Кинематический анализ механизмов авиационных двигателей - Семёнов М.В.

Автор: Семёнов М.В.

Теги: авиация двигатели авиационное оборудование авиастроение

Год: 1947

Похожие

Авиационные поршневые двигатели: Кинематика, динамика и расчет на прочность. Пособие для инженеров

Локомотивные двигатели внутреннего сгорания

Автомобильные двигатели

Поршневые компрессоры. Том 1

Текст

е So
ИНЖЕНЕР-ПОДПОЛКОВНИК
М.В. СЕМЕНОВ
МЕХАНИЗМОВ
АВИАЦИОННЫХ
ДВИГАТЕЛЕЙ
ИЗДАНИЕ ЛКВЕИА
C So
ЛЕНИНГРАДСКАЯ КРАСНОЗНАМЕННАЯ
ВОЕННО-ВОЗДУШНАЯ И Н Ж Е Н Е Р Н А Я А К А Д Е М И Я
'1901 Г.
ИНЖЕНЕР-ПОДПОЛКОВНИК
М. В. СЕМЕНОВ
КИНЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
МЕХАНИЗМОВ АВИАЦИОННЫХ
ДВИГАТЕЛЕЙ
ГРАФИЧЕСКАЯ РАБОТА ПО КУРСУ
„ТЕОРИЯ МАШИН И МЕХАНИЗМОВ"
ИЗДАНИЕ ЛКВВИА
Ленинград — 1947
V
ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение . ........................................ "
1 Разметка траектории механизмов авиационных двига!елеи.. 5
2. Кинематический анализ центрального кривошипно - шатунного
механизма ............................................
3. Кинематический анализ прицепного механизма с центральным сочле-
нением ............ ......................
4. Кинематический анализ прицепного механизма с прицепным сочле-
нением, ............................................... 2®
Заключение........ . - - ................ ... 1
Техн, редактор В. М. Никитина
-- --------------—-----—-----.— ----г-------------------------------1“---
Подписано к печати 1.7.47. Печатных листов 2,75. Авюрских листов 2,9'.
В 1 печ. листе 46400 зн. Бумага 62X94 Заказ 51'380. Г29042
Типо-лнтография ЛКВВИА
Введение
Кинематический анализ шарнирных механизмов имеет целью
по заданным размерам механизма и закону движения одного из
его звеньев определить кинематические характеристики, т. е.
траектории, скорости и ускорения различных его точек.
Кратко отметим для каких целей необходимо знать кинема-
тические характеристики механизма авиационных двигателей. Тра-
ектории точек дают возможность определить форму неподвижного
звена. Так, траектории точек кривошипа и шатуна главного ме-
ханизма определяют конфигурацию картера и подмоторной
рамы; исходя из траекторий пальцев поршней, устанавливают
длину цилиндров двигателя. Кроме того проекции переме-
щений центров тяжести звеньев служат для решения задачи об
уравновешенности моторов.
Располагая скоростями точек механизма, можно разрешить
ряд динамических задач. Так, средняя скорость пальца поршня
главного механизма является одной из основных характеристик
двигателя. Относительные угловые скорости шатунов и кривошипа
необходимы для определения мощности сил трения во враща-
тельных парах. Скорости различных точек механизма дают воз-
можность определить его кинетическую энергию и тем самым
решить задачу о неравномерности вращения коленчатого вала.
Особенно важным является знание Максимальных значений
ускорений и тем самым максимальных значений сил инерции,
так как последние служат для расчета звеньев механизма на ди-
намическую прочность. Закон же изменения сил инерции дает
возможность решить задачу о резонансных колебаниях.
Для того чтобы более целесообразным способом установить
влияние тех или иных размеров механизма, все кинематические
характеристики представлены уравнениями в виде рядов Фурье,
что в свою очередь устанавливает влияние отдельных гармоник
и кроме того углубляет знания гармонического анализа, так не-
обходимого при изучении различного вида колебаний.
До выполнения первой графической работы слушатели должны
отработать лабораторию по структурному анализу механизмов,
а поэтому при дальнейшем изложении вопрос о структуре ме-
ханизмов предполагается известным.
3
Для получения большой мощности двигателя приходится при-
менять значительное число цилиндров, которые могут быть
расположены как в плоскости, параллельной оси коленчатого
вала, образуя блок цилиндров, так и в плоскости, перпендику-
лярной валу, составляя отдельные секции. Цилиндры в каж-
дой секции размещаются различно, образуя V, W, X, вееро-
и звездообразное расположения цилиндров. Кроме того приме-
няют иногда двигатель с двумя валами. В этом случае отдельные
секции представляют собою Н и сдвоенные различным образом
V-образные расположения цилиндров.
По виду расположения цилиндров в отдельной секции и при-
писывают наименование самому двигателю, например, V-образный
Фиг. 1. Механизм V-образного дви
гателя с. центральным сочленением
Фиг. 2. Механизм V-образного дви-
гателя с прицепным сочленением
двигатель, лричем, если в секции имеется только один цилиндр,
то двигатель называется однорядным. Из конструктивных сооб-
ражений в некоторых типах двигателей, а именно, в одноояд-
ных и V-образных приходится устанавливать коленчатый вал
вверху, а цилиндр внизу. В этом случае к наименованию дви-
гателей добавляется слово „перевернутый".
По своей структуре механизмы авиационных двигателей пред-
ставляют собою по Ассуру механизмы первого класса второго
порядка, состоящие из кривошипно-шатунного механизма, к ша-
туну и стойке которого присоединены одна или несколько диад.
В этом случае кривошипно-шатунный механизм называется глав-
ным, а присоединенные диады составляют так называемые при-
цепные механизмы.
Если прицепной шатун соединяется вращательной парой не-
посредственно с коленчатым валом, то такое соединение носит
название центрального сочленения и может конструктивно осу-
4
ществляться только в V-образных двигателях (фиг. 1) и в дви-
гателях с двумя валами.
При наличии трех и более цилиндров в одной секции при-
ходится присоединять прицепные шатуны к главному шатуну,
образуя прицепное сочленение (фиг. 2). При таком сочленении
масса главного шатуна получается значительно больше, чем
масса прицепного шатуна.
Наконец, отметим еще ряд названий, которыми будем поль-
зоваться при дальнейшем изложении. Угол между осями цилин-
дров главного и прицепного механизмов называется углом раз-
вала О/. Центр вращательной пары, соединяющей прицепной ша-
тун с главным, называется точкой прицейа Л;. Центр относи-
тельного вращения кривошипа и главного шатуна будем назы-
вать пальцем кривошипа А, а центры же относительного вра
щення шатунов и поршней — пальцами главного и прицепного
поршней В, Bt.
Расстояние между пальцами кривошипа и точкой прицепа
есть радиус прицепа г;. Угол между осью главного шатуна и ра-
диусом прицепа будем называть углом прицепа ф;. Отсчет всех
углов будем производить по часовой стрелке. Наиболее удален-
ное положение пальца поршня от оси вращения кривошипа пред-
ставляет собою верхнюю мертвую точку7 (ВМТ), а наименее
у деленное—нижнюю мертвую точку (НМТ).
1. Разметка траекторий механизмов авиационных двигателей
Прежде чем приступить к разметке траекторий, следует
определить размеры отдельных звеньев, к которым.предъявля-
ется конструктивное требование, а именно—во всех цилиндрах.
ВМТ и НМТ должны находиться на одном и том же расстоя-
нии от оси врашения кривошипа, благодаря этому осуществляют
очень просто одинаковые степени сжатия во всех цилиндрах
и одинаковый ход поршней для всех механизмов.
Очевидно при этом требовании для.заданных размеров глав-
ного механизма должны быть выбраны определенным образом
размеры прицепного механизма.
Установим эту зависимость для i-ro прицепного механизма
(фиг. 3), приняв равенство угла развала 8г углу прицепа
Определим сначала положение мертвых точек для главного ме-
ханизма. С этой целью совместим кривошип г с осью цилин-
дра, тогда шатун / совпадет также с этой осью и точка В зай-
мет верхнее мертвое положение; расстояние ее до оси вращения
кривошипа будет I + г.
Если кривошип повернуть На 180°, то определим положение
НМТ, расстояние которой до центра вращения будет равно 1—г.
Очевидно, ход поршня главного механизма может быть вы-
ражен следующим уравнением:
So-/ + r-(Z — г) = 2г. (В
5
Для определения размеров прицепного механизма повернем
кривошип на величину угла развала <р=о;, тогда можно прибли-
женно принять, чго точка Bt займет верхнее мертвое положе-
жение. Так как расстояние ее до оси вращения должно рав-
няться I + г, то, приняв обозначения, указанные на фигуре 3,
можно написать следующее соотношение
/ 4- г — г + г cos 7,- + ccs (2)
Фиг. 3. К метрическому синтезу
прицепного механизма
Как видно из фигуры (3), бу-
дет существовать следующее ра-
венство углов:
T'i + $/=₽+8и
но <1>г = 2;, следовательно уг = р.
Кроме того cosp,- примем рав-
ным единице, так как для по-'
ложения ВМ.Т прицепной шатун
будет почти совпадать с осью.
Тогда уравнение (2) будет пред-
ставлено в следующем виде:
Z-^cosp + ф (3)
Выразим cos р через угол 2,-.
Действительно из ДОАВ следует,
что г Л = sin р : sin или
sin р = у s’n 7 — ksino., (4)
где
но _____ _
• cos р = "\/1—sin2p = Д/1 — Т‘3 si и2 2;.
Подставим значение cosp в уравнение (3):
I = г; \/ 1 — sin2 о., + (5)
Наиболее простая зависимость получается при 2, = 0 или 180’.
В этом случае l = rj + /i.
Очевидно, если заданы размеры главного механизма г и /,
то Г; и I; могут быть определены из уравнения (5), задаваясь
величиной одною из этих размеров:
= I - Гд/ I -- S1 п' 2,, (6)
_____I -I;
у/1 — к*s п! 2-
б
Аналсиичным образом можно показать, что для НМТ урав-
нение (5) сохранится и ход поршня прицепного механизма будет
равен 2©
В практике проектирования двигателей обычно все прицепные
шатуны имеют одну и ту же длину, т. е. размером /г следует
задаться и для каждого прицепного механизма определяют /у по
уравнению (7). В условиях же выполнения домашнего задания
будут даваться размеры как lit так и rt.
При найденных размерах прицепного механизма, определяемых
по уравнению (5), конечно, при <р = 8. точка Bt не займет верх-
него мертвого положения, так как вывод уравнения (5) сделан
приближенно. Как определить точное значение величины хода
поршня и угла поворота кривошипа 9, при котором поршень
прицепно! о механизма займет верхнее мертвое положение, будет
указано в дальнейшем при изложении кинематики прицепного
Фиг. 4. Кинема-
тическое изобра-
жение главного
шатуна пятици-
линдрового звез-
дообразного дви-
гателя
механизма.
Определение основных размеров прицецного механизма свя-
зано со специальными вопросами, относящимися, к конструкции
двигателей, а поэтому задача синтеза прицепного механизма должна
более подробно освещаться на специальной
кафедре „Конструкция двигателей".
Располагая размерами rt и углами прицепа
ф,., можно определить на плоскости главного
шатуна положения всех точек ^прицепа. Затем,
соединяя эти точки и палец поршня главного
механизма, получим главный шатун в виде
многоугольника, число сторон которого равно
числу цилиндров в секции. Эту фигуру глав-
ного шатуна рекомендуется вычертить на кальке,
отметив палец кривошипа А. На фигуре 4 изо-
бражен главный шатун пятицилиндровой звезды.
Приступая к разметке траекторий следует
нанести оси всех цилиндров, причем углы раз-
вала прицепных механизмов отсчитываются от
оси цилиндра главного механизма (фиг. 5). За-
тем из центра пересечения осей проводят
окружностг радиусом кривошипа, которая и
представляет собою траекторию точки А. Так
как практически можно принять, что кривошип
вращается равномерно, то окружность необходимо разделить
на п равных частей.
Для выполнения домашнего задания нужно принять п = 12 и
первое положение кривошипа выбрать так, чтобы он совпадал с
осью цилиндра главного механизма, и точка В занимала верхнее
мертвое положение.
Располагая размеченной траекторией точки А, следует при-
ступить к разметке траектории точки В, представляющей собою
прямую линию, совпадающую с осью цилиндра главного меха-
7
низма. Так как точка В находится от точки А на расстоянии I,
то раствором циркуля, равным I, из отмеченных двенадцати по-
ложений точки А делают засечки на траектории точки В и по-
лучают 12 ее положений. Таким образом, траектория точки В
будет размечена в зависимости от угла поворота кривошипа <р.
Для получения размеченной траектории точки прицепа А,
первого прицепного механизма калька с изображением главного
Фиг 5. Разметка траекторий точек механизма пятицилнндрового
звездообразного двигателя
шатуна накладывается для каждого положения кривошипа так,
чтобы точки А и В на кальке совпадали бы с этими точками яа
чертеже. Тогда, накалывая кальку в точке At, получим на чер-
теже 12 положений точки Av Плавная кривая, соединяющая эти
точки, представляет собою размеченную траекторию точки Ar
Располагая длиной первого прицепного шатуна /п производится
разметка траектории точки Bt точно также, как это указывалось,
для точки В. Разметка траекторий следующих прицепных меха-
низмов осуществляется аналогичным образом.
в
Описанный метод разметки траектории носит название метода
засечек и может применяться только для механизмов первого
класса второго порядка. Для механизмов же высших классов и
порядков разметка траекторий может осуществляться с помощью
так называемого метода ложных положений.
2. Кинематический анализ центрального кривошипно-
шатунного механизма
Центральный или просто кривошипно-шатунный механизм
;имеет чрезвычайно широкое применение во всех областях ма-
шиностроения. В авиационной технике он
применяется как основная часть меха-
низма двигателей. Кроме того, во многих
агрегатах, обслуживающих двигатель, кри-
вошипно-шатунный механизм имеет само-
стоятельное значение. Высказанные сооб-
ражения заставляют произвести более глу-
бокое исследование этого механизма.
Пусть на фигуре 6 представлен криво-
шипно-шатунный механизм, где указаны
все обзначения, необходимые для опреде-
ления проекций перемещений его точек.
Система координат выбрана левая, поло-
жение осей которой определяется прави-
лом буравчика или правилом трех паль-
щев левой руки.
Определим проекции перемещения
точки прицепа А.с, которая соответствует
любым точкам, расположенным на плоско-
сти шатуна.
Опустим из точки А, перпендикуляр фиг- 6- К кинематиче-
на прямую АВ или ее продолжение и осно- щипно-шКного Кмёха-
вание перпендикуляра обозначим через низма
точку Сг. Пусть длина перпендикуляра
AiCi есть qt, которому будем приписывать знак плюс, если
точка Al при 7 = 0 проектируется на положительное направле-
ние оси OY и знак минус — при проектировании точки А; на
отрицательное направление оси ОУ. Кроме того, если точка Сг-
лежит за точкой В, то bti<ZO и I, если же за точкой А,
то а, <0 и b^l.
Как видно из фигуры 6, можно написать следующие очевидные
соотношения:
%а; = лс/+^вш₽, •
Ум =Jc/+^icos₽,
»
* 9
но xCi и у а, как видно из той же фигуры, могут быть выра-
жены следующими уравнениями:
xCi — г cos <р + at cos р,
_yC/ = ^sinp.
Следовательно,
хhi — г cos у + ал cos ft + Qi sin p,
jAi = ^sin₽ + ^cosp. (8>
Выразим sinp и cosp через у. По теореме синусов из &АОИ
имеем следующее соотношение-
sin р г_
sin® I
Откуда:
sin р — X sin <р.
Теперь выразим cosp через sin р
1
_________ 2
cosp = ’y/l — sin2p =(1—X2sin2<?)
Бином в степени разложим в степенной ряд:
cos р — 1---X2 sin2 <р — 4- X4 sin \-~ X6 sin
Z о 1о
НО
sin2 <р = -L (1 — cos 2<р),
sin 4<р =(3 — 4 cos 2? + cos 4<р),
о
sin6<p-= -Jjy (10 — 15 cos 2-6 +............
Ряд Фурье состоит из постоянного члена и суммы четных
гармоник, причем порядок гармоник определяется коэфициентом,
стоящим перед параметром ®. Так, например, ^acos2<p е,сть вто-
рая гармоника.
Такое разложение cosp для кривошипно-шатунного'механизма
впервые применил в 1897 году английский инженер Macalpine [1].
Так как Х< 1, то ряд будет быстро сходящийся и членами,
содержащими) больше чем во второй степени можно пренебречь.
В этом случае
cos р = 1 — к2 + У? cos 2 ©. ЦО)
Подставляя найденные значения sin р и cosp в уравнение (8),
получим проекции перемещения точки А, в виде ряда Фурье,
представленного двумя гармониками.
! 1 —1- кг\^ + гсоэ®ч- Х2цгсо8 2® + х^г sin®,
).8 qt cos 2© + '^b} sin ®.
(H)
Очевидно, если бы не были откинуты члены, содержащие
cos 4®, cos 6? и т. д., то в уравнении (11) добавились бы гармо-
ники 4-го, 6-го и т. д. порядков. В этом случае уравнение (11)
примет следующий вид
— tGat + r cos'-p + ^aj- ccs 2© + /4а; со8 4ср-|-£6а, cos 6®+^ sin ср,
У а, = cos 2®+/^cos 4®^-^г cos 6®-нЛ sin®. (12)
Полученные уравнения являются общими для всех точек ша-
туна. Так, рассматривая точку Сг, следует положить —О
Тогда:
Хс,- — toat + г cos ®-|-^ао. cos 2ср + tial cos 4ср + t^a-t cos 6®,
ус. = Ybi sin ср. (13)
Если в уравнении (12) положить at — l и то. получим
проекции перемещения точки Ь
хв cos ср +12 cos 2® +cos 4<p +16 cos 6<p,
Ув =0. (14)
11
Значения коэфициентов tn, t2, и t? даны в уравнении (9).
Если ограничиться двумя гармониками, то уравнения (14) при-
мут следующий вид:
хв Z+rcos® + X2/cos2<р,
Ув = 0. (15)
Наконец, принимая в уравнении (8) я,= 0 и получим
проекции перемещения точки А.
%а= г cos <р,
yA=rsin?. (16)
Для дальнейшего кинематического анализа существенное
значение имеют точки А и В. Определим скорости и ускорения
для этих точек.
Так как точка А совершает равномерное вращательное дви-
жение по окружности, то
УА=гш, WA=r^. (17)
Для определения скорости и ускорения точки В применим
обычный метод — диференцирование по параметру, используя
уравнение (15) и имея в виду, что X2/—Хг
,r dSs dS в dj
B ~ ~ ~d^T ~dt
но
dy
dSs ___ dxB
d<f " 4®
sin a + g" sin
Тогда
Vb =—ra> I sin (cos rf + A cos 2c).
12
После подстановки значений производных получим в сле-
дующем виде ускорение точки
WB — — rwa (cos ® + л cos 2<р).
(19)
Это уравнение было впервые получено в 1872 году Ra dinner'ом
121
Полученные выражения кинематических величин следует под-
вергнуть дальнейшему анализу лишь в отношении точки В, так
как для точки А и радиус кривошипа г, равный половине хода
поршня, и со являются заданными, неизменяемыми величинами.
Напротив, все кинематические характеристики пальца поршня
слагаются из ряда гармоник, причем гармоники четного порядка
г
зависят от постоянного параметра к — который в практике
проектирования может изменяться в довольно широких пределах
от 0 до 1. Это обстоятельство заставляет дополнительно про-
извести анализ уравнений (15, 18 и 19).
С этой целью предварительно отметим как строятся кривые
по указанным уравненшм. -Уравнение (15), представляя собою
график движения точки В, состоит из трех компонентов: урав-
нения прямой, отстоящей от оси абсцисс на расстоянии 1 —Xs j I
и двух косинусоид rcos~r cos 2<э. Перемещения точки В,
изображенные на графике Sb = хв (фиг. 7), построенном по урав-
нению (15), измеряются от центра вращения кривошипа О.
Закон изменения кривой SB останется тот же самый, если ось
абсцисс перенесем на величину 1 + г. В этом случае ВМТ будет
являться началом отсчетов перемещений точки В и уравнение
(15) примет следующий вид:
1—~ Xs /+r cos <f> + Arcos2<р — (l+r)
или
Sb =—г (1—cos ®) •—| Xr (1— cos 2<р).
(20)
Задавая различные значения углов кривошипа <р, а именно:
0°, 30°, 60°, . . , 330° и 360°, можно, пользуясь уравнением (20),
вычислить ординаты и построить по точкам кривую SB. Чтобы
избежать этой кропотливой вычислительной работы, произведем
построение этой кривой чисто графическим методом, приме-
няемым для построения гармонических кривых.
С этой целью участок оси абсцисс, равный 2г, разделим на
12 равных частей, и проведем дополнительную ось, отстоящую на
расстоянии, равном минус г Q х\ (фиг. 8). Затем из точки пере-
13
сечения оси ординат с дополнительной осью проводят две
окружности радиусами ги-ylr. Окружность радиуса г делят
на 12, а радиуса — Кг—-на 6 частей, причем их начальные поло-
жения находятся на оси ординат, наверху и отсчет двенадцати
положений происходит по часовой стрелке, так что маленькая
окружность обегается два раза.
Далее точки на окружности сносятся на соответствующие
ординаты, проведенные из точек деления оси абсцисс. Получен-
Фиг. 7. График движения точки В
ные точки соединяются плавными кривыми, представляющими
гобою две косинусоиды первого порядка с периодом 2п и вто-
рого порядка с периодом, равным п.
Суммирование ординат этих косинусоид доставляет искомую
г
кривую 5b, масштаб которой /?,,= , где г есть радиус криво-
Су УЧ
шипа, выраженный в метрах, ОА радиус окружности косинусоиды
есть амплитуда гармоники первого порядка, измеренная в мм.
Такой метод построения гармонических кривых очень удобен,
так как при диференцировании для гармоники первого порядка
происходит лишь изменение фазы на 90°, а для гармоники k-ro
порядка кроме того увеличивается радиус окружности в k раз.
Принимая во внимание это замечание, построим кривую Р'в
по уравнению (18). С этой целью из начала координат проводят
14
Фиг. 8, Построение гармоник графика Sb
Фиг. 9. Построение гармоник кривой Ив
сл
две окружноспГрадиусами г и -у/.г, причем их центры совпа-
дают с началом ’системы координат графика. Строят две сину-
соиды указанным ранее способом, т. е. поворачивают радиусы
графика Sb на ’ 90° и радиус второй гармоники увеличивают
16
в два раза. Суммируя ординаты построенных кривых получают
кривую У в , масштаб которой kv = wks <фиг. 9),
Точно таким же способом строится кривая IFB по уравнению
(19). Радиус окружности гармоники второго порядка равен i г и
начальные положения окружностей смещаются еще на 90°, т. е.
совпадают с отрицательной осью ординат (фиг- 10). При этом
масштаб построенной кривой ^a,= <o2«v.
- Указанный метод построения кривых Кв и IFBимеет и то
еще преимущество, что можно, располагая кривыми, построен-
ными при одних значениях X, перейти без каких-либо построений
к кривым, соответствующим другим значениям X.
Кривые на фигурах 8, 9 и 10 построены для).— 0,304. Чтобы
построить кривые для )ч = 1/2Х, достаточно ординаты гармоник
второго порядка разделить на два и полученные отрезки при-
бавить к соответствующим ординатам гармоник первого порядка.
На фигурах И и 12 построено ряд кривых Кв и IFB для Х = 0,
1/12, 1/6. 1/3, 2/3, и 1.
Для того чтобы не производить деления каждой ординаты,
можно предложить следующий способ. Пусть (фиг- 13) дана кри-
вая гармоники второго порядка, радиус окружности которой
равен X/-; требуется определить ординаты той же гармоники, но
при каком-то другом значении Хг Тогда под произвольным углом
к оси ординат проводится отрезок,' равный Х,г и на ось ординат
сносят конечные точки всех ординат кривой. Затем точк}, со-
ответствующую максимальной ординате, равной Хг, соединяют
с точкой А, а из других точек, находящихся на оси ординат
проводят прямые, параллельные АВ. Полученные точки на от-
резке АС определяют величину искомых ординат новой кривой,
измеряя их от точки О.
Построенные кривые на фигуоах И и 12 наглядно показывают
влияние второй гармоники, но чтобы сделать окончательное
заключение по этому вопросу, определим особые точки на кри-
вых, причем исследование начнем с кривой ускорения. Кривые
-Sb, Vb и представляют собою симметричные кривые. Это
обстоятельство дает возможность проводить исследование кривых
только на частке от 0° до 180°; точки же на второй половине кри-
вой от 180° до 360" определяют, пользуясь свойствами симметрии.
Во-первых, определимте значения углов поворота кривошипа, при
которых 1ГВ =0. Для этого достаточно решить следующее
уравнение:
cos«04-Xcos 2y0=cos у0 + Х(2 cos3<?0—1)=0
’ИЛИ 1 1 „
cos2 ?0 + 2)- cos ?02“ = °-
Откуда
cos <р0= ( у 1 + 8Х2 — 1) • <21>
2 17
Г

Фиг, 11. Кривые Vzb при различных значениях

По абсолютному значению cos <р0 должен быть меньше еди-
ницы, поэтому при ^<.1 перед корнем следует брать только один
знак плюс. Угол находится в первой четверти, т. е. меньше 90°. При
} = 1 получим по уравнению (21) два значения: cos <р — ~ hcos<p0=
— 1. В этом случае ускорение точки В равно нулю при ®о = 6О°
и 180°. Если же X— 0, т. е. шатун имеет бесконечную длину
и кривошипно - шатунный механизм превращается в кулису
Вольфа, то угол поворота кривошипа, при котором U7B = 0, ра-
вен 90°.
Во-вторых, определим значения углов <р, при которых до-
стигает экстремальных значений. Для этого поступаем обычным
Фиг. 13. К делению ординат второй гармоники в заданном
отношении
образом, а именно—находим выражение производной и приравни-
ваем ее нулю. Полученное уравнение дает возможность опреде-
лить искомые углы поворота кривошипа
tfU7B
— — rt°2 (sin + 2). sin 2<j>) — 0
или
sin<p(l+4Xcos <») = 0. (22)
Откуда
sin i,2= 0, • (23)
1 4- 4л cos <а3 = 0.
Первое условие sin91I2 = 0 доставляет два корня: <р1 = 0* и
«Р2= 180°. Второе условие в пределах те доставляет один корень
cos?3 = -l. (24)
Этот корень возможен при значениях Угол <р3 находится
во второй четверти и изменяется в пределах от 114°30' (Х=1)
до 180° =
20
cos 2<?s) — гш*
Найденные значения углов <pi, ?2 и ?з следует подставить в
уравнение (19) и определить экстремальные значения И7В
UZR о= —гш3(1+Х),
Wp = — гш2 (cos ?3 + X
<Р=Ч>з
№в . гео2 (1—1). (25)
вщ=180° v v
Наибольшее по своему численному значению IVzb будет при
<р=г:О, оно превышает амплитуду гармоники первого порядка (гш2)
на величину амплитуды гармоники второго порядка (Хг«>2). Наи-
меньшее же из экстремальных значений будет при »=:180о, оно
будет меньше амплитуды гармоники первого порядка также на
величину Хг«А
Таким образом, разность этих двух ускорений будет равна
удвоенной амплитуде гармоники второго порядка (2Хго>2). Сумма
же этих ускорений не зависит от четных гармоник и равна удво-
енной амплитуде гармоники первого порядка.
Так как ускорения точки В определяют силы инерции возврат-
но-движущихся масс, сосредоточенных в пальце поршня, то для
различных динамических расчетов на прочность важно знать мак-
симальное значение этих сил.
Проведенное исследование кривых ускорений показывает, что
Максимальное значение силы инерции будет при <р = 0 и будет
тем значительнее отличаться от силы инерции первого порядка,
чем больше амплитуда гармоники второго порядка, т. е. чем
больше значение X. Таким образом динамика кривошипно-шатун-
ного механизма с увеличением 1 ухудшается, и поэтому считаем
нужным назвать 1 динамическим параметром кривошипно-шатун-
ного механизма.
Г
Необходимо заметить, что уменьшение Х = у связано с уве-
личением при заданном ходе поршня длины шатуна, что ведет
к увеличению габаритов механизма. Это обстоятельство приво-
дит в некоторых случаях к необходимости принимать сравни-
тельно большие значения X. В практике машиностроения обычно
принимают следующие значения:
, 1 1
эксцентриковые насосы и приводы
1 1
4 ' 6 ’
паровозные машины
различные стационарные машины
авиационные моторы
£ 2
3 ' 4 ’
л
2»
Если обратиться в зону положительных ускорений вблизи
<р = 180°, то силы инерции будут иметь .меньшее значение, чем
при 9 = 0°, но при появятся новые максимумы уско-
рений, которые мало будут отличаться от ускорения при <р=180°,
так что в пределах, примерно, 20° ч-25° будут действовать силы
инерции постоянной величины.
Рассмотрим теперь влияние гармоник высших порядков. При
<р=0 амплитуды всех гармоник будут алгебраически суммировать-
ся. Амплитуды ускорений четных порядков 'следует определять,
исходя из уравнения (9). Так будем иметь следующие значения
для амплитуд гармоник: •
- Ч \ 9
Л + —Л.3 + J2g

четвертого порядка—
шестого порядка —
о 1
Если принять I. = -х- и ограничиться членами, содержащими
О
Xs, то к ранее вычисленным амплитудам добавляются слагаемые
го>2 и минус ,7^,-roj2, т. е. ошибка относительно амплитуды
АОо 10о
первого порядка составляет менее 1%, что, конечно, не превы-
шает ошибки, получающейся от неточности вычисления и выбора
допускаемых напряжений при расчете деталей на прочность, а
поэтому при таких расчетах гармониками высших порядков
можно -пренебрегать.
Если же расчет деталей производится на колебания, где силы
инерции являются возмущающими силами, то необходимо иметь
в виду, что высшие гармоники четных порядков существуют и они
могут быть источниками резонансных колебаний.
Кроме того, при диференцировании уравнения скорости было
принято, что ш— const. В действительности же ш является пере-
менной величиной особенно это имеет место при переходе от
одного режима к другому. В этом случае ускорение будет
иметь еще нечетные гармоники, которые также могут быть
источниками резонансных колебаний.
Теперь проведем исследование кривой скорости, которая
будет иметь точки перегиба при тех значениях угла <р, при кото-
рых W& имеет экстремальные значения. Так при у- будут
22
две точки перегиба при ?= О и 180°, а при к^> - добавляются
еще две точки перегиба во второй и третьей четвертях.
Как видно из уравнения (18), 14 = 0 при ад = 0° и 180°, т. е.
скорость пальца поршня равна нулю в ВМТ и НМТ.
Далее для углов поворота кривошипа, для которых 144 = 0,
скорость будет иметь экстремальные значения. Следовательно,
в пределах тс при k < 1 будет одно экстремальное значение, при-
чем угол <р0 определяется по уравнению (21). При к = 1 доба-
вляется еще одно экстремальное значение, соответствующее
в = 180°. При к=0 экстремальное значение 14 будет при ю—90° и
равно по величине амплитуде гармоники первого порядка (но). С уве-
личением К угол <р0 будет стремиться к своему пределу—60°,
а численное значение максимальной скорости определяется по
следующему уравнению:
14 тах — — (sin ¥о + ksin 2у0 j . (26)
Уравнение (26) дает возможность определить возрастание
максимальной скорости по отношению к амплитуде гармоники
первого порядка
kt — sin <р0 + 4- ksin 2©0. (27)
Значение /гл- будет изменяться в пределах от 1 до 1,3.
В большинстве случаев динамику кривошипно-шатунного ме-
ханизма, а также и его мощность характеризуют средней интег-
ральной скоростью. Для вычисления такой скорости следует
подсчитать площадь под кривой 14 и разделить эту площадь
на абсциссу, тогда полученная ордината и будет выражать иско-
мую среднюю скорость.
Очевидно, площадь под кривой 14 за весь период равна
нулю, а поэтому средняя скорость определяется только за один
ход поршня, т. е. за половину периода.
Как уже указывалось, все четные гармоники имеют период
кратный тс, поэтому их площадь на участке от 0 до тс будет
равна нулю. Следовательно, средняя скорость определяется
только гармоникой первого порядка. После сделанных замечаний
произведем вычисление средней скорости, интегрируя кривую 14
п
Vcp———J r<o sin (28)
о
о
но 2г — $0 и со — ,7р-, откуда
— 41 (29)
ср~ 30 '
23
Уравнение (29) имеет большое практическое значение при
проектировании двигателей. Как видно из уравнения (28), ампли-
туда гармоники первого порядка больше средней скорости в =
= 1,57 раза. Отношение же VR,„ax к Vcp будет определяться
следующим, уравнением:
= 1,57 f sin sin (30)
vcp \ z /
установить характер
Фиг. 14. К определению
угловых скоростей кри-
вошипно-шатунного ме-
ханизма
Коэфициент с увеличением \ возрастает, изменяясь в преде-
лах от 1,57 до 1,92.
Совместное рассмотрение кривых 1'ц и Wb дает возможность
движения, исходя из того соображения,
что движение будет ускоренным, если
скорость и ускорение совпадают по напра-
влению, и замедленным, если направление
их противоположно.
Так от ВМТ до положения, соответ-
ствующего углу поворота кривошипа, рав-
ному <f>0, движение будет ускоренным, за-
тем до НМТ — замедленным. При обрат-
ном ходе, от НМТ до положения, соответ-
ствующего углу 360 — »0 движение опять
будет ускоренным, после чего движение
до ВМТ будет снова замедленным.
Рассматривая график движения точки
В, можно заметить, что здесь влияние
второй гармоники сказывается меньше,
чем в кривой U7B. Особые точки графика
SB на основании исследования кривой Ув
являются уже известными, а именно —
кривая Sb имеет два экстремальных зна-
чения при <р=0° и 180° и одну точку
перегиба на участке, равном я, соответствующую углу
Так как уравнение (20) выражает собою кривую Sb с нача-
лом отсчетов в ВМТ, то ордината этой кривой при <р=1803 опре-
деляет величину хода поршня
'S r <р=180^ Г
(1 +1) + А 7(1-1)
= 2r=s0.
Закончив исследование движения точки В, необходимо оста-
новиться на движении шатуна, совершающего сложное плоское
движение. Это движение может рассматриваться двояким спо-
собом или его раскладывают на два движения—на поступательное
движение вместе с полюсом и вращательное вокруг этого по-
люса, или заменяют его одним вращательным движением вокруг
24
мгновенного центра вращение. Как в том, так и в другом слу-
чае вращательные движения являются тождественными, т. е. совер-
шаются с одной и той же угловой скоростью.
Исходя из этих соображений, считаем необходимым опреде-
делить угловые параметры вращательного движения в виде фун-
кций от угла поворота кривошипа, выбрав в качестве полюса
точку В (фиг. 14).
В этом случае угол р является углом поворота шатуна. Нами
ранее была установлена зависимость между углами р и ®:
sin р — ~i~ sin ? =л.
Откуда
р = arc sin л. (31)
Уравнение (31) разложим в ряд, ограничиваясь двумя членами
разложения, так как ряд приХ<1 буДет быстро сходящийся
р = х + ^-х3 = Х sin ? + | Xs sin3?, (32)
но sin3 ? ~ : sin ?---sin3?.
1 4 4
Подставляя значения sin3? в уравнение (32), получим выра-
жение р в виде ряда Фурье
р = X 171 + ~ X2 'j sin ?---~ X2 sin Зср
(33)
Диференцирование уравнения (33) по времени дает воз-
можность получить уравнения угловой скорости %, и углового
ускорения еш шатуна в виде рядов Фурье

1 Q
COS ?----к- /. cos 3®
©
(34)
ш ——w
1 4- Xs sin ? — X2 sin 3? .
О / о
(35)
• Разложение функций и еш в ряд Фурье было впервые
выполнено, упомянутым ранее, Макальпайном.
Построение кривых р, гш производится графическим, ра-
нее описанным способом, причем начало отсчетов у третьей гар-
моники, благодаря знаку минус, следует отложить на положитель-
ном направлении оси абсцисс. На фигуре 15 построены кривые
. 1
“«< и ещ при Х=-2 •
Кривая <о1а дает возможность указать о направлении враще-
ния шатуна. При шатун вращается, как видно из плана
скоростей (фиг. 14), против часовой стрелки, а при <ош <0 по
25-
часовой стрелке. Совместное же рассмотрение кривых и>ш и гш
определяет характер вращения шатуна.
Наконец, можно определить относительные угловые скорости
вращательных пар, а именно шарниров О, А, и В. В шарнирах
О и В стойка и поршень не совершают вращательного движе;
ния и относительная скорость в этом случае равна абсолютной,
т. е.
“Or = (36)
“вг = «>ш. (37)
В шарнире же А, как
щений кривошипа ОА и
видно из фигуры 14, направления вра-
шатуна АВ вокруг течки А противопо-
ложны, следовательно угловые скорости кривошипа и шатуна
должны, складываться
WAr=,„. - (38)
Уравнение sin (3=Xsin <р дает возможность определить очень
просто максимальное значение угла [з, каковое, очевидно, будет
при ®=90°. В этом случае sinpmex = )..
Значения же самого угла определяются из таблиц круговых
функций, так как X является заданной величиной.
3. Кинематический анализ прицепного механизма
с центральным сочленением
В этом случае размеры прицепного механизма совершенно
тождественны с размерами главного механизма. Различие же
будет заключаться лишь в том, что движение пальца поршня
прицепного механизма не будет совпадать по фазе с движением
пальца поршня главного механизма. Если, как это видно из
26
фигуры 16, <f> (угол поворота кривошипа), определяет движение
точки В, то угол (<?—будет определять, движение точки £?,.
Таким образом, для того чтобы получить уравнения переме-
щения, скорости и ускорения точки В1г достаточно подставить
в уравнения (20, 18, 19,) вместо значение (<р — 8г).

•$Bi= - г
cos 2 Oj — cos 2 (f — SJ
COS О,--COS ('f -Oj)
VBj = —
[cos (®—3t) + X cos 2 (»—8г)).
(39)
Уравнение перемещения точки Bt (SBi) написано так, что при
<0 = 0 оно обращается в нуль, т. е. отсчет перемещений про-
исходит *от первого положения
ТОЧКИ В,.
Кривые по уравнениям (39)
строятся также графическим путем.
Так для построения кривей SB.
проводят также дополнительную
ось, отстоящую на расстоянии, рав-
, 1
пом минус Г I 1 +-4- /.
Затем проводят две окружности
I ,
радиусами г и —Хг, причем началь-
ное положение на окружности пер-
вой гармоники смещается от оси
ординат на угол минус а на
Фиг. 16. К кинематике прицеп-
ного механизма с центральным^
сочленением
окружности гармоники второго по-
рядка—на угол минус 2о;. Даль-
нейшее построение проводится опи-
санным уже ранее способом. Для
построения кривых скоростей и
ускорений начальные положения на обеих окружностях соот-
ветственно смещают по часовой стрелке на 90° и 180° и ампли-
туды вторых гармоник соответственно увеличивают в два и
четыре раза.
В построенных таким способом кривых в качестве начала от-
счетов выбрано первое положение. Если бы в прицепном меха-
низме производить отсчет перемещений от ВМТ, то нужно началь-
ное положение на окружности гармоники первого порядка сме-
стить по часовой стрелке на угол а на окружности гармоники
второго порядка — на угол 28,-.
27
В этом случае кривые были совершенно тождественны с кри-
-выми главного механизма. Точное совпадение смещенных кривых
показывает, что обоим механизмам соответствуют одна и та же
кинематика
4. Кинематический анализ прицепного механизма
с прицепным сочленением
Кинематика такого механизма была впервые разработана
у нас, в СССР в 1927 году проф. Нейманом [3| для случая, когда
угол разва ла равен углу прицепа. Затем в 1929 году Rickert'oM
|4] рассмотрен общий случай. Обоим авторам удалось опреде-
лить лищь гармоники первого и второго порядков.
Фиг. 17. К кинематике прицепного механизма с прицепным
сочленением
Нами кинематика этих механизмов рассмотрена несколько
адым методом и для сличая, рассмотренного проф. Нейманом,
определены гармоники даже и четвертого порядка.
Для г-го прицепного механизма определим лишь проекции
перемещения точки Д, при этом I изменяется в пределах от
1 до z — 1, где z есть число цилиндров в секции.
28
Пользуюсь фигурой 17, можно написать в следующем виде
•проекции перемещения точки В,-
A'Bj — jAi + 4 Sin Ир
VB^-^Ai + Acosa;.
но
«; = 90—(Зг-|-р;).
Следовательно,
X в; — х + lj cos (Йг фр;) = Л Ai -f- /| cos Oj cos Pi — Z; sin \ sin pit
у H;=JI А; + /;з1п(й; + р;)—j/ Aj + Z; sin 8, cos рг+/г cos ^sin рг. (40)
Для того, чтобы выразить угол рг через текущий угол «р,
спроектируем ломаную линию OAAfi, на направление, перпен-
дикулярное к прямой OBj. При этом сделаем дополнительное по-
строение, проводя из Точки А прямую, параллельную ОВ;, и обра-
зующую с AAj угол -fa. Тогда
Zj sin р; = г sin (?4 — ср) + Г; sin-fa,
но, как видно из фигуры 17,
U = P + 8i—=
.где
дг = 8; -’?<•
Подставим значение -fa и раскроем синусы углов:
Г г Л
sin р; = j— sin Sj cos <p-j- cos 6. s n <p +
Г- /•
+ cos A; sin p + ~ sin A* cos p.
h h
Далее, подставляя значение sinp = Ksin«, получим выражение
для sin рг, в виде следующего трехчлена:
sin pi= cos <p + S} sin -f+Pi cos p, (41)
где:
-T-Sinoj, Si=K~ COS Az — j-COSOi, p;= '-SinAiX
ч Ц н h
Теперь выразим cosp, через sinp(-, ограничиваясь лишь дву-
мя членами разложения
cos рг= (1 — sin3p;) l~ — -i- sins_p,-, (42)
HO
sin2 р,- = (ki cos + S; sin <p + p; cos p)2 = k? cos2 ,2+-1x2 Cos2cp,
cos ₽=1— 4 k2+ 4 >.3 cos 2<p,
4 4
TO
sin2 ft = -*/+ ls.2 + (l-4-^A8+2^/(l-p^coS<P4-
+ 2 Wd 1 - 4 ) sin ? +4 №8- s;2 + cos 2? +
\ *• f 2-!
»
+ ^-Sj sin 2cp + ~ kiP;)? cos cp cos 2<p + ~ st pt X? sin <p cos 2».
Имея в виду, что
cos ср cos 2ср = A COS 3<p + -L cos ср,
sin ср cos 2cp= ~ sin 3cp-4 sin ?»
и подставляя значения sin2ft в уравнение (42), полечим выраже-
ние cos ft в виде ряда Фурье:
№3 к^З
cosft = rt0+V] Rftcos&? + £ m^sink'-p, (43).
«=1 4=1
где
"o=i“4_ [4 45-2+(’^4хг)^2 j *
/ 1 \ / ч \
"1== — ( 1-О- Р I kiPi’ т1= — ( 1 —4 ) SiP;,
\ ° / \ о ]
n^--~{k?-s^+^p^, т-^ ^kiSi,
пз= g- ^kiPi, т.3=-----L \tSjPi
30
Значение sin р,, представленное уравнением (41), выразим пол-
ностью через параметр у, принимая, чго cosp = 1 —^-Xs + |-bcos2q>.
sin 3, = (1—Pi+Hi cos ? + sisin <P+|-X^cos 2®. (44)
Подставляя в уравнение (40) значения cos 3, и sin из уравне-
нии (43, 44), а также xA;yAi из уравнений (11), получим в следую-
щем виде выражения Л'Б. и рБ.;
х в/ = f 1—V, + r cos <? + |-X2a, cos 21 + sin ® +
k = 3 k = 3
+ It cos 8,- |/z() + V«ft cosk's + ^\tnksin k'-?
k=l k I
— /г sin 8. |^1 — — + k-t ccs ® + | cos 2» sin <p
yB ,= 1 —jX2 ) Pi + U2?,-cos 2<? + Xb, sin ® -t-
k=3 k=3
-F/j-sinoJ n0 + iT«ico^®-b y]ff?ftsin&®j +
A-l A=1
+ Zj cos 8,.
1—XaVi +^, cos ?+
4 J ‘ ' 4
"i^pi cos 2<p+sf sin t?
Делая приведение подобных членов, получим выражение jcb {
и ув; в виде ряда Фурье:
А = 3 А = 3
Лв;= Ло+y^ftCOSA<p+ ^Bb Sin k'f,
A-l Al’
k 3 k-3
yBi=C^+ £CftcosZ??+ ££>ftsinZ?®,
k=\ A-l
(45)
где:
Лj = r + Z; cos 8. — kt sin 82
А2 = ^2<7; 4-/i
и 2 cos 8; —-
X2 pi sin 8г
31
A3^litli COSO;,
В, = +4 | /«! COS B;—s,sin Oj
jga = litn2 cos of,
B3 — Z,/w3 cos Bp
t-0---

/i0 sin Вг +
C, = 1, [ttj sin Oj + /?,• cos 0,],
C2 — \ 'f^i + li [»2 sin3f + ksri cosSf
C3 — /,-и3 sin B.,
£\ = /Д + /. рщ sinSj+SjCos B;j ,
D3 — 1^п2 sin £;, •
Ds — 1;т3 sin'jj.
Для получения коэфициентов проекции перемещения точки Bt
на ось OY, если Вг/ 90°, можно не производить вычисление коэ-
фициентов Ck и АД, а достаточно умножить соответствующие
коэфициенты Ал и Вк на tg В.
Следует заметить, что для прицепных механизмов, симметрично
расположенных относительно оси ОХ, можно получить выраже-
ния соответствующих коэфициентов, изменяя знак перед и
Так как точка прицепа Д; обычно задается радиусом и
углом прицепа ф{, то
qt = sin фр == r(. cos фр bt — I—ah
причем, отсчитывая угол ф( от оси главного шатуна по часовой
стрелке, тем самым определяется знак q-t и <7;.
Применим выведенные уравнения к частному случаю, когда
угол развала равен углу прицепа А, = 0, вследствие чего коэфи-
циенты уравнения (41) будут иметь следующие значения:
kt— £ sin8;, s,- = £(Хгг — г cos Зг), ft = 0. (46}
Так как pt — 0, то гармоники третьего порядка будут отсут-
ствовать, а оставшие коэфициенты уравнений (45) будут пред-
ставлены следующими выражениями:
Л = (1 —L л'з) а. + (1 —| s? V cos В,,
Д । = г (1 —sin2 BJ _ r cos2 Bp
32
/о = 4 Х«дг— (k* — s?)liCOSгь
Bt — 'Щ — 5,4 sin O; ==—r sin 28{.
В, — — kiS-Ji cos 8,- = — rst sin 28/,
Q = (J~p;2) 9,+ (1-^ V-j ^У/SinS/.
Cj = kil; cos 8i- r sin 28/, • (47)
Ca = |-Z2^ -1- №2-* *) li sm 8<.
Dx — tj)i + S;/; cos 8/ = r sin2 8p
O2 r= — |- ^s/i sin 8, =-J rsj sin2 8..
Для механизмов, имеющих Д/ = 0, можно без значительных
трудностей вывести выражение для гармоники четвертого по-
рядка. В этом случае:
cosp =/0+£Bcos2?+^ cos4?,
sin р/ — k; cos у ъS/ sin ®, (48)
cos p. — 1 — |"Sin2 P/— sin4 p/.
Найдем значение sin2 рг и sin4 р/
siif’p; = /г;2 cos2 <p+s;s sin2® + ‘2.kisl cos <? sin <f>
sin4 p/ = &/4 cos4 ® !-4А<% cos8 f sin <p + 6#/2s2cos3 <? sin2 ® 4-
4- 4A'jsi2 cos if sin3 ®+S/4 sin4
Имея в виду, что
cos2? =1+ 1- COS2®,
sin2 ?=I-—n-cos 2®,
r 9 2
33
3
cos у sin T — 2" s’n
cos4? =^-(3 + 4cos2?+cos 4?),
О
*
cos8? sin ? = (2 sin 2? + sin 4?),
О
cos3? sin2? =i- (1—cos 4?),
О
cos ? sin3? = g- (2sin 2?— sin4?),
sin4? == i- (3 —4 cos 2? + cos 4?),
О
получим в виде следующег о ряда выражение cos р,
cos р,- = п0 + п2 cos 2? + т2 sin 2? + п4 cos 4? 4- т4 sin 4? (49)
где:
„0 = 1 -I + + k* +|- V ) ,
«2 =- 4 (Х3-«г + -
«2 - - 1 + 1 £.3 +1 S.3 ) kfii,
tli~~32(2kii~ + У ’
~si2 )k‘Si
Если теперь подставить в уравнение (40) значения sin р; и
•cos из уравнений (48) и (49), а также %дг и из уравнений (12),
ограничившись гармониками четвертого порядка, то полу-
чим в следующем виде выражения %в.- и уъ1:
л-В/— У10 + И j cos ? + Bi sin?+^2 cos 2? + B3sin2 ? +
+ /44cos4? + B4 sin 4?, (50)
_Ув/=С0+ Cj cos-p + Z), sin?+C2cos 2? + D3 sin2? +
• +C4cos4? + £\sin4?.
34
где:
/oaf + «oA>
Аг = г cos2 В,,
А 2 — t, at + и2Ц cos Bf,
A4 = t4 at + n4 lt cos
B1 = ~rsw2^,
B2 •= m3 /, cos o;,
B4 — m411 cos о,;
Co— £0^г4-л0/2 sin 6,-,
Q — ~ r sin 2B,,
C2= t2qt+n2li sin £;,
C4 — tiqiA-n4li sinSp
Dt — к +s-t Ц cos S:,
D„ — m., Zj sinSj,
D4— m4ZisinBi.
Значения коэфициентов Zo, Z2 и t4 даны в уравнении (9),.
а коэфициенты /г0, л2, пл, т.> и /п4—в уравнении (49).
Располагая проекциями перемещения пальца поршня прицеп-
ного механизма, можно, как видно из фигуры 17, определить
самп перемещения
А'в_____ Ув{
cos Вг sin В; ‘
Так как все звездообразные двигатели, а также почти и все
рядные двигатели имеют равенство углов развала и прицепа (Д==0),
то для определения значения £в,- используем коэфициенты ура-
внения (47), пренебрегая, ввиду малости, гармониками четвертого
порядка
А,
CCS О, COS О;
cos В;
sin -у 4-
cos Bi
cos 2-p +
Jb.
cos Bj
sin 2®.
(51)
А
Если перенести ось абсцисс так, чтобы перемещения отсчиты-
вались от первою положения пальца поршня прицепного меха-
низма, т. е. Sb,—0 при у —0, то уравнение (51) примет следующий
вид:
Sbi = —at(l — cos ?) + Z\sin<p—a2(l — cos 2<p) + #ssin 2<p, (52)
Диференцируя дважды уравнение (52), получим выражение
скорости и ускорения пальца поршня прицепного механизма
1/в,——sin» ^1cosy + 2a2sin2y — 2A,cos2y), (53)
. = —co2 (flj cos <p + At sin у-t- 4a3 cos 2y + 4£2 sin 2y). (54)
Построение кривой Хвг производится аналогичным ранее
описанным путем. Вначале проводится дополнительная ось на
расстоянии—(ai + ^a), затем определяются начальные положения
амплитуд гармоник первого и второго порядков. С этой целью
на оси ординат откладывают коэфициенты ах и аа, а на оси
абсцисс —коэфициен гы Ьх и причем положительные коэфи-
циенты й1, и отрицательные коэфициенты Ьх, Ь3 наносят на
положительные оси.
Если же at имеют отрицательные, а Ьх Ь2 положительные
значения, то в этом случае их откладывают на отрицательных
направлениях осей координат. После чего геометрически сум-
мируют соответствующие коэфициенты и тем самым определяют
амплитуды колебаний lAi/ у as + b./ и их начальные по-
ложения.
Располагая амплитудами,
окружность гармоники первого
Фиг. 18. К определению положений
мертых точек прицепного механизма
проводят две окружности, причем
порядка делят на 12, а окруж-
ность гармоники второго по-
рядка на 6 частей, производя
отсчет делений в направлении
часовой стрелки. Очевидно,
окружность гармоники вто-
рого порядка будет обегаться
два раза.
Дальнейшее построение
гармонических кривых произ-
водится точно так, как это
было описано в п. 2. Для по-
строения кривых скорости и
ускорения поступают ранее
описанным способом, повора-
чивая начальные амплитуды
соответственно на углы 90°, 180° и увеличивая для вторых гар.
моник амплитуды в два и четыре раза.
Теперь проведем анализ кривых, исследуя вначале кривую
Vb,-. Эта кривая дает возможность определить углы поворота
кривошипа, при которых палец поршня прицепного механизма
занимает положение ВМТ и НМТ, так как в этих положениях
1 В; =0.
Для определения искомых углов у необходимо приравнять
нулю уравнение (53) и решить его относительно cosy или sin у.
Если обозначить cos у через х, a sin у — через 1/1 — л2, то по-
36
еле преобразований получим алгебраическое уравнение четвертой
степени, которое может быть сведено к кубичному уравнению,
а решение последнего может быть найдено с помощью корней
Корда на,
Подобный ход решения является довольно громоздким, а по-
этому считаем полезным в рассматриваемом случае применить
метод последовательных приближений.
Из построенной кривой Ив; можно приближенно установить
значение угла <р, которое соответствует, например, ВМТ. Обо-
значим этот угол через®! и подставим его значение в уравнение
(53), приняв w равным единице:
Д г1! = — ал sin <pj + Ьг cos ®j— 2аа sin + 2#а cos (55)
Если Дг\ не равно нулю, то принятое значение не соот-
ветствует ВМТ. Пусть тогда, задаваясь другим значе-
нием угла поворота кривошипа, например, ?2, определим еще
раз значение скорости по уравнению (55).
Avf~—о, sin <р2 + ^1 cos ®2—2а2 sin 2®3 + 2^2cos 2?,. (56)
Теперь примем, что на участке от до <р2 кривая l/Bi изме-
няется но закону прямой линии (фиг. 18), пересечение которой
с осью абсцисс и определяет положение ВМТ. Как видно из фигу-
ры 18, можно составить следующее соотношение:
’ । । _ !д?»1
I I I Д?2 Г
ИЛИ . .
(57>
Прибавляя вычисленное по уравнению (57) значение к углу
получим величину угла поворота кривошипа, соответству-
ющего ВМТ. Если Д<р!< 1°, то на этом расчет можно закончить,
в противном случае делают еще раз перерасчет, принимая найден-
ное значение угла за угол ®п и задаваясь вновь углом <р2, опре-
деляют Д-Уц Д?7у и Д?!. Найдя положение ВМТ, производят
аналогичный расчет и для НМТ.
Если ®в и суть углы поворота кривошипа, при которых
наступают положения ВМТ и НМТ, то истинная величина хода
.поршня может быть определена из следующего уравнения:
sol = | «1 (cos <f>B — cos <рн) + (sin ® в—sin ®H) +
+ a2 (cos 2<pb — cos2?H) + &,(sin 2«b — sin2?w)|. (58)
Для проведения анализа кривой WEi рассмотрим сначала гармо*
нику первого порядка:
U71Bi= —(г cos Sj cos <p + r sin sin <p) — — cos (® — 8,). (59)
37
Если- крийую, построенную по уравнению (59), сместить на
угол 8г и наложить на кривую первой гармоники главного меха-
низма, то они точно совпадут. Таким образом при ф, = 8(. закон
движения пальцев прицепного и главного механизмов в отно-
шении первой, гармоники, являтся совершенно тождественным.
Теперь перейдем к исследованию второй гармоники, сделав-
следующее преобразование ее коэфициентов:
4а3 —
2 г 2
„ Sin2 О; — к2
4
I
+ 2k у— cos 8. — r-p cos2 8г
или
4«2 = k2pj+ -£-rcos 28г+К2у-гг —2k у-г cos 8
• Г Г-
4Ь3 = — 2rS;Sin8;= г sin 28,—2k-' г sin 8.
Тогда вторая гармоника ускорения точки В,- будет представ-
лена следующим уравнением:
г, sin 2<р
—2k cos 8;
В этом уравнении
член —
Г; COS 2<р —
го? cos 2 (•?—8.) соответствует вто-
рой гармоники ускорения пальца прицепного механизма с цен-
тральным сочленением, но при увеличенном значении к, так как
у-> у Кроме этого члена в уравнении (60) имеются еще
коэфициенты при cos 2<р и sin 2ф. Следовательно, вторая гармо-
ника и вызывает искажение закона движения пальца прицепного
механизма.
Для наглядного представления об искажении этого закона'
следует кривую ускорения, построенную по уравнению (54)сме-
стить на угол 8(. и наложить ее на кривую ускорения пальца
главного механизма. В этом . случае первые гармоники точно
совпадут, а несовпадение кривых будет происходить только за
счет различия гармоник второго порядка. Следует заметить, что
при таком способе наложения кривых, отсчет как в главном,
так и в прицепном механизмах будет производиться от ВМТ.
38
На фиг. 19 построены кривые W в, при различных углах раз-
вала, которые могут сравниваться как с кривой Wlt, так и с гар-
моникой первого порядка. Влияние угла развала на характер
смещенных кривых обнаруживается, если уравнение второй гар-
моники ускорения точки В2 представить в следующем виде:
W2Bi = —
I г 1
— s?) cos2c—2s; sin О; sin 2?|
Амплитуда гармоники второго порядка будет равна корню квад-
ратному из суммы квадратов коэфициентов при cos 2<р и sin 2®, т. е.
Го3
X'-I-J'tv-Sf).
+ (2S; sin 32)
Амплитуда гармоники второго порядка в главном механизме
равна Хгш2. Таким образом, если ввести понятие динамического
параметра прицепного механизма то
/12 2
(Л22— 5г2) + (2SjSin 8г).
(61)
Г- 1'
При 8. = 0° и 180° значение sin82 = O, /?2 = 0 и s2 = X-/ др—
в этом случае уравнение (61) будет иметь следующий вид:
l+Tt + 2 77 + 77 •
Для оценки Х2 дадим численные значения размеров главного
и прицепного механизмов. Пусть г — 95 мм, I — 313 лсж, г,—75 мм
и 4 = 238 мм. Тогда X = 0,304, Х2» ,.„. = 0,304 и X» „= 0,686.
Из построенных на фигуре 19 кривых WB можно получить
представление о ходе изменения Х2. При 82 = ЗО° и 60° значение
Х£<Х2, а затем ' при 8.>90° значение Х2 заметно увеличивается
достиг ая максимальной величины при 8(.= 18О°. Так как при 62 = О°
и 180° член при sin2<p будет отсутствовать, то смещенные кри-
вые при этих углах развала располагают симметрично.
На фигуре 19 кривая UZB; при 8. = 0 не построена, так как
она совпала с кривой ускорения главного механизма, а кривая Wв<
при 82 = 180° изображена толстой линией. Максимальное
ускорение для этого случая в 1,27 раза больше максимального
ускорения главного механизма.
При изменении угла развала от 0° до 180° симметрия, как
видно из фигуры 19, сначала нарушается, а затем снова восста-
навливается, причем ординаты кривых во второй четверти увели-
чиваются, а в третьей — уменьшаются. Максимальные ординаты
39
начинают заметно увеличиваться при углах развала, больших
чем 120°.
При изменении угла 8; от 180° до 360° коэфициенты при cos 2®
удут иметь одно и то же численное значение для углов Bi и
360 и , а коэфициенты при sin 2® будут при этом менять знак
40
Очевидно смещенные кривые ускорений для указанных углов
развала будут представлять собою зеркальные отображения по-
строенных кривых, если отображающую плоскость совместить
с ординатой 7.
Для того, чтобы определить углы, при которых ускорение
имеет экстремальные значения, следует уравнение (54) продифе-
ренцировать. Затем ностроить кривую, соответствующую этому
уравнению и определить искомые углы, пользуясь методом после-
довательных приближений.
В заключение этого параграфа укажем метод определения
угловых перемещений прицепного шатуна, использовав для этой
цели уравнение* (41), причем в этом исследовании также примем
равенство углов развала и прицепа. Тогда:
sin = kt cos о 4- s, sin p = x, (62)
откуда значение угла р, может быть получено в виде сте-
пенного ряда
В, = arc sin х — х 4- л3 4- ...
1' Ь
или fa = Z?fcosp 4- s; sinep 4- ^(^cos3?+ 3/?fsjcos2<f>sin'-p +
4- 3kiSi2 cos p sin2 p + s3 sin3 ?).
3 1
Так как cos3p = —cos?4- — cos3p.
1 . 1 . n 1 . Q 1 .
COS2?Sinp= 2~Sinp + sin p cos 2p = —sin 3?+—sin p,
1 1 о 1 о 1
COS Р Sins Ci=—cos Y — — COS? COS 2? = — J- COS 3? + j-COSp,
z z 4 4
3 . 1 . „
Sin3 p = — Sin p----T- Sin 0»
T 4 T 4
TO
Pi
1 + 4- (^’ 1- Si2) 1/г; cos p 4-
О I
J Si sin <p +
1 + + sr)
О
4- 24 (^r— kicos 3P + ^(З^2 — 4 s‘^s' sin 3<?' (63)
Двухкратное диференцирование уравнения (63) дает возмож-
ность определить угловую скорость и угловое ускорение при-
цепного шатуна
41
<»Ш1 = — Ш
1 + 6- (V + s.'-9 ^sincp —
О
i+_L(^ + ^)
+ J_ (&/— Зх,3)£г sin 3<р— ~ (3/г/-— Si2)s; cos
8 °
SjCOS<p-|-
(64)
. = —• CO".
ua
1 4- о- (ka 4-Sj2) kj cos ® +
c
1 + ~o~ (^? + si2) sl sin '? +
8
О 3 A
+ -f-(^2_-352X.cos3? + ^ (3^2— S^S; sin3? I.
8 о 4 I
(65)
Для определения максимального угла качания прицепного
шатуна следует использовать уравнение (62), взяв от него произ-
водную и приравнивая ее к нулю
cZsinft- , . . л
-—,—-- = —k: sin ф.,-4- s; cos o„ = 0
(I'-S ‘
или
'•g?o~ j- (66)
Подставляя найденное значение угла фп, получим следующее
уравнение:
(sb р,)тах = cos <?0 + st sin %, (67)
из которого можно определить численное значение угла (р;\„ал
Для того, чтобы сравнить закон вращения прицепного с за-
коном вращения главного шатуна, следует использовать кривые
угловых ускорений, заложив кривую ешЛ смешенную на угол
8, на кривую углового ускорения главного шатуна (гш). Постро-
ение кривой eui/ можно сразу производить на графике, где по-
строена кривая еш. Смещение же достигается тем, что начальные
амплитуды углового ускорения еш.- поворачивает по часовой
стрелке на угол В; для гармоники первого порядка и для гар-
моники третьего порядка на угол Зо,-.
Для определения относительных угловых скоростей в шарни-
рах Aj и В, поступают аналогичным образом, как и в случае
главного механизма. Значения этих скоростей будут опреде-
ляться по* следующим уравнениям:
== (68)
шД2г = (69)
При определении относительной угловой скорости для пальца
прицепа угловые скорости обоих шатунов будут направлены в
противоположные стороны, т. е. будут суммироваться.
42
Заключение
Считаем полезным отметить здесь объем задания, который
надлежит выполнить слушателям инженерного факультета.
1. Определить размеры всех прицепных механизмов, поль-
зуясь уравнениями (6, 7).
2. Произвести разметк}' траектории методом засечек (см. п. 1)
для всех пальцев поршней и точек прицепа.
3. Построить для пальца поршня главного механизма кри-
вые SB> Ив IFb, пользуясь уравнениями (18, 19 и 20).
4. Вычислить углы поворота кривошипа, при которых уско-
рение IFB достигает экстремальных значений, и величину самих
ускорений. Вычисление последних следует произвести как
в долях амплитуды первой гармоники, так и в абсолютных
единицах.
5. Вычислить вначале углы поворота кривошипа, при которых
скорость Кв достигает экстремальных значений, затем численные
величины максимальной и средней скоростей, а также козфици-
енты и Л,.
6. Построить для пальца поршня одного из заданных при-
цепных механизмов кривые В"вг и пользуясь уравнени-
ями (52, 53, 54).
7. Построенную кривую сместить на угол и наложить
на кривую ускорения пальца поршня главного механизма.
8. Вычислить углы поворота кривошипа, при которых палец
поршня исследуемого прицепного механизма достигает ВМТ и
НМТ, а также определить истинную величину хода поршня в долях
радиуса кривошипа и в абсолютных линейных единицах.
У. Вычислить динамический параметр прицепного механизма
10. Построить на одном графике кривые угловых ускорений
главного и прицепного шатунов, причем кривую следует
сместить на угол 8..
11. Построить на одном графике кривые относительных-
угловых скоростей для пальцев кривошипа и прицепа.
12. Вычислить максимальные значения для углов качания
главного и прицепного шатунов.
Примечание: Графическая работа выполняется каран-
дашом на листе размером 814 х 576. необходимо сделать рамку,
от стоящею па 10 мм от кромок листа и в правом нижнем
углу поместить штамп, размеры которого имеются в каби-
нете „Теория механизмов".
Составляющие гармоники кривых S, I/ и W следует чертить
тонкими линиями, жестким карандашом. Кривая IFb;, нало-
женная на кривую ускорения пальца главного механизма
вычерчивается тонко. В графиках угловых скоростей и уско-
рений составляющих гармоник не чертить.
Уравнения суммарных кривых разместить вблизи их на
43
полках. При всех графиках указать масштабы. Все надписи
должны быть сделаны четко и красиво нормальным шрифтом.
Все расчеты следует поместить в пояснительной записке,
где необходимо вычертить кинематическую схему задан-
ного механизма. В записке необходимо оставлять поля, на
которые выносятся окончагельныезначения основных величин.
Графики можно расположить на листе примерно так,
как это имеет место на чертежах образцовых работ слуша-
телей, имеющихся в кабинете „Теория механизмов“.
ЛИТЕРАТУРА
1. Macalpjne. Analysis of the Jnertia Jorces of the moving Parts of an
Engine, Engineering, 1897
2. R a dinger. Uber Dampmfaschineti mithoher Kolbengeschwingigkeit, 1872
3. Неман И. Ш. Кинематика кривошипного механизма звездообразного
мртора
4. Rieke, г t. Betrag zur Theorie des Massenausgleihes von Stcrnmotoren, Jng.
Archiv, 1929
<ИЙ Иг
ЗАМЕЧЕННЫЕ ОПЕЧАТКИ
Стра- ница Строка Напечатано Должно быть
29 3 сверху хт=Ум +4 Sln“i XBi~XAi 'li sina<
29 4 сверху У Bi = xAi +li COSai Г/ 1 ,2 \ У Bi = У At +li C0Sa£ , . f( , 1 • 2\
31 9 сверху — /г sin 8. H 1—•4^ )?i +•• —1. sin 0£ 1 1—Jpi
33 37 4 16 Ф снизу + 4 kt st 2 cos <f> sin8 4! + Дсо An -ci 14 + 4 kt st s cos ¥ sin 3 ip +....
эрмула (57) T1 (tZ *Г1) + |Д&г| 1 ri li Г ri lt
38 8 сверху 4й2=р.т==-.... = 7. — _ L 1 r
39 16 снизу cuv=0’304 0—90 1. = 0,304 ' o=0"
40 4 сверху удут V. i A будут
Семенов М. В.