также
при этом имеют место, на графике не приведены).
Следует подчеркнуть, что кажущиеся радиальное и поперечное
ускорения равны нулю, если цель движется к (от) РЛС или по
круговой траектории вокруг РЛС. В заключение заметим, что
полярная система координат вращается по отношению к тра-
ектории цели. Это иллюстрируется на рис. 3.12, где р и О —
единичные по модулю векторы в направлениях выполняемых
измерений.
Б. Декартова система координат. Рассмотрим далее декартову
прямоугольную систему координат, особенно подходящую для
представления траектории цели в виде совокупности кусочно-
линейных сегментов. Движение цели с постоянной скоростью
по прямолинейной траектории в декартовой системе моделируется
линейными разностными уравнениями. Безусловно, параметры,
первоначально измеряемые РЛС в полярной системе координат,
146
Рис. 3.12. Вращение полярной систе-
мы координат по отношению к траек-
тории цели
должны быть преобразованы в декартову систему. В подразд. 3.3.2
представлены соответствующие уравнения преобразования и спосо-
бы вычисления ковариационных матриц ошибок измерений.
К сожалению, эти ошибки коррелированы и зависят от времени, что
обусловливает необходимость использования калмановского
фильтра. Однако в простых системах СЦРО взаимосвязью
и нестационарностью ошибок пренебрегают, величины ох,
о у и oz считают равными, так что фильтр сопровождения
по-прежнему состоит из трех раздельных фильтров, соответствую-
щих осям х, у и z. Коэффициенты усиления всех фильтров одинаковы
и зависят только от времени получения отметки. Точность такого
упрощенного алгоритма уступает точности сопровождения опти-
мального фильтра (см. подразд. 3.4.2). В противоположность
полярной декартова система не вращается по отношению к траекто-
рии движения цели, т. е. является инерциальной (рис. 3.13).
В. Смешанная система координат. Эта система координат
использовалась для сопровождения боеголовок баллистических
ракет РЛС с фазированной антенной решеткой [23]. Алгоритм
экстраполяции реализовывался в декартовых координатах, где
Рис. 3.13. Декартова система коорди-
нат
147
10'
Рис. 3.14. Структура фильтра сопровождения, работающего в смешанной системе
координат
траектория боеголовок с достаточной точностью может быть
смоделирована с помощью относительно простых уравнений
состояния. При вычислениях ковариационных матриц ошибок
сопровождения и усиления фильтра используется полярная си-
стема координат. При этом вычислительные затраты сокращаются
с помощью декомпозиции фильтра. На рис. 3.14 показана упро-
щенная схема фильтра сопровождения, работающего в смешанной
системе координат. Эта система координат не нашла сколько-
нибудь широкого применения при решении задач сопровождения
гражданских или военных самолетов.
Г. Система координат, ориентированная по курсу цели. Траек-
торию военного самолета, как правило, можно представить
в виде последовательности прямых отрезков (движение по
которым осуществляется с постоянной скоростью), разделенных
резкими разворотами. Следовательно, поперечные относительно
траектории ускорения являются более вероятными, чем продоль-
ные, вызванные изменениями скорости. Это обстоятельство
обусловило применение системы координат, ориентированной по
курсу цели. В этой системе декартовы координаты используются
при сопровождении цели в прямолинейном полете; однако, как
только датчик маневра обнаруживает начало разворота, иници-
ируется дополнительная система координат, начало которой
совмещено с целью и в которой измеряются составляющие
скорости и ускорения. Новая система координат (рис. 3.15)
содержит ось г], параллельную вектору скорости, и ось
перпендикулярную ему. В этой системе координат при развороте
возникают постоянные ускорения
148
Рис. 3.15. Система коорди-
нат, ориентированная по ку-
рсу цели
ап = О, = а = const,
которые могут быть включены без смещений в модель цели,
описываемую временным полиномом второй степени. Напротив,
составляющие ускорения в декартовой системе координат (ах,
ау), связанные с (а^, ап) выражением
ах cos q> sin ср
_ау_ sincp coscp
*4
ап_
(3.6)
являются синусоидальными функциями времени и во избежание
смещения оцениваемой траектории должны описываться поли-
номами более высокого порядка (размерность вектора состояний
должна быть более трех).
3.3.2. РАДИОЛОКАЦИОННЫЕ ИЗМЕРЕНИЯ
Способность РЛС обнаруживать отраженные сигналы огра-
ничена шумом. Кроме того, шум является основным фактором,
ограничивающим точность оценивания параметров цели. При
радиолокационных измерениях обычно интересуются следующими
параметрами: дальность (временная задержка), скорость измене-
ния дальности (доплеровский сдвиг частоты) и угол прихода
сигнала. В данном подразделе приведен краткий обзор точностных
характеристик однопозиционных и бистатических РЛС [47].
Примем, что уровень сигнала существенно превышает уровень
шума и ошибки измерений различных параметров независимы.
Ошибка определяется как среднее квадратическое значение раз-
ности измеренной и истинной величин. Точность измерений
ограничена шумом приемника. Примем также, что систематичес-
кие ошибки компенсированы. Таким образом, ошибки, влияющие
на измерения параметров р, 0 и р, являются некоррелированными
гауссовскими случайными процессами с нулевым средним и сред-
ними квадратическими отклонениями ср, и ор- соответственно.
149
Можно показать, что среднее квадратическое отклонение (СКО)
радиолокационного измерения М определяется как [47]
(3.7)
(S/N)2
где S/N — отношение пиковой мощности сигнала к мощности
шума на выходе согласованного фильтра радиолокационного
приемника; к — постоянный коэффициент, значение которого близ-
ко к единице.
При измерении временной задержки под М понимается
длительность импульса, а к определяется формой частотного
спектра излучаемого импульса. При измерении доплеровского
сдвига частот М представляет собой спектральное разрешение,
а к зависит от формы импульса во временной области. При
измерении угла в качестве параметра М выступает ширина ДН
антенны, а к определяется характером облучения апертуры
антенны. К другим источникам ошибок, не учтенным в уравнении
(3.7), относятся флуктуации отраженного от цели сигнала и вли-
яние многолучевого распространения радиоволн [47, 60].
Мощность отраженного сигнала в общем случае неизвестна,
поскольку отражающие свойства не одинаковы не только для
разных целей, но и для одной и той же цели со временем
меняются. Следовательно, оценить ошибку измерения в общем
случае невозможно. Поэтому в задачах сопровождения, как
правило, принимается фиксированное СКО ошибки [47]
о = const «0,1 ц,
где |1 зависит от длительности импульса т при измерении
дальности, ширины ДН антенны при измерении угла и ширины
полосы доплеровского фильтра при измерении частоты соответ-
ственно.
Эти зависимости можно записать следующим образом:
сгр~ 0,1 ст/2,
<^е — 0» 1 Be,
ofd«0,lBf = 0,l/NT,
где с—скорость распространения света; Т — период повторения
импульсов в последовательности из N импульсов.
Параметр обозначает дисперсию результата измерения как
азимута, так и угла места цели. Среднее квадратическое от-
клонение радиальной скорости вычисляется как
ap = Xofd/2,.
где X—длина волны излучаемого сигнала.
150
Кроме отражающих свойств цели на отношение сигнал-шум
влияет также дальность цели. Это влияние без учета затухания
радиоволн на трассе их распространения можно представить
в виде соотношений
S / N ~ Jр " 4—для однопозиционной РЛС,
S/N~ }(pTpR)-2—для бистатической РЛС.
В соответствии с уравнением (3.7) зависимость СКО ошибки
измерения от отношения сигнал-шум имеет вид
о ~(S/N)-1/2.
Объединив два последних выражения, получим следующую за-
висимость СКО от дальности:
[р2 —для однопозиционной РЛС,
1рт Pr—для бистатической РЛС.
В дальнейшем, как правило, будем полагать, что ошибки
измерений в полярных координатах не зависят от дальности
цели. Эта возможность будет учтена лишь при сравнении
точности сопровождения однопозиционной и бистатической РЛС
(разд. 4.8). Поэтому можно рассматривать следующие соот-
ношения:
а) для фиксированных ошибок измерений
ор = о*р, о0 = о*0;
б) для ошибок, зависящих от дальности
_PtPr * _ _PtPr_*
аР’ О0--1—СТ®,
Р max Р max
где максимальная дальность ртах используется для нормирования.
Рассмотрим далее задачу преобразования полярных координат
в декартовы; эта задача возникает в том случае, когда со-
провождение целей производится в декартовых координатах.
Преобразования координат, связанные с измерением радиальной
скорости, будут рассмотрены в гл. 4. Здесь же сначала рассмотрим
двумерный случай, а затем полученные результаты распространим
на трехмерный вариант задачи. Преобразование полярных ко-
ординат в декартовы производится с помощью соотношений
х = р cos 0,
у = р sin 0,
где азимутальный угол 0 отсчитывается от оси х.
Оценим ошибки измерения координат х и у, обусловленные
ошибками измерений дальности р и азимута 0. В связи
с нелинейностью преобразования (3.8) ошибки измерений
151
(3.8)
в декартовых координатах имеют негауссовское распределение,
и, следовательно, оптимальный фильтр сопровождения будет
нелинейным (см. разд. 2.6). Чтобы избежать усложнения задачи,
будем полагать, что ошибки измерений (Др, Д0) в полярных
координатах малы по сравнению со значениями истинных
координат цели (р, 0). Продифференцировав обе стороны урав-
нения (3.8) с учетом принятого допущения, получим выражения
для ошибок измерения для декартовой системы координат:
Дх ~ Др cos 0 — р sin 0,
Ду ~ Д р sin 0 + р cos 0.
При принятом допущении зависимость между (Др, Д0) и (Дх,
Ду) линейна, в результате чего сохраняется гауссовское рас-
пределение вероятностей ошибок. Поэтому Дх и Ду — взаимо-
зависимые гауссовские случайные величины с нулевым средним
и дисперсиями:
и* = Qp cos2 0 + p2 tri sin2 0,
о 2 = о 2 sin 0 + р2 и © cos2 0, (3.9)
аху = (ар — р2 Q i) sin© cos 0.
Вследствие этого ошибки измерения декартовых координат цели
имеют гауссовское распределение, являются взаимно коррелиро-
ванными и зависят от местоположения цели. Полученные величи-
ны могут быть представлены в виде ковариационной матрицы
R результатов радиолокационных измерений (подразд. 2.3.1)
2
<?ху
2
СГуХ СУ V
У А У.
(3.10)
Хотя предложенный подход и является приближенным, тем не
менее это единственный рациональный способ избежать примене-
ния нелинейного фильтра сопровождения (подразд. 4.2.3).
Рассмотрим теперь следующее трехмерное преобразование
координат (рис. 3.16):
х = р cos ф cos 0, y = pcos\|/sin0, z = psin\|/.
Прибегнув к использованной выше математической процедуре,
получим следующие уравнения:
о 2 = о 2 cos2 ф cos2 0 + р2 cos2 ф sin2 0сг © + р2 sin2 ф cos2 0п
и 2 = и 2 cos2 ф sin2 0 + р2 cos2 ф cos2 0сг i + р2 sin2 ф cos2 0п
и2 = и2 sin2 ф+ р2 cos2 фи
и
стху = [0,5 sin 20] [ст2 cos2 ф- р2 cos2 фст^ + р2 sin2 фст ^],
152
Рис. 3.16. Декартова система коорди-
нат
Цель
Позиция
ау2 = [0,5 sin 2\|/J [а р — р2 а ф] sin 0,
axz = [0,5 sin 2\|/] [а 2 — р2 а ф] cos 0.
Как и ранее, полученные ковариации могут быть сведены
в матрицу R
R =
СТ х (Уху (УХг
<?ху у
^XZ Gyz & z
В целях простоты анализа ковариационной матрицы R огра-
ничимся двумерным случаем. Обозначим двумерный вектор
результатов измерений в декартовой системе координат как
Тогда выражение
zTR xz = k
определит эллипс постоянных ошибок измерений на плоскости
(х, у). Ортогонализация матрицы R позволяет записать последнее
уравнение в канонической форме
где А и В — полуоси эллипса.
Интерес представляют два параметра эллипса (полученной
геометрической фигуры): площадь S, которая позволяет оценить
значения ошибок по обеим координатам, и эксцентриситет е,
определяющий форму фигуры, а следовательно, величину проек-
ций на оси х и у:
е = 0 —круг,
153
0<е< 1 —эллипс,
е=1—прямая линия.
Площадь и эксцентриситет полученной фигуры вычисляются
следующим образом:
S = лАВ,
([1-(В/А)2р, А>В,
е—J 1
[[1-(АВ)2]2, в>а,
или с использованием матрицы R
S = кл | R12 = —оху,
е = -------г+1Н
(.[(nx-ay)2+4CTt]2 J
Вследствие симметрии эллипса его площадь и эксцентриситет
не зависят от 0. При 0 = 0 площадь определяется как
S = kn(poe)op.
Таким образом, площадь пропорциональна произведению тан-
генциальной ошибки рств (обусловленной ошибкой измерения
азимута) и ошибки измерения дальности ар. Площадь является
возрастающей функцией р, поэтому общая ошибка измерений
возрастает с увеличением дальности цели. При 0 = 0 эксцент-
риситет рассчитывается по формулам
_ f —а, 0<а<1,
6 (Vl-O/a), а>1,
где а—отношение тангенциальной ошибки рств к радиальной
Стр, т. е.
а = рав/Ср.
На рис. 3.17 приведена зависимость эксцентриситета от величины
параметра а. На рис. 3.18 представлены типичные формы эллипса
ошибок, определяемого уравнением-(3.11).
В точке размещения РЛС эллипс вырождается в отрезок
прямой, имеющей направление РЛС—цель; при этом имеет
место ошибка только по дальности. Напротив, при бесконечном
удалении цели преобладает азимутальная ошибка. При дальности
цели р* эксцентриситет равен нулю, т. е.
р*ов = ор.
154
Рис. 3.17. Зависимость
эксцентриситета эллипса
постоянных ошибок от
отношения тангенциаль-
ной и радиальной оши-
бок
Если дальность цели составляет О...р*, то эксцентриситет меньше
единицы и ошибка по дальности преобладает над азимутальной
ошибкой. Если дальность превышает значение р’, то эксцент-
риситет вновь становится меньше единицы, но в этом случае
преобладает азимутальная ошибка (более типичный случай). На
рис. 3.18 показана также возможность графического определения
величин стх и 0У по эллипсу ошибок.
Определим условия, при которых ошибка пху стремится к нулю
или, по крайней мере, становится пренебрежимо малой. Такой
случай очень важен, поскольку при этом появляется возможность
заменить фильтр сопровождения, работающий в декартовых
координатах, двумя отдельными более простыми фильтрующими
у
Рис. 3.18. Типичные формы эллипса постоянных ошибок
155
устройствами, в каждом из которых обрабатывается информация по
одной из координат. В связи с этим сравним величину оху с суммой
дисперсий ох и ау, сформировав, таким образом, параметр
Г — _^ц=( )sin20 = 8y,
\l+a /
где 8 = (1 — a2)/(l+a2); v = sin20.
Можно заметить, что при изменении а от нуля до бесконеч-
ности 8 изменяется в интервале [1, —1]. Кроме того, значения
v, а следовательно, и Г принадлежат интервалу [1, —1]. На
рис. 3.19 приведены кривые постоянных значений Г в зависимости
от 8 и v для одного квадранта. Кривые имеют вид гипербол,
симметричных относительно осей координат. Заметим, что при
уменьшении Г до нуля гиперболы приближаются к осям ко-
ординат. В заключение отметим также, что Г всегда меньше
единицы. Следовательно, допущение о том, что о бесконечно
мало по сравнению с (о2 + оу), является вполне разумным
приближением, которое может использоваться в простых
фильтрах сопровождения, таких как реализующих а—р-алгоритм
(разд. 3.4.2). В более точных фильтрах сопровождения, таких
как калмановский фильтр, влияние оху учитывается (см. разд. 4.2).
3.3.3. МОДЕЛЬ ЦЕЛИ
Как уже упоминалось в гл. 1 и 2, в теории оценивания и,
в частности, в теории калмановской фильтрации используются
математические модели, описывающие физическую сущность
оцениваемых явлений (систем). Математическая модель описывает
переменные состояния в данный момент времени как функцию
156
переменных состояния в предыдущий момент времени. Перемен-
ные состояния были определены (см. разд. 2.3) как минимальный
набор переменных, дающих полную информацию о поведении
системы. Переменные состояния связаны с энергией системы.
Будет, в частности, показано, что при моделировании движения
цели переменными состояния являются местоположение цели
(связанное с гравитационной энергией) и ее скорость (связанная
с кинетической энергией).
В связи с тем, что вычислительные затраты с ростом числа
переменных состояния увеличиваются, разработчики, как правило,
стремятся упростить моделирующие уравнения с минимальным
ухудшением точности модели, а следовательно, качества со-
провождения. Эта процедура аналогична введению шума, с по-
мощью которого учитываются неполнота знаний об истинной
модели цели и непредсказуемые явления, такие как порывы
ветра или управляющие воздействия летчика. К счастью, при
сопровождении могут использоваться относительно простые по-
линомы, поскольку экстраполяция осуществляется с короткими
интервалами упреждения. Совершенно иная ситуация наблюдается
при оценивании полной траектории орбитальной цели. В этом
случае при моделировании орбиты надо учитывать все силы,
действующие на цель, и использовать сложные нелинейные
дифференциальные уравнения; аналогичным образом прогнозиру-
ются координаты падения боеголовок баллистических ракет.
Управляемые человеком объекты рассматриваемого класса
(такие, как самолеты и суда) движутся, как правило, прямолиней-
но и с постоянной скоростью. Типичные уровни скоростей целей
представлены в табл. 3.2. Развороты, маневры уклонения и ускоре-
ния, обусловленные турбулентностью окружающей среды, могут
рассматриваться как возмущения, накладываемые на процесс
движения, выполняемого с постоянной скоростью. В той же
таблице приведены действительные значения преднамеренных
ускорений и скоростей разворотов. Ускорения могут быть двух
типов: продольные (приводящие к изменению скорости) и попереч-
ные (изменяющие направление движения). Последние более харак-
терны для военных самолетов.
Таблица 3.2
Кинематические параметры целей
Тип цели Скорость, м/с Ускорение или скорость разворота
Корабль Военные: 0...20 2 град/с
самолет 50...1000 50...80 м/с2
ракета 200... 1200 до 100 м/с2
вертолет 0...80 1,5...3 град/с
Гражданский самолет 50...300 1,5...3 град/с
157
В уравнении состояния параметр ускорения выступает в качест-
ве входного воздействия со случайными характеристиками, с по-
мощью которого учитываются непредсказуемые управляющие
команды летчика и возмущения окружающей среды. Независимо
от типа используемой системы координат математическая модель
движения цели в одном физическом измерении может быть
представлена в виде следующих разностных уравнений:
xk + i =xk + xkT + 0,5ax.kT2, (3 12)
хк+1 = хк + ах>кТ,
где хк, хк —положение и скорость цели при k-м цикле обзора;
аХ1к — ускорение цели; Т — период обзора РЛС (предполагается,
что период постоянен).
Следовательно, при одношаговой экстраполяции траектория
цели моделируется с использованием полинома второй степени (по
времени) для положения и первой степени—для скорости.
Следующим шагом является описание характера ускорения цели.
В первом приближении можно принять, что ускорение аХ1к предста-
вляет собой стационарную случайную нормально распределенную
переменную с нулевым средним значением и заданной дисперсией
о2. Предполагается также, что ускорение в данный момент времени
не зависит от ускорений, имевших место в другие моменты
времени. Математическая запись принятых допущений имеет вид:
Е{аХ1к}=0,
Е{ах,к4 = Оа и постоянно при всех к,
Е{ах.к-.х>п}=0, п#к.
Выражения (3.12) можно записать в форме уравнения состояния
sk+1 =<Dsk + GaXik,
где sk (2, 1) — вектор состояния:
s -ГХк"
к- X ’
LXkJ
Ф (2, 2) — матрица перехода:
~ ’1 т-
.° 1J
G — матрица коэффициентов усиления шума:
„ Гт2/2"]
(3.13)
(3.14)
(3.15)
(3.16)
Начальное состояние s0 для этой системы вновь задается
с помощью случайной нормальной распределенной переменной
со средним значением s0 и ковариационной матрицей Ро.
158
Двумерную модель цели (в тангенциальной плоскости, каса-
ющейся Земли в точке размещения РЛС) нетрудно построить,
приняв для дополнительной координаты выражение, аналогичное
уравнению (3.13). Совмещая две модели, получим разностное
уравнение
sl+1=O*s-k + G-u, (3.17)
где вектор состояния s‘, матрица перехода Ф* и матрица усиления
шума G* имеют вид
ф*= s-T = | -1 Т : 0 о- 0 1 : 0 0 [xkxkykyk , G* = ]. -Т2/2 : 0 Т : 0 (3.18) . (3.19)
0 0 : 1 Т .0 0 : 0 1. 0 : Т2/2 .0 : Т .
Шум ит = [ах, ау] является гауссовским случайным процессом
с нулевым средним значением и соответствующей ковариационной
матрицей Q'. В простейшем случае эта матрица может иметь вид
Q' = Ga2I
(3.20)
При этом предполагается взаимная статистическая независимость
ускорений и одинаковая дисперсия о2 в обоих каналах измерений.
Уравнения (3.18)—(3.20) могут быть легко распространены на
более полный трехмерный случай с шестимерным вектором
состояния.
Рассмотрим далее уравнения (3.19) и (3.20), преобразованные для
использования в системе координат, связанной с целью. Подставив
выражение (3.6) вместо вектора и и уравнение (3.17), получим
sk+1 — O*sk+G
cos ф sin <р "I Га4'
— sin ф cos фJ |_ал
Ковариационная матрица вектора [а4 ал ] имеет вид
при этом о4»ол, поскольку ускорение а5 более вероятно, чем ал.
Следует обратить внимание на то, что принятие гипотез
о гауссовском распределении и белом спектре ускорений цели
обеспечивает непосредственное использование калмановского ал-
горитма. Однако если гипотеза о гауссовском распределении
не принята, то соответствующий оптимальный фильтр должен
быть нелинейным. Далее, если ускорения коррелированы во
времени, то необходимо применять «отбеливающие» процедуры
159
и дополнять вектор состояния. Если процесс ускорения не-
стационарен, то следует применять более сложные модели
цели и соответствующие алгоритмы фильтрации. Сделанные
здесь допущения позволяют получить простой алгоритм со-
провождения в рамках теории калмановской фильтрации. Ма-
тематические модели ускорения цели, более полно отражающие
реальные процессы, приведены в гл. 4 и используются для
вывода алгоритмов сопровождения повышенной точности.
3.4. ФИЛЬТРЫ СОПРОВОЖДЕНИЯ
В данном разделе теория фильтрации, кратко рассмотренная
в гл. 2, используется для формирования алгоритмов систем
СЦРО. Сначала рассматриваются вопросы применения кал-
мановского фильтра и оцениваются его характеристики в пе-
реходном и установившемся режимах. Затем основное внимание
уделяется этому фильтру в установившемся режиме и возможным
вариантам его применения. Усиление фильтра в установившемся
режиме может быть вычислено заранее и записано в память
ЭВМ. Дальнейшие упрощения связаны с а —Р-фильтром (см.
подразд. 3.4.2), который широко используется на практике.
При расчете этого фильтра минимизируется средняя квад-
ратическая ошибка фильтрации положения и скорости с учетом
допущения о прямолинейном движении цели. Следовательно,
влияние шума не учитывается. Приводится подробный анализ
этого фильтра с целью оценки возможностей фильтрации
шума в установившемся режиме и определения времени реакции
на внезапные изменения детерминированных входных воздействий.
Анализ позволяет обосновать компромиссное решение при удо-
влетворении двух противоположных требований: хорошей
фильтрации шума измерений (которая может быть обеспечена
с помощью узкополосных фильтров) и быстрого отслеживания
резких маневров цели (которое предполагает использование
широкополосных фильтров). Компромиссное решение может
быть получено для умеренных ускорений цели, однако в более
общем случае приходится прибегать к адаптивным фильтрам,
рассмотренным в разд. 2.5. В данном разделе приводятся
краткие сведения о применении этой концепции к разработке
а—|3-фильтра. Более полно прикладные задачи теории адаптивной
фильтрации описываются в разд. 4.3.
3.4.1. ПРИМЕНЕНИЕ КАЛМАНОВСКОГО АЛГОРИТМА
Рассмотрим порядок разработки фильтра сопровождения на
основе калмановского подхода, который может быть, безусловно,
применен, поскольку приняты линейные модели динамики цели
и измерительного датчика, а возмущающие воздействия и шум
160
измерений гауссовские, белые и взаимно независимые. Для
упрощения выкладок анализ будет ограничен одномерным случа-
ем (координатой х). Задача состоит в формировании оптималь-
ного фильтра сопровождения цели при случайных ускорениях,
вызывающих отклонение цели от прямолинейной траектории.
Координата цели измеряется через одинаковые интервалы времени
(это предположение не является необходимым для теории кал-
мановской фильтрации) и результат каждого измерения искажен
шумом. Кроме того, в задачу входит определение точности
оценивания координат и скорости цели. Для упрощения анализа
приводятся уравнения только для установившегося режима ра-
боты фильтра. Принятая модель системы описывается уравне-
ниями (3.13)—(3.16), а уравнение наблюдения имеет вид
zk + 1 =Hsk + i +wk + 1, (3.21)
где H=[l 0]—вектор проекции пространства состояния на
пространство измерений.
Шум наблюдений w представляет собой гауссовскую случайную
последовательность с нулевым средним значением и стационарной
дисперсией oj; шум w не зависит от возмущающего шумового
процесса ах и начального состояния s0. При применении теории
калмановской фильтрации условие стационарности шумов
w и ах не является обязательным.
Уравнения (3.13)—(3.16) и (3.21) записаны в стандартной для
калмановской теории фильтрации форме [15], поэтому оптималь-
ные оценки положения и скорости можно представить в сле-
дующем виде (см. табл. 2.1, гл1. 2):
sk/k = sk/k _! + Kk (zk Hsk/k_i), (3.22)
Sk/k - 1 = Ф₽к- 1/k -1 • (3.23)
Коэффициент усиления калмановского фильтра Кк (2.1) опре-
деляется как [15]
Kk = ?k/k_1HT(H?k/k_1 HT+aJ)-1, (3.24)
(в данном^ случае матрица R вырождается boJ), а ковариационная
матрица Pt/t-i экстраполированного состояния рекурсивно вычис-
ляется с помощью уравнения
Рк+1/к = ФК/кФт+ССтаа2, (3.25)
(в данном случае Q = GGToa), причем
^к/к=(1-КкНк)Рк/к_1, (3.26)
или, что то же самое,
Рк/к=Рк/к-1+НтНо;2. (3.27)
161
11—1582
Р2/2 =
Исходный цикл вычислений, произведенных с помощью уравнений
фильтрации, осуществляется на основе результатов двух первых
радиолокационных измерений zx и z2 положения цели, так что
§2/2 = [Z2 (Z2 -Zi )/Т].
Нетрудно показать, что соответствующая ковариационная мат-
рица Р2/2 имеет вид [15]
crw/T2
_qw/T 2с2/Т2_-
Применение условий стабильности, рассмотренных в подразд.
2.4.3, показывает, что ранг блочных матриц [G 0G] и [Н Н0]
всегда полный (т. е. равен порядку матрицы), за исключением
случая, когда период обзора РЛС Т стремится к нулю; это
наблюдение является вполне прозрачным.
Рекуррентные уравнения, в которые входят ковариационные
матрицы Pk+1/k, Pk/k и коэффициент усиления фильтра Кк, могут
быть легко решены на ЭВМ. Рассмотрим изменение во времени
составляющих коэффициента усиления калмановского фильтра,
что позволит оценить время реакции и другие характеристики
фильтра сопровождения. Обозначив через Кх и К* составляющие
коэффициента усиления фильтра, используемые для обновления
экстраполированного положения и скорости цели соответственно,
т. е.:
Kk = [KXik Кх-, к]>
можно заметить, что Кх к и произведение КХТ зависят от
одного безразмерного параметра
r=4nw/aaT2, (3.28)
который можно рассматривать в качестве аналога отношения
сигнал-шум. Действительно, параметр aw представляет собой
среднюю квадратическую ошибку измерения координаты,
а оаТ2/2—ошибку измерения координаты, вызванную посто-
.янным ускорением оа. На рис. 3.20 и 3.21 показано изменение
Кх и Кх-Т в зависимости от числа циклов обзора РЛС
для различных значений параметра г. Из рисунков видно,
что при изменении параметра г от бесконечности до нуля
Кх изменяется в интервале [0, 1 ]. В то же время при аналогичном
изменении г коэффициент усиления по скорости Кх-Т изменяется
в интервале [0, 2]. Отметим очень важный факт, связанный
с параметром г: при увеличении г (т. е. уменьшении ста)
время реакции фильтра увеличивается, однако качество фильтра-
ции шума улучшается в связи с малым уровнем усиления
в установившемся режиме. Напротив, если г стремится к нулю
(т. е. оа возрастает), время реакции фильтра уменьшается,
162
Рис. 3.20. Зависимость коэффициента усиления (Кх) от числа циклов обзора
163
11
что сопровождается ухудшением качества фильтрации шума
модели и измерений. При этом наблюдается высокий уровень
усиления в установившемся режиме, из-за чего усиливается
влияние результатов последних измерений, введенных в фильтр,
при этом сглаживание шума отсутствует. Другими словами, при
малой постоянной времени фильтр становится широкополосным
и свободно пропускает шум, тогда как большая постоянная
времени соответствует узкополосному фильтру, уменьшающему
флуктуации шума.
Рассмотрим условия установившегося режима, для которого
могут быть получены весьма полезные уравнения. В установив-
шемся режиме
^k + l/k = ^k/k-l =Рр’ ^k/k = Pk-l/k-l=^f!
следовательно, уравнения (3.25) и (3.27) можно записать следу-
ющим образом:
Рр=ФРрФт + ССт<Уа, (3.29)
Pf-1 = ^p_1 + HTHCT2. (3.30)
Следует обратить внимание на то, что даже в установившемся
режиме ковариационные матрицы до и после обработки наблюде-
ний не совпадают. Действительно, i*f<i*p; это объясняется тем,
что использование результатов наблюдений позволяет уменьшить
ошибки. Однако вследствие наличия случайного ускорения ошибки
в течение интервала времени между наблюдениями нарастают,
что происходит в соответствии с уравнением (3.25). Установив-
шийся режим достигается тогда, когда уменьшение ошибки,
получаемое в результате каждого наблюдения, становится точно
равным увеличению ошибки между наблюдениями. Это показано
на рис. 3.22. Для упрощения анализа объединим уравнения (3.29)
и (3.30):
?р —ССТОа=Ф(₽р 1+НТНст2)"1ФТ (3.31)
Рис. 3.22. Оценка ошибки
в установившемся режи-
ме [15]
и определим элементы матрицы
р =Грр<1’
₽ |Л(2, 1)
Рр(1,2)
Рр(2, 2)
После решения уравнений (3.31), требующего большого объема
алгебраических преобразований, получим
Рр(1, 1)/о^ = [5/Г+2г(ч/Г+2г+1)2]/г2,
Рр(1, 2)/(пж0аТ) = (УГ+2?+ 1)2/(2г),
Р (2, 2)/(стаТ2) = (х/Г+2г+1)/2.
Из уравнений (3-32) и (3.30) получим ковариационную
.=ГРГ(1, 1) Pf(l, 2)”
f L^f(2, 1) Pf(2,2)_
(3.32)
матрицу
и ее элементы
pz(l, 1)/<т2 = [УТ+2^(УГ+2?- 1)2]/г,
Pf(l, 2)/(стж0аТ) = (>/1+2г—1)2/(2г), (3.33)
Pf(2, 2)/(оа Т2) = (ч/Г+2г—1)/2.
В соответствии с (3.24) коэффициент усиления калмановского
фильтра в установившемся режиме Кда имеет следующие со-
ставляющие:
КХ10О = Рр(1, 1)/[Рр(1, 1) + <т2],
(3.34)
Ki>00 = Pp(l,2)/[Pp(l, 1) + о2]
или, в иной форме,
К =Pf(l, 1)/<т2,
(3.35)
Kit00 = Pf(l, 2)/02.
Уравнения (3.34), (3.35) иллюстрируют физическую сущность
коэффициента усиления калмановского фильтра: если соответст-
вующие элементы ковариационной матрицы пренебрежимо ма-
лы по сравнению с дисперсией шума измерений о2, то подчер-
кивается вклад в оценку экстраполированного состояния [см.
(3.22)]. Напротив, если дисперсия о2 меньше, чем Pk/k и
то больше усиливаются данные измерений.
Подставляя (3.32) (или (3.33)) и (3.34) (или (3.35)), соответ-
ственно получаем
Кх = [У1+2^(УТ+2?-1)2]/г2,
Kk = 2(71+2r- 1)2/Тг2,
165
Отношение шум-сигнал r = 4Ow /<7аТ^
Рис. 3.23. Точность определения
координат до и после измерений
[15]
что соответствует значениям, полученным по рис. 3.20 и 3.21
для. установившегося режима. Величины Рр(1, 1)/о^ и fyL OMw
представляют собой отношение средних квадратических ошибок
экстраполяции и фильтрации к средней квадратической ошибке
датчика. Очевидно, что средняя квадратическая ошибка фильтра-
ции меньше собственной ошибки датчика. Если уровень случайных
ускорений велик, то предыдущие оценки координат и скорости
не приводят к такому уменьшению ошибки фильтрации коор-
динат, которая была бы значительно ниже собственной ошибки
датчика. С другой стороны, если уровень случайных ускорений
очень мал, то значения координат и скорости в любой момент
времени сильно зависят от предшествующих значений. Следо-
вательно, появляется возможность оценить координаты цели
с точностью^ большей точности датчика. Таким образом, значение
отношения Pf(l, 1)/Ow имеет верхний предел, равный единице.
Этот предел достигается при бесконечном увеличении уровня
случайных возмущений. При снижении уровня случайных ускоре-
ний величина^ Рг(1, 1)/с« монотонно убывает.
Величина Рр(1, 1)/<т£ представляет собой отношение средней
квадратической ошибки экстраполяции к средней квадратической
ошибке датчика. Если уровень случайных ускорений или интервал
между наблюдениями (либо обе эти величины) достаточно велики,
то .отношение намного превышает единицу. Поэтому можно
полагать, что верхний предел средней квадратической ошибки
определения координат (до измерений) отсутствует. Если уровень
случайных ускорений и (или) интервал между измерениями малы,
то и нарастание ошибки экстраполяции координат в период
между измерениями будет незначительным. В связи с этим при
уменьшении уровня случайных ускорений значение ^отношения
Рр(1, 1)/ст£ приближается к значению отношения Pf(l, 1)/о«.
166
Рис. 3.24. Точность определения скорости до и после измерений [15]
Уравнения (3.32) и (3.33) подтверждают правильность приведен-
ных рассуждений. На рис. 3.23 показаны зависимости отношений
Рр(1, 1)/о2 и Pf(l, 1)/о2 (которое равно коэффициенту Кх) от
отношения шум-сигнал г.
Скорость цели определяется путем деления разности резуль-
татов двух последовательных измерений координат на интервал
времени между измерениями. Понятно, что точность измерений
ухудшается при увеличении шума датчика и уровня ускорений.
Этот вывод подтверждается анализом. В частности, на рис. 3.24
приведены кривые Pf(2, 2)/о2Т2 и Рр(2, 2)/о2Т2, получен-
ные с использованием уравнений (3.32) и (3.33). Наконец, на
рис. 3.25 представлена зависимость составляющих коэффициента
усиления калмановского фильтра в установившемся режиме от
Рис. 3.25. Зависимость
составляющих коэффици-
ента усиления калмановс-
кого фильтра в установи-
вшемся режиме от от-
ношения шум-сигнал
167
величины г. Еще раз отметим, что предельным значением
при г->0 являются единица для составляющей координат и два
для составляющей скорости. Обе составляющие стремятся
к нулю при неограниченном возрастании параметра.
3.4.2. а — Р-АЛГОРИТМ
Упростим устройство сопровождения, рассмотренное в преды-
дущем подразделе. Примем следующее [3]:
траектория цели прямолинейна, т. е. ускорения в модели цели
отсутствуют и в уравнении (3.20) па = 0;
шум измерений стационарен, т. е. значение aw(k) постоянно
на каждом k-м цикле обзора РЛС;
период обзора РЛС Т постоянен.
При этих допущениях отношение шум-сигнал г в уравнении
(3.28) стремится к бесконечности и составляющие коэффициента
усиления Кх и К- достигают предельных значений, как показано
на рис. 3.26. Поэтому становится возможным непосредственное
решение уравнений (3.24) — (3.27) и получение формул, по ко-
торым можно вычислять значения составляющих коэффициента
усиления и точности сопровождения в зависимости от номера
цикла обзора к. Так, составляющие коэффициента усиления не
зависят от nw и могут быть вычислены следующим образом
(см. рис. 3.26):
_2(2k—1) = 6
х к(к+1)’ х к(к+1)Т
(3.36)
При небольшом числе циклов обзора (к мало) оценки координат
и скорости статистически ненадежны, поэтому Кх и К- должны
иметь большие значения для увеличения веса полученных данных
168
измерений. По мере роста числа выполненных измерений надеж-
ность оценок возрастает и коэффициенты Кх и Кх должны
уменьшаться до нуля.
При увеличении номера цикла обзора к последние формулы
принимают вид
Kx=-, Kk=4--
X k’ x k2T
Точность устройства^ сопровождения характеризуется состав-
ляющими ковариации Pk/k(*> j)’
Pk/k(l, l) = Kx(k)o*, (3.37)
Г\/к(1,2) = КДк)с£, (3.38)
^(2-2)=i^k <3-39>
При увеличении к выражение (3.37) приобретает вид
что можно было бы ожидать, поскольку при усреднении резуль-
татов к независимых измерений со средним квадратическим
отклонением qw результирующее среднее квадратическое от-
клонение равно GvJy/k.
Рассмотрим функционирование устройства сопровождения при
экстраполяции состояния цели на интервал времени, превыша-
ющий период фбЗора. В различных областях применения, на-
пример в системах предотвращения столкновений или управления
оружием, требуется оценить состояние s при k + n-м цикле обзора
РЛС, если имеются результаты измерений, полученные до к-го
цикла обзора включительно. Учитывая физический смысл переход-
ной матрицы Ф, можно записать
®к + п/п==<®>П®к/к’
где, как нетрудно показать,
фп =
"1 пТ
О 1 ’
Ковариационная матрица оценки sn+k/k
Рк + п/к = Ф*%к(ФП)Т-
(3.40)
(3.41)
Подставляя (3.37) — (3.39) и (3.40) в (3.41), получаем уравнение
для ошибки определения координат:
, __ 2 (k—l)(2k—l)4-6n(k~ 1)-Ьбп2
k + n/k(l. i)-^w (k-l)(k+l)k
(3.42)
169
Рис. 3.27. Точность экстраполя-
ции координат устройством со-
противления (цель движется без
ускорения)
На рис. 3.27 приведена зависимость Pk+n/k(lil) от номера цикла
обзора к при различных значениях п. Из рисунка видно, что при
увеличении п для получения экстраполированных значений более
точных, чем непосредственные результаты измерений, необходимо
обрабатывать большее число результатов радиолокационных
наблюдений. Уравнения (3.36)—(3.39) были получены независимо
от теории калмановской фильтрации путем согласования с помо-
щью метода наименьших квадратов некоторой совокупности
данных с прямолинейной траекторией цели, движущейся с посто-
янной скоростью [2]. Приведенный в данном подразделе алгоритм
обычно называют а — 0-алгоритмом (иногда g — h-алгоритмом)
[13], а коэффициенты а и 0/Т соответствуют составляющим
коэффициента усиления Кх и К*. В более общем виде с помощью
а —p-алгоритма может быть описано любое устройство сопровож-
дения со стационарным коэффициентом усиления, характеризуе-
мое следующими матричными уравнениями (см. (3.22) и (3.23)):
Xk/k
_Xk/k_
т Н Т
Хк + 1/к
_Хк + 1/к_
”1
О
Т Хк/к
1 JLXk/kJ
(3.44)
170
где постоянные параметры аир выбираются таким образом,
чтобы обеспечивалась достаточно эффективная фильтрация шума
и в то же время сохранялась необходимая скорость реакции
на неожиданные развороты цели.
Далее будут рассматриваться наиболее общие категории выбора
значений параметров а, р. Будет анализироваться функционирова-
ние устройства сопровождения при шумовых и детерминирован-
ных воздействиях. В первом случае анализ позволяет определить
качество фильтрации устройством сопровождения шумовых со-
ставляющих измерений РЛС. Во втором случае определяются
время реакции, тип переходной характеристики системы и ошибки
в установившемся режиме, обусловленные характером входных
сигналов, например скачкообразным изменением скорости.
А. Качество фильтрации шумовых составляющих. Дисперсии
и ковариации xk/k и xk/k могут быть оценены рекурсивно
[14]. Рассмотрим а —P-устройство сопровождения, представленное
уравнением (3.43) в виде динамической системы с шумом на
входе zk. Применяя уравнение (2.25) (см. подразд. 2.4.1) к урав-
нению (3.43), получаем
Ек = АЕк _ х Ат + ВВто£, (3.45)
где
Zk(l, l)Zk(l,2)-|arpik„i..P1..
|_Zk(2, l)Zk(2. 2)J Lp>.,..;..pi.
Вт = [а Р/Т].
т
Здесь Ря и Р*—дисперсии координат и скорости после
фильтрации, а Р* —ковариация параметров xk/k и xk/k. После
алгебраических преобразований уравнения (3.45) получим:
Mb О
Mb 2)
Sk(2, 2)
(1—а)2 2(1—а)2Т (1—а)2Т2
— Р(1—а)Т (1—а)(1—2р) (1—а)(1—Р)Т
(Р/Т)2 -2Р(1-Р)Т (1-Р)2
Решение уравнения (3.46) для установившегося режима получим,
подставив Ek = Ek_1 и решив соответствующее алгебраическое
уравнение:
171
*(>•
1(2, 2)/<’i = a(4_2f_|J)T.
С помощью этих уравнений можно оценить уменьшение дисперсий
и ковариации траектории после фильтрации по сравнению
с дисперсией шума измерений.
Для оценки уменьшения дисперсии экстраполированных ко-
ординат используем уравнение (3.41) при п = 1:
Р* =Р* +2ТРЯ j +Т2Рг . (3.48)
Ak+l/k Ak/k Ak/k»Ak/k Ak/k x '
Подставив установившиеся значения (3.47) в уравнение (3.48),
получим установившееся значение Ер для P^+lt
/ 2=2р+ар+2^. (3.49)
р/ w а(4-2а-р) v 7
В уравнения (3.47), (3.49), описывающие уменьшение дисперсии,
входят обе составляющие коэффициента усиления фильтра аир.
Однако рациональным выбором структуры фильтра (см. далее
(3.53)) коэффициенты, характеризующие уменьшение дисперсии
в установившемся режиме, могут быть представлены в зависи-
мости только от одного параметра а. Графики зависимости
этих коэффициентов от а приведены на рис. 3.28. Нетрудно
заметить, что чем меньше составляющая усиления а, тем выше
качество фильтрации шума измерений.
Б. Анализ а—p-устройства сопровождения при детерминирован-
ных входных сигналах. Цель данного подраздела состоит в рас-
смотрении работы устройства сопровождения при детерминиро-
Рис. 3.28. Зависимость коэффи-
циента уменьшения дисперсии
в установившемся режиме от
коэффициента а
172
Рис. 3.29. Модули частотных характеристик а—13 устройства сопровождения при
а=0,529 и Р = 0,579 [14]
ванных входных воздействиях. Оценим сначала передаточные
функции устройства сопровождения [14]. Применив z-преоб-
разование к уравнениям (3.43) и (3.44), получим передаточные
функции соответственно для отфильтрованной координаты и ско-
рости, а также для экстраполированной координаты:
н «5К-ь(Р—<*)/«]
z(0 ^-?(2-а-Р)+(1-а)’
Н ____*к/Ж) (Р/Т)£(£~ 1) (-1 гл\
z(Q -e-(J(2-a-P)+(l-«)’ 7
и (г)-***»*® (а+РК&-[а/(а+?]}
2(0 ^2 —^(2 —а —Р)+(1 —а) ’
где z(Q—обозначает z-преобразование результатов измерений.
Полагая, что ^ = eJ“‘, можно получить частотные характеристики
типовой системы. На рис. 3.29 приведены модули частотной
характеристики |H(jco)|. Фильтрация координат осуществляется
путем пропускания замеренных координат через низкочастотный
фильтр. Фильтрация скорости производится с помощью диф-
ференцирования измеренных координат. Действительно, если
сигнал не зависит от времени, т. е. со=О, то выходной сигнал
равен нулю. Если дискретизатор играет роль низкочастотного
фильтра, то любое воздействие с шириной полосы частот выше
1/Т просто сворачивается в частотный интервал от 0 до 1/Т;
другими словами, частотная характеристика H(jco) является
периодической с периодом Т.
Условия устойчивости а—P-устройства сопровождения можно
определить с помощью двух полюсов выражения (3.50), значения
которых находятся внутри единичного круга тогда и только
тогда, когда
а>0, 0<р<2(1-а).
Область устойчивости показана на рис. 3.30.
173
Рис. 3.30. Допустимые значения коэффициентов
аир
Рис. 3.31. Переходные характеристики систем вто-
рого порядка [14]
Передаточные функции (3.50) для дискретной (по времени)
системы второго порядка в традиционной записи имеют вид [14]
Л GO £2—2£е 5““TcoscodT+e
(3.51)
где cod и соо — классический коэффициент демпфирования,
резонансная частота затухающих колебаний и собственная частота
системы второго порядка.
Система имеет два следующих полюса:
£i, 2=е -^“°т (cos <od Т ± j sin codT),
где
®d = ®oV/,-V-
Для дискретной по времени системы переходная характеристика
определяется в основном амплитудой полюсов, которая в данном
случае равна
Ki,2l=e-^oT.
Можно заметить, что для улучшения переходной характеристики
полюса должны располагаться как можно ближе к началу
координат z-плоскости. На рис. 3.31 показаны типичные харак-
теристики систем второго порядка; непрерывное время исполь-
зовано лишь для ясности рисунка.
Приравняв знаменатели выражений (3.50) и (3.51), получим
а= 1 -е-2*““т,
Р = 1 + е " 25“°т—2е _ 5“°т cos codT,
174
Область фильтров
со слабым
демпфированием
Рис. 3.32. Характер поведения устройства сопровождения при различных значениях
коэффициентов а и £
что позволяет выразить £ и <od через а и 0:
4
3
2
1
О
0
а
Область фильтров
с сильным
демпфированием
Кривая критического
демпфирования
(3.52)
1 _! 2-а-р
cod=—cos 1V -----..
т
Можно заметить, что условие получения критического демп-
фирования соответствует геометрическому месту точек, определя-
емому уравнением (а+|3)=4а; это геометрическое место точек
(линии) приведено на рис. 3.32а. На том же рисунке представлены
области на плоскости (а, р) со слабым и сильным демпфирова-
нием. На рис. 3.326 показана область, внутри которой обычно
выбираются пары а, р.
В завершение данного подраздела оценим ошибку в установив-
шемся режиме при сопровождении цели, движущейся с постоян-
ным ускорением, т. е. для случая, когда скорость задана линейной
функцией, а траектория—в виде параболы. Точную математичес-
кую оценку можно получить, решая уравнение (3.51), где
zk—квадратичная функция времени, или же с помощью пере-
даточных функций (формула (3.50)) и метода z-преобразования.
Чтобы избежать математических трудностей, рассмотрим про-
блему с позиций здравого смысла. При сопровождении в уста-
новившемся режиме цели, движущейся с постоянным ускорением,
ошибка, накопленная в течение каждого цикла обзора, должна
быть достаточно большой, чтобы произошла коррекция со-
провождаемой скорости на величину, равную изменению скорости
цели. Если постоянное ускорение равно а, то изменение скорости
175
в течение цикла обзора равно AV = aT. В устройстве сопровож-
дения типа а —Р скорость сопровождаемой отметки изменяется
непосредственным воздействием на ошибку Ер в экстраполяции
координат (см. (3.43)):
AV = EPP/T.
Подставив в последнее выражение AV = aT, получим, что в уста-
новившемся режиме при одношаговой экстраполяции ошибка
Ер = аТ2/р.
Ошибка Ер увеличивается с ростом Т и уменьшением р. Заметим,
что здесь имеет место явление, обратное наблюдаемому при
измерениях на фоне шума, когда ошибки уменьшаются при
использовании малых р.
Более точный количественный анализ показывает, что в уста-
новившемся режиме ошибка при n-шаговой экстраполяции опре-
деляется как
Еп=у 1+(п-1)а+-к2-ф •
Отметим еще раз, что при уменьшении коэффициента Р и росте
интервала экстраполяции детерминированная ошибка увеличивается.
В. Процедура определения параметров устройства сопровождения.
В предыдущих подразделах ошибки а—p-устройства сопровожде-
ния в установившемся режиме, обусловленные шумом и детерми-
нированными сигналами, рассматривались раздельно. Проведен-
ный анализ показал, что влияние шума измерений можно снизить,
выбирая малые значения коэффициентов а и Р; с другой стороны,
для уменьшения детерминированных ошибок значения коэффициен-
тов должны быть достаточно большими. В реальной системе на
вход поступают сигналы, представляющие собой сумму детерми-
нированных функций времени и шумовых процессов. Соответству-
ющий сигнал на выходе устройства сопровождения имеет ошибку,
среднее значение (смещение) которой обусловлено в основном
детерминированной составляющей на входе, а дисперсия определя-
ется качеством фильтрации или уровнем усиления шумовой
составляющей. Следовательно, должен быть выбран компро-
миссный критерий; ниже без каких-либо математических доказа-
тельств дается логическое обоснование одного из методов решения
этой задачи [3], приводятся соответствующие результаты.
При использовании рассматриваемого метода обеспечивается
компромиссное удовлетворение противоречивых требований хоро-
шего сглаживания шума (тщательная фильтрация, замедленная
реакция системы, большая постоянная времени или узкая полоса
частот) и точного отслеживания маневров цели или способности
мгновенного реагирования (упрощенная фильтрация, быстрая
176
реакция системы, малая постоянная времени или широкая полоса
частот). Если сформирована топология системы, как, например,
в данном случае (см. уравнения (3.43) и (3.44)), остается лишь
один параметр, с помощью которого выбирается компромиссное
решение. Для каждого значения этого параметра сглаживание
шума должно быть максимальным при заданной скорости реакции
системы, и наоборот.
Для рационального определения степени снижения шума и ка-
чества переходных характеристик используются два показателя;
в каждом случае их влияние рассматривается одновременно.
Характеристики сглаживания шума описываются уравнениями
(3.47) и (3.48). Переходные характеристики (способность со-
провождения маневрирующих целей) будем оценивать с помощью
показателей D2 и D*., представляющих собой квадраты накоп-
ленных ошибок определения координат и скорости соответственно
(при подаче на вход скачкообразных контрольных сигналов).
Предположим, что необходимо определить значения параметров
а, Р, минимизирующие D2 при заданном с помощью уравнения
(3.47) коэффициента уменьшения шума £(1,1)/п2 (или наоборот);
может быть также поставлена задача минимизации Df при
заданном значении £(2,2)/ст2 (или обратная задача). Решая
задачу минимизации с ограничениями, получаем соотношение
Р = а2/(2 — а). (3.53)
Анализ осуществляется следующим образом:
а) полагаем Е = const; следовательно, dE = 0;
б) приравнивая dD/da нулю, определяем значение а, мини-
мизирующее D при постоянном Е, и
в) решаем уравнение dE = 0 и dD/da = 0 относительно р,
выражая параметр р через а.
Можно показать, что пара (a, а2/а—Р)) является оптимальной
для а — [3-устройства сопровождения при определении как коор-
динат, так и скорости. Кроме того, анализ, проведенный в [3],
позволил сделать вывод не только о том, что a — Р-устройство
сопровождения оптимизируется приведением значений пары па-
раметров (a, Р) к величинам (а, а2/(2 —а)), но также и о том,
что это устройство оптимально среди полного класса всех
линейных дискретных фильтров с фиксированными параметрами.
Это сводит число параметров, подлежащих выбору, к одному,
причем оптимальное значение этого параметра не определяется
средствами данного анализа. Уравнение (3.53) позволяет опре-
делить критерий выбора коэффициента демпфирования, который
может быть оптимизирован. Действительно, подставив (3.53)
в (3.52), можно показать, что при изменении а от 0 до
1 коэффициент демпфирования изменяется от 0,707 до 0,86.
Выбрать же значение а можно, исходя из требований к качеству
фильтрации шума.
177
12—1582
На базе приведенного теоретического анализа можно выбрать
пару значений а, 0, при которой общая ошибка устройства
сопровождения такова, что обеспечивается попадание новой
отметки цели в корреляционный строб. Размеры строба зависят
от ширины луча антенны и выбираются таким образом, чтобы
число мешающих отметок, которые могут попасть в стробы,
было ограниченным. Параметры а и 0 выбираются таким
образом, чтобы выполнялось неравенство
аТ2/.0+<ч/Ё^Ь/2, (3.54)
где L—длина стороны квадратного строба; с — коэффициент
надежности, обычно принимаемый равным 2.
Оставив в выражении (3.54) только знак равенства и разделив
обе части на среднюю квадратическую ошибку измерений РЛС
ow, получим
—=fA~—)₽• (3.55)
Подставив выражение (3.49) в (3.55) и использовав соотношение
(3.53), можно записать
На рис. 3.33 показана зависимость величины (aT2/ow) от
коэффициента а при различных значениях параметра p = L/2<yw
178
(принято, что с = 2). По приведенной зависимости можно опре-
делить период обзора Т при известных параметрах a, ow,
степени сглаживания а и нормализованном размере строба р или,
зафиксировав все параметры, кроме а, определить значение а.
3.4.3. ДВУМЕРНАЯ ЗАДАЧА
В двух предыдущих подразделах задача анализа и форми-
рования фильтров рассматривалась в одном физическом измере-
нии. Другими словами, подразумевалось, что обрабатываются
результаты измерений по каждой из трех осей системы координат
в раздельных фильтрах. Далее это допущение не учитывается.
Рассматриваются уравнения, описывающие точность сопровожде-
ния и усиление фильтра в установившемся режиме, для двумерной
траектории цели [20]. Трехмерный случай, описание которого
связано с большим объемом вычислений, не рассматривается.
Сведения о нем можно найти в [34].
Модель траектории цели задается уравнением (3.17), а ковари-
ационная матрица шума выражением (3.30). Уравнение наблюде-
ния можно записать в виде
Zk = H*s*+w‘,
где
"1 0 0 0“
О ° ! 0_
Х~| |”w
, W —
.yj Lwy.
Ковариационная матрица шума измерений R задается урав-
нениями (3.9) и (3.10). Уравнения калмановского фильтра ана-
логичны уравнениям (3.22)—(3.27) с соответствующими измене-
ниями размеров матриц. Рассмотрим вновь установившиеся
значение ковариационной матрицы экстраполированного состоя-
ния Рр и коэффициент усиления фильтра Кх. Они имеют
следующие составляющие:
^р = [^р(м)]. M=h 2, 3, 4,
К =
^ХХ
Р XX
т
Рух
т
осху
Рху
т
Руу
т
Уравнения фильтрации в скалярной форме можно записать как
Xk/k = Xk/k-1 + ахх (хк_^к/к-1) + а«у(У-Ук/к-1),
*к/к = *к/к-1 + у(хк-хк/к_1)+^(ук-ук/к-1), (3.56)
179
12'
Ук/к = Ук/к-1+ауу(Ук-Ук/к-1)+аУх(хк-хк/к_1),
Ук/к = Ук/к-1 + ^г(Ук —Ук/к-1) + ^г(хк — хк/к- 1 )•
Отметим, что для получения отфильтрованных оценок разности
(хк —xk/k_j) и (ук —Ук/к-i) используются в линейной комбинации
с экстраполированными составляющими состояния. Комбинирова-
ние осуществляется с весами, равными составляющим коэффици-
ента усиления калмановского фильтра.
Рассмотрим далее случай полета цели вдоль оси X, при этом
азимут цели 0 =0. В этом случае рассматриваемое устройство
сопровождения может быть сведено к двум независимым одномер-
ным фильтрам, описанным в подразд. 3.4.1 (см., в частности,
уравнения (3.32) и (3.34)). При 0 = 0 параметры Рр и К имеют вид
о
о
о
о
Рр(©-0) =
Рц,р(0) Р12>Р(0) I
Р12,р(0) f22,p(0) I
Рзз.р(О)
Рз4,₽(0)
Р34.р(0)
Р44.р(0)
о о
о о
Рц,р(0)
Рц.р(0)+Ор
Р12.р(0)
Ри.р(0)+Ор2
о
о
о
о
Рэз.р(О)
Рзз.р(0)+р2<4
Рз4,р(0)
Рзз.р(0)+Р2о|
Элементы Р (0—0) можно представить в виде (см. уравнение
(3.32))
Рц.р(0)/^р2 = ч/1 +2rt (71+2Г1 +1) 2/r h
Р12.р(0)/ароаТ = 0,5[(7И-2г1 + 1)2/г1],
P22,p(0)Ma Т2 = 0,5 (71+2Г1 +1),
Рзз,р(0)/Р2 ^е = 71+2г2 (71+2гг + 1)'2/г2,
Рз4.р(0)/(Р^ЖТ)=0,5(71+2г2 + 1)2/г2,
Р44,р(0)/о2Т2 = 0,5 (71+2r2 +1),
180
Рис. 3.34. Оценка Рр(0) и К(0) по значениям Рр и К, вычисленным при 0 = 0
где
г1=4ор/стаТ2; г2 = 4(рств)/стаТ2.
Следует заметить, что на ошибки сопровождения по оси х влияет
только ор, а на ошибки сопровождения вдоль оси у — параметр
(Рае) (ошибка, обусловленная неточностью азимутальных измере-
ний). Кроме того, если шум измерений вдоль оси х стационарен, то
дисперсия шума вдоль оси у изменяется с дальностью цели.
В заключение определим элементы Рр и~ К для цели с про-
извольным азимутом 0 как функцию от Р и К, вычисленных
при 0 = 0. Можно показать [20], что эта задача решается
с помощью двух выполняемых одновременно нелинейных преоб-
разований, что схематически представлено на рис. 3.34. Уравнения
преобразования имеют вид
Pii,p(®) = l\i JO)cos20 + P33p(O)sin20,
Pi2,p(®) = P12jO)cos20 + P34>p(O)sin0,
Р13 p(0) = O,5sin2O [Pn р(0)—Р33 „(0)],
P14.p(0) = O,5sin20[P12,p(O)-P34.p(O)],
P22, p(®) = ?22. p(0) COS 2 0 + ^44. p(0) Si°2 0’
^23,p(®) = 0,5sin2O[P12,p(0)-^34.p(0)], (3.57)
P24 p(0) = O,5sin20[P22 p(0) —^44 p(0)],
p(®) = 1 JO) sin2 0 + P33> p(0) cos 2 O,
P34, p(®) = 2, p (0) sin2 0 + P34, „(0) cos 2 0,
P44, ₽(<=>) = P22,p(0) sin2 0 + P44,p(0) cos 2 0;
axx(0) = axx(0) cos 2 0 + avv(0) sin2 0,
axy(0) = °’5 sin 20 [axx(°) - ayy(°)]’
Pxx(0)/T=[₽xx(0)/T] cos2 0 + [pyy(0)/T] sin2 0,
Pxy(0)/T = O,5 sin 20 [Pxx(0)/T- Pyy(0)/T],
ayy(0) = ayy(0) cos 2 ©+axx(0) sin2 0, (3.58)
ayx(0) = axy(0)’
Руу(©)/Т = [Pyy(0)/T] cos2 0 + [Pxx(0)/T] sin2 0,
Pyx(0)/T = Pxy(O)/T.
181
С помощью этих уравнений можно определить коэффициент
усиления фильтра в установившемся режиме и оценить точность
сопровождения, если траектория цели задана в двумерном
пространстве. В [20] утверждается, что уравнения (3.57) и (3.58)
справедливы и для неустановившегося режима. Следовательно,
возможным способом реализации устройства сопровождения при
двумерной траектории и произвольном азимуте цели является
использование двух раздельных одномерных устройств сопровож-
дения с последующими нелинейными преобразованиями, обес-
печивающими вычисление Рр и К. Полученные таким образом
составляющие коэффициента усиления калмановского фильтра
используются в линейных и независимых уравнениях фильтра
(3.56).
3.4.4. АДАПТИВНЫЙ МЕТОД СОПРОВОЖДЕНИЯ МАНЕВРИРУЮЩЕЙ
ЦЕЛИ
В данном разделе кратко рассмотрена задача сопровождения
интенсивно маневрирующей цели. Этот важный вопрос детально
рассмотрен в разд. 4.3, где приведены структурные схемы адап-
тивных фильтров.
Изложенная в предыдущих разделах теория, строго говоря,
применима лишь в случае равномерно движущейся или медленно
маневрирующей цели. Однако если за время обзора ускорение
цели существенно изменяется, то точность оценок координат
и скорости получается очень низкой, возникает необходимость
применения корректирующих процедур, иначе цель будет поте-
ряна. Возможным решением этой проблемы является использова-
ние процедуры обнаружения маневра, которая предполагает
адаптивную подстройку параметров а, Р фильтра в соответствии
с оценкой значения ускорения. Данная процедура может быть
реализована с помощью формирования узкого (внутреннего)
и широкого (внешнего) стробов в экстраполированной точке.
Если отметка цели попадает во внутренний строб, то значения
а и Р устанавливаются небольшими. И, напротив, если отметка
выходит за пределы внутреннего строба, но попадает во внешний,
то значения параметров увеличиваются. Действия, предпринима-
емые после обнаружения маневра, представляют собой повторное
инициирование фильтра. При использовании предложенной про-
цедуры следует учитывать возможности замирания отраженных
сигналов и ложные тревоги. В этих целях при обнаружении
маневра могут формироваться две траектории. Первая траектория
строится по отметкам, попадающим во внешний строб; при
построении второй траектории отметки внешнего строба не
учитываются, а экстраполируется уже имеющаяся траектория.
Неопределенность снимается после нескольких последовательных
циклов обзора и одна из траекторий стирается.
182
В разд. 3.4 при анализе и формировании фильтров сопровож-
дения был принят ряд упрощающих гипотез. Эти гипотезы не
всегда точно соответствуют реальным условиям, поэтому после
формирования фильтра необходимо оценить качество его функ-
ционирования. Это можно сделать с помощью статистического
моделирования на ЭВМ траектории движения цели, радиолокаци-
онных измерений и фильтра сопровождения с последующей
оценкой характеристик фильтра.
3.5. ПРИВЯЗКА ОТМЕТОК К ТРАЕКТОРИЯМ
Под привязкой отметок к траекториям понимается процесс
сопоставления отметок и известных траекторий и принятия
решений о выборе правильных пар. После привязки информация
сопровождения может быть обновлена с уточнением оценок
координат и скорости цели (с помощью методов, изложенных
в предыдущем разделе).
Процесс привязки состоит из двух последовательных этапов;
для каждой траектории, подлежащей обновлению, формируется
список всех возможных пар «отметка — траектория» (этап сопо-
ставления); затем выбирается единственная пара (этап привязки).
На этапе сопоставления ограничивается число отметок, которые
могут быть использованы для обновления траектории. Это
достигается рассмотрением только тех отметок, которые попада-
ют в ограниченное число азимутальных секторов, прилегающих
к сектору траектории, и последующего отбора только тех
отметок, которые попадают в корреляционный строб определен-
ных размеров, построенный в точке с экстраполированными
координатами цели. Как правило, рассматриваются отметки
только трех азимутальных секторов: сектора, к которому принад-
лежит траектория, и двух соседних с ним секторов (рис. 3.35а).
Рис. 3.35. Азимутальные секторы для определения принадлежности отметок к тра-
екториям:
А—В—С—секторы определения принадлежности отметок; 1 —2 —3 - различные положения корреляционного
строба
183
Учет нескольких секторов необходим во избежание ошибок на
границах зон (см. позиции стробов 1 и 3 на рис. 3.35а). В целях
сокращения вычислительных затрат секторы отметок и секторы
траектории могут выбираться с перекрытием. В этом случае
достаточно учитывать отметки лишь двух секторов.
Рассмотренная процедура сопоставления очень проста, однако
дает хорошие результаты, если ускорение цели невелико, веро-
ятность обнаружения высока и вероятность ложных отражений
мала. Кроме того, траектории целей должны быть разнесены
в пространстве на достаточно большое расстояние. Однако
в реальных условиях указанные допущения не всегда выполня-
ются, что приводит к неопределенностям при сопоставлении
отметок и траекторий. В этом случае на этапе привязки
выбирается отметка, ближайшая к экстраполированной точке;
для этого вводится мера удаленности «отметка — траектория».
Полностью процедура определения принадлежности показана на
рис. 3.36. В подразд. 3.5.1 рассмотрены алгоритмы сопоставления
и привязки, а в разделе 3.5.2 — методы определения формы
и размеров корреляционного строба.
3.5.1. АЛГОРИТМЫ СОПОСТАВЛЕНИЯ И ПРИВЯЗКИ ОТМЕТОК
К ТРАЕКТОРИЯМ
При обработке сигналов запись в буферном устройстве про-
сматривается последовательно, в порядке увеличения азимута.
В простейшем алгоритме к траектории приписывается первая
отметка, обнаруженная при просмотре записей (рис. 3.37). Этот
алгоритм пригоден лишь для сопровождения траекторий, раз-
несенных в пространстве на такое расстояние, что в любой
строб может попасть только одна отметка. Однако и в этом
случае возможны неверные привязки, обусловленные некоррект-
ным (из-за влияния шума) упорядочением по азимуту отметок
и траекторий.
При высокой пространственной плотности отметок и траек-
торий необходим более надежный алгоритм, поскольку при
сопоставлении отметок и траекторий может возникнуть неоп-
ределенность, обусловленная как возможностью попадания одной
отметки в несколько корреляционных стробов, так и ситуацией,
при которой в корреляционный строб одной траектории могут
попасть несколько отметок. Подобные ситуации могут возникать
при прохождении траектории через область отражений от местных
предметов или в случае близкого расположения нескольких целей,
например при сопровождении группы самолетов в боевом
порядке. В таких случаях сопоставление и привязка осуществ-
ляются с помощью матрицы вариантов привязки «отметка —
траектория», в результате чего снимается неопределенность
и отбираются пары с наибольшей корреляцией.
184
Азимутальные секторы отметок,
Рис. 3.36. Процедура привязки отметок к траекториям
Трудности, возникающие при решении задачи привязки при
наличии нескольких отметок и траекторий, иллюстрируются
рис. 3.38 [36]. На рисунке показано, что в строб 1-й траектории
попали две отметки, в строб 2-й траектории — три и в строб
3-й траектории — одна отметка. Затем составляется матрица
расстояний между отметками и траекториями, вариант которой
приведен табл. 3.3; отсутствие коррекции между отметкой и тра-
екторией обозначается символом бесконечности. В качестве меры
близости может использоваться евклидово расстояние или одна
из статистических мер (математическое определение которых
приведено в следующем подразделе). Каждая траектория пред-
варительно привязывается к ближайшей отметке, после чего
предварительные привязки проверяются в целях устранения
185
Рис. 3.37. Простей-
ший алгоритм привяз-
ки
отметок, использованных более одного раза. Эта процедура
иллюстрируется табл. 3.4. Отметка 8, предварительно связанная
с траекториями 1 и 2, привязывается к ближайшей траектории
(в данном случае 1), после чего проверяются все остальные
траектории и связи с отметкой 8 исключаются. Так, отметка
7 имела связи с траекториями 1, 2 и 3, а после разрешения
конфликта привязана к траектории 2. После того, как все другие
связи с отметкой 7 исключены, у траектории 3 не остается
никаких связей, и, следовательно, в данном обзоре эта траектория
не обновляется. Таким образом, завершая анализ таблицы,
отметим, что траектория 1 обновляется с помощью отметки 8,
траектория 2—с помощью отметки 7, а траектория 3 не
обновляется.
При альтернативном подходе, в случае только одной связи
с траекторией, отметка всегда привязывается к траектории. Как
и прежде, неопределенность устраняется с помощью меры
близости. Тогда в рассматриваемом примере (см. табл. 3.3)
траектория 3 обновляется с учетом отметки 7, траектория
1 обновляется с учетом отметки 8 и траектория 2—с учетом
отметки 9.
Строб 2-й
траектории
Строб 1-й
траектории
Строб 3-й
траектории
- экстраполированное положение
траектории
• - отметки
Рис. 3.38. Пример привязки от-
меток при наличии многих це-
лей и траекторий [36]
186
Таблица 3.3
Таблица 3.4.
Матрица расстояний между отметками и траекториями 1361 К логике привязки отметок к траекториям (для ситуации, изображенной на рис. 3.38)
Номер траек- Степень близости пар «отметкг 1 траектория»
Номер отметки гтммсра ipacMupnn 1 п III
] 2 3 тории 1
расстоя- ние о I мет - ка расстоя- ние о I мет- ка расстоя- ние
7 8 9 4,2 1,2 00 5,4 3,1 7,2 6,3 °™ет'
00 00 1 2 8 8 1,2 3,1 7 7 4,2 5,4 9 7,2
3 7 6,3 7 6,3 — —
В заключение отметим, что в сложных ситуациях при наличии
высокой степени неопределенности могут использоваться и другие
алгоритмы привязки. Эффективность алгоритмов может быть
повышена, в частности, при разделении траекторий на классы
(например, стационарные, прямолинейные траектории, траектории
с маневрирующей целью) и последующей их обработке с учетом
приоритета каждого класса и с использованием различных
корреляционных стробов [17]. Допустимо также принятие гипо-
тезы о возможности обновления траектории с учетом ошибочно
выбранной отметки. Вероятность этого события является мерой
достоверности процесса привязки. Наконец, следует отметить
подход, при котором используется дополнительная информация
об отметках и траекториях [42 ]. Например, повышения точности
привязки, осуществленной с использованием меры пространст-
венной близости, можно добиться, анализируя ситуацию с учетом
измерений радиальной скорости. Последние два подхода будут
рассмотрены в разд. 4.6. Следует упомянуть также о значительном
упрощении процесса привязки отметок к траекториям, которое
обеспечивается с помощью устройств вторичной радиолокации
в системах гражданского назначения.
3.5.2. ФОРМА И РАЗМЕРЫ КОРРЕЛЯЦИОННЫХ СТРОБОВ
Под корреляционным стробом понимается область простран-
ства, центр которой совмещен с экстраполированными коор-
динатами цели на определенном цикле обзора РЛС. Форма
и размеры строба выбираются таким образом, чтобы дейст-
вительные результаты измерений (если отметка обнаружена)
с высокой вероятностью находились в пределах строба и в то
же время число мешающих отметок было ограниченным. Процесс
привязки отметок к траекториям основан на сопоставлении
отметок и траекторий, имеющих близкие координаты. Для
решения этой задачи должны быть определены критерий близости,
187
соответствующий точности радиолокационных измерений, требу-
емая точность экстраполяции координат и допустимые харак-
теристики маневра целей. Поскольку все названные параметры
имеют случайный характер, то алгоритм привязки может быть
получен на основе теории статистических решений.
Задача привязки отметки к траектории может быть сфор-
мулирована как испытание с двумя противоположными гипо-
тезами:
Но — отметка и экстраполированная траектория не относятся
к одной и той же цели;
Hi—отметка и экстраполированная траектория относятся
к одной и той же цели.
Испытание может состоять в сравнении относительного прав-
доподобия гипотез Но и Hi с порогом принятия решения X.
Таким образом определяется необходимое расстояние v между
отметкой и траекторией и оценивается вероятность принадлеж-
ности v к каждой из указанных двух гипотез — Ро (8) и Pi (8).
Наиболее статистически мощное правило испытания гипотез
заключается в вычислении значения:
L(v)4P1(v)/P0(v) (3.59)
с последующим сравнением его с порогом X. Для конкретной
иллюстрации правила (3.59) рассмотрим процесс привязки от-
метки, характеризующейся двумерным вектором измерений
zk + i на (к+1)-м цикле обзора РЛС, к траектории с экстра-
полированными координатами zk + i/k на том же цикле обзора
(при условии, что результаты всех предыдущих измерений РЛС
вплоть до k-го известны). Двумерный вектор v имеет вид
v = zk+l — zk+l/k-
По ряду причин (ошибки радиолокационных измерений и вычис-
лений экстраполированных координат, возможность маневра цели)
разность v не равна нулю. Примем, что zk + i и zk + i/k гауссовские
случайные процессы с ковариационными матрицами
Rk + i и Pk + i/k соответственно. Примем также, что ускорение
цели представляет собой также гауссовский процесс с ковари-
ационной матрицей Q. При этом расстояние между отметкой
и траекторией тоже является гауссовской случайной величиной
с ковариационной матрицей
Ev = Rk + 1+Pk+1/k + QT4/4 (3.60)
и средним значением, равным нулю при гипотезе Hi, либо
равным некоторой величине, отличной от нуля при гипотезе
Но. Плотность распределения вероятностей величины v можно
записать в виде
188
P1(V) =—!—Texpf-|vTEv 1 v
2n|Xv|2 V
Величина P0(v) принимается постоянной, если априорная инфор-
мация о распределении вероятности ложных отметок отсутствует.
При этом испытание сводится к оценке случайной величины
у и сравнении ее с порогом х2:
y = vTE71 v^x2. (3.61)
Как показано в разд. 4.4, учесть дополнительную априорную
информацию относительно гипотезы Но можно с помощью
коэффициента правдоподобия. В выражении (3.61) у— случайная
величина, распределенная по закону хи-квадрат, а х — параметр,
значение которого выбирается с целью получения заданных
значений вероятности правильной и ложной привязки. Следует
подчеркнуть, что возможность использования статистической
меры, а не евклидова расстояния обусловлена тем, что точность
измерения различных координат цели обычно разная.
Логика корреляционной привязки состоит в том, что все
отметки, соответствующие результатам измерений zk<i (т. е.
представляющие результат измерения i-й отметки в k-м цикле
обзора) и удовлетворяющие соотношению (3.61), фиксируются
и из них формируется матрица расстояний (см. подразд. 3.4.2),
а другие отметки стираются. Отметка минимальным значением
у привязывается к траектории.
Если привязка осуществляется в полярных координатах, то
выражение для ковариационной матрицы (3.60) принимает вид
=Гстр ° jtfp.k+1/k 0
V de.k+i/k
Т<ста2р 0
4 0 о2е ,
(3.62)
где Ор, о©—дисперсии ошибок измерений в полярных коор-
динатах р, 0; dp,k + i/k, 6e.k+i/k—дисперсии экстраполированных
результатов измерений; оар, да>в — дисперсии составляющих уско-
рения цели. В целях упрощения выкладок будем считать, что
составляющие ускорения некоррелированы. Подставив (3.62)
в (3.61), получим два скалярных уравнения:
I Рк + 1~ Pk+1/kl <Кр>
1®к+1—®к + 1/к| <Кв,
где Рк, ©к—результаты измерения РЛС; рк/к-ь ®к/к-1 — значения,
экстраполированные фильтром.
Тогда параметры корреляционного строба в полярных коор-
динатах могут быть вычислены следующим образом:
Кр = X ( °₽ + k + 1/к + YCTa.p ) 2 ,
189
Позиция РЛС
а
Рис. 3.39. Форма корреляционного строба:
а- привязка в полярных координатах; б — привязка в декартовых координатах
Аппроксимированный
Zk + 1/к
4----------—>
Позиция РЛС х
(W)
к© = х(ств +^е.к + 1/к + "д"{та.е
На рис. 3.39а показана форма корреляционного строба, размеры
которого определяются как постоянными параметрами ор, ав,
аа, так и параметрами, изменяющимися во времени 6p,k+i/k,
^e.k+i/k- В подразд. 3.4.2 доказана справедливость следующего
выражения [см. (3.42) при п = 1]:
<^p,k+i/k/Op = 2(2k+l)/k(k—1). (3.64)
Аналогичное соотношение можно записать для азимутальной
координаты. Подставив. (3.64) в (3.63), получим
К /гт , 2(2k+D , «Л*
КГ /гт , 2(2k+D ,
__ X ^а.рТ о ^а.в T
где Ор = —2—; 8в -------.
Of Се
На рис. 3.40 приведена зависимость К./о от числа циклов
обзора РЛС при различных значениях 8. Нетрудно заметить,
что с увеличением номера цикла обзора размер строба умень-
шается, что обусловлено повышением точности сопровождения
при увеличении объема обработанных данных. Размер строба
в установившемся режиме связан с дисперсией ускорений цели.
Высокоманевренные цели останутся на сопровождении в том
случае, если корреляционный строб накрывает такие цели,
изменение положения которых пропорционально аТ2/2, где а—
ускорение цели.
Чтобы избежать использования стробов очень больших раз-
меров при сопровождении стационарных и прямолинейно дви-
190
Рис. 3.40. Зависимость размеров кор- Рис. 3.41. Форма корреляционного стро-
реляционного строба от номера цикла ба в системе координат, ориентированной
обзора РЛС по курсу цели
жущихся целей, размер корреляционного строба согласовывается
с классом цели. При сопровождении стационарной цели размер
строба определяется только точностью измерений. При со-
провождении прямолинейно движущейся цели размер строба
зависит от ошибок измерений и экстраполяции, а при сопровож-
дении маневрирующей цели учитывается также ее ускорение.
Рассмотрим теперь задачу привязки отметки траектории в де-
картовых координатах; при этом уравнение (3.60) примет вид
СТх
Пху
О’ ху
°У
Cx,k+l/k Oxy,k+l/k +Т4
2 Т 1
Пху,к+1/к Пу,к+1/к 4
где с2, Оу, оху—дисперсии и ковариация ошибок измерений
в декартовых координатах; d2k+1/k,Oy.k+1/k, <*xy,k+i/k—дисперсии
и ковариация ошибок экстраполяции.
Подставив Ev в уравнение (3.61), получим
a(xk+1-xk+1)2+b(xk+1-xk+1)(yk-yk+1)4-c(yk+1-yk+1/k)4x2,
(3.65)
где хк+1, ук+1—декартовы координаты отметки; xk+1/k, yk+1/k—
экстраполированные координаты.
Коэффициенты а, b и с зависят от значений дисперсий
и ковариаций в неравенстве (3.65). Соответствующая форма
строба представлена на рис. 3.396. Если а2 превышает значения
остальных дисперсий, то строб принимает форму круга. В целях
сокращения вычислительных затрат эллиптическая форма строба
191
может быть аппроксимирована прямоугольной, что также по-
казано на рисунке.
В заключение рассмотрим форму корреляционного строба
в системе координат, ориентированной по курсу цели. На рис.
3.41 приведен пример такого строба, поперечные размеры ко-
торого превышают продольные, что соответствует характеристи-
кам ускорений военных самолетов (см. подразд. 3.3.1,г).
3.6. МЕТОДЫ ЗАВЯЗКИ ТРАЕКТОРИИ
Под завязкой траектории понимается процесс принятия на
сопровождение новой цели, входящей в зону обзора РЛС. На
ранних этапах развития систем СЦРО завязка траекторий осуще-
ствлялась оператором, наблюдающим цели на устройстве отобра-
жения РЛС. В настоящее время эта операция выполняется
автоматически с использованием алгоритмов ЦОРИ, кратко
рассмотренных в разд. 3.2. Отметки, поступающие от радиолока-
ционного устройства выделения данных, сравниваются с информа-
цией карты отражений от местных предметов и файлов сопровож-
дения в целях определения их принадлежности к траекториям (см.
разд. 3.5). Отметки, принадлежность которых установлена, зано-
сятся в файлы сопровождения или на карту отражений от местных
предметов, а оставшиеся отметки записываются в файл предвари-
тельных траекторий. Предварительные траектории могут иниции-
роваться как новыми целями, вошедшими в зону обзора РЛС, так
и влиянием шума, ложных отражений или помех. Поэтому, прежде
чем они будут зафиксированы как действительные траектории,
необходимо осуществить процедуру их подтверждения. Эта
процедура заключается в прогнозировании положения цели при
следующем цикле обзора и последующем поиске в экстраполиро-
ванной области. Если цель обнаруживается в корреляционном
стробе, скажем, в двух из трех последовательных циклов обзора
РЛС, то траектории переводятся в класс действительных.
Известны два основных метода завязки траектории:
скользящего окна и последовательных испытаний.
Метод последовательных испытаний, который может быть
использован в РЛС с ФАР, будет кратко рассмотрен в гл. 4.
В данном разделе подробно анализируется метод скользящего
окна, получивший широкое распространение. Кроме того, в насто-
ящем разделе приведены способы определения размеров и формы
корреляционных стробов при завязке траекторий.
Следует отметить, что поскольку алгоритмы сброса траектории
с сопровождения (который происходит при отсутствии заданного
числа отметок в последовательных циклах обзора) аналогичны
алгоритмам завязки траектории, то в дальнейшем они не
рассматриваются.
192
3.6.1. ХАРАКТЕРИСТИКИ АЛГОРИТМОВ ЗАВЯЗКИ ТРАЕКТОРИИ
Важным требованием к любому алгоритму автоматической
завязки траектории является возможно меньшее время форми-
рования траектории после захода цели в зону обзора РЛС. В то же
время алгоритм должен предотвращать завязку ложных траекто-
рий, обусловленную ложными отметками. Следовательно, для
того чтобы некоторую последовательность отметок зафиксировать
в качестве траекторий, необходим некоторый интервал времени.
Другими словами, при разработке алгоритма должен быть
определен оптимальный компромисс между скоростью завязки
истинных траекторий и допустимым числом ложных траекторий.
Интервал времени между моментом входа цели в зону обзора
РЛС и моментом завязки траектории называется временем
реакции алгоритма. По этой характеристике определяют эффекти-
вность и производят сравнительный анализ алгоритмов завязки
траекторий. Поскольку появление истинных и ложных отметок
является случайным событием, то время реакции системы также
является случайной величиной, которую обычно характеризуют
нарастающей вероятностью завязки траектории в зависимости от
числа циклов обзора, прошедших после входа цели в зону
обслуживания РЛС. Более простыми характеристиками являются
среднее значение и среднее квадратическое отклонение числа,
циклов обзора РЛС, необходимых для завязки траектории.
Очевидно, что оценить эти параметры можно с помощью
метода статистических испытаний. Однако там, где появляется
возможность, следует воспользоваться аналитическими методами.
В следующем подразделе для оценки эффективности метода
скользящего окна используется именно этот подход.
3.6.2. МЕТОД СКОЛЬЗЯЩЕГО ОКНА
Метод скользящего окна заключается в обработке ряда
отметок, полученных в нескольких последовательных циклах
обзора РЛС. Как уже отмечалось, эти отметки не коррелированы
с существующими траекториями и зонами отражений от местных
предметов; указанные отметки относятся к определенной области
контролируемого воздушного пространства, ограниченной не-
сколькими корреляционными стробами, используемыми для завяз-
ки траектории. Сущность метода иллюстрируется рис. 3.42.
Последовательность {z1? z2, ..., Zi ... zN} представляет собой
входной сигнал временного окна (файла), формирующегося по
результатам обзора РЛС. Значение элемента Zj равно единице,
если в корреляционный строб на i-м цикле обзора попадает
отметка, и нулю—в противном случае. Когда число обнаружений
в окне достигает определенного уровня т, принимается решение
о завязке траектории; в противном случае окно смещается на
193
13—158?
скользящее окно,
охватывающее п
циклов обзора
Рис. 3.42. Метод скользящего окна
одну позицию (обзор) вправо, т. е. в направлении увеличения
времени. Число обнаружений m и число циклов обзора в окне
п характеризуют алгоритмы завязки траектории, которые обычно
обозначают как m/n.
Теперь задача может быть сформулирована следующим об-
разом: для данной последовательности из N событий, в которой
успешные исходы для каждого события имеют место с вероят-
ностью р и все исходы независимы, необходимо определить
вероятность Р того, что по меньшей мере один раз до момента
совершения N-ro события включительно реализуется m успешных
исходов в п последовательных событиях. Если завязка осущест-
вляется по истинной цели, то параметр р представляет собой
вероятность обнаружения РЛС PD; в противном случае величина
р является вероятностью Рс поступления в строб завязки
траектории отражений от местных предметов (метод оценки
Рс изложен в подразд. 3.6.3.). Оценка вероятности Р в зависимости
от N и р для различных алгоритмов m/n может быть выполнена
на основе теории марковских процессов [28]. Перемещение
скользящего окна во времени (см. рис. 3.42) может быть
представлено в виде дискретного марковского процесса с конеч-
ным числом состояний и постоянными вероятностями переходов.
На рис. 3.43 в качестве примера приведена модель алгоритма
2/3. В лом примере марковский процесс имеет 5 состояний,
обозначенных кружками; возможные переходы из одного состо-
яния в другое обозначены стрелками, рядом с которыми
проставлены вероятности переходов.
Подтаем, чго первоначально процесс находится в состоянии
Sj и все ячейки окна пусты. В момент времени Ц (когда окно
сместилось на один цикл обзора вперед) процесс может остаться
194
Рис. 3.43. Марковская модель
алгоритма 2/3
Содержание скользящего окна Состояния
ООО Si
001 Sj
010 S3
100 S<
по Ss
011 Ss
101 Ss
111 Ss
в состоянии Si с вероятностью q = 1 — р (т. е. в новом цикле обзора
обнаружения не произошло) или перейти в состояние S2 с вероят-
ностью р. В общем случае описываемый процесс происходит во
времени, переход из одного состояния в другое осуществляется
случайным образом в соответствии с вероятностями перехода.
После достижения состояния Ss целевая функция алгоритма
завязки траектории реализована, и процесс остается в этом
состоянии с вероятностью, равной единице. С помощью диаграм-
мы, изображенной на рис. 3.43, можно составить систему
разностных уравнений, которая позволит определить, каким
образом вероятность РДк+1) того, что процесс находится в i-м
состоянии после к + 1-го события, зависит от вероятностей
пребывания процесса в смежных состояниях в момент к. Для
рассматриваемого примера можно записать в матричной форме
следующее разностное уравнение:
PN=TPN_b (3.66)
где PN= [Р(1)Р(2)Р(3)Р(4)Р(5)]—вектор вероятностей различ-
ных состояний процесса в момент времени N; Т—матрица
вероятностей перехода:
q О 0 q О
р 0 0 р О
О q О О О
О 0 q О О
О р р 0 1
Решение уравнения (3.66) для заданного исходного состояния
Ро имеет вид
Pn = TnP0,
(3.67)
195
13’
Рис. 3.44. Зависимость
вероятности завязки тра-
ектории от числа отметок
при этом можно принять, что
Ро = [1 0 0 00]т.
При решении уравнения (3.67) особый интерес представляет
зависимость пятой составляющей вектора PN от N. Существует
несколько математических методов решения этой задачи; при
одном из них вычисляется функция от матрицы TN, при другом
используется метод z-преобразования. Оба решения связаны
с большим объемом вычислений, что требует применения ЭВМ.
После вычисления вероятности конечного состояния могут
быть оценены среднее значение N и среднее квадратическое
отклонение oN числа циклов обзора РЛС, необходимых для завязки
траектории [28]. На рис. 3.44—3.47 показаны зависимости
нарастающей вероятности завязки траектории от числа циклов
обзора РЛС для различных алгоритмов (2/2, 2/3, 3/3, 3/4) и значений
параметра р. В табл. 3.5 приведены величины N и nN для различных
алгоритмов и значений параметра р. Нетрудно заметить, что для
быстрой завязки траектории пригоден алгоритм 2/3; с другой
стороны, более медленный алгоритм 3/3 позволяет при малых
значениях параметра р избежать завязки ложных траекторий.
196
Рис. 3.45. Зависимость
вероятности завязки тра-
ектории от числа отметок
3.6.3. ПРИМЕР ПРИМЕНЕНИЯ АЛГОРИТМА
Для сравнения различных алгоритмов рассмотрим случаи завязки траектории
по истинной и ложной целям. В первом случае параметр р представляет собой
вероятность обнаружения цели, которая обычно равна 0,8—0,9. Оценим далее
параметр р, если цель—ложная, т. е. р = Рс. В этом случае необходимо
определить число элементов разрешения РЛС L, умещающихся в корреляционном
стробе завязки траектории. Полагая, что строб имеет форму круга, получим
7t(VT)2
др(рде)’
где V — максимально возможная скорость цели; Т — период обзора РЛС; Др —
разрешение по дальности; ДО—разрешение по азимуту; р—дальность центра
строба завязки. При этом параметр Рс можно вычислить как
PC=1-(1-PJL,
где Рлт — вероятность ложной тревоги на элемент разрешения.
Рассмотрим численный пример:
V=600 m/c, Т=10с, Др = 300 м,
Д0 = 0,003 рад, р = 50км, Рлт=10-4.
197
Рис. 3.46. Зависимость
вероятности завязки тра-
ектории от числа отметок
В этом случае L — 2513 и Рс = 0,22. Полагая, что размер строба постоянен,
после определения Рс и PD задержку завязки истинной или ложной траектории
можно оценить с помощью графиков на рис. 3.44—3.47 или табл. 3.5.
В частности, в рассматриваемом случае целесообразно отдать предпочтение
алгоритму 3/3, поскольку он позволяет избежать завязки ложной траектории
(N = 58) и в то же время обеспечивает достаточно быструю завязку истинной
траектории (N = 3,7 при PD-0,9).
Таблица 3.5
Среднее значение и среднее квадратическое отклонение числа циклов обзора,
необходимых для завязки траектории
Тип алго- ритма Пара- метр Р 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9
2/2 N 103,6 30,4 14,3 8,7 6,0 4,5 3,5 2,8 2,3
96,1 28,4 13,0 7,5 4,6 3,1 2,1 1,4 0,8
2/3 Я 62,4 18,9 9,8 6,3 4,7 3,7 3,0 2,6 2,2
60,3 17,0 8,3 5,0 3,2 2,1 1,5 1,0 0,5
198
Рис. 3.47. Зависимость
вероятности завязки тра-
ектории от числа отметок
Продолжение табл. 3.5
Тип алго- ритма Пара- метр Р 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9
3/3 N 84,3 58,1 51,4 24,9 14,0 9,1 6,4 4,8 3,7
141,2 59,4 49,1 24,4 11,0 6,8 4,4 2,7 1,5
3/4 Я 141,1 56,0 25,7 13,6 8,7 6,4 4,9 4,0 3,4
149,0 47,5 23,2 11,4 6,2 4,0 2,5 1,6 0,8
3.6.4. ФОРМА И РАЗМЕРЫ СТРОБОВ ЗАВЯЗКИ ТРАЕКТОРИИ
После получения на k-м цикле обзора РЛС отметки цели
возникает задача формирования корреляционного строба таких
формы и размеров, чтобы в него на k+l-м цикле обзора
попала бы отметка от той же цели [35]. Обозначим через
199
вектор z результат измерения координат цели, т. е. (р, О)
в полярной и (х, у) в декартовой системе координат. Результаты
измерения z искажены стационарным шумом w с нулевым
средним и ковариационной матрицей R. Составляющие скорости
цели обозначим через V (т. е. через (р, 0) или (х, у)). В связи
с ограниченностью информации о траектории цели в качестве
V можно принять случайный вектор с нулевым средним и ковари-
ационной матрицей Ev. Смещение цели d между двумя после-
довательными циклами обзора можно представить следующим
образом:
d=zk+1-zk=VT+wk+1-wk.
Вектор d является случайным вектором с нулевым средним
и ковариационной матрицей
Ed = EvT2 + 2R. (3.68)
Для принятия решения о том, относятся ли отметки, полученные
в двух последовательных циклах обзора, к одной и той же
цели, используется правило (аналогичный случай рассмотрен
в подразд. 3.5.2)
у^бтЕа-Ч^х2, (3.69)
где у — случайная величина, имеющая распределение вероятностей
типа хи-квадрат с двумя степенями свободы, а % выбирается
с учетом получения заданного значения вероятности привязки.
Если завязка осуществляется в полярных координатах, то
Ed принимает вид
а*
о
о
<4
при этом предполагается, что составляющие скорости вдоль
координат р и О не коррелированы и имеют дисперсии
aj и соответственно. Уравнение (3.68) можно представить
в виде двух скалярных зависимостей:
IPk + i-pkl <0,5%^/ст2Т2 + 2СТр,
l®k + i -®kl <0,5хУст|Т2 + 2ст|.
Таким образом, при завязке траектории строб имеет ту же
форму, что и при определении принадлежности отметок.
Рассмотрим теперь случай завязки траектории в декартовой
системе координат (х, у). Ковариационная матрица R в этом
случае не диагональная и зависимость (3.69) не может быть
упрощена. Решающее правило имеет вид
[<1х<1у]ГоуТ2 + 2Ох
2 аху
2оху dx
o|T2 + 2q2J |_dy_
200
Возможны два случая:
а) Т2сту»стх, ст2, стху,
б) Т2ст^«п1; ст2, стху.
В случае а) правило принимает вид
(хк + 1 —хк)2+(ук+1 —ук)2<х2СТуТ2,
что соответствует стробу в виде круга.
В случае б) получаем
а(хк+1—хк)2 + Ь(хк + 1—хк)(ук+1 —ук)+с(ук + 1—ук)2<х2,
что соответствует эллипсу, изображенному на рис. 3.396, а па-
раметры а, Ь, с определяются дисперсиями ошибки определения
скорости и координат.
3.7. ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В данной главе были рассмотрены основные принципы по-
строения традиционных систем СЦРО. Особое внимание уделено
математическим моделям радиолокационных измерений и тра-
екторий целей, на основе которых получены алгоритмы для
фильтров сопровождения. Оценены характеристики этих фильтров
как в установившемся, так и в переходном режимах. Рассмотрены
также алгоритмы определения принадлежности отметок и завязки
траектории.
Данная глава завершает важный раздел книги. Изложенный
материал позволяет читателю самостоятельно анализировать
и формировать алгоритмы ЦОРИ для традиционных РЛС
с механическим сканированием луча. В то же время этот
материал будет служить основой для понимания более сложных
методов (таких, как нелинейная и адаптивная фильтрация)
и систем (например, радиолокационных с фазированной антенной
решеткой, работающих при неравномерной скорости поступления
информации; радиолокационных сетей сопровождения).
Глава 4
АЛГОРИТМЫ СОПРОВОЖДЕНИЯ
4.1. ВВЕДЕНИЕ
В настоящей главе детально рассматриваются некоторые
алгоритмы фильтрации, используемые для сопровождения в различ-
ных условиях. Базовый алгоритм сопровождения, представленный
в разд. 3.4, на практике требует доработки с учетом особенностей
следующих часто встречающихся ситуаций сопровождения:
201
а) одиночной цели (движущейся прямолинейно и (или) манев-
рирующей) в простых условиях (без мешающих отражений);
б) одиночной цели на фоне отражений от местных предметов;
в) двух целей, находящихся в непосредственной близости;
г) группы целей.
При изменении ситуаций (от п. а до п. г) задача сопровождения
существенно усложняется в связи с возможностью принятия
неправильных решений относительно принадлежности отметок
(истинных или ложных) к траекториям. Другими словами,
в дополнение к традиционной задаче оценивания параметров
траектории одиночной цели необходимо решать следующие задачи
идентификации:
определение числа целей, подлежащих сопровождению и уста-
новлению динамики их движения (прямолинейный или манев-
ренный полет);
распознавание отметок от сопровождаемых целей с последу-
ющим обновлением соответствующих траекторий.
Совместное решение задач оценивания и идентификации, как
правило, осуществляется с помощью адаптивных фильтров,
теоретические основы которых изложены в разд. 2.5. Принцип
адаптивности будет широко использоваться на протяжении всей
гл. 4.
Далее в настоящей главе рассматриваются нелинейные
фильтры, играющие важную роль в современных системах
сопровождения с измерением радиальной скорости целей. Изложе-
ние этого вопроса основано на материале разд. 2.6. Последняя
часть главы посвящена фильтрам сопровождения, предназначен-
ным для использования в радиолокационных системах, отлича-
ющихся от классических систем с механическим сканированием
антенны. Изложены особенности двух важных типов систем:
радиолокационных с фазированными антенными решетками и би-
статических, краткое описание которых можно найти соответ-
ственно в разд. 1.2 и подразд. 3.3.
4.2. ОСНОВНЫЕ ОСОБЕННОСТИ БАЗОВОГО ФИЛЬТРА
СОПРОВОЖДЕНИЯ
При формировании фильтра сопровождения в разд. 3.4 были
приняты некоторые упрощающие гипотезы относительно модели
цели и радиолокационных измерений. В данном разделе базовый
фильтр формируется на основе моделей, лучше учитывающих
реальные особенности их применения. Подразделы 4.2.1 и 4.2.2
посвящены двум достаточно совершенным моделям движения
целей и соответствующим фильтрам. Вопросы обработки ра-
диолокационных измерений на основе теории нелинейной
фильтрации излагаются в разд. 4.2.3.
202
4.2.1. ПОДХОД СИНГЕРА
В подразд. 3.3.3 модель движения цели формировалась с учетом
гипотезы о том, что ускорение может быть представлено в виде
белого гауссовского шума с независимыми составляющими по
каждой оси системы координат. Допущение о белом гауссовском
шуме может быть снято на основе теоретического подхода,
разработанного Сингером [3]. Вторая часть гипотезы, верная
при использовании системы координат, ориентированной по
курсу цели (см. подразд. 3.3.1), однако неприменимая для декар-
товых координат произвольной ориентации, может быть снята,
если ковариационная матрица ускорения Q в отличие от матрицы
(3.20) принимается недиагональной. Задача заключается в правиль-
ном выборе коэффициента корреляции между составляющими
ах и ау. Эта задача может быть решена эвристически на основе
статистического моделирования определенного класса траекторий
и выбора коэффициента корреляции, обеспечивающего наиболее
эффективное сопровождение цели.
Рассмотрим подход Сингера. При этом подходе модель цели
формируется сначала в непрерывном времени, а затем с помощью
стандартной процедуры дискретизации осуществляется переход
к дискретной модели, что обеспечивает точное статистическое
представление типового поведения цели. Для простоты изложения
рассматривается одномерная модель (пространством измерений
могут служить координаты х, у, дальность, угол места или
азимут). Это позволяет оценить характеристики сопровождения
при различных комбинациях измеряемых параметров. Например,
если РЛС измеряет дальность и угол места, то сопровождение
может осуществляться в полярных координатах. Точность со-
провождения по каждой из координат может быть оценена
раздельно, после чего, извлекая корень из суммы квадрата,
получают для данной ситуации достоверные оценки ошибок по
координатам и скорости. Подробный пример,. иллюстрирующий
указанную процедуру, рассмотрен в разд. 5 работы [3]. Подобные
методы могут быть применены и для других комбинаций
измеряемых параметров.
Одномерная модель движения цели может быть записана
следующим образом:
s'(t) = F's'(t) + G'a(t),
где
положение цели в момент t
скорость цели в момент t J’
ускорение цели в момент t,
s'(t) =
a(t)—
203
С помощью ускорения a(t) учитываются отклонения значений
скорости от некоторой постоянной величины. Маневрирование
в одной плоскости может быть задано с помощью двух величин:
дисперсии a(t) (характеризующей амплитуду маневра) и интервала
корреляции a(t) (описывающего длительность маневра). Следует
отметить, что ускорение цели коррелировано во времени, т. е.
если в момент t наблюдается ускорение цели, то весьма вероятно,
что ускорение будет наблюдаться и в момент t + т, где приращение
т достаточно мало. Так, при медленных разворотах интервал
корреляции может достигать 1 мин, при маневрировании с целью
уклонения от средств ПВО он составляет 10—30 с, а при
атмосферной турбулентности 1—2 с [3]. Корреляционная функция
г(т) ускорения цели может быть записана следующим образом:
г(т)= E{a(t)a(t+T)} = <jae~a|T|,
где На—дисперсия ускорения целей; a — величина, обратная по
отношению к средней продолжительности маневра.
На рис. 4.1 представлена корреляционная функция, а на
рис. 4.2 — функция плотности вероятности ускорения цели. Значе-
ния максимальных ускорений равны ±атах и достигаются
с вероятностью Ртах. Вероятность отсутствия ускорения равна
Ро, а в пределах от — атах до +атах плотность вероятности
ускорений описывается с помощью равномерного распределения.
Следовательно, дисперсию распределения вероятностей можно
представить в виде
я2
аа2=^[1+4Ртах-Р0].
При такой модели непосредственное применение калмановского
фильтра невозможно, поскольку входное воздействие должно
иметь характер гауссовского белого шума. Поэтому введем
эквивалентный (т. е. с теми же средним значением и СКО)
гауссовский белый возмущающий процесс и представим ускорение
с помощью третьей составляющей расширенного вектора состо-
яния.
-3/а -2/а -1/а 0 Ма 2!а 3/а ~атах q атах
Рис. 4.1. Корреляционная функция Рис. 4.2. Модель плотности вероятно-
ускорения цели [3] сти ускорения цели [3]
204
С использованием корреляционной функции г(т) ускорение
a(t) можно представить в виде выходного сигнала фильтра, на
вход которого подается белый шум n(t). Преобразование Лапласа
функции г(т) имеет вид
R(s) = L[r(T)]= . ~2.a.q‘ ,=H(s)H(-s)N(s),
' ’ L \ /J (s_a)(s + <x) \ > \ ’
где
N(s)^L[n(t)] = 2aa2.
Вследствие этого, можно записать следующее уравнение для
ускорения:
a(t)= = — aa(t) + n(t),
причем корреляционная функция белого шума на входе фильтра
Стп('г) = 2аоа5(т). Теперь уравнения движения цели, выраженные
через белый шум n(t), можно представить как
s(t) = Fs(t) + Gn(t), (4.1)
где
s(t) =
положение цели в момент t
скорость цели в момент t
ускорение цели в момент t
n(t)—управляющее воздействие типа белого шума с дисперсией
2аста
О 1
F(t)= О О
О О
О'] Го
1 , G= О
— а 1
На практике применительно к одиночной траектории ускорение
представляет собой нестационарный процесс, поскольку траек-
тория состоит из участков как равномерного, так и ускоренного
движения. Тем не менее применительно к ансамблю всех
возможных траекторий ускорение может моделироваться с по-
мощью стационарного процесса, как это и делалось до сих
пор. Следовательно, формируемый далее фильтр является оп-
тимальным по отношению к ансамблю траекторий. В то же
время адаптивный фильтр, как это показано в разделе 4.3,
подлежит оптимизации для каждой отдельной траектории.
Измерения, зависящие от вектора состояния, обычно поступают
через каждые Т секунд. Поэтому целесообразно использовать
дискретную модель уравнения состояния, с помощью которой
каждые Т секунд получать рекурсивную оценку вектора состояния.
Можно отметить, что рассматриваемый подход применим и в слу-
205
чае неравномерного поступления данных (что имеет место в РЛС
с фазированной антенной решетки), при этом интервал диск-
ретизации Тк зависит от номера излучения РЛС к и уравнение
движения цели имеет вид [3]:
8к+1=Ф(Т, a)sk+uk,
(4.2)
где Ф(Т, а) — матрица перехода состояний цели; ик — входное
воздействие.
Поскольку
s(t+T) = eFTs(t)+ J eF(‘+T-t*Gn(T)dT,
t
то в модели, представленной уравнением (4.1),
Ф(Т, a)=exp(FT),
(k+ 1)Т
uk= f exp{F[(k+l)T—x]}Gn(x)dx.
kT
Экспоненциальные функции от матриц могут быть вычислены
с использованием метода собственных значений. Собственные
значения F равны
Х={0, 0, -а}.
Можно показать что
Ф(Т, а) =
I Т ^[-1+«Т+е-«]-
О 1
1 О е"аТ
(43)
Если интервал дискретизации Т незначителен по сравнению
с продолжительностью ускорения, т. е. аТ мало, то выражение
для Ф(Т, а) упрощается:
Ф =
"1 Т Т2/2"
О 1 т
О 0 1
(4.4)
С другой стороны, если а увеличивается до бесконечности (т. е.
ускорение имеет вид белого шума), уравнения (4.2) и (4.3)
упрощаются до известных ранее (3.13) и (3.15) соответственно.
Можно показать, что uk—дискретная последовательность типа
белого шума с нулевым средним и ковариационной матрицей
Qk = E{ukuJ} = 2ao2
Чи Qu 413
421 422 423 »
(4.5)
_4з1 4з2 4зз_
206
где
1-е-2аТ+2аТ+^у--2а2Т2-4аТе~аТ
Ч12 = т~4Ге 2aT+l—2е aT+2aTe аТ+а2Т2];
2а
413[1-е 2аТ-2аТе “т];
<123 = 2^ [е~2аТ +1 - 2е~“т];
Чзз = 1[1-е--].
Если РЛС оснащена антенной с механическим сканированием
и цель определена, то величины а и Т остаются неизменными,
а следовательно, матрицы Фк и Qk — постоянны. Если произ-
ведение Тв достаточно мало, то в пределе приходим к матрице
"Т5/20 Т4/8 Т3/6~
Т4/8 Т3/3 Т2/2 .
_Т3/6 Т2/2 Т _
lim Q = 2ao2
«т—о
Напротив, при бесконечном увеличении а матрица Q упрощается:
о о
о о
о <Т2_
что модель траектории цели
0
lim Q = 0
«-ос |_0
Таким образом, можно считать,
задана, и для использования калмановского фильтра осталось
сформировать модель измерений.
Система сопровождения измеряет положение цели вдоль рас-
сматриваемой оси координат, и процесс измерений может быть
описан с помощью уравнения
zk = Hsk+Wk,
(4.6)
где
Н = [1 0 0];
Wk—шум измерений с нулевым средним и дисперсией ст2.
Теперь можно записать уравнения калмановского фильтра
в соответствии с уравнениями из подразд. 2.4.1. В качестве
исходных данных для уравнений калмановского фильтра можно
принять
§2/2 = [z2, (z2 —гк)/Т, 0],
где Zj и z2—соответственно результаты первого и второго
измерений.
207
Соответствующие уравнения для ковариации имеют вид [3]
PV1(1, 1) = о2,
P1Z1(1, 2)=PV1(2, 1)=о2/Т,
₽1/1(1,3) = Р1/1(3, 1)=0,
f>vl(2, 2) = 2<т*/Т2+-^ 2-а2Т2+^-2е-аТ-2аТе-аТ
₽i/i(2, 3)=PV1(3, 2)=^[е~аТ+<хТ-1],
Pi/i(3, 3) = o2.
Если, как это часто бывает, захват цели произошел до начала
маневрирования, то исходные уравнения ковариации упрощаются:
Р2/2(1, 1) = а2,
h/2(l,2) = ?1/1(2, 1) = о2Т,
f*2/2(2, 2) = 2<у£/Т2,
^2/2(1, 3) = Р2/2(3, 1) = Р2/2(3, 2) = Р2/2(2, 3) = Р2/2(3, 3) = 0.
Оценим эффективность функционирования сформированного
фильтра в установившемся режиме в соответствии с методом
[54]. Рассмотренная задача фильтрации характеризуется четырьмя
независимыми параметрами:
оа —среднее квадратическое отклонение ускорения;
1/ос— время корреляции;
Т —интервал дискретизации (поступления данных);
ow —средняя квадратическая ошибка измерения.
Для удобства оценки эффективности введем в качестве перемен-
ных состояний три безразмерных величины
s(l) Ts(2) T2s(3)
Можно показать, что в установившемся режиме средние квад-
ратические ошибки оценивания новых переменных состояний
и безразмерные составляющие оптимального усиления калмановс-
кого фильтра q, h и 1 в выражении
зависят только от двух параметров
Pi=aT и p2 = T2Ga/ow.
208
Рис. 4.3. Оптимальные значения g [54]
Рис. 4.4. Оптимальные значения
h [54]
Решения в установившемся режиме получены при изменении
параметров pi и р2 в широком диапазоне. Результаты вычисления
составляющих усиления в установившемся режиме представлены
на рис. 4.3—4.5. На рис. 4.6 приведены нормализованные средние
квадратические ошибки экстраполяции координат V/Pp(l, l)/ow.
14—1582
209
Рис. 4.7. Нормализованная средняя
квадратическая ошибка координат по-
сле измерения [54]
—.... До обновления
— — — После обновления
Рис. 4.8. Нормализованная средняя
квадратическая ошибка скорости до
и после измерения [54]
Ошибка фильтрации ^/Pf(l, l)/ow на рис. 4.7 получена
как результат извлечения квадратного корня из величины g,
зависимость которой от рх и р2 представлена на рис.
4.3. Аналогичные данные (как для задач фильтрации, так и
для задач экстраполяции) применительно к ошибкам измере-
ния скорости и ускорения приведены на рис. 4.8 и 4.9. Гра-
фики, изображенные на рис. 4.3—4.9, могут быть весьма полезны
при проектировании фильтров и прогнозировании их харак-
теристик.
После обновления
Рис. 4.9. Нормализованная средняя
квадратическая ошибка ускорения до
и после измерения [54]
210
4.2.2. ПОЛУМАРКОВСКИЙ ПОДХОД
До сих пор ускорение цели моделировалось гауссовским белым
(см. подразд. 3.3.3) или коррелированным (см. подразд. 4.2.1)
стационарным случайным процессом. Как уже отмечалось, гипо-
теза о стационарности процесса не соответствует действитель-
ности. В настоящем разделе формируется усовершенствованная
модель цели без использования гипотезы о стационарности.
В основе предлагаемого подхода лежит полумарковская модель
описания маневра цели с дискретизацией возможных ускорений
летательных аппаратов [28,43]. Маневры цели моделируются
с помощью полумарковского процесса, т. е. случайного процесса
с конечным числом состояний, которые выбираются в соответ-
ствии с вероятностями перехода марковского процесса. Полумар-
ковский процесс отличается от марковского тем, что время его
нахождения в одном состоянии до перехода в другое само
является случайной величиной.
На рис. 4.10 иллюстрируются этапы совершенствования модели
траектории цели. Сначала маневры цели моделировались некор-
релированным процессом с нулевым средним, что отражено на
рис. 4.10а (см. подразд. 3.3.3). При этом согласно алгоритму
оценивания могли отслеживаться лишь те маневры, которые
были соизмеримы с уровнем входного шума. Сингеровский
подход позволяет моделировать маневры большой амплитуды
в виде коррелированного во времени входного процесса, что
иллюстрируется на рис. 4.106 с последующим учетом статистики
при формировании фильтра (см. подразд. 4.2.1). На рис. 4.10в
показана модель ускорений в виде стохастического процесса,
среднее значение и дисперсия которого изменяются случайным
образом, принимая заранее заданные значения на некотором
конечном множестве.
Заметим, что шум, воздействующий на модель цели, негаус-
совский, однако он может быть представлен в виде совокупности
гауссовских источников, каждый из которых влияет на модель
по очереди, причем порядок перехода от одного источника
к другому определяется марковской матрицей перехода. Следо-
вательно, можно рассматривать систему, функционирующую
в переходных (т. е. нестационарных) условиях. Оптимальным
алгоритмом фильтрации в этом случае является адаптивный
нелинейный алгоритм (см. подразд. 2.5.3).
Однако этот подход имеет серьезное ограничение, обуслов-
ленное требованием большого числа заранее заданных средних
значений для обеспечения сходимости процесса оценивания.
В работе [43] показано, что совмещая подходы, представленные
на рис. 4.106 и в, можно значительно уменьшить необходимое
для сходимости фильтра число средних значений. Этот вариант
иллюстрируется на рис. 4.10г. Основным достоинством такого
211
14’
Рис. 4.10. Варианты входного воздей-
ствия модели маневрирующей цели:
а — белый гауссовский шум с нулевым средним;
б — коррелированный шум с нулевым средним;
в — белый гауссовский шум со случайно изменя-
ющимся средним; г — коррелированный гауссовс-
кий шум со случайно изменяющимся средним
Рис. 4.11. Полумарковская модель
ускорения цели
подхода является сокращение вычислительных затрат. Другими
словами, коррелированный во времени шум ускорений обеспечива-
ет достаточное перекрытие между смежными гауссовскими плот-
ностями вероятностей, что позволяет исключить смещение оценок,
которое в противном случае может иметь место при калмановской
фильтрации, если на вход поступают несогласованные сигналы.
Следует добавить также, что модель, основанная на коррелиро-
ванных во времени случайно изменяющихся маневрах, более
адекватно отражает физическую сущность реальных процессов.
В целях вывода уравнений фильтра сопровождения для случая,
соответствующего рис. 4.10г, сначала поясним сущность полумар-
ковских процессов, а затем рассмотрим работу адаптивного
фильтра при поступлении на его вход сигнала с переменным
средним значением [1 ] (см. подразд. 2.5.3).
Рассмотрим вероятностную модель с N состояниями Si5
i=l,2, ..., N, показанную на рис.4.11. Пусть 0^—условная веро-
ятность того, что следующий переход будет осуществлен в со-
стояние Sj при условии, что в данный момент система находится
в состоянии Sj. Вероятности 0ц (i, j = 1, 2, ..., N) называются
вероятностями перехода, они должны удовлетворять следующим
условиям:
N
X 0ij = l, i=l,2,N;
j=i
0и>О, i, j = l, 2, N.
212
Если система находится в состоянии Si9 то следующим состоянием
будет Sj, переход в которое будет осуществлен в соответствии
с заданной вероятностью. Однако до перехода в новое состояние
система будет находиться в течение времени в состоянии Sj.
Величины Тц являются случайными величинами, подчиняющимися
соответствующему набору функции распределения рм (т) (i,
j = l, 2, N), которые представляют собой плотности распределе-
ния времени задержки. Такая стохастическая система исполь-
зовалась для моделирования ускорения цели [43]. В этом случае
состояние Sj соответствует определенному среднему значению
ускорения цели, скажем ц (i), так что ускорение цели в одном
из направлений описывается величиной r|(i) и коррелированным
сингеровским процессом, рассмотренным в подразд. 4.2.1. Можно
считать, что вероятности перехода 0ц при i=j имеют значение
р, близкое к единице, а при i/j равны (1—p)/(N—1). Обычно
полагают, что функции плотности времени задержки являются
экспоненциальными, а средние значения выбираются исходя из
оперативных требований [43].
Рассмотрим адаптивный фильтр, который может быть ис-
пользован в данном случае. Уравнение состояния модели цели
можно записать следующим образом:
sk+1 =<Dsk + r(uk + r|k),
где uk — составляющая сингеровского шума с нулевым средним;
т|к — значение детерминированного ускорения, определяемого по-
лумарковской моделью.
Составляющая ц может принимать различные значения {ц (i);
i=l, 2, ..., N} в диапазоне возможных ускорений цели. Множество
результатов радиолокационных измерений, полученных вплоть
до k-го цикла обзора включительно, обозначим через Zk. Кроме
того, введем Qk, новое множество всех возможных последователь-
ностей т|, которые могли бы воздействовать на цель с исходного
момента до k-го цикла обзора. Число различных последователь-
ностей в Qk равно Nk, а через Qk(j) обозначим конкретную
последовательность (длиной к) ансамбля. В соответствии с те-
орией [1 ] оптимальная (в смысле среднего квадратического
значения) оценка состояния имеет вид
N
§*/k= L Prob{Qk(j)/Zk}F{sk/nk( j), Zk} =
i=Nk
= X Prob{nk(j)/Zk}Sk/k[Qk(j)]. (4.7)
j = i
При получении последнего выражения использовалось следующее
уравнение:
. p(sk/Zk)= £ Prob{Qk(j)/Zk}p(sk/Qk(j), Zk). (4.8)
j = i
213
Обоснование такого подхода дано в подразд. 2.5.3 [см. соот-
ношения (2.34) — (2.41)]. Нетрудно заметить, что оценка состояния
представляет собой линейную комбинацию Nk частичных оценок
состояния sk/k[Qk(j)], каждая из которых относится к своей
последовательности значений ускорения, управляющей движением
цели. В качестве коэффициентов при частичных оценках исполь-
зуются вероятности появления конкретных последовательностей
ускорения. С учетом байесовского правила, а также полагая,
что Zk = {Zk, Zk-1}, эти коэффициенты можно вычислить по
рекурсивной формуле
Prob{Ok(j)/Zk} = vkProb{Zk/Qk(j), Zk-1},
Prob {Qk( j)/Zk-1},
где vk — нормализующий коэффициент, вычисляемый на каждой
итерации таким образом, чтобы сумма взвешенных вероятностей
была равна единице.
При использовании рассмотренной процедуры требуемый объ-
ем памяти фильтра с течением времени увеличивается. В целях
снижения требований к объему памяти был предложен субоп-
тимальный оцениватель, при применении которого в каждый
момент времени вычисляется и запоминается только одна оценка
состояния [1 ].
Предполагается, что функция p(sk/Zk) в уравнении (4.8)
представляет собой плотность нормального распределения со
средним значением sk,k и ковариационной матрицей Pk/k, хотя,
строго говоря, p(sk/Zk) является суммой Nk отдельных гауссовских
плотностей p(sk/Q*(j), Zk). Такая аппроксимация предотвращает
неограниченный рост числа рассматриваемых на каждом шаге
частичных оценок, а с помощью sk/k и Pk/k учитывается история
процесса; при этом при разветвлении алгоритма необходимо
принимать в расчет лишь N вариантов, относящихся к следующему,
к+ 1-му шагу. С учетом сделанного допущения (4.7) принимает вид
N
§к/к= Е §к/к[п(0]ск(0’ (4-9)
i=l
где
Sk/k[n(i)] = E{sk/T]k = n(i)’ z“};
ck(i) = Prob{r|k = r|(i)/Zk}. (4-Ю)
Оценка состояния sk/k является линейной комбинацией N час-
тичных оценок sk/k[r|(i)], полученных при условии, что в качестве
i-ro входного воздействия выступает ускорение r| (i). Коэффици-
енты ck(i) представляют собой вероятности того, что воздействие
r|(i) действительно имеет место, если к началу k-го цикла обзора
РЛС получен ансамбль результатов наблюдений Zk. Следует
214
обратить внимание на разницу между sk/k[f2k(j)] и sk/k[r|( j)]:
первая оценка—это одна из Nk оценок ветвящегося алгоритма;
вторая — одна из N оценок. Уменьшение числа вариантов до-
стигается благодаря тому, что на каждом шаге N ветвей
алгоритма объединяются в одну.
Частичные оценки при условии входного воздействия r| (i)
могут быть получены с помощью соответствующих калмановских
фильтров. В частности,
§к + 1/к+1[п(1)] = Фк8к/к[г|(0] + ГГ|(|) +
+ Кк + 1 {Zk+1-HOksk/k[n(i)]-Hrn(i)}, (4.11)
Кк+1 =Pk+1/kHT[HPk+1/kHT + R]-х, (4.12)
Pk + i/k = <I>kPk/k<I>J + GQGT, (4.13)
?к + 1/к + 1 = [1-Кк + 1Н]Рк+1/к. (4.14)
Принимается, что ковариационные матрицы R и Q идентичны
для каждого состояния полумарковской модели. Это существенно
упрощает алгоритм фильтрации. Действительно, выражения
(4.12)—(4.14) не зависят от значения i, поэтому их достаточно
вычислить один раз, а затем использовать один и тот же
результат в каждом калмановском фильтре (4.11). На рис. 4.12
приведена структура упрощенного адаптивного фильтра, рас-
смотренного выше.
Уточним порядок вычисления коэффициентов ск + 1. Используя
вновь байесовское правило, можно записать
Prob{r|t+1=r|(i)/Zl‘}p(Z|1 + 1/r|t+1=r|(i), z11) <4 ...
k+1U p(zk+i/Zk) ’ ’ 7
Рис. 4.12. Алгоритм оценивания при полумарковской модели цели [43]
215
Знаменатель последнего выражения не зависит от i, а следователь-
но, является общим для всех ck(i) и используется в качестве
нормализующего коэффициента. Первый сомножитель числителя
выражения (4.15) определяется полумарковским входным процес-
сом. Представим этот сомножитель в виде выражения для
полной вероятности
N
Prob{r|k + i = n(>)/zk}= Z РгоЬ{Пк +1 =П(>)/Пк = П(j), Zk}ck(j).
. j = 1
Поскольку Z не влияет на изменение состояния, то
N
Prob{nk + i = n(i)/zk}= X %с4j)- (416)
j=l
Объединяя выражения (4.15) и (4.16), получаем
N
ck+1(i) = constp{zk + 1/r|k+1=r|(i), Zk} X 0ijCk(j), (4-17)
j = i
где i= 1, 2, ..., N.
Это и есть искомое рекурсивное выражение для вычисления
коэффициентов c(i), которые используются во втором уравнении
(4.10). Оценим далее плотность вероятности р{ } в выражении
(4.17). Эта плотность близка к гауссовской со средним значением
mk(i) и ковариацией Ек, получаемыми с помощью калмановского
алгоритма
Р{zk + 1/Пк +1 = П(i), Zk} = N(mk + 1(i)Ek + 1), (4.18)
mk + 1 = Н [Фвк/к + гг| (i)], (4.19)
Ек+1 =HPk + 1/kHT+R (4.20)
Таким образом, общий алгоритм оценивания включает вычис-
ления, осуществляемые при получении сигнала zk + 1 в соответ-
ствии с уравнениями (4.18) — (4.20), (4.17) и (4.11) — (4.14).
На первый взгляд может показаться, что в соответствии
с уравнениями (4.9) и (4.11) — (4.14) весь калмановский алгоритм
на каждом шаге выполняется N раз, однако это не так.
Состояния цели в полумарковской модели отличаются дискрет-
ными уровнями r|(i), однако динамика цели остается неизменной.
Если принять, что ковариации процесса и шума измерений
остаются постоянными при входных воздействиях r|(i), ..., т|( j),
то ковариационный анализ калмановского фильтра становится
идентичным для каждого фильтра банка. Поэтому операция
должна выполняться не N, а только один раз. Следствием
принятого допущения является возможность перехода от банка
фильтров к одному калмановскому фильтру, дополненному
рекурсивной процедурой оценивания детерминированного уровня
ускорения цели. Коэффициент усиления К становится одинаковым
216
для каждого i-ro канала банка. Указанное упрощение не при-
менимо, если разным состояниям полумарковской модели соот-
ветствуют разные значения дисперсии ускорения. Если суммиро-
вать взвешенные оценки от банка, состоящего из N фильтров,
и вновь считать, что весовые коэффициенты незначительно
изменяются от цикла к циклу обзора, то алгоритм адаптивного
оценивателя упрощается:
Sk + 1/k+l =Ф8к/к + г'Пк + Кк + 1 [zk + 1 — НФ§к/к —Hrfj к],
где
N
Пк= Е n(j)ck(j)-
j=l
Эти уравнения соответствуют одиночному калмановскому
фильтру с внешним адаптируемым параметром fj k, представ-
ляющим собой оценку (неизвестного) детерминированного ускоре-
ния цели (рис. 4.13). Характеристики этого алгоритма, рассчитан-
ные на основе машинного моделирования, приведены в работе
[43].
4.2.3. НЕЛИНЕЙНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ ДАННЫХ
РАДИОЛОКАЦИОННЫХ ИЗМЕРЕНИЙ
Определение координат и скорости цели по результатам
радиолокационных измерений дальности, азимуту и скорости
изменения дальности осуществляется на основе теории нелинейной
стохастической фильтрации (см. подразд. 1.4.3). Как правило,
динамика цели описывается в декартовых координатах, а ра-
диолокационные измерения осуществляются в полярной системе
координат. Связь измерений с декартовыми координатами цели
имеет нелинейный характер. Одно из возможных решений этой
Рис. 4.13. Упрощенный адаптивный фильтр при полумарковской модели ускорения
цели
217
проблемы представлено в подразд. 3.3.2 и заключается в пред-
варительном преобразовании координат из полярной системы
в декартову. Возможно и непосредственное применение теории
нелинейной фильтрации (см. разд. 2.6). Рассмотрим кратко этот
подход [65 ] при обработке результатов измерения дальности
и азимута. Он не получил широкого распространения, так как
требует больших вычислительных затрат, чем алгоритм, пред-
ставленный в подразд. 3.3.2. Отметим, что нам придется вновь
обратиться к нелинейной фильтрации в разд. 4.6 при рассмотрении
вопросов обработки информации о скорости изменения дальности;
в этом случае метод преобразования непригоден.
Нелинейный оцениватель, рассмотренный в [65], представляет
собой расширенный калмановский фильтр (см. подразд. 2.6.2)
с линеаризованным уравнением наблюдения. Для простоты
описывается двумерный случай; распространение метода на
трехмерный случай можно найти в [65]. Рассмотрим следующие
нелинейные уравнения измерений:
z^
х/х2 + у21 К
_0j [_arctg(y/x)J [_n9_
= h(s)+n,
Р
где s—состояние цели; np, n0 — шумовые некоррелированные
процессы с нулевыми средними и дисперсиями
Ор и <5q соответственно.
Уравнение расширенного калмановского фильтра имеет вид
где
sT=[xy];
Р к / к - 1 = \/Хк/к-1 +Ук/к-1 J
0k/k-i = arctg(yk/k-i/Xk/k-i);
н r-COS0k/k-l sin§k/k-l ~|dh(s)
_sin6k/k-l/Pk/k-l cos^k/k-l/Pk/k-l_ s=5k/k-i
R =Га₽° "
k L° CTe_
Уравнения экстраполяции линейны с учетом модели цели, задан-
ной выражением (4.2).
Ошибки, обусловленные линеаризацией, накапливаются и, если
не приняты специальные меры, могут привести к неверной
оценке состояния цели. В работе [65] показано, что эти ошибки
218
пропорциональны дальности цели, и поэтому даже при достаточно
точных оценках ошибки определения координат могут быть
значительными, если цель находится на большом расстоянии.
Известен алгоритм [65], обеспечивающий уменьшение ошибок,
обусловленных линеаризацией, практически до нуля при измерении
дальности и до пренебрежимо малых величин при измерении
азимута. Использование данного алгоритма не требует увеличения
вычислительных затрат по сравнению с традиционным расшире-
нным калмановским фильтром.
43. АДАПТИВНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ ПРИ СОПРОВОЖДЕНИИ
МАНЕВРИРУЮЩЕЙ ЦЕЛИ
В предыдущем разделе модель траектории цели была усовер-
шенствована и максимально приближена к реальному процессу.
Однако на практике неточностей модели системы и не совсем
правильных статистических характеристик случайных процессов
полностью избежать не удается. Кроме того, аппроксимация,
необходимая в нелинейных системах, наряду с ошибками округле-
ния при вычислениях может привести к так называемой «рас-
ходимости» системы сопровождения (см. подразд. 2.5.2). В си-
стемах сопровождения одним из основных источников рас-
ходимости является маневр цели, особенно в том случае, когда
фильтр сопровождения достиг установившегося режима и усиление
его мало (фильтр узкополосен).
Для пояснения явлений, происходящих при маневрировании,
рассмотрим траекторию цели, состоящую из двух участков
равномерного прямолинейного движения, отделенных друг от
друга участком разворота, на котором цель испытывает ускорение
(рис. 4.14а). Рациолокационные измерения осуществляются с пери-
одом Т = 5 с при средних квадратических ошибках измерений
дальности и азимута, соответственно равных ар=100м
и а0 = 3 мрад. Эти измерения обрабатывались с помощью фильтра
сопровождения, описанного в подразд. 4.2.1. С помощью имитаци-
онного моделирования оценивались средние и средние квад-
ратические значения ошибок сопровождения (ex,p:={xk”xk/k-i}
и (ЕУ,Р = {Ук-Ук/к-1})-
На рис. 4.146 приведены средние значения, а на рис. 4.14в
средние квадратические значения ошибок при различных значениях
параметра р = 2аОа [см. уравнение (4.5)]. Можно заметить, что
при малых q, т. е. когда ожидаемые значения дисперсии ускорения
незначительны, усиление калмановского фильтра уменьшается.
Другими словами, фильтр сопровождения имеет узкую полосу
пропускания и соответствующие средние квадратические ошибки
очень малы (рис. 4.14в.). С другой стороны, на участке ускорения
цели наблюдаются очень большие смещения оценок (рис. 4.146).
С увеличением значения параметра q полоса фильтра расширяется
219
Рис. 4.14а. Моделируемая траекто-
рия цели (Vab = 400m/c, авс =
= 25 м/с2, Т = 5с, а = 100 м, q0 =
= 0,003 рад)
500 -
400
300
200
100
0
-100
-200 -
-300 -
А
/I
I I
Е{ЕХ(Р},м
Маневр
-400 -
-500 -
Рис. 4.146. Среднее значение ошибки экстра-
поляции
Рис. 4.14в. Средняя квадра-
тическая ошибка экстрапо-
ляции
Рис. 4.14г. Среднее значе-
ние обновляющей после-
довательности
и смещение оценок уменьшается из-за повышения среднего
квадратического значения ошибок; это явление уже отмечалось
в подразд. 3.4.1. В реальных системах сопровождения необходимо
одновременно обеспечить высокое качество фильтрации шума
и быстрое реагирование на резкие маневры цели. Следовательно,
в алгоритме сопровождения, удовлетворяющем этим требованиям,
должны быть предусмотрены средства обнаружения факта манев-
рирования и адаптации параметров и (или) архитектуры фильтра
в соответствии со складывающейся реальной обстановкой. Раз-
личные способы адаптации фильтра сопровождения рассмотрены
в подразд. 4.3.2.
4.3.1. АЛГОРИТМЫ ОБНАРУЖЕНИЯ МАНЕВРА
Алгоритм обнаружения маневра представляет собой решающее
правило, с помощью которого определяется момент начала
маневра, если маневр действительно происходит. Кроме того,
такой алгоритм позволяет оценить параметры (интенсивность,
длительность) маневра. Алгоритм основан на обработке обнов-
ляющей последовательности (см. подразд. 2.5.2) в фильтре со-
провождения с достаточно узкой полосой, необходимой для
подавления шума и сопровождения прямолинейно движущихся
целей. Если маневры являются событиями редкими, то может
быть использован обычный калмановский фильтр. Однако если
маневрирующие цели все же появляются, то обнаружение маневра
может осуществляться на основе анализа обновляющей после-
довательности. Вспомним, что обновляющая последовательность
при линейном оптимальном фильтре представляет собой гаус-
совский процесс типа белого шума с нулевым средним и ковари-
ационной матрицей вида (см. подразд. 2.4.1):
0k = HPkkIHT + Rk^rk + Rk. (4.21)
С момента начала маневрирования цели обновляющая после-
довательность уже не обладает отмеченными свойствами и кал-
мановский фильтр теряет оптимальность по отношению к такой
траектории. В качестве примера на рис. 4.14г показаны смещения
обновленной по оси х, вызванные маневром цели. Это свидетель-
ствует о том, что обнаружение маневра может быть основано
на контроле в реальном времени обновляющей последователь-
ности и выявлении отклонений среднего значения от нуля,
а самой последовательности от гауссовского некоррелированного
процесса. Ниже рассмотрено несколько возможных подходов
к решению этой задачи.
Обнаружитель А. Рассмотрим сначала весьма простой метод
[9]. Допустим, что составляющие вектора v имеют гауссовскую
плотность распределения. Тогда нетрудно оценить вероятность
того, что значение каждой i-й составляющей будет находиться
221
в интервале ±c5/®k(i, i), где с—положительная константа. Так,
например, эта вероятность для указанного интервала равна
0,6827 при с =1,09545 при с = 2 и 0,9973 при с = 3. Следовательно,
если все составляющие вектора v(i) (i=l,2, m) попадают
в интервал ±cx/Ok(i, i), то можно считать, что последователь-
ность имеет гауссовское распределение с нулевым средним
и ковариационной матрицей 0к. Однако если хотя бы одна
составляющая обновляющей последовательности не попадает
в указанный интервал, то принятая гипотеза должна быть
отвергнута.
Обнаружитель В. Следующий метод [61 ] основан на исполь-
зовании следующей квадратичной формы:
pk = vkOk *vk,
которая при оптимальном фильтре имеет распределение хи-
квадрат с m степенями свободы, где m — число составляющих
вектора v. Среднее значение величины рк вычисляется из
выражения
gk = “gk-i + Pk, где 0<а<1. (4.22)
В гауссовском приближении
lim E{gk}=m/(1—а),
к-* оо
Считается, что цель производит маневр, если значение gk пре-
вышает определенный порог. Если маневр обнаружен в момент
времени к, то считается, что цель начала—ускоренное движение
в момент (к—Д —1), где параметр
Д = (1—а)-1 (4.23)
может рассматриваться как память фильтра (4.22).
Обнаружитель С. Два предыдущих метода могут считаться
параметрическими в том смысле, что при обработке учитываются
как абсолютная величина, так и знак составляющих обновляющей
последовательности. Известны и непараметрические методы, учи-
тывающие лишь знак составляющих [29]. Пусть
Ik^sign(vk),
где vk—для простоты скаляр, и
sign(vk)^
+ 1, vk>0,
-1, vk<0.
Статистическое правило обнаружения маневра имеет вид
|Вм,к| —
М-1
Z Ik-i
i = 0
да
Т.
нет
222
Нетрудно заметить, что 1к представляет собой последовательность
Бернулли с вероятностью появления единицы, равной 0,5, а сле-
довательно, величина Вм>к является случайной и распределена
биномиальному закону. Отметим, что среднее значение Вм>к равно
нулю. Порог Т задает вероятность ложной тревоги и его
значение может быть определено по справочным таблицам
биномиального распределения. Реализация данного метода очень
проста.
Обнаружитель D. Предыдущие методы позволяли оценить
только момент начала маневра цели. Данный метод, кроме
того, обеспечивает получение оценки абсолютной величины уско-
рения цели. Маневр цели описывается с помощью модели
состояния (4.2) с дополнительным членом В (к, т)р, который
суммируется с шумовой составляющей uk. Переменная определяет
момент начала маневра, а с помощью матрицы В (к, т) аб-
солютные значения параметров маневра р распределяются по
составляющим состояния системы. В общем случае цель может
одновременно выполнять несколько независимых маневров, при
этом характеристики этих маневров учитываются структурой
матрицы В (к, т). При оценивании параметров тир предполага-
ется, что они являются неизвестными детерминированными
величинами. Вследствие линейности калмановского фильтра об-
новляющая последовательность содержит обычную шумовую
составляющую флуктуаций остаточного члена и детерминирован-
ную составляющую В (к, т)р, обусловленную ускорением (если
оно имеет место). Параметры тир определяются на основе
решения задачи совместного оценивания и обнаружения с по-
мощью процедуры испытания следующих гипотез:
Hi: vk = vk + B(k, т)р (т^(к —1)Т, т. е. совершен маневр);
H0:vk = vk (до момента к маневр отсутствовал).
Достаточным статистическим параметром для решения этой
задачи является коэффициент правдоподобия
p(vk|Z\H,)
p(vk|Zk, Но)’
сформированный на основе результатов всех измерений Zk,
полученных к моменту времени к. Этот коэффициент используется
для вычисления оценок т и р по методу максимального
правдоподобия. Подробные описания соответствующих алго-
ритмов можно найти в [10,66]; ниже представлена лишь
структура фильтра сопровождения. На рис. 4.15 нетрудно за-
метить интересную особенность: обновляющая последователь-
ность калмановского фильтра одновременно обрабатывается
банком низкочастотных фильтров, имеющих единственный полюс
и импульсные характеристики {hjk}, причем каждый фильтр
223
Маневр
отсутствует
Рис. 4.15. Структура фильтра, одновременно оценивающего абсолютную величину
ускорения и момент начала маневра [10]
согласован с маневром определенного типа, т. е. характеризуется
определенной парой значений т и ц. Наибольший по уровню
сигнал будет на выходе фильтра, согласованного с обновляющей
последовательностью. Если при этом будет превышен порог
X, то характеристики фильтра определят тип маневра цели.
Полученная пара (т, ц) используется для обновления оценки
состояния цели с момента кТ —т до текущего времени, а также
для экстраполяции. Данный подход связан с большими вы-
числительными затратами. Кроме того, обнаружение маневра
происходит с определенной задержкой, что обусловлено памятью
банка фильтров.
Авторам не известны исследования по сравнительной оценке
точности и времени реакции обнаружителей четырех рассмот-
ренных типов.
4.3.2. СПОСОБЫ РЕАЛИЗАЦИИ АДАПТИВНОСТИ
Было исследовано несколько способов адаптации параметров
и (или) структуры фильтра, предотвращающих расходимость
при маневре цели и обеспечивающих приемлемую точность
сопровождения. Перечислим некоторые из них:
1) периодическое приведение коэффициента усиления калма-
новского фильтра к исходному уровню;
2) увеличение дисперсии входного шума ц;
3) увеличение ковариационной матрицы оценки состояния цели;
4) повышение размерности состояния цели;
5) поочередное использование различных фильтров сопровож-
дения.
224
Рис. 4.16. Адаптивный калмановский фильтр для сопровождения маневрирующей
цели
При использовании первых трех способов изменяются парамет-
ры фильтров сопровождения, в частности, коэффициент усиления
калмановского фильтра (рис. 4.16). При двух последних — в той
или иной форме меняется структура фильтра. При первом
способе после обнаружения маневра увеличивается коэффициент
усиления фильтра. Поэтому при обновлении состояния цели
данные текущих измерений превалируют над экстраполирован-
ными оценками и фильтр становится чувствительнее к маневрам
цели. При втором способе также увеличивается коэффициент
усиления, но уже за счет увеличения ковариационной матрицы
Q входного воздействия и [см. уравнение (4.5)], что достигается
изменением параметра q = 2ao2. Этот способ подробно описан
в [51] и далее не рассматривается.
Третий способ достаточно прост. Он очень подходит для
совместного использования с обнаружителем А. Если две или
более составляющих vk не удовлетворяют условию
—c^/Okfi, i)^vk(i)^c^/®k(i, i), i=l,2, ..., m, (4.24)
дисперсия «отбракованной» составляющей вектора vk [уравнение
(4.21)] изменяется так, что
Vk(i){ak(i)r(i, i)+Rk(i, i)}-1=c2, (4.25)
где ak(i) — положительный скалярный коэффициент, который
с учетом (4.25) можно вычислить следующим образом:
ak^-------фП)—•
Это означает, что ®к изменяется таким образом, что vk(i)
существует на границах допустимой области, задаваемой урав-
нением (4.24). Если все составляющие отбракованы, то нетрудно
видеть, что Pk/k-i приобретает вид [ak,MPk/k-J, где коэффициент
ак,м—наибольший из всех ak(i). Увеличение ковариации ошибки
225
15—1582
экстраполяции предотвращает срыв сопровождения за счет ухуд-
шения точности оценивания. Если амплитуда маневра очень
велика, то в дополнение к коррекции ковариации может быть
введена составляющая смещения. В этом случае если некоторые
значения ak(i) превышают заданный уровень а, то соответст-
вующее значение vk(i) изменяется таким образом, что
[vt(i)-Mi)y_c2
ar(i, i)+R(i, i) ’
где bk — составляющая смещения. Изменив форму записи
bk(i) = vk(i)-c sign[vk(i)J i)+R(i, i), (4.26)
видим, что Рк/к_. преобразовалось в aPk/k_1, a vk(i) видоиз-
менилось таким образом, что не выходит за границы допустимой
области. Обобщая сказанное, уравнения адаптивного фильтра
сопровождения можно записать в виде
Sk/k = Sk/k-| +Kk [vk —bk],
^k/k = ak. м [I-KkH] Pk/k-.,
Sk/k-l =<bSk-l/k-H
Pk/k -1 = <DPk - 1/k -1 <DT + GQGT,
Kk = ak, M^k/k-|HT [Rk + ak. MHPk/k_|HT]
Параметры bk(i), i = l, 2, ..., m, и ak>M выбираются в соответ-
ствии co следующим алгоритмом:
если все составляющие vk удовлетворяют условию (4.24), то
ак,м = 1 и bk(i) = 0 (i = l, 2, ..., m);
если одна или более составляющих vk отбракованы и все
коэффициенты ak(i) меньше, чем а, то величине ак м присваивается
максимальное значение ak(i) и bk(i) = 0 (i=l, 2, ..., m);
если одна или более составляющих vk отбракованы и по
меньшей мере одно значение ak(i) превышает а, то при ak(i)<a
выполняются равенства ak>M = a; bk(i) = 0; при ak(i)>a значение
bk(i) вычисляется в соответствии с выражением (4.26).
Имитационное моделирование показало, что применение дан-
ного способа существенно повышает качество сопровождения.
В отличие от предыдущих четвертый способ [61 ] не основан
на представлении маневра цели в виде стохастического процесса.
При обнаружении маневра изменяется модель состояния цели
с соответствующим изменением структуры фильтра сопровожде-
ния. При сопровождении прямолинейно движущейся цели ис-
пользуется модель низкого порядка с вектором состояний
sT = [xxyy]. После обнаружения маневра модель состояния до-
полняется новыми составляющими, такими как х, у или а5,
ал (см. подразд. 3.3.1). Затем рекурсивно оценивается ускорение
226
и корректируются другие составляющие вектора состояния.
Использование такой модели цели с изменяемой структурой
обеспечивает хорошее качество сопровождения как прямолинейно
движущихся, так и маневрирующих целей (а не просто дает
компромиссное решение, как предыдущие способы). Например,
если ускорение отсутствует, применение расширенной модели
шестого порядка приводит к увеличению ошибок оценивания
как координат, так и скорости. Для возвращения к модели
низкого порядка оценки ускорения сравниваются с соотве-
тствующими составляющими Pk/k. В качестве статистической
оценки, определяющей значимость оценок ускорения, используется
величина
^а, к — Як/кРа> к/как/к ,
где а — оценка составляющих ускорения; Ра—соответствующий
блок ковариационной матрицы полной оценки состояния цели.
Процедура сводится к тому, то за р циклов обзора формируется
параметр
к
На, к = £ 8a.j-
j=k-p+l
Если этот параметр не превысит заданный порог, то ускорение
считается несущественным. Если маневр обнаружен в момент
к, например с помощью обнаружителя типа В, то считается,
что цель имела ускорение, отличное от нуля, с момента к — Д — 1
[см. уравнение (4.23)], и повторно оценивается состояние для
моментов времени от к — Д — 1 до к. Поступающие затем
результаты измерений обрабатываются последовательно по мере
приема. Более подробные уравнения фильтра описаны в работах
[61, 76].
На рис. 4.17 показана упрощенная структурная схема с двумя
фильтрами сопровождения, ФС1 и ФС2, поочередно обрабаты-
вающими измерение zk. Фильтр ФС1 оценивает вектор состояния
Рис. 4.17. Фильтр сопро-
вождения для работы
с данными измерений
в системе координат,
ориентированной по кур-
су цели:
ФС -фильтр сопровождения це-
ли; OHM—обнаружитель начала
маневра; ОЗМ — обнаружитель
завершения маневра; П — пере-
ключатель
15'
низкого порядка, включающий координаты и скорость цели
в декартовой системе; фильтр ФС2 оценивает вектор состояния
высокого порядка, включающий дополнительно х, у или коор-
динаты ускорения в системе, ориентированной по курсу цели.
В исходном состоянии переключатели П1 и П2 занимают на
схеме верхнее положение и подключают к входу фильтр ФС1.
После того как обнаружитель начала маневра (ОНМ) оценит
ускорение, переключатели Ш и П2 подключают к входу схемы
фильтр ФС2, параметры которого задаются в соответствии
с траекторией, выданной фильтром ФС1 по линии i0HM. После
окончания разворота цели обнаружитель завершения маневра
(ОЗМ) возвращает переключатели в исходное положение и за-
пускает фильтр ФС1, формируя его в соответствии с данными,
полученными от фильтра ФС2 по линии i03M.
Остановимся в заключение на последнем способе адаптации
фильтра к маневру цели. Он напоминает предыдущий способ
тем, что полная структура фильтра сопровождения формируется
из двух или более фильтров, параллельно обрабатывающих
поступающие результаты измерений. Эти фильтры имеют одина-
ковую размерность вектора состояния, но отличаются заданными
значениями ковариаций входного шума. По данным обнаружителя
маневра для обработки поступающих результатов измерений
исключается один из фильтров в соответствии с оцененной
ковариацией обновляющей последовательности.
4.4. ФИЛЬТРАЦИЯ В УСЛОВИЯХ ОТРАЖЕНИЙ
ОТ МЕСТНЫХ ПРЕДМЕТОВ
В настоящем разделе показано, как следует модифицировать
и усовершенствовать рассмотренные ранее алгоритмы сопровож-
дения для тех случаев, когда при сопровождении единственной
цели траектория формируется при наличии на каждом шаге
обработки более одной отметки. Такая ситуация может возник-
нуть при работе РЛС в условиях высокого уровня ложных
тревог. Потенциальными источниками ложных тревог могут быть
мешающие отражения (от земной поверхности, морской повер-
хности, атмосферных образований) и радиопомехи от собственных
средств. В системах военного назначения это могут быть сигналы
средств противника. В такой ситуации в системе автоматического
сопровождения должны быть предусмотрены меры по ограниче-
нию числа формируемых ложных траекторий. В противном
случае ложные траектории могут вызвать перегрузку системы
и потерю истинной траектории. Поставленная цель частично
достигается применением современных методов обработки сиг-
налов, рассмотренных в подразд. 1.1.2. Тем не менее на практике
довольно трудно обеспечить низкий уровень ложных тревог,
сохраняя приемлемую вероятность обнаружения. Следовательно,
228
На схему
коррекции
На схему повторной
инициализации
б
Рис. 4.18. Возможные варианты интерпретации двух отметок:
а — цель не маневрирует; б — цель маневрирует; в — отметка от истинной цели пропущена
возникает задача поиска алгоритмов сопровождения, позволя-
ющих формировать и поддерживать траектории в условиях
высокого уровня ложных тревог.
Остановимся на проблеме, возникающей в случае, когда при
наличии единственной цели в качестве «кандидатов» для по-
строения и формирования траектории на каждом цикле обзора
выступают несколько отметок. Если среди возможных отметок
нельзя выделить отметку, действительно относящуюся к со-
провождаемой цели, то возникает задача определения принадлеж-
ности, или привязки, отметки (см. разд. 3.5). При этом качество
сопровождения определяется вероятностью обнаружения истинной
отметки Ро и вероятностью ложной тревоги Рлт. На рис. 4.18
изображена ситуация, иллюстрирующая процесс установления
корреляционных связей между траекторией и двумя отметками.
Принадлежность отметок определяется с использованием кор-
реляционных стробов (см. подразд. 3.4.4 и разд. 3.5). Будем
полагать, что существует только одна цель; при этом возникает
необходимость рассмотрения нескольких ситуаций: цель может
двигаться с ускорением или без ускорения, привязанная отметка
может быть истинной и ложной и т. д. Ряд возможных ситуаций
показан на рис. 4.18. Наиболее важным следствием неопределен-
ности источника выполняемых измерений является потеря кал-
мановским фильтром сопровождения оптимальности [5].
Указанные обстоятельства свидетельствуют о необходимости
рассмотрения поставленной задачи в рамках теории адаптивной
оптимальной фильтрации. Оптимальный фильтр формирует тра-
екторию по последовательности кластеров (групп) измерений
с учетом достоверности каждого кластера. Такой подход дает
возможность получать оценки и ковариации, которые позволяют
учитывать неопределенность источника измерений. Известно не-
сколько алгоритмов, обеспечивающих сопровождение целей
в условиях отражений от местных предметов, ряд из них
229
содержится в работе [32]. Структура оптимального адаптивного
фильтра расмотрена в подразд. 4.4.1, а несколько субоптимальных
алгоритмов,-.разработанных с целью уменьшения необходимого
объема памяти, поскольку при использовании оптимального
подхода требуемая память возрастет экспоненциально — в под-
разд. 4.4.2. Наконец, в подразд. 4.4.3 в качестве альтернативы
задаче раздельной оптймизации будет поставлена задача со-
вместной оптимизации алгоритмов обработки сигналов и данных
и будут показаны пути решения этой задачи; в то же время
следует отметить, что исследования в этом направлении ведутся
еще недостаточно широко. К проблеме сопровождения целей
в условиях мешающих отражений мы вернемся в разд. 4.6, на
этот раз задача будет рассмотрена с учетом информации
о радиальной скорости целей, что позволит повысить точность
привязки отметок к траектории.
4.4.1. ОПТИМАЛЬНЫЙ БАЙЕСОВСКИЙ ПОДХОД
Рассмотрим работу оптимального фильтра сопровождения
в условиях, когда существуют одна истинная цель и произвольное
число отметок неопределенного происхождения (см. подразд.
2.5.3 и [32]).
Введем понятие «истории траектории». На каждом цикле
обзора РЛС выдает совокупность отметок, которые попадают
в выбранный корреляционный строб, построенный вокруг экс-
траполированного положения цели. Обозначим совокупность
выполненных в момент к результатов измерений, подтвержда-
ющих сопровождаемую траекторию, через
Zk = {ZkJ; i = l, 2, ..., mk},
а совокупность всех подтверждающих данную траекторию резуль-
татов измерений, выполненных до момента времени к, через
Zk = {Zj; j = l, 2, ..., к}.
Другими словами, Zk обозначает кластер (группу) отметок вокруг
экстраполированного измерения в момент k, a Zk представляет
совокупность кластеров отметок, полученных в течение всех
выполненных циклов обзора вплоть до k-го. Под историей
траектории понимается определенная (скажем 1-я) последователь-
ность результатов измерений
nltJ = {zi,ilzI2.i2...zLik},
где Zjj—i-й результат измерения в момент времени j, от-
носящийся к 1-й последовательности.
На рис. 4.19 показан простой пример, иллюстрирующий введен-
ные определения.
230
Рис. 4.19. Определения,
используемые в теории
сопровождения целей на
фоне отражений от мест-
ных предметов
Общее число историй траектории, которое может быть по-
лучено,
Lk= П 0 + mJ)-
j=i
Если обозначить через Xм событие, состоящее в том, что
история О1'’1 действительно имела место, то апостериорную
вероятность этого события можно записать в виде
Pk’l = Prob{XkJ/Zlt}. (4.27)
Тогда оптимальный фильтр сопровождения должен выдавать
оценку условного среднего состояния объекта в момент времени к
Ц
sk/kAE{sk/Zk}= £ pk,lE{sk/Xk’1, Zk} =
1=1
Lk
= EPkl§U- (4-28)
1=1
Таким образом, оптимальной оценкой состояния цели является
линейная комбинация всех оценок, которые могут быть сфор-
мированы по различным историям траекторий. Каждая частичная
оценка sk/k взвешивается с вероятностью pkJ того, что 1-я
история верна. Учитывается также вероятность события, состо-
ящего в том, что ни одна из отметок на j-м цикле обзора не
подтверждает сопровождаемую траекторию (т. е. гп;=0). Вероят-
ности pkJ могут быть определены с помощью байесовского
правила [32].
Из уравнения (4.28) видно, что с увеличением времени
наблюдения объем памяти и вычислительные затраты неог-
раниченно возрастают. Преодолеть эти трудности можно с по-
мощью процедуры совмещения всех траекторий, имеющих иден-
231
тичные истории на протяжении предшествующих циклов обзора.
При этом ожидаемое число траекторий, подлежащих запомина-
нию и обновлению, составляет £(1+E{mj}), что позволяет
i=l
реализовать алгоритм при небольших значениях N. Примеры
такого субоптимального алгоритма фильтрации приведены в под-
разд. 4.4.2.
Следует отметить невысокое качество функционирования оп-
тимального фильтра при сопровождении энергично маневриру-
ющей цели; кроме того, неизвестно, насколько успешные резуль-
таты может дать включение процедур адаптивной фильтрации,
рассмотренных в разд. 4.3, в алгоритм, предложенный в данном
разделе. Возможным подходом к решению этой задачи [61, 62,
80] является совместное использование процедуры, выполняемой
согласно рис. 4.17, и метода вероятностного ассоциирования
данных, рассмотренного в подразд. 4.4.2. При другом подходе
задача решается с использованием дополнительной информации,
например результатов измерений радиальной скорости. Метод,
изложенный в разд. 4.6, с точки зрения теории является
субоптимальным. Однако с его помощью могут быть получены
удовлетворительные результаты даже при сопровождении целей,
движущихся с ускорениями.
4.4.2. СУБОПТИМАЛЬНЫЕ АЛГОРИТМЫ
Было исследовано несколько субоптимальных подходов к постро-
ению физически реализуемого фильтра, работающего в реальном
масштабе времени. Эти подходы можно разделить на две группы:
байесовские и небайесовские. Первая группа алгоритмов основана
на различных упрощениях основного уравнения (4.28), а вторая — на
использовании функции правдоподобия. В алгоритмах второй
группы при получении более одной отметки в области, близкой
к экстраполированной точке, траектория разветвляется; затем
вычисляются функции правдоподобия каждой истории траектории,
и траектории, функции правдоподобия которых не превышают
заданный порог, отбрасываются. Второй подход отличается от
байесовского тем, что в нем не учитывается, что решения, а также
оценки состояния и ковариации, основанные на этих решениях,
могут быть неверными. В байесовских методах, напротив,
учитываются априорные и апостериорные вероятности того, что
определенные результаты измерений верны. Эти вероятности
включаются в коэффициенты рк> \ с помощью которых в выражении
(4.28) взвешиваются парциальные оценки st k. Приводимый здесь
обзор субоптимальных алгоритмов ограничивается байесовской
группой. Подробно рассмотрены два метода; вероятностного
ассоциирования данных [16] и ближайшего соседа [5].
232
Первый метод представляет собой упоминавшийся в преды-
дущем подразделе метод, основанный на анализе данных
N предшествующих циклов обзора при N = 0, т. е. анализируются
данные только текущего цикла обзора и оценка представляет
собой комбинацию всех текущих результатов измерений zk.
Введем обозначения:
Vk,i = zk.i-zk, i=l, 2, mk
— кластер разностей результатов измерений, относящихся к к-му
циклу обзора; Хк ,— событие, заключающееся в том, что i-й
результат измерений k-го цикла обзора относится к истинной
цели; Хк 0 — событие, заключающееся в том, что ни один из
результатов измерений не относится к истинной цели (обнаруже-
ние отсутствует). Данный подход основан на предположениях
(уже использовавшихся в подразд. 4.2.2) о том, что ошибки
оценок состояния и разности измерений на каждом цикле обзора
имеют гауссовские распределения. В обоих случаях истинные
плотности распределений являются взвешенными суммами гаус-
совских, поскольку наблюдается экспоненциальное ветвление воз-
можных последовательностей результатов измерений. Фильтр
с «нулевой памятью» предотвращает экспоненциальный рост
данных за счет ограничения возможных вариантов только
результатами измерений текущего цикла обзора.
Прежде чем перейти к выводу уравнений фильтра, напомним,
что используются модель цели типа (4.11) и уравнение наблюде-
ния (4.20). Кроме того, примем, что цель обнаруживается
с вероятностью Ро < 1 (факты обнаружения на разных циклах
обзора независимы). Рассмотрим далее модель ложных отметок,
которые равномерно распределены вблизи траектории цели.
Число ложных отметок п имеет распределение Пуассона
p(n) = e-xv^-,
где V — объем строба; X — ожидаемое число отметок в единице
объема. Заметим, что 1 = РЛТ/УС, гДе Vc— объем одного элемента
разрешения (см. подразд. 1.1.1); Рлт — вероятность ложной тревоги
в каждом элементе. Корреляционный строб представляет собой
эллипсоид (подразд. 3.5.2):
Vk®k-1vk<g2,
где 0к — ковариационная матрица вектора vk, определяющего
положение текущей отметки относительно экстраполированной.
Вероятность того, что отметка цели (если она обнаружена)
находится в пределах корреляционного строба, обозначается
через PG и вычисляется как объем гауссовский плотности
распределения, находящейся в пределах строба; площадь строба
233
на практике, как правило, принимается равной единице. При
субоптимальном оценивании состояния используется взвешенная
разность результатов измерений:
mk
(4-29)
i = 0
где рк i = Prob {хк j/zk}, i = 0, 1, mk—апостериорная вероятность
того, что i-й результат измерений относится к истинной цели
(или, при i = 0, что обнаружения не произошло). Эти вероятности
получены с помощью байесовского правила (как и в подразд.
4.2.2)
Pk,i=—, i = i, 2, ..., mk, (4.30)
b+ £ exp{-O,5vI'.i0k’1vk.i}
j=i
₽-.«=—--------5--------• (4-31>
b+ Y, exp{—O,5vkii0k Чм}
j=i
где b — некоторый параметр, зависящий от Po, PG, V, л и опре-
делителя матрицы 0 [16]. Следует пояснить разницу между
коэффициентами рк , в уравнениях (4.29) — (4.31) и коэффициен-
тами рк’' в уравнениях (4.27), (4.28). Они представляют вероят-
ности разных событий: первые—Xkti — относятся к k-му циклу
обзора, вторые — Xм — относятся ко всей истории траектории.
Необходимо добавить, что коэффициенты pk>i пропорциональны
параметру ехр{—О,5у^0_1ум}, представляющему собой вероят-
ность того, что вектор vk i относится к действительной траек-
тории. Знаменатель в выражении для рк । является оценкой
вероятностей всех возможных событий Xk>i, i = 0, 1, ..., mk.
Можно показать, что параметр b—это апостериорная вероят-
ность того, что ни одна из отметок не верна. Вследствие этого
коэффициенты pk i являются убывающими функциями вектора
vkl. Другими словами, имеющиеся отметки используются для
формирований эквивалентной отметки [см. соотношение (4.29)]
с весовыми коэффициентами, обратными по отношению к их
нормализованному смещению от экстраполированного положения.
Уравнение для ковариации оценки sk/k имеет вид
Pk/k = Pk/k-l-(l-Pk,o)Wk0kWj+Jtk, (4.32)
где
Wk^Pk/k,^©,1,
"k=w( Е Pk.jVk.jvIj-*kVk| WT.
lj=i J
234
Вследствие наличия этого коэффициента, зависящего от по-
ступающих радиолокационных данных, обычное детерминирован-
ное уравнение Рикатти принимает стохастическую форму, в ре-
зультате чего оно не может быть решено вне реального масштаба
времени. В то же время вычислительные затраты рассмотренного
метода несущественно превышают затраты, необходимые для
реализации стандартного калмановского фильтра. Усовершенст-
вованный вариант данного метода, включающий расширенную
модель состояний и обнаружитель маневра, описан в [80].
Рассмотрим еще один субоптимальный алгоритм, в соответ-
ствии с которым в каждом цикле обзора на обработку поступает
отметка, ближайшая к экстраполированному положению цели
(эта отметка выбирается из совокупности отметок, попавших
в корреляционный строб) [5]. Пусть zjj обозначает отметку
с минимальной нормализованной разностью среди всех zkJ,
находящихся в корреляционном стробе. Такое правило позволяет
выбрать отметку, для которой вероятность того, что она
действительно принадлежит цели, максимальна. Введем после-
довательность отобранных результатов измерений, полученных
до k-го цикла обзора
Zk'- = {z\z-2...z-k}.
Введем также последовательность двоичных случайных перемен-
ных ук, принимающих значение ук=1, если результат измерения
zk связан с истинной целью, и ук = 0, если результат zk связан
с ложной отметкой. Тогда оценка цели может быть получена
непосредственно из соотношения (4.28)
2к
Sk/k = £ sL/k Prob {гк- '/zk- •}, (4.33)
i=i
где гк’1 — определенная, скажем 1-я, последовательность
{?1 У г ••• Тк} среди 2к возможных. В соответствии с уравнением
(4.33) оценка представляет собой взвешенную сумму 2к частичных
оценок sk/k, при этом каждый весовой коэффициент имеет смысл
апостериорной вероятности определенной последовательности
{Y1Y2...ук}. Оценки могут быть получены рекурсивно с помощью
калмановского фильтра, а адаптивные весовые коэффициенты
Prob{rk l/zk *} — путем рекурсивного использования байесовского
правила. Можно сделать два замечания. Во-первых, сравнивая
уравнение (4.33) и оптимальную оценку (4.28), можно убедиться,
что число альтернативных вариантов уменьшилось. Однако
экспоненциальный характер разветвления алгоритма сохраняется.
Во-вторых, сравнивая предыдущий фильтр (с нулевой памятью)
с рассматриваемым, можно заметить, что в первом случае для
продолжения траектории используются все имеющиеся отметки,
а во втором—только одна.
235
В целях практической реализации фильтра необходимо ввести
еще одно упрощение [5], заключающееся в том, что оценка,
сделанная на предыдущем шаге, нормально распределена со
средним значением и матрицей ковариации Pk_1/k_!.
С учетом этого допущения уравнение (4.33) принимает вид
Sk/k= Е (4.34)
у = 0
Для получения оценки sk/k(yk=l) используются обычные кал-
мановские фильтры, на вход которых подается величина zk *,
a sk/k(yk = O) получают с помощью экстраполяции оценки и ее
ковариации по значениям предыдущих этапов (полагая, что
отметка цели не обнаружена). Данный субоптимальный подход
используется также в подразд. 4.6.2 при формировании алгоритма
сопровождения в условиях отражений от местных предметов
с использованием информации о радиальной скорости цели.
4.4.3. СОВМЕСТНАЯ ОПТИМИЗАЦИЯ ОБРАБОТКИ СИГНАЛОВ
И РАДИОЛОКАЦИОННЫХ ДАННЫХ
Обратимся к проблеме совместной оптимизации последователь-
но включенных процессоров сигналов и данных. Исследования
этой проблемы еще не получили должного развития, и поэтому
в открытой литературе определенные выводы пока отсутствуют.
Данный раздел основан на материалах работы [59].
Рассмотрим последовательно включенные процессоры сигналов
и данных (рис. 4.20). Характеристики процессора сигналов могут
быть описаны через вероятности обнаружения и ложной тревоги
(см. подразд. 1.1.2), которые зависят от принятой модели цели
(например, модель Сверлинга), отношения сигнал-шум и задан-
ного порога.
В настоящее время при решении практических задач эффек-
тивность процессора сигналов оценивается с помощью семейства
Модель цели jWT ।
| Пороги Ковариации Q ।
| обнаружения шума процесса]
Данные измерений z ----------
Принятый
сигнал
Алгоритмы
обработки
сигнала и
обнаружения
Ковариации шума
измерений R
Вероятности
обнаружения и ложной
тревоги, РО,РЛ,
Оценки
(траекторий
—
сопровождения
и привязки
данных
Ковариации
— — —------р
ошибок
сопровождения
Рис. 4.20. Каскад сигнального и информационного процессоров
236
рабочих характеристик обнаружения приемника, представляю-
щих собой зависимость вероятности обнаружения Ро от вероят-
ности ложной тревоги Рлт при различных значениях отношения
сигнал-шум. Величина порога, непосредственно зависящая от
заданной вероятности Рлт, выбирается исходя из рационального
соотношения между уровнем ложных тревог и вероятностью
пропуска цели.
Поток обнаруженных отметок (связанных с истинными целями
и (или) отражениями от местных предметов) последовательно
обрабатывается с помощью процессора данных в целях фор-
мирования и обновления траекторий. При этом требуется огра-
ничить число ложных траекторий и сопровождать истинные
траектории с высокой точностью. Эта задача решается путем
реализации ряда процедур фильтрации в пространстве (привязка
отметок к траекториям) и во времени (подавление шума и экс-
траполяция). Подобные процедуры фильтрации существенно от-
личаются от алгоритмов, реализуемых в процессоре сигналов,
в частности, они выполняются на более длительном временном
интервале, который может содержать несколько периодов обзора.
В качестве критериев эффективности процессора данных могут
использоваться такие характеристики, как число истинных тра-
екторий, обнаруженных на фоне общего числа целей, находящихся
в контролируемом воздушном пространстве, точность оценивания
параметров каждой сопровождаемой траектории, число ложных
траекторий. Эти показатели зависят от вероятностей Ро и Рлт,
модели траектории цели (т. е. уравнения состояния и ковариаци-
онной матрицы Q возмущающего шума) и ковариационной
матрицы R ошибок измерений. В качестве параметра, оп-
тимизирующего характеристики процессора данных, как правило,
используют значение порога обнаружения процессора сигналов.
Это обстоятельство позволяет сделать важный вывод: величина
порога может использоваться в качестве параметра при со-
вместной оптимизации характеристик процессоров обработки
сигналов и радиолокационных данных (в отличие от современной
практики, при которой порог устанавливается только в соответ-
ствии с требуемыми характеристиками обнаружения приемника).
Первой работой в этом направлении можно считать [59],
где были получены количественные зависимости ковариационной
матрицы оценки состояния цели f\/k от вероятностей Ро и Рлт об-
наруженных отметок. Однако такой подход лишь частично
решает проблему, поскольку он не позволяет определить зави-
симости числа истинных траекторий или числа ложных траекторий
от величин Ро и Рлт. С помощью аналитического метода,
примененного к фильтру, рассмотренному в подразд. 4.4.2,
приходим к следующему важному результату [59]:
^k/k = ^k/k-l—q(®k, Ро, P„)wkekwl, (4.35)
237
где ковариационная матрица получена соответствующей аппрок-
симацией выражения (4.32). Это модифицированное уравнение
Риккати приближенно описывает поведение фильтра сопровож-
дения в зависимости от Ро и Рлт с помощью детерминированной
скалярной функции q(). Аналитическое выражение функции q(-)
имеет очень сложный вид.. Показано, что в любом случае
значения этой функции лежат в пределах от 0 до 1. Это
означает, что параметр q делает менее эффективным гюоцесс
уменьшения ковариации оценок за счет члена Wk®kWk: чем
меньше q, тем ниже эффективность процесса.
Для того чтобы получить показатель эффективности системы
сопровождения, необходимо из выражения (4.35) определить
значение Pk/k в установившемся режиме i\(Po, РЛт), а затем
вычислить корень квадратный из определителя матрицы
^7|Роо(р0,Рлт)|.
Далее на плоскости (Ро, Рлт) строятся линии равных значений
параметра Семейство таких зависимостей может быть названо
характеристикой функционирования устройства сопровождения
[59]. Затем кривые обнаружения и кривые функционирования
устройства сопровождения могут быть наложены друг на друга
в целях графического определения рабочей точки, одновременно
оптимизирующей работу приемника и устройства сопровождения.
Несколько иной подход изложен в работах [71, 79], где
предпринимается попытка совместной оптимизации порога об-
наружения, а также алгоритмов привязки и фильтрации.
4.5. ФИЛЬТРАЦИЯ ПРИ НАЛИЧИИ НЕСКОЛЬКИХ ЦЕЛЕЙ
Вероятно, наиболее сложной проблемой в теории обработки
радиолокационной информации является сопровождение несколь-
ких целей. Эта проблема возникает, если цели находятся на
небольших расстояниях друг от друга, что, в частности, имеет
место при пересечении их траекторий или при полете группой.
В этих случаях корреляционные стробы накладываются друг на
друга, и получаемые отметки могут коррелировать с несколькими
траекториями. Задача привязки результатов измерений к соот-
ветствующим траекториям еще больше усложняется, если неко-
торые отметки пропущены (вероятность обнаружения менее
единицы) или присутствуют ложные отметки, обусловленные
отражениями от местных предметов. В предварительном порядке
эта проблема уже обсуждалась в разд. 3.5.
Этой проблеме были посвящены как сугубо теоретические
[13, 15, 19, 20, 32, 46], так и прикладные исследования [25,
27]. Цель настоящего раздела—дать сбалансированное описание
проблемы и практически реализуемых методов ее решения. Хотя
238
многие теоретические проблемы обработки радиолокационных
данных уже достаточно глубоко разработаны, этого нельзя
сказать о рассматриваемой проблеме. В этой области для
получения удовлетворительных результатов еще необходим боль-
шой объем исследований.
В подразд. 4.5.1 рассмотрена простейшая задача сопровождения
нескольких целей, а именно задача сопровождения двух прямо-
линейных пересекающихся траекторий. Считается, что вероятность
обнаружения равна единице и отражения от местных предметов
отсутствуют. В этом случае единственным нежелательным яв-
лением может быть перепутывание траекторий и целей. Получено
семейство кривых, характеризующих вероятность этого явления
в зависимости от ряда параметров.
В подразд. 4.5.2 рассмотрен оптимальный (в байесовском
смысле) фильтр сопровождения нескольких целей, построенный
в соответствии с теорией, изложенной в [46]. Математические
выкладки используются лишь постольку, поскольку это необ-
ходимо для понимания происходящих физических процессов.
Затем рассмотрен ряд субоптимальных алгоритмов; в частности,
фильтр, структура которого представлена в подразд. 4.4.2, в дан-
ном подразделе модифицирован для сопровождения нескольких
целей. Другой субоптимальный алгоритм основан на разветвлении
траекторий с учетом всех возможных пар траекторий и отметок.
Ветви, характеризующиеся малой степенью правдоподобия, от-
брасываются, а ветви с высоким уровнем правдоподобия ис-
пользуются для формирования траектории.
Наконец, подразд. 4.5.3 посвящен вопросам сопровождения
группы целей. В этом случае неопределенность в установлении
принадлежности отметок и траекторий наблюдается на протяже-
нии многих циклов обзора РЛС; этим данная ситуация отличается
от ситуации, характерной для случая пересекающихся траекторий,
когда цели находятся на минимальных расстояниях друг от
друга лишь в течение нескольких циклов обзора. При сопровож-
дении целей, находящихся в группе (в боевом порядке), пред-
ставляется целесообразным перейти от индивидуальных траек-
торий к сопровождению всей группы (отслеживания «центр
массы» группы) [27]; этот подход имеет большое практическое
значение.
4.5.1. СЛУЧАЙ ДВУХ ПЕРЕСЕКАЮЩИХСЯ ТРАЕКТОРИЙ
Простейшая ситуация сопровождения нескольких целей по-
казана на рис. 4.21: две цели движутся с постоянной скоростью
по прямолинейным, пересекающимся в определенный момент
времени, а затем расходящимся траекториям. Неопределенность
при установлении корреляционных связей между отметками
и траекториями обусловлена различием размеров элемента
239
Рис. 4.21. Две пересекающиеся траек-
тории
Рис. 4.22. «Перепутывание» траекто-
рий
радиолокационного разрешения и корреляционного строба. На
этапе завязки траектории или при сопровождении маневрирующей
цели корреляционный строб, как правило, имеет значительно
большие размеры, чем элементы разрешения РЛС (рис. 4.21).
Их размеры приблизительно равны лишь при сопровождении
неманеврирующих целей, наблюдаемых в течение длительного
времени. Следовательно, существует некоторая совокупность
дальностей между целями, при которых РЛС может их разрешить
(наблюдать как отдельные цели), но при установлении кор-
реляционных связей возникает неопределенность. Для упрощения
обработки в условиях неопределенности принимается, что обе
цели обнаруживаются с вероятностью, равной единице, а ложные
отметки отсутствуют. В этом случае следствием неправильной
привязки может быть так называемое «перепутывание» целей,
что иллюстрируется на рис. 4.22. Заключительная часть данного
раздела посвящена оценке вероятности перепутывания траекторий.
Проведем подробный анализ процесса привязки отметок к тра-
екториям на примере ситуации, показанной на рис. 4.23. Основ-
ным источником возможных неопределенностей является пере-
крытие корреляционных стробов. Однако возможны ситуации,
при которых не возникает проблем с привязкой. Это соответствует
случаю поступления в процессор отметок А и С. В этом случае
отметка А привязывается к траектории 1, а отметка С — к
траектории 2. Неопределенности не возникает и в том случае,
если на систему обработки поступили отметки А и В (несмотря
на то, что обе эти отметки находятся в стробе траектории 1),
поскольку только одна отметка попадает в строб траектории
2. Третья ситуация соответствует поступлению отметок В и D.
В этом случае возникает неопределенность, поскольку обе отметки
одновременно попадают в стробы обеих траекторий.
Для принятия решения о привязке при наличии неопределен-
ности обычно применяется правило ближайшего соседа. В соот-
ветствии с этим правилом для продолжения траектории исполь-
240
Рис. 4.23. Возможные ситуации при
привязке отметок к траекториям:
• — отметка; ♦ — экстраполированное положение
цели
Рис. 4.24. Эквивалентная модель пере-
сечения двух траекторий
зуется отметка, ближайшая (в статистическом смысле) к экс-
траполированному положению (см. разд. 3.5). Для обоснования
этого простого правила обозначим через Pt и Р2 поступившие
отметки и через Ц и t2 экстраполированные положения траек-
торий. Возможными парами при привязке будут (Pi —Ц; Р2 —12)
или (Pi —12; Р2—ti). Обозначим образующиеся разности положе-
ний через Vjj=Pj—tj (i, j = l, 2) и соответствующие им средние
квадратические ошибки через ау. Исследованию подлежат сле-
дующие гипотезы:
H0:p(vn, v22) = . 1 exp
Z7CCT11 &22
Hi:p(v21, v22)=-—J------exp
2яст21а12
I —v‘‘ |
[ 2\<Уц ^22/J
I v*2V
1 1/t2 ' „2 / ( ’
(. ^\CT21 CT12/J
Здесь полагается, что рассматриваемые обновляющие величины
имеют гауссовское распределение с нулевым средним значением.
Пусть средние квадратические ошибки имеют одинаковые значе-
ния с. Тогда привязка будет осуществляться в соответствии
с правилом
(Р1-Ц; P2-t2), если vfj+v^^vh+vlt,
(Pi-12; Р2-к), если v?i + vi2>vf2 + vli.
Эффективность применения этого правила может быть оценена
по вероятности правильной привязки в заданном цикле обзора
РЛС. Однако такая оценка дает лишь частичное представление
о явлении «перепутывания» траекторий, поскольку одна или
несколько неверных привязок могут и не привести к «перепутыва-
нию» траекторий. Другими словами, указанное отрицательное
241
16—1582
явление возникает только тогда, когда число неправильных
привязок становится соизмеримым с объемом памяти фильтра
сопровождения. Следовательно, можно считать, что вероятность
«перепутывания» является возрастающей функцией отношения
n/N, где п — число циклов обзора РЛС, в течение которых
сохраняется неопределенность, a N — объем памяти фильтра
сопровождения, выраженный в эквивалентном числе циклов
обзора РЛС. Напомним, что в соответствии с уравнением (3.38)
подразд. 3.4.2 для фильтра сопровождения с фиксированными
параметрами а, р объем памяти N = 4/a.
Для оценки величины п рассмотрим аналогичную, но более
простую ситуацию, представленную на рис. 4.2.4. Ситуация, при
которой две цели со скоростями Vx и V2 движутся по
траекториям, пересекающимся под углом ср (см. рис. 4.21),
эквивалентна ситуация, при которой одна цель Ре неподвижна,
а другая имеет ту же относительную скорость
VR = (V? + Vi-2V1V2 coscp)1'2.
Расстояние dmin между неподвижной целью Ре и эквивалентной
траекторией является минимальным расстоянием между двумя
отметками в области перекрытия корреляционных стробов. По-
лагая, что стробы имеют форму кругов с радиусом г = Кст (где
коэффициент К обычно равен 2 или 3), область неопределенности
можно задать соотношением
d<2Ko,
где d—действительное рассмотрение между двумя целями или,
что то же самое, между Ре и отметкой траектории te. Исходя
из рис. 4.24, можно записать соотношение
(=^)2+dL=PM2.
где Т — период обзора РЛС. Из этого уравнения следует, что
/4К—(dmin/a)2
V (VrT/c)2 ’
где п — число циклов обзора РЛС, в течение которых кор-
реляционные стробы двух траекторий имеют перекрытие. Пере-
менная п зависит от безразмерных параметров dm = dmin/a
и V = VrT/o. Зависимость вероятности «перепутывания» траек-
торий Ps, оцененная с помощью статистического моделирования
от двух безразмерных параметров и объема фильтра N приведена
на рис. 4.25. Можно показать, что Ps является возрастающей
функцией отношения n/N. В частности, Ps увеличивается при
уменьшении параметра V, который представляет собой отношение
относительного перемещения двух целей к средней квадратической
242
Рис. 4.25. Зависимость
вероятности «перепуты-
вания» траекторий от па-
раметров задачи
ошибке о. В то же время Ps увеличивается при уменьшении
параметра dm, являющегося нормализованным расстоянием меж-
ду двумя целями.
Проблема «перепутывания» траекторий будет вновь рассмот-
рена в подразд. 4.6.3, где будет показана возможность повышения
эффективности фильтрации благодаря использованию измерений
радиальной скорости.
4.5.2. ОПТИМАЛЬНЫЙ И СУБОПТИМАЛЬНЫЙ ФИЛЬТРЫ
СОПРОВОЖДЕНИЯ
Рассмотрим задачу формирования оптимального и субоп-
тимальных алгоритмов сопровождения при наличии нескольких
целей в случае, когда вероятность обнаружения Ро меньше
единицы, а вероятностью Рс появления отметок, вызванных
отражениями от местных предметов, пренебречь нельзя. Сначала
получим оптимальный алгоритм сопровождения в соответствии
с [46]. После получения каждого результата измерения оценива-
ются вероятности трех гипотез: измерение выполнено по ранее
наблюдавшимся целям; измерение выполнено по новым целям;
измерение выполнено по ложной отметке. Состояние цели
оценивается для каждой из гипотез с помощью набора кал-
мановского фильтра. По мере поступления новых результатов
измерений в последовательных циклах обзора рекурсивно вычис-
ляются вероятности совместных гипотез с учетом всей доступной
информации, такой как плотность неизвестных целей, плотность
ложных отметок, вероятность обнаружения и точность измерений.
Процесс формирования оптимального алгоритма может быть
разделен на следующие этапы:
1) генерирование в каждом цикле обзора новых гипотез;
2) оценивание вероятности каждой гипотезы;
243
16'
/\ Экстраполированная цель
Рис. 4.26. Пример расположения экс-
траполированных целей и отметок
в корреляционных стробах (а) и раз-
витие новых гипотез о привязке ра-
диолокационной информации (б) [46]
Источники поступивших
отметок
Гипотезы
(представлены
в виде
ветвей дерева)
3) обновление траектории и формирование новых траекторий
по данным 1-го и 2-го этапов.
В связи со сложностью математических выкладок 1-й этап
поясним с номощьр примера, а 2-й и 3-й приведем в кратком
изложении.
Рассмотрим пример, представленный на рис. 4.26а. На рисунке
изображены две цели (траектории) и три отметки, полученные
в текущем цикле обзора; цели обозначены цифрами 1 и 2,
а отметки — цифрами 11 —13. Здесь же приведены корреляционные
стробы. На рис. 4.266 графически изображены 28 гипотез, постро-
енных в процессе привязки отметок. Результат измерения (отмет-
ка) 11 может быть обусловлен либо по отражениям от местных
предметов (на рисунке обозначено как цель 0), либо по уже
известным целям 1 и 2, либо по новой цели 3. После получения
результата измерения 12 формируется несколько ветвей, соответ-
ствующих каждой предыдущей гипотезе. От цели 0 исходят три
ветви в соответствии с возможным источником отметки 12:
отражения от местных предметов, цель 2, новая цель 4. Цель 1 не
может быть источником отметки 12, поскольку отметка 12 не
попадает в строб цели 1. Ветви, генерируемые целью 1 после
поступления отметки 12, соответствуют целям 0, 2 и 4. Цель 1 не
рассматривается как дополнительная ветвь, поскрльку одна и та
же цель не может быть источником двух разных отметок
(например, 11 и 12). С помощью данной процедуры можно
объяснить все гипотезы, фигурирующие в приведенном примере.
244
С помощью построенного дерева можно выполнить 1-й этап
формирования алгоритма: это осуществляется путем анализа
всех возможных маршрутов вариантов движения вдоль ветвей
дерева; каждый из вариантов определяется различными радио-
локационными данными. Далее для каждого варианта маршрута
оценивается соответствующая вероятность (2-й этап формирова-
ния алгоритма). По поступающей информации в последователь-
ных циклах обзора рекурсивно оцениваются вероятности гипотез,
связанных с новыми радиолокационными данными [46]. На
основе каждой гипотезы k-го цикла обзора генерируется несколько
гипотез для (k-hl)-ro цикла обзора. Вероятности перехода зависят
от вероятности обнаружения Ро, плотности ложных целей и ранее
невыявленных целей, которые затем были обнаружены. Кроме
того, они зависят от числа выявленных ранее целей и смещения
результата измерения zk m относительно экстраполированного
результата измерения Hs^-j. Распределение вероятностей этого
смещения принимается гауссовским с соответствующей ковари-
ационной матрицей 0k m.
Затем с помощью калмановского фильтра оцениваются другие
состояния цели для каждой гипотезы (3-й этап формирования
алгоритма). Условное среднее значение для каждого состояния
цели (что определяет оптимальное решение проблемы) вычисля-
ется как сумма взвешенных с соответствующей вероятностью
и парциальных оценок для каждой гипотезы.
С поступлением новых данных требуется все больший объем
памяти рассматриваемого оптимального фильтра. Поэтому воз-
никает необходимость поиска метода, обеспечивающего ограниче-
ние числа гипотез и позволяющего практически реализовать
фильтр. В связи с этим целесообразно обратиться к алгоритму,
учитывающему только данные текущего цикла обзора (см.
подразд. 4.4.2). При использовании такого субоптимального
фильтра после обработки каждого набора данных остается
только одна гипотеза. Простейший и, по всей видимости,
получивший наиболее широкое распространение метод [32 ]
заключается в выборе гипотезы о наиболее вероятной привязке
данных и использовании обычного калмановского фильтра для
оценки состояния цели. Этот фильтр можно усовершенствовать
таким образом, чтобы он, выбирая гипотезы также по критерию
максимального правдоподобия, в то же время позволял по
росту ковариации калмановского фильтра определить возможную
ошибочную привязку. При другом подходе [13] концепция,
вероятностного ассоциирования данных (первоначально исполь-
зовавшаяся при сопровождении одиночной цели на фоне от-
ражений от местных предметов, см. подразд. 4.4.2) распрост-
раняется на случай сопровождения нескольких целей. Такой
подход равнозначен объединению всех гипотез, которое осущест-
вляется формированием оценки целей, зависящей от результатов
245
всех выполненных измерений. Это может быть выражено соот-
ношением
мк
S* = X
j = 0
где sl — оценка состояния цели t; [3-— апостериорная вероятность
того, что результат измерения j обусловлен целью t (Ро —
вероятность того, что цель t не обнаружена); s- — оценка
состояния цели t, обновленная в соответствии с результатом
измерения j.
Рассмотрим еще один субоптимальный подход [20], основан-
ный не на байесовском методе, а на методе максимального
правдоподобия. При этом подходе на каждом шаге алгоритм
разветвляется на множество параллельных траекторий, каждой
из которых присваивается вес, равный соответствующей функции
правдоподобия. В целях ограничения числа ветвей траектории,
правдоподобие которых не превышает заданного порога, от-
брасываются. Значение функции правдоподобия результата из-
мерения zk (при заданной модели Qj) вычисляется по
zk и экстраполированному состоянию sk/k_j как
p(zk/Qj) = c ехр| —vk®kvk
где с — нормализующая константа; v k — обновляющая последо-
вательность, вычисляемая по результатам измерений zk; 0k—
ковариационная матрица обновляющей последовательности.
В подходах с ветвящимися траекториями необходимо оценивать
правдоподобие всей траектории, т. е. последовательности отметок.
Поскольку vk представляет собой белый гауссовский процесс,
то эта операция может быть выполнена вычислением произведе-
ния функции правдоподобия каждой отметки. Принципиальным
ограничением методов максимального правдоподобия является
отсутствие контроля за истинностью принятых допущений. На
практике это обусловливает так называемую «прямую связь»
в подходе к достижению адаптивности, тогда как для байесовских
методов характерно использование «обратной связи».
4.5.3. СОПРОВОЖДЕНИЕ ГРУППОВОЙ ЦЕЛИ (БОЕВОГО ПОРЯДКА)
Если цели осуществляют полет в группе (боевом порядке),
то высокая плотность целей наблюдается в течение многих
периодов обзора РЛС. В связи с малыми расстояниями между
целями как оптимальный, так и субоптимальные подходы не
дают хороших результатов. Поэтому представляется нецелесооб-
разным придерживаться прежней концепции сопровождения от-
дельных траекторий. Смысл иной концепции заключается в со-
246
провождении всей группы целей при замене ее центром массы
[25, 27]. При обработке центр массы группы рассматривается
как цель, имеющая самостоятельную траекторию. Такой подход
обусловлен требованиями, предъявляемыми к процедуре авто-
матического сопровождения при наличии групповых воздушных
целей. В соответствии с этими требованиями предполагается
отслеживание среднего кинематического поведения группы и об-
наружение перемещения целей, выделяющихся на фоне общей
группы. Специальные алгоритмы сопровождения группы исполь-
зуются при значительном перекрытии корреляционных стробов.
Переменные состояния центральной траектории рассматрива-
ются как характеризующие среднее кинематическое поведение
группы. Поэтому центральная траектория формируется и об-
новляется с помощью обычного калмановского фильтра, об-
рабатывающего усредненные значения отметок, поступающих от
группы целей. При этом, конечно, статистические характеристики
шума измерения должны быть изменены таким образом, чтобы
учитывать распределение шума усредненных результатов измере-
ний. В случае параллельных траекторий целей с независимым
нормальным шумом измерений имеется полное соответствие
между средним кинематическим поведением группы и динамикой
центральной траектории. Это соответствие нарушается, если одна
или несколько целей групп детерминированно отклоняются от
направления движения по практически параллельным траектори-
ям. Важной задачей является обнаружение отклонений, приво-
дящих к отделению целей от группы. Обнаружение отделений
элементов групповой цели от группы обеспечивается формирова-
нием боковых траекторий, т. е. сопровождением целей, находя-
щихся на флангах боевого порядка. Отличия в кинематическом
поведении центральной траектории и, по крайней мере, одной
из боковых траекторий свидетельствуют о наличии отделяющихся
целей. Контроль отделения основан на сравнении переменных
состояния центральной и боковых траекторий. Для разделения
статистических и детерминированных дефектов при обнаружении
отделения целей может использоваться какое-либо статистическое
правило принятия решений. На пространственные размеры со-
провождаемой группы оказывают влияние цели, покидающие
группу и примыкающие к ней, следовательно, контроль за
пространственными размерами группы и числом целей в ней
должен осуществляться с помощью параллельно реализуемых
алгоритмов. Сопровождение отделяющихся целей осуществляется
с помощью ветвящихся алгоритмов, которые начинают функ-
ционирование как только цель удаляется на определенное рас-
стояние от группы. Рассмотренная процедура не пригодна для
сопровождения целей на фоне отражений от местных предметов;
другими словами, принимается допущение, что все поступившие
отметки соответствуют истинным целям. Упрощенная схема
247
Сопровождение
одиночной цели
Траектории
> отдельных целей
Корреляционный
строб
Групповая L-
цель не
обнаружена
Экстраполированная
траектория \
Огметки Устройство
обнаружения
групповой
цели
Групповая
цель
Устройство
обнаружения
отделяющихся
целей
5 обнаружена Центральная
Отметки
Боковая
траектория
к Центральная
'траектория
Боковая
траектория
траектория
♦
Сопровождение
группы целей
Боковые траектории
Рис. 4.27. Сопровождение группы целей [26]
представленного алгоритма приведена на рис. 4.27а. В частности,
на рисунке представлены алгоритмы сопровождения как группы
в целом, так и отдельных траекторий. Эти алгоритмы работают
совместно с алгоритмом обнаружения группы и алгоритмом
обнаружения отделяющихся от группы целей. На рис. 4.276
иллюстрируется концепция центральной и боковых траекторий.
4.6. СОПРОВОЖДЕНИЕ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ РЕЗУЛЬТАТОВ
ИЗМЕРЕНИЙ РАДИАЛЬНОЙ СКОРОСТИ
В данном разделе показано, как в алгоритм сопровождения
можно ввести информацию о радиальной скорости цели и какой
при этом может быть получен выигрыш в характеристиках
сопровождения. Обзорная РЛС, как правило, выдает только
координаты цели. Однако современные методы обработки сиг-
налов позволяют получить и информацию о радиальной скорости
цели. При этом радиолокационный сигнал обрабатывается с ис-
пользованием набора фильтров, каждый из которых настроен
на свою доплеровскую частоту, а общая полоса охватывает
весь интервал возможных частот повторения импульсов. Со-
бственная частота фильтра, на выходе которого формируется
максимальный сигнал, приблизительно равна доплеровскому
сдвигу, по которому и рассчитывается радиальная скорость цели
(см. разд. 1.1).
Информация о радиальной скорости может служить для
повышения эффективности алгоритмов сопровождения в тех
случаях, когда производится [32, 36, 57, 64, 79]:
а) завязка траектории;
б) оценивание параметров траектории;
248
в) установление корреляционных связей между отметками
и траекториями в сложных ситуациях.
Знание радиальной скорости уменьшает время завязки тра-
ектории, поскольку для приближенной оценки скорости цели
достаточно одной отметки, тогда как при оценивании скорости
по измерениям координат необходимо иметь не менее двух
отметок. Дополнение измерений координат данными о радиаль-
ной скорости обеспечивает более точное оценивание параметров
траектории, особенно при интенсивном маневрировании цели.
Безусловно, измерение радиальной скорости дает лишь частичное
представление о полном векторе скорости, а следовательно,
и ускорении. В то же время эта частичная информация позволяет
существенно улучшить качество сопровождения. Кроме того,
информация о радиальной скорости может быть использована
для уменьшения неопределенности при установлении корреляци-
онных связей между отметками и траекториями в сложных
ситуациях, т. е. когда есть отражения от местных предметов
и сопровождение ведется в условиях наличия множества целей.
В подразделах, непосредственно примыкающих к данному,
рассмотрены три случая сопровождения целей. Для каждого из них
сформированы фильтры сопровождения и оценена их эффектив-
ность. В подразд. 4.6.4 рассматривается задача сопровождения
целей в полярных координатах. В этом случае обработка данных
о радиальной скорости выполняется с помощью линейного
калмановского фильтра и могут быть получены соотношения для
характеристик установившегося состояния в замкнутой форме [57].
4.6.1. СОПРОВОЖДЕНИЕ ОДИНОЧНОЙ ЦЕЛИ
ПРИ ОТСУТСТВИИ ПОМЕХ
При формирований структуры фильтра сопровождения примем
двумерную математическую модель [22, 26 ] (обобщение этой
модели для трехмерного случая не представляет трудностей).
Динамическое уравнение вектора состояния sT = [xxxyyy] имеет вид
Sk+1 =<Mk+Up, k,
перехода Фр для двумерного случая аналогична
ее варианту, рассмотренному в подразд. 4.2.1:
"Ф 0“
0 ф]’
задается выражением (4.15). Входное воздействие
где матрица
одномерному
фр=
а матрица Ф
Up характеризуется ковариационной матрицей
q=Fq °1
Чр [о QJ’
где матрица Q задается соотношениями (4.16), (4.17).
249
РЛС
у(х,У)
Траектория
цели
Рис. 4.28. Радиолокационные
измерения [26 ]
Радиолокационная станция измеря-
ет полярные координаты р, 0 и ради-
альную скорость цели р. Измерения
искажены взаимно независимыми ад-
дитивными белыми гауссовскими шу-
мами с нулевыми средними значени-
ями и дисперсиями Пр, р%
ио- соответственно. Результаты из-
мерения полярных координат
р и 0 преобразуются в декартовы
координаты х и у. Шумовые состав-
ляющие измерения х и у по-прежнему
представляют собой белые гауссовс-
кие процессы с нулевым средним
значением, однако они становятся вза-
имно зависимыми и характеризуются
дисперсиями ох2, оу2 и ахУ [см. подразд. 3.3.2, уравнение (3.9)];
результат измерения р можно выразить через составляющие
состояния: р является проекцией скорости V = (x, у) на линию,
соединяющую РЛС и цель, и может характеризоваться состав-
ляющими х/р и у/p (рис. 4.28). Тогда
хх + уу
Уравнение измерения с учетом составляющих вектора состояния
имеет вид
Sk(l)
sk(4)
sk(l)sk(2)+sk(4)sk(5)
>/sk (l) + sk (4)
Ч-п^Ь'^+п^
(436)
а соответствующая ковариационная матрица —
R' =
<jx аху О
оху о* о
О * 0 Рр2
Последние выражения свидетельствуют о том, что уравнение
измерения является нелинейным по отношению к модели со-
стояния, а следовательно, и соответствующий алгоритм со-
провождения также будет нелинейным. Вопросы нелинейной
фильтрации и возможные субоптимальные алгоритмы подробно
рассмотрены в разд. 2.6.
В целях упрощения нелинейного уравнения (4.36) можно
заменить переменные х, у и р переменными х, у и £ = рр.
В этом случае уравнение измерения принимает вид
250
sk(l)
zk= sk(4) +Nk = h(sk) + Nk, (4.37)
sk(l)sk(2)+sk(4)si((5)
где Nk — последовательность типа белого шума с нулевым
средним и ковариационной матрицей
Rk =
ху ОТ х£
Оу Оу£
Оу1=
Распределение ошибки измерения переменной имеет негаус-
совский характер. Однако в целях упрощения этот шум можно
заменить эквивалентным гауссовским с нулевым средним и дис-
персией Q^ = QpQ? + p2C0 + p2Op. Другие составляющие Rk имеют
вид ox^ = pOpCos9 и Qy^ = pOgSin0. Принимается, что взаимная
корреляция ошибок измерении р, 0 и р отсутствует. Нелинейное
уравнение (4.37) может обрабатываться с помощью калмановского
фильтра второго порядка, рассмотренного в подразд. 2.6.3. Ниже
в явном виде представлены уравнения фильтра сопровождения.
Уравнения фильтра сопровождения получены из уравнений
(2.64) — (2.68), которые здесь для удобства приведем еще раз
Sk/k = ®k/k-l + Kk {zk-h(sk/k_,) — б2/2},
Rk = Pk/k-I HT (sk/k_ I ) {H(sk/k_1 ) Pk/k-i Hk (sk/k_ I ) + Rk + Ak} \
Pk/k-I = {I-RkHk(sk/k_| )} Pk/k-|,
Sk/k — I = ®pSk-I/k — I,
Pk/k - I = Фр P к - I /к - I Ф p + Q p, к - 1 •
Матрица наблюдений Hk составлена из первых производных h(s):
Нк =
1 0 0 0
0 0 0 1
0
0
0
0
Sk/k (2) Sk/k (1) 0 S к/к (5) § к/к (4) 0
Вектор б2 составлен из вторых производных h(s). Вследствие
линейности двух первых составляющих h элементы б2(1) и б2 (2)
равны нулю, а третий элемент
б2(3) = 2Р(1, 2)+2Р(4, 5).
При этом экстраполированный результат измерения имеет вид
zk/k-i — h(sk/k_|) + - 62(hk, ^k/k-i ) —
= s(l)k/k_ls(2)k/k_I + s(4)k/k_,s(5)k/k_I +
+ ^(1, 2)k/k_| + f(4, 5)k/k_|.
Рис. 4.29. Радиальная траектория цели
[26]
Т= 5с
♦АВ = 100с
♦вс = 100с
♦ср ~ 100с
Хд = -30км
Уд = 10км
Уд = 500м~~
аВС = Юм/с2"
О'---------------------->
X
Рис. 4.30. Типичная траектория дви-
жения цели с центростремительным
ускорением [26 ]
Матрица А определяется уравнением (2.65). Вследствие линейности
двух первых элементов h единственным элементом, отличным
от нуля, является
А(3, 3) = Р(1, 1)Р(2, 2)+Р(4, 4)Р(5, 5)+
+ 2Р(1, 5)Р(2, 4)+2Р(1, 4)Р(2, 5)+Р2(1, 2) + Р2(4, 5).
Оценим эффективность функционирования рассматриваемого
фильтра сопровождения. Использование аналитических методов
для получения характеристик нелинейного алгоритма невозможно.
Поэтому оценка производилась с помощью статистического
моделирования на ЭВМ применительно к типовым траекториям
целей. На рис. 4.29 и 4.30 приведены две исследовавшиеся
траектории на плоскости. При моделировании принималось, что
период обзора Т = 5 с, а средние квадратические ошибки измере-
ний составляют пр=150м, ств = 3 мрад, стр = 22 м/с. Получены
статистические характеристики, в частности, средние значения
средней квадратической ошибки измерения координат и скорости
по обеим составляющим х и у декартовых координат. Для
сравнительной оценки получаемых характеристик моделировался
алгоритм как с использованием информации о радиальной
скорости, так и при ее отсутствии. В последнем случае этот
алгоритм сводится к алгоритму калмановской фильтрации, рас-
смотренному в подразд. 4.2.1.
Сделаем несколько замечаний по результатам моделирования.
При сопровождении цели, движущейся без ускорения, использова-
ние алгоритма с измерениями радиальной скорости не дает
существенного повышения точности; для хорошей фильтрации
шума достаточно измерений координат цели. Однако на участках
ускоренного движения цели качество сопровождения улучшается.
Измерение радиальной скорости позволяет получить весьма
252'
Рис. 4.31. Средние ошибки фильтра-
ции положения цели по оси х (ради-
альная траектория) при измерении
(------) и без измерения (---------)
радиальной скорости [26]
Рис. 4.32. Средние ошибки экстрапо-
ляции положения цели по оси х (ради-
альная траектория) при измерении
(------) и без измерения (--------)
радиальной скорости [26]
Рис. 4.33. Средние ошибки фильтра-
ции скорости цели вдоль оси х (ради-
альная траектория) при измерении
(-----) и без измерения (----------)
радиальной скорости [26 ]
Рис. 4.34. Среднеквадратические
ошибки измерений (-------------)
и фильтрации (----) положения це-
ли по оси х (радиальная траектория)
[26]
важную информацию о движении цели. Ценность этой инфор-
мации зависит от соответствия радиальной составляющей
р и полного вектора скорости V. Существенное повышение
эффективности алгоритма достигается в том случае, если
р практически не отличается от вектора скорости. Это подтвер-
ждается результатами моделирования, приведенными на
рис. 4.31—4.34, которые получены для радиальной траектории
цели (рис. 4.29). Из рисунков видно существенное уменьшение
средних ошибок определения скорости и координат в начале
253
Рис. 4.35. Средние ошибки фильтра-
ции скорости цели вдоль оси х (тра-
ектория движения с центростреми-
тельным ускорением) при измерении
(-----) и без измерения (---------)
радиальной скорости [26]
Рис. 4.36. Средние ошибки фильтра-
ции скорости цели вдоль оси у (тра-
ектория движения с центростреми-
тельным ускорением) при измерении
(-----) и без измерения (---------)
радиальной скорости [26]
и при завершении маневра цели. С другой стороны, результаты,
приведенные на рис. 4.34, свидетельствуют о том, что средние
квадратические ошибки практически не зависят от результатов
измерения радиальной скорости. Если траектория цели имеет
вид, соответствующий рис. 4.30 (т. е. радиальная скорость яв-
ляется незначительной составляющей полной скорости), то эф-
фективность алгоритма повысится не столь существенно. Однако,
как подтверждают рис. 4.35 и 4.36, это повышение все-таки
весьма значительно.
4.6.2. СОПРОВОЖДЕНИЕ ОДИНОЧНОЙ ЦЕЛИ НА ФОНЕ ОТРАЖЕНИЙ ОТ
МЕСТНЫХ ПРЕДМЕТОВ
Рассматриваемый здесь алгоритм фильтрации основан на
теоретических положениях, приведенных в разд. 4.4. Дана оценка
улучшения качества фильтрации траектории с помощью этого
алгоритма за счет использования информации о радиальной
скорости цели [36].
Будем полагать, что отметки, вызванные отражениями от
местных предметов, равномерно распределены вблизи траектории
цели (см. подразд. 4.4.2), и, кроме того, радиальная скорость
отражателей равномерно распределена в пределах от — р0 до
4-р0. Численное значение р0 зависит от типа отражающих
предметов. При привязке отметок к траекториям используется
правило ближайшего соседа, т. е. к траектории присоединяется
отметка, ближайшая (в статистическом смысле) к экстраполи-
рованной точке траектории. Уравнение измерения для привязыва-
емой отметки имеет две формы, использование каждой из
которых определяется тем, принадлежит ли данная отметка
254
л
Рис. 4.37. Полная структура нелинейного адаптивного фильтра
сопровождаемой траектории. На этот вопрос возможны два
взаимно исключающих ответа: «да» и «нет». Введем случайную
последовательность {ук}, такую, что yk = 1 при ответе «да»
и ук = 0 при ответе «нет». Примем, что ук и у} взаимно
независимы при всех k/j. Если ук=1, то уравнение измерения
имеет форму (4.36). Если ук = 0, то уравнение приобретает вид
zk = zk/k-I +пк,
где случайная последовательность {пк} имеет распределение
вероятностей, соответствующее ближайшей к экстраполирован-
ному значению помеховой отметке [5]. Алгоритм оценивания
имеет вид (4.34). Общая оценка состояния формируется как
линейная комбинация выходных сигналов sk/k (yk = i, i = 0, 1)
двух нелинейных фильтров. Весовые коэффициенты P{yk/Zk ’}
представляют собой вероятности того, правильно или неправиль-
но выполнена привязка; эти вероятности могут рекурсивно
оцениваться с помощью байесовского правила. Парциальные
оценки sk/k (yk = 0) рекурсивно вычисляются с помощью методов,
изложенных в подразд. 4.6.1. В частности, если ук = 0, то оценкой
Sk/k (у = 0) (соответствующей предложению, что данная отметка
вызвана помехами от местных предметов) будет экстраполирован-
ное состояние sk/k_! (Zk’*). Алгоритм, структура которого при-
ведена на рис. 4.37, нелинеен и адаптивен. Нелинейность ал-
горитма обусловлена уравнением измерений и зависимостью
255
Рис. 4.38. Субоптимальный фильтр [36]
вероятностных коэффициентов от оценки состояния. Адаптивность
алгоритма позволяет решить вопрос о происхождении привязыва-
емой отметки. Неполнота информации сокращается за счет
вероятности P{yk/Zk’ *}, вычисляемой на основе полученных
измерений и предыдущей оценки. Рассмотренный алгоритм имеет
очень сложную структуру. Действительно, фильтры, формиру-
ющие парциальные оценки sk/k(yk), нелинейны, а вычисление
коэффициентов очень сложно и должно выполняться итеративно
на каждом шаге процесса. Поэтому целесообразно иметь более
простой субоптимальный алгоритм, который было бы легче
реализовать.
Чтобы упростить вычисления, связанные с использованием
этого алгоритма, будем далее считать (рис. 4.38), что
P{yk = l/Zk,*} = l.
Это позволяет избежать рекурсивного вычисления вероятностных
коэффициентов. Отметим, что при таком допущении вероятност-
ная информация об отражениях от местных предметов и со-
стояния цели не используется. Тем не менее, как показали
результаты моделирования [36], такой упрощенный алгоритм
обеспечивает более высокое качество сопровождения, чем ал-
горитм, в котором используются только результаты измерения
координат.
Оценка эффективности упрощенного алгоритма при сопровож-
дении целей, движущихся по типовым траекториям, была про-
ведена с помощью статистического моделирования на ЭВМ [36].
Рассматривавшиеся две двумерные траектории приведены на
рис. 4.39 и 4.40. Сопровождение целей, движущихся по таким
траекториям, сопряжено с серьезными трудностями, поскольку
при полете цели по участку ВС радиальная скорость равна
нулю. Поэтому отметки, вызванные отражениями от местных
предметов, могут быть легко приняты за отметки целей. При
траектории любого другого типа обеспечивается более заметное
256
Рис. 4.39. Траектория 1 движения це-
ли с малым центростремительным
ускорением [36]:
на участке АВ скорость 500 м/с; на участке ВС
ускорение 5 м/с2; Т= 10 с; мешающие отражения на
участке BE; число циклов обзора РЛС = 60
Рис. 4.40. Траектория 2 движения це-
ли с большим центростремительным
ускорением [36]:
на учас1ке АВ скорость 700 м/с; на участке ВС
ускорение 20 м/с2; Т=10с; мешающие отражения
на участке ВД; число циклов обзора РЛС = 60
повышение эффективности алгоритма. Принимается, что в кор-
реляционный строб попадает только одна отметка, вызванная
отражениями от местных предметов (с вероятностью Рмп). Для
простоты считается, что размеры корреляционного строба неиз-
менны. Принятые допущения не снижают достоверности резуль-
татов моделирования. Полагается также, что радиальная скорость
отражений распределена равномерно в интервале от — 50 до
+ 50 м/с. Протяженность траектории соответствует 60 периодам
обзора РЛС при длительности каждого периода 10 с. Пред-
полагается, что отражения от местных предметов наблюдается
с 20-го по 55-й периоды обзора РЛС. Для траектории, приведен-
ной на рис. 4.39, центростремительные ускорения цель испытывает
с 20-го по 50-й циклы обзора, а для траектории, изображенной
на рис. 4.40,— с 20-го по 35-й циклы обзора РЛС. Ошибки
измерений представляются белым гауссовским процессом с ну-
левым средним и средними квадратическими ошибками ор = 150 м,
= 3 мрад, Ор = 30 м/с.
В качестве показателя эффективности при сравнительном
анализе рассматриваемого упрощенного алгоритма с использова-
нием и без использования результатов измерений радиальной
скорости выбрано среднее время сопровождения траектории. Под
временем сопровождения понимается временной интервал с мо-
мента завязки траектории до первого превышения ошибкой
оценивания размера корреляционного строба; время сопровож-
дения выражается в числе циклов обзора РЛС. На рис. 4.41
приведена зависимость среднего времени сопровождения (для
траектории, представленной на рис. 4.39) от значений вероят-
ностей Рмп и Ро. Следует отметить повышение эффективности
алгоритма при Ро < 1. При Ро = 1 среднее время сопровождения
равно длительности полета цели по траектории (60 циклов
обзора РЛС), что обусловлено малым уровнем ускорения (5 м/с2)
257
17—1582
Рис. 4.41. Среднее время сопровожде-
ния целей на фоне отражений от
местных предметов (траектория 1) при
измерении (---------) и без измерения
(--------) Р [36]:
ср = 150 м; св = 0,003 рад; с-= 30 м/с
Рис. 4.42. Среднее время сопровожде-
ния целей на фоне отражений от
местных предметов (траектория 2) при
измерении (---------) и без измерения
(--------) Р [36]:
Ср = 150 м; св=0,003 рад; с. = 30 м/с
при движении цели на участке ВС. Преимущества использования
измерений радиальной скорости подтверждаются рис. 4.42, по-
строенном применительно к траектории, приведенной на рис. 4.40.
В этом случае полагается, что ускорение на участке ВС велико:
20 м/с2. Учет радиальной скорости увеличивает среднее время
сопровождения даже для случая Ро=1. Следует подчеркнуть,
что уровень отражений от местных предметов при моделировании
выбирался существенно превышающим обычный уровень, встреча-
ющийся на практике.
4.6.3. СЛУЧАЙ ДВУХ ПЕРЕСЕКАЮЩИХСЯ ТРАЕКТОРИЙ
Задача оценки вероятности «перепутывания» траекторий уже
обсуждалась в подразд. 4.5.1; здесь мы вновь возвращаемся
к этой задаче, но уже с учетом информации о радиальной
скорости. В этом случае использование правила выбора ближай-
шего соседа обеспечивает более высокую эффективность, посколь-
ку соответствие между отметкой и экстраполированным положе-
нием траектории определяется на основе близости как координат,
так и значений радиальной скорости. В целях упрощения примем,
что информация о радиальной скорости не обрабатывается
в фильтре сопровождения, а используется только на этапе
привязки отметок к траекториям. Корреляционный строб в таком
случае представляет собой сферу в трехмерном пространстве х,
258
Рис. 4.43. Вероятность «перепутывания» траекторий с учетом и без учета инфор-
мации о радиальной скорости цели (угол пересечения траекторий 45°) при
измерении только координат (---------); при измерении координат и радиальной
скорости (ст* = 20 м/с) (--); при измерении координат и радиальной скорости
(а. = 10 м/с) (-----)
у, р, а не круг на плоскости х, у. Неопределенность в случае
привязки возникает при пересечении двух сфер, соответствующих
двум траекториям.
Результаты моделирования, приведенные на рис. 4.43, харак-
теризуют вероятность «перепутывания» траекторий в зависимости
от нормализованной относительной скорости двух целей. Срав-
нение эффективности алгоритмов, в которых предусматривается
и не предусматривается учет данных о радиальной скорости,
свидетельствует о существенном выигрыше в качестве сопровож-
дения за счет информации о радиальной скорости цели, имеющей
место при малых значениях относительной скорости. На графиках
рис. 4.43 отражено также влияние точности измерений скорости
на вероятность перепутывания целей. Представленные на рис. 4.43
результаты получены для случая пересечения траекторий под
углом 45°. Аналогичные результаты были получены и для других
условий; необходимо отметить, что эти результаты сильно
зависят от геометрических параметров рассматриваемой задачи,
а именно, от положений точки пересечения траекторий от-
носительно РЛС и от величины угла пересечения траекторий.
4.6.4. ЛИНЕЙНАЯ ОБРАБОТКА ИЗМЕРЕНИЙ РАДИАЛЬНОЙ СКОРОСТИ
Проблема использования результатов измерений радиальной
скорости при сопровождении целей рассматривалась в под-
разд. 4.6.1 в рамках теории нелинейной фильтрации. Это было
обусловлено выбором декартовой системы координат, позволя-
ющей исключить проблему кажущихся ускорений. Если кажущиеся
ускорения допустимы, то сопровождение может быть обеспечено
с помощью простого калмановского фильтра. Данный подход
является обобщением теории, представленной в подразд. 3.4.1
[57—64]. Рассмотрим основные результаты.
259
17*
Для простоты примем, что траектория цели одномерна.
Следовательно, переменная состояния упрощается до sT=[pp],
матрица перехода Ф определяется уравнением (3.15), а ковари-
ационная матрица шума ускорения имеет вид
Q = qT =
"у2/3
_Т/2
Т/2
1
где q — спектральная плотность шума маневрирования (q = QaT),
а матрица Q вычисляется интегрированием белого шума с по-
мощью метода, изложенного в подразд. 4.2.1. Уравнение измере-
ния является линейным
z = s + W
с диагональной ковариационной матрицей ошибок измерений
Уравнения калмановского фильтра, позволяющего обрабатывать
результаты измерений координат и радиальной скорости, могут
быть получены непосредственно из подразд. 2.4.1. Для случая
обработки только результатов измерений координат соответству-
ющие уравнения можно получить, приняв <тр->оо. И, наоборот,
если обрабатываются только результаты измерения радиальной
скорости, то в уравнения следует подставить сгр->оо. Для фильтра,
работающего в установившемся режиме, можно вычислить элеме-
нты ковариационных матриц оценок фильтрации и экстраполяции
Р + , Р“ и матрицу коэффициента усиления К, имеющую размер
2x2. Нормализованные составляющие Р+ и Р":
Р(1, 1) Р(1, 2) Р(2, 2)
Пр2 * а|т-1’ ОрТ-2
являются функциями только двух безразмерных параметров:
г = 4пр/(паТ2) (что видно из уравнения (3.28)) и s = qpT/qp.
С помощью параметра s учитываются измерения доплеровского
сдвига. В частности, этот параметр характеризует относительную
точность измерений скорости (по отношению к точности измере-
ний дальности). Условие s->oo соответствует случаю обработки
только результатов измерений координат, при г -► оо и s -> О
используются только результаты измерения скорости. На рис. 4.44
приведены зависимости установившихся значений P(l, 1)/п2 для
задач фильтрации и экстраполяции от параметров s и г. Можно
заметить, что при наличии точных результатов измерений
радиальной скорости (s->0) качество сопровождения^ улучшается.
Результаты оценки других составляющих Р+ и Р“, а также
коэффициента усиления можно найти в работах, представленных
в списке литературы.
260
Рис. 4.44. Характеристики фильтра сопровождения, обрабатывающего результаты
измерений радиальной скорости:
фильтрация (--------------------), экстраполяция (—-)
4.7. АКТИВНОЕ СОПРОВОЖДЕНИЕ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ
ФАЗИРОВАННОЙ АНТЕННОЙ РЕШЕТКИ
В разд. 1.2 уже отмечались широкие возможности РЛС с фа-
зированной антенной решеткой (ФАР), реализуемые благодаря
гибкому управлению лучом антенны и распределению временных,
энергетических и вычислительных ресурсов в соответствии с быст-
ро меняющейся обстановкой [2, 8, 30]. Это означает, что РЛС
не имеет жесткой программы функционирования; напротив, эта
программа может быть изменена с учетом оперативной ситуации
в контролируемом воздушном пространстве. Что касается ре-
ализации функции сопровождения, то РЛС с ФАР имеет ряд
особенностей, которые не присущи РЛС с механическим скани-
рованием. Можно рассмотреть два представляющих наибольший
интерес примера: адаптивное управление темпом обновления
траектории и сопровождение нескольких целей с использованием
перекрывающихся последовательностей импульсов (см. под-
разд. 1.2.4).
4.7.1. АДАПТИВНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ТЕМПОМ ОБНОВЛЕНИЯ ТРАЕКТОРИИ
Временной интервал Т между двумя последовательными пос-
туплениями информации о траектории цели (период зондирования
цели) существенно влияет на точность экстраполяции, особенно
в тех случаях, когда цель движется с ускорением. Возможным
способом адаптации устройства сопровождения к маневру яв-
ляется увеличение темпа измерений при ускорениях цели. Этот
способ может быть реализован в РЛС с ФАР, которая не имеет
ограничений, связанных с механическим сканированием простран-
ства, и позволяет сориентировать луч в любом направлении за
очень короткое время. Следовательно, РЛС с ФАР может
произвести новое измерение сразу после обнаружения маневра.
Поэтому применение РЛС с ФАР позволяет перейти от концепции
261
СЦРО к концепции так называемого активного сопровождения
нескольких целей, осуществляемого с помощью управляющей
ЭВМ. Термин «активный» отражает то обстоятельство, что,
когда программой ЭВМ запланировано новое зондирование цели,
луч антенны мгновенно направляется в нужную точку простран-
ства. В соответствии с информацией о сопровождаемых траек-
ториях ЭВМ может распределять во времени ресурсы РЛС
между несколькими целями согласно принятой стратегии (т. е.
обновляя в первую очередь высокоприоритетные траектории).
Кроме того, следует отметить, что изменение темпа поступления
информации от РЛС предполагает использование нестационарных
алгоритмов фильтрации, таких как алгоритмы калмановской
фильтрации.
Рассмотрим процесс адаптации темпа поступления данных для
обеспечения заданной точности сопровождения траектории при
маневре цели. Обозначив средние квадратические ошибки оценива-
ния координат и скорости цели через ох, k/k и охД/к, можно
записать выражение для средней квадратической ошибки экс-
траполирования координат
£
ax,k + l/k = [<^x,k/k + (<^x,k/kTk+i )2] 2,
где Тк+1—временной интервал, после которого поступает но-
вый результат измерения. Как следует из приведенного выраже-
ния, с увеличением Тк + 1 ошибка экстраполяции возраста-
ет. Интервал Тк + 1 выбирается таким образом, чтобы ошибка
экстраполяции положения цели не превышала с заданной веро-
ятностью величину, соответствующую ширине луча антенны.
При этом частое обновление необходимо при завязке траекто-
рии (в связи с низкой точностью измерения скорости) и в
том случае, когда цель находится на большом расстоянии от
РЛС (так как увеличиваются ошибки измерений в декартовой
системе координат). При маневре цели высокий темп обновления
данных уменьшает как смещение, так и дисперсию оценки
траектории. Действительно, точность фильтрации прямо пропор-
циональна емкости памяти фильтра, выраженной в числе отметок,
а время реакции зависит от постоянной времени фильтра. Кроме
того, ошибка экстраполяции, обусловленная внезапным ускоре-
нием цели, пропорциональна интервалу времени между получе-
нием двух последовательных отметок. Поэтому при высоком
темпе поступления данных требование высокой точности со-
провождения не вступает в противоречие с требованиями высокой
скорости реакции фильтра и малого смещения сопровождаемой
траектории.
Простой метод адаптации темпа получения данных о траек-
тории основан на том, что ошибка экстраполяции при маневре
цели является известной функцией параметра аТ . Поэтому
262
Рис. 4.45. Адаптивное
управление темпом полу-
чения информации в ра-
диолокационной станции
с фазированной антенной
решеткой (ФАР)
может быть выбран период зондирования Т, принимающий одно
из двух возможных значений: Ту и Тп. Период зондирова-
ния Т = ТУ должен использоваться на тех участках траекто-
рии, где цель движется с ускорением, а период Т = ТП со-
ответствует обычному режиму работы при прямолинейном движе-
нии цели. Если ожидаемое ускорение цели равно а, то пе-
риод Ту выбирается таким образом, чтобы минимизирова-
лась ошибка экстраполяции. Период зондирования принимает
обычное значение Тп лишь после того, как расстояние
между поступающими отметками и экстраполированными поло-
жениями цели (для определенного числа отметок) стано-
вятся меньше соответствующего значения. Структурная схе-
ма данного метода приведена на рис. 4.45. С помощью извест-
ных алгоритмов производится обнаружение начала и оконча-
ния маневра; это позволяет с помощью блока программи-
рования ФАР выбирать необходимый период зондирования
при сопровождении маневрирующей и неманеврирующей
цели.
Адаптивное управление темпом поступления информации
может быть также использовано при автоматической завяз-
ке траектории [17]. После получения новой отметки в тече-
ние небольшого интервала времени программируется несколь-
ко последовательных циклов измерения для выяснения, отно-
сится ли эта отметка к новой цели. Процедура завязки траек-
тории представляется в виде испытания гипотез (Hi—траек-
тория истинная; Но — траектория ложная). В работе [17]
для оценки правдоподобия гипотез Но и Hi использу-
ется алгоритм последовательного обнаружения. Можно пока-
зать, что этот алгоритм обеспечивает в среднем меньшее вре-
мя завязки траектории, чем при методе скользящего окна
(см. разд. 3.6) и других методах. В заключение отметим, что
РЛС с ФАР обеспечивает высокую вероятность обнаружения
истинных целей и надежное распознавание истинных и ложных
отметок.
263
4.7.2. СОПРОВОЖДЕНИЕ НЕСКОЛЬКИХ ЦЕЛЕЙ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ
ПЕРЕКРЫВАЮЩИХСЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ ИМПУЛЬСОВ
Отличительным свойством многофункциональных РЛС с ФАР
является их большая устойчивость к перегрузкам, возникающим
при наблюдении множества целей, и, как следствие, способность
с высокой точностью осуществлять активное сопровождение
одновременно нескольких целей. Известно, что в традиционных
РЛС для исключения перегрузок при увеличении числа целей
приходится задействовать несколько специализированных каналов
сопровождения. Это важное свойство РЛС с ФАР уже отмечалось
в подразд. 1.2.4, где на рис. 1.13 иллюстрируется концепция
использования перекрывающихся последовательностей импульсов.
На основе теории, разработанной в [52], здесь изложен метод
сопровождения нескольких целей с помощью процедуры рас-
пределения излучаемых импульсов по сопровождаемым целям.
Рассмотрим алгоритм управления, обеспечивающий распределе-
ние импульсов по N направлениям, соответствующим сопровож-
даемым целям. Каждая последовательность состоит из импульсов
с периодом повторения, который определяется энергией, необ-
ходимой для обнаружения цели. В соответствии с алгоритмом
программируются моменты передачи и приема только первого
импульса последовательности. Будем считать, что ЭВМ выдает
список из N целей (расположенных в порядке убывания даль-
ности), и обозначим через Тпер длительность временного ин-
тервала, необходимого для выполнения всех циклов поочередного
зондирования целей. Моменты излучения и приема последователь-
ности импульсов для первой цели легко определяются; пример
для последовательности из двух импульсов приведен на рис. 4.46.
Излучаемый импульс расположен в начале каждого периода
повторения, а принимаемый — после заранее определенного ин-
тервала времени, необходимого для прохождения сигнала к цели
и обратно. Ожидаемая дальность первой цели в списке для
k-го импульса последовательности обозначается через Rk(l),
а скорость распространения света — через с. При рассмотрении
алгоритма предполагается, что импульсы имеют длительность
TAU, определяемую необходимым разрешением, шумом измере-
ний и ошибками оценивания, вносимыми алгоритмом сопровож-
дения. Кроме этого ТА U зависит от скорости коммутации
фазовращателей и скважности излучения передатчика. На практике
TAU определяет минимально допустимый разнос между сосед-
ними импульсами. Эффективность сопровождения будет оцени-
ваться в зависимости от коэффициента заполнения излучения
передатчика d (величина, обратная скважности); поэтому необ-
ходимо установить связь между параметрами d и TAU. Пусть
т — истинная длительность отдельного импульса, тогда
TAU = A + t.
264
DELTA
DEL
DELTA
2Rk(2) / c
►
Время
TAU
2Rk(l)/c
---►
Время
Рис. 4.46. Программирование им-
пульсной последовательности для на-
иболее удаленной цели
Рис. 4.47. Программирование им-
пульсной последовательности для 2-й
цели [52 ]
J
Для размещения на временной оси импульсов, предназначенных
для следующих по списку целей, в соответствии с рис. 4.46
устанавливаются временные интервалы DEL и DELTA. В преде-
лах этих интервалов на временной оси размещаются последу-
ющие излучаемые и принимаемые импульсы. После установления
моментов времени передачи и приема последовательности им-
пульсов для первой цели величины DEL и DELTA вычисляются
следующим образом:
del(i)=^^-tau,
где Тппи — период повторения импульсов.
Попытаемся теперь разместить 2-й принимаемый импульс как
можно ближе к 1-му принимаемому импульсу (справа от него
по оси времени, рис. 4.47), а затем определить момент излучения
соответствующего импульса. Поскольку дальность второй цели
меньше или равна дальности первой, то излучаемый импульс
2-й цели размещается на оси правее импульса 1-й цели. Для
вычисления параметров DEL и DELTA i-й цели (в рассмотренном
случае i = 2) используются уравнения
DELTA (i) = DELTA (1) - (i -1) TAU.
Если новые значения параметров DEL и DELTA положительны,
то программирование последовательности для второй цели счита-
ется успешным. Если, напротив, при программировании после-
довательности для i-й цели хотя бы одно из значений новых
параметров меньше нуля (такая ситуация представлена на рис.
4.48а, б), то следует перенести принимаемый импульс i-й цели
левее других, как это показано на рис. 4.48в. Эта операция
может считаться успешной, если новое значение параметра DEL
будет меньше, чем старое плюс удвоенное значение параметра
265
Новое значение
(i-1)
л
параметра DELTA < О
Новое значение
параметра DELTA < О
Рис. 4.48. Программирова-
ние импульсной последова-
тельности с использованием
только параметра DEL [52]
^ппи
б
Время
МП
Новое значение
параметра DEL
(i-1)
ТА U. В противном случае, если в текущем интервале повторения
не удается разместить большее число импульсов, осуществляется
переход к новому циклу программирования, начинающемуся
с момента завершения импульсной последовательности 1-й цели
предыдущего цикла. Структура алгоритма программирования
показана на рис. 4.49.
Для определения эффективности уплотнения импульсных после-
довательностей следует оценить время сопровождения с использова-
нием и без использования перекрывающихся последовательностей.
При проведении статистического моделирования на ЭВМ эффектив-
ность уплотнения оценивалась в зависимости от длительности
импульса, скважности (коэффициента заполнения сигнала передат-
чика), числа целей и распределения целей по дальности. Программа
позволяла оценивать экономию времени РЛС при однократном
обновлении траектории целей. Дальности целей выбирались
случайным образом в интервале от 2 до 50 мк. Число импульсов
в последовательности, соответствующей наиболее удаленной цели,
может быть определено по уравнению радиолокации
N _SNR0 Ro(4n)’FKT0L
0 Р„ oG2Vt
где параметры имеют традиционный смысл (полагаем, что
потери в тракте пренебрежимо малы). При моделировании были
266
Рис. 4.49. Структура алгоритма программирования импульсных последователь-
ностей [52 ]
приняты следующие численные значения параметров:
SNR0=13 дБ, Ro = 50 км, F = 5 дБ, КТо=-204 дБ, L= 10 дБ,
Р =4 кВт, ст=1 м2, G = 35 дБ, Х = 0,05 м, при этом
No = 250/t (мкс).
Чтобы с этой же вероятностью обнаружить цель на другом
расстоянии R(i), число импульсов в последовательности должно
составлять
На рис. 4.50 показаны зависимости среднего времени со-
провождения целей с использованием и без использования
267
перекрывающихся последовательностей (Тпер и Т соответственно)
от длительности импульса, для различного числа целей N.
Коэффициент заполнения излучаемого передатчиком сигнала
принимался равным 0,3. На рис. 4.51 приведены аналогичные
зависимости для коэффициента заполнения, равного 0,2. Из
приведенных графиков следует, что при больших значениях
т функционирование алгоритма зависит от двух противоречивых
факторов. С одной стороны, увеличение длительности импульсов
приводит к снижению эффективности процедуры программного
распределения моментов излучения и приема и, следовательно,
возрастанию Тпер; с другой стороны, увеличение Тпер ограничено
происходящим из-за роста т уменьшением числа импульсов
в каждой последовательности.
В рассматриваемом численном примере при изменении длитель-
ности импульсов с 5 до 10 мкс общее время сопровождения
Тпер снизилось относительно Т до величины, составляющей
половину Т. При малых длительностях импульсов последователь-
эффективно, поэтому
Рис. 4.51. Зависимость эффе-
ктивности использования пе-
рекрывающихся последова-
тельностей от длительности
импульсов (коэффициент за-
полнения равен 0,2)
268
Тпер заметно уменьшается по сравнению с Т. Как и можно
было ожидать, уменьшение скважности, скажем с 0,3 до 0,2,
приводит к снижению эффективности уплотнения. Увеличение
скважности до значений, характерных для РЛС с пассивными
ФАР (см. подразд. 1.1.2), в которых энергия генерируется с по-
мощью вакуумных ламп с максимальным коэффициентом запол-
нения в несколько процентов, не позволяет использовать метод
перекрывающихся последовательностей. Следует отметить, что
результаты, представленные на рис. 4.50 и 4.51, во многом
обусловлены принятым равномерным распределением целей по
дальности. Можно полагать, что при других допущениях (на-
пример, при постоянном числе целей на единичной площади)
результаты моделирования изменятся. Эти случаи здесь не
рассматриваются.
4.8. БИСТАТИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ СОПРОВОЖДЕНИЯ
Общие сведения о бистатических (двухпозиционных) системах
изложены в подразд. 1.3.3. В данном разделе рассматриваются
вопросы фильтрации в бистатических системах. Затем проводится
сравнение эффективности бистатических и моностатических (од-
нопозиционных) систем сопровождения.
4.8.1. СТРУКТУРА ФИЛЬТРА СОПРОВОЖДЕНИЯ
В бистатической системе математические модели движения
цели не отличаются от рассмотренных ранее (см. подразд. 3.3.3
и разд. 4.2). На рис 1.23 представлены результаты измерений,
которые могут быть получены на приемной станции бистатичес-
кой системы. В дальнейшем для простоты изложения рассмат-
ривается двумерная траектория, хотя полученные результаты
могут быть распространены и на трехмерный случай. Как
и в однопозиционном случае, бистатические измерения искажены
независимыми, аддитивными составляющими белого гауссовского
шума с нулевыми средними, причем средние квадратические
ошибки измерений суммы дальностей, азимута и суммы ради-
альных скоростей составляют сгр, сг0, соответственно. Урав-
нения измерений в векторной форме имеют вид
zk = h(sk)+nk,
(4.38)
где zk = [p0p]k — совокупность результатов измерений бистати-
ческими системами в k-й момент времени; h(sk) — нелинейная
векторная функция состояния sk (более полно раскрытая в под-
разд. 4.8.2); nf = [npn0njk— вектор шума измерений, имеющий
ковариационную матрицу
а* 0 0
R= 0 ст02 0
0 0 о?
269
Рис. 4.52. Структура фильт-
ра сопровождения для би-
статической системы
В связи с нелинейностью уравнения измерений (4.38) по
отношению к состоянию цели sk оптимальный алгоритм фильтра-
ции также будет нелинейным и трудно реализуемым на практике.
Некоторые субоптимальные методы, рассмотренные в разд. 2.6,
могут быть использованы и в бистатических системах (см.
разд. 4.6). Если результаты измерения суммы радиальных ско-
ростей не обрабатываются (как и в разд. 4.2), то может быть
использована упрощенная структура системы обработки, что
иллюстрируется на рис. 4.52. Основными ее элементами являются
нелинейный фильтр без памяти (преобразующий измерения из
полярных координат в декартовы) и динамический линейный
фильтр (предназначенный для подавления шума измерений и экс-
траполяции оценки состояния). По результатам измерений ази-
мута и суммы дальностей вычисляются соответствующие декар-
товы координаты цели при условии, что известны относительные
координаты передатчика и приемника. Шумовые составляющие,
влияющие на результаты измерений в декартовой системе, также
имеют нулевые средние значения; однако они взаимозависимы,
характеризуются ковариационной матрицей, отличной от R,
и зависят от положения цели. Вывод уравнений фильтра ана-
логичен выводу уравнения (3.9) подразд. 3.3.2, при этом необ-
ходимо учитывать различие геометрических структур рассмат-
риваемых систем. Соответствующий пример можно найти в под-
разд. 4.8.2. Затем, как показано на рис. 4.52, уменьшаются
шумовые составляющие измерений с помощью линейного кал-
мановского фильтра.
Эффективность бистатического фильтра сопровождения, пред-
ставленного на рис. 4.52, оценена с помощью статистического
моделирования на ЭВМ. Осуществлялось моделирование двумер-
ной бистатической системы (рис. 4.53), состоящей из передатчика
Т и приемника R и измеряющей параметры:
Рв —Pt + Pr и 6r.
(4.39)
Результаты этих изменений искажены взаимно независимыми
белыми гауссовскими шумовыми составляющими с нулевыми
средними и дисперсиями Орв и соответственно. Моделируемая
270
Рис. 4.53. Моделируемая би-
статическая система (обраба-
тываемые данные):
Pb = Pt+Pr; Оцв=100м, <7^ = 0,003 рад
траектория представлена на рис. 4.53; она состоит из двух
прямолинейных участков, разделенных участком разворота. Из-
мерения осуществляются с периодом 5 с. На рис. 4.54а, б
приведены ошибки фильтрации координат (а) и скорости (б)
по оси х. Заметим, что во время полета по прямолинейным
участкам траектории ошибки фильтрации не смещены, в то же
время на участке ускорения наблюдается большое смещение.
Это смещение может быть уменьшено с помощью либо адап-
тивных методов, рассмотренных в разд. 4.3, либо методов,
основанных на измерениях радиальной скорости (см. разд. 4.6).
4.8.2. СРАВНИТЕЛЬНЫЙ АНАЛИЗ МОНОСТАТИЧЕСКОЙ
И БИСТАТИЧЕСКОЙ РЛС
Сравним эффективность функционирования моностатической
и бистатической систем сопровождения. На рис. 4.55 показано
размещение передатчика Т и приемника R бистатической РЛС
с базой Ь; моностатическая РЛС находится в точке R. Сравнение
будет производиться при сопровождении одной и той же
а б
Рис. 4.54. Результаты моделирования бистатической системы сопровождения:
a) V = 50 м/с; а = 30 м/с2; стрв = 100м; 0^ = 0,003 рад; б) V = 500 м/с; а = 30 м/с2; орв=100м; овж = 0,003 рад
271
РЛС [70]
РЛС [70]
стационарной двумерной траектории по точности оценивания
координат. Такой подход не учитывает динамическое поведение
фильтра сопровождения, однако позволяет сделать довольно
интересные выводы. Сравнение осуществляется в декартовой
системе координат, нашедшей широкое применение в системах
сопровождения, а результаты представлены в виде линий посто-
янной точности в плоскости х, у.
Примем, что бистатическая РЛС измеряет параметры (4.39),
а моностатическая
pm = 2pR и 0R.
По результатам измерений полярных координат рв и pR,
осуществляемым приемником бистатической системы, определя-
ются декартовы координаты цели
х=1 PbCOsOr-ЬРвЬ
2 bcosOR + pB
1 (pg- b2)sin 0R
2 bcosOR + pB
Пусть измерения рв и 0R искажены взаимно независимыми
гауссовскими шумами с нулевыми средними значениями и дис-
272
персиями с* и Qe- Воспользуемся методом, предложенным
в разделе 3.5.2, для оценки влияния шума на измерения, пере-
считанные в декартовы координаты, полагая при этом, что
ошибки измерений полярных координат рв и 0R малы по
сравнению с истинными значениями измерений. Это позволяет
при расчете средних значений и среднеквадратических отклонений
составляющих шума в декартовых координатах рассматривать
ошибки измерений координат рв и 0R как дифференциальные
приращения. Можно показать, что ошибки измерений в декар-
товых координатах имеют нулевое среднее значение, а дисперсии
и ковариация равны:
<*x2B = (H?CFp + H^CTi)/Ht
Сту,в = (н4 стр + Н2 )/Нз,
axy,B = (H1H4cp2 + H2H5Qe2)/Ht
где
Hj =2pBbcos20R + (pB + b2)cos0R,
H2 = (b2-pi)pBsin0R,
H3 = x/2(bcos0R + pB),
H4=pBbsin20R + (PB + b2)sin0R,
Н5 = (Рв- b2)(pBcos0R + b).
Перевод результатов измерений из полярных координат в де-
картовы осуществляется в соответствии с выражениями
х = pm cos 0R + 0,5b,
y = pmsin0R.
Если принятые ранее гипотезы относительно ошибок измерений
в полярных координатах рт и 0R верны, то могут быть получены
следующие выражения для дисперсий и ковариации:
<7х2.т = (0,5стр cos 0R )2 + (рт оо sin 0R )2,
Сту.т = (0,5стр sin 0R )2 + (рт о0 cos 0 R )2,
сГх.у.т = [(0,5 ст р )2 - (рт о9 )2] sin 0 R cos 0R.
В качестве показателя качества ряда произведенных измерений
используется корень квадратный из определителя ковариационной
матрицы ошибок оценивания координат. Эта величина пропор-
циональна площади эллипса, который представляет собой геомет-
рическое место точек равных значений плотности вероятностей
ошибок измерений (см. подразд. 3.3.2). Сравнить эффективность
измерений, выполняемых бистатической и моностатической РЛС,
можно с помощью отношения
273
18—1582
Таблица 4.1.
Численные примеры, использованные при сравнении моностатической и бистатической
РЛС
ст0, град Стр, м
Ь=0,1 км b= 1 км Ь= 10 км
0,06 0,1 1 10
0,6 1 10 100
(|рв| \ 2 площадь ошибки бистатической РЛС
--- I —--------------------------------------?
|Рт| / площадь ошибки моностатической РЛС
которое вычисляется для каждого положения цели в плоскости
(х, у). Результаты сравнения в значительной степени определяются
тем, что учитывается зависимость ошибок измерений от даль-
ности (см. подразд. 3.3.2). На рис. 4.56 приведены линии равных
точностей отношения г), вычисленные для не зависящих (а)
и зависящих (б) от дальности ошибок измерений, причем
полагалось, что при дальности, равной базе системы, отношение
тангенциальной и радиальной составляющих ошибок определяется
выражением
Ьсте/Стр=1.
Это отношение, использованное [70] в примерах, приведенных
в табл. 4.1, является единственным параметром, необходимым для
сравнения систем. Дальнейшее моделирование, проведенное при
варьировании этого отношения в пределах от 0,1 до 10, показало
лишь незначительное изменение формы полученных линий.
Ошибки измерения
моностатической РЛС
Ошибки измерения
бистатической РЛС
т
274
Рис. 4.57. Сравнение раз-
решающей способности
х моностатической и биста-
тической РЛС [70]
При равных средних квадратических ошибках точность мо-
ностатической РЛС всегда выше точности бистатической РЛС.
Однако точности обеих систем становятся равными, если цель
находится вдали от базовой линии бистатической РЛС. На
рис. 4.57 [70] изображены элементы разрешения бистатической
и моностатической РЛС при двух положениях цели. Рисунок
подтверждает результаты сравнения моностатической и биста-
тической РЛС при равных значениях стр и о9. Если значения
средних квадратических ошибок зависят от дальности, то можно
выделить две области, в которых моностатичёская РЛС превос-
ходит по точности бистатическую (или наоборот). Линия, раз-
деляющая эти две области, перпендикулярна базовой линии
и проходит между передатчиком и приемником.
В заключение следует отметить, что после перехода к общей
декартовой системе координат в моностатической и бистатической
РЛС могут использоваться одинаковые фильтры сопровождения.
Поэтому проведенное сравнение точностей измерений применимо
и при сглаженных траекториях.
4.9. ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В настоящей главе был рассмотрен широкий круг вопросов,
связанных с анализом и формированием алгоритмов сопровож-
дения. Вначале на примере сопровождения одиночной цели
в отсутствие помех получила дальнейшее развитие модель цели,
что позволило учитывать при фильтрации траектории внезапно
возникающие ускорения цели. Тем не менее, несмотря на это
сопровождение интенсивно маневрирующих целей требует прида-
ния фильтру сопровождения свойств адаптивности. Были рас-
смотрены также вопросы сопровождения как одиночной цели,
так и множества целей на фоне мешающих отражений. Сложность
возникающих при этом проблем заставляет усомниться в воз-
можности реализации соответствующих оптимальных фильтров.
Заключительная часть главы посвящена вопросам использования
РЛС с ФАР и бистатических РЛС.
Представленный в данной главе ряд алгоритмов пригоден
для решения широкого круга задач, связанных с системами
сопровождения. Однако эти алгоритмы не решают всех проблем,
возникающих на практике. Одна из наиболее важных задач
состоит в более полной интеграции функции сопровождения
с другими как радиолокационными, так и операционными
функциями систем. Это позволило бы провести синергетическое
исследование и синтезировать структуру системы в целом.
Существует также потребность в более глубоких исследованиях
задач сопровождения целей на фоне мешающих отражений.
Большое значение имеют вопросы повышения качества и увеличе-
ния объема информации о ситуации в контролируемом простран-
стве (использование результатов измерений радиальной скорости
является одним из возможных направлений решения данной
задачи). Большую актуальность представляют такие исследования
каскада сигнального и информационного процессоров как единой
системы (в подразд. 4.4.3 были предложены пути решения задачи
совместной оптимизации этих двух процессоров).
Необходимо также отметить, что принципы алгоритмов
фильтрации, введенных в гл. 3, получили дальнейшее развитие;
они служат основой для решения задач сопровождения целей
в радиолокационных сетях.
276
Список литературы
К главе 1
1.1. D.K. Barton, * Radar System Analysis*, Prentice Hall, Englevood
Cliffs, Nev Jersey, 1965.
1.2. J.V. DiFranco & W.L. Rubin, 1 Radar Detection*, Prentice Hall
Inc., Englevood Cliffs, N.J., 1968.
1.3. W. Weinstock, 'Computer control of a multifunction radar*, RCA,
Corporate Engineering Services, pp. 37-47, 1972.
/.4. R.A. Baugh, * Computer Control of Modern Radars*, RCA, 1973.
1.5. G. Grasso & S. Pardini, * Data filtering in the Selenia collision
avoidance system*, Rivista Tecnica Selenia, Vol. 1, No. 2,
pp. 23-31, January, 1973.
1.6. L. Paoli, 'Marine collision avoidance system*, Rivista Tecnica
Selenia, Vol. 1, No. 2, pp. 33-42, January, 1973.
1.7. A. Gelb, * Applied Optimal Estimation*, MT I Press, 1974.
1.8. W.S. Jones & L.F. Meren, * Surveillance Radar: Technology and
Trends*, Proc, of WESCON, pp.1,14 (7-3), 1974.
1.9. E. Hanle, * Control of a phased-array radar for position finding
of targets*, Proc, of IEEE Inti. Radar Conf., Washington,
pp. 204-209, 1975.
1.10. P.E. Steichen & D.M. White, * Radar Data Processing* , Short
Course (Technology Service Corporation), Amsterdam, Netherlands,
May, 1977.
1.11. C.E. Muehe, * Application of modern digital processing to АТС
radars*, Proc, of WESCON, pp. 1,10 (13-2), 1978.
1.12. W.D. Wirth, * Array antennas for electronic scanning* , Proc, of
Inti. Radar Conf., Paris, pp. 423-430, December, 1978.
1.13. A. Farina, S. Pardini & G. Roselli, * General-purpose control
system for multifunction phased-array radar*, Rivista Tecnica
Selenia, Vol. 6, No. 2, pp. 10-17, 1978.
1.14. E. Giaccari A G. Nucci, *A family of АТС radars* , IEEE Trans, on
Aerospace and Electronic Systems, Vol. AES-15, No. 3,
pp. 378-396, May, 1979. (Figs. 1.1, 1.4, 1.7 © IEEE).
1.15. P.A. Jorgensen, 'Modern systems for air traffic control', 19th
Annual Conf. IFACTA, Brussels, pp. 22-27, April, 1979.
277
1-16. A. Farina & S. Pardini, 'Survey of radar data processing tech-
niques in air-traffic-control and surveillance systems', IEE
Proc., CRSP, Vol. 127, Pt.F, No. 3, pp.190-204, June, 1980.
1.17. A. Farina & P. Neri, * Mult itarget interleaved tracking for
phased-array radar', IEE Proc., CRSP, Vol. 127, Pt.F, No. 4,
pp. 312-318, August, 1980.
1.18. V. Fleskes & G. Van Keuk, 'Adaptive control and tracking with the
ELRA phased-array radar experimental system', Proc, of Inti.
Radar Conf., Washington, pp. 8-13, April, 1980.
1.19. R.A. Monxingo A T.W. Miller, 'Introduction to Adaptive Arrays'.
John Wiley A Sons, Inc., Nev York, 1980.
1.20. D.C. Schleher, 'Automatic Detection and Radar Data Processing * ,
Artech House Inc., Dedham, MA, 1980.
1.21. M.I. Skolnik, 'Introduction to Radar Systems' . McGrav-Hill Book
Company, Nev York, 1980.
1.22. E. Brookner, 'A reviev of array radars', Microwave Journal, p.25,
October, 1981.
1.23. R.J. Miller, 'Multiple-option radar tracking of a single target' ,
The Marconi Reviev, First Quarter, pp. 31-56, 1981.
1.24. G. Barale, G. Fraschetti A S. Pardini, 'The multiradar tracking
in the АТС system of the Rome FIR', Proc, of Inti. Radar Conf.,
London, pp. 296-300, 1982.
1.25. E. Brookner, 'Developments in digital radar processing* , Trends A
Perspectives in Signal Processing, pp. 7-23, January 1982.
1.26. E:R. Bi 11am, 'Design and performance considerations in modern
phased-array radar', Proc, of Inti. Radar Conf., London,
pp. 15-19, Oct. 1983.
1.27. A. Farina A E. Hanle, 'Position accuracy in netted monostatic
and bistatic radar', IEEE Trans. Aerospace and Electronic
Systems, Vol. AES-19, No. 4, pp. 513-520, July 1983.
1.28. E. Conte, E. D'Add io, A. Farina A M. Longo, 'Multistatic radar
detection: synthesis and comparison of optimum and sub-optimum
receivers', IEE Proc., CRSP, Vol. 130, Pt.F, No. 6, pp. 484-494,
October 1983.
К главе 2
2.1. F.C. Gauss, 'Theoria motus corporum coelestiorum in sectionibus
conics solem ambientum*, Hamburg, 1809 (Translation: Dover, Nev
York, 1963).
278
2.2. • A.M. Legendre, 'Methode de moindres quarres pour trouver le
milieu le plus probable entre les resultats de diff erentes
observations*, Men, Inst, France, pp, 149-154, 1810,
2.3. R.A. Fisher, 'On an absolute criterion for fitting frequency
curves*, Messenger of Math., pp, 41-155, 1912,
2.4. A.N. Kolmogorov, * Foundations of the Theory of Probability* ,
Springer, Nev York, 1933.
2.5. N. Levinson, *The Wiener root-mean-square error criterion in
filter design and prediction*, J. Math, Phys., Vol. 25, pp,
261-278, 1947.
2.6. N. Wiener, * Extrapolation, Interpolation and Smoothing of
Stationary Time-Series* . J. Wiley, Nev York, 1949.
2.7. R.E, Kalman, *A nev approach to linear filtering and prediction
problems* , Journal of Basic Eng., Trans. ASME, Ser. D, Vol. 82,
No. 1, pp. 35-45, 1960.
2.8.. R.E. Kalman, R.S. Bucy, *Nev results in linear filtering and
prediction theory*, ASME, Ser. D, Vol. 83, No. 3, pp. 95-108,
1961.
2.9. R.E. Kalman, Y.C. Ho & K.S. Narendra, 'Controllability of Linear
Dynamical Systems* , Contributions to Differential Equations, Vol.
1, McMillan, Nev York, 1961.
2.10. R.E. Kalman, 'Nev methods in Wiener filtering theory*, Proc.
Symp. Eng. Appl. Random Functions Theory and Probability, J.
Wiley A Sons, Nev York, 1963.
2.11. Y. Ho & R. Lee, *A Bayesian approach to problems in stochastic
estimation and control* , IEEE Trans. AC, Vol. AC October, pp.
333-339, 1964.
2.12. A. Papoulis, 'Probability, Random Variables and Stochastic
Processes* , McGrav Hill, Nev York, 1965.
2.13. H. Heffes, 'The effects of erroneous models on the Kalman filter
response*, IEEE Trans. AC, Vol. AC-11, pp. 541-543, 1966.
2.14. R.E. Kalman, ' Lectures on Controllability and Observabi 1 itv* ,
Lecture Notes, CIME, Bologna, 1968.
2.15. C.F. Price, * An analysis of the divergence problem in the Kalman
filter*, IEEE Trans. AC, Vol. AC-13, pp. 699-702, 1968.
2.16. T. Kailath, * An innovations approach to least-squares estimation.
Part I: Linear filtering in additive vhite noise*, IEEE Trans.
AC, Vol. AC-13, No. 6, pp. 646-654, 1968.
279
2.17. L.E. Brennan & I.S. Reed, 'Optimum processing of unequally spaced
radar pulse trains for clutter rejection', IEEE Trans. AES, Vol.
AES, No. 4,'pp. 474-477, 1968.
2.18. N.E. Nahi, 'Estimation Theory and Applications*. J. Wiley A Sons,
Inc., 1969.
2.19. J. S. Med itch, * Stochastic Optimal Linear Estimation and Control*.
McGraw Hill, New York, 1969.
2.20. N.E. Nahi, / Optimal recursive estimation with uncertain
observation', IEEE Trans. IT, Vol. IT-15, pp. 457-462, 1969.
2.21. H. Akaike, * Power spectrum estimation through autoregressive
model fitting*, Ann. Inst. Statist. Math., Vol. 21, pp. 407-419,
1969.
2.22. R.A. Singer & P.A. Frost, * On the relative performance of the
Kalman and Wiener filters*, IEEE Trans. AC, Vol. AC-14, pp.
390-394, 1969.
2.23. L.A. Zadeh, * System Theory*. McGraw Hill, New York, 1969.
2.24. A.H. Jazwinski, * Stochastic Processes and Filtering Theory *,
Academic Press, New York, 1970.
2.25. R.E. Bellman, * Introduction to Matrix Analysis* . 2nd. Ed., McGraw
Hill, New York, 1970.
2.26. H.W. Sorenson, 'Least-squares estimation: from Gauss to Kalman1,
IEEE Spectrum, Vol. 7, No. 7, pp. 63-68, 1970.
2.27. R.K. Mehra, * Approaches to adaptive filtering*, IEEE Symp. on
Adaptive Processes, Austin, Texas, pp. 1-8, 1970.
2.28. G.A. Ackerson & K.S. FU, *0n state estimation in switching
environments*, IEEE Trans AC, Vol. AC-15, pp. 10-17, 1970.
2.29. R.W. Brockett, * Finite-Dimensional Linear Systems*, John Wiley &
Sons, New York, 1970.
2.30. R.S. Bucy, * Linear and nonlinear filtering*, Proc. IEEE, Vol. 58,
pp. 854-864, 1970.
2.31. I.B. Rhodes, *A tutorial introduction to estimation and
filtering*, IEEE Trans. AC, Vol. AC-16, pp. 688-707, 1971.
2.32. A.P. Sage & J.L. Melsa, * Estimation Theory with Application to
Communication and Control * , McGraw Hill, New Yorк, 1971.
2.33. B.D.O. Anderson, * Stability
J. Franklin Inst., Vol. 291,
properties of Kalman-Bucy filters
No. 2, pp. 137-144, 1971.
280
2.34. P.A. Frost & Т. Kai lath, * An innovations approach to
least-squares estimation: Part III, Nonlinear estimation in
Gaussian white noise*, IEEE Trans. AC, Vol. AC-16, No, 3, pp.
217-226, 1971.
2.35. R.S. Bucy & K.D. Senne, * Digital synthesis of nonlinear filters* ,
Automatics, Vol. 7, No. 3, pp. 287-289, 1971.
2.36. Н.У. Sorenson & D.L. Alspach, * Recursive Bayesian estimation
using Gaussian sums* , Automatics, Vol. 7, No. 4, pp. 465-479,
1971.
2.37. D.G. Luenberger, * An introduction to observers* , IEEE Trans. AC,
Vol. AC-16, No. 6, pp. 596-602, 1971.
2.38. D.G. Lainiotis, * Optimal adaptive estimation: structure and
parameter adaptation* , IEEE Trans. AC, Vol. AC-16, pp. 160-170,
1971.
2.39. K.J. Astrom-Eykhoff, . * System identification: a survey*,
Automatics, Vol. 7, pp. 107-118, 1971.
2.40. S.K. Park & D.G. Lainiotis, * Monte-Carlo study of the optimal
nonlinear estimator: linear systems with non-Gaussian initial
states*, Inti. Jnl. Control, Vol. 16, No. 6, pp. 1029-1040, 1972.
2.41.. E Vong, * Recent progress in stochastic processes: a survey* , IEEE
Trans. IT, Vol. IT-19, No. 3, pp. 262-274, 1973.
2.42. D.N.P. Murthy, * Factorisation of discrete-process spectral
matrices*, IEEE Trans. IT, Vol. IT-19, No. 5, pp. 693-696, 1973.
2.43. T. Kailath, *A view of three decades of linear filtering theory*,
IEEE Trans. IT, Vol. IT-20, Vol. 2, pp. 146-179, 1974.
2.44. A. Gelb, * Applied Optimal Estimation* » The MIT Press, 1974.
2.45. D.G. Lainiotis, *Estimation: a brief survey*, J. Info. Sci., Vol.
7, No. 3, pp. 197-202, 1974.
2.46. S.S. Godbole, * Kalman filtering with no a-priori information
about noise, white-noise case: identification of covariances*,
IEEE Trans. AC, Vol. AC-19, No. 5, pp. 561-563, 1974.
2.47. T. Kailath, *Special issue on system identification and
time-series analysis*, IEEE Trans. AC, Vol. AC-19, pp. 639-642,
1974.
2.48. A.V. Oppenheim & И.У. Shafer, *Digital Signal Processing* ,
Prentice Hall, Englewood Cliffs, NJ, 1975.
281
2.49. P. Smith & G Beuchler, *A branching algorithm for discriminating
and tracking multiple objects* , IEEE Trans» AC, Vol. AC-20, pp»
101-104, 1975.
2.50. J. Makhoul, 'Linear prediction: a tutorial review*, Proc» IEEE,
Vol. 63, No. 4, pp. 501-580, 1975.
2.51. N.H» Gholson & R.L. Moose, 'Manoeuvring target tracking using
adaptive state estimation*, IEEE Trans» AES, Vol. AES-13, No» 3,
pp. 310-317, 1977.
2.52. Y. Bar-Shalom, *Tracking methods in a multitarget environment: a
survey*, IEEE Trans. AC, Vol. AC-23, pp. 618-626, 1978»
2.53. B.D.O. Anderson & J.B. Moore, 'Optimal Filtering* , Information
and System Sciences Series, Prentice-Hall Inc», Englewood Cliffs,
NJ, 1979.
2.54. R.J. Miller, 'Multiple option radar tracking of a single target* ,
The Marconi Review, First Quarter, pp. 31-56, 1981.
2.55. M.J. Grimblc, 'Generalised Wiener and Kalman filters for
uncertain systems", Proc. IEEE Decision and Control Conference,
Orlando (Flo.), pp. 221-227, 1982.
2.56. A.V. Balakr ishnan, * Kalman Filtering Theory*, University Series
in Modern Engineering, Optimization Software, Inc., Publishing
Div is ion, New York, 1984.
К главе 3
3.1. J. Sklansky, 'Optimising the dynamic parameters of a track-while
scan system*, RCA Review, Vol. 18, pp. 163-185, June 1957.
3.2. N. Levine, *A new technique for increasing the flexibility of
recursive least square data smoothing* , Bell Systems Technical
Journal, Vol. 40, No. 3, pp. 821-840, May 1961.
3.3. T.R. Benedict & G.W. Bordner, * Synthesis of an optimal set of
radar track-while-scan smoothing equations* , IRE Trans, on Auto-
matic control, Vol. AC-7, pp. 27-32, July 1962.
3.4. H.R. Simpson, * Performance measures and optimisation condition
for a third-order sampled-data tracker*, IEEE Trans, on Automatic
Control, Vol. AC-8, No. 2, pp. 182-183, April 1963.
3.5. R.V. Sittier, *An optimal data association problem in surveill-
ance theory*, IEEE Trans. On Military Electronics, Vol. MILS,
pp. 125-139, April 1964.
282
3.6. S.k. Neal, 'Discussion on "Parametric relations for a>|5>v filter
predictor*** , IEEE Trans. on Automatic Control, Vol. AC-12, No. 3,
pp. 315-316, June 1967.
3.7. M.P. Senseihack A S.G. Hoppe, 'Modern techniques for automatic
track-while-scan*, Proc, of the Second Hawaii Inti. Conf, on
System Sciences, . January 1969.
3.8. A.J. Kanyuck, 'Transient responses of tracking filters with
randomly interrupted data*, IEEE Trans, on Aerospace & Elec-
tronic Systems, Vol. AES-6, No. 3, pp. 313-323, May 1970.
3.9. R. Wishner, R. Larson & M Athans, 'Status of radar tracking
algorithm*, Proc, of Symp. on Nonlinear Estimates and Appli-
cations, pp. 32-54, Sept. 1970.
3.10. P.A. Singer А К.У. Behnke, 'Heal-time tracking filter evaluation
and selection for tactical applications', IEEE Trans, on Aero-
space and Electronic Systems, Vol. AES-7, No. 1, pp. 100-110,
January 1971.
3.11. B.H. Cantrell, 'Behaviour of tracker for manoeuvring targets
under noise, false target and fade conditions', Naval Research
Laboratory Report 7434, Distributed by NTIS, AD748-993, 1972.
3.12. K. Spingarn A H. Veidemann, 'Linear regression filtering and
prediction for tracking manoeuvring aircraft targets*, IEEE
Trans, on Aerospace and Electronic Systems, Vol. AES-8, No. 6,
pp. 801-811, November 1972.
3.13. B.H. Cantrell, * Description of an а,В filter in Cartesian co-
ordinates*, Naval Research Laboratory Report 7548. Distributed
by NTIS, AS759-011, March 1973.
3.14. B.H. Cantrell, *Gain adjustment of an filter with random
updates* , Naval Research Laboratory Report 7647. Distributed by
NTIS, AD774-087, December 1973.
3.15. B. Friedland, * Optimum steady-state position and velocity esti-
mation using noisy sampled position data*, IEEE Trans, on Aero-
space and Electronic Systems, Vol. AES-9, No. 6, pp. 906-911,
November 1973. (Pigs. 3.22+3.24; Equns. (3.3)+(3.6) &
(3.18)+(3.20) © IEEE).
3.16. G. Grasso A S. Pardini, *Data filtering in the Selenia collision
avoidance system*, Selenia Technical Review, Vol. 1, No. 2,
pp. 33-42, January 1973.
3.17. A.L.C. Quigley, *Tracking and associated problems' , Conf, on
Radar Present and Future, IEE Conf. Publication No. 105,
pp. 352-259, 1973.
283
3.18. В. К. Bhagavan & R.J. Polge, 'Performance of g-h filter for
tracking manoeuvring targets*, IEEE Trans, on Aerospace and
Electronic Systems, Vol. AES-10, No. 6, pp. 864-866, November
1974.
3.19. B.H. Cantrell, * Adaptive tracking algorithm for tracking air
targets with search radars* , Naval Research Laboratory Report
7805, September 1974.
3.20. F.R. Castella A F.G. Dunnebacke, * Analytical results for the x,y
Kalman tracking filter* , IEEE Trans, on Aerospace and Electronic
Systems, Vol. AES-10, No. 6, pp. 891-895, November 1974.
(Equns. (3.2). (3.11 )->(3.17) © IEEE).
3.21. R.J. Fitzgerald, 'Effects of range-Doppler coupling on chirp
radar tracking accuracy* , IEEE Trans, on Aerospace and Electronic
Systems, Vol. AES-10, No. 4, pp. 528-532, July 1974.
3.22. B.H. Cantrell, * Adaptive tracking algorithm* , Naval Research
Laboratory Memorandum 3037. Distributed by NTIS, ADA011-122,
April 1975.
3.23. R.J. Fiztgerald, 'Target tracking filters* , Electronic Prog.,
Vol. 17, No. 1, pp. 31-38, Spring 1975.
3.24. O. Gasparini A S. Pardini, *Scan-to-scan correlator: analysis
and design criteria*, Selenia Technical Review, Vol. 3, No. 1,
pp. 14-21, 1975.
3.25. V. Gardner, *A series solution to smoothing, filtering and
prediction problems involving correlated signal and noise*, IEEE
Trans, on Information Theory, Vol. IT-21, No. 6, pp. 698-699,
November 1975.
3.26. C.C. Schooler, 'Optimal filters for systems with modelling
inaccuracies* , IEEE Trans, on Aerospace and Electronic Systems,
Vol. AES-11, No. 6, pp. 1300-1306, November 1975.
3.27. J. Stein & S. Blackman, * Generalised correlation of multi-target
track data* , IEEE Trans, on Aerospace and Electronic Systems,
Vol. AES-11, No. 6, pp. 1207-1217, November 1975.
3.28. F.R. Castella, 'Sliding window detection probabilities* , IEEE
Trans, on Aerospace and Electronic Systems, Vol. AES-12, No. 6,
pp. 815-819, November 1976.
3.29. D. Morgan, *A target trajectory noise model for Kalman trackers*,
IEEE Trans. On Aerospace and Electronic Systems, Vol. AES-12,
No. 3, pp. 405-408, May 1976.
3-30. A.L.C. Quigley, J.E. Holmes A R.J. Tunnicliffe, * Radar track
extraction systems*, Proc, of AGARD No.197, The Hague, June 1976.
284
3.31. J. Ho Ines, 'The development of algorithms for the formation and
updating of tracks', IEE Conf• Publication No, 155, Inti, Radar
Conf,, London, pp, 81-85, October 1977.
3.32. A.M. Navarro, 'General properties of cc-P and ct-fi-y tracking
filters'. Physics Laboratory Report PHL 1977-02. Distributed by
NTIS, N77-24347, January 1977.
3.33. R. Tunnicliffe, 'A simple automatic radar track extraction
system', IEE Conf. Publication No. 155, Inti. Radar Conference,
London, pp. 76-80, October 1977.
3.34. K.V. Ramachandra A V.S. Srinivasan, 'Steady state results for the
x,y,z Kalman tracking filter', IEEE Trans, on Aerospace and
Electronic Systems, Vol. AES-13, No. 4, pp. 419-423, July 1977.
3.35. P.E. Steichen A D.M. White, 'Radar Data Processing', Short course
(Technology Service Corporation), Amsterdam, Netherlands, May
1977.
3.36. C.V. Trunk, 'Radar signal processing', In: L. Marton (Ed.),
Advances in Electronics and Electronic Physics, Vol. 45, 1978.
3.37. R. Evans, C. Hewett A F. Barker, 'Radar system design for track-
while-scan' , IEEE Trans, on Aerospace and Electronic Systems,
Vol. AES-15, No. 1, pp. 125-133, January 1979.
3.38. R.E. Lefferts, 'Calculation of correlation region size for use
with а,& tracking filters', FAA Technical Center Report FAA-NA-
79-15. Distributed by NTIS, AD-AO72-O83, April 1979.
3.39. R.E. Lefferts, 'An evaluation of certain selected modifications
to the National Airspace System bimodal tracking algorithm',
FAA Administration Report FAA-NA-79-16. Distributed by NTIS,
AD-A072-084, 1979.
3.40. R. O'Donnel A C. Muehe, 'Automated tracking for aircraft sur-
veillance radar systems', IEEE Trans, on Aerospace and Elec-
tronic Systems, Vol. AES-15, No. 4, pp. 508-517, July 1979.
3.41. E. Brookner, 'Tracking, prediction and smoothing' , Boston IEEE
AES "Radar Technology" course, Fall 1980.
3.42. A. Farina A S. Pardini, 'Survey of radar data processing tech-
niques in air-traffic-control and surveillance systems', IEE
Proc., CRSP, Vol. 127, Pt. F, No. 3, pp. 190-204, June 1980.
3.43. R.J. Fitzgerald, 'Simple tracking filters: steady state
filtering and smoothing performance', IEEE Trans, on Aerospace
and Electronic Systems, Vol. AES-16, No. 6, pp. 860-864,
November 1980.
3.44. B. Friedland, 'Steady-state behaviour of Kalman filter with
285
discrete end continuous tiae observations1t IEEE Trans, on Auto*
static Control, Vol. AC-25, No. 5, pp. 933-992, October 1930.
3.45. R.E. Lefferts, ' Analytical investigation of time correction in
asynchronous ct,0 tracking filters with application to en route
altitude tracking', FAA Technical Center Report FAA-NA-79-47.
Distributed by NTIS, AD-AOB5-606, Nay 1930.
3.46. D.C. Schleher, 'Automatic Detection and Radar Data Processing' .
Ar tech House Inc. , Dedham, NA., 1930.
3.47. N.I. Skolnik, 'Introduction to Eadar Systems'. NcGraw-Hill Book
Company, Nev York, 1930.
3.43. F.A. Castella, 'Tracking accuracies with position and rate
measurements', IEEE Trans, on Aerospace and Electronic Systems,
Vol. AES-17, No. 3, pp. 433-437, Nay 1931.
3.49. J.L. Farrel, 'Retention probability in a track-while-scan radar'
IEEE Trans, on Aerospace and Electronic Systesw, Vol. AES-17,
No. 1, pp. 139-144, January 1931.
330. R.J. Fitzgerald, 'Simple tracking filters: closed form
solutions', IEEE Trans, on Aerospace and Electronic Systems,
Vol. AES-17, No. 6, pp. 731-735, November 1931.
3.51. R.E. Lefferts, 'Analytical investigation of time correction in
tracking filters with application to en route tracking', FAA
Technical Center Report FAA-CT-030-47. Distributed by NTIS, AD-
AO99-213, April 1931.
3.52. R.E. Lei ferts, 'Adaptive correlation regions for ct,B tracking
filter', IEEE Trans, on Aerospace and Electronic Systems, Vol.
AES-17, No. 6, pp. 733-747, November 1931.
333. V.G. Bath, L.A. Biddison, S.F. Haase & E.L. Wetzlar, 'False
alarm control in automated radar surveillance systems', IEE
Conf. Publication No..216, Inti. Radar Conf., London,
pp. 71-75, October 1932.
3.54. R.J. Fitzgerald, 'Comment on "Retention probability in a Track-
while-scan radar"', IEEE Trans, on Aerospace and Electronic
Sys tests *, Vol. AES-13, No. 4, pp. 509-510, July 1932.
3.55. R.J. Fitzgerald, 'Simple tracking filters: position and velocity
measurements', IEEE Trans, on Aerospace and Electronic Systems,
Vol. AES-13, No. 5, pp. 531-537, September 1932.
3.56. R.E. Lefferts, 'Altitude estistation using asynchronous
tracking filters', IEEE Trans, on Aerospace and Electronic
Systems, Vol. AES-13, No. 4, pp. 469-477, July 1932.
286
3.57. M. Symons, ’The automatic track-while-scan systee used within
the search water airborne maritime surveillance radar’, IEE Conf.
Publication No. 216, Inti. Radar Conf., London, pp. 254-258,
October 1982.
3.58. Н.У. Thomas & C.C. Lefas, ’Use of aircraft derived data to assist
in АТС tracking systems. Part 1: Accuracy and theoretical consi-
derations’, IEE Proc., Vol. 129, Pt. F, No. 4, pp. 281-288,
August 1982.
3.59. Н.У. Thomas 6 C.C. Lefas, ’Use of aircraft derived data to assist
in АТС tracking systems. Part 2:Some practical tracking filters’,
IEE Proc., Vol. 129, Pt. F, No. 5, pp. 359-365, October 1982.
3.60. G. Galati & F.A. Studer, ’Angular accuracy of the binary moving
window radar detector’, IEEE Trans on Aerospace and Electronic
Systems, Vol. AES-18, No. 4, pp. 416-422, July 1982.
К главе 4
4.1. G.A. Ackerson 6 K.S. Fu, ’On state estimation in switching
environments’, IEEE Trans. Automatic Control, Vol. AC-15, No. 1,
pp. 10-17, Feb. 1970.
4.2. H. Heffes AS. Horing, ’Optimal allocation of tracking pulses
for an array radar’, IEEE Trans. Automatic Control, Vol. AC-15,
No. 1, pp. 81-88, Feb. 1970.
4.3. R. Singer, ’Estimating optimal tracking filter performance for
manned manoeuvring targets’, IEEE Trans. Aerospace & Electronic
Systems, Vol. AES-6, pp. 473-483, July 1970. (Figs. 4.1 & 4.2,
Equns. (4.1)-»(4.25) © IEEE).
4.4. R.J. Fitzgerald, ’Dimensionless design data for three-state
tracking filters’, Proc. Joint Automatic Control Conf., pp. 129-
130, 1971.
4.5. V. Bar-Shalom A A.G. Jaffer, ’Adaptive nonlinear filtering for
tracking with measurements of uncertain origin’, IEEE Conf, on
Decision and Control, New Orleans, pp. 243-247, Dec. 1972.
4.6. R.L.T. Hampton A J.R. Cooke, ’Unsupervised tracking of
manoeuvring vehicles’, IEEE Trans. Aerospace A Electronic
Systems, Vol. AES-9, No. 2, pp. 197-207, March 1972.
4.7. A.G. Jaffer A Y. Bar-Shalom, ’On optimal tracking in multiple
target environment’, Proc. Third Symp. on Nonlinear Estimation
Theory and its Applications, San Diego, pp. 112-117, Sept. 1972.
4.8. S. Salinger A D. yangsness, ’Target handling capacity of a phased
array tracking radar’, IEEE Trans. Aerospace A Electronic
Systems, Vol. AES-8, No. 1, pp. 43-50, Jan. 1972.
287
Т, Yoshimura А Т» Soede, 'An approach to the divergence
prevention of the extended Kalman filter', Proc. Third Symp.
on Nonlinear Estimation Theory and its Applications, San Diego,
pp. 282-285, Sept. 1972. (Sects. 4.5 & 4.6 © IEEE).
4.10. R. McAuley A E. Denlinger, 9A decision-direct adaptive tracker*,
IEEE Trans. Aerospace A Electronic Systems, Vol. AES-9, No. 2,
pp. 229-236, March 1973. (Fig. 4.15 © IEEE).
4.11. R. Singer A R. Sea, * Nev results in optimising surveillance
system tracking and data correlation performance in dense multi-
target environment*, IEEE Trans. Automatic Control, Vol AC-18,
No. 6, pp. 571-581, Dec. 1973.
4.12. J. Thorp, 'Optimal tracking of manoeuvring targets*, IEEE Trans.
Aerospace and Electronic Systems', Vol. AES-9, No. 4, pp.512-519,
July 1973.
4.13. Y. Bar-Shalom, 'Extension of the probabilistic data association
filter to multitarget environment*, Proc. Fifth Symp. on
Nonlinear Estimation Theory and its Applications, San Diego,
pp. 16-21, 1974.
4.14. R. Singer, R. Sea A K. Nousevright, 'Derivation and evaluation of
improved tracking filters for use in dense multitarget environ-
ment*, IEEE Trans. Information Theory, Vol. IT-20, No. 4,
pp. 423-432, July 1974.
4.15. D. Alspach, *A Gaussian sum approach to the multitarget
identification-tracking problem* , Automatica, Vol. 11, pp. 285-
296, May 1975.
4.16. Y. Bar-Shalom A E. Tse, 'Tracking in a cluttered environment with
probabilistic data association*, Automatica, Vol. 11, pp. 451-
460, 1975.
4.17. G. Binias, 'Automatic track initiation vith phased-array radar*,
IEEE International Radar Conference, Washington DC, pp. 423-428,
April 1975.
4.18. R.L. Moose, *An adaptive state estimation solution to the
manoeuvring target problem*, IEEE Trans, on Automatic Control,
Vol. AC-20, No. 3, pp. 359-362, June 1975.
4.19. C. More fie Id, 'Application of 0-1 integer programming to
multitarget tracking problems* , Proc. IEEE Conf, on Decision and
Control, pp. 428-433, Dec. 1975.
4.20. P. Smith A G. Buechler, *A branching algorithm for discriminating
and tracking multiple objects*, IEEE Trans. Automatic Control,
Vol. AC-20, No. 1, pp. 101-104, Feb. 1975.
4.21. G. Van Keuk, 'Adaptive computer-controlled target tracking vith
288
a phased-array radar* , Proc, IEEE International Radar Conf,,
Washington DC, pp, 429-434, 1975.
4.22. A. Farina, S. Pardini & G. Barontini, * Applications of nonlinear
filter theory to a track-while-scan problem* , Proc, 1st Int.
Conf, on Information Sciences & Systems, Patras, pp. 6S6-692,
August 1976.
4.23. C.L. Moref ield, * Application of Bayesian decision theory to
multi-target surveillance problems* , NAECON, pp. 489-494, 1976.
4.24. M. Athens, R. Whiting A M. Gruber, *A sub-optimal estimation
algorithm with probabilistic editing for false measurements
with application to target tracking with wake phenomena* ,
IEEE Trans. Automatic Control, Vol* AC-22, No. 3, pp. 372-384,
June 1977. '
4.25. G. Binias, * Computer-control led tracking in dense target
environment using a phased-array antenna* , Radar 77, IEE Conf.
Publ. 155, London, pp. 155-159, Oct. 1977.
4.26. a. Farina, S. Pardini & G. Barontini, 'Employment of radial
velocity measurement in a track-while-scan algorithm*,
Rivista Tecnica Selenia, Vol. 4, No. 1, pp. 7-14, 1977.
4.27. E.H. Flad, 'Tracking of in-formation flying aircraft* , Radar 77,
IEE Conf. Publ. 155, London, pp. 160-163, Oct. 1977.
4.28. N.H. Gholson & R.L. Moose, 'Manoeuvring target tracking using
adaptive state estimation*, IEEE Trans. Aerospace & Electronic
Systems, Vol. AES-13, No. 3, pp. 310-317, May 1977.
(Equns. (4.8)-»(4.10) (c) IEEE).
4.29. D.M. Кlamer, * Non-parametric manoeuvre detection in Kalman
filtering*, IEEE Conf, on Decision and Control, New Orleans,
pp. 544-548, Dec. 1977.
4.30. A.M. Navarro, 'Procedure for tracking manoeuvring targets with
a multi-purpose phased-array radar system, Radar 77, IEE Conf.
Publ. 155, London, pp. 150-154, Oct. 1977.
4.31. E. Taenzer, *Tracking multiple targets simultaneously with a
phased-array radar* , Proc. EASCON, Washington DC, pp. 1O-6A A
10-6R, Sept. 1977.
4.32. Y. Bar-Shalom, *Tracking methods in a multi target environment *,
IEEE Trans, on Automatic Control, Vol. AC-23, No. 4, pp. 618-626,
Aug. 1978.
4.33. G. Binias, 'The formation tracking procedure for tracking in
dense target environment*, AGARD Conf. Preprint No. 252,
Strategies for Automatic Track Initiation, Monterey, p.12,
Oct. 1978.
289
19—1582
4.34. С. В. Chang & М. Athens, * State estimation for discrete systems
vith svitching parameters', IEEE Trans. Aerospace & Electronic
Systems, Vol. AES-14, No. 3, pp. 418-424, May 1978.
4.35. H.B. Driessen, 'Design consideration for radar tracking in
clutter', AGARD Conf. Preprint No. 252, Strategies for Auto-
matic Track Initiation, Monterey, p. 4, Oct. 1978.
4.36. A. Farina & S. Pardini, 'Track-vhi le-scan algorithm in a clutter
environment* , IEEE Trans. Aerospace & Electronic Systems,
Vol. AES-14, No. 5, pp. 769-779, Sept. 1978. (Figs. 4.38 ->
4.42 © IEEE).
4.37. V. Fleskes, * Automatic track initiation for a phased-array radar
using a clutter map', AGARD Conf. Preprint No. 252, Strategies
tor Automatic Track Initiation, Monterey, p.10, Oct. 1978.
4.38. G.V. Trunk & J.D. Wilson, 'Initiation of tracks in a dense
detection environment* , AGARD Conf. Preprint No. 252, Strategies
for Automatic Track Initiation, Monterey, p.14, Oct. 1978.
4.39. D.L. Alspach & R.N. Lobbia, 'A score for current data
association in multi-target tracking', IEEE Conf, on Decision &
Control, Fort Lauderdale, pp. 389-393, Dec. 1979.
4.40. y. Bar-Shalom & G.D. Marcus, 'Tracking vith measurements of
uncertain origin and random arrival times*, IEEE Conf, on
Decision and Control, Fort Lauderdale, pp. 368-376, Dec. 1979.
4.41.1 .R. Goodman, *A general model for the multiple target
correlation and tracking problem'. IEEE Conf, on Decision and
Control, Fort Lauderdale, pp. 383-388, Dec. 1979.
4.42. D. Lucas, K. Ekman & F.P. White, 'The application of fuzzy
pointers in multisensor/multitarget environment', IEEE Conf, on
Decision and Control, San Diego, p.1217, Jan. 1979.
4.43. R.L. Moose, H.F. Vanlandingham A D.H. McCabe, 'Modelling and
estimation for tracking manoeuvring targets* , IEEE Trans.
Aerospace & Electronic Systems, Vol. AES-15, pp. 448-456, May
1979. (Figs. 4.10 & 4.12 © IEEE).
4.44. C. Morefield, *On direct multi-target tracking', IEEE Conf, on
Decision and Control, San Diego, pp. 1194-1201, Jan. 1979.
4.45. D.W. Porter & T.S. Engl ar, 'Multi-object tracking via recursive
generalized likelihood approach* , IEEE Conf, on Decision and
Control, Fort Lauderdale, pp. 377-382, Dec. 1979.
4.46. D.B. Reid, * An algorithm for tracking multiple targets*, IEEE
Trans. Automatic Control, Vol. AC-24, No. 6, pp. 843-854,
Dec. 1979. (Figs. 4.2. 4.26(a) & (b) © IEEE).
290
4.47. p. Snith 4 K.Af. Winter, * Detection of terget trejectories in л
multiterget environment* , IEEE Conf, on Decision end Control,
Sen Diego, pp. 1183-1194, Jen. 1979.
4.48. H.L. Wiener, A.S. Distler 4 J.H. Kullbeck, *Operetionel end
implementetion problems of multiterget correlator-trackers',
IEEE Conf, on Decision end Control, Fort Leuderdele, pp. 361-
367, Dec. 1979.
4.49. F.P. Witte 4 D. Luces, ' Probebilistic trecking in a mult iter get
environment*, IEEE Conf, on Decision end Control, Sen Diego,
pp. 1212-1216, Jen. 1979.
4.50. B.H. Browne, L. Ekchien 4 L.J. Levdermilt, * Adeptive feetures end
meesurement requirements for edvenced surveillance reders* , IEEE
EASCON, Arlington, pp. 190-194, Oct. 1980.
4.51. F. Cestelle, * An edept ive tvo-dimens!one1 Kalman tracking
filter*, IEEE Trens. Aerospece 4 Electronic Systems, Vol. AES-16,
No. 6, pp. 822-829, Nov. 1980.
4.52. A. Ferine 4 P. Neri, 1Nultiterget interleeved trecking for
phesed-errey reder* , IEE Proc. Communicetions, Heder 4 Signel
Processing, Vol. 127, Pert F, No. 4, pp. 312-318, Aug. 1980.
4.53. A. Ferine 4 S. Perdini, * Survey of reder dete processing tech-
niques in eir-treffic-control end surveillence systems*, IEE'
Proc. Communicetions, Reder & Signel Processing, Vol. 127,
Pert F, No. 3, pp. 190-204, June 1980.
4.54. R.J. Fitzgereld, 'Simple trecking filters: steedy-stete
filtering end smoothing performence*, IEEE Trens. Aerospece
4 Electronic Systems, Vol. AES-16, No. 6, pp. 860-864,
Nov. 1980. (Figs. 4.3-M.9 © IEEE).
4.55. D. Perriot-Nethonne, *Le filtrege de Kelmen edeptetif.
Applicetion a la porsuite de cibles menoeuvrentes*, Revue
Technique Thomson-CSF, Vol. 12, No. 1, pp. 143-183, Nerch 1980.
4.56. E. Teenier, 'Trecking multiple tergets simulteneously with a
phesed-errey reder* , IEEE Trens. Aerospece 4 Electronic
Systems, Vol. AES-16, No. 5, pp. 3504-614, Sept. 1980.
4.57. F. Cestelle, *Trecking eccurecies with position end rete
meesurements* , IEEE Trens. Aerospece 4 Electronic System^,
Vol. AES-17, No. 3. pp. 433-437, Ney 1981.
4.58. R.J. Fitzgereld, 'Simple trecking filters: closed form
solutions*, IEEE Trens. Aerospece 4 Electronic Systems,
Vol. AES-17, No. 6, pp. 781-785, Nov. 1981.
4.59. T.E. Fortmen, Y. Ber-Shelom, M. Scheffe 4 S. Gelfend,
* Detection thresholds for multiterget trecking in clutter*,
291
19'
Proc» 20th IEEE Conf, in Decision end Control, Sen Diego,
pp. 1401-1408, Dec. 1981. (Figs. 4.1 44.20, Equns. (4.11)-»
(4.17) © IEEE).
4.60. R.J. Miller, 'Multiple option radar tracking of a single
target* , The Marconi Review, First Quarter, pp. 31-56, 1981.
4.61. Y. Bar-Shalom & K. Birmiwal, * Variable dimension filter for
manoeuvring target tracking* , IEEE Trans. Aerospace &
Electronic Systems, Vol. AES-18, No. 5, pp. 621-629, Sept. 1982.
4.62. K. Birmiwal & Y. Bar-Shalom, * Manoeuvring target tracking in a
cluttered environment with variable dimension filter*, Proc.
American Control Conf., Arlington, pp. 829-834, June 1982.
4.63. Y.T. Chan, J.B. Plant, J.R.T. Bott отley, *A Kalman tracker with
a simple input estimator*, IEEE Trans. Aerospace A Electronic
Systems, Vol. AES-18, No. 2, pp. 235-241, March 1982.
4.64. R.J. Fitzgerald, * Simple tracking filter: position and velocity
measurements*, IEEE Trans. Aerospace & Electronic Systems,
Vol. AES-18, No. 5, pp. 531-537, Sept. 1982.
4.65. K.S. Miller A D.M. Leskiw, * Nonl inear estimation with radar
observations*, IEEE Trans. Aerospace A Electronic, Systems,
Vol. AES-18, No. 2, pp. 192-200, March 1982.
4.66. J. Korn, S.W. Gully A A.S. Willsky, * Application of the
generalized likelihood ratio algorithm to manoeuvre detection
and estimation* , American Control Conf., Arlington, pp. 792-
798, June 1982.
4.67. R.F. Berg, * Estimation and prediction for manoeuvring target
trajectories* , IEEE Trans. Automatic Control, Vol. AC-28, No. J,
pp. 283-304, March 1983.
4.68. F.E. Daum A R.J. Fitzgerald, * Decoupled Kalman filters for
phased-array radar tracking*, IEEE Trans. Automatic Control,
Vol. AC-28, No. 3, pp. 269-283, March 1983.
4.69. A.K. Sinha, * Bootstrap algorithms for parameter and smoothing
state estimation* , IEEE Trans. Aerospace A Electronic Systems,
Vol. AES-19, No. 1, pp. 85-88, Jan. 1983.
4.70. a. Farina A E. Hanle, * Position accuracy in netted monostatic
and bistatic radar*, IEEE Trans. Aerospace A Electronic Systems
Vol. AES-19, No. 4, pp. 513-520, July 1983. (Figs. 4.55-H.57,
Table 4.1 © IEEE).
4.71. V. Nagarajan, M.R. Chidambar a A R.N. Sharma, *A new philosophy
for optimising radar detection* , Proc. International Radar Symp
Bangalore, India, pp. 222-227, Oct. 1983.
292
4.72 . V. Nagarajan, M.R. Chidambara Sharma, 'A new solution to
combinatorial problems in multi-target tracking*, Proc, of Inti.
Radar Symp., Bangalore,.India, pp. 310-315, Oct. 1983.
4.73. J. Matyas, * Generalization of discrete tracking filter for radar
applications* , TESLA Electronics, Vol.16, No.4, pp.99-106, 1983.
4.74. S.N. Gupta, S.M. Ahn, * Closed-form solutions of tar get-tracking
filters with discrete measurements* , IEEE Trans. Aerospace and
Electronic Systems, Vol. AES-19, No. 4, pp. 532-538, July 1983.
4.75. C.B. Chang, L.C. Youens, * An algorithm for multiple target
tracking and data correlation*, Report 10-79-83, MIT Lincoln
Lab., June 1983.
4.76. K.V. Ramachandra, * Position, velocity and acceleration estimates
from noisy radar measurements* , IEE Proc. Communications, Radar
and Signal Processing, Vol. 131, Part F, No. 2, pp. 167-168,
April 1984.
4.77. K.C. Chang, Y. Bar-Shalom, * Joint probabilistic data appreciation
for multitarget tracking with possibly unresolved measurements
and manoeuvres*, IEEE Trans, on Automatic Control, Vol. AC-29,
No. 7, pp. 585-594, July 1984.
4.78. T. Ohmuro, *A decoupled Kalman tracker using LOS co-ordinates* ,
Proc, of Inti. Symp. on Noise and Clutter Rejection in Radars and
Imaging Sensors, Tokyo, Japan, pp. 451-455, October 1984.
4.79. V. Nagarajan, R.N. Sharma A M.R. Chidambara, * An algorithm for
tracking a manoeuvring target in clutter*, IEEE Tran?, on Aero-
space and Electronic Systems, Vol. AES-20, No. 5, pp. 560-573,
1984.
4.80. K. Birmiwal & Y. Bar-Shalom, * On tracking a manoeuvring target in
clutter*, IEEE Trans, on Aerospace and Electronic Systems, Vol.
AES-20, No. 5, pp. 635-645, 1984.
СПИСОК РАБОТ, ПЕРЕВЕДЕННЫХ НА РУССКИЙ ЯЗЫК
1.1. Бартон Д. Радиолокационные системы: Сокр. пер. с англ./Под ред.
К. Н. Трофимова.— М.: Воениздат, 1967.— 480 с.
2.4. Колмогоров А. Н. Основные понятия теории вероятностей.— М.: Наука,
1974.—119 с.
2.19. Медич Дж. Статистически оптимальные линейные оценки и управление:
Пер. с англ./Под ред. А. С. Шаталова.— М.: Энергия, 1973.—400 с.
2.25. Беллман Р. Введение в теорию матриц: Пер. с англ. / Под ред.
В. Б. Лидского.— М.: Наука, 1976.— 351с.
2.48. Оппенгейм А. В., Шафер Р. В. Цифровая обработка сигналов. Пер.
с англ./ Под ред. С. Я. Шаца. М.: Связь, 1979. -416 с.
293
2.50. Макхоул Дж. Линейное предсказание//ТИИЭР.—1975, Т. 63, № 4.
2.56. Балакришнан А. В. Теория фильтрации Калмана: Пер. с англ./Под ред.
А. А. Новикова.— М.: Мир, 1988.— 168 с.
ДОПОЛНЕНИЕ
НОВЫЕ МЕТОДЫ ОБРАБОТКИ ИНФОРМАЦИИ В
ПРОСТРАНСТВЕ СОСТОЯНИЙ НА ОСНОВЕ ТЕОРИИ
ОЦЕНИВАНИЯ
А. И. Юрьев, А. М. Бочкарев
Необходимость включения в книгу данного материала обус-
ловлена тем, что с момента выхода книги А. Фарины
и Ф. Студера прошло уже несколько лет и за это время
в научной периодике, трудах конференций и симпозиумов опуб-
ликовано большое число работ, посвященных вопросам цифровой
обработки радиолокационной информации. Обзору этих работ
и посвящено данное дополнение. Структура дополнения соответ-
ствует порядку изложения материала в книге. Сначала рассмат-
риваются общие вопросы фильтрации и оценивания, а затем —
прикладные задачи сопровождения целей в различных условиях.
Д.1. ОБЩИЕ ВОПРОСЫ ФИЛЬТРАЦИИ И ОЦЕНИВАНИЯ
В научно-технической периодике ежегодно появляются десятки
статей, посвященных вопросам фильтрации и оценивания. Как
правило, теоретической базой этих работ является калмановская
фильтрация. Из последних работ можно выделить статьи [Д.32 —
Д.35].
В работах [Д.2 — Д.4] показана возможность определения
коэффициентов усиления а—0—у-фильтра сопровождения в ста-
ционарном режиме, не прибегая к решению дискретного мат-
ричного уравнения Риккати. В статье [Д.4] такие параметры,
как период измерений Т, ковариация шума q, моделирующего
неопределенность процесса, и ковариация шума измерений г,
сведены в обобщенный параметр
A = T2^/q/r,
и получены в неявном виде следующие решения относительно
параметров а, 0, у:
Л2 = у2/(4(1 —а)),
0 = 2(2 —а) —4^/Т^а,
у = 02/а.
(Д.1)
(Д-2)
(Д.3)
294
Напомним, что коэффициенты а, 0, у входят в матричный
коэффициент усиления калмановского фильтра
К = [КХ, Kv, Ка]т = [а Р/Т у(2Т2)]т.
В статьях [Д.2, Д.З] найдены решения для а, 0 и у в явном
виде. Для этого введен параметр
8 = ут^ (Д.4)
и уравнения (Д.1) — (Д.З) принимают вид
Л = у/(28), (Д.5)
Р = 2 (1-Ь 8 2)—45, (Д.6)
у = ₽2/(1 —82). (Д.7)
Показано, что параметр 8 определяется как
8 = А + В —(Л/2 —3)/3 при Л2^432,
5 = 2^/ —a/3cos0 —(Л/2 —3)/3 при Л2 >432,
где
а = А(18-Л), Ь = А (Л2-27Л+108).
После вычисления параметра 8 значения а, Р и у определяются
в соответствии с выражениями (Д.4), (Д.6), (Д.7).
В статье [Д.7] предложен алгоритм, позволяющий ускорить
процесс вычисления ковариационной (п х п)-матрицы М, и (nxm)-
матрицы коэффициента усиления калмановского фильтра
Ki в стационарном режиме. Эти матрицы определяются в соот-
ветствии с уравнениями:
Ki = MiHT(HMjHT + R)-1, (Д.8)
Mi+1 = FiMiFT+Ci, (Д.9)
где
Fi = A(I-KjH);
Ci = (AKi)R(AKi)T+Q;
А — (п х т)-матрица перехода; Н — (ш х п)-матрица измерений;
Q—ковариационная (п х п)-матрица шума процесса; R—ковари-
ационная (ш х ш)-матрица измерений.
295
В стационарном режиме К{-»К и уравнение (Д.9)
становится известным алгебраическим уравнением Риккати для
М. Аналитическое решение уравнения при п>3 затруднено.
Традиционно искомые матрицы определяются путем итеративного
решения уравнений (Д.8) и (Д.9), причем задается некоторая
исходная положительно определенная матрица Мо. Доказано,
что эта процедура является сходимой. Однако скорость сходи-
мости зависит от собственных значений матрицы F и во многих
случаях невелика. В связи с медленной сходимостью итераций
необходимо предпринимать специальные меры, чтобы избежать
накопления ошибок округления.
В предложенном алгоритме искомые матрицы также вычис-
ляются итеративно, причем на j + 1-м шаге можно записать
Mj+1 = FjMj+1Fjr + Cj, (Д.10)
Kj+1 = Mj+1HT(HMj+1HT+R)-1. (Д.11)
Уравнение (Д.10) представляет собой линейное уравнение Ляпу-
нова для п(п+1)/2 элементов симметричной матрицы Mj+1.
Отметим, что Mj+1 является ковариационной матрицей стаци-
онарного режима для субоптимального фильтра с постоянным
усилением; характеризуется матрицей усиления Кр Итеративная
обработка согласно (Д.10) и (Д.11) осуществляется до получения
решения с заданной точностью. Приведенный в статье численный
пример свидетельствует о том, что сходимость предложенного
алгоритма, по крайней мере, не уступает известному, а в ряде
случаев обеспечивает уменьшение вычислительных затрат на
порядок и более.
Весьма распространенной на практике формой аппроксимации
калмановского фильтра является использование нескольких раз-
вязанных фильтров. Например, калмановский фильтр для оценки
местоположения и скорости цели в трехмерном пространстве
(фильтр с шестью состояниями) может быть представлен в виде
совокупности трех независимых а — [3-фильтров. Однако в работе
[Д.9] показано, что такое упрощение не всегда допустимо.
Существует довольно значительный диапазон значений коэф-
фициентов усиления и скоростей перемещения линии визирования
цели, при которых развязанный фильтр становится нестабильным
и ошибки сопровождения в стационарном режиме могут неог-
раниченно возрастать. В работе приведены рекомендации по
выбору коэффициентов усиления, обеспечивающих стабильность
фильтра при любой скорости перемещения линии визирования
цели.
В целях повышения вычислительной эффективности калмановс-
кого фильтра в работе [Д.5] показана возможность его ре-
ализации на основе систолического процессора. Предложена
систолическая решетка треугольной архитектуры, в узлах которой
296
размещены транспьютеры. Приведен вариант фильтра с 14
транспьютерами, предназначенный для обработки четырехмерного
вектора состояний.
Фильтр Калмана (как и фильтр Калмана — Бьюси) оптимален
при гауссовских шумах и линейной модели системы. На практике,
однако, шумы могут отличаться от гауссовских, а их корреляци-
онные функции не всегда точно известны. Этим обусловлен
интерес к исследованию фильтра Калмана — Бьюси в широком
диапазоне условий применения. В частности, в работе [Д.8]
исследовалась устойчивость фильтра Калмана — Бьюси при на-
личии неопределенностей относительно характера шума и пара-
метров системы. Определены условия и пределы изменения
параметров, при которых фильтр сохраняет устойчивость. Пред-
ложен робастный фильтр Калмана — Бьюси, обладающий повы-
шенной устойчивостью по отношению к неопределенностям,
имеющим место при описании динамической системы и шума.
Д.2. ОБНАРУЖЕНИЕ И РАЗЛИЧЕНИЕ ТРАЕКТОРИЙ ЦЕЛЕЙ
Кроме алгоритмов фильтрации, подробно рассмотренных
в этой книге, большую роль в системах цифровой обработки
играют алгоритмы обнаружения стохастических сигналов. Если
задача обнаружения стохастических сигналов формулируется
в пространстве параметров движения цели, то ее можно рас-
сматривать как задачу обнаружения (или «завязки») траектории.
Задача различения (многоальтернативного обнаружения) стоха-
стических сигналов трансформируется в этом случае в задачу
различения траекторий целей; ее частным случаем является задача
обнаружения маневра цели. Таким образом, полученные здесь
алгоритмы обнаружения и различения стохастических сигналов
могут рассматриваться как алгоритмы завязки траектории и об-
наружения маневра цели.
Вопросам обнаружения стохастических сигналов посвящено
большое число работ. Среди них необходимо особо отметить
[Д.10 — Д.15], где систематически исследованы и обобщены
задачи, связанные с обнаружением случайных сигналов. Син-
тезированные на основе теории, развитой в этих работах, системы
обнаружения стохастических сигналов могут быть разделены на
две основные группы: системы, основанные на использовании
достаточной статистики в виде квадратичной формы, стоящей
под знаком экспоненты в выражении для отношения прав-
доподобия [Д.10, Д.14], и системы совместного обнаружения-
измерения, решающие задачу обнаружения путем введения в стру-
ктуру обнаружителя измеряемых (например, методами калмановс-
кой фильтрации) параметров входного сигнала [12—17]. Системы,
относящиеся к первой группе, требуют большого объема апри-
орной статистической информации, весьма сложны в реализации
297
[13] и неадаптированы к использованию в пространствах со-
стояний. Системы второй группы описываются в пространстве
состояний, однако встроенные в обнаружитель алгоритмы
фильтрации усложняют общую структуру системы.
Далее будет изложен новый подход к синтезу систем об-
наружения стохастических сигналов [18]. Синтезированный ал-
горитм, реализуемый на основе цифровой обработки сигнала,
имеет подобно калмановскому фильтру рекуррентный характер,
его структура достаточно проста по сравнению со структурами
известных систем. Она позволяет обеспечить решение задач
обнаружения в различных пространствах состояний, в частности,
в пространствах параметров движения (или параметров траек-
тории) обнаруживаемого объекта. По сравнению с известными
методами это позволяет дополнительно повысить эффективность
обнаружения. Алгоритм является, по существу, аналогом ал-
горитма калмановской фильтрации для задач обнаружения. Задача
синтеза алгоритма обнаружения стохастических сигналов в про-
странстве состояний ставится следующим образом.
Будем считать, что п0-мерный вектор наблюдения z(i), пред-
ставленный в дискретном времени i, i=l,n, может формироваться
в соответствии с двумя гипотезами: Но (сигнал отсутствует)
и Ht (сигнал присутствует):
H0:z(i) = n(i);
H1:z(i) = H(i)x(i) + n(i). (Д12)
В (Д.12) x(i) — nip-мерный вектор сигнала; n(i) — п0-мерный
вектор шума; H(i) — матрица размера похшо, переводящая
вектор сигнала в пространство наблюдаемых векторов. Полагаем,
что x(i) и n(i) — нормально распределенные независимые случай-
ные векторы, средние значения которых равны нулю.
Ковариационные матрицы наблюдаемого процесса z(i)
имеют вид
H0:Kn = [Kn(i, j)];
K„(i, j)=E[n(i)nT(j)]=Nn(i)3ij; (д1з)
H1:Kcn = [Kcn(i, j)];
Mt j)=Mi> j)+Kn(i, j) = H(i)R(i, j)HT(j)+Nn(i)3jj,
где R(i, j) = E [x(i)xT(j)]j; Зу—символ Кронекера; E [• ]—символ
статистического усреднения.
Матрицы Кп и Ксп представляют собой блочные квадратные
симметрические матрицы с числом блоков в каждой n х п
и числом элементов в блоках K„(i, j) и Kcn(i, j), равным noxno.
298
Будем полагать, что для сигнала справедлива линейная
марковская модель, т. е. сигнал является решением линейного
разностного уравнения
х(1) = Ф(1, i — l)x(i-l)+r(i— l)w(i-1), (Д.14)
где <D(i, i— 1)—матрица размером moxmo; w(i —1) — 10-мерный
вектор нормального дискретного белого шума; Г(1 — 1) — матрица
размером moxlo;
E[w(i)] = 0; E[w(i)wT(j)] = Pw(i)8ij;
E[n(i)wT(j)] = 0; E[x(i)wT(j)] = 0; i, j = l,n; i^j.
Найдем алгоритм обработки сигнала, наилучшим образом
различающий гипотезы Но и НР Достаточным статистическим
параметром, представляющим собой выходной эффект системы
оптимальной обработки, может быть выражен следующим об-
разом [Д. 10 — Д. 13 ]:
Уо(п)=1 ZzT(i)w0(i, j)z(i), (Д.15)
i=ij=i
где
w0(i, j) = M0(i, j)-L0(i, j); (Д.16)
матрицы M0(i, j), L0(i, j) представляют собой п0хп0-блоки
обратных ковариационных матриц K“1 = [M0(i, j)]; K.~l=[L0(i,
j)L
Рассмотрим следующие два алгоритма обработки сигнала,
основанные на (Д.15):
1. Алгоритмы обработки вида
У1 (n)=LzT(‘)uo(0 или yi(i)=yi(’-1)zT(i)uo(i)’ (Д-17)
i = l
где i=l,n, yt(0) = 0,
uo(i)=Zw(i’ j)z(’’ j) (Д-18)
j=i
— выходной сигнал линейной части системы обработки; матрица
w(i, j) может рассматриваться как дискретная импульсная
переходная характеристика линейной части системы. Заметим,
что w(i, j) = w^(j, i).
2. Алгоритм обработки, основанный на представлении матрицы
w(i, j) в виде [Д.19]
m
w(i, j)=Eb(i’ k)bT(j, k). (Д.19)
k = l
299
Представление (Д.19) справедливо для любой симметрической
матрицы w=[w(i, j)]. Рассматриваемый алгоритм может быть
выражен одним из соотношений
п
y2(n)=£UT(k)U(k),
k = 1
y2(k) = y2(k—l) + UT(k)U(k); k=T^; y2(0) = 0, (Д’20)
где
k
Uk=£bT(j, k)z(j). (Д.21)
j=i
Представление матрицы (Д.16) в виде (Д.19) не определяет
однозначно вид матрицы b(i, к). Для устранения этой неодноз-
начности будем считать, что матрица b(i, к) подобно матрице
w(i, j) удовлетворяет свойству
b(i, k) = bT(k, i). (Д.22)
Заметим, что свойство (Д.22) позволяет свести алгоритм об-
работки сигнала (Д.20) к рекуррентному виду. С учетом (Д.22)
соотношения (Д.19) и (Д.21) могут быть преобразованы к виду
w(*’ j)= L ь(ь k)b(k> j); (Д-23)
k=l
k
U(k)=£b(k, j)z(j); (Д.24)
j = l
матрица b (k, j) может рассматриваться как дискретная импульсная
переходная характеристика линейной части системы обработки
(Д.23), (Д.24).
Проведем синтез алгоритмов обнаружения, используя пред-
ставление сигнала в пространстве состояний (Д.14). Начнем
рассмотрение с алгоритма (Д.24). Результаты, относящиеся к ал-
горитму (Д.17), (Д.18), будут получены как следствие результатов
рассмотрения алгоритма (Д.20), (Д.24).
Преобразуем уравнение (Д.23) для матрицы b(i, к). Умножив
обе части уравнения (Д.23) справа на Kcn(j, m) и слева на
Kn(l, i) и просуммировав полученные выражения по i и j,
с учетом того, что
w(i, j) = M(i, j)-L(i, j);
Ш i)M(i, j) = I8ji;
i = l
£L(i, j)Kcn(j, m) = I8im, i,
j=i
300
(I—единичная матрица), получим
i)b(i, k)£b(k, j)Kcn(i, m) m). (Д.25)
n
k = l|_i = l j = l J
Так как шум наблюдения n(i) является белым, уравнение (Д.25)
может быть представлено в виде
п Г 1
L ]Nn(l)b(l, k)[b(k, m)Nn(m)+£b(k, j)Kc(j, шЩ = Кс(1, m).
k=l I j=l J
(Д.26)
Взяв от обеих частей уравнения (Д.26) первую разность по
параметру текущего времени 1, получим
Z ,[[Nn(1)b(1’ k)-N„(l-l)b(l-l, k)] b(k, m)Nn(m)+ £ b(k, j)x
k=l I L j = i
(Д-27)
xKc(j, m) l+f [Nn(l)b(l, k)b(k, 1)KC(1, m)] =
J J k=l
= KJ1, m)-Kc(l-l, m).
Правая часть равенства (Д.27)
Kjl, m) —Кс(1—1, m) = E[H(l)x(l) —H(l —l)x(l —l)]xT(m)HT(m)
с учетом того, что выражение в квадратных скобках преобразуется
с помощью (Д.14) к виду
может быть представлена следующим образом:
К^(1, т)-Кс(1-1, т) = [Н(1)Ф(1, т).
(Д.28)
При получении выражения (Д.28) полагалось, что т<1—1
и матрица Н-1(1—1) существует; если матрица Н(1—1) не
является квадратной, то Н-1(1—1) следует рассматривать как
квазиобратную матрицу.
Полагая также, что матрица Nn-1(l) существует, и умножая
обе части (Д.27) на N"1^), получаем
п ( Г 1-1
£ [b(l, k)-Nn-1Nn(l-l)b(l-l, k)] b(k, m)Nn(m)+£ b(k, j)x
к = 1 I L j = l
xKc(j, m) |+ £ b(l, k)b(k, 1)KC(1, m) =
JJ k+1
= Nn-1(l)[H(l)0(l, 1——1)——1, m). (Д.29)
301
Подставив в (Д.29) вместо Кс (1 — 1, ш) левую часть уравнения
(Д.26) с заменой 1 на 1 — 1, приходим к соотношению
£ {[ь(1, к)—фо(1,1-1)Ь(1-1, к)] [b(k, m)Nn(m)+
к= 1
+ ‘£ b(k, j)Kc(j, m)]}+ £ b(l, k)b(k, 1)Kc(l, m)=0, (Д.ЗО)
j=l к = 1
где
Фо(1,1—1)=N^X(1)H(1)®(1,1 ——l)Nn(l—1).
Введем обозначение
£ Ь(1, к) b(k, l)=w(l, 1) = N-1 (1)-L(l)=w(l).
к=1
Подставив в (Д.ЗО) выражение для Кс(1, т) из (Д.26), получим
£ {[b(l, k)+Q(l)b(l, к)—Фо(1,1-1) Ь(1-1, к)] [b(k, m)Nn(m)+
к=1
+ Z Ь(к, j) Кс (j, т)]} + Q (1) w (1) Кс (1, т) = О,
j = l
где
Q(l) = w(l)Nn(l) = I-L(l,l)Nn(l).
Повторяя операцию подстановки Кс(1, т) неограниченное число
раз, приходим к уравнению:
£ {[D(l)b(l, к)-Ф0(1,1-1)b(l-1, к)] [b(k, m)Nn(m)+
к = 1
+ У b(k, j) Kc(j, т)]} + с(1) w(l) Кс(1, т) = 0, (Д.31)
j = i
где
С(1)- lim [Q(l)]«; D(l)- f [Q(l)]’.
В том случае, если |ХГ|<1, г=1, п0 (Хг—собственные значения
матрицы Q(l))„ получим
С(1)=0; D(l)=[I-Q(l)]-1=Nn-1(l)L-1(l, 1). (Д.32)
Можно показать, что для ряда практических случаев условие
|ХГ|<1 выполняется. В частности, если матрица Ксп является
квазидиагональной, т. е. Ксп = [Ken (i, j)] = [Ken(i, i) 6tJ], а шумовые
составляющие наблюдения по пространству состояний однород-
302
ные и некоррелированны, матрица Q(l) будет симметричной,
при этом ее собственные значения имеют ясный физический
смысл и могут рассматриваться как отношение энергии сигнала
к суммарной энергии сигнала и помехи некоторого трансфор-
мированного случайного вектора z'(l); отсюда непосредственно
следует выполнение условия |ХГ|<1. То же самое относится
к случаю, когда матрицы Кп и Ксп диагональны. Можно
предположить, что указанное условие выполняется и в общем
случае; проведенные численные расчеты не противоречат этому
утверждению. При этом справедливы соотношения (Д.32), в ре-
зультате чего приходим к следующему разностному уравнению:
Z {[D(l)b(l, к)—Фо(1,1—l)b(l—1, к)] х
к-1 1-1
X [Ь (к, m) Nn(m)+ £ b(k, j) Kc(j, т)]} = 0, (Д-33)
j = i
где
D(1) = N-1(1)L-1(1, 1); (Д.34)
Фо (1, 1 -1) = N -1 (1) Н (1) Ф (1, 1 -1) Н -1 (1 -1) Nn (1 -1). (Д.35)
Рассмотрим уравнение (Д.ЗЗ). Будем учитывать только те его
решения, которые, как и при синтезе калмановского фильтра
[Д.13], приводят к решениям Ь(1, к), зависящим только от текуще-
го значения к. Это означает, что выражение, стоящее под знаком
суммы в (Д.33), должно быть равно нулю. Так как матрица
[K-Cn(j, m)] = [Kcn(j, m) + Nn(j) 3jm] является положительно опре-
деленной, то при b(k, m), не равном тождественно нулю,
выражение во вторых квадратных скобках (Д.ЗЗ) не может быть
равным нулю. Следовательно, уравнение (Д.ЗЗ) имеет нетриви-
альное решение только тогда, когда выполняется условие
D(l)b(l, к) = Ф0(1,1 — 1)b(l— 1, к),
откуда
b (1, k) = F(l, 1-1) b(l- 1,к), (Д.36)
где
F(l, 1-1) = О-1(1)Ф0(1,1 —1) = L(1,1)Н(1)х
х Ф(1, 1—1)Н-1(1—l)Nn(l—1). (Д.37)
Уравнение (Д.36) определяет матрицу переходных характери-
стик системы Ь(1, к). Из (Д.36) может быть найдена связь между
матрицей w(i, j), определяющей алгоритм обнаружения (Д.17),
(Д.18), и параметрами, описывающими пространство состояний.
Умножив справа обе части уравнения (Д.36) на b(k, т) и просум-
мировав по к, с учетом (Д.23) получим
w(l, m) = F(l, 1— 1) w(l— 1, m). (Д-38)
зоз
Таким образом, уравнения для матрицы переходных харак-
теристик линейной части алгоритмов (Д.17), (Д.18), (Д.20), (Д.24)
идентичны.
Вернемся к выражению (Д.24) для линейной части системы
обработки сигнала (Д.20). Это выражение с учетом (Д.36) может
быть записано в форме
U(l)= £ b(l,k)z(k)+b(l)z(l)=
k=l
= F(1,1-1)X b(l-l)z(k)+b(l)z(l),
k = l
откуда
и (1) = F (1,1 -1) и (1 -1)+b (1) z (1). (Д.39)
Формула (Д.39) представляет собой в рекуррентном виде
алгоритм функционирования линейной части системы обработки;
параметр b(l) = b(l, 1)—коэффициент усиления линейной части
системы.
Структура рекуррентного фильтра определяется соотношениями
(Д.20), к которым необходимо добавить начальное условие для
разностного уравнения (Д.39): U(0) = 0. Применительно к ал-
горитму обработки (Д.17), (Д.18) аналогичное рекуррентное
соотношение имеет вид
UO(1) = F(1,1—1) U(l—l)+w(l) z(l);
Uo(0) = 0; w(l)=w(l, 1). (Д.40)
Структурные схемы синтезированных алгоритмов приведены
на рис. Д.1а (алгоритм (Д.17), (Д.40) и рис. Д.16 (алгоритм
(Д.20), (Д.39)). Как следует из схем, представленных на
рис. Д.1а, б, линейная часть- синтезированных алгоритмов об-
наружения (обведенная штриховыми линиями) по своей структуре
близка к алгоритму калмановской фильтрации (для сравнения
схема калмановского фильтра, формирующего оценку сигнала
х*(1), приведена на рис. Д.1в). Отличие состоит в отсутствии
цепи «предсказания» наблюдаемого сигнала (блока Н(1)) и в ином
содержании блоков усиления w(l), b(l) и К(1) и блоков преоб-
разования сигналов F(l, 1—1) и Ф(1,1 — 1). Структурная близость
полученных алгоритмов и алгоритма калмановской фильтрации
обеспечивает возможность их реализации на общей технической
основе и взаимного преобразования с помощью изменения
соответствующих математических процедур. Указанное обсто-
ятельство позволяет использовать единые системные элементы
как для обнаружения, так и для последующей фильтрации
обнаруженного сигнала (траектории цели).
304
Рис. Д.1. Структуры синтезированных алгоритмов:
а. б — обнаружения; в — калмановского фильтра
При формулировке и решении поставленной задачи приходится
пользоваться двумя взаимосвязанными способами описания ста-
тистических свойств сигнала x(i): способа, сводящегося к заданию
ковариационной матрицы R = [R(i, j)], и способа, в основе
которого лежит векторно-матричное разностное уравнение (Д.14) с
переходной матрицей <I>(i, i—1) и начальным условием Е{х2(0)} =
= Рх(0) (полагаем, что Е{х(0)} = 0).
Приведем соотношения, определяющие связь ковариационной
матрицы сигнала с параметрами разностного уравнения (Д.14).
Умножим справа обе части уравнения (Д.14) на соответствующие
им транспонированные выражения; произведя усреднение, получим
Рк(к)=Ф(к, к-1)Рх(к — 1)Фт(к, к —1)+
20—158?
305
+ Г(к —1) Pw(k—1) Гт(к —1).
(Д.41)
Соотношение (Д.41) является рекуррентным и позволяет выч